<Э

ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ»
ЭНЦИКЛОПЕДИИ
СЛОВАРИ
СПРАВОЧНИКИ
НАУЧНО-РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
A. М. ПРОХОРОВ (председатель), И. В. АБАШИДЗЕ, П. А. АЗИМОВ, А. П. АЛЕКСАНДРОВ,
B. А. АМБАРЦУМЯН, М. С. АСИМОВ, М. П. БАЖАН, Ю. Я. БАРАБАШ, Н. В. БАРАНОВ,
A. Ф. БЕЛОВ, Н. Н. БОГОЛЮБОВ, Ю. В. БРОМЛЕЙ, П. П. ВАВИЛОВ, В. X. ВАСИЛЕНКО,
Л. М. ВОЛОДАРСКИЙ, В. В. ВОЛЬСКИЙ, Б. М. ВУЛ, М. С. ГИЛЯРОВ, В. П. ГЛУШКО,
Д. Б. ГУЛИЕВ, А. А. ГУСЕВ (заместитель председателя), Н. А. ЕГОРОВА, В. П.ЕЛЮТИН,
B. С. ЕМЕЛЬЯНОВ, Ю. А. ИЗРАЭЛЬ, А. А. ИМШЕНЕЦКИЙ, А. Ю. ИШЛИНСКИЙ, М. И. КА-
БАЧНИК, Г. А. КАРАВАЕВ, К. К. КАРАКЕЕВ, Б. М. КЕДРОВ, Г. В. КЕЛДЫШ, В. А.
КИРИЛЛИН, И. Л. КНУНЯНЦ, Е. А. КОЗЛОВСКИЙ, М. К. КОЗЫБАЕВ, Ф. В.
КОНСТАНТИНОВ, В. А. КОТЕЛЬНИКОВ, В. Н. КУДРЯВЦЕВ, М. И. КУЗНЕЦОВ (заместитель
председателя), В. Г. КУЛИКОВ, И. А. КУТУЗОВ, П. П. ЛОБАНОВ, Г. И. МАРЧУК, Ю. Ю. МА-
ТУЛИС, Г. И. НААН, И. С. НАЯШКОВ, Н. В. ОГАРКОВ, В. Г. ПАНОВ (первый заместитель
председателя), Б. Н. ПАСТУХОВ, Б. Е. ПАТОН, В. М. ПОЛЕВОЙ, М. А.ПРОКОФЬЕВ,
Ю. В. ПРОХОРОВ, Н. Ф. РОСТОВЦЕВ, А. М. РУМЯНЦЕВ, Б. А. РЫБАКОВ, В. П. САМСОН,
М. И. СЛАДКОВСКИЙ, В. И. СМИРНОВ, Г. В. СТЕПАНОВ, В. Н. СТОЛЕТОВ, Б. И. СТУКА-
ЛИН, М. Л. ТЕРЕНТЬЕВ, И. М. ТЕРЕХОВ, С. А. ТОКАРЕВ, В. А. ТРАПЕЗНИКОВ,
П. Н. ФЕДОСЕЕВ, М. Б. ХРАПЧЕНКО, Е. И. ЧАЗОВ, И. П. ШАМЯКИН, С. И. ЮТКЕВИЧ
МОСКВА 1984

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЭНЦИКЛОПЕДИЯ
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР
И. М. ВИНОГРАДОВ
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
С. И. АДЯН, П.С.АЛЕКСАНДРОВ, Н. С. БАХВАЛОВ, В. И. БИТЮЦКОВ
(заместитель главного редактора), А. В. БИЦАДЗЕ, Л. Н. БОЛЬШЕВ,
А. А. ГОНЧАР, Н. В. ЕФИМОВ, В. А. ИЛЬИН, А. А. КАРАЦУБА,
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ, Б. М. ЛЕВИТАН, К. К. МАРДЖАНИШВИЛИ,
Е. Ф. МИЩЕНКО, С. П. НОВИКОВ, Э. Г. ПОЗНЯК, Ю. В. ПРОХОРОВ
(заместитель главного редактора), А. Г. СВЕШНИКОВ, А. Н. ТИХОНОВ,
П. Л. УЛЬЯНОВ, А. И. ШИРШОВ, С. В. ЯБЛОНСКИЙ
4
Ок—Сло
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ»

51(03)
M34
НАД ТОМОМ РАБОТАЛИ:
Редакция математики издательства «Советская Энциклопедия» —
B. И. БИТЮЦКОВ (заведующий редакцией),
М. И. ВОЙЦЕХОВСКИЙ (старший научный редактор),
А. Б. ИВАНОВ (старший научный редактор),
О. А. ИВАНОВА (старший научный редактор),
C. А. РУКОВА (старший научный редактор),
Е. Г. СОБОЛЕВСКАЯ (научный редактор),
Л. Р. СЕМЕНОВА (младший редактор),
Л. В. СОКОЛОВА (младший редактор)
Сотрудники издательства:
Л. В. КРЫЛОВА (литературная редакция),
В. А. СТУЛОВ, 3. С. ИЗМАЙЛОВА, Μ. Μ. ШИНКАРЕВА (библиография),
А. Ф. ДАЛЬКОВСКАЯ (транскрипции),
Н. А. ФЕДОРОВА (отдел комплектования),
3. А. СУХОВА (редакция иллюстраций),
С. В. БАЗИЛЕВИЧ, Η. Μ. ΓΗΑΤΕΗΚΟ (редакция словника),
М. В. АКИМОВА, А. Ф. ПРОШКО (корректорская),
Г. В. СМИРНОВА (техническая редакция)
Обложка художника Р. И. МАЛАНИЧЕВА
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Ви-
М34 ноградов.— М.: Советская Энциклопедия,
т. 4 Ок —Сло. 1984. 1216 стб., ил.
51(03)
М17°УУ^4001свод. пл. подписных изд. 1983
ИБ № 96
Сдано в набор 23.12.82. Подписано в печать 7.07.83. Т-10678. Формат бумаги 84Χ1087ιβ· Бумага типографская № 1.
Гарнитура обыкновенно-новая. Печать текста высокая с матриц, изготовленных в Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового
Красного Знамени Первой Образцовой типографии имени А. А.Жданова «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Объём издания: 63,84 усл. печ. л., 100,8 уч.-изд. л. Усл.кр,- отт. 63,84.
Тираж 148 900 экз. Заказ № 1122. Цена одного экз. книги 7 руб. 10 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Советская Энциклопедия». 109817. Москва, Ж-28, Покровский бульвар, 8
Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография № 2 «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, И-85, Проспект Мира, 105. Заказ ΛΗ26Α
Издательство «Советская Энциклопедия», 1984

о
ОКА ТЕОРЕМЫ — теоремы о классич. проблемах
теории функций многих комплексных переменных,
впервые доказанные К. Ока в 1930—50 (см. [1]).
1) О. т. о Кузена проблемах: первая проблема Кузена
разрешима в любой области голоморфности в С";
вторая проблема Кузена разрешима в любой области
голоморфности DdCn, гомеоморфной DiX...XDn,
где все области DvaC, кроме, возможно, одной, од-
носвязны.
2) О. т. о Леей проблеме: всякая псевдовыиуклая ри-
манова область является областью голоморфности.
Первоначально эта теорема была доказана К. Ока
для размерности тг=2; в случае произвольной
размерности она доказана К. Ока и др. математиками.
3) О к а - В е и л я теорема: пусть D —
область в С" и компакт KczD совпадает со своей
оболочкой относительно алгебры 0(D) всех голоморфных
в D функций; тогда для любой функции /, голоморфной
в окрестности К, и любого ε>0 найдется функция
F^Q(D) такая, что
max \f — F I < ε.
К
Эта фундаментальная теорема теории голоморфных
приближений широко применяется в комплексном и
функциональном анализе.
4) О. т. о когерентности: пусть Q — пучок
голоморфных функций на комплексном многообразии X',
тогда для любого натурального числа ρ любой локально
конечно порожденный подпучок пучка βρ=βX. . .Χβ
(р Раз) является когерентным аналитическим пучком.
Это одна из основных теорем т. н. теории Ока —
Картана, к-рая существенно используется при
доказательстве Картана теорем А и В.
Лит.: Γΐ] Ока К., Sur les functions analitiques plusieurs
variables, Tokyo, 1961; [2] Хермандер Л., Введение в
теорию функций нескольких комплексных переменных, пер. с англ.,
М., 1968; [3] Г а н н и н г Р., Ρ о с с и X., Аналитические
функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969.
Ε. Μ. Чирка.
ОКАЙМЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА X в
бикомпактном расширении ЪХ— конечное
семейство {Ui, . . ., Uk} открытых в X множеств такое, что
множество К\иг[} . . . (J Uk бикомпактно и ЬХ =
— K\JUi\J ...\JUk, где Uk~ наибольшее открытое
в ЪХ множество, высекающее на X множество Ui (X
предполагается вполне регулярным). Понятие О. п. X в
ЪХ совпадает с понятием близостного продолжаемого
окаймления пространства близости X (близость на X
индуцирована расширением ЬХ), формулируемом в
близостных терминах: кроме бикомпактности К
требуется, чтобы для любой окрестности Οχ семейство
{(Э/о C/Ί, . . ., Uk) было равномерным покрытием
пространства X. Просто окаймлением пространства
X наз. его окаймление в бикомпактном расширении
Стоуна — Чеха. На языке окаймлений формулируется
ряд теорем о размерности наростов бикомпактных
расширений топологических и близостных пространств.
Лит.: [1] С м и ρ н о в Ю. М., «Матем. сб.», 1966, т. 71, № 4,
С. 454—82. В. В. Федорчук.
ОКАЙМЛЕНИЯ МЕТОД — метод решения системы
линейных алгебраич. уравнений Ах~ Ъ с невырожденной
матрицей, обращения матрицы и вычисления
определителя, основанный на рекуррентном переходе от
решения задачи с матрицей
4*-ι =
01,1
Ч-1А
ai,k-i
ak-i,k-i\
к решению задачи с матрицей Ak, рассматриваемой
как результат окаймления Ak-i-
Вычислительная схема О. м. для обращения матриц
такова. Пусть Аь-\ — невырожденная матрица. Для
обращения матрицы Ak используется представление
Аь =
Lft-l Uk
Vk
(1)
где
ΜΛ=(Λΐ, Ьч a2, k, •••»ftfe+l, ft)7'» Vk^(ak,Hak, 2. .·.» 0ft, ft-l)·
Тогда
(2)
ft —
λ-ι , Ak-iukvkAk-i
/J&-1 1 „
k
vkAk-i
\ ak
Ak-lUk 1
ak
1
ak 1
A 2, · · ·» An
ak = akk — vkAk-iUk.
Последовательное обращение матриц Л χ,
по этой схеме дает матрицу А~1.
Описанная схема О. м. пригодна лишь для матриц
с отличными от нуля главными минорами. В общем
случае следует принять схему О. м. с выбором главного
элемента. В этой схеме в качестве окаймляющих
строки и столбца берутся те, для к-рых ak—akk—vkAk-iuk
будет максимальным по модулю. Тогда вычисленная
матрица будет отличаться от Л-1 лишь перестановкой
строк и столбцов [1].
По быстродействию О. м. не уступает самым
быстродействующим из прямых методов обращения матрицы.
О. м. позволяет эффективно обращать треугольные
матрицы. Если Α^-ι~ правая треугольная матрица,
то в (1)
^ft:
= 0 и А^ =
Ak-i
4-luk
*kk
0 —
ftft
Объем вычислений в этом случае уменьшается в 6 раз.
Особенно эффективен О. м. при обращении эрмитовых
положительно определенных матриц. Для этих матриц
не нужно применять схему выбора главного элемента.
Кроме того, они могут быть заданы лишь половиной
своих элементов. Вычислительная схема в этом
случае упрощается:
ΑΫ=-
Ak-i-
Pk = Ak-iUk, ak = akk — ukPk.

11
ОКАЙМЛЕНИЯ МЕТОД
12
Вычислительная схема О. м. для решения системы
состоит в следующем. Пусть b(kP)=^(alp, а2р, . . ., dkp)T',
к—\, 2, . . ., п\ Ъ{п'п + 1) = —Ь. Если Ak~i —
невырожденная матрица и x{k~1*P) — решение системы
^fe-jic^-1'/?)+Ь(Л~1'/?) = 0, то решение я1*/7* системы
то решение
= 0 находится из представления
АЬ ==1
и из (2) следующим образом:
< -ι
&<*/» =
~ак
x{ki ρ) ■
x(k-i,k)
Ak-
0
0
о
vkx^~^ P)
vkX(k-i,P) + bk
b(k-Up)\
akp
x(k-l,p)
0
ft(A-l./»|
akp I
II
r(£-b Λ) Ι
(3)
tt*/r
ΛΑ-1./?)
1
(4)
Таким образом, по решениям я(Л-1' ^и я**"1· *> систем
с одной и той же матрицей А ^ _ х и разными правыми
частями легко получить решение системы с окаймленной
матрицей А^. Решение исходной системы: χ(η·> η + 1Κ
Оно может быть получено рекуррентным применением:
соотношения (4). Это сводится к последовательному
вычислению совокупности векторов x{kP\ к—\, 2,
. . ., п, р>/с, то есть
Z<12>, si"), . .., x(ln)^ 1(Ья + 1)>
Х№\ . .., Х&"\ Ж(2.Я + 1),
. · . , . . . , ...
X(n-U η) χ{η-1, η + ϊ)
x(Ht П + 1)
По объему вычислительной работы приведенная
схема О. м. равносильна Гаусса методу, одному из самых
быстродействующих прямых методов решения систем.
О. м. позволяет решать системы повышенного
порядка за счет эффективного использования памяти ЭВМ.
Это обусловлено тем, что для вычисления векторов
х№, р)^ р>/с, требуется запоминание только векторов
дДЛ-i, я, р>(/с—1), и коэффициентов Ar-го уравнения
системы, т. е. массива чисел длины f(k) = k(n—к-\-1)-\-
+ (и+1)· Поэтому для решения системы n-το порядка
достаточно иметь рабочее поле длины (л+1) (/г+5)/4«
«(τι/2)2. При этом элементы матрицы и правой части
можно вводить в память ЭВМ не сразу, а
последовательно — по строкам.
О. м. целесообразно использовать при решении
системы, для к-рой уже ранее решена усеченная
система. Тогда соотношение (4) сразу дает искомое решение.
Описанная схема О. м. может быть использована для
вычисления определителя. Из представления (1) следует,
что
М* I = I <*>kk — vkAk-iuk | Mft-11.
Рекуррентное применение этого соотношения дает \А\.
Так же, как и обращение матрицы, решение системы
и вычисление определителя по О. м. возможно лишь
для матриц с ненулевыми главными минорами. В общем
случае здесь также необходимо использовать схему
выбора главного элемента.
Лит.: [1] Воеводин В. В., Численные методы алгебры,
М., 1966; [2] Φ а д д е с в Д. К., Φ а д д е с в а В. Н.,
Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.—Л., 1963.
Г. Д. Ним.
ОКАТЫВАНИЕ — см. Симметризация.
ОКЕАНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ —
математические задачи в области физики, химии,
геологии и биологии океана. В физике океана это прежде
всего задачи геофизич. гидродинамики (определяемой
как гидродинамика природных течений вращающихся
бароклинных стратифицированных жидкостей).
Вращение Земли, существенно влияющее на
крупномасштабные течения (глобальных и синоптич. масштабов),
и стратификация, т. е. изменение плотности среды по
направлению силы тяжести (вертикали), создают спе-
цифич. анизотропию индивидуальных гидродинамич.
полей в океане или их статистич. характеристик, к-рую
необходимо учитывать, напр., при выборе базисных
функций для описания этих полей по методу Галеркина, при
объективном анализе (интерполяции, экстраполяции,
сглаживании) эмпирич. данных об этих полях и
выборе статистич. моделей для вертикально-неоднородных
случайных полей турбулентности и внутренних волн.
Аналитич. описание собственных колебаний океана
при помощи линеаризированных уравнений
гидродинамики затрудняется из-за неправильной формы его
границ — дна и берегов, что делает невозможным
использование решений с разделяющимися переменными.
Поэтому в теории приливов, в к-рой существенна
возможность резонансных реакций океана на приливообра-
зующие силы, имеются аналитич. расчеты лишь для
модельных океанов правильной формы (напр.,
ограниченных отрезками меридианов и параллелей). В
реальной же геометрии последовательные (возрастающие)
собственные частоты должны определяться как экстремумы
квадратичных интегральных функционалов,
родственных энергии, на экстремалях, подбираемых по методу
Галеркина; такой подход полностью еще не реализован.
В теории приливов заметна не только линейная, но и
нелинейная реакция океана на приливообразующие
силы, к-рая может быть описана при представлении
высоты прилива в виде функционального степенного ряда
по приливообразующим силам; функциональные
коэффициенты такого ряда описывают свойства океана как
резонансной системы.
Для океана специфично наличие среди решений
уравнений гидродинамики нескольких классов волн —
акустических, поверхностных (капиллярных и
гравитационных), внутренних гравитационных, инерционных
(включая баротропные и бароклинные волны Росби —
Блиновой, образующиеся вследствие изменения с
широтой вертикальной проекции угловой скорости
вращения Земли) и, наконец, гидромагнитных,
возникающих при движениях электропроводной жидкости
(соленой морской воды) в геомагнитном поле. Построение
отдельных классов волновых решений (и динамич.
уравнений для них) осуществляется при помощи асимпто-
тич. методов нелинейной механики, родственных
методу Ван дер Поля, в виде асимптотич. рядов по
степеням малых параметров, стоящих при «лишних»
производных по времени. Примером служит т. н. квазигео-
строфич. разложение, отфильтровывающее из числа
решений уравнений гидродинамики быстрые волны и
выделяющее класс волн Росби—Блиновой.
Волны в океане, как правило, нелинейны. Для
длинных нелинейных волн, поверхностных и внутренних,
удается вывести уравнение Кортевега—де Фриса и
использовать его солитонные и периодические (кноидаль-
ные) решения. Для коротких волн сколько-нибудь общих
методов нахождения солитонных и периодич. решений
еще не построено, и существуют лишь отдельные
примеры (капиллярные волны Слезкина — Краппера,
гравитационные волны Герстнера и Стокса, баротропные и
бароклинные солитоны Росби). Недостаточно развиты
и статистич. теории нелинейных волновых полей,
особенно актуальные для описания поверхностных и
внутренних гравитационных волн (для внутренних волн —
с генерацией ими турбулентных пятен и расплыванием
последних в слои вертикальной микроструктуры) и
волн Росби (с эволюцией квазидвумерной
турбулентности в нелинейное волновое поле).

13 οκϊ
Одной из важнейших проблем гидродинамики океана
является математич. моделирование его циркуляции
(в наиболее общей постановке — в его взаимодействии
с атмосферой через т. н. верхний перемешанный слой
океана и пограничный слой атмосферы), причем
вследствие большой ширины спектра масштабов
пространственных неоднородностей (от миллиметров до 1СИ
километров) моделируемая система здесь имеет огромное
число степеней свободы (при миллиметровых
элементарных объемах порядка 1028), и неизбежно возникает
необходимость их аггрегирования, напр. методом
параметризации мелкомасштабных процессов.
При аппроксимации континуальных гидродинамич.
уравнений разностными возникают вопросы о порядке
аппроксимации, сходимости и устойчивости разностной
схемы. В современных т. н. вихреразрешающих
моделях циркуляции океана используются
пространственные сетки с горизонтальными шагами порядка
немногих десятков километров. Конкурирующими могут быть
схемы, использующие спектральные (в том числе галер-
кинские) разложения пространственных гидродинамич.
полей.
Основные задачи математич. обработки данных
измерений в гидродинамике океана делятся на задачи
зондирования (функции от глубины, их разложения на
моды, спектры), буксировки (горизонтальные и
пространственно-временные спектры с доплеровскими
эффектами) и полигонных измерений (временные ряды на
трехмерной сетке точек, их спектры и взаимные
спектры, объективный анализ, синхронные
пространственные картины, четырехмерный анализ волновых полей).
В акустике океана рассматриваются типичные
задачи распространения волн в слоистых средах; для ана-
литич. описания вертикальной структуры волновых
полей в ряде случаев используется приближение В КБ
(см. ВКБ-метод). В оптике океана специфич.
процессом является многократное рассеяние света, для
описания к-рого используются численные решения
уравнения переноса излучения, получаемые методами Монте-
Карло, и асимптотические аналитич. решения. В химии
океана важной математич. задачей является расчет
конвективной диффузии неконсервативных примесей со
специфич. источниками и стоками.
В геологии океана в связи с развитием мобилистской
геотектоники (т. н. тектоники литосферных плит)
возникли задачи кинематич. расчетов движения
жестких плит на поверхности сферы и их генетич.
объяснения при помощи математич. моделирования процессов
плотностной конвекции в земной мантии
(возникающей вследствие перехода тяжелых веществ из мантии в
ядро). Одной из важных частных задач геологии
является биостратиграфия, т. е. распознавание возрастов
слоев осадочных пород по содержащимся в них микро-
па леонтологич. ассамблеям при помощи программ с
самообучением (пока что в большинстве работ эта задача
решается приближенно без использования ЭВМ).
Весьма объемные вычислительные задачи оценки ста-
тистич. характеристик сигналов, фильтрации шумов и
распознавания образов возникают при регистрации и
обработке данных морского многоканального
непрерывного глубинного сейсмопрофилирования и
вибропросвечивания океанского дна, причем в ряде случаев и при
постановке измерений (пространственные
распределения излучателей и приемников сигналов), и при их
регистрации перспективны голографич. методы,
использующие преобразования Фурье.
В биологии океана в проблеме управления биологич.
продуктивностью океана важное значение приобретает
математич. моделирование структуры и
функционирования экологич. систем и, в частности, динамики
популяций. Примером служит задача об эволюции со
временем t вертикальных распределений щ(ъ, t) компонент
ГЛБНИЕ 14
Qi экологич* системы (включающих концентрации ряда
видов фито- и зоопланктона, кислорода, углекислого
газа, фосфорных и азотных солей, температуру и
соленость воды, освещенность фотосинтетически-активной
радиацией), описываемой уравнениями вида
где Αία, Βιαβ—биологич. и биофизич. параметры;
здесь представляют интерес как численные решения
задачи Коши с конкретными начальными данными, так
и выводы качественной теории дифференциальных
уравнений о поведении решений в целом и об их зависимости
от имеющихся в уравнениях параметров.
Лит.: [1] Биология океана, τ 1—2, Μ., 1977; [2] Физика
океана, т. 1, Μ , 1978; [3] Геофизика океана, т. 1—2, М., 1979;
[4] Химия океана, т. 1—2, Μ , 1979, [5] Геология океана, т. 1,
М., 1979. А. С. Монин.
ОКОЛЬЦОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО —
топологическое пространство X, снабженное пучком колец βχ.
Пучок βχ наз. структурным пучком О. п.
(Χ·> βχ)· Обычно предполагается, что Qx есть пучок
ассоциативных и коммутативных колец с единицей.
Морфизмом О. п. (X, Qx) в О. п. (Υ, βγ) наз.
пара (/, /#), где / : Х->У *— непрерывное отображение
и /#: ί*βγ-+·βχ— гомоморфизм пучков колец над У,
переводящий единицы слоев в единицы. О. п. и их
морфизмьг составляют категорию. Задание
гомоморфизма /# равносильно заданию гомоморфизма
/#-бк—*/*6х,
переводящего единицы в единицы.
Окольцованное пространство (Χ, βχ) наз. л о-
кально окольцованным, если βχ — пучок
локальных колец. В определении морфизма (/, /#)
локально О. п. (Χ, βχ)—>(Υ, β γ) дополнительно
предполагается, что для любого х£Х гомоморфизм
/*:бк,/и>—+βχ,χ
является локальным. Локально О. п. составляют
подкатегорию в категории всех О. п. Другую важную
подкатегорию составляют О. п. над (фиксированным) полем
/с, то есть О. п. (Χ, βχ), где βχ — пучок алгебр над
к, а морфизмы согласованы со структурой алгебр.
Примеры О. п. 1) Каждому топологич.
пространству X соответствует О. п. (X, С χ), где Οχ— пучок
ростков непрерывных функций на X.
2) Каждому дифференцируемому многообразию
(напр., класса С°°) X соответствует О. п. (Χ, Όχ), где
Dχ— пучок ростков функций класса С°° на X; при
этом категория дифференцируемых многообразий
вкладывается в категорию О. п. над R в качестве полной
подкатегории.
3) Аналитические многообразия и аналитические
пространства над полем к составляют полные
подкатегории в категории О. п. над к.
4) Схемы составляют полную подкатегорию в
категории локально О. п.
Лит.: [1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М-, 1972; [2] X а ρ τ с χ ο ρ н Р., Алгебраическая
геометрия, пер. с англ., М., 1981. А. Л. Онищик.
ОКРЕСТНОСТЬ точки χ (подмножества
А) топологического пространства — любое открытое
подмножество этого пространства, содержащее точку
х (множество А). Иногда под О. точки χ (множества А)
понимается любое такое подмножество топологич.
пространства, к-рое содержит точку χ (множества А)
В Своей внутренности. Б. А. Пасынков.
ОКРУГЛЕНИЕ числа — приближенное
представление числа в нек-рой системе счисления с помощью
конечного количества цифр. Необходимость О.
диктуется потребностями вычислений, в к-рых, как правило,

15
ОКРУЖНОСТЬ
16
окончательный результат не может быть получен
абсолютно точно и следует избегать бесполезного
выписывания лишних цифр, ограничивая все числа лишь
нужным количеством знаков.
При О. числа оно заменяется другим числом (ί-раз-
рядным, т. е. имеющим t цифр), представляющим его
приближенно. Возникающую при этом погрешность
наз. погрешностью округления, или
ошибкой округления.
Применяются различные способы О. числа.
Простейший из них состоит в отбрасывании младших разрядов
числа, выходящих за t разрядов. Абсолютная
погрешность О. при этом не превосходит единицы t-το
разряда числа. Способ О., обычно применяемый в ручных
вычислениях, состоит в О. числа до ближайшего ί-раз-
рядного числа. Абсолютная ошибка О. при этом не
превосходит половины ί-го разряда округляемого числа.
Этот способ дает минимально возможную ошибку среди
всех способов О., использующих t разрядов.
Способы О., реализуемые на вычислительной
машине, определяются ее назначением, технич.
возможностями и, как правило, уступают по точности О. до
ближайшего ί-разрядного числа. В ЭВМ наиболее
приняты два режима арифметич. вычислений: т. н. режим с
плавающей запятой и режим с фиксированной запятой.
В режиме с плавающей запятой результат О. числа
имеет определенное количество значащих цифр; в режиме
с фиксированной запятой — определенное количество
цифр после запятой. В первом случае принято
говорить об О. д о t разрядов, во втором — об О. д о
t разрядов после запятой. При этом в
первом случае контролируется относительная
погрешность О., во втором — абсолютная погрешность.
В связи с использованием вычислительных машин
развились исследования накопления ошибок О. в
больших вычислениях. Анализ накопления ошибок в
численных методах позволяет характеризовать методы
по чувствительности их к ошибкам О., строить
стратегии реализации их в вычислительной практике,
учитывающие ошибки О., и оценить точность
окончательного результата.
Лит.: El] Крылов А. Н., Лекции о приближенных
вычислениях, 5 изд., М.~ Л., 1950; [2] Б е ρ е з и н И. С, Ж и д-
ков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, Μ , 1966; [3] Б а х-
в а л о в Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [4] В о е в о-
дйн В. В., Вычислительные основы линейной алгебры, М.,
1977. Г. Д. Ним.
ОКРУГЛЕНИЯ ТОЧКА — эллиптическая точка
поверхности, в к-рой соприкасающийся параболоид
вырождается в параболоид вращения. В О. т. нормальные
кривизны по всем направлениям равны, Дюпена
индикатриса является окружностью. О. т. иногда наз.
о м б илической точк-ой, шаровой точ-
Κ О Й, ИЛИ КруГОВОЙ ТОЧКОЙ. Д· Д- Соколов.
ОКРУЖНОСТЬ — замкнутая плоская кривая, все
точки к-рой одинаково удалены от данной точки (цент-
р а С), лежащей в той же плоскости, что и кривая. О.
с общим центром наз. концентрическими.
Отрезок i?, соединяющий центр О. с какой-либо ее
точкой (а также длина этого отрезка), наз.
радиусом О. Уравнение О. в прямоугольных декартовых
координатах:
(z-a)2+(i/--b)2 = i?2,
где а и Ъ — координаты центра.
Прямая, проходящая через две точки О., наз. с е-
кущей; отрезок ее, лежащий внутри О.,— χ о р-
д о й. Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Хорда,
проходящая через центр О., наз. ее диаметром.
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит ее
пополам.
Каждая из двух частей, на к-рые две точки О.
делят ее, наз. дугой.
Угол, образованный двумя радиусами О.,
соединяющими ее центр с концами дуги, наз. центральным
углом, а соответствующая дуга — дугой, на к-рую
он опирается. Угол, образованный двумя хордами с
общим концом, наз. вписанным углом.
Вписанный угол равен половине центрального угла,
опирающегося на дугу, заключенную между концами
вписанного угла. Длина окружности C=2nR, длина дуги
^—То77£ — #а> где а°— величина (в градусах) соответст-
вующего центрального угла, α — его радианная мера.
Если через какую-либо точку плоскости провести
к О. несколько секущих, то произведение расстояний
от точки до обеих точек пересечения каждой секущей
с О. есть постоянное число (для данной точки), в
частности, оно равно квадрату длины отрезка касательной
к О. из этой точки (степень точки). Совокупность
всех точек плоскости, относительно к-рых данная точка
имеет одинаковую степень, составляет связку О.
Совокупность всех общих О. двух связок, лежащих в одной
плоскости, наз. пучком О.
Часть плоскости, ограниченная О. и содержащая ее
центр, наз. кругом. Сектором наз. часть
круга, ограниченная дугой О. и радиусами,
проведенными в концы этой дуги. Сегментом наз. часть
круга, заключенная между дугой и ее хордой.
Площадь круга S=nR2, площадь сектора S1=
= πΒ2γ^ , где а° — градусная мера соответствующего
центрального угла, площадь сегмента £2=π/?2^^- ±
±S&, где Sa~площадь треугольника с вершинами в
центре круга и в концах радиусов, ограничивающих
соответствующий сектор, знак «—» берется, если
а°<180°, и знак «+», если а°>180°.
О. на выпуклой поверхности локально почти изоме-
трична границе выпуклой поверхности конуса (т е о-
рема Залгаллера). О. в многообразии
ограниченной кривизны может иметь достаточно сложное
строение (т. е. могут существовать угловые и кратные
точки, О. может состоять из нескольких компонент и
т. п.). Тем не менее точки О. в многообразиях
ограниченной кривизны можно естественно упорядочить,
превратив ее тем самым в циклически упорядоченное
множество (см. [1]).
Об О. в более общих пространствах — банаховых,
финслеровых и т. п. см. в ст. Сфера.
Лит.: [1] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4,
М., 1963; [2] «Тр. Матем. ии-та АН СССР», 1965, т. 76, с. 88—114.
А. Б. Иванов.
ОКТАНТ — любая из восьми областей, на к-рые
пространство делится тремя взаимно перпендикулярными
координатными плоскостями.
ОКТАЭДР — один из пяти типов правильных
многогранников. О. имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер,
6 вершин (в каждой вершине
сходятся 4 ребра). Если а — /7\ч
длина ребра О., то его объем /\ \\
ν = —г— ~ 0,4714а3. / J-- I v\4
БСЭ-3. >С / L^*/
ОКТАЭДРА ПРОСТРАНСТ- \^4^^' /
ВО — пространство, получаю- >s\ / /
щееся из октаэдра при отожде- ^λ \ /
ствлении противоположных его ^ы/
граней — треугольников,
повернутых друг относительно друга на угол π/З. О. п. —
трехмерное многообразие, являющееся пространством
орбит действия бинарной группы октаэдра на
трехмерной сфере. Оно может быть отождествлено с
пространством куба, получающимся аналогичным

17
ОПЕРАТОР
18
образом. Одномерная группа Бетти О. п. является
группой третьего порядка. м. и. Войцеховский.
ОМБИЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА — то же, что округления
точка.
«ОМЕГА-КВАДРАТ» РАСПРЕДЕЛЕНИЕ -
распределение вероятностей случайной величины
где Z(t) — условный винеровский процесс. Характери-
стич. функция «О.-к.» р. выражается формулой
Ε*"ωΐ=ττβ (Ί--^Λ~1/2
X±k=l V n*h* J
В математической статистике «О.-к.» р. часто
встречается в связи со следующим обстоятельством. Пусть
Χι, . . ., Хп— независимые случайные величины,
равномерно распределенные на [0, 1], по к-рым
построена функция эмпирич. распределения Fn(·). В этом
случае процесс
Zn(t)=VZ(Fn(t)-t)
слабо сходится к условному винеровскому процессу,
откуда следует, что
lim ρ(ί^Λ(ί)Λ<λ)=Ρ{ω2<λ} =
π ^k=l M2k-\)nV-tsint
См. также Крамера — Мизеса критерий.
Лит.: [1] С м и ρ н о в Н. В., «Матем. сб.», 1937, т. 2, с. 973—
993; [2] Anderson Т. W., D а г 1 i n g D. Α., «Ann. Math.
Statist.», 1952, v. 23, p. 193—212. M. С. Никулин.
ОМЕГА-НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ — свойство фор
мальных арифметич. систем, означающее невозможность
получения омега-противоречия.
Омега-противоречием наз. такая ситуация, когда для
некрой формулы А (х) доказуема каждая формула из
бесконечной последовательности формул А (Пз^1), А (г1^),
. . ., Α (Γ~7ΐ~1), ... и формула ~\ЧхА (х), где 1"~"0~1 —
константа формальной системы, обозначающая число О
а константы ^~п~^ определяются рекурсивно через терм
(х)', обозначающий число, непосредственно следующее
за х: Г"п + Г1 = (ГлП)'.
Понятие О.-н. появилось в связи с Гёделя теоремой
о неполноте арифметики. Именно в предположении
О.-н. формальной арифметики К. Гёдель (К- Godel)
доказал ее неполноту. Свойство О.-н. сильнее свойства
простой непротиворечивости. Простая
непротиворечивость получится, если взять в качестве А (х) формулу,
не содержащую х. Из теоремы Гёделя о неполноте
вытекает существование непротиворечивых, но омега-
противоречивых систем.
Лит.: [1] К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер.
с англ., М., 1957. В. Н. Гришин.
ОМЕГА-ПОЛНОТА — свойство формальных
арифметич. систем, состоящее в том, что для всякой формулы
А (х) из выводимости формул А (' 0~^), Α (1~Ό), . . .
.. .,Л (^αι"1), . . . следует выводимость формулы ЧхА (х),
где ' /г * — константа, обозначающая натуральное число
η или 0. В противном случае система наз. о м е г а-
неполной. К. Гёдель в своей теореме о неполноте
формальной арифметики фактически установил ее
омега-неполноту. Если в качестве аксиом взять множество
всех формул, истинных в стандартной модели
арифметики, то получится омега-полная аксиоматич. система.
Наоборот, во всяком омега-полном расширении
арифметики Пеано выводима всякая истинная в
стандартной модели формула. I
ι Лит.: [1] К лини С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957. В. Н. Гришин.
ОПЕРАНД в языках
программирования — аргумент операции; грамматич. конструкция,
обозначающая выражение, задающее значение
аргумента операции; иногда О. наз. место, позиция в
тексте, где должен стоять аргумент операции. Отсюда
понятие местности, или арности, операции,
т. е. числа аргументов операции.
В зависимости от положения О. относительно знака
операции различают префиксные (напр., sin χ),
инфиксные (напр., а-\-Ь) и постфиксные
ι (напр., х2) о п е ρ а ц и и. В зависимости от числа 0.
| различают одноместные (унарные, или м о-
надические) операции; двуместные
(бинарные, или диадические)
операции; многоместные (или
полиадические) операции.
В связи с различением операнда-позиции и
операнда как фактического аргумента возникает понятие
приведения О. к виду, требуемому операцией. Напр.,
если действительный аргумент находится в позиции
целого О., правила языка могут подразумевать тот
или иной способ округления действительного числа
до подходящего целого. Другим примером приведения
является изменение формы представления объекта,
напр. скаляр приводится к вектору, состоящему из
ОДНОЙ Компоненты. Λ. П. Ершов.
ОПЕРАТОР в программировании —
грамматическая конструкция в языках
программирования, выражающая нек-рое законченное действие при
выполнении программы на ЭВМ. В императивных
языках программирования (напр., алгол, фортран) О.
является командой, предписывающей выполнить
выражаемое им действие. В апликативных языках
(напр., лисп) О. является обозначением результата
выполнения выражаемого им действия. В нек-рых
языках (напр., алгол-68) императивные и апликативные
свойства О. объединяются: каждый О. вырабатывает
нек-рое значение, может быть пустое, и выполняет
(в качестве побочного эффекта) предписываемое им
действие. Обычно действие О. состоит из двух частей:
информационной и логической.
Информационная часть О. состоит в
выработке нек-рого значения как функции состояния
памяти или, более общо, в отображении состояния
памяти на другое состояние.
Логическая часть О. состоит в выборе из
программы другого О., выполняемого вслед за данным.
В зависимости от однозначности выбора имеет место
детерминированность или недетерминированность
выполнения программы.
См. также Алгоритмический язык. а. П. Ершов.
ОПЕРАТОР — отображение одного множества на
другое, каждое из к-рых наделено нек-рой структурой
(алгебраич. операциями, топологией, отношением
порядка). Общее определение О. совпадает с определением
отображения или функции: пусть X и У — два
множества; оператором А из множества X во
множество У наз. правило или соответствие, к-рое каждому
элементу χ из нек-рого подмножества DaX
сопоставляет однозначно определенный элемент Α (χ) ζ У;
множество D наз. областью определения
оператора Ли обозначается D (А)', множество {А (х),
χξ^Ώ} наз. областью значений
оператора Ли обозначается R(A). Часто пишут Ах
вместо А (х). Термин «О.» используется чаще всего в
случае, когда X и Υ — векторные пространства. Если
А — оператор из X в У, где Κ=Χ, то А наз.
оператором в X. Если D (Л) — X, то А наз. всюду
определенным оператором. Если Аг,
А 2— операторы из Χχ в Υχ и из Х2 в У2 с областями

19
ОПЕРАТОР
20
определения D (Αι) и Ζ) (А2) соответственно и такие, что
D(A1)dD(A2) и Агх=А2х при всех x£D(Ax), то при
Χι— Х2, 5^1 = У2 оператор Α λ называется сужен ием,
или ограничением, оператора i2, а оператор
А2~расширением оператора Аг; при X1czX2,
А2 называется расширением оператора Αχ с выходом
из Хг.
Многие уравнения в функциональных или
абстрактных пространствах можно представить в виде Ах~у,
где y£Y, χζΧ, у — задан, χ — неизвестен, А —
оператор из X в У. Утверждение о существовании
решения такого уравнения при любой правой части у ζ У
равносильно утверждению, что область значений
оператора А есть все пространство У; утверждение, что
уравнение А{х)—у имеет при любом y£R(A)
единственное решение, означает, что А взаимно однозначно
отображает D (А) на В. (А).
. Если X и У — векторные пространства, то в
множестве всех О. из X в У можно выделить класс линейных
операторов; остальные О. из X в У наз.
нелинейными операторами. Если X и У —
топологические векторные пространства, то в множестве 0.
из X в У естественно выделяется класс непрерывных
операторов, а также класс ограниченных
линейных операторов Л (таких операторов А,
что образ любого ограниченного множества в X
ограничен в У) и класс линейных компактных операторов
(т. е. таких О., что образ любого ограниченного
множества в X предкомпактен в У). Если X и У —
локально выпуклые пространства, то в X и У естественно
рассматривать различные топологии; О. наз.
полунепрерывным, если он определяет непрерывное
отображение пространства X (в исходной топологии)
в пространство У в слабой топологии (понятие
полунепрерывности используется главным образом в теории
нелинейных О.); О. наз. усиленно
непрерывным, если он непрерывен как отображение
пространства X в ограниченно слабой топологии в пространство
У; О. наз. слабо непрерывным, если он
определяет непрерывное отображение Ζ в У, где X и
У наделены слабой топологией. Часто компактные О.
наз. вполне непрерывными. Иногда
термин «вполне непрерывный О.» используется вместо
термина «усиленно непрерывный О.» или для
обозначения О., переводящего любую слабо сходящуюся
последовательность в сильно сходящуюся; если X и У —
рефлексивные банаховы пространства, то эти условия
эквивалентны компактности О. Если О. усиленно
непрерывен или компактен, то он непрерывен; если О.
непрерывен, то он слабо непрерывен.
Графиком оператора А наз. множество
Г (А) а X X У, оп ределенное соотношением
Т(А)={{х, Ах}, x£D(A)}.
Пусть X и У — топологические векторные
пространства; оператор А из X в У наз. замкнутым оператором,
если его график замкнут. Понятие замкнутого О.
особенно плодотворно в случае линейных О. с плотной
областью определения.
Понятие графика позволяет обобщить понятие О.:
многозначным оператором из X в У
наз. любое подмножество А в 1ХУ; если X и У —
векторные пространства, то многозначным линейным
О. наз. линейное подпространство XX У; областью
определения многозначного О. наз. множество
D(A) — {x£X: существует y£Y такой, что {х, у}£А}.
Если X — векторное пространство над полем к
и Y=k, то всюду определенный О. из X в к наз.
функционалом на X.
Если X и У — локально выпуклые пространства,
то оператор Л из X в У с плотной в X областью
определения имеет сопряженный оператор А * с плотной в
У* в ослабленной топологии областью определения
тогда и только тогда, когда А — замкнутый О.
Примеры операторов. 1)0.,
сопоставляющий любому элементу χζΧ элемент 0£У
(нулевой оператор).
2) О., сопоставляющий любому элементу χζΧ этот
же элемент # ζ Χ (единичный оператор в
X обозначается ίάχ или 1χ).
3) Пусть X — векторное пространство функций на
нек-ром множестве Ми/ — функция на М; О. в X
с областью определения
Ζ>Μ) = {φζΧ:/φζΧ},
действующий по правилу
Λφ = /φ
при φζΖ) (А), наз. оператором умножения
на функцию; Л— линейный О.
4) Пусть X — векторное пространство функций на
множестве Μ и F — отображение множества Μ в себя;
О. в X с областью определения
Ό(Α)={φζΧ:φοΡξ:Χ},
действующий по правилу
Αφ = φ о F
при cp£D(A), будет линейным О.
5) Пусть X, У — векторные пространства
действительных измеримых функций на пространствах с мерой
(М, 2д1, μ) и (Ν, 2дг, ν) соответственно, К — функция
на MXNXR, измеримая относительно произведения
мер μΧνΧμ0, где μ0— мера Лебега на R, и
непрерывная по t£K при любых фиксированных т£М, ηζΝ;
О. из X в У с областью определения
D(A)=U£X:f(x)=\ К (χ, у, <p(y))dy\,
У ^ м )
существующий для почти всех χζΝ и /ζУ,
действующий по правилу Лф=/ при cp£D(A), наз.
интегральным оператором; если
К (х, у, ζ) = Κ (χ, у) z, х£М, y£N, zgR,
то А линейный О.
6) Пусть X — векторное пространство функций на
дифференцируемом многообразии Μ, ξ — векторное
поле на М; оператор А в X с областью определения
D (Л) = {/£Х: производная D~f
функции / вдоль поля ξ определена всюду и DJ£X],
действующий по правилу Af—D^f при f£D{A), наз.
оператором дифференцированиям —
линейный О.
7) Пусть X — векторное пространство функций на
множестве М; всюду определенный О., сопоставляющий
функции φζΧ значение этой функции в точке а£М,
есть линейный функционал на X; он наз. δ-ф у н к ц и-
ей в точке а и обозначается δα.
8) Пусть G — коммутативная локально компактная
группа, G — группа характеров группы G; dg, dg —
меры Хаара на G, G соответственно; пусть
X=L*(G, dg), Y = L*(G, di);
линейный оператор А из X в У, сопоставляющий
функции /ζΧ функцию /ζУ, определяемую формулой
/ (Ϊ) = J / (g) g (g) dg,
всюду определен, если сходимость интеграла
понимается как сходимость в среднем.

21
ОПЕРАТОРНАЯ
22
Если Ζ и У — топологические векторные
пространства, то О. в примерах 1) и 2) непрерывны; если в
примере 3) пространство X есть L2(M, Σ до, μ), где μ —
мера на X, то О. умножения на ограниченную
измеримую функцию замкнут и имеет плотную область
определения; если в примере 5) пространство Χ=Υ есть
гильбертово пространство L2(M, Σμ, μ) и К (χ, ζ/, ζ)=
= K(x,y)z, где К(х,у) принадлежит L2(MxM,
Σ^χΣ^,μΧμ),το^ компактен; если в примере 8)
пространства X и Υ рассматриваются как гильбертовы
пространства, то А непрерывен.
Если А — О. из X в Υ такой, что АхфАу при хфу,
x,y£D(A), то можно определить обратный оператор
Л-1 к А; вопрос о существовании обратного О. и его
свойствах связан с теоремой существования и
единственности решения уравнения Ax~j\ если Α~λ
существует, то x=A~lf при f£R(A).
Для О. в векторных пространствах можно
определить сумму, произведение на число и произведение О.
Если А, В — операторы из X в Υ с областями
определения D (А) и D (В) соответственно, то суммой
операторов А и В наз. О., обозначаемый А -\-В,
с областью определения
D(A + B) = D(A)[\D(B),
действующий по правилу
(А + В)х=Ах + Вх
при x£D (А-\-В). Произведением о π е ρ аь
тора А на число λ наз. О., обозначаемый λΑ,
с областью определения
D(kA) = D(A),
действующей по правилу
(λΑ) χ=^λ(Αχ)
при x£D (λΑ). Произведение
операторов определяется как композиция отображений:
если А оператор из X в Υ, В — оператор из Υ в Ζ.
то произведением В и А наз. оператор В А с областью
определения
D(BA) = {x£X:xGD(A) и Ax£D (В)},
действующий но правилу
(ВА)х = В (Ах)
при x£D(BA).
Если Ρ — всюду определенный О. в X такой, что
РР = Р, то Ρ наз. проектором в X; если / —
всюду определенный О. в X такой, что ΙΙ=ίάχ, то /
наз. инволюцией в X.
Теория О. составляет важнейшую часть линейного
и нелинейного функционального анализа, являясь, в
частности, основным аппаратом теории динамич.
систем, представлений групп и алгебр и важнейшим мате-
матич. инструментом математич. физики и квантовой
механики.
Лит.: [1] Люстерник Л. Α., С о б о л е в В. И.,
Элементы функционального анализа, 2изд., М., 1965; [2]
Колмогоров А. Н., Фомин СВ., Элементы теории функций и
функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] К а н τ ο ρ о-
в и ч Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ, 2 изд.,
М., 1977; [4] Д а н φ ο ρ д Н., Ш в а р ц Дж. Т., Линейные
операторы, пер. с англ., ч. 1—3, М.,,1962—74;L5] Э д в а р д с Р. -Э.,
Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969;[6]Иосида
К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967.
М. А. Наймарк, А. И. Штерн.
ОПЕРАТОРНАЯ ГРУППА — 1) О. г.— однопарамет-
рическая группа операторов в банаховом
пространстве Е, т. е. семейство линейных ограниченных
операторов Ut, — οο<ί<οο, такое, что С/0=/, Us + t^Us-Uf
и Uχ непрерывно зависит от t (в равномерной, сильной
или слабой топологии). Если Ε — гильбертово
пространство и Ц17/11 равномерно ограничены, то группа
{Ut} подобна группе унитарных операторов
(теорема Надя).
Лит.: [1] S ζ.- Ν a g у В., «Acta Univ. szeged. Sec. scient.
Math.», 1947, t. 11, p. 152—57; [2] X и л л е Э., Фи л липе Р.,
Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд.,
М., 1962. В. И. Ломоносов.
2) О. г., группа с областью
операторов Σ,— такая группа G, что всякому элементу a£G
и всякому σ£Σ, где Σ — нек-рое множество символов,
поставлен в соответствие элемент ao£G, причем
(ab)a— аа · Ьа при любых а, Ъ ζ G. Пусть GvlG' — группы
с одной и той же областью операторов Σ; изоморфное
(гомоморфное) отображение φ группы G на G' наз.
операторным изоморфизмом
(гомоморфизмом), если (ασ)φ=(αφ)σ для любых a£G, σζΣ.
Подгруппа (нормальный делитель) Я группы G с
областью операторов Σ наз. допустимой
подгруппой (допустимым нормальным
делителем), если #σ<ΞΞ# при всяком σζΣ.
Пересечение всех допустимых подгрупп, содержащих
данное подмножество Μ группы G, наз.
допустимой подгруппой, порожденной
множеством М. Группа, не имеющая допустимых
нормальных делителей, кроме себя и единичной
подгруппы, наз. простой (относительно заданной
области операторов). Всякая факторгруппа О. г. по
допустимому нормальному делителю является группой
с той же областью операторов.
Группа G наз. группой с полугруппой
операторов Σ, если G — группа с областью
операторов Σ , Σ — полугруппа и α(στ)=(ασ) τ для любых
a£G, σ, τζΣ. Если Σ —полугруппа с единицей ε,
то считается, что аг=а при всяком a£G. Всякая
группа с произвольной областью операторов Σ0 есть группа
с полугруппой операторов Σ, где Σ — свободная
полугруппа, порожденная множеством Σ0. Группа F с
полугруппой операторов Σ, обладающей единицей, наз.
Σ —свободной, если она порождается такой
системой элементов X, что элементы яа, где χζΧ, α ζ Σ ,
составляют для F (как группы без операторов) систему
свободных образующих. Пусть F есть Г-свободная
группа (Г— группа операторов), Δ — подгруппа
группы Гу f£F ά Af, δ — допустимая подгруппа группы F,
порожденная всеми элементами вида /-1(/а), где α£Δ.
Тогда всякая допустимая подгруппа группы F
является операторным свободным произведением групп типа
Aft д и нек-рой Г-свободной группы (см. [2]). Если
Σ — свободная полугруппа операторов, то при аф\
допустимая подгруппа Σ-свободной группы F,
порожденная элементом а, сама является Σ-свободной
группой со свободным образующим а (см. также [3]).
Абелева группа с ассоциативным кольцом операторов
К — это модуль над К.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[2] 3 а в а л о СТ., «Матем. сб.», 1953, т. 33, с. 399—432; [3J
его же, «Укр. матем. ж.», 1964, т. 16, № 5, с. 593—602; № 6,
ρ 730 51 Α. Π jM[uuluhq,
ОПЕРАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ — топология в
пространстве L(E, F) непрерывных линейных отображений
одного топологического векторного пространства Ε
в другое топологич. пространство F, превращающая
пространство L(E, F) в топологическое векторное
пространство. Пусть F — локально выпуклое
пространство и (5> — такое семейство ограниченных подмножеств
пространства Е, что линейная оболочка объединения
множеств этого семейства плотна в Е\ пусть 93 —
базис окрестностей нуля в F. Семейство
M(S, V) = {f:f£L(E, F), f (5)cF),
где S пробегает 6, a F пробегает 58, является базисом
окрестностей нуля для единственной инвариантной
относительно сдвигов топологии, к-рая является О. т.
и превращает пространство L(E, F) в локально выпук-

23 ОПЕРАТОРНАЯ ЭРГО,
лое пространство; эта топология наз. (5>-т о π о л о-
г и е й на L(E, F).
Примеры. I. Пусть Е, F — локально выпуклые
пространства; 1) пусть (В — семейство всех конечных
подмножеств в Е, соответствующая ©-топология (в
L (Е, F)) наз. топологией простой (или π о-
точечной) сходимости; 2) пусть (5> —
семейство всех выпуклых закругленных компактных
подмножеств Е, соответствующая топология наз.
топологией выпуклой закругленной
компактной сходимости; 3) пусть @ —
семейство всех предкомпактных подмножеств Е,
соответствующая ©-топология наз.топологией пред-
компактной сходимости; 4) пусть @ —
семейство всех ограниченных подмножеств,
соответствующая топология наз. топологией
ограниченной сходимости.
II. Если Е, F — банаховы пространства,
рассматриваемые одновременно в слабой или сильной
(нормированной) топологии, то соответствующие
пространства L(E, F) алгебраически совпадают;
соответствующие топологии простой сходимости наз. слабой и
сильной О. т. в L(E, F). Сильная О. т. мажорирует
слабую О. т.; обе они согласуются с двойственностью
между L(E, F) и пространством функционалов на
L(E, F) вида /(4)-^/^ ξ/), где ξ;ζ£, φ,ζ^*,
A£L(E, F).
III. Пусть Ε, F — гильбертовы пространства и Ε,
F — счетные прямые суммы гильбертовых пространств
Еп, Fn соответственно, где Еп=Е, Fn=F для всех
натуральных п\ пусть ψ — вложение пространства
L(E, F) в L(E, F), определенное условием: для любого
оператора A£L(E, F) ограничение оператора ψ (А) на
подпространство Еп переводит Еп в Fn и совпадает на
Εп с оператором А. Тогда полный прообраз в L{E, F)
слабой (сильной) О. т. в L(E, ΐ) наз. ультрасла-
б о й (соответственно ультрасильной) О. т. в
L(E, F). Ультраслабая (ультрасильная) топология
мажорирует слабую (сильную) О. т. Симметричная
подалгебра 9Ϊ алгебры L (Е) всех ограниченных
линейных операторов в гильбертовом пространстве Е,
содержащая единичный оператор, тогда и только тогда
совпадает с множеством всех операторов из L(E),
перестановочных с каждым оператором из L(E),
перестановочным со всеми операторами из 9Ϊ, когда Щ
замкнута в слабой (или сильной, или ультраслабой, или
ультрасильной) О. т., то есть является Неймана
алгеброй.
Лит.: [1] Шеф ер X., Топологические векторные
пространства, пер. с англ., М., 1971; [2] Д а н ф о ρ д Н., Шварц
Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М.,
1962; [3] Η а й м а р к Μ. Α., Нормированные кольца, 2 изд.,
М., 1968; [4] S a k a i S., C*-algebras and W*-algebras, В., 1971.
А. И. Штерн.
ОПЕРАТОРНАЯ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА —
общее название теорем о пределе средних по неограниченно
удлиняющемуся «промежутку времени» и=0, 1, . . .,Ν
или 0<£<Г для степеней {Ап} линейного оператора
А , действующего в банаховом (или даже топологическом
векторном, см. [5]) пространстве Е, либо для
действующей в Ε однопараметрич. полугруппы линейных
операторов {Af}. В последнем случае можно рассматривать
также предел средних по неограниченно
уменьшающемуся промежутку времени (локальные эрго-
дические теоремы, см. [5], [6]; говорят также
об «эргодичности в нуле», см. [1]). Средние могут
пониматься в различных смыслах, аналогично тому, как
это делается в теории суммирования рядов. Чаще всего
используются средние Чезаро
- 1 vi""1
[ЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 24
или
или средние Абеля
^θ=(1-θ)ΣΓ=οθμ"' |θ|<1
или
Условия эргодич. теорем заведомо обеспечивают
сходимость подобных бесконечных рядов или интегралов;
при этом, хотя абелевы средние образуются с участием
всех Ап или Αχ, главную роль играют значения Ап
или А\ на конечном отрезке времени, неограниченно
возрастающем при θ->1 (или λ->-0). Предел средних
(\imAjy и т. д.) тоже может пониматься в различных
JV-*oo
смыслах — в сильной или слабой операторной
топологии (статистические эргоди-
ческие теоремы, т. е. Неймана теорема эрго-
дическая — исторически первая О. э. т.— и ее
обобщения), в равномерной операторной топологии
(равномерные эргодические теоремы, см. [1],
[2], [3]), а если Ε реализовано как нек-рое
пространство функций на нек-ром пространстве с jviepon, T0 и
в смысле сходимости почти всюду средних Αχ φ и т. п.
при φ ζ Ε (индивидуальные
эргодические теоремы, т. е. Биркгофа эргодическая
теорема и ее обобщения, см., напр., Орнстейна—Чекона
эргодическая теорема'., их, впрочем, не всегда относят
к О. э. т.). Нек-рые из О. э. т. как бы сравнивают силу
различных упомянутых выше вариантов, устанавливая,
что из существования пределов средних в одном смысле
следует существование пределов в другом смысле.
В нек-рых теоремах речь идет не о пределе средних,
а о пределе отношения двух средних (такова теорема
Орнстейна — Чекона).
Имеются также О. э. т. для w-параметрических и даже
более общих полугрупп.
Лит.: [1] Хилле Э., Фил липе Р., Функциональный
анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962; [2] Данфорд Н.,
Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ.,
М., 1962; [3] Неве Ж., Математические основы теории
вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [4] В е ρ ш и к А. М., Ю з в и н-
с к и й С. Α., в кн.: Итоги науки, в. 15 — Математический
анализ. 1967, М., 1969, с. 133—87; [5] К а т о к А. Б., Синай
Я. Г., С τ е π и н А. М., в кн.: Итоги науки и техники. Сер.
Математический анализ, т. 13, М., 1975, с. 129—262; [б] К г е п-
g е 1 U., «Asterisque», 1977, t. 50, p. 151—92. Д. В. Аносов.
ОПЕРАТОРНО НЕПРИВОДИМОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — представление л группы (алгебры, кольца,
полугруппы) X в (топологическом) векторном
пространстве Ε такое, что любой (непрерывный) линейный
оператор в пространстве Е, перестановочный со всеми
операторами л(х), ζζΧ, кратен единичному оператору в Е.
Если π — вполне неприводимое представление (в
частности, если π — конечномерное неприводимое
представление), то π — О. н. п.; обратное, вообще говоря,
неверно. Если π — унитарное представление группы
или симметричное представление симметричной
алгебры, то π тогда и только тогда является О. н. п., когда
π — неприводимое представление. а. И. Штерн.
ОПЕРАТОРНОЕ КОЛЬЦО, кольцо с
областью операторов Σ,— кольцо, в к-ром
определено умножение элементов кольца на элементы из
нек-рого фиксированного множества Σ (внешний
закон композиции), удовлетворяющее следующим
аксиомам:
(а + Ъ) α = аа + Ьа, (1)
(ab) а = (аа) Ь — а (6а), (2)

25 ОПЕРАЦИОННС
где α — элемент множества Σ, а а, Ь, аа, Ьа—элементы
кольца. Операторы, таким образом, действуют как
эндоморфизмы аддитивной группы, перестановочные с
умножением на элемент кольца. Кольцо с областью
операторов Σ, или короче Σ-ο ператорное
кольцо, можно трактовать и как универсальную
алгебру с двумя бинарными операциями (сложением
и умножением) и множеством Σ унарных операций,
связанных обычными кольцевыми тождествами, а
также тождествами (1) и (2). Понятия Σ-д о π у с τ и-
мого подкол ьца, Σ-допустимого
идеала, Σ-операторного изоморфизма и
Σ -операторного гомоморфизма
могут быть определены подобно тому, как это делается
для операторных групп. Если Σ-операторное кольцо
R обладает единицей, то все идеалы и все
односторонние идеалы кольца R Σ-допустимы.
Кольцо R наз. кольцом с кольцом
операторов Σ, если оно есть Σ-операторное кольцо,
область операторов Σ к-рого сама является
ассоциативным кольцом, причем для любых α, β£Σ и a£R
справедливы равенства
а (α+β) = αα-|-αβ,
α (αβ) = (аа) β.
Кольцо с кольцом операторов можно определить так же,
как кольцо являющееся одновременно Σ-модулем и
удовлетворяющее аксиоме (2). Всякое кольцо можно
естественным образом считать операторным над
кольцом целых чисел.
Для всех а из R и α, β из Σ элемент α(αβ—βα)
является аннулятором кольца R. Поэтому, если R —
кольцо без аннуляторов, то его кольцо операторов Σ
непременно коммутативно.
Наиболее часто рассматриваются кольца с
ассоциативно-коммутативным кольцом операторов,
обладающим единицей. Такое О. к. наз. обычно алгеброй над
коммутативным кольцом, а также линейной алгеброй.
Наиболее изучены линейные алгебры над полями, их
теория развивается параллельно общей теории колец
(без операторов).
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд.,
М., 1973. К. А. Жевлаков.
ОПЕРАТОРНЫЙ ГОМОМОРФИЗМ — гомоморфизм
алгебраической системы, перестановочный с каждым
оператором из нек-рого фиксированного множества,
действующим на этой системе, т. е. гомоморфизм
операторной группы, операторного кольца и т. д.
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — один из мето
дов математич. анализа, позволяющий в ряде случаев
сводить исследование дифференциальных операторов,
псеедодифференциалъных операторов и нек-рых типов
интегральных операторов и решение уравнений,
содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых
алгебраич. задач. Развитие и систематич. применение
О. и. началось с работ О. Хевисайда (О. Heaviside,
1892), к-рый предложил формальные правила
обращения с оператором дифференцирования ^ и решил ряд
прикладных задач. Однако О. и. не получило у него
математич. обоснования: оно было дано с помощью
Лапласа преобразования', Я. Микусиньский (J. Miku-
sinski, 1953) алгебраизировал О. и., опираясь на
понятие функционального кольца; наиболее общая
концепция О. и. получается с помощью обобщенных
функций.
Простейший вариант О. и. строится следующим
образом. Пусть К — совокупность функций (с
действительными или комплексными значениями), заданных в
области 0</<оо и абсолютно интегрируемых в любом
ИСЧИСЛЕНИЕ 26
конечном интервале. Сверткой функций /, g£K
наз. интеграл
h^!*g = [[f (t-T)g(T)dT.
χ! υ
Относительно обычного сложения и операции свертки К
становится кольцом без делителей нуля (теорема Тит-
чмарша, 1924). Элементы поля частных Ρ
этого кольца наз. операторами и обозначаются
г- ; невыполнимость деления в К как раз и есть
источник нового понятия оператора, обобщающего понятие
функции. Для выявления необходимого в О. и.
различия между понятиями функции и ее значения в точке
введены следующие обозначения:
{/(*)} —функция /(f);
/ (f) —значение / (t) в точке t.
Примеры операторов.
1) е={1} -оператор
интегрирования:
{1}{/} = {Го/(Т)ЙТ}'
при этом
"-\Г<р> f
и, в частности,
en{f}=[ dt...[ f{t)dt =
Jo Jo
η раз
это — формула Коши, обобщение к-рой на случай
произвольного (нецелого) показателя служит для
определения дробного интегрирования.
2) [α]=|γ| (где α — функция-константа) —
числовой оператор; поскольку [α] [β] =
= [а, β], [а] {/}={а/}, в то время как {α} {β}={αβί},
то числовые операторы ведут себя как обычные числа.
Таким образом, оператор является обобщением не
только функции, но и числа; единицей кольца К
является [1].
ill
3) s=— — оператор
дифференцирования, обратный оператору интегрирования. Так,
если функция a(t)= {a(t)} имеет производную a (t), то
*{*} = {*'}-+-[*«>)]
и
{а<»>} = s» {a} — s"-1 [а (0)] — ... — [а""* (0)];
отсюда, напр.,
1 3 s-a
На оператор дифференцирования s можно умножать
не только дифференцируемые функции, однако
результат есть уже, вообще говоря, оператор.
4) D{f}= {—tf(t)} — алгебраическая
производная, она распространяется на
произвольные операторы обычным способом, при этом
оказывается, что действие этого оператора на функции от s
совпадают с дифференцированием по s.
О. и. дает удобные способы решения линейных
дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с
частными производными. Напр., решение уравнения
апх{п)+...+а0х = 1, а/ = const, £ = 0, 1, ..., η,
удовлетворяющее начальным условиям х(0)—γ0, . . .,

27
ОПЕРАЦИЯ
28
х(п 1>(Q)—yn_1 автоматически приводится к алгебраич.
уравнению и символически выражается формулой
„__ βκ-χ^-Μ- ..4.β0 + /
ansn + ...+aQ
βν = αν+ιΥο-
"αΛ
решение в обычном виде получается разложением на
элементарные дроби от переменной s с последующим
обратным переходом по соответствующим таблицам к
функциям.
Для применения О. и. к уравнениям с частными
производными (а также к более общим
псевдодифференциальным уравнениям) строятся дифференциальное и
интегральное исчисления операторных функ-
ц и й, т. е. функций, значениями к-рых являются
операторы: вводятся понятия непрерывности,
производной, сходимости ряда, интеграла и т. д.
Пусть /(λ, t) — нек-рая функция, определенная для
t^Q и λζ[α, Ъ\. Параметрическая
операторная функция /(λ) определяется формулой
/(λ)={/(λ, t)}\ она ставит в соответствие
рассматриваемым значениям λ операторы частного вида — функции
от t. Операторная функция наз. непрерывной при
λζ[α, 6], если она представима как произведение нек-
рого оператора q и такой параметрич. функции /ι(λ)=
= {/ι(λ, £)}, что /ι (λ, t) непрерывна в обычном смысле.
Примеры. 1) С помощью параметрич. функции
Λ(λ)={Λ(λ,ί)}:
/0 для 0<ί < λ,
h (λ, t)= <
[t — λ для 0<λ< t,
определяется функция Хевисайда
#(λ)=5{Μλ, 0};
значения гиперболической
показательной функции
e-Xs = sH (X)=s*{h(k, t)}
наз. операторами сдвига, поскольку
умножение данной функции на e~^s вызывает смещение ее
графика на длину λ в положительном направлении оси t.
2) Решение уравнения теплопроводности
дх «, д2х
dt ~~" 6λ2
выражается через параболическую
показательную функцию (являющуюся также
параметрической операторной функцией):
-αλΥ'
■-{ϊ&τ·»(-#)}·
3) Периодич. функция f(t) с периодом 2λ0 имеет
представление
ί*2λ0
]Q β"λ5/(λ)<*λ
{/} =
1-е-" 2λο^
4) Если /(λ) принимает числовые значения в
интервале [λχ, λ2], то
J*i v ' \ 0 , 0<ί < λι, ί
>λ2,
т. е. умножение данной функции {/} на β-λδ с
последующим интегрированием вызывает усечение ее
графика. В частности,
$%-λ5/(λ)<*λ={/(*)};
таким образом, каждой функции f(t), для к-рой
рассматриваемый интеграл сходится, ставится в соответствие
аналитич. функция
F(s) = ^e-s*f(t)dt
— ее преобразование Лапласа. Благодаря этому
обстоятельству довольно обширный класс операторов
описывается функциями одного параметра s, более того,
это формальное сходство уточняется математически
установлением определенного изоморфизма.
Имеются различные обобщения О. и.; таково О. и.
дифференциальных операторов, отличных от s— -^,
напр. Ъ=-гт( tjr ), к-рое основывается на
функциональных кольцах с надлежащим образом
определенным произведением.
Лит.: [ЦДиткинВ. Α.,Прудников А. П.,
Справочник по операционному исчислению, М., 1965; [2] Μ и к у с и н-
ский Я., Операторное исчисление, пер. с польск., М., 1956.
М. И. Войцеховский.
А -ОПЕРАЦИЯ, операция А ,—
теоретико-множественная операция, открытая П. С. Александровым
[1] (см. также [2] с. 39 и [3]). Пусть {Еп } —
система множеств, заиндексированных всеми
конечными последовательностями натуральных чисел.
Множество
р= и &ή, £„,...„..
nt...nk... k=\ к
где суммирование распространяется на все бесконечные
последовательности натуральных чисел, наз.
результатом А-О., примененной к системе {Еп п }.
Применение А-О. к системе интервалов числовой
прямой дает множества (названные Α-множествами в
честь П. С. Александрова), к-рые могут не быть боре-
левскими (см. Дескриптивная теория множеств). А-О.
сильнее операций счетного объединения и счетного
пересечения и является идемпотентной. Относительно
А-О. инвариантны Бэра свойство (подмножеств
произвольного топологич. пространства) и измеримость
по Лебегу.
Лит.: [1] А л е к с а н д ρ о в П. С, «С. г. Acad, sci», 1916,
t. 162, p. 323—25; [2] e г о же, Теория функций
действительного переменного и теория топологических пространств, М.,
1978; [3] Колмогоров А. Н., «Успехи матем. наук», 1966,
т. 21, в. 4, с. 275—78; [4] С у с л и н М. Я., «С. г. Acad, sci.»,
1917, t. 164, p. 88—91; [5] Л у з и н Η. Η., Собр. соч., т. 2, М.,
1958, с. 284; [6] Куратовский К., Топология, пер. [с
англ.], т. 1, М., 1966. А. Г. Елъкин.
os-ОПЕРАЦИЯ — теоретико-множественная
операция, результат применения к-рой к последовательности
(Еп) множеств может быть записан в виде
Ф(Я„)= U П Еп,
ζ€ Ν nez
где N — система множеств положительных целых чисел,
наз. базой 6s=0. См. Дескриптивная теория
множеств.
Лит.: [1] К о л м о г о ρ о в А. Н., «Матем. сб.», 1928, т. 35,
№ 3—4, с. 415—22; [2] X а ус д о ρ φ Φ., Теория множеств, пер.
с нем., М.— Л., 1937; [3] А л е к с а н д ρ о в П. С, Теория
функций действительного переменного и теория топологических
пространств, М., 1978, с. 35—40, 53—58; [4] О ч а н Ю. С,
«Успехи матем. наук», 1955, т. 10, в. 3, с. 71—128; [5] К о л м о г
ορό в А. Н., там же, 1966, т. 21, в. 4, с. 275—78. А. Г. Елъкин.
ОПЕРЕНИЕ пространства — счетное
семейство Ρ покрытий пространства X множествами,
открытыми в нек-ром объемлющем пространстве Υ,
такое, что
{MStv(x):yqP}<zX
для каждой точки х£Х (здесь Stv (χ) означает звезду
точки χ относительно γ, τ. е. объединение всех
элементов из γ, содержащих точку х).
Понятие О. лежит в основе определения т. н. р-
пространства (в смысле А. В. Архангельского). Про-

29
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
30
странство X наз. р-пространством, если оно имеет О.
в своем Стоуна — Чеха бикомпактном расширении или
Уолмвна бикомпактном расширении. Каждое полное в
смысле Чеха пространство является р-пространством.
Каждое р-пространство имеет точечно-счетный тип.
В р-пространстве справедливы аддиционная теорема
для веса, и сетевой вес совпадает с весом. Параком-
пактные р-пространства — это в точности совершенные
прообразы метрич. пространств. Паракомпактные р-
пространства с точечно-счетной базой метризуемы,
равно как метризуемы и пространства этого вида с
диагональю G& . Совершенный образ и совершенный
прообраз паракомпактного р-пространства — также
паракомпактные р-пространства. В. И. Пономарев.
ОПОРНАЯ ГИПЕРПЛОСКОСТЬ множества
Μ в 7г-м ерном векторном
пространстве — (71—1)-мерная плоскость, к-рая содержит точки
замыкания Μ и оставляет Μ в одном замкнутом
пространстве. При п=3 О. г. наз. опорной
плоскостью, а при п~ 2 — опорной прямой.
Граничную точку множества М, через к-рую
проходит хотя бы одна О. г., наз. опорной точкой М.
У выпуклого множества Μ все его граничные точки —
опорные. Последнее свойство Архимед использовал
как определение выпуклости М. Граничные точки
выпуклого множества М, через к-рые проходит
единственная О. г., наз. гладкими.
В общих векторных пространствах, где
гиперплоскость определяется как область постоянства
значений линейного функционала, также вводится понятие
О. г. как гиперплоскости, экстремальной по значению
этого функционала среди гиперплоскостей,
оставляющих Μ В ОДНОМ полупространстве. В. А. Залгаллер.
ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ, опорный
функционал, множества А, лежащего в векторном
пространстве X,— функция sA, задаваемая в находящемся с
ним в двойственности векторном пространстве Υ
соотношением
(sA) (у) = sup <*, у>.
уеА
Напр., О. ф. единичного шара в нормированном
пространстве, рассматриваемом в двойственности со своим
сопряженным пространством,— это норма в последнем.
О. ф. всегда выпуклая, замкнутая и положительно
однородная (первой степени). Оператор s : A-*sA
взаимно однозначно отображает совокупность выпуклых
замкнутых множеств в Ζ на совокупность выпуклых
замкнутых однородных функций, обратный оператор —
не что иное, как субдифференциал (в нуле) опорной
функции. Именно, если А — выпуклое замкнутое
подмножество в X, то d(sA)-=A, и если ρ — выпуклая
замкнутая однородная функция на Υ, то s(dp(Q))—p.
Эти два соотношения (являющиеся следствием теоремы
Фенхеля — Моро, см. Сопряженная функция) и
выражают двойственность между замкнутыми выпуклыми
множествами и выпуклыми замкнутыми однородными
функциями.
Примеры соотношений, связывающих оператор s с
алгебраическими и теоретико-множественными
операциями:
s(kC)=ksC, λ>0; s(A1 + A2)=sA1 + sA2;
s (conv (A1\JA2)) (#) = max (s^i (x), sA2 (x)).
Лит.- [l] Ρ о к а ф е л л а р Р., Выпуклый анализ, пер. с
англ., М., 1973; 12] Μ i η к о w s k i H., Geometrie der Zahlen,
Lpz.—В., 1910; [31 его же, Gesammelte Abhandlungen, Bd 2,
Lpz.— В., 1911; L4] F e η с h e 1 W., «Canad. J. Math.», 1949, v. 1,
p. 73—77; [5] e г о же, Convex cones, sets and funktions,
Princeton, 1953; Еб] Η δ r m a n d e г L., «Ark. for Mat.», 1955, bd 3,
p. 181—86. В. М. Тихомиров.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — см. Интеграл.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, детерминант, квадратной
матрицы Л=||агу|| порядка η над
ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей 1 — элемент кольца
К, равный сумме всех членов вида
(-1)* aUi...anin,
in— перестановка чисел 1, . . ., w, a t —
где гь
число инверсий перестановки г1?
Яц ·· ·α>\η
αηΐ· · · апп
., ίη. О. матрицы
обозначается
ап .
или det А.
О. матрицы А содержит п\ членов; при п—\ det^ =
— αη, при п~2 det А =~а1Ха22—а21а12. Наиболее
важные для приложений случаи: К — поле (в частности,
числовое поле), К — кольцо функций (в частности,
кольцо многочленов), К — кольцо целых чисел.
Всюду ниже К — ассоциативно-коммутативное
кольцо с 1, Мп(К) — совокупность всех квадратных
матриц порядка η над К, Еп— единичная матрица над К.
Пусть А£Мп(К), а ах, . . ., ап— строки матрицы А
(все далее изложенное справедливо и для столбцов
матрицы А). О. матрицы А удобно рассматривать как
функцию от ее строк:
det A = D (аи ..., ап).
Отображение
d:Mn—+K (Ah->detA)
подчинено следующим трем условиям:
1) d(A) — линейная функция любой строки матри*
цы А:
D (αχ, ..., λα,+μδ/, ..., αη) =
= λ!) (αχ, ..., α/, ..., αη) -\-μΟ (α1? ..., 6/, ..., α„),
где λ, μζΚ;
2) если матрица В получена из А заменой строки а/
строкой αι-\-α;,.ίφϊ, то d(A) — d(B)\
3) d(En)=l.
Условия 1) — 3) однозначно определяют отображение
d, т. е. если отображение h : Мп(К)-+К
удовлетворяет условиям 1) — 3), то h{A) = det А. Таким образом
получается аксиоматич. построение теории О.
Пусть отображение / : Мп{К)-*К удовлетворяет
условию:
1а) если В получается из матрицы А умножением
одной строки на λζΚ, Tof(B) = kf(A). Очевидно,f,l) =Ма).
В случае, когда К — поле, совокупность условий
1) — 3) оказывается равносильной условиям 1а), 2), 3).
О. диагональной матрицы равен произведению ее
диагональных элементов. Отсюда вытекает сюръектив-
ность отображения d : Мп(К)-+К. О. треугольной
матрицы также равен произведению ее диагональных
элементов. Для матрицы А= К) г ' где ^ и ^ —
квадратные матрицы,
det A = det В det С.
Из свойств перестановок вытекает, что det Аг= det Л»
где Т— знак транспонирования. Если матрица А имеет
две одинаковые строки, то ее определитель равен 0;
если поменять местами две строки матрицы А, то ее О.
изменит знак;
D(ax, ..., α/ + λΛ/, ..., ап)=В(аг, ..., α/, »,., an)
при ijbj, λ£Κ', для А и В из Мп(К)
det ЛЯ = det A det В.

31
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
S2
Таким образом, отображение d есть эпиморфизм
мультипликативных полугрупп Мп(К) и К.
Пусть лг<тг, i4 = ||0|y|| есть (тХ /?)-матрица, 2?=||Ь/у-||
есть (/ιΧ т)-матрица над К, а С = 4Я. Тогда верна
формула Бине — Кош и:
det C =
Σ.<,.
h<-<im<n
b/,i···6/.·
* ι ,· · · · «ι ;
Ь//я1·· ,&/otW
Пусть ^4 = |αί7·| ζΛί„(ϋΓ), а Лгу—алгебраич.
дополнение элемента а/у. Тогда верны формулы
2._1a'7i4*y=6i*deti4'
2, ol7i4ifc = 6yfcdeti4,
0)
где б/у— символ Кронекера. Для вычислений О. часто
используются разложение его по элементам строки или
столбца, т. е. формулы (1), теорема Лапласа (см.
Алгебраическое дополнение.) и преобразования матрицы А,
не меняющие О. Для матрицы А из Мп(К) тогда и
только тогда существует обратная матрица А'1 в
Мп(К), когда в К имеется элемент, обратный элементу
det A . Следовательно, отображение
GL (п, К) -+К* (А н-> det A),
где GL (и, К) — группа всех обратимых матриц в
Мп(К), т. е. полная линейная группа, а Я*— группа
обратимых элементов К, есть эпиморфизм этих групп.
Квадратная матрица над полем обратима тогда и
только тогда, когда ее О. отличен от нуля, «-мерные
векторы ах, . . ., ап над полем F линейно зависимы
тогда и только тогда, когда
D (аг, ..., ап) = 0.
О. матрицы А порядка п>\ над полем равен 1 тогда
и только тогда, когда А есть произведение
элементарных матриц вида
где ιφ], а β/y — матрица, единственный ненулевой
элемент к-рой равен 1 и расположен на позиции (έ, /).
Теория О. возникла в связи с задачей решения систем
линейных уравнений:
«11*1 + ··· +αΐΑ=:&1» Ϊ
\ (2)
aniXi+---+annxn=bn, J
где aij, bj— элементы нек-рого поля F. Если det А т=0,
где А = \\aij || — матрица системы (2), то эта система
имеет единственное решение, вычисляемое по формулам
Крамера (см. Крамера правило). В случае, когда
система (2) задана над кольцом К и det А обратим в К,
система также имеет единственное решение,
определяемое теми же формулами Крамера.
Теория О. построена также и для матриц над
некоммутативным ассоциативным телом. О. матрицы над
телом к (определитель Дьёдонне)
вводится следующим образом. Тело к рассматривается
как полугруппа и строится ее коммутативный
гомоморфный образ к. к — группа к* с внешне присоединенным
нулем 0, а в качестве к берется_также группа к* с
внешне присоединенным нулем 0, где к*—
факторгруппа группы к* по коммутанту. Эпиморфизм /c-Wc,
λ->λ, задается канонич. эпиморфизмом групп к*-*к*
и условием 0->-0. Очевидно, 1 — единица
полугруппы к.
Теория О. над телом основана на следующей теореме.
Существует единственное отображение
б:Мп(к) i->F,
удовлетворяющее следующим трем аксиомам:
I) если матрица В получена из матрицы А
умножением слева одной строки на λ ζ к, то δ(Β)=λδ(Α);
II) если В получена из А заменой строки о/ строкой
ai+aj, где 1ф)± то δ(Β)=δ (А);
III) δ(Εη)=1.
Элемент δ (А) наз. определителем матрицы А
и обозначается det A. Для коммутативного тела ак
сиомы I), II), III) совпадают с условиями 1а), 2), 3)
соответственно, и, следовательно, в этом случае
получаются обычные О. над полем. Если A = diag [αη, . . .,
ααη], то det Α = αι1 . . . ann; таким образом,
отображение δ : Мп(к)-+к сюръективно. Матрица А из Мп(к)
обратима тогда и только тогда, когда det А^О.
Справедливо равенство det А В = det A -det В. Как и в
коммутативном случае, det А не изменится, если строку
а/ матрицы А заменить строкой αΖ·+λα;·, где ΙΦϊ, λ ζ/с.
При и>1 det A~\ тогда и только тогда, когда А
произведение элементарных матриц вида ί/y (h) — En-{-heij,
i^h λζ/c. Если α#0, то
ι а Ъ
с d
= ad — аса~хЪ,
0 6
с d
= —cb.
В отличие от коммутативного случая, det AT может и
не совпадать с det А. Напр., для матрицы А= Ц.-—1
над телом кбипгернионов det .Л — —2г, a det Ат=0.
Бесконечные О., то есть О. бесконечных матриц,
определяются как предел, к к-рому стремится О.
конечной подматрицы при бесконечном возрастании ее
порядка. Если этот предел существует, то О. наз.
сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Понятие «О.» восходит к Г. Лейбницу (G. Leibnitz,
1678); первая публикация принадлежит Г. Крамеру
(G. Cramer, 1750). Теория О. создана трудами А. Ван-
дермонда (A. Vandermonde), П. Лапласа (P. Laplace),
О. Коши (A. Cauchy) и К. Якоби (С. Jacobi). Термин
«О.» встречается впервые у К. Гаусса (С. Gauss, 1801).
Современное обозначение введено А. Кэли (A. Cayley,
1841).
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд.,
М., 1975; [2] К о с τ ρ и к и н А. И., Введение в алгебру, М.,
1977; [3] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная
алгебра и многомерная геометрия, М., 1970; [4]
Тышкевич Р. И., Φ е д е н к о А. С, Линейная алгебра и
аналитическая геометрия, 2 изд., Минск, 1976; [5] Артин Э.,
Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [6] Б у ρ б а к и Н.,
Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная
алгебра, пер. с франц., М., 1962; [7] К а г а н В. Ф., Основания
теории определителей, Одесса, 1922. Д. А. Супрупенпо.
ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА ОКРЕСТНОСТЕЙ
множества А в топологическом
пространстве X — любое семейство ξ подмножеств
пространства X, подчиненное следующим двум
условиям: а) для каждого О ζ ξ найдется открытое множество
V пространства X такое, что OzdVZDA, б) каково бы
ни было открытое в X множество W, содержащее А,
найдется элемент U семейства ξ, содержащийся в W-
Иногда дополнительно предполагают, что все элементы
семейства ξ открытые множества. Определяющей
системой окрестностей точки jfZ в топологич.
пространстве X наз. О. с. о. в X одноточечного множества {я}·
Лит.: L1] Архангельский А. В., Π о н о м а-
р е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
М., 1974. А В Архангельский.

33 опти]\
ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение,
ассоциированное с регулярной особой точкой z=a
обыкновенного линейного дифференциального уравнения
Ро (2) wW + Pl (ζ) м?(»-1) + ... +рп (z) w = 0. (1)
Пусть
Pj(z) = (z — a)»-Jqj(z),
функции qj(z) голоморфны в точке z=a и д0(а)фО.
Определяющее уравнение имеет вид
λ (λ —1).. . (λ-η + 1) q0 (α) + · · · + Un-л (a) + qn (α) =0.
(2)
Если корни kj, 1<:/<:п, уравнения (2) таковы, что все
разности λ;·—λ& при ]фк не являются целыми числами,
то уравнение (1) имеет фундаментальную систему
решении вида
wj(z) = (z — a)k;q>j(z), 1</<п, (3)
где функции фу (ζ) голоморфны в точке ζ = α. В
противном случае решения уравнения (1) могут быть
многочленами от In (ζ—а) с коэффициентами, голоморфными
в точке ζ=α.
О. у. для системы из η уравнений
(ζ — а) и/ = A (z) w, (4)
отвечающее регулярной особой точке ζ=α, имеет вид
det И λ/ — А(а)\\ = 0,
где Α (ζ) — матрица-функция порядка пХп,
голоморфная в точке ζ=α, и А (а)ф0. Если все разности λ;— λ&
при ]фк не являются целыми числами, где λ;·—
собственные значения матрицы А, то система (4) имеет
фундаментальную систему решений вида (3), где φ/(г) —
вектор-функции, голоморфные в точке ζ—а', в
противоположном случае вектор-функции φ/(ζ) могут быть
многочленами от 1η (ζ—а) с коэффициентами,
которые являются голоморфными в точке ζ~α
вектор-функциями.
В ином смысле термин «О. у.» употребляется при
исследовании групп преобразований, допускаемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями и
уравнениями с частными производными (см. [3]).
Лит.: [1] Коддингтон Э. Α., Левинсон Н.,
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ.,
М., 1958; [2] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [3] О в-
сянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных
уравнений, М., 1978. М. В. Федорюк.
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
универсальной алгебры G относительно системы
{iii *€0 ее порождающих элементов — соотношения
вида
uj(giu £/2> -•^8in) = vj(giu 8i2i ···,£*„), /€«Λ
между порождающими (где uj, vj—термы в сигнатуре
рассматриваемой алгебры) такие, что все остальные
соотношения этого вида являются следствиями данных
и тождеств многообразия, в к-ром рассматривается
алгебра G. Обычно, когда говорят о задании алгебры
порождающими и О. с, имеют в виду факторалгебру
свободной алгебры многообразия с теми же
порождающими по конгруэнции, определяемой всеми парами
(и/, уу), /£/. В случае мультиоператорных групп
(в частности, групп, алгебр, колец, модулей) вид О. с.
упрощается: их можно записать либо как wj=Q, либо
как wj=l (в группах).
О. с. выбираются неоднозначно даже при одной и
той же системе порождающих. Напр., циклическая
группа второго порядка с порождающим элементом а
может быть задана одним О. с. а2=1, а также двумя
О. с. а6=1 и а4=1. Существуют специальные
преобразования (преобразования Тице в группах,
ЛЬНАЯ 34
см. [2], и их аналоги в различных многообразиях
алгебр), позволяющие по одному заданию алгебры
порождающими и О. с. строить другие задания той же
алгебры. При этом для конечно определенных
групп (или алгебр), то есть задаваемых
конечной системой образующих и конечной системой О. с,
можно конечным числом преобразований Тице перейти
от любого такого задания к любому другому ее
(конечному) заданию порождающими и О. с. Если алгебра
конечно порождена, то из любой системы ее
порождающих можно выбрать конечную подсистему
порождающих; если алгебра в нек-рой конечной системе
порождающих задается конечным числом О. с, то в любой
другой конечной системе порождающих из любой
системы О. с. можно выбрать конечную подсистему О. с.
Изучение конечно определенных алгебр породило
целый ряд проблем алгоритмического характера, таких,
как проблема равенства (тождества), проблема
изоморфизма и др. (см. Алгоритмическая проблема). Ряд
результатов получен для алгебр с одним О. с. Напр., в
группах с одним О. с. разрешима проблема равенства,
описаны элементы конечного порядка, центр и все
подгруппы с нетривиальными тождествами (см. также
Групповое исчисление).
Лит.: [1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [2] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[3] Магнус В., Каррас Α., Солит эр Д.,
Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974.
А. Л. Шмельпип.
ОПРОВЕРЖИМАЯ ФОРМУЛА, формально
опровержимая в данной системе
формула,— замкнутая формула данной системы,
отрицание к-рой выводимо в этой системе.
В. Н. Гришин.
ОПТИМАЛЬНАЯ ГАРАНТИРУЮЩАЯ
СТРАТЕГИЯ — стратегия, к-рая имеет в данной операции
оценку эффективности, равную наилучшему
гарантированному результату (см. Наибольшего гарантированного
результата принцип). Если, напр., в операции с
критерием эффективности f(x, у) неопределенный фактор у
принимает значения из множества У, то О. г. с. х*
определяется из равенства
sup inf f {χ, y) = inf f (χ*, у),
x У 6 Υ yeY
Если верхняя грань по χ не достигается, то вводится
понятие ε-ο птимальной гарантирующей
стратегии хг , для к-рой
inf /(ΐε, */)^sup inf /(i, у)— ε,
yeY x yzY
где ε>0. В зависимости от множества стратегий ж=
= х(у) и информации о неопределенном факторе
(обстановке проведения операции) запись О. г. с.
конкретизируется (см. [1]). Так, если множество стратегий
χ состоит из всех функций χ (у) и в операции имеется
полная информация об j/, то О. г. с. х* (у) наз. а б-
солютно оптимальной стратегией и
определяется из условия
sup f{x, y)=f(x*(y)i У) при всех y£Y.
X
Изучаются также оптимальные стратегии,
соответствующие иным принципам оптимальности (см., напр.,
[2], [3]).
Лит.: [1] Г е ρ м е й е ρ Ю. В., Введение в теорию
исследования операций, М., 1971; [2] е г о же, Игры с
непротивоположными интересами, М., 1976; [3] В о ρ о б ь е в Η. Η., в кн.:
Теория игр, Ер., 1973, с. 5—57. Ф. И. Ерешко, В. В. Федоров.
ОПТИМАЛЬНАЯ КВАДРАТУРА — квадратурная
формула, дающая наилучшее приближение интегралу
/(/) = $Ω/0Ρ)ω(ΡΗΡ
£?2 Математическая энц., т. 4

35
ОПТИМАЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
36
на классе F подинтегральных функций. Если
ТО
наз. погрешностью квадратуры при
вычислении интеграла от данной функции, а
r^(F)=sup|^(/)|
наз. погрешностью квадратуры на
классе F. Если существует такая квадратура, что для
соответствующей ей r#(F) выполняется равенство
rN(F)= inf rN(F),
ckPk
то эту квадратуру наз. оптимальной на этом
классе.
О. к. построены лишь для нек-рых классов функций
в основном одного переменного (см. [1] — [3]). О. к.
наз. также наилучшими квадратурными
формулами, или экстремальными
квадратурными формулами.
Лит.: [1] Η и к о л ь с к и й С. М., Квадратурные формулы,
3 изд., М., 1979; [2] Б а х в а л о в Н. С, в кн.: Численные
методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и
квадратурные формулы, М., 1964, с. 5—63; [3] Соболеве. Л.,
Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974.
Н. С. Бахвалов.
ОПТИМАЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ — кривая χ (t) в
(я+1)-мерном пространстве переменных t, ж1, ... ,χη,
по к-рой точка x(t)=(xx(t), . . ., xn(t)), движение к-рой
описывается векторным дифференциальным уравнением
*'=/(*, х, и), f:RxRnxRP—*Rn, (1)
переводится из начального состояния
x(tQ) = x0 (2)
в конечное состояние
x(t1)=x1 (3)
под воздействием оптимального управления u(t),
доставляющего минимальное значение заданному
функционалу
7 = f/l/o(i, *, u)dt, /0:RxR"xRr-+R. (4)
J to
На выбор оптимального управления накладывается
ограничение
u£U, (5)
где U — замкнутое множество допустимых управлений,
UC.RP. Начальный и конечный моменты времени
t0 и tx для определенности предполагаются
соответственно фиксированным и свободным.
Аналогичным образом О. т. определяется для
вариационных задач более общего вида по сравнению с
(1) — (5), напр. для задач с подвижными концами и
с ограничениями на фазовые координаты. О методах
отыскания О. т. см. Вариационное исчисление; численные
методы.
Для автономных задач, в к-рых функции /°, / не
зависят явно от времени V.
/° = /°(*, и), / = /(*, и),
более удобным для теории и приложений оказывается
понятие фазовой оптимальной траектории. Фазовая
оптимальная траектория есть проекция
О. т. на л-мерное подпространство фазовых переменных
х1, . . ., хп. Для автономных задач фазовая О. т. не
зависит от выбора начального момента времени t0.
Исследование множества фазовых О. т.,
переводящих систему из произвольного начального состояния
в заданное конечное состояние (или, наоборот, из
заданного начального состояния в произвольное конечное),
позволяет решить многие качественные вопросы для
рассматриваемой вариационной задачи. Построение
множества фазовых О. т. является обязательным этапом
построения синтеза оптимальных управлений
и (t)=v (x(t)),
обеспечивающего движение по О. т. в любой точке
фазового пространства.
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г.,
ГамкрелидзеР. В., Мищенко Ε. Φ., Математическая
теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976; [2] Д е ρ у с-
со П., Рой Р., Клоуз Ч., Пространство состояний в
теории управления, пер. с англ., М., 1970. И. Б. Вапнярский.
ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ЗАДАЧА -
одна из задач оптимального управления
математической теории, состоящая в определении минимального
времени
J(u)=tl9 (1)
за к-рое управляемый объект, движение к-рого
описывается системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
x = f(x, и), u£U, f:RnxRP— * R",
можно перевести из заданного начального состояния
х(0)—х0 в заданное конечное состояние x(t1)=^x1. Здесь
x~x{t) есть га-мерный вектор фазовых координат, а
u=u(t) есть р-мерный вектор управляющих
параметров (управлений), принадлежащий при любом t
заданной замкнутой допустимой области управлений £/.
Искомое минимальное время tx является
функционалом (1), зависящим от выбираемого управления u(t).
В качестве класса допустимых управлений, среди к-рых
разыскивается управление, оптимальное по
быстродействию, для большинства приложений достаточно
рассматривать кусочно непрерывные управления u(t),
т. е. функции, непрерывные для всех рассматриваемых
£, за исключением конечного числа моментов времени, в
к-рых они могут терпеть разрывы 1-го рода.
Теоретически, строго говоря, следует рассматривать более
общий класс функций u(t), 0<i<ib измеримых по Лебегу.
О. б. з. можно рассматривать как частный случай
Больца задачи и Майера задачи, рассматриваемых в
вариационном исчислении, получающийся из этих
задач при специальном задании оптимизируемого
функционала. Оптимальное по быстродействию управление
u(t) должно удовлетворять принципу максимума Пон-
трягина, являющемуся необходимым условием,
обобщающим необходимые условия Эйлера, Клебша и Вейер-
штрасса, используемые в классическом вариационном
исчислении.
Для линейных О. б. з. из необходимых условий можно
получить нек-рые выводы о качественной структуре
оптимального управления. Линейными О.б.з.
(см. [1], [2]) наз. такие задачи, в к-рых выполнены
следующие три условия:
1) уравнения движения объекта линейны по χ и и:
х = Ах -f- Ви,
где А т В —постоянные матрицы размерности пХп
и пХр соответственно;
2) конечное состояние хг совпадает с началом
координат, являющимся состоянием равновесия объекта
при и=0;
3) область управления U является ρ -мерным
выпуклым многогранником таким, что начало координат
пространства и принадлежит U, но не является его
вершиной.
Пусть выполнено условие общности положения,
состоящее в линейной независимости векторов
Bw, ABw, A2Bw, ..., Αη-λΒιν.

*· ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕВД
где w — произвольный /ьмерный вектор, параллельный
ребру многогранника U. Тогда для оптимальности по
быстродействию управления u{t), 0<*<гь
переводящего объект из заданного начального состояния xQ в
положение равновесия (начало координат в
пространстве х), необходимо и достаточно, чтобы оно
удовлетворяло принципу максимума Понтрягина. Далее,
оптимальное управление и (ή в линейной задаче
оптимального быстродействия кусочно постоянно, и его
значениями являются лишь вершины многогранника U.
В общем случае число переключений u(t) хотя и
конечно, но может быть произвольным. В следующем
важном случае число переключений допускает точную
оценку сверху.
Если многогранник U является р-мерным
параллелепипедом
as<us<bs, s = l, ..., ρ,
и все собственные значения матрицы А действительны,
то каждая из компонент us(t), s=i, . . ., ρ,
оптимального управления u(t) является кусочно постоянной
функцией, принимающей только значения as и bs
и имеющей не более га —1 переключений, т. е. не более
п интервалов постоянства.
О. б. з. может рассматриваться и для неавтономных
систем, т. е. для систем, у к-рых правая часть / зависит
еще и от времени t.
В тех случаях, когда это удается, полезно
рассматривать О. б. з. не только в программной постановке,
как это описано выше, но и в позиционной постановке
в форме задачи синтеза (см. Оптимальное управление
позиционное). Решение задачи синтеза позволяет
получить качественное представление о структуре
оптимального по быстродействию управления, переводящего
систему из любой точки, находящейся в нек-рой
окрестности исходной начальной точки х0, в заданное
конечное состояние хг.
Лит.: [1] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Болтянский В. Г.,
ГамкрелидзеР. В., Мищенко Ε. Φ., Математическая
теория оптимальных процессов, 3 изд., М.,1976;[2]Болтян-
с к и й В. Г., Математические методы оптимального управления,
М., 1966. И. Б. Вапнярспий.
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к-ром
изучаются способы формализации и методы решения
задач о выборе наилучшего в заранее предписанном
смысле способа осуществления управляемого динамич.
процесса. Этот динамический процесс
может быть, как правило, описан при помощи
дифференциальных, интегральных, функциональных, конеч-
норазностных уравнений (или иных формализованных
эволюционных соотношений), зависящих от системы
функций пли параметров, наз. управлениями
и подлежащих определению. Искомые управления, а
также реализации самого процесса следует в общем
случае выбирать с учетом ограничений, предписанных
постановкой задачи.
В более специальном смысле термином «О. у. м. т.»
принято называть математич. теорию, в к-рой
изучаются методы решения неклассических вариационных
задач оптимального управления (как правило, с
дифференциальными связями), допускающих рассмотрение
негладких функционалов и произвольных ограничений
на параметры управления или иные зависимые
переменные (обычно рассматривают ограничения,
задаваемые нестрогими неравенствами). Термину «О. у. м. т.»
иногда придают более широкий смысл, имея в виду
теорию, изучающую математич. методы исследования
задач, решения к-рых включают какой-либо процесс
статической или динамич. оптимизации, а
соответствующие модельные ситуации допускают
интерпретацию в терминах той или иной прикладной процедуры
принятия наилучшего решения. В таком толковании
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 38
О. у. м. т. содержит элементы исследования операций,
математического программирования и игр теории.
Задачи, рассматриваемые в О. у. м. т., возникли из
практич. потребностей, прежде всего в области
механики космич. полета и автоматического управления
теории (см. также Вариационное исчисление).
Формализация и решение этих задач поставили новые вопросы,
напр. в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, как в области обобщения понятия решения и
вывода соответствующих условий существования, так и
в изучении динамических и экстремальных свойств
траекторий управляемых дифференциальных систем; в
частности, О. у. м. т. стимулировала изучение свойств
дифференциальных включений. Соответствующие
направления О. у. м. т. поэтому часто рассматриваются как
раздел теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. В О. у. м. т. содержатся математич. основы
теории управления движением — нового раздела общей
механики, в к-ром исследуются законы формирования
управляемых механич. движений и смежные математич.
вопросы. По методам исследования и по своим
приложениям О. у. м. т. тесно связана с аналитич.
механикой, в особенности с разделами, относящимися к
вариационным принципам классической механики.
Хотя частные задачи оптимального управления и
неклассические вариационные задачи встречались и
ранее, основы общей О. у. м. т. были заложены в 1956 —
1961. Ключевым пунктом этой теории послужил
Понтрягина принцип максимума, сформулированный Л. С.
Понтрягиным в 1956 (см. [1]). Важными стимулами
создания О. у. м. т. были открытие метода динамического
программирования, выяснение роли функционального
анализа в теории оптимальных систем, открытие
связей решений задач оптимального управления с
результатами теории устойчивости по Ляпунову, появление
работ, связанных с понятиями управляемости и
наблюдаемости динамич. систем (см. [2]—[5]). В
последующие годы были развиты основы теории стохастич.
управления и стохастич. фильтрации динамич. систем,
построены общие методы решения неклассических
вариационных задач, получены обобщения основных
положений О. у. м. т. на более сложные классы динамич.
систем, изучены связи с классическим вариационным
исчислением (см. [6]—[И]). О. у. м. т. интенсивно
развивается, в частности, в направлении изучения
игровых задач динамики (см. Дифференциальные игры),
задач управления в условиях неполной или
неопределенной информации, спстем с распределенными
параметрами, уравнений на многообразиях и т. д.
Результаты О. у. м. т. нашли широкие
приложения в формировании процессов управления,
относящихся к самым разным областям современной техники,
в изучении экономич. динамики, в решении ряда задач
из области биологии, медицины, экологии,
демографии и т. д.
Задача оптимального управления
в общем виде может быть описана следующим образом.
1) Дана управляемая система S, состояние к-рой
в момент времени t изображается величиной χ (напр,,
вектором обобщенных координат и обобщенных
импульсов механич. системы, функцией от
пространственных координат в распределенной системе,
вероятностным распределением, характеризующим текущее
состояние стохастич. системы, вектором выпуска
продукции в динамич. модели экономики и т. д.).
Предполагается, что к системе S приложены управляющие
воздействия и, оказывающие влияние на ее динамику. Они
могут, напр., иметь смысл механич. сил, температурных
или электрич. потенциалов, программы
капиталовложений и т. д.
2) Дано уравнение, связывающее переменные х,
и, t и описывающие динамику системы. Указан про-
2*

39 ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЗ
межуток времени, на к-ром рассматривается уравнение.
В типичном случае это может быть обыкновенное
дифференциальное уравнение вида
i = /(i, χ, и), *0<*<*1» ^€^л, u£RP, (1)
с заранее оговоренными свойствами функции / (часто
требуют, напр., непрерывности / по t, x, и и
непрерывной дифференцируемости по х).
3) Известен характер информации, к-рая может быть
использована для формирования управляющих
воздействий (напр., в каждый момент времени или в заранее
предписанные моменты становятся известными
доступные измерению величины — значения фазовых
координат системы (1) или функций от этих координат).
Оговорен класс функций, описывающих управления,
допускаемые к рассмотрению: множество кусочно
непрерывных функций вида u=u(t), множество линейных по
χ функций вида u=u(t, x)=P'(t)x с непрерывными
коэффициентами и т. д.
4) Установлены ограничения на процесс,
подлежащий реализации. Сюда прежде всего входят условия,
определяющие цель управления (напр., для системы
(1) — попадание в заданную точку или на заданное
множество фазового пространства R", требование
стабилизации решений около заданного движения и т. д.).
Кроме того, ограничения могут быть наложены на
величины управляющих воздействий и или координат
состояния х, на функции от этих величин, на
функционалы от их реализаций и т. д. В системе (1), напр.,
возможны ограничения на параметры управления
u£U<^RP или φ (и)<0, <p:R*—► R*, (2)
и на координаты
х£Х<^ Rn или ψ (*)<(), ip:RB—+ Rz; (3)
здесь U, X — замкнутые множества, φ, ψ —
дифференцируемые функции. Могут рассматриваться и более
сложные ситуации, когда множество U зависит от г,
х или задано неравенство вида g(t, x, гг)<:0 (случай
смешанных ограничений) и т. д.
5) Задан показатель (критерий) качества процесса,
подлежащего реализации, представимый в виде
функционала /(#(·), и(·)) от реализации переменных х, и
на рассматриваемом отрезке времени. Условия 1)—4)
теперь дополняются требованием оптимальности
процесса — минимума, максимума, минимакса и т. д.
показателя /(#(·), и(·))·
Таким образом, в заданном классе управлений для
заданной системы требуется выбрать управление и,
оптимизирующее показатель /(#(·), и(·)) (при условии
достижения цели управления и при выполнении
наложенных ограничений). Функция (напр., вида u=u(t)
или u—u(t, χ) и т. д.), решающая задачу оптимального
управления, наз. оптимальным
управлением (пример формулировки типичной задачи
оптимального управления см. в ст. Понтрягина принцип
максимума).
Среди динамич. объектов, охватываемых задачами
О. у. м. т., принято отличать конечномерные от
бесконечномерных — в зависимости от размерности фазового
пространства соответствующих систем
дифференциальных уравнений, описывающих их, или от вида
ограничений, наложенных на фазовые переменные.
Различают задачи оптимального управления
программного и оптимального управления позиционного.
В первом случае воздействие и формируется в виде
функции времени. Во втором случае воздействие и
формируется в виде стратегии управления по принципу
обратной связи, как функция от доступных значений
текущих параметров процесса.
В изучении задач О. у. м. т. выделяют вопросы
существования решений, вывод необходимых условий экс-
ИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 40
тремума (оптимальности управления), исследование
достаточных условий, построение численных
алгоритмов. Рассматриваются также соотношения между
решениями задач О. у. м. т., полученных в классе
программных и позиционных управлений.
Описанные варианты постановок задач оптимального
управления предполагают существование корректной
математич. модели процесса и рассчитаны на полную
априорную или даже на полную текущую информацию о
соответствующей системе. Однако в прикладных
постановках доступной информации о системе (напр.,
сведений о начальных и конечных условиях, о
коэффициентах соответствующих уравнений, о значениях
дополнительных параметров или доступных измерению
координат и т. д.) часто оказывается недостаточно для
прямого применения отмеченной выше теории.
Последнее приводит к задачам оптимального управления,
сформулированным в иных информационных
предположениях. Большой раздел О. у. м. т. посвящен
задачам, где описание недостающих величин носит стати-
стич. характер (т. н. теория стохастического
оптимального управления). Если
какая-либо статистич. информация о недостающих
величинах отсутствует, но заданы лишь допустимые
области их изменения, то соответствующие задачи
рассматриваются в рамках теории оптимального
управления в условиях
неопределенности. К решению этих задач тогда
привлекают методы минимакса и теории игр. Задачи
стохастического оптимального управления и оптимального
управления в условиях неопределенности особенно
содержательны, когда речь идет о позиционном
оптимальном управлении.
Хотя формализованное описание управляемых систем
может принимать достаточно абстрактную форму (см.
[11]), простейшая классификация допускает также
деление их на системы с непрерывным
временем (описываемые, напр., дифференциальными
уравнениями — обыкновенными или с частными
производными, уравнениями с отклоняющимся
аргументом, уравнениями в банаховом пространстве, а также
дифференциальными включениями, интегральными,
интегро-дифференциальными уравнениями и т. д.) и
многошаговые (дискретные) систе-
м ы, описываемые рекуррентными разностными
уравнениями и рассматриваемые лишь в изолированные
(дискретные) моменты времени.
Дискретные системы управления, помимо
самостоятельного интереса, имеют серьезное значение как
конечно-разностные модели непрерывных систем.
Последнее важно для построения численных методов
решения задач оптимального управления (см. [12], [13]),
в особенности в тех случаях, когда исходная задача
подвергается дискретизации, начиная с самой
постановки. К дискретным системам применимы основные
указанные выше постановки задач. Хотя теоретико-
функциональная сторона исследования здесь
оказывается проще, перенесение основных фактов теории
оптимального управления для непрерывных систем и
изложение их в компактной форме связано со специ-
фич. трудностями и не всегда возможно (см. [14], [15]).
Теория оптимальных линейных дискретных систем
управления с ограничениями, задаваемыми выпуклыми
функциями, разработана достаточно полно (см. [15]).
Она смыкается с методами линейного и выпуклого
программирования (особенно с соответствующими
«динамическими» или «нестационарными» вариантами) (см.
[16]). Важное значение в этой теории приобретают
решения, позволяющие соединять в рекуррентном
процессе оптимизацию дискретной динамической
системы с реализацией адекватного численного
дискретного алгоритма.

41
Отдельный круг проблем О. у. м
сы аппроксимации решений задач оптимального
управления для непрерывных систем дискретными, тесно
связанные с проблемой регуляризации некорректно
поставленных задач (см. [17]).
Лит.: [1] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Болтянский В. Г.,
ГамкрелидзеР. В., Мищенко Ε. Φ., Математическая
теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976; [2] Б е л л-
ман Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М.,
1960; [3] К ρ а с о в с к и й Η. Η., Теория управления
движением, М., 1968; [4] е г о ж е, в сб.: Механика в СССР за 50 лет,
т. 1, М., 1968, с. 179—244; [5] К а л м а н Р., в кн.: Труды 1
Международного конгресса Международной федерации по
автоматическому управлению, т. 2, М., 1961, с. 521—47; [6]
Флеминг У., Ришел Р., Оптимальное управление
детерминированными и стохастическими системами, пер. с англ., М., 1978;
[7] А л е к с е е в В. М., Тихомиров В. Μ., Φ о м и н С. В.,
Оптимальное управление, М., 1979; [8] В а р г а Дж.,
Оптимальное управление дифференциальными и функциональными
уравнениями, пер. с англ., М., 1977; [9] HestenesM., Calculus
of variations and optimal control theory, N. Y., 1966; [10] Ян г Л.,
Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального
управления, пер. с англ., М., 1974; 111] К ал м а н Р., Фал б П.,
А р б и б М., Очерки по математической теории систем, пер. с
англ., М., 1971; [12] Μ о и с е е в Η. Η., Элементы теории
оптимальных систем, М., 1975; [13] Ч е ρ н о у с ь к о Ф. Л., К о л-
мановскийВ. В.,в кн.: Итоги науки и техники. Сер.
Математический анализ, т. 14, М., 1977, с. 101—66; [14] Б о л τ я н-
с к и й В. Г., Оптимальное управление дискретными системами,
М., 1973; L15] С а η ο η Μ. D., С u 1 1 u m С. D., Ρ ο 1 a k Ε.,
Theory of optimal control and mathematical programming, N. Y.,
1970; [16] Π ρ ο π ο й А. И., Элементы теории оптимальных
дискретных процессов, М., 1973; [17] Тихонов А. Н.,
Арсении В. Я., Методы решения некорректных задач, 2 изд., М.,
1979. А. Б. Нуржанский.
ОПТИМАЛЬНОЕ ДЕКОДИРОВАНИЕ —
декодирование, к-рое максимизирует сообщений точность
воспроизведения для заданных источников сообщений, канала
связи и метода кодирования. В случае, когда точность
воспроизведения сообщений характеризуется средней
ошибочного декодирования вероятностью, О. д.
минимизирует эту вероятность. Пусть, напр., для передачи Μ
сообщений, занумерованных числами 1, . . ., М,
вероятности появления к-рых равны ри . . ., ρ до
соответственно, используется дискретный канал с конечным
числом значений сигналов на входе и выходе и переходной
функцией, задаваемой матрицей
<?(*/, у)=г{ч = у\ч = у}, у€У, у€.у,
где У, Υ — множества значений сигналов η на входе
и η на выходе соответственно, а кодирование задается
функцией /(·) такой, что f(m)=ym, т=1, . . ., И,
гДе Ут^У'ч т~ 1» · · ·» М,— код, т. е. нек-рый набор Μ
возможных значений сигнала на входе канала. Тогда
О. д. задается функцией g(-) такой, что g(y)=mf для
любого y£Y, где т удовлетворяет неравенству
Рт'Я. (Ут', У)^Рт9(Ут> У)
для всех тфт . В частности, если все сообщения
равновероятны, т. е. Ρι=. . . = рм=\/М, то описанное
О. д. является в то же время декодированием по методу
«максимального правдоподобия» (к-рое в общем случае
оптимальным не является): полученный на выходе
канала сигнал у следует декодировать в сообщение т ,
для к-рого
Ч(Утч У)^Я(Ут' У) ПРИ ™>фт'.
Лит.: [ЦГаллагер Р., Теория информации и надежная
связь, пер. с англ., М., 1974; [2] Возенкрафт Дж.,
Джекобе И., Теоретические основы техники связи, пер. с англ.,
М., 1969. Р. Л. Добрушип, В. В. Прелое.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ — решение
неклассической вариационной задачи
оптимального управления (см. Оптимального управления
математическая теория). В типичном случае О. у.
дает решение задачи об экстремуме заданного
функционала вдоль траекторий обыкновенного
дифференциального уравнения, зависящего от параметров-«управле-
ний-» (при наличии дополнительных ограничений,
предписанных постановкой задачи). Здесь, в аависи-
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЕ
т. образуют вопро-
42
мости от рассматриваемого класса управлений, О. у.
может принимать форму функции времени
(в задаче оптимального управления программного) или
функции времени и текущего
состояния (позиций) системы (в задаче синтеза
оптимального управления позиционного).
В более сложных или более специальных задачах
О. у. может принимать форму обобщенного
управления — функции времени со значениями
во множестве мер, функционала от отрезка траектории
или от нек-рого множества в фазовом пространстве,
краевого условия для уравнения с частными
производными, многозначного отображения, последовательности
экстремальных элементов нестационарной задачи мате-
матич. программирования и т. д. А. Б. Нуржанский.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ПОЗИЦИОННОЕ — решение задачи оптимального управления
математической теории, состоящей в синтезе
оптимального управления в виде
стратегии управления по принципу обратной связи, как
функции текущего состояния (позиции) процесса (см.
[1] — [3]). Последнее определяется, помимо текущего
момента ί, также доступными значениями текущих
параметров. Таким образом, введение позиционной
стратегии позволяет формировать реализацию управления и
апостериорно, корректируя его на основе
дополнительной информации, получаемой по ходу процесса.
Простейшая задача синтеза, напр. для системы
x = f(t, χ, и), *0<*<*1> a"€IRw> u£Rp, (l)
с ограничениями
u^U^RP или ψ(ι*χθ, ψ : Rp —>Rk, (2)
и заданным «терминальным» показателем
/(*(·), «*(·)) =φ(Ί. *(*ι))> q>:R» + 1 —R1,
предполагает поиск решения и0, минимизирующего
функционал /(я(·)» ы( ·)) среди функций вида u(t, x)
для произвольной исходной позиции {τ, χ}.
Естественный путь состоит в решении для каждой позиции
{τ, χ} соответствующей задачи о построении
оптимального управления программного
u°[t\%, χ], χ = χ(τ), T^t^tlt
на минимум того же функционала /(я(·), и(-)) и при
тех же самых ограничениях. Далее полагается, что
u°(t, x) = u° [t |ί, χ]
и если функция w°(£, x) корректно определена, а
уравнение
x = f (t, χ, и0 (t, χ)), χ(τ)=χ, τ<ί<*ι, (3)
имеет единственное решение, то задача синтеза
решена, причем оптимальные значения показателя /,
найденные в классах программных и позиционных
управлений, совпадают (в· общем случае выделяют условия,
обеспечивающие существование в определенном
содержательном смысле решений уравнения (3), и условия,
гарантирующие оптимальность всех траекторий этого
уравнения).
Синтезированная функция u°(t, x), являющаяся
О. у. п., позволяет построить оптимальное в смысле
минимума функционала I решение задачи оптимального
управления для любой исходной позиции {τ, χ),
в отличие от программного оптимального управления,
зависящего, вообще говоря, от фиксированного
начального состояния {*0, х0} процесса. Решение задачи
оптимального управления в форме синтеза оптимального
управления находит большие приложения, в частности
в связи с тем, что реальные процедуры построения
управления осуществляются, как правило, на фоне ин-

43 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЕ
форМационных помех или возмущений процедуры счета.
В указанных ситуациях позиционное управление
предпочтительней программного.
Нахождение м°(г, х) сразу в виде функции текущего
состояния связано с использованием метода
динамического программирования (см. [2]). Вводимая в
рассмотрение функция действия (функция
Б е л л м а н a) V(x, χ), имеющая смысл минимума
(максимума) оптимизируемой величины (напр.,
функционала
44
/(*(·). Μ·))=$τ1/0(ί' *, ") Λ+<ρ (*!,*(*!))
(4)
для системы (1) при χ(τ)=χ, ί£[τ, t1])i должна
удовлетворять дифференциальному уравнению Беллмана с
частными производными и с краевыми условиями,
зависящими от цели управления и показателя /. Для
системы (1), (2), (4) это уравнение имеет вид
dV . г* / dV \
-arj=0, Ffo, *)=φ(ίι, *), (5)
£+*(
*, х,
где
вх
= mi
■«*·
Hit, x,
f (t,x, !*))+/«(/,*, u)\u£U\
(6)
— функция Гамильтона. Оно связано с уравнениями,
фигурирующими в условиях Понтрягина принципа
максимума, подобно тому, как уравнение Гамильтона —
Якоби для функции действия связано в аналитич.
механике с обыкновенным дифференциальным
уравнением Гамильтона (см. Вариационные принципы
классической механики).
Вывод уравнения (5) для задачи синтеза опирается
на принцип оптимальности,
утверждающий, что отрезок оптимальной траектории есть снова
оптимальная траектория (см. [2]). Правомерность
такого подхода зависит от корректного определения
информационных свойств процесса и, в частности,
понятия позиции (текущего состояния, см. [5]).
В задаче быстродействия — о
минимальном времени Τ (χ) попадания траектории
автономной системы (1) из положения χ на множество Μ —
функцию У(т, x)=V(x) можно рассматривать как
своего рода потенциал V(x)—T (x) относительно множества
Μ. Выбор оптимального управления и0 (г, х) из
условий (5), (6), приобретающих здесь вид
{(&./<*. »>)|»€*}
V (х)=0 при ιζΜ,
тогда означает, что u°(t, χ) —и0 (χ) осуществляет спуск
оптимальной траектории х° (t) относительно
поверхностей уровня функции V (х) наискорейшим из способов,
допускаемых условием u£U.
Применение метода динамич. программирования (как
достаточного условия оптимальности) будет обосновано,
если функция 7(τ, χ) всюду удовлетворяет
определенным условиям гладкости (напр., в задаче (3)—(6)
функция Τ7 (τ, χ) должна быть непрерывно
дифференцируемой) или если условия гладкости выполняются всюду,
за исключением нек-рого «особого» множества N. При
выполнении нек-рых специальных «условий
регулярного Синтеза» метод динамич. программирования
оказывается эквивалентным принципу Понтрягина, к-рый
тогда выступает как необходимое и достаточное
условие оптимальности (см. [8]). Трудности, связанные с
априорной проверкой применимости метода динамич.
программирования и с необходимостью решать
дифференциальное уравнение Беллмана с частными
производными, усложняют использование этого метода. Ме-
min
-U
тод динамического программирования нашел
распространение в задачах синтеза оптимального
управления для дискретных (многошаговых) систем, где
соответствующее уравнение Беллмана конечно-разностное
(см. [2], [9]).
В задачах оптимального управления с
дифференциальными связями метод динамич. программирования
дает эффективное решение задачи синтеза в замкнутой
форме для класса задач, охватываемых линейными
системами с квадратичным показателем (4) (функции /°, φ
суть положительно определенные квадратичные формы
соответственно по х, и и по χ). Эта задача об а н а л и-
тическом конструировании о π т и-
мального регулятора при φ (ί, #)ξ=0, tx~ oo
переходит в задачу об оптимальной
стабилизации системы (из существования
допустимого управления здесь сразу вытекает свойство
асимптотич. устойчивости положения равновесия
синтезированной системы) (см. [10], [41). Существование
решения в данном случае обеспечивается свойством ста-
билизируемости системы (см. [4]). Для линейных
стационарных и периодич. систем оно эквивалентно
свойству управляемости системы по неустойчивым
собственным координатам (см. Оптимальное управление
программное).
Решение задачи оптимальной стабилизации
показало, что соответствующая функция Беллмана является
в то же время «оптимальной» функцией Ляпунова для
исходной системы с найденным оптимальным
управлением. Отмеченные обстоятельства позволили получить
эффективные условия стабилизируёмости и построить
для задач стабилизации полный аналог теории
устойчивости по Ляпунову (по первому приближению и в
критич. случаях), охватывающий обыкновенные
квазилинейные и периодич. системы, а также системы с
запаздыванием. В последнем случае роль функции
Беллмана играют «оптимальные» функционалы Ляпунова —
Красовского, заданные на отрезках траектории,
соответствующих величине запаздывания в системе (см.
[4], [5]). Теория линейно-квадратичных задач
оптимального управления хорошо развита и для
дифференциальных уравнений с частными производными (см. [11]).
В прикладных задачах синтеза оптимального
управления измерение всех фазовых координат системы
доступно далеко не всегда. Поэтому возникает
следующая задача наблюдения, допускающая
многочисленные обобщения: зная на промежутке σ<ί<θ
реализацию y\t\£Rm доступной измерению функции
y—g(t, χ) координат системы (1) (при известном u(t),
напр. при α(ί)Ξ=0, и т<и), найти вектор x($)£Rn в
заданный момент Φ. Системы, позволяющие по
реализации y[t] однозначным образом восстанавливать
я (θ), каким бы он ни был, наз. вполне наблюда-
е м ы м и.
Свойство полной наблюдаемости, как и построение
соответствующих аналитич. операций, выделяющих
я (θ), а также оптимизация этих операций хорошо
изучены для линейных систем. Здесь известен
принцип дуальности, состоящий в том, что каждой
задаче наблюдения может быть поставлена в
соответствие эквивалентная двухточечная краевая задача
управления для дуальной системы. Вследствие этого
оказывается, что свойство полной наблюдаемости линейной
системы совпадает со свойством полной управляемости
дуальной системы с управлением. Более того,
оказывается, что и соответствующие дуальные экстремальные
задачи об оптимальном наблюдении и оптимальном
управлении могут быть составлены так, что их решения
совпадут (см. [3]). Свойства управляемости и
наблюдаемости линейных систем допускают весьма
разнообразные обобщения на линейные бесконечномерные
объекты (уравнения в банаховом пространстве, системы с

45
отклоняющимся аргументом, дифференциальные
уравнения с частными производными). Имеется и ряд
результатов, характеризующих соответствующие
свойства. Для нелинейных систем известен лишь ряд
локальных теорем о наблюдаемости. Решения проблемы
наблюдения нашли многочисленные применения в
задачах синтеза в условиях неполной информации о
координатах, в том числе в задачах оптимальной
стабилизации (см. [3]-[5], [14], [15]).
Задача синтеза становится особенно содержательной,
когда информация об уравнениях управляемого
процесса, исходных начальных условиях и текущих
параметрах искажена возмущениями. Если описание
возмущений носит статистич. характер, то задачи
оптимального управления рассматривают в рамках
теории стохастического оптимального
управления. Эта теория, начатая с решения
стохастических программных задач [16], в наибольшей
степени разработана для систем вида
x = f(t, χ, u) + g(t, χ, и)ц, z(t0)=x°, (7)
со случайными возмущениями η (ί), описываемыми
гауссовскими диффузионными процессами или более
общими классами марковских процессов (начальный
вектор обычно также считают случайным). При этом,
как правило, предполагается, что заданы нек-рые
вероятностные характеристики величин η (напр.,
сведения о моментах соответствующих распределений или
о параметрах стохастич. уравнений, описывающих
эволюцию процесса r\(t)).
В общем случае применение программных и
синтезирующих управлений здесь дает существенно
различные значения оптимальных показателей / качества
(роль таких показателей могут играть, напр., те или
иные средние оценки неотрицательных функционалов,
заданных на траекториях процесса). Задача синтеза
стохастического оптимального управления теперь имеет
очевидные преимущества, т. к. непрерывное измерение
координат системы позволяет корректировать
движение с учетом реального хода случайного процесса, не-
предсказуемого заранее. Здесь было обнаружено, что
метод динамич. программирования совершенно
естественным образом сопрягается с теорией бесконечно
малых производящих операторов для полугрупп
преобразований, генерируемых марковскими случайными
процессами. Эти обстоятельства позволили построить и
строго обосновать серию достаточных условий
оптимальности, приведших к решению на конечном и
бесконечном интервале времени ряда задач о синтезе
стохастического оптимального управления с полной и
неполной информацией о текущих координатах,
стохастич. задач преследования и т. д. При этом
существенно, что для справедливости принципа оптимальности
управление и здесь должно строиться в каждый момент
времени t как функция «достаточных координат» ζ
процесса, для к-рых будет обеспечено свойство
марковости (см. [5], [6], [17], [18]).
Таким путем, в частности, была разработана
теория оптимальной стохастической
стабилизации, связанная с соответствующей
теорией устойчивости по Ляпунову, развитой для
стохастич. систем [19].
Для формирования синтезирующего оптимального
управления, а также для иных целей управления
целесообразно оценивать состояние стохастич. системы
по результатам измерения. Решению этого вопроса
при условии, что процесс измерения искажается
вероятностными «шумами» (т. е. решению задачи
наблюдения в условиях случайных возмущений), посвящена
теория стохастической фильтрации.
Наиболее полные решения здесь известны для
линейных систем с квадратичными критериями оптимума
ЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЕ 46
(т. н. φ и л ь τ ρ К а л м а н а—Б ь то с и, см. [13J).
В применении этой теории к задаче синтеза
стохастического оптимального управления были выявлены
условия, обеспечивающие справедливость принципа
разделения, позволяющего решать собственно задачу
управления независимо от задачи оценивания текущих
позиций на основе достаточных координат процесса
(см. [20]; более общим закономерностям стохастич.
фильтрации, а также задачам стохастич. оптимального
управления, когда само управление выбирается в
классе марковских процессов диффузионного типа,
посвящены работы [18], [21]).
Строго формализованное решение задачи
стохастического оптимального управления неизбежно
соприкасается с проблемой корректного обоснования
вопросов существования решений соответствующих
стохастических дифференциальных уравнений. Последнее
обстоятельство порождает определенные трудности в
решении задач стохастического оптимального
управления при наличии неклассич. ограничений.
Содержательный процесс динамич. оптимизации
возникает в задачах синтеза оптимального управления
в условиях неопределенности (см. Оптимальное
управление программное). Позиционные решения в общем
случае позволяют и здесь улучшить показатели
качества процесса по сравнению с программными,
представляющими собой все-таки результат статич.
оптимизации (проводимой, правда, в пространстве динамич.
систем и функций-управлений). К решению задач тогда
привлекают понятия и методы теории игр.
Пусть имеется система
i = /(/, χ, и, w), t0*£t<tu (8)
при ограничениях
на начальный вектор я0, управление и и возмущения
w* В отличие от игрока-союзника, представляющего
исходное управление и, подлежащее определению,
воздействия w здесь трактуют как управление игрока-
противника и допускают к рассмотрению любые
целенаправленные стратегии w, формируемые на основе
любой допустимой информации. При этом цели
управления могут быть сформулированы с точки зрения
каждого из игроков в отдельности. Если названные
цели противоположны, то возникает задача
конфликтного управления. Исследование
задач позиционного управления в условиях конфликта
или неопределенности составляет предмет теории
дифференциальных игр.
Процесс формирования позиционного оптимального
управления в условиях неопределенности может быть
осложнен неполнотой информации о текущем
состоянии. Так, в системе (8) могут быть доступны лишь
результаты косвенных измерений фазового вектора χ —
реализации y[t] функции
?(*)=*(', *, 6), (9)
где неопределенные параметры ξ стеснены известным
априорным ограничением ξςΞ. Знание y\t\, i0<:i<d
(при заданном u(t)), позволяет построить в фазовом
пространстве информационную область
Х(Ф» У()) состояний системы (8), совместимых с
реализацией у [t], уравнением (9) и ограничениями на w,
ξ. Среди элементов Χ (θ, у( ·))=Χ (Ό1, ·) будет
содержаться и неизвестное истинное состояние системы (8), к-рое
может быть оценено выбором нек-рой точки χ* (θ,·)
из Χ(ΰν) (напр., «центра тяжести» или «чебышевского
центра» Х(Ф, ·)). Изучение эволюции областей X(ft, ·)
и динамики векторов χ* (θ, ·) составляет содержание
теории минимаксной фильтрации.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРА

47
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММНОЕ
48
Наиболее полные решения здесь известны для
линейных систем и выпуклых ограничений (см. [22]).
В общем случае выбор позиционной стратегии
оптимального управления в условиях неопределенности
(напр., в виде функционала u=u(t, X(t, ·))) должен
быть нацелен на управление эволюцией областей
X (Ф, ·) (т. е. на изменение их конфигурации и
перемещение их в пространстве) в соответствии с
предписанными критериями. Для указанной задачи извеетен ряд
общих качественных результатов, а также
конструктивных решений в классе специальных
линейно-выпуклых задач (см. [7], [22]). При этом информация,
доставляемая измерениями (напр., функцией y[t] в системе
(8), (9)), позволяет по ходу процесса апостериорным
образом переоценивать области допустимых значений
неопределенных параметров в направлении их
сужения. Таким образом попутно решается задача
идентификации математич. модели процесса
(напр., параметров w уравнения (8)). Сказанное
позволяет трактовать решения задачи о синтезе
оптимального управления в условиях неопределенности как
процедуру адаптивного оптимального
управления, в к-ром уточнение свойств модели
процесса переплетается с выбором управляющего
воздействия как такового. Вопросы идентификации
моделей динамич. процессов и задачи адаптивного
оптимального управления подробно изучены в
предположениях о существовании того или иного вероятностного
описания неопределенных параметров (см. [23], [24]).
Если в задачах синтеза оптимального управления
в условиях неопределенности трактовать параметры w,
ξ как «управления» фиктивного игрока-противника,
то цели управлений и и {ιυ, ξ} могут быть различными.
Последнее обстоятельство приводит к нескалярному
показателю качества процесса, вследствие чего
соответствующие задачи могут рассматриваться в рамках
понятий о равновесных ситуациях, свойственных
многокритериальным задачам теории неантагонистич. игр
или их обобщениям.
Лит.: [1] Понтрягин Л.С., Болтянский В. Г.,
ГамкрелидзеР. В., Мищенко Ε. Φ., Математическая
теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976; [2] Б е л л-
м а н Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М.,
1960; [3] К ρ а с о в с к и й Η. Η., Теория управления
движением, М., 1968; [4] е г о ж е, «Дифференциальные уравнения»,
1965, т. 1, № 1, с. 5—16; [5] е г о ж е, в сб.: Механика в СССР за
50 лет, т. 1, М., 1968, с. 179—244; [6] е г о же, «Прикл. матем.
и мех.», 1961, т. 25, № 5, с. 806—17; [7] Кра со в с ки й Η. Η.,
Субботин А. И., Позиционные дифференциальные игры,
М., 1974; [8] Болтянский В. Г., Математические методы
оптимального управления, М., 1966; [9] е г о же, Оптимальное
управление дискретными системами, М., 1973; [10] Лет о в
А. М., Математическая теория процессов управления, М., 1981;
[11] Лионе Ж., Оптимальное управление системами,
описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с франц.,
М., 1972; L12] К а л м а н Р., в кн.: Труды 1 Международного
конгресса Международной федерации по автоматическому
управлению, т. 2, М., 1961, с. 521—47;-[13] К а л м а н Р., Б ь го-
си Р., «Труды Амер. об-ва инженеров-механиков^ Сер. 1, Д.»,
1961, т. 83, с. 123; [14] Ли Э.-Б., Марку с Л., Основы теории
оптимального управления, пер. с англ., М., 1972; [15] Бут-
ков с к и й А. Г., Структурная теория распределенных
систем, М., 1977; [16] Колмогорова. Н., Мищенко Ε. Φ.,
Понтрягин Л. С, «Докл. АН СССР», 1962, т. 145, № 5, с.
993—95; [17] ЛипцерР. Ш., Ширяев А. Н., Статистика
случайных процессов, М., 1974; [18] О стрем К. Ю.,
Введение в стохастическую теорию управления, пер. с англ., М., 1973;
[19] К а ц И. Я., К ρ а с о в с к и й Н. EL, «Прикл. матем. и
мех.», 1960, т. 24, № 5, с. 809—23; [20] Wonham W. Μ.,
«SIAM J. Contr.», 1968, v. 6, p. 312—26; [21] КрыловН.В,
Управляемые процессы диффузионного типа, Μ., 1977; [22]
КуржанскийА. В., Управление и наблюдение в условиях
неопределенности, М., 1977; [23]ЦыпкинЯ. 3., Основы теории
обучающихся систем, М., 1970; [24] Эйкхофф П., Основы
идентификации систем управления, пер. с англ., М., 1975.
А. Б. Нуржанспий.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ПРОГРАММНОЕ — решение задачи оптимального управления
математической теории, в к-рой управляющее
воздействие u—u(i) формируется в виде функции времени
(тем самым предполагается, что по ходу процесса
никакой информации, кроме заданной в самом начале,
в систему не поступает). Таким образом, О. у. п.
формируется по априорным сведениям о системе и уже не
может быть скорректировано, в отличие от
оптимального управления позиционного.
Проблема существования решений задачи О. у. п.
разбивается на два вопроса: выяснение осуществимости
цели управления при заданных ограничениях
(существование допустимого управления,
реализующего цель управления) и установление
разрешимости экстремальной задачи — достижимость
экстремума (как правило, относительного) — в упомянутом
выше классе допустимых управлении (существование
оптимального управления).
В связи с первым вопросом весьма важно изучение
свойства управляемости системы.
Для системы
оно означает существование в заданном классе U=
= {м(·)} функций, допускаемых к рассмотрению,
управлений u(t), переводящих фазовую точку (см.
Понтрягина принцип максимума) из любого заданного
начального положения x(t0)=x°£Rn в любое
заданное конечное положение x(t1)=x1^Rn (за
фиксированное или свободное время T=t1—t0, в зависимости
от постановки задачи). Необходимые и достаточные
условия управляемости (или, как еще принято
говорить, полной управляемости) известны
в конструктивной форме для линейных систем
x = A(t)x + B (t) и, x^Rn, u£RP, (1)
с аналитическими или периодич. коэффициентами
(они наиболее просты при ^4=const, Z?=const). Для
линейных систем общего вида полностью решается и
вопрос о разрешимости задачи попадания с одного
выпуклого множества на другое (при выпуклых
ограничениях на и, х). В нелинейном случае известны
лишь локальные условия управляемости
(справедливые в малой окрестности заданного движения) или
условия для частных классов систем (см. [2], [4], [5]).
Свойство управляемости изучают и в рамках
многочисленных обобщений, связанных, в частности, с
рассмотрением специальных классов U (напр., множества
U всех ограниченных кусочно непрерывных
управлений u(t)), задач управляемости по части координат или
изучением более общих классов систем, в том числе
бесконечномерных.
Вопрос о существовании оптимального управления
в общем случае связан со свойством компактности в
той или иной топологии минимизирующих
последовательностей управлений или траекторий и свойством
полунепрерывности по соответствующим переменным
минимизируемых функционалов. Первое из этих
свойств тесно связано для системы
x = f (Ζ, χ, и), *ο<*<*ι» ·££!£", u£Rp, (2)
при ограничениях
u^U^RP (3)
с выпуклостью множества
/(*, х, U)={f(t, χ, и)\и£Щ,
а второе (для интегральных функционалов) — с
выпуклостью по соответствующим переменным /(#(·),
и(·)). Отсутствие этих свойств возмещают путем
расширения исходных вариационных задач. Так,
невыпуклость f(t, х, и) можно возместить путем введения
скользящих режимо в — обобщенных
решений обыкновенных дифференциальных уравнений,
порожденных управлениями-мерами, заданными на U и

49
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММНОЕ
50
создающими эффект «овыпукления» (см. [6], [7]).
Отсутствие выпуклости у интегральных функционалов
J{x{ ·), и( ·)) возмещают путем погружения задачи в
более общую, с новым функционалом, являющимся
выпуклой минорантой прежнего, и решения новой задачи
в более широком классе управлений (см. [8]). В
отмеченных случаях существование оптимального
управления часто вытекает из существования допустимого
управления.
Теория необходимых условий экстремума наиболее
развита в задачах О. у. п. Основополагающим
результатом здесь послужил принцип максимума Понтрягина,
содержащий необходимые условия сильного
экстремума в задаче оптимального управления.
Следует отметить создание общих приемов
получения необходимых условий в экстремальных задачах,
эффективно использованных для задач О. у. п. с более
сложными ограничениями (фазовыми,
функциональными, минимаксными, смешанными и т. д.) и основанных,
так или иначе, на теоремах об отделимости выпуклых
конусов (см. [9], [10]). Пусть, напр., Ε — векторное
пространство, /(я), х£Е,— заданный функционал,
Qi— множества из Е,
Q=r\Qh * = 1> ···> ">
x°£Q — точка, в к-рой f(x) достигает минимума на Q,
Со = {*1/1*) </(*0)}·
Суть распространенного общего метода состоит в том,
что каждое из множеств <?/, i=0, 1, . . ., η,
аппроксимируется в окрестности точки х° нек-рым выпуклым
конусом К( с вершиной в точке х° (конус «убывания»
для <?0; конус «допустимых направлений» для
ограничений, изображаемых неравенствами; конус
«касательных направлений» для ограничений типа равенства, в
том числе для дифференциальных связей, и т. д.).
Необходимое условие минимума теперь состоит в том,
чтобы х° была единственной точкой, общей для всех
К[, г=0, 1, . . ., τι, и, следовательно, чтобы конусы
были «отделимы» (см. [8]). Последнему
«геометрическому» условию далее придают аналитич. форму η по
возможности преобразуют к удобному виду, напр. при
помощи функции Гамильтона. В зависимости от
исходных ограничений, а также от класса используемых
вариаций, необходимые условия могут принимать как
форму, аналогичную принципу Понтрягина, так и
форму локального (линеаризованного) принципа
максимума (условия слабого экстремума по и).
Реализация отмеченного пути, таким образом, зависит от
возможности аналитически описывать конусы К(.
Эффективное их описание достигается для множеств <?/,
задаваемых гладкими функциями, удовлетворяющими
нек-рым дополнительным условиям регулярности в
рассматриваемой точке, или выпуклыми функциями (см.
[9], [10]). В принципе отмеченный путь допускает
обобщения и на случай негладких ограничений, в том числе
дифференциальных. Здесь, напр., может быть
использовано понятие субдифференциала выпуклой функции
или его обобщения, когда выпуклость отсутствует
(см. [И], [121).
Условия 1-го порядка, аналогичные принципу
Понтрягина, известны для решений в классе обобщенных
функций-мер (т. н. интегральный
принцип максимума), для управляемых систем,
описываемых дифференциальными уравнениями с
отклоняющимся аргументом, дифференциальными
уравнениями с частными производными, эволюционными
уравнениями в банаховом пространстве,
дифференциальными уравнениями на многообразиях,
рекуррентными разностными уравнениями и т. д. (см. [1], [6],
[7], [13] - Ц6]).
Из указанных необходимых условий экстремума в
задаче оптимального управления вытекают известные
необходимые условия 1-го порядка классического
вариационного исчисления. В частности, в двухточечной
краевой задаче для системы (2), (3), где U — открытое
множество, /(#(·), и(·)) — стандартный интегральный
функционал, из принципа Понтрягина вытекает
необходимое условие экстремума Вейерштрасса в
классическом вариационном исчислении.
В теории оптимального управления развиваются
методы получения необходимых условий высших
порядков (особенно 2-го порядка) для неклассических
вариационных задач (см. [19]). Интерес к условиям
высших порядков в значительной степени был связан с
изучением вырожденных задач оптимального
управления, приводящих к т. н. особым
управлениям и не имеющих адекватных аналогов в классич.
теории. Напр., в принципе Понтрягина функция #(/,ψ,
χ, и) либо может приводить к целому семейству
управлений, каждое из к-рых удовлетворяет принципу
максимума, либо вообще не зависит от и (тогда любое из
допустимых значений и удовлетворяет принципу
Понтрягина). Эта ситуация оказалась весьма характерной
для целого ряда прикладных задач управления в
пространстве. В данном случае выделение оптимального
управления уже требует перебора экстремалей 1-го
порядка (т. н. экстремалей Понтрягина)
и применения к ним необходимых условий
оптимальности 2-го или, в общем случае, более высокого порядка.
Здесь разные по форме необходимые условия были
получены путем использования специальных классов
«неклассических» вариаций (напр., «связок» игольчатых
вариаций и т. д.). Реализация особых управлений
часто связана снова с использованием скользящих
режимов (см. [17], [18]).
Теория достаточных условий оптимальности
разработана в меньшей степени. Известны результаты,
относящиеся к условиям локальной оптимальности и
содержащие, в числе прочих требований, условия
невырожденности системы в вариациях и ограничения на
свойства гессиана правых частей, вычисленного вдоль
исследуемой траектории для соответствующего
обыкновенного дифференциального уравнения. Другая
группа достаточных условий опирается на метод динамич.
программирования и его связь с теорией принципа
максимума (см. [8]). Имеются и формализмы,
приводящие к достаточным условиям абсолютного
минимума, основанные на идее расширения
вариационных задач. Область их реальной применимости
охватывает специальные классы задач с выпуклыми
критериями и вырожденных задач оптимального управления
(см. [18]).
Полное решение задачи О. у. п. (необходимые и
достаточные условия оптимальности) известно для
линейных систем (1), когда рассматриваемые
функционалы и ограничения на и, χ выпуклы (в ряде случаев
здесь требуется выполнение нек-рых дополнительных
условий). Привлечение идей двойственности,
используемых в выпуклом анализе, выявило особое
экстремальное свойство траекторий системы, описывающей
сопряженные переменные принципа
максимума Понтрягина. Это позволило свести
краевую задачу, возникающую при использовании
необходимых условий общего вида, к решению более
простой двойственной экстремальной задачи. В рамках
названного подхода получила развитие теория
линейных систем с импульсными управления-
м и, моделирующих объекты, подверженные
мгновенным воздействиям (ударным, взрывным, импульсным),
и формализуемых при помощи дифференциальных
уравнений в обобщенных функциях соответствующих
порядков сингулярности. Эффективное применение,
особенно в теории игровых систем, нашел метод
областей достижимости (см. [2], [3]).

51
ОПТИМАЛЬНОСТИ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
52
В отсутствии полной априорной информации о «систе- I
ме (и в том числе статистич. описания недостающих
величин) рассматривают задачу О. у. п.в условиях
неопределенности. Пусть в системе (t0<.t <^) |
*' = /(*, х, и, w), x(t0)=z°£X<>, w£W, (4)
параметр w£Rq, реализующийся в виде функции
времени w=w(t), и вектор х° неизвестны, но заданы лишь
множества Х°^К", W^Rq. Тогда, предполагая
существование и продолжаемость на [i0, fj решений
x(t\x\ и(·), и?(.)), ^(^о 1^°, и(·). *(·))=*°
уравнения (4) (при заданных х°, и{%), и; (τ), £0<τ<*ι)'
можно построить пучок (ансамбль) траекторий
X(f| «*(.)) =
= \J{x(t\x«, М(.), ι»(.))\χ°ξΧο, w(x)£W,
Выбирая программное управление u(t) (одно и то же
для всех траекторий пучка), можно управлять
положением X(t\u(·)) в фазовом пространстве. Типичная
задача О. у. п. в условиях неопределенности теперь
состоит в оптимизации u(t) в силу функционала Φ
типа максимума
Φ (X (tx I и (·))) =max {φ {χ)\χ£Χ (h Ι и (·))} (5)
(тогда решение и0 (t) задачи будет обеспечивать нек-рый
гарантированный результат) или интегрального
функционала
Ф (* (*ι I и (·))) = 5л (/ιΐΒ(.)}/о (*)<**. (6)
Применение техники вывода необходимых условий
оптимальности или ее модификаций позволило
сформулировать требования, обеспечивающие существование
аналогов принципа Понтрягина для задач (5), (6) (в
первом случае он принимает форму нек-рого условия
минимакса). Для линейных систем эти задачи
допускают столь же детальное решение, как и в случае полной
информации (см. [3], [20], [21]).
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г.,
Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Ε. Φ.,
Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976; [2] Кра-
совский Η. Η., Теория управления движением, М-, 1968;
[3] Красовский Η. Η., Субботин А. И.,
Позиционные дифференциальные игры, М., 1974; [4] К а л м а н Р., в кн.:
Труды 1 Международного конгресса Международной федерации
по автоматическому управлению, т. 2, М., 1961, с. 521—47; [5]
Ли Э.- Б., Μ а р к у с Л., Основы теории оптимального
управления, пер. с англ., М., 1972; [6] Г а м к ρ е л и д з е Р. В.,
Основы оптимального управления, Тбилиси, 1977; [7] В а р г а Дж.,
Оптимальное управление дифференциальными и
функциональными уравнениями, пер. с англ., М., 1977; [8] И о ф ф е А. Д.,
Тихомиров В. М., «Успехи матем. наук», 1968, т. 23, в. 6,
с. 51—116; [9] Д у б о в и ц к и й А. Я., Милютин Α. Α.,
«Шурн. вычисл. матем. и матем. физики», 1965, т. 5, № 3, с. 395—
453; [10] Neustadt L. W., Optimizations. A theory of
necessary conditions, Princeton, 1974; [И] Пшеничный Б. Η.,
Необходимые условия экстремума, М., 1969; [12] С 1 а г k e F. Н.,
«Trans. Amer. Math. Soc», 1975, v. 205, p. 247—62; [13] Suss-
m a η η Η. J., «Math. Syst. Theory», 1977, v. 10, № 3, p.263—
284; [14] ЛионсЖ,, Оптимальное управление системами,
описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с
франц., М., 1972; [15] Болтянский В. Г., Математические
методы оптимального управления, М., 1966; [16] его же,
Оптимальное управление дискретными системами, М., 1973;
[17] Габасов Р., Кириллова Ф. М., Особые
оптимальные управления, М., 1973; [18] Кротов В. Ф., Букре-
ев В. 3., Гурман В. И., Новые методы вариационного
исчисления в динамике полета, М., 1969; [19] Левитин Е. С,
Милютин Α. Α., Осмоловский Η. П., «Успехи матем.
наук», 1978, т. 33, в. 6, с. 85—148; [20] К у ρ ж а н с к и й А. Б.,
Управление и наблюдение в условиях неопределенности, М.,
1977; [21] Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н.,
Введение в минимакс, М., 1972. А. Б. Куржапский.
ОПТИМАЛЬНОСТИ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ -
условия, обеспечивающие оптимальность данного
решения задачи вариационного исчисления в выбранном
классе кривых сравнения.
О. д. у. слабого минимума (см. [1]): для
того чтобы кривая у(х) доставляла слабый минимум
функционалу
J(y) = [*lF(x, у, y')dx (1)
при граничных условиях
У («о) = Уо» У (*ι) = 0ι>
достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.
1) Кривая ~у(х) должна быть экстремалью, т. е.
удовлетворять Эйлера уравнению
2) Вдоль кривой у(х), включая ее концы, должно
выполняться усиленное Лежандра условие
Fyy {x, У, У') > 0.
3) Кривая у(х) должна удовлетворять усиленному
Якобй условию, требующему, чтобы решение уравнения
Якоб и
с начальными условиями
η(*ο)=0» ν! ί*ο) = 1
не обращалось в нуль в точках замкнутого справа
интервала Χ0<Χ*ζΧι.
Коэффициенты уравнения Якоби (2),
представляющего собой линейное дифференциальное уравнение 2-го
порядка, вычисляются вдоль экстремали у(х) и
представляют известные функции от х.
Для сильного минимума достаточно,
чтобы дополнительно, помимо перечисленных выше,
выполнялось следующее условие. __
4) Существует окрестность кривой у(х), в каждой
точке (х, у) к-рой при любом у' выполняется
неравенство
(§ (X, у, U{X, у), у')^г0, (3)
где
<§(х, у, и, y')=F(x, у, y') — F(x, у, и) —
— (ij' — u)Fy, (x, у, и)
— функция Вейерштрасса, а и(х, у) —наклон поля
экстремалей, окружающего у(х).
На самой экстремали у(х) условие (3) принимает вид
<§ (ж, У, У', у') =
=^F(x9 f,y')-~F(x, J, P) — (y'—J')Fy,{x, у", 7)^0.
(4)
Условие (4) является необходимым для сильного
минимума; оно наз. необходимым условием
Вейерштрасса. Таким образом, в отличие от
достаточных условий слабого минимума, к-рые требуют
выполнения нек-рых усиленных необходимых условий
в точках самой экстремали, в достаточных условиях
сильного минимума требуется выполнение
необходимого условия Вейерштрасса в нек-рой окрестности
экстремали. В общем случае нельзя ослабить
формулировку достаточных условий сильного минимума,
заменив требование выполнения условия Вейерштрасса
в окрестности экстремали на усиленное условие
Вейерштрасса (условие (4) со знаком строгого неравенства)
в точках экстремали (см. [1]).
Для не классических вариационных задач,
рассматриваемых в оптимального управления математической

53
ОПТИМАЛЬНОСТИ
54
теории, существует несколько подходов к
установлению О. д. у. абсолютного экстремума.
Пусть поставлена задача оптимального управления,
в к-рой требуется определить минимум функционала
(5)
/=^' /°(*, U)dt,
R",
(6)
(7)
(8)
при условиях
x = f(x, и), /: RnxRP —
Χ (0) — Х0, X (t{) =;Χι,
u£U,
где U — заданное замкнутое множество р-мерного
пространства.
При использовании метода динамического
программирования [3] О. д. у. формулируются следующим
образом. Для того чтобы управление u(t) было
оптимальным управлением в задаче (5)—(8), достаточно,
чтобы:
1) существовала такая непрерывная функция S (х),
к-рая имеет непрерывные частные производные при
всех х, за исключением, быть может, нек-рого кусочно
гладкого множества размерности меньше п, равна нулю
в конечной точке хг, S(x1)=0, и удовлетворяет
уравнению Беллмана
max (ψί (χ, и)-Ρ (χ, ι*Λ =0; (9)
2) u(t)=v(x(t)), при 0<^<^, где ν (χ) —
синтезирующая функция, определяемая из уравнения
Беллмана:
^-rf(x, v(x))—f (χ, υ(χ)) =
= max ι
dS
дх
/(*, u)-f(x, u))=0.
В действительности при использовании метода дина-
мич. программирования получается более сильный
результат: О. д. у. для множества различных
управлений, переводящих фазовую точку из произвольного
начального состояния в заданное конечное состояние хг,
В более общем случае, когда рассматривается
неавтономная система, т. е. подинтегральная функция и
вектор-функция правых частей зависят еще и от времени ί,
функция S должна зависеть от in к левой части урав-
ления (9) следует добавить слагаемое -^ . Имеется
доказательство (см. [4]), в к-ром удалось снять весьма
стеснительное и не выполняющееся в большинстве
задач, но обычно предполагаемое условие непрерывной
дифференцируемости функции S (х) для всех х.
О. д. у. могут быть построены на основе принципа
максимума Понтрягина. Бели в нек-рой области G
фазового пространства осуществлен регулярный
синтез, то все траектории, полученные с помощью
принципа максимума при построении регулярного синтеза,
являются оптимальными в области G.
Определение регулярного синтеза хотя и является
довольно громоздким, но по существу не накладывает
особых ограничений на задачу (5)—(8).
Существует другой подход к установлению О. д. у.
(см. [5]). Пусть (р(х) — функция, непрерывная вместе
со своими частными производными при всех
допустимых х, принадлежащих заданной области G, и
R (х, и)=<рх/(*, и)-Р (х, и). (10)
Для того чтобы пара u(t), x(t) доставляла абсолютный
минимум в задаче (5) —(8), достаточно существование
такой функции φ (я), что
R(x, u)= max R (х, и).
(И)
Допускаются соответствующие изменения приведенной
формулировки О. д. у. для более общих случаев
неавтономной системы, задач с функционалами типа Майера
и Больца (см. Болъца задача), а также для скользящих
оптимальных режимов (см. [5]).
Исследовались вариационные задачи с
функционалами в виде кратных интегралов и дифференциальными
связями в форме уравнений с частными производными,
в к-рых рассматриваются функции нескольких
переменных (см. [6]).
Лит.: [1] Лаврентьев Μ. Α., Люстерник Л. Α.,
Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.— Л., 1950; [2]
Б л и с с Г. А. Лекции по вариационному исчислению, пер. с
англ., М., 1950; [3] Беллман Р., Динамическое
программирование, пер. с англ., М., 1960; [4] Болтянский В. Г.#
Математические методы оптимального управления, М., 1966;
[5] Кротов В. Ф., «Автоматика и телемеханика», 1962, т. 23,
№ 12, с. 1571—83; 1963, т. 24, № 5, с. 581—98; [6] Б у τ к о в-
ский А. Г., Теория оптимального управления системами с
распределенными параметрами, М., 1965. И. Б. Вапнярский.
ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРИНЦИПЫ — формальные
описания различных представлений об оптимальном.
Обычно О. п. отражают те или иные черты
интуитивного понимания устойчивости, выгодности и
справедливости. Существенно, что одновременная реализация
всех (или хотя бы достаточно большого числа) таких
черт часто оказывается невозможной ввиду их
формальной несовместности. По мере того как теория О. п.
приобретает аксиоматич. характер, создаются новые О. п.,
уже не всегда обладающие интуитивной прозрачностью.
Проблемы О. п. возникают, напр., в тех случаях,
когда ищется значение переменного, одновременно эк-
стремизирующее несколько заданных функций (т. н.
многокритериальные экстремальные задачи). Задачи,
требующие для своего решения привлечения
нетривиальных О. п., фактически относятся к игр теории.
Одним из наиболее простых теоретико-игровых О. п.
является минимакса принцип. Другие О. п.
реализуются в виде с-ядра решения по Нейману—Морген Штерну,
Шепли вектора и т. д.
О принципе оптимальности Беллмана см.
Динамическое программирование. я. Я. Воробьев.
ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ ОСОБЫЙ, особое
оптимальное управлени е,— оптимальное
управление, для к-рого на нек-ром участке времени
одновременно выполняются условия
дН
ди
д2Н
ди*
=-0,
= 0,
(1)
(2)
где Η — Гамильтона функция. В векторном случае,
когда О. р. о. имеет место по /с, /с>1, компонентам
управления, условие (1) заменяется на к условий
^- = 0,. = 1, .... к, (3)
а вместо равенства (2) требуется обращение в нуль
определителя
д2Н
dus дир
= 0, ρ, 5 = 1, . . ., к.
(4)
На О. р. о. функция Гамильтона Η стационарна, но
ее второй дифференциал не является отрицательно
определенным, т. е. максимум Η по и (при и,
изменяющемся внутри допустимой области) оказывается
«размытым».
Наиболее типичными задачами, в к-рых может иметь
место О. р. о., являются задачи оптимального
управления, в к-рых подинтегральная функция и правые части
линейно зависят от управления.
Ниже рассматриваются задачи такого рода сначала
со скалярным особым управлением.

55
ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ ОСОБЫЙ
56
Пусть требуется определить минимум функционала
J=Vl {F (χ) + иФ (χ)) dt (5)
при условиях связи
ii = fi(x) + uq>i(x), i = l, ..., η, (6)
граничных условиях
х(0)=х0, *(*ι)=*ι (7)
и ограничениях на управление
М<1. (8)
Необходимые условия, к-рым должен удовлетворять
О. р. о., позволяют заранее исследовать задачу (5)—(8)
и выделить многообразия особых участков, на к-рых
оптимальное управление лежит внутри допустимой
области: |и|<1. Пристраивая к ним неособые участки,
удовлетворяющие граничным условиям (7), с
управлением |ц| = 1, определяемым из Понтрягина принципа
максимума, можно получить оптимальное решение
задачи (5)-(8).
Согласно принципу максимума оптимальное
управление при любом £ζ[0, £χ] должно доставлять максимум
функции Гамильтона
H($(t), x(t), и(*)) = max H (ψ(ί), x(t), и), (9)
\и |<1
где
Я (ψ, х9 u) = —(F(x) + uQ)(x)) +
+2£=1ям/ч*)+^,,(*)ь
а ψ=(ψ!, ... , ψ„) — нек-рая не обращающаяся в нуль
сопряженная вектор-функция, удовлетворяющая
системе уравнений
дн (ψ, х, и)
Ч?« = -
dxi
i = l,
(10)
Условие (2) выполняется для любого управления, а
не только для О. р. о.
дН
На тех участках времени, на к-рых ^-^0, условие (9)
определяет неособое оптимальное управление,
принимающее граничные значения
i*(f) = sign4iL=±l.
Таким образом, участки [τ0, tJ с оптимальным особым
управлением
\u(t) |< 1
могут появиться лишь при выполнении условия (1):
ая(*|э (О. «(*). u(t))
ди
= 0, τ0<ί<τι,
(И)
при к-ром функция Гамильтона перестает явно
зависеть от управления и. Следовательно, для задач,
линейных по управлению, условие (9) не позволяет
непосредственно определить оптимальное особое
управление u(t).
дН
Пусть функция -^— дифференцируется по t в силу
систем (6), (10) до тех пор, пока управление и не войдет
с ненулевым коэффициентом в очередную производную.
Доказывается (см. [1]—[3]), что управление и может
войти с ненулевым коэффициентом лишь в четную
производную, т. е.
£(£(-£))=o..=it ....*-!,
£щ(^г)=а^ *) + «*·δ(*,*), ft(4>(0,*(0)*0,
(12)
и что необходимым условием оптимальности особого
управления является выполнение неравенства
(-1)» 6 (ψ, *) = (-!)»
ди
d2q ( дН
dt2q { ди
(13)
Если 6(ψ(ί), χ(t))з=0 на всем отрезке, то оптимальное
особое управление
U(t):
α (Ψ (О, ж (О)
\t<Tx.
b(^(t),x (ί)) '
Поскольку условия (12) получены в результате
последовательного дифференцирования (11), то на участке
особого режима, в частности в точках сопряжения τ0
и Ti особого и неособого участков, помимо равенства
(И), выполняется 2q— 1 равенств
_df_
dts
(£-)=°..=ι,
2q — 1.
(14)
Анализ условий (11), (14) показывает, что для
случаев четного и нечетного q характер сопряжения
особого и неособого участков траектории различен (см.
[4]).
При четном q оптимальное управление на неособом
участке не может быть кусочно непрерывным. Разрывы
управления (точки переключения) сгущаются к точке
сопряжения с особым участком, так что оптимальное
управление оказывается измеримой по Лебегу
функцией со счетным множеством точек разрыва.
При нечетном q только две кусочно гладкие
оптимальные траектории могут входить в точку, лежащую
на особом участке (или исходить из нее). Пусть
размерность многообразия особых участков в n-мерном
пространстве фазовых координат равна к. Тогда в
рассматриваемом случае нечетного q оптимальные траектории
с кусочно непрерывным управлением заполняют в
фазовом пространстве лишь нек-рую поверхность
размерности к-\-1. Поэтому при /с<п—2 почти все
оптимальные траектории будут иметь управление с бесконечным
числом точек переключения.
Сформулировано предположение (см. [4]), что к—
= п—q. Если это так, то при q^2 сгущение точек
переключения перед выходом на особый участок (или сходом
с него) является типичным явлением для задач типа
(5)-(8).
Пример сопряжения неособого и особого участков
оптимального управления с бесконечным числом
переключений приведен в [5].
При четном q, б?^2, оптимальное особое управление
на неособом участке, примыкающем к особому, не
может быть кусочно непрерывным, а имеет бесконечное
число точек переключения, сгущающихся к точке входа
τ0, т. е. не существует ε>0 такого, что в промежутке
[τ0—ε, τ0] оптимальное управление постоянно.
В наиболее часто встречающемся О. р. о. величина
q=l. Для этого случая сопряжение неособого и особого
участков осуществляется с помощью кусочно
непрерывного оптимального управления.
В более общем случае О. р. о., в к-ром
рассматривается /с, /с>1, управлений:
/=5'ol (F(*) + 2*=1"/M*))<ft, (15)
i/ = /l'(*) + 2* = 1^SW, (16)
(как и в скалярном случае) условие (4), в силу
линейности, выполняется для любого управления. На
участке [τ0, xj О. р. о. по к компонентам с |и5|<1 должны
выполняться к условий (3):
ΛΜΨ(0, x(t))
τ0 < t < τι
дН (ψ (<), x(t), и (t))
dus
— 1, .. ., к,
= 0,
(17)

57
ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ СКОЛЬЗЯЩИЙ
58
где
Я (ψ, x) = -(F(x)+jfs = ius<I>s(x)) +
^■^i» — 1
a ψ; определяются из (10).
Дальнейшие необходимые условия оптимальности
для О. р. о. по нескольким компонентам отличаются
от рассмотренного выше случая О. р. о. по одной
компоненте следующими особенностями. На участке О. р. о.
должны выполняться необходимые условия двух видов.
Одно из них, типа неравенства, является аналогом
условия (13). Другие необходимые условия являются
условиями типа равенства и не имеют более ранних
аналогий (см. [6]).
Дифференцируя (17) полным образом по £, получают
систему к линейных уравнений относительно к
неизвестных Ui, ... , Uk'.
dMs (ψ, χ)
dt
^k Γ ^n (dMs i dMP i
+ Σΐ.(ϊ?''-^)=°.<=<·
Матрица коэффициентов системы (18)
к.
+
(18)
»Sp
= Σ
(dMs i д]±Р
ΐ=ι \0x'
q>p
dxi TV
= 1,
., A,
является кососимметричной: asp=—aps. Отсюда, в
частности, следует, что элементы ass, стоящие на главной
диагонали матрицы (asp), равны нулю. Остальные
элементы asp, s^p, в системе (18) в общем случае на
произвольной траектории, соответствующей нек-рому
неоптимальному управлению, отличны от нуля. На
О. р. о. по к компонентам должны выполняться
необходимые условия, требующие обращения в нуль всех
fotfc j\
—2— коэффициентов системы (18) (см. [6]):
Ση ом, t дмр л
Фр г 9s =0,
i=l V δχΐ Ύμ Οχι Ύ J
> = 1,
к, s < p.
(19)
Кроме этих условий должно выполняться условие
типа неравенства (являющееся аналогом условия (13)
для О. р. о. по одной компоненте при <?—1):
Σ' ,-1 £(&("&)) ·"'*·'&0· (20)
Условия (13), (20) можно рассматривать как
обобщение Лежандра условия и Клебша условия на случай
О. р. о., поэтому указанные неравенства наз. иногда
обобщенным условием Лежандра —
Клебша.
Важность выявления и исследования О. р. о. в
задачах оптимального управления объясняется следующим
свойством О. р. о. (см. [4]): если оптимальная
траектория, исходящая из нек-рой точки, содержит участок
О. р. о., то этим же свойством обладают все
оптимальные траектории, исходящие из близких точек.
Исследованы нек-рые вопросы, связанные с
определением порядка О. р. о. для линейных и нелинейных по
управлению задач (см. [8]).
Все приведенные выше результаты по О. р. о.
получены из рассмотрения второй вариации функционала.
Оказывается, что можно получить дополнительные
необходимые условия оптимальности особого режима из
рассмотрения третьей и четвертой вариаций
функционала (см. [9]).
Лит.: [1] К с л л и Г., «Ракетная техника и космонавтика»,
1964, № 8, с. 26—29; [2] Ρ о б б и н с Г,, там же, 1965, № 6, с.
139—45; [3] К о π π Ρ,, Μ ο й е ρ Г., там же, 1965, № 8, с. 84—
90; [4] Б е ρ щ а н с к и й Я. М., «Автоматика и телемеханика»,
1979, № з, с. 5—И; [5] Φ у л л е ρ А. Т., в кн.: Тр. 1
Международного конгресса Международной федерации по
автоматическому управлению. Теория дискретных оптимальных и
самонастраивающихся систем, М., 1961, с. 584—605; [б] В а п н я р-
с к и й И. В., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1967, Т. 7,
№ 2, с. 259—83; [7] К г е η е г Α., «SIAM J. Contr. and Opti-
miz.», 1977, v. 15, № 2, p. 256—93; [8] L e w i s R. M., там же,
1980, v. 18, № 1, p. 21-32; [9] С к о р о д и н с к и й И. Т.,
«Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1979, т. 19, Ν» 5, с. 1134—40;
[10] Габасов Р.,Кириллова· Φ. Μ., Особые
оптимальные управления, М., 1973. И. Б. Вапнярский.
ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ СКОЛЬЗЯЩИЙ —
термин, используемый в теории оптимального управления
для описания оптимального способа управления
системой в случае, когда минимизирующая
последовательность управляющих функций не имеет предела в классе
измеримых по Лебегу функций.
Пусть, напр., требуется найти минимум функционала
/ (х, и) ■■
:$;<*»-..■)
dt
(1)
при условиях
х — и, (2)
я(0) = 1, ж(3)=1, (3)
|и|<1. (4)
Для получения минимума функционала (1) желательно
иметь при каждом t как можно меньшее значение \x(t)\
и как можно большее значение \u(t)\. Первому
требованию, с учетом условия связи (2), граничных условий
(3) и ограничений на управление (4), удовлетворяет
траектория
( i — t, 0<ί<1,
*(*) = j 0. 1 < * < 2, (5)
( t — 2, 2<*^3.
Если бы траекторию (5) можно было построить при
нек-ром управлении, принимающем при всех t
граничные значения
u(t)= + l или u(t)= — 1, (6)
был бы получен абсолютный минимум функционала (1).
Однако «идеальная» траектория (5) не может быть
построена ни при какой управляющей функции u(t),
удовлетворяющей (6), поскольку при 1<£<2 ^(г)==0.
Тем не менее можно, используя управляющие функции
и»(0» реализующие при η -> оо и 1<£<2 все более
частые переключения с 1 на —1 и обратно:
»„(') =
-1, 0<* <1,
fl, 1 + А< *<1 + ^, * = 0,1,...,л-1,
—1,
1 + 24±!<*<1 +
In
k+i
2п
+1, 2 < ί<3,
А = 0, 1,
-1,
п = 1, 2,
(7)
построить минимизирующую последовательность
управлений {un(t)}, удовлетворяющую (6), и
минимизирующую последовательность траекторий {#„(*)},
сходящуюся к «идеальной» траектории (5).
Каждая из траекторий xn(t) отличается от (5) только
на интервале (1, 2), на к-ром вместо точного движения
по оси χ она обеспечивает «пилообразное» движение с η
одинаковыми «зубьями», расположенными над осью х.
«Зубья пилы» становятся все мельче при л->оо, так
что lim xn(t)=0, 1 <t<2. Таким образом, минимизирую-
η-»·αο
щая последовательность траекторий {xn(t)} сходится
к (5), но минимизирующая последовательность
управлений {un(t)}t реализующих при η ->» оо и 1<£<2 все

59
ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ СКОЛЬЗЯЩИЙ
60
более частые переключения с 1 на —1 и обратно, не
имеет предела в классе измеримых (а тем более в классе
кусочно непрерывных) функций. Это означает, что на
участке (1, 2) имеет место О. р. с.
Используя не очень строгие рассуждения, можно
описать полученный О. р. с. следующим образом:
оптимальное управление в каждой точке интервала (1, 2)
«скользит», т. е. перескакивает со значения +1 на —1
и обратно так, что для любого, сколь угодно малого,
интервала времени мера множества точек ί, в к-рых
и— 41, равна мере множества точек t, в к-рых и=—1,
что обеспечивает, в силу уравнения (2), точное
движение по оси х. Приведенное описание характера
изменения оптимального управления на участке
скользящего режима является нестрогим, ибо оно не
удовлетворяет обычному определению функции.
Можно дать строгое определение О. р. с, если
наряду с исходной задачей (1)—(4) ввести в рассмотрение
вспомогательную, расщепленную задачу: найти
минимум функционала
Ι (χ, α, и) = \ (х2 — а0и2—(Хги1) dt (8)
при условиях
# = a0w0-|-a1wi, (9)
*(0) = 1, *(3) = 1, (10)
|и0|<1, |μι|<1, α0 + αι = 1, а0^0, а^О. (И)
Расщепленная задача (8)—(И) отличается от
исходной тем, что: вместо одной управляющей функции
u(t) вводятся две независимые управляющие функции
u0(t) и u^ty, подинтегральная функция и функция,
стоящая в правой части уравнения (2) исходной задачи,
заменяются линейной выпуклой комбинацией
соответствующих функций, взятых при различных управлениях
u0(t) и Μχ(£) с коэффициентами α0(ί), αχ(ί), к-рые также
рассматриваются как управляющие функции.
Таким образом, в задаче (8)—(И) имеется 4
управления и0, иг, а0, ах. Поскольку а0 и ах связаны условием
типа равенства αο+αι=1, то от одного из управлений
а0 или ах можно избавиться, выразив его через другое.
Однако для удобства последующего анализа
целесообразно оставить оба эти управления в явном виде.
В отличие от исходной задачи оптимальное
управление в расщепленной задаче (8)—(И) существует. На
участке О. р. с. исходной задачи оптимальное
управление расщепленной задачи имеет вид
αο(ί)=αι(0 = γ. и0(0 = -1, «ι(*) = +1> 1«<2,
а на участках входа и выхода
<z0(t) = i, uQ(t) = —i, αι(ί)=0, Ui (t) — любая,
0<*<1,
αϊ (0 = 1, Μι (0 = +1, α0(0 —0, u0(t) — любая,
2</<3.
На участке О. р. с. управления а0 и ах, линейно
входящие в правую часть и подинтегральную функцию,
принимают значения, лежащие внутри допустимой
области. Это означает, что О. р. с. исходной задачи (1) —
(4) есть особый оптимальный режим, или особое
оптимальное управление, для вспомогательной,
расщепленной задачи (8)—(И).
Аналогичные результаты для О. р. с. имеют место
в общем случае задачи оптимального управления. Пусть
требуется найти минимум функционала
J{x,u) = ^flf*(t, х, u)dt, (12)
/° (0 χ, и) : (RxR"xROT—* R,
при условиях
x = f(t, χ, и), /(О х, и): RxR"xlRm—+R", (13)
x(t0)=x0, x(ti)=xu (14)
u£U. (15)
О. р. с. характеризуется неединственностью максимума
по и функции Гамильтона
H(t, χ, ψ, μ) = 2"=0Ψι7,"(', *, "),
где ψ/ — сопряженные переменные (см. [2]). При этом
на участке [τΐ5 τ2] «скольжения» по /с+1, /с>1,
максимумам и0, их, ... , иь исходная задача расщепляется и
принимает вид
/(*, α, «*) = 5^2*=οα,/0(ί, χ, us)dt, (16)
i = 2s = oa5/(*' *' Us)' (17)
x(t)=x0, x(tx)=xu (18)
u*€u> 2ΐί=οαί=1, а*^°'*=0· i> ··■»*· <19)
Функцию Гамильтона для задачи (16)—(19)
#(*, *, ψ, α, «*) = 2"==0Ф/(23!=оа1//(^ *' Us))
после исключения а0 и перегруппировки слагаемых
можно привести к виду
Η (0 χ, ψ, α, u) =
=ς!=ι (S=o^fi {t> *· мо)—2Γ=βψί// (ί'χ* и*0а,=
= 2s=A^(i' *' ψ' "1)~Я(^ *■ Ψ' us))*s- (20)
Поскольку все H(t, #,ψ, us), s=0, 1, ... , к, есть равные
между собой максимумы Η по и на множестве £/, то на
участке [τχ, τ2] Ο. ρ. с. с Zc-f-l максимумами
коэффициенты при к независимых линейных управлениях аь ...
... , а/г функции Гамильтона расщепленной задачи
(12)—(15) равны нулю. О. р. с. со «скольжением» по
к-\-\ максимумам есть особый оптимальный режим .по к
компонентам для расщепленной задачи (16)—(19).
Максимально возможное значение /т, к-рое целесообразно
брать при исследовании скользящих режимов,
определяется из условия выпуклости множества значений
вектора правых частей и выпуклости вниз точной
нижней границы множества значений подинтегральной
функции расщепленной системы, получающихся, когда
вектор управления (as, us), s=0, 1, ... , к пробегает
всю допустимую область значений. Таким образом,
/c<Ai — оценка сверху для к. В самом общем случае
все О. р. с. исходной задачи могут быть получены как
особые оптимальные управления расщепленной задачи,
записанной при к=п. В частности, в рассмотренном
выше примере расщепленная задача рассматривалась
при к=1, поскольку условия связи содержали только
одно уравнение; исследование расщепленной задачи
(8)—(11) было достаточно для исследования О. р. с.
исходной задачи (1)—(4).
Если известны /с—[— 1 управлений u0(t), ux(t), ... , u>k(t),
доставляющих равные между собой абсолютные
максимумы функции Гамильтона H(t, χ, ψ, и) в допустимой
области £/, то анализ О. р. с. сводится к исследованию
особого оптимального режима по к компонентам. Это
исследование может быть проведено с использованием
необходимых условий оптимальности особого
управления (см. Оптимальный режим особый).
Исследовались О. р. с. с помощью достаточных
условий оптимальности (см. [4]).
Лит.: [1] Г а м к ρ е л и д з е Р. В., «Докл. АН СССР», 1962,
т. 143, № 6, с. 12^3—45; [2] Π о н т ρ я г и н Л. С, Б о л т я н-

61 ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛ]
ский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Ε. Φ.,
Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969;
[3] В а п н я ρ с к и й И. В., «Ш. вычислит, матем. и матем. физ.»,
1967, т. 7, JMe 2, с. 259—83; [4] К ρ ο τ о в В. Ф., «Автоматика и
телемеханика», 1963, т. 24, № 5, с. 581—98.
И. Б. Вапнярский.
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО МЕТОДА -
обычно то же, что оптимизация вычислительных
алгоритмов. Иногда, однако, эти понятия трактуются
различно. Напр., можно говорить об оптимальности
конкретного сеточного метода решения краевой задачи на
нек-ром классе задач, имея в виду, что он требует
вычисления правой части в минимальном числе точек.
При рассмотрении вопросов об оптимизации
вычислительного алгоритма изучается дополнительно ряд
других моментов: способы решения возникающей системы
сеточных уравнений, программная реализация этих
способов И Τ. Π. Η. С. Бахвалов.
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
АЛГОРИТМОВ — выбор оптимального вычислительного
алгоритма при решении прикладных задач иди при разработке
систем стандартных программ. При решении
конкретной задачи оптимальная тактика поведения может
состоять в том, чтобы не оптимизировать метод решения,
а подключиться к стандартной программе или
воспользоваться простейшим методом, составление программы
для к-рого не потребует много усилий.
Теоретич. постановка вопроса об О. в. а. имеет
следующее основание. При выборе метода решения задачи
исследователь ориентируется на нек-рые ее свойства
и выбирает алгоритм решения в зависимости от них,
причем алгоритм будет применимым и при решении
других задач, обладающих этими свойствами. Поэтому
при теоретич. исследовании алгоритмов вводят в
рассмотрение нек-рый класс задач Р, обладающих
определенными свойствами. При выборе метода решения
исследователь располагает нек-рым множеством Μ
методов решения. При применении метода т к решению
задачи ρ решение будет получено с нек-рой погрешностью
ε(ρ, т). Величина
Ε (Ρ, /n) = sup |ε (ρ, m) |
peP
наз. погрешностью метода т на к л а с-
с е задач Р, а
Ε (Ρ, Λ/)= inf Ε (Ρ, m)
тем
— оптимальной на классе Ρ оценкой
погрешности методов из множества М. Если
существует метод такой, что
Е(Р, Щ)=Е (Ρ, Μ),
то этот метод наз. оптимальным. Такая схема
рассмотрения проблемы О. в. а., восходящая к
А. Н. Колмогорову [2], изучает множество задач
вычисления интеграла
I(f) = Yof(x)dz
при условии |/(п>]<4, Μ — множество всевозможных
квадратур
каждая квадратура задается совокупностью 2N чисел
Сj и х/. Задача о минимальном количестве информации
(см. [2], [3]), необходимой для запоминания функции
из данного класса с требуемой точностью, также может
быть уложена в эту схему. Рассматривается [4] более
сложная постановка проблемы, где трудоемкость
реализации алгоритма в определенном смысле увязывается с
объемом используемой памяти. Оптимальные
алгоритмы построены для незначительного числа задач типа [1].
ЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ 62
Однако для большого числа вычислительных задач
построены методы, по своим асимптотич. характеристикам
близкие к оптимальным (см. [5]—18]).
Исследование характеристик оптимальных на
классах вычислительных алгоритмов решения задач (см. [5],
[7]) складывается из двух частей: построение
конкретных методов решения с возможно лучшими
характеристиками и получение оценок снизу характеристик
вычислительных алгоритмов (см. [2] —[4], [9]). По
существу первая часть вопроса является основной проблемой
теории численных методов и в большинстве случаев
рассматривается независимо от проблемы оптимизации.
Получение оценок снизу обычно сводится к оценке
снизу ε-энтропии или поперечников соответствующих
пространств; иногда оно проводится независимо, но с
использованием техники, аналогичной технике
получения указанных оценок.
Вычислительные алгоритмы условно делят на
пассивные и активные. В первом случае
алгоритм решения задачи не зависит от получаемой в ходе
решения задачи информации, а во втором — зависит.
При вычислении интеграла используемая информация
о функции есть обычно информация о ее значениях в N
точках. В случае пассивного алгоритма интеграл
вычисляется по формуле
где веса Cj и Р/ из области Ω определения / задаются
заранее. Активные алгоритмы вычисления интеграла
укладываются в следующую схему: задается точка
Рх ζ Ω и функции
Qq=G>q(Ql, ··, Qq-Ъ Уи ···, ί/o-l), Я =2, ..., .V,
sn(Qi, ···> Qn\ */i, ···, j/jv)>
где у j, Stf— числа, <?/ζΩ. Последовательно вычисляют
/(>!), Р2 = Ф2(Ръ f(Pi)h /0P2),
Р* = Фв(Ри Ρ* /1*ι), /(*2)), ·.., 1(PN)
и полагают
/(/) *SN(PU ..., PN] /(Pi), ..., /(РдО).
В случае выпуклых классов подинтегральных
функций, центрально симметричных относительно функции
/=0, оптимальная оценка на классе пассивных
алгоритмов совпадает с оптимальной оценкой на классе
активных алгоритмов (см. [10], [11]).
В практике численного интегрирования активные
алгоритмы типа алгоритмов интегрирования с автома-
тич. выбором шага (см. [10]) показали свое
превосходство над пассивными алгоритмами. Это подтверждает
общепринятую точку зрения о том, что формальная
схема О. в. а. зачастую не охватывает специфики
реальных задач. При решении задач оптимизации (в
частности, задач минимизации) пассивные алгоритмы
практически не употребляются (см. [12], [13]). Выше за единицу
трудоемкости алгоритма неявно принимается
трудоемкость вычисления одного значения функции из нек-рого
класса F. Возможны и другие подходы к оценке
оптимальности характеристик алгоритма. Напр., за единицу
трудоемкости принимается трудоемкость вычисления
нек-рого функционала 1(f) из множества функционалов
L(f). В этом случае оценка снизу трудоемкости
алгоритмов производится с помощью теории поперечников
(см. [14], [15]). Трудоемкость алгоритма складывается
не только из трудоемкости получения информации об
исходных данных, но и из трудоемкости обработки
полученной информации. В настоящее время,
по-видимому, нельзя привести примеров классов реальных
вычислительных задач, где бы были получены оценки снизу
трудоемкости алгоритмов, отличные от информационных

63
ОРБИТ
МЕТОД
64
оценок рассматриваемого типа. Однако для ряда задач
невычислительного характера такого типа оценки
известны (см. Алгоритма сложность).
В случае, когда исследование проблемы О. в. а.
имеет своей целью решение задач на ЭВМ, проблема
О. в. а. приобретает дополнительные оттенки,
связанные с устойчивостью алгоритма к вычислительной
погрешности, с ограничением на объем разных видов
используемой памяти (см. Вычислительный алгоритм).
Выше задача О. в. а. рассматривалась как задача О. в. а.
на классах задач. Существенный интерес для
практики представляет задача О. в. а. на конкретной задаче
(см. [10], [16]). Постановка проблемы оптимизации (см.
[16]) заключается в следующем. Дифференциальное
уравнение интегрируется методом Рунге — Кутта с
переменным шагом. Производится оценка главного
члена оценки погрешности. Затем эта оценка
оптимизируется по распределению узлов интегрирования (при
общем заданном числе узлов). Такой подход к проблеме
оптимизации оказал существенное влияние на развитие
теории и практики активных алгоритмов численного
интегрирования.
Лит.: [1]НикольскийС. М., Квадратурные формулы,
3 изд., М., 1979; [2] К о л м о г о ρ о в А. Н., «Докл. АН СССР»,
1956, т. 108, № 3, с. 385—88;[3] Колмогоров А. Е,
Тихомиров В. М., «Успехи матем. наук», 1959, т. 14, в. 2,
с. 3—86; [4] В и τ у ш к и н А. Г., Оценка сложности задачи
табулирования, М., 1959; [5] Б а б у ш к а И., С о б о л е в С. Л.,
«ApHkace mat.», 1965, t. 10, s. 96—129; [6] Б а х в а л о в Н. С,
там же, 1968, t. 13, s. 27—38; [7] е г о ж е, в кн.:
Международный конгресс математиков в Ницце. 1970. Доклады советских
математиков, М., 1972, с. 27—33; [8] е г о ж е, в кн.:
Численные методы решения дифференциальных и интегральных
уравнений и квадратурные формулы, М., 1964, с. 3—63; [9] е г о же,
«Матем. заметки», 1972, т. 12, в. 6, с. 655—64; [10] его же,
Численные методы, 2 изд., М., 1975; [И] е г о же, «Ж.
вычислит, матем. и матем. физ.», 1971, т. И, № 4, с. 1014—18; [12]
У а й л д Д.- Д ж ., Методы поиска экстремума, пер. с англ.,
М., 1967; [13] Васильев Ф. П., Численные методы решения
экстремальных задач, М., 1980; [14] О г а н е с я н Л. Α.,
Руховец Л. Α., Вариационно-разностные методы решения
эллиптических уравнений, Ер., 1979; [15] Τ и χ о м и ρ о в В. М.,
Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [16]
Тихонова. Н., Горбунов А. Д., «Ж. вычислит, матем. и
матем. физ.», 1964, т. 4, № 2, с. 232—41. Я. С. Бахвалов.
ОПЦИОНАЛЬНАЯ or-АЛГЕБРА—наименьшая о-ал-
гебра 6=0 (F) множеств из QxR + = {(ω, t) : ω ζ Ω,
ί^0}, порожденная всеми отображениями (ω, t)~—>■
/(ω, t) множества Qxi?+ в R, к-рые (для каждого
фиксированного ωζΩ) являются (по t) непрерывными
справа, имеют пределы слева и F-согласованы с
неубывающим семейством F=(/^)i>0 под-о-алгебр F^F,
ί^Ο, где (Ω, F) — измеримое пространство. О. σ-a.
совпадает с наименьшей σ-алгеброй, порожденной сто-
хастич. интервалами |[θ, τ|={(ω, t) : 0<£<τ(ω)}, где
τ=τ(ω) — марковские моменты (относительно F=
— (Ft)t^>o)· Между опциональными и предсказуемыми
σ-алгебрами имеет место соотношение ^(Ο^θίΠ·
Лит.: [1] Д е л л а ш е ρ и К., Емкости и случайные
процессы, пер. с франц., М., 1975. А. Н. Ширяев.
ОПЦИОНАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС —
стохастический процесс Х= (Χ^(ω), Ff)t>Q, являющийся
измеримым (как отображение (ω, t)~-+ Χ (ω, t) —
— Χχ (ω)) относительно опциональной σ-алгебры Q=
= 6(F). А.Н.Ширяев.
ОРБИТ МЕТОД — метод изучения унитарных
представлений групп Ли. С помощью О. м. была построена
теория унитарных представлений нильпотентных групп
Ли, а также указана возможность его применения к
другим группам [1].
О. м. основан на следующем «экспериментальном»
факте: существует глубокая связь между унитарными
неприводимыми представлениями группы Ли G и
орбитами этой группы в коприсоединенном представлении.
Решение основных задач теории представлений с
помощью О. м. осуществляется следующим образом (см.
й).
I. Конструкция и классификация
неприводимых унитарных
представлен и й. Пусть Ω — орбита действительной группы
Ли G в коприсоединенном представлении, F — точка
этой орбиты (являющаяся линейным функционалом
на алгебре Ли $ группы G), G(F) — стабилизатор точки
F, g(F) — алгебра Ли группы G(F).
Поляризацией точки F наз. комплексная подалгебра ft в #р ,
где $р— комплексификация алгебры Ли g, обладающая
свойствами:
1) dim^^ = diitig — -^-dim Ω;
2) [ft, ft] содержится в ядре функционала F на g;
3) ft инвариантна относительно Ad G(F).
Пусть #°=exp(ftfl3) и H=G(F)-H°. Поляризация ft
наз. действительной, если ft— ί), и чисто
комплексной, если ί) Π t)=Й (F). Функционал F
определяет характер (одномерное унитарное
представление) %°F группы Н° по формуле
ехр X—>-exp2:ru <F, X>.
Пусть χ^ продолжается до характера %F группы Н.
Если ft — действительная поляризация, то пусть
ΤF ^ χ — индуцированное характером χ/? подгруппы
Η представление группы G (см. Индуцированное
представление). Если ft — чисто комплексная поляризация,
то пусть fF Αχ — голоморфно индуцированное
представление, действующее в пространстве голоморфных
функций на GIH.
Первая основная гипотеза состоит в
том, что представление TF с χ неприводимо и его
класс эквивалентности зависит только от орбиты Ω и от
выбора продолжения χΓ характера χ^,. Эта гипотеза
доказана для нильпотентных групп [1] и для
разрешимых групп Ли [5]. Для нек-рых орбит простой особой
группы G2 гипотеза неверна [7]. Возможность
продолжения и степень его неоднозначности зависят от топо-
логич. свойств орбиты: препятствием к продолжению
служат двумерные когомологии орбиты, а в качестве
параметра, нумерующего различные продолжения,
можно взять одномерные когомологии орбиты. Более точно,
пусть Bq — каноническая 2-форма на орбите Ω. Для
существования продолжения необходимо и достаточно,
чтобы форма Bq принадлежала целочисленному классу
(т. е. интеграл ее по любому двумерному циклу был
целым числом); если это условие выполнено, то множество
продолжений параметризуется характерами
фундаментальной группы орбиты.
Вторая основная гипотеза состоит
в том, что указанным способом получаются все
унитарные неприводимые представления рассматриваемой
группы G. Единственным (1983) противоречащим этой
гипотезе примером являются т. н. дополнительные
серии представлений полупростых групп Ли.
II. Функтор и альные свойства
соответствия между орбитами и
представлениями. Значительное место в теории
представлений занимают вопросы о разложении на
неприводимые компоненты представления, получаемого
ограничением на подгруппу Η неприводимого
представления группы G и индуцированием с помощью
неприводимого представления подгруппы HczG. О. м. дает
ответ на эти вопросы в терминах естественной
проекции ρ : q* ->- ft* (# означает переход к сопряженному
пространству; проекция ρ состоит в ограничении
функционала с q на ft). А именно, пусть G —
экспоненциальная группа Ли (для таких групп соответствие между
орбитами и представлениями взаимно однозначно).

65
Тогда неприводимое представление группы G,
соответствующее орбите Ω(Ζ£*, при ограничении на Η
разлагается на неприводимые компоненты, соответствующие
тем орбитам ωζί)*, к-рые лежат в ρ (Ω), а представление
группы G, индуцированное неприводимым
представлением группы Я, соответствующим орбите шс&*,
разлагается на неприводимые компоненты,
соответствующие тем орбитам Ω(Ζ£*, к-рые имеют непустое
пересечение с прообразом ρ_1(ω). Из этих результатов
вытекают два следствия: если неприводимые представления
Τ ι соответствуют орбитам Ω£·, i=l, 2, то тензорное
произведение Т1(£)Т2 разлагается на неприводимые
компоненты, соответствующие тем орбитам Ω, к-рые лежат в
арифметич. сумме Ω!+Ω2; квазирегулярное
представление группы G в пространстве функций на G/H
разлагается на неприводимые компоненты, соответствующие
тем орбитам Ω(Ζ£*, для к-рых образ ρ(Ω)αί)*
содержит нуль.
III. Теория характеров. Для характеров
неприводимых представлений (как обобщенных функций
на группе) предложена [2] следующая универсальная
формула:
χ(βχρΧ) = ^$Ω^<^>β(/4, (*)
где ехр : $ ->· G ~ экспоненциальное отображение
алгебры Ли з в группу G, р(Х) — квадратный корень из
плотности инвариантной меры Хаара на G в канонич.
координатах, β — форма объема на орбите Ω,
связанная с канонической 2-формой BQ соотношением β=
Ω 1
~~k\ ' ^=Τ"^ίπιΩ. Эта формула справедлива для
нильпотентных групп, разрешимых групп типа 1,
компактных групп, дискретной серии представлений
полупростых действительных групп и основной серии
представлений комплексных полупростых групп. Для
нек-рых вырожденных серий представлений SL(3, R)
формула неверна. Из формулы (*) получается простая
формула для вычисления инфинитезимального
характера неприводимого представления ΓΩ,
соответствующего орбите Ω, а именно: каждому оператору Лапласа Δ
на G может быть сопоставлен Ad*G-инвариантный
многочлен Ρд на 3* так, что значение инфинитезимального
характера представления ΓΩ на элементе Δ в точности
равно значению Рд на Ω.
IV. Конструкцию неприводимого унитарного
представления группы G по ее орбите Ω в коприсоеди-
ненном представлении можно рассматривать как
операцию квантования нек-рой гамильтоновой системы,
для к-рой Ω играет роль фазового пространства, a G —
роль многомерного некоммутативного времени (или
группы симметрии). При этом G-орбиты в коприсоеди-
ненном представлении — это все ^-однородные симп-
лектич. многообразия, допускающие квантование.
Таким образом, вторую основную гипотезу можно
переформулировать так: каждая элементарная квантовая
система с временем (или группой симметрии) G
получается квантованием из соответствующей классич.
системы (см. [2]).
Обнаружена также связь О. м. с теорией вполне
интегрируемых гамильтоновых систем (см. [11]).
Лит.: [1] К и ρ и л л о в Α. Α., «Успехи матем. наук», 1962,
т. 17, в. 4, с. 57—110; [2] е г о же, Элементы теории
представлений, 2 изд., М., 1978; [3] Д и к с м ь е Ж., Универсальные
обертывающие алгебры, пер. с франц., М., 1978; [4] S i m m s D. J.,
WoodhouseN. M. J. , Lectures on geometric guantization,
В.— Hdlb.— N. Y., 1976; [5] A u s 1 a n d e г L., К о s t a n t В.,
«Invent, math.», 1971. v. 14, p. 255—354; [6] Moore G.G.,
«Ann. Math.», 1965, v. 82, № 1, p. 146—82; [7] R о t h s с h i 1 d
L. P., W о 1 f J. Α., «Ann. Sci. Ecole norm, super. Ser.4»,1974,
v. 7, № 2, p. 155—74; [8] Representations des groupes de Lie re-
solubles, P., 1972; [9] Г и н з б у ρ г В. Α., «Докл. АН СССР»,
1979, т.- 249, № 3, с. 525—28; [10] К i г i I 1 о ν Α. Α., Infinite
ГА 66
dimensional groups, their representations, orbits, invariants,
в сб.: Proc. Int. Congr. Math., Helsinki, 1978; Ell] Rey-
man A. G., Semenov-Tian-Shansky Μ. Α.,
«Invent, math.», 1979, v. 54, № 1, p. 81 — 100. А. А. Кириллов.
ОРБИТА точки χ относительно группы G,
действующей на множестве X (слева),— множество
G(x) = {g(x)\g^G].
Множество
Gx = \gGG\g(z)=x)
является подгруппой в G и наз.
стабилизатором, или стационарной подгруппой
точки χ относительно G. Отображение
gl·* g(x), g£G, индуцирует биекцию между G/Gx и
орбитой G(x). О. любых двух точек из X либо не
пересекаются, либо совпадают; иначе говоря, О. определяют
разбиение множества X. Фактормножество по отношению
эквивалентности, определенному этим разбиением, наз.
пространством орбит, или
фактормножеством X по G, и обозначается XlG.
Сопоставление каждой точке ее О. определяет канонич.
отображение πχ, q : X —>- XlG. Стабилизаторы точек из
одной О. сопряжены в G, точнее Gg{x) = gGxg-x. Если
в X имеется только одна О., то X — однородное
пространство группы G; говорят также, что
G действует на X транзитивно. Если G —
топологич. группа, X — топологич. пространство и
действие непрерывно, то X/G обычно снабжается
топологией, в к-рой множество UdXlG открыто в XlG тогда
и только тогда, когда множество π"1 (U) открыто в X.
л., G
Примеры. 1) Пусть G — группа поворотов
плоскости X вокруг фиксированной точки а. Тогда О.—
это всевозможные окружности с центром в α (в том числе
и сама точка а). 2) Пусть G — группа всех
невырожденных линейных преобразований конечномерного
действительного векторного пространства V, X —
множество всех симметрич. билинейных форм на V, а действие G
на X определено формулой (gf)(u, v)=f(g~1(u), g'1^))
для любых и, v£V. Тогда О. группы G на X —
множество форм, имеющих фиксированный ранг и сигнатуру.
Пусть G — вещественная группа Ли, гладко
действующая на дифференцируемом многообразии X (см.
Ли группа преобразований). Для любой точки х£Х
орбита G(x) является погруженным подмногообразием
в X, диффеоморфным G/Gx (диффеоморфизм
индуцирован отображениемgн> g(x), g£G). Это подмногообразие
не обязательно замкнуто в X (не обязательно вложено).
Классич. примером служит «обмотка тора», то есть О.
действия аддитивной группы R на торе
Г2 = {(2ь *а)1*«€С, |*/| = 1, i = l, 2},
заданного формулой
*(*ь *a) = (e"zlf et*tz2), fgR,
где α — иррациональное действительное число;
замыкание такой О. совпадает с Т2. Если G компактна, то
все О. являются вложенными подмногообразиями.
Если G — алгебраич. группа, X — алгебраич.
многообразие над алгебраически замкнутым полем &, а
действие регулярно (см. Алгебраическая группа
преобразований), то любая орбита G(x) является гладким
алгебраич. многообразием, открытым в своем замыкании
G(x) (в топологии Зариского), причем в G(x) всегда
содержится замкнутая О. группы G (см. [5]). В этом случае
морфизм G^*G(x), gh*g(x), индуцирует изоморфизм
алгебраич. многообразий GlGx и G(x) тогда и только
тогда, когда он сепарабелен (это условие всегда выполнено,
если к — поле нулевой характеристики). О.
максимальной размерности образуют открытое в X
множество.
Описание структуры О. для данного действия обычно
сводится к указанию в каждой О. нек-рого единствен-
ОРБ1
&3 Математическая энц., т. 4

67
ного представителя я, к нахождению стабилизатора Gx
и к описанию какого-либо — по возможности
обозримого — класса функций, постоянных на О.
(инвариантов) и разделяющих разные О.; эти функции позволяют
описать «расположение» О. в X (О. являются
пересечениями их множеств уровня). Эта программа обычно наз.
задачей орбитального разложения.
К такой задаче часто сводятся многие задачи
классификации. Так, в примере 2) это — задача классификации
билинейных симметрич. форм с точностью до
эквивалентности; инварианты в этом случае «дискретны» —
это ранг и сигнатура, а стабилизатор Gy, где /
невырождена, является соответствующей
псевдоортогональной группой. Классич. теория жордановой формы
матриц (также, как и теории других нормальных форм
матриц) тоже укладывается в эту схему: жордановд
форма — это канонич. представитель (определенный,
правда, с точностью до порядка жордановых клеток)
в О. полной линейной группы GL„(C) на пространстве
всех комплексных (иХи)-матриц при действии,
заданном формулой Y-^AYA*1; среди инвариантов важное
место занимают коэффициенты характеристич.
многочлена матрицы Υ (к-рые не разделяют, однако, любые
две О.). Идея рассмотрения эквивалентных объектов
как О. нек-рой группы активно используется в
различных задачах классификации, напр. в алгебраич.
модулей теории (теория Мамфорда, см. [10]), в теории
перечисления графов (см. [2]) и др.
Если G и X конечны, то
i*/Gi=w2g€GiFix«i,
где \Y\ — число элементов множества Υ, а
Fixg = {x^X\g(x)=x}.
Если G — компактная группа Ли, гладко
действующая на связном гладком многообразии X, то структура
О. на X локально конечна, т. е. у любой точки χζΧ
существует такая окрестность £/, что число различных
стабилизаторов Gy,y£U,c точностью до сопряженности
в G конечно. В частности, если X компактно, то конечно
число различных (с точностью до сопряженности в G)
стабилизаторов Gy, у£Х> При этом для любой
подгруппы Η в G каждое из множеств
%Ш) — {Х£ХΊ (*х сопряжена Η в G)
является пересечением открытого и замкнутого
инвариантных подмножеств в X. Исследование Х(#> приводит
в этом случае к классификации действий (см. [1]).
Аналоги этих результатов получены в геометрич.
инвариантов теории (см. [3]). А именно, пусть G — редуктив-
ная алгебраич. группа, регулярно действующая на
аффинном алгебраич. многообразии X (основное поле к
алгебраически замкнуто и имеет характеристику 0).
В замыкании любой О. содержится единственная
замкнутая О. Существует разбиение X в объединение
конечного числа локально замкнутых инвариантных
непересекающихся подмножеств X=UaXa> обладающее
свойствами: а) если я, у ζ Χα и G(x) замкнута, то
стабилизатор Gy сопряжен в G подгруппе в Gx, а если замкнута
и G (у), то Gy сопряжен с Gx\ б) если χ ζ Χα, j/ζΖβ , α^β,
a G(x) и G(y) замкнуты, то Gx и Gy не сопряжены в G.
Если X — гладкое алгебраич. многообразие (напр.,
в важном случае, когда рассматривается рациональное
линейное представление G в векторном пространстве
V=X), то существует такое непустое открытое
подмножество ΩβΧ, что Gx и Gy сопряжены в G для любых
х, #ζΩ. Последний результат является утверждением о
свойстве точек общего, положения в1,
т. е. точек, заполняющих непустое открытое
подмножество; имеется и ряд других утверждений такого типа.
Напр., для рационального линейного представления
УСТОЙЧИВОСТЬ 68
полупростой группы G в векторном пространстве V О.
точек общего положения замкнуты тогда и только тогда,
когда их стабилизаторы редуктивны (см. [7]); в случае,
когда G неприводима, найден явный вид стабилизаторов
точек общего положения (см. [8], [9]). Вопрос о
замкнутости О. является специфическим и важным в этой
теории. Так, множество тех точек x£V, О. к-рых
содержит в своем замыкании нуль пространства F, совпадает
с многообразием нулей непостоянных инвариантных
многочленов на V\ во многих случаях, и в частности в
применениях теории инвариантов к теории модулей,
это многообразие играет существенную роль (см. [10]).
Любые две различные замкнутые О. разделяются
инвариантными многочленами. Орбита G(x) замкнута тогда
и только тогда, когда замкнута О. точки χ относительно
нормализатора G(x) в G (см. [4]). Появление
незамкнутых О. связано со свойствами G\ если G унипотентна
(а X аффинно), то любая О. замкнута (см. [6]). Одним из
направлений теории инвариантов является изучение
орбитальных разложений различных конкретных
действий (в особенности линейных представлений). Одно из
них — присоединенное представление редуктивной
группы G — подробно исследовалось (см., напр., [11]).
Его изучение связано с теорией представлений группы
G; см. Орбит метод.
Лит.: [1] Palais R., The classification of G-spaces,
Providence, 1960 (Mem. Amer. Math. Soc, № 36); [2] X a p a p и Ф.,
Теория графов, пер. с англ., М., 1973; [3] L u n a D., «Bull. Soc.
Math. France. Mem. 33», 1973, p. 81—105; [4] e г о же, «Invent,
math.», 1975, v. 29, № 3, p. 231—38; [5] Б о ρ e л ь Α., Линейные
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [6]
Steinberg R., Gonjugacy classes in algebraic groups, В.—Hdlb.—
N. Y., 1974; [7] Π ο π о в В. Л., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1970, т. 34, с. 523—31; [8] Π о π о в А. М., «Функц. анализ и его
прилож.», 1978, т. 12, № 2, с. 91—92; [9] Элашвили А. Г.,
там же, 1972, т. 6, № 2, с. 65—78; [10] MumfordD.,
Geometric invariant theory, В.-Hdlb.—Ν. Υ., 1965; [11] Κ ο s-
t a n t В., «Amer. J. Math.», 1963, v. 85, № 3, p. 327—404; [12]
Хамфри Дж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ.,
М., 1980. В. Л. Попов.
ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ — свойство
траектории ξ (решения x(t)) автономной системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений
x = f {x), x£Rn, (*)
состоящее в следующем: для всякого ε>0 существует
6>0 такое, что всякая положительная полутраектория,
начинающаяся в δ-окрестности траектории ξ,
содержится в ε-окрестности траектории ξ. Здесь под
траекторией понимается множество значений решения
x(t), i£R, системы (*), а под положительной
полутраекторией — множество значений
решения x(t) при ί>0. Если решение x(t) устойчиво по
Ляпунову, то его траектория орбитально устойчива.
Траектория ξ наз. асимптотически
орбитально устойчивой, если она орбитально
устойчива и, кроме того, найдется δ0>0 такое, что
траектория всякого решения x(t) системы (#),
начинающегося в 60-окрестности траектории ξ (т. е. <2(я(0), ξ) <
<δ0), стремится при t ->· +оо к траектории ξ, то есть
lim d{x(t), ξ)-0,
t-> + со
где
d (χ, £) = inf d (χ, у)
— расстояние от точки χ до множества ξ (d(x, у) —
расстояние между точками χ и у).
Роль понятия асимптотической орбитальной
устойчивости основана на следующих фактах. Периодич.
решение системы (*) никогда не бывает асимптотически
устойчивым. Но если у периодич. решения такой
системы модули всех мультипликаторов, кроме одного,
меньше единицы, то траектория этого периодич.
решения асимптотически орбитально устойчива (А н д ρ о-
орбитальна;

69
ОРИЕНТАЦИЯ
70
нова — Витта теорема). Имеет место также
более общая теорема Демидовича (см. [3]):
пусть x0(t) — ограниченное решение системы (*),
причем
и пусть система уравнений в вариациях вдоль x0(t) —
правильная (ем. Правильная линейная система),
причем все ее Ляпунова характеристические показатели,
кроме одного, отрицательны; тогда траектория решения
x0(t) асимптотически орбитально устойчива.
Лит.: [1] Андронов Α. Α., Собр. трудов, М., 1956; [2]
Андронов Α. Α., В и τ τ Α. Α., Χ а й к и н С. Э., Теория
колебаний, 2 изд., М., 1959; [3] Д е м и д о в и ч Б. П.,
«Дифферент уравнения», 1968, т. 4, № 4, с. 575—88; № 8, с. 1359—73.
В. М. Миллионщиков.
ОРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО, о ρ д и н а л,— то же, что
порядковое число.
ОРДИНАТА — одна из декартовых координат точки.
ОРИЕНТАЦИЯ — формализация и далеко идущее
обобщение понятия направления обхода. Определяется
О. нек-рых специальных классов пространств
(многообразий, векторных расслоений, Пуанкаре комплексов
и т. д.). Современный взгляд на О. дается в рамках
обобщенных теорий когомолоеий.
В классич. случае ориентация — выбор одного
класса систем координат, связанных между собой
положительно в нек-ром определенном смысле. Каждая
система задает О., определяя класс, к к-рому она
принадлежит.
В случае векторного пространства &п конечной
размерности две системы координат связаны
положительно, если положителен определитель матрицы перехода
от одной из них к другой. Здесь имеется два класса.
В комплексном пространстве С" комплексный репер
ех, ... , еп определяет действительный репер elt ... , еп,
iex, ... , ien в том же пространстве, рассматриваемом как
IR2", и все такие реперы связаны попарно
положительными переходами (т. е. комплексная структура задает
О. в R2n).
На прямой, плоскости и вообще в действительном
аффинном пространстве Еп системы координат состоят
из точки (начала 0) и репера е, переход определяется
вектором переноса начала и заменой репера. Этот
переход положителен, если положителен определитель
матрицы замены (напр., при четной перестановке
векторов репера). Две системы координат определяют
одну и ту же О., если одну из них можно
перевести в другую непрерывно, т. е. существует
непрерывно зависящее от параметра £ζ[0, 1] семейство
координатных систем Of, et, связывающее данные
системы О0, е0 и Οι, ev При отражении в плоскости
(размерности п—1) системы двух классов переходят друг в
друга.
Классы систем координат можно задавать
различными геометрич. фигурами. Если какая-либо фигура X по
определенному закону связывается с системой
координат, то зеркально симметричная ей фигура будет по
тому же закону связана с системой координат из
другого класса. Тем самым X (вместе с данным законом)
определит О. Напр., на плоскости Е2 окружность с
фиксированным направлением обхода задает системы
координат из одного класса по правилу: начало лежит
в ее центре, первый вектор берется произвольно, а
второй так, чтобы вращение от первого ко второму через
меньший угол происходило в направлении, заданном
на окружности. В Е3 репер можно связать е винтом с
точностью до непрерывного вращения и растяжения
пространства: первый вектор идет по направлению
ввинчивания, вращение от второго вектора к третьему
совпадает с вращением при ввинчивании (предполагается
при этом, что все винты находятся в положительной
связи друг с другом). Репер может быть также задан
тремя первыми пальцами руки хорошо известным
способом.
Если в Еп задана О., то каждое полупространство
Е*1 определяет О. на граничной плоскости Еп~1. Напр.,
уславливаются, что если в репере последние п—\
векторов лежат в Εη~λ, а первый смотрит наружу из
Е+, то последние векторы задают О. в Еп~1. В Еп О.
может быть задана порядком вершин л-мерного
симплекса (треугольника в Е2, тетраэдра в Еъ). Репер
определяется условием: в первую вершину Помещается
начало, в остальные из первой направляются векторы
репера. Два порядка задают одну О., если и только если
они отличаются на четную перестановку. Симплекс с
фиксированным с точностью до четной перестановки
порядком вершин наз. ориентированным.
Каждая (п—1)-грань ση_1 ориентированного симплекса
получает индуцированную ориентацию: если первая
вершина не принадлежит art~1, то порядок остальных
принимается за положительный для оп~1.
В связном многообразии Μ системой координат
служит атлас — набор карт, покрывающих М. Атлас наз.
ориентирующим, если координатные
преобразования все положительны. Это означает, что их
степени равны +1, а в случае дифференцируемого
многообразия положительны якобианы преобразования во
всех точках. Если ориентирующий атлас существует,
то многообразие Μ наз. ориентируемым.
В этом случае все ориентирующие атласы распадаются
на два класса, так что переход от карт одного атласа к
картам другого положителен, если и только если атласы
принадлежат одному классу. Выбор такого класса наз.
ориентацией многообразия. Этот выбор
может быть сделан указанием одной карты или
локальной О. в точке х0 (связные карты, содержащие х0,
естественным образом распадаются на два класса). В
случае дифференцируемого многообразия локальную О.
можно задать указанием репера в касательной
плоскости в точке х0 (напр., вращение на окружности можно
задать указанием одного касательного вектора). Если
Μ имеет край и ориентировано, то край также
ориентируем, напр. по правилу: в точке края берется репер,
ориентирующий М, первый вектор к-рого направлен из
дМ, а остальные векторы лежат в касательной
плоскости края; эти последние и принимаются за
ориентирующий репер края.
Вдоль любого пути q: [0, 1] -> Μ можно выбрать
цепочку карт так, что две соседние карты связаны
положительно. Тем самым О. в точке q(Q) определяет О. в
точке #(1), и эта связь зависит от пути q лишь с точностью
до его непрерывной деформации при фиксированных
концах. Если q — петля, т. е. q(0)—q(i)=x0, то q наз.
дезориентирующим путем, если эти О.
противоположны. Возникает гомоморфизм
фундаментальной группы пг(М, х0) в группу порядка 2:
дезориентирующие петли переходят в —1, а остальные в +1.
По этому гомоморфизму строится накрытие,
являющееся двулистным в случае неориентируемого
многообразия. Оно наз. ориентирующим (т. к.
накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же
гомоморфизм определяет над Μ одномерное
расслоение, тривиальное, если и только если Μ ориентируемо.
Для дифференцируемого Μ оно может быть определено
как расслоение Ап(М) дифференциальных форм
порядка п. Ненулевое сечение в нем существует лишь в
ориентируемом случае и задает форму объема на Μ и
одновременно О. Классифицирующим отображением этого
расслоения служит отображение к: Μ ->· IRPn.
Многообразие Μ ориентируемо, если и только если не равен
нулю класс μζΠη~1(Μ, Ъ), служащий образом класса,
3*

71 ОРИЕН
двойственного к RPn-lci^Pn. Он двойствен циклу,
носителем к-рого служит многообразие, являющееся
прообразом крп-2 при отображении &, приведенным
в общее положение. Этот цикл наз.
ориентирующим, т. к. дополнение к нему ориентируемо: если по
нему Μ разрезать, то получится ориентируемое
многообразие. Само Μ ориентируемо (неориентируемо), если
и только если после разреза получится несвязное
многообразие (это дополнение связно). Напр., в RP2
ориентирующим циклом служит проективная пря-
Триангулированное многообразие Μ (или псевдомно-
гоооразие) ориентируемо, если можно ориентировать
все и-мерные симплексы так, что два симплекса с общей
(п—1)-мерной гранью индуцируют на ней
противоположные О. Замкнутая цепочка л-мерных симплексов,
каждые два соседа в к-рой имеют общую (п—1)-грань,
наз. дезориентирующей, если эти симплексы
могут быть ориентированы так, что первый и
последний симплексы индуцируют на общей грани
совпадающие О., а остальные соседи — противоположные.
О. может быть определена на гомологич. языке: для
связного ориентируемого многообразия без края
гомологии группа Нп(М\ Ъ) (с замкнутыми носителями)
изоморфна Ζ, и выбор одной из двух образующих
задает О.— отбираются карты с положительными
степенями отображений. Для связного многообразия с краем
то же верно и для Нп{М, дМ\ %). В первом случае
ориентируемость есть гомотопич. инвариант М, а во
втором — пары (М, дМ). Так, лист Мёбиуса и кольцо
имеют один и тот же абсолютный гомотопич. тип, но
разный — относительно края. Локальная О.
многообразия может быть также задана выбором образующей в
группе Нп(М, М\х01 %), изоморфной %. Гомологич.
интерпретация О. позволяет перенести это понятие на
обобщенные гомологические многообразия.
Пусть над пространством X задано расслоение р:
Ε —>- X со стандартным слоем Fn. Если О. всех слоев
можно выбрать так, что любое (собственное)
отображение ρ_1(ν(0))-> ρ_1(γ(1)), определенное путем, γ:
(0,1)—>- X однозначно с точностью до собственной гомо-
твпии, сохраняет О., то расслоение наз.
ориентированным, а указанный выбор О. слоев —
ориентацией расслоения. Напр., лист Мёбиуса,
рассматриваемый как векторное расслоение над
окружностью, не обладает О., в то время как боковая
поверхность цилиндра — обладает.
Понятие О. допускает естественное обобщение и для
случая бесконечномерного многообразия,
моделированного при помощи бесконечномерного банахова или
топологического векторного пространства. При этом
необходимы ограничения на линейные операторы,
являющиеся дифференциалами' функций перехода от
карты к карте: они должны не просто принадлежать общей
линейной группе всех изоморфизмов моделирующего
пространства, к-рая гомотопически тривиальна (в
равномерной топологии) для большинства классических
векторных пространств, а содержаться в нек-рой
линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда
компонента связности данной подгруппы и будет
задавать «знак» О. В качестве такой подгруппы обычно
выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех
изоморфизмов моделирующего пространства, для к-рых
разность с тождественным изоморфизмом есть вполне
непрерывный оператор.
Ориентация в обобщенных теориях
к о г о м о л о г и и. Пусть Е* — мультипликативная
обобщенная теория когомологий (ниже — просто теория).
Имеется единица 1£ #°(£°), и при изоморфизме
надстройки E°(S°)^En(Sn) ей отвечает элемент yn£En(Sn),
где Sn есть и-мерная сфера.
ЛИЯ 72
Пусть ξ есть /i-мерное векторное расслоение над
линейно связным пространством X и пусть Γξ — Тома
пространство расслоения ξ. Пусть ί: Sn ->- Т% —
стандартное вложение, т. е. гомеоморфизм на «слой» над
нек-рой точкой х0£Х- Элемент u£En(Tl·,) наз.
ориентацией или Тома классом расслоения ξ,
если i*(u)—εγη, где &£E°(S0) — некоторый обратимый
элемент (напр., ε=1). Расслоение, обладающее О.,
наз. ориентируемым в теории Е*, или
просто Е-о риентируемым, а расслоение с
выбранной ^-ориентацией наз. Е-о риентированным.
Изоморфизм Тома Ε*(Τξ)^Ε*(Χ) (см. [6]). Множество
О. данного ^-ориентированного расслоения ξ над X
находится во взаимно однозначном соответствии с
элементами группы E°(X)Q)(E0(S0))*, где ( )* —
группа обратимых элементов кольца ( ).
Тривиальное п-мерное расслоение Θ" обладает О.
в любой теории Еп, и если два из трех
расслоений ξ, η, ξ0η Я-ориентируемы, то ^-ориентируемо
и третье (см. [7]). В частности, ^-ориентируемость
расслоения ξ влечет ^-ориентируемость расслоения
ΙΘΘ".
Понятие ^-ориентируемости вводится и для любого
расслоения в смысле Гуревича р: Е-*-В, слой к-рого
гомотопически эквивалентен сфере.
Пространством Тома такого расслоения наз. конус
отображения р', в остальном определение аналогично.
Определение О. векторного расслоения ξ сводится к этому, если
в качестве Ε взять расслоение на единичные (в нек-рой
римановой метрике на ξ) сферы, ассоциированное с |.
^-ориентируемость есть инвариант стационарного
послойного гомотопического типа векторного
(сферического) расслоения. Расслоение, ориентируемое в
одной теории, не обязано быть ориентируемым в
другой, но при наличии кольцевого гомоморфизма теорий
Е* -> F* из ^-ориентируемости следует
/^-ориентируемость.
Примеры. 1)В теории #*(—; ζ2) ориентируемо
любое векторное (сферическое) расслоение. 2) В теории
#*(—,* Ζ) ориентируемы в точности те расслоения ξ,
для к-рых характеристич. класс Штифеля ^ι(ξ)=0, τ. е.
ориентируемы те расслоения, к-рые ориентируемы в
классич. смысле. 3) Ориентируемость векторного
расслоения ξ в вещественной Κ-meopuu эквивалентна тому,
что ΐ0ι(ξ)=Μ?2(ξ)=Ο, а в комплексной if-теории — тому,
что ΐ0ι(ξ)=Ο и ιυ2(ζ,) — целочисленный элемент [8].
При этом для Я-ориентируемости сферич. расслоений
это условие необходимо, но не достаточно. 4)
Ориентируемость в теории унитарных кобордизмов U* не
охарактеризована (1983); комплексные расслоения
{/-ориентируемы, но это явно не необходимо. 5) В теории П*
стабильных когомотопич. групп ориентируемы лишь
расслоения тривиального стационарного послойного
гомотопич. типа.
В задаче описания класса расслоений, ориентируемых
в данной теории, имеется следующий общий результат.
Пусть топологич. группа G действует на IR" и пусть
Е* — нек-рая теория. Существует (см. [7], где дана
явная конструкция) пространство В (G, Е) с
универсальным ^-ориентированным расслоением над ним,
классифицирующее ^-ориентированные векторные
расслоения со структурной группой G, т. е. для любого
(линейно связного) пространства X множество
£-ориентированных G-векторных расслоений над X находится в
естественном взаимно однозначном соответствии с
множеством \Х, B(G, E)] гомотопич. классов отображений
X-*-B(G, E). Это же верно для сферич. расслоений и
«хороших» моноидов G.
Обратная задача состоит в описании теории, где
данное расслоение (или данный класс расслоений) ориен-

73
ОРЛИЧА КЛАСС
74
тируемо. Известно, что если в теории Е* ориентируемы
все векторные расслоения, то
Е*(Х) ж Н*(Х; £($»)),
причем 2E*(S°)=-0. В этом контексте иногда ослабляют
условия на теорию Е*, напр. снимают условие
коммутативности умножения и т. д. Для любой теории Е*,
в к-рой все комплексные расслоения ориентируемы,
имеется гомоморфизм теории U* -> Е*, где U* —
теория унитарных кобордизмов, и этот гомоморфизм
полностью задается £-ориентацией канонич. расслоения η
над СР°°. Аналогичное верно и для £ ^-расслоений (см.
Кобордизм). Построение для любого класса векторных
расслоений универсальной теории, отображающейся в
любую теорию, где ориентируем данный класс
расслоений, еще (1983) не проведено.
Ориентацией (другое название —
фундаментальный класс) замкнутого тг-мерного
многообразия (или, более общо, комплекса Пуанкаре
формальной размерности п) в теории Е* наз. такой
элемент ζ£Εη(Μ), что гомоморфизм Е£(М)-+ En-i(M) вида
х -> z[\x (см. [9]) есть изоморфизм; это — т. н.
изоморфизм двойственности Пуанкаре. Оказывается, что
многообразие (комплекс Пуанкаре) ^-ориентируемо тогда
и только тогда, когда έ-ориентируемо его нормальное
расслоение. Определяется О. и для многообразий
(комплексов Пуанкаре) с краем.
Лит.: [1] Д у б ρ о в и н Б. Α., Но в и к о в С. П., Φ о м е н-
к о А. Т., Современная геометрия, М., 1979; [2] Введение в
топологию, М., 1980; [3] Ρ ο χ л и н В. Α., Φ у к с Д. В.,
Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;[4] Хьюз-
м о л л е ρ Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970;
[5] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ.,
М., 1971; [6] Д о л ь д Α., «Математика», 1965, т. 9, № 2, с. 8—
14; [7] Μ а у J., -Eoo ring spaces and E^ ring spectra, В.— N. Υ.,
1977; [8] С тон г Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. с
англ., М., 1973; [9] У а й τ χ е д Дж., Новейшие достижения в
теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974.
Ю. В. Рудяк, А. В. Чернавский.
ОРИСФЕРА — поверхность пространства
Лобачевского, ортогональная к прямым, параллельным в
некотором направлении. О. можно рассматривать как
сферу с бесконечно удаленным центром. На О.
реализуется евклидова геометрия, если под прямыми понимать
орициклы, порядок точек определить через порядок
прямых в пучке параллелей, определяющих орицикл, а
движением называть такие движения в пространстве
Лобачевского, к-рые переводят О. в себя.
А. Б. Иванов.
ОРИЦИКЛ, предельная лини я,—
ортогональная траектория параллельных в нек-ром
направлении прямых плоскости Лобачевского. О. можно
рассматривать как окружность с бесконечно удаленным
центром. О., порожденные одним пучком параллельных
прямых, конгруэнтны, концентричны (т. е. высекают
на прямых пучка конгруэнтные отрезки), незамкнуты
и вогнуты в сторону параллельности прямых пучка.
Кривизна О. постоянна. В модели Пуанкаре О.—
окру жность, касающаяся изнутри абсолюта.
Прямая и О. либо не имеют общих точек, либо
касаются, либо пересекаются в двух точках под
равными углами, либо пересекаются в одной точке под
прямым углом.
Через две точки плоскости Лобачевского проходят
два и только два О.
Лит.: [1] К аган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1—2,
М.—Л., 1949—56; [2J Η ο ρ д е н А. П., Элементарное введение
в геометрию Лобачевского, М., 1953; [3] Ε φ и м о в Н. В.,
Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978. А. Б. Иванов.
ОРИЦИКЛИЧЕСКИЙ ПОТОК — поток в
пространстве биэдров такого л-мерного риманова многообразия
Мп (обычно замкнутого), для к-рого определено понятие
орицикла; О. п. описывает движение биэдров вдоль
определяемых ими орициклов.
Основные случаи, когда определено понятие
орицикла,— те, когда кривизна римановой метрики
отрицательна и либо п—2, либо кривизна постоянна. Б и э д ρ у,
т. е. ортонормированному 2-реперу (х, е1ч е2) (х£Мп;
ег, е2 — взаимно ортогональные единичные
касательные векторы в точке х), сопоставляется орицикл
h(x, ег,е2), к-рый проходит через χ в направлении е2 и
расположен на проходящей через χ орисфере Н(х, ех),
являющейся (п—1)-мерным ортогональным
многообразием семейства геодезич. линий, асимптотических (в
положительном направлении) к геодезич. линии,
проходящей через χ в направлении ег. Направление на h,
определяемое е2, принимается за положительное (при
71=2 роль е2 только к этому и сводится; Η и h могут
иметь самопересечения; простейший способ избежать
могущих возникнуть из-за этого неясностей состоит в
том, чтобы выполнить аналогичные построения не в
Мп, а в его универсальном накрывающем
многообразии — при постоянной кривизне это обычное л-мерное
пространство Лобачевского — и спроектировать
полученный там орицикл в Мп). Под действием О. п. биэдр
(х, е^ е2) за время t переходит в
(*(*)> «ι(0, МО),
где x(t) с изменением t движется с единичной скоростью
по h (x, вц е2) в положительном направлении,
единичный вектор ei(t) ортогонален Η (х, е^ в точке x(t)
(выбор одного из двух возможных направлений для e^t)
производится по непрерывности) и e2(t)=dx(t)/dt.
Изучение О. п. было начато в связи с тем, что он
играл важную роль при исследовании геодезических
потоков на многообразиях отрицательной кривизны [1].
Позднее эта роль перешла к нек-рым слоениям,
возникающим в теории У-систем, а О. п. стал
самостоятельным объектом исследования. Свойства О. п. хорошо
изучены (см. [2]—[7], [11])· О нек-рых обобщениях см.
в [8]-[10].
Лит.: |1] ХопфЭ., «Успехи матем. наук», 1949, т. 4, в. 2,
с. 129—70; [2] Π а р а с ю к О. С, там же, 1953, т. 8, в. 3, с.
125—26; [3] Г у ρ е в и ч Б. М., «Докл. АН СССР», 1961, т. 136,
№ 4, с. 768—70; [4] F u г s t e n b е г g H., в кн.: Recent
advances in topological dynamics, В.— [и. а.], 1973, p. 95—115; [5]
Μ а г с и s В., «Israel J. Math.», 1975, v. 21, № 2—3, p. 133—44;
[6] e г о же, «Ann. Math.», 1977, v. 105, № 1, p. 81—105; [7]
его же, «Invent, math.», 1978, v. 46, № 3, p. 201—09; [8]
Green L. W., «Duke math. J.», 1974, v. 41, № l, p. H5—26; [9]
В о wen R., «Israel J. Math.», 1976, v. 23, № 3—4, p. 267—
73; [10] Bowen R., Marcus В., там же, 1977, v. 26, № l,
p. 43—67; [11] R atner M., «Ann. Math.», 1982, v. 115, №3,
p. 597—614. Д. В. Аносов.
ОРЛИЧА КЛАСС — множество функций LM,
удовлетворяющее условию
\GM(x(t))dt < со,
где G — ограниченное замкнутое множество в R71»
dt — мера Лебега, Μ (и) — четная выпуклая функция,
возрастающая при положительных и, и
lira w-W (и)= lim и [Μ (Μ)]-ι = 0.
и -> 0 и -> со
Такие функции наз. Ν-φ ункциями. Функция
Μ (и) допускает представление
M(u) = ^oU\(v)dv,
где p(v) = M'(v) не убывает на полуоси,
р(0)= lim p(v) = 0,
ν -* 0
ρ(ϋ)>0 при ι;>0. Функции Μ (и) и
где ρ~χ{υ) —обратная к ρ(ν) функция, наз.
дополнительными функциями, Напр., если

75
ОРЛИЧА
76
M(u)=up//p'ii<p<oo1ToN(u) = up,/p^Tptei/p+i/p=^
— 1. Для пары дополнительных функций справедливо
неравенство Юнга:
а6<М(д) + М (Ъ).
Функция Μ (и) удовлетворяет Д2-у сло-
в и ю, если существуют такие С и w0, что М(2и)<
<СМ(и) для всех и^и0. О. к. линеен тогда и только
тогда, когда Μ (и) удовлетворяет Δ2-условию. Из Иен-
сена неравенства вытекает выпуклость Lm·
Пусть Мг(и) и М2(и) — две N-функции. Для того
чтобы LmCILmv необходимо и достаточно, чтобы
M2{u)-^CM1{u) для нек-рого С и достаточно больших и.
О. к. рассмотрены В. Орличем и 3. Бирнбаумом [1].
Лит.: [1] В i r n b a u m Z., О г 1 i с ζ W., «Studia math.»,
1931, v. 3, p. 1—67; [2] Красносельский Μ. Α.,
РутицкийЯ. Б., Выпуклые функции и пространства
Орлича, М., 1958. Ε. М. Семенов.
ОРЛИЧА ПРОСТРАНСТВО — банахово пространство
измеримых функций; введено В. Орличем [1]. Пусть
Μ (и) и N(u) — пара дополнительных TV-функций (см.
Орлича класс) и G — ограниченное замкнутое множество
в IR". Пространством Орлича L*m наз.
множество измеримых относительно меры Лебега
функций на G, на к-рых
ΙΙ^ΙΐΛί-sup {^Qx(t)y{t)dt;^QN(y{t))dt<l}
О. п,— полное нормированное пространство
относительно нормы 1Ы1ль к-рая наз. нормой Орлича.
Когда М(и)~иР, 1<р<со, то L*m совпадает с Рисса
пространством Lp и с точностью до скалярного
множителя \\х\\м совпадает с И^.
Если Мг(и) и М2(и) суть ^-функции, то вложение
ЬмхС1Ьмя имеет место тогда и только тогда, когда для
нек-рого С и всех достаточно больших и выполнено
неравенство M2{u)^Mi(Cu). Для любого О. п. Lm
справедливы вложения Lood^MCiL^ Всякая суммируемая
функция принадлежит нек-рому О. п.
Пространство Lm сепарабельно тогда и только тогда,
когда Μ (и) удовлетворяет Δ2-условию. В общем случае
Lx не плотно в Lm и замыкание £«> в Lm обозначается
через Εм, оно всегда сепарабельно. Если x£Lm, to
lim sup \\χχΒ\\Μ = ρ(χ, ΕΜ),
< оо.
О mesE^x
где
Если Μ (и) и N (и) — дополнительные .У-функции и
x£Lm, u£Ln, то справедлив аналог Гёльдера
неравенства
^Q* (*) у (*ХЫшЛукм>
где \\x\Um) — Люксембурга норма. Всякий непрерывный
линейный функционал / на Ем представим в виде
/(*) = $G*(0 У (0 dt,
где y£LN ν ||/||= llylli^j.
Критерии компактности М. Рисса (М. Riesz) и
А. Н. Колмогорова для пространств Lp переносятся на
Ем. Следующие условия эквивалентны: 1)
пространство Lm рефлексивно; 2) Μ (и) и N (и) удовлетворяют
А2-условию; 3) в Lm существует безусловный базис,
4) Хаара система образует безусловный базис в £дь
5) тригонометрич. система — базис в L*m· Система
Хаара — базис в Ем·
lim
Аналогичным образом определяется пространство
последовательностей 1м, однако свойства пространства
1м зависят от асимптотики функции М(и) в 0. Изучены
[5] многие геометрич. свойства пространств Lm и 1м1
напр., для любой функции Μ (и) находится множество
всех таких р, что 1р изоморфно вкладывается в L*m-
О. п. применяются при изучении свойств
интегральных операторов, в теории дифференцируемых функций
многих переменных и в других разделах анализа.
Лит.: [1] Orlicz W. , «Bull, intern. Acad. Pol. Ser. A»,
1933(anneel932),p. 207—20; [2] К р а с н о с е л ь с к и йМ. Α.,
РутицкийЯ. Б., Выпуклые функции и пространства
Орлича, М., 1958; [3] Г а п о ш к и н В. Ф., «Функц. анализ и его
прилож.>>, 1967, т. 1, № 4, с. 26—32; [4]КрейнС. Г.,
Петунии Ю. И., Семенов Ε. Μ., Интерполяция линейных
операторов, М., 1978; [5]LindenstraussJ., TzafririL.,
Classical Banach Spaces, v. 1—2, В.— Hdlb.— N. Y., 1977—79.
Ε. Μ. Семенов.
ОРНСТЕЙНА - ЧЕКОНА ЭРГОДИЧЕСКАЯ
ТЕОРЕМА: пусть (W, μ) — пространство с σ-конечной
мерой и Τ — линейный положительный оператор в Li(W,
μ), причем Z^-норма ||Г||<1; если/, g£Lx(W% μ) и g>0
почти всюду, то предел
существует почти всюду на том множестве, где
знаменатель при достаточно больших η отличен от нуля, т. е.
где хоть одно из чисел Tkg(w)>0.
Эта теорема сформулирована и доказана Д. Орнстей-
ном и Р. Чеконом [1] (см. также [2], [3]); позднее был
получен ее аналог для непрерывного времени (см. [4]).
Непосредственными следствиями О.—Ч. э. т,
являются Биркгофа эргодическая теорема и нек-рые из
ранее предложенных обобщений последней, но имеется
также ряд эргодич. теорем, независимых от О.—Ч. э. т.,
а сама она подвергалась различным обобщениям (см.
[5], [6], а также лит. при ст. Операторная эргодическая
теорема). Вместе с тем из всех обобщений теоремы
Биркгофа, по-видимому, чаще всего используется О.—Ч. э. т.
В иностранной литературе О.—Ч. э. т., как и вообще
теоремы, в к-рых речь идет о пределе отношения двух
временных средних, наз. ratio ergodic theorem.
Лит.: [1] С h а с о η R. V., Ornstein D. S., «111.
J. Math.», 1960, v. 4, № 2, p. 153—60; [2] Χ ο π φ Э.,
«Математика», 1962, т. 6, Ν* 3, с. 29—36; [3] Неве Ж., Математические
основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [4]
Akcoglu Μ. Α., Cunsolo J., «Proc. Amer. Math. Sqc»,
1970, v. 24, № 1, p. 161—70; [5] С h а с о η R. V., в кн.:
Ergodic theory. Proceedings of an International Symposium. New
Orleans, 1961, N. Y.— L., 1963, p. 89—120; [6] Τ e r r e 1 1 T. R.,
«Boll. Unione mat. ital.», 1972, v. 6, №2, p. 175—80. Д.В.Аносов.
ОРНШТЕЙНА - УЛЕНБЕКА ПРОЦЕСС — гаус-
совский стационарный случайный процесс V (t) с
нулевым математич. ожиданием и экспоненциально
затухающей корреляционной функцией вида
£V(t) Ρ(* + τ) = 5(τ)=σ2βχρ(--α|τ|), α > 0.
О. —У. п. может быть также определен как
стационарное решение стохастич. уравнения (уравнения Ланже-
вена) вида
md V (ί) + β^ W dt = dW (t), (*)
где W(t) — винеровский процесс (так что dW(t)/dt=
— W'(t) — обобщенный случайный процесс белого
шума), а т и β — положительные постоянные, причем
(Уга=а.
Уравнение (*) приближенно описывает одномерное
броуновское движение свободной частицы; при этом
V(t) интерпретируется как скорость частицы, т — ее
масса, ~$V(t) — пропорциональная скорости сила
«вязкого трения» (для еферич. частицы радиуса а
коэффициент β равен 6πηα, где η — коэффициент вязкости,

77
OPPA - ЗОММЕРФЕЛЬДЛ УРАВНЕНИЕ
в силу гидродинамич. формулы Стокса), а белый шум
W'(t) — это «случайная сила», порожденная хаотич.
толчками молекул среды, находящихся в тепловом
движении, и являющаяся основной причиной
броуновского движения. В первоначальной теории броуновского
движения, развитой А. Эйнштейном (A. Einstein) и
М. Смолуховским (M.u Smoluchowski) в 1905—06,
пренебрегал ось инерцией частицы, т. е. считалось, что
т=0; при этом уравнение (*) приводило к выводу, что
координата броуновской частицы
X(t) = \[v(t')dt'
равна β
процесс
■'Wit),
Таким
т. е. представляет собой винеровский
образом, винеровский процесс
описывает модель Эйнштейна — Смолуховского броуновского
движения (отсюда другое его название — процесс
броуновского движения); т. к. этот
процесс недифференцируем, то в теории Эйнштейна —
Смолуховского частица, совершающая броуновское
движение, не имеет конечной скорости. Уточненная теория
броуновского движения, опирающаяся на уравнение
(*), где т^О, была предложена Л. Орнштейном и .Дж.
Уленбеком ([1]; см. также [2]); позже та же теория была
выдвинута С. Н. Бернштейном [3] и А. Н.
Колмогоровым [4]. В теории Орнштейна — Уленбека скорость
V(t) броуновской частицы является конечной, но ее
ускорение бесконечно (так как О.— У. п.
недифференцируем); для того чтобы и ускорение оказалось
конечным, надо уточнить теорию, учтя отличие
случайной силы от идеализированного белого шума W'(t).
Уравнение (*) можно использовать и для описания
одномерного броуновского движения гармонич.
осциллятора, если пренебречь его массой и считать, что
V(t) — это координата осциллятора, —~j-t сила
вязкого трения, — β7 — регулярная упругая сила,
удерживающая осциллятор, a W'(t) — случайная сила,
создаваемая молекулярными толчками. Таким
образом, О.— У. п. доставляет также модель пульсаций
координаты гармонич. осциллятора, совершающего
броуновское движение, родственную модели
Эйнштейна — Смолуховского броуновского движения
свободной частицы.
О.— У. п. является однородным по времени
марковским процессом диффузионного типа (см.
Диффузионный процесс)] наоборот, процесс V(t), являющийся
одновременно стационарным случайным процессом,
гауссовским процессом и марковским процессом,
обязательно представляет собой О.— У. п. Как
марковский процесс О.— У. п. удобно характеризовать его
переходной плотностью вероятности ρ (t, x, у),
представляющей собой фундаментальное решение
соответствующего уравнения Фоккера — Планка (т. е. прямого
Колмогорова уравнения) вида
dt
-а
ду
-ασ
2<?fP
ду*'
следовательно, задаваемой формулой
1 / fa-re-*')2 \
' [2πσ*(ΐ- β-20")]2 βΧΡ Ι 2σ* (l-e-2a')J '
Р(*> *> У)'·
Многие свойства О.— У. п. V(t) (включая и его
марковость) можно вывести из известных свойств винеров-
ского процесса, воспользовавшись тем, что процесс
w0(t) =
Vt
(й)
является стандартным винеровским процессом (см. [5]).
В частности, отсюда следует, что реализации О.— У. и.
непрерывны и нигде не дифференцируемы с
ностью 1 и что
| У (t)-V (0)1 _, 7777- I У (О I
78
вероят-
Пш
/-> о
/
-=i, liin
4ασ*ί In lny
t-
νΓ2σ«1ηί
= 1
с вероятностью 1.
Лит.: [1] U h le nb ее k G. Е., О г η s t e i n L. S., «Phys.
Rev.», 1930, v. 36, p. 823—41; [2] Ч а н д р а с e κ a p С,
Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М.,
1947; [3] Б е ρ н ш τ е й н С. Н., «Докл. АН СССР», 1934, т. 1,
№ 1, с. 1—9; № 7, с. 361—65; [4] К о 1 m о g о г о ν Α. Ν., «Ann.
Math.», 1934, v. 35, p. 116—17; [5] D о о b J. L., «Ann.
Math.», 1942, v. 43, p. 351—69. A. M. Яглом.
OPPA — ЗОММЕРФЕЛЬДА УРАВНЕНИЕ —
линейное обыкновенное дифференциальное уравнение
φ(4)_2α2φ" + α4φ = ια# [{w — c) (φ" —α2φ) — и/'φ], (1)
где R — число Рейнольдса, w(y) — заданная функция
(профиль скорости невозмущенного потока), к-рая
обычно предполагается голоморфной в окрестности
отрезка [—1, 1] в комплексной плоскости у, а>0 —
постоянная и с — спектральный параметр. Для О.—
3. у. исследуется краевая задача
φ (-1) =φ' Μ) -φ (1) =φ' (1) =0. (2)
Ο.— 3. у. возникло при исследовании У. Орром [1] и
А. Зоммерфельдом [2] устойчивости в линейном
приближении плоского течения Пуазёйля — течения
вязкой несжимаемой жидкости в слое — ооО<оо, —1<
<*/<1 с твердыми границами; возмущение для
функции тока берется в виде q>(y)eiai*-ct).
Собственные значения задачи (1), (2), вообще говоря,
комплексны; течение устойчиво, если Imc<0 для всех
собственных значений, и неустойчиво, если Imc>0 для
нек-рого из них. Кривая Imc(a, R)—Q наз.
нейтральной кривой. Течение Пуазёйля устойчиво при
небольших числах Рейнольдса. В. Гейзенберг [6]
впервые высказал предположение, что течение Пуазёйля
неустойчиво при больших числах Рейнольдса, и
вычислил 4 точки нейтральной кривой. Для квадратичного
профиля скорости установлено, что течение
неустойчиво при ai?^>l.
Асимптотич. теория О.— 3. у. построена в
предположении, что (ai?)_1-^0 — малый параметр. Точка ус,
в к-рой w(yc) = 0, является точкой поворота (см. Малого
параметра метод). В малой окрестности точки уФус
О.— 3. у. имеет фундаментальную систему решений вида
ф1,2(У)=Ф?.2(у) + 0((аД)-1),
<Рз,4Ы=ехР [±у Vi{w — c)dylx
x[{w-c)-"^ + 0((aR)-^)l
где φ?(ϊ/), ф?(г/) — фундаментальная система решений
невязкого (то есть aR = Q) уравнения
(w — c) (φ" — α2φ) — w"y = 0.
Исследование задач (1), (2) связано, напр., со
следующими трудностями: 1) невязкое уравнение в
окрестности точки у~Ус имеет голоморфное в ней решение и
решение с логарифмич. особенностью; 2) при малых \с\
(т. е. в наиболее важном случае) точки поворота
сливаются с концами отрезка [—1, 1] (напр., для
квадратичного профиля скорости w—1—у2).
При а#^>1 получено строгое обоснование
неустойчивости (см. [3], [4]).
Лит.: [1] О г г W. Μ с F., «Ргос. R. Irish. Acad. A», 1907.
v. 27, р. 9—68, 69—138; [2] Sommerfeld Α., в кн.: Atti
del IV Congresso internazionale del matematici (Roma, 1908),
1909, p. 116—24; [3]ЛиньЦзя-Цзяо, Теория
гидродинамической устойчивости, пер. с англ., М., 1958; [4]
Гидродинамическая неустойчивость. Сборник, пер. с англ., М., 1964; [5] G е г-
sting J. Μ., J a n о w s к i D. F., «Internet. J. Num. Meth.
in Eng.», 1972, v. 4, p. 195—206; [6] Η e i s e η b e г g W., «Ann.
Phys.», 1924, Bd 74, № 15, S. 577—627, M. В* Федорюк*

79
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ
80
ОРТ, единичный вектор,— вектор, длина
к-рого равна единице выбранного масштаба.
ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ МЕТОД — метод решения
системы линейных алгебраич. уравнений Ах=Ь с
невырожденной матрицей А, основанный на процессе Гра-
ма—Шмидта ортогонализации системы векторов.
Если
4=11*//II; * = (*i, «2. ···» *η)τ*>
% = (ОД, Яг"2> ···» αίη» —&/)» * = 1, 2, .,., η;
y = (si, ж2, ···, «η» 1)Τ»
то исходная система уравнений может быть записана
в виде
(а/,у)=0, i = l, 2, ..., п.
Это значит, что решение системы равносильно
нахождению вектора j/, имеющего единичную последнюю
компоненту и ортогонального ко всем векторам аг-, i=l,
2, ... , и. Для этого к системе векторов αχ, а2, ··· » αη>
α»+ι, где аи+1=(0, 0, ... , 1), линейно независимой в
силу невырожденности матрицы А, применяется процесс
ортогонализации, состоящий в построении ортонорми-
рованной относительно скалярного произведения (х,
у)=хТу системы векторов qx, q2, ... , Яп+ι по
рекуррентным соотношениям
ι>ι = αι, ς[ι = ^ι/νΓ(^ι» yi)> "j
(*)
Коэффициенты сг· здесь находятся из условия
ортогональности i>fe векторам ςτΧί ςτ2, ... , gr^—x. Векторы αχ,
α2, ... , ап линейно выражаются через qu q2, ... , qn,
поэтому вектор qn+i~(zn Hi ··· » z«+i) ортогонален ко
всем векторам αχ, α2, ... , αη. При этом невырожденность
матрицы А обеспечивает выполнение ζη + 1^0. Таким
образом,
(ζι/ζη+ι, ζ2/ζ„ + ι, ..., zrt/zn+1)
— искомое решение системы.
Описанная схема О. м. хорошо вписывается в общую
схему прямых методов решения системы: соотношения
(*) равносильны преобразованию матрицы системы в
матрицу LnLn-χ. . .LXA, где
И
1
СхС2 ... Ck
1
и тем самым осуществляют факторизацию матрицы
системы в виде A = LQ, где L — треугольная, Q —
унитарная матрицы.
Процесс факторизации матрицы А по О. м. устойчив
к ошибкам округления. Если в (*) при выполнении
операции скалярного произведения векторов
использовать процедуру накопления с удвоенной точностью, то
для факторизации матрицы по О. м. имеет место одна
из лучших оценок точности в классе прямых методов.
При этом, однако, свойство ортогональности векторов
qv q2, ... , <7η, то есть унитарности матрицы Q,
неустойчиво по отношению к ошибкам округления. Поэтому
решение системы, полученное из рекуррентных
соотношений (*), может иметь большую погрешность. Для
устранения этого недостатка используются различные
методы переортогонализации (см. [1], [2]).
О. м. уступает многим прямым методам по
быстродействию.
Лит.: [1] Воеводин В. В., Вычислительные основы
линейной алгебры, М., 1977; [2] Бахвалов Н. С,
Численные методы, 2 изд., М., 1975. Г. Д. Ким.
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ, процесс
ортогонализации,— алгоритм построения для данной
линейно независимой системы векторов евклидова или
эрмитова пространства V ортогональной системы
ненулевых векторов, порождающих то же самое
подпространство в V. Наиболее известным является
процесс ортогонализации Шмидта (или
Грама — Шмидта), при к-ром по линейно
независимой системе аи ... , α& строится ортогональная
система Ьи
bk такая, что каждый вектор Ь/ (i=l,
,. , к) линейно выражается через alt ... , α,·, то есть Ь,-=
~2/=iVi7a/' где ^= lhV/Ч — верхняя треугольная
матрица. При этом можно добиться того, чтобы система
{&/} была ортонормированной и чтобы диагональные
элементы уц матрицы С были положительны; этими
условиями система {Ь,- } и матрица С определяются
однозначно.
Процесс Грама—Шмидта состоит в следующем.
Полагают Ь1=а1; если уже построены векторы Ьг, ... , fe/,
то
&ι + ι =
'+ς;=1«.
i°y,
где
Ь)
/=1, ... , г, найдены из условия ортогональности
вектора Ь/ + 1 к &!, ... , 6/. Геометрич. смысл описанного
процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор
6/ + 1 является перпендикуляром, восстановленным к
линейной оболочке векторов аг, ... , α/ до конца вектора
а/+1. Произведение длин {Ь^. . ,\Ь^\ равно объему
параллелепипеда, построенного на векторах системы
{а/}, как на ребрах. Нормируя полученные векторы Ь/,
получают искомую ортонормированную систему. Явное
выражение векторов 6/ через аг, ... , а^ дает формула
(«ι» &ι) · ·· (αϊ, α/-ι) <*ι
bi =
(α/, αϊ) ... {αι, α/-ι) t
(определитель в правой части следует формально
разложить по последнему столбцу). Соответствующая ор-
тонормированная система имеет вид
где Г/ — Грама определитель системы а1? ... , aj.
Этот процесс применим также и к счетной системе
векторов.
Процесс Грама—Шмидта может быть истолкован как
разложение невырожденной квадратной матрицы в
произведение ортогональной (или унитарной матрицы в
случае эрмитова пространства) и верхней треугольной
матрицы с положительными диагональными
элементами, что есть частный случай Ивасавы разложения.
Лит.: [1] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд.,
М., 1966; [2] К у ρ о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд.,
М., 1975. И. В. Проскуряков.
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ —
построение для заданной системы функций {fn(x)},
интегрируемых с квадратом на отрезке [а, Ъ] функций
ортогональной системы {(рп(х)} путем применения нек-рого
процесса ортогонализации или же путем продолжения
функций fn(x) на более длинный интервал [с, d], с<а<
<b<d.

81
Применение процесса ортогонализации Шмидта к
полным системам {/„(#)} всегда приводит к полным ор-
тонормированным системам {ц>п(х)} и при
соответствующем выборе последовательности {fn(x)} дает
возможность построения систем, обладающих теми или иными
хорошими свойствами. Таким путем построена, напр.,
система Франклина (см. Ортогональная система),
являющаяся базисом в С [0, 1] и в LP[Q, 1], р>1.
О. с. ф. путем продолжения на более длинный
интервал впервые рассматривалась И. Шуром (см. [1] с. 84).
Он доказал, что для существования ортонормированной
в L2[Q, 1] системы {(ри(я)}, φη(χ) — ίη(χ)ι χζ(αι &Ь 0<α<
<&<1, необходимо и достаточно выполнение условия
где верхняя грань берется по всем {ξ/}, 2L$=l.
Найдены также необходимые и достаточные условия, при
выполнении к-рых можно путем такой ортогонализации
получить полную ортонормированную систему {<рп(х)}
(см. [2]).
Нек-рые конструкции ортогонализации
продолжением функций даны Д. Е. Меньшовым [3]. Они
использовались при доказательстве теорем о точности условия
Zjq/ilQ2tt<oo _ДЛЯ сходимости почти всюду
ортогональных рядов Jjan(pn(x).
Лит.: [1] Ка чмажС, ШтейнгаузГ., Теория
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [2] О л е в с к и й А. М.,
«Матем. заметки», 1969, т. 6, № 6, с. 737—47; [3]
Меньшов Д. Е., «Матем. сб.», 1938, т. 3, с. 103—20; [4]
Franklin Ph., «Math. Ann.», 1928, Bd 100, S. 522—29.
А. А. Талалян.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА — группа всех
линейных преобразований тг-мерного векторного
пространства V над полем /с, сохраняющих фиксированную
невырожденную квадратичную форму Q на V (т. е. таких
линейных преобразований φ, что Q (φ(v))=Q (ν) для
любого v£V). О. г. принадлежит к числу классических
групп. Элементы О. г. наз. ортогональными
(относительно Q) преобразованиями V, а
также автоморфизмами формы Q. Пусть,
далее, char кф2 (об О. г. над полями характеристики
2 см [1], [7]) и / — связанная с Q невырожденная сим-
метрич. билинейная форма на V, определенная
формулой
/К и)=± (Q (υ + ιή-Q (v)-Q (и)).
Тогда О. г. состоит в точности из тех линейных
преобразований пространства V, к-рые сохраняют /, и
обозначается через Оп(к, /) или (когда ясно о каком поле к
и форме / идет речь) просто через Оп. Если В — матрица
/ в каком-либо базисе пространства V, то О. г. может
быть отождествлена с группой всех таких (η χ
^-матриц А с коэффициентами в /с, что А тВ А =В (т
—транспонирование).
Описание алгебраич. строения О. г. составляет
предмет классич. исследований. Определитель любого
элемента из Оп равен 1 или — 1. Элементы с
определителем 1 наз. вращениями; они образуют в О. г.
нормальный делитель 0%(к, /) (или просто 0%)
индекса 2, наз. группой вращений. Элементы из
Ω η — On наз. переворачиваниями. Всякое
вращение (переворачивание) является произведением
четного (нечетного) числа отражений из Оп.
Пусть Zn — группа всех гомотетий φα: ν ь» ay,
α ζ/с, α#0, пространства V. Тогда Οη(]Ζη — это центр
Оп; он состоит из двух элементов: φχ и φ_!. Если η
нечетно, то Оп является прямым произведением своего
центра и 0%. Центр 0% при ?г>3 тривиален, если η
нечетно* и совпадает с центром 0„, если η четно. Если же
/г=2, то группа Оп коммутативна и изоморфна либо
группа 82
мультипликативной группе /с* поля к (в случае, когда
индекс Витта ν формы / равен 1), либо группе элементов
с нормой 1 в поле к ( у — Δ), где Δ — дискриминант
формы / (в случае, когда ν=0). Коммутант группы Оп(к, /)
обозначается через Ωπ(&, /) или просто Ω„; он
порождается квадратами элементов из Оп. При п^З
коммутант группы Од совпадает с Ωη. Центр группы Qn имеет
вид Ωη(]Ζη.
Классич. группами, связанными с О. г., являются
также канонич. образы Оп и Qn в проективной
группе; они обозначаются РОп (к, /) и PQn(k, /) (или просто
РОп и PQa) и изоморфны соответственно 0^1 (0+п Г) Ζη)
и Qj(Qn(]Zn).
Основные классич. факты об алгебраич. структуре
О. г. относятся к описанию последовательных факторов
следующего ряда нормальных делителей в О. г.
0„Ζ)^=5Ω„Ζ)Ω„Γ|2„Ζ){β}.
Группа Оп10%, имеет порядок 2. Всякий элемент в
OjQn имеет порядок 2, ввиду чего строение этой
группы полностью определяется кардинальным числом
ее элементов, к-рое может быть либо бесконечным, либо
конечным вида 2a, a — целое. Описание остальных
факторов существенно зависит от того, отличен ли от нуля
индекс Витта ν формы /.
Пусть сначала ν>1. Тогда Ot/Qn^k*/k*2 при д>2.
Этот изоморфизм определен спинорной нормой, к-рая
задает эпиморфизм Ot на /с*//с*2 с ядром Ω„. Группа
ΩηΠ^η нетривиальна (и состоит из преобразований
φχ и φ_ι) тогда и только тогда, когда η четно и Δ ζ/с2.
Если л>5, то группа ΡΩ„=Ωη/(ΩηΠ^«) проста.
Случаи л=3, 4 рассматриваются отдельно. А именно, ΡΩ3—-
= Ω3 изоморфна PSL2(k) (см. Специальная линейная
группа) и также проста, если число элементов в ύ не
равно 3 (группа 0% изоморфна проективной группе
PGL2(k)). При v=l группа ΡΩ4—Ω4 изоморфна группе
PSL2(k ( Ϋ Δ)) и проста (в этом случае Δξέ/c2), а при ν= 2
группа PQ4 изоморфна PSL2(k)XPSL2(k) и не проста.
В частном случае, когда k=R и Q — форма сигнатуры
(3, 1), группа PQ/l=Q/tc^PSL2(£) наз. группой
Лоренца.
В случае же, когда v=0 (т. е. Q — анизотропная
форма), многие из указанных результатов не верны. Напр.,
если /c=R, а Q — положительно определенная форма,
то Qn=Ot, хотя R*/R*2 состоит из двух элементов;
при /с=0, л=4, возможен случай, когда Δζ/c2, но
φ_1^Ω4. Вообще при ν=0 структура О. г. и связанных
с ней групп существенно зависит от к. Напр., если к=
= R, то POt, п^З, пфк, v=0, проста (а РО%
изоморфна прямому произведению 0% X 0% двух простых групп);
если же к — поле р-адических чисел, то при v=0 в Оз
(и в 04) существует бесконечный ряд нормальных
делителей с абелевыми факторами. Наиболее изучены
случаи локально компактного поля и поля алгебраич.
чисел. Если к — поле jo-адических чисел, то случай v=0
невозможен при п^Ъ. Если же к — поле алгебраич.
чисел, то такого ограничения нет и один из основных
результатов состоит в том, что ΡΩη при ν=0 и п^Ъ
проста. В этом случае изучение О. г. тесно связано с
теорией эквивалентности квадратичных форм, к-рая
основывается на рассмотрении форм, полученных из Q
при расширении к до локальных полей, определенных
нормированиями к (принцип Хассе).
Если к — конечное поле F^ из q элементов, то О. г.
является конечной группой. Порядок Ot при нечетном
η равен
(qn~l — 1) qn-2 (qn~u — i) q»-* . .. (q2 — 1) q,
ОРТОГОНАЛЬНА

83
ОРТОГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА
84
а при п—2т равен
(gam-i —eg"1"1) (q2m"2 — i) g2'*-3 ... (ζ?2 —1) q,
где ε=1 при (—l)mA£F* ие=-1 в противном случае.
Указанные формулы вместе с приведенными общими
фактами об О. г. при v^l позволяют вычислить также
и порядки Ω„ и ΡΩ„, так как v^l при /г>3, а порядок
к*/к*2 равен 2* Группа ΡΩ„, д>5, является одной из
классических простых конечных групп (см. также Ше~
валле группа).
Один из основных результатов об автоморфизмах
О. г. состоит в следующем: если я>3, то всякий
автоморфизм φ группы Оп имеет вид fp(u)=%(u)gugm"i1
νζΟηι гДе χ — фиксированный гомоморфизм Оп в ее
центр, a g — фиксированное биективное полулинейное
отображение V в себя, удовлетворяющее условию
Q(g(v))~rgQa(v) для всех νζΫ, где rg£k*, а σ —
связанный с g автоморфизм k. Если v^l и л^б, то всякий
автоморфизм Оп индуцирован автоморфизмом Оп (см.
[1], [3]).
Так же, как и другие классич. группы, О. г.
допускает (при нек-рых предположениях) геометрич. характери-
зацию. А именно, пусть Q — такая анизотропная
форма, что Q(v)£k2 для любого u£V, В этом случае к —
пифагорово упорядочиваемое поле. При фиксированном
упорядочении поля к я-мерной цепью
инцидентных полупространств в F наз. любая
последовательность (#,)1<8<п, построенная по линейно
независимой системе векторов (^)1<s<n, где IIs —
множество всех линейных комбинаций вида JLif^kjhj·, λ^Ο.
Группа Оп обладает свойством свободной
подвижности, т. е. для любых двух л-мернььх
цепей полупространств существует единственное
преобразование из Оп, переводящее первую цепь во вторую.
Это свойство характеризует О. г.: если L — любое
упорядоченное тело и G — подгруппа в GLn(L), тг>3,
обладающая свойством свободной подвижности, то L
является пифагоровым полем, a G=On{L, /), где / —
такая анизотропная симметрич. билинейная форма, что
/(у, v)£L2 Для любого вектора v.
Пусть Τ — фиксированное алгебраич. замыкание
поля к. Форма / естественно продолжается до
невырожденной симметрич. билинейной формы / на F®a&'
а О. г» Оп(к, /) является определенной над к линейной
алгебраической группой с группой /с-точек #„(&, /).
Определяемые таким образом (для разных /) линейные
алгебраич. группы изоморфны над к (но, вообще говоря,
не над к)'-, соответствующая линейная алгебраич.
группа над к наз. ортогональной
алгебраической группой Оп(к). Ее подгруппа О я(&, /)
также является линейной алгебраич. группой над к
и наз. собственно ортогональной, или
специальной ортогональной,
алгебраической группой (обозначение: SOn(k))\ она
является связной компонентой единицы группы Оп(к).
Группа SOn(k) — почти простая алгебраич. группа (т. е.
не содержащая ненульмерных алгебраич. нормальных
делителей) типа Bs при n=2s+i, s>l, и типа Ds при
n—2s, 5>3. Универсальной накрывающей группы SOn
является спинорная группа.
Если &=IR, С или р-адическое поле, то 0п(к, /)
естественно снабжается структурой вещественной,
комплексной или р-адической аналитической группы.
Группа Ли On(R, f) определяется с точностью до
изоморфизма сигнатурой формы /; если эта сигнатура
имеет вид (р, q), p-\-q=n, то On(R, /) обозначается через
О (р, q) и наз. псевдоортогональной
группой. Ее можно отождествить с группой Ли всех
действительных (их 7г)*матриц А, удовлетворяющих условию
р* я ~
ЛР>Я>
где IPt a =
(через 15 обозначена единичная (яХ^-матрица); алгебра
Ли этой группы отождествляется с алгеброй Ли всех
действительных (η Χ п)-матриц X, удовлетворяющих
условию Х^1р% q——Ip,q Χ· В частном случае q=0
группа 0(р, q) обозначается через О(п) и наз.
вещественной ортогональной группой; ее
алгебра Ли состоит из всех кососимметрических
действительных (пХ п)-матриц. Группа Ли 0(р, q) имеет
четыре компоненты связности при q^O и две компоненты
связности при q = 0. Связной компонентой единицы
является ее коммутант, к-рый при q=0 совпадает с
подгруппой SO(n) в О (ή), состоящей из всех
преобразований с определителем, равным 1. Группа 0(р, q)
Компактна только при q=0. Инварианты SO(ri) как топологич.
многообразия достаточно подробно изучены. Один из
классич. результатов в этом направлении —
вычисление чисел Бетти многообразия SO(n): его полийом
Пуанкаре имеет вид
т (1 + г4*-1)
п
при п~2w+l и вид
(1_|_/2/я-1
>п;
(1 + /4S-1)
при п=2т. Фундаментальная группа многообразия
SO(n) есть % 2· Вычисление высших гомотопич. групп
ni(SO(n)) имеет непосредственное отношение к
классификации локально тривиальных главных SO (n)-
расслоений над сферами. Важную роль в
топологической К-теории играет теорема периодичности, согласно
к-рой при N^>n имеют место изоморфизмы
π„ + 8 (Ο (Ν)) ~ пп (О (#)), πη(0 (Ν)) ~ zt,
если Ai=0, 1;
πη(0(Ν))~ζ,
если д=3, 7, и
πη(Ο(Ν))=0,
если п^= 2, 4, 5, 6. Изучение топологии группы 0(р, q)
по существу сводится к предыдущему случаю, т. к.
связная компонента единицы группы 0(р, q) диффео-
морфна произведению SO(p)XSO(q) на евклидово
пространство.
Лит.: ШДьедоннеЖ., Геометрия классических групп,
пер. С франц., М., 1974; [2] Α ρ τ и н Э., Геометрическая
алгебра, пер. с англ., М., 1969; [3] Автоморфизмы классических
групп, пер. с англ. и франц., М., 1976; [4] В е й л ь Г.,
Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М.,
1947; [5] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их
представления, М., 1970; [6] БурбакиН., Алгебра. Модули,
кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [7] О'Меа г а О. Т.,
Introduction to quadratic forms, В.—Hdlb., 1963; [8] X ь ю з-
м о л л е ρ Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970.
В. Л. Попов.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА - матрица над
коммутативным кольцом R с единицей 1, для к-рой
транспонированная матрица совпадает с обратной.
Определитель О. м. равен ±1. Совокупность всех О. м.
порядка η над R образует подгруппу полной линейной
группы GLn (R). Для любой действительной О. м. а
существует такая действительная О. м. с, что
cac-1 = diag [±1, ..., ±1, аь
·» **ь
где
COS фу
sin φ;·
Sin фу I
COS фу I
Невырожденная комплексная матрица а тогда п только
тогда подобна комплексной О. м., когда система ее
элементарных делителей обладает следуюпщми свойст-
| вами: 1) для λ^±1 элементарные делители {х—К)т и

85
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СЕТЬ
86
(χ—к~г)т повторяются одно и то же число раз; 2)
каждый элементарный делитель вида (х±\)21 повторяется
четное число раз.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры,
4 изд., М., 1975. Д. А. Супруненко.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СЕТЬ — сеть, у крой
касательные в нек-рой точке к линиям различных семейств
ортогональны. Примеры О. с: асимптотическая сеть на
минимальной поверхности, кривизны линий сеть.
А. Б. Иванов.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА —1) О. с.
векторов — множество {ха } ненулевых векторов евклидова
(гильбертова) пространства со скалярным
произведением (· , ·) такое, что (ха, #β)=0 при α^β· Если при
этом норма каждого вектора равна единице, то система
{ха} наз. ортонормированной. Полная О. с.
{ха) наз. ортогональным (ортонорми-
р О в а Η Η Ы Μ) баЗИСОМ. М. И. Войцеховский.
2) О. с. координат — система координат, π
к-рой координатные линии (или поверхности)
пересекаются под прямым углом. О. с. координат существуют
в любом евклидовом пространстве, но, вообще говоря,
не существуют в произвольном пространстве. В
двумерном гладком аффинном пространстве О. с. всегда
можно ввести по крайней мере в достаточно малой
окрестности каждой точки. Иногда возможно введение
О. с. координат в делом. В О. с. метрич. тензор g/y·
диагоналей; диагональные компоненты ga принято наз.
коэффициентами Ламе. Ламе коэффициент
О. с. в пространстве выражаются формулами
La= У(дх/ди)*+(ду/ди)2+(дг/ди)2,
Lv = У(дх/ди)*+(ду/ду)*+ (dl/dvj2,
Lw = V(dx/dw)*+(dy/dw)*+ (dz/dw)2,
где х, у и ζ — декартовы прямоугольные координаты.
Через коэффициенты Ламе выражаются элемент длины:
ds = VL2udu2 + L'2vdv2 + L2wdw2,
элемент площади поверхности:
da— Y{LULV du dv)2-\-(LuLw du dw)2-\- (LVLW dv dw)2,
элемент объема:
dV — LuLvLw du dv dw,
векторные дифференциальные операции:
grad^-^, grad*9 = ^,grad^9^^,
div a ^Т^ЦЦ, [L (aaLv*<w) + §; (avLaLw) +
+o^(awLuLv) J;
a 1 Г_а_ (LVLW 6φ\ , £_ fLuLw 6φλ
a™ LuLvLw[_du\ Lu ди)~^д\>\ Lv dv J "^
д (LqLz, βφ\1
' dw \ Lw dwj J
Наиболее часто используемые О. с. координат: на
плоскости — декартовы, полярные, эллиптические,
параболические; в пространстве — сферические,
цилиндрические, параболоидальные, бицилиндрические,
биполярные. Д- Д. Соколов.
3) О. с. функций — конечная или счетная
система {<Pi(#)} функций, принадлежащих пространству
L2(X, S, μ) и удовлетворяющих условиям
\χ·φι(χ)φ;(χ)άμ(ζ)--
-I °
\ λ/
ПРИ I 5C/,
> 0 при i — j.
Если λ/=1 для всех ι, то система наз.
ортонормированной. При этом предполагается, что мера
μ(χ), определенная на σ-алгебре S подмножеств
множества X, счетно аддитивна, полна и имеет счетную базу.
Это определение О. с. включает все рассматриваемые в
современном анализе О. с; они получаются при
различных конкретных реализациях пространства с мерой
(X, S, μ).
Наибольший интерес представляют полные ортонор-
мированные системы {<Рл(я)}, обладающие тем
свойством, что для любой функции f(x)£L2(X, S, μ)
существует единственный ряд ^с„<рп(;г), сходящийся к f(x)
в метрике пространства £2(Х, ^, μ), при этом
коэффициенты сп определяются формулами Фурье
cn=\xl4nd[i.
Такие системы существуют в силу сепарабельности
пространства L2(X, S, μ). Универсальный способ
построения полных ортонормированйых систем дает метод
ортогонализации Шмидта. Для этого достаточно
применить его к нек-рой полной в L2($, Χ, μ) системе
линейно Независимых функций.
В теории ортогональных рядов в основном рассматрй*
ваются О. с. пространства L2[a, b] (тот частный случай,
когда Х—[а, Ь], S — система множеств, измеримых по
Лебегу, и μ — мера Лебега). Многие теоремы о сходи-
Мости или суммируемости рядов £anwn(x), ^αί5<°°» по
общим О. с. {(рп\х)} пространства L2[a, b] верны и для
рядов по ортонормированным системам пространства
L2(X, S, μ). Вместе с тем в этом частном случае
построены интересные конкретные О. с, обладающие
теми или иными хорошими свойствами. Таковы,
например, системы Хаара, Радемахера, Уолша—Пэли,
Франклина.
1) Система Хаара {χ,,(*)}"-ι: Х1(;г)=1,
*€№, 1],
Хт И =
у2п ПрИ ^(2*21
■ У 2* при x£f2h~i
2 2fe-l
2Я + 1
2k \
2« + ι /'
О
2" + * ' 2п
в остальных точках отрезка [0, 1],
где т=2п+к, 1</с<2", w=2, 3, ... . Ряды по системе
Хаара представляют типичный пример мартингалов
и для них верны общие теоремы из теории мартингалов.
Кроме того, система {ΐη(χ))™=λ является базисом в
Ζ/[0, 1], р>1, и ряд Фурье по системе Хаара любой
интегрируемой функции почти всюду сходится.
2) Система Радемахера hW}Jel:
rn(x) = sign sin 2n +1 пх, я£[0, 1],
представляет собой важный пример О. с. независимых
функций и имеет применения как в теории
вероятностей, так и в теории ортогональных и общих
функциональных рядов.
3) Система У о л ш а — Пэли {Wn(x)}™=1
определяется через функции Радемахера:
W0(x) = l, Wnix)=Jl"m9lrk(x)]\ *€[0, 1],
где числа тш qk определяются из двоичного разложения
числа п:
=Г..«»*
2*

87
4) Система Франклина{Фп(#)}^=1
получается ортогонализацией методом Шмидта
последовательности функций
и1(х)=х, и2{х)=1—х, ua{x) = ^xn-1(t)dt,
п^З, *g[0, 1].
Она является примером ортогонального базиса
пространства С [О, 1] непрерывных функций.
В теории кратных ортогональных рядов
рассматриваются системы функций вида
Φη/^ι)·Фя,^) •••<Ри1В(*л). */€1>» b],i<i<m,
л/ = 1, 2, ...,
где {<Pn(s)}n—ι — ортонормированная система в L2[a, Ъ).
Такие системы ортонормированы на m-мерном кубе
Jm=[a, b]x. . .Х[а, Ъ] и полны, если полна система
{<Рп(*)}. г ,
Лит.: E1J Качмаж С, Штейнгауз Г., Теория
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [2] Итоги науки.
Математический анализ, 1970, М., 1971, с. 109—46; [3] там же, с. 147—
202; [4] Д у б Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М.,
1956; [5] Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962;
[6] Зигмунд Α., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.
1—2, М., 1965. А. А. Талаляп.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ТАБЛИЦА,
ортогональный массив, ОА (TV, /с, и, ί, λ) — матрица размера
kXN, элементы к-рой суть числа 1, 2, ... , и,
обладающая тем свойством, что в каждой ее подматрице размера
tXN любой из и* возможных ί-мерных
векторов-столбцов, имеющих координатами эти числа, встречается в
качестве столбцов этой подматрицы точно λ раз. Из
определения О. т. следует, что Ν=λη*. Иногда под О. т.
понимают ОА (7V, /с, η, ί, λ) с ί=2 и λ=1, и тогда эта
О. т. обозначается О А (п, к). При /с>3 О. т. О А (и, к)
эквивалентна множеству из к-— 2 попарно
ортогональных латинских квадратов. При заданных η, ί, λ
максимальное значение параметра к определено лишь в
нескольких частных случаях. Так, напр., &<(λτι2—1)/
1(п—1) при t—2 или kmax=t-\-i в случае нечетного λ
при п—2.
Лит.: [1] D ё η е s J., К е е d w e 1 1 A. D., Latin Squares
and their applications, Bdpst, 1974; [2] Холл М.,
Комбинаторика, пер. с англ., Μ., 1970. В. Μ. Михеев.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ — см.
Изогональная траектория.
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное
преобразование А евклидова пространства,
сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное
произведение векторов. О. п. и только они переводят ор-
тонормированный базис в ортонормированный.
Необходимым и достаточным условием ортогональности
является также равенство А*=А~г, где А* —
сопряженное, а А-1 — обратное линейные преобразования.
В ортонормированном базисе О. п. (и только им)
соответствуют ортогональные матрицы. Собственные
значения О. п. равны ±1, а собственные векторы,
отвечающие различным собственным значениям,
ортогональны. Определитель О. п. равен +1
(собственное О. п.) или —1 (несобственное О. п.).
В случае евклидовой плоскости всякое собственное
О. п. является поворотом, и его матрица в подходящем
ортонормированном базисе имеет вид
I] cos φ —sin φ II
II sin φ coscplr
где φ — угол поворота, а всякое несобственное О. п.
является отражением относительно нек-рой прямой,
его матрица в подходящем ортонормированном базисе
имеет вид
II1 он
II о —1||·
ШАЛЬНАЯ 88
В трехмерном пространстве всякое собственное О. и.
есть поворот вокруг нек-рой оси, а всякое
несобственное -— произведение поворота вокруг оси и отражения
в перпендикулярной плоскости. В произвольном тг-мер-
ном евклидовом пространстве О. п. также сводятся к
поворотам и отражениям (см. Вращение).
Множество всех О. п. евклидова пространства
образует группу относительно умножения
преобразований — ортогональную группу данного евклидова
пространства. Собственные О. п. образуют нормальную
подгруппу в этой группе (специальную ортогональную
группу). т. С. Пиголкиг*а.
ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОГОНКИ МЕТОД — вариант
метода прогонки, основанный на ортогональном
преобразовании неизвестных. Пусть при α <:#<:&
рассматривается граничная задача для пары линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений
у' (х) = аг (х) у (х) + Ьг (χ) ζ (χ) + /χ (χ), (1)
ζ' (χ) = α2 (χ) у (χ) + b2 (χ) ζ (χ) + /2 (χ) (2)
с условиями вида
αι0(α) + βι*(α) = γι, α? + βϊ = 1, (3)
θ20(δ) + β2*(ΪΟ = γ«, αϊ + βϊ = 1. (4)
Пусть данные функции α/ (χ), δ/(я),//(я), £ = 1,2,
непрерывны на отрезке α <:#<:&. Решение граничной задачи
(1)—(4) О. п. м. осуществляется следующим путем.
I. Решается вспомогательная задача Коши
s' [x) =c(x)r (χ), с' (χ) = — s (χ) г (χ),
г (χ) = s2 (χ) 6χ (x)-\-s {χ) с [χ) (b2 (x)—αχ (χ)) —
— с2(х)а2{х), (5)
U' (Χ) ==«! (Χ) U (Χ) 4-7ΐ (Χ), (6)
s (α) = αχ, с (α) = βι, и (а) = γι, (7)
где
ίΊ (χ) = αΎ (χ) s2 (χ) + b2 (χ) с2 (χ) + (δι (χ) + α2 (χ)) s (χ) с {χ),
h(x) = h(x)s{x) + f2(x)c(x)
(прямой ход прогонки).
II. Проверяется условие А=а2с(Ь) —β2$(δ)?=0, и если
оно выполняется, то в направлении от точки х=Ь к
точке х=а решается задача Коши
ν' (χ) = а2 (х) и (х) + Ь2 (χ) ν (х) +J2 (x), (8)
ν (b) = {y2~ [a2s (b) + f>2c (b)] и (6)}/Δ, (9)
где
ά2 (χ) = 2 (αχ (x)—b2 (χ)) s (χ) с (х) +
+ (Ъ1(х) + а2(х)) (с* (x)s* (x)),
b2 (χ) = «χ (χ) с2 (χ) + b2 (χ) .92 (χ) — (Ьг (χ) + α2 (χ)) s (χ) с (χ),
U (*)=/ι (χ)° (χ)~ h (x)s {x)
(обратный ход прогонки).
III. Искомые функции вычисляются по формулам
у (x)=s (X) U (Х) -\- С (х) V (я),
ζ (χ) = с (χ) и (χ) — s (χ) ν (χ).
Если решение у (χ), ζ(χ) граничной задачи (1)—(4)
существует, единственно и устойчиво относительно малых
изменений коэффициентов и свободных членов,
определяющих ее, то Δ Φ 0 и рассмотренный метод также
устойчив (см. [2]).
Система линейных алгебраических уравнений
Ук + 1 = АкУк + вк?к + ?к, (10)
гк + 1=СкУк + ЯкЧ + вк, * = 0, 1, ···> * —1, (И)
αοϊ/ο + βοΖο = γο, (12)
*пУп + $п*п = Уп* (13)
ОРТОГ

89
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ
90
где AkDk^BkCk, α0+βο=1, απ+βπ=1, решается по
следующим правилам.
1) Используя формулы
9k= V[(Ckck - Dksk)* + (Bksk-Akck)%
uk + 1 = (Aksksk + 1 + Bkcksk + 1-irCkskck + 1 + Dkckck + 1) uk +
+ (Fksk + i + Gkck + i),
последовательно вычисляют sfe + χ, с^ + 1, u^ + i при А:=0,
... , η—1 (прямой ход прогонки).
2) Проверяется условие Δη— апсп—§nsn-fi0, и если
оно выполняется, то вычисляют
"»=[?«—(ав*п + Рвсв)ив]/Аи
и
+ (GkSk + i-FkCk + i)}/Pk
при к=п—1, η—2, ... ,1 (обратный ход
прогонки).
3) Значения искомого решения системы уравнений
(10)—(13) вычисляются по формулам
Vk = UkSk + Vkcki Zk = ukck — Vksk·
Если решение системы уравнений (10)—(13)
существует, единственно и устойчиво относительно малых
изменений коэффициентов и свободных членов, то и
рассмотренный О. п. м. также устойчив (см. [2]).
Иногда ортогональной прогонкой наз.
методы, основанные на использовании
фундаментальной системы решений однородной системы уравнений
для целей переноса граничных условий (см. [1], [3]).
Однако эти методы являются скорее вариантами
пристрелки метода.
Лит.: [1] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд.,
т. 1, М., 1975; [2] К ρ ы л о в В. И., Бобков В. В.,Монас-
тырный П. И., Вычислительные методы высшей математики,
т. 2, Минск, 1975; [3] Самарский Α. Α.,
Николаев Е. С, Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.
А. Ф. Шаппин.
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ — обобщение понятия
перпендикулярности векторов евклидова пространства.
Наиболее естественное понятие О. введено в теории
гильбертовых пространств. Два элемента χ и у из
гильбертова пространства Η наз. ортогональными
(х_\_у), если их скалярное произведение равно нулю
((х, у)=0). Это понятие О. в том частном случае, когда
Η — евклидово пространство, совпадает с понятием
перпендикулярности двух векторов. В терминах этого
понятия в любом гильбертовом пространстве верна
теорема Пифагора: если элемент χζΗ равен
конечной или счетной сумме попарно ортогональных
элементов χ;, χ ι ζ Η (счетная сумма V^ ж,- понимается
в смысле сходимости ряда в метрике пространства Я),
то ||я||2=^._ 1кг II2 (см. Парсеваля равенство).
Полная счетная система {х;} ортонормированных
векторов сепарабельного гильбертова пространства
представляет аналог полной системы попарно
ортогональных векторов конечномерного евклидова
пространства: любой элемент χζΗ единственным образом
i=acίχΪ» примем С{Х[—
= (ж, Х()х{ — проекция элемента χ на х{.
В случае функционального пространства L2[a, Ъ)
такую роль играют полные ортонормированные системы
функций {(pfe}: если/(.x)£L2[a, &], то
/(^=2r=iCfeCf,feW
в метрике пространства L2\a, b], где
rb
ck=)af(x)4>k(x)dx'
В случае, когда (pfc(z) — ограниченные функции,
коэффициенты С£ можно определить для любой
интегрируемой функции. При этом представляет интерес вопрос
о сходимости соответствующего разложения в том или
ином смысле (см. Тригонометрическая система, Хаара
система). Поэтому для функций термин «О.»
употребляется в более широком смысле: интегрируемые на
отрезке [a, b] функции f(x) и g(x) наз.
ортогональными, если
Ybf(x)g(x)dx = 0
(для существования интеграла обычно требуется, чтобы
/(*)£Z/[a, Ъ], 1<р<оо, g(x)=Lg[a, Ъ], i/p + i/q=i,
L°° [a, b] —
множество ограниченных функций).
Существуют также определения О. элементов
произвольного действительного нормированного
пространства. Одно из них (см. [4]) следующее: элемент χ
действительного нормированного пространства В считается
ортогональным элементу #, если 1Ы1<||я+/?г/|| для
любого действительного к. В терминах этого понятия
установлены нек-рые необходимые и достаточные
условия, при к-рых может быть определено скалярное
(внутреннее) произведение элементов пространства В (см.
[5], [6]).
Лит.: [1] Канторович Л. В., А к и л о в Г. П.,
Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [2] Данфорд Н.,
Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с
англ., М., 1962; [3] К а ч м а ж С, ШтейнгаузГ., Теория
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [4] В i г k h о f f G.,
«Duke Math. J.», 1935, v. l,p. 169—72; [5] James R., «Trans.
Amer. Math. Soc», 1947, v. 61, p. 265—92; Еб] его же, «Bull.
Amer. Math. Soc», 1947, v. 53, p. 559—&6. А. А. Талалян.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ —
пара латинских квадратов А = ||а//||, В~ \\°ij\\ порядка η
таких, что (atj, bij)^(akh Ьы) при (έ, /)#(&, /), г, /, к,
l£S= {1, ... , η}. Квадраты А и В наз.
ортогональными соквадратами. Матрица, получаемая
наложением А на В, наз. греко-латинским,
или эйлеровым, квадратом^ ее элементы —
все п2 упорядоченных пар элементов S.
Ортогональность А и В обозначается А\В. Пример пары О. л. к.
и их эйлерова квадрата для п=Ъ:
12 3 12 3 11 22 33
2 3 1 3 12 23 31 12
312 231 32 1321.
Латинский квадрат А порядка η имеет ортогональный
соквадрат тогда и только тогда, когда в А существует η
непересекающихся трансверсалей (см. Латинский
квадрат). Если А — латинский квадрат порядка 4г+2 (или
4*+1) с подквадратом порядка 2t-\-\ (соответственно 2t),
все клетки к-рого за исключением, быть может, t
(соответственно [(*—1)/2]) клеток заполнены не более чем
2Н-1 (соответственно 2t) элементами, то для А не
существует ортогонального соквадрата. Для всех тг>2,
727=6, имеются примеры пар О. л. к., а для /г=6 путем
перебора всех возможностей доказано, что таких пар
нет [3].
Несколько латинских квадратов одного порядка наз.
попарно ортогональными, если любые
два из них ортогональны. Если Ν (η) — максимальное
возможное число попарно О. л. к., то N(n)<^.n—1. Для
N (п) получены следующие оценки снизу:
/г> 7 52 53 63 90
iV(n)> 2 3 4 5 6.

91 ОРТОГОНА
Кроме того, 7V(12)>5, tf(33)>3, ЛГ(35)>4, iV(40)>4, f
TV (45)^4 и доказано, что Ν (η) -► οο при ?г->-оо;
налр., N (n)^tnf" —2 при достаточно большом тг
(см. [2]).
Множество из /г—1 попарно О. л. к. порядка η наз.
полным. При д>4 множество из η—3 попарно О. л.
к. всегда может быть дополнено до полного. В
настоящее время (1983) полные множества известны только в
случае п=р*, где к — натуральное, ρ — простое числа
(то есть N(pk)~pk—\). Если же rcs~l (mod 4) или
гс==2 (mod 4) и свободная от квадрата часть числа η
содержит хотя бы один простой множитель /?ξ==3 (mod 4),
то не существует полного множества попарно О. л. к.
порядка п. Напр., не существует полных множеств при
п~2р, ps==3(mod4).
Полные множества попарно О. л. к. находят
приложение в статистике при построении симметрических
уравновешенных неполных блок-схем с параметрами
v~n2-\-n-\-\, &=л+1, λ~1. Полные множества могут
интерпретироваться и как конечные проективные пло^
скости (см. [2]).
Предложено много методов построения О. л. к. (см.
[2]). Все они созданы с целью получения как можно
большего множества попарно О. л. к. порядка п.
Каждый из методов может быть отнесен к одной из
следующих двух групп. К первой группе принадлежат методы,
характерной особенностью к-рых является то, что они
дают способ построения «основного» латинского
квадрата и указывают, как переставить в нем строки и
столбцы, чтобы получить ортогональный соквадрат. Ко
второй группе относятся методы, к-рые используют
известные приемы построения О. л. к. меньшего порядка
для построения О. л. к. заданного порядка.
Если А = ||а/у || — латинский квадрат порядка п,
построенный на множестве S, то упорядоченный набор
перестановок σ/, i ζ S, определяемых равенствами σ,·(/)=
= Λι7» однозначно определяет латинский квадрат Л. Не
каждый упорядоченный набор перестановок
соответствует какому-либо латинскому квадрату. Если А =
= [Оц ... , σ„] и Β=[τΐ9 ... , τη] — два латинских
квадрата, заданных указанным способом перестановками
σ,- и τ,- множества S, то AJ_B тогда и только тогда, когда
[σι-1^, ... , ОпЧ„] — латинский квадрат. Если
определить произведения аА = [аоъ ... , ασ„], ^β=[σ1β, ... ,
... , σ„ρ], где α и β — перестановки S, то, напр., AJjxA
тогда и только тогда, когда [σΓ"1ασ1, ... , σ^1ασ/1] —
латинский квадрат.
Методы первой группы обычно используются в
случае, когда А — таблица умножения конечной группы
G, то есть dij^gigj, gi, g/£G, i, /ζS; отличие одного
метода от другого заключается в выборе группы G, в
выборе взаимно однозначных отображений α, β группы
G на себя и в использовании произведений аЛ, Л β,
а~Ча и т. д.
Если G — аддитивная группа, то условие А\_аА
сводится к тому, что а — ортоморфизм G, т. е.
такое взаимно однозначное отображение G на себя, что
если для gb g2£G выполняется равенство a.(gx)—gx=
= α(#2)—#2* то £1=^2· Напр., пять попарно О. л. к.
порядка 12 были найдены после определения четырех
нетривиальных ортоморфизмов абелевой группы,
являющейся прямым произведением циклич. групп 6-го
и 2-го порядков (см. [2], [6]).
Если G — аддитивная группа конечного поля
GF(pr)= {α0=0, αχ = 1, α2, ... , ап-г}, п = рг, то все
построения значительно упрощаются и получается
следующее полное множество попарно О. л. к.:
4* = !flf/ll» ukii = aiak-\-aj\ t, /ζ{Ο, 1, ..., η — 1},
*€{!, 2, .,., ϊΐ-1}. I
1ьные 92
Следует отметить, что для и, удовлетворяющих
условиям пф2 (mod 4), пфЗ (mod 9) и пфб (mod 9),
оказалось возможным всегда построить такой латинский
квадрат А порядка п, что А\АУ.
Использование прямого произведения латинских
квадратов составляет основу следующего метода,
относящегося ко второй группе. Пусть ^! и ^ - О. л. к.
порядка л, построенные на множестве X, а А2 и В2 —
О. л. к. порядка т, построенные на множестве У,
тогда прямые произведения матриц АгХА2 и ΒχχΒ2
будут О. л. к. порядка тп, построенные на множестве
XX У. Если п=р111р^2. . .р г, то указанный метод
приводит к оценке N(п)^т\п (ρψ—1),
В основе многих других методов второй группы
лежит следующее построение. Пусть Α ι, Β ι, С χ —
попарно О. л. к. порядка т^2п, построенные на 5Х= {1,2,... ,
... , т), Л2, В2 — О. л. к. порядка п, построенные на
S2={m+i, ... , т-\-п]. Чтобы получить теперь два
латинских квадрата А и В порядка т+п, построенные на
S=S1 (J 52, добавляют к А строки и столбцы с номерами
wi+1, ... , т-\-п с незаполненными клетками, в
результате чего получают частичный латинский квадрат
порядка т+п, содержащий Αχ в верхнем левом углу.
Клетки Αχ и 5χ, имеющие те же номера, что и клетки Clt
содержащие элемент г, составляют общую для Αχ и Βχ
i-ю трансверсаль, i=l, 2, ... , т. Элементы г-й транс-
версали в Α ι при i=l, 2, ... , η помещают в (m-\-i)-n
столбец (и в (|и-Н)-ю строку) в том же порядке, в каком
они располагались в строках (соответственно столбцах)
Α χ, а на их место ставится число m-\-i. Остается в правый
нижний угол частичного квадрата поставить А 2, чтобы
завершить построение А.
Построение В проводится аналогичным образом из Βχ
и 2?2> но только с использованием трансверсалей с
номерами п-\-1, 7г+2, ... , 2п. Квадраты А и В будут
латинскими, но не обязательно ортогональными. Всегда
можно получить пару О. л. к. порядка т-\-п при т=
=р*?НЗ, где ρ — нечетное, и п=(т—1)/2; показано,
как, используя приведенное выше построение, получить
пару О. л. к. порядка η при и==2 (mod 4), тг>6 (см. [2]).
Приложения О. л. к. в статистике, теории
информации и в теории планирования эксперимента требуют
построения О. л. к. специального вида и перенесения
понятия ортогональности на другие объекты. Так,
обобщением О. л. к. являются ортогональные таблицы.
Два частичных латинских квадрата одного порядка
наз. ортогональными, если при наложении
их друг на друга получаемые в клетках упорядоченные
пары будут все различны. Говорят, что частичный
латинский квадрат А вложен в латинский квадрат В,
если А совпадает с нек-рой подматрицей В (за
исключением пустых клеток А). Каждый квадрат из
множества попарно ортогональных частичных латинских
квадратов может быть вложен в латинский квадрат таким
образом, что полученные латинские квадраты будут
О. л. к. (см. [6]).
Лит.: [1] С а ч к о в В. Н., Комбинаторные методы
дискретной математики, М., 1977; [2] D έ η е s J., К е е d w е 1 1 A. D.,
Latin Squares and their applications, Bdpst, 1974; [3] X о л л М.,
Комбинаторика, пер. сангл., Μ., 1970; [4] Ρ а й з е ρ Г.-Д ж.,
Комбинаторная математика, пер. с англ., М., 196G; [5] Η е-
dayatA., SeidenE., «Pacif. J. Math.», 1977, v. 54, № 2,,
p. 85—113; [6] Lindner С h., «Proc. Amer. Math. Soc», 1976,
v. 59, № l, p. 184—86. B. M. Muxeee.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ — система
многочленов {Ρη(χ)}ι удовлетворяющих условию
ортогональности
Рп (χ) Ρ т (х) h (x) dx — Q, η φ т,
причем степень каждого многочлена Рп(х) равна его
индексу п, а весовая функция (вес) h(x)^Q на
интервале (а, Ь) или (в случае конечности а и Ъ) на отрез-

93 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
ке [α, b]. О, м. наз. ортонормированными
и обозначаются {Рп(х)}-> если каждый многочлен
имеет положительный старший коэффициент и
выполняется условие нормированности
\baP\(x)h(x)dx = i.
А если старший коэффициент каждого многочлена
равен 1, то система О. м. обозначается {Рп(х)}·
Система О. м. {Рп(х)} определяется однозначно,
если весовая функция (дифференциальный
вес) h(x) интегрируема по Лебегу на (а, &), не
эквивалентна нулю и, в случае неограниченного интервала
(а, Ъ), имеет конечные степенные моменты
rb
hn— \ xnh(x)dx.
Вместо дифференциального веса h(x) можно
рассматривать интегральный в е с do(x), где о(х)—
ограниченная неубывающая функция с бесконечным
множеством точек роста (б этом случае в условии
ортогональности интеграл понимается в смысле
Лебега — Стилтьеса).
Для того чтобы многочлен Рп(х) степени η входил
в систему О. м. {Рп{х)} с весом h(x), необходимо и
достаточно, чтобы для любого многочлена Qm (x)
степени т<д выполнялось условие
\baPn{x)Qm{x)h(x)dx = 0.
Если интервал ортогональности (а, Ь) симметричен
относительно начала координат, а весовая функция
h (x) четна, то каждый многочлен Рп(х) содержит только
те степени х, к-рые имеют одинаковую с номером η
четность, т. е. имеет место тождество
Ρη(-χ)^(-ψΡη(χ).
Нули О. м. в случае ортогональности по интервалу
(а, Ь) все действительны, различны и расположены
внутри (а, Ь), причем между двумя соседними нулями
многочлена Рп(х) есть один нуль многочлена Рп-Х(х).
Нули О. м. часто применяются в качестве узлов
интерполяционных и квадратурных формул.
Любые три последовательных многочлена системы
О. м. связаны рекуррентной формулой
где Ρ0(χ)=μ0,
Pi (*) = μι* + νι, ... ,
Ρη(χ)=μ„Χη + νηχ»-1+...,
αη = μη + ι/ίιη, ύη = αη(νη + 1/μη + 1 — νη/μη),
cn = »" + **~* .S-, dl=\bPl(x)h{x)dx.
Κ dn-i Jα
Число dn1 — нормирующий множитель многочлена
Рп(х), так что система {dn1Pn(x)} ортонормирована,
т. е.
dnXPn(x)=Pn(x).
Для О. м. имеет место формула Кристоф-
феля — Дарбу
2Lo irPk(*)PkW=
= ι μ» Pn+i(x)Pn(t)-Pn(x)Pn+t(t)
d"2 Hn + ι x~t
0. m. представляются через степенные моменты {h^}
весовой функции h(x) по формуле
ι
Ρη(χ)--
~Vbn-i&n
1>и(*)»
МНОГОЧЛЕНЫ
где
94
Ψ« (χ) =
К
K + i
1
-1 ^tt-2
X
h2tt-l
χη
а определитель Δ„_ι получается из ^п(х)
вычеркиванием последних строки и столбца, Ап определяется
аналогично.
На множестве многочленов Qn(x) степени η с
единичным старшим коэффициентом минимум
функционала
F (Qn) = γα Ql(x)h(x)dx
достигается тогда и только тогда, когда
Qn(x)^Pn(x),
причем этот минимум равен μ^ .
Если многочлены {Рп[х)} ортонормированы с
весом h(x) на отрезке [а, Ь], то при р>0 многочлены
Qn(t) = V"pPn(pt + q), л = 0, 1, 2, ...,
ортонормированы с весом h(pt-\-q) на отрезке [Л, В],
к-рый переходит в отрезок [а, Ь] в результате
линейного преобразования x=pt-{-q. Поэтому при изучении
асимптотич. свойств ортогональных многочленов
сначала рассматривается случай стандартного
отрезка [—1, 1], а затем полученные результаты
распространяются на другие случаи.
Наиболее важный класс О. м., встречающихся при
решении краевых задач математич. физики,
составляют т. н. классические ортогональные многочлены:
Лагерра многочлены {Ln(x; а)} (для них h(x)=xae~x,
α>—1, интервал ортогональности (0, оо)); Эрмита
многочлены {Нп(х)} (для них /&(я)=ехр(— х2),
интервал ортогональности (—оо, оо)); Якоби многочлены
'Рп{х\ α, β)} (для них Л(ж)=(1—ж)*(1+ж)Э, а>—1,
>—1, отрезок ортогональности [—1, 1]) и их
частные случаи: ультрасферические многочлены, или
многочлены Гегенбауэра {Ρη(χ·> α)} (для них а=г βΚ Ле-
жандра многочлены {Рп(х)} (для них α=β=0), Че-
бышева многочлены первого рода {Тп(х)} (для них
α=β= — V2) и второго рода {Un(x)} (для них а=
=β=ν2).
Весовая функция h(x) классических О. м. {Кп(х)}
удовлетворяет дифференциальному
уравнению Пирсона
W (х) _ Pq + PjX _А(х) С( .ν
h{x) ~~q0 + qiX + Q2X2 В (χ) ' ^tV^ °Ь
причем на концах интервала ортогональности
выполняются условия
lim h(x)B(x) = Urn h(x)B(x)=0.
Многочлен у=Кп(х) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
В (х) у'+[А(х) + В* (х)] у'-п lpx + (n + t) q2] y = 0.
Для классич. О. м. имеют место обобщенная
формула Родрига
*-(*> = й&&1* <*)*»(*)],
где сп — нормировочный коэффициент, и формулы
дифференцирования
^Ln(x; a) = — Ln-i{x; α+l), ~ Нп (χ) =2nffn.1 (x)y
^Ρη(χ; α, β)=γ(α + β + ιι + 1)Ριι_1(α5; α + 1, β + 1).

95
Для частных случаев классических О. м. имеют место
представления через гипергеометрич. функцию
Рп(х;а, β)=(" + α^(-η,η + α+β + 1;α + 1;±Γϊ),
P„(*) = f(-«, л + 1; 1; ^).
г„(*)=*■(-». "; -f; ίτ)'
£7„ (*) = (» + !)*(-». re+ 2; γ, Ι^ϊ)
и через вырожденную гипергеометрич. функцию
Ln(x) = n\ Φ (—re; 1; χ),
я*,(*) = (-1)»^ф(-»;1-; *2)·
tf2„+^) = (-i)»^a>(-n;-f-;*2)·
Исторически первым примером О. м. были
многочлены Лежандра. Затем были введены многочлены
Чебышева, общие многочлены Якоби, многочлены
Эрмита и Лагерра. Все эти классич. О. м. играют
важную роль во многих прикладных вопросах.
Общая теория О. м. была построена П. Л. Чебыше-
вым. При этом в качестве основного аппарата
исследования применялось разложение интеграла
Ja x-t
в цепную дробь; знаменатели подходящих дробей этой
цепной дроби образуют систему О. м. на интервале
(а, Ь) с весом h{t).
При изучении О. м. большое внимание уделяется
их асимптотич. свойствам, ибо от этих свойств зависят
условия сходимости рядов Фурье по О. м.
Асимптотич. свойства классических О. м. впервые
исследовал В. А. Стеклов в 1907 (см. [8], с. 218). При
этом он применил и усовершенствовал метод Лиувилля,
к-рый ранее использовался для изучения решений
уравнения Штурма — Лиувилля. В дальнейшем
метод Лиувилля — Стеклова применялся во многих
работах, в результате чего к настоящему времени
(1983) подробно изучены асимптотич. свойства О. м.
Якоби, Эрмита, Лагерра.
В общем случае ортогональности на отрезке [—1, 1]
с произвольным весом, удовлетворяющим нек-рым
качественным условиям, асимптотич. формулы для
О. м. впервые получил Г. Сегё (G. Szego) в 1920—24.
При этом он ввел "многочлены, ортогональные на
окружности, изучил их основные свойства и нашел
весьма важную формулу, представляющую
многочлены, ортогональные на отрезке [—1, 1], через
многочлены, ортогональные ла окружности. А для
исследования асимптотич. свойств многочленов,
ортогональных на окружности, Г. Сегё разработал метод,
основанный на специальном обобщении теоремы Фейера
о представлении неотрицательных тригонометрич.
полиномов с использованием методов и результатов
теории аналитич. фуккдий.
В 1930 С. Н. Бернштейн [2] для исследования
асимптотич. свойств О. м. применил методы и результаты
теории приближения функций. Он рассмотрел случай
весовой функции вида
h(x)=J±¥L, χζ(-ί, 1), (1)
V 1-х2
где функция h0(χ), наз.
тригонометрическим весом, удовлетворяет условию
0 < сх «ς h0 (χ) ^ с2 < оо.
МНОГОЧЛЕНЫ 96
Если функция k0(x) на всем отрезке [—1, 1]
удовлетворяет условию Дин и — Липшица
порядка γ=1+ε, где ε>0, то есть
\Κ(* + δ)-Κ(χ)\^ М , χ, χ + δ^Ι-ί, 1],
I in ι о ι г
то для многочленов {Рп(х)}, ортонормированных
с весом (1) на всем отрезке [—1, 1], имеет место
асимптотич. формула
р» <*>=/ΐ5cos (κθ+9)+° ί^] ·
где 6=arccos x, a q зависит от θ.
При исследовании сходимости рядов Фурье по О. м.
возникает вопрос об условиях ограниченности О. м.
либо в отдельной точке, либо на нек-ром множестве
Аа[—1, 1], либо на всем отрезке ортогональности
[—1, 1], т. е. рассматриваются условия, при к-рых
имеет место неравенство типа
\Рп(х) |<М, χζΑ^Ι-ί, 1] (2)
Впервые такой вопрос поставил В. А. Стеклов (1921).
Если тригонометрич. вес hQ(x) на множестве А
ограничен от нуля, т. е.
h0(x)^cs>0, χζΑ^Ι-ί, Ι], (3)
и удовлетворяет нек-рым дополнительным условиям,
то неравенство (2) имеет место. А в общем случае из
неравенства (3) при А = [— 1, 1] без дополнительных
условий следует оценка
\Pn(*)\<*nVn, гп—>0, *€[-1, 1]. (4)
Нули весовой функции являются особыми точками
в том смысле, что свойства последовательности
{Рп(х)} существенно различны в нулях и в других
точках интервала ортогональности. Пусть, напр.,
весовая функция имеет вид
Μ*) = ^=ΠΙ*-**ΙΤ*' ν*>ο, **€(-ι, 1).
k— 1
Тогда если функция 1ιλ(χ) положительна и
удовлетворяет условию Липшица на [—1, 1], то
последовательность {Рп(х)} ограничена на всяком отрезке [а, Ь]а
с[—1, 1], не содержащем точек {xk}, а в нулях
выполняются неравенства
\Рп(*к)\<с*(п + 1) k/\ * = 1, 2, ..., т.
Случай, когда нули весовой функции расположены
на концах отрезка ортогональности, рассмотрел
С. Н. Бернштейн [2]. Один из его результатов
заключается в том, что если весовая функция имеет вид
h{x)=h1(x)(i-x)<*(i+x)V, *€[-1, 1],
где функция hx(x) положительна и удовлетворяет
условию Липшица, то при α>—1/2, β>—V2 О. м.
допускают весовую оценку
(1 _*)■/» + !/« (1+х)Р/« + »/«|^в(а!)|<е5| я€М> 1Ь
а в точках х= ±i возрастают со скоростью па+ /2 и
Агр + 1/2 соответственно.
В теории О. м. часто рассматриваются т. н. теоремы
сравнения. Так, напр., теорема сравнения
К о ρ а у с а: если многочлены {ωη(χ)},
ортогональные с весом р(х) на отрезке [я, Ь], равномерно
ограничены на нек-ром множестве Acz[a, Ь], то на этом
множестве ограничены также и многочлены {Рп(х)},
ортогональные свесом h(x)=p (x)q (x), где множитель
q(x) положителен и удовлетворяет на отрезке [а, Ь]
ОРТОГОНАЛЬНЫ!

97
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
98
условию Липшица порядка а=1. Аналогично, при
нек-рых условиях на множитель q {χ) с системы
{ωη(χ)} на систему {Рп{х)} переносятся асимптотич.
формулы или другие асимптотич. свойства. Более
того, если множитель q(x) есть неотрицательный на
отрезке [а, Ь] многочлен степени т, то многочлены
{Рп(х)} представляются через многочлены {ώ„(ζ)}
с помощью определителей порядка wi+Ι (см. [8] с. 42).
Эффективные формулы для О. м. получены также в
случае весовых функций вида
ι У 1-х2 /~1~χΓ ι
Qm (χ) VT^x* ' Qm(x) ' V 1+xQmW
где Qm (χ) — произвольный положительный на
отрезке [—1, 1] многочлен (см. [8] с. 44). А в большинстве
случаев вычисление О. м. произвольного веса при
больших номерах η затруднительно.
Лит.: [1] Ч е б ы ш е в П. Л., Поли. собр. соч., т. 2, М.—Л.,
1947, с. 103—26, 314—34, 335—41, 357—74; [2]Бернштейн
С. Н., Собр. соч., т. 2, М., 1954, с. 7—106; [3] Геронимус
Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.—Л., 1950; [4]
Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены,
2 изд., М., 1979; [5] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б.,
Специальные функции математической физики, М., 1978; [6J
Бейтмен Г., Эрдейи Α., Высшие трансцендентные
функции, т. 2 — Функции Бесселя, функции параболического
цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М.,
1974; [7] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные
полиномы, пер. с англ., М., 1948; L81 Сеге Г., Ортогональные
многочлены, пер. с англ., М., 1962; [9] Справочник по специальным
функциям..., пер.с англ., М., 1979; [10] S h о h a t J. Α., Η i 1-
le Ε., Walsh J. L., A bibliography on orthogonal
polynomials, Wash., 1940. П. К. Суетин
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ в
комплексной области — общее название
многочленов, ортогональных на окружности, по контуру
или по площади. В отличие от случая
ортогональности в действительной области, многочлены
указанных трех систем могут иметь мнимые
коэффициенты и рассматриваются при всех комплексных
значениях независимого переменного. Характерной
особенностью случаев ортогональности в комплексной
области является тот факт, что в ряды Фурье по
указанным системам разлагаются обычно аналитич.
функции комплексного переменного, удовлетворяющие нек-
рым дополнительным условиям в окрестности границы
области аналитичности.
1)0. м. на окружност и—система
многочленов {φη(ζ)}, имеющих положительный старший
коэффициент и удовлетворяющих условию ортогональности
(обычно ортонормированности):
где μ(θ) — ограниченная неубывающая на сегменте
[0,2π] функция с бесконечным числом точек роста,
наз. функцией распределения, а Ьпт~
символ Кронекера. Аналогично случаю
ортогональности на отрезке, для многочленов {φη(ζ)} имеют место
рекуррентное соотношение и аналог формулы Крис-
тоффеля — Дарбу.
Асимптотич. свойства исследуются при условии
ξ 2οπ In μ' (θ) dQ > — οο.
Случай ортогональности на окружности как перио-
дич. случай изучен достаточно подробно, поскольку
здесь успешно применяются результаты о
приближении периодических функций тригонометрическими
полиномами.
Пусть многочлены {Рп(х)} ортонормированы на
сегменте [ —1, 1] с дифференциальным весом h(x), a
весовая функция на окружности имеет вид
μ' (Θ) = Λ (cos θ) I sin θ |.
Тогда при условии ·τ=2 (ζ+7~) имеет место ф о р-
мула Сегё
рп и= κέ[ι+Φ^]·1/2[>^)+^(4-)].
где а2п — старший коэффициент многочлена φ2η(ζ).
Если аналитическая в круге |ζ|<1 функция /(ζ)
имеет угловые граничные значения на окружности
|ζ| = 1, то при нек-рых дополнительных
предположениях справедливо разложение
^ζ)=ΣΓ=οα"φ"(ζ)' |ζ|< *· (1)
коэффициенты к-рого определяются по формуле
а«=ш S Τ/(еШ) ^7Γθ) άμ (θ)·
Ряды вида (1) являются непосредственным обобщением
рядов Тейлора: при μ(θ)=θ будет φη(ζ)^ζη. При
нек-рых условиях на функцию распределения μ(θ)
ряд (1) в точках окружности \ζ\ =1 сходится или
расходится одновременно с рядом Тейлора этой же
функции /(ζ), τ. е. имеет место теорема о равносходимости
этих двух рядов.
2) О.м. по контуру — система многочленов
{Ρη(ζ)}·> имеющих положительный старший
коэффициент и удовлетворяющих условию
где Г — спрямляемая жорданова (обычно замкнутая)
кривая в комплексной плоскости, а весовая функция
h (z) интегрируема по Лебегу и почти всюду
положительна на Г.
Пусть в конечной односвязной области G,
ограниченной кривой Г, задана аналитич. функция /(г),
граничные значения к-рой на контуре Г интегрируемы
в квадрате с весом h (z). Тогда с помощью формулы для
коэффициентов
этой функции ставится в соответствие ряд Фурье по
ортогональным многочленам:
ΣΓ=οα"Ρη(ζ)· (2)
Эти ряды являются естественным обобщением рядов
Тейлора по свойству ортогональности на случай одно-
связной области и служат для представления
аналитич. функций. Если выполняется условие
полноты
inf \ h(z)\f{z)-Qn(z)\*\dz\=0,
где нижняя грань берется по множеству всех
многочленов Qn{z), то ряд (2) сходится к функции f(z) в
среднем по контуру Г с весом h (ζ), а при нек-рых
дополнительных условиях и равномерно внутри области G.
3) О.м. по площади — система многочленов
{Κη(ζ)}, имеющих положительный старший
коэффициент и удовлетворяющих условию
^ G Kn (z) Km (z) h (z) dx dy = bnm,
где весовая функция h (ζ) неотрицательна,
интегрируема по площади конечной области G и неэквивалентна
нулю. Если имеет место условие полноты
inf CC h(z)\f(z)-Qn(z)\*drdy = 0,
{Q/i)J JG
где нижняя грань берется по множеству всех мвогочле-
^4 Математическая энц., т. 4

99
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ
too
нов Qn(z), то ряд Фурье по многочленам {Kn(z)}
функции /(ζ), аналитической в односвязной области G
сходится к этой функции в среднем по площади
области G с весом h(z), а при нек-рых дополнительных
условиях и равномерно внутри области G.
Лит.: [1] Szego G., «Math. Z.», 1920, Bd 6, S. 167—202;
1921, Bd 9, S. 167—90, 218—70; [2] С а г 1 e m a n Т., «Ark. for
mat., astr. ochfys.», 1922—23, Bd 17, № 9, S. 1—30; [3] С е г еГ.,
Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [4] Гер о-
н и м у с Я. Л., Многочлены, ортогональные на окружности и
на отрезке, М., 1958; [5] Смирнов В. И., «Журнал
Ленинградского физико-матем. об-ва», 1928, т. 2, в. 1, с. 145—79;
[6] К о ρ о в к и н П. П., «Матем. сб.», 1941, т. 9, № 3, с. 469—
4 85; [7] С уетцн П. К., «Успехи матем. наук», 1966, т. 21, в. 2,
с. 41—88; [8] е г о же, «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1971, т.
100, с. 1—96. П. К. Суетин.
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС — система попарно
ортогональных элементов еь е2, . . ., еп, . . . гильбертова
пространства X такая, что любой элемент х£Х
однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда
r = 2/W»
наз. рядом Фурье элемента χ по
системе {е[). Обычно базис {е/} выбирается так, что
lki||= 1, и тогда он наз. ортонормированным
базисом. В этом случае числа Q, наз.
коэффициентами Фурье элемента χ по ор-
тонормированному базису {б?/}, имеют
вид cj=(x, ei). Необходимым и достаточным условием
того, чтобы ортонормированная система {е/} была
базисом, является равенство Парсеваля —
С τ е к л о в а
Σ,κ*. е/)12ни2
для любого χζΧ. Гильбертово пространство,
имеющее ортонормированный базис, является сепарабель-
ным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом
пространстве существует ортонормированный базис.
Если задана произвольная система чисел {сг·} такая,
что Σ/| с/12 <оо, то в случае гильбертова пространства
с базисом{*,·} ряд 2гс/вг· сходится по норме к нек-ро-
му элементу х£Х. Этим устанавливается изоморфизм
любого сепарабельного гильбертова пространства
пространству 12 (теорема Рисса — Фишера).
Лит.: [1] Люстерник Л. Α., Соболев В. И.,
Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] К о л м о-
г о ρ о в А. Н., Фомин СВ., Элементы теории функций и
функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] А х и е-
з е ρ Η. И., Г л а з м а н И. Μ., Теория линейных операторов в
гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966. В. И. Соболев.
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТОР, ортопроек-
т о р,— отображение Pi гильбертова пространства Η
на его подпространство L такое, что χ—Ριχ
ортогонально Pi\ x—Pix\J>ix. О. п. есть ограниченный
самосопряженный оператор, действующий в
гильбертовом пространстве Я, и такой, что Pl=Pl и H^zJI—l·
Обратно, если дан ограниченный самосопряженный
оператор, действующий в гильбертовом пространстве
Ы, и такой, что Р2=Р, то LP= {Ρχ\χζΗ} является
подпространством и Ρ есть О. п. на LP. Два О. п.
Ри-> Ри наз· ортогональными, если ΡιχΡι^=
= ΡL*PLx^fy это эквивалентно условию, что L1_LL2·
Свойства О. п.: 1) для того чтобы сумма Pix-\-Pu
двух О. п. была О. п., необходимо и достаточно, чтобы
PlxPu=^ в этом случае ΡLx+Ρи-= ΡL^ u; 2) для
того чтобы композиция ΡιχΡι^ была О. п.,
необходимо и достаточно, чтобы PixPi^=PuPl^ в этом
случае Ρ lxP и= Ρ l^w
О. п. PL, наз. частью О. п. Ρ ι, если V есть
подпространство L. При этом Pi—Pjj является О. п.
на L—V— ортогональное дополнение к L' в L. В
частности, I—Pl есть О. п. на H—L.
Лит.: [1] Люстерник Л. Α., Соболев В. И.,
Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Ахи е-
зер Н. И., ГлазманИ. М,% Теория линейных операторов в
гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [3] Рисе Ф.,
Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному
анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979. В. И. Соболев.
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД — ряд вида
Ση=0αηΨη(χ), *6*>
(1)
$ХФ/(*)Ф/МФ(*)=! 1
где {φη(χ}} — ортонормированная система функции
(онс) относительно меры μ(χ):
0 при ι Φ U
при i = j.
Начиная с 18 в. при изучении различных вопросов
математики, астрономии, механики и физики
(движение планет, колебание струн, мембран и др.) в
исследованиях Л. Эйлера (L. Euler), Д. Бернулли (D.
Bernoulli), А. Лежандра (A. Legendre), П. Лапласа (Р.
Laplace), Φ. Бесселя (F. Bessel) и др. эпизодически
появляются нек-рые специальные онс и разложения
функций по ним. Определяющее же влияние на
становление теории О. р. оказали:
а) исследования Ж. Фурье (J. Fourier, 1807—22)
(Фуръе метод решения краевых задач уравнений мате-
матич. физики) и в связи с ними работы Ж. Штурма
и Ж. Лиувилля (J. Sturm, J. Liouville, 1837—41);
б) исследования П. Л. Чебышева по
интерполированию и проблеме моментов (сер. 19 в.), повлекшие за
собой создание им общей теории ортогональных
многочленов',
в) исследования Д. Гильберта (D. Hubert, нач.
20 в.) по интегральным уравнениям, где, в частности,
были установлены общие теоремы о разложении
функций в ряд по онс;
г) создание А. Лебегом (Н. Lebesgue) теории меры
и интеграла Лебега, придавшие теории О. р.
современный вид.
Активному развитию теории О. р. в 20 в.
способствует применение онс функций и рядов по ним в самых
разнообразных разделах науки (математич. физика,
вычислительная математика, функциональный
анализ, квантовая механика, математич. статистика, one-
рационное исчисление, автоматич. регулирование и
управление, различные технич. задачи и т. п.).
Характерные результаты и направления исследований
в теории О. р.
1) Пусть Х=[а, Ь], άμ(χ)=άχ — мера Лебега и
{фп} — онс· Тогда если /gL2(a, b), то числа
*п (/) = (/» Фп) = )а f (х) Фп И dx
наз. коэффициентами Фурье, а ряд (I)
с ап=ап(1) — рядом Фурье функции / по
системе {φ„}.
Система {φ„} замкнута относительно
пространства L2, если для любой функции f£L2 и любого
числа ε>0 найдется полином
φ(χ) = Ση = 0°ηψη(χ)
такой, что норма ||/—Φ||2<ε. Система {φ„} полна
относительно L2, если из условий /£L2 и an(f)=0 при
всех гс^О следует, что f(x)=0 почти всюду, т. е. / —
нулевой элемент пространства L2.
Если для нек-рой функции /ζ£2 выполняется
равенство
2Г=оа'(/)=К/2(ж)<га;' (2)
то говорят, что функция / удовлетворяет условию
замкнутости Ляпунова — Стеклова
(или равенству Парсеваля). Это условие
эквивалентно сходимости частных сумм ряда Фурье
от / по норме пространства L2 к функции /.

101 ортогонал
Аналогично даются определения замкнутости,
полноты и условия замкнутости для более общих
пространств и мер.
Одним из важнейших вопросов теории О. р.
является вопрос однозначного определения функции по
ее коэффициентам Фурье. Для пространств L2 он
самым тесным образом связан с выполнением равенства
(2) для всех функций /ζΖΑ
Для случая тригонометрич; системы равенство (2)
в 1805 было приведено (фактически без доказательства)
М. Парсевалем (М. Parseval), а в 1828 Ф. Бессель
установил, что
2"=04(/)<$*/2(*М* (3)
неравенство Бесселя). В 1896 А. М.
Ляпунов доказал равенство (2) для интегрируемых по
Риману функций, а йотом П. Фату (P. Fatou) для
случая /£ΖΛ
В. А. Стекловым (1898—1904) был поставлен
вопрос о замкнутости общих онс и положительно решен
для многих ортогональных систем (сферич. функции,
собственные функции оператора Штурма — Лиувилля,
системы ортогональных многочленов Эрмита, Лагер-
ра, функции Ламе и др.).
Что касается неравенства (3), то оно оказалось
справедливым для произвольных онс и функций /ζΖΑ
В 1907 ф. Рисе (F. Riesz) и Э. Фишер (Е. Fischer)
доказали, что для любой онс {φη} и любой
последовательности чисел {%}ζ^2 найдется функция /GZ,2,
для к-рой αη (/)==(/, φη) = αη и выполнено равенство (2).
Из этой теоремы и неравенства Бесселя вытекает, что
для любых онс полнота и замкнутость эквивалентны
в пространстве L2; замкнутость в пространствах LP
с 1<р<оо эквивалентна полноте в пространстве Lv\
где 1уУ + 1/р=1 (С. Банах, S. Banach, 1931).
Неравенство Бесселя и теорема Рисса — Фишера
были распространены Г. Харди (G. Hardy), Дж. Литл-
вудом (J. Littlewood) и Р. Пэли (R. Paley) на
пространства LP. Именно, пусть {φ„} — онс, \φη(χ)\<Μ
и 1<р<2. Тогда:
а) если /£Ζ/\ то
ΣΓ=1Κ/, Ψη)\ρηΡ-*<:Α ц/iig;
б) если дана последовательность {ап} с
то найдется функция f£Lp , для к-рой (/, (рп)=-ап
и ||/||р'<:Л/, где А зависит лишь от ρ и М.
2) Другой крупной проблемой теории О. р. является
вопрос разложения функции в ряд по простым
функциям, сходящийся к ней по норме того или иного
пространства. Система элементов {φ„} из В-прост-
ранства Ε наз. базисом (безусловным
базисом), если каждый элемент f£E единственным
образом представляется в виде ряда
сходящегося (безусловно сходящегося) к / по норме
пространства Е.
Если {φ„} — базис в Е, то an(f) являются
линейными непрерывными функционалами в пространстве Ε
и в случае E — Lp(Q, 1) с 1<р<оо имеют вид
an(f)=Y0f(t)V>n(t)dt,
гДе Ь\>п) — базис пространства LP' (0, 1), {φ„, ψ„} —
биортонормированная система (С. Банах). В
частности, если φΛΞ=Ξψ„, то есть {φη} — онс, то ортого-
1ЫЙ РЯД 1°2
нальный базис в Lp автоматически является базисом
во всех пространствах Z/, где г — любое число между
ρ и р\ „г
Исследования по указанной проблеме ведутся в двух
направлениях:
а) по заданной онс {φη} находятся те пространства,
в к-рых {φ„} является базисом;
б) для заданного пространства Ε отыскиваются
в нем базисы или ортогональные базисы.
В обоих случаях исследуется взаимосвязь свойств
функции / и ее разложения.
Что касается тригонометрич. системы, то она не
является базисом пространства непрерывных функций С
(П. Дюбуа-Реймон, P. Du Bois Reymond, 1876), но
является базисом в пространствах Lp с 1<р<оо (М- Рисе,
М. Riesz, 1927). Результат П. Дюбуа-Реймона был
распространен на любые ограниченные в совокупности онс
Ортонормированная система многочленов Лежандра
является базисом в пространствах Lp при р£(4/з> 4)
и не является таковой в остальных пространствах 1Я
(1946—52, X. Поллард, Н. Pollard, Дж. Нейман,
J. Neumann, и В. Рудин, W. Rudin).
В 1910 была построена онс (xw}m=o такая, что
всякая непрерывная функция f£C(Q, 1) единственным
образом раскладывается в равномерно сходящийся
ряд Фурье по этой системе (А. Хаар, А. Нааг). Однако
система Хаара {%т} не является базисом пространства
С (0,1), т. к. функции %т разрывны при т>1.
Проинтегрировав систему {хт}, Г. Фабер (G. Faber, 1910)
установил, что система
</»(')}^{ΐ, \[tm(x)d*}
является базисом в пространстве С (0,1) и тем самым
был найден первый базис в пространстве непрерывных
функций. Этот результат Г. Фабера был переоткрыт
Ю. Шаудером (J. Schauder, 1927), к-рый указал также
класс базисов пространства С (0,1) типа базиса {/„};
в честь последнего и введен термин «базис Шаудера»,
хотя более справедливо было бы называть его «базис
Фабера — Шаудера».
Построенные Г. Фабером и Ю. Шаудером базисы не
являются ортогональными. Первый ортонормированный
базис {Fn} в пространстве С (0,1) был найден Ф.
Франклином (Ph. Franklin, 1928), к-рый проортогонали-
зировал методом Шмидта систему Фабера — Шаудера
{/„} и получил {Fn}. На этом пути (ортогонализация
и интегрирование) был введен и изучен новый класс
базисов. Все ортонормированные базисы пространства
С (0,1) автоматически являются базисами во всех
пространствах Lp с 1<р<оо.
Система Хаара {%т} является безусловным базисом
во всех пространствах Lp с 1<р<оо (1931—37, Р.
Пэли, Ю. Марцинкевич, J. Marcinkiewicz). Аналогичный
результат имеет место и для системы {Fn} Франклина.
В пространствах С и L вообще нет безусловных
базисов. Точно также не существует нормированных и
ограниченных в совокупности безусловных базисов
в пространствах Lp при 1<р<оо и ρ Φ 2.
3) Большой цикл исследований проведен по
проблеме сходимости почти всюду тригонометрических и
ортогональных рядов.
В 1911 Η. Η. Лузин построил первый пример почти
всюду расходящегося тригонометрич. ряда,
коэффициенты к-рого стремятся к нулю. Такого типа ряд
Фурье был построен А. Н. Колмогоровым (1923).
Результат Η. Η. Лузина был распространен на
произвольные полные онс, а результат А. Н. Колмогорова
обобщен на множества положительной меры для
ограниченных в совокупности онс.
4*

103
ОРТОМОДУЛЯРНАЯ РЕШЕТКА
104
Неотрицательная последовательность {ω(η)} с
о>(гс0)>0 и ω(η)\ наз. множителем Вейля
для сходимости почти всюду рядов по системе {φπ},
если всякий ряд (1) сходится Почти всюду на Х=[0,1],
как только
У) а\(д (п) < оо.
Если ω(η)==1 является множителем Вейля, то {φ„}
наз. системой сходимости почти в с ю-
д у. Последовательность {ω(η)} наз. точным
множителем Вейля для сходимости почти
всюду рядов (1), если {ω(л)} — множитель Вейля,
а всякая τ(η)=ο(ω(η)) при п-^оо уже не является
таковой. Аналогично даются определения
множителей Вейля для тех или иных видов сходимости и
суммируемости (по мере, безусловная сходимость почти
всюду и др.).
Множители Вейля были найдены для тех или иных
систем. В 1913 М. Планшерель (М. Plancherel) доказал,
что {log3^} является множителем Вейля для
сходимости почти всюду рядов по любым онс {φπ}, в 1922
Д. Е. Меньшов и X. Радемахер (Н. Rademacher)
установили, что в качестве множителя Вейля можно взять
{log2Ai}. И что особенно важно, Д. Е. Меньшов доказал
неусиляемость этого результата во всем классе онс,
т. е. {log2ji} является точным множителем Вейля для
нек-рых онс.
Впоследствии были найдены необходимые и
достаточные условия того, чтобы {ω(η)} была множителем
Вейля для сходимости или (СД)-суммируемости почти
всюду (по мере и др.) О. р. Было показано, напр.,
что система {sign sin πηχ) не является системой
сходимости почти всюду. В 1975 была построена первая
полная онс {φπ} строгой сходимости, т. е. ряд (1)
сходится почти всюду на Х = [0,1] тогда и только тогда,
когда {ап}£12.
В 1927 установлено, что последовательность ω(η)=
=τ(/ι) log2/i является множителем Вейля для
безусловной сходимости почти всюду любых О. р., если
< оо.
^η=η0ητ(η)ι°8η
Этот результат оказался неусиляемым.
В 1960 было показано, что система Хаара {χη} не
является системой безусловной сходимости почти
всюду. На основе этого результата было доказано,
что многие системы (базисы в L2, полные онс и др.)
не являются системами безусловной сходимости почти
всюду. Для системы {%т} последовательность {ω(и)}
лишь тогда является множителем Вейля для
безусловной сходимости почти всюду, когда
Σ со
п = п<)
1
ηω (η)
< оо.
Поэтому не всякая полная онс имеет точный
множитель Вейля для безусловной сходимости почти всюду.
Много исследований было проведено по проблеме
представления функций рядами, сходящимися почти
всюду, по мере и др. Так, в 1957 было установлено, что
для любой полной онс {φπ} с х£Х = [0,\] и любой
измеримой функции f(x) найдется ряд вида (1), к-рый
сходится по мере к f(x) (для случая тригонометрич.
системы это утверждение было получено в 1947 Д. Е.
Меньшовым). Этот результат теряет силу даже для
случая конечных измеримых функций, если вместо
сходимости по мере рассматривать сходимость почти
всюду.
Лит.: [1] Лузин Η. Η., Интеграл и тригонометрический
ряд, М.—Л., 1951; [2] Банах С, Курс функционального ана-
Л1'зу, К., 1948; [3] Г е ρ о н и м у с Я. Л., Теория
ортогональных многочленов, М.— Л., 1950; [4] К а ч м а ж С, Штейн-
га уз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958,
[5} Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы,
пер. с англ., М., 1948; [0] Gere Г., Ортогональные
многочлены, пер. с англ., М., 1962; [7] А л е к с и ч Г., Проблемы
сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1963; [8] Τ г i-
comi F. G., Vorlesungen iiber Orthogonalreihen, 2 Aufl., В.,
1970; [9j О 1 e ν s k i ί Α. Μ., Fourier series with respect to
general orthogonal systems, В., 1975; [10] Μ e н ь ш о в Д. Е.,
Ульян о в П. Л., О метрической теории функций в Московском
университете за пятидесятилетие, «Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1.
Математика, механика», 1967, № 5, с. 24—36; [11] Тала-
л я н Α. Α., Представление измеримых функций рядами,
«Успехи матем. наук», 1960, т. 15, в. 5, с. 77—141; [12] Ульянов
П. Л., Решенные и нерешенные проблемы теории
тригонометрических и ортогональных рядов, там же, 1964, т. 19, в. 1, с. 3—
69; [13] Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971,
с. 5—264; [14] Б у ρ б а к и Н., Очерки по истории математики,
пер. с франц., М., 1963; [15] Π а п л а у с к а с А. Б.,
Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега, М., 1966.
ОРТОМОДУЛЯРНАЯ РЕШЕТКА — решетка с
нулем (0) и единицей (1), в к-рой для любого элемента а
существует ортодополнение а^-, т. е. такой
элемент, что
1) а\/а1- = 1; ала-^ — О; α11 = α;
2) α<6 —> aL^bL,
и выполняется ортомодулярный закон:
3) а<,Ъ => & = αν(&Λ0Χ).
В О. р. исследовались в основном дистрибутивность
и перспективность, неприводимость, модулярность пар,
свойства центра и идеалов, коммутант и разрешимость,
приложения к логике квантовой механики (см. [1],
[2]).
Если 21 — произвольная Неймана алгебра, то
совокупность Ρ (Щ всех ее проекций является полной
О. р. При этом, если 21 — фактор, то на множестве
Ρ (Щ можно определить размерности функцию. В
зависимости от множества значений этой функции
факторы делятся на типы 1„, 1^, IIX, ΙΙ«,, III
(классификация Муррея — Неймана, [4]). Было установлено, что
решетки проекций факторов типа \п и П1 являются
непрерывными геометриями, т. е.
полными дедекиндовыми решетками с дополнениями,
удовлетворяющими следующим двум аксиомам
непрерывности:
1) bA(Vаа)= V (ЬАаа) для любого направленного
aeD aeD
множества индексов D и такого множества элементов
Ια~·, a G D\, что a'<;a" влечет α„,<α„„\
у ОС ^* / ОС ОС
2) условие, двойственное к 1).
Возникла задача построения абстрактной теории
размерности в рамках такого класса решеток, к-рый
включил бы в себ^я, кроме модулярных решеток
проекций факторов типов \п и IIt, и немодулярные
решетки проекций факторов остальных типов. Доказано
(см. [5], [6]) существование функции размерности на
полной О. р. с отношением эквивалентности,
удовлетворяющим нек-рым дополнительным условиям. Этот
класс решеток включает в себя и решетки проекций
факторов, и непрерывные геометрии.
О. р., являясь естественным обобщением решеток
проекций факторов, в то же время составляют
существенно более широкий класс, поскольку многие
свойства решеток проекций неверны для произвольных
О. р. Подобно тому как непрерывные геометрии коор-
динатизируются регулярными кольцами (см. [1]), О. р.
могут быть координатизированы бэровскими
♦-полугруппами. Если полная О. р. модулярна, то она
непрерывна (см. [7]). Существует модулярная решетка с
ортодополнениями, пополнение сечениями к-рой не орто-
модулярно (в то время как пополнение сечениями
полумодулярной решетки с ортодополнениями полу-
модулярно, и решетка проекций алгебры Неймана
полумодулярна).

105
ОСНАЩЕННОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
106
Лит.- [1] С к о ρ н я к о в Л. Α., Дедекиндовы структуры с
дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [2J Итоги науки.
Алгебра. Топология. Геометрия, 1968, М., 1970; [3] Φ ο φ а н о-
в а Т. С, в сб.: Упорядоченные множества и решетки, в. 3,
[Саратов], 1975, с. 28—40; [4] Murray F., Neumann J.,
«Ann. Math.», 1936, v. 37, № l,p. 116—229;][5] LoomisL.H.,
«Mem. Amer. Math. Soc», 1955, № 18, p. 1—36; [6] Μ a e d a S.,
«J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. Α.», 1955, v. 19, № 2, p. 211 — 37;
L7] К a p 1 a n s k у I., «Ann. Math.», 1955, v. 61, № з, р. 524—
541. Т. С. Фофанова.
ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА -1) О. с. в е к-
торов — множество {#а} ненулевых векторов
евклидова (гильбертова) пространства со скалярным
произведением (· , ·) такое, что (ха, χβ)=0 при α#β
(ортогональность) и (ха, яа) = 1 (нормируемость).
М. И. Войцеховский.
2) О. с. функций — система {(рг(#)} функций
пространства L2(X, S, μ), являющаяся одновременно
ортогональной и нормированной в L2(X, S, μ), то
есть
0 при i Φ /,
1 при i — j
(см. Нормированная система, Ортогональная
система). В математич. литературе часто термин
«ортогональная система» означает «ортонормированная
система». При исследовании данной ортогональной
системы ее нормированность не играет существенной
роли. Тем не менее нормированность систем дает
возможность более ясной формулировки нек-рых теорем
о сходимости рядов
$ χ Φι (*)<Ру И 4^
X
= 1 ck<PkH
в терминах поведения коэффициентов {ck}. Такой
теоремой является, напр., теорема Рисса-Фи-
ш е ρ а: ряд
ς:.
сш и
по ортонормированной в L2\a, b] системе {φ&(·ζ)}?=ι
сходится в метрике пространства L2[a< b] тогда и только
тогда, когда
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Фомин СВ.,
Элементы теории функций ή функционального анализа, 5 изд., М.,
1981; [2] К а ч м а ж С, Ш τ е й н г а у з Г., Теория
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958. А. А. Талалян.
ОРТОЦЕНТР треугольника — точка
пересечения трех высот треугольника. О. треугольника
лежит на Эйлера прямой. Середины трех сторон,
середины отрезков, соединяющих О. с тремя вершинами,
и основания высот треугольника лежат на одной
окружности. О. является центром окружности, вписанной
в ортоцентр ический треугольник,
т. е. треугольник, вершинами к-рого являются
основания ВЫСОТ даННОГО. Я. С. Моденов.
ОСВЕЩЕНИЯ ЗАДАЧА — задача определения
минимального числа направлений пучков параллельных
лучей или числа источников, освещающих всю границу
выпуклого тела. Пусть К — выпуклое тело п-мерного
линейного пространства R", a bd К и int К —
соответственно граница и внутренность его, причем bd К Φ
ФФ. Наиболее известны следующие О. з.
1) Пусть I — нек-рое направление в пространстве
R". Точка Tgbd К наз. освещенной извне
направлением Z, если прямая, проходящая
через χ параллельно I, проходит через нек-рую точку
*/£int К и направление вектора ху совпадает с I.
Ищется минимальное число с (К) направлений в
пространстве R", достаточное для освещения в этом смысле
всего множества bd К.
2) Пусть ζ — нек-рая точка множества Rn\K.
Точка х£Ъа К наз. освещенной извне
точкой ζ, если прямая, определяемая точками ζ и #,
проходит через нек-рую точку у ζ int К π векторы ху
и zy одинаково направлены. Ищется минимальное
число с' (К) точек из Rn\K, достаточное для
освещения в этом смысле всего множества bd К.
3) Пусть ζ — нек-рая точка множества bd К. Точка
х£Ъа К наз. освещенной изнутри
точкой ζφχ, если прямая, определяемая точками z и ж,
проходит через нек-рую точку г/ζ int К и векторы
—>- —»-
ху и zy противоположно направлены. Ищется
минимальное число ρ (К) точек из bd К, достаточное для
освещения изнутри всего множества bd К.
4) Система точек Z= {z|zgbd К} наз.
фиксированной для К, если она обладает свойствами:
a) Ζ достаточна для освещения изнутри всего множества
bd К; б) Ζ не обладает никаким собственным
подмножеством, достаточным для освещения изнутри
множества bd К. Ищется максимальное число р' (К) точек
фиксированной системы для тела Ка^*1-
Задача 1) была поставлена в связи с Хадвигера
гипотезой (см. [1]): минимальное число тел Ь(К),
гомотетичных ограниченному К с коэффициентом
гомотетии /с, 0</с<1, достаточное для покрытия К,
удовлетворяет неравенству n-\-\<Jb(K)<2nt причем
значение Ь(К)=2п характеризует параллелепипед. Для
ограниченного К с Rnc(K)=b(K). Если К
неограниченно, то c(K)<£b(K) и существуют такие тела, что
с(К)<Ь(К) или с(К)= Ъ(К)= со (см. [1]).
Задача 2) поставлена в связи с задачей 1). Для
ограниченного Kcz^-n верно равенство с(К)=с' (К).
Если же К неограниченно, то с (К)^.Ь(К) и с(#)<
<с' (К). Число с (К) для любого неограниченного
Кс№ принимает одно из значений: 1, 2, 3, 4, оо
(см. [1]).
Решение задачи 3) имеет вид: число ρ (К) определено
тогда и только тогда, когда К отлично от конуса.
В этом случае
причем р(К)=п-\~\ характеризует /7-мерный симплекс
пространства R" (см. [1]).
Для задачи 4) (см. [2]) предполагается, что при
ограниченном Ка&п верно неравенство
р'(К)<2п.
Каждая из О. з. тесно связана с нек-рым
специальным покрытием тела К (см. [1]).
Лит.; [1] Болтянский В. Г., СолтанП. С,
Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств,
Киш., 1978; [2] GrunbaumB., «Acta math. Acad, sci·
hung.», 1964, v. 15, p. 161—63. П. С. Солтан.
ОСЕВОЙ ВЕКТОР, аксиальный вектор,
псевдовектор, вектор в ориентированном
пространстве, к-рый при изменении ориентации
пространства на противоположную преобразуется в
противоположный вектор. Пример О. в.— векторное про-
изведение векторов. бсэ-з.
ОСНАЩЕННОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО —
гильбертово пространство Η с выделенным в нем
линейным всюду плотным подмножеством ФсЯ, на
к-ром задана структура топологического векторного
пространства так, что вложение непрерывно. Это
вложение порождает непрерывное вложение
сопряженных пространств Ф'сЯ' и цепочку непрерывных
вложений ФсЯсФ' (с помощью стандартного
отождествления Н' = Н). Наиболее содержательным
является случай, когда оснащение Φ — ядерное
пространство. Здесь верно следующее усиление
спектральной теоремы для самосопряженных операторов, дей-

107
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
108
ствующих в Н: любой такой оператор А, непрерывно
(в топологии Ф) переводящий Φ в себя, обладает
полной системой обобщенных собственных функции {Fa,
α ζ 31} (21 — нек-рое множество индексов), т. е.
таких элементов Fa£G>', что для любого φζΦ
^α(4φ) = λα^α(φ), α ζ 2t,
причем множество значений функции α-^λα, α £21,
содержится в спектре оператора Л и имеет полную
меру относительно спектральной меры σ^(λ), /ζ Я,
λζ&, любого элемента /ζЯ. Полнота системы
означает, что φτ^Ο, Fa (φ)^0 для любого φζΦ хотя бы
при одном αζδϊ. Кроме того, для любого элемента
ψζΦ существует его разложение по системе
обобщенных собственных функций {Fa, α£51}, обобщающее
известное разложение по базису собственных векторов
для оператора с дискретным спектром.
Пример: разложение в интеграл Фурье
/(*) = Sr eisxf(s)dx,x£R, f£L2(R), fgMR),
{els*, s ζ R} — система обобщенных собственных
функций оператора дифференцирования, действующего в
L2(fR), возникающая при естественном оснащении этого
пространства с помощью пространства Шварца S(R).
Аналогичные утверждения верны и для унитарных
операторов, действующих в О. г. п.
Лит.: [1] Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е., Некоторые
вопросы теории-дифференциальных уравнений, М., 1958; [2]
ГельфандИ. М., Виленкин Н. Я., Некоторые
применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы
пространства, М., 1961; [3] Б е ρ е з а н с к и й Ю. М., Разложение
по собственным функциям самосопряженных операторов, К.,
1965. р. А. Миплос.
ОСНАЩЕННОЕ МНОГООБРАЗИЕ - гладкое
многообразие с фиксированной тривиализацией
нормального расслоения. Более точно, пусть гладкое л-мерное
многообразие Μ вложено в Rn + k и пусть (А:-мерное)
нормальное расслоение ν, отвечающее этому
вложению, тривиально. Оснащением многообразия М,
отвечающим этому вложению, наз. любая тривиализа-
ция расслоения ν; при этом одному и тому же
вложению могут отвечать разные оснащения. О. м. введены
в 1937 (см. [1]) для доказательства того, что группы
бордизмов О. м. размерности тг, лежащих в Rn + k,
изоморфны гомотопич. группе nn+k (Sn)', на этом пути
были вычислены группы nn + 1(Sn) и nn + 2(Sn).
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и
их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976.
Ю. Б. Рудяк.
ОСНОВАНИЕ ИЗГИБАНИЯ — сопряженная сеть
на поверхности F и ее изгибании F* вне точек их
конгруэнтности. О. и. характеризуется тем,
что и з г и б — отношение нормальных кривизн к
и /с* в соответствующих по изометрии точках F и F*
вдоль соответствующих направлений — имеет
экстремальные значения вдоль направлений О. и.
Лит.: [1] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в
тензорном изложении, ч. 2, М.— Л., 1948. М. И. Войцеховский.
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ — раздел геометрии, в
к-ром исследуются основные понятия геометрии,
соотношения между ними и связанные с ними вопросы.
Важная роль основных понятий и соотношений
между ними, на базе к-рых строятся определения
фигур и доказываются геометрич. предложения,
отмечается уже в работах античных геометров. Так,
развивая дедуктивный метод в геометрии, они указывали
на особую роль основных понятий, аксиом и
постулатов, составляющих фундамент геометрии. В
«Началах» Евклида (3 в. до н. э.) аксиомам и постулатам
предпослана цепь определений всех понятий, к-рые
используются в дальнейшем изложении. Среди этих
определений особое место принадлежит понятиям
«точка», «прямая», «плоскость», определения к-рых
не опираются на другие геометрич. понятия. Сами
определения этих основных понятий с
геометрич. точки зрения неудовлетворительны, т. к. они
выражают лишь характерное физич. свойство (напр.,
«точка есть то, что не имеет частей», т. е. под точкой
понимается малое физически неделимое тело). Поэтому
уже в трудах геометров, написанных почти
одновременно с «Началами», содержатся многочисленные
комментарии и критич. анализ определений основных
и других геометрич. понятий, аксиом и постулатов.
Но это были лишь уточнения, не затрагивающие
основы определений. По существу, доказательства
многих геометрич. теорем опирались в основном на
наглядность чертежа, на физич. осуществимость
необходимых геометрич. построений, а не выводились строго
логически из аксиом и постулатов. Только в 19 в.
и особенно в нач. 20 в. появляются работы, в к-рых
выясняется все глубокое значение основных понятий
и соотношений между ними для логически
безупречного дедуктивного метода построения геометрии и ее
обоснования. Причем во многом этому углубленному
анализу основ геометрии способствовало открытие
неевклидовой геометрии Лобачевского (1826).
Результаты по обоснованию евклидовой геометрии на основе
тех же принципов и понятий, что и в «Началах»
Евклида, содержатся в работах Дж. Пеано (G. Реапо,
1894), М. Паша (М. Pasch, 1882), Μ. Пиери (Μ. Pieri,
1899), Д. Гильберта (D. Hubert) и др. Наибольшую
известность получила Гильберта система аксиом
евклидовой геометрии (1899). Добиваясь логически
удовлетворительного построения евклидовой геометрии,
Д. Гильберт выделил 5 групп аксиом, показал их
необходимость и достаточность для построения всей
евклидовой геометрии. Вместе с тем впервые была
проведена логич. обработка всей системы, выяснена
непротиворечивость системы с помощью построения
числовой модели, установлена независимость групп
аксиом, а также полнота системы. В отличие от
концепции пространства как «места» для всех фигур,
проводимой в «Началах», Д. Гильберт рассматривает его
как множество всех «точек», «прямых», «плоскостей»
и фигур, построенных на основе этих понятий.
Набор основных понятий в системе Гильберта был
заимствован (и уточнен) из «Начал», однако эта система
является, по существу, чисто геометрич. схемой,
свободной от ссылок на наглядность чертежа. Вместе с тем
язык геометрии, построенной на основе системы
Гильберта, почти не отличается от языка «Начал».
Почти одновременно с системой Гильберта
появились и др. системы аксиом евклидовой геометрии.
Так, в системе Ф. Шура (F. Schur, 1909) в качестве
основных понятий были «точка», «отрезок» и т. д.,
а вместо «конгруэнтности» фигур в этой системе
вводилось понятие «движение». Введение понятия
«движение» позволило применить в геометрии групповой
подход к исследованию движений, алгебраизировать
методы исследования. Упомянутые выше геометрич.
схемы не полностью удовлетворяют требованиям
дальнейшего обобщения понятия пространства и др.
понятий и, кроме того, недостаточно «алгебраичны».
Новые подходы к обоснованию евклидовой
геометрии потребовали выработки нового «языка», с помощью
к-рого оказывается возможным провести
соответствующие дальнейшие обобщения понятий, алгебраизацию
доказательств, классификацию объектов и т. д. Одной
из распространенных схем основания евклидовой
геометрии, в к-рой сконцентрированы возможности
обобщений, перевода на язык алгебры геометрич.
понятий, является система аксиом, предложенная Г. Вей-
лем (Н. Weil, 1916). Ниже приводится одна из
транскрипций схемы Вейля.

109 ОСНОВАНИЯ
Трехмерное евклидово пространство R3
определяется как множество, состоящее из элементов двух
родов — «точек» и «векторов», удовлетворяющих
следующим 4 группам аксиом:
I группа — аксиомы, определяющие соотношения
между точками и векторами. 1г. Существует по
меньшей мере одна точка. \2. Каждой упорядоченной паре
точек поставлен в соответствие один и только один
вектор. 13. Для каждой точки А и каждого вектора а
существует одна и только одна точка В такая, что
АВ~а (АВ есть вектора). 14. Если AB—CD, то АС=
= BD.
На основе этой группы аксиом определяется сумма
векторов, к-рая удовлетворяет требованиям
коммутативности и ассоциативности. Существует нуль-вектор,
противоположный вектор. Векторы по сложению
образуют группу.
II группа — аксиомы, описывающие операцию
умножения вектора на число. 11х. Каждому вектору а и
каждому /с ζ К поставлен в соответствие
определенный вектор ка (ка наз. произведением вектора а на
число к). И2- Умножение вектора на 1 не изменяет
вектора. П3. Умножение вектора на число
дистрибутивно относительно сложения чисел (к1-\-к2)а=к1а-\-
-\-к2а. II4· Умножение вектора на число
дистрибутивно относительно сложения векторов к (аг + а2)—ка1-{-
-\-ка2. Из· Умножение вектора на число ассоциативно
к1(к2а)=(к1к2)а.
С помощью операций сложения и умножения на
число определяется линейная комбинация векторов,
их линейная зависимость.
III группа определяет размерность пространства.
ΙΙΧι· Существуют три линейно независимых вектора,
но всякие четыре — линейно зависимы.
Эта аксиома имеет топологич. характер; из нее
вместе со второй группой аксиом следует, что IR3
является топологич. пространством размерности 3.
Первые три группы аксиом определяют трехмерное
аффинное пространство.
IV группа определяет метрич. свойства. IVi. Любым
двум векторам а и Ъ поставлено в соответствие
определенное число (скалярное произведение) (а, Ь) — 1,
Z£IR. IV2. Симметричность скалярного
произведения: (а, &)=(£, a). IV3. Дистрибутивность скалярного
произведения (a, b+c)=(a, Ь)+(а, с). IV4. Для /c£R
имеет место (а, кЬ)—к(ау Ь). IV5. Скалярный квадрат
вектора неотрицателен (а, а)^0, причем (а, а)=0
только для нуль-вектора.
На основе IV группы аксиом определяется
расстояние между точками, угол между векторами и т. д.;
с помощью векторов — «отрезки», «прямые»,
«плоскости» и т. д.
Схема Вейля допускает обобщение на случай любой
размерности, с помощью соответствующего изменения
аксиом в эту схему включаются гиперболич. и эллип-
тич. пространства и т. д.
Система аксиом Вейля евклидовой геометрии
является непротиворечивой, независимой и
удовлетворяет требованию полноты (категоричности, или
минимальности). Непротиворечивость устанавливается с
помощью числовой модели: упорядоченным тройкам
чисел (ж1, я2, х3), jz'gR; ί=1, 2, 3, ставятся во взаимно
однозначное соответствие «точки» пространства IR3.
Вектор с началом в (х\, х\, х\) и концом в (х2) х\, х2)
определяется тройкой а—(а1, а2, а3), а* = Х2— х[\ i—
= 1, 2, 3. Сумма векторов (о1, а2, а3) и (Ь1, Ь2, Ь3)
определяется тройкой (а*+61, а2+Ь2, а3+63),
произведение вектора (о1, а2, а3) на число ftglR есть тройка
(ка1, ка2, ка3). Скалярное произведение векторов (о1,
а2, а3) и (Ь1, Ь2, Ь3) выражается числом Sj.ia'b*.
Биометрии но
зисные векторы (тройка линейно независимых
векторов) можно изображать тройками е1= (1,0,0), е2=
= (0,1,0), е3= (0,0,1). Для доказательства
независимости аксиом друг от друга и независимости групп
аксиом строится интерпретация системы, получающейся
из данной путем замены какой-либо ее аксиомы ее
отрицанием. Полнота системы выводится из полноты
множества действительных чисел.
В качестве основных понятий при создании схемы
евклидовой геометрии могут быть положены геомет-
рич. преобразования. Так, в системе аксиом Ф. Бах-
мана (P. Bachmann) в качестве такого понятия
вводится преобразование симметрии. С помощью
симметрии, порождающих группу движений евклидовой
(метрической) плоскости, определяются «точки» и
«прямые» как инволютивные элементы этой группы.
Теоретико-групповые отношения являются основой
при определении понятий «инцидентность»,
«ортогональность» и т. п., геометрич. доказательства
заменяются вычислениями, переводятся на язык алгебры.
Обоснование евклидовой геометрии влияло и на
разработку вопросов обоснования неевклидовых
геометрий. В кон. 19 — нач. 20 вв. сформировались
основные современные методы и подходы в О. г. Новые
подходы к понятиям, лежащим в основе геометрии,
были разработаны Б. Риманом (В. Riemann), С. Ли
(S. Lie), Φ. Клейном (F. Klein), А. Кэли (A. Cayley)
и др. В основу геометрич. понятий были положены
многомерные многообразия, группы преобразований,
действующих на многообразиях, инварианты групп
преобразований и т. п.
Групповой подход впервые был четко
сформулирован в эрлангенской программе Ф. Клейна: геометрич.
пространство определяется как множество Φ с
фиксированной группой Ω его преобразований; объектом
геометрии является изучение Ω-инвариантных свойств
пространства. (Напр., и-мерное аффинное
пространство Ап определяется как множество, на к-ром просто
транзитивно действует векторная группа
размерности п.) С. Ли, Ф. Клейн, А. Кэли провели исследование
групп преобразований, на основе к-рого возникают
новые возможности в классификации и обосновании
евклидовой и неевклидовых геометрий как геометрий
определенных групп преобразований. Геометрия
становится учением об инвариантах групп
преобразований, и О. г. опирается на теорию групп.
В работах Б. Римана был разработан метрич.
подход к О. г. Геометрич. пространство рассматривается
как множество, снабженное метрикой, к-рая
удовлетворяет тем или иным аксиомам. Б. Риман показал, что
все внутренние свойства пространства определяются
заданной квадратичной дифференциальной формой
(кривизна, геодезич. линии и т. д.), тем самым были
открыты широкие классы различных метрич.
геометрий. Впервые классификация пространств и их
геометрий была осуществлена на метрич. основе. Б.
Риман указал на особую роль выбора координат в
точечном многообразии для исследования самих
квадратичных форм. Так, для пространства постоянной римано-
вой кривизны Б. Риман привел стандартный вид,
к к-рому может быть приведена квадратичная форма
путем соответствующего выбора координат.
Координатный метод евклидовой геометрии был
обобщен для различных пространств, а также нашел
развитие в дифференциальной геометрии; понятие
многообразий, опирающееся на выбор координатных
систем, получает многочисленные применения в
геометрии. Групповой подход к исследованию
преобразований дифференциально-геометрич. объектов
позволил создать теорию инвариантов метрических
(квадратичных) форм. Эта теория инвариантов групп
преобразований явилась основой для построения и

Ill
ОСНОВАНИ
Я ГЕОМЕТРИИ
112
логич. обоснования современной дифференциальной
геометрии. В качестве одного из основных понятий
выкристаллизовалось понятие геометрич. объекта,
геометрия рассматривается как геометрических объектов
теория. Понятие дифференцируемого многообразия
позволяет дать строгие определения дифференциально-
геометрич. объектам, в частности обосновать методы
анализа в геометрии и геометрич. методы в анализе.
Обоснование евклидовой (и, вообще, любой)
геометрии, опирающееся на определенную систему
аксиом, обнаруживает особую роль
теоретико-множественных принципов при логич. анализе систем аксиом.
Именно, независимость и непротиворечивость системы
аксиом может быть установлена путем построения
числовой модели, реализующей эту систему. Поэтому
теория множеств в О. г. является своего рода эталоном
безупречного логич. построения геометрич. теории.
Геометрич. аксиомы непрерывности (и полноты) по
существу являются нек-рыми эквивалентами теорети:
ко-множественных аксиом.
Построение геометрии над определенным полем
обосновывается путем применения понятий теоретико-
множественного характера. Начиная с создания
декартовой аналитич. геометрии, идея отображения
множества точек на множество действительных чисел
(или на произвольное числовое множество)
приобретает большое значение для О. г. Развитие этой идеи
позволяет определить и классифицировать геометрии по
тому числовому множеству, над к-рым они построены.
В О. г. широко применяются
теоретике-множественные методы для изучения геометрич. преобразований.
Как уже отмечалось выше, инварианты групп
преобразований являются предметом изучения в определенной
этой группой геометрии. Важное применение теории
инвариантов (проективных) преобразований нашел Ф.
Клейн для интерпретации неевклидовых пространств
и доказательства непротиворечивости неевклидовых
геометрий. Углубленному анализу подверглись такие
понятия, как «угол», «ортогональность» и т. д.
Исследования проективных комплексных пространств,
различных проективных мероопределений имеют
большое значение в классификации пространств с
определенной структурой.
В О. г. применяются также топологич. методы
классификации многообразий, с помощью этих методов
выявляются наиболее существенные различия между
классами и типами многообразий, исследуются
глобальные их свойства.
Основные методы и подходы в О. г.— синтетический,
групповой и метрический — имеют значение и в
современных исследованиях в этой области геометрии.
Напр., обобщением идей Б. Римана в О. г. является
инфинитезимальный подход, при к-ром геометрич.
структура определяется заданием поля нек-рых инфи-
нитезимальных величин (напр., финслеровой
метрики, связности и т. п.). Многие задачи физики и
механики при этом допускают геометрич.
интерпретацию и при их решении используются геометрич.
соображения. Вообще, все современные системы
аксиом евклидовой (и неевклидовой) геометрии
используют в различной степени все три подхода в О. г.
Изучение средств, используемых в доказательствах
теорем на основе данной системы аксиом, является
одной из важных проблем в О. г. В «Началах»
Евклида для доказательств применялась классич. логика
Аристотеля. Много внимания уделил этим вопросам
Д. Гильберт, наметивший основные задачи математич.
логики. Непротиворечивость систем геометрич.
аксиом устанавливается путем построения числовых
моделей этих систем и их логического исследования.
Значительное место в О. г. занимают вопросы
измерения отрезков, площадей, объемов. Понятия меры
отрезка, площади, объема основываются на
определенных группах аксиом. Так, напр., теория площадей
многоугольников на евклидовой плоскости в системе
аксиом Гильберта обосновывается аксиомами,
относящимися только к плоскости и независимо от аксиом
непрерывности (см. Неархимедова геометрия, Непас-
калева геометрия).
В О. г. исследуется проблема о материальных
объективных истоках геометрич. понятий и систем аксиом.
Одним из принципов построения геометрич. систем
долгое время являлся принцип физич. осуществимости
системы на какой-либо материальной модели. Как
отмечалось выше, еще в «Началах» была сделана
попытка дать истолкование основных понятий с точки
зрения их физич. свойств. В кон. 19 в., после
открытия геометрии Лобачевского, вновь возник вопрос
об объективной возможности других, отличных от
евклидовой, геометрий. Проблему объективного
существования неевклидовых геометрий многие геометры
решали путем построения физич. моделей, с помощью
к-рых пытались убедиться в независимости и
непротиворечивости геометрич. систем аксиом. Так, Н. И.
Лобачевский пытался обосновать непротиворечивость
выводов, вытекающих из его аксиомы о
параллельных, путем физич. измерений дефектов треугольников
гигантских размеров, вершины к-рых располагались
на удаленных от Земли космич. телах, чтобы
убедиться в том, что дефекты различны для различных
треугольников и что сумма внутренних углов
треугольников может быть меньше двух прямых углов.
Попытку обосновать существование различных метрич.
геометрий предпринял Г. Гельмгольц (Н. Helmholtz),
в работе, написанной вскоре после появления
результатов Б. Римана. Основным понятиям, к-рыми
оперирует метрич. геометрия, Г. Гельмгольц дал физич.
истолкование, в основу геометрич. свойств
пространства он положил нек-рые физич. законы, из к-рых
вытекает возможность построения геометрии этого
пространства. Эвристическим путем из основных физич.
законов Г. Гельмгольц получил метрику пространства
в виде дифференциальной формы, к-рая, как показал
Б. Риман. определяет все внутренние свойства
пространства. Вместо гипотез, лежащих в О. г.,
предложенных Б. Риманом, Г. Гельмгольц рассматривал факты,
из к-рых вытекали те же выводы в метрич. геометрии,
подчеркивая тем самым опытную проверку
справедливости (непротиворечивости) этих выводов.
Объективно работы по опытной проверке геометрич.
систем служили распространению новых геометрич.
идей, способствовали появлению углубленного логич.
анализа геометрич. систем, выработке современных
основных требований к этим системам. Вместе с тем
попытки физич. обоснования геометрии
способствовали проникновению геометрических идей и
методов в различные области математики, физики и
механики.
О. г. имеют большое значение в методологии
геометрии. В процессе преподавания современных
курсов геометрии в университетах и педагогич. вузах
раздел О. г. занимает одно из центральных мест.
В связи с этим все большую роль играет выбор системы
основных понятий и аксиом, чтобы «сократить» путь
от самих аксиом до выводимых из них
содержательных теорем, находящих практич. применение (в
частности, в решении задач).
Лит.: [1] Начала Евклида, кн. 1—15, пер. с греч., М.,
1948—50; [2] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с
нем., М.—Л., 1948; [3] В е б л е н О., У а й τ χ е д Д ж.,
Основания дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1949;
[4] Об основаниях геометрии, М., 1956; [5] Каган В. Ф.,
Основания геометрии, ч. 1—2, М.— Л., 1949—56; [6] К а г а н
В. Ф., Очерки по геометрии, М., 1963; [7] Б у з е м а н Г.,
Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 19G2; [8]
Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [9] Бах-

"3 ОСОБАЯ
я а н Ф., Построение геометрии на основе понятия симметрии, ι
дер. с нем., М., 1969; [10] Ρ о з е н φ е л ь д Б. Α., История
неевклидовой геометрии, М., 1976, [11] Π о г о ρ е л о в А. В.,
Элементарная геометрия, 2 изд., Μ , 1974; [12] Шоке Г ,
Геометрия, пер. с франц., Μ., 197Θ, [13] Д о н е д д ю Α.,
Евклидова планиметрия, пер. с франц., М., 1978; [14] К а ρ τ е с и Ф.,
Введение в конечные геометрии, пер. с англ., М., 1980.
Л. А. Сидоров.
ОСНОВНОГО ТИПА АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ПОВЕРХНОСТЬ, общего типа алгебраическая
поверхность,— поверхность одного из самых
обширных классов алгебраических поверхностей в
классификации Энрикеса. А именно, гладкая проективная
поверхность X над алгебраически замкнутым полем к
наз. О. т. а. п., если
х(ЛГ) = 2,
где κ — Кодаиры размерность. Это условие
равносильно тому, что для нек-рого целого л>0 линейная
система \пК\, где К — канонич. дивизор на X,
определяет бирациональное отображение поверхности X
на ее образ в ΡΝ для нек-рого N. Всякая О. т. а. п.
обладает бирациональным морфизмом на свою
минимальную модель.
Минимальные О. т. а. п. характеризуются (см. [1],
[3], [6]) каждым из следующих наборов свойств:
а) if2>0 и KD^O для любого эффективного
дивизора D;
б) К2>0 и Р2>2, где Р2= dim12К\ + 1— двукратный
род X;
в) К2>0 и поверхность X не рациональна;
г) существует такое целое п0, что при любом п^щ
отображение Фл^, определяемое системой \пК\,
является бирациональным морфизмом поверхности X на
ее образ в paim\nK\, для О. т. а. п. существуют (см.
[2], [3], [6], [10]) соотношения (вида неравенств) между
численными характеристиками. Пусть pg — геомет-
рич. род и q — иррегулярность поверхности X, тогда
для минимальной О. т. а. п. имеют место следующие
неравенства:
1) Ж-Pg'i
ι 13
2) Pg<— #2+2, если #2 четно, pg<— Я2+— , если
К2 нечетно (эти два неравенства наз.
неравенства м и Η ё τ е ρ а);
3) #2<ЗС2, гДе С2 — второй класс Чжэня
поверхности X (или топологическая эйлерова
характеристика).
Наиболее полный результат о кратноканонич.
отображениях Упк О. т. а. п. есть теорема Б о м-
бьери — Кодаиры: пусть X — минимальная
О. т. а. п. над алгебраически замкнутым полем
характеристики 0, тогда отображение
<pnK:X—+Paim\nI<\
является бирациональным морфизмом на свой образ
при всех /г>5. Существуют (см. [5], [8], [9]) О. т. а. п.,
для к-рых φ4κ уже не обладает этим свойством.
Лит.: Ill Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем.
ин-та АН СССР, т. 75); [2] Богомолов Φ. Α., «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1978, т. 42, с. 1227—87: [3] Beauville
Α., Surfaces algebriques complexes, P., 1978; [4] В о m b i e-
r i E., «Publ. Math. IHES», .1972, № 42, p. 171—219; [5] В о m-
bieri E., Cataneso F., The tricanonical map of surface
withK=2, pg=0, С. Р. Ramanujam, Atribute, В.— [е. a.], 1978,
p. 279—90; [6] BombieriE., HusemollerD.,
Classification and embeddings of surfaces, Proceedings of Symposia in
Pure Math., № 29, Algebraic geometry, 1974, p. 329—420; [7]
Horikawa E., «Ann. Math.», 1976, v. 104, p. 357—87; [8]
его же, «Invent, math.», 1976, v. 37, p. 121—55; 1978/79,
v. 50, p. 103—28; [9] К о da i га К., «J. Math. Soc. Japan»,
1968, v. 20, p. 170—92; [10] Μ i у а о k a Y., «Invent, math.», '
1977, v. 42, p. 225—37. В. А. Псковских.
ОСОБАЯ ТОЧКА—1) О. т. аналитической
функции f(z) — препятствие для аналитического
продолжения элемента функции f(z) комплексного
переменного ζ вдоль какого-либо пути на плоскости
этого переменного.
точка 114
Пусть аналитическая функция f(z) определена
некоторым вейерштрассовым элементом
(С/(ξ, Я), /*), состоящим из степенного ряда
и его круга сходимости _
#(£,.Д) = {*€С:|*-С|< R}
с центром ζ Φ οο и радиусом сходимости i?>0.
Рассмотрим всевозможные пути L : [0,1]—►€, т. е.
непрерывные отображения L : z=q>(t) отрезка 0<ί<1 в
расширенную комплексную плоскость С, начинающиеся
в центре этого элемента ζ, ζ=φ(0). Если аналитич.
продолжение данного элемента возможно вдоль
любого такого пути в любую точку z£C, то
получающаяся при этом полная аналитич. функция f(z)
сводится к константе: f(z)= const. Для нетривиальных же
аналитич. функций f(z)^const характерно
существование препятствий для аналитич. продолжения вдоль
нек-рых путей L.
Пусть точка а расширенной плоскости С
расположена на пути Lx : z=(pi(t), α=φι(Τι), 0<Т!<1,
<Ρι(0)=ζ, и на пути L2 : ζ=φ2(ί), α=-φ2(τ2), 0<τ2<1,
Фг(0)= ζ» причем аналитич. продолжение вдоль Li
и L2 осуществимо во все предшествующие точки ζ—
= 9x(i), 0<ί<τχ, и ζ=φ2(ί), 0<ί<τ2. Два таких пути
Lx и L2 наз. эквивалентными по отношению
к аналитич. продолжению данного элемента (С/(ζ, Л),
/ν) в точку а, если для любой окрестности V(a) точки а
в С существует такое число ε>0, что вейерштрассов
элемент, получаемый из (С/(ζ, Л), U) посредством
аналитич. продолжения вдоль Li до какой-либо точки
Ζ' = Φι(Ό» τι~~e<T'<Tj, может быть продолжен вдоль
нек-рого пути, расположенного в V(a), в элемент,
получаемый посредством продолжения вдоль L2 из
(U(ξ, R), ft) до какой-либо точки ζ"=φ2(τ"), τ2—ε<
<τ"<τ2.
Если аналитич. продолжение в точку а
осуществимо вдоль нек-рого пути L, то оно возможно и вдоль
всех путей класса эквивалентности {£}, содержащего L.
В этом случае пара (a, {L}) наз. регулярной,
или правильной; она определяет однозначную
регулярную ветвь аналитич. функции f(z) в
окрестности точки V(a).
Если же аналитич. продолжение вдоль нек-рого
пути L : ζ=φ(ί), 0<ί<1, φ(0) = ζ, проходящего через
α, α=φ(τ), 0<τ<1, осуществимо во все точки φ(*)>
0<ί<τ, предшествующие а, но не осуществимо в
точку α=φ(τ), то а есть особая точка при
аналитическом продолжении элемента
(Ζ7(ζ, Д), /ς) вдоль пути L. В этом случае она
будет особой и при продолжении вдоль всех
проходящих через а путей класса эквивалентности {L}. Пара
(а, {£}), состоящая из точки agC и класса
эквивалентности {L} путей L, проходящих через а, для
каждого из к-рых точка а особая, наз. особой
точкой аналитической функции / (ζ),
определяемой элементом (С/(ζ, R), /*). Две О. т. (a, {L})
и (&, {Μ}) считаются совпадающими, если а=Ъ и
совпадают классы{L} и {М}. При этом точка а
расширенной комплексной плоскости С наз. проекцией,
или ζ-κ о о ρ д и н а т о й, О. т. (a, {£}); говорят
также, что О. т. (a, {L}) расположена над точкой
а^С. В общем случае над одной и той же точкой αζΟ
могут располагаться несколько и даже счетное
множество различных особых и регулярных пар (а, {£}),
получающихся при аналитич. продолжении одного и
того же элемента (С/ (ζ, R), /*).
Если радиус сходимости исходного ряда (1) i?<oo,
то на окружности Г= {zgC : \ζ—ζ| = #} круга схо-

115
ОСОБАЯ ТОЧКА
116
димости U(ζ, R) непременно имеется хотя бы одна
особая точка а элемента (С/(ζ, Л), /*),
то есть О. т. аналитич. функций f(z) при продолжении
вдоль путей ζ=φ(£), 0<ί<1, класса {L} таких, что
2=φ(0€^(ζ» R) ПРИ 0<ί<1, α=φ(1). Иначе говоря,
О. т. элемента (С/(ζ, i?), /*.) — это такая точка αζΓ,
что непосредственное аналитич. продолжение элемента
(U(ζ, R), fr) из круга U(ζ, R) в любую окрестность
V (а) невозможно. В этой ситуации и вообще во всех
случаях, когда отсутствие явного описания класса
путей {L} не может повести к недоразумениям,
ограничиваются обычно только указанием z-координаты
О. т. а. Изучение расположения О. т. аналитич.
функции в зависимости от свойств последовательности
коэффициентов {си}^=0 исходного элемента (U(ζ, В),
/*) является одним из важных направлений
исследований в теории функций (см. Адамара теорема
мультипликационная, Звезда элемента функции^ а также
[1]» [3], [5]). Известно, напр., что О. т. ряда
/о(*)=2Г=о^*'
где Ь£С, |Ь|<1, d^2 — натуральное число,
заполняют всю границу Г= {г ζ С : |z| — 1} его круга
сходимости U (0, 1), хотя сумма этого ряда непрерывна
всюду в замкнутом круге С/(0, l)—{z£C : |z|<:l}.
Здесь окружность Г есть естественная граница
аналитич. функции /0(z), аналитич. продолжение /0(z) за
пределы круга £7(0, 1) невозможно.
Пусть в достаточно малой окрестности V(a) — {ζ ζ С :
\z—a\<R) точки афсо (или F(oo)={z£C : \z\ >R})
аналитич. продолжение элементов, получаемых вдоль
путей определенного класса {L}, возможно во все
точки, отличные от а, т. е. по всем путям,
расположенным в проколотой окрестности V'(а)~
= {zgC : 0<|z—a\<R) (соответственно F'(oo)=
= {z£C : #<|z|<oo}); тогда О. т. (α, {L}) наз.
изолированной особой точкой. Если при этом аналитич.
продолжение элементов, получаемых вдоль путей
класса {L}, по всевозможным замкнутым путям,
расположенным в V1(а), не изменяет этих элементов, то
изолированная О, т. (a, {L}) наз. особой
точкой однозначного характера. Такая
О. т. может быть полюсом или существенно особой
точкой: если существует бесконечный предел lim f(z) =
= оо при стремлении z-^a вдоль путей класса {£}, то
О. т. однозначного характера (a, {L}) наз. полюсом;
если не существует никакого конечного или
бесконечного предела lim / (ζ) при стремлении ζ-^α вдоль путей
класса {L}, то (a, {L})—существенно особая точка',
случай конечного предела соответствует регулярной
паре (ау {L}). Если же аналитич. продолжение
элементов, получаемых вдоль путей класса {£}, по
замкнутым путям, окружающим в V' (а) точку а, изменяет
эти элементы, то изолированная О. т. (a, {L}) наз.
ветвления точкой, или особой точкой
многозначного характера. Класс точек
ветвления, в свою очередь, подразделяется на
алгебраические точки ветвления и трансцендентные точки
ветвления (включая логарифмические точки
ветвления). Если после нек-рого конечного числа т^2
однократных обходов точки а в одном и том же
направлении в V' (а) элементы, получаемые вдоль путей
класса {£}, принимают исходный вид, то ({a, {L}) есть
алгебраич. точка ветвления и число га—1 наз. ее π ο-
рядком. В противном случае, когда обходы точки а
дают все новые и новые элементы, (a, {L}) есть
трансцендентная точка ветвления.
Напр., для функции
/(2)=(ΐ+/1)(ι+/1)
точки а=0, оо (для всех путей) являются алгебраич.
точками ветвления порядка 5. Как однозначную
функцию точки /(ζ) можно представить только на
соответствующей римановой поверхности S, состоящей из
6 листов над С, определенным образом соединенных
над точками 0, оо. Кроме того, над точкой a—i
расположены три правильные ветви /(ζ), однозначные
на трех соответствующих листах S; на одном листе S
расположен полюс второго порядка и на двух листах
S — полюсы первого порядка. Вообще, привлечение
понятия римановой поверхности оказывается весьма
удобным и плодотворным при изучении характера
О. т.
Если радиус сходимости исходного ряда (1) i? = oo,
то он представляет целую функцию /(ζ), голоморфную
во всей конечной плоскости С. Такая функция в
случае / (ζ) Φ const имеет единственную изолированную
О. т. а= оо однозначного характера; если при этом
а= оо — полюс, то /(ζ) есть целая
рациональная функция, или многочлен; если же
а= оо —существенно особая точка, то /(ζ) есть
целая трансцендентная функция.
Мероморфная функция f(z) в конечной плоскости С
получается, когда аналитич. продолжение ряда (1)
приводит к однозначной аналитич. функции /(ζ) в С,
имеющей в С в качестве О. т. только полюсы. Если
при этом и а= оо есть полюс или регулярная точка,
то общее число всех полюсов /(ζ) в расширенной
плоскости С конечно и /(ζ) есть рациональная
функция. Для трансцендентной мероморфной
функции f(z) в С бесконечно удаленная точка а— оо
может оказаться предельной точкой полюсов — это
простейший пример неизолированной О. т.
однозначной аналитич. функции. Мероморфная функция в
произвольной области DczC определяется аналогично·
Вообще говоря, проекции неизолированных О. т.
могут образовывать различные множества точек
расширенной комплексной плоскости С. В частности,
какова бы ни была область DcC, существует
аналитич. функция fo(z) в D, для к-рой D является ее
естественной областью существования, а граница Г=
= dD — естественной границей, так что аналитич.
продолжение функции /£>(z) за пределы области D
невозможно. При этом естественная граница Г
состоит из достижимых и недостижимых точек (см.
Граничные элементы). Если точка αζΤ достижима вдоль
путей класса {L} (таких классов может быть и
несколько), расположенных целиком, кроме конечной
точки а, в области D, то над ней необходимо
расположены только О. т. функции /£>(ζ), τ. к. в противном
случае было бы возможно аналитич. продолжение
/β (ζ) за пределы области D через нек-рую часть Г
в окрестности точки а; достижимые точки образуют
плотное множество на Г.
В качестве определяющего элемента аналитич.
функции /(ζ) многих комплексных переменных ζ=
= (ζχ, . . ., ζ„), τι>1, можно принять, напр., в е и е р-
штрассов элемент (Un (ζ, R), U) в виде
кратного степенного ряда
h =/с (г>=2Г, *„=о % - ^- ω*' · · · (««-и*»
(2)
и поликруга сходимости этого ряда
ί/»(ζ, Λ) = {2ζ€»:|Ζν-ζν|</?ν, ν = 1 »},

117
ОСОБАЯ
ТОЧКА
118
имеющего центр ζ=(ζι, . . ., ζη)ζΟη и радиус
сходимости Я={Яг>0, . . ., i?„>0}. Полагая в основу
процесс аналитич. продолжения элемента (2) вдоль
всевозможных путей L : [О, 1]_>.СИ, отображающих
отрезок 0<:£<1 в комплексное пространство С",
получают общее определение О. т. (а, {£}), αζ€η,
функции /(ζ), формально вполне аналогичное
приведенному выше для случая п— 1.
Однако вследствие переопределенности Коти — Ри-
мана условий при я>1 и проистекающей отсюда
«большей силы» аналитич. продолжения случай тг>1
коренным образом отличается, по существу, от случая
я=1. В частности, при л>1 существуют такие
области DczC", к-рые не могут быть естественными
областями существования никакой однозначной
аналитической, или голоморфной, функций. Иначе говоря,
определенные участки границы dD такой области
свободны от О. т. любой голоморфной функции /(ζ),
заданной в D, и через них возможно аналитич.
продолжение. Напр., справедлива теорема О с-
гуда — Брауна: если компакт К расположен
в ограниченной области DcC", причем D\K
является также областью, и функция f(z) голоморфна
в D\K, то она голоморфно продолжается на всю
область D (см. также Устранимое множество).
Естественные области существования голоморфных
функций наз. иначе голоморфности областями, они
характеризуются определенными геометрич. свойствами.
Аналитически продолжая голоморфную функцию /(ζ),
заданную первоначально в области DcC", и желая
сохранить ее однозначность, приходят к
необходимости введения, вообще говоря, многолистных над Сп
областей голоморфности на римановых областях —
аналогах римановых поверхностей. В этой трактовке
оказывается, что О. т. голоморфной функции /(ζ) —
это точки границы T=dD ее области голоморфности D»
Теорема Осгуда — Брауна показывает, что связные
компоненты Г не могут образовывать компактных
множеств К таких, что в D\K функция /(ζ)
голоморфна. В частности, при п>1 не существует
изолированных О. т. голоморфных функций.
Простейшие типы О. т. аналитич. функций многих
комплексных переменных доставляют мероморфные
функции /(ζ) в области DdCn, тг>1,
характеризующиеся следующими свойствами: 1) /(ζ) голоморфна
всюду в D, за исключением полярного множества Р,
состоящего из О. т.; 2) для любой точки α ζ Ρ
существуют окрестность V (а) и голоморфная в V(a) функция
ψα(ζ) такие, что функция φα(ζ)=ψα (z)f(z) голоморфно
продолжается в V(a). При этом О. т. α ζ Ρ делятся
на полюсы, в к-рых φα(α)?=0, и точки
неопределенности, в к-рых φα(α)=0. В случае полюса
lim/(z)—оо при стремлении z-+a, z£D\P; в любой
окрестности точки неопределенности /(z) принимает
все значения w£C Напр., мероморфная функция
f(z)=z1/z2 в С2 имеет в качестве полярного множества
прямую P={z=(z], z2)£C2 : z2=0}, все точки к-рой
суть полюсы, за исключением одной точки
неопределенности (0,0). Мероморфная функция /(z) в своей
области голоморфности D представима глобально в D
в виде отношения двух голоморфных функций, т. е.
ее полярное множество Ρ есть аналитическое
множество.
Точка а£Сп наз. точкой
мероморфности функции/(z), если /(z) мероморфна в нек-рой
ее окрестности; таким образом, если О. т. есть точка
мероморфности, то она либо полюс, либо точка
неопределенности. Все остальные О. т. аналитич. функции
/(ζ), не являющиеся точками мероморфности, иногда
наз. существенно особыми точками.
К ним относятся, напр., точки ветвления /(ζ), τ. е.
точки ветвления ее (многолистной) области
голоморфности D. Размерность множества всех О. т.
голоморфной функции /(ζ) в общем случае равна 2п—1. При
нек-рых дополнительных ограничениях на /(г) это
множество оказывается аналитическим (и,
следовательно, имеющим меньшую размерность; см. [2]).
Лит.: [1]Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 1—2, М., 1967—68; [2] Ш а б а т Б. В.,
Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1—2, М., 1976; [3] Сто-
и лов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с
рум., т. 1—2, М., 1962; [4] Г у ρ в и ц Α., К у ρ а н τ Р., Теория
функций, пер. с нем., М., 1968; [5] Бибербах Л.,
Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967; [6]Bieberbach
L. Lehrbuch der Funktionentheorie, 3 Aufl., Bd 1, Lpz.—В., 1930,
Bd 2, Lpz.— В., 1927; [7] Владимиров В. С, Методы
теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [8J
Φ у к с Б. Α., Введение в теорию аналитических функций
многих комплексных переменных, 2 изд., М., 1962; [9] Г а н-
нингР.,РоссиХ., Аналитические функции многих
комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [10] Behnk е Н.,
Thullen P., Theorie der Funktionen mehrerer komplexer
Veranderlichen, В., 1934. Ε. Д. Соломепцев.
2) О. т., особенность, алгебраического
многообразия — точка, в к-рой нарушается гладкость.
Точнее, пусть X — алгебраич. многообразие или
схема конечного типа над полем /с, тогда точка х£Х
наз. особой, если соответствующее локальное
кольцо Θχ, χ не регулярно (регулярность
локального нётерова кольца А с максимальным идеалом m
означает равенство dim m/ttt2=dim А). Множество
О. т. алгебраич. многообразия X замкнуто в
топологии Зариского и обозначается Sing X. Если X —
приведенное многообразие, то Sing X нигде не плотно
в X. Если χ является изолированной точкой в Sing X,
то χ наз. изолированной О. т. Для
проверки того, будет ли точка х£Х особой или неособой,
используется якобиев критерий (см. Гладкая схема).
Разрешением особенности (десин-
гуляризацией) алгебраич. многообразия X наз.
собственный бирациональный морфизм π: X->X, где
X — гладкое многообразие. Существование
разрешения особенностей доказано для широкого класса
многообразий, в частности для всех многообразий
над полем характеристики 0 (см. [13]); как правило,
оно не единственно. Разрешение особенностей
используется для введения различных инвариантов
многообразия X', примером служат пространства когомоло-
гий Н1(Х, 6—)· Нормальное многообразие X, для
к-рого Н1(Х, β—)=0 при всех ΐ>0, наз.
многообразием с рациональными
особенностями. Рациональными являются тороидальные
особенности [6] и особенности многообразий
Шуберта [3]. Размерность пространства Нп~1(Х, Q^) для
п-мерного многообразия X наз.
геометрическим родом X. См. также Разрешение
особенностей.
Теория деформаций особенностей, т. е.
многообразий с О. т., строится параллельно теории
деформаций (гладких) алгебраич. многообразий. Д е-
формацией многообразия Х0 наз. плоский
морфизм / : X-+S такой, что f~1(s0)= X0 для нек-рой s0 £ S',
многообразие S при этом наз. базой деформа-
ц и и. Для многообразия Х0 с изолированной О. т.
существует версальная деформация, содержащая все
деформации многообразия Х0. Может оказаться, что
особенность жесткая, т. е. база версальной
деформации ее состоит из одной точки и все ее
деформации тривиальны [4]. Противоположными к жестким
являются сглаживаемые О. т., в базе S
версальной деформации к-рых есть такие точки, что
Xs =f~l(s) неособы. Множество D точек s£S с
особыми Xs наз. дискриминантным
подмножеством.

119
ОСОБАЯ ТОЧКА
120
При изучении деформаций большую роль играет
действие группы монодромии ni(S\D) на когомологиях
слоев X.
Одновременным разрешением
особенностей семейства X-+S наз. собственный морфизм
π : Х-+Х такой, что X — гладкая 5-схема и для
любого s£S морфизм XS-*XS является разрешением
особенностей. Версальная деформация простых О. т.
(см. ниже) допускает одновременное разрешение после
нек-рого конченого накрытия ее базы, причем группой
Галуа этого накрытия служит группа Вейля
соответствующей корневой системы (см. [5], с. 179—203).
Особые точки комплексной
гиперповерхности. Пусть гиперповерхность X
задана в C" + J одним уравнением /(я0, . . ., хп)=0, где
/ — многочлен (или росток аналитич. функции в
точке 0). Якобиевым идеалом многочлена /
наз. идеал J (f)=(df/dxQ, . . ., df/dxn) в кольце С {я0,
. . ., хп}', изолированность О. т. 0 эквивалентна
конечномерности пространства С{х0, . . ., xn}/J(f).
Размерность μ этого пространства наз. числом Мил-
н о ρ а многочлена / и совпадает с рангом свободной
абелевой группы Ηη(Χε, Ъ), где Χε задается
уравнением f(x0, . . ., χη)=ε, при малых г^О. Более точно,
многообразие Хг гомотопически эквивалентно букету
μ сфер размерности η (см. [12]). База версальной
деформации этой особенности неособая и также имеет
размерность μ (см. [9]). Простейшим примером
является невырожденная квадратичная особенность хо-\-
+ . . .-\-хп=0, для нее μ=1.
Простой О. т. гиперповерхности наз. особенность,
при деформации к-рой появляется лишь конечное
число других особенностей [9]; гиперповерхность при
этом задастся одним из следующих уравнений:
Λμ:4+1 + *ϊ+...+4 = 0, μ^Ι,
^μ : xq _1 + Vi+#2 + ... -\-χη = Ο, μ ^4,
E6 :x'o + x3i-\-x2-l· ...+^=-0,
ΕΊ \xlxi+x\ + x\-{-... -fa£ = 0,
Es : xl + xf + xl +... +xn = 0.
Нижний индекс μ здесь — число Милнора особенности.
В случае поверхностей (п=2) эти особенности наз.
особенностями дю Валя, или д в о й-
н ы м и рациональными О. т. Эти О. т. можно
также охарактеризовать тем, что форма пересечения на
пространстве Ηη(Χε , R) является определенной.
Имеется классификация следующих по сложности,
унимодальных особенностей [9]. Изучается вещественный
аналог этих понятий, а также их связь с теорией
катастроф [10]. Многие теоремы об О. т.
гиперповерхностей распространяются на О. т. полных пересечений.
Особые точки кривых. Пусть А —
локальное кольцо О. т. χ кривой, а А — его
нормализация; главным инвариантом О. т. является
bx=dim А/А. Для неприводимой кривой X ее ариф-
метич. род равен геометрич. роду плюс Σ^δ*
(суммирование по всем О. т. кривой X). Причем для
плоской кривой 2δ^=μ+Γ—1, где μ —число Милнора, а
г — число ветвей кривой в точке х.
Пусть ХаС2— плоская неприводимая кривая,
имеющая в точке 0 особенность кратности η (см,
Кратность особой точки). Тогда X допускает
параметризацию x=tn, ί/=Σί>ηαΙ·ί1', к-рая записывается в виде
(разложение Пюизё). Характеристич.
показателями этого разложения наз. числа
JUL < J^_ < mg ^ mg
Πι ιΐιη2 ' ' ' rii ... rig η '
где первый нецелый показатель в разложении
Пюизё, — первый показатель некратный — и т. д.
Последовательность {?г, βχ, . . ., β^}, где βν —
наз. характеристикой особенности.
Плоские одномерные особенности топологически
эквивалентны тогда и только тогда, когда их
характеристики совпадают (см. [8]).
Особые точки поверхностей. Среди
разрешений особенностей нормальных поверхностей
однозначно выделяются минимальные разрешения π :
Х->Х, через к-рые пропускаются все остальные
разрешения. Если χ — О. т. поверхности X, то кривая
Α = π~1(χ) наз. исключительной. Комбинаторным
инвариантом О. т. χ является взвешенный граф
Г кривой А, вершины которого соответствуют
неприводимым компонентам Α £- кривой А, точки
пересечения компонент Αι и Aj изображаются ребрами
между соответствующими вершинами, вершине
приписывается вес, равный роду кривой Ait а иногда еще
и индекс самопересечения (А]). Матрица ||(4г·, Aj)\\
пересечений компонент кривой А отрицательно
определена, граф Г связен. Наименьший положительный
дивизор Ζ=Σγ(Αι такой, что (Ζ, Л/)<0 для всех i,
наз. фундаментальным циклом
особенности. Он всегда существует, и его арифметич.
род
p(Z) = l-dimtf°(Z, Qz) + dimW(Z, 6z)
неотрицателен. О. т. рациональна тогда и только
тогда, когда ρ(Ζ)=0; в этом случае кратность ее равна
—(Z2), а размерность касательного пространства За-
риского на единицу больше [1]. Исследуются также [7]
эллиптические особенности (то есть О. т. с ρ(Ζ)=ί).
Лит.: [1] Art in M., «Amer. J. Math.», 1966, v. 68, p. 129—36;
[2] Groupes de monodromie en geometrie algebrique, В.—
Hdlb.—N. Y., 1972; [3] Kempf G., «Invent, math.», 1976,
v. 37, p. 229—39; [4] SchlessingerM., «Invent, math.»,
1971, v. 14, p. 17—26; [5] Seminaire sur les singularites des
surfaces, В.—Hdlb.— N. Y., 1980; [6] Toroidal embeddings, [v. 1],
В.— Hdlb.—N. Y.; 1973; [7] Yau S. S-Т., «Trans. Amer.
Math. Soc», 1980, v. 257, p. 269—329; [8] Zariski O.,
«Amer. J. Math.», 1968, v. 90, p. 961 — 1023; [9] A p н о л ь д
В. И., «Успехи матем. наук», 1975, т. 30, в. 5, с. 3—65; [10]
Голубиц кий М., ГийеминВ., Устойчивые
отображения и их особенности, пер. с англ., М., 1977; [И] Гриффите
Φ., Χ а р ρ и с Дж., Принципы алгебраической геометрии, пер.
с англ., т. I—2, М., 1982; [12] кМ и л н о ρ Дж., Особые точки
комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971; [13]
Хиронак а X., «Математика», 1965, т. 9, №6, с. 2—70;
1966, т. 10, № 1, с. 3—89. В. И.Данилов.
3) О. т. векторного поля X — точка а,
для к-рой X(а) = 0. О. т. наз. изолированной,
если X не обращается в нуль в отличных от а точках
достаточно малой окрестности точки а. О. т. наз. н е-
вырожденной, если
л χ II дх1 II , г,
det —I ф0.
II да·1 ||
Невырожденная О. т. всегда изолирована.
М. И. Войцеховский.
4) О. т. дифференциального
уравнения
Х{х, y)dy = Y(x, y)dx (l)
— любая точка (х0, yQ)£G, удовлетворяющая условию
*(*о> Уо) = У(хо, Уо) = 0; (2)
здесь Χ, Υ : G-».IR — непрерывные в нек-рой области
Gcz^-2 функции. Точки области G, не удовлетворяющие
условию (2), наз. обыкновенными точка-
м и уравнения (1). Иногда точку (.rn, y0)£G наз. О. т.
уравнения (1) и в том случае, когда условие (2) ис вы-

121
ОСОБАЯ ТОЧКА
122
полняется, но задача Коши для уравнения (1) с
начальными данными (х0, у0) имеет более одного
решения.
Уравнение (1) — частный случай системы
дифференциальных уравнений в симметричной форме:
dxt dxn /оч
Хг(х) "*„(*)' [ '
где я>2, £=(#!, . . ., хп), функции Χι : G-*R, i=
= 1, 2, . . ., η, непрерывны в нек-рой области Gd^n.
Точка х0ζG наз. особой точкой системы
(3), если Xi(x0)=0, i=l, . . ., п. В противном случае
х0 — обыкновенная точка этой системы.
Пусть Η — множество О. т. системы (3) в области G.
Если x0£G\H, то существуют индекс i0£{l, . . ., η}
и окрестность U точки х0 такие, что в U система (3)
представима в нормальной форме:
dX;
axt0
Таким образом, поведение интегральных кривых
системы (3) в окрестности обыкновенной точки
описывается теоремами общей теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. В частности, справедлива
следующая теорема о выпрямлении: если
через любую точку х0 множества G\H проходит
единственная интегральная кривая системы (3), то каждая
точка этого множества имеет окрестность V такую,
что семейство дуг интегральных кривых системы (3),
заполняющих V, гомеоморфно (а если ZigC1(G!),
i=l, . . ., η, то диффеоморфно) семейству
параллельных прямых.
Если же х0£Н, to пары (i0, U), обладающей
указанным выше свойством, не существует, и интегральные
кривые системы (3) могут образовывать вблизи х0
различные конфигурации. Так, для уравнения
(ax-\-by) dy = (cx-\-ey) dx,
где а, Ъ, с, egR, a матрица ^4=
—невырожденная, расположение интегральных кривых в
окрестности точки (0, 0) может относиться к типу седло,
узел, центр или фокус. Соответствующее название
закрепляется при этом и за самой точкой (0, 0).
Систему (3) можно рассматривать как результат
исключения времени t из автономной системы
дифференциальных уравнений
х = Х(х), zgR", X = (XU ..., Хп). (4)
Если (4) — система класса (С, единственность)
в G, то есть X£C(G), и через каждую точку области G
проходит единственная траектория системы, что
далее и предполагается, то точки множества Я будут
для нее точками покоя (равновесия положениями).
Часто их наз. О. т. и для этой системы, поскольку они
являются таковыми (по определению) для векторного
поля X. Интегральные кривые системы (3),
расположенные в G\H, представляют собою траектории
системы (4), отличные от состояний покоя.
Таким образом, задачи о поведении интегральных
кривых системы (3) в окрестности О. т. и о
расположении траекторий системы (4) в окрестности положений
равновесия эквивалентны. Р1сследования этих задач
ведутся по двум основным направлениям.
Одно направление, берущее свое начало в трудах
А. Пуанкаре [1], ставит своей целью выяснение
возможных топологич. типов расположения траекторий
системы (4) в окрестности изолированной точки покоя
(к-рую всегда можно считать совпадающей с началом
координат О(х—0)) и отыскание аналитич. критериев
их различения. Наиболее законченные результаты
получены здесь для того случая, когда система (4)
представима в виде
x = Ax + f (х), (5)
где А — постоянная невырожденная матрица, f(x)=
= о(\\х\\) при |Ы1->»0. В этом случае точка О наз.
простой, или невырожденной, особой
точкой системы (4). Для системы (5) установлена
следующая теорема о топологической
эквивалентности: если матрица А не имеет
чисто мнимых собственных значений, а функция
/gC1(G), то существует гомеоморфизм h окрестности
U точки О на окрестность V той же точки, переводящий
траектории системы (5) в траектории линейной системы
х — Ах. (6)
Гомеоморфизм h : U^V, осуществляющий топологич:.
соответствие между траекториями систем (5) и (6),
в общем случае не является (и не может быть заменен)
диффеоморфизмом.
При условиях этой теоремы точка покоя О системы
(5) относится к тому же топологич. типу, что и точка
покоя О системы (6). В частности, для системы 2-го
порядка она будет при этом седлом, если
собственные значения λχ, λ2 матрицы А удовлетворяют
условию λχλ2 <0, топологическим узлом
(узлом или фокусом), если λχλ2>0 (при чисто
мнимых λχ, λ2 точка О для системы (6) — ц е н τ р,
а для системы (5) — центр, фокус или центро-фокус).
Если матрица А имеет чисто мнимые или нулевые
собственные значения, то топологич. эквивалентности
между системами (5) и (6) в окрестности точки О в
общем случае нет. При этих условиях поведение
траекторий системы (5) в окрестности точки О весьма
детально изучено в тех случаях, когда матрица А имеет
не более двух собственных значений с нулевыми
действительными частями, а функция / — аналитическая.
В частности, для системы 2-го порядка с ненулевой
матрицей А выяснены все возможные топологич. типы
расположения траекторий в окрестности точки О
и даны коэффициентные критерии их различения с
точностью до различения центра и фокуса [9]. Здесь, кроме
седла, топологич. узла и центра, точка О может быть:
двухсепаратрисным седлом, седло-узлом
(некрая окрестность U точки О разбивается тремя
примыкающими к О траекториями (сепаратрисами) на три
сектора: два гиперболических, заполненных
траекториями, к-рые обоими концами покидают С/, и один
параболический, заполненный траекториями, к-рые
одним концом покидают С/, а другим примыкают к О)
и точкой (нек-рая ее окрестность U разбивается
сепаратрисами на 4 сектора: один гиперболический, два
параболических и один эллиптический, заполненный
траекториями, к-рые обоими концами примыкают к О,
охватывая друг друга). Для системы 2-го порядка
с нулевой матрицей А разработаны алгоритмы
расщепления особенности (см., напр., Фроммера метод),
позволяющие с помощью конечного числа шагов
процесса расщепления выяснить топологич. тип точки О
с точностью до решения задачи о различении центра
и фокуса. Последняя задача (см. Центра и фокуса
проблема) возникает для системы 2-го порядка вида (5)
в случае, когда матрица А имеет чисто мнимые
собственные значения, и может возникать в случае двух
нулевых собственных значений этой матрицы. Она
решена для частных классов таких систем.
Важной характеристикой изолированной точки
покоя О системы (4) является се индекс
Пуанкаре. Для и=2 он определяется как вращение
векторного поля X при обходе точки О по окружности
||х|| = р достаточно малого радиуса ρ в положительном

123
ОСОБАЯ
направлении, измеренное в единицах полного оборота.
Напр., индекс простого седла равен —1, индекс узла,
фокуса и центра равен 1. При произвольном η индекс
точки О определяется как степень отображения h
сферы |Ь||=р достаточно малого радиуса ρ на себя,
определенного формулой:
h(x)--
II Χ <*) II
Это направление развилось в обширную
качественную теорию дифференциальных уравнений, а центр
тяжести исследований переместился с локальных
проблем на глобальные — изучение поведения траекторий
еистемы (4) во всей области задания G, к-рая все чаще
предполагается гладким многообразием той или иной
природы.
Другое направление, заложенное трудами А. М.
Ляпунова [2], занимается исследованием решений (в
частности, состояний равновесия) систем вида (4), а
также неавтономных систем дифференциальных
уравнений на устойчивость. Оно представляет собою
разветвленную теорию устойчивости движения (см.
Устойчивости теория).
В комплексном анализе вводится понятие О. т.
дифференциального уравнения
dnw
dz*
w,
dw
~dz
dn-
dzn~
(7)
(8)
а также системы дифференциальных уравнений
dw n / .
4Γ = Ρ(Ζ' wh
где ζ — комплексная переменная, Р — рациональная
функция от w, м/, . . ., и)(п~г) или от компонент w\,
w2, · . ., wn вектора w, n^l, коэффициенты к-рой —
известные аналитич. функции от ζ. Особой для
уравнения (7) (системы (8)) наз. любая точка ζ0
комплексной плоскости, к-рая является О. т. хотя бы одного
из коэффициентов функции Ρ (см. Особая точка
аналитической функции). О. т. уравнения или системы,
как правило, являются особыми и для их решений как
аналитич. функций от ζ. Они наз. неподвижными
особыми точками решений. Кроме того, решения
уравнения (7) (системы (8)) могут иметь подвижные особые
точки, положение к-рых определяется начальными
данными решений. Исследование различных классов
уравнений вида (7), (8) с целью изучения аналитич.
природы решений в окрестности особых точек
уравнений и с целью выяснения вопроса о наличии у
решений этих уравнений подвижных О. т. различных
типов составляет предмет аналитической теории
дифференциальных уравнений.
Лит.: [1] Ρ о in саге Н., Sur les courbes definies par une
equation differentielle, Oeuvres, t. 1, P., 1892, рус. пер.— Л у-
анкаре Α., Ο кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями, М.— Л., 1947; [2] Ляпунов Α., Общая задача
об устойчивости движения, М.— Л., 1950; [3] Немыц-
кий В. В., Степанов В. В, Качественная теория
дифференциальных уравнений, 2 изд., М.—Л., 1949; [4] К о д-
дингтон Э. Α., Левинсон Н., Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [5] Л е ф-
ш е ц С, Геометрическая теория дифференциальных уравнений,
пер. с англ., М., 1961; [6] SansoneG., GontiR.,
Non-linear differential equations, Oxf., 1964; [7] Хартман Ф.,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М.,
1970; [8] АрнольдВ. И., Обыкновенные дифференциальные
уравнения, М., 1971; [9]БаутинН. Н.,Леонтови чЕ.А.,
Методы и приемы качественного исследования динамических
систем на плоскости, М., 1976; [10] Голубев В. В., Лекции
по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд.,
М.— Л., 1950; [И] Ε ρ у г и н Н. П., Книга для чтения по
общему курсу дифференциальных уравнений, 2 изд., Минск, 1972;
[12] Б ρ ю н о А. Д., Локальный метод нелинейного анализа
дифференциальных уравнений, М., 1979; [13] Андреев А. Ф.,
Особые точки дифференциальных уравнений, Минск, 1979.
А. Ф. Андреев.
5) О. т. дифференцируемого
отображения / — точка, к-рая является для / нерегуляр-
Если ранг матрицы
то отображение /
а. Если ранг матрицы
в точке а£Мт равен т,
точке
равен η в точке а£Мт,
точка 124
ной (критической) и неправильной одновременно.
Точнее, пусть Мт и Νη— два дифференцируемых
многообразия размерностей т и η соответственно, а /: Мт—>-
-+Νη— дифференцируемое отображение первого во
второе, xi и yl'~f(xJ) — локальные координаты в них.
'VI'
дх/\
наз. регулярным в
..д*-'|
то отображение / наз. правильным в точке а.
В О. т. / ранг этой матрицы меньше обоих чисел т
и п. См. также Особенности дифференцируемых
отображений. М. И. Войцеховский.
6) О. т. действительной кривой
F(x,y)=0 — точка (х0, у0), в к-рой первые частные
производные равны нулю (Fx)0=0, (Fy)0=0. О. т. наз.
двойной точкой, если по крайней мере одна
из вторых частных производных функции F(x, у) не
равна нулю. При исследовании строения кривой в
окрестности О. т. рассматривают знак выражения
Δ= {Fxx)0 \FyyJQ — {Fxy)o.
Если Δ>0, то О. т. является изолированной
точкой (см. рис. , α); узловой точкой
(или точкой самопересечения), если
Δ<0 (см. рис. , б); если Δ=0, то О. т. является либо
изолированной точкой, либо характеризуется тем, что
различные ветви кривой имеют в этой точке общую
касательную. Если ветви кривой расположены по
разные стороны от общей касательной и по одну
сторону от общей нормали, то О. т. наз. точкой
возврата 1-го рода (см. рис. , в); если
ветви кривой расположены по одну сторону от общей
касательной и по одну сторону от общей нормали,
то О. т. наз. точкой возврата 2-го рода
(см. рис. , г); если ветви расположены по разные
стороны от общей нормали и по разные стороны от общей
касательной (см. рис. , д) или по одну сторону от
общей касательной и по разные стороны от общей
нормали (см. рис. , е), то О. т. наз. точкой
самоприкосновения. См. также Двойная точка.
Если в нек-рой точке все частные производные от
функции F(x, у) до (k — l)-ro порядка включительно
обращаются в нуль, а среди производных k-το порядка
по крайней мере одна отлична от нуля, то эта точка
наз. особой точкой к - г о порядка
(кратной точкой).
Иногда О. т. наз. точки, отличающиеся каким-либо
свойством от других точек кривой; см., напр.,
Перегиба точка, Прекращения точка, Излома точка,
Спрямления точка, Уплощения точка.
О. т. пространственной кривой,
заданной уравнениями F(x, у, z) = 0, G(x, у, z)=0 —
точка, в окрестности к-рой ранг матрицы
Vх
\G'
Fy Fz
Gu Gz
меньше двух.
Лит.: [1] Ρ а ш е в с к и й П. К., Курс дифференциальной
геометрии, 4 изд., М., 1956; [2] Б ю ш г е н с С. С,
Дифференциальная геометрия, т. 1, М.— Л., 1940; [3] Φ и χ τ е н-
гольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, 7 изд., т. 1, М.—Л., 1969. А. Б. Иванов.
7) О. т. действительной
поверхности — точка поверхности х=х(и, v), y=y(u, ν),
z=z(u, v), в к-рой ранг матрицы
ι Уа zu
меньше двух. Если поверхность определяется как
множество точек, координаты к-рых удовлетворяют

125
ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
126
уравнению F(x, у, z)=0, то О. т« наз. точку (х0, z/0, z0)
поверхности, в к-рой первые частные производные
функции F(x, ι/, ζ) равны нулю:
(^)о = 0, (^)о=0, (Fi)0 = 0.
Если в О. т. не все вторые частные производные
функции F(x, у, ζ) обращаются в нуль, то касательные
к поверхности в О. т. образуют конус. Если конус
касательных невырожденный, то О. т. наз.
конической точкой; если конус вырождается в две
Τ
действительные плоскости, то О. т. является
точкой самопересечения поверхности; если
конус мнимый, то О. т.— изолированная
точка поверхности.
О. т. могут составлять т. н. особые линии
поверхности: возврата ребро, линии самопересечения,
самоприкосновения и др.
Лит.: [1] Π о г о ρ е л о в А. В., Дифференциальная
геометрия, 5 изд., М., 1969; [2] Нор ден А. П., Краткий курс
дифференциальной геометрии, 2 изд., М., 1958; [3]
Ильин В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы математического анализа,
2 изд., ч. 2, М., 1980. А. Б. Иванов.
ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ — раздел математич. анализа и
дифференциальной геометрии, в к-ром изучаются свойства
отображений, сохраняющихся при заменах координат
в образе и прообразе отображения (или при заменах,
сохраняющих нек-рые дополнительные структуры);
предлагается общий подход к решению различных
задач о вырождениях отображений, функций, векторных
полей и т. д.; дается классификация наиболее часто
встречающихся вырождений, указываются их
нормальные формы и алгоритмы приведения к нормальным
формам.
Точка области определения дифференцируемого
отображения (т. е. отображения класса Ск, см.
Дифференцируемое многообразие) наз. регулярной, если
в этой точке матрица Якоби имеет максимальный ранг,
и критической в противном случае.
Строение отображения в окрестности регулярной
точки описывает классич. теорема о неявной функции,
в окрестности такой точки и в окрестности ее образа
существуют координаты, в к-рых отображение
линейно.
Во многих случаях ограничиться рассмотрением
лишь регулярных точек недостаточно, поэтому
естественны вопросы:
а) описания отображения в окрестности каждой
крнтич. точки;
б) описания строения множества критич. точек.
Ответы на а) и б) для произвольного отображения
отсутствуют по двум причинам: при попытке охватить
все отображения нет надежды на получение
обозримых ответов (например, множество критических точек
локально может быть произвольным замкнутым
множеством), и для приложений достаточно знать ответы
лишь для достаточно обширного множества
отображений.
Вопросы а), б) и многие другие в теории особенностей
исследуются по следующей схеме:
1) из рассмотрения исключается множество
«нетипичных», «патологических» отображений,
2) указывается критерий «типичности» отображения,
3) проверяется, что всякое отображение
аппроксимируется «типичными»,
4) изучаются «типичные» отображения.
Выбор множества типичных отображений зависит от
решаемой задачи и не однозначен: чем меньше
отображений отнесено к типичным, тем легче задача их
изучения, однако 2) и 3) требуют, чтобы множество
типичных отображений было достаточно широким и
достаточно конструктивно определяемым.
Эту схему иллюстрирует следующая теорема
У и τ н и: всякое дифференцируемое отображение
R2_^(R2 можно аппроксимировать таким
отображением /, что для любой точки αζΚ2 в окрестностях
точек а и /(а) можно выбрать координаты, в к-рых
отображение / записывается в одной из трех нормальных
форм:
ί Уг = хъ ί 0ι = *ι> Ι Уг = хъ
\ У2 = Х2\ \ У2=Х1\ \ У2 = Х2+ЧХ2
(критерий типичности см. в [3] или [4]). Работа X. Уит-
ни (Н. Whitney, 1955), в к-рой была доказана эта
теорема, считается началом теории О. д. о., хотя ряд
отдельных результатов появился гораздо раньше
(теория Морса критических точек функций, теоремы Уитни
об особенностях вложений, работы Л. С. Понтрягина
о связи особенностей с характеристическими
классами) .
Основные понятия теории особенностей
дифференциальных отображений.
Ростки дифференцируемых
отображений. Пусть Χ, Υ — гладкие многообразия,
ρζΧ, q£Y- (Всюду ниже термин «гладкий» будет
употребляться как синоним термина бесконечно
дифференцируемый.) Ростком в точке ρ наз.
класс эквивалентности отображений X—►У,
совпадающих в некоторой окрестности точки р\ множество
ростков отображений, переводящих ρ в q,
обозначается С°°(Х, Y)P,q- Группа ростков гладких замен
переменных в X, сохраняющих точку р, обозначается
Ш{°°(Х)р.
Важная локальная задача теории О. д. о.—
изучение естественного действия группы
Diff (X^XDifffl^ на <Г (X, Y)Piq.
Решение этой и многих подобных задач обычно
начинается с аппроксимации функциональных пространств
и бесконечномерных групп, действующих на них,
конечномерными многообразиями и действиями на них
групп Ли. Полученные результаты затем переносятся
в исходную бесконечномерную ситуацию.
Расслоения струй. Пусть /, g : X-^Y —
гладкие отображения и f(p)—g(p) = q\ отображения /
и g имеют, по определению, касание порядка
к в точке р, если их ряды Тейлора в этой точке
совпадают до порядка к. Класс эквивалентности
отображений, имеющих в точке ρ касание порядка /с, наз. к-
струей. Множество всех /с-струй отображений,
переводящих ρ в д, наделяется естественной
структурой гладкого многообразия и обозначается Jk(X, Y)P, q-
Определена естественная проекция
с-{х, У),,, — /*(*, У),,,.
Класс эквивалентности гладких замен переменных
в X, сохраняющих точку ρ и имеющих в этой точке
касание порядка к, наз. обратимой /с-струей
в точке р. Обратимые Ar-струи образуют группу Ли

127
ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
128
Lk(X)p. Группа Ли Ьк(Х)рх Lk(Y)q действует на
JK(X, Y)Pt q, аппроксимируя действие
Diff" (Х)р X Diff" (Y)q на С- (X, Y)p, q.
Пусть Jk{X, Y) = {дизъюнктное объединение Jk(X,
Y)p,q по всем (/?, q)£XxY}. Множество Jk(X. Y)
наделяется естественной структурой гладкого
расслоения над ΧχΥ со слоем
/*(R«, R'I)ol0 = ^K n)
и структурной группой
Lk(Rm)0 XLk(Rn)0=Lk(m, тг),
где m=dim X, λ—dim Y.
Особенности и классы
особенностей. Орбита действия Lk(m, тг) на Jk(m, η) наз.
к-о собенностью; любое подмножество в Jk(m,
тг), инвариантное относительно Lk(m, тг), наз.
классом Zc-особенностей. Пусть S такой класс.
Поскольку Jk(m, ή) можно отождествить с Jk(X, У)ρ, </>
в Jk{X, y)P,q определяется подмножество S(X, У)Р\ц,
не зависящее от способа отождествления. Множество
S (X, У) = {объединение S(X, У)р, q по всем (р, q)£
ΧχΥ} наз. универсальным классом
особенностей (или универсальной
особенностью, если S — особенность).
Универсальная особенность S{X, У) является
подмногообразием в Jk(X, У), коразмерность этого
подмногообразия равна коразмерности S в Jk{m, n).
Пусть / : X—»-У — гладкое отображение.
Сопоставлением каждой точке р£Х /с-струи отображения /
в точке ρ получается гладкое отображение jkf : X—►
-+Jk(X, У), наз. /с-струйным
расширением /. Отображение / : Х->У имеет, по
определению, в точке ρ особенность типа 8, если
Jkf(p)£S(Χ, Υ). Множество S(f) всех точек, в к-рых /
имеет особенность типа S, есть не что иное, как
(jkf)~1S(X, У). Поэтому изучение множества S(f)
разбивается на два этапа: изучение универсального
множества S(X, Y) в Jk{X, Y), сводящееся к
изучению S в Jk(m, тг); изучение взаимного расположения
S (Χ, Υ) и jkf(X). На втором этапе обычно
применяется теорема трансверсальности Тома.
Трансверсальность. Гладкое отображение
гладких многообразий / : А-*В трансверсально
подмногообразию СаВ (обозначается f^C), если для
любой точки а£А либо f(a)£C, либо (df)a(TaA)®
(&Tf{a)C=Tf{u)B. Если f^C, то множество f~l(C)
либо пусто, либо является подмногообразием в А,
коразмерность к-рого равна коразмерности С в В.
Теорема трансверсальности Тома:
пусть X, У — гладкие многообразия и С —
подмногообразие в Jk{X, У); тогда множество тех /, для к-рых
]kijjC, является массивным подмножеством в С°°(Х,
У) в С^-топологии Уитни. (Множество наз.
массивным, если оно является пересечением счетного
числа открытых плотных подмножеств.)
Топология Уитни. Пусть /с^О и U —
открытое множество в /*(Х, У). Пусть
Μ (U) = {f £ С- (Χ, Υ):jkf (X) с U}.
Множества Μ(U) образуют базис нек-рой топологии,
наз. С°°-т о π о л о г и е й Уитни на С°°(Х, У).
В этой топологии С°°(Х, У) является Бэра
пространством, т. е. каждое массивное подмножество плотно.
Мультиструи. При изучении
самопересечений образа гладкого отображения используется
понятие мультиструи. Пусть a: Jk(X, У)->Х —
естественная проекция. Пусть
Х& = {(хи ..., xs)£X χ ... χ Χ: xj фхи ίφ j}
и as=aX ... χα (s раз). Множество Js(X,Y)=(as)~1(X^)
может быть наделено естественной структурой
гладкого многообразия и наз. 5-кратным
расслоением к-с τ ρ у й. Для 5-кратных струй
определяются /с-струйное расширение отображения /,
к-особенности, универсальные особенности и т. д. и
доказывается аналог теоремы трансверсальности Тома.
Устойчивые дифференцируемые
отображения. Центральной проблемой теории
О. д. о. в период ее возникновения была задача
изучения устойчивых дифференцируемых отображений.
Гладкое отображение / : Xm-*Yn гладких
многообразий наз. устойчивым, если для любого
достаточно близкого к / отображения / найдутся
диффеоморфизмы h : Хт-+Хт и к : Yn^Yn такие, что / = hofok.
При небольших т, п(т, тг<:4), а также при тг=1
и любом т устойчивые дифференцируемые
отображения плотны в пространстве всех собственных
дифференцируемых отображений [3]. В пространстве
отображений Х9_>У9 устойчивые отображения не составляют
всюду плотного множества (см. [1]). Для нек-рых пар
многообразий (напр., для X=RP19, y=(R19) вообще нет
ни одного устойчивого отображения X в У. Найдены
[14], [15] все «устойчивые размерности» (т, тг) : для
любых гладких многообразий Хт и Уп устойчивые
отображения Хт в Yn плотны в пространстве
собственных дифференцируемых отображений X"*_>y«,
снабженном &°°-топологией Уитни, тогда и только
тогда, когда пара (т, тг) удовлетворяет хотя бы одному
из следующих условий (q—n—m) : а) тг<7д+8 и д^4;
б) тг<7<7+9иЗ>д>0;в)тг<8ид=— 1; г) тг<6и q=~2;
д) п<1 и 9<3.
При доказательстве этой теоремы, а также во многих
других вопросах оказываются полезными следующие
два понятия: отображение /0 : Xm-*Yn наз. гомо-
топически устойчивым, если для любой
гладкой гомотопии ft отображения /0 найдутся гладкие
гомотопии hf и kf тождественных диффеоморфизмов
Хт и Уп такие, что ft=hfofQokt для достаточно малых t;
отображение / : Xm-+Yn наз. инфинитези-
мально устойчивым, если всякое бесконечно
близкое к /0 отображение J может быть получено из /0
«бесконечно близкими к тождественным»
диффеоморфизмами Хт и Уп. Для собственного отображения
понятие устойчивости, гомотопич. устойчивости и ин-
финитезимальной устойчивости совпадают [3]. Задача
нахождения локальных нормальных форм устойчивых
отображений сводится к задаче классификации нек-
рых конечномерных локальных алгебр [14], [15]. Для
фиксированных т, η число таких нормальных форм
конечно.
Если в определении устойчивого отображения в
качестве h и к взять вместо диффеоморфизмов
гомеоморфизмы, то получится определение
топологически устойчивого отображения.
Доказана теорема (см. [8]) о плотности множества
топологических устойчивых отображений в пространстве
всех отображений любого компактного многообразия
Хт в любое многообразие Уп (при любых т, тг).
Конечно определенные ростки.
Пусть ~ — нек-рое отношение эквивалентности на
множестве C°°(Rm, IR")0, о ростков отображений R"* -*.
-> R", переводящих 0' в 0. /с-струя любого такого
ростка — это его отрезок ряда Тейлора порядка к.
Росток / наз. к-о пределенным, если любой
другой росток g, имеющий ту же /с-струю,
удовлетворяет соотношению f~g. Росток наз. конечно
определенным, если он /с-определен при Нек-
ром к. Достаточной наз. такая /с-струя σ, что
любые два ростка /, g, имеющие σ в качестве к -струи,
удовлетворяют соотношению /~ g. Наиболее часто

129
ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
130
встречающиеся эквивалентности носят специальные
названия:
r-'э квивалентность — принадлежность
одной орбите группы Dili00 (IRm)0 «правых» замен
координат; rl-э квивалентность —
принадлежность одной орбите группы Diff°° (Rm)0X Diff°° (ΚΛ)0.
Топологическая
эквивалентность— принадлежность одной орбите группы
Diff°(IRw)0X Diff°(iRrz)0. Изучение /с-определенного ростка
сводится к изучению отображения, заданного
многочленами степени <А\
Решение вопроса о том, является ли росток /
/с-определенным относительно rZ-эквивалентности,
сводится к задаче о разрешимости нек-рой явно
выписываемой системы конечного числа линейных уравнений.
Множество конечно определенных относительно
rZ-эквивалентности ростков открытое С°° (Rw, R")0, о>
однако плотно не для любых т, п. Естественно
рассмотреть более грубое отношение топологич.
эквивалентности. После выбрасывания из C°°(Rm, IR")0, о
подмножества бесконечной коразмерности остается
счетное число классов топологич. эквивалентности,
каждый из к-рых является полуалгебраич.
множеством. Отсюда следует, что открытое плотное множество
в С7°°(Х, Y) (Хт— компактно) составляют
отображения, ростки к-рых топологически эквивалентны
полиномиальным [13].
Деформации. Если отображение зависит от
параметров, то говорят, что задано семейство
отображений. Если семейство отображений изучается
локально, то при малом изменении параметров в
окрестности фиксированных значений говорят о деформации
отображения, соответствующего этим значениям
параметров. Оказывается, во многих случаях изучение
всевозможных деформаций сводится к изучению одной
единственной, из к-рой получаются все остальные.
Такая деформация, в не к-ром смысле самая большая,
содержит в себе все существенно разные деформации
данного отображения. Она наз. версальной
деформацией (см. [И], [12], [13]).
Критические точки функций. Критич. точка функции
наз. невырожденной, если второй
дифференциал — невырожденная квадратичная форма. Функция
общего положения имеет лишь невырожденные критич.
точки, а в окрестности каждой из них она может быть
приведена к стандартной форме. Вырожденные критич.
точки приходится рассматривать в тех случаях, когда
эти функции зависят от параметров, и чем больше
число этих параметров, тем более сложные критич.
точки будут встречаться неустранимым (малым
шевелением) образом при нек-рых значениях параметров.
Семейство функций, зависящее от любого числа
параметров, можно превратить малым шевелением в
семейство, в к-ром при каждом значении параметра
в окрестности любой точки области определения
функция представляется многочленом в нек-рой локальной
системе координат. Это позволяет при локальном
изучении функций рассматривать только многочлены и
использовать комплексный анализ.
Классификация критических
точек функций. Естественно начать с
классификации ростков в 0 голоморфных функций в С", вчитая
два ростка эквивалентными, если один
переводится в другой ростком голоморфной замены
координат в С", сохраняющей 0. Струя (многочлен
Тейлора) голоморфной функции в 0 достаточна, если она
определяет функцию с точностью до эквивалентности.
Росток, у к-рого критич. точка 0 изолирована, всегда
имеет достаточную струю и, следовательно,
эквивалентен многочлену. Кратностью (или ч и с-
л о м Μ и л н о ρ а) μ критич. точки 0 наз. число
невырожденных критич. точек, на к-рые распадается
критич. точка 0 при малом шевелении функции. Если
кратность критич. точки функции / равна μ, το(μ+1)-
струя достаточна. Т. к. кратность μ при малом
изменении / не может увеличиваться, то классификация
функций, близких к функции с изолированной
критич. точкой, сводится к изучению действия группы Ли
/с-струй замен переменных на пространстве /с-струй
при достаточно большом /с. В пространстве /с-струй
функций / таких, что /(0) = 0, d/(0) = 0, коразмерность
орбиты / равна μ —1, поэтому критич. точки
кратности μ встречаются неустранимым образом в
семействах функций, зависящих от (μ—1) параметров.
Получены классификация (см. [10]) всех критич.
точек кратности μ<16 и алгоритм приведения любой
такой функции к нормальной форме. Сложность
критич. точки определяется не только ее кратностью μ,
но и ее модальностью т (числом модулей).
Критич. точка наз. простой (или 0-м одаль-
н ой), если среди всех близких критич. точек
найдется не более чем конечное число попарно
неэквивалентных. Два ростка функций наз. стабильно
эквивалентными, если они становятся
эквивалентными после прямого сложения с
невырожденными квадратичными формами от подходящего числа
переменных (для ростков функций от одинакового
числа переменных стабильная эквивалентность не
отличается от обычной).
С точностью до стабильной эквивалентности простые
ростки исчерпываются следующим списком:
Ak:f(x)=z* + 1, k^i;
Dk:f(x, у)=х2у + Ук'\ Λ ^4;
Дв:/(*. у)=** + у*\
E1:f(x1 у) = х* + ху3;
E%:f(x, у)=х» + уъ.
Μ одальностью точки χξ^Χ при действии
группы Ли G на многообразии X наз. наименьшее
число т такое, что достаточно малая окрестность
точки χ покрыта конечным числом га-параметрич.
семейств орбит.
Получена также классификация ростков функций
модальности 1 и 2 (см. [10]). Классификация простых
особенностей и особенностей малой модальности
оказывается связанной с группами Ли, Кокстера и Вейля
серий A, D, Е, с теорией Кос Артина, классификацией
правильных многогранников в трехмерном
пространстве, классификацией Кодаиры вырождений эл-
липтич. кривых, классификацией треугольников на
плоскости Лобачевского (см. [10], [И]).
Краевые особенности. Ряд геометрич.
задач требует изучения критич. точек функций на
многообразии с краем.
В комплексном случае эта ситуация соответствует
изучению ростка функции, заданной в пространстве
С" с выделенным подпространством С"-1. Такие
ростки изучаются с точностью до замен переменных
в С", переводящих Сп~х в себя. В этой ситуации
также получена классификация всех простых ростков,
ростков модальностей 1 и 2. Классификация простых
краевых особенностей оказывается связанной с
простыми алгебрами Ли В, С, F4-
Топологические характеристики
ростка голоморфной функции. Пусть
/:(С", 0)->-(С, 0) — функция, голоморфная в
окрестности нуля и имеющая в нуле критич. точку
кратности μ. Пусть η, ε — положительные числа,
ВаСп— шар |ж1|2+. . .-Н#?г|2<е2, S — его граница,
ТаС — диск |*| <η, Τ'— проколотый диск Г\0.
Пусть X(t)^f-l(t)(]B, Χ=ί~1{Τ')Γ\Β. Для
подходящих ε и η (ε достаточно малого и η достаточно
малого по сравнению с ε) отображение / : Х->Т'—»
&5 Математическая энц., т. 4

131
ОСОБЕННОСТЬ
132
гладкое локально тривиальное расслоение. Слой X (t)
этого расслоения — (2п—2)-мерное многообразие с
краем, гомотопически эквивалентное букету μ (η—ί)-
мерных сфер. Край X (t) есть 2п—3-мерное
многообразие, диффеоморфное /_1(0)П^· Даже для
сравнительно простых / это многообразие может быть
нетривиальным. Напр., 28 многообразий
xlk~1 + 4 + xl + xl + xl = 0, \х1\2+...-\-\хь\2 = г\
А = 1, ..., 28,
суть 28 сфер Милнора (к-рые все гомеоморфны
обычной семимерной сфере, но попарно не диффеоморфны).
Группа приведенных гомологии Hn-i(X(t), *, %)
изоморфна Ζμ. Индекс пересечения определяет на
Ηη-ι целочисленную билинейную форму. Перенос
слоев расслоения / : Х-+Т' над кривыми в Т'
определяет действие фундаментальной группы fti(T') в (и—1)-
мерных гомологиях слоя. Образующей ^(7")
отвечает автоморфизм группы гомологии, наз.
оператором монодромии. Оператор монодромии
сохраняет форму пересечений. Собственные значения
оператора монодромии несут информацию об
асимптотиках различных интегралов, связанных с
функцией /.
Лит.: [1] Арнольд В. И., Варченко Α. Η., Г у-
сейн-Заде СМ., Особенности дифференцируемых
отображений, М., 1982; [2] Арнольд В. И., Математические методы
классической механики, М., 1974; [3] Голубицкий М.,
Гийемин В., Устойчивые отображения и их особенности,
пер. с англ., М., 1977; [4] БрекерТ., ЛандерЛ.,
Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977;
[5]П о с тон Т.,Стюарт И., Теория катастроф и ее
приложения, пер. с англ., М., 1980; [6] Ми л нор Д ж., Особые точки
комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971; [7]
Особенности дифференцируемых отображений, Сб. ст., пер. с
англ. и франц., М., 1968; [8] Topological stability of smooth
mappings, В.— Hdlb.— Ν. Υ., 1976; [9] Τ h о m R., Stabilite struc-
turelle et morphogenese, N. Y., 1972; [10] АрнольдВ. И.,
«Функц. анализ и его приложения», 1972, т. 6, № 4, с. 3—25;
[11] его же, «Успехи матем. наук», 1972, т. 27, в. 5, с. 119—
184; 1973, т. 28, в. 5, с. 17—44; 1974, т. 29, в. 2, с. 11—49;
1975, т. 30, в. 5, с. 3—65; [12] Τ о м Р., там же, 1972, т. 27,
в. 5, с. 51—57; [13] Варченко А. Н., «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1974, т. 38, № 5, с. 1037—90; 1975, т. 39, № 2, с.
294—314; [14] Мазер Д., «Математика», 1970, т. 14, № 1, с.
145—75; [15] е г о же, «Успехи матем. наук», 1973, т. 28, в. 6,
с. 165—90; 1974, т. 29, в. 1, с. 99—158.
А. Н. Варченко, А. Г. Кушниренко.
ОСОБЕННОСТЬ аналитической
функции — 1) Множество особых точек аналитич. функции
/(ζ) комплексных переменных ζ=(ζ1, . . ., ζη), η^ί,
выделяемое теми или иными дополнительными
условиями. В частности, изолированные особые точки иногда
наз. изолированными О.
2) Множество КаСп такое, что в нек-рой области
D, примыкающей к К, определена однозначная
аналитич. функция /(ζ) и для к-рого ставится вопрос
о возможности аналитич. продолжения f{z) на К.
Напр., пусть D — область пространства С", К —
компакт, содержащийся в D, и /(ζ) голоморфна на
D\K. Тогда К — потенциальная О. функции /(ζ),
и ставится вопрос об аналитич. продолжении (быть
может, при нек-рых дополнительных условиях) f(z)
на всю область D, иначе говоря, вопрос об
«устранении», или «стирании», особенности К.
См. также Устранимое множество.
Е. Д. Соломенцев.
ОСОБОЕ РЕШЕНИЕ обыкновенного
дифференциального уравнения —
решение, в каждой точке к-рого нарушается единственность
решения задачи Коши для этого уравнения. Напр.,
для уравнения 1-го порядка
y'=f (χ, у) (*)
с непрерывной правой частью, всюду имеющей
конечную или бесконечную частную производную по //, О. р.
может лежать только во множестве
М = {(х, y)\\fy(x, у)| = оо}.
Кривая уаМ есть О. р. уравнения (*), если у
является интегральной кривой уравнения (*) и через каждую
точку кривой γ проходит по крайней мере еще одна
интегральная кривая уравнения (*). Пусть
уравнение (*) имеет в нек-рой области G общий интеграл
Φ (χ) у, С)=0; если это семейство кривых имеет
огибающую, то она является О. р. уравнения (*). Для
дифференциального уравнения
F (х, У, у') = 0
О. р. находится исследованием дискриминантной
кривой.
Лит.: [ЦСтепанов В. В., Курс дифференциальных
уравнений, 7 изд., М., 1958; [2] С а н с о н е Д ж., Обыкновенные
дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 2, М., 1954.
Н. X. Розов.
ОСОБОЙ ТОЧКИ ИНДЕКС — одна из основных
характеристик изолированной особой точки векторного
поля. Пусть векторное поле X определено в R", Q —
сфера малого радиуса, окружающая особую точку х0,
такая, что X\q^0. Тогда индексом indXo(X)
особой точки х0 векторного поля Χ наз. степень
отображения deg /, где
т. е.
ind^0(^) = deg/Xo.
Если х0 невырождена, то
ind Хп (X) — sign det —- .
О. т. и. не зависит от направления поля.
М. И. Войцеховский.
ОСОБЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ линейной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений — величины,
определяемые формулой:
Q<V)= ita ^Ц. In || Χ (θ, τ) II
(верхний особый показатель) или
формулой
ωομ)= lim * In || Χ (τ, θ) ||
(нижний особый показатель), где
Χ (θ, τ) —Коши оператор системы
х = А (t)x, x g R", (1)
где А (·) — отображение R+-^Hom(R", Rn),
суммируемое на каждом отрезке.
О. п. могут равняться ±оо; если для нек-рого Г>0
teR+ J*
то О. п. суть числа.
Для системы (1) с постоянными коэффициентами
(A (t)=A (0)) О. п. Q°(A) и ω°(Α) равны соответственно
максимуму и минимуму действительных частей
собственных значений оператора А (0). Для системы (1) с
периодич. коэффициентами (A (t-\-T)=A (t) при всех
t£R для нек-рого Г>0) О. п. Ω°(Α) и со°(Л) равны
соответственно максимуму и минимуму логарифмов модулей
мультипликаторов, деленных на период Т. Иногда О. п.
наз. иначе, напр. генеральными
показателями (см. [4]).
Следующие определения эквивалентны
приведенным выше: О. π. Ω°(Α) равен точной нижней грани мно-

133
ОСРЕДНЕНИЕ
134
жества тех чисел а, для каждого из к-рых найдется
число Са>0 такое, что для всякого решения x(t)^0
системы (1) выполнено неравенство
μ (θ) ι
:Caea{Q τ)|*(τ) I для всех θ^τ^Ο;
О. п. ω°(Α) равен точной верхней грани множества тех
чисел β, для каждого из к-рых найдется число G$ >0
такое, что для всякого решения x(t)^0 системы (1)
выполнено неравенство
| χ (Θ) | ^ £β ер (θ_τ) | ж (τ) | для всех θ^ τ ^ 0.
Для О. п. и Ляпунова характеристических
показателей имеют место неравенства:
sup -ψ\'+Τ\\Α (T)\\dx^Q^(A)^\l(A)^ ...
... ^ λη (Α) ^ ω° (A) ^- sup 4- [t + T || Α (τ) || dx.
Для линейных систем с постоянными или с периодич.
коэффициентами
Ω0(4 = λι(4), ω*(Α) = λη{Α),
но существуют системы, для к-рых соответствующие
неравенства — строгие (см. Равномерная устойчивость).
О. п. Q°(A) (соответственно ω°(Α)) как функция на
пространстве систем (1) с ограниченными
непрерывными коэффициентами (отображение А (·) непрерывно и
sup \\A (£)||<-foo), наделенном метрикой
te R +
d(A, B) = sup || Л (t) — B (ί)ΙΙ,
te R +
полунепрерывна сверху (соответственно снизу), но не
всюду непрерывна.
Если отображение А (·) : R-> НопЦК", Rn)
равномерно непрерывно и
sup || Л (t) || < + оо,
te R
то сдвигов динамическая система (5= Нот (R", R"))
имеет инвариантные нормированные меры μι и μ2,
сосредоточенные на замыкании траектории точки Л,
такие, что для почти всех А (в смысле меры μ!) верхний
О. п. системы
х = А (ι) χ (2)
равен ее наибольшему (старшему) характеристцч.
показателю Ляпунова
Ω°(2) = λι (А)
и для почти всех А (в смысле меры μ2) нижний О. п.
системы (2) равен ее наименьшему характеристич.
показателю Ляпунова
ш«(Л) = хп(Л).
Для почти периодич. отображения А (·) (см. Линейная
система дифференциальных уравнений с почти
периодическими коэффициентами) меры μι и μ2 идентичны и
совпадают с той единственной нормированной
инвариантной мерой, сосредоточенной на сужении динамич.
системы сдвигов на замыкание траектории точки А,
к-рая в этом случае имеется.
Пусть динамич. система на гладком замкнутом
гаме рном многообразии Уп задана гладким векторным
полем. Тогда у этой системы найдутся нормированные
инвариантные меры μ! и μ2 такие, что для почти всякой
(в смысле меры μ!) точки χ ζ Vn совпадают верхний О. п.
и старший характеристич. показатель Ляпунова
системы уравнений в вариациях вдоль траектории точки χ
и для почти всякой (в смысле меры μ2) точки x£Vn
совпадают нижний О. и. и наименьший характеристич.
показатель Ляпунова системы уравнений в вариациях
вдоль траектории точки х. Определения О. п.,
характеристич. показателей Ляпунова и т. п. сохраняют
смысл для систем уравнений в вариациях гладких
динамич. систем, заданных на любых гладких
многообразиях. Система уравнений в вариациях такой динамич.
системы вдоль траектории точки χ может быть записана
в виде (1), напр. с помощью задания в касательном
пространстве к Vn в каждой точке траектории точки χ
базиса, полученного параллельным перенесением вдоль
траектории точки χ (в смысле римановой связности,
индуцированной какой-либо гладкой римановой
метрикой) нек-рого базиса касательного пространства к Vn
в точке х.
Лит.: [1] В о h 1 P., «J. reine und angew. Math.», 1913, Bd
144» S. 284—318; [2] Персидский К., «Матем. сб.», 1933,
т. 40, № 3, с. 284—93; [3] Б ы л о в Б. Ф., В и н о г ρ а д Р. Э.,
ГробманД. М., НемыцкийВ. В., Теория показателей
Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966;
[4] Д а л е ц к и й Ю. Л., К ρ е й н М. Г., Устойчивость решений
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М.,
1970; [5] И з о б о в Η. Α., в кн.. Итоги науки и техники. Матем.
анализ, т. 12, М., 1974, с. 71—146. В. М. Миллионщиков.
ОСРЕДНЕНИЕ, усреднение,— операция
вычисления средних значений функций, входящих в
структуру дифференциальных уравнений,
описывающих периодические, почти периодические и, вообще,
колебательные процессы. Операция О. может
рассматриваться как нек-рый сглаживающий оператор.
Методы О. впервые стали применяться в небесной
механике при исследовании движения планет вокруг Солнца.
Позже они получили распространение в самых
разнообразных областях: в теории нелинейных колебаний, в
физике, в теории автоматич. регулирования,
астродинамике и др. Методы О. часто позволяют находить
приближенные решения для исходных уравнений.
Наиболее типичные классы дифференциальных
уравнений, к к-рым применяются методы О., следующие.
1) Стандартные системы в смысле Η. Η. Боголюбова
dx
-7Γ = μΧ(^, ί, μ),
dt
(1)
где χ, Χ — векторы, t — время, μ — малый
положительный параметр.
2) Многочастотные автономные 2я-перподнческие
системы
% = ω(χ) + μΥ(χ,ΰ, j (2)
где х} у, Χ, Υ — векторы, причем
Х(х, у+(2л))=Х(х, /у), Y(x, y + (2n))^Y(x, у),
ω (χ) — вектор частот.
3) Многочастотные неавтономные системы
dx
-7Γ = μΧ(^, у, t),
dt
dy_
dt
= ω(χ, у, ί)-\-μΥ(χ, у, t).
(3)
Вместо систем (1) —(3) рассматриваются «более
простые» осредненные системы 1-го приближения:
dx
dt
= μΧ0 (ос)
■& = «>(«,; J
•^- = μΧ8(Λ>, χ0, г/о. 0.)
(!')
(2')
(3')
5*

135
где
ОСТРОГРАДСКОГО
136
А'о(х) = Hm -i- С ГХ (л:, t, 0)dt,
Τ -+ <ю J JO
** <*> =72^г 520π · · · 5 20π *(*, У1,..., »„) <*У1
Х2(ж, «ο, ι/ο, <0) =
= Urn -^ Г'
to+T
X (x, ф(ж0, у0, ί0, ί), i)df.
(4)
(5)
(6)
Формулы (4)—(6) выражают наиболее
распространенные схемы О.
Формула (6) выражает схему О. «вдоль порождающего
решения». В функции X (х, у, t) вектор у сначала
заменяется порождающим решением системы
dx/dt = 0,
dy/dt = v(x, у, I),
после чего вычисляется интегральное среднее (6).
Принципиальный вопрос, к-рый возникает при
замене систем (1)—(3), состоит в том, чтобы построить ε-
оценки для норм
\\x(t, μ)-05(ί, μ) ||, \\y(t, μ)-^(ί, μ) ||
на возможно большем (порядка l/μ) промежутке
времени, если
х{0, μ) = χ(0, μ), у (0, μ) =у (0, μ).
В этом состоит проблема обоснования методов О. Для
систем (1) проблема обоснования методов О. была
поставлена и решена Η. Η. Боголюбовым, результаты
к-рого заложили основы современной алгоритмич.
теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Лит.: [1] Боголюбов Η. Η., Митрополь-
с к и й Ю. Α., Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний, 4 изд., М., 1974; [2] Μ и τ ρ о п о л ь с к и й Ю. Α.,
Метод усреднения в нелинейной механике, К., 1971; [3] В о л о-
сов В. М., Моргунов Б. И., Метод осреднения в теории
нелинейных колебательных систем, М., 1971; [4] Г ρ е б е н и-
ков Ε. Α., Рябов Ю. Α., Конструктивные методы анализа
нелинейных систем, М., 1979. Е. А. Гребеников.
ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН разложения
функции — аддитивное слагаемое в формуле, задающей
аппроксимацию функции с помощью другой, в каком-то
смысле более простой. О. ч. равен разности между
заданной функцией и функцией ее аппроксимирующей,
тем самым его оценка является оценкой точности
рассматриваемой аппроксимации.
К указанным формулам относятся формулы типа
Тейлора формулы, интерполяционных формул, асимпто-
тич. формул, формул для приближенного вычисления
тех или иных величин и т. п. Так, в формуле Тейлора
О. ч. (в виде Пеано) наз. слагаемое 0((х — х0)п). При
асимптотич. разложении функции
/И = ао + ^+...+^ + о(^), х-^+сс,
О. ч. является О ( η + ι) , χ ->-οο. В частности, в С тир-
лама формуле, дающей асимптотич. разложение гамма-
функции Эйлера
ι
-+СО,
Г (s+l) = V2ns (^у + О [е- s s
О. 4. ЯВЛЯетСЯ 0(е~5£ /г). Л. Д. Кудрявцев.
ОСТРОГРАДСКОГО МЕТОД - метод выделения ал-
гебрапч. части у неопределенных интегралов от
рациональных функций. Пусть Ρ (χ) и Q (χ) — многочлены с
действительными коэффициентами, причем степень Р(х)
меньше степени Q(x) и, следовательно, т—
—правильная дробь,
<?(*) = (*-«ц)* ... (х~аг) '(*2 + Ρι*+ίι)Ρι
(x2 + psx+qs)
Рс
(1)
<Цч Pj-> Я/ ~ действительные числа, pj/4—<7/<0, at- и
β/ — натуральные числа, i=l, 2, . . ., г, /=1, 2, . . ., s,
Qi(x) = (x — a1)
α,- 1
...(x — ar) r {x2 + PiX+qi)
... (x2 + psx+qs) s~ ,
Q2 (x) = (x — a1) ... (x — ar)(x2 + p1x + q1)
(2)
Тогда существуют такие действительные многочлены
Ρι(χ) и Ρ2(х), степени к-рых меньше соответственно чем
степени щ и n2=r+2s многочленов Qi(x) и Q2(x), что
Г Ρ (χ) Ρ, (χ) Г Ρ2(χ)
]θΊχ)άχ = ^7(χΤ + ) -Q7wdx' (3>
Важным является то обстоятельство, что многочлены
Q\(x) и Q2(x) можно найти без знания разложения (1)
многочлена Q(x) на неприводимые множители:
многочлен Qi(x) является наибольшим общим делителем
многочлена Q (х) и его производной Q'(x) и может быть
получен с помощью алгоритма Евклида, a Q2(x)=Q(x)/Qi(x)·
Коэффициенты многочленов Р\(х) и Р2{х) можно
вычислить с помощью неопределенных коэффициентов метода.
О. м. сводит, в частности, задачу интегрирования
правильной рациональной дроби к задаче интегрирования
правильной рациональной дроби, знаменатель к-роп
имеет простые корни*, интеграл от такой функции
выражается через трансцендентные функции: логарифмы
и арктангенсы. Следовательно, рациональная дробь
Pi(x)
ЯЛх)
в формуле (3) является алгебраич. частью неоп-
ределенного интеграла \ qTocT
О. м. впервые опубликован М. В. Остроградским в
1845 (см. [1]).
Лит.: [1] Остроградский М. В., «Bull, scient. Acad.
Sci. St.-Pitersbourg», 1845, t. 4, № 10—11, p. 145—67; № 18—19,
p. 286—300. Л. Д. Кудрявцев.
ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА — формула
интегрального исчисления функций многих переменных,
устанавливающая связь между и-кратным интегралом по
области и (п—1)-кратным интегралом по ее границе.
Пусть функции Xi=Xi(x1,x2t .·., хп) вместе со своими
частными производными дХ{1дх^ i=i, 2, . . ., η,
интегрируемы по Лебегу в ограниченной области GczIR",
граница dG к-рой является объединением конечного
множества кусочно гладких (п—1)-мерных
гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней нормали
v. Тогда О. ф. имеет вид
г* г* ^п дХ·
ΣΓ_ , Xi dxi -
dG ^i = i
dxn dx1
dx;
(1)
-J-J
Если cos a/, i=l, 2, . . ., n,— направляющие
косинусы внешних нормалей ν гиперповерхностей,
составляющих границу dG области G, то формула (1)
может быть записана в виде
(2)

137
где dv=dxi . ... dxn-~ элемент w-мерного объема в Я",
a do — элемент (п—1)-мерного объема на dG.
В терминах векторного поля а=(Хх, . . ., Хп)
формулы (1) и (2) означают равенство интеграла от
дивергенции этого поля по области G его потоку (см. Поток
векторного поля) через границу области G:
Для гладких функций О. ф. была впервые получена
в трехмерном случае М. В. Остроградским в 1828
(опубл. в 1831, см. [1]). На и-кратные интегралы в
случае произвольного натурального лО.ф. была обобщена
им в 1834 (опубл. в 1838, см. [2]). С помощью этой
формулы М. В. Остроградский нашел выражение
производной по параметру от л-кратного интеграла с
переменными пределами и получил формулу для вариации
я-кратного интеграла; при п~3 для одного частного
случая О. ф. была получена К. Гауссом (С. Gauss)
в 1813 , поэтому иногда О. ф. наз. также формулой
Остроградского — Гаусса. Обобщением
О. ф. является Стокса формула для многообразий с
краем.
Лит.: [1] Остроградский М. В.,
demie des Sciences de St. Petersbourg. Ser. (
matiques, physiques et naturelles», 1831, t.
его же, там же, 1838, t. 1, p. 35—58.
ОСТРОГРАДСКОГО — ЛИУВИЛЛЯ
см. Лиувилля — Остроградского формула.
ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЕ РЕШЕНИЕ — то же, что
колеблющееся решение обыкновенного дифференциального
уравнения.
ОСЦИЛЛЯТОР ГАРМОНИЧЕСКИЙ - система с
одной степенью свободы, колебания к-рой описываются
уравнением вида
χ^-ω2χ=0.
ОСЦИЛЛЯЦИОННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 138
ОСЦИЛЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА — вполне
неотрицательная матрица А такая, что существует целое
положительное число χ, для к-рого Ах— вполне
положительная матрица; при этом матрица А наз. в и о л-
не неотрицательной (вполне
положите льной), если все ее миноры любого порядка
неотрицательны (положительны). Наименьший из
показателей χ наз. показателем О. м. Если А —
О. м. с показателем χ, то при любом целом к^%
матрица Ak вполне положительна; натуральная степень
О. м. и матрица (А +)-1— также О. м. Для того чтобы
«Memoires de Г Аса-
— Sciences mathe-
1, p. 117—22; [2]
Л. Д. Кудрявцев.
ФОРМУЛА —
период колеба-
Потенциальная
х:
Фазовые траектории — окружности,
ний Γ=2π/ω не зависит от амплитуды,
энергия О. г. квадратично зависит от
ϋ = ω2χ2/2.
Примеры О. г.: малые колебания маятника, колебания
материальной точки, закрепленной на пружине с
постоянной жесткостью, простейший электрический
колебательный контур. Термины «гармонический
осциллятор» и «линейный осциллятор» часто употребляются
как синонимы.
Колебания квантовомеханического линейного
осциллятора описываются уравнением Шрёдингера
Здесь т — масса частицы, Ε — ее энергия, h —
постоянная Планка, ω — частота. Квантовомеханический
линейный осциллятор имеет дискретный спектр
уровней энергии Εη=(η-\τλ/2)Η(ύ, η—0, 1, 2;
соответствующие собственные функции выражаются через Эрмита
функции.
Термин «осциллятор» употребляется по отношению
к системам (механическим или физическим) с конечным
числом степеней свободы, движение к-рых носит
колебательный характер (напр., многомерный линейный
осциллятор — колебания материальной точки,
находящейся в потенциальном поле сил с потенциалом,
к-рый является положительно определенной
квадратичной формой от координат, нелинейный осциллятор
Ван дер Поля, см. Ван дер Поля уравнение).
По-видимому, не существует однозначного толкования термина
«осциллятор» или даже «линейный осциллятор».
Лит.: [1] Мандельштам Л. И., Лекции по теории
колебаний, М., 1972; [2] Л а н д а у Л. Д., Липшиц Ε. Μ.,
Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 3 изд., М.,
1974 (Теоретическая физика, т. 3). М. В. Федорюк.
вполне неотрицательная матрица А = \\aik\fi была О. м.,
необходимо и достаточно, чтобы: 1) А была неособенной
матрицей, 2) при i=l, . . ., и было выполнено аг-, ί + 1>0,
*ι + ι,ί>°·
Основная теорема для О. м.: О. м. Α = \\α^\\ι всегда
имеет η различных положительных собственных
значений; у собственного вектора и1, отвечающего
наибольшему собственному значению λχ, все координаты
отличны от нуля и одного знака; у собственного
вектора us, соответствующего s-му по величине
собственному значению λ^, имеется точно s—1 перемен знака;
при любых действительных числах cg, Cg + 1,. . ., с/г, 1<:
<g-<ft<:/i, ^!k=gcl>0, в ряду координат вектора
и=^клпик число перемен знака заключается между
g—1 и h—i.
Лит. [1] Г а н τ м а χ е ρ Ф. Р., К ρ е й н М. Г., Осцилля-
ционные матрицы и ядра и малые колебания механических
систем, 2 изд., М.— Л., 1950. В. И. Ломоносов.
ОСЦИЛЛЯЦИОННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ — обыкновенное дифференциальное
уравнение, обладающее хотя бы одним осцилляцион-
ным (колеблющимся) решением. Имеются различные
понятия осцилляционности решения. Наиболее
распространены следующие: осцилляционность в точке
(в качестве к-рой, как правило, берется + оо) и
осцилляционность в промежутке. Ненулевое решение
уравнения
u(") = f{t, и, и, ..., н*"-1)), п^>2, (1)
где f(t, 0, . . ., 0) = 0, наз. осцилляц ионным в
точке +оо (в промежутке /), если оно имеет
последовательность нулей, сходящуюся к +оо
(соответственно имеет в / не менее η нулей с учетом их
кратности). Осцилляционность уравнения (1) в +оо или
в промежутке / понимается в соответствующем смысле.
Среди осцилляционных в +оо уравнений выделяют
уравнения, обладающие т. н. свойствами А или В,
т. е. в определенном смысле сходные с одним из
уравнений
и<я>=—и или uW = u.
При этом уравнение (1) обладает свойством
А, если каждое его решение, заданное в окрестности
+ оо, при четном η является осцилляционным, а при
нечетном η — либо осцилляционным, либо
удовлетворяющим условию
Km Μ<'-1)(ί)=0, £ = 1, ..., п. (2)
Если же каждое решение уравнения (1), заданное в
окрестности + 00, при четном η является либо
осцилляционным, либо удовлетворяющим условию (2) или
lim \u4-1*(t)\= + <*t i = l, ..., η, (3)
а при нечетном η — либо осцилляционным, либо
удовлетворяющим условию (3), то оно обладает
свойством В.
Линейное уравнение
uw = a{t)u (4)

139
с локально суммируемым коэффициентом а : [t0,
->R обладает свойством А (свойством В), если
a(f)<0 [a(t)^0] при t ^> ί0,
,+*^-1-е|а(0|Л = -
) ^о
или
ОСЦИЛЛЯЦИОННОЕ
140
-оо)-
S;
■00,
при £>/0
где ε>0, a μ^— наименьший (νΛ—
наибольший) из локальных минимумов (максимумов)
многочлена х(х—1). . .(ж—и+1) (см. [1] — [5]).
Уравнение типа Эмдена — Фаулера
uW = a(t)\u\Xs\gnu(X >0, λ 5* 1) (5)
с локально суммируемым неположительным
(неотрицательным) коэффициентом а : [t0, +oo)->(R обладает
свойством Л (свойством В) тогда и только тогда, когда
$*"V|a(i)|d*= + oo,
где μ=πύη{η—1, (и—1)λ} (см. [4], [6], [7]).
В ряде случаев вопрос об осцилляционности
уравнения (1) можно свести к аналогичному вопросу для
эталонных уравнений вида (4) и (5) с помощью теорем
сравнения (см. [11]).
При изучении осцилляционных свойств уравнений с
отклоняющимся аргументом проявляются нек-рые спе-
цифич. особенности. Напр., если η нечетно, Δ>0 и для
больших t соблюдается неравенство
a (i)<flo <^п\ Δ-",
то все ненулевые решения уравнения
и<«> (t) = a (t) и (t— Δ)
являются осцилляционными в +оо (см. [10], [И]).
В то же время при неположительном а и нечетном η
уравнение без запаздывания (4) всегда имеет неосцил-
ляционное решение.
Понятия осцилляционности и неосцилляционности
в промежутке изучаются в основном для линейных
однородных уравнений. Они имеют фундаментальное
значение для теории краевых задач (см. [12]).
Лит.: [1] К η е s е г Α., «Math. Ann.», 1893, Bd 42, S. 409—
435; [2] Mikusinski J. G., «Colloq. Math.», 1949, v. 2, p.
34—39; [3] Кондратьев В. Α., «Тр. Моск. матем. об-ва»,
1961, т. 10, с. 419—36; [4] К и г у ρ а д з е И. Т., «Матем. сб.»,
1964, т. 65, № 2, с. 172—87; [5] Ч а н τ у ρ и я Т. Α., «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1976, т. 40, № 5, с. 1128—42; [6] L i с к о I.,
S ν е с М., «Чехосл. матем. ж.», 1963, т. 13, с. 481 — 91; [7] К и-
гурадзе И. Т., «Arch. Math.», 1978, v. 14, № 1, p. 21—44;
[8] S w a n s ο η С. Α., Comparison and oscillation theory of
linear differential equations, N. Y.—L., 1968; [9] X a p τ-
м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с
англ., М., 1970; [10] Μ ы ш к и с А. Д., Линейные
дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, 2 изд., М.,
1972; [11J К о π л а τ а д з е Р. Г., Ч а н τ у ρ и я Т. Α., Об
осцилляционных свойствах дифференциальных уравнений о
отклоняющимся аргументом, Тб., 1977; [12] Левин А. Ю., «Успехи
матем. наук», 1969, т. 24, в. 2, с. 43—96. И. Т. Кигурадэе.
ОСЦИЛЛЯЦИОННОЕ ЯДРО -функция К(х, s),
α<#, 5<&, такая, что для любых точек xlt . . ., χηζ
ζ [α, b], среди к-рых (при п=2) имеется по крайней
мере одна внутренняя, матрица рГ(ж,·, xk)\fl является
осцилляционной матрицей. в. И. Ломоносов.
л-ОТДЕЛИМАЯ ГРУППА — группа, у крой среди
различных простых делителей каждого индекса ее
композиционного ряда содержится не более одного
простого числа из л (л — нек-рое множество простых чисел).
Класс π-Ο. г. содержит класс л-разрешимых групп.
Для конечных π-Ο. г. установлена справедливость
π-снловских свойств (см. [1]). Именно, для любого
множества πχςζπ конечная π-Ο. г. G содержит πχ-
холловскую подгруппу и любые две πι-холловские
подгруппы сопряжены в G. Любая πι-подгруппа π-Ο. г.
G содержится в нек-рой πι-холловской подгруппе
группы G (см. [2]).
Лит.: [1] Ч у н и χ и н С. Α., «Докл. АН СССР», 1948, т. 59,
№ 3, с. 443—45; [2] Η а 1 1 Р., «Ргос. London Math. Soc», 1956,
v. 6, № 22, p. 286—304. С. П. Стручков.
ОТДЕЛИМОЕ ПОПОЛНЕНИЕ КОЛЬЦА —
пополнение топологич. кольца А /о, где А — топологич.
кольцо, а о — замыкание в А нулевого идеала о.
О. п. к. снова является топологич. кольцом и
обозначается обычно А. Всякий непрерывный гомоморфизм
кольца А в полное отделимое кольцо В единственным
образом продолжается до непрерывного гомоморфизма
А-+В.
В наиболее важном случае, когда топология кольца
А линейна и задается фундаментальной системой
идеалов (5Гх)^6д, отделимое пополнение А канонически
отождествляется с проективным пределом lim (А/Шь)
λ6Λ
дискретных колец А/Щ.%. Аналогично устроено
отделимое пополнение Модулей. В. И. Данилов.
ОТДЕЛИМОСТИ АКСИОМА — условие, налагаемое
на топологич. пространство и выражающее требование,
чтобы те или иные дизъюнктные, т. е. не имеющие
общих точек, множества были в нек-ром определенном
смысле топологически отделены друг от друга.
Простейшие, т. е. самые слабые из этих аксиом, касаются
лишь одноточечных множеств, т. е. точек пространства.
Это т. н. аксиомы Т0 (аксиома Колмогорова)
и Tt. Дальнейшие суть Т2 (аксиома Хаусдор-
ф а), Т9 (а к с и о м а р е г у л я ρ н о с τ и) и
^(аксиома нормальности), требующие,
соответственно, чтобы всякие две различные точки (аксиома Т2),
всякая точка и всякое не содержащее ее замкнутое мно-
жество(аксиома Т9), всякие два дизъюнктные замкнутые
множества (аксиома Т^) были отделимы окрестностями,
т. е. содержались в дизъюнктных открытых
множествах данного пространства.
Топологич. пространство, удовлетворяющее аксиоме
Т[,i=2, 3, 4, наз. Т[-п ространством,
^-пространство наз. хаусдорфовым, а
^-пространство — регулярным; хаусдорфово
^-пространство всегда регулярно и наз. нормальным.
Особое место занимает т. н. функциональная
отделимость. Два множества А и В в данном
топологич. пространстве X наз.
функционально отделимыми в X, если существует такая
определенная во всем пространстве действительная
ограниченная непрерывная функция /, к-рая
принимает во всех точках множества А одно значение а, а
во всех точках множества В — нек-рое отличное от а
значение Ъ. При этом всегда можно предположить, что
а~0, Ь=1, 0</(гс)<1 во всех точках х£Х,
Два функционально отделимых множества всегда
отделимы и окрестностями, обратное утверждение
верно не всегда. Однако имеет место лемма Уры-
с о н а: в нормальном пространстве всякие два
дизъюнктные замкнутые множества функционально отделимы.
Пространство, в к-ром всякая точка функционально
отделима от всякого не содержащего ее замкнутого
множества, наз. вполне регулярным. Вполне
регулярное ^-пространство наз. тихоновским.
Лит.: [1] А л е к с а н д ρ о в П. С, Введение в теорию
множеств и общую топологию, М., 1977. В. И. Зайцев.
ОТДЕЛИМОСТЬ МНОЖЕСТВ — одно из основных
понятий дескриптивной теории множеств (введенное
Η. Η. Лузиным [1]). Служит важным инструментом
для исследования дескриптивной природы множеств.
Говорят, что множества А и А' отделимы при
помощи множеств, обладающих свойствами Р, если
существуют обладающие свойством Ρ множества В и
Вг такие, что АаВ, А'с:В', ВГ\В'=ф.

141
ОТКРЫТОЕ
142
Основополагающие результаты по отделимости
принадлежат Η. Η. Лузину и П. С. Новикову. В
дальнейшем не только появились многочисленные варианты
теорем отделимости, но и само понятие О. м. было
обобщено и получило новые формы. Одно из таких
обобщений связано со следующей теоремой
Новикова [2]: пусть {Ап} — последовательность А-множеств
полного сепарабельного метрич. пространства такая,
что Γ\%=ιΑη=φ, тогда существует
последовательность {Вп} борелевских множеств такая, что Л^СГВ„,
тг^1, и (}п=1Вп—ф. Эта теорема и различные ее
варианты и обобщения получили название теорем
кратной (или обобщенной)
отделимости.
Классич. результаты относятся к множествам,
лежащим в полных сепарабельных метрич. пространствах.
В хаусдорфовом пространстве X: 1) два
непересекающихся аналитич. множества отделимы борелевскими
множествами, порожденными системой G открытых
множеств этого пространства [3] (если X — Урысона
пространство, то «G открытых» можно Заменить на «F
замкнутых»; в хаусдорфовом пространстве этого
сделать, вообще говоря, нельзя [4]); 2) пусть ffl — нек-рая
система Л-множеств, порожденных системой F; если
А есть Л-множество, порожденное системой ^, и
В — аналитич. множество, А[\В=ф, то существует
борелевское множество С, порожденное системой &(,
такое, что ЛсС, СГ\В=ф (см. [5]).
В отличие от этих (и других) вариантов первого
принципа отделимости многие формулировки второго
принципа отделимости не зависят от топологии
пространства, в к-ром лежат рассматриваемые множества. Одна
из них [6J: пусть система ffl подмножеств данного
множества замкнута относительно операции перехода к
дополнению и содержит ф; пусть {Ап} — произвольная
последовательность С Α-множеств, порожденных
системой ffl\ тогда существует последовательность {Сп}
попарно непересекающихся С А -множеств,
порожденных системой $?, такая, что CndAn, n^l, и [}п=1Сг —
==Un>=i^4« (более точно, это — одна из формулировок
принципа редукции, см. [7]).
Лит.: [if Л у з и н Н, Н., Собр. соч., т. 2, М., 1958; [2] Η ο-
в и к о в П. С, «Докл. АН СССР», 1934, т. 3 [т. 4], № 3, с. 145—
148; [3] F го 1 i k Z., «Czechosl. Math. J.», 1970, v. 20, p. 406—67;
[4] О s t a s ζ e w s к i A. I., «Proc. London Math. Soc», 1973,
v. 27, № 4, p. 649—66; [5] R о g e г s С Α., «J. London Math.
Soc», 1971, v. 3, № l, p. 103—08; [6] e г о же, там же, 1973,
v. 6, № 3, р. 491—503; [7] Куратовский К., Топология,
[пер. с англ.], т. 1, М., 1966. А. Г. Елъкин.
ОТКОСА ЛИНИЯ — кривая, касательная к к-рой
образует постоянный угол с нек-рым неизменным
направлением. Пример: винтовая линия. Отношение
кручения О. л. к кривизне О. л. постоянно. Сферич.
индикатриса касательных к О. л. является окружностью.
Если r=r(s) — естественная параметризация О. л.,
то (г11, г1*1, rIV)=0 (см. [2]). Эволюты плоской кривой γ
являются О. л., касательные к к-рым наклонены к
плоскости кривой γ под постоянным углом (см. [1]).
Для всякой О. л. существует неподвижно связанный с
ее сопутствующим триэдром конус, вершина к-рого
лежит на кривой, а образующие описывают
развертывающиеся поверхности.
Лит.: [1] Бляшке В., Дифференциальная геометрия и
геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер.
с нем., т. 1, М.— Л., 1935; [2] F о г s у t h A. R., Lectures on
the differential geometry of curves and surfaces, Camb., 1912; [3]
Α ρ ρ e 1 1 P., «Arch. Math. Phys.», 1879, Bd 64, № 1, S. 19—23.
E. В. Шикин.
ОТКРЫТОЕ МНОГООБРАЗИЕ — многообразие, не
имеющее компактных компонент, т. е. не являющееся
замкнутым многообразием. м. И. Войцеховский.
ОТКРЫТОЕ МНОЖЕСТВО топологического
пространства — элемент топологии этого
пространства. Подробнее, пусть топология τ топология.
пространства (Χ, τ) определяется как такая система
τ подмножеств множества X, что; 1) Χζτ, φ £τ,
2) если Ο/ζτ, i=l, 2, ΊοΟ^Ο^ζτ, 3) если Οαζτ, а£Ж,
то (J {О а > α ζ Ж} ζ τ; тогда открытыми
множествами в пространстве (Χ, τ) считаются
Элементы ТОПОЛОГИИ τ и ТОЛЬКО ОНИ. Б. А. Пасынков.
ОТКРЫТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение
одного топология, пространства в другое, при к-ром образ
каждого открытого множества открыт.
Проектирование топология, произведений на
сомножители— О. о. Открытость отображения можно
толковать как вид непрерывности обратного к нему мно-
гознаяного отображения. Взаимно однознаяное
непрерывное О. о. на — гомеоморфизм. В общей топологии О. о.
применяются при классификации пространств. Важен
вопрос о поведении топология, инвариантов при
непрерывных О. о. Все пространства с первой аксиомой
счетности и только они являются образами метрич.
пространств при непрерывных О. о. Метризуемое
пространство, являющееся образом полного метрич.
пространства при непрерывном О. о., метризуемо полной
метрикой. Если паракомпакт является образом
полного метрич. пространства при непрерывном О. о.,
то он метризуем. Счетнократное непрерывное О. о.
компактов не повышает размерности. Но
трехмерный куб можно непрерывно и открыто отобразить на
куб любой большей размерности. Каждый бикомпакт
является образом некоего одномерного бикомпакта
при непрерывном О. о. с нульмерными прообразами
точек.
Самостоятельное значение имеют непрерывные О. о.,
при к-рых прообразы всех точек бикомпактны,— т. н.
открытые о и компактные
отображения. Пространства с равномерной базой и только
они являются образами метрия. пространств при
бикомпактных О. о. Важны замкнутые непрерывные О. о.
Таковы все непрерывные О. о. бикомпактов в хаусдор-
фовы пространства. Непрерывные замкнутые О. о.
сохраняют метризуемость. О. о. с дискретными
прообразами точек играют существенную роль в теории
функций одного комплексного переменного: таковы
все голоморфные в области функции. Теорема об
открытости голоморфных функций играет центральную
роль при доказательстве принципа максимума модуля,
при доказательстве фундаментальной теоремы о
существовании корня у произвольного непостоянного
многоялена над полем комплексных яисел.
Лит.: [1]КуратовскийК., Топология, [пер. с англ.],
т. 1—2, М., 1966—69; [2] К е л д ы ш Л. В., в кн.: Тр. 3
Всесоюзного математического съезда, т. 3, М., 1958, с. 368—72; [3]
Стоилов С, Теория функций комплексного переменного,
пер. с рум., т. 1, М., 1962. А. В. Архангельский.
ОТКРЫТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, теорема об
открытом отображении: линейный
непрерывный оператор А, отображающий банахово пространство
X на все банахово пространство У, является открытым
отображением, т. е. A (G) открыто в У для любого G,
открытого в Х\ доказана С. Банахом (S. Banaeh). В
яастности, непрерывный линейный оператор А ,
отображающий взаимно однознаяно банахово пространство X
на банахово пространство У, является гомеоморфизмом,
т.е. Л-1—также линейный непрерывный оператор
(теорема Банаха о гомеоморфизме).
Условиям теоремы об О. о, удовлетворяет,
например, всякий ненулевой линейный непрерывный
функционал, определенный на вещественном
(комплексном) банаховом пространстве X со знаяениями
в R (в С).
Теорема об О. о. допускает следующее обобщение:
непрерывный линейный оператор, отображающий
совершенно полное топология, векторное пространство
X на бочечное пространство У, есть открытое
отображение. К теореме об О. о. примыкает теорема о замкнутом

143
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ
144
графике (см. Замкнутый график, теорема о замкнутом г
графике).
Лит.: [1] Иосида К., Функциональный анализ, нер. с
англ., М., 1967; [2] Робертсон А.-П., Робертсон В.-
Д ж., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М.,
1967. В. И. Соболев.
ОТКРЫТОЕ ЯДРО - множество всех точек χ под- |
множества А топологич. пространства X, для к-рых I
существует такое открытое в X множество Ux, что
x£UxClA. О. я. множества А обозначается обычно
Int А и представляет собой максимальное открытое в
X множество, содержащееся в А. Имеет место
равенство Int А = Х — [X— А], где [ ] обозначает замыкание
в пространстве X. О. я. множества топологич.
пространства X есть открытое регулярное, или
каноническое множество. Пространства, в к-рых открытые ка-
нонич. множества образуют базу топологии, наз. π ο-
лурегулярными. Всякое регулярное
пространство полу регулярно. Иногда О. я. наз.
внутренностью множества. В. И. Пономарев.
ОТКРЫТО-ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО —
подмножество топологич. пространства, одновременно
открытое и замкнутое в нем. Топологич. пространство X
несвязно тогда и только тогда, когда в нем имеется от- |
личное от X и от φ О.-з. м. Если семейство всех
О.-з. м. топологич. пространства является базой его
топологии, то это пространство наз. индуктивно
нульмерным. Всякая булева алгебра
изоморфна булевой алгебре всех О.-з. м. подходящего
индуктивно нульмерного бикомпакта. Особый класс
нульмерных бикомпактов образуют т. н. экстремально
несвязные бикомпакты,
характеризующиеся тем, что в них замыкание любого открытого
множества также открыто (и замкнуто). Всякая полная
булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех О.-з. м.
подходящего экстремально несвязного бикомпакта.
В. И. Пономарев.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБ- |
РА — гомологическая алгебра, ассоциированная с па- I
рой абелевых категорий (5Ϊ, Ш) и фиксированным
функтором Δ : 5ί —»- *Ш. Функтор Δ предполагается
аддитивным, точным и полным. Короткая точная
последовательность объектов категории ЭД
0^ А^ Я—► С^О
наз. допустимой, если точная последователь- ι
ность |
0 —► АА-^ АВ ^ АС —>0 I
расщепляется в категории *Ш. Посредством класса $
допустимых точных последовательностей определяется
класс (^-проективных (соответственно ^-инъектив-
ных) объектов как класс таких объектов Ρ
(соответственно Q), для к-рых функтор Hom5( (P, —)
(соответственно Нот?( ( —, Q)) точен на допустимых
коротких точных последовательностях.
Любой проективный объект Ρ категории %
является (^-проективным, это не означает, однако, что
в категории % достаточно много относительно
проективных объектов (т. е. что для любого объекта А из
% существует допустимый эпиморфизм Р—>-Л нек-рого
^-проективного объекта категории Щ. Если в
категории 51 достаточно много (^-проективных или
(^-инъективных объектов, то обычные конструкции
гомологич. алгебры позволяют строить в этой
категории производные функторы, наз.
относительными производными функторами.
Примеры. Пусть Ш — категория Л-модулей над
ассоциативным кольцом Я с единицей, ЭД1 — категория
множеств, Δ : 3Ϊ -► ОЛ — функтор, «забывающий»
структуру модуля. В этом случае все точные
последовательности допустимы, и в результате получается
«абсолютная» (т. е. обычная) гомологич. алгебра.
Если G — группа, то каждый G-модуль является, в
частности, абелевой группой. Если R является
алгеброй над коммутативным кольцом к, то каждый Д-мо-
дуль является /с-модулем. Если R и S — кольца и
i?Z)S, то каждый Л-модуль является ^-модулем. Во
всех этих случаях имеется функтор из одной абелевой
категории в другую, определяющий относительные
производные функторы.
Лит.: [1] Μ а к л е й н С, Гомология, пер. с англ., М., 1966;
[2] Ε ilenberg S. , Moore J. C, Foundations of relative
homological algebra, Providence, 1965.
В. E. Говоров, А. В. Михалев.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ МЕТРИКА - ограничение
метрики ρ на подмножество А метрич. пространства X,
т.е. ограничение отображения ρ квадрата XX X на
квадрат iXiclXX. Это понятие позволяет
рассматривать как метрич. пространство любое его
подмножество. Б. А. Пасынков.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА КОРНЕЙ
связной редуктивной алгебраической
г ρ у π пы G, определенной над полем /с,— система
Ф&(£, G) ненулевых весов присоединенного
представления максимального /с-расщепимого тора S группы G
в алгебре Ли д этой группы. Сами веса наз.
корнями Gотносительно S. О. с. к. Ф*г(£, G),
рассматриваемая как подмножество своей линейной
оболочки L в пространстве X(S)®%R, где X(S) —
группа рациональных характеров тора S, является
корневой системой. Пусть N(S) — нормализатор, a Z(S) —
централизатор S в G. Тогда Z(S) является связной
компонентой единицы группы N (S)', конечная группа
Wk(S, G)=N(S)/Z(S) наз. группой Вейля
группы G над /с, или относительной
группой Вейля (о. г. В.). Присоединенное
представление N (S) в д определяет линейное
представление Wk(S, G) в L. Это представление является
точным и его образ есть Вейля группа системы корней
Фй(£» G)» что позволяет отождествить эти две группы.
Ввиду сопряженности над к максимальных /с-расщепи-
мых торов вб О. с. к. Ф&(£, G) и о. г. В. Wk(S, G) не
зависят, с точностью до изоморфизма, от выбора тора S
и часто обозначаются простоФ^(С) и W^{G). В случае,
когда G расщепима над /с, О. с. к. и о. г. В. совпадают
соответственно с обычной (абсолютной) системой
корней и группой Вейля группы G. Пусть ga — весовое
относительно S подпространство в д, отвечающее
корню αζΦ&(£, G). Если G расщепима над /с, то dim #а^1
для любого а и Ok(G) — приведенная система корней;
в общем случае это не так: Ф&(£) может быть неприве-
денной, a dim ga может быть больше 1. О. с. к. Ф&(£)
неприводима, если G проста над к.
О. с. к. играет важную роль в описании структуры и
в классификации полупростых алгебраич. групп над к.
Пусть G — полупроста и Τ — максимальный тор,
определенный над к и содержащий S. Пусть X (S) и X (Т) —
группы рациональных характеров торов S и Τ с
фиксированными согласованными отношениями
порядка, Δ — соответствующая система простых корней
группы G относительно Τ и Δ0— подсистема в Δ,
состоящая из характеров, тривиальных на S. Пусть
также Δ£— система простых корней в О. с. к. Ф&(£, G),
определенная выбранным в X (S) отношением порядка;
она состоит из сужений на S характеров системы Δ.
Группа Галуа r=Gal (kslk) естественно действует на
Δ, и набор данных {Δ, Δ0, действие Г на Δ} наз. к-
индексом полупростой группы G.
Роль /^-индекса объясняется следующей теоремой:
всякая полуиростая группа над к однозначно с точностью
до /с-изоморфизма определяется своим классом
относительно изоморфизма над ks, своим /с-индексом м
своим анизотропным ядром. О. с. к. Φ&(£) полностью
определяется системой Δ& и набором таких
натуральных чисел па, α ζ Δ^ (равных 1 пли 2), что гсаа£Ф&(£),

145
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ
146
но (гса-М)а£Ф/г(£). В свою очередь, Ak и па,
αζ Δ^, могут быть восстановлены по /с-индексу. В
частности, два элемента из Δ\Δ0 имеют одно и то же
ограничение на S тогда и только тогда, когда они лежат в
одной орбите группы Г; это определяет биекцию между
Aft и множеством орбит группы Г в Δ\Δ0.
Если γ ζ Aft, О (ΖΔ\Δ0 — соответствующая орбита и
Δ (γ) — любая связная компонента в Δ0 |J О , не все
вершины к-рой лежат βΔ0, то тг есть сумма
коэффициентов при корнях α£Δ(γ)Γ)# в разложении старшего
корня системы_Л(7) по простым корням.
Если /c=IR, /c=C, то это О. с. к. естественно
отождествляется с системой корней, а о. г. В.— с группой
Вейля соответствующего симметрич. пространства.
Лит.: [1] Τ и τ с Ж., «Математика», 1968, т. 12, № 2, с. 110—
143; [2] Б о ρ е л ь Α., Τ и τ с Ж., там же, 1967, т. И, № 1, с.
43—111; № 2, с. 3—31; [3] Τ i t g J.f «Proc. of Symposia in pure
math.», 1966, v. 9, p. 33—62 (AMS). В. Л. Попов.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ подмножества А
топологич. пространства (Χ, τ) — система
пересечений всевозможных открытых подмножеств
пространства (Χ, τ) (т. е. элементов топологии τ) с множеством
А. Часто О. т. наз. индуцированной
топологией.
Подмножество топологич. пространства (Χ, τ),
снабженное О. т., наз. подпространством пространства
(Χ, τ). Подпространство ^/-пространства является Г/-
пространством, i=0, 1, 2, 3, 31/2. Подпространство ме-
тризуемого пространства метризуемо. Любое
тихоновское пространство веса <:θ гомеоморфно
подпространству бикомпакта веса <θ (теорема Тихонова).
Б. А. Пасынков.
ОТНОСИТЕЛЬНО БИКОМПАКТНОЕ МНОЖЕСТВО—
подмножество Μ топологич. пространства X такое,
что его замыкание Μ бикомпактно, м. и. Войцеховский.
ОТНОСИТЕЛЬНО ОТКРЫТОЕ (ЗАМКНУТОЕ)
МНОЖЕСТВО, множество, открытое
(замкнутое) относительно нек-рого множества
Еч— множество Μ топологич. пространства X такое,
что
М = Е\(Е\М) (М = Е(]М)
(черта сверху означает операцию замыкания). Для того
чтобы нек-рое множество было открытым (замкнутым)
относительно Е, необходимо и достаточно, чтобы оно
было пересечением Μ с нек-рым открытым
(замкнутым) множеством. М. И. Войцеховский.
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ПРИНЦИП — один из
наиболее фундаментальных физич. законов, согласно к-рому
любой процесс протекает одинаково в изолированной
материальной системе, находящейся в состоянии покоя,
и в такой же системе, находящейся в состоянии
равномерного прямолинейного движения. Состояние
движения или покоя определяется здесь по отношению к
произвольно выбранной инерциальной системе отсчета',
физически эти состояния полностью равноправны.
Эквивалентная формулировка О. п.: законы физики
имеют одинаковую форму во всех инерциальных
системах отсчета. О. п. вместе с постулатом о независимости
скорости света в вакууме от движения источника света
легли в основу специальной (частной) относительности
теории. БСЭ-з.
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — физическая
теория, рассматривающая пространственно-временные
свойства физич. процессов. Эти свойства являются
общими для всех физич. процессов, поэтому их часто
наз. просто свойствами пространства-времени.
Свойства пространства-времени зависят от полей тяготения,
действующих в данной его области. Свойства
пространства-времени при наличии полей тяготения
исследуются в о б щ е й О. т., наз. также теорией
тяготения. В частной (специальной)
О. т. рассматриваются свойства пространства-времени
в том приближении, в к-ром эффектами, связанными с
полями тяготения, можно пренебречь. Ниже
излагается частная О. т., об общей О. т. см. Тяготения теория.
О. т. часто наз. также теорией
относительности Эйнштейна по имени ее создателя
А. Эйнштейна (см. [1], [2]).
Основные черты теории относительности.
Специфические (релятивистские) эффекты, описываемые О. т.
и отличающие ее от предшествующих физич. теорий,
проявляются при скоростях движения тел, близких к
скорости света в вакууме с«3-1010 см/сек. При таких
скоростях, наз. релятивистскими,
зависимость энергии Ε тела массы т от его скорости ν
описывается формулой
η тс2
Е = (1)
/·-£
При скоростях v. много меньших с, формула (1)
приобретает вид
(2)
Е = тс2 + -£-.
Второй член справа в формуле (2) совпадает с формулой
для кинетич. энергии в классич. механике, а первый
член показывает, что покоящееся тело обладает
энергией Е — тс2, наз. энергией покоя. В ядерных
реакциях и процессах превращения элементарных
частиц энергия покоя может переходить в кинетич.
энергию частиц. Из формулы (1) вытекает, что энергия
тел с ненулевой массой стремится к бесконечности при
i7->-c. Если лгу^О, то скорость тела всегда меньше с.
Частицы с т=0 (фотоны и нейтрино) всегда движутся
со скоростью света. Иногда говорят, что при
релятивистских скоростях масса тела начинает зависеть от
его скорости, и величину
т
Дв
/*-£
наз. массой движения тела, am — его
массой π о к о я. Из формулы (1) следует, что
Е = тмс*.
Скорость света в вакууме в О. т. является
предельной скоростью, т. е. передача любых взаимодействий
и сигналов из одной точки в другую происходит со
скоростью, не превышающей скорости света.
Существование предельной скорости несовместимо с
представлениями классич. механики и вызывает
необходимость глубокой перестройки классич.
пространственно-временных представлений.
Принцип относительности Эйнштейна и другие
принципы инвариантности. В основе О. т. лежит принцип
относительности, согласно к-рому любой физич.
процесс протекает одинаково (при одинаковых начальных
условиях) в изолированной материальной системе,
находящейся в состоянии покоя по отношению к нек-рой
произвольно выбранной инерциальной системе отсчета,
и в такой же системе, находящейся в состоянии
равномерного и прямолинейного движения относительно
этой же инерциальной системы отсчета.
Справедливость принципа относительности означает,
что различие между состоянием покоя и равномерного
и прямолинейного движения не имеет физич. смысла.
Говорят, что движущаяся система отсчета получается
из системы отсчета, условно считающейся
покоящейся, с помощью преобразования движения. Из принципа
относительности вытекает, что физич. законы
инвариантны относительно преобразований движения и име-

147
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ
148
ют один и тот же вид во всех инерциальных системах
отсчета.
Кроме принципа относительности, известны еще три
типа преобразований, к-рые оставляют неизменным ход
протекания физич. процессов: перенос (сдвиг) в
пространстве, вращение в пространстве, перенос (сдвиг) во
времени. Симметрии физич. законов относительно этих
преобразований выполняются точно только в
изолированных системах или им отвечают соответственно
законы сохранения импульса, момента импульса и
энергии.
Инерциальные системы отсчета и преобразования
Лоренца. Инерциальные системы отсчета образуют
в О. т. выделенный класс систем отсчета, в к-рых
эффекты О. т. имеют наиболее простое описание.
Первичными понятиями О. т. являются понятия
точечного события и светового сигнала. В данной инер-
циальной системе отсчета точечное событие можно
характеризовать тремя пространственными координатами
х, у, ζ в нек-рой декартовой системе координат и
временной координатой t. Системы координат х, у, z, t
в разных инерциальных системах отсчета связаны
Лоренца преобразованиями. Из принципа
относительности, условий симметрии и требования того, чтобы
указанные преобразования образовывали группу, можно
получить вид преобразований Лоренца. Если инерци-
альная система отсчета L' движется относительно инер-
циальной системы отсчета L со скоростью V так, что
оси χ ж χ совмещены и направлены по V, оси ужу'
и ζ и ζ' соответственно параллельны, начала
координат в L и V совпадают в момент t=0 и часы в системе V
в начале координат показывают при ί=0 время *' = 0,
то преобразования Лоренца имеют вид
x-Vt ,
У =У, z' = z,
/^?"
t-
Vx
(3)
/;
Для получения всех преобразований Лоренца к
преобразованиям (3) нужно добавить пространственные
вращения вокруг начала координат. Преобразования
Лоренца образуют группу, наз. группой Лорен-
ц а. Свойство инвариантности физич. законов при
преобразованиях Лоренца наз. лоренц-инвари-
антностью или релятивистской
инвариантностью.
Из преобразований Лоренца вытекает релятивистский
закон сложения скоростей. Если частица движется в
инерциальной системе отсчета L со скоростью ν вдоль
оси х, то скорость этой частицы в системе L' равна
υ-ν
Формула (4) показывает, что скорость света не зависит
от скорости (4) движения источника света.
Из преобразований Лоренца вытекают также
основные эффекты О. т.: относительность одновременности,
замедление времени и сокращение продольных
размеров тел. Так, события Λ и В, одновременные в системе L
\tA=tB) и происходящие в разных точках (х1ч у1У zjj
и (х2, у2, %), оказываются неодновременными в V:
*А--*'В = (Х2-
.у? Г γζ
Далее, когда часы, покоящиеся в системе L в точке
(О, 0, 0), показывают время ί, то время t9 по часам в
L*, пространственно совпадающим с часами в L в этот
момент, равно
V =
l/'-S-
Таким образом, с точки зрения наблюдателя в V
часы в L отстают. Однако в силу принципа
относительности с точки зрения наблюдателя в L часы в Z/ также
отстают. Размеры тел, покоящихся в L (т. н. с о б с τ -
венная длина), при измерении в V
оказываются уменьшенными в Υ i — V2/c2 раз в направлении
скорости V сравнительно с размерами в L:
ΐ'-ιγι-Чг.
При малых скоростях ν преобразования Лоренца (3)
с точностью до величин, стремящихся к нулю при
7/с->0, совпадают с преобразованиями Галилея:
х'=х — Vt, у' = у, z' = z, t' = t. (5)
Эти преобразования соответствуют повседневному
опыту, в к-ром не встречаются движения тел с
релятивистскими скоростями. В частности, преобразования
Галилея сохраняют пространственные размеры тел и
длительности физич. процессов. Преобразования (5) и
различные их комбинации с пространственными
поворотами образуют т. н. группу Галилея.
Важным отличием преобразований Лоренца от
преобразований Галилея является то, что в формулу
преобразования временной координаты t входит
пространственная координата х. В связи с этим в О. т.
сформировалось представление, согласно к-рому
пространственные и временные свойства физич. процессов нельзя
рассматривать изолированно друг от друга. Это
привело к возникновению понятия пространства-
времени, т. е. объекта, геометрич. свойства к-рого
определяют пространственные и временные свойства
физич. процессов. В классич. механике Ньютона
пространственные свойства физич. процессов определяются
геометрич. свойствами трехмерного евклидова
пространства, а временная переменная входит в уравнения как
параметр. В частной О. т. адекватной моделью
пространства-времени является четырехмерное
псевдоевклидово пространство E\\t 3), наз.
пространством Минковского. Формирование понятия
пространства-времени открыло путь к геометризации
аппарата О. т., значительно развитой при разработке
общей О. т.
Математический аппарат теории относительности и
геометрия пространства Минковского. При аксиома-
тич. описании О. т. аксиомы, фиксирующие свойства
первичных понятий О. т. (точечного события и светового
сигнала), удается вычленить из приведенного выше
неформального описания основных положений О. т. Эта
система аксиом дополняется естественными с физич.
точки зрения аксиомами, гарантирующими
существование достаточно большого числа событий и световых
сигналов, а также нек-рыми аксиомами непрерывности
на множестве световых сигналов и точечных событий.
Иными словами, эти аксиомы гарантируют, что каждый
набор чисел (г, х, у, ζ) определяет точечное событие.
Получающаяся при таком расширении система аксиом
О. т. оказывается эквивалентной системе аксиом
пространства Минковского. Таким образом, пространство
Минковского может служить моделью пространства-
времени частной О. т. Точечное событие
интерпретируется в рассматриваемой модели
пространства-времени как точка в пространстве Минковского, в связи

149
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ
150
с чем точки последнего принято наз. мировыми
точками. Каждая прямоугольная система
координат (t, χ, у, ζ) в пространстве Минковского
определяет нек-рую инерциальную систему отсчета, в связи с
чем сами прямоугольные системы координат в О. т.
принято наз. галилеевыми. Плоскость t= const
пространства Минковского наз.
пространственным сечением, соответствующим данной
системе координат. Линейный элемент пространства
Минковского в прямоугольной системе координат (£, х, у, ζ)
может быть представлен в виде
ds2 = c2 dt2 — dx2 — dy2 — dz2.
Величину ds наз. элементом интервала, а
величину
s2 = c2 (Δ*)2 — (Δ*)2 — (Δι/)2 — (Δζ)2
— квадратом интервала. (В качестве модели
пространства-времени частной О. т. можно использовать
и псевдоевклидово пространство £4(3, d с линейным
элементом
ds2 = dx2+dy2-\-dz2 — c2dt2.)
Преобразования, образующие общую группу
Лоренца, в рассматриваемой модели являются
преобразованиями, связывающими две галилеевы системы
координат в пространстве Минковского. Эти
преобразования сохраняют интервал и являются аналогом
ортогональных преобразований в евклидовой геометрии.
В частности, преобразованиям Лоренца можно
придать вид
х —chty-\-ct sh\f>,
ct' =x' sh\f> -\-ct ch ψ,
где Ψ — угол поворота в плоскости (ct, χ), имеющей
индефинитную метрику
ι V/c
ψ = arc sh ' .
По знаку квадрата интервала происходит
классификация векторов в пространстве Минковского. Векторы,
для к-рых s2>0, наз. времениподобными;
векторы, для к-рых s2<0,— пространстве н-
ноподобными; векторы, для к-рых s2=0,— с в е-
топодобными. Если в пространстве
Минковского выделена нек-рая точка (напр., начало
координат), то его можно разбить на три области. Две из них,
составленные из точек, соединенных с точкой 0
времениподобными векторами, наз. областями
абсолютного будущего и абсолютного
прошлого. Эти названия связаны с тем, что при
любом преобразовании из полной группы Лоренца,
связывающей данную галилееву систему координат с
другой галилеевой системой координат (*', х\ у', ζ'),
событие А, лежащее в области абсолютного будущего,
по-прежнему будет иметь большее значение временной
координаты t'', чем событие 0. Область, точки А к-рой
соединяются с 0 пространственноподобными векторами,
наз. областью абсолютного удаления.
Эта область характеризуется тем, что не существует
такого преобразования Лоренца, в результате к-рого
точки Л и 0 получают одинаковые пространственные
координаты. Точки, лежащие на границе этих
областей, образуют световой конус точки 0. Точки этого
конуса соединены с 0 нулевыми векторами.
Пространственно-временной истории всякой точечной частицы
(материальной точки) соответствует нек-рая линия в
пространстве Минковского, наз. мировой лини-
е й этой частицы. Точки этой линии определяют коор-
I динаты частицы во все моменты времени. То, что ско-
I рости всех частиц не превосходят с, означает, что (в
естественном предположении гладкости) все касательные
векторы мировой линии являются либо
времениподобными, либо изотропными. Первые из них
соответствуют частицам с ненулевой, а вторые — с нулевой
массой покоя. Натуральный параметр на мировой линии
наз. собственным временем частицы. Фи-
зич. смысл собственного времени состоит в том, что
оно является временем, отсчитываемым часами, к-рые
движутся вместе с частицей.
Выражением закона инерции в рассматриваемой
модели О. т. является то, что свободные, т. е. не
подверженные действию сил, частицы имеют в качестве
своих мировых линий времениподобные и изотропные
прямые (т. е. геодезические) пространства
Минковского. В частности, частицы с нулевой массой покоя
имеют мировые линии, лежащие на нек-ром световом
конусе, с чем и связано название последнего. В общей
О. т. выражением закона инерции является т. н.
геодезических гипотеза, согласно к-рой частица, не
испытывающая действия иных сил, кроме гравитационных,
движется по геодезической соответствующего
пространства-времени. Световой сигнал, соединяющий данные
точечные события, интерпретируется в
рассматриваемой модели как отрезок изотропной геодезической,
соединяющей соответствующие мировые точки.
Времениподобная геодезическая в пространстве
Минковского, соединяющая данные мировые точки А и В,
является кривой наибольшей длины среди всех
временил одобных мировых линий, соединяющих эти точки.
Это вытекает из обратного неравенства треугольника,
согласно к-рому времениподобная наклонная короче
своей времениподобной геодезической. С точки зрения
О. т. максимальность длины времениподобной
геодезической означает, что собственное время частицы,
свободно движущейся от мировой точки А к мировой точке
В, больше, чем собственное время любой другой
частицы, мировая линия к-рой соединяет эти мировые точки.
Это обстоятельство принято называть
парадоксом близнецов.
При построении тензорных величин, выражающих
физич. величины, как правило, в один тензорный об.ъект
в пространстве Минковского объединяются несколько
соответствующих тензорных объектов классич. физики.
Напр., вектор энергии-импульса составляется
следующим образом: первой его компонентой в галилеевой
системе координат является величина <§1с, а
остальными тремя — компоненты вектора импульса
(обозначение этой операции (<§/с, р)). Для того чтобы отличить
тензоры пространства Минковского от тензоров на его
пространственных сечениях, к-рые рассматривались в
классич. физике, принято говорить о четырехмерных,
или 4-тензорах. Примеры нек-рых физич. величин,
являющихся 4-тензорами: 4-вектор
наз. 4-скоростью. Этот вектор является касательным
единичным вектором к траектории мировой частицы.
Вектор
/ — / Fv F \
где F — сила, является вектором 4-силы. Основные
уравнения релятивистской динамики с использованием
этих векторов могут быть переписаны в виде
dp1 dul
gi — ξ= тс —г- .
J в ds ds

151
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОЛОГИИ
152
Роль теории относительности в современной физике.
О. т. с высокой точностью подтверждена обширной
совокупностью фактов и лежит в основе всех современных
теорий, рассматривающих явления при релятивистских
скоростях. Уже последовательная теория
электромагнетизма — классич. электродинамика — возможна
только на основе О. т. (исторически анализ основ
классич. электродинамики, и в частности оптики
движущихся тел, привел к построению О. т.). О. т. лежит
в основе квантовой электродинамики, теорий сильного
и слабого взаимодействия элементарных частиц.
Квантовые законы движения и взаимопревращения
элементарных частиц рассматриваются в квантовой теории
поля.
Лит.: [1] Эйнштейн Α., Собр. научных трудов, т. 1—4,
М., 1965—67; [2] Einstein A., «Ann. Phys.», 1905, Bd 17,
S. 891—921; [3] Minkowski H., «Phys. Z.», 1909, Bd 10,
S. 104—11; [4] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория
поля, 6 изд., Μ., 1973 (Теоретич. физика, т. 2); [5] Фейн-
ман Р.,Лейтон Р., СэндсМ., Фейнмановские лекции по
физике, пер. с англ., в. 2, М., 1965; [6] Π а у л и В., Теория
относительности, пер с нем., М.— Л., 1947; 17] Φ о к В. Α., Теория
пространства, времени и тяготения, 2 изд., М., 1961; [8] Пен-
роуз Р., Структура пространства-времени, пер. с англ., М.,
1972; [9] Ρ а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и
тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [10] Александров А. Д.,
«Вопросы философии», 1953, № 5, с. 225—45. Д. Д. Соколов.
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОЛОГИИ — группы
гомологии НСр(Х, A; G) пары пространств (X, А). Они
определяются факторкомплексом комплекса цепей X с
коэффициентами в группе G по подкомплексу, состоящему
из всех цепей с носителями в А. Эти группы обычно не
изменяются при «вырезании», т. е. при замене пары
(X, А) парой (X\U, A\U), где U — содержащееся
в А открытое подмножество X. Относительные
когомологии Нр (X, А; G) определяются
подкомплексом комплекса цепей X, состоящим из всех
коцепей с носителями в Х\А, в то время как фактор-
комплекс обычно определяет когомологии
подмножества Ас:Х.
Лит.: [1] С к л я ρ е н к о Е. Г., «Успехи матем. наук»,
1979, т. 34, в. 6, с. 90—118. Е. Г. Скляренко.
ОТНОШЕНИЕ — подмножество конечной
декартовой степени Ап=АхАХ. . .ХА данного множества А,
т. е. подмножество систем (аг, а2, . . ., ап) из η
элементов множества А.
Подмножество R^An наз. п-м. е с τ н ы м, или п-
арным, отношением в множестве А. Число
η наз. рангом, или типом, отношения R.
Подмножество Я<=Л" наз. также п-м. е с τ н ы м, или
д-а рным, предикатом на множестве А.
Запись /?(αι, . . ., ап) означает, что (аь . . ., an)£R.
Одноместные О. наз. свойствами.
Двуместные О. наз. бинарными, трехместные О.—
тернарными и т. д.
Множество Ап и пустое подмножество φ в Ап наз.
соответственно универсальным
отношением и нуль-отношением ранга η в
множестве А. Диагональ множества Ап, т. е. множество
Δ = {(α, α, ..., α) \α£Α},
наз. отношением равенства в
множестве А.
Если R и S суть п-местные О. в множестве А, то
7г-местными О. в А будут также следующие
подмножества в Ап:
R\JS, R(]S, R' = An\R и /?\S.
Множество всех п-арных О. в множестве А
относительно операций [) , (V является булевой алгеброй, (тг+1)-
местное отношение F в А наз. функциональным,
если для любых элементов аг, . . ., а„, а, Ъ из А из
того, что (аг, . . ., ап, a)£F и (аг, .. . ,а„, Ъ)ζ F, следует
а—Ъ.
См. также Бинарное отношение, Соответствие.
Д. М. Смирнов.
ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ КРИТЕРИЙ -
статистический критерий, статистика κ-poro есть
отношение наибольших значений функций
правдоподобия, отвечающих проверяемой и множеству всех
допустимых гипотез. Пусть случайная величина X
принимает значения в выборочном пространстве {ϊ, 93, Ρ θ },
θ ζ Θ, а семейство мер $>== {Ρθ , θζθ} абсолютно
непрерывно относительно нек-рой σ-конечной меры μ
и Pq (x)—dPe (χ)/άμ (χ). Пусть по реализации
случайной величины X необходимо проверить сложную
гипотезу #о, согласно к-рой неизвестное истинное значение
θ0 параметра θ принадлежит множеству θ0(Ζθ, против
сложной альтернативы Нг : θ0ζθι=θ\Θ0.
Согласно О. п. к. с уровнем значимости a, 0<a<V2>
гипотезу #0 следует отвергнуть, если в результате
эксперимента окажется, что λ(^)<τλα, где λ(Χ) —
статистика О. п. к., определяемая следующим образом:
sup ре(Х)
χ(Χ)=*1*ι =г,
sup pQ (X)
θ6θ σ
а λα— критич. уровень, к-рый находится из того
условия, что размер критерия
sup Ρθ{λ(Χ)<λα} =
О 6 С>о
-ω8^Ρ ^/*:λ(*)<λ ιΡθ(*)μΐ<**)
θ6θ0 J\ OLf
равен α. В частности, если множество Θ содержит лишь
две точки Θ= {Р0, Pi}, а конкурирующим гипотезам,
к-рые в данном случае являются простыми, отвечают,
напр., плотности р0 (·) и р^(·) соответственно, то в этом
случае статистика О. п. к. выражается формулой
^w _min и ъШ.\.
\ Ρι (X) j
λ(Χ) =
max {p0 (X), Pi (X))
Согласно О. п. к. с уровнем значимости а, гипотезу
Н0 следует отвергнуть, если ρ0(Χ)/Ρί(Χ)<λα, где
число λα, 0<λα<1, определяется из условия
Ρ{λ(Χ) <λα|#0} =
= J {х Ρο <*> < Рг <*> λα} Ρ° № ^ №) = α.
О. п. к. предложен Ю. Нейманом и Э. Пирсоном
(J. Neyman, E. Pearson, 1928). Ими же было доказано
(1933), что среди всех критериев уровня,
предназначенных для проверки простых гипотез, О. п. к.
является наиболее мощным (см. Неймана — Пирсона лемма).
Лит.: [1] Neyman J., Pearson E. S., Joint
statistical papers, Gamb., 1967; [2] Л е м а н Э., Проверка
статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979. М. С. Никулин.
ОТОБРАЖЕНИЕ однозначное — закон, по к-рому
каждому элементу нек-рого заданного множества X
ставится в соответствие вполне определенный элемент
другого заданного множества У (при этом X может
совпадать с У). Такое соотношение между элементами
χζΧ и y£Y записывается в виде y=f(x), y—fx или
у—у (χ)» Пишут также / : X—>-У и говорят, что
отображение /действует из X в У. Множество X наз.
областью определения
отображения, а множество {y=f(x), x£X}aY наз.
множеством значений отображения.
Отображение / : Χ->Υ наз. также отображением
множества Хво множество У (или н а
множество У, если {y=f(x), x£X}=^У).
Логически понятие «О.» совпадает с понятиями функция,
оператор, преобразование.
Отображение / : X —► Υ порождает множество Giy=
= {χ, f (χ) |τζΧ} с ХхУ, наз. графиком
отображения. Обратно, множество Μ α ΧχΥ определяет
однозначное О. если и только если для всех и ζ Χ

153 отобр^
существует V ζ Υ, притом только один такой, что
(м, ν) α Μ, тогда fM(u) = v.
Два отображения / и g наз. равными, если
области их определения совпадают и f{x)^=g{x) для
любого χζΧ. В этом случае совпадают и области значений
этих О. Отображение / на X наз. постоянным,
если f(x) = a для любого χζΧ. Сужением
отображения / : X-*Y на подмножество ЛсХ наз.
отображение ф, заданное на множестве Л равенством
<p(x)=f(х), х£А', это сужение обозначается /^.
Расширением отображения (или
продолжением) на множество £dI наз. отображение F,
определенное на Ε и удовлетворяющее равенству
F(rc)=/(rc) для всехя^Х. Если заданы три множества
X, У, Z, на X определено отображение / со значениями
в У, а на У задано отображение g со значениями bZ,
то существует отображение h с областью определения
X, принимающее значения в Ζ и определяемое
равенством h (x)=glf (x)]. Это О. наз. композицией
отображении / и g, а / и ^
соответствующими отображениями, и обозначается gо/,
причем порядок записи играет существенную роль (для
функций действительного переменного принят термин
суперпозиция). Отображение h наз. также
сложным отображением, составленным из
внутреннего отображения / и внешнего отображения g.
Понятие сложного О. обобщается на любое конечное
число составляющих О.
Отображение /, определенное на X и принимающее
значения в У, порождает новое О., заданное на
подмножествах множества X и имеющее в качестве
значений подмножества множества У. Именно, если АаХ, то
def
f(A)={y = f(x), x£A).
Множество f(A) наз. образом множества^.
Если положить А— {х}, то получится исходное
отображение f(x), так что f{A) есть расширение
отображения / (х) с множества X на множество 5$ (X) всех
подмножеств множества X, если отождествлять
одноэлементное множество с элементом, его составляющим.
В случае Y=X множество А наз.
инвариантным подмножеством отображения /, если
f(A)aA, а точка χ наз. неподвижным
элементом отображения /, если f(x)=x.
Инвариантные множества и неподвижные элементы играют
важную роль при решении функциональных уравнений
вида f(x)—a или x—f(x)=a.
Каждое отображение / : X-+Y порождает О.,
заданное на подмножествах множества /(X) и имеющее в
качестве значений подмножества множества X. Именно,
для каждого Baf(X) через f~x(B) обозначается
множество {х, f(x)£B}, называемое полным
прообразом множества В. Если ]~1(у) для любого
г/£/(Х) состоит из единственного элемента, то /_1
есть О. элемента, определенное на /(X),
принимающее значения в X и называемое обратным
отображением к /. Существование обратного О.
эквивалентно разрешимости уравнения f(x)=y,
»€/(Х).
Если множества X и У наделены нек-рыми
свойствами, то во множестве F{X, Y) всех О. на X в У могут
быть выделены содержательные классы. Так, для
частично упорядоченных множеств X и У отображение /
наз. изотонным, если #<</ влечет f(x)<if(y).
Для комплексных плоскостей X и У выделяется класс
голоморфных О. Для топологич. пространств X и У
естественным образом выделяется класс непрерывных О.
этих пространств; строится развернутая теория
дифференцирования отображений. Для О. скалярного
аргумента и, в более общем случае, для О.,
определенных на пространстве с мерой, может быть введено по-
СЕНИЕ 154
нятие (сильной или слабой) измеримости и могут быть
построены различные интегралы лебеговского типа
(напр., Бохнера интеграл, Даниеля интеграл).
О. наз. многозначным отображением,
если нек-рым значениям χ соответствуют подмножества
YxdY, состоящие более чем из одного элемента.
Таковы, напр., многолистные функции комплексного
переменного, многозначные О. топологических
пространств и др.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц.,
М., 1965; [2] е г о же, Общая топология. Основные структуры,
пер. с франц., 2 изд., М., 1968; [3] К е л л и Д ж. Л., Общая
топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981. В. И. Соболев.
ОТОБРАЖЕНИЕ ПЕРИОДОВ - отображение,
сопоставляющее точке s базы S семейства {Xs} алгебраич.
многообразий над полем С комплексных чисел когомо-
логии Я* (Xs) слоя над этой точкой, снабженные Ходжа
структурой. Полученная при этом структура Ходжа
рассматривается как точка в многообразии модулей
структур Ходжа данного типа.
Изучение О. п. восходит к исследованиям Н. Абеля
(N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi) интегралов алгебраич.
функций (см. Абелев дифференциал). Однако до
недавнего времени глубоко были изучены лишь О. п.,
отвечающие семействам кривых.
Пусть {Xs} есть семейство слоев Xs^=f~1(s) гладкого
проективного морфизма / : X-+S, где S — гладкое
многообразие. Тогда когомологии Н* (Xs, Z)= F™
снабжены чистой, поляризованной структурой Ходжа,
к-рая задается гомоморфизмом вещественных
алгебраических групп h : C*-^0R, где С* —
мультипликативная группа С* поля комплексных чисел,
рассматриваемая как вещественная алгебраич. группа, а
G = {g € GL (V), ψ (gx, gy) = X (g) ψ (ζ, у)}
— алгебраич. группа линейных преобразований
пространства V, умножающих невырожденную
(симметрическую или кососимметрическую) билинейную форму
ψ на скалярный множитель; причем автоморфизм Ad h(i)
группы 6?β является инволюцией Картана и &(IR*)
лежит в центре группы G^. Множество Xq
гомоморфизмов &:C*->*6rR, обладающих указанными
свойствами, естественным образом снабжено
(^-инвариантной структурой однородного кэлерова многообразия и
наз. многообразием Гриффите а, а
фактор Mq=Xq/G п? является пространством модулей
структур Ходжа. Гомоморфизм h задает разложение
Ходжа
алгебры Ли © группы G, где ©^ ~Р —
подпространство в ©£ на к-ром Ad h(z) действует
умножением на zPz~p. Сопоставление h-+P(h), где Ρ (h) —
параболич. подгруппа в Gq, алгебра Ли к-рой есть
φ >0©;?' ~р, задает открытое плотное вложение
многообразия Xq n компактное Gq-однородное
многообразие флагов Xq- В касательном пространстве
к Xq b точке h выделено горизонтальное
подпространство
θΡ>-ι@ρ·-ρ/Φρ>ο©ρ· -ρ.
Голоморфное отображение в Xq или Mq наз. гор и-
зонтальным, если образ его касательного
отображения лежит в горизонтальном подрасслоении.

155 отобрд
Установлено, что О. п. Φ : S^Mq горизонтально
(см. [1], [3]). Особенности О. п. описываются
теоремой Шмида о нильпотентной орбите,
к-рая в случае, когда 5=*?\{0} — кривая с
выколотой точкой, утверждает, что если ζ — локальная
координата на S, z(0) = 0, то при ζ-^0 Φ (ζ) асимптотически
близко к
где a£XG, a ^6©q — нильпотентный элемент (см.
[4]). Относительно группы монодромии
Φ.(πχ(5, *))c6z
известно, что ее образ полупрост во всяком
рациональном представлении группы G, а преобразования
обхода Τ вокруг дивизора с нормальными
пересечениями £\£ в гладкой компактификации S многообразия S
порождают квазиунипотентные (т. е.
имеющие в качестве собственных значений корни из 1)
элементы Ф*(Г)£С™. Важность группы монодромии
подчеркивает теорема жесткости (см. [1],
[2], [4]): если над S имеются два семейства алгебраич.
многообразий, то соответствующие О. п. Φχ и Ф2 из S
в Mq совпадают тогда и только тогда, когда Φι(£0)=
=Ф2(*о) в нек-рой точке s0£S и гомоморфизмы Ф/* :
πι(£» s0)^Grp, i=l, 2, совпадают.
Законченные результаты о строении ядра и образа
О. п. относятся в основном к случаям кривых и КЗ-
поверхностей. Если {Xs} — семейство многообразий
указанного типа и Φ (s)—Φ (s'), то Х$^.Х8, (теорема
Торелли), а для ЯЗ-поверхностей максимально
возможный образ О. п. совпадает с Mq (cm. [7]). В
случае кривых образ О. п. частично описан (соотношения
Шоттки — Юнга, см. [6], [8]). Существует гипотеза
Гриффите а. о том, что многообразие модулей
допускает частичную аналитич. компактификацию,
т. е. открытое вложение в такое аналитич.
пространство Mq, что О. xi^S-^Mq продолжается до
голоморфного отображения SZ)S для всякой гладкой
компактификации SzdS. Такая компактификация известна (1983)
лишь для случая, когда Xq~ симметрическая
область [9].
Лит.: [1] Г ρ и φ φ и τ с Φ. Α., «Успехи матем. наук», 1970,
т. 25, в. 3, с. 175—234; [2] Griffiths Ph. Α., в кн.: Actes du
Congres international des mathematiciens (Nice), 1970, t. 1, P.,
1971, p. 113—19; [3] D e 1 i g η e P., Travaux de Griffiths, в кн.:
Seminaire Bourbaki. 1969/70, В.- Ν. Υ.- Hdlb., 1971, p. 213—35;
[4] Sch mid W., «Invent, math.», 1973, v. 22, p. 211—319;
[5] G a t t a n i Ε. Η., Κ a p 1 a n A. G., «Duke Math. J.», 1977,
v. 44, № 1, p. 1—43; [6] Дубровин Б. Α., «Успехи матем.
наук», 1981, т. 36, в. 2, с. 11—80; [7] К у л и к о в В. Α., там же,
1977, т. 32, в. 4, с. 257—58; [8] Μ а м φ ο ρ д Д., «Математика»,
1973, т. 17, № 4, с. 34—42; [9] В a i 1 у W., В о г е 1 Α., «Ann.
Math.», 1966, v. 84, p. 442—528. А. И. Овсеевич.
ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССЫ — нажнейшие классы
непрерывных отображений, рассматриваемые в общей
топологии и ее приложениях. К ним относятся: о т-
крытые отображения — такие, что образ
любого открытого множества является открытым
множеством; замкнутые отображения —
такие, при к-рых образ каждого замкнутого множества
замкнут; бикомпактные отображения —
для них прообраз любой точки является
бикомпактным множеством; совершенные
отображен и я — замкнутые бикомпактные отображения.
Факторные отображения определяются
требованием: множество в образе открыто в том и
только в том случае, если его полный прообраз открыт.
Важны также открытые бикомпактные отображения,
псевдооткрытые отображения и
ений 156
уплотнения — последние определяются как
взаимно однозначные непрерывные отображения на.
Таким образом, при классификации отображений в
общей топологии ограничения накладываются либо на
поведение (при переходе к образу) открытых или
замкнутых множеств, либо на свойства прообразов
множеств. Второй подход приводит, в частности, к
следующим О. к. Монотонные отображе-
н и я —те, при к-рых прообраз каждой точки
нульмерен. Конечнократные ото б ρ ажен.ия
характеризуются конечностью всех прообразов точек.
Отображения, при к-рых прообраз каждого
бикомпактного множества бикомпактен, наз. к-о τ о б ρ а-
ж е н и я м и. Соединением ограничений первого и
второго типа выделяются основные классы
непрерывных отображений в общей топологии. Самими
определениями О. к. естественно организуются в нек-рую
иерархию, к-рая может быть положена в основу систе-
матич. классификации топологич. пространств [1].
Эта классификация строится как результат решения
вопросов следующих двух типов. Дан класс
пространств Л, целесообразность выделения к-рого не
вызывает сомнений, и пусть ^ — нек-рый класс
отображений из нашей исходной иерархии. Требуется
охарактеризовать посредством внутренних топологич.
инвариантов образы пространств из класса Л при
всевозможных отображениях из класса <$. Вопросы
второго типа аналогичны — требуется охарактеризовать
прообразы пространств из класса Л при
отображениях из класса <Ш.
При решении вопросов указанных двух типов
получаются совсем не очевидные теоремы общего
характера. Напр., пространства с первой аксиомой счет-
ности — это в точности образы метрич. пространств
при непрерывных открытых отображениях.
Пространства с равномерной базой и только они — образы
метрич. пространств при открытых бикомпактных
отображениях. Пространства Фреше — Урысона
характеризуются как псевдооткрытые образы метрич.
пространств, а секвенциальные пространства — это
факторпространства метрич. пространств. Далее,
прообразы метрич. пространств при совершенных
отображениях — это в точности паракомпактные перистые
пространства, а прообразами полных метрич.
пространств являются паракомпактные пространства,
полные по Чеху. Непрерывные образы пространств со
счетной базой — пространства со счетной сетью. При
систематич. следовании указанному пути получается
единая взаимная классификация пространств и
отображений.
Особую роль среди различных классов
непрерывных отображений занимает класс факторных
отображений. Важнейшей особенностью факторных
отображений является то, что они могут служить средством
для построения новых топологич. пространств. А
именно, если дано отображение / топологич.
пространства X на нек-рое множество Υ (напр., если
рассматривается естественное отображение π
пространства X на множество всех элементов нек-рого
разбиения этого пространства), то на множестве У всегда
можно ввести естественную топологию требованием,
чтобы отображение / было факторным: множество
VczY объявляется открытым в том и только в том
случае, если его полный прообраз j~l{V) открыт в
пространстве X. Помимо уже названных, весьма важны
неприводимые отображения, напр. в теории
абсолютов. См. также Бифакторное отображение,
Многозначное отображение.
Лит.: [1] Архангельский А. В., «Успехи матем.
наук», 1966, т. 21, в. 4, с. 133—84. А. В. Архангельский.
ОТОБРАЖЕНИЙ МЕТОД — то же, что
изображений метод.

157
ОТРАЖЕНИЙ ГРУППА
158
ОТОБРАЖЕНИЯ ГЛАВНАЯ СЕТЬ, основание
отображения,— ортогональная сеть в области
G 7г-мерного многообразия Μ (в частности, Μ может
быть евклидовым пространством), к-рая переходит
в сеть, также ортогональную, при диффеоморфизме
/ : G^G' области G на область G' того же или другого
риманова многообразия М'. Направления,
касательные к линиям О. г. с. в точке x£G, являются главными
направлениями эллипсоида деформации
индуцированного отображения /* : Тх-+т\(Х) касательного
пространства Тх на касательное пространство Tf(X). При
η>2 О. г. с, вообще говоря, не является голономной.
Если отображение / — конформное, то любая
ортогональная сеть в области G служит О. г. с.
Лит.: Ρ ы ж к о в В. В., в сб.: Итоги науки, Серия
Математика., в. 3— Геометрия. 1963, М., 1965. В. Т. Базылев.
ОТРАЖЕНИЕ — движение σ n-мерного односвяз-
ного пространства постоянной кривизны Хп (т. е.
евклидова аффинного пространства Еп, сферы Sn или
пространства Лобачевского Λ"), множество
неподвижных точек Г к-рого является п—1 мерной
гиперплоскостью. Множество Г наз. зеркалом
отображения σ; говорят также, что σ есть О.
относительно Г. Всякое О. однозначно определяется своим
зеркалом. Порядок О. в группе всех движений Хп
равен 2, то есть o2=id χη.
Пусть Хп=Еп и ж^Г. Выбор χ в качестве начала
координат позволяет отождествить евклидово
аффинное пространство Еп с линейным евклидовым
пространством Vn его параллельных переносов. Тогда
отражение σ — линейное ортогональное
преобразование пространства Vn, имеющее в нек-ром ортонорми-
рованном базисе матрицу
II * ι °1
и наоборот, всякое ортогональное преобразование
пространства Vn, имеющее в нек-ром ортонормиро-
ванном базисе такую матрицу, является О. в Еп.
Более общо: линейное преобразование φ
произвольного векторного пространства W над полем к
характеристики, отличной от 2, наз. линейным
отражение м, если cp2=id^ и ранг преобразования 1—φ
равен 1. В этом случае подпространство \¥г
неподвижных относительно φ векторов имеет в W
коразмерность 1, а подпространство W-i собственных векторов
с собственным значением —1 имеет размерность 1 и
W=Wx@W-i. Если α — такая линейная форма на
W, что a(w)=0 при w£Wl4 a h£W-i — такой
элемент, что а (/г) — 2, то φ задается формулой
yw = w — a (w) h, w£W.
Описание О. в произвольном односвязном
пространстве Хп постоянной кривизны может быть сведено
к описанию линейных О. следующим способом.
Всякое такое пространство Хп вкладывается в виде
гиперповерхности в действительное (тг+1)-мерное
векторное пространство Vn + 1 таким образом, что
движения Хп продолжаются до линейных преобразований
Vn + 1, причем в подходящей системе координат в Vn + 1
уравнения указанной гиперповерхности записываются
следующим образом:
Жо + *1+...+Ял = 1 Для Sn;
χ0 = ί для£";
xq—χι— ... —Хп = 1 и х0 > 0 для Λ".
При этом вложении всякая гиперплоскость в Хп есть
пересечение с Хп нек-рого /г-мерного подпространства
в Vя+ 1, а всякое О. в Хп индуцировано линейным О.
в Vh + l.
Если в определении линейного О. отказаться от
требования φ2— id^, то получается более общее
понятие псевдоотражения. Если к — поле
комплексных чисел, а φ — псевдоотражение конечного
порядка (не обязательно равного 2), то φ наз. к о м-
плексным отражением. Комплексным О.
наз. также всякий биголоморфный автоморфизм
конечного порядка ограниченной симметрич. области
в комплексном пространстве, множество неподвижных
точек к-рого имеет комплексную коразмерность 1.
См. также Отражений группа.
Лит.: [1] Бур баки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с
франц., М., 1972; [2] В и н б е ρ г Э. Б., «Изв. АН СССР. Сер.
матем.», 1971, т. 35, № 5, с. 1072—112; [3] Go ttschli ng E.,
«Comm. Pure and Appl. Math.», 1969, v. 22, p. 693—714; L4]
Розенфельд Б. Α., Неевклидовы пространства, M.t 1969.
В. Л. Попов.
ОТРАЖЕНИЙ ГРУППА — дискретная группа
преобразований, порождаемая отражениями относительно
гиперплоскостей. Наиболее часто рассматриваются
О. г., состоящие из движений односвязного полного
риманова многообразия постоянной кривизны, т. е.
евклидова пространства Еп, сферы Sn или
пространства Лобачевского Ln.
Истоками теории О. г. являются исследования
правильных многогранников и правильных разбиений
евклидовой плоскости и сферы («орнаментов»). Во 2-й
пол. 19 в. эти исследования были распространены на
тг-мерный случай и, в связи с задачами теории функций
комплексного переменного, на плоскость
Лобачевского; были также описаны правильные разбиения
пространства Ln на правильные многогранники.
Группа симметрии любого правильного многогранника, а
также группа симметрии правильного разбиения
пространства на правильные многогранники являются
О. г. В 1934 были перечислены (см. [1]) все О. г. в Еп
и Sn(последние можно рассматривать как частный
случай О. г. в Еп + 1). Еще в 1925—27 в работах Г. Вейля (Н.
Weyl) и Э. Картана (Е. Cartan) О. г. появились как
Вейля группы полупростых групп Ли. Позднее было
установлено, что группы Вейля — это в точности
те О. г. в Еп, к-рые имеют единственную неподвижную
точку и записываются в нек-ром базисе
целочисленными матрицами, а аффинные группы Вейля — это все
О. г. в Еп с ограниченным фундаментальным
многогранником (см. Дискретная группа преобразований).
Основные результаты теории
групп отражений. Пусть Xn=Sn, En или
Ln. Всякая О. г. в Хп допускает в качестве
образующих отражения ri относительно гиперплоскостей #,·,
i ζ Τ, ограничивающих фундаментальный
многогранник Р. Относительно этой системы образующих она
является Кокстера группой с определяющими
соотношениями (rirj)nij=\, где числа и/у находятся
следующим образом: если грани Я/ Π Ρ и Hj[\P смежны и
угол между ними равен α,-y, то n;j=— ; если они не
a.j
смежны, то n,-j= оо (и тогда гиперплоскости Η ι и Hj
не пересекаются). Обратно, любой выпуклый
многогранник в пространстве Хп, все двугранные углы
к-рого суть целые части π, является фундаментальным
многогранником группы, порожденной отражениями
относительно ограничивающих его гиперплоскостей.
Всякая О. г. в Еп является (как группа движений)
прямым произведением тривиальной группы,
действующей в евклидовом пространстве нек-рой
размерности, и групп движений следующих двух типов:
(I) конечная О. г., фундаментальный многогранник
к-рой есть симплициальный конус, и (II) бесконечная
О. г., фундаментальный многогранник к-рой есть сим-

159
ОТРАЖЕНИЯ ПРИНЦИП
160
плекс. Группа типа (I) может рассматриваться как
О. г. на сфере с центром в вершине фундаментального
конуса; ее фундаментальным многогранником будет
тогда сферич. симплекс. О. г. типа (I) однозначно
определяется своей матрицей КоКстера, поэтому
классификация таких групп совпадает с классификацией
конечных групп Кокстера. О. г. типа (II)
определяется своей матрицей Кокстера с точностью до
гомотетии. Классификация таких групп с точностью до
гомотетии совпадает с классификацией неразложимых
параболич. групп Кокстера. Всякая О. г. в Еп,
имеющая ограниченный фундаментальный многогранник,
является (как группа движений) прямым
произведением групп типа (II).
О. г. в Fn изучены значительно хуже. По многим
причинам естественно выделить те из них,
фундаментальный многогранник к-рых ограничен или выходит
на абсолют лишь в конечном числе точек (это
равносильно конечности объема). Ниже рассматриваются
только такие группы. Они описаны более или менее
явно только при п=2, 3.
О. г. в L2 определяются /с-угольником с углами
5 vr«· ,i+---+vfc<*-2
(если вершина бесконечно удаленная, то считается,
что угол при ней равен нулю). Многоугольник с
заданными углами всегда существует и зависит от к—3
параметров.
При п^Ъ фундаментальный многогранник О. г.
в Ln однозначно определяется своим комбинаторным
строением и двугранными углами. Для п=3 получено
исчерпывающее описание таких многогранников [5]
и, тем самым, О. г. Для п^А известны лишь примеры
и нек-рые общие способы построения О. г. в Ln (см.
[6], [7]). Неизвестно (1983), существуют ли О. г. в Ln
с ограниченным фундаментальным многогранником
при п^8 и с фундаментальным многогранником
конечного объема при п^20.
Наряду с О. г. в пространствах постоянной
кривизны рассматриваются линейные О. г., действующие
дискретно в открытом выпуклом конусе
действительного векторного пространства. Это позволяет дать
геометрич. реализацию всех групп Кокстера с
конечным числом образующих (см. [3], [4]).
Всякую конечную О. г. можно рассматривать как
линейную группу. Конечные О. г. характеризуются
среди всех конечных линейных групп тем, что алгебры
инвариантных многочленов этих групп обладают
алгебраически независимыми системами образующих [4].
Напр., для группы всех перестановок базисных
векторов такими образующими будут элементарные сим-
метрич. многочлены. Пусть тх-\-\, . . ., тп-\-1 —
степени образующих инвариантов конечной О. г. G (п —
размерность пространства); числа т1, . . ., тп наз.
показателями группы G. Имеет место
формула
(i + m1t)...(l + mnt) = c0 + clt+...+cnt»,
где c/j — число элементов группы G, для к-рых
пространство неподвижных точек имеет размерность п—к.
В частности, /%+. . . + /п„ равно числу отражений
в группе G; (^+1). . .(тп-\-1) равно порядку группы.
Если группа G неприводима, то собственные значения
ее элемента Киллинга — Кокстера (см. Кокстера
группа) равны exp я*т*, где h — число
Кокстера:
/& = max{mfe} + l.
Утверждения предыдущего абзаца, за исключением
последнего, сохраняют силу для линейных групп над
произвольным полем нулевой характеристики (см. [4]).
Отражением в этом случае следует называть линейное
преобразование, пространство неподвижных точек
к-рого имеет размерность п—1. Перечислены [8] все
конечные линейные О. г. над полем комплексных чисел.
Найдены [9] конечные линейные О. г. над полями
ненулевой характеристики.
Лит.: [1] С о χ е t е г Н. S. M., «Ann. Math.», 1934, v. 35,
p. 588—621; [2] К о к с e τ e ρ Г. С. Μ., Μ о з е р У. О. Дж.,
Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных
групп, пер. с англ., М., 1980; [3] Τ i t s J., в кн.: Proceedings of
the International Congress of Mathematicians. 1962, Dursholm,
[1963], p. 197—221; [4] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли,
пер. с франц., М., 1972, гл. 4—6; [5] А н д ρ е е в Ε. Μ., «Матем.
сб.», 1970, т. 81, с. 445—78; т. 83, с. 256—60; [б] Мака-
ρ о в В. С, в кн.: Исследования по общей алгебре, в. 1, Киш.,
1968, с. 120—29; [7] Вин берг Э. В., «Матем. сб.», 1967, т. 72,
с. 471—88; 1972, т. 87, с. 18—36; [8] S h е ρ h а г d G. С, Τ о d d
J. Α., «Canad. J. Math.», 1954, v. 6, p. 274—304; [9] С e ρ e ж-
k и η Β. Η., «Докл. АН СССР», 1976, т. 227, с. 574—75.
Э. Б. Винберг.
ОТРАЖЕНИЯ ПРИНЦИП — обобщение симметрии
принципа для гармония, функций на гармонич.
функции от произвольного числа независимых переменных.
Формулировки О. п. таковы.
1) Пусть G — область /с-мерного евклидова
пространства (&>1), ограниченная жордановой
поверхностью Г (в частности, гладкой или кусочно гладкой
поверхностью Г без самопересечений), в состав к-рон
входит (к—1)-мерная подобласть σ (к—1)-мерной
гиперплоскости L. Если функция U (хх, . . ., х^)
гармонична в G, непрерывна на G\Jo и всюду на σ равна нулю,
то U(хх, . . ., Xk) продолжается как гармонич. функция
сквозь σ в область G*, симметричную с G относительно
L, с помощью равенства
U (χι, ..., x*k)=—U (χι, ..., xk),
где точки (χι, . . ., xk)£G* и (х1ч . . ., Xk)£G
симметричны относительно L.
2) Пусть G — область /с-мерного евклидова
пространства (/с^1), ограниченная жордановой
поверхностью Г, в состав к-рой входит (к—1)-мерная подобласть
σ (к—1)-мерной сферы Σ нек-рого радиуса i?>0 с
центром в нек-рой точке М°=(х[, . . ., х%). Если U (хи
. . ., х^ гармонична в G, непрерывна на G\Jo и всюду
на σ равна нулю, то U (хх, . . ., х^ продолжается как
гармонич. функция сквозь σ в область G*,
симметричную с G относительно Σ (т. е. полученную из G
посредством преобразования* обратных радиусов —
инверсии — относительно сферы Σ). Это продолжение
осуществляется посредством взятого с обратным
знаком Кельвина преобразования функции U относительно
сферы Σ, именно:
U (х\, ..., xk) =
= ρρΤβί'^ι + Λ*— , .··, ** + Д-—js У
где (х{, . . ., xl)£G*, r=l/"(*I-*i)2+. · .+iA-x%)%.
При преобразовании обратных радиусов относительно
упомянутой сферы Σ точка М* = (х\, . . ., xk)
переходит в точку Μ (#!, . . ., х^) в соответствии с равенствами
так что если Μ*ζ£*, то Μ принадлежит области G
(где U задана), и если Μ*ζσ, то М=М*.
Лит.: [1] Курант Р., Уравнения с частными
производными, пер. с англ., М., 1964, с. 272. Е. П. Долженко.
ОТРЕЗОК, сегмент, — множество точек на
прямой, расположенных между двумя данными
точками а, Ъ и удовлетворяющих условию вида а<.х<:Ь;
обозначают [а, Ъ]. См. также Интервал и сегмент.

161
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ
162
ОТРИЦАНИЕ — логическая операция, в результате
к-рой из данного высказывания А получается новое
высказывание «не А». В формализованных языках
высказывание, получающееся в результате О.
высказывания А, обозначается ~] А, ~А, А, —А, А' (читается:
«не А», «неверно, что А», «А не имеет места»).
Семантически О. высказывания А означает, что допущение А
приводит к противоречию. В классической
двузначной логике операции О. соответствует следующая
истинностная таблица:
А\ -\А
И| Л
ли
В. Е. Плиско.
ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИИ,
отрицательное изменение функци и,—
одно из двух слагаемых, сумма к-рых есть полное
изменение или вариация функции на данном отрезке.
Пусть f(x) — функция действительного переменного,
заданная на отрезке [а, Ъ] и принимающая конечные
значения.
Пусть U= {а=х0<Сх1<С. . .<жи=Ь} — произвольное
разбиение отрезка [а, Ъ] и
^п(/) = -2" [/ (*,·)-/ (*/-i)],
где суммирование производится по тем номерам i,
для к-рых разность /(#/)—/(#/_!) неположительна.
Величина
N(f) = N(f: [a, Ъ]) = sup Nu (/)
π
наз. отрицательной вариацией
(отрицательным изменением) функции /
на отрезке [а, Ь]. Всегда 0<:iV(/)<:+oo· См. также
Положительная вариация функции.
Лит.: [1] Лебег Α., Интегрирование и отыскание
примитивных функций, пер. с франц., М.— Л., 1934. Б. И. Голубое.
ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ — вид
корреляционной зависимости между случайными
величинами, при к-рой условные средние значения одной из
них уменьшаются при возрастании значений другой
величины. Об О. к. между величинами с корреляции
коэффициентом ρ говорят в том случае, когда р<0.
См. Корреляция. А. В. Прохоров.
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение вероятностей случайной
величины X, принимающей целые неотрицательные
значения к=0, 1, 2, ... в соответствии с формулой
Ρ {X = k} = Gkr+k-iPr (i-p)*
(*)
при любых действительных значениях параметров
0</?<1 и г>0. Производящая функция и характерис-
тич. функция О. б. р. задаются формулами
P(z)=pr(i-qz)-r
f(t)=pr(l-qen)-r,
где q = i—p. Математич. ожидание и дисперсия равны
соответственно rq/p и rq/p2. Функция распределения
О. б. р. для значений Л = 0, 1, 2, . . . определяется через
значения функции бета-распределения в точке ρ
следующим соотношением:
F (к) = ? {X < к}
JO
В (г, fe+1)
где В (г, /с+1) — бета-функция.
Происхождение термина «О. б. р.» объясняется тем,
что это распределение порождается биномом с
отрицательным показателем, а именно, вероятности (*)
являются коэффициентами разложения pr(l— qz)~r по
степеням ζ.
О. б. р. встречается во многих приложениях
теории вероятностей. При целом г>0 О. б. р.
интерпретируется как распределение времени ожидания г-го
«успеха» в схеме Бернулли испытаний с вероятностью
«успеха» р; в такой форме оно наз. обычно Паскаля
распределением и является дискретным аналогом гамма-
распределения. При г=1 О. б. р. совпадает с
геометрическим распределением. Часто О. б. р. появляется в
задачах, связанных с рандомизацией параметров
распределений, напр. если Υ случайная величина,
имеющая Пуассона распределение со случайным
параметром λ, к-рый в свою очередь имеет
гамма-распределение с плотностью
Г (μ)
г*-1.
\ χ > 0, μ >0,
то распределение У будет О. б. р. с параметрами τ=μ
и ρ=α/(1 + α). О. б. р. служит предельной формой
Пойа распределения.
Сумма независимых случайных величин Хг, . . .,
Хп, имеющих О. б. р. с параметрами ρ и rl9 . . ., г„,
соответственно, имеет О. б. р. с параметрами ρ и
гх+. . .+ги. При больших г и малых q, когда rq~k,
О. б. р. приближается распределением Пуассона с
параметром λ. Многие свойства О. б. р. определяются
тем фактом, что оно представляет собой обобщенное
распределение Пуассона.
Лит.: [1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и
ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.
А. В. Прохоров.
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение вероятностей
случайной величины X с целыми неотрицательными
значениями, заданное формулой
Ρ {Х=к} =
-,k rM-m
'k + m-i ^N-m-k
, 0</с<Лг —Λ/, (*)
параметры Ν, Μ, т — целые неотрицательные числа,
удовлетворяющие условию m<Af<7V. О. г. р. обычно
возникает в схеме выбора без возвращения. Если
в нек-рой генеральной совокупности объема N
имеется Μ «отмеченных» и Ν—Μ «неотмеченных»
элементов и если выбор (без возвращения) производится до
тех пор, пока число «отмеченных» элементов в выборке
не достигает фиксированного числа т, то случайная
величина X — число «неотмеченных» элементов в
такой выборке — подчиняется О. г. р. (*). Случайная
величина Х-\-т — объем выборки — также имеет
О. г. р. Распределение (*) названо по аналогии с
отрицательным биномиальным распределением, к-рое
возникает подобным образом при выборе с возвращением.
Математич. ожидание и дисперсия О. г. р. равны
соответственно
_ Ν-Μ
тНй7Г
и,
(N+DJN-M) Г, т -I
(М + 1)(М + 2) [/ М+1 J*
ТТ ΛΤ Ά/Г ΆΤ If Μ Ν — Μ
При 7V->oo, Λί->οο, Ν—Λί->οο, так что ^—>-ρ, —^ ►
->#> Ρ+</=1» О. г. р. стремится к отрицательному
биномиальному распределению с параметрами т и р.
Функция распределения F(п) О. г. р. с параметрами
Ν, Μ, т связана с функцией гипергеометрического
распределения G(m) с параметрами 7V, Μ, η
соотношением
F(n) = l — G(m—1).
Это позволяет при решении задач в математич.
статистике, связанных с О. г. р., пользоваться
таблицами гипергеометрич. распределения. О. г. р. вриме-
&6 Математическая энц., т. 4

163
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ
164
няется, например, при статистическом контроле
качества.
Лит.: [1] БеляевЮ- К., Вероятностные методы
выборочного контроля, М., 1975; [2J Большее Л. Н., Смирнов
Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.
А. В. Прохоров.
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — то же, что показательное распределение.
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — совместное распределение вероятностей
случайных величин Хг, . . ., Xk, принимающих
неотрицательные целые значения т~0, 1, 2, . . .,
заданное формулой
Ρ {Х1 = т1, ..., Xk = mk} =
Г (г) m,l .. mk
пгпт*
PqPi
Pl%
(*)
где г>0, Ро, . . ., Pk (0<Pi<\, i=0, . . ., к; р0+. . .+
+Р^—1) — параметры. О. п. р. является
многомерным дискретным распределением — распределением
случайного вектора (Xf, . . ., Xk) с неотрицательными
целочисленными компонентами.
Производящая функция О. п.р. с параметрами г,
р0, . . ., pk имеет вид
Р(ц, ..., **)=ρί(1-Σί-ι*ι'Ρ/ΓΓ·
О. п. р. возникает в следующей полиномиальной
схеме. Производятся последовательные независимые
испытания, и в каждом испытании возможны /с+1
различных исходов с индексами 0, 1, . . ., к, к-рым
соответствуют вероятности р0, рь . . ., pk. Испытания
продолжаются до г-го появления исхода с индексом О
(здесь г — целое). Если X/— число появлений исхода
с индексом i, i=l, . . ., /с, за время до конца
испытаний, то формула (*) выражает вероятность появления
исходов с индексами 1, . . ., к, соответственно, равно
тх, . . ., mk раз до г-го появления исхода 0. О. п. р.
в указанном смысле служит обобщением
отрицательного биномиального распределения, совпадая с последним
при к=\.
Если случайный вектор (Х0, . . ., Xk) имеет
полиномиальное распределение с параметрами л>1, р0,
. . ., pfe и параметр η сам является случайной
величиной, имеющей отрицательное биномиальное
распределение с параметрами г>0, 0<π<1,το распределение
вектора (Хх, . . ., Х^) при условии Х0=г является
О. п. р. с параметрами г, р0(1—π), . . .,р^(1—π).
А. В. Прохоров.
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ - голоморфное
векторное расслоение Ε над комплексным
пространством X, обладающее такой эрмитовой метрикой h, что
функция v-*h(v, ν) на Ε строго псевдовыпукла вне
нулевого сечения (обозначается #<0). Расслоение Ε
отрицательно тогда и только тогда, когда сопряженное
расслоение £*>0 (см. Положительное расслоение).
Если X — многообразие, то условие отрицательности
можно выразить в терминах кривизны метрики h.
Любое подрасслоение О. р. отрицательно. Расслоение
Ε над комплексным многообразием наз. о τ ρ и ц а-
тельным в смысле Накано, если Е*
положительно в смысле Накано. Голоморфное векторное
расслоение Ε над компактным комплексным
пространством X наз. слабо отрицательным, если
его нулевое сечение обладает строго псевдовыпуклой
окрестностью в Е, т. е. если Е* слабо положительно.
Всякое О. р. над X слабо отрицательно. Аналогично
определяются также отрицательные и слабо отрицательные
линейные пространства над пространством X.
Лит. см. при ст. Положительное расслоение. А. Л. Онищип.
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ в
непосредственном понимании —
двумерная поверхность трехмерного евклидова
пространства, к-рая в каждой своей точке имеет отрицательную
гауссову кривизну K<S). Простейшие примеры: одно-
полостный гиперболоид (рис. 1, я), гиперболический
параболоид (рис. 1, б), катеноид.
Непосредственное понимание
О. к. п. можно обобщать, напр.,
по размерности самой
поверхности или по размерности и по
структуре объемлющего
пространства.
Рис. 1, а.
Локально О. к. п. имеют седловое строение. Это
значит, что в достаточно малой окрестности любой своей
точки О. к. п. похожа на седло (см. рис. 1, б, не
интересуясь поведением поверхности вне изображенной ее
части). Локальный седловой характер поверхности
ясно усматривается на этом рисунке, где показаны
главные сечения поверхности в произвольной точке О.
Пусть J- , 4 их нормальные кривизны, т. е.
главные кривизны в точке О. По классич. определению,
гауссова кривизна в точке О есть число ^=д-д~ · Так
как К<0, то главные кривизны имеют разные знаки,
поэтому главные сечения имеют противоположные
направления выпуклости; на рис. 1,6 выпуклость сечения
02 направлена по нормали п, выпуклость другого —
против нормали, что и соответствует седловому
характеру поверхности. Топологич. строение О. к. п. в
целом («глобальное») может быть весьма разнообразным.
Напр., гиперболич. параболоид (рис. 1, б)
топологически эквивалентен плоскости, однополостный
гиперболоид (рис. 1, а) — цилиндрич. трубке. Пусть
два однополостных гиперболоида с параллельными
осями пересекаются по гиперболе (рис. 2, а). Пусть эти
Рис. 2.
гиперболоиды не прозрачны и их невидимые части
(т. е. части любого из них, лежащие внутри другого)
отброшены. Получившаяся поверхность имеет
отрицательную кривизну всюду, кроме точек указанной
гиперболы. В точках этой гиперболы кривизны вообще нет
(в классическом понимании), т. к. гипербола является
ребром поверхности. Но поверхность вблизи ребра в
данном случае можно загладить (см. [7]) так, чтобы
получилась поверхность, к-рая имеет кривизну во всех
точках, причем отрицательную (см. рис. 2, б). Она
топологически эквивалентна тору с двумя проколами.
Включая в конструкцию большее число однополостных
гиперболоидов, можно построить О. к. п. сколь угодно
сложного топологич. строения.

165
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ
166
Поверхность наз. полной, если она является j
полным метрич. пространством с расстоянием в смысле
ее внутренней геометрии. Во всех указанных примерах
рассматривались полные поверхности. Идея
построения полных О. к. п. разнообразных топологич. типов,
исходя из нек-рых простейших (как изложено выше),
принадлежит Ж. Адамару (J. Hadamard, [1]).
Предложен принципиально другой пример (рис. 3) полной
О. к. п. (см. [6] — [7]). Эта поверхность имеет всюду
отрицательную кривизну и вся заключена внутри нек-
рого шара. Она бесконечно ветвится, причем
переменная ее точка, двигаясь по ветвям, может сколь угодно
близко подойти к граничной сфере шара, но нигде не
достигает этой сферы. Поверхность построена так, что
при указанном
движении переменная точка
всегда проходит путь
бесконечной длины. Тем
самым обеспечивается
полнота поверхности в
смысле ее внутренней
метрики. Этот пример
показывает, что внутренне
полная О. к. п. не
обязательно уходит в
бесконечность в пространстве,
подобно поверхностям в
примерах Адамара.
В приведенном при-
Рис. з. мере повсеместное
соблюдение условия К <0
удается обеспечить, допуская хотя бы слабую
нерегулярность поверхности. Это значит, что
поверхность предполагается гладкой (всюду класса С1),
но допускается, что в нек-рых изолированных точках
она не принадлежит С2; в таких точках требуется
существование предельного значения кривизны. После
дополнения предельными значениями кривизна всюду
определена и непрерывна. Вопрос о протяженности
поверхности и связь его с условием регулярности
существенно дополняется следующими теоремами [8].
Если гауссова кривизна К полной поверхности
класса С2 удовлетворяет неравенству — а2<Я<0, где
а= const, то поверхность не может содержаться в шаре,
радиус к-рого меньше χ у γ ·
Если на полной поверхности класса С2,
неограниченной во внутреннем смысле, гауссова кривизна Ζ—►()
на бесконечности, то поверхность не ограничена в
пространстве (в этой теореме допускается перемена
знака кривизны).
Особое внимание привлекали (и привлекают)
постоянной О. к. п., к-рые имеют гауссову кривизну с
одним и тем же численным значением во всех точках.
Они замечательны уже тем, что их внутренняя геометрия
локально совпадает с геометрией на плоскости
Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Это значит, что
для фигур, лежащих на постоянной О. к. п.,
осуществляются в точности те же соотношения, какие имеют
место в планиметрии Лобачевского (при этом роль
прямых играют геодезич. линии); напр., тригонометрич.
формулы для треугольников на постоянной О. к. п.
и соответствующие формулы в неевклидовой геометрии
Лобачевского точно совпадают. Тем самым на
постоянной О. к. п. получается локальная модель геометрии
Лобачевского. Такая модель была построена Э. Бель-
трами (Е. Beltrami, 1868), что существенно
содействовало признанию геометрии Лобачевского. Э. Бельтра-
ми указал также важный пример О. к. п.; она наз.
псевдосферой (рис. 4) и образована вращением
трактрисы вокруг ее асимптоты (рис. 5). Характери-
стич. свойство трактрисы — отрезок касательной от
точки прикосновения до асимптоты постоянно равен
нек-рому числу а. Оказывается, что гауссова кривизна
псевдосферы К — —г. Еще раньше, чем Э. Бельтрами,
поверхности вращения отрицательной кривизны
изучал Ф. Миндинг (F. Minding,
1839). Он нашел два вида
периодических постоянной О. к. п.
вращения (рис. 6), к-рые вместе с
псевдосферой исчерпывают все
Рис. 4.
Рис. 5.
Рис. 6.
возможные постоянной О. к. п. (уравнения их см. в
[3] и [5]).
Построение глобальной модели планиметрии
Лобачевского на какой-нибудь постоянной О. к. п.
вращения, напр. на псевдосфере, невозможно по двум
причинам. Во-первых, на
псевдосфере имеются нерегулярные
точки; они составляют ребро
возврата (рис. 4). Во-вторых,
псевдосфера топологически
эквивалентна трубке и значит даже
с топологич. точки зрения
отличается от плоскости
Лобачевского. Но можно построить на
регулярной О. к. п. вращения
модель бесконечной части
плоскости Лобачевского. С этой целью
отсекается от псевдосферы
плоскостью, перпендикулярной
оси, бесконечная (сужающаяся) область U. Плоскость
проводится так, чтобы она не содержала ребра
возврата. В качестве U берется та часть псевдосферы, где
ребра возврата нет. Далее рассматривается только
£/, к-рую для простоты также наз. псевдосферой; на
ней нет особых точек. Пусть V — универсальная
накрывающая псевдосферу U поверхность. Это понятие
можно наглядно ввести следующим образом. Берется
бесконечно много одинаковых и совмещенных
экземпляров псевдосферы U, к-рые различаются введением
нумерации: . . ., £/"_2> ^-i> U01 #ΐι · · · Затем все они
разрезаются по какому-нибудь общему меридиану, а
на каждой из них устанавливается левый и правый
берег разреза так, чтобы все левые берега были
совмещены (также — правые). Теперь для любого номера
/с, —оо</с<оо, левый берег U^ соединяется с правым
берегом £7&+ι (следовательно, правый берег Uk с левым
берегом £7fc_i). Так получится связная поверхность U',
к-рая и является универсальной накрывающей
поверхности £/, она иногда наз. односвязной оберткой
поверхности С/. Универсальную накрывающую можно
построить для любой поверхности, но наглядное
описание ее конструкции будет далеко не так просто, как
для псевдосферы. Существенно, что универсальная
накрывающая всегда односвязна. Важно также, что на
универсальную накрывающую можно перенести
локальную внутреннюю геометрию накрываемой
поверхности. Для этого достаточно учесть, что каждая
точка ρ накрываемой поверхности имеет выпуклую
окрестность V(p), к-рая однолистно накрывается
окрестностью V (р') накрывающей (здесь р'— точка,
6*

167
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ
168
к-рая накрывает точку р; соответствие р—>р'
биективно). Геометрия V(p) переносится на V (рг)
тождественно, т.е. расстояние между точками pi, р'ъ^У
принимается равным расстоянию между их
прообразами. Вместе с тем определяется глобальная геометрия
универсальной накрывающей, но она, как правило,
будет совершенно отличаться от глобальной геометрии
накрываемой.
На псевдосфере U меридианы, уходя в
бесконечность, сближаются; кроме того, они ортогональны краю
U. Поэтому край универсальной накрывающей есть
кривая в плоскости Лобачевского, к-рая является
ортогональной траекторией пучка параллельных по
Лобачевскому (сближающихся) прямых. Эта кривая в
геометрии Лобачевского наз. орициклом. Таким
образом, с точки зрения своей внутренней геометрии
универсальная накрывающая псевдосферы U есть
внутренняя область орицикла в плоскости Лобачевского.
Универсальная накрывающая U' псевдосферы U
удобнее для построения модели геометрии Лобачевского,
чем сама псевдосфера U. Напр., сколь угодно большой
круг можно расположить на U\ но в U слишком,
большой круг без перекрытий может не уместиться. Но даже
U' недостаточно обширна, чтобы вместить любой объект
геометрии Лобачевского, напр. полная прямая в U'
не умещается. Иначе говоря, построить с помощью U'
модель всей плоскости Лобачевского нельзя.
Д. Гильбертом (1900) был поставлен вопрос: не
существует ли поверхности, внутренняя геометрия к-рой
в целом совпадает с геометрией плоскости
Лобачевского? Из простых соображений следует, что если такая
поверхность есть, то она должна иметь постоянную
отрицательную кривизну и быть полной. Далее, она
должна быть односвязной, поскольку односвязна
плоскость Лобачевского. Но на самом деле достаточно
было бы найти любую полную поверхность постоянной
отрицательной кривизны (согласно изложенному выше,
универсальная накрывающая такой поверхности полна
и односвязна). При этом имеются в виду только
регулярные поверхности (хотя бы дважды непрерывно
дифференцируемые в любой точке, т. е. класса С2).
Уже в 1901 Д. Гильберт решил свою проблему (см.
[2]), причем в отрицательном смысле: в трехмерном
евклидовом пространстве не существует полной
регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Эта теорема привлекала внимание геометров на
протяжении ряда десятилетий и привлекает внимание до сих пор.
Дело в том, что с ней и с ее доказательством связано
много интересных вопросов (см. ниже). При этом нали
чие особых линий у поверхностей вращения постоянной
отрицательной кривизны (см. рис. 4, 6) не случайно.
Оно соответствует теореме Гильберта.
Доказательство теоремы Гильберта о поверхностях
любого топологич. строения прежде всего интересно
тем, что в нем существенно использовано понятие
универсальной накрывающей поверхности. Оно сводит
дело к поверхности с простейшей топологией, именно,
к односвязной поверхности. По-видимому, теорема
Гильберта была одним из ранних предложений
математики, где это понятие уяснилось. После публикации
первой статьи Д. Гильберта с доказательством его
теоремы выражалось сомнение в справедливости этого
доказательства. Замечания относились к
необозримости поведения асимптотич. линий, к-рые по ходу дела
рассматривались на поверхности ввиду сложности ее
топологии. Предполагалось даже, что Д. Гильберт
перерабатывал свое доказательство, чтобы уточнить
его. Между тем доказательство Д. Гильберта с самого
начала было безупречным. Вероятно, этих замечаний
не было бы, если бы Д. Гильберт отчетливо сказал,
что исследуется полное односвязное многообразие
постоянной отрицательной кривизны, т. е. сама плоскость
Рис. 7.
Лобачевского, в предположении, что она изометрично
и регулярно погружена в трехмерное евклидово
пространство.
Интересным является также то, что в доказательстве
Д. Гильберта неожиданно появляются ч е б ы ш е в-
ские сети: так называется
сеть, в каждом сетевом
четырехугольнике к-рой противоположные
стороны имеют равные длины (см.
рис. 7). И вот оказывается, что
асимптотич. сеть (к-рая определена
и невырождена во всех точках на
любой О. к. п.) в случае
постоянной О. к. п.— чебышевская. Эту
сеть можно принять в качестве
координатной: и — const, v= const.
Тогда линейный элемент получает
чебышевский вид
ds2 ==du2 + 2 cos todudv + dv2, (1)
где ω — сетевой угол. Предполагая, что поверхность
регулярна, полна и односвязна, и, пользуясь чебышев-
ским характером сети, можно доказать, что и, ν
принимают все значения: — оо<и<оо, — оо <у< оо и
этим исчерпывают сеть; иначе говоря, асимптотич.
сеть в целом гомеоморфна декартовой сети на
евклидовой координатной плоскости (см. [9]). С другой
стороны, в предположении, что гауссова кривизна
постоянна, напр. Κ=—ί, из (1) получается уравнение
при этом из геометрич. соображений следуют
ограничения
0 < ω < π. (3)
Д. Гильберт показал, что уравнение (2) не может иметь
регулярного на всей координатной плоскости решения
ш=о)(и, у), подчиненного условию (3), и тем самым
полная плоскость Лобачевского не может быть
регулярно и изометрично погружена в трехмерное
евклидово пространство. Отсюда, как объяснялось выше,
вытекает более общая формулировка этой теоремы: в
трехмерном евклидовом пространстве невозможна полная
регулярная постоянной О. к. п. (никакой топологич.
структуры).
Во многих разделах математики случалось, что
какое-нибудь утверждение или какой-нибудь вопрос
играли особую роль в развитии всего раздела. В
дифференциальной геометрии одним из таких утверждений была
(и еще остается) теорема Гильберта. Ей посвящено
много публикаций. Интерес к этой теореме вызван
прежде всего сочетанием в ее доказательстве
разнообразных идей и понятий (универсального накрытия,
чебышевской сети). Позднее обнаружилась ее связь
с физикой.
Оказалось, что уравнение (2), написанное в
несколько ином виде и без ограничения (3), выражает условие
на потенциал в т. н. эффекте Джозефсона из теории
сверхпроводимости. Физики дали уравнению (2)
название «синус-Гордона». Используя связь уравнения (2)
с теорией О. к. п. (см. [13], [14]), находят в конечном
виде нек-рые его решения, регулярные на всей
плоскости.
С. Э. Кон-Фоссен высказал (см. [15]) предположение,
что имеет место гораздо более общая теорема, чем
теорема Гильберта, именно, что условие на гауссову
кривизну К= const <0 можно заменить условием Я<
<:const<0. Однако до нач. 60-х гг. 20 в. не было
найдено ни одной теоремы, к-рая включала бы теорему
Гильберта как частный случай. Только в 1961 (см. [16])
была ^показана корректность теоремы Гильберта, т. е.

169 отрицательной кр
была установлена теорема о переменной О. к. п., для
к-рой теорема Гильберта является предельным
случаем. Иначе говоря, те свойства постоянной О. к. п.,
к-рые вызывают эффект теоремы Гильберта
(нарушение регулярности), и сам эффект возможно понимать
в приближенном смысле. Для доказательства было
найдено уравнение в случае переменной кривизны,
к-рое обобщает уравнение (2). Именно,
где ω имеет прежний смысл, k2——K,
дифференцирование ведется по дугам асимптотич. линий, А и α —
величины, модули к-рых допускают внутреннюю
оценку, т. е. оценку в зависимости только от погружаемой
метрики. При К=const получается А— 0, а=0 и
уравнение (4) превращается в уравнение (2).
В случае переменной кривизны найдено (см. [17])
уравнение
Ls2L*Si (ω) = Μ sin ω, (5)
где Ls —линейный оператор, пропорциональный
оператору дифференцирования по дуге асимптотич.
линий второго семейства, L* — квазилинейный
оператор похожей структуры. Существенно, что функция Μ
при нек-рых условиях на метрику допускает
внутреннюю оценку снизу положительным числом, благодаря
чему и благодаря строению левой части уравнение (5)
сходно с уравнением (2). Поэтому при таких условиях на
метрику можно провести рассуждения, сходные с
рассуждениями Д. Гильберта (хотя гораздо более
сложные), и получить сходный результат. Таким путем
впервые было получено обобщение теоремы Гильберта (см.
[18]). Что касается условий на метрику, о к-рых только
что говорилось, то они заключаются в требовании,
чтобы гауссова кривизна К была отгорожена от нуля и
медленно изменялась. Если предположить, что #<:—1,
то медленное изменение кривизны нужно понимать в
том смысле, что первые и вторые производные от К
по дуге любой геодезической достаточно малы.
Достаточные оценки устанавливаются с таким расчетом,
чтобы к уравнению (5) были применены указанные выше
рассуждения, идущие от Д. Гильберта. Эти оценки (см.
[19]) выражены с помощью положительных постоянных,
обозначаемых h и Δ. Соответственно, получаемые
метрики с медленно изменяющейся отрицательной
кривизной наз. (/&, Δ)-μ етриками (определение см.
в [18] или в [19]); при этом метрики постоянной
кривизны получаются при Δ= + οο. Таким образом, полная
(&, Д)-метрика не допускает регулярного изометрич.
погружения в трехмерное евклидово пространство.
Вопрос о возможности обобщения теоремы Гильберта
в том виде, как он ставился в 30-е гг. (без ограничений
характера поведения кривизны, см. [12]), на
указанных сейчас путях, т. е. с помощью дифференциальных
уравнений теории поверхностей, завершить не
удалось. Но решение этого вопроса получилось совсем
на другом пути, именно, с помощью тщательного
исследования граничных свойств сферич. образа О. к. п.
Таким способом доказано (см. [19], [20]), что полная
метрика с гауссовой кривизной Я <const<0 не допускает
регулярного изометрич. погружения в Е3. Тем самым
вопрос решен точно в классич. постановке.
Одновременно доказана теорема: в Е3 на всякой полной
регулярной поверхности отрицательной гауссовой
кривизны К имеет место равенство
suptf = 0. (6)
Здесь достаточна регулярность С2. Но в случае С1» 1 есть
(см. [7]) контрпример (в виде слабо нерегулярной
поверхности).
170
Кроме (6) получены также (см. [21]) другие
равенства и оценки, универсальные в том смысле, что они
относятся ко всем О. к. п. в Е3. Кроме того, метод
доказательства (6) позволил получить теоремы, к-рые
дают достаточные признаки, когда отображение
плоскости в плоскость с отрицательным якобианом
является не только локальным, но и глобальным
диффеоморфизмом.
Несмотря на изложенные сейчас результаты,
исследование (Д, Д)-метрик и других метрик с медленно
изменяющейся кривизной (напр., ςτ-метрик; см. [9])
не потеряло смысла. Дело в том, что в задачах
погружения метрик с медленно изменяющейся отрицательной
кривизной возникают эффекты, к-рые не имеют места в
случае более общих метрик отрицательной кривизны
(см., напр., теорему о простой зоне в [9]). Образно
можно сказать, что чем медленнее изменяется кривизна,
тем «труднее» метрике отрицательной кривизны быть
погруженной в Е$. Для метрики постоянной кривизны
это «явление» проявляется особенно заметно (см.
усиленную теорему Гильберта в [9]). Что касается
дифференциальных уравнений, к-рые отмечались в связи с
вопросом о погружении (Д, Д)-метрик, то они
существенно использовались и в других вопросах. Так, с их
помощью установлен [7] ряд сильных теорем о связи
между внутренними и внешними свойствами О. к. п.;
в частности, теоремы о зависимости внешней
регулярности кривизны О. к. п. от регулярности ее метрики
(см. [7]).
Влияние регулярности метрики на внешнюю
регулярность О. к. п. представляется особенно
интересным, так как О. к. п. входят в нек-рый специальный
класс поверхностей, к-рый может быть определен чисто
геометрически (интересно, что чисто геометрич.
определение допускает и класс выпуклых поверхностей).
Поверхности этого класса наз. седловыми. Седло-
вые поверхности в нек-ром смысле — антиподы
выпуклых (см. [22] — [25]).
Теорема о невозможности в евклидовом пространстве
полной О. к. п. uT<const<0 получает весьма
усиленную форму в случае поверхности, к-рая однолистно
проектируется на плоскость, т. е. может быть
представлена как график функции z=f(x, у). В этом случае
существуют универсальные оценки протяженности
поверхности, и полнота ее становится несущественной.
Доказаны теоремы (см. [26]): 1) если на
прямоугольник со сторонами а, Ъ регулярно проектируется
поверхность с гауссовой кривизной ϋΓ<—α2= const <0,
то неравенство l^a^Ci+e, ε>0 влечет α|/"α<£ι-|-—»
где Clt С2— универсальные постоянные (напр., Сг=^п,
С2=12л); 2) если а, Ь и (для простоты) а=1, то а<18,9.
Пусть дана метрика ds2 с отрицательной гауссовой
кривизной К и k= Y—К. Пусть метрика ds2 погружена
в Е3 и Z, т, η — приведенные коэффициенты
получившейся второй квадратичной формы (приведенные —
значит удовлетворяющие уравнению In—т2=—К). В
задаче о погружении Z, т, η — неизвестные функции.
В качестве новых неизвестных функций вводятся т. н.
инварианты Римана:
m+fe m-fe
Тогда основная система уравнений теории
поверхностей примет симметричный вид
rx+sry = A0 + A1r + A2s + A3r2 + AArs + Abr2s, λ
sx+rSy = A0 + AlS + A2r + Ass2 + A4rs + A5s2r, f [i)
где Л о, . . ., Аъ выражаются только через метрику ds2.
Выше указывалось, что полная О. к. п. с X<const<0
не допускает изометричного регулярного погружения в
Е0. Поэтому полученные результаты о возможности
изометрич. погружения двумерных многообразии от-
[ВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ

171
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТЬ
172
рицательной кривизны в Е3 по необходимости
относятся к частям полных многообразий. Само
многообразие предполагается односвязным. Так, доказано (см.
[29], [30]), что каждый геодезич. круг на
произвольном регулярном многообразии отрицательной
кривизны Ar<const<0 может быть регулярно изометрически
погружен в Е3. Эта теорема получена как следствие
более общей теоремы: при нек-рых естественных
условиях регулярности на метрику полной О. к. п. с #<
<const<0 каждая бесконечная эквидистантная полоса
на этом многообразии может быть изометрично и
регулярно погружена в Е3. Эта теорема в свою очередь
получена как следствие теоремы о существовании
в целом решений гиперболич. систем квазилинейных
уравнений вида (7), причем гФ$.
Построен пример односвязного многообразия
знакопеременной кривизны, на к-ром есть геодезич. круг, не
допускающий изометрич. погружения в Е3 (см. [10]).
Доказано [31] при нек-рых ограничениях на полную
метрику односвязной О. к. и. /f<const<0, что
внутренняя область произвольного орицикла такого
многообразия может быть изометрично погружена в Е3.
Таким образом, для полных односвязных
многообразий отрицательной кривизны К <const <0 доказана
возможность изометрич. погружения в Е3 всех
компактных и некомпактных его частей, к-рые сходны с
частями плоскости Лобачевского, изометрич. погружения
к-рых известны из работ Ф. Миндинга и Э. Бельтрами.
Изучаются погружения метрики с гауссовой
кривизной К=const <0, т. е. погружения частей плоскости
Лобачевского. Так, доказано, что каждый, даже
бесконечно протяженный, многоугольник плоскости
Лобачевского, может быть изометрически погружен в Е3.
Разнообразие топологич. типов полных О. к. п. в Е3
приводит к необходимости рассматривать различные
подклассы этого слишком широкого класса,
удовлетворяющие тем или иным дополнительным условиям.
Весьма естественным является подкласс полных О. к.п.,
имеющих взаимно однозначное сферическое («о дно-
лис τ н о е») отображение (см. [33]). Если
поверхность F из этого класса не имеет самопересечений, то
она односвязна или двусвязна. Если такая
поверхность F имеет рог, то, используя неограниченность
седлового рога (см. [34]), можно получить ряд внешне-
геометрич. свойств этой поверхности: F допускает
задание уравнением z—f(x, у) над областью,
полученной из плоскости х, у удалением компактного
выпуклого множества; F имеет предельный конус A (F),
состоящий из луча, соответствующего рогу, и
выпуклого конуса, соответствующего чаше поверхности;
замыкание F* сферич. образа поверхности F имеет своим
дополнением до сферы открытую
полусферу и открытое выпуклое
множество (рис. 8—10). Ряд аналогичных
А(Г)
А
Рис. 9.
Рис
Рис. 10.
Рис. 11.
вопросов изучен и для других типов полных О. к. п.
со взаимно однозначным сферич. отображением.
Другим интересным по своим свойствам и свойствам
своего сферич. отображения классом является класс
сужающихся О. к. п. (см. [36], [37]). Такой
поверхностью, напр., является поверхность, заданная
уравнением x2y2Jry2z2~\-z2x2=a2. По ряду своих свойств
сужающиеся О. к. п. напоминают замкнутые
поверхности. Их сферич. образ можно рассматривать как ри-
манову поверхность с краем, каждая компонента к-рого
является сферич. ломаной, лежащей на одной из
больших окружностей.
Иначе выглядит теория О. к. п. в псевдоевклидовом
пространстве ^1, ι- В этом пространстве О. к. п.
являются выпуклыми; при этом кривизна понимается
обычным образом, как кривизна метрики, индуцированной
объемлющим пространством. Именно она
предполагается отрицательной.
Единичная сфера пространства #2, ι состоит из трех
связных компонент Lb L2, L3 (рис. И). Компоненты
Lx и L2 являются выпуклыми
поверхностями, на к-рых
индуцируется положительно определенная
метрика постоянной отрицательной
кривизны; эти поверхности дают
известную интерпретацию
геометрии Лобачевского. Поверхность L3
седлообразная, на ней
индуцируется индефинитная метрика
постоянной положительной кривизны;
метрика этой поверхности известна
как двумерная метрика де Ситтера.
О. к. п. с дефинитной метрикой образуют в Е\, ι
широкий и естественный класс поверхностей,
обобщающих свойства поверхностей Lx и L2 так же, как
поверхности положительной кривизны образуют в
евклидовом пространстве класс, обобщающий сферу
(см. [38]).
Исчерпывающим образом изучены свойства
поверхностей с дефинитной метрикой и отрицательной
кривизной, полная интегральная кривизна к-рых кончена.
Свойства этих поверхностей аналогичны свойствам
выпуклых поверхностей с кривизной, меньшей 2π, в
евклидовом пространстве (класс поверхностей Оловяниш-
никова). Именно, полная дефинитная метрика
отрицательной кривизны и конечной интегральной
кривизны К и геодезич. луч γ на многообразии, несущем эту
метрику, определяют единственным образом выпуклую
поверхность с данным выпуклым предельным конусом
полной кривизны К без изотропных образующих и с
данной образующей, к-рая является предельной для
луча γ. Регулярность получаемых поверхностей
определяется регулярностью метрики.
Полные О. к. п. с индефинитной метрикой также
являются выпуклыми. Но свойства их отчасти сходны
со свойствами седлообразных поверхностей в
евклидовом пространстве. В частности, для них справедлива
оценка sup K = 0. Такие поверхности должны были
бы соответствовать компоненте L3 единичной сферы
пространства #|, ι; однако она не выпукла. Здесь
играет определяющую роль не только знак гауссовой
кривизны, но и знак определителя метрич. формы
поверхности.
Лит.: [1] Η a d a m а г d J., «J. math, pures et appl.», 1898,
v. 4, p. 27—73; [2] Η i 1 b e r t D. «Trans. Amer. Math. Soc»,
1901, v. 2, p. 87—99; [3j Biancni L., Lezioni di geometria
differentiale, 3ed., v. 1, pt 1, Bologna, 1927; [4] Ε φ и м о в Н. В.,
Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [5] Η ο ρ д е н А. П.,
Теория поверхностей, М., 1956; [6] Ρ о з е н д о ρ н Э. Р., «Успехи
матем. наук», 1961, т. 16, в. 2, с. 149—56; [7] е г о же, там же,
1966, т. 21, в. 5, с. 59 — 116· [8] А м и н о в Ю. Α., «Укр. геометр,
сб.», 1973, в. 13, с. 3—9; [9] Ε φ и м о в Н. В., «Успехи матем.
наук»» 1966, т. 21, в. 5, с. 3—58; [10] Π о з н я к Э. Г., там же,

173 ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ
1973, т. 28, в. 4, с. 47—76; [11] По зи я к Э. Г., Ш и к и н Е. В.,
в кн.: Итоги науки и техники. Сер. Алгебра. Топология.
Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 171—207; [12] Π о з н я к Э. Г., в кн.:
Итоги науки и техники. Сер. Проблемы геометрии, т. 8, М., 1977,
с. 225—41; L13] Грибков И. В., «Вестн. Моск. ун-та. Сер.
Математика. Механика», 1977, № 4, с. 78—83; [14] его же,
«Успехи матем. наук», 1978, т. 33, в. 2, с. 191—92; [15] К о н -
Фоссен С. Э., там же, 1936, в. 1, с. 33—76; [16]
Ефимов Н. В., «Докл. АН СССР», 1961, т. 136, № 6, с. 1283—86;
[17] Ε φ им о в Н. В., Π о з н я к Э. Г., там же, т. 137, № 1,
с. 25—27; [18] их же, там же, № 3, с. 509—12, [19]
Ефимов Н. В., там же, 1963, т. 150, № 6, с. 1206—09; [20] его
ж е, «Матем. сб.», 1964, т. 64, Ν* 2, с. 286—320; [21] его же,
там же, 1968, т. 76, № 4, с. 499—512; [22] Ш е φ е л ь С. 3.,
Исследования по геометрии седловых поверхностей, Новосиб., 1963;
[23] его же, «Сиб. матем. ж.», 1964, т. 5, № б, с. 1382—96;
[24] е г о же, там же, 1967, т. 8, № 3, с. 705—14; [25] е г о
ж е, «Докл. АН СССР», 1965, т. 162, Μ 2, с. 294—96; [26]
Ефимов Н. В., «Матем. сб.», 1976, т. 100, № 3, с. 356—63; [27] е г о
ж е, «Докл. АН СССР», 1953, т. 93, № 4, с. 609—11; [28] Heinz
Ε., «Math. Ann.», 1955, Bd 129, Η. 5, p. 451 — 54; [29] Π о з-
н я к Э. Г., «Докл. АН СССР», 1966, т. 170, Ν* 4, с. 786—89; [30]
его же, «Укр. геометр, сб.», 1966, в. 3, с. 78—92; [31] Ш и-
к и н Е. В., «Докл. АН СССР», 1974, т. 215, № 1, с. 61 — 63; [32]
Рождественский Б. Л., там же, 1962, т. 143, № 1, с.
50—52; [33] В е ρ н е ρ А. Л., «Матем. сб.», 1967, т. 74, Η 2, с.
218—40; 1968, т. 75, № 1, с. 112—39, т. 77, № 1, с. 136; [34] его
ж е, «Сиб. матем. ж.», 1970, т. И, № 1,с.· 20—29; № 4, с. 750—
769; [35] его же, «Матем. заметки», 1972, т. 12, № 3, с.
281—86; [36] Соколов Д. Д., «Успехи матем. наук», 1975,
т. 30, в. 1, с. 261—62; 1978, т. 33, в. 4, с. 227—28; 1979, т. 34,
в. 3, с. 213—14; [37] Александров А. Д., Внутренняя
геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л., 1948; [38]
Погорел о в А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей,
М., 1969. Я. В. Ефимов.
ОТСЧЕТА СИСТЕМА — совокупность системы
координат и часов, связанных с телом, по отношению к к-ро-
му изучается движение (или равновесие) каких-нибудь
других материальных точек или тел. Любое движение
является относительным, и движение тела следует
рассматривать лишь по отношению к какому-либо
другому телу (телу отсчета) или системе тел. Нельзя
указать, напр., как движется Луна вообще, можно лишь
определить ее движение по отношению к Земле или
Солнцу и звездам и т. д.
Математически движение тела (или материальной
точки) по отношению к выбранной О. с. описывается
уравнениями, к-рые устанавливают, как изменяются
с течением времени t координаты, определяющие
положение тела (точки) в этой О. с. Напр., в декартовых
координатах х, у, ζ движение точки определяется
уравнениями
* = /i(f), i/ = /2(0, * = Ы0.
наз. уравнениями движения.
Выбор О. с. зависит от целей исследования. При кнне-
матич. исследованиях все О. с. равноправны. В
задачах динамики преимущественную роль играют инерци-
альные системы отсчета, по отношению к которым
дифференциальные уравнения имеют обычно более
простой вид.
По материалам статьи Система отсчета из БСЭ-3.
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ — функция от
случайных величин, применяемая для оценки неизвестных
параметров теоретич. распределения вероятностей.
Методы теории О. с. служат основой современной теории
ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров
выступают измеряемые физич. постоянные, а в качестве
случайных величин — результаты непосредственных
измерений, подверженные случайным ошибкам. Напр.,
если Xi, Х2,- · ·» Χ η — независимые одинаково
нормально распределенные случайные величины
(результаты равноточных измерений, подверженных
независимым нормально распределенным случайным ошибкам),
то в качестве О. с. для неизвестного среднего значения а
(приближенного значения измеряемой физич.
постоянной) применяется среднее арифметическое
Х = ±(Хг + Х2+...+Хп).
(1)
174
О. с. как функция от случайных величин чаще всего
задается теми или иными формулами, выбор к-рых
определяется требованиями практики. При этом различают
оценки точечные и оценки интервальные.
Точечные оценки. Точечной оценкой наз.
такая О. с, значение к-рой представимо геометрически
в виде точки в том же пространстве, что и значения
неизвестных параметров (размерность пространства
равна числу оцениваемых параметров). Именно
точечные О. си используются как приближенные значения
для неизвестных физич. величин. В дальнейшем для
простоты предполагается, что оценке подлежит один
единственный параметр; в этом случае точечная О. с.
представляет собой функцию от результатов
наблюдений, принимающую числовые значения.
Точечную О. с. наз. несмещенной, если ее ма-
тематич. ожидание совпадает с оцениваемой величиной,
т. е. если О. с. лишена систематич. ошибки. Среднее
арифметическое (1) — несмещенная О. с. для математич.
ожидания одинаково распределенных случайных
величин Xi (не обязательно нормальных). В то же время
выборочная дисперсия
;*=JL [(χ1_Τ)2 + (Χ2-Χ)2+ ... + (Хп-Х)2] (2)
является смещенной О. с. для дисперсии o2=DX,·, так
как Es2=(i J σ2; в качестве несмещенной О. с. для
а2 обычно берут функцию
См. также Несмещенная оценка.
За меру точности несмещенной О. с. α для параметра
а чаще всего принимают дисперсию Da.
О. с. с наименьшей дисперсией наз. наилучшей.
В приведенном примере среднее арифметическое (1) —
наилучшая О. с. Однако если распределение
вероятностей случайных величин X/ отлично от нормального, то
О. с. (1) может и не быть наилучшей. Напр., если
результаты наблюдений X/ распределены равномерно в
интервале (Ь, с), то наилучшей О. с. для математич.
ожидания а~ (Ь-\-с)/2 будет полусумма крайних
значений
min Χ.· + max Χ;
α= '-. ~ ■ (3)
В качестве характеристики для сравнения точности
различных О. с. применяют эффективность —
отношение дисперсий наилучшей оценки и данной
несмещенной оценки. Напр., если результаты
наблюдений X, распределены равномерно, то дисперсии оценок
(1) и (3) выражаются формулами
οΊ=£=&
12п
(4)
Da =
(с-Ъ)*
2 (п+1) (п + 2)
Так как оценка (3) наилучшая, то эффективность
оценки (1) в данном случае есть
en(X) = bn/(n + i)(n + 2)~b/n.
При большом количестве наблюдений η обычно требуют,
чтобы выбранная О. с. стремилась по вероятности к
истинному значению параметра а, т. е. чтобы для всякого
ε >() '
lim Ρ {| ос — a | > ε} = 0;
такие О. с. наз.
состоятельной О
состоятельными (пример
с.— любая несмещенная оценка,

175
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ
176
дисперсия к-рои при л -> оо стремится к нулю; см.
также Состоятельная оценка). Поскольку важную роль
при этом играет порядок стремления к пределу, то
асимптотически наилучшими являются
асимптотически эффективные О. с, то есть такие
О. с, для к-рых при η -> оо
Ε (α-α)
- О и еп (α) -
1.
VE(a-a)2
Напр., если Хь Х2,. . ., Хп распределены одинаково
нормально, то О. с. (2) представляет собой
асимптотически эффективную оценку для неизвестного параметра
σ2 = ΟΧ ι, так как при η -> оо дисперсия оценки s2
и дисперсия наилучшей оценки s2n/(п—1)
асимптотически эквивалентны:
и, кроме того,
E(s2 — o2) = — o2/n.
Фундаментальное значение для теории О. с. и ее
приложений имеет тот факт, что квадратичное отклонение
О. с. для параметра а ограничено снизу нек-рой
величиной (этой величиной Р. Фишер (R. Fischer)
предложил характеризовать количество информации
относительно неизвестного параметра а, содержащийся в
результатах наблюдений). Напр., если Хг, Х2>- · ·» %п
независимы и одинаково распределены с плотностью
вероятности ρ (χ; а) и если а=Ц)(Х1, Х2,· · ·» %п) —
О. с. для нек-рой функции g(a) от параметра а, то в
широком классе случаев
Е [a_g (a)]2^ *» (a) l <«Ж«а' (*) + »' <«>]' f (5)
где
b(a) = t[a-g(a)] и 7(α) = Ε Γ
д In ρ (Χ; ο)"
да
Функцию Ъ (а) наз. смещением, а величину,
обратную правой части неравенства (5), наз.
количеством информации (по Фишеру) относительно
функции g(a), содержащейся в результате наблюдений.
В частности, если a — несмещенная О. с. параметра а,
то
g(a) = a, ь(а) = 0
и
E[a-g(a)]* = Da^i/nI(a), (6)
причем количество информации nla в этом случае
пропорционально количеству наблюдений (функцию 1(a)
наз. количеством информации,
содержащейся в одном наблюдении).
Основные условия, при к-рых справедливы
неравенства (5) и (6), — гладкость оценки α как функции от
Х{, а также независимость от параметра а множества
тех точек х, где ρ (χ, а)=0. Последнее условие не
выполняется, напр., в случае равномерного
распределения, и поэтому дисперсия О. с. (3) не удовлетворяет
неравенству (6) [согласно (4) эта дисперсия есть
величина порядка п~2, в то время как по неравенству (6)
она не может иметь порядок малости выше, чем /г-1].
Неравенства (5) и (6) справедливы и для дискретно
распределенных случайных величин Xt: нужно лишь
в определении информации 1(a) плотность р(х; а)
заменить вероятностью события {Х=х}.
Если дисперсия несмещенной О. с. а* для параметра
а совпадает с правой частью неравенства (6), то а* —
наилучшая оценка. Обратное утверждение, вообще
говоря, неверно: дисперсия наилучшей О. с. может
превышать [η/(α)]-1. Однако если η -> оо , то дисперсия
наилучшей оценки Da* асимптотически эквивалентна
правой части (6), т. е. пОа* -> 1/7 (а). Таким образом,
с помощью количества информации (по Фишеру) можно
определить асимптотич. эффективность несмещенной
О. с. а, полагая
(7)
Da"
(a)= lim -5—= lim
Da
^ nl (a) Da *
Особенно плодотворным информационный подход к
теории О. с. сказывается тогда, когда плотность (в
дискретном случае — вероятность) совместного
распределения случайных величин Хг, Х2,. . ., Хп пред-
ставима в виде произведения двух функций Κ(χλ,χ2,. . .,
xn)Q[y(xi, χ2ι· · ·» жи); аЬ из к-рых первая не зависит
от а, а вторая представляет собой плотность распреде-
деления нек-рой случайной величины Z—y(X1, Х2,. . .,
Хп), наз. достаточной статистикой,или и с ч е ρ π ы-
вающей статистикой.
Один из наиболее распространенных методов
нахождения точечных О. с.— моментов метод. Согласно
этому методу, теоретич. распределению, зависящему от
неизвестных параметров, ставят в соответствие
дискретное выборочное распределение, к-рое определяется
результатами наблюдений Xt и представляет собой
распределение вероятностей воображаемой случайной
величины, принимающей значения Хг, 12). .., 1„ с
одинаковыми вероятностями, равными 1/тг (выборочное
распределение можно рассматривать как точечную
О. с. для теоретич. распределения). В качестве О. с.
для моментов теоретич. распределения принимают
соответствующие моменты выборочного распределения;
напр., для математич. ожидания а и дисперсии σ2 метод
моментов дает следующие О. с: выборочное среднее (1)
и выборочную дисперсию (2). Неизвестные параметры
обычно выражаются (точно или приближенно) в виде
функций от нескольких моментов теоретич.
распределения. Заменяя в этих функциях теоретич. моменты
выборочными, получают искомые О. с. Этот метод,
часто приводящий на практике к сравнительно
простым вычислениям, дает, как правило, О. с.
невысокой асимптотической эффективности (см. выше
пример оценки математического ожидания равномерного
распределения).
Другой метод нахождения О. с, более совершенный
с теоретич. точки зрения,— максимального
правдоподобия метод, или наибольшего
правдоподобия метод. Согласно этому методу,
рассматривают функцию правдоподобия//(а), к-рая
представляет собой функцию неизвестного параметра а
и получается в результате замены в плотности
совместного распределения р(хх, х2,· · ·» хп\ п) аргументов х,-
самими случайными величинами Xt·; если Χι независимы
и одинаково распределены с плотностью вероятности
ρ (χ; α), то
L(a)=p (Χχ; α) ρ (Χ2; α).... ρ (Χη\ α)
(если Χι распределены дискретно, то в определении
функции правдоподобия L следует плотности заменить
вероятностями событий {Χ(=χι)). В качестве О. с.
максимального правдоподобия для неизвестного
параметра а принимают такую величину а, для к-рой L(a)
достигает наибольшего значения (при этом часто
вместо L рассматривают т. н. логарифмическую функцию
правдоподобия Z(a)=lnL(a); в силу монотонности
логарифма точки максимумов функций L(a) и 1(a)
совпадают). Примерами О. с. максимального
правдоподобия являются оценки по наименьших квадратов
методу.
Основное достоинство О. с. максимального
правдоподобия заключается в том, что при нек-рых общих
условиях эти оценки состоятельны, асимптотически
эффективны и распределены приближенно нормально.

177
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ
178
Перечисленные свойства означают, что если α есть
О. с. максимального правдоподобия, то при η -> оо
Еа~ а и Ε (а—а)2 ~ Da ~ оп (а) =—=-^ =7^
(если X независимы, то On(a)=[nI(a)]-1). Таким
образом, для функции распределения нормированной О. с.
(α— α)/ση(α) имеет место предельное соотношение
Преимущества О. с. максимального правдоподобия
оправдывают вычислительную работу по отысканию
максимума функции L (или I). В нек-рых случаях
вычислительная работа существенно сокращается
благодаря следующим свойствам: во-первых, если а* —
такая О. с, для к-рой неравенство (6) обращается в
равенство, то О. с. максимального правдоподобия
единственна и совпадает с а*, во-вторых, если существует
достаточная статистика Z, то О. с. максимального
правдоподобия есть функция Z.
Пусть, напр., Хг; Х2,. . ., Хп независимы и
распределены одинаково нормально так, что
р(х;а' a)==iTufexp{~^(*~a)2} ·
поэтому
Ι (α, σ) -= In Ζ/ (α, σ) —
= -^1η(2π)-»1ησ-^2^ι№~α)2·
Координаты а=а0 и σ=σ0 точки максимума функции
/(α, σ) удовлетворяют системе уравнений
Таким образом, α0=Χ"=ΣΧ£·//ι, σΙ=?=Σ (Χ,— Yfln
и, значит, в данном случае О. с. (1) и (2) — оценки
максимального правдоподобия, причем X — наилучшая
О. с. параметра а, распределенная нормально (ЁХ=а,
ОХ=о2/п), а s2 — асимптотически эффективная О. с.
параметра σ2, распределенная при больших η
приближенно нормально (Es2 ~ a2, Ds2 ~ 2σ4/η). Обе оценки
представляют собой независимые достаточные
статистики.
Еще один пример, в к-ром
р(х\ α) — {п[1 + (х — а)2]}.
Эта плотность удовлетворительно описывает
распределение одной из координат частиц, достигших плоского
экрана и вылетевших из точки, расположенной вне
экрана (а — координата проекции источника на экран—
предполагается неизвестной). Для указанного
распределения математич. ожидание не существует, т. к.
соответствующий интеграл расходится. Поэтому
отыскание О. с. для а методом моментов невозможно.
Формальное применение в качестве О. с. среднего
арифметического (1) лишено смысла, т. к. Ζ распределено в
данном случае с той же плотностью ρ (я; а), что и
каждый единичный результат наблюдений. Для оценки а
можно воспользоваться тем обстоятельством, что
рассматриваемое распределение симметрично относительно
точки х=а и, значит, а — медиана теоретич.
распределения. Несколько видоизменяя метод моментов, в
качестве О. с. для а принимают т. н. выборочную
медиану μ, к-рая при η ^ 3 является несмещенной О. с.
для а, причем если η велико, то μ распределена
приближенно нормально с дисперсией
Ομ ~ π2/4?2.
В то же время
1{а)^— τιΙηπ + 2^ In [1 + (Χ£·-α)2],
поэтому nl(a)=n/2 и, значит, согласно (7) асимптотич.
эффективность β0Ο(μ) равна 8/π2 « 0,811. Таким
образом, для того чтобы выборочная медиана μ была столь
же точной О. с. для а, как и оценка наибольшего
правдоподобия а, нужно количество наблюдений увеличить
на 25%. Если затраты на эксперимент велики, то для
определения а следует воспользоваться О. с. а, к-рая
в данном случае определяется как корень уравнения
да ~ 2j t=i 1 + №-α)2
В качестве первого приближения выбирают a0=u и
далее решают это уравнение последовательными
приближениями по формуле
_ „ _i_ 4 V " Xi~ afe
α* + ι-α* + -7Γ2^ί = 1ι + (2ΓΙ.-αΛ)2·
См. также Точечная оценка.
Интервальные оценки. Интервальной оцен-
к о й наз. такая О. с, к-рая геометрически представи-
ма в виде множества точек, принадлежащих
пространству параметров. Интервальную О. с. можно
рассматривать как множество точечных О. с. Это множество
зависит от результатов наблюдений и, следовательно,
оно случайно; поэтому каждой интервальной О. с.
ставится в соответствие вероятность, в к-рой эта оценка
«накроет» неизвестную параметрич. точку. Такая
вероятность, вообще говоря, зависит от неизвестных
параметров; поэтому в качестве характеристики
достоверности интервальной О. с. принимают
коэффициент доверия — наименьшее возможное
значение указанной вероятности. Содержательные стати-
стич. выводы позволяют получать лишь те интервальные
О. с, коэффициент доверия к-рых близок к единице.
Если оценивается один параметр а, то интервальной
О. с. обычно является нек-рый интервал (β, γ) (т. н.
доверительный интервал), конечные
точки к-рого β и γ представляют собой функции от
результатов наблюдений; коэффициент доверия ω в
данном случае определяется как нижняя грань
вероятности одновременного осуществления двух событий
{β < α} и {γ>α}, вычисляемая ио всем возможным
значениям параметра а:
ω = ίηι Ρ {β < а < γ}.
a
Если середину такого интервала (β + γ)/2 принять
за точечную О. с. для параметра а, то с вероятностью
не менее чем ω можно утверждать, что абсолютная
погрешность этой О. с. не превышает половины длины
интервала (γ—β)/2. Иными словами, если
руководствоваться указанным правилом оценки абсолютной
погрешности, то ошибочное заключение будет
получаться в среднем менее чем в 100 (1 —ω)% случаев. При
фиксированном коэффициенте доверия ω наиболее
выгодны кратчайшие доверительные интервалы, для к-рых
математич. ожидание длины Ε (γ—β) достигает
наименьшего значения.
Если распределение случайных величин Χι зависит
только от одного неизвестного параметра а, то
построение доверительного интервала обычно осуществляется с
помощью какой-либо точечной О. с. а. Для
большинства практически интересных случаев функция
распределения Ρ {a < x}=F(x\ а) разумно выбранной О. с. a
монотонно зависит от параметра а. В этих условиях для

179 ОЦЕНКА СТА
отыскания интервальной О. с. следует в F (х\ а)
подставить х=а и определить корни α1 = ο1(α, ω) и а2 =
= а2(я, ω) уравнений
F (а; Л1) =Ц% и F (а+ 0; а2) = i±£ , (U)
где
F(x + 0; a)= lim F (я + Δ2; a)
[для непрерывных распределений F(x-\-0\ d)—F(x\ a)].
Точки с координатами αχ (α; ω) и а2 (α; ω)
ограничивают доверительный интервал с коэффициентом
доверия ω. Разумеется, интервал, построенный столь
простым способом, во многих случаях может отличаться
от оптимального (кратчайшего). Однако если α —
асимптотически эффективная О. с. для а, то при
достаточно большом количестве наблюдений такая
интервальная О. с. практически несущественно отличается
от оптимальной. В частности, это верно для О. с.
наибольшего правдоподобия, т. к. она распределена
асимптотически нормально (см. (8)). В тех случаях, когда
решение уравнений (9) затруднительно, интервальную
О. с. вычисляют приближенно с помощью точечной О. с.
максимального правдоподобия и соотношения (8):
β ~ β* = α _ χοη (α) и γ « у* = α + хоп (α),
где г — корень уравнения Φ(#)=(1+ω)/2.
Если η—>- оо, то истинный коэффициент доверия
интервальной оценки (β*, γ*) стремится к ω. В более
общем случае распределение результатов наблюдений
Χι зависит от нескольких параметров а, Ъ,. ... В этих
условиях указанные выше правила построения
доверительных интервалов часто оказываются неприменимыми,
т. к. распределение точечной О. с. α зависит, как
правило, не только от а, но и от остальных параметров.
Однако в практически интересных случаях О. с. а
можно заменить такой функцией от результатов
наблюдений Χι и неизвестного параметра а, распределение
к-рой не зависит (или «почти не зависит») от всех
неизвестных параметров. Примером такой функции может
служить нормированная О. с. максимального
правдоподобия (α—α)Ιση(α, b,. . .); если в знаменателе
аргументы а, &,. . . заменить их оценками максимального
правдоподобия α, β,. . . , то предельное распределение
останется тем же самым, что и в формуле (8). Поэтому
приближенные доверительные интервалы для каждого
параметра в отдельности можно строить так же, как и в
случае одного параметра.
Как уже отмечалось выше, если Х1ч Х2, . . ., Хп,
... — независимые и одинаково нормально
распределенные случайные величины, то X и s2 — наилучшие
О. с. для параметров а и σ2 соответственно. Функция
распределения О. с. выражается формулой
Р(Х<х} = ф[У"(*-а)]
и, следовательно, она зависит не только от я, но
также и от σ. В то же время распределение т. н. о т-
ношения Стьюдента
У7Г (х- а)
— τ
s
не зависит ни от а, ни от σ, причем
Р {I Т К <}=€(>„_! (ί) =С„_! J * (I + Й^Т) "Я/* «*«,
где постоянная Сп_х выбирается так, чтобы выполнялось
равенство ω„_ι(οο)=1. Таким образом,
доверительному интервалу
X — stlY^ < а < X-\-st/ViT
соответствует коэффициент доверия ω/ί_1(/)·
1СТИЧЕСКАЯ 180
Распределение оценки s2 зависит лишь от о2, причем
функция распределения О. с. s2 задается формулой
р {*2 < Βϊ)=G«-! (*>=·°»-ι 5 о у("_3,/2 e~v/2dv·
где постоянная Dn^x определяется условием Gn_x (oo) = l
(так наз. Х2-распределением с и—1 степенями свободы).
Так как с ростом σ вероятность P{s2 < σ2χ/ (п—1)}
монотонно возрастает, то для построения интервальной
О. с. применимо правило (9). Таким образом, если хг и
х2 — корни уравнений Gn-1{x1)=(i—ω)/2 и Gn-1(x2) =
=(l-f ω)/2, то доверительному интервалу
(72 — 1) s2/x2 < σ2 < (η — ί) stjxi
соответствует коэффициент доверия ω. Отсюда, в
частности, следует, что доверительный интервал для
относительной ошибки задается неравенствами
п_1 ^ о2 ^ п-1
Подробные таблицы функций распределения Стьюдента
ωη_ι(ί) и Х2-распределения G„_i(x) имеются в
большинстве руководств по математич. статистике.
До сих пор предполагалось, что функция
распределения результатов наблюдений известна с точностью до
значений нескольких параметров. Однако в
приложениях часто встречается случай, когда вид функции
распределения неизвестен. В этой обстановке для
оценки параметров могут оказаться полезными т. н.
непараметрические методы статистики (т. е. такие методы,
к-рые не зависят от исходного распределения
вероятностей). Пусть, напр., требуется оценить медиану т
теоретич. непрерывного распределения независимых
случайных величин Хг, Х2,. . ., Хп (для симметричных
распределений медиана совпадает с математич.
ожиданием, если, конечно, оно существует). Пусть ΥΛ <
< У2 <. . . <Υη — те же величины X,·, но
расположенные в порядке возрастания. Тогда, если к —
целое число, удовлетворяющее неравенствам 1 <; к <:
</?/2, то
?{Yk < т< Yn-k + i} =
Таким образом, (Yk, Yn~k + \) ~ интервальная О. с.
для т с коэффициентом доверия ω = ω„^. Этот вывод
верен при любом непрерывном распределении
случайных величин X;.
Выше отмечалось, что выборочное распределение —
точечная О. с. для неизвестного теоретич.
распределения. Более того, функция выборочного распределения
Fn(x) — несмещенная О. с. для функции теоретич.
распределения F(x). При этом, как показал А. Н.
Колмогоров, распределение статистики
K=Vn ™* \Fn(x)-F(x)\
— оо < χ со
не зависит от неизвестного теоретич. распределения
и при η —>- оо стремится к предельному распределению
К (у), к-рое наз. распределением
Колмогорова. Таким образом, если у — решение
уравнения К (у)— ω, то с вероятностью ω можно утверждать,
что график функции теоретич. распределения F(y)
целиком «покрывается» полосой, заключенной между
графиками функций Fn(x)±y/ γη (при η > 20 различие
допредельного и предельного распределений
статистики λη практически несущественно). Такую
интервальную О. с. наз. доверительной зоной.
См. также Интервальная оценка.
Статистические оценки в теории ошибок. Теория
ошибок — раздел математич. статистики, посвященный
численному определению неизвестных величин но ре-

181
ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ
182
зультатам измерений. В силу случайного характера
ошибок измерений и, быть может, случайной природы
самого изучаемого явления не все такие результаты
равноправны: при повторных измерениях нек-рые из них
встречаются чаще, другие — реже.
В основе теории ошибок лежит математич. модель,
согласно к-рой до опыта совокупность всех мыслимых
результатов измерения трактуется как множество
значений нек-рой случайной величины. Поэтому важную
роль приобретает теория О. с. Выводы теории ошибок
носят статистич. характер. Смысл и содержание таких
выводов (как, впрочем, и выводов теории О.с.)
проявляются лишь в свете закона больших чисел (пример
такого подхода — статистич. толкование смысла
коэффициента доверия, указанного выше).
Полагая результат измерения X случайной
величиной, различают три основных типа ошибок измерений:
систематические, случайные и грубые (качественные
описания таких ошибок даны в ст. Ошибок теория).
При этом ошибкой измерения неизвестной
величины а наз. разность Х—а, математич. ожидание этой
разности Ε(Х—а)= Ь наз. систематической
ошибкой (если Ь=0, то говорят, что измерения
лишены систематич. ошибок), а разность δ=Χ—а~Ъ
наз. случайной ошибкой (Еб=0). Таким
образом, если приведено η независимых измерений
величины а, то их результаты можно записать в виде
равенств
Xi = a + b + 6i, £ = 1,2,..., η, (10)
где а и Ъ — постоянные, а 6г- — случайные величины.
В более общем случае
Xi = a+(b + fo) + 6h i = l, 2, ..., η, (11)
где β, — не зависящие от δ,- случайные величины,
к-рые равны нулю с вероятностью, весьма близкой к
единице (поэтому всякое другое значение β/τ= 0
маловероятно). Величину β; наз. грубой ошибкой.
Задача оценки (и устранения) систематич. ошибки
обычно выходит за рамки математич. статистики.
Исключения составляют т. н. метод эталонов,
согласно к-рому для оценки Ь производят серию
измерений известной величины а (в этом методе Ь —
оцениваемая величина и а — известная систематич.
ошибка), а также дисперсионный анализ,
позволяющий оценивать систематич. расхождения между
несколькими сериями измерений.
Основная задача теории ошибок — отыскивание О. с.
для неизвестной величины а и оценка точности
измерений. Если систематич. ошибка устранена (6=0)
и наблюдения грубых ошибок не содержат, то согласно
(10) X/=a+6,· и, значит, в этом случае задача оценки а
сводится к отысканию в том или ином смысле
оптимальной О. с. для математич. ожидания одинаково
распределенных случайных величин Х(. Как было показано в
предыдущих разделах, вид такой О. с. (точечной или
интервальной) существенно зависит от закона
распределения случайных ошибок. Если этот закон известен с
точностью до нескольких неизвестных параметров, то
для оценки, а также для оценки а можно применять,
напр., метод максимального правдоподобия; в
противном случае следует сначала по результатам
наблюдений Х( найти О. с. для неизвестной функции
распределения случайных ошибок δ{ («непараметрическая»
интервальная О. с. такой функции указана выше).
В практич. работе часто довольствуются двумя О. с.
ϊ « α и s2 « D6/ (см. (1) и (2)). Если б,- распределены
вдинаково нормально, то эти О. с. наилучшие; в
других случаях эти оценки могут оказаться
малоэффективными.
Наличие грубых ошибок усложняет задачу оценки
параметра а, Обычно доля наблюдений, в к-рых β/^0
бывает невелика, а математич. ожидание ненулевых
Ιβ/I значительно превышает γΌδ[ (грубые ошибки
возникают в результате случайного просчета,
неправильного чтения показаний измерительного прибора и
т. п.). Результаты измерений, содержащие грубые
ошибки, часто бывают хорошо заметны, т. к. они сильно
отличаются от других результатов измерений. В этих
условиях наиболее целесообразный способ выявления
(и устранения) грубых ошибок — непосредственный
анализ измерений, тщательная проверка неизменности
условий всех экспериментов, запись результатов «в
две руки» и т. д. Статистич. методы выявления грубых
ошибок следует применять лишь в сомнительных
случаях.
Простейший пример таких методов — статистпч.
выявление одного резко выделяющегося наблюдения,
когда подозрительным может оказаться либо y1=minX1,
либо yn=maxXi· (предполагается, что в равенствах
(11) 6=0 и закон распределения величин 6/ известен).
Для того чтобы выяснить, обосновано ли
предположение о наличии одной грубой ошибки, для пары Υ1, Υ η
вычисляют совместную интервальную О. с.
(доверительную область), полагая все β/ равными нулю.
Если эта О. с. «накрывает» точку с координатами
(Ух, У„), то подозрение о наличии грубой ошибки
следует считать статистически необоснованным; в
противном случае гипотезу о присутствии грубой ошибки
надо признать подтвердившейся (при этом обычно
забракованное наблюдение отбрасывают, т. к. сколько-
нибудь надежно оценить величину грубой ошибки по
одному наблюдению статистически не представляется
возможным).
Пусть, напр., а неизвестно, 6=0 и б/ независимы и
распределены одинаково нормально (дисперсия
неизвестна). Если все β£^0, то распределение случайной
величины _
z maxIXf-Xl
s
не зависит от неизвестных параметров (О. с. X и s
вычисляются по всем η наблюдениям согласно
формулам (1) и (2)). Для больших значений
p{z>,}«4i-ft,«-(z/^S)] ·
где ωΓ(0 — функция распределения Стьюдента,
определенная выше. Таким образом, с коэффициентом дове-
ω»1-»[ΐ-ω„_2(Ζ|/^ΞΣΓ)] (12)
рия можно утверждать, что при отсутствии грубой
ошибки выполняется неравенство Ζ < ζ или, что то
же самое, _ __
X— zs <YX< Yn< X + zs.
(Погрешность оценки коэффициента доверия по формуле
(12) не превышает ω2/2.) Поэтому если все результаты
измерений Х{ лежат в пределах X ±zs, то нет оснований
считать какое-нибудь измерение содержащим грубую
ошибку.
Лит.: [1] К ρ а м е ρ Г., Математические методы статистики,
пер. с англ., 2 изд., М., 1975, гл. 33, 34; [2] Д у н и н - Б а р-
ковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и
математическая статистика в технике. (Общая часть), М., 1955;
[3] Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической теории обработки наблюдений, 2
изд., М., 1962; [4] В а н дер Варден Б. Л.,
Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960;[5] А р л е й Н., Б у χ К. Р.,
Введение в теогшю вероятностей и математическую статистику,
пер. с англ., М., 1951; [6] Колмогоров А. Н., «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1942, т. 6, № 1—2, с. 3—32.
Л. Н. Большее.
ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ -- раздел массового
обслуживания теории. О. т. изучает системы, в к-рых требования,

183
ОШИБОК ТЕОРИЯ
184
застающие систему занятой, не теряются, а ожидают
ее освобождения и затем обслуживаются в том или
ином порядке (часто с предоставлением приоритета
определенным категориям требований). Выводы О. т.
используют для рационального планирования систем
массового обслуживания. С математич. точки зрения
задачи О. т. могут быть включены в теорию случайных
процессов, а ответы часто бывают выражены в
терминах преобразований Лапласа искомых характеристик.
Применение методов О. т. необходимо даже в
простейших случаях для правильного понимания статистич.
закономерностей, возникающих в системах массового
обслуживания.
Лит.: [1] Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н.,
Введение в теорию-массового обслуживания, М., 1966; [2]
Приоритетные системы обслуживания, М., 1973. Ю. В. Прохоров.
ОШИБОК ТЕОРИЯ — раздел математич. статистики,
посвященный построению уточненных выводов о
численных значениях приближенно измеренных
величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений.
Повторные измерения одной и той же постоянной ве-г
личины дают, как правило, различные результаты, т.к.
каждое измерение содержит нек-рую ошибку.
Различают три основных вида ошибок: систематические,
грубые и случайные. Систематические ошибки
все время либо преувеличивают, либо преуменьшают
результаты измерений и происходят от определенных
причин (неправильной установки измерительных
приборов, влияния окружающей среды и т. д.),
систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном
направлении. Оценка систематич. ошибок производится
с помощью методов, выходящих за пределы математич.
статистики (см. Наблюдений обработка). Грубые
ошибки возникают в результате просчета,
неправильного чтения показаний измерительного прибора и
т. п. Результаты измерений, содержащие грубые
ошибки, сильно отличаются от других результатов
измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны.
Случайные ошибки происходят от различных
случайных причин, действующих при каждом из
отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону
уменьшения, то в сторону увеличения результатов.
О. т. занимается изучением лишь грубых и
случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание
законов распределения случайных ошибок, разыскание
оценок (см. Оценка статистическая) неизвестных
измеряемых величин по результатам измерений, установление
погрешностей таких оценок и установление грубых
ошибок. Пусть в результате η независимых
равноточных измерений нек-рой неизвестной величины μ
получены значения Ух, У2,. . ., Υ п. Разности
δι = 1Ί —μ, ..., δη = Υη — μ
наз. истинными ошибками. В терминах
вероятностной О. т. все δ/ трактуются как случайные
величины; независимость измерений понимается как
взаимная независимость случайных величин δχ,. . ., δ„.
Равноточность измерений в широком смысле
истолковывается как одинаковая распределенность: истинные
ошибки равноточных измерений суть одинаково
распределенные случайные величины. При этом математич.
ожидание истинных ошибок 6=Εδχ=. . . = Εδη наз.
систематической ошибкой, а разности
δ1—Ь, . . ., δ„—Ь — случайными ошибка-
м и. Таким образом, отсутствие систематич. ошибки
означает, что Ь—0 и в этой ситуации δχ, . . ., δη суть
случайные ошибки. Величину 1/σ)^2, где σ —
квадратичное отклонение, наз. мерой точности (при
наличии систематич. ошибки мера точности выражается
отношением 1/ Y~2(b2-\-o2)). Равноточность измерений в
узком смысле понимается как одинаковость меры
точности всех результатов измерений. Наличие грубых
ошибок означает нарушение равноточности (как в
широком, так и в узком смысле) для нек-рых отдельных
измерений. В качестве оценки неизвестной величины μ
обычно берут арифметич. среднее из результатов
измерений
а разности Δ1=Υι—Υ, . . ., /±η=Υη — Υ наз.
кажущимися ошибками. Выбор У в качестве
оценки для μ основан на том, что при достаточно большом
числе η равноточных измерений, лишенных
систематич. ошибки, оценки У с вероятностью, сколь угодно
близкой к единице, сколь угодно мало отличается от
неизвестной величины μ (см. Больших чисел закон);
оценка У лишена систематич. ошибки (оценки с таким
свойством наз. несмещенными), дисперсия
оценки есть
DY=E(F — μ)2 = σ2/72.
Опыт показывает, что практически очень часто
случайные ошибки δ,- подчиняются распределениям, близким
к нормальному (причины этого вскрыты т. н.
предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае
величина У имеет мало отличающееся от нормального
распределение с математич. ожиданием μ и дисперсией
σ2!η. Если распределения δ,- в точности нормальны, то
дисперсия всякой другой несмещенной оценки для μ,
напр. медианы, не меньше DY. Если же распределение
δ,- отлично от нормального, то последнее свойство
может не иметь места (см. пример в ст. Рао — Крамера
неравенство).
Если дисперсия σ2 отдельных измерений заранее
неизвестна, то для ее оценки пользуются величиной
s* = -±-yn Δ2
(Es2=o2, то есть s2 — несмещенная оценка для σ2).
Если случайные ошибки δ/ имеют нормальное
распределение, то отношение
t= (Ϋ-μ)ν'τΓ
s
подчиняется Стьюдента распределению с η—1
степенями свободы. Этим можно воспользоваться для
оценки погрешности приближенного равенства μ ^ У (см.
Наименьших квадратов метод).
Величина (n—i)s2/o2 при тех же предположениях
имеет «хи-квадрат» распределение с η—1 степенями
свободы. Это позволяет оценить погрешность
приближенного равенства σ « s. Можно показать, что
относительная погрешность не будет превышать числа q
с вероятностью
& = F (z2, n — i)—F(zi, n — 1),
где F(z, тг—1) — функция х2-расиределения
| Если нек-рые измерения содержат грубые ошибки,
I то предыдущие правила оценки μ и σ дадут
искаженные результаты. Поэтому очень важно уметь отличать
измерения, содержащие грубые ошибки, от измерений,
ι подверженных лишь случайным ошибкам δ,·. Для слу-
I чая, когда δ; независимы и имеют одинаковое
нормальное распределение, наиболее совершенный способ
выявления измерений, содержащих грубые ошибки,
предложен Н. В. Смирновым [3].
Лит.: [1] Л и н и и к Ю. В., Метод наименьших квадратов и
основы математико-статисти ческой теории обработки наблю-
| дений, 2 изд., М., 1962; [2] Большее Л. Н„ Смир-

185 ОШИБОЧНОГО ДЕКОДИ
нов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М.
1968; [3] С м и ρ н о в Н. В., «Докл. АН СССР», 1941, т. 33, № 5,
с. 346—49. Л. Я. Большее.
ОШИБОЧНОГО ДЕКОДИРОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
— одна из возможных мер характеризации точности
воспроизведения сообщений, передаваемых по каналу
связи (см. также Сообщений точность воспроизведения).
Пусть для передачи сообщения ξ, вырабатываемого
источником сообщений и принимающего Μ различных
возможных значений 1,..., Μ с распределением
вероятностей pm=P{E=w}, m=l, , . ., Мь используется
нек-рый канал связи. Тогда для фиксированных
методов кодирования и декодирования (см. также
Информации передача) O.r.b. Рет, т=\, . . ., М, определяется
равенством
где | — декодированное сообщение на выходе
канала.
Средней О. д. в. Ре наз. величина
Особый интерес представляет изучение
оптимальной О. д. в. Р°р , определяемой равенством
P?pt-inf Ре,
где нижняя грань берется по всевозможным методам
кодирования и декодирования. Ввиду трудностей
получения точного выражения для P?pt, связанных с
тем обстоятельством, что в общем случае неизвестны
оптимальные методы кодирования, интерес
представляет изучение асимптотич. поведения P°pt при
возрастании длительности передачи по каналу. Точнее,
рассматривается следующая ситуация. Пусть для передачи
используется отрезок длины N канала связи с
дискретным временем и Д=(1п M)/N. Требуется изучить
асимптотич. поведение Р°р при N -> оо и R=const
(это означает, что длительность передачи возрастает,
а ее скорость остается постоянной). Если
рассматриваемый отрезок канала является отрезком однородного
канала без памяти с дискретным временем и
конечными пространствами У и У значений компонент сигналов
)ВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 186
на входе и выходе, то известны следующие верхние и
нижние оценки P°pt = Peopt(W, R):
exp{-N[E5p(R-0L(N)) + ^(N)]}<:
< P?pt (Ν, Я)< ехр {- NEr (/?)}, (1)
где a(N) и $(N) стремятся к нулю с ростом N, а
функции Er(R) и Esp(R) определяются следующим образом:
Er(R)= max max [Е0 (ρ, Ч (·)) -рД], (2)
0<р< 1 ?(·)
Esp{R)= sup max[£0(p, д(.))_рД], (3)
Г Ρ > 0 q(.)
где
Ео(9,дП)=-\п^^[^уеуЯ(у)я(и,у)~р] ·
Здесь <?(·)— {<?(#)» ί/€^} — произвольное
распределение вероятностей на У, q(y, у) = Р{Л/е=//1Л/е=г/},
г/£У, г/£У, a T)fe и r\k, fc=l, . . ., TV,—компоненты
сигналов на входе и выходе рассматриваемого канала
без памяти. Известно, что Er(R) и Esp{R),
определяемые формулами (2) и (3), являются положительными,
выпуклыми вниз, монотонно убывающими функциями
от R при 0 <: R < С, где С — канала пропускная
способность, причем Er(R)=Esp(R) при R^Rcr,
здесь Rcr — величина, определяемая переходной
матрицей канала и называемая критической
скоростью для данного канала без памяти. Таким
образом, для значений i?, Rcr<^.R < С, главные члены
верхней и нижней оценок (1) для Р°р асимптотически
совпадают, откуда следует, что для этого диапазона
изменения R известно точное значение функции
надежности канала £ (i?), определяемой
равенством
-lnP2pt(iV, Я)
E{R)= lim jj .
Ν -+ со
Для значений i?, О <: R < Rcn точное значение Ε (R)
для произвольных каналов без памяти неизвестно
(1983), хотя оценки (1) и могут быть улучшены.
Экспоненциальный характер убывания Р?р (TV, R) доказан
для весьма широкого класса каналов.
Лит.: ШГаллагерР., Теория информации и надежная
связь, пер. с англ., М., 1974; [2] Φ а й н с τ е й н Α., Основы
теории информации, пер. о англ., М., 1960.
Р. Л. Добру шин, В. В. Прелое.

ПАДЕ АППРОКСИМАЦИЯ — наилучшая
рациональная аппроксимация степенного ряда. Пусть
(1)
><*>=ΣΓΒο>**
— произвольный степенной ряд (формальный или
сходящийся), п, т ^ 0 — целые числа, Rn, m — класс
всех рациональных функций вида p/q, где ρ и q —
многочлены от z, deg q < т, deg p <: τι, q =£ 0.
Аппроксимацией Паде типа (η, т) ряда (1)
(функции /) наз. рациональная функция ft» m£#n>m,
имеющая максимально возможный в классе Нп^ ~
порядок касания с рядом (1) в точке z=0. Точнее, функция
π„, т определяется условием
o(f — яп>от)=тах{а(/ — г), г ζ Я„, т},
где σ(φ) — индекс первого из отличных от нуля
коэффициентов ряда
Функцию лп% т можно определить также как
отношение n>n,tir-V*4 любых многочленов р, q(q^O),
удовлетворяющих соотношениям
deg p^n, deg q*^m,
(qf-p)(*) = Antmzn + i* + i+... β,
При фиксированных п, т существует единственная
П. а. Яд, т ряда (1). Таблица {пп> т}п,т=о наз.
таблицей Паде ряда (1). Последовательности вида
(π«, т)п**о наз. строками таблицы Паде
(нулевая строка совпадает с последовательностью
многочленов Тейлора для/); {πΠι OT}m=o — столбцами
таблицы Паде; {nn+j, n)T=o — диагоналями таблицы
Паде. Наиболее важный частный случай /=-0 —
главная диагональ.
Вычисление функции лПу m сводится к решению
системы линейных уравнений, коэффициенты к-рых
выражаются через коэффициенты /fe, fc=^0,l,. . ., n-\-m,
заданного ряда. Если отличен от нуля
определитель Ганкеля
Δ„.
/«
In
- m + 1 Jn-rn + 2 · ·
/» + l .·
fn
J n+ m-l
m определяется по
то знаменатель q^ m функции πη
формуле
Qn, m (*) =
(нормировка qn^m(0)==l\ явная формула может быть
написана и для'числителя функции пп т). При этом
(/-"». *)(*)= А». т*п + т + 1+·-· ·
Последнее соотношение иногда принимают за
определение П. а.; в этом случае П. а. могут не существо-
1
п, т
Δ«, т
fn + 1
in + m
Zm...2 1
вать для нек-рых (л, т). Для обозначения П. а. типа
(п, т) заданного ряда / часто употребляется символ
[п/т] = \njm\f.
Для эффективного вычисления П. а. удобнее
пользоваться не явными формулами, а рекурентными
соотношениями, существующими в таблице Паде. Разработано
большое количество алгоритмов для машинного
вычисления П. а.; эти вопросы имеют особенно важное
значение в связи с приложениями (см. [17], [18]).
Впервые общую задачу об интерполяции заданных
значений функции в п-\-т-\-1 различных точках
посредством рациональной функции класса Rn,m
рассмотрел О. Коши [1]; К. Якоби [2] распространил
результаты О. Коши на случай кратных узлов
интерполяции. Случай одного (гс+лг+1)-кратного узла
интерполяции соответствует П. а. Понятие П. а.
сформировалось в кон. 19 в. в рамках классич. теории непрерывных
дробей (Г. Фробениус [3], А. Паде [4]).
Фундаментальные результаты о диагональных П. а. были получены
П. Л. Чебышевым, А. А. Марковым, Т. Стильтьесом
(Т. Stieltjes) в терминах непрерывных дробей; ими
были обнаружены и исследованы связи диагональных
П. а. с ортогональными многочленами, квадратурными
формулами, проблемой моментов и другими вопросами
классич. анализа (см. [7] — [9]). Начало изучению
строк таблицы Паде было положено работами о радиусах
мероморфности функции, заданной степенным рядом,
и о сходимости строк таблицы Паде в кругах
мероморфности (см. [5], [6]).
С нач. 20 в. П. а. становятся самостоятельным
объектом анализа и составляют важную главу теории
рациональных приближений аналитич. функций. Используя
для своего построения локальные данные
(коэффициенты степенного ряда), они позволяют изучать
глобальные свойства соответствующей аналитич. функции
(аналитич. продолжение, характер и расположение
особенностей и т. п.) и вычислять значение функции
за пределами круга сходимости степенного ряда.
Наряду с классическими П. а. рассматриваются
различные их обобщения: общие процессы
интерполяции посредством рациональных функций со свободными
полюсами (многоточечные аппроксимации Паде);
рациональные аппроксимации рядов по заданной системе
многочленов (напр., по ортогональным многочленам);
совместные П. а. (аппроксимации Паде — Эрмита);
рациональные аппроксимации (типа П. а.) степенных
рядов от нескольких переменных и др.
Лит.: [1] С а и с h у A.-L., Cours d'analyse de 1'EcoIe ro-
yale polytechnique, pt. 1— Analyse algebrique, P., 1821; [2]
J а с о b i C. G. J., «J. reine und angew. Math.», 1846, Bd 30,
S. 127—56; [3] F г о b e η i u s G., там же, 1881, Bd 90, S. 1 —
17; [4] Ρ a d 6 H., «Ann. scient. Ecole norm, super.», 1892, t. 9,
p. 1—93; [5] Η a d a m a r d J., «J. math, pures et appl.», 1892,
t. 8, p. 101—86; [6] Μ ο η t e s su s d e В a 11 ore B. de, «Bull.
Soc. math. France», 1902, t. 30, p. 28—36; [7] ЧебышевП. Л.,
Поли. собр. соч., т. 3, М.— Л., 1948; [8] Μ а ρ к о в Α. Α., Избр.
труды по теории непрерывных дробей и теории функций,
наименее уклоняющихся от нуля, М.— Л., 1948; [9] СтилтьесТ.,
Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар.—
К., 1936; [10] W а 1 1 Н. S., Analytic theory of continued
fractions, Toronto — N. Y.— L., 1948; [11] Perron O., Die Lehre
von den Kettenbriichen, 3 Aufl., Bd 2, Stuttg., 1957; [12] The Pa-
de approximant in theoretical physics, N. Y.— L., 1970; [13] Pa-
de approximants and their applications, L.— N. Y., 1973; [14]

189
Pade approximants method and its applications to mechanics,
В.— Hdlb.— N. Y., 1976; [15] В а к e r G. Α., Essentials of Pade
approximants, N. Y.— San Franc— L., 1975; [16] Pade and
rational approximation, N. Y.— [a. o.l, 1977; [17] Gilcwicz
J., Approximants de Pade, В.— Hdlb.— N. Y., 1978: [18] Pado
approximation and its applications, В.— Hdlb.— N. Y., 1979.
Ε. Α. Ραχλ\αηοβ.
ПАППА АКСИОМА: если /и/' — две различные
прямые, 4, 5, С Hi', В', С' — тройки различных точек
прямых I и V соответственно, отличных от точки
пересечения прямых / и I', то точки пересечения прямых
^^ и А'В, ВС' и В'С, АС' и А'С лежат на одной
прямой. Выполнение П. а. эквивалентно коммутативности
тела, соответствующего рассматриваемой проективной
геометрии. Дезарга предложение является следствием
П. а. (теорема Хессенберга),втоже время
П. а. представляет собой вырожденный случай Паскаля
теоремы. П.. а. предложена Паппом (3 в.).
„ . „ П. С. Моденов, А. С. Пархоменко.
ПАППЕРИЦА УРАВНЕНИЕ — линейное
обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка
класса Фукса, имеющее ровно три особые точки:
+[
& ι /1-α-α
ι-β-β/ , l-v-y
—тт—I т-^г-
αα' (а-Ъ) (а-с)
2-а
β' (Ь-с)(Ъ-а) уу' (с-а) (с-Ъ)
z-b
Ί
X
X
(z-a)(z-b)(z-c)=0' « + α' + β+β' + ν + ν' = 1; (1)
здесь a, b, с — попарно различные комплексные числа,
α, а'^ (β, β' и γ, γ') — характеристич. показатели в
особой точке ζ=α (соответственно z=b и z=c). П. у.
однозначно определяется заданием особых точек и
характеристич. показателей. Для решений П. у. (1)
используется обозначение Римана:
(а Ь с \
w =Р Ια β у ζ I .
U' β' V' J
Б. Риман исследовал [1] задачу: найти все
многозначные аналитические в расширенной комплексной
плоскости функции w(z) со следующими свойствами:
1) функция w(z) имеет ровно три особые точки а, 6, с;
2) любые три ее ветви связаны линейным соотношением
Аги)г (z) + A2w2 (z) + A3w3 (z) = О
с постоянными коэффициентами; 3) функция w(z)
имеет простейшие особенности в точках а, Ь, с, а
именно: в окрестности точки ζ=α существуют две ее ветви
ш1(^), w2(z) такие, что
щ (ζ) = (ζ — α)αφχ (ζ), w2 (ζ) = (ζ — α)α'φ2 (ζ),
где φ/(ζ), 7=1, 2,— голоморфные в точке ζ=α функции;
и аналогично для точек 6, с.
Б. Риман при нек-рых дополнительных
предположениях относительно чисел α, α', . . ., у' показал, что
все такие функции выражаются через гипергеометрич.
функции и что w(z) удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению 2-го порядка с рациональ-
С\
У
У'
\
ч\
)
ПАРАБОЛ МЕТОД 190
ными коэффициентами, но явно его не выписал (см.
[1]). Это уравнение (уравнение (1)) было приведено
Э. Папперицем [2]. Оно наз. также Р-уравнени-
ем Римана, уравнением Римана в
форме Папперица, уравнением
Римана, а его решения наз. Р-функциями.
Основные свойства решений П. у.
1) П. у. инвариантно относительно
дробно-линейных преобразований: если z1={Az-\-B)l(Cz-\-D)
отображает точки а, Ь, с в точки аъ 6lf clf то
(αϊ bi
-Ρ \α β
U' β'
2) Преобразование
(3)'(Ηί)'·«
переводит П. у. в П. у. с теми же особыми точками, но
с другими характеристич. показателями:
, (a b с \
(Hi)'(S)''{. j τ .)-
Ια β γ ;
(a b с \
=pla+k β — Α: — г y + l z\ .
\a' + k p'—k — l y' + l )
3) Г и пер геометрическое уравнение
ζ (1—ζ) ш"+[С — (А + В + \) ζ] w' — ABw = Q
есть частный случай П. у. и ему соответствует
обозначение Римана
( О
оо 1
А О ζ
С В С—А—В )
)
4) Всякое решение П. у. выражается через
гипергеометрич. функции:
w (ζ):
ζ—α\ α / ζ—с\ у
—ь) il=b) X
xf |α+β+ν;«+β'+γ;ΐ+α-«';;:::;;::0&;) (2)
в предположении, что α—α' не есть целое отрицательное
число. Если все разности α—α', β—β', γ—у' —
нецелые числа, то, переставляя в (2) местами а и а' или у
и γ', получают четыре решения П. у. Кроме того, П. у.
не меняется, если переставлять местами тройки (а,
α', α), (β, β', Ь), (γ, γ', с); все эти перестановки
приводят к 24 частным решениям П. у. (1), к-рые
впервые были получены Э. Куммером [5].
Лит.: [1] Риман В., Соч.. пер. с нем., М.— Л., 1948, с.
159—75; [2] Ρ а ρ ρ е г i t ζ Ε., «Math. Ann.», 1885, Bd 25, S. 212—
21; [3] У и τ τ е к е ρ Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс
современного анализа, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1962—63; [4] Г о-
л у б е в В. В., Лекции по аналитической теории
дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л.. 1950; [5] К u m m е г Е-,
«J. reine und angew. Math.», 1836, Bd 15, S. 39—83, 127—72.
M. В. Федорюк.
ПАРАБОЛ МЕТОД — метод вычисления корней
многочлена
Р„ (z) =fl0 + aiz-h ...+<v"
с комплексными коэффициентами, основанный на
интерполяции многочленами 2-й степени. П. м. позволяет
найти все корни многочлена без предварительной
информации о начальном приближении. Сходимость П. м.
установлена лишь эмпирически. Вблизи простого корня
скорость сходимости близка к квадратичной.

191
ПАРАБОЛА
192
Вычислительная схема П. м. соетоит в следующем.
По произвольным комплексным числам ζ0, ζχ, ζ2 как
узлам интерполяции строится интерполяционный
многочлен Лагранжа для Ρη(ζ). Это будет нек-рый
многочлен 2-й степени. Находятся оба его корня и за
ζ3 берется ближайший к ζ2. После этого вместо точек
z0, zx, z2 берутся точки zx, z2, z3 и процесс повторяется.
Эмпирически установлено, что последовательность
ζ0, ζχ, ζ2, ζ3,. . ., построенная таким образом, сходится
к корню многочлена. Вычисленный корень выделяется,
и далее метод применяется к многочлену меньшей
степени.
Расчетные формулы П. м.: если ζ£·_2, ζ£·_ι, ζ/—
исходная тройка чисел i-ro шага, то в обозначениях
h = z — zi, hi = Zi — zi_lf hi-i~Zi_1 — Zi_2,
k = h/hit hi = hi/hi_1, δ/-=1 + λ£·
интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид
L<0 (λ)=λ»δΓ1 [Р«(а«-а) λ?-Ρη(*ί-ι) bfii + P*(*i) λ/]+"
+ Μ71 [Ρη (2ί-2) λ?-Ρ„ (ζ,.!) δ? +
+ ΡΛ(*ί)(λ, + δΙ·)] + Ρ«(*ί).
Корни Ζ/(/)(λ) находятся по формуле
-2Pn(2t.)6·
λ =
8i±V g2i-^Pn(zi)6i\i[Pn{zi_2)Ki-Pn{zi_1)6i + Pn(zi)}
где
gi = Pn(zi-2)X2i-Pn(zi_1)62i + Pn(zi)(Ki + bi).
Из двух возможных значений λ берется наименьший
но модулю и далее вычисляется
λ£· + ι — λ; hi + i — hi + ihi; z^ + i = zi~\-h{ + 1.
При реализации описанного процесса на ЭВМ
возможно переполнение сверху и снизу при вычислении
значения многочлена в точке. Появление больших чисел
возможно также при вычислении корней многочлена
2-й степени. Существует ряд приемов, имеющих целью
избежать это явление (см. [1], [3]).
Лит.: [1] Воеводин В. В., Численные методы алгебры,
М., 1966; [2] У и л к и н с о н Д ж. X., Алгебраическая
проблема собственных значений, пер. с англ., М., 1970; [3]
Бахвалов Н. С, «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1971, т. И,
№ 6, с. 1568—74. Г. Д. Ким.
ПАРАБОЛА — плоская кривая, получающаяся в
пересечении кругового конуса с плоскостью, не
проходящей через вершину конуса и
параллельной его образующей.
П. есть множество точек Μ
плоскости, для каждой из к-рых
расстояние до данной точки F (ф о к у-
с а П.) равно расстоянию до
некрой данной прямой d
(директрисы). Расстояние ρ от
фокуса П. до директрисы наз. π а-
раметром. П.—симметричная
кривая; точка пересечения П. с
осью ее симметрии наз.
вершиной П., а ось симметрии —
осью П. Эксцентриситет равен
единице. Диаметр П.—
любая прямая, параллельная ее оси,
и сама ось. Диаметр П. может
быть определен как прямая,
проходящая через середины параллельных хорд.
П. есть нецентральная линия второго порядка. Ее
канонич. уравнение имеет вид
у2 = 2рх.
Уравнение касательной к П. в точке (х0, у0):
УУо = р(х + хо)·
Уравнение П. в полярных координатах ρ, φ:
Ρ=ΐ^
1—cos φ
, где 0 < φ < 2π.
П. обладает следующим оптическим
свойством: световые лучи, исходящие из фокуса, после
зеркального отражения от П. пойдут параллельно оси.
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОДАЛГЕБРА — подалгебра
конечномерной алгебры Ли с} над алгебраически
замкнутым полем, содержащая какую-либо подалгебру
Б о ρ е л я, т. е. максимальную разрешимую
подалгебру алгебры $. Если q — конечномерная алгебра Ли
над произвольным полем /с, то ее подалгебра р наз.
П. п., если £(g)fe/c — П. п. в g®fe/c, где /Г— алгеб-
раич. замыкание поля к. Если G — неприводимая
линейная алгебраич. группа над полем характеристики
0 и $ — ее алгебра Ли, то подалгебра )ра$, тогда и
только тогда является П. п. в g, когда она совпадает с
алгеброй Ли нек-рой параболической подгруппы
группы G.
Примерами П. п. в алгебре Ли всех квадратных
матриц порядка η над полем к являются подалгебры вида
$)(μ)(μ— (тг, лг2, . . ., ms) — произвольный набор
натуральных чисел, сумма к-рых равна тг), где алгебра
£>(μ) состоит из всех верхних треугольных блочных
матриц, у к-рых диагональные блоки являются
квадратными матрицами порядков т1ч т2, ... , ms.
Пусть g — редуктивная конечномерная алгебра
Ли над полем к характеристики 0, f — максимальная
диагонализируемая над к подалгебра в g, R — система
/с-корней алгебры Ли q относительно f, Δ — базис
(множество простых корней) системы R и Aut^ —
группа элементарных
автоморфизмов алгебры Ли д, т. е. группа, порожденная
автоморфизмами вида exp ad я, где χ — нильпотентный
элемент алгебры д. Тогда всякая П. п. алгебры Ли $
переводится нек-рым автоморфизмом из группы Aut^
в одну из стандартных
параболических подалгебр вида
*5Φ = 5° + Σα6Π(Φ)90
где g° — централизатор подалгебры [ в д, qa —
корневое подпространство алгебры Ли $,
отвечающее корню α ζ R, Φ — некоторое произвольное
подмножество множества Δ, а П(Ф) — множество тех
корней из 7?, в разложении которых по простым корням
из базиса Δ корни, принадлежащие множеству Φ,
входят только с неотрицательными коэффициентами.
Таким образом, число классов П. п., сопряженных
относительно Aut^, равно 2Г, где г=|А| есть /с-ранг
полупростой алгебры Ли [g, g]. При этом если ФХ^Ф2,
то ία^Ξ^φ,,· В частности, рф = #, а рд — минимальная
П. п. в 3·
Максимальными П. п. исчерпываются все нередук-
тивные максимальные подалгебры конечномерных
редуктивных алгебр Ли над полем характеристики 0
(см. [2], [3], [5]).
Лит.: [1] Б у ρ б а к и Н., Группы и алгебры Ли.
Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые
алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; [2] К а р π е л е в и ч Ф. И.,
«Докл. АН СССР», 1951, т. 76, №6, с. 775—78; [3]
Морозов В. В., «Успехи матем. наук», 1956, т. И, в. 5, с. 191 — 94;
[4] MostowG. D., «Ann. Math.», 1961, v. 74, № 3, p. 503—17;
[5] Б о рель Α., Тите Ж., «Математика», 1972, т. 16,
№ 3, с. 3—12. В. Л. Попов.
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОДГРУППА - 1) П. п.
линейной алгебраич. группы G, определенной над полем
/с,— замкнутая в Зариского типологии подгруппа PaG
такая, что факторпространство G/P является проектив-

193
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ
194
ным алгебраич. многообразием. Подгруппа Ρ cG тогда
и только тогда является П. п., когда она содержит
какую-нибудь Бореля подгруппу группы G.
Параболической подгруппой группы Gkk-
рациональных точек группы G наз.
подгруппа PfeCGfe, являющаяся группой /с-рациональ-
ных точек нек-рой П. п. Ρ в G и плотная в Ρ в
топологии Зариского. Если char/c=0 ид — алгебра Ли
группы G, то замкнутая подгруппа PczG тогда и только
тогда является П. п., когда ее алгебра Ли является
параболической подалгеброй в д.
Пусть G — связная редуктивная линейная алгебраич.
группа. Минимальные /с-замкнутые (т. е. определенные
над к) П. п. играют в теории таких групп для
произвольного основного поля к ту же роль, что подгруппы
Бореля для алгебраически замкнутого поля к (см. [1]).
В частности, любые две минимальные /с-замкнутые
П. п. группы G сопряжены над к. Если две /с-замкнутые
П. п. группы G сопряжены над каким-нибудь
расширением поля /с, то они сопряжены и над /с. Множество
классов сопряженных П. п. (соответственно множество
классов сопряженных /с-замкнутых П. п.) группы G
состоит из 2Г (соответственно 2 к) элементов, где г —
ранг коммутанта (G, G) группы G, a rk — его /с-ранг,
равный размерности максимального расщепимого над /с
тора в (G, G). Точнее, каждый такой класс
определяется нек-рым произвольным подмножеством множества
простых корней (соответственно простых /с-корней)
группы G аналогично тому, как каждая параболич.
подалгебра редуктивной алгебры Ли сопряжена одной
из стандартных подалгебр (см. [2], [4]).
Всякая П. п. Ρ группы G связна, совпадает со
своим нормализатором и допускает разложение
Л е в и, т. е. может быть представлена в виде
полупрямого произведения своего унипотентного радикала и
нек-рой /с-замкнутой редуктивной подгруппы, наз.
подгруппой Леви группы Р. Любые две
подгруппы Леви в П. п. Ρ сопряжены посредством
рационального над к элемента группы Р. Две П. п. группы G
наз. противоположными, если их
пересечение является подгруппой Леви в каждой из них.
Замкнутая подгруппа группы G тогда и только тогда
является П. п., когда она совпадает с нормализатором
своего унипотентного радикала. Всякая максимальная
замкнутая подгруппа группы G либо является П. п.,
либо имеет редуктивную связную компоненту единицы
(см. [2], [4]).
П. п. в группе GLn(/c) невырожденных линейных
преобразований л-мерного векторного пространства
V над полем к исчерпываются подгруппами Ρ (ν),
состоящими из всех автоморфизмов пространства
V, которые сохраняют фиксированный флаг типа
ν= (пг, п2, . . ., nf) в V. При этом факторпростран-
ство GL„ (к)/Ρ (ν) совпадает с многообразием всех
флагов типа ν в пространстве V.
В случае, когда fc=R, R-замкнутые П. п. допускают
следующую геометрич. интерпретацию (см. [5]). Пусть
6rR — некомпактная полупростая вещественная группа
Ли, совпадающая с группой вещественных точек
полупростой алгебраич. группы G. Подгруппа группы GR
тогда и только тогда является П. п., когда она
совпадает с группой движений соответствующего
некомпактного симметрич. пространства Λ/, сохраняющих нек-рый
к -пучок геодезич. лучей в Μ (два геодезич. луча в Μ
считаются принадлежащими одному /с-пучку, если
расстояние между двумя точками, движущимися с
одинаковыми постоянными скоростями вдоль этих лучей в
бесконечность, стремится к конечному пределу).
2) П. п. системы Τ и τ с a (G, В, N, S) —
подгруппа группы G, сопряженная подгруппе, содержащей
В. Каждая П. п. совпадает со своим нормализатором.
Пересечение любых двух П. п. содержит подгруппу
группы G, сопряженную с Τ=Β[\Ν. В частности,
П. п. системы Титса, связанной с редуктивной линейной
алгебраич. группой G,— это то же, что П. п. группы G
(см. ГЗ], [4]).
Лит.: [1] Б о рель Α., Тите Ж., «Математика», 1967,
т. И, № 1, с. 43—111; [2] их ж е, там же, 1972, т. 16, № 3,
с. 3—12; [3] Б у ρ б а к и Н., Группы и алгебры Ли.
Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые
полупростые алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; [4] Хамфри Д ж.,
Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [5]
Карпелевич Ф. И., «Труды Моск. матем. об-ва», 1965,
т. 14, с. 48—185. В. Л. Попов.
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ РЕГРЕССИЯ,
полиномиальная регресси я,— модель регрессии, в
к-рой функции регрессии суть многочлены. Точнее,
пусть Х= (X,, . . ., Хт)Т и У= (Yt, . . ., Υη)Τ _ слу-
чайные векторы, принимающие значения х= (хг, . . .,
xm)T£Rm и у= (г/χ, . . ., yn)T(zRni и пусть существует
Е{У|Х}=/(Х) = (/1(Х), ..., fn(X))T
(т.е. существуют ΕθΊ|Χ}=/ι(Χ), . . ., Е{У„|Х}=
= fn(X)). Регрессия наз. параболической,
если компоненты вектора t{Y\X}=f(X) суть
многочлены от компонент вектора X. Напр., в простейшем
случае, когда У и Ζ — обычные случайные величины,
уравнение П. р. имеет вид
0 = ββ + βιΧ+... + β,»\
где β0, . . ., Ρ ρ — коэффициенты регрессии. Частный
случай П. р.— линейная регрессия. Добавлением к
вектору X новых компонент можно всегда свести П. р.
к линейной. См. Регрессия, Регрессионный анализ.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы
статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] С е б е ρ Д ж.,
Линейный регрессионный анализ, пер. с англ., М., 1980.
М. С. Никулин.
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ — плоская
трансцендентная кривая, уравнение к-рой в полярных
координатах имеет вид
ρ==α^φ + /, />0.
Каждому значению φ
соответствуют два значения
У ψ — положительное и
отрицательное. Кривая имеет
бесконечно много двойных точек
и одну точку перегиба (см.
рис.). Если 1=0, то кривая наз. Ферма спиралью.
П. с. относится к т. н. алгебраич. спиралям (см.
Спирали).
Лит.: [1] Саве лов Α. Α., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА — точка регулярной
поверхности, в к-рой соприкасающийся параболоид
вырождается в параболич. цилиндр. В П. т. Дюпена
индикатриса является парой параллельных прямых,
гауссова кривизна равна нулю, одна из главных
кривизн обращается в нуль, а для коэффициентов второй
квадратичной формы справедливо равенство
LN — M2 = 0.
Д. Д. Соколов.
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ
КООРДИНАТЫ — числа и и ν, связанные с
прямоугольными координатами χ и у
формулами
х = и2 — v2, y = 2uv,
где — оо < и < оо, 0 <: у < оо.
Координатные линии: две системы
взаимно ортогональных парабол с
противоположно направленными осями.
Коэффициенты Ламе:
Lu=Lv = 2Vu^+7*.
£?7 Математическая энц., т. 4

195
Элемент площади:
da = 4 (α2-μ у2) dudv.
Векторные дифференциальные операции:
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
196
ι / ι а/
άίνα=—±=(β4ί+^)+-^=(ααΒ+ναν),
2 KU2 + i--2 V ди г dv J ' 2K(u4r2);i v
/a2/ , a2/
• 4 (u2 + u2) ^du2 ' dv
.)
Уравнение Лапласа допускает в П. к. разделение пере-
м енных. Д. Д · Соколов.
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР —
цилиндрическая поверхность второго порядка, для к-рой
направляющей служит парабола. Каноническое уравнение
П. ц.:
у2^1рх.
А. 13. Иванов.
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ -
уравнение вида
м<—S7, j=i α«ν (ж» ом *,·*/—2Γ=ια/ (,г' ^'ч·—
— α(χ, Ο ι/=/ (х, *),
где 2ja'-/Si6/ — положительно определенная
квадратичная форма. Переменная t выделена и играет роль
времени. Типичным примером П. т. у. является
уравнение теплопроводности
Β*-ΣΓ=ιΒ*«·*ί=°·
А. П. Солдатов.
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ; ч и с-
ленные методы решения— методы
решения уравнений параболич. типа на основе
вычислительных алгоритмов. Для решения П. т. у. часто
применяются приближенные численные методы, рассчитанные
на использование быстродействующих ЭВМ. Наиболее
универсальным является метод сеток (коне ч-
норазностный метод).
Ниже рассмотрен метод сеток на примере уравнения
теплопроводности
1г=а?+'<*· '»' <>0' °<х<1> (1)
с краевыми условиями 1-го рода
и (О, ο=μι(0» и (*» *) = μ2(0. "(*, 0) = и0и·
Вводится равномерная сетка узлов (ж/, ttl),
Xi — ih, ΐ = 0, 1, . . ., Λτ, ДА' —Ζ, ίη — ητ, « = 0, 1, , . .;
и обозначения
ybt-W-vt-J/h, ylt = iy?+l-vt)/h,
Метод сеток состоит в том, что уравнение (1)
приближенно заменяется системой линейных алгебраич.
уравнений (разностной схемой)
У'1 i=^t+(l-<» V-xx. i + Ψ?. ' = 1.2, · · ·, ΛΤ-Ц
ι/?=μι('η). »Λτ=μ2 (*η), yoi=u0(xi),
(2)
φ" находятся новые значения y'} + 1, i— 1, 2, .
Если σ^=0 (явная схема), то */?+1
где σ — числовой параметр и φ; — сеточная
аппроксимация функции/(а·, /), напр. ф?=/(хо ίη+0,5τ).
Система уравнений (2) решается по слоям, т. е.
для каждого /t=0, 1, . . . по известным значениям у",
N—\.
выражаются явным
образом через у", φ". Если же σ^Ο (неявные схемы),
то относительно y" + 1, i— 1, 2, . , ., N — i, возникает
система уравнений, имеющая трехдиагональную
матрицу. Эта система уравнений решается прогонки методом.
Недостатком явной схемы является сильное ограничение
на шаг τ, возникающее из условия устойчивости, а
именно τ <: 0,5 h2. Неявные схемы при σ > 0,5
абсолютно устойчивы, т. е. устойчивы при любых шагах h
и τ. Известны и другие разностные схемы для
уравнения (1) (см. [1], [2]).
Если схема (2) устойчива и φ" аппроксимирует
/(.г, i), то при h, τ-^ΰ решение у} разностной задачи
сходится к решению 11(34, tn) исходной задачи (см.
[1]). Порядок точности зависит от параметра а. Так,
симметричная схема (σ=^0,5, φ? -/(.г,·, /„4 0,5τ)) имеет
второй порядок точности по τ и по h, т. е. для каждого
и выполняется оценка
шах | уп — и (xit tn) I < Μ (τ2 + /ι2)
0<i<N
с константой Μ, не зависящей от h и τ. При σ—0,5—
—/ι2/(12τ) и специальном выборе φ" схема (2)
имеет точность 0(τ2+/ι4). Для остальных σ — точность
0(τ+/ι2).
При решении П. т. у. на больших отрезках времени
существеннее значение имеет асимптотич. устойчивость
разностной схемы. Решение уравнения (1) с f(x, t) = Q,
Μι(0=μ2(0 = 0 ведет себя при t ->- 00 как е Λι ,
λ1=π2/ί2. Этим свойством обладает не всякая
разностная схема, аппроксимирующая уравнение (1). Напр.,
симметричная схема (σ=0,5) асимптотически устойчива
при условии τ<Ζ/ι/π. Построены схемы 2-го порядка
точности, асимптотически устойчивые при любых τ,
/г, однако они не входят в семейство (2) (см. [3]).
Краевые условия 3-го рода
^(0, ο-β"(0, <)=μ(0
аппроксимируются с порядком О (h2) разностными
уравнениями
° (υ^-ί^ο^+μ^ν + ίΐ-ο) (у^о- (№ο+μη)) =
= 0,5Л(.У?.о -φ?), μ» = μ(*„).
Для уравнения теплопроводности в цилиндрич. и
сферич. координатах
— = — — ( rm — \ т-1 2 0<r<R
вводятся сетки (г,·, *„), где ίη=ητ, п—0, 1, . . .,
a=(i + f)*· i = 0' 1····' Λ'< к = ТйЪш'т=и 2'
и рассматриваются разностные уравнения (см. [4])
где
аС"),,'1— 1 ί^^ΐΐϊΐλ
л' »'—?p — \rt+i—к п —л—у»
r,=0,5 (г, + г1 + 1) при т = \, г, = Ί/'γ,γ,·-! при т — 2,
1 = 1, 2, .. ., Ν—1.

ческого 198
в прямоугольнике G{0 < ха < *а> а=1, 2}, Вводится
сетка
Xij=(x{i\ Xii)),x[i) = ihu ϊ=0, 1, . . ., Nu h1N1 = llt
*2n = jh2l /=U, 1 Ar2, h2N2 = l2
197 парабол
Для решения П. т. у. с переменными
коэффициентами применяются однородные консервативные
разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения,
присущие исходному дифференциальному уравнению
(см. [1], [51). При построении разностных схем для
П. т. у. с неременными коэффициентами применяются
методы: баланса, вариационный, конечных элементов.
Напр., для уравнения
Ш = Тх{к^ ')§£)+/(*. 0. 0<х<1, t >0,
используются разностные схемы с весами
У?, ί = (α(σί/» + 1 + (1-σ)^)ϊ)Λ/ + φ?,
где
а = αϊ = к (я,—0,5й, ί„ + 0,5τ).
Доказана сходимость и получены оценки
погрешности однородных консервативных разностных схем
для П. т. у. как в случае непрерывных, так и в
случае разрывных коэффициентов (см. [1]).
Для решения систем уравнений параболич. типа,
содержащих одну пространственную переменную,
применяются те же разностные схемы, что и для одного
уравнения. Вектор уп+1 решения на новом слое
находится матричной факторизации методом.
При решении квазилинейного П. т. у. используются
неявные абсолютно устойчивые разностные схемы.
Решение уп + 1 разностного уравнения находится
итерационным методом с использованием прогонки. Напр.,
для уравнения
£=β4(*(»)!ΐΟ·*(">>0' ^
применяют чисто неявную разностную схему
а(у1 + 1)=0,Ъ(к(уГ1)+к(у1111)),
к-рую решают с помощью итерационного метода (s —
номер итерации):
»(r1, = »? + T(a(j,<(«)»F1>)*.i. s = 0' !.···.«,
Jp)~un U(m + D = ип + i
У ι yi,yi yι
Решение i/[s + 1) на каждой итерации находится методом
прогонки. При решении нелинейного П. т. у. нашлт1
также применение схемы, основанные на идее Рунге —
Кутта метода. Так, для уравнения (3) используется
двухэтапный метод
ynAV2^yrt+0irOT{a(yn)yn_ + l/2)xh
У? + 1 = у1 + 0,Ът(а{уЧ + 1/%)(уп^+уп)-)х.г.
Тестирование и проверка качества разностных схем
для нелинейного П. т. у. проводится путем сравнения
с точными автомодельными решениями, такими, напр.,
как решение типа температурной волны (см. [6]).
При решении многомерного П. т. у. используются
переменных направлений методы, к-рые позволяют
свести решение многомерной задачи к решению
последовательности одномерных задач (см. [1], [7] — [10]).
Предложено и исследовано значительное число
абсолютно устойчивых алгоритмов переменных
направлений. Эти алгоритмы являются экономичными в том
смысле, что число арифметич. действий, необходимых
для вычисления решения на новом временном слое tn м,
имеет порядок числа узлов пространственной сетки.
Ниже рассмотрен пример схемы переменных
направлений для уравнения
§Γ=^ + Γί·^·*.)€6,ί>0 (4)
αι дх^ дх%
и обозначения
κ Π , П η Π ιΜ ч/т2
Лш/ = (У*Ч1./ — 2W./ +yi-i,i)/hi>
ЛаУ?/ = (у£/+1 —2yrij-\-yri,j-i)/hl>
Уравнение (4) решается с помощью следующей
разностной схемы
./1+1/2 ,/t
Ό,6τ ' =А1у?/+1/' + Л1У?/,
,/Ζ + 1 ,.η+1/2
Эти уравнения записываются при i=l, . . ., N\ — 1,
/ = 1, . . ., N2—1 и доопределяются соответствующими
граничными условиями. Из первого уравнения
прогонкой по направлению хх для каждого у=1, 2, . . ., N2—1
находится ι/?/+1/2, а затем из второго уравнения
прогонкой по направлению х2 для каждого i=l, 2, . . .,
N1—1 находится у?/"1. Таким образом, вычислительный
алгоритм состоит в последовательном применении
одномерных прогонок.
Теоретич. основой построения и исследования
экономичных разностных схем для многомерного П. т. у.
является метод суммарной аппроксимации (см. [1], [8],
[9]). Обобщением методов переменных направлений
явились аддитивные экономичные схемы с уравнениями на
графах и векторные схемы (см. [И]).
В случае нерегулярных пространственных сеток
разностные схемы для П. т. у. строятся методом конечных
элементов и методом баланса (см. [12]).
Для решения сеточных уравнений, возникающих при
аппроксимации многомерного П. т. у. неявными
разностными схемами, применяются эффективные прямые и
итерационные методы, разработанные для
эллиптических разностных краевых задач: метод разделения
переменных, использующий алгоритм быстрого
дискретного преобразования Фурье, метод циклич.
редукции, попеременно-треугольный итерационный метод и
др. (см. [13]).
Лит.: [1] Самарский Α. Α., Теория разностных схем,
М., 1977; [2] С а ульев В. К., Интегрирование уравнений
параболического типа методом сеток, М., 1960; [3]
Самарский Α. Α., Гулин А. В., Устойчивость разностных
схем, М., 1973; [4] Φ ρ я з и н о в И. В., «Ж. вычислит, ма-
тем. и матсм. физ.», 1971, т. И, № 5, с. 1219—28; [5] Map-
ч у к Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М.,
1980; [6] Самарский Α. Α., Соболь И. М., «Ж.
вычислит, матем. и матем. физ.», 1963, т. 3, № 4, с. 702—19; [7]
Я н е н к о Η. Η., Метод дробных шагов решения
многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [8]
Самарский Α. Α., «Ж. вычислит, матем. и матем. физ.», 1962,
т. 2, № 1, с. 25—56; [9] Я н енк о Η. Η., «Сиб. матем. ж.»,
1964, т. 5, № 6, с. 1431 — 34; [10] Дьяконов Е. Г., «Ж.
вычислит, матем. и матем. физ.», 1962, т. 2, № 4, с. 549—68; [11]
Самарский Α. Α., Фрязинов И. В., «Успехи матем.
наук», 1976, т. 31, в. 6, с. 167 — 96; [12] Φ ρ я з и н о в И. В.,
«Дифференц. уравнения», 1980, т. 16, № 7, с. 1332—43; [13]
Самарский Α. Α., Николаев Е. С, Методы
решения сеточных уравнений, М., 1978. А. В. Гулин.
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОД —
метод приближенного решения высокочастотных
дифракционных задач (см. Дифракции математическая
теория). Как правило, к П. у. м. приходится прибегать
для нахождения волнового поля в тех областях, где
лучевой метод применять нельзя из-за того, что ноле
лучей теряет в том или ином смысле регулярность.
Пусть, напр., поставлена задача о падении плоской
7*

199
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
200
волны на идеально отражающее выпуклое тело.
Волновой процесс описывается уравнением Гельмгольца
(ё+ё+*2)*=0·
(1)
Полутень
Здесь точка (х, у) пробегает внешность ограниченной
выпуклой области Ω, на границе к-рой выполняется
краевое условие Дирихле и\$=0. Предполагается, что
dQ=S£C°° и имеет всюду положительную кривизну.
Решение и представимо в виде е***+и°, где и0
удовлетворяет излучения условиям. Решение такой задачи
существует и единственно.
В высокочастотном случае (к «велико») важно
построить формальное коротковолновое решение этой
задачи (т. е., грубо говоря, разложение, формально
удовлетворяющее всем условиям задачи, достаточно
далекие члены к-рого имеют сколь угодно высокий
порядок малости при /с-> оо). Можно показать, что в
рассматриваемом случав формальное решение будет
асимптотич. разложением классич. решения.
Лучевой метод позволяет построить искомое
коротковолновое разложение всюду, кроме области тени
(см. рис.). Выраже-
№ Полутень ние ДЛЯ волнового по-
, / ля, построенное с по-
А х. мощью лучевого ме-
" тода, теряет гладкость
на границе тень-
свет (полупрямые
\ОА и О'А' на рис.).
. В окрестности О А (и
О'А')
коротковолновая асимптотика
волнового поля уже не выражается лучевыми формулами.
Окрестности О А (и О'А') наз. обычно полутенью.
Ключевым моментом при построении формального
решения поставленной выше задачи является
рассмотрение окрестности точек касания О и О' лучей падающей
волны и кривой S=dQ. Точка О принята за начало
координат, положительная часть оси Ох отделяет
область тени от освещенной области.
Пусть в окрестности О введены новые координаты
6·, п. Точка M(fcS характеризуется ее расстоянием
вдоль S от О. Считается, что s > 0 (соответственно
s < 0) в области тени (соответственно в освещенной
области). Если Μ ζ Ω, то точка Μ характеризуется ее
расстоянием η от S и координатой s проекции Μ на S.
В координатах s, n уравнение Гельмгольца имеет вид
xSl)] + ^=° (2)
(p=p(s) > 0 — радиус кривизны S в точке s).
1
Используя ряд Маклорена для —:
Ι~τί=ο+4^(~))ί=ο + ···'
можно заменить все коэффициенты уравнения (2) их
формальными разложениями по степеням s и п. В
растянутых координатах
2-*»'»*, ро = р(0),
_ h^h _ 3 ΓΎ_
° yjp2'*'V~ У Ро
(3)
полагая в уравнении (2)
i*~ei*j(y0(cjf v) +k-ll*v1(o, ν) + · · ·)
и приравнивая нулю коэффициенты при
последовательных степенях fc-i/з, приходят к типичной для метода
пограничного слоя цепочке рекуррентных уравнений
L0v0=Q, L0vi-\-L1vfi=0t L0y2 + L1y1 + L2yo = 0.
Здесь первое уравнение и есть «параболическое»
уравнение, давшее название П. у. м.:
LQVQi
(4)
По существу уравнение (4) является уравнением типа
Шрёдингера. В операторах Lj коэффициенты —
полиномы от σ и v. Для формального выполнения
краевого условия и\$=0 достаточно потребовать,
чтобы uj\s=0. Роль других краевых условий играет
требование, чтобы при больших |σ|, σ < 0, ряд (3)
формально переходил бы в разложение лучевого метода.
Для ν0 можно вывести явную формулу (т. н. φ о ρ м у-
л у Фока), имеющую вид интеграла Фурье
J βίοζφ (ν, ζ) άζ9
где Ф сравнительно просто выражается через функции
Эйри. Методика склеивания (сращивания) асимптотич.
разложений дает возможность получить формулы
для волнового поля по всей области тени и полутени.
В случае волн соскальзывания и шепчущей галереи
выводятся соответствующие «параболические»
уравнения и их решения выражаются через функции Эйри.
Развитие теории лазеров привело к необходимости
рассматривать волны, сосредоточенные в окрестности
изолированных лучей. Выделяя соответствующий
фазовый множитель и проводя далее построения,
аналогичные построениям метода пограничного слоя, приходят
к «параболическому» уравнению, через решение к-рого
выражается в первом приближении волновое поле.
В этом случае «параболическое» уравнение будет
уравнением Шрёдингера с квадратичным потенциалом.
П. у. м. находит применение также при расчете
волнового поля в световодах, в статистически неоднородных
средах и во многих др. задачах. Аналоги П. у. м.
используются в теории нелинейных волн.
Лит.: [1] Фок В. Α., Проблемы дифракции и
распространения электромагнитных волн, М., 1970; [2] Бабич
В. М., Б у л д ы ρ е в В. С., Асимптотические методы в зада-
чах дифракции коротких волн, М., 1972; [3] Бабич В. М.,
Кирпичникова Н. Я., Метод пограничного слоя в
задачах дифракции, Л., 1974. В. М. Бабич.
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ФУНКЦИИ,
Вебера функции, Вебера — Эрмита
функции,— решения дифференциального уравнения
(*)
-f>=0·
к-рое получается в результате разделения переменных
в волновом уравнении Ьи=±к2и в параболических ци-
линдрич. координатах. Наиболее часто используется
решение
Dv(z)=u(—v~, z^=i
,(V-l)/2 -Z'12
/1_V _3_. £\
^ 2 ' 2 ' 2 )'
где Ψ (α, b; z) — вырожденная гипергеометрич.
функция. Уравнению (*) удовлетворяют также Dv (—ζ),
D-v-i(±iz). Функции Dv (z) и Z)_V-i(±iz) линейно
независимы при любых ν, Χ)ν (ζ) и Dv (—ζ) при ν#0,
±1, ±2 ... П. ц. ф.— целые функции от ζ. Функция
Dv (ζ) действительна при действительных ν и ζ.
Формулы дифференцирования (п=1, 2, . . .):
dn r ζ2/4 η , Ч1
[е Dv(z)].
dzn
= (_!)« (_ν)ηβζΙ/4 Ζ)ν-«(ι),
<f» r -
^Dv(z)] = (-l)ne-^D,
Рекуррентные формулы:
£>ν+ι (ζ) — zDv(z)+vDv-i (z)=0,
ϋ'ν (ζ) +| Dv (z)-vi»v-i (2) =0,
£»;(*)-£ Ζ>νΟΟ+^ν+ι(3)=0.

201 ПАРАКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Асимптотика: при фиксированном ν |arg z\ < 3π/4 и
\ζ\ -►■ οο
ΛΝ (-v/2)fe (1/2-ν/2)Λ / ζ2 \ -h
202
+ 0
ki
-2N-2\
!(^Г+
при ограниченном \z\, |arg(—ν)| <π/2 и |v| ->■ οο
I>v(2) =-j^exp [f In (_v) — ^ — K=^ ζ] χ
*['-o(7=)]·
П. ц. ф. связана с др. функциями следующими
соотношениями. С многочленами Эрмита:
Dn(z) = 2-n/2e-**/*Hn(z/}r2), n=0, 1, 2, . . .;
с интегралом вероятности:
/).._, („«izl^L,-,.,.
η!
η = 0, 1, 2
с функциями Бесселя:
Z)-1/2(Z)=V//- *1/4(ί!)
Лит.: [1] Б е й τ м е н Г., Э ρ д е й и Α., Высшие
трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции
параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ.,
2 изд., М., 1974; [2] Миллер Д ж.-Ч.-П., Таблицы
функций Вебера (функций параболического цилиндра), пер. с англ.,
М., 1968. Ю. А. Брычпов, Л.П.Прудников.
ПАРАБОЛОИД — незамкнутая нецентральная
поверхность второго порядка. Канонич. уравнения П.:
Ξ? _|_ —
ρ о.
= 2ζ, ρ, q > О,
— эллиптический параболоид (при p=q называется П.
вращения) и
х1 — y- = 2z, ρ, q>0,
— гиперболический параболоид. А. Б. Иванов.
ПАРАБОЛОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ - числа
м, ν и w, связанные с прямоугольными координатами х,
у и ζ формулами:
x = 2uwcosv, y = 2uw sin и, z = u2—w2,
где0<и<оо,0<г;<2л, 0<u;<oo.
Координатные поверхности: две системы параболоидов вращения
с противоположно направленными осями (и= const и
w=const) и полуплоскости (v= const). Система П. к.—
ортогональная.
Коэффициенты Ламе:
LU = LW =2}fu2-\-w2, Lv = 2uw.
Элемент площади поверхности:
do = 4 V(u2+ w2) u2w2 (du2 + dw2) dv2 + (u2 + w2)(du dw)2.
Элемент объема:
dV — 8 (u2-\-w2) uw du dv dw.
Векторные дифференциальные операции:
grad„(p =
2Vu2+ w2 du
' 8га^Ф=й^я?
gradwcp =
2 Vu2+w2 dw '
div a =
ι
: [waa (2u2 + iv2) + uaw (и2 + 2м;2)] +
,uw V(u2 + w2)3
ι 1 /dag . daw\ . 1 dav
2Vu2 + w2 \ du dw J 2uiu dv '
rot„ α = 3 , ι' α7, -f- w -r-=- ) ,
rot7, α =
Ί. = (шаи — aw)-\-
/dag daw \
2 Kw2+w2 ^ a^ au
- i / ι „дДр \ 1 dag t
Λ _ 1 Га2ц ■ 1 Эф ■ / 1 , 1 \ а*ф .
ΔΦ~~ 4 (u2 + -u;2) |_du2 ' u du ' l^u2 ' w2 J dv2 '
+
а2ф . ι аф н
dw2 ' w ait? J
Д. Д. Соколов.
ПАРАДОКС — то же, что антиномия.
ПАРАКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО —
топологическое пространство, в любое открытое покрытие
к-рого можно вписать локально конечное открытое
покрытие. (Семейство у множеств, лежащих в топологич.
пространстве X, наз. локально конечным в
X, если у каждой точки х£Х существует окрестность
в X, пересекающаяся лишь с конечным множеством
элементов семейства γ; семейство у множеств в п и с а-
н о в семейство λ множеств, если каждый элемент
семейства у содержится в нек-ром элементе семейства λ.)
Паракомпактом наз. паракомпактное хаусдор-
фово пространство. Класс паракомпактов весьма
широк — он включает все метрич. пространства (теорема
Стоуна) и все бикомпакты. Однако не каждое локально
бикомпактное хаусдорфово пространство паракомпакт-
но.
Значение паракомпактности определяется
отмеченной общностью этого понятия и рядом замечательных
свойств паракомпактов. Прежде всего, каждое
хаусдорфово П. п. нормально. Это позволяет строить на пара-
компактах разбиения единицы, подчиненные
произвольному заданному открытому покрытию у.
Так называются семейства действительных
неотрицательных непрерывных функций на пространстве,
подчиненные следующим условиям: а) семейство
носителей этих функций локально конечно и вписано в у;
б) в каждой точке пространства сумма значений всех
тех функций семейства, к-рые отличны в ней от нуля (а
таких функций конечное число), равна 1. Разбиения
единицы являются основным средством построения
погружений пространств в стандартные пространства.
В частности, они используются для вложений
многообразий в евклидовы пространства и при доказательстве
теоремы о метризуемости каждого тихоновского
пространства с σ-локально конечной базой. Кроме того, на
разбиениях единицы в теории многообразий основаны
методы, с помощью к-рых осуществляется
единовременный синтез локальных построений, производимых в
пределах отдельных карт (в частности, тех или иных
векторных и тензорных полей). Поэтому одним из
требований исходных в теории многообразий является
требование паракомпактности, не являющееся лишним,
т. к. существуют непаракомпактные связные хаусдорфо-
вы многообразия.
В присутствии паракомпактности нек-рые локальные
свойства пространства синтезируются и выполняются
глобально. В частности, если паракомпакт локально
метризуем, то он метризуем; если хаусдорфово
пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно
полно по Чеху. В размерности теории для
паракомпактов удается получить ряд важных соотношений, не
распространяющихся даже на нормальные
пространства. Это не удивительно, т. к. одно из основных
определений размерности — по Лебегу — связано с
рассмотрением кратности открытых покрытий, что, несомненно,

203
ПАРАКОМПАКТНОСТИ КРИТЕРИИ
204
родственно идее локальной конечности, на к-рой
основано определение паракомпактности.
Паракомпактность не наследуется произвольными
подпространствами (в отличие от метризуемости),
иначе, напр., все тихоновские пространства, как
подпространства бикомпактных, оказались бы паракомпактами.
Но каждое замкнутое подпространство паракомпакта
есть паракомпакт. Большим недостатком
паракомпактности является отсутствие мультипликативности:
произведение двух паракомпактов может паракомпактом
не быть. С другой стороны, в классе хаусдорфовых
пространств прообраз паракомпакта при совершенном
отображении является паракомпактом, и образ пара-
компакта при непрерывном замкнутом отображении
является паракомпактом. К числу паракомпактов
относятся, в частности, Линделёфа пространства. Для
пространства всех непрерывных действительных
функций на произвольном тихоновском пространстве,
наделенном топологией поточечной сходимости,
паракомпактность равносильна линделёфовости. Если банахово
пространство в слабой топологии топологически
порождается нек-рым лежащим в нем бикомпактом, то оно
паракомпактно. Важный пример паракомпактов —
полиэдры, стоящие за CW-комплексами.
В классе паракомпактов упрощаются критерии
метризуемости. В частности, паракомпакт метризуем в том
и только в том случае, если он обладает базой счетного
порядка, т. е. базой, любая убывающая
последовательность элементов к-рой, содержащих какую-либо
точку χζΧ, непременно образует базу в этой точке.
Многообразны паракомпактности критерии. В
частности, для тихоновского пространства X
равносильны условия: а) X паракомпактно, б) в любое открытое
покрытие пространства X можно вписать локально
конечное покрытие, в) в каждое открытое покрытие
пространства X можно вписать σ-локально конечное
открытое покрытие, г) в любое открытое покрытие
пространства X можно вписать
консервативное замкнутое покрытие, т. е. покрытие,
объединение любого подсемейства к-рого замкнуто в X.
Важным является следующий критерий: тихоновское
пространство X паракомпактно в том и только в том
случае, если в каждое его открытое покрытие у можно
вписать нек-рое открытое покрытие λ звездно;
последнее означает, что для каждой точки х£Х
объединение всех элементов покрытия λ, содержащих ж,
содержится в нек-ром элементе покрытия у. Понятие
звездной вписанности служит выражением идеи
неограниченной дробимости пространства и может
восприниматься как наиболее общая
теоретико-множественная форма аксиомы треугольника.
Лит.: Ιί] К е л л и Д ж., Общая топология, пер. с англ.,
2 изд., М., 1981; [2] Архангельский А. В.,
Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и
упражнениях, М., 1974; [3] Архангельский Α., «Докл. АН
СССР», 1961, т. 141, № 1, с. 13—15. А. В. Архангельский.
ПАРАКОМПАКТНОСТИ КРИТЕРИИ — следующие
утверждения, равносильные для произвольного вполне
регулярного хаусдорфова пространства X. 1) X
паракомпактно. 2) В каждое открытое покрытие
пространства X можно вписать локально конечное
открытое покрытие. 3) В каждое открытое покрытие
пространства X можно вписать σ-л окально
конечное открытое покрытие, т. е.
открытое покрытие, распадающееся на счетное множество
локально конечных в X семейств множеств. 4) В
каждое открытое покрытие пространства X можно вписать
локально конечное покрытие (о строении элементов
к-рого не предполагается ничего). 5) Каково бы ни
было открытое покрытие γ пространства X, существует
открытое покрытие этого пространства, звездно
вписанное в γ. 6) В каждое открытое покрытие
пространства X можно вписать консервативное покрытие.
7) Каково бы ни было открытое покрытие у
пространства X, существует счетное семейство λι? λ2, . . .
открытых покрытий этого пространства такое, что для
каждой точки х£Х и каждой ее окрестности Ох
найдутся f/ζγ и номер г, удовлетворяющие условию:
каждый элемент покрытия λ,·, пересекающийся с Ох,
содержится в U (т. е. вся звезда множества Ох
относительно λζ· лежит в U). 8) Каково бы ни было открытое
покрытие ω пространства X, существует непрерывное
отображение / пространства X на нек-рое метрич.
пространство У, подчиненное условию: у каждой
точки пространства Υ существует окрестность,
прообраз к-рой при / содержится в элементе покрытия ω.
9) Пространство X коллективно нормально и слабо
ПараКОМПаКТНО. А. В. Архангельский.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — шестигранник,
противоположные грани к-рого попарно параллельны. П. имеет
8 вершин, 12 ребер; его грани представляют собой
попарно равные параллелограммы. + -»
Π. наз .прямым, если его боко- /^ У\
вые ребра перпендикулярны к пло- / / / /
скости основания (в этом случае 4 / / 11
боковые грани — прямоугольники); [/ j/
прямоугольным, если этот
П. прямой и основанием служит прямоугольник
(следовательно, 6 граней — прямоугольники); П., все грани
к-рого квадраты, наз. кубом. Объем П. равен
произведению площади его основания на высоту, всэ-з.
ПАРАЛЛЕЛИЗМ АБСОЛЮТНЫЙ — поле реперов
е= (еъ · · ·» еп) на многообразии. П. а. определяет
изоморфизм всех касательных пространств
многообразия М, при к-ром отождествляются векторы
касательных пространств ТрМ и TqM, имеющие
одинаковые координаты относительно реперов ер и eq. Это
задает на многообразии линейную связность уе с
нулевой кривизной. Параллельными полями
относительно этой связности являются тензорные поля,
имеющие постоянные координаты относительно поля
реперов е (в частности, векторные поля еъ . . ., еп
параллельны), а операция ковариантного
дифференцирования тензорного поля Τ по направлению
векторного поля X сводится к дифференцированию по
направлению поля X координат поля Τ относительно е.
Обратно, линейная связность ν с нулевой кривизной
на односвязном многообразии Μ определяет П. а. е,
если задан дополнительно репер ер нек-рого
касательного пространства ΤрМ'. П. а. е получается из репера
ер разнесением с помощью параллельного переноса
связности ν (параллельный перенос не зависит от
выбора пути, соединяющего две данные точки
многообразия, если связность имеет нулевую кривизну,
а многообразие односвязно).
С точки зрения теории G-структур П. а. является
{1} — структурой, где {1} — группа, состоящая из
одной единицы. Интегрируемость такой структуры
означает, что в окрестности любой точки
многообразия существует система координат х1\ для к-рой
е;—д/дх1, i=l, . . ., и. Для этого необходимо и
достаточно, чтобы векторные поля е±, . . ., еп попарно
коммутировали или, иначе говоря, чтобы тензор
кручения C=C)k связности v*> задаваемый формулой
[ey, efe]=C/feei·, был тождественно равен нулю. П. а.
наз. полным, если все векторные поля, имеющие
постоянные координаты относительно доля реперов,
полны или, что эквивалентно, если связность V*?
геодезически полна. В интегрируемом случае для этого
достаточно полноты векторных полей е1ч . . ., ew
Полный интегрируемый П. а. на односвязном
многообразии Μ задает на Μ структуру аффинного
пространства. Более обще, полный П. а. с ковариантно
постоянным тензором кручения С (C)k— const) на одно-

205
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ
ПЕРЕНЕСЕНИЕ
206
связном многообразии Μ с отмеченной точкой задает
на Μ структуру группы Ли со структурными
константами C)k, для к-рой ноля в( образуют базис
пространства левоинвариантных полей.
Группа автоморфизмов П. а. есть группа Ли,
свободно действующая на М. Известны необходимые и
достаточные условия того, чтобы две П. а. были
локально изоморфны (см. [3]). Они выражаются в
терминах тензора кручения и его ковариантных
производных.
Лит.: [1] Ρ а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и
тенворный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Номидзу К.,
Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960;
[3] С τ е ρ н б е ρ г С,, Лекции по дифференциальной
геометрии, пер. с англ., М., 1970. Д. В. Алексеевский.
ПАРАЛЛЕЛИЗУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ —
многообразие Μ размерности и, допускающее поле реперов
е= (eli . . ., еи), то есть η линейно независимых в
каждой точке векторных полей elt . . ., еп. Поле е задает
изоморфизм касательного расслоения τ: Τ Μ -> Μ
на тривиальное расслоение ε: RnxM -> Μ,
сопоставляющий касательному вектору ν ζ Τ ρΜ его
координаты относительно репера е\р и его начало. Поэтому
П. м. можно также определить как многообразие,
имеющее тривиальное касательное расслоение.
Примерами П. м. являются открытые подмногообразия
евклидова пространства, все трехмерные
многообразия, пространство произвольной группы Ли,
многообразие реперов произвольного многообразия. Сфера
Sn является П. м. только при п=1, 3, 7. Для
параллелизуемости 4-мерного многообразия необходимо и
достаточно обращение в нуль его второго характери-
стич. класса Штифеля — Уитни. В общем случае
равенство нулю всех характеристич. классов
Штифеля — Уитни, Чжэня и Понтрягина является
необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы
многообразие Μ было П. М. Д- В. Алексеевский.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — четырехугольник, у к-рого
стороны попарно параллельны (см. рис., а — г).
П. может быть также охарактеризован как выпуклый
η бег
четырехугольник при любом из следующих
признаков: 1) та и другая пара противоположных сторон
состоит из равных отрезков; 2) одна пара
противоположных сторон состоит из равных и параллельных
отрезков; 3) при противоположных вершинах той и
другой пары углы равны; 4) точка пересечения
диагоналей делит каждую из них пополам. Различные
виды П.: прямоугольник (б) — П., все углы к-рого
прямые; ромб (в) — П., все стороны к-рого равны;
квадрат (г) — равносторонний прямоугольник.
БСЭ-З.
ПАРАЛЛЕЛОТОП, и а р а л л е л о г ρ а н н и к,—
множество точек, радиус-векторы к-рых имеют вид
h = V. х1'а;,
со всевозможными значениями 0 <#''<: 1, l<i<p.
Здесь alt α2, . . ., ар — фиксированные векторы
^-мерного аффинного пространства А. Они наз.
образующими параллелотопа и совпадают с
нек-рыми ребрами П. Все остальные ребра П. им
параллельны. Если образующие П. линейно независимы
(зависимы), то П. наз. р-м е ρ ным, или
невырожденным (вырожденным). Вырожденный П.
является параллельной проекцией нек-рого р-мерного
П. на плоскость размерности /с<р—1. Невырожденный
П. определяет несущую его р-мерную плоскость. Такой
П. при р-=2 является параллелограммом, при р=3—
параллелепипедом.
Два невырожденных П. наз. параллельными,
если параллельны несущие их плоскости. У
параллельных П. можно сравнивать их р-мерные «объемы» (хотя
в пространстве А может и не быть метрики).
Количественной характеристикой отношения ρ-мерного
«объема» П. с образующими alf α2, . . ., ар к р-мерному
«объему» параллельного П. с образующими &1? &2»
. . ., Ър служит скаляр det(rcy), где (х)) —
(рХ/^-матрица перехода от (blf 62» · · ·» &р) к (αι> α2» · · ·» ар)> Τ·θ·
aj = 2^! fyi> К /<
ΡΕ ел и в пространстве А определено скалярное
произведение, то квадрат р-мерного объема П. с образующими
«!, . . ., ар равен определителю (рХр)-матрицы Грама
с элементами (a,·, aj).
Понятие П. тесно связано с понятием поливектора.
Лит.: [1] Широков П. Α., Тензорное исчисление,
Казань, 1961; [2] Беклемишев Д. В., Курс
аналитической геометрии и линейной алгебры, 3 изд., М., 1976; 13] Π и-
зо ГЛ., Заманский М,, Курс математики. Алгебра
и анализ, пер. с франц., М., 1971. Л. П. Купцов.
ПАРАЛЛЕЛОЭДР — многогранник, параллельным
перенесением к-рого можно заполнить пространство
так, чтобы многогранники не входили друг в друга
и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать
разбиение пространства. П. является, напр., куб или
правильная 6-угольная призма. Топологически
различных сеток ребер П. пять (см. рис.). Число их
граней: 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы многогранник
был П., необходимо и достаточно, чтобы он был
выпуклым многогранником одного из пяти указанных
топологич. типов и чтобы все его грани имели центры
симметрии. Центры П. образуют точечную решетку
(см. Вороного типы решеток). А. Б. Иванов.
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ — изоморфизм
слоев над концами х0 и хг кусочно гладкой кривой
L(x0i хг) базы Μ гладкого расслоенного пространства
Е, определяемый нек-рой заданной в Ε связностью;
в частности, линейный изоморфизм касательных
пространств Тх (М) и TXl(M)j определяемый вдоль
кривой L ζ Μ нек-рой заданной на Μ аффинной
связностью. Развитие понятия П. п. началось с обычного
параллелизма на евклидовой плоскости Е2, для к-рой
Ф. Миндинг (F. Minding, 1837) указал возможность
обобщить ее на случай поверхности Μ в Е% с помощью
введенного им понятия развертывания кривой L£M
на плоскость Е%. Это указание Миндинга послужило
отправным пунктом для Т. Леви-Чивита [1], к-рый,
оформляя аналитически П. п. касательного вектора
на поверхности, обнаружил зависимость его только от
метрики поверхности и на этой основе обобщил его
сразу на случай тг-мерного риманова пространства (см.
Леви-Чивита связность). Г. Вейль [2] положил понятие
П. п. касательного вектора в основу определения аф-

207
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ
208
финной связности на гладком многообразии М.
Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием
общей теории связностей.
Пусть на гладком многообразии Μ задана аффинная
связность с помощью матрицы локальных форм
связности:
о>< = Tlk (х) dx*, ω) = V)n (χ) ω*, det | Τ[ | φ 0.
Говорят, что вектор Χ0ζΤΧο(Μ) получен
параллельным перенесением из вектора
^ι ζ ΤΧι (Μ) вдоль гладкой кривой L (х0, хг) ζ Μ, если
на L существует гладкое векторное поле X,
соединяющее Х0 и Xlt такое, что ууХ=0, где Υ — поле
касательного вектора кривой L, а τίγΧ — ковариантная
производная ноля X относительно У, определяемая
формулой
ω** (νγΧ) = Υώ (Χ)+ω[ (У) ω* (Χ).
Таким образом, координаты ζι'=ωι* (Χ) поля X должны
удовлетворять вдоль L системе дифференциальных
уравнений
Из линейности этой системы следует, что П. п. вдоль
L определяет нек-рый изоморфизм между ТХо(М) и
Тх (М). П. п. вдоль кусочно гладкой кривой
определяется как суперпозиция П. п. вдоль ее гладких
кусков.
Автоморфизмы пространства ТХ(М), определяемые
П. п. вдоль замкнутых кусочно гладких кривых L(x, x),
образуют линейную голономии группу Фх; при этом Фх
и Фх, всегда сопряжены между собой. Если Фх
дискретна, т. е. ее компонента единицы одноэлементна, то
говорят об аффинной связности с (локальным)
абсолютным параллелизмом векторов, или о (локально)
плоской связности. Тогда П. п. при любых
х0 и хг не зависит от выбора линии L(x0, xx) из одного
класса гомотопии; для этого необходимо и достаточно
равенство нулю тензора кривизны связности.
На основе П. п. вектора определяется П. п. ковектора
и, вообще, тензора. Говорят, что поле ковектора θ
на L совершает параллельное
перенесение, если для любого векторного поля X на L,
совершающего П. п., функция ό(Χ) постоянна вдоль L.
Вообще, говорят, что поле тензора 7\ напр. типа (2, 1),
совершает параллельное перенесение
вдоль L, если для любых X, У и Θ, совершающих
.11. п., функция Т(Х, У, Θ) постоянна вдоль L. Для
этого необходимо и достаточно, чтобы компоненты
Τ β удовлетворяли вдоль L системе дифференциальных
уравнений
После введения Э. Картаном [31 пространств
проективной и конформной связностей в 1920-х гг. и
общей концепции связности на многообразии понятие
П. п. получило более общее содержание. В наиболее
общем смысле оно понимается теперь при
рассмотрении связностей в главных расслоенных
пространствах или присоединенных к ним пространствах.
Существует способ определения самого понятия
связности с помощью понятия П. п., к-рое тогда
определяется аксиоматически. Связность, однако, может быть
задана горизонтальным распределением или нек-рым
другим эквивалентным способом, напр. связности
формой. Тогда для каждой кривой L(x^ х^) базы Μ
определяются ее горизонтальные поднятия как
интегральные кривые горизонтального распределения над
L. П. п. наз. тогда отображение, к-рое концам этих
понятий в слое над хг ставит в соответствие их другие
концы в слое над xQ. Аналогично определяются понятия
группы голономии и (локально) плоской связности;
последняя также характеризуется равенством нулю
кривизны формы.
Лит.: [1] L e v i - С i v i t а Т., «Rend. Circolo mat.
Palermo», 1917, t. 42, p. 173—205; [2] Weyl H., Raum, Zeit,
Materie, 5 Aufl., В., 1923; [3] С а г t a n Ε., «Acta math.», 1926,
t. 48, p. 1—42; [4] Номидзу К., Группы Ли и
дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; [5] Ρ а ш е в-
с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд.,
М., 1967. Ю. Г. Лумисте.
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПОЛЕ, ковариантно
постоянное поле,— поле тензоров А на
многообразии Μ с линейной связностью у, инвариантное
относительно параллельного перенесения вдоль кривых
на М. Это означает, что для любых точек р, q ζ Μ тензор
Ар (значение тензорного поля А в точке р) при
параллельном перенесении в точку q вдоль любой гладкой
кривой, соединяющей точки ρ и ςτ, переходит в тензор
Поле тензоров А будет параллельным тогда и только
тогда, когда его ковариантная производная по
направлению любого векторного поля X тождественно
равна нулю: ^χΑ = 0 или, иначе, когда ковариантный
дифференциал DA поля А равен нулю.
Множество Π(Λί, ν) параллельных полей образует
подалгебру алгебры всех тензорных полей на много -
| образии М, инвариантную относительно сверток
тензорных полей и перестановок их индексов. Алгебра
П(М, V) естественным образом изоморфна алгебре
тензоров в фиксированной точке ρ многообразия М,
инвариантных относительно однородной группы голо-
| номии Τ ρ связности ν Β точке р. Для связности с
полной группой голономии r=GL(?2, R), где п=
= dimM, алгебра Π(Λί, у) порождается символом
Кронекера б/, для римановой связности с группой
голономии О (п) — метрич. тензором g= (g/y) и
обратным к нему тензором g~1== (gV), а для римановой
связности с группой голономии SO (л) — тензорами
g, g*1 и л-формой объема. Описаны также образующие
алгебры параллельных дифференциальных форм на
произвольном пространстве линейной связности без
I кручения с любой неприводимой группой голономии
[5].
Особый интерес представляют П. п.
дифференциальных форм в римановом многообразии со связностью
Леви-Чивиты. С каждой такой формой ω ассоциируется
(с помощью операции свертки) ряд линейных
операторов в пространстве дифференциальных форм,
перестановочных с оператором Бельтрами — Лапласа Δ,
напр. операторы внутреннего и внешнего умножения
на форму ω или операторы ортогонального
проектирования на инвариантные относительно группы
голономии подпространства пространства
дифференциальных форм. Изучение этих операторов позволяет
получить оценки для размерностей пространств
гармония, форм различных степеней, т. е. (в компактном
случае) для чисел Бетти многообразия Μ (см. [4]).
Наиболее содержательная теория (см. Ходжа теорема)
развита для кэлеровых и кватернионных римановых
пространств, в к-рых всегда имеется П. п. 2-форм и,
соответственно, 4-форм. Любая параллельная
дифференциальная форма в римановом пространстве
гармонична. В компактном симметрическом римановом
пространстве верно и обратное: любая гармония,
форма параллельна. Поэтому кольцо вещественных
когомологий компактного симметрич. пространства
I изоморфно кольцу параллельных дифференциальных
форм.
Поле тензоров А является П. п. относительно нек-рой
линейной связности у тогда и только тогда, когда
оно инфинитезимально однородно, т. е.
когда в каждой точке ρ многообразия Μ существует
| репер, относительно к-рого тензор Ар имеет фикси-

не зависящие от
209
рованные координаты А1> '" гК
точки р. В этом случае множество реперов,
относительно к-рых тензоры Ар, ρ ζ Μ, имеют координаты
а)\ [[[ ψ·> образует G-структуру, т. е. главное подрас-
слоение Ρ {А) расслоения реперов со структурной
группой G, являющейся стабилизатором точки Ар при
действии группы GL(n, R) в пространстве тензоров.
Поле А параллельно относительно любой связности
в G-структуре Ρ (А). В частности, любое сечение
расслоения Ρ (А) (если оно существует) задает связность
с нулевой кривизной, относительно к-рой поле А
параллельно.
Более сложным является вопрос о существовании
связности без кручения, относительно к-рой данное
инфинитезимально однородное поле параллельно. Если
поле А является псевдоримановой метрикой, то такая
связность (связность Лев и-Ч и в и τ а) всегда
существует и единственна. Оказывается, что этот
случай является исключительным: если для нек-рого
тензорного поля А существует единственная связность
без кручения, относительно к-рой оно параллельно,
то структурная группа G G-структуры Ρ (А) является
псевдоортогональной группой и, следовательно, с
полем А канонич. образом ассоциируется псевдорима-
нова метрика [7]. Для широкого класса
инфинитезимально однородных тензорных полей А наличие
связности без кручения, относительно к-рой поле
параллельно, влечет за собой интегрируемость поля Л, т. е.
существование локальной системы координат, в к-рой
координаты поля А постоянны. Это верно, напр., для
почти комплексной структуры, почти симплектич.
структуры и для любого поля А, для к-рого
структурная группа G расслоения Ρ (А) неприводима и не
принадлежит известному списку неприводимых групп
голономии пространств линейной связности без кру
чения [5].
Лит.: [1] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы
дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1—2, М., 1981; [2]
Лихнерович Α., Теория связностей в целом и группы
голономии, пер. с франц., М., 1960: [3] Чжэнь Ш э н-
ш э н ь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961;
[4] С hern S. S., в кн.: Algebraic geometry and topology.
A symposium m honor of S. Lefschetz, N. Y., 1957, p. 103—21;
[5] В e r g e r M., «Bull. Soc. math. France», 1955, t. 83, p. 279—
330; [6] К о b а у a s h i S., Transformation groups in
differential geometry, В.—Hdlb.^N. Y., 1972: [7] К о b а у a s h i S.,
Nagano Т., «J. Math. Soc. Japan», 1965, v. 17, № 1, p. 84—
101. Д. В. Алексеевский.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ АКСИОМА — аксиома,
определяющая соотношение параллельности в различных
геометриях. См. Параллельные прямые, Пятый
постулат.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ — диффеоморфные
гладкие линии в пространстве, имеющие в
соответствующих точках параллельные касательные. Таковы,
напр., гладкие компоненты эквидистантных линий на
плоскости (см, Эквидистанта) — они
характеризуются тем, что расстояние между соответствующими
точками равно расстоянию между соответствующими
касательными. Пример П. л. в трехмерном
пространстве: если две поверхности находятся в Петерсона
соответствии и имеют общую сопряженную сеть,
то линии этой сети имеют параллельные касательные.
П. л. пространства Еп, имеющие параллельные
нормали до порядка т</г<я, расположены в нек-ром
подпространстве Еп~т.
Для линейного семейства плоских выпуклых П. л.
(т. е. выпуклых линий, радиус-вектор к-рых линейно
зависит от параметра ε) справедлива теорема
Брунна-Минковского: площадь области,
ими ограниченная, является вогнутой функцией
параметра ε.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
210
Обобщение понятия параллельности на случай
линий, расположенных в группах Ли, получается с
помощью понятия эквиполлентности векторов.
Д. Д. Соколов.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ —
диффеоморфные, одинаково ориентированные поверхности Fx и F2,
к-рые имеют в соответствующих точках параллельные
касательные плоскости, причем расстояние h между
соответствующими точками Fx и F2 постоянно и равно
расстоянию между соответствующими касательными
плоскостями. Радиус-векторы гх и г2 П. п. F1 и F2
связаны соотношением: г2—r1=hn, где η — единичный
вектор нормали, один и тот же для Fx и F2.
Таким образом, можно определить однопараметрич.
семейство Fh поверхностей, параллельных данной
F—FQ, причем регулярность Fh имеет место для
достаточно малых значений h, удовлетворяющих
неравенству
w(h) = i — 2Hh + Kh2 >0.
Значениям корней hi и h2 уравнения w(h)=Q
соответствуют поверхности Fhx и Fhi, являющиеся
эволютами поверхности F, так что П. п. имеют общую
эволюту. Средняя Н^ и гауссова Kh кривизны
поверхности Fh, параллельной F, связаны с
соответствующими величинами Η η К для F соотношениями
H-Kh
Hh
w (h)
Kh
К
w (h)
линии кривизны П. п. соответствуют друг другу, так
что между ними имеется соответствие Комбескюра,
являющееся частным случаем Петерсона соответствия.
И. X. Сабитов.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ в евклидовой
геометрии — прямые, к-рые лежат в одной
плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В
евклидовой геометрии существует только одна такая
прямая. Этот факт
равносилен пятому
постулату Евклида (о
параллельных). В
Лобачевского геометрии в плоскости
через точку С (см. рис.)
вне данной прямой А В
проходит бесконечное
множество прямых, не
пересекающих А В. Из них параллельными
к АВ наз. только две. Прямая СЕ наз. параллельной
прямой А В в направлении от Л к В, если 1) точки В
и Ε лежат по одну сторону от прямой АС; 2) прямая
СЕ не пересекает прямую А В; всякий луч,
проходящий внутри угла АСЕ, пересекает луч АВ.
Аналогично определяется прямая CF, параллельная к АВ
в направлении от В к А. БСЭ-з.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС — частный случай
движения, при к-ром все точки пространства
перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же
расстояние. Иначе, если Μ — первоначальное, а М' —
смещенное положение точки, то вектор ММ' — один
и тот же для всех пар точек, соответствующих друг
другу в данном преобразовании.
На плоскости П. п. выражается аналитически в
прямоугольной системе координат (х, у) при помощи
формул
х = х-\-а, У = у-\-Ъ,
где вектор ММ'—(а, Ъ).
Совокупность всех П. п. образует группу, к-рая в
евклидовом пространстве является подгруппой группы

211 ПАРАМЕТРА ΒΑ
движений, а в аффинном — подгруппой группы
аффинных преобразований. Л. Б. Иванов.
ПАРАМЕТРА ВАРИАЦИИ МЕТОД — метод
приближенного решения нелинейных (и линейных)
функциональных и операторных уравнений в банаховых
пространствах у= Ρ (χ), χ ζ Χ, у ζ Υ, а также для
качественных исследований. П. в. м. состоит в том, что
уравнение Р(х)=0, где оператор Ρ (χ) непрерывно
дифференцируем по Фреше до нужного порядка, или нек-рый
нелинейный функционал Φ (χ), связанный с решением
этого уравнения, обобщаются путем введения
вспомогательного числового (или общего
функционального) параметра λ, принимающего значения на
конечном или бесконечном промежутке λ0<λ<λ*, так:
F(x, λ)=0, где F(x, λ), χζΧ, λ0<:λ<λ*,— оператор
со значениями в У, так что Р(х)=0 получается при
λ^-λ* : F(x, λ*)=Ρ(χ), а уравнение F(x, λ0)=0
легко разрешается или известно его решение х0. При этом
предполагается, что оператор F(x, λ) непрерывно
дифференцируем (в смысле Фреше) по χ и λ, τ. е.
существуют непрерывные частные производные F'x(x, λ)
и F\(x, λ), и что существует непрерывный оператор
Г (г, h)=[F'x(x, λ)]-1 из У в X. Для построения
решения .г (λ) уравнения F(x, λ)=0 на всем интервале λ0<:
<:λ<λ* строится соответствующая дифференциальная
задача (задача Коши) в предположении, что χ (λ)
непрерывно дифференцируемая функция со значениями
в X, определяемая этим уравнением:
F'*(x> λ)^ + /Γ^(^, λ) = 0, χ{λ0) = χ{), (1)
или
ί*ϊ=_Γ(.τ, K)F'k(x, λ), *(λ0)=χ0. (2)
Интервал [λ, λ*] разбивается точками λ0<λ1<λ2<
<. . . <λ„=λ* на более мелкие подинтервалы длины
/λ^=λ^—λ^_χ, /с=1, 2, . . ., η, и к задаче Коши (2)
(или (1)) применяются методы численного
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
с шагом hk (или несколько таких методов). В
результате для построения решения χ (λ) уравнения F(x, λ)=0
получаются П. в. м. соответствующих типов.
Построенное значение х(к*) будет решением уравнения Р(х)=0.
Решение на каждом шаге линейных относительно jr
задач вида (1) или обращение линейных операторов
F'x(x, λ) в (2), или последовательная аппроксимация
обратного оператора Г (ж, λ) проводятся различными
методами или опять-таки П. в. м.
Шаги Н^ выбираются различными способами, напр.
из условия минимума нормы невязки \\Р (;zfe + i)|| как
функции многих, вообще говоря, переменных. При
этом эффективным является также совместный выбор
h^ и свободных параметров метода численного
интегрирования, напр. Руте — Кутта метода s-το
порядка точности, использование корней полиномов
Чебышева и близких к ним и др.
Задача Коши (2) служит не только средством для
определения приближенного решения
рассматриваемого уравнения, но и для доказательства
существования самого решения. Изучен ряд различных
способов введения параметра λ. В качестве числового
параметра λ может быть использован также и один из
естественных параметров, содержащихся в
рассматриваемой задаче.
В зависимости от способа введения параметра λ
П. в. м. является прямым или итерационным методом.
Совместное применение прямого и итерационного
методов наз. комбинированным П. в. м. Напр.,
итерационный метод типа усовершенствованного метода
212
Эйлера — Коши с шагом hk— 1 (при F(x, λ) —Ρ (χ) —
— (1—λ)Ρ(τ0), λ0—0 и λ* —1) является методом 3-го
порядка точности и имеет следующий вид:
*/ + ί =*1~γ [Г (*/) + Г (*,-Г (xt) Ρ (xi))\ P (a,),
i = 0, 1, 2, ...; г (*) = [/" ИГ1·
Каждый метод численного интегрирования порождает
свой итерационный П. в. м. высокого порядка
точности, причем без привлечения производных Ρ (χ)
порядка выше первой.
Использование методов численного интегрирования
в прямом П. в. м. совместно с корректировкой
результатов после каждого шага с помощью итерационного
П. в. м. (комбинированный П. в. м.) представляет
собой один из наиболее эффективных методов решения
нелинейных задач.
П. в. м. достаточно хорошо разработан и исследован
для широкого класса задач. Первоначально он был
предложен для систем алгебраич. и трансцендентных
уравнений, интегральных уравнений,
дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными
производными, а затем для решения более общих нелинейных
и операторных уравнений. Изучены условия, при
к-рых гарантируется разрешимость уравнения Р(х)-=--0
и возможность построения его решения
интегрированием задачи Коши (2) на интервале [λ0, λ*] и
установления области его расположения. Изучены условия
сходимости и даны оценки погрешности. Исследованы
также вопросы применения П. в. м. для обращения
и псевдообращения линейных операторов, построения
псевдорешений (и решений) линейных
функциональных уравнений с минимальным уклонением по норме
(в заданном подпространстве) от начального значения,
суммирования операторных рядов и построения нек-рых
классов проекторов, определения начальных
приближений для итерационных процессов, решения
операторных дифференциальных уравнений и задач
линейной алгебры, для доказательства разрешимости
нелинейных систем, связанных с вариационными задачами,
и построения их решений, минимизации функционалов
и многих других. Изучены обширные классы
эффективных модификаций П. в. м., в том числе и с
последовательной аппроксимацией обратного оператора Г (χ, λ)
или Г (я). Изучены также широкие классы задач
ветвления и нелинейные задачи на собственные
значения. (Впрочем, случай ветвления может быть
блокирован другим способом введения параметра λ или
путем введения дополнительного параметра τ.) П. в. м.
исследован также как метод «градиентного» типа, а
также без предположения существования Г (.г).
См. также Продолжения по параметру метод.
Лит. [1] Давиденко Д. Ф, «Докл. АН СССР», 1953,
т. 88, № 4, с. 601—02; [2] его же, «Укр. матем. ж.», 1955,
т. 7, с. 18—28, [3] Г а в у ρ и н М. К., «Изв. ВУЗов.
Математика», 1958, № 5, с. 18—31, [4] Поляк Б. Т., «Ж. вычисл.
матем. и матем. физ.», 1964, т. 4, № 6, с. 995—1005; [5] Дав и-
д е н к о Д. Ф., «Докл. АН СССР», 1965, т. 162, № 3, с. 499—
502; [6] Μ и χ л и н С. Г., Численная реализация
вариационных методов, М., 1966; [7] Kleinmichel H., «Math.
Nachr.», 1968, Bd 37, Η. 5/6, S. 313—43; [8]
Красносельский Μ. А. [и др.]. Приближенное решение операторных
уравнений, М., 1969; [9J Лика Д. К., Ш а фи ев Р. Α.,
«Изв. АН Молд. ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук», 1970,
№ 2, с. 13—18; [10] Жидков Е. П. [и др.], «Физика
элементарных частиц и атомного ядра», 1973, т. 4, в. 1, с. 127—66;
[И] Давиденко Д. Ф., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.»,
1975, т. 15, Μ 1, с. 30—47; [12] О ρ тега Дж., Ρ е й н-
б о л д т В., Итерационные методы решения нелинейных систем
уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975,
[13] Келлер Г., в кн. Методы вычислительной и
прикладной математики, в. 2, Новосиб., 1977, с. 6—36; [14]
Давиденко Д. Ф., в кн.: Математическое программирование и
смежные вопросы. Вычислительные методы, М., 1976, с. 187—
212; [15] Коляда Ю. В., Си го рений В. П.,
«Кибернетика», 1980, № 3, с 24—28. Д. Ф. Давиденко.
ПАРАМЕТРИКСА МЕТОД — один из методов
изучения краевых задач для дифференциальных урав-
>ИАЦИИ МЕТОД

213 ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ МЕТОД
нений с переменными коэффициентами с помощью
интегральных уравнений.
Пусть в какой-либо области G /^мерного евклидова
пространства Rn рассматривается эллиптич.
дифференциальный оператор порядка т
, аа (х) Da .
214
м*,/>)=2|а
| а I < m
(1)
В равенстве (1) символом α обозначен мультииндекс
а= (а1? а2, . . ., а„), где ау — неотрицательные целые
числа, |α| = αι+. . .+απ, Da=D«K . .D«», D;=-i-^ .
Каждому оператору (1) сопоставляется однородный
эллиптич. оператор
L0(x0l D)^]a\ = maa{Xo)Da
с постоянными коэффициентами, где x0£G —
произвольная фиксированная точка. Пусть г(х, х0)
обозначает фундаментальное решение оператора L0(x0, D),
параметрически зависящее от я0, тогда функция ε (я, #0)
наз. параметриксом оператора (1) с
особенностью в точке х0.
В частности, для эллиптич. оператора 2-го порядка
L^D)=Xtj^j(-)^+
в качестве параметрикса с особенностью в точке у
может быть взята функция Л ев и:
ε(χ, у) =
I 1 [Λ (х, у)]2-", η > 2,
* 1пЯ(*, у)ч п = 2.
V 2πΚΛ(ι/)
(2)
В равенстве (2) ωη=2πη/2/Γ (η/2), А (у)
тель матрицы ||а/у(у)||,
определи-
Αϊ J (У) (Xi — Vi) (xj — yj),
А ;Лу) — элементы матрицы, обратной к матрице \\aij(y)\\.
Пусть Sх — интегральный оператор
(Sx04>) (*) = \ g 8 (*~~ У' *о) φ (i/' d'V? (3)
действующий на функциях из C™(G), и
TX9 = SXulL0(z0, D)-L(x9 D)].
Поскольку, в силу определения фундаментального
решения,
L0 (x0, D) SXo = SXqL0 (х0, />)=/,
где / — тождественный оператор, то
I = SXtL(x, D) + Txt.
Это равенство означает, что для каждой достаточно
гладкой и финитной в области G функции φ
справедливо представление
cp = SX0L(x, D)cp + TXoq> (4)
и, кроме того, если
то φ является решением уравнения
L(x, Ζ>)φ = /.
Таким образом, вопрос о локальной разрешимости
уравнения L<p=f сводится к вопросу об обратимости
оператора 1—ТХп.
Если применять оператор ТХо к функциям φ, к-рые
обращаются в нуль вне шара радиуса R с центром в
точке .т0, то при достаточно малом R норма оператора
Тх может быть сделана меньше единицы. Тогда будет
существовать оператор (1—Тх^~1 и, следовательно,
оператор E=(I—Tx^1SXq, к-рый является обратным
к оператору L(x, D). Оператор Ε является
интегральным оператором, ядро к-рого представляет собой
фундаментальное решение оператора L(x, D).
Параметриксом иногда наз. не только функцию
ε (.г, я0), но и интегральный оператор SXq с ядром
ε (ж, ж0), определенный равенством (3).
В теории псевдодифференциальных операторов
вместо оператора SXq параметриксом оператора L(x, D)
наз. оператор S такой, что I—L(x, D)S и I—SL(x, D)
являются интегральными операторами с бесконечно
дифференцируемыми ядрами. Если же таким
оператором является лишь оператор I—SL (или /—Λ5),
то S наз. левым (соответственно правым)
параметриксом оператора L{x, D). Иначе говоря, оператор SX{)
в равенстве (4) является левым параметриксом, если
оператор Тх в этом равенстве имеет бесконечно
дифференцируемое ядро. Если у оператора L(x, D)
существуют левый параметрикс S' и правый параметрикс S",
то каждый из этих операторов является
параметриксом. Существование параметрикса доказано для гипо-
эллиптических псевдодифференциальных операторов
(см. [3]).
Лит.: [1] Б ер с Л., Джон Ф., Шехтер М.,
Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [2]
Миранда К., Уравнения с частными производными
эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] X ё ρ м а н-
дер Л., в сб.: Псевдодифференциальные операторы, М.4 1967.
ДО. А. Алимов,
ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ МЕТОД — метод в геометрия, теории
функций комплексного переменного, использующий
для решения экстремальных задач в классах функций
представление этих классов с помощью интегралов,
зависящих от параметров.
К таким классам относятся Каратеодори класс,
класс однолистных звездообразных в круге функций,
класс типично вещественных функций. Функции этих
классов имеют параметрич. представление, содержащее
интеграл Стилтьеса
γαΒ(ζ, ί)άμ(ί)
с заданными действительными числами а, Ь и функцией
g(z, t) (ядро класса), \*>(t)£Ma>b, гДе ^а, 1> ~~ класс
функций, не убывающих на промежутке [а, Ь], μ(δ)—·
—μ(α)=1(μ — параметр класса).
Для классов функции, имеющих параметрич.
представление с помощью интегралов Стилтьеса, получены
вариационные формулы, к-рые при решении
экстремальных задач в этих классах показывают, что
экстремальная функция имеет вид
/(*)=ΣΓ=ιλ**(*· **)^*^0'27=1Х*=1'
гДе **6la» &1» причем указывается значение т (см. [1]
гл. 11; [3]).
При нахождении областей значений функционалов
и систем функционалов на таких классах иногда
полезны следующие теоремы.
1) Множество В точек χ— (хи .т2, , , ., аг„) /7-мерного
евклидова пространства R", допускающих
представление
auk(t)d\i(t), A = l, 2, ... и,
где uk(t) — фиксированные непрерывные на [а, Ь]
действительные функции и μ(0(:^α,&> совпадает с

215 ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ П
замкнутой выпуклой оболочкой R (U) множества U
точек
xk==uk(t)i /с = 1, 2, ..., η, a^t<^b
(теорема Рисе а).
2) Каждая точка х= (хи x2t . . ., xn)£R(U)aRn
может быть представлена в виде
** = Σ/1=ιν*^' Λ = 1» 2'···' Λ'
где λ7·>0, /—1, 2, . . ., т, Σ/2»ιλ^=1, т</г+1, а если
x£dR(U), то m<Ai (теорема К а р а т е о д о ρ и).
3) Для того чтобы существовала, по крайней мере,
одна неубывающая функция μ(ί), а<£<Ь, такая, что
где
m>i (0=i. wk (*)="* (0 + *у* (0; и* (0. *>* (0. * == *. 2. · · ·»w»
— заданные действительные непрерывные на [а, 6]
функции, γι>0, yk — заданные комплексные числа,
необходимо и достаточно, чтобы всякий раз, когда при
нек-рых комплексных числах аи а2, . . ., а„
выполняется неравенство
2jLi l06*"'* (0+0*^(01^0, α<ί<6,
имело место также и неравенство
(теорема Рисе а).
Приведенные теоремы позволили дать геометрич.
и алгебраич. характеристики областей значений
систем коэффициентов и отдельных коэффициентов на
классах функций, регулярных и имеющих
положительную действительную часть в круге (кольце),
регулярных и типично вещественных в круге (кольце) и на
нек-рых других классах (см. [1] Добавление; [4], [5]).
Лит.: [1J Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] К ρ ейн
М. Г., «Успехи матем. наук», 1951, т. 6, в. 4, с. 3—120; Ϊ3]
Лебедев Η. Α., Александров И. Α., «Тр. Матем.
ин-та АН СССР», 1968, т. 94, с. 79—89; [4] Г о л у з и н а Е. Г.,
там же, с. 33—46; [5] ее ж е, «Зап. науч. семинаров Ленингр.
отделения Матем. ин-та АН СССР», 1972, т. 24, с. 29—62; 1974,
т. 44, с. 17—40; 1980, т. 100, с. 17—25. Е. Г. Голузина.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
МЕТОД — метод теории функций комплексного
переменного, возникший из параметрического
представления однолистных функций и базирующийся большей
частью на Лёвнера уравнении и его обобщениях (см.
[1]). Самим К. Лёвнером (К. Lowner) П. п. м.
использовался на классе S всех регулярных однолистных
в единичном круге функций w=f(z), /(0)=0, /'(0)=1,
для оценки коэффициентов разложений
W=Z + C2Z2+ ...+C„2«+ ...
2 = /-i (w) = w + b2w2-\- ... +bnwn+ ...
(см. Бибербаха гипотеза). Затем П. п. м.
систематически применял Г. М. Голузин при решении проблем
искажения, вращения, взаимного роста и других
геометрич. характеристик отображения w=f(z)i
связанных со значениями / (z0) и /' (z0) при фиксированном
ζ0, Ιζ0|<1.
П. п. м. связан с теорией оптимальных процессов.
Эта связь базируется на том факте, что аналитически
все упомянутые выше задачи формулируются как
экстремальные задачи для управляемой системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемой из
уравнения Лёвнера. Использование принципа
максимума Понтрягина (см. Понтрягина принцип
максимума) и изучение свойств функции Понтрягина
подставлений метод 216
зволяют изучить ряд новых задач на классе S и его
подклассах вплоть до их полного решения либо
получить результаты, сравнимые (напр., в проблеме
Бибербаха) с результатами, найденными другими
методами (см. [1] п. 74).
Лит.: [1] Александров И. Α., Параметрические
продолжения в теории однолистных функций, М., 1976.
В. И. Попов.
ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — раздел теории обыкновенных
дифференциальных уравнещш, изучающий явление па-
раметрич. резонанса.
Пусть S — нек-рая динамич. система, способная
совершать лишь колебательные движения и
описываемая гамильтоновой системой линейной
(невозмущенным уравнением)
Jx = H0x (j=\°r ~[kL H*0=H0)
\ W'k и II /
с постоянным действительным гамильтонианом Я0.
Таким образом, (2/сХ 2/с)-матрица /_1Я0 приводится
к диагональному виду с чисто мнимыми элементами
ίων (ν=Τ Ι,'··., Τ Α:, ω_ν = —ων),
Ι ων I — собственные частоты системы. Пусть нек-рые
параметры системы S начинают периодически
изменяться с частотой ΰ,>0 и малыми амплитудами,
значения к-рых определяются малым параметром ε>0.
Если возбуждения не выводят из класса линейных га-
мил ьтоновых систем, то движение системы S будет
описываться возмущенным уравнением
Jx = [Η0 + εΗύ (Щ + е*Н2 № + ...] *, (1)
где H/(s+2n)=HJ(8)=H/(8)*, /=1, 2, . . ., суть
кусочно непрерывные, интегрируемые в (0,2π) (2/сХ 2к)-
матрицы-функции, и ряд в правой части (1) сходится
при е<г0, где г0 не зависит от t.
Возникновение неограниченно возрастающих
колебаний системы S при сколь угодно малом периодич.
возмущении нек-рых ее параметров наз.
параметрическим резонансом. Параметрич.
резонанс имеет две существенные особенности: 1) спектр
частот, при к-рых возникают неограниченно
возрастающие колебания, не является точечным, а состоит из
совокупности малых интервалов, длины к-рых зависят
от амплитуды возмущений (т. е. от ε) и к-рые
стягиваются в точку при ε -*- 0; значения частот, к к-рым
стягиваются эти интервалы, наз. критическими;
2) колебания нарастают не по степенному, а по
экспоненциальному закону. Этим параметрич. резонанс
намного «опаснее» (или «полезнее», в зависимости от
задачи) обычного резонанса.
Пусть шь . . ., ш/г — собственные значения 1-го
рода, перенумерованные так, что ω!<ω2<. . .<cofe.
Тогда критическими могут быть лишь частоты вида
Φ(#>=-^Ιω/ + ωΑΐ» '» Λ = 1, ..., к; то = 1, 2, ... (2)
Пусть собственные векторы /v матрицы J~1HQ1 для
к-рых J-1H0fv = io)vfv » ν=τί» · · ., Тк, нормированы
так, что
4-f/v.fr) = fWsignv, ν, μ=Τ 1, ..., Τ к,
где 6νμ — символ Кронекера, а
Тогда области неустойчивости в первом приближении
по ε определяются неравенствами
*/Γ + μιβ+ . · · < θ < θ/Γ + μ2ε+ ... , (3)

217
где
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
218
μι.2-=4-(χ_/_/+χΛΛΤ2|χ_/Λ|),
x-y_y=(tfi0)/-,·,/-/), χΛΛ=(Μ°>/Λι /А),
(4)
Χ
/л
:(ЯГ/-/,/Л).
Если ;=h, то область неустойчивости отвечает
основному резонансу, при j фЪ, —
комбинационному резонансу. Величина Ιχ-y/J
характеризует «степень опасности» критич. частоты
fl/XV· чем больше эта величина, тем шире «клинышек»
неустойчивости (3) с острием в точке &fii\
Установлена аналитич. зависимость границ областей
неустойчивости от параметра ε и получены эффективные
формулы для вычисления областей (3) во втором
приближении (см. [3], [4]).
В часто встречающемся в приложениях случае,
когда возмущенная система S описывается векторным
уравнением 2-го порядка
У + [Ρο + εΡι (θί) + ε2Ρ2 (Щ+ ...] у =0, (5)
где PZ = P0>0iiPJ(s)* = P/(s)=P/(s+2n)J=i,2, . . .,
собственные векторы и собственные значения (квадраты
частот невозмущенной системы) матрицы Р0 определяют
формулами
Ρ0ακ = ωκακ,
(ωχ + ωλ)Κ· αλ) = δκλ, κ, λ = 1, ..., к.
Пусть
Тогда формулы (2) и (4) примут вид
χ**=(*ίβ)«*. αΑ), χ_/Λ = (ί»Γ«/, ак)
соответственно. В частности, в базисе еь . . ., ek,
где Р0 диагональна:
/,o = diag(pi, ..., pk)
и
'"'К**
имеет место:
ωκ=+ Vpk, flx = ,/-s—g*> κ==1> ···» *ι
и, следовательно (см. [5]):
1 .(о)
X.
/7Γ
2 j/Oy^
-π#>.
Рассмотрен случай нелинейной зависимости
коэффициентов уравнений (1) и (5) от параметра 1/ft (см.
[4]). Изучен параметрич. резонанс в линейных
системах, близких к гамильтоновым (см. [6]). Здесь
областям основного резонанса предшествуют области
главного резонанса, а наряду с областями
комбинационного резонанса появляются области комбинационно-
разностного резонанса. Для параметрич. резонанса в
линейных распределенных системах (см. [7]) получен
ряд аналогичных результатов для операторных
уравнений (1) в гильбертовом пространстве. Исследовался
параметрич. резонанс для нек-рых классов систем с
конечным числом степеней свободы, описываемых
нелинейными дифференциальными уравнениями (см. [8]).
Лит.: [1] Крейн М. Г., в кн.: Памяти Александра
Александровича Андронова, М., 1955, с. 413—98; [2J
Якубович В. Α., «Докл. АН СССР», 1958, т. 121, №4, с. 602—05;
[3] его ж е, в кн.: Методы вычислений, в. 3, Л., 1966, с. 51 —
69; [4] Якубович В. Α., С τ а р ж и н с к и й В. М.,
Линейные дифференциальные уравнения с периодическими
коэффициентами и их приложения, М., 1972; [5] Μ а л к и н И. Г.,
Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956;
Еб] Старжинский В. М., «Инженерный ж. Механ.
тверд, тела», 1967, т. 3, с. 174—80; [7] Фомин В. Н.,
Математическая теория параметрического резонанса в линейных
распределенных системах, Л., 1972; [8] Шмидт Г.,
Параметрические колебания, пер. с нем., М., 1978.
В. М. Старжинский.
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ в τ е о-
рии однолистных функций —
представление однолистных функций, осуществляющих
конформное отображение плоских областей на области
канонич. вида (напр., на круг с концентрич.
разрезами); оно возникает обычно следующим образом.
Выбирается однопараметрич. семейство областей (?/,
0<*<Г, вложенных друг в друга, QvaQt, 0<*'<ί<7\
Для области Q0 предполагается известным ее
конформное отображение /0 на нек-рую канонич. область
В0. По известному отображению ff области Qt на
область канонич. вида строится такое же отображение
ft + ε Для области <?/ + ε, где ε>0 и мало. При
непрерывном изменении параметра t на этом пути
возникают дифференциальные уравнения, наиболее
известными из к-рых являются Лёвнера уравнение и
уравнение Лёвнера — Куфарева. В дискретном случае —
для сеточных областей <?/ и натурального параметра
t — переход от отображения ff к отображению // + ε,
в=1, осуществляется по рекуррентным формулам.
Источником упомянутых формул и уравнений служит
обычно формула Шварца (см. [1] с. 92) и ее обобщения
(см. [2]). Не менее важным источником П. п. служат
вариации Адамара (см. [3], [4]) для функций Грина
Gt(z, ζ'), ζ, ζ' ζQf, указанного выше семейства
областей. Метод Адамара наз. также методом
инвариантного погружения (см. [5]) для
эллиптических дифференциальных уравнений. Ниже
показана связь П. п., вариаций Адамара и инвариантного
погружения в простейшем (дискретном) случае.
Пусть Q — нек-рый набор целых комплексных
чисел (сеточная область) и функция Грина
Gf (z> z') — экстремаль функционала
Дирихле—Дугласа
it (g)=2g (o+sLo ΣΖ6 Qo ρ* (ο ι ν <2> ι2
в классе R0 всех действительных на Q функций g(z).
Здесь Qa={z\z, 2—1, z—i, z—l — i£Q],
Vo£ (i)=g (*)—g (z—i — i), V g (z)=g (z —l) — g (z — i),
(1)
P*(0)-1, pk(t + l) = pk(t) + N6\t,
N — натуральное число, б| — символ Кронекера и
ζί= (&ь Ч)-> t=0, 1, . . ., Τ—1,— нек-рый набор пар
чисел; {zt\t=l, . . ., Τ) — граница области Qtl kf = 0
или 1. Нахождение экстремума функционала If(g) —
задача квадратичного программирования. Сравнение
ее решений при t и £+1 дает основную
формулу инвариантного погружения
(вариацию Адамара):
Gt + i(«, zf) = Gt(z, ζ') 1-Vk Gf(zt,z)vkGt(zf, z'),
t * *
(2)
где ci = N-1—yk y'kGt(zi, zj)>0, символ vft означает
разностные операторы (1) по второму аргументу
функции Грина. Зная функцию G0(z, z'), можно шаг за шагом
(рекуррентно) получить по формуле (2) все функции

219
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ
220
Gt(z, ζ'), t^-\, . . ., Т. Достроив функцию Грина до
сеточно аналитич. функции )τ(ζ)^^τ(ζ> *')+^г(~1 ζ')
согласно уравнениям типа Коши — Римана
(—l)*Vx~*# = P*V*G,
получают однолистное сеточно-квазиконформное
отображение ιυ=βχιρ[2ηίτ(ζ)] области QT в единичный
круг. Ближайшим к началу координат будет образ
точки ζ'. В пределе при N ->■ оо отображение сеточно-
конформно и образом области QT служит круг с кон-
центрич. разрезами. Получен непрерывный аналог
формулы (2) (см. [6]). В случае, когда все области Gt
односвязны и канонич. областью служит единичный
круг В, удается, используя дробно-линейные
автоморфизмы круга В, представить функцию Грина в явном
виде
Gt (г, ζ') = ln 11-ft (ζ) /TTITl-ln I ft (ζ)-ft (ζ') Ι
через функцию /t(s), отображающую ft на 5 с
нормировкой /(0)=0, 0£Qt Для всех *£[0, Т).
В терминах отображения w=ft(z) вариация Ада-
мара сводится к обыкновенному дифференциальному
уравнению (Лёвнера). По сравнению с вариацией Ада-
мара это уравнение значительно проще, однако
информация о границе области Qt представлена в нем
неявно — через управляющий параметр a(t)=BLvgft(zt),
поскольку функция ff(z) заранее неизвестна. Тем не
менее уравнение Лёвнера — основной инструмент П. п.
Были рассмотрены более общие однопараметрич.
семейства областей Qt, 0<J<7\ не обязательно
вложенных друг в друга (см. [7]). Возникающие при таких
П. п. уравнения наз. уравнениями К у φ а-
рева — Лёвнера. Существуют также
модификации уравнений Лёвнера и Куфарева — Лёвнера на те
случаи, когда области Qt обладают различного рода сим-
метриями или иными геометрич. особенностями (см. [1]).
Лит,: [1] Го лузин Г. М., Геометрическая теория
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Але к-
сандров.й. Α., Сорокин А. С, «Сиб. матем. ж.», 1972,
т. 13, Кв 5, с. »71—1001; [3] Η a d a m а г d J., Memoire sur le
probleme d'analyse relatif a l'cquilibri des plaques elastiques en-
castrees, P., 1908; [4J его же, Lecons sur le calcul des
variations, v. 1, P., 1910; E5] Беллман P., Э н д ж е л Э.,
Динамическое программирование и уравнения в частных
производных, пер. с англ., М., 1974; [6] Π о π о в В. И·, «Докл. АН
СССР», 1972, т. 207, № 5, с. 1048—50; [7] К у φ а р е в П. П.,
«Матем. сб.», 1943, т. 13, Я« 1, с. 87—118. В. И. Попов.
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
функции— задание функции y=f(x), определенной, напр.,
на отрезке [а, Ь\ с помощью пары функций x=q>(t),
!/=ψ(0» *ζΙα> βΐ' таких, что у функции φ : [α, β] -*
-> Ι α, b] существует такая однозначная обратная
функция φ-1 : [α, b] -> [α, β], что /=ψοφ~\ т. е.
для любого χζ[α, b] имеет место
/Η=ψ[φ-1Η].
Пример. Пара функций x=cost, y=siut, 0<ί<π,
является П. п. функции у— Υί —χ2, —1<#<1.
Если в точке ί0ζ[α, b] П. п. функции/
дифференцируемо, т. е. функции φ и ψ дифференцируемы, и φ' (tQ)^
;zr0, то параметрически представленная функция /
дифференцируема в точке х^— φ(ί0) и /' (д-0) = -ψ' (*0)/ф' (*о)·
Если, кроме того, у функций φ и ψ в точке t0
существуют производные порядка п, п—2, 3, . . ., то и у
функции / в точке х0 существует производная порядка
/ζ, причем она является дробно-рациональной
функцией от производных функций φ и ψ порядков/с,/с=1,
2, . . ., тг, в знаменателе к-рой стоит (2п—1)-я степень
значения производной φ' (ί0), напр.,
Л. Д. Кудрявцев.
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ -
раздел математического программирования,
посвященный исследованию задач оптимизации, в к-рых
условия допустимости и (или) целевая функция зависят
от нек-рых детерминированных параметров. (Задачи,
в к-рых эти параметры являются случайными,
составляют предмет стохастического программирования.)
В общем виде задача П. п. заключается в
максимизации целевой функции f(x, λ) по всем x=(xlt . . .,
χη)ζ^ηι удовлетворяющим ограничениям
g((x, λΧΜλ), ί==1» ···» ™» (1)
где λ — вектор параметров, принадлежащий нек-рому
заданному множеству параметров Лс^. При любом
фиксированном λ эта задача представляет собой
обычную задачу математич. программирования. Пусть
Л'сЛ — множество тех значений λ, при к-рых эта
задача разрешима (множество
разрешимости). Оптимальное решение χ* = χχ естественным
образом является функцией от λ. Под решением
задачи П. п. понимается семейство {х%) при всех
λζΛ'.
Источники задач П. п. довольно разнообразны. Это
прежде всего стремление отразить определенный
произвол, с к-рым нередко бывают определены все или
нек-рые исходные данные практической
оптимизационной задачи, либо охватить единой формулировкой
несколько связанных между собой вариантов задачи
(или целое семейство задач, напр., зависящих от
времени). П. п. является наиболее адекватным способом
постановки важной проблемы устойчивости решений
задач оптимизации относительно вариаций тех или иных
исходных данных. Наконец, с задачами П. п. тесно
связана проблема нахождения множества оптимумов
Парето в задачах многокритериальной оптимизации.
Если при любом фиксированном λ задача П. п.
представляет собой задачу линейного программирования
(выпуклого программирования и т. п.), то говорят о
задаче линейного (соответственно выпуклого
и т.п.) параметрического
программирования. В общем виде проблематику П. п.
можно охарактеризовать следующим образом. 1)
Нахождение и выяснение свойств множеств разрешимости Л'.
2) Нахождение областей устойчивости решений, харак-
теризация их строения; анализ поведения
неустойчивых задач. 3) Характеризация зависимости
оптимального значения целевой функции от вектора параметров.
В полном своем объеме (т. е. для произвольных
целевых функций, ограничений и областей изменения
параметров Л) эти задачи весьма трудны. Достаточно
продвинуты в теоретическом и вычислительном
отношении лишь нек-рые частные их классы. В основном
это касается задач линейного П. п., в к-рых: либо
а) целевая функция линейно зависит от одного
скалярного (Л= R1) параметра, либо б) правые части
ограничений линейно зависят от одного параметра, либо
в) целевая функция и правые части ограничений
линейно зависят от двух независимых скалярных
параметров или от одного и того же параметра, г) целевая
функция линейно зависит от векторного параметра,
д) правые части ограничений линейно зависят от
векторного параметра. Случай зависимости от
параметров матрицы ограничений задачи линейного
программирования весьма сложен и пока (1983)
исследован недостаточно. Для случая а), напр., решение
указанных проблем 1) — 3) характеризуется
следующим образом. Пусть требуется максимизировать
при условиях
2/=i auxJ^bi' i = li ...» те; ary^O, / = 1, ..., п,

221 парсеваля
где λζΛ= IR.1. Тогда существует такое разбиение Λ
на конечное число открытых слева интервалов: Л=
= υ^=ιΛ* (гДе интервал Л1 неограничен слева, Л#
неограничен справа, причем возможен случай
совпадения одного из них с Л), что при всех λ ζ Л*
соответствующая задача линейного П. п. разрешима, причем
на каждом интервале Л*, к=1, . . ., д, она имеет один
и тот же базис. Исключение могут составлять лишь
интервалы Л1 и Л?, на к-рых целевая функция (2)
может быть неограниченна. Таким образом, в данной
задаче множество разрешимости Л' представляет
собой объединение всех ЛЛ за возможным исключением
Л1 и (или) Л**. Далее, оптимальное значение целевой
функции на каждом ЛЛ, /с=1, . . ., q, является
выпуклой кусочно линейной функцией параметра λ.
Численные методы решения однопараметрических
(Л= (R1) задач линейного П. п. представляют собой
модификации симплексного метода) в случае
многомерного пространства параметров приходится
привлекать более сложные соображения.
Лит.: [1] Г о л ь ш τ е й н Е.Г., Юдин Д. Б., Новые
направления в линейном программировании, М., 1966; [2] Theo-
rie der linearen parametrtschen Optimierung, В., 1974.
А. А. Корбут.
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
множества точек пространства — задание точек
этого множества или их координат в виде значений
функций нек-рых переменных, называемых
параметрами.
Параметрич. задание прямой в гс-мерном векторном
пространстве R" имеет вид
ж=а;(о)-)_а^ ;r<o)giRfc? α ζ R«, — оо < t < + оо, (1)
где ж(0) и а — фиксированные векторы, х^ —
начальный вектор, a aj~0 — направляющий вектор,
параллельный прямой. Если в R" задан базис и координаты
вектора χ обозначаются через х1л . . ., хю то уравнение
(1) в координатной форме имеет вид
*к=40)+а**. —°° <* <-ь°°> *=1> 2> ···. л.
Параметрич. задание m-мерной гиперплоскости в
Rw имеет вид
яг = ж(о) + в(1)<1+...+а<т)*1И, *(0)ζ#"> (2)
а</>£Я», —оо< tj < + oo, 7 = 1,2,...,/»,
где :г(0) — начальный вектор, соответствующий
нулевым значениям параметров tj, а а(1), . . ., а(т> —
линейно независимая система т векторов, параллельных
рассматриваемой гиперплоскости. В координатной
форме уравнение (2) имеет вид
** = 4°) + 41)ii+---+4m)i*.. -оо <iy< + oo,
/ = 1, 2, ..., т, k = i, 2, ..., п.
Параметрич. задание w-мерной поверхности в R"
имеет вид
x = x(t) = x(tu ..., tm), t = (tlt ..., *«)€^c:R*,(3)
где Ε — напр., замыкание нек-рой области т-мерного
пространства Rm, а х : Ε -> RM — отображение не-
к-рого класса: непрерывное, дифференцируемое,
непрерывно дифференцируемое, дважды
дифференцируемое и т. д., в зависимости от чего рассматриваемая
m-мерная поверхность также наз. соответственно
непрерывной, дифференцируемой и т. д. В случае т=1
множество Ε является отрезком: Е=[а, Ь] и П. у. (3)
превращается в П. у. кривой: x=x(t), α<*<6, в
пространстве R". Напр., a^cos г, ^2=sin *, 0<ί<2π,
является П. у. на плоскости окружности единичного
радиуса с центром в начале координат.
РАВЕНСТВО 222
I В качестве множества Е, на к-ром задано
рассматриваемое параметрич. представление, иногда вместо
замыкания m-мерной области берутся подмножества
пространства Rm другой природы. л. д. Кудрявцев.
ПАРЕТО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — непрерывное
распределение вероятностей с плотностью
[ а ( х0 "N«+1 ^ ^
р(*)= — KIT) · *о<*<оо,
10, х^.х0,
зависящей от параметров х0>0 и а>0. В такой
«усеченной» трактовке П. р. выделяется как
самостоятельное распределение из семейства бета-распределе-
| ний 2-го рода с плотностью
I 1 аеМ-- 1 Λ Λ
s-г^—:— » μ, α > 0, 0 < а: < оо,
В (μ, α) (i+x)^+a ' r' ' '
при μ=1. Для любого фиксированного .г0 П. р.
сводится преобразованием х= -^ к бета-распределению
1-го рода. В системе Пирсона кривых П. р.
принадлежит к распределениям «типа VI» и «типа XI».
Математическое ожидание П. р. конечно при а>1 п равно
| ая0/(а—1); дисперсия конечна при а>2 и равна
а#о/ (а—1)2Х (а—2); медиана равна 21/а.г0.Функция
распределения П. р. определена формулой
Р{Х < я} = 1 — (-γ-)α , *>*ο, α>0.
П. р. получило широкое распространение в
различных задачах экономич. статистики начиная с работ
В. Парето (W. Pareto, 1897) о распределении доходов.
Считалось, что П. р. достаточно хорошо описывает
распределение доходов, превышающих нек-рый
уровень, в том смысле, что это распределение должно
иметь хвост порядка \1ха при χ ->■ оо.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы
статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Проосоров,
ПАРИКМАХЕРА ПАРАДОКС — то же, что
антиномия «деревенский парикмахер».
ПАРСЕВАЛЯ РАВЕНСТВО — равенство,
выражающее квадрат нормы элемента в векторном пространстве
со скалярным произведением через квадраты модулей
коэффициентов Фурье этого элемента по нек-рой ор-
тогональной системе элементов; так, если X —
нормированное сепарабельное векторное пространство со
скалярным произведением (·), ||·|Ι — соответствующая
ему норма и {еп} — ортогональная в X система, епу=0,
/1=1, 2, ..., то равенством Парсеваля
для элемента χζΧ наз. равенство
ιι*ιι8=ΣΓ=ιΐα»ΐ8ι|^42· (1)
где ап-= *' е* ) , п=1, 2, . . .,— коэффициенты Фурье
элемента χ по системе {еп}. Если эта система {еп}
ортонормированная, то П. р. имеет вид
Выполнение П. р. для данного элемента .г ζ λ'
является необходимым и достаточным условием того, чтобы
ряд Фурье этого элемента по ортогональной системе
{еп} сходился к самому элементу χ по норме
пространства X. Выполнение П. р. для любого элемента
χζΧ является необходимым и достаточным условием
для того, чтобы ортогональная система {е^} была
полной системой в X. Отсюда следует, в частности:
если X — сепарабельное гильбертово пространство
и {еп} — его ортонормированный базис, то П. р. по
I системе {еп} выполняется для каждого элемента χζΧ;

223
ПАСКАЛЕВА
ГЕОМЕТРИЯ
224
если X — сепарабельное гильбертово пространство,
χζ.Χ·> ί/ζ^ί {еп) — ортонормированный базис в X,
ап— (х, еп) и Ьп= (г/, еп) — коэффициенты Фурье
соответственно элементов χ и ι/> то справедливо
равенство
наз. обобщенным равенством Парсе-
в а л я. В достаточно законченном виде вопрос о
полноте систем функций, являющихся собственными
функциями дифференциальных операторов, был
изучен В. А. Стекловым [1].
П. р. обобщается и на случай несепарабельных
гильбертовых пространств: если {βα}, αζ5ί (Щ нек-рое
множество индексов), является полной ортонормиро-
ванной системой гильбертова пространства X, то для
любого элемента χζΧ справедливо П. р.
(χ, *) = Σα €«К*' βα'Ι2'
причем сумма в правой части равенства понимается как
где верхняя грань берется по всевозможным конечным
подмножествам 5ί0 множества 2Ϊ.
В случае, когда X=L2[—π, π] состоит из
действительных функций, квадрат к-рых интегрируем по
Лебегу на отрезке [—π, π], f£L2[—π, π], в качестве полной
ортогональной системы взята тригонометрич. система
функций и
/~ -γ-+ Σ,ι=ι о.пао^пх^Ъп^тпх,
равенство (1) имеет вид
и наз. классическим равенством
Парсе в а л я; оно было указано М. Парсевалем
(М. Parseval, 1805).
Если g£L2[—π, π] и
g ~ — + 2jn-\ йп cosn x + bn sin nx,
то равенство, аналогичное формуле (2), выглядит
следующим образом:
Ίϊ $_π/(θ£(0^ = τα°αό + Σ/Γ=ι (anan+bnb'n). (3)
Классы К и К' действительных функций,
определенных на отрезке [—π, π], такие, что для всех f£K
и g£K имеет место обобщенное П. р. (3), наз.
дополнительными. Примером дополнительных классов
являются пространства Lp[—π, π] и
Lp. [— π, π], -! + -!- = 1, 1<ρ< + οο.
Лит.: [1] Стенлов В, Α., «Записки физико-математич.
общества», сер. 8, 1904, т. 15, № 7, с. 1—32; [2]
Никольский СМ., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М.,
1975; [3] Ильин В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы
математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [4] Бари Н. К.,
Тригонометрические ряды, М., 1961; [5] Зигмунд Α.,
Тригонометрические р^ды, пер. с англ., т. 1, М., 1965; [6]
Кириллов Α. Α., Гвишиани А. Д., Теоремы и
задачи функционального анализа, М., 1979. Л. Д. Кудрявцев.
ПАРСЕВАЛЯ — ПЛАНШЕРЕЛЯ ФОРМУЛА — см.
Планшереля теорема.
ПАСКАЛЕВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия плоскости,
построенной над полем (коммутативным телом).
Название этой геометрии связано с тем, что б этой
геометрии на плоскости выполняется конфигурационное
предложение Паппа — Паскаля: если
точки 1, 3, 5 и 2, 4, 6 соответственно лежат на прямых
(коллинеарны), то точки пересечения пар прямых
(1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1) — точки 9, 7,
8 — также лежат на одной прямой при любом выборе
системы образующих
точек 1, 3, 5 на од- -^ г
ной прямой и 2, 4, ^\^^^ 3
6 — на другой пря- / γ4^^/^^^
мой, отличной от пер- / \ \/ \ ^^^fL^
вой (см. рис.). Важней- / _ \§/\ о\^^/1^
ший частный случай / ~/\—^^0\^-—/
этого предложения (в / / У<^^у^\\ I
аффинной плоскости) [/^^^ \/ ^У
утверждает: из того, 46 z
что прямая (4, 3)
параллельна (6, 5) и прямая (6, 1) параллельна (2, 3),
следует параллельность прямых (2, 5) и (4, 1).
П. г. плоскости может быть построена над
бесконечными или конечными полями, соответственно этому
плоскость наз. бесконечной или конечной паска-
левой плоскостью.
Впервые важную роль предложения Паскаля в
построении геометрич. систем над бесконечными
полями исследовал Д. Гильберт (D. Hubert, см. [1]),
к-рый устанавливал доказуемость предложения
Паскаля при различных наборах аксиом из системы
аксиом евклидова пространства. Д. Гильберт показал,
что Паскаля теорему в бесконечной плоскости можно
доказать с помощью плоскостных аксиом
инцидентности, порядка, конгруэнтности, параллельности и
непрерывности, причем было установлено, что без
аксиом непрерывности в этом случае теорему Паскаля
доказать нельзя.
Опираясь же на пространственные аксиомы системы
Гильберта, теорему Паскаля можно доказать без
аксиом конгруэнтности, но обязательно с применением
аксиом непрерывности (исключение аксиом
непрерывности в бесконечной плоскости приводит к непаска-
левой геометрии). Возможность доказательства
теоремы Паскаля аналогична в указанном смысле
возможности доказательства Дезарга предложения с
использованием пространственных аксиом, однако в
доказательстве теоремы Паскаля проявляется особая
роль аксиом непрерывности Архимеда в бесконечных
плоскостях (см. Неархимедова геометрия).
Предложение Паппа — Паскаля проективно
выполняется в нек-рой плоскости тогда и только тогда, когда
умножение во всех натуральных телах этой
плоскости обладает коммутативным свойством, или иначе:
натуральное тело всякой паскалевой плоскости
является полем и, наоборот, плоскость, построенная над
полем, обладает П. г. Поэтому П. г. иногда наз.
геометрией с коммутативным
умножением. Таким образом, в паскалевой плоскости
конфигурационное предложение Паппа — Паскаля имеет
алгебраич. инвариант, выражающий коммутативное
свойство умножения в множестве, над к-рым построена
эта плоскость.
В любой проективной плоскости теорема Паппа —
Паскаля влечет за собой предложение Дезарга.
Конечная паскалева плоскость как конечная
проективная плоскость существует только в случае,
если число точек, лежащих на каждой прямой этой
плоскости, есть р5+1, где ρ — простое, s —
натуральное число. Так как всякое конечное
альтернативное тело является полем, то в конечной плоскости
предложение Дезарга влечет за собой теорему
Паппа — Паскаля, причем последняя является следствием
т. н. малой теоремы Дезарга. Вместе с тем существуют
конечные проективные плоскости, являющиеся не-
паскалевыми. Паскалева плоскость изоморфна
двойственной себе плоскости.

225
ПАСКАЛЯ
226
Значение П. г. определяется ее ролью при
исследовании независимости системы аксиом, в частности
системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии. При
построении бесконечной плоскости на основе групп
аксиом инцидентности, порядка и параллельности
предложение Паппа — Паскаля должно
рассматриваться как дополнительная аксиома. С другой стороны,
с помощью комбинаций конечного числа конфигураций
Паппа — Паскаля оказывается возможным решить
задачи на построение, в к-рых используется лишь
понятие инцидентности и, может быть,
параллельности.
Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер.
с нем., М.— Л., 1948; 12] Bieberbach L., Einleitung in
die h6here Geometrie, Lpz., 1933; [3] Скорняков Л. Α.,
«Успехи матем. наук», 1951, т. 6, в. 6, с. 112—54; [4] Dem-
bowski P., Finite geometries, В.— [u. a.], 1968; [5] R e i-
demeister K., Grundlagen der Geometrie, В., 1930; [6]
Ар тин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969.
Л. А. Сидоров.
ПАСКАЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — дискретное
распределение вероятностей случайной величины X,
принимающей целые неотрицательные значения к=0, 1,
2, ... в соответствии с формулой
P{X = k} = Crr-+\-iPr(l-p)*,
где 0<р<1 и целое г>0 — параметры.
Производящая функция и характеристич. функция
П. р. равны соответственно
P(z)=pr(i-qz)-r
/(0=ρΓ(ΐ-<?^)-Γ, </ = ι-ρ.
Математич. ожидание и дисперсия суть rq/p и rq/p2.
П. р. с параметрами г и ρ возникает естественным
образом в схеме Бернулли испытаний с вероятностью
«успеха» ρ и вероятностью «неудачи» q=l—ρ как
распределение числа «неудач» до наступления г-го
«успеха». При г=1 П. р. совпадает с геометрическим
распределением с параметром р, а при г>1 — с
распределением суммы независимых случайных величин,
имеющих одинаковое геометрич. распределение с
параметром р. В соответствии с этим сумма независимых
случайных величин Хг, . . ., Хп, имеющих П. р. с
параметрами ρ и гх, . . ., гп соответственно, имеет П. р.
с параметрами ρ и гх+. . .+г„.
Функция распределения П. р. при к—О, 1, 2, ...
задается формулой
F(k)--
ri77TTT)Yoxr~1(i-x)kd^
где в правой части стоит значение функции
бета-распределения в точке ρ (В (г, /с+1) — бета-функция).
Используя это соотношение, можно доопределить
F(k) для всех действительных г>0. В таком
обобщенном смысле П. р. наз. отрицательным биномиальным
ρ аспределением.
Лит.: [1] Φ е л л е ρ В., Введение в теорию вероятностей
и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.
А. В. Прохоров.
ПАСКАЛЯ ТЕОРЕМА: противоположные стороны
шестиугольника, вписанного в линию 2-го порядка,
Рис. 1.
пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой
(на прямой Паскаля, см. рис. 1). П. т. верна
и в том случае, когда две или даже три соседних вер-
Рис. з.
Рис. 4.
шины совпадают (но
не более чем по две в
одной точке). В этом
случае в качестве
прямой, проходящей
через две
совпадающие вершины,
принимается касательная
к линии в этой точке. Касательная к линии 2-го
порядка, проведенная в одной из вершин вписанного
пятиугольника, пересекается со стороной,
противоположной этой вершине, в точке, к-рая лежит на
прямой, проходящей через
точки пересечения остальных
пар несмежных сторон этого
пятиугольника (см. рис. 2).
Если ABCD —
четырехугольник, вписанный в
линию 2-го порядка, то точки
пересечения касательных в
вершинах С и D
соответственно со сторонами AD и ВС
и точка пересечения прямых
А В и CD лежат на одной
прямой (см. рис. 3).
Точки пересечения
касательных в вершинах
треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с
противоположными сторонами лежат на одной прямой
(см. рис. 4).
П. т. двойственна Брианшона теореме.
П. т. установлена Б. Паскалем (В. Pascal, 1639).
Частный случай П. т. для линии 2-го порядка,
вырождающейся в пару прямых, был известен еще в
древности (см. Паппа аксиома).
Лит.: [1] Глаголев Η. Α., Проективная геометрия,
2 изд., М., 1963; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия,
6 изд. М., 1978. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко.
ПАСКАЛЯ ТРЕУГОЛЬНИК — таблица чисел,
являющихся биномиальными коэффициентами. В этой
таблице по боковым сторонам равнобедренного
треугольника стоят единицы, а каждое из остальных
чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева
и справа:
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 1
В строке с номером л+1 выписаны коэффициенты
разложения бинома (а+Ь)п. Треугольная таблица,
предложенная Б. Паскалем в «Трактате об арифметическом
треугольнике» (1654), отличается от выписанной здесь
поворотом на 45°. Таблицы для изображения
биномиальных коэффициентов были известны и ранее.
Лит.: [11 Успенский В. Α., Треугольник Паскаля,
2 изд., М., 1979; [2] История математики с древнейших времен
до начала XIX столетия, т. 2, М., 1970. В. И. Нечаев.
ПАСКАЛЯ УЛИТКА — плоская алгебраич. кривая
4-го порядка; конхоида
окружности диаметра а (см.
рис.). Уравнение в
прямоугольных координатах:
в полярных координатах:
ρ = a cos φ +1.
Начало координат —
двойная точка,
изолированная при а<1. узловая
при а>/, точка возврата
a=L
^ 8 Математическая энц., т. 4

227
при а—I (в этом случае П. у.— кардиоида). Длина
дуги выражается эллиптич. интегралом 2-го рода.
Площадь, ограниченная П. у.:
при α>Ζ площадь внутренней петли при вычислении
по этой формуле считается дважды. П. у.— частный
случай Декартова овала, она является эпитрохоидой
(см. Трохоида).
П. у. названа по имени Э. Паскаля (Е. Pascal, 1-я
пол. 17 в.), впервые рассмотревшего ее.
Лит.: [1] С а в е л о в Α. Α., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ПАУЛИ МАТРИЦЫ — двурядные комплексные
постоянные эрмитовы матрицы коэффициентов. Введены
В. Паули (W. Pauli, 1927) для описания спинового
механич. момента (спина s= -у σ) и магнитного момента
.— eh — _
(μ=2^σ) электрона. Это уравнение корректным
образом в нерелятивистском случае описывает частицы
со спином — (в единицах %) и может быть получено
из Дирака уравнения при условии — <^1. В явном
виде П. м. можно записать следующим образом:
σι=
Их собственные значения равны ±1. П. м.
удовлетворяют следующим алгебраич. соотношениям:
σι·σ/ί + σ^σ/ = 2δί·/ί,
0№—okOi = 2isiklol.
II 1 Oil
Вместе с единичной матрицей αη = L J П. м.
образуют полную систему матриц второго ранга, по
к-рой может быть разложен произвольный линейный
оператор (матрица) размерности 2. П. м. действуют
на двухкомпонентные функции-спиноры ψ^, Α = ί, 2,
преобразующиеся при вращении системы координат
по линейному двузначному представлению группы
вращений. При повороте на бесконечно малый угол
вокруг оси с единичным направляющим вектором п,
спинор \рд преобразуется по формуле
Ψ А = 1°ав + \ «θ (σ· л)Ля] ψβ,
ο·η = G\nx -\- о2пу + σ3ηζ.
Из П. м. можно образовать Дирака матрицы γα, α=0,
1, 2, 3:
ПАУЛИ МАТРИЦЫ 228
сто П. м. вводятся связанные с ними матрицы Sa с
помощью следующего изоморфизма:
10 1
1 0
; σ2=
0
i
i ν
о II;
σ3 =
1
0
0
—1
γ0 =
σ0
0
0
— σ0
; Yfe=
Ι 0 σ*
-σ* 0
Λ = 1, 2, 3.
Π. μ. изоморфны системе простейших
гиперкомплексных чисел — кватернионов. Они используются всегда,
когда элементарная частица имеет дискретный параметр,
принимающий лишь два значения, напр. при описании
изоспина нуклона (протон — нейтрон). Вообще П. м.
используются не только для описания изотопич.
пространства, но и в формализме группы внутренней
симметрии SU (2). В этом случае П. м. являются
генераторами двузначного представления группы SU (2)
и обозначаются как ть τ2, τ3. Иногда удобно
пользоваться линейными комбинациями
τ+=Τ(τ1 + ίτ2):
0 ; τ =Τ(τι-
- ίτ2) =
110 О
ι о
В нек-рых случаях для релятивистски ковариантного
описания двукомпонентных спинорных функций вме-
£050* + σ0 = 0; ^0* = σ/, ί = ΐ, 2, 3,
(1)
где знак (*) обозначает комплексное сопряжение.
Матрицы Sa удовлетворяют перестановочным
соотношениям:
5α5β + 5β5; = 2ηα.β,
(2)
где ηα, β — компоненты метрич. тензора пространства
Минковского с сигнатурой +2. Формулы (1) и (2)
позволяют ковариантным образом обобщить П. м.
на произвольное искривленное пространство
£<χ£β + £β£α = 2#αβ,
где #αβ — компоненты метрич. тензора искривленного
пространства.
Лит.: [1] Паули В., Труды по квантовой теории, [пер.
с нем., т. 1—2], М., 1975—77; [2] Η е л и π а Н. Ф., Физика
элементарных частиц, М., 1977; [3] Бриль Д., Уилер
Д ж., в кн.: Новейшие проблемы гравитации, М., 1961, с. 381 —
427. В. Г. Кречет.
ПАША АКСИОМА — одна из аксиом порядка в
Гильберта системе аксиом евклидовой геометрии.
Формулировка аксиомы использует понятие «лежать
внутри отрезка», причем отрезок здесь рассматривается
как система двух различных точек А ж В,
принадлежащих одной прямой; точки, лежащие «между»
точками А и В, яаз. точками отрезка (или внутренними
точками отрезка). Понятие «между» (лежать между)
описывается группой аксиом порядка, куда входит
и П. а., к-рая формулируется следующим образом:
пусть А, В, С ~ три точки, не лежащие на одной
прямой, и а — прямая в плоскости (ABC) этих трех
точек, не проходящая ни через одну из точек Л, В, С;
если при этом прямая проходит через одну из точек
отрезка АВ, то она должна пройти через одну из точек
отрезка АС или через одну из точек отрезка ВС.
П. а. является аксиомой абсолютной геометрии.
С помощью других гильбертовых аксиом порядка
можно доказать, что прямая а не может пересечь оба
отрезка А С и ВС. Аксиома сформулирована М.
Пашем [1].
Лит.: [1] Pasch Μ., Vorlesungen tiber neuere Geometrie,
Lpz., 1882; [2] Гильберт Д., Основания геометрии, пер.
с нем., М.— Л., 1948. Л. А. Сидоров.
ПЕАНО АКСИОМЫ — система из пяти аксиом для
натурального ряда N и функции S (прибавление 1)
на нем, введенная Дж. Пеано (G. Реапо, 1889):
(1) ΟζΝ;
(2) x£N—+Sx£N;
(3) x^N-^Sx^O;
(4) χξΝAy£NASx = Sy —+x = y;
(5) 0£MAV* (х£М —+Sx£M)-^N^M для
любого свойства М (аксиома индукции).
В первом варианте вместо 0 использовалась 1.
Сходные аксиомы независимо предложил Р. Дедекинд
(R. Dedekind, 1888). П. а. категоричны, т. е. любые
две системы (TV, S, 0) и (N\ S', 0'), удовлетворяющие
П. а., изоморфны. Изоморфизм определяется
функцией f(x, x), где
/(0, 0) = 0\ f(Sx, Sx) = S'f(x, x);
f (χ, Sy) = f{x, у); f (χ, y) = 0 для у < χ.
Существование f(x, у) для всех пар (х, у) и взаимная
однозначность при х^:у доказываются по индукции.
П. а. позволяют развить теорию чисел, в частности
ввести обычные арифметич. функции и доказать их
свойства. Все аксиомы независимы, однако (3) и (4)
можно объединить в одну:
x£NAy£NАх < у—ух Φ у,

229
ПЕАНО
230
если определить х<у как
VM [Μ (Sx)AVz (Μ (ζ) —► Μ (Sz)) —* Μ (y)J.
Независимость доказывается предъявлением модели,
в к-рой верны все аксиомы, кроме рассматриваемой.
Для (1) такая модель — натуральный ряд, начиная с
единицы; для (2) — множество N[J {1/2}, где 50=1/2,
S (1/2)= 1; для (3) — множество {0}; для (4) —
множество {0, 1} с 50= £1=1; для (5) — множество N\J
u{-i}.
Иногда под арифметикой Пеано
понимают систему в языке 1-го порядка с
функциональными символами S, +, ·, состоящую из аксиом
Sx Φ 0, Sx — Sy—*х = у,
определяющих равенств для +, «и схемы индукции
А (0) Л V* (А (х) —► A (Sx)) —► ухА (х)
(Ш. Арифметика формальная).
Лит.: [1] К лини С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957. Г. Е. Минц.
ПЕАНО КРИВАЯ — непрерывный образ отрезка,
заполняющий внутренность квадрата (или треуголь-
служить непроницаемой для дождя крышей, однако
она вовсе не есть непрерывная поверхность.
Известный интерес представляют т. н.
правильные замкнутые кривые типа Пеа-
7К
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 1.
ника). Открыта Дж. Пеано [1]. П. к.,
рассматриваемая как плоская фигура, не есть множество,
нигде не плотное на плоскости; она является жордано-
вой, но не канторовой кривой, а потому не
является линией. Построение П. к., заполняющей квадрат,
см. в ст. Линия; оно принадлежит Д. Гильберту
(D. Hubert). На рис. 1 приведен аналог его построения
для треугольника (первые шесть шагов) (другие
конструкции см. в [2] и [3]).
Всякая П. к. имеет кратные точки — это
«предложение имеет огромную принципиальную важность
для геометрии, так как оно показывает, в чем
именно кроется самая геометрическая сущность различия
числа измерений плоскости и прямой» (Η. Η. Лузин).
Не существует П. к., всякая точка к-рой была бы
простой или двукратной, но существует П. к.,
имеющая самое большее лишь трехкратные точки (в счетном
числе),— такова, напр., кривая, построенная самим
Дж. Пеано; конструкция Д. Гильберта содержит
четырехкратные точки (также в счетном числе).
С понятием П. к. связан любопытный факт
существования пространственных простых дуг,
проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей,—
такова, напр., кривая ζ=φ(£), #=ψ(ί), z=t, где
первые две функции задают П. к. Хотя эта дуга и может
но — пределы последовательностей симметричных
замкнутых кривых, соответствующих
последовательностям триангуляции произвольного правильного
многоугольника, каждая из к-рых является правильным
(т. е. полученным делением на две равные части)
подразделением предыдущей
(пример — на рис. 2). При этом
последовательность кривых можно
выбрать так, чтобы предел
площадей областей, ими
ограниченных, был равен заданной
величине (даже нулю или площади
всей подразделяемой фигуры)
(рис. 3). Кажется вероятным, что
подобные картинки могут быть
полезны при исследовании роста
кристаллич. структур.
Аналогично с помощью
последовательностей триангуляции можно
строить отображения прямой в
плоскость, в частности
«периодические» кривые типа Пеано.
Существует аналог П. к.,
заполняющий многомерный и даже
счетномерный куб (см. [3]).
β Далеко идущее обобщение
содержит теорема
Мазурке в и ч а : если X —
континуум, то эквивалентны условия:
а) пространство X локально связно, б) X —
непрерывный образ интервала.
Лит.: [1] Pea η о G., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 157;
[2] Александров П. С, Введение в теорию множеств
и общую топологию, М., 1977; [3] Л у з и н Η. Η., Теория
функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948.
М. И. Войцеховский.
ПЕАНО ПРОИЗВОДНАЯ — одно из обобщений
понятия производной. Пусть существует 6>0 такое, что
для всех t с |ί|<δ имеет место
где а0, . . ., <хг — постоянные и y(t) -»- 0 при t -*■ 0.
Пусть γ(0)=0. Тогда число аг наз. обобщенной
производной Пеано порядка г функции
/ в точке х0. Обозначение: fr(x0)=ar, в частности
«ο=/(*ο). αι=/'(*ο)· Если существует /(г) (*<>)» то
существует и /(г_1)(я0)> г>1- Если существует
конечная обычная двусторонняя производная f{r)(x0), то
f{r)(x0)=f^{x0). Обратное неверно при г>1: для
функции
[ έ?-1/*2, ж?0й рационально,
о,
х =0 или иррационально,
8*

231
ПЕАН О ТЕОРЕМА
232
имеет место /(г)(0)=0, г=1, 2, . . ., но не существует
f(i)(x)=f (χ) при хфО (ибо f(x) разрывна при хфО).
Следовательно, не существует обычная производная
/<г>(0) при г>1.
Вводятся также и бесконечные обобщенные
производные Пеан о. Пусть для всех t с
\t\ <6 имеет место
/(^ο + 0-α0 + α1ί+...+-^^^-1 + ^^ίΓ,
где а0, . . ., αΓ_ι — постоянные и аг(£) -> аг при ί->0
(аг — число или символ оо). Тогда аг также наз. П. п.
порядка г функции / в точке х0. Введена Дж. Пеано
(G. Реапо). а. А. Конюшков.
ПЕАНО ТЕОРЕМА — одна из теорем существования
решения обыкновенного дифференциального
уравнения, установленная Дж. Пеано [1] и состоящая в
следующем. Пусть дано дифференциальное уравнение
y'=f (*, у). (*)
Тогда если функция / ограничена и непрерывна в
области G, то через каждую внутреннюю точку (#0,
у0) этой области проходит, по крайней мере, одна
интегральная кривая уравнения (*). Может оказаться,
что через нек-рую точку проходит более одной
интегральной кривой, напр. для уравнения y' = 2Yy
существует бесконечное множество интегральных
кривых, проходящих через точку (0, 0):
у(0), — Ь<я<а,
у = -(х + Ъ)\ х^-Ь,
у = (х—а)2, х^а,
где а, Ъ — произвольные постоянные.
Имеются обобщения (в том числе многомерные)
П. т. (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Peano G., «Math. Ann.», 1890, Bd 37, S. 182—
228; [2] Петровский И. Г., Лекции по теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; [3]
Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения,
пер. с англ., М., 1970. М. И. Войцеховский.
ПЕЙДЖА ТЕОРЕМА — 1) П. т. о нулях
L-φ ункций Дирихле: пусть L (s, χ)—
Дирихле L-функция, 5=σ+ίί, χ — Дирихле характер по
mod d, d>3; существуют абсолютные положительные
постоянные с1, . . ., с8 такие, что
а) L(s, χ) Φ 0 при σ > 1 — cx\\ogdt, *^ξ>3;
б) L (s, χ) φ 0 при σ > 1 — c2/\ogd, 0 < t < 5;
в) для комплексного χ mod d,
L («, χ) Φ 0 при σ > 1 — c3/log d, 111 < 5;
г) для действительного примитивного χ mod d,
Ζ,(σ, χ) φ 0 при σ> 1 — с4/]Λ3 log2 d;
д) для 2<d<Z> существует не более одного d=d0,
d0>c5\og2 D/ (\og log Z))8 и не более одного
действительного примитивного χΧ mod d0, для к-рого L (s, ул)
может иметь действительный нуль βΧ>1— c6/log Ζ),
причем βΧ является однократным нулем и для всех β
таких, что £(β, χ)=0, β>1—cjlog D с
действительным χ mod d имеют d=0 (mod d0).
2) Π. τ. ο π (χ; rf, Ζ) — числе простых чисел /?<#,
p=Z(mod d), при 0<Z<:d, I и d — взаимно простых.
В обозначениях и при условиях п. 1 вследствие а) —
в) и д) справедливо равенство
Я^' α» ''-"vW~£iW 2un<x logn +
+ 0{xe-ciYT^*),
где £=1 или £=0, смотря по тому, существует βχ
или нет для данного d, и вследствие 2), для любого
d<(log x)1-^ при фиксированном 6>0
n(*;d,l) = £?L + 0(xe-c>V^). (*)
Этот результат является единственным (1983), к-рый
эффективен в том смысле, что, если значение δ задано,
можно указать численные значения с8 и постоянной,
входящей в символ 0. Замена оценки 2) оценкой Зи-
геля: £(σ, χ)Φθ при σ>1—с(г)а~г, ε>0
распространяет действие формулы (*) на существенно большие
d, d^(\og x)A, с любым фиксированным А, но при
этом утрачивается эффективность оценок в формуле
(*) — по заданному ε>0 невозможно оценить c8=cs(e)
и 0=Οε.
П. т. установлены Э. Пей джем [1].
Лит.: [1] Page Α., «Ргос. London Math. Soc. Ser. 2»,
1935, v. 39, № 2, p. 116—41; [2] К а р а ц у б а А. А., Основы
аналитической теории чисел, М., 1975; [3] Π ρ а х а р К.,
Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967.
А. Ф. Лаврип.
ПЕКЛЕ ЧИСЛО — один из критериев подобия для
процессов конвективного теплообмена. П. ч.
характеризует соотношение между конвективным и
молекулярным процессами переноса тепла в потоке
жидкости. П. ч.
Ре = и1/а = Срри/(Щ,
где I — характерный линейный размер поверхности
теплообмена, ν — скорость потока жидкости
относительно поверхности теплообмена, а — коэффициент
температуропроводности, Ср — теплоемкость при
постоянном давлении, ρ — плотность и λ —
коэффициент теплопроводности жидкости.
П. ч. связано с Рейнолъдса числом Re и Прандтля
числом Рг соотношением Pe=Re-Pr.
П. ч. названо по имени Ж. Пекле (J. Peclet).
По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.
ПЕЛЛЯ УРАВНЕНИЕ — диофантово уравнение
вида
x* — dy* = i, (1)
а также более общее уравнение
xi — dy2 = c, (2)
где d — натуральное, Уd — иррациональное число,
с — целое, неизвестные χ и у — целые числа.
Если Ps/Qs, 5=0, 1, 2, . . .,— подходящие дроби
разложения Y~d в цепную дробь с периодом к, то
положительные решения уравнения (1) имеют вид
x = Pkn-i, y=Qkn-i,
где η — любое натуральное число такое, что кп четно.
Все решения уравнения (1) получаются из формулы
x+yV~~d=±(xo + y0V~d)n,
где η — любое целое, а (х0, у0) решение с
наименьшими положительными значениями неизвестных. Общее
уравнение (2) либо совсем не имеет решений, либо —
бесконечно много. При с— — \ решения существуют
тогда и только тогда, когда к нечетно. При с=4
уравнение (2) всегда имеет решения. С помощью решений
П. у. при с=±1, ±4 находятся единицы
квадратичного поля R(Y~d). Решения П. у. используются при
нахождении автоморфизмов бинарных квадратичных
форм Ах2.+Вху-\-Су2; они позволяют по одному
решению диофантова уравнения Ах2-\-Вху-\-Су2=п
получить бесконечное множество решений.
Уравнение (1) изучалось У. Броункером (W. Broun-
cker, 1657), П. Ферма (P. Fermat) и Дж. Валлисом
(J. Wallis). Л. Эйлер (L. Euler) по недоразумению
связал его с именем Дж. Пелля (J. Pell).

233
ПЕРВАЯ
234
Лит.: [1] Вальфиш А. 3., Уравнение Пелля, Тб.,
1952; [2] Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых
числах, 3 изд., М., 1978; [3] Le Veque W. J., Topics in
number theory, L., 1961. А. А. Бухштаб.
ПЕНЛЕВЕ ПРОБЛЕМА — проблема характериза-
ции устранимых множеств для класса ограниченных
однозначных аналитич. функций комплексного
переменного ζ. Пусть Ε — компактное множество на
комплексной плоскости С такое, что дополнение СЕ=
= С\Е есть область. Каковы минимальные условия на
Ε у при выполнении к-рых любая ограниченная
однозначная аналитич. функция в СЕ продолжается
аналитически на Ε и, следовательно, является
константой? П. Пенлеве [1] указал достаточное условие:
линейная мера Хаусдорфа множества Ε (такие множества
иногда наз. множествами Пенлеве) должна
обращаться в нуль; однако его рассуждения содержали
ряд неточностей (см. [2], [3]). Необходимое и
достаточное условие на Ε состоит в том, чтобы аналитическая
емкость Ε обращалась в нуль (теорема Аль-
фор с а). Построен пример множества нулевой
аналитической емкости, но положительной линейной
меры [5].
Лит.: [1] Ρ a· i η 1 е ν ё P., Legons sur la theorie analytique
des equations differentielles professees a Stockholm, [1895], P.,
1897; [2] Zoretti L., «J. math, pure appl.», 1905, t. 1, p.
1—51; [3] его же, Legons sur le prolongement analytique, P.,
1911; [4] Ahlfors L., «Duke Math. J.», 1947, v. 14, p. 1 — 11;
[5] В и т у ш к и н А. Г., «Докл. АН СССР», 1959, т. 127, № 2,
С. 246—49. Е. Д. Соломенцев.
ПЕНЛЕВЕ ТЕОРЕМА — 1) П. т. о решениях
аналитических дифференциальных
уравнений: решения дифференциального
уравнения Ρ (wf, w, ζ)—0, где Ρ — многочлен относительно
неизвестной функции и; и ее производной w' и w —
аналитич. функция относительно независимого
переменного ζ, не могут иметь подвижных (т. е. зависящих
от произвольной постоянной) существенно особых
точек и трансцендентных точек ветвления.
2) П. т. об аналитическом продолже-
н и и: если Г — спрямляемая жорданова кривая,
расположенная в области D на плоскости
комплексного переменного ζ, и функция f(z) непрерывна в D
и аналитична на />\Г, то f(z) — аналитич. функция
и во всей области D (см. [1], [2]).
Лит.: [1] Ρ a i η 1 е ν ё P., Sur les lignes singulieres des
functions analytiques, P., 1887; [2] его же, Legons sur la theorie
analytique des equations differentielles professees a Stockholm,
[1895], P., 1897; [3] Голубев В. В., Лекции по
аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1950.
Е. Д. Соломенцев.
ПЕНЛЕВЕ УРАВНЕНИЕ — общее название
группы из шести специальных обыкновенных
дифференциальных уравнений типа
w" = R (w', w, ζ),
где R — рациональная функция от wr и w и аналитич.
функция от ζ. Любое такое уравнение, имеющее лишь
неподвижные критич. точки, может быть приведено к
одному из 50 канонич. уравнений. Среди этих
уравнений имеются линейные уравнения, уравнения Рик-
кати и др. известные уравнения, а также 6 уравнений,
называемые уравнениями Пенлеве и
имеющие своими решениями трансцендентные
функции Пенлеве — специальные функции,
не сводящиеся к другим известным функциям.
Расположенные в общепринятом порядке, П. у. имеют
следующий вид (а, Ь, с, dgC — константы):
1) w" — 6м?2-]-ζ;
2) w" = 2w3-\-zw-\-a;
3) wf' = ^2 + e'(aw^ + b) + ^^ + ^) , bd φ 0;
+ c Γ " Ά— »
ι w(w-\)(w-z) Γ , ь±_, j-Λ ■ dz (z-l)l
^ ζ* (z-l)2 L ^ w2^ (w-\)'^a (w-zy J *
Указанные результаты впервые получены в
исследованиях П. Пенлеве (см. [1], [2]), к-рые были
продолжены, уточнены и дополнены Б. Гамбье [3].
Лит.: [1] Painleve P., «Bull. Soc. math. France»,
1900, t. 28, p. 201—61; [2] его же, «Acta math.», 1902, t. 25,
p. i_85; [3] Gambier В., там же, 1910, t. 33, p. 1—55;
[4] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории
дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1950; [5] Айне
Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с
англ., Хар., 1939. Я. X. Розов.
ПЕНТАСФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — вид
однородных координат, связанных с декартовыми
прямоугольными координатами формулами:
*»+»»+.*=£, *=тЬ »=£· z=f·
П. к. точки в 3-мерном евклидовом пространстве
связаны соотношением
Zl + Zt+Zl — NZi = 0. (*)
С помощью П. к. можно пополнить 3-мерное евклидово
пространство до сферического, допуская элемент N=0.
При этом соотношение (*) описывает положение этого
3-мерного сферич. пространства в 4-мерном
проективном пространстве.
Существует 2-мерный аналог П. к.— тетрацик-
лические координаты. Именно, пусть
2,2,2 2 Λ
— уравнение сферы в однородных координатах, где
я4 — радиус сферы. Числа #1, £2» ^3» ХА ЯВЛЯЮТСЯ
П. к. той точки плоскости, к-рая соответствует точке
сферы при стереографич. проекции сферы на
плоскость.
Вполне аналогичные построения могут быть
проведены в пространствах более высокой размерности, в
результате чего получаются полисферические
координаты. В 4-мерном случае они наз. г е к-
сасферическими координатами. По-
лисферич. координаты используются в конформной
геометрии, при изучении многообразий фигур.
Лит.: [1] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем.,
М.— Л., 1939; [2] Б у ш м а н о в а Г. В., Η ο ρ д е н А. П.,
Элементы конформной геометрии, Казань, 1972. Д.Д. Соколов.
ПЕРВАЯ АКСИОМА СЧЕТНОСТИ — понятие
теоретико-множественной топологии. Топологич.
пространство удовлетворяет первой аксиоме
счетно с τ и, если система окрестностей всякой его точки
обладает счетной базой. Класс пространств,
удовлетворяющих П. а. с, выделен Ф. Хаусдорфом (F. Haus-
dorff, 1914); к этому классу принадлежат, напр., все
метрич. пространства, пространство непрерывных
функций на отрезке и др. Пространства, удовлетворяющие
второй аксиоме счетности, удовлетворяют и П. а. с.
Обратное неверно, напр. всякое несчетное
пространство с дискретной топологией не удовлетворяет П. а. с.
М. И. Войцеховский.
ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ — см. Вариация функционала.
ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА,
метрическая форма, поверхности — квадратичная форма
от дифференциалов координат на поверхности, к-рая
определяет внутреннюю геометрию поверхности в
окрестности данной точки.
Пусть поверхность задана уравнением
г = г(и, ν),

235
где и и ν — внутренние координаты на поверхности;
dr = ru du-\-rv dv
— дифференциал
направления du :
радиус-вектора г вдоль выбранного
dv смещения из точки Μ в
бесконечно близкую точку Μ' (см.
dr рис. 1). Квадрат главной
линейной части приращения
длины дуги ММ'
выражается квадратом
дифференциала dr:
I = ds2^dr2 = r2udu2 +
-f- 2rarv du dv -f- rv dv2
и наз. первой основной квадратичной
формой поверхности. Коэффициенты П. к. ф.
обычно обозначают через
ПЕРВАЯ 236
О связи П. к. ф. с другими квадратичными формами
поверхности и лит. см. в ст. Квадратичные формы
поверхности. А. Б. Иванов.
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — краевая задача
специального вида; заключается в отыскании в области
D переменных х— (яь . . ., хп) решения
дифференциального уравнения
Lu = f (1)
четного порядка 2т по заданным значениям всех
производных порядка не выше т на границе S
области D (или ее части). Эти условия обычно задаются
в виде
Рис. 1.
E = rl, F = (ru, rv), G-
-rl
или в тензорных символах
dr2 = gn du2 -f- 2g12 du dv + g22 dv2.
Тензор g(j наз. основным, или метрическим,
тензором поверхности. П. к. ф. является
положительно определенной формой в обыкновенных точках
поверхности:
EG — F >0.
П. к. ф. характеризует метрич. свойства поверхности
знание П. к. ф. позволяет вычислять длины дуг на
поверхности:
- S!. /* (£)·+^£ £+*(&)" *·
где t — параметр на кривой; углы между кривыми
на поверхности:
cos (dr 6r) —
_ Ε du 6u + F (du δυ + dv 6u) + Gdv 6v
VE duz+2F dudv + G dv*VE 6uz + 2F 6u6v + G 6г>2 '
где du : dv и διι : δν — направления векторов,
касательных к кривым (см. рис.
2); площади областей на
поверхности:
Ьи:8а
σ= С С VEG — F2dudv.
Рис. 2. Вид коэффициентов П.
к. ф. существенно зависит
от выбора координат на поверхности. П. к. ф. имеет
т. н. ортогональный вид:
Ε (и, v) du2 + G (и, v)dv2
координатах; канонический
в ортогональных
вид
du2 + G2dv2
в полугеодезич. координатах; изотермический
(изометрический) вид в изотермич.
координатах
ds2 = k*(u, v) (du2+dv2).
Иногда поверхности характеризуются специальными
видами П. к. ф. Напр., Лиувилля поверхности
характеризуются следующим видом П. к. ф.:
[q>(u) + y(v)](du2 + dv2).
П. к. ф. является инвариантом изгибания
поверхности: полная кривизна поверхности в данной точке
может быть вычислена через коэффициенты только
П. к. ф. и их производные (теоремы Гаусса).
кдп)
u\s=V*'
О^к^т — 1,
(2)
внешней
где ^ — производная по направлению
нормали к dD. Функции (pfe, 0<Л</и—-1, наз.
данными Дирихле, а сама задача (1), (2), если
S—dD,— Дирихле задачей.
Для обыкновенного дифференциального уравнения
Lu = и" + а^и' -\- аи = / (3)
в области D — (x§<x<ix\) П.
евым условием
и(х0) = у0, и (х1) = у1.
Для
к. з. определяется кра-
линеиного равномерно эллиптич* уравнения
Lu =2" /= χ auuXiXj + 2"= χ а{иХ{ + au = f (4)
П. к. з. (з а д а ч а Дирихле) состоит в
нахождении решений этого уравнения при условии
и\дВ = ц>.
Если функции at-j, α;·, α, /, φ и (η—1)-мерное
многообразие dD достаточно гладки, то эта задача фред-
гольмова. В частности, когда мера D достаточно мала
или когда а<0 в D, П. к. з. однозначно разрешима.
Условия гладкости могут быть значительно ослаблены
как в отношении коэффициентов уравнения и данных
Дирихле, так и в отношении границы dD.
Если (1) является системой 7V>1 уравнений
относительно неизвестного TV-компонентного вектора и,
то П. к. з. ставится аналогичным образом. В этом
случае между задачами Дирихле для систем (3) и (4)
имеется существенное различие: если задача (3), (2)
(S=dD) всегда фредгольмова, то фредгольмовость
задачи (4), (2) может нарушаться. Напр., однородная
задача Дирихле для равномерно эллиптич. системы
Бицадзе (см. [1])
u1xx—uly—2uly = 0,
2иХу -\- и хх—иУу = О
в круге x2-\-y2<R2 имеет бесконечное число линейно
независимых решений. Этот пример послужил
отправным пунктом различных дополнительных условий на L
(правильная эллиптичность, сильная эллиптичность),
обеспечивающих фредгольмовость задачи Дирихле.
Для линейных параболич. уравнений П. к. з.
ставится в цилиндре и носителем данных Дирихле служит
его основание и боковая поверхность. Напр., для
уравнения теплопроводности
Ьи^щ-^ м*,*.=°
решение ищется в области
Я = {0<*<7\ x=(xi, ..., xn)£G}
и носителем данных Дирихле ср=ы|$ служит
S = {0<f<7\ xGdG)[){t=Q, x£dG].

237 первый
Если граница dG -- гладкое (л—1)-мерное
многообразие, функция φ гладкая и выполнено условие
согласования на {£=0, x£dG), то П. к. з. однозначно
разрешима.
Лит.: [1] Бицадзе А, В., Некоторые классы
уравнений в частных производных, М., 1981; [2] Б е ρ с Л., Джон
Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер.
с англ., М., 1966; [3] Курант Р., Уравнения с частными
производными, пер. с англ., М., 1964; [4] Миранда К.,
Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер.
с итал., М., 1957; [5] Петровский И. Г., Лекции об
уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [6]
Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976;
[7] X е ρ м а н д е ρ Л., Линейные дифференциальные
операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965.
А. П. Солдатов.
ПЕРВИЧНОЕ КОЛЬЦО — кольцо Я, в к-ром
произведение любых двусторонних идеалов Ρ и Q равно
нулевому идеалу в том и только в том случае, когда
либо Р, либо Q является нулевым идеалом. Другими
словами, идеалы П. к. по умножению образуют
полугруппу без делителей нуля. Кольцо R является П. к.
тогда и только тогда, когда правый (левый) аннулятор
любого его ненулевого правого (соответственно левого)
идеала равен (0), а также тогда и только тогда, когда
aRb^O для любых ненулевых a, b£R. Центр П. к.
является областью целостности. Любое примитивное
кольцо первично. Если кольцо R не содержит
ненулевых нильидеалов, то R — подпрямая сумма первичных
колец. Класс П. к. играет важную роль в теории
радикалов колец (см. [1]).
Существует следующее обобщение понятия П. к.
Кольцо R наз. полупервичным, если оно не
имеет ненулевых нильпотентных идеалов.
Лит.: [1] Андрунакиевич В. Α., Рябухин
Ю. М., Радикалы алгебр и структурная теория, М., 1979; [2]
Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961;
[3] X е ρ с τ е й н И., Некоммутативные кольца, пер. с англ.,
М., 1972. И. А. Жевлаков.
ПЕРВИЧНЫЙ ИДЕАЛ — такой двусторонний идеал
/ кольца А, что из включения PQ^I для любых
двусторонних идеалов Ρ и Q кольца А следует, что
либо Ρ<Ξ:Ι, либо Q^I. Для первичности идеала /
кольца R необходимо и достаточно, чтобы множество
Л\/ было т-с истемой, т. е. чтобы для любых
a, b£R\I существовал x£R такой, что axb£R\I.
Идеал/ кольца А первичен тогда и только тогда, когда
факторкольцо по нему является первичным кольцом.
К. А. Жевлаков.
ПЕРВООБРАЗНАЯ, первообразная
(примитивная) функция, для конечной функции
f(x) — такая функция F(x), что всюду F' (x)=f(x).
Это определение является наиболее распространенным,
но встречаются и другие, в к-рых ослаблены требования
существования всюду конечной F' и выполнения всюду
равенства F'=f; иногда в определении используют
обобщения производной. Большинство теорем о IL
касается их существования, нахождения и
единственности. Достаточным условием для существования П.
у заданной на отрезке функции / является
непрерывность /; необходимыми условиями являются
принадлежность функции / первому Бэра классу и выполнение
для нее Дарбу свойства» У заданной на отрезке функции
любые две П. отличаются на постоянную. Задачу
нахождения F по F' для непрерывных F' решает Ри-
мана интеграл, для ограниченных F* — Лебега
интеграл, для любой F' — узкий (а тем более широкий)
Данжуа интеграл и Перрона интеграл.
Лит.: [1] Кудрявцев Л. Д., Курс математического
анализа, т. 1, М., 1981; [2] Никольский С. М., Курс
математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975. Т. П. Лукашенко.
ПЕРВООБРАЗНЫЙ КОРЕНЬ — 1) П. к.,
примитивный корень, из единицы в поле К степени
т — элемент ζ поля к такой, что ζ™ — ! и ζΓτ=1 для
любого натурального г<га. Элемент ζ порождает
циклич. группу μ (га) корней из единицы порядка т.
ИНТЕГРАЛ 238
Если в поле К существует П. к. степени га, то га
взаимно просто с характеристикой поля К.
Алгебраически замкнутое поле содержит П. к. любой степени
взаимно простой с характеристикой поля. Если ζ —
П. к. степени п, то для любого к взаимно простого с η
элемент ζ* также является П. к. Число всех П. к.
степени т равно значению функции Эйлера φ (га).
В поле комплексных чисел П. к. степени га имеют вид
cos — + *sin— ,
где 0<fc<m и к взаимно просто с т.
2) П. к. по модулюга — целое число g такое, что
£ф(т)^1(тоага) и gv^l(modra)
при 1<7<ф(га)—1, где φ (га) — функция Эйлера.
Для П. к. g его степени g°=l, g, . . ., gWm)~l
несравнимы между собой по модулю га и образуют
приведенную систему вычетов по модулю га. Таким образом,
для каждого числа а, взаимно простого с га, найдется
показатель γ (0<γ<:φ (т)—*)> ДЛЯ к-рого a^gV (mod га)*
П. к. существуют не для всех модулей, а только для
модулей га вида га=2, 4, ра, 2ра, где р>2 — простое
число. В этих случаях мультипликативные группы
приведенных классов вычетов по модулю га устроены
наиболее просто: они являются циклич. группами
порядка φ (га). С понятием П. к. по модулю га тесно
связано понятие индекса числа по модулю га.
П. к. для простых модулей ρ были введены Л.
Эйлером (L. Euler), но существование П. к. для любых
простых модулей ρ было доказано лишь К. Гауссом
(С. Gauss, 1801).
Лит.: Лен г С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Г а-
усс К. Ф., Труды по теории чисел, пер. с лат. и нем., М., 1959;
Ϊ3] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М.,
1972. Л. В. Кузьмин, С. А. Степанов.
ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ обыкновенного
дифференциального уравнения —
отличная от постоянной и непрерывно
дифференцируемая функция, производная к-рой вдоль решений
данного уравнения тождественно равна нулю. Для
скалярного уравнения
y'=f(*,y) (*)
П. и. есть функция F(x, у), находящаяся в левой части
общего решения F(x, у)=С, где С — произвольная
постоянная. Таким образом, F(x, у) удовлетворяет
линейному уравнению
2^+2^/С»)-о
с частными производными 1-го порядка. П. и. может
не существовать во всей области задания уравнения
(*), однако в малой окрестности точки, в к-рой функция
f(x, у) непрерывно дифференцируема, он всегда
существует. П. и. определяется не единственным
образом. Так, для уравнения y'=—xly П. и. является как
функция х2+У2, так, напр., и функция exp(z2+i/2).
Знание П. и. нормальной системы
i = /(*,<). *€&Λ
позволяет понизить порядок этой системы на единицу,
а отыскание η функционально независимых П. и.
равносильно отысканию общего решения в неявном виде.
Если Fx(x, t), . . ., Fn(x, t) — функционально
независимые П. и., то всякий другой П. и. F(x, t) можно
представить в виде
F(x, t)=Q>(F1(x,t), ..., Fn{x,t)),
где Ф — нек-рая дифференцируемая функция.
Лит.: [1] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Обыкновенные
дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974. Я. Я. Ладис.

239
ПЕРЕВАЛА МЕТОД — метод вычисления
тики интегралов вида
,(λΗ.
Uz,
где λ>0, λ->+οο — большой параметр, γ — контур
в комплексной плоскости ζ, функции 1(ζ) и S (ζ)
голоморфны в области D, содержащей γ. Нули функции
S' (ζ) наз. точками перевала функции S (ζ);
точка перевала — седловая точка поверхности U—
= Re S(x-^-iy). Суть П. м. состоит в следующем.
Контур γ деформируется в контур γ с теми же концами,
лежащий в β и такой, что max Re S (ζ) достигается
zey
только в точках перевала или на концах γ
(перевальный контур). Асимптотика интеграла (*)
по перевальному контуру вычисляется с помощью
Лапласа метода и равна сумме вкладов от указанных
точек максимума. Вклад VZo(k) от τ о ч к и ζ0 —
это интеграл вида (*), взятый по малой дуге контура γ,
ПЕРЕВАЛА МЕТОД 240
Пусть функция f(x) определена в нек-рой
окрестности точки х0 и непрерывна в этой точке. Точка х0
наз. точкой перегиба функции f(x), если она
является одновременно концом интервала строгой
выпуклости вверх и концом интервала строгой
выпуклости вниз. В этом случае точка (х0\ f(x0)) наз. точкой
перегиба графика
функции, т. е. график nxji
функции f(x) в точке
(*)
содержащей
контура у
точку z0. Если z0 — внутренняя точка
точка перевала и £"(ζ0)^0, то
Перевальный контур обладает минимаксным
свойством: на нем достигается
min max Re S (ζ),
У' zey'
где минимум берется по всем контурам γ', лежащим
в D и имеющим те же концы, что и γ. Основная
трудность при применении П. м.— отбор точек перевала,
т. е. выбор перевального контура γ, отвечающего γ.
П. м. восходит к П. Дебаю [1]; идеи этого метода
были высказаны ранее Б. Риманом (см. [2]).
Вычисление вкладов от точек перевала и от концов контура
см. в [3] — [9].
П.^м.— по существу единственный метод,
позволяющий вычислять асимптотику интегралов вида (*).
С его помощью вычислены асимптотики преобразований
Лапласа, Фурье, Меллина, экспоненты от полинома,
многих специальных функций.
Пусть ζ ς С", γ — ограниченное многообразие с краем
размерности η и класса С00, функции /(z), S (ζ)
голоморфны в нек-рой области D, содержащей γ, и dz=
= dzx . . . dzn. Пусть max Re S (ζ) достигается только
в одной точке ζ°, к-рая является внутренней точкой у
и невырожденной точкой перевала функции £(ζ),
т. е. /±s(z°)=detS"(z0)?!:0. Тогда вклад от ζ° равен
f (λ)=(^ γη (_ as (2»))-v!e« («., (/ (z0)+0 (Jt_ J)b
Лит.: [1] D e b у e P., «Math. Ann.», 1909, Bd 67, S. 535—58;
[2] Рима η Б., Сочинения, пер. с нем., М.—Л., 1948; 13]
Эрдейи Α., Асимптотические разложения, пер. с англ., М.,
1962; [4] Б ρ ейн Н. Г., Асимптотические методы в анализе,
пер. с англ., М., 1961; [5] Ε в г ρ а фо в Μ. Α., Асимптотические
оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962; [б] К о π с о н Э.-Т.,
Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1966; [7] О 1-
ν е г P. W. J., Asymptotics and special functions, N. Υ.— [а. о.],
1974; [8] Ρ и е к с τ ы н ь ш Э. Я., Асимптотические разложения
интегралов, т. 1—2, Рига, 1974—77; [9] Φ е д о ρ ю к М. В.,
Метод перевала, М., 1977. М. В. Федорюк.
ПЕРЕГИБА ТОЧКА — точка Μ
плоской кривой, обладающая
следующими свойствами: в точке Μ
кривая имеет единственную
касательную, в достаточно малой
окрестности точки Μ кривая
расположена внутри одной пары
вертикальных углов, образуемых
касательной и нормалью (см. рис. 1).
Рис. 1.
fix)
(х0\ f(x0))
«перегибается» через
касательную к нему в этой
точке: при х<х0
касательная лежит под
графиком f(x), а при
х>х0 — над графиком
/ (х) (или наоборот)
(см. рис. 2). Необходимое
существования П. т.: если
дважды дифференцируемая в
Рис. 2.
условие
функция f(x),
нек-рой окрестности
точки х0, имеет в х0 П. т., то /"(;г0)=0.
Достаточное условие существования П. т.:
если функция f(x) в нек-рой окрестности точки χ
к раз непрерывно дифференцируема, причем к нечетно
и /с>3, и /(">Οζ0)=0 при тг=2, 3, . . ,,к—1,а /<*>(s0)^0,
то функция f(x) имеет в хп П. т.
Лит.: [1] И л ь и н В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы
математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [2] Кудряв-
ц е в Л. Д., Курс математического анализа, т. 1, М., 1981.
ПЕРЕГОРОДКА — замкнутое множество Ε τοπο-
логич. пространства X, разбивающее X между
данными множествами Ρ и Q (или, др. словами,
отделяющее Ρ и Q в X), т. е. такое, что Х\Е=Н1[)Н21 где Нх
и #2 дизъюнктны и открыты в Х\Е, Pcz#i, QczH2
(при этом оказывается, что Ρ и Q открыты во всем X).
П. наз. тонкой, если ее внутренность пуста. Всякое
бинарное (т. е. состоящее из двух элементов) разбиение
а= (Аг, А2) пространства X определяет в X тонкую
П.: 5=граница .Л ^граница А 2, причем X\B=01\J02,
где О ι — открытое ядро Α,·, ί=1, 2. Верно и обратное.
По существу понятие П. между множествами сводится
к понятию связности. Но и обратно, пространство X
несвязно, если 0 есть П. между непустыми
множествами. М. И. Войцеховский.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ линейной
стационарной системы управления
(системы автоматич. регулирования) — Лапласа
преобразование отклика системы на воздействие
единичной импульсной функции
(дельта-функции) 6(t) при нулевых условиях в момент t=0 (сам
этот отклик наз. функцией веса,
импульсной переходной функцией или
импульсной характеристикой системы).
Эквивалентное определение: П. ф. есть отношение
изображений по Лапласу (см. Операционное исчисление)
выходного и входного сигналов с нулевыми начальными
данными. П. ф. представляет собой
дробно-рациональную функцию W(p) комплексного переменного р; она
является коэффициентом в линейном соотношении
Y{p)=W(p)U(p), (1)
связывающем изображение по Лапласу U (р) входа
системы (воздействия, управления) u(t) и изображение
по Лапласу Υ (р) выхода системы (отклика, реакции)
у (t) с нулевыми начальными значениями. В теории
управления соотношение (1) принято изображать
графически (см. рис.).
W(p)
Пусть, напр., система управления описывается
линейным обыкновенным дифференциальным уравнени-

241
ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ МЕТОД
242
, = 1
ем с постоянными коэффициентами
(в реальных системах, как правило, т-^п). Тогда
_bmvm + Ът-хУт-х+ . . .+Ь0
W{p)=*·
р"_1-г .
(2)
(3)
Это же выражение можно получить, если, используя
операторную форму записи уравнения (2) с помощью
оператора дифференцирования ρ
А(р)у = В(р)и,
определить П. ф. как отношение входного
оператора системы В{р) к собственному
оператору системы А (р). П. ф. (3) системы (2)
допускает следующее толкование: если выбрать
управление u—est, где s — комплексное число такое, что
A(s)?~Q, то линейное неоднородное уравнение (2) имеет
частное решение у— W (s)est.
Π. φ. не следует путать с переходной
функцией, к-рая представляет собой отклик системы на
воздействие
функции
единичной
ступенчатой
u(t)
-{
0, /<0,
1, t > О
при нулевых начальных условиях.
П. ф. является одним из основных понятий теории
линейных стационарных систем управления. Она не
зависит от характера приложенных к системе
управляющих воздействий, а определяется лишь
параметрами самой системы и дает тем самым ее динамич.
характеристику. Особую роль в теории управления
играет функция W(i(u) чисто мнимого аргумента, наз.
амплитудно-фазовой, или частотной,
характеристикой системы. Понятие П. ф. обобщается
и на линейные системы управления иных типов
(матричные, нестационарные, дискретные, с
распределенными параметрами и др.).
Лит.: ШРойтенберг Я. Н., Автоматическое
управление, 2 изд., М., 1978; [2] Математические основы теории
автоматического регулирования, М., 1971; [3] К а л ма н Р., Φ а л б П.,
АрбибМ., Очерки по математической теории систем, пер.
с англ., М., 1971; [4] Б у τ к о в с к и й А. Г., Характеристики
систем с распределенными параметрами. Справочное пособие,
М., 1979. Я. X. Розов.
ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ МЕТОД —
итерационный метод решения систем линейных или
нелинейных уравнений, возникающих в разностных или
проекционно-разностных методах при приближенном
решении, напр., краевых задач для уравнений с
частными производными эллиптич. типа.
Пусть, напр., имеются две пространственные
переменные и последовательности квадратных сеток ωΛ
с шагом Д>0 и узлами x^^h, i2h), где i=(ix, ί2) —
вектор с целочисленными компонентами. Пусть ΩΛ —
множество узлов ω^, в к-рых ищется решение
разностной или проекционно-разностной задачи, записанной
в виде операторного уравнения
в евклидовом пространстве Ял, отождествляемом с
пространством функций, заданных в узлах ΩΛ;
размерность Ηh совпадает с числом точек N^ из ΩΛ.
Пусть
Ahuh (χι) =Σ*.+ .tQhaiJuh (xi + j), xi € Ω*, (1)
— линейные операторы, отображающие Hh в Hh.
Среди операторов (1) имеются операторы, у к-рых
ненулевые коэффициенты а^ / в (1) соответствуют лишь
векторам сдвига /^(/Ί, /2) с /г=0. Такие операторы
наз. одномерными'операторам и,
действующими по £j, и обозначаются Ah,X2; аналогично
для векторов сдвига с j\=0 определяются и
одномерные операторы AhtX2, действующие по х2.
Системы уравнений
расщепляются на отдельные подсистемы, каждая из
к-рых связывает лишь значения uh(xj) в узлах,
лежащих на отдельных горизонтальных (для Ah%Xx) или
вертикальных (для АНьХг) линиях сетки. Для П. н. м.
характерно использование расщепляющихся
операторов Ah, имеющих вид
■ Afi,xiAfi, χ2·
Решение системы
тогда сводится
систем
Ан,хАн,х.рн = 8н
последовательному
Αη,ΧινΗ = 8!ι,
(2)
решению двух
(3)
(4)
в к-рых вначале решаются отдельные подсистемы на
горизонтальных линиях сетки (в случае (3)), а затем
осуществляется перемена направлений и решаются
подсистемы на вертикальных линиях сетки (в случае
(4)). При этом обычно операторы Rh выбираются
такими, что на решение систем (3), (4), а следовательно,
и (2), уходит только 0(Nh) арифметич. действий.
Поэтому и каждая итерация в П. н. м. вида
ЛЙ,>вЛ"+1) = лЛ,)иХ,>-(^(и?))-/*), п = 0, 1, .... (5)
где верхний индекс η соответствует номеру итерации,
обычно осуществляется с затратой 0(Nh) арифметич.
действий.
Наиболее эффективные результаты для П. н. м.
получаются для т. н. коммутативного случая, когда
оператор Lh является самосопряженным положительно
определенным оператором, а операторы Rj?* —
самосопряженные и перестановочные с Lh. В этом случае
для любого ε>0 погрешность начального приближения
можно уменьшить по норме в ε-1 раз за число
итераций Л/=0(|1пе||гг)Д|). Коммутативный случай может
встретиться только для краевых задач, в к-рых можно
произвести разделение переменных, и, следовательно,
область должна быть прямоугольником. Наиболее
частым случаем метода (5) для уравнения
LhUh = (A^iXl + AhiXi) uh = fh
является метод
— γ^'Μ?-/*).
-"h
in))-
где Eh — тождественный оператор.
Наряду с подходом, в к-ром за счет выбора
итерационных параметров стремятся минимизировать норму
оператора перехода от нулевой итерации к итерации
с фиксированным номером, используются и подходы,
основанные на различных вариационных принципах.
П. н. м. часто используется в качестве внутреннего
итерационного процесса в двухступенчатых
итерационных методах, использующих операторы,
эквивалентные по спектру и пригодные в случае переменных
коэффициентов и нелинейных задач.
Лит.: [1] PeacemanD. W., RachfordH. H., «J.
Soc. Industr. Appl. Math.», 1955, v. 3, № 1, p. 28—41; [2]
Дьяконов Ε. Г., Итерационные методы решения разностных
аналогов краевых задач для уравнений эллиптического типа, К.,
1970; [3] Я н е н к о Η. Η., Метод дробных шагов решения
многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [4]
Самарский Α. Α., Введение в теорию разностных схем, М.,

243
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ
244
1971; [5] Μ а р ч у к Г. И., Методы вычислительной
математики, 2 изд., М., 1980. Е. Г. Дьяконов.
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ — свойство динамич. системы
(каскада {Sn} или потока {St}) с конечной
инвариантной мерой μ, состоящее в том, что для любых
двух измеримых подмножеств А, В фазового
пространства W мера
соответственно
Ц(№)-^П5),
стремится к
μ (Α) μ (Β)/μ (W)
при 7i->oo, соответственно при t—*■ оо. Если
преобразования 5, Sf обратимы, то в определении П. вместо
прообразов множества А относительно этих
преобразований можно брать образы SnA, SjA, что более
наглядно. При наличии свойства П. говорят также,
что система перемешивает, а в случае перемешивающего
каскада {Sn} о порождающем его эндоморфизме S
пространства с мерой (W, μ) тоже говорят, что S
перемешивает (обладает свойством П.; впрочем, в
последнем случае под П. часто понимают не свойство
объекта, а сам этот объект, то есть S).
В эргодич. теории наряду с П. рассматривают
родственные свойства — кратное
перемешивание и слабое перемешивание (см.
[1]; последнее в старой литературе часто называли
П. в широком смысле, или короче — просто П., а о
П. говорили как о П. в сильном смысле).
Рассматривают также свойство, промежуточное между П. и
слабым П. (см. [2]). Все эти свойства сильнее
эргодичности.
Имеется аналог П. для систем с бесконечной
инвариантной мерой (см. [3]).
Лит.: [1] X а л м о ш П. Р., Лекции по эргодической теории,
пер, с англ., М., 1959; [2] Furstenberg H., Weiss В.,
в кн.: The structure of attractors in dynamical systems, В.— Hdlb—
N. Y., 1978, p. 127—32 (Lecture Notes in Math., № 668); [3]
Krengel U., Sucheston L.,«Z. Wahrscheinlichkeitsthe-
or. und verw. Geb.», 1969, Bd 13, № 2, S. 150—64. Д. В. Аносов.
ПЕРЕНОРМИРОВКА — процедура устранения
расходимостей, присущих теории возмущений в лагран-
Жевой формулировке квантовой теории поля. При
построении формальных рядов теории возмущений
в квантовой теории поля появляются выражения,
не имеющие однозначного математич. смысла,
связанные с т. н. ультрафиолетовыми расходимостями. Такие
расходимости возникают из-за того, что коэффициенты
этих рядов являются произведениями обобщенных
функций, т. е. объектом, вообще говоря, не
определенным корректно.
Удобно начинать рассмотрение с регуляризованной
теории, в к-рой обобщенные функции заменены
достаточно гладкими. Регуляризация вводит в теорию
дополнительные параметры, не имеющие прямого
физич. содержания. Но в регуляризованной теории
уже возможно выделить из каждой коэффициентной
функции ту ее часть, к-рая при снятии регуляризации
порождает ультрафиолетовые расходимости.
Собственно П. состоит в отбрасывании расходящихся вкладов в
коэффициентные функции. После П. регуляризация
снимается, т. е. регуляризующий параметр
исключается соответствующим предельным переходом.
Идея П., предложенная X. Бете (см. [1]), состоит
в том, что отбрасывание расходимостей должно
производиться таким способом, чтобы оно сводилось к
переопределению (П.) параметров исходного лагранжиана,
т. е. затравочных масс, констант связи и нормировки
полей. Точная формулировка перенормировочной
процедуры в квантовой теории поля (^-операция) была
дана Η. Η. Боголюбовым и О. С. Парасюком (см. [2]).
Ими была доказана теорема (теорема
Боголюбова — Парасюка) о конечности в смысле
обобщенных функций из Sr перенормированных
выражений в каждом порядке теории возмущений. При
этом П. сводится к добавлению к лагранжиану
дополнительных членов — «контрчленов». Каждый
контрчлен представляет собой нек-рую локальную
операторную структуру с числовым коэффициентом,
являющимся, вообще говоря, бесконечным рядом по затравочным
константам связи. Эти коэффициенты конечны лишь
при наличии регуляризации и обращаются в
бесконечность при снятии ее. Таким образом, П.
демонстрирует вспомогательный характер исходного
лагранжиана. Физич. смысл придается лишь лагранжиану
перенормированному. Его параметры, т. е.
перенормированные массы, константы связи и т. д., к-рые
конечны, можно идентифицировать с наблюдаемыми
величинами.
Лагранжева формулировка теории возмущений
возможна лишь для теорий, в к-рых число контрчленов,
отличающихся по своей операторной структуре,
конечно. Такие теории делятся на два класса — супер-
нормируемые и перенормируемые. В супернормиру-
емых теориях коэффициенты при контрчленах
являются конечными рядами по константам связи, а в
перенормируемых — эти ряды бесконечны. В этих
теориях операторная структура контрчленов, как
правило, та же, что и отдельных членов исходного
лагранжиана. Их объединение и приводит к П.
затравочных констант.
В классич. варианте П. есть Λ-операция
Боголюбова — Парасюка (устранение расходимостей из
каждой диаграммы, возникающей, напр., в разложении
^-матрицы) и сводится к переопределению
коэффициентной функции этой диаграммы следующим образом.
Пусть My — оператор, сопоставляющий
коэффициентной функции диаграммы γ начальный отрезок ее
разложения в ряд Маклорена по импульсам. Тогда
коэффициентная функция RGT{p1, . . ., ρ χ)
перенормированной диаграммы Г запишется как
RGv(pi, ..., ρν) =
= : Πν^ίν;)*1-^·) : сг(?ь .... PNh (*)
где {γ,·} — совокупность всех расходящихся
поддиаграмм диаграммы Г, а символ · . . . · означает, во-
первых, отбрасывание в получающемся из (*) при
раскрытии скобок выражении всех членов, содержащих
произведения My My., отвечающие паре поддиаграмм,
для к-рых не выполняется ни одно из условий γ,-CY/,
γ,ογ/, γ,-flYy = 0, и, во-вторых, упорядочивание
операторов My. таким образом, что My. стоит правее
My., если Y/CY/.
Ограничения, накладываемые на процедуру П., не
фиксируют ее полностью. Остающийся произвол имеет
двоякий характер. Во-первых, требование конечности
перенормированных выражений определяет лишь не-
к-рое минимальное число «вычитаний» в каждой
расходящейся поддиаграмме, т. е. минимальное число
выделяемых членов ряда Маклорена. П. будет по-
прежнему приводить к конечным результатам, если
число вычитаний увеличивать, соблюдая нек-рые
условия согласования для вычитаний в различных
поддиаграммах перенормируемой диаграммы. Во-вторых,
вместо отрезка ряда Маклорена можно вычитать
выражение, отличающееся от него многочленом по
импульсам той же степени с конечными коэффициентами.
Указанный произвол приводит к эквивалентности
различных процедур П., отличающихся по своей
формулировке от Л-операции. Их конкретный выбор
обычно диктуется рассматриваемой задачей. Так, для

245
ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ
246
теорий с калибровочной инвариантностью, была
предложена П., получившая название размерной. Она
базируется на регуляризации, использующей в качестве
параметра отклонение размерности
пространства-времени, в к-ром производятся вычисления, от физич.
значения. Устранение расходимостей производится
путем отбрасывания выражений, сингулярных по этому
отклонению.
В других задачах пользуются аналитич. П. В ее
основе лежит регуляризация, состоящая в замене
пропагатора частицы, имеющего вид типа (р2—т2-\-Ю)-1
на (р2—т2-\-Ю) . Продолжение в комплексную область
по параметрам λ осуществляет регуляризацию теории,
а ультрафиолетовые расходимости выделяются как
полюса по нек-рым линейным комбинациям этих
параметров. Согласованное отбрасывание таких
полюсов устраняет все расходимости.
В приложениях используются и другие схемы П.
(см. [3]).
Лит.: El] В е t h е Η. Α., «Phys. Rev.», 1947, v. 72, p. 339—
341; [2] Боголюбовы. Н., Парасюк O.C., «Докл.
АН СССР», 1955, в. 100, № l, с. 25; № 3, с. 429; [3]
Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М.,
1979 С А Аникин
ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ —
исследование прохождения электромагнитного излучения, гамма-
квантов, нейтронов и др. элементарных частиц
через вещество с помощью линейного кинетического
уравнения, или уравнения переноса (см. Кинетическое
уравнение).
Задача определения поля излучения в атмосфере,
рассеивающей свет по известным физич. законам,
возникла в 80-е гг. 19 в. в связи с исследованиями
по освещенности дневного неба. Кинетич. уравнение
переноса излучения было найдено в нач. 20 в. для
задачи о лучистом равновесии в звездных атмосферах.
Физич. смысл уравнения переноса — баланс энергии,
числа квантов, числа частиц в элементе фазового
пространства координат и скоростей частиц:
~dt~\ Ы /столки.-^' I*'
где Φ (г, v, i) — функция распределения частиц в
d
точке г, ν — скорость, t — момент времени, -gj- —
полная
стицы
производная
дФ
' ^ et уст
по траектории движения ча-
- скорость изменения функции
распределения за счет столкновения частиц с веществом
(нейтронов с ядрами или квантов с атомами вещества),
S — мощность источника частиц. Для
электромагнитного излучения в качестве независимых переменных
функции распределения, определяющей среднюю
интенсивность излучения, входят вектор направления
излучения и его частота. Одни и те же уравнения для
описания распространения частиц и квантов
получаются вследствие одинакового физич. смысла этих кинетич.
уравнений — баланс энергии в фазовом пространстве.
Член, описывающий столкновения, является
интегральным:
-2(г, ν) Φ (г, *>, t),
а само уравнение переноса (кинетическое
уравнение) — интегро-дифференциальным
уравнением. Здесь Σ — полное сечение взаимодействия
частиц с веществом в элементарном акте столкновения,
2s(/% ν' -> ν) — сечение перехода (вероятность
перехода) из скорости ν' до рассеяния в скорость υ после
рассеяния (с учетом вероятности, что столкновение
произойдет). Для свободного движения частиц полная
производная от функции распределения по траектории
движения имеет вид
йФ дФ , , ^
Для полного определения решения необходимо задать
начальное условие
Φ|ί=ο = /(Γ, ν)
и граничное условие. На границе тела (области
пространства, внутри к-рой решается уравнение переноса)
могут быть заданы, напр., условия абсолютного
поглощения частиц
φ (г, v, t)=0 при (v-n) < 0,
где η — внешняя нормаль к поверхности (границе)
тела. Возможны и более общие граничные условия,
описывающие отражение частиц от границы или
«прострел» частиц через вакуум (для невыпуклого тела,
граничащего с вакуумом — областью, где нет
столкновений). Математич. исследование уравнений
переноса в односкоростном случае, т. е. в предположений, что
изменяется лишь направление распространения
излучения или частиц при постоянной энергии кванта или
частицы, было проведено B.C. Владимировым [1] для
случая -gr =0. При изотропном рассеянии задача
сводится к интегральному уравнению с положительным ядром,
к к-рому применима теория вполне непрерывных
операторов, оставляющих инвариантным конус в
банаховом пространстве. При этом однородная задача имеет
положительное собственное значение (стоящее
множителем при интеграле столкновений), к-рое не больше
модуля всякого другого собственного значения λ/, и
ему отвечает, по крайней мере, одна неотрицательная
собственная функция (соответствующая λχ). Эта
теорема обобщается на случай анизотропного рассеяния.
В широком классе случаев первое собственное значение
задачи оказывается простым, а собственная функция,
соответствующая ему,— положительной почти всюду
в фазовом пространстве координат и направлений.
Таков, напр., случай, когда 25(г, ν' ->- ν)>0
почти всюду. Найдены условия, при к-рых для
уравнения переноса с анизотропным рассеянием справедлива
теория Гильберта — Шмидта, построен новый
вариационный функционал для уравнений переноса с
четной вероятностью перехода относительно переменной
μ0—(ν·ν'). С помощью нового вариационного метода
последовательно исследованы уравнения метода сферич.
гармоник, к-рые вместе с краевыми условиями
получаются применением прямого вариационного метода
Галеркина к уравнению переноса, если в качестве
пробных функций взять линейные комбинации сферич.
функций, зависящих от направления распространения,
умноженных на неизвестные функции пространствец-
ных координат. Вариационный принцип позволил
отобрать наилучшие граничные условия для метода
сферич. гармоник, ранее найденные эмпирически, из
вдвое большего количества возможных линейно
независимых условий на границе тела (для плоской
геометрии) (см. [1]).
В нестационарном случае (см. [2]) при исследовании
спектра собственное значение при переходе к
интегральному уравнению (для изотропного рассеяния)
нелинейно входит в ядро интегрального уравнения. Это
обстоятельство приводит в конечном счете к тому, что
число точек дискретного спектра оказывается
конечным (а в некоторых случаях — нестационарная задача
для тепловых нейтронов в малом блоке замедлителя —
их вообще нет), кроме того, появляется сплошной
спектр собственных значений.

247
В ряде случаев удается получить аналитическое
решение уравнения переноса. Например, методом
Винера — Хопфа решается задача Милна; метод
разложения по сингулярным собственным функциям
оператора переноса позволяет решить ряд одномерных
задач [3].
В связи с потребностями инженерной практики были
развиты оперативные численные методы решения
уравнения переноса нейтронов для расчета критич. режима
ядерного реактора (задача на собственные значения
для уравнения (*) при дФ/дЬ — О). Одним из
основных методов решения является метод сферич.
гармоник, к-рый, однако, сложен для реализации на ЭВМ
и, как, впрочем, и другие методы, медленно сходится
(это объясняется наличием особенности в ядре
интегрального уравнения переноса). См. Переноса
уравнения; численные методы решения.
Лит.: [1] Владимиров В. С, «Тр. Матем. ин-та АН
СССР», 1961, т. 61; [2] Шихов С. В., Вопросы
математической теории реакторов. Линейный анализ, М., 1973; [3] К е й з К.,
Цвайфель П. Ф., Линейная теория переноса, пер. с англ.,
М., 1972; [4] С о б о л е в В. В., Перенос лучистой энергии
в атмосферах звезд и планет, М., 1956. В. А. Чуянов.
ПЕРЕНОСА ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность,
образованная параллельным переносом кривой Lx так, что
нек-рая ее точка М0£Ьг скользит по кривой L2. Если
гг(и) и r2(v) — радиус-векторы кривых Lx и L2
соответственно, то радиус-вектор П. п. есть
r = r1(u) + r2(v) — r1(u0),
где r1(u0)=r2(v0) — радиус-вектор точки М0. Линии
и—const и v= const образуют переноса сеть. Каждая
линейчатая поверхность имеет оо1 сетей переноса
(Р ей демейстера теорема),
развертывающаяся П. п. может быть только цилиндром или
плоскостью. Если поверхность имеет две сети переноса,
то несобственные точки касательных к линиям этих
сетей лежат на алгебраич. кривой 4-го порядка.
Инвариантным признаком П. п. является существование
сопряженной чебышевской сети (сети
переноса). Напр., изотропная сеть на минимальной
поверхности есть сеть переноса, так что эта
поверхность есть П. п. Можно также П. п. охарактеризовать
тем, что одна из ее кривых (линия переноса) переходит
в линию, лежащую на той же поверхности, под
воздействием однопараметрич. группы параллельных
переносов. Замена этой группы произвольной
однопараметрич. группой G приводит к обобщенным
поверхностям переноса (см. [1]).
Лит.: [1] ШуликовскийВ. И., Классическая
дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.
И. X. Сабитов.
ПЕРЕНОСА СЕТЬ — сопряженная чебышевская сеть
на двумерной поверхности аффинного (или евклидова)
пространства. Поверхность, несущая П. с, наз.
переноса поверхностью.
В расширенном пространстве имеет место теорема
Л и: если поверхность несет две П. с, то касательные
к линиям этих сетей высекают на несобственной
плоскости кривую 4-го порядка (см. [1]).
Лит.: [1] Ш у л и к о в с к и й В. И., Классическая
дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.
В. Т. Базылев.
ПЕРЕНОСА ТЕОРЕМА втеории диофан-
товых приближений — утверждение о связи
разрешимости в целых числах одной системы
неравенств с разрешимостью другой системы, определенным
образом связанной с первой. Классич. примером
линейных П. т. является принцип переноса Хинчина (см.
Диофантовы приближения). Более общие линейные
П. т. касаются связи между решениями в целых числах
системы однородных линейных неравенств с неособой
квадратной матрицей и решениями соответствующей
системы с обратной транспонированной матрицей:
юл 248
существование нетривиального решения одной
системы гарантирует существование нетривиального
решения другой, и наоборот. Подобные связи существуют
между линейными однородными и неоднородными
системами неравенств, при этом отсутствие
нетривиальных решений однородной системы неравенств
гарантирует существование решений соответствующих
неоднородных систем, и наоборот. Известны такого
рода связи и в случае нелинейных задач, но они менее
определенно выражены и мало изучены.
Принципиальные основы П. т. теории диофантовых приближений
проясняются П. т. геометрии чисел: для выпуклых
множеств устанавливаются связи между наличием
целых точек в данном и взаимном к данному
множествах.
Лит.: [1] Касселс Дж. В. С, Введение в теорию
диофантовых приближений, пер. с англ., М., 1961; [2] его ж-е,
Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1965.
В. Г. Спринджук.
ПЕРЕНОСА УРАВНЕНИЯ; численные
методы решения — методы решения интегро-диф-
ференциальных уравнений, описывающих перенос
частиц или излучения. Для стационарных задач
уравнения имеют вид
Ω νφ + Σφ= [ dv' С dQ' φιν(χ, Ω, Ω', ν, ι/) + /, (1)
где £= (χ, г/, ζ), Ω= (Ωχ, Ω2, Ω3) — единичный вектор,
φ=φ(ζ, Ω, ν) — поток частиц в точке х, летящих со
скоростью vQ; положительные функции Σ, w
описывают взаимодействие частиц с веществом, а / —
источник. Рассматривают две основные задачи: 1) найти
решение уравнения (1) в (выпуклой) области D (х, г/, ζ).
такое, что на ее границе Г
φ (я, Ω, у)=0 при (Ω, п) < 0, (2)
где η — внешняя нормаль к Г; 2) найти наибольшее
собственное значение λ) и соответствующую
собственную функцию задачи (1) — (2), в к-рой
/ =-1 С dv' С dQ' φι^χ (χ, Ω, Ω', ι>, ν'). (3)
Уравнение (1) содержит шесть независимых
переменных; из-за существенной многомерности его сводят
к более простым уравнениям. Заменяя в (1), (3)
интеграл по ι/ квадратурной формулой с N членами и
предполагая изотропность рассеяния, получают
систему т. н. многоскоростных
уравнений
Ωνφ,· + Σ/φ¥ = 2ί11Σί/φίο + //· * = 1, 2, ..., Ν, (4)
где
φ/=φ/ (*, Ω), φ/ο = ^ \ φ/d®'
— нулевые моменты, а коэффициенты Σ,·, Σ5ι/, /,·
получены применением методов усреднения с
использованием решений сопряженных задач. Для задачи 2)
аналогично получают, что
ft = TttQ «Ρ) = χ Χ' Σ,=, V*· <5)
Для Ν— 1 получают односкоростное
уравнение
Ωνφ + Σφ = Σ5φ0 + / (6)
для функции φ=φ(χ, Ω). Уравнение (6) для плоского
слоя 0<ж#, когда решение зависит только от одной
координаты χ и одной угловой переменной μ, |μ|<1,
имеет вид
р1Ш + ч,=ст j-iVi*» μ')Φ' + Μ*. μ)» (7)
ПЕРЕН

2^9 ПЕРЕНОСА
где Ζ=1/Σ, с= Σ$/Σ, /1==//ς . Характеристиками левой
части (6) являются все прямые ζ=;ζ0+ξΩ, x0£D; вдоль
каждой из них уравнение (6) принимает вид
5 + Σφ = Σ5φ0 + /. (8)
Если в (6) сделать замену и=(у(х, Ω)+φ(.τ, — Ω))/2,
то оно принимает вид
[— /Ω V]2 и + и = сщ + F. (9)
Решение уравнения (9) минимизирует квадратичный
функционал Владимирова:
б(м) = (Шув, Шу«)+(и, а) — (сы0, и) +
+ 5ΓΧΩ Ι (Ω, и) I и* dQ dT-2 (и, F), (10)
где
(и, v)=[\ uv dxdQ.
Пусть краевые задачи записаны в операторной
форме
Ζ,φ = £φ + /. (11)
Характерным свойством задач переноса,
используемым в численных алгоритмах, является то, что
значение Ζ,-1,ψ находится по заданному ψ прямым
методом путем интегрирования (8) вдоль характеристик.
Учитывая это, из (11) получают т. н.
интегральное уравнение Пайерлса
Sy = SL-i(S<p + f) (12)
для нулевого момента 5φ.
Для решения задач переноса существенное развитие
получил метод сферических гармоник
(являющийся вариантом метода Галеркина).
Приближенное решение (Р„-приближение) находят в виде
φ<»> (*, Ω) = Σ£= 0 (2А; +1) 2*= _ k <tki (x) Yki (Ω), (13)
где <Pfei(£) — неизвестные функции, a Yki(Q)—сфе-
рич. гармоники к-то порядка. Подставляя (13) в (6),
умножая результат на Yki и интегрируя по Ω,
получают систему уравнений с частными производными
для определения q>ki(x)- В Pi-приближении система
имеет вид
άίνφ1 + Σφ0 = /0, -|· V<Po + <Po + 2<Pi = /i,
2 (Φι, Αΐ)-φ0|Γ=0, (14)
где Ф0=Фоо> Ψι= (Φη> Φΐ2» Ψιβ)· При /х=0 из (14)
получают диффузионное приближение
-αίν£>νφο + Σφ0 = /0, 2#^-φο|Γ = 0, (15)
где Ζ) = 1/(3Σ). Это — эллиптич. задача, решение
к-рой находят, применяя вариационные или сеточные
методы.
Для решения одномерных задач развиты аналитич.
методы, основанные на разложении решения по
обобщенным собственным функциям. Для нахождения
значений функционалов от решений сложных
многомерных задач применяют Монте-Карло метод.
Широкое распространение получили методы конеч-
норазностных аппроксимаций уравнения переноса.
Так, используя квадратурную формулу для области
D, заменяют интегральное уравнение (12) системой
линейных уравнений. В уравнениях (4), (5), (6), (8)
для аппроксимации интегрального оператора
применяют квадратурные формулы для сферы. Известны
Гаусса квадратурные формулы для сферы до 35-го
алгебраич. порядка точности. В методе характеристик
через каждую точку пространственной сетки проводят
семейство характеристик по направлениям,
соответствующим узлам квадратуры для сферы, и заменяют
дифференциальный оператор L в (8) разностным.
Разностные уравнения 5п-м е τ о д а получают
интегрированием уравнения (6) по сеточной ячейке фазового
пространства, предполагая линейность решения в
пределах ячейки по независимым переменным. В
методе Галеркина решение ищут в виде
Если фп(я) заданы, то для определения gn(Q)
получают систему вырожденных интегральных уравнений;
если φη(ζ) — финитные функции, то получают м е-
тод конечных элементов; если gn(Q) —
заданные финитные функции и выражение (16)
минимизирует функционал (10), то получают так наз. Рмг
уравнения.
Итерационные методы решения разностных задач
переноса обладают своей спецификой; она заключается
в том, что сходимость итерационных методов, как
правило, замедляется при с -> 1 (с<1), а для нахождения
следующего приближения φΛ + 1 используют только
часть информации о предыдущем приближении φ*
существенно меньшей размерности — запоминают и
используют лишь значения φ0. В итерационных
методах в качестве промежуточной операции (операции К)
часто входит решение следующей задачи
L<$b = Syk + f, Φο = ^$Φ*£*Ω\ (17)
Тогда ошибка φ—Q>k удовлетворяет (И) с независящим
от Ω источником S (Φ*—φ*) и невязка тоже не зависит
от Ω. Это свойство позволяет ускорить сходимость
итераций. Пусть задана периодич. задача для
уравнения (7) с постоянными коэффициентами, четным по
μ источником и Н—2л. Применительно к этой задаче
ниже рассмотрены следующие итерационные методы.
Для уравнения (7) строится сетка с N узлами по χ
и Μ угловыми направлениями по μ. Пусть
г (i) = i-1arctgi, 0<r (*)<1,
ео = фо — Фо = 2„ гп ехр (inx),
||e5||=max| ε* |.
η
Для сходящихся итерационных методов ||8о+1||<д||ео11,
где 0<д<1. Пусть Ц0 — цена (количество действий)
операции К, Ц — цена полной итерации, а А=Ц — Ц^.
Для различных методов имеют место следующие
соотношения.
1) Простая итерация: <ро+1=Фо5 для нее
Δ=0, q=c.
2) Метод Люстерника: для нек-рых к
полагают в простой итерации
φί+^ΦΪ+ίλι-Ιί-^Φο-φο),
где λχ>1 — наибольшее собственное значение задачи
£φ=λ£φ; тогда A=0(7V), q—cr(l)(q -> 1 при с ->- 1,
Z_>0).
3) Метод оценки итерационных
отклонений: (po+1=Q>o + Wo, где W* — решение
уравнения
тогда
H = 0(NM), <7 = max(cr(/), ^^)
(q -> 1 при с->1, 1-+0).

251
ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА
252
4) Метод с балансовыми множите-
л я м и: φ£+1=δ*Φο, где
, ifa
δ* =
?"(1 — с)Ф5йж '
для него Δ=0(Ν), q=cr(l)(q-+l при с->1, Z->0).
5) Метод средних потоков (метод
ρ θ б а л а н с а):
q>fc+1(x, μ) = (1 + ι>*(*))Φ*;
функцию ί^Λ выбирают, чтобы минимизировать
функционал (10) или чтобы минимизировать его на нек-ром
конечномерном подпространстве: ν*= Σ ;<!,·%, тогда α ι
удовлетворяют определенной системе уравнений.
6) Метод квазидиффузии:
-<£^*φο + 1+(1-<)φο* + 1=/„,
dx dx
где
ζ)*=(ξ|_ιΦνίφ)/φο;
тогда Д=0(УУМ).
7) Методы расщепления:
(7 + τΛ2) (7 + ^)9*+! =
= (7 + τΛ2)(/-τΛ1)φ* + 2τ/,
где
Λι = ζ—I" Six <· -·)^μ. Λ2 = ^1·
Методы 4) — 6) — нелинейные, их сходимость
может замедляться при с->-1, Ζ ->- 0; метод 7) требует
запоминания φ*(#, μ)(g —^ 1 при с->1, /-> 0).
8) К Ρ - м е т о д ы: поправку Wk определяют как
решение в D краевой задачи
QnWk^Pnc{W^+ol-cpk0), (18)
где Qn, Pn — линейные дифференциальные операторы
2-го порядка, и полагают φί+1=Φο+Η^. В одном из
вариантов ЯР-метода уравнение (18) имеет вид
Для уравнения (19) Δ=0(Ν); q=Q, 186с при £fe=0,843,
а при gk= (l + ?/fe)/2, где у^ — корни многочлена Якоби
р(—Чг, 2(τν + β)—2/з)(^^ β>0, среднегеометрическое за
N итераций значение q близко к 0,15с. В ТГР-методе
сходимость итераций не замедляется при с —► 1, Ζ —► 0.
Для решения многоскоростной задачи (4) применяют
итерационный метод Зейделя:
i = l, 2, ..,, Ν, (20)
а решение φί+1 в каждом уравнении (20) находят
итерационным методом для односкоростного
уравнения.
Для решения многоскоростных задач на
собственные значения (4), (5) к описанным двум итерационным
циклам добавляют еще один внешний для нахождения
максимального значения λ=λ1 и соответствующей
собственной функции φ. Если x=Q(y), A = Q(L—S)-1%,
то задача (4), (5) преобразуется в задачу
Αχ = λχ. (21)
Для нахождения λχ и φ применяют итерационные
методы с чебышевскими параметрами
uk+1 = Ax^ — f^k + 1x^f xk + 1 = uk + 1/Q (w*+1), (22)
где
ββ = -ό- (Μ + m+(M — m) costtCufe),
(23)
ω£ζ[0» 1]» Μ, m — параметры. Предполагая
неотрицательность спектра, сначала находят λχ и λ2 —
наибольшие собственные значения (21), считая, что т=0,
М=а, где а>0 — оценка снизу для λχ, и беря за ω^
Г-последовательность (см. ниже). Значения λχ, λ2
определяют т. н. обобщенным методом
Э й т к е н а, учитывающим сдвиги β^. После
нахождения λ1? λ2 функцию φ находят по формулам (22),
(23), полагая Μ—λ2. Бесконечная Г-п о с л е д о в а-
тельность образована, соответственно, из
специальным образом упорядоченных корней многочленов
Чебышева 1-го рода 7V3"(cos πω); начальный отрезок
^-последовательности длины 2-3" состоит из всех
чисел вида (2jk—1)/4·3", 1</^<2·3",
J_ _L _L 11 — 2- J_
4 ' 4 » 12 ' 12 ' 12 ' 12 ' 36 » * * *»
Любой отрезок ^-последовательности длины 2-3"
обеспечивает оптимальное в нек-ром смысле
подавление ошибки и устойчивость в итерационном методе
(22), (23).
Для решения нестационарных задач
применимы: метод характеристик в пространстве {х, t),
метод Галеркина и конечноразностные методы,
сводящиеся к явным и неявным по разностным схемам
или к методам расщепления оператора. В случае
неявных схем для нахождения решения на верхнем
слое может быть применен ЯР-метод.
Лит.: [1] Владимиров В. С, «Тр. Матем. ин-та АН
СССР», 1961, т. 61, с. 1—158; [2] МарчукГ. И.,
Лебедев В. И-, Численные методы в теории переноса нейтронов,
2 изд., М., 1981; 13] Л е б е д е в В. И., Φ и н о г е н о в С. Α.,
«Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1976, т. 16, № 4, с. 895—907;
[4] Л е б е дев В. И., там же, 1977, т. 17, № 1, с. 100—108.
В. И. Лебедев.
ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА — система,
число уравнений к-рой больше числа неизвестных. В
линейном случае такие системы задаются прямоугольной
(тХ л)-матрицей, т<п, где т — число уравнений,
а п — число неизвестных. Для П. с. первоочередным
является вопрос ее разрешимости, выражаемый в
условиях совместности.
Напр., П. с. линейных алгебраич. уравнений
2п „
= 6/, 1 ^i^rriy
разрешима тогда и только тогда, когда ранги
основной матрицы Л=||о/у|| и расширенной матрицы,
полученной приписыванием к А столбца свободных
членов, совпадают.
Для П. с. линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Σ"=1ρ//(β)»/=/ί. ι·
(1)
где pij — многочлен от одного (обыкновенное
уравнение) или нескольких (уравнение с частными
производными) переменных, a D — символ
дифференцирования, условие совместности выражается в виде
однородной системы уравнений с постоянными
коэффициентами
qki(D)fi = 0, l<*<r,
(2)
где матрица q находится по матрице ρ с помощью
алгебраич. соображений.
Для П. с. (1) дифференциальных уравнений с част-
| ными производными с переменными коэффициентами

253
ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ТЕОРИЯ
254
Pij~Pij(x, D) отыскание условий совместности,
имеющих вид (2) с qki=4ki(xi D)> является значительно
более трудной задачей.
Простейшим примером П. с. служит система
дифференциальных уравнений
— = /<·, 1<|<л1.
Условия совместности для этой системы, необходимые
и достаточные для ее разрешимости, имеют вид
Аналитич. функции многих комплексных
переменных u(zx, . . ., zm) можно также рассматривать как
решения П. с. уравнений
ди 1 / ди . . ди \ Λ л ^ .^
где zj=xj+iyj.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры,
3 изд., М., 1970; L2] Π а л а м о д о в В. В., в сб.: Итоги науки.
Математический анализ. 1968, М., 1969, с. 5—37.
А. П. Солдатов.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ множеств — одна из основных
операций над множествами. Пусть имеется нек-рая
(конечная или бесконечная) совокупность множеств {Аа}
(индексы α служат для различения элементов данной
совокупности). Тогда множество тех элементов, к-рые
содержатся во всех данных множествах (множество
элементов, общих всем множествам Аа) наз.
пересечением этих множеств.
П. множеств обозначается A=f\Aa.
М. И. Войцеховский.
ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ТЕОРИЯ на
алгебраическом многообразии — теория пересечений
алгебраич. подмногообразий и циклов. Пусть X —
гладкое алгебраич. многообразие размерности η над
полем к, а У и Ζ — подмногообразия X коразмерности
i и / соответственно. Если Υ ж Ζ пересекаются транс-
версально, то Υ[}Ζ является гладким
подмногообразием коразмерности i+/, к-рое обозначается Y-Z.
В общем случае паре (У, Z) сопоставляется
алгебраический цикл Υ -Ζ коразмерности i-\-f. Идея его
определения состоит в том, чтобы заменить У и Ζ на
эквивалентные в каком-то смысле циклы Υ' и Ζ',
находящиеся уже в общем положении, и взять затем
пересечение У и Ζ'; конечно, при этом цикл Υ' -Ζ* также
определен с точностью до эквивалентности.
Пусть А* (X) — группа классов алгебраич. циклов
коразмерности г на X по модулю рациональной
эквивалентности; А (Х)= © А1(Х). Теория пересечений
Чжоу состоит из построения трех частей:
а) структуры градуированного коммутативного
кольца на А (X) для каждого гладкого квазипроективного
многообразия X;
б) гомоморфизма градуированных колец /* : A (Y) ->-
-> А (X) для каждого морфизма / : X —►- Υ (обратный
образ);
в) гомоморфизма групп /+ : А (X) ->· A (Y) степени
(ИтУ—dimX для каждого собственного морфизма
/ : Χ -ν Υ (прямой образ).
При этом структуры а), б), в) связаны рядом
соотношений, важнейшими из к-рых являются:
формула проекции: для собственного
морфизма / : X ->■ Υ и циклов <χζΑ (Χ) и βζ4 (У)
/.(α·/·(β)) = /.(α)·β;
редукция к диагонали: если Δ : X ->-
-►XXX — диагональный морфизм, а α, βζ^(Χ), то
*.ρ=Δ*(αΧβ).
Кроме того, существует естественный гомоморфизм
сг : Pic(*)—►ЛЧ*),
что позволяет построить теорию Чжэня классов со
значениями в кольце Чжоу, и в частности характер
Чжэня
ch:K(X)-+A(X)®Q,
являющийся гомоморфизмом колец.
Проще всего определяется гомоморфизм прямого
образа /*. Пусть ZdX — неприводимое
подмногообразие; если dim/ (Ζ) <dim Ζ, το/* (Ζ)=0, если dim / (Z)=
= dimZ, то /#(Ζ)=^·/(Ζ), где d — степень Ζ над /(Ζ).
По линейности определение продолжается на циклы
и классы циклов. Гомоморфизм обратного образа /*
сводится к умножению циклов по формуле
/•(α) = Ρ.(Γ,.(Χχα)),
где ρ : XX У -+ X — проекция, а Г^сХХ У — график
/. Определение умножения циклов делается в два
этапа. Пусть сначала У и Ζ — неприводимые
подмногообразия в X, к-рые пересекаются собственно
(т. е. коразмерность Yf\Z равна сумме коразмерностей
У и Z). Каждой компоненте W пересечения Y[\Z
приписывается нек-рое целое положительное число
i(У, Z; W) — локальная кратность
пересечения. Есть несколько определений числа
г (У, Z; W), напр. Tor-формула Geppa:
*(У, Ζ; W) = ^k>o(-i)^l(Tori(A/a, Л/b)),
где А — локальное кольцо Qx, ^, α и Ь — идеалы У
и Ζ, а I — длина Л-модуля. После этого полагают
γ·ζ=Σψί(Υ>Z; W)-w'
где W пробегает неприводимые компоненты Yf\Z.
Второй этап — лемма Чжоу о сдвиге —
состоит в утверждении, что для произвольных циклов
У, Ζ на квазипроективном многообразии X
существует цикл Ζ', рационально эквивалентный Ζ, к-рый
пересекается собственно с У; более того, класс
рациональной эквивалентности У ·Ζ' не зависит от Ζ'.
Наиболее интересен случай проективного
многообразия X; применяя функтор прямого образа к
структурному морфизму X -> Spec /с, получают отображение
степени deg : А (X) -> %. По существу, степень
цикла — это число точек в нульмерной компоненте цикла.
Композиция умножения со степенью позволяет
численно измерять Пересечение. Напр., если У и Ζ имеют
дополнительные размерности, то получается
пересечения индекс (число) У и Ζ. Аналогично,
получается индекс пересечения η дивизоров Du . . ., Dn:
(Dlf ..., Dn) = deg(D1. .... Dn).
Напр., кольцо Чжоу проективного пространства
Рп порождается классом гиперплоскости Я, причем
(Нп)= (Я, . . ., #)=1. Поэтому если Du . . ., Dn —
гиперповерхности степени dlt . . ., dn, то (Dlt . . .,
Dn)=d1- . . .· dn (теорема Б е з у). Степень
проективного многообразия УсР" размерности к
определяется как индекс пересечения У с линейным
подпространством р«-* дополнительной размерности;
если многообразия У и Ζ пересекаются трансверсально,
то степень ΥΓ\Ζ есть произведение степеней У и Ζ.
Для собственно пересекающихся эффективных
дивизоров (Z>i, . . ., Ζ)„)>0, но в общем случае это уже
неверно. Напр., для исключительной кривой Б на
поверхности (Е, Е)= — 1.
Многими формальными свойствами теории колец
Чжоу обладают другие теории: циклы по модулю
алгебраической или численной эквивалентности, К-
теория, теория сингулярных когомологий Я* ( , Ζ)

255 ПЕРЕСЕЧЕ1
(в случае &=С), теория l-адических когомологий (см.
также Вейля когомологий). Это приводит к аксиоматич.
построению теории пересечения как сопоставления
каждому многообразию X (из нек-рой категории)
кольца С (X) и гомоморфизмов /* и /„,, связанных
рядом аксиом типа формулы проекции или редукции
к диагонали (см. [1]). Сравнение различных П. т.
приводит к полезным соотношениям. Напр., в
комплексном случае понятие фундаментального цикла
позволяет определить гомоморфизм теорий
пересечений А (X) -*~ Η* (Χ, %), что позволяет использовать
трансцендентные методы. Сравнение ϋΓ-теории и теории
Чжоу приводит к теореме Римана — Роха — Гротен-
дика. Важную роль при этом играет поведение П. т.
при моноидальном преобразовании (см. [2]). Другое
применение П. т. относится к обоснованию исчисли-
тельной геометрии Шуберта (см. [3]). Эту ветвь
геометрии можно рассматривать как теорию колец Чжоу
различных многообразий, классифицирующих гео-
метрич. объекты — многообразия Грассмана,
многообразия флагов и т. д.
Лит.: [1] Anneaux de Chow et Applications, Seminaire Gheval-
ley, Seer. Math., P., 1958; [2] Μ а н и н Ю. И., Лекции по
алгебраической геометрии, ч. 2, М., 1971; [3] Проблемы Гильберта,
М., 1969, с. 175—81; [4] Бальдассари М.,
Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [5] Серр Ж.-П.,
«Математика», 1963, т. 7, с. 3—93; [6] Theorie des intersections
et theoreme de Biemann — Roch, В.—Hdlb.—N.Y., 1971; [7]
Algebraic geometry, Areata 1974, Providence, 1975; X a p τ c-
хорн Р., Алгебраическая геометрия, пер. с англ., М., 1981.
В. И. Данилов.
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ИНДЕКС — число точек
пересечения η дивизоров на и-мерном алгебраич. многообразии
с учетом кратностей этих точек. Точнее, пусть X есть
л-мерное неособое алгебраич. многообразие над полем
Ar, a Du . . ., Dn — эффективные дивизоры на X,
пересекающиеся в конечном числе точек. Локальным
индексом (или кратностью) пересечения
этих дивизоров в точке χ ζΧ наз. целое число
(#!, ..., Dn)x = aimkA/(Ul, ..., ип),
где и ι — локальные уравнения дивизора D ,в локальном
кольце A = Qxx. В комплексном случае локаль-
Y dui dun
ныи индекс совпадает с вычетом формы — л... Λ — ,
а также со степенью ростка отображения
К, ..., ипу. (X, *)—►№», 0).
Глобальный индекс пересечения
(/>!, . . ., Dn) есть сумма локальных индексов по
всем точкам пересечения D1[]. · -Γ\Βη· Если это
пересечение не пусто, то (Dl4 . . ., /)„)>0.
См. также Пересечений теория. в. И. Данилов.
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ИНДЕКС — гомологический
инвариант, характеризующий алгебраическое (т. е.
учитывающее ориентацию) число точек пересечения двух
подмножеств дополнительных размерностей в
евклидовом пространстве или ориентированном
многообразии (находящихся в общем положении). В случае
неориентируемого многообразия в качестве кольца
коэффициентов R для гомологии рассматривается ζ2·
Пусть X"Z)A, YzdB — такие пары подмножеств
евклидова пространства R", что А Г\У—0 = X Π В, и пусть
d : (X X У, (А X У) (J (XX В)) -> (R«, R"\0) —
отображение, для к-рого d(x, y)=x—y. Индексом
пересечения ξοη классов гомологии ££#„_,-(Х, А),
Ц^.Нп{У, В) наз. элемент (—1)'ίί*(|Χη). Здесь
d* — индуцированное отображение гомологии, а
EXTlg#„(Xxy, (AxY)\J(X\jB)) — внешнее гомо-
логич. произведение элементов ξ и η.
П. и. ξοη зависит лишь от тех частей классов ξ
и η, носители к-рых попадают в произвольно малую
окрестность V замыкания множества XflY- В част-
[я индекс 256
ности, ξοη=0, если Xf\Y=0. Кроме того, если V=
— Ui^l· V(f]Vj=0 и^и ϊφ], то определены
соответствующие каждому открытому множеству V/
локальные П. и. ξ и η, сумма к-рых совпадает с ξοη.
Инвариант ξοη не меняется при гомеоморфизмах R". Вместе
с предшествующим свойством локальности это
позволяет определить П. и. ξοη для компактных подмножеств
ориентированного многообразия. Имеет место
следующее соотношение антикоммутативности:
ξοη = (—Ι)'("-0 η ο ξ.
Если X и У — векторные подпространства общего
положения, А = Х\0, Β=Υ\0, а ξ и η — образующие
i?=#„_/(X, Α) = Η{(Υ, В), то ξοη — образующая
Hn(Rn, Rn\0)=R. Так как выбор указанных
образующих равносилен выбору ориентации в
соответствующих евклидовых пространствах, это дает
возможность определить П. и. сое' двух цепей дополнительных
размерностей (в том числе сингулярных), для к-рых
И Г\\дс'\ = 0=\с'] (]\дс\ (\с\ — носитель, а дс —
граница цепи с). При этом сое' = ξοη для определяемых
цепями с, с' классов гомологии |£#И_,-(Х, Α), Ίί)ζΗι(Υ, В),
\c\dX, \dc\CZA, \c'\cY, \дс'\с:В.
П. и. применяется для описания нек-рых
соотношений двойственности в многообразиях.
Лит.: [1] Д о л ь д Α., Лекции по алгебраической
топологии, пер. с англ., М-, 1976. Е. Г. Скляренпо.
ПЕРЕСТАНОВКА из η элементов — конечная
последовательность длины и, все элементы к-рой
различны, т. е. П.— это размещение без повторения из л
элементов по п. Число перестановок равно п\
Обычно в качестве элементов П. берут элементы
множества Ζ„={1, 2, . . ., η}; взаимно однозначное
отображение π множества Ъп на себя определяет
перестановку π=(π(1), π(2), . . ., л(п)). Отображение π
наз. подстановкой Ъп. Многие задачи,
связанные с перечислением П., формулируются в терминах
подстановок, как, напр., задачи о перечислении П.
с различными ограничениями на позиции
переставляемых элементов (см., напр., [1], [2]). Перестановка π
может рассматриваться как упорядоченное
множество, состоящее из η элементов, если считать,
что элемент π(ί) предшествует элементу π(ί+1),
i=l, 2, . . ., п.
Примеры. 1) Пара {π (έ), π(/)} образует в π
инверсию, если n(i)>n(f) при i</. Если аг —
число П. из л элементов с г инверсиями, то
2Ы (1-х)(1-*«)...(!-ж")
2) Если Ьп — число таких перестановок π из η
элементов, что π(ΐ)>π(έ—1) при i четном и π(ΐ)<π(£—1)
при i нечетном, то
2"=0b*^T = tg* + sec:z.
Иногда П. наз. отображения в себя конечного
множества, т. е. подстановки.
Лит.: [1] С а ч к о в В. Н., Комбинаторные методы
дискретной математики, М., 1977; [2] Ρ и о ρ д а н Д ж., Введение
в комбинаторный анализ, пер. с англ.. М., 1963. В. М. Михеев.
ПЕРЕСТАНОВОК КРИТЕРИИ — статистический
критерий, предназначенный для проверки гипотезы
##, согласно к-рой плотность вероятности
наблюдаемого случайного вектора Х= (Х1? . . ., Хп)
принадлежит семейству всех л-мерных плотностей,
симметричных относительно перестановок аргументов.
Пусть по реализации случайного вектора X— (Х1?
. . ., Х„), принимающего значения я= (xlt . . ., хп)
в л-мерном евклидовом пространстве R", надлежит
проверить гипотезу #* о принадлежности плотности
вероятности ρ (χ) случайного вектора X семейству

257 ПЕРЕХОД С ЗА
Н„,= {р (х)} всех д-мерных плотностей p(x)=p(xli
. . ., хп), симметричных относительно перестановок
аргументов х19 . . ., хп, то есть
где г= (г1? г2, . . ., г„) — произвольный вектор из
пространства 3R всех перестановок (г1? г2, . . ., гп)
вектора (1,2,..., п). Пространство 3R является
множеством всех реализаций вектора рангов R= (Rlf i?2,
. . ., Rn), естественным образом возникающим при
построении вектора порядковых статистик Х<·),
принимающего значения х^ в множестве J^czR".
При справедливости гипотезы ## статистики Ζ(·> и R
стохастически независимы, при этом
P{H = r}=JL,r£K, (*)
а плотность вероятности вектора порядковых
статистик Х(,) равна и!р(а:(·*), гс(->^3£(,).
Свойство (*) равномерной распределенности
статистики R при справедливости гипотезы Я* и лежит в
основе построения П. к.
Если Ψ (я(,), г) — функция, определенная на ϊ()Χ91
таким образом, что 0<Ψ<1, и для любого r£$R она
является измеримой относительно борелевской σ-алгебры
пространства Э£(,) и, кроме того, для нек-рого αζ(Ο,Ι)
ι _
~^г2гея ψ(*(,)> 0=« п°чти всюду,
то статистич» критерий для проверки #*, имеющий
критич. функцию
наз. критерием перестановок. Если П. к.
не является рандомизированным, то α следует
выбирать кратным \1п\.
Наиболее мощный критерий для проверки Я*
против простой альтернативы q(x) (q(x) — произвольная
и-мерная плотность, не принадлежащая семейству
Н*) может быть найден в семействе П. к.
Семейство П. к. и семейство критериев, инвариантных
относительно изменения параметров сдвига и
масштаба, играют большую роль при построении ранговых
критериев. И, наконец, следует отметить, что в
литературе по математич. статистике вместо термина П. к.
часто употребляют термин «рандомизации критерий».
См. Порядковая статистика, Инвариантный
критерий, Критическая функция.
Лит.: [1] Гаек Я., Ш и д а к 3., Теория ранговых
критериев, пер. с англ., М., 1971; [2] Леман Э., Проверка
статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979.
М. С. Никулин.
ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТИ СООТНОШЕНИЯ —
правила перестановки произведения двух операторов
рождения или уничтожения. Именно, для уничтожения
операторов {а(/), /£#} и сопряженных к ним рождения
операторов {а* (/), /£#}, где Я — нек-рое гильбертово
пространство, действующих в симметричном Фока
пространстве Ρ (Я) над пространством Я, эти
соотношения имеют вид
a(h)a(f2)-a(f2)a(f1)= \
= «*l/i)**(/i)--ae(/i)**(/i)=0, I (1)
a(h)a*(f2)-a*(f2)a(f1) = -(f1, f2)E, /ь /2G#,J
где (·, ·) — скалярное произведение в Я, а Ε —
единичный оператор, действующий в Р(Н). Соотношения
(1) наз. также коммутационными
соотношениями. В случае антисимметричного
пространства Фока операторы рождения и уничтожения
переставляются согласно правилам:
= «* (/ι) α* (/.) + ** (/.) α* (/ι) = 0, Ι (2)
«(/ι)*·(/ι) + *·(/.)*(/ι) = (/ι. /2)Я, /ι, /2€#, J
258
к-рые наз. антикоммутационными
соотношениями.
В случае бесконечномерного пространства Я кроме
операторов рождения и уничтожения, действующих
в пространствах Фока над Я, существуют и другие,
не эквивалентные им, неприводимые представления
коммутационных и антикоммутационных соотношений,
т. е. другие семейства операторов, действующих в
каком-нибудь гильбертовом пространстве и
удовлетворяющих правилам перестановки (1) или (2) (см.
[11, [2]). В случае конечномерного гильбертова
пространства Я все неприводимые представления как
соотношений (1), так и соотношений (2) унитарно
эквивалентны.
Лит.: [1] Березин Φ. Α., Метод вторичного
квантования, М., 1965; [2] Girding L.. Wightman Α., «Proc.
Nat. Acad. Sci. USA», 1954, v. 70, № 7, p. 617—26.
P. А. Минлос.
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ — линейные
операторы В и 7\ из к-рых Τ — общего вида, а Я —
ограничен, такие, что
ВТ^ТВ (1)
(запись ТЯкТ' означает, что Т' является расширением
Т). Отношение перестановочности обозначается В\]Т
и подчиняется следующим правилам:
1) если B[)Tlt B\jT2i то В(J (Г1+Гя), Β\}ΤλΤ2;
2) если Βλ\]Τ, Β Μ Τ, то (Вг+Вг)\}Т, В1В2[}Т;
3) если Т-1 существует, то из B\JT следует Я ЦТ7-1;
4) если В(]Тп, п=1, 2, . . ., то B\j\im Tn;
5) если B„\JT, η=ί, 2, . . ., то UmBn\JT при
условии, что lim Вп ограничен, а Т замкнут.
Если оба оператора определены на всем
пространстве, то условие (1) сводится к обычному:
ВТ = ТВ, (2)
причем ограниченность В не требуется. Обобщение
условия (2) оправдано тем, что, напр., даже
ограниченный оператор В не будет перестановочным со своим
обратным Я-1, если этот последний определен не на
всем пространстве.
Лит.: [1] Люстерник Л. Α., Соболев В. И.,
Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Ρ и с с Ф.,
Сёкефальви-Надь В., Лекции по функциональному
анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979. М. И. Войцеховский.
ПЕРЕСТРОЙКА, сферическая
перестройка, на многообразии типа (λ, η—λ) — переход
от одного (п—1)-мерного многообразия Мх к другому
многообразию М2, состоящий в изъятии вложенной
в Мх сферы размерности λ—1 и замене ее вложенной
сферой размерности η—λ—1. Подробнее см. Ручек
теория. м· И- Войцеховский.
ПЕРЕХОД С ЗАПРЕЩЕНИЯМИ для цепи Μ а р-
к о в а — множество траекторий Маркова цепи, к-рые
на рассматриваемом отрезке времени ни разу не
попадают в фиксированное множество состояний. Пусть,
напр., ξ(ί) — цепь Маркова с дискретным временем
и множеством состояний S, а Н — «запрещенное»
множество состояний. Тогда вероятности
переходов с запрещениями яргу(t) суть
HPij(t) = P{l(k)$H(k = i, ..., * —1),
6(*) = 7'|6(0) = i}, i, j£S.
Свойства вероятностей П. с з. нРу(*) B0 многом
аналогичны свойствам обычных переходных вероятностей
Pij (t), так как семейства матриц Ρ (t)= \\рц (t) ||^ ;· 6 s
и />//(*)= ll//P,y(f)Hi, jeS\H> *>0' образуют полугруппы
по умножению; однако если V J?ij{t)=\, то
2j€StfPiy(0<l· К изучению тех или иных свойств
вероятностей П. с з. фактически сводятся
исследование распределения момента первого попадания цепи
Маркова в фиксированное множество, доказательство
1РЕЩЕНИЯМИ
&9 Математическая энц., т. 4

259
ПЕРЕХОДНАЯ
предельных теорем для ветвящихся процессов при '
условии невырождения и т. п.
Лит.: [i] Ч ж у н К а й · л а й, Однородные цепи Маркова,
пер. с англ., М., 1964. А. М. Зубков.
ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ, вероятность
перехода,— семейство мер, используемых в
теории марковских процессов для определения
распределения процесса в будущие моменты времени по
известным состояниям в предшествующие моменты. Пусть
измеримое пространство (Е, ffi) таково, что σ-алгебра
3} содержит все одноточечные подмножества из Е,
и пусть Τ — подмножество действительной прямой R.
Функция Ρ (s, χ; t, В), заданная при s, t ζ Ti *<£, χζΕ
и 5fS» наз. переходной функцией в
измеримом пространстве (Е, 33), если: а) при
фиксированных s, х, t она является мерой на 33, причем Ρ (s,
χ; t, #)<1; б) при фиксированных s, ί, В она является
^-измеримой функцией точки х; в) Ρ (s, χ; s, {x})=i
и для всех s, предельных для Τ в правой топологии
прямой R,
lim Ρ (s, χ; t, Ε) = ί;
sit, ίζ Τ
τ) при всех χ ζ Ε, Βζ33 и s<£<w из Т выполняется
уравнение Колмогорова — Чепмен а:
Ρ (*, χ; и, В) = (ρ {s, χ; t, dy) Ρ (t, y; и, В) (*)
(в нек-рых случаях требование в) опускают или
ослабляют). П. ф. наз. марковской
переходной функцией, если Ρ(s, x; t, E)=\, и
субмарковской переходной функцией
в йротивоположном случае. Если Ε не более чем счетно,
П. ф. задают с помощью матрицы вероятностей
перехода
Pst = \\pxy(s, t)\]
(см. Переходные вероятности, Переходных
вероятностей матрица). Нередко оказывается, что при любых
допустимых 5, χ и t мера P(s, x; t, ·) обладает
плотностью ρ (s, x; t, ·) относительно нек-рой меры. Если
при этом выполнен следующий вариант уравнения (*):
ρ (s, χ; и, ζ)=\ Ρ (s, χ; t, dy) p (t, y\ и, z)
для любых χ, ζ из Ε и 5<ί<α из Τ, то функцию р (s,
x\ t, у) наз. переходной плотностью.
При широких условиях (см. [1], [2]) с П. φ. Ρ (s, x\
t, В) можно связать марковский процесс Χ— (xf, ζ,
<F/> pj, *)» Для к-рого Р,, *{**€£}=/>(«, χ'·> *» в) (в
случае марковской П. ф. этот процесс не
обрывается). Наоборот, марковское свойство случайного
процесса, как правило, позволяет сопоставить ему П. ф.
(см. [3]).
Пусть Τ однородно в том смысле, что совокупность
значений t—s при s<£ из Τ образует полугруппу Τ в
R относительно сложения (напр., T—R, T=(t£R : R :
Q>0}, T= {0» 1, 2, . . .}). Если при этом П. φ. Ρ(s, x;
t, В) зависит лишь от разности t—s, т. е. если P(s, x;
ί, B) = P(t—s, x, В), где P(t,x,B) — функция от t£f,
х£Е, В£33, подчиненная соответствующему варианту
условий а) — г), то Ρ (s, x\ t, В) наз. однородной
переходной функцией. Последнее
название присваивается и функции P(t, x, В), для к-рой (*)
принимает форму
Ρ (t + s, x, B)=\E P(t, x, dy)P (s, у, В),
*, t£T, x£E, B£3S.
Для нек-рых целей (напр., при регуляризации П. ф.)
оказывается необходимым расширить определение П. ф.
Напр., считают заданным семейство измеримых про-
функция 260
странств (Et, 3)t), t£T, а П. ф. относительно этого
семейства определяют как функцию Ρ (s, x; t, В), где
s, t£T, 5<i, x£Es,B£S3t, удовлетворяющую
подходящей модификации условий а) — г).
Лит.: [1] Неве Ж., Математические основы теории
вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [2] Г и χ м а н И. И., С к о ρ
οχ о д А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; [3]
Кузнецов С. Е., «Теория вероятн. и ее примен.», 1980, т. 25,
№ 2, с. 389—93. М. Г. Шур.
ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ — вероятности
перехода Маркова цепи ξ(ί) на отрезке времени [s, t] из
состояния i в состояние /:
Pi/ (*) = Ρ {6 (*) = 7 Ι ξ (*) = «>. »<*·
Ввиду основного свойства цепи Маркова для любых
состояний i, j£S (где S — множество всех состояний
цепи) и любых s<t<u
pif (8, u) = mk(.sPik(s> t)Pk/(t, и).
Обычно рассматриваются однородные цепи Маркова,
для к-рых П. в. Pi/(s, t) зависят от длины отрезка
Is, t], но не от его положения на оси времени:
Pi/(S, t)=Pi/(t—8).
Для любых состояний i, j однородной цепи Маркова
с дискретным временем последовательность Pij(n)
сходится по Чезаро, т. е. существует
lim η-*Υΐ PiJ(k)^0.
При нек-рых дополнительных условиях (а также для
цепей с непрерывным временем) пределы существуют
и в обычном смысле. См. Маркова цепь эргодическая,
Маркова цепи положительный класс состояний.
П. в. Pij(t) цепи Маркова с дискретным временем
определяются значениями р/,(1), i, j£S; для любых
i>0, i£S
В случае цепей Маркова с непрерывным временем
обычно предполагается, что П. в. удовлетворяют
дополнительным условиям: все Pi/(t) измеримы как
функции ίζ (0, оо),
limpl7(i) = 0(i^/), limpl7(i) = l, i, /gS.
При этих предположениях существуют плотности
вероятностей перехода
λιν = 1ίπιί-1(ρι7(ί)-ρ//(0))<οο, i, /gS; (1)
если все λ/7 конечны
^XjeSKj^,i£S,ToU.B.Pu(t)
удовлетворяют системам дифференциальных уравнений
Колмогорова — Чепмена
Pit W =S*6S λ'***/ W' Pij (ί> =2*6S ^hjPik (0 (2)
с начальными условиями рц(0)—\, ρι7(0)=0, ιφ), i,
j£S (см. также Колмогорова уравнение, Колмогорова —
Чепмена уравнение).
При задании цепи Маркова плотностями перехода
(1) ее П. в. Pi/(t) удовлетворяют условиям
Pij(t)^0, 2ieSPtj(t)<i, i, i£S, t>0;
цепи, для к-рых V Pi/(t)<i при нек-рых i£S и
ί>0, наз. нерегулярными (тогда имеет место
неединственность решения систем (2)); если V. cPij(t)=
= 1 для всех i ζ S и ί>0, то цепь наз. регуля рной.
Пример. Цепь Маркова ξ(<) с множеством
состояний {0, 1, . . .} и плотностями перехода
λ,, ί + ι = — λ,7 = λ,· > 0, λ,7 = 0, ъф] Φ ί + 1

261 перех
(т. н. процесс чистого размножения)
нерегулярна тогда и только тогда, когда
Пусть
Ton = ini{t >0:ξ(ί) = η(ξ(0)=0)},
τ = lim τοη,
тогда
^1 = 1 *
и при Ετ<οο имеет место Ρ{τ<οο}=1, т. е.
траектория цепи ξ (*) «с вероятностью 1 за конечное время
уходит в бесконечность» (см. также Ветвящихся
процессов регулярность).
Лит.: [1]Чжун Кай-лай, Однородные цени Маркова,
пер. с англ., М.. 1964. А. М. Зубков.
ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТРИЦА -
матрица ^t= llp/y(i)H> элементами к-рой являются
переходные вероятности за время t однородной
Маркова цепи ξ (г) с не более чем очетным множеством
состояний S:
ρ«7(') = Ρ{Ε(Ο = /Ίδ(0) = ί}, и i£S.
П. в. м. ||piy(i)!l цепей Маркова с дискретным временем
и регулярных цепей Маркова (см. Переходные
вероятности) с непрерывным временем при любых £>0, i, / £5
удовлетворяют условиям
Р«7(0^0, 2/6Sw'(i) = 1,
т. е. являются стохастическими матрицами, для
нерегулярных цепей
Pij(t)5?0, 2/€SP<7С)<1,
такие матрицы наз. полустохастическими.
В силу основного свойства однородной цепи
Маркова:
Pij(8 + t)=^k^sPik(8)pkj(t)9
семейство матриц {Pf, ί>0} образует полугруппу по
умножению; в случае, когда время дискретно, эта
полугруппа однозначно определяется матрицей Ρν
А. М. Зубков.
ПЕРЕХОДНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПОЛУГРУППА —
полугруппа операторов, порождаемых переходной
функцией марковского процесса. По переходной функции
P(t, χ, А) однородного марковского процесса Х= (xt,
ζ, <fu ?x) в фазовом пространстве (Ε, 3i) можно
построить нек-рые полугруппы линейных операторов Р*,
действующих в том или ином банаховом пространстве (В
(см., напр., [1]). Чаще всего в роли (В берут
пространство В (Я) ограниченных действительных функций /
на Ε с равномерной нормой (а для феллеровского
процесса X — пространство С (Е) непрерывных
функций с той же нормой) или пространство V(E) конечных
счетно аддитивных функций φ на Эд с полной
вариацией в качестве нормы. В первых двух случаях
полагают
P*Hx)=\Ef(v)P(t, *, dy)\
в третьем
P^{A)^EP{t, .у, A)<p(dy)
(здесь / и φ принадлежат соответствующим
пространствам, χζΕ, A Cffi). Во всех этих случаях выполнено
полугрупповое свойство: PfPs=Pt+s, s, ί>0, и любая
из трех полугрупп {Pt} наз. полугруппой
переходных операторов.
Шых 262
В дальнейшем речь идет только о первом случае.
Инфинитезимальный оператор А
полугруппы {Pt} (он же —
инфинитезимальный оператор процесса) определяется
обычным образом:
Af--=\imt-1(Ptf~f)
t χ о
для всех тех /£(В(Я)» для к-рых указанный предел
существует как предел в В(#). Предполагая, что P{t,
χ, А) при А £ЗВ является измеримой функцией пары
переменных (£, х), вводят резольвенту i?a процесса
X, сс>0:
а*/ = 5%-«'р'/л, /€В(Я). (*)
Если ||р*/—/||_*0 при t|0,то Ag=ag—f> где g=R4.
При определенных предположениях интеграл (*)
существует и при а=0, причем g—R^f удовлетворяет
«уравнению Пуассона»
Ag = -f
(по этой причине, в частности, R°f наз.
потенциалом функции f).
Знание инфинитезимального оператора позволяет
найти важные характеристики исходного процесса;
более того, вопросы классификации марковских
процессов сводятся к описанию соответствующих им ин-
финитезимальных операторов (см. [2], [3]).
Немаловажно и то обстоятельство, что инфинитезимальный
оператор входит в уравнения, позволяющие находить
средние значения различных функционалов от
процесса. Так, при нек-рых предположениях функция
*(*, х)=Ех [ехр {^0Αζ^(^)^}/(^Λζ)]' ^°' χ€Ε>
является единственным не слишком быстро растущим
по t решением задачи v't=Av-\-cv, y(0, x)=f (ж), где Ех —
математич. ожидание, отвечающее Рх, а t Λ ζ—min (£, ζ).
Оператор А родственен характеристическому
оператору 5ί (см. [2]). Пусть X — непрерывный справа
марковский процесс в топологич. пространстве Е.
Для борелевской функции / полагают
Я/(х)=11тГеу/^)-/(ас)1,
U Χ χ L Ε*τ J
если предел существует для всех χζΕ, где U пробегает
систему окрестностей точки х, стягивающихся к х,
и где τ — момент первого выхода X из U (при Ε^τ= οο
дробь, стоящую под знаком предела, приравнивают
нулю). Во многих случаях вычисление Af сводится
к вычислению Щ.
Лит.: [1] Feller W., «Ann. Math.», 1952, v. 55, p. 468 —
519; [2]ДынкинЕ. Б., Основания теории марковских
процессов, М., 1959; [3] Гихман И. И., Скороход А. В.,
Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973. М. Г. Шур.
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ ОПЕРАТОР — отображение
множества всех множеств натуральных чисел в себя (т. е.
отображение 2^ в 2 , где N — множество
натуральных чисел), определяемое следующим образом. Пусть
Wz — рекурсивно перечислимое множество с гёделе-
вым номером a, Du — конечное множество натуральных
чисел с канонич. индексом и (то есть Du—{x1, x2, . . .,
хп), где хх<х2<. . .<хп и 2*1+2*»+. . .+2*л=и),
<х, иу — номер упорядоченной пары, состоящей из
чисел χ is. и, при нек-ром фиксированном взаимно
однозначном рекурсивном кодировании пар. С каждым
рекурсивно перечислимым множеством Wz связана
процедура, преобразующая любое множество
натуральных чисел В в нек-рое множество натуральных
чисел А. А именно, если число <я, иу принадлежит
множеству Wz и конечное множество Du содержится
о*

263
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
264
в множестве В, ίο χ относится к множеству А, Иными
словами,
А = {х\(3и)«х, u>£WzkDu<=B)}.
Эта процедура позволяет из любого пересчета
множества В эффективно получить пересчет множества А.
Она наз. П. о. и обозначается Ф2. Если для нек-рого
П. о. Ψ имеет место Ψ(Β)=Α, то говорят, что i
сводится по перечислимости к5 (Л<;еЯ).
Если Φ и Ψ суть П. о., то их композиция Φ Ψ также
есть П. о. Если Ψ — П. о. и А^Я, то Ψ(Α)^Ψ(Β).
Если χζΨ(А), то x£W(D) для нек-рого конечного
множества Ds^A. Каждый П. о. Ψ имеет неподвижную
точку, а именно, существует такое рекурсивно
перечислимое множество А , что Ψ (А )—А , и если Ψ (В)=Я,
то А<=£.
Лит.: [1] Роджерс X., Теория рекурсивных функций и
эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972. В. Е. Плиско.
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ ПРОБЛЕМА — алгоритмическая
проблема, в к-рой для заданного множества А
требуется построить алгоритм, перечисляющий Л, т. .е.
такой алгоритм 5t, к-рый применим ко всякому
натуральному числу и перерабатывает его в элемент
из А, причем любой элемент из А получается в
результате применения 9Ϊ к нек-рому натуральному числу;
иными словами, Л= UfLoWii)}. П. п. для множества
А разрешима тогда и только тогда, когда А — непустое
перечислимое множество. в. Е. Плиско.
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ ТЕОРИЯ — раздел
комбинаторного анализа, в к-ром изучаются и разрабатываются
методы решения перечислительных задач. Эти задачи,
как правило, сводятся к подсчету числа элементов
конечного множества, обладающих определенными
свойствами, или их классов эквивалентности. К таким
методам относятся, напр., включения и исключения
принцип и различные его обобщения. Теория
перечисления Пойа (см. Пойа теорема) часто позволяет
преодолевать трудности при подсчете разных
объектов, когда их приходится рассматривать как
неразличимые. Основным инструментом при решении
перечислительных задач являются производящие функции;
они также играют существенную роль при получении
асимптотич. соотношений (см. [1] — [3]).
Для получения производящих функций в
комбинаторике широко применяются алгебры формальных
степенных рядов и различные символич. методы (см.
[1], [2], [4]). В основе общего подхода к разработке
методов получения производящих функций лежит
тот факт, что многие дискретные объекты обладают
естественной упорядоченностью (см. [1], [5]). Ниже
в качестве примера даны построения алгебр
инцидентности и показано, как с их помощью решаются нек-рые
перечислительные задачи.
Пусть задано частично упорядоченное множество X
с отношением порядка < и пусть X локально конечно,
т. е. любой его сегмент
[х, y] = {z:x^z^y; x, j/, ζζΧ}
конечен.
Алгеброй инцидентности I{X) наз.
совокупность функций f(x, у), х, г/ζΧ, принимающих
действительные значения и таких, что f(x, у) —0 при
х^У- Сумма двух таких функций и умножение на
число определяются обычным образом, а
произведение f*g=h вводится соотношением
h(x, y)^^x<z<yf^ *)£(*> У)·
Умножение оказывается ассоциативным и
дистрибутивным относительно сложения. Алгебра I (X) обладает
единицей
я я . ч /1 при х = у,
6 = о (х, у) = < n F
' \ 0 при Χ^μ у.
^=Z<J{y)
В алгебре 1(Х) выделяют два элемента: дзета^функцию
ζ—ζ(χ, у) (ζ(χ, y)=i при х<£у) и обратную ей функцию
Мёбиуса μ=ζ_1. Справедливо утверждение: если
локально конечное частично упорядоченное множество
X содержит свою наибольшую нижнюю г рань функция
/(х) определена для всех х£Х
для всех х£Х, то для всех χζΧ
(теорема обращения Мёбиуса).
Если Х—В — множество всех конечных подмножеств
нек-рого счетного множества, a £<t/ означает, что х<=у,
то при х<=у
а обращение Мёбиуса есть не что иное, как принцип
включения и исключения.
Если X—D — множество натуральных чисел и #<#
означает, что χ делит j/, то при я<г/ имеем μ/)(ζ, у)—
= μ( —], где μ(η) — теоретико-числовая Мёбиуса
функция.
Редуцированной алгеброй
инцидентности/? (X) наз. подалгебра /(X), к-рой
принадлежат все функции 1(Х), принимающие равные
значения на эквивалентных сегментах. При этом
отношение эквивалентности сегментов обладает тем
свойством, что если f(x, j/)=/(w, v) и g(x, y) = g(u, υ)
для [χ, у] ~ [и, ν], то и
(/**)(*» y) = (f*g) (и, ν).
Это будет, напр., выполняться, если эквивалентными
считать изоморфные сегменты. К алгебре R(X) всегда
принадлежат дзета-функция и функция Мёбиуса.
Если X=N0= {0, 1, 2, . . .} с естественной
упорядоченностью чисел, то алгебра I(N0) изоморфна алгебре
верхнетреугольных бесконечных матриц. Если к В (N0)
отнести все такие функции/ζ/(Аг0),что/(m, n) = f(m\ n')
при n—m — n' — m' — k, то имеет место взаимно
однозначное соответствие
'"ΣΓ..·** '-ΣΓ-.6***·
где ak=f(m, n), gk— (га, n) при n—m=k, так что
Таким образом, алгебра R(N0) изоморфна алгебре
формальных степенных рядов и
s<-> (1-я)-1, μ<-Η— χ.
Если Х=В, то алгебра R (В) изоморфна алгебре
экспоненциальных степенных рядов
Σ* η χ*
А = оа*ТТ
и s<r->ex, μ<-*β~χ, где [χ, у\~[и, ν] при Iy\x\ = \v\u\.
Если X=D и рассматриваются f(m, n) — f(m, n')
при — = —,, то алгебра R (D) оказывается
изоморфной алгебре рядов Дирихле и
Пример. Пусть с(х, у) — число цепей вида х<
<#!<. . .<xi-i<y в X, тогда (ζ—δ)Λ(ж, у) — число
таких цепей длины к (то есть 1=к). Поэтому
«(*, г/)=2Г=о(С_б)Чж' »> =
= [δ-(ζ-δ)]-4*. ») = (2δ-0-4*. у).

265 период
Рассмотрим эту формулу в R (X) при X=Nq, В, D.
В случае Χ=Ν0 и у—х—п число с(х, у)—сп есть число
упорядоченных разбиений (композиций) п. В R (Ν0)
полученная формула имеет вид
Ση= о °пХП = 2-(1-χ)-ι" »
следовательно cn=2n_1, л>0.
В случае X=Z? число с(х, у)=сп есть число
упорядоченных разбиений д-элементного множества, U\j/| = ai и
Σ" ^ д» - 1
л = о n! x 2-е* '
В случае X=Z) число с(х, у)~сп есть число
упорядоченных разложений на множители п=у/х.
Следовательно,
Σ® _Сгг_= 1
п = 1 η* 2-ζ(1).
Лит.: [1] С а ч к о в В. Н., Комбинаторные методы
дискретной математики, М., 1977; [2] Ρ и о ρ д а н Дж., Введение в
комбинаторный анализ, пер. с англ., М., 1963; [3]
Перечислительные задачи комбинаторного анализа. Сб. переводов, М., 1979;
[4] Rota G.-C, Μ υ 1 1 i n R., в кн.: Graph theory and its
applications, N. Y.— L., 1970, p. 167—213; [5] R о t a G.-C,
«Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb.», 1964, Bd 2, H. 4,
S. 340—68; [6] Холл Μ., Комбинаторика, пер. с англ., М.,
1970. В. М. Михеев.
ПЕРЕЧИСЛИМОЕ МНОЖЕСТВО — множество,
возникающее в результате развертывания какого-либо
конструктивного порождающего процесса. Такой
процесс можно мыслить как процесс вычисления значений
нек-рого алгоритма с исходными данными в виде
натуральных чисел, и потому, напр., определению П. м.
натуральных чисел можно придать следующий точный
вид: множество натуральных чисел наз. перечне-
л и м ы м, если существует такая частично рекурсивная
функция, что это множество является множеством ее
значений.
Всякое разрешимое множество натуральных чисел
является П. м. Обратное неверно: можно указать
пример неразрешимого П. м. Этот факт, установленный в
1936 А. Чёрчем (A. Church), является одним из
фундаментальных результатов общей алгоритмов теории.
На нем основаны (или могут быть основаны) все
известные отрицательные решения алгоритмических
проблем. Если какое-либо множество и его дополнение
суть П. м., то это множество разрешимо (теорема
Поста). Изучение и классификация П. м. являются
предметом исследований алгоритмич. теории множеств.
Лит.: [1] Успенский В. Α., Лекции о вычислимых
функциях, М., 1960. Я. М. Нагорный.
ПЕРИМЕТР — 1) П. плоской области,
ограниченной спрямляемой криво й,—
полная длина границы области.
2) П. измеримого множества А в п-
мерном евклидовом (или римановом) пространстве —
нижний предел (п—1)-мерной площади границы
многогранников Pi (или множеств Ρ ι с ^-гладкой границей),
сходящихся к Л по объему, т. е. так, что Vol ((А \Р$ (J
U (Pj\A )) ->- 0 при i -* оо.
Лит.: [1] С а с с о ρ ρ о 1 i R., «Rand. Accad. naz. Lincei.
Ser. 8», 1952, № 1, p. 3—11, № 2, p. 137—46; [2] GorgiE.
de, там же, Ser. 1, 1958, 5, № 2, p. 33—34. В. А. Залгаллер.
ПЕРИОД группы — наименьшее общее кратное
порядков элементов данной группы (предполагается,
что группа периодическая и порядки всех ее элементов
ограничены в совокупности). П. группы наз. также
Показателем группы. О. А. Иванова.
ПЕРИОД функции f(x) — число Г^0 такое,
что при любом χζΧαΚ (или ХсС) числа х—Т и
х-\-Т также принадлежат множеству X и
выполняется равенство
f(x + T)=f{x).
1ЕСКАЯ 266
Числа ±пТ, где η — любое натуральное число, также
являются П. функции f(x). У функции /= const на
оси или на плоскости любое число Т^0 будет П.;
для функции Дирихле
_ , χ ί 1, если χ—рациональное,
D (х) = *\ л
^ 0, если гс—иррациональное,
любое рациональное число 7V0 будет П. Если
функция f(x) имеет период Т, то функция ty(x)=f(ax-\-b),
τ
где а и Ь — постоянные и а?=0, имеет период —. Если
действительная функция f(x) с действительным
аргументом непрерывна на X (и не равна тождественно
постоянной), то она имеет наименьший период Г0>0
и всякий другой действительный П. кратен Т0.
Существуют функции с комплексным аргументом, у к-рых
имеются два некратных с мнимым частным П.; таковы,
напр., эллиптические функции.
Аналогично определяется П. функции,
определенной на нек-рой абелевой группе. А. А. Конюшков.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа, каждый
элемент к-рой имеет конечный порядок. Всякая перио-
дич. абелева группа разлагается в прямую сумму
примарных групп по различным простым числам.
Об условиях конечности П. г. см. Бёрнсайда проблема
О периодических группах. О. А. Иванова.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа,
в к-рой каждая моногенная подполугруппа конечна
(другими словами, каждый элемент имеет конечный
порядок). Всякая П. п. имеет идемпотенты. Множество
Ке всех элементов П. п., нек-рая (зависящая от
элемента) степень к-рых равна данному идемпотенту е,
наз. классом кручения, соответствующим
этому идемпотенту. Множество Ge всех элементов из
Ке, для к-рых е служит единицей, является ffl-классом
(см. Грина отношения эквивалентности), наибольшей
подгруппой в Кв и идеалом в подполугруппе <Ке>,
порожденной Ке; таким образом (Кеу будет
гомогруппой (см. Минимальный идеал). П. п. с единственным
идемпотентом наз. унипотентной. Унипотентность П. п.
S эквивалентна каждому из следующих условий: S
есть идеальное расширение группы при помощи нилъ-
полугруппы, S есть подпрямое произведение группы
и нильполугруппы.
Разбиение П. п. на классы кручения играет
определяющую роль при изучении многих вопросов для
периодич. полугрупп. Произвольный класс кручения
не обязательно является подполугруппой:
минимальный контрпример — пятиэлементная Брандта
полугруппа В2, изоморфная рисовской полугруппе
матричного типа над единичной группой с единичной сэндвич-
матрицей 2-го порядка. В П. п. S все классы кручения
будут подполугруппами тогда и только тогда, когда S
не содержит подполугруппы, являющейся идеальным
расширением унипотентной полугруппы при помощи
В 2; в этом случае разбиение S на классы кручения
не обязательно будет связкой. Известны различные (в
том числе необходимые и достаточные) условия, при
к-рых П. п. есть связка классов кручения; это,
очевидно, имеет место для коммутативных полугрупп^
это верно для П. п. с двумя идемпотентами [3].
В любой П. п. отношения Грина @) и ^ совпадают;
О-простая П. п. будет вполне О-простой. Для П. п.
S следующие условия эквивалентны: 1) S —
архимедова полугруппа, 2) все идемпотенты из S попарно
не сравнимы относительно естественного частичного
порядка (см. Идемпотент), 3) S есть идеальное
расширение вполне простой полугруппы при помощи
нильполугруппы. Известно много условий,
эквивалентных тому, что П. п. S разлагается в связку (а
тогда и в полурешетку) архимедовых полугрупп;

267
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ
среди них: 1) для любого a£S и для любого идемпо-
тентае££, если е£Sа5, то е£Sa2S (см. [5]); 2) в S
каждый регулярный <Э-класс есть подполугруппа; 3)
каждый регулярный элемент из S является групповым.
Пусть S — бесконечная П. п., Es — множество
всех ее идемпотентов. Если Е$ конечно, то S содержит
бесконечную унипотентную подполугруппу, если Es
бесконечно, то S содержит бесконечную подполугруппу,
являющуюся нильпотентной полугруппой или
полугруппой идемпотентов [4].
Важный подкласс П. п. составляют локально
конечные полугруппы. Более широкий класс составляют
квазипериодич. полугруппы (S наз. квазипери о-
дической, если нек-рая степень каждого ее
элемента лежит в лодгруппе £<=£). Многие свойства П. п.
Переносятся на квазипериодич. полугруппы.
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972; [2] Л я-
п и н Е. С, Полугруппы, М., 1960; [3] Π ρ о с в и ρ о в А. С,
«Матем. зап. Уральск, ун-та», 1971, т. 8, № 1, с. 77—94; [4] Шев-
рин Л. Н., «Изв. вузов. Математика», 1974, JNft 5, о. 206—15;
[5] Ρ u t с h а М., «Semigroup Forum», 1973, v. 6, № 1, p. 12—34;
[6] Schwa г ζ St., «Чехосл. матем. ж.», 1953, т. 3, с. 7—21.
Л. Н. Шеврин.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТОЧКА динамической
системы — точка траектории периодич. движения
динамич. системы /* (£gR или ί£Ζ), заданной на
пространстве S, т. е. такая точка x£S, что найдется число
Т>0, для к-рого fTx=x, но f*z£x при *£((), Т). Это
число Τ наз. периодом точкия (иногда
периодами наз. также все целые кратные числа Т).
Траектория П. т. наз. замкнутой
траекторией, или циклом. При употреблении последних
терминов часто отвлекаются от конкретной
параметризации множества точек траектории параметром t,
рассматривая тот или иной класс эквивалентных
параметризаций: если /* — непрерывное действие группы
R на топологич. пространстве S, то цикл
рассматривают как окружность, топологически вложенную в
S; если /* — дифференцируемое действие группы R
на дифференцируемом многообразии S, то цикл
рассматривают как окружность, гладко вложенную в S.
Если χ — П. т. (a S — метрич. пространство), то
ее α-предельное множество Ахж ω-предельное
множество Ω^ совпадают с ее траекторией (понимаемой как
множество точек). Это свойство в определенной мере
выделяет П. т. среди всех точек, не являющихся
неподвижными. А именно, если пространство, на к-ром
задана динамич. система /*, является полным
метрическим и точка χ такова, что Ωχ= {/*a:}ie R, то я —
неподвижная или периодич. точка динамич. системы /*.
Лит.: [1] Η е м ы ц к и й В. В., Степанов В. В.,
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л.,
1949. В. М. Миллионщиков.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТРАЕКТОРИЯ
автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений — траектория
периодического решения этой системы; обычно
подразумевается, что это решение не сводится к константе,
т. е. траектория не сводится к одной точке (равновесия
положению). Синоним П. т.— замкнутая
траектория (поскольку она является замкнутой
КрИВОЙ). Д. В. Аносов.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция,
имеющая период.
1) Пусть функция / (х) определена на Χξ-R и имеет
период Т. Для получения графика f(x) достаточно
график функции f(x) на [а, а+Т\Г\Х, где а — нек-рое
число, переместить вдоль R на ±Т, ±2Т, . . . . Если
П. ф. f(x) с периодом Τ имеет конечную производную
/' (х), то /' (х) является П. ф. с тем же периодом. Пусть
f(x) интегрируема на любом отрезке и имеет период Т.
Первообразная F= \ f(t)dt имеет период Г, если
\ f{t)dt=0, в противном случае первообразная П. ф.
непериодическая, такова, напр.* первообразная
функции /(a:)=cos x-\-\. А. А. Конюшков.
2) П. ф. комплексного переменного
ζ — однозначная аналитич. функция /(ζ), имеющая
только изолированные особые точки во всей плоскости
комплексного переменного С, для к-рой существует
число ρ?=0, называемое периодом функции
/(ζ), такое, что
/(* + *) = /(*). *€С
Любая линейная комбинация периодов данной П. ф.
/(ζ) с целочисленными коэффициентами также
является периодом /(ζ). Все периоды данной П. φ. ί(ζ)Φ
Φ const составляют дискретную абелеву группу по
сложению, называемую группой периодов
функции /(ζ). Если базис этой группы состоит из
одного единственного основного, или
примитивного, периода 2ω=2ω1#0, τ. е. если любой
период ρ есть целое кратное 2ω, то /(ζ) наз. одноперио-
дической функцией» В случае базиса, состоящего из
двух основных периодов 2щч 2ω3, ΙτΆ(ω1/ω3)φΟ, имеем
двоякопериодическую функцию. Если П. φ. /(ζ) отлична
от константы, то базис ее группы периодов не может
состоять более чем из двух основных независимых
периодов (теорема Якоб и).
Любая полоса вида
{ζ = (τβ** + ί)2ω: — оо < τ< оо, 0<t <1, 0<α<π/2},
где 2ω — один из основных периодов П. φ. /(ζ), или
ей конгруэнтная, наз. полосой периодов
функции /(ζ); обычно принимают α=π/2, т. е.
рассматривают полосу периодов, стороны к-рой
перпендикулярны основному периоду 2ω. В каждой полосе
периодов П. ф. принимает любое свое значение и
притом одинаково часто.
Любая целая П. φ. /(ζ) во всей плоскости С
разлагается в ряд Фурье
m'fe
/w-SL..·"·1.
-jlik
(*)
••--ktSVw ω dt>
к-рый сходится равномерно и абсолютно на прямой
{ζ=ίω: — οο<ί<οο} и вообще на любой сколь угодно
широкой полосе конечной ширины, параллельной
этой прямой. Случай, когда целая П. φ. /(ζ) стремится
к определенному конечному или бесконечному пределу
в каждом из двух концов полосы периодов,
характеризуется тем, что ряд (*) содержит лишь конечное число
членов, то есть /(ζ) есть тригонометрич. полином.
Любая мероморфная П. φ. /(ζ) во всей плоскости С
с основным периодом 2 ω представима в виде отношения
двух целых П. ф. с тем же периодом, т. е. в виде
отношения двух рядов вида (*). В частности, класс всех
тригонометрич. функций можно описать как класс
таких мероморфных П. ф. с периодом 2π, к-рые в
каждой полосе периодов имеют лишь конечное число
полюсов и стремятся к определенному пределу в каждом
конце полосы периодов.
Лит.: [1] Μ а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 2, М., 1968. Е. Д. Соломенцев.
ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
обыкновенного дифференциального уравнения
или системы — решение, периодически зависящее
от независимого переменного t. Для П. p. x(t) (в случае
системы χ — вектор) имеется такое число 7V0, что
x(t + T)=x(t) при всех i£R.

269
ПЕРИСТОЕ ПРОСТРАНСТВО
270
Всевозможные такие Τ наз. периодами данного
П. р.; при этом из непрерывности x(t) следует, что
либо x(t) не зависит от t, либо всевозможные периоды
являются целочисленными кратными одного из них —
минимального периода Г0>0. Говоря о
П. р., часто подразумевают, что имеет место второй
случай, а о TQ говорят просто как о периоде.
П. р. рассматривают обычно для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части к-рых
либо не зависят от t (автономная система):
x = f(x),x£U. (1)
где U — область в R", либо зависят от t периодически:
x = f(t, χ), f(t + Tx, x)=f(t, χ), χξυ. (2)
(У систем с иным характером зависимости правых
частей от t чаще всего нет П. р.) В случае системы (2)
период Т0 П. р. обычно совпадает с периодом Тг правой
части или является целочисленным кратным Тх;
другие Т0 возможны лишь в исключительных случаях.
П. р. с периодом Т0=кТъ /с>1, описывают субгармо-
нич. колебания (см. Вынужденные колебания) и потому
сами иногда наз. субгармоническими П. р.
(или субгармониками).
Система (2) определяет последования отображение
F (зависящее от выбора начального момента t0): если
#(*» ξ) — решение системы (2) с начальным значением
x(t0, l)=l, то
F(l) = x(t0 + Tl, ξ).
Свойства системы (2) тесно связаны со свойствами F\
в частности, значение при t=t0 П. р. с периодом кТг
является при к=\ неподвижной точкой отображения
F, а при к>\ — его периодич. точкой периода к, т. е.
неподвижной точкой для итерации Fk. Изучение IL р.
в значительной степени сводится к исследованию
соответствующей неподвижной (или периодической) точки
отображения последования.
Для автономной системы (1) используется следующая
модификация этой конструкции: в фазовом
пространстве в какой-либо точке траектории рассматриваемого
П. р. (она является замкнутой кривой) берут какое-
нибудь локальное сечение, т. е. гладкую площадку
Π коразмерности 1, трансверсальную к этой
траектории, и рассматривают отображение, переводящее
точку ξ ξ Π в первую по времени точку пересечения с Π
исходящей из ξ траектории системы (1).
Поведение решений, близких к данному П. р.,
описывается в линейном приближении соответствующей
системой уравнений в вариациях. Коэффициенты этой
линейной системы в данном случае периодически
зависят от ί, и поэтому можно говорить о
соответствующих монодромии операторе и мультипликаторах.
О последних говорят как о
мультипликаторах данного П. р. Линейное приближение
определяет свойства П. р. (устойчивость,
инвариантные многообразия) примерно в той же степени, как
и для равновесия положений.
П. р. автономной системы (1) имеют нек-рые специфич.
особенности: один из мультипликаторов всегда равен
единице (если П. р. не сводится к константе), что
приходится, в частности, учитывать при исследовании
устойчивости этих П. р. (см. Андронова — Витта
теорема); период может измениться при малом
возмущении, что приходится учитывать в возмущений теории.
Отыскание П. р. и исследование их свойств
представляет интерес не только с чисто математич. точки
зрения, но и потому, что при математич. описании
реальных физич. систем их периодич. режимы обычно
соответствуют П. р. (см. Автоколебания, Вынужденные
колебания, Колебаний теория, Нелинейные колебания,
Релаксационное колебание). Однако эта задача очень
трудна — так, не имеется никаких общих методов,
к-рые позволили бы устанавливать, существуют ли
П. р. у конкретной системы. В различных случаях
используются различные соображения и методы.
Многие из них относятся к возмущений теории
{гармонического баланса метод, Крылова — Боголюбова метод
усреднения, Малого Параметра метод), к к-рой
примыкает также исследование бифуркаций; другие —
к качественной теории дифференциальных уравнений.
Последняя, в частности, устанавливает особую роль
П. р. для системы (1) при п— 2: в этом случае П. р.
вместе с нек-рыми другими типами решений полностью
определяют поведение всех решений вообще (см.
также Предельный цикл). В связи с этим имеется ряд
специальных результатов о П. р. таких систем (напр.,
о П. р. Ван дер Поля уравнения и его обобщений или
модификаций — Лъенара уравнения, Рэлея уравнения).
Д. В. Аносов.
ПЕРИОДОГРАММА — функция ΙΝ(λ), ^οο<λ<οο,
Ν ~ целое положительное, определяемая по выборке
Х(1), . . ., Χ (Ν) стационарного случайного процесса
X(t), *=0, ±1, . . ., следующим образом;
ΙΝ(λ)=^(2πΝ)-^\ά^)(λ)\\
где
№ м=2Г=1ехр {-ίίλ)х е>.
П. является периодической по λ функцией с периодом
2π. Дифференцируемая спектральная плотность /(λ)
стационарного процесса X (t) со средним с=ЕХ (t)
может быть оценена с помощью П. при λ7=0 (mod 2π)
i « Νλ
Ε/Λτ(λ) = /(λ) + ΐ2πΛΓ)-ΐ-1^-|-Γ» + 6)(ΛΤ-ΐ).
sin2 —
В то же время П. не является состоятельной оценкой
/(λ) (см. [1]). Состоятельные спектральной плотности
оценки могут быть получены на основе нек-рых
дальнейших построений, использующих асимптотическую
некоррелированность П. разных частот λί^λ2, так
что осреднение Ιχ(χ) по близким к λ частотам может
привести к асимптотически состоятельной оценке. В
случае n-мерного случайного процесса X (t)— {^λ(0}*=ϊ7λ
матрица периодограммы /#(λ) определяется своими
элементами
/^/)(λ) = (2π^)-ι4',(λ)^(λ).
Наряду с периодограммой /^(λ), к-рую еще наз. П.
2-го порядка, иногда рассматривают П. лг-го порядка
/fr ■•·*Λ)(λ1,..Μλ^ = (2π)-* + ^-ιΠ7=1^>(λΑ
2]m_ Яу = 0(тоа2л),
к-рые используют для построения оценок спектральных
плотностей m-το порядка (см. Спектральный
семиинвариант).
Лит.: [1] Бриллинджер Д., Временные ряды.
Обработка данных и теория, пер. с англ., М., 1980; [2] X е н н а н Э..,
Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974.
И. Г. Журбенко.
ПЕРИСТОЕ ПРОСТРАНСТВО — вполне регулярное
хаусдорфово пространство, обладающее оперением в
нек-ром своем хаусдорфовом бикомпактном
расширении. Оперением подпространства X топологич.
пространства Υ в Υ наз. счетная система $ъ семейств
открытых множеств в Υ такая, что для каждой точки
χζ_Χ пересечение ее звезд StY (x) относительно семейств
у £9* по всем у ζ^ содержится в X. При этом звезда
Sl<y (χ) точки χ относительно семейств множеств γ
есть объединение всех элементов семейства γ, содер-

271
жащих χ. Если пространство X обладает оперением в
нек-ром своем бикомпактном расширении, то оно
имеет оперение и в каждом бикомпактном хаусдорфо-
вом расширении. Если множество X является
пересечением убывающей последовательности £/ь U2, · . .
множеств, открытых в объемлющем X пространстве У,
то система {£7ι}, {U2}, · · · составляет оперение
подпространства X в У. В частности, если пространство
полно по Чеху, т. е. является множеством типа
#6 в нек-ром своем бикомпактно хаусдорфовом
расширении, то это — П. п. Все метрич. пространства
являются перистыми. Таким образом, понятие П. п.
является одновременным обобщением понятий локально
бикомпактного пространства и метрич. пространства.
Класс П. п. устойчив относительно операций:
произведение (в счетном числе) П. п. является П. п., пери-
стость сохраняется при переходах к замкнутому
подпространству и к подпространству типа G&. Прообраз
П. п. при совершенном отображении является П. п.
(в классе тихоновских пространств). Предположение
пространства перистым обеспечивает его правильное
поведение во многих существенных отношениях.
Всякое П. п. является ^-пространством. Каждое счетное
П. п. обладает счетной базой. Более того, если в П. п.
есть счетная сеть, то в нем есть и счетная база (и это
пространство метризуемо). При непрерывном
отображении на П. п. вес не может увеличиваться. Важно,
что в присутствии перистости принципиально
меняется поведение нек-рых других фундаментальных
свойств. В частности, произведение паракомпактных
П. п. является паракомпактным П. п., хотя
паракомпактность сама по себе не мультипликативна. Далее,
произведение финально компактных П. п. является
финально компактным П. п., хотя финальная
компактность не мультипликативна. Понятие перистости
позволило охарактеризовать те пространства, к-рые
могут быть совершенно отображены на метрич.
пространства. А именно, для того чтобы существовало
совершенное отображение тихоновского пространства
X на нек-рое метрич. пространство, необходимо и
достаточно, чтобы X было паракомпактным П. п.
(теорема Архангельского). Образ пара-
компактного П. п. при совершенном отображении
является паракомпактным П.п. (теорема
Филиппова); однако известен пример совершенного
отображения П. п. на неперистое тихоновское
пространство. Важными примерами непаракомпактных П. п.
служат непаракомпактные локально бикомпактные
пространства и неметризуемые моровские
пространства — тихоновские пространства со
счетной измельчающейся последовательностью открытых
покрытий. Для пространств топологич. групп из
перистости следует паракомпактность. Для групп
справедлив простой критерий ,перистости: пространство
топологич. группы является перистым в том и только
в том случае, если в нем имеется непустой бикомпакт,
обладающий счетной определяющей системой
окрестностей (теорема Пасынков а). В
присутствии перистости существенно упрощаются критерии
метризуемости. В частности, если паракомпактное
П. п. X взаимно однозначно и непрерывно отображается
на метрич. пространство, то X метризуемо. На этой
основе доказывается, что тихоновское пространство X
метризуемо в том и только в том случае, если оно
является паракомпактным П. п. с диагональю типа
С?6; последнее условие означает, что множество Δ=
= {(я, χ) : χ ζ Χ } представимо как пересечение
счетного семейства открытых в пространстве XXX
множеств. Приведенные и другие результаты позволяют
считать перистость одним из основных общих свойств
метрич. пространств и бикомпактов наряду с
паракомпактностью.
ΙΕΗΤ 272
Лит.: [1] Архангельский А. В.,
Пономаре в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
М., 1974; [2] Архангельский А. В., «Матем. сб.», 1965,
т. 67, № 1, с. 55—88; [3] Φ и л и π π о в В. В., «Докл. АН СССР»,
1967, т. 176, № 3, с. 533—35; [4] Π а с ы н к о в Б. Α., там же,
1965, т. 161, № 2, с. 281—84. А. В. Архангельский.
ПЕРИФЕРИЧЕСКИ БИКОМПАКТНОЕ
ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство, обладающее
базой открытых множеств с бикомпактными границами.
Вполне регулярное П. б. п. X имеет бикомпактные
расширения с нульмерными (в смысле размерности
ind) наростами. Если всякий бикомпакт АаХ
допускает вложение в другой бикомпакт ВаХ, для к-рого
в X имеется счетная фундаментальная система
окрестностей (напр., когда X метризуемо), периферич. би-
компактность X равносильна существованию у X
бикомпактных расширений с нульмерными наростами.
Е. Г. Скляренко.
ПЕРМАНЕНТ (тХ и)-матрицы А=\\а^\\ — функция
регЛ = ^^а1а(1)а2а(2).. -ята(т),
где aij — элементы из коммутативного кольца,
суммирование производится по всем взаимно однозначным
отображениям σ из {1, 2, . . ., т) в {1, 2, . . ., п).
Если т=п, то σ — всевозможные подстановки, и П.
представляет собой частный случай матричной
функции Шура
^)=Σσε„Χ(σ>Π· = 1α;σω
при H=Sn, χ^Ι, где χ — характер степени 1 на
подгруппе Η симметрической группы Sn (при H=Sn,
%(о*)=±1> в зависимости от четности σ, получается
определитель).
П. применяется в линейной алгебре, теории
вероятностей и комбинаторике. В комбинаторике П. можно
интерпретировать следующим образом: число систем
различных представителей для заданного семейства
подмножеств конечного множества есть П. матрицы
инцидентности для инцидентности системы,
связанной с этим семейством.
Наибольший интерес представляют П. матриц из
нулей и единиц ((0,1)-матриц), матриц с
неотрицательными действительными элементами, в частности
дважды стохастических матриц (у к-рых
суммы элементов по любой строке и любому столбцу
равны 1) и комплексных эрмитовых матриц. Из
основных свойств П. следует отметить теорему о
разложении (аналог теоремы Лапласа для определителей)
и теорему Бине — Коши, дающую представление П.
произведения двух матриц через сумму произведений
П., образованных из сомножителей. Для П.
комплексных матриц полезно представление их в виде
скалярного произведения на классах симметрии вполне
симметричных тензоров (см., напр., [3]). Один из наиболее
эффективных способов вычисления П. дает формула
Ρ а й з е ρ а:
ТП — I
где Λ& — совокупность подматриц размера mXk
квадратной матрицы А, Г(=Г((Х) —сумма элементов
в i-vi строке X, i, /с=1, . . ., т. Ввиду сложности
вычисления П. важны его оценки. Ниже приведены
нек-рые из оценок снизу.
а) Если А есть (0, 1)-матрица с г£(Л)>£, i=l, . . .,
т, то
per A^t \/(t — m) !
при t^m,
per A^t !,
если t<m и per A >0.
ПЕРМА

273 πει
б) Если А есть (0, 1)-матрица порядка тг, то
ретА^ JJ"= {rt Ч- г —лг},
где 7Ί>γ2>. . .>/·„ — суммы элементов в строках А,
расположенные в порядке невозрастания, {r*-\-i—n}=
= тах(0, г* + £—?г).
в) Если А — положительно полуопределенная
эрмитова матрица порядка п, то
где ε(Α)=Σ. atj, если s(A)?=Q.
Оценки Π', сверху:
1) для (0, 1)-матрицы порядка η
ρβΓ^<Π·=ι(Γ'!)1/Γ/;
2) для вполне неразложимой матрицы порядка η
с неотрицательными целыми элементами
рег(4)<2*М)-2я_|_1;
3) для комплексной нормальной матрицы с
собственными значениями λχ, ... , λη
ΐρ^ι<τΣ·=1|λ<·|η·
Наиболее известной проблемой в теории П. являлась
гипотеза Ван дер В ардееа: П. дважды
стохастич. матрицы порядка η ограничен снизу
величиной п\1пп, и это значение достигается лишь для
матрицы, составленной из дробей \1п. Положительное
решение этой проблемы было получено в 1980 (см. [4]).
Из применений П. следует отметить связь с
известными комбинаторными задачами о встречах, об
исполнителях, с Фибоначчи числами, с перечислением
латинских квадратов и троек Штейнера, с
нахождением числа 1-факторов и линейных подграфов в
графе\ дважды стохастич. матрицы связаны с нек-рыми
вероятностными моделями. Интересны физич.
применения П., среди к-рых наиболее важна проблема ди-
меров, возникающая при изучении адсорбции
двухатомных молекул поверхностного слоя: через П. (0, 1)-
матрицы простого строения выражается число
способов объединения атомов вещества в двухатомные
молекулы. Известны также применения П. в стати-
стич. физике, теории кристаллов, физич. химии.
Лит.: [1] Райзер Г. Д ж., Комбинаторная математика,
пер. с англ., М., 1966; [2] С а ч к о в В. Н., Комбинаторные
методы дискретной математики, М., 1977; [3] Мин к X.,
Перманенты, пер. с англ., М., 1982; [4] Ε г о ρ ы ч е в Г. П., Решение
проблемы Ван дер Вардена для перманентов, Красноярск, 1980;
[5] Φ а л и к м а н Д. И., «Матем. заметки», 1981, т. 29, в. 6,
с. 931—38. В. Е. Тараканов.
ПЕРМУТАТОР — собственное значение λ стохастич.
ядра такое, что оно отлично от единицы и |λ| —1.
Неотрицательная непрерывная функция К(х, у), заданная
на компактном множестве Ω конечномерного
пространства, наз. стохастическим ядром,
если
JQ*(*, y)dy = i, χ£Ω.
Собственные значения такого ядра удовлетворяют
условию |λ|<1. В теории операторов П. наз. оператор
А : Ε -> Е, если область его значений А (Е)
конечномерна и в этой области существует такой базис еъ
. . ., еп, что Aej=ekf, ; = 1, . . ., п.
Лит.: [1] Интегральные уравнения, М., 1968.
Б. В. Хведелидзе.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР к данной прямой (плоскости) —
прямая, пересекающая данную прямую (плоскость)
под прямым углом.
юна 274
I ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ — прямые,
составляющие прямой угол (в пространстве такие
прямые не должны обязательно пересекаться). Прямая I
и плоскость α наз. взаимно перпендикулярными,
если I перпендикулярна ко всякой прямой, лежащей
на а. Об обобщении понятия перпендикулярности см.
ст. Ортогональность.
ПЕРРОНА ИНТЕГРАЛ — обобщение понятия
интеграла Лебега. Функция f(x) наз.
интегрируемой на [а, 6] в смысле Перрона, если
существуют функции Μ (χ) (мажоранта) и т(х)
(миноранта) такие, что
М(а)=0, M(i)^/(i), DM (χ) # — οο,
т (α) =0, Dm (x) < / (ж), Dm (χ) φ + οο
(D и D — нижняя и верхняя производные) для я ζ [α, Ь]
и нижняя грань значений Μ (Ь) мажорант Μ (χ) равна
верхней грани значений т(Ь) минорант т(х); их общее
значение наз. интегралом Перрона от f(x)
на [а, Ъ] и обозначается
(Р) J* / (х) dx.
П. и. восстанавливает функцию по ее точной
конечной производной; он эквивалентен Данжуа интегралу
узкому. П. и. для ограниченных функций ввел О.
Перрон [1], окончательное определение дал X. Бауэр [2].
Лит.: [1] Perron О., «Sitzungsber. Heidelberg. Acad.
Wiss.», 1914, BdVA.,S. 1—16; [2] В a u e г Н., «Monatsh. Math,
und Phys.», 1915, Bd 26, S. 153—98; [3] С а к с С, Теория
интеграла, пер. с англ., М., 1949; [4] Виноградова И. Α.,
Скворцов В. Α., Итоги науки. Математический аналиа,
1970, М., 1971. Т. П. Лукашенко.
I ПЕРРОНА МЕТОД — метод решения Дирихле
задачи для Лапласа уравнения, основанный на свойствах
субгармонических функций (и супергармонич. функций).
Первоначальное изложение этого метода было дано О.
Перроном [1], существенное развитие получено в
ι работах Н. Винера [3] и М. В. Келдыша [4].
Пусть Ω — конечная область евклидова
пространства IRn, тг>2, с границей Т=д&, f=f(y) —
действительная функция на Г, — оо </(у) <+ оо · Пусть Φ —
(непустое) семейство всех супергармонич. функций
ν(χ), я ζ Ω, в широком смысле (т. е. функция у(я)=+оо
принадлежит Ф), ограниченных снизу и таких, что
liminfi;(a?)^/(y), у ζ Γ,
и пусть
Wf(x) = Hf(x; Q) = ini{v(x): ν£Φ}, χζΩ,
— нижняя огибающая семейства Φ. Наряду с Φ
рассматривается (непустое) семейство Ψ всех субгармонич.
функций и(х), ζζΩ, в широком смысле (функция и(х)^
=— оо ζ Ψ), ограниченных сверху и таких, что
lim sup и (χ) </ (у), у ζ Γ,
и пусть
Hf(x) = Hf(x; Ω) = sup {и (*): ι*ζΨ}, χζΩ,
— верхняя огибающая семейства Ψ.
Относительно функции Ηf (и Ηj) имеются только
три возможности: Hf(x)=-\-<x>, Η/(#)=—оо, Ηj{x) —
гармонич. функция, причем всегда
Hf(x) <Hf(x), χζΩ.
Функция f(y), у ζ Γ, наз. разрешимой, если обе
огибающие Η * и Η< конечны и совпадают. В этом
случае гармонич. функция Hf(x)=Hj(x)=I£f{x) есть
обобщенное решение задачи Дирихле
| для функции /(#), ι/ζΓ (в смысле Винера — Перрона).

275
ПЕРРОНА
276
Для того чтобы функция /(#), ί/ζΓ, была разрешимой,
необходимо и достаточно, чтобы она была
интегрируемой по гармонич. мере на Г (теорема Брело).
Любая непрерывная конечная функция /(#), у ζ Г,
разрешима (теорема Винера).
Точка у0 ζ Γ наз. регулярной граничной
точкой, если для любой непрерывной конечной
функции /(г/), ι/ζ Г, выполняется предельное
соотношение
lim #/(*) = /Ы·
Х^Уо
Регулярность всех точек г/ζ Γ равносильна
существованию классич. решения wj(x) задачи Дирихле для
любой непрерывной конечной функции f(y), у ζ Γ,
причем в этом случае Η f(x)^Wf(x); область Ω, все
граничные точки к-рой регулярны, иногда наз. также
регулярной. Для того чтобы точка #0ζΓ была
регулярной, необходимо и достаточно, чтобы
существовал барьер в у0.
Точки ί/0ζΓ, не являющиеся регулярными, наз.
иррегулярными граничными точка-
м и. Напр., иррегулярными граничными точками
являются изолированные точки и при п>3 вершины
достаточно сильно заостренных входящих в область Ω
острий (пример Лебега). Множество всех
иррегулярных точек Г есть множество типа Fa емкости
нуль.
Пусть имеется последовательность областей Ω^,
Ω^Ω^ + 1, такая, что Ω=υ*=ιΩ^, и непрерывная
конечная функция /(г/), у ζ Γ, продолжена непрерывно
на окрестность Г. Тогда
lim Hf(x; Qk) = Hf(x; Ω), χ ζ Ω,
k-+ 00
равномерно внутри Ω; в случае регулярных областей
Qk здесь получается конструкция обобщенного решения
задачи Дирихле по Винеру. Рассмотрим теперь для
области Ω без внутренней границы произвольную
последовательность областей G^, dGk-+T, 6^Ι2Ω.
В этом случае, вообще говоря,
lim Ηf{x; Gk) φΗΛχ; Ω).
fc-V GO
Задача Дирихле устойчива в области Ω или в
замкнутой области Ω, если
lim Hf(x; Gk)=Hf(x; Ω)
fe-ν со
соответственно для всех χζΩ или для всех ;ζζΩ. Для
устойчивости задачи Дирихле в области Ω необходимо
и достаточно, чтобы множества всех иррегулярных
точек дополнений CQ и CQ совпадали; для
устойчивости в замкнутой области — чтобы дополнение CQ
не имело иррегулярных точек (теоремы
Келдыша, см. [4], где построен также пример регулярной
области Ω, внутри к-рой задача Дирихле неустойчива).
См. также Верхних и нижних функций метод.
Лит.: [1] Perron О., «Math. Ζ.», 1923, Bd 18, S. 42—54;
[2] Π e τ ρ о в с к и й И. Г., «Успехи матем. наук», 1941 [1940],
в. 8, с. 107—14; [3] W i е η е г N.. «J. Math, and Phvs.», 1924,
v. 3, p. 24—51, 127—46; 1925, v. 4, p. 21 — 32; [4]
Келдыш М. В., «Успехи матем. наук», 1941 [1940], в. 8, с. 171 —
231; [5] Брело М., Основы классической теории потенциала,
пер. с франц., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.
ПЕРРОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — ортогональное
(унитарное) преобразование
гладко зависящее от ί и преобразующее линейную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
^ = ^=ια}(ί)χ/, i = l, ..., и, (2)
в систему треугольного вида
^=Σ/=^/ί')νΛ * = *. ···.*. (3)
Введено О. Перроном [1]. Справедлива теорема
Перрона: для всякой линейной системы (2) с
непрерывными коэффициентами a)(t) существует П. п.
П. п. строится с помощью процесса ортогонализа-
ции Грама — Шмидта (при каждом t) системы векторов
xx(t), . . ., xn(t), где x1(t), . . ., xn(t) — какая-либо
фундаментальная система решений системы (2),
причем различные фундаментальные системы дают, вообще
говоря, различные П. п. (см. [1], [2]). Для систем (2)
с ограниченными непрерывными коэффициентами все
П. п. являются Ляпунова преобразованиями.
Если матричнозначная функция ||а/(0И» U /=1» · · ·»
п, является рекуррентной функцией, то найдется
рекуррентная матричнозначная функция ||и/(*)И» i,/=l,
..., η, такая, что (1) есть П. п., приводящее систему
(2) к треугольному виду (3), причем функция
|Р/'(0||, и / = 1, .... и,
рекуррентна.
Лит.: [1] Ρ е г г о η О., «Math. Ζ.», 1930, Bd 32, S. 465—73;
[2] D i 1 i b e г t о S. P., «Ann. Math. Studies», 1950, v. 20, p.
1—38; [3] Бы л OB Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман
Д. Μ., Η е м ы ц к и й В. В., Теория показателей Ляпунова и
ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966; [4] И з
οδό в Η. Α., в сб.: Итоги науки и техники. Математический
анализ, т. 12, М., 1974, с. 71 —146. В. М. Миллионщиков.
ПЕРРОНА - СТИЛТЬЕСА ИНТЕГРАЛ - обобщение
понятия Перрона интеграла от функции одного
действительного переменного. Конечная функция / (х)
наз. интегрируемой в смысле Перрона — Стилтьеса
относительно конечной функции G(x) на [а, Ь], если
на [а, Ь] существуют мажоранта Μ (χ) и миноранта
т(х) функции /(х) относительно G(x) на [а, Ь] с Μ(х) =
= т(а) = 0 такие, что в каждой точке χ ζ [α, b]
Μ (x+ β) —Μ (χ—a) ^ / (χ) (G(x+f>) — G (χ-α)),
^(^Η-β) — m(x — α)</ (χ) (G (я+β) — G (χ —α))
при всех достаточно малых α^0 и β^0, кроме того,
нижняя грань чисел М{Ь), где Μ (χ) — произвольная
мажоранта / (х) относительно G (х), и верхняя грань
чисел т(Ь), где т(х) —произвольная миноранта / (х)
относительно G(x), равны между собой. Общее значение
этих двух граней наз. П.—С. и. от f (х) относительно
G (х) на [а, Ь\ и обозначается
(P-S)Yaf(x)dG(x).
Такое обобщение интеграла Перрона ввел О. Уорд
Лит.: [1] Ward A. J., «Math. Z.», 1936, Bd 41, S. 578—
604; [2] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949;
[3] Виноградова И. Α.,Скворцов В. Α., в кн.:
Математический анализ. 1970, М., 1971, с. 65—107. Т. П. Лукашенко.
ПЕРРОНА — ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА: пусть
действительная квадратная (пХ тг)-матрица Α,
рассматриваемая как оператор в пространстве R", не
имеет инвариантных координатных подпространств
(такая матрица наз. неразложимой) и
неотрицательна (т. е. все ее элементы неотрицательны).
И пусть λχ, . . ., λη — ее собственные значения,
занумерованные так, что
|λ,|=...=|λΛ| > |λΛ + 1|^...^|λ„[, 1<Λ<η.
Тогда:
1) число 7-= |ЯХ| —простой положительный корень
характеристич. многочлена матрицы А;
2) существует собственный вектор матрицы А с
положительными координатами, соответствующий г;
3) числа λχ, . . ., λΛ совпадают с точностью до
нумерации с числами г, шг, . . ., шЛ-1г, где ш=е2Ш//|;

277
ПЕТЕРА — ВЕЙЛЯ ТЕОРЕМА
278
4) произведение любого собственного значения
матрицы А на ω есть собственное значение матрицы А\
5) при Д>1 найдется перестановка строк и
столбцов, приводящая матрицу А к виду
110 Аг 0...0 0
II0 0 А2...0 0
0 0 0
Аф 0
...0 Ah.x
..0 0
где A j — матрицы порядка nh~x.
О. Перрон доказал в [1] утверждения 1) и 2) для
положительных матриц, а в полном объеме
приведенную теорему доказал Ф. Фробениус в [2].
Лит.: [1] Ρ е г го η О., «Math. Ann.», 1907, Bd 64, S. 248—
263; [2] F г о b e η i u s G., «Sitzungsber. der Kgl. Preuss. Akad.
Wiss.», 1912, S. 456—77; [3] Г а н т м a x e ρ Φ. Р., Теория
матриц, 3 изд., М.,1967. ДА. Супруненко.
ПЕРСЕЯ КРИВАЯ, спирическая крива я,—
плоская алгебраич. кривая 4-го порядка; является
линией пересечения поверхности тора плоскостью,
параллельной его оси (см. рис.). Уравнение в
прямоугольных координатах:
(х2 + у2 + р2 + а2 — г2)2 = Ы2(х2 + р2),
где г — радиус окружности, описывающей тор, d —
расстояние от начала координат до ее центра, ρ —
расстояние от оси тора до секущей плоскости. К П. к.
d>r
d-r d<r
ОЮСРШ
р=о
р*0 р=0
оюсрф
p<d-r р<г p<(i
■ОЮ--Ф--Ф-
p=d-r p = r p=d
ojo -φ- -φ-
р>й-г p>r p>d
относятся: Бута лемниската, Кассини овал и
Берну лли лемниската.
П. к. названа по имени древнегреч. геометра Персея
(2 в. до н. э.), исследовавшего ее в связи с изучением
различных способов задания кривых.
Лит.: [1] С а в е л о в Α. Α., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ПЕРСПЕКТИВА с центром S — отображение
плоскости π в плоскость π', при к-ром каждой точке
Μ плоскости π ставится в соответствие точка М'
пересечения прямой SM с плоскостью π' (если прямая SM
не параллельна плоскости π'; см. рис.)·
В проективной геометрии П.
определяется следующим образом: пусть
V и V — собственные
подпространства одинаковой размерности
проективного пространства Ω, Τ —
подпространство максимальной
размерности, не имеющее общих точек ни
с V, ни с V. Пусть U —
подпространство, содержащееся в V, и W —
подпространство минимальной
размерности, содержащее U и Т, a £/' —
пересечение W и V. Соответствие,
при к-ром каждому подпространству
U, содержащемуся в V, ставится в соответствие
подпространство U', содержащееся в V, наз.
перспективным отображением пространства V
на пространство V с центром перспективы Т.
П. есть коллинеация. Если подпространства V и V
пересекаются, то каждая точка подпространства V[\V
сама себе соответствует.
Если в пространствах V и V введены проективные
координаты, то перспективное соответствие может
быть задано линейным отображением.
Лит.: [1] Α ρ τ и н Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ.,
М.# 1969; [2] Глаголев Η. Α., Проективная геометрия,
2 изд., М., 1963. П. С. Моденов.
ПЕРЦЁНТИЛЬ — одна из числовых характеристик
распределения вероятностей; частный случай квантили.
Именно, П. определяется как квантиль Кр,
соответствующая значениям р, равным //100 для ; = 0, 1, 2, . . .,
99. Для непрерывной строго монотонной функции
распределения F (х) /-я перцентиль представляет собой
решение уравнения
7 = 0, 1, 2, . . ., 99. В математич. статистике П. дают
хорошее представление о виде функции распределения.
П. также наз. процентилями, или ц е н τ и*
Л Я М и. А. В. Прохоров.
ПЕТЕЛЬ ПРОСТРАНСТВО — снабженное
компактно открытой топологией пространство QX всех петель
в точке * топологич. пространства X с отмеченной
точкой *. П. п. является слоем Серра расслоения
(Е, р, X) над пространством X (здесь Ε — путей
пространство). А. Ф. Харшиладзе.
ПЕТЕРА — ВЕЙЛЯ ТЕОРЕМА — теорема об
аппроксимации функций на компактной топологич.
группе представляющими функциями. Пусть π пробегает
семейство Σ представителей всех классов
эквивалентности неприводимых непрерывных унитарных
представлений компактной группы G. Пусть dim π —
размерность представления π и и[.у> — его матричные
элементы в нек-ром ортонормированном базисе. П.—В. т.
утверждает, что функции вида
γι
imn и
(π)
(π ζ Σ)
образуют ортонормированный базис в пространстве
36 гФ) суммируемых с квадратом функций
относительно меры Хаара на G (мера всей группы считается
равной 1). Алгебра всех представляющих комплексных
функций на G, совпадающая с множеством конечных
линейных комбинаций функций uffi (π ζ Σ), равномерно
плотна в пространстве всех непрерывных комплексных
функций на G.
В случае, когда G= Τ — группа вращений
плоскости,— это утверждение совпадает с элементарной
теоремой об аппроксимации периодических непрерывных
функций тригонометрич. многочленами.
В качестве следствия из П.— В* т. выводится, что
совокупность линейных комбинаций характеров
неприводимых представлений группы G плотна в алгебре
всех непрерывных функций на G, построенных на
классах сопряженных элементов. Другое следствие
состоит в том, что для любого элемента a£G, афе,
найдется такое неприводимое непрерывное
представление φ группы G, что у(а)фЕ\ если же G —
компактная группа Ли, то G допускает точное линейное
представление.
Из П.— В. т. вытекает также следующее, более
общее, утверждение (см. [5], [6]). Пусть дано
непрерывное линейное представление φ компактной группы
G в пространстве Фреше Е, тогда подпространство
представляющих элементов пространства Ε плотно
в Е. При этом элемент νζΕ наз. представляю-

279
щ и м, или сферическим, или почти и н в а-
риа н τ н ы м, если орбита q>(G)v порождает в Ε
конечномерное подпространство. Это, в частности,
применимо к случаю, когда Ε — пространство сечений
нек-рого класса гладкости гладкого векторного G-
расслоения, напр. пространство тензорных полей
определенного типа и заданного класса гладкости на
гладком многообразии с гладким действием компактной
группы Ли G.
П.— В. т. была доказана в 1927 Ф. Петером (F. Peter)
и Г. Вейлем (Н. Weyl) (см. [1J).
Лит.: [1] Петер Ф., Вейль Г., «Успехи матем. наук»,
1936, в. 2, с. 144—60; [2] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Непрерывные
группы, 3 изд., М., 1973; [3] ХьюиттЭ., Ρ о с с К.,
Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 1, М., 1975; [4]
ШеваллеК:, Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948;
[5] Ρ al a i s R. S., S t e w а г t Τ. Ε., «Amer. J. Math.», 1961,
v. 83, № 4, p. 623—44; [6] Μ ο s t о w G. D., «Ann. Math.», 1961,
v. 73, № 1, p. 20—48. А. Л. Онищик, А. И. Штерн.
ПЕТЕРСОНА ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность,
обладающая сопряженной сетью конических или цилинд-
рич. линий, являющейся главным основанием
изгибания (см. Изгибание на главном основании). Напр.,
П. п. является каналовая поверхность, переноса
поверхность, вращения поверхность. Вращений индикатриса
П. п. есть прямой коноид (в частности, для каналовой
поверхности ею является геликоид, для поверхности
переноса — гиперболич. параболоид). Впервые
рассмотрена К. М. Петерсоном как пример поверхности,
допускающей изгибание на главном основании.
И. X. Сабитов.
ПЕТЕРСОНА СООТВЕТСТВИЕ — соответствие двух
поверхностей, при к-ром их касательные плоскости
в соответствующих точках параллельны. В общем
виде рассмотрено К. М. Петерсоном [1] в связи с
задачей изгибания на главном основании. Напр., в П. с.
находятся поверхность и ее сферич. образ,
поверхность и ее индикатриса вращения, присоединенные
минимальные поверхности.
Если поверхности S и S* имеют общую
параметризацию, то их третьи квадратичные формы равны.
Главная сеть асимптотич. сетей S и S* сопряжена на
каждой из них. Эта сеть определяется однозначно, если
асимптотич. сети не имеют общих семейств линий;
вырождается, если эти сети связанные; становится
неопределенной, если эти сети соответствуют друг
другу. Соответствующие касательные к линиям
главной сети на S и S* параллельны.
Если главную сеть принять за координатную (и, ν),
то радиус-векторы χ и х* поверхностей S и S* связаны
уравнениями
* *
причем функции ρ, σ удовлетворяют системе
уравнений
9vE-ouF = -^-, 9vF-ouG = ^-Gu,
то есть ρ, σ зависят только от метрики F (Е, F, G —
коэффициенты ее первой квадратичной формы).
Естественно поэтому применение П. с. к паре изометрич-
ных поверхностей S, S: оно дает другую пару изомет-
ричных поверхностей S*, S* с теми же нормалями
п—п*, п—п соответственно. Кроме того, оказывается,
что диаграммы поворота этих поверхностей одни и
те же и что основание изометрии новых поверхностей
имеет то же сферич. изображение, как и
первоначальных. Напр., сфере и изометричной ей поверхности
положительной постоянной кривизны отвечают при
П. с. изометричные поверхности с соответствующими
линиями кривизны — т. н. поверхности Бонне.
В частности, если основание изометрии S и S* было
главным основанием, то оно и остается таковым.
Это — т. н. преобразование Петерсона
эна 280
поверхности, изгибаемой на главном основании в
поверхность того же типа. Имеется обобщение этого
преобразования на случай семейства сетей (см. [2]).
Специальный случай П. с, при к-ром главная сеть
является сетью кривизны одновременно на S и на S*,
наз. соответствием Комбескюра.
Если П. с. является конформным, то либо одна из
поверхностей минимальная, а другая — сфера (то
есть П. с.— сферич. отображение), либо обе
поверхности минимальные, а вектор конформного отображения
удовлетворяет уравнению Лапласа, либо поверхности
подобны, либо обе поверхности изотермические и
находятся в соответствии Комбескюра.
Имеется многомерное обобщение П. с. (см. [4J).
Лит.: [1] Π е τ е ρ с о н К. М., «Матем. сб.», 1866, т. 1, с.
391—438; [2] Ш у л и к о в с к и й В. И., Классическая
дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963;
[3] Φ и н и к о в С. П., Изгибание на главном основании и
связанные с ним геометрические задачи, М.— Л., 1937; [4] Ш и ρ о-
к о в П. Α., Широков А. П., Аффинная дифференциальная
геометрия, М., 1959. М. И. Войцеховский.
ПЕТЕРСОНА — КОДАЦЦИ УРАВНЕНИЯ —
уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса (см.
Гаусса теорема) необходимые и достаточные условия
интегрируемости системы, к к-рой сводится задача
восстановления поверхности по ее первой и второй
квадратичным формам (см. Бонне теорема). П. — К. у.
имеют вид
где bij— коэффициенты второй квадратичной формы,
Tij— символы Кристоффеля 2-го рода.
Уравнения впервые найдены К. М. Петерсоном в
1853, переоткрыты Г. Майнарди (G. Mainardi, 1856)
и Д. Кодацци (D. Codazzi, 1867).
Лит.: [1] Ρ а ш е в с к и й П. К-, Курс дифференциальной
геометрии, М., 1956. А. Б. Иванов.
ПЕТЛЯ — замкнутый путь. Подробнее, петля / —
непрерывное отображение отрезка [0, 1] в топологич.
пространство X такое, что /(0)=/(1). Совокупность
всех П. пространства X с отмеченной точкой * таких,
что /(0)=/(1)— *, образует петель пространство.
М. И. Войцеховский.
ПЕТРИ СЕТЬ — математическая модель дискретных
динамич. систем, в том числе информационных систем
(параллельных программ, операционных систем, ЭВМ
и их устройств, сетей ЭВМ), ориентированная на
качественный анализ и синтез таких систем
(обнаружение блокировок, тупиковых ситуаций и узких мест,
автоматич. синтез параллельных программ и
компонентов ЭВМ и др.). Введена К. Петри (С. Petri) в 6.0-х
гг. 20 в. П. с— это набор Ν= (Τ, Ρ, F, M0), где Т —
конечное множество символов, наз. переходами,
Ρ — конечное множество символов, наз. местами,
Р[\Т— ф, F — функция инцидентности:
F: ТХРЦРХТ —*{0, 1},
М0 — начальная разметка мест:
М0: Р-+ {0, 1, 2, ...}.
Неформально П. с. представляют размеченным
ориентированным графом со множеством вершин Т\]Р
(см. рис.). Из вершины-места р£Р, изображаемой
кружком, ведет дуга в вершину-переход ίζ Τ, изображаемую
прямоугольником, тогда и только тогда, когда
F(P, t) = i
(ρ—входное место перехода t; на рис. Р={ри р2, р3},
Т={а, Ъ, с, d}). Из вершины-перехода t ведет дуга
в вершину-место ρ тогда и только тогда, когда
F(t, p) = l
ΠΕΤΕΡί

281
ПИКА ТЕОРЕМА
282
(ρ — выходное место перехода t). Место ρ помечается
разметкой М0(р)фО, часто изображаемой
соответствующим числом точек (фишек).
Динамика поведения моделируемой системы
описывается в терминах функционирования П. с. Сеть
функционирует в дискретном
времени, переходя от
разметки к разметке.
Каждая разметка — это
функция Μ : Ρ -+ {О,
1, 2, . . .}; смена
разметок (начиная с М0)
происходит в
результате срабатывания
переходов сети. Переход
t£T может сработать
при разметке М, если для любого ρ ζ Ρ
M(p)-F{p, 0^0,
т. е. если каждое его входное место имеет хотя бы одну
фишку. В результате срабатывания t при разметке Μ
последняя сменяется разметкой М' по правилу: для
любого ρ ζ Ρ
M'(p) = M(p)-F(p, t) + F(t, ρ),
т. е. переход t изымает по фишке из каждого своего
входного места и посылает по фишке в каждое свое
выходное место. Если может сработать несколько
переходов, то срабатывает один, любой из них. Сеть
останавливается, если при нек-рой разметке (тупиковая
разметка) ни один из ее переходов не может сработать.
При одной и той же начальной разметке П. с. может
порождать, в силу недетерминированности ее
функционирования, различные последовательности
срабатываний ее переходов. Эти последовательности образуют
слова в алфавите Т, а множество всевозможных слов,
порождаемых П. с, наз. ее языком. Две П. с.
эквивалентны, если они порождают один и тот же
язык.
Исследования по П. с. развиваются в двух
направлениях. Математич. теория сетей разрабатывает методы
формального анализа их свойств. Среди наиболее
интересных проблем следует отметить задачи
распознавания тупиковых ситуаций в сетях, задачи
распознавания эквивалентности сетей по порождаемым языкам,
оценки сложности анализа сетей, сравнение
выразительной мощности различных подклассов П. с. и их
обобщений. Установлено, что проблема тупиковых
ситуаций разрешима, изучены свойства класса языков,
порождаемых П. с. Этот класс строго содержится в
классе рекурсивно перечислимых языков, строго
включает класс регулярных языков и частично
пересекается с классом контекстно свободных языков. Второе
направление — применение П. с. как основы
прикладных моделей дискретных динамич. систем в
информатике, экономике, цифровой технике и т. п.
В отличие от автоматов конечных, в терминах к-рых
описываются глобальные изменения состояний систем,
П. с. концентрирует внимание на локальных
событиях (им соответствуют переходы), локальных
условиях (им соответствуют места) и на локальных связях
между событиями и условиями. Поэтому в терминах
П. с. более адекватно, чем с помощью автоматов,
моделируется поведение распределенных асинхронных
систем.
Лит.: [1] Peterson J. L., Petri net theory and the
modeling of systems, Englewood-Gliffs, 1981; [2] К о т о в В. Е.,
«Кибернетика», 1980, № 5, с. 10—18; [3] Апериодические
автоматы, М., 1976; [4] Net theory and applications, В., 1980.
В. Е. Йотов.
ПЕТТИСА ИНТЕГРАЛ — интеграл от векторнознач-
ной функции по скалярной мере, являющийся т. н.
слабым интегралом. Введен Б. Петтисом [1].
Пусть F(X, Ε, ©, μ) — векторное пространство
функций x(t), t£E, со значениями в банаховом
пространстве X, заданных на множестве (Е, *8, μ) со
счетно аддитивной мерой μ на σ-алгебре ©
подмножеств Е. Функция χ (t) наз. слабо и змеримой,
если для любого f£X* измерима скалярная функция
f[x(ί)]. Функция x(t) интегрируема по Пет-
т и с у на измеримом подмножестве МаЕ, если для
любого /ζΧ* интегрируема на Μ функция f[x(t)\ и
существует элемент χ (Μ) ζ X такой, что
ί[χ(Μ)] = ^Μί[χ(ί)]άμ.
Тогда
s
Μ
def
x (t) άμ = χ (Μ)
и наз. интегралом Петтиса. Такой интеграл
для случая Е= (а, Ь) с обычной мерой Лебега был
впервые введен И. М. Гельфандом [2].
Лит.: [1] Pettis В., «Trans. Amer. Math. Soc», 1938,
v. 44, №2, p. 277—304; [2] ГельфандИ. М., «Зап. Науково-
цосл. 1нст. матем. и мех. Харшв. матем. тов.», 1936, т. 13, в. 1,
с. 35—40; [3] Η i 1 d e b г a n d t Т., «Bull. Amer. Math. Soc»,
1953, v. 59, p. 111—39; [4] X и л л е Э., Ф и л л и π с Р.,
Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962.
В. И. Соболев.
ПИ, число π,— отношение длины окружности к
диаметру; представляется бесконечной
непериодической десятичной дробью
π = 3,141 592 653 589 793...
Разыскание пределов нек-рых арифметич.
последовательностей, составляемых по простым законам, часто
приводило к числу π. Примером может служить ряд
Лейбница
4 ~1 3 ' 5 7 ' 9 ·"'
к-рый, однако, очень медленно сходится. Существуют
значительно быстрее сходящиеся ряды, пригодные для
вычисления π.
Возможность чисто аналитич. определения числа π
имеет принципиальное значение и для геометрии.
Так, в неевклидовой геометрии π также участвует в
нек-рых формулах, но уже не как отношение длины
окружности к диаметру (это отношение в
неевклидовой геометрии не является постоянным). Средствами
анализа, среди к-рых решающую роль сыграла
формула Эйлера
была окончательно выяснена и арифметич. природа
числа π. В кон. 18 в. И. Ламберт (J. Lambert) и А. Ле-
жандр (A. Legendre) установили, что π —
иррациональное число, а в 19 в. Ф. Линдеман (F. Lindemann)
доказал, что π является трансцендентным числом.
По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.
ПИКА ТЕОРЕМА, инвариантная форма
леммы Шварц а,— обобщение Шварца леммы,
состоящее в следующем. Пусть w=f(z) —
ограниченная регулярная аналитич. функция в единичном круге
Q=(z£C: |z|<l}, |/(z)|<l, Ы<1. Тогда для любых
точек ζγ и z2 круга Ω неевклидово расстояние ά(ρΎ, w2)
их образов w1=f(z1) и w2=f(z2) не превосходит
неевклидова расстояния ά(ζλ, ζ2), то есть
d (и>ъ w2) < d (zb z2), I zx | < 1, | z2 \ < 1. (1)
Кроме того, имеет место неравенство
| dw\
\dz
1-1 ад I* ^ 1-|2|2
L dw = f (z)dz, |Z|<1,
(2)
между элементами неевклидовой длины
(дифференциальная форма П. т., или леммы Шварца). Знаки ра-

283
ПЙКАРА
284
венства в (i) и (2) имеют место только в том случае,
когда w=f (ζ) есть дробно-линейная функция,
отображающая круг Ω на себя.
Неевклидово, или гиперболическое,
расстояние d(zu z2) есть расстояние в геометрии
Лобачевского между точками zx и z2, когда круг Ω
принимается в качестве плоскости Лобачевского, а
пр!ямыми Лобачевского служат дуги окружностей,
ортогональных единичной окружности (м о д е л ь Π у-
а н к а р е); при этом
d(zu ζ2) = γ1η(α, β, ζχ, ζ2) =
2 \ 1-ζ,22 |- |2,-ζ2|
где (α, β, zb ζ2) — двойное отношение точек zb ζ2
и определяемых этими точками точек пересечения α, β
» прямой Лобачевского, про-
| ходящей через ζχ и ζ2, с еди-
®ничной окружностью (см.
рис.).
Неевклидова длина образа
/ (L) любой спрямляемой
кривой LcQ при отображе-
"*"" нии w=f(z) не превосходит
неевклидовой длины L.
П. т. была установлена Г.
Пиком (см. [1]);
дальнейшим ее обобщением являет -
1 ся гиперболической метрики
принцип. В геометрич. теории функций из этих теорем
выводятся оценки различных функционалов,
связанных с отображающей функцией (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Ρ i с k G., «Math. Ann.», 1916, Bd 77, S. 1—6; [2]
Голузин Г. М., Геометрическая теория функций
комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Каратеодори К.,
Конформное отображение, пер. с англ., М.— Л., 1934.
Е. Д. Соломенцев.
ПИКАРА ГРУППА — группа классов обратимых
пучков (или линейных расслоений). Более точно,
пусть (X, Qx) — окольцованное пространство. Пучок
(З^-модулей J? наз. обратимым, если он
локально изоморфен структурному пучку Qx.
Множество классов изоморфных обратимых пучков на X
обозначается Pic (X). Тензорное произведение J?®
®6х<%' определяет на множестве Pic(X) операцию,
превращающую его в абелеву группу, наз. группой
Π и к а р а пространства X. Группа Pic(Z)
естественно изоморфна группе когомологий НХ(Х, Qx),
гДе Qx— пучок обратимых элементов в Qx.
Для коммутативного кольца А группой Пикара
PicJ4 наз. группа классов обратимых А -модулей;
PicA ^Pic(Spec А). Для кольца Крулля А группа
PicA тесно связана с классов дивизоров группой этого
кольца.
П. г, полного нормального алгебраич. многообразия
обладает естественной алгебраич. структурой (см.
Пикара схема). Связная компонента нуля группы Pic (X)
обозначается Pic°(Z) и наз. многообразием Пикара
для X; это — алгебраич. группа (абелево
многообразие, если многообразие X гладко). Факторгруппа
Pic(Z)/Pic°(X) наз. группой Нерона —
Севе ρ и и имеет конечное число образующих; ранг ее
наз. числом Пикара. В комплексном случае,
когда X — гладкое проективное многообразие над С,
группа Pic0 (X) изоморфна факторгруппе пространства
Н°(Х, Ωχ) голоморфных 1-форм на X по решетке
НЦХ, ζ).
Лит.: [1] Μ а м φ ο ρ д Д., Лекции о кривых на
алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968. В. И. Данилов.
ПИКАРА МНОГООБРАЗИЕ полного гладкого
алгебраического многообразия X над алгебраически
замкнутым полем — абелево многообразие И$(Х),
параметризующее факторгруппу Oiwa(X)/P (X) группы
Diva(Z) дивизоров, алгебраически эквивалентных
нулю, по группе главных дивизоров Ρ (Χ), т. е. дивизоров
рациональных функций. С точки зрения теории пучков
П. м. параметризует множество классов изоморфных
обратимых пучков с нулевым классом Чжэня, т. е.
$ (X) совпадает со связной компонентой единицы
Pic°(X) Пикара группы Pic (X) многообразия X.
Структура абелева многообразия на группе 9$ (Х)=
—Diva (X)/P (X) однозначно характеризуется
следующим свойством: для любого алгебраич. семейства
дивизоров D ша X с базой S существует такое
регулярное отображение φ : S ->► ^β (X), для к-рого D (s)—
—D (s0) ζ φ (s), где s0 — нек-рая фиксированная точка из
S0 (см. [2]). Размерность q=aim^(X) наз.
иррегулярностью многообразия X.
Классической пример П. м.— Якоби многообразие
гладкой проективной кривой. Другим примером
может служить двойственное абелево многообразие
(см. [3]).
В случае, когда X — гладкое проективное
комплексное многообразие, $β (Χ) можно отождествить с
группой обратимых аналитич. пучков на X, имеющих
нулевой класс Чжэня [4]. Более того, многообразие
Пикара $β (Χ) в этом случае изоморфно факторгруппе
пространства Нг(Х, Qx) по решетке Н1 (X, %)сН1(Х,
Qx). В частности, иррегулярность q многообразия X
совпадает с dim Η1 (X, Qx)=aimH°(X, Ωχ), где Ωχ —
пучок регулярных 1-форм. Последний результат верен
также в случае неособых проективных кривых над
любым алгебраически замкнутым полем и в случае
полных гладких многообразий над алгебраически
замкнутым полем характеристики 0; для произвольной
характеристики имеет место лишь неравенство
Игузы: а1тЯ1(Х, Qx)^q (известен пример
гладкой алгебраич. поверхности F иррегулярности 1 с
сЬ'тЯ1 (F, б/?)=2; см. [6]). Как видно отсюда, П. м.
тесно связано с теорией одномерных
дифференциальных форм. Начало исследования таких форм на рима-
новых поверхностях положил Э. Пикар [1]; он доказал
конечномерность пространства Н°(Х, Ωχ) всюду
регулярных форм.
Понятие П. м. может быть обобщено на случай
полного нормального многообразия X. Изучалось
также многообразие Пикара Ц$С(Х), соответствующее
дивизорам Картье и обладающее, в отличие от Ц$(Х),
хорошими функториальными свойствами [9].
Многообразие Щс (X) было построено для полных
нормальных многообразий X (см. [5]), а также для
произвольных проективных многообразий [8].
Лит.: [1] Ρ i с а г d Е., «С. г. Acad. Sci.», 1884, t. 99, p. 961 —
963; [2] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972; [3JM а м ф о ρ д Д., Абелевы многообразия, пер.
с англ., М., 1971; [4] Гриффите Ф., ХаррисДж.,
Принципы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1—2,
М., 1982; [5] С h е ν а 1 1 е у С, «Amer. J. Math.», 1960, v. 82,
p. 435—90; [6] I g u s a J.-I., «Proc. Nat. Acad. Sci. USA», 1955,
v. 41, № 11, p. 964—67; [7] Μ a t s u 8 a k а Т., «Jap. J. Math.»,
1951, v. 21, № 2, p. 217—36; [8] SeshadriC, «Ann. mat.
pura ed appl.», 1962, v. 57, p. 117—42; [9] его же, «Math.
Ann.», 1965, Bd 158, № 3, S. 293—96. В. В. Шокуров.
ПИКАРА СХЕМА — естественное обобщение в
рамках теории схем понятия Пикара многообразия 9$(Х)
гладкого алгебраич. многообразия X. Для определения
П. с. произвольной £-схемы X рассматривается о τ н о-
сительньгй функтор Пикара Pic^/S на
категории SchlS схем над схемой S. Значение этого
функтора на S-схеме S' есть группа
H0(S',R}pQch(Gm,X·)),
где /' : XxsS' -> S' есть морфизм замены базы,
Rfpqcf* (Gm, Χ') — пучок на топологии Гротендика

285 пи
Sfpqc строго плоских квазикомпактных морфизмов,
ассоциированный с предпучком
Т-+ИНТ/ряе, GM) = m(TeV Gm),
a Gm обозначает стандартный мультипликативный
пучок. Если функтор Пикара Pic^,s представим на
(Sch/S), то представляющая его S-схема наз.
относительной схемой Пикара S-схемы X
и обозначается Pic^/S. В случае, когда X — алге-
браич. схема над нек-рым полем к, имеющая
рациональную /с-точку,
Ficx/k(S') = Pic(XxkS')/t>ic(S')
для любой /с-схемы S' (см. [3]); в частности, Pic^//t(/b)=
= Pic(X) отождествляется с группой /с-рациональных
точек Picx/h(k) схемы Picx/h, если таковая
существует.
Если / : X -> S — проективный морфизм с
геометрически целостными слоями, то схема Picx/S
существует и является локально конечно представленной
отделимой групповой S-схемой. Если S=Spec (к), то
связная компонента единицы Pic^/fe схемы Picx/fe
является алгебраической /с-схемой и соответствующая
приведенная А:-схема (Pic^/^) d есть в точности
многообразие Пикара Ц$С(Х) (см. [4]). Нильпотентные
элементы в локальных кольцах схемы Pic^/ft дают
много дополнительной информации о П. с. и позволяют
объяснить ряд паталогий в алгебраич. геометрии над
полем характеристики р>0. С другой стороны, над
полем характеристики 0 схема Pic^/fe всегда
приведена (см. [6]). Известно также, что схема PicF/fe
приведена, если F — гладкая алгебраич. поверхность
h#2(F, 6f)=0(cm. [5]).
Для любого собственного плоского морфизма /:
X -> S (конечно представленного, если база S нёте-
рова), для к-рого Κ(6χ>)=6$'·> ПРИ ЛК)бой замене
базы /' : X' = XXS S' -+ S функтор PicY/s является
алгебраич. пространством над S (см. [1]). В частности,
функтор Pic^/S представим, если базисная схема S
есть спектр локального артинова кольца.
Лит.: [1] А г t i η Μ., в сб.: Global analysis. Papers in
Honor of K. Kodaira, Tokyo, 1969, p. 21—77; [2] G h e ν a 1 1 e у С,
«Amer. J. Math.», 1960, v. 82, p. 435—90; [3] G rothendi-
eck Α., в кн.: Seminaire Bourbaki, 1961—1962, annee 14, [P.,
1962], p. 232/01—232/19; [4] e г о же, «Publ. math. Inst, hautes
etudes scient.», 1960, № 4, p. 1—168; [5] Μ а м ф о р д Д.,
Лекции о кривых на алгебраических поверхностях, пер. с англ.,
М., 1968; [6] О о г t F., «Invent, math.», 1966, v. 2, J\fc 1, p. 79—
80; L7] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия,
т. 10, М., 1972, с. 47 — 112. В. В. Шопуров.
ПИКАРА ТЕОРЕМА — 1) П. т. о поведении
аналитической функции f(z) комплексного переменного ζ
в окрестности существенно особой точки а — название
результата классич. теории функций, явившегося
отправным пунктом многочисленных глубоких
исследований и состоящего из двух частей, а) Малая
теоремаПикара: всякая целая функция / (ζ) Φ
Φ const принимает любое конечное комплексное
значение, за исключением, быть может, одного, б) Б о л ь-
шая теорема Пикара: всякая однозначная
аналитич. функция f(z) в произвольной окрестности
изолированной существенно особой точки а
принимает любое конечное комплексное значение, за
исключением, быть может, одного.
Впервые эта теорема опубликована Э. Пикаром [1],
[2]. Она существенно дополняет Сохоцкого теорему.
Малая П. т. есть следствие большой П. т. Из большой
П. т. непосредственно следует, что любое конечное
комплексное значение, за исключением, быть может,
286
одного, принимается в произвольной окрестности
существенно особой точки бесконечно часто. Для
мероморфной функции в конечной плоскости С : \z\ <oo
П. т. принимает вид: если точка а— оо — существенно
особая для мероморфной в С функции F(z), то в
произвольной окрестности точки а функция F(z)
принимает любое комплексное значение из расширенной
комплексной плоскости С: |z|<oo, за исключением,
быть может, двух, и притом бесконечно часто. Как
показывают примеры целой функции егф0 и
мероморфной функции tg ζφί, —ί, все эти утверждения
точные. Фигурирующие в П. т. исключительные
значения наз. пикаровскими
исключительными значениями.
П. т. существенно дополняется Иверсена теоремой
и Жюлиа теоремой, к-рые показывают соответственно,
что пикаровские исключительные значения являются
асимптотическими значениями и что существуют лучи
Жюлиа L, исходящие из существенно особой точки а
и такие, что неисключительные значения принимаются
бесконечно часто даже в любом сколь угодно малом
секторе с вершиной а и осью симметрии L.
Для современных исследований, связанных с П. т.,
характерны следующие два направления. Пусть Ε —
множество существенно особых точек мероморфной
функции F(z), то есть F(z) — мероморфная функция
в нек-рой окрестности любой точки z0(£E, и предельное
множество C(z0; F) функции F(z) в точке z0£E не
сводится к одному значению. Пусть R(a; F), а£Е,—
множество тех значений w£C, к-рые в любой окрестности
точки а принимаются бесконечно часто. Тогда П. т.
утверждает, что если а — изолированная точка Е,
то дополнение
CR (a; F) = €\R(a; F)
обладает свойством Пикара, т. е. состоит
не более чем из двух точек. В. В. Голубев в 1916
установил, что если емкость множества Ε равна нулю,
cap £=0, то CR(a; F) имеет емкость нуль для всех
а£Е. Вопрос о том, каковы минимальные условия на
Е, чтобы множество CR(a; F) для всех а£Е обладало
свойством Пикара, пока (1983) полностью не решен.
Примеры показывают, что, с одной стороны, условие
сар£—0 не является достаточным, а с другой — что
имеется множество Е, cap £>0, вне к-рого не
существует мероморфных трансцендентных функций,
выпускающих четыре значения (см. [4], [5], [8]).
Второе направление связано с обобщениями П. т.
для аналитич. функций f(z) многих комплексных
переменных z= (zu . . ., z„), и>1. При м=1 П. т. можно
формулировать и так: любое голоморфное отображение
/ : С -> С, выпускающее по крайней мере две точки,
постоянно. Однако в 1922 П. Фату (P. Fatou)
построил пример невырожденного голоморфного (и даже
биголоморфного) отображения / : С2 -> С2, для к-рого
множество исключительных значений С2\/(С2) содержит
непустое открытое множество. Это означает, что П. т.
(и даже теорему Сохоцкого) непосредственно нельзя
распространить на случай и>1. Обобщения П. т. все
же возможны, если отправляться, напр., от другой ее
формулировки, несколько искусственной при п=1:
любое голоморфное отображение F : С -> СР в
комплексную проективную плоскость СР—С,
выпускающее по крайней мере три гиперплоскости (т. е. точки
при п— 1), постоянно. Верна, в частности, такая
теорема Грина: любое голоморфное отображение
F : Ст -> €Рп, выпускающее по крайней мере 2л+1
гиперплоскостей в общем положении, постоянно (см.
[3], [6], [8].
2) П. т. об униформизации алгебраических кривых:
если алгебраич. кривая Φ(z, w)—0 имеет род g>l,
:ара

287
то не существует ни одной пары мероморфных функций
z=f(t), w=h(t) таких, что Φ(/(*), А(/))=0. Иными
словами, униформизация алгебраич. кривых рода g>l
при помощи мероморфных функций невозможна.
Напротив, в случае g=l униформизация всегда
осуществима при помощи (мероморфных) эллиптич. функций.
Установлена Э. Пикаром [7].
Лит.. [1] Ρ i с а г d Ε., «С. г. Acad, sci.», 1879, t. 88, p. 1024—
1027; t. 89, p. 662—65; [2] e г о же, «Ann. Ecole norm, super.»,
1880, t. 9, p. 145—66; [3] Ш а б а т Б. В., Введение в
комплексный анализ, 2 изд., ч. 1—2, М., 1976; [4] К о л л и н г в у д Э.,
ЛоватерА., Теория предельных множеств, пер. с англ., М.,
1971; [5] Л о в а т е ρ Α., в кн.: Итоги науки и техники.
Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99—259; [6]
Гриффите Ф., Кинг Дж., Теория Неванлинны и голоморфные
отображения алгебраических многообразий» пер. с англ., М.,
1976; [7] Ρ i с а г d Ε., «Acta math.», 1887—88, v. 11, p. 1—12;
[8] ΙΠ а б a τ Б. В., Распределение значений голоморфных
отображений, Μ., 1982. Ε. Д. Соломенцев.
ПИРАМИДА — многогранник, одной из граней
к-рого служит многоугольник (основание П.), а
остальные грани (боковые) суть треугольники с общей
вершиной (вершина П.) (см. рис. 1, 2). В зависимости
от числа боковых граней П. делятся на треугольные,
Рис. 1.
Рис. 2.
четырехугольные и т. д. Отрезок перпендикуляра,
опущенного из вершины П. на плоскость ее основания
(а также его длина), наз. высотой П. Объем П.
вычисляется по формуле
V = ±- HS,
ПИРАМИДА 288
гические операции. Например, высказывание ~~\А
(отрицание А) эквивалентно высказыванию А\А,
конъюнкция А &В высказываний А и В выражается так:
(A |Л)|(2?|2?), дизъюнкция АуВ эквивалентна
(А\В)\(А\В). П. с. была введена в рассмотрение
Ч. Пирсом (С. Peirs). в. Е. Плиско.
ПИРСОВСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ — представление
кольца в виде прямой суммы подколец, связанное с
данным идемпотентом е. Для кольца Л, содержащего
идемпотент г, существуют левое, правое и двустороннее
П. р., определяемые равенствами
R=Re + R (1— е),
R = eR + (l—e) Я,
R = eRe + eR (1-е) + (1 — е) Re+(i—e)R (1-е)
соответственно. При этом в случае отсутствия в R
единицы полагают, по определению,
R (l—e) = {x—xe\x£R},
(1—е) Re= {хе — exe \ x£R},
(1 —е) R (1—е) = {х — ех—хе-\-ехе |я£/?}.
Множества (1—e)R и eR (1—е) определяются
аналогично. Таким образом, при двустороннем П. р. элемент
x£R представляется в виде
х — exe -\- {ex — exe) -f- (хе — exe) -\-(x — ex — xe -f- exe),
при левом — в виде
х — хе^- (χ—хе)
и при правом — в виде
х — ех -\- (х — ех).
Рассматривается также П. р. относительно
ортогональной системы идемпотентов {еъ . . ., еп}, где Σ 4· β,·= 1,
а именно:
Π
где Η — высота, S — площадь основания, П. наз.
правильной (см. рис. 2), если в основании ее лежит
правильный многоугольник и высота П. проходит
через центр основания. Боковые грани правильной
П. суть равные между собой равнобедренные
треугольники; высота каждого из этих треугольников наз.
апофемой правильной П. (апофема основания П.
служит проекцией апофемы П. на плоскость основания).
Рассекая П. плоскостью, параллельной ее
основанию, получают две части: П., подобную данной, и
т. н. усеченную П. (см. рис. 3).
Многоугольник, полученный от
пересечения П. и секущей плоскости, наз.
верхним основанием,
основание П.— нижним
основанием усеченной Π. Расстояние
между секущей плоскостью и нижним
основанием наз. высотой усеченной
П. Объем усеченной П. вычисляется по формуле
v=±h(s+s+y~7s~),
где h — высота, s, S — площади
оснований. БСЭ-З.
ПИРСА СТРЕЛКА — двуместная
логическая операция, обычно обозначаемая j
и задаваемая следующей истинностной
таблице й:
Таким образом, высказывание А \В
означает «ни А, ни В». П. с. обладает тем
свойством, что через нее выражаются все другие ло-
Рис. 3.
А
И
И
Л
Л
В
И
Л
И
Л
А±В
Л
Л
Л
И
р. было предложено Б. Пирсом (см. [1]).
Лит.: [1] Ρ е i г с е В., «Amer. J. Math.», 1881, v. 4, p. 97.
Л. А. Скорняков.
ПИРСОНА КРИВЫЕ — название семейства
непрерывных распределений вероятностей
(распределений Пирсона), плотности к-рых ρ (χ)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
dp(x)
dx
ь0+ь1Х+ь2х* Ρ (*>» W
где параметры α, &0, bl9 b2 — действительные числа.
Более точно, кривыми Пирсона наз.
графики зависимости ρ (χ) от χ. Распределения,
являющиеся решениями уравнения (*), совпадают с
предельными формами гипергеометрического распределения.
П. к. классифицируются в зависимости от характера
корней уравнения
Семейство П. к. составляют 12 типов и нормальное
распределение. Многие важнейшие распределения в
математич. статистике могут быть получены с помощью
преобразований из уравнения (*).
Систематич. описание типов П. к. дано У. Элдерто-
ном (W. Elderton, 1938). В упрощенном виде
классификация по типам такова.
Тип I:
p{x)=k(i+^)m'(i-^)m\
— ai^x^a2i mi, m2 >—1;
частный случай — бета-распределение 1-го рода.
Тип II:
p(x) — kii Т) , —а^х^а, т^ — 1

289
ПИФАГОРА
(вариант П. к. типа I); частный случай — равномерное
распределение.
Тип III:
ρ(*)=Λ(ΐ+-£·)μβ е-»х, — α<ζ<οο, μ > 0, а > 0;
еделение, «хи
-VLBTCigflL)
частные случаи — гамма-распределение, «хи-квадрать-
распределение.
Тип IV:
P(x) = k(i+^ym e
— оо <£< оо, α > О, μ > 0.
Τ и π V:
ρ (х) = кх-яе х , 0<ж < оо, α > 0, q > 1
(сводится преобразованием к типу III).
Тип VI:
p(x) = kx-gi(x — a)qt, α<χ<οο, qi>q2 — U
частные случаи — бета-распределение 2-го рода,
Фишера F-распределение.
Тип VII:
(х2 \- т \
1+'^У , —оо <*< оо, ™>т;
частный случай — Стъюдента распределение.
Тип VIII:
/ х \ - т
p(x) = k^i + —J , — α<.ζ<0, 0<1Л<1.
Тип IX:
p(aO = A:(l + ~)m, —а<*<0, /п>—1.
Тип X:
ρ (х) = ке ° , т^х < оо, σ > 0,—
показательное распределение.
Тип XI:
ρ (x)=kx~m, b^x < оо, m > 0;
частный случай — Парето распределение.
Тип XII:
/i+-2b™
■(*) = ( ^
\ α,
, —αχ^Λ:^α2, \т\ > 1
(вариант типа I).
Наиболее важны в приложениях типы I, III, VI, VII.
Всякая П. к. однозначно определяется своими
первыми четырьмя моментами
ak~ \ Х Ρ (Χ) dXi
если они конечны. Это свойство семейства П. к. ис-
аользуется для приближенного описания эмпирических
распределений.
Метод лодгонки П. к. к нек-рому эмпирич.
распределению состоит в следующем. По независимым
результатам наблюдений вычисляют первые четыре
выборочных момента, затем определяется тип подходящей
П. к. и методом моментов находятся значения
неизвестных параметров искомой П. к. В общем случае
Метод моментов не является эффективным методом
йолучения оценок П. к. Проблема более точной
аппроксимации распределений с помощью П. к. получила
йовое решение в работах Л. Н. Болыпева (1963) по
асимптотич. преобразованиям.
П. к. были введены К. Пирсоном (К. Pearson, 1894).
&10 Математическая энц., т. 4
ТЕОРЕМА 290
Лит.: [1] Elderton W. P., Frequency curves and согге-
lation, 4 ed., Gamb., 1953; [2]КендаллМ., Стьюарт Α.,
Теория распределений, пер. с англ., М., 1966; [З) К ρ а м е ρ Г.,
Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975;
[4] Б о л ь ш е в Л. Н., «Теория вероятн. и ее примен.», 1963,
т. 8, № 2, с. 129—55. А. В. Прохоров.
ПИРСОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Пирсона
кривые.
ПИТМЕНА ОЦЕНКА — эквивариантная статистич.
оценка параметра сдвига относительно группы
вещественных сдвигов, имеющая минимальный риск при
квадратичной функции потерь.
Пусть компоненты Хи Х2, . . ., Хп случайного
вектора X— (Хи Х2, · · ., X п) СУТ1> независимые
случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же
вероятностному закону, плотность вероятности к-рого
принадлежит семейству
{/(*-θ), |*| < со, θ€θ = (-οο, +оо)},
причем
-θ
Х\=[ +_2x2f(* — Q)dx < оо
для любого θζθ. Далее, пусть G= {g} — группа
вещественных сдвигов, действующая в пространстве
реализаций R1—(—оо, +оо) случайной величины Х(
(ί=1, 2, . . ., η):
G = {g:gXi = Xi + g, |*| > оо}.
В таком случае задача оценивания параметра θ будет
инвариантной относительно квадратичной функции
потерь Ζ,(θ, θ)= (θ—θ)2, если в качестве Θ=Θ(Χ)
выбрать эквивариантную оценку. Э. Питмен [1]
показал, что эквивариантная оценка §(Х) параметра
сдвига θ относительно группы G, имеющая
минимальный риск при квадратичной функции потерь, имеет вид
θ(Χ) = Χ(η1)-
[lZfw~n.ni=2f(x+Yi)dx
где Yi = X{nD—Χ (nib X(nh есть i-я порядковая
статистика, построенная по вектору наблюдений X.
П. о.— несмещенная оценка, она является
минимаксной в классе всех оценок параметра сдвига θ при
квадратичной функции потерь, если все эквивариант-
ные оценки параметра θ имеют конечные функции
риска [2].
Пример 1. Если
то есть Xf, i=l, 2, . . ., η, подчиняется
показательному закону с неизвестным параметром сдвига Θ, то
П. о. §(Х) для θ выражается формулой
Q(X) = Xinl) — —,
причем ее дисперсия равна 1/п2.
Π ρ и м е ρ 2. Если
(*-θ)2
/(*-θ) = 7ΐΤ
, |*| <<»,
то есть Х{, i=l, 2, . . ., п, подчиняется нормальному
N (Q, 1) закону с неизвестным математич. ожиданием Θ,
то в этом случае среднее арифметическое
является П. о.
Лит.: [1] Ρ i t m a n Ε. J., «Biometrika», 1939, v. 30, p. 391 —
421; [2] G i г s h i с k Μ. Α., S a v a g e L. J., «Proc. Second
Berkeley Symp. Math. Statist. Prob.», 1951, p. 53—73; [3] 3 а к с Ш.,
Теория статистических выводов, пер. с англ., М., 1975.
М. С. Никулин.
ПИФАГОРА ТЕОРЕМА — теорема геометрии,
устанавливающая связь между сторонами прямоугольного
треугольника. П. т. была, по-видимому, известна до

291
ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА
292
Пифагора (6 в. до н. э.), но ему приписывается ее
доказательство в общем виде. Первоначально теорема
устанавливала соотношения между площадями
квадратов, построенных на гипотенузе и катетах
прямоугольного треугольника: квадрат, построенный на
гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных
на катетах. Обычно П. т. принято кратко
формулировать так: квадрат гипотенузы прямоугольного
треугольника равен сумме квадратов катетов. Верна и теорема,
обратная П. т.: если квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других его сторон, то
этот треугольник прямоугольный. БСЭ-з.
ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА — тройки целых
положительных чисел х, j/, z, удовлетворяющих уравнению
x2+y2=z2. Все решения этого уравнения, а
следовательно, и все П. ч. выражаются формулами х=а2—Ь2,
y=2ab, z=a2-{-b2, где а, Ъ — произвольные целые
положительные числа (а>6). П. ч. могут быть
истолкованы как длины сторон прямоугольного
треугольника.. БСЭ-З.
Π Л/1 — универсальный алгоритмический язык
(сокращение от Programming Language One),
разработанный в 1963—64 фирмой по производству
вычислительных машин ИБМ (International Business Machines).
В языке ПЛ/I нашли свое отражение как опыт
предшествующих ему языков алгол, фортран, кобол, так
и многие новые идеи программирования, появившиеся
к моменту создания Π Л/1. На язык также оказали
заметное влияние особенности вычислительных машин
фирмы ИБМ и их операционной системы.
ПЛ/I устроен таким образом, чтобы из него можно
было выделять подмножества, удовлетворяющие
нуждам конкретного приложения. Программа на ПЛ/1
составляется из независимо транслируемых модулей,
называемых внешними процедурами, к-рые имеют
алголоподобную блочную структуру и включают
процедуры (возможно, многовходовые и рекурсивные)
и блоки.
Наибольшее значение для диапазона применения
ПЛ/I имеет разнообразие типов данных. Язык имеет
дело с данными арифметическими (действительными
и комплексными, с фиксированной и плавающей
запятой, двоичными и десятичными), строковыми
(литерными и битовыми), данными с шаблоном
(аналогичными шаблонам в коболе) и данными для управления
программой (метка передачи управления, вход,
указатель, файл, ветвь и событие).
Язык ПЛ/I обеспечивает возможность объединения
данных в агрегаты — массивы и структуры.
Массивы представляют собой упорядоченный набор
однородных элементов (скаляров или структур).
Структурами в ПЛ/I наз. иерархически упорядоченный
набор элементов, каждый из к-рых имеет свое имя
и может иметь свой тип данных и организацию.
Правила вычисления выражений позволяют
вырабатывать произвольные значения. В случае
несоответствия типов данных при их вычислении осуществляется
автоматич. преобразование к типу, требуемому
операциями или конкретным контекстом.
Существенной особенностью ПЛ/I являются
правила умолчания, позволяющие программисту
указывать, напр., не все свойства данных, не все
компоненты операторов, не все параметры встроенных
функций. То, что не указано явно программистом,
понимается нек-рым заранее определенным образом
или же исходя из контекста.
ПЛ/I обладает развитыми средствами управления
работой с памятью. Эти средства позволяют
программисту самому определять момент размещения
переменных в памяти, объем требуемой памяти, скорость
выборки элементов данных, повторно использовать уже
выделенную память под другим именем и, возможно,
с другой интерпретацией содержащихся в ней
значений без переразмещения. Память может быть
выделена статически (до исполнения программы) или
динамически (при входе в блок или при исполнении
оператора размещения). Выделенная для нек-рой
переменной память может быть организована по типу стека
с соответствующими правилами доступа или может
быть связана с нек-рым указателем.
Наряду с обычными операторами присваивания,
перехода, итеративного исполнения, вызова процедур,
условными операторами, ПЛ/I включает средства для
синхронизации параллельно исполняемых процедур,
для исполнения нек-рых операторов во время
компиляции, а также для выполнения нек-рых действий
(системных или определенных программистом) при
возникновении ситуаций (стандартных или
определенных программистом), вызывающих прерывание при
исполнении программы. В ПЛ/I представлены
разнообразные средства для обмена данными с внешними
устройствами (посредством записей, посимвольно и с
редактированием). В язык ПЛ/I встроено большое
количество стандартных функций, к-рые существенно
облегчают программирование.
Стандарт ПЛ/I, опубликованный в 1976, дает более
формальную и точную спецификацию языка, обобщает
понятие типа и правила вычисления выражений и
вычисляемых функциями значений. В то же время в
стандарт языка не включены средства для
параллельного исполнения и средства организации вычислений
в период трансляции.
Лит.: Ll] Универсальный язык программирования PL/1,
пер. с англ., М., 1968; [2] С к о τ τ Р., С о н д а к Н., ПЛ/1 для
программистов, пер. с англ., М., 1977; [3] Программирование на
ПЛ/1 ОС ЕС, М., 1979; Ш Бухтияров A.M., Фро-
ловГ. Д., Олюнин В. Ю., Сборник задач по
программированию на языке ПЛ/1, М., 1978; [5] American National Standard
programming language PL/1, ANSI, X 3.53—1976. Л. А. Норнева.
ПЛАНИГОН — выпуклый многоугольник
правильного разбиения плоскости на равные многоугольники,
т. е. такого разбиения, что существует группа
движений плоскости, совмещающая разбиение с собой, к-рая

293
ПЛАНШБРЕЛЯ
294
действует транзитивно на совокупности
многоугольников разбиения. На евклидовой плоскости существует
11 комбинаторных типов разбиения — т. н. сети
Шубникова — Лавеса (см. рис.). Однако
группа симметрии для одного комбинаторного типа может
действовать по-разному. Взаимосвязь комбинаторного
типа и группы симметрии характеризуется т. н. с и м-
волом смежности. На евклидовой плоскости
существует 46 общих правильных разбиений с
различным символом смежности.
На плоскости Лобачевского планигонами являются
правильные многоугольники с любым числом к сторон
и любым данным числом α сходящихся в каждой
вершине П. Для числа сторон к=3, 4, 5, 6,>6 можно
выбрать такой размер П., что а>7, ^5, ^4, ^4, >3.
Многомерным аналогом П. является стереоэдр.
Лит.: [1] Делоне Б. Н., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1959, т. 23, № 3, с. 365—86; [2] Делоне Б. Н., Долби-
л и н Н. П., Ш τ о г ρ и н М. И., «Тр. Матем. ин-та АН СССР»,
1978, т. 148, с. 109—40; [3] Узоры симметрии, пер. с англ., М.,
1980. А. Б. Иванов.
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА — раздел
математической статистики, изучающий рациональную
организацию измерений, подверженных случайным
ошибкам. Обычно рассматривается следующая схема
П. э. Со случайными ошибками измеряется функция
/ (Θ, х), зависящая от неизвестных параметров
(вектора Θ) и от переменных х, к-рые по выбору
экспериментатора могут принимать значения из нек-рого
допустимого множества X. Целью эксперимента
является обычно либо оценка всех или нек-рых
параметров θ или их функций, либо проверка нек-рых
гипотез о параметрах Θ. Исходя из цели эксперимента,
формулируется критерий оптимальности плана
эксперимента. Под планом эксперимента понимается
совокупность значений, задаваемых переменным χ
в эксперименте.
Лит. [1] Η а л и м о в В. В., Ч е ρ н о в а Н. Α.,
Статистические методы планирования экстремальных экспериментов,
М., 1965; [2] Федоров В. В., Теория оптимального
эксперимента, М., 1971; [3] X и к с Ч., Основные принципы
планирования эксперимента, пер. с англ., М., 1967; [4] Φ и н н и Д.,
Введение в теорию планирования экспериментов, пер. с англ., М.,
1970.
ПЛАНКА ПОСТОЯННАЯ — одна из абсолютных
физич. констант, имеющая размерность действия
(энергия X время); в системе GGS П. п. h равна
(6,62377 ± 0,00018).Ю-27 эргХсек
(±0,00018 — возможная погрешность в измерении).
Впервые была введена М. Планком (М. Planck, 1900)
в работе по световому излучению, в к-рой он
предположил, что энергия е фотона (электромагнитной
волны) равна e=hv, где ν — частота волны. Позднее,
с возникновением квантовой механики, П. п. была
использована в определении важнейших квантовоме-
ханич. величин (оператора импульса, энергии и т. д.)
и вошла почти во все уравнения и соотношения
квантовой механики.
П. п. в нек-ром смысле характеризует границы
применения классич. механики: оказывается, что законы
квантовой механики существенно отклоняются от
законов классич. механики лишь для тех физич. систем,
для к-рых характерные расстояния, скорости и массы
таковы, что соответствующая характерная величина
действия сравнима по порядку с величиной h. При
формальном математическом рассмотрении это
означает, что при h ->· 0 соотношения квантовой
механики переходят в соответствующие классич.
соотношения.
Наряду с постоянной h используют константу %—
h гх
— 2л, к-рую при этом также наз. П. п. р. а. минлос.
ПЛАНШЕРЕЛЯ ТЕОРЕМА: для каждой
квадратично суммируемой функции f£L2(—cx>, +oo) интеграл
сходится в L2k нек-рой функции f(x)£L2 при ω ->οο,
то есть
lim [ + a\J(x)-J(u(x)lidx = 0.
При этом сама функция / (х) представляется как предел
в L2 при η —»-оо интегралов
то есть
/ (x)= lim /η (χ).
Кроме того, справедливо соотношение
$*"|/(*)Ι2<**=5!Ξ Ι7(λ)|2^λ
(формула Парсеваля — Планшереля).
Функция
7(*)=lim 1^[ + (Df(y)e-iy^dy,
где предел понимается в смысле сходимости в L2, наз.
преобразованием Фурье функции / и
обозначается обычным символом
f(x)=Tl=[ + "f(y)e-i*ydy, (1)
V 2π J -oo
при этом интеграл (1) понимается в смысле главного
значения на оо в метрике L2. Аналогично
истолковывается равенство
f{x)=T+r[ + ~~f(y)e!*ydy. (2)
У 2π J -co
Для функций f£L2 интегралы (1) и (2) существуют в
смысле главного значения почти при всех х.
Функции /и / удовлетворяют почти при всех χ также
соотношениям
Ζ* ч d ί 1 r+oo , . ч е-**У - 1 , \
Если обозначить / преобразование Фурье, 7"1 — его
обращение, то П. т. перефразируется так: / и /_1 —
взаимно обратные унитарные операторы в L2.
П. т. установлена М. Планшерелем (М. Plancherel,
1910).
Лит.: [1] Зигмунд Α., Тригонометрические ряды, пер.
с англ., т. 2, М., 1965; [2] Титчмарш Е., Введение в
теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.— Л., 1948; [3] Б о х-
нер С, Лекции об интегралах Фурье, пер. с англ., М.,
1962. П. И. Лизоркин.
ПЛАНШЕРЕЛЯ ФОРМУЛА — формула,
выражающая инвариантность скалярного произведения при
преобразовании Фурье в пространстве L2(X):
Jy?i (у)?2 (у) <*μ {у) = ^х h И /2 (χ) Λμ (*).
В классич. случае, когда X=Y=Rn есть гс-мерное
евклидово пространство, μ (ж) и μ (у) суть л-мерные
меры Лебега, преобразование Фурье
t(x)Y*Hv)
10*

295
ПЛАСТИЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
296
на пространстве L2(Rn)$f является непрерывным
продолжением классич. преобразования Фурье
g(*)^g (У) = ^ g Π е1{ х> у) dx,
(2π)η/2 JRn
x=(xu ..-,*„), y = (yu ..., yn),
(χ, у) — скалярное произведение в IR", с множества
L^R^n^CR") на пространство L2(Rn).
П. ф. справедлива также, когда X — локально
компактная коммутативная топология, группа, Υ — ее
группа характеров, х£Х, y£Y, μ (χ) и μ (у) —
соответствующим образом нормированные инвариантные
меры в группах X и У, а преобразование Фурье / (х) н>
Н> / (у) на пространстве L2 (X) 3/ является непрерывным
продолжением отображения
def/»
g (χ) ι—* g (у) = \^χ g (x) у (χ) άμ (χ),
с множества L1(X)f]L2(X) на пространство L2(X).
П. ф. обобщается на некоммутативные топология,
группы. Пусть, напр., G — бикомпактная группа,
μ — инвариантная на ней мера, μ(β)— 1, g н> UgX')—
неприводимое конечномерное размерности па
унитарное представление группы G в гильбертовом
пространстве, g£G, α=1, 2, . . ., x(g)qLt(G),
τΜ6=^βχ^)υ£>*άμ(§)
(* — переход к сопряженному оператору), S (Т^Т{^*)
— след оператора Т^Т(ха)*· Тогда обобщенная П. φ.
имеет вид
$0ΐΜ?)ΐ^μω=2α^(ηα,ηα)*)·
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Фом и н С. В., Элементы
теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
[2] Η а й м а р к Μ. Α., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968.
Л. Д. Кудрявцев.
ПЛАСТИЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ —
теория деформируемого пластичного твердого тела, в
к-рой исследуются задачи, состоящие в определении
полей вектора перемещений и(х, t) или вектора
скоростей v(x,t), тензора деформации г^-(х, t) или скоростей
деформации ι?//(я, t) и тензора напряжений Oij(x,t),
к-рые возникают в теле, занимающем область Ω с
границей S, под действием массовых К(х, t) и
поверхностных F(x, t) сил при заданных начальных и
граничных условиях, а также в определении тех нагрузок
и процессов, при к-рых равновесие (движение) тела
является неустойчивым. Особенности П. м. т. состоят
в том, что
а) соотношения Oij~£ij нелинейны и необратимы и
описываются, вообще говоря, функционалами;
следовательно, задачи П. м. т. существенно нелинейны;
б) конфигурации искомых квазистатич. полей
определяются процессом изменения заданных функций на
промежутке [0, £], а не их мгновенными значениями в
момент t;
в) в процессе изменения функций К, F возникают
области упругой деформации, активной пластич.
деформации (нагрузки) и пассивной деформации
(разгрузки), в к-рых соотношения а,у~8/у различны; эти
области должны быть определены при решении задачи;
г) уравнения краевой задачи могут, вообще говоря,
оказаться разных типов (эллиптического или
гиперболического) в разных областях тела.
При произвольном сложном процессе известны лишь
весьма общие свойства функционалов пластичности,
их явная аналитич. структура не установлена.
Конкретные соотношения о/у^е^·, не содержащие явно
функционалов, построены и экспериментально
обоснованы для ряда типичных процессов деформации.
Иногда рассматриваются также нек-рые
искусственные «модели» соотношений σ^^ε/y, к-рые лишь
частично отражают упругопластич. свойства материалов.
Статические краевые задачи. В теории
упругопластич. процессов (см. [1]) согласно постулату
изотропии А. А. Ильюшина соотношения а,у~е,-у можно
представить в виде
(суммирование по А от 1 до 6), где ец— базис,
построенный на основе тензора малой деформации,
Ak — функционалы от инвариантов тензора
деформации, давления р, температуры Τ и, возможно,
других инвариантных величин немеханич. природы.
Искомые функции uj(x, t), Sij (x, t), Oij(x, t) при
равновесии удовлетворяют уравнениям
a£/f/ + pK( = 0, *ζΩ, (2)
2eij=ui>/ + Uj, h я ζ Ω, (3)
al/ = Ake^ x£Q[)S, (4)
Oijl/ = F{9 x£S0, (5)
И| = Ф/, ζζ^α» Sa[)Su = S, S0(]SU = Q (6)
при заданных функциях К{(х, £), F^x, t), φ, (я, t) и
областях Ω, S0, Su. Здесь If — направляющие
косинусы внешней нормали к граничной поверхности S;
t — параметр процесса (напр., истинное или условное
время); ρ — плотность материала; (2) —
дифференциальные уравнения равновесия, (3) — кинематич.
соотношения между малыми деформациями и
перемещениями, (5) и (6) — граничные условия в напряжениях
и перемещениях соответственно. Равенства (2) — (6),
строго говоря, не реализуют постановку краевой
задачи, поскольку при неизвестной структуре
функционалов пластичности нельзя решить вопрос о
существовании решения.
С учетом этой неопределенности для решения
задачи (2) — (6), допуская его существование при
произвольном сложном нагружении (СН), предложен и в
частных задачах реализован следующий метод СН-ЭВМ.
Ниже система равенств (2), (3), (5), (6) будет наз.
неполной системой (В). В связи с использованием ко-
нечноразностной процедуры область Ω разбивается
на N ячеек (элементов), в каждой из к-рых искомые
функции имеют постоянные (средние) значения,
зависящие от параметра t (интересующий интервал
времени [0, t] разбивается на Μ шагов), и в v-й ячейке
заменяются соотношения (4) аппроксимирующими
соотношениями вида
σνη = €νΜ*φ (7)
где CVk — функции £, такими, что решение задачи
(В), (7) существует. Пусть в первом приближении с
конкретно заданными (по возможности — наиболее
простым способом, напр. в соответствии с обобщенным
законом Гука) функциями C^k
решение задачи (В), (7) есть u$(t), ε(ν)}, σ$/(0·
Определяемый по нему набор инвариантов I{vy (t)
вместе с ρν (Ο и Tv (t) рассматривается как
совокупность программ испытаний N образцов в однородном
напряженном состоянии. Проведение их на
испытательном комбайне класса СН дает истинные
зависимости Oij~£ij в процессах Iy}(t)9 Pv(t), Tv(t), что

297
ПЛАСТИЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
298
определяет уточненные аппроксимирующие
соотношения
к-рые используются для численного решения задачи
(В), (72) во втором приближении. Аналогично строятся
последующие приближения. Сходимость оценивается
по нормам разностей двух последующих приближений.
В отличие от применяемых вариантов теоретико-
экспериментальных методов решения краевых задач
с известными соотношениями (4), здесь используется
испытание стандартных образцов в одномерном
напряженном состоянии по стандартной методике, а не
натурного объекта или его модели в сложном
напряженном состоянии.
Предложен апостериорный критерий существования
(см. [2]): если указанный процесс итераций сходится,
то решение задачи (2) — (6) (с неизвестной структурой
функционалов Ak) существует и с заданной степенью
точности определяется в п-м приближении.
Если соотношения (4) известны, но сложны, то этот
метод также применим с использованием (4) вместо
испытательного комбайна СН.
Сложности постановки и решения краевой задачи
теории пластичности в общем случае существенно
уменьшаются при рассмотрении конкретных классов процессов.
Степень сложности процесса деформации в точке
тела определяется сопоставлением кривизн траектории
деформации, к-рая в 5-мерном евклидовом
пространстве изображает процесс изменения девиатора
деформации #//=εζγ—εδ/y (3ε=ε//), с типичной для каждого
материала величиной следа запаздывания h,
определяемой экспериментально. На этой основе выделяются
частные классы процессов, для к-рых соотношения (4)
конкретизируются и не содержат явно функционалов.
Для каждого такого класса процессов постановка
краевой задачи (2) — (6) становится определенной,
допускающей доказательство теорем существования и
единственности и построение общих методов решения.
При этом, однако, возникает проблема физич.
достоверности решения, поскольку при заданных функциях
К[(х, t), F((x, t), φ/(ζ, t) процессы, определяемые
решением, могут не соответствовать области
достоверности частного вида соотношения (4), принятого при
постановке задачи. Эту проблему можно поставить
как задачу об определении класса заданных функций
^/» ^м Ф/ и» может быть, ограничений на соотношения
(4) частного вида, при к-рых система уравнений (2) —
(6), дополненная соотношениями, определяющими
соответствующий класс процессов, совместна.
В теории малых упругопластич. деформаций (см.
[3]), относящейся к процессам простой деформации
(нулевой кривизны), соотношения (4) имеют вид
2Ф (ε \
σι7 = -gi-K (ε;,—εδ,7) + 3Κεδ·φ (8)
α
где ги= (~Y9ij9ij j — интенсивность деформации, Ф —
экспериментально определяемая функция упрочнения,
К — константа (модуль объемной упругости), Зе=гц.
При ограничениях
ЗС^^Ы—^λ>0 (9)
(λ<1 — число), приемлемых для конструкционных
материалов, установлена эллиптич. природа краевой
задачи (В), (8), доказаны теоремы существования
и единственности решения, установлены минимальные
принципы и даны соответствующие вариационные
постановки задач. Доказана теорема о простом на-
гружении, определяющая класс функций К(, Ft-, φ/
(однопараметрич. нагрузки), при к-ром решение задачи
физически достоверно. Для решения краевой задачи
(В), (8) в принципе применимы методы Ритца и
Бубнова — Галеркина, к-рые, вследствие нелинейности
задачи, малоэффективны. Широко используется метод
упругих решений, сходящийся при условиях (9): в
каждом последовательном приближении решается более
простая краевая задача линейной теории упругости
(см. [3]). При этом в ходе решения определяются
области упругих деформаций, в к-рых имеет место
обобщенный закон Гука. Применяется также метод
переменных параметров упругости (см. [4]).
Постановка задачи (В), (8) и указанные методы
решения применяются также к задачам
термопластичности. При этом при температурном поле Т(х, t)f
определяемом решением задачи теплопроводности, в
соотношениях (8) полагается ΦξΦ (ε„, Τ) и член
3Keb;j заменяется выражением ЗК(г—аГ)6/у. Ввиду
функциональной природы соотношений Gij~tij
использование функции Φ (εΗ, Τ) ограничено нек-рым
классом тепловых процессов. Специальный интерес
представляют задачи о циклич. нагружении тела
(см. [5]), сопровождающемся периодич.
возникновением областей разгрузки и нагрузки обратного знака.
В теории упругопластич. процессов малой кривизны
(наибольшая кривизна значительно меньше h~x) с
соотношениями
σ//=^(*//-^ν)+σδ//> 6=3Κν> (10)
где
/ 2 λ1/2
"а = { Τ VU VU ) ' F'V = VU — v6U' 3v = vmm,
s= \ vudt — длина дуги траектории деформации, и с
кинематич. уравнениями
2»ij = vi>j + vj,h (И)
где V( (x, t) — координаты вектора скорости частицы
среды, ставится краевая задача (2), (10), (11), (5), (6),
для к-рой доказаны теоремы существования и
единственности, сформулированы вариационные принципы
и предложен метод последовательных приближений.
Условия физич. достоверности решения не выяснены»
Эта задача формулируется, в частности,
применительно к расчету установившегося пластич. течения
упрочняющегося металла в технологич. процессах
обработки давлением (прессование, прокатка и т. п.).
Аналогично ставится краевая задача для
упругопластич. процессов средней кривизны (главная
кривизна траектории деформации меньше или порядка
Λ-ΐ).
Для теории двухзвенных процессов (траектория
деформации — ломаная с углом излома θ при s=s0),
типичных для двухпараметрич. нагружении тела, с
соотношениями (8) при s<s0 и соотношениями
Г э - э° · э0· · 1
с -?»\Ji—i/sin(9-ft) + — sin ft +3*εΛ,#
lJ 3sin9[_ s-s0 v ' *o J J
(12)
при s>s0, гДе σα, Φ — известные функции от s0l θ, s,
дана постановка краевой задачи (В), (12) при s>s0
и (В), (8) при 5<50 с доказательством теорем
существования и единственности. Доказана локальная
теорема физич. достоверности, определяющая достаточные
условия, налагаемые на функции К ι, Fj, φ,·, при к-рых
почти всюду в области Ω происходят изломы
траекторий деформации. Свойства решений и материальных
функций в окрестности точки излома существенны
для решения задач об устойчивости равновесия при
упругопластич. деформациях.

299 пластичности мач
В современной теории течения для пластич. части
тензора деформации ε?/ из постулатов пластичности
энергетич. типа выводятся соотношения вида
A8*>="^*%;A<W (13)
а для упругой части принимается обобщенный закон
Гука
σ/y = лет/по/-у -\- «με;/,
где λ, μ — постоянные Ламе, причем функция нагру-
жения / является функционалом процесса нагружения
Oij(t), а функция упрочнения Я, кроме того, зависит
от приращений Δ σ/y. Чаще всего предполагается, что
Η не зависит от Δσ/y. При этом линеаризованные по
приращениям соотношения (13) позволяют строго
формулировать краевую задачу типа (В), (13) с
доказательством ряда общих теорем и минимальных
принципов (см. [6]); разработаны процедуры численно-
аналитич. решения. Преимущество простоты, даваемое
линеаризацией соотношений (13), серьезно
ослабляется ограниченностью области, в к-рой
линеаризованные соотношения физически достоверны.
В П. м. т. часто используется постановка краевой
задачи на основе теории пластичности Прандтля —
Рейса, к-рая описывается соотношениями
2Gtu = σι7 - σδ/y + R (σ/y - σδ/y) + -^ σδ/y,
где G, К — константы упругости, R — функция от
^a—(~2sijsij) 2· Область достоверности этих
соотношений ограничена (точно не определена).
Развита теория идеально пластич. тел (см. [7],
[8]), основанная на физич. соотношениях Сен-Венана —
Леви — Мизеса. Эти соотношения формально
получаются из соотношений малой кривизны (10), если в
них положить Φ (s) =os= const (σ^ — предел текучести
материала) и принять условие несжимаемости:
2σ
σ/y—σδ/y - -3ΪΓ- vil· ν==°· №
и
Понятие идеальной пластичности подразумевает, кроме
того, соблюдение в области активных пластич.
деформаций условия текучести вида
^(σ//) = 0, (15)
напр. условия Генки — Мизеса 3/2s/ys/y=
— σ!» su'~σ/y—σδ/y, или условия Треска —
Сен-Венана ттах=τ^, где ттах— наибольшее
касательное напряжение, σ^, ts ~ константы
материала.
Краевая задача вида (В), (14), (15) с заменой (3) на
(11) обычно гиперболического (иногда
эллиптического) типа. Полная задача теории идеальной
пластичности состоит в решении уравнений (2), (11), (14),
(15) в части области Ωχ, в к-рой имеют место пластич.
деформации, и уравнений (2), (3) с соотношениями
обобщенного закона Гука в области упругих
деформаций Ω 2 с соответствующими граничными условиями
и кинематич. и динамич. условиями сопряжения ре-
шений на неизвестной границе областей Ωχ и Ω2 (уп-
ругопластич. задача).
Часто практически полезные результаты дает жестко-
пластич. анализ, в к-ром упругие деформации
игнорируются и части тела вне области пластичности
считаются недеформируемыми. При этом, как
правило, возникают стационарные поверхности разрыва
скоростей частиц, что несовместимо с классич.
положениями механики сплошной среды. В нек-рых задачах
при задании граничных условий в напряжениях урав-
МАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 300
нения равновесия вместе с условиями типа (15) можно
рассматривать как автономную систему гиперболич.
типа. При этом возникает возможность неоднозначного
определения области пластич. деформаций и
напряжений в этой области, к-рую часто разрешают на
основе нек-рых эвристич. соображений. Многозначность
не возникает при решении упругопластич. задачи.
Среди задач, решаемых методами теории идеальной
пластичности, специального упоминания заслуживают
задачи об установившемся пластич. течении неупроч-
няющегося металла в «каналах» с определением
скоростей и напряжений, включая контактные,
применительно к технологич. задачам обработки давлением
(ковка, штамповка, прессование).
Для ряда инженерных приложений особый интерес
представляет теория пластич. течения тонких слоев
металла, основанная на ряде рациональных гипотез
кинематич. и физич. характера. При этом определяются
условия, необходимые для поддержания пластич.
течения (напр., мощность пресса), и распределение
скоростей, позволяющее предвидеть форму изделия.
Прикладные задачи П. м. т. (напр., о равновесии
оболочек) приводят к краевым задачам с нелинейными
дифференциальными уравнениями с частными
производными высокого порядка (напр,, четвертого).
Для задач об устойчивости равновесия при пластич.
деформациях характерно бифуркационное изменение
типа процесса деформации в момент потери
устойчивости с образованием точек излома на траекториях
деформации. Напр., при простом нагружении тела в
момент потери устойчивости возникает сложное на-
гружение, и для решения задачи об устойчивости
необходимо привлекать соотношения, описывающие
бесконечно малый процесс после точки излома
траектории (см. [1]).
Динамические задачи теорий пластичности. Общая
постановка динамич. задачи получается, если (2)
заменить уравнением движения
и к (2) — (6) добавить начальные условия, напр. вида
щ(х, 0)=я|?/(ж), uitt(x, 0)=%i(x), χ ζ Ω.
При этом возникают трудности двоякого характера:
1) вследствие возникновения разных типов волн с
различными скоростями распространения, зависящими
от величин деформаций, процессы деформации в разных
точках тела (и в каждой точке в разные промежутки
времени) имеют разную степень сложности даже при
простейших типах прилагаемых нагрузок, и априори
нельзя установить возможность использования
соотношений Oij~eij частного вида;
2) необходимо использовать динамич. соотношения
Oij~£ij с учетом зависимости от развития процесса
деформации во времени.
Динамич. функционал пластичности изучен не
полностью даже для одномерного процесса, т. е. при
простой деформации. Информация о динамич.
характеристиках материалов в сложном напряженном состоянии
при сложных процессах деформации чрезвычайно
скудна и не позволяет судить хотя бы о качественных
свойствах динамич. функционалов пластичности. В
связи с этим динамич. задачи теории пластичности
ставятся с использованием статич. соотношений теории
пластичности, что позволяет отрабатывать методы
решения, выяснять специфические для динамики ме-
ханич. эффекты и получать решения, полезные для
практики в качестве оценок. Такой подход в качестве
этапа исследования оправдывается чрезвычайной
важностью изучения динамич. процессов в конструкциях,
сооружениях и массивах.

301
Анализ распространения активных нелинейных
деформаций в сложном напряженном состоянии
обнаруживает возникновение комбинированных разрывов
разных типов, характерных только для нелинейных
задач. Насколько можно судить по имеющимся
результатам, наиболее сложные процессы протекают в
областях, примыкающих к поверхностям разрыва,
тогда как в основной области движения сложность
процесса по кривизнам траекторий и по времени
ограничена. Поэтому представляется возможным решать
динамич. задачи теории пластичности для сложных
случаев путем комбинированного использования
соотношений частного вида (напр., для процессов
средней кривизны) в основной области и соотношений для
окрестности точки излома (или для двухзвенных
процессов) в областях, примыкающих к поверхностям
разрыва. Нетривиальной и специфической для динамич.
задач теории пластичности является задача о
нахождении поверхности разгрузки, разделяющей области
активных и пассивных деформаций.
Наиболее детально изучены задачи о
распространении одномерных упругопластич. волн (см. [9]).
Исследована задача о распространении волны разгрузки
в стержне при растяжении-сжатии (см., напр., [9]).
В дальнейшем распространение и взаимодействие
упругопластич. продольных волн в стержне исследовано
с учетом различных типов зависимости механич.
нагрузок от скорости деформации. В свою очередь,
полученные решения используются в качестве теории
эксперимента (базисного или контрольного) для изучения
динамич. свойств материалов (см. [10]).
Математические задачи теории уравнений состояния»
Явление пластичности настолько сложно, что
построить уравнения состояния (соотношения а//~8/у) путем
прямого обобщения опытных данных не удается. В
связи с этим доминирует тенденция к созданию общей
теории, к-рая, в частности, определит и теорию
эксперимента. На этом пути ведется математич.
исследование допустимых форм уравнений состояний, не
противоречащих законам механики и термодинамики,
изучение свойств кривых и поверхностей в и-мерном
пространстве в связи с исследованием процессов и
предельных конфигураций, формулирование
определяющих принципов, относящихся к нек-рым классам
(так или иначе идеализированных) материалов,
указывающих выбор независимых параметров состояния
и уточняющих (в достаточно общем виде) структуру
соотношений σ//~εί;·, аналитич. исследование свойств
функционалов пластичности, выяснение классов
процессов, допускающих более простое математич.
описание в рамках общих соотношений (см. [1], [И]).
Большое значение для теории и экспериментального
исследования имеет развитие теории представления
функционалов. Результаты этой теории позволяют,
в частности, устанавливать физич. достоверность
уравнения состояния сложной функциональной структуры
по анализу явлений, сравнительно легко
воспроизводимых в натуре.
Лит.: [1] И л ь ю ш и н Α. Α., Пластичность. Основы общей
математической теории, М., 1963; [2] И л ь ю ш и н Α. Α.,
Ленский B.C., Модель и алгоритм, «Прикладные проблемы
прочности и пластичности», 1975, № 1 (Горький); [3]
Ильюшин Α. Α., Пластичность, ч. 1—Упруго-пластические
деформации, М.— Л., 1948; [4] Б и ρ г е ρ И. Α., «Прикл. матем.
и механ.», 1951, т. 15, № 6, с. 765—70; [5] Μ о с к в и τ и н В. В.,
Пластичность при переменных нагружениях, М., 1965; [6] К о й-
тер В. Т., Общие теоремы теории упруго-пластических сред,
пер. с англ., М., 1961; [7] С о к о л о в с к и й В. В., Теория
пластичности, 3 изд., М., 1969; [8] X и л л Р., Математическая
теория пластичности, пер. с англ., М., 1956; [9] Ρ а х м а т у-
лин Χ. Α., Демьянов Ю. Α., Прочность при интенсивных
кратковременных нагрузках, М., 1961; [10] Васин Р. Α.,
Ленский В. С,Ленский Э. В., Динамические
зависимости между напряжениями и деформациями, в кн.: Проблемы
динамики упруго-пластических сред, М., 1975; [И] Трус-
д е л л К., Первоначальный курс рациональной механики
сплошных сред, пер. с англ., М., 1975. В. С. Ленский.
\ДАЧА 302
ПЛАТО ЗАДАЧА — задача нахождения
минимальной поверхности (м. п.) с заранее заданной границей Г.
Впервые такая задача была поставлена Ж, Лагранжем
(J. Lagrange, 1760), к-рый свел ее в классе
поверхностей вида z=z(x, у) к решению уравнения Эйлера —
Лагранжа м. п. После опытов Ж. Плато (J. Plateau,
1849), в к-рых он показал, что м. п. могут быть
получены в виде мыльных пленок, натянутых на
проволочные каркасы (см. [1]), эту задачу стали называть
задачей Плато.
В строгой постановке П. з. требует ряд
дополнительных уточнений, относящихся к искомой м. п. и к
ее границе. Напр., должно ли искомое решение быть
регулярной м. п. или же его можно искать среди
обобщенных минимальных поверхностей (о. м. п.);
обязательно ли искомая поверхность должна реализовать
абсолютный минимум площади; каков должен быть
конформный или топологич. тип поверхности; в каком
смысле понимать границу поверхности, и т. п. В
зависимости от постановки задачи, ее решения и
свойства этих решений (существование, единственность,
регулярность и т. д.) могут быть существенно
различными.
В течение 19 в. П. з. была решена для нек-рых
частных видов заданной границы Г, главным образом для
различных полигональных контуров. В 1928 было
доказано существование решения П. з, для о. м. п.
типа круга, представляемой формулами Вейерштрасса
и ограниченной заданной незаузленной жордановой
кривой. В 1931 дано решение П. з. в следующей
формулировке: пусть Г— жорданова кривая в R", п!>2,
тогда в Rn существует о. м. п., заданная в изотермич.
координатах (и, ν) радиус-вектором r=r(u, v),
непрерывным в круге |w|<l, w=u-\-iv, и гомеоморфно
отображающим окружность |tz? | = 1 на Г; при этом
площадь этой о. м. п. оказывается наименьшей среди всех
непрерывных поверхностей типа круга, натянутых на
контур Г, в предположении, что на Г можно натянуть
хотя бы одну такую поверхность конечной площади.
После решения П. з. в 1931 для односвязной
поверхности Дж. Дуглас (J. Douglas) поставил вопрос (т. н.
задача Дугласа) о существовании в R",
п^2, м. п., имеющей заданный топологич. тип (т. е.
заданную эйлерову характеристику и характер
ориентируемости) и ограниченной заданным контуром Г,
состоящим из объединения /с>1 жордановых кривых
1\, . . ., Tk. В 1936—40 были даны достаточные
условия разрешимости этой задачи, одно из к-рых
заключается в возможности натянуть на Г какую-
нибудь поверхность данного топологич. типа, площадь
к-рой была бы меньше, чем площадь любой
поверхности с меньшей эйлеровой характеристикой,
натянутой на тот же контур. В такой постановке П. з. была
рассмотрена и решена также в римановом пространстве*
В нач. 60-х гг. 20 в. было достигнуто большое
продвижение и в решении П. з. для fc-мерных
поверхностей, fc>3. Было предложено несколько обобщений
П. з., основанных на новых определениях понятий
поверхности, границы и площади. Одно из обобщений
исходит из следующего определения понятия
поверхности X и ее границы L в Кп. Пусть имеются компакт
XczRn и компакт ЛсХ, G — абелева группа и fc^l —
целое число; тогда определены группы гомологии
Чеха—Александрова Н^-ЛА, G) и Hk~i(X, G); ядро
гомоморфизма i#: Я^_х(Л, G) -> Hb-i\X, G),
индуцированного вложением i : А -> X, наз. алгебраич.
границей компакта X (в размерности к) по отношению к А .
Если L — подгруппа группы #£_ι (А, G), то X является
поверхностью с границей zd£, если L принадлежит
алгебраич. границе компакта X; под площадью
компакта X в Rn понимается его /с-мерная хаусдорфова
(сферическая) мера Ak. При таких определениях доказаны
ПЛАТО

303
существование и регулярность почти всюду (топологи-
ческая локально евклидовость и аналитичность)
компакта Х0, реализующего минимум меры Ak по всем
компактам X с заданной границей L. Впоследствии
эти теоремы были распространены на случай
поверхностей X в римановом пространстве.
Другие предложенные обобщения П. з., в частности
обобщение в терминах интегральных потоков,
являются в нек-ром смысле эквивалентными постановке
П. з. в терминах гомологии.
В классич. постановке Плато многомерная задача
решена в 1969; а именно, доказана теорема: если в
римановом пространстве Vn задано (к—1)-мерное
подмногообразие Г, /с^З, то существует поверхность,
реализующая минимум хаусдорфовой меры Λ* среди
всех параметризуемых поверхностей X, являющихся
в Vn непрерывными /-образами Zr-мерных гладких
многообразий Μ с краем, гомеоморфным Г при
отображении / : Μ -> Vn.
Наряду с вопросами разрешимости П. з.
интересными являются также вопросы единственности и
регулярности ее решения. Наиболее продвинуто
исследование вопроса о регулярности решения. Показано,
что решение П. з., данное Дугласом в IR3, не
содержит внутренних точек ветвления. Для случая
многомерной П. з. доказана регулярность решения
почти всюду, причем возможность наличия
нерегулярных точек подтверждается примерами. Что касается
единственности решения П. з., то здесь известны лишь
нек-рые достаточные признаки единственности (напр.,
решение П. з. единственно, если заданный контур Г
имеет однозначную выпуклую проекцию при
центральном или параллельном проектировании на нек-рую
плоскость). Чтобы подчеркнуть сложность этого
вопроса, достаточно сказать, что есть основания
ожидать существование спрямляемых контуров,
стягивающих континуум м. п. типа круга.
Лит.: [1] Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften,
Bd 3, Η. 2/3, Lpz., 1903; [2] D arb ou χ G., LeQons sur la the-
orie generate des surfaces..., 2 ed., pt. 1, P., 1914; [3] В i a n-
c h i L., Vorlesungen tiber Differentialgeometrie, 2 Aufl., Lpz.—
В., 1910; E4]K yp а нтР., Принцип Дирихле, конформные отоб-
ажения и минимальные поверхности, пер. с англ., М., 1953;
5] Моггеу С, «Ann. Math.», 1948, v. 49, № 4, p. 807—51;
[6] R a d о Т., On the problem of Plateau, В., 1933; [7] Ниче
И. С. С, «Математика», 1967, т. И, № 3, с. 37—100; [8] О с с е р-
ман Р., там же, 1971, т. 15, JM» 2, с. 104—25; [9] Φ о м е н-
к о А. Т., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1972, т. 36, с. 1049—
1079; [И] N i t s с h e J. С. С, «Invent, math.», 1969, v. 8, Ν 4,
p. 313—33; [12] О с с ер м а н Р., «Успехи матем. наук», 1967,
т. 22, в. 4, с 55—136; [13] Federer H., Geometric measure
theory, В.— [u. a.], 1969; [14] Morrey C, Multiple integrals
in the calculus of variations, В.— [u. a.], 1966. if. X. Сабитов.
ПЛАТО МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА — термин,
обозначающий серию задач, связанных с изучением
экстремалей и глобальных минимумов функционала /с-мер-
ного объема vol&, определенного на Zc-мерных
обобщенных поверхностях, вложенных в n-мерное риманово
пространство Мп и удовлетворяющих тем или иным
граничным условиям.
В истории развития указанной вариационной задачи
(см. Плато задача) выделяются несколько периодов,
характеризующихся различными подходами к
понятиям «поверхности», «границы», «минимизации» и,
соответственно, методами получения минимального
решения. Многомерная задача Плато
формулируется так. Пусть ЛА_1с^" —
фиксированное замкнутое гладкое (к—1)-мерное подмногообразие
в римановом пространстве Мп и пусть К (А) — класс
всех таких пленок (поверхностей) Х<^Мп, имеющих
границей многообразие А, причем каждая пленка
Χ ζ X (А) допускает непрерывную параметризацию (пред-
ставима в виде образа нек-рого многообразия с краем),
т. е. X=f(W), где W — нек-рое fc-мерное
многообразие с краем dW, гомеоморфным А , а / : W -*- Мп —
1РНАЯ ЗАДАЧА 304
непрерывное отображение, совпадающее с
фиксированным гомеоморфизмом на крае dW, то есть / : dW—A.
Вопрос: можно ли найти в классе X (А) пленку Х0,
к-рая была бы в каком-либо разумном смысле
минимальной, напр. чтобы ее Zc-мерный объем был
наименьшим по сравнению с Zc-мерными объемами других
пленок X из этого же класса? Оказалось, что
перенесение классич. «двумерных» методов на многомерный
случай наталкивается на серьезные трудности. Это
привело к тому, что классич. постановка П. м. з. была
на время оставлена и задача была сформулирована
в иных (гомологических) терминах. Если отбросить
понятие многообразия-пленки с краем dW=A и сильно
расширить понятие пленки и ее границы, ослабив
связь пленки с ее границей (в частности, если
рассматривать непараметризованные пленки), отбросив
условие X=f(W), то П. м. з. может быть
сформулирована на языке обычных целочисленных гомологии Я*:
найти минимальную пленку Х0, аннулирующую
фундаментальный цикл [A]€LHk_1(A) многообразия А (в
предположении, что А ориентируемо), т. е. ί^[Α] — 0,
iit.:Hk_1(A) ->· Hk_1(X), где i* — гомоморфизм,
индуцированный вложением i : А -> X. Для решения
П. м. з. в этой новой расширенной постановке был
разработан (см. [1], [2]) геометрич. подход, при к-ром
минимизировался функционал /с-мерной хаусдорфовой
меры (объема), определенный на Zc-мерных измеримых
компактах (поверхностях) в Мп, и развита (см. [3],
[4]) теория интегральных потоков и варифолдов,
носителями к-рых являются /с-спрямляемые
подмножества в Мп. Однако указанное расширение понятия
границы пленки в терминах гомологии #* (то есть
к—1 -мерное многообразие А считается границей к-
мерной пленки W, если при вложении А ->· W
фундаментальный цикл [А] аннулируется) означает отход
классич. постановки П. м. з., так как, располагая
теоремой существования минимального решения в
гомологич. классе X (А), по-прежнему ничего нельзя
сказать о существовании минимального решения в
классе всех пленок, являющихся непрерывными
образами многообразий с краем, т. е. допускающих
параметризацию. Дело в том, что если многообразие А
гомологично нулю (как цикл) в пленке Х0, то Х0 не
обязательно допускает представление в виде Z0=/(FT0),
где W0 — нек-рое /с-мерное многообразие с краем.
В классич. постановке, т. е. в терминах пленок вида
X=f(W), где W суть Zr-мерные многообразия с краем
А, П. м. з. была решена (см. [5], [6]). При этом было
замечено, что классическая П. м. з. допускает
эквивалентную формулировку на языке бордизмов. Пусть
V есть (к—1)-мерное компактное ориентированное
замкнутое многообразие, / : V ->- Мп — непрерывное
отображение; пара (V, /) наз. сингулярным
бордизмом Мп. Два бордизма (Vl9 /x) и (V2, /2)
наз. эквивалентными, если существует к-
мерное ориентированное многообразие W с краем
dW=V1\j (—γ2) (где— V2 означает V2 с обратной
ориентацией) и непрерывное отображение F : W -> Мп
такое, что F\Vl=fu ^V2=/2· Бордизм (V, f)
эквивалентен нулю, если V=dW=Vu V2=0. Классы
эквивалентности сингулярных бордизмов образуют абелевы
группы, к-рые после выполнения процесса
стабилизации образуют одну из обобщенных теорий гомологии
(теорию бордизмов). П. м. з. формулируется (на этом
языке) так: а) можно ли среди всех пленок XczM, AczX
и обладающих тем свойством, что сингулярный
бордизм (А, ί) (где ί : А -> X — вложение) эквивалентен
нулю в X, найти Х0 с наименьшим объемом νο1^Χ0?
б) Можно ли среди всех сингулярных бордизмов (V, g)
(где g : V-> Мп), эквивалентных данному бордизму
(V'* ё')> найти такой бордизм (V0, g0), чтобы объем
ПЛАТО МНОГОМ

305
ПЛАТО МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА
306
пленки g0(X0)czMn был бы наименьшим?
Положительный ответ на эти вопросы см. в [5], [6], [13].
Классическая П. м. з. значительно отличается от
ее гомологич. варианта. На рис. 1 показаны контур
A — S1 и пленка X, стремящаяся занять в IR3
положение, соответствующее наименьшей площади. В нек-
рый момент наступит склейка, схлопывание пленки,
α
Рис. 1.
в результате чего вместо двумерной трубки Τ появится
одномерный отрезок Р. В двумерном случае отрезок Ρ
может быть непрерывно отображен в двумерный диск,
заклеивающий А. В многомерном случае описанный
эффект появления у минимальной пленки зон
меньших разномерностей присутствует еще в большей
степени, причем если в двумерном случае все такие
куски Р, dim Р^.к—1, можно было отобразить без
потери параметризующих свойств пленки Х0 в /с-мер-
ную (двумерную) часть этой пленки, то при /с>2 эти
зоны меньшей размерности, в общем случае,
неустранимы (если мы хотим сохранить топологич.
свойство пленки Х0, аннулирующей бордизм (A, i)). В силу
тех же причин зоны меньшей размерности не могут
быть отброшены, так как /с-мерная часть Х(Ъ пленки
X может вообще не допускать непрерывной
параметризации и, тем самым, вообще говоря, не аннулирует
бордизм (Α, Ϊ). Это показывает необходимость
введения стратифицированного объема пленки X,
составленного из объемов всех ее зон Χ{ί\ то есть (νοΙ^Χ^),
volfe.^^-1). . .). Теорема, являющаяся решением
П. м. з., формулируется так (см. [5], [6]): существует
глобально минимальная поверхность,
минимизирующая стратифицированный объем.
Следствие: для любого фиксированного (к—
^-мерного ориентированного гладкого замкнутого
подмногообразия А в римановом пространстве Мп (в том
случае, когда Х(А)фф) существует глобально
минимальная поверхность -Χο=/ο(^ο)» аннулирующая бордизм
(А, i) (в частности, fc-мерный объем пленки Х0 не
больше /с-мерного объема любой пленки вида X=f(W)),
см. [5], [13]. Более того, пленка Х0 минимальна в
каждой своей размерности s<fc; если X{s^ — часть
пленки X, имеющая размерность s, то X<s) содержит
подмножество Z(s\ 5-мерный объем к-рого равен нулю,
а дополнение Χ(5>\Ζ(5> является открытым 5-мерным
всюду плотным в X{S) аналитич. подмногообразием в
Мп. Здесь Z<5> — множество сингулярных точек в
размерности s.
Этот результат является частным случаем общей
теоремы существования и почти всюду регулярности
глобально минимальной поверхности, доказанной (см.
[5], [6], [13] для любой обобщенной теории (ко)гомоло-
гией и для любого набора краевых условий. Кроме
того, такая поверхность существует и в каждом
стабильном гомотопич. классе. Вот пример
вариационной задачи, сформулированной и получившей решение
в когомологич. терминах. Пусть ξ — стабильно
нетривиальное векторное расслоение на компактном
римановом пространстве Мп\ пусть Χ (ξ) — класс всех
таких поверхностей IcM", что ограничение \\χ
расслоения ξ на X стабильно нетривиально (т. е. X —
носитель ξ). Тогда всегда существует глобально
минимальная поверхность Х0 ζ Χ (ξ), имеющая
наименьший объем в классе Х(|). Общая теорема
существования может быть сформулирована и доказана также
и на языке интегральных потоков, для чего следует
ввести фильтрованные потоки, состоящие из потоков
различных размерностей. На этом пути было затем
получено решение П. м. з. в классах гомотопий [14].
В сфере задач, окружающих П. м. з., выделяются
исследования конкретных аналитич. и топологич.
свойств глобально минимальных поверхностей. Напр.,
актуальна задача предъявления конкретных
поверхностей в римановых пространствах. Так, напр., известно
(см. [3]), что комплексные алгебраич. подмногообразия
в С" и СРп — глобально минимальные поверхности.
Этот результат носит ярко выраженный комплексный
характер. В случае вещественных подмногообразий
долгое время отсутствовали какие-либо методики
обнаружения конкретных глобально минимальных
поверхностей. Первым результатом (см. [6]) в этом
направлении, учитывающим их топологию, была
методика, применение к-рой позволило доказать, что
каждому компактному риманову пространству Мп
можно сопоставить универсальную функцию Ω*(&),
где х£Мп, к — целое число, 1<:/с<:гс. Если Х0 —
глобально минимальная поверхность, реализующая
нетривиальный (ко)цикл в Hk(Mn), то volfeX0>Qx(Zc)
для любой точки х£Х0- Если M=G/H — однородное
пространство, то Qx(k)=Q(k) не зависит от точки х.
Функция Qx(k) вычисляется в явном виде и дает
общую оценку снизу на объемы всех /с-мерных (ко)циклов
в Мп. Оценка эта в общем случае неулучшаема, т. е.
существуют бесконечные серии глобально
минимальных Х0, для к-рых volfeX0— Ω (к). Для симметрич.
пространств получено (см. [6], [13], [15]) полное
описание всех таких поверхностей, для к-рых \о\^Х0= Ω (к).
Разработаны (см. [И], [12], [14], [15]) дальнейшие
методики получения конкретных глобально
минимальных поверхностей. В различных задачах вариационного
исчисления, топологии, алгебраич.
геометрии,комплексного анализа возникает следующая ситуация: а) дано
многообразие Мп и его «исчерпание» л-мерными
областями Dn расширяющимися с ростом параметра г;
б) в Мп фиксирована глобально минимальная
поверхность Хк; в) ставится вопрос: с какой скоростью растет
vo\k(XkC\Dr)i рассматриваемый как функция от г?
К этому вопросу сводятся, напр., задачи о вычислении
Ωχ(к), задачи о структуре базисов в пространствах
целых функций, теоремы типа Штолля (см. [11]) и
т. д. Оказывается (см. [6], [15]), существует
универсальная точная эффективно вычислимая оценка снизу
на скорость роста wo\k(Xkf]Dr), из к-рой, как частные
случаи, получаются явные формулы для \o\kXk,
где Xk — глобально минимальная поверхность. Напр.,
объем такой поверхности, заключенной в шаре ВпС1&п
и проходящей через центр шара (и имеющей границу
на границе шара), всегда не меньше стандартного к-
мерного шара Вк (плоского сечения), проходящего
через центр Вп (см. [13], [15]).
В особое направление выделилась П. м. з.
«коразмерности один»: рассматриваются глобально
минимальные поверхности коразмерности 1 в Rn. Так,
напр., решена (см. [7]) проблема Бернштей-
н а : пусть 7й-1— гладкое полное локально
минимальное подмногообразие в R", допускающее взаимно
однозначную проекцию на нек-рую гиперплоскость,
т. е. V"-1 задается графиком функции /, определенной
на R"-1; верно ли, что / — линейная функция? При
3<:ж8 ответ положителен (см. [8]). Минимальность
таких гиперповерхностей тесно связана с
минимальностью конусов в IR": из существования локально
минимальной поверхности следует существование
минимального конуса СМп~2, т. е. поверхности,
составленной из точек радиусов, идущих из точки ΟζΚ" в

307
ПЛАТОНА ТЕЛА
308
точки х£Мп~2, где Мп~2— локально минимальная
поверхность в сфере Sn~l. Установлено (см. [8]), что
если Мп~2 — замкнутое локально минимальное
подмногообразие (т. е. обращающее в нуль оператор
Эйлера) в S"'1, не являющееся экватором Sn~2ciSn~1i
то при л<:7 конус СМп~2 (с основанием Мп~2 и
вершиной в центре сферы) не минимизирует (п—1)-мерный
объем νο1η_! (при фиксированной границе Мп~2),
т. е. существует вариация (носитель к-рой сосредоточен
около центра сферы), уменьшающая объем конуса.
Отсюда и выводится линейность функции / при л<:8.
При η 9 ответ на вопрос отрицателен: существуют
(см. [7] локально (и даже глобально) минимальные
поверхности νη-ια&η, задаваемые как графики
нелинейных функций. Построение осуществляется явно;
при этом обнаружилось, что конусы, задаваемые в
R2/& уравнением
х\+ ... -\-Хт = Хт+1-\- · · · +*lm. (*)
являются глобально минимальными поверхностями
при фиксированной границе V=Sm~1XSm~1i m^A.
Эти конусы — частный случай конусов более общего
вида, являющихся глобально минимальными
поверхностями (см. [10]).
Развивается новое направление в П. м. з. — так
наз. эквивариантные многомерные
задачи Плато. Среди глобально минимальных
поверхностей естественно выделен класс пленок,
переходящих в себя при действии нек-рой группы
симметрии (см. [9], [10]). Пусть G — компактная связная
Группа Ли, гладко действующая на Мп изометриями
и расслаивающая его на орбиты G(x), χζΜη. Тогда для
нахождения глобально минимальных поверхностей
Хк в Мп, инвариантных относительно £?, достаточно
Перейти к факторпространству P=Mn/G и снабдить Ρ
римановой метрикой вида
где i>=vo}G(a;), a
p = aimXk—dimG (x) = k—aimG (x)
(здесь через dimG(x) обозначена размерность орбиты
общего положения в Мп), ds — естественная метрика-
проекция, возникающая на Ρ при изометрич. действии
G. Для нахождения гло-
л / бально минимальных по-
Т J¥ верхностей в М", инвари-
^^dfif антных относительно G,
^*0?7&%%//я достаточно описать тако-
\^у^^^^////уут вые в MnlG, снабженном
\/У((((((/а/УУ^Л метрикой dlp (см. [9]), так
\( ( ν Vv^y^^/УУл что получается редукция
[^^^^^Ш^уУд П. м. з. на М"кП.м. з.
Е_МГ^?Ж\Ξ1. /Ιί на Mn/G меньшей размер-
[^^^Як^Уу У/А ности. Эта методика поз-
^ ^^у^ I волила получить серии
Ш&&КУ\ ^^s I ^ конкретных глобально ми-
0 0 х нимальных поверхностей,
Рис. 2. обладающих большими
группами симметрии (см.
[13]). В частности, «конусы Саймонса», задаваемые
уравнением (*), изображаются отрезком OD (см. рис. 2)
на двумерном факторе
R2m/SOmxSOm = (x^0, у^О),
снабженном метрикой
(а^)2<2/*-2) (dx*+dy*)
и являющемся первым квадрантом К на плоскости
IR2 (см. [13]). Для нахождения глобально минимальной
поверхности с границей
5«^iX5/»-i3=G(Z)), G = SOmxSOm
достаточно найти геодезические, идущие из D на
границу К и имеющие наименьшую длину. На рис. 2
показан пучок геодезических, исходящих из точки D;
этот пучок можно понимать как пучок световых лучей,
распространяющихся из источника D в прозрачной
среде, заполняющей К с показателем преломления
(ху)2т~2. При ητ<γ-\-γ^2 наряду с поверхностью ΟΪ)
существует еще одно минимальное решение меньшей
длины, изображаемое геодезической OQ; это означает,
что конус Саймонса — не глобально минимальная
поверхность. С ростом т точка Q стремится к О, и при
ти>-я-+}/"2 существует единственная геодезическая,
соединяющая D с границей квадранта, т. е. конус
Саймонса — глобально минимальная поверхность (см.
[13]).
Лит.: [1] Моггеу Gh., Multiple integrals in the calculus
of variations, В., 1966; [2] Reifenberg E., «Acta Math.»,
1960, t. 104, Ni 1/2, p. 1—92; [3] FedererE, Geometric
measure theory, В., 1969; Ш AlmgrenE· J., «Ann. Math.», 1Θ68,
v. 87, № 2, p. 321—91: [5] Фоме н к о А. Т., «Матем. сб.», 1972,
т. 89, № 3, с. 475—519; [6] е г о же, «Изв. АН СССР. Сер.
матем.», 1972, т. 36, № 5, с. 1049—79; [7] В о m b i е г i E., D e
Giorgi E.,GiustiE., «Invent. Math.», 1969, v. 7, fasc. 3, p.
243—268,; [8] Simons J., «Ann. Mat)i.», 1968, v. 88, № l,p. 62—
105; [9] L a w s ο η Η., «Trans. Amer. Math. Soc», 1972, v. 173,
№446, p. 231—49; [10] Laws ο η Η., Simons J., «Ann.
Math.», 1973, v. 98, JNe 3, p. 427—50; [11] Фоменко А. Т.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1971, т. 35, № 3, с. 667—81; [12]
Дао Ч о н г Τ χ и, там же, 1980, т. 44, № 5, с. 1031—65; [13]
Фоменко А. Т., «Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу...»,
1974, в. 17, с. 3—176; 1978, в. 18, с. 4—93; [14] Д а о Ч о н г
Τ χ и, «Изв. АН СССР, Сер. матем.», 1978, т. 42, в. 3, с. 500—05;
115] Фоменко А. Т., там же, 1981, т. 45, № 1, с. 187—213.
А. Т. Фоменко.
ПЛАТОНА ТЕЛА — названия пяти выпуклых
правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр,
додекаэдр и икосаэдр. Многогранники названы по
имени Платона, к-рый в соч. «Тимей» (4 в. до н. э.)
придавал им мистич. смысл; были известны до
Платона.
ПЛЕСЦЕРА ТЕОРЕМА — один из основных
результатов в теории граничных свойств аналитических
функций. Пусть f(z) — мероморфная функция в
единичном круге D={z£C: |ζ|<1}, A=A(e№) — открытый
угол с вершиной е& на окружности T={z£C: |z| = l},
образованный двумя хордами круга D, проходящими
через е&. Точка е& наз. точкой Плеснера
(или е& обладает свойством Плеснера),
если в любом сколь угодно малом угле Δ для любого
значения w из расширенной комплексной плоскости С
существует последовательность {ζ&}(ζΔ такая, что
lim zk—e1*, lim f (zk) = w.
£-► ос /г-*· αο
Точка еЫ наз. точкой Фату для /(ζ), если
существует один единственный предел
lim f(z) = A,
ίθ
ζ-*- e
когда ζ стремится к е& внутри любого угла Δ.
Теорема Плеснера: почти все точки окружности
Г по мере Лебега на Г являются либо точками Фату,
либо точками Плеснера, Доказана А. И. Плеснером
(см, [1]).
Известно также, что множество Ρ (/) всех точек
Плеснера имеет тип G& на Г. Построены примеры ана-
литич. функций в Ζ), для к-рых множество Ρ (/) плотно
на Г и имеет любую наперед заданную меру Лебега
mes P(f)=m, 0<т<2я (см. [3]). П. т. верна для меро-
морфных функций / (ζ) в любой односвязной области D
со спрямляемой границей Г. В этом случае ζζΓ есть
точка Фату, если существует предел
Ит/(*) = Л, z£D,

309
ПЛОСКАЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ
310
при стремлении ζ -► ζ по любому некасательному
пути; определение точки Плеснера ζ£ Γ нужно
изменить так, чтобы рассматривались углы Δ с вершиной ζ
и сторонами, образующими углы, меньшие π/2, с
нормалью к Г в точке ζ (см. [2]).
Аналогом П. т. в терминах категории множеств
является Мейера теорема.
Лит.: [1] Π л е с н е ρ А. И., «Успехи матем. наук», 1967,
т. 22, в. 1, с. 125—36; [2] Π ρ и в а л о в И. И-, Граничные
свойства аналитических функций, 2 изд., М. —Л., 1950; [3] Л о-
ватер Дж., в кн.: Итоги науки и техники. Математический
анализ, т. 10, М., 1973, с. 99—25Θ. Е. Д. Соломенцев.
ПЛОСКАЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — множество точек L действительной
аффинной плоскости, координаты к-рых удовлетворяют
уравнению
/(*, У)=0, (1)
где / (х, у) — многочлен степени η от координат х, у;
число η наз. порядком кривой L, Если многочлен /
приводим, т. е, разлагается на множители /ь . . ., /&,
то определяемая уравнением (1) кривая L наз.
приводимой и является объединением кривых Lb
..., Lk (компонент L), задаваемых
соответственно уравнениями
/ι=0,
/»=о.
Если же многочлен / неприводим, то кривая L наз.
неприводимой. Две неприводимые П. д. а. к.,
одна из к-рых имеет порядок п, а другая — порядок т,
пересекаются не более чем в тп точках (теорема
Б езу).
Одна и та же П. д« а. к. L может определяться
различными уравнениями. Пусть Ιι— совокупность
многочленов, обращающихся в нуль во всех точках кривой
L. Если L неприводима, то из того, что fg=Q на L,
следует равенство нулю / или g\ в этом случае фактор-
кольцо К (£)=Κίΐι (здесь К — кольцо всех
многочленов) на имеет делителей нуля и наз. кольцом
многочленов на L.
С неприводимой П. д. а. к. L ассоциируется также
нек-рое поле К (L), наз. полем рациональных
функций на L. Оно состоит из рациональных
функций ^ *', причем q не делится на /,
рассматриваемых с точностью до равенства на L ( — и ■=-
V q q
наз. равными на кривой L, заданной уравнением (1),
если многочлен pq—pq делится на /). Поле КЩ
является полем частных кольца K(L).
Отображение F : (х, у) -► φ (я, у), ψ (χ, у) плоскости
в себя наз. ρ е г у л я ρ н ы м на П. д. а. к. L, если
φ, ψ £ К (L). Кривые L и Μ наз. изоморфными,
если существуют регулярные (соответственно на L
и на М) отображения F ; L -> Μг и Q ; Μ -> L,
обратные друг другу; при этом кольца K(L) и К (М)
изоморфны. В частности, изоморфны аффинно
эквивалентные кривые.
Более общим является рациональное
отображение кривой L в кривую Му осуществляемое
рациональными функциями. Оно устанавливает
соответствие между всеми точками кривых, кроме
конечного их числа, и определяется так. Пусть /=0и g=Q—
уравнения кривых L и Μ соответственно, тогда
рациональное отображение F задается такой парой
рациональных функций φ и ψ, определенных на L, что #(φ,
ψ)=0 на Μ. Кривые L и Μ наз. бирациональ-
но эквивалентными, если существуют
рациональные отображения L в Μ и Μ в L, обратные
друг другу; при этом поля k(L) и к(М) оказываются
изоморфными. Такие рациональные отображения наз.
бирациональными, или кремоновыми,
преобразованиями. Все кремоновы преобразования на
плоскости могут быть осуществлены последовательным
проведением преобразований вида χ -► —, у -*- —.
Бирациональная эквивалентность — более грубое
отношение, чем изоморфизм, однако классификация
П. д. а. к. с этой точки зрения оказывается проще и
обозримее.
Простейшим примером рационального отображения
является проективное преобразование. Важную роль
играет дуальное отображение
неприводимой кривой L, отличной от прямой, в кривую L*,
дуальную L, определяемое формулами:
а/ а/
а* ..__ ду . (2)
а/ а/ »
~, а/ а/
*-х-5Г-у1у
где /
многочлен, определяющий L. Уравнение
определяющее кривую L*, получается исключением
х, У из уравнений (1), (2). Вследствие связи дуального
отображения с касательным преобразованием саму
кривую L* в ряде случаев можно представлять как
огибающую семейства прямых, касательных к L.
Цорядок L* наз. классом п* кривой L.
Отношение дуальности взаимно, т. е. L** = L, и является
отражением двойственности принципа проективцоц
геометрии.
Точка χ П. д. а. к. L, заданной уравнением (1), наз.
особой точкой, если в ней grad /=0. Анализ
особенностей является необходимым элементом
исследования кривой L, однако полная классификация
особенностей еще далека от завершения (1983).
Если все производные многочлена / до (г—1)-го
порядка включительно в точке χ рарны нулю, а, хотя
бы одна производная г-го порядка отлична от нуля в
х, то χ наз. точкой кратности г и притом
обыкновенной, если в ней существуют г различных
касательных. Примеры особых точек:
1) х3—х2-\-#а=0; (0, 0) — обыкновенная двойная
точка, точка самопересечения;
2) х2-\-х3-\-у2=0; (0, 0) — изолированная точка;
3) х3+у2=0; (0, 0) — точка заострения, возврата;
4) 2я4—Зх2у+у2—2ι/3+ι/4=0; (0, 0) — точка
самоприкосновения.
Неособая точка χ П. д. а. к. L, заданной уравнением
(1), наз. точкой перегиба, если в ней
#(*, У) =
а2/ а2/ а/
дх2 дхду дх
ау а2/ _а/
дхду дуг ду
2L 0L о
дх ду
= 0.
(3)
Другими словами, точки перегиба — это точки
пересечения кривой L и кривой Я, задаваемой уравнением
(3) и называемой гессианой кривой L. Точкам
перегиба кривой L соответствуют на дуальной кривой
L* точки возврата.
Для всякой П. д. а. к. имеет место соотношение
(Ф. Клейн, F. Klein, 1876):
n + 2d + r = n* + 2d* + r*,
где η — порядок L, η* — класс L, г* — число точек
перегиба L, d* — число изолированных двойных ка-,
сательных к L (двойных точек L*), г — число точек
возврата L (точек перегиба L*), d — число двойных
точек L. См. также Плюккера формулы.
Любая неприводимая плоская кривая L бирацио-
нально эквивалентна неприводимой кривой £0,
имеющей лишь обыкновенные особенности.

311 ПЛОСКАЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
Род (или жанр) П.д. а. к. L определяется числом
р, являющимся разностью между наибольшим числом
двойных точек, к-рые может иметь L, и их фактич.
числом. Род ρ и порядок η кривой L связаны
соотношением
где суммирование распространяется на точки
кратности г,·.
Кривые нулевого рода (наз. также рациональ-
н ы^м и, уникурсальными) обладают важным
свойством, а именно: координаты точки, движущейся
по такой кривой, могут быть выражены рациональными
функциями |, η нек-рого параметра t. Другими
словами, кривые рода нуль бирационально эквивалентны
прямой. Уникурсальные кривые имеют важные
применения. Пусть, напр., уравнение такой кривой опреде-
Классификация Ньютона кривых 3-го порядка
кривая 312
ляет у как алгебраич. функцию от х\ тогда для любой
рациональной функции g(x, у) неопределенный
интеграл
\g(x, y)dx
Каноническая
форма А
ху2 + еу=ах* +
+ bx2 + cx + d
Класс V
Каноническая
форма В
ху = ах3 + Ъх* +
+ cx+d
Трезубец
Класс VI
Каноническая
форма С
у2 = ах3 + Ъх2 +
+ cx + d
Расходящаяся
парабола
Класс VII
Каноническая
форма D
у = ах3 + Ьх2 +
+ cx + d
Кубическая
парабола
I
5 типов
Класс I
(а> 0)
Гипербеличе-
ская гипербола
Класс 11
(а<0)
Дефективная
гипербола
Класс Ш
(а=0, Ь=£0)
Пара болическая
гипербола
(ефО)
Адиамет-
ральная
Монодиаметральная
6 типов
7 типов
(еФО)
Адиаметраль-
ная
(е=0)
Монодиаметральная
может быть выражен через элементарные функции.
Кривые рода 1, тесно связанные с эллиптическими
функциями, бирационально эквивалентны кривой 3-го
порядка без особенностей. Нек-рые кривые рода р>1
(т. н, гиперэллиптические) бирационально
эквивалентны кривой порядка р+2, имеющей
единственную особую точку кратности р.
Род ρ является бирациональным инвариантом,
однако две кривые, имеющие один и тот же род, не
обязательно бирационально эквивалентны.
Полная классификация кривых порядка л^4 еще
(1983) не получена. Неприводимая
кривая 2-го порядка является либо пустым
множеством, либо эллипсом, либо
гиперболой, либо параболой (см. Линия
второго порядка). Эти.кривые
неособенны и унику реальны.
Первая классификация кривых 3-го
порядка была предложена И.
Ньютоном (I. Newton, 1704), к-рый
положил тем самым начало систематич.
исследованию П. д. а. к. В основе ее
лежит подразделение кривых 3-го
порядка на классы в зависимости от
количества и характера бесконечных ветвей.
Уравнение кривой надлежащим
выбором координатной системы
приводится к одной из четырех канонич. форм
А, В, С, D, которые затем
разделяются на классы, подклассы и типы (см.
схему).
У каждой кривой 3-го порядка L
есть либо (единственная) двойная
точка, и тогда L унику реальна, либо
точка перегиба, быть может
находящаяся на бесконечности; если есть три
точки перегиба, то они лежат на
одной прямой; более трех точек
перегиба быть не может.
Пополнение аффинной плоскости
несобственными элементами приводит к
проективной плоскости, на н-рой П.
д. а. к. определяется уравнением
Класс IV
(а=Ь=0)
Гипер болизмы
конических
сечений
I
7 типов
4 типа
I
(с>0)
Гиперболизм
гиперболы
(с<0)
Гиперболизм
эллипса
(с=0)
Гиперболизм
параболы
I
4 типа
3 типа
2 типа
(еФО)
Адиаметраль-
ная
(е
О, Ъ*ФШ,
ЬФО)
Монодиаметральная
(е = 0, Ь2 = 4ас,
ЬФО)
Тридиамет-
ральная
(Ь=0)
С
асимптотами,
пересекающимися
в одной
точке
I
9 типов
I
12 типов
2 типа
9 типов
F{x\
3) = 0,
где
ни
х\
х*
— однородный многочлен степе-
от проективных координат х1,
Проективная классификация
кривых проще; напр., каждая кривая
3-го порядка может быть
рассматриваема как сечение конуса,
направляющей к-рого служит одна из пяти
т. н. дивергентных парабол, т. е.
имеется пять типов проективно
неэквивалентных кубич. кривых (теорема
Ньютона).
При исследовании П. д. а. к.
полезным оказывается также и привлечение
мнимых элементов, и, далее, переход
в комплексную область. См.
Алгебраическая кривая.
Лит.: [1] У о к е ρ Р., Алгебраические
кривые, пер. с англ., М., 1952; [2] Смогор·
ж е в с к и й А. С, С τ о л о в а Е. С,
Справочник по теории плоских кривых третьего
порядка, М., 1961; [3] С а в е л о в Α. Α.,
Плоские кривые, М., 1960.
М. Я. Войцеховский.

313 плоская
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА теории упругости— I
название типа задач, в к-рых картина изучаемого
явления в упругой среде одинакова во всех плоскостях,
параллельных нек-рой плоскости (напр., плоскости
Охгх2 декартовой системы координат Οχλχ2χζ). Мате-
матич. теорией П. з. часто описываются и задачи,
к-рые по содержанию имеют пространственный
характер (напр., изгиб тонких пластинок).
По П. з. теории упругости успехи достигнуты
главным образом благодаря использованию формул,
выражающих искомые решения через аналитич. функции
одного комплексного аргумента; впервые эти формулы
были выведены в 1909 Г. К. Колосовым (см. [1]), а
начиная с 20-х гг. 20 в. в работах Н. И. Мусхелишвили
они нашли полное обоснование, и на их базе развиты
методы решения широкого круга граничных (краевых)
и контактных П. з. теории упругости. Полученные по
П. з. теоретич. результаты используются при решении
практич. задач.
Комплексное представление полей смещений и
напряжений. Говорят, что упругая среда находится в
состоянии плоской деформации, если существует такая
декартова система координат Охгх2х3, относительно
к-рой компоненты вектора смещения имеют вид
ма = 1*а(;гь *2» 0» а = 1>2> "з = 0,
где t — время. Компоненты тензора напряжений таковы
*αβ = λθδαβ + 2μ*αβ) Χα3=0, Χ33 = λθ,
где λ, μ — постоянные Ламе, δαβ — символы Кроне-
кера, еа& — компоненты тензора деформации: еа^=
= даи$ +д$иа\ &=еаа=даиа — дилатация (α, β=1, 2;
наличие в выражении двух одинаковых индексов
означает суммирование).
Плоская деформация возможна в упругой среде,
к-рая заполняет цилиндр с образующими,
перпендикулярными плоскости Оххх2, если при этом компоненты
объемных сил имеют вид Χα=Χα(^ι, %г, t), Хз^О, а
боковые усилия не зависят от координаты х3 и
расположены на плоскостях, перпендикулярных оси
цилиндра. Для реализации плоской деформации упругого
цилиндра к его торцам необходимо приложить
нормальные силы, равные ±λθ.
При сделанных допущениях система уравнений
динамики упругого тела относительно компонентов
вектора смещений имеет вид
μΔκα + (λ + μ)0αθ+Χα=ρ£α,α = 1,2,
где ρ — плотность распределения масс, рйа — силы
инерции, Δ — оператор Лапласа. Если
воспользоваться операциями комплексного дифференцирования:
2d-=d1+id2, 2d2==d1 — id2(da ==д/дх(Х), то при
отсутствии сил инерции (статич. задача) эту систему можно
записать в виде одного (комплексного) уравнения:
(λ + 3μ) δ2ζ-η+(λ + μ) d*-Ji+X=0,
где u = u1-\-iu2, X = 2-г (Χι-\-ίΧ2).
Пусть область S, занятая упругой средой,
представляет связную часть плоскости Охгх2, ограниченную
одним или несколькими контурами L0, Ll9 . . ., Lm
без общих точек, L= L$-\-Lx-\-. . .-\-Lm — граница
области S; точка z=Q принадлежит S.
Искомое решение уравнения равновесия выражается
по формуле и=и0-\-ТХ, где ТХ — нек-рое частное
решение, к-рое можно выразить в виде
ΓΧ = -κ (μπ (1 + κ))"1 J J Χ (ζ) In \ζ-ζ\ άζ,άζ2 +
+ (2μπ (l+*))-i J J Χ (ζ-z) (ξ-Ί)-1 άζ1άζΛ, |
ЗАДАЧА 314
а и0 — общее решение однородного уравнения (Х=0),
к-рое выражается по формуле
и0 = К (φ, ψ; κ)=κφ(ζ) — ζφ' (ζ)—ψ (ζ),
где φ и ψ — произвольные аналитич. функции от
ζ=χ1-\-ίχ2 в области S (κ=3—4σ, где σ — постоянная
Пуассона, 0<σ<0,5). Если X — многочлен от х, у,
то ТХ можно выразить в явной форме.
Оператор К (φ, ψ; κ) не изменится, если функции
φ и ψ подчинить условию φ(0) = 0 или ψ(0) — 0. При
выполнении одного из этих условий всякому полю
смещений u=u1-\-iu2, заданному в области S,
соответствует вполне определенная пара аналитич. функций
φ, ψ.
Если в предыдущих формулах постоянную κ
заменить через κ*— (3—σ)/(1 -|-σ), то получается
формула для поля смещения обобщенного
плосконапряженного состояния.
Комплексная запись
Хаа =2 (λ+μ) (д2и+д-и), Χη-Χ22 + 2ίΧ12=:4μδ-ΐι
компонентов тензора напряжений, в силу равенства
u = K(q>, ψ; κ) + Τχ,
принимает вид
Χαα=4ΚβΦ(ζ) + Τ0Χ,
Χιι-Χ22 + 2ίΧΐ2 = 2(ζΦ/ (*)+ψ {ζ)) + ΤχΧ,
где Φ = 2μ<ρ', Ψ = 2μΨ',
Γο=4(λ + μ)Κθ0ζΓΧ, Γ1Χ=4μ0ΙΓΧ.
Пусть упругая среда подвергается непрерывной
деформации. Тогда можно считать, что компоненты
тензора напряжений и смещений — непрерывные однознач^
ные функции в области S\ Φ и Ψ голоморфны в S,
причем Φ можно подчинить условию Ф'(0)=Ф'(0).
Если область S ограничена и односвязна, а
деформация непрерывна, то функции φ и ψ голоморфны в S.
В случае конечной многосвязной области φ и ψ будут,
вообще говоря, многозначными функциями
определенного вида.
Основными задачами плоской теории упругости
являются следующие задачи.
1) Первая основная задача:
определить упругое равновесие тела, когда на его границе
заданы внешние силы.
Сила напряжения (Хп, Υη), действующая на
элемент дуги ds контура L с нормалью п, может быть
записана в комплексной форме:
(Хп+ iYn) ds = - 2ίμά (φ (ζ) + ^>) + ψ~(Ι)Ι,
и краевые условия первой задачи имеют вид
4(*) + *ψΊ*)+№)=!(*) + *(*)> *€£. (!)
где
1{t) = i{2v)-^L{Xn+iYn)ds,
причем дуга s отсчитывается на каждом L^ от нек-рой
фиксированной точки z^L^ в положительном
направлении; c(*)=cfe=const на Lk. Всегда можно считать
с0=0, остальные постоянные с^ определяются в ходе
решения задачи. Если m—Q, то искомые функции φ
πψ голоморфны в S. Тогда равенства φ(0)=0, Imq/ (0)=
= 0 обеспечивают единственность решения задачи (1),
а необходимые и достаточные условия существования
решения
$L (Xn+iYn) ds = 0, 2μ JL {χλΥη-χ2Χη) ds =
= Re [LfdT=0

315
ПЛОСКАЯ
представляют собой условия статич. равновесия
абсолютно жесткого тела.
При т>0, как уже было отмечено, φ и ψ —
многозначные функции специального вида, причем они
выражаются через новые искомые голоморфные в области
S функции φ* и ψ*.
2) Вторая основная задача: определить
упругое равновесие тела по заданным смещениям точек
его границы.
Эта задача приводит к граничному условию вида
κφ(ί) — «ψ7!*)—*Ψ7*)"=/ (*). *€£.
где f=u1-\-iu2 — заданная на L функция.
3) Основная смешанная задача. Пусть
S — конечная одцосвязная область, ограниченная
замкнутым контуром L; L=L'-\-L", где V состоит из
конечного числа дуг V, . . ., L'm контура L, к-рые попарно
не имеют общих точек; на V заданы внешние
напряжения, а на L" — смещения. Соответствующие
краевые условия можно записать в виде
у (t) φ (t) + ttf~(t) +ψ(ϊ)=ί (t) + c (t), t£L,
где / — заданная функция точки t£L; γ(ί)=1, если
t£L , и y(t)= — κ, если *££"; c(t)=ck=conet, если
ίζΖ/; c(t)=Qr если ί£ΖΛ Постоянные съ (кроме одной,
выбираемой как угодно) не задаются заранее и
подлежат определению в ходе решения задачи.
4) Третья основная задача. На границе
области задаются нормальная составляющая вектора
смещения и касательная составляющая вектора
внешнего напряжения.
Такая задача возникает, напр., в случае
соприкасания упругого тела с жестким профилем заданной
формы, когда контакт между упругим и жестким
телами осуществляется по всей границе.
Рассматриваются также другого рода контактные задачи. Все
эти задачи также приводятся к граничным задачам
для аналитич. функций.
5) Граничные задачи изгиба тонких
пластинок. К аналогичным граничным условиям
приводят задачи изгиба тонких пластинок. Прогиб w
серединной поверхности тонкой однородной упругой
пластинки, подверженной действию распределенной
по ее поверхности нормальной нагрузки
интенсивности q, удовлетворяет неоднородному бигармонич.
уравнению
Ac\w = qlD,
где D — Eh?/i2(i — σ2) — цилиндрич. жесткость; h —
толщина пластинки, Ε — модуль Юнга. Общее
решение этого уравнения имеет вид
w=w0+fq,
где Tq — частное решение, к-рое выражается
формулой
Tq = (βπ/))-1 J J q (ζ) I ζ-t |2 In |C — « Ι άζ1άζ2,
a ιυ0 — общее решение
ιυ0 = Κβ(ζΦ(ζ)-\-Ψ(ζ))
однородного бигармонич. уравнения
ΔΔμ0 = 0,
где Φ и Ψ — произвольные аналитич. функции в S.
Если q — многочлен от хх и х2, то Tq выражается в
явной форме. Если Ф(0)=0, Ψ(0)=0, Ф'(0)=Ф'(0),
то функции Φ и Ψ выражаются однозначно посредством
заданной бигармонич. функции wQ.
Решение w уравнения AAw=q/D следует подчинить
граничным условиям, соответствующим тому или иному
ЗАДАЧА 316
характеру закрепления границы пластинки. В случае
заделанной по краям пластинки на границе L области
S, занятой серединной поверхностью пластинки,
должны выполняться условия w=dw/dn=Q, где η —
внешняя нормаль к контуру L. Эти два условия можно
записать в виде одного комплексного равенства dzw=Q
(на L). Последнее приводится к виду (1).
Решение этой задачи всегда существует,
единственно и выражается по формуле
w(xu x2)=D~l J J SG(*i,*2,Ci,C2)0(Ci» £2)^i^2>
где G — функция Грина. Для круга Ы<1:
G (*lf *„ ζΐ9 Ь) = 2 | ζ- z |« In (11 -ζζ 11 ζ -z I -i) -
-(1-|2|2) (1-1 ζ |2),
ζ = Χι + ίχΛ, ζ = ζι + ίζ2·
Б случае свободной пластинки граничные условия
имеют вид
σΔιν + (1— σ) (wXiX2cos2v + wX2X!lsin2 v +
+ wXiXism2v)=0,
dAw , IA _4 d ( 1 ,... ... ч _.Λ ο.. . } (2)
dn
■(1-(J)S"(t(m;*»*»'~m;*»*») sin2i; +
+ M7jti*.cos2i;)=0,
где υ — угол, составляемый внешней нормалью η
с осью Охг. Левые части равенств (2) представляют
собой соответственно изгибающий момент и
обобщенную перерезывающую силу, отнесенные к единице
длины и действующие на боковой элемент пластинки
с нормалью п. Граничные условия (2) можно записать
в виде
ό((3 + σ)/(1-σ)Φ-ΖΦ'-Ψ')=£,
где g — заданная функция на L.
6) Плоские стационарные упругие
колебания. Когда решения системы уравнений
динамики упругой среды ищутся в виде
и —ν (хъ х2) elvt, иа — 0,
где ν — частота колебания, для ν получается формула
v — д- (w1-\- iw2)
Ζ
(предполагается, что внешние силы равны нулю, X =
— 0), где w1 и w2 — произвольные решения уравнений:
Δμ>! + a2v2wx = 0, Aw2 + b2v2w2 = 0,
α2 = ρ(λ + 2μ)-\ &2 = ρμ-ι.
Поле напряжений выражается по формулам
Хц + *22 = - (λ + μ)αν4,
^11 — Xn + 2iX2q=^dt (^l —^2)>
Ζ
X33 = -2-W4.
Общее решение уравнения
Aw-\- k2w — Q, к2 = const,
выражается в виде
w = A0J0 (к | z I)+ γο Re [ζΦ (zt)] J0(k\z\ |/"l~) dt, (3)
где А0 — произвольная действительная постоянная,
Φ — произвольная аналитич. функция, J0 — функция
Бесселя 1-го рода нулевого порядка. При помощи
формулы (3) выводятся комплексные представления
для полей смещений и напряжений при плоском
стационарном колебании упругой среды; они могут быть
использованы для исследования граничных задач,

317
ПЛОСКИЙ
318
а также для построения различных полных систем
частных решений, к-рые позволяют аппроксимировать
любые поля смещений и напряжений. В частности,
эти полные системы можно использовать для
построения приближенных решений краевых задач.
7) Задача определения
концентраций напряжений около отверстий
в анизотропных и изотропных
пластинах. Основу приближенных методов решения
таких задач также составляют введение функций
комплексного переменного специальной структуры в виде
степенных рядов и различных модификаций теории
возмущений, а также использование теорем сложения
цилиндрич. и сферич. функций с последующим
сведением граничных задач к бесконечным системам алге-
браич. уравнений.
Методы решения граничных задач. Формулы
представления полей смещений и напряжений через ана-
литич. функции используются для доказательства
существования и единственности решения общих
граничных задач, а также для построения в явной форме
решений нек-рых классов задач частного вида.
Метод степенных рядов с применением конформного
отображения позволяет решать основные плоские
задачи для областей, конформно отображающихся на
круг посредством рациональных функций. Задача
редуцируется к линейной алгебраич. системе
уравнений и квадратурам. Этим методом практически
решаются основные граничные задачи для любой односвяз-
ной области с использованием приближенного
конформного отображения области на круг с помощью
рациональных функций. При использовании ЭВМ этот прием
является эффективным для построения решений
основных граничных П. з. теории упругости и изгиба
пластинок.
На основе теории интеграла типа Коши
исследование П. з. редуцируется к хорошо изученным
интегральным уравнениям.
Полезными являются также методы, сочетающие
конформное отображение с применением аппарата
интегралов типа Коши.
Существуют и другие способы приведения граничных
П. з. теории упругости к интегральным уравнениям,
к-рые дают возможность изучить вопросы
существования и единственности решения.
Для редукции граничных П. з. теории упругости к
интегральным уравнениям используется также метод
потенциалов, не вводящий в рассмотрение
комплексные аналитич. функции (φ и ψ).
Лит.: Ц] Колосов Г. В., Об одном приложении теории
функций комплексного переменного к плоской задаче
математической теории упругости, Юрьев, 1909; [2] е г о же,
Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексной
переменной к теории упругости, Л.— М., 1935; [3] Μ у с χ е л и-
ш в и л и Н. И., Некоторые основные задачи математической
теории упругости, 5 изд., М., 1966; [4] е г о же, Сингулярные
интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [5] Век у а И. Н.,
Мусхелишвили Н. И., Методы теории аналитических
функций в теории упругости, в кн.: Тр. Всесоюзного съезда по
теоретической и прикладной механике (1960), М.— Л., 1962;
[6] В е к у а И. Н., Новые методы решения эллиптических
уравнений, М.— Л., 1948; [7] С а в и н Г. Н., Концентрация
напряжений около отверстий, М.— Л., 1951; [8] Г а л и н Л. Α.,
Контактные задачи теории упругости, М., 1953; [9] Ш τ а е р-
м а н И. Я., Контактная задача теории упругости, М.— Л., 1949;
[10] Каландия А. И., Математические методы двумерной
упругости, М., 1973; [1J] Sokolnikoffl. S., Mathematical
theory of elasticity, Ν. Υ.— L., 1946; [12] Трехмерные задачи
математической теории упругости, Тб., 1968.
И. Я. Веку а, Р. А. Кордзадзе.
ПЛОСКИЙ МОДУЛЬ — левый (или правый) модуль Ρ
над ассоциативным кольцом R такой, что функтор
тензорного произведения — ®rP (соответственно P($r —)
точен. Приведенное определение эквивалентно любому
из следующих: 1) функтор Τοίχ (—, Р) = 0
(соответственно Tori (Р, —)=0); 2) модуль Ρ представим в виде
прямого (инъективного) предела спектра свободных
модулей; 3) модуль характеров Р* = Нотг (Р, Q/Z)
инъективен, где Q — группа рациональных чисел, а
Ζ — группа целых чисел; 4) для любого правого
(соответственно левого) идеала / кольца ΐ? канонич.
гомоморфизм
J®RP-+JP (P®rJ-+PJ)
является изоморфизмом.
Проективные модули и свободные модули являются
примерами П. м. Класс П. м. над кольцом целых чисел
совпадает с классом абелевых групп без кручения.
Все модули над кольцом R являются П. м. тогда и
только тогда, когда R регулярно в смысле Неймана
(см. Абсолютно плоское кольцо). Когерентное кольцо
может быть определено как кольцо, над к-рым прямое
произведение Пй α любого числа экземпляров кольца R
является П. м. Операции локализации и пополнения
по степеням идеала кольца R приводят к П. м. над
этим кольцом (см. Адическая топология). Классич.
кольцо частных кольца R является П. м. над R.
Лит.: [ЦКартанА., ЭйленбергС, Гомологическая
алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Лам бе к И., Кольца и
модули, пер. с англ., М., 1971. В. Е. Говоров.
ПЛОСКИЙ МОРФИЗМ — морфизм схем /: X -+ Υ
такой, что для любой точки χζΧ локальное кольцо
Θχ,χ является плоским над Qy% /<χ> (см. Плоский
модуль). Вообще, пусть ψ— пучок б^-модулей, он
наз. плоским над Υ в точке х£Х, если ff"х—
плоский модуль над кольцом (5 к, /(*)· При нек-рых
(довольно слабых) условиях конечности множество
точек, в к-рых когерентный б^-м°ДУль ¥ является
плоским, открыто в X. Если при этом схема Υ целостна,
то существует открытое непустое подмножество Uc^Y
такое, что $f~ П. м- над Υ во всех точках, лежащих
над U.
П. м. конечного типа соответствуют интуитивному
понятию непрерывного семейства многообразий. П. м.
открыт и равноразмерен (т. е. размерность слоев
/-10/) локально постоянна по y£Y). Для многих гео-
метрич. свойств множество точек χζΧ, в к-рых слой
f~1(f(x)) плоского морфизма / : X -► Υ обладает этим
свойством, открыто в X. Если П. м. / собственный, то
открытым является и множество точек у ζ У, сдои над
к-рыми обладают этим свойством (см. [1]).
П. м. применяются также в теории спуска. Морфизм
схем наз. строго плоским, если он плоский
и сюръективный. Тогда, как правило, для проверки
какого-либо свойства нек-рого объекта над Ϋ
достаточно проверить это свойство для объекта, полученного
после строго плоской замены базы / : X -> Υ (см. [1]),
В связи с этим представляют интерес критерии
плоскостности морфизма / : X -> Υ (или (З^-модуля ψ)\
при этом Υ можно считать локальной схемой.
Простейший критерий относится к случаю, когда база Υ
одномерна и регулярна: когерентный (3#-модуль ψ
будет плоским тогда и только тогда, когда униформизи^
рующая на Υ имеет тривиальный аннулятор в ψ,
Общий случай в нек-ром смысле сводится к одномерному.
Пусть Υ — приведенная нётерова схема и для любого
морфизма Ζ -> У, где Ζ — одномерная регулярная
схема, замена базы fz'-XyXZ-^Z является П, м.;
тогда / есть П. м. Другой критерий плоскостности
требует, чтобы / : X -> Υ был универсально открыт,
а У и геометрич. слои f~1(y) — приведены.
Лит.: [1] Grothendieck Α., Dieudonne J.,
Elements de geometric algebrique, 4, «Publ. math. IHES»,
1964, № 24; 1966, № 28; [2] Μ а м ф о р д Д., Лекции о кривых
на алгебраической поверхности, пер. с англ., ЭД., 1968; [3] R а у*
η a u d М., Gruson L., «Invent, math.», 1971, v. 13, p. 1—89.
В. И. Данилов,
ПЛОСКОСТЬ — одно из основных понятий
геометрии; обычно косвенным образом определяется аксио-»

319
мами геометрии. П. может рассматриваться как
совокупность двух непересекающихся множеств —
множества точек и множества прямых с симметричным
отношением инцидентности, связывающим точку и прямую.
В зависимости от требований, к-рым удовлетворяет
отношение инцидентности, описываемое определенными
аксиомами, различают проективные, аффинные,
гиперболические, эллиптические П. и др.
П. можно классифицировать по группам коллинеа-
ций (см., напр., [7] гл. 3, где дана классификация
Ленца — Бартолоцци проективных и аффинных П.)
или по реализации в плоскости тех или иных
конфигураций (см., напр., Дезаргова геометрия, Паскалева
геометрия).
П. наз. метрической, если кроме отношения
инцидентности определено расстояние между любой парой
точек. Так, в Гильберта системе аксиом евклидовой
геометрии расстояние вводится на базе аксиом
конгруэнтности и непрерывности, и П. в этом случае
наз. непрерывной (см. [1]). В случае невыполнения
для П. аксиом непрерывности П. наз. дискретной
(см., напр., Неархимедова геометрия), а П., состоящая
из конечного числа точек, а следовательно, и прямых,
наз. конечной (см. [7]).
Одним из путей изучения П. является введение в
ней координат и тернарной операции с последующим
ее изучением (см., напр., [7]), [8]).
В системе аксиом Вейля пространства Е3 П. является
производным понятием от понятий «вектор» и «точка».
Под П., проходящей через точку А £Е3 и векторы m и п,
понимается множество точек таких, что
AM = Нп + тп, где *, x£!R.
В прямоугольной системе координат (х, у, ζ)
пространства Е3 П. задается линейным уравнением
Ax + By + Cz + D = Q,
коэффициенты А, В, С определяют координаты
нормального вектора этой П. В m-мерном пространстве
л-мерные П. описываются системами линейных
уравнений (см. [5]).
Взаимное расположение П. в различных га-мерных
пространствах определяется соответствующими
аксиомами инцидентности так же, как и свойства
инцидентности плоскостей и прямых.
Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с
нем., М.— Л., 1948J [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия,
6 изд., М., 1978; [3] Об основаниях геометрии, М., 1956; [4]
Б а х м а н Φ., Построение геометрии на основе понятия
симметрии, пер. с нем., М., 1969; [5] Д о н е д д ю Α., Евклидова
планиметрия, пер. с франц., М., 1978; [6] Розенфельд
Б. Α., Многомерные пространства, М., 1966; [7] D e m b о w s-
k i P., Finite geometries, В., 1968; [8] Ρ i k e г t G., Projektive
Ebenen, В., 1955. В. В. Афанасьев, Л. А. Сидоров.
ПЛОТНОЕ МНОЖЕСТВО — то же, что всюду
плотное множество. Более общо, множество А наз.
плотным в открытом множестве G
пространства X, если G содержится в замыкании А или, что то
же самое, если Af]G всюду плотно в подпространстве
GaX. Если А не плотно ни в каком непустом открытом
множестве G, то оно является нигде не плотным
множеством В X. М. И. Войцеховский.
ПЛОТНОСТИ МАТРИЦА состояния р,
определенного на алгебре %(Ж) ограниченных линейных
операторов, действующих в гильбертовом пространстве
Ж,— положительный ядерный оператор ρζ5ί(^)
такой, что
p(A)=SpAp, Л€И(#Г), (1)
причем Spp=l. Обратно, всякое состояние р, т. е.
линейный положительный (р(А*А)^0) нормированный
(р(2?)=1) функционал на Щ$%), представимо в виде
(1), т. е. имеет П. м. ρ и притом единственную.
[ОЖество 320
Впервые понятие П. м. появилось в статистич.
физике при определении квантового состояния Гиббса.
Пусть квантовая система, занимающая конечную
область V пространства R3, описывается векторами
нек-рого гильбертова пространства $%ν и
гамильтонианом Η γα обладает, быть может, нек-рым набором
коммутирующих друг с другом «первых интегралов» Ну,
. . ., Ηγ, k=l, 2, ... . Состоянием Гиббса такой
системы наз. состояние на %{$Су), задаваемое П. м.:
p = Z"! ехр {- β (Η°ν + μ1Η1ν+ ... +μΧ)}, (2)
где Ζ — нормирующий множитель, а β>0, μχ, . . .,
μ& — действительные параметры.
Наряду с П. м. (2) состояние системы в квантовой
статистич. физике можно задавать с помощью т. н.
приведенной матрицы плотности.
В наиболее простом случае системы одинаковых частиц
(бозонов или фермионов), описываемых векторами
Фока пространства &£у, приведенная П. м. ρ
состояния ρ представляет собой набор функций (вообще
говоря, обобщенных)
Р = {Рт,/г(*Ь .·.,*», Уи ···> Уп), *i(zV, У/£У,
i = l, ..., m, 7 = 1, ..., η; m = 0, l, ...}, (3)
где
а а (х), а* (у), х, i/£IR8,— рождения операторы и
уничтожения операторы соответственно, действующие в
fflv В случаях, когда в алгебре %{SKv) вместо
операторов рождения и уничтожения выбрана какая-
нибудь другая система образующих {αλ, λ ζ J?} (J?—
нек-рое множество индексов), приведенная П. м.
состояния ρ определяется аналогично (3) как
совокупность значений состояния ρ на всевозможных мономах
вида
α>λχ, • •-,а,'КпМ€:<%-> ί = 1» ...,η, η = 1,2, ... .
Приведенная П. м. оказывается особенно удобной при
определении предельного гиббсовского состояния на
С*-алгебре 5ί«> так наз. квазилокальных наблюдаемых:
5ioo= U Щ^?") (черта означает замыкание в рав-
У€ IR3
номерной топологии).
Лит.: [1] Ландау Л. Д., Л и φ ш и ц Ε. Μ.,
Статистическая физика, 3 изд., М., 1976 (Теоретическая физика, т. 5);
L2] Ρ ю э л ь Д., Статистическая механика. Строгие результаты,
пер. с англ., М., 1971. Р. А. Минлос.
ПЛОТНОСТИ ТОЧКА множества Ε в и-мерном
пространстве Rn— точка х, в к-рой плотность
множества Ε равна единице. Если единице равна внешняя
плотность, то точка χ наз. точкой внешней
плотности. П. т. множества является
одновременно точкой разрежения для дополнения этого
множества. Почти все точки измеримого множества суть
его П. т. С помощью понятия П. т. вводится понятие
аппроксимативно непрерывной функции и
аппроксимативной производной. В. А. Скворцов.
ПЛОТНОСТНАЯ ГИПОТЕЗА — предполагаемое
неравенство, доставляющее оценку для числа Ν (σ, Τ)
нулей ρ=β+ΐγ дзета-функции Римана
где s=o+it, в прямоугольнике 1/2<σ<β<1, |γ|<Γ.
Наиболее точная формулировка П. г.:
Ν(σ, Т)^сТ2а-°ПпАТ.
ПЛОТНОЕ

321 плотности!
Более простой, но менее точный вид П. г.:
Ν (σ, rXc^a-oi+e,
П. г. позволяет получать в теории простых чисел
результаты, сравнимые с теми, к-рые вытекают из
гипотезы Римана. Напр., из П. г. следует, что при
достаточно больших χ в каждом сегменте [х, х+х^2 + Е]
содержится хотя бы одно простое число.
П. г. является следствием более сильной Линделёфа
гипотезы. В отличие от последней П. г. частично
доказана, т. к. содержится в плотностных теоремах,
начиная с нек-рых значений σ^σ0>1/2-
Для числа Α^σ, Γ, χ) нулей L-функций Дирихле
Μ*, Χ)=ΣΓ=1 X(n' k)n~s,
где χ (д, к) — характер по модулю /с, имеет место
аналогичная П. г. В усредненной форме она имеет вид
2Xm0(,h N<P> T,%)<c(k, Γ)·(ΐ-ο)+β,
2ft< Q Σχ* mod k * (σ, T,t)<c (JW)«<i-« + e,
где χ* — примитивный характер по модулю к.
П. г. для L-функций Дирихле применяется в теории
распределения простых чисел, принадлежащих ариф-
метич. прогрессиям.
Лит.. [1] Монтгомери Г., Мультипликативная теория
чисел, пер. с англ., М., 1974; [2] Л а ври к А. Ф., «Успехи
матем. наук», 1980, τ 35, в. 2, с. 55—65. Б. М. Бредихин.
ПЛОТНОСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ — общее название
теорем, к-рые дают оценку сверху для числа Ν (σ, Τ, χ)
нулей p=$-\-iy L-функций Дирихле
где s= σ+ii, χ (η, к) — характер по модулю к в
прямоугольнике 1/2<σ<ρ<ί, |γ|<7\ В случае к=1
получают П. т. для числа нулей дзета-функции Римана
**п= 1
П. т. для L-функций при кф\ сложнее, чем
соответствующие теоремы для дзета-функции Римана.
При растущих параметрах Тик получаются оценки,
зависящие от этих параметров. В приложениях
решающую роль играет параметр к.
Значение П. т. выясняется из соотношений,
позволяющих оценивать остаточный член в формуле для
количества простых чисел р, принадлежащих ариф-
метич. прогрессии km-\-l, l<Z</c, (Z, A)=l, m=0, l,
2, . . ., и не превосходящих х, в зависимости от
ΛΤ(σ, 7\ χ).
Поскольку функция Ν (σ, 7\ χ) не возрастает при
возрастании σ и 7V (1, Г, χ)=0, целью П. т. является
получение оценок, наиболее быстро стремящихся к
нулю при σ-> 1. В свою очередь эти оценки
существенно дополняются результатами об отсутствии нулей
у L-функций Дирихле в окрестности прямой σ=1,
к-рые получаются с помощью кругового метода Хар-
ди — Литлвуда — Виноградова. На этом пути
удалось получить сильные оценки для количества четных
чисел п<^.х, возможно непредставимых в виде суммы
двух простых чисел.
Первые П. т., доставлявшие оценки Ν(σ, Τ, χ) для
индивидуального характера χ и усредненные оценки
по всем характерам данного модуля /с, были получены
Ю. В. Линником. Дальнейшее значительное
улучшение П. т. принадлежит А. И. Виноградову и Э. Бомбь-
ери (Е. Bombieri), к-рые использовали оценки Ν(σ, Γ,
χ), усредненные по всем модулям /с<<? и по всем
примитивным характерам данного модуля /с, для
доказательства теоремы о распределении простых чисел в
Зрифметич. прогрессиях в среднем (при Q= У~х/ (\п х)с).
ый метод 322
Теорема Виноградова — Бомбьери позволяет в ряде
классич. задач аддитивной теории чисел заменять
расширенную гипотезу Римана. Имеется ряд других
улучшений П. т.
Лит.: [1] Π ρ а х а р К., Распределение простых чисел, пер.
с нем., М., 1967; 12] Монтгомери Г., Мультипликативная
теория чисел, пер. с англ., М., 1974; [3] Л а в ρ и к А. Ф.,
«Успехи матем. наук», 1980, т. 35, в. 2, с. 55—65.
Б. М. Бредихин.
ПЛОТНОСТНЫЙ МЕТОД — один из методов анали-
тич. теории чисел, основанный на изучении статистики
распределения нулей дзета-функции Римана
εω=ΣΓ=ι1/Λ'
и L-функции Дирихле
s=o-\-it — характер по модулю к. Многие теоретико-
числовые проблемы получают наиболее законченное
решение в предположении, что все нули ρ=β+ϊγ
функций ζ(ε) и L(s, χ), находящиеся в полосе 0<:σ<:1,
— οο<ί<+οο, лежат на прямой σ=1/2. Однако в
ряде случаев достаточно сильные результаты
получаются, если удается показать, что нули указанных
функций с абсциссой β^σ>1/2 если и существуют,
то все же составляют множество, к-рое становится все
более редким при σ -> 1. Существует большое
количество теорем, к-рые дают оценки сверху для числа
Ν(σ, Τ) нулей ζ (s) и для числа Ν (σ, Г, χ) нулей L (s, χ)
в прямоугольнике 1/2<σ<β<1, |γ|<7\ П. м.
существенно опирается на эти теоремы, получившие название
плотностных теорем.
Впервые П. м. с использованием плотностной
теоремы для ζ (s) применил Г. Хоайзель (G. Hoheisel,
1930) для оценки разности двух соседних простых
чисел. Ему удалось доказать существование
положительной константы а<1 такой, что при х>х0=х0(а) между
х и х-\-ха всегда находится простое число. В
дальнейшем всякое улучшение оценки для Ν (σ, Τ) приводило
к уточнению константы а. Для L-функции Дирихле
П. м. был разработан Ю. В. Линником (1944 и
последующие годы). Ю. В. Линник впервые исследовал
распределение нулей L-функций при переменном /с,
в частности получил результаты о «частоте» нулей
L(s, χ) вблизи точки s=l, что позволило найти оценку
для наименьшего простого числа Ро=р0(к, Z), лежащего
в арифметич. прогрессии кх-{-1, (Z, А)=1, 1 <:£<:£,
х=0, 1, 2, ... ; р0<кс, где с — нек-рая абсолютная
константа. Улучшение оценок для Ν (σ, 7\ χ) приводит
к уточнению константы с. Применяя плотностные
теоремы для Zz-функций, Ю. В. Линник нашел новое
доказательство теоремы Виноградова о представлении
всякого достаточно большого нечетного числа суммой
трех простых чисел (см. Гольдбаха проблема).
П. м. в теории L-функций позволил получить
сильный результат в направлении бинарной проблемы
Гольдбаха: всякое достаточно большое натуральное
число можно представить в виде суммы двух простых
чисел и ограниченного абсолютной константой нек-ро-
го числа степеней двоек.
Наиболее сильные результаты П. м. дает в сочетании
с др. методами, в частности с методом большого решета.
На этом пути была доказана теорема Виноградова —
Бомбьери (1965), к-рая заменяет во многих случаях
Римана обобщенную гипотезу. Идеи и результаты П. м.
переносятся с поля рациональных чисел на поля алге-
браич. чисел.
Лит. · [1] Π ρ а х а р К., Распределение простых чисел, пер.
с нем., М., 1967; [2] Монтгомери Г., Мультипликативная
теория чисел, пер. с англ., М., 1974; [3] Halberstara Н.э
R i с h е г t Η.- Ε., Sieve methods, L.—[a. o.], 1974.
Б. М. Бредихин.
**11 Математическая энц., т. 4

323
плотность
324
ПЛОТНОСТЬ топологического пространства — одна
из его мощностных характеристик.
ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ, плотность
распределения вероятностей,—
производная функции распределения, отвечающей абсолютно
непрерывной вероятностной мере.
Пусть X — случайный вектор, принимающий
значения в л-мерном евклидовом пространстве R"(ai>1),
F(xu . . ., хп) — его функция распределения и пусть
существует неотрицательная функция /(slt . . ., хп)
такая, что
F {хх, ..., хп)=у^ ... у^ f (Ul, ..., ип) du^...dun
для любых действительных хг, . . ., хп. Тогда/(^, . . .,
хп) наз. плотностью вероятности
случайного вектора X и для любого борелевского
множества ic^n
Ρ {Χ ζ Α} = J ... J / (иь... ,un) dux.. .dun.
A
Любая неотрицательная интегрируемая функция
/(#!, . . ., хп), удовлетворяющая условию
\ ...\ / (xi, ...>xn) dxx ...dxn = i,
J — со J — qo
является П. в. нек-рого случайного вектора.
Если случайные векторы X и Y, принимающие
значения в R*1, независимы и имеют П. в. f(xu . . ., хп)
и g(xl4 . . ., хп) соответственно, то случайный вектор
X~\-Y имеет П. в. h(xv . . ., хн), к-рая является
сверткой функций / и g :
M*Xt ···»*») = $^00 •••^00^ (^1 — МЬ ...,Xn—Un)X
Xg (иь ...^η)ά^...ό^ =
Xdu\.. .du„.
Пусть ДГ= (Ζχ Х„) и Г- (Гх , Ym) - слу-
чайные векторы, принимающие значения в R" и ROT
(л, /д>1) и имеющие П. в. /fo, . . ., хп) *g(yu . . ., ут)
соответственно, и пусть Z= (Xv . . ., Хп, У1? . . .,
Ут) — случайный вектор в Rn + m. Тогда если X и
Υ независимы, то Ζ имеет П. в. h(tv . . ,, tn+m), наз.
совместной плотностью
распределения вероятностей случайных векторов
X и У, причем
М*ь
tn4-m) = f(h, ---,tn)g(tn + u ...,tn + m). (1)
• ·» vn + m
И обратно, если Ζ имеет П. в., удовлетворяющую
соотношению (1), то X и Υ независимы.
Характеристич. функция φ(ίχ, . . ., tn) случайного
вектора X, имеющего П. в. f(xi9 . . ., хт), выражается
формулой
Φ».. ....«=$:.... j:.^+-+
*пхп)
Χ
Χ/ («1, ...,«η)^1···^ιι.
причем если φ(£χ, . . ., tn) абсолютно интегрируема,
то /(#!, . . ., я„) является ограниченной непрерывной
функцией и
*<* ^=(ώ5".-5"-·'ί(,Λ+-+,,Λ>χ
Χφ(*ι, ·, *и) dii· ··<"«·
П. в. /(slf · . ., хп) и соответствующая характеристич.
функция φ(*ι, . . ., tn) связаны также следующим
соотношением (тождество Планшереля):
функция f2{xly . . ., я„) интегрируема тогда и только
тогда, когда интегрируема функция \y(tl9 . . ., tn)\2,
и в этом случае
SCO (* СО
... \ /2(si, ...,arn)da;i...da;„ =
— 00 J — 00
Пусть (Ω, Λ) — измеримое пространство, ν и μ
суть σ-конечные меры на (Ω, Л), причем ν абсолютно
непрерывна относительно μ, т. е. из равенства μ(Α)=0
следует равенство ν(Α)=0, Α ζ<Α- В этом случае на
(Ω, А) существует неотрицательная измеримая
функция / такая, что
ν(Α) = ^Αίάμ
для любого Α ζο€- Функция / наз. производной
Радона — Никодима меры ν по мере μ, а в
случае, когда ν — вероятностная мера, также П. в. ν
по отношению к μ.
С понятием П. в. тесно связано понятие д о м и н и-
рованного семейства
распределений. Семейство вероятностных распределений <J>
на измеримом пространстве (Ω, А) наз. доминирован-
ным, если на (Ω, Л) существует σ-конечная мера μ
такая, что каждая вероятностная мера из <J> имеет
П. в. по отношению к μ (или, что то же самое, каждая
мера из <У> абсолютно непрерывна относительно μ).
Предположение о доминированности является
существенным в нек-рых теоремах математич. статистики.
Лит.: [1] Π ρ о χ о ρ о в Ю. В., Ρ о з а н о в Ю. Α., Теория
вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2]ФеллерВ., Введение в
теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2,
М., 1967; [3] Леман Э., Проверка статистических гипотез,
пер. с англ., 2 изд., М., 1979. Я. Г. Ушаков.
ПЛОТНОСТЬ МНОЖЕСТВА Е, измеримого на
действительной прямой R, в точке χ — предел (если
он существует) отношения
mes (ДпД) ι % ι л /лъ
rs-j— при |Δ|—*0, (1)
где Δ — произвольный отрезок, содержащий х, а |Δ| —
его длина. Если вместо меры рассматривать внешнюю
меру, то получится определение внешней П. м.
Ε в точке х. Аналогично вводится П. м. в л-мерном
пространстве. При этом длины отрезков в R
заменяются объемами соответствующих л-мерных
параллелепипедов с гранями, параллельными координатным
плоскостям, а предел рассматривается при стремлении
к нулю диаметра параллелепипеда. Для множеств
из R оказывается полезным понятие правой (левой)
П. м. Ε в точке х, к-рое получается из общего
определения, если в нем рассматривать лишь отрезки Δ,
имеющие левым (правым) концом точку х. Чаще всего
понятие П. м. применяется в случае, когда П. м. равна
единице (см. Плотности точка) или нулю (см.
Разреженность множества).
Лит.: [1] Натансон И. П., Теория функций
вещественной переменной, 3 изд.. М., 1974; [2] С а к с С, Теория
интеграла, пер. с англ., М., 1949. В. А. Скворцов.
ПЛОТНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ — понятие
общей аддитивной теории чисел, изучающей законы
сложения последовательностей общего вида. П. п.
является мерой того, какая часть из
последовательности всех натуральных чисел принадлежит данной
последовательности A— {ak} целых чисел а0— 0<1<
<а1<а2<- · -<ak- Под понятием П. п. имеется в виду
плотность d(A) (введенная в 1930 Л. Г. Шнирельманом)
последовательности А, а именно:
а{А)==ыш,
где
^W = 2t< <п
1.

325 площадей
Плотность d(A)=i тогда и только тогда, когда А I
совпадает с множеством N0 всех целых неотрицательных
чисел. Пусть А-\-В — арифметич. сумма
последовательностей A— {ak} и В= {bi}, т. е. множество А-\-В=
= {а/г+&г}, где числа ak-\-bt берутся без повторений.
При А— В полагают 2А = А-\-А, аналогично ЪА = А-\-
+А-\-А и т. д. Если hA = N0, то А наз. базисом h-ro
порядка. При исследовании структуры множеств,
получающихся в результате суммирования
последовательностей, заданных лишь их плотностями,
используются теоремы о плотности суммы двух
последовательностей:
d (А + В) r> d (A) + d(B)—d {A) d (В)
— неравенство Шнирельмана,
d (А + В) r> min (d (A) + d(B),i)
— неравенство Манна — Дайсона.
Из неравенства Шнирельмана следует, что всякая
последовательность положительной плотности есть
базис конечного порядка. Применение этого факта к
аддитивным задачам, в к-рых часто суммируются
последовательности нулевой плотности,
осуществляется посредством предварительного конструирования
из заданных последовательностей новых с
положительной плотностью. Напр., с помощью методов решета
доказывается, что последовательность {р}+{р}, где ρ
пробегает простые числа, обладает положительной
плотностью. Отсюда следует теорема
Шнирельмана: существует такое целое число с0>0, что любое
натуральное число есть сумма не более с0 простых
чисел. Эта теорема дает решение т. н. ослабленной
проблемы Гольдбаха (см. также Аддитивная теория
чисел).
Разновидностью понятия П. п. является понятие
асимптотической плотности, частным случаем к-рой
будет натуральная плотность. Понятие П. п.
обобщается на числовые последовательности, отличные от
натурального ряда, напр. на последовательности целых
чисел в полях алгебраич. чисел. В результате
удается изучать базисы в алгебраич. полях.
Лит.: [1] Г е л ь φ о н д А. О., Л и н н и к Ю. В.,
Элементарные методы в аналитической теории чисел, М., 1962; [2] О s t-
m а η η Η.- Η., Additive Zahlentheorie, Bd 1—2, В., 1956.
Б. Μ. Бредихин.
ПЛОЩАДЕЙ МЕТОД — способ решения различных
задач теории однолистных функций, использующий
теоремы площадей (см. Площадей принцип).
ПЛОЩАДЕЙ ПРИНЦИП: площадь дополнения к
образу области при ее отображении регулярной в ней
функцией неотрицательна. Впервые П. п. использовал
в 1914 Т. Гронуолл [1], к-рый доказал этим путем т. н.
внешнюю теорему площадей для
функций класса Σ — функций
F(z)=z + *0 + ^+...,
регулярных и однолистных в области Δ'= {ζ : 1<|ζ|<
<оо} (см. Однолистная функция). Площадь o(CF(k'))
дополнения для образа F(A') области Δ' при
отображении ιυ=Ρ(ζ)£Σ определяется формулой
o(CF(A')) = n (l-2^i*lafe|2)^°
и, следовательно,
2"=1fe|«ft|2<l· (1)
С помощью неравенства (1) получены первые
результаты для функций классов 2и5, где S — класс
функций /(ζ) = ζ+Σ£=2Λ* ζλ, регулярных и однолистных в
круге Δ= {ζ : |ζ|<1 } (см. Бибербаха гипотеза,
Искажения теоремы). Доказана [2] более общая теорема пло-
принцип 326
щадей. Г. М. Голузин [3] распространил теорему
площадей на р-листные функции в круге (см. Многолист-
ная функция).
Доказана следующая теорема площадей [4]: пусть
F£Z, B=CF(A'), Q(w) — регулярная на В функция,
Q(F{*)) = y*" afc3-*^ const;
*™>ft = — 00
тогда
Σ*+Γ_ο,*ΐα*ΐ2<ο (2)
и знак равенства имеет место только в том случае,
если площадь о (В) множества В равна нулю.
Под теоремой площадей в нек-ром классе
однолистных функций /(ζ), ζ ζ Β, Β — область (или в
классе систем однолистных функций {/^(ζ), z£Z?fc}jJ^0,
η— 1, 2, . . ., Β^ — области), понимают обычно всякое
неравенство, обладающее тем свойством, что знак
равенства в нем имеет место в том и только в том
случае, если площадь дополнения G для f(B)
(соответственно дополнения G для Ufe=0/* (#ft)) равна нулю.
Обычно такая теорема доказывается с помощью П. п.
Именно, рассматривается произвольная регулярная
функция Q(w) (или, более общо, имеющая регулярную
производную) на G и вычисляется площадь o{Q{G))
образа G при отображении функцией Q. Таким образом,
неравенство (2) есть нек-рая весьма общая теорема
площадей в классе Σ.
Пусть ΡξΣ и
, F(t)-F(z) νΛαο
Выбирая надлежащим образом функцию Q, регулярную
на CF(A'), неравенство (2) можно записать в виде
ΣΓ-iq Ις;=1 ω'· лr<S-i τlxp|2· (3)
где xp — произвольные числа, не равные
одновременно нулю и такие, что
П5 №J1<1.
ρ -► ос
Получены и более общие теоремы площадей в классе
Σ (см. [5]).
Теоремы площадей доказаны: для класса ЭД1 (alt ♦ . ,,
ап) систем {/fe(z), /fc(0)=afe, ζ£Δ}£=ι функций /fe,
конформно и однолистно отображающих круг Δ на
области, попарно не имеющие общих точек,— нена-
легающие области (см. [6]); в классе Σ (Β) (Σ (В),
В^оо,— класс функций F, регулярных и однолистных
в В\{<*>} и таких, что F(cc) = oo, Hm iliil — 1,
Ζ -► 00 Ζ
см. [7]); для неналегающих многосвязных областей
(см. [6], а также [8], [9]). Все теоремы площадей для
многосвязных областей доказываются контурного
интегрирования методом.
Под методом площадей понимают способы
решения различных задач теории однолистных
функций, использующие теоремы площадей.
Напр., из (3) с помощью неравенства Коши можно
получить:
ΙΣΙ ч-_, ·,. «ν* Γ< ς;. , τ ι *, ι2 ς;= , τ ι *; ι2· <*>
где χρ и x'q такие, что ряды, стоящие в правой части,
сходятся. Если в неравенстве (4), напр., xp=t~P,
11*

327
Xq=z-<?, |ί|>1, |ζ|>1, то получают теорему искажения
хорд:
Теоремы площадей, напр. в классе *Π1(αι, . . ., яп)>
дают необходимые и достаточные условия
принадлежности системы {/fe(z), fkity—uki z£&}k=i мероморфных
функций fk классу Ш!(аь . . ., ап) (см. [6] с. 179).
Лит.: [1] G г о η w а 1 1 Т. Н., «Ann. Math. Ser. 2», 1914/
1915, v. 16, p. 72—76; [2] Ρ г a w i t ζ Η., «Arkiv mat., astron.,
fysik», 1927, Bd 20A, № 6, S. 1 — 12; [3] Г о л у з и н Г. М., «Ма-
тем. сб.», 1940, т. 8, М& 2, с. 277—84; [4] Л е б е д е в Η. Α., Μ и-
л и н И. М., там же, 1951, т. 28, Μ 2, с. 359—400; [5] N е h a-
г i Z., «Arch. Ration. Mech. and Anal.», 1969, v. 34, Mi 4, p. 301 —
30; [6] Л е б е д'е в Η. Α., Принцип площадей в теории
однолистных функций, М., 1975; [7] Μ и л и н И. М., Однолистные
функции и ортонормированные системы, М., 1971; [8] А л е н и-
ц ы н Ю. Е., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1973, т. 37, № 5,
с, 1132—54; [9] Гутлянский В. Я., Щепетов В. Α.,
«Докл. АН СССР», 1974, т. 218, Mi 3, с. 509—12; [10] Gruns-
k у Η., «Math. Ζ.», 1939, Bd 45, Η. 1, S. 29—61. Η. Α. Лебедев.
ПЛОЩАДЬ — численная характеристика,
приписываемая плоским фигурам определенного класса (напр.,
многоугольникам) и обладающая следующими
свойствами: 1) П. неотрицательна; 2) П. аддитивна (в
случае многоугольников это означает, что если фигура
P[)Q составлена из фигур Ρ и <?, не имеющих общих
внутренних точек, то пл. (P\JQ)=nn. Р+пл. Q;
3) П. сохраняется при перемещениях; 4) П. единичного
квадрата равна 1. Термин «П.» употребляется также
в более широком смысле как численная
характеристика, сопоставляемая двумерным поверхностям в
трехмерном пространстве; fc-мерным поверхностям в
л-мерном (2<^.к<п) евклидовом или римановом
пространстве; границам множеств и др. объектам, см. ниже.
Площадь плоской фигуры.
Исторически П. определялась сначала на классе
многоугольников (фигур, допускающих разбиение на конечное
число треугольников без общих внутренних точек).
Существенно, что на классе многоугольников П. со
свойствами 1) — 4) существует и единственна (см. [1],
[2]). Одним из следствий свойств 1) — 4) является то,
что П. всей фигуры не меньше П. ее части.
В древности существование и единственность П.
со свойствами 1) — 4) принимались без ясного
описания класса рассматриваемых фигур; внимание
сосредоточивалось на приемах вычисления П. Формула
для П. прямоугольника, в том числе с
иррациональными сторонами, обосновывалась исчерпывания
методом. П. треугольника и произвольных
многоугольников вычислялась как П. равносоставленного с ними
прямоугольника. Доказано, что любые
многоугольники равной П. равносоставлены (см. [2]).
Затем был выделен класс квадрируемых (измеримых
по Жордану) фигур. Фигура Μ на плоскости наз.
квадрируемой, если для любого ε>0
существуют такие многоугольные фигуры Ρ и Q, что
PczMciQ и (пл. Q — пл. Р)<г. Класс квадрируемых
фигур весьма богат. Он включает, в частности, все
ограниченные плоские области с кусочно гладкими
границами. Но есть и неквадрируемые плоские
фигуры. На классе квадрируемых фигур также
существует и единственна П. со свойствами 1) — 4) (см. [2]).
Исторически до рассмотрения класса квадрируемых
фигур умели вычислять П. нек-рых из них — круга,
кругового сектора и сегмента, различного рода лунок,
криволинейных трапеций. Эти вычисления
обосновывались методом исчерпывания многоугольниками. В
ряде случаев для обоснования таких вычислений
привлекался Кавальер и принцип, состоящий в том, что если
две плоские фигуры указанного типа пересекаются
каждой прямой, параллельной фиксированной прямой,
по отрезкам одинаковой длины, то эти фигуры имеют
равную П. Средства интегрального исчисления (см.,
напр., [3]) дают удобные приемы для вычисления П.
любых плоских областей с кусочно гладкими
границами. Эти средства обосновывают также принцип
Кавальери.
Стремление распространить понятие П. на более
общие плоские множества с сохранением свойств 1) —
4) ведет к теории меры, к выделению класса плоских
множеств, измеримых по Лебегу. Переход к еще более
общим классам множеств на плоскости приводит уже
к неединственным мерам со свойствами 1) — 4).
Ориентированная площадь. Если на
ориентированной плоскости расположена
направленная замкнутая кривая Z, быть может с
самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на I
точки плоскости определена целочисленная функция
(положительная, отрицательная или нулевая), наз.
степенью точки относительно I. Она показывает
сколько раз и в какую сторону контур I обходит данную
точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции,
если он существует, наз. охватываемой I
ориентированной П. Последняя, в отличие от обычной П., имеет
знак. О простейших свойствах ориентируемой П. см. [4].
Площадь поверхности. Проще всего
определяется П. многогранных поверхностей: как сумма
П. плоских граней. Попытка ввести понятие П.
кривых поверхностей как предела П. вписанных
многогранных поверхностей (подобно тому, как длина
кривой определяется как предел вписанных ломаных)
встречает трудность. Даже для весьма простой кривой
поверхности П. вписанных в нее многогранников со
все более мелкими гранями может иметь разные
пределы в зависимости от выбора последовательности
многогранников. Это наглядно демонстрирует
известный пример Шварца, в к-ром последовательности
вписанных многогранников с разными пределами П.
строятся для боковой поверхности прямого кругового
цилиндра (см. [2]).
Чаще всего П. поверхности определяют для класса
кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем
(или без края). Обычно это делают с помощью
следующей конструкции. Поверхность разбивают на мелкие
части с кусочно гладкими границами: в каждой части
выбирают точку, в к-рой существует касательная
плоскость, и ортогонально проектируют рассматриваемую
часть на касательную плоскость поверхности в
выбранной точке; П. полученных плоских проекций
суммируют; наконец, переходят к пределу при все
более мелких разбиениях (таких, что наибольший из
диаметров частей разбиения стремится к нулю). На
указанном классе поверхностей этот предел всегда
существует, и если поверхность задана
параметрически кусочно С1-гладкой функцией г (и, ν), где
параметры и, ν изменяются в области D на плоскости (и, ν),
то площадь F выражается двойным интегралом
где gu=r*, gi2=rurv, g22-=r2v, a rtt и rv — частные
производные по и и υ. Доказательство см., напр., в
[3], [5]. В частности, если поверхность есть график
^-гладкой функции z=f(x, у) над областью D на
плоскости (я, ι/), то
F=lD\fl + f*x+fldxdy. (2)
Здесь (l+/!+/!)~1/2=cos α, где α — острый угол
между нормалью к поверхности и осью Οζ. На основе
формул (1), (2) выводятся известные формулы для П.
сферы и ее частей, обосновываются приемы для
вычисления П. поверхностей вращения и т. п.
Для двумерных кусочно гладких поверхностей в
римановых многообразиях [6] формула (1) служит
ПЛО!

329 пло
определением П., при этом роль gu, g12l g22 играют
составляющие метрич. тензора самой поверхности.
Существенно, что уже в случае двумерной
поверхности П. приписывается не множеству точек, а
отображению двумерного многообразия в пространство и
тем отличается от меры.
к-м ерная площадь. Для кусочно гладкого
погружения / : Μ —► Rn /с-мерного многообразия (с
краем или без края) в л-мерное евклидово
пространство, 2<&<гс, П. определяют с помощью конструкции,
вполне аналогичной описанной выше для кусочно
гладких поверхностей. Разница состоит в том, что
проектирование ведется на /с-мерные касательные
плоскости и суммируются /с-мерные объемы проекций.
Если в области DczM можно ввести координаты и1, ...,
ик, то площадь F погружения (Z), f\D) выражается
интегралом
F=\D Kdet (gij) duK . . du*, (3)
где gij — скалярные произведения /—4 , —4\. Если
\dul dvJ I
k—n—i и D — область на координатной
гиперплоскости (хг, . . ., Χη-i), а /допускает явное задание хп=
= z(x1, . . ., хп-г), то формула (3) принимает вид
Нл/'+Гй! (£,)'**···*»-· (4)
Если отображение / гладкое, то gij—
коэффициенты метрич. тензора, индуцированного погружением,
и из (3) следует, что П., определяемая внешней
конструкцией, принадлежит внутренней геометрии
погруженного многообразия. Иногда равенство (3)
принимают за определение П., напр. в случае погружения
не в R", а в риманово многообразие.
На классе кусочно гладких погруженных
многообразий П.: а) неотрицательна; б) равна 1 на /с-мерном
единичном кубе в R"; в) не меняется при
ортогональных преобразованиях; г) аддитивна; д) полунепрерывна,
т. е. F(/) <HmF(//) при равномерной сходимости
г->-ао
//->· /; е) если φ : R" ->- R" есть нерастягивающее
отображение, то F(^f)<F(f)\ ж) если {Ρι) — набор
из Сп попарно ортогональных Zc-мерных плоскостей
и Pi— проектирование на Р,·, то
р (pi о /χ f (/χ 2Й4 F (Pi ° /)· (5)
Дальнейшие обобщения. Теория
площадей. Распространение функции F на более
общие объекты с сохранением хотя бы части их свойств
а) — ж) может осуществляться разными путями и
вести к разным результатам. Изучение таких
обобщений составляет предмет теории П. Обзор соотношений
разных понятий П. см. в [10].
Граница между теорией П. и теорией меры довольно
условна. По традиции к теории П. относят в первую
очередь изучение П. непрерывных отображений, где
учитывается кратность и меньшую роль играет
сохранение аддитивности. О /с-мерных мерах в л-мерном
пространстве см., напр., Хаусдорфа мера, Фавара мера.
Ту или иную П. можно вводить на основе
аппроксимативного, интегрально геометрического,
функционального подхода, либо — аксиоматически. Ниже
приведены наиболее распространенные понятия.
Площадь по Лебегу (см. [7], [9])
определяется равенством
L(M,f) = \imF (/,·), (6)
г -> оо
где Μ — конечно триангулируемое /с-мерное
многообразие; fi : Μ ->- Rn~ всевозможные кусочно линейные от-
адь 330
ображения; //-->-/; F(fd есть /с-мерная П.
соответствующей полиэдральной поверхности. П. по Лебегу
одинакова для эквивалентных по Фреше отображений
и потому является характеристикой Фреше поверхности.
В случае к—2 условие L(M, /)<oo влечет ряд
полезных свойств поверхности (напр., возможность
введения изотермич. параметров); в этом случае П. по
Лебегу оказалась удобным инструментом, достаточным
для решения Плато задачи и более общих двумерных
задач вариационного исчисления. При &>2
исследование вариационных задач в класее непрерывных
отображений столкнулось с трудностями (в проблеме
компактности), что заставило обратиться к поиску
других объектов (потоки и вариобразия) и связанных
с ними характеристик типа П. Использование П. по
Лебегу ограничивается также сложностью, с к-рой
устанавливаются ее связи с другими понятиями П.
и нек-рые ее свойства (напр., правое из неравенств
(5)). Следует отметить две особенности L(M, /): во-
первых, при L(M, /)=0 может оказаться, что объем
V(f(M))>0; во-вторых, даже при /с=2 для разбиения
Μ на Мг и Μ2 с общей границей в виде кривой может
оказаться
L (М, /) > L (ЛГЬ f \Mx)+L (M2, / \Мг). (7)
Изучался вопрос о том, в какой мере соблюдение
нек-рых из свойств а) — ж) с заменой аддитивности на
по л у аддитивность, т. е. допущением неравенства типа
(7), приводит к П. по Лебегу. Вопросы этого типа
исследованы (1983) не до конца (см. [7J).
Интегрально геометрические
площади [9]. Пусть Ν (Μ, φ, у) есть какая-либо функция
кратности для отображений φ : Μ ->- R* в точке j/ζ R*,
напр. N=c&Ydq>-1(y). Тогда для / : Μ —► R" можно
образовать интегрально геометрическую П.
S G (n, k) S Rk N (М' Р° ° U У) dV (У) dV ((J)' (8)
где G(n, к) — Грассмана многообразие Zc-мерных
подпространств R*cR", v — нормированная Хаара мера
на G(n, к), ро — ортогональное проектирование на
o£G(n, к). Для разных функций кратности П. (8)
могут различаться. Весьма специальный выбор Ν (Μ, φ,
у) приводит для триангулируемых Μ к совпадению (8)
с П. по Лебегу при /с=2, а также при /с>0 в случае
равенства нулю меры Хаусдорфа Hk + 1(f(M)) (см. [9]).
Для случая к—2 различные интегрально
геометрические П. вводились еще Пеано, Гецем, Банахом (см.
[7]).
Площадь границы множества. В
связи с доказательством неравенства Брунна — Мин-
ковского и классического изопериметрич. неравенства
была введена П. по Минковскому. Она приписывается
множеству 4cR", но характеризует П. его границы
и определяется равенством
F (А) = Hm4- (V (A + hB) -V (Л)), (9)
где В — единичный шар в R", а V — объем. Для множеств
А с кусочно гладкой границей и для выпуклых А в (9)
существует обычный предел, совпадающий с (п—1)-
мерной П. границы. Определение (9) сохраняет смысл
для множеств в конечномерных нормированных
пространствах, где даже для выпуклых А значение П.
(9) может отличаться от меры Хаусдорфа Нп^г(дА).
Другой полезной характеристикой, аналогичной
П., к-рая сопоставляется множеству, но характеризует
в основном его границу, является периметр
измеримого множества. Он является частным случаем
понятия массы потока.

331 плюккера и)
Внутренняя площадь. Если Μ метризовано
и / : Μ -> Rn — локально изометрич.
отображение, то возникает вопрос о соотношении между L(M, f)
и мерой Хаусдорфа Hk(M). Когда Μ — двумерное
многообразие ограниченной кривизны, то L(MJ)=
= Н2(М). Вообще же непрерывное / : Μ ->· Rn
индуцирует на компонентах связности /_1 (и), u£Rn,
обобщенную метрику р, отличающуюся возможностью
ρ (я, г/)=оо. Конструкция /с-мерной меры Хаусдорфа,
примененная к р, дает характеристику, к-рую можно
принять за внутреннюю П. погружения. Для липши-
цевых / она совпадает с L(M, /) (см, [11]).
Массы потоков и вариобразий.
Интегрирование /с-форм по fc-мерному кусочно гладко
вложенному в К" ориентированному многообразию
Μ приводит к потоку Γ^φ=\ Μ{φ(ζ), v(x))dF(x) —
линейному функционалу на /с-формах φ в R". Здесь
ν — единичный касательный к Μ /с-вектор. Линейный
функционал Тм в существенном характеризует М.
Кроме того, определен (на этот раз и при
неориентированном М) нелинейный функционал — вариобразие
^Д1ф=\ Κφ,ν)!^. Интегральные нормы (массы)
\\ТМ\\ и \\Vm\\ совпадают с П., то есть с F(M).
Включение класса кусочно гладких подмногообразий
пространства Rn в более общие классы потоков и
вариобразий играет в вариационном исчислении такую же
роль, как обобщенные решения в теории уравнений в
частных производных.
Среди всех потоков и вариобразий выделяют
широкие классы целочисленных потоков и вариобразий.
Последние сохраняют многие геометрич. свойства
подмногообразий. Напр., целочисленный поток есть по-
.==1niTM, где
πι — целые числа, a Mt суть С1-гладкие
подмногообразия, при условии, что конечна масса (к—1)-мерного
потока dT, определяемого равенством dT((p)= T(dq).
Массы целочисленных потоков и вариобразий можно
рассматривать как обобщения понятия П.
поверхности. И здесь есть связь с П. по Лебегу. Пусть кусочно
гладкие отображения /; : Μ -> Rn равномерно
сходятся /ί->/ и L(M, f) = \imL(M, /,·). Тогда соответ-
i->oo
ствующие вариобразия Vf слабо сходятся к нек-рому
целочисленному вариобразию Vf, причем \\Vf\\=L(M, /).
Тем самым каждому / : Μ -+ Rn с L(M, /)<сю
естественно сопоставляется вариобразие Vf с массой L(M, /);
на языке потоков об этом см. в [13].
Лит.: [1] Л е б е г Α., Об измерении величин, пер. с франц.,
2 изд., М., 1960; [2] Энциклопедия элементарной математики, т. 5,
Μ., 1Θ66; [3] И л ь и н В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы
математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [4] Л о π ш и ц А. М.,
Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956; [5]
Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд.,
М., 1969; [6] Ρ а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и
тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [7] Cesari L., Surface area,
Princeton, 1956; [8] F e d e r e r Η·, Geometric pleasure theory,
В.—Hdlb.—N. У., 1969; [9] FedererH., «Bull. Amer.
Math. Soc», 1952, v. 58, № 3, p. 306—78; [10] Б у р а г о Ю. Д.,
Залгаллер В. Α., Геометрические неравенства, Л., 1980,
[И] Busemann Ц., «Ann. Math. 2 ser.», 1947, v. 48,
p. 234—67; [12] A 1 m g г e η F. J., The theory of varifolds,
Princeton, 1965; [13] Fede rer H., «Trans. Amer. Math. Soc», 1961,
v. 98, № 2, p. 204—33.
JO. Д. Бураго, В. А. Залгаллер, Л. Д. Кудрявцев.
ПЛЮККЕРА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ — модель,
реализующая геометрию трехмерного проективного
пространства Р3 в гиперболич. пространстве 3S5. П. и.
основана на специальном истолковании плюккеровых
координат прямой, определяемых для любой прямой
пространства Р3.
При проективных преобразованиях пространства
Р3 плюккеровы координаты преобразуются линейно.
С помощью плюккеровых координат прямых про-
ЕРПРЕТАЦИЯ 332
странства Р3 устанавливается взаимно однозначное
соответствие между прямыми пространствами Р3 и
точками проективного пространства Р6, координаты
к-рых численно равны плюккеровым координатам
прямых пространства Р3.
Прямые пространства Р3 изображаются точками
невырожденной квадрики пространства Рь, индекс
к-рой равен трем.
Если считать эту квадрику за абсолют и определить
в пространстве Ръ проективную (неевклидову)
метрику, то получается пятимерное гиперболич.
пространство 3Sb. При каждой коллинеации и корреляции
пространства Р3 происходит линейное преобразование
плюккеровых координат, т. е. каждая коллинеация
и корреляция изображаются коллинеацией
пространства Рь, переводящей в себя абсолют. Эти коллинеации
тем самым являются перемещениями пространства
3S5. Перемещения пространства 3Sb изображают или
коллинеации или корреляции пространства Р3.
Каждому линейному комплексу пространства Р3
сопоставляется точка пространства 3Sb. Проективную
геометрию пространства Р3 можно рассматривать как
неевклидову геометрию гиперболич. пространства 3Sb.
Именно эта интерпретация геометрии пространства Р3
в пространстве 3Sb наз. интерпретацией
Плюккера в связи с ролью плюккеровых
координат.
Если в качестве основного образа пространства Р3
берется прямая, то геометрию этого пространства
можно рассматривать как геометрию на абсолюте
пространства 3Sb.
Группа проективных преобразований пространства
Р3 изоморфна группе перемещений пространства а£5,
и всякому инволюционному проективному
преобразованию пространства Р3 соответствует инволюционное
перемещение пространства 3S5. Напр., нуль-системе
в пространстве Р3 соответствует отражение от точки
и от ее полярной гиперплоскости в пространстве 3£б;
инволюционной гомологии в пространстве Р3
соответствует гиперболический паратактич. сдвиг на
полупрямую в пространстве 3£б и т. д. Каждой связной
компоненте группы проективных преобразований
пространства Р3 соответствует связная компонента группы
перемещений пространства 3S5.
1) Коллинеациям пространства Р3 с положительным
определителем, включая тождественное
преобразование, отвечают перемещения пространства 3S ъ с
определителем, равным +1 (сюда включаются тождественные
преобразования).
2) Корреляциям пространства Р3 с положительным
определителем (включая нуль-систему) отвечают
перемещения пространства 3Sb с определителем, равным
—1, переводящие собственную и идеальную области
соответственно в себя (включая отражения от точки).
3) Коллинеациям пространства Р3 с отрицательным
определителем отвечают перемещения пространства
3S5 с определителем, равным +1, переводящие
собственную область в идеальную и обратно, эта
компонента содержит гиперболич. сдвиг на полупрямую.
4) Корреляциям пространства Р3 с отрицательным
определителем отвечают перемещения пространства
3£б с определителем, равным —1, переводящие
собственную область в идеальную и обратно.
Образам симметрии, соответствующим в
пространствах Р3 и 3S5, сопоставляются числовые инварианты,
между к-рыми существуют определенные связи.
П. и. применяется в исследованиях групп
перемещений трехмерных неевклидовых пространств S3l
1^3ί 2^з» к-рые изоморфны определенным подгруппам
группы перемещений пространства 3S5.
Устанавливается также взаимосвязь групп движений этих
трехмерных пространств (эллиптического, гиперболиче-

333
ского) с группами перемещений пространств низших
размерностей (см. Фубини интерпретация, Котель-
никова интерпретация). С помощью П. и. изучается
интерпретация трехмерного симплектич. пространства
Sp3 в пространстве sSb.
П. и. предложена Ю. Плюккером [1].
Лит.: [1J Ρ 1 и с к е г J., Neue Geometrie des Raumes gegrtin-
det auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement, Lpz.,
1868—69; [2] Ровенфельд Б. Α., Неевклидовы
пространства, Μ., 1969; [3] Клейн Φ., Высшая геометрия, пер с
нем., М.—Л., 1939. Л.А.Сидоров.
ПЛЮККЕРА ФОРМУЛЫ — формулы, связывающие
внешние, т. е. отвечающие проективным вложениям,
и внутренние характеристики алгебраич.
многообразий. Наиболее старыми и известными среди
численных формул алгебраич. геометрии являются П. ф.
для плоской приведенной и неприводимой кривой
ZczCP2, к-рая имеет лишь обыкновенные двойные
и каспидальные особые точки. Пусть d — степень
κρΗΒοΐίΖ, т. е. число точек из Ζ на прямой общего
положения в СР2, a d* — класс кривой Z,
т. е. число прямых, касательных к Ζ в неособых точках
и проходящих через одну и ту же фиксированную
точку общего положения в СР2. Основные две формулы
Плюккера таковы:
(1) d* = d(d — 1) — 26 — 3Λ,
(2) d* = 2d + (2g-2)-k,
где g — род разрешения X кривой Ζ, δ — число
обыкновенных двойных точек, а к — число каспидальных
точек. Формула (1) сводится к виду d* = d(d—1), если
кривая Ζ неособа.
Другие классические П. ф. следуют из (1) и (2) по
двойственности. Если Ζ — не прямая, тогда
двойственная кривая Ζ* κ Ζ определяется как
замыкание множества касательных к Ζ,
рассматриваемых как точки двойственной плоскости С/32*. Теорема,
принадлежащая Ю. Плюккеру (J. Plucker, см. [3]),
состоит в том, что дважды двойственная кривая Z**
совпадает с Z. Предполагая, что Z* имеет лишь 6*
обыкновенных двойных ц к* каспидальных особых
точек, получают формулы
(1*) d = d*(d* —1)—26*—4/с*,
(2*) d = 2d* + 2(2g — 2) — 2к*.
Число 6* можно интерпретировать также как число
бикасательных к Z, т. е. прямых, к-рые
касаются Ζ ровно в двух различных и неособых точках,
с порядком касания 2, а к* — как числр точек перегиба,
Четыре формулы (1), (2), (1)*, (2)* не независимы:
из любых трех следует четвертая. Однако любые
три из них независимы. Из них вытекают также
следующие соотношения:
(3) k* = 3d(d—2) — 66 — 8/с,
(3*) k = 3d* (d* — 2) — 66* — 8/с*.
Именно эти формулы были получены Ю. Плюккером
вместе с формулами (1) и (1)* в 1834—39.
В случае основного поля конечной характеристики
П. ф. и теорема двойственности не всегда справедливы.
Напр., в характеристике 2 все касательные к конике
проходят через одну определенную точку, наз.
странной точкой коники, поэтому двойственная кривая
есть прямая. В характеристике 3 имеется неособая
кубика только с тремя точками перегиба и даже с
одной (по П. ф. их должно было бы быть девять). При
правильной интерпретации d* формулы (1), (2)
остаются справедливыми во всех характеристиках ф2\
в характеристике 2 их нужно заменить на
(12) d* = d(d — 1) —26—4*,
(2а) d* = 2d+[2g-2)-2k.
СКАЯ ФУНКЦИЯ 334
Известно обобщение П. ф. на случай кривых в Рп с
произвольными особенностями (см. [2]), а также на
случай гиперповерхностей в Рп.
Лит.: [1] В е г ζ о 1 а г i L., в кн.: Encyklopadie der mathe-
matischen Wissenschaften, Bd 32, Lpz., 1906; [2] Г р и ф-
фитс Φ., Χ ар рис Дж., Принципы алгебраической
геометрии, т. 1—2, пер. с англ., М.. 1982; [3] Клейман С. Л.,
«Успехи матем. наук», 1980, т. 35, в. 6, с. 69—148.
В. В. Шокуров.
ПЛЮККЕРОВЫ КООРДИНАТЫ — координаты
прямой в трехмерном пространстве, шесть чисел ρ01ί
Рог» Роз» Ро4» Роб» Роб» из к-рых первые три являются
координатами направляющего вектора I прямой L,
а вторые три — моменты этого вектора относительно
начала координат. Пусть прямая L проходит через
точки X и У с проективными координатами (х0, хъ . . .,
^з) и (г/0, г/х, . . ., г/3) соответственно П. к. этой
прямой являются числа
Vik = xiVk — хкУ{-
П. к. применяют в линейчатой геометрии. Впервые
были рассмотрены Ю. Плюккером (J. Plucker, 1869).
Иногда вместо П. к. используют Клейна
координаты (х0, . . ., х5), связанные с П. к. формулами:
Ρθ1=χΟ~\-χ1, Ρθ2=χ2 + χ3ι Р08=^4 + *б»
Р23 = хо — х\-> Р1з=хг — Хз, Pi2 = xi—Xb-
Естественно рассматривать П. к. как координаты в
р-мерном векторном подпространстве л-мерного
векторного пространства V. При этом они понимаются
как совокупность чисел, равных (рХр)-субдетерми-
нантам (тгХр)-матрицы Л (olt α2, . . ., ар), столбцы a(i
1<ί<ρ, к-роц являются столбцами координат (в
каком-либо базисе пространства V) базисных векторов
подпространства W. Если al — компоненты столбца
α/, 1<:ί<ρ, то П. к. (или грассмановы
координаты) являются числа
<ι 41 ··
42 42 · ·
а[Р а\Р .
Ρ
• ар
. alP
"ρ
П. к. симметричны по всем индексам. Число
существенных П. к. равно (£).
При замене базиса W и фиксированном базисе V
П. к. умножаются на одно и то же ненулевое число.
При замене базиса V и фиксированном базисе W П. к.
преобразуются как координаты контравариантного
тензора валентности ρ (см. Поливектор). Два
подпространства совпадают тогда и только тогда,
когда их П. к., вычисленные в одном и том же базисе
пространства V, отличаются лишь ненулевым
множителем.
Принадлежность вектора χ подпространству W
записывается в виде линейных уравнений
V^1 (_!)«-! »V- · ·*.-ι'α + ι· · -*Я = 0
с коэффициентами, являющимися П. к.
подпространства W. В этих уравнениях ^KizK. . .<ip —
всевозможные наборы из чисел 1, 2, . . ., п. л. п. Купцов.
ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ —
функция u=u(z) от η комплексных переменных ζ= (ζχ, . . .,
ζη) в области D комплексного пространства С", η^ί,
имеющая в D непрерывные частные производные по
координатам^, у\, zv = x\-\-iyv, v=l, . . м /ι, до 2-го
ПЛЮРИГАРМОНИЧ1

335 ПЛЮРИСУБГАРМОИ
порядка включительно и удовлетворяющая в D
системе п2 уравнений:
д2и д2и л
д2и д2и | ^ '
β*μβΐ/ν ~~ %,a*v ~ ' J
μ, ν = 1, ...,й.
Применяя формальные производные
du J_ / £u_ . _du_ \ ди i / ди ди \
a!^ = T ^a^"" layv; · ^~ = T (^Έ^+ ι a^ J ·
можно записать систему (1) в более компактной форме:
_а2и =0, μ,ν = 1, ..., п. (2)
Значение класса П. ф. определяется тем, что
действительная и мнимая части u=Ref, v=lmf любой
голоморфной в области D функции f—u-\-iv являются
П. ф. в D; такие две (действительные) П. ф. наз. с о-
пряженными. Обратно, если дана П. ф. и в
окрестности V точки z°=x°-\-iy°£Cn, то в этой
окрестности существует голоморфная функция /— u-\-iv,
действительная часть к-рой равна и. Задача
определения этой голоморфной функции / сводится к
нахождению сопряженной П. φ. ν по формуле
где интеграл не зависит от пути в силу (1).
Вообще говоря, рассматриваются сами по себе и
комплексные П. ф., определяемые как решения
системы (1) или (2). При л>1 П. ф. составляют
правильный подкласс класса кратногармонических функций,
к-рый, в свою очередь, есть правильный подкласс
класса гармонических функций: при л=1 все эти три
класса совпадают. С другой стороны, при п^\
действительные П. ф. составляют правильный подкласс
класса плюрисубгармонических функций, к-рый, в
свою очередь, при л>1 является правильным
подклассом класса субгармонических функций.
Кроме общих свойств гармонич. функций, П. ф.
при л>1 обладают характерными свойствами,
обусловленными в основном переопределенностью системы (1)
или (2) в ©том случае. Пусть, напр., при л>1 П. ф.
и (ζ) в единичном поликруге
Ζ7« = {ζζ€»:|ζν|< 1, ν = 1, ...,и}
непрерывна в замкнутом поликруге Un. При этом
даже ее граничные значения на остове Тп— {ζ ζ С":
ΙζνΙ— 1, ν=1, . . ., л}, являющемся правильной частью
всей границы dUn, не могут быть заданы в виде
произвольной непрерывной функции U* (ζ), ζ ζ Γ",— они
удовлетворяют определенным дополнительным
условиям. Таким образом, задача Дирихле в классе П. ф.
с данными на остове разрешима лишь при специально
подобранных граничных данных (см. [3]).
Лит.: [1] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
2 изд., ч. 2, М., 1976; [2] С о л о м е н ц е в Е- Д., в кн.: Итоги
науки. Математический анализ. Теория вероятностей.
Регулирование. 1962, М., 1964, с. 83—100; [3] Ρ у дин У., Теория
функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.
ПЛЮРИСУБГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ —
действительная функция u=u(z), —оо<и<+оо, η
комплексных переменных ζ— (zx, . . ., ζη) в области D
комплексного пространства С": /ι^Ι,
удовлетворяющая следующим условиям: 1) и (ζ) полунепрерывна
сверху всюду в D; 2) u(z°+Ka) есть субгармоническая
функция переменного λζ£ в каждой связной
компоненте открытого множества {λ ζ С: ζ°+λα £ D } для любых
ЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 336
фиксированных точек z°£D, α ζ С". Функция ν (ζ) наз.
плюрисупергармонической функци-
е й, если — ν (ζ) есть П. ф. Плюрисубгармонич.
функции при л>1 составляют правильный подкласс класса
субгармонич. функций, а при п=1 эти два класса
совпадают. Наиболее важные примеры П. ф.: lnj/(z)|,
ln + |/(z)|, |/(ζ)ΙΛ ρ>0, где/(z) — голоморфная функция
в £>.
Для того чтобы полунепрерывная сверху в области
DciCn функция и(z), w(z)<+oo, была П. ф.,
необходимо и достаточно, чтобы для любых фиксированных
2€^» α ζ С", |α|=1 существовало число δ=ο (ζ, α)>0
такое, что при 0<г<6 выполняется неравенство
Для функций и (ζ) класса C2(D) более удобен
следующий критерий: u(z) есть П. ф. в D тогда и только тогда,
когда эрмитова форма (гессиан функции и)
Η ((ζ: и) α, α) = V,. , , — а.аь
νν ' ; ' ; ^л k= 1 dz. dzk J R
неотрицательно определена в каждой точке z£D.
Помимо общих свойств субгармонич. функций, для
П. ф. справедливы следующие: 1) u(z) есть П. ф. в
области D тогда и только тогда, когда u(z) — П. ф.
в окрестности каждой точки zgD; 2) линейная
комбинация П. ф. с положительными коэффициентами есть
П. ф.; 3) пределы равномерно сходящейся и монотонно
убывающей последовательностей П. ф. суть П. ф.;
4) для того чтобы и (ζ) была П. ф. в области D,
необходимо и достаточно, чтобы ее можно было
представить в виде предела убывающей последовательности
П. φ.{ι^(ζ)}Γ=ι соответственно классов C™(Dk), где
области Dfe таковы, что DfeClZ)feCZ2)fe + i и U£=i£fe—D;
5) для любой точки z°£D среднее значение
J(z°^;u) = ^-[ u(z» + ra)da
по сфере радиуса г, где σ2η—2πηΙ(η—\)\ — площадь
единичной сферы в R2", есть возрастающая функция
по г, выпуклая относительно 1пг на отрезке 0<r<i?,
если шар
7(z°, R)={z£Cn: \z — ζ* \ < R}
расположен в D, причем w(z°)</(z°, r; и); 6) при
голоморфных отображениях П. ф. переходит в П. ф.;
7) если и (ζ) — непрерывная П. ф. в области D, Ε —
замкнутое связное аналитич. подмножество D и
сужение и\Е достигает максимума на Е, то и(z)— const
на Ε.
Имеют значение для приложений также следующие
правильные подклассы класса П. ф. Функция и (ζ)
наз. сильно плюрисубгармонической,
если существует выпуклая возрастающая функция
<ρ(ί), — оо<*<+оо,
lim ^ = + оо,
такая, что φ_1(^(ζ)) есть П. ф. В частности, если q>(t) =
= et, то получают логарифмически плюри-
субгармонические функции.
Класс П. ф. и только что названные его подклассы
важны для описания различных свойств голоморфных
функций и областей комплексного пространства С",
а также и более общих аналитич. пространств (см.
[1] — [4], [7]). Напр., класс функций Гартог-
са Η (D) определяется как наименьший класс
действительных функций в области D, содержащий все

337 ПОВЕРХНОСТЬ
функции ln|/(z)|, где f{z) — голоморфная функция в D,
и замкйутый относительно следующих операций:
l){ι/lίи2ζЯ(Z))ίλ1^0Д2^0}=>λ1Иl + λ2ιг2eЯ(Z));
2) {ик£Н (D), uk^M (D') для всякой подобласти
D'czD' ClD,k = i,2, ...}=> sup {uk(z):k = i, 2, ...}ζ
€#(Я);
3) {uk£H(D), uk^uk + 1,k = l,2, ...}=*>lim uk(z)£
4) {^Яф), z£D} => \im sup и (ζ') ζΗ (D);
5) {и£# (D') для всякой подобласти D' d D' d D) =>
Полунепрерывные сверху функции Гартогса являются
П. ф., но не всякая П. ф. есть функция Гартогса. Если
D — область голоморфности, то классы
полунепрерывных сверху функций Гартогса u£H(D) и П. ф. в D
совпадают (см. [5], [6]).
Лит.: [1] Владимиров В. С, Методы теории функций
многих комплексных переменных, М., 1964; [2] Г а н н и н г Р.,
Ρ о с с и X., Аналитические функции многих комплексных
Беременных, пер. с англ., М., 1969; [3] L е 1 о η g P., в кн.: Colloque
sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, P., 1953,
p. 21—40; [£] В г e m e г m a η η Η. J., «Trans. Amer. Math.
Soc», 1956, v. 82, p. 17—51; [5] e г о же, «Math. Ann.», 1956,
Bd 131, p. 76—86; [6] e г о же, «Ргос. Amer. Math. Soc», 1956,
v. 7, p. 771—75; [7] С о л о м е н ц е в Е. Д., в кн.: Итоги науки.
Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование.
1962, М., 1964, с. 83—100. Е. Д. Соломенцев.
ПЛЮРИСУПЕРГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ —
см. Π лю рису б гармоническая функция,
ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — раздел
дифференциальной геометрии, в к-ром изучаются поверхности.
В П. т. исследуются форма поверхности, ее
искривление, свойства различного рода линий на поверхности,
рассматриваются вопросы изгибания, вопросы
существования поверхности с данными внутренними или
внешними свойствами и др.
В П. т. имеются две точки зрения: поверхность можно
рассматривать как метрич. пространство со своей
внутренней метрикой (т. н. внутренняя геометрия),
либо поверхность рассматривается как фигура в
пространстве (т. н. внешняя геометрия). Многие
направления в П. т. (вопросы изометрического погружения,
изгибания и др.) посвящены изучению связей между
внутренней и внешней геометриями. Для регулярных
поверхностей класса С2 эти связи довольно тесны.
См. также Погруженных многообразий геометрия.
Изучение поведения кривых на поверхностях
(асимптотических линий, геодезических линий и др.)» а также
пар их однопараметрич. семейств — т. н. сетей —
привело к выделению специальных классов
поверхностей. Напр., переноса поверхность характеризуется
существованием на ней сети переноса, Фосса
поверхность — сетью Фосса, линейчатая поверхность —
полугеодезической асимптотич. сетью и т. д. Теория
сетей тесно связана с вопросами отображений
поверхностей на поверхности. Наиболее важными классами
отображений являются: изометрическое отображение,
при к-ром сохраняются длины дуг, площади и углы
между двумя направлениями, исходящими из одной
точки; конформное отображение, при к-ром
сохраняются углы между всякими двумя направлениями,
выходящими из одной точки (напр., стереографическая
проекция); сферическое отображение, при к-ром каждой
точке поверхности по параллельности нормалей
ставится в соответствии точка сферы; геодезическое
отображение, при котором геодезические линии одной
поверхности соответствуют геодезическим другой
поверхности; эквиареальное отображение, при к-ром
площади соответствующих фигур находятся в постоянном
отношении.
1Й ИНТЕГРАЛ 338
Исследования в П. т. сопровождались изучением
большого числа классов поверхностей, таких как
поверхности второго порядка, винтовые поверхности,
геликоиды, Каталана поверхности, коноиды, резные
поверхности, каналовые поверхности, Дюпена циклиды,
Эннепера поверхности, Вейнгартена поверхности и
др. Много внимания уделяется изучению минимальных
поверхностей. В связи с приложениями широко
исследовались триортогональные системы поверхностей,
напр. конфокальные поверхности 2-го порядка.
Помимо изучения свойств поверхностей, неизменных
при любых изометрич. преобразованиях всего
пространства (относящихся к т. н. метрической
П. т.), изучаются свойства поверхностей,
инвариантные по отношению к какой-либо другой группе
преобразований, напр. группе аффинных или проективных
преобразований. Аффинная П. т. рассматривает
свойства поверхностей, неизменные при эквиаффинных
преобразованиях (т. е. аффинных преобразованиях,
сохраняющих объем). Проективная П. т. рассматривает
проективно инвариантные свойства поверхностей. См.
также Аффинная дифференциальная геометрия,
Проективная дифференциальная геометрия, Конформно^
дифференциальная геометрия.
Исследования П. т., изучение полей тех или иных
геометрия, объектов, связанных с поверхностями,
стимулировали развитие многих методов, нашедших
применение и в др. областях математики, физики и
механики (напр., тензорный анализ, Картана метод
внешних форм и др.)·
Для П. т. в том виде, в каком она сложилась в кон.
19 в., характерно рассмотрение только достаточно
регулярных для применения дифференциального
исчисления поверхностей (или их частей). С нач. 20 в.
появились направления исследований П. т., в к-рых
отказ от требований дифференцируемое™
компенсируется какими-то иными требованиями, гарантирующими
получение содержательных геометрич. результатов.
Такими требованиями были, напр., выпуклость
изучаемой поверхности (см. Выпуклая поверхность),
локальная единственность геодезической. Кроме того,
предметом изучения стали поверхности во всем их
протяжении (т. н. геометрия в целом), а не в достаточно
малом участке, как это имело место в классической
дифференциальной геометрии. При этом существенными
являются учет их топологич. строения (напр., род
поверхности), их полноты в том или ином смысле и
связи этих характеристик с распределением кривизны.
Исследования по дифференциальной геометрии
многомерных пространств, эллиптического пространства
и пространства Лобачевского установили ряд
геометрич. фактов, относящихся к П. т. в этих пространствах.
Лит.: [1] Ρ а ш е в с к и й П. К., Курс дифференциальной
геометрии, 4 изд., М.,1956; [2] Б л я ш к е В.,
Дифференциальная геометрия..., пер. с нем., т. 1, М.— Л., 1935; [31 Η о р-
д е н А. П., Теория поверхностей, М., 1956; [4] К а г а н В. Ф.,
Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1—2,
М.— Л., 1947—48; [5] Ш у ли к о в с к и й В. И., Классическая
дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963;
[6] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых
поверхностей, М.— Л., 1948; [7] Π о г о ρ е л о в А. В., Внешняя
геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; [8] D а г b о u x G.,
Lepons sur la theorie generate des surfaces, 2 ed., t. 1—4, P., 1914—
1925; [9] В i a n с h i L., Lezioni di geometria differenziale, 3
ed., t. 1—2, Bologna, 1937. Ю. А. Аминов.
ПОВЕРХНОСТНАЯ ФУНКЦИЯ - функция
множества на сфере Ω, равная площади S (Е) той части
выпуклой поверхности F, к-рая имеет своим сферич.
изображением Ecz&. Она сохраняет смысл для общих
выпуклых поверхностей и является вполне аддитивной
на кольце борелевских множеств.
Лит.: L1] А л е к с а н д ρ о в А. Д., «Матем. сб.», 1938, т. 3,
№ 1, с. 27—44; [2] Б у з е м а н Г., Выпуклые поверхности, пер.
с англ., М., 1964. М. И. Войцеховский.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ - интеграл по
поверхности. Пусть поверхность S, расположенная в

339
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
340
трехмерном евклидовом пространстве IR3 с
декартовыми координатами я, j/, z и имеющая, быть может,
самопересечения, задана векторным представлением
г = г (и, ν),
где г (и, ΐ7) = (ж (и, ν), у (и, υ), ζ (и, ν)) (Ι)
— непрерывно дифференцируемая вектор-функция,
определенная на замыкании G двумерной измеримой по
Жордану области G, расположенной на плоскости с
декартовыми координатами и, υ. Пусть
<дг\2 _дгдг _ /дг_\2
кди) ' gl2~du'd:!) » ez2~\dv)
— коэффициенты первой квадратичной формы
поверхности S. Если через F(x, j/, ζ) обозначить функцию,
определенную на поверхности S, т. е. функцию F{x(u,v),
y(u,v),z(u, ν)), то поверхностный
интеграл первого рода (или интеграл по
площади поверхности) определяют
равенством
*ιί =
-и«
^8F(x,y,z)dS--
)g F (χ (и, ν), у (и, ν), ζ (и, ν)) Vgng22 — g212 dudv. (2)
Это определение не зависит от выбора представления
поверхности. П. и. 1-го рода является пределом
соответствующих интегральных сумм, к-рые могут быть
описаны в терминах, связанных с поверхностью. Напр.,
если функция F(x(u, ν), у (и, ν), ζ (и, ν)) интегрируема
по Риману, τ= {S {}\Ζι— разбиение поверхности S
нд части £,·, являющиеся образами при отображении
(1) множеств Е(С20, образующих разбиение τ0= {Ε^}\Ζί
множества G (см. Кратный интеграл), и
11198 ^ = И Е. Vellg22~ *Ϊ2 dUdV
— площадь Siy то
^sF(xiyiz)dS =
= lim 2ji=l F (χ (ξ/, η,·), у (ξ,·, η/), ζ (ξ,·, η,·)) mesS,·,
где δτ — мелкость разбиения τ0, а (ξ,·, η,·)^,·. В случае
явного задания поверхности S в виде z=f(x, у),
(χ, y)£G, формула (2) принимает вид
Если на поверхности 5 с векторным представлением
(1) нет особых точек, т. е. ruXrv?^0, то ее можно
ориентировать, выбрав на ней непрерывную единичную
ν Хт
нормаль п= (cos α, cos β, cosy), напр. п= " ν, .
I гихгг/1
Для ориентированной поверхности S + определяют
поверхностные интегралы второго
рода по формулам
Jjs+^fo ^ z) dxdy= \ \SF {x, у, z)cosydSi
))8+F(x» У> z)dy dz=^sF(x, у, z)cosadS, } (3)
\\s+ F (χι У' z)dydz= \^\s F (x, j/, z)cos$dS,
где в правой части стоят П. и. 1-го рода. Если S~ —
поверхность S с ориентацией, противоположной
ориентации S + , то
J J _F(X> У> z)dxdy=— \\s+ Ρ (x, У. z)dxdy.
Аналогичные равенства имеют место в случае
остальных П. и. 2-го рода (3). Как и П. и. 1-го рода, П. и.
2-го рода являются пределами интегральных сумм,
к-рые можно описать в терминах поверхности.
Если п= -2—-~, то справедлива формула
l\s+ F(:r' у' z)dxdy =
С С д (х у)
JjG^^' V^ y(U' У)' Z(^' V^d(u[v) dudv-
Аналогичные формулы справедливы и для других
П. и. 2-го рода (3).
В частности, для случая поверхности z=f(x, у),
(*, V)£G:
)ls+F(x* y>z)dxdV=\lGF(x> у> f(x* У))ахаУ.
Hs-F(Xi y' Z)dxdy= — \\GF (x> У* f(x> y))dxdv-
Первый из этих интегралов наз. интегралом по
«верхней* стороне поверхности 5, а второй — по «нижней».
Эта терминология связана с тем, что вектор п= грг~~\
в случае явного задания поверхности S, т. е. когда
х=и, y=v, z=f(x, у), составляет острый угол с осью
ζ, т. е. направлен «вверх», а во втором случае — тупой
угол и, следовательно, направлен «вниз».
Если гладкая поверхность S является границей
ограниченной области и S+ обозначает ее ориентацию
с помощью внешней, а, значит, S~ с помощью
внутренней, нормали по отношению к указанной области,
то П. и. 2-го рода по ориентированной поверхности S +
наз. П. и. по внешней стороне
поверхности, а по S~ — П. и. по внутренней
стороне.
П. и. по кусочно гладким поверхностям, к-рые
могут быть разбиты на конечное число частей, каждая
из к-рых имеет векторное представление (1),
определяются как суммы П. и. по соответствующим частям.
Так, определенные П. и. по кусочно гладким
поверхностям не зависят от способа разбиения поверхности
на указанные части.
Остроградского формула устанавливает связь между
тройным интегралом по трехмерной ограниченной
области и П. и. по ее границе, а Стокса формула —
между П. и. и криволинейным интегралом по контуру,
являющимся ее краем.
П. и. \ \ dS равен площади поверхности S. Если
на поверхности S распределена масса с плотностью
F(x, j/, ζ), то П. и. \ \ F(x\ j/, z)dS равен величине
всей этой массы. Если а = а(х, у, ζ) — векторная
функция, заданная на ориентированной с помощью
единичной нормали η поверхности 5, то П. и.
и.
an dS
наз. потоком векторного поля а через
поверхность S. Очевидно, он не зависит от выбора
системы координат в пространстве R3. С помощью
П. и. записывают двойного слоя потенциал и простого
слоя потенциал.
Если поверхность S является дифференцируемым
многообразием, непрерывно дифференцируемые
неотрицательные функции фу (ж, г/, ζ), /=1, 2, . . ,, m,
образуют разбиение единицы на 5, т. е.
носитель каждой функции содержится в нек-рой карте
многообразия S и 2λ1ιΦ/(^' У» ζ)=1 Для каждой точки
(х-> ί/>ζ)ζ£>& функция F(x, у, ζ) определена на 5, то,

341 повер
по определению,
ll8F(*'y.*)*S = 2™=i $5βΦ>(*.0.«)*4*.0.*)^. №
где каждый интеграл в правой части понимается в
смысле (2). Если S+ — ориентированное двумерное
многообразие, то
(5)
Аналогично определяются П. и. 2-го рода других
типов (3). Определения (4) и (5) не зависят от выбора
разбиения единицы на многообразии S.
Лит.: [1] И л ь и н В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы
математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [2] Кудряв-
ц е в Л. Д., Курс математического анализа, т. 2, М., 1981; [3]
НикольскийС. М., Курс математического анализа, 2 изд.,
т. 2, М., 1975; [4] Д у б ρ о в и н Б. Α., Η о в и к о в С. П., Φ ο-
м е н к о А. Т., Современная геометрия, М., 1979; [5] Μ и-
щенко А. С, Фоменко А. Т., Курс дифференциальной
геометрии и топологии, М., 1980. Л. Д. Кудрявцев.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ - потенциал
меры, сосредоточенной на нек-рой поверхности. При
решении основных граничных задач потенциала теории
применяются два вида П. п.: простого слоя потенциал
создаваемый распределенной по поверхности S мерой
с плотностью μ (у), y£S; и двойного слоя потенциал
создаваемый распределенной на S мерой с плотностью
v(y). Физически потенциал простого слоя
интерпретируется как потенциал электрич. зарядов с
плотностью μ (г/), а потенциал двойного слоя — как потенциал
диполей с плотностью ν (у) (см. также Мулътиполя
потенциал). Е. Д. Соломенцев.
ПОВЕРХНОСТЬ — одно из основных понятий
геометрии. Определения П. в различных областях
геометрии существенно отличаются друг от друга.
В элементарной геометрии рассматриваются
плоскости, многогранные П., а также нек-рые кривые П.
(напр., сфера). Каждая из кривых П. определяется
специальным способом, чаще всего как множество
точек или линий. Общее понятие П. в элементарной
геометрии лишь поясняется, а не определяется:
говорят, что П. есть граница тела или след движущейся
линии и т. п.
В аналитич. и алгебраич. геометрии П.
рассматривается как множество точек, координаты к-рых
удовлетворяют определенному виду уравнений (см., напр.,
Поверхность второго порядка, Алгебраическая
поверхность).
В 3-мерном евклидовом пространстве Е3 П.
определяется с помощью понятия простой П. как
гомеоморфизм квадрата в Е3. П. понимается как связное
множество простых П. (напр., сфера является
объединением двух полусфер — простых П.).
Обычно задание П. в Е3 осуществляется вектор-
функцией
г = г(х (и, ν), у (и, ν), ζ (и, ν)),
где 0<и<1, 0<у<1, а
х = х(и, ν), у = у{и, v), z = z(u, ν)
— функции параметров и и ν, удовлетворяющие нек-рым
условиям регулярности, напр. условию
||Зо У υ Ζυ
342
(см. также Дифференциальная геометрия, Поверхно^
стей теория, Риманова геометрия).
С точки зрения топологии П.— двумерное
многообразие. л- А> Сидоров.
КЗ-ПОВЕРХНОСТЬ — гладкая проективная
алгебраич. поверхность X, у к-рой канонич. класс тривиален
и размерность dimi/^X, Ω1) пространства одномерных
дифференциальных форм на X равна 0. Для КЗ-П.
известны значения следующих инвариантов: геометрич.
род pg~dim Я2 (Χ, Ω2) = 1, эйлерова характеристика
структурного пучка χ (6)=2, этальные или (над полем
комплексных чисел) топологич. числа Бетти Ь0=Ь4=1,
Ь1=63=0, Ь2=22, характеристика Эйлера —
Пуанкаре е(Х) = 24. Формула Римана — Роха для
одномерного обратимого пучка D на КЗ-П. приобретает вид
dim#° (X, £)+dim tf° (X, D'1)=~+2+a\mH\X,D),
где (D)2 — индекс самопересечения класса
дивизоров, соответствующего пучку D (см. Римана — Роха
теорема). Если пучку D соответствует эффективный
неприводимый дивизор, то Нг(Х, D) = 0.
Формула для вычисления арифметич. рода
неприводимой кривой С на X тоже имеет простой вид:
ΡαΡ) = ψ + 1.
Как следствие получается, что (С)2>—2, а равенство
(С)2=— 2 будет выполнено только для гладких
рациональных кривых. Отсюда также следует, что (D)2 —
четное число для любого дивизора D. Пусть N (X) —
группа Нерона — Севери поверхности X, т. е. группа
классов дивизоров на X относительно алгебраич.
эквивалентности. Тогда N (X) — свободная абелева
группа ранга р, где 1<р<20, если характеристика
основного поля к равна 0, и 1<р<20 или р— 22, если
char /с>0. Индекс пересечения определяет на N (X)
целозначную билинейную форму, у к-рой квадрат
любого элемента четен. Поверхности с р=20 (при
char k=0) наз. сингулярными, а с р=22 (при
char /c>0) — суперсингулярными.
Еще один численный инвариант поверхности X —
это минимальный возможный индекс я
самопересечения эффективного очень обильного дивизора на X,
т. е. минимальная возможная степень поляризации
на X. Если л—2п—2, то поверхность X можно вложить
в и-мерное проективное пространство и нельзя вложить
в проективное пространство меньшей размерности.
Важный способ изучения КЗ-П.— представление их
в виде семейства (пучка) эллиптич. кривых.
Поверхность X представлена в виде семейства эллиптич.
кривых, если задано регулярное отображение τ : X ->
-** Ρ1, все слои к-рого, кроме конечного их числа,—
неособые эллиптич. кривые. Поверхность X может
быть представлена в таком виде тогда и только тогда,
когда в группе N (X) есть ненулевой элемент с
индексом самопересечения 0, причем всевозможные такие
представления соответствуют классам эффективных
дивизоров с индексом самопересечения 0. Если
поверхность, представленная в виде семейства эллиптич.
кривых, является КЗ-П., то у нее нет кратных слоев.
Построенное по такому семейству якобиево эллиптич*
семейство снова будет КЗ-П.
Важный класс КЗ-П.— Куммера поверхности. Кум-
мерова поверхность — это неособая модель фактора
двумерного абелева многообразия А по подгруппе
автоморфизмов, порожденной отображением замены
знака. В частности, куммеровой будет поверхность,
задаваемая уравнением xi-\-xi~\-xi+xi=0 в Р3. Любая
гладкая поверхность 4-й степени в Р3 является КЗ-П.
Поверхностями КЗ будут гладкие поверхности,
получаемые как пересечение трех гиперповерхностей 2-й
:ность

343
ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
344
степени (квадрик) в Ръ и как двойное накрытие
плоскости с кривой ветвления 6-й степени.
Все КЗ-П. над полем комплексных чисел диффео-
морфны, их многообразие модулей связно и имеет
размерность 19. Строение этого многообразия модулей
и автоморфизмы КЗ-П. изучают при помощи
отображения периодов. Для КЗ-П. над полем комплексных
чисел отображение периодов биективно (теорема типа
Торелли) (см. [2]).
Если задано одномерное семейство КЗ-П. (над С)
с одним вырожденным слоем, то после накрытия базы
его можно перестроить, не меняя вне вырожденного
слоя, так что этот вырожденный слой либо станет
невырожденным, либо будет одного из двух типов: (а)
компоненты вырожденного слоя и кривые пересечений
рациональны, двойственный полиэдр вырожденного
слоя имеет топологич. тип двумерной сферы, (б)
компоненты вырожденного слоя составляют цепочку,
непустое пересечение имеют только соседние
поверхности, крайние две поверхности рациональны,
средние — эллиптические линейчатые, кривые
пересечения — эллиптические. Типы (а) или (б) возникают,
когда монодромия семейства нетривиальна (см. [2]).
КЗ-П. над алгебраически замкнутым полем
положительной характеристики допускают подъем в
характеристику нуль, модули их кристаллич. когомологий не
имеют кручения, а ранги этих модулей совпадают с
размерностями соответствующих этальяых
когомологий. Для суперингулярных поверхностей построен
аналог отображения периодов, и для него тоже
доказана теорема типа Торелли. Многообразие периодов
здесь неприводимо, полно, имеет размерность 9 и
унирационально. Описаны все возможные для
суперсингулярных поверхностей формы пересечений на
N(X), их 9 для каждого значения характеристики
основного поля (см. [4]).
Лит.: [1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем.
ин-та АН СССР, т. 75); [2] К у л и к о в В. С, «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1977, т. 41, № 5, с. 1008—42; [3] Ρ у д а к о в А. Н.,
Ш а фа ρ ев и ч Й. Р., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1981,
т. 45, № 3, с. 646—61; [4] Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики, т. 18, М., 1981. А. Я. Рудаков.
ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА — множество
точек 3-мерного действительного (или комплексного)
пространства, координаты к-рых в декартовой системе
удовлетворяют алгебраич. уравнению 2-й степени
апх2 + а22У2 + a33z2 + 2al2xy + 2a13xz + 2a23yz +
+ 2аих + 2a2i у + 2α34ζ + α44 = 0. (*)
Уравнение (*) может и не определять действительного
геометрич. образа, в таких случаях говорят, что
уравнение (*) определяет мнимую П. в. п. В зависимости
от значений коэффициентов общего уравнения (*)
оно может быть преобразовано с помощью
параллельного переноса и поворота системы координат на нек-рый
угол к одному из 17 приведенных ниже канонич.
видов, каждому из к-рых соответствует определенный
класс поверхностей. Именно,
невы рождающиеся
нераспадающиеся поверхности:
а« ~Г Ь* ~Г с*
—эллипсоид.
χ2 , у2 . г*
-^т+-5Г+ — = —1 — мнимый эллипсоид,
о» τ ft* с2 — *■
- однополостный гиперболоид,
х* у* ζ* . м .
~~аТ—"ьГ + "с«~==^ — двуполостныи гиперболоид,
зс2 у2
~5Г+~^" — 2s, ρ, q > 0 —эллиптический параболоид,
х2 у2
——— = 2ζ, ρ, q > 0 —гиперболический параболоид;
вырождающиеся нераспадающиеся
поверхности:
цилиндрические поверхности —
— 4-— -1
а2 -f~ Ь2 — 1
α2 ι Ь2 — ~
— эллиптический цилиндр,
— мнимый эллиптический
цилиндр,
х2 у2
—f—-р- = 1 —гиперболический цилиндр,
у2 = 2рх —параболический цилиндр;
конические поверхности —
— коническая поверхность,
а2 г Ь2 с2 — U
а2 л b2 ι c2 ~~u
—мнимая
ность:
коническая поверх-
вырождающиеся
поверхности:
распадающиеся
X2
а2
X2
а2
+
=
У2
Ъ2
1
-~г—т^" = 0 —пара пересекающихся
плоскостей,
4г Ч-тг = 0 —пара мнимых пересекающихся
плоскостей,
— пара параллельных
плоскостей,
ж2_|_а2_о —пара мнимых параллельных
плоскостей.
х2 = 0 — пара совпадающих плоскостей.
П. в. п., имеющие единственный центр симметрии
(центр П. в. п.), наз. центральными
поверхностями. Координаты центра
определяются решением системы:
ацх + а12у + α13ζ -\- а14 = 0,
a2ix-{-a22y-\-a23z-\-au = 0,
а31х + а32у + α33ζ + α34 = 0.
П. в. п. без центра симметрии или с неопределенным
центром наз. нецентральными
поверхностями.
Исследование П. в. п. может быть осуществлено без
приведения общего уравнения к канонич. виду. Это
достигается совместным рассмотрением значений т. н.
основных инвариантов П. в. п.—
выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*),
значения к-рых не меняются при параллельном
переносе и повороте системы координат:
Δ =
Г =
α11αΐ2αΐ3αΐ4
#21α22α23α24
α31α32α33α34
α41α42α43α44
6 =
α11#12
^21^22
+
α22α23
α32α33
+
α11αΐ2α13
(ΐ2\α22α23
α31α32α33
|α33α31
a13flll
S = α11+α22 + α33>
и семиинвариантов
(полуинвариантов) Δ' и Δ", к-рые являются инвариантами
относительно поворота системы координат:
Δ/=Διι + Δ22-[-Δ33>
где Δ/y — алгебраич. дополнение элемента а/^, в Δ;
Δ" =
ацаи
<*41а44
+
α22^24
йл<*алл
+
а3заз4
α43α44

345 поворотов
См. табл. 1 и 2.
Табл. 1.— К л а с с и φ и к а ци я поверхностей
второго порядка по инвариантам
альные
1Н0СТИ
В m 41
α> ο Π4
Нецентральные
поверхности 6 = 0
6S> 0,
Т> 0
6S< 0
и (или)
Т< 0
Невырождающиеся
поверхности
Δ> 0
Мнимый
эллипсоид
Однополост-
ный
гиперболоид
Гиперболический
параболоид
Δ<0
Эллипсоид
Двуполост-
ный
гиперболоид
Эллиптический
параболоид
Вырождающиеся
поверхности
Δ = 0
Мнимый
конус
Действительный
конус
Цилиндрические и
распадающиеся
поверхности
(см. табл. 2)
Та б л. 2. —Ц и л и н д ρ и ч е ск и е и распадающиеся
поверхности второго порядка (Δ = 0, 6 = 0)
Т>0
Т<0
Т= 0
Цилиндрические
поверхности Δ'=?^0
Эллиптический
цилиндр
Мнимый
Δ'δ> 0
Действительный
Δ'β< 0
Гиперболический
цилиндр
Параболический ци-
Распадающиеся поверхности
Δ' = 0
Пара мнимых
пересекающихся
плоскостей
Пара
пересекающихся
плоскостей
Пара мнимых
параллельных
плоскостей
Δ"> 0
Пара
параллельных
плоскостей Δ"< 0
Пара
совпадающих
плоскостей
Δ"=0
Инварианты в общем случае определяют П. в. п.
с точностью до движения евклидова пространства,
если соответствующие инварианты двух поверхностей
равны, то такие поверхности могут быть совмещены
движением. Иными словами, эти поверхности
эквивалентны по отношению к группе движений
пространства (метрически эквивалентны).
Существует классификация П. в. п. с точки зрения
других групп преобразований. Так, относительно
группы аффинных преобразований эквивалентными
являются любые две поверхности, определяемые
уравнениями одного канонич. вида, напр. две подобные
П. в. п. являются эквивалентными.
Связи между различными аффинными классами
П. в. п. позволяет установить классификация с точки
зрения проективной геометрии. При этом
эквивалентными считаются поверхности, к-рые могут быть
переведены друг в друга посредством проективного
преобразования. Напр., эллипсоиды, эллиптич.
параболоиды и двуполостные гиперболоиды с точки зрения
проективной геометрии являются действительными
овальными поверхностями. Их проективная
эквивалентность проявляется в том, что существует нек-рая
система проективных координат, в к-рой уравнения
этих поверхностей имеют одинаковый вид:
2 ι 2 · 2 2 г\
х1 ~Г х2 ~Т ^3 #4 = U»
ДИАГРАММА 346
I т. е. соответствующие квадратичные формы Φ (xlf x2l
х3, ж4) имеют одинаковые ранг (4) и сигнатуру (3).
Аффинное их различие проявляется в типе линии
пересечения с несобственной плоскостью: эллипсоиды
пересекаются с ней по мнимому овалу, гиперболоиды —
по действительному овалу, эллиптич. параболоиды —
по паре мнимых пересекающихся прямых. Всего
существует 8 классов проективной эквивалентности
П. в. п.:
^1 + ^2 + ^1 + ^4 = 0 —мнимая овальная поверхность,
2,2,2
Xl + Х2 + #3 "
2,2 2
^1+^2 — ^3"
2.2,2
Х\ + Χι + хъ '-
2,2 2
Х\ Л~ х2 — #Э :
2,2 Λ
Xl + XI — 0
2 2 Λ
х\ — #2=0
χ\=0
2
— #4 ~
2
— #4 =
= 0
= 0
= 0
= 0
— действительная овальная
поверхность,
—кольцевидная поверхность,
— мнимая коническая поверхность,
— действительная коническая
поверхность,
— пара мнимых плоскостей,
— пара действительных плоскостей,
—пара совпадающих плоскостей.
Лит. см. при ст. Линия второго порядка. А. Б. Иванов.
ПОВОРОТОВ ДИАГРАММА — поверхность в
эллиптическом пространстве Э3, определяемая изометрич-
ными гладкими поверхностями F и F* в евклидовом
пространстве Е3 аналогично тому, как определяется
вращений индикатриса для бесконечно малых
изгибаний в Е3. О поверхности в эллиптич. пространстве,
совпадающей с П. д., впервые упомянул Л. Бианки
(L. Bianchi) при исследовании сферич. изображения
основания изгибания поверхностей, показавший, что
оно совпадает с изображением в смысле Клиффорда
асимптотич. линий П. д.
Пусть F и F* — изометричные гладкие одинаково
ориентированные поверхности. В соответствующих
по изометрии точках Μ и М* триэдры, образованные
касательными векторами хи, χν и хи, χυ к
соответствующим по изометрии парам кривых v= const и и=
— const и нормалями лил*, равны, т. е.
(*«)■=(*;)■, (**)■=(*;)■,
(η*)2=(η)2 = ί, (хи, xv) = (x*u, xl),
(пха)2 = (η * xl) = (ηχν) = (η * χ I) = 0,
и потому получаются один из другого поворотом вокруг
оси с направляющим ортом V на угол χ (определяемый
с точностью до 2π). Пусть
Q = cos "2"+ V sin -γ
— кватернион, по модулю равный 1 и определяемый
с точностью до знака, представляющий указанный
поворот. Совокупность таких кватернионов,
параметризованная точками ΜζΕ (или M*£F*), определяет
множество точек в эллиптич. пространстве, называемое
диаграммой поворота для изометричных
поверхностей F и F*. Напр., если F и F* —
изометричные куски цилиндров, то П. д.— кусок
поверхности Клиффорда, причем круглым цилиндрам
соответствует минимальная поверхность Клиффорда. Если
|χ|<π, то вне П. д. есть эллиптич. плоскость, и при
геодезич. отображении эллиптич. пространства в
евклидово:
Q = V sin γ + cos -γ -> у = V tg -γ ,
образом П. д. является индикатриса вращений нек-рого

347
ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ЗАКОН
348
бесконечно малого изгибания срединной
поверхности, соответствующей F и F* (см. Кон-
Фоссена преобразование) (при условии |χ|<π она
регулярна) .
Свойства П. д. для ивометричных поверхностей
положительной гауссовой кривизны аналогичны
свойствам индикатрисы вращений: напр., удельная
внутренняя кривизна П. д. всюду отрицательна, и потому
она играет при исследовании изометрии выпуклых
поверхностей такую же роль, что и индикатриса
вращений. М. И. Войцеховский.
ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ЗАКОН — предельная
теорема теории вероятностей, являющаяся уточнением
больших чисел усиленного закона. Пусть Х1? Х2» · · · —
последовательность случайных величин и
Sn=Xt + X2+... + X„.
Для простоты предполагается, что Sn для каждого η
имеет нуль своей медианой. В то время как теоремы
об усиленном законе больших чисел указывают ус-
ловия, при к-рых — ->· 0 почти наверное (п. н.)
при п—> оо, где \ап) — числовая последовательность,
теоремы о П. л. з. имеют дело с числовыми
последовательностями {сп} такими, что
limsup?^- = l п.н. (1)
limsupL5iLl = l п.п.
(2)
Соотношение (1) равносильно тому, что
P{Sn> (1+8)с„б.ч.} = 0
И P{S„>(l-e)c„6.4.} = l
для любого ε>0, где запись «б. ч.» означает бесконечное
число раз.
Соотношения вида (1) и (2) справедливы при более
ограничительных условиях, чем оценки, вытекающие
из усиленного закона больших чисел. Если {Хп} —
последовательность независимых случайных величин,
имеющих одинаковое распределение с математич.
ожиданием, равным нулю, то
— ->0 п.н. при η -> оо
(теорема Колмогорова); если выполнено
дополнительное условие 0<ЕХ3<оо, то имеет место
более сильное соотношение (2), в к-ром
сп=(2пЪ\п\п(пЪ))1'2,
где Ь=ЕХ2 (теорема Хартмана — Вин
τη е ρ а).
Первой теоремой общего типа о законе повторного
логарифма был следующий результат А. Н.
Колмогорова [1]. Пусть {Хп} — последовательность
независимых случайных величин с математич. ожиданиями,
равными нулю, конечными дисперсиями и пусть
Если Вп -+ оо при η ->-οο и существует
последовательность положительных постоянных {Мп} такая, что
то выполнены соотношения (1) и (2) при
cn=(2Bn[n\nBn)i/2.
В частном случае, когда {Хп} — последовательность
независимых случайных величин, имеющих
одинаковое распределение с двумя значениями, это
утверждение было получено А. Я. Хинчиным [2]. Ю. Марцин-
кевич и А. Зигмунд [3] показали, что в условиях
теоремы Колмогорова нельзя заменить она 0. Обобщения
П. л. з. Колмогорова для последовательностей
независимых ограниченных неодинаково распределенных
случайных величин были исследованы В. Феллером [4].
Другие обобщения П. л. з. см. в [5]; имеется также
следующий результат (см. [6]), примыкающий к
теореме Хартмана — Винтнера: если {Хп} —
последовательность независимых случайных величин, имеющих
одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то
lim sup I sn I _ „ „
^^«ч гг— °° п.н.
η-*°° (η In η In п)х12
Результаты, полученные в области П. л. з* для
последовательностей независимых случайных величин,
послужили отправным пунктом для многочисленных
исследований применимости П. л. з. к
последовательностям зависимых случайных величин и векторов и к
случайным процессам.
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «Math. Ann.», 1929, Bd
101, S. 126—35; [2] X и н ч и н А. Я., «Fundam. math.», 1924,
v. 6, p. 9—20; [3] Marcinkiewicz J., Zygmund A.,
там же, 1937, v. 29, p. 215—22; U] PellerW., «Trans. Amer.
Math. Soc», 1943, v. 54, p. 373—402; [5] Strassen V., «Z. Wahr-
scheinlichkeitstheor. und verw. Geb.», 1964, Bd 3, S. 211—26;
[6] e г о же, там же, 1965—66, Bd 4, S. 265—68; [7] Наг t-
m a n P., W i n t η е г Α., «Amer. J. Math.», 1941, v. 63, p. 169—
176; [8] Ламперти Д ж., Вероятность, пер. сангл., Μ., 1973;
[9] Π е τ ρ о в В. В., Суммы независимых случайных величин,
М., 1972. В. В. Петров.
ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл, в к-ром
последовательно выполняется интегрирование по разным
переменным, т. е. интеграл вида
Ια,[\λμ*Ιχ> Я **]**·
(1)
Функция f(x, у) определена на множестве Л, лежащем
в прямом произведении XX У пространств Ζ и У, в
к-рых заданы σ-конечные меры μχ и μ^, обладающие
свойством полноты; множество А (у)— {х: (х, у) ζ А }сХ
(«сечение» множества А), измеримое относительно
меры μ^; множество Ау (проекция множества А
в пространство У), измеримое относительно меры μ^.
Интегрирование по А (у) производится по мере μχ, а
по А у — по мере μ^. Интеграл (1) обозначают также
\ dy \ f (χ, и) dx.
К П. и. могут быть сведены кратные интегралы.
Пусть функция f(x, t/), интегрируемая по мере
μ=μχΧμυ на множестве A dXXY, продолжена нулем
на все пространство XXУ, тогда П. и.
JrMx'fr
у) dx
)xdx]Yf(x> У)йУ
существуют и равны между собой:
\уау\х1{Х' V)dz=\xdz\Yt(*,V)dy (2)
(см. Фубини теорема). В левом интеграле внешнее
интегрирование фактически производится по
множеству А*у= {у : у ζ А у, μχΑ (у)>0}. Таким образом, в
частности, для точек у£Ау множества А (у) измеримы
относительно меры μχ. По всему множеству Ау брать
этот интеграл, вообще говоря, нельзя, т. к. при
измеримом относительно меры μ множества А множество
А у может оказаться неизмеримым относительно меры
μ^, так же, как и отдельные множества А (у) t у ζ А у1

349
ПОВТОРНЫЙ РЯД
350
могут быть неизмеримы относительно меры μ^.
Множество же А у всегда измеримо относительно меры μ^,
если только множество А измеримо относительно
меры μ.
Сформулированные условия возможности перемены
порядка интегрирования в П. и. являются лишь
достаточными, но не необходимыми: иногда перемена
порядка интегрирования в П. и. допустима, а
соответствующий кратный интеграл не существует.
Напр., для функции f(x, у)= *у при х2+у2>0 и
/(О, 0)=0 П. и.
S-id*$-i'(*' y)dy=^\dy\j^if(x, у)ёх,
а кратный интеграл
и,
/ (я, у) dx dy
\χ\< 1, \У\< 1
не существует. Однако если существует хотя бы один
из интегралов
)ydy )х " (*' ^ \dx или \χάχ\γ\Κχ* у) 'dy'
то функция / интегрируема на множестве X X У и
справедливо равенство (2).
Для П. и. в случае, когда внутренний интеграл
является интегралом Стилтьеса, а внешний —
интегралом Лебега, справедлива следующая теорема о перемене
порядка интегрирования: пусть функция g(x, у)
суммируема по у на [с, d] для всех значений χ из [а, Ь]
и является функцией ограниченной вариации по χ
на [а, Ь] для почти всех значений г/ζ [с, d]. Пусть,
далее, полная вариация функции g(x, у) по переменной χ
на [а, Ь] при всех указанных значениях у не
превышает нек-рой неотрицательной и суммируемой на [с, d]
Cd
функции. Тогда функция \ g(x, y)dy является
функцией ограниченной вариации от переменной χ на [а, Ь]
и для любой непрерывной на [а, Ь] функции f(x) имеет
место формула
\cdylaf ^ dxg (*' У) = Ϋα f (X) d* [ Sc g (*' ^ di/] *
Лит.: [1] И л ь и н В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы
математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [2]
Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и
функционального анализа, 5 изд., М., 1981; t3] К у д ρ я в ц е в Л. Д.,
Курс математического анализа, т. 2, М., 1981; [4]
Никольский СМ., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М.,
1975; [5] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т.
5, М., 1959. Л. Д. Кудрявцев.
ПОВТОРНЫЙ ПРЕДЕЛ — предел функции
нескольких переменных, при к-ром предельный переход
совершают последовательно по различным переменным.
Пусть, напр., функция / двух переменных χ и у
определена на множестве вида XXУ, x£XaRm, y£Ya&n,
и пусть х0, у0 — предельные точки соответственно
множеств X и У или символы оо (в случае, когда т=1
или 7i=l, х0 и соответственно у0 могут быть
бесконечностями со знаком: + оо, —оо). Если при любом
фиксированном г/ζ У существует предел
ф(у) = Нт/(ж, у) (1)
и у функции φ (у) существует предел
lim φ (у),
V-+Vo
то этот предел наз. повторным пределом
lim lim / (χ, у)
У-+Уо Х-+Х0
(4)
(2)
функции f(x, у) в точке (я0, j/0). Аналогично
определяется П. п.
lim lim / (χ, у). (3)
х-юсо У-^Уо
Если существует (конечный или бесконечный)
двойной предел
lim / (χ, у)
(χ, у)-+ (х0, у0)
и при любом фиксированном у ζ У существует конечный
предел (1), то существует и П. п. (2) и он равен
двойному пределу (4).
Если при каждом y£Y существует предел (1),а при
каждом χ ζ Χ существует предел
ψ(*)= lim/ (x, у)
У^-Уо
и если при χ -► х0 функция / (#, у) стремится на У к
предельной функции φ (у) равномерно относительно у,
то оба П. п. (2) и (3) существуют и равны друг другу.
Если множества X и У являются множествами
натуральных чисел, то функция / наз. в этом случае
двойной последовательностью и
значения аргументов пишут в виде индексов:
/(то, п) = итп,
а П. п.
lim lim =итп и lim lim umn
n->co m-»-co т->со п-х»
наз. повторными пределами двойной
последовательности. Понятие П. п.
обобщается на случай, когда X, У и множество значений
функции / являются подмножествами нек-рых тополо-
ГИЧ. пространств. Л. Д. Кудрявцев.
ПОВТОРНЫЙ РЯД — ряд, члены к-рого являются
также рядами
ςγ.ι(ς:-,»·0. (ΐ)
П. р. (1) наз. сходящимся, если при любом
фиксированном η сходится ряд
и, кроме того, сходится ряд
Сумма последнего ряда и наз. суммой
повторного ряда (1). Сумма
5==ΣΓ=ι α»=ΣΓ=ι (Sm=iUmn) ·
П. р. (1) является повторным пределом его частичных
сумм
Ση ^m
Λ=ι Ζλι- ι Ufth
то есть
s = lim lim smn.
n->oo m->co
Если сходится двойной ряд
и при любом натуральном η сходятся ряды
Zm=tu"nt
то сходится и П. р. (1), причем он имеет ту же сумму,
что и двойной ряд (2). Условие этой теоремы выпол-

351 ПОГЛОЩАЮШ
няется, в частности, если двойной ряд (2) абсолютно
СХОДИТСЯ. Л. Д. Кудрявцев.
ПОГЛОЩАЮЩЕЕ СОСТОЯНИЕ цепи
Маркова ξ (t) — такое состояние i, что
Ρ {ξ (t) = i I ξ (s) = i] = 1 при любых ί ^ s.
Примером Маркова цепи с поглощающим состоянием О
является ветвящийся процесс.
Введение дополнительных поглощающих
состояний — удобный прием, к-рый помогает исследовать
свойства траекторий цепи Маркова, связанные с
достижением того или иного множества.
Пример. Пусть в множестве S состояний
однородной цепи Маркова ξ (t) с дискретным временем и
переходными вероятностями
Ρ,7 = ρ{6(' + 1) = /|ξ(') = *}
выделено подмножество Η и нужно найти вероятности
*/Λ = Ρ{ξ(τ(#)) = Λ|ξ(0) = <}, igS, h£H,
где т(Я)=тт {t>0 : l(t)£H} — момент первого
достижения множества Н. Если ввести вспомогательную
цепь Маркова I* (t), отличающуюся от ξ (£) лишь
тем, что в ξ* (t) все состояния h£H поглощающие, то
при h£H вероятности
рй («) = ''β* (0=Λ|ξ*(θ) = ί} =
= Ρ{τ (#)<<, ξ(τ(#)) = Λ|ξ(0) = ί}
монотонно не убывают при t \ оо и
9,·Λ = 1πη plh(t), »€·?, /г£#. (*)
В силу основного определения цепи Маркова
^(i+i)=2j€Sp./Jfc(o, *^o, *е^\я, лея,
pjk(f) = l, Λ€^, /4(0=0, i, h£H, ΙφΗ.
Переход к пределу при t -> оо с учетом (*) дает для
qih систему линейных уравнений:
ί«·*=Σ,ί4ρ..«ν 'б*\я, лея,
Лит.: [1] Φ е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и
ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.
А. М. Зубков.
ПОГЛОЩЕНИЯ ЗАКОНЫ — тождества вида
χ А (х V у) =х, χ V (χ Λ у) =х,
где Λ и V — две двуместные операции на нек-ром
множестве L. Если, кроме П. з., эти операции
удовлетворяют законам коммутативности и
ассоциативности, то отношение х<.у, определяемое
эквивалентностью
Х<:У <г+Х V у = У (*)
(или равносильной эквивалентностьюх^.у <-» хЛу=х),
будет порядковым отношением таким, что х/\у —
наибольшая нижняя грань, а xVy — наименьшая верхняя
грань элементов χ и у. С другой стороны, если в
упорядоченном множестве (L, <) существуют наибольшая
нижняя грань х/\у и наименьшая верхняя грань
xVу для любой пары элементов х, у, то для операций
V и Λ выполняются законы поглощения,
коммутативности, ассоциативности и справедлива
эквивалентность (*).
Лит.: [1]РасёваЕ.,Сикорский Р., Математика
метаматематики, пер. с англ., М., 1972. В. Н. Гришин.
ПОГОНИ ЛИНИЯ — кривая, представляющая собой
решение задачи о «погоне», к-рая ставится следующим
образом. Пусть точка Μ равномерно движется по
нек-рой заданной кривой. Требуется найти траекто-
1 состояние 352
рию равномерного движения точки N такую, что
касательная, проведенная к траектории в любой
момент движения, проходила бы через соответствующее
этому моменту положение точки Μ. В плоском
случае система уравнений, к-рым должна удовлетворять
П. л., имеет вид
где -^ угловой коэффициент П. л., F (ξ, η)=0 —
уравнение заданной кривой.
Задача о П. л. поставлена Леонардо да Винчи
(Leonardo da Vinci), решена П. Буге (P. Bouguer, 1732).
Лит.: [1] С а в е л о в Α. Α., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ТЕОРИЯ —
асимптотическое приближение решения граничных задач для
дифференциальных уравнений с малым параметром
при старших производных (сингулярных задач) в
подобластях с существенным влиянием членов со
старшими производными на решение. Явление
пограничного слоя (п. с.) возникает в узких зонах вблизи
частей границы, на к-рых существует различие между
числом граничных условий исходной и вырожденной
(при нулевом значении параметра малости) задач, а
также вблизи поверхностей разрыва решения
вырожденной задачи.
Решение сингулярных задач представимо суммой
двух разложений. Внешнее разложение дает метод
малого параметра с частью В0 граничных условий
В—В0-\-В1 задачи. Внутреннее разложение быстро
убывает вне п. с. и отыскивается, как правило, в виде
многочленов по степеням ε. Для их определения
дифференциальные уравнения преобразуются к
переменным, зависящим от ε и растягивающим подобласти
пограничного слоя. Уравнения п. с. возникают в
результате приравнивания нулю коэффициентов при
различных степенях ε после подстановки многочленов
в преобразованные уравнения. К ним добавляются
условия Вг. Оценка погрешности внешнего разложения,
если она найдена, показывает необходимую замену
переменных. При решении сложных прикладных задач
необходимая замена переменных может быть выявлена
на основе физич. оценки величин членов исходных
уравнений и соответствующих им упрощений и должна
освободить старшие производные от ε. Для решения
задачи необходимо определить, где расположены п. с.
и как условия В разделяются на В0 и Вг. Своеобразие
такого решения заключается в том, что исходным
эллиптич. уравнением могут отвечать гиперболич.
уравнения внешних разложений и параболические —
внутренних разложений.
В теории систем обыкновенных дифференциальных
уравнений
** = /(*, У, 0, m = g{*, У, t),Q<t^T, (1)
где χ и / суть m-мерные, а у и g суть л-мерные
векторные функции, для задачи Коши с условиями χ (0, ε)=
= х°, ϊ/(0, г)—у0 и определенными свойствами fug
доказана теорема существования и единственности
решения и установлены свойства решения при ε -► 0
(см. [1]). В случае краевой задачи для уравнения (1)
с условиями
ж(0, е)=ж°, 1/1 (0, в) = у1, у2 (0, г) = у1,

353
где сумма числа компонент векторов ух и у2 равна п,
существуют, вообще говоря, п. с. в окрестностях
концов сегмента [О, Т]. Построен алгоритм нахождения
асимптотики решения этой задачи, при определенных
свойствах функций fug доказано существование и
единственность решения и даны его оценки (см. [3]).
В случае неединственности решения предельного
уравнения g=0 относительно у построен внутренний (в
окрестности τ, 0<τ<7) п. с, разделяющий области с
различными решениями предельного уравнения. Для
одного типа интегро-дифференциального уравнения
построен алгоритм асимптотич. разложения по ε
задачи с начальными условиями и исследованы нек-рые
особенности поведения решений.
В случае линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений (L+eM)x=f(t), 0<ί<1, где L и Μ —
дифференциальные операторы, с граничными
условиями В0-{-В1 выделен класс задач, решение к-рых
содержит п. с, и введено понятие регулярного вырождения,
при к-ром решение предельного уравнения позволяет
удовлетворить условиям В0, а асимптотич. решение
для п. с— условиям В{ (см. [4]). Построен
итерационный процесс асимптотич. представления решения и
даны оценки остаточных членов разложений.
В П. с. т. общего нелинейного обыкновенного
дифференциального уравнения 2-го порядка при
определенных предположениях доказано (см. [5]), что
решение 1-й краевой задачи складывается из внешнего
решения, п. си остаточного члена, имеющего с 1-й
производной порядок ε на всем сегменте.
Изучено поведение решений краевых задач
основных типов для линейного уравнения с частными
производными вида
еАи + А(х, у)их + В(х, у)иу-\-С(х, у)и = }(х, у),
где Δ — оператор Лапласа, в области D с границей S.
Построены условия на функции А, В, С, U границу S
и функции α, φ точки Ρ линии S, входящие в граничное
условие ип+а(Р) = ср(Р), при к-рых и в D + S
равномерно стремится к решению предельного уравнения с
приведенным граничным условием на определенной
части S (отсутствие п. с.) (см. [6]).
Для эллиптич. уравнения 2-го порядка в области D
с границей S на примере двух независимых переменных
г[а(х, у)ихх + 2Ь(х, у)иху + с(х, у) иуу +
+ d(x, y)ux + e(x, y)uy + g(x, у)и] + их —
— h(x, y)u = f(x, у), Д^а2>0,
построены итерационные процессы решения задачи с
условием и—0 на S, доказаны теоремы о структуре
разложения и по ε и даны оценки остаточного члена
этого разложения (см. [4]). Аналогичные результаты
получены и для уравнений высших порядков.
Разработан (см. [7]) метод сращивания асимптотич.
разложений для уравнения
εΑιι — a (х, y)Uy = f (x, у)
слоя теория 354
коэффициентом вязкости ν описывается уравнениями
Навье — Стокса
(η*")ξ + (η^)η = О, "τ +ищ -|-ι>"η =е2Аи—рг э 1
ντ +uvi+vvr] = e2Av —ρη, J
где ε=Λ-1/2, R=wX/v — число Рейнольдса,
представленное через характерные величины скорости w и
линейного размера X. На замкнутой границе S области
D решения задаются краевые условия, причем на
обтекаемом контуре Г при η=#(ξ) задаются условия
и—О, ν—ν0(ζ, #(ξ)), где и, ν — касательная и
нормальная к Г составляющие вектора (и, ν). В D + S
задаются начальные значения и, ν, ρ.
При малом ε асимптотич. решение задачи в первом
приближении составляется из решения уравнений (2)
при ε=0 с частью условий на S (на Г ставится только
условие ν—ν0) и решения уравнений п. с. Уравнения
динамического п. с. выводятся в предположении, что
условная толщина п. с. δ и величина ν имеют порядки
δ ~ Χε, ν ~ we, а члены левых частей последних
уравнений из (2) имеют порядок членов с ε2. Введение
переменных ί=τ, ж=|, ι/=η/ε, ν=ν/ε приводит при
ε->·Οκ уравнениям Прандтля
(r*u)x+(rkV)y = 0, uf+uux + Vuy=uyy—px, ру = 0, (3)
0<*ί=ς7', (ХЖ^о, 0<ι/<οο,
с условиями
и |f=0=w0 (х, у), ν\ί=0=υ0 (ж, у), и\у=0 = 0,
Vly=o=Vo(t, х),
и -> W (t, χ) при у -у оо, рх = —WWx — Wt, u U=o=0>
где г — расстояние от оси симметрии при fc=l, W (χ) —
известная функция. Эти уравнения и условия
справедливы для любого криволинейного контура, радиус
кривизны к-рого много больше δ. В последнем случае
х, у — координаты вдоль контура и по нормали к
нему.
При постоянном W задача сводится к краевой для
обыкновенного дифференциального уравнения.
Имеются и другие классы подобных решений.
Известны условия, при к-рых решения задач п. с.
существуют, исследованы вопросы единственности и
устойчивости решений и их выхода на решения
стационарных задач (см. [11]). Решения строятся по методу
прямых, доказана их сходимость.
Уравнения п. с. для сжимаемой жидкости выводятся
из уравнений для течений вязкого и теплопроводного
газа и значительно более сложны, чем (3). Возрастает
и их количество. Имеется интегральное
преобразование, упрощающее эти уравнения в общем случае
и сводящее их к (3) при числе Прандтля Рт=ср/К=\,
где с ρ — теплоемкость газа при постоянном давлении,
К — коэффициент теплопроводности (см. [12]). Известен
ряд модификаций преобразования. В общем случае
уравнения п. с. описывают т. н. естественные
конвективные течения. Если ν не зависит от температуры
и архимедова сила пренебрежимо мала, то уравнение
энергии отделяется от системы уравнений п. с. и
говорят о вынужденных конвективных течениях.
Уравнение энергии определяет тепловой п. с, толщина
к-рого отличается от δ.
П. с. возникают и в зоне раздела течений с
различными характерными скоростями. Ударные волны также
являются п. с.
Отдельный класс двумерных задач п. с. связан с
течениями у вращающихся осесимметричных пластин и тел.
Вместе с развитием методов решения
нестационарных задач решены задачи с периодическим W, при
движении скачком из состояния покоя, при ускорен-
в прямоугольнике с заданным и на его границе.
Исследования П. с. т. для нелинейных уравнений с
частными производными связаны в основном с
аэрогидродинамикой и базируются на уравнениях Навье —
Стокса и их обобщениях. Запросы практики привели
как к развитию математич. теории, так и к
возникновению различных задач и методов их решения. Здесь
речь будет идти только о ламинарных течениях (см.
[8] - [Ю]).
Гидродинамика плоских (к=0) и осесимметричных
(&==!) течений несжимаемой жидкости с постоянным
ПОГРАНИЧНОГ
^12 Математическая энц., т. 4

355
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
356
ном движении, для п. с. за ударной волной, при
переменной температуре обтекаемой поверхности.
В П. с. т. трехмерных течений развиты методы
решения задач и рассмотрены случаи, приводящие к
упрощению уравнений. Уравнения п. с. на скользящем
цилиндрич. крыле бесконечного размаха аналогичны
уравнениям двумерного п. с. В приближенной
постановке решены задачи п. с. на вращающейся цилиндрич.
лопасти пропеллера и на вращающемся цилиндре в
косо набегающем потоке, а также задача п. с. вблизи
линии пересечения двух плоскостей.
Перечисленные исследования п. с. в
аэрогидродинамике относятся к первому приближению П. с. т.
Высшие приближения позволяют проводить исследования
взаимодействия п. с. с внешним потоком, а также
расчеты при умеренных числах R (см. [13]).
Устойчивость п. с. позволяет определить границы
применимости теории. Имеются исследования (см.
[14]) на основе метода малых возмущений с
периодическими и локальными начальными возмущениями.
В случае плоских течений анализ 3-мерных возмущений
в линейном приближении сводится на основании
теоремы Сквайра к 2-мерному с измененным значением v.
Нелинейный анализ при потере устойчивости
обнаруживает появление продольных вихрей.
Физич. обобщения задач П. с. т. (см. [15] — [17])
связаны с изучением многофазных течений, с
использованием реальных уравнений состояния и
коэффициентов переноса (усложнение уравнений), с
рассмотрением неравновесных течений с диффузией
(расширение системы уравнений и приобретение ею парабо-
лико-гиперболич. типа), с учетом абляции обтекаемой
поверхности (усложнение граничных условий и
необходимость расчета теплопроводности в теле), с
учетом переноса излучения (интегро-дифференциальные
уравнения).
Дальнейшее развитие П. с. т. в аэрогидродинамике
получила при исследовании течений, не
удовлетворяющих предположениям Прандтля, с решениями в
виде многослойных асимптотич. разложений. Источ
ником сложности структуры решения являются
дополнительные малые параметры в граничных условиях
(напр., из-за малого радиуса кривизны обтекаемого
контура), существования особых точек, линий или
поверхностей в первом приближении П. с. т., а также
возможная бифуркация решения.
К этому классу относятся течения около точек
отрыва и присоединения п. с. к обтекаемому контуру и
около точек падения на п. с. ударных волн.
Характерные решения (см. [18] — [20]) имеют трехслойную
структуру. Внешнее решение определяет возмущенное
п. с. потенциальное течение и описывается
уравнениями в возмущениях. Средний слой толщины порядка
Хг описывается уравнениями невязких завихренных
течений с ру=0, и в него поступает газ из основной
части предшествующего п. с.
Уравнения 3-го, самого тонкого, пристеночного
слоя выводятся в предположении, что его длина и
толщина имеют соответственно порядки Хг^4, Хг^4>
Введение в стационарном случае переменных
£ = ξε~3/*, 4ν=ηε~5/4, ί/ = αε~ι/*, V = ve~3/4, Р = рг~',г
приводит при ε ->· 0 снова к уравнениям (3), в к-рых
следует и заменить на U, ар — на Р. Эта структура
решения задачи характерна для широкого класса
течений с малыми величинами возмущений.
Исследованы многие задачи динамики течений при
малых ε, в к-рых на коротких расстояниях давление
во внешнем сверхзвуковом (М >1, M=w/c, где w —
скорость газа, с — скорость звука) потоке меняется
сильно. К ним относятся задачи расчета обтекания
контуров с большой локальной кривизной и
присоединения потока к поверхности тела. В этих случаях
при трехслойной схеме решения в среднем слое ру?=0.
Изучен класс задач, в к-рых возмущенное решение
занимает конечную область. Эти решения
реализуются на режимах умеренного и сильного
взаимодействия п. с. с внешним гиперзвуковым (М->оо)
потоком и при сверхзвуковом обтекании тел конечной
длины, через поверхность к-рых производится
интенсивный вдув (у0>0) газа. В этих задачах величина
давления на всей внешней границе п. с. определяется
из решения полной задачи. Возмущение от задней
кромки тела распространяется вверх по потоку, что
определяется неединственностью решения в
окрестности передней кромки тела.
Лит.: [1] Тихонов А. Н., «Матем. сб.», 1952, т. 31,
№ 3, с. 575—86; [2] В а з о в В., Асимптотические
разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер.
с англ., М., 1968; [3] Васильева А. Б., Бутузов В.
Ф., Асимптотические разложения решений сингулярно
возмущенных уравнений, М., 1973; [4] В и ш и к М. И., Л ю с τ е р-
н И к Л. Α., «Успехи матем. наук», 1957, т. 12, в. 5, с. 3—122;
1960, т. 15, в. 3, с. 3—80; [5] К о у л Д ж., Методы возмущений
в прикладной математике, пер. с англ., М., 1972; [6] О л е й-
ник О. Α., «Матем. сб.», 1952, т. 31, №1, с. 104—17; [7]
Ильин А. М., Леликова Ε. Φ., там же, 1975, т. 96, № 4,
с. 568—83; [8] Ко чин Н. Е., Кибель И. Α., Розе
Н. В., Теоретическая гидромеханика, 4 изд., ч. 2, М., 1963;
[9] Л о й ц я н с к и й Л. Г., Ламинарный пограничный слой,
М., 1962; [10] Ш л и χ τ и н г Г., Теория пограничного слоя,
пер. с нем., М., 1974; [И] Олейник О. Α., «Успехи матем.
наук», 1968, т. 23, в. 3, с. 3—65; [12] Дородни и ы н Α. Α.,
«Прикл. матем. и механ.», 1942, т. 6, в. 6, с. 449—86; [13] Ван-
Д а й к М., Методы возмущений в механике жидкости, пер.
с англ., М., 1967; [14] Бетчов Р., Криминале В.,
Вопросы гидродинамической устойчивости, пер. с англ., М., 1971;
[15] Coy С, Гидродинамика многофазных систем, пер. с англ.,
М., 1971; [16] Дорренс У. X., Гиперзвуковые течения
вязкого газа, пер. с англ., М., 1966; [17] К э й с В. М.,
Конвективный тепло- и массообмен, пер. с англ., М., 1972; [18] Не й-
л а н д В. Я., «Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа», 1969.
№ 4, с. 53—57; [19] его же, «Тр. ЦАГИ», 1974, в. 1529; [20]
Stewartson К., «Advances Appl. Mech.», 1974, v. 14,
p. 145—239. Ю. Д. Шмыглевский.
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ — область больших
значений градиента функций, в частности в
гидродинамике, область течения вязкой жидкости (газа) с малой
по сравнению с продольными размерами поперечной
толщиной, образующаяся у поверхности обтекаемого
твердого тела или на границе раздела двух потоков
жидкостей с различными скоростями, температурами
или химич. составами. П. с. характеризуется резким
изменением в поперечном направлении скорости (д и-
намический П. с.) или температуры
(тепловой, или температурный, П. с), или же
концентраций отдельных химич. компонентов (д и ф-
фузионный, или концентрационный,
ТТ. с). Понятие П. с. и сам термин были введены Л.
Прандтлем (L. Prandtl, 1904) в связи с решением
краевой задачи для нелинейных уравнений с частными
производными гидродинамики вязких жидкостей.
Нужды развития авиации определили разработку теории
П. с. в аэрогидродинамике. В сер. 20 в. стала
развиваться математическая пограничного слоя теория, а
также приложения в теории теплопередачи, диффузии,
процессов в полупроводниках И др. Ю. Д. Шмыглевский.
ПОГРЕШНОСТЬ — разность χ — α, где а —
данное число, к-рое рассматривается как приближенное
значение нек-рой величины, точное значение к-рой
равно х. Разность χ — а наз. также абсолютной
П. Отношение χ — а к а наз. относительной
П. числа а. Для характеристики П. обычно пользуются
указанием ее границ. Число Δ (α) такое, что
\х — а |<: Δ (α),
наз. границей абсолютной П. Число δ (α)
такое, что
| наз. границей относительной П. Гра-

357
ПОГРУЖЕНИЕ
358
ницы относительной П. часто выражают в процентах.
В качестве Δ (α) и δ (а) берутся по возможности
меньшие числа.
Информацию о том, что число а является
приближенным значением числа χ с границей абсолютной П.
Δ (α), принято записывать в виде
χ = α ± Δ (а).
Аналогичное соотношение для относительной П.
записывается в виде
х = а(\ ± 6(a)).
Границы абсолютной и относительной П. указывают
на максимально возможное расхождение χ η а. Наряду
с ними часто употребляются характеристики П.,
учитывающие характер возникновения П. (напр.,
погрешность измерений) и частоту различных значений
разности χ и а. При таком подходе к П. используются
методы теории вероятностей (см. Ошибок теория).
При численном решении задачи П. результата
обуславливается неточностями, к-рые присущи
формулировке задачи и способам ее решения. П., возникающую
вследствие неточности математич. описания реального
процесса, наз. П. математической модели;
возникающую вследствие неточности задания
исходных данных — П. входных данных;
возникающую вследствие неточности метода решения — П.
метода; возникающую вследствие неточности
вычислений — вычислительной П. Иногда П.
математич. модели и П. входных данных объединяют
под одним названием — неустранимая П.
В процессе вычислений исходные П. последовательно
переходят от операции к операции, накапливаясь
и порождая новые П. Возникновение и распространение
Л. в вычислениях являются предметом специальных
исследований (см. Вычислительная математика).
Лит.: [1] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы
вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; [2] Бахвалов Н. С,
Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Воеводин В. В.,
Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977.
Г. Д. Ким.
ПОГРУЖАЮЩАЯ ОПЕРАЦИЯ — в математической
логике операция, переводящая выражения одного
логико-математич. языка в выражения другого с
сохранением тех или иных дедуктивных свойств. П. о.
широко используются для установления взаимосвязи
между различными логич. теориями, исчислениями.
Напр., если формуле А формальной арифметики
сопоставить формулу А* этого же языка, вставив два
отрицания перед ней и перед каждой ее подформулой
(напр., (А у В)* есть ~] ~] (~] "\А* V "1 ~|Я*), а (зхА)*
есть "^"1з^~1П^*» и т· Д-Ь то из выводимости А в
классической формальной арифметике следует
выводимость А* уже в интуиционистской формальной
арифметике. Отсюда вытекает, что непротиворечивость
интуиционистской формальной арифметики влечет
непротиворечивость и классической формальной
арифметики. Описанная негативная
интерпретация Гёделя позволяет, следовательно,
указать важное взаимоотношение между
интуиционистской и классич. арифметиками.
Другой типичный пример П. о.— перевод
Гёделя — Тарского, позволяющий установить
взаимосвязь модальных и интуиционистских логик.
Построение моделей в аксиоматич. теории множеств также
может быть обычно интерпретировано синтаксически
как построение нек-рой П. о.— внутренней модели
теории множеств.
Лит.: [1] Ш е н φ и л д Д ж. Р., Математическая логика,
пер. с англ., М., 1975; [2] Φ е й с Р., Модальная логика, пер.
с. англ., М., 1974; [3] Д ρ а г а л и н А. Г., Математический
интуиционизм, М., 1979. А. Г. Драгалин.
ПОГРУЖЕНИЕ, и м м е ρ с и я,— отображение
f : X -+ Υ одного топологич. пространства в другое,
при к-ром каждая точка в X имеет окрестность U, к-рую
/ гомеоморфно отображает на fU. Это понятие
применяется главным образом к отображению многообразий,
где часто дополнительно требуется еще выполнение
условия локальной плоскости (такое же, как и для
локально плоского вложения). Последнее условие
автоматически выполнено, если многообразия X и Υ
являются дифференцируемыми, и матрица Якоби
отображения / имеет в каждой точке максимальный ранг,
равный размерности X. Задача классификации П.
одного многообразия в другое с точностью до т. н.
регулярной гомотопии сведена к чисто гомотопич.
задаче. Гомотопия //: Хт -> Υη наз.
регулярной, если для каждой точки х£Х она может быть
продолжена до изотопии Ff : UxDk -► Υ, где U —
окрестность ж, Dk — диск размерности к=п—т, и Ft
совпадает с /f на C/Χθ, где 0 — центр диска. В
дифференцируемом случае достаточно потребовать, чтобы
матрица Якоби имела максимальный ранг при каждом
t и непрерывно зависела от t. Дифференциал Df П.
определяет послойный мономорфизм касательного
расслоения τΧ в касательное расслоение χΥ. Регулярная
гомотопия определяет гомотопию таких
мономорфизмов. Оказывается, что этим устанавливается биекция
между классами регулярных гомотопии и гомотопич.
классами мономорфизмов расслоений.
Задача П. в евклидовы пространства сводится к
задаче гомотопич. классификации П. в Штифеля
многообразия Уп% т. Напр., так как л2(^з, 2) = 0» то
имеется только один класс П. сферы S2 в IR3, так что
стандартное вложение регулярно гомотопно своему
зеркальному отражению (сферу можно «регулярно
вывернуть наизнанку», см. рис.). Так как V2% ι~£\
то имеется счетное число классов П. окружности в
плоскость, а т. к. расслоение Штифеля над S2
гомеоморфно проективному пространству IRP3 и jij. (IRP3)=
= Ζ2ι τ0 имеется только два класса погружений S1
В S2, И Т. Д. А. Б. Чернавский.
ПОГРУЖЕНИЕ многообразия —
непрерывное отображение F: Мт-+ Nn w-мерного
многообразия Мт в w-мерное многообразие Nn такое, что для
каждой точки х£Мт существует окрестность Ux, для
к-рой/^есть вложение, т. е. гомеоморфизм на F (Ux)cNn.
В частности, если F есть гомеоморфизм на F (Мт),
то он наз. вложением Мт в Nn. Погружение
F наз. С'· а-п огружением, если Мт и Nn суть
С1' а-гладкие многообразия (Ζ>1, 0<α<1, т<л)
и отображение F в соответствующих картах задается
функциями
х'
принадлежащими
df
матрицы
duJ
/' (и1, . . ., um), i = l,
классу гладкости С1* а, а ранг
равен т в каждой точке х£Мт(С1, а-
С1* °
гладкое многообразие — многообразие, наделенное Г-
структурой, где псевдогруппа состоит из I раз
дифференцируемых отображений, производные к-рых
удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а).
К понятию П. и С1' а-гладкого П. непосредственно
примыкают понятия поверхности и С1* а-гладкой
поверхности. Погружения F и G многообразия Μ в N
наз. эквивалентными, если существует такой
гомеоморфизм Φ : Μ -+ Μ, что F=G<&.
Погруженным многообразием наз.
пара, состоящая из многообразия Μ и его
погружения F. т-ш ерной поверхностьюв л-мерном
многообразии Νη наз. класс эквивалентных погружений
F : мт ->· Νη', каждое П. этого класса наз.
параметризацией поверхности. Поверхность
наз. С1* а-г л а д к о й, если на многообразиях Μ
и N можно ввести С'· а-структуры и если среди
параметризаций поверхности найдется такая параметри-
12*

359
ПОГРУЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ ГЕОМЕТРИЯ
360
зация F, к-рая в этих структурах есть С1> а-погруже- |
ние.
Теория погруженных многообразий, как правило,
особенно в тех случаях, когда рассматриваются
вопросы, связанные с геометрией П., изучает свойства,
инвариантные относительно введенного выше понятия
эквивалентности, и по существу совпадает с теорией
поверхностей.
Пусть Мт есть С'· а-многообразие, Ζ>1, 0<α<1.
Всякое Мт допускает при т^\ вложение в евклидово
пространство $2т и С^· а-погружение в К2т-1при
т^2. Если т положительно и не является степенью
двойки, то всякое Мт допускает С'» а-вложение в
R2^-1, в то же время при любом m=2s с s>0
существуют замкнутые гладкие лг-мерные многообразия, не
допускающие даже топологич. вложения в R2m_1
(таково, напр., проективное пространство). Если Мт
не имеет компактных компонент, то оно допускает
С'· а-вложение в R2™-1.
Ориентируемое m-мерное многообразие при тф\£
допускает С'» а-вложение в R2m_1. Вопрос о
возможности погружения иг-мерного многообразия в
R2m при п<2т—1 связан с классами Уитни и Пцнтря-
гина классами этого многообразия. Известно также,
что каждое С1* а-гладкое лг-мерное многообразие с
Ζ^Ι, 0<:α<1 допускает собственное (т. е. такое, что
прообраз каждого компактного множества компактен)
П. в &2т и собственное вложение в R2m + 1. Если на
Мт задана риманова метрика, то часто рассматривают
изометрическое погружение Мт в R" или другое
риманово пространство Nn. Cl> а-гладкое риманово
многообразие, 1=2, 0<а<1; />2, 0<а<1, допускает
Cl> a-гладкое изометрическое П. в нек-рое R". В
случае компактного Мт число п= (2m+i) (6яг+14).
Наоборот, С<*-гладкое П. (1^>2,0 < а < 1) Мт в
Rn индуцирует на Мт С^-гладкую риманову
метрику [4].
Лит.: [1] Смей л С, «Успехи матем. наук», 1964, т. 19,
в. 1, с- 125—38; [2j Jacobowitz H., «Ann. Math.», 1972,
v. 95, № 2, p. 191 — 225; [3] Рохлин В. Α., Φ у к с Д. В.,
Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
[4] Сабитов И. X., Шефе ль С. 3., «Сиб. матем. ж.»,
1976, т. 17, №4, с. 914—25. С. 3. Шефель.
ПОГРУЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ ГЕОМЕТРИЯ -
теория, изучающая внешнюю геометрию и связь между
внешней и внутренней геометрией
подмногообразий евклидова или риманова пространства.
П. м. г. является обобщением классич.
дифференциальной геометрии поверхностей в евклидовом
пространстве R3. Локально внутренняя и внешняя
геометрии погружения многообразия обычно описываются
соответственно с помощью первой и второй
квадратичных форм. Для погружений лг-мерного
многообразия Мт в многообразие Νη существует понятие
эквивалентности (см. Погружение многообразия). В
П. м, г. изучаются свойства, одинаковые у
эквивалентных погружений, т. е. свойства поверхности Fm,
определяемой погружением /. В связи с этим в
геометрических вопросах погружение и поверхность не
различаются. Погружение / индуцирует отображение
df : ТМт —►■ TNn касательных расслоений.
Первая квадратичная
(фундаментальная) форма ^ поверхности F определяется
на ТМт равенством
gp(X, Y) = ifip)(X, У),
где ρ ζ Мт, X, У ζ ТМт, a g — риманова метрика в Nn.
Здесь и далее векторы Χ ζ ТМт не различаются в
обозначениях с их образом df(X). Квадратичная форма g
определяет на Мт структуру риманова пространства
М™', свойства М™ составляют предмет внутренней
геометрии поверхности F. Если {xk}, {уа}, А=1, . . .,
т, а=1, . . ., /г,— локальные координаты в Мт и
Nn, то погружение / задается параметрич.
уравнениями ya=fa(x11 . . ., хт)> В локальных координатах
где {X'}, {У·7} — координаты векторов X, У,
а {#αβ} — компоненты метрич. тензора g риманова
пространства Nn.
К внутренней геометрии поверхности F принадлежат
такие понятия, как длина кривой, объем области,
связность Леви-Чивита six внутренней метрики, ее
преобразования кривизны R(X, Υ) Ζ и т. д. Относящиеся
сюда вычислит, формулы см. в ст. Риманова геометрия.
Вторая (фундаментальная) форма
Η определяется равенством
Н(Х, Y)P = (VXY)P~(VXY)P,
где у, у - связности Леви-Чивита на Nn, Mm
соответственно. Фактически Η зависит не от векторных
полей X, У, а лишь от их значений в точке ρ и является
билинейным симметричным отображением
(ТМ*)рх(ТМ**)р -+ (vM^)pt
где vMm — нормальное расслоение Мт в Nn. Для
каждого единичного вектора ξ ζ (vMm)p равенства
<Я(Х, У), l>p = hl(X, Y)p^<Al(X), Y>p
определяют вторую квадратичную
форму/i| ивторой фундаментальный
тензор i4|. В локальных координатах компоненты ft/у (ξ)
формы hi имеют вид
ox}dxJ
где {ξβ} — координаты вектора ξ.
Для формы ft| обычным образом (т. е. так же, как
для поверхности в евклидовом пространстве (R3)
определяют главные кривизны, главные направления
(зависящие от ξ) и другие связанные с ними понятия.
Исходя из элементарных симметрич. функций, можно
строить различные функции главных кривизн. Таковы,
напр., средняя кривизна
где {ξ/} —г ортонормированный набор нормалей, а
Kid) — главные кривизны формы ft,; кривизна
Чжэня — Лашофа
где щ — объем сферы S1; длина второй основной
формы
(см. [1] - [3]).
Значение первой и второй квадратичных форм
поверхности в точке ρ определяет ее вблизи ρ с
точностью до бесконечно малых 2-го порядка. Каждому
ξ ζ (vMm)p, |ξ| = 1, соответствует соприкасающийся
параболоид. (Для поверхности в евклидовом
пространстве — это соприкасающийся параболоид для
проекции поверхности на (иг+1)-плоскость, определяемую
(ТМт)р и ξ.) При т=п—1 (т. е. в случае
гиперповерхности) форма ftg единственна с точностью до знака.
В этом случае вторые фундаментальную и квадратичную
, формы не различают, и теория приобретает большое
[ сходство с классич. теорией поверхностей в R3.

361
Основные уравнения. Коэффициенты
первой и второй квадратичных форм не являются
независимыми. Они связаны уравнениями Гаусса и Петер-
сона — Кодацци — Майнарди.
Уравнения Гаусса
Я(Х, Y)Z = R(X, Y)Z-H (Χ,γχΖ)+Η (Υ,νχΖ) +
+ Η([Χ, У], Ζ) (1)
выражают преобразование кривизны поверхности F
через преобразование кривизны Νη и коэффициенты
квадратичных форм (здесь [· , ·] — скобка Пуассона).
Инвариантная форма уравнений Петерсона —
Кодацци — Майнарди связана с понятием риманова
расслоения над М™. Расслоение Ε (I) Z-мерных
плоскостей над римановым многообразием М™ наз. ρ и м а-
новым, если в Ε (I) задана риманова метрика < · , ·>£■
и риманова (т. е. согласованная с метрикой) связность
D : ТМпХ Ε ->- Ε. Билинейное ^-симметричное
отображение
Αι: TMmxE -+ TMm
наз. вторым фундаментальным
тензором в Е; равенство
<Я(Х, У), 1>ε = <ΑΐΧ, У>2
определяет вторую фундаментальную форму в Е,
ассоциированную с А%. Уравнения
4xAiY-4yAiX = Ad}Y-Ad X, (2)
R(X, Y)l = H(AiX, Y)-H(X, AiY)t (3)
где R — форма кривизны связности D, наз.
уравнениями Петерсона — Кодацци —Μ а й-
н а р д и. Уравнения (3) часто наз. уравнениями
Ρ и ч ч и (координатную запись уравнений (2) — (3)
см. в [1]). Уравнения (2) — (3) всегда выполнены,
если Ε (I) — нормальное расслоение Мт в Νη и Dxl
равно проекции νχ-ξ на (vMm)p.
Имеется следующее обобщение Бонне теоремы (см.
[2]). Пусть Ε (I) — риманово расслоение над односвяз-
ным М™ и пусть на Ε (I) задан второй фундаментальный
тензор Л|. Если при этом выполняются соотношения
(1) — (3), то существует изометрич. погружение М™
в евклидово пространство Rm + * с нормальным
расслоением Е(1). Такое погружение единственно в
следующем смысле: если /, /' — изометрич. погружения
М™ в Rm + l с нормальными расслоениями Ε, Ε',
оснащенными, как и выше, и нек-рая изометрия φ: Afg1-*. Μ™
накрывается отображением φ: Ε -> Ε', согласованным
с оснащенным, то существует такая изометрия Φ
пространства Кт+/, что Φο/=/Όφ.
Классы погружений. Многомерная П. м. г.
возникла и долгое время развивалась как теория
существования изометрич. погружений римановых
многообразий как правило в R", реже — в пространство
постоянной кривизны К (см. Изометрическое
погружение). Что касается внешне геометрич. свойств и
связей между внешней и внутренней геометрией
поверхностей, то она подробно изучена только для
двумерных поверхностей в R3. В этом случае существует
классификация точек поверхности, с помощью к-рой
двумерные поверхности разбиваются на классы:
выпуклые поверхности, седловые поверхности и
развертывающиеся поверхности. Именно эти классы
являются основным объектом изучения в дифференциальной
геометрии в целом. В многомерном случае такая
классификация точек поверхности неизвестна (1983).
Известны только нек-рые классы многомерных
поверхностей: /с-выпуклые, /с-седловые и /с-развертывающиеся.
)БРАЗИЙ ГЕОМЕТРИЯ 362
/с-в ыпуклые поверхности. Поверхность
рт в |Rn наз. /с-в ы π у к л о й, если для каждой точки
p£Fm существует нормаль ξ^ζ (vFm)p, для к-рой hp(\)
положительно определена, и для любого А;-мерного
направления Ok£(TFm)p, 2</c<m, найдется в σ&
двумерное направление σ2 такое, что hp(%)(X, У)>0
(либо hp(l)(X, У)=0) для каждого lp£ (vFm)p при
X, yga2, X, Уг-0. 2-выпуклая поверхность Fm в Rn
есть выпуклая гиперповерхность в R^ + LczRn (см.
[4]). Внутренняя метрика /с-выпуклой поверхности
обладает следующим свойством: в каждой точке ρ
для каждого /с-мерного направления σ& касательного
пространства найдется двумерное направление σ2ασ&
в к-ром риманова кривизна строго положительна.
/с-с едловые поверхности. Поверхность Fm
в Rn наз. /с-с е д л о в о й, если каждой ее точке ρ для
каждой нормали l£(vFm)p число собственных
значений hp(\) одного знака не превосходит (/с—1), 2</c<:m.
Двумерная /с-седловая поверхность есть обычная сед-
ловая поверхность в R", от к-рой нельзя отсечь
«горбушку» гиперплоскостью. Внутренняя метрика /с-сед-
ловой поверхности обладает следующим свойством:
в каждой точке ρ для каждого /с-мерного направления
Ok касательного пространства найдется двумерное
направление o2CZOk, в к-ром риманова кривизна не
положительна. Если /с-седловая поверхность полна в
IR", то ее гомологии Hi(Fm) = 0 при i>/c (см.[4], [5]).
Полная m-мерная /с-седловая поверхность Fm с
неотрицательной кривизной Риччи есть цилиндр с(т—
—/с+1)-мерной образующей.
/с-р азвертывающиеся (/с-п араболиче-
ские) поверхности. Поверхность Fm в Rn
наз. /с-р азвертывающейся, если в каждой ее
точке ρ существует /с-мерное направление OkC(TFm)p,
к-рое состоит из собственных векторов,
принадлежащих нулевому собственному значению матрицы второй
квадратичной формы относительно каждой нормали в
данной точке. Внутренняя метрика /с-развертывающей-
ся поверхности обладает следующим свойством: в
каждой точке ρ найдется подпространство σ&
касательного пространства (TFm)p размерности /с такое, что
Rxv=0 для любого вектора X^GkF·, гДе Υ ζ. (TFm)p —
любой вектор касательного пространства, Rxy—
оператор кривизны. Если /с-развертывающаяся
поверхность Fm полна в R" и несет на себе внутреннюю
метрику неположительной кривизны Риччи, то она
является цилиндром с /с-мерной образующей [6].
Свободные погружения. Если образ
Нр(Х, У) в каждой точке ρ ζFm имеет максимально
возможную размерность m(m-\-l)/2, то погружение
наз. свободным. В этом случае первые и вторые
производные радиус-вектора погружения Fm образуют
линейно независимую систему. В классе свободных
погружений существует изометрич. погружение в
размерность n>m(m-\-l)/2-\-3m-\-b, но при этом
полностью теряется связь между внутренней и внешней
геометрией. Напр., два свободных изометрич.
погружения лг-мерного многообразия Мт в Rn, n>m(m-\-
+ l)/2+3m+5, можно соединить гомотопией, состоящей
из свободных изометрич. погружений Мт (см. [7]).
Погружения с малой
коразмерностью. Если коразмерность q погружения мала, то
из условий на внутреннюю метрику многообразия
вытекают условия на вторую квадратичную форму
поверхности. А из свойств второй квадратичной формы
далее выводятся топологические и внешне геометрич.
свойства поверхности. В частности, получаются
теоремы непогружаемости. Так, если Мт с секционной
кривизной Kg <0 изометрически погружено в Rm+? с
д<лг, то Мт есть (д+1)-седловая поверхность и ее
гомологии (в случае полноты) Hk=Q при k^q-\-l
(см. [5]). В частности, компактное Мт с Ко <0 не
ПОГРУЖЕННЫХ МНОГС

363
ПОДВИЖНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА
364
может быть погружено в (R2ot_1(cm. [8], [9]). Если же
Ко <0, то Мт даже локально непогружаемо в R2"*-2
(см. [9]). Аналогично, Мт с Ко <1 непогружаемо в
сферу £2т~2радиуса 1. Компактное Fm в S2m~Y имеет
нулевую эйлерову характеристику и компактное па-
раллелиэуемое накрывающее многообразие, если Ко <1
(см. [10]). О поверхности Fm в Rm + Q при g<m+2r—2
и Ко <0 известно, что ее нормальные Понтрягина
классы удовлетворяют условию
Если Κΰ >0, то из q^.m—1 следует, что Fm есть (<?+1)-
выпуклая поверхность [9]. В частности, при q—\ —
это 2-выпуклая поверхность. Если Ко >0 и ?=2, то
компактная поверхность Fm, m^3, имеет гомологии
сферы [11]. Если Fm в Rm+(f имеет неположительную
секционную кривизну, то она —
(т—g(g+^-развертывающаяся и, в случае полноты, Fm есть цилиндр с
(т—я(д+1))-мерной образующей [10]. Если же Мт =
= М*Х Rn-k и q<s£n—2k, то погружение многообразия
Мт в R^ + tf есть (га—2к—д)-развертывающаяся
поверхность [8] и, в случае полноты, Fm есть цилиндр с
(т—2к—</)-мерной образующей. При более общих
предположениях компактная поверхность
Mm = MPiX...xMP(i -► R" + f, pi^2,
есть произведение гиперповерхностей [12].
Лит.: [1] Эйзенхарт Л., Риманова геометрия, пер.
с англ., М., 1948; [2] Chen В., Geometry of submanifolds,
Ν.Υ., 1973; [3] С hern S.-s.. Lashof R. K., «Amer. J.
Math.», 1957, v. 79. p. 306—18; [4] Ш e φ e л ь С. 3., «Сиб. ма-
тем. ж.», 1969, т. 10, № 2, с. 459—66; [5] Г л а з ы ρ и н В. В.,
«Докл. АН СССР», 1977, т. 233, №6, с. 1028—30; [6] Hart-
man P., «Trans. Amer. Math. Soc», 1965, v. 115, p. 94—109,
1970, v. 147, p. 529—40; [7] Громов Μ. Л.,«Докл. АН СССР»,
1970, т. 192, № 6, с. 1206—09; [8] Chern S., Kuiper N.,
«Ann. of Math:», 1952, v. 56, № 3, p. 422—30; [9]
Боровский Ю. Е.,ШефельС. 3., «Сиб. матем. ж.», 1978, т. 19,
№6, с. 1386—87; [10] Б о ρ и с е н к о Α. Α., «Матем. сб.»,
1977, т. 104, №4, с. 559—76; [И] Moore J., «Proc. Amer.
Math. Soc», 1978, v. 70, № l; [12] Gardner R. В., «Bull.
Amer. Math. Soc», 1977, v. 83, № l, p, l — 35.
В. А. Топоногов, С. 3. Шефелъ.
ПОДВИЖНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — особая точка
z0 решения дифференциального уравнения F(z, w, w') = 0
(F — аналитич. функция), рассматриваемого как
функция w(z) комплексного переменного ζ, при условии,
что решения того же уравнения с близкими начальными
данными имеют близкие к ζ0 особые точки, не
совпадающие с ζ0. Классич. пример П. о. т. возникает при
рассмотрении уравнения
dw Ρ (ζ, w)
dz ~ Q (z, w) '
где Ρ и Q — голоморфные функции в нек-рой области
пространства С2. Если поверхность {Q— 0} неприво-
дима и проектируется вдоль оси Ow на область QczOz,
то все точки области Ω являются П. о. т.; для решения
с начальным условием (z0, w0), где
Q = {z0, ^о)=0 φ Ρ (ζ0, w0),
точка z0 —·- алгебраическая точка ветвления.
Лит.: Ш Голубев В. В., Лекции по аналитической
теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1950
ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА МЕТОД -
дифференциально-геометрический метод локального исследования
подмногообразий различных однородных пространств,
исходным моментом к-рого является отнесение самого
подмногообразия и всех его геометрич. объектов к
возможно более общему (подвижному) реперу. П. р. м.
включает в себя последующий процесс канонизации
репера — инвариантного присоединения к каждой
точке подмногообразия единственного репера с целью
получения дифференциальных инвариантов,
характеризующих подмногообразие с точностью до
преобразований вмещающего его однородного пространства.
В наиболее общей форме П. р. м. был предложен Я. Кар-
таном (Е. Cartan, см. [1]), давшим разнообразные
образцы его применений. Позднее метод получил широкое
распространение и развитие (см. Продолжений и
охватов метод). Аналитич. основу П. р. м. составляют
инвариантные линейные дифференциальные формы
группы Ли и их структурные уравнения, а также теория
представлений групп Ли как групп преобразований.
В современной геометрии основные положения П. р. м.
потребовали уточнений и получили оформление в
терминах теории расслоенных пространств.
Пусть Хп есть и-мерное однородное пространство
и G есть г-мерная группа Ли его преобразований (G
действует слева). Пусть Xn=G/H — представление,
где HczG — группа изотропии (стационарности) нек-рой
точки x0£Xn\ (ek, еа), А=1, 2, . . ., л, α=η+1, . . .,
г,— базис левоинвариантных векторных полей на G
такой, что на Η еа составляют также базис
левоинвариантных векторных полей подгруппы Ли Я. Базису
(ek, ea) отвечает сопряженный базис левоинвариантных
линейных дифференциальных форм (θ*, θα) На группе
Ли G. Канонич. проекция л: G -> Хп, сопоставляющая
точкам х£Хп левые классы смежности n(x)=H#£G
группы G по подгруппе Н=НХ , вносит в группу Ли G
структуру главного Я-расслоения с базой Хп и
структурной группой Η размерности г—п. При таком
представлении G векторные поля еа составляют
базис фундаментальных векторных полей расслоения
π: G ->► Хп, а векторные поля ek натягивают
некрое трансверсальное к слоям расслоения π: G -> Хп
тг-распределение. В соответствии с этим линейные
дифференциальные формы Qk являются иолубазовыми
формами расслоения π: G —► Хп и образуют вполне
интегрируемую подсистему форм в системе (ΘΛ, θα).
Слои ΗxClG являются интегральными многообразиями
максимальной размерности для системы уравнений
Пфаффа θ*=0.
Системой реперов в классической
дифференциальной геометрии (евклидовой, аффинной,
проективной и т. д.) наз. множество фигур пространства
Хп, находящееся в биективном соответствии с
множеством преобразований пространства Хп (или, что то же
самое, с множеством элементов фундаментальной
группы G данного пространства), при этом любой репер R
из данной системы можно получить из нек-рого
начального R0 с помощью только одного преобразования:
Lg:Xn+Xn, R=Lg(R0),g£G.
Учитывая,что главная роль подвижного репера Lg(RQ) =
= Rg по отношению к неподвижному RQ состоит в
том, чтобы определять произвольное преобразование
Lg однородного пространства Х„, можно отождествить
множество реперов {Rg} с множеством элементов
группового пространства G, приобретающих таким
образом смысл абстрактных реперов, обслуживающих
любое однородное пространство с данной
фундаментальной группой G.
Пусть задано нек-рое гладкое подмногообразие
МаХп размерности т. Репера αϊ и нулевого
порядка подмногообразия Μ наз. элементы
ограничения G (я, Μ) = G \M a G расслоения я: G -> Хп
на Λ/, как на новую базу. Это значит, что главное
расслоение G(n, Μ) -> Μ вложено bGii определяется
в нем как полный прообраз π-1 (Μ) czG. Так как ле-
воинвариантные формы θ*, θα на группе Ли G
подчиняются уравнениям Маурера — Картана
dQ* = YCbm& AQm + CffaBl Λ θ*, \
<№* = ±-С%у№л W + C*kWA Q*+-rCfmQl Λ θ*, Μ1)
Α, Ζ, m = l, 2, ...,/?; α, β, y—n-\-1, .. ., r, J

365 подвижного
где C/m. С/α, £βν, C$k, Cfm — структурные константы
группы Ли, то ограничение форм θ*, θα на подрас-
слоение G(n, Μ), т. е. формы ω*, ωα, будет подчиняться
таким же уравнениям, но, сверх того, среди форм ω*
возникнут линейные зависимости
ωΡ = ΑΡωα,α = ί, 2, ..., т; р = т+1, ..., п, (2)
где ωα — формы, оставшиеся вместе с ωα линейно
независимыми на главном расслоенном пространстве
£?(π, Μ) -> Μ, a Λ? — функции, также определенные
на расслоении реперов нулевого порядка G(n, М)-+М.
Функции Λζ являются координатами касательной
плоскости Тх(М)аТх(Хп) подмногообразия МаХп,
зависящими от точки х£М и репера
л ζπ-1 (*) = #* с с (π, Μ).
Касательные плоскости χ -> ТХ(М) образуют сечение
/: Μ ^-<§т(М) грассманова расслоения <§т(М)-+М
т-плоскостей, проходящих через точки
Подмногообразия M(zXn. Расслоение <§т(М) -> Μ является
присоединенным к главному расслоению 6τ(π, Μ) -+ Μ.
Структура функций Λζ характеризуется уравнениями
явный вид к-рых можно получить внешним
дифференцированием уравнений (2) с помощью (1) и
последующим применением леммы Картана. Функции
Л?, А^ь являются относительными координатами 1-
струи j\j сечения / по отношению к подвижному реперу
R ζ л-1 (х) точки х£М. Геометрич. объект/ί/ образует
также сечение у1/: Μ -► $т(М) соответствующего
расслоенного пространства ^т{Щ ->- М,
присоединенного к главному расслоению 0(π, Μ) -> Μ.
Аналогичным образом возникает сечение j2f: Μ —►^(Μ) с
координатами Ag, A^, А%ьс образующего его
геометрич. объекта, а также его последующие
продолжения /3/, . . ., j9f, к-рым соответствуют
дифференциальные продолжения уравнений (3).
До тех пор пока расслоение $^(М)-*М, к-рому
принадлежит сечение jqf(M), является однородным,
возможна редукция Gq(n, M) главного расслоения
G(n, Μ) -+ Μ реперов к нек-рой подгруппе НсН,
определяемая по Картану с помощью нек-рой фикса-
ции относительных координат Ag, Λ£$, . . ., AJ
геометрия, объекта Д/, не зависящей от точки χζΜ.
Так определяется частичная канонизация репера.
Реперы R£Gq(л, М) наз. полу
каноническими реперами порядка #+1 данного
подмногообразия МаХп. Если же следующее продолжение
дает геометрич. объекты, группа стационарности к-рых
содержит лишь тождественное преобразование, то
возможна фиксация лишь части координат геометрич.
объекта сечения jq + 1f, не зависящая от точки х, после
чего оставшаяся часть координат Л геометрич. объекта
j9 + 1f зависит только οί χζΜ. Таким образом возникает
сечение s: Μ -> G(n, M) расслоения реперов нулевого
порядка подмногообразия МаХп. Репер R = s(x) этого
сечения наз. каноническим репером
подмногообразия MczXn, или сопровождающим
репером этого подмногообразия. Описанный выше
процесс продолжения уравнений (3) и выбранный
способ фиксации функций Л приводит к уравнениям
ш/> = Л£шй, ωα=Λ^ωα, (4)
связывающим линейные формы ω*, ωα на сечении s (Μ).
Поле канонич. репера строится не однозначно, а
зависит от произвола фиксации относительных коор-
РЕПЕРА МЕТОД 366
I динат геометрич. объекта j(1 + 1f. Важно лишь то, что
часть коэффициентов уравнения (4) имеет постоянные
(при желании наиболее простые) числовые значения,
тогда как другая часть их образует дифференциальные
инварианты подмногообразия МаХп, определяющие
его с точностью до преобразования в Хп. Канонич.
реперы сечения s(M) являются аналогом классич.
примера — сопровождающего репера Френе кривой
евклидова пространства, а уравнения (4) соответствуют
уравнениям Френе кривой. На пути канонизации
репера могут возникать осложнения, связанные с
неоднородностью расслоений %qm{M) и
разнотипностью в этом смысле различных подмногообразий Μ в
Хп и даже их отдельных кусков. На этом и
основывается классификация различных типов точек и
различных классов подмногообразий в Хп. Благодаря
этим особенностям П. р. м. сыграл плодотворную роль
в изучении подмногообразий в разнообразных
однородных пространствах и, кроме того, указал путь к
развитию современных методов исследования самых
общих дифференциально-геометрич. структур на
гладких многообразиях.
Лит.: [1] Кар тан Э., Теория конечных непрерывных
групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом
подвижного репера, пер. с франц., М., 1963; [2] Фа в ар Ж.,
Курс локальной дифференциальной геометрии, пер. с франц.,
М., 1960; [3] Карта н Α., Дифференциальное исчисление.
Дифференциальные формы, пер. с франц., М., 1971; [4]
Фиников СП., Метод внешних форм Картана в
дифференциальной геометрии, М.— Л., 1948. Е. Л. Евтушик.
ПОДВИЖНЫХ СЕТОК МЕТОД — метод численного
решения задач математич. физики, где разностная
сетка, на к-рой осуществляется аппроксимация
уравнений основной задачи, не остается фиксированной;
она прослеживает в процессе расчета изменение
границ счетных областей. Простейшая разностная сетка,
получаемая точками пересечения прямых,
параллельных осям декартовой системы координат
(прямоугольная сетка), -позволяет максимально упростить
разностные уравнения, описывающие основную задачу.
Однако адекватное представление на ней границ сложной
формы и задаваемых на них граничных условий
связано со значительными трудностями, зачастую
непреодолимыми при ограниченных ресурсах ЭВМ. Эти
трудности особенно возрастают при решении
нестационарных задач математич. физики, когда границы
расчетных областей подвижны и претерпевают
значительную деформацию. Построение системы координат с
координатными линиями, совпадающими с границами,
становится существенной частью алгоритма решения
таких задач.
При применении П. с. м. в каждый фиксированный
момент времени счетная область разрезается на
конечное число ячеек сетки, не налегающих друг на
друга и заполняющих всю область без зазоров. В
случае двух пространственных переменных с точки зрения
практич. реализации наиболее удобно счетную область
двумя семействами линий разрезать на
четырехугольные ячейки. Тогда становится простой нумерация
ячеек (аналогичная нумерации элементов матрицы по
строкам и столбцам).
Расчет координат узлов такой сетки можно
трактовать как разностный аналог задачи об отыскании
функций х(1, η), ι/(ξ, η), обеспечивающих однолистное
отображение на область физич. плоскости (х, у), в
к-рой проводится расчет, нек-рой параметрич. области
на плоскости (ξ, η), напр. единичного квадрата 0<ξ<1,
0<η<1. Граничные значения этих функций
устанавливают нек-рое взаимно однозначное соответствие
между точками на сторонах параметрич. квадрата и на
границах физич. области. Это соответствие
целесообразно оставлять в распоряжении вычислителя, к-рый
расставляет узлы сетки на границе счетной области,

367 под]
исходя из конкретного содержания задачи и
имеющихся ресурсов.
Для областей несложной формы координаты узлов
сетки можно вычислять по явным формулам,
основанным на использовании интерполяции или конкретного
вида отображения. В случае сложных областей
приходится прибегать к итерационному процессу, в ходе
к-рого положение узла сетки на каждой итерации
пересчитывается в зависимости от положения его
соседей. Такие итерационные процессы, как правило,
моделируют решение нек-рой системы
дифференциальных уравнений с частными производными. При их
конструировании зачастую в той или иной форме
привлекаются конформные и квазиконформные
отображения.
Структура решения задач математич. физики (напр.,
задач газовой динамики) может характеризоваться
наличием зон, в к-рых происходит резкое изменение
параметров потока. Размеры таких зон могут быть
существенно меньше характерного линейного размера
задачи, а их местонахождение заранее неизвестно и,
кроме того, может меняться в процессе расчета. В связи
с этим разрабатываются алгоритмы, к-рые позволяли
бы использовать в расчетах сетки, сгущающиеся в
таких зонах.
С целью создания надежных вычислительных
алгоритмов задача построения сетки зачастую
формулируется как задача минимизации нек-рого
вариационного функционала. Функционал может содержать
управляющие параметры, изменение к-рых
обеспечивает определенную свободу и возможность
приспосабливать рассчитываемую сетку к особенностям
конкретной задачи.
Лит.: [1] Численное решение многомерных задач газовой
динамики, М., 1976; [2] Сидоров А. Ф., «Численные
методы механики сплошной среды», 1977, т. 8, № 4, с. 149—56;
[3] Мещеряков Ю. П., Ш а п е е в В. П., там же, 1978,
т. 9, № 2, с. 91—103; [4] Д а н а е в Н. Т., там же, 1979, т. 10,
№ 4, с. 60—74; [5] Томас П. Д., Μ и д д л к о φ φ Д. Φ-,
«Ракетная техника и космонавтика», 1980, т. 18, № 7, с. 55—61.
Г. П. Прокопов.
ПОДГРУПП РЯД — конечная цепочка вложенных
одна в другую подгрупп группы G:
E = GQ<=G1<= ...<^Gn = G (*)
или
G = Gi2G23 ...^Gn + 1 = E.
Рассматриваются также бесконечные цепочки
вложенных подгрупп (убывающие и возрастающие),
занумерованные порядковыми числами или даже элементами
упорядоченного множества. Их чаще наз. подгрупп
системами.
Важную роль в теории групп играют
субнормальные, нормальные и центральные ряды. П. р. (*) наз.
субнормальным, если каждый его предыдущий
член есть нормальная подгруппа следующего члена.
Если, кроме того, каждая подгруппа 6?г·, ί= 0, 1, . . .,
η, нормальна в G, то ряд (*) наз. нормальным
рядом в G. Существует и иная терминология, в
к-рой нормальным рядом наз. то, что здесь названо
субнормальным, а для второго определенного здесь
понятия используется термин «инвариантный
ρ я д» (преобладает, однако, первая терминология).
Факторгруппы Gi+1/G( наз. факторами, а число
η — длиной субнормального ряда. Нормальный
ряд (*) наз. центральным, если все его факторы
центральны, т. е. Gi + llGi лежит в центре группы
G/G( для всех ί или, что равносильно, взаимный
коммутант Gi + 1 и G лежит в £?,· для всех ί. Если Gi+i/Gi
в точности совпадает с центром группы GlG(
(соответственно коммутант Gi+1 и G совпадает с (?,·) для всех
г, то ряд (*) наз. верхним центральным
рядом (соответственно нижним
центральным рядом) группы G.
упп 368
Пусть в группе G заданы субнормальный
(соответственно нормальный или центральный) ряд и нек-рая
подгруппа H^G и пусть Hi=Gif\H1 i=0, 1, . . ., п.
Тогда цепочка
Е = Н0^Нг^ ....^ЯИ = Я
является субнормальным (соответственно нормальным
или центральным) рядом в Я, а факторы этого ряда
изоморфны подгруппам соответствующих факторов
ряда (*). Если GIN — нек-рая факторгруппа группы
G, то цепочка
Ε = G0N/N ^ GxN/N ^.. .^GnN/N = G/N
является субнормальным (соответственно нормальным
или центральным) рядом в G/N, а факторы этого ряда
суть гомоморфные образы соответствующих факторов
ряда (*).
Два субнормальных (в частности, нормальных)
ряда группы наз. изоморфными, если они имеют
одинаковую длину и между их факторами существует
взаимно однозначное соответствие, при к-ром
соответствующие факторы изоморфны. Если всякая
подгруппа одного ряда совпадает с одной из подгрупп
другого, то второй ряд наз. уплотнением
первого. Неуплотняемый далее нормальный ряд наз.
главным, а субнормальный —
композиционным. Факторы этих рядов наз. соответственно
главными и композиционными
факторами. Любые два субнормальных (соответственно
нормальных или центральных) ряда группы обладают
изоморфными субнормальными (соответственно
нормальными или центральными) уплотнениями. В
частности, любые два главных (композиционных) ряда
изоморфны (см. Жордана — Гёлъдера теорема).
Лит.: [1] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.,
Основы теории группы, 3 изд , М., 1982; [2] Черников
С. Н., Группы с заданными свойствами системы подгрупп, М.,
1980. Н. С. Романовский.
ПОДГРУПП СИСТЕМА — множество 21 подгрупп
группы 6г, удовлетворяющее условиям: 1) Ш содержит
единичную подгруппу 1 и саму группу G, 2) 21 линейно
упорядочено по вложению, т. е. для всяких Л, В из
Ж либо Л<=#, либо Βς^ζΑ. Говорят, что подгруппы А,
Л' из 51 составляют скачок, если А'
непосредственно следует за Л в 5Ϊ. П. с, замкнутая
относительно объединений и пересечений, наз. полной.
Полная П. с. наз. субнормальной, если для
всякого скачка А, А' этой системы А является
нормальной подгруппой в А'. Факторгруппы ΑΊΑ наз.
факторами системы Ж. П. с, все члены к-рой
суть нормальные подгруппы группы G, наз.
нормальной. В случае, когда одна субнормальная система
содержит (в теоретико-множественном смысле) другую,
первую из них наз. уплотнением второй.
Нормальная П. с. наз. центральной, если все ее
факторы центральны, т. е. ΑΊΑ содержится в центре
G/A для всякого скачка Л, А'. Субнормальная П. с.
наз. разрешимой, если все ее факторы абелевы.
Наличие в группе тех или иных П. с. выделяет в
классе всех групп различные подклассы, наиболее
употребительны из к-рых RN, RN*, RN, RI, RI*, RI,
Ζ, ΖΑ, ZD, Ζ, Ν, Ν— классы Куроша —
Черникова:
i?vV-rpynna — обладает разрешимой субнормальной
П. с;
RN*-группа — обладает разрешимой субнормальной
П. с, вполне упорядоченной по возрастанию;
i?7V-rpynna — всякую субнормальную П. с. этой
группы можно уплотнить до разрешимой
субнормальной;
R/-группа — обладает разрешимой нормальной П. с ;

369 подкатегория
Л/*-рруппа — обладает разрешимой нормальной
П. с, вполне упорядоченной по возрастанию;
R/-группа — всякую нормальную П. с. этой группы
можно уплотнить до разрешимой нормальной;
Z-группа — обладает центральной П. с;
Ζ А -группа — обладает центральной П. с, вполне
упорядоченной по возрастанию;
ZD-группа — обладает центральной П. с, вполне
упорядоченной по убыванию;
Z-группа — всякую нормальную П. с. такой группы
можно уплотнить до центральной;
iV-группа — через всякую подгруппу такой группы
проходит субнормальная П. с;
^-группа — через всякую подгруппу такой группы
проходит субнормальная П. с, вполне упорядоченная
по возрастанию.
Частный случай П. с— подгрупп ряды.
Лит.: [1J Курош А. Г., Теория групп, Зйзд., М., 1967;
£2] Черников С. Н., Группы с заданными свойствами
системы подгрупп, М., 1980; [3] К а ρ г а π о л о в М. И., Μ е ρ з-
л я к о в Ю. И , Основы теории групп, 3 изд., М., 1982.
Н. С. Романовский.
ПОДГРУППА — подмножество Η группы G, само
являющееся группой относительно операции,
определяющей G. Подмножество Η группы G является ее
подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) Η
содержит произведение любых двух элементов из #, (2) Я
содержит вместе со всяким своим элементом h
обратный к нему элемент /ι-1. В случае конечных и, вообще,
периодич. групп проверка условия (2) является
излишней.
Подмножество группы G, состоящее из одного
элемента 1, будет, очевидно, подгруппой, и эта П. наз.
единичной П. группы G и обозначается обычно
символом Е. Сама G также является своей П. Всякая
П., отличная от всей группы, наз. истинной П.
этой группы. Истинная П. нек-рой бесконечной группы
может быть изоморфна самой группе. Сама группа G
и подгруппа Ε наз. несобственными П.
группы G, все остальные — собственными.
Теоретико-множественное пересечение любых двух
(и любого множества) П. группы G является П.
группы G. Пересечение всех П. группы G, содержащих все
элементы нек-рого непустого множества М, наз.
подгруппой, порожденной множеством
М, и обозначается символом {М}. Если Μ состоит из
одного элемента а, то {а} наз. циклической П.
элемента а. Группа, совпадающая с одной из своих
циклических П., наз. циклической группой.
Теоретико-множественное объединение П., вообще
говоря, не обязано являться П. Объединением
подгрупп Ηι, ίζΐ, наз. П., порожденная
объединением множеств #,.
Произведение подмножеств Sx и S2 группы G есть
множество, состоящее из всевозможных (различных)
произведений sxs2, где SjCSg, s2£S2. Произведение
подгрупп НгН2 есть П. тогда и только тогда, когда
Н1Н2=Н2Н1, и в этом случае произведение ΗΧΗ2
совпадает с объединением подгрупп Нх и Н2.
Гомоморфный образ П.— подгруппа. Если группа
Gx изоморфна нек-рой подгруппе Η группы G, то
говорят, что группа Gx может быть вложена в группу G,
Если даны две группы и каждая из них изоморфна
нек-рой истинной П. другой, то отсюда еще не следует
изоморфизм самих ЭТИХ групп. О. А. Иванова.
ПОДГРУППЫ ИНДЕКС в группе G — число
смежных классов в каждом из разложений группы G
по этой подгруппе Η (в бесконечном случае —
мощность множества этих классов). Если число смежных
классов конечно, то Η наз. подгруппой
конечного индекса в G. Пересечение конечного
числа подгрупп конечного индекса само имеет
конечна
, 1981
Мерзляков
; [2] Курош
О. А. Иванова.
370
ный индекс (теорема Пуанкаре). Индекс
подгруппы Я в группе G обычно обозначается \G : Н\.
Произведение порядка подгруппы Η на ее индекс
\G : Н\ равно порядку группы G (т е о ρ е м а Л а г-
р а нж а). Это соотношение имеет место как для
конечной группы G, так и в случае бесконечной G —
для соответствующих мощностей.
Лит.: [1] Каргаполов М.
Ю. И., Основы теории групп, 3 изд., Μ
А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.
ПОДЕРА, подэра, кривой
I относительно точки О —
множество оснований
перпендикуляров, опущенных из точки
О на касательные к кривой
I. Напр., улитка Паскаля —
П. окружности относительно
точки О (см. рис.). П. плоской
линии x=x(t), y=y(t)
относительно начала координат:
XX'+УУ' V—y
X-
Y-
• хх' +уу'
х'2 + у'2
Уравнение П. пространственной линии х— x(t),
— y(t)> z=z(t) относительно начала координат:
х=х-х' "f,+t+»' ; Y=v-y' ^r^~;
x'2 + y'2 + z'2 ' * * x'z + y'2 + z'z *
У=
7 , хх'-\-уу' + zz'
χ 2 + y'2 + z'2 *
Антиподерой линии I относительно точки О
наз. линия, П. к-рой относительно точки О есть
линия I.
П. поверхности относительно точки О —
множество оснований перпендикуляров, опущенных
из точки О на касательные плоскости поверхности.
Уравнение П. поверхности F(x, у, z) = 0 по отношению
к началу координат:
где
xFx+yFy+zF
φ.
Fi + Ffj + Fi
Α. Б. Иванов.
ПОДКАСАТЕЛЬНАЯ И
ПОДНОРМАЛЬ — направленные
отрезки QT и (λ/V, являющиеся
проекциями на ось Ох
отрезков касательной МТ и
нормали ΜΝ к нек-рой кривой в ее
точке Μ (см. рис.).
Если кривая есть график функции y=f(x), то
значения величин П. и п. равны соответственно:
fix)
QT=-ff£ , QN = f(z)f'(x),
Если кривая задана пара-
где χ — абсцисса точки Μ
метрически:
то тогда
QT-
ψ(*)φ' (*)
QN =
Ψ (*)ψ' (t)
где t — значение параметра, определяющее точку Μ
кривой. БСЭ-з.
ПОДКАТЕГОРИЯ — частный случай понятия
подструктуры математич. структуры. Категория £ наз.
подкатегорией категории $, если ОЬ&=
<=ОЫ,
#β (Α, Β)=Ηχ(Α, Я)ПМог Я
для любых Л, В ζ Obi и произведение морфизмов
из £ совпадает с их произведением в Я. Для каждого

371
ПОДМАТРИЦА
372
подкласса £' класса ОЬ$ существуют наименьшая и г
наибольшая подкатегории £х и £2 категории Я, клас- ι
сы объектов к-рых совпадают с £'; подкатегория £х
содержит только единичные морфизмы объектов из
£' и наз. дискретной П., порожденной
£'; подкатегория £2 содержит все морфизмы из Я',
начала и концы к-рых лежат в {' и наз. полной
П., порожденной £'. Всякая подкатегория
£ категории Я, для к-рой #й (Л, В)=Н$(А, В)
для любых Л, 5 ζ Obi, наз. полной П. катего- '
рии Я. Полными П. являются: П. непустых множеств
в категории всех множеств, П. абелевых групп в
категории всех групп и т. д. Для малой категории φ
полная П. катего.рии всех контравариантных функторов
из φ в категорию множеств, порожденная основными
функторами, изоморфна категории 3). Этот результат
позволяет строить пополнение произвольной малой
категории пределами и копределами.
Произвольная П. категории Я не наследует никаких
свойств этой категории. Однако существуют важные
классы П., наследующих многие свойства
объемлющей категории, таковы, напр., рефлективные П., ко-
рефлективные П. м. ш. Цаленко.
ПОДМАТРИЦА матрицы А размера
тХп — матрица размера kXl, где 1</с<га, 1</<?г,
образованная элементами, находящимися на
пересечении фиксированных к строк и I столбцов матрицы А
с сохранением прежнего порядка. Определитель
квадратной П. порядка к матрицы А наз. минором
к-ТО порядка матрицы А . Т. С. Пиголкина.
ПОДМНОГООБРАЗИЕ — 1) В узком смысле слова
топологическое д-мерное П. топологического ш-мер-
ного многообразия Μ — такое подмножество NczM,
к-рое в индуцированной топологии является и-мерным
многообразием. Число m — η наз.
коразмерностью подмногообразия N. Наиболее часто
встречаются локально плоские П., для к-рых
тождественное вложение i: N-+M является локально плоским
вложением. Подмножество NczM является локально
плоским П., если для каждой точки ρζΝ имеются
такая окрестность U этой точки в Μ и такие
локальные координаты χλ, . . ., хт в ней, что в терминах этих
координат N[\U описывается уравнениями xn+i=
= . . . = хт=0.
2) В широком смысле слова топологическое тг-мер-
ное П. топологического /га-мерного многообразия Μ —
такое тг-мерное многообразие Ν, к-рое как
множество точек является подмножеством Μ (иными словами,
N — это подмножество М, снабженное структурой п-
мерного многообразия) и для к-рого тождественное
вложение i\ N^*M является погружением. П. в узком
смысле является П. в широком смысле, а последнее
является П. в узком смысле тогда и только тогда,
когда i есть вложение в топологич. смысле (т. е. у
каждой точки ρζ,Ν имеется сколь угодно малые
окрестности в Ν, являющиеся пересечениями с N нек-рых
окрестностей в М).
3) Кусочно линейное,
аналитическое или дифференцируемое (класса
С1, Ζ<οο) Π. кусочно линейного, аналитического или
дифференцируемого (класса Ck, Z</c<oo)
многообразия Μ в широком смысле (соответственно узком) —
это подмножество ΝαΜ, к-рое снабжено структурой
кусочно линейного, аналитического или
дифференцируемого (класса С1) многообразия, причем ί является
кусочно линейным, аналитическим или
дифференцируемым (класса &) погружением (соответственно
вложением). Определение дифференцируемого П. класса
С1 годится и при /=0, совпадая в этом случае с
определением топологического II. Обычно подразумевается,
что Ζ>1.
В аналитическом и дифференцируемом случаях П.
всегда является локально плоским. Поэтому
определение аналитического (дифференцируемого) П. в узком
смысле обычно с самого начала формулируется как
аналитический (дифференцируемый) вариант данного
в 1) определении локально плоского П. с помощью
локальных координат, добавляя к сказанному там
условию, чтобы локальные координаты xlt . . ., хт были
аналитическими (дифференцируемыми класса С1). Если
подмножество N удовлетворяет последнему
определению, то оно естественным образом снабжается
структурой аналитического (дифференцируемого класса С1)
многообразия и i оказывается вложением в смысле
соответствующей структуры.
Кусочно линейное П. в узком смысле локально
представляется как подполиэдр объемлющего
многообразия, кусочно линейно эквивалентный симплексу. Оно
не всегда является локально плоским (хотя это так при
т — ?г>2); кроме того, для таких П. свойство быть
локально плоским в топологич. смысле не совпадает
(по крайней мере непосредственно) со свойством быть
локально плоским в кусочно линейном смысле.
4) Простой модификацией этих определений
получаются определения: П. с краем; П. многообразия
с краем (при этом в ряде топологич. вопросов
оказывается целесообразным ограничить возможные
расположения П. у края объемлющего многообразия, см.
[1]); П., различные компоненты к-рого могут иметь
различную размерность; П. бесконечномерного
многообразия [2]; комплексно аналитического П. комплексно
аналитического многообразия.
Понятие П. в узком смысле является
непосредственным обобщением понятия кривой и поверхности. П.
в широком смысле используются в теории групп Ли
(где это понятие и было впервые введено [3]),
дифференциальной геометрии [4] и теории слоений.
5) В алгебраической геометрии П.— замкнутое
подмножество алгебраич. многообразия в Зариского
топологии. Этим формализуется идея, что П. задается
алгебраич. уравнениями. Помимо перехода от R к
другим полям, изменение понятия П. в этом случае
состоит в том, что допускаются П. с особенностями.
Лит.: [1] Рохлин В. Α., Φ у к с Д. Б., Начальный
курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; [2] Л е н г С,
Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер.
с англ., М., 1967; [3] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер.
с англ., т. 1, М., 1948; [4] С τ е ρ н б е ρ г С, Лекции по
дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970. Д. В. Аносов.
ПОДМОДУЛЬ — подмножество модуля, являющееся
I подгруппой его аддитивной группы и замкнутое
относительно умножения на элементы основного кольца.
В частности, левый (правый) идеал кольца R
является П. левого (правого) Я-модуля R. П., отличный
от всего модуля, наз. собственным. Множество
П. данного модуля, упорядоченное по включению,
является полной дедекиндовой решеткой (см. Вполне
приводимый модуль). Если φ — гомоморфизм модуля
А в модуль Ву то множество
Кег φ = {χ Ι χ ζ Α, φ (χ) — 0}
оказывается П. модуля А и наз. ядром
гомоморфизма φ. Каждый П. служит ядром некоторого
гомоморфизма. П. наз. большим (или
существенным), если он имеет ненулевое пересечение
с любым другим ненулевым П. Напр., целые числа
образуют большой П. группы рациональных чисел.
Каждый модуль является большим П. своей инъектив-
ной оболочки (см. Инъективный модуль). Подмодуль
А модуля В наз. малым (или косуществен-
н ы м), если для любого подмодуля А' <Ξ=Β равенство
А+А' = В влечет А'—В. Малым оказывается, напр.,
всякий собственный П. цепного модуля. Малый П.
| образуют необратимые элементы локального кольца.

373
ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ
374
Сумма всех малых П. совпадает с пересечением всех
максимальных П. Левый идеал 1 принадлежит
радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда IM
мал в Μ для всякого конечно порожденного левого
модуля Μ. Элементы малого П. являются н е о б ρ а-
з у ю щ и м и, т. е. любая система образующих
модуля остается таковой после удаления любого из этих
элементов (это, конечно, не означает, что их можно
удалить все сразу!). Радикал Джекобсона кольца
эндоморфизмов модуля совпадает с множеством
эндоморфизмов, имеющих малый образ.
Лит.. [1] Каш Φ , Модули и кольца, пер. с нем., М., 1981,
[2] Φ е й с К., Алгебра кольца, модули и категории, пер. с
англ., т. 1 — 2, М., 1977—79. Л. А. Скорняков.
ПОДОБИЕ — преобразование евклидова
пространства, при к-ром для любых двух точек А, В и их
образов А', В' имеет место соотношение \А'В'\ = к\АВ\,
где к — положительное число, называемое
коэффициентом П.
Каждая гомотетия является подобием. Каждое
движение (в том числе и тождественное) также можно
рассматривать как преобразование П. с
коэффициентом к, равным единице. Фигура F наз. подобной
фигуре F', если существует преобразование П., при
к-ром F^hf. П. фигур является отношением
эквивалентности, т. е. обладает свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности. П. есть взаимно
однозначное отображение евклидова пространства на
себя; П. сохраняет порядок точек на прямой, т. е.
если точка В лежит между точками А, С и В', А',
С— соответствующие их образы при нек-ром П., то
В' также лежит между точками А' и С; точки, не
лежащие на прямой, при любом П. переходят в точки,
не лежащие на одной прямой. П. преобразует прямую
в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол,
окружность в окружность. При П. угол сохраняет
величину.
П. с коэффициентом кф\, преобразующее каждую
прямую в параллельную ей прямую, является
гомотетией с коэффициентом к или —/с. Каждое II. можно
рассматривать как композицию движения D и нек-рой
гомотетии Г с положительным коэффициентом.
П. наз. собственным
(несобственным), если движение D является собственным
(несобственным). Собственное П. сохраняет ориентацию
фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на
противоположную.
Аналогично определяется П. (с сохранением
указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом
пространстве, а также в /г-мерном евклидовом и
псевдоевклидовом пространствах.
В /г-мерных римановых, псевдоримановых и финсле-
ровых пространствах П. определяется как
преобразование, переводящее метрику пространства в себя
с точностью до постоянного множителя.
Совокупность всех П. /г-мерного евклидова,
псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финсле-
рова пространства составляет г-членную группу
преобразований Ли, наз. группой подобных
(гомотетических) преобразований
соответствующего пространства. В каждом из пространств
указанных типов г-членная группа подобных
преобразований Ли содержит (/·—1)-членную нормальную
подгруппу движений.
Представляют интерес метрич. пространства
векторных плотностей с группами П. и изометрий,
содержащими бесконечномерные подгруппы изометрий с
общими траекториями. И. П. Егоров.
ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ — учение об исследовании фи-
зич. явлений, основанное на понятии о физич. подобии.
Два физич. явления подобны, если по
численным значениям характеристик одного явления можно
получить численные значения характеристик другого
явления простым пересчетом, к-рый аналогичен
переходу от одной системы единиц измерения к другой.
Для всякой совокупности подобных явлений все
соответствующие безразмерные характеристики
(безразмерные комбинации из размерных величин) имеют
одинаковое численное значение (см. Размерностей
анализ). Обратное заключение тоже верно, т. е. если все
соответствующие безразмерные характеристики для
двух явлений одинаковы, то эти явления физически
подобны.
Анализ размерностей и П. т. тесно связаны между
собой и положены в основу экспериментов с моделями.
В таких экспериментах осуществляются замены
изучения нек-рого явления в натуре изучением
аналогичного явления на модели меньшего или
большего масштаба (обычно в специальных лабораторных
условиях).
После установления системы параметров,
определяющих выделенный класс явлений, устанавливаются
условия подобия двух явлений. Именно, пусть
явление определяется η независимыми параметрами,
нек-рые из к-рых могут быть безразмерными. Пусть, да*
лее, размерности определяющих переменных и физич.
постоянных выражены через размерности к из этих
параметров с независимыми размерностями (&<:/ι).
Тогда из η величин можно составить только п—к
независимых безразмерных комбинаций. Все искомые
безразмерные характеристики явления можно
рассматривать как функции от этих η—k независимых
безразмерных комбинаций, составленных из
определяющих параметров. Среди всех безразмерных величин,
составленных из определяющих характеристик
явления, всегда можно указать нек-рую базу, т. е. систему
безразмерных величин, к-рые определяют собой все
остальные.
Определенный соответствующей постановкой задачи
класс явлений содержит явления, вообще неподобные
между собой. Выделение из него подкласса подобных
явлений осуществляется с помощью следующего
условия.
Для подобия двух явлений необходимо и достаточно,
чтобы численные значения безразмерных комбинаций,
составленных из полного перечня определяющих
параметров, образующих базу, в этих двух явлениях были
одинаковы. Условия о постоянстве базы отвлеченных
параметров, составленных из заданных величин,
определяющих явление, наз. критериями
подобия.
В гидродинамике важнейшими критериями подобия
являются Рейнолъдса число, характеризующее
соотношение между инерционными силами и силами
вязкости, Маха число, учитывающее сжимаемость газа, и
Фру да число, характеризующее соотношение между
инерционными силами и силами тяжести. Основными
критериями подобия процессов теплопередачи между
жидкостью (газом) и обтекаемым телом являются:
Прандтля число, характеризующее термодинамич.
состояние среды; Нусселъта число, характеризующее
интенсивность конвективного теплообмена между
поверхностью тела и потоком жидкости (газа); Пекле
число, характеризующее соотношение между
конвективным и молекулярным процессами переноса тепла
в жидкости; Стэнтона число, характеризующее
интенсивность диссипации энергии в потоке жидкости
или газа. Для распределения тепла в твердом теле
критериями подобия являются Фурье число,
характеризующее скорость изменения тепловых условий в
окружающей среде и скорость перестройки поля темп-ры
внутри тела, и число Био, определяющее характер
соответствия между температурными условиями среды
и распределением температуры внутри тела. В про-

375 подобна
цессах, изменяющихся с течением времени, основными
критериями подобия, характеризующими
одинаковость протекания процессов во времени, являются
критерии гомохронности. В задачах
аэрогидромеханики этот критерий наз. Струхаля числом. Критерием
подобия механич. движения является Ньютона число.
При изучении упругих деформаций критерием подобия
является коэффициент Пуассона.
Если условия подобия выполнены, то для фактич.
расчета всех характеристик в натуре по данным о
размерных характеристиках на модели необходимо
знать переходные масштабы для всех соответствующих
величин. Если явление определяется η параметрами, из
к-рых к имеют независимые размерности, то для
величин с независимыми размерностями переходные
масштабы могут быть произвольными и их нужно
задать с учетом условий задачи, а при
экспериментах — и с учетом условий опыта. Переходные
масштабы для всех остальных размерных величин
получаются из формул, выражающих размерности каждой
размерной величины через размерности к величин
с независимыми размерностями, для к-рых масштабы
подсказаны условиями опыта и постановки задачи.
Напр., в задаче об установившемся обтекании тела
несжимаемой вязкой жидкостью все безразмерные
величины, характеризующие движение в целом,
определяются тремя параметрами: углами α, β (направление
поступательной скорости тела относительно его
поверхности) и числом Рейнольдса R. Условия физич.
подобия — критерии подобия — представляются
соотношениями:
a —const, β = const, R =—H_ = const.
Здесь подразумевается, что при моделировании
явления результаты опытов с моделью можно переносить
на натуру только при одинаковых α, β и R. Первые два
условия всегда легко осуществить на практике,
третье — труднее, особенно в тех случаях, когда модель
меньше обтекаемого тела, к-рое в натуре имеет большие
размеры, напр. крыло самолета. При уменьшении
размеров для сохранения величины числа Рейнольдса
необходимо либо увеличивать скорость обтекаемого
потока, что практически обычно неосуществимо, либо
существенно изменять плотность и вязкость жидкости.
На практике эти обстоятельства приводят к большим
затруднениям при изучении аэродинамич.
сопротивления (напр., продувка самолетов в натуральную
величину в аэродинамич. трубах, а также труб закрытого
типа, в к-рых циркулирует с большой скоростью
сжатый, т. е. более плотный, воздух).
Специальные теоретические и экспериментальные
исследования показывают, что в ряде случаев для тел
хорошо обтекаемой формы число Рейнольдса заметно
влияет только на безразмерный коэффициент лобового
сопротивления и иногда очень слабо влияет на
безразмерный коэффициент подъемной силы и на нек-рые др.
величины, играющие весьма важную роль в различных
практич. вопросах. Различие в значении числа
Рейнольдса на модели и в натуре в нек-рых вопросах не
является существенным.
Аналогичным образом при моделировании движения
тел в газе с большими скоростями необходимо иметь
одинаковые значения числа Маха на модели и в натуре.
При моделировании плавания кораблей по воде
необходимо обеспечивать равенство для натуры и
модели чисел Фруда и Рейнольдса. Однако при уменьшении
линейных размеров и опытах в воде в лаборатории из
условия о постоянстве чисел Рейнольдса следует
требование об увеличении скорости движения модели, а из
постоянства числа Фруда следует требование об
уменьшении скорости движения модели, поэтому точное моде-
ОБЛАСТЬ 376
лирование (при испытании моделей кораблей в
лаборатории), вообще говоря, невозможно. Иногда такого
рода трудности можно обходить путем использования
различных жидкостей или путем искусственного
изменения ускорения силы тяжести с помощью
«центробежного моделирования», располагая испытываемые
объекты на вращающейся установке большого диаметра.
Детальное проникновение в сущность гидродинамич.
явлений показывает, что во многих случаях влияние
числа Рейнольдса можно учесть с помощью
дополнительных расчетов или с помощью простых опытов с
использованием данных но буксировке плоских
пластинок. В гидродинамике обычных водоизмещающих
судов основное значение имеет число Фруда, и
поэтому моделирование проводится с соблюдением
постоянства числа Фруда.
Исследование с помощью моделей часто является
единственно возможным способом экспериментального
изучения и решения важнейших практич. задач. Так
обстоит дело при изучении натурных явлений,
протекающих в течение десятков, сотен или даже тысяч лет;
в условиях модельных опытов подобное явление может
продолжаться несколько часов или дней (напр., при
моделировании просачивания нефти). Могут встречаться
и обратные случаи, когда вместо исследования
чрезвычайно быстро протекающего в природе явления
изучают подобное явление, происходящее на модели
гораздо медленнее.
Моделирование является исходной базой для задачи,
к-рая состоит в фактич. определении законов природы,
в отыскании общих свойств и характеристик
различных классов явлений, в разработке
экспериментальных и теоретич. методов исследования и разрешения
различных проблем, в получении систематич.
материалов, приемов, правил и рекомендаций для решения
конкретных практич. задач.
Лит.: [1] Бриджмен П. В., Анализ размерностей,
пер. с англ., Л.—М., 1934; [2] Седов Л. И., Методы
подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981.
Л. И. Седов.
ПОДОБНАЯ ОБЛАСТЬ — общепринятое сокращение
термина «критическая область, подобная выборочному
пространству», употребляемого в математич. статистике
по отношению к критич. области
нерандомизированного подобия статистич. критерия.
Пусть X — случайная величина, принимающая
значения в выборочном пространстве (ЗЕ, $?, Ро), θζΘ,
и пусть проверяется сложная гипотеза Н{) : θζθ0<ζ:Θ
против альтернативы Нг : θζΘ1=Θ\Θ0. Далее, пусть
для проверки Я0 против Ηλ построен
нерандомизированный подобный критерий уровня α(0<α<1),
критич. функция к-рого есть φ (я), χζΐϋ. Так как этот
критерий является нерандомизированным, то
( 1, χξΚαΐ,
φ(Ηο,4*. (1)
где К — нек-рое множество из пространства ЗЕ, наз.
критическим множеством критерия
(согласно этому критерию гипотеза Я0 отклоняется
в пользу Н1, если в эксперименте наблюдается событие
{ΧζΚ}). Кроме того, построенный критерий является
подобным, в силу чего
. φ (χ) d?Q = α при всех θ ζ Θ0. (2)
Из (1) и (2) следует, что критич. область К
нерандомизированного подобного критерия обладает следующим
свойством:
Ρ^{ΧζΚ} = α при всех θ£θ0.
Именно, акцентируя внимание на последнем свойстве
критич. множества К нерандомизированного подобного

377
ПОДОБНЫЕ
критерия, Дж. Нейман и Э. Пирсон назвали К
«областью, подобной выборочному пространству ЭЕ» в том
смысле, что обе вероятности ?в{Х£К} и Ρθ{^ζϊ}
не зависят от θζθ0.
Лит.: [1] Леман Э., Проверка статистических гипотез,
пер. с англ., 2 изд., М., 1979; [2] Ван дер В а р д е н Б. Л.,
Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; [3] N е у-
man J., Pearson E. S., «Philos. Trans. Roy. Soc. Ser. A»,
1933, v. 231L p. 289—337; [4] L e h m a η η Ε. L., Scheffe
Η., «Sankhya», 1950, v. 10, p. 305—40; [4] их ж е, там же,
1955, v. 15, p. 219—36. Μ. С. Никулин.
ПОДОБНАЯ СТАТИСТИКА — статистика, имеющая
одно и то же распределение вероятностей при
справедливости нек-рой сложной гипотезы.
Пусть статистика Τ отображает выборочное
пространство (ЭЕ, «®зе' Ρθ), θ£®> в измеримое пространство
Ш» 33% ) и пусть рассматривается нек-рая сложная
гипотеза Н0: θζθο^Θ. В таком случае, если для любого
события В^Зд^ вероятность
PQ(T-1(B)) не зависит от θ, когда θ£Θ0, (*)
то говорят, что Τ является П. с. по отношению к
гипотезе Н0 или просто П.с. Очевидно, что условие (*)
равносильно тому, что распределение статистики Τ не
меняется, когда θ пробегает Θ0. Имея в виду это свойство,
часто о П. с. говорят, что она является свободной
относительно параметра θ, θ£Θ0. П. с. играют
большую роль при построении подобных критериев, а
также при решении статистич. задач с мешающими
параметрами.
Π ρ и м е ρ 1. Пусть Χί9 Х2 , . . ., Хп~ независимые
одинаково нормально Nt (α, σ2) распределенные
случайные величины (|α|<οο, σ>0). Тогда при любом
а>0 статистика
где
является
метра (а
двумерного
·» Хп + т
пара-
незави-
свободной относительно
σ2).
Пример 2. Пусть Хх, Х2, . .
симые одинаково распределенные случайные величины,
функция распределения к-рых принадлежит семейству
tf=[F(x)} всех непрерывных функций распределений
на (—00, 4-оо). В этом случае, если Fn(x) и Fт{х) суть
функции эмпирич. распределений, построенные по
наблюдениям Хг, Х2, .
Хп + т соответственно,
нова
S
%п и -^га-И» Χη + 2·> · · ·»
статистика Смир-
п,т= SUp \Fn(x)
Ι Χ |<οο
~Fm{x)\
является подобной относительно семейства $f'.
Лит.: [1] Соле Ж. - Л., Основные структуры
математической статистики, пер. с франц., М., 1972; [2]
Линии к Ю. В., Статистические задачи с мешающими параметрами,
М., 1966; [3] Б а р ρ а Ж. - Р., Основные понятия
математической статистики, пер. с франц., М., 1974. М. С. Никулин.
ПОДОБНЫЕ МАТРИЦЫ — квадратные матрицы
А и В одного порядка, связанные соотношением В =
= S~1AS, где S — какая-либо невырожденная
матрица того же порядка. П. м. имеют один и тот же ранг,
один и тот же определитель, один и тот же характе-
ристич. многочлен, одни и те же собственные
значения. Часто бывает важно выбрать для данной матрицы
ей подобную, имеющую возможно более простую форму,
напр. диагональную или жорданову (см. Жорданова
матрица). т. С. Пиголкина.
ПОДОБНЫЕ МНОЖЕСТВА — обобщение
элемента рно-геометрич. понятия подобия. Множества А и В,
линейно упорядоченные отношениями 31 и of, наз.
подобными, если для них существует такое взаимно
378
однозначное отображение / : А-*В, что для любых
X, у£А ИЗ xfhy следует f(x)off(y). Μ. И. Войцеховский.
ПОДОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ— операторы S и Τ в
банаховом пространстве X (не обязательно
ограниченные) такие, что существует ограниченный оператор U
в X, обладающий ограниченным обратным, и
выполняется соотношение
S = U~1TU.
Если U
унитарный оператор, то S и Τ наз.
унитарно эквивалентными.
Это понятие — пример понятия т. н. подобных
отображений. Пусть fug — два отображения
множества X в себя. Тогда если существует взаимно
однозначное отображение U : Х-*Х такое, что Uf=
— gU, то эти отображения наз. подобными.
Имеются попытки дать определение подобия для
отображений одного множества X на другое У; напр.,
отображения наз. подобными, если существуют взаимно
однозначные отображения U и V множеств X и Υ
на себя такие, ЧТО Vf=gU. Μ. И. Войцеховский.
ПОДОБНЫЙ КРИТЕРИЙ — статистический
критерий для проверки сложной гипотезы Н0 : θζΘ0 против
сложной альтернативы Нх : θ ζθ1 (θο(\®1=0),
функция мощности к-рого принимает на Θ0 одно и то же
заранее заданное значение из интервала (0,1).
См. Неймана структура, Беренса — Фишера
проблема, Подобная область.
Лит.: [1] Леман Э., Проверка статистических гипотез,
пер. с англ., 2 изд., М., 1979. М. С. Никулин.
ПОДОБЪЕКТ объекта категории —
понятие, аналогичное понятию подструктуры математич.
структуры. Пусть $ — произвольная категория и
А — фиксированный объект из $. В классе всех
мономорфизмов из $ с концом в А вводится отношение
предпорядка (отношение делимости справа): μ : Х->А
предшествует σ: Υ-+Α или μ^σ, если μ = μ'σ для
нек-рого μ': Х->У. В действительности, морфизм μ'
однозначно определен, поскольку σ — мономорфизм.
Отношение предпорядка индуцирует отношение
эквивалентности между мономорфизмами с концом в А:
мономорфизмы μ: Х^^А и σ : Υ->Α эквивалентны
тогда и только тогда, когда μ^σ и σ^μ. Класс
эквивалентных мономорфизмов наз. подобъектом
объекта Л. П. с представителем μ : Χ^Ύ иногда
обозначают (μ : Х^А] или (μ]. Допускается также
возможность с помощью т. н. символа τ Гильберта
произвести выбор представителей подобъектов объекта А
и рассматривать этих представителей в качестве
подобъектов. В категориях множеств, групп, абелевых
групп, векторных пространств П. любого объекта
определяется канонич. вложением подмножества
(подгруппы, подпространства) в объемлющее множество
(группу, пространство). Однако в категории тополо-
гич. пространств введенное понятие П. шире понятия
подмножества с индуцированной топологией.
Отношение предпорядка между мономорфизмами с
общим концом А индуцирует отношение порядка
между П. объекта А : (μ]<(σ], если μ<σ. Это отношение
аналогично отношению включения подмножеств
некоторого множества.
Если мономорфизм μ регулярен, то любой
эквивалентный ему мономорфизм также регулярен. Поэтому
можно говорить о регулярных П. любого объекта А .
В частности, П. с представителем 1д регулярен. В
категориях с нулевыми морфизмами аналогично вводятся
нормальные П. Если в категории Я существует бика-
тегорная структура (.ft, С?, *Ш), то подобъект (μ: Χ->-
—w4] объекта А наз. допустимым (относительно
указанной бикатегорной структуры), если ц£9Л.
М. Ш. Цаленко.
ПОДПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ —
линейное представление ρ в инвариантном подпростран-

379
стве FdE представления π группы (алгебры, кольца,
полугруппы) X в векторном (топология, векторном)
пространстве Е, определяемое формулой ρ {х)\= π (я)|
для всех ξ ζ/*1, χ ζ X. Если π — непрерывное
представление (топология, группы, алгебры, кольца,
полугруппы), то любое его П. п. также непрерывно.
А. И. Штерн.
ПОДПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
алгебраических систем — специальный тип подсистем
прямого (декартова) произведения систем. Пусть А ,·, i £/,—
семейство однотипных алгебраич. систем и пусть А =
= ТТ. A i — прямое произведение этих систем с
проекциями р/: Л-к4/, iζ/. Алгебраич. система В того же
типа наз. подпрямым произведением
систем А[, если существует такое вложение т: В^А,
что гомоморфизмы тр{, ίζ/, сюръективны. Иногда
под П. п. понимается любая система, изоморфная
подсистеме прямого произведения: тогда системы,
удовлетворяющие сформулированному выше условию, наз.
специальными подпрямыми
произведениями. В теории колец и в теории модулей
П. п. наз. также подпрямой суммой.
Подпрямое произведение (подпрямую сумму)
обозначают TJi€^i (^Yg jΑι соответственно).
Следующие условия равносильны: а) система В
является П. п. систем Л,·, ίζΐ; б) существует
разделяющее семейство сюръективных гомоморфизмов
fiiB-t-Ai, ϊ£/;β) существует такое семейство
конгруэнции ρ,·, ΐζ/, системы В, что пересечение этих
конгруэнции является единичной конгруэнцией и В/р^А;
для каждого ΐζ/. Всякая универсальная алгебра
является П. п. подпрямо неразложимых алгебр.
С теоретико-категорной точки зрения понятие П. п.
двойственно понятию правильного произведения
алгебраич. систем с нулевыми (одноэлементными)
подсистемами. М. III. Цаленко.
ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ геометрического с и м-
плициального комплекса К — такой
геометрический симплициальный комплекс Кг, что
тело \Кг\ совпадает с телом \К\ и каждый симплекс
Кг содержится в нек-ром симплексе К. Практически
переход к П. производится с помощью разбиения
симплексов комплекса К на более мелкие симплексы так,
чтобы разбиение каждого симплекса было согласовано
с разбиением его граней. В частности, каждая вершина
К является вершиной Кг. Переход к П. обычно
используется для доказательства инвариантности
комбинаторно определяемых характеристик полиэдров (напр.,
эйлеровой характеристики, гомологии групп), а также
для получения триангуляции с нужными свойствами
(напр., достаточно мелких триангуляции).
Звездное П. комплекса К с центром в точке а£\К\
получается следующим образом. Замкнутые симплексы К,
не содержащие точку а, остаются без изменения.
Каждый замкнутый симплекс σ, содержащий точку а,
разбивается на конусы с вершиной в точке а над теми
гранями σ, к-рые не содержат а. Для любых двух
триангуляции 7\, Τ2 одного и того же полиэдра Ρ
существует триангуляция Т3 полиэдра Р, получающаяся как
из 1\, так и из Τ2 последовательностью звездных П.
Понятие звездного П. допускает формализацию на
языке абстрактных симплициальных комплексов (сим-
илициальных схем). Любое звездное П. замкнутого
подкомплекса продолжается до звездного П. всего
комплекса. Производное
подразделение К' комплекса К получается в результате
последовательных звездных П. с центрами во всех открытых
симплексах К в порядке убывания их размерностей.
Для произвольного замкнутого подкомплекса К
комплекса L подкомплекс K'aU— полный в следующем
смысле: из того, что все вершины нек-рого симплекса
ОИЗВЕДЕНИЕ 380
σζ£' лежат в К'', следует, что σζΚ'. Если в качестве
центров производного П. выбрать барицентры
симплексов, то получится барицентрическое П.
Если диаметр каждого симплекса л-мерного
комплекса К не превосходит числа d, то диаметры симплексов
его барицентрического П. ограничены числом —■? .
Диаметры симплексов m-кратного барицентрического
П. комплекса К ограничены числом ( -тт J d, т. е.
могут быть сделаны сколь угодно малыми путем
выбора достаточно большого т.
Лит. [1] Александров П. С, Комбинаторная
топология, М.— Л., 1947; [2] Хилтон П. - Д ж., У а й л и С,
Теория гомологии. Введение в алгебраическую топологию, пер.
с англ., М., 1966. С. В. Матвеев.
ПОДРЕШЕТКА — подмножество А элементов
решетки, замкнутое относительно операций + и·, т. е.
такое подмножество, что а-\-Ь£А и ab£A для любых
а, Ъ из А. Таким образом, П. является подалгеброй
решетки, рассматриваемой как универсальная алгебра
с двумя бинарными операциями. Подрешетка А наз.
выпуклой, если из а, Ь£А и а^.с<.Ь вытекает,
что с^А. Примерами П. являются всякое
одноэлементное подмножество решетки, идеал, фильтр,
интервал. Все эти П. выпуклые. Любое подмножество
элементов цепи является ее П. (не обязательно выпуклой).
Все П. данной решетки, упорядоченные отношением
включения, образуют решетку.
Лит.: [1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ.,
М., 1952; [2] Скорняков Л. Α., Элементы теории
структур, М., 1970; [3] Житомирский Г. И., в сб.:
Упорядоченные множества и решетки, в. 7, Саратов, 1981; [4] Грет-
цер Г., Общая теория решеток, пер. с англ., М., 1982.
Т. С. Фофанова.
ПОДСТАНОВКА множества — взаимно
однозначное отображение множества на себя. Термин «П.»
главным образом применяется для конечного
множества X. В этом случае удобно считать, что X— {1, . . .,
и}, и записывать П. в виде
/1 2 ...п\
где ilt i2, . . ., in — нек-рая перестановка чисел 1, 2,
. . ., η (впрочем, иногда термин «перестановка»
употребляется как синоним термина «П.», см., напр., [2]
с. 146). Запись (*) означает, что γ переводит число
к в ife, то есть y(k)=ik (пишут также /cV= jft) для i —
= 1, 2, . . ., л. Число всех различных П. множества X
при \Х\ = п равно числу всех перестановок этого
множества, т. е. п\. Произведение подстановок α и β
множества X определяется как последовательное
выполнение отображений α и β и задается формулой αβ {х)=
= α(β(#)) для всех χζΧ. Совокупность всех П.
множества X образует группу относительно введенного
умножения, к-рая наз. симметрической группой.
Любая подгруппа симметрич. группы наз. подстановок
группой.
Симметрич. группа П. множества X обозначается
S(X), она содержит в качестве подгруппы SF(X) —
группу, состоящую из таких подстановок γ, к-рые
перемещают лишь конечное подмножество элементов
(то есть у(х)^х лишь для конечного множества
элементов χζΧ). Если X конечно и состоит из η
элементов, то симметрич. группа обозначается Sп.
Транспозицией наз. такая П. множества X,
к-рая меняет местами только два элемента ί и /; она
обозначается (i, ;'). В «S„ имеется ровно τι(η—1)/2
транспозиций. Любая подстановка γ из SF(X) представима
в виде произведения транспозиций. В частности,
каждая П. из Sn есть произведение транспозиций. П. может
разлагаться в произведение транспозиций многими
способами. Однако для данной γ характер четности числа
множителей в разложении на транспозиции не зависит
ПОДПРЯМОЕ Π

381 подстано
от способа разложения. Непредставимая в виде
произведения четного числа транспозиций, наз. четной,
а разлагающаяся в произведение нечетного числа
транспозиций — нечетной. В Sn имеется п\12
четных П. и столько же нечетных. Если П. y£Sn
записана в виде (*), то ее четность совпадает с четностью
числа инверсий перестановки ix, . . ., in,
к-рое равно числу таких пар {ΐ&, iy}, что /с</, ik>ij·
Транспозиция, очевидно, есть нечетная П.
Применение одной транспозиции к любой перестановке меняет
четность числа ее инверсий на противоположную.
Произведение двух четных, а также двух нечетных П. есть
четная П., а четной и нечетной П. (в любом порядке) —
нечетная. Все четные П. составляют нормальную
подгруппу А(Х) в группе SF(X), к-рая наз.
знакопеременной. При \Х\ — п подгруппа А (X)
обозначается А п.
Циклом длины I наз. такая подстановка σ
конечного множества У= {ylt . . ., yt}, что
a(jji) = y2t а{у2) = У»».ч» о(У1-\) = У1, о (yi) = yl.
Конечный цикл обозначается (уг, у2, . . ., yL). Бе с-
конечным циклом наз. такая П. счетного
множества
F = {..., У-2, У-и Уо> Уи У2. ···}>
что для любого целого i о (yi) = yi+1. Обозначение
бесконечного цикла таково:
(. .., У-2, г/_ь г/0, ί/χ, у2, ...).
Цикл длины 2 есть транспозиция. Группа Sn
содержит (п — 1)! циклов длины п. Для любой подстановки
γ из S (X) существует такое разбиение множества X
на непересекающиеся подмножества, что на каждом
из них γ действует как цикл. Конечные подмножества
этого разбиения имеют вид
{х, у(х), ..., γ'-1 (*)},
где у1 (х)=х, а бесконечные —
{..., γ-2 (χ), γ-1 И, χ, у(х), γ» И, ...},
где yk (х)Фх при /су^О. Циклы, индуцируемые
подстановкой у на подмножествах разбиения, наз.
независимыми циклами подстановки γ. Например,
(1, 3, 4) и (2, 5)— независимые циклы П.
/12345Х
У \3 5 4 1 2/'
у записывается в виде
(1, 3, 4) (2, 5)
и является произведением своих независимых циклов.
Вообще, если у нетождественная П., имеющая лишь
конечное число циклов неединичной длины, то γ —
произведение таких циклов. В частности, каждая
нетождественная П. из SF(X) является произведением
своих независимых циклов неединичной длины. Π о-
рядок подстановки у из SF (X), т. е.
порядок циклич. группы <γ>, равен наименьшему общему
кратному длин ее независимых циклов.
Из независимых циклов данной П. можно получить
независимые циклы П., сопряженной с ней. Напр.,
если
γ=(αι, ..., at).. .(ay, ..., αη)
произведение независимых циклов подстановки γ из
Sn, a 6£Sn и $(ai)=bi, i=l, . . ., η, то
δγδ-1 = («Ί, ...,Ь£)...(Ьу·, ...,ЬЯ)
— разложение подстановки δγδ-1 в произведение
независимых циклов. Две П. группы Sn тогда и только
к группа 382
тогда сопряжены в Sn, когда они имеют одно и то же
число независимых циклов каждой длины.
Пусть s£Sn, к — число независимых циклов
подстановки s, включая и циклы длины 1. Тогда разность
п—к наз. декрементом подстановки s.
Наименьшее число множителей при разложении подстановки s
в произведение транспозиций совпадает с ее
декрементом. Четность П. совпадает с четностью ее декремента.
П. возникли впервые в комбинаторике 18 в. В кон.
18 в. Ж. Лагранж (J. Lagrange) применил их при
исследовании разрешимости алгебраич. уравнений в
радикалах. О. Коши (A. Gauchy) посвятил
многочисленные исследования этому понятию. Ему, в частности,
принадлежит идея разложения П. в произведение
циклов. Исследования групповых свойств П. восходит
к Н. Абелю (N. Abel) и особенно к Э. Галуа (Е.
Galois). См. Галуа теория, Подстановок группа.
Лит.: [1] Jordan С, Traite des substitutions et des
equations algebriques, P., 1957; [2] Кострикин А. И.,
Введение в алгебру, М., 1977; ЕзЗ Курош А. Г., Курс высшей
алгебры, И изд., М., 1975; [4] Холл М., Теория групп, пер.
с англ., М., 1962. Д. А. Супруненко.
ПОДСТАНОВКИ ПРАВИЛО — одно из вывода
правил логико-математических исчислений. Под
названием «П. п.» могут фигурировать различные виды
правил. Напр., в высказываний исчислении это П. п.
формулы вместо всех вхождений пропозициональной
переменной. Для предикатов исчисления', а) П. п. формулы
вместо предикатной переменной] при этом требуется
выполнение ряда ограничений на вхождения
индивидных переменных с тем, что ы избежать
коллизии переменных, т. е, ситуации, когда
переменная, свободная в подставляемой формуле,
окажется связанной в результате подстановки; б) П. п.
терма вместо свободных вхождений индивидной
переменной соответствующего сорта; при этом также
необходимо избегать коллизии переменных.
Лит.: [1] Новиков П. С, Элементы математической
логики, 2 изд., М., 1973, [2] Шенфилд Д ж. Р.,
Математическая логика, пер. с англ., М., 1975; [3] Гильберт Д.,
Бернайс П., Основания математики. Логические
исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., 2 изд., М-,
1982. С. Н. Артемов.
ПОДСТАНОВОК ГРУППА — совокупность
подстановок на нек-ром множестве X, образующих группу
относительно операции умножения подстановок.
Иначе, П. г.— это пара (G, X), где G — группа, X —
множество и каждому y£G соответствует подстановка
хН>хУ множества X такая, что 1) яа0=(а:а)3, х£Х,
α, βξβ, и 2) ха=х для любого χζΧ тогда и только
тогда, когда α=ε — единица группы G. Если
выполняется лишь условие 1), то говорят о действии
(или представлении) группы G на множестве
X. В этом случае подмножество Η элементов группы G,
оставляющих на месте все х£Х, будет нормальным
делителем в G (называемым ядром действия)
и факторгруппа G/H действует на X уже как П. г.
Если X — конечное множество, то П. г. (G, X) наз.
конечной, в противном случае —
бесконечной. Множество всех подстановок на X наз. сим-
метрич. группой и обозначается S (X) или Sn,
если Х={1, 2, . . ., п).
Подобием (или изоморфизмом) Π. г.
(G, X) на П. г. (С, X') наз. пара (φ, ψ) отображений,
где φ — изоморфизм 0 на G'', а ψ — биекция X на
X', причем оба отображения согласованы в том
смысле, что для всех χζΧ и a^G имеет место равенство
(χα)Ψ=(χΨ)<*4>. Π. г., между к-рыми существует подобие,
наз. подобными. Если (G, X) — П. г., то на
множестве X естественно определена эквивалентность:
ι/~#, у, г ζ ЗГ<—±>у=х(х> для нек-рого a£G; классы
эквивалентности П. г. наз. орбитами, или о б-
ластями транзитивности, группы (G, X).
П. г. τ ρ а н з и τ и в н а, если она имеет лишь одну ор-

383
биту, в противном случае она интранзитивна
(см. Транзитивная группа).
Произвольная абстрактная группа G может быть
представлена как П. г. на подходящем множестве X
(теорема Кэли). При этом в качестве X можно
выбрать множество всех элементов группы G и
сопоставить каждому y£G отображение, получающееся
в результате умножения справа на элемент у : ξ ν =
= ςγ. Полученное таким образом регулярное
представление группы G в виде П. г. не
является единственно возможным. При исследовании
П: г. интересуются другими свойствами, чем при
изучении абстрактных групп. Речь идет не только о
строении группы, а в первую очередь о том, как группа
действует на множестве X; так, напр., свойство
транзитивности есть свойство П. г., а не абстрактных
групп.
Пусть (G, X) — П. г., а М — подмножество в X.
Совокупность всех подстановок y£G, переводящих Μ в
себя (то есть χζΜ$$χνζΜ), образует подгруппу
Gm, называемую стабилизатором множества
М. Множество тех подстановок, к-рые оставляют все
у£М на месте, наз. фиксатором множества Μ
и обозначается G,My Фиксатор будет нормальным
делителем стабилизатора. Если М={а} —
одноэлементное множество, то понятия стабилизатора и фиксатора
совпадают (он обозначается Ga). Группа наз.
полурегулярной (или действующей
свободно), если стабилизатор каждой точки является
единичной группой и регулярной (или
просто транзитивной), если группа, кроме того,
транзитивна. Централизатором 1(G) группы G наз.
ее централизатор в симметрич. группе S (X) — это
совокупность подстановок на X, поэлементно
перестановочных со всеми элементами из G. Централизатор
транзитивной группы полурегулярен, и наоборот,
централизатор полурегулярной группы транзитивен.
Регулярная П. г. (G, X) подобна вышеприведенному
регулярному представлению группы G.
Централизатором Ь (G) регулярного представления будет т. н.
левое регулярное представление
группы G, сопоставляющее элементу у ζ G подстанов-
ку ξν=γ-ΐξ, iqc
Существуют операции (см. [6]), позволяющие из
заданных П. г. строить новые.
а) С у м м а П. г. Пусть (G, X) и (Я, Y) — две П. г.,
причем пересечение X[\Y пусто. Сумма (G, Х)-\-(Н, Y)
Определяется как П. г. прямого произведения GXH
на объединении X\JY, причем для αζβ, β ξ Я, zg
£Χ[)Υ
б) Произведением (G, X)X (Я, У) П. г.
(G, X) и (Я, Υ) наз. группа (GxH, XXУ),
действующая на ХХУ согласно формуле (х, */)(<*> №=(ха, у$).
Обе операции ассоциативны и могут быть определены
для произвольного числа групп.
в) Сплетение. Пусть (О, X) и (Я, У) — П. г. и
β (я) ζ Я* —отображение X в Я. На множестве пар
[α, β (я)], называемых таблицами, определяется
умножение:
[α, β И] [α', β'(*)] = [αα', β (χ) β (*«)],
относительно к-рого они образуют группу G^H.
Сплетение П. г. (G, X) и (Я, У) есть П. г. (G^H, ХХУ),
причем действие определяется формулой
(ж, ί/)[α>β(Λ:)ϊ = (*α, уЗ<*>).
Сплетение также ассоциативно и может быть
определено даже для любого вполне упорядоченного семей-
к группа 384
ства П. г. Сплетение неединичных П. г. будет импри-
митивной группой. Если G и Я рассматривать как их
регулярные представления, то это определение с
точностью до порядка сомножителей совпадает с обычным
теоретико-групповым сплетением групп.
г) Экспонирование. Группа таблиц,
действующая на множестве Υχ, приводит к П. г.
(Я, У) f (С, Х)= (G<s> Я, YX).
Причем действие определяется следующим образом:
где f(x)£Yx. Экспонирование не ассоциативно и
приводит обычно к примитивным группам. А именно,
(Я, У) f (G, X) примитивна, если (Я, У) —
примитивная нециклич. группа.
Группы подстановок возникают обычно как
совокупность подстановок, сохраняющих нек-рые отношения
или операции на множестве X (см. также
Преобразований группа). Так, исходным для возникновения
теории П. г. было понятие группы Галуа многочлена.
Если
/ (х)=а„хп + ...4 а0
многочлен с коэффициентами α ι из нек-рого поля К,
а δι» · · .» In — его корни в нек-ром надполе, то
группой Галуа будет П. г. множества {ξχ, . . ., |„},
сохраняющих рациональные отношения между корнями,
т. е. равенства вида
AJ Ciiiz...in δΐ1 •••ьА1п = 0,
где си Л ζΚ. Как показал Э. Галуа (Е. Galois),
от свойств этой группы зависит разрешимость или
неразрешимость уравнения f(x) = 0 в радикалах. Этот
результат привел к развитию теории П. г. в трудах
Э. Галуа, Ж. Серре (J. Serret), К. Жордана (С. Jordan)
и др. Дальнейшее развитие (кон. 19 — нач. 20 вв.)
эта теория нашла в работах У. Бёрнсайда (W. Burnside),
У. Маннинга (W. Manning), Г. Фробениуса (G. Fro-
benius), О. Ю. Шмидта, И. Шура (J. Schur). П. г.
имеют многочисленные применения в дискретной
математике, напр. при классификации булевых функций и
конечных автоматов, в теории кодов с исправлением
ошибок, при подсчете изомеров сложных органич.
соединений.
Лит.: [1] Passman D., Permutation groups, Ν. Υ.—
Amst., 1968; [2] Wielandt Η., Finite permutation groups,
N.Y. —L., 1964; [3] Burnside W., Theory of groups of
finite order, N.Y., 1958; [4] К а л у ж н и н Л. Α., С у щ а н-
ский В. И., Преобразования и перестановки, пер. с укр.,
М., 1979; [5] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962;
[6] Кал ужни н Л. Α., Клин М. X., Сущанский
В. И., «Известия вузов. Математика», 1979, № 8, с. 26—33.
ПОДФОРМУЛЬНОСТИ СВОЙСТВО - свойство
нек-рых логических исчислений и логико-математических
исчислений, заключающееся в том, что посылки
каждого правила исчисления состоят из подформул
заключения. П. с. позволяет организовать поиск
вывода «снизу вверх» (см. Генцена формальная система).
С целью повышения эффективности такого поиска для
многих исчислений рассматриваются различные
специализации и обобщения П. с. с. ю. Маслов.
ПОДХОДЯЩАЯ ДРОБЬ — см. Цепная дробь.
ПОДЧИНЕНИЯ ПРИНЦИП — одна из форм Лин-
делёфа принципа, использующая понятие подчинения
функций. Пусть ω (z) —любая функция, регулярная
в круге |z|<l и удовлетворяющая условию: ω(0) = 0,
|ω(ζ)|<1 в |z|<l; пусть функция F (ζ) мероморфна
в |z|<l. Если функция /(ζ) имеет вид f(z) = F (ω (ζ)),
то / (ζ) наз. подчиненной функции F (ζ) в круге
\z\ <1, a F (ζ) — подчиняющей функцией.
Это отношение подчинения обозначается
ПОДСТАНОВ

385 позицио
через f(z)-$F(z). В простейшем случае, когда F (ζ)—
однолистная функция в |ζ|<1, указанное отношение
означает просто, что f(0)=F(0) и что функция f(z)
не принимает в круге |ζ|<1 тех значений, к-рых в нем
не принимает функция F (ζ). Имеют место следующие
основные теоремы.
Теорема 1. Пусть функция w=F(z) мероморфна
в круге |ζ|<1 и отображает его на риманову
поверхность G(F). Пусть Gr(F) — часть G(F),
соответствующая |z|<r, г<1. Если /(z)-^F(z), то значения f(z)
в |z|<:r (при аналитическом продолжении из /(0) =
= F(0)) лежат в Gr(F), причем граничные точки Gr(F)
достигаются только для f(z)=F(ez), |ε| = 1 (см. [2]).
Теорема 2. Если f(z)^>F(z) и F (ζ) регулярна
в |z|<r, г<1, то, полагая
Μλ(^ /)={4520π|/(Γβίθ)|ΜΘ}1/λ'λ^0'
имеем Мь{г, /)<JWx(r, F), λ>0, 0<г<1 (см. [1]).
Теорема 3. Если f(z)^F (z) и F (ζ)
регулярна в .ζ—0, то для коэффициентов разложений /(ζ)—
Σ°° ^Ί00 1Г**П1
„^0αηζ", F(z) = Zn=oAnzn имеем ln==1\an\2<
<Ση=Μη\*> m=i, 2, ... (см. [2]).
Общая теория подчинения полезна при
рассмотрении вопроса о множестве значений, принимаемых (или
выпускаемых) аналитич. функцией. Отношение
подчинения можно использовать в двух различных
направлениях. Во-первых, можно исходить из заданной
функции F (ζ) и изучать свойства всех функций /(ζ),
подчиненных F(z). Если при этом подчиняющая
функция F (ζ) полностью известна, то известна и область
Gr(F), в к-рой лежат значения /(ζ) (теорема 1), и
верхняя граница интегральных средних Μ χ (г, /) (теорема 2).
Если, кроме того, F(ζ) регулярна в ζ=0, то имеем
верхние границы для коэффициентов функции /(ζ)
(теорема 3). Во-вторых, можно рассмотреть какую-либо
мероморфную в круге |ζ|<1 функцию /(ζ), из свойств
к-рой следует невозможность ее подчинения в |ζ|<1
надлежащей функции F(z). Если при этом F(z), напр.,
однолистна, то /(ζ) необходимо принимает в |ζ|<1
значения вне G (F). Эти идеи использования отношения
подчинения и выражают П. п. П. п. можно
распространять и на многосвязные области (см. [3]).
Лит.: [1] L i 11 1 е w о о d J. E., «Proc. Lond. Math. Soc. (2)»,
1925, v. 23, p. 481—519; [2] R о g о s i η s k i W., «Proc. Gamb.
Philos. Soc», 1939, v. 35, p. 1—26; [3] Аленицын Ю. Ε.,
«Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1961, т. 60, с. 5—21; [4]
Rogosinski W., «Schr. Konigs. Gelehrt. Gesellsch. Natur-
wiss. Kl.», 1931, Jg. 8, H. 1, S. 1—31; [5] Rogosinski W.,
«J. Lond. Math. Soc», 1939, v. 14, № 53, p. 4—11; [6] его же,
«ProC Lond. Math. Soc», 1943, v. 48, p. 48—82; [7] Little-
wood J. E., Lectures on the theory of functions, L., 1944; [8]
Голузин Г. М., Геометрическая теория функций
комплексного переменного, 2 изд., М., 1966, с 3,56—57, 606—09.
Ю. Е. Аленицын.
ПОЗИТИВНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ -
последовательность действительных чисел μ0, μΐ5 μ2, ...
на промежутке [α, b] такая, что для всякого многочлена
Ρ (χ) — α0-\-αιΧ-\-...-\- апхпу
нетождественного нулю и неотрицательного на [а, Ь]
выражение
Φ (Ρ) =β0μ0 + αιμι+ · · · +«ημ»^0.
Если же для всякого такого многочлена будет φ (Ρ) >0,
то последовательность наз. строго
позитивной. Для того чтобы последовательность μ0, μΐ5
μ2, ... была позитивной на [а, Ь], необходимо и
достаточно существование возрастающей на [а, Ь]
функции g(x), для к-рой
^ xndg (χ)=μη, λ = 1, 2, ... .
Μ. И. Войцеховский.
1АЯ ИГРА 386
ПОЗИТИВНОЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ— исчисление высказываний в языке {&, ν
3}, задаваемое следующими 8 схемами аксиом:
Л 3 (Я 3 А), (А 3 (В 3 С)) 3 ((A D5)D(4D 6')),
Л&ЯзЛ, A&BzdB, Azd(Bz) А&В),
AzdA v В, В^А ν В, (AzdC) 3 ((BzdC) з {A VB)ZDC)
и правилом вывода модус поненс. П. гг. и. содержит ту
часть интуиционистского исчисления высказываний
/ (см. Интуиционизм), к-рая не зависит от отрицания,
а именно: всякая пропозициональная формула, не
содержащая связки ~| (отрицания), выводима в П. п. и.
тогда и только тогда, когда она выводима в /. Если
к П. п. и. добавить две схемы аксиом:
1) ~\Аzd(AzdB) (закон отрицания анте-
it ρ прнтя^
2) (4зЯ)з(С4з"|Я)з"|4) (закон
приведения к абсурду),
то получится исчисление /. Для получения / можно
вместо 2) взять и более слабую схему:
2') (Лз1Л)3~|Л (закон частичного
приведения к абсурду).
См. также Импликативное пропозициональное
исчисление.
Лит.: [1] Ч ё ρ ч Α., Введение в математическую логику,
пер. с англ., т. 1, М., 1960; [2] Гильберт Д., Бернайс
П., Основания математики. Логические исчисления и
формализация арифметики, пер. с нем., 2 изд., Μ., 1982. С. К. Соболев.
ПОЗИЦИОННАЯ ИГРА — игра, имеющая характер
развертывающегося в дискретном времени процесса на
древовидно упорядоченном множестве (наз. также
деревом). Конечной П. и. наз. система
Г = </, Χ, Я, {Рх}хеХа, {3tf}ie„ {ht)lel>,
где 1) / — множество игроков (|/| = и); 2) X —
конечное дерево, вершины к-рого наз. позициями,
а корень — начальной позицией. Для
позиций естественно определяется отношение
следования; позиции, непосредственно следующие за данной
χζΧ, наз. альтернативами х\ позиции, не
имеющие альтернатив, наз. окончательными,
а ведущие в них пути — партиями; множество
окончательных позиций обозначается X*; 3) SH —
разбиение множества Х\Х* на n-fl множеств
очередности Х0, Хъ . . ., Хп. В позициях
из Х{, έ>0, ход осуществляется игроком ί, в позициях
из Х0 — случайно; 4) Рх — вероятностные
распределения на множествах альтернатив каждой позиции
χζΧ0; 5) 5Κ£·={£^ί, UL2, . . ., Ulm) — разбиение
каждого Χι, έ>0. Предполагается, что все позиции χ из
данного U\ имеют одинаковое число альтернатив и
никакие две из них не следуют друг за другом;
множества U% наз. информационными. Между
альтернативами всех позиций одного
информационного множества установлено однозначное
соответствие, и каждый его класс наз. альтернативой
самого информационного множества; 6) hi — функция,
ставящая в соответствие каждой окончательной
позиции выигрыш в ней игрока i.
Чистой стратегией игрока i в П. и,
является функция, ставящая в соответствие каждому
информационному множеству Ulk нек-рую его
альтернативу. Набор η чистых стратегий всех игроков
составляет ситуацию. Процесс игры в условиях
сложившейся ситуации можно понимать как случайное
блуждание по множеству позиций от начальной позиции
к окончательной, причем в каждой позиции игрок,
множеству очередности к-рого принадлежит эта позиция,
знает лишь содержащее ее информационное множество
и выбирает альтернативу в соответствии со своей стра-
& 13 Математическая энц., т. 4

387
тегией. В позициях из Х0 выбор альтернативы случаен.
Это случайное блуждание определяет вероятностное
распределение на множестве окончательных позиций.
Принимая за выигрыш игрока математич. ожидание
его выигрыша на окончательных позициях, получают
бескоалиционную игру в нормальной форме.
Π. и. наз. игрой с полной
информацией, если информационные множества игроков
состоят из одной позиции каждое. В игре с полной
информацией существует ситуация равновесия в чистых
стратегиях (теорема Цермело— Нейма-
н а).
Важную роль в П. и. играют смешанные стратегии.
Две смешанные стратегии игрока наз.
эквивалентными, если в ситуациях, отличающихся только
этими стратегиями, вероятности каждой окончательной
позиции равны. Игрок имеет полную память,
если каждое его информационное множество следует
за единственной альтернативой всех предшествующих
информационных множеств этого игрока. Наличие
полной памяти у игрока означает, что в момент
совершения хода он помнит все информационные множества,
в к-рых он находился, и свои выборы в них.
Стратегией поведения наз. такая смешанная
стратегия, при к-рой случайные выборы альтернатив
информационных множеств стохастически независимы.
Каждая смешанная стратегия игрока эквивалентна
нек-рой стратегии поведения тогда и только тогда,
когда игрок имеет полную память (теорема К у-
н а).
Более общими являются П. и. с бесконечным
множеством альтернатив в каждой позиции и с бесконечно
продолжающимися партиями, а также игры на графах.
Лит.: [1] Позиционные игры, М., 1967; [2] Б ер ж К.,
Общая теория игр нескольких лиц, пер. с франц., М., 1961;
[3] Кун Г. У., в сб.: Позиционные игры, М., 1967, с. 13—40;
[4] Thompson G. L., в кн.: Contributions to the theory of
games, v. 2, Princeton, 1953, p. 267—77; [5] В op о бьев Η. Η.,
«Проблемы кибернетики», 1962, в. 7, с. 5—20; [6] Буй
Конг Кыонг, «Вестник ЛГУ», 1969, №1, с. 49—59.
Н. Н. Воробьев, А. Н. Ляпунов.
ПОЙА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение
вероятностей случайной величины Хп, принимающей целые
неотрицательные значения /с, 0<:/с<:тг, в соответствии
с формулой
Ρ {*„ = *} =
_ rk b (Ь + с). . . [Ь+(Ь- 1) с] г (г±с) .. [r+(n-h- 1) с]
η (b + r) (b+r + с) ... [b + r + (n- 1) с] '
где целые тг>0, Ь>0, г>0, с> —1 — параметры, или
эквивалентной формулой
Р{Хп=к} =
__ rk Ρ (P + V) ··· [P + (ft-l) V] Q (g+V) ·■· [q + (n-fe-l) y] _
η (1+v) ... [l+(n-l) V]
= C(p/y)+k-\C(q/y) + n-k-ilC(\/y)+n-V (2)
где целое тг>0, действительные 0<р<1, q—1—p,
γ>0 — параметры. Связь между (1) и (2)
устанавливается равенствами
Ь г с
* b + r ' ^ b+r * ' b+г
Математич. ожидание и дисперсия П. р. равны
соответственно ЕХп=пр и DXn=npq 1tVn . Специальные
случаи П. р.: Хп имеет при с=0 биномиальное
распределение с параметрами η и ρ; Хп имеет при s= — 1
гипергеометрическое распределение с параметрами М=Ь,
N=b-\-r и п. При Ь->оо, г->оо, когда p=b/(b-\-r)
постоянно, и Y=c/(fc+r)->0, П. р. стремится к
биномиальному распределению с параметрами η и р.
П. р. было рассмотрено Д. Пойа (G. Polya, 1923)
в связи ст. н. урновой схемой Пойа. Из
4 388
урны, содержащей Ъ черных и г красных шаров,
осуществляется выбор с возвращением при условии, что
каждый извлеченный шар возвращается в урну вместе
с с шарами того же цвета. Если Хп — полное число
черных шаров в выборке объема п, то распределение
Хп задается формулами (1) или (2). Последовательность
Хп, 71=1, 2, . . ., представляет собой дискретный
марковский процесс, причем состояния процесса
определяются числом черных шаров в выборке в
момент л, а условная вероятность перехода от
состояния к в момент времени η в состояние /с+1 в момент
времени п-\-1 равна
Ρ {Xn+i = k + i | ** = *}= *±*£-==£+*?
1 η+1 ' · * * b+r + пс 1+ηγ
(зависит от тг).
Предельным переходом из урновой схемы Пойа
может быть получен процесс Пойа —
неоднородный марковский процесс с непрерывным временем,
принадлежащий классу процессов «чистого
размножения». При условии, что за бесконечно малое время At
происходит лишь одно извлечение шара, при тг-voo,
когда пр—>t, ny-+at, выводится предельная условная
вероятность перехода из состояния к в состояние /с+1
за время At:
P{X(t + At) = k + i\X(t) = k} = \^tAt + o(At).
При переходе от урновой схемы Пойа к процессу Пойа
возникает важная предельная форма П. р. Именно,
вероятность Р^ (t) в момент времени t пребывать в
состоянии к равна
(Ро(0) = 1).
Полученное предельное распределение является
отрицательным биномиальным распределением с
параметрами 1/а и 1/(1 -{-at) (соответствующее математич.
ожидание равно t, а дисперсия t(i-\-at).
Урновая модель и процесс Пойа, в к-рых возникает
П. р. и его предельная форма, являются моделями
с эффектом последействия (извлечение
шара определенного цвета из урны увеличивает
вероятность извлечения шара того же цвета при следующем
испытании).
При стремлении параметра α к нулю процесс Пойа
переходит в пуассоновский процесс, а П. р. при а—>-0
имеет своим пределом Пуассона распределение с
параметром t.
Лит.· [1] Φ е л л е ρ В., Введение в теорию вероятностей
и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.
А. В. Прохоров.
ПОЙА ТЕОРЕМА: пусть RD— множество
отображений конечного множества D, \D\ = n, в множество
R и пусть G — группа подстановок множества Z),
порождающая разбиение RD на классы эквивалентности,
при к-ром flf f2£RD принадлежат одному и тому же
классу тогда и только тогда, когда найдется такое
g£G, что fi(g(d))=f2(d) для всех d£D] если каждому
r£R сопоставлен вес w(r) — элемент коммутативного
кольца (вес / полагается равным w(/)=TT w(f(d))
и вес w(F) класса FdRD определяется как вес любого
f£F), то
2W)=*(G; 2г6*иг>' Ere*"2и,...
где в левой части равенства сумма берется по всем
классам эквивалентности, а
Р (С; *ь*„....*„) = |G|-i23i6elE=i *j(*(e) = *(G)
not

389
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
390
есть цикловой индекс G, при этом j\(G) —
число циклов длины к подстановки g в разложении
ее в произведение независимых циклов.
Теорема была опубликована в 1937 Д. Пойа (G. Ρό-
lya, см. [3] с. 36—138), хотя фактически она была
известна раньше (см. [3] с. 9—35).
Если в качестве веса элементов R брать степени
независимой переменной χ (или произведение степеней
нескольких переменных), то для φ (x)=^jk=0akxk (т. н.
«ряд, перечисляющий фигуры», где а^ — число
элементов R веса xk) и Φ (χ)— ^k_QbkXk (т. н. «ряд,
перечисляющий конфигурации», где Ъ^ — число классов
RD веса xk) согласно П. т. имеет место соотношение:
<t>(x) = P(G; <p(s), φ (я2), ..., φ (х»)) = Р (G\ φ (χ)).
Примеры. 1) Если |Д| = /и, u?(r)asl, то φ (#)=/??
и тогда Ρ (G; т, т, . . ., т) — число классов
эквивалентности .
2) Если #={0, 1}, w(r)-xr, то у(х)=1+х, а /£
£RD с w(f)=xk можно истолковать как подмножество
D мощности к. Группа G индуцирует орбиты
подмножеств D, и коэффициент при xk в многочлене Ρ (G;
1+ж) есть число орбит, состоящих из подмножеств
мощности к.
3) Пусть R= {0, 1}, D=V2 —все 2-подмножества
{ί, ;} множества V={i. 2, . . ., ρ}, тогда f£RD
представляет помеченный граф с вершинами из V, у к-рого
две вершины i и ; смежны, если /({i, /})=1. Пусть
w(r)=xr, тогда если w(f)=xk, то к — число ребер
в графе, соответствующем отображению /. Если на V
действует симметрич. группа Sр, то, определив для
o£Sp подстановку go на D соотношением g0 {i, /}=
= {σ(ί), σ (/)}» получают парную группу G=S{2*=
= {go }, действующую на Л= VK2).
Для последовательности gp^ (чисел графов с ρ
вершинами и к ребрами), к=1, 2, ... , по П. т. получают
производящую функцию
8ρ <*) = ΣΓ= ο Μ хк = Р (5р2"' ί+χ)·
Для единичной группы подстановок Еп, симметрич.
группы подстановок Sn и парной группы подстановок
£н' цикловой индекс имеет соответственно вид
Р(Еп; *,)=*»,
Г—1
Χ*
('Ont^L-v
где (r, s) — наибольший общий делитель, [г, s] —
наименьшее общее кратное чисел г и 5, а суммирование
Σ* проводится по /гх, к2, . . ., кп при условии Ах+
+ 2/с2+· · .+пкп~п. Известны цикловые индексы для
знакопеременной, циклической и диэдральной групп,
а также формулы для получения цикловых индексов
для произведения, декартова произведения и
сплетения групп (см. [4]).
Имеются обобщения П. т. на случай иного
определения как веса функции, так и классов эквивалентности
Лит.: 11] Д е Б ρ е й н Н. Д ж., в кн.: Прикладная
комбинаторная математика, пер. с англ., М., 1968, с. 61—106;
[2] Сачков В. Н., Комбинаторные методы дискретной
математики, М., 1977; [3] Перечислительные задачи
комбинаторного анализа. Сб. переводов, М., 1979, [4] X ар ар и Ф.,
Па л мер Э., Перечисление графов, пер. с англ., М., 1977.
В. М. Михеев.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ,
экспоненциальная функция, экспонента,—
функция
У =
^ехр ζ
(где е — основание натуральных логарифмов— непе-
рово число), для любого значения ζ (действительного
пли комплексного) определяемая соотношением
lim
0+т)"·
(1)
Она обладает следующими свойствами:
e^iez2 = ezi + z2 и {ez\)zt~ez\zi
при любых значениях zx и z2.
При действительных χ график П. ф. у=ех—
экспоненциальная кривая — проходит через
точку (0, 1) и асимптотически
приближается к оси Ох (см. рис.).
В курсе математич. анализа
рассматривается П. ф. у — ах при
действительных χ и а>0, ар U она связана с
(основной) П. ф. у=ех соотношением
а* = ех1па.
П. ф. у=ах определена при всех х,
положительна, монотонна (возрастает,
если а>1, и убывает, если 0<а<1),
бесконечно дифференцируема; при этом
непрерывна,
(α*)'=α*1ηα, [a*dx = ^ + C,
в частности
(е*)' =exf $e*dx = e*-\-C;
в окрестности каждой точки П. ф. может быть
разложена в степенной ряд, напр.:
·*=»+7Γ+!τ+···+5 + ···-Σ:β0£· <2>
График П. ф. у=а* симметричен графику П. ф.
у-=(\1а)* относительно оси ординат. Если а>1, то
П. ф. ах при £-►+<» возрастает быстрее любой
степени х, а при х-+— оо стремится к нулю быстрее любой
степени 1/ж, т. е. при любом натуральном &>0
lim
, lim \x \ъах = 0.
Х-*-- 00
Обратной к П. ф. является логарифмическая
функция.
При комплексных а и ζ П. ф. связана с (основной)
П. ф. w=ez формулой
где Lna — логарифм комплексного числа а.
П. ф. w=ez— целая трансцендентная функция и
является аналитич. продолжением П. ф. у=ех с
действительной оси в комплексную плоскость.
Помимо формулы (1), П. ф. может быть определена
также с помощью ряда (2), сходящегося во всей
комплексной плоскости, или по формуле Эйлера
ez = ex + iy = ex (cos у -f- i sin у).
Если z=x-\-iy, то
\е*\ = е*, Argez = y + 2nk, k = Q, ±1, ±2
П. ф. е2— периодическая с периодом 2πϊ.
ez + 2ni =ezt
П. ф. ez принимает все комплексные значения, за
исключением нуля: уравнение ez—a имеет бесконечное
13=*

391 ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ
число решений для любого комплексного числа α7=0.
Эти решения находятся по формуле
ζ = Ln a = In I a \ -\- i Arg a.
П. φ. ez является одной из основных элементарных
функций. Через нее выражаются, напр., тригономет-
рИЧ. фуНКЦИИ И ГИПербоЛИЧ. фуНКЦИИ. Ю. В. Сидоров.
ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — непре
рывное распределение вероятностей случайной
величины X, задаваемое плотностью
| 0, χ < 0.
Плотность ρ (χ) зависит от положительного
масштабного параметра λ. Формула для моментов: ΕΧη=η\/λη,
в частности — для математич. ожидания ΕΧ = 1/λ и
дисперсии DX = 1/X2; характеристич. функция: (1 — itlK)-1.
П. р. входит в семейство распределений, называемых
гамма-распределениями и задаваемых плотностью
ρ (Λ) = [λα«α-1/Γ(α)]β-λχ| χ^Ο;
и-кратная свертка распределения (1) равна гамма-
распределению с тем же самым параметром λ и с а=п.
П. р.— единственное распределение, обладающее
свойством отсутствия последействия: для любых я>0,
у >0 выполняется равенство
Ρ {Л >х + у\Х > у} = ?{Х >х), (2)
где Ρ {Х>х-\-у\Х>у} — условная вероятность
события X >х-\-у при условии X >£/. Свойство (2) называется
также марковским свойством.
В однородном пуассоновском процессе расстояние
между двумя последовательными скачками траектории
имеет П. р. Наоборот, процесс восстановления с
показательным временем жизни (1) является пуассонов-
ским процессом восстановления. П. р. часто
возникает как предельное при суперпозиции или
разрежении процессов восстановления, в задачах
пересечения высокого уровня в различных схемах блуждания,
в критических ветвящихся процессах и т. п.
Упомянутыми выше свойствами объясняется
широкое применение П. р. при расчетах различных систем
в теории массового обслуживания и в теории
надежности. Предполагая времена занятости приборов
случайными, независимыми друг от друга и
распределенными показательно, можно благодаря свойству (2)
изучать системы массового обслуживания с помощью
конечных или счетных цепей Маркова с непрерывным
временем. Аналогичным образом используются цепи
Маркова и в теории надежности, где времена
исправной работы отдельных приборов часто можно
предполагать независимыми и распределенными показательно.
Лит.: [1] Φ е л л е ρ В., Введение в теорию вероятностей
и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967.
Έ) ^4. С (ZftCLC TYVb SO-LOQ
ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА МЕТОД - один из
методов минимизации функций многих переменных,
использующий лишь значения минимизируемой
функции. П. с. м. применяется в тех случаях, когда
минимизируемая функция недифференцируема или
вычисление ее производных требует большого объема
работы. Ниже описан П. с. м. для задачи минимизации
функции F (оо) на множестве
Х = {ж = (х1, ..., xn):al-^xi ^bi, i = 1, . .., η},
где α,·, bi — заданные числа, α,·<&,·; случаи, когда
все или нек-рые о/= — оо, Ьу= + с», здесь не
исключаются. Пусть β,·=(0, . . ., 0, 1, 0, . . ., 0) —
координатный вектор, у к-рого ί-я координата равна 1,
остальные координаты равны нулю. Задают начальное
приближение а?0£Х, а0>0. Пусть известно k-е при-
РАСПРЕ ДЕЛЕНИЕ 392
ближение ж0£Х, α&>0 при каком-либо /с>0. Полагают
Pk=^i ι где ik=k—п[ —1 + 1 (здесь [а] — целая часть
числа а). Таким образом,
Ρο=βι, ..., Ρη-ι=еп, Рп=^и ···> />2n-i=e„, ρ2η=βι» ···»
т. е. осуществляется циклич. перебор координатных
векторов е1} . . ., еп. Сначала проверяют выполнение
условия
α·* + α*Ρ*€*. F(nk + <*kPk) < F (<»*). (1)
Если (1) выполняется, то полагают Xk+i=xk~\-akPk^
ak + i=ak. Если (1) не выполняется, то проверяют
условие
ook—VkPk(zX, Ρ (Kk — VkPk) < F (a?*). (2)
В случае выполнения условия (2) полагают ock + l =
= Mk—akPki <Zk+i = ak- Если оба условия (1), (2) не
выполняются, то полагают α?£ + 1=α?£,
_ ίλα/епри ik = n, a>k = xk-n + 1, (3)
( α/епри ι^Φη или a?fe φχ^^η + ι, или(Ь^/г^и—1;
где λ, 0<λ<1,— параметр метода. Условия (3)
означают, что если за один цикл из η итераций при
переборе всех координатных векторов et, . . ., еп с шагом
а/г выполнилось хотя бы одно из условий (1) или (2),
то длина шага а^ не дробится и сохраняется на
протяжении по крайней мере следующего цикла из η
итераций; если же на последних η итерациях оба
условия (1), (2) ни разу не выполнились, то шаг а&
дробится.
Если функция F (ж) выпукла и непрерывно
дифференцируема на X, множество {ос£Х : F(oc)<F(x0)}
ограничено, а0 — произвольное положительное
число, то метод (1) — (3) сходится, т. е.
lim F (a?fc)= inf F (ж),
fc-> со χ е х
последовательность {.χ&} сходится к множеству точек
минимума F (ж) на X. Если F (ж) недифференцируема
на X, то П. с. м. может не сходиться (см. [1], [2]).
Лит.: [1] Васильев Ф. П., Численные методы
решения экстремальных задач, М., 1980; [2] Карманов В. Г.,
Математическое программирование, 2 изд., М., 1980.
Ф. П. Васильев.
ПОКРЫВАЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ в частично
упорядоченном множестве — элемент,
непосредственно следующий за другим элементом;
точнее, выражение «а покрывает Ь в частично
упорядоченном множестве Р» означает, что 6<а и не
существует элемента х£Р, удовлетворяющего условию Ь<
<х<а. Т. С. Фофанова.
ПОКРЫТИЕ множества X — любое
семейство подмножеств этого множества, объединение к-рого
есть X.
1) Под П. топологического
пространства, равномерного пространства и вообще
какого-либо множества, наделенного тем или иным
ι строением, понимают произвольное П. этого
множества. Однако в теории топологич. пространств
особенно естественно рассматривать открытые
покрыт и я, то есть П., все элементы к-рых являются
открытыми множествами. Большое значение открытых
П. вызвано тем, что их элементы несут в себе полную
информацию о локальном строении пространства, а
свойства П. в целом (в частности, число элементов
в пем, кратность, комбинаторные свойства) отражают
существенно глобальные характеристики пространства.
Так, на языке открытых П. определяется
размерность по Лебегу dim топологич. пространства: размер-
[ ность нормального пространства X не превосходит

393 ποκ
натурального числа л, если в каждое конечное
открытое П. этого пространства можно вписать конечное
открытое П., кратность к-рого в каждой точке (т. е.
число элементов П., содержащих данную точку) не
превосходит п-\-\. Отношение вписанности одного П.
в другое является основным общим элементарным
отношением между П. Семейство множеств γ вписано
в семейство множеств λ, если каждый элемент
семейства γ содержится в нек-ром элементе семейства λ.
На языке открытых П. определяется класс параком-
пактных пространств.
Подпокрытием покрытия γ множества X
наз. всякое подсемейство семейства γ, само
являющееся П. множества X. В терминах подпокрытий
определяются фундаментальные понятия бикомпактно-
сти, счетной и финальной компактности.
Пространство бикомпактно, если из каждого его
открытого П. можно выделить конечное подпокрытие.
Пространство счетно компактно, если из
каждого его счетного открытого П. можно выделить
конечное подпокрытие. Пространство финально
компактно, если из каждого его открытого П.
можно выделить счетное подпокрытие. С помощью
открытых П. определяются абстрактные комбинаторные
объекты, открывающие дорогу применению алгебраич.
методов к исследованию топологич. пространств, более
общих, чем полиэдры. П. С. Александров определил
фундаментальное понятие нерва произвольного
покрытия γ как абстрактного комплекса, вершины
к-рого поставлены во взаимно однозначное
соответствие с элементами покрытия γ и конечный набор этих
вершин составляет абстрактный симплекс в том и
только в том случае, если пересечение отвечающих этим
элементам покрытий γ не пусто. Системам открытых П.
пространства, взятых вместе с отношением
вписанности, отвечают системы абстрактных комплексов,
связанных симплициальными отображениями,— т. н.
спектры комплексов.
Заметную роль в топологии играют и
замкнутые покрытия — то есть П., все элементы к-рых
являются замкнутыми множествами. Если в топологич.
пространстве все одноточечные множества замкнуты,
то примером замкнутого П. этого пространства может
служить семейство всех его одноточечных
подмножеств. Но в таком П. не заключено никакой
информации о топологии рассматриваемого пространства,
кроме той, что в нем выполнена 7\-аксиома
отделимости. Поэтому требование замкнутости П. следует
соединять с другими существенными ограничениями.
В частности, полезно рассматривать замкнутые
локально конечные П. Они существенны в теории
размерности. Важным примером замкнутого П. является
П. полиэдра замкнутыми симплексами какого-нибудь
подразделяющего этот полиэдр комплекса.
Среди ограничений на П., связанные не с
характером элементов, а с их расположением, наиболее часто
встречаются следующие. Мощность П.— число
элементов в нем, локальная конечность
(у каждой точки пространства есть окрестность,
пересекающаяся с конечным множеством элементов
семейства подмножеств этого пространства),
точечная конечность (означающая, что множество
элементов П., содержащих произвольно взятую точку,
конечно), звездная конечность (каждый
элемент П. пересекается лишь с конечным числом
элементов этого П.).
Семейство множеств в топологич. пространстве наз.
консервативным, если замыкание
объединения любого его подсемейства равно объединению
замыканий элементов этого подсемейства. Каждое
локально конечное семейство множеств консервативно.
Консервативные П. возникают при исследовании пара-
1ТИЕ 394
компактных пространств, при этом важны и не
тривиальны не только открытые, но и любые
консервативные П.
Важную роль играет понятие звезды точки
χ относительно семейств множеств (в частности,
покрытий) γ. Это — объединение всех элементов
семейства γ, содержащих х, обозначаемое обычно StY(^).
Аналогично определяется звезда St^ (А)
множества А относительно семейства множеств γ.
На понятии звезды основано фундаментальное
отношение звездной вписанности одного П. в другое,
существенно более тонкое, чем отношение вписанности.
Семейство множеств λ наз. звездно
вписанным в семейство множеств γ, если для каждой точки
найдется элемент семейства γ, содержащий звезду этой
точки относительно λ. Отношение звездной
вписанности открытых П. имеет важное значение в теории
размерности, на нем основаны нек-рые критерии
метризуемости, оно является одним из основных
элементарных понятий, входящих в определение
равномерной структуры и равномерного пространства. Полезно
рассматривать семейства F открытых П. топологич.
пространства, направленные отношением звездной
вписанности в следующем смысле: для любых γχ и у2 из
F найдется μ£/% звездно вписанное и в уг, и в γ2.
Представляет ценность следующая характеристика
паракомпактности на языке звездной вписанности
(теорема Морит ы): хаусдорфово пространство
паракомпактно в том и только в том случае, если в
любое его открытое П. можно вписать открытое П.
звездно.
Звездная вписанность в случае произвольных (или
даже замкнутых) П. не столь содержательна. В
частности, это видно из того, что семейство всех
одноточечных подмножеств пространства звездно вписано
в любое П. этого пространства.
Лит.: [1] Келли Д ж., Общая топология, пер. с англ.,
2 изд., М., 1981; [2] Архангельский А. В., Π о н о м а-
р е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
М., 1974. А. В. Архангельский.
2) В комбинаторной геометрии
имеется ряд задач и предложений, относящихся к
специальным П., в основном выпуклых множеств. Пусть
К — выпуклое тело и-мерного векторного
пространства R", bd К и int К — соответственно граница и
внутренность К. Наиболее известны следующие задачи
с П.
а) Ищется минимальное число t(K) транслятов
(параллельных переносов) int ϋΓ, при помощи к-рых можно
покрыть тело К.
б) Ищется минимальное число Ъ (К) гомотетичных
К тел с коэффициентом гомотетии /с, 0</с<1, при
помощи к-рых можно покрыть тело К.
в) Ищется минимальное число d(K) гомотетичных
К множеств с коэффициентом гомотетии /е>1 и
центром гомотетии в R"\int К, при помощи к-рых можно
покрыть тело К.
При ограниченности К задачи а) и б) эквивалентны
между собой, эквивалентны освещения задаче (извне)
множества bd К и связаны с Хадвигера гипотезой.
Для неограниченного К задачи а) и б), вообще говоря,
различны, причем числа Ъ(К) и t(K) могут быть
бесконечными.
Лит.: [1] Данцер Л., Грюнбаум В., К л и В.,
Теорема Хелли и ее применения, пер. с англ., М., 1968; [2]
Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц., Теоремы и
задачи комбинаторной геометрии, М., 1965* [3] и χ ж е,
Разбиение фигур на меньшие части, М., 1971; [4] X а д в и г е ρ Γ,,
Дебруннер Г., Комбинаторная геометрия плоскости,
пер. с нем., М., 1965; [5] Роджерс К., Укладки и
покрытия, пер. с англ., М., 1968; [6] Болтянский В. Г., С о л-
тан П. С, Комбинаторная геометрия различных классов
выпуклых множеств, Киш., 1978. П. С. Солтан.
ПОКРЫТИЯ И УПАКОВКИ — комбинаторные
конфигурации, связанные с многозначным отображением

395 ποκι
одного множества на другое. Пусть заданы множества
V и Ε и многозначное отображение Г множества Ε
на множество V. Пусть Г (в) — образ элемента е£Е
при отображении Г и для любого Сс=Е пусть Т(С) =
= []ееЕ^(е)· Подмножество С^Е наз.
покрытием (для (V, Е, Г)), если T(C)=-V. Подмножество
Рс=:Е наз. упаковкой, или укладкой (для
(V, Е, Г)), если для любых двух различных
элементов еп ej из Ρ множества Г (в;) и V{ej) не пересекаются.
Подмножество Ρ<ΞΞζΕ наз. совершенной
упаковкой, или совершенным покрытием,
если Ρ является одновременно и покрытием, и
упаковкой. Множество Ε наз. покрывающим, а
множество V — покрываемым. Если обратное
отображение Г-1 таково, что Г"1 (V) = E, то можно
рассматривать V как покрывающее множество, а Е
как покрываемое. Отображение Г : E-+V определяет
отношение инцидентности /, при к-ром
у из V и е из Ε инцидентны (обозначение vie), если
v£T(e).
С понятиями упаковки и покрытия связаны
экстремальные задачи, заключающиеся в отыскании (по
произвольно заданной тройке (V, Е, Г)) П. и у.,
доставляющих экстремум тех или иных функционалов.
Такой функционал можно, напр., задать с помощью
функции, сопоставляющей каждому элементу е из Ε
неотрицательное действительное число w(е), наз.
весом элемента е. Задача о минимальном покрытии
заключается в построении покрытия С, для к-рого ZeeCw(e)
принимает минимальное значение. Часто
рассматривается случай, когда м;(е)=1; здесь речь идет о
нахождении покрытия минимальной мощности, или
т. н. кратчайшего покрытия. Если тройка
(V, Е, Г) такова, что
тах| Г (е) |<w, min | Г"1 (v)\^> w,
ееЕ vev
το минимальная мощность x(V, Ε, Γ) покрытия
удовлетворяет неравенствам
Ш<х(У,Я,Г)<1+§-(1 + 1пШр).
В экстремальных задачах об упаковках чаще всего
требуется найти упаковки максимальной мощности.
Иногда на покрываемом множестве V задается
функция λ, принимающая целые неотрицательные
значения, тогда λ-π окрытием (λ-y паковкой) наз.
подмножество Р<=Е, удовлетворяющее условию: для
каждого v£V число α (ν, Ρ) тех элементов βζΡ, к-рые
инцидентны элементу у, подчиняется неравенству
α (υ. Ρ)^λ{ν)
(соответственно σ(ν, Ρ)^,λ(ν)). Существует связь
между λ-покрытиями минимальной мощности и λ-упаков-
ками максимальной мощности. Именно, пусть заданы
множества V и Е, многозначное отображение Г : £->
-*V, а также функции λ и λ' на множестве V такие, что
для каждого v£V:
λ{υ) + Κ'(ν) = \Τ-'(ν)\.
Тогда, если множество С есть минимальное по
мощности λ-покрытие для (V, Е, Г), то множество Р—
= Е\С является максимальной по мощности
λ'-упаковкой, и наоборот: если Ρ — максимальная λ'-упа-
ковка, то множество С=Е\Р есть λ-покрытие
минимальной мощности. К классу задач о П. и у.
относятся, напр., следующие:
1) Пусть G — граф с множеством вершин V и
множеством ребер Е. Если рассматривать множество V
в качестве покрываемого, множество Ε — в качестве
покрывающего и отношение инцидентности вершин
396
и ребер — в качестве /, то покрытием является
реберное покрытие графа, упаковкой — паросочетание,
совершенной упаковкой — совершенное паросочетание.
Если в качестве и покрывающего, и покрываемого
взять множество вершин, а в качестве / — отношение
смежности вершин, то покрытием будет внешне
устойчивое множество, а упаковкой — внутренне
устойчивое множество; при этом минимальная мощность
покрытия наз. числом внешней устойчивости, а
максимальная мощность упаковки — числом внутренней
устойчивости (см. Графов числовые характеристики).
2) Пусть V — непустое множество в метрич.
пространстве R. Система π множеств U<=R наз. ε-п
окрытием множества V, если диаметр d (U) любого
множества £/ζπ не превосходит 2ε и Vg=:\JUenU.
Множество Sc=R наз. ε-сетью для множества V, если
любая точка множества V находится на расстоянии,
не превышающем ε, от нек-рой точки из S. Множество
£/с=я наз. ε-ρ азличимым, если любые две его
различные точки лежат на расстоянии, большем ε. Пусть
Ne (V) — минимальное число множеств в ε-покрытии
множества V, а Мг (V) — максимальное число Точек
в ε-различимом подмножестве множества V. Число
\og2Ns(V) наз. ε-энтропией множества V, а
log2Mg (V) наз. ε-емкостью множества V.
Понятия ε-энтропии и ε-емкости применяются в теории
приближения функций и в теории информации.
3) Пусть Вп — единичный и-мерный куб с
метрикой Хемминга и покрываемое множество есть
множество его вершин, а покрывающее множество —
множество шаров радиуса г в Вп. Тогда множество
центров шаров упаковки есть код, исправляющий г
ошибок. Если упаковка является совершенной, то код
наз. плотно упакованным, или
совершенным.
Если в качестве покрываемого множества взять
подмножество Nf вершин куба Вп, на к-ром нек-рая
булева функция /(«χ, . . ., хп) принимает значение 1, а
в качестве покрывающего — множество граней
(интервалов), целиком содержащихся в Nf, то покрытие
наименьшей мощности будет соответствовать
кратчайшей дизъюнктивной нормальной форме функции
/(#!, . . ., ж,,), а покрытие с наименьшей суммой
рангов — минимальной дизъюнктивной нормальной
форме функции /(#!, . . ., хп) (см. Булевых функций
нормальные формы).
В задачах о П. и у. оцениваются их мощности,
исследуются вопросы существования, построения,
перечисления совершенных упаковок, изучаются
возможности построения эффективных алгоритмов для
решения этих задач.
Лит.: [1] Роджерс К., Укладки и покрытия, пер. с
англ., М., 1968; [2] Тот Л. Ф., Расположения на плоскости,
на сфере и в пространстве, пер. с нем., М., 1958; [3] Питер-
сон У., Уэлдон Э., Коды, исправляющие ошибки, пер.
с англ., М., 1976; [4] Дискретная математика и математические
вопросы кибернетики, т. 1, М., 1974; [5] X а р а р и Ф., Теория
графов, пер. с англ., М., 1973; [6] Б ер ж К., Теория графов
и ее применения, пер. с франц., М., 1962; [7] Витущкин
А. Г., Оценка сложности задачи табулирования, М., 1959; [8]
Колмогоров А. Н., Тихомиров В. М., «Успехи
матем. наук», 1959, т» 14, в. 2, с, 3—86; [9J
Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [10] Яб-
лонскийС. В., Введение в дискретную математику, М., 4979.
А. А. Сапоженко.
ПОКРЫТИЯ ТЕОРЕМЫ — теоремы для различных
классов регулярных функций, устанавливающие
нек-рые свойства таких множеств, к-рые целиком
содержатся в множестве значений каждой функции
соответствующего класса. Ниже приведены нек-рые из
основных П. т. (см. также [1]).
Теорема 1. Если функция w=f(z)=z-{-a2z2-\-
+ . . . регулярна и однолистна в круге Ы<1 (то есть
/(ζ)ζ£)> Т(> КРУГ M<V4 целиком покрывается образом
круга Ы<1 при отображении этой функцией. На
ытия

397
ПОЛБ
398
окружности |h;|=i/4 только в том случае имеются точки,
не принадлежащие образу, если
/ (г) = \ , 0 < а < 2π.
(l + etaz)2
Теорема 2. Если мероморфная функция w—
= F(£)=£+a0+ тг+. · · однолистно отображает |ζ|>1,
то вся граница образа лежит в круге \w—α0|<2.
Теорема 3. Если /(ζ)ζ£, то по крайней мере
одна из η ближайших к w=0 точек границы образа
круга |ζ|<1 при отображении w=f(z), лежащих на η
любых лучах, исходящих из ш=0 под равными
углами, отстоит от w=0 не ближе чем на {/^V4·
Теорема 4. Если f(z)£S, то в образе круга
Ы<1 при отображении w=f(z) содержится множество,
состоящее из η открытых прямолинейных отрезков
с суммой длин, не меньшей и, исходящих из начала под
равными углами величины 2π,
Для /(ζ)ζ£ и удовлетворяющих в круге |ζ|<1
неравенству \f(z)\<M, ΛΓ>1, имеют место П. т.,
аналогичные теоремам 1, 3 (с соответствующими
постоянными). П. т. 1 и 3 переносятся и на класс функций
w=f(z), регулярных и однолистных в кольце l<|z|<r
и отображающих его на области, лежащие в М>1, а
окружность |z| = l — на окружность |м;| = 1.
Для класса R функций w=f(z)=^z-\-a2z2+. . .,
регулярных в круге Ы<1, не существует круга М<р,
р>0, целиком покрываемого значениями каждой из
функций этого класса. Для функций
w = F (ζ) = ζ?+α2ζ? + 1 + ..., q^\,
регулярных в |ζ|<1, каждый образ этого круга
целиком покрывает нек-рый отрезок любого заданного
наклона, содержащий точку w=0 внутри, длиной не
меньше 4 = 8n2/r4(V4)=0,45. . ., причем число А нельзя
увеличить без дополнительных ограничений. В этом же
классе функций при условии, что F(z)?=0 в кольце
0<|ζ|<1, каждый образ круга |ζ|<1 целиком
покрывает круг M<Vie» H0 не всегда покрывает больший
круг с центром в w=0.
В классе Sp регулярных в |ζ|<1 функций f(z) =
= zP(i-\-a1z-\-a2z2-\~. . .) таких, что каждое свое
значение w они принимают не более чем в ρ точках круга
|ζ|<1, имеет место аналог П. т. 1 с соответствующим
кругом \w\ <Ύ/2Ρ + 1- Если при этом ах= . . .=ар_1=0 или
а1=. . . = ар=0, то соответствующими кругами будут
Μ <V4 или \w\<}l2. Аналогичные результаты имеют
место для функций, р-листных в среднем по
окружности, ρ-листных в среднем по площади и др. На класс
Sρ перенесена и П. т. 3.
См. также теорему Блоха в ст. Блоха константа.
Лит.: [1] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 196^.
Г. И. Антонюп.
ПОЛЕ — коммутативно-ассоциативное кольцо с
единицей, множество ненулевых элементов к-рого не пусто
и образует группу относительно умножения. П. можно
охарактеризовать также как простые ненулевые
коммутативно-ассоциативные кольца с единицей.
Примеры полей: П. рациональных чисел Q, П.
действительных чисел R, П. комплексных чисел С,
конечные П. (см. Галуа поле), П. частных областей
целостности.
Подполем ноля К наз. подмножество МаК,
к-рое само является П. относительно операций
сложения и умножения, заданных в К. Напр., если σ—нек-рый
автоморфизм поля К, то множество
К°={х£К\а{х)=х}
является подполем в К. Если Μ и N — подполя поля
К, то их пересечение Μ [)Ν будет подполем в К; кроме
того, существует наименьшее подполе ΜΝ поля /£,
содержащее Μ и N и называемое композитом
полей Μ η Ν (в К). Каждое П. содержит
единственное простое (т. е. не содержащее подпол ей) подполе.
Любой гомоморфизм полей является вложением.
Для произвольного поля К существует единственный
гомоморфизм φ: %-*·Κ, переводящий единицу кольца
Ъ в единицу поля К. Если кег φ=0, то К наз. полем
характеристики нуль. В этом случае
простое подполе поля К совпадает с. П. частных кольца
φ(Ζ) и изоморфно полю Q. Если кег φ#0, то кег φ=
=р% для нек-рого простого р. Это ρ наз.
характеристикой поля К. Простое подполе поля К
совпадает в этом случае с φ(Ζ) = Ζ/ρΖ·
Если к подполе поля К, то К наз.
расширением поля к. Пусть У — нек-рое подмножество
в К, тогда определено поле k(Y) — наименьшее
подполе поля К, содержащее Υ и к. Говорят, что к (У)
получено из к присоединением элементов множества У.
Основные задачи теории полей — это описание всех
подполей данного П., всех П., содержащих данное П.,
то есть надполей (см. Расширение поля),
изучение всех вложений П. в нек-рое другое П.,
классификация полей с точностью до изоморфизма и изучение
группы автоморфизмов данного П.
Поле К наз. конечно порожденным над
своим подполем /с, если существует конечное множество
ΥαΚ такое, что K=k(Y). Любое такое П. можно
интерпретировать как П. рациональных функций к(Х)
нек-рого неприводимого алгебраич. многообразия X,
определенного над к. Изучением таких П. занимается
алгебраическая геометрия. В частности, задача
классификации таких П. эквивалентна задаче бирациональ-
ной классификации неприводимых алгебраич.
многообразий, а задача нахождения группы всех
автоморфизмов П. Я=»/с(Х), оставляющих на месте все
элементы поля /с, эквивалентна задаче нахождения всех
бирациональных автоморфизмов многообразия X,
определенных над к.
Изучение конечных сепарабелъных расширений
произвольных П. составляет предмет Галуа теории, В
теории чисел важную роль играет рассмотрение
конечных расширений поля Q, называемых П. алгебраич.
чисел. Изучением этих П. занимается алгебраическая
теория чисел.
Теория полей изучает также П., несущие нек-рые
дополнительные структуры, напр. дифференциальные
П., топологические П., упорядоченные П., формально
вещественные и формально р-адические П. и др.
Зарождение теории П. (в рамках теории алгебраич.
уравнений) относится к сер. 19 в. После публикации
работ Э. Галуа (Е. Galois) и Ж. Лагранжа (J.
Lagrange) в теории групп и К. Ф. Гаусса по теории чисел
стало очевидно, что нужно исследовать природу самих
числовых систем. Концепции П. появляются в работах
Л. Кронекера (L. Kronecker) и Р. Дедекинда (R. De-
dekind). P. Дедекинд ввел понятие П., к-рое он
первоначально называл «рациональной областью». Теория
Р. Дедекинда опубликована в примечаниях и
дополнениях к «Теории чисел» П. Дирихле (P. Dirichlet).
В них Р. Дедекинд существенно дополнил и развил
теорию чисел, теорию идеалов и теорию конечных
П. Термин «П.» впервые появился в издании этой
книги в 1871.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] В а н дер
Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [3]
Л е н г С, Алгебра,чпер. с англ., М., 1968; [4] Зарисский
О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ.,
т. 1, М., 1963. Л. В. Кузьмин.
I ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ многочлена —
наименьшее поле, содержащее все корни данного многочлена.
I Точнее, расширение L поля А наз. полем разло-

399 ПОЛЕЗНО!
жения многочлена / над полем К, если /
разлагается над полем L на линейные множители:
1=-а,ъ(х — а1)...(х-~ап)
и L=K(a1, . . ., <хп) (см. Расширение поля). П. р.
существует для любого многочлена f£K[x] и определено
однозначно с точностью до изоморфизма,
тождественного на К. П. р., по определению, является конечным
алгебраич. расширением поля К.
Примеры. Поле комплексных чисел С служит
П. р. многочлена х2-\-1 над полем R действительных
чисел. Любое конечное поле GF(g), где q=pn, есть
П. р. многочлена хЧ—χ над простым подпол ем GF(p)c
dGF(g). О. А. Иванова.
ПОЛЕЗНОСТИ ТЕОРИЯ — теория, изучающая
предпочтение индивидов и его представление в виде
числовой функции. Предпочтением на множестве
альтернатив X наз. транзитивное бинарное
отношение R на X; оно представляется функцией и(х) на X;
при этом и(х) наз. функцией полезности,
если для любых х, у£Х из xRy следует и(х)^и(у) и
наоборот. Таким образом, в П. т. изучаются
упорядоченные множества и их монотонные отображения в
числовое пространство (обычно одномерное). П. т.
возникла в работах экономистов 18 в.; начало
современной (50-е гг. 20 в.) П. т. было положено Дж. Нейманом
(J. Neumann) и О. Моргенштерном (О. Morgenstern)
(см. [1]).
Существование функции полезности в случае
конечного множества X является очевидным. В бесконечном
случае необходимым и достаточным условием
существования функции полезности является существование
плотного по полезности счетного подмножества АаХ,
т. е. для любых х, у£Х\А, xR*y, существует такое
ζζА, что xR*z и zR*y, где R*— строгое
предпочтение (zi?*j/<=i=> xRy и не yRx). Если X —
выпуклое множество векторного пространства, R
непрерывно на X и для любых х, у, ζζΧ, xR*y, и любого
а, 0<а<1, верно [ая+(1—a)z]i?*[aj/+(l—a)z], то
существует единственная с точностью до
положительной линейной трансформации линейная функция
полезности (см. [3]). Различные комбинации более
слабых условий приводят к нелинейной, разрывной или
в том же смысле неединственной функции полезности.
Напр., если X — векторное пространство и из xR*y
следует (x-\-z)R* (y-\-z) naxR*ay для всех z^I и a>0,
то функция оказывается однозначной, но кусочно
линейной.
В П. т. также рассматриваются стохастич.
упорядочения и упорядочения сумм или разностей
альтернатив (тогда функция полезности строится по нек-рому
кватернарному отношению на X), обобщения для
Агарного отношения вместо бинарного, построение
функции полезности одновременно с субъективными
вероятностями, связь между полезностью
многокомпонентных альтернатив и полезностями их компонент и др.
(см. [3], [4]).
Лит.: [1] Нейман Дж., Моргенштерн О.,
Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; [2]
Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [3]
Фишберн П. С, Теория полезности для принятия
решений, пер. с англ., М., 1978; [4] С у π π е с П., 3 и н е с Д ж.,
в кн.: Психологические измерения, пер. с англ., М., 1967.
Э. Й. Вилпас.
ПОЛЕЙ КЛАССОВ ТЕОРИЯ — теория, дающая
описание всех абелевых расширений
(конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа)
поля К, принадлежащего к одному из следующих
типов: 1) К — поле алгебраич. чисел, т. е. конечное
расширение поля Q; 2) К — конечное расширение
поля рациональных р-адических чисел Qp; 3) К — поле
алгебраич. функций одной переменной над конечным
полем; 4) К — поле формальных степенных рядов над
конечным полем.
И ТЕОРИЯ 400
Основные теоремы П. к. т. были сформулированы и
доказаны в частных случаях Л. Кронекером (L. Кгопе-
cker), Г. Вебером (Н. Weber), Д. Гильбертом (D.
Hubert) и др. (см. также Алгебраическая теория чисел).
Поля типа 2) и 4) на з. локальными, а поля
типа 1) и 3) — глобальными. Соответственно
можно говорить о локальной и глобальной П.к. т.
В локальной П. к. т. каждому конечному абелеву
расширению L/K с группой Галуа G(LlK) ставится
в соответствие норменная подгруппа Nl/k(L*)
мультипликативной группы К* поля К. Группа ^VL/K(L*)
полностью определяет поле L, и существует канонич.
изоморфизм φ : G(L/K)~K*/N L,K(L*) (основной
изоморфизм П. к. т.). Явный вид этого
изоморфизма дает теория формального комплексного
умножения (см. [2] гл. 6). Наоборот, любая открытая
подгруппа конечного индекса в К* реализуется как
норменная подгруппа для нек-рого абелева расширения L
(теорема существования).
Если L и Lx — конечные абелевы расширения поля
К, М=Ь(]Ьг и N=L-Ll4 то справедливы соотношения
NwK (Μ*) = NL/K(L*) NLl/K (LO, \
NN/K(N*) = NL/K(L*)r\NLi/K(Ll). J
Включение L1=±L выполняется тогда и только тогда,
когда
Nlik(U*)z>Nljk(lI),
причем в этом случае диаграмма
1* φ |β (2)
G(L/K)^K*/Nl/k(L*),
где α получен ограничением автоморфизмов с Lx на
L, а β индуцирован тождественным отображением
К*—►#*, коммутативна. В частности, если КаЬ—
максимальное абелево расширение поля К, то группа
Галуа G(KablK) канонически изоморфна проконеч-
ному пополнению группы К*.
Изоморфизм φ дает также описание
последовательности подгрупп ветвления в G(LlK). Так, расширение
L/K не разветвлено тогда и только тогда, когда группа
единиц U(К) поля К содержится в группе Α^/κί^*)·
В этом случае изоморфизм φ полностью определяется
тем, что автоморфизм Фробениуса, порождающий
группу G(LlK), переходит в класс n-NL/K(L*), где
π — простой элемент поля К.
На языке когомологий групп изоморфизм φ
интерпретируется как изоморфизм между группами
когомологий Тейта
H-*(G(L/K),Z)c±G(L/K)
Но (G (L/K), L*)=K*/NL/K (L*).
Более того, пусть ПК — произвольное конечное
расширение Галуа локальных полей. Тогда для
любого целого η определен канонич. изоморфизм φ„:
H«-2(G(L/K), z)^H"(G(L/K), L·).
Если задана башня полей Галуа MzzL^K, то
инфляция
inf: Я2 (G (L/K), L*) —► Я2 (G (Μ/Κ), Μ*)
сохраняет инвариант (см. Б pay эра группа), а
ограничение
res: H2(G(M/K), Μ*) —► Η2 (G (M/L), Μ*)
умножает инвариант на [L : К]. Если К — сепарабель-
ное замыкание поля К, то инвариант определяет ка-

401
ПОЛИВЕКТОР
402
нонич. изоморфизм между группой Брауэра поля К
Вг {К) ~H2(G (К/К), К*)
и Q/Z.
В глобальной П. к. т. роль мультипликативной
группы поля играет группа классов иделей. Пусть
L/K — конечное расширение Галуа глобальных
полей, и 11 — группа иделей поля L. Группа L*
вкладывается в 11 в качестве дискретной подгруппы (она
наз. группой главных иделей), а
факторгруппа Сi=IJL*, наделенная фактортопологией, наз.
группой классов иделей. Доказывается,
что №(G(L/K), CL)=i uH2(G(L/K), CL)~%/n%, где
n={L : К]. Существует канонич. вложение inv:
H2(G(L/K), CL)^Q/%. Как и в локальной П. к. т.,
для любого целого η определен изоморфизм (основной
изоморфизм глобальной П. к. т.)
ψ„: H«-2(G(L/K), %)^H"(G(L/K), CL).
Для абелева расширения L/K изоморфизм ψ0
сводится к изоморфизму ψ : G(LlK)~CKlNL,K (Сι). Ηορ-
менная подгруппа NLlK(CL) однозначно определяет
поле L, и наоборот, любая открытая подгруппа
конечного индекса в С % является норменной подгруппой
для нек-рого конечного абелева расширения L
(глобальная теорема существования).
Соотношения, аналогичные (1) и (2), остаются
справедливыми и для глобальных полей. Если КаЬ—
максимальное абелево расширение поля К, то в
функциональном случае группа G(Kab/K) изоморфна проко-
нечному пополнению группы С к, а в числовом случае
группа G(Kab/K) изоморфна факторгруппе группы Ск
по связной компоненте.
Изоморфизмы φ„ и \рп согласованы. Если ЫК
конечное расширение Галуа глобальных полей, Lv —
пополнение поля L относительно нек-рой точки υ и Κν —
пополнение поля К относительно ограничения υ на К,
то существует коммутативная диаграмма
ψ„: Hn-2(G{L/K), ζ) ζ* Η» (G (L/K), CL),
| cores |/ (3)
φ„: Hn-2(G{LV/Kv), z)^Ffn(G(Lv/Kv), L*),
где отображение / индуцировано вложением L*—IL-+
-+Ci и коограничением cores. Для п=0 (3) дает
коммутативную диаграмму
ψ: G{L/K)/[G(L/K), G (L/K)]^CK/NL/K (CL)
t ί №
φ: G(LV/KV)I[G(LV/KV), G (Lv/Kv)]^ куМ^^Ь^.
Диаграмма (4) позволяет получить закон
разложения простых дивизоров поля К в абелевом расширении
LIК. Именно, дивизор с поля К не разветвлен в L
(вполне распадается в L) тогда и только тогда, когда
U(Kc)aNL/K(GL) (соответственно K*aNL/K(GL)).
Если с — нек-рый простой дивизор поля К, не
разветвленный в L, ν — точка поля К, соответствующая с,
и л — простой элемент поля Kv, то определен символ
Артина ί-!— ^=г|?-1 (л) £G(L/K), зависящий только
от с. Элемент ί —— j — это автоморфизм Фробениуса
в подгруппе разложения точки v. Согласно
теореме плотности Чеботарева любой
элемент группы G(L/K) имеет вид (-^—) Для
бесконечного числа простых дивизоров с поля К.
Напр., максимальное абелево неразветвленное
расширение числового поля К (называемое
гильбертовым полем классов) — это поле, нормен-
ная подгруппа к-рого совпадает с образом
относительно проекции 1К-+СК группы A'*xJJ U(KV), где υ
пробегает все точки поля К. Группа Ιχ/Κ* X TJ U (Kv)
канонически изоморфна группе классов
дивизоров С1д; поля К, что дает важный изоморфизм
G(F/K)~G\k. ^ частности, над К нет неразветвленных
абелевых расширений тогда и только тогда, когда
поле К одноклассно.
Тип разложения простого дивизора с поля К в F
полностью определяется классом с в С1с . Вполне
распадаются в F все главные дивизоры и только они.
Все дивизоры поля К становятся главными в F.
Подобно тому, как П. к. т. для абелевых
неразветвленных расширений можно излагать на языке группы
классов дивизоров и ее подгрупп, можно дать харак-
теризацию любого конечного абелева расширения поля
К в терминах группы лучевых классов по нек-рому
модулю (см. Алгебраическая теория чисел).
Существуют также обобщения П. к. т. на случай бесконечных
расширений Галуа [4].
Хотя П. к. т. возникла как теория абелевых
расширений, ее результаты дают важную информацию и для
неабелевых расширений Галуа. Напр., на теории
полей классов основано доказательство существования
бесконечных башен полей классов (см. Башня полей).
Лит.: [1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М.,
1969; [2] В е й л ь Α., Основы теории чисел, пер. с англ., М.,
1972; [3] Кох X., Теория Галуа р-расширений, пер. с нем.,
М., 1973; [4] К у з ь м и н Л. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1969, т. 33, в. 6, с. 1220 — 54. Л. В. Кузьмин.
ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
порядка т — комплексная функция w=u-\-iv
действительных переменных χ и у или, что эквивалентно,
независимых комплексных переменных z=x-{-iy и z=x — iy
в плоской области D, представимая в виде
w = f(z, *)=ΣΓ=ο Z*/fe^'
(1)
где fk(z), к=0, . . ., т—1,— комплексные аналитич.
функции в D. Иначе, П. ф. w порядка т можно
определить как функцию, имеющую в D непрерывные
частные производные по χ и у или по ζ и ζ до порядка
т включительно и удовлетворяющую всюду в D
обобщенному условию Коши — Римана:
dmw _r.
При т=\ получаются аналитич. функции.
Для того чтобы функция и=и(х, у) была
действительной (или мнимой) частью нек-рой П. ф. w— u-\-iv в
области D, необходимо и достаточно, чтобы и была по-
лигармонической функцией в D. На П. ф. переносятся
с соответствующими изменениями нек-рые классич.
свойства аналитич. функций (см. [1]).
П. ф. мультипорядка т=(т1, . . ., тп) от
комплексных переменных zx, . . ., zn и zt, . . ., zn в области D
комплексного пространства С", η^ί, наз. функция
вида
ю=2*1.....*и=о *?'···#·>*....*„<*' •••'z«b
гДе fh .k ~ аналитич. функции переменных zt, . . .,
ι * ' * η
ζη в D.
Лит.: [1] Бал к М. В., 3 у е в Μ. Φ., «Успехи матем.
наук», 1970, т. 25, в. 5, с. 203—26. Е. Д. Соломенцев.
ПОЛИВЕКТОР, р-в е к τ о р, векторного
пространства V — элемент ^-й внешней степени APV
пространства V над полем к (см. Внешняя алгебра). /?-вектор
может пониматься как кососимметризованный ρ раз
контравариантный тензор на V. Любая линейно
независимая система векторов хг, . . ., хр из V определяет

403
ненулевой ρ-вектор ^Л
ПОЛИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
404
/\хр\ такие П. наз.
разложимы м и, или простыми (часто — просто
П.). При этом линейно независимые системы хх,
хр и г/ь
. ., у ρ порождают одно и то же подпрост-
V в том и только в том случае, когда ух А
./\хр, где οζΚ. Для любого нену-
ранство в
. . .Лур=сх1л.
левого поливектора t£ApV его аннулятор
Ann t— {v£ V\tAv—0} есть подпространство
размерности <р, причем поливектор t разложим тогда и
только тогда, когда dim Ann t=p. Разложимые р-
векторы n-мерного пространства V образуют
коническое алгебраич. многообразие в APV; соответствующее
проективное алгебраич. многообразие есть Грассмана
многообразие. Любой ненулевой η-вектор или (п—1)-
вектор в л-мерном пространстве V разложим;
бивектор / разложим тогда и только тогда, когда tAt=0.
~~ ., vn — базис пространства V и #,·=
J/-1
ранства
"у
Г\х
Если vx,
Уп xlv
в базисе
APV
то координатами поливектора t=xx/\.
К Λ
являются
«1<.
р
миноры t%x
<ip, матрицы ||ж{||. В частности,
Χι Л ... Л хп = det II xl || υχ А
,<ip) прост-
•V= detail,
при p=n
Avn.
Если фиксировать ненулевой и-вектор ωζΛ"7, то
возникает двойственность между р-векторами и
(тг—р)-векторами, т. е. естественный изоморфизм
π : Л^ (V) —► (An~pV)* ^Ап~р (V)
такой, что tAu=si(t)(u)<u для всех t£ApV и u£An~pV.
Пусть к= R и в V задано скалярное произведение,
тогда в APV индуцируется скалярное произведение,
обладающее следующим свойством: для любого орто-
нормированного базиса ух, . . ., vn в V базис {υχ Л. . .
Avi \i1K- · ·<*/?} в kpV также ортонормирован.
Скалярный квадрат
~*1Х < · . . < lp
разложимого поливектора t=x1A· . .ΑχΌ совпадает
с квадратом объема параллелепипеда в Г,' натянутого
на векторы хг, . . ., хр. Если фиксировать в ^-мерном
евклидовом пространстве V ориентацию (что
равносильно выбору тг-вектора ω, для κ-poro (ω, ω)=1), то
указанная выше двойственность приводит к естественному
изоморфизму γ : ApV-+An~pV такому, что tAu=
= (γ(ί), и) ω для всех t£ApV, u£An~pV. В частности,
(п—1)-вектору t=xtA. . . Λζ^-χ соответствует вектор
У (0 6 ^> наз. векторным произведением
векторов хг, . . ., хп-г.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц.,
М., 1962; [2] К о с τ ρ и к и н А. И., Μ а н и н Ю. И.,
Линейная алгебра и геометрия, М., 1980; [3] Постников Μ. Μ.,
Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979.
А. Л. Онищип.
ПОЛИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ,
гипергармоническая функция, метагар-
моническая функция, порядка т —
функция и(х)~и(хг, . . ., хп) действительных переменных,
определенная в области D евклидова пространства
IR", и>2, имеющая непрерывные частные
производные до 2т-го порядка включительно и
удовлетворяющая всюду в D полигармоническому
уравнению
:Δ(Δ...(Δι*))=0,
т~
Ά,
где Δ — оператор Лапласа. При m=i получаются
гармонические функции, при т=2 — бигармониче-
ские функции. Каждая П. ф. есть аналитич. функция
от координат xj. Нек-рые другие свойства гармонич.
функций также переносятся с соответствующими
изменениями на П. ф.
Для П. ф. любого порядка т>1 обобщаются
представления при помощи гармонич. функций, известные
для бигармонич. функций (см. [1] — [5]). Напр., для
П. ф. и двух переменных справедливо представление
где oft, /с=0, . . ., т—1 — гармонич. функции в
области D. Для того чтобы функция и(хх, х2) двух
переменных была П. ф., необходимо и достаточно, чтобы
она была действительной (или мнимой) частью поли-
аналитической функции.
Основная краевая задача для П. ф. порядка т>1
состоит в следующем: найти П. ф. и—и(х) в области
D, непрерывную вместе с производными до (т—1)-го
порядка включительно в замкнутой области D =
= D\JC и удовлетворяющую на границе С условиям:
и|с = /о(У), 1 , .
ди\ . . ч д*п-Ы\ , ν г г f (*)
e^\c = h(yh ···. d7Jn=i\c= т-^у^ у€С' J
где ди/дп — производная по нормали к С, а /0(г/),
• · ·, fm-i(lJ) — заданные достаточно гладкие функции
на достаточно гладкой границе С. Многие
исследования посвящены решению задачи (*) в шаре
пространства Rn (см. [1], [6]). Для решения задачи (*)
в случае произвольной области применялся метод
интегральных уравнений, а также различные
вариационные методы (см. [1], [6]).
Лит.: [1] В е к у а И. Н., Новые методы решения
эллиптических уравнений, М.— Л., 1948; [2] Привалов И. И.,
Пчел и н Б. М., «Матем. сб.», 1937, т. 2, в. 4, с. 745—58;
[3] Nicolesco Μ., Les fonctions polyharmoniques, P., 1936;
[4] его же, «Disq. Math. Phys.», 1940, v. 1, p. 43—56; [5]
Τ ο 1 о t t i C, «Giorn. Math. Battaglini», 1947, v. 1, p. 61—117;
[6] Миранда К., Уравнения с частными производными
•эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957. Е. Д. Соломенцев.
ПОЛИГОН над моноидом R, R-u олигон,
операнд,— непустое множество с моноидом операторов.
Точнее, непустое множество А наз. левым П. над
моноидом R, если для любых λζΛ и αζΑ определено
произведение λαζΑ, причем
(λμ) α = λ (μα)
И Λ
ία —α
для любых λ, μζΐϊ, αζΑ. Правый П. определяется
аналогично. Задание Я-полигона А равносильно
заданию гомоморфизма φ моноида R в моноид отображений
множества А в себя, переводящего 1 в тождественное
отображение. При этом %а=Ь тогда и только тогда,
когда
φ (λ) (а) — Ъ.
В частности, каждое непустое множество можно
рассматривать как П. над моноидом его отображений
в себя. Таким образом, П. тесно связан с
представлением полугруппы преобразованиями.
Если А — универсальная алгебра, сигнатура к-рой
Ω содержит лишь унарные операции, то А можно
превратить в П. над свободным моноидом F с системой
свободных образующих Ω, положив
(/ι/2..·/»)α = /ι(/ι(...(/η(α))...))
для любых //ζΩ, αζΑ. Если Ω — множество входных
сигналов автомата с множеством состояний А, то А
аналогичным образом превращается в /^-полигон (ср.
Автоматов алгебраическая теория).
Отображение φ Л-полигона А в Я-полигон В наз.
гомоморфизмом, если φ (λα) = λφ (α) для лю-

405
ПОЛИЛИНЕЙНА Я
406
бых X£R и αζΑ. При А = В получается определение
;> н д о м о ρ φ и н м а. Все эндоморфизмы полигона А
образуют моноид, и А можно рассматривать как П.
над ним.
Эквивалентность θ на Л-полигоне А наз.
конгруэнцией, если (α, &)ζθ влечет (λα, λ&)ξθ
для любого λζί?. Множество классов конгруэнции θ
естественным образом превращается в Я-полигон,
называемый факторполигоиом полигона А и
обозначаемый через Л/θ. Если А — полигон над R,
то на R можно определить отношение Ann А, положив
(λ, μ) ζ Ann А, если λα=μα для всех αζΑ.
Отношение Ann А оказывается конгруэнцией моноида R,
и А естественным образом превращается в П. над
фактормоноидом i?/Ann A. Если полигон А возник из
нек-рого автомата, то описанный переход равносилен
«склеиванию» одинаковым образом действующих
последовательностей входных сигналов. Наряду с
обычными для универсальных алгебр конструкциями
прямого и подпрямого произведения, в теории П.
рассматривается важная для алгебраич. теории автоматов
конструкция сплетения. Свободное произведение (или
копроизведение) П. совпадает с их дизъюнктным
объединением.
На П. можно смотреть как на неаддитивный аналог
модуля над кольцом, что служит богатым источником
задач теории П. В частности, установлена связь П.
с радикалами в полугруппах и исследуются связи
свойств моноида со свойствами П. над ним. Напр.,
все левые Я-полигоны проективны тогда и только
тогда, когда R — одноэлементная группа, а инъектив-
ность всех П. над коммутативным моноидом R
равносильна наличию в R нуля и порождаемости всех его
идеалов идемпотентами (ср. Гомологическая
классификация колец).
Если R — моноид с нулем 0, то можно говорить об
/?-полигоне А с нулем как об Я-полигоне с отмеченной
точкой и, причем 0а=и для всех αζΑ. Теория П. с
нулем имеет нек-рые особенности.
Каждый П. можно рассматривать как функтор из
однообъектной категории в категорию множеств.
Лит.: [1] Алгебраическая теория автоматов, языков и
полугрупп, пер. с англ., М., 1975; [2] Клиффорд Α.,
Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 2,
М., 1972: [3] Скорняков Л. Α., в сб.: Модули, в. 3, Но-
восиб., 1973, с. 22^27; [4] Итоги науки и техники. Алгебра.
Топология. Геометрия, т. 14, М., 1976, с. 57—190.
Л. А. Скорняков.
ПОЛИКРУГ, полицилиндр,— область
Δ = Δ(α=(αι, ..., о„), г=(гъ ..., гп) =
= {z = (zu ..., ζη) £ C«:|zv —av|<rv, v = l, ..., η}
комплексного пространства С", я^1, являющаяся
топологии. произведением η кругов,
Δ = ΔιΧ...ΧΔ„,
Δν = {Ζν € С: К-%1 < Γν}> ν = 1> ···» η·
Точка а=(аг, . . ., О ζ С" —центр поликруга Δ,
г=(гг, . . ., г„), rv >0, v=l, . . ., η,— его м у л ь τ и-
радиус. При о=0, г=(1, . . ., 1) получается
единичный пол и круг. Остовом
поликруга Δ наз. часть
Т = Т(а, r) = {z ζ С": |zv-av| = rv, v = l, ..., η}
его полной топологич. границы дА. П. есть полная
кратно круговая область.
Естественным обобщением понятия П. является
поли о б л а с τ ь (поликруговая область,
обобщенный полицилиндр) D = DtX
. . .XDm являющаяся топологич. произведением η
(вообще говоря, многосвязных) областей Z)vcC, v=l,
. . ., п. Граница T=dD полиобласти D состоит из η
множеств размерности 2/? —1:
rv={*€C": zv£dDv, Ζμ€^μ. μ^ν}, ν = 1, ..., m,
общая часть к-рых есть /г-мерный остов
полиобласти D:
T = dD1x...xdDn = {z 6C":zv ξ- dDv, v = l, ..., η}.
Ε. Д. Соломенцев.
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА —часть алгебры,
изучающая полилинейные отображения модулей (в
частности, векторных пространств). Первыми разделами
П. а. явились теория билинейных форм и
квадратичных форм, теория определителей и развивающее ее
исчисление Грассмана (см. Внешняя алгебра).
Основную роль в П. а. играют понятия тензорного
произведения, тензора, полилинейной формы. Приложения
П. а. к геометрии и анализу связаны главным
образом с тензорным исчислением и дифференциальными
формами. А- Л. Онищик.
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА, /г-линейная
форма, на унитарном Л-модуле Ε — полилинейное
отображение Еп^^А (здесь А —
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей). П. ф. наз. также
полилинейной функцией (n-л инейной
функцией). Поскольку П. ф.— частный случай
полилинейных отображений, можно говорить о
симметрических, кососимметрических, знакопеременных, сим-
метризованных и кососимметризованных П. ф. Напр.,
определитель квадратной матрицы порядка η над А —
это кососимметризованная (и тем самым
знакопеременная) д-линейная форма на Ап. и-линейные формы на Ε
образуют Л-модуль Ln (Ε, А), естественно изоморф-
п η
ный модулю (®Е)* всех линейных форм на ®£. В
случае п=2 (п=3) говорят о билинейных формах
(трилинейных формах).
п-линейные формы на Ε тесно связаны с η раз ко-
вариантными тензорами, т. е. элементами модуля
Тп(Е*)=(£)пЕ*. Точнее, имеется линейное
отображение
yn:Tn(E*)-+Ln(E, A)
такое, что
У η ("1 ® · · · ® ип) (*Ь · · · » хп) = и1 (*l) · · · ип (хп)
для любых ui£E*, Х{£Е. Если модуль Ε свободен, то
γ инъективно, а если Ε к тому же конечно порожден,
то и биективно. В частности, гс-линейные формы на
конечномерном векторном пространстве над полем
отождествляются с η раз ковариантными тензорами.
Для любых форм u£Ln(E, A), v£Lm(E, А)
определяется их тензорное произведение u(g)v ζ L п + m (Ε, А)
формулой
и® ν (хъ ..., хп + т) = и (хъ ...,xn)v(xn + ii · ··» *η + ι»)·
Для симметризованных П. ф. определено также сим-
метрич. произведение
(опи) ν (amv) = on + m(u®u),
а для кососимметризованных П.ф.— внешнее
произведение
(апи) Λ {amv)=--an+m (и® ν).
Эти операции распространяются на модуль L#(E, A) =
= ®%=0L(E, А), где L0(E, A) = A, LX{E, A) = E*,
модуль симметризованных форм L0 (Ε, Л) = 0~=оа„£„(£',
А) и модуль кососимметризованных форм La(E, A) =
=Q)n=0anLn(E, А) соответственно, превращая их
в ассоциативные алгебры с единицами. Если Ε —
конечно порожденный свободный модуль, то
отображения уп определяют изоморфизм тензорной алгебры

407
ПОЛИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
408
Τ (Ε*) на Ь*(Е, А) и внешней алгебры Л{Е*) на
алгебру La(E, А), совпадающую в этом случае с алгеброй
знакопеременных форм. Если А — поле
характеристики 0, то имеется также изоморфизм симметрич.
алгебры S (Е*) на алгебру L0(E, А) симметрич. форм.
Всякой П. ф. u£Ln(E, А) соответствует функция
ωη(ιι) : Е-+А, заданная формулой
(йп(и) (х) = и (х, ..., χ), χ ζ Ε.
Функции вида <йп{и) наз. формами степени η
на Е\ если Ε — свободный модуль, то в координатах
относительно произвольного базиса они задаются
однородными многочленами степени п. В случае тг=2
(л=3) получаются квадратичные формы и кубические
формы на Е. Форма F=iu(u) полностью определяет
симметризацию опи формы u£Ln(E, А), имеющую вид
опи(хъ ..., хп) =
=ς;=1 (-D-' ς,,<...<,/<'/.+■■·+'<,>■
В частности, для п=2
(о2и)(х, y) = F(x+y)-F(x)-F(y).
Отображения уп и ωη определяют гомоморфизм
алгебры S (Е*) на алгебру всех полиномиальных функций
Р(Е), к-рый является изоморфизмом, если Ε —
свободный конечно порожденный модуль над бесконечной
областью целостности А.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц.,
М., 1962; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [3] Л е н г С,
Алгебра, пер. с англ., М., 1968. А. Л. Онищик.
ПОЛИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, п-линейиое
отображение, полилинейный опера-
т о р,— отображение / прямого произведения ТТ Ε ι η
-■«■-1=1
унитарных модулей Ε ι над
ассоциативно-коммутативным кольцом А с единицей в нек-рый Л-модуль F,
линейное по каждому аргументу, т. е.
удовлетворяющее условию
/(*!, ..., £;_!, ay-\-bz,Xi + 1, ...,*„) =
= af(x\, ..., £/_ι, у, #/+ι, ···, xn)-\~
+ bf {xit ..., £/_!, z, xi+1, ..., χ„)
(α, b ζ Α\ у, ζ ζ Eh ί = 1, ..., η).
В случае п=2 (?г=3) говорят о билинейном
отображении (соответственно трилинейном). Каждое П. о.
определяет единственное линейное отображение /
тензорного произведения φ?=ιϋ?ί в F такое, что
/(*ι®·..®*η) = /(*ι, ..·, «„), Χΐ£Ε(,
причем соответствие /н>/ есть биекция множества П. о.
ТТ Εi-+F на множество всех линейных отображений
®1=iEi-+F. П. о. ТТ Εi~+F естественным образом
образуют А -модуль.
В Л-модуле Ln(E, F) всех тг-линейных отображений
En-+F действует симметрич. группа Sn:
(s/)(*i. ..., xn)=f{xs{1), ..., xs{n)),
где s£Sn, f£Ln(E, F), x;£E. П. о. / наз.
симметрическим, если sf=f для всех s£Sn, и косо-
симметрическим, если sf=e(s)f, где e(s)= ±i
в зависимости от четности подстановки s. П. о. наз.
знакопеременным (или
альтернированным), если f (хг, . . ., хп) = 0, как только xi=xj
для нек-рых ίφ). Всякое знакопеременное П. о. косо-
симметрично, а если в F уравнение 2г/ = 0 имеет един-
I ственное решение г/=0, то верно и обратное.
Симметрические П. о. образуют подмодуль в Ln(E, F),
естественно изоморфный модулю линейных отображений
L(SnE, F), где SnE есть д-я симметрич. степень Ε
(см. Симметрическая алгебра), знакопеременные П. о.—
подмодуль, естественно изоморфный L(AnE, F), где
АпЕ есть n-я внешняя степень модуля Ε (см. Внешняя
алгебра). П. о. вида а„/= V s/ наз. симметризо-
ванными, а П. о. вида σ„/= У] 0 ε (s)sf — к о с о-
симметризованными. Симметризованные (ко-
сосимметризованные) П. о. симметричны
(соответственно знакопеременны), а если в F уравнение п\у=с
имеет для каждого c£F единственное решение, то
верно и обратное. Для того чтобы всякое
знакопеременное П. о. было кососимметризованным, достаточно
также, чтобы модуль Ε был свободным.
Лит. см. при ст. Полилинейная форма. А. Л. Онищик.
ПОЛИНИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА - группа,
обладающая конечным нормальным рядом, факторы
к-рого нильпотентны; такой ряд наз. полиниль-
потентным. Длина кратчайшего полинильпотент-
ного ряда П. г. наз. ее полинильпотент-
ной длиной. Класс всех П. г. совпадает с
классом всех разрешимых групп; однако, вообще говоря,
полинильпотентная длина меньше разрешимой. П. г.
длины 2 наз. метанильпотентными.
Все группы, обладающие (возрастающим) полиниль-
потентным рядом длины Ζ, факторы к-рого (в порядке
возрастания ряда) имеют классы нильпотентности, не
превосходящие чисел сг, с2, . . ., ct соответственно,
образуют многообразие Ш1, являющееся произведением
нильпотентных многообразий:
(см. Групп многообразие). Свободные группы такого
многообразия наз. свободными полиниль-
потентными группами. Особый интерес
представляют многообразия Шс% и 2ШГ. Первое
из них содержит все связные разрешимые группы Ли;
ι во втором все конечно порожденные группы конечно
I аппроксимируемы и удовлетворяют условию
максимальности для нормальных подгрупп.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[2] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ., М..
1969. А. Л. Шмелькин.
ι ПОЛИНОМ — то же, что многочлен.
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — обобщение
| понятия целой рациональной функции (см. Много-
I член). Пусть V — унитарный модуль над ассоциативно-
коммутативным кольцом С с единицей. Отображение φ :
V-+C наз. П. ф., если φ=φ0+. . t+9m, где φ; — форма
степени i на V, i=0, 1, . . ., т (см. Полилинейная
форма). Наиболее часто П. ф. рассматриваются в случае,
когда V — свободный С-модуль (напр., векторное
пространство над полем С) с конечным базисом νΐ9 . . .,
ι νη. В этом случае отображение φ : V—>С является
П. ф. тогда и только тогда, когда ц> (х) = F(хг, . . ., хп),
где F£C[Xl4 . . ., Хп] — многочлен над С и хг,
. . ., хп — координаты элемента х£ V в базисе vlt . . ., υη.
Если при этом С — бесконечная область целостности,
то многочлен F определяется однозначно.
П. ф. на модуле V образуют
ассоциативно-коммутативную С-алгебру Ρ (V) с единицей относительно
естественных операций. В случае, когда V —
свободный модуль с конечным базисом над бесконечной
областью целостности С, алгебра Ρ (V) канонически
изоморфна симметрич. алгебре S (V*) сопряженного
модуля F*, а если V — конечномерное векторное
пространство над полем характеристики 0,— алгебре сим-
J метрических полилинейных форм на F. А. л. Онищик.

409
ПОЛИЭДР
ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ,
мультиномиальное распределение, —
совместное распределение случайных величин Х1ч . . .,
X k, к-рое задается для любого набора целых
неотрицательных чисел Πι, . . ., nk, удовлетворяющих
условию пл
формулой
Р{*1 = *1,
- + nk=n, /с,=0, 1,
7 = 1,
X* = wfe} = n1l...nfc! Р\ · '-Pk >
/с,
(*)
где η, ρχ, . . ., р^(ру>0, ZjjPj=i) — параметры
распределения. П. р. является многомерным дискретным
распределением — распределением случайного
вектора (Х1, . . ., Xk) с Хг-\-, . .-\-Xk~n (это распределение
является по существу (к—1)-мерным, т. к. в
евклидовом пространстве к измерений оно вырождено). П. р.
естественным образом обобщает биномиальное
распределение и совпадает с последним при /с==2. Название
распределения объясняется тем, что вероятность (*)
является общим членом разложения многочлена
(полинома) (ρι+. . '-\-PkY1' П. р. появляется в следующей
вероятностной схеме. Каждая из случайных величин
X1 есть число появлений одного из взаимоисключающих
событий Aj, ; = 1, . . ., /с, при повторных независимых
испытаниях. Если при каждом испытании вероятность
появления события A j равна pj, /=1, ..., /с, то
вероятность (*) равна вероятности того, что при η
испытаниях события А1ч . . ., Ak появятся пх, . . ., nk
раз соответственно. Каждая из случайных величин Xj
имеет биномиальное распределение с математич.
ожиданием npj и дисперсией npj(i—pj).
Случайный вектор (Хг, . . ., Xk) имеет математич.
ожидание (прх, . . ., пр^) и ковариационную матрицу
В=\\Ьи\\, где
ь / npi(\—pi), i = j,
U \ —nptpj, i φ /
h 7 = 1,
Yk
(ранг матрицы В равен к—1 в силу того, что ^,
— п). Характеристич. функция П. р. равна
f(h
., '*) = (
р^
it,
ith\n
, Yk) с нор-
При η—>-oo распределение вектора (Y1, .
мированными компонентами
1 YnVi{\-Vi)
стремится к нек-рому многомерному нормальному
распределению, а распределение суммы
Zlit-'W
(к-рая используется в математич. статистике для
построения «хи-квадрат» критерия) стремится к «хи-квад-
рат» распределению с к—1 степенями свободы.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы
статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Прохоров.
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ —
коэффициент
п!
Πι\η2
■ пт\
П!+П2+... +ПЙ
--η,
при х^х™2
, х7}™ в разложении многочлена
(полинома) (х1-\-х2-\-. . .-\-хт)п. В комбинаторике П. к.
выражает: а) число всевозможных перестановок из /г
элементов, из к-рых пх элементов одного вида, п2
элементов другого вида, . . ., пт элементов га-го вида; б)
число способов размещения η различных элементов
по т различным ячейкам, при к-ром в ΐ-ю ячейку
помещается η ι элементов, i=l, 2, . . ., т, без учета
порядка элементов в любой ячейке.
410
биномиальные
Частным случаем П. к. являются
коэффициенты.
Лит.: [1] Холл М., Комбинаторика, пер. с англ., М.,
1970; [2] Ρ и о ρ д а н Д ж., Введение в комбинаторный
анализ, пер. с англ., М., 1963. С. А. Рукова.
ПОЛИЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа,
обладающая полициклическим рядом, т. е.
субнормальным рядом с циклич. факторами (см.
Подгрупп ряд). Класс П. г. тождествен классу
разрешимых групп с условием максимальности для подгрупп;
он замкнут относительно перехода к подгруппам,
факторгруппам и расширениям. Число бесконечных
факторов в любом полициклич. ряде — инвариант П. г.
(полициклический ранг).' Голоморф П. г.
изоморфно вкладывается в группу матриц над кольцом
целых чисел; это позволяет применять в теории П. г.
методы алгебраич. геометрии, теории чисел и р-адиче-
ского анализа. Если к — алгебраич. расширение
конечного поля, G — конечное расширение П. г., то всякий
простой /^-модуль конечномерен над к. Во всякой
группе произведение двух локально полициклич.
нормальных подгрупп — локально полициклич. подгруппа.
Лит.: [1] К а р г а η о л о в М. И., Мерзляков Ю. И.,
Основы теории групп, 3 изд., М., 1982; [2] Three lectures on
polycyclic groups, L., 1973. Ю. И. Мерзляков.
ПОЛИЭДР — объединение локально конечного
семейства выпуклых многогранников в нек-ром R".
Под выпуклым многогранником
понимается пересечение конечного числа замкнутых
полупространств в случае, если это пересечение
ограничено. Локальная конечность
семейства означает, что каждая точка R" имеет
окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом
многогранников. Компактный П. является
объединением конечного числа выпуклых многогранников.
Размерность П. определяется как
максимальная размерность составляющих его многогранников.
Любое открытое подмножество П., в частности любое
открытое подмножество евклидова пространства, есть
П. Полиэдрами являются также конус и надстройка
над компактным П. Простые примеры (конус над
интервалом) показывают, что соединение компактного и
некомпактного П. может не быть П. Подпол и эд-
р о м полиэдра Q наз. любой полиэдр Р, лежащий
в Q. Иногда ограничиваются рассмотрением только
замкнутых подполиэдров. Каждая точка а полиэдра
Ρ ζ Rn обладает в Ρ окрестностью, являющейся
конусом в R" с вершиной α и с компактным основанием.
Это свойство оказывается характеристическим: любое
подмножество R", каждая точка к-рого имеет конич.
окрестность с компактным основанием, является П.
Каждый компактный полиэдр Ρ можно так разбить
на конечное число замкнутых симплексов, чтобы
каждые два симплекса либо не пересекались, либо
пересекались по их общей грани. В случае некомпактного
П. требуется, чтобы семейство симплексов было
локально конечным. Такое разбиение наз.
прямолинейной триангуляцией П. Любые две
триангуляции одного и того же П. имеют общее
подразделение. Если Ρ — замкнутый подполиэдр
полиэдра Q, то любая триангуляция К полиэдра Ρ
продолжается до нек-рой триангуляции L полиэдра Q. В этом
случае говорят, что получающаяся пара (L, К)
геометрических симплициальных комплексов
триангулирует пару (Q, Р). Отображение / полиэдра Pcz^n
в полиэдр Qd^n наз. кусочно линейным,
или pZ-отображением, если / является симплициаль-
ным в нек-рых триангуляциях полиэдров Ρ и Q.
Эквивалентное определение: / кусочно линейно, если /
локально коническое, т. е. если каждая точка αζΡ
имеет такую конич. окрестность N=a*L, что / (λα-Ь
+ μχ) = λ/(α) + μ/(;ζ) при любых x£L и λ, μ>0, λ+μ=1.
Для того чтобы отображение / было кусочно линей-

411 no J
ным, необходимо и достаточно, чтобы его график
TjC:RnXRn являлся П. Суперпозиция кусочно
линейных отображений кусочно линейна. Обратное
отображение к обратимому кусочно линейному
отображению / кусочно линейно. В этом случае / наз. pl-
гомеоморфизмом.
Категория, объектами к-рой являются П. (и
полиэдральные пары), а морфизмами являются
/^-отображения, обозначается PL или $* (см. также Кусочно
линейная топология). Категория PL является одним из
основных объектов и инструментов исследования в
топологии. Особенно велика роль категории PL в
алгебраической топологии и топологии многообразий.
Это объясняется тем, что класс П. достаточно широк.
Напр., каждое дифференцируемое многообразие
можно естественным образом представить в виде П.
Каждое непрерывное отображение одного П. в другой сколь
угодно точно аппроксимируется pZ-отображением.
Поэтому категория PL является хорошим приближением
к категории всех топологич. пространств и
непрерывных отображений. С другой стороны,
триангулируемость П. позволяет использовать методы
комбинаторной топологии. Многие алгебраич. инварианты (напр.,
гомологии группы, когомологий кольцо) строятся и
эффективно вычисляются с помощью разбиения на
симплексы. Вопрос о том, всякие ли гомеоморфные
полиэдры ρί-гомеоморфны, носит название основной
гипотезы и решается отрицательно: для п^Ъ
существуют гомеоморфные, но не pi-гомеоморфные
л-мерные П. (см. [3]). При и<:3 гомеоморфные и-мерные
полиэдры pi-гомеоморфны, при тг=4 вопрос остается
(1983) открытым для компактных П. и решается
отрицательно для некомпактных: существует нестандартная
ρί-структура на R4. Полиэдр Μ наз. η -мерным pl-м н о-
гообразием, если каждая его точка имеет
окрестность, pZ-гомеоморфную R" или R + . Всякая
прямолинейная триангуляция Τ /?/-многообразия Μ к о м-
бинаторна. Это означает, что звезда каждой ее
вершины комбинаторно эквивалентна симплексу.
Основная гипотеза для П., являющихся /ι-мерными
топологич. многообразиями, естественно распадается на
две гипотезы: гипотезу о комбинаторности всякой
триангуляции такого П. и основную гипотезу для pl-
многообразий. Одним из важнейших достижений
современной топологии является отрицательный ответ на
обе гипотезы для тг>5 (см. [4], [5]). Для тг<3 обе
гипотезы справедливы.
Пусть Ρ — компактный подполиэдр полиэдра Q и
пусть пара геометрических симплициальных
комплексов (L, К) триангулирует пару (<?, Р) так, что К—
полный подкомплекс. Это означает, что
каждый симплекс комплекса L, вершины к-рого лежат
в К, лежит в К, и этого всегда можно добиться с
помощью перехода к производному подразделению.
Полиэдр TV, состоящий из всех замкнутых симплексов
производного подразделения Z/, имеющих вершину в К, а
также его образ при любом неподвижном на Ρ р/-гомео-
морфизме Q на себя, наз. регулярной
окрестностью полиэдра Ρ в полиэдре Q. Для любых
двух регулярнык окрестностей Nu N2 полиэдра Ρ
существует неподвижная на Ρ pZ-изотошш hf : ΝλΧΐ-+ζ),
переводящая Ν1 в Ν2, т. е. такая, что h0(N1) = N1 и
^i(-Wi)—N2. Говорят, что полиэдр Ρ получается
элементарным полиэдральным
стягиванием полиэдра ΡΧ~Ζ)Ρ, если для нек-рого п^О
пара (Рг\Р, Ρι\ΡΓ\Ρ) pZ-гомеоморфна паре (InXl,
1пХ {0}). Полиэдр Рг полиэдрально стягивается на
свой подполиэдр Ρ (обозначение (Р1\Р))1 если от
Ρλ к Ρ можно перейти конечной последовательностью
элементарных полиэдральных стягиваний. Если Ρχ\Ρ,
то в нек-рой триангуляции пары (Р19 Р) полиэдр Ρ
412
можно получить из Рх последовательностью
элементарных комбинаторных стягиваний, каждое из к-рых
состоит в отбрасывании главного симплекса вместе
с его свободной гранью. Если Q является и-мерныМ
pZ-многообразием, то любая регулярная окрестность
компактного подполиэдра PczQ является я-мерным
pZ-многообразием и полиэдрально стягивается на Р.
Это свойство оказывается характеристическим: если
п-мерное pZ-многообразие NciQ таково, что Pclnt N
и N\P, то N — регулярная окрестность Р. При этом
любая регулярная окрестность края дМ компактного
pZ-многообразия Μ pZ-гомеоморфна dMXl.
Пусть Р, Q — замкнутые подполиэдры и-мерного
pZ-многообразия М, dim Ρ—ρ, dim Q=q. Говорят, что
Ρ и Q находятся в общем положении, если
dim(P[\Q)<p-\-q—n. Любые замкнутые подполиэдры
Р, Qalnt M можно привести в общее положение сколь
угодно малой изотопией М. Это означает, что для
любого ε>0 существует такая (е—р^-изотопия ht : М-+-
-+М, что полиэдры Ρ и Q\—hx(Q) находятся в общем
положении. Иногда в определение общего положения
включают условия типа трансверсальности. Напр.,
если p-\-q=n, то можно добиться, чтобы для каждой
точки a^Pf\Ql и нек-рой окрестности U точки а в Μ
тройка (С/, Uf\P, i/fl^i) была pZ-гомеоморфна тройке
(R/'xRtf, R'x{0}, {0}XR9).
Кривой, или топологический, П.—
топологич. пространство X, снабженное гомеоморфизмом
/ : Р-+Х, где Ρ есть П. Образы симплексов какой-либо
триангуляции Τ полиэдра Ρ образуют
криволинейную триангуляцию X. Говорят также,
что гомеоморфизм / задает на Χ ρ 1-е τ ρ у к τ у ρ у.
Две pZ-структуры//: Р{-*Х, i— 1, 2, совпадают, если
гомеоморфизм f^fi кусочно линеен, изотопны, если
гомеоморфизм /г^/ι изотопен кусочно линейному, и
эквивалентны, если Ρλ и Р% pZ-гомеоморфны. Для
любого дифференцируемого многообразия Μ существует
pZ-структура / : Р-+М, согласованная с
дифференцируемой структурой на М. Это означает, что для
каждого замкнутого симплекса σ нек-рой
триангуляции полиэдра Ρ отображение /|σ : σ-+Μ
дифференцируемо и не имеет особых точек. Любые две такие pl-
структуры на Μ изотопны. Все понятия, определяемые
для П. (триангуляция, подполиэдр, регулярная
окрестность, общее положение), переносятся с помощью
гомеоморфизма /: Р-+Х на криволинейный полиэдр X.
Лит.: [1] Александров П. С, Комбинаторная
топология, М.—Л., 1947; [2] Рур к К., Сандер сон Б.,
Введение в кусочно линейную топологию, М., 1974; [3] Μ i l-
п о г J., «Ann. Math.», 1961, v. 74, J4* 3,-p. 575; [4} К i г b у R.,
Siebenmann L., «Ann Math. Stud.», 1977, № 88; [5] Ε d-
wards R., «Notices A. M. S.», 1975, v. 22, № 2, p. A-334.
С. В. Матвеев.
ПОЛИЭДРАЛЬНАЯ ЦЕПЬ — линейная форма
Vm ditr. в области C/cR", где tr. суть г-мерные
симплексы, лежащие в U. При этом под г-мерным
симплексом в U понимается упорядоченное множество из г+1
точки U, выпуклая оболочка к-рого лежит в U.
Граница П. ц. определяется обычным образом. Понятие
П. ц. занимает промежуточное положение между
понятиями симплициальной цепи триангуляции U и
сингулярной цепи в U и отличается от последнего
линейностью симплексов.
Лит.: [1] Александров П. С, Введение в
гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную
топологию, М., 1975. С. В. Матвеев.
ПОЛИЭДРАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС — конечное
множество замкнутых выпуклых многогранников в нек-
ром R", к-рое вместе с каждым многогранником
содержит все его грани и такое, что пересечение
различных многогранников либо пусто, либо является гранью
каждого из них. Примером П. к. может служить
совокупность всех вершин, ребер и двумерных граней
ИЭДР

413 полная аналити*
стандартного трехмерного куба. Рассматриваются так- I
же комплексы, состоящие из бесконечного, но локально ι
конечного семейства многогранников. Понятие П. к.
обобщает понятие геометрического симплициального
комплекса. Тело \Р\ П. к. Ρ представляет собой
объединение всех входящих в него многогранников и является
полиэдром. Число многогранников в Р, как правило,
меньше числа симплексов в триангуляции. П. к. Рх
наз. подразделением комплекса Р, если их тела
совпадают и каждый многогранник из Рх содержится в нек-
ром многограннике из Р. Звездное
подразделение комплекса Ρ с центром в точке α ζ \Ρ\
получается с помощью разбиения замкнутых
многогранников, содержащих а, на конусы с вершиной а над теми
их гранями, к-рые не содержат а. Любой П. к. Ρ имеет
подразделение К, являющееся геометрическим симп-
лициальным комплексом. Такое подразделение можно
получить без добавления новых вершин. Достаточно,
напр., последовательно произвести звездные
подразделения Ρ с центрами во всех вершинах Р.
Лит.: [1] Александров П. С, Комбинаторная
топология, М.— Л., 1947. С. В. Матвеев.
ПОЛИЭДРАЛЬНЫЙ ЦИКЛ — полиэдральная цепь,
Граница К-роЙ равна НуЛЮ. С. В. Матвеев.
ПОЛНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — со
вокупность всех элементов аналитич. функции,
получающихся при всевозможных аналитических продол-
жениях исходной аналитич. функции f—f(z)
комплексного переменного z, заданной первоначально в нек-рой
области D расширенной комплексной плоскости С.
Пара (D, /), состоящая из области DczC и заданной
в D однозначной аналитической, или голоморфной,
функции /, наз. элементом
аналитической функции, аналитическим
элементом, или, короче, просто элементом.
Всегда возможно, в частности, при задании аналитич.
функции пользоваться вейерштрассовым, или
регулярным, элементом (U (а, Л), /а),
состоящим при а -ф оо из степенного ряда
/а=ы*)=2Г=ос*(2-а)* (1)
и круга сходимости U(a, i?)={z£C : \z—a|<i?} этого
ряда с центром а и радиусом сходимости Я>0. В случае
о= оо вейерштрассов элемент (С/(оо, i?), /«,) состоит
из ряда
/оо=/.(*)=2Г=ос*г"л <2>
и области сходимости этого ряда С/(оо, i?)={z£C:
\z\>R}, R>0.
Пусть Ef — множество всех тех точек ζ ζ С, в к-рые
исходный элемент (U (a, Я), fa) аналитически
продолжается хотя бы по одному пути, связывающему в С
точки а и ζ. Следует иметь в виду возможность такой
ситуации, когда в точку ζ ξ Ef аналитич. продолжение
возможно вдоль нек-рого класса путей Lx и
невозможно вдоль другого класса путей L2 (см. Особая
точка аналитич. функции). Множество Ej есть область
плоскости С. Полной аналитической
функцией (в смысле Вейерштрасса)
fw, порожденной элементом (U(а, Л), /а),
называется совокупность всех вейерштрассовых элементов
(U(ζ, R), /ζ ), ζζ£/, получаемых при этом аналитич.
продолжении вдоль всевозможных путей LczC
Область Εf наз. (вейерштрассовой)
областью существования П. а. ф. fw.
Применяя элементы общего вида (D,f), вместо
вейерштрассовых на самом деле получают ту же самую П. а. ф. fw.
Элементы (D, /) П. а. ф. fw часто наз. ветвями
аналитической функции fw. Любой элемент (D, /) П. а. ф. J
чвская функция 414
| Iwi будучи взят за исходный при аналитич. продол-
I жении. приводит к той же самой П. а. ф. fw. Каждый
элемент (С/(ζ, Я), /*) П. а. ф. fw может быть получен
| из любого другого ее элемента (U{a, R), fa)
посредством аналитич. продолжения вдоль нек-рого пути,
связывающего в С точки α и ζ.
Может оказаться, что исходный элемент (D, /) не
допускает аналитич. продолжения ни в одну точку
ζφϋ. В этом случае D = Ej является
естественной областью существования, или
| областью голоморфности, функции /, а ее
I граница Г= dD — естественной границей
функции /. Напр., для вейерштрассова элемента
(ί/(0,1)./.(*)=ΣΓ=ο'*1)
естественной границей является окружность Γ={ζζ
ζ С : |z| = l} его круга сходимости U (О, 1), т. к. этот
элемент нельзя продолжить аналитически ни в одну
точку ζ такую, что ΙζΙ^Ι. Какова бы ни была область
DcC, можно построить аналитич. функцию //>(z),
для к-рой D есть естественная область существования
/d(z), а ее граница T=dD — естественная граница
fl)(z) (это следует, напр., из Миттаг-Леффлера
теоремы).
П. а. ф. fw в своей области существования Ε^
вообще говоря, не является функцией точки в обычном
смысле этого слова. Часто встречающаяся в теории
аналитич. функций ситуация такова, что П. а. ф.
fw есть многозначная функция: для каждой точки
ζζΕt существует, вообще говоря, бесконечное
множество элементов (U(ζ, R), /ζ) с центром в этой точке.
Однако это множество не более чем счетное
(теорема Пуанкаре — Вольтерр а). В целом
П. а. ф. fw можно рассматривать как однозначную
аналитич. функцию только на соответствующей рима-
новой поверхности, являющейся многолистной
накрывающей поверхностью над С. Напр., П. а. ф. f(z)=
= Ln z=In |z| + i Arg ζ многозначна в своей области
существования Ef={z£C : 0<|z|<oo}; в каждой
точке ζζΕ, она принимает счетное множество значений
/ζ(ζ; s) = ln|C| + iargC + 2jui, s = 0, ±1, ...,
Ι и каждой точке ζζΕ* соответствует счетное множество
I элементов
(U (ζ, |С1), /ζ(ζ; *)) =
с центром ζ. Обычно используется однозначная ветвь
этой П. а. ф.—главное значение логарифма In z=
= ln |z| + i arg z, являющееся голоморфной функцией
в области D= {ζζ€ : 0<|z|<oo, — ji<argz<Ji_},
непрерывно продолжаемой на множество {ζ ζ С : 0<
<|z|<oo, — Jt<arg ξ<π}.
При обращении (см. Обращение ряда)
вейерштрассовых элементов (1), (2) возникают элементы более
ι общей природы, определяемые соответственно ρ я-
дами Пюизё:
/°=ΣΓ=με*(ζ-α>*/ν' >-=SUUe*,~*'v' (3>
где μ — целое число, ν — натуральное число, и
кругами сходимости этих рядов U(a, i?), £/(oo, R). В
частности, при μ>0, ν=1 ряды (3) совпадают с рядами
(1), (2), определяющими регулярные элементы; в
отличие от них определяемые рядами (3) элементы при
μ<0 или ν>1 наз. особыми. При ν=1 и ν>1 ря-
J ды (3) определяют соответственно неразветв-

415 noj
ленные и (алгебраические)
разветвленные элементы.
Допуская при продолжении исходного элемента
(U(a, i?), fa) и особые элементы с рядами вида (3),
вообще говоря, многозначные (при ν>1) и имеющие
особенности типа полюса (при μ<0), получают более
обширную, чем вейерштрассова, риманову
область существования Е% и
соответствующую более обширную совокупность элементов,
определяемых рядами вида (3), называемую аналитическим
образом. Аналитич. образ отличается от П. а. ф.
присоединением всех особых элементов, получаемых при
продолжении данного регулярного элемента. После
введения соответствующей топологии аналитич.
образ превращается в риманову поверхность данной
функции.
При описанном построении П. а. ф. fw можно
пользоваться вместо элемента понятием ростка аналитич.
функции, смысл введения к-рого заключается в
локализации понятия элемента, в отвлечении от не
имеющей в данном случае существенного значения
величины радиуса сходимости. Два элемента (Z), /) и (G, h)
такие, что области D и G содержат общую точку а,
наз. эквивалентными в точке а, если
существует окрестность точки а, в к-рой f=h. Это
отношение эквивалентности обладает обычными
свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности.
Класс эквивалентности элементов в данной точке α ζ С
наз. ростком аналитической
функции ia в точке а. Росток характеризует локальные
свойства функции в данной точке. Два ростка ία и ga
равны, если в нек-рой окрестности точки а совпадают
какие-либо представители классов эквивалентности.
Аналогично, при помощи представителей, определяются
арифметич. действия с ростками и их
дифференцирование. П. а. ф. fw есть совокупность всех ростков
аналитич. функций ίζ, ζζΕ^, получаемых из
данного ростка ia аналитич. продолжением вдоль
всевозможных путей в С. Равенство двух П. а. ф. fw, gyp
и действия с П. а. ф. определяются как равенство
ростков fa, ga в какой-либо точке a£Ej(]Eg и
действия с ростками.
Элементы (D, /), вейерштрассовы элементы (Un(a,
R), fa) и ростки аналитич. функции многих
комплексных переменных z=(zx, . . ., zn), n^l, определяются
точно так же, как выше, но с помощью областей D
комплексного пространства С" или поликругов
сходимости
U* (a, R) = {z £ Cn:\zj — aj\ < Rj, / = 1, .. ., "};
Rj > 0, 7 = 1, · · ·, n\ а = (аг nn)\
R = (R1, .... Rn),
кратных степенных рядов
fa = fa (z) =Σ£ kn=0 %. . .Απ(*ΐ-βΐ)*' ·.·(*„-**)*"·
Понятие П. а. ф. многих комплексных переменных
строится далее вполне аналогично случаю одного
переменного.
Лит.: [1] Μ а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [2] Ш а б а т Б. В., Введение
в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1—2, М., 1976; [3]
Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер.
с англ., М., 1960; [4] Фукс Б. Α., Введение в теорию
аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1962.
Е. Д. Соломенцев.
ПОЛНАЯ ВАРИАЦИЯ φ у н к ц и и — то же, что
вариация функции.
ПОЛНАЯ ГРУППА — группа, в к-рой для любого
ее элемента g и любого целого числа п^О разрешимо
уравнение xn=g. Абелева П. г. наз. также
делимой группой. Важными примерами П. г. являются
аддитивная группа всех рациональных чисел и группа
ая 416
всех комплексных корней из 1 степеней pk, /с=1,
2, . . ., где ρ — простое число (к вази
циклическая группа). Всякая абелева П. г. разлагается
в прямую сумму групп, каждая из к-рых изоморфна
одной из указанных. О неабелевых П. г. известно
значительно меньше. Всякая неединичная П. г.
бесконечна. Всякая группа вложима в подходящую П. г.
Если в П. г. указанные в определении уравнения
разрешимы однозначно, она наз. D-τ ρ у π π о й. Таковы,
в частности, локально нильпотентные П. г. без
кручения.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[2] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы
теории групп, 3 изд., М.,1982. А. Л. Шмельлин.
ПОЛНАЯ КРИВИЗНА — 1) П. к. в точке
поверхности Φ в евклидовом пространстве R3—
скалярная величина К, равная произведению главных
(нормальных) кривизн кг и к2, вычисляемых в точке
поверхности: К=к1к2; наз. также гауссовой кривизной
поверхности. Понятие П. к. обобщается для
гиперповерхности в евклидовом пространстве R" + 1, ?г>2.
П. к. в этом случае есть величина К=кг. . .кп, где к; —
главная нормальная кривизна в точке
гиперповерхности в i-м главном направлении.
П. к. в точке двумерной поверхности в трехмерном
римановом пространстве равна разности внутренней
кривизны — римановой кривизны двумерной
поверхности, и внешней кривизны — римановой кривизны
объемлющего пространства в направлении бивектора,
касательного к поверхности в рассматриваемой точке.
2) П. к. области D на поверхности Φ в
евклидовом пространстве IR3— величина \ \ Kdo, где К —
гауссова кривизна поверхности в точке, do — элемент
площади поверхности. Аналогично определяется П. к.
области нек-рого риманова многообразия, причем под
К понимается риманова кривизна многообразия,
вычисляемая в точках многообразия в направлении
касательных бивекторов, а интегрирование ведется по
площади (мере) области многообразия, л. а. Сидоров.
ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА — группа всех
обратимых матриц степени η над ассоциативным
кольцом К с единицей; общепринятое обозначение:
GLn(K) или GL(n, К). П. л. г. GL(n, К) может быть
также определена как группа автоморфизмов Aut^(F)
свободного правого /f-модуля V с η образующими.
В исследовании группы GL (тг, К) большой интерес
представляет вопрос о ее нормальном строении. Центр
Ζη группы GL(n, К) состоит из скалярных матриц с
элементами из центра кольца К. В классич. случае,
когда К — поле, решающую роль играет
исследование нормального строения специальной линейной
группы SL(rc, К), состоящей из матриц с
определителем 1. А именно, коммутант группы GL(n, К)
совпадает с SL(n, К) (кроме случая п=2, \К\ = 2), и всякая
нормальная подгруппа группы GL(rc, К) либо
содержится в Zn, либо содержит SL(rc, К). В частности,
специальная проективная группа
PSL(rc, K) = SL(n, K)/SL{n, Κ)Γ[Ζη.
является простой (за исключением случаев ?г=2,
|Я|=2,3).
Если К — тело и тг>1, то всякая нормальная
подгруппа группы GL (п, К) либо содержится в Ζη, либо
содержит коммутант SL+(?2, К) группы GL(/?, A'),
причем коммутант SL+(n, К) порождается транс-
векциями и факторгруппа SL+(rc, К)/SL+(η, Κ)[\Ζη
проста. Кроме того, существует естественный
изоморфизм
GL(n, tf)/SL+ (тг, Κ)^Κ·/[Κ*, Κ*],
где К*— мультипликативная группа тела К. Если
К конечномерно над своим центром /с, то роль группы

417
ПОЛНАЯ
418
SL (/?, К) играет группа всех матриц из GL (/?, К) с
приведенной нормой 1. Группы SL(/?, К) и SL+(и, К) не
всегда совпадают, но если к — глобальное поле, то это
так (см. Кнезера — Титса гипотеза).
Исследование нормального строения П. л. г. над
произвольным кольцом К связано с развитием
алгебраической К-теории. Над кольцами К общего типа
группа GL(rc, К) может быть весьма насыщена
нормальными подгруппами. Напр., если К —
коммутативное кольцо без делителей нуля и с конечным
числом образующих, то группа GL (тг, К) финитно
аппроксимируема, т. е. для каждого ее элемента g существует
нормальная подгруппа Ng конечного индекса, не
содержащая g. В случае К= ζ задача описания
нормальных подгрупп группы GL(rc, ζ) фактически
эквивалентна конгруэнц-проблеме для группы SL(/i, ζ),
поскольку
[CL(n, Z):SL(n, Z)] = 2,
а всякая нескалярная нормальная подгруппа группы
SL(rc, Z) при д>2 является конгруэнц-подгруппой.
Имеется глубокая аналогия между строением П. л. г.
и строением других классич. групп, к-рая
простирается далее на простые алгебраические группы и
группы Ли.
Лит.: [1] А р тин Э., Геометрическая алгебра, пер.
с англ., М., 1969; [2] Д ь е д о н н е Ж., Геометрия
классических групп, пер. с франц., М., 1974; [3] Басе X.,
Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973. В. П. Платонов.
ПОЛНАЯ МЕРА — мера μ на σ-алгебре Σ, для
к-рой равенство \μ\(Α) = 0 влечет за собой ΕζΣ для
всякого Ε а А. Здесь |μ| —полная вариация μ (для
положительной меры |μ| = μ). Α. π. Терехин.
ПОЛНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ - свойство
динамической системы. Динамич. система наз.
вполне неустойчивой, если все ее точки —
блуждающие (см. Блуждающая точка).
Для того чтобы динамич. система, заданная на R",
была глобально выпрямляемой (т. е.
чтобы существовал гомеоморфизм Rn—>RnX R,
отображающий каждую траекторию системы на нек-рую
прямую {a}xR, где точка a£Rn зависит от
траектории), необходимо и достаточно, чтобы система была
вполне неустойчивой и не имела седла в бесконечности
(теорема Немыцкого, см. [1]).
Лит.: [1] Η е м ы ц к и й В. В., С τ е π а н о в В. В.,
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. — Л.,
1949. В. М. Миллионщиков.
ПОЛНАЯ ПОДКАТЕГОРИЯ — подкатегория g
категории $ такая, что для любых объектов А, В из ©
выполняется равенство
Н9(А, В) = НЯ(А, В).
Таким образом, П. п. однозначно определяется
классом своих объектов. Обратно, всякий подкласс класса
объектов категории Ш однозначно определяет П. п.,
для к-рой он служит классом объектов: в эту
подкатегорию входят те и только те морфизмы, начала и концы
к-рых принадлежат выделенному подклассу. В
частности, П. п., соответствующая единственному объекту
А, состоит из множества Н$(А, А).
Многие важные классы подкатегорий (рефлективные
и корефлективные подкатегории, многообразия и т. п.)
ЯВЛЯЮТСЯ П. П. М. Ш. Цаленко.
ПОЛНАЯ ПРОБЛЕМА собственных
значений— задача вычисления всех (в отличие от
частичной проблемы) собственных значений
квадратной матрицы, обычно действительной или
комплексной. Часто помимо собственных значений требуется
еще и построение базиса из собственных или
корневых векторов матрицы.
Решение П. п. собственных значений матрицы А
сводится к построению характеристич. многочлена
ψΛ этой матрицы и вычислению его корней,
действительных или комплексных (последнее обусловливает
невозможность нахождения собственных значений
конечным вычислительным процессом). Для каждого
собственного значения λ соответствующие собственные
векторы могут быть определены из однородной системы
линейных уравнений (Α—λΕ)χ=0 (Ε — единичная
матрица). При вычислениях над полем комплексных
чисел достаточным условием существования базиса из
собственных векторов является простота спектра, а
необходимое и достаточное условие состоит в том, чтобы
алгебраич. кратность каждого собственного значения
λ (т. е. его кратность как корня характеристич.
многочлена φ^) совпадала с его геометрич. кратностью, под
к-рой понимается дефект матрицы Α—λΕ. При
необходимости вычисления корневых векторов высоты,
превосходящей единицу, приходится рассматривать
однородные системы вида
(A — kE)*x = Ot /с ζ Ν, k> 1.
Примерно по этой схеме строились и численные
методы решения П. п. собственных значений,
практиковавшиеся до кон. 1940-х гг. В 1930-х гг. были
разработаны высокоэффективные (по количеству арифметич.
операций) алгоритмы вычисления характеристич.
многочлена матрицы по ее коэффициентам. Так, в методе
Данилевского построение характеристич. многочлена
матрицы порядка η выполняется с затратой ~я3
мультипликативных операций (см. [1], [2]).
Методы этой группы получили название прямых, или
точных, по той причине, что, проводимые в точной
арифметике, они дают точные значения коэффициентов
характеристич. многочлена. Их поведение в условиях
реальных вычислений, сопровождающихся ошибками
округлений, не могло быть проверено для задач
сколько-нибудь значительного порядка до появления
цифровых ЭВМ. Такая проверка произошла в 1950-х гг.,
в результате чего прямые методы были полностью
вытеснены из численной практики. Катастрофич.
неустойчивость вычисления собственных значений, связанная
с этими методами, имеет две основные причины. Во-
первых, коэффициенты характеристич. многочлена в
большинстве точных методов прямо или косвенно
определяются как компоненты решения системы линейных
уравнений, матрица к-рой составлена по столбцам из
векторов ν, Αν, Α2ν, . . ., An~Lv, где ν — начальный
вектор метода. Такая матрица обычно очень плохо
обусловлена, что видно хотя бы из того, что длины ее
столбцов, как правило, весьма различны, причем тем
больше, чем больше п. Тем самым коэффициенты
характеристич. многочлена в общем случае вычисляются
с очень большими ошибками. Во-вторых, сама по себе
задача вычисления корней многочлена зачастую
оказывается численно неустойчивой. В этом отношении
показателен пример (см. [3]): если у многочлена
ρ (х) = (х — 1)(х—2).. .(х — Щ(х — 20) =х20 — 2\0х19 + ...
изменить коэффициент при х19 с —210 на —210+2 ~23,
то у возмущенного многочлена ρ (χ) появится пять пар
комплексно сопряженных корней; у одной из этих пар
мнимые части достигают ±ΐ·2, 81, . . . .
Подобная чувствительность собственных значений
матрицы к изменениям коэффициентов характеристич.
многочлена обычно не сопровождается сравнимой
чувствительностью в отношении элементов самой матрицы.
Так, если указанный многочлен ρ (χ) является
характеристич. многочленом симметрич. матрицы А, то
изменения порядка 2-23 в любом элементе матрицы
приводят самое большее к изменениям того же порядка
в ее собственных значениях.
Современные численные методы решения П. п.
собственных значений находят собственные значения без
предварительного вычисления характеристич. много-
# 14 Математическая энц., т. к

419
ПОЛНАЯ ПРОБЛЕМА
420
члена (см. Итерационные методы решения проблемы
собственных значений матрицы). Трудоемкость
лучших из этих методов составляет ~кп3
мультипликативных операций, где η — порядок матрицы, к —
константа, не зависящая от л и имеющая смысл среднего
числа итераций метода, приходящегося на
вычисление одного собственного значения. В #i?-алгоритме
значения к обычно заключены между 1,5 и 2.
Приближенные собственные значения (векторы)
(пХ и)-матрицы А, вычисленные ортогональным
методом Μ (QR-алгоритмом для матриц общего вида,
методом Якоби или методами, основанными на
делении спектра, в случае симметрических и эрмитовых
матриц), можно интерпретировать как точные
собственные значения (векторы) возмущенной(ых) матрицы
(матриц) A~\-Fm. Здесь FM— матрица эквивалентного
возмущения метода Μ — допускает оценку вида
ll^b</WMIl£e, (1)
где ε — относительная точность машинной
арифметики, \\А \\н—(£\а{;\2)1/2— евклидова матричная
норма, f(n) —функция вида Скпа. Число к описано выше,
а точные значения константы С и показателя α
зависят от таких деталей вычислительного процесса, как
способ округления, использование операции
накопления скалярных произведений и т. д. Обычное
значение α равно 2.
Располагая априорной оценкой (1), можно оценить
точность вычисления собственных значений (векторов),
достигаемую в методе М. Эта точность зависит от
обусловленности отдельных собственных значений
(собственных подпространств).
Пусть λ — простое собственное значение матрицы А,
χ — соответствующий нормированный собственный
вектор, у — нормированный собственный вектор
транспонированной матрицы А~т для того же собственного
значения. При возмущении матрицы А на матрицу F
возмущение собственного значения λ с точностью до
малых 2-го порядка выражается величиной
A\*(y-rFx)/(yTX) (2)
и оценивается как
| Δλ | а^ || F ||^| утж | (3)
(|| ||2 — спектральная норма). Таким образом,
чувствительность λ к возмущениям матрицы А
характеризуется числом 5 (λ)— \уТх\~1, наз. (индивидуальным)
числом обусловленности этого
собственного значения. В случае, когда оба вектора χ и у
действительные, число 5_1(λ) имеет простой геометрич.
смысл: это — косинус угла между векторами χ и у,
что объясняет другое наименование s(i) -
коэффициент перекоса, соответствующий λ.
Если матрица А диагонализуема (т. е. имеет базис
из собственных векторов), то обусловленность ее
собственных значений λ^ может быть охарактеризована
и интегрально. Пусть Ρ — матрица, составленная по
столбцам из собственных векторов λ£· и имеющая среди
всех таких матриц наименьшее число
обусловленности. Справедлива теорема (см. [4]): все собственные
значения возмущенной матрицы A-\-F заключены
в области комплексной плоскости, являющейся
объединением кругов
|z — ^|<condP||F||, i = l, ..., п. (4)
Если эта область распадается на связные компоненты,
то каждая из них содержит столько собственных
значений возмущенной матрицы, сколько кругов ее
составляют. (В качестве нормы в (4) можно взять
спектральную норму и для Ρ — спектральное число
обусловленности.)
Число cond Ρ наз. числом
обусловленности матрицы А по отношению к П. п.
собственных значений. Выражаемое в спектральной норме,
оно связано с коэффициентами перекоса следующим
образом:
5(λ/Χοοηά2 ^<2"=1 s^'
Более сложно зависит от возмущения матрицы А
возмущение собственного вектора х, относящегося
к простому собственному значению λ. Оно
определяется, вообще говоря, не только коэффициентом
перекоса, соответствующим самому λ, но и коэффициентами
перекоса для прочих собственных значений.
Чувствительность собственного вектора χ возрастает и при
наличии собственных значений, близких к λ. В
предельном случае, когда λ становится кратным, сама
постановка вопроса о чувствительности отдельного
собственного направления теряет смысл и нужно говорить
о чувствительности собственного (или инвариантного)
подпространства.
Качественно оценки (3) и (4) означают, что величина
возмущения каждого собственного значения диагона-
лизуемой матрицы А пропорциональна величине
возмущения F, а множителями пропорциональности
выступают числа обусловленности, индивидуальные либо
глобальные. Если жорданова форма А —
недиагональная и собственному значению λ отвечает
элементарный делитель (ζ—Я)т, то возмущение λ в общем
случае пропорционально уже не ||F||, а ||F||1/m.
Наиболее важным частным случаем П. п.
собственных значений является вычисление всех собственных
значений (собственных векторов) действительной
симметрической либо комплексной эрмитовой матрицы А.
Коэффициенты перекоса такой матрицы равны
единице, и приближенная оценка (3) переходит в точное
неравенство
|Δλ|<||Π2.
Матрицу Ρ в (4) можно выбрать ортогональной либо
унитарной, и потому глобальное число
обусловленности в спектральной норме равно единице.
Независимо от кратности точек спектра А существует такое
упорядочение собственных значений λ/ матрицы A +F,
что выполняются при всех i соотношения
|λ,-Λ· КИ^Ь·
Еще более точные оценки возможны, если не только
сама матрица А является симметрической
(эрмитовой), но и ее возмущение F (см. [5]).
Помимо указанных имеется еще ряд апостериорных
оценок точности вычисленных собственных значений
и векторов. Они наиболее эффективны для
симметрических и эрмитовых матриц А.
Пусть χι — приближенный, а хι — точный
собственный вектор для простого собственного значения λ
матрицы Л. Оба вектора предполагаются
нормированными. Наилучшую оценку λ£·, к-рую можно получить
посредством вектора ж/, дает значение функционала
Рэлея
φ (Л, ζ) — (Αζ, ζ)/(ζ, ζ),
соответствующее χ;, т. е. число μι=φ(Α, χι) (этот факт
имеет силу для произвольной, не обязательно
эрмитовой матрицы А). Вектор г^Ах^—μ μ ι наз. в е к τ
ορό м невязки.
Пусть
ε = ||/7 ||а, а= min |λ;—μ/|.
ίΦΐ

421
ПОЛНАЯ СИСТЕМА
422
Оценку величины а легко получить по вычисленным
собственным значениям Ху. Справедливы оценки:
Ι λ,· — μ,- |^ε2/α, I sin /_ (#ιν*ϊ) \^г/а.
Если λ,- — кратное собственное значение или имеется
группа близких к λ,- собственных значений, то нужно
оценивать суммарное возмущение всей этой группы и
возмущение соответствующего ей инвариантного
подпространства (см. [5]).
Наряду с описанной П. п. собственных значений
часто возникает необходимость в решении т. н.
обобщенной проблемы собственных
значений
Αχ = λΒχ. (5)
В наиболее важном случае обобщенной проблемы
собственных значений матрицы А и В являются
симметрическими (эрмитовыми), и одна из них положительно
определена. Теория и методы численного решения
задачи (5) в этом случае параллельны теории и методам
для обычной симметрической (эрмитовой) проблемы
собственных значений.
Если ни одна из матриц А и В не является
определенной или хотя бы одна из них даже
симметрической, то пользуются т. н. (?2-алгоритмом (см. [6]),
своеобразным обобщением ##-алгоритма. Необходимо
отметить, что здесь возможны новые эффекты,
ненаблюдаемые в обычной П» п. собственных значений:
бесконечные собственные значения, непрерывный спектр.
Еще более сложны нелинейные задачи на
собственные значения
ΙΑηλ» + Αη-1λ*-*+... + Α1λ + Α0)χ^0.
Такие задачи решают обычно путем сведения к
линейным более высокого порядка (см. [7]).
Лит.: [1] Данилевский A.M., «Матем. сб.», 1937,
т. 2, jvfo 1, с. 169—71; [2] Фаддеев Д. К., Фаддеева
В. н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.,
1963; [3] Wilkinson J. Η., Rounding errors in algebraic
processes, Englewood cliffs (N.Y.), 1963; [4] Уилкинсон
Д ж. Х., Алгебраическая проблема собственных значений, пер.
сангл., М.4 1970; [5] Парлетт Б., Симметричная проблема
собственных значений. Численные методы, пер. с англ., М.,
1983; [61 Μ о 1 е г С. В., S t e w a r t G. W., «SIAM J. Num.
Anal.», 1973, v. 10, p. 241; [7] К у б л а н о в с к а я В. Н., в
сб.: Вычислительные методы линейной алгебры, Новосиб.,
1980, с. 37—53. X. Д. Икрамов.
ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ функции —
производная по t от функции y~j(t, и, у, . . ., ζ), зависящей
от переменной t как непосредственно, так и через
промежуточные переменные u—u(t, х1ч . . ., хп), у—
— v(t, х1ч . . ., хп), . . ., z=z(t, хг, . . ., хп),
вычисляемая по формуле
dy __df_ . dj_ du , a/ dv_ , _[_?_/_££
dt ~dt *' dudt ' dv dt ' * * * ' *? μ
dz dt
_л a/ df df du dz
гдеа7' du-* ' · ·' аТ'зТ' · · *' dt ~~ част™е
"Разводные, е. Д. Соломенцев.
ПОЛНАЯ РЕШЕТКА, полная структу-
р а,— частично упорядоченное множество, в к-ром
всякое непустое подмножество А имеет точную верхнюю
и точную нижнюю грань, называемые обычно
объединением и пересечением элементов
подмножества А и обозначаемые \/ аа и Λ αα
V ааеА маабА
(или просто \/А и Д^4) соответственно. Если частично
упорядоченное множество имеет наибольший элемент
и каждое его непустое подмножество обладает точной
нижней гранью, то оно является П. р. Решетка L
тогда и только тогда является полной, когда для
любого изотонного отображения φ этой решетки в себя
существует неподвижная точка, т. е. такой элемент
a£L, что ац)=а. Если Ρ (Μ) — упорядоченное
включением множество подмножеств множества Μ и φ —
отношение замыкания на Р(М), то совокупность всех
φ-замкнутых подмножеств является П. р. Всякое
частично упорядоченное множество Ρ можно изоморфно
вложить в П. р., к-рая в этом случае паз.
пополнением Множества Р. Пополнение сечениями
является наименьшим из всех пополнений данного
частично упорядоченного множества П. р. образуют
множество всех подалгебр универсальной алгебры,
множество всех конгруэнции универсальной алгебры,
множество всех замкнутых подмножеств топологич.
пространства.
Лит.: [1] Б и ρ к г о ф Г., Теория структур, пер. с англ.,
М., 1952; [2] Скорняков Л. Α., Элементы теории
структур, М., 1970. Т. С. Фофанова.
ПОЛНАЯ СИСТЕМА, замкнутая система
(дифференциальных уравнений), —
система дифференциальных уравнений с частными
производными 1-го порядка
/''/ (х, и, p) — 0t 1<;<w, (l)
-(х\у ..., хп), и = и(хи ..., хп),
ν _ ( du_ du_ \
'··» Рп)~ \dxt' ' "■> дхп)>
со следующим свойством: для любого набора чисел
(я, и, р), удовлетворяющего уравнениям (1),
справедливы равенства
F(j (χ, и, ρ) = 0, 1 <; i, ; ^ т,
где Fij=z[Fι, Fj\ — Якоби скобки.
Для линейных однородных систем условие полноты
формулируется несколько иначе. Скобка Якоби в этом
случае линейна по переменным р=(рц . . ., рп), и
если система записана в виде
Р{ (и) = 0, 1< i^wi,
где Ρ ι —- линейные дифференциальные операторы 1-го
порядка, то этой скобке отвечает коммутатор [Р,·, Pj] =
—PjPj—PjP{. Полнота системы заключается в
представимости всех коммутаторов [Р^ Pj] в виде линейных
комбинаций от Р^ с коэффициентами, зависящими
только от #=(#1, . . ., хп).
Если и—и(х) — совместное решение двух
уравнений
F{(x, и, р) = 0, Fj(x, и, р) = 0,
то и является решением и уравнения
№. Fj\(x, и, р)=0. (2)
Произвольную систему вида (1) обычно пытаются
расширить до полной добавлением к ней новых
независимых уравнений, полученных из старых с помощью
операции образования скобок Якоби. При этом
расширении в соответствии с (2) ни одно из решений
переходной системы не должно теряться, если она вообще
разрешима.
Свойство системы быть полной инвариантно
относительно тех неособых преобразований переменных (х,
и, р, F), для к-рых сохраняется смысл
дифференциальных уравнений. К таким преобразованиям
относится, напр., замена независимых переменных х=
= g(y)i У—(У\1 · · ·» Уп)-> а также преобразование
следующего типа. Пусть Л : R2w + 1+m->Rm—такое
гладкое отображение, что
У = х, Я = Р,
v — u, t = H (χ, и, ρ, s),
*=(*1 8m), t = (tlt ..., tm)
есть диффеоморфизм R?n + i + m_bR2n + \ + m% Тогда
рассматриваемое преобразование заключается в переходе
от системы (1) к системе
Gi(x, и, p) = Hi(x, и, р, F) = 0, l<i<m.
14"

423
ПОЛНОЕ
424
Лит.: [1] Камке Э., Справочник по дифференциальным
уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с
нем., М., 1966; [2] Г ю н τ е ρ Η. Μ., Интегрирование
уравнений первого порядка в частных производных, Л.— М., 1934;
[3] Сага theodory С, Variationsrechnung und partielle
Differentialgleictmngen erster Ordnung, 2 Aufl., Bd 1, Lpz., 1956;
[4] Goursat E., Legons sur Г integration des equations aux
deriv6es partielles du premier ordre, P., 1891. А. П. Солдатов.
ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ по модулю
т — любой набор из т несравнимых между собой
по модулю т целых чисел. Обычно в качестве П. с. в.
по модулю т берутся наименьшие неотрицательные
вычеты 0, 1, . . ., т—1 или абсолютно наименьшие вы-
г\ л 771—2
четы, состоящие из чисел 0, ±1, . . ., ±—гг- в
случае нечетного т и чисел 0, ±i, . . ., ^j—, Щ- в случае
четного т. С. А. Степанов.
ПОЛНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — ортонормиро-
ванная система функций {φ(я)} нек-рого гильбертова
пространства Η такая, что в Я не существует функции,
ортогональной всем функциям данного семейства.
Система функций, полная в одном пространстве, может
оказаться неполной в другом. Напр., система
< -r= cos пх >, тг=0, 1, . . ., образует П. с. ф. в
пространстве L [0, π], но не образует П. с. ф. в
пространстве L [ — π, π]. Ε. Д. Соломенцев.
ПОЛНОГО НАКОПЛЕНИЯ ТОЧКА—точка я
множества Μ в топологич. пространстве X такая, что
пересечение Μ с любой окрестностью χ имеет
мощность ту же, что и все множество Μ.
Μ. И. Войцеховский.
ПОЛНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ —
обобщение понятия компактного комплексного ал-
гебраич. многообразия. Многообразие X наз.
полным, если для любого многообразия У проекция
ХХУ->У является замкнутым морфизмом, т. е.
переводит замкнутые (в топологии Зариского)
подмножества XX Υ в замкнутые подмножества Υ. Имеется т. н.
валюативный критерий полноты: для
любого кольца дискретного нормирования А с полем
частных К и любого морфизма и : Spec ϋΓ—*Χ должен
существовать единственный морфизм ι; : Spec .Л->*Х,
продолжающий и. Это условие является аналогом
требования того, чтобы любая последовательность в X
имела предельную точку.
Любое проективное многообразие является полным,
но не наоборот. Для любого П. а. м. X существует
проективное многообразие X' и проективный бирацио-
нальный морфизм X'—*Х (лемма Чжоу). Для
любого алгебраич. многообразия X существует
открытое вложение в полное многообразие X (теорема
Нагаты). Обобщением понятия П. а. м. на
относительный случай служит собственный морфизм схем.
Лит.: [1] Хармсхорн Р., Алгебраическая геометрия,
пер. с англ., М., 1981; [2] Шафаревич И. Р., Основы
алгебраической геометрии, М., 1972. В. И. Данилов.
ПОЛНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ — то же, что
вариация функции одного переменного. П. и. ф. есть
сумма положительной вариации функции и
отрицательной вариации функции. Б. И. Голубое.
ПОЛНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО —
метрическое пространство, в к-ром каждая
фундаментальная, или сходящаяся в себе, последовательность
сходится. П. м. п.— частный случай полного
равномерного пространства. м. И. Войцеховский.
ПОЛНОЕ МНОЖЕСТВО в топологическом
векторном пространстве X над полем
К — множество А такое, что совокупность линейных
комбинаций элементов из А (всюду) плотна в X, т. е.
порожденное множеством А замкнутое
подпространство, или замкнутая линейная оболочка А, совпадает
с X. Напр., в нормированном пространстве С
непрерывных функций на [0, 1] со значениями в С множество
{хп} является П. м. Если К — недискретное
нормированное поле, то каждое поглощающее множество
(и в частности каждая окрестность нуля в X) является
П. м.
Для того чтобы А= {at}, t£T было П. м. в
ослабленной топологии σ(Χ, Χ*) пространства X,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого ξζΧ*
существовал индекс t такой, что <α^, ξ>?=0; это означает, что
никакая замкнутая гиперплоскость не содержит всех
элементов at, т. е. что А — тотальное
множество. При этом если X — локально выпуклое
пространство, то П. м. в ослабленной топологии будет
ПОЛНЫМ И В ИСХОДНОЙ ТОПОЛОГИИ. М. И. Войцеховский.
ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ функции
нескольких переменных — приращение,
приобретаемое функцией, когда все аргументы получают (вообще
говоря, ненулевые) приращения. Точнее, пусть функция
/ определена в окрестности точки х(0>=(х^\ . . ., х^)
^-мерного пространства R" переменных χλ, . . ., хп.
Приращение
Δ/ = /(ζ(0)+Δ:ζ) — /0г«»)
функции / в точке х(0), где
Δχ = (Δχι, ..., Δ.τ„),
^о)_^д^ = Ц0) + Д^1, ..., χ^ + Δχη),
наз. полным приращением, если оно
рассматривается как функция η всевозможных
приращений Δ^, . . ., Δχη аргументов χλ, . . ., хп,
подчиненных только условию, что точка х{0}>-\-Ах принадлежит
области определения функции /. Наряду с П. п.
функции рассматриваются частные приращения
kxkf функции / в точке х{0) по переменной х^, т. е.
такие приращения Δ/, для к-рых &Xj=0, /=1, 2, . . .,
к—1, к-\-1, . . ., п, к — фиксировано (к=1, 2, . . ., п).
Л. Д. Кудрявцев.
ПОЛНОЕ ПРОСТРАНСТВО — термин, относящийся
к метрическому пространству, равномерному
пространству, топологическому пространству, близости
пространству, пространству топологической группы,
пространству с симметрикой, псевдометрическому
пространству; возможны употребления этого термина и
в других ситуациях. Все определения полноты
основаны на одной общей идее, конкретное воплощение
к-рой зависит от рассматриваемого типа пространств.
Общее в определениях полноты состоит в требовании
сходимости достаточно широкого класса
последовательностей, направленностей или центрированных систем.
Метрич. пространство наз. полным, если каждая
фундаментальная последовательность в нем сходится.
В этом же смысле понимается полнота псевдометрич.
пространства и пространства с симметрикой.
Равномерное пространство наз. полным, если для
каждой центрированной системы множеств в нем,
содержащей сколь угодно мелкие по отношению к
покрытиям из данной равномерной структуры множества,
пересечение элементов этой системы не пусто. На
топологич. группе есть естественные правая и левая
равномерные структуры. Если пространство группы
в одной из этих равномерных структур полно, то оно
полно и в другой, и топологич. группа наз. тогда
полной по Вейлю. Полнота по отношению
к двусторонней равномерной структуре на группе,
получаемой структурным объединением ее правой и
левой структур, наз. полной по Райкову.
Полнота метрич. пространства и полнота по Райкову
могут быть истолкованы как абсолютная замкнутость
по отношению к любым представлениям данного
пространства, как подпространства пространства того же
типа. В частности, метрич. пространство полно в том
и только в том случае, если оно замкнуто в любом

425
ПОЛНОТА
426
объемлющем его метрич. пространстве. Топология,
группа полна по Райкову, если и только если она
замкнута в любой топология, группе, содержащей ее
в качестве топологич. подгруппы. Это связано с
фундаментальной конструкцией пополнения: каждому
метрич. пространству канонич. образом сопоставляется
его пополнение — полное метрич. пространство,
содержащее исходное пространство в качестве всюду
плотного подпространства. Аналогично, каждая
топологич. группа пополняема по Райкову, но не
каждая топологич. группа пополняема по Вейлю.
Для топологич. пространств требование
абсолютной замкнутости — т. е. замкнутости
в любом объемлющем пространстве,— приводит, если
ограничиться классом вполне регулярных хаусдорфо-
вых пространств, к бикомпактным пространствам:
такие и только такие пространства обладают этим
свойством. Однако есть другой полезный и естественный
подход к определению полноты топологич.
пространства. Вполне регулярное хаусдорфово пространство наз.
полным по Чеху, если оно представимо в виде
пересечения счетного семейства открытых множеств
в нек-ром своем бикомпактном хаусдорфовом
расширении. Все такие пространства обладают свойством
Бэра: пересечение счетного семейства непустых
открытых всюду плотных множеств в них всегда не пусто.
Метризуемое пространство полно по Чеху в том и
только в том случае, если оно метризуемо полной
метрикой (теорема Александрова — Хаус-
до ρ φ а). Полнота по Чеху обеспечивает правильное
поведение топологич. пространства во многих
существенных отношениях. Так, полное по Чеху счетное
пространство имеет счетную базу и метризуемо.
Паракомпактность сохраняется при операции произведения,
когда пространства полны по Чеху. Полнота по Чеху
сохраняется совершенными отображениями, а в
классе метризуемых пространств она сохраняется в
сторону образа открытыми непрерывными отображениями.
Другой полезный подход к определению полноты
вполне регулярного хаусдорфова пространства связан
с рассмотрением максимальной равномерной
структуры на нем: если такое равномерное пространство
полно, то топологич. пространство наз. полным
по Дьёдонне. Полны по Дьёдонне в точности те
пространства, к-рые гомеоморфны замкнутым
подпространствам топологич. произведений метризуемых
пространств. В присутствии полноты по Дьёдонне
в одно свойство сливаются псевдокомпактность,
счетная компактность и бикомпактность. Все параком-
пакты полны по Дьёдонне, в частности полны по
Дьёдонне все метрич. пространства. Отсюда видно,
что из полноты по Дьёдонне не следует наличие у
пространства свойства Бэра. Специальный случай
полноты по Дьёдонне — полнота топологич.
пространства в смысле Хьюитта, означающая
гомеоморфность пространства замкнутому
подпространству топологич. произведения нек-рого семейства
действительных прямых.
Лит.: [1] Архангельский А. В., Пономарев
В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М.,
1974. А. В. Архангельский.
ПОЛНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО —
равномерное пространство, в к-ром всякий Коти фильтр
сходится. Важнейший пример П. р. п.— полное
метрическое пространство. Замкнутое подпространство
П. р. п. полно; полное подпространство отделимого
равномерного пространства замкнуто. Произведение
П. р. п. полно; обратно, если произведение непустых
равномерных пространств полно, то и все пространства
сомножители полны. Всякое равномерное
пространство X равномерно непрерывно отображается на
век-рое плотное подпространство П. р. п. J? (см.
Пополнение).
Лит.: [1] Б у ρ б а к и Н., Общая топология. Основные
структуры, пер. с франц., М., 1968; [2] К е л л и Д ж., Общая
топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981. М. И. Войцеховский.
ПОЛНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО — рима-
ново пространство с функцией расстояния р, полное
как метрич. пространство с метрикой р.
Пусть Μ — связное риманово пространство со
связностью Леви-Чивита, тогда следующие три
утверждения эквивалентны: а) М — полно; б) для каждой точки
ρζ^Μ экспоненциальное отображение ехр« определено
на всем Μр (где Μρ — касательное пространство и
Μ в р); в) каждое ограниченное по отношению к
расстоянию ρ замкнутое множество А аМ компактно
(теорема Хопфа — Ринова). Следствия:
любые две точки р, q£M П. р. п. можно соединить на
Μ геодезич. длины р(р, q); любая геодезическая
неограниченно продолжаема.
Имеется [2] обобщение этой теоремы на случай
пространства с несимметричной функцией расстояния.
Лит.: [1] Гром о л Д., Клингенберг В., Мей-
ер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2]
Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы
дифференциальной геометрии в целом, М., 1959. М. И. Войцеховский.
ПОЛНОЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО —
см. Полное пространство.
ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ФОРМУЛА —
соотношение, позволяющее вычислять безусловную вероятность
события через его условные вероятности относительно
событий, образующих полную группу.
Точнее, пусть (Ω, Л, Р) — вероятностное
пространство, А, Аг, . . ., Ап^Л — события, причем
А{Г\А;'=0 при 1Фи ΐ, /=1, 2, . . ., /г,
и Ρ (A k) >0 для всех к. Тогда имеет место формула
полной вероятности:
Р(А) = %=1Р{А\Ак)Р(Ак).
П. в. ф. верна и в том случае, когда число событий
Alt А 2, ... бесконечно.
Имеет место П. в. ф. для математич. ожиданий.
Пусть Χ(ω), ωζΩ — случайная величина на (Ω, Л,
Р), ЕХ — ее математич. ожидание, a E(X\Ak) —
условные математич. ожидания относительно событий
A fe, образующих полную группу. Тогда
Η. Г. Ушаков.
ПОЛНОТА в математической логике
— свойство, близкое к понятию максимального
элемента в частично упорядоченном множестве. Термин
«П.» в математич. логике употребляется в контекстах
вида: полное исчисление, полная теория (или полное
множество аксиом), ω-полная теория, полная в смысле
Поста система аксиом, полное вложение одной модели
в другую, полная формула полной теории и др.
Одним из наиболее важных в гносеологич.
отношении является понятие П. исчисления относительно
данной семантики. Исчисление наз. полным, если
всякая верная в семантич. смысле формула этого
исчисления выводима в нем. При этом понятие
выводимости должно быть эффективным, т. е. имеются
набор правил и инструкция их применения,
позволяющая строить выводы, причем есть алгоритм,
отличающий выводы от невыводов. Понятие
семантически верной формулы, наоборот,
формулируется, как правило, с использованием
неэффективных понятий, с помощью кванторов всеобщности но
бесконечным и даже несчетным совокупностям. В
теоремах о полноте классического и интуиционистского
исчислений предикатов П. понимается в указанном
смысле. В случае классич. исчисления семантически
верными считаются те формулы языка узкого исчис-

427 полнота
ления предикатов (УИП), к-рые истинны во всех
моделях для рассматриваемого языка. В
интуиционистском случае семантически верными считаются формулы,
истинные во всех Крипке моделях. Понятие истинной
в данной модели формулы также использует кванторы
по бесконечным областям (если модель бесконечна)
как в классическом, так и в интуиционистском
случаях. Иногда рассматривают исчисления, не
удовлетворяющие требованию эффективности.
С понятием П. исчисления тесно связано понятие
полной теории. Теорией (точнее, элементарной
теорией) наз. произвольное множество Τ замкнутых
формул языка УИП. Непротиворечивая теория Τ наз.
полной, если множество всех следствий из Г в клас-
сич. исчислении предикатов является максимальным
непротиворечивым множеством, т. е. добавление к Τ
любой замкнутой невыводимой из Τ формулы
позволяет вывести любую формулу. В этом определении не
предполагается, что множество Τ задано эффективно,
так что понятие вывода становится тоже
неэффективным. П. теории Τ эквивалентна следующему условию:
для всякой замкнутой формулы φ имеет место в
точности одно из двух утверждений — либо φ выводима
и8 Т, либо ~]φ выводима из Т.
Если дана какая-то модель Μ языка УИП, то
возникает семантич. понятие формулы, истинной в
модели Μ. Теория Τ наз. полной относитель-
н о Μ, если в классич. исчислении предикатов,
пополненном формулами из Г, выводимы в точности все
истинные в Μ формулы. Между понятиями П. теории
и П. относительно Μ имеется следующая связь.
Теория Τ полна тогда и только тогда, когда существует
Модель М, относительно к-рой она полна. Модель Μ
наз. моделью теории Т, если все формулы
дз Τ истинны в М. Достаточный признак П. теории:
если все модели нек-рой мощности теории Τ
изоморфны, то теория Τ полна. Обратное не всегда верно.
Понятие П. теории находит применение в вопросах
разрешимости теорий из-за следующего свойства
полных теорий: если теория Τ полна и множество Τ
конечно или даже рекурсивно перечислимо, то существует
алгоритм, распознающий по любой формуле φ
выводима она или нет. Если не требовать эффективного
задания множества Г, то всякую теорию можно
пополнить, т. е. расширить добавлением новых аксиом
до полной. При наличии требования эффективности
дело обстоит не так, как показывает теорема Гёделя
о неполноте арифметич. исчислений. Теория Т' наз.
расширением теории Г, если всякая
формула, выводимая из Г, будет выводима из Т''. Пусть
Τ — непротиворечивая рекурсивно перечислимая
теория. Теория Τ наз. эффективно
непополним о й, если по всякому рекурсивно перечислимому
непротиворечивому расширению Τ теории Τ можно
эффективно найти формулу φ, формально
неразрешимую в Т\ т. е. такую, что ни φ, ни "]φ не выводимы из
Т'. Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что
нек-рая конкретная арифметич. теория Q, имеющая
конечное число аксиом, эффективно не пополнима. Из
этой теоремы вытекает неполнота относительно
стандартной модели натуральных чисел любого арифметич.
исчисления, удовлетворяющего требованию
эффективности.
Арифметич. теория Τ наз. ω-π о л н о й, если из
того, что в Τ выводимы все формулы вида
φ(0), φ(1), φ (2), ..., (*)
следует выводимость в Τ формулы ν^ φ (я). Из
доказательства теоремы Гёделя о неполноте следует, что
существуют теории, не являющиеся ω-полными, и
даже такие, в к-рых выводима бесконечная серия
формул (*), а также формула ^х~]у{х), и тем не менее
противоречия вывести нельзя. Такая теория наз. ω-
противоречивой.
Непротиворечивая система аксиом наз. полной
в смысле Поста, если добавление к ней любой
схемы аксиом либо не расширяет запаса выводимых
формул, либо превращает систему в противоречивую.
Напр., аксиоматика классич. исчисления
высказываний полна в смысле Поста, а интуиционистского
исчисления высказываний не полна.
Лит.: [1] К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер.
с англ., М., 1957; [2] Кейс л ер Г., Чэн Ч. Ч., Теория
моделей, пер. с англ., М., 1977; [3] Ш е н ф и л д Д ж.,
Математическая логика, пер. с англ., М., 1975; [4] Роджерс X.,
Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость,
пер. с англ., М., 1972; [5] Φ е й с Р., Модальная логика, пер.
с англ., М., 1974 (Дополнения). В. Н. Гришин.
ПОЛНОТА в топологии — свойство
пространства, заключающееся в сходимости
последовательностей, направленностей или семейств множеств,
подчиненных условию Коши или его обобщениям (см.
Полное пространство). А. В. Архангельский.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ функции η
переменных в точке x0£Rn — то же самое, что дифференциал
функции в этой точке. Термин «П. д.» употребляется
с целью противопоставления его термину «частный
дифференциал». Понятие П. д. функции η переменных
обобщается на случай отображения открытых множеств
линейных топологич. пространств в подобные же
пространства (см. Гато дифференциал, Фреше
дифференциал, Дифференцирование отображения).
Л. Д. Кудрявцев.
ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ — решение и(х, а),
χ=(χλ, . . ., хп), а=(а1, . . ., а„), дифференциального
уравнения с частными производными 1-го порядка
Х\1
ди
dxt
...,£ί. )=ο.
дх„ '
(1)
к-рое зависит от η параметров ах, . . ., ап и в
рассматриваемой области удовлетворяет условию
det|VJ*0.
Если и(х, а) рассматривать как ^-параметрическое
семейство решений, то огибающая любого его (п—1)-
параметрического подсемейства, выделяемого условием
ai=(ui(tlt . . ., ίη_ι), 1<£<и, является решением
уравнения (1). При этом линии касания поверхностей,
задаваемых полным интегралом, и огибающей являются
характеристиками (1). С помощью П. и. можно
описать решения характеристич. системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, отвечающей
уравнению (1), и, следовательно, обратить метод Коши, к-рый
сводит решение уравнения (1) к решению
характеристич. системы. Этот подход применяется в аналитич.
механике, где требуется найти решение канонич.
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx; дН dp; дН
dt dpt· ' dt дх- ' w
Эта система является характеристической для
уравнения Якоби
(3)
и,+я(*1-, ..., хп, t, g, ..., £)=0.
Если для уравнения (3) П. и. и=и(хг, . . . , хп, t,
аг, . . ., ап)-\-а0 известен, то 2тг интегралов канонич.
системы (2) даются равенствами и =/;/-, и —р(,
i i
1<:ί</ι, где о/,Ь/ — произвольные постоянные.
А. П. Солдатов.
ПОЛНЫЙ ОПЕРАТОР — обобщенный волновой
оператор, т. е. частично изометрич. оператор,
определяемый равенством
W + (A2, 4i) = s- lim β'^-ίΜ^

429
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ФОРМА
430
где Ах и А2 — самосопряженнее операторы в сепара-
бельном гильбертовом пространстве Я, Рг — орто-
проектор на Н1мс, и такой, что
{W+(A2, Α{)χ\\\Ψ+{Α2, Л1)х\\ = \\х\\} = Н^ас.
Здесь Hi, ас, £ = i» 2,— совокупность всех спектрально
абсолютно непрерывных относительно Α ι элементов х,
т. е. таких, что спектральная мера <ЯА (μ) χ, χ} мно-
ί
жества Μ абсолютно непрерывна относительно меры
Лебега μ (я).
Если оператор W+ (Л2, Ах) (или аналогично
определяемый оператор W^(A2, Аг)) существует и является
полным, то А(г ас— части операторов Л,- на Я/, ас
унитарно эквивалентны. Если А1т А2 —
самосопряженные операторы в Я и А2~А1-\-с^-, />/, где /ζЯ и с
вещественно, то W±(A2, Аг) и W±(A1, A2)
существуют и являются полными.
Лит.: [1] К а т о Т., Теория возмущений линейных
операторов, пер. с англ., М., 1972. В. И. Соболев.
ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ МЕТОД, метод
дихотомии,— 1) Один из методов численного
решения уравнений с одним неизвестным. Пусть
имеется уравнение f(x)~0 с непрерывной на отрезке [α, Ь]
функцией f(x), принимающей на концах отрезка
значения разных знаков и имеющей внутри [а, Ь]
единственный корень х*. Для приближенного нахождения х*
отрезок [а, Ь] делят пополам и вычисляют значение
f(xx) в средней точке x1—(aJrb)/2. Если }(хг)^0, то
из двух отрезков [а, хг] и [хг, Ь] для последующего
деления пополам выбирается тот, на концах к-рого
значения функции различны по знаку. Возникающая в
процессе такого дробления последовательность
середин отрезков 2Cj, х2, ... сходится к корню я* со
скоростью геометрич. прогрессии:
\хп — **1<(Ь — *)/2и, л = 1, 2, ..., (1)
причем в рассматриваемом классе функций оценка (1)
не улучшаема. В случае, когда функция f(x) имеет на
[а, Ъ] более одного корня, последовательность будет
сходиться к одному из них.
2) Один из методов минимизации функций одного
переменного. Пусть требуется найти минимум
/* = min / (χ)
а К x<b
унимодальной функции / (х) на отрезке [а, Ь] и указать
точку х*, в к-рой он достигается. Тогда отрезок [а, Ь]
делят пополам и вблизи его середины х1=(а-\-Ь)/2
вычисляют значения функции f (х) в двух точках
#!=#!—ε/2 и х2=х1~\-е/2, где число ε>0, являющееся
параметром метода, достаточно мало. Затем значения
ί(χλ) и f(x2) сравнивают и с учетом унимодальности
функции }(х) из двух отрезков [а, х2] и [х^ Ь] выбирают
тот, к-рый заведомо содержит точку х#. Так, если
f (xi)<.f(x2), это будет отрезок [а, х2], в противном
случае — отрезок [ху, Ь]. Выбранный отрезок вновь делят
пополам, вблизи его середины х2 берут две точки хл—
= х2—е/2 и χ2=χ2-\-ε/2, сравнивают в них значения
функции и т. д. В результате возникает
последовательность срединных точек {хп}, для к-рой
\^п — ж,К(Ь — α — ε)/2» + ε/2, n==l, 2, .. . (2)
За приближения к /* принимают значения f(xn) при
достаточно больших п.
Название метода объясняется тем. что на каждом
следующем шаге описанного алгоритма отрезок,
содержащий точку минимума, становится примерно
вдвое короче. На классе унимодальных функций П. д. м.
не является наилучшим. Существуют более
эффективные методы, позволяющие при том же количестве
вычислений значений функции достигнуть лучшей по
сравнению с (2) точности (см., напр., Фибоначчи
метод).
Лит.: [1] Д е м и д о в и ч Б. П., Марой И. Α., Основы
вычислительной математики, 3 изд., М., 1966, [2] У а й л д Д.-
Д ж., Методы поиска экстремума, пер. с англ., М., 1967.
Μ. Μ. Потапов.
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИИ -
одно из двух слагаемых, сумма к-рых есть полное
изменение, или вариация функции, на данном отрезке.
Пусть / (х) — функция действительного переменного,
заданная на отрезке [а, Ь] и принимающая конечные
значения. Пусть П= {а=х0<хг< ...<хп=Ь) —
произвольное разбиение отрезка [а, Ь] и
*п(/)=2*[/(**)-/(*;-1)].
где суммирование производится по тем номерам i,
для к-рых разность f(xj)—f(xi-i) неотрицательна.
Величина
Р{1)->
«/>(/; [a, b]) = supPn(/)
наз. положительным изменениемфун-
кции / на отрезке [а, Ъ]. Всегда О <^.Р (/)<+ оо.
Понятие «П. и. ф.» введено К. Жорданом [1]. См. также
Отрицательная вариация функции.
Лит.: [1] Jordan С, «С. г. Acad, sci.», 1881, t. 92, р. 228—
230; [2] Л е б е г Α., Интегрирование и отыскание
примитивных функций, пер. с франц., М.— Л., 1934. Б. И. Голубое.
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ — вид
корреляционной зависимости между случайными
величинами, при к-рой условные средние значения одной из
них увеличиваются при возрастании значений другой
величины. О П. к. между величинами с корреляции
коэффициентом ρ говорят в том случае, когда р>0.
См. Корреляция. А. В. Прохоров.
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ФОРМА —
выражение вида
ΣΙ
aikX{Xki
где а[ь—аы, принимающее неотрицательные значения
при любых действительных значениях х1ч х2, . . ., хп
и обращающееся в нуль лишь при хг=х2=. . .=хп=0.
Т. о., П. о. ф. есть квадратичная форма специального
типа. Любая П. о. ф. приводится с помощью
линейного преобразования к виду
ΣΙ
Для того чтобы форма
Z.
k=\
X*.
1 *
aikXiXk
была П. о. φ.
Ai>0, Δ2>0,
необходимо и достаточно, чтобы
.., Δ„>0, где
Δ* =
а\\а\2
а2\а22
01 fe
a2k
akk
а\аакг
В любой аффинной системе координат расстояние точки
от начала координат выражается П. о. ф. от
координат точки.
Форма
'-К.
k=l
4bxixb
такая,
что aik=aki и /^0 для всех
. ., хп и /=0 лишь при хх=х2—
значении
.... . . = хп=0
наз. эрмитовой П. о.
С понятием П. о. ф. связаны также понятия:
1) положительно определенной мат-

431 полож
ρ и ц ы ||a,-fr||? — такой матрицы, что 2· k=iaikXtXk
есть эрмитова П. о. ф.; 2) положительно
определенного ядра — такой функции К(х, у) = К(у, я),-что
5-« 5-ое ^ (ж' V) Ч> (χ) <рШ) dx *У ^ °
для любой функции φ (χ) с интегрируемым квадратом;
3) положительно определенной функции — такой
функции /(я), что ядро К(х, y)=f(x—y) является
положительно определенным. Класс непрерывных
положительно определенных функций f(x) с /(0)=1 совпадает
с классом характеристических функций законов
распределения случайных величин. БСЭ-г.
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ФУНКЦИЯ —
комплекснозначная функция φ на группе G,
удовлетворяющая неравенству
2^/=1αιά/φ(^"4·)^0
для любых наборов хг, . . ., xm£G, αχ, . . ., ада£С.
Совокупность П. о. ф. на G образует конус в
пространстве Μ (G) всех ограниченных функций на G,
замкнутый относительно операций умножения и
комплексного сопряжения.
Причина выделения этого класса функций состоит
в том, что именно П. о. ф. определяют положительные
функционалы на групповой алгебре CG й унитарные
представления группы G. Точнее, пусть φ : G-+ С —
произвольная функция и Ιφ : CG->» С — функционал,
заданный равенством
'φ (Σ* 6 Gage) = 2g б G Φ (8) *gg,
тогда для положительности Ιφ необходимо и
достаточно, чтобы φ была П. о. ф. Далее, Ιφ определяет
♦-представление алгебры CG в гильбертовом
пространстве #φ и, следовательно, унитарное
представление πφ группы G, причем φ (£)=(πφ (#)ξ, ξ) для нек-рого
ξζ#φ. Обратно, для любого представления π и
любого вектора ξζ#φ функция £->(π(#)ξ, ξ) является
П. о. ф.
Если G — топологич. группа, то представление πφ
слабо непрерывно тогда и только тогда, когда П. о. ф.
непрерывна. Если G локально компактна, то
непрерывные П. о. ф. взаимно однозначно соответствуют
положительным функционалам на ίλψ).
Для коммутативных локально компактных групп
класс П. о. ф. совпадает с классом преобразований
Фурье конечных положительных мер на двойственных
группах. Имеется аналог этого утверждения для
компактных групп: непрерывная функция φ на
компактной группе G является П. о. ф. тогда и только тогда,
когда ее преобразование Фурье f(b) принимает
положительные (операторные) значения на каждом
элементе двойственного объекта, т. е.
для всякого представления σ и всякого вектора ξ ζ πσ.
Лит.: [1] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный
гармонический анализ, пер. с англ., т. 2, М., 1975; [2] Наймарк
Μ. Α., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968.
В. С. Шулъман.
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОЕ ЯДРО —
комплекснозначная функция К на ХхХ, где X —
произвольное множество, удовлетворяющая условию
Zj К (xl> xj) λ/λ;· ^ О
для любых ί, /ζ %, λ,-ζϋ, χιζΧ. Измеримые П. о. я.
на пространстве с мерой (Χ, μ) соответствуют
положительным интегральным операторам в L2(X, μ);
включение в схему такого соответствия произвольных по-
гбльно 432
ложительных операторов требует введения
обобщенных П. о. я., ассоциированных с оснащенными
гильбертовыми пространствами (см. [1|).
Теория П. о. я. обобщает теорию положительно
определенных функций на группе: для положительной
определенности функции / на группе G необходимо и
достаточно, чтобы функция К (х, y)=f(xy~1) на GXG
была П. о. я. В частности, на П. о. я.
распространяются нек-рые результаты теории положительно
определенных функций. Напр., теорема Бохне-
р а о том, что всякая положительно определенная
функция есть преобразование Фурье положительной
меры (т. е. интегральная линейная комбинация
характеров), обобщается следующим образом: всякое П. о. я.
(обобщенное) допускает интегральное представление
с помощью т. н. элементарных П. о. я. относительно
данного дифференциального выражения [1].
Лит.: [1] Березанский Ю. М., Разложение по
собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965;
[2] К ρ е й н М. Г., «Укр. матем. ж.», 1949, т. 1, № 4, с. 64—
98; 1950, т. 2, Η 1, с. 10—59. В. С. Шулъман.
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ОПЕРАТОР
— симметричный оператор А в гильбертовом
пространстве Η такой, что
для любого χζΗ, χφΟ. Всякий П. о. с. является
положительным оператором. м. И. Войцеховский.
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ - обобщение
понятия дивизора положительной степени на римано-
вой поверхности. Голоморфное векторное расслоение
Ε над комплексным пространством X наз.
положительным (обозначается £>0), если в Ε существует
такая эрмитова метрика h, что функция
ν ι—> —h (ν, ν)
на Ε строго псевдовыпукла вне нулевого сечения.
Если X — многообразие, то условие положительности
выражается в терминах кривизны метрики h. А именно,
кривизны форме метрики h в расслоении Ε отвечает
эрмитова квадратичная форма Ω на X со значениями
в расслоении Herm E эрмитовых эндоморфизмов
расслоения Е. Условие положительности эквивалентно
тому, что Qx (и) — положительно определенный
оператор в Ех для любого χζΧ и любого ненулевого
u£TXtX.
В случае, когда Ε — расслоение на комплексные
прямые над многообразием X, условие
положительности равносильно положительной определенности
матрицы
π а2 log н \\
\\ 9ζα9ΐβΙΙ'
где zj, . . ., zn — локальные координаты на X, Д>0 —
функция, задающая эрмитову метрику при локальной
тривиализации расслоения. Если X компактно, то
расслоение на комплексные прямые Ε над X
положительно тогда и только тогда, когда Чжэня класс сг(Е)
содержит замкнутую форму вида
* 2α β(ϊ)αβ dzaAdzp ,
где ΙΙφαβΙΙ — положительно определенная эрмитова
матрица. В частности, если X — риманова поверхность,
то расслоение над X, определяемое дивизором степени
d, положительно тогда и только тогда, когда d>0.
В случае, когда Ε — расслоение ранга >1 над
многообразием X размерности >1, рассматривается также
следующий более узкий класс П. р.: расслоение Е-+Х
наз. положительным в смысле На-
к а н о, если на Ε существует такая эрмитова метрика
й, что эрмитова квадратичная форма Η на расслоении

433 положи
Ε® Τ χ, заданная формулой
Hx(v®u) = hx{v, Ωχ Μ ν),
где χζΧ, νζΕχ, ιιζΤχ, Χ1 положительно определена.
Примеры: касательное расслоение Τ ρ к проективному
пространству Рп положительно, но при гс>1 не
является положительным в смысле Накано; расслоение
на комплексные прямые над Рп, определяемое
гиперплоскостью, положительно.
Любое факторрасслоение положительного векторного
расслоения положительно. Если Ε', Е" —
положительные (положительные в смысле Накано)
расслоения, то E'Q)E" и Е'®Е" положительны
(положительны в смысле Накано).
Понятие «П. р.» было введено в связи с Кодаиры
теоремой об обращении в нуль для случая расслоений
на комплексные прямые, а затем обобщено на
произвольные расслоения. Несколько позже, в связи с
вопросом о существовании вложения в проективное
пространство, были выделены понятия слабо
положительного и слабо отрицательного расслоений.
Голоморфное векторное расслоение Ε над
компактным комплексным пространством X наз. слабо
отрицательным, если его нулевое сечение
обладает строго псевдовыпуклой окрестностью в Е,
т. е. является исключительным аналитич. множеством.
Расслоение Ε наз. слабо положительным,
если сопряженное расслоение Е* слабо отрицательно.
В случае, когда X — риманова поверхность, понятия
слабо положительного и П. р. совпадают [5]. В общем
случае из положительности вытекает слабая
положительность; примеров слабо положительных, но не
положительных расслоений пока (1983) не известно.
Слабая положительность расслоения Е-*Х
равносильна каждому из следующих свойств: для любого
когерентного аналитич. пучка <jp на X существует
такое т0>0, что пучок JF®^© ПРИ ^>^о
порождается глобальными сечениями; для любого
когерентного аналитич. пучка |"на X существует такое яг>0,
что
Н*{Х, Г®^<£)=0
для всех g^l (см. [3], [4]). Через <§ здесь обозначается
пучок ростков голоморфных сечений расслоения Е.
Слабо положительные расслоения аналогичны, таким
образом, обильным векторным расслоениям из алгеб-
раич. геометрии и иногда наз. обильными
аналитическими расслоениями.
Слабо положительное расслоение над пространством X
естественным образом определяет вложение
пространства X в многообразие Грассмана и тем самым в
проективное пространство.
Понятия положительного, отрицательного, слабо
положительного и слабо отрицательного расслоений
естественным образом обобщаются также на случай
линейных пространств над комплексным пространством
X (см. Векторное аналитическое расслоение).
См. также Отрицательное расслоение.
Лит : [1] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на
комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; 12]Чжэнь
Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ.,
М., 1961; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология.
Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 93—171; [4] Schneider M.,
«Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg», 1978, Bd 47, S. 150—
170; [5] U m e m u г a H., «Nagoya Math. J.», 1973, v. 52, p.
97—128. а. Л. Онищик.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ КОНУС — подмножество К
действительного векторного пространства Е,
удовлетворяющее следующим условиям:
1) если х, у ζ. Κ, α, β^Ο, то <хх-\-$у£К;
2) КП(-К) = 0.
П. к. определяет полуупорядочение в Е: по
определению, х^,у, если y—χζΚ.
гльный 434
Пусть Ε — банахово пространство. Если Ε —
замкнутый воспроизводящий П. к. (т. е. такой
П. к., каждый вектор ζζΕ к-рого представим в виде
z=x—y, где х, у£К), то 1И1+1Ы1<:М|И|, Μ не
зависит от ζ. Телесный, т.е. имеющий внутренние
точки, П. к. является воспроизводящим.
Пусть Е*— сопряженное пространство к банахову
пространству Е. Если КаЕ — воспроизводящий П. к.,
то множество К*сЕ* положительных (относительно
П. к.) функционалов (т. е. таких /, что f (х)^0 при
х£К) является П. к. (это т.н. сопряженный
конус). П.к. К восстанавливается на К*, а именно:
Κ = {χζΕ \f(x)^0 при /£#*}.
Если К — телесный П. к., то его внутренность
совпадает с
{x£E\f(x) >0 при f£K·, / ^0}.
Конус в банаховом пространстве Ε наз.
нормальным, если найдется такое 6>0, что ||#+ζ/||>δ (||и||+
+ ||ι/1|) при χ, у£К- П. к. нормален тогда и только
тогда, когда сопряженный конус К* является
воспроизводящим. Если К — воспроизводящий конус, то
сопряженный конус К* нормален.
Конус К наз. миниэдральным, если каждая
пара элементов х, у£Е имеет точную верхнюю грань
z=sup(x, у) (то есть z^x, у и для любого zt£E из
ζι^£> У вытекает ζ{^ζ). Если П. к. правилен и мини-
эдрален, то всякое счетное ограниченное подмножество
имеет точную верхнюю грань.
Лит.: [1] Красносельский Μ. Α.,
Положительные решения операторных уравнений, М., 1962.
В. И. Ломоносов.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР,
положительное отображени е,— 1) П. о. в г и л ь-
бертовом пространстве — линейный
оператор А, для к-рого соответствующая квадратичная
форма (Ах, х) неотрицательна. П. о. необходимо
симметричен и допускает самосопряженное расширение,
также являющееся П. о. Самосопряженный оператор А
является П. о. тогда и только тогда, когда выпол
няется любое из следующих условий: а) А=В*В,
где В — замкнутый оператор; б) А=В2, где В —
самосопряженный оператор; в) спектр А содержится в
(0, оо). Совокупность ограниченных П. о. в
гильбертовом пространстве образует конус в алгебре всех
ограниченных операторов.
2) П. о. в пространстве с конусом —
отображение векторного пространства X в себя,
сохраняющее выделенный в X конус К. Интегральные
операторы с положительными ядрами в различных
функциональных пространствах с выделенными
конусами положительных функций являются линейными
П. о. При нек-рых дополнительных условиях на
геометрию конуса К и действие П. о. А удается
установить существование А -собственных векторов из X
(соответствующие собственные значения наз.
позитивными, или ведущими, они превосходят
абсолютные величины всех остальных собственных
значений). Напр., доказано (см. [3]), что если А —
вполне непрерывный П. о. с ненулевым спектром, то
его спектральный радиус является позитивным
собственным значением. Условие компактности можно
заменить условиями на поведение резольвенты (см. [4]).
В случае нелинейных П. о. исследуется вопрос о
существовании неподвижной точки оператора (т. е.
решения уравнения Ах=х) и о возможности нахождения
этой точки как предела определенных рекуррентных
последователей.
Нек-рые результаты теории П. о. могут быть
перенесены на операторы, оставляющие инвариантными
выделенные подмножества более общей природы, чем
конусы (см. [5]).

435
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
436
3) П. о. в инволютивной алгебре (*-
алгебро) — линейное отображение *-алгебры А в ин-
волютивную алгебру В, переводящее положительные
элементы в положительные. Наиболее изучены П. о.
С*-алгебр (являющиеся, поскольку положительные
элементы С*-алгебры образуют конус, частным случаем
П. о. пространств с конусом). Имеет место неравенство
Шварца для П. о. С*-алгебр: φ (α2)>(φ (α))2, если α—α*.
Найдены крайние точки множества унитальных
(т. е. сохраняющих единичный элемент) П. о.
Изучались вполне непрерывные
положительные операторы (в. н. п. о.), то есть
линейные отображения φ : А-+В, для к-рых
положительны все отображения
(*/ι)ι\/ = 1—► (Φ(βι7))£/=1
матричных (7*-алгебр Μ (А) в Μ (В): Оказалось, что
для в. н. п. о. справедлив аналог теоремы о
продолжении положительного функционала: в. н. п. о. С*-
алгебры А в нек-рую алгебру Неймана может быть
продолжен до в. н. п. о. любой б^-алгебры,
содержащей А. Если одна из С*-алгебр А, В коммутативна
(и только в этом случае), то всякий П. о. является
в. н. п. о.
4) П. о. в банаховом пространстве
Ε — линейный оператор А такой, что АКаК, где
К — положительный конус в Е. Собственный вектор
А, лежащий в К, наз. положительным, а
соответствующее собственное значение — позитив-
н ы м. Если К — воспроизводящий конус, А — вполне
непрерывный положительный оператор и АРи^аи
для нек-рого вектора и, не принадлежащего конусу —
К, натурального ρ и а>0, то спектральный радиус гА
оператора А является позитивным собственным
значением А, причем гд^а /р (теорема Крейна —
Ρ у τ м а н а).
Лит.: [1] Α χ и е з е ρ Η. И-, Глазман И. М,, Теория
линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд,,
М., 1966; [2] Sherman S., «Amer. J. Math.», 1951, v. 73,
№ 1, p. 227—32; [3] Крейн Μ. Г., Р у τ м а н Μ. Α.,
«Успехи матем. наук», 1948, т. 3, в. 1, с. 3—95; [4] Шефер X.,
Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971;
[5] Красносельский Μ. Α., С о б о л е в А. В., «Докл.
АН СССР», 1975, т. 225, № б, с. 1256—59; [6]
Красносельский М. А. [и др.], Интегральные операторы в
пространствах суммируемых функций, М., 1966; [7] Д и к с м ь е Ж.,
С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974; [8]
Красносельский Μ. Α., Положительные решения
операторных уравнений, М., 1962.
В. С. Шульман, В. Я. Ломоносов.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ на а л г е б-
ре с инволюцией* — линейный
функционал / на *-алгебре А, удовлетворяющий условию
f(x*x)^Q для всех χζΑ. Важность П. ф. и причина
их введения заключается, в частности, в том, что они
используются в так наз. ГНС-к онструкции —
одного из основных методов исследования структуры
банаховых * -алгебр. На ней (и на ее обобщениях,
напр. на веса на С*-алгебрах) основано доказательство
теоремы абстрактной характеризации равномерно
замкнутых * -алгебр операторов в гильбертовом
пространстве и теоремы о полноте системы
неприводимых унитарных представлений локально компактной
группы,
ГНС-конструкция есть способ построения по
произвольному П. ф. /на * -алгебре А с единицей такого
^-представления п/ алгебры А в гильбертовом
пространстве Я/, что /(#) — <п/(х) ξ, ξ> для всех χξΑ, где
ξ ζ Hf — нек-рый циклич. вектор, к-рый состоит в
следующем. В А определяется полускалярное
произведение <#, y>=f(y*x)l соответствующим нейтральным
подпространством является левый идеал Nj= {χ ζ
ζ Л : f (х*х)=0}, поэтому в предгильбертовом
пространстве AlNf корректно определены операторы левого
умножения La на элементы αζ A (La (x-\-Nf) = ax+Nj);
операторы La непрерывны и продолжаются до
непрерывных операторов Ьа в пополнении Я/ пространства
AlHf. Отображение Лу, переводящее αζΑ в La, и
есть требуемое представление, причем в качестве ξ
можно взять образ единицы при суперпозиции кано-
нич. отображений A^>AIHf-+H/.
Лит.: [1] Гельфанд И. М., Наймарк М. А-,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1948, т. 12, с. 445—80; [2] S е-
% а 1 I., «Bull. Amer. Math. Soc», 1947, v. 53; [3] Наймарк
Μ. Α., Нормированные кольца, 2 изд., Μ., 1968. В. С. Шульман.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ алгебры
с инволюцией *— элемент χ * -алгебры А,
допускающий представление х=^у*у, где у ζ А.
Множество Ρ (А) П. э. банаховой *-алгебры А содержит
множество Q (А) квадратов эрмитовых элементов,
содержащее, в свою очередь, множество Р0(А)+ всех
эрмитовых элементов с положительным спектром, но,
вообще говоря, не содержит множества А + всех
эрмитовых элементов с неотрицательным спектром.
Условием P(A)czA+ определяется класс вполне
симметричных (или эрмитовых) банаховых *-алгебр; для
того чтобы *-алгебра была вполне симметричной,
необходимо и достаточно, чтобы все ее эрмитовы
элементы имели действительный спектр. Равенство Ρ (Α)=
=Л+ имеет место тогда и только тогда, когда А есть
С*-алгебра. В этом случае Ρ (А) — воспроизводящий
конус в пространстве всех эрмитовых элементов
алгебры А.
Лит.: [1] Наймарк Μ. Α., Нормированные кольца,
2 изд., Μ., 196&; 12] Д и к с м ь е Ж., С*-алгебры и их
представления, пер. с франц., М., 1974; [3] Райков Д. Α.,
«Докл. АН СССР», 1946, т. 54, № 5, с. 391—94; [4] Ptak V.,
«Bull. Lond. Math. Soc», 1970, v. 2, p. 327—34; [5] Palmer
I., «Bull. Amer. Math. Soc», 1972, v. 78, p. 522—24.
В. С. Шульман.
ПОЛОС МЕТОД — метод в теории функций
комплексного переменного, опирающийся на оценки,
связывающие длины нек-рого специального семейства кривых и
площадь области, заполняемой этим семейством. В
основе П. м. лежат леммы Гретша (см. [1]). Одна из них
формулируется следующим образом.
Пусть в прямоугольнике со сторонами длины А и В
имеется конечное число не налегающих друг на друга
односвязных областей S^, /с=1, . . ., п, с жорданокыми
границами, содержащими на сторонах длины А по
отрезку, к-рые не вырождаются в точки (области Sk
образуют полосы, идущие от одной стороны длины А к
другой). Если область Sk конформно отображается на
прямоугольник со сторонами длины аъ и bk так, что
упомянутые отрезки переходят в стороны длины а&, то
причем равенство достигается только в том случае,
если Sk, к— 1, . . ., л,— прямоугольники со сторонами
длины a'k и В и £ι^χαί= Λ.
В качестве другой леммы служит Грётща принцип.
Леммы Грётша верны и для бесконечного множества
подобластей.
П. м. как метод теории однолистных конформных и
квазиконформных отображений был впервые
использован X. Грётшем [1], к-рый с помощью этого метода
систематически исследовал и решил большое
количество экстремальных задач для однолистных
функций, заданных в конечносвязных и бесконечносвязных
областях (см. [3]; о других применениях П. м. см. [2],
гл. 4, § 6).
П. м. лежит в основе экстремальной метрики метода.
Лит.: [1] G г б t 2 s с h Η., «Вег. verhandl. Sachsisch. Akad.
Wiss. Leipzig. Math.-physische. Kl.», 1928, Bd 80, H. 6, S. 367—
76; H. 7, S. 503—07; 1929, Bd 81, H. 1, S. 38—48; H. 2, $. 51—87;
[2] Г о л у 3 и η Г. Μ., Геометрическая теория функций
комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Дженкинс
Д ж., Однолистные функции и конформные отображения, пер.
с англ., М., 1962. Е. Г. Голузина.

437
ПО Л У ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
438
ПОЛОС МЕТОД — метод приближенного решения
одномерных интегральных уравнений Фредгольма 2-го
рода, основанный на специальном способе замены ядра
на вырожденное, на получении резольвенты
вырожденного уравнения и последующем уточнении
приближенного решения с помощью быстросходящегося
итеративного алгоритма.
Пусть исходное интегральное уравнение записано
в виде
φ(χ)-λγα К(х, s)<p{s)ds = f(x). (1)
Для построения вырожденного ядра в П. м.
разбивается на N полос
квадрат
\Ь — а . Ь — а
(Н-1), я<*<Ь
,.., TV —1.
К (х, s) приближается
равномерно функцией
■(*)·
* = 0, 1,
В каждой полосе (i) функция
в среднем квадратическом или
вида
*/(*. *) = C£(x) + Pi(x)Qi
В простейшем случае
*,(*, «)=iC(5/, »), L-€[^i, ^(i+i)]
При помощи функции К{ (х, s) можно образовать
вырожденное ядро:
KN(x
Ν—
О
Pi(*) = ·
Ci(x)=-
Pi (χ), χ ζ
Ъ — а
Ci(*),
ο,
Ci{x) + Pi(x)Qi(s)
[Ь-а
Ν
*6 [τγ
(2)
Решение уравнения
проксимирует решение
с вырожденным ядром (2)
anil), вообще говоря, тем лучше,
чем больше число полос N и чем лучше аппроксимация
К (я, s) в каждой полосе. Приближенное решение
<Ро(я) можно еще улучшить с помощью итеративного
алгоритма:
oKn(x, *) φ* (*)<**=
= /(*) + λ $*[*(*, s)-KN(x, ί)]φΛ-!(β)Λ. (3)
Итерация (3) сходится к решению (1) в среднем
квадратическом или равномерно при условии достаточной
близости ядер К(х, s) и Κχ(χ, s).
Лит.: [1] Положий Г. Н., Чаленко П. И., «До-
повщ! АН УРСР», 1962, № 4, с. 427—31.
А. Б. Бакушинский.
ПОЛОСА — совокупность точек плоскости,
лежащих между двумя параллельными прямыми этой
плоскости. Координаты точек я, у полосы удовлетворяют
неравенствам С1<Ах+Ву<С2, где А, В, Сх, С2 —
нек-рые постоянные, причем А и В одновременно не
равны нулю. Преобразование w=ez конформно
отображает полосу 0<ί/<π комплексной плоскости
z=x-\-iy на верхнюю полуплоскость комплексной
плоскости w. БСэ-з.
ПОЛОСА, поверхностная полоса (в
узком смысле),— однопараметрическое семейство
касательных плоскостей к поверхности. В общем смысле
полосой наз. объединение кривой I и вектора т,
ортогонального в каждой точке кривой ее касательному
вектору. Пусть в евклидовом пространстве R8 кривая I
задана уравнением r=r(s), где s — естественный
параметр кривой, г (s) — радиус-вектор точки кривой.
Вдоль I задается вектор-функция т—т (s), где т (s) —
единичный вектор, ортогональный касательному
вектору t=dr/dsB соответствующих точках кривой. В этом
случае говорят, что вдоль кривой I задана
поверхностная полоса Ф= {£, т} с нормалью m(s). Вектор τ=
= [m, t] наз. вектором геодезической
нормали полосы Ф; вместе с векторами turn
вектор τ образует трехгранник Френе для П.
Относительно подвижного трехгранника Френе для П.
записываются деривационные формулы Френе:
dt , . , di ί л ι
Ί- '^kntn; ^ = — к^+К2
dm
£ = **τ
ds
g*
*g
711',
ds
= — M+M.
где kg (геодезич. кривизна П.), kn(s) (нормальная
кривизна П.), Kg (s) — (геодезич. кручение П.) —
скалярные функции параметра s.
Если в каждой точке кривой / вектор т коллинеарен
вектору главной нормали кривой Z, то kg=0 и в этом
случае П. наз. геодезической полосой.
Если в каждой точке вектор т коллинеарен бинормали
кривой, то в этом случае кп=0, а П. наз.
асимптотической полосой.
Лит.: [1] Бляшке В., Введение в дифференциальную
геометрию, пер. с нем., М., 1957. Л. А. Сидоров.
ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ,
геодезические нормальные координа-
т ы,— координаты ж1, . . ., хп в л-мерном римановом
пространстве, характеризующиеся тем, что
координатные линии, соответствующие я1, являются геодезич.
линиями, на к-рых χ1 играет роль нормального
параметра, а координатные поверхности х1=const —
ортогональны этим геодезическим. В П. к. квадрат
линейного элемента имеет вид
П. к. можно ввести в достаточно малой окрестности
любой точки произвольного риманова пространства.
В двумерных римановых пространствах в ряде случаев
(напр., для регулярных поверхностей строго
отрицательной кривизны) возможно введение П. к. в целом.
В двумерном случае квадрат линейного элемента в
П. к. принято записывать в виде
ds* = du*+B*(u, v)dv2.
Полная (гауссова) кривизна может быть найдена до
формуле:
К_ ι д*в
в ди*'
При изучении двумерных римановых многообразий
знакоопределенной кривизны важную роль играют
специальные П. к.— геодезические
полярные координаты (г, φ). В этом случае все
координатные геодезич. линии φ= const пересекаются
в одной точке (полюсе), а φ является углом между
координатными линиями г;=0 и φ= const. Линия r=
= const наз. геодезической
окружностью. Квадрат линейного элемента в окрестности
полюса в геодезических полярных координатах имеет
вид
ds2 = dr2 + r2U-
з
-— (# х cos φ + К^ sin cp) ra + о
Уд)
}*Р*,

439 ПОЛУГИПЕРБОЛИЧЕ
где К0 — полная (гауссова) кривизна в точке Р, Кг —
производная от К по г в точке Ρ в направлении
геодезической φ=0, К2 — такая же производная в
направлении геодезической <р=л/2.
При определении П. к. в псевдоримановом
пространстве часто требуется, чтобы геодезические,
соответствующие х1, не были изотропными. В этом случае
квадрат линейного элемента имеет вид
ds2 = ± (άχψ + У)" . gu dx* dxJ
(знак -f или — выбирается в зависимости от знака
квадрата интервала касательного вектора к линии х1).
Д. Д. Соколов.
ПОЛУГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО —
проективное ^-пространство, в к-ром метрика
определяется заданным абсолютом, состоящим из
совокупности действительного конуса 2-го порядка Q0 индекса
10 с (п—т0—1)-плоской вершиной Г0, (п—т0—2)-
действительного конуса <?! индекса 1Х с \п—т1—\)-
плоской вершиной Тх в (тг—т0—1)-плоскости Г0,
(п—т1—2)-действительного конуса Q2 индекса 12 с
(п—т2—1)-плоской вершиной Т2 в (η —
гпх~^-плоскости Т1 и т. д. до (п— mr-2—2)-действительного
конуса Qr-i индекса 1г-\ с (п—mr_x — 1)-плоской
вершиной Тг-1 и невырожденной действительной (п—тг-г —
—2)-квадрикой Qr индекса 1Г в плоскости Гг_1,
0<т0<^!< . . . </nr_1<7i. Такое пространство
наз. П. п. индексов Z0, 1г, . . ., 1Г и обозначается
101п . . .lrom0mt . . .тГ-х
В случае, когда конус Q0 является парой слившихся
плоскостей, совпадающих с плоскостью Т0 (при т0=0),
П. п. с несобственной плоскостью Т0 наз.
полуевклидовым пространством:
η
Расстояние между точками X и Υ определяется в
зависимости от расположения прямой ΧΥ относительно
плоскостей Г0, 7\, . . ., Гг_1. Если, в частности,
прямая 17 не пересекает плоскость 7Ό, то расстояние
между точками X и У определяется с помощью
скалярного произведения аналогично соответствующему
определению в квазигиперболическом пространстве.
Если же прямая ΧΥ пересекает плоскость Т0, но не
пересекает плоскость Тх или пересекает плоскость
Τα-ι, но не пересекает плоскость Та, то расстояние
между точками определяется с помощью скалярного
квадрата разности соответствующих векторов точек
X и У.
В зависимости от расположения относительно
плоскостей Т0, 7\, . . ., Та, . . . абсолюта различаются
четыре типа прямых различных порядков:
эллиптические, гиперболические, изотропные и параболические.
Углы между плоскостями в П. п. определяются по
аналогии с определением углов между плоскостями в
квазигиперболич. пространстве, т. е. с использованием
расстояний в двойственном пространстве.
Проективная метрика П. п. является метрикой
наиболее общего вида. Частным случаем метрики П. п.,
напр., является метрика квазигиперболич.
пространства. В частности, 2-плоскость 01Sl совпадает с
псевдоевклидовой 1R2, плоскость 105г— с копсевдоевклидовой
1В2; 3-пространства nS\ и10£з совпадают с
квазигиперболическим 3-пространством, 3-пространство 10Si—
с копсевдоевклидовым 1/?3 и т. д.; 3-пространство
100Sl двойственно псевдогалилееву пространству ХГ3,
оно наз. копсевдогалилеевым
пространством, его абсолют состоит из пары действительных
плоскостей (конус Q0) и точки Тг на прямой Т0
пересечения этих плоскостей.
СОЕ ПРОСТРАНСТВО 440
Движениями П. п. наз. его коллинеации,
переводящие абсолют в себя. При та=п—тг-а_1 — 1 и при
la—lr-a П. п. двойственно самому себе. В таком
пространстве определяются кодвижения,
определения к-рых аналогичны определению кодвижения в
квазигиперболич. пространстве, двойственном самому себе.
Движения, движения и кодвижения образуют группы,
являющиеся группами Ли. Движения (как и
кодвижения) П. п. описываются псевдоортогональными
операторами индексов, определенных индексами пространства.
П. п. является полуримановым пространством.
Лит.: [1] Sommerville D. Μ. Υ., «Ргос. Edinburgh
Math. Soc», 1910, v. 28, p. 25—41; [2] Розенфельд Б. Α.,
Неевклидовы пространства, Μ., 1969. Л. А. Сидоров.
ПОЛУГРУПП МНОГООБРАЗИЕ — класс
полугрупп, задаваемый системой тождеств (см.
Алгебраических систем многообразие). Всякое П. м. будет либо
периодическим, т. е. состоит из периодич.
полугрупп, либо надкоммутативным, т. е.
содержит многообразие всех коммутативных полугрупп.
Для классификации ряда свойств П. м. выделяются
нек-рые типы тождеств. Тождество и— ν наз.
нормальным (а также регулярным,
однородным), если множества переменных, входящих в слова
и и ?;, совпадают, и аномальным — в противном
случае. Тождество и= ν наз. уравновешенным,
если каждая переменная в и vt v встречается одно и
то же число раз. Частный случай уравновешенного
тождества — перестановочное
тождество— если и=хх.. .хт и ν получено из и
перестановкой переменных. П. м. надкоммутативно тогда и
только тогда, когда все его тождества уравновешенные.
Базис тождеств П. м. Ш наз. неприводимым,
если любое его собственное подмножество задает
многообразие, отличное от Ш- Всякое надкоммутативное
П. м. имеет неприводимый базис тождеств.
Существуют П. м., не имеющие неприводимый базис тождеств.
Примеры конечно базируемых П. м.: любое
многообразие коммутативных полугрупп, любое периодическое
П. м. с перестановочным тождеством, любое П. м.,
заданное перестановочными тождествами. Любая
полугруппа с числом элементов <:5 имеет конечный базис
тождеств, но существует 6-элементная полугруппа, не
имеющая конечного базиса тождеств.
Следующие условия для П. м. 9Л эквивалентны
Ш задано нормальными тождествами; все тождества *Ш
нормальны; Ш содержит двухэлементную
полурешетку. П. м. 9Л имеет среди своих тождеств аномальное
тогда и только тогда, когда Ш периодическое и состоит
из архимедовых полугрупп.
Минимальные П. м. исчерпываются многообразиями
всех: 1) полурешеток, 2) полугрупп левых нулей,
3) полугрупп правых нулей (см. Идемпотентов
полугруппа), 4) полугрупп с нулевым умножением, 5) абе-
левых групп экспоненты ρ при любом простом р.
В решетке всех П. м. всякий неединичный элемент
имеет покрывающий его элемент; единичный элемент
не может быть равен объединению конечного числа
неединичных элементов. Решетка всех П. м. не
удовлетворяет никакому нетривиальному решеточному
тождеству и имеет мощность континуум. Эту же мощность
имеют подрешетка всех многообразий нильполугрупп
с тождеством х2=0 и подрешетка всех надкоммутатив-
ных многообразий. Для нек-рых П. м. *ЗЛ получены
явные описания решетки их подмногообразий L (ОЛ);
описаны П. м. 9Л с нек-рыми ограничениями на
решетку Ь(Ш).
П. м. наз. малы м, если L (*ЛЛ) конечна. П. м. *Щ
наз. многообразием конечного
индекса, если ступени нильпотентности нильпотент-
ных полугрупп из 9Л ограничены в совокупности (это
условие эквивалентно тому, что каждая нильполу-

441
ПОЛУГРУППА
442
группа из*Ш нильпотентна, а также тому, что 9Л не
содержит многообразия всех коммутативных нильполу-
групп с тождеством х2=0). Всякое малое П. м. имеет
конечный индекс.
Для периодического П. м. *Ш следующие условия
эквивалентны [4]: *Ш состоит из связок архимедовых
полугрупп; в любой полугруппе из Ш каждый класс
кручения есть подполугруппа; *Ш не содержит
полугруппы Браядта В2 (см. Периодическая полугруппа).
Этим условиям удовлетворяют П. м. Ш с модулярной
решеткой L (*ЗЛ) и П. м. конечного индекса (в
частности, малые П. м.). Малое П. м. локально
конечно (т. е. состоит из локально конечных
полугрупп) тогда и только тогда, когда локально конечно
многообразие всех групп из 9Л; малое локально
конечное многообразие групп — это в точности кроссово
многообразие (см. Групп многообразие). О других
локально конечных П. м. см. Локально конечная
полугруппа. Описаны П. м., состоящие из финитно
аппроксимируемых полугрупп [3].
Множество всех П. м. относительно мальцевского
умножения образует частичный группоид G. Известны
все идемпотенты в G, их в точности 9. Множество всех
П. м., задаваемых системами тождеств вида w=Q,
образует максимальный группоид в G.
Изучаются также П. м. полугрупп с
дополнительными сигнатурными операциями: многообразия
моноидов (с сигнатурной единицей), многообразия полугрупп
с сигнатурным нулем, многообразия инверсных
полугрупп и др.
Лит.: [1] Evans Т., «Semigroup forum», 1971, v. 2,
№ 1, p. 1—43; [2] А й з е н ш т а т А. Я., Б о г у т а Б. К.,
в сб.: Полугрупповые многообразия и полугруппы
эндоморфизмов, Л., 1979, с. 3—46; [3] Г о л у б о в Э. Α., С а п и ρ Μ. В.,
«Докл. АН СССР», 1979, т. 247, № 5, с. 1037—41; [4] С а пи ρ
Μ. В., Суханов Е. В., «Изв. вузов. Математика», 1981,
№ 4, с. 48—55. Л. Н. Шеврин.
ПОЛУГРУППА — множество с одной бинарной
операцией, удовлетворяющей закону ассоциативности.
Понятие П. есть обобщение понятия группы: из аксиом
группы остается лишь одна — ассоциативность; этим
объясняется и термин «П.». П. называют иногда м о-
н о и д а м и, но последний термин употребляется
чаще всего для П. с сигнатурной единицей (т. е. с нуль-
арной операцией, отмечающей единицу).
Теория П. принадлежит к числу сравнительно
молодых областей алгебры. Первые исследования,
посвященные П., относятся к 20-м гг. 20 в. и связаны с
именем А. К. Сушкевича. Он, в частности, определил
строение ядра (наименьшего идеала) конечной П., т. е.
фактически строение конечной П. без собственных
идеалов. Этот результат позднее был обобщен Д. Рисом
(D. Rees) на произвольные вполне простые полугруппы
и усовершенствован посредством введения понятия
матрицы над группой (см. Рисовская полугруппа
матричного типа). Теорема Риса, к-рую можно считать
нек-рым аналогом теоремы Веддерберна о простых
алгебрах, принадлежит к числу основных фактов
теории П. Другие ранние исследования по теории П.
принадлежат А. Клиффорду (A. Clifford), одним из
первых значительных достижений к-рого было
введение и изучение П., покрываемых группами; эти П.
наз. теперь вполне регулярными, или клиффордовыми
полугруппами. К кон. 50-х гг. 20 в. теория П.
сформировалась в самостоятельную ветвь современной
алгебры с богатой проблематикой, разнообразными
методами и тесными связями с многими областями
математики как собственно алгебраическими (в первую
очередь, с теорией групп и теорией колец), так и
другими, напр. функциональным анализом (П. операторов
в банаховых пространствах), дифференциальной
геометрией (П. частичных преобразований), алгебраич.
теорией автоматов (П. автоматов).
Примеры П. чрезвычайно многочисленны. Это —
различные множества чисел вместе с операцией
сложения или умножения, замкнутые относительно
рассматриваемой операции, П. матриц относительно
умножения, П. функций относительно «поточечного»
умножения *, задаваемого формулой (/* g) (x)=f(x)
g(x), П. множеств относительно операции
пересечения или объединения и т. д. В общей теории и нек-рых
приложениях важен следующий пример П. Пусть X —
произвольное множество. На множестве Fx всех
конечных последовательностей элементов из X
определяется операция, задаваемая формулой
(хъ ..., xn)*(yi, ..., Ут) = {хъ .··, Ял, 01. ···, Ут)-
Тогда Fx относительно операции * является П.;
она наз. свободной П. на множестве X.
Всякая П. есть гомоморфный образ нек-рой свободной.
Всякая совокупность преобразований произвольного
множества М, замкнутая относительно операции
композиции (последовательного выполнения, наз.
также суперпозицией), будет П. относительно
этой операции; такова, в частности, совокупность всех
преобразований множества М, наз.
симметрической полугруппой на множестве М.
Многие важные совокупности преобразований
оказываются П., причем часто они не являются группами.
С другой стороны, всякая П. изоморфна нек-рой П.
преобразований. Таким образом, именно понятие П.
оказывается наиболее подходящим для изучения в
самом общем виде преобразований, и в большой степени
через рассмотрение преобразований осуществляются
связи теории П. с другими областями математики.
При этом очень часто П. возникают как П.
эндоморфизмов (см. Эндоморфизмов полугруппа) тех или иных
рассматриваемых систем: пространств, алгебр, графов
и т. д. К П. приводит также рассмотрение частичных
преобразований и бинарных отношений относительно
операции умножения.
Как и в других алгебраич. теориях, одной из
главных задач теории П. является классификация
всевозможных П., описание их строения. Это осуществляется
прежде всего наложением на рассматриваемые П.
различных ограничений и выделением тем самым
различных типов П. Ограничения могут иметь разную
природу. П. может удовлетворять фиксированной
системе тождеств (типичные примеры —
коммутативные П., П. идемпотентов) или другим условиям,
выражаемым формулой узкого исчисления предикатов
(примеры — П. с законом сокращения, регулярные
П.). Закон сокращения и регулярность представляют
собой примеры ограничений, носящих так или иначе
характер ослабления свойств группы; введение
подобных условий было, пожалуй, особенно популярно на
первых порах развития теории П. (среди выделенных
здесь типов, наиболее близких к группам,— правые
группы). Во многих случаях, впрочем, возникающие
на этом пути классы П. включают в себя П., весьма
далекие по своим свойствам от групп (типичный
пример — П. идемпотентов).
Понятие регулярной полугруппы возникло по
аналогии с понятием регулярного кольца. Класс регулярных
П. принадлежит к числу наиболее интенсивно
изучаемых в теории П. Он включает в себя следующие
важные классы полугрупп: мультипликативные П.
регулярных колец (и, в частности, П. всех матриц данного
порядка над телом), симметрические П., П. всех
частичных преобразований множеств, инверсные П.,
клиффордовы П. и, в частности, П. идемпотентов и
вполне простые П., вполне 0-простые П. и др.
Другой тип распространенных ограничений —
ограничения на систему всех или нек-рых подполугрупп,
в частности идеалов, а также нек-рых отношений на

4 43
ПОЛУГРУППА
444
II., в частности конгруэнции. Так возникают, напр.,
разнообразные типы простых полугрупп и
разнообразные условия конечности (см. Полугруппа с
условием конечности, Периодическая полугруппа, Локально
ьонечная полугруппа, Финитно аппроксимируемая
полугруппа, Минимальный идеал), П. с разными типами
идеальных рядов и идеальных систем (см. Идеальный ряд,
IIильполугруппа); принципиальную роль в
исследовании многих вопросов теории П. играют Грина
отношения эквивалентности.
Ограничения могут относиться к порождающим
множествам и выделять их типы либо с точки зрения
характера порождающих элементов (напр., идемпо-
тенты; всякая П. вложима в идемпотентно
порожденную П.) или их числа (конечно порожденные П.
существенно участвуют во многих исследованиях), либо
с точки зрения взаимодействия порождающих
элементов — изучаются П., заданные определяющими
соотношениями и, в частности, конечно определенные П.
(см. Алгоритмическая проблема, Полугруппа с
условием конечности), либо с объединенной точки зрения
(см., напр., Бициклическая полугруппа).
При изучении строения П. важную роль играют
различные конструкции, сводящие описание
рассматриваемых П. к тем или иным «более хорошим» типам.
Довольно часто в качестве последних выступают
группы, и принцип описания «по модулю групп»
распространен в теоретико-полугрупповых
исследованиях, он проявился еще в упоминавшейся классич.
теореме Риса, согласно к-рой всякая вполне 0-простая
(вполне простая) П. изоморфна регулярной рисовской
П. матричного типа над группой с нулем (группой).
Группы участвуют в конструкциях, описывающих
инверсные П., и в конструкциях, описывающих
коммутативные архимедовы полугруппы с законом
сокращения и без идемпотентов. Описание П. с многими
условиями конечности сводится к группам с
соответствующими условиями.
Среди конструкций, участвующих в описании П.,
имеются как общеалгебраические, напр. прямые
произведения, подпрямые произведения, так и
специфически теоретико-полугрупповые. К последним
относятся уже упоминавшиеся рисовские П., а также ряд
других, из к-рых следует упомянуть конструкцию
с в я з к и — такого разбиения на подполугруппы,
что соответствующее отношение эквивалентности есть
конгруэнция. Среди связок особую роль играют
коммутативные связки (или полурешетки) и матричные
(прямоугольные) связки (см. Связка полугрупп). В
терминах связок описываются многие типы П. Так,
теорема Клиффорда о вполне регулярных П. означает,
по существу, что эти П. исчерпываются
полурешетками вполне простых П.; вполне простые П.— это
в точности прямоугольные связки групп; теорема
Тамуры — Кимуры утверждает, что любая
коммутативная П. единственным образом разложима в связку
архимедовых П. (см. [3]).
Как и всюду в алгебре, существенную роль в теории
П. играет понятие гомоморфизма и, соответственно,
понятие конгруэнции. П. принадлежат к числу
универсальных алгебр, конгруэнции к-рых не определяются
однозначно нек-рым своим каноническим смежным
классом («ядром») подобно тому, как это, напр., имеет место
в группах и кольцах. Эта более сложная ситуация
привела к развитию довольно обширного направления
теории П., посвященного изучению конгруэнции П.
с различных точек зрения. Решаемые здесь задачи
делятся в основном на два вида: 1) выделяются те или
иные специальные типы конгруэнции на произвольных
П.; 2) описываются все конгруэнции на тех или иных
специальных ГГ., принадлежащих важным в каком-то
отношении классам П. К первому виду относится, в
частности, рассмотрение главных конгруэнции (см.
[3]), а также идеальных, или рисовских,
конгруэнции, сопоставляемых каждому
двустороннему идеалу (если / — идеал полугруппы S,
то соответствующая рисовская конгруэнция имеет
своими классами / и одноэлементные подмножества
{х}, где χ ζ S\I) к рые часто используются в различ
ных вопросах и объясняют важность рассмотрения
идеалов; факторполугруппу по рисовской конгруэнции
наз, факторполугруппои Риса по соот
ветствующему идеалу Из решенных задач второго
вида следует отметить описание конгруэнции на
симметрических Π на вполне 0-простых П.; весьма
далеко продвинуто изучение конгруэнции на инверсных
П.; изучение радикалов П. развивается не без влияния
аналогичного раздела теории колец. Рассмотрение
гомоморфизмов П. в П. с заданными «хорошими»
свойствами способствовало формированию направления,
занимающегося аппроксимацией (см. Сепаративная
полугруппа, Финитно аппроксимируемая полугруппа).
В исследованиях, связанных с рассмотрением
подполугрупп, выделяется самостоятельное направление,
посвященное изучению решеточных свойств П., т, е.
взаимосвязей между свойствами П. и свойствами
решеток их подполугрупп (см. Решетка подалгебр).
Широкое направление теории П. посвящено
изучению различных вложений П. Истоки этого
направления восходят к классич. проблеме вложения полугрупп
в группы. О нек-рых задачах и результатах этого
направления см. в ст. Расширение полугруппы..
Интенсивно развивается теория многообразий П.;
об исследованиях в этом направлении см. в ст.
Полугрупп многообразие. Начинает развиваться теория
квазимногообразий П. (см. Алгебраических систем
квазимногообразие) и нек-рых других классов П.,
близких в том или ином смысле к многообразиям.
Связи общей теории П. с конкретными П.
осуществляются многими путями. Решаются проблемы
абстрактной характеризации тех или иных важных конкретных
П. (напр., Π преобразований: известно, в частности,
несколько характеризации симметрических П.),
описываются различные их абстрактные свойства. О нек-
рых основных результатах, касающихся П.
преобразований, см. Преобразований полугруппа. Изучаются
изоморфизмы и гомоморфизмы абстрактных П. в
различные конкретные П., прежде всего П.
преобразований и П. матриц (см. Представление полугруппы).
Исследованием гомоморфизмов П. в нек-рые числовые
П., прежде всего в мультипликативную П.
комплексных чисел, занимается теория характеров полугрупп.
К специальным разделам теории П. приводит
рассмотрение П. с дополнительными структурами,
согласованными с операцией умножения. Здесь следует, в
первую очередь, отметить структуру топологич.
пространства (см. Топологическая полугруппа) и структуру
порядка, частичного или линейного (см.
Упорядоченная полугруппа).
Развивается и теория нек-рых видов обобщенных
П. В первую очередь это алгебры с одной «-арной
операцией, подчиненной обобщенному ассоциативному
закону (их наз. /ι-a с с о ц и а т и в а м и, или п-
полугруппами). Рассматриваются также
алгебры с одной частичной ассоциативной бинарной
операцией (одна из естественных ситуаций подобного
рода возникает в теории категорий).
Лит,: [1] С у ш к е в и ч А К , Теория обобщенных групп
Хар.—К., 1937; L2J Ляпин Ε С, Полугруппы» М.» i960
[3] Клиффорд Α., Престон Г, Алгебраическая тео
рия полугрупп, пер. с англ , τ 1—2, Μ , 1972, [4]
Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп пер с англ , М.,
1975; [5] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические
системы, пер. с англ., М., 1965, [6] Итоги науки. Алгебра.
Топология. 1962, М., 1963, с ЯЗ-^58, [7] Итоги науки. Алгебра.
1964, М., 1966, с. 161—202, [8] Итоги науки Алгебра. Тополо-

445
ПОЛУГРУППА НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
446
гия. Геометрия. 1966, М., 1968, с. 9—56; [9] Semigroups, N.Y.—
L., 1969; [10] Howie J., An introduction to semigroup theory,
L.—N.Y.—S.F., 19Ϊ6; [11] Petrich M., Introduction to
semigroups, Columbus, 1973; [12] его же, Lectures in semigroups,
В., 1977; [13] R e d e i L., The theory of finitely generated
commutative semigroups, Oxf.—[a.o.], 1965; [14]Hofmann К. Н.,
Mostert P. S., Elements of compact semigroups, Columbus,
1966; [15] Lallement G., Semigroups and combinatorial
applications, N.Y. — [a.o.], 1979, [16] Ε i 1 e η b e г g S.,
Automata, languages and machines, N.Y.—S.F.—L., v. A, 1974; v. В.,
1976. Л. Η. Шеврин.
ПОЛУГРУППА НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ-
однопараметрическое семейство операторов S (t), 0<:£<
<оо, определенных и действующих в замкнутом
подмножестве С банахова пространства X, обладающее
свойствами:
1) S (t+%)x= S (t)(S (τ)χ) при х£С, t, τ>0;
2) S (0)х=х для любого х£С;
3) при каждом х£С функция S (t)x (со значениями
в X) непрерывна по t на [0, оо).
Полугруппа S (t) имеет тип ω, если
\\S (t) χ -S (t) y\\^e^t \\x-yl χ, y£C, t > 0.
Полугруппа типа 0 наз. сжимающей.
Так же, как и для полугрупп линейных операторов,
вводится понятие производящего
оператора А0 полугруппы S (t):
А0х -
-- lim (S (h) x -
h -> о
-x)/h
на тех элементах re ζ С, для к-рых этот предел
существует. Если полугруппа сжимающая, то А0 — диссипатив-
ный оператор. При этом оператор А в банаховом
пространстве X диссипа т и в е н, если \\х—у—К (Ах—
—Ау)\\^\\х—у\\ при х, y£D (Α), λ>0. Диссипативный
оператор может быть многозначным, тогда в
определении под Ах понимается любое его значение на х.
Диссипативный оператор наз. т-ц, иссипативным,
если 1τα(Ι—λΑ) = Χ при λ>0. Если S (t) — типа ω, то
А0—ω/ диссипативен.
Основная теорема о порождении
полугруппы: если оператор Α — ω/ диссипативен
и при достаточно малых λ>0 образ Im (Ι—λΑ)
оператора Ι—λΑ содержит D (А), то существует полугруппа
SA(t) типа ω на D (А) такая, что
SA(t)x= lim (I~A
где χξ^Ό (А), при этом сходимость равномерна на любом
конечном промежутке изменения t. (Существование
полугруппы SA(t) можно показать, если заменить
условие Im (/— λΑ)~Ζ)Ό (А) более слабым:
Шп_ К-Ч(1т(1 — λΑ), х)=0,
λ-> о
где d — расстояние между множествами.)
С оператором А можно связать задачу Коши
-if- ζАи (t), t >0, и(0)=х. (*)
Если существует сильное решение задачи
(*), т. е. непрерывная на [0, оо) функция и (*), абсолютно
непрерывная на любом компакте из (0, оо),
принимающая при почти всех t>0 значения в D(A), имеющая
при почти всех *>0 сильную производную,
удовлетворяющую включению (*), то u(t)=SA(t)x. Любая
функция SA(t)x является единственным т.н.
интегральным решением задачи (*).
Если в условиях основной теоремы пространство X
рефлексивно и А замкнут, то при χζΣ) (А) функция
u(t)=SA(t) дает сильное решение задачи Коши (*), при
этом -j- £A°u(t) почти везде, где A°z — множество
элементов минимальной нормы из Az. В этом случае
производящий оператор А0 полугруппы SA(t) плотно задан:
D (A0)=D (А). Если, сверх того, X и X' равномерно
выпуклы, то оператор А0 однозначен и при всех ί>0
существует правая производная -^-=Л°и(*), эта
функция непрерывна справа на [0, оо) и непрерывна во всех
точках, кроме, быть может, счетного множества, в этом
случае D(A0)=D(A) и А0=А°.
Если X рефлексивно (соответственно χ=γ\ где
Υ — сепарабельно), а оператор А однозначен и
обладает тем свойством, что ш хп—+ χ в X и Ахп-+ у в слабой
топологии σ (Χ, Xf) (соответственно σ(Χ, У)) следует
у= Ах, то и (t) ζΟ (Α), ί>0, и и (t) слабо (соответственно
слабо *) непрерывно дифференцируемое решение
задачи (*). В не рефлексивном случае известны примеры,
когда выполнены условия основной теоремы при D (А )=
= Х и функции u(t)=SA(t)x не имеют даже слабой
производной в Ζ ни при каких х£Х, t^0.
Пусть А — непрерывный оператор, определенный
на всем X и такой, что Α—ωΙ диссипативен. Тогда
Im(7—λΑ)=Χ πρπλ>0, λω<1 и для любого χ ζ X
задача (*) имеет единственное непрерывно
дифференцируемое на [0, оо) решение u(t)=SA(t)x. Если оператор А
непрерывен в замкнутой области определения D (А),
то для того, чтобы он был производящим оператором
полугруппы типа ω на D (А), необходимо и достаточно,
чтобы Α—ωΙ был диссипативным и lim λ~ιά(χ-{-λΑχ,
D(A)) = 0 при x£D(A).
В гильбертовом пространстве Η сжимающая
полугруппа на множестве С может быть продолжена для
сжимающей полугруппы на замкнутом выпуклом
множестве С из Я. При этом производящий оператор А0
расширенной полугруппы будет определен на плотном
в С множестве. Существует единственный w-диссипа-
тивный оператор такой, что D(A)=C и А0=А°. Если
А есть т-диссипативный оператор, то D (А) выпукло
и существует единственная сжимающая на D (А)
полугруппа S(t)=SA(t), для к-рой А0=А°.
Если на действительном гильбертовом пространстве
Η задан выпуклый полунепрерывный функционал
и дц> — его су б дифференциал, то оператор Ах=—д(р(х
(для тех х, при к-рых д(р(х) непусто) является дисси
пативным. Полугруппа SA(t) обладает свойствами,
сходными со свойствами линейных аналитич. полугрупп,
В частности, SA(t)x£D (A) (t>0) при любом χ ζ D (А) и
u(t)=SA(t)x является сильным решением задачи Коши
(*), причем
\\^\\ = \\A°u(t)\\^l-\\x-v\) + 2\\A<>v\\
для всех *>0, v£D(A). Если φ достигает минимума,
то и (t) слабо сходится при t —>· оо к нек-рой точке
минимума .
Для приближенного решения задачи Коши
существенную роль играют теоремы об аппроксимации
полугрупп. Пусть X, Хп, п=1, 2, ...,— банаховы
пространства, операторы А в X ъ Ап ъ Хп однозначны и
удовлетворяют условиям основной теоремы с общим типом
ω, операторы рп : X -> Хп — линейны и \\ρη\\χ^χ <
<const. Тогда из сходимости резольвент (λ>0,λω<1)
\\(Ι-χΑη)-ΐρηχ-ρη(Ι-λΑ)-ΐχ\\χ—>0
при χ ζ D (А) следует сходимость полугрупп
\\SAn(t)pnx-pnSA(t)x\\xn^0, x£D(A),
равномерная на каждом конечном промежутке.
Мультипликативные формулы Ли, полученные им в
конечномерном линейном случае, обобщены на
нелинейный случай. Если Л, В и Л+В суть w-диссипа-

447 полугруппа
тивные однозначные операторы в гильбертовом прост- <
ранстве и замкнутое выпуклое множество CaD (А)[\
(]D (В) инвариантно относительно (Ι—λΑ)'1 и (/—
—КВ)~1, то при любом x£CC\D(A)r\D(B)
SA + b (О * = п1^ [SA (±) SB (ir)]"*'
Эта формула справедлива также в произвольном
банаховом пространстве X для любого χζΧ, если А —
плотно заданный линейный иг-диссипативный оператор,
а В — заданный на всем X непрерывный диссипативный
оператор. В обоих случаях
^ + 5(0^ = Пт[(/-^5)-1(/-^л)-1]^,
x£D(A)f)D(B).
В приводимых ниже примерах нелинейных
дифференциальных операторов, удовлетворяющих условиям
основной теоремы о порождении полугрупп, указывается
лишь пространство X и краевые условия, а точное
описание D (А) опускается. Во всех примерах Ω —
ограниченная область в R" с гладкой границей; β, у —
многозначные максимальные монотонные отображения R -*-
-> R, β (0) Э 0, γ (0) Э 0; ψ : R ->■ R — непрерывная
строго возрастающая функция, ψ(0)=0. Пример 1.
X=Lp(Q), 1<р<:оо, Аи=Аи—β (и), — ^€ν(α) на г·
Пример 2. Χ=Ζ1(Ω), 4и=Дг|)(и), — ^ζγ(^) на Г.
Пример 3. χ=^ί_1(Ω), 4и=А-ф(и), и=0 на Г.
Пример 4. X = C(Q) или X = L«,(Q), Au=ty(/iu),
и=0 на Г. Пример 5. X^L^R"), 4w=div/(w),
где /ζ CX(R) со значениями в R", /(0)=0. Пример 6.
X=L0O(R), Ли=/(их), где / : R-► R непрерывна.
Лит.: [1] В а г b u V., Nonlinear semigroups ana
differential equations in Banach spaces, Bucure§ti, 1976; [2] В г 6-
z i s H., Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de
contractions dans les espaces de Hubert, Amst.—L.—N.Y.,
1973; L3] Brezis Η., Ρ a z у Α., «J. Funct. Anal.», 1972,
v. 9, № 1, p. 63—74; [4] Crandal 1 M. G., Liggett T.M.,
«Amer. J. Math.», 1971, v. 93, № 2, p. 265—98; [5] Koba-
yashi Y., «J. Math. Soc. Japan», 1975, v. 27, № 4, p. 640—65;
[6] Konishi Y., «Proc. Japan. Acad.», 1972, v. 48, №2,
p. 62—66, [7] Martin R. H., «Trans. Amer. Math. Soc»,
1973, v. 179, p. 399—414; [8] Webb G. F., «J. Funct. Anal»,
1972, v. 10, №2, p. 191—203; [9] Хазан М. И., «Докл.
АН СССР», 1973, т. 212, №6, с. 1309—12; [10] его ж е, там
же, 1976, т. 228, Jvfi 4, с. 805—808.
С. Г. Крейн, М. И. Хазан.
ПОЛУГРУППА ОПЕРАТОРОВ — семейство
операторов {Т} в банаховом или топологическом векторном
пространстве, обладающее тем свойством, что
композиция любых двух операторов семейства снова
принадлежит семейству. Если операторы Τ «занумерованы»
элементами нек-рой абстрактной полугруппы % и
бинарной операции полугруппы отвечает композиция
операторов, то полугруппа {Т} наз.
представлением полугруппы!. Наиболее подробно
изучены однопараметрические полугруппы, линейных
ограниченных операторов в банаховом пространстве X,
дающие представление аддитивной полугруппы всех
положительных чисел, т. е. семейства Τ (t) со свойством
Τ (ί + τ)χ=Τ(ί) Τ (τ) χ, t, τ > 0, χζΧ.
Из сильной измеримости T(t), £>0, следует, что
Τ (t) — сильно непрерывная полугруппа, поэтому в
дальнейшем только такие и рассматриваются.
Существует число
ω= lim f-1 In |Ι Γ (ί) ||
— тип полугруппы. Все функции Τ (t)x растут
не быстрее экспоненты. |
ОПЕРАТОРОВ 448
Важной характеристикой является и н φ и н и τ е-
зимальный оператор полугруппы
А0х= lim t~l [T (t)x — x],
t-+ 0
определенный на линейном множестве D (А0) тех
элементов х, на к-рых предел существует, и его замыкание
А (если оно существует) — производящий
оператор полугруппы. Множество D (А0) плотно
на подпространстве Х0, являющемся замыканием
объединения всех значений T(t)x. Если в Х0 нет ненулевых
элементов, на к-рых T(t)x=0, то существует
производящий оператор А. В дальнейшем всегда
предполагается, что Х0=Х и что из Τ (t)x^0 следует ж=0.
Наиболее простой класс полугрупп — класс С0
—выделяется условием: Τ (t)x —> χ при t-^0 и любом χζΧ.
Для выполнения этого условия необходимо и
достаточно, чтобы функция ||Г (ОН была ограниченной на каком-
нибудь промежутке (0, а]. В этом случае Τ (t) имеет
производящий оператор А = Л0, для резольвенты R (λ, Α)=
— (Α—λΙ)~ι к-рого выполнено
||Я» (λ, Α)\\<Μ (λ —ω)-», η = 1, 2, ...; λ > ω, (1)
где ω — тип полугруппы. Обратно, если А —
замкнутый оператор с плотной в X областью определения, для
резольвенты к-рого выполнено (1), то он является
производящим оператором нек-рой полугруппы Τ (t)
класса С0, причем ||Γ(ί)||<Λί>ω*. Условия (1) выполняются,
если
|| Л (λ, Λ)[|<(λ-ω)-ι
(условие Хилле — Иосиды). Если при этом
ω=0, то Τ (t) — сжатий полугруппа: ||Γ(ί)||<1.
Суммируемая полугруппа — та, для
к-рой функции ||Г(*)а:|| суммируемы на любом конечном
отрезке при всех я£Х. Суммируемая полугруппа имеет
производящий оператор А=А0. Оператор А0 замкнут
тогда и только тогда, когда при любом χζΧ
lim -ί- [* Т (s)xds = x.
t-> ο ί Jo
Для суммируемой полугруппы при ИеЯ>ш
определено преобразование Лапласа
* е-М Τ (t)xdt=—R(k)x, (2)
дающее линейный ограниченный оператор /?(λ),
обладающий многими свойствами резольвенты.
Для того чтобы замкнутый оператор А с плотной в X
областью определения был производящим оператором
суммируемой полугруппы T(t), необходимо и
достаточно, чтобы для нек-рого ω существовала резольвента
R (λ, А) при Re λ>ω и выполнялись условия: a) \\R (λ,
А)\\<М, Re λ>ω; б) существуют такие неотрицательная
и непрерывная по совокупности переменных функция
φ(£, χ), £>0, χζΧ, и неотрицательная функция φ(*)»
ограниченная на любом промежутке [а, &]с(0, оо), что
при ω!>ω
[ %-ω»'φ (ί, χ) dt < оо,
Jo Ύ '
lim t-1 In φ (t) < оо, φ (t, χ) <:φ (t) ||ж||,
t -*· оо
И R» (λ, Α) χ Κ-(^4ΐ)Γ S и""1*-*' Φ (ί. *) dt-
При этом
\\T(t)x\\<y(t, χ), ΙΙΠΟΙΚφΟ-
Если дополнительно потребовать, чтобы функция
||Г(*)|| была суммируемой на конечных промежутках,

449
то необходимо и достаточно существование такой
непрерывной функции φ (О, что при ω^ω
s;
φ(*)*"ω,ί at < oo, (3)
|| Л» (λ, Α) ||<
<^rr^\\ltn~Xe~u^^d^ λ>ω> л=1· 2> ··· (4)
При этом ||Γ(ί)||<φ(ί). Выбирая различные функции,
удовлетворяющие (3), можно выделять различные
подклассы суммируемых полугрупп. Если φ(£)=Μ6?ω',
то получается класс С0 и из (4) вытекает (1). Если φ (t)=
— Mt-^e^, 0<α<1, то из (4) получается условие
Полугруппа со степенными особенностями. Если
в предыдущем примере а>1, то в (4) интегралы при л<
<:а—1 расходятся. В соответствии с этим производящий
оператор соответствующих полугрупп может не иметь
резольвенты ни при каких λ, τ. е. иметь спектр,
совпадающий со всей комплексной плоскостью. Однако для
таких операторов, начиная с нек-рого д, существуют
функции 5„(λ, А), совпадающие в предыдущих случаях
с Rn + 1(X, А). Оператор-функция Sn(k, А) наз.
резольвентой порядка л, если она аналитична
в нек-рой области GczC и при X£G
5„(λ, Α) Αχ = ASп (λ, Α) χ, χξ-ϋ(Α),
5„(λ, Α){Α — λΙ)η + ιχ = χ, x£D{An + i),
и из того, что 5„(λ, Α) χ—0 при всех λ ζ G, следует, что
х—0. Если D (Ап + 1)—Х, то оператор может иметь
единственную резольвенту порядка д, для к-рой имеется
максимальная область аналитичности, наз.
резольвентным множеством порядка п.
Пусть для сильно непрерывной полугруппы Τ (t)
выполняется неравенство
||Γ(ί)|Ι<ΛΓί-«βω/
при а>1. Тогда ее производящий оператор В имеет
резольвенту порядка η при п>а—1, причем
5„(λ, В)х ^.L^* tne~UT {t)xdt, Ι1βλ>ω,
η! J о
|)d*Sn(X, В) ^11
ПОЛУГРУППА ОПЕРАТОРОВ 450
Для того чтобы для полугруппы класса С0 при нек-ром
£0>0 функции Τ (t)x были дифференцируемы при всех
χζΧ и t>t0, необходимо и достаточно существование
таких чисел а, 6, с>0, что резольвента R (λ, Л)
определена в области
<ίλ*
МГ (fc+n+1-α)
, Reλ > ω, А = 0, 1,
(5)
Обратно, пусть оператор В имеет при Re λ>0
резольвенту Sn(k, В) порядка л, для к-рой выполнено (5) при
л>а—1. Тогда существует единственная полугруппа
Τ (t) с оценкой
\\Т (t)\\^Mt-*e<»t,
для производящего оператора А к-рой £„(λ, Л)=
= Sn(k, 5).
Гладкая полугруппа. Если я£2)(40), то функция
Г(£);г непрерывно дифференцируема и
^^~x=:A0T(t)x=T(t)A0x.
Существуют полугруппы класса С0, Для к-рых при
xOfcD (A0)=D (А) функции Τ(t)x недифференцируемы
при всех t. Однако для важных классов полугрупп
наблюдается явление повышения их гладкости с
увеличением t. Если T(t)x, t>t0, дифференцируемы при любом
χζΧ, то из полугруппового свойства следует, что Τ(t)x
дважды дифференцируема при ί>2ί0, трижды — при
t>3t0 и т. д. Поэтому если Τ (t)x дифференцируемы при
любых t>0 и χ ζ X, то Τ (t)x бесконечно
дифференцируемы.
Re λ > а — Ъ In | Im λ |
и в этой области
|| Re (λ, А) ||< с | Ιηιλ|.
Для того чтобы Τ (t)x были бесконечно
дифференцируемыми при всех χζΧ и £>0, необходимо и достаточно,
чтобы для каждого 6>0 нашлись такие а&, с&, что
резольвента R (λ, а) определена при
Re λ > ab — Μη I Im λ |
и
[| Я (λ, Л)|Ксь|1тХ|.
Достаточные условия: если при нек-ром μ>ω
ΠπΓΐη|τ|||/?(μ+ίτ, A)\\ = t0 < °°>
τ -> ос
то Τ(t)x дифференцируемы при t>t0 и χζΧ, если *0=0,
то Τ(t)x бесконечно дифференцируемы при всех t>0
и х£Х.
Иногда о гладкости полугруппы можно судить по ее
поведению в нуле; напр., если для каждого с>0
существует такое бс, что при 0<£<6С
||/— Τ (ί)|Κ2 — ctlnt~\
то Τ (t)x бесконечно дифференцируемы при всех £>0,
х£Х.
Имеются условия гладкости суммируемых полугрупп
и полугрупп степенного роста. Если полугруппа
степенного роста α бесконечно дифференцируема при *>0,
то функция
dT(t)
dt
х = АТ (t)x
часто также имеет стеленной рост:
ΙΙΛΠΟΙΚΜιί-ββω*.
Между числами α и β в общем случае нет жесткой связи,
и число β может служить для более детальной
классификации бесконечно дифференцируемых полугрупп
степенного роста.
Аналитическая полугруппа. Важный класс
полугруппы, связанный с уравнениями с частными производными
параболич. типа, состоит из полугрупп T(t),
допускающих аналитич. продолжение в нек-рый сектор
комплексной плоскости, содержащий положительную полуось.
Для того чтобы полугруппа класса С0 обладала этим
свойством, необходимо и достаточно, чтобы в нек-рой
правой полуплоскости Re λ>ω для резольвенты
выполнялось неравенство
|| Re (λ, А) |К Μ Ι λ — ω |-ι.
Также необходимо и достаточно, чтобы полугруппа
была сильно дифференцируемой и чтобы для ее
производной имелась оценка
ΙτγΗ™-1·*·
Наконец, из неравенства
Пт ||/ — Τ (ОН < 2
/-►О
также следует аналитичность T(t).
Если полугруппа Τ (t) допускает аналитич.
продолжение Τ (ζ) в сектор |arg z\ <φ<:π/2 и имеет степенной
рост в нуле, ||Γ(ζ)|Κφ|α, α>0, то резольвента £„(λ, А)
порядка л>а—1 ее производящего оператора А допу-
^15 Математическая энц., т. 4

451
ПОЛУГРУППА
ОПЕРАТОРОВ
452
екает аналитич. продолжение в сектор |arg λ| <π/2-1-φ
и в любом секторе |arg λ|<π/2+ψ, ψ<φ, допускает
оценку
\}Sn(X, 4)||<|λ|«-4-ΐΜ (ψ).
Обратно, пусть резольвента Sn(k, В) оператора В
определена в секторе |arg λ| <Cjx/2-)-i|; и справедливо
неравенство
||5„(λ, Β)\\<λ*-η-ΐΜ.
Тогда существует аналитическая в секторе |argz|<i|;
полугруппа Τ (ζ) роста α, для производящего оператора
Л к-рой 5„(λ, A)=Sn(k, В).
Полугруппа-распределение. В соответствии с общей
концепцией теории распределений (обобщенных
функций) можно отказаться от того, чтобы оператор-функция
Τ (t) была определена при каждом *>0, а потребовать
Г» + оо
лишь вычислимость интегралов \ Τ (*)φ (i)dt для всех
φ из пространства D (R) всех финитных бесконечно
дифференцируемых функций. Тогда возникает определение:
полугруппой-распределением в
банаховом пространстве X наз. линейное непрерывное
отображение Τ (φ) пространства D (R) в пространство
L (X) всех линейных ограниченных операторов в X,
обладающее свойствами а) Г (φ)—0, если supp фС
С(— оо, 0); б) для φ, ψ из пространства Z) + (R),
состоящего из всех функций из D (R) с носителями в (0, оо),
Τ(φ*ψ)= Τ (φ) Τ (ψ), где свертка
φ * ψ — \ φ {t — s) ψ (s) ds
(полугрупповое свойство); в) если Τ(φ)χ=0 для всех
(p£D + (IR), то х— 0; г) линейная оболочка объединения
всех значений Τ(φ)χ, y£D + (R), ж ζ X, плотна в X;
д) для любого у=Т(^)х ci|;£Z) + (R) существует такая
непрерывная на (0, оо) функция и (t) со значениями в X,
что и(0)=у и
T(<p)y=^y(t)u(t)dt
для всех (p£#(R).
Инфинитезимальный оператор А0
полугруппы-распределения определяется так: если
существует дельта-последовательность {Ph}c:# + (R)
такая, что Τ (рп)х -► χ и Τ (—р'п)х -+ у при л-»-оо, то
x£D (Aq) яу=А0х. Инфинитезимальный оператор
допускает замыкание А = А0, к-рое наз
производящим оператором
полугруппы-распределения. Множество Г)/т°=1# {А о) плотно в X
и содержит Γ(φ)Χ при любой <p£D + (R).
Замкнутый линейный оператор А с плотной в X
областью определения является производящим
оператором полугруппы-распределения тогда и только тогда,
когда найдутся числа а, 6^0, с>0 и натуральное m
такие, что при Re λ>α In (1-Ηλ|)+6 существует
резольвента R (λ, Α) и выполнено неравенство
|| Л (λ, Λ)||«7(1 + |λ|)*. (6)
Если Л — замкнутый линейный оператор в I, то
множество [\n=iD{An) можно превратить в
пространство Фреше Хоо, введя в нем систему норм
Сужение Аж оператора А ва Х^ оставляет Х^
инвариантным. Если А — производящий оператор
полугруппы-распределения, то Аоо — производящий оператор
полугруппы класса С0 (непрерывный при *>0, Т(0)=1)
в пространстве Хж. Обратно, если X» плотно в X,
оператор А имеет непустое резольвентное множество и
является производящим оператором полугруппы класса
С0 в Χ*,, то А — производящий оператор полугруппы-
распределения в X.
Полугруппа-распределение имеет экспоненциальный
порядок роста не выше <?,1<:<7<оо, если при нек-ром
ω>0 отображение ехр(—ω^)Γ(φ) непрерывно в
топологии, индуцированной на D + пространством S (Щ
быстро убывающих функций. Для того чтобы замкнутый
линейный оператор был производящим оператором
такой полугруппы-распределения, необходимо и
достаточно, чтобы он имел резольвенту R (λ, А), для к-рой
выполнено (6) в области
{λ: ReX^[aln(l + | Im λ | + β)]1_ν^ Ι*βλ>ω},
где α, β>0. В частности, если q=i, то полугруппа наз.
экспоненциальной и неравенство (6)
выполняется в нек-рой полуплоскости. Имеется
характеристика полугрупп указанных типов в терминах свойств
оператора Аж. Для полугруппы-распределений изучены
вопросы гладкости и аналитичности.
Полугруппа операторов в (отделимом) локально
выпуклом пространстве X. Определение сильно
непрерывной полугруппы непрерывных в X операторов Τ (t)
остается таким же, как и в банаховом пространстве.
Аналогично класс С0 выделяется свойством Τ (t)x-+χ
при £->0 и любом х£Х. Полугруппа наз.
локально эквинепрерывной (принадлежит классу
1С0), если семейство операторов Τ (t) равностепенно
непрерывно, когда t пробегает любой конечный
промежуток из (0, оо). В бочечном пространстве полугруппа
класса С0 всегда локально эквинепрерывна.
Полугруппа наз. эквинепрерывной
(принадлежит классу иС0), если семейство Τ (t), 0<£<оо,
равностепенно непрерывно.
Инфинитезимальный и производящий операторы
полугруппы определяются так же, как и в банаховом
случае.
В дальнейшем предполагается, что пространство X
секвенциально полно. Для полугрупп класса 1С0
производящий оператор А совпадает с инфинитезимальным,
его область определения D (А) плотна в X и, более
того, плотно в X множество f\n**iD (Ап). Полугруппа
Τ(t) оставляет D (А) инвариантной и
-£j-x = AT(t)x=T(t)Ax, 0<* < оо, χς-ϋ(Α).
Если А — производящий оператор полугруппы
класса иС0, то при Re λ>0 определена резольвента R (λ, А)
и она является преобразованием Лапласа от
полугруппы.
Линейный оператор А является производящим
оператором полугруппы класса иС0 тогда и только тогда,
когда он замкнут, имеет плотную в X область
определения и существует такая последовательность
положительных чисел λ^ —>■ оо, что для любого λ^
определена резольвента Ά(λ^, А) и семейство операторов
[KkR (λ*, Л)]п, fr, п=1, 2, ... , равностепенно
непрерывно. При этом полугруппа может быть построена по
формуле
T(t)x = lim (exp [— Xk — X\R (λΛ, A)]t)x,
k -+ 00
f^srO, x£X.
В ненормируемом локально выпуклом пространстве
производящий оператор полугруппы класса 1С0 может
не иметь резольвенты ни в одной точке. Пример: А = -^
в пространстве С°° бесконечно дифференцируемых
функций от s на R В качестве оператора, заменяющего
резольвенту, может быть взят непрерывный оператор,
умножение к-рого на оператор А —XI справа и слева
«мало» отличается от единичного оператора

453 ПОЛУГРУППА
Непрерывный оператор В (к), определенный для λ
из множества ЛсС, наз асимптотической
резольвентой линейного оператора А, если
оператор A В (λ) непрерывен в X, оператор В (К)А
допускает расширение с D(A) до непрерывного оператора
В (λ) в X и существует такая предельная точка λ0
множества Л, что Η + (λ)χ —►- 0, Η~(λ)χ —►- 0 при λ -> λ0 для
любого а; из X, где
# + (λ) = Μ — λ/)/? (λ) — /, #~ (X) = B(X)-XR(X)-I.
Асимптотич. резольвента обладает рядом свойств,
близких к свойствам обычной резольвенты.
Для того чтобы замкнутый линейный оператор А
с плотной в X областью определения был производящим
оператором полугруппы класса /С0, необходимо и
достаточно, чтобы существовали такие числа ω и а>0,
что при λ>ω определена асимптотич. резольвента В (λ)
оператора А, обладающая свойствами: функции В (λ),
#+(λ), #~(λ) сильно бесконечно дифференцируемы при
λ>ω, семейства операторов
равностепенно непрерывны.
Теоремы порождения получены и для других классов
П. о. в локально выпуклом пространстве.
Сопряженная полугруппа. Если Τ (t) — полугруппа
класса С0 в банаховом пространстве X, то сопряженные
операторы образуют полугруппы ограниченных
операторов в сопряженном пространстве X'. Однако
соотношение T'(t)f-*- / при ί-> Ο и любом /ξΧ' выполняется
лишь в смысле слабой топологии σ (X , X). Если А —
производящий оператор, то сопряженный оператор А'
будет слабым производящим оператором T'{t) в том
смысле, что D (А4) состоит из всех тех /, для к-рых
существует в смысле слабой сходимости предел t~l\T'{t)—I]f
при t -+ 0, равный А'/· Область определения D(A')
плотна в X' в смысле слабой топологии, и оператор А'
замкнут в этой топологии.
Пусть Х+ — совокупность тех элементов из X',
для к-рых Т'Ц) -► / при t -+ 0 в сильном смысле, тогда
Х+ — замкнутое подпространство X', инвариантное
относительно всех T'(t). В Х+ операторы Τ (t) образуют
полугруппы класса С0. Пространство Х+ может быть
получено как сильное замыкание в X' множества
D(A'). Если исходное пространство рефлексивно, то
Х + = Х'. Для полугрупп класса С0 в локально
выпуклых пространствах справедливы аналогичные факты.
Полугруппы классов 1С0 и иС0 порождают полугруппы
таких же классов в пространстве Х +.
Полугруппа-распределение в (отделимом) локально
выпуклом пространстве. Полугруппа-распределение
Τ (φ) в секвенциально полном локально выпуклом
пространстве определяется так же, как и в банаховом
пространстве. Полугруппа Τ (φ) наз. локально экви-
непрерывной (класса W), если для любого
компакта KczD (R) семейство операторов {Γ(φ)}, φξ·#,
равностепенно непрерывно. В бочечном пространстве X
всякая полугруппа-распределение принадлежит классу
10'. Аналогично случаю банахова пространства
определяется инфинитезимальный оператор А0 полугруппы-
распределения. Для полугрупп класса W он замкнут
(Ао=4), f)n=iD (А") плотно в X, при любых х£Х и
q>£D(R) выполнено
T(<p)x€D(A), Т'(<р)х=АТ(ч)х+у(0)х, \
Т'(q>)x = T(q>)Ax + q>@)x, x£D{A) ( {)
Обобщенную функцию Τ с носителем на [0, оо),
обладающую свойствами (7), естественно назвать
фундаментальной функцией оператора
~tf —А. Таким образом, если А — производящий опе-
ОПЕРАТОРОВ
454
ратор полугруппы Τ класса ID', то Τ является
фундаментальной функцией оператора -^- —А. Обратное
утверждение верно при дополнительных предположениях
относительно порядка сингулярности фундаментальной
функции Τ (точнее, функций f(T(y)x), где /£Х').
Для характеризации полугруппы в локально
выпуклом пространстве полезным является понятие
обобщенной резольвенты. Через φ обозначается
образ функции q>£D(R) при преобразовании Лапласа,
в пространстве D (Щ всех образов вводится топология,
индуцируемая преобразованием Лапласа из топологии
D (R). Преобразование Лапласа Х-значной обобщенной
функции F определяется равенством /(cp)=F((p), При
этом F является непрерывным отображением из D (R)
в пространстве L (X) линейных непрерывных
операторов на X. Пусть D+ — пространство всех F,
полученных из F с носителем на (0, оо), с естественной
топологией. Если А — линейный оператор в X, то его можно
«поднять» до оператора А в пространстве D + с помощью
равенства
(λΡ)(ψ) = Α(Ρ (y)) = AF(y).
Таким образом, он определен на тех F£D + , для к-рых
правая часть определена при любой φ £D (В) и
продолжает обобщенную функцию из D + . На Ь'+
определяется непрерывный оператор λ равенством
(XF)6)=XF ($) = F' «p) = -F(<P').
Если оператор Α —λ имеет непрерывный обратный В на
Ь '+, то Я наз. обобщенной резольвентой
оператора А.
Оператор А имеет обобщенную резольвенту тогда
и только тогда, когда у оператора -^- —Л существует
локально эквинепрерывная фундаментальная функция
Т, к-рая строится по формуле:
где
T(4>)x = (R(i®x)) (φ), q>£D(R), χζΧ,
(1®*0(φ) = (δ®*)φ = φ(Ο)*.
При дополнительных условиях Т будет полугруппой-
распределением. В терминах обобщенной резольвенты
получена также теорема порождения П. о. класса \СЬ.
См. также Полугруппа нелинейных операторов.
Лит.: [1] Хилле Э.,Филлипс Р., Функциональный
анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; [2] В у в у-
н и к я н Ю. М., в кн.: Теория операторов в Функциональных
пространствах, Новосиб., 1977, с. 99—120; [3] Забрейко
П. П., Зафиевский А. В., «Докл. АН СССР», 1969,
т. 189, Μ 5, с. 934—37; [4] Зафиевский А. В., «Тр. Ма-
тем. ф-та Воронеж, ун-та», 1970, в. 1, с. 206—10; [5] И о с и-
да К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [6]
К ρ е й н С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в
банаховом пространстве, М., 1967; [7] С и л ь ч е н к о Ю. Т.,
«Дифференц. уравнения», 1979, т. 15, № 2, с. 363—66; [8] Cha-
z а га i n J. «J. Funct. Analys.», 1971, v. 7, № 3, p. 386—446;
[9] Gioranescu J-, «J. Math. Analys. and Appl.», 1971,
v. 34, p. 34—41; [10] ее же, «Rev. roum. math, pures et
appl.», 1977, v. 22, №8, p. 1053—68; [ill К a to Т., «Ргос.
Amer. Math. Soo.», 1970, v. 25, № 3, p. 495—98, [12] L i ο η s J.,
«Portugal. Math», I960, v. 19, p. 141—64; [13] Pazy Α.,
«J. Math. Mech.», 1968, v. 17, № 12, p. 1131—41; [14] его же,
«Ргос. Amer. Math. Soc», 1971, v. 30, JNT« 1, p. 147—50; [15]
Ushijima Т., «Sci. Papers College Gen. Edic. Univ.
Tokyo», 1971, v. 21, p. 93—122; [16] его же, «J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo. Sect. 1A», 1972, v. 19, Μ 1, p. 65 — 127; [17] Wild C,
«C. r. Acad, sci.», 1977, t. A 285, p. 437—40.
JO. M. Вувупикян, С. Г. Ирейн.
ПОЛУГРУППА С УСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ —
полугруппа, обладающая нек-рым свойством θ таким,
что всякая конечная полугруппа обладает этим
свойством (такое свойство θ наз. условием конечно-
15*

455
ПОЛУГРУППОВАЯ АЛГЕБРА
456
с τ и). В определении свойства θ могут фигурировать
элементы полугруппы, ее подполугруппы и т. п.
Примеры условий конечности: периодичность (см.
Периодическая полугруппа), локальная конечность (см.
Локально конечная полугруппа), финитная
аппроксимируемость (см. Финитно аппроксимируемая полугруппа),
конечная порожденность, конечная определенность.
Исследования конечно определенных полугрупп в
значительной степени ведутся с точки зрения алгоритмич.
проблем. Наиболее известное условие, при к-ром
конечная порожденность полугруппы влечет ее конечную
определенность,— коммутативность (теорема
Редей). Всякая счетная полугруппа вложима в
полугруппу с двумя порождающими, а также в полугруппу
с тремя идемпотентными порождающими [8].
Целый ряд условий конечности формулируется в
терминах решетки подполугрупп (напр., условие
минимальности для подполугрупп). Полугруппа S тогда и
только тогда удовлетворяет условию минимальности
для подполугрупп, когда S периодическая, имеет лишь
конечное число классов кручения, в каждом классе
кручения Кв наибольшая подгруппа Ge удовлетворяет
условию минимальности для подгрупп, а разность Kg\Ge
конечна [2]. Аналогичное строение имеют полугруппы
конечного ранга (конечность ранга означает, что
минимальное число порождающих каждой конечно
порожденной подполугруппы полугруппы S не превосходит
фиксированного числа), полугруппы конечной ширины
(конечность ширины для S означает, что из любого
конечного множества Μ ее элементов можно выделить
подмножество, порождающее ту же подполугруппу, что
и М, мощность к-рого не превосходит фиксированного
числа), периодические полугруппы с условием
максимальности для подполугрупп и др. (см. [3], [4]).
Инверсная полугруппа удовлетворяет условию
минимальности для инверсных подполугрупп тогда и только
тогда, когда она обладает главным рядом (см. Идеальный
ряд полугруппы), каждый фактор к-рого есть Брандта
полугруппа с конечным числом идемпотентов, все
максимальные подгруппы к-рой удовлетворяют условию
минимальности для подгруппы. Аналогичные описания
получены для условия максимальности, конечности
ранга и др. (см. [5]).
Из условий конечности, формулируемых в терминах
частично упорядоченного множества идеалов
полугруппы, наиболее известны условия минимальности Μι,
Mr, Mj для главных левых, правых, двусторонних
идеалов (эти условия часто определяются в терминах
36-, 54- и ^-классов, см. Грина отношения
эквивалентности). Аналогично определяется условие Мц для $f-
классов. Конъюнкция условий Μι и Μ л эквивалентна
конъюнкции условий Μj и Ми, в остальном эти
условия независимы; в частности, полугруппа с условиями
Ml и Mj не обязательно удовлетворяет условиям Mr
и Мн- Вместе с тем полупростая (см. Главный фактор
полугруппы) полугруппа с условием Μι или Mr
удовлетворяет условию Mj. Для регулярных полугрупп все
четыре условия эквивалентны; всякая полугруппа с
условием Μ и будет квазипериодической. Конечно
порожденная полугруппа с условием Μι или Mr, все
подгруппы к-рой конечны, сама конечна [6].
Полугруппа с условием минимальности для правых
конгруэнции является периодической, удовлетворяет
условию Ml и двойственному условию максимальности
для главных левых идеалов; если при этом все ее
подгруппы конечны, то сама полугруппа конечна [6]. В
инверсных полугруппах условие минимальности для
правых конгруэнции эквивалентно условию минимальности
для левых конгруэнции, а также тому, что полугруппа
имеет лишь конечное число идемпотентов и
удовлетворяет условию минимальности для подгрупп [7]. Изучен
ряд свойств полугрупп с условием максимальности для
односторонних конгруэнции. Коммутативная
полугруппа удовлетворяет условию минимальности
(максимальности) для конгруэнции тогда и только тогда, когда
она имеет главный ряд и удовлетворяет условию
минимальности для подгрупп [7] (конечно порождена).
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 2, М., 1972; [2] Шев-
рин Л. Н., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1965, т. 29, №3,
с. 553—66; [3] его же, «Матем. заметки», 1974, т. 15, №6,
с. 925—35; [4] его же, «Изв. ВУЗов. Матем.», 1974, №5,
с. 205—15; [5] Ершова Т. И., там же, 1977, № И, с. 7—14;
[6] Hotzel Ε., «J. Algebra», 1979, v. 60, №2, p. 352—70;
[7] Kozhukhov I. В., «Semigroup Forum», 1980, v. 21,
№ 4, p. 337—50; [8] Ρ a s t i j η F., там же, 1977, v. 14, № 3,
p. 247—64. Л. Н. Шеврин.
ПОЛУГРУППОВАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ф (S)
над полем Ф, обладающая базисом S, являющимся
одновременно и мультипликативной полугруппой. В
частности, если базис S является группой, получается
групповая алгебра. Если полугруппа S содержит нуль,
то он обычно отождествляется с нулем алгебры Ф(£).
Задача описания всех линейных представлений
полугруппы S над полем Φ равносильна задаче описания
всех представлений алгебры Ф(£). Значение П. а. для
теории полугрупп состоит в возможности применения
более богатого аппарата теории алгебр для изучения
линейных представлений полугрупп. Пример такого
рода результата: алгебра Φ (S) конечной полугруппы S
полупроста тогда и только тогда, когда все линейные
представления полугруппы S над полем Φ приводимы.
Лит.: [1] Клиффорд Α., Π ρ е с τ о н Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972.
Л. М. Глускин.
ПОЛУДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА, полуде-
декиндова структура,
полумодулярная решетка (структур а),— решетка,
в к-рой отношение модулярности симметрично, т. е.
аМЬ влечет ЪМа для любых элементов решетки а и Ь.
Отношение модулярности при этом
определяется следующим образом: говорят, что
элементы а и Ь образуют модулярную пару или что
аМЬ, если а(Ь-\-с) = аЬ-\-с для любого с<а. Решетка,
в к-рой всякая пара элементов модулярна, наз. м о-
дулярной решеткой или дедекиндовой
решеткой.
Решетка конечной длины полудедекиндова тогда и
только тогда, когда она удовлетворяет условию
покрытия: если χ и у покрывают ху, то х-\-у
покрывает χ и у (см. Покрывающий элемент). В любой
П. р. конечной длины выполняется условие
Жордана — Дедекинда для цепей (все
максимальные цепи между двумя фиксированными
элементами имеют одну и ту же длину), что позволяет
развивать в них теорию размерности. П. р. конечной
длины является решеткой с относительными
дополнениями тогда и только тогда, когда каждый ее элемент
есть объединение атомов. Такие решетки наз.
геометрическими. Важный класс П. р. образуют
близкие к геометрическим матроидные решетки (см.
[3]). Каждая конечная решетка изоморфна подрешетке
конечной П. р. Класс П. р. не замкнут относительно
гомоморфных образов.
Наряду с П. р., называемыми также пол удеде-
киндовыми сверху, рассматриваются π о л у-
дедекиндовы снизу решетки,
определяемые двойственным образом. Примерами П. р., кроме
дедекиндовых решеток, являются решетки всех
разбиений конечных множеств и решетки линейных
многообразий аффинных пространств.
Лит.: L1] Б и ρ к г о φ Г., Теория структур, пер. с англ.,
[2 изд.], М., 1952; [2] В i г k h о ι f G., Lattice theory, [3 ed.],
Providence, 1967; [3] Mae da F., Μ a e d a Sh., Theory of
symmetric lattices, В. —Hdlb.—N. Y., 1970. Т. С. Фофанова.
ПОЛУЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО —
действительное аффинное л-пространство, в κ-ром определено
скалярное произведение векторов так, что при надле-

1 =
кривизна:
457 ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
жащем выборе базиса скалярный квадрат (ж, ос) всякого
вектора имеет вид
(а>, а>) = - 2ί= t (*02 + 2":j*+, (^')2·
Такое П. п. называется П. п. индекса I и дефекта d,
обозначается l + ^d)Rn. При Z=0 выражение скалярного
квадрата вектора является квадратичной
полуопределенной формой, и П. п. наз. ^-пространством дефекта
d, обозначается {d)Rn.
П. π в проективной классификации могут быть
определены как соответственно полуэллиптич
пространство или полугиперболич. пространство с несобственной
абсолютной плоскостью, к-рые являются
пространствами с проективными метриками наиболее общего вида.
В П. п. определяется т.н. полунеевклидово
пространство как метрическое д-пространство,
являющееся гиперсферой с отождествленными
диаметрально противоположными точками в П. п. индекса I
и дефекта d. Таким образом, полуэллиптич. и
полугиперболич. пространства могут быть интерпретированы
как указанные гиперсферы (т. е. как полунеевклидовы
пространства) в П. п. с соответствующими индексом и
дефектом.
Геометрич. интерпретация механики Галилея —
Ньютона приводит к П. п. (1) Rn (см. [2]).
П. п. является полуримановым пространством
нулевой кривизны.
Лит.: [1] Sommerville D. Μ., «Ргос. Edinburgh Math.
Soc», 1910, v. 28, ρ 25—41; [2] Котельников А. П.,
Принцип относительности и геометрия Лобачевского, в кн.:
In memoriam N.I Loba6evski, т. 2, Казань, 1926; [3] Розен-
фельд Б. Α., Неевклидовы пространства, М., 1969.
Л. А. Сидоров.
ПОЛУИНВАРИАНТ — общий собственный
вектор семейства эндоморфизмов векторного пространства
или модуля. Если G — множество линейных
преобразований векторного пространства V над полем К, то П.
множества G — это такой вектор v£V, что v^O и
gv = %(g)v, g£G,
где χ : G ->· К — функция, называемая весом
полуинварианта v. П. веса 1 наз. также
инвариантом. Чаще всего рассматривается случай,
когда GdGL (V) — линейная группа, тогда % : G -+ К*
есть характер группы G и продолжается до
полиномиальной функции на End V. Если φ : G ->· GL(F) —
линейное представление группы G в пространстве V,
то П. группы φ (G) наз. также
полуинвариантом представления φ. Пусть G — линейная
алгебраич. группа, Я — ее замкнутая подгруппа,
fycij — алгебры Ли этих групп. Тогда существуют
такое точное рациональное линейное представление
φ : G ->· GL (Ε) и такой полуинвариант νζ^Ε группы
φ (Я), что Я и Ϊ) являются максимальными
подмножествами в Си(|, для образов к-рых в End Ε вектор υ
есть П. Это означает, что соответствие аН н- Κφ(α)ν,
a£G, есть изоморфизм алгебраического однородного
пространства на орбиту прямой Kv в проективном
пространстве Р(Е).
Часто П. множества GcEnd V наз. полиномиальную
функцию на End V, являющуюся П. множества
линейных преобразований η (G) пространства К [End V], где
(η (*)/)(Х) = /(**)
g£G, f£K [End V], X£EndF.
Если GczGL(V) — линейная алгебраич. группа, $ —
ее алгебра Ли, то G обладает такими П.
/ь ..., fn£K[EndV]
одинакового веса, что G и q суть максимальные
подмножества в GL(F) и End V, для к-рых /х, ... , /„ суть
П. (теорема Шевалле).
458
Лит.: [1] Б о ρ е л ь Α., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] Хамфри Д ж., Линейные
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [3] Шевалле К.,
Теория групп Ли, пер. с франц., т. 2, М., 1958.
А. Л. Онищик.
ПОЛУКОЛЬЦО — непустое множество с двумя
ассоциативными бинарными операциями + и ·,
связанными дистрибутивными законами:
(а-\-Ь)-с= а-Ъ-\-а-с
и
a-(b-[-c) = ab-{-a-c.
В большинстве случаев дополнительно предполагается,
что сложение коммутативно и что существует нуль 0,
для к-рого а-\-0=а при любом а. Важнейшие примеры
П.— кольца и дистрибутивные решетки. При наличии
единицы 1 относительно умножения оба эти класса
объединяются требованием
Чх1у{х + у=\).
Неотрицательные целые числа с обычными операциями
образуют П., не удовлетворяющее этому требованию.
Л. А. Скорняков.
ПОЛУКУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА — плоская
алгебраическая кривая 3-го порядка, уравнение к-рой в
прямоугольных координатах имеет вид
у = ах
Начало координат есть точка возврата (см.
рис.). Длина дуги от точки 0:
1
27σ!
-[(4 + 9α2*)β/« —8];
6а
Vx (4 + 9a2cc)3/2
Иногда П. и. наз. параболой Нейля.
Лит.: [1] Саве лов Α. Α., Плоские кривые, М., 1960;
[2] С м о г о ρ ж е в с к и й А. С, Сто лова 3. С,
Справочник по теории плоских кривых третьего порядка, М., 1961.
Д Д. Соколов.
ПОЛУЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ —
отображение α (левого) модуля Μ в (левый) модуль N над одним
и тем же кольцом А, удовлетворяющее условиям:
а(сх)
у ζ Л/, с£Ач с-+с°-
= «(*) + « (У),
= с° α (χ),
где я·, у£М, с ξ- л, с-*-си — нек-рый автоморфизм
кольца А. В этом случае говорят, что α
полулинейно относительно автоморфизма σ.
П. о. векторных пространств над полем С относительно
комплексного сопряжения с°=с наз. также а н τ и л и-
нейным отображением. П. о. Л-модуля Μ
в себя наз. полулинейным
преобразованием.
Пример. Гомотетия А-м о д у л я М, т. е.
отображение χ ->- αχ (χζ_Μ), где а — фиксированный
обратимый элемент кольца А, есть полулинейное
преобразование относительно автоморфизма сР=аса~~1.
Для П. о. остаются справедливыми многие свойства
линейных отображений и гомоморфизмов модулей.
В частности, ядро и образ П. о. являются подмодулями;
П. о. свободных модулей с конечными базисами
полностью определяются своей матрицей; для П. о.
векторных пространств определяется ранг, совпадающий с
рангом его матрицы, и т. д.
Лит [1] Бурбаки Н, Алгебра. Алгебраические
структуры Линейная и полилинейная алгебра, пер с франц , М.,
1962 АЛ Онищик.
ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС — случайный
процесс X (t) с конечным или счетным множеством
состояний N={1, 2, ...}, имеющий ступенчатые траектории
со скачками в моменты времени 0<τ1<τ2<... . Значе-

459 полума
ния П. п. Χ(τη) в моменты скачков образуют Маркова
цепь с переходными вероятностями
Ρί; = Ρ{Χ(τη) = ί\Χ(χη_1)=ί}.
Распределения моментов скачков τη описываются с
помощью функций распределения F{Ax) следующим
образом:
р {τ„ —τ„-ι < χ, Χ (τη) = j\X (τ„_χ) = i] =p£jF£J (x)
(и при этом не зависят от состояний процесса в более
ранние моменты времени). Если
F,ij(x)=e"KiJxt я^О,
для всех i, / ζ-ZV, то Π, π. X (t) является цепью Маркова
с непрерывным временем. Если все распределения
вырождены в одной точке, то получают цепь Маркова с
дискретным временем.
П. п. служит моделью многих процессов массового
обслуживания и теории надежности. С П. п. связаны
процессы марковского восстановления (см.
Восстановления теория), описывающие количество посещений
процессом X (t) состояний i£N за время [0, t].
Изучение П. п. и марковских процессов
восстановления аналитически сводится к системе интегральных
уравнений восстановления.
Лит.: [1] Королюк В. С, Τ у ρ б и н А. Ф.,
Полумарковские процессы и их приложения, К., 1976.
Б. А. Севастьянов.
ПОЛУМАРТИНГАЛ — понятие, равносильное
понятиям субмартингала или супермартингала. Именно,
стохастич. последовательность X=(X^,ff), t £ 7^[0,оо),
заданная на вероятностном пространстве (Ω, <f~, Ρ) с
выделенным на нем убывающим семейством σ-алгебр
(аП)*€т> Ws^qFi^gFi 5<*> наз·
полумартингалом, если E|Xf|<oo, Xf является JFj-измеримой и с
вероятностью 1 или
E(Xt\^s)^Xs1 (1)
или
E(Xf|F,)<*,. (2)
В случае (1) П. наз. субмартингалом, в
случае (2) — супермартингалом.
В современной литературе термин «П.» или не
употребляют, или отождествляют с понятием
субмартингала (супермартингал определяется изменением знака
из субмартингала и наз. иногда нижним П.). См. также
Мартингал. А. В. Прохоров.
ПОЛУНАСЛЕДСТВЕННОЕ КОЛЬЦО слева —
кольцо, все конечно порожденные левые идеалы к-рого
ироективны. П. к. являются кольцо целых чисел,
кольцо многочленов от одного неизвестного над полем,
регулярные кольца в смысле Неймана, наследственные
кольца г кольца конечно порожденных свободных идеалов
(полу-F/ -кольца). Аналогично определяется правое
П. к. Левое П. к. не обязано быть правым П. к. Однако
локальное левое П. к. оказывается областью
целостности и правым П. к. Кольцо матриц над П. к. является
П. к. Если R есть П. к. и e2=e£R, то eRe есть П. к.
Конечно порожденный подмодуль проективного
модуля над П. к. изоморфен прямой сумме нек-рого
множества конечно порожденных левых идеалов основного
кольца и, следовательно, проективен. Каждый такой
модуль может быть представлен и как прямая сумма
модулей, двойственных конечно порожденным правым
идеалам основного кольца.
Для коммутативного кольца R эквивалентны
следующие свойства: (1) R есть П. к.; (2) (А [\В)С=АС{\ВС,
где А, В и С — произвольные идеалы кольца R; (3)
полное кольцо частных кольца R регулярно в смысле
Неймана, и для всякого максимального идеала m
кольца R кольцо частных Rm является кольцом
нормирования; (4) все 2-порожденные идеалы кольца R проектив-
'ИНГАЛ 460
ны. Кольцо многочленов от одного переменного над
коммутативным кольцом R оказывается П. к. в том и
только в том случае, когда R регулярно в смысле
Неймана.
Лит.: [1] К а р т а н Α., Э й л е н б е ρ г С,
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Итоги науки и
техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 14, М., 1976, с. 57—190,
т. 19, М., 1981, С 31 — 134. Л. А. Скорняков.
ПОЛУНЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ — функция из
первого Бэра класса. Подробнее, числовая функция /,
определенная на полном метрич. пространстве X, наз.
полунепрерывной снизу (сверху)
в точке χ0ζΧ, если
ljmx^xJ (x) = f (χ*) (iimx^X9f (x) = f(xo)).
Функция / наз. полунепрерывной снизу (сверху) на X,
если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех χζΧ.
Предел монотонно возрастающей (убывающей)
последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке
х0 функций есть П. ф. снизу (сверху) в х0. Если и(х) и
υ(χ) есть П. ф. соответственно снизу и сверху на X и
для всех χζΧ имеет место и(я)<у(я), и(х)> — оо, ν(χ)<
<+ оо, то существует непрерывная на X функция /
такая, что v(x)<^:f(x)<s£u(x) для всех χξ_Χ. Если μ —
неотрицательная мера на Rn, то для любой μ-измеримой
функции / : R" -> R существуют две
последовательности функций {ип(х)} и {vn(x)}, удовлетворяющие
условиям: 1) ип(х) полунепрерывны снизу, vn(x)
полунепрерывны сверху, 2) каждая функция ип(х) ограничена
снизу, каждая функция vn(x) — сверху, 3)
последовательность {ип} невозрастающая, последовательность
{г;,,} неубывающая, 4) для всех χ имеет место
неравенство
5) μ-почти всюду
lim ип(х) = lim vn(x) = f (x),
Π -> 00 П -> CO
6) если для Ecz^n функция / суммируема, /£L(#), то
lim С и„ф= lim С υηάμ=\ f άμ
(теорема Витали — Каратеодор и).
Лит.: [1] Натансон И. П., Теория функций
вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; [2] Сакс С, Теория
интеграла, пер. с англ., М., 1949. И. А. Виноградова.
ПОЛУНЕПРЕРЫВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
сверху (снизу) — отображение / одного топологич.
пространства X в другое Υ такое, что из
lim xn = χ
следует
Пт / (хп) < / (х) (lim_/ (хп) ^ / (х))
(здесь lim (lim) — верхний (нижний) предел).
М. И. Войцеховский.
ПОЛУНЕПРЕРЫВНОЕ РАЗБИЕНИЕ снизу
(сверху) — разбиение D, т. е. замкнутое
дизъюнктное покрытие пространства X, такое, что проекция
ρ : X -> D является открытым (замкнутым)
отображением. М. И. Войцеховский.
ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЙ МЕТОД
СУММИРОВАНИЯ — метод суммирования рядов и
последовательностей, определенный с помощью последовательности
функций. Пусть {α&(ω)}, /с=0, 1, ... ,—
последовательность функций, заданных на нек-ром множестве Ε
изменения параметра ω, и ω0 — точка сгущения этого
множества (конечная или бесконечная). Данную
последовательность {sn} с помощью функций ak(iu)
преобразуют в функцию σ(ω):

461
ПОЛУОПРЕДЕЛЕННАЯ ФОРМА
462
Если ряд в (1) сходится для всех ω, достаточно близких
к ω0, и
lim o((u) = s,
ω -> ω0
то последовательность {sn} наз. суммируемой к пределу
s полунепрерывным методом сумм
προ в а н и я, определенным последовательностью
функций {α/ί(ω)}. Если {sn} — последовательность
частичных сумм ряда
(2)
то ряд (2) в этом случае наз. суммируемым
полунепрерывным методом к сумме 5. П. м. с. при ω0= οο является
аналогом матричного метода суммирования,
определенного матрицей ||α„Λ||, причем целочисленный параметр η
заменен непрерывным параметром ω.
Последовательность функций αΛ(ω) в этом случае наз.
полунепрерывной матрицей.
П. м. с. может задаваться преобразованием
непосредственно ряда в функцию с помощью заданной
последовательности функций, напр. {£*((*))}:
(3)
γ(ω) = ΣΓ=0*Λ(ω) Uk'
В этом случае ряд (2) наз. суммируемым к сумме s, если
lim γ(ω) = ί,
ω-* ω0
где ω0 — точка сгущения множества Ε изменения
параметра ω, а ряд в (З)предполагается сходящимся для всех
ω, достаточно близких к ω0·
П. м. с. в нек-рых случаях являются более
удобными, чем методы суммирования, определенные обычными
матрицами, т. к. позволяют использовать аппарат
теории функций. Примерами П. м. с. являются Абеля
метод суммирования, Вореля метод суммирования,
Линделёфа метод суммирования, Миттаг-Леффлера
метод суммирования. Класс П. м. с. составляют методы
с полунепрерывными матрицами вида
α*(ω)=ρΛω*/2/=0Ρίω'
где в знаменателе стоит целая функция, не сводящаяся
к многочлену.
Условия регулярности П. м. с. аналогичны условиям
регулярности матричного метода суммирования. Напр.,
условия
Σ"=0Ι«*(ω)|<Μ
для всех ω, достаточно близких к ω0,
lim αΛ(ω)=0, к = 0, 1, 2, ...,
ит ς;
οΛ(ω) = 1
являются необходимыми и достаточными, чтобы П. м. с,
определенный преобразованием (1) последовательности
Uk) в функцию, был регулярным (см. Регулярности
признаки).
Лит.: [1] X а р д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [2] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1960; L3] Ζ е 1 1 е г К.,
Bukmann W., Theorie der Limitierungsverfahren, 2 Aufl.,
В. — Hdlb. — N.Y., 1970. И.И.Волков.
ПОЛУНОРМА — конечная неотрицательная
функция ρ на векторном пространстве Ε (над полем
действительных или комплексных чисел), подчиненная
условиям:
ρ(λχ) = \λ\ρ(χ),
р(х + у)^р(х) + р(у)
для всех х, у£Е и скаляров λ. Примером П. служит
норма; отличие заключается в том, что для П.
допустимо ρ (х) = 0 при х^О. Если на векторном пространстве
задана полунорма р, а на его подпространстве —
линейный функционал /, подчиненный условию |/(я))<:р (ж),
то его можно продолжить на все пространство с
сохранением этого условия (теорема Хана —
Банаха). В математич. анализе наиболее употребительны
отделимые топологические векторные пространства,
базис окрестностей нуля в к-рых можно составить из
выпуклых множеств. Такие пространства наз.
локально выпуклыми. В этих пространствах базис
может быть описан неравенствами р(ж)<1, где ρ —
непрерывные П. В то же время в практике математич.
анализа встречаются и такие топологич. векторные
пространства (в том числе и с метризуемой топологией), на
к-рых нет нетривиальных непрерывных П. Простейший
пример такого рода — пространство LJ0, 1), где 0<
<<7<1.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Топологические векторные
пространства, пер. с франц., М., 1959, [2] Ρ у д и н. У.,
Функциональный анализ, пер с англ., М., 1975. Е. А. Горин.
ПОЛУОГРАНИЧЕННЫИ ОПЕРАТОР —
симметрический оператор S в гильбертовом пространстве Н,
для к-рого существует такое число с, что
(Sx, χ) ^ с (х, х)
для всех векторов х, лежащих в области определения S·
П. о. S всегда имеет полуограниченное
самосопряженное расширение А с той же нижней гранью с (т е о ρ е-
ма Фридрихе а). В частности, их индексы
дефекта совпадают.
Лит.: [1] РиссФ., Сё кефа льви-На дь Б.,
Лекции по функциональному анализу, пер. с франц , 2 изд., М.,
ПОЛУОПРЕДЕЛЕННАЯ ФОРМА — квадратичная
форма над упорядоченным полем, представляющая
либо только неотрицательные, либо только
неположительные элементы поля. В первом случае
квадратичная форма наз. неотрицательной
(q(x)^0 для всех значений х), во втором —
неположительной квадратичной формой
(д(я)<:0). Чаще всего П. ф. рассматриваются над полем
К действительных чисел. Над полем С аналогично
определяются полуопределенные (неотрицательные и
неположительные) эрмитовы квадратичные формы (см.
Эрмитова форма).
Если Ь — симметрическая билинейная или эрмитова
форма, причем q(x)=b(x, χ) является П. ф., то и форму
Ь также иногда называют полуопределенной
(неотрицательной или неположительной). Если q — квадратичная
или эрмитова П. ф. в векторном пространстве V, то
Ν= {χ ζ V\q(x) = 0 } является подпространством,
совпадающим с ядром формы Ь, причем на VIN естественным
образом индуцируется положительно определенная или
отрицательно определенная форма. о. а. Иванова.
ПОЛУПЛОСКОСТЬ — совокупность точек
плоскости, лежащих по одну сторону от нек-рой прямой
этой плоскости. Координаты точек П. удовлетворяют
неравенству Ах+Ву-\-С>0, где А, В, С — нек-рые
постоянные, причем А и В одновременно не равны нулю.
Если сама прямая Ах-\-Ву+С=0 (граница П.)
причисляется к П., то говорят о замкнутой П«
На комплексной плоскости z=x-\-iy рассматриваются
верхняя полуплоскость y=lmz>0,
нижняя полуплоскость y=lmz<0, л е-
вая полуплоскость #=Rez<0, правая
полуплоскость £=Rez>0 и т. д. Верхняя П.
комплексной плоскости ζ конформно отображается на
круг |м>|<1 с помощью дробно-линейной функции
где θ — произвольное действительное число, а Ιπι β>0.
БСЭ-З.

463
ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
464
ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ, тела
Архимеда,— выпуклые многогранники, все грани
к-рых суть правильные многоугольники, а
многогранные углы конгруэнтны или симметричны. Данные о
П. м. приведены в таблице, где В — число вершин,
Ρ — число ребер, Г — число граней, Г\ — число nk-
Усеченный тетраэдр ....
Усеченный куб
Ромбокубооктаэдр
Плосконосый куб
Усеченный кубооктаэдр . .
Кубооктаэдр
Усеченный октаэдр
Усеченный додекаэдр ....
Ромбоикосододекаэдр . . .
Усеченный икосододекаэдр
Икосододекаэдр
Усеченный икосаэдр ....
Плосконосый додекаэдр . .
Правильная призма (п=з,
5, 6,...)
Антипризма (п=4, 5, 6,...)
^правильные многогранники
№ на
рис.
1
2
3, 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
В
12
24
24
24
48
12
24
60
60
120
30
60
60
2п
2л.
Ρ
18
36
48
60
72
24
36
90
120
180
60
90
150
Зп
4п
Г
8
14
26
38
26
14
14
32
62
62
32
32
92
п + 2
2п + 2
щ
6
8
4
3
4
3
6
10
4
4
3
6
3
4
3
п2
3
3
3
4
6
4
4
3
3
6
5
5
5
η
η
п3
—
—
—
8
—
—
—
5
10
—
—
—
—
Λ
4
6
18
32
12
8
8
12
30
30
20
20
80
η
In
г2
4
8
8
6
8
6
6
20
20
20
12
1?,
12
2
2
Гз
—
—
—
6
—
1?,
12
—
—
—
«ι
2
2
3
4
1
2
2
2
2
1
2
2
4
2
3
s2
«3
—
_
—
1
—
—
1
1
—
—
—
5
3
3
4
5
3
4
3
3
4
3
4
3
5
3
4
угольных граней, 5 — число граней, сходящихся в
каждой вершине, в том числе sx л1-угольных, s2 п2-утолъных
и т. д, В евклидовом пространстве IR3 существует 13 П.
м. [см. рис., 1—14, иногда выделяют два вида ромбоку-
бооктаэдра (рис., 3—4), к-рые различаются тем, что
верхняя часть многоугольника, состоящая из 5
квадратов и 4 правильных треугольников, повернута как
целое на угол π/4] и две бесконечные серии — призмы
(рис., 15) и антипризмы (рис., 16).
Невыпуклых (звездчатых) П. м. больше 51.
Лит.: [1] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4—
Геометрия, М.—Л., 1963; [2] Л ю с τ е ρ н и к Л. Α., Выпуклые
фигуры и многогранники, М., 1956; [3] Bruckner M.,
Vielecke una Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900;
[4] Веннинджер М., Модели многогранников, пер. с
англ., М., 1974. А. Б. Иванов.
ПО ЛУ ПРОСТАЯ АЛГЕБРА относительно
радикала г — алгебра, являющаяся г-полупростым
кольцом (см. Полупростое кольцо). В нек-рых классах
алгебр при подходящем выборе радикала г удается
описать строение П. а. (см. Классически полупростое
кольцо, Альтернативные кольца и алгебры, Йорданова
алгебра, Ли полупростая алгебра).
Часто под П. а. понимается конечномерная алгебра
над полем, являющаяся прямой суммой простых
алгебр. Л. А. Скорняков.
ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА —
связная линейная алгебраич. группа положительной
размерности, содержащая лишь тривиальные
разрешимые (или, что равносильно,
абелевы) связные замкнутые
нормальные подгруппы.
Факторгруппа связной
неразрешимой линейной алгебраич.
группы по радикалу полупроста.
Связная линейная
алгебраич. группа G положительной
размерности наз. простой,
если она не содержит
собственных связных замкнутых
нормальных подгрупп. Центр
Z(G) простой группы G
конечен, и G/Z(G) проста как
абстрактная группа.
Алгебраич. группа G полупроста
тогда и только тогда, когда
G разлагается в произведение
простых связных замкнутых
нормальных подгрупп.
В случае, когда основное
поле есть поле С комплексных
чисел, П. а. г.— это не что
иное как полупростая группа
Ли над С. Оказывается, что
классификация П. а. г. над
произвольным алгебраически
замкнутым полем К
аналогична случаю К=С, т. е. что П.
а. г. определяется с точностью
до изоморфизма своей
корневой системой и нек-рой подре-
шеткой в решетке весов,
содержащей все корни. Точнее,
пусть Τ — максимальный тор
в П. а. г. G, X (Т) — группа
характеров тора Т,
рассматриваемая как решетка в
пространстве Е=Х( Г)® R. Для
любого рационального
линейного представления ρ
группы G группа ρ (Г) является
диагонализируемой. Ее
собственные значения,
являющиеся элементами группы X (Т), наз. весами
представления р. Ненулевые веса присоединенного
представления Ad наз. корнями группы G.
Оказывается, что система ΣαΧ(Τ) всех корней группы G
является приведенной корневой системой в пространстве
Е, причем неприводимые компоненты системы Σ — это
системы корней простых замкнутых нормальных
подгрупп группы G. Далее, Q(Σ)^Χ (Τ)^Ρ (Σ), гце Q(Σ)-
решетка радикальных весов, а Р (Σ) = {λ ζ Ε | α* (λ) £ %
для всех αζΣ} — решетка весов корневой
системы Σ. В случае К=С пространство Ε естественно
отождествляется с вещественным подпространством
tj^Ct*, где t — алгебра Ли тора Т, натянутом на
дифференциалы всех характеров, а решетки в t,
двойственные к <?(Σ)^Χ (Τ)^Ρ(Σ), совпадают (с точностью до
множителя 2πΐ) с Г^Г^^Гд (см. Ли полупростая
группа).
Основная теорема классификации утверждает, что
если G' — другая П. а. г., Τ — ее максимальный тор,
Σ' аЕ' — система корней группы G' и если существует
линейное отображение Ε -+ Ε', определяющее изомор-

где dj — матрица над F с неприводимым в F [х]
характеристическим многочленом, / = 1, ..., к. Для
матрицы А над полем F следующие три утверждения
эквивалентны: (1) А полупроста; (2) минимальный
многочлен матрицы А не имеет кратных множителей в
F [х]; (3) алгебра F [А] полупроста.
Если F — совершенное поле, то П. м. над F подобна
диагональной матрице над нек-рым расширением F.
Для всякой квадратной матрицы А над совершенным
полем имеется единственное представление в виде А =
=As-\-AN, где As есть П. м., А# нильпотентна,
ΑςΑ#=Α NAS; матрицы As и AN принадлежат
алгебре F [А].
Лит.: [1] Бур баки Н., Алгебра, пер. с франц., М.,
1966, гл. 8. Д. А. Супруненко.
ПОЛУПРОСТОЕ КОЛЬЦО — кольцо R с нулевым
радикалом. Точнее, если г — нек-рый радикал (см.
Радикалы колец и алгебр), то кольцо R наз. г-п о л у-
простым в случае, когда r(i?) = 0. Часто, говоря
об ассоциативном П. к., имеют в виду классически
полупростое кольцо. Л. А. Скорняков.
ПОЛУПРОСТОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — то же, что
вполне приводимое представление (см. Вполне
приводимое множество).
ПОЛУПРОСТОЙ МОДУЛЬ — то же, что вполне
приводимый модуль.
ПОЛУПРОСТОЙ ЭЛЕМЕНТ линейной
алгебраической группы G — элемент g£Gcz
ClGL(V), где V — конечномерное векторное
пространство над алгебраически замкнутым полем К,
являющийся полу простым эндоморфизмом пространства V.
Понятие П. э. не зависит от реализации группы G в виде
линейной группы, а определяется лишь структурой ал-
гебраич. группы на G. Элемент gζ G полупрост тогда и
только тогда, когда для оператора правого сдвига
pg в К [G] существует базис из собственных векторов.
При любом рациональном линейном представлении
φ : G -> GL(W) множество П. э. группы G
отображается на множество П. э. группы φ(£?).
Аналогично определяются полупростые
элементы алгебраической алгебры Ли
д, отвечающей группе G; дифференциал dq> : q ->-
->$l(W0 представления φ отображает множество
П. э. алгебры g на множество П. э. своего образа.
Полупростой элемент алгебры Ли
g — это элемент Χ ζ g такой, что присоединенное
линейное преобразование ad X является полупростым
эндоморфизмом векторного пространства д. Если
gczgl (V) — алгебра Ли
гебраич. группы, то X
только тогда, когда X
пространства V.
Лит.: [1] Борель
пер. с англ., М., 1972;
нальные группы, М., 1980
алгебраические группы
ПОЛУПРОСТОЙ
465 ПОЛУПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
физм корневых систем Σ и Σ' и отображающее Ζ (Г) на
Х(Т'), то G^G'. Кроме того, для любой приведенной
корневой системы Σ и любой решетки Λ,
удовлетворяющей условию <?(Σ)^Λ^Ρ(Σ), существует такая П. а. г.
G, что Σ есть система ее корней относительно
максимального тора Τ и А=Х{Т).
Классифицированы также все изогении (в частности,
все автоморфизмы) П. а. г.
Лит.: [1] Стейнберг Р. Г., Лекции о группах Шевал-
ле, пер. с англ., М., 1975; [2] Хамфри Д ж., Линейные
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980. А. Л. Онищик.
ПОЛУПРОСТАЯ ГРУППА (в смысле нек-рого
радикала) — группа, радикал к-рой совпадает с
единичной подгруппой. Таким образом, понятие П. г. целиком
определяется выбором радикального класса групп.
В теории конечных групп и групп Ли под радикалом
обычно понимают наибольшую (связную) разрешимую
нормальную подгруппу. В этих случаях описание П. г.
сводится к описанию простых групп.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[2] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Непрерывные группы, 3 изд., М.,
1973. А. Л. Шмелькин.
ПОЛУПРОСТАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица
над полем F, подобная матрице вида mag [dt, ..., dt],
466
редуктивной линейной ал-
есть П. э. алгебры д тогда и
— полупростой эндоморфизм
Α.,
[2]
Линейные алгебраические группы,
Мерзляков Ю. И., Рацио-
[3] Хамфри Д ж., Линейные
пер. с англ., М., 1980. А. Л. Онищик.
ЭНДОМОРФИЗМ,
полупростое линейное преобразование,
векторного пространства V над полем К — эндоморфизм α
пространства V такой, что всякое подпространство в V,
инвариантное относительно а, обладает инвариантным
прямым дополнением. Другими словами, требуется,
чтобы α определял на V структуру полупростого модуля
над кольцом К [X]. Напр., любое ортогональное,
симметрическое или кососимметрическое линейное
преобразование конечномерного евклидова пространства, а
также любое диагонализируемое (т. е.
записывающееся в нек-ром базисе диагональной
матрицей) линейное преобразование конечномерного
векторного пространства являются П. э. Полупростота
эндоморфизма сохраняется при переходе к инвариантному
подпространству WczV и к факторпространству V/W.
Пусть dim F<oo. Эндоморфизм α : V ->· V является
П. э. тогда и только тогда, когда его минимальный
многочлен не имеет кратных множителей. Пусть, кроме
того, L — расширение поля К и a(L)=a®l —
продолжение эндоморфизма α на пространство V(L)=V^KL.
Если a(L) полупрост, то и α полупрост, а если Lcenapa-
бельно над К, то верно и обратное. Эндоморфизм α наз.
абсолютно полупростым, если a(L)
полупрост для любого расширения L"Z)K; для этого
необходимо и достаточно, чтобы минимальный многочлен
не имел кратных корней в алгебраич. замыкании К
поля К, т. е. чтобы эндоморфизм a — был диагонализи-
Алгебра.
Модули, кольца,
А. Л. Онищик.
руем.
Лит.: [1] Бур баки Н.,
формы, пер. с франц., М., 1966.
ПОЛУПРЯМАЯ — одна из частей прямой, на к-рые
разбивается прямая любой ее точкой О. Если точка О
отнесена к П., то П. наз. замкнутой П. (или
лучом). БСЭ-з.
ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ группы А
на группу В — группа G=AB, являющаяся
произведением своих подгрупп А и В, причем В нормальна
в G, и А [\В= {1}. Если также и А нормальна в G, то
П. п. превращается в прямое произведение. П. п. по
группам А и В строится неоднозначно. Для построения
П. п. нужно еще знать, какие автоморфизмы на группе
В вызывают сопряжения элементами из А. Точнее, если
G=AB — П. п., то каждому элементу αζΑ
соответствует автоморфизм aa£Auti?, являющийся
сопряжением элементом а:
aa(b) = aba~1, b£B.
При этом соответствие а \-+ аа есть гомоморфизм А ->
-> Aut В. Обратно, если А и В — произвольные
группы, то для любого гомоморфизма φ : А -> Aut В
существует единственное П. п. группы А на группу В такое,
что αα=φ(α) для любого αξ^Α. Π. п. является частным
случаем расширения группы В с помощью группы
А, такое расширение наз. расщепляющимся.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.
ПОЛУПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО -^
векторное пространство с вырожденной индефинитной
метрикой. П. п. Ιχ· · *lrR%1'' 'mr-i определяется как
д-мерное пространство, в к-ром задано г скалярных
произведений
(*, 10в=2е|УвуЧ

4Θ7
ПОЛУПСЕВДОРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
468
где 0=w0<m1<. . .<тг=п; а=\, 2, ..., г; 1а=та_г+
+ 1, ..., Ама, £: = ±1, причем — 1 среди чисел et
а а
встречается 1а раз. Произведение (х, у)а определено
для тех векторов, для к-рых все координаты я' при £<
<та_1 равны нулю. На этих векторах справедливо
равенство (х> y)a_i=0. Первый скалярный квадрат
произвольного вектора χ П. п. является вырожденной
квадратичной формой от координат вектора:
(*, Х)=- fa)*-(*,)*- . . . -(**.)*+ (Z*+1)*+ · · · +
+ (я"-*)2,
где Z — индекс, d=n—m1 — дефект П. п. При
Ζ1=ί2==· · ·=ίΓ~0 П. п. является полуевклидовым
пространством. В П. п. определяются m-мерные
плоскости (т<п), прямые, параллельность, длина вектора так
же, как в псевдоевклидовых пространствах. В П. п.
l + ^Rn можно выбрать ортогональный базис,
состоящий из I векторов мнимой длины, η—I—d вещественной
длины и d изотропных векторов. Через каждую точку
П. п. дефекта d можно провести rf-мерную изотропную
плоскость, каждый вектор к-рой ортогонален всем
векторам П. п. См. также Галилеево пространство.
Лит.: [1] Розенфельд Б. Α., Неевклидовы
пространства, М., 1969, Д. Д Соколов
ПОЛУПСЕВДОРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО -
многообразие с вырожденной индефинитной метрикой.
П. п. 'l-^ywi.-mr-i определяется как и-мерное
многообразие с координатами я1', в к-ром задано г линейных
элементов
ds2a = g{a)ij dxla dxJa,
где 0=m0<ml<. . ,<mr=n\ α=1, 2, ..., г; ia=ma_1+
+ 1, ..., ma, причем индекс квадратичной формы g(a)ij
равен la. Линейный элемент ds2a определен для тех
векторов, для к-рых все координаты dxi при i^:ma_1 равны
нулю (для этих векторов справедливо равенство dsa-i=
= 0). При lx—12= .·. = lr = 0 П. п. является полурима-
новым пространством. Пространства V% и klV%
являются квазиримановыми
пространствами. В П. п. определяются основные понятия
дифференциальной геометрии (напр., кривизна) по
аналогии с римановыми пространствами (см. [1]).
Лит [l] Розенфельд Б. Α., Неевклидовы
пространства, М., 1969. Д. Д. Соколов.
ПОЛУ РЕШЕТКА, полуструктура,—
коммутативная идемпотентная полугруппа, т. е.
полугруппа с тождествами х-\-у=у-\-х и х-\-х— х. Всякая
поду решетка р=<р, +> может быть превращена в
частично упорядоченное множество (частичный порядок <:
вводится соотношением α<6Φ^α+6=6), в к-ром для
любой пары элементов существует точная верхняя грань
sup {α, Ъ}=а-\-Ъ. Обратно, всякое частично
упорядоченное множество с точными верхними гранями для
любых пар элементов является П. относительно операции
a-\-b= sup {a, b}. В этом случае говорят, что частично
упорядоченное множество является верхней
полурешеткой (или полурешеткой по
объединениям, или V-n олурешеткой).
Нижняя полурешетка, называемая также
полурешеткой по пересечениям, или
Л-п олурешеткой, определяется дуально как
частично упорядоченное множество, в к-ром для любых
двух элементов существует точная нижняя грань.
Т. С. Фофанова.
ПОЛУРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО — пространст
во с палуримановой метрикой (с вырожденным метрич.
тензором). П. п. является обобщением понятия римано-
ва пространства. Определение П. п. может быть
выражено с помощью понятий, применяемых при
определении римаиова пространства. В определении риманова
пространства Vп используется в качестве касательного
пространства евклидово пространство IR*, причем
касательные векторы в каждой точке Х(хх. . .г") ξ Кл
инвариантны при параллельных переносах Vn (метрич.
тензор о/у пространства Vn абсолютно постоянен).
Если в качестве касательного пространства в каждой
точке пространства Vп берется полуевклидово
пространство R™^171^ mr-x^ то метрика пространства Vп будет
являться вырожденной, метрич. тензор также абсолютно
постоянен, но является теперь вырожденным, его
матрица имеет ранг тх и имеет неособенную подматрицу.
Определяется второй вырожденный метрич. тензор в
(п—т1)-плоскости (a^-xJ^O), к-рая наз. нулевой (n—m,)-
плоскостью тензора aif\ его матрица также обладает
неособенной подматрицей и т. д. Последний, г-\\
метрич. тензор, определенный в нулевой (и—/пг_!)-плоско-
сти (г—1)-го тензора,— невырожденный тензор с
неособенной матрицей. Такое пространство и наз. П. п. и в
этом случае обозначается символом vmim2-.™r-i.
Аналогично определяется П. п. вида 1*1*---1гутхт*---тг-19
т. е. когда в качестве касательного пространства берется
ПОЛуПСеВДОеВКЛИДОВО Пространство l\l2---lrRriixm2 mr_j
Пространства V% и *lV% наз.
квазиримановыми пространствами.
Как и в римановом пространстве, в П. п. вводится
понятие кривизны в двумерном направлении. Полуги-
перболич. и полуэллиптич. пространства являются
П. и. постоянной ненулевой кривизны, а полуевклидово
пространство — П. п. постоянной нулевой кривизны.
Таким образом, П. п. может быть определено как
пространство аффинной связности (без кручения),
касательные пространства к-рого в каждой точке являются
полуевклидовыми (или полупсевдоевклидовыми),
причем метрич. тензор П. п. является абсолютно
постоянным.
В П, п. дифференциальная геометрия линий и
поверхностей строится по аналогии с дифференциальной
геометрией линий и поверхностей вУ„с учетом
указанной выше специфичности П. п. Поверхности нолуги-
перболич. и полуэллиптич. пространств сами являются
П. п. В частности, /п-орисфера полугиперболич.
пространства т + lSn изометрична П. п. V^li~m~11 метрика
к-рого сводится к метрике полуэллиптич. пространства
5jl_m_i; этот факт является обобщением изометричнос-
ти орисферы пространства Лобачевского евклидовому
пространству.
Лит [1] Розенфельд Б. Α., Неевклидовы
пространства, Μ., 196Θ. Л. А. Сидоров.
ПОЛУСИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО -
проективное (2д+1)-пространство, в к-ром задана
(2п— 2т0 —-1)-илоскость Г0, в ней — (2п—2т1—
^-плоскость 7\ и т. д. до (2/1—2тг-х— 1)-плоскости 7>-ι, при
этом в пространстве задана нуль-система, переводящая
все точки пространства в плоскости, проходящие через
плоскость Г0; в плоскости Т0 задана абсолютная нуль-
система, переводящая все ее точкц в (2п — 2т0 — 2)-
плоскости, лежащие в ней и проходящие через (2/г—
— 2тх — 1)-плоскость 7\ и т. д. до абсолютной нуль-
системы (2п—2тг-\—1)-плоскости 77-ь переводящей
все ее точки в (2/г—2mr-i~2)-плоскости, лежащие в
ней, 0<т0<иг1<...</иГ_1<п. П. п. обозначается
ς 2m0+l, ..., 2mr,1+l
°πη+ι
П. п. получается методом, аналогичным переходу от
эллиптич. и Гиперболич. пространств к полуэллиптич.
и полугиперболич. пространствам, и является более
общим по отношению к квазисимплектич. пространству,
Коллинеации П. п., переводящие в себя плоскости
Τ ι, перестановочные с нуль-системами, наз. пол у-
симплектическими
преобразованиями П. п.

ПОЛУУПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
470
Существуют инварианты полусимплектич.
преобразований, аналогичные симплектич. инварианту симплек-
тич. пространств. Полусимплектич. преобразования
образуют группу, являющуюся группой Ли.
Лит [1] Розенфельд Б. Α., Неевклидовы
пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.
ПОЛУСИМПЛИЦИАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС —
прежнее название симплициального множества, данное при
первом рассмотрении объектов такого рода.
М. И. Войцеховский.
ПОЛУСОВЕРШЕННОЕ КОЛЬЦО — кольцо,
каждый конечно порожденный левый (или каждый конечно
порожденный правый) модуль над к-рым обладает
проективным накрытием. Кольцо R с радикалом Джекоб-
сона / оказывается П. к. тогда и только тогда, когда R
полулокально и у каждого идемпотента факторкольца
R/J имеется идемпотентный прообраз в R. Первое
условие можно заменить требованием классич.
полупростоты факторкольца R/J, а второе— возможностью
«поднимать» из R/J в R модульные прямые разложения.
П. к. характеризуются также условием, что каждый
модуль допускает прямое разложение, относительно
к-рого дополняемы максимальные прямые слагаемые.
Кольцо матриц над П. к. является П. к.
См. также Совершенное кольцо и лит. при этой статье.
Л. А. Скорняков.
ПОЛУТОРАЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — функция от
двух переменных на модуле (напр., на векторном
пространстве), линейная по одному переменному и
полулинейная по другому. Точнее, П. ф. на унитарном модуле
Ε над ассоциативно-коммутативным кольцом А с
единицей, снабженным автоморфизмом а ->- а°, наз.
отображение φ:ΕχΕ-+Α, линейное при фиксированном
втором аргументе и полулинейное (см. Полулинейное
отображение) при фиксированном первом аргументе.
Аналогично определяется полуторалинейное
отображение Ex F -► G, где Е, F, G—A -модули.
В случае, когда а° = а (а£А), получается понятие
билинейной формы (и билинейного отображения). Другой
важный пример П. ф. получается, когда V —
векторное пространство над полем С и а° = а. Специальным
случаем П. ф. являются эрмитовы формы (а также косо-
эрмитовы формы).
П. ф. можно рассматривать и на модулях над
некоммутативным кольцом А; в этом случае предполагается,
что σ — антиавтоморфизм, т. е. что
(аЬ)° = Ь° аР, а, Ь£А.
Для П. ф. удается ввести многие понятия теории
билинейных форм, напр. понятия ортогонального
подмодуля, левого и правого ядра, невырожденной формы,
матрицы формы в данном базисе, ранга формы,
сопряженных гомоморфизмов.
Лит. [1] Б у ρ б а к и Н., Алгебра. Модули, кольца,
формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С, Алгебра, пер
с англ., М., 1968. А. Л. Онищик
ПОЛУУПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО -
общее название векторных пространств, в к-рых
определено бинарное отношение частичного порядка,
согласованное определенным образом с векторной структурой
пространства. Введение порядка в функциональных
пространствах позволяет исследовать в общих рамках
функционального анализа такие задачи, к-рые
существенно связаны с неравенствами между функциями, с
выделением классов положительных функций. Однако, в
отличие от множества действительных чисел,
допускающего полное упорядочение, естественный порядок в
функциональных пространствах оказывается лишь
частичным; напр., в пространстве С [а, Ь) естественно
считать, что функция / мажорирует функцию g, если f(t)^
"^g(t) при всех t£[a, b]. Но при таком определении
порядка многие функции окажутся несравнимыми между
собой.
Упорядоченные векторные пространства (у. в. п.).
Векторное пространство X над полем действительных
чисел наз. упорядоченным, если в нем
определено бинарное отношение порядка, причем х^у влечет
x-\-z^y-\-ζ для любого ζζΧ и Хх^ку для любого числа
λ>0. Таково, напр., С [а, Ъ] с естественным порядком.
Если отношение ^ есть порядок, то множество X + =
= {х£Х : х>0} — конус, наз. положительным
конусом. Обратно, если в векторном пространстве
X задан конус К с вершиной в нуле, то в X может быть
введен такой порядок, при к-ром X + = К: следует
положить х^у, если х—у£К. Рассматриваются и более
общие у. в. п., в к-рых определена лишь структура
квазипорядка. В этом случае множество Х+ есть клин, а
всякий клин с вершиной в нуле порождает в X
квазипорядок.
Пусть у. в. п. X наделено порядком. Конус Х+ наз.
воспроизводящим, если Х +—Х± = Х. Это
свойство конуса X + необходимо и достаточно, для того
чтобы любое конечное подмножество из X было
ограниченным (сверху и снизу). Те у. в. п., в к-рых всякое
ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань,
иначе — точную верхнюю границу, или супремум (а
тогда и всякое ограниченное снизу множество имеет
нцжнюю грань, иначе — точную нижнюю границу, или
инфимум), наз. порядково полными иди
(о)-полными. Более слабый вид полноты в у. в. п.
определяется следующим образом: у. в. п. наз. дед е-
киндово полным, если всякое его
ограниченное сверху и направленное вверх подмножество имеет
верхнюю грань (множество ЕаХ направлено вверх,
если для любыхя^Язб^существу61, такой χ3ζΕι что
^s^^i» я2). Если это требование выполнено для
ограниченных возрастающих последовательностей, то у. в. п.
наз. дедекиндово (о)-цолным. Дедекиндова
полнота слабее (о)-полноты. Напр., если X —
произвольное бесконечномерное банахово пространство,
и£Х, 0<г<||и||, а К — конус, натянутый на
замкнутый шар S (и; г) и элемент 0, и с помощью К в X
введен порядок, то X — дедекиндово полное, но не
(о)-полное. У. в. п. наз. архимедовым, если в
нем выполнена Архимеда аксиома. В частностц,
архимедовым является всякое дедекиндово (о)-полное у. в. п.
В у. в. п. вводится понятие порядковой
сходимости: последовательность (хп) (о)-с χ о д и τ с я
к элементу х(хп—»х), если существуют такие
возрастающая и убывающая последовательности {уп} и {ζη},
что yn^xn<^zn и sup yn~x=ini zn. (о)-п редел
обладает многими свойствами предела в множестве
действительных чисел, однако нек-рые из них справедливы
лишь в архимедовых у. в. п.
Линейный оператор А, действующий из у. в. п. X
в у. в. п. Υ (в частности, линейный функционал с
действительными значениями), наз.
положительным, если ΑΧ + αΥ+ Для положительных
функционалов справедлива следующая теорема о
распространении. Пусть Ε — линейное
подмножество в X, мажорирующее конус Х+ (это означает, что
для любого х£Х+ существует такой г/££, что у^х).
Всякий линейный функционал, заданный на Ε и
положительный относительно конуса Ε (] X +, допускает
линейное положительное распространение на все X.
Векторная решетка (в ρ ) — у в. п., в к-ром
отношение порядка определяет структуру решетки. При
этом для определения в. ρ достаточно постулировать
для любых двух элементов из у. в. п. существование
одной из граней верхней хуу или нижней χ л у. Напр.,
если существует хуу, то х/\у=х-\-у—х\/у. Если X —
в. р., то конус Х+ наз. миниэдральным. В в, р.
для любого ее элемента χ существуют
положительная и отрицательная части х+ = х\/0 и х_ = (—χ)νΟ.

471
ПОЛУУПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
472
При этом х—х+—х_, и эта формула дает
«минимальное» представление χ в виде разности положительных
элементов, т. е. если x=y—zi где г/, z>0, то £+<!/,
£_<z. Миниэдральный конус является
воспроизводящим. Элемент \х\ = х+-\-х- наз. модулем элемента х.
В пространстве С [а, Ъ] с естественным упорядочением
положительный конус миниэдрален, положительная
часть любой функции χ (t) из С получается из χ (t)
заменой ее отрицательных значений нулем, а модуль есть
функция |ж(*)|. В в. р. всякое конечное множество
элементов имеет обе грани. Модуль элемента в. р. обладает
многими свойствами абсолютной величины
действительного числа.
В. р. наз. дистрибутивной, если для
произвольного множества ее элементов {ха }, у к-рого
существует sup ха, при любому £ X справедлива формула, у А
Λ sup £a=sup {у А ха}- Тогда верна и двойственная
формула, j/vinf xa=ini {y\yxa}-
Теорема о двойном разбиении
положительных элементов: если x=y+z, где j/, z>0, и
одновременно х=х1-\-...-\-хп, где все я/>0, то каждый х-г
можно представить в виде xt= j/,-+z/ так, что все г/,·, z/>0
и что
У=У1+---+Уп, ζ = ζι+... + ζ„.
Два элемента х, у в. р. наз. дизъюнктными
(xdy), если \х\ а \у\ = 0. Два множества А, В наз.
дизъюнктными, если adb для любых а£А, Ь£В. В
пространстве С [а, Ь] дизъюнктность xdy означает, что
x(t)y (t)=0. Положительный элемент е наз. слабой
единицей (единицей в смысле
Фрейде н τ а л я), если 0 — единственный элемент,
дизъюнктный се. В С [a, b] слабой единицей является любая
функция, к-рая больше 0 на всюду плотном множестве.
Если же элемент е таков, что для любого χ существует
λ, при к-ром \х\ <λβ, то е наз. сильной
единицей, а X с сильной единицей наз. в. р.
ограниченных элементов. ВС [a, b] сильная
единица — любая функция, для к-рой min x(t)>0. Если
в архимедовой в. р. X с сильной единицей е положить
||.r||=min {λ : |я|<Яе}, то X становится
нормированной решеткой.
На плоскости любой конус, кроме одномерного (т. е.
луча),миниэдрален. Но в пространствах с большим
числом измерений среди замкнутых конусов много не ми-
ниэдральных, напр. таковы все «круглые» конусы в R3.
Для того чтобы конус (с вершиной в нуле) в и-мерном
архимедовом у. в. π был миниэдральным, необходимо
и достаточно, чтобы он был натянут на (п—1)-мерный
симплекс с линейно независимыми вершинами. Всякая
архимедова η -мерная в. р. изоморфна пространству Rn
с покоординатным упорядочением.
К-пространства (К.-п.), пространства
Канторовича, суть (о)-полные в. р. Это — основной
класс П. п., они всегда архимедовы, (о)-сходимость в
К.-п. описывается с помощью верхнего и нижнего
пределов, именно, для огранич. последовательности {хп}
lim;z„ = ini sup xm, lim;zrt=sup inf xm
η т^п η т^п
(о)
и тогда хп—>х означает, что х=\\т хп=\\т хп. Пусть
X есть К.-п. Для любого множества EczX его
дизъюнктным дополнением наз. множество Ed = {x£X:x dE).
Всякое множество, к-рое является дизъюнктным
дополнением (к какому-либо множеству), наз. полосой.
Для любого множества Ε существует наименьшая
полоса, содержащая Е, именно Edd\ она наз. полосой,
порожденной множеством Е. Если само
Ε есть полоса, то Edd=E. Полоса, порожденная
одноэлементным множеством, наз. главной. Понятие
полосы вводится и в любой в. р., однако в К.-п оно
играет особую роль, поскольку справедлива теорема
о проектировании на полосу: если Ε — полоса
в X, то для любого χ ζ Χ существует единственное
разложение x=y+z, где у£Е, z£Ed. Определенный при этом
линейный оператор у=РгЕх наз. проектором
на полосу Е. Если задана произвольная
совокупность попарно дизъюнктных полос Еа, полная в том
смысле, что 0 — единственный элемент из X,
дизъюнктный всем Εа, то любой х£Х + представим в виде х—
= sup ха, где ха=РгЕах. Всякий Z-идеал YaX также
является К.-п. Однако если χηζΥ и хп—>х в X, то это
соотношение верно и в У только в том случае, когда
последовательность {хп} ограничена в Υ'.
Примером К.-п. служит пространство S всех
действительных почти всюду конечных измеримых функций на
[О, 1], в к-ром эквивалентные функции
отождествляются. Функция x£S считается положительной, если x(t)^
^0 почти всюду. Если А= {хп} — счетное
ограниченное сверху подмножество из S (ограниченность сверху
означает, что существует такая ι/ζ£, что xn(t)^y(t)
почти всюду для любого п), то функция ;z(J) = sup xn(t)
и будет верхней гранью множества А, т. е. sup А
вычисляется поточечно. Однако для несчетных множеств
вычисление граней таким же способом уже невозможно,
и существование у несчетных множеств ограниченных
множеств в S устанавливается сложнее, (о)-сходимость
в S означает сходимость почти всюду. Все пространства
Lp=[Q, 1], р>0, являются Ζ-идеалами в S, и потому они
тоже являются К.-п.
Важную роль играет теорема Рисса — Канторовича
о том, что множество всех порядково
ограниченных операторов (т.е. линейных
операторов, переводящих ограниченные по упорядочению
множества в такие же) из в. р. в К.-п. при
естественном порядке (А^В означает, что Ах^Вх при всех
х^О) само является К.-п. Теория К.-п. нашла
приложения в выпуклом анализе и теории экстремальных
задач. Многие результаты здесь основываются на
теореме Хана — Банаха — Канторовича о продолжении
линейных операторов со значениями в К.-п.
К.-п. наз. расширенным, если всякое
множество его попарно дизъюнктных элементов ограничено.
В расширенном К.-п. всегда существует слабая единица.
Для любого К.-п. X существует единственное (с
точностью до изоморфизма) расширенное К.-п. К, в к-рое
X погружается как Z-идеал, а полоса в Y, порожденная
X, совпадает с Υ. Такое Υ наз. максимальным
расширением К.-п. Пространство S [0, 1] —
максимальное расширение для всех пространств Lp[0,
1]. Понятие расширенного К.-п. играет существенную
роль во всей теории П. п., в частности при
представлении К. п. с помощью функций.
С в. р. и К.-п. тесно связано понятие решеточно-
нормированного пространства — векторного
пространства, каждому элементу к-рого сопоставлена его
обобщенная норма, являющаяся элементом фиксированной
в. р. и удовлетворяющая обычным для нормы
аксиомам, в к-рых знак неравенства понимается в смысле
порядка в указанной в. р. Такие пространства
используются в теории функциональных уравнений (теоремы
существования; методы приближенного решения; метод
Ньютона — Канторовича; монотонные процессы
последовательных приближений и т. д.).
Топологические полуупорядоченные пространства.
В функциональном анализе используются также у. в. п.,
в к-рых одновременно определена еще нек-рая
топология, согласованная с порядком. Простейший и
важнейший пример такого пространства — банахова
решетка. Обобщением понятия банаховой решетки
служит локально выпуклая решетка.
Важный класс банаховых К.-п. составляют КВ-
пространства (КВ-п.), Канторовича —

473
полюс
474
Банаха пространства. Так называется
банахово К.-п., удовлетворяющее двум дополнительным
условиям: 1) хп\0 влечет ||ж„|| ->· 0 (порядковая
непрерывность нормы); 2) если последовательность {хп}
возрастает и не ограничена по порядку, то \\хп\\ ->· + оо.
В КВ-п. удается описать с помощью нормы многие
факты, опирающиеся по своему смыслу только на порядок.
Напр., хп Д. О означает, что Hlsjv. . . v|s„+JII-► О
П->оо
равномерно относительно т. Для того чтобы множество
в КВ-п. Ε было ограничено по порядку, необходимо и
достаточно, чтобы ограниченным было множество всех
чисел вида ΙΙΙζχίν. . . ν|ζ„|||, щех&Е. КВ-п. есть
регулярное К.-п.
Пример КВ-п.: Lp[0, 1] при 1<р<+оо.
Пусть X — произвольное локально выпуклое
пространство, наделенное структурой у. в. п. и имеющее
т. н. нормальный конус X + ; при этом нормальность X +
равносильна тому, что в X существует база
окрестностей нуля, состоящая из абсолютно выпуклых и поряд-
ково насыщенных множеств U (последнее означает, что
если х, y£U и я<#, то и весь интервал [х, y]£U). Для
того чтобы каждый непрерывный линейный
функционал на локально выпуклом у. в. п. был представим
в виде разности положительных непрерывных линейных
функционалов, необходима и достаточна нормальность
конуса Х+ в слабой топологии. Для нормированных
пространств нормальность конуса в слабой и сильной
топологии равносильны.
Лит.: [1] В у л и χ Б. 3., Введение в теорию
полуупорядоченных пространств, М., 1961; [2] Канторович Л. В.,
Вулих Б. 3., Пинскер А. Г., Функциональный анализ
в пол у упорядоченных пространствах, М.— Л., 1950; [3]
Шефе ρ X., Топологические векторные пространства, пер. с англ.,
М., 1971; [4] Красносельский Μ. Α.,
Положительные решения операторных уравнений, М., 1962; [5]
Антоновский М. Я., Болтянский В. Г., Сарымса-
ков Т. Α., Топологические алгебры Буля, Таш., 1963; [6]
Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [7]
Канторович Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный
анализ, 2 изд., М., 1977; [8] Функциональный анализ, М., 1972
(Справоч. матем. б-ка); [9] Вулих Б. 3., Введение в теорию
конусов в нормированных пространствах, Калинин, 1977; [10]
Крейн М. Г., Рутман Μ. Α., «Успехи матем. наук»,
1948, т. 3, в. 1, с. 3—95; [И] Бухвалов А. В., В е к-
слер А. И., Лозановский Г. Я., «Успехи матем.
наук», 1979, т. 34. в. 2, с. 137—83; [12] А кил о в Г. П.,
Кутателадзе С. С, Упорядоченные векторные
пространства, Новосибирск, 19 78. Б. 3. Вулих.
ПОЛУЦЕПНОЕ КОЛЬЦО, полуцепное
слева (справа) кольцо,— кольцо,
являющееся левым (правым) полуцепным модулем над самим собой.
Л. А. Скорняков.
ПОЛУЦЕПНОЙ МОДУЛЬ — модуль,
разлагающийся в прямую сумму цепных подмодулей (см. Цепной
модуль). Все левые R-модули оказываются П. м. тогда и
только тогда, когда R — обобщенно однорядное кольцо.
Л. А. Скорняков.
ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО —
проективное ^-пространство, в к-ром метрика
определяется заданным абсолютом, состоящим из
совокупности мнимого конуса 2-го порядка Q0 с (п—т0—1)-
плоской вершиной Г0, (п—т0—2)-мнимого конуса Q1 с
(п—т1—1)-плоской вершиной Т1 в (п—т0 — 1)-плоскости
Г0, (п—т1—2)-мнимого конуса Q2 с (п—т2—1)-плоской
вершиной Τ2 в (п—т1—1)-плоскости Тг и т. д. до (п—
— тг-\—2)-мнимого конуса Qr-\ с (п—тг-\ — 2)-пло-
ской вершиной Тг-1 и невырожденной мнимой (п—
—mr-i—2)-квадрикой Qr в (п—тпг-\ — 1)-плоскости
Гг_], 0<щ<т1<. . .<тг_г<п. Индексы конусов Qk,
&=0, 1, ..., г—1 равны: l0=m0-\-l; la=m0—ma-\, 0<
<а<п 1г=п—тг^г. П. п. обозначается s™*mx-mr-1 .
В случае, когда конус Q0 является парой слившихся
плоскостей, совпадающих с плоскостью Т0 (при лг0=0),
пространство с несобственной плоскостью Т0 наз.
полуевклидовым пространством R7nim*-mr-i^
Расстояние между точками X и Υ определяется в
зависимости от расположения прямой ΧΥ относительно
плоскостей Г0, 7\, ... , Тг_г. Если, в частности, прямая
ХУ не пересекает плоскость Г0, то расстояние между
точками Χ α Υ определяется с помощью скалярного
произведения аналогично определению расстояния в
квазиэллиптическом пространстве. Если же прямая
ΧΥ пересекает плоскость Г0, но не пересекает плоскость
Тг или пересекает плоскость Га_ь но не пересекает
плоскость Та, расстояние между точками определяется
с помощью скалярного квадрата разности
соответствующих векторов точек X и Υ.
В зависимости от расположения относительно
плоскостей абсолюта в П. п. различаются четыре типа
прямых.
Углы между плоскостями в П. п. определяются
аналогично определению углов между плоскостями в квази-
эллиптич. пространстве, т. е. с использованием
расстояний в двойственном пространстве.
Проективная метрика П. п. является метрикой
наиболее общего вида. Частным случаем метрики П. п,
является, напр , метрика квазиэллиптич. пространства.
В частности, 2-плоскость S% совпадает с евклидовой,
Si — с коевклидовой, 3-пространство si — с
квазиэллиптическим, Si — с евклидовыми 3-пространствами,
3o01 r»012 v
-пространство S3 является галилеевым, S3 —
флаговым пространством и т. д. 3-пространство Sl32
соответствует по принципу двойственности галилееву 3-про-
странству Г3 и наз. когалилеевым пространством.
(Абсолют когалилеева пространства состоит из пары мнимых
плоскостей (конус Q0) и точки Тг на прямой Т0
пересечения этих плоскостей.)
Движениями П. п. являются его коллинеации,
переводящие абсолют в себя. В случае ma=n—mr-a-i— 1»
Ζα=ΖΓ_α П. п. является двойственным самому себе, в
нем определяются кодвижения, определение к-рых
аналогично определению кодвижений квазиэллиптич.
пространства.
Движения, движения и кодвижения образуют
группы, являющиеся группами Ли. Движения (как и
кодвижения) описываются ортогональными операторами.
П. п. являются полуримановыми пространствами.
Лит.: [1] Розенфельд Б. Α., Неевклидовы
пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.
ПОЛЬКЕ — ШВАРЦА ТЕОРЕМА: любой полный
плоский четырехугольник может служить
параллельной проекцией тетраэдра, подобного любому данному.
Теорема впервые высказана в иной форме К. Польке
(К. Pohlke, 1853), обобщена Г. Шварцем (Н. Schwarz,
1864).
Лит.: [1] Энциклопедия элементарной математики, кн 4—
Геометрия, М., 1963. А.Б.Иванов.
ПОЛЮС — 1) П. координат — начало координат
в полярных координатах.
2) П.— центр инверсии.
3) П. прямой ρ относительно линии 2-го порядка —
точка Р, для к-рой прямая ρ является полярой точки Ρ
относительно данной линии 2-го порядка, а. Б.Иванов.
ПОЛЮС — изолированная особая точка а
однозначного характера аналитич. функции /(ζ) комплексного
переменного ζ такая, что |/(ζ)| неограниченно
возрастает при приближении к a, lim/(z)=oo. В достаточно
г->а
малой проколотой окрестности V= {z£C : 0<|z—a]<£
<г} точки α^οο или F'={z£C : r<|z[<oo} в случае
бесконечно удаленной точки а— оо функция / (ζ) пред-
ставима в виде ряда Лорана специального вида:
'(г> = 2Г=-те*(г_а)*' *£п,с-тф0, ζζΥ, (1)

475
или соответственно
ПОЛЯ ОПЕРАТОР
476
/(«) =
:2Г=-тТ' й=С°' С-*^°> Z£V'' &
с конечным числом отрицательных степеней в главной
части при α φ оо или соответственно конечным числом
положительных степеней при а= оо Натуральное число
т в этих разложениях наз порядком, или
кратностью, полюса а, при т=\ П. наз
простым. Разложения (1) и (2) показывают, что функция
ρ (z)=(z—a)mf(z) при αφ оо или ρ (z) = z~mf (ζ) при а= оо
аналитически продолжается в полную окрестность
полюса а, причем р(а)#0. Иначе полюс а порядка т
можно еще охарактеризовать тем, что функция 1//(ζ)
имеет в этой точке а нуль кратности т.
Точка а=(а1, ... , α J комплексного пространства
С", /г>2, наз. Π аналитич. функции /(ζ) многих
комплексных переменных z=(zl4 ... , ζ„), если выполняются
следующие условия 1) / (ζ) голоморфна всюду в нек-рой
окрестности U точки а, за исключением множества Ра
dU, αζΡ\ 2) /(ζ) не продолжается аналитически ни в
одну точку Р\ 3) существует голоморфная в U функция
%{ζ)Φ0 такая, что голоморфная в U\P функция
p(z) = q(z)f(z) голоморфно продолжается во всю
окрестность U, причем р(а)?=0. Здесь также
lim f(z)= lim ■£$-=«>,
z-+a z-+a q{z)
однако При п^2 П., как и особые точки вообще, не
могут быть изолированными
Лит [1] Ш а б а т Б В , Введение в комплексный анализ,
2 изд , Μ , 1976 Ε Д Соломенцев
ПОЛЯ ОПЕРАТОР — линейное слабо непрерывное
отображение / —*· φ*, /£DL(R4), пространства DL(R4)
основных функций /(#), χζ IR4, принимающих значения из
конечномерного векторного пространства L, в
множество операторов (вообщеговоря, неограниченных),
определенных на плотном линейном многообразии D0£H
нек-рого гильбертова пространства Я При этом
предполагается, что как в L, так и в Я действуют нек-рые
представления g-> Tg(B L) и g-> Ug (в Я), g£G,
неоднородной группы Лоренца G, причем так, что
выполнено равенство
(*)
где
(Tgf)(x)=Tgf(g-ix), x£R*.
В зависимости от представления в L (скалярного,
векторного, спинорного и т. д.) поле {φ^, f£DL(R4)} наз.
соответственно скалярным, векторным
или спинорным. Семейство П. о. {φ^, f^DL(R^) }
вместе с представлениями {Га, g£G}n {U g, g£G}, для
к-рых выполнено условие (*), а также еще ряд общих
требований (см. [1]), наз. квантовым (или
квантованным) полем.
Кроме нек-рых моделей, относящихся к двумерному
или трехмерному миру (см. [2], [4]), построены (1983)
только простые примеры т. н. свободных квантовых
полей [3]г
Лит. [1] Йост Р., Общая теория квантованных полей,
пер с англ., М., 1967; [2] Саймон В., Модель Ρ (φ)2
евклидовой квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [3]
Боголюбов Н. Н., Ш и ρ к о в Д. В., Введение в теорию
квантованных полей, М., 1957; [4] Евклидова теория поля.
Марковский подход, пер. с англ., М., 1978. Ρ А. Минлос.
ПОЛЯРА — 1) П. точки Ρ относительно
невырожденной линии 2-го порядка —
множество точек Ν, гармонически сопряженных с точкой Ρ
относительно точек Мг и М2 пересечения линии 2-го
порядка секущими, проходящими через точку Р.
Поляра является прямой линией. Точку Ρ наз. полюсом.
Если точка Ρ лежит вне линии 2-го порядка (через
точку Ρ можно провести две касательные к линии), то П.
проходит через точки касания данной линии с прямыми,
проведенными через точку Ρ (см. рис. 1). Если точка Ρ
лежит на линии 2-го порядка, то П. является прямая,
касательная к данной
линии в этой точке. Если П.
точки Ρ проходит через
точку Q, то П. точки Q
проходит через точку Ρ
(см. рис. 2).
Всякая невырожденная
линия 2-го порядка
определяет биекцию точек
проективной плоскости и
множества ее прямых —
поляритет (полярное
преобразование). Соответст-
Рис. ί.
вующие при этом преобразовании фигуры наз.
взаимно полярными. Фигура, совпадающая со
своей взаимно полярной, наз. автополярной
(см., напр.,
автополярный трехвершинник PQR
на рис 2).
Аналогично
определяется П. (полярная
плоскость) нек-рой
точки относительно
невырожденной поверхности
2-го порядка.
Понятие П.
относительно линии 2-го порядка
обобщается на линии п-то
порядка. При этом
заданной точке плоскости ставится в соответствие η — 1
поляр относительно линии n-το порядка. Первая из этих
П. является линией порядка п—1, вторая, являющаяся
П. заданной точки относительно первой П., имеет
порядок тг—2 и т. д. и, наконец, (п—1)-я П. является
прямой линией.
Лит.: [1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд.,
М., 1978; [2] Постников Μ. Μ., Аналитическая
геометрия, М., 1973. А. Б. Иванов.
2) П. А° подмножества А локально выпуклого
топологического векторного пространства Ε — множество
функционалов / из сопряженного пространства Ε', для
к-рых |<я, />|<1 для всех χζΑ (здесь <#, /> значение
/в х). Биполярой А°° наз. множество векторов χ
пространства Е, для к-рых |о,/>|<1 для всех /£ А°.
П. выпукла, уравновешена и замкнута в слабой
топологии. Биполяра А°° является слабым замыканием
выпуклой уравновешенной оболочки множества А.
Кроме того, (АО0)о=А°. Если А — окрестность нуля в
пространстве Е, то ее поляра А° является компактом в
слабой * топологии (теорема Банаха — Ал а-
о г л у).
П. объединения [)а^а любого семейства {Аа}
множеств из Ε есть пересечение П. этих множеств. П.
пересечения слабо замкнутых выпуклых уравновешенных
множеств Α α есть замкнутая в слабой * топологии
выпуклая оболочка их П. Если А — подпространство в Е,
то его П. совпадает с подпространством в Ε',
ортогональным к А.
За фундаментальную систему окрестностей нуля,
определяющих слабую * топологию пространства Ε',
можно принять систему множеств вида М°, где Μ
пробегает все конечные подмножества пространства Е.
Подмножество функционалов пространства Е'
равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно
содержится в П. нек-рой окрестности нуля.
Лит.: [1] Эдварде Р., Функциональный анализ, пер.
С англ., М., 1969. В. И. Ломоносов.
ПОЛЯРИЗОВАННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ
МНОГООБРАЗИЕ — пара (F, ξ), где V — полное гладкое

477
ПОЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО
478
многообразие над алгебраически замкнутым полем к, ξ
из Pic WPic°F — класс нек-рого обильного обратимого
пучка, P\c°V — связная компонента абелевой схемы
Пикара Pic V. В случае, когда V — абелево
многообразие, определено также понятие степени
поляризации П. а. м.; она совпадает со степенью
изогении φ^ : F->-Pic°F, определяемой пучком
<#ζξ, а именно:
где Тх— морфизм сдвига на х, x£V. Поляризация
степени 1 наз. главной поляризацией.
Понятие П. а. м. тесно связано с понятием
поляризованного семейства алгебраич. многообразий. Пусть
/ : X -+ S — семейство многообразий с базой S, то
есть / — гладкий проективный морфизм схемы X на
нётерову схему S, слоями к-рого являются алгебраич.
многообразия. Поляризованным
семейством наз. пара (X/S, ξ/5), где X/S — семейство
/ : X -> S с базой S, а ξ/5 — класс относительно
обильного обратимого пучка j? χι $ в Нот(£, Pic X/S) по
модулю Нот (5, Pic°X/S), где Pic X/S — относительная
схема Пикара.
Введение понятий поляризованного семейства и
П. а. м. необходимо для построения пространств
модулей алгебраич. многообразий (см. Модулей теория).
Так, напр., не существует пространства модулей всех
гладких алгебраич. кривых рода #>1, а для
поляризованных кривых такое пространство модулей существует
[4]. Одним из первых вопросов, связанных с понятием
поляризации многообразий, является вопрос об
одновременном погружении в проективное пространство
поляризованных многообразий с фиксированными
численными инвариантами. Если (V, |) содержится в
качестве слоя в поляризованном семействе (X/S, ξ/5) со
связной базой S и относительно обильным пучком
J?x/s^/5, то существует ли такая константа с,
зависящая только от многочлена Гильберта h(n)—%(V, Збп),
что при η>с пучки j?& с многочленом Гильберта h(n)
и с НЦХ s, J?sn)=0 при i>0 очень обильны для всех
П. а. м. (Xs, ls), где sζ5? Для гладких П. а. м. над
алгебраически замкнутым полем характеристики 0
ответ на этот вопрос положителен [3], а в случае
поверхностей основного типа с канонич. поляризацией
константа с не зависит даже от многочлена Гильберта (см.
[1], [21). ,
Лит.; [1] Bombieri Ε., «РцЫ. math. IHES», 1972,
№ 42, p. 447—95; [2] Kodaua К., «J. Math. Soc. Jap.»,
1968, v. 20, № i_2, p. 170—92; [3] Μ a t s u s a k а Т., М u m-
ford D., «Amer. J. Math.», 1964, v. 86, № 3, p. 668—84; [4]
Mumford D., Geometric invariant theory, В., 1965.
В. С. Куликов.
ПОЛЯРИТЕТ, полярное преобразова-
н и е,— корреляция π, для к-рой Ji2=id, то есть π(Υ)=
= Х тогда и только тогда, когда η(Χ)=Υ, Π. разбивает
все подпространства на пары, в частности, если пара
образована подпространствами S0 и Sn_l9 где S0=
= n(Sn-i) —точка, a £л_1= π(SQ) — гиперплоскость,
то S0 наз. полюсом гиперплоскости
Sn-!, a Sn-i наз. пол яр ой точки S0.
Пространство Un(K) над телом К обладает П. тогда и только
тогда, когда тело допускает инволютивный
инверсный автоморфизм α (т. е. a2=id).
Пусть π представляется полубилинейной формой /а(#,
у). Тогда π будет П. в том и только в том случае, когда
из /а(ж, у)=0 следует /а(у, х)=0.
Поляритет π является либо симплектической
корреляцией, характеризующейся тем, что
Рал(Р) для любой точки Ρ (в этом случае /(ж, у)
является кососимметрич. формой на Ап+Ъ а К —
полем), либо π представляется a-симметрич. формой на
Ап + 1 : α (/«(ж, y)) = fa(y, x) (симметрический
П.), в этом случае существование нестрого изотропного
нулевого подпространства равносильно тому, что
характеристика тела саг К=2 (в частности, если Саг К Φ
ψ2>, то любое нулевое подпространство строго
изотропно).
Относительно поляритета π определяется разложение
проективного пространства на подпространства,
позволяющее привести полубилинейную форму,
представляющую π, к канонич. виду. Важнейшими среди них
являются
Μ — максимальное неизотропное нулевое
подпространство, его размерность η (π)—1,· где η четно и наз.
дефектом π,/ кососимметрична;
U — максимальное строго изотропное нулевое
подпространство, его размерность ΐ(π)—1, i наз.
индексом , /=0;
J — компонента, свободная от нулевых
подпространств, неизотропна, причем / является положительно
или отрицательно определенной, Μ (]J— 0;
W=M-\-U — максимальное нулевое
подпространство, его размерность ί(π)-\-η(π) — 1.
Проективное преобразование F наз. π-д опусти-
мым (относительно поляритета π), если jtF=Fn.
Полулинейное преобразование (F, φ) тогда и только
тогда индуцирует π-допустимое проективное
преобразование, когда в К существует с такое, что f(Fx, Fy)=
= c(p(f(x, у)), π-допустимые преобразования образуют
группу Gn (наз. группой П.). Если группа Gn
транзитивна, то либо каждая точка пространства Пп
является нулевой (и Gn в этом случае наз.
симплектической), либо нет ни одной нулевой точки (и
Gn наз. в этом случае ортогональной при
a=id и унитарной при a?=id).
Лит.: [1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд.,
М., 1978. Μ И. Войцеховский.
ПОЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО — 1) П. м.
аналитической функции f(z) комплексных
переменных z=(zx, ... , zn), Ai^l,— такое множество Ρ точек
нек-рой области D комплексного пространства Сп,
что: а) f(z) голоморфна всюду в D\P; б) f(z) не
продолжается аналитически ни в одну точку Р\ в) для
любой точки а£Р существуют такие окрестность Vа и
голоморфная в Uа функция ςα(ζ)Φ0, что голоморфная в
D Π Wa\P } функция pa(z)= qa(z)f (z) продолжается
голоморфно в Ua. Во всякой точке а£Р имеем ga(a)=0.
П. м. Ρ состоит из полюсов а^Р функции /(z), в к-рых
P<z(a)^0, И точек неопределенности α ζ Ρ функции
f(z), в к-рых ра(а) = 0 (предполагается, что pa(z) и qa(z)
не имеют общих множителей, голоморфных и равных
нулю в а). Всякое П. м. есть аналитич. множество
комплексной размерности п—1.
2) П. м. в теории потенциала —
множество Ε точек евклидова пространства R", д>2, такое,
что существует потенциал U^(x), x£Rn, нек-рой бо-
релевской меры μ, принимающий значение + оо в
точках Ε и только в них.
В случае логарифмического потенциала цри л=2 и
ньютонова потенциала при п^Ъ для того, чтобы
ограниченное множество Ε оыло П. м., необходимо и
достаточно, чтобы Ε было множеством типа G$ и имело
нулевую внешнюю емкость. При этом в определении
П. м. можно заменить «потенциал» на
«супергармоническую функцию». Основные свойства П. м. для этого
случая : а) множество {а}, состоящее из одной точки α ζ R",
есть П. м.; б) счетное объединение П. м. есть П. м.;
в) любое П. м. имеет лебегову меру нуль в Rw; г) при
конформных отображениях П. м. переходит в П. м.
Локальный критерий П, м. см. в ст. Разреженность
множества.
Лит.: [1] Ш а б а т Б В , Введение в комплексный анализ,
2 изд., ч. 2, Μ , 1976; [2] Ландкоф НС, Основы
современной теории потенциала, М., 1966, [3] Б ρ е л о Μ , Основы
классической теории потенциала, пер с франц , Μ , 1964
Ε Д Соломенцев.

479
ПОЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ -1)П. р.
линейного преобразования — разложение
линейного преобразования конечномерного евклидова (или
унитарного) пространства L в произведение
самосопряженного и ортогонального (соответственно унитарного)
преобразования. Каждое линейное преобразование А
пространства L допускает П. р.
A = S-U,
где S — положительно полуопределенное
самосопряженное линейное преобразование, a U —
ортогональное (или унитарное) линейное преобразование, причем
S определяется единственным образом. Если А
невырожденно, то преобразование S является даже
положительно определенным, a U также определяется
однозначно. Для одномерного унитарного пространства
П. р. совпадает с представлением комплексного числа ζ
в тригонометрич. форме. а. л. Онищип.
2) П.р. оператора — представление
оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, в
виде
A^UT,
где U — частично изометрический, а, Т —
положительный операторы. Всякий замкнутый оператор А
допускает П. р., причем Т=(А*А)1/2 (часто используют
обозначение Т=\А\), a U отображает замыкание Ra*
области определения сопряженного оператора А на
замыкание области значений Ra оператора А
(теорема Неймана, см. [1]). П. р. становится
единственным, если потребовать, чтобы начальное и конечное
подпространства оператора U совпадали
соответственно с Ra* и Ra- С другой стороны, U всегда можно
выбрать унитарным, изометрическим или коизометриче-
ским — в зависимости от соотношения коразмерностей
подпространств Ra* и Ra- В частности, если
dim Η 0 #л* =dim H Q RA,
то можно выбрать U унитарным и найти такой эрмитов
оператор Ф, что Ζ7=βχρ(ίΦ). Тогда П. р. оператора А
запишется в виде
А = \ А | ехр (ίΦ),
полностью аналогичном П. р. комплексного числа.
Перестановочность сомножителей в Π р. имеет место
тогда и только тогда, когда оператор нормален.
Получен (см. [2], [3]) аналог П. р. для операторов в
пространстве с индефинитной метрикой.
3) П. р. функционала на алгебре
Неймана— представление нормального
функционала / на алгебре Неймана А в виде /= up, где ρ —
положительный нормальный функционал на А , и£А —
частичная изометрия (то есть и* и и ии* — проекторы),
умножение понимается как действие на функционал ρ
оператора, сопряженного к левому умножению на и
в А : f(x)=p(ux) для всех х£А. П. р. всегда можно
осуществить таким образом, чтобы выполнялось
условие: u*f=p. При этом условии П. р. определено
однозначно.
Всякий ограниченный линейный функционал / на
произвольной С*-алгебре А можно рассматривать как
нормальный функционал на универсальной
обертывающей алгебре Неймана А"; соответствующее П. p. f=up
наз. обертывающим полярным
разложением функционала /. Сужение
функционала ρ на А называется абсолютной
величиной функционала и обозначается |/|;
следующие свойства однозначно определяют функционал
1/1:111/111 = 11/11 и |/(*)|2<У/1Ы/| (***).
hoe 480
В случае, когда А = С (X) —алгебра всех
непрерывных функций на компакте, абсолютная величина
функционала соответствует полной вариации
определенной им меры.
П. р. функционала во многом позволяет сводить
изучение функционалов на С*-алгебрах к изучению
положительных функционалов. С его помощью, напр.,
можно построить для каждого f£A' такое представление π
алгебры А, в к-ром / реализуется векторно (т. е.
существуют векторы ξ, η из #π такие, что /(х) = (л (ж)ξ, η),
χ ζ Α),— таким свойством будет обладать представление
π |/|, построенное по положительному функционалу
Л|/| с помощью конструкции Гельфанда — Наймарка —
Сегала ГНС-конструкции).
4) П. р. элемента С*-а л г е б ρ ы —
представление элемента С*-алгебры в виде произведения
положительного элемента на частично изометрический.
П. р. возможно не для всех элементов: в обычном П. р.
оператора Τ в гильбертовом пространстве
положительный сомножитель принадлежит С*-алгебре,
порожденной Г, но о частично изометрическом сомножителе
можно утверждать лишь, что он принадлежит
порожденной Τ алгебре Неймана. Поэтому определяют и
используют т. н. обертывающее П. р. элемента
a£A : a=ut, где t=(a*a)^2^A — частично изомет-
рич. элемент универсальной обертывающей алгебры
Неймана А" (предполагается, что А канонически
вложена в А").
Лит.: [1] Наймарк Μ. Α., Нормированные кольца,
2 изд., М., 1968; [2] В о g n а г J., «Stud. Scient. Math. Hung:»,
1966, t. 1, № 1/2, p. 97—102; [3] Диксмье Ж., С*-алгебры
и их представления, пер. с франц., М., 1974. В. С. Шулъман.
ПОЛЯРНОЕ СООТВЕТСТВИЕ — соответствие двух
поверхностей, при к-ром в соответствующих точках
радиус-вектор одной из них параллелен нормали другой и
наоборот. Для каждой гладкой поверхности F в Е3 с
радиус-вектором χ существует (при определенных
условиях) полярная ей поверхность F* с радиус-вектором
х* = —/<ν, ν , где η — нормаль, а (я, п) — опорная
функция к F, так что
(ж*, Я)=1, (Xj, X) = (X(, Х*)=0.
Иногда эти условия также входят в определение П. с.
Понятие П. с. получает наиболее яркое выражение (в
смысле полной двойственности) в центроаффинной
геометрии. М. И. Войцеховский.
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ — числа ρ и φ (см.
рис.), связанные с декартовыми прямоугольными
координатами χ и у формулами: ·
χ = ρ cos φ, у — ρ sin φ, Τ -
где0<р<оо, 0<φ<2π. Коорди- SZA^j\
натные линии: концентрической f/ \^sFy^
окружности (р= const) и лучи // \J^\\
(φ=const). Система П. к.— op- —Н4 m^/l—ϊ"
тогоналъная система. Каждой VV JI
точке плоскости Оху (за исклю- ^^^L·^/
чением точки 0, для к-рой р=0, ^^Т^/
а φ не определено, т. е. может |
быть любым числом 0<φ<2π)
соответствует пара чисел (ρ, φ) и обратно. Расстояние
ρ точки Ρ от точки (0, 0) (полюса) наз.
полярным радиусом, а угол φ — полярным
углом.
Коэффициенты Ламе:
Lp = 1, L<p = p.
Элемент площади:
do^p dpdy.
ПОЛЯ]

481 понтрягина ;
Векторные дифференциальные операции:
gradp/=-1,^/ = -!£;
diva=lap + ^ + l^£;
Ρ μ ' ар ' ρ 6φ
Δ/--1 д ίο df\ I 1 а2/ ^ а,/ ι * а/ ι * I2/
7 ρ ар I ^ ар у ~ Р2 аФ2 ар* ~т~ р ар "· ρ2 θφ* ·
Обобщенными П. к. наз. числа г и ψ,
связанные с декартовыми прямоугольными координатами
χ и у формулами:
х = ar cos ψ, у = fcr sin ψ,
где 0<r<oo, 0<ψ<2π, α>0, fc>0, a^fc. Координатные
линии: эллипсы (г—const) и лучи (ψ= const).
Д. Д. Соколов.
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ — понятие,
характеризующее способность системы передачи информации
противостоять искажающему действию помех.
Предельно достижимую П. для оптимального метода
передачи часто наз. потенциальной П. В теории
передачи информации П. конкретной системы передачи
информации характеризуют сообщений точностью
воспроизведения и, в частности, ошибочного декодирования
вероятностью переданного сообщения.
Лит.: [1] X а р к е в и ч Α. Α., Борьба с помехами, 2 изд.,
М., 1965; L2] Возенкрафт Д ж., Джекобе И.,
Теоретические основы техники связи, пер. с англ., М., 1969.
Р. Л. Добру шин, В. В. Прелое.
ПОНТРЯГИНА ДВОЙСТВЕННОСТЬ — 1) П. д.—
двойственность между абелевыми топологич. группами
и их характеров группами. Теорема
двойственности утверждает, что если G — локально
компактная абелева группа и X (G) — ее группа
характеров, то естественный гомоморфизм G->X(X(G)),
переводящий a£G в характер ωα : X (G) -> Г, заданный
формулой
ωα(α) = α(α), αζΧ (G),
есть изоморфизм топологич. групп. Из этой теоремы
выводятся следующие утверждения.
I. Если Η — замкнутая подгруппа вби
Н* = {а£Х (G)|a(#)=0}
— ее аннулятор в X (G), то Я совпадает с аннулятором
{a£G\a(a)=0 Vag#*}
подгруппы Я*; при этом группа X (Н) естественно
изоморфна X(G)/H*, а X(G/H) — группе Я*.
II. Если φ : G -> Η — непрерывный гомоморфизм
локально компактных абелевых групп, то после
отождествления группы G с X (X (G)) и группы Η с X (X (#))
при помощи изоморфизмов а —► ωα гомоморфизм (φ*)*
отождествляется с φ.
III. Вес группы X (G) (как топологич. пространства)
совпадает с весом группы G.
П. д. сопоставляет компактным группам G
дискретные группы X (G) и наоборот. При этом компактная
группа G метризуема тогда и только тогда, когда X (G)
счетна, и связна тогда и только тогда, когда группа
X (G) без кручения. Конечномерность компактной
группы G равносильна тому, что X (G) имеет конечный ранг
(см. Ранг абелевой группы). Конечномерная
компактная группа G локально связна тогда и только тогда,
когда X (G) конечно порождена. Если G конечна, то
П. д. совпадает с двойственностью конечных абелевых
групп, рассматриваемой над полем С комплексных
чисел.
Топологич. группы, для к-рых верна теорема
двойственности, наз. рефлексивными. Они не
исчерпываются локально компактными группами, т. к.
любое банахово пространство, рассматриваемое как топо-
482
логич. группа, рефлексивно [8]. О характеризащш
рефлексивных групп см. [9].
Аналог П. д. известен и для некоммутативных групп
(теорема двойственности Танака —
К ρ е й н а) (см. [4], [6], [7]). Пусть G — компактная
топологич. группа, R — алгебра комплекснозначных
представляющих функций на G, S (R) — множество всех
ненулевых гомоморфизмов алгебр ω : R -> С,
удовлетворяющих условию ω(/)=ω(/), f£R- В S (R)
определяется умножение (α, β) -> αβ, удовлетворяющее
следующему условию: если ρ : G -> U (т) — неприводимое
непрерывное унитарное представление группы G и
Pij(g) — его матричные элементы, то
ΙΙ(«β)(Ρί/)|Ι = »α(Ρν)Ηβ(Ρί/)||.
Это умножение и естественная топология превращают
S (R) в топологич. группу. Каждому g£G отвечает
гомоморфизм ag£S(R), задаваемый формулой
«*(/)=/(*). /€*·
Тогда соответствие g -> <xg есть изоморфизм топологич.
группы G на S (R). Дано также алгебраич. описание
категории алгебр i?, к-рая оказывается, таким образом,
двойственной категории компактных топологич. групп.
Эта теория допускает обобщение на случай однородных
пространств компактных топологич. групп (см. [4]).
Лит.: [1] Π о н τ ρ я г и н Л. С, «Ann. Math.», 1934, v. 35,
№2, p. 361—88 (рус. пер.—«Успехи матем. наук», 1936, в. 2,
с. 177—95); [2] его же, Непрерывные группы, 3 изд., М.,
1973; [3] Kampen Ε. van, «Ann. Math.», 1935, v. 36, p.
448—63; [4] Крейн Μ. Г., «Укр. матем. ж.», 1949, т. 1, № 4,
с. 64—98; 1950, т. 2, № 1, с. 10—59; [5] Моррис С,
Двойственность Понтрягина и строение локально компактных
абелевых групп, пер. с англ., М., 1980; [6] Η а й м а р к Μ. Α.,
Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [7] Хьюитт Э.,
Росс К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ.,
т. 2, М., 1975; [8] Smith Μ. F., «Ann. Math.», 1952, v. 56,
№2, p. 248—53; [9] Venkataraman R., «Math. Z.»,
1976, Bd 149, H. 2, S. 109—19. А. Л. Онищип.
2) П. д. в топологии — изоморфизм между
р-мерной группой когомологий Александрова — Чеха
Нр(A; G) с коэффициентами в группе G компактного
множества А, лежащего в л-мерном компактном
ориентируемом многообразии Мп, и (п — ρ — 1)-мерной
группой гомологии #^_p_i(Z?; G) дополнения В=Мп\А
в предположении, что Нр (Мп; G)=Hp+1(Mn; G)=0
(гомологии и когомологий в размерности нуль —
приведенные; символ с означает компактные носители).
Для случая, когда А или В — конечный полиэдр, этот
изоморфизм был установлен Дж. Александером (J.
Alexander). Η. Стинрод (Ν. Steenrod) установил наличие
такого изоморфизма для любого открытого
подмножества АаМп, а К. А. Ситников — для произвольного
подмножества А.
В приведенном виде закон двойственности
Понтрягина был сформулирован П. С. Александровым. В
первоначальной форме утверждалась двойственность в
смысле теории характеров между группами Нр(А; G*)
и Hcn-p-i(B; G), где G* — бикомпактная группа
характеров дискретной группы G. Эквивалентность обеих
формулировок закона двойственности следует из того,
что группа Нр(А; G*) есть группа характеров группы
НР(А; G). Из предположения об ацикличности
многообразия в размерностях ρ и р+1 и из точной
последовательности когомологий пары {Мп, А) вытекает, что
НР(А; G)=Hp + l(Mn, Л; G), поэтому П. д.—простое
следствие двойственности Пуанкаре — Лефшеца (см.
Пуанкаре двойственность).
Наиболее общая форма соотношений двойственности
рассматриваемого типа состоит в следующем. Пусть
Мп — произвольное многообразие (возможно,
обобщенное, не обязательно компактное и не обязательно
ориентируемое), # — локально постоянная система
*ОЙСТВЕННОСТЬ
& 16 Математическая энц., т. 4

483
ПОНТРЯГИНА
484
коэффициентов со слоем G, А — произвольное
подмножество в Мп и Φ — семейство всех замкнутых в Мп
множеств, содержащихся в В=Мп\А. Тогда если
НР(М»; <$) = Hpil(M"; g)=0, то Н^А; &п(%)) =
=Н® _χ(Β\ <§). Здесь Н® — гомологии с замкнутыми
носителями, содержащимися в Φ (т. е. прямой предел
групп Hq(F\ g), FgO), а S%n(<g) — локально
постоянная система коэффициентов, образованная группами
Нп(Мп, Мп\х\ g), х£Мп. В приведенном равенстве
коэффициенты $%п($) для когомологий могут быть
заменены на $, если рассматривать гомологии с
коэффициентами в нек-рой специально определяемой системе.
Лит.: [1] Александров П. С, Топологические
теоремы двойственности, ч. 1 — Замкнутые множества, М., 1955
(Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 48); [2] Масси У., Теория
гомологии и когомологий, пер. с англ., М., 1981.
Е. Г. Скляренко.
ПОНТРЯГИНА ИНВАРИАНТ — инвариант
оснащенных перестроек поверхности с заданным на ней
оснащением. Пусть (М2, U) — замкнутая ориентируемая
поверхность с л-мерным оснащением U в Sn + 2, т. е.
тривиализацией нормального л-мерного расслоения
над поверхностью М2 в Sn + 2. Любой элемент ζ ζ Ηγ{Μ2,
Ζ) может быть реализован гладко иммерсированной
окружностью с самопересечениями, к-рые являются
только двойными и трансверсальными. Пусть выбрана и
зафиксирована нек-рая ориентация окружности S1;
пусть их(у), и2(у), ... , ип(у) — ортогональные векторы,
возникающие из оснащения С/, ограниченного на точку
f(y)-> у£С\ ип + 2(У) — вектор, касательный в точке /(у)
к кривой C=f(y), согласно выбранной ориентации S1;
un + i(y) — вектор, касательный к М2 в точке /(г/),
ортогональный ип+2{у) п направленный так, что
последовательность векторов щ(у), ... , un(y)t un + l(y)t ип+2(у)
дает стандартную ориентацию сферы Sn + 2.
Возникающее отображение h : S1 -> SOn + 2 задает элемент из
группы n1(SOn + 2), к-рая при ιι^\ изоморфна %2.
Пусть β=0, если h гомотопно нулю, и β=1, если h не
гомотопно нулю, и пусть значение функции Ф0 : НХ(М2,
Z) -> Ζ2 равно сумме по mod 2 числа двойных точек
кривой 6', реализующей элемент z, и числа β,
определенного по кривой С. Так, определенное значение Φ0(ζ)
зависит только от гомологич. класса z, и функция
Φ0(ζ) удовлетворяет следующему условию:
Фо (zi + z2) = Ф0 (Ζι) + Φο (*2) + Ф (Ζι> Ч) mod 2,
где Φ : Я^М2, z)X#i(M2, Ζ) -> Ζ — форма
пересечений одномерных гомологии поверхности М2.
^{-инвариант функции Ф0 и наз. инвариантом Π о н-
т ρ я г и н а пары (М2, U). Пара (М2, U) оснащенно
перестраивается до пары (S2, U) тогда и только тогда,
когда П. и. пары (М2, U) равен нулю (теорема Понт-
р я г и н а).
П. и. может быть реализован (л+2)-мерным
оснащением на торе, гС^2, и является единственным
инвариантом двумерных оснащенных кобордизмов. П. и. задает
изоморфизм nn+2(Sn)^ Zг» гс>2.
Лит.: [1] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Гладкие многообразия и
их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976.
TS/f A ITTyYLCi'H/b'K.o
ПОНТРЯГИНА КВАДРАТ— когомологическая опер а-
h, 2щ ζ ft + ι, 4и), т. е. отображение
ция
типа (
.: Я2"
(*'у; W
Я4"
(X,
Y; z.
О·
определенное для любой пары топологич. пространств
(Χ, Υ) и такое, что для любого непрерывного
отображения / : (Χ, Y) -> (X', У) имеет место равенство
/*5V=«9V* (естественность).
П. к. обладает следующими свойствами:
1)5*2 (w + f)=5>2W + 5V' + i('"')> гДе*:
о* + 1
— вложение;
2)p5V="2 и р2ри = и2, где р: Я* (X, У; Ζ2* + ι) —>
-+Η·(Χ, У; %2ь)
— гомоморфизм приведения по mod 2;
3) 5»οΣ = Σ5\ где Σ : Н2"-\Х\ G) -> Η2"(ΣΧ; G) —
изоморфизм надстройки, а $* — Постникова квадрат
(иными словами, когомологич. надстройкой над fp2
является $>). Если
5V К (Zf*. 2д)— K(z2k + l, An)
и
р: К (Zfik, 2λ-1)-+*(Ζεα + ι· **-lj
— представляющие отображения, то Ω^2=55·
Свойства 1), 2) однозначно характеризуют П. к. и
потому могут быть приняты за определяющие его
аксиомы. Конструктивно П. к. определяется формулой
^>2 {и} = {uv0u -\- uvi&u} mod 2Λ + 1,
где и£С2п(Х; ζ) — коцикл mod 2Λ (о ^//-произведениях
см. ст. Стинрода квадрат).
Существует (см. [5], [6]) обобщение П. к. на случай
произвольного нечетного простого р. Это обобщение
является когомологич. операцией типа (Ζ & 2л; Ζ £+ι,
2рп) и наз. р-й степенью Понтрягина 3*р.
Для операции 3*р имеют место формулы (к-рые эту
операцию однозначно характеризуют):
^ν«+»)=5ν+5»« + ί (2^ \ (?) u'uP-i)
7j Λ + ] — вложение;
где i : Ζ k
ρ
P9*pl
}pu--
гдер:Я*(Х, У; Ζ Λ + ι)-*#*(*, Υ; Zpk) -
гомоморфизм приведения по модулю р, обобщающие
соответствующие формулы для 5V Аналог формулы 3) для $*р
имеет вид ff*p£ = 0, означающий, что когомологич.
надстройка над 9*р при р>2 равна нулю. При р>2 имеет
место равенство 9*ρ(νυ)~0>ρυ,)(9>ρϋ), в к-ром
умножение можно считать как внешним (X-умножением),
так и внутренним ((J-умножением). При р=2
соответствующее равенство имеет место только с точностью до
слагаемых порядка 2.
Наиболее общим образом П. к. определяется для
когомологий над произвольной конечно порожденной абе-
левой группой π (см. [21, [3]). Окончательный вид этого
обобщения (см. [6]): П. к. представляет собой кольцевой
гомоморфизм
^*: Г (Я2" (Χ; π)) — Я* (Χ; Γ (π)),
где Г — функтор разделенных степеней алгебры. Если
π=2η, то р-я компонента этого гомоморфизма
совпадает с р-й степенью Понтрягина $*р (при р=2 — с П. к.
Лит.: [1] Π о н τ ρ я г и н Л. С, «Докл. АН СССР», 1942,
т. 34, с. 39—41; [2] Болтянский В. Г., Гомотопическая
теория непрерывных отображений и векторных полей, М., 1955;
[3] Постников Μ. Μ., «Докл. АН СССР», 1949, т. 64,
№ 4, с. 461—62; [4] Browder W., Thomas E., «Quart.
J. Math.», 1962, v. 13, p. 55—60; [5] Thomas E., «Proc.
Nat. Acad. Sci. USA», 1956, v. 42, p. 266 — 69; [6] e г о же,
The generalized Pontrjagin cohomology operations and rings with
divided powers, Providence, 1957.
С. Н. Малыгин, Μ. Μ. Постников.
ПОНТРЯГИНА КЛАСС — характеристический класс,
определенный для действительных векторных
расслоений; П. к. введены в 1947 Л. С. Понтрягиным [1]. Для
векторного расслоения ξ с базой В П. к. обозначаются
символом ρζ·(ξ)ζ^4ί' (В)' и полагаются равными
Ρι(ί)=(—ΐΥ c2i (S®C), где £g)C — комплексификация

485 понтряп
расслоения ξ, а с^ — Чжэня классы. Полным П. к.
наз. неоднородный характеристич. класс ρ=1+Ρι+
+р2+··· · Иначе говоря, П. к. определяются как
классы когомологий pj£H4i(BOn), задаваемые
равенством Pi=f*((—l)< c2i)t где / : ВОп-+ (BUn) —
отображение, соответствующее комплексификации унирер-
сального расслоения, a cn£H2k(BUn) — классы Чжэня.
Пусть (x„)R — овеществление универсального
расслоения кп над BUn. Полный П. к. p((xn)R) расслоения
(*»)r совпадает с 11*^(1+ж*) ζΗ*(ΒUп), где ^, ...,*„-
образующие By (см. Характеристический класс).
Частичное описание кольца когомологий Н*(ВОп)
может быть получено в терминах образующих By
следующим образом. Отображение g ; BU^n/2, -> ВОп,
соответствующее расслоению (x[n/2])R либо" (κ[η/2])Κ®θι ,
где θχ — одномерное тривиальное расслоение,
индуцирует гомоморфизм колец g*:H*(BOn)-+ Η*(Βϋ^η/2,),
при к-ром подкольцо кольца Н*(ВОп), порождаемое
П. к. ри р2, ..., ρίη/2\ отображается мономорфно на
подкольцо кольца B*(BUn), состоящее из всех четных
симметрич. полиномов от образующих By. Четность
понимается в том смысле, что каждая переменная xt
должна входить в полином в четной степени. Тем самым
получается выражение любого элемента кольца Ъ (pj,...
···» Ρ[η/2])<=:Η*(ΒΟη) через образующие By, что важно
для практич. вычислений с П. к. Характеристич. класс,
определяемый четным симметрич. полиномом от
образующих By, может быть выражен через П. к.
следующим образом. Полином выражается через элементарные
симметрич. функции переменных х\, ... , х\, а затем
вместо элементарных симметрич. функций
подставляется П. к.
Если ξ, η — два действительных векторных
расслоения над общей базой, то класс когомологий ρ(ξφη) —
—ρ(ξ)ρ(η) имеет порядок не больше двух; это связано
с тем, что для первого класса Чжэня с1(Х)=—с1{К).
Пусть нек-рое кольцо Λ, содержащее V2,
рассматривается в качестве кольца коэффициентов и пусть /?,· —
П. к. со значениями в #*(·; Λ). В этом случае имеет
место равенство
P(l®T))=P(l)p(r\)
или
Ρ*(ΕΘη) = 2.Ρ*-«(&)Ρ/(η), *ο = 1.
Кольцо Н**(ВОп; А) мономорфно отображается в
/у**(2?[/ · Λ), и образ этого отображения совпадает
с подкольцом всех четных симметрич. рядов с
образующими By в качестве переменных. При этом полный П. к.
переходит в полином U^p(l+xc), а П. к.— в
элементарные симметрич. функции от переменных х\, ..., х\ .
Теорема:
Н**(ВОп; Λ)=Λ[[Ρ1, ..., Р[я/а]]].
Кольцо когомологий H*(BSOn) содержит кроме П. к.
также эйлеров класс e£Hn(BSOn). Теорема:
H"(BSOzk + 1; A)=A[[plf ..., pk, e]],
H**(BS02k; A)=A[[plf ..., j>*-i, «]],
для пространства BS02k имеет место равенство pk=e2.
Отображение g: BU^n,2^-^ BOn пропускается через
BUrn,2,-+ BSOn. Индуцированное отображение
H**(BSOn) -+ H**(BU)[n/2] переводит е в нуль при
нечетном лив n™L\xi при четном п.
Пусть f(t)£Q [[t]] — четный формальный степенной
ряд над полем Q. Тогда ряд П?!^V(#/) определяет не-
А КЛАСС 486
к-рый неоднородный элемент кольца Н**(ВОп; О), т. е.
характеристич. класс. Допуская нек-рую вольность,
можно записать
ж = П!=11/^)€^**№0„; Q).
Характеристич. класс χ стабилен (то есть #(ξ0θ)=
= я(£)» где θ — тривиальное расслоение) тогда и только
тогда, когда свободный член ряда f (t) равен единице.
Если положить f(t)=t/th t, то построенный описанным
способом характеристич. класс обозначается через L
и наз. L-κ лассом Хирцебруха,
Стандартная процедура выражения ряда П/(я,·) через
элементарные симметрич. функции переменных х\, ...
..., xfi приводит к представлению класса L в виде ряда
от П. к. Другой важный для приложений
характеристич. класс получается, если положить
f(t) = . t/2 = ί
Т[) sh(f/2) e*l*-e-tl* '
Класс, задаваемый четным симметрич. рядом
Π ><*<>=Π «г^·
наз. А -классом. Аналогично, 4-кл ассом
наз. характеристич. класс, задаваемый рядом П/(я£·),
IX
где f(t) = sh cny Оба эти класса, как и £, могут быть
выражены через П. к.
Топологическая инвариантность.
В 1965 С. П. Новиков [2] доказал, что П. к. с
рациональными коэффициентами двух гомеоморфных
многообразий совпадают. До этой работы было известно, что
рациональные П. к. кусочно линейно инвариантны, т. е.
совпадают для двух кусочно линейных гомеоморфных
многообразий. Более того, были определены (см. [4])
рациональные П. к. для кусочно линейных
многообразий (возможно с краем). Был дан пример (см. [5]),
показывающий, что целочисленные П. к. не являются топо-
логич. инвариантами.
В 1969 было доказано (см. [7]), что слой Top/PL
расслоения BPL -> В Тор имеет гомотопич. тип
пространства Эйленберга — Маклейна К(%2, 3). Отсюда
следует топологич. инвариантность рациональных П.
к., а также вытекает опровержение основной
гипотезы комбинаторной топологии
(Hauptvermutung).
Обобщенные классы Понтрягина.
Пусть h* — обобщенная теория когомологий, в к-рой
определены классы Чжэня аг·. Если для одномерного
комплексного векторного расслоения λ выполнено
равенство σι(λ) = — σι (λ), то П. к. со значениями в
теории h* можно определить прежней формулой /?ί·(ξ)=
=(—1)*'а2ДЛ®С). Определенные таким образом классы
будут обладать свойством Ρ(ξφη)=Ρ(ξ)Ρ(η), где Р =
= 1+Ρ1+Ρ2+···~~ полный П. к., рассматриваемый в
теории h*®% [1/2].
Однако во многих практически используемых
обобщенных теориях (напр., в ϋΓ-теории) приведенное
равенство для σχ не имеет места. В таких теориях
нецелесообразно определять П. к. описанным способом, т. к.
при таком определении не выполняется обычная
формула для полного класса суммы двух расслоений, даже
после включения V2 в коэффициенты. Можно определять
обобщенные П. к. следующим образом. Пусть h* —
мультипликативная теория когомологий, в к-рой
универсальным образом задана ориентация w(£(g)C)£
16*

487 понтр
£h2n(B^№ ) расслоения , где ξ — произвольное
гс-мерное действительное расслоение над В Пусть
e(t®^) — эйлеров класс расслоения , έ?(ξ(£)£)=
= i*u(l®C), где i : В -> В*№ — включение нулевого
сечения. П. к. в теории h* наз. характеристич. классы
Рг·, определенные для действительных векторных
расслоений и удовлетворяющие следующим условиям
i) Pi (ξ)=0, если i > 2 dim ξ;
2) Ρi(\@fy= Ρi(\)·> где θ — тривиальное расслоение;
3) ^л(бфП)—Σι^ί(6)^Λ-ι(η) — элемент порядка
степени двойки;
4) Ρη(ξ) = (—l)»e(g®C), где » = dim£.
Доказано существование и единственность
характеристич. классов с перечисленными свойствами. П. к.
в этом смысле приводят к понятию двузначной
формальной группы над кольцом h*(pt), соответствующей
теории h*.
Характеристич. классы лг- в Z-теории определяются
следующей формулой:
2-«i (6)*' = 2£<—1)i/'v/(E®C) = V-t(E®C) =
= \/(i-i)((le(~dimg))®C)'
где s=t—t2, здесь yi — Чжэня классы в ζ 2-градуиро-
ванной Z-теории.
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т.
21, с. 233—84; [2] Новиков С. П., «Докл. АН СССР»,
1965, т. 163, с. 298—300; 13] Б у χ ш τ а б е ρ В. Μ., «Матем.
сб.», 1970, т. 83, с. 575—95; [4] Рохлин В. Α., Ш в а р ц
А. С, «Докл. АН СССР», 1957, т. 114, с. 490—93; [5] Μ и л-
н о ρ Д ж., «Математика», 1959, т. 3, № 4, с. 3—53; 1965, т. 9,
№ 4, с. 3—40; [6] С τ о н г Р., Заметки по теории кобордизмов,
пер. с англ., М., 1973; 17] Kirby R., Siebenmann L.,
Foundational essays on topological manifolds, smoothings and
triangulations, Princeton, 1977. А. Ф. Харшиладзе.
ПОНТРЯГИНА ПОВЕРХНОСТИ — лежащие в
четырехмерном евклидовом пространстве R4 двумерные
континуумы Ст, dim Cm=2, такие, что их
гомологическая размерность по данному модулю т— 2, 3, ... равна
\ и что они в этом смысле «размерно неполноценны».
Л. С. Понтрягин [1] построил такие поверхности С2,
С3, что их топологич. произведение С~С2Х С3 есть
континуум размерности 3. Этим была опровергнута
гипотеза, что при топологич. перемножении двух
(метрических) компактов их размерности складываются. Им же
эта гипотеза доказана для гомологич. размерности по
простому модулю и вообще по всякой группе
коэффициентов, являющейся полем. Построен также [2]
двумерный континуум С в R4, топологич. квадрат к-рого С2—
= СхС трехмерен.
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, «С.г. Acad, sci.», 1930,
t. 190, p. 1105—07; [2] Болтянский В., «Успехи матем.
наук», 1951, т. 6, в. 3, с. 99—128; [3] Александров П. С,
Введение в гомологическую теорию размерности и общую
комбинаторную топологию, М., 1975. П. С. Александров.
ПОНТРЯГИНА ПРИНЦИП МАКСИМУМА —
соотношения, выражающие необходимые условия
сильного экстремума для неклассической вариационной
задачи оптимального управления математической теории.
Сформулирован в 1956 Л. С. Понтрягиным (см. [1]).
Принятая формулировка П. п. м. относится к
следующей задаче оптимального
управления. Дана система обыкновенных
дифференциальных уравнений
x = f(x, и), (1)
где х£Rn — фазовый вектор, u£Rp —
управляющий параметр, / — вектор-функция,
непрерывная по совокупности переменных и непрерывно
дифференцируемая по х. В пространстве Rp задано
множество U допустимых значений управляющего параметра и;
в фазовом пространстве IR" даны точки х° и я1; фикси-
гина 4*$
роваи начальный момент времени ^.Допустимым
управлением является любая кусочно
непрерывная функция и (t), ί0<ί<:ί1, со значениями во
множестве U. Говорят, что допустимое управление u=u(t)
переводит фазовую точку из положения х° в
положение х1 (х° —^я1), если соответствующее ему решение
x(t) системы (1), удовлетворяющее условию x(t0) = x°,
определено при всех t£[t0, tx] и χ (t1)=x1. Среди всех
допустимых управлений, переводящих фазовую точку
из положения х° в положение ж1, требуется найти о п-
тимальное управление — функцию u*(t),
минимизирующую функционал
/=Jj>(*(*), u(t))dt, (2)
здесь f°(x, и) — заданная функция того же класса, что
и компоненты f(x, и), x(t) — решение системы (1) с
начальным условием я(£0) — х°, отвечающее управлению
u(t), tx — момент прохождения этого решения через
точку х1. Под решением задачи понимают пару,
состоящую из оптимального управления u*(t) и отвечающей
ему оптимальной траектории x*(t) системы (1).
Пусть
Я (ψ, χ, κ) = (ψ, f(x, и))
— скалярная функция (гамильтониан) переменных ψ ,
χ, и, те ψ=(ψ0, ψχ)€κ"+1. !>o€R1> V€*n, /=(Λ /)·
Функции Я(г|?, χ, и) ставится в соответствие
каноническая (гамильтонова) система (относительно ψ, χ)
dt ~ d\|> ' dt ~ дх' ^ '
(первое из этих уравнений есть система (1)). Пусть
Μ (ψ, x) = sup{H (ψ, χ, и) \u£U).
Принцип максимума Понтрягин а:
если u*(t), x*(t) (ί£[ί0» *il) — решение задачи
оптимального управления (1), (2) (ж0-»-я1, u£U), то существует
такая ненулевая абсолютно непрерывная функция
ψ (£), что тройка функций ψ (г), x*(t), u*(t)
удовлетворяет на [t0, tx] системе (3) и для почти всех t£[t0, tx]
выполняется условие максимума
Я(1|?(0, *·(*)> u*{t)) = M(Tp{t),x*(t)), (4)
а в конечный момент tx — условия
M(^(t1),x(t1)) = 0, ψ0(*ι)<0. (5)
Если функции ψ(ί)» я (О» м (0 удовлетворяют
соотношениям (3), (4) (то есть x(t), u(t) образуют
экстремаль Понтрягин а), то имеют место условия
od(t) = M (ty{t), *(*))== const, ψ0(*) = const.
Из данного утверждения вытекает принцип
максимума для задачи о быстродействии (/°=1, J=tx—t0). Это
утверждение допускает естественное обобщение на
неавтономные системы, задачи с подвижными концами
траекторий и задачи с ограничениями на фазовые
координаты (условием #(£)£Х,где X — замкнутое множество
фазового пространства R", удовлетворяющее нек-рым
дополнительным ограничениям (см. [1])).
Допущение к рассмотрению замкнутых множеств Z7,
X (эти области могут, в частности, задаваться
системами нестрогих неравенств) обусловило неклассич.
характер задачи. Основные необходимые условия
классического вариационного исчисления с обыкновенными
производными вытекают из П. п. м. (см. [1], а также
Вейерштрасса условия).
Распространенное доказательство изложенной
формулировки П. п. м., основанное на использовании т. н.
игольчатых вариаций (т. е. на
рассмотрении допустимых управлений, отклоняющихся от
оптимального произвольным образом, но зато лишь на конеч-

489
ПОНТРЯГИНА
490
ном числе малых интервалов времени), состоит в
линеаризации задачи в окрестности оптимального решения, в
построении нек-рого выпуклого конуса вариаций
оптимальной траектории и последующем использовании
теоремы об отделимости выпуклых конусов (см. [1]).
Соответствующее условие далее записывается в аналитич.
форме (4), (3), в терминах максимума гамильтониана
Я(г|?, х, и) от фазовых переменных х, управлений и и
сопряженных переменных ψ, играющих
роль, аналогичную Лагранжа множителям в
классическом вариационном исчислении. Эффективное
использование П. п. м. часто приводит к необходимости решать
двухточечную краевую задачу для системы (3).
Наиболее полное решение задачи оптимального
управления получено для линейных систем, где
соотношения П. п. м. часто выступают не только как
необходимое, но и как достаточное условие оптимальности.
П. п. м. получил многочисленные обобщения, напр.,
в направлении охвата более сложных неклассич.
ограничений (в том числе смешанных ограничений на
управления и фазовые координаты функциональных и
разнообразных форм интегральных ограничений), в изучении
достаточности соответствующих условий, в
рассмотрении обобщенных решений, т. н. скользящих режимов,
систем дифференциальных уравнений с негладкой
правой частью, дифференциальных включений, задач
оптимального управления для дискретных систем и систем
с бесконечным числом степеней свободы, описываемых,
в частности, уравнениями с частными производными,
уравнениями с последействием (в том числе с
запаздыванием), эволюционными уравнениями в банаховом
пространстве и т. д. Последнее привело к рассмотрению
новых классов вариаций соответствующих функционалов,
введению т. н. интегрального принципа максимума,
линеаризованного принципа максимума и т. д. Весьма
общие классы вариационных задач с неклассич.
ограничениями (в том числе в виде нестрогих неравенств)
или негладкими функционалами принято называть
задачами понтрягинского типа.
Открытие П. п. м. послужило важным стимулом в
создании математич. теории оптимального управления. Оно
стимулировало новые исследования в теории
дифференциальных уравнений, функциональном анализе и
теории экстремальных задач, вычислительной математике
и других смежных областях.
Лит.: [1] ПонтрягинЛ. С, Болтянский В. Г.,
Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Ε. Φ.,
Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976.
А. Б. Нуржанспий.
ПОНТРЯГИНА ПРОСТРАНСТВО — гильбертово
пространство с индефинитной метрикой Πκ , имеющей
конечный ранг индефинитности κ. Основные факты
геометрии П. п. установлены Л. С. Понтрягиным [1].
Помимо фактов, общих для пространств с индефинитной
метрикой, имеют место следующие.
Если 5* — любой неотрицательный линеал в Πκ , то
dim 5*<κ"» если 5* — положительный линеал и dim^ =
= κ, то его /-ортогональное дополнение N является
отрицательным линеалом и Πκ=5>@^ν. При этом N
представляет собой полное пространство по отношению
к норме \х\ — У—/(#, х). Если линеал LaHy,
невырожден, то невырождено его /-ортогональное дополнение Μ
и Πκ = Λ/0£.
Спектр (в части стп, дискретный спектр)
/-унитарного (/-самосопряженного) оператора симметричен
относительно единой окружности (действительной оси), все
элементарные делители, отвечающие собственным
числам Λ, |'λ|'>ί, имеют конечный порядок ρλ, ρλ<κ, ρλ=
= ρλ—1. Сумма размерностей корневых подпространств
/-унитарного (/-самосопряженного) оператора,
отвечающих собственным числам λ, |λ|>1 (Im λ>0), не
превосходит числа κ.
Основой теории /-самосопряженных операторов,
действующих в П. п. Πκ , является следующая теорема
[1]: у каждого /-самосопряженного оператора A (D (А)=
= Πκ) существует κ-мерное (максимальное)
неотрицательное инвариантное подпространство J7*, в к-ром все
собственные значения оператора А имеют
неотрицательную мнимую часть, и κ-мерное неотрицательное
инвариантное подпространство $~\ в к-ром все собственные
значения имеют неположительную мнимую часть.
Аналогичное утверждение с заменой верхней (нижней)
полуплоскости на внешность (внутренность) единичного
круга справедливо и для /-унитарных операторов, а
при нек-рых дополнительных условиях — даже для
операторов в пространстве Поо.
Если U есть /-унитарный оператор, то его
максимальные инвариантные неотрицательные
подпространства ς$\ £Г' могут быть выбраны таким образом, чтобы
порядки элементарных делителей операторов U ψ=
= υ\$Ί U ψ,= U\$" были минимальны. Для того чтобы
многочлен Ρ (λ), не имеющий корней внутри единичного
круга, обладал свойством: (P(U)x, P(U)x)<.Q, ;ζζΠκ,
необходимо и достаточно, чтобы он делился на
минимальный аннулирующий многочлен оператора U ψ .
Если оператор U — циклический, то его
неотрицательные инвариантные подпространства размерности κ
определяются единственным образом. В этом случае
указанное свойство многочлена Р, корни {λ,·} к-рого
лежат вне единичного круга |Х,|>1, эквивалентно
делимости Ρ (λ) на характеристич. многочлен оператора
В П. п. Πκ у каждого вполне непрерывного
/-самосопряженного оператора А такого, что нуль
принадлежит его непрерывному спектру, остаточный спектр
отсутствует. Корневые векторы такого оператора образуют
базис Рисса в Πκ по отношению к (дефинитной) норме
(1/1*, χ).
Многие факты об инвариантных подпространствах и
спектре обобщаются на случай /-изометрических и /-не-
растягивающих операторов. Так, если λχ, ... , λη —
произвольная совокупность собственных значений /-
изометрического оператора, λ^λ^Ι, h A=l, ... , и,
и порядок элементарного делителя в точке λ/, то 2ιΡί^
<κ. Всякий /-нерастягивающий ограниченно
обратимый оператор Τ обладает κ-мерным инвариантным
неотрицательным подпространством ^таким, что все
собственные значения сужения Т\£Г лежат в единичном
круге [2]. Аналогичный факт верен для максимальных
/-диссипативных операторов. Вообще /-диссипативный
оператор A, D (A)aD (А*), имеет не более κ
собственных значений в верхней полуплоскости. Между
/-изометрическими и /-симметрическими (и, более широко,
/-нерастягивающими и /-диссипативными)
операторами устанавливается связь с помощью Кэли
преобразования, к-рое в пространстве Πκ обладает всеми
естественными свойствами [2]. Это позволяет развивать
теорию расширений одновременно для
/-изометрических и /-симметрических операторов. В частности,
всякий /-изометрический (/-симметрический) оператор
может быть расширен до максимального. Если его
индексы дефекта не одинаковы, то у него нет /-унитарных
(/-самосопряженных) расширений. Если же они
одинаковы и конечны, то любое максимальное
расширение является /-унитарным (/-самосопряженным).
Для вполне непрерывных /-диссипативных
операторов в П. п. Πκ верен также ряд утверждений о полноте
системы корневых векторов, аналогичных
соответствующим фактам из теории диссипативных операторов в
пространствах с дефинитной метрикой.

491
ПОНТРЯГИНА
492
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, «Изв. АН СССР. Сер.
матем.», 1944, т. 8, с. 243—80; [2] И о χ в и д о в И. С, К ρ е й н
М. Г., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1956, т. 5, с. 367—432; [3]
их же, там же, 1959, т. 8, с. 413—^96; [4] А з и з о в Т. Я.,
И о χ в и д о в И. С, «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, в. 4,
с. 43—92; [5] К ρ е й н М. Г., в кн.: Вторая летняя
математическая школа, [т.]1, К., 1965, с. 15—92; [6] Найма ρ к М.
Α., И с м а г и л о в Р. С, в кн.: Итоги науки. Математический
анализ, 1968, в. 17, М., 1969, с. 73—105; [7] Надь К.,
Пространства состояний с индефинитной метрикой в квантовой
теории поля, пер. с англ., М., 1969.
Н. К. Никольский, Б. С. Павлов.
ПОНТРЯГИНА ХАРАКТЕР ph —
характеристический класс, определяемый равенством ρη(ξ)=οη(ξ(χ)
®С), где |(х)С — комплексификация расслоения ξ,
en — Чжэня характер. П. х. как элемент кольца
Н**(ВОп; Q) задается четным симметрия, рядом
ΣΓτι/ 21 χ · χ ·
i=i (e iJre 0 и обладает свойствами
ρπ(ξ®η) = ρ1ιξ.ρπη, ph (ξ ©η) = ph ξ+ρΐιη.
Индексный класс 1(1) полагается равным Γ(),
где T£H**(BUn; Q) — Тодда класс. Индексный класс
I£H**(BOn] Q) выражается через образующие By по
формуле
Имеет место следующая теорема о связи П. х. с
классом А. Пусть ξ — действительное векторное расслоение
над базой В, имеющее Spin^-структуру, 7i=dim ξ=8&.
Для таких расслоений имеется изоморфизм Тома в
действительной Я-теории:
Ф: КО*(В) —► КО* (В1).
Пусть
ФЯ: Н* (В; Q)^H*(Bl; Q)
— изоморфизм Тома, однозначно определенный
ориентацией расслоения ξ. Тогда
Φ^ρπίΦα^^-ξ).
Эта формула является точным аналогом
соответствующего утверждения о связи характера Чжэня с классом
Тодда.
Если ξ — комплексное векторное расслоение, то
Τ(1) = А ((1)^)е°1^/2, здесь (ξ)κ — овеществление
расслоения, Τ — класс Тодда.
Лит. см. при ст. Понтрягина класс. А. Ф. Харшиладзе.
ПОНТРЯГИНА ЧИСЛО — характеристическое
число, определенное для действительных замкнутых
многообразий и принимающее рациональные значения.
Пусть χζΗ**(ΒΟ; Q) — произвольный (необязательно
однородный) стабильный характеристический класс.
Для замкнутого ориентированного многообразия Μ
рациональное число χ [Μ]~(χ(τΜ), [Λ/]> наз.
числом Понтрягина многообразия М,
соответствующим классу х, здесь %М — касательное расслоение.
П. ч. χ \М\ зависит лишь от однородной компоненты
степени dim Μ класса χ. Пусть ω= {^, ... , i^} —
разбиение числа л, т. е. набор целых неотрицательных
чисел £1? ..., i/lci1+... + ik=nmp(u=pii, ...,ρ.ζΗ*η(ΒΟ).
Рациональные числа ρω[Μ] определены для замкнутого
многообразия Μ размерности 4л и всех разбиений ω
числа η.
П. ч. χ [Μ], χ [Ν] двух бордантных (в
ориентированном смысле) многообразий Μ, Ν равны: χ [Μ] = χ [Ν]
(теорема Понтрягина).
Согласно этой теореме каждый характеристич. класс
х£Н**(ВО; Q) индуцирует гомоморфизм χ [ ] : Ω?° ->
-► Q, а каждый элемент [Μ] ζ Ω* индуцирует
гомоморфизм Н**(ВО; Q) -+ Q, χ -+ χ [Μ]. Другими словами,
имеется отображение
φ: Ω$° -+ Нот (Я** (ВО; Q); Q).
Если все П. ч. и Штифеля числа двух ориентированных
замкнутых многообразий совпадают, то эти
многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
Задача, аналогичная проблеме Милнора — Хирце-
бруха для квазикомплексных многообразий, состоит в
том, чтобы описать образ отображения φ. Решение этой
задачи основано на рассмотрении П. ч. в if-теории,
соответствующих Понтрягина классам π,- в К -теории. Пусть
ω= {*!, ... , ίη} — набор целых неотрицательных чисел,
£ω(ρ) и Saiep) — характеристич. классы,
определяемые четными симметрич. рядами
S®(xl,...,x%) и 5ω (e*i + e-*, —2, ..., ех^-\-е~Хп — 2)
соответственно, здесь S®^, ..., tn) — минимальный
гх г.
симметрич. полином, содержащий одночлен ti , ... , tkR,
n>h+...+ik. Пусть Я*с:Нот(Я**(ЯО; Q); Q) —
множество таких гомоморфизмов Ь : Я** (ВО; Q) —>· Q,
для к-рых b (Sω(ρ)) ζ Ζ, b(S(u(ep)L)^z[i/2] при всех
наборах ω. Тогда образ гомоморфизма
φ: QSO -> Нот (Н** (ВО; О); Q)
Совпадает с В* (теорема Стонга — Хаттори).
Характеристич. числа L [М] и Α [Λί],
соответствующие классам L, A £H**(BO; Q), наз. L-p о до м и
Л-р о д о м соответственно многообразия Μ.
Для замкнутого многообразия М, размерность к-рого
делится на 4, имеет место равенство L [M] = I (М), где
I (M) —сигнатура многообразия, т. е. сигнатура
квадратичной формы пересечения, определенной наЯп/2(Л/),
п— dim M (теорема Хирцебруха). Для
замкнутого спинорного многообразия Μ четной
размерности спинорный индекс Μ, т. е. индекс оператора
Дирака на М, совпадает с А [М].
Лит. см. при ст. Понтрягина класс. А. Ф. Харшиладзе.
ПОПЕРЕЧНИК множества — величина,
характеризующая уклонение множества в метрич.
пространстве от нек-рой системы объектов (как правило,
конечномерных) при определенном методе приближения,
а также величина, характеризующая точность
восстановления элемента из данного множества при
определенном методе кодирования. Наиболее изучены П.,
характеризующие возможность аппроксимации множества
конечномерными компактами и конечномерными
линейными многообразиями (поперечники по Александрову
и поперечник по Колмогорову).
Пусть X — нормированное пространство с единичным
шаром Я, CczX — аппроксимируемое подмножество
в X, Щ,— {А }, АаХ,— нек-рая совокупность
аппроксимирующих подмножеств, F (С, А) — нек-рая
совокупность отображений / : С-► А, наконец, $~$(С, Щ~
~UA£^F(C, A) — заданная совокупность
отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее
множества. Число
р9(С, Х)= inf sup \\x-f (χ) || (1)
характеризует величину уклонения аппроксимируемого
множества С от совокупности аппроксимируемых
множеств 51 при методе аппроксимации JJ.
Большинство П., характеризующих аппроксимаци-
онные свойства того или иного аппарата приближения,
задаются по типу (1).
Если 51=0Лдг—совокупность {Мн) всех линейных
многообразий (т. е. сдвигов линейных подпространств)
размерности <iV, a F (С, Μ ν) — совокупность всех
отображений из С в М^ то величина (1), называемая
iV-n оперечником по Колмогорову
множества С и обозначаемая обычно άχ(0, Χ),
характеризует минимальное уклонение данного множества С

493
ПОПЕРЕЧНИК
494
от TV-мерных линейных многообразий, т. е. характеры-
зует аппроксимативные возможности TV-мерных
линейных многообразий. Другие равносильные и
общепринятые определения άχ таковы (см. [1]):
d]\r(C,X)= inf sup inf \\x — y\\ =
{MN} x£C y€MN
= inf inf {ε > 0| С αΜΝ + εΒ\. (V)
{MN} ε
Если 31=ЯЛдг (или=£дг — совокупности всех
подпространств {LN} размерности <TV, a F (С, M^)(F (С,
Ln)) — совокупность всех аффинных (линейных)
непрерывных отображений из С в Mw(L#), то величина
(1), обозначаемая αχ(ϋ, Χ)(λ#(0, Χ)) и называемая а ф-
ф и н н ы м (линейным) TV-n оперечником,
характеризует аппроксимативные возможности
аффинных (линейных) TV-мерных отображений.
Если ЭД=$аг есть совокупность {К#} всех TV-мерных
компактов (или, равнозначно, всех TV -мерных
полиэдров), a F (С, Κχ) — множество всех непрерывных
отображений из С в К χ, то величина (1), называемая TV-n ο-
перечником по Александрову и
обозначаемая ах(С, X), характеризует степень
аппроксимации множества С TV-мерными компактами.
Если 5ί=Σ;ν — совокупность {ξ^γ} всех TV-точечных
множеств ξ^ί^ι* ... , χχ) в X, a F (С, ξ^) —
совокупность всех отображений из С в ζΝ, то П. (1),
обозначаемый едг(С, X), характеризует наименьшее уклонение
данного С от TV-точечных множеств, т. е. характеризует
аппроксимативные возможности TV-точечных множеств.
Все введенные выше аппроксимативные П. зависят
от объемлющего пространства X и могут изменяться
при погружении С с его метрикой в другое
нормированное пространство.
Другой тип П. связан с задачами «кодирования»
элементов множества С элементами другой природы
или, как этот процесс еще иначе называют, с задачей
восстановления. Пусть С — метрич. пространство, Ζ—
= {ζ} — нек-рая совокупность «кодирующих» множеств,
φ (С, ζ) — нек-рая совокупность отображений / : С —>-
-> ζ. Наконец, Ф=Ф (С, Z)=\J^eZ(p (С, ζ) — заданная
совокупность методов кодирования. Величина
рф(С) = М sup D (/-42)), (2)
feo zef(C)
где через D (Ε) обозначен диаметр множества Е,
характеризует восстановимость элементов множества С по
информации, «закодированной» элементами множеств ζ
из Ζ с помощью отображений из Ф. Большинство П.,
связанных с процессами восстановления, задается по
типу (2).
Если Φ — совокупность всевозможных отображений
из С в Ζ, состоящего из одного множества {1, ... , TV},
то П. (2), обозначаемый eN(C), характеризует точность
восстановления элемента с помощью таблицы,
состоящей из TV элементов. Если С лежит в линейном
нормированном пространстве X и Φ — совокупность всех
непрерывных аффинных отображений из X в R^, то
величина, равная рф(С)/2, где рф(С) определено в (2),
называемая TV-поперечником по Гель-
фа н д у и обозначаемая dN(C), характеризует точность
восстановления элементов по их образам при аффинных
отображениях в RTV. Для центрально-симметричных
множеств величины dN имеется другое равносильное
определение:
N
dN (C)= inf sup||ж|| = inf sup {ε > Ъ\С[\ЬагВ], (2')
{Ν) x€Cf)LN {/ν} ε
где LN — замкнутое подпространство коразмерности TV.
Пусть Ζ состоит из всех TV-мерных компактов {Кдт},
φ (С, К^) — совокупность всех непрерывных
отображений из С в Κχ, Ф= (J Φ (С» Κν)> тогда (2) называется
{κν}
TV-поперечником по Урысону и
обозначается ujy(C). Другое равносильное и общепринятое
определение поперечника Урысона таково: uN(C) есть
нижняя грань диаметров покрытий множества С
кратности <TV+1. Поперечник по Урысону характеризует
степень TV-мерности (с точки зрения брауэровской
размерности) множества С.
Впервые величину, названную впоследствии П., ввел
в 1923 П. С. Урысон (см. [2]), когда он определил и#.
В 1933 П. С. Александров [3] вскрыл
аппроксимативные аспекты теории размерности, что привело его к
определению aN. В 1936 А. Н. Колмогоров [1]
определил άχ — именно этот П. наиболее интенсивно
изучался далее в теории приближений. В 1931 JI. С. Понтря-
гин и Л. Г. Шнирельман (см. [4]) выразили размерность
(топологич. характеристику), использовав
асимптотическую метрич. характеристику Νε (С) (обратную к
поперечнику eN(C)), равную для метрич. пространства С
наименьшему числу элементов 2г-покрытия для
множества С. Интерес к подобным величинам возрос в 50-х гг.,
когда А. Н. Колмогоров [5], базируясь на идеях теории
информации, ввел величину TVe (С, X) (обратную к
поперечнику ejv(C, X)) и сформулировал программу
исследований величин типа TVe(C), TVe (С, X) и им подобных
как специальный раздел теории приближений,
связанный с вопросами наилучшего табулирования функций.
Двоичный логарифм величины TVe(C, X) получил
название г-энтропии множества С, a log2TVe (С) —
абсолютной ε-энтропии множества С.
Получено множество конкретных результатов, где
те или иные П. (названные выше и иные) вычислялись
для различных функциональных классов и геометрич.
объектов. Такие вычисления можно разделить на две
группы — асимптотические и точные.
Вот нек-рые результаты, касающиеся асимптотич.
вычислений П. Соболевских классов. Пусть Wp —
совокупность функций х(·) на конечном отрезке
(скажем, на [0, 1]), у к-рых (г—1)-я производная абсолютно
непрерывна и для r-й производной выполнено
неравенство
\\*(гЧ')\}р--=(^0\х(П (t)\? dty/P^i, p^M = l, 2, ...,.
Доказана следующая асимптотич. формула:
Из частных случаев верхней строки формулы (3)
следует, что асимптотически наилучшим
аппроксимирующим пространством является пространство тригономет-
рич. полиномов или пространство сплайнов с
равномерно распределенными узлами.
Ожидалось, что всегда имеет место такая
асимптотика, т. е. подпространство тригонометрич. полиномов
данной степени всегда будет асимптотически
экстремальным. Однако оказалось, что это не так (см. [10],
[13]). Тригонометрич. полиномы lin {cos nt, sin nt, 0<
<ai<TV} оказались асимптотически не экстремальными.
Однако в ряде случаев «переставленные» гармоники,
т. е. XTV гармоник, взятых в «неправильном» порядке,
все-таки оказались экстремальными.
Решение задачи о П. Соболевских классов опирается
на исследование вопроса о поперечнике л-октаэдров
в R":

495 попо л
При p^q величина άχ(0%, fjj) определяется точно; при I
p<q точно вычислена величина άχ(θΊ, й), она
оказалась равной ( 1 — — j 2 . Принципиальную роль при
вычислении колмогоровских П. Соболевских классов
играют следующие оценки (см. [13]):
A) dN{Onu ^)<2^-1/2(1пд)1/2;
Б) dN(Ol й)<ЛЛГ-1/«(1 + 1п^)§/1|
где А — постоянная;
B) если λ ζ (0, 1), то при п^ <JV</? имеет место
неравенство
Рассмотрен вопрос и об асимптотич. поведении
александровских П. Соболевских классов. Оказалось, что
aN(Wrp,Lq)X^F при 1 <р, д <оо, r£N.
Решить вопрос о точном вычислении П.— это найти
экстремальный для данного класса аппарат приближе- |
ния. Первый результат этого рода принадлежит I
А. Н. Колмогорову [1], к-рый решил задачу о
вычислении поперечника d^(W2, L2 [О, 1]) и аналогичную
задачу для периодич. класса Wl в метрике L2([—π, π]).
Для вычисления точного значения поперечника
d^(Wroo, Loot—π, π]) впервые привлечены (см. [7]) топо-
логич. методы (теорема о поперечнике шара, сводящаяся
к теореме Борсука об антиподах). Эта теорема была
обобщена (см. [12]) и применена к нахождению других
точных решений. Впоследствии обнаружились
интересные связи с вариационным исчислением и оптимальным
управлением (см. [9]).
О поперечниках ε^ν, ε^ и обратных к ним величинах
Νε (С) и Νε (С, X) см. ε-энтропия.
Вопросы о П. имеют тесное соприкосновение с
разнообразными задачами геометрии. Напр., задача об
асимптотике величины Νε (С, Rn) тесно связана с задачей
о наилучшем замощении пространства R" сферами.
Зависимость асимптотических П. от объемлющего
пространства привела к идее введения абсолютных П.—
величин
pAF{C)=inipF(C, X),
где нижняя грань берется по всем вложениям С с его
метрикой в объемлющее пространство X. При этом
оказывается (см. [9]), напр., что
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «Ann. Math.», 1936,
v. 37, p. 107—10; [2] У ρ ы с о н П. С, Труды по топологии
и другим областям математики, т. 1, М.—Л., 1951, с. 483;
[3] Александров П. С, «Fund, math.», 1933, v. 20,
p. 140—50; [4] ΓΙ о н τ ρ я г и н ЛЬ, Ш н и ρ е л ь м а н Л. Г.,
в кн.: Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности,
пер. с англ., М., 1948, с. 210—18; [5] К о л м о г о ρ о в А. Н.,
«Докл. АН СССР», 1956, т. 108, № 3, с. 385—88; [6] Б ρ у д-
ный Ю. Α., Тиман А. Ф., там же, 1959, т. 126, № 5,
с. 927—30; [7] Тихомиров В. М., «Успехи матем. наук»,
1960, т. 15, в. 3, с. 81 — 120; 1965, т. 20, в. 1, с. 227—30; [8]
его же, Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976;
[9] его ж е, в кн.: Теория приближения функций. Тр. Межд.
конф. по теории приближения функций. Калуга. 1975, М., 1977,
с. 359—65; [10] Исмагилов Р. С, в кн.: Геометрия
линейных пространств и теория операторов, Ярославль, 1977,
с. 75—113; [И] его же, «Успехи матем. наук», 1974, т. 29,
в. 3, с. 161—78; [12] Μ а ко воз Ю. И., «Матем. сб.», 1972,
т. 87, № 1, с. 136—42; [13] Кашин Б. С, «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1977, т. 41, № 2, с. 334—51; [14] Корнейчук
Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976.
В. М. Тихомиров. J
1ЕНИЕ 496
ПОПОЛНЕНИЕ топологического векторного
пространства X — топологическое векторное пространство X
такое, что X является подпространством X и X
плотно в X. Под П. понимают также и операцию перехода
от X к X; стандартное ее осуществление — с помощью
направленностей (в частности, последовательностей
Коши). М. И. Войцеховский.
ПОПОЛНЕНИЕ РАВНОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
X — отделимое полное равномерное пространство
X такое, что существует равномерно непрерывное
отображение i: X-+X и для любого равномерно
непрерывного отображения / пространства X в отделимое полное
равномерное пространство Υ существует, и притом
единственное, равномерно непрерывное отображение
g: 5->У, причем /=go£. Подпространство i(X) плотно
в X, и образы при отображении ίΧί окружений для
X являются окружениями для i(X), а замыкания
последних в XXI образуют фундаментальную систему
окружений для X. Когда X отделимо, i инъективно
(что позволяет отождествить X с i(X). Отделимое
пополнение подпространства AczX изоморфно замыканию
i(A)czX. Отделимое пополнение произведения
равномерных пространств изоморфно произведению
отделимых пополнений пространств-сомножителей.
Доказательство существования X по существу
обобщает построение Г. Кантора (G. Cantor) множества
действительных чисел из чисел рациональных.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Общая топология. Основные
структуры, пер. с франц., М., 1968. М. И. Войцеховский.
ПОПОЛНЕНИЕ СЕЧЕНИЯМИ, пополнение
Μ а к-Н е й л а, частично упорядоченного множества
Μ — полная решетка L, получаемая из множества Μ
следующим образом. Пусть М=М (если Μ обладало
нулем) или получается внешним присоединением
наименьшего элемента 0 к Μ (если Μ не имело нуля).
И пусть Р(М) — упорядоченное отношением
включения множество всех непустых подмножеств
множества М. Для любого Χ ζ Ρ(Μ) пусть
Х& = {а£М I а^х для всех χ ζ Χ),
Х^т={а£М\а^х для всех х£Х).
Условие φ(Χ)=(ΧΔ)ν определяет замыкания
отношение φ на множестве Р(М). Решетка L всех φ-замкну-
тых подмножеств множества Р(М) является полной.
Для любого χζΜ множество (#Δ)ν является
главным идеалом, порожденным элементом х. Полагая i(x) =
=(.τΔ)ν для всех χζΜ, получают изоморфное
вложение i множества Μ в полную решетку L, сохраняющее
все точные верхние и нижние грани, существующие
в М. В применении к упорядоченному множеству
рациональных чисел описанная конструкция дает
пополнение множества рациональных чисел дедекиндовыми
сечениями.
Лит.: [1] Macneille Η. Μ., «Trans. Amer. Math. Soc»,
1937, v. 42, p. 416—60. Т. С. Фофанова.
ПОПОЛНЕНИЯ МЕТОД — метод вычисления
обратной матрицы, основанный на рекуррентном
переходе, использующем вычисление матрицы (C-\-uv)~\ где
и— вектор-столбец, ν — вектор-строка, по формуле
(C + uv)-1 = C~1— — C-1uvC-\ y = i+vC~1u.
Вычислительная схема метода такова. Пусть А =
= ||о/у|| —данная матрица n-το порядка.
Рассматривается последовательность А0=Е, Alt . . ., Ап, где Ak=
=Аk_1-\-ekak, ek есть к-и столбец единичной матрицы
Е, ak=(akl, . . ., α£,£_ι, ak, л_ь ak%k + 1, . . ., akn).

№1 ПОРЯДКОВАЯ СТАТИСТИКА
Тогда Лп=А и матрица А-1 получается в результате
498
и-кратного применения описанного выше процесса.
Расчетные формулы при этом имеют следующий вид:
если ау } есть ;-й столбец Ak, то для Л=1, 2, . . ., и;
(k-1) k
Для матрицы A k достаточно вычислять элементы
первых к строк, т. к. последующие строки совпадают
со строками единичной матрицы.
Известны другие способы организации вычислений
в П. м., основанные на модификации (*), напр. т. н.
метод Ершова (см. [1]).
Лит.: [1] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н.,
Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.— Л., 1963.
Г. Д. Ним.
ПОРИСТОСТИ ТОЧКА для множества Ε из тг-мер-
ного евклидова пространства Rn —точка χ0ζ^η,
n^i, для к-рой существует последовательность
открытых шаров Bk с радиусами rk ->- 0 и общим
центром в точке х0 таких, что для каждого А=1, 2, ...
найдется открытый шар GkczBk\E радиуса >Ofe,
где С положительно и не зависит от к (но, вообще
говоря, зависит от х0иЕ). Множество Ε наз. пористым,
если каждая его точка является П. т. для него.
Множество Ε наз. σ-π ο ρ и с τ ы м, если его можно
представить в виде конечного или счетного объединения
пористых множеств (см. [1]). П. т. для Ε является
П. т. для его замыкания Ε и не является точкой
плотности в смысле Лебега ни для Е, ни для Е. Каждое
пористое или σ-пористое множество Еа^п имеет
первую категорию по Бэру и нулевую меру Лебега
в R". Обратное, вообще говоря, неверно: существуют
даже совершенные нигде не плотные множества Еа^1,
имеющие меру нуль, но не являющиеся σ-пористыми
(см. [2]). Для множества Е, лежащего на гладком
многообразии S<z.Rn, П. т. x0£S множества Ε
относительно многообразия S определяется, как выше, при
дополнительном условии, что центры шаров В^ лежат на S.
Лит.: [1] Долженко Е. П., «Изв. АН СССР. Сер.
матем.», 1967, т. 31, № 1, с. 3—14; [2] Ζ a j i δ е k L., «Caso-
pis pest, mat.», 1976, sv. 101, s. 350—59. E. П. Долженпо.
ПОРЦИЯ множества — пересечение
множества с интервалом в случае множества на прямой и с
открытым кругом или шаром, с открытым
прямоугольником или параллелепипедом в случае множества
в л-мерном (п^2) пространстве. Важность этого
понятия оправдывается следующими обстоятельствами.
Множество А является всюду плотным в множестве В,
если каждая П. множества В содержит точку
множества А, иначе говоря, если замыкание AzdB.
Множество А является нигде не плотным в множестве В,
если А не будет всюду плотным ни в какой П.
множества В, т. е. если не существует П. множества В,
содержащейся в А. а. а. Нонюшпов.
ПОРЯДКА СООТНОШЕНИЕ, сравнение
функций, О — о-с о о τ н о ш е н и я,
асимптотические соотношения,— понятие,
возникающее при изучении поведения одной функции
относительно другой в окрестности нек-рой точки (быть
может, бесконечной).
Пусть х0— предельная точка множества Е. Если
для функций / (х) и g (x) существуют такие
постоянные с>0 и δ>0, что \f(x)\<c\g(x)\ при \х—х0\<Ь,
хфх§, то говорят, что / является ограниченной по
сравнению с g функцией в нек-рой окрестности точки х0,
и пишут
f(x) = 0(g(x)) при х~^х0
(читается: «/(ж) есть О большое от g(x)»)', χ -> я0
означает, что рассматриваемое свойство имеет место лишь
в нек-рой окрестности точки х0. Естественным образом
это определение переносится на случай χ —► оо, χ —>·
-> ±00.
Если функции f(x) и g (χ) такие, что /= О (g) и g= О (/)
при χ ->- х0, то они наз. функциями одного
порядка при χ ->- х{). Напр., если функции α (я),
β (я) таковы, что я(х)ф0, β(ζ)^0 при хфх^ и
существует предел
,. α (χ) „ / л
X-+X0
то они одного порядка при х -> xQ.
Две функции f(x) и g(x) наз.
эквивалентными (асимптотически равными) при
χ —* XqVL пишут f~g, если в нек-рой окрестности точки
х0, кроме, быть может, самой точки х0, определена
такая функция φ (я), что
f(x)=q>(x)g(x)n lim φ (я) = 1. (*)
х-+х0
Условие эквивалентности двух функций симметрично,
т. е. если f~g, то и g~f при χ -** ж0, и транзитивно,
т. е. если f~g и g~h, то f~h при χ -> х0. Если в нек-рой
окрестности точки х0 при х?=х0 справедливы
неравенства /(ж)^0, g(x)?=0, то условие (*) эквивалентно
любому из следующих
Если α (χ) — ε (x)f (χ), где lim ε(;ζ) = 0, то говорят, что
χ-+χ0
α является бесконечно малой функцией
по сравнению с функцией /, и пишут
а=о (/) при χ
х0
(читается: «а есть о малое от /»). Если f(x)^0 при хфх§,
то а=о(/), когда lim α//=0. В случае, если / является
бесконечно малой при χ -> х0, то говорят, что функция
<x=o(f) при χ -+х0 является бесконечно
малой более высокого порядка, чем /.
Если же g(x) и [f(x)]k — величины одного порядка,
то говорят, что g является величиной
порядка/с относительно /. Все формулы указанного выше
вида наз. асимптотическими оценка-
м и, они наиболее интересны для бесконечно малых и
бесконечно больших функций.
Примеры: *>* —1 = о(1) (я-> 0); cos х2=0(\),
(\п χ)α—ο(χβ)(χ-+оо; α, β — любые положительные
числа); [s/sin (\/х)] = 0(х2) (х -> оо).
Некоторые свойства символов о и О:
О (af) = 0(f) (α—const);
0(0(f)) = 0(f);
0(f)0(g) = 0(f.g);
O(o(f)) = o(0(f))=o(f);
O(f)o(g) = o(f.g);
если 0<х<х0 и f—0(g), то
lXJ(y)*y = 0^XJg(y)\dy) (* —*o).
Формулы, содержащие о-, 0-символы, читаются только
слева направо, это не исключает того, что отдельные
формулы оказываются справедливыми и при чтении
справа налево. Символы о ж О для функций
комплексного переменного и для функций многих переменных
вводятся аналогично тому, как они были определены
выше для функций одного действительного переменного.
М. И. Шабунин.
ПОРЯДКОВАЯ СТАТИСТИКА—член вариационного
ряда, построенного по результатам наблюдений. Пусть

499 порядковая
наблюдается случайный вектор Х=(Х1, Х2, . . ., Χη)ι
принимающий значения х=(хх, х2, . . ., хп) в и-мерном
евклидовом пространстве R", и>2, и пусть в Rn задана
функция φ(·) : R" —>- R", определенная по следующему
правилу:
φ (я) =*<·>, x£Rn,
где^-)=(ж(п1),а:(п2), . . ., ог{пп)) — вектор из R»,
полученный из вектора χ в результате перестановки его
координат Хц х2, . . ., хп в возрастающем порядке, т. е.
компоненты ж(п1), х{п2), - . ., Я(П„) вектора а*·)
удовлетворяют следующему соотношению
В этом случае статистика Χΐ·)=φ (Х)=(Х{п1), . . ., Χ(„„>)
наз. вариационным рядом (или
вектором) порядковых статистик, а ее к-я
компонента Xnk (А=1, 2, . . ., /г) наз. /с-й
порядковой статистикой.
В теории П. с. наиболее полно изучен случай, когда
компоненты Хг, Х2, ..., Хп случайного вектора X суть
независимые одинаково распределенные случайные
величины, что в дальнейшем и будет предполагаться.
Если F (и) — функция распределения случайной
величины Хг·, i=l, 2, . . ., и, то функция распределения
Fnk(u) к-ϊι П. с. X(nk) вычисляется по формуле
Fnk(u)==:P{X{nk)^u}=iF{u)(k, д-А + 1), |и|<оо,(2)
где
— неполная бета-функция. Из (2) следует, что если
функция распределения F (и) имеет плотность
вероятности f(u), то плотность вероятности /„£ (и) к-й П. с.
^(raft)» к=1, 2, . . ., п, тоже существует и выражается
формулой
'»*<"> =(^i)fch)i Ι''(«)]*-Μΐ-ί,(««)]"-*/(««),Η<».
(3)
В предположении существования плотности /(w) была
получена совместная плотность вероятности
//-1/-2 ... rJMl' Ц2> · · ·» "7с) П. С. Χ(ΛΓι), Χ(^Γί>, · · ·, X(nr.)->
1<г1<г2 < . . . < rfe<n; /c<ra, к-рая выражается
формулой
СТАТИСТИКА
500
Ггггг...гк(»1, "2—-М*)=(^ГЩ;
гХ
(r.-ri-l)!...^-^)!
...[1—F(i*fc)],,"r*/(i*fe)f (4)
— с» < их < w2 < ... < щ < с».
Формулы (2) — (4) позволяют, напр., найти
распределение вероятностей т. н. экстремальных П. с.
Хш)= min (Хь Х2, ..., Хи) и
Х{пп)= тах (^Ь ^2* ···» Хп)->
l<i</z
а также распределение статистики Wn=X(nn)—X(ni),
к-рую наз. размахом. Напр., если функция
распределения F (и) непрерывна, то функция
распределения размаха Wn выражается формулой
Ρ {Wn< w} = n [™JF(u+w) — F(u)]n-4F(u),w^0. (5)
Формулы (2) — (5) показывают, что, как и в общей
теории выборочных методов, точные распределения j
П. с. невозможно использовать при получении ста-
тистич. выводов, если функция распределения F (и)
неизвестна. Именно поэтому в теории П. с. получили
широкое развитие асимптотич. методы исследования
распределений П. с. при неограниченном увеличении
размерности η вектора наблюдений. В асимптотич. теории
П. с. изучаются предельные распределения
соответствующим образом нормированных
последовательностей П. с. {Х(пк)}, когда и->оо; при этом, вообще говоря,
порядковый номер к может меняться в зависимости
от п. Если с ростом η порядковый номер к меняется
таким образом, что существует lim к/п, отличный от
п->оо
0 и 1, то соответствующие П. с. Χ(„^> рассматриваемой
последовательности {Xink)} наз. центральными
или средними П. с. Если же lim к/п равен 0 или
П->00
1, то П. с. Xink) наз. крайними.
В математич. статистике центральные П. с.
используют при построении состоятельных
последовательностей оценок для квантилей неизвестной функции
распределения F (и) по реализации случайного вектора
X или, иначе говоря, при оценивании функции F-1(m).
Напр., пусть хр— квантиль уровня Ρ (0<Ρ<1)
функции распределения F(u), про к-рую известно, что ее
плотность вероятности f(u) непрерывна и строго
положительна в нек-рой окрестности точки хР. В этом
случае последовательность центральных П. с. {X{nk)}
с порядковыми номерами /с= [(«-(-1)/>+0,5], где [а] —
целая часть действительного числа а, является
состоятельной последовательностью оценок для квантили
хр, п—*оо. Более того, эта последовательность П. с.
{X(nk)} асимптотически нормально распределена с
параметрами
Ρ (1-Р)
Хр и /»<*яМп + 1>'
т. е. для любого действительного числа χ
X
ink)'
lim Ρ ί ,
η + οο /P(l-J
Ι V π+1
Ρ)
/ (χρ) < χ\=φ(χ),
(6)
где Φ (χ) — функция распределения стандартного
нормального закона.
Пример 1. Пусть χι·)=(χ(/|1), . . ., Х(пп))
—вектор П. е., построенный по случайному вектору X—
= (Χχ, . . ., Хп), компоненты к-рого суть независимые
случайные величины, подчиняющиеся одному и тому
же вероятностному закону, плотность вероятности
к-рого непрерывна и строго положительна в нек-рой
окрестности медианы хх, . В этом случае при п-^со
последовательность выборочных медиан {μ„},
определяемых для любого ?г>2 по правилу
), если η — нечетное число,
\ у№ш) + ^(«,и + 1))> если п—четное число,
асимптотически нормально распределена с параметрами
х1/2 и {4(д + 1)/2(^1/2)}-1.
В частности, если
/(*)=ϊ4τχρ{-^}'Μ<ο''σ>0'
то есть X f подчиняется нормальному закону Ν (α, σ2),
то в этом случае последовательность {μΑί}
асимптотически нормально распределена с параметрами хХ/ =а
σ2π т^ г ι
и 2(n+i) ' Если последовательность статистик {μ„}
сравнить с последовательностью наилучших
несмещенных оценок
— — 1 ^п

501
ПОРЯДКОВОЕ ЧИСЛО
502
математич. ожидания а нормального закона, то следует
отдать предпочтение последовательности {Хп}, т. к.
_ σ* σ2π _
для любого п^2
Пример 2. Пусть χν=(χ{η1), . . ., χ{ηη)) _
вектор П. с, построенный по случайному вектору
Х=(Хг, . . ., Хп), компоненты к-рого независимы и
равномерно распределены на отрезке [a—h; a-\-h],
причем параметры а и h неизвестны. В этом случае
последовательности статистик {Уп} и {Zn}, где
Υη = "2'(Χ{η1)+Χ(ηη)) и Zn=2(n-\)(Xinn)—X(nl))i П^2,
являются состоятельными последовательностями
сверхэффективных несмещенных оценок для параметров а
и h соответственно, причем
OYn
2h2
"(n+1) (n+2)
И DZn =
2k*
(n-1) (n + 2) *
(7)
Можно показать, что последовательности статистик
{Yn} и {Ζη} определяют наилучшие оценки для а
и h в смысле минимума квадратичного риска в классе
линейных несмещенных оценок, выраженных в
терминах П. с.
Лит. [1] Крамер Г,, Математические методы
статистики, пер, с англ., 2 изд., М., 1975; [2] У и л к с С,
Математическая статистика, пер. с англ., М,, 1967; [3] Д э й в и д Г.,
Порядковые статистики, пер. с англ., М., 1979; [4] Г у м б е л ь
?'., Статистика экстремальных значений, пер. с англ., М., 1965;
5] Гаек Я.,Шидак 3., Теория ранговых критериев, пер.
с англ., М., 1971; [6] Г н е д е н к о Б. В., «Докл. АН СССР.
Новая серия», 1941, т. 32, № 1, с. 7—9; [7] его же, «Ann.
Math.», 1943, v. 44, № 3, p. 423—53; [8] С м и р н о в Н. В.,
«Тр. Матем. ин-та», 1949, т. 25, с. 5—59; [9] е г о же, «Теория
вероятн. и ее применен.», 1967, т. 12, № 2, с. 391 — 92; [10]
Чибисов Д. М., там же, 1964, т. 9, № 1, с. 159—65; [11]
Craig А. Т., «Amer. J. Math.», 1932, v. 54, p. 353—66; [12]
Tippet t L. H. C, «Biometrika», 1925, v. 17, p. 364—87;
[13] Pearson E. S., там же, 1932, v. 24, p. 404—17.
M. С. Никулин.
ПОРЯДКОВАЯ ТОПОЛОГИЯ — топология д~< на
линейно упорядоченном множестве X, порожденная
линейным упорядочением <, базу к-рой образуют
всевозможные интервалы ИЗ X. М. И. Войцеховский.
ПОРЯДКОВОЕ ЧИСЛО, трансфинитное
число, ординальное число,
ординал, — порядковый тип вполне упорядоченного
множества. Понятие П. ч. ввел Г. Кантор (G. Cantor,
1883, см. [2]). Напр., П. ч. множества натуральных
чисел, упорядоченного отношением <:, есть ω. Π. ч.
ΜΠΟΛ л 1
жества, состоящего из числа 1 и чисел вида 1 ,
если п=1, 2, . . ., упорядоченного отношением <, есть
ω+l. Говорят, что П. ч. α равно (меньше) .П. ч. β,
и пишут α=β(α<β), если множество типа α подобно
множеству (отрезку) типа β. Для произвольных П. ч. α
и β выполняется одна и только одна из возможностей
α<β, α=β, α>β. Множество {β : β<α} всех П. ч.,
меньших а, вполне упорядочено по типу а отношением
<:. Более того, каждое множество П. ч. вполне
упорядочено отношением <, т. е. в каждом непустом
множестве П. ч. есть наименьшее П. ч. Для каждого
множества Ζ П. ч. существует Π ч., превосходящее каждое
П. ч. из Ζ. Таким образом, не существует множества
всех П. ч. Наименьшее среди П. ч., следующих за
П. ч. а, наз. последователем оси обозначается
а+1. П. ч. а наз. предшественником П. ч.
а+1. П. ч. наз. предельным числом, если
оно не имеет предшественника. Таким образом, 0 —
предельное число. Каждое П. ч. можно представить
в виде α=λ+η, где λ — предельное число, η —
натуральное, а сумма понимается как сложение
порядковых типов.
Трансфинитной
последовательностью типа а, или а-п оследовательно-
с τ ь ю, наз. функция φ, определенная на {β : β<α}.
Если значениями этой последовательности служат П. ч.
и из γ<β<α следует φ(γ)<φ(β)» то эта
последовательность наз. возрастающей. Пусть φ обозначает
λ-последовательность, где λ — предельное число.
Наименьшее среди П. ч., больших каждого из чисел
φ (γ), где γ<λ, наз. пределом последовательности
φ (γ) для γ<λ и обозначается Ιίιηφ(γ). Напр., ω=
ν<λ
= lim 7i=lim n2. П. ч. λ конфинально предельному
η<ω η<ω
числу α, если λ является пределом возрастающей
α-последовательности: λ=1ίηι φ (ξ).
П. ч. наз. регулярным, если оно не
конфинально никакому меньшему П. ч., и
сингулярны м в противном случае. П. ч. наз. начальным
П. ч., мощности τ, если оно наименьшее среди П. ч.
мощности т (т. е. среди порядковых типов вполне
упорядоченных множеств мощности τ). Начальное П. ч.
мощности τ обозначается ω (τ). Множество {ω (δ) : δ<τ}
всех начальных П. ч. бесконечных мощностей,
меньших чем τ, вполне упорядочено. Если П. ч. а является
его порядковым типом, то полагается ω(τ) = ωα. Таким
образом, каждое начальное П. ч. снабжается индексом,
равным порядковому типу множества всех начальных
П. ч., меньших, чем данное. Различным начальным
числам соответствуют различные индексы. Каждое П. ч. α
является индексом нек-рого начального числа. Каждое
предельное П. ч. λ^Ο конфинально начальному числу
ωα — наименьшему из П. ч., конфинальных λ.
Начальное число ωα наз. слабо недостижи-
м ы м, если оно регулярно и его индекс α — предельное
число. Напр., ω=ω0 слабо недостижимо, а ωω
сингулярно и потому не будет слабо недостижимо. Если а>0,
то ωα слабо недостижимо тогда и только тогда, когда
α=ωα=ε/(α), где с] (а) — наименьшее число ξ такое,
что α конфинально ω^.
Слабо недостижимые П. ч. допускают классификацию,
аналогичную классификации недостижимых
кардинальных чисел. Сумма и произведение двух П. ч. являются
П. ч. Если множество индексов вполне упорядочено, то
вполне упорядоченная сумма П. ч. является И. ч. Для
П. ч. можно определить возведение в степень по
трансфинитной индукции: γ°=1, γ^+1=γ^·γ, γλ = 1ίπι γ^, где
λ — предельное число. Число γα наз. степенью числа
γ, γ — основанием степени и α — показателем
степени. Напр., взяв γ=ω, α0=1, получают α1=γα°=ω,
α2=ωω, α3=ωω&4
получают α1=γα° =
Предел этой
последовательности e=lim а„ является наименьшим критич. числом
η<ω
функции ω^> т. е. наименьшим из П. ч., для к-рых
ωε=ε. Числа ε, для к-рых выполняется это равенство,
наз. э π с и л о н-о рдиналами.
Возведение в степень можно использовать для
представления П. ч. в виде, напоминающем представление
натуральных чисел в десятичной системе. Если γ>1,
1<α<γη, то существуют такое натуральное число η
и такие последовательности βχ, β2, . . ., β„ и ηχ, η2,
. . ., η„, что
α = γη'βι + Υη2β2 + ... + γη"β«, 0)
η >ηι>η2>···>η«, 0<β/ < γ, (2)
для i=l, 2, . . ., п. Формула (1) для чисел β;· и η;·,
удовлетворяющих условиям (2), наз
разложением числа α по основанию γ Числа β,- наз цифрами,
а числа η(· — показателями степеней этого разложения.
Разложение П. ч. по данному основанию единственно.

503
ПОРЯДКОВЫЙ ТИП
504
Разложение П. ч. по основанию ω используется для
определения натурального сложения и натурального
умножения П. ч.
Лит.: [1] Александров П. С, Введение в общую
теорию множеств и функций, М.— Л., 1948; [2] Кантор Г.,
в кн.: Новые идеи в математике. Сб. 6, СПБ, 1914, с. 90—184;
[3] X а у с д о ρ φ Φ., Теория множеств, пер. с нем., М.— Л.,
1937; [4] Куратовский К., Мостовский Α.,
Теория множеств, пер. с англ., М., 1970; [5] S i е г ρ i ή s k i W.,
Cardinal and ordinal numbers, 2 ed., Warsz., 1965.
Б. А. Ефимов.
ПОРЯДКОВЫЙ ТИП линейно упорядоченного
множества А — свойство множества А, к-рое присуще
любому линейно упорядоченному множеству В,
подобному А. При этом два множества А и В, линейно
упорядоченные соотношениями R и S, наз.
подобными, если существует функция /, взаимно
однозначно отображающая А на В и такая, что для любых
точек х, у£А выполнено xRy^^f (x)Sf (у). Г. Кантор
(G. Cantor) определял П. т. как такое свойство линейно
упорядоченного множества, к-рое остается, если
отвлечься лишь от свойств элементов этого множества,
но не от их порядка. Чтобы подчеркнуть, что
проведен один этот акт абстракции, Г. Кантор для
обозначения П. т. множества А ввел символ А. Для часто
встречающихся множеств их П. т. обозначается
специальными буквами. Напр., если % + —множество всех
натуральных чисел, упорядоченное отношением <;, то
Ζ+ = ω. Если Q —множество всех рациональных
чисел, также упорядоченное отношением <:, то Q=rj.
Линейно упорядоченное множество А имеет тип ω
тогда и только тогда, когда: (\)А имеет первый
элемент а0, (2) каждый элемент χ множества А имеет
последующий я+1, (3) если а0£ХаА и множество X
содержит последователь каждого своего элемента, то
Х=А. Существует только один П. т. η непустых
множеств, плотных, счетных, не имеющих ни первого, ни
последнего элемента (теорема Кантора).
Линейно упорядоченное множество имеет П. т. λ —
множества всех действительных чисел, если оно непрерывно и
содержит плотное в нем подмножество А, П. т. к-рого
есть η, имеющее с ним общее начало и общий конец.
Доказана независимость в системе аксиом (ZF) Суслика
проблемы, см. [1].
Для П. т. определяются операции, до нек-рой
степени аналогичные арифметич. операциям.
Пусть α и β — два П. т., А и В — такие два
линейно упорядоченные множества, что А=а, 5= β и
A f\B = 0. Суммой α+β наз. П. т. a+$=A \JB, где
множество А[)В упорядочено так, что все элементы
множества А предшествуют всем элементам множества
В, а в каждом из множеств А и В порядок сохраняется.
В частности, если α и β — натуральные числа, то
определение суммы П. т. совпадает с определением суммы
натуральных чисел. Имеют место равенства (α+β)+γ=
=α+(β+γ) и α+0=α=0+α, где 0 — П. т. пустого
множества. Закон коммутативности в общем случае
не выполняется, напр. ω+1=^=1+ω.
Пусть а=А и β=Β. Произведением α·β наз.
П. т. α·$=Α χΒ, где множество ΑχΒ упорядочено
так, что если {х, у}, {х1ч уг} — два его элемента, то
первый элемент предшествует второму, когда уКу\
или (в случае совпадения ординат) х<х± (принцип
последних различных членов). Имеют место равенства
(α.β).γ=α·(β.γ), α·1 = 1·α, α·0=0·α=0, где 1 —
П. т. одноэлементного множества. Умножение, как и
сложение, некоммутативно. Напр., ω·2^2·ω. Закон
дистрибутивности выполняется: α(β-(-γ)=α·β+α ·γ.
Произведение λ·λ представляет непрерывный П. т.
мощности континуума, не содержащий счетного
плотного подмножества.
С суммой и произведением П. т. тесно связаны сумма
произвольного упорядоченного множества П. т. и
лексикографич. произведение вполне упорядоченного
множества П. т. Пусть {Ат : ηιζΜ} — семейство
линейно упорядоченных множеств, индексированное вполне
упорядоченным множеством Λ/, и А = П{Ат: т£М}—
декартово произведение этого семейства.
, Лексикографическим
произведением семейства {Ат : т£М} наз. множество А,
наделенное следующим порядком. Если {ат} и {Ьт} элементы
из А, то {ат}<{Ът} тогда и только тогда, когда или
%<&!, или существует т0£М такое, что ат=Ьт для
всех т<т0ъ ато<Ъто (принцип первых различных
членов). Если ат=Ат и А — лексикографич.
произведение семейства {Ат: т£М}, то a=U{am: m£M}=A
наз. произведением семейства П. т.
{ат'-т£М}. С помощью лексикографич. произведения
и обобщенной континуум-гипотезы построено для
каждого кардинального числа τ такое линейно
упорядоченное множество ητ мощности τ, что каждое линейно
упорядоченное множество мощности <τ подобно нек-рому
подмножеству множества ητ. Если τ является сильно
недостижимым кардинальным числом, то обобщенная
континуум-гипотеза для доказательства этой теоремы
не нужна. В частности, для т=#0 таким множеством
является любое линейно упорядоченное множество
П. т. η.
ι Лит.: [1] Иех Т., Теория множеств и метод форсинга,
пер. с англ., М., 19 73. Б. А. Ефимов.
ПОРЯДОК — 1) П. алгебраич. кривой F(х, у)=0,
где F (я, у) — многочлен от χ и j/, наз. наивысшую
стезе2
пень членов этого многочлена. Напр., эллипс "^г+
у2
+-£Г=1 есть кривая второго П., а лемниската (я2+
-\-у2)2=а2(х2—у2) — кривая четвертого П. 2) П.
бесконечно малой величины α относительно бесконечно
малой величины β есть такое число я, что существует
конечный предел hm —^, отличный от нуля. Напр.,
sin2 Ъх при х->-0 есть бесконечно малая второго П. от-
sinz Зх
носительно х, так как lim ——2— = 9. Вообще говорят,
что α — бесконечно малая высшего П., чем β, если
lim-g-=0, и низшего П., чем β, если hm -г-=оо.
Аналогично определяют П. бесконечно больших
величин. 3) П. нуля (соответственно полюса) а функции
/ (х) есть такое число я, что существует конечный
предел lim — ^ (соответственно lim (я—a)nf(x)), отлич-
х—>а (х а)
ный от нуля. 4) П. производной — число
дифференцирований, к-рые надо произвести над функцией, чтобы
I получить эту производную. Напр., у'"— производная
Ι π d4z _ .
третьего П., дгхд2у — производная четвертого П. Ана-
| логично определяют П. дифференциала. 5) П.
дифференциального уравнения — наивысший из П.
производных, входящих в уравнение. Напр., у'"у'—(у")2=
= 1 — уравнение третьего П., у"—Зу'-\-у=0 —
уравнение второго П. 6) П. квадратной матрицы — число ее
строк или столбцов. 7) П. конечной группы — число
элементов группы. Если группа G бесконечна, то
говорят, что G — группа бесконечного П. Не
следует путать порядок группы с порядком в группе, о
к-ром см. У пор яд оче иная группа, Частично
упорядоченная группа. 8) П. элемента группы — целое
положительное число, равное числу различных элементов в
I циклической подгруппе, порождаемой этим элементом,
| либо оо, если эта подгруппа бесконечна. В послед-
| нем случае элемент наз. элементом бесконечного

505
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
506
П. Если П. элемента а конечен и равен л, то л
является наименьшим из чисел, для к-рых ап=1. 9) Правый
П. в кольце Q — такое подкольцо R кольца Q, что
для всякого x£Q найдутся a, b£R такие, что Ь
обратим в Q и х—аЬ'1. Другими словами, R — это такое
подкольцо в Q, что Q является классич. правым
кольцом частных кольца R (см. Частных кольцо). 10)
Если при нек-ром исследовании или вычислении
отбрасываются все степени нек-рой малой величины, начиная
с (д+1)-й, то говорят, что исследование или
вычисление ведется с точностью до величин n-το П. Напр., при
исследовании малых колебаний струны пренебрегают
величинами, содержащими вторые и высшие степени
прогиба и его производных, получая благодаря этому
линейное уравнение (линеаризуя задачу). 11) Слово
«П.» употребляется также в исчислении конечных
разностей (разности различных П.), в теории многих
специальных функций (напр., цилиндрич. функции n-το П.)
и т. д. 12) При измерениях говорят о величине порядка
10я, подразумевая под этим, что она заключена между
0,5-10" и 5-10".
По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.
ПОРЯДОК, отношение порядк а,—
бинарное отношение на нек-ром множестве А, обычно
обозначаемое символом <: и обладающее следующими
свойствами: (1) а^.а (рефлексивность); (2) если
а^Ь и &<:с, то а<с (транзитивность); (3) если
а<6 и 6<:а, то а—Ъ (антисимметричность).
Если <: — П., то отношение <, определяемое условием
а<&, если а<:6 и афЪ, наз. строгим П. Строгий П.
может быть определен и как отношение, обладающее
свойствами (2) и (3') : а<Ь и Ь<а не могут
выполняться одновременно. Запись а^Ь обычно читается как
«а меньше или равно Ь» или «6 больше или равно а»,
a a<J) — как «α меньше b» или «b больше α». П. наз.
линейным, если для любых а, Ь£А имеет место
а<& или 6<а. Отношение, обладающее свойствами
(1) и (2), наз. предпорядком или к в а з и π о-
рядком. Если <] — квазипорядок, то отношение
а~ Ь, определяемое условиями а<\Ь и Ь<\а, оказывается
эквивалентностью. На фактормножестве но этой
эквивалентности можно определить П., полагая [а]<: [Ь],
где [а] — смежный класс, содержащий элемент а,
если а<\Ь. Примеры и лит. см. при ст. Частично
упорядоченное множество. Л. А. Скорняков.
ПОСЛЕДОВАНИЯ ОТОБРАЖЕНИЕ для гладкого
или хотя бы непрерывного потока {Sf} и трансверсаль-
ной к нему гиперповерхности V — отображение Т,
сопоставляющее точке νξ_ν первую по времени точку
пересечения с V исходящей из ν положительной
полутраектории потока (и определенное для тех и, для к-рых
такое пересечение имеется). (Гиперповерхность V наз.
при этом сечением, секущей
поверхностью, трансверсаль ю.) Когда
размерность dim V= 1 (так что {St} — поток на плоскости
или двумерной поверхности; в этом случае V наз.
также дугой без контакта) и V
параметризована числовым параметром s, то смещение точек V
под действием П. о. описывается нек-рой числовой
функцией / одного переменного (если ν отвечает
значению параметра s, то Τυ — значению параметра s+
+/ Μ)» к-рая наз. функцией последования.
Впервые П. о. использовал А. Пуанкаре (Н. Poincare,
[1]), поэтому иногда П. о. наз. отображением
Пуанкаре.
Если любая полутраектория пересекает V, то П. о.
(определенное в данном случае на всем V) в
значительной степени определяет поведение всех траекторий
потока. Однако такие «глобальные» сечения существуют
далеко не всегда (в частности, у гамильтоновой
системы на многообразии постоянной энергии, не
проходящем через критич. точки гамильтониана, т. е.
равновесия положения, нет замкнутых — как многообразия —
глобальных сечений; см. [3] гл. VIII, п. 4.7).
Для неавтономной системы с периодической правой
частью
* = /(*, *), /(* + τ, *) = /(*, х), (*)
возникает аналог П. о.: точке χ сопоставляют точку
Τχ=φ (τ, χ), где φ (£, χ) — решение системы (*) с
начальным значением φ(0, х)=х. Это «отображение сдвига на
период» можно даже формально рассматривать как
П. о., если (*) рассматривать как автономную систему
в «цилиндрическом» фазовом пространстве.
Отображение Τ определено всюду, если решения системы (*)
определены при всех t.
Чаще приходится иметь дело с «локальным»
сечением — его пересекает только часть траекторий и
нередко только часть пересекающих его траекторий вновь
возвращается на V. Примером может служить
маленькая гладкая «площадка» коразмерности один, транс-
версально пересекающая нек-рую замкнутую
траекторию L. В этом случае П. о. определено вблизи V(]L и
характеризует поведение траекторий вблизи L.
В теории слоений также вводится П. о. (см. [2]),
являющееся обобщением предыдущего примера (и
охватывающее также П. о. для обыкновенных
дифференциальных уравнений в комплексной области).
Лит.: [1] Пуанкаре Α., О кривых, определяемых
дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; [2]
Τ а м у ρ а И., Топология слоений, пер. с япон., М., 1979; [3]
Годбийон К., Дифференциальная геометрия и
аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973. Д. В. Аносов.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КАТЕГОРИЯ — чаот-
ный случай общей конструкции категории функторов
или категории диаграмм. Пусть Ъ — множество целых
чисел, снабженное обычным отношением порядка.
Тогда % можно рассматривать как малую категорию,
объектами к-рой являются целые числа, а морфизма-
ми — всевозможные пары вида (i, /), где i, /£Z и i <y.
Пара (ί, /) — это единственный морфизм объекта i
в объект/. Композиция морфизмов определяется
следующим равенством: (ί, /') (/', k)=(i, k).
Для произвольной категории Я категория кова-
риантных функторов $(%,$) из ζ в Я наз. к а-
тегорией последовательностей над
Я. Чтобы задать функтор F : % -►$, достаточно
указать семейство объектов из St, заиндексированное
целыми числами, и для каждой пары объектов Α ι,
Ai + i выбрать произвольный морфизм α,·( ί + ι : Α{-*·Αζ + ΐ.
Тогда отображения F(Ϊ)=A ,-,F (i, i+l)=a£-t i + x
однозначно продолжаются до функтора F : Ζ ->$. Естественное
преобразование φ функтора F : % -> Я в функтор
G : Ζ ->- Я, т. е. морфизм категории
последовательностей, задается таким семейством морфизмов
φ,- : F(i) -+G(i), что yfi(i, i+l)=F(i, i+1)· <pf + 1 для
любого ϊζζ.
Если Я — категория с нулевыми морфизмами, то
в П. к. т5 (Ζ, Я) выделяется полная подкатегория
комплексов, т. е. таких функторов F : % -*■ Я, что
F (i, i+1) F(i+1, i+2)=0 для любого i£z. Для абе-
левой категории % П. к. и подкатегория комплексов
являются абелевыми категориями.
Вместо категории % можно рассматривать ее
подкатегории, состоящие только из неотрицательных или
только из неположительных чисел. Соответствующие
категории диаграмм также наз. П. к. м. ш. Цаленко.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ элементов
заданного множества — функция,
определенная на множестве натуральных чисел, множество
значений к-рой содержится в рассматриваемом множестве.
Элементом, или членом,
последовательности / : N->X, где N — множество натуральных чисел,
X — заданное множество, наз. упорядоченная пара
(п, х), x=f(n), ηζΝ, τζΧ, к-рая обозначается через

507
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
508
хп. Натуральное число η наз. номером
элемента последовательности хп, а элемент
χζΧ — его значением. Последовательность
/ : Ν-+Χ обычно обозначается через {хп\ или хп, п=
= 1, 2, . . . .
Множество элементов П. всегда счетно, причем два
различных члена П. отличаются по крайней мере
номерами. Множество значений элементов П. может быть и
конечным; так, множество значений всякой
стационарной П., т. е. последовательности {хп}, все
элементы к-рой имеют одно и то же значение: хп=а,
п=1, 2, . . ., состоит из одного элемента.
Если п1<.п2, то член хПх последовательности {хп}
наз. предшествующим члену хп„ а член
хПг — следующим за членом хПх. Таким образом,
множество элементов П. упорядочено.
Того или иного рода П. встречаются в различных
разделах математики и с их помощью описываются
многие свойства изучаемых объектов. Напр., если
X — топологич. пространство, то среди П. его точек
важную роль играют сходящиеся П., т. е. П.,
к-рые имеют предел в этих пространствах. В терминах
сходящихся П. удобно (во всяком случае, при наличии
счетной базы) описывать свойство компактности,
существование предела отображения, его непрерывность
и т. п. Если все элементы П. нек-рых объектов (точек,
множеств, отображений и т. д.) обладают каким-либо
свойством, то часто бывает нужным выяснить,
сохраняется ли это свойство для предела П.; напр., выяснить,
как ведут себя свойства измеримости, непрерывности,
дифференцируемости, интегрируемости при предельном
переходе для различных видов сходимости функций
(поточечной, почти всюду, равномерной, по мере, в
среднем и т. п.).
Иногда отображение / : 1, п—>Х конечного множества
1, п^1{1, 2, . . ., п) натуральных чисел в множество
X наз. конечной П. и обозначается через {х1ч х2,
. . ., хп), где xn—f(k), k=i, 2, . . ., п. П. может
задаваться формулой ее общего члена (напр., П. членов
арифметич. прогрессии), рекуррентной формулой
(напр., П. чисел Бернулли) или просто словесным
описанием с той или иной степенью эффективности (напр.,
П. всех простых натуральных чисел в порядке их
возрастания). См. также Двойная последовательность,
Кратная последовательность. Обобщением понятия
П. является направленность. Л. Д. Кудрявцев.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — раздел ма-
тематич. статистики, характерной чертой к-рого
является то, что число производимых наблюдений (момент
остановки наблюдений) не фиксируется заранее, а
выбирается по ходу наблюдений в зависимости от
значений поступающих данных. Стимулом к интенсивному
развитию и применению в статистич. практике
последовательных методов послужили работы А. Вальда
(A. Wald). Им было установлено, что в задаче
различения (по результатам независимых наблюдений) двух
простых гипотез т. н. последовательный критерий
отношений вероятностей дает значительный выигрыш в
среднем числе производимых наблюдений по сравнению
с наиболее мощным классич. способом различения
(определяемой леммой Неймана — Пирсона) с
фиксированным объемом выборки и теми же вероятностями
ошибочных решений.
Основные принципы П. а. состоят в следующем.
Пусть !i, !2t · · · — последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин и
функция распределения Fq (x)=Pq {li<x} зависит от
неизвестного параметра Θ, принадлежащего нек-рому
параметрич. множеству Θ. Задача состоит в том, чтобы
по результатам наблюдений вынести то или иное
решение об истинном значении неизвестного параметра θ.
В основе любой статистич. задачи решения лежат
пространство D заключительных (терминальных)
решений d (о значениях параметра θ) и правило τ,
определяющее момент прекращения наблюдений, в к-рый
и выносится заключительное решение. В классич.
методах наблюдений момент τ является неслучайным
и фиксированным заранее; в последовательных методах
τ является случайной величиной, не зависящей от
«будущего» (марковский момент, момент остановки).
Формально, пусть <1Ги=а{со : ξι, . . ., |„} есть σ-алгебра,
порожденная случайными величинами ξχ, . . ., ξ„.
Случайная величина τ=τ(ω), принимающая значения
0, 1, . . ., +оо, наз. марковским моментом,
если событие {τ<η}ζ(^Γ„ для каждого п^О (<fFo=
= {0, Ω}). Пусть ffi — совокупность тех измеримых
множеств А, для к-рых Α Π {τ*^η}ζ$Γη и для каждого
/г>0. Если jf„ интерпретируется как совокупность
событий, наблюдаемых до случайного момента η
(включительно), то ^"х можно интерпретировать как
совокупность событий, наблюдаемых до случайного момента
χ (включительно). Заключительное (терминальное)
решение d=d((u) есть ψχ -измеримая функция со
значениями в пространстве D. Пара δ= (τ, d) таких функций
наз. (последовательным) решающим
правилом.
Для выделения среди решающих правил
«оптимального» задают функцию риска W(x, θ, d) и
рассматривают математич. ожидание Ее \¥(τ, θ, d). Существуют
разные подходы к определению понятия оптимального
решающего правила δ* = (τ*, d*). Один из них, бейесов-
ский, основан на предположении, что параметр θ
является случайной величиной с априорным
распределением n—n(dQ). Тогда имеет смысл говорить о π-риске
#δ(π)=5θΕθ^(τ, θ, d)n(dQ)
и называть правило δ* = (τ*, d*) оптимальным
бейесовским решением (или π-ο пти-
м а л ь н ы м), если i?o* (я)<:Яв (л) для любого другого
(допустимого) правила. Наиболее распространенной
формой риска W(t, θ, d) является риск вида ст-\-
-\-W1(Q, d), где константа с^О интерпретируется как
стоимость единичного наблюдения, а Wl(Q, d) является
функцией потерь от заключительного решения.
В бейесовских задачах отыскание оптимального
заключительного решения d*, как правило, не вызывает
трудностей, и основные усилия направлены на
отыскание оптимального момента остановки τ*. При этом
большинство задач П. а. укладывается в следующую
схему «оптимальных правил остановки».
Пусть Х=(хп, {fn, Ρλ·), тг^О, χζΕ, — цепь
Маркова в фазовом пространстве (Е, S3), где хп —
состояние цепи в момент времени /г, σ-алгебра $~п
интерпретируется как совокупность событий, наблюдаемых до
момента времени η (включительно), а Рх —
распределение вероятностей, отвечающее начальному состоянию
х£Е. Предполагается, что, прекращая наблюдение в
момент времени /г, получают выигрыш g(xn). Тогда
средний выигрыш от остановки в момент τ есть Exg (χχ),
где χ — начальное состояние. Функцию s(x)=
=sup Exg(xx), где sup берется по всем (конечным)
моментам остановки τ, наз. ценой, а момент τ
для к-рого s(x)<£Exg(x )+ε для всех χζΕ, наз. ε-
оптимальным моментом остановки.
О-оптимальные моменты наз. оптимальными.
Основные вопросы теории «оптимальных правил
остановки» таковы: какова структура цены s(x), как ее
найти, когда существуют ε-оптимальные и оптимальные
моменты, какова их структура. Ниже приведен один
из типичных результатов, касающихся поставленных
вопросов.

509 ПОСЛЕЦОВАТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Пусть функция g(x) ограничена: |#(#)|<с<оо.
Тогда цена s(x) является наименьшей эксцессивной
мажорантой функции g (χ), т. е наименьшей из функций
/(ж), удовлетворяющих двум свойствам
510
где Tf(x) = Exg(x1). При этом момент
τε=Μ{η^0: s(xn)^g(xn)^e}
является ε-оптимальным для всякого ε>0. цена s(x)
удовлетворяет уравнению Вальда — Беллмана
s(x) = max{g(x), Ts(x)}
и может быть найдена по формуле
s (х)= Hm Qng(x),
П-+О0
где
Qg(x) = mdLx{g(x), Tg(x)}.
В том случае, когда множество Ε конечно, момент
T0 = inf {>гг>0: s(xn) = g(xn)}
будет оптимальным. В общем случае момент τ0 является
оптимальным, если Ρ*{τ0<οο }=1, х£Е.
Пусть
С={х: s(x) > g(x)}, T = {x: s(x) = g(x)}.
В соответствии с определением
x0 = inf{/i^0: хп£Г}.
Иначе говоря, прекращение наблюдений следует
производить при первом попадании в множество Г. В связи
с этим множество С наз. множеством продолжения
наблюдений, а Г — множеством прекращения
наблюдений.
Иллюстрацией этих результатов может служить
задача различения двух простых гипотез, на к-рой А. Вальд
продемонстрировал преимущество последовательных
методов по сравнению с классическими. Пусть параметр
θ принимает два значения 1 и 0 с априорными
вероятностями π и 1—π соответственно и множество
заключительных решений D состоит также из двух точек:
d=\ (принимается гипотеза Н1 : 6=1) и d==0
(принимается гипотеза Н0 : 6=0). Если функцию Wx (θ, d)
выбрать в виде
Г α, θ = 1, d = 0,
Wx (θ, d)=! 6, θ = 0, d-1,
V 0, в остальных случаях
и положить
W (τ, 6, d) = cT + W1(Q, d),
то для Я6 (π) получают выражение
^δ(π)^Επτ+ααπ(δ) + 6βπ(δ),
где
απ(δ) = Ρπ{<ί = 0|θ = 1}, βπ (δ) = Ρπ {d = 1 | 9 = 0}
— вероятности ошибок первого и второго рода, а Ря
означает распределение вероятностей в пространстве
наблюдений, отвечающее априорному распределению
π. Если я„=Р{9=1|ёр„} — апостериорная
вероятность гипотезы Нг : 6=1 относительно σ-алгебры
<Τ„=σ{ω : ξι, . . ., ξ„}> то
Лб(я)=Ел[ст + ^(ях)],
где
g (jt)=min (απ, 6(1 —π)).
Из общей теории оптимальных правил остановки,
примененной к хп=(п, ζιη), следует, что функция ρ(π) =
= ίηίτ#δ(π) удовлетворяет уравнению
ρ(π) = πιΐη{*(π), с + Гр(л)}.
Отсюда, в силу выпуклости вверх функций ρ (π), g(n),
Τ ρ (π), можно вывести, что найдутся два числа 0<
<Л <5 <1 такие, что область продолжения С= {π : А <
<π<2?}, а область прекращения наблюдений Г=
= [0, 1]\(Л,#). При этом момент остановки
T0 = inf {n^rO: πηζΓ}
является оптимальным (π0=π).
Если Ро(х) и рх (χ) — плотности распределений F0(x)
ι
и F1 (χ) (по мере <2μ= -у (dF^dF^)), a
Pi(5i)-Pi(Sb)
ψ Ρο(δι)-Ροίξη)
— отношение правдоподобия, то область продолжения
наблюдений (см. рис. 1) может быть записана в виде
-w
1-π
< φ <
1-В π
1-π)
и τ0=ίηι {/г>0 : уп£С}.
В 1-я
При этом если φτ > j^l ~~^~~ , то выносится
решение d=l, т. е. принимается гипотеза Ях : 6=1. Если же
φΤο < ϊΊ7£ —^" , то —гипотеза Н0 : 6=0.
Структура этого оптимального решающего правила
сохраняется и для задачи различения гипотез в ус-
ловноэкстремаль ной
постановке,
состоящей в следующем.
Для каждого
решающего правила δ=(τ,
d) вводят вероятности
ошибок α (δ)=Ρι (d=
= 0), β(δ)=Ρ0(*=1)
и задают два числа
а>0 и β>0; и пусть,
далее, Δ (α, β) —
совокупность всех
решающих правил с α(δ)<α, β(δ)<β и Ε0τ<οο, Ε!τ<οο.
Следующий фундаментальный результат был получен
А. Вальдом. Если α+β<1 и среди критериев δ=(τ,
d), основанных на отношении правдоподобия φ„ и
имеющих вид
x=inf {/г^0: φ„ (t (α, fc)},
1, <Ρτ^&,
найдутся такие а=а* и Ь=Ь*, что вероятности ошибок
первого и второго рода в точности равны α и β, то
решающее правило δ*=(τ*, d*) с а—а* и b=b* является
в классе Δ (α, β) оптимальным в том смысле, что
Ε0τ*<Ε0τ, Ειτ·<Ειτ
для любого δζΔ(α, β).
Преимущества последовательного решающего
правила δ* = (τ*, d*) по сравнению с классическим проще
проиллюстрировать на примере задачи различения двух
гипотез #о : 6=0 и #х : 0=1 относительно локального
среднего значения 6 винеровского процесса It с
единичной диффузией. Оптимальное последовательное
решающее правило δ*= (τ*, d*), обеспечивающее
заданные вероятности ошибок α и β первого и второго
рода соответственно, описывается следующим образом:
x* = inf {t^0: λ/^(α·, &*)},
ίΐ, λτ*^6*,
d*= Ι
\0, λτ*<α*,
Γ'
\ ο,

511 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
где λ^=1η yt и отношение правдоподобия (производная
меры, отвечающей θ=1, по мере, отвечающей θ=0) φ*=
h~J х ,... , ι-α
, а 6* = 1η-β-, α*=1η—β (см. рис. 2).
Оптимальное классич. правило δ=(τ, d) (согласно
лемме Неймана — Пирсона) описывается следующим
образом:
t = t (α, β),
С-область продолжения _ Μ, λ J ^ h ((Χ, ρ),
наблюдений J__ I
)0, λ7 < Λ (α, β).
где
ί (α. β) = (6<ζ+*β)2,
Λ(α,β) =
β dx = y.
ι г»
Поскольку Ε0τ*=2ω(α, β), Ε1τ* = 2ω(βί α), где
ω (χ, у) = (1 —χ) In ^ + * In jz-j »
Ε0τ* _2 ω (β, α) Ε*τ* __2 ω (α' ^~
ί (α, β) ~ (ca + cp)2 ' t (α, β) (са + ср)2 "
Численный подсчет показывает, что при α, β<0,03
Ε0τ* 17 Ε.τ* 17
i(ct, β) 30 ' ί(α, β) "^30 *
Иначе говоря, при рассматриваемых значениях ошибок
первого и второго рода оптимальный последовательный
метод различения требует примерно в два раза меньше
наблюдений, чем оптимальный метод с фиксированным
числом наблюдений. Более того, если α=β, то
Лит.: [1] Вальд Α., Последовательный анализ, пер.
с англ., М., 1960; [2] Ширяев А. Н., Статистический
последовательный анализ, М., 1976. А. Н. Ширяев.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
МЕТОД, метод повторных подстановок,
метод простой итерации,— один из общих
методов приближенного решения операторных
уравнений. Во многих случаях хорошая сходимость
построенных этим методом приближений позволяет
применять его в практике вычислений.
Пусть Ε — нек-рое множество, на к-ром задан
оператор А, отображающий Ё в себя. Требуется найти
неподвижную точку этого отображения, т. е. решение
уравнения
х=А(х), χζΕ. (1)
Пусть уравнение (1) имеет решение х* и каким-
либо способом указано его начальное приближение
х0£Е. Все остальные приближения в П. п. м. строятся
по формуле
*«+ι = 4*». л = 0, 1, 2, ... (2)
Этот процесс наз. простой одношаговой
итерацией.
Для исследования сходимости последовательности
(2), а также для доказательства существования
решения уравнения (1) широко применяется ниже
сформулированный принцип сжимающих
отображений.
ПРИБЛИЖЕНИЙ МЕТОД ϋ1Ζ
Пусть Ε — полное метрич. пространство с метрикой
р; оператор А определен в замкнутом шаре S радиуса о
с центром в х0:
S = {x^E: ρ (χ, я0)<6};
для всяких элементов χ и у из шара S верно
соотношение
ρ (Ах, Ау) ^ар(х, у), 0 < а = const < 1;
для начального приближения х0 выполнено
неравенство р(Ах0, х0) < т, для чисел а, 6, т соблюдается
условие т/ (1—а) < 6.
Тогда: 1) последовательные приближения хп,
вычисляемые по правилу (2), могут быть найдены при
всяком значении п, и все они принадлежат шару S\
2) последовательность хп сходится к нек-рой точке
£*££; 3) предельный элемент х* есть решение
уравнения (1); 4) для приближения хп верна следующая
оценка близости к решению х*:
Р(*«. **)<ϊ^α"·
Далее, во всяком подмножестве пространства Е, где
для двух любых точек х, у верно неравенство ρ (Ах,
А у) <р(х, у), уравнение (1) не может иметь более
одного решения.
Пусть E=Rn — арифметическое га-мерное
пространство и оператор А в (1) имеет вид Ах=Вх+Ь, где В=-
= \\aik\\ — квадратная матрица п-го порядка, Ь= (Ьг,. . .,
Ьп) — заданный, а х= (х1ч . . ., χη) - искомый
векторы в R". Если в этом пространстве метрика определена
формулой
ρ (я, y) = max\xi — yi I
i
и элементы матрицы В удовлетворяют условию
для всех i, i=l,. . ., и, то из принципа сжимающих
отображений следует, что система алгебраич.
уравнений х^Ах имеет единственное решение в R", к-рое
можно получить П. и. м., исходя из произвольного
начального приближения x0£Rn.
Если в R" действует евклидова метрика
р(*. у)= у 2?=1(*'~~^)2'
тогда получается другое условие сходимости
последовательных приближений:
£Ii,',ft<1·
Пусть (1) — интегральное уравнение, в к-ром
Ax{t)=f(t) + K^aK{t, s)x(s)ds,
где известные функции /, К интегрируемы с квадратом
соответственно на множествах [я, Ь\ и |г/, Ь] X [я, Ь],
λ — числовой параметр. Тогда из принципа
сжимающих отображений следует, что если
|λ| < (Ϋαγακ2(^ l)dtds
-1/2
то рассматриваемое интегральное уравнение имеет
единственное решение в пространстве L2([a, b]), к-рое
можно построить П. п. м.
Лит.: [1] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н.,
Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.— Л., 1963;
[2] Крылов В. И., Бобков В. В., Монастыр-
ный П. И., Вычислительные методы, т. 1—2, М., 1976—77;
[3] К о л л а т ц Л., Функциональный анализ и
вычислительная математика, пер. с нем., М., 1969. Б. В. Хведелидзе»

513 Π(
ПОСТА АЛГЕБРА — алгебра вида (Ρ, Ω), где Ρ
является множеством функций, а Ω — множеством
операций, равносильных операциям композиции с
различного рода ограничениями. Примерами П. а.
являются конечнозначные и счетнозначные логики, логики
неоднородных функций и т. п. Проблематика П. а. по
существу совпадает с проблематикой для многозначных
логик.
Лит. см. при ст. Многозначная логика. В. Б. Кудрявцев.
ПОСТА КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА,
исчисление Поста,— способ задания перечислимых
множеств слов. Понятие П. к. с, предложенное
Э. Постом (Е. Post) в 1943, было первым общим
понятием исчисления, пригодным для задания произвольных
перечислимых множеств и не привязанным к логич.
структуре порождаемых объектов, к их семантике и к
логике вывода правил. П. к. с. задается четверкой
Л, Р, Л, я, где А — алфавит исчисления, Ρ
(неимеющий общих букв с А) — алфавит переменных, Л —
список слов в А (аксиом исчисления), л — список
правил вывода вида
Gi,iPi,i- · -G\t niPi,nfii, щ + i
(*)
Gm, lPrn, 1' "Gm, nmvrn, n^m, nm+l
Gi?V -GnVnGn + i
(Gi,j суть обозначения слов в A,p^j—обозначения
букв из Р). Слово Q получается из (?!,. . ., Qm
применением правила (*), если для каждой входящей в (*)
буквы из Ρ можно подобрать слово в А (значение этой
переменной), подставляя к-рое вместо всех вхождений
рассматриваемой переменной в (*), мы получим после
такого замещения всех переменных слова Qu. . ., Qm —
над чертой и^ — под чертой. На основе этого
понимания правил определяется выводимость в П. к. с. В
теории исчислений применяется следующее определение
перечислимого множества слов в А,
эквивалентное обычному: Μ наз. перечислимым,
если оно совпадает с множеством слов в А, выводимых
в нек-рой П. к. с, алфавит к-рой содержит А
(необходимость расширения А хотя бы одной буквой ξ
неустранима, но можно потребовать, чтобы помимо Μ были
выводимы лишь слова вида ξ(?, где Q из А).
Рассматриваются различные специализации понятия
П. к. с: 1) нормальные системы Поста
(все правила имеют вид ^>), 2) локальные
исчисления (правила вида * lG, *), 3)
ограниченные исчисления (алфавит однобуквенный, правила
однопосылочны) и др. Упомянутые специализации
предполагаются одноаксиомными, к каждой из них
можно свести произвольную П. к. с. (установленная
Постом эквивалентность П. к. с. и нормальных
исчислений имеет фундаментальное значение для работ этого
направления, для нахождения неразрешимых систем).
Лит. см. при ст. Исчисление. С. Ю. Маслов.
ПОСТА КЛАСС — замкнутый относительно
операции суперпозиции класс функций алгебры логики
(ф. а. л.). Э. Пост (Е, Post) установил, что таких
классов в точности счетное множество, и дал их
явное описание. Им же показано, что все они
являются конечно порожденными, построена решетка по
включению, образованная этими классами. Множество
указанных классов исчерпывается списком С,·, Л,·, /).·,
Lk, Ou Sr, Рг, П1, F?, где i=l, 2, 3, 4; / = 1, 2, 3;
Λ=1,. . ., 5; I = 1,. . ., 9; .г - 1, 3, 5, 6; *=1, . . .,
8; μ - 2, 3,. . .
Класс Сл содержит все ф. а. л.; С2 состоит и- всех
ф. а. л. 1(хи . . ., хп) таких, что /(C),. . ., 0) = 0; 6"3 —
из всехф. а. л. таких, что/(1, . . ., \) — ^\С^—С2{\съ.
Класс Аг состоит из: всех монотонных ф. а. л.;
га 514
А2=С2{\А^ А3=С3(]А1; Аь = А2Г\А3. Класс D3
достоит из всех ф. а. л. f(xl4 . . ., хп) = f(xl4 . . ., хп);
D1=C/k(]D3; D2=A1f]D3. Класс Lx состоит из всех
ф. а. л. /(#ъ χζ·> · · ·» χη)~χι
+х2+. . .+xn+d(mod 2),
<*€{о, 1}; Lt=ct[\Lu L3=c3nLi; L4=L2n^3; l5=
= D3f]Lv
Класс Оg состоит из всех ф. а. л., существенно
зависящих не более чем от одного переменного; Os— А х Π 09;
0A=DS(]09; Оъ^С2Г[0^ Оъ=С3[\09; Ох=Оь[\Оь\ 0Ί
состоит из всех константных функций; 02=Оь(]07;
03=06(]От
Класс S6 состоит из всех ф. а. л. ί(χΐ4 . . ., хп)=
= x1\/x2V. · -Vxn и всех константных ф. а. л.; S3=
Класс PQ состоит из всех ф. а. л. /(а^, х2, . . ., хп) =
= £!&;£2& ... &.хп и всех константных ф. а. л.; Ръ=
= С2[\РЬ\ Р3=С3(]Р6; Р^=РЪ{\Р3.
Ф. а. л. удовлетворяет условию аМ*, если любые μ
наборов, на к-рых она равна 0, имеют общую
координату, равную нулю. Аналогично с заменой 0 на 1
вводится условие А м-.
Класс F% состоит из всех ф. а. л. со свойством аМ-;
*t= С4 П *Ϋ; ^3=А ι П Ft /#= Fi П F$; Fg состоит m
всех φ. a. л. со свойством А^; F$=Ct(}F$; F^=A9{\
Φ. a. л. удовлетворяет условию а00, если все наборы,
на к-рых она равна нулю, имеют общую координату,
равную нулю. Аналогично с заменой 0 на 1 вводится
свойство А °°. Класс Ft состоит из всех ф. а. л. со
свойством а-; Fr=CA(\FT; F^A^F?; F?=FT(]F3 ;
F£ состоит из всех φ. а. л. со свойством А°°\ F^°= С4Π
nF8~; F? = A3(]FZ; FT=F?()F?.
Решетка по включению, образованная этими
классами, изображена на рисунке. На нем классы
изображены точками. Две точки соединены дугой, если
нижележащая точка обозначает класс, непосредственно
содержащийся в верхнем классе (т. е. между ними нет
промежуточных классов).
Лит.: [1] Яблонский СВ., Г а в ρ и л о в Г. П.,
Кудрявцев В. В., Функции алгебры логики и классы
Поста, М., 1966. В. Б. Кудрявцев.
£? 17 Математическая энц., т. 4

515
ПОСТНИКОВА
516
ПОСТА МАШИНА — один из вариантов Тьюринга
машины,
ПОСТА НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА,
нормальное исчисление,— важный частный случай
Поста канонической системы. с. Ю. Маслов.
ПОСТА РЕШЕТКА — решетка по включению Поста
алгебр.
ПОСТА СИСТЕМА ПРОДУКЦИЙ,
нормальная система Поста, нормальное
исчисление Пост а,— частный случай Поста
канонической системы, когда все правила вывода имеют
Gp .
вид —q и имеется только одно исходное слово (одна
аксиома рассматриваемого исчисления). Э. Пост [1]
установил эквивалентность П. с. п. и канонич. систем
Поста в широком смысле. П. с. п. были использованы
Э. Постом и А. А. Марковым (1947) при построении
первых примеров ассоциативных исчислений с
неразрешимой проблемой распознавания равенства слов
(проблема Τ у э).
Лит.: [1] Post Ε. L., «Amer. J. Math.», 1943, v. 65,
№ 2, p. 197—215; [2] Марков Α. Α., Теория алгорифмов,
Μ., 1954 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 42). С. И. Адян.
ПОСТНИКОВА КВАДРАТ — когомологическая
операция типа 0(1, А, 3, В), где А, В — абелевы
группы с фиксированным гетероморфизмом η:
А -+ В, т. е. таким отображением, что функция
h(gu g2) = ^(giJrg2)—r\(gi) — r\(g2)
билинейна и η (—g) = r\(g). Пусть ξ : F —>· A —
эпиморфизм, a F = Q)Z — свободная абелева группа.
Для 1-коциклов П. к. определен формулой
^--*ηΙΜυδ>ί),
где е0 — такая коцепь с коэффициентами в F, что
£>е0=е1. Надстройкой над П. к. является Понтрягина
квадрат. Для односвязного X П. к., для к-рого А =
= π2(Χ), Β=πχ(Χ), а η определяется композицией с
отображением Хопфа S3 ->· S2, используется при
классификации отображений трехмерных полиэдров в X.
П. к. введен Μ. Μ. Постниковым [1].
Лит.: LU Постников Μ. Μ., «Докл. АН СССР», 1949,
т. 64, № 4, с. 461—62. А. Ф. Харшиладзе.
ПОСТНИКОВА СИСТЕМА, натуральная
система, гомотопическая
резольвента, П-р азложение общего тип а,—
последовательность расслоений
Pn + \ v Pn v Pn-i
> Λη ► Λ„_ι >
Λ X0 = pt,
слоями к-рых являются Эйленберга — Маклейна
пространства К(пп, п), где пп — нек-рая группа (абелева
при η > 1). Введена Μ. Μ. Постниковым [1].
Пространство Хп наз. п-м членом (или п-м этажом)
П. с. {Рп : Хп -+ Χη-ι}· П. с. {рп : Хп -+ Χ„_ι} наз.
сходящейся к пространству X, если ее обратный
предел lim {рп : Хп -+ Хп-\} слабо гомотопически
эквивалентен пространству X. В этом случае
пространство X наз. пределом П. с. {рп : Хп -+ Χη_ι}.
Морфизмом П. с. {рп : Хп -+ Χ„_ι} в П. с.
{qn : Yn ->- Υη_1) наз. последовательность
непрерывных отображений /„ : Хп-* Υп, для к-рых диаграмма
гомотопически коммутативна. Морфизм {fn}
индуцирует отображение lim /„ : limX„->ПтУ„, называемое
его пределом.
Из определения П. с. следует, что для каждого η ^1
отображение рп является (п — 1)-эквивалентностью
(см. Гомотопический тип), в частности π{(Χη_ι)=
^π,· (Хп) при i < и, πη(Χη) ^ πη и π,- (Χη) = 0 при
i > п. Пространства X и Хп имеют один и тот же
(п+ 1)-тип. В частности, если П. с. конечна, т. е. для
нек-рого числа N при всех η > Ν группа пп
тривиальна, то пространства X и X; гомотопически
эквивалентны. В общем случае при i < η имеют место
изоморфизмы Hi(Xn) s= Я/(X) и τίΐ(Χη) ^ π£·(Χ), т. е. с ростом η
группы гомологии и гомотопич. группы
стабилизируются. Для любого
клеточного разбиения К ^ :^ ρ·? τ χη_ι » ^χ
размерности < η мно- \ ' \ „ ι
жества [К, X] и [К, Г" z Г""1 Vl
Хп] совпадают. Харак- *~Y" **Ύη-\-+- ^Υι
теристич. класс kn= рис ι5
= с(рп)£Нп^ (Χ„_ι;
{πη}) расслоения рп : Хп ->· Χη-ι·> τ· е· образ при
трансгрессии
χ: Η»(Κ(π, η); π) ^ #" + 1 (#; Μ)
фундаментального класса ιηζΗη(Κ(π, η); π), наз.
п-м k-νί нвариантом (или п-м Постникове-
ким фактором) П. с. или ее предела X. Для
любого η > 1 п-й член П. с, а потому и (л+1)-тип
пространства X полностью определяются группами яъ ...,
лп и /с-инвариантами кг, . . ., λ^-ι- Часто П. с. наз.
двойная последовательность
{πι, &ι, ..., πΠ, кп, ...}.
Пространство X тогда и только тогда является
пределом П. с. {рп : Хп ->· Χη-ι)ι когда существуют
такие (п — 1)-эквивалентности рп : X ->- Хп, что ρ„_ι~
~Рл°Рл Для любого η ^ 1. Аналогично
характеризуются пределы морфизмов П. с.
Существует вариант понятия П. с, иногда
оказывающийся более полезным. В этом варианте пространства
Хп предполагаются клеточными разбиениями,
обладающими тем свойством, что Xn^idXn и X%~l\= ХПп1 ,
а отображения рп : Хп-+ Χη-ι ~ такими клеточными
отображениями (уже не являющимися расслоениями),
что, во-первых, ρη\Χη~ηΛ=ιά и, во-вторых, гомотопич.
слой отображения рп (т. е. слой этого отображения,
превращенного в расслоение) является пространством
К (пп, п). Такие П. с. наз. клеточными.
Пределом клеточной П. с. является клеточное разбиение X,
для к-рого Хп= Хп при любом η ^ 1. Произвольная
П. с. гомотопически эквивалентна клеточной П. с.
Основная теорема теории П. с. утверждает (см. [1],
[6]), что каждое пространство X является пределом
нек-рой однозначно (с точностью до изоморфизма)
определенной П. с. {рп : Хп-+ Χη-ι}. Эта П. с. наз.
системой Постникова
пространствах. Имеет место также вариант основной теоремы
для отображений: любое отображение / : X ->· Υ
является пределом нек-рого морфизма {fn : Хп ->- Yn)
П. с. {рп : Хп-+ Χη-ι) пространства X в П. с.
{in ·' Υη-* Υη-i} пространства У. Этот морфизм наз.
системой Постникова отображения
/ (др. названия: гомотопическая
резольвента отображения, П-с истема обще го
типа отображения, система My p a—
Постникова отображения). Для
постоянного отображения с : X ->■ pt линейно связного
пространства X его П. с. совпадает с П. с. пространства X.
В приложениях большое распространение получили
т. н. стандартные системы Постник о-
в а (к-рые зачастую наз. просто системами
Постникова), представляющие собой П. с, составленные
из главных расслоений рп : ΖΛ->Ζ„_!,
индуцирующихся из стандартных расслоений Серра К (π„, η) ->
-+ΕΚ(πη, η + 1) -> Κ(πη, η + 1) постниковскими
факторами кп£Нп + 1(Хп_г; πη), интерпретируемыми в силу
представимости групп когомологий как отображения
кп : Χη_ι-* К(лп, η + 1). Стандартными П. с.
обладают все пространства, гомотопически простые во всех

517
ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВО
518
-*-Y
с ^в
Рис. 2.
Jn^L
1*
-Υπ-ι
к/)
I
-KWF),n+i]
Рис. 3
размерностях (в терминологии [2] — абелевы
пространства), и только они (см. [3], [4]).
Стандартные П. с. применяются для решения задач
распространения и задач понятия, κ которым
сводятся многие задачи алгебраической
топологии. Объединенная постановка этих задач
1| [ρ заключается в следующем. Пусть
имеется (гомотопически) коммутативный
квадрат пространств и отображений, в
котором отображение i является замкнутым
корасслоением с кослоем XIА, а ρ —
расслоением со слоем F. Спрашивается, существует ли
такое отображение X -> У, чтобы оба получающихся
треугольника были (гомотопически) коммутативными.
Далее, если такое отображение существует, то
требуется вычислить мно-
А "~'-Υη ^ЕК[щ(Ю,п+\1 жество [Χ, Υ]β гомото-
пич. классов
отображений X -> Υ «под Л»
(то есть те! А) и «над В».
Пусть для расслоения
ρ : Υ -> В существует
стандартная П. с. {рп : Угг_>угг_ь Υ0=Β} (для этого
достаточно, напр., потребовать, чтобы пространства У
и В были односвязными). Задачу относительного
поднятия решают шаг за шагом.
Рассмотрим «элементарную» задачу относительного
поднятия отображения /„_χ: Χ -> Υη-χ с (η—1)-го
члена П. с. на п-и член П. с. (рис. 3).
Отображения fn_1 и gn_1 определяют отображение
XIА -> К (πη, (F), n -f 1), т. е. класс ко гомологии
сп + 1£Нп + 1(Х, Л, nn(F)), называемый
препятствием. Отображение fn_t тогда и только тогда можно
поднять в Yn, когда с" + 1=0. Два поднятия fn и fn
определяют элемент ап£Нп(Х, A; nn{F)), называемый
различающей, к-рый тогда и только тогда равен
нулю, когда поднятия f'n и fn гомотопны.
Таким образом, задача относительного поднятия
будет решена, если последовательно возникающие
препятствия сп + 1 равны нулю (напр., если Нп + 1(Х, А\
nn(F))=0. Поднятие будет единственно, если
последовательно возникающие различающие dn равны нулю
(напр., если Нп(Х, Α; nn(F))=0). В случае, когда
корасслоение i является вложением клеточных разбиений,
препятствие сп + 1 и различающая dn совпадают с
обычными «поклеточными» препятствием и различающей.
Для односвязных пространств X, группы гомологии
к-рых конечно порождены, П. с. эффективно
вычислима [5] и, следовательно, эффективно вычислим гомото-
пич. тип пространства X. Однако на практике для
большинства пространств из-за резко возрастающей
сложности вычислений удается вычислить только начальные
отрезки П. с. Для вычислений используется метод
когомологических операций.
Двойственной к П. с. является система Карта-
на — Серра
vcs
VCS
Л η-1
■ xi-i = x
пространства X, состоящая из расслоений, слоями
к-рых являются пространства Эйленберга — Маклейна
Κ(πη (Χ), η — 1). Пространство X%s наз. (п + 1)-м
убивающим пространством для X.
Члены Хп системы Картана — Серра являются гомото-
пич. слоями (п — 1)-эквивалентностей рп : X —► Хп
для П. с. пространства X, а члены Хп П. с.—
пространствами петель над слоями расслоений Хп ->■ X·
Расщепленной П. с. наз. последовательность
главных расслоений
слоями к-рых являются пространства Эйленберга —
Маклейна Κ(μη, sn), где sn < sn + 1. Расщепленные П. с.
являются основным технич. средством изучения т. н.
нильпотентных пространств и, в частности, их
локализаций (см. [2], [6], [7]). Имеются и другие варианты
П. с. (см. [6]).
Лит.: [1] Постников М.М., Исследования по
гомотопической теории непрерывных отображений, ч. 1—2, М., 1955;
[2] его же, «Успехи матем. наук», 1977, т. 32, в. 6, с. 117—81;
[3] Мошер Р., Тангора М., Когомологические
операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., М.,
1970, гл. 13; [4] С п е н ь е ρ Э., Алгебраическая топология,
пер. с англ., М., 1971, гл. 8; [5] Браун Э. X., «Математика»,
1958, т. 2, № 2, с. 3—24; [6] В a u e s Η. J., Obstruction theory
of the homotopy classification of maps, В.—Hdlb.—N.Y., 1977;
[7] Hilton P., Mislin G., Roitberg J.,
Localization of nilpotent groups and spaces, Amst., 1976.
С. Η. Малыгин.
ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВО —
риманово пространство Μ, у к-рого секционная
кривизна К (о) по всем двумерным направлениям σ постоянна:
если К (о) = к, то говорят, что П. к. п. имеет
кривизну к. Согласно теореме Шура, риманово пространство
Мп, п>2, есть П. к. п., если для любой точки ρζΜ
секционная кривизна К (о) по направлению любых
двумерных подпространств σ касательного
пространства ТрМ одна и та же. Тензор кривизны П. к. п.
выражается через кривизну к и метрич. тензор g[j по
формуле
*',*, = * (fe-efey*).
П. к. п. является локально симметрическим
пространством.
С точностью до изометрии существует
единственное полное односвязное л-мерное риманово пространство
Sn(k) постоянной кривизны к. При к=0 это евклидово
пространство, при к > 0 — сфера радиуса 1/]/"/с,
при к < 0 — Лобачевского пространство.
Пространства Sn (k) являются максимально
однородными пространствами, т. е. обладают группой движе-
п(п+1)
нии максимально возможной размерности -
-. Все
X*
%п-1
■Хо=Р*.
отличные от Sn (к) максимально однородные римановы
пространства исчерпываются проективными (иначе,
эллиптическими) пространствами, к-рые получаются
из сфер отождествлением диаметрально
противоположных точек.
Полные, но неодносвязные П. к. п. наз.
пространственными формами. Они получаются из
односвязного пространства Sn (к) факторизацией по
свободно действующей дискретной группе движений
пространства Sn(k). Известны все пространственные
формы положительной кривизны. Проблема
классификации пространственных форм нулевой и
отрицательной кривизны до конца (1983) не решена.
П. к. п. выделяются среди всех римановых
пространств одним из следующих характеристич. свойств:
1) П. к. п. удовлетворяют аксиоме плоскости, т. е.
любое геодезическое в точке подмногообразие в П. к. п.
является вполне геодезическим. 2) П. к. п. является
локально проективно плоским пространством, т. е.
допускает локально проективные отображения в
евклидово пространство.
Понятие П. к. п. не обладает свойством
корректности, т. е. пространство с мало меняющимися
секционными кривизнами может сильно отличаться от П. к. п.
Однако нек-рые общие свойства П. к. п., напр. топо-
логич. строение, при этом сохраняются (теорема Ада-
мара—Картана, теорема о сфере и др., см. Кривизна,
[2]). Совершенно иначе обстоит дело для псевдори-
мановых П. к.п.— любое псевдориманово пространство
знакоопределенной секционной кривизны, размерность
к-рого больше двух, является П. к. п.
17*

519 постоянной
П. к. п. являются также локально конформно евк- г
лидовыми, т. е. допускают локальные конформные
отображения в евклидово пространство.
Лит [1] Вольф Дж., Пространства постоянной
кривизны, пер. с англ., М., 1982; [2] Бураго Ю. Д., 3 а л-
галлер В. А. «Успехи матем. наук», 1977, т. 32, в. 3,
с. 3—55. Д. Д- Соколов.
ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ КРИВАЯ — плоская
выпуклая кривая для к-рой расстояние между любыми
парами параллельных опорных пря-
>^ч мых одинаково. Это расстояние наз.
// \Ч шириной П. ш. к. Кроме окруж-
// \\ ности, существует бесконечно много
// \ \ других, вообще говоря, негладких
/ / \ \ П. ш. к. Простейшей из них яв-
I/ Μ ляется треугольник Рё-
i- -Λ л о, состоящий из трех дуг окружно-
^ -^"^ сти одного радиуса а, к-рые
соединяют вершины равностороннего треу- |
Рис. 1. гольника со стороной а (см. рис. 1).
Ширина треугольника Рёло равна а.
Площадь фигуры, ограниченной треугольником Рёло,
равна -|Л π2—_JL j. Из всех П. ш. к. данной ширины а
треугольник Рёло ограничивает фигуру наименьшей
площади. Примеры других П. ш. к., где дуги П. ш. к.,
описанные вокруг различных многоугольников,
представляют собой дуги окружностей, см. на рис. 2. Длина
П. ш. к. ширины а равна πα (Барбъе теорема).
Рис. 2.
Понятие П. ш. к. можно обобщить на случай объектов
с высокой коразмерностью. Пусть V — гладкое
подмногообразие л-мерного евклидова пространства.
Пространство V наз. транснормальным
пространством (см. [2]), если для каждой точки ρ на V
нормальное многообразие ν(ρ) таково, что для каждой
точки q£v(p)(]V выполнено условие v(q) = v(p). Класс
плоских транснормальных кривых совпадает с классом
гладких П. ш. к. (о пространственных
транснормальных кривых см. [3]).
Лит.: |1] Бляшке В., Круг и шар, пер. с нем., М.,
1967; [2] Robertson S. Α., «Michigan Math. J.», 1964,
v. 11, p. 97—105; [3] Wegner В., «Math. Nachr.», 1972, Bd
53, S. 337—44; 1975, Bd 67, S. 213—23. Д. Д. Соколов.
ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ ТЕЛО — выпуклое тело,
для к-рого расстояние между любыми парами
параллельных опорных плоскостей одинаково. Это расстояние наз.
шириной П. ш. т. Кроме шара существует
бесконечно много других, вообще говоря, негладких П. ш. т.
Простейшим из них является тело, ограниченное
поверхностью, полученной путем вращения треугольника Рёло
вокруг одной из его осей симметрии. Класс П. ш. т.
совпадает с классом выпуклых тел
постоянного охвата, для к-рых границы ортогональных
проекций на всевозможные плоскости имеют совпадающие
длины.
Кроме П. ш. т., иногда рассматривают тела
постоянной яркости, к-рые характеризуются
тем, что площади поперечного сечения всевозможных
ортогональных проекций этих тел совпадают.
Лит.: [1] Бляшке В., Круг и шар, пер. с нем., М.,
1967. Д. Д. Соколов.
ПОТЕНЦИАЛ, потенциальная
функция, — одна из характеристик векторного поля.
ширины 520
Скалярный потенциал — скалярная
функция v(M) такая, что a=gradi>(M) во всех точках
области задания поля а(М) (иногда, напр. в физике,
П. наз. величину, противоположную по знаку). Если
такая функция существует, то векторное поле наз.
потенциальным полем.
Векторный потенциал — векторная
функция А (М) такая, что a=rotA (M) во всех точках
области задания поля а(М). Если такая функция
существует, то векторное поле а (М) наз. соленоидалъным
полем.
В зависимости от распределения порождающих П.
масс или зарядов рассматриваются П. точечного заряда,
поверхностный П. (простого или: двойного слоя),
объемный П. и др. (см. Потенциала теория), А. Б. Иванов.
ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИИ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ —
задачи, в к-рых требуется найти форму и плотности
притягивающего тела по заданным значениям внешнего
(внутреннего) потенциала этого тела (см. Потенциала
теория). В другой постановке одна из таких задач
состоит в отыскании такого тела, чтобы его внешний
объемный потенциал заданной плотности совпадал вне
этого тела с заданной гармонич. функцией.
Первоначально П. т. о. з. рассматривались в связи с задачами
теории фигуры Земли и небесной механики. П. т. о. з.
связаны с задачами фигур равновесия вращающейся
жидкости и задачами геофизики.
Центральное место в исследовании П. т. о. з.
составляют проблемы существования, единственности,
устойчивости, а также создание эффективных численных
методов их решения. Теоремы существования решений в
малом имеются для случая тела, близкого к данному,
но при этом имеются значительные трудности в
исследовании уравнений, как правило, нелинейных, к к-рым
сводятся эти задачи. Критериев существования
глобальных решений нет (1983). Во многих случаях
существование глобальных решений предполагается
заранее, что естественно во многих приложениях, и
исследуются проблемы единственности и устойчивости.
Одним из основных моментов в исследовании проблемы
единственности является выявление дополнительных
условий на решения, обеспечивающих их
единственность. С проблемой единственности связана проблема
устойчивости. Для задач, записанных в виде уравнения
1-го рода, вообще говоря, сколь угодно малым
вариациям правой части могут соответствовать конечные
вариации решений, т. е. эти задачи относятся к некорректно
поставленным задачам. Для того чтобы задача стала
корректной, накладывается ряд дополнительных
ограничений на решения; при этих ограничениях
получаются различные характеристики отклонения решения
в зависимости от отклонения правой части.
Ниже сформулированы обратные задачи ньютонова
(объемного) потенциала и потенциала простого слоя
для уравнения Лапласа в трехмерном евклидовом
пространстве R3, хотя указанные задачи исследуются
и в тг-мерном (л>2) евклидовом пространстве для
потенциалов общих эллиптич. уравнений (см. [7]).
Пусть Та, а=1, 2,—односвязные ограниченные
области с кусочно гладкими границами Sa;
— ньютонов потенциал;
— потенциал простого слоя, где \х—у\ — расстояние
между точками х= (хх, х2, х3) и у= (уъ у2, у3) в R3,
μα (У) Φ 0 (1а(у) Φ 0) почти всюду в Ta(Sa). И пусть
где β, γ — действительные числа, β2+γ2 j=. 0.

521 ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИИ
Общая внешняяП. т. о. з. состоит в нахождении
формы и плотности притягивающего тела по заданным
значениям внешнего потенциала Ъ(х). Для получения
условий единственности решения этой задачи она
формулируется следующим образом: найти такие условия
для областей Та и плотностей μα, ζα, чтобы из
равенства внешних потенциалов Ζ1(χ) и Ζ2(χ):
Ζ1(χ) = Ζ2(χ) для χ ζ R3\(T1[)T2)
(1)
следовало равенство Τί=Τ2, μ!=μ2, ζι= ζ2· Если
множество №\(Тг (J Т2) состоит из одной компоненты, то
условие (1) выполняется, когда Ζχ (χ)=Ζ2 (χ) для \х\ >i?, где
R — достаточно большое, или когда на границе шара
\x\-R задаются данные, обеспечивающие совпадение
Zt(x) и Z2(x) вне этого шара. В качестве таких данных
могут быть выбраны данные Дирихле на всей границе
шара либо данные Коши на куске границы шара и т. д.
В дальнейшем для простоты считается, что множества
Т'=Т1(]Т2 и 7f,r=R84(iiiU^2) состоят из одной
компоненты.
Решение общей внешней П. т. о. з. единственно, если
μ1=μ2=μ > 0, ζι=ζ2=ζ > 0, а области Та
контактны, т. е. такие, что для каждого из множеств Т' и Т"
существует общий участок ^„.(mes S* Φ 0) границ
Sa, причем mesK^USa) \ 5#] = 0.
П. т. о. з. для ньютоновых потенциалов получается,
когда в (1) β=1 и γ=0. Пусть Та, а=1, 2,— области,
звездные относительно общей точки, а функции μα(ί/)
имеют вид μα(ί/)=δαν(ί/), где 6a=const, v > 0 и не
зависит от р= \у\. Если ньютоновы потенциалы
удовлетворяют условию (1) и, кроме того, существует точка
^об^П^г такая, что U1(x0)=U2(x0), то Тг= Т2,
μχ=μ2.
Если в условиях (1) положить μι=μβ=μ, р=1, 7=0,
то получается задача об определении формы
притягивающего тела по известным значениям внешнего
ньютонова потенциала U (х) заданной плотности. Решение
этой задачи единственно в классе областей Та, звездных
относительно общей точки, в случае заданных
плотностей μ (у), монотонно неубывающих с ростом \у\.
Если в условиях (1) положить β=0, γ—Ι, ζχ= ξ2,
то получается задача об определении формы
притягивающего тела по известным значениям внешнего
потенциала простого слоя V(х) заданной плотности ζ. Для
выпуклых тел постоянной плотности решение этой
задачи единственно.
Если в условиях (1) положить Т1— Τ2= Τ, β—Ι, γ=0,
то получается задача об определении плотности
притягивающего тела по известным значениям внешнего
ньютонова потенциала. Решение задачи единственно,
если функции μα(#) имеют вид μα(ί/)=η(ί/)να(ί/), где
др «— ' ар -^·
Общая внутренняяП.т. о. з. состоит в
нахождении формы и плотностей притягивающего тела по
заданным значениям внутреннего потенциала Ζ(χ).
Для получения теорем единственности используется
следующая формулировка этой задачи: найти условия для
областей Та и плотностей μα, ζα, чтобы из совпадения
внутренних потенциалов Ζ1(χ) и Ζ2(χ):
Ζ1(χ) = Ζ2(χ) для χ ζ Тг[\Т2 (2)
следовали равенства Т1=Т2, μι=μ2> ζι= Сг-
Если в условиях (2) β—Ι, γ=0, то в классе выпуклых
тел переменной положительной плотности решение
единственно. Если же в условиях (2) β=0, γ=1, ζι=ζ2=ζ=
= const, то в классе выпуклых тел решение также
единственно.
Пусть ищется тело Τ такое, что его внешний
ньютонов потенциал U (χ; 7\, μ) данной плотности μ(χ)
равен вне тела Тг заданной гармонич. функции Н(х),
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ 522
Н{х) ->- 0 при \х\ -> оо и Η (χ) близка в смысле нек-рой
функциональной метрики к внешнему ньютонову
потенциалу U(χ; Τ, μ) заданного тела Τ плотности μ.
Для односвязных областей Τ с гладкой границей S
при условии μ (я)Is φ О решение задачи существует и
единственно.
Внутренняя задача ставится аналогично внешней,
причем Η (χ) является решением неоднородного
уравнения Лапласа в конечной области G0zdT:
ΔΗ = —μ (χ) для x£G0.
Ищется тело Тг такое, что для
grad Η (s) =grad U (χ; Тъ μ).
В отличие от внешней внутренняя задача имеет,
вообще говоря, не единственное решение; число решений
определяется уравнением разветвлений.
Плоские П. т. о. з. (п—2) ставятся аналогично
пространственным с учетом соответствующего поведения
потенциалов на бесконечности. В связи с этим ряд
утверждений, приведенных выше для л—3,
видоизменяется. Плоские П. т. о. з. иногда удобно исследовать
методами теории функций комплексного переменного и
конформных отображений.
Плоская внешняяП. т. о. з. Пусть μ= 1 —
заданная плотность, причем вместо логарифмич. по-
д ι / а
тенциала масс введена его производная az = "jj" ( эЗс —
—1-qT ); на комплексной плоскости z=x+iy вне круга
К (О, R) = {\z\ < R} задана аналитич. функция #(z),
#(оо)=0, особые точки к-рой при ее аналитич.
продолжении находятся внутри области D „., О £/)„.. Требуется
найти конечную односвязную область D с жордановой
границей, D*czDaDczK (0, i?), такую, чтобы Η (ζ)—
= U(z, D) для \z\ > R, где
U (ζ, Z)) = _±55D_lrde*|, ζ = ξ+*η·
Решением этой задачи считается функция z(t),
отображающая конформно единичный круг \t\ < 1
комплексной плоскости t на область D плоскости z=x-\-iy и
удовлетворяющая условиям z(0)=0, z'(0)>0.
Пусть D — заданная конечная односвязная область
с жордановой границей, функция Ua(z)=U(z, D) для
z£R2\D. Тогда функция удовлетворяет уравнению
*·(*) =
2пг J\t\=
\t\=l
Ua[z(t)]dt
1*1>ι.
(3)
где
*·(*)=* (4^при |*|^1.
Если z(t) является решением уравнения (3), в к-ром
Ua (z) заменена указанной выше функцией Η (ζ), причем
z (t) однолистна при |*| < 1, z(0)=0, ζ' (0) > 0, το#(ζ) =
= U(z, D) для \z\ > R.
Из уравнения (3) можно получить ряд связей между
функцией Ua(z) и функцией z(t). Напр., если внешний
потенциал Ua(z) можно аналитически продолжить
внутрь D через всю границу dD, то z(t) — аналитич.
функция при |ί| = 1; если
Ua (*) - 2Г=1 7Г ПРИ I Z I > Л· °™ φ °'
то
ζ(ί) = αι t + ...+amt*, атф0.
Это позволяет иногда решить плоскую П. т. о. з. в
конечном виде. Пусть H(z)= 2^=1 "Ъ cm^r0. Тогда соот-

523 потенции
ветствующее нелинейное уравнение для z(t)
эквивалентно, вообще говоря, нелинейной системе алгебраич.
уравнений относительно коэффициентов аг, . . ., ат.
Функция ζ(ί), вообще говоря, не однолистная при \t\ <1,
находится как решение этой алгебраич. системы
уравнений. Класс однолистных в круге \t\ < 1 решений
z(t), удовлетворяющих условиям ζ(0)=0, ζ' (0) > 0,
является решением поставленной П. т. о. з.
Аналогичное исследование можно провести для
внешней обратной задачи логарифмич. потенциала
простого слоя, а также для внутренних обратных задач
логарифмич. потенциалов, причем как для внешних,
так и для внутренних П. т. о. з. можно рассматривать
переменные плотности.
Лит.: [1] Новиков П., «Докл. АН СССР», 1938, т. 18,
№ 3, с. 165—68; [2] Тихонов А. Н., там же, 1943, т. 39,
№ 5, с. 195—98; [3] Сретенский Л. Н., Теория
ньютоновского потенциала, М.— Л., 1946; [4] Иванов В. К.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1956, т. 20, № 6, с. 793—818;
[5] его же, «Докл. АН СССР», 1955, т. 105, № 3, с. 409—11;
1956, т. 106, №4, с. 598—99; [6] Лаврентьев Μ. Μ.,
О некоторых некорректных задачах математической физики,
Новосиб., 1902; L7] Π ρ и л е π к о А. И., «Дифференциальные
уравнения», 19G6, т. 2, № 1, с. 107—24; 1967, т. 3, № 1, с. 30—
44; 1970, т. 15, № 1, с. 27—49; 1972, т. 8, № 1, с. 118—25; его
ж е, '<Сиб. матем. ж.», 1965, т. 6, № 6, с. 1332—56; 1971, т. 12,
№ 3, с. 630—47; № 4, с. 828—36; № 6, с. 1341—53; [8] Тих о-
н о в Α. Η., Α ρ с е н и н В. Я., Методы решения некорректных
задач, 2 изд., М., 1979. А. И. Прилепко.
ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ — в первоначальном
понимании — учение о свойствах сил, действующих по
закону всемирного тяготения. В формулировке этого
закона, данной И. Ньютоном (I. Newton, 1687), речь
идет только о силах взаимного притяжения,
действующих на две материальные частицы малых размеров, или
материальные точки, прямо пропорциональные
произведению масс этих частиц и обратно пропорциональные
квадрату расстояния между частицами. Поэтому первой
и важнейшей с точки зрения небесной механики и
геодезии задачей было изучение сил притяжения
материальной точки ограниченным гладким материальным телом—
сфероидом и, в частности, эллипсоидом (ибо многие
небесные тела имеют именно эту форму). После первых
частных достижений И. Ньютона и др. ученых
основное значение здесь имели работы Ж. Лагранжа (J.
Lagrange, 1773), А. Лежандра (A. Legendre, 1784—94) и
П. Лапласа (P. Laplace, 1782—99). Ж. Лагранж
установил, что поле сил тяготения, как говорят теперь,—
потенциальное, и ввел функцию, к-рую позже Дж. Грин
(G. Green, 1828) назвал потенциальной, а К. Гаусс
(С. Gauss, 1840) — просто потенциалом. Ныне
достижения этого первоначального периода обычно входят в
курсы классич. небесной механики (см. также [2]).
Еще К. Гаусс и его современники обнаружили, что
потенциалов метод применим не только для решения
задач теории тяготения, но и вообще для решения
широкого круга задач математич. физики, в частности
электростатики и магнетизма. В связи с этим стали
рассматриваться потенциалы не только физически
реальных в вопросах взаимного притяжения
положительных масс, но и «масс» произвольного знака, или
зарядов. В П. т. определились основные краевые задачи
такие, как Дирихле задача и Неймана задача, электро-
статич. задача о статич. распределении зарядов на
проводниках, или Робена задача, задача о выметании
масс (см. Выметания метод). Для решения указанных
задач в случае областей с достаточно гладкой границей
оказались эффективным средством специальные
разновидности потенциалов, т. е. специальные виды
интегралов, зависящих от параметров, такие, как потенциал
объемно распределенных масс, потенциалы простого и
двойного слоя, логарифмич. потенциалы, потенциалы
Грина и др. Основную роль в создании строгих методов
решения основных краевых задач сыграли работы
A.M. Ляпунова и В. А. Стеклова кон. 19 в. Изучение
А ТЕОРИЯ 524
свойств потенциалов различных видов приобрело в
П. т. и самостоятельное значение.
Мощный стимул в направлении обобщения основных
задач и законченности формулировок П. т. получила
начиная с 1-й пол. 20 в. на основе использования
общих понятий меры в смысле Радона, емкости и
обобщенных функций. Современная П. т. тесно связана в
своем развитии с теорией аналитич. функций, гармонич.
функций, субгармонич. функций и теорией
вероятностей.
Наряду с дальнейшим углубленным изучением
классических краевых задач и обратных задач (см.
Потенциала теории обратные задачи) для современного
периода развития П. т. характерно применение методов
и понятий современной топологии и функционального
анализа, применение абстрактных аксиоматич. методов
(см. Потенциала теория абстрактная).
Основные типы потенциалов и их свойства. Пусть
S — гладкая замкнутая поверхность, то есть (п—1)-
мерное гладкое многообразие без края, в /г-мерном
евклидовом пространстве R", η > 2, ограничивающая
конечную область G—G + , dG—S, и пусть G~ —
= R"\(G!+ (J S) — внешняя бесконечная область. Пусть
/ ι ι о
VI ч гп IX J <»п(п-2) \x-y\n-* ' П**°>
Е(х, у)=Е{\х—у\) = < 1,1
— главное фундаментальное решение уравнения
Лапласа Аи=2^кж1д2и/дх1=0 в Rn, где
Гхт1п ~|1/2
\χ— У\= [_2jk-l (xk—yk)2]
— расстояние между точками х=(хъ . . ., хп) и у=
=(ί/ι>· · ·» У η) Β R"» ωη=2πη/2/Τ(η/2) — площадь
единичной сферы в R", Г — гамма-функция. Три интеграла,
зависящих от χ как от параметра:
Z(x) = ^Gp(y)E(x, y)dy, \
ν(χ) = \3μϋ)Ε(χ, y)dS(y), I (1)
W(x)=^sv(y)^E(x, y)dS(y), J
где пу — направление внешней относительно G+
нормали к S в точке y£S, наз. соответственно
объемным потенциалом, потенциалом
простого слоя и потенциалом двойного
слоя. Функции ρ (у), μ (у) и ν (у) наз.
плотностями соответствующих потенциалов; ниже они
будут предполагаться абсолютно интегрируемыми
соответственно на G или S. При п=3 (а иногда и при η ^ 3)
интегралы (1) наз. ньютоновым объемным
потенциалом, ньютоновыми
потенциалами простого и двойного слоя,
при п= 2 — логарифмическими
потенциалами масс, простого и двойного слоя.
Пусть ρ принадлежит классу ^(GyjS). Тогда
объемный потенциал и его производные 1-го порядка
непрерывны всюду в R", причем их можно вычислить
посредством дифференцирования под знаком интеграла, то
есть ZgC^R"). Далее,
lim (Z(x)/E(x,0)) = M, М=[ p(y)dy.
Ι χ Ι -> αο J u
Производные 2-го порядка непрерывны всюду вне S,
но при переходе через поверхность S они претерпевают
разрыв, причем в области G+ удовлетворяется
уравнение Пуассона — ΔΖ=ρ(χ), x£G + , а в G~ — уравнение
Лапласа ΔΖ=0, x£G~. Перечисленные свойства
характеризуют объемный потенциал.

525
ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ
Если G1 — конечная область пространства Rn с
границей S1=dGl класса С1, то справедлива формула
Гаусса для объемного потенциала:
Г dz_
J5Х дпх
dS1 (χ) -
JGn
G,
P(y)dy.
Пусть μ
гармония.
С1 (S). Потенциал простого слоя V (х) есть
ункция при x£S, причем
М<
(V (х)1Е (х, 0))
V(x) = 0 при
M=[^(y)dS(y);
η > 3, но
когда \
lim
\X\-+Q
lim
1*1-
в частности, lim
при п=2 тогда и только тогда,
Потенциал простого слоя непрерывен^ всюду в R",
FgC(R"), причем V (х) и его касательные производные
непрерывны при переходе через поверхность S.
Нормальная производная потенциала простого слоя при
переходе через поверхность S испытывает скачок:
V(x) = 0
>
μ(ν)άΞ(ν)=0.
\дпх;
= 4μ(*)-
V lnK J
■ — — μ И ■
, дУ (χ)
Г дпх
дУ (χ)
дпх
£S,
где
/ дУ
\дпх
/ дУ
\ дпх
мальнои
есть
— предельные
производной соответственно из
значения нор-
G+ и G-, то
/ дУ
\дпх
/дУ_
\ дпх
lim
lim
-*■ χ, χ' 6 G
дУ (χΊ
дпх
дУ_ (х')
- дпх
Через dV(х)1дпх здесь обозначено т. н. прямое
значение нормальной производной
потенциала простого слоя, вычисленное
на поверхности S, то есть
дУ (х)
дпх
^5μ(ν)Λ-Ε(χ, y)dS(y), x£S,
к-рое является непрерывной функцией точки
а ядро дЕ(х, у)!дпх имеет слабую особенность
χζΞ,
на £,
I дпх ν '
у)
const
х, У £S.
I х-у \п~
характеризуют
Перечисленные свойства
простого слоя.
Пусть v£C1(S). Потенциал двойного слоя
есть гармонич. функция при x£S, причем
потенциал
W(x)
lim
1*1 -* <
\x\n~1W(x) = M, M-
^(y)dS(y).
При переходе через поверхность S потенциал двойного
слоя испытывает скачо-к:
W+ (x) = — ±.v(x) + W(x), W~ (x) = ^v(x) + W(x),
где W+ (х)~и W~ (χ) — продольные значения потенциала
двойного слоя соответственно из G+ и £?-, то есть
W+ (х)
lim
• χ, χ' 6 G +
W (x'), W~ (x)
lim
с, χ' £ G-
W(X).
Через W(x) при χ ζ S обозначено т. н. прямое
значение потенциала двойного слоя,
вычисленное на поверхности S, то есть
W(x)=[ v(y)JL-E(x, y)dS(y), x£S,
J «ь у
к-рое является непрерывной функцией точки
а ядро дЕ (х, у)1дпу имеет слабую особенность
526
x£S,
на S,
д
Ε (χ, у)
const
\x-y\n-*
v£S.
Касательные производные потенциала двойного слоя
также испытывают скачок при переходе через
поверхность S, но нормальная производная dW(x)ldnx
сохраняет свое значение при переходе через S:
( dW λ + = ( dW У
\дпх J V дпх J
€5.
Перечисленные свойства характеризуют потенциал
двойного слоя.
В случае постоянной плотности v=l имеет место
формула Гаусса для потенциала
двойного слоя:
~\s^iE[x' v)dS № = «&-'
ί1·
< 1/2,
x£G+,
x£S,
x£G~ .
02
дх- дх .
Ε (χ, у) dy,
Интеграл в левой части этого равенства
интерпретируется как (деленный на ωη(η—2)) телесный угол, под
к-рым видна поверхность S из точки х.
Ниже дополнительно приводятся нек-рые свойства
потенциалов при меньших ограничениях на плотности
и поверхность S.
Если p££i(G), то Z(x) — гармонич. функция при
x£G~ и Ζ (re) суммируема в G + . Если p£Lp(G), 1</?<
<n/2, ToZgL(/(R"), l/p+ilq=i, l<q<np/(n—2p); если
p£Lp(G), p>nl2, ToZgC(R"). Если p£Lp(G), 1<ρ<η,
то Z£Wlq{Rn), l<q<npl(n—p); если p£Lp(G), p>n, то
Z^Gl(Rn). Если p£L2(G), то существуют обобщенные
производные 2-го порядка от Ζ (χ), они также
принадлежат классу L2(G) и выражаются с помощью сингулярных
интегралов:
_^|_=_±6//р(х)+5ср(1,).
i, 7=1, 2, ..., и,
где 6^=1 при ί=/\ β,7=0 при ίφ)\ если p^L^G), 1<
<р<оо, то все обобщенные производные d^Zldx^dxi
также существуют и принадлежат L^(Rn). Если р£
£LJG), l<p<-f оо, то Ζ (χ) есть обобщенное решение
уравнения Пуассона — ΔΖ=ρ(;ζ), x£G. Если ρ ζ
gC(o. ol)(G) и SgC*1- α), 0<α<1, то Z£C(2- «> в G +
или G-. Если р€С<'. а> (G) и 5gC<*+i. «), 0<α<1, ί,
/с — целые, 0<г</с, то Ζ ζ С^+2. «)(G + ).
Пусть SgCt1» а), 0<а<1, Z) — замкнутая конечная
область такая, что G+ {]SdDdDcL^n. Тогда если
μ€£,($)■ Р=1.2, то 7€^Ф), V€^(5), ^/^ζ
£Lp(D), p=i, 2; i— 1, 2, ..., ?г. Если плотность μ
ограниченная и суммируемая, то
V £ № λ>νλ £ (0, 1).
Если μζ£(°. α>(5), 0<α<1, то VgCd. α> bG+ или
G-. Если v^C(°. α>(5); то И^^С(». со в G+ или G".
Если μζΠ/. α)(5) и 5gC<* + i. «),0<а<1, Ζ, /с —
целые, 0<Z</c, то FgC(' + i, «) в G+ или G". Если v£
gCC α>(5) и 5gC<fe+1· α>, 0<α<1, I, k — целые,
0<Z<A+1, το W^gCC α> в G+ или 6г-.
Для доопределенных по непрерывности потенциалов
и их производных на поверхности S описанные выше
свойства гладкости также остаются в силе при
соответствующих условиях гладкости на плотность и
поверхность S.
Представление функций и решение основных
краевых задач теории потенциала с помощью потенциалов.
Пусть Φ (я) — функция класса C?(G\JS), S — гладкая

527
ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ
528
поверхность класса С2. Тогда справедливо
интегральное тождество (формула Грина):
I дп„
■Е(х, у)-
_ф (у) 2^*->) dS (у) = , (*) φ (*).
(2)
В частности, в области G функция Φ (χ) представима в
виде суммы объемного потенциала и потенциалов
простого и двойного слоя соответственно с плотностями
Р(у) = —АФ(у), μ(ν) = ΘΦ(ν)/θην, ν(ϊΟ=-Φ (у).
Для гармонической в области G функции и (х) класса
C^GyjS) имеет место тождество
$s(^*(*. V)-»(v)**gf-)dS(y)=q(x)»(x), (3)
и поэтому такая функция и (х) представима в G в виде
суммы потенциалов простого и двойного слоя
соответственно с плотностями \i(y)=du(y)/driy, v(j/)=—и (у).
Однако эти плотности в формуле (3) не могут задаваться
произвольно на S, они связаны интегральным
соотношением, получающимся из (3) при χ ζ G~.
Центральное место в П. т. занимают краевые задачи
Дирихле и Неймана (наз. также первой и второй
краевыми задачами) для областей G+ (внутренние задачи)
иС" (внешние задачи), к-рые в предположении
достаточной гладкости поверхности удается полностью
исследовать сведением их к интегральным
уравнениям П. т.
Внутренняя задача Дирихле: найти
гармоническую в G+ функцию и(х) класса C(G+\JS),
S£C<i, а>? 0<а<1, удовлетворяющую краевому
условию и(х)—(р + (х), x£S,где φ + (χ) — данная непрерывная
функция на S. Решение этой задачи всегда существует,
единственно и может быть найдено в виде потенциала
двойного слоя
u(x)=^sv(y)-£-E(x, y)dS(y)
с плотностью ν, к-рая находится как единственное
решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода
—^v(x)+^sv(y)^-E(x,y)dS(y) = <p+ (*), x£S.
Внутренняя задача Неймана: найти
гармоническую в области G+ функцию и(х) класса
C^G+VS), S£C^ α), 0<α<1, удовлетворяющую
краевому условию du(x)/dnx=ty + (x), x£S, где ψ + (я) —
данная непрерывная функция на S. Решение этой задачи
существует тогда и только тогда, когда функция \р + (х)
удовлетворяет условию ортогональности
(4)
$5Ψ+ (x)dS(x) = 0.
Это решение определяется с точностью до произвольной
аддитивной постоянной С в виде и(х)= V(x)-\-C, где
ν{χ) = ^3μ(ν)Ε(χ, y)dS(y)
— потенциал простого слоя, плотность μ к-рого
определяется из интегрального уравнения Фредгольма 2-го
рода
τΜ*) + $5μω^£(*^)^ω=ψ+ (*), *е^· (5)
Соответствующее однородное уравнение имеет
нетривиальное решение μ0(χ), а неоднородное уравнение (5)
разрешимо при выполнении условия (4), причем его
общее решение имеет вид μ(#)+ί:μ0(;ζ), где с —
произвольная постоянная.
Внешняя задача Дирихле: найти
гармоническую в области £-, Οζό + , функцию и(х) класса
C(G~\JS), S£С<!> α>, Ο <α<1, удовлетворяющую
краевому условию и(х)=Ц)-(х), x£S, где ψ~(χ) — данная
непрерывная функция на S; при этом и(х)
предполагается регулярной на бесконечности, т. е.
lim
χ; Ι -> оо
χ \η~2 и (х) = const.
Решение этой задачи всегда существует, единственно
и может быть найдено в виде
u(x) = W(x) + A/\x\n-2,
где А — постоянная,
W
(x) = ^sv(y)^E(x, y)dS(y)
— потенциал двойного слоя, плотность ν к-рого
является решением интегрального уравнения Фредгольма
2-го рода
*=ф~(*)-тзгр=г. *€£. (6)
Соответствующее однородное уравнение имеет
нетривиальное решение v0= 1. При надлежащем выборе
постоянной А решение неоднородного уравнения (6) имеет вид
v(y)=v-(0)+C,
где С — произвольная постоянная, a ν (у) —частное
решение ур-ния (6). Постоянная А подбирается в виде
А= — ^φ- (x)v0(x)dS(x),
где плотность v0 должна удовлетворять условию
Ssv· <»>-ПЛЯ=г«И (»)=*·
It/I
(7)
Эта плотность v0 есть нетривиальное решение
уравнения (5) внутренней задачи Неймана с даннымиг|? + (#)=0,
χ ζ S, удовлетворяющее эквивалентному (7) при п^Ъ
условию нормировки
V0(x) = ^sv0(y)E(x, y)dS (y) = l, x£G+\JS.
Потенциал простого слоя V0(x) плотности v0(rc) наз.
равновесным потенциалом, или π ο-
тенциалом Робена. Плотность ν0(χ) дает
решение задачи Робена или электростатич. задачи о
распределении зарядов на проводнике S, создающем
равновесный потенциал, постоянный в области G +. Нек-рая
сложность решения внешней задачи Дирихле
происходит из-за того, что регулярная на бесконечности гармо-
нич. функция и (я), вообще говоря, убывает при \х\ ->- оо
медленнее, чем потенциал двойного слоя, и поэтому и(х)
в общем случае нельзя представить в виде одного только
потенциала двойного слоя.
Внешняя задача Неймана: найти
гармоническую в области С-, О ζ G + , функцию и(х) класса
^(G-yjS), S gC*1· α>, Ο<α<1, удовлетворяющую
краевому условию ди(х)/дпх=\р-(х), x£S, где ty~(x) —
данная непрерывная функция на S; при этом и(х)
предполагается регулярной на бесконечности. При п^З
решение этой задачи всегда существует и единственно;
при п=2 решение существует тогда и только тогда,
когда выполняется условие
lsy-(x)dS(x) = 0,
(8)
причем решение определено лишь с точностью до
произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней

529
ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ
530
задачи Неймана представимо в виде потенциала
простого слоя
Μ*) =^Βμ(ν)Ε(χ, y)dS(y),
плотность μ к-рого есть решение интегрального
уравнения Фредгольма 2-го рода
-τΗ*)+ξ5μ Ы-|-£ (*, y)dS(y) =
= ψ-(*), x£S. (9)
При п^Ъ решение этого уравнения всегда существует и
единственно. При п=2 соответствующее однородное
уравнение имеет нетривиальное решение μ0(χ), поэтому
неоднородное уравнение (9) при выполнении условия
разрешимости (8) имеет единственное решение μ (χ)
такое, что
^sfi(x)dS(x) = 0,
а его общее решение имеет вид μ(χ)=μ (χ)-\-ομ0(χ),
где с — произвольная постоянная.
Решение краевых задач П. т. может быть получено
также с помощью Грина функции. Напр., для
(внутренней) задачи Дирихле функция Грина имеет вид
G(x, y)=E(x, y) + g(x, у), x£G+\JS, y£G + ,
где g(x, у) — гармонич. функция вб+и непрерывная
в G+\JS по х, для каждого у £G+ удовлетворяющая
краевому условию G(x, i/) = 0, x£S. Решение
(внутренней) задачи Дирихле и(х) класса C2(G + ) [\С(G+ \JS)
для уравнения Пуассона — &u(x) = f(x), .τζ G + , с
краевым условием и(х) = у + (х), x£S, представимо в виде
u(x)=^G+f(y)G(x, y)dy +
+ 5s<P+(i/)7^G^ V)dS(y), x£G + .
Зависящие от параметра χ интегралы
J G Р (У) G (χ, у) dy, Js v (у) -±- G (x, у) dS (у)
наз. соответственно объемным
потенциалом Грина (задачи Дирихле),
потенциалом Грина двойного слоя. Их свойства
аналогичны свойствам потенциалов (1).
С помощью функции Грина к интегральным
уравнениям сводятся задачи на собственные значения. Напр.,
задача Дирихле — &u=ku(x), x£G + ,c краевым
условием и (х) = 0, χ ζ S, сводится к интегральному
уравнению Фредгольма 2-го рода с самосопряженным ядром
u(x)—X^G+u(y)G(x1 y)dy = 0, x£G + .
Дальнейшее обобщение некоторых основных
понятий теории потенциала. Параллельно с углубленным
изучением свойств потенциалов (1), определяемых
плотностями более или менее общего вида, и их применений
само понятие потенциала подверглось начиная
примерно с 20-х гг. 20 в. глубокому обобщению, связанному с
понятием меры и интеграла Радона.
Пусть λ>0 — положительная борелевская мера на
пространстве Rn с компактным носителем supp λ.
Потенциал меры
Ελ(χ) =^E(x, y)dX(y) (10)
существует всюду в Rn в смысле отображения Ελ : Rn ->-
-> [0, оо] при тг>3 и Ελ : R2->-( — ос, оо] при п=2
(т. е. здесь допускается и значение +©о) и является
су пер гармонической функцией всюду в R",
гармонической — вне носителя меры supp λ. Для меры λ
произвольного знака с компактным носителем потенциал Ελ
определяется, исходя из канонич. разложения λ=
= λ + — λ-, λ + >0, λ->0, в виде Ελ=Ελ + —Ελ~. В тех
точках χ ζ R", где оба потенциала Ελ + (χ) и Ελ~(χ)
принимают значение +оо, этот потенциал не определен.
Если мера λ>0 сосредоточена на гладкой поверхности
S, то аналогично (10) определяется и потенциал
двойного слоя меры λ:
Ίΐ7λ(*) = $^(*, v)dX(y).
Потенциал (10) конечен, £λ<+οο, всюду в R», за
исключением точек полярного множества, к-рое
характеризуется как множество внешней емкости нуль. Если
Ελ(χ)=0 всюду, кроме множества внешней емкости
нуль, то λ=0. Если мера λ^Ο, λ Φ 0 сосредоточена на
множестве емкости нуль, то sup £λ= + οο. Справедлив
следующий принцип максимума:
Ελ (л:) < supp {^λ (ι/): у ζ supp λ},
т. е. верхняя грань Ελ(χ) есть верхняя грань сужения
Ελ на supp λ. Если это сужение непрерывно (в
обобщенном смысле, включая значение +оо) в точке я0£
ζ supp λ, то потенциал Ελ (χ) непрерывен в точке х0
в Rn. Потенциалы мер Ελ сводятся к потенциалам
плотностей (1) тогда и только тогда, когда мера λ абсолютно
непрерывна по мере Лебега соответственно на G или на
S (см. [3]-[6]).
Если Τ — обобщенная функция, или распределение,
в R", то потенциал распределения
определяется как свертка Е*Т, являющаяся также
обобщенной функцией. Напр., если Τ — финитная
обобщенная функция, то в Rn в смысле обобщенных
функций справедливо уравнение Пуассона Δ(ΕΤ)= — Τ.
Потенциалы мер можно рассматривать как частный
случай потенциалов распределений. О потенциалах
распределений см. [3], [4], [9].
Для областей G=G+ с достаточно гладкой границей S
метод потенциалов дает эффективное решение задачи
Дирихле. Одно из основных направлений развития П. т.
состоит в открытии методов доказательства
существования и единственности решения задачи Дирихле для все
более широких классов областей (см. Выметания метод,
Дирихле принцип, Перрона метод, Шварца
альтернирующий метод). Однако в 1910 С. Заремба (S. Zaremba)
заметил, что для плоской области G при наличии
изолированных точек границы dG—S задача Дирихле в
приведенной выше классич. постановке не всегда
разрешима; более того, в 1912 А. Лебег (Н. Lebesgue)
показал, что она не всегда разрешима и для
пространственных областей, гомеоморфных шару, при наличии
достаточно острого входящего в область острия границы
(т. н. острие Лебега, см. Иррегулярная
граничная точка), т. е. существуют такие непрерывные
функции φ + (χ), x£dG, для к-рых задача Дирихле не
разрешима никаким способом.
Поэтому важное значение имеет полученное в ходе
развития метода Перрона обобщенное
решение в смысле Перрона — Винера
задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Как показал
Н. Винер (N. Wiener, 1924), при этом любая конечная
непрерывная функция φ=φ + , заданная на границе S~
= dG произвольной конечной области GaRn,
разрешима, т. е. для нее существует и притом
единственное обобщенное решение #φ (χ) в смысле Перрона —
Винера. Вообще, в 1939 М. Брело (М. Brelot) показал,
что конечная измеримая функция φ на S разрешима
тогда и только тогда, когда φ интегрируема по
гармонической мере на S.
Обобщенное решение #φ (χ) не во всех граничных
точках принимает заданные значения φ. Точка x0£S наз.
регулярной, если для любой конечной непрерыв-

531
ной функции φ на S обобщенное решение #φ (χ) црини-
мает значение Ц>(х0), то есть
lim Ηφ (χ) = φ (х0), x£G
χ -*- χ0
Прочие точки χ0 ζ S наз. иррегулярными, к ним
относятся изолированные точки границы при тг^2 и
острие Лебега при гс^З. Как оказалось (Келлога —
Эванса теорема, 1933), множество иррегулярных точек
имеет внешнюю емкость нуль, т. е. является в нек-ром
смысле разреженным. Множество регулярных точек
плотно на S.
Для задачи Дирихле строится соответственно и
обобщенная функция Грина G, к-рую
можно определить, напр., для произвольно
фиксированной точки y£G следующим образом:
G(x, y) = E(x, y)-HE{xy)(x),x£G.
Обобщенная функция Грина сохраняет нек-рые
свойства классич. функции Грина, напр. свойство симметрии
G(x, y)=G(y, χ), но lim G{x, i/) = 0, x£G, тогда и только
тогда, когда х0 — регулярная точка границы S (см.
[4], [6]).
Важное значение имеют также исследования задачи
Дирихле для компактов и устойчивости задачи Дирихле
(см. [6], [4]).
Интенсивно развивается изучение потенциалов с
другими ядрами, отличными от ядра Е(х, у), и их
применений для решения краевых задач (см» Бесселев
потенциал, Нелинейный потенциал, Рисса потенциал,
а также [3], [11]).
Лит.: [1] Г ю н τ е ρ Η. Μ., Теория потенциала и ее
применение к основным задачам математической физики, М., 1953;
[2] Сретенский Л.Н., Теория ньютоновского
потенциала, М.— Л., 1946; [3] Ландкоф Н. С, Основы
современной теории потенциала, М., 1966; [4] Брело М., Основы
классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [5]
Kellogg О D , Foundations of potential theory, В., 1929;
[6] Келдыш М В., «Успехи матем. наук», 1941, в. 8, с. 171—
231, [7] Б и ц а д з е А. В., Уравнения математической
физики, Μ , 1976, [8] его же, Краевые задачи для
эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [9]
Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 4 изд., М.,
1981; [10] Курант Р., Уравнения с частными производными,
пер. с англ., М., 1964; [11] Миранда К., Уравнения с
частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М.,
1957; [12] Михлин С. Г., Линейные уравнения в частных
производных, М., 1977; [13] Тихонов А. Н.,
Самарский Α. Α., Уравнения математической физики, 5 изд., М.,
1977. А. И, Πριυιβηκο, Ε. Д. Соломенцев.
ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ АБСТРАКТНАЯ —
теория потенциала на абстрактных топологич.
пространствах. П. т. а. возникла в сер. 20 в. из стремления
охватить единым аксиоматич. методом широкое
многообразие свойств различных потенциалов, применяемых при
решении разнообразных задач теории
дифференциальных уравнений с частными производными. Первое
достаточно полное изложение аксиоматики
«гармонических» функций (т. е. решений допустимого класса
уравнений с частными производными) и соответствующих
потенциалов было дано М. Брело (1957—58, см [1]), но
оно охватывало только уравнения эллиптич. типа.
Расширение теории, пригодное и для широкого класса
уравнений параболич. тлпа, получено X. Бауэром
(1960—63, см. [3]). Весьма плодотворным оказался
вероятностный подход к П. т. а., начало к-рому было
положено еще в работах П. Леви (P. Levy), Дж. Дуба
(J. Doob), Г. Ханта (G. Hunt) и др.
Для изложения П. т. а. удобно понятие
гармонического пространства. Пусть X— локально компактное
топологич. пространство. Пучком функций
на X наз. отображение 5» определенное на семействе
всех открытых множеств X и такое, что
1) 5(^0 Для любого открытого множества UczX есть
семейство функций и: U ->- R=[—оо, оо];
1Я АБСТРАКТНАЯ 532
2) если открытые множества U, V таковы, что UczVcz
аХ, то сужение любой функции из %(V) на U
принадлежит %(U)\
3) если для любого семейства {С//}, ΐζΐ, открытых
множеств UiClX сужения нек-рой определенной на
(Ji6i£// функции и на £/,· для всех ίζΐ принадлежат
%(Ud, то uG%([)i€lUi).
Пучок функций 2В на X паз. гармоническим
пучком, если для любого открытого множества
UaX семейство 5В(£/) есть действительное векторное
пространство непрерывных функций на U. Функция и,
определенная на нек-ром множестве SaX, содержащем
открытое множество U, наз. ЗБ-ф у н к ц и е й, если
сужение u\U принадлежит 2В(£У). Гармонич. пучок ЗВ
невырожден в точке χζΧ, если в окрестности
χ существует ЭВ-функция и такая, что и(х)^0.
Реальные различия в аксиоматиках Бауэра, Брело,
Дуба характеризуются свойствами сходимости ЗВ-
функций.
а) Свойство сходимости Бауэра
состоит в том, что если возрастающая последовательность
2Б-функций локально ограничена на нек-ром открытом
множестве UczX, то предельная функция ν есть Ж-
функция.
б) Свойство сходимости Дуба состоит
в том, что если предельная функция ν конечна на
плотном множестве в I, то ι; есть ЗВ-функция.
в) Свойство сходимости Брело
состоит в том, что если предельная функция ν возрастающей
последовательности ЭВ-функций на нек-рой области
UczX конечна в точке x£U, то ν есть ЗВ-функция.
Если пространство X локально связно, то имеют
место импликации в) => б) => а).
Пучок функций Ц на X наз. гипергармояи-
ческим пучком, если для любого открытого
множества UczX семейство \\(U) есть выпуклый конус
полунепрерывных снизу функций и : U ->(—оо, оо];
U-ф у н к ц и я определяется аналогично ЗВ-функции.
Отображение U ->- U(U)[}(—U(U)) есть гармонич.
пучок ЗВ=9Ви, порожденный пучком U; только этот
гармонич. пучок будет использоваться в дальнейшем.
Пусть на границе dU открытого множества UczX
дана непрерывная функция φ : д£/->(— оо, оо)с
компактным носителем. Гипергармонич. пучок 11 позволяет
построить Перрона методом обобщенное решение
задачи Дирихле для нек-рых открытых множеств в классе
соответствующих ЗВ-функций. Пусть Цф — семейстьо
полунепрерывных снизу U-функций и, ограниченных
снизу на U, положительных вне нек-рого компакта и
таких, что
lim inf и (χ) ^ φ (у), y£dU;
χ-+ у
можно положить U(p = —Ιΐφ · Пусть теперь
#φ (χ) = inf {и (х): wgUcp}, x£U,
и #φ = οο, если Πφ = 0. Аналогично,
#φ (χ) =sup {и (χ): ι^ζΙΙφ}, χζυ,
или #φ = — оо. Функция наз. разрешимой, если
для нее #φ и #φ совпадают, #φ= #φ=#φ, и #φ
является 2В-функцией; эта функция Η и есть обобщенное
решение задачи Дирихле в классе Щ}-функций. Открытое
множество UczX разрешимо относительно U,
если разрешима любая конечная непрерывная функция
с компактным носителем на dU. Для разрешимого
множества U отображение Η : Ck(dU) ->- R. есть
положительный линейный функционал, к-рый, следовательно,
определяет положительную меру μ^, χζυ, паз. г а р-
ПОТЕНЦИАЛА ΤΕΟΙ

533 ПОТЕНЦИАЛА ТЕС
монической мерой на dU в точке χ
(относительно U).
Локально компактное пространство X с гипергар-
монич. пучком U превращается в гармоническое
пространство, если для него выполняются
соответствующие четыре аксиомы (см. Гармоническое
пространство), причем в аксиоме сходимости имеется в
виду свойство Бауэра.
Часто (в классич. примерах именно так и обстоит
дело) за основу берется гармонич. пучок Ж, а аксиома
мажоранты служит тогда определением гипергармонич.
пучка. Напр., евклидово пространство R", п^2, с
пучком классич. решений уравнения Лапласа или
уравнения теплопроводности в качестве Ж является
гармонич. пространством. Гармонич. пространство
локально связно, не содержит изолированных точек и
имеет базис из связных разрешимых множеств
(разрешимых областей).
Открытое множество U гармонич. пространства X с
сужением XI | С/ в качестве гипергармонич. пучка есть
гармоническое пространство X.
Гипергармонич. функция и на UczX наз.
супергармонической функцией, если для любого
относительно компактного разрешимого множества V,
VczU, наибольшая миноранта \ivu является
гармонической, μν'^ζ2Β(7). Многие свойства классических су-
пергармонич. функций (см. Субгармоническая функция)
выполняются и здесь. Потенциалом наз. такая
положительная супергармонич. функция и, для к-рой
наибольшая гармонич. миноранта \куиъ&Х
тождественно равна нулю. Гармонич. пространство X наз. (j-r а р-
моническим (или $р~г армоническим)
пространством, если для любой точки χζΧ
существует положительная супергармонич. функция и
(соответственно потенциал и) на X такая, что и(х)>0.
Любое открытое множество ^-гармонического
пространства разрешимо.
Принимая за основу гармонич. пучок Ж и определяя
соответствующий гипергармонич. пучок Ж* с помощью
аксиомы мажоранты, получают пространство
Бауэра, совпадающее с гармонич. пространством
для Ж*. Если гармонич. пучок Ж для любого открытого
множества Ucz^nX R состоит из решений h уравнения
теплопроводности Ah—dh/dt=0, то Ж обладает
свойством сходимости Дуба и RnX R с этим пучком Ж есть
^-пространство (Бауэра). При этом ν —
гипергармонич. функция класса С2 тогда и только тогда, если Δν—
—0ν/0ί<Ο.
Пространство Брело характеризуется
следующими условиями: X не имеет изолированных
точек и локально связно; регулярные множества
относительно Ж образуют базу X (регулярность — это
разрешимость классич. задачи Дирихле в классе Ж);
Ж обладает свойством сходимости Брело. Пространства
Брело составляют собственный подкласс т. н.
эллиптических гармонич. пространств (см. [4]), т. е. эллип-
тич. пространств Бауэра. Если гармонич. пучок Ж
для любого открытого множества Ucz^n, п^2, состоит
из решений и уравнения Лапласа Δ^=0, то R2 с этим
пучком есть (^-пространство Брело, a Rn при п^Ъ есть
^-пространство Брело. При этом ν — гипергармонич.
функция класса С2 тогда и только тогда, если Δι;<0.
Точка у границы dU разрешимого множества U
гармонич. пространства наз. регулярной
граничной точкой, если для любой конечной непрерывной
функции φ на dU имеет место предел
lim #ф (х)=у(у), χξϋ,
χ -+ у
а в противном случае у наз. иррегулярной
граничной точкой. Пусть F — фильтр на U,
сходящийся к у. Барьером фильтра F наз. строго
Ш АБСТРАКТНАЯ 534
положительная гипергармонич. функция ν,
определенная на пересечении U с нек-рой окрестностью у и
сходящаяся к 0 вдоль F. Если для относительно компактного
разрешимого множества U ©-гармонического
пространства все фильтры, сходящиеся к точкам y£dU, имеют
барьер, то (/-регулярное множество,
т. е. все его граничные точки регулярные. Если U —
относительно компактное открытое множество
^-гармонического пространства, па к-ром существует строго
положительная гипергармонич. функция, сходящаяся
к 0 в каждой точке у ζ д U, то U — регулярное
множество.
Кроме изучения разрешимости и регулярности в
задаче Дирихле, к основной проблематике П. т. а
относятся: теория емкости точечных множеств на гармонич.
пространствах X; теория выметания (см. Выметания
метод) функций и мер на X; теория интегральных
представлений положительных супергармонич. функций на
X, обобщающая представления Мартина (см. Мартина
граница).
Уже в нач. 20 в. была замечена тесная связь теории
потенциала с нек-рыми вопросами теории вероятностей,
такими, как броуновского движения процесс, винеровский
процесс, марковский процесс. Напр., вероятность того,
что траектория броуновского движения в плоской
области GcR2, исходящая из точки x0^G, встретит в
первый раз границу dG на (борелевском) множестве EadG,
есть не что иное, как гармоническая мера множества Ε
в точке х0; полярные множества границы dG суть при
этом те множества, к-рые траектории не встречают
почти наверное. В дальнейшем вероятностные методы
способствовали более глубокому пониманию нек-рых идей
теории потенциала и привели к ряду новых
результатов; с другой стороны, теоретико-потенциальный
подход уменьшает отчужденность теории вероятностей и
также приводит в ней к новым результатам.
Пусть X — локально компактное пространство со
счетной базой, Ck и С0 — классы конечных
непрерывных функций на X соответственно с компактным
носителем и стремящихся к 0 на бесконечности. Ядро-мера
N(х, Е)^0 есть (борелевская) функция от χξ-Χ для
каждого относительно компактного (борелевского)
множества ЕаХ. С помощью TV каждой функции/^0, f£Ck,
ставится в соответствие потенциал-функция
Nf(x)=^f(y)N(x,dy), χξΧ,
а мере Θ^Ο соответствует потенциал-мера
QN(E) =\N(x, E)dQ(x).
Единичное ядро Ι (χ, Ε) равно 0 при х(£Е и равно 1 при
х£Е, оно не изменяет/(х) и В(Е). Напр., в евклидовом
пространстве R3 ядро
ν ' ' )е Ιχ-ν Ι
определяет ньютонов потенциал Nf с плотностью /, а
QN есть мера с плотностью, равной ньютонову
потенциалу меры θ (см. Потенциала теория).
Ядро-произведение имеет вид
ΜΝ (х, Е) = J N (у, Ε) Μ (χ, dy).
Семейство ядер {Nf}, t^O, с законом композиции
Nt + s=NfNs является однопараметрич. полугруппой.
Ядро N удовлетворяет полному принципу максимума,
если для любых /, g;>0 из Ck и а>0 выполнение
неравенства Nf<cNg+a на множестве, где />0, влечет за
собой выполнение этого неравенства всюду на X.
Основная в этой теории теорема Хаита в
простейшей форме состоит в том, что если образ С^ при

535
ПОТЕНЦИАЛОВ МЕТОД
536
отображении N плотен в С0 и N удовлетворяет полному
принципу максимума, то существует полугруппа {Pf},
^0, такая, что
Nf(x)=^Ptt(x)dt, /^0
(феллеровская полугруппа); при этом
Pt отображает Ck в С0, Р0 — единичное ядро, lim Ptf =
=f, /ζ^ο* локально равномерно и Р*(1)<1. Функция
/^0 наз. эксцессивной функцией
относительно полугруппы {Pt}, если всегда Ptf<-f и lim Pff=
= /; если Ptf=f, то / наз. инвариантной
функцией. Соответствующие построения имеют место и
для потенциала-меры θ TV.
Очерченная теория Г. Ханта (1957—58) имяет
непосредственный вероятностный смысл. Пусть на X задана
нек-рая σ-алгебра борелевских множеств Ш и
вероятностная мера Р. Случайная величина S=S(x) — это
Щ-измеримое отображение X в пространство состояний
R = [ — оо, оо]. Семейство случайных величин {St},
г^О,— это случайный марковский процесс, для к-рого
St(x) — траектория точки χζΧ, если для каждого у,
— оо <# < оо, существует вероятностная мера ?у на Ж
такая, что
1) Р*({$о = у}) = 1; 2) РУ(А), Л^Щ,
— борелевская функция от у\ 3) вид траектории,
проходящей через у в момент г, при t^r не зависит от
положения предыдущих ее точек. Применительно к таким
марковским процессам полугруппы {Р^}
интерпретируются как полугруппы мер
Р,(</, B)=Py({St£B}).
Важное значение имеет изучение эксцессивных и
инвариантных функций относительно полугрупп {Р*}.
С другой стороны, если X есть ^-гармоническое
пространство со счетной базой, то на нем всегда можно
выбрать ядро потенциалов так, чтобы удовлетворялись
условия теоремы Ханта, и эксцессивные функции
соответствующей полугруппы будут тогда в точности
неотрицательными гипергармонич. функциями. Теорема
Ханта обобщается и для нек-рых типов пространств
Бауэра (см. [4], [7]).
И другие понятия П. т. а., такие, напр., как
выметание, полярные и тонкие множества, также получают
вероятностную интерпретацию в рамках общей теории
случайных процессов, облегчающую их исследование.
С другой стороны, для теории вероятностей оказалась
важной теоретико-потенциальная трактовка ряда
понятий, таких, напр., как мартингалы, выходящих за
рамки марковских процессов.
Лит.: [1] В г е 1 о t M., Lectures on potential theory, 2 ed.,
Bombay, 1967; [2] его же, «L'enseign. math.», 1972, t. 18,
№ l, p. l—36; [3] Bauer H., Harmonische Raume und ihre
Potentialtheorie, В., 1966; [4] Gonstantinescu C,
Cornea Α., Potential theory on harmonic spaces, В., 1972;
[5] Мейер П. - Α., Вероятность и потенциалы, пер. с англ.,
М., 1973; [6] Хант Дж.-А., Марковские процессы и
потенциалы, пер. с англ., М., 1962; [7] Blumenthal R., G е-
t о о г R., Markov processes and potential theory, N.Y.—L.,
1968. E. Д. Соломенцев.
ПОТЕНЦИАЛОВ МЕТОД — метод исследования
краевых задач для уравнений математич. физики путем
сведения их к интегральным уравнениям, основанный
на представлении решений этих задач в виде
(обобщенных) потенциалов.
Пусть в пространстве R", л^2, задано
дифференциальное уравнение с частными производными 2-го
порядка эллиптич. типа
Lu - А. /=, (<ч/ щщг.) + А= ι <<· -βϊτ+си=,{х)
(1)
с достаточно гладкими коэффициентами dij=o>ji=
~a,ij(x), ei=ei(x), с(я)<0 и правой частью f(x), причем
с(х)<—/с2<0 вне нек-рой ограниченной области,
содержащей внутри область D класса С1. Тогда любое
решение и(х) уравнения (1) класса C2(D\JS) можно
представить в виде суммы трех (обобщенных)
потенциалов: потенциала объемных масс
\DE(x, y)p(y)dy, (2)
потенциала простого слоя
Js£(*, y)o(y)dey (3)
и потенциала двойного слоя
^sQy[E(x, ν)]μ(ν)ά8υ, (4)
где S=dD — граница области D, Е(х, у) — главное
фундаментальное решение оператора L, символ Qy
обозначает оператор
Qyv=a-oW-bv'
действующий в точке y£S, N — единичный вектор ко-
нормали в точке у ζ 5,
<*2 = 2^ (2"=1a*7C0S(v> У/)) »
* = 2"=1 «ί cos(v, iji),
ν — единичный вектор внешней нормали к S в точке
y£S. Плотности потенциалов ρ (у), о (у) и μ (у) —
достаточно гладкие функции на D или S.
Для потенциалов (2)—(4) остаются в силе, с
соответствующими изменениями, все дифференциальные и
граничные свойства гармонич. потенциалов, описанные
в ст. Потенциала теория для случая, когда L —
оператор Лапласа. На основании этих свойств удается
свести краевые задачи для эллиптич. уравнений типа (1)
к интегральным уравнениям, аналогично тому, как это
было описано для задач Дирихле и Неймана для
гармонич. функций в ст. Потенциала теория.
Лит.: [1] Миранда К., Уравнения с частными
производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [2] Б и-
ц а д з е А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений
второго порядка, М., 1966; [3] Владимиров В. С,
Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [4] К у π ρ а д-
з е В. Д., Методы потенциала в теории упругости, М., 1963;
[5] Милн-Томсон Л.М, Теоретическая гидродинамика,
пер. с англ , Μ , 1964. Ε. Д. Соломенцев.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ СЕТЬ, сеть
Егорова,— ортогональная сеть на двумерной поверхности
евклидова пространства, к-рую переводит в себя
потенциальное движение жидкости по этой поверхности.
В параметрах П. с. линейный элемент поверхности
имеет вид
где Ф=Ф(гг, г;) — потенциал поля скорости жидкости.
Каждая ортогональная полугеодезич. сеть
потенциальна. Частным случаем П. с. является Лиувилля сеть.
П. с. впервые рассматривал Д. Ф. Егоров (1901).
Лит.: [1] Егоров Д. Ф., Работы по дифференциальной
геометрии, М., 1970; [2] Ш у л и к о в с к и й В. И.,
Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении,
М., 1963. В. Т. Базылев.
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ, градиентное
поле,— векторное поле, образованное градиентами
гладкой скалярной функции f(t) нескольких
переменных t=(t1, ... , tn), принадлежащих нек-рой области Τ
^-мерного пространства. Функция f(t) наз.
скалярным потенциалом (потенциальной
функцией) этого поля. П. п. вполне интегрируемо
в Т: Пфаффа уравнение (grad/(i), dt) = Q имеет в
качестве (п—1)-мерных интегральных многообразий ли-

537
поток
538
нии (п=2) или поверхности (п^З) уровня потенциала
f(t). Любое регулярное вполне интегрируемое в Τ кова-
риантное поле ν=(νΐ4 ν2, ... , νη) получается
умножением П. п. на скаляр:
*«(*> = '(*) 7"5- , Κα<*.
Скаляр \lc(t) наз. интегрирующим множителем
уравнения Пфаффа (v(t), dt) = 0. Признаком потенциальности
поля va(t) (c(t) = i) служат равенства
dvn
dVJ
dta
-г=^. *<«. β<»>
означающие, что поле v(t) является безвихревым (см.
Вихрь).
Понятие П. п. широко используется в механике и
физике. Большинство силовых и электрич. полей
можно рассматривать как П. п. Напр., если /(*) выражает
давление в точке t идеальной жидкости, заполняющей
область Т, то вектор F=— grad f -άω равен
равнодействующей сил давления, приложенной к элементу объема
du>. Если / (t) — температура нагретого тела Τ в точке
*, то вектор F=— /с-grad /, где к — коэффициент
теплопроводности, равен плотности теплового потока,
идущего в сторону менее нагретых участков тела (в
направлении, ортогональном изотермич. поверхностям
/= Const). Л. П. Купцов.
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — отображение
А банахова пространства X в сопряженное
пространство X*, являющееся градиентом нек-рого функционала
/ζΧ*, τ. е. такое, что
<Ах, h>=\imf(x+th>-f<x) .
/-> о г
Напр., всякий ограниченный самосопряженный
оператор Л, определенный на гильбертовом пространстве
Я, является потенциальным:
4 = grad (4-<^> χ>)χζΗ.
Лит.: [1] В а й н б е ρ г Μ. Μ., Вариационный метод и
метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений,
М., 1972; [2] Гаевский X., Грегор К., Захариас
К., Нелинейные операторные уравнения и операторные
дифференциальные уравнения, пер. с нем., М., 1978. В. И. Соболев.
ПОТЕРЬ ФУНКЦИЯ — неотрицательная функция»
показывающая потери (ущерб) экспериментатора в
задаче принятия статистич. решения при каждом
возможном исходе эксперимента. Пусть X — случайная
величина, принимающая значения в выборочном
пространстве (ЗЕ, 93, Ρθ), θζθ, и пусть D={d}—
пространство всех возможных решений, к-рые можно
принять относительно параметра θ по реализации
случайного вектора X. В теории статистических решающих
функций любую неотрицательную функцию L (· , ·),
определенную на ЭЁХ#, наз. функцией потерь.
Значение L(6, d) П. φ. L (· , ·) в произвольной точке
(θ, d)£$,XD интерпретируют как ущерб, к к-рому
приводит принятие решения d, d£D, если истин&ое
значение параметра есть θ, θζθ.
Лит.: [1] В а л ь д Α., Статистические решающие функции,
пер. с англ., в кн.: Позиционные игры, М., 1967; [2] Л е м а н
Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М.,
1979. М. С. Никулин.
ПОТОК векторного поля — одно из
понятий теории векторного поля. П. векторного поля а
через поверхность dV выражается с точностью до знака
поверхностным интегралом
J Jev(a» n) ds = ] )ду(ахаУ dz + 4dz dx + azdxdy),
где п — единичный вектор нормали к поверхности dV
(предполагается, что изменение вектора η по
поверхности dV непрерывно). Для поля скоростей частиц
жидкости П. векторного поля равен объему жидкости,
протекающей за единицу времени через поверхность dV.
БСЭ-З.
ПОТОК, динамическая система с
непрерывным временем,— динамическая
система, определяемая действием аддитивной группы
действительных чисел R (или аддитивной полугруппы
неотрицательных действительных чисел) на нек-ром
фазовом пространстве W. Другими словами, каждому
igR (каждому ί^Ο) сопоставлено нек-рое
преобразование St : W ->- W, причем
S0(w) = w и St + s(w) = St(Ss(w)).
При этом t обычно наз. «временем» и о зависимости Stw
от t (при фиксированном ш) говорят как о «движении»
точки Stw; множество всех SjW для данного w наз.
траекторией w (нередко этот термин
употребляется применительно к функции it—> Stw). Как и для
любых динамич. систем, обычно фазовое пространство
наделено нек-рой структурой, и П. в каком-то смысле
согласован с ней: преобразования St сохраняют эту
структуру, накладываются определенные условия на
характер зависимости Sfiv от t.
В приложениях чаще всего встречаются П.,
описываемые автономными системами обыкновенных
дифференциальных уравнений
и>1 = /| (и>ь ···> wm), i = l, ...,ιλ, (*)
или, в векторных обозначениях, w=f(w), w£Rn.
Непосредственное обобщение — поток на
дифференцируемом многообразии Wm,
определяемый («порождаемый») заданным на Wm гладким
векторным полем f(w) класса Ck, /с>1 (гладкий
поток класса Ск). В этом случае движение точки
Sfiv, пока она находится в пределах одной карты
(локальной системы координат), описывается системой
вида (*), в правой части к-рой стоят компоненты вектора
f(w) в соответствующих координатах. При переходе к
другой карте описание движения меняется, поскольку
при этом меняются как координаты точки Sfiv, так и
выражения для компонент вектора f(w) как функций
локальных координат. См. также Измеримый поток,
Непрерывный поток, Топологическая динамическая
система.
П. образуют наиболее важный класс динамич.
систем, к-рый к тому же первым начал изучаться. Термин
«динамическая система» часто употребляют в узком
смысле, понимая под ним именно П. (или П. и
каскады). Д. В. Аносов.
ПОТОК — понятие интуиционистской математики
(см. Интуиционизм); совокупность, вид, состоящий из
конечных кортежей натуральных чисел, называемых
узлами П. (или д опустимыми
кортежами П.). Точнее, вид Π кортежей натуральных чисел
наз. потоком, если выполняются следующие
условия: 1) существует эффективное правило а (т. н.
закон потока), согласно к-рому для всякого
кортежа <л1? ... , пту можно выяснить, является ли он
узлом П; 2) пустой кортеж < > является узлом всякого
П.; 3) если кортеж <л1? ... , пт> есть узел П, то всякий
его начальный кортеж вида <л1? ... , п{) при i<m. также
является узлом П; 4) если кортеж <л1? ... , пту есть узел
П, то найдется натуральное к такое, что <л1? ... , пт, ку
есть узел П.
Если кортежи натуральных чисел упорядочить,
считая, что τ<π тогда и только тогда, когда τ есть
собственное начало π, то с точки зрения этого порядка поток
Π представляет собой бесконечное дерево с началом < >,
заданное эффективным образом (заданное законом).
Свободно становящаяся последовательность α (или,
более общо, произвольная эффективная функция, пере-

539
поток
В СЕТИ
540
рабатывающая натуральные числа в натуральные)
наз. элементом потока П, символически α ζ Π,
если для всякого η кортеж <а(0), ... , а (л —1)>
является узлом П. R приложениях встречается также понятие
оснащенного П.Оснащенный поток Г состоит
из потока Π и эффективного правила Гп (т.н. д о π о л-
нительного закона П.), приписывающего
каждому узлу π потока Π нек-рый объект Гп(л).
Каждому элементу потока Π при этом естественным образом
соответствует последовательность объектов, задаваемых
законом Гп.
В языке формального интуиционистского математич.
анализа П. задается функцией — своим законом П.
С этой целью рассматривается стандартное примитивно
рекурсивное взаимно однозначное соответствие между
кортежами натуральных чисел и натуральными
числами. Пусть при этом кортежу < > соответствует 0,
операция соединения двух кортежей в один задается
на их номерах примитивно рекурсивной функцией
х*у, χ означает номер кортежа с единственным членом
х. Утверждение, что кортеж с номером χ является узлом
П., задаваемого а, записывается в виде а(х) = 0. Тогда
формула Spr(a), выражающая понятие «функция а
задает П.», записывается в виде
а (0) = 0& Уху (а (х * у) = 0 ZD а (х) = 0) &
ух (а (х) =0zD3y {а {х * у)=0)).
Наконец, если через а(п) обозначить номер кортежа
<а(0), ... , а(п—1)>, где η — длина кортежа, то
формула αζα («α есть элемент П.,заданного а»)
записывается в виде уха(а(х)) = 0.
В основаниях математики употребляются также
обобщения понятия П., в к-рых используются кортежи не
натуральных чисел, а более сложных объектов, напр.
кортежи, составленные из свободно становящихся
последовательностей.
Лит.: [1] Г е й τ и н г Α., Интуиционизм. Введение, пер.
с англ., М., 1965. А. Г. Драгалин.
ПОТОК В СЕТИ — функция, сопоставляющая
дугам данной сети (ориентированного графа) нек-pue
числа. Каждое число интерпретируется как интенсивность
потока нек-рого груза по данной дуге. П. в с. являются
удобной моделью при исследовании ряда проблем в
транспорте, связи и др. областях, связанных с
движением грузов, информации и т. д. Многие задачи о
потоках являются задачами линейного программирования
и могут решаться общими методами этой теории. Однако
в большинстве случаев задачи о потоках допускают
эффективное решение методами теории графов.
Пусть каждой дуге (ж, у) сети N приписано
неотрицательное действительное число с(х, у) — пропускная
способность дуги (ж, у). Говорят, что поток f(x, у)
является стационарным потоком величины ν из вершины г
в вершину 5, удовлетворяющим ограничениям
пропускных способностей дуг, если
/" (r)-/+(r) = i>,
/- (x) — f+ (x)=0 при χ φ г, 5,
/"(*)-/+ (*)=-!>,
0</(ж, у)^г(х, у) для любой дуги (х, у),
здесь/-(з)= V /(я, у) —поток, выходящий из вершины
х, а f + {x)— V /(г/, х) — поток, входящий в вершину х.
В задаче о максимальном потоке
между двумя вершинами требуется построить
стационарный поток из вершины г в вершину 5, имеющий
максимально возможную величину v. Для решения этой
задачи существуют достаточно эффективные алгоритмы.
Пусть X — подмножество вершин сети N такое, что
rCX, s£X. Тогда множество дуг (х, у) таких, что х£Х,
t/^X, наз. разрезом. Пропускной способностью
разреза наз. величина 2jxeX ν&χ°(χ·> У)· Справедлива
следующая теорема о максимальном
потоке и минимальном разрезе:
максимальная величина потока равна минимальной
пропускной способности разрезов. В приложениях часто
используется теорема о целочисленно-
с τ и: если пропускная способность дуг целочисленна,
то существует целочисленный максимальный
(стационарный) поток.
К задаче о максимальном потоке между двумя
вершинами сводится ряд задач: задача о максимальном
П. в с. с несколькими источниками и стоками; задача о
максимальном П. в с, имеющей неотрицательные
ограничения на потоки по дугам как сверху, так и снизу;
задача о максимальном потоке в неориентированных и
смешанных сетях; задача о максимальном потоке в сети
с пропускными способностями дуг и вершин и др.
Теорема о максимальном потоке и минимальном
разрезе выявила общую основу ряда результатов,
полученных ранее в теории графов и комбинаторике.
Оказалось, что как следствия этой теоремы могут быть
получены: теорема о максимальном паросочетании в графе
двудольном, теорема о различных представителях,
теоремы о /с-связности графов (см. Графа связность),
теорема о покрытии частично упорядоченного
множества наименьшим числом цепей и др. Сведение различных
задач к задаче о максимальном потоке является важным
методом теории графов и комбинаторики.
В ряде задач о П. в с. каждой дуге (х, у)
сопоставляется число а (х, у) — стоимость перевозки единицы груза
по дуге (а·, у) и требуется найти ноток,
удовлетворяющий определенным ограничениям и минимизирующий
общую стоимость потока. Задача о потоке
минимальной стоимости состоит в нахождении
стационарного потока из вершины г в вершину 5,
удовлетворяющего ограничениям пропускных способностей
дуг, причем такого, что величина его равна заданному
числу ν, а стоимость минимальна.
В транспортной задаче сеть является
двудольным графом. Вершины одной доли Sx, ... , Sm
интерпретируются как пункты отправления нек-рого
груза, вершины другой Т}, ... , Тп — как пункты
назначения. Каждый пункт отправления £,· имеет
определенное предложение 6,, н каждый пункт назначения Tj
имеет определенный спрос cj. Известна стоимость а,-у
перевозки единицы груза из £,· в Tj. Задача состоит в
отыскании потока минимальной стоимости,
удовлетворяющего спрос во всех пунктах назначения.
Рассматриваются также многопродуктовые потоки и
потоки, изменяющиеся во времени.
Лит.: [1] Форд Л. - Р., Φ а л к е ρ с о н Д. - Р.,
Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966. В. Б. Алексеев.
ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ — один из видов
сходимости последовательности функций (отображений).
Пусть fn: X -> Ϋ, тг=1, 2, ... , где X — нек-рое
множество, а У — топологич. пространство, тогда П. с.
означает, что для любого элемента х£Х
последовательность точек yn=fn{x), и=1, 2, ... , сходится в
пространстве Y. Важным подклассом класса поточечно
сходящихся последовательностей являются равномерно
сходящиеся последовательности. л. д. Кудрявцев.
ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ ТОПОЛОГИЯ —
одна из топологий пространства F(X, Υ) отображений
множества X в топологич. пространство Υ.
Направление {fa}aewClF(X, Y) поточечно сходится Kf£F(X, Y),
если {/α(ж) }a6si сходится при любом χζΧ к f (χ) в
топологии пространства У. Базу окрестностей точки /0 ζ F{X,
Υ) образуют множества вида {f\j{xi)avf,xy i=l, ...
... , η), где χΎ, ... , χη— конечный набор точек из X и

541 почти комплекс
vf0(X')£Vf (*·) ~~ ^аза окРестностей точки f0(xi)
пространства У.
Если Υ отделимо, то F(X, Y) также отделимо и Аа
CZF(X, Y) компактно тогда и только тогда, когда при
каждом х£Х компактно множество Ах= {f(x)\f£A}.
Лит.: [1] К е л л и Д ж., Общая топология, пер. с англ.,
2 изд., М., 1981. В. И. Соболев.
ПОХГАММЕРА УРАВНЕНИЕ — линейное
обыкновенное дифференциальное уравнение тг-го порядка
вида
. . . + (-1)- Μμ+Ρ.^μ + η-Ι) Q{n) {z) w _
— [R (ζ) ιυ^-1) — (μ-\-1)Ε'(ζ) м?<«-2>+...
,,. + (_ 1).-! (^^D^.^^-i) ^^.^ (z) ^j =0^
где μ — комплексная постоянная, Q(z), R (ζ) —
многочлены степени <:?г и <:тг—1 соответственно. П. у. было
исследовано Л. Похгаммером [1] и К. Жорданом [2].
П. у. проинтегрировано с помощью Эйлера
преобразования, и его частные решения имеют вид
w(z) =[ (t — z)*iJhn~1u(t)dt, (*)
где γ — нек-рый контур в комплексной плоскости t.
Пусть все корни ах, ... , ат многочлена Q{z) простые и
вычеты функции R (z)!Q (z) в этих точках — нецелые
числа. Пусть а — фиксированная точка такая, что
Q (а) т=0, и пусть уу -^ простая замкнутая кривая с
началом и концом в точке а, положительно
ориентированная, к-рая содержит внутри себя только корень а,·., / =
= 1, ... , т. Формула (*) дает решение П. у., если
У^У/УкУ!1 Ук1, J Φ к; ;, Λ = 1, ..., т;
из этих решений ровно т линейно независимы. Для
построения остальных решений используются другие
контуры, в том числе незамкнутые (см. [3], [4]).
Вычислена группа монодромии П. у. (см. [3]).
Частными случаями П. у. являются уравнение
Τ и с с о (см. [4]), то есть П. у., в к-ром
<? w=n"r11 (*-»/). r (ζ)=ν^(χ+Σ":11
и Папперица уравнение.
Лит.: Ll] Pochhammer L., «Math. Ann.», 1889, Bd
35, S. 470—94; [2] Jordan C, Cours d'analyse de l'Ecole
Poly technique, 3 ed., t. 3, P., 1915; [3] Айне Э. Л.,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Хар.,
1939; [4] Камке Э., Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.
М. В. Федорюк.
ПОЧТИ ВСЮДУ, для почти всех χ
(относительно меры μ),— выражение, означающее, что речь
идет о всех χ из измеримого пространства X, за
исключением, быть может, нек-рого множества Ας^Χ меры
нуль: μ(Α) = 0. Β. И. Битюцков.
ПОЧТИ КОМПЛЕКСНАЯ СТРУКТУРА — поле
/ линейных преобразований касательных пространств
на многообразии М, удовлетворяющее условию
/2 = — id,
bf
т. е. поле комплексных структур в касательных
пространствах ТРМ, р£М. П. к.с. / определяет разложение
С С
Τ M=V + -\-V_ комплексификации Τ Μ касательного
расслоения в прямую сумму комплексно сопряженных
друг другу подрасслоений V+ и V_, состоящих из
собственных векторов аффинора / (продолженного по ли-
С
нейности на Τ Μ) с собственными значениями i л —i
:ная структура 542
С
соответственно. Обратно, разложение Τ Μ в прямую
сумму двух взаимно сопряженных векторных
подрасслоений S, S определяет П. к. с. на М, для которой
V + = S.
П. к. с. / наз. интегрируемой, если она
индуцируется комплексной структурой на М, т. е. если
существует атлас допустимых карт многообразия М, в
к-рых поле / имеет постоянные координаты /у/>.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости П. к. с.
состоит в инволютивности нодрасслоения V + , т. е.
замкнутости пространства его сечений относительно
коммутирования (комплексных) векторных полей. Условие
инволютивности подрасслоеиия V+ равносильно
обращению в нуль ассоциированной с / векторнозначной 2-фор-
мы N(1, /), задаваемой формулой
ΛΜ/, /)(Х, У) = [/Х, /У]-/[Х, IY] — /[/, XY]-
-[*, У],
где Χ, Υ — векторные поля. Эта форма наз.
тензором кручения, или тензором Нейен-
х е й с а, П. к. с. Тензор Нейенхейса N(1, I) можно
рассматривать как дифференцирование степени 1
алгебры дифференциальных форм на М, имеющее вид
7V(/, /)==[/, [/, d]] + d,
где d — внешний дифференциал, а / рассматривается
как дифференцирование степени 0.
С точки зрения теории G-структур П. к. с.
представляет из себя GL(m, С)-структуру, где m = 1/2 dim M,
а тензор кручения N (/, /) —тензор, определяемый
первой структурной функцией этой структуры. GL(w, C)-
структура является структурой эллиптич. типа, и
поэтому алгебра Ли инфинитезимальных
автоморфизмов П. к. с. удовлетворяет эллиптич. системе
дифференциальных уравнений 2-го порядка [1]. В частности,
алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов П. к. с.
на компактном многообразии конечномерна, а группа
G всех автоморфизмов компактного многообразия с
П. к. с. является группой Ли. Для некомпактных
многообразий это, вообще говоря, не так.
Если группа автоморфизмов G транзитивна на
многообразии Μ, то П. к. с. / однозначно определяется своим
значением Ip в фиксированной точке р£М, к-рое
представляет из себя инвариантную относительно
представления изотропии комплексную структуру в касательном
пространстве ΤρΜ (см. Инвариантный объект, на
однородном пространстве). Методы теории групп Ли
позволяют построить широкий класс однородных
пространств, обладающих инвариантной П. к. с. (как
интегрируемой, так и неинтегрируемой) и при тех или
иных предположениях классифицировать инвариантные
П. к. с. (см. [2]). Напр., любое факторпространство G/H
группы Ли G по подгруппе Я, состоящей из
неподвижных точек автоморфизма нечетного порядка группы
Ли G, обладает инвариантной П. к. с. Примером
является 6-мерная сфера £°, рассматриваемая как
однородное пространство G2/SU (3); ни одна из инвариантных
П. к. с. на S6 не является интегрируемой.
Наличие на многообразии П. к. с. накладывает не-
к-рые ограничения на его топологию — оно должно
быть четномерным, ориентируемым, а в компактном
случае все его нечетномерные классы Штпфеля — Уит-
ни должны быть равны нулю. Среди сфер П. к. с.
допускают только сферы размерностей 2 и 6.
Лит.: [1] Kobayashi S., Transformation groups in
differential geometry, В.—[u.a.l, 1972; [2] К о м р а к о в Б. П.,
Структуры на многообразиях и однородные пространства,
Минск, 1978; [3] Лихнерович Α., Теория связностёй
в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; L4]
Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных
многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [5] X е ρ м а н д е ρ Л.,
Введение в теорию функций нескольких комплексных
переменных, пер. с англ., М., 1968. Д. В. Алексе веский.

543 почти
ПОЧТИ ПЕРИОД — понятие теории почти
периодических функции, являющееся обобщением понятия
периода. Для равномерной почти иериодич функции
f (х), —оо <гс<оо, число τ=τ^(ε) наз. ε-π очти
периодом функции f(x), если для всех χ выполняется
неравенство
I/(* + *)-/(*)! <ε.
Для обобщенных почти периодич. функций понятие
П. п. определяется сложнее. Напр., в пространстве
SPi функций Степанова ε-почти период τ определяется
неравенством
D plf(x + T)-f(x)] <ε,
где Dgp[f, φ] — расстояние между функциями f(x) и
φ (я) в метрике пространства Sf.
Множество П. п. функции f(x) наз.
относительно плотным, если существует число L=L (ε, /)>0
такое, что в каждом интервале (а, α+L)
действительной оси найдется хотя бы одно число этого множества.
Определение равномерных почти периодич. функций и
почти периодич. функций по Степанову может быть
основано на требовании существования относительно
плотных множеств ε-почти периодов у этих функций.
Лит.: [1] Левитан Б. М., Почти-периодические
функции, М., 1953. Е. А. Бредихина.
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ —
функция, к-рая может быть представлена обобщенным рядом
Фурье. Существуют различные способы определения
классов П. п. ф., основанные на понятиях замыкания,
почти периода, сдвига. Каждый из классов П. п. ф.
получается в результате замыкания в том или ином
смысле одной и той же совокупности конечных тригоно-
метрич. сумм.
Пусть DG[f(x), 4>(x)] — расстояние между
функциями / (х) и φ (χ) в метрич. пространстве G. Далее в
качестве G рассматривается одно из пространств U, SP.
WP, ВР, где U — совокупность непрерывных
ограниченных на действительной оси функций с метрикой
#с/[/(*Ь φ (*)]= sup I/(«)—φ И I;
- GO < *<C0
SP, Wp, Bp — совокупности функций, измеримых и
суммируемых со степенью р, р^1, в каждом конечном
интервале действительной оси с метриками:
Лр[/(*Ь<Р(*)] =
5/
= sup Γ-j- [x + l\f(x)-<p{x)\PdxV/p,
Dwp[f(x), ф(*)]=Шп *>[/(*), φ (*)],
DRP[f (x), φ (*)]= Γ ΗΪ -^[τ \ί (*)-φ(*) \pdx\ Up .
D \JZ -> 00 J ~X J
Пусть Τ— множество тригонометрич. полиномов вида
ΣΝ ίλ.χ
k=i ake '
где kk — любые действительные числа, ak —
комплексные коэффициенты. Через ΗG(T) обозначается
замыкание в пространстве G множества Т. Классы Ни(Т)—
= U-U. п., Hsp(T) = Sf-n. п., Hwp(T)= Wp-n. п.,
Нвр=Вр-и. п. наз. соответственно классами
равномерных П. п. ф., или Бора почти периодических
функций, Степанова почти периодических функций, Вейля
почти периодических функций, Безиковича почти
периодических функций. Все определенные выше классы
П. п. ф. инварианты относительно сложения. Вместе с
f(x) в каждый класс входит /(я), \f(x)\ и произведение
период 544
г / (х)е^х, где λ — действительное число. Расстояния
Dsplf(x), φ(#)] при различных значениях I
топологически эквивалентны, и потому можно считать 1=1. Пусть
S^-n. n.=Sp-n. п., ^-п. n.=S-n. п., ^-п. п.=Я-п. п.,
тогда имеют место включения
[/-п.пс^-п.пс^-п.пс^-п.п., Р^1;
и, если рг<р2, Ρχ>\,
SP2-n.nc:SPl-n.n., WPz-n.Ti.cz WPi-n.u,
ΒΡ2-τι.τι.αΒΡι·π.τι.
Для каждой / (χ) ζ Β -п. п. существует среднее
значение
Μ {/ (*)}= lim — Γτ / (χ) dx;
τ -* αο τ J 0
функция α (λ, f) = M {ί(χ)β~ΐλχ}, где λ —
действительное число, может отличаться от нуля не более чем на
счетном множестве значений λ; в результате нумерации
в произвольном порядке получается последовательность
{λ^}, Α=1, 2, ... , показателей Фурье
функции /(*).
Числа Αχ = α(λ^, f) наз. коэффициентами
Фурье функции f(x). П. п. ф. / (г) любого
определенного выше класса соответствует ряд Фурье вида
Для f(x)£B2-n. п. имеет место равенство
Парсе в а л я
M{\f(x)\*)=2k\AxJ.
В классе Вр-п. п. обобщается теорема Ρ и с с а —
Фишера: пусть {λ^}, к=\, 2, ... ,— произвольные
действительные числа, {Ak}, k=i, 2, ... ,— комплекс-
k=1\Ak\2<oo, тогда существует
f(x)£B2-n. п., для к-рой тригонометрич. ряд ^ A Lel)lkx
является ее рядом Фурье.
Теорема единственности понимается
в следующем смысле: если две функции /(χ)ζΗ0(Τ) и
φ (χ)ζ,Η0(Τ) имеют один и тот же ряд Фурье, то
выполняется равенство
D0[f(x)t φ(*)]=0.
В частности, для равномерных П. п. ф. теорема
единственности означает, что f(x) = y(x) (для П. п. ф.
Степанова — почти всюду). Теорема единственности,
понимаемая в том же смысле, что и для рядов Фурье —
Лебега 2я-периодических функций, не имеет места для
П. п. ф. Вейля — Безиковича.
Классы равномерных П. п. ф. и П. п. ф. Степанова
являются соответственно нетривиальными
расширениями класса непрерывных на всей числовой оси и
суммируемых на [0,2π] 2я-периодических функций. Для
этих классов П. п. ф. сохраняется теорема
единственности.
Другие, менее формальные определения П. п. ф.
рассматриваемых классов опираются на понятие почти
периода и на обобщения этого понятия.
Следствием определения классов П. п. ф. через
понятие замыкания является теорема
аппроксимации: для каждой П. п. ф. / (х) из U (или
Sp, Wp) и каждого ε>0 можно указать конечный
тригонометрич. полином Ρ (χ) из множества Т,
удовлетворяющий неравенству
DuU(x), P(x)] <г
iD-p[f(x), Р(х)]<г, D [f(x), Р(х)] < г).

545 ПОЧТИ ПЕРИОД]
Теорема аппроксимации может служить отправным
пунктом определения различных классов П. п. ф. При
этом аппроксимирующие полиномы Ρ (χ) могут
содержать «посторонние», т. е. отличные от показателей
Фурье функции f(x), показатели. Однако для нек-рых
приложений теоремы аппроксимации важен тот факт,
что можно совершенно избежать введения в Ρ (χ)
показателей, отличных от показателей Фурье функции f(x).
В связи с представимостью П. п. ф. обобщенными
рядами Фурье возникает вопрос о признаках сходимости
для этих рядов и приобретают значение разнообразные
методы суммирования обобщенных рядов Фурье (метод
Бохнера — Фейера и др.). Так, получены признак
абсолютной сходимости обобщенных рядов Фурье с
линейно независимыми показателями Фурье, признак
равномерной сходимости рядов Фурье, когда |λ^ -> оо
при к-^со, и аналогичный признак в случае, когда
kk ->■ 0 при к ->■ оо.
Значение признаков равномерной сходимости в
теории П. п. ф. подчеркивается следующей теоремой:
если тригонометрич. ряд 2fea*^fe* СХ°ДИТСЯ
равномерно на всей действительной оси, то он является рядом
Фурье своей суммы S(x)cU-n. п. Следствие:
существуют равномерные П. п. ф. с произвольным счетным
множеством показателей Фурье. В частности,
показатели Фурье равномерной П. п. ф. могут иметь
предельные точки на конечном расстоянии или даже
располагаться всюду плотно.
Кроме понятия замыкания или почти периода, для
определения П. п. ф. можно использовать понятие
сдвига. Так, функция f(x) будет равномерной П. п. ф. тогда
и только тогда, когда из каждой бесконечной
последовательности функций f(x-\-h^), f(x-\-h2), ... , где сдвиги
^ι» h2, ...— произвольные действительные числа,
можно выбрать равномерно сходящуюся
подпоследовательность. Это определение служит отправной точкой при
рассмотрении П. п. ф. на группах.
Основные факты теории П. п. ф. остаются
справедливыми и в том случае, если рассматривать понятие
обобщенного сдвига. Возможны и полезны другие
обобщения. П. п. ф. со значениями в евклидовом л-мерном
пространстве, в банаховом или метрич. пространстве,
аналитические и гармонические П. п. ф.
Лит.: [1] Бор Г., Почти периодические функции, пер.
с нем., М.— Л., 1934; [2] В е s i с о ν i t с h A. S., Almost
periodic functions, Camb., 1932; [3] Левитан Б. М., Почти-
периодические функции, Μ., 1953; [4] Купцов Η. П.,
«Успехи матем. наук», 1968, т. 23, в. 4, с. 117—78; [5] Rudin W.,
Fourier analysis on groups, N.Y.—L., 1962; [6] Левитан
Б М., Операторы обобщенного сдвига и некоторые их
применения, М., 1962; [7] Красносельский Μ. Α., Бурд
В ΙΠ., К о л е с о в Ю. С, Нелинейные почти периодические
колебания, М., 1970. Е, А< Бредихина.
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ — аналитическая функция f(s), s—o-\-ix,
регулярная в полосе — оо <α<σ<β<+οο и
разложимая в ряд вида
апе п ,
где ап — комплексные, λη — действительные числа.
Действительное число τ наз. ε-почти периодом
функции /(s), если во всех точках полосы (α, β)
выполняется неравенство
|/(«+**)-/(*)|<е.
П. п. ф. а.— аналитическая функция, регулярная в
полосе (α, β) и обладающая для каждого ε>0
относительно плотным множеством ε-почти периодов.
Аналогично определяется П. п. ф. а. в замкнутой полосе
α<σ<β. П. п. ф. а. в полосе [α, β] на каждой прямой
полосы является равномерной почти периодич.
функцией от действительного переменного τ, она ограничена в
[α, β], т. е. в любой внутренней полосе. Если функция
1ЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 546
/(s), регулярная в полосе (α, β), является равномерной
почти периодич. функцией хотя бы на одной
единственной прямой σ=σ0 этой полосы, то ограниченность f(s)
в [а, р] влечет за собой ее почти периодичность во всей
полосе [α, β]. В результате теория П. п. ф. а.
оказывается в основе своей аналогичной теории почти
периодических функций от действительного переменного.
Поэтому на П. п. ф. а. легко переносятся многие
важные факты последней теории: теорема единственности,
равенство Парсеваля, правила действий над рядами
Дирихле, аппроксимационная теорема и ряд др.
теорем.
Лит.: [1] Бор Г., Почти периодические функции, пер.
с нем., М.— Л., 1934; [2] Левитан Б. М.,
Почти-периодические функции, М., 1953. Е. А. Бредихина.
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ НА
ГРУППЕ — обобщение почти периодич. функций, заданных
на R1.
Пусть G — (абстрактная) группа. Комплекснознач-
ная функция f(x), x£G, наз. правой почти
периодической функцией (п. п. ф.), если
семейство f(xa), где а пробегает всю группу G,
компактно в смысле равномерной сходимости на G, т. е. из
каждой последовательности f(xa,i), /(яя2)» ··· можно
выделить равномерно на G сходящуюся
подпоследовательность. Аналогично определяются левая почти
периодическая функция на группе G.
Оказывается, что всякая правая (левая) п. п. ф.
является одновременно левой (правой) п. п. ф., и имеет
место компактность семейства f(axb), где а, Ъ
независимо пробегают группу G. Последнее свойство часто
принимается в качестве определения п. п. ф. на G.
Совокупность всех п. п. ф. на G есть банахово пространство
с нормой Ц/1Нsup |/(з)|.
3C€G
Теория п. п. ф. на группе существенно опирается на
теорему о среднем значении (см. [5],
[8]). Линейный функционал Mx{f(x)}, заданный на
пространстве всех п. п. ф., наз. средним
значением, если
1) Mx{i}=i, Mx{f (*)}><> П*я f(x)>0 и Mx{f(x)}>0
для /ФО;
2) Mx{f(xa)}=Mx{f(ax)}=Mx{f(x-i)}.
Унитарная матрица g(x)= {g//(z)}t\ /=ъ заданная на
G, наз. унитарным представлением
группы G, если g(e) — Ir (e — единица группы G,
Ir — единичная матрица порядка г) и для любых
элементов х, y£G имеет место равенство g(xy)=g(x)g(y)·
Число г наз. размерностью
представления g. Матричные элементы gi/(x) суть п. п. ф. на
G. В теории п. п. ф. на группе они играют ту же роль,
что и функции βχρ(ίλχ) в теории п. п. ф. на прямой R1.
Два представления g(x) и g'(x) наз.
эквивалентными, если существует такая постоянная матрица А,
что g'(x)=A ~1g(x)A. Представление g наз.
неприводимым, если семейство матриц g(x), x£G, не
имеет общего нетривиального инвариантного
подпространства в Rr. Множество всех неприводимых
унитарных представлений разбивается на классы
эквивалентных между собой представлений. Пусть из каждого
класса эквивалентных представлений выбрано по одному
представлению и полученное множество обозначено S.
Тогда множество п. п. ф. на G
#={φλ(.ζ)} = {φ, φ = *,·/, g£S)
оказывается ортогональной (хотя, вообще говоря,
несчетной) системой.
Теорема 1 (равенство Парсеваля).
Если для п. п. ф. f(x) положить
мх{/(«)у«)}
/ ~Zj <Ρλ 1/2 t
м* {ΐν*>|2}
ф 18 Математическая энц., т. 4

547
ПОЧТИ ПРИВОДИМАЯ
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
548
то
Говорят, что представление g£S входит в ряд
Фурье п. п. ф. f{x), если Mx{f(x)'gij(x)}^0 для
нек-рых i, /, l<i<r, 1</<г.
Теорема 2 (теорема
аппроксимации). Множество Η плотно в пространстве п. п. ф.,
наделенном нормой
||/|1= sup |/(*)|,
X€G
причем каждую п. п. ф. можно сколь угодно близко
аппроксимировать конечной линейной комбинацией
матричных элементов представлений, входящих в ее ряд
Фурье.
Если G — топологич. группа, то к определению
п. п. ф. нужно добавить требование ее непрерывности.
В этом случае и представления, входящие в ее ряд
Фурье, также будут непрерывными.
В случае, когда группа G абелева, непрерывнее
унитарные представления одномерны — они наз.
характерами группы, G. Характеры группы G
обозначаются через χ, и равенство Парсеваля таково:
Мх {\ f (х) |2} = 2„ | ап Р, ап = Мх {/ (х) χβ (*)}.
В случае G= Rn непрерывными характерами
являются функции χ(χ)=βχιρ(ίλ-χ), где λζΚ", λ-χ=λ1χ1-\-...-\-
+ληχη. Из теорем 1, 2 следуют основные результаты
теории п. п. ф. одного и многих переменных.
Доказательство основных положений теории п. п. ф.
опирается на рассмотрение интегральных уравнений на
группе (см. [2]). Доказано [3] существование
достаточной системы линейных представлений компактных
групп Ли. В этом случае инвариантное интегрирование
(а значит, и среднее) устанавливается непосредственно.
Построено [4] инвариантное интегрирование на
абстрактной компактной группе, обусловливающее
распространение на этот случай теории Петера — Вейля.
Теорию п. п. ф. на группе можно вывести (см. [3])
из теории Петера — Вейля следующим образом. Пусть
f (х) — п. п. ф. на группе G и пусть
р(х,у)= sup \f(axb) — f(ayb)\,
a, bzG
тогда множество Е= {t£G, ρ (г, е)=0}есть нормальный
делитель группы G, а р- инвариантная метрика на
факторгруппе G/E и / равномерно непрерывна на G/E.
Из почти периодичности функции f(x) следует, что
пополнение факторгруппы G/E по метрике ρ есть
компактная группа, и теоремы 1, 2 следуют из теории
Петера — Вейля.
Лит.: [1] Левитан Б. М., Почти-периодические
функции, М., 1953; [2] Weyl H., «Math. Ann.», 1926, Bd 97, 3.
338—56; [3| Ρ eter F., Wey 1 H., там же, 1927, Bd 97, S.
737—5 5; [4] Neumann J. von, «Сотр. math.», 1934, v. 1,
№ 1, p. 106—14; [5] e г о же, «Trans. Amer. Math. Soc», 1934,
v. 36, p. 445—92; [6] W e i 1 Α., «С. г. Acad, sci.», 1935, v. 200,
p. 38—40; [71 Иосида К., Функциональный анализ, пер. с
англ., М., 1967; [8J Maak W-, Fast periodische Funktionen,
В., 1950. В. В. Жипов, Б. М. Левитан.
ПОЧТИ ПРИВОДИМАЯ ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
обыкновенных дифференциальных
уравнений — система
х = А (t)x, x£Rn,
Л (.):R—> Hom(R", R»), (*'
обладающая свойством: найдется система с постоянными
коэффициентами у=-Ву, y£Rn, и для каждого ε>0
найдется Ляпунова преобразование Lit) такие, что в
результате замены x^Le(t)y система (*) переходит в
систему
y = (B + CB(t))y9
где
sup || С (t)\\< ε.
Всякая приводимая линейная система почти приводима.
Лит.: [1] Итоги науки и техники. Математический анализ,
т. 12, М., 1974, с. 71—146. В. М. Миллионщиков.
ПОЧТИ ПРОСТОЕ ЧИСЛО — натуральное число
п, имеющее вид
η = ΡιΡ2 ··· Pki
где pi — простые числа, а /с>1 — константа. Простые
числа являются частным случаем П. п. ч. при k—ί.
Для П. п. ч. имеют место теоремы, обобщающие
теорему о распределении простых чисел в натуральном ряду.
Ряд аддитивных проблем, к-рые еще не решены в
простых ЧИСЛах, решаются В П. П. Ч. Б. М. Бредихин.
ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА —
невырожденная дифференциальная 2-форма на
многообразии. П. с. с. Ω может существовать только
на четномерном многообразии Μ (dim M=2m) и
определяет Sp(m, Rj-структуру Bs ,m> Rv, а именно
главное расслоение реперов на Μ со структурной группой
Sp(m, R), состоящее из всех реперов г= {et, /t·, ί=1,
... , т}, для к-рых
Q(eh ej) = Q(fh /у)=0, Ω (et /у)=в/у.
Необходимое и достаточное условие существования
на многообразии Μ П. с. с. (так же, как и почти
комплексной структуры) состоит в возможности редукции
структурной группы касательного расслоения к
унитарной группе U(т). Для этого, в частности,
необходимо обращение в нуль всех нечетномерных классов Шти-
феля — Уитни многообразия Μ (см. [1]).
Почти комплексная структура / и риманова метрика
g на многообразии Μ определяют П. с. с. Ω по формуле
Ω(Χ, Y) = g(JX, Y)-g(X, /Г),
где Χ, Υ — векторы, и любая П. с. с. может быть
получена таким образом. П. с. с. Ω наз.
интегрируемой или, иначе, симплектической
структурой, если в окрестности любой точки в нек-рых
локальных координатах х1,у1, &=1, ... , т, она
приводится к виду Ω=Σάχί/\dyi. Согласно теореме Дарбу
для этого необходимо и достаточно, чтобы форма Ω
была замкнута. Пример интегрируемой П. с. с. —
каноническая симплектич. структура Ω—ΣάρίΑάςί на
кокасательном расслоении Т*М произвольного
многообразия Μ (здесь qi — локальные координаты
многообразия М, Pi — соответствующие координаты в
слое). Примером неинтегрируемой П. с. с» является ле-
воинвариантная 2-форма на полупростой группе Ли G,
получающаяся разнесением левыми сдвигами
произвольной невырожденной внешней 2-формы на
соответствующей группе G алгебре Ли. Так же, как и риманова
метрика, П. с. с. определяет изоморфизм касательных
и кокасательных пространств (а тем самым и
пространств контравариантных и ковариантных тензоров),
а также каноническую 2лг-форму объема r)—l/m\Qm
и ряд операторов в пространстве Λ(Λί)
дифференциальных форм: оператор εΩ внешнего умножения на Ω;
оператор ΐΩ внутреннего умножения на Ω; оператор
звездочки Ходжа * : АР(М) -+ А2т~р(М), ω ->- ίωη, где
оператор ίω внутреннего умножения определяется как
свертка данной формы с р-вектором, соответствующим
р-форме ω; оператор кодифференцирования 6=*d*.
В отличие от риманова случая оператор Δ—άδ-\-δά
оказывается кососимметрич. относительно глобально-

549
ПРАВАЯ
ГРУППА
550
го скалярного произведения <α, β> = \ αΛ*β в
пространстве р-форм на компактном многообразии М.
Для произвольной р-формы имеет место
разложение Ходжа — Лепажа ω= ω0+εΩωι+ε^ω2+···, где
ωι£ΑΡ~2ί(Μ) — однозначно определенные
эффективные (т. е. аннулируемые оператором *Ω) формы [3].
П. с. с. наз. конформно плоской, если
существует такая функция λ>0, что <2(λΩ)=0. Это
эквивалентно представимости формы Ω в виде:
Q=yl23r=idr/Ady'·
При т— 2 необходимым и достаточным условием того,
чтобы П. с. с. Ω была конформно плоской, является
замкнутость 1-формы δΩ— ΐΩ^Ω, а при т>2 —
выполнение равенства dQ—(i/m— 1) 6ΩλΩ (см. [1]).
Тензор Τ типа (1, 2), соответствующий 3-форме dQ
и определяемый равенством Q(TXY, Z)=dQ(X, У, Ζ),
где Ху Υ, Ζ — векторы, наз. тензором
кручения П. с. с. Ω. С ним ассоциируется, вообще говоря,
вырожденная метрика g(X, Y)=tr ΤχΤγ. С
произвольной П. с. с. связывается класс линейных связностей V*
аннулирующих форму Ω и имеющих тензор Τ своим
тензором кручения. Две такие связности отличаютсд на
тензорное поле вида &'7£yfeb где Sjkt — произвольное
симметрическое тензорное поле. Рассматриваемые
связности взаимно однозначно соответствуют сечениям
первого продолжения В1 ->2? для Sp (m, К)-структуры В=
=Bsp(m RV являющегося главным расслоением
реперов на В со структурной группой S3(№m) (векторной
группой однородных полиномов третьей степени от 2т
переменных). Sp(m, Rj-структура является G-структу-
рой бесконечного типа. Поэтому группа
автоморфизмов П. с. с. может быть бесконечномерной. В частности,
группа автоморфизмов симплектич. структуры всегда
бесконечномерна и является fc-транзитивной группой
для любого /с>0.
Лит.: [1] Libermann P., «Bull. Soc. Math. France»,
1955, t. 83, p. 195—224; [21 Итоги науки и техники. Алгебра.
Топология. Геометрия, т. И, М., 1974, с. 153—207; [3] Л ы-
ч а г и н В. В., «Успехи матем. наук», 1979, т. 34, № 1, с. 137—
165; [4] К о b а у a s h i S h., Transformation groups in
differential geometry, В. — [а.о.], 1972. Д. В. Алексеевский.
ПОЧТИКОЛЬЦО — одно из обобщений понятия
ассоциативного кольца. П.— это кольцоид над группой,
т. е. универсальная алгебра, в к-рой имеется
ассоциативная операция умножения и операция сложения;
относительно сложения П. должно быть группой (не
обязательно коммутативной), причем должен также
выполняться правый закон дистрибутивности:
x(y + z)=xy-\-xz.
П. являются также частным случаем мулътиоператор-
ных групп.
Примерами П. являются множества MS(T) всех
отображений группы Г в себя, перестановочных с
действием фиксированной полугруппы эндоморфизмов S
группы Г. Групповые операции в М$(Г) вводятся поточечно,
умножением в MS(T) является композиция
отображений. Почтикольцо MS(T) является аналогом кольца
матриц. Обычным образом вводятся понятия подпочти-
кольца, идеала, правого модуля над П.
Пусть N0 (соответственно Nc) — многообразие П.,
задаваемое тождеством 0я=0 (соответственно Ох—х).
Любое почтикольцо А разлагается в сумму подпочтико-
лец А=А0+АС, где Α0ζΝ0, AC£NC, причем А0()АС=
= 0. Циклический правый Л-модуль Μ наз.
примитивным типа 0, если Μ прост,
примитивным типа 1, если либо хА = 0, либо хА = М для
любого χζΜ, и примитивным типа 2, если Μ
является простым Л0-модулем. Почтикольцо А наз.
ί примитивным типа ν (ν—0, 1,2), если существует точ-
I ный простой А -модуль Г типа v. При этом возникает
плотное вложение почтикольца А в М$(Г) для нек-рой
полугруппы эндоморфизмов S группы Г. Для 2-прими-
тивных почтиколец А с единицей и условием
минимальности для правых идеалов в А0 имеет место равенство
A=MS(T) (аналог теоремы Веддерберна — Артина).
Для каждого v=0, 1, 2 вводится понятие радикала
ι Джекобсона типа ν, обозначаемого /v (A), он
определяется как пересечение аннуляторов v-прими-
| тивных Л-модулей. Радикал Jx/z(A) определяется как
пересечение максимальных правых модулярных
идеалов. Все четыре радикала различны, причем
J0(A)c=J1/2 (A)^J1(A)^J2(A).
Оказывается, что эти радикалы обладают многими
свойствами радикала Джекобсона ассоциативных колец
(см. [4]).
Для П. справедлив аналог теоремы Оре о почтиколь-
цах частных [4].
Дистрибутивно порожденным поч-
тикольцом наз. П., аддитивная группа к-рого
порождается такими элементами х, что
(у+ z)x = yx-\-zx
для всех у, ζ из П. Все дистрибутивно порожденные П.
порождают многообразие Ν0. Для конечных
дистрибутивно порожденных П. понятия 1-й 2-примитивности
совпадают; 1-примитивные дистрибутивно порожденные
П. имеют вид М0(Т) для нек-рой группы Г. В
дистрибутивно порожденном П., с тождеством
(ху—ух)п 1х>У) = ху — ух, η (χ, у) > 1,
умножение коммутативно (см. [3], [4]).
Каждое П. из Ν0, не содержащее нильпотентных
элементов, является подпрямым произведением П. без
| делителей нуля [4]. Почтиалгебра А разлагается в пря-
I мую сумму простых П. тогда и только тогда, когда а) она
удовлетворяет условию минимальности для главных
ι идеалов, б) в А нет идеалов с нулевым умножением,
в) аннулягор любого минимального идеала
максимален [1].
Для П. получены результаты, аналогичные
результатам о строении регулярных колец [2], о почтикольцах
I частных [5]. П. имеют приложения к изучению групп
[ подстановок, блок-схем, проективной геометрии [4].
Лит.: [1] Bell Η. Ε., «Canad. Math. Bull.», 1977, v. 20,
№1, p. 25—28; [2] Heatherly Η. Ε., «J. Indian Math.
Soc», 1974, v. 38, p. 345—54; [3] Ligh S., «J. London Math.
Soc», 1975, v. 12, pt. 1, p. 27—31; [4] Pilz G., Near-rings,
Amst., 1977; [5] Oswald Α., «Proc Edinburgh Math. Soc»,
1979, v. 22, № 2, p. 77—86; [6] Полин С В., в кн.: Кольца,
Новосиб., 1973, с. 41—45. В. А. Артамонов.
ПОЯС, л и н к, симплекса σ триангуляции Τ —
совокупность 1η(σ, Τ) тех симплексов из замкнутой
звезды St(o, Τ) (объединения симплексов Г,
содержащих σ), к-рые не пересекают σ. м. и. Войцеховский.
ПРАВАЯ ГРУППА — полугруппа, простая справа
(см. Простая полугруппа) и удовлетворяющая
левостороннему закону сокращения. Всякая П. г. является
вполне простой полугруппой. Свойство полугруппы S
быть П. г. эквивалентно любому из следующих условий:
I a) S проста справа и содержит идемпотент, б) S регу-
I лярна и удовлетворяет левостороннему закону
сокращения, в) S обладает разбиением на левые идеалы,
являющиеся (необходимо изоморфными) группами, г) S
есть прямое произведение группы и полугруппы
правых нулей (см. Идемпотентов полугруппа). Симметрич-
I ным к понятию П. г. является понятие левой груп-
п ы. Группы и только они суть одновременно П. г. и
левые группы. Всякая вполне простая полугруппа об-
| ладает разбиением на правые (левые) идеалы, являю-
18*

551
ПРАВИЛЬНАЯ
552
щиеся (необходимо изоморфными) правыми (левыми)
группами.
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972.
Л. Н. Шеврин.
ПРАВДОПОДОБИЯ УРАВНЕНИЕ — уравнение,
к-рое составляют при нахождении статистич. оценок
неизвестных параметров по максимального правдоподобия
методу. Пусть X — случайный вектор, плотность
вероятности к-рого p(x\Q) содержит неизвестный
параметр θζθ. Тогда уравнение
^\np(X\Q)=0
наз. уравнением правдоподобия, а его
решение θ — оценкой максимального
(наибольшего) правдоподобия для
параметра Θ. В нек-рых случаях П. у. решается
элементарно, но в основном П. у. представляет собой
алгебраическое или трансцендентное уравнение, для решения
к-рого пользуются методом последовательных
приближений.
Лит.: [1] Ван дер Варден Б. Л., Математическая
статистика, пер. с нем., М., 1960. Μ С Никулин.
ПРАВИЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ —
интерпретация формальной системы, при к-рой все аксиомы
истинны или принимают значение «истина» при всех
значениях ее параметров, а правила вывода сохраняют свойство
принимать значение «истина». Данное определение
относится к двузначным логич.
исчислениям. Если истинностных значений
больше и нек-рые из них отмечены, то
в определении П. и. вместо слов
«принимать значение „истина"» надо
использовать слова «принимать
отмеченные значения». Если приведенное
свойство интерпретации не
выполняется, то она наз. неправильной.
П. и. для формальных систем, получающихся
добавлением к узкому исчислению предикатов какого-то
множества аксиом Г, наз. также моделями системы
аксиом Τ или моделями для Т. Произвольные
интерпретации для таких формальных систем наз. алгеб-
раич. системами или просто моделями.
Лит.: [1] Чёрч Α., Введение в математическую логику,
пер. с англ., М., 1960. В Я. Гришин
ПРАВИЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
обыкновенных дифференциальных
уравнений— система вида
х = А (t)x, x£Rn
(1)
(где А (·) — суммируемое на каждом отрезке
отображение IR+-> Hom(IRn, R")), обладающая свойством:
lim 4- [' tTA (τ) άτ
существует и равен Σί=ιΜ^)» гДе Μ^)^···^Μ^) ~
Ляпунова характеристические показатели системы (1).
Для того чтобы треугольная система
"/ = 2/Я=^'7(0«*Л
п,
была правильной, необходимо и достаточно, чтобы
существовали пределы
lim
im ±- Г' ρα(τ)άτ, i = l,
+ оо l J 0
(критерий Ляпунова). Всякая приводимая
линейная система и всякая почти приводимая линейная
система являются правильными.
Роль понятия П. л. с. проясняется на следующей
теореме Ляпунова. Пусть система (1)
правильная и к ее характеристич. показателей Ляпунова
отрицательны:
0> Xn-k + 1(A)^ ...^λη(Α).
Тогда для всякой системы
х^А (t)x + g(t, χ), (2)
где g(t, x) удовлетворяет следующим условиям: g, gx
непрерывны, g(0, t)=0, \\gx(x, i)||=0(|:e|e), где ε=
— const>0, найдется /с-мерное многообразие VkczRn,
содержащее точку х=0, такое, что всякое решение
x(t) системы (2), начинающееся на Vk (то есть х(0) ζ F*),
экспоненциально убывает при t —>► +оо, точнее —
удовлетворяет неравенству
μ(0|<<ν[λ*-*+ιΜ)+δ1'ΐ *(°)Ι
(для всякого 6>0 при нек-ром Сь).
Лит [1] Ляпунов А. М., Общая задача об
устойчивости движения, Хар., 1892 (то же, в кн.: Собр. соч., т. 2, М.—
Л., 1956); [2] Бы лов Б. Ф., Виноград Р. Э., Г ρ
обман Д.М., Немыцкий В. В., Теория показателей
Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, Μ , 1966;
[3] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М.,
1974 с 71 —146. В. М. Миллионщиков.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ, т е л а П л а-
т о н а,— выпуклые многогранники, все грани к-рых
Рис. 1.
суть одинаковые правильные многоугольники и все
многогранные углы при вершинах правильные и
равные (рис. la—id).
В евклидовом пространстве Е3 существуют пять П. м.,
данные о к-рых приведены в табл. 1, где символ Шлефли
{р, q} (см. Многогранника группа) обозначает П. м. с
^-угольными гранями и g-гранными углами.
Табл. 1.—Π ρ а в и л ь н ы е (выпуклые)
многогранники в Е*
Тетраэдр ....
Куб (гексаэдр)
Додекаэдр ....
Икосаэдр ....
Рис.
Ια
16
\в
\г
id
Символ
Шлефли
{3,3}
{4,3}
{3,4}
{5,3}
{3,5}
Число
вершин
4
8
6
20
12
Число
ребер
6
12
12
30
30
Число
граней
4
6
8
12
20
Двойственными многогранниками
{р, q] и {q, ρ) наз. такие, к-рые переходят друг в друга
при полярном преобразовании относительно вписанной
Табл. 2.—
Симплекс . .
Гиперкуб . .
16-гранник
24-гранник
120-гранник
60 0-гранник
[Травильные
Символ
Шлефли
{3, 3, 3}
{4, 3, 3}
(3, 3, 4}
{3, 4, 3}
{5, 3, 3}
{3, 3, 5}
Число
вершин
5
16
8
24
600
120
многогранники в Е*
Число
peiiep
10
32
24
96
1200
720
Число
двумерных
граней
10
24
32
96
720
1200
Число
трехмерных
граней
5
8
16
24
120
600

553
ПРЕВОСХОДНОЕ КОЛЬЦО
554
или описанной сферы. Тетраэдр двойствен сам себе,
гексаэдр — октаэдру и додекаэдр — икосаэдру.
В пространстве £4 существуют шесть П. м., данные
о к-рых приведены в табл. 2.
В пространстве Еп, и>4, существует три П. м.—
аналоги тетраэдра, октаэдра и куба; их символы Шлеф-
ли- {3, ... ,3}, {4,3, ... ,3}, {3, ... ,3,4}.
Если под многоугольником понимать плоские
замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то
можно указать еще 4 невыпуклых (звездча-
Рис. 2
тых) П. м. (тела Пуансо). В этих
многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо грани —
самопересекающиеся многоугольники (рис. 2а—2г).
Данные о них приведены в табл. 3.
Табл. 3.—Π ρ а в и л ь н ы е (н
многогранники
Малый звездчатый додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр
Большой додекаэдр
Икосаэдр
Рис.
2а
26
2в
2г
евыпуклые)
в Е*
Число
вер-
щин
12
20
12
12
Число
ребер
30
30
30
30
Число
граней
12
12
12
20
Лит.: [1] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4—
Геометрия, М., 1963; [2] Л ю стер ни к Л. Α., Выпуклые
фигуры и многогранники, М., 1956; [3] Ш к л я ρ с к и й
Д. О., Ч е н ц о в Н. Н., Я г л о м И. М., Избранные задачи
и теоремы элементарной математики, ч. 3, М., 1954; [4] С о-
xeter Η. S. M., Regular polytopes, 3 ed., N.Y., 1973.
А. Б. Иванов.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ —
многоугольники, у к-рых равны все его углы и равны все его
стороны. Подробнее см. Многоугольник.
ПРАВОУПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА - группа G,
на множестве элементов которой задано отношение
линейного порядка <: такое, что для всех х, у, ζ из
G неравенство х^.у влечет за собой xz^.yz.
Множество Р= {x£G\x>e} положительных элементов группы
G является чистой (то есть Ρ(]Ρ~1==0) л и-
нейной (то есть Ρ \} Ρ ~х [} {е}—G)
полугруппой. Всякая чистая линейная подполугруппа Ρ
произвольной группы определяет в ней правый порядок, а
именно порядок х<у ^ у ух_1^Р.
Группа А (X) автоморфизмов линейно упорядоченного
множества X естественным образом может быть пра-
воупорядочена. Всякая П. г. порядково изоморфна
нек-рой подгруппе А (X) для подходящего линейно
упорядоченного множества (см. [1]). Архимедова П. г., то
есть П. г., для к-рой верна аксиома Архимеда (см.
Архимедова группа), порядково изоморфна подгруппе
аддитивной группы действительных чисел. В отличие от
(двусторонне) линейно упорядоченных групп
существуют некоммутативные П. г. без собственных выпуклых
подгрупп. Класс П. г. замкнут относительно лексико-
графич. расширений. Система всех выпуклых подгрупп
П. г. G линейно упорядочена по включению и полна.
Эта система разрешима тогда и только тогда, когда для
всяких положительных элементов a,b£G существует
натуральное число η такое, что апЪ>а. Если группа
обладает разрешимой системой подгрупп S(G), факторы
к-рой не имеют кручения, то G можно так правоупоря-
дочить, что все подгруппы из S (G) окажутся
выпуклыми. В локально нильпотентной П. г. система выпуклых
подгрупп разрешима.
Группа G тогда и только тогда может быть право-
упорядочена, когда для любого конечного набора
{χι Φ е, l^i^n}
элементов из G найдутся числа В(= ±1, 1<ΐ<τι,
такие, что полугруппа, порожденная множеством
{х^, ... , х*^1}, не содержит единицы группы G.
Всякий структурный
(решеточный) порядок группы есть
пересечение нек-рых ее правых
порядков (см. Структурно
упорядоченная группа).
Лит.: [1] К о к о ρ и н А. И., К
οπή τ о в В. М., Линейно
упорядоченные группы, М., 1972; [2] Мига
R. В., Rhemtulla A., Orderable
groups, N.Y.—Basel, 1977.
В. М. Нопытов.
ПРАНДТЛЯ УРАВНЕНИЕ — основное интегро-диф-
ференциальное уравнение крыла самолета конечного
размаха. При выводе П. у. делаются предположения,
которые позволяют считать каждый элемент крыла
находящимся в условиях обтекания его
плоскопараллельным потоком. Это дает возможность связать гео-
метрич. характеристики крыла с его аэродинамич.
свойствами. Так, полученное П. у. имеет вид
f (to) , 1 Са F' (О j, ,, ,.
где F — искомая функция, F'(t)=dF(t)ldt, В и / —
заданные функции B(t)=cb(t), f(t)=v(u(t), а
несобственный интеграл понимается в смысле главного
значения по Коши. Значения входящих в эти равенства
величин следующие: 2а — размах крыла, к-рое
предполагается симметричным относительно плоскости Oyz,
причем направление оси Oz совпадает с направлением
потока воздуха на бесконечности; Ъ (х) обозначает хорду
профиля, к-рый соответствует абсциссе х\ F(x) —
циркуляцию воздушного потока вокруг этого профиля;
с — нек-рую постоянную; ν — скорость воздушного
потока на бесконечности; а ω — функцию, зависящую
от изогнутости профиля и перекручивания крыла
(см. [1]). Исходя из экспериментальных данных,
полагают, что F(—a)=F(a).
П. у. решается в замкнутом виде лишь при весьма
жестких предположениях. В общем случае удается
П. у. свести к интегральному уравнению Фредгольма
(см. [3]).
П. у. наз. по имени Л. Прандтля (L. Prandtl).
Лит.: [1] Голубев В. В., Лекции по теории крыла,
М.—Л., 1949; [2] Карман Т., Бюргере И.,
Теоретическая аэродинамика идеальных жидкостей, пер. с англ., М.—
Л., 1939; [3] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные
интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968. Б. В. Хведелидзе.
ПРАНДТЛЯ ЧИСЛО — один из критериев
подобия тепловых процессов в жидкостях и газах. П. ч.
зависит только от термодинамич. состояния среды. П. ч.
ΡΓ = ν/α = μ^/λ,
где ν=μ/ρ — кинематич. коэффициент вязкости, μ —
динамич. коэффициент теплопроводности, ρ —
плотность, λ — коэффициент теплопроводности, α—λΙρορ —
коэффициент температуропроводности, ср — удельная
теплоемкость среды при постоянном давлении.
П. ч. связано с др. критериями подобия — Пекле
числом и Рейнольдса числом соотношением Pr=Pe/Re.
П. ч. наз. по имени Л. Прандтля (L. Prandtl).
По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.
ПРЕВОСХОДНОЕ КОЛЬЦО — коммутативное нё-
терово кольцо, удовлетворяющее трем приводимым
ниже аксиомам. Известно, что геометрические кольца
обладают рядом качественных свойств, не присущих

555 прщ
произвольным нётеровым кольцам. Понятие П. к.
позволяет в аксиоматич. форме учесть важнейшие из этих
свойств.
Аксиомы П. к. А.
А1. Кольцо А универсально цепное. (Кольцо А наз.
цепным, если для любых двух его простых идеалов
р7=£' длины любых неуплотняемых цепочек простых
идеалов £=:ρ0(ζ:|)ι<ζ:...<ζ:ρ„=ψ' совпадают. Кольцо
А наз. универсально цепным, если цепным
является любое кольцо многочленов А [7\, ..., Tk].)
А2. Формальные слои кольца А являются
геометрически регулярными, т. е. для любого простого идеала
рСА и гомоморфизма из А в поле К кольцо А, ®лк
регулярно. Здесь А^ — пополнение локального
кольца А^.
A3. Для любой целостной конечной Л-алгебры В
найдется ненулевой элемент Ь£В такой, что кольцо
частных В [Ь-1] регулярно.
П. к. обладают следующими свойствами.
1) Для П. к. Л множество регулярных
(соответственно нормальных) точек схемы Spec А открыто.
2) Если превосходное локальное кольцо А
приведенное (соответственно нормальное, равноразмерное), то
таким же будет пополнение А.
3) Целое замыкание П. к. А в конечном расширении
поля частных кольца А является конечной А -алгеброй.
4) Если кольцо А превосходное, то любая А -алгебра
конечного типа — также П. к.
Два важнейших примера П. к.— полные локальные
кольца (или аналитич. кольца) и дедекиндовы кольца
с полем частных нулевой характеристики. Таким
образом, класс П. к. достаточно широк и, в частности,
содержит все алгебры конечного типа над полем или над
кольцом целых чисел %.
Превосходность кольца А тесно связана с
возможностью разрешения особенностей схемы Spec А (см.
[1], [2]).
. Лит.: [1] Grothendieck A. [Dieudonne J.],
Elements de geometrie algebrique, pt. 2, P., 1965; [2] X и ρ ο-
нака X., «Математика», 1965, т. 9, №6, с. 3—70.
В. И. Данилов.
ПРЕДБАЗА — семейство γ открытых подмножеств
топологич. пространства X такое, что совокупность
всех множеств, являющихся пересечением конечного
числа элементов γ, образует базу X.
М. И. Войцеховский.
ПРЕДВАРЕННАЯ ФОРМУЛА — формула узкого
исчисления предикатов (УИП), имеющая вид
где Qi обозначает квантор всеобщности V или квантор
существования з, переменные я,·, Xj различны при 1Ф]
и Ψ — формула, не содержащая кванторов. П. ф. наз.
также предваренными нормальными
формами или пренексными формами.
Для всякой формулы φ языка УИП можно найти
П. ф., логически эквивалентную в классич. исчислении
предикатов формуле φ. Процесс нахождения П. ф.
основан на следующих эквивалентностях, выводимых в
классич. УИП:
(νζφ (χ) Ζ) Ψ)=3χ' (φ (χ') =5 Ψ),
3*φ (ι)3Ψ3 V*' (φ (χ·') Ζ) Ψ),
Ψ Ζ) ν^φ (χ) 3Ξ V*' (Ψ Ζ) φ (χ')),
Ψ Ζ) 3ζφ (χ) = 1χ' (Ψ Ζ) φ (χ')),
"1 4χφ==ΐχ "] φ, Π3^φ = ν^Πφ,
<?#\/жр = \/жр, (?«/3£φΞ3£φ,
где χ' — любая переменная, не входящая свободно в
формулы φ (я), Ψ, и φ (я') получается из φ (я) заменой
всех свободных вхождений χ на х'\ переменная у не
аза 556
входит свободно в ν#φ, Э^ф· Чтобы применять
приведенные эквивалентности, надо предварительно
выразить логич. связки через Ζ) и "]; затем, применяя эти
эквивалентности, постепенно передвигать все кванторы
влево. Получающаяся в результате П. ф. наз.
предваренной формой данной формулы.
Лит.: [1] Мендельсон Э., Введение в математическую
логику, пер. с англ., М., 1971. В. Н. Гришин
ПРЕДГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО —
векторное пространство Ε над полем комплексных или
действительных чисел, снабженное скалярным
произведением ΕΧΕ -> С, хХу ->· (х, у), удовлетворяющим
следующим условиям:
1) (х+у, z)=(x, z) + (y, ζ), (λχ, у)=К(х, у), (у, х) =
= (*. У), х, У, *£Е, λζ<ϋ(Κ);
2) {χ, я)>0 для х£Е.
На П. п. Ε определена полунорма ||я||— (я, χ) 2 .
Пополнение Ε по этой полунорме является
гильбертовым пространством. В. И. Ломоносов.
ПРЕДЕЛ — одно из основных понятий математики,
означающее, что какая-то переменная, зависящая от
другой переменной, при определенном изменении
последней, неограниченно приближается к нек-рому
постоянному значению. Основным при определении П.
является понятие близости рассматриваемых объектов:
только после его введения П. приобретает точный смысл.
С П. связаны основные понятия математич. анализа:
непрерывность, производная, дифференциал, интеграл.
Одним из простейших случаев П. является П.
последовательности.
Предел последовательности. Пусть
X — топологич. пространство. Последовательность его
точек хп, тг=1, 2, ... , наз. сходящейся к точке х0£Х
или, что то же самое, точка х0 наз. пределом
данной последовательности, если для любой
окрестности U точки х0 существует такое натуральное
TV, что для всех n>N выполняется включение xn£U;
при этом пишут
lim xn = x0.
η -*■ *
В случае, когда X — хаусдорфово пространство, П.
последовательности хпζ X, п=1, 2, ... , если он
существует, единствен. Для метрич. пространства X точка х0
является П. последовательности {хп} тогда и только
тогда, когда для любого ε>0 существует такое
натуральное Ν, что для всех номеров η>Ν выполняется
неравенство ρ (хт х0) <ε, где ρ (χη, х0) — расстояние
между точками хп и х0. Если последовательность точек
метрич. пространства сходится, то она ограничена.
Последовательность точек полного метрич. пространства
является сходящейся в том и только в том случае, когда
она фундаментальная. В частности, это верно для
числовых последовательностей, для к-рых исторически
впервые возникло понятие П. последовательности. Для
числовых последовательностей справедливы формулы
lim c = c, lim cxn = c lim xn,
М-* со η -> со η -> со
с — произвольное фиксированное число,
lim (xn+Vn)= lim xn+ lim yn,
П-*- со я -> со n -> со
lim хпуп = lim xn lim ую
Я -> СО П -+ <Х> П -*■ CD
а если lim yn ф0, то
П-> CD
Эти свойства числовых последовательностей
переносятся на П. последовательностей более общих структур,

557
ПРЕДЕЛ
558
Уп = а
напр. свойство П. суммы — на последовательности
точек линейных топологич. пространств, свойства П.
произведения — на последовательности точек тополо?ич.
групп и т. д.
Если действительные числовые последовательности
#„£R и yn£R сходятся и хп<£уп, п=1, 2, ... , то
lim #„<^ lim уп,
η -> со η -> со
т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства
сохраняются. Если
lim xn= lim
П -> со η -> α
и xn<zn^yn, то последовательность zni n=l, 2, ... ,
сходится к тому же П.: lim zn=a. Эти свойства обоб-
П-» СО
щаются на П. последовательностей точек
упорядоченных множеств.
Всякая возрастающая (убывающая)
последовательность действительных чисел хп, т. е. такая, что хп<.
<χη+ι (соответственно χη^χη + ι), /ι=1, 2, ... ,
ограниченная сверху (снизу), сходится, и ее П. является
верхняя (нижняя) грань множества ее значений. Напр.,
если а>0, к — натуральное число, ап —
приближенное значение корня у а с η десятичными знаками после
запятой, вычисленное с недостатком, то ап, л=1, 2, ... ,
образуют возрастающую последовательность и lim an=
_ п~* °°
= л/а. Другим примером возрастающей ограниченной
сверху последовательности является
последовательность периметров правильных многоугольников с η
сторонами, тг=3, 4, ... , вписанных в нек-рую
окружность, к длине к-рой и сходится эта
последовательность.
Особую роль в теории числовых последовательностей
играют бесконечно малые
последовательности, т. е. последовательности, сходящиеся
к нулю. Общее понятие П. числовой последовательности
сводится к понятию бесконечно малой в том смысле, что
числовая последовательность сходится к нек-рому
числу в том и только в том случае, когда разность между
членами последовательности и этим числом является
бесконечно малой последовательностью.
Полезным является и понятие бесконечно
больших числовых
последовательностей, т. е. последовательностей, имеющих своим
П. либо одну из бесконечностей со знаком +а> или — go,
либо бесконечность без знака оо. Для определения бес
конечных П. вводятся понятия
бесконечностей + оо, —оо и оо
тельных чисел R по формулам
ε-окрестностей, ε>0,
в множестве действи-
и понятие
чисел С:
U(+
U (— ос
«Μ»,
». ε) = {*€
, E)=!*eR
ε)= fx£R.
с-окрестности оо в
U (оо,
e)={*eC:
R:x >
:x < -
l*l>
*}■
-*}·
e /
множестве комплексных
l«l >
4
Пишут lim xn= оо (соответственно lim^- + oo или
n->oo n+co
— °°)ί χηζ. "^» и=1, 2, ... , если для любого е>0
существует такой номер Ν, что для всех номеров η>Ν
выполняется включение χηζ U(оо, ε) (соответственно
включение хпζ Ζ7(+οο, ε) или xn£U(—оо, ε)). Аналогично
определяется бесконечный П. для последовательностей
комплексных чисел.
Из всякой ограниченной числовой
последовательности можно выделить сходящуюся
подпоследовательность (см. Болъцано — Вейерштрасса теорема), а из
всякой неограниченной — бесконечно большую.
П. (конечный или бесконечный) какой-либо
подпоследовательности данной последовательности наз.
частичным пределом последней. В множестве
всех частичных П. всякой последовательности
действительных чисел всегда имеются как наибольший, так и
наименьший (конечные или бесконечные). Наибольший
(соответственно наименьший) частичный П.
последовательности наз. ее верхним (соответственно
нижним) пределом. Последовательность имеет конечный
или бесконечный П. тогда и только тогда, когда ее
верхний П. совпадает с нижним, причем их общее значение
и является П.
С помощью П. последовательности могут быть
определены другие понятия П., напр. П. функции и П.
интегральных сумм. Определение П. последовательностей
обобщается на случай направленных (частично
упорядоченных) множеств.
Предел функции (отображения).
Пусть X и У — топологич. пространства, EczX, x0 —
точка прикосновения множества ί\ / : Ε ->- У —
отображение Ε в Υ. Точку αζΥ наз. пределом отоб-
/ в
ρ а ж е н и я
стремящемся к х0) и пишут
lim f (x) = a или / (х)
точке
и
х0 (или, как говорят, при х,
а при χ
" χ0ι
если, какова бы ни была окрестность V=V(a) точки а
в У, существует такая окрестность U= U (х0) точки х0
в X, что для любой точки х£Е[) U(x0) ее образ f(x)
принадлежит V : f(x)£V. Иначе говоря, если f(E[)U)czV.
Если Υ — хаусдорфово пространство, то отображение
/ : Ε ->- У может иметь только один П. в точке х0£Х.
В случае, когда Е*сЕ и х0 — точка прикосновения
множества Е*, то П. сужения fE* отображения / на
множестве Е* наз. П. отображения (функций) / по
множеству Ε*, при этом пишут
/(*)= lim /£„(*)·
lim
х-+х0, хеЕ*
Если / : Ε -> У, Ε
ния множества Ε
lim
χ —> Хп
zEczX, x0 — точка прикоснове-
и существует lim /(я), то в точке х0
X-+XQ
существует и предел / по множеству Е*, причем
Если Ел
то существует и
lim
*-► х0, хеЕ*
:х,
lim
о. X
Е2аХ,
6Е4
/(*) =
ί'Εχ
χ -»
= lim
χ -> xc
\JE2-
lim
* *0, xe
f(x).
>Y и
E2
существуют
= α,
lim f(x)=a.
Ε ■
x0£E
При рассмотрении П. отображения (функции) /
->- У, ЕаХ, при χ ->· Xq ζ Χ может случиться, что
или, наоборот, х0(£Е. Случай х0 ζ Ε представляет
специальный интерес, т. к. он приводит к понятию
непрерывной функции: если / : Ε -> У и х0 ζΕ, то для того, чтобы
отображение / имело П. в точке ж0, необходимо и
достаточно, чтобы
lim /(ж) = /(ж0).
условия отображение /
в точке ж0. Если точка
х0 является изолированной точкой множества £, то в
ней всегда существует предел
lim f(x)=f(x0)
В случае выполнения этого
и наз. непрерывным
с0 является изолированной

559
для любого отображения / : £ -> У, т. е. любое
отображение / непрерывно во всех изолированных точках
множества своего определения. Поэтому понятие П.
отображения, в частности его непрерывности,
содержательно лишь для предельных точек отображаемого
множества. В классич. случае П. функций / : E-+Y
обычно предполагается, что х§(£Е, т. е. что точка х0ие
принадлежит тому множеству, по к-рому берется П.
Если в точке х0 ζ Χ для пространства X выполняется
первая аксиома счетности, а пространство У — хаус-
дорфово, то для того, чтобы существовал предел lim f(x)
х->х0
отображения / : Ε ->- У, Ecz.X, необходимо и
достаточно, чтобы для любой последовательности хп£Е, п= 1,
2,
lim x„
П-ЮО
ж0, существовал предел limf(xn). При
ПРЕДЕЛ 56°
Если Υ — линейное топологич. пространство над
полем Ρ, /χ : Ε -> У, /2 : Ε -+ У, Ε<ζ.Χ, то П. в точке я0
линейной комбинации отображений /х и /2 равен такой
же линейной комбинации их П. в той же точке:
lim [λ1/ι^) + λ2/2(^)]=:λι lim /ι(*) + λ2 lim /2 (χ),
Χ-+Χ0 Χ^-Χο X^-Xq
λι£Ρ, λ2ζΡ.
Если У — множество действительных или
комплексных чисел, /х : Ε ->- У, /2 : Ε ->- У (такие функции наз.
числовыми), Ε<ζ.Χ, то
lim h(x)f2(x)= lim h И lim /2 (χ),
а если lim f2(x) ^0, то
выполнении этого условия предел lim / (хп) не зависит
Я-*оо
от выбора указанной последовательности {хп} и их
общее значение является П. отображения / в точке х0.
Предел последовательности точек
{уп} топологич. пространства У является частным
случаем П. отображения (функции): в этом случае £=N —
множество натуральных чисел, рассматриваемых с
дискретной топологией, х0=-\-оо, X=N\J {+<*>},
окрестностью + оо в X является любое подмножество
UczN вида U= {п : n^n0}\J {+оо }, где п0 — нек-рое
натуральное число.
Понятие предела кратной
последовательности, т. е. последовательности, члены к-рой
снабжены целочисленными мультииндексами, также
является частным случаем П. отображения.
Внутренний критерий существования П. отображения
/ : Ε ->■ У в данной точке х0 (он наз. критерием
К о ш и) в случае, когда в точке х0 топологич.
пространства Х^)Е выполняется первая аксиома счетности,
а множество У является полным метрич. пространством,
состоит в том, что предел lim f(x) существует тогда и
эс-*х0
только тогда, когда для любого ε>0 найдется такая
окрестность U= U(х0) точки х0 в X, что для всех точек х'
и х", удовлетворяющих условию х' £Е () U, x"£E(] U,
выполняется неравенство ρ (/(ж"), /(ж'))<е. В частности,
этот критерий справедлив, когда У является
множеством действительных или комплексных чисел.
Некоторые свойства пределов.
Если У — метрич. пространство, /:£->■ У, ЕаХ,
и существует предел lim /(я)=а£У, то найдется такая
окрестность U=U(x0) точки х0, что при отображении /
образ пересечения Ε f| U отображаемого множества Ε
с этой окрестностью будет ограниченным
подмножеством пространства У.
Если функция f : Ε -> R, E<z.X, R — множество
действительных чисел, имеет в точке х0£Х не равный
нулю конечный П., то существуют такие окрестность
U=U(x0) точки х0 и число с>0, что для всех точек
χ ζ Ε Π U выполняются неравенства
/ (х) > с, если
X
f (х) < —с, если
lim / {χ)
К-* Хо
> О,
lim / {χ) < 0.
х-+ х0
Если
тивная
f:E-
У — топологич. группа (в частности, коммута-
с аддитивной записью групповой операции),
, ЕаХ, х0£Х, то предел lim f(x) существует
х^х0
тогда и только тогда, когда функция a(x)=f(x)a-1
имеет в точке х0 предел, равный единице группы У
(соответственно функция a(x)=f(x)—a имеет П. в х{
равный нулю,— такие функции наз.
малыми функциями).
бесконечно
lim
χ -*· χ,
/ι (Χ)
П (χ)
lim U (x)
lim /2 (χ)
λ'-* Χ0
причем в этом
случае
/ι
под lim
понимается П.
сужения функции -^- на пересечение отображаемого
/2
множества Ε с нек-рой окрестностью точки х0 такой, что
П
частное -j- .
/2
на указанном пересечении имеет смы
Если fi(x)<f2(:r), χζΕ,κ существуют пределы lim /x(i),
lim f2(x), то ' χ-+χο
lim /ι (χ) <
С-»- Хо
lim
χ->χ0
/.(*)·
Если X и У получены из множества
действительных чисел R пополнением его либо бесконечностью без
знака: оо, либо двумя бесконечностями со знаком:
+ оо, —оо, EczR, f(E)c^R и х0£Е, то
сформулированное определение П. функции является классич.
определением конечного и бесконечного П. действительной
функции одного переменного. Аналогично, если
пространства X и У получаются пополнением бесконечностью
оо множества комплексных чисел С, то получают
определение П. (конечного и бесконечного) для функций
комплексного переменного. Если же пространство X
получается пополнением бесконечностью оо
пространства Rw (соответственно С"), и>1, то получают
определение конечного и бесконечного П. функции многих
переменных при стремлении аргумента к конечной или
бесконечно удаленной точке/
Для функций, определенных на подмножествах
числовой прямой (или, более общо, на упорядоченных
множествах), существует понятие одностороннего
предела. Примером функций, имеющих по крайней
мере один односторонний П. во всех предельных
точках области определения, являются действительные
монотонные функции: если функция / монотонна на
множестве Ε числовой оси и точка х0 является
предельной точкой множества Е, то она является и предельной
точкой хотя бы одного из множеств Ег=Е f| {я ζ R : я<
<а}, E2=E(]{x£R : х>а}. Если точка х0 предельная
для множества Ег, то у функции / в точке х0 существует
П. слева, а если она предельная для Е2, то справа.
При этом если, напр., функция / возрастает и
ограничена сверху, £^0, х0 — предельная точка для
множества Ег, то предел lim /(χ) конечен.
X—*-Xq
Основным общим методом отыскания П. функций
является метод выделения главных частей функций в
окрестности данной точки, что обычно делается с помощью
Тейлора формулы. Для вычисления П. часто бывает
полезно Лопиталя правило.
Несмотря на большую общность понятия П.
отображения, оно не охватывает все существующие понятия
П., имеющиеся в современной математике. Напр.,
понятие П. интегральных сумм не содержится в понятии

561 пи
П. отображения (функции). Достаточно общим
понятием П., в определенном смысле охватывающим все
основные случаи, является П. отображения по фильтру.
Предел фильтра. Пусть X — топологич.
пространство, Хф0, W=^{U}— его база топологии,
% — фильтр на I (т. е. такое непустое семейство %
непустых подмножеств пространства X, что для любых
^'€8> А"£% существует такое Л gg, что АаА' [\А").
Точка х0 наз. пределом фильтра % или его
предельной точкой, если фильтр % сильнее фильтра
© (я0), являющегося локальной ^азой топологии в
точке я0, т. е. для любого £7£33(я0) существует такое A £g,
что AdU.
Пусть N — множество натуральных чисел с
дискретной топологией. Фильтр на множестве fM, состоящий
из всевозможных дополнений к конечным
подмножествам множества N» наз. натуральным
фильтром и обозначается g*,. Он не имеет П. в N. Тот же
фильтр на множестве X=NU{+°°}> B к-ром
локальная база 33(+оо) состоит из всевозможных множеств
А п= {т : т ζ Ν, т>п ζ Ν }, а © (η) при η ζ Ν — из одной
точки /ι, имеет своим П. бесконечность +оо.
Единственность П. фильтра топологич. пространства связана с
отделимостью точек пространства: для того чтобы любой
фильтр топологич. пространства имел не более одного
П., необходимо и достаточно, чтобы пространство было
хаусдорфово.
Пусть X — нек-рое множество, У — топологич.
пространство, φ — отображение X в У, % — фильтр на X.
Точку Ъ ζ У наз. пределом отображения
φ по фильтру % и пишут
lim^ φ (x) = b,
если фильтр φ (g), состоящий из всевозможных
множеств φ (Л), Α ζg, имеет своим П. в пространстве У
точку Ъ.
Если X=N — множество натуральных чисел, φ —
отображение N в топологич. пространство У, (р(п)—
= i/rc€^> tt£N, Siv|~~ натуральный фильтр, то П.
отображения φ по фильтру g*i в пространстве У совпадает
с обычным П. последовательности {уп} в У.
Если в I=f\JXN, % — фильтр на X, являющийся
произведением двух натуральных фильтров Qv., т. е.
состоящий из всевозможных множеств вида АХ В, где
Л^т?*,, В £tW ф — отображение ΝΧΝ в топологич.
пространство У : φ (и, m)=ynm£Y, rcgN, ^ζΝ, то П.
отображения φ по фильтру % в пространстве У
совпадает с обычным П. двойной последовательности {упт} в У.
Пусть элементами множества X являются, в свою
очередь, множества х, состоящие из какого-либо
разбиения τ= {tiYf^o нек-рого отрезка [а, b]; a=t0<t1<...<
<tn- i<tn=b и каких-то точек li^Ui-i» ij, ί=1, 2, ... ,
то есть
χ = {τ\ ξι, ..., In).
Пусть Α η (для любого η>0) — подмножество
множества X, состоящее из всех элементов χζΧ, у к-рых
мелкости входящих в них разбиений τ= {ti)Lp!o меньше η,
то есть
max (ί/ —ί/_ι) < η.
£=1, 2, ..., Π
Система g= {Α η } является фильтром. Всякая
действительная функция /, определенная на отрезке [а, 6],
порождает отображение φ^ множества X в числовую ось
R по формуле
ел 562
Таким образом, Ц>/(х) является значением интегральной
суммы Римана функции /, соответствующим элементу
х£Х.
П. отображения φ^ в R по фильтру g совпадает с
обычным П. интегральных сумм Римана функции /
при условии, что мелкости рассматриваемых
разбиений стремятся к нулю. Это совпадение имеет место в
том смысле, что оба П. одновременно существуют или
нет, а если существуют, то равны и являются
значениями интеграла Римана от функции / по отрезку
[в, Ь].
Предел отображения
топологических пространств по фильтру. Пусть
Ζ и У — топологич. пространства, EczX, g — фильтр
на Ε, φ — отображение Ε в У. Точку δζΥ наз.
пределом отображения φ в т о ч к е αζΧ по
фильтру 5» если а является П. фильтра gf, а Ъ
является П. фильтра φ (%). В этом случае пишут
Ъ = \\т$ φ (χ).
Если 33 {о) — база окрестностей в точке а, Е=
= Х\{а}, а фильтр % состоит из всевозможных
«проколотых окрестностей» Ζ7(α)\{α} точки α, U(α) ζ33 (я),
то предел lim^q^z) совпадает с обычным пределом
Ιίωφ(ί) отображения φ в точке а, то есть обобщает
Х-К1
классическое определение П. отображения,
сформулированное в терминах окрестностей. Непосредственным
обобщением понятия П. последовательности
является П. направленного множества в топологическом
пространстве, т. е. такого частично упорядоченного
множества, у к-рого за каждыми двумя элементами
имеется следующий. В терминах П. по направленным
множествам можно также сформулировать понятие П.
отображения одного топологич. пространства в
другое (см. Направленность, Сходимость).
Предел последовательности
множеств. Топологический предел. Пусть
Л„, /г=1, 2, ... ,— множества топологич. пространства
X. Верхним топологическим
пределом It An последовательности {Ап} наз. множество
точек χζΧ, каждая окрестность к-рых пересекается с
бесконечным числом множеств Ап, а нижним
топологическим пределом It Л „ —
множество точек, каждая окрестность к-рых содержит точки
почти всех Ап. Очевидно, \tAncz\t Ап. Если А =
= \tAn=\tAn, то последовательность {Ап} наз.
сходящейся, а множество А ее топологическим П. и пишут
A = \t Ап. Верхний и нижний топологические П.
последовательности являются замкнутыми множествами.
Теоретико-множественный предел.
Имеется понятие П. последовательности множеств, не
связанное с топологией. Последовательность множеств
Л л» и=1» 2, ... , наз. сходящейся, если
существует такое множество Л, называемое ее пределом
и обозначаемое
A = lim Л„,
что каждая его точка принадлежит всем множествам
Л„, начиная с нек-рого номера, и каждая точка из
объединения всех множеств Л„, не принадлежащая Л,
содержится лишь в конечном числе множеств Ап.
Множество Л является П. последовательности {Ап} тогда и
только тогда, когда оно является одновременно ее
верхним и нижним пределом.
Лит.: [1] Ильин В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы
математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Ильин В. Α.,
Садовничий В. Α., С ендов Б. X., Математический
анализ, М., 1979; [3] К у д ρ я в ц ев Л. Д., Курс
математического анализа, т. 1—2, М, 1981; Ш Никольский С
М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; L5]
Б у ρ б а к и Н., Общая топология. Основные структуры, пер.

563
с франц., 2 изд., М., 1958; [6] 3 а м а н с к и й М., Введение
в современную алгебру и анализ, пер. с франц., М., 1974; [7]
Келли Д ж. Д., Общая топология, пер. с англ., 2 изд.,
М., 1981; [8] X а у с д о ρ φ Φ., Теория множеств, пер. с нем.,
М.— Л., 1937. Л. Д. Кудрявцев.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА множества — точка,
в любой окрестности к-рой содержится по крайней
мере одна точка данного множества, отличная от нее
самой. Рассматриваемые множества и точка
предполагаются принадлежащими нек-рому топологич.
пространству. Множество, содержащее все свои П. т., наз.
замкнутым. Совокупность всех П. т. множества
Μ наз. производным множеством и
обозначается Мг. Если рассматриваемое топологич.
пространство X удовлетворяет первой аксиоме отделимости
(для любых двух его точек χ is. у существует окрестность
С/(я), не содержащая точку у), то каждая окрестность
П. т. нек-рого множества MdX содержит
бесконечно много точек этого множества и производное
множество М' — замкнуто. Всякая прикосновения точка
множества Μ является либо его П. т., либо
изолированной.
Лит.: [1] Александров П. С, Введение в теорию
множеств и общую топологию, М., 1977; [2] X а у с д о ρ φ Φ.,
Теория множеств, пер. с нем., М.— Л., 1937.
Л. Д. Кудрявцев.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА траектории {/^}
динамической системы /* — точка
ха= lim
k -> α
/Ч
(α-π редельная точка) или
х,= lim
Я -> 00
/
(ω-π редельная точка), где {ift}, ArgfM,—
последовательность такая, что tk—►— оо при к—► оо
в (1) или tk—^+°° при к—► оо в (2) и пределы (1)
или (2) существуют.
Для траектории {ffx } динамич. системы /* (или, иначе,
f(t, χ), см. [1]) α-Π. τ. (ω-Π. τ.) — то же, что ω-Π. τ.
(α-П. т.) траектории {f~tx} динамич. системы /-*
(системы с обращением времени). Множество Ω* (Ах) всех
ω-Π. τ, (α-Π. т.) траектории {ffx} наз. ω-π ρ е д е л ь-
н ы м (α-π редельным) множеством этой
траектории.
Лит.: [1] Немыцкий В. В., Степанов В. В.,
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд.,
М., 1949. В. М. Миллионщиков.
ПРЕДЕЛЬНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ ПРИНЦИП —
способ однозначного выделения решений уравнений,
аналогичных Гелъмголъца уравнению, с помощью
введения бесконечно малого поглощения, Математич. смысл
П, п. п. состоит в следующем. Пусть Ω —
неограниченная область в R", Ρ — самосопряженный оператор в
L2(Q), задаваемый дифференциальным выражением
Р(х, азг)* #£Ω, и однородными граничными
условиями на ΘΩ, λ — точка непрерывного спектра оператора
Р. Тогда при гфО уравнение
Pue = (k+iE)ue + f
однозначно разрешимо в £2(Ω) и в нек-рых случаях
можно выделить решения и=и± уравнения
Pu = ku + f
с помощью предельного перехода
и,= lim и
± ε-*± ο ε
При этом предполагается, что / имеет компактный
носитель, а сходимость ие ->- и± при ε ->- ±0 понимается
в смысле Ζ,2(Ω'), где Ω' — произвольная ограниченная
область в Ω. Так как λ — точка спектра оператора Р,
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА 564
то указанный предел в L2(Q), вообще говоря, не
существует.
Впервые П. п. п. был сформулирован для уравнения
Гельмгольца в IR2 (см. [1]):
(Δ + &ν = -/, Ω = Κ2,
Р = — Δ, Х = —к2 <0.
Выделяемые с помощью этого принципа решения и±
соответствуют расходящимся или сходящимся волнам
и удовлетворяют излучения условию на бесконечности.
Эти результаты были перенесены (см. [2], [3]) на
эллиптические краевые задачи во внешности ограниченной
области в К" для оператора
где коэффициенты а&/(я) достаточно быстро стремятся к
константам при \х\ -> оо. Для справедливости П. п. п.
в этом случае необходимо требовать, чтобы λ не было
собственным значением оператора Ρ или / была
ортогональна собственным функциям. Теорема Като (см. [3])
дает достаточные условия отсутствия собственных
значений на непрерывном спектре оператора Ρ— — Δ+ςτ (χ).
Такая теорема получена для оператора (*) (см. [3]).
П. п. п. обоснован для нек-рых областей с
некомпактной границей (см. [3], [4]).
П. п. п. и соответствующие условия излучения
найдены для уравнений любого порядка и систем уравнений
(см. [5], [6]); они состоят в следующем.Пусть pfi-^-λ —
эллиптический (или гипоэллиптический) оператор,
удовлетворяющий условиям: 1) многочлен Ρ (σ) имеет
действительные коэффициенты, 2) поверхность Ρ(σ)=0,
o£IRn, распадается на κ-связных гладких
поверхностей Sj с отличной от нуля кривизной, 3) grad Ρ (σ)φθ
на Sj. Пусть на Sj заданы ориентации, т. е. независимо
для каждой поверхности выбраны направления
нормали v. Пусть ω=ρ: , σ7·=σ7·(ω) — точка на Sj, в к-рой ν
и ω имеют одинаковые направления, и μ/(ω)=(σ;·(ω),
ω). Тогда функция и(х) удовлетворяет условиям
излучения, если она представима в виде
^- щ (ω) ву = в%(г<1-в)/1), г -> со.
Эти условия выделяют единственное решение
уравнения
P(i£)« = /,*€R»,
для любой функции / с компактным носителем. П. п. п.
для этого уравнения заключается в том, что это же
решение получается в пределе при ε -> +0 из
однозначного определяемого решения ие (x)£L2(Rn) эл-
липтич. уравнения
(1)
(2)
р(*£)и*+1*°-
д \
1
где Q (σ) имеет действительные коэффициенты и Q (о)ф
фО на Ss. В зависимости от набора sign <?(σ), 1<;<:κ,
в пределе получаются решения с условиями
излучения, соответствующими той или иной ориентации
поверхностей Sj. Этот принцип обоснован для уравнений
и систем любого порядка с переменными
коэффициентами во внешности ограниченной области (см. [5],
[6]), а также в случае невыпуклых «S;·; для этих
уравнений имеется и теорема единственности типа Като.

565 предельное
Лит.: U] Игнатовский В. С, «Ann. Phys.», 1905,
Bd 18, No 13, S. 495—522; [2] Повзнер А. Я., аМатем. сб.»,
1953, т. 32, № 1, с. 109—56; [3] Э й д у с Д. М., «Успехи ма-
тем. наук», 1969, т. 24, в. 3, с. 91—156; [4] Свешников
А. Г., «Докл. АН СССР», 1951, т. 80, № 3, с. 345—47; [5] В а й н-
б е ρ г Б. Р., «Успехи матем. наук», 1966, т. 21, в. 3, с. 115—94;
[6] его же, «Матем. сб.», 1968, т. 75, №3, с. 454—80.
Б. Р. Вайнберг.
ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО С(/, z0; S) функции
f(z): £->Ω, определенной в области GczC со
значениями на сфере Римана Ω, в точке z0£G по
множеству SaG, ζ0ζ S, — множество значений αζΩ, для к-рых
существуют такие последовательности точек {ζ„},ζ„ζ£,
л=1, 2, . . .; lim z„=z0, что
lim f(zn) = a.
П -+ 00
Каждое значение αζΟ (/, z0; S) наз. предельным
значением функции / в точке z0 по множеству S.
Теория П. м.— это раздел теории функций, в
котором граничные свойства функций изучаются в
терминах топологических и метрических свойств
различных П. м.
Если в качестве множества S взята вся область G,
то получается полное предельное
множество С(/, z0; G)=C(f, z0); в случаях строгого
включения SczG соответствующие П. м. С(/, z0; S)
иногда наз. частными. Полное П. м. C(f, z0)
всегда замкнуто; если функция / непрерывна на
множестве S, локально связном в точке z0£S, то П. м.
С(/, z0; S) либо вырожденное, т. е. состоит из одной
точки, либо является невырожденным континуумом.
Если П. м. С(/, z0; S) совпадает с Ω, то оно наз. τ ο-
тальным П.м. Значение αζΩ принадлежит
множеству повторяющихся значений
R (/, z0; S) функции / в точке ζ0 по множеству S, если
существует такая последовательность точек {zn}, zn£S,
тг=1, 2, . . ., lim zn=z0, что a=f(zn), л=1, 2, ....
П-*· со
Всегда R (/, z0; S)aC(f, z0; S). Если для нек-рого
α£Ω в области G существует путь L : z=z(t), 0<ί<1,
оканчивающийся в точке z0, z0£G, lim z(t) = z0, и
такой, что lim /(ζ(ί)) = α, то а наз. асимптотическим
значением функции/в точке ζ0 (вдоль пути L).
Асимптотическое множество А (/, z0; G) —
это совокупность всех асимптотич. значений / в
точке ζ0.
Понятие П. м. было впервые явно сформулировано
П. Пенлеве в 1895 (под названием «область
неопределенности», см. [1]) в связи с изучением поведения ана-
литич. функции вблизи ее особой точки и
классификацией особенностей таких функций. С тех пор в
теории П. м. изучаются в основном три геометрически
простейших случая: a) zQ — изолированная точка
границы FtG или внутренняя точка G\ б) G=D= {\z\ <1} —
единичный круг или, вообще, нек-рая жорданова
область, a z0 — точка границы T=FtD\ в) граница Е=
= FrG есть всюду разрывный компакт на плоскости
(т. е. вполне несвязный компакт, не содержащий
никакого невырожденного континуума) и ζ0ζΕ. Ряд
классич. результатов теории аналитич. функций
допускает формулировку в терминах П. м. Напр., Со-
хоцкого теорема в несколько усиленной форме: если
ζ0 — изолированная точка всюду разрывного
компакта EczG и f(z) — мероморфная функция на G\E,
то П.м. С(/, z0; @\Е) либо вырожденное, либо
тотальное. Дополнительно к этому Ликара теорема
утверждает, что в случае, когда С(/, z0; G\E)
тотально, т. е. когда z0 — существенно особая точка,
множество CR(f, z0; G\E)=Q\R(f, z0; G\E) содержит
МНОЖЕСТВО 566
не более двух различных значений, В этом же случае
С7?(/, z0; G\E)<zA(f, z0; G\E)
(Иверсена теорема).
Основной из результатов, касающийся теории
поведения мероморфных функций вблизи «тощей»
границы (теории Пенлеве), состоит в
следующем (см. [1], [2]): если множество EczG имеет
линейную хаусдорфову меру нуль, μ(Ε)=μ1 (Ε)=0, и
функция / мероморфна в G\E, то в каждой точке ζ0ζΕ
П.м. С(/, v, G\E) либо вырожденное, либо
тотальное; более того, в первом случае / мероморфна и в
точке z0. Таким образом, точка z0£E, в к-рой П. м. С(/,
z0; G\E) вырожденное, является устранимой особой
точкой функции /; изучение устранимых множеств
различных классов функций можно рассматривать
как раздел теории П. м.
Важным усилением теоремы Пикара является
теорема Голубев а: если EczG, μ (Е)=0 и /
мероморфна в G\E, то в любой существенно особой точке
ζ0ζΕ множество CR (/, z0; G\E) имеет
аналитическую емкость нуль (и, следовательно, плоскую меру
μ2^)=0).
Началом теории П. м. в случае непрерывной
границы можно считать работу П. Фату (P. Fatou, 1906)
о граничных значениях функций /(ζ), голоморфных
в единичном круге D= {\z\ <1}. Если такая функция /
ограничена в D, то почти всюду (в смысле меры
Лебега) на окружности Γ={|ζ| = 1} она имеет радиальные
и угловые граничные значения (теорема Фату).
Для произвольной точки ζ=έ?ίθζΓ пусть h (ζ, φ)
обозначает хорду круга Ζ), оканчивающуюся в ζ и
образующую с радиусом, проведенным в эту точку,
угол раствора φ, —π/2<φ<π/2. И пусть Δ (ζ, φχ,
Фг) — угловая область с вершиной ζ ζ Г, состоящая
из всех точек круга D, заключенных между двумя
хордами
Λ (ζ, φι) и Λ (ζ, φ2), —π/2 <φχ < φ2 < π/2.
Точку ζζΓ наз. точкой Фату и относят к
множеству F(/), если объединение
UC(/. ζ; Δ (ζ, Φι, φ2))
по всем угловым областям Δ (ζ, φχ, φ2) состоит из
единственного значения /(£ίθ), наз. угловым
граничным значением функции / в точке ζ.
Иная формулировка теоремы Фату состоит в том, что
для ограниченной голоморфной в круге D функции /
справедливо разложение T=F(f)\jE, mes £=0.
Результат дополняется теоремой единственности
Ф. и Μ. Ρ и с с о в (1916): если / голоморфна и
ограничена в круге D и на нек-ром множестве MaF(f),
mes Μ>0, имеет угловое граничное значение /(ζ)=α,
ζ ζ Μ, το /(ζ)==α. Это утверждение было независимо
доказано Η. Η. Лузиным и И. И. Приваловым (1919),
к-рые существенно распространили его также на
случай произвольных мероморфных функций. В том же
году Η. Η. Лузин и И. И. Привалов опубликовали
граничную теорему единственно с-
т и для случая радиальных граничных значений:
если голоморфная в D функция / на множестве Μ второй
категории и метрически плотном на нек-рой дуге уаТ
имеет одно и то же радиальное граничное значение
α£Ω, то есть lim f(reiQ)=a, е^£М, то f(z)=a.
г->1
В 1936 И. И. Привалов отметил, что утверждение
/(z)—const остается в силе и в том случае, когда
значения ar = lim f (re№) не обязательно одинаковы в точ-
г+1
ках ζ—eiQ£M, но принадлежат нек-рому множеству
(логарифмической) емкости нуль. Основная идея и
| элементы доказательства теорем Лузина — Прива-

567
ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
568
лова применимы и в общем случае непрерывных отоб- ι
ражений / круга D, что и было позднее использовано
во многих работах.
Точку ζ ζ Г= {|z| = l} наз. τ о ч к о й Плеснера
и относят к множеству /(/), если пересечение
ПС(/, ζ; Δ (ζ, Φι, φ2))
по всем угловым областям Δ (ζ, φ1? φ2) с вершиной ζ
совпадает с Ω. В 1927 А. И. Плеснер доказал, что для
любой мероморфной в круге D функции / почти все
точки окружности Г принадлежат либо F(f), либо
1(f), то есть T=F(f)\JI(f)\jE, mes E=0. Точку ζζΓ
наз. точкой Мейера и относят к множеству
М(/), если С(/, ζ; ϋ)Φ& и пересечение хордальных
П. м. [\C(f, ζ; h(ζ, φ)) по всем хордам, проведенным
в точку ζ, совпадает с С(/, ζ; Ό). К. Мейер (К. Meier,
1961) установил следующий аналог теоремы Плеснера
в терминах категории по Бэру: если / мероморфна
в D, то все точки окружности Г, за возможным
исключением множества Ε первой категории, принадлежат
объединению M(f)\JI(f). Получено уточнение теоремы
Мейера, согласно к-рому Ε есть множество первой
категории и типа Fa (см. [12] — [14], где получены
усиления теорем Плеснера и Мейера, а также даны
обращение теоремы Мейера и характеризация
множества M(f)).
Работа П. Фату послужила первоначальным
толчком к развитию фундаментальных исследований
граничных свойств аналитич. функций. Исследования Ф.
и М. Риссов, Н. Н. Лузина, И. И. Привалова, Р. Не-
ванлинны (R. Nevanlinna), А. И. Плеснера, В. И.
Смирнова и др. проводились независимо от идей П. Пенлеве,
и для них характерно использование методов,
связанных с теорией меры и теорией интегрирования, с
понятием категории по Бэру (см. [4] — [9]).
Основным объектом исследований Ф. Иверсена
(F. Iversen) и В. Гросса (W. Gross) были также меро-
морфные функции / в области D с жордановой
границей Г= Fr D. В произвольной точке ζ0£Τ
граничное предельное множество С (/, ζο; Γ)
определяется следующим образом: если Мг
обозначает замыкание объединения \)C(f, ζ; D) по всем
точкам
C€(r\{M)U{l*-Col<r},
то С(/, ζ0; T)—f]r>QMr. Одна из основных теорем,
полученных независимо Ф. Иверсеном и В. Гроссом,
утверждает, что при указанных условиях в каждой
точке ζ0 € Г множество
с,(/, ζ0; D) = C{f, ζ0; D)\C(f, ζ0; Γ)
открыто и все значения а£С£-(/, ζ0; D), за возможными
двумя исключениями, принадлежат множеству
повторяющихся значений R (/, ζ0; D); кроме того,
каждое исключительное значение (если таковые
существуют) является асимптотич. значением функции /
в точке ζ0.
Исследования Ф. Иверсена и В. Гросса получили
свое дальнейшее развитие в работах А. Бёрлинга
(A. BeurliDg), В. Зайделя (W. Seidel, он и ввел
термин «П. м.» в 1932) и др. (см. [5] — [9]).
Рассматривались в основном случаи, когда ζ0 принадлежит
нек-рому «малому» множеству Ε точек границы Г
нулевой линейной меры или нулевой емкости, и
изучалось П. м. С (/, ζ0; Γ\Ε), определяемое
аналогично множеству С(/, ζ; Г). В этих исследованиях
использовались и методы теории потенциала.
Новейшие результаты в этом направлении
сформулированы ниже для случая круга Z)={|z|<l}. Пусть
фиксировано множество Ε на дуге γ границы Г— {\z\ =
= 1}, mesE=0, ζ0£Ε. Каждой точке ζζγ\£
отнесем жорданову дугу A^cD, оканчивающуюся в ζ.
Пусть Мг —замыкание объединения \}C(f, ζ; Λζ)
по всем точкам
С€(?\Я)П{1*-Ы<г}
и пусть С*(/, ζο, Г\£)=Пг>ом;·
Тогда множество
S(i0) = C(f, ζ0; D)\C*(f, ζ0; Τ\Ε)
открыто, множество S (ζ0)\7? (/, ζ0; D) имеет емкость
нуль, а каждое значение a£S (ζ0Γ\# (/, ζοί D) яв"
ляется асимптотическим значением функции / либо в
точке ζ0, либо в каждой точке нек-рой
последовательности {ζ„}, ζ„£Γ, η=1, 2, . . ., lim ζ„=ζ0· Если ем-
кость Ε равна нулю, то для каждой связной
компоненты £&(ζ0), fc=l, 2, . . ., множества S (ζ0) множество
Sft(£o)\# (/, ζο', D) состоит самое большее из двух
различных значений.
С помощью нормальных семейств была доказана
теорема Линделёфа: если голоморфная
функция / ограничена в круге D и имеет асимптотич.
значение а в точке ζ0ζΓ, то она имеет в этой же точке
значение айв качестве углового граничного
значения. Нормальность семейства F—{f(z)} мероморфных
функций f(z) в области G можно характеризовать
в терминах т. н. сферической
производной
р(/(,)) = -Ш!11г.
1 + |/(z) |2
Именно, семейство F нормально тогда и только тогда,
когда сферич. производные р(/(г)К /€^\ равномерно
ограничены внутри G, т. е. для любого компакта KdG
можно указать такую постоянную С=С(К), что
ρ(/(*»<с(*). *€*> /€**.
Однако наиболее важный вклад нормальных
семейств в теорию П. м. формулируется при помощи
понятия нормальной функции. Мероморфная в одно-
связной области G функция f(z) наз.
нормальной функцией в G, если нормально семейство
{f(S(z))}i гДе S пробегает семейство всех конформных
автоморфизмов области G; f(z) нормальна в
многосвязной области G, если она нормальна на
универсальной накрывающей поверхности G. Мероморфная
функция f(z) в круге D= {\z\ <1} нормальна тогда и только
тогда, когда существует константа С=С(/), 0<С<оо,
такая, что
p{f(z))\dz\<C1^F.
Здесь левая часть есть элемент длины в т. н. хорда л ь-
ной метрике на сфере Римана Ω для отображения
w=f(z), а стоящее в правой части выражение do (z)=
— \dz\/(l—\z\2) есть элемент длины в гиперболич.
метрике круга D. Ограниченные голоморфные функции
и мероморфные функции, не принимающие трех
различных значений, являются нормальными функциями,
и нек-рые свойства функций названных классов
переносятся на произвольные нормальные функции. Напр.,
для произвольной нормальной функции справедливо
утверждение теоремы Линделёфа. Класс всех
нормальных мероморфных функций в круге D имеет
нек-рое сходство с классом ограниченного вида функций.
Однако имеются и существенные различия. Напр.,
существуют нормальные мероморфные функции без
асимптотич. значений, а следовательно и без
радиальных граничных значений, чего не может быть для
функций ограниченного вида. Важные исследования
асимптотич. значений были проведены Дж. Мак-
Лейном (G. R. MacLane, см. [7], [9]). Теория Мак-
) Лейна позволила получить новые доказательства из-

569 ПРЕДЕЛЬНОЕ
вестных ранее свойств нормальных функций; так, 1
напр., множество точек ζ ζ Г, в к-рых нормальная
голоморфная функция f(z) имеет асимптотич. значение, а
следовательно и угловое граничное значение, плотно
на Г.
С понятием нормальности тесно связано
распределение значений мероморфных функций.
Последовательность {zn}точекznединичного круга/), lim |zj = l,
наз. Р-п оследовательностью для меро-
морфной функции f(z) в D, если для любой ее
бесконечной подпоследовательности {zn } и для любого
k
ε>0 множество
0\Л(/, *; υ;=1{*£0:ο(ζ, 4)<ε})
состоит самое большее из двух значений. Показано,
что / обладает хотя бы одной Р-последовательностью
в том и только в том случае, если
lim sup qf (z) = + oo, qf(z) = {l — |z |2) ρ (/ (ζ)).
|ζ Ι -► ι
Таким образом, распределение значений мероморфной
функции f(z) связано со строением П. м. непрерывной
функции q/(z).
Существенные продвижения имеются в теории П. м.
общих отображений / : D -*■ Ω, D= {|z| <1}. Так, еще
в 1955 была доказана теорема о точках
неопределенности: для произвольного
отображения / : D —► Ω точки ζ ζ Г, в к-рые можно
провести две непрерывные кривые L\ и L| такие, что
С(/, ζ; L\)*C(f, ζ; L\),
образуют самое большее счетное множество.
Теорема максимальности Коллингву-
д а: пусть L0 — произвольный континуум в круге D
такой, что Z/0f| Г= \ζ=1}, и пусть континуум Lq
получается из L0 поворотом на угол θ вокруг начала
координат; тогда для произвольного отображения /:/)->·
—► Ω точки ζ=βϊθζΓ, в к-рых
С (/, ζ; LQ) φ С (/, ζ; D),
образуют множество первой категории на Г. Точку
ζζΓ относят к множеству С(/), если П. м. С(/, ζ; D)
совпадает с пересечением
Π С (/, ζ; Δ (ζ, φι, φ2))
по всем угловым областям с вершиной ζ. Доказано [10]»
что
T = C(f)\JE
для произвольного отображения / : D ->· Ω, где Ε —
множество типа FG и первой категории. Обратно, для
произвольного множества ЕаТ типа Fa и первой
категории существует голоморфная и ограниченная
в D функция f(z), для к-рой E=T\C(f). Множество
С (/) является подмножеством множества K(f),
состоящего из таких точек ζ ζ Г, в к-рых
С(/, ζ; Δ (ζ, Φι, <Р.)) = С(/, ζ; Δ (ζ, φι, φί))
для любых двух угловых областей Δ (ζ, φχ, φ2) и Δ (ζ,
φί, φ2). Пусть ΕαΤ и ζζΓ. Для данного ε>0 пусть
г (ζ, ε, Ε) обозначает длину наибольшей открытой дуги
на Г, лежащей в дуговой ε-окрестности {βίθ:|θ—arg ζ| <
<ε} точки ζ и не имеющей общих точек с Е\ если
такой дуги нет, то полагают г (ζ, ε, Е)=0. Множество Ε
наз. пористым на Г, если для любой точки ζ£Ε
lim sup г (ζ, ε, Ε) > 0;
£-► 0
σ-π ористое множество есть объединение
не более чем счетного числа пористых множеств. Вся-
МНОЖЕСТВО 570
кое σ-пористое множество есть множество первой
категории и линейной меры нуль. Для произвольного
отображения / : D ->· Ω справедливо равенство Г=
= K(f)[jE, где Ε есть σ-пористое множество типа £βσ.
Обратно, для произвольного σ-пористого множества
Ε существует голоморфная и ограниченная в D
функция /(z), для к-рой T\K(f)zDE.
О теории П. м. для функций многих комплексных
переменных см., напр., [15] — [17].
Лит.: [1] Ρ a i η 1 е ν έ P., Lecons sur la theorie analytique
des equations differentielles..., P., 1897, [2] Zoretti L.,
Lecons sur le prolongement analytique..., P., 1911; [3]
Голубев В. В., Однозначные аналитические функции. Автоморф-
ные функции, М., 1961; [4] Привалов И. И , Граничные
свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л , 1950; [5]
Носиро Киоси, Предельные множества, пер. с англ.,
М., 1963; [6] Ко л л инг в уд Э., Л о ватер Α., Теория
предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [7] Мак-Лейн
Г., Асимптотические значения голоморфных функций, пер.
с англ., М., 1966; [8] Маркушевич А. И., Τ у м а р к и н
Г. Ц., X а в и н с о н С. Я., в кн.: Исследования по
современным проблемам теории функций комплексного переменного,
М., 1961, с. 100—10, [9] Ловатер Α., в кн.: Итоги науки
и техники. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99—259;
[10] Долженко Е. П., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1967,
т. 31, №1, с 3—14; [11] его же, «Ann. Math.», 1976, v. 2,
p. 191—201; [12] Г а в р и л о в В. И., «Докл. АН СССР», 1974,
т. 216, № 1, с. 21—23; L13] Гаврилов В. И.,
Канатников А. Н., там же, 1977, т. 233, №1, с. 15—17; [14]
Канатников А. Н., там же, 1978, т. 238, № 5, с. 1043—1046;
[15] Ρ у дин У., Теория функций в поликруге, пер. с англ.,
М., 1974, [16] X е н к и н Г. М., Ч и ρ к а Е. М., в кн.: Итоги
науки и техники. Современные проблемы математики, т. 4, М.,
1975* с. 13—142; [17] Rudin W., Function theory in the unit
ball of C"» N.Y. —[e.aJ, 1980.
В. И. Гаврилов, Ε. Д. Соломенцев.
ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО траектории
{fix} динамической системы /*—
множество Ах всех α-предельных точек (α-π ρ е д е л ь-
ное множество) или множество Ω^ всех
сопредельных точек (ω-π редельное множест-
в о) этой траектории (см. Предельная точка
траектории). Для траектории {fix} системы (или, иначе, f(t, x),
см. [1]) α-Π. м. (соответственно ω-Π. м.) — то же, что
ω-Π. м. (соответственно α-Π. м.) траектории {ί~*χ}
динамич. системы /-* (системы с обращением времени).
Поэтому свойства α-Π. м. аналогичны свойствам ω-
Π. м.
Множество Ω^ — замкнутое инвариантное
множество. Если ΩΑ.= 0, то траектория {fix} наз.
уходящей в положительном направлении;
если Ах= 0, то траектория {fix} наз. уходящей
в отрицательном направлении; если
qx=Ax=0, то траектория наз. уходящей. Если
χζΩχ, то точка χ наз. положительно
устойчивой по Пуассону; если х£Ах, то точка χ
наз. отрицательно устойчивой по
Пуассону; если χζΩχ(]Αχ, то точка χ наз. у с-
тойчивой по Пуассону. Если χ£Ωχ и
ςΐχφ0, то точка х наз. положительно
асимптотической; если х(£Ах и АхФ0,
то точка χ наз. отрицательно
асимптотической.
Если точка χ положительно устойчива по Лагранжу
(см. Устойчивость по Лагранжу), то Ω^— непустое
связное множество,
lim d(fix, Ωχ) = 0
t -+ + 00
(где d(z, Υ) — расстояние от точки z до множества У)
и в Ω д. найдется рекуррентная точка (траектория).
Если χ — неподвижная точка, то Ωχ—{х}. Если χ —
периодич. точка, то
Q* = {/f*}/€R = {/'*}/€[0. Г)>
где Τ — период. Если точка χ положительно
устойчива по Пуассону, но не неподвижная и не периодиче-
J екая, а метрич. пространство, на к-ром задана рас-

571 ПРЕДЕЛЬНОЙ АМП
сматриваемая динамич. система, полно, то в Qx всюду
плотны точки, не принадлежащие траектории {/*#}.
Если динамич. система задана на плоскости
автономной системой дифференциальных уравнений
(гладким векторным полем /(#)), точка χ положительно
устойчива по Лагранжу, но не периодическая и f(x)
не обращается в нуль на множестве Ωχ (τ. е.
множество Ωχ не содержит неподвижных точек), то Qx—
цикл, т. е. замкнутая кривая (траектория периодич.
точки), а траектория {ffx} при *_>-|-оо спиралевидно
наматывается на этот цикл. У динамич. систем,
заданных на R", л>2, или на нек-рых двумерных
поверхностях, напр. на торе, ω-Π. м. могут быть устроены
иначе. Напр., у иррациональной обмотки тора (система
φ=1, ψ=μ, где (φ, ψ) (mod 1) — циклич. координаты
на торе Г2, μ — иррациональное число) множество
Ωx для всякой точки χ = (φ, ψ) совпадает со всем
тором.
Лит.: [1] Немыцкий В. В., Степанов В. В.,
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд.,
М.— Л., 1949; [2] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Обыкновенные
дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.
В. М. Миллионщиков.
ПРЕДЕЛЬНОЙ АМПЛИТУДЫ ПРИНЦИП — спо
соб однозначного выделения решений стационарных
уравнений, описывающих установившиеся колебания,
через предел при t -> оо амплитуды решений
соответствующих нестационарных уравнений с нулевыми
начальными данными и периодической по t правой частью
вида f(x)e±l(at. Справедливость П. а. п. означает, что
решение v(x, t) указанной нестационарной задачи при
t ->- оо имеет вид
v(x, ^ = и±(х)е±ш + о(1), (*)
где и , — решения стационарного уравнения.
Впервые этот принцип был предложен (см. [1]) для
уравнения Гельмгольца в R"
(A + *V = /,
он выделяет те же решения этого уравнения, что и
излучения условия и предельного поглощения принцип.
Справедливость П. а. п. исследована: для уравнений
2-го порядка с переменными коэффициентами во
внешности ограниченной области (см. [2], [3]), уравнения
Гельмгольца в нек-рых областях с некомпактной
границей (см. [3], [4]), задачи Коши — Пуассона в полосе
(см. [5]), нек-рых уравнений высокого порядка (см.
[3], [6]), смешанных задач во внешности ограниченной
области для уравнений и систем любого порядка с
переменными коэффициентами (см. [7]). В последнем
случае условия излучения и принцип предельного
поглощения выделяют 2*, 1<κ<οο, решений
стационарного уравнения, а П. а п. дает два из них. Указаны
(см. [8]) такие постановки П. а. п., к-рые позволяют
получить все эти 2κ решений.
Для справедливости П. а. п. необходимо, чтобы
f(x) была ортогональна всем собственным функциям
стационарной задачи. Поэтому П. а. п. не справедлив
в ограниченной области. Пусть Ρ χ — оператор, к-рый
соответствует зависящей полиномиально от
спектрального параметра λ стационарной задаче, полученной из
смешанной задачи для нестационарного уравнения
заменой в уравнении и граничных условиях
оператора дифференцирования idldt на параметр λ.
Справедливость для оператора Р\ , λ= const, П. а. п. связана
с возможностью аналитич. продолжения ядра
резольвенты ϋχ^Ρχ1 на непрерывный спектр и гладкостью
по λ этого продолжения (см. [31, [7]). Если ядро Ηχ
допускает аналитич. продолжение через непрерывный
спектр и имеет подходящие оценки при λ —>» оо, то
НТУДЫ ПРИНЦИП Ъ4£
можно написать асимптотику при t ->- оо остатка 0 (1)
в (*), а также получить асимптотику при % ->- оо
решений других нестационарных задач (см. [2], [7])·
Указанные свойства R\ получены в [7] для смешанных
задач во внешности ограниченной области для
уравнений и систем любого порядка.
Лит.: [1] Тихонов А. Н., Самарский Α. Α.,
«Ж. эксперимент, и теоретич. физики», 1948, т. 18, № 2, с. 243—
248; [2] Ладыженская О. Α., «Успехи матем. наук»,
1957, т. 12, в. 3, с. 161—64; [3] Э й д у с Д. М., там же, 1969,
т. 24, в. 3, с. 91—156; [4] Свешников А. Г., «Докл. АН
СССР», 1950, т. 73, №5, с. 917—20; [5] И с а к о в а Е. К.,
«Дифференциальные уравнения», 1970, т. 6, № 1, с. 56—71;
[6] Михайлов В. П., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1967,
т. 91, с. 100—12; [7] В айн б ер г Б. Р., «Успехи матем.
наук», 1975, т. 30, в. 2, с. 3—55; [8] его же, «Изв. ВУЗов.
Математика», 1974, № 2, с. 12—23. Б. Р. Вайнберг.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ теории
вероятностей — общее название ряда теорем теории
вероятностей, указывающих условия возникновения тех
или иных закономерностей в результате действия
большого числа случайных факторов. Первые П. т.,
установленные Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) и
П. Лапласом (P. Laplace, 1812), относятся к
распределению отклонений частоты μη/η появления нек-рого
события Ε при η независимых испытаниях от его
вероятности р, 0<р<1 (точные формулировки см. в
статьях Бернулли теорема, Лапласа теорема). С.
Пуассон (S. Poisson, 1837) распространил эти теоремы на
случай, когда вероятность pk наступления события
Ε в к-м испытании может зависеть от /с, описав
предельное поведение при η —>- оо распределения отклонений
частоты μη/η от среднего арифметического P=—^k=1Pk
вероятностей pk, 1<:/с<:/г (см. Пуассона теорема).
Если обозначить через Xk случайную величину,
принимающую значение, равное единице при появлении
события Ε в к-м испытании, в значение, равное нулю
при появлении противоположного события, μη можно
представить в виде суммы
μη=Χ1 + Χ2+...+Χη,
что позволяет рассматривать перечисленные теоремы
как частные случаи двух более общих утверждений,
относящихся к суммам независимых случайных
величин — больших чисел закона и центральной
предельной теоремы (к-рые приводятся ниже в их клас-
сич. формулировке).
Закон больших чисел. Пусть
λί, х2, ..., хп, . ·. (1)
— последовательность независимых случайных
величин, sn — сумма первых η из них:
8п = Хг + Х2+... + Хп, (2)
Ап и в\ — соответственно математич. ожидание
An = Esn = EX1 + EX2 + ...+EXn
и дисперсия
B2n = Dsn = DX1 + DX2+...+DXn
суммы sn. Говорят, что последовательность (1)
подчиняется закону больших чисел, если при
любом ε>0 вероятность неравенства
Ι ς 4 1
\ η η \
стремится к нулю при η ->► оо.
Широкие условия приложимости закона больших
чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (1867) и затем
обобщены А. А. Марковым (1906). Вопрос о
необходимых и достаточных условиях приложимости закона
больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмо-

573 предельно
горовым (1928). В случае, когда случайные величины
Хп имеют одну и ту же функцию распределения, эти
условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к
одному: величины Хп должны иметь конечные матема-
тич. ожидания.
Центральная предельная теорема. Говорят, что
к последовательности (1) применима
центральная предельная теорема, если при
любых z1 и ζ2 вероятность неравенства
ziBn < sn~An < z2Bn
имеет пределом при п —>■ оо величину
Φ(ζ2)-Φ(Ζι),
где
ф(,)= * Г* e-*'*d*
У 2л J - оо
(см. Нормальное распределение). Довольно общие
достаточные условия применимости центральной П. т.
были указаны Π Л. Чебышевым (1887), но в его
доказательстве обнаружились пробелы, восполненные
лишь позже А. А. Марковым (1898). Решение вопроса,
близкое к окончательному, было получено А. М.
Ляпуновым (1901). Точная формулировка теоремы
Ляпунова такова: пусть
<* = Е \Xk~EXk\2+6, 6>0,
Cn = ci + c2+...+cn.
Если отношение Ln=Cn/Bfi+ стремится к нулю при
и-► оо, то к последовательности (1) применима
центральная П. т. Окончательное решение вопроса об
условиях применимости центральной П. т. получено
в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и
дополнено В. Феллером (W. Feller, 1935). В условиях
центральной Π т. относительная точность
аппроксимации вероятности неравенства типа sn~An>znBn,
где zn неограниченно растет вместе с п, величиной
1—Φ (ζη) может быть весьма невысокой. Необходимые
для повышения точности поправочные множители
указываются в П. т. для вероятностей больших
отклонений (см. Больших отклонений вероятности, Крамера
теорема). Вслед за Г. Крамером (Н. Cramer) и В.
Феллером вопрос исследовался Ю. В. Линником и др.
Типичные результаты, относящиеся к этой области,
легче всего пояснить на примере сумм (2)
независимых одинаково распределенных случайных величин
Х1ч . . ., Х„, ... с ЕХу=0 и DXj—l\ в этом случае
4Я=0, Ва=Уй.
Пусть, напр., рассматривается вероятность
неравенства
sn^znVn.
Эта вероятность равна 1—Fn(zn), где Fn(z) — функция
распределения величины sjY n и при фиксированных
ζ„=ζ и η —*■ оо
1-Fn(i) —1-Φ(ι). (3)
Если zn зависит от п, причем так, что zn —у оо при
/г-> оо, то
i-Fn(zn)^0 и 1_ф (*„)-+0
и формула (3) становится бесполезной. Необходимы
оценки для относительной точности аппроксимации,
т.е. для отношения 1— Fn(zn) к 1—Φ(ζ„). В
частности, естественно возникает вопрос об условиях, при
к-рых
для ζη -+ оо.
теоремы 574
Соотношение (4)' может выполняться при любом
росте ζη только при условии, что сами слагаемые имеют
нормальный закон (этот вывод верен уже при ζη по
порядку, больших γ ή). Если же слагаемые не являются
нормальными, то это соотношение может выполняться
лишь в определенных зонах, к-рые по порядку не
превосходят Υ п. Наиболее «узкие»
(логарифмического порядка) зоны получаются при условии
конечности определенного числа моментов. При этом в
определенных условиях «регулярности» плотности сла-
гаемых можно проследить переход «нормальной»
асимптотики в степенную. Напр., если плотность
слагаемых Xj равна
2 1
π (1 ч-г2)*'
то равномерно по ζ при η -> оо
учитывая, что при ζ —► оо
легко понять, при каких ζ имеет место (4). Расширение
зоны до степенной (вида ла, а<1/2), требует условия
Ее У'2а+1 < оо (5)
и совпадения определенного (зависящего от а) числа
моментов Xj с соответственными моментами
нормального распределения. Если же условие совпадения
моментов не выполнено, то отношение в левой части (4)
описывается в терминах ряда Крамера (при так наз.
условии Крамера, см. Крамера теорема) или его
начальных отрезков (при выполнении условий типа (5)).
Оценки вероятностей больших отклонений
используются в математич. статистике, статистич. физике
и т. д.
Из других направлений работ в области П. т. можно
отметить следующие.
1) Начатые А. А. Марковым и продолженные
С. Н. Бернштейном и др. исследования условий
приложимости закона больших чисел и центральной
П. т. к суммам зависимых случайных величин.
2) Даже в случае последовательности одинаково
распределенных случайных величин можно указать
простые примеры, когда «нормированные» (т. е.
подвергнутые какому-либо линейному преобразованию)
суммы (sn—an)/bn, где ап, Ь„>0 — постоянные, имеют
в пределе распределение, отличное от нормального
(речь идет о невырожденных распределениях, т. е.
распределениях, не сосредоточенных целиком в одной
точке) (см. Устойчивое распределение). В работах
A. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко, П. Леви (P. Levy),
B. Дёблина (W. Doeblin) и др. полностью изучены
как класс возможных распределений для сумм
независимых случайных величин, так и условия
сходимости распределений сумм к тому или иному
предельному распределению (в схеме серий случайных
величин при условии асимптотической пренебрееаемости
слагаемых) (см. Безгранично делимое распределение,
Случайный процесс с независимыми приращениями).
3) Значительное внимание уделяется т. н. локальным
предельным теоремам. Пусть, напр., случайные
величины Хп принимают лишь целые значения. Тогда
суммы sn принимают также только целые значения
и естественно поставить вопрос о предельном
поведении вероятностей Рп(т) того, что sn—m, где т —
целое. Простейшим примером локальной П. т. может
служить локальная теорема Лапласа. Другой тип ло-

575
ПРЕДЕЛЬНЫЙ
57Б
кальных П. т. описывает предельное распределение
плотностей распределения сумм.
4) Π. т. в их классич. постановке описывают
поведение отдельной суммы sn с возрастанием номера п.
Достаточно общие П. т. для вероятностей событий,
зависящих сразу от нескольких сумм, получены
впервые А. Н. Колмогоровым (1931). Так, напр., из его
результатов следует, что при весьма широких
условиях вероятность неравенства
Ч I < *Вп
шах
ι <fe< η
имеет пределом величину
Αν00
_1\*
(-1)
- (2fc+l)2 Z2/8Jt2
2ft+l
>0.
Наиболее общий способ доказательства подобных
П. т.— предельный переход от дискретных процессов к
непрерывным.
5) Перечисленные выше П. т. относятся к суммам
случайных величин. Примером П. т. иного рода могут
служить П. т. для членов вариационного ряда. Эти
П. т. подробно изучены Б. В. Гнеденко, Н. В.
Смирновым и др.
6) Наконец, к П. т. относят также и теоремы,
устанавливающие свойства последовательностей
случайных величин, имеющие место с вероятностью, равной
единице (см., напр., Больших чисел усиленный закон,
Повторного логарифма закон).
О методах доказательства Π. т. см. в статьях
Характеристическая функция, Распределений
сходимость.
Лит.: [1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н.,
Предельные распределения для сумм независимых случайных
величин, М.—Л., 1949; [2] Ибрагимов И. Α., Л и н-
н и к Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины,
М., 1965; [3] Петров В. В., Суммы независимых случайных
величин, М., 1972; [4] Прохоров Ю. В., Розанов
Ю. Α., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.
Ю. В. Прохоров.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ КОНУС выпуклой
поверхности S — поверхность Ρ (S) конуса,
образованного полупрямыми, исходящими из нек-рой точки
О ζ S и принадлежащими выпуклому телу,
ограниченному S. П. к. определен однозначно с точностью до
параллельного переноса, зависящего от выбора
точки О. Понятие П. к. определяется и для нек-рых
классов невыпуклых поверхностей, напр. для т. н.
сферически однолистных седловых поверхностей.
Лит.: [1] Π о г о ρ е л о в А. В., Внешняя геометрия
выпуклых поверхностей, М., 1969. М. И. Войцеховский.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ — замкнутая траектория
в фазовом пространстве автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, к-рая является
а- или ω-предельным множеством (см. Предельное
множество траектории) хотя бы для одной другой
траектории этой системы. П. ц. наз. орбитально
устойчивым, или устойчивым, если для
всякого ε>Ό найдется 6>0 такое, что все траектории,
начинающиеся в δ-окрестности П. ц. при t=Q, не
выходят из его ε-окрестности при £>0. Π. ц.
соответствует периодич. решение системы, отличное от
постоянного. Если оно устойчиво по Ляпунову, то П. ц.
устойчив. Для того чтобы периодич. решению
соответствовал устойчивый П. ц., достаточно, чтобы модули
всех его мультипликаторов, кроме одного, были
меньше единицы (см. Орбитальная устойчивость,
Андронова — Витта теорема). С физич. точки зрения
П. ц. соответствует периодич. режиму, или
автоколебанию, системы (см. [2]).
Пусть автономная система
x = f (χ), (*)
определенная в области UczVn, где Vn—
дифференцируемое многообразие, напр. Vn=Rn, имеет
замкнутую траекторию Г. Проведем гиперповерхность π,
пересекающую Г трансверсально в точке р. Тогда
любая траектория системы, начинающаяся при t=0
в точке с ζ Уел, где V — достаточно малая
окрестность точки р, при увеличении t снова пересечет π
в точке Τ (с). Диффеоморфизм Τ : V -+■ Τ (V) имеет
неподвижную точку ρ и наз. последования
отображением. Его свойства определяют поведение траекторий
системы в окрестности Г. П. ц. в отличие от
произвольной замкнутой траектории всегда определяет
отличное от тождественного отображение
последования. Если ρ — седловая точка диффеоморфизма Т,
то П. ц. наз. П. ц. седлового типа. Система,
имеющая П. ц. седлового типа, может иметь гомокли-
нич. кривую, т. е. траекторию, для к-рой П. ц.
является одновременно как а-, так и ω-предельным
множеством.
В случае двумерной системы (*) (Vn=R2) в
качестве π берут прямую и рассматривают функцию
ρ : ρ (с)= Τ (с)—с, к-рая наз. функцией
последования. Кратность нуля с=р функции ρ наз.
кратностью П.ц. Предельный цикл четной
кратности наз. полуустойчивым. П.ц. вместе
с точками покоя и сепаратрисами определяют
качественную картину поведения остальных траекторий
(см. Пуанкаре — Бендиксона теория, а также [3],
[4]). П. ц. в случае аналитич. функций f(x)
принадлежит к одному из типов: 1) устойчивый, 2)
неустойчивый, т. е. устойчивый П. ц., если изменить
направление t на противоположное, 3) полуустойчивый. Напр.,
система
1)*,
= — ωχ2-\-μχι (si + si-
χ2=ωΧι + μχ2 (ж? -|-жа — 1)л,
где ω5*0, μ=const, kζ Ν, имеет при μ<0 (μ>0) и k
нечетном устойчивый (неустойчивый), а при к
четном — полуустойчивый П. ц. кратности к; во всех
этих случаях П. ц. является окружность xi-\-xl=i,
т. е. траектория решения
хг = со5 ((ut-\-(p0), x2 = sin (ω£ + φ0).
Если система (*) задана на односвязной области C/clR2,
то П.ц. окружает по крайней мере одну точку покоя
этой системы.
Для разыскания П. ц. в системе 2-го порядка
применяется метод, основанный на следующем
утверждении: если векторное поле f(x) направлено вовнутрь
(вовне) кольцеобразной области G и в G нет точек
покоя, то в G имеется хотя бы один устойчивый
(неустойчивый) П. ц. Выбор области G производится из
физич. соображений или результатов аналитических или
численных расчетов.
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, Обыкновенные
дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974; [2] Андронов Α. Α.,
Витт А. А, X а й к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд.,
М., 1959; [3] Андронов Α. Α., Леонтович Ε. Α.,
Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория
динамических систем второго порядка, М., 1966; [4] их ж е, Тео-
?ия бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 1967;
5] П^л и с с В .Α., Нелокальные проблемы теории колебаний,
' ΓλΊ " Η. Η., Асимптотические методы
Μ., 1981. Л. А. Черкас.
значениями к-рой являют-
объектов, представляющих
п—\ П. наз. «свойством»,
единичные высказывания
М.— Л., 1964, [6] Моисеев
нелинейной механики, 2 изд.,
ПРЕДИКАТ — функция,
ся высказывания об л-ках
значения аргументов; при
при τι >1 — «отношением»,
могут рассматриваться как нульместные П.
Чтобы задать гс-местный предикат Ρ (хх, . . ., хп),
следует указать множества Dx, . . ., Dn — области
изменения предметных переменных
х1у . . ., хп, причем чаще всего рассматривают случай
D1—D2=. . .—Dn. С теоретико-множественной точки
зрения П. определяется заданием подмножества Μ

577
ПРЕДИКАТОВ ИСЧИСЛЕНИЕ
578
в декартовом произведении DtX. . .XDn. При этом
Ρ (αλ1 . . ., ап) понимают как высказывание
«упорядоченный набор (аъ . . ., ап) принадлежит М». Синтак-
сич. задание д-местного П. осуществляется указанием
формулы логико-математич. языка, содержащей η
свободных переменных. Понятие П. восходит к
Аристотелю; аппарат оперирования с высказываниями,
содержащими в своем составе П., разработан в матема-
тич. логике (см. Логические исчисления, Предикатов
исчисление). с. Ю. Маслов.
ПРЕДИКАТИВНОСТЬ — особый способ образования
понятий, характеризующийся отсутствием «порочного
круга» в определениях: определяемый объект не
должен участвовать в своем собственном определении.
Если язык, на к-ром даются определения,
формализован, то П. означает, как правило, что определяющая
формула не должна содержать связанной переменной,
в область изменения к-рой входит определяемый объект.
Непредикативные определения, наоборот,
отличаются наличием в них такого «порочного круга».
Явление непредикативности встречается также в нек-рых
рассуждениях, когда в процессе обоснования нек-рая
часть проводимого рассуждения сама рассматривается
как объект рассуждения. Именно использование
такого типа рассуждений является причиной появления
семантич. антиномий. Типичный пример —
установление противоречия в т. н. парадоксе лжеца: если некто
утверждает — «я лгу», то это утверждение не может
быть истинным и не может быть ложным.
В. Н. Гришин, А. Г. Драгалин.
ПРЕДИКАТНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ — переменная,
значениями к-рой могут быть предикаты. При
формальном построении аксиоматич. систем П. п. отличаются
от индивидных переменных тем, что вместо них можно
подставлять формулы. Так, в исчислении предикатов
2-й ступени, если в аксиоме
ν^φ (х) —► φ (ί)
χ — предикатная переменная для л-местных
предикатов, то в качестве t можно взять любую формулу с η
отмеченными переменными. При этом результатом
подстановки формулы t с отмеченными переменными
zx, . . ., zn вместо П. п. я в атомарную формулу х(уг,
• · ·» Уп)·) гДе i/i> · · ·» У η — индивидные переменные,
является формула t (yjz^ . . ., ynlzn), получающаяся
из t одновременной заменой свободных вхождений
zx, . . ., zn на уг, . . ., уп соответственно.
Лит.: El] Чёрч Α., Введение в математическую логику,
пер. с англ., М., 1960; [2] Такеути Г., Теория
доказательств, пер. с англ., М., 1978. В. Н. Гришин.
ПРЕДИКАТНЫЙ СИМВОЛ, предикатная
буква,— обозначение какого-либо конкретного
предиката. Напр., символом < часто обозначают
отношение порядка на действительных числах, являющееся
двуместным предикатом. При формальном построении
языка символы, отнесенные к категории предикатных,
должны определенным образом использоваться для
построения выражений языка. Именно, если Ρ есть
гс-местный П. с, то среди синтаксич. правил
образования выражений формализованного языка должно
быть правило: «если t±, . . ., tn — термы, то
P(tx,. . ., tn) — формула». Таким образом, П. с.
синтаксически используются для образования формул, а
семантически обозначают предикаты.
Лит.: [1] К ли н и С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [2] Ершов Ю. Л., Π а л го-
тин Ε. Α., Математическая логика, М., 1979. В. Н. Гришин.
ПРЕДИКАТОВ ИСЧИСЛЕНИЕ — формальная
аксиоматич. теория; исчисление, предназначенное для
описания логических законов, справедливых для любой
непустой области объектов с произвольными
заданными на этих объектах предикатами (т. е.
свойствами и отношениями).
Для формулировки П. и. следует вначале
формулировать точный логико-математический
язык Ω. В наиболее распространенном случае одно-
сортных языков 1-го порядка такой язык содержит
предметные переменные х, у, ζ, . . ., функциональные
символы /, g, h, . . . с различным количеством
аргументных мест и предикатные символы (предикатные
буквы) Р, Q, R, ... также с различным количеством
аргументных мест. Из переменных и функциональных
символов конструируются термы языка,
содержательно интерпретируемые как имена объектов
исследования теории. Далее, если Ρ есть /г-местный
предикатный символ языка Ω, п^О, a t±, . . ., tn — термы, то
Ρ(*!, . . ., tn) есть, по определению, атомарная
(элементарная) формула языка Ω.
Содержательно Ρ (h, . . ., tn) означает, что истинно
высказывание, гласящее, что объекты tx, . . ., tn связаны
отношением Р.
Из атомарных формул с помощью пропозициональных
связок и кванторов конструируются формулы языка.
Обычный набор связок и кванторов в классическом и
интуиционистском П. и. таков: & или л (конъюнкция,
«и»), V (дизъюнкция, неразделительное «или»), -> или
Z) (импликация, «влечет», «если..., то»), ~| (отрицание,
«не»), V (квантор «для всех»), 3 (квантор «существует»).
Соответственно неэлементарные формулы этих
исчислений имеют вид (φ Λ ψ), (φνψ), (φζνψ), ~|ф> V-ζφ,
3^φ. Вхождение переменной χ в формулу φ наз.
связанным, если χ входит в часть φ вида 3#φ
или V^-ψ. Остальные вхождения χ в φ наз.
свободными. Переменная χ наз. параметром φ,
если найдется хотя бы одно свободное вхождение χ в
φ. Интуитивно говоря, формула с параметрами
выражает нек-рое условие, к-рое превращается в
конкретное высказывание, если задать модель
исчисления, т. е. выбрать нек-рую непустую область
объектов исследования и приписать предикатным символам
предикаты (т.е. отношения на области объектов),
а параметрам приписать в качестве значений
определенные объекты.
П. и. задается с помощью аксиом и правил вывода.
Напр., одна из обычных формулировок
классического исчисления предикатов
содержит следующие аксиомы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
И.
12.
13.
14.
15.
(φΖ)(ψΖ)φ)),
((φ Ζ) (ψ Ζ) η)) Ζ) ((φ Ζ) ψ) Ζ) (φ
((φ Λ ψ) Ζ) φ),
((φ Λ ψ) Ζ) ψ),
(φ Ζ) (ψ Ζ) (φ Λ ψ))),
((φ Ζ) η) Ζ) ((ψ Ζ) η) Ζ) ((φ V ψ)
(φ Ζ) (φ νψ)),
(ψΖ5(φ νψ)),
ΠφΖ)(φΖ)ψ)),
((φ Ζ) ψ) Ζ) ((φζΠψ) Ζ)~|φ)),
(φ ν ηφ),
(ν*φ=3<ρ(*|ί)).
(φ (χ | t) Ζ)3*φ),
(Чх (φζ)ψ) Ζ) (φ Z)V<n|>)),
(ν^(ψΖ)φ) Ζ) (3*ψΖ)φ)).
3 η))),
=5 Л))),
Здесь φ, ψ, η обозначают произвольные формулы языка
Ω, так что каждая из строчек 1—15 представляет
собой аксиомную схему, порождающую конкретную
аксиому исчисления при конкретном выборе формул φ,
ψ, η. Далее, в схемах 14 и 15 предполагается, что χ —
не параметр формулы φ; в схемах 12 и 13 через φ(ζ|£)
обозначен результат одновременного замещения всех
свободных вхождений переменной χ в φ на терм t
& 19 Математическая энц., т. 4

579 ПРЕДКОМПАКТНОЕ
(причем если t оказался на месте χ в части формулы φ,
имеющей вид 3#ψ или Чух, где у входит в t, то следует
дополнительно заменить все связанные вхождения у в
эту часть на переменную, не входящую в φ; это
делается для того, чтобы не допустить искажения смысла φ
при замене χ на t; такое искажение смысла наз.
коллизией переменных).
Далее, П. и. содержит два правила вывода: 1) если
выведены формулы вида φ и (ςοψ), то разрешается
вывести формулу ψ (правило модус поненс) и 2) если
выведена формула φ и χ — переменная, то разрешается
вывести формулу \/ζφ (правило обобщения).
Истолкование логич. связок в П. и. такое же, как
И в высказываний исчислении. Что касается
истолкования кванторов, то они в классическом П. и.
трактуются с использованием актуальной бесконечности. Если
задать интерпретацию языка, то каждая формула без
параметров получает значение «истина» или «ложь».
Формула наз. классически
общезначимой, если она в любой интерпретации и при любом
приписывании значений параметрам принимает
значение «истина». В силу Гёделя теоремы о полноте в
классическом П. и. выводимы все классически
общезначимые формулы и только они. Эта теорема
представляет собой точное выражение идеи формализации
классич. логики: в классическом П. и. выводятся все
логич. законы, общие для всех моделей.
Интуиционистское исчисление
предикатов отличается от классического тем,
что из числа аксиомных схем исключается схема 11.
Различие двух исчислений отражает различное
понимание логич. связок и кванторов. В последнем
исчислении это понимание трактуется в рамках
интуиционизма. Вопрос о полноте интуиционистского П. и.
оказывается значительно сложнее и допускает
различные решения в зависимости от деталей
интуиционистской семантики, но и здесь может быть развита весьма
содержательная теория моделей, аналогичная классич.
моделей теории (см. Крипке модели, Реализуемость).
Употребляются и другие формулировки П. и., среди
к-рых с точки зрения доказательств теории наиболее
важны исчисления натурального вывода (см.
Естественный логический вывод) и секвенций исчисление.
П. и. является обычным базисом для построения
логич. исчислений, предназначенных для описания
фрагментов тех или иных конкретных математич. теорий.
Напр., если мы стремимся описать нек-рый класс
истинных суждений теории множеств, то можно построить
логич. исчисление в языке теории множеств, в к-ром,
кроме аксиом и правил вывода классического П. и.
(логич. постулатов), будут фигурировать дополнительные
нелогические аксиомы, описывающие
свойства множеств. Примером типичной нелогич. аксиомы
в теории множеств является выбора аксиома.
П. и. иногда наз. узким исчислением
предикатов, исчислением
предикатов 1-го порядка, функциональным
исчислением 1-го порядка, в отличие
от исчислений, содержащих кванторы по предикатам и
соответствующие аксиомы свертывания, утверждающие
существование соответствующих предикатов. Такого
рода исчисления, уже не носящие чисто логич.
характера, часто наз. П. и. высшего порядка.
Примером такого исчисления может служить типов теория.
Помимо классического и интуиционистского П. и.,
имеются и другие логич. системы, описывающие логич.
законы, к-рые могут быть выражены иными логич.
средствами или с иных методологич. позиций. Сюда
относятся П. и. модальной, индуктивной логики и др.
Лит.: [1] Гильберт Д., Бернайс П., Основания
математики. Логические исчисления и формализация
арифметики, пер. с нем., 2 изд., М., 1982; [2] К л и н и С. К., Введение
в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [3] Новиков П. С.,
ПРОСТРАНСТВО 580
Элементы математической логики, 2изд.,М., 1973; [4] Таке-
ути Г., Теория доказательств, пер. с англ., М., 1978.
А. Г. Дразалин.
ПРЕДКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО, виол
не ограниченное пространство,—
равномерное пространство X, для всякого окружения
U к-рого существует конечное покрытие X множествами
порядка U. Другими словами, для каждого окружения
UczX должно найтись такое конечное множество
FczX, что XczU(F). Равномерное пространство
компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть в X
обладает подсетью Коши. Поэтому для того чтобы X
было П. и., достаточно, чтобы нек-рое пополнение
пространства X было компактным, и необходимо, чтобы
каждое пополнение его было компактным.
М. И. Войцеховский.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ — простейшее выражение языка,
представляющее собой такое соединение слов, к-рое
имеет самостоятельный смысл, т. е. выражает
законченную мысль. В формализованных языках П. наз.
формулы, не содержащие свободных переменных, т. е.
параметров. П. в формализованных языках наз. также
замкнутыми формулами. Напр., в языке
1-го порядка (языке узкого исчисления предикатов)
формулы
Vx Vi/3z (я< ζ&ζ<ι/), 3ζ(1<ζ&ζ<4), 1< 2
являются замкнутыми (первая ложная, а вторая и
третья — истинные в области натуральных чисел).
Формулы
3z (х *^ z&z*^ у), ζ<:1
не являются замкнутыми, т. к. содержат параметры
(χ η у — в первой иг — во второй).
Лит.: [1] Чёрч Α., Введение в математическую логику,
цер. с англ., М., i960. В. Н. Гришин.
ПРЕДМЕРА — конечно аддитивная мера с
действительными или комплексными значениями на нек-ром
пространстве Ω, обладающая свойством: она определена
на алгебре Si подмножеств Ω, к-рая имеет вид 5ί=
= U 93а > где 93 а — семейство σ-алгебр пространства
а€ А
Ω, помеченных элементами нек-рого частичного
упорядоченного множества А так, что 93atc:93a2 при αλ<α2,
и сужение этой меры на любую σ-алгебр у 93 а счетно
аддитивно. Напр., если Ω — хаусдорфово топологич.
пространство, А — совокупность всех компактов,
упорядоченных по вложению, 93α > αζ^4, есть σ-алгебра
борелевских подмножеств компакта α и С0 (Ω) —
пространство всех непрерывных функций на Ω с
компактными носителями, то всякий линейный функционал
на CQ(Q), непрерывный относительно топологии
равномерной сходимости в C0(Q), порождает П. на алгебре
Я = U «а.
осе А
Пусть Ω — линейное локально выпуклое
пространство, А — совокупность конечномерных подпространств
сопряженного пространства Ω', упорядоченных по
вложению, 93α, а£ А,— наименьшая σ-алгебра,
относительно которой измерим любой линейный функционал
φ ξ α. Множества из алгебры 5Ϊ = (J 93а наз. ц и л и н-
ае А
дрическими множествами, а любая П. на
I -цилиндрической мерой (или к в а-
з и м е ρ о й). Любой положительно определенный
функционал на пространстве Ω', непрерывный на любом
конечномерном подпространстве α<ζ:Ω, является харак-
теристич. функционалом (преобразованием Фурье)
нек-рой конечной неотрицательной П. на Ω.
Лит.: [1] Б у ρ б а к и Н., Интегрирование. Меры на
локально компактных пространствах. Продолжение меры.
Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах, пер. с франц.,
Μ , 1977. Р. А. Минлос.
ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ, универсу м,—
термин теории моделей, обозначающий область изменения

581 представил
(пробегания) предметных переменных данного
формального языка. В качестве формальных языков берутся
языки узкого исчисления предикатов. Каждый такой
язык полностью описывается множеством
£ = {Р0, ..., Рп, ..., F0, ..., Fmi ...},
где Р0, . . ., Рп, . . . — предикатные символы, а^0,.. .,
Fm, ... — функциональные символы, для каждого из
к-рых указано число его аргументных мест. Модель ЭД1
(или алгебраич. система) для L задается непустым
множеством Μ и интерпретирующей функцией /,
определенной на L и сопоставляющей л-местному
предикатному символу /i-местный предикат, т. е. подмножество
декартовой степени Мп множества М, а л-местному
функциональному символу — /г-местную функцию
Мп-+М. Множество Μ наз. П. о. (или универсумом)
модели ЭДЬ
Лит.: [1] К лин и С. К., Математическая логика, пер.
с англ., М., 1973; [2] К ей ел ер Г., Чэн Ч. Ч., Теория
моделей, пер. с англ., М., 1977; [3] Ершов Ю. Л., Π а-
лютин Ε. Α., Математическая логика, М., 1979.
В. Н. Гришин.
ПРЕДМЕТНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ — то же, что
индивидная переменная. См. также Предикатов исчисление.
ПРЕДМЕТНЫЙ ЯЗЫК — язык, являющийся
предметом изучения. При формализации какой-либо
содержательной теории различают два языка. Один — это
язык формализуемой теории, или П. я., задаваемый
правилами построения выражений П. я. и
семантическими правилами, определяющими, что обозначают его
выражения или какие они выражают суждения.
Другой — это язык, на к-ром формулируются упомянутые
выше синтаксические и семантич. правила. Этот язык
наз. метаязыком. Обычно метаязык не формализуется.
Однако и его можно формализовать, и тогда он станет
П. я., для изучения к-рого требуется новый метаязык.
Лит.: [1] К лин и С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957. В. Н. Гришин.
ПРЕДНОРМА — то же, что полунорма.
ПРЕДПОРЯДОК, квазипорядок, пред-
упорядоченность,
квазиупорядоченность, — рефлексивное и транзитивное
бинарное отношение на множестве. Если ^ есть П. на
множестве М, то отношение a~b<->a^b и Ь^а, а, Ь£М,
является отношением эквивалентности на М. При
этом П. ^ индуцирует порядок на фактормножестве
М/~. Т. С. Фофанова.
ПРЕДПУЧОК на топологическом пространстве X
со значениями в нек-рой категории &С (напр., категории
множеств, групп, модулей, колец, . . .) — контрава-
риантный функтор F из категории открытых множеств
пространства X и их естественных отображений
включения в категорию &С. В зависимости от &С предпучок F
наз. π ρ е д π у ч к о м множеств, групп,
модулей, колец,... . Отвечающие включениям VdU
морфизмы F (U)-+F (V) наз. гомоморфизмами
ограничения.
Всякий П. определяет на X пучок (см. Пучков теория).
Ε Г. Скляренко.
ПРЕДСКАЗУЕМАЯ σ-АЛГЕБРА — наименьшая
σ-алгебра 5*=5^) множеств из
Ωχ#+={(ω, Ο-ωζΩ, ί^Ο},
порожденная всеми отображениями (ω, *)->-/(ω, t)
множества ΩΧ# + в R, к-рые (для каждого фиксированного
ωζΩ) являются (по t) непрерывными слева и F-согла-
сованными с неубывающим семейством ^=(<Ft)i>o
под-о-алгебр ψ^ψ, ί>0, где (Ω, JF) — измеримое
пространство. П. σ-a. порождается также любой из
совокупностей множеств:
1) А X {0}, где Α ζόίο, и [θ, т]|, где τ — марковские
моменты, а [[0, τ]] — стохастич. интервалы;
2) 4Х{0}, где Л£<Г0, и AX(s, *], где s<t и A£frs.
[й функтор 582
Между опциональными алгебрами и П. σ-a. имеет
место соотношение 540=6(0·
Лит.: [1] Деллашери К., Емкости и случайные
процессы, пер. с франц., М.. 1975. АН Ширяев
ПРЕДСКАЗУЕМЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС —
стохастический процесс X—(Xf((a), ^), являющийся
измеримым (как отображение (ω, t)->X (ω, t)=Xt (ω))
относительно предсказуемой о-алгебры $*=1Р(¥).
А. Н. Ширяев.
ПРЕДСТАВИМОСТИ МАТРИЦ ПРОБЛЕМА —
проблема, заключающаяся в том, чтобы выяснить,
можно ли указать такой единый общий метод (алгоритм),
к-рый по произвольной системе С/, С/1? . . ., 17 q
целочисленных матриц позволял бы за конечное число шагов
ответить на вопрос, представима ли матрица U через
остальные матрицы 17ц . . ., 17 а с помощью операции
умножения. Наибольший интерес представляет
случай, когда матрицы 17, 171, . . ., Uq являются
квадратными и имеют один и тот же порядок. Так
сформулированная П. м. п. наз. общей. Фиксируя матрицы
Ult . . ., Uq и оставляя матрицу 17 переменной,
получают т. н. ч а с т н ы е П. м. п. Алгоритм, решающий
общую П. м. п., решал бы и все частные проблемы, так
что для установления неразрешимости общей П. м. п.
достаточно указать хотя бы одну неразрешимую
частную П. м. п.
П. м. п.— одна из первых алгоритмических проблем
алгебраич. характера, неразрешимость к-рых была
установлена. Первоначально А. А. Марковым было
показано (см. [1], [2]), что для любого д>6 может быть
построена система, состоящая из 91 матрицы порядка
и, такая, что соответствующая ей частная П. м. п.
будет неразрешимой, т. е. будет невозможен алгоритм
(понимаемый в точном смысле этого слова),
распознающий по произвольной матрице порядка п, представима
ли она через матрицы данной системы. В дальнейшем
(см. [3]) число матриц в системе было уменьшено до 23
и было показано, что за счет надлежащего усложнения
конструкции системы (включая увеличение числа
членов) условие л^б может быть ослаблено до д^4. Для
любого п^То строится конкретная система, состоящая
из 12 матриц порядка п, с неразрешимой частной
П.м.п. (см. [4]). Путем подходящей фиксации V и
варьирования 171, . . ., Uq доказана неразрешимость
общей П. м. п. для п=3 (см. [5]).
Лит.: [1] Марков Α. Α., «Докл. АН СССР», 1951, т. 78,
№ 6, с. 1089—92; [2] его же, Теория алгорифмов, М.— Л.,
1954 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 42); [3] его же, «Z. math.
Logik und Grundl. Math.», 1958, Bd 4, S. 157—68; [4]
Нагорный Η. Μ., «VI Всесоюзн. конференция по матем.
логике», Тб., 1982, с 124; [5] Paterson M.S., «Studies in
appl. math.», 1970, v. 49, № 1, p. 105—07. Я. M. Нагорный.
ПРЕДСТАВИМЫЙ ФУНКТОР — ковариантный
(или контравариантный) функтор F из нек-рой
категории й в категорию множеств ©, изоморфный одному
из основных теоретико-множественных функторов:
НА(Х) = Н (А, X): Я^в.
Функтор F : Я-*^> представим тогда и только
тогда, когда найдутся такие объект А^ОЪй и элемент
a£F(A), что для каждого элемента χ ζ F (X), Х£ОЬЯ,
существует единственный морфизм α : Л-кХ, для к-рого
x=aF(a). Объект А называется
представляющим функтора; он определен однозначно с
точностью до изоморфизма.
В категории множеств тождественный функтор
представим: представляющим объектом служит
одноточечное множество. Функтор взятия нек-рой декартовой
степени также представим: представляющим объектом
служит множество, мощность к-рого равна этой степени.
В произвольной категории произведение П. ф. F( с
представляющими объектами Л,·, ίζ/, представимо
тогда и только тогда, когда в этой категории существует
копроизведение объектов Α ι Всякий ковариантный
П. ф. перестановочен с пределами, т. е. непрерывен.
19*

583 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
П. ф.— аналог понятия «свободная универсальная
584
алгебра с одним образующим». Для любого функтора
G : $->·<£ и П. ф. F множество естественных
преобразований Nat(^, G) изоморфно множеству G(A), где
А — представляющий объект. Это показывает, что
П. ф. являются свободными объектами категории
функторов.
Для аддитивных категорий вместо функторов со
значениями в (5> рассматриваются аддитивные функторы
со значениями в категории абелевых групп; поэтому
под П. ф. понимается аддитивный функтор,
изоморфный основному аддитивному функтору.
Понятие Π φ. первоначально возникло в алгебраич.
геометрии (см [2]). Наиболее важными примерами
П. ф. здесь являются функторы Пикара Pic XIS и
Гильберта Hilb XlS, представимые в категории
алгебраических пространств (см. [1]). Пусть К — поле
частных регулярного дискретного нормированного
кольца О с совершенным полем вычетов. Если Х0—
гладкая геометрически неприводимая собственная кривая
рода g>0 над К, то ее минимальная модель представляет
функтор У н· lsomK(Y (g)0 К, Х0) из категории
регулярных 0-схем. Если А — абелево многообразие над
К j то его минимальная Нерона модель является
гладкой групповой схемой X —► Spec О, представляющей
функтор У н> Нот к (У® о к> А) из категории гладких
О-схем.
Лит.: [1] А р тин М., «Математика», 1970, т. 14, № 4,
с. 3—39; [2] Гротендик Α., Дьёдонне Ж., «Успехи
матем. наук», 1972, т. 27, в. 2, с. 135—48.
С. Г. Танпеев, М. Ш. Цаленко.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ в
векторном пространстве V — гомоморфизм ρ
алгебры Ли L над полем к в алгебру Ли gl(F) всех
линейных преобразований пространства V над к.
Два представления рх : £-HJl(Fi) и р2 : £->*з1(Г2)
наз. эквивалентными (или изоморфны-
м и), если существует изоморфизм α: V1-^V2, для к-рого
α(ρι(0^ι) = Ρ2(0α(ι;ι)
при любых l£L, v1£V1. Представление ρ в V наз.
конечномерным, если dim F<oo, и
неприводимым, если в Уне существует отличных от нуля
и всего пространства подпространств, инвариантных
относительно всех операторов p(Z), l£L.
При заданных представлениях p1:L^^^\(V1) и
р2 : L-+$\{V2) можно построить представления Pi0p2
(прямая сумма) и Ρι®ρ2 (тензорное произведение)
алгебры L в пространствах V1Q)V2 и Ух®У2, полагая
(Р10Р2)(О(^1» v*) = {Pi(l)vi, РгМ^)*
(Pi ® Рг) (0 ^ι® *>2 = Pi(l)vi®V2 + Vi® Рг (0 v2
для νχζνΛ, ν2ζ V2, l£L. Если р — представление
алгебры Ли Ζ/ в пространстве V, то формула
< р* (I) и, v>= — <u, p(l)v>
определяет представление р* алгебры L на сопряженном
к V пространстве, наз. контраградиентным
по отношению к р.
Каждое П. а. Ли L однозначно продолжается до
представления универсальной обертывающей алгебры
U (L); тем самым устанавливается изоморфизм
категории П. а. Ли L и категории модулей над U (L). В
частности, представлению ρ алгебры L соответствует идеал
кег ρ в U (L) — ядро его продолжения р. Если
представление ρ неприводимо, то идеал кег ρ примитивен.
Обратно, всякий примитивный идеал в U (L) строится
таким способом по нек-рому (вообще говоря, не
единственному) неприводимому представлению ρ алгебры L.
Изучение пространства примитивных идеалов Primf/(L),
снабженного топологией Джекобсона, является
существенной частью теории П. а. Ли. Оно проведено
полностью в случае, когда L — конечномерная
разрешимая алгебра Ли, а к —алгебраически замкнутое
поле характеристики нуль (см. [2]).
Наиболее полно изучены конечномерные
представления конечномерных алгебр Ли над алгебраически
замкнутым полем характеристики нуль. В случае полей
С и R эти представления находятся во взаимно
однозначном соответствии с аналитическими конечномерными
представлениями соответствующих односвязных
(комплексных или вещественных) групп Ли. В этой
ситуации любое представление разрешимой алгебры Ли
содержит одномерное инвариантное подпространство
(см. Ли теорема). Любое представление полупростой
алгебры Ли вполне приводимо, т. е. изоморфно
прямой сумме неприводимых представлений. Неприводимые
представления полупростой алгебры Ли L полностью
классифицированы: классы изоморфных
представлений взаимно однозначно соответствуют
доминантным весам, т.е. весам с неотрицательными
числовыми отметками, из сопряженного пространства Н*
к подалгебре Картана Η алгебры L (см. Картана
теорема о старшем векторе). Об описании строения
неприводимого представления по соответствующему ему
доминантному весу (его старшему весу) см. в статьях
Кратность веса, Характеров формула.
Произвольный (не являющийся, вообще говоря,
доминантным весом) элемент λ ζ Я* также определяет
нек-рое неприводимое линейное представление полу
простой алгебры Ли L со старшим весом λ, являющееся,
однако, бесконечномерным (см. Представление со
старшим вектором). Соответствующие £/(£)-модули наз.
модулями Верма (см. [2]). Полной
классификации неприводимых бесконечномерных
представлений полупростых алгебр Ли пока (1983) не получено.
Если к — алгебраически замкнутое поле
характеристики р>0, то неприводимые представления
конечномерной алгебры Ли L всегда конечномерны и их
размерность ограничена константой, зависящей от п~
= dim L. Если алгебра L имеет р-структуру, то эта
константа есть р^п~г^/2, где г — минимальная
возможная размерность аннулятора линейной формы на L
в коприсоединенном представлении [4]. Для описания
множества неприводимых представлений в этом случае
применяется следующая конструкция. Пусть Z(L) —
центр алгебры U (L) и Μι— аффинное алгебраич.
многообразие (размерность dim Μι=η), алгебра
регулярных функций на к-ром совпадает с Ζ (L) (м н о-
гообразие Цассенхауза). Отображение
рН> ker(p/Z(L)) позволяет сопоставить каждому
неприводимому представлению точку многообразия
Цассенхауза. Получаемое отображение сюръективно,
прообраз любой точки из Μι конечен, а для точек открытого
всюду плотного подмножества этот прообраз состоит
из одного элемента [7]. Полное описание всех
неприводимых представлений имеется для нильпотентных
алгебр Ли (см. [8]) и нек-рых отдельных примеров
[см. [9], [10]). Получены также разнообразные
результаты относительно специальных типов представлений.
Лит.: [1] Б у ρ б а к и Н., Группы и алгебры Ли, пер.
с франц., М., 1976—78; [2] Д и к с м ь е Ж., Универсальные
обертывающие алгебры, пер. с франц., М., 1978; [3] Джекоб-
сон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [4] Μ и л ь н е ρ
Α. Α., «Функциональный анализ и его приложения», 1980, т. 14,
№ 2, с. 67—68; [5] С е ρ ρ Ж. - П., Алгебры Ли и группы Ли,
пер. с англ. и франц., М., 1969; [6] Теория алгебр Ли.
Топология групп Ли, пер. с франц., М., 1962; [7] Zassenhaus Η.,
«Ргос. Glasgow Math. Assoc», 1954, v. 2, p. 1—36; [8] В е й c-
ф е й л e ρ Б. Ю., К а ц В. Г., «Функциональный анализ и
его приложения», 1971, т. 5, № 2, с. 28—36; [9] J a n t z e n
J. С, «Math. Ζ.», 1974, Bd 140, Η. 1, S. 127—49; [10]
Рудаков Α. Η., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1970, т. 34, №4,
с 735—43. А. Н. Рудаков.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АССОЦИАТИВНОЙ
АЛГЕБРЫ размерности η — гомоморфизм алгебры А
над полем F в алгебру матриц Mn(F), т. е. сопостав-

585
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПАКТНОЙ ГРУППЫ
586
лвние каждому α ζ А квадратной матрицы Τ (а)
порядка п, при к-ром
Τ (U + μ&) = λΓ(α) + μ7 (b) и Τ (ab) = Τ (α) Τ (b),
где a, b£A, λ, μ£^. Обычно требуется также, чтобы
единице алгебры А соответствовала единичная
матрица; иногда требуется, чтобы и сама алгебра А была
конечномерной.
Всякое неразложимое представление полупростой
алгебры эквивалентно прямому слагаемому регулярного
представления. Таким образом, всякая полупростая
алгебра является алгеброй конечного (пред-
ставленческого) типа, т.е. имеет конечное
число неизоморфных неразложимых представлений.
Неполупростые алгебры могут быть как конечного, так
и бесконечного представленческо-
го типа (такова, напр., А= {1, г, s\r2=s2=rs=sr=0}).
Алгебры бесконечного типа принято делить еще на а л-
гебры дикого типа, задача классификации
к-рых содержит в себе классич. нерешенную задачу
о паре матриц (т.е. задачу об одновременном
приведении к канонич. форме двух линейных
операторов в конечномерном пространстве), и алгебры
ручного типа.
Основными вопросами, изучаемыми в теории П. а. а.,
являются получение необходимых и достаточных
условий, при к-рых алгебра принадлежит одному из
перечисленных типов, и классификация неразложимых
представлений в конечном и ручном случаях. В общем
случае эти задачи не решены. Описание алгебр конечного
и ручного типа и их представлений получено для
алгебр, у к-рых квадрат радикала равен нулю (см. [2],
[4], [8]—[10]). Решены проблемы Брауэра—
Τ ρ э л л а, т. е. доказано, что над любым полем
алгебра бесконечного типа имеет неразложимые
представления сколь угодно большой размерности, а над
совершенным полем имеется бесконечно много
размерностей, в каждой из к-рых имеется бесконечно много
неразложимых представлений (см. [5], [7]). Любая
алгебра конечного типа над алгебраически замкнутым
полем имеет мультипликативный базис, т. е. базис, у
к-рого произведение любых двух его элементов либо
равно нулю, либо принадлежит этому базису [6].
Полностью решен вопрос о разделении групповых алгебр
на ручные и дикие [1].
С П. а. а. тесно связаны представления нек-рых
других объектов: колчанов, частично упорядоченных
множеств, решеток, боксов.
Лит.: [1] Б о н д а р е н к о В. М., Дрозд Ю. Α.,
«Записки научных семинаров ЛОМИ», 1977, т. 71, с. 24—41; [2]
Кругляк С. Α., там же, 1972, т. 28, с. 60—69; [3] К э ρ τ и с
Ч., Ρ а й н е ρ И., Теория представлений конечных групп и
ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [4]
Назарова Л. Α., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1973, т. 37, №4, с.
752—91; [5] Назарова Л. Α., Ρ о й τ е ρ А. В., Категор-
ные матричные задачи и проблема Брауэра — Трэлла, К., 1973;
[6] Ρ о й τ е ρ А. В., Обобщение теоремы Бонгартца, К., 1981;
[7] его же, «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1968, т. 32, с. 1275—
1282; [8] D 1 a b V., RingelC, Indecomposable
representations of graphs and algebras, Prowidence, 1976; [9] Don o-
vanP., Freislich M. R., The representation theory of
finite graphs and associated algebras, [s. 1., 1974]; [10]
Gabriel P., «Manus. Math.», 1972, v. 6, № l, p. 71 — 103.
А. В. Ройтер.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ГРУППЫ -
гомоморфизм бесконечной группы в группу взаимно
однозначных отображений на себя (вообще говоря,
бесконечных) множеств. Чаще всего рассматриваются
П. б. г. автоморфизмами алгебраич. структур; в этом
случае теория П. б. г. связана с теорией
представлений связанных с этими группами групповых алгебр.
Лит.: [1] Кириллов Α. Α., Элементы теории
представлений, 2 изд., М., 1978; [2] Плоткин Б. И., Группы
автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966 А И Штерн.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БИКОМПАКТНОЙ ГРУППЫ —
непрерывное представление бикомпактной топологич.
группы в топологическое векторное пространство. См.
Компактная группа. А. И. Штерн.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ — гомоморфизм
группы в группу всех обратимых преобразований нек-рого
множества V. Представление ρ группы G наз. л и-
н е й н ы м, если V является векторным
пространством над нек-рым полем к, а преобразования p(g),
#ζ£,— линейными преобразованиями. Часто линейные
представления называют для краткости просто
представлениями (см. Представлений теория). В
теории представлений абстрактных групп наиболее
разработанным разделом является теория конечномерных
представлений конечных групп (см. Конечной группы
представление, Представление симметрической группы).
Если G — топологич. группа, то рассматриваются
непрерывные линейные представления группы G в
топологическом векторном пространстве V (см.
Непрерывное представление, Представление топологической
группы). Если G — группа Ли, а У — конечномерное
пространство над R или С, то непрерывное линейное
представление автоматически является вещественно
аналитическим. Аналитические и дифференцируемые
представления группы Ли можно определить и в
бесконечномерном случае (см. Аналитическое
представление, Бесконечномерное представление). Всякому
дифференцируемому представлению ρ группы Ли 6
соответствует нек-рое линейное представление ее алгебры
Ли — дифференциал представления р. Если G —
связная группа Ли, то ее конечномерные представления
полностью определяются своими дифференциалами.
Наиболее разработанные разделы теории представлений
топологич. групп — это теория конечномерных
линейных представлений полупростых групп Ли, к-рая
часто формулируется на языке алгебр Ли (см.
Конечномерное представление, Представления классических
групп, Картана теорема о старшем векторе), теория
представлений компактных групп, теория унитарных
представлений.
Для алгебраич. групп имеется теория рациональных
представлений, во многом аналогичная теории
конечномерных представлений групп Ли.
Лит.: [1] Шел о бе нк о Д. П., Компактные группы
Ли и их представления, М., 1970; [2] Кириллов Α. Α.,
Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [3] Η а й-
м а р к Μ. Α., Теория представлений групп, М., 1976; [4]
Желобенко Д. П., Штерн А. И., Представления групп
Ли, М., 1981. А. Л. Онищип.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПАКТНОЙ ГРУППЫ —
гомоморфизм компактной группы в группу непрерывных
линейных автоморфизмов (комплексного) банахова
пространства, непрерывный в сильной операторной
топологии.
Пусть G — компактная группа, V — банахово
пространство и φ : G-+GL (V) — представление. Если V—
= Н — гильбертово пространство, а φ (g) —
унитарный оператор для любого g£G, то φ наз. унитарным
представлением. В Η всегда существует
эквивалентная норма, относительно к-рой данное представление φ
унитарно.
Всякое неприводимое унитарное представление
группы G конечномерно. Пусть {ρα,αζ/} — семейство
всевозможных попарно неэквивалентных унитарных
неприводимых представлений группы G. Всякое унитарное
представление φ группы G является ортогональной
прямой суммой таких однозначно определенных
представлений φα, α ζ/, что каждое φα является
ортогональной прямой суммой нек-рого семейства
представлений, эквивалентных ра.
Если G конечна, то семейство {ра} тоже конечно и
содержит столько элементов, сколько имеется в G
различных классов сопряженных элементов (при этом
2a6/(dim pa)2=|G|). Задача исследования этих
представлений (вычисления их характеров, нахождения

587 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
явной реализации и т. п.) составляет предмет обширной
теории (см. Конечной группы представление).
Если G — связная односвязная компактная группа
Ли, a Gq— ее комплексификация (см. К омплексифика-
ция группы Ли), то описание семейства {ρα, αζ/} для G
сводится (посредством сужения представлений на G)
к описанию семейства всех неприводимых попарно
неэквивалентных конечномерных рациональных
представлений редуктивной алгебраич. группы Gc.
Последнее же семейство, в свою очередь, допускает полное
описание с помощью рассмотрения старших весов (см.
Представление со старшим вектором).
В современной теории чисел и алгебраич. геометрии
рассматриваются Z-адические представления
компактных вполне несвязных групп (см. [5], [6]).
Лит.: El] Понтрягин Л. С, Непрерывные группы,
3 изд., М., 1973; [2] Η а й м а р к Μ. Α., Теория
представлений групп, М., 1976; [3] Ж е л о б е н к о Д. П.,
Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [4] Л е н г С.,
SLt(R), пер. с англ., М., 1977; [5] Г е л ь φ а н д И. М.,
Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И., Теория
представлений и автоморфные функции, М., 1966; [6] С е ρ ρ
Ж--П., Абелевы i-адические представления и эллиптические
кривые, пер. с англ., М., 1973; [7] Ш е в а л л е К., Теория
групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948. В. Л. Попов.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУГРУППЫ S в классе
полугрупп Ξ — гомоморфизм полугруппы S в
нек-рую полугруппу из класса S (в случае
изоморфизма говорят о точном представлении). Обычно имеются
в виду классы каких-либо конкретных полугрупп.
Наиболее изучены представления в классе полугрупп
преобразований (короче — представления
преобразованиями), в классах полугрупп частичных
преобразований и бинарных отношений, в классе полугрупп
матриц (т. н. матричные, или линейные, П. п.). В теории
автоматов с каждым автоматом связано представление
свободной полугруппы преобразованиями множества
его внутренних состояний. Специальный характер
носят П. п. преобразованиями, связанными тем или иным
образом со свойствами элементов преобразуемого
множества, наделенного какой-либо структурой
(эндоморфизмами, непрерывными преобразованиями и т. п.).
Всякая полугруппа с единицей изоморфно представима
как полугруппа всех эндоморфизмов ориентированного
или неориентированного графа, как полугруппа всех
эндоморфизмов нек-рой алгебры с унарными
операциями и т. п. Известно (1983) несколько конструкций,
позволяющих получить все П. п. частичными
преобразованиями. Они строятся из нек-рых простейших П. п.
при помощи их объединения, кратного повторения,
ограничения на подмножестве и операции погружения
полугрупп.
Присоединив к полугруппе S единицу: S1=^S\J{[}
и продолжив регулярное П. п. S левыми сдвигами на
декартову степень Sx полугруппы S1, получают
представление φ/ — 7-кратное повторение регулярного П. п.
S. Всякое представление ψ полугруппы S
преобразованиями множества Ω может быть получено (см. [2])
из φ/ с помощью нек-рого отображения θ : б"7—>-Ω
так, что
ψα(θα) = θ(φ7α(α)), a£S, a£Si.
Особую роль играют транзитивные П. п., т. е. такие
ее представления φ преобразованиями множества Ω,
что для любых α, βζΩ найдется а, для которого
(φα)α=β.
П. п. взаимно однозначными частичными
преобразованиями связаны с понятием и свойствами инверсных
полугрупп.
При исследовании матричных П. п. привлекаются к
рассмотрению полугрупповые алгебры. Изучается вопрос
о приводимости матричных П. п. Найдены
неприводимые представления для ряда полугрупп (в том числе
и для конечных). Матричные представления вполне
полугруппы 588
простых и вполне 0-простых полугрупп могут быть
построены как продолжение представлений их подгрупп.
Матричные представления произвольных полугрупп
могут быть описаны при помощи представлений их
факторов, являющихся простыми и 0-простыми
полугруппами.
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1—2, М., 1972; [2]
Вагнер В. В., «Матем. сб.», 1956, т. 38, №2, с. 203—40;
13] Л я пин Е. С, там же, 1960, т. 52, № 1, с. 589—96; [4]
Ш а й н Б. М., там же, 1963, т. 60, № 3, с. 293—303; [5] Μ с-
А 1 i s t е г D. В., «Semigroup Forum», 1971, v. 2, № 3, p. 189—
263; № 4, p. 288—320; [6] Jonsson В., Topics in universal
algebra, В.—Ν. Υ., 1972. Л. М. Глускин, Е. С. Ляпин.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКОЙ
ГРУППЫ — линейное представление группы Sт над каким-
либо полем К. Если char K~0, то все конечномерные
П. с. г. вполне приводимы и определены над С (иначе
говоря, все неприводимые конечномерные
представления над С абсолютно неприводимы).
Неприводимые конечномерные представления группы
Sm над С классифицируются следующим образом.
Пусть d — какая-либо Юнга диаграмма, отвечающая
разбиению λ— (λ1? . . ., λΓ) числа т, Rd (соответственно
Cci) — подгруппа группы Sm, состоящая из всех
подстановок, переводящих каждое из чисел 1,2,..., т
в число, находящееся в той же строке (соответственно
столбце) диаграммы d. Тогда
Яй
<SKX...XSK
S.X...xSn
где λ' = (λι, . . ., k's) — разбиение числа т, сопряженное
к разбиению λ. Существует единственное неприводимое
представление Τχ : Sm-+GL(Ux) группы Sm
(зависящее только от λ) со следующими свойствами: 1) в
пространстве Ux имеется такой ненулевой вектор ud, что
Тх (g)ud=ud для любого g£Rd\ 2) в пространстве Ux
имеется такой ненулевой вектор ид, что Τχ (g)u'd=
= &(g)u>d для любого g£Cd, где e(g)=±i — четность
подстановки g. Представления, отвечающие различным
разбиениям, не эквивалентны, и ими исчерпываются
все неприводимые представления группы Sm над С.
Векторы ud и u'd определены однозначно с точностью
до умножения на число. Для всех диаграмм,
отвечающих разбиению λ, эти векторы нормируются таким
образом, что gud=ugd и gu'd—u'gd для любого g£S,n,
где gd обозначает диаграмму, получаемую из d
применением ко всем числам подстановки g. Векторы Ud
(соответственно ud), соответствующие стандартным
диаграммам d, образуют базис пространства Ux; в этом
базисе операторы представления Τχ записываются
целочисленными матрицами. Размерность представления Τχ
равна
dim7\ =
:/"*-'/>
П^
π
u\ />Ч/
где li=Xi-\-r—i (i—l, . . ., г), а произведение в
знаменателе второго выражения берется по всем клеткам
cij таблицы Юнга tx, причем λ,·/ обозначает длину
соответствующего крюка.
Разбиению (т) отвечает тривиальное одномерное
представление группы S,n, а разбиению (1, . . ., 1) —
нетривиальное одномерное представление ε (четность).
Разбиению λ', сопряженному к λ, отвечает
представление εΤχ. Пространство £/λ, канонич. образом (с
точностью до гомотетии) отождествляется с пространством
ϋχ так, что Tlf(g)=e(g)Tx (g) для любого g£Sm;
при этом можно считать, что u'd ~ud,, где d'—
диаграмма, получаемая из d транспонированием.

589 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СО
Построение полной системы неприводимых П. с. г.
производится с помощью Юнга симметризаторов,
позволяющих получить разложение регулярного
представления. Если d — диаграмма Юнга, отвечающая
разбиению λ, то представление Τ'я эквивалентно П. с. г.
Sm в левом идеале групповой алгебры* QSmi
порожденном симметризатором Юнга ed. Апостериорное
описание элемента ed состоит в следующем: Τ μ (ed)=0 при
μτ^λ, а Ti(ed) — оператор ранга 1, действующий по
формуле Т\ {ed)u~{ud,u)u'd для любого u£Ui, где
( , ) — подходящим образом нормированное
инвариантное скалярное умножение в пространстве U\. При
этом
Производящая функция для характеров
представлений Т% дается Фробениуса формулой. Однако для
вычисления отдельных значений характеров удобнее
пользоваться рекуррентными соотношениями.
Наиболее эффективным из них является правило Μ у р-
нагана — Накаямы: пусть а^=а{^ —
значение характера представления Τ χ на классе [μ]
сопряженных элементов группы Sm, определенном
разбиением μ числа т, и пусть разбиение μ содержит число
р. Через μ обозначается разбиение числа т—р,
получаемое из μ выбрасыванием числа р. Тогда
afc) = 2T(-l)iS>aLl-^)l
KV· λ ' λμ
где сумма берется по всем разбиениям λ числа т—р,
получаемым удалением косого крюка длины ρ из
таблицы Юнга t\ , a i (λ) обозначает высоту удаленного
косого крюка.
Имеется также метод (см. [5]), позволяющий найти
целиком таблицу характеров группы Sт, т. е. матрицу
Α— ΙΙαλμΙΙ· Пусть М\ есть П. с. г. Sт, индуцированное
тривиальным одномерным представлением подгруппы
Rx=Rd, где d — диаграмма Юнга, отвечающая
разбиению λ. И пусть Μλ = Σμ^λμΓμ, a Af= ||/7ΐλμ||. Если
считать, что строки и столбцы матрицы Μ
расположены в порядке лексикографич. убывания индексов
(разбиений), то это будет нижняя треугольная матрица с
единицами на диагонали. Значение характера
представления М\ на классе [μ] равно
*λμ- |Ηλ| ■
где сц — порядок централизатора подстановки из
класса [μ]. Матрица В— ΙΙδχμΙΙ является верхней
треугольной, и имеет место соотношение ММ*—ВС-гВТ, где
C=diag(^), из к-рого однозначно определяется
матрица М. После этого матрица А находится по формуле
А = М~1В.
Ограничение представления Τχ группы Sm на
подгруппу S m _ 1 находится по правилу ветвления:
Τχ\ Sm-l= ΣίΤ(λι, ...,λ.-l λΓ)'
где суммирование распространяется на те £, для к-рых
λί·>λ,· + 1 (включая г). Ограничение представления Τ χ на
подгруппу Am при λτ=λ' абсолютно неприводимо, а
при λ=λ' распадается над квадратичным расширением
поля Q в сумму двух неэквивалентных абсолютно
неприводимых представлений одинаковой размерности.
Получаемые таким образом представления группы A m
исчерпывают все ее неприводимые представления над С.
О П. с. г. в тензорах см. в ст. Представления
классических групп.
ГАРШИМ ВЕКТОРОМ 590
Разработана также теория модулярных П. с. г. (см,,
напр., [5]).
Лит.: [1] Вей ль Г., Классические группы, их
инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [2] Μ у ρ н а-
г а н Ф. Д., Теория представлений групп, пер. с англ., М.,
1950; [3] Хамермеш М., Теория групп и ее применение
к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966; [4] К э ρ τ и с
Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и
ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [5] Д ж е й м с Г.,
Теория представлений симметрических групп, пер. с англ.,
М., 1982. Э. Б. Винберг.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СО СТАРШИМ ВЕКТОРОМ —
линейное представление ρ конечномерной полупростой
расщепляемой алгебры Ли д над полем к
характеристики нуль с расщепляющей Картана подалгеброй t,
удовлетворяющее следующим условиям.
1) В пространстве V представления ρ существует
циклический вектор ν (т. е. V —
наименьшее д-инвариантное подпространство, содержащее ν).
2) 'p(h)(v)=K(h)v для всех ugt, где λ —
некоторая фиксированная линейная форма на t со
значениями в к.
3) Если а1? . , ., аг— система простых корней,
определенная нек-рым лексикографич. упорядочением
множества Δ всех корней алгебры д относительно t
(см. Корневая система), а еа , ta.» ha,
—соответствующие корню ο&ί векторы из базиса Шевалле алгебры
д, г=1, . . ., г, то ρ(βα)(ν)=0 для всех £=1, . . ., г.
Таким образом, λ является весом относительно
сужения ρ на t (см. Вес представления); он наз.
старшим весом. Пространство V наз.
циклическим д-м одулем со старшим весом λ
и образующей v, a v наз. старшим
вектором.
Для всякой линейной формы λ на t существует
единственное с точностью до эквивалентности
неприводимое представление ря алгебры д со старшим весом
λ. д-модуль ^(λ), определяемый ря, является прямой
суммой весовых подпространств относительно сужения
ρλ на t. Их веса имеют вид
λ-2;=1^·αζ.,
где и,— целые неотрицательные числа. Весовое
подпространство νμ (λ) веса μ конечномерно,
натягивается над к на векторы вида
(Рх(Ч)р*(Ч)-^(Ч))С)'
и для любого h£t ограничение ρλ(Λ) на ^„(λ)
является скалярным оператором умножения на μ (h).
Пространство Υ\ (λ) одномерно; вес λ является
единственным старшим весом представления ρλ и может быть
охарактеризован как единственный вес t-модуля V (к)
такой, что любой другой вес имеет вид
λ-Σ;= ,*,·«,,
где /г;— целые неотрицательные числа.
Представление ρλ конечномерно тогда и только тогда,
когда λ — доминантная линейная
форма на t, то есть λ (h ) — целое неотрицательное
i
число для всех £=1, . . ., г. Всякое неприводимое
конечномерное линейное представление алгебры д имеет
вид ρ я Для нек-рой доминантной линейной формы λ
на t (так что все такие представления
классифицируются с точностью до эквивалентности доминантными
линейными формами на t). Множество всех весов
конечномерного представления ρ я относительно t
инвариантно относительно Вейля группы алгебры д
(рассматриваемой как группа линейных преобразований
пространства t), и если веса μ и γ лежат в одной орбите
группы Вейля, то размерности пространств 7μ (λ) и
Vy (λ) совпадают. Для всякого веса μ и всякого корня

591
αζ Δ число μ(&α) — целое; если при этом μ+α — тоже
вес, то
Ρ (еа) (Γμ (λ)) φ О
(здесь ha — элемент из {, соответствующий a, a ea—
корневой вектор корня а).
Лит.: [1] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, пер. с англ.,
М., 1964; [2] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли.
Семинар «Софус Ли», пер. с франц., М., 1962; [3] Желобенко
Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;
[4] С art а η Ε., «Bull. sci. math.», 1925, t. 49, p. 130—52;
[5] Harish-Chandra, «Trans. Amer. Math. Soc», 1951,
v. 70, p. 28—96. В. Л. Попов.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ГРУППЫ—
непрерывное отображение группы G в топологич.
группу гомеоморфизмов нек-рого топологич. пространства.
Чаще всего под П. т. г. G понимается линейное
представление, более того — такое линейное представление π
топологич. группы G в топологич. векторном
пространстве (т. в. п.) Е, что вектор-функция g-*-n(g)x, g£G,
определяет при любом χζΕ непрерывное отображение
группы G в пространство Е. В частности, всякое
непрерывное представление группы G является П. т.г. G.
Теория П. т. г. тесно связана с теорией
представлений различных топологических групповых алгебр.
Среди них важнейшей является банахова
симметричная алгебра мер Μ (G) группы G (алгебра всех
регулярных борелевских мер на G с конечной полной вариацией,
в к-рой умножение определяется как свертка). Часто
используется также топологическая алгебра С (G)
всех регулярных борелевских мер на G с конечной
полной вариацией и с компактным носителем.
Умножение в С (G) определяется как свертка, а
инволюция μ—►μ*, μ ζ С (G), определяется формулой
\Gf(g)d\K*{g)=\GT(FT)d[i(g), f£C(G).
Топология алгебры С (G) согласуется с
двойственностью между этой алгеброй и алгеброй С (G) (всех
непрерывных функций на G), рассматриваемой в
компактно открытой топологии. Важную роль играют также
различные подалгебры алгебр Μ (G) и С (G). В
частности, если Ε — квазиполное бочечное или полное
локально выпуклое пространство (л. в. п.), а π —
непрерывное П. т. г. G в Е, то формула
*(μ) = 5σπ(*)<*μ(*), v£C {G),
определяет слабо непрерывный линейный оператор π (μ)
в Ε и соответствие μ->π(μ) есть представление алгебры
С (G) в пространстве Ε, однозначно определяющее
представление π топологич. группы. При этом П. т. г.—
(топологически) неприводимое представление, оператор-
но неприводимое представление, вполне неприводимое
представление, эквивалентно другому П. т. г. (и т. д.)
тогда и только тогда, когда соответствующее
представление алгебры С (G) обладает соответствующим
свойством.
Пусть π есть П. т. г. G в л. в. п. Е; пусть Е' —
сопряженное к Ε пространство. Функции на G вида #->►
->φ(π(#)ξ), ξζ£, наз. матричными
элементами представления π. Если Ε —
гильбертово пространство и ξζ£, ||ξ||=1, то функции вида
#-><π(#)ξ, ξ>, g£G, наз. сферическими
функциями, связанными с представлением π.
Пусть Е, Е* суть л. в. п. в двойственности, π есть
П. т.г.Св л. в. п. Е. Формула π* (g)=n (g*1)*
определяет П. т. г. π* в Ε*, наз. сопряженным, или
контрградиентным, к π. Пусть πχ, π2 суть
П. т. г. G в т. в. п. Еъ Ε2 соответственно, Е=Ег+Е2—
прямая сумма и π (g), gζG,— непрерывный линейный
оператор в Е, определенный формулой
n(g)(xi + x2) = n1(g)x1-\-n2(g)x2, χ1ζΕ1, х2£Е2.
Отображение g-^n(g) есть П. т. г. G в т. в. п. Е, наз.
ОГИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 592
прямой суммой П. т. г. πχ и π2. В нек-рых
случаях (в частности, для унитарных представлений)
может быть определено тензорное произведение П. т. г.
и прямая сумма бесконечного семейства П. т. г. С
помощью ограничения или расширения поля скаляров
вводятся операции овеществления и комплексификации
для П. т. г.
Представление топологич. группы наз. вполне
приводимым, если любое замкнутое
инвариантное подпространство имеет дополнительное замкнутое
инвариантное подпространство. Представление π
топологич. группы G в т. в. п. Ε наз. разложимым,
если существуют такие замкнутые инвариантные
подпространства Ελ, Е2 в Е, что π эквивалентно прямой
сумме подпредставлений π1? π2 представления π,
отвечающих подпространствам Ег, Е2 соответственно; в
противном случае π наз. неразложимым.
Неразложимое приводимое представление π определяется
не только подпредставлением и факторпредставлением,
соответствующими данному инвариантному
подпространству, но и нек-рым классом одномерных когомо-
логий группы G с коэффициентами в G-модуле
ограниченных линейных операторов из пространства фактор-
представления в пространство представления.
Важнейшими общими задачами теории П. т. г.
являются описание всех неразложимых представлений
данной топологич. группы и изучение возможности
описания (разложения) произвольных П. т. г. с помощью
неразложимых. В общем случае обе задачи далеки
(1983) от полного решения, но полученные в этих
направлениях результаты делают теорию П. т. г.
основой гармонического анализа абстрактного,
обобщающего теорию рядов и интегралов Фурье, спектральную
теорию унитарных операторов, теорию жордановых
нормальных форм и систем обыкновенных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а
также основой нек-рых разделов эргодической теории,
квантовой механики, статистической физики и теории
поля.
Наиболее важным разделом общей теории П. т. г.
является теория унитарных представлений, имеющих
многочисленные приложения и обладающих рядом
свойств, упрощающих их изучение. В частности,
ортогональное дополнение к инвариантному
подпространству унитарного представления инвариантно, поэтому
всякое унитарное П. т. г. вполне приводимо; для
унитарных представлений условия полной
неприводимости, (топологической) неприводимости и операторной
неприводимости равносильны (но, вообще говоря,
слабее условия алгебраич. неприводимости).
Другой класс П. т. г., имеющий многочисленные
приложения, образуют конечномерные представления.
Изучение представлений этого класса во многом
облегчается относительным упрощением аналитич. сложности
задачи по сравнению с общим случаем; в частности,
неприводимое конечномерное П. т. г. вполне неприво-
димо. Однако теория конечномерных П. т. г. построена
(1983) достаточно полно лишь для нек-рых классов
топологич. групп (в частности, для полупростых групп
Ли и для групп R и Ζ)· Для несколько более широкого
класса групп, содержащего класс групп Ли,
существует полное описание неприводимых конечномерных
П. т. г.
Теория П. т. г. более разработана для локально
компактных групп. Важнейшим свойством класса
локально компактных групп является его совпадение с
классом полных топологич. групп, на к-рых существует
ненулевая правоинвариантная регулярная борелев-
ская мера т (см. Хаара мера). Этот факт позволяет
включить в число групповых алгебр локально
компактной группы G банахову симметричную алгебру L^G)—
—L^G, m) (относительно свертки), к-рая играет ре-
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ΤΟΠΟ

593
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОЛЬЦО
594
шающую роль в теории ограниченных (т. е. имеющих
ограниченный образ) П. т. г. G в банаховых
пространствах. Формула
n(f)=\G1{g)n(g)dm(g), j^L^G),
устанавливает взаимно однозначное соответствие между
ограниченными представлениями π локально
компактной группы G и (непрерывными) представлениями π
алгебры L1(G)1 обладающими тем свойством, что
n(L1(G))Hn плотно в пространстве #~ представлений
π; при этом унитарные П. т. г. соответствуют
симметричным представлениям алгебры L^G). Другое
свойство локально компактных групп состоит в том, что
их представления в бочечных л. в. п. суть непрерывные
представления.
Наиболее развитая часть теории П. т. г.— теория
унитарных представлений локально компактных групп.
В связи с существованием меры Хаара на локально
компактных группах оказывается возможным изучение
регулярного представления группы G в пространстве
L2(G), приводящее, в частности, к аналогу Планшереля
формулы для таких групп, а также к выделению
основной, дополнительной и дискретной серий унитарных
П. т. г. рассматриваемого класса (см. До полни тельная
серия, Дискретная серия). Важнейшими общими
задачами теории унитарных П. т. г. являются задачи
построения неприводимых представлений и факторпред-
ставлений, разложения представлений в прямой
интеграл, изучения дуальных объектов и связанные с ними
вопросы теории сферич. функций, теории характеров и
гармонич. анализа, в том числе — изучения различных
групповых алгебр.
Исключительно богатым приложениями подклассом
класса локально компактных групп является класс
групп Ли. Теория бесконечномерных представлений
групп Ли, включающая теорию представлений классич.
групп, является одним из наиболее быстро
развивающихся разделов общей теории П. т. г. Мощным методом
изучения П. т. г. Ли является орбит метод.
Другой важный подкласс класса локально
компактных групп образуют компактные группы.
Представления компактных групп — один из наиболее
завершенных разделов общей теории П. т. г., являющийся
инструментом изучения П. т. г., содержащих компактные
подгруппы. Актуальным разделом теории
представлений компактных групп является группа задач,
связанных с вопросами разложения ограничения на
подгруппу и тензорного произведения конкретных
представлений компактных групп Ли. Разделом теории
представлений компактных групп, имеющим
многочисленные приложения в алгебре и анализе, является
теория конечных групп представлений.
Не только упомянутая выше задача изучения
неразложимых П. т. г., но и более простая задача описания
зацеплений вполне неприводимых представлений,
связанная с соответствующей теорией когомологий,
решена (1983) лишь для нек-рых групп, несмотря на ее
важность в построении гармонич. анализа на группах.
Действительно, в терминах неразложимых П. т. г. (а
именно, входящих в аналитич. продолжение
соответствующей основной серии) для нек-рых групп Ли
(соответственно групп Шевалле) получен аналог теоремы
Пэли — Винера, дающий описание образа групповой
алгебры финитных бесконечно дифференцируемых
(соответственно финитных локально постоянных) функций
на группе при преобразовании Фурье (т. е. при
отображении /->^ο/(£)π(£)<*μ(£)> /€#(G),
сопоставляющем функции на группе операторнозначную функцию
на множестве представителей пространства классов
эквивалентности представлений этой группы). Менее
общая задача описания всех вполне неприводимых
представлений данной группы решена (1983) лишь для
локально компактных групп, факторгруппа к-рых по
центру компактна (вполне неприводимые
представления таких групп конечномерны, и набора этих
представлений достаточно для получения аналога теоремы
Пэли — Винера) и для нек-рых линейных групп Ли (в
том числе для комплексных полупростых). Как в
теории унитарных, так и в теории неунитарных П. т. г.
накоплен богатый фактич. материал, относящийся к
конкретным представлениям конкретных групп и к
приложениям этих результатов к отдельным задачам
гармонич. анализа на таких группах.
Ряд вопросов теории П. т. г. связан с изучением
П. т. г. в пространствах с индефинитной метрикой.
Для нек-рых полупростых групп Ли получено полное
описание вполне неприводимых представлений в таких
пространствах (к их числу относятся, в частности,
неприводимые конечномерные представления таких групп)
и найдено разложение тензорных произведений нек-рых
неприводимых представлений этого типа на
неприводимые унитарные представления. Теория операторно
неприводимых представлений полупростых групп Ли в
пространствах с индефинитной метрикой и определение
структуры их инвариантных подпространств тесно
связаны с аналитич. продолжением основной серии
представлений этих групп.
Успехи теории П. т. г. связаны с развитием теории
проективных представлений, с распространением ряда
методов теории представлений групп Ли (в частности,
метода орбит) на локально компактные группы общего
вида, а также с развитием теории П. т. г., не
являющихся локально компактными (групп гладких
функций на многообразии со значениями в группе Ли, групп
диффеоморфизмов гладких многообразий,
бесконечномерных аналогов классич. групп и нек-рых других).
Изучение представлений таких групп оказалось
связанным с теорией вероятностей (в частности, теорией
марковских процессов) и задачами статистич. физики.
С другой стороны, установлены глубокие связи теории
представлений групп матриц 2-го порядка над локально
компактными полями (и нек-рых связанных с ними
групп) с задачами теории чисел.
Лит.: [1] Б а р у τ Α., Ρ о н ч к а Р., Теория
представлений групп и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1980; [2]
Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория
представлений групп, М., 1965; [3] Гельфанд ИМ,
Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И., Теория
представлений и автоморфные функции, М., 1966; [4] Жаке Э.,
Ленглендс Р., Автоморфные формы на GL2, пер. с англ.,
М., 1973; L5] Ж е л о б е н к о Д. П., Компактные группы Ли
и их представления, М., 1970; [6] его же, Гармонический
анализ на полупростых комплексных группах Ли, М., 1974;
[7] Ж е л о б е н к о Д. П., Ш τ е ρ н А. И., Представления
групп Ли, М., 1983; [8] Кириллов Α. Α., Элементы
теории представлений, 2 изд., М., 1978; [9] Климык А. У.,
Матричные элементы и коэффициенты Клебша — Гордана
представлений групп, К., 1979; [10] Л е н г С, SL2 (R), пер. с англ.,
М., 1977; [И] Η а й м а р к Μ. Α., Нормированные кольца,
2 изд., М., 1968; [12] его же, Теория представлений групп,
М., 1976; [13] G а а 1 S. Α., Linear analysis and representation
theory, В. — [а.о.], 1973; [14] Lie groups and their
representations, Bdpst, 1975; [15] Mackey G. W., Unitary group
representations in physics, probability and number theory, Reading,
1978; [16] Non-commutative harmonic analysis, B.— [a.o.J,
1979. А. И. Штерн.
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОЛЬЦО — коммутативное
кольцо, определяемое следующим образом.
Аддитивная группа П. к. порождена классами эквивалентности
представлений группы G в векторных пространствах,
а определяющие соотношения имеют вид я=л1+я2»
где π — класс эквивалентности нек-рого
представления, п1— класс эквивалентности его подпредставления,
а π2— класс эквивалентности соответствующего фактор-
представления π; операция умножения в П. к.
сопоставляет классам эквивалентности представлений лх и
π2 класс эквивалентности их тензорного произведения.
П. к. иногда наз. кольцом Гротендика

595 ПРЕДСТАВЛ
группы G. Для локально компактных групп П. к.
группы G принято называть коммутативное кольцо,
определенное операциями прямой суммы и тензорного
произведения в множестве классов эквивалентности
непрерывных унитарных представлений группы G.
Изучение структуры П. к. плодотворно для
компактных групп, где оно приводит к теории двойственности
в терминах блок-алгебр, а также в более общем
случае для групп типа I, где изучение структуры П. к.
может быть сведено к изучению структуры тензорных
произведений неприводимых унитарных
представлений. А. И. Штерн.
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ТЕОРИЯ — теория, изучающая
гомоморфизмы полугрупп (в частности, групп), алгебр
или других алгебраич. систем в соответствующие
системы эндоморфизмов нек-рой подходящей структуры.
Особенно часто рассматриваются линейные
представления, т. е. гомоморфизмы
полугрупп, групп, ассоциативных алгебр или алгебр Ли
в полугруппу, группу, алгебру линейных
преобразований нек-рого векторного пространства V. Такое
представление наз. также линейным
представлением в пространстве V, а V
наз. пространством представления.
Часто под П. т. понимают именно теорию линейных
представлений. Если пространство V конечномерно,
то его размерность наз. размерностью
представления, а само представление —
конечномерным. Таким образом, различаются
конечномерные и бесконечномерные представления.
Представление наз. точным, если оно инъективно.
Изучение линейных представлений полугрупп, групп
и алгебр Ли сводится к изучению линейных
представлений ассоциативных алгебр. А именно, линейные
представления полугрупп (линейные представления групп)
в пространстве V над полем к находятся в естественном
взаимно однозначном соответствии с представлениями
соответствующей полугрупповой (групповой) алгебры
над к в пространстве V. Представления алгебры Ли L
над к взаимно однозначно соответствуют линейным
представлениям ее универсальной обертывающей
алгебры.
Задание линейного представления φ ассоциативной
алгебры А в пространстве V равносильно заданию на V
структуры А -модуля, называемого модулем
представления φ. При рассмотрении представлений
группы G или алгебры Ли L говорят также о G-модулях
или L-модулях (см. Модуль). Гомоморфизмы модулей
представлений наз. сплетающими операторами.
Изоморфным модулям соответствуют
эквивалентные представления. Подмодуль модуля V
представления φ — это подпространство WczV,
инвариантное относительно φ; индуцируемое в W
представление наз. подпредставлением, а
представление, индуцируемое в фактормодуле V/W,—
факторпредставлением представления φ.
Прямые суммы модулей соответствуют прямым суммам
представлений, неразложимые модули —
неразложимым представлениям, простые модули —
неприводимым представлениям, а полупростые модули — вполне
приводимым представлениям. Определяются также
тензорное произведение линейных представлений, внешняя
и симметрич. степени представления (см. Тензорное
произведение представлений).
Наряду с абстрактной (или алгебраической) П. т.
существует теория представлений топологич.
объектов, напр. топологич. групп или банаховых алгебр
(см. Непрерывное представление, Представление
топологической группы). о. А. Иванова.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
в тензорах — линейные представления групп
GL(V), SL(V), 0(F,/), SO(V,f), Sp(V,f) (где V
1ИЙ ТЕОРИЯ 596
есть w-мерное векторное пространство над полем к,
/ — невырожденная симметрическая или
знакопеременная билинейная форма на V) в инвариантных
подпространствах тензорных степеней Tm(V)
пространства V. Если к — поле нулевой характеристики, то все
неприводимые полиномиальные линейные
представления указанных групп реализуются в тензорах.
В случае /с=С перечисленные выше группы
являются комплексными группами Ли. Для всех них,
кроме GL(V), все (дифференцируемые) линейные
представления полиномиальны; всякое линейное
представление группы GL(V) имеет вид g н> (det g)kR (g), где
k^'Zi a R — полиномиальное линейное
представление. Классические компактные группы Ли U n, SUn,
Оп, SOn, Spn имеют те же комплексные линейные
представления и те же инвариантные подпространства
в пространствах тензоров, что и их комплексные
оболочки GLn(€), SLn(C), On(C), SOn(C), Sp2n(C).
Поэтому результаты теории линейных представлений,
полученные для классических комплексных групп Ли,
переносятся на соответствующие компактные группы и
наоборот («унитарный трюк» Вейля). В частности, с
помощью интегрирования по компактной группе
доказывается полная приводимость линейных
представлений классических комплексных групп Ли.
Естественное линейное представление группы GL(V)
в пространстве Tm(V) определяется по формуле
g(vi®-..®vm)=gvi®...®gvm, g£GL(V), v&V.
В том же пространстве определено линейное
представление симметрич. группы Sт:
σ (vt ®...® υΜ)=υ0-χ (1) ®...® va-t (m), o£Sm, v{ ζ V.
Операторы этих двух представлений перестановочны;
тем самым в Tm(V) определено линейное
представление группы GL(V)X Sт. Если char к— 0, то
пространство Tm(V) может быть разложено в прямую
сумму минимальных (GL(V)X £т)-инвариантных
подпространств:
τ-»(ν) = τλνλ®υχ.
Здесь суммирование происходит по всем разбиениям
λ числа т, содержащим не более η слагаемых, ϋχ —
пространство абсолютно неприводимого представления
Τ\ группы S т, отвечающего разбиению λ (см.
Представление симметрической группы), a
V%—пространство нек-рого абсолютно неприводимого представления
Rl группы GL (V). Разбиения λ удобно представлять
в виде наборов (λχ, λ2, . . ., λη) целых неотрицательных
чисел, удовлетворяющих условиям λχ>λ2>. . .^λη,
Σ {Κι—т.
Подпространство Vi®UxdTm (V) разлагается в
сумму минимальных 6?£(7)-инвариантных подпространств,
в каждом из к-рых реализуется представление Rx.
Эти подпространства могут быть явно получены
применением к Тт (V) Юнга симметризаторов, связанных с
разбиением λ. Напр., для разбиения К—(т, 0, . . ., 0)
(соответственно λ=(1, . . ., 1, 0, . . ., 0) при т^п)
dim Ux — 1 и V%@U\ есть минимальное
(^(^-инвариантное подпространство, состоящее из всех
симметрич. (соответственно кососимметрич.) тензоров.
Представление R\ характеризуется следующими
свойствами. Пусть BaGL(V) — подгруппа, состоящая
из линейных операторов, к-рые в нек-ром базисе (ех, ...,
еп) пространства V записываются верхними
треугольными матрицами. Тогда операторы Ri(b), b£B, имеют
единственный (с точностью до числового множителя)
общий собственный вектор νλ, называемый старшим
вектором представления R χ. Соответствующее
собственное значение (старший вес
представления i?a,) равно Ь^ . . . Ь^п, где Ьц есть ί-ш
диагональный элемент матрицы оператора Ъ в базисе (е±, . . ., еп).

597
ПРЕДСТАВЛЯЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
598
Представления ϋχ, отвечающие различным
разбиениям λ, не эквивалентны. Характер представления R χ
находится по формуле Вейля:
W> (zlt
tvRx(g)= λ
·,ζ„)
We(Z„ ..., 2η)
где zl4 . . ., ζ„— корни характеристич. многочлена
оператора g, W\ — обобщенный определитель Вандер-
монда, отвечающий разбиению λ (см. Фробениуса
формула), W0^ обычный определитель Вандермонда.
Размерность представления R\ равна
1.-1;
где Iι=λι-\-η^ί.
Ограничение представления R% на унимодулярную
группу SL(V) неприводимо. Ограничения на SL(V)
дредставлений Д^ и Λμ эквивалентны тогда и только
тогда, когда μ^λ,Η-s ($ не зависит от ί). Ограничение
представления R χ группы GLn(k) на подгруппу
GLn^^k) находится по правилу:
где μ пробегает все наборы (μ1? . . ., μ^-ι),
удовлетворяющие условию
λί^μι^λ2^μ2^. · -^μη-ι^λη.
Для всякой диаграммы Юнга с?, отвечающей
разбиению λ, тензор v\@u'd£ Tm(V) (обозначения см. в ст.
Представление симметрической группы) является
результатом альтернирования по столбцам диаграммы d
тензора ei 0 . . . 0^ , где ik — номер строки
диаграммы d, в к-рой находится число к. Тензоры,
построенные таким образом по всем стандартным диаграммам
d, образуют базис минимального Sт-инвариантного
подпространства νχ@ϋχ, в к-ром реализуется
представление Τ χ группы Sm.
Линейное представление ортогональной группы
0(V, f) в пространстве Tm(V) устроено следующим
образом. Имеется разложение в прямую сумму двух
(О (F, /) X Sт)-инвариантных подпространств:
Тт (V) = T%(V)@T?(V),
где Τ™ (V) состоит из бесследных тензоров,
т. е. тензоров, свертка к-рых с формой / по любым двум
индексам равна нулю, а
Пространство T™(V) в свою очередь разлагается в
прямую сумму минимальных (0(F,/)Х £,л)-инвариантных
подпространств:
где VxClVx. При этом Vl^O тогда и только тогда,
когда сумма λ^+λ2 высот первых двух столбцов
таблицы Юнга, отвечающей разбиению λ, не превосходит
п, и в этом случае ν\ есть пространство абсолютно
неприводимого представления R\ группы 0(F, /).
Представления R\, отвечающие различным разбиениям λ,
не эквивалентны. Если разбиение λ удовлетворяет
условию λ'ι+λ'2<£.η, то после замены первого столбца
его таблицы Юнга столбцом высоты η—λΊ получается
таблица Юнга нек-рого разбиения λ, также
удовлетворяющего этому условию. Соответствующие
представления группы 0(F, /) связаны соотношением R-(g) =
А,
= (det g) R\(g) (в частности, они имеют одинаковую
размерность).
Ограничение представления R\ на подгруппу SO (V, f)
абсолютно неприводимо, за исключением случая, когда
η четно и λ=λ (т. е. число слагаемых разбиения λ равно
/г/2). В этом последнем случае оно распадается надполем
к или его квадратичным расширением в сумму двух
неэквивалентных абсолютно неприводимых
представлений одинаковой размерности.
При вычислении размерности представления Я χ
можно считать, что λ[^η/2 (в противном случае
следует заменить λ на λ). Пусть Ιί—λι·-\-η/2~ί. Тогда при
нечетном η
dim Λλ= П.= 1 _L- UUj=]i<j и-г){п-г-» -
а при четном п и λ#λ
-η/2
Л -1 J-ι, / = 1, г<з
(lrl/)(n+l/)
(j-i) (n-i-j)
При λ=λ последняя формула дает половину равмер-
ности представления R\, т. е. размерность каждого
из соответствующих ему абсолютно неприводимых
представлений группы SO(V,f).
Разложение пространства Tm(V) относительно сим-
плектич. группы Sp(V,f) аналогично разложению
относительно ортогональной группы, с той разницей, что
V\^0 тогда и только тогда, когда λί</ι/2.
Размерность представления R\ находится в этом случае по
формуле
,. г>о тт-Ц/з ij τγ^/2 (lrl/)(li+lj)
αιΐη/ίλ—lli=l n/2-i + l Hi, /=l,i</ (j-i)(n-j-i + 2) '
где Ζ/·=λί·+/?/2 — i + 1.
Лит.: [ί] Be иль Г., Классические группы, их
инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [2] Ж е л о б е н-
к о Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М.,
1970; [3] Хамермеш М., Теория групп и ее применение
к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966.
Э. Б. Винберг.
ПРЕДСТАВЛЯЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — непрерывная
функция / на топологич. пространстве X,
снабженном непрерывным действием нек-рой группы £?, орбита
к-рой (g*f\g£G) в пространстве всех непрерывных
функций на X порождает конечномерное
подпространство. П. ф. иногда называют также сферически-
м и, или почти инвариантными,
функция м и. П. ф. со значениями в поле k=R или С
образуют G-инвариантную /с-подалгебру F(X, k)G в
алгебре всех /с-значных непрерывных функций Р(Х, к)
на X. В случае, когда X = G — топологич. группа,
действующая на себе при помощи левых сдвигов, F(X, k)G=
= F(G, k)G совпадает с подпространством в F(G, к),
порожденным матричными элементами конечномерных
непрерывных линейных представлений группы G, Если
при этом G компактна, то можно ограничиться
матричными элементами неприводимых представлений. Напр.,
если G= Τ — группа вращений плоскости, то П. ф. на
G — это тригонометрич. полиномы. Другим примером
являются классические сферич. функции на сфере,
к-рые суть П. ф. для стандартного действия группы
вращений сферы.
Если G — компактная топологич. группа,
непрерывно действующая на пространстве X, являющемся
объединением счетного числа компактов, то F(Xy k)n
плотно в F(X, к) относительно компактно открытой
топологии (см. Петера — ReuAH теорема).
Аналогичные утверждения справедливы для П. ф. различных
степеней гладкости на дифференцируемом
многообразии с гладким действием компактной группы Ли. С
другой стороны, если G не допускает нетривиальных
непрерывных гомоморфизмов в компактную группу
(например, G — связная полупростая группа Ли без

599
ПРЕОБРАЗОВАН ИЙ
600
компактных простых факторов), то всякая П. ф. на
компактном пространстве X с непрерывным действием
группы G является G-инвариантной [4].
Если гладкое действие компактной группы Ли G
на дифференцируемом многообразии X имеет лишь
конечное число типов орбит, то алгебра F°°(X, k)G всех
П. φ. класса С00 конечно порождена над подалгеброй
всех G-инвариантных функций класса С°° (см. [5]).
В частности, для однородного пространства X алгебра
F(X, C)q=F°°(X, С)о конечно порождена и
отождествляется с алгеброй регулярных функций на
аффинном однородном алгебраич. многообразии над С,
множество вещественных точек к-рого совпадает с X.
Важной для приложений является задача о разложении
G-модуля F(X, C)o в прямую сумму простых G-моду-
лей. В случае, когда X — симметрическое однородное
пространство компактной группы G, она была решена
Э. Картаном [1].
Обобщением П. ф. являются
представляющие сечения нек-рого векторного G-расслоения
Ε над ^-пространством X, т. е. непрерывные сечения,
G-орбиты к-рых порождают конечномерные
подпространства в пространстве Т(Е) всех непрерывных
сечений, напр. представляющие тензорные поля на
гладких многообразиях с гладким действием группы Ли
G; они образуют G-подмодуль T(E)GaT(E) (см. [5]).
Если группа G компактна, то подмодуль Г (E)G плотен
в Т(Е). В случае, когда X — симметрическое
однородное пространство группы G, изучено (см. [3])
разложение G-модуля T(E)q на простые компоненты. Если же
X — компактное однородное пространство
полупростой группы Ли G без компактных факторов со связной
стационарной подгруппой, то
dim Г (E)G < оо
(см. [2]).
Лит.: [1] Gartan Ε., «Rend. Circ. Mat. Palermo», 1929,
v. 53, p. 217—52; [2] Дао Ван Ч а, «Успехи матем. наук»,
1975, т. 30, в. 5, с. 203—04; [3] Дзядык Ю. В., «Докл.
АН СССР», 1975, т. 220, № 5, с. 1019—22; [4] Л у к а ц к и й
А. М., «Успехи матем. наук», 1971, т.
26, в. 5, с. 212—13; [5] Онищик у|
А. Л., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1976, | /
т. 35, с. 235—64. А. Л. Онищик. /
ПРЕКРАЩЕНИЯ ТОЧКА — /
особая точка плоской кривой, в /
к-рой кривая обрывается. Окруж- /
ность достаточно малого радиуса / х
с центром в П. т. пересекает —А -У- *-
кривую только в одной точке. |\^ ^/
Например, у кривой у=х \пх '
П. т.— начало координат (см. рис.). бсэ-з.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — отображение и нек-рого
множества Μ (вообще говоря, наделенного нек-рой
структурой) в себя. Образ элемента αζΜ при
преобразовании и обозначается и (а), или шх, или аи, или аи.
Совокупность всех П. множества Μ в себя образует
относительна операции умножения (суперпозиции)
преобразований полугруппу, называемую
симметрической полугруппой на множестве М.
Обратимые элементы этой полугруппы наз. подстановками.
Все подстановки на множестве Μ образуют подгруппу
симметрич. полугруппы — симметрическую группу.
См. также Подстановок группа, Преобразований
группа. о. А. Иванова.
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРУППА — подстановок
группа (G, М), действующая на множестве М. При этом если
на множестве Μ определена какая-либо структура и
элементы из G эту структуру сохраняют, то принято
говорить, что G есть группа преобразований этой
структуры. Наименование П. г. обычно отражает в
нек-рой мере наименование структуры, определенной
на М. Так, напр., если Μ — векторное пространство
над телом, то группы, сохраняющие эту структуру,
наз. линейными группами. Более общо, линейными
группами наз. часто группы автоморфизмов модулей
над различными кольцами. В частности, если Μ —
свободный конечномерный модуль над кольцом % целых
чисел, то говорят о кристаллографических группах. Если
Μ — топологич. пространство, a G состоит из
автогомеоморфизмов пространства М, то говорят о группах
непрерывных преобразований. Если М=К есть поле, а
G — конечная группа автоморфизмов поля К, то G
является группой Галуа расширения K/L, где L —
подполе, состоящее из элементов, неподвижных при
действии элементов из G. Рассматривается также ситуация,
когда группа G и множество Μ снабжены структурами
одного и того же типа, причем действие группы G на
Μ является морфизмом в соответствующей категории.
Напр., если G — топологич. группа, непрерывно
действующая на топологич. пространстве М, то говорят о
топологической группе преобразований; аналогично
определяются Ли группа преобразований, алгебраическая
группа преобразований.
Лит.: [1] Математика, ее содержание, методы и значение,
т. 3, М., 1956, гл. 20. Л. А. Налужнин.
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОЛУГРУППА — всякая
подполугруппа симметрич. полугруппы TQ, где TQ—
совокупность всех преобразований множества Ω.
Частным случаем П. п. являются преобразований группы.
П. п. Pt^TQ , P2czTQ наз. подобными, если
существуют биекции φ : Ωχ->-Ω2 и ψ : Ρί-^Ρ2 такие,
что при иа=$(а, βζΩχ; и£Р{) имеет место (ψα) (φα)=
= φβ. Подобные П. п. изоморфны, но обратное, вообще
говоря, неверно. Однако в пределах нек-рых классов
П. п. из изоморфизма вытекает подобие. Таков, напр.,
класс П. п., включающих все такие преобразования и,
что ^Ω состоит из одного элемента. Задание
полугруппы как П. п. несет большую информацию, чем ее
задание с точностью до изоморфизма.
Принципиально важно выделение свойств П. п.,
инвариантных относительно изоморфизмов. Для нек-рого
класса П. п. Г условие, при к-ром полугруппа S
изоморфна нек-рой полугруппе из Г, наз.
абстрактной характеристикой класса Г.
Найдены абстрактные характеристики для нек-рых важных
П. п. Всякая полугруппа изоморфна нек-рой П. п.
Полугруппа S тогда и только тогда изоморфна нек-рой
симметрич. полугруппе ΓΩ1 когда она является
максимальным плотным идеальным расширением (см.
Расширение полугруппы) какой-либо полугруппы А с
тождеством ху=х.
Из общей теории П. п. выделяется направление, при
к-ром преобразуемое множество Ω наделено нек-рой
структурой (топологией, действием, отношением в Ω и
т. п.), и рассматриваются П. п., связанные с этой
структурой (эндоморфизмы, непрерывные или
линейные преобразования, сдвиги полугрупп и т. д.).
Изучение соотношений между свойствами структуры в Ω
и свойствами полугруппы соответствующих
преобразований является обобщением теории Галуа. В частности,
известны случаи, когда указанная П. п. вполне
определяет структуру (см., напр., Эндоморфизмов полугруппа).
Свойства левых и правых сдвигов полугрупп
используются в общей теории полугрупп.
Обобщением понятия преобразования является
частичное преобразование, отображающее
какое-либо подмножество Ω'<ζ:Ω в Ω. Бинарное
отношение на множестве Ω иногда трактуют как
многозначное (вообще говоря, частичное) преобразование этого
множества. Рассматриваемые относительно операции
суперпозиции (определяемой как умножение
бинарных отношений) однозначные и многозначные частичные
преобразования также образуют полугруппы.
Целесообразно рассматривать их как полугруппы, наделен-

601
ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ИГРА
602
вые дополнительными структурами (напр., отношением
включения бинарных отношений, включения или
равенства областей определения, включения или
равенства образов и т. д.).
Лит.: [1] Л я пи н E.G., Полугруппы, Μ., 1960; [2]
Клиффорд А. X., Престон Г. Б., Алгебраическая
теория полугрупп, пер. с англ., т. 1—2, М., 1972; [3] Г л у с-
кин Л. М., «Матем. сб.», 1961, т. 55, №4, с. 421—48.; [4]
Schein В. Μ., «Semigroup Forum», 1970, v. 1, № 1, p. 1—62.
Л. М. Глускин, Е. С. Ляпин.
ПРЕПЯТСТВИЕ — понятие гомотопич. топологии;
инвариант, равный нулю, если соответствующая задача
разрешима, и отличный от нуля — в противном случае.
Пусть (X, А) — пара клеточных пространств и У —
односвязное (более общо — гомотопически простое)
топологич. пространство. Можно ли данное непрерывное
отображение g : A-+Y продолжить до непрерывного
отображения / : X-+Y? Продолжение можно
осуществлять по остовам Хп пространства X. Пусть построено
такое отображение / : Xn\JA-+Y, что f\j = g. Для любой
ориентированной (л+1)-мерной клетки Sn-+Y
отображение f\den + i задает отображение Sn-+Y (где Sn
есть л-мерная сфера) и элемент аг£я„(У) (именно
здесь и используется гомотопич. простота пространства
У, позволяющая игнорировать выбор отмеченной
точки). Таким образом, возникает коцепь
cf+1£C»+HX; nn(Y)), C?fl(en+1) = «,.
Так как для еп + 1сА, очевидно, с"+1(е" + 1)=0, то на
самом деле
е?+1€С"+чх,4лв(У)).
Очевидно, .с"+1=0 тогда и только тогда, когда /
продолжается на Χη + ι, т. е. коцепь с""1"1 является
препятствием к продолжению / на Хп + 1.
Коцепь c'f+1^Cn + 1(X, A;nn(Y)) является коциклом.
Из того, что с"+1 = 0, вообще говоря, не следует, что g
не продолжается на X : / может не продолжаться на
Х"*1 в силу неудачного выбора продолжения g на Хп.
Может оказаться, напр., что отображение ί\χη-ΐ\\Λ
продолжается на Хп + 1, т. е. что продолжение возможно
после отступления на один шаг. Оказывается, что П.
к этому является класс когомологий
[*ΡΙ]€#" + 1 (Χ, 4 πη(Υ)),
то есть [cj?+1] = 0 тогда и только тогда, когда существует
такое отображение J: Xn+1\JA-+Y, что 7\χη-ΐ\\ а=
==f\xn-1\\ А (в частности» /L = £)· Для Доказательства
этого утверждения используется конструкция
различающей.
Так как задачу гомотопич. классификации
отображений X-+Y можно интерпретировать как задачу
продолжения, то теория П. применима и к описанию
множества [X, У] гомотопич. классов отображений из Ζ в
У. Пусть /=[0, 1] и пусть А = ХХ {0, 1} —
подпространство в XX/. Тогда пара отображений /0, fx : X-+Y
интерпретируется как отображение G : A-+Y, G(x, i)=
=/,·(#), ί=0, 1, и наличие гомотопии между /0 и f1
означает наличие отображения F : X X /-*У,
продолжающего отображение G. При этом если гомотопия F
построена на л-мерном остове пространства X, то П. к ее
продолжению на X есть различающая
dn(fo, h)£C»(X; πη(Υ)).
В качестве приложения можно указать описание
множества [Χ, Υ] = [Χ, К (л, п)], А1>1, где К (π, η) — Эй-
ленберга — Маклейна пространство: si; (К (л, п))=0
при ιφη, πη(Κ(π, п))=л. Пусть /0 : Х^К(л, ή) —
постоянное отображение, а / : Х^*К(л, η) —
произвольное непрерывное отображение. Так как Н1'(Х;
π/.(7))=0πρπ i<n, то/0и/х гомотопны на Хп~г и можно,
выбрав какую-нибудь такую гомотопию, определить
различающую
*■</, fo)eC"(X; nn(Y))^C»(X; π).
Класс когомологий [dn(f, /0)] £Нп(Х; π) определен
корректно, т. е. не зависит от выбора гомотопии между
/0 и / (в силу того, что я/(У)=0 при i<n). Далее, если
отображения /, g : X-+Y таковы, что [dn(f, f0)]=
= ldn(g, /о)], то [dn{f, g)]=Q и, значит, / и g гомотопны
на Хп. П. к продолжению этой гомотопии на все X лежат
в группах Н1(Х; Я/(У))=0 (так как i>n), и, значит,
отображения / и g гомотопны. Таким образом,
гомотопич. класс отображения / полностью определяется
элементом [dn(f, f0)]£Hn(X, π)· Наконец, для любого
элемента χζΗη(Χ, л) найдется отображение / с
ldn(f,fo)]=x и потому [X, К (л, п)]=Нп(Х; л).
Аналогично: если π,· (У) = i при ί<η и dim X ^п, то [Ζ, Υ] =
= Н"(Х; πη(Υ)).
При исследовании задачи продолжения
рассматривалась возможность продолжения после «отступления на
один шаг». Полное решение задачи требует анализа
возможности продолжения после отступления на
произвольное число шагов. Для этой цели используются
когомологические операции или Постникова системы.
Так, для описания множества [X, У], где я,-(У)=0
при i<n, я„(У)^0, dim X=n-\-r; требуется, вообще
говоря, исследовать возможность отступления на г+1
шаг, для чего надо исследовать первые п-\-г этажей
системы Постникова пространства У, т. е.
использовать когомологич. операции порядков <:г (в ст.
Когомологические операции эта задача разобрана для г=1).
Теория П. используется также в более общей
ситуации продолжения сечений. Пусть ρ : Е^В — нек-рое
расслоение со слоем F (причем nx(F)=Q и лх(В)
действует на Jtx(F) тривиально), пусть AczB и s : А-+Е —
нек-рое сечение (т. е. такое непрерывное отображение,
что ps(a) = a). Можно ли продолжить s на все В?
Соответствующие П. лежат в группах Нп+1(В; jt„(F)).
Задача продолжения получается из этой задачи, если
положить В — Х, E=XXY, р(х, у) = х, s(a)=(a, g(a)).
Аналогичным образом с помощью теории П.
исследуется и задача классификации сечений.
Наконец, в задаче продолжения можно снять
ограничение гомотопич. простоты пространства У (и
аналогично в задаче о сечениях); для этого надо
использовать когомологий с локальными коэффициентами.
Ю. Б. Рудяк.
ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ИГРА — антагонистическая
дифференциальная игра преследователя (догоняющего)
Ρ и преследуемого (убегающего) Е, движения к-рых
описываются системами дифференциальных уравнений:
P:x = f(x, и), Е: y = g(y, v),
где χ, у — фазовые векторы, определяющие состояния
игроков Ρ ά Ε соответственно; и, ν — управляющие
параметры, выбираемые игроками в каждый момент
времени из заданных компактных множеств U, V
евклидовых пространств. Целью Ρ может быть, напр.,
сближение с Ε на заданное расстояние, что формально
означает попадание χ в Z-окрестность у (1^0). При
этом различаются случаи сближения за минимальное
время (П. и. на быстродействие), к
заданному моменту времени (П. и. с предписанной
продолжительностью) и до момента
достижения игроком Ε нек-рого множества (игра с «линией
жизни»). Сравнительно хорошо изучены игры с полной
информацией, когда оба игрока знают фазовые
состояния друг друга в каждый текущий момент времени.
Под решением П. и. понимается нахождение ситуации
равновесия.

603
ПРИБЛИЖЕНИЕ
604
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, «Успехи матем. наук»,
1966, т. 21, в. 4, с. 219—74; [2] К расов ски й Η. Η.,
Субботин А. И., Позиционные дифференциальные игры, М.,
1074; L3] Айзеке Р., Дифференциальные игры, пер. с англ.,
М., 1967; [4] Петросян Л. Α., Дифференциальные игры
преследования, Л., 1977. Л. А. Петросян.
ПРИБЛИЖЕНИЕ — то же, что аппроксимация.
Термин «П.» иногда употребляется в смысле
приближающего объекта (напр., начальное П.).
ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ — приближение
заданной и интегрируемой на промежутке [а, Ь]
функции /(*) функцией q>(t), когда за меру погрешности
принята величина
μ(/. φ) = $*Ι/(')—φ (*)!*'·
В более общем случае, когда
μ(/·φ)=5*|/(0-φ(0Ι^σ(ί) (q >0),
где σ(0 — неубывающая на [а, Ъ) отличная от
постоянной функция, говорят осреднестепенном (с
показателем q) приближении относительно
распределения do(t). Если σ(ί) абсолютно непрерывна
и ρ (t)= σ' (ί), получают среднестепенное
приближение с весом ρ (ί), если же σ (t) —
ступенчатая функция со скачками ck в точках t^ из
[а, Ъ], то приходят к взвешенному средне-
степенному приближению в системе
точек {tk} с мерой погрешности
μ(/. φ> = ΣΛ'*|/(**)-φ(ί*)|*.
Естественным образом эти понятия обобщаются на
случай функций многих переменных.
Лит.: [1] Гончаров В. Л., Теория интерполирования
и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [2]
Никольский СМ., Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения, 2 изд., М., 1977.
Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — замена по
определенному правилу функции f(t) близкой к ней в том
или ином смысле функцией φ (г) из заранее
фиксированного множества ЭД (приближающего
множества). Предполагается, что функция / определена
на том множестве Q m-мерного евклидова пространства
(в частности, действительной оси), на к-ром
осуществляется приближение, она может быть задана явно через
элементарные функции или быть решением нек-рого
уравнения. Если о функции f(t) располагают неполной
информацией, то тогда речь идет, по существу, о
приближении задаваемого этой информацией целого класса
функций.
Практич. необходимость в П. ф. возникает в самых
различных ситуациях, когда нужно функцию f(t)
заменить более гладкой или более простой и удобной для
вычислений, восстановить функциональную
зависимость по экспериментальным данным и т. п.
В общей задаче П. ф. обычно можно выделить
следующие более частные задачи: выбор приближающего
множества ЭД; выбор меры погрешности приближения;
выбор метода приближения, т. е. правила, по к-рому
функции f(t) сопоставляется функция φ(ί) из ЭД;
исследование и оценка погрешности приближения.
При выборе приближающего
множества 5t, помимо безусловного требования
обеспечить нужную точность приближения, руководствуются
стремлением иметь дело с простыми по структуре и
удобными для вычисления функциями φ(0» на к-рые
могут накладываться априорные условия, связанные,
напр., с гладкостью.
Классич. аппаратами приближения являются
алгебраические (если Q — ограниченное замкнутое
множество) и тригонометрические (в периодич. случае)
полиномы одного и многих переменных. Широкое
применение их в качестве приближающего множества
обусловлено, в частности, принципиальной возможностью
приблизить непрерывную функцию алгебраическими
или тригонометрич. полиномами с любой наперед
заданной погрешностью. Точность приближения может
быть повышена за счет увеличения степени полинома,
что, однако, усложняет приближающий аппарат и
увеличивает вычислительные трудности при его
использовании. На практике в качестве приближающего
множества берут подпространства алгебраических или
тригонометрич. полиномов фиксированного порядка
и стремятся получить нужную точность с помощью
полиномов возможно меньшей степени. Более общий и
в то же время более гибкий аппарат приближения
получают, рассматривая обобщенные полиномы
ф (0 = ^ιφι (t) + ... + cNyN (t),
где {φχ, . . ., фдг} — нек-рая система линейно
независимых функций, к-рую можно выбирать в зависимости
от условий конкретной задачи и априорных требований
на φ (£).
Во многих задачах более естественным и удобным с
вычислительной точки зрения, чем классич. полиномы,
аппаратом приближения оказались сплайны. Если
Δ^={α = τ0 < τι <...< TN=b), N^2, (1)
фиксированное разбиение отрезка [а, 6], то (п о л и н о-
миальным) сплайном порядка г дефекта
k (&—1, 2, . . ., г) по разбиению Дд/ наз. функцию s(t),
«склеенную» в точках τχ, τ2, . . ., τ/ν-ι из алгебраич.
многочленов степени г так, что на всем отрезке [а, Ь]
она непрерывна вместе со своими производными до
(г—к)-то порядка включительно. Таким образом, s(t)£
£Сг~*[а, b\ и s(t) есть алгебраич. многочлен степени г
на каждом промежутке (τ,·-!, τ,·), £=1, 2, . . ., Ν.
Напр., ломаная с узлами в точках τ,- есть сплайн
первого порядка дефекта 1; непрерывно
дифференцируемая на [а, Ь] функция s(t), совпадающая
на [τ,-i, τ,·], £=1, . . ., JV, с кубич. многочленом, есть
кубический сплайн дефекта 2 и т. д.
Аналогично определяются сплайны двух и большего
числа переменных. Имея конечную гладкость, сплайны
обладают большей, чем полиномы, локальной
гибкостью: изменение значений сплайна на нек-ром
промежутке (α, β) мало сказывается (или совсем не
сказывается) на поведении его вне (α, β). Преимущества
сплайнов, помимо простоты машинной реализации,
сказываются, в частности, там, где информация о
приближаемой функции имеет дискретный характер, напр.
значения в нек-рых точках самой функции / и, быть может,
нек-рых ее производных.
Если f(t) имеет особенности или приближение
осуществляется в неограниченной области, то удобным
аппаратом приближения являются рациональные дроби
p(t)lq(t), где p(t) и q(t) — алгебраич. многочлены.
Заданные на всей действительной оси непериодич.
функции приближают также целыми функциями
экспоненциального типа.
Мера погрешности μ (/, φ) выбирается
обычно с учетом условий конкретной задачи и
имеющейся информации о приближаемой функции /(£).
Чаще всего дело сводится к выбору содержащего /
функционального пространства, в метрике к-рого
целесообразно оценивать погрешность приближения.
Если
μ(/, cp) = sup|/(f) — φ(ί)|,
то речь идет оравномерном, или ч е б ы ш е в-
ском, приближении, если же
μ(/.φ) = $ςΙ/(0-φ(0Ι'Λ. Ρ > о,

605 ПРИБЛИЖЕТ
то говорят о среднестепенном
приближении, к-рое при р~1 наз. приближением
в среднем. Особое значение имеет случай р=2 —
среднеквадратическое
приближение, когда погрешность наилучшего приближения
функции / конечномерным подпространством может
быть точно выражена через нек-рые определители.
В нек-рых задачах требования близости функций /
и φ в различных точках различны; для учета этой
неоднородности вводят весовую функцию ρ (t)^0 и
рассматривают взвешенное приближение
с мерой погрешности
μ(/, cp) = sup|/(f) —φ(ί)|ρ(0
teQ
или
μ (/, φ) = JQI / (0-φ (01*ρ(0 <", ρ > ο.
Весовая функция позволяет также обеспечить
конечность погрешности, если, напр., /(f) неограничена.
Если погрешность должна учитывать близость / и
φ только в отдельных точках tk (k=i, . . ., TV) из
Q, то в качестве μ (/, φ) можно выбрать одну из величин
шах |/ (ffc)— ψ (ifc)|
или
Σίΐι ι'('*)-*('*>!'· ρ>°>
в к-рые также могут вводиться весовые коэффициенты.
При решении вопроса о том, по какому правилу
выбирать из множества $1 приближающую функцию
Φ (0= Φ (/» 0 (при выборе метода
приближения), естественно стремление обеспечить по
возможности более высокую точность приближения и
одновременно простоту построения φ (/, t) по имеющейся
информации о приближаемой функции /(*). Первое
требование ориентирует на «ближайшую» к f(t)
функцию q>/(t) из ϊί, τ. е. такую, что
μ(/, φ7)= inf μ(/, φ).
Ф€ЗД
Здесь сразу же возникают вопросы о существовании
и единственности такой функции (функции
наилучшего приближения), а также о ее
характеристич. свойствах (см. [5]). Существование
гарантируется, если ЭД — замкнутое локально
компактное множество, в частности конечномерное
подпространство. Единственность зависит как от свойств
приближающего множества 9ΐ (см. Хаара условие,
Чебышева система функций), так и от метрики,
определяющей меру погрешности μ (/, φ). Известен ряд
необходимых и достаточных условий, к-рым должна
удовлетворять функция наилучшего приближения φ^ (t)
в той или иной ситуации (см. Наилучшего
приближения многочлен, Чебышева теорема, Маркова
критерий). Однако эти критерии, как правило, не дают
способов эффективного построения функции (p/(t). Поэтому
большое значение имеют методы, к-рые позволяют по
информации о приближаемой функции / (t)
эффективно построить нек-рую функцию φ (/, t) из 9Ϊ,
обеспечивающую приемлемое приближение. Здесь, в первую
очередь, надо говорить о линейных
методах (когда φ(θ!/ι+α2/2, *)=αι<ρ(/ι» t) + a2q>(f2, t)),
к к-рым, в частности, относится метод интерполяции.
Зафиксировав точки t±, . . ., ίχ из <?, можно
выбирать φ(/, t) среди тех функций φ (t) из 9Ϊ, к-рые
удовлетворяют условию интерполяции
φ «*) = /('*), * = 1, 2 N. (2)
606
Если SR — линейное многообразие и в нем существует
система функций φχ, . . ., фдг такая, что ф/(^-)=1,
Ф/(^)="° (кфг), то функция
<Р(/, 0 =ΣΓ=ι'('*)¥*<')
принадлежит 9J и удовлетворяет условиям (2); она
задает интерполяционный метод
приближения, являющийся, очевидно, линейным.
Функцию φ (/, t) можно выбирать, требуя совпадения
в точках tk не только f(t) и φ (/, t), но и нек-рых их
производных; в этом случае говорят об
интерполировании с кратными узлами. Если
Q=[a, Ь], α<^<£2<· . .<£дг<Ь, то существует
единственный алгеораич. многочлен степени N—1, а в
непериод ич. случае (Ъ—α=2π, tN=t2n-\<h) —
единственный тригонометрич. полином порядка η—1,
совпадающий с f(t) в точках tk. Кратное интерполирование
осуществляют интерполяционные полиномы Эрмита,
частным случаем к-рых является многочлен Тейлора,
когда в одной точке алгебраич. многочленом степени η
интерполируются значения функции и ее первых η
производных.
Интерполирование сплайнами имеет свои
особенности, связанные с выбором точек интерполяции и
краевых условий, обеспечивающих существование и
единственность интерполяционного сплайна. Напр.,
сплайн s(t) порядка г>2 дефекта 1 по разбиению (1),
принимающий заданные значения в N различных
точках ц интервала (а, Ъ) таких, что τί·_1<ίί·<:τί·, i=
= 1, 2, . . ., Ν, существует и единствен, если задать
определенным образом краевые условия в виде та
чисел s<v)(a) (0<v^r—1) и ть чисел sM (Ь) (0<u<r—1),
причем та+тъ=г. Функции f£Cfc~l [a, b] можно
однозначно сопоставить сплайн s(f, t) порядка 2г—1
дефекта к (1</с<г) по разбиению (1), потребовав
выполнения равенств sM (/, t/)=/(v) (tt·), v=0, 1, . . .,
к—1; i=Q, 1, . . ., Ν, а при к<г также нек-рых краевых
условий. При к=г этот сплайн наз. эрмитовым,
а также локальным, т.к. его поведение на
интервале (τ/_ι, τ,·) определяется только значениями
функции f(t) и ее производных /<v) (t) (v=l, . . ., к—1)
в точках Tt_i и tf·.
В П. ф. важную роль играют также линейные
методы, построенные на базе разложения
приближаемой функции в ряд Фурье по нек-рой ортогональной
системе. В частности, в периодич. случае широко
распространенным аппаратом приближения являются
суммы Фурье по тригонометрич. системе и их различные
усреднения (см. Приближение функций; линейные
методы приближения).
Исследование и оценка
погрешности приближения — важный с практич.
точки зрения и в то же время наиболее
содержательный в идейном отношении этап П. ф. Именно
разработка методов оценки погрешности, изучение
зависимости ее от гладкостных характеристик приближаемой
функции, исследование и сравнение
аппроксимативных свойств различных аппаратов приближения
привели к формированию теории приближения функций —
одного из наиболее интенсивно развивающихся
разделов математич. анализа.
Фундамент теории П. ф. был заложен работами
П. Л. Чебышева в 1854—59 (см. [1]) о наилучшем
равномерном приближении непрерывных функций
многочленами и рациональными дробями, а также
работами К. Вейерштрасса [2], доказавшего в 1885, что
для любой непрерывной на отрезке [а, Ь] или
непрерывной на всей оси с периодом 2π функции f(t)
существует последовательность алгебраических
(соответственно тригонометрических) полиномов Рп(/, t) по-
ИЕ ФУНКЦИИ

607 ПРИБЛИЖЕНИЕ
рядка тг=1, 2, . . . такая, что при η -► оо
μ(/, Pn(f))=mRx\f(t)-Pn(f, ί)|->0,
где Q есть [а, Ь] или, соответственно, вся числовая ось.
Аналогичные факты имеют место и в случае, когда
мера погрешности определяется интегральной
метрикой, а также для функций многих переменных.
Особую важность приобретает исследование скорости
убывания числовой последовательности μ (/, Рп (/)) в
зависимости от свойств приближаемой функции и от
выбора приближающих полиномов Pn(f, t).
Наибольший интерес представляет изучение наилучшего
приближения, а также приближения, доставляемого
линейными методами, позволяющими по функции / (t)
эффективно построить полином Pn(f, t). Важный этап
в развитии теории П. ф., связанный с именами
Ш. Ж. Балле Пуссена (Ch. J. La Vallee Poussin),
Д. Джексона (D. Jackson), С. Η. Бернштейна,
составили исследования связи между скоростью убывания
погрешности приближения функции / (t) выбранными
тем или иным способом многочленами Pn(f, t) степени
η (при /ι-> оо) и дифференциально-разностными
свойствами f(t). Оказалось, что эти свойства, т. е.
наличие у f(t) производных, их гладкость и т. д., можно
в ряде случаев охарактеризовать через
последовательность приближающих полиномов и поведение
доставляемой ими погрешности (см. Приближение функций',
прямые и обратные теоремы). Этим давалась новая,
конструктивная характеристика непрерывных и
дифференцируемых функций. В первой трети 20 в. такая
проблематика была доминирующей в теории
приближения, что дало повод говорить о ней как о
конструктивной теории функций,
В 30—40-х гг. появились работы А. Н.
Колмогорова, Ж. Фавара (J. Favard) и С. М. Никольского,
к-рые положили начало новому направлению
исследований, связанному с приближением классов функций
конечномерными подпространствами и получением
точных оценок погрешности через задающие класс
дифференциально-разностные характеристики. Речь идет
об отыскании величин
sup μ(/, PN(f))t
fern
где μ (g, φ) — выбранная мера погрешности
приближения, Ш — нек-рый класс функций, а Р^(/, t) —
приближающий (вообще говоря, обобщенный)
полином, коэффициенты к-рого определяются выбором
метода приближения. Результаты такого рода
позволяют сравнивать методы приближения с точки
зрения их аппроксимативных возможностей и ставить
важную для приложений задачу отыскания для
данного класса функций оптимального (наилучшего)
приближающего аппарата (фиксированной размерности
N). Исследования в этом направлении, базирующиеся
как на изучении свойств конкретных методов
приближения, так и на самых общих положениях
функционального анализа, оказались весьма плодотворными
и в идейном отношении, т. к. привели к установлению
принципиально новых фактов о связи между
различными по характеру экстремальными задачами,
позволили выявить глубокие и тонкие зависимости в
теории функций. Благодаря этому оказалось возможным
до конца решить ряд экстремальных задач по
наилучшему приближению важнейших классов функций
(см. [5], [7], а также Приближение функций;
экстремальные задачи на классах функций).
О некоторых других аспектах П.ф.
На приближающую функцию φ(*)=φ(/, t) из 9t
могут накладываться дополнительные ограничения. Если
они не связаны с функцией / (напр., ограничения или
з функций 608
связи на коэффициенты приближающего полинома),
то дело фактически сводится к уточнению
приближающего множества У1. Новая ситуация возникает, если
ограничения на φ(/, t) связаны с приближаемой
функцией /; один из интересных случаев —
одностороннее приближение, когда φ(/, t)
из 31 должна удовлетворять неравенству φ (/, t) </ (t)
(или >) и погрешность оценивается в интегральной
метрике (см. [19]).
В прикладных задачах наряду с явно задаваемыми
функциями возникает необходимость приближать
кривые и поверхности, допускающие только параметрич.
задание; в качестве аппарата приближения могут
служить, напр., параметрич. сплайны. Меру погрешности
здесь естественнее всего определить через хаусдорфово
расстояние, к-рое хорошо учитывает геометрич.
близость таких объектов, и, напр., для кривых 1Х и 12
определяется равенством
г (1г, Z2) = max /maxminp (P, Q)t max min p(P, Q)\,
где ρ (Ρ, Q) — евклидово (или какое-нибудь другое)
расстояние между точками Ρ и Q. Хаусдорфово
расстояние является более предпочтительным при
выборе меры погрешности и в нек-рых ситуациях П.ф.,
напр. когда разрывную функцию нужно
аппроксимировать функцией гладкой (см. [16]).
Решение ряда задач теории П. ф. тесно связано с
исследованием экстремальных свойств полиномов по
тем или иным конкретным системам функций
(неравенства для производных многочленов, полиномы,
наименее уклоняющиеся от нуля, и др.). В частности,
доказательство обратных теорем П. ф. существенно
базируется на неравенствах, дающих оценку нормы
(или значения в фиксированной точке) нек-рой
производной алгебраического или тригонометрич.
полинома через те или иные характеристики самого
полинома. В этом направлении известен ряд точных
результатов, имеются обобщения на целые функции
(см. [6] - [10]).
Задача об алгебраич. многочлене (с фиксированным
старшим коэффициентом), наименее уклоняющемся от
нуля в метрике С или Lp на отрезке [а, Ъ],
эквивалентная задаче о наилучшем приближении функции Vх
многочленами степени п—1, исследовалась П. Л. Че-
бышевым (метрика С) и его учениками (метрика Lx).
Решение дают многочлены Чебышева первого (С) и
второго (Lx) рода и многочлены Лежандра (L2), имеющие
широкое применение как в теоретических, так и в
прикладных исследованиях. Известен ряд результатов
для более общего случая, когда на коэффициенты
многочлена накладывается несколько связей (см. [6]).
Задача о моносплайне минимальной нормы,
эквивалентная отысканию наилучшего приближения
функции tn сплайнами порядка п—1 со свободными узлами,
приобрела особое значение в связи с тем, что к ней
в ряде случаев сводится задача о наилучшей
квадратурной формуле (см. [17]).
О П. ф. в комплексной плоскости см. Приближение
функций комплексного переменного.
Лит.: [1] Ч е б ы ш е в П. Л., Вопросы о наименьших
величинах, связанные с приближенным представлением функций
(1859), Поли. собр. соч., т. 2, М.— Л., 1947, с. 151—235; [2]
Weierstrass К., «Sitzungsber. Akad. Berlin», 1885, S. 633—
639, 789—805; [3] Гончаров В. Л., Теория
интерполирования и приближения функций, 2 изд., Μ , 1954; [4]
Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.— Л., 1949;
[5] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории
приближения, М., 1976; [6] Д з я д ы к В. К , Введение в теорию
авномерного приближения функций полиномами, М., 1977;
7] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории
приближений, М., 1976; [8] Никольский СМ., Приближение
функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М.,
1977; [9] А х и е з е ρ Η. И., Лекции по теории
аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [10] Τ и м а н А. Ф., Теория приближе-

609
ния функций действительного переменного, М., 1960; [И] К
ορό в к и н П. П., Линейные операторы и теория
приближений, Μ , 1959; [12] А л б е ρ г Д ж., Нильсон Э., У о л ш
Д ж , Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972;
[13] Стечкин С. В., Субботин Ю. Н., Сплайны в
вычислительной математике, М., 1976; [14] Лоран П. - Ж.,
Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975; [15]
Коллатц Л.,Крабе В., Теория приближений. Чебышев-
ские приближения и их приложения, пер. с нем., М., 1978; [16]
С ендов В., Хаусдорфовые приближения, София, 1979; [17]
Никольский СМ., Квадратурные формулы, 3 изд., М.,
1979; [18] Завьялов Ю. С, Квасов Б. И.,
Мирошниченко В. Л., Методы сплайн-функций, М., 1980; [19]
Корнейчук Н. П., Л и г у н Α. Α., Доронин В. Г.,
Аппроксимация с ограничениями, К., 1982. Я. П. Корнейчук.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ; линейные
методы приближения — методы
приближения, определяемые линейными операторами. Если
в линейном нормированном пространстве функций X
в качестве приближающего множества выбрано
линейное многообразие ЭД, то любой линейный
оператор U, сопоставляющий функции /ζΧ функцию
£/(/, t)=(Uf)(t) из ЭТ так, что
U (*ih + α2/2, t) = axU (fl9 t) + a2U (/2, t)
(ax и a2 — любые числа), определяет линейный
метод приближения (л. м. п.) функций
пространства X функциями множества 3R. Л. м. п. наз.
проекционным, если £/(/, t)=f(t) для всех /
из 9ί, он наз. положительным, если U (/, £)>0
для неотрицательных функций f(t).
Наибольший интерес представляет конечномерный
случай, когда 9£=9ΐτν есть TV-мерное подпространство,
и тогда
~ (1)
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
610
V(f,t) = UN(f, t)=^=1ck(f)<pk(t),
где {(pfc (t) }i — базис 9?дг, а ck — нек-рые
определенные на X линейные функционалы. Выбор линейно
независимой системы {φ&(ί)}ι и набора функционалов
{ck}\ может определяться той информацией о
приближаемой функции /(*), к-рую предполагается
использовать при построении линейного метода. Если
Ck(f)=f(tk), где {**}ι — фиксированная система точек
в области определения функции f(t) и φ& (*,·)=0 при
гфк, <p*(ffc)=l, то UN(f, tk) = f(tk), Λ=1, . . ., Ν,
и имеют интерполяционный метод
(напр., интерполяционный многочлен Лагранжа,
интерполяционный сплайн). Если Х=Н — гильбертово
пространство функций и Cft(f) — коэффициенты Фурье
функции / по ортонормированной системе {φ&(*)}> то
суммы (1) дают линейный метод
ортогонального проектирования X на ЭДдг,
причем в этом случае
\f-UN(f)\\H = M /-Σ*-ια*Φ*
\Н
т. е. этот метод реализует наилучшее
приближение функции / линейными комбинациями функции
В теории л. м. п. функции особое внимание
уделяется проблеме сходимости. Пусть X — банахово
пространство, {φι(ί)> ф2(*)> ...} —линейно независимая
система функций из X, SJ}^ (#= 1, 2, . . .) —
подпространства, порожденные первыми N функциями этой
системы, Utf(N=l, 2, ...)—линейные
ограниченные операторы из X в ЭДдг. Сходимость £7дг(/, ή ->
->-/(*) (в смысле \\Utff—f\\x-> 0 при N -> <х>) для
любой функции f(t) из X имеет место тогда и только
тогда, когда 1) последовательность норм ||£7дг||
операторов £7дг ограничена (см. Банаха — Штейнхауза
теорема) и 2) С/^(/, t)->f(t) для всех функций f (t)
из множества А, всюду плотного в X. Эти условия
выполняются, в частности, в пространстве 2я-периоди-
ческих функций Lp=Lp[0, 2π] при 1<р<оо для
операторов Sn, определяемых суммами Фурье
Sn(f. 0=x + 2]fcl.1(«fccos*i + bfcsiiifci)i (2)
n=l, 2, ...,
функции / по тригонометрич. системе, причем в
качестве множества А, на к-ром проверяется условие 2),
можно взять множество всех тригонометрич.
полиномов. Если же X есть пространство С=С[0, 2π]
(непрерывных на всей оси с периодом 2π функций) или
£ь то ||iSJ|~ln п при п —>■ оо (см. Лебега константы)
и, следовательно, существуют в С и в Lx функции /(£),
к к-рым последовательность {£„(/, t)} не сходится
в соответствующей метрике. Так как в банаховом
пространстве функций X с нормой, инвариантной
относительно сдвига, для оператора U^ линейного
проектирования X на подпространство Тп тригонометрич.
полиномов порядка п справедливо неравенство \\U^\\^
^\\Sn\\ (см. [3]), то расходимость на С л Ьг имеет место
и для последовательности {U^}. В частности, это
имеет место на С для последовательности
интерполяционных операторов Лагранжа по любой треугольной
матрице узлов интерполирования. Аналогичные факты
отрицательного характера наблюдаются и в неперио-
дич. случае для операторов линейного проектирования
пространств С [а, Ь] и LJa, b] на подпространства Ап
(и=1, 2, . . .) алгебраич. многочленов степени п.
Факт расходимости последовательности (2) для нек-
рых функций из С побудил ввести в рассмотрение
различные усреднения сумм Фурье, не обладающие таким
недостатком. Таковы, напр., Фейера сумма, Бернштей-
на — Рогозинского метод суммирования, к-рые
являются частным случаем (при определенном выборе
числовых множителей λ|Ρ') полиномов вида
uUf, t)=^ + ^k=i%^Hakcoskt + bk^mkt)> (3)
д=1, 2, ....
Так как
^я(/. 0=^5Γ[τ + 2*.1λϊ,)οοβ*(ί-α)]/ΜΛ,(4)
то средние (3) входят в весьма широкий класс л. м. п.,
представимых в виде свертки функции / с нек-рым
(сингулярным) ядром, свойствами к-рого (в данном
случае свойствами треугольной матрицы чисел {λ/?'})
и определяется решение вопроса о сходимости. Если
lim λ(ΛΛ) = 1, Λ = 1, 2, ...,
то суммы (3) равномерно сходятся, когда f(t) —
тригонометрич. полином, и значит, выполнено условие 2)и
Для ограниченности норм Ufi, как операторов из С
в С, необходимо, чтобы
...+-2- = 0(1)
и \)р=0(1) равномерно по л и А=1, 2, . . ., п. Эти
условия становятся и достаточными для
ограниченности последовательности {||Z7nll}» если наложить на
матрицу {kty} нек-рые дополнительные требования
(напр., выпуклость или вогнутость по строкам). По
аналогии с (3) с помощью матрицы множителей {λ* }
строятся также средние на базе сумм Фурье — Чебы-
шева (для /ζ С [ — 1, 1]), а также на базе интерполя-
λ£">
λί">
ώ 20 Математическая энц., т. 4

611
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
612
ционных полиномов Лагранжа по узлам 2кл/(2п-\-\)
(в периодич. случае) или по узлам cos [(2/с —1)π/(2/ι-|-2)]
на отрезке [—1, 1] (см., напр., [6]).
Вопрос о сходимости линейных положительных
операторов Un, действующих из С [а, Ь] в Ап или из С
в Тп (в частности, операторов вида (4) с
положительным ядром), решается на трех пробных функциях
(см. [1]): для равномерной сходимости
последовательности Un (/, t) к f(t)£C [α, b] или к f(t)£C необходимо
и достаточно, чтобы это имело место для функций 1, t,
t2 или соответственно для функций 1, sin t, cos t.
Исследование погрешности приближения,
доставляемой л. м. п., сводится, чаще всего, к изучению скорости
сходимости Uw(f, t) к /(*), оценке погрешности
через дифференциально-разностные характеристики
приближаемой функции, выяснению вопроса о том, как
реагирует л. м. п. на улучшение ее гладкостных свойств.
При оценке аппроксимативных свойств л. м. п. (1)
естественным ориентиром служит наилучшее
приближение Ε (/, $ijv)x функции / подпространством 9ϊτν·
Лебега неравенство
\\t-S„(f)\\-c<E(f, Г„)-(1пл + 3) (5)
показывает в сопоставлений с Джексона неравенством
Я (/· Та-с<Мп-гч>(Ц'\ ί/η)
(ω (g, δ) — модуль непрерывности функции g£C),
что, хотя порядок приближения суммами Фурье
несколько хуже наилучшего (In n в (5) нельзя заменить
константой), эти суммы реагируют на любое
повышение порядка дифференцируемости приближаемой
функции. Для нек-рых Же л. м. п. порядок приближения
не может быть выше определенной величины, сколько
бы производных ни имела функция / (t) (эффект
насыщения). Так, порядок приближения
линейными положительными полиномиальными операторами
Uη не может быть выше О (п~2); для сумм Фейера
порядок насыщения О (л-1), для сумм Бернштейна —
Рогозинского 0(п~2). Интерполяционные сплайны при
определенном выборе узлов склейки обеспечивают
наилучший порядок погрешности приближения не только
самой функции, но и нек-рых ее первых производных —
в зависимости от степени многочленов, из к-рых склеен
сплайн (см. [7], [8]).
В отдельных случаях для конкретных л. м. п.
найдены точные или асимптотически точные оценки
погрешности на классах функций. Видимо, первый
нетривиальный результат такого рода был получен
А. Н. Колмогоровым, к-рый в 1935 установил, что
sup l\f-Sn(f)\\ =!§1™г + 0 (п-П,
где WK (г=1, 2, . . .) — класс функций /ζ С, у к-рых
/(r_1)(£) абсолютно непрерывна на [0, 2π] и почти всюду
|/(r>(£)| <Z. В дальнейшем аналогичного характера
результаты были получены для сумм Фурье (и для
нек-рых их средних) на других важных классах
функций, задаваемых, напр., мажорантой модуля
непрерывности г-й производной (см. [2], [6], [9]). Особый
интерес представляют л. м. п. (1), в точности
реализующие на том или ином классе функций верхнюю
грань наилучших приближений подпространством 9?дг.
Таким свойством для классов WK (г=1, 2, . . .)
обладают при определенном выборе λψ суммы вида (3),
напр., при r—i надо положить
λ in) ftJt * hn
k — 2n+2 C g 2n + 2 '
а также интерполяционные сплайны порядка г—1
дефекта 1 с узлами склейки kn/n (/с=0, 1,2,...) (см. [4],
а также Приближение функций] экстремальные задачи
на классах фупкций, Наилучший линейный метод).
Лит.: [1] К о ρ о в к и н II. П., Линейные операторы и
теория приближений, М., 1959; [2] Д з я д ы к В. К., Введение
в теорию равномерного приближения функций полиномами, М.,
1977; [3] Тихомиров В.М., Некоторые вопросы теории
приближений. М.. 1976; [4] Корнейчук Н. П.,
Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [5]
Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения
функций, 2 изд., М., 1954; [61 Τ и м а н А. Ф., теория
приближения функций действительного переменного, М., 1960; [7] А л-
берг Дж., Нильсон Э., У о л ш Д ж.. Теория
сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972; [8] С τ е ч к и н
С. В., С у б б о τ и н Ю. Н., Сплайны в вычислительной
математике, М., 1976; [9] С τ е п а Н е ц А. И., Равномерные
приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы,
К., 1981. Н. П. Корнейчук.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ; прямые и
обратные теоремы — теоремы и неравенства,
устанавливающие связь между
дифференциально-разностными свойствами приближаемой функции и
величиной (а также поведением) погрешности приближения
ее тем или иным методом. Прямые теоремы (п. т.) дают
оценку погрешности приближения функции / (t) через
ее гладкостные характеристики (наличие производных
определенного порядка, модуль непрерывности или
модуль гладкости самой функции / или нек-рой ее
производной и т. п.)· В случае наилучшего
приближения полиномами п. т. известны еще как теоремы
Джексона [1] и их различные обобщения и уточнения
(см. Джексона неравенство, Джексона теорема).
Обратные теоремы (о. т.) характеризуют
дифференциально-разностные свойства функций в зависимости от
скорости убыкания к нулю ее наилучших (или каких-либо
других) приближений. Задача получения о. т.
приближения функций впервые была поставлена, а в нек-рых
случаях и решена С. Н. Бернштейном [2].
Сопоставление п. т. и о. т. позволяет иногда полностью
охарактеризовать класс функций, имеющих те или иные глад-
костные свойства, с помощью последовательности, напр.,
наилучших приближений.
Наиболее проста связь между п. т. и о. т. в
периодич. случае. Пусть С — пространство непрерывных
на всей оси 2я-периодических функций с нормой
|/|-=max|/(i)|
E(f, Tn)= inf ||/-9|U
<реТп L
— наилучшее приближение функции / из С
подпространством Тп тригонометрич. полиномов порядка п,
ω(/, δ) — модуль непрерывности функции /ζ?; Сг
(г—1, 2, . . .) — множество г раз непрерывно
дифференцируемых на всей оси функций из С, С°=С. Пр я м а я
теорема: если /£СГ, то
п = 1, 2, ..., г = 0, 1, ...,
(1)
где константа Μ не зависит от п. Более сильное
утверждение состоит в том, что можно указать
последовательность линейных методов Un (гс—0, 1, . . .),
сопоставляющих функции f(t) из С полином {/„(/, t)£Tn
и таких, что для f£Cr погрешность ||/ — Un(f)\\g
оценивается правой частью (1). Обратная
теорема утверждает, что для /ζС
ω (f, δ) < Mb Σ^1 Ε (/, TVi), δ > 0, (2)
где Μ — абсолютная константа, [1/δ] — целая часть
числа l/δ, а из сходимости при нек-ром натуральном г
ряда
5J" пг-1ЕЦ, Тп-г)

МЗ привлижер
следует, что /£СГ, причем аналогично (2) можно
оценить ω(/(Γ>. 1/я) через Ε (/, Г„_т) (Λ--=1, 2, . . .) (см.
[4], [6], [12]). Из этих оценок, в частности, следует, что
если
E{f, Тп_1)=:0(п-г-а)^ г = 0} i? ###f о < α<1,
то/ζ С и /(Г)(0 удовлетворяет при 0<а<1
условию Гёльдера
|/(гЧП-/(г)(П|<# μ'-Πα> (3)
а при а= 1 — условию Зигмунда
|/(Γ)(ί')_2/(Γ) (£+*!)+/сг> (Г) |<ΛΓ|ί'_ί"|. (4)
Обозначив этот класс функции через КНг+а,
получают его конструктивную характеристику: f£KHr+a
тогда и только тогда, когда
2л-периодическая функция бесконечно
дифференцируема на всей оси в том и только в том случае, если
lim/f£(/, ZVi) = 0
для любого г=1, 2, ....
Аналогичные факты имеют место для приближения
периодич функций в метрике Lp[Q, 2π](1<ρ<οο),
а также для заданных на всей оси (не обязательно
периодич ) функций в случае приближения их целыми
функциями конечной степени (см. [7], [8]).
Известны п. т. и о. т. для /£С"\ использующие в качестве
дифференциально-разностной характеристики модуль
гладкости o)fe(/, δ) порядка fc=l, 2, . . . приближаемой
функции (или нек-рой ее производной) (см. [4], [8]).
Иначе обстоит дело в случае приближения на
конечном отрезке. Пусть С=С[а, Ь] — пространство
непрерывных на [а, Ь] функций с нормой
Л/||с= max |/(ί)|,
a<t<b
Cr=Cr[a, b] — множество г раз непрерывно
дифференцируемых на [а, Ъ] функций, С°=С, KHr + (X\a, b] —
класс функций, определяемый неравенствами (3) и (4)
при £', £"ζ[α, b]. Для наилучшего приближения
E(U Λ-ιί *, Ъ)= inf I/-pic, n = l, 2, ...,
функции f£Cr подпространством Лл/_х алгебраич.
многочленов степени /г —1 справедлива оценка вида (1)
через модуль непрерывности функции /(Г) на [а, Ь],
однако обращение, аналогичное периодич. случаю
(с неравенством вида (2)), здесь возможно лишь на
отрезке, лежащем внутри интервала (а, Ь). Напр., если
£(/, Лп_1; a, b)<Jlf#i-'-«, (5)
г = 0, 1, ..., О < а<1,
то можно лишь утверждать, что / принадлежит классу
КНг+а [ах, Ьг], определяемому неравенствами (3) (при
0<а<1) и (4) (при а=1) лишь на отрезке [аг, bjc
cz(o, b), причем константа К зависит от а, ах, Ьг и b
и может неограниченно увеличиваться, если аг —>► а,
дх -»» Ь, Существуют функции, не принадлежащие
классу ##Γ+α[α, Ь], для к-рых, однако,
E(f, i4n_i; α, 6) = 0 (*-'-*).
Напр.,
Я (l/T^T*, Л„_1; -1, 1) < 2/πη, η = 1, 2, ...,
хотя V^l— t2£KHa на [—1, 1] ни при каком a>V2.
Оказалось, что алгебраич. многочлены могут,
обеспечивая на всем отрезке [a, b] наилучший порядок при-
Е ФУНКЦИЙ 614
ближения функции /£С\ У концов отрезка
осуществлять приближение существенно лучшее (впервые этот
феномен был обнаружен С. М. Никольским, см. [3])
Если, в частности, /ζ/£#Γ+α[α, b], то при каждом
η>г существует многочлен pn(t)^An^1 такой, что
\f(t)-Pn(t)\<M[±}T(t-a)(b-t)+-L]r + a, (6)
a^t^b,
где константа Μ не зависит ни от п, ни от t. Это
утверждение, в отличие от (5), уже можно обратить: если для
/ ζ. С существует последовательность многочленов
Ρη(ί)ζΑη-ι таких, что при нек-рых г=0, 1, ... и
0<а<1 выполнено (6), то f£KHr+a[a, b]. Известны
п. т. и о. т. для f£Cr[a, b], использующие модуль
непрерывности и модуль гладкости (см. [4], [8]).
П. т., в к-рых даются порядковые оценки
погрешности через дифференциально-разностные
характеристики приближаемой функции, доказаны для
многих конкретных методов приближения (см. [6], [8],
[9]), в частности для сплайнов (наилучших и
интерполяционных [10]).
Известны п. т. и о. т. для приближения в хаусдор-
фовой метрике (см. [13]). Здесь возникают свои
особенности; в частности, характеризация классов
функций через их наилучшие хаусдорфовы приближения
связана не только с порядком этого приближения, но
и с величиной константы в соответствующем
неравенстве. О п. т. и о. т. в многомерном случае см.
Приближение функций] случай многих действительных
переменных.
Лит.: [1] Jackson D., Uber die Genauigkeit der Anna-
herung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen
gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ord-
nung, Gott., 1911; [2] Бернштейн С. П., О наилучшем
приближении непрерывных функций посредством многочленов
данной степени (1912), Собр. соч., т. 1, М., 1952, с. 11—104,
[3] Никольский СМ., «Изв. АН СССР. Сер. матем »,
1946, т. 10, № 4, с. 295—317; [4] Дзядык В. К., Введение
в теорию равномерного приближения функций полиномами, М.,
1977; [5] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи
теории приближения, М., 1976; [6] Тихомиров В. М.,
Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [7] Ахи е-
з е ρ Η, И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965;
[8] Тиман А. Ф., Теория приближения функций
действительного переменного, М., 1960; L9] Коровкин П. П.,
Линейные операторы и теория приближений» М., 1959; [10]
Стечкин С. В., Субботин Ю. Н., Сплайны в
вычислительной математике, М., 1976; [11] Даугавет И. К.,
Введение в теорию приближения функций, Л., 1977; [12] С τ е ч-
кин С. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1951, т. 15, № 3,
с. 219—42; [13] С е н д о в Б л., Хаусдорфовые приближения,
София, 1979. Н. П. Корнейчук.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ; случай
многих действительных переменных —
случай, когда приближаемая функция / зависит от двух
и большего числа переменных:
f(t)=f(h, f2, -··, *«), гп-^2
(см. Приближение функций). По сравнению с
одномерным случаем исследование вопросов приближения
функций т (т^2) переменных значительно
усложняется ввиду появления принципиально новых
обстоятельств, связанных с многомерностью. Прежде
всего это касается области, на к-рой осуществляется
приближение. Просто связный компакт (в
одномерном случае — отрезок) в Rm (даже на плоскости)
может иметь самую разнообразную конфигурацию, и
возникает необходимость классифицировать области
в зависимости, напр., от гладкостных свойств их
границ. Сложности появляются и при описании
дифференциально-разностных свойств функций т
переменных. Эти свойства могут быть, вообще говоря,
различными по разным направлениям, их характеризация
должна учитывать как геометрию области
определения, так и поведение функции при подходе к границе,
так что большое значение приобретает изучение гра-
20*

ais
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
616
ничных свойств функций. Если пытаться упростить
решение аппроксимационной задачи переходом к
области более простой структуры, то возникает проблема
возможности продолжения функции /из области QczRm
в нек-рую содержащую Q канонич. область Q1 (напр.,
в параллелепипед или на все пространство Rm) с
сохранением тех или иных гладкостных свойств (см.
Продолжения теоремы). Этот круг вопросов тесно связан
с вложения теоремами, а также с проблемами,
возникающими при решении краевых задач математич.
физики.
Увеличение числа независимых переменных,
естественно, усложняет и аппарат приближения, ибо
увеличивается его размерность при том же, напр.,
порядке полиномов. Алгебраич. многочлен степени пг,
. ., пт соответственно по переменным ίχ, . . ., tm
имеет вид
(1)
. "т
«ι, ..·, '■) = Σ«έι ft»**1···'*
(afc , .,h — действительные коэффициенты,
суммирование ведется по kv , ν— 1, . . ., т, от 0 до ην), так что,
напр., подпространство многочленов степени 3 по
каждому из т переменных имеет размерность 4т.
Иногда фиксируется суммарная степень многочлена д,
тогда суммирование в (1) распространено на индексы,
удовлетворяющие неравенству 0<:&!+. . .+AV <и.
Тригонометрический действительный полином порядка
ηΐι - - ·» пт по переменным tl9 . . ., tm может быть
записан в виде
Тпи .... пт (*ι, ···, tm) =
где комплексные коэффициенты ак , и с индексами
противоположного знака комплексно сопряжены, а
суммирование ведется по kv, ν=1, . . ., m, от —nv
до ην . Этот полином можно также представить в виде
линейной комбинации всевозможных произведений
вида <pfti(f) yh2(t2) . . . <pfcm(f«), гдеФ^ (ίν) есть либо
sin kvtv(0^:kv <niv), либо cos kvtv (0<:/cv <:«v).
Широкое применение находят многомерные сплайны,
«склеенные» до определенной гладкости из «кусков»
алгебраич. многочленов m переменных. В случае т—2
наиболее простой вид имеют сплайны, склеенные из
многочленов по прямым, параллельным осям
координат. В качестве аппарата приближения применяются
также функции g (tt, . . ., tm), являющиеся
полиномами или сплайнами лишь по нек-рым из переменных.
Для приближения непериодич. функций, заданных на
всем пространстве R,n (или на неограниченном
множестве из Rm), могут применяться целые функции
экспоненциального типа, прёдставимые в виде суммы
абсолютно сходящегося степенного ряда
Λι,.... Л/я (*!» ···» tm) =
<^*v>0, v=l, ...,m *i *« * " m
(2)
при условии, что для любого ε>0 при всех
комплексных flf i2f . . ., tm
\°пи...,пт(^ ··.. tm)\<MBexj>2£si(nv + e)\tv\,
где константа Με зависит только от ε (см. [1]). Следует
заметить, что в отличие от полиномов функция (2)
определяется бесконечным числом параметров.
В многомерном случае справедлива теорема
Вейерштрасса о возможности приблизить
непрерывную на ограниченном замкнутом множестве
Q<^Rm функцию f(t£C(Q)) или непрерывную на всем
пространстве Rm с периодом 2π по каждому
переменному функцию f(f£C(Rm)) алгебраическими
(соответственно тригонометрическими) полиномами с
любой наперед заданной степенью точности.
Аналогичный факт имеет место и в пространствах Lp (Q) и (в
периодич. случае) Lp(Rm) (1</?<оо). На линейные
нормированные пространства функций т переменных
распространяются общие факты и теоремы о свойствах
наилучшего приближения, о существовании,
единственности и характеристич. свойствах функции
наилучшего приближения, а также общие соотношения
двойственности для приближения выпуклым множеством
и, в частности, подпространством (см. [3], [4]). Однако
получение конкретных реализаций этих теорем с
учетом конкретной метрики и специфики приближающего
подпространства в многомерном случае сопряжено
с большими трудностями.
Более полно исследованы вопросы связи порядка
убывания наилучших приближений функций многих
переменных алгебраическими и тригонометрич.
полиномами, а также целыми функциями с гладкостными
свойствами приближаемой функции.
Пусть Q — произвольное открытое множество в Rm
(в частности, Q=Rm), e — единичный вектор из Rm,
Д>0 и Qhe — множество точек t£Q таких, что отрезок
[t, t+he]<z.Q. Если f£Lp(Q), 1<р<:оо, то величина
ωβ(/; &)lp(Q)= sup6 ||/ (t + he)-f (t)\\Lp{Qhe)
наз. модулем непрерывности
функции /(гъ . . ., tm) в метрике Lp(Q) по
направлению е. Величину
И/; 6)Ljp(Q)=:supcue(/; 6)L/?(Q)
наз. модулем непрерывности функции /
в Lp(Q).
В периодич. случае для наилучших приближений
Ещ .,П|я(Лг <ώτπ\ тригонометрич. полиномами
nmV'LpWn)
функции f£Lp(Rm), имеющей частные
(вообще говоря, обобщенные по Соболеву) производные
■/€MRm)
Drvf = ^-
v г
dtv\
(rv^0 — целые, D^f=f, v=l, . . ., т), справедливы
оценки
Епи ...tnm (fiZpiR")^
:*2L"v'™4(Z>;v/;»v-i)r
(3)
где ev — единичный вектор, направленный вдоль tv,
а константа Μ не зависит от / и ην. Для функции /
из Lp(Rm), имеющей обобщенные смешанные и
несмешанные производные
Dr д_г_ ~ R
1 т
(г=(гъ . . ., гт)) порядка г=гг+.
неравенства
.+гш, имеют место
Еп, ···, η (/)Zf/(RW)^
. м
(4)
Если
ω (£)г/; «)ϊ (R«,<««, 0 < α<1,

617
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
618
т. е. если функции Dr f удовлетворяют Гёлъдера ус- 1
ловию, то
Ёп „(/)Г,(ц«)<-^г. »· = 0.1 0<α<1. (5)
В последнем случае обратная теорема утверждает, что
если для функции f^7-p(Rrn) при всех и=1, 2, ...
справедлива оценка (5), то существуют производные
Drf£Lp(Rm), удовлетворяющие при любом h£Rm
неравенствам
\Drf (t + h)-Drf (t)liZp{Rm)<K\h\«, (6)
если 0<α<1, или
\\D>'f(t + h)-2D^(t)-Drf(t-h)\\Lp(Rm)^K\h\,(l)
если α=1, где К не зависит от длины \h\ = (hl+. . .+
+hmY/2 вектора Λ=(ΛΧ, . . ., ftm).
Теоремы, аналогичные приведенным, верны также
для непериодич. функций f£Lp(Rm), если в качестве
аппарата приближения применяются целые функции
экспоненциального типа. Приведенные результаты
распространяются также на классы функций, гладкость
к-рых описывается в терминах модулей непрерывности
(модулей гладкости) более высокого порядка (см. [1]).
В случае приближения функций / ζ Lp (Q) алгеб-
раич. многочленами Рп ^ Пт на ограниченном
параллелепипеде (и нек-рых других ограниченных
множествах) доказаны прямые теоремы, аналогичные (3),
(4) и (5). Обращение этих теорем, как и для функций,
заданных на конечном отрезке, возможно лишь на
множестве Qu лежащем строго внутри <?. Известны
обратные теоремы, предполагающие повышение
порядка приближения вблизи границы множества Q
(см [13]), а также прямые теоремы, утверждающие
возможность такого улучшения вблизи угловых
точек (см. [14]). Необходимые и достаточные условия,
обеспечивающие принадлежность функции / классу
Нс+а (Q) (определяемому в метрике C(Q) условиями,
аналогичными условиям (6), (7)) за счет повышения
порядка приближения вблизи границы (как в одномерном
случае), неизвестны (1983). Однако имеет место
следующий результат отрицательного характера (см.[13]).
Пусть Q={t : t£R.2, |f|<l}. He существует ни одной
определенной на Q последовательности функций
λ/ια)(|£|), /ι=1, 2, . . ., 0<α<1, обладающей
следующими двумя свойствами:
1) для всякой функции / из Не (Q) найдется
постоянная Μ и последовательность многочленов
'-w-2o<*1+*.<«-e*.^'i'» -1'2
таких, что
\f{t)-.Pn(t)\<Mkl*>(\t\)t t£Q; (8)
2) из того, что для определенной на Q функции /
существуют постоянная Μ >0 и последовательность
многочленов Pn(t), удовлетворяющих неравенству (8),
следует, что f£Hc(Q)-
В качестве других примеров, отражающих
специфику приближения функций многих переменных,
можно привести следующие результаты.
Пусть Ёщ щ (/) ~ — наилучшее приближение 2π-
периодической функции / двух переменных тригоно-
метрич. полиномами Тп >Пг в метрике X (X—C(R2)
или X = Lp(№)), а ЕЩ(Х (Λχ— наилучшее
приближение / в X функциями Тп ^, являющимися триго-
нометрич. полиномами порядка пх по переменному tXl
коэффициенты к-рых суть функции от t2. Аналогично
определяются величины J£ η8(Λχ·
Если 1<р<оо, то выполняются неравенства
Епи m (f)Zp (R2) ^ AP '^ii. °° (Dip ( R2) "+" Е°°* п2 (f)Zp(R*)),
где Ар зависит лишь от р.
Если же x=L,(R2) или X=C(R2), то
£ni,ni(/)J<i41n(2 + mininll n2})(Enu00(f)^ +
+ *-..», (/)χ), (9)
где А — абсолютная постоянная, и множитель In(2+
-j-minf/i!, тг2}) в неравенстве (9) нельзя заменить ни на
какой другой, растущий при min^, гс2}-> оо по
порядку медленнее (см. [15]).
Принципиальные особенности возникают в задачах
интерполирования функции многих переменных.
Напр., существование алгебраического
интерполяционного многочлена в отличие от одномерного случая
существенно зависит от расположения узлов
интерполяции. Разработаны, тем не менее, эффективные
способы построения полиномов и сплайнов,
интерполирующих функцию /(*!, . . ., tm) на определенным
образом выбранной сетке узлов (см. Интерполирование),
Для многомерных интерполяционных сплайнов в ряде
случаев найдены порядковые оценки погрешности
приближения как самой функции /, так и ее частных
производных, более детально исследованы в этом
направлении двумерные сплайны малого порядка, а
также локальные (эрмитовы) сплайны любого порядка
(см. [7], [10] — [12]). Среди других линейных методов
приближения функций многих переменных
сравнительно лучше исследованы кратные суммы Фурье и
их различные средние. Здесь известны порядковые
оценки приближения на классах функций, в нек-рых
случаях найдена точная асимптотика (см. [5], [6], [8]).
Лит.: [1] Никольский СМ., Приближение функций
многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [2]
Г утер Р. С, К у д ρ я в ц е в Л. Д., Левитан Б. М.,
Элементы теории функций, М., 1963, с. 106—98; 13]
Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М.,
1976; [4] Тихомиров В.М., Некоторые вопросы теории
приближений, М., 1976; [5] Д з я д ы к В. К., Введение в
теорию равномерного приближения функций полиномами, М.,
1977; Еб] Τ и м а н А. Ф., Теория приближения функций
действительного переменного, М., 1960; [7] Стечкин СБ.,
Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике,
М., 1976; [8] С τ е п а н е ц А. И., Равномерное приближение
тригонометрическими полиномами. Линейные методы, К., 1981;
[9] Лоран П. - Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер.
с франц., М., 1975; [10] Алберг Дж., Нильсон Э.,
У о л ш Д ж., Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ ,
М., 1972; [11] Завьялов Ю. С, К в а с о в Б. И.,
Мирошниченко В. Л., Методы сплайн-функций, М., 1980,
L12] Варга Р., Функциональный анализ и теория
аппроксимации в численном анализе, пер. с англ., М., 1974; [13]
Никольский СМ, «Сиб. матем. ж.», 1969, т. 10, № 5, с. 1075—
1083; [14] Б ρ у д н ы й Ю. Α., «Докл. АН СССР», 1970, т. 195,
№ 5, с. 1007—09; [15] Темляков В Н, «Докл. АН СССР»,
1975, т. 223, с. 1079—82. В. Н. Коновалов, Η Π Корнейчук.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ;
экстремальные задачи на классах функций —
задачи, связанные с отысканием верхней грани
погрешности приближения на фиксированном классе
функций и с выбором для него наилучшего в том или
ином смысле аппарата приближения. Начало
исследованиям по экстремальным задачам П. ф. положили
работы А. Н. Колмогорова (см. [1] — [2]), Ж. Фавара
(см. [3] — [4]) и С. М. Никольского (см. [5]—[6]).
Широкое развитие эти исследования получили
начиная с 50-х гг. 20 в.; они стимулировались
потребностями вычислительной математики, все больше
сталкивавшейся с задачами оптимизационного содержания.
Если в нормированном функциональном простран-
| стве X рассматривается П. ф. из класса *Ш функциями

619
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
620
фиксированного множества tylCZX, то интерес
представляют задачи отыскания величин
где
Ε (Ж 9t)* = sup E(ft Ш)х,
fern
E(ft 5R)X= inf ||/-φ ||x
(pern
(1)
— наилучшее приближение функции f(t) множеством
9ΐ, а также
<§№, 31, U)x = suV\\f-Uf\\x, (2)
f € ЭД
где С/ — нек-рын конкретный метод приближения,
задаваемый тем или иным оператором, действующим
из X в Щ. С геометрич. точки зрения верхняя грань (1)
характеризует величину уклонения множества *Ш от
9? в метрике X. Практич. смысл величины Ε (9Л, 9i)x
можно видеть в том, что она, во-первых, дает
минимально возможную оценку сверху для наилучшего
приближения множеством 9Ϊ функции, о к-рой
известно только, что она принадлежит классу Ш, а во-
вторых, является определенным ориентиром при
оценке и сравнении аппроксимативных возможностей
конкретных методов приближения на классе 9Л· Что
касается величины (2), то наиболее важным является
случай, когда 9i=9iiv есть TV-мерное подпространство,
U — линейный метод приближения. Известен целый
ряд точных и асимптотически точных результатов до
приближению классов функций конкретными
линейными методами (в частности, полиномами и
сплайнами) (см. [1]—[12], [19]), но особый интерес
вызывают методы, реализующие точную нижнюю грань
£№. 31n)x= inf <£(Ш1, 9i/y, U)Xf
и χ cm
(3)
Ν
распространенную на все линейные ограниченные
операторы U из X в ЭДдг, т. е. линейные методы,
наилучшие для класса Ш. Ясно, что всегда
E(wi, 9Ых<<£№ 9Ых,
и, естественно, возникает вопрос о возможности здесь
знака равенства. Помимо тривиального случая, когда
X — гильбертово пространство функций и наилучшее
приближение каждой функции доставляют суммы
Фурье по ортонормированному базису 9?м известны
ситуации в негильбертовом пространстве, когда
линейный метод реализует наилучшее приближение на
всем классе *Ш.
Так, если X — пространство 2я-периодических
функций Ър=Ър[0, 2π] (1 </?^оо), Шт-г —
подпространство тригонометрич. полиномов порядка п—1 (dim^L-i—
= 2п—1), MWp(r=l, 2, . . .) — класс функций f£Lp,
у к-рых jir~l){t) абсолютно непрерывна на [0,2π] и
II/IL- <м, то
Lp
E(MWrp, Wli-ik =<£(MWrPi SRi/i-i)z =MKrn-r,
Ρ Ρ
/7 = 1, оо; тг, r = l, 2, ...,
где Кг — константы Фавара, причем наилучшее
приближение на классах MW[ и MWL реализует
линейный метод Un-i, построенный на базе сумм Фурье
(см. Приближение функций', линейные методы
приближения, формула (3)) при определенном выборе
множителей λ^_1)=λ^-1) (г). Построены линейные
операторы со значениями в 9ίίη-ι, реализующие верхнюю грань
наилучших приближений на классах сверток,
включающих, в частности, классы MWL и MW[ с
дробными г>0, а также классы сопряженных функций
(см. [10], [И]).
Для приближения подпространством Sfn 2л-периоди-
ческих сплайнов порядка т дефекта 1 с узлами
склейки kn/n (dim £^=2я) справедливы равенства
E{MWrp,Sr,-n1)L = £(MWrp, Si^h =MKrn~r,
Ρ Ρ
ρ = 1, оо; η, г = 1, 2, .,.;
наилучшим линейным методом здесь являются сплайны
σλ_ι(/, t) из Sr2nl, интерполирующие функцию f(t)
в точках кл/п, если г четно, и в точках кп/п-\-п/2п,
если г нечетно. Относительно класса ΜWio эти
сплайны обладают исключительными аппроксимативными
свойствами, т. к. наилучшим образом приближают
функции i(t)^MWL в любой метрике Lp (см. [7]).
Перечисленные случаи, когда величины (1) и (3)
совпадают и удается построить конкретный линейный
метод, решающий сразу обе задачи, являются, в
известном смысле, идеальными. Б других ситуациях
эффективным при решении задачи (1) оказывается подход,
основанный на использовании общих теорем
двойственности, отражающих фундаментальные
соотношения геометрии выпуклого анализа (см. [7], [8]). Если,
напр,, X — произвольное линейное нормированное
пространство, X*— ему сопряженное, 9Ϊ — выпуклое
множество в X, то для любого элемента χζΧ
Ы||ж~и||= sup [F(x)~sup F (и)]; (4)
в частности, если 9ΐ — подпространство, то
inf \\x — u\\ = suv{F (x): F£X*t ||/Π|<1,
we Я
F(u)=0 Чи£Щ. (5)
Соотношения (4) или (5) позволяют в ряде случаев
свести вычисление или оценку верхней грани (1) к
более обозримой задаче на экстремум явно
задаваемого функционала на нек-ром множестве функций,
связанных, если 91 — подпространство, условиями
ортогональности. Например, используя (5), оценку
Ε(Wq, W£n_^)~L (1<P> g<oo) можно свести с помощью
известных неравенств к вычислению верхней грани
норм \\g\\q, (q' = q/(q—l)) на множестве функций
g£Wp,(p' = p/(p — i)) таких, что
Более тонкая ситуация возникает, если задача (1)
решается на классах, задаваемых ограничениями не на
норму г-й производной f(r)(t)> а на ее модуль
непрерывности ω(ί<Γ\ δ)χ, в частности когда Ш= WrH® (r=
= 0, 1, . . .; νΡ°//ω=#ω)—класс 2л-периодических
функций f£Cr (C°=C), у к-рых
ω (/<'>, б)с*=а>(/е\ δ)<ω(δ),
где ω (δ) — заданный модуль непрерывности, напр.
ω(δ)=Μδα (0<α<:1, 0<δ<π) Здесь применение (5)
требует использования тонких свойств
дифференцируемых периодич функций типа теорем сравнения п
Колмогорова неравенств (для норм производных),
но описываемых с помощью аппарата перестановок
(равноизмеримых функций). При условии выпуклости
вверх ω (δ) справедливы равенства (см. [7], [13]),
EiW'H», Wln-ih = E(WrH<», Sr2n)x = l\fnr(«>)\\x,
'тг = 1, 2, . ; ; =0, 1,
где Х=С или £ъ /„Γ(ω, t) — функция из WrH®
периода 2 л//г с нулевым средним значением на периоде,

621
у к-рой /(Γ)(ω, t) четна, равна [ ω (лIn—2t)]/2 на [О,
π/2η] и равна — [ω{2ΐ—π/η)]/2 на [π/2/г, π/η]. Нормы
\\ίητ(ω)\\χ Допускают явное выражение, напр.:
ΙΙ/«ο(ω)||~=γω(π/Μ),
г = 1, 2
рекуррентно
II/яг Ν% =2^ $* Фг (n-t) ω (///г) di,
где функции Ф&(0 задаются на [0, π]
Φι(ο=4·
Решение задач о наилучшем для класса WH®
линейном методе из С в 9ϊίη-ι или в S2n известно в случае
ω(δ) = Μ6 (0<б<:л), т.е. когда WrH^=MWrJ\
Интерполяционные сплайны σΓ(/, ί) из S2n реализуют
верхнюю грань E{WrH^, S2n)^ (при любом выпуклом
ω (б)) лишь в случае г=1.
При решении экстремальных задач на классах
функций, заданных на конечном отрезке и не связанных
жесткими краевыми условиями, нельзя ждать
результатов в столь совершенном, как в периодич. случае,
виде: на экстремальных функциях сказывается
возмущающее действие концов промежутка, к-рое
усугубляется с увеличением порядка дифференцируемости.
Здесь известны нек-рые результаты с точной
асимптотикой. Если MWrH<*(r=0,i, . . .; 0<α<1, MW°H^=
= М#а) — класс функций f(t)£Cr[ — \, 1], у к-рых
|рт(/')-/ЧОК1|г'-Па(^ *"€[-!, 1]),
то для наилучшего равномерного на [ —1, 1] прибли-
многочленов
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ 622
приближения при наличии ограничений, задаваемых
с помощью конуса.
Отыскание наилучшего аппарата приближения
(фиксированной размерности) для данного класса функций
Ш приводит к задачам о поперечниках: найти
величины (см. (1) и (3))
жения подпространством 9?п алгебраич
степени п—1 имеют место соотношения
lim п<*Е(МНа, Ч1п)с = Мп<*12,
lim n'
r + aE(MWrH*, Шп)с~--=
Ц- [πΦΓ(κ — 1)ΐα dt, r = l, 2,
(β)
О)
к-рые полезно сравнить с соответствующими
результатами в периодич. случае; при а=1 правые части (€)
и (7) равны соответственно ΜΚλ и МКг + 1. Отказавшись
от многочленов наилучшего приближения, можно
усилить эти результаты, существенно улучшив
приближение у концов отрезка [ — 1, 1] без потери наилучшей
асимптотики на всем промежутке. Напр., для любой
f£MHa существует последовательность алгебраич.
многочленов /?„(/, t) £9?/? таких, что равномерно по
ίξ[ — 1, 1] при η -+ оо
\f(t)-Pn(f, *)l<f [(^νϊ=Γ2)α + ο(η-«)] =
= Ε(ΜΗ*, ^)c[(l-*T/2 + 0(l)l·
Аналогичный факт имеет место для функций классов
MWH1 (г=1, 2, . . .) (см. [11]). В задачах
приближения сплайнами (наилучшими и интерполяционными)
классов функций, заданных на отрезке, известны нек-
рые точные (гл. обр., для сплайнов малого порядка)
и асимптотически точные результаты (см. [1.5J).
В случае одностороннего приближения (в
интегральной метрике) известен ряд точных результатов
по оценке погрешности наилучшего приближения
полиномами и сплайнами на введенных выше классах
функций (см. [19]). При их получении существенно
использовались соотношения двойственности для наилучшего
d'N№, X) = ini£m, $lN)x,
%
где нижние грани берутся по всем подпространствам
9ΐτν из X (и их сдвигам) размерности Ν, а также
указать экстремальные (наилучшие) подпространства,
реализующие эти нижние грани. Оценки сверху для d^
и d'jsi дают найденные для конкретных подпространств
4lN величины Е(Ш, ^\n)x и ©(9Я, 9Ых, основная
трудность в задаче о поперечнике обычно состоит
I в получении точных оценок снизу. В ряде ситуаций
получить такие оценки удается, привлекая топологич.
соображения, в частности теорему Ворсука об
антиподах (см. [8]). Практически во всех случаях точного
решения задачи о наилучшем приближении классов
MWrp и ]ΥΓΗω периодич. функций подпространствами
Ш1п_1 (тригонометрич. полиномов порядка п— 1) и
S^n (сплайнов нек-рого порядка т дефекта 1 по
разбиению hnln) найденные точные верхние грани £(9Лт
$In)x дают и значения поперечников dN этих классов,
причем оказалось, что для периодич. классов d2n_1=d2rr
В частности (см. [7], [8]) ,
d2n~i{Wrx, C) = din(Wr„, C) = d2n.1(Wru Z,) =
= d2a(Wru l1) = Krn-r,
n, r=l, 2, ...,
а при выпуклом вверх ω (δ) и Х=С или L1
dm-^WrHa, X) = d2n(W'H<», Χ) = ||/,ΙΓ(ω)||χ,
тг = 1, 2, ...; r = 0, 1, ...
Следует отметить, что подпространство )Rln-i является
наилучшим для рассматриваемых классов при всех г
и никакое подпространство размерности 2η не дает на
этих классах лучшее приближение, чем 'Dia/i—ι
(имеющее размерность 2м—1). Подпространство сплайнов
Sfn является наилучшим для классов Wr^1 и WrH^ в С
при т=г и для класса Wp+1 в Lx при т^г. Линейные
поперечники d^ классов \УГЖ в С и W[ в Lx совпадают
с dN, они реализуются на подпространствах Шт-ι и
S2n* наилучшими линейными методами, о к-рых
упоминалось выше. Поперечники dN и d'u класса Wr2 в Ъ2
при N=2^1—1 и N=2n равны и реализуются суммами
Фурье по тригонометрич. системе. Для поперечников
классов функций, заданных на отрезке, в ряде случаев
известна точная асимптотика; поперечники d^ и d^
классов \УГЖ в С [—1, 1] совпадают и реализуются
интерполяционными сплайнами порядка г —1 по
неравномерному разбиению (см. [8]).
Задачу оценки погрешности приближения на
множестве Хг г-х интегралов от функций из X (не
являющемся локально компактным) можно сделать корректной,
если оценивать для/£Хг при фиксированном γ>0
величину
Ε (/, 9ΐ;ν)χ/ω (/С), у)х
(ω(#, δ)χ — модуль непрерывности функции g в
пространстве X) или (в случае приближения конкретным
методом) величину
||/-^/[Ιχ/ω(Ρ\ у)х.

623
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
624
Отыскание точных верхних граней этих величин на
множестве Хг равносильно нахождению наименьшей
константы в соответствующем Джексона неравенстве;
можно затем говорить о минимизации по всем
подпространствам размерности N. В ряде случаев эти задачи
решены. Напр., в неравенстве
Я (/,S*i)£<Mr*-r<» (/<'>, π/*)~, /€^,
наименьшая константа Мг—Кг12^ причем она не может
быть уменьшена, если Sr2n заменить любым другим
подпространством той же размерности (см. [14]). Известны
точные константы в неравенстве Джексона для
приближения тригонометрич. полиномами в равномерной и
интегральной метрике (см. [7]). В непериодич. случае есть
результаты с точной асимптотикой.
Среди экстремальных задач, в к-рых приближающее
множество, не будучи линейным многообразием,
является выпуклым множеством, интерес представляют
задачи наилучшего приближения одного класса
функций Ш другим классом 9Ήι с лучшими, в том или ином
смысле, гладкостными свойствами. Сначала такая
задача возникла как промежуточная при получении точной
оценки для
Ε(ΗωΜΪη-ι)δ (®1 = Ηω, ®1ι = MWl)
(см. [7]); в дальнейшем ее стали рассматривать как
самостоятельную, причем в ряде случаев использование
соотношения (4) позволило получить точный результат.
При
mi = M2W% (0<r < k).
здесь обнаруживается связь с задачами о неравенствах
между нормами производных и о наилучшем
приближении оператора дифференцирования линейными
ограниченными операторами (см. [16]).
Многие экстремальные задачи приближения функций
можно интерпретировать как задачи оптимального
восстановления (см. [15], [17], [18]). Пусть информация о
функции f£X задается вектором Г(/, Λ)={λ1(/), ... ,
λ/ι(/)}, где Afe — заданные на X функционалы (напр.,
значения функции f(t) или (и) нек-рых ее производных
в фиксированных точках). Зная, что / принадлежит
классу *Ш, требуется по информации Г(/, Λ)
восстановить с наименьшей погрешностью функцию / или
значение L (/) на ней нек-рого линейного функционала (напр.,
£(/)=/(0» E(f) = \ f(t)dt и т. п.). Минимизация может
предполагаться не только по методам S,
сопоставляющим вектору Г(/, Λ) функцию φ(0~/(0 (или
функционал Ζ (/)«£(/)), но также и по наборам функционалов
Xk (fc=l, ... , Ν). Β зависимости от выбора меры
погрешности и класса методов S задача оптимального
восстановления функции может быть иногда сведена к
отысканию поперечников άχ или йдг, чебышевского центра
или других характеристик класса *Ш. Оптимальное
восстановление интеграла \ f(t)dt по информации вида
{f(h)} или {/(V)(*fe)} приводит к задаче о наилучшей
квадратурной формуле для класса 9Л- Наилучший
аппарат восстановления в ряде случаев доставляют
сплайны, так, напр., сплайны σΓ_ι(/, t) из 55η1»
интерполирующие в равностоящих точках ^, восстанавливают
функции / из \УГЖ по информации hk(f)=f(tk) в каждой
точке i^ift с минимально возможной на всем классе
V?^o погрешностью.
В пространствах функций двух и большего числа
переменных, если не считать тривиального случая
приближения в гильбертовом пространстве, точных
решений экстремальных задач почти нет (1983). В немногих
случаях известны асимптотически точные соотношения
для погрешности равномерного приближения классов
функций суммами Фурье и нек-рыми их средними
(см. [12]).
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «Ann. Math.», 1935,
v. 36, *No 2, с. 521—26; [2] его же, там же, 1936, v. 37, № 1,
р. 107—10; [3] Favard J., «С. г. Acad, sci.», 1936, t. 203,
p. 1122—24; [4] e г о ж е, «Bull. sci. math.», 1937, t. 61,
p. 209—24, 243—56; [5] Никольский СМ., «Тр. МИАН
СССР», 1945, т. 15, с. 1—76; [6] е г о же, «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1946, т. 10, с. 207—56; [7] Корнейчук Н. П.,
Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [8] Τ
Ηχο м и ρ о в В. М., Некоторые вопросы теории приближений,
М., 1976; [9] Д з я д ы к В. К., Введение в теорию
равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [10] Ахи-
е з е ρ Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965;
[И] Тиман А. Ф., Теория приближения функций
действительного переменного, М., 1960; [12] Степанец А. И.,
Равномерные приближения тригонометрическими полиномами.
Линейные методы, К., 1981; [13] Корнейчук Н. П.,
«Матем заметки», 1976, τ 20, №5, с. 655—64; [14] его же,
«Укр. матем. журн.», 1979, т. 31, № 4, с. 380—88; [15] е г о ж е,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1981, т. 45, №2, с. 266—90;
[16] Арестов В. В., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1975,
т. 138, с. 3—28; [17] Великий В. Л., «Матем. заметки»,
1977, т. 22, № 5, с. 663—70; [18] Л и г у н Α. Α., «Anal. Math.»,
1979, v. 5, № 4, p. 269—86; [19] Корнейчук Η. П., Л и-
г у н Α. Α., Д о ρ о н и н В. Г., Аппроксимация с
ограничениями, К., 1982. Я. Я. Корнейчук.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО — раздел комплексного анализа,
изучающий вопросы приближенного представления
(аппроксимации) функций комплексного переменного
посредством аналитич. функций специальных классов.
Основными в теории П. ф. к. п. являются задачи о
возможности приближения, скорости приближения и об
аппроксимационных свойствах различных способов
представления функций (интерполяционных
последовательностей и рядов, рядов по ортогональным
многочленам и многочленам Фабера, разложений в непрерывные
дроби и аппроксимаций Паде, последовательностей
полиномов из экспонент и рядов Дирихле и т. п.).
Теория П. ф. к. п. тесно связана с другими разделами
комплексного анализа и математики в целом; в теории
приближений важную роль играют методы и
результаты конформных отображений, интегральные
представления, теория потенциала, теория функциональных
алгебр и др.
Центральная проблематика теории П. ф. к. п.
относится к приближению функций многочленами и
рациональными функциями, в частности многочленами и
рациональными функциями наилучшего приближения
(существование, характеристич. свойства,
единственность), а также экстремальные задачи и различные
оценки для многочленов и рациональных функций
(оценки роста, неравенства для производных,
многочлены и рациональные функции, наименее уклоняю-
| щиеся ОТ нуля, И Т. П.). А. А. Гончар.
I Приближение функций комплексного переменного
многочленами и рациональными функциями. В этом
разделе теории П. ф. к. п. можно выделить несколько
направлений.
1) Изучение возможности
приближения функции / (ζ) комплексно! о переменного ζ с любой
наперед заданной точностью посредством многочленов
и рациональных функций от ζ в зависимости от свойств
того множества Е, на к-ром задана / и на к-ром
происходит приближение, от свойств метрики уклонения ρ
и, наконец, от свойств самой функции /.
2) Изучение свойств многочленов и
рациональных функций наилучшего
приближения, т. е. таких многочленов Рп {z; f,E, ρ)
и рациональных функций Rn(z; /, Ε, ρ) степени не выше
п, п=0, 1, ... , для к-рых
def
p(f, Рп(г; f, E,p)) = E„(f, E,p)=inl{p(f, P):fogP<n],
def
I p{f,Rn(z;f,E,p)) = RH(f,E,p)=.mi{ptf,R):aegR<n),

625 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ I
где нижние грани берутся соответственно по всем
многочленам Ρ (ζ) степени deg P <:л и рациональным
функциям R (ζ) степени deg R <:л (либо по части множества
таких многочленов или рациональных функций,
выделяемой какими-либо дополнительными условиями). По
существу здесь идет речь о свойствах решений нек-рого
класса экстремальных задач. Сюда можно отнести
также изучение и других экстремальных задач на
множествах многочленов, рациональных функций и на нек-рых
классах аналитич. функций, а также исследования
аналитич. свойств многочленов и рациональных
функций (в частности, получение неравенств между
различными нормами этих функций и их производных).
3) Изучение зависимости скорости убывания к нулю
величин Ε (/,£", ρ) и Rn(f, Ε, ρ) при η -+ оо от свойств
/, Ε и р (так наз. прямые теоремы теории
приближения) и зависимости свойств функции / от
скорости убывания^ En(f, Ε, ρ) или #„(/, Ε, ρ) κ нулю при
η ->- оо и свойств Ε и ρ (обратные теоремы).
С этим направлением неразрывно связано изучение
возможностей известных методов П. ф. к. п. (таких,
как ряды по Фабера многочленам, различные
интерполяционные процессы и т. п.) и отыскание новых
эффективных методов приближения.
4) Приближение функций нескольких комплексных
переменных. Здесь решаются в основном те же задачи,
что и в случае одного переменного, однако результаты
и методы их получения, как правило, резко отличаются
от случая одного переменного.
Ниже отмечены нек-рые основные результаты.
1) Задачу о возможности сколь угодно хорошего
равномерного приближения многочленами решают Рунге
теорема (в случае аналитичности /на Е), Лаврентьева
теорема (непрерывность / на Е), Келдыша теорема
(Е — замкнутая область, / непрерывна на Ε и анали-
тична внутри Е), Мергеляна теорема (в общем случае:
Ε — компакт, / непрерывна на Ε и аналитична во
внутренних точках Е).
2) Задачу о возможности приближения голоморфной
функции на замкнутом подмножестве Ε расширенной
комплексной плоскости С решает теорема Рунге. При
изучении возможности приближения функций / из
различных пространств в метрике этих пространств
посредством рациональных функций важную роль играют
количественные характеристики множеств есС,
аналогичные аналитической емкости у(е). В терминах у(е)
задача об описании компактов Е, на к-рых любая
непрерывная функция с любой точностью приближается
рациональными функциями, решается следующим
образом: необходимо и достаточно выполнение либо
условия
(а) γ(σ(Γ, а)\Е) = у(а (г, а)) = г
для любого круга о(г, α)= {ζ : \ζ—а|<г}, а£С, г>0;
либо условия
(б)"Йт r-2v(a(r, а)\Я) = оо
г-* О
для любого а£Е (эквивалентность условий (а) и (б)
выражает т. н. «неустойчивость» аналитической
емкости).
3) Если Ε ограничено и измеримо по Лебегу и 1 <р <
<2, то множество всех рациональных функций плотно
в пространстве Lp (E).
4) Если р>0, G — односвязная область с жордановой
спрямляемой границей, то семейство всех многочленов
от ζ плотно в Смирнова классе Ε JG) тогда и только тогда,
когда G — Смирнова область.
5) Пусть комплекснозначные функции φχ(ζ), ... ,
φ„(ζ), f(z) непрерывны на компакте EczC, /г>1. Среди
всех обобщенных полиномов вида
P(z)==c1(p1(z)+...-h^cp«(z)
МПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 626
(си ... , сп — произвольные комплексные числа)
обобщенный полином P0(z) является наименее
уклоняющимся от / по метрике
рс(/, P)=max{\f(z)-P(z)\:z£E)
тогда и только тогда, когда
min{Re[P (ή (Ро (*)-/(*))]:*€£.
|/(z)-P0(2)| = pc(/, Λ>)}<0
для каждого Ρ (ζ).
6) Если Ε — компакт со связным дополнением G
и в G существует Грина функция (первой краевой задачи
для уравнения Лапласа) g(z, оо) с полюсом в оо, то
при ζ ς G для любого многочлена Ρ (ζ) степени η
справедливо неравенство
\P(z) |<Mexp{n*(z, oo)},
7kf = max{|P(z) \:z£E].
7) Если Ε — ограниченный невырожденный
континуум со связным дополнением £?, /(ζ) непрерывна на Ε
с модулем непрерывности ω (6) и аналитична во
внутренних точках Е, то
Дя(/, Я,Рс)<С(/)ш(й(!^)),
где
d(f) = max{min{| ξ — ζ|:ζζ<?,
2 (ζ, *>) = \n(i + t)}:z£dG}.
Если замкнутая область G ограничена аналитической
кривой Г, то условие
En{f,E, 9с) = 0(п-Р-а)
эквивалентно выполнению для /(^> (z) в G условия Гёль-
дера порядка а, 0<а<1. Изучен также случай, когда
Г — кусочно гладкая кривая с углами.
8) В ряде случаев эффективным аппаратом
приближения аналитич. функций являются различные
интерполяционные процессы, в том числе Ладе
аппроксимации и их обобщения.
9) При Ai^2 в С" существуют как незамкнутые жор-
дановы кривые, на к-рых не каждая непрерывная
функция равномерно с любой точностью приближается
многочленами от (zb ... , zn), так и замкнутые жордановы
кривые, на к-рых многочленами равномерно
приближается любая непрерывная функция. ВС1 это невозможно.
10) К настоящему времени (1983) имеется
сравнительно мало прямых теорем теории приближения
рациональными функциями со свободными полюсами (т. е.
без всяких условий на расположение полюсов
приближающей функции) и значительное количество обратных
теорем. е. п. Долженко.
Лит.: [1] Гончаров В. Л., Теория интерполирования
и приближения функций, М., 1954, [2] У о л ш Д ж. Л.,
Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в
комплексной области, пер. с англ., М., 1961 (там же, Приложение:
Мергелян С Н.,0 некоторых результатах в теории
равномерных и наилучших приближений полиномами и
рациональными функциями, с 461—99); [3] Смирнов В.И.,
Лебедев Η. Α , Конструктивная теория функций комплексного
переменного, М.—Л., 1964, [4] Дзядык В. К., Введение
в теорию равномерного приближения функций полиномами, Μ.,
1977, [5] Русак В. Н., Рациональные функции как аппарат
приближения, Минск, 1979; [6] Гамелин Т., Равномерные
алгебры, пер. с англ., М., 1973; [7] Л е о н τ ь е в А. Ф., Ряды
экспонент, М., 1976; [8] Некоторые вопросы теории
приближений, пер. с англ., М., 1963; [9] К е л д ы ш М. В., «Докл. АН
СССР», 1936, т. 4, с. 163—66; [10] Лаврентьев Μ. Α.,
«Тр Физ.-матем. ин-та АН СССР», 1934, т. 5, с. 159—245, [11]
Колмогоров А. Н., «Успехи матем. наук», 1948, т. 3,
в. 1, с. 216—21; [12] Мергелян С. Н., там же, 1952, т. 7,
в. 2, с. 31—122; [13] В и τ у ш к и н А. Г., там же, 1967, т. 22,
в. 6, с. 141—99; [14] Джрбашян Μ. Μ., «Матем сб »,
1955, т. 36, с. 353—440; [15] Гончар Α. Α., в кн.: Тр
Международного конгресса математиков. Москва, 1966, М., 1968,
с. 329—56; [16] Долженко Е. П., Ульянов Π Л.,
«Вести. Моск. ун-та. Сер. матем. Мех.», 1980, № 1, с. 3—13;
[17] Мергелян С. Н., в кн.: Математика в СССР за сорок

627 привл
лет, т. 1, М., 1959, с. 383—98; [18] Гончар Α. Α., Μ е ρ г е-
лян С. Н., в кн.: История отечественной математики, т. 4,
кн. 1, К., 1970, с. 112—93; [19] Тамразов П. М.,
Гладкости и полиномиальные приближения, К., 1975; [20]
Мельников М. С, Синанян С. О., в кн.:
Современные проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 143—250.
ПРИБЛИЖЕНИЯ ПОРЯДОК,
аппроксимации порядок,— порядок погрешности
приближения как переменной величины, зависящей от
непрерывного или дискретного аргумента τ, относительно
другой переменной φ (τ), поведение к-рой, как правило,
считается известным. Обычно τ — нек-рый параметр,
являющийся числовой характеристикой
приближающего множества, (напр., размерность этого множества)
или метода приближения (напр., шаг интерполяции);
при этом множество значений τ имеет конечную или
бесконечную предельную точку. Функция φ (τ) — чаще
всего степенная, показательная или логарифмическая.
В качестве φ (τ) может фигурировать непрерывности
модуль приближаемой функции (или нек-рой ее
производной) или его мажоранта.
П. п. характеризует как аппроксимативные
возможности метода приближения, так и определенные
свойства приближаемого объекта, напр., дифференциально-
разностные свойства приближаемой функции (см.
Приближение функций; прямые и обратные теоремы).
В численном анализе П. п. численного метода,
имеющего погрешность 0(hm) (h — шаг метода), наз.
показатель т.
Лит.: [1] Гончаров В. Л., Теория интерполирования
и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [2] Τ и м а н А. Ф.,
Теория приближения функций действительного переменного,
М., I960; (3] Бахвалов Н. С, Численные методы, т. ],
М., 1975. Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.
ПРИБЛИЖЕНИЯ ТЕОРИЯ, аппроксимации
теория,— раздел математич. анализа, изучающий
методы приближения одних математич. объектов
другими и вопросы, связанные с исследованием и оценкой
возникающей при этом погрешности.
Основное содержание П. т. относится к приближению
функций. Фундамент П. т. был заложен работами
П. Л. Чебышева (1854—59) о наилучшем равномерном
приближении функций многочленами и К. Вейерштрас-
са (К. Weierstrafi), установившего в 1885
принципиальную возможность приблизить непрерывную на
конечном отрезке функцию алгебраич. многочленами со сколь
угодно малой наперед заданной погрешностью.
Развитие П. т. в значительной степени определялось
основополагающими работами А. Лебега (Н. Lebesgue),
Ш. Ж. Балле Пуссена (Gh. J. La Vallee Poussin),
С. Н. Бернштейна, Д. Джексона (D. Jackson), Ж. Фа-
вара (J. Favard), А. Н. Колмогорова, С. М.
Никольского о приближении функций и классов функций.
С развитием функционального анализа многие
вопросы П. т. стали рассматривать в самой общей ситуации,
напр. как приближение элементов произвольного
линейного нормированного пространства X, При этом
выделяют три круга задач, к-рые в определенной
степени соответствуют и основным хронологич. этапам
развития исследований, в П. т.
1. Приближение фиксированного элемента χζΧ
элементами фиксированного множества 91сХ. Если в
качестве меры приближения взять величину
Ε (х, 5R)= inf||* —иЦ,
т. е. наилучшее приближение χ множеством 9t, то,
помимо исследования и оценки Ε (χ, $R), возникают
вопросы о существовании элемента наилучшего
приближения и0 из $1 (для к-рого \\x—uQ\\=E(x, 9t)), его
единственности и характеристич. свойствах. Любой
оператор А, отображающий X в ЭД, задает нек-рый метод
приближения с погрешностью \\х—Ах\\. Если У1 —
линейное многообразие, то особое значение имеют линей-
жения 628
ные операторы. Для последовательности {Ап} таких
операторов возникает задача об условиях сходимости
Апх—>· χ для любого х£Х.
2. Приближение фиксированного множества ЗЛС-Х
элементами другого фиксированного множества У1 из
X. Наилучшее приближение в этом случае выражается
величиной
Е№, 9t)=sup£0r, 5R),
хеш
к-рая дает минимально возможную оценку погрешности
приближения любого элемента х£Х элементами из ЭД.
В конкретных случаях задача состоит в том, чтобы
оценить или точно выразить Ε (ЭД1, 9Ϊ) через
характеристики, задающие множества *Ш и $. Если приближение
осуществляется с помощью оператора А, то исследуется
верхняя грань
sup || ж —Ас ||,
хеш
а также (если 51 — линейное многообразие) величина
£(5Ш, 91)= inf sup||л-Л* Ι,
Axctoxem
где нижняя грань распространена на все линейные
операторы, отображающие X в 5Д. Линейный оператор,
реализующий эту нижнюю грань (если он существует),
определяет наилучший линейный метод приближения.
Особый интерес представляет выяснение случаев, когда
<£(<т, э1)=яот, at).
3. Наилучшее приближение фиксированного
множества ШаХ заданным классом {90 аппроксимирующих
множеств из X. Предполагается, что в класс {9ΐ}
входят в каком-то смысле «равноценные» множества,
напр. содержащие одно и то же количество элементов
или имеющие одну и ту же размерность. Первый
случай приводит к задаче об ε-энтропии множества *Ш
(относительно X), второй — к задачам вычисления
поперечников множества *Ш (в пространстве X), в частности
величин
dA.(gn,x) = inftf (on, 9Ы, (*)
и
d'N№, X) = inftf (5ГО, 9Ы, (2)
где нижние грани берутся по всем подпространствам
ЭДдг из X фиксированной размерности N (или по
всевозможным их сдвигам 9t;v+0). Таким образом, в
задачах (1)—(2) речь идет об отыскании наилучшего
(соответственно наилучшего линейного) аппарата
приближения размерности N для множества £Ш.
Лит [1] А х и е з е ρ Η. И., Лекции по теории
аппроксимации, 2 изд , М., 1965, [2] Гончаров В. Л , Теория
интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [3]
Д з я д ы к В. К., Введение в теорию равномерного
приближения функций полиномами, М, 1977, [4] Никольский
С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения, 2 изд., М., 1977; [5] Корнейчук Н. П.,
Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [6]
Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М.,
1976; [7] Τ и м а н А. Ф., Теория приближения функций
действительного переменного, М., 1960.
Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.
ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МЕРА —
количественное выражение погрешности приближения. Когда
речь идет о приближении функции f(t) функцией φ(ί),
мера приближения μ(/, φ) обычно определяется
метрикой нек-рого функционального пространства,
содержащего как /(£), так и φ (г). Напр., если функции f(t)
и φ(ί) непрерывны на отрезке [а, 6], часто пользуются
равномерной метрикой пространства С [а, &], т. е.
полагают
μ(/, φ)- max \f (*) —ψ(0 Ι·

629
ПРИВАЛОВА
630
Если же непрерывность приближаемой функции не
гарантирована или по условию задачи важна близость
между f(t) и φ(£) лишь в среднем на [а, Ь], можно
использовать интегральные метрики пространств Lp[a,
b], полагая
μ(/, φ) = \\ я (*) I / (0-φ (0 \р *t, ρ > о,
где q(t) — нек-рая весовая функция. Здесь наиболее
употребительным и удобным с практич. точки зрения
является случай р —2 (см. Среднеквадратическое
приближение функций).
П. ф. м. может учитывать значения функций f (t) и
φ (J) лишь в отдельных точках t^ /с= 1, ... , тг,
промежутка [а, Ъ), напр
μ(/, φ)= max f/(**) —φ (<*) |,
^(/,T)=2Li9fe|/(^)~cp(ife>|/?'
ГДе 4k — нек-рые положительные коэффициенты.
Аналогично определяется мера приближения
функций двух и большего числа переменных.
Мера приближения функции f(t)
семейством функций F обычно
определяется как наилучшее приближение*.
E(f, ^)=μΐ/, F)= inf μ(/,φ).
<peF
Под мерой приближения класса DJI функций f (t)
функциями φ(£) из фиксированного множества F понимают
величину
Ε (ЯЮ, Ε) = μ (Щ1, Л-sup inf μ (/, φ),
feWyeF
к-рая характеризует максимальное отклонение функций
множества 9CR от ближайших к ним функций из F,
В общем случае, когда рассматривается
приближение в произвольном метрич. пространстве X, мера
приближения μ (я, и) элемента χ элементом и (множеством
F) есть расстояние ρ (я, и) (р(я, F)) между χ и и (xmF)
в смысле метрики пространства X.
Лит.: [1] Гончаров В Л., Теория интерполирования
и приближения функций, 2 изд , Μ , 1954; [2]
Никольский СМ., Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения, 2 изд., Μ" , 1977
Η Ц Корнейчук, В. П. Моторный,
ПРИВАЛОВА ОПЕРАТОРЫ, параметры
Привалова,— операторы, позволяющие выразить
условие гармоничности функции без использования
частных производных. Пусть и(х) — локально
интегрируемая функция в конечной области D евклидова
пространства R", /г>2; ω (h) — объем шара В (х; К)
радиуса h с центром x£D, расположенного в D\
Верхний и нижний операторы
Привалова А*и(х) и Δ* и (х) соответственно
определяются формулами
AVW=g(AA«(x): ^2j) ,
Д»ц(а)^Нт (Ььи(х). тт^гъ) .
Бели верхний и нижний П. о. совпадают, то
оператор Привалова А*и(х) определяется формулой
b*u(x)=K*u(x) = b*u(x) = iim (nhu{x)\ 2{η\2λ .
Если функция и(х) имеет непрерывные частные
производные до 2-го порядка включительно в точке x£D,
то в этой точке существует П. о. Д*ц(ж), и он равен
значению оператора Лапласа: &*и(х)— Δ и (я).
Справедлива теорема Привалова: если
непрерывная в области D функция и (х) удовлетворяет всюду
в D условию
Д*и (ж)<0<А*и(*),
то и(х) — гармонич. функция в D. Отсюда вытекает,
что непрерывная функция и(х) в D является
гармонической тогда и только тогда, когда во всякой точке χ ζ D,
начиная с достаточно малого h, /±hu(x)=Q или, иначе,
и (х) = —ттт \ u(y)dy.
Среднее значение по объему шара здесь можно заменить
средним значением по площади сферы.
Лит.: [1] Привалов И. И., «Матем. сб.», 1925, т. 32,
с. 464—71, [2] его же, Субгармонические функции, М.—
Л , 1937, [3] Брело М., Основы классической теории
потенциала, пер. с франц., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.
ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА — 1) П. т. о
сопряженных функциях: пусть
/(*) = Т+2Г=1 (ak cos kt-\-bk sin kt)
— периодическая непрерывная функция с периодом 2π и
7(0=^τ+ΣΓ=ι (bk cos kt — ak sin kt)
b. J_T ei<P(s)d^(s) _ 1 С е'Ф(»>*|?(«) ,,
6^02mjr6 ζ-ζ0 -2m Jr ζ-ζ0 ' W
если он существует, наз. сингулярным
интегралом Коши — Стилтьеса. Пусть D +
и D ~ — соответственно конечная и бесконечная
области, ограничиваемые кривой Г. Формулировка
П. т.: если для почти всех по мере Лебега на Г точек Г
существует сингулярный интеграл (1), то почти всюду
— тригонометрически сопряженная функция с f(t);
тогда если f(t) удовлетворяет условию Липшица с
показателем α, /ζLip а, 0<а<1, то /ζ Lip а, при 0<а<1
и /имеет модуль непрерывности, не больший Мб In (1/6)
при а=1. Эта теорема, доказанная И. И. Приваловым
[1], имеет важные применения в теории тригонометрич.
рядов. Она переносится и на условия Липшица в не-
к-рых других метриках (см., напр., [5]).
2) П. т. единственности
аналитических функций: если однозначная аналитич.
функция / (z) в области D плоскости комплексного
переменного z, ограниченной спрямляемой жордановой
кривой Г, на нек-ром множестве EczT положительной
меры Лебега на Г имеет нулевые угловые граничные
значения, то f(z)=Q в D. Эта теорема доказана
И. И. Приваловым [2]; ее обобщением является
Лузина — Привалова теорема; см. также Единственности
свойство аналитических функций.
3)П.т. о сингулярном интеграле
Коши, основная лемма Привалов а,—
один из основных результатов теории интеграла типа
Коши — Стилтьеса (см. Коши интеграл). Пусть Г : ζ=
= ζ($), 0<s<Z,— спрямляемая (замкнутая) жорданова
кривая на плоскости комплексного переменного z, I —
длина кривой Г, s — длина дуги на Г, отсчитываемая
от нек-рой фиксированной точки; φ=φ($) — угол
между положительным направлением оси абсцисс и
касательной к Г, ψ (s) — комплексная функция
ограниченной вариации на Г. Пусть точка ζ0 ζ Γ определяется
значением s0 длины дуги, ζ0=ζ(50), 0<s0<:Z, и Γβ — часть
линии Г, оставшаяся после удаления из Г меньшей
дуги, концами к-рой являются точки ζ (s0—δ) и ζ($0-|-δ).
Конечный предел при 6 -► О

631
ПРИВЕДЕННАЯ
632
на Г существуют угловые граничные значения Ρ±(ζ0)
интеграла типа Коши — Стилтьеса
FW = 25Ur FT^' Z€D ' (2)
соответственно из областей D±, причем почти всюду
справедливы Сохоцкого формулы:
Обратно, если почти всюду на Г существуют угловые
граничные значения F+(C0) (или ^~(£о)) интеграла (2),
то почти всюду на Г существуют сингулярный интеграл
(1) и граничные значения с другой стороны ^"(ζο)
(соответственно F + fc0)), причем выполняются равенства
(3). Эта теорема была установлена И. И. Приваловым
для интегралов типа Коши — Лебега (т. е. для случая
абсолютно непрерывной функции ψ (s), см. [2]), а затем
и для общего случая [3]. Она играет основную роль в
теории сингулярных интегральных уравнений и
разрывных граничных задач аналитич. функций (см [6]).
4) П. т. о граничных значениях
интеграла типа Коши — Лебега: если жорда-
нова кривая Г кусочно гладкая и без точек заострения,
а комплексная функция /(ζ), ζ ζ Γ, удовлетворяет
условию Липшица
|/(ζι)-/(ζ2)| <<?|ζι-ζ2|", 0<α<1,
то интеграл типа Коши — Лебега
есть непрерывная функция в замкнутой области /) + ,
причем для граничных значений /^(ζ) выполняются
условия:
\F±(ii)-F^(t2)\<C1\t1-t2\a,
если 0<а<1, и
1^ (ζι)-^± (ζ2) Ι < С2 (δ)|ζ1-ζ2 I In^^*
если а=1, Iζχ—ξ2|<:δ<1 (см. [2]).
Лит.: [1] Привалов И. И., «Bull. Soc. math. France»,
1916, t. 44, p. 100—03; [2] его же, Интеграл Gauchy, Саратов,
1918; [3] его же, Граничные свойства однозначных
аналитических функций, М., 1941; [4] его же, Граничные свойства
аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950; [5] Зигмунд
Α., Тригонометрические ряды, пер. с англ., М., 1965; [6] X в е-
делидзе Б. В., в кн.: Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики, т. 7, М., 1975, с. 5—162.
Е. Д. Соломенцев.
ПРИВЕДЕНИЕ К АБСУРДУ — правило логич.
вывода, позволяющее заключить, что если из списка
утверждений Г, А следует как утверждение В, так и
утверждение "\В, то из списка Г следует ~\А. Правило
П. к а. записывают, напр., в виде
Г,А -»Б; Г, А->~]В
Г^ПА
и наз. также правилом введения
отрицания. П. к а. является допустимым правилом для
подавляющего большинства логико-математич.
исчислений, с. Ю. Маслов.
ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ по
модулю т — набор, составленный из всех чисел полной
системы вычетов по модулю т, взаимно простых с т.
П. с. в. по модулю т состоит из φ (т) чисел, где φ (т) —
функция Эйлера. В качестве П. с. в. по модулю т
обычно берутся взаимно простые с т числа полной системы
вычетов 0, 1, ... , т—\. С. А. Степанов.
ПРИВЕДЕННАЯ СХЕМА — схема, локальное
кольцо любой точки к-рой не содержит ненулевых нильпо-
тентных элементов. Для любой схемы (X, Qx)
существует наибольшая замкнутая приведенная подсхема
(^red* Θχ λ)ι характеризуемая соотношениями
где гх — идеал, состоящий из всех нильпотентных
элементов кольца (3χ, х. Групповая схема над полем
характеристики 0 всегда приведена [3]. П. с.— классич.
объект изучения в алгебраич. геометрии.
Лит.: Ϊ1] Ар тин М., «Математика», 1970, т. 14, №4,
с. 3—47; Г2] Гротендик Α., Дьёдонне Ж., «Успехи
матем. наук», 1972, т. 27, №2, с. 135—48; [3] Мамфорд
Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с
англ., М., 1968. С. Г. Танкеев.
ПРИВИЛЕГИРОВАННЫЙ КОМПАКТ — понятие,
часто используемое в теории комплексных пространств,
в особенности в теории модулей комплексных структур.
Пусть К — компакт в С", Q% — ограничение на К
пучка ростков голоморфных функций в С". Компакт К
наз. привилегированным относительно
когерентного аналитического пучка
Jp, заданного на К, если существует точная
последовательность отображений (3^-пучков
0 — Ж п — Ж п _ г — ... — X г — X о Д. Г — 0, (1)
в к-рой Xi=Qj[ с нек-рыми г, > 0,. £=0, 1, ... , п,
такая, что порожденная ею последовательность
непрерывных операторов
С—Д(Я, Хп)^В(К, Хп_г)-+...
...—Д (Я, Хг)-^В(К, Х0) (2)
точна и расщепляема. Здесь
В (К, £i)=B(K,Q)ri,
а В (К, Q) есть банахово пространство непрерывных на
К функций, голоморфных внутри К, наделенное
равномерной нормой. Расщепляемость
последовательности (2) означает, что ядро и образ
дифференциала d в каждом члене имеет прямое замкнутое
дополнение. Это условие расщепляемости эквивалентно
следующему: существует линейный непрерывный оператор
h в (2), переводящий В (К, ΧΊ) в В (К, X i + 1), такой, что
dhd=d (оператор гомотопии). Свойство
точности и расщепляемости последовательности (2) не
зависит от выбора последовательности (1).
Пусть точка ъ принадлежит внутренности компакта
К. Тогда существует морфизм π комплекса (2) в слой
комплекса (1) над точкой z, переводящий элемент
В (К, 361), τ. е. функцию на К со значениями в С 1
в ее росток в точке z. Отсюда вытекает, что
последовательность
В (К, Хг)Лв(К, Х0)^г (3)
полуточна. Компакт К наз. §~-п ривилегиро-
ванной окрестностью точки z, если он
^-привилегирован и последовательность (3) точна. Это
свойство также не зависит от выбора
последовательности (1).
Для всякого когерентного аналитич. пучка ψ
всякая точка его области определения обладает
фундаментальной системой ^-привилегированных окрестностей.
В качестве таких окрестностей выбираются поликруги
с определенными соотношениями типа неравенств для
радиусов. Известно достаточное условие
^-привилегированности полицилиндра, связывающее пучок §~ с
устройством границы (см. [1]).
Рассматриваются также привилегированные
компакты по отношению к пучку, заданному на
произвольном комплексном пространстве X, при этом имеют в
виду компакты, привилегированные относительно
пучков /* (f), где / карта на X.

633 ПРИМАРНОЕ
Лит.: [1] Douady Α., «Ann. Inst. Fourier», 1966, t, 16.
p. 1—95. В. П. Паламодов.
ПРИВОДИМАЯ ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
обыкновенных дифференциальных
уравнений — система
x = A(t)x, x£Rn (или С"), (*)
А(-): R^Hom(R", R») (или Нот (С», С")),
переходящая в систему с постоянными коэффициентами
у=Ву в результате замены x=L(t)y, где L(t) — нек-рое
Ляпунова преобразование. Если отображение A (t)
непрерывно и периодически зависит от t, то система (*)
приводима (теорема Ляпунова). Для
приводимости системы (*) необходимо и достаточно, чтобы
нашлись преобразование Ляпунова L(t) и оператор В
такие, что всякое решение системы (*) имеет вид
x(t)=L(t)e*Bx(0)
(критерий Еругина).
Лит.: [1] Ляпунов А. М., Общая задача об
устойчивости движения, в его кн.: Собр. соч., т. 2, М.— Л., 1956, с. 7—
263; [2] Ε ρ у г и н Н. П., Приводимые системы, Л.— М.,
1946 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 13). В. М. Миллионщиков.
ПРИВОДИМОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — линейное
представление, в пространстве к-рого есть собственное
инвариантное подпространство. а. и. Штерн.
ПРИВОДИМОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО —
риманово пространство М, у к-рого линейная (или,
иначе, однородная) голономии группа приводима, т. е.
имеет нетривиальные инвариантные подпространства.
Риманово пространство с неприводимой группой
голономии наз. неприводимым. Полное односвяз-
ное П. р. п. разложимо (теорема д е Ρ а м а), т. е.
разлагается в прямое произведение римановых
пространств положительной размерности. Более точно,
любое полное односвязное риманово пространство изомет-
рично прямому произведению М0хМгХ ...xMk
евклидова пространства М0 и полных односвязных
неприводимых римановых пространств Mh έ>0, причем такое
разложение Μ единственно с точностью до порядка
сомножителей.
Ослабленный вариант этой теоремы справедлив для
псевдоримановых пространств: псевдориманово
пространство наз. слабо неприводимым, если все
нетривиальные инвариантные относительно группы
голономии Г подпространства касательного пространства
изотропны, т. е. индуцированное на них скалярное
произведение вырождено. Любое полное односвязное
псевдориманово пространство разлагается в прямое
произведение слабо неприводимых псевдоримановых
пространств. Если подпространство неподвижных
относительно группы голономии векторов неизотропно, то
такое разложение единственно с точностью до порядка
сомножителей. Слабо неприводимое псевдориманово
пространство не разлагается в прямое произведение
псевдоримановых пространств [3].
Лит.: [1] Лихнерович Α., Теория связностей в
целом и групп голономии, пер с франц., М., 1960; [2] К о б а я-
си Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной
геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1981; [3] W u Н., «Illinois J. Math.»,
1964, v. 8, №2, p. 291—311; [4] Шапиро Я. Л., «Докл.
АН СССР», 1972, т. 206, № 4, с. 831—33. Д. В. Алексеевский.
ПРИЗМА — многогранник, у к-рого две грани суть
n-угольники (основания П.), а остальные η
граней (боковых) — параллело-
И~~\ граммы. Основания П. конгруэнт-
Is*—Ή ны и расположены в
параллельных плоскостях. П. наз. прямой,
если плоскости боковых граней
перпендикулярны к плоскости
основания. Прямую П. наз.
правильной, если основанием ее
служит правильный многоугольник. П. бывают
треугольные, четырехугольные и т. д., смотря по тому,
лежит ли в основании треугольник, четырехугольники
РАЗЛОЖЕНИЕ 634
т. д. На рисунке дана шестиугольная П. (слева —
прямая). Объем П. равен произведению площади
основания на высоту (расстояние между основаниями П.).
БСЭ-З.
ПРИЗМАТОИД — многогранник, две грани к-рого
(основания П.) лежат в параллельных плоскостях,
а остальные являются
треугольниками или трапециями, причем
у треугольников одна сторона, а
у трапеций оба основания
являются сторонами оснований П.
(см. рис.). Объем П. равен
ι
I
I
--•И
±(S + S' + AS'),
где h — расстояние между
основаниями П., S и S' — их
площади, S" — площадь сечения, одинаково удаленного от
обоих оснований. БСЭ-з.
ПРИКОСНОВЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ,
касательное преобразование,
контактное преобразование,— преобразование
кривых на плоскости, при к-ром две касающиеся друг
друга кривые преобразуются в две кривые, также
касающиеся друг друга. См. Контактное преобразование.
ПРИКОСНОВЕНИЯ ТОЧКА — точка χ множества
А в топологич. пространстве X такая, что всякая ее
окрестность имеет непустое пересечение с А. Множество
всех П. т. образует замыкание [А] множества А.
М. И. Войцеховский.
ПРИМАРНОЕ КОЛЬЦО — кольцо с единицей, фак-
торкольцо к-рого по радикалу Джекобсона изоморфно
кольцу матриц над телом или, что то же самое, является
артиновым простым кольцом. Если идемпотенты П. к.
R с радикалом Джекобсона / можно поднимать по
модулю / (т. е. у каждого идемпотента из RU существует
идемпотентный прообраз в i?), то R изоморфно кольцу
всех матриц над нек-рым локальным кольцом. Это, в
частности, имеет место, если / есть нильидеал.
Лит.: [1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,
М., 1961; [2] Φ е й с К , Алгебра: кольца, модули и категории,
пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79. Л. А. Скорняков.
ПРИМАРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — то же, что
фактор представление.
ПРИМАРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ — представление
идеала / кольца R (или подмодуля N модуля М) в виде
пересечения примарных идеалов (примарных
подмодулей). П. р. обобщает разложение целого числа в
произведение степеней различных простых чисел.
Существование П. р. в кольце многочленов доказал Э. Л аскер
[1], в произвольном коммутативном нётеровом кольце —
Э. Нётер [2]. Пусть R — коммутативное нётерово коль-
п
цо. П. р. /= Π Qi наз. неприводимым, если
г = 1
Π Qi?=I для любого ; = 1, ... , η и радикалы Р1ч ... , Рп
гфз
идеалов Q±, ... , Qn попарно различны (радикалом
примерного идеала Q наз. такой единственный простой
идеал P^Q, что Pn<=Q для нек-рого натурального
числа п). Совокупность простых идеалов {Р1ч ... , Рп}
определена однозначно идеалом /(первая
теорема единственности П. р.), минимальные
по включению элементы этой совокупности наз.
изолированными простыми идеалами
идеала /, остальные — вложенными
простыми идеалами, причем примарные идеалы,
соответствующие изолированным простым идеалам, также
однозначно определены идеалом /(вторая
теорема единственности П. р., см. [3]).
Изолированным простым идеалам идеала / кольца
многочленов над полем соответствуют неприводимые
компоненты аффинного многообразия корней идеала /.
Имеются различные некоммутативные обобщения понятия

635
ПРИМАРНЫЙ ИДЕАЛ
636
П. р. Аксиоматизация П. р. привела к развитию
аддитивной теории идеалов.
Лит.: [1] L a s k е г Е., «Math. Ann.», 1905, Bd 60, S. 20—
116; [2] Ν ο e t h e г Ε., «Math. Ann.», 1921, Bd 83, S. 24—66;
[3] Атья М.,Макдональд И., Введение в
коммутативную алгебру, пер. с англ., М., 1972; [4] 3 а р и с с к и й О.,
Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1 — 2,
М., 1963; [5] Бур баки Н., Коммутативная алгебра, пер.
с франц., М., 1971. В. Т. Марков.
ПРИМАРНЫЙ ИДЕАЛ коммутативного
кольца R — такой идеал IcR, что если a, b£R и
ab£I, то либо Ъζ/, либо апζ/ для нек-рого
натурального числа п. В кольце целых чисел % П. и.— идеал
вида ρηΖ, где ρ — простое, η — натуральное число.
Важную роль в коммутативной алгебре играет
представление любого идеала коммутативного нётерова кольца
в виде пересечения конечного числа П. и.— примарное
разложение. Более общо, пусть Ass(Af) обозначает
множество первичных идеалов кольца R, являющихся ан-
нуляторами ненулевых подмодулей модуля М.
Подмодуль N модуля Μ над нётеровым кольцом R наз.
примерным, если Ass (Μ IN) — одноэлементное
множество. Если кольцо R коммутативно, то любой
собственный подмодуль нётерова R-модуля, не пред-
ставимый в виде пересечения двух строго содержащих
его подмодулей, примарен. В некоммутативном случае
это не так, поэтому предпринимались попытки
построить различные некоммутативные обобщения понятия
примарности. Напр., собственный подмодуль N модуля
Μ наз. примерным, если для любого ненулевого
инъективного подмодуля Е' инъективной оболочки Ε
модуля Μ/Ν пересечение ядер гомоморфизмов из Ε в Е'
тривиально. Другое удачное обобщение — понятие
терциарного идеала [4]: левый идеал / нётерова слева
кольца R наз. терциарным, если для любых
элементов α ζ i?, b£R\I из aRbc=.I следует, что для
любого c£R\I найдется элемент d£Rc\I такой, что
aRd^I. Оба эти обобщения приводят к
некоммутативным аналогам примарного разложения. Каждый
терциарный идеал нётерова кольца R примарен в том и
только в том случае, когда кольцо R удовлетворяет
условию Артина — Риса: для любых
левых идеалов /, / кольца R найдется натуральное
число η такое, что Inf]J^^J (см. [3]).
Лит.: [1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер.
с франц., М., 1971; [2] Зарисский О., Самюэль П.,
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [3] G о 1 d-
man О., «J. Algebra», 1969, v. 13, № 1, p. 10—47; [4] L e-
sieur L., Croisot R., Algebre noetherienne non
commutative, P., 1963. В. Т. Марков.
ПРИМИТИВНАЯ ГРУППА ПОДСТАНОВОК —
группа подстановок (G; М), сохраняющая лишь
тривиальные отношения эквивалентности на множестве Μ
(т. е. равенство и аморфную эквивалентность).
Изучаются главным образом конечные П. г. п.
П. г. п. транзитивна и всякая 2-транзитивная группа
примитивна (см. Транзитивная группа). В точности
1-транзитивные (т. е. не являющиеся уже 2-транзитив-
ными) группы подстановок наз. унипримитив-
н ы м и. Коммутативными П. г. п. являются циклич.
группы простого порядка и только они. Транзитивная
группа подстановок примитивна тогда и только тогда,
когда стабилизатор Ga каждой точки ос ζ Μ есть
максимальная подгруппа в группе G. Другой признак
примитивности основан на сопоставлении каждой
транзитивной группе (G; М) ее графов, соответствующих
бинарным орбитам этой группы. Группа (G\ M) примитивна
тогда и только тогда, когда графы, соответствующие
нерефлексивным 2-орбитам, связны. Число 2-орбит наз.
рангом группы (G; М). Ранг равен 2 для дважды
транзитивных групп, а ранг унипримитивной группы не
меньше 3.
Всякий неединичный нормальный делитель П. г. п.
транзитивен. Всякая транзитивная группа подстановок
погружается в кратное сплетение П. г. п. (правда,
такое представление не однозначно).
Многие вопросы теории групп подстановок сводятся
к обозрению П. г. п. Известен список всех П. г. п.
степени <: 50 (см. [4]). Изучаются связи между П. г. п.
и простыми конечными группами.
Обобщение понятия П. г. п.— кратно
примитивные группы. Группа подстановок (G; М)
наз. к раз примитивной, если она к раз транзитивна
и фиксатор (к—1)-й точки действует примитивно на
остальных точках.
Лит.: [1] Cameron P., «Bull. London Math. Soc», 1981,
v. 13, p. 1—22; [2] Krasner M., Kaloujnine L.,
«Acta Scient. math. (Szeged)», 1951, v. 14, p. 39—66; [3] W i e-
1 a n d t H., Finite permutation groups, N.Y.—L., 1964; [4]
Погорелов Б. Α., в кн.: VI Всесоюзный симпозиум по
теории групп. Сборник, К., 1980, с. 146—57; [5] Шмидт О. Ю.,
Абстрактная теория групп, 2 изд., М.— Л., 1933.
Л. А. Налужнин.
ПРИМИТИВНАЯ РЕКУРСИЯ - способ
определения функций от натуральных аргументов с
натуральными значениями. Говорят, что (тг+1)-местная функция
/(#!, ... , хП1 у) получена примитивной
рекурсией из тг-местной функции g(xl4 ... , хп) и (тг+2)-
местной функции к(хг, ... , хп, у, z), если для всех
натуральных значений xlt ... , хп, у имеет место
/ te, . .·, хп, 0)=g (хг, ...,*„)
и
/ (*ь ···, «**„, y + l) = h(x!, ..., хп, у,
1 (*ι, ...,*«, У))·
Для данных g и h такая функция / всегда существует и
единственна. При тг=0 определяющие равенства для /
записываются в виде
/(0) = а, f(x + l) = h(x, /(*)).
Фундаментальным свойством П. р. является то, что
при любом разумном уточнении понятия вычислимости
функция /, полученная из вычислимых функций g и h
с помощью П. р., сама вычислимая. П. р.— одно из
основных правил порождения из исходного набора
простейших функций всех примитивно рекурсивных и всех
частично рекурсивных функций.
Лит.: [1] Успенский В. Α., Лекции о вычислимых
функциях, М., 1960; [2] Мальцев А. И., Алгоритмы и
рекурсивные функции, М., 1965; [3] Роджерс X., Теория
рекурсивных функций и эффективная вычислимость, пер. с англ.,
М., 1972. С. Н. Артемов.
ПРИМИТИВНО РЕКУРСИВНАЯ ФУНКЦИЯ -
функция от натуральных аргументов с натуральными
значениями, к-рую можно получить из простейших
функций
s(x)=x + l, o(x)=Q, Im(*i, ...,xn)=xm
конечным числом операций суперпозиции и
примитивной рекурсии.
Поскольку исходные функции являются
вычислимыми, а операторы суперпозиции и примитивной рекурсии
вычислимость сохраняют, множество всех П. р. ф. есть
подкласс класса всех вычислимых функций. Каждая
П. р. ф. задается описанием ее построения из исходных
функций (примитивно рекурсивное
описание) и, следовательно, класс всех П. р. ф. счетен.
Практически все арифметич. функции, употребляемые
в математике по конкретным поводам, являются П. р.
ф., напр.: £+ι/, χ-у, хУ, sg(#), —Ί, остаток от деления
χ на г/, π (χ) — простое число с номером ж и т. д.
Отношение Ρ (х1ч ... , хп) на натуральных числах наз.
примитивно рекурсивным
отношением (п. р. о.), если функция g(xt, ... , хп), равная 1,
когда Ρ (#!, ... , хп) истинно, и 0, когда Ρ (xli ... , хп)
ложно, является П. р. ф. Говорят, что отношение
Ρ (хг, ... , хп, z) получено из отношения Q(xlt ... , хп,

637 ПРИОРИТ
ϊ/, ζ) с помощью ограниченного квантора,
если
р (xlt ..., xni ζ) <=* ν?/ (y<z => ρ («!,. ..,*„, г/, ζ))
или
2) <=^ 3?/ (г/ < ζ&(? (жь ...,ί„, у, ζ)).
Класс п. р. о- замкнут относительно применения всех
логич. связок (включая отрицание) и ограниченных
кванторов.
Пусть /1? ... , fs + 1 суть л-местные П. р. ф., а Р1? ...
... , Ps — такие п. р. о., что на любом наборе значений
аргументов истинно не более одного из них. Тогда
функция
[ /ι(*ι, .-.,яи), если Ρι(*ι, ...,«„),
fs(xu ...,ϊη), если Р,(*ь ...,sn).
ν /, + ι(«ι, ...,«η). в ДРУГИХ случаях,
является П. р. φ.
Говорят, что функция /(#!, ... , хп, ζ) получена из
всюду определенной функции g(xl9 ... , хП9 у, ζ)
применением ограниченного оператора
минимизации, если /(#!, ... , χη, ζ) равно
минимальному у такому, что y<z и g(xl4 ... , хп, у, ζ)—0, и равно
2+1, если такого у нет. Класс П. р. ф. замкнут
относительно применения ограниченных операторов
минимизации.
Функция Φ (у, х1ч ... , хп) наз. универсальной
для класса всех л-местных П. р. ф., если для каждой
П. р. ф. /(#1, ... , хп) найдется натуральное число к
такое, что
/(а*, ...,хп) = Ф(к, *!, ..., хп).
Для каждого п^\ такая универсальная функция
существует, но она не может быть П. р. ф.
Всякое рекурсивно перечислимое множество есть
область значений П. р. ф.; всякое рекурсивно
перечислимое отношение R(x1, ... , хп) представимо в виде
ЗуА (у, х19 ... , хп), где А — п. р. о. Всякая П. р. ф.
представима в арифметике формальной, т. е. для
каждой П. р. ф. /(#!, ... , хп) найдется арифметич. формула
F(y, хи ... , хп) такая, что для натуральных /сх, ... , ktn
т при /(&!, ... , кп) = т в формальной арифметике
выводима формула F(m-, кг, .- , ~кп), а при f{k±, ..^, кп)£т
выводима "\F(m, к1ч ..., кп) (здесь кг, ... , кп, т —
арифметич. термы, изображающие в формальной
арифметике натуральные числа ки ... , кп, т). Этот факт
занимает центральное место в доказательстве неполноты
формальной арифметики (см. [4]).
Лит.: [1] Успенский В. Α., Лекции о вычислимых
функциях, М., 1960; [2] Мальцев А. И., Алгоритмы и
рекурсивные функции, М., 1965; [3] Роджерс X., Теория
рекурсивных функций и эффективная вычислимость, пер. с англ.,
М., 1972; [4J Мендельсон Э., Введение в
математическую логику, пер. с англ., М., 1976. С. Я. Артемов.
ПРИМИТИВНОЕ КОЛЬЦО правое —
ассоциативное кольцо, обладающее правым точным
неприводимым модулем. Аналогично (с помощью левого
неприводимого модуля) определяется левое
примитивное кольцо. Классы правых и левых П. к. не
совпадают. Всякое коммутативное П. к. является полем.
Всякое полупростое (в смысле Джекобсона радикала)
кольцо является подпрямым произведением П. к.
Простое кольцо либо является П. к., либо радикально.
П. к. с ненулевыми минимальными правыми идеалами
описываются теоремой плотности. П. к. с условием
минимальности для правых идеалов (т. е. артиновы
П. к.) являются простыми.
Кольцо R примитивно тогда и только тогда, когда оно
обладает максимальным модулярным правым идеалом
/, к-рый не содержит двусторонних идеалов кольца Я,
А МЕТОД 688
отличных от нулевого идеала. Это свойство может быть
принято за определение П. к. в классе неассоциативных
колец.
Лит.: [1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,
М., 1961; [2] X е р с τ е й н И., Некоммутативные кольца, пер.
с англ., М., 1972. К. А. Жевлаков.
ПРИМИТИВНЫЙ ИДЕАЛ, π р а во π р и м и τ и в-
ный идеал,— такой двусторонний идеал Ρ
ассоциативного кольца R, что факторкольцо R/P является
(правым) примитивным кольцом. Аналогично, с
помощью левых примитивных колец может быть
определен левопримитивный идеал. Множество
Π всех П. и. кольца, снабженное нек-рой топологией,
оказывается полезным при изучении отдельных классов
колец. Обычно множество Π топологизируется при
помощи следующего замыкания отношения:
А = {Р'\Р'£П, Р'=э (ПР, Р^А)},
где А подмножество в П. Множество всех П. и. кольца,
снабженное такой топологией, наз. структурным
пространством этого кольца.
Лит.: [1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с
англ., М., 1961. К. А. Жевлаков.
ПРИМИТИВНЫЙ КЛАСС алгебраических
систем — то же, что многообразие (см.
Алгебраических систем многообразие).
ПРИМИТИВНЫЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен
f(X)£R[X], где R — ассоциативно-коммутативное
кольцо с однозначным разложением на множители,
коэффициенты к-рого не имеют нетривиальных общих
делителей. Любой многочлен g(X)£R[X] можно
записать в виде g(X)=c(g)f(X), где f(X) — П. м., a c(g) —
наибольший общий делитель коэффициентов
многочлена g(X). Элемент c(g)£R, определенный с точностью
до умножения на обратимые элементы из R, наз. с о-
держанием многочлена g(X).
Справедлива лемма Гаусса: если #i(X), g2(X)£R[X],
то с (g1g2)=c(g1)c(g2). В частности, произведение П. м.
снова примитивно.
Лит.: [1] Зарисский О., Самюэль П.,
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963. Л. В. Кузьмин.
ПРИОРИТЕТА МЕТОД — метод, применяемый в
рекурсивной теории множеств для построения просто
устроенных с рекурсивной точки зрения (в
простейших случаях — рекурсивно перечислимых) множеств
(функций, нумераций и т. п.), удовлетворяющих
бесконечной системе условий определенного типа.
Специфика допустимых условий такова, что для того
чтобы удовлетворить отдельному условию из данной
системы, обычно бывает достаточно, чтобы в
строящееся множество был включен определенный (зависящий
от рассматриваемого условия) элемент. Однако на
каждом этапе построения (представляющего собой нек-рый
вычислительный процесс, чем и обеспечивается
рекурсивная простота строения искомого объекта) каждое
из условий системы (к-рое определяется, вообще
говоря, бесконечным множеством конструктивных объектов)
представлено нек-рой своей конечной аппроксимацией.
Включение в строящееся множество элемента,
обеспечивающего выполнение аппроксимации /-го условия,
еще не дает гарантии, что тем самым будет
удовлетворено само /-е условие. П. м. позволяет в известных
случаях обходить это препятствие. С этой целью /-му
условию данной системы, /=1, 2, 3, . . ., в процессе
построения ставится в соответствие натуральное число,
являющееся кандидатом на роль элемента, включение
к-рого в строящееся множество удовлетворяет /-му
условию; про такой элемент принято говорить, что
он помечен маркером I / (снабженным, возможно,
дополнительными индексами). Каждый такой кандидат
может в процессе построения заменяться (или, что то
же самое, маркер может сдвигаться), но при этом в
простейших приоритетных конструкциях сама после-

639
ПРИСОЕДИНЕННАЯ ТРУППА
640
довательность, в к-рои выполняются попытки
удовлетворить данным условиям, организуется так, что
каждый маркер может изменить свое положение лишь
конечное число раз, причем в своем заключительном
положении он с необходимостью отмечает элемент,
гарантирующий выполнение соответствующего условия.
П. м. был создан при решении проблемы Поста о
существовании нетривиальных рекурсивно
перечислимых степеней. Впоследствии он был использован в
многочисленных задачах, возникших при изучении
тьюринговых и других степеней, структуры рекурсивно
перечислимых множеств (упорядоченной отношением
включения), теории вычислимых нумераций и др. При
этом возникли различные модификации
первоначального П. м. (в частности, иногда допускается, чтобы
нек-рые маркеры меняли свое положение бесконечно
много раз), поэтому нередко предпочитают говорить
о методах приоритета.
Лит.: [1] Роджерс X., Теория рекурсивных функций
и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972;
[2] S а с k s G. E., Degrees of unsolvability, Princeton (N. J.),
1963. В. А. Душский.
ПРИСОЕДИНЕННАЯ ГРУППА группы G —
линейная группа Ad G, являющаяся образом группы
Ли или алгебраич. группы G при присоединенном
представлении. П. г. Ad G содержится в группе Aut q
всех автоморфизмов алгебры Ли q группы G, а ее
алгебра Ли совпадает с присоединенной алгеброй ad q
алгебры Ли q. Связная полупростая группа есть
группа присоединенного типа (т. е.
она изоморфна своей П. г.) тогда и только тогда, когда
ее корни порождают группу рациональных характеров
максимального тора; центр такой группы тривиален.
Если основное поле имеет характеристику ОиС
связна, то Ad G однозначно определяется алгеброй Ли q
и наз. иногда П. г., или группой
внутренних автоморфизмов, алгебры Ли q. В
частности, если G полупроста, то Ad G совпадает со связной
компонентой единицы в Aut q.
Лит.: [1] Понтрягин Л. С, Непрерывные группы,
3 изд., М., 1973; [2] С е ρ ρ Ж. - П., Алгебры Ли и группы Ли,
пер. с англ. и франц., М., 1969; [3] Хамфри Дж,,
Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.
А, Л. Онищик.
ПРИСОЕДИНЕННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ —
поверхность У, находящаяся с данной поверхностью X
в Петерсона соответствии, причем асимптотич. сети
на У соответствует на X сопряженная сеть σ с
равными инвариантами, и наоборот. П. п. Υ является
вращения индикатрисой для X, и наоборот. Если сеть
σ — главное основание изгибания X, то Υ — Бианки
поверхность. и. X. Сабитов.
ПРИСОЕДИНЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
группы Ли или алгебраической группы
G — линейное представление Ad группы G в
касательном пространстве Te(G) (или в алгебре Ли q
группы G), сопоставляющее каждому a£G
дифференциал Ad a— d(Int a)e внутреннего автоморфизма Int a :
х-^аха'1. Если Gc=-GL(V) —линейная группа в
пространстве У, то
(Ad a) X^aXa-1, X£Te (G).
Ядро Кег Ad содержит центр группы G, а в случае,
когда G связна и основное поле имеет характеристику 0,
совпадает с центром. Дифференциалом П. п. группы
G в точке е служит присоединенное представление ad
алгебры q.
Присоединенным представлением
алгебры Ли q наз. линейное представление ad
алгебры q в модуле д, действующее по формуле
(ads) у = [х, у], χ, y£q,
где [ , ] — операция в алгебре q. Ядро Кег ad есть
центр алгебры Ли q. Присоединенные операторы
ad χ являются дифференцированиями алгебры q и наз.
внутренними дифференцирования-
м и. Образ ad q называется присоединенной
алгеброй и является идеалом в алгебре Ли
Der q всех дифференцирований алгебры д, причем
Der q/Αά q есть пространство Я1 (#, q) 1-мерных кого-
мологий алгебры Ли д, определяемых П. п. В
частности, ad q— Der g, если q — полупростая алгебра Ли
над полем характеристики 0.
Лит.: [1] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, пер. с англ..
М., 1964; [2] Понтрягин Л. С, Непрерывные группы,
3 изд., М., 1973; [3] С е ρ ρ Ж. - П., Алгебры Ли и группы Ли,
пер. с англ. и франц., М., 1969; [4] Хамфри Д ж.,
Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.
А. Л. Онищик.
ПРИСТРЕЛКИ МЕТОД, стрельбы мето д,—
метод решения краевой задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения, к-рый заключается во
введении управляющих переменных (параметров) и
последующем нахождении их из системы уравнений, при
этом выбор параметров имеет решающее значение для
успешного решения задачи.
Пусть имеется при α <:#<:& дифференциальное
уравнение
= *·(*. У)
(1)
с граничным условием
g(y{a), y(b)) = h, (2)
где вектор-функция у=(уц . . ., уп)Т от χ подлежит
определению, вектор-функции F=(Fli . . ., Fn)T и g=
~(#ι> · · ·» £и)Т известны, числовой вектор h=(h1, . . .,
hn)T задан.
Пусть задача Коши
dZ/dx=tF(x, Z), (3)
Ζ (а, г) = г, (4)
где Z=(ZU .. ., Z„)T, ; = (r1, . .., г„)т, имеет
единственное решение Ζ(χ, г), определенное при а<ж<Ь, г£Еп.
При подстановке в (2) вместо у (а) заданного значения
Ζ {а, г)=г, а вместо у (Ь) найденного значения Z(b, r)
получают уравнение
*(г, Ζ (6, r)) = h (5)
относительно параметра г.
Алгоритм П. м. состоит в следующем: сначала
находят решение г—г * уравнения (5), а затем —
искомое решение граничной задачи (1) — (2) как решение
задачи Коши
y' = F(x, у), у (а) = г*.
Для решения упоминавшихся здесь задач Коши могут
быть использованы численные методы. Для решения
уравнения (5) целесообразно избрать какой-либо
итерационный метод.
В случае, когда нек-рые из компонент вектора g
зависят только от у (я), а остальные компоненты —
только от у(Ь), выгоден другой выбор параметров (см.
[1], а также Нелинейная краевая задача; численные
методы решения). Имеются другие варианты П. м.
(см. [4]). П. м. применяют и при решении сеточной
краевой задачи.
Лит.: [1] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд.,
М., 1975; [2] Годунов С. К., Рябенький В. С,
Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; [3] Крылов В. И.,
Бобков В. В., Монастыри ый П. И.,
Вычислительные методы, т. 2, М., 1977; [4] Современные численные методы
решения обыкновенных дифференциальных уравнений, пер.
с англ., М., 1979. А. Ф. Шапкин.
ПРИТЯЖЕНИЯ ОБЛАСТЬ устойчивого
распределения — совокупность всех функций
распределения F(x) таких, что для последовательности
независимых одинаково распределенных случайных

641
ПРОГОНКИ МЕТОД
642
величин Xlt X2f ... с функцией распределения F (х)
при подходящем подборе постоянных Ап и Z?„>0,
»=1, 2, . . ., распределения случайных величин
слабо сходятся при η ->· оо к невырожденной функции
распределения V(x), к-рая с необходимостью
оказывается устойчивой.
Одной из основных задач теории устойчивых
законов является описание П. о. устойчивых законов. Так,
для нормального распределения в 1935 А. Я. Хинчи-
ным, В. Феллером (W. Feller) и П. Леви (P. Levy)
было установлено, что F(x) принадлежит П. о.
нормального закона тогда и только тогда, когда при ж-»-оо
х2 С dF (у)\[ y*dF(y)-+0.
Позже Б. В. Гнеденко (1939) и В. Деблин (W. Doeblin,
1940) дали описание П. о. устойчивого закона с
показателем а, 0<а<2: для принадлежности F(х) П. о.
невырожденного устойчивого закона V (х) с
показателем α необходимо и достаточно, чтобы
F(—x)/[\—F(x) + F(-x)]^cl/(cl + c2) при χ —► оо
для нек-рых сх^0, с2^0, с1+с2>0, определяемых по
V(x), и
[1— F (x) + F(— x)]/[i —F (tx) + F (—tx)] —► /«
при χ —> оо
при каждом постоянном £>0. Ограничение на характер
поведения нормирующих коэффициентов Вп, /ι=1,
2, . . ., приводит к уменьшению совокупности функций
распределения, для к-рых имеет место сходимость по
распределению для последовательности (*).
Совокупность функций распределения F(x), для к-рых
функции распределения последовательности случайных
величин (*) при подходящем выборе последовательности
Ат /г=1, 2, . . ., постоянной с>0 и Βη^οη~γΙα, /ι=1,
2, . . ., слабо сходятся к устойчивой функции
распределения V (х) с показателем а, наз. областью
нормального притяжения V(x). Нормальная
П. о. нормального распределения совпадает с
совокупностью невырожденных распределений с конечной
дисперсией.
Нормальная П. о. невырожденной устойчивой
функции распределения V (х) с показателем α (0<α<2)
образована функциями F(x) такими, что существуют
и конечны
lim F (х)/\х\а = с1^01
*->-оо
lim (1 — F (х))/ха = с2 ^> а,
где сг и с2 определяются устойчивым законом V (х).
Лит.: [1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н.,
Предельные распределения для сумм независимых случайных
величин, М.—Л., 1949; [2] Ибрагимов И. Α.,
Линии к Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины,
М., 1965; [3] Петров В. В., Суммы независимых случайных
величин, М., 1972. Б. А. Рогозин.
ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ЯЗЫК —
специализированный язык программирования задач,
принадлежащих нек-рому четко выделяемому классу.
Выделение класса производится либо фиксацией ма-
тематич. объектов, лежащих в основе решаемых задач
(напр., класс задач линейной алгебры), либо
фиксацией области применения ЭВМ (напр., класс задач
оперативного планирования и учета на предприятии).
Проблемная ориентация обычно производится в
контексте нек-рого универсального языка
программирования, по отношению к к-рому П.-о. я. является либо
над-, либо пред-, либо подъязыком. Надъязык
получается обогащением универсального языка
дополнительными конструкциями, особенно удобными
для формулирования задачи из класса. Обычные
конструкции универсального языка используются либо
для «скрепления» дополнительных конструкций в
целостную программу, либо для программирования
«нестандартных» компонент задачи В предъязыке
дополнительные конструкции полностью
«загораживают» универсальный язык и переводятся на него
специальным препроцессором. Подъязык
получается из универсального языка отказом от конструкций,
неупотребительных в данном классе задач, либо
предварительным составлением библиотеки «стандартных
программ», в совокупности достаточных для
выражения любой задачи из класса. Во всех случаях выгода
от употребления П.-о я. состоит в том, что вместо
программирования заново каждой задачи из класса
достаточно лишь указать средствами П.-о. я.
параметры, отличающие одну задачу от другой.
А. П. Ершов.
ПРОГОНКИ МЕТОД — метод переноса
одноточечного граничного условия с помощью
дифференциального или разностного уравнения, соответствующего
данному уравнению. Применяется для решения
граничной задачи в том случае, когда пристрелки метод
не эффективен.
Пусть на отрезке а<ж<Ь задано линейное
обыкновенное дифференциальное уравнение
yf (x) + A(x)y(x)=f(x), (1)
где квадратная матрица А (х) порядка η и вектор / (х) =
= [/ι(«), . · ·, /я(я)]т ~~ известные непрерывные
функции, дифференцируемая вектор-функция y(x) = [yi(x),
• · ··> Уп(х)]Т подлежит определению. К уравнению (1)
присоединены граничные условия в форме
<рту(а)=а, ψτί/(6) = β, (2)
где известные матрицы φ и ψ имеют размеры пХк и
пХ I и ранги к и I соответственно,
а=[аь ..., afe]T, β = [βι, ..., β|]τ, k+l = n.
Используя дифференциальные уравнения
и' (х) — АТ (х) и (ж)=0,
у' (х) = иТ (X) / (X)
с начальными условиями ιι(α)=φ, γ(α) = α, где
искомая дифференцируемая матрица-функция и(х) имеет
размеры пХк, γ(ζ) = [γι(ζ), . ., Yft(z)]T, можно
определить и(х) и у (х) на всем отрезке а<#<& (прямой
ход прогонки). С помощью уравнения
иТ(Ъ)у(Ь)=у(Ъ)
и второго из граничных условий (2) можно определить
значение у(Ь), если квадратная матрица [и(Ь), ψ]
имеет ранг п. Искомое решение граничной задачи (1)—(2)
вычисляется теперь как решение задачи Коши для
уравнения (1) в направлении от точки х—Ь к точке
х=а (обратный ход прогонки).
Указанный метод применим и к многоточечной задаче, когда
условия вида (2) задаются не только на концах, но
и в нескольких внутренних точках отрезка а<ж<6.
Разработаны варианты метода прогонки для переноса
линейных граничных условий, отличных от (2) (см.
[1])·
Достоинства П. м. видны на примере следующей
граничной задачи:
y"(x)+Q(x)y(x)=f(x), (3)
у' (а)+<ру (α) = α, (4)
у'(Ь) + уру(Ъ) = $, (5)
& 21 Математическая энц., т. 4

643
где квадратная матрица Q(x) порядка η и вектор f(x)
размера η — известные непрерывные функции,
дважды дифференцируемая вектор-функция у(х) подлежит
определению, известные квадратные матрицы φ и ψ
имеют порядок η, a=(alf . . ., αη)τ, β= (β1τ . . ., β„)τ·
Используя дифференциальные уравнения
ν (х) = 1» (*)]*+<? (*),
у' (x)=u(x)y(x)+f(x)
с начальными условиями ι>(α) = φ, у (а) —а, где искомая
дифференцируемая квадратная матрица-функция и(х)
имеет порядок п, у(х)=[Υι(-ζ), . . ., yn(x)]^i ищутся
υ (χ) и у (χ) на всем отрезке а<л:<Ь (прямой ход
прогонки).
С помощью уравнения
у'(Ь)+и(Ъ)у(Ъ) = у(Ъ)
и граничного условия (5) можно определить значение
ί/ (&) = [^ (Ь)—ψ]-1 [γ (6) —β], (6)
если матрица ν(b) — ψ имеет ранг п. Искомое решение
граничной задачи (3) — (5) находится как решение
задачи Коши для уравнения
У' (x) + v (x)y (х) = у(х)
с начальным условием (6) (обратный ход
прогонки). Таким образом, П. м. для задачи (3) — (5)
является методом понижения порядка
дифференциального уравнения (3).
В случае конечной последовательности линейных
алгебраич. уравнений
α/φι·_ι — 6/φι· + ει·φ/ +!=/,·, ΐ = 1, 2, ..., η, (7)
где коэффициенты α£·, ct, bf — известные квадратные
матрицы порядка ν, а /,· и φ,- — известный и искомый
вектор-столбцы размера ν, аг=0, сп—0, алгоритм
прогонки определяется следующим образом:
βί + ι = (&ί-α,'βί)-1*,, (8)
2i + i = (bi — α/β/)"1 (α/г/ — /r), ί = 1, 2, ...f и, (9)
при условиях β1== 0, 2!= О (прямой ход) и
φ/ = β/ + ιφ/ + Η-2/ + ι, (10)
i = n, η — 1, ..., 1,
при условии φ„ + ι=0 (обратный ход). Здесь
β; — квадратная матрица порядка ν, ζ,- и φζ· — вектор-
столбцы размера v. Изложенный метод наз. методом
правой прогонки. Аналогично формулам (8)—
(10) получаются формулы левой прогонки.
Комбинируя левую и правую прогонки, получают метод
встречных прогонок. При решении
уравнений (7) с сильно меняющимися коэффициентами
применяется потоковый метод прогонки.
Для нахождения периодич. решения бесконечной
последовательности уравнений вида (7) с периодич.
коэффициентами используется циклическая
прогонка (см. [4]).
См. также Ортогональной прогонки метод.
Лит.: [1] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд.,
М., 1975; [2] Крылов В. И., Б о б к о в В. В.,
Монастыри ы й П. И., Вычислительные методы, т. 2, М., 1977;
[3] Μ а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики,
2 изд., М., 1980; [4] Самарский Α. Α., Николаев
Е. С, Методы решения сеточных уравнений, Μ., 1Θ78.
А. Ф. Шапкин.
ПРОГРАММ ОПТИМИЗИРУЮЩИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ — применяемые при трансляции
направленные преобразования программы, представленной в
нек-рой ее промежуточной форме, с целью улучшения
рабочих характеристик программы, связанных с
использованием ею ресурсов ЭВМ, главными из к-рых
ЩИВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ б*4
являются время выполнения и объем занимаемой
памяти.
Обычно каждое применение П. о. п. изменяет
локальную семантику фрагментов программы, но
сохраняет семантику программы в целом — результирующая
программа либо эквивалентна исходной, либо является
ее доопределением на более широкое множество
входов.
Различают машинно-зависимые П. о. п.,
Ктрые определяются особенностями машинного языка
или другими характеристиками конкретной ЭВМ, и
универсальные П. о. п. (такие, напр., как
удаление из программы операторов, недостижимых от
начала), к-рые определяются только семантикой,
вкладываемой в исходную запись алгоритма, и применимы
для широкого класса ЭВМ.
Основные способы улучшения машинной программы
при П. о. п. заключаются в удалении вычислений или
объектов из процессов выполнения программы или в
замене в них сложных вычислений на более простыв
(на основе априорных оценок сложности вычислений).
Это требует учета управляющих, информационных и
частотных отношений, возникающих в этих процессах
между операторами и объектами программы. П, о. п.
по существу включает в себя: нахождение необходимых
ему отношений указанного типа по локальной
семантике операторов программы — т. н. потоковый
анализ программы; проверку нек-рых свойств
собранной информации — т. н. контекстных
условий; преобразование фрагмента программы
в случае удовлетворения этих свойств — собственно
трансформация данного П. о. п.
По величине той части программы (т. н. участка
экономии), к-рая обрабатывается П. о. п.
независимо от окружения, П. о. п. разделяются на л о-
к а л ь н ы е, участок экономии к-рых не более
оператора; глобальные, участком экономии к-рых
является вся программа; квазилокальные,
где участок экономии — нек-рый фрагмент
программы, имеющий фиксированную внутреннюю
структуру,— напр., луч (линейная последовательность
операторов), зона (нетривиальный сильно связный
подграф управляющего графа программы), не
содержащая других зон, или гамак (подграф,
связанный с остальной частью управляющего графа в
точности двумя вершинами — входной и выходной;
входная вершина принадлежит гамаку, а выходная нет),
не содержащий других гамаков и зон.
Для уменьшения временной и емкостной сложности
глобального П. о. п. часто используется
факторизация— замена глобального П. о. п. серией
квазилокальных, применяемых к фрагментам программы
в соответствии с их вложенностью.
Только для узких классов программ таких, как,
напр., класс линейных программ, можно построить
конечный полный набор П. о. п. Поэтому в
конкретных трансляторах набор П. о. п. в значительной
степени строится на эвристич. основе и существенно
зависит от класса задач, для к-рых предназначен
транслятор. Важным является выбор последовательности
применений П. о. п., поскольку, как правило,
используемые наборы П. о. п. не являются системами Чёр-
ча — Россера, в к-рых результат не зависит от порядка
применения преобразований.
Набор П. о. п. для трансляторов с наиболее
распространенных проблемно-ориентированных языков
(таких, напр., как алгол, фортран, IJJIlI) является
хорошо исследованным и позволяет получать машинные
программы, сравнимые по качеству с программами,
написанными вручную. Он содержит преобразования
по удалению повторных вычислений с одинаковым
результатом, частичному выполнению программы при
ПРОГРАММ ОПТИМИЗИРУ1

645
трансляции, по чистке программы от бесполезных
объектов и действий, замене сложных вычислений на
более простые, уменьшению суммарного размера
одновременно существующих объектов, сокращению
размера программы.
Лит.: [1] Ахо Α., Ульман Дж., Теория
синтаксического анализа, перевода и компиляции, пер. с англ., т. 2, М.,
1978; [2] Б а б е ц к и й Г. И. и др., Альфа-система
автоматизации программирования, Новосиб., 1967; [3]
Касьянов В. Ы., Π ο τ τ о с и н И. В., Технология трансляции,
Новосиб., 1979. В. Н. Касьянов.
ПРОГРАММА — план действий, подлежащих
выполнению нек-рым исполнителем, обычно
автоматическим устройством, чаще всего ЭВМ; предписание,
алгоритм. П. представляется в виде конечной
совокупности команд (инструкций), каждая из
к-рых побуждает исполнителя выполнить нек-рую
элементарную операцию над данными, хранящимися
в памяти исполнителя и имена к-рых являются
параметрами команды. Автоматизм исполнения
достигается тем, что любая текущая команда, кроме
завершающей, указывает однозначно на команду П., к-рая
должна выполниться после текущей. Особенностью
исполнения является наличие команд ветвления
(условных переходов), в к-рых выбор одного из
нескольких указанных продолжений делается на основании
проверки свойств данных, упоминаемых в команде.
Другой особенностью является возможность
многократного выполнения отдельных команд. Эти особенности
приводят к тому, что последовательность выполняемых
команд и ее длина при исполнении П. могут
варьировать, однозначно определяясь входными данными.
Таким образом, П., являясь конечным объектом,
побуждает исполнителя закономерно реагировать на
потенциально бесконечное разнообразие входных данных.
Тем самым П. так же, как и теоремы с их
доказательствами, реализуют свойство всеобщности математич.
закономерностей.
Математич. абстракции П. изучаются
программированием теоретическим. П. важна не только как
предписание для ЭВМ, но и как источник операционного
знания для человека. Тем самым алгоритмические
языки, созданные для записи П., несут также
коммуникативную функцию, свойственную естественным
языкам.
Составление П. для ЭВМ, или программирование,
стало в связи с широким применением ЭВМ новой
массовой формой математич. практики.
Лит.: [1] Ершов А. П., «Кибернетика», 1972, № 5, с.
05—99; [2] Турский В., Методология программирования,
М., 1981. А. П. Ершов.
ПРОГРАММИРОВАНИЕ — 1) процесс составления
программы, плана действий; 2) дисциплина, изучающая
методы и приемы составления программ. С
определенной долей условности П. как дисциплина делится на
программирование теоретическое, изучающее
математич. абстракции программ и способов их построения,
системное программирование,
имеющее дело с разработкой математического обеспечения
ЭВМ, т. е. программных комплексов массового и
длительного применения, и прикладное
программирование, обслуживающее конкретные
применения ЭВМ во всем их разнообразии.
Составление программы является творч. задачей,
т. к. поиски способа достижения даже четко
сформулированной цели в общем случае требуют выработки
или привлечения нового знания. В нек-рых частных
случаях возможно нахождение более систематической
и формальной процедуры П. Так, если задание на П.
уже сформулировано в виде алгоритма, то П. сводится
к переводу с языка записи алгоритма, или
алгоритмического языка, к языку, непосредственно
воспринимаемому исполнителем. В нек-рых математич. моделях
задача перевода решается исчерпывающе. Напр., если
1РОВАНИЕ 646
задача сформулирована в виде теоремы существования
ЧхЦуР (х, у),
где Ρ (χ, у) — нек-рая формула узкого исчисления
предикатов, то из доказательства теоремы в
конструктивной логике эффективно извлекается рекурсивное
описание функции φ(#), для к-рой ухР (х, Ц)(х))
(теорема Клини— Нельсона). Поиски
систематич. процедур перевода записей алгоритма в
программы и извлечения программы из условия задачи
и дополнительной информации составляют предмет
автоматизации программирования и ее частного
случая — трансляции программ.
Методика П. уделяет особое внимание способам
описания исходной спецификации задачи, подлежащей П.,
поскольку умелое использование заложенной в
спецификации информации позволяет придать П. более
достоверный характер. Важным аспектом П. является
забота о четкой структуре программы, облегчающей
проверку ее правильности, а главное — выделение и
изоляцию тех фрагментов программы, дальнейшая
детализация к-рых требует привлечения нового знания.
Нек-рое представление о способе перехода от
спецификации задачи к программе дает следующий пример
П. задачи возведения χ в натуральную степень п.
Исходное знание: х1—х, хп + т=хп-хт, хпт=(хп)т.
Обнаруживая, что эти соотношения позволяют свести
решение задачи хп к более простой (т. е. с меньшим п),
пытаются придать исходному знанию простейшую
форму (творч. шаг):
χΟ = ί, χη + 1=χ".χ, χΖη = (χ»)'\
Содержательный анализ показывает, что третье
соотношение эффективнее, нежели второе, но зато
применимо не всегда. Второе соотношение переписывается
в виде случая, дополнительного к третьему (творч.
шаг):
я° = 1, χ2" + 1 = χ2η.χ, х2п = (хп)2.
Используя обратимость функций 2тг и тг-f-l и логич.
несовместимость соотношений, получают рекурсивное
соотношение методом разбора случаев (формальный
шаг):
( если 71 = 0, то 1;
*"=«[ если η четное, то (хп12)<1\
\ если η нечетное, то х-хп~1.
Остается переписать это правило на каком-либо алго-
ритмич. языке, напр. алгол-60 (формальный шаг):
real power (χ, η); real x, integers;
power: —ii n=0 then 1 else
if even(n) then power(x,n/2)\2 else xXpower(x, n—i).
Определение процедуры проверки четности even (ή)
становится отдельной, более частной задачей П.
Важной составной частью П. является проверка
правильности программы. Одним из способов
обеспечения правильности является придание процессу П.
формы, сходной с доказательством теоремы, т. е.
когда каждый шаг построения программы сопровождается
рассуждением, подтверждающим непротиворечивость
этого шага исходному знанию о программе и
дополнительному знанию, использованному в данном шаге.
Возникающие при этом формальные дедуктивные
системы также изучаются в программировании
теоретическом. Дополнительным средством проверки
правильности уже составленной программы является ее о т-
л а д к а, т. е. систематич. испытания программы на
машине и сравнение эффекта, производимого
программой, с ожидаемым. Хотя на практике отладка является
преимущественным способом проверки программ,
теоретически она не может быть исчерпывающей, т. к.
установление правильности программы путем конеч-
ПРОГРАММ
21*

647
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
648
ной системы испытаний может быть достигнуто только
для очень узких классов задач (см. Автоматов теория).
Лит.: [1] Л ю б и м с к и й Э. 3., Μ а р τ ы н ю к В. В.,
Трифонов Н. П., Программирование, М., 1980; [2] Дей-
кстра Э. В., Дисциплина программирования, пер. с англ.,
М., 1978; [3] Μ е й е ρ Б., Б о д у э н К., Методы
программирования, пер с франц., т. 1—2, М., 1982. А. П. Ершов.
ПРОГРАММИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ —
см. Математическое программирование.
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ —
раздел программирования, связанный с изучением и
разработкой методов и средств для: а) адекватного
описания в программах естественного параллелизма
моделируемых в ЭВМ и управляемых ЭВМ систем и
процессов, б) распараллеливания обработки
информации в многопроцессорных и мультипрограммных ЭВМ
с целью ускорения вычислений и эффективного
использования ресурсов ЭВМ.
В отличие от программирования последовательных
вычислений, концептуальную основу к-рого
составляет понятие алгоритма, реализуемого по шагам строго
последовательно во времени, в П. п. программа
порождает совокупность параллельно протекающих
процессов обработки информации, полностью независимых
или связанных между собой статическими или
динамическими пространственно-временными или причинно-
следственными отношениями.
Вычислительный параллелизм выступает в разных
конкретных формах в зависимости от этапа
программирования, от сложности параллельных фрагментов и
характера связей между ними.
В текстах, описывающих задачи и программы,
можно выделить уровни сложности фрагментов, для к-рых
задача распараллеливания, т. е.
составления параллельной программы, решается
по-разному: выражения со скалярными данными; выражения
над структурными данными (векторы, матрицы,
деревья и т. п.), записываемые в алгоритмич. языках с
помощью операторов цикла; подзадачи и
подпрограммы; независимые задачи и программы в
мультипроцессорных системах.
Предпосылкой для распараллеливания выражений
служит тот факт, что входящие в них операции и
функции удовлетворяют нек-рым соотношениям,
индуцирующим на всем множестве выражений отношение
эквивалентности по результатам (например, для арифметич.
операций — ассоциативность, коммутативность,
дистрибутивность). Задача
распараллеливания состоит в построении по заданному выражению
Ε эквивалентного выражения Е', к-рое может быть
исполнено за наименьшее число параллельных шагов,
где параллельный шаг — это совокупность действий,
выполняемых одновременно на разных вычислителях
(процессорах). Напр., выражение
a + b+(cxd)/(exf) + g
преобразуется в эквивалентное выражение
«a + b) + g) + ((cxd)/(exf))9
исполнение к-рого осуществляется за 3 параллельных
шага. Отношение числа параллельных шагов
исполнения к числу последовательных шагов наз.
ускорением распараллеливания. Любое
арифметич. выражение с η операндами может быть
вычислено параллельно за О (log n) шагов с
использованием η процессоров. Относительная простота
алгоритмов распараллеливания выражений позволяет
реализовать их автоматически в ЭВМ с помощью
специальных программ или аппаратными средствами.
Большее ускорение может быть получено за счет
распараллеливания обработки структурных данных.
В алгоритмич. языках типа алгол или фортран
выражения над структурными данными программируются с
помощью операторов цикла дида FOR/— А, В, С,
DO S, где / — целочисленный параметр цикла, А —
его начальное значение, В — конечное значение, С —
шаг изменения параметра, S — тело цикла, задающее
действия, выполнимые на одном шаге итерации. Для
распараллеливания системы вложенных циклов
рассматривается ^-мерное целочисленное пространство
итераций с координатными осями /1? /2» · · ·» In· Вы-
полнение Кг-й итерации по параметру /1? К2-и итерации
по параметру /2, . . ., Кп-и итерации по параметру /„
изображается точкой (Ки . . ., Кп) этого пространства.
В пространстве итераций ищется семейство
поверхностей, удовлетворяющих условию: все итерации (Ки
. . ., Кп), лежащие на любой из этих поверхностей,
могут выполняться параллельно. Для программного
представления параллельной обработки структурных
данных необходимы специальные языковые средства.
С этой целью разработаны модификации существующих
языков программирования (в основном — фортрана),
в к-рые вводятся параллельные операторы циклов,
напр., вида
FORALL(/, /, K)/[1:N; 1:L\ i:M],
при исполнении к-рых тело цикла копируется по
определенным правилам на параллельно исполняемые
итерации. Эти языки снабжаются также более развитыми
средствами описания структурных данных и
средствами управления размещением их в памяти для
обеспечения быстрого параллельного доступа к структурным
данным. Дальнейшее повышение уровня языков
программирования состоит в использовании групповых
операций над структурными данными таких, как
покомпонентное умножение и сложение векторов и
матриц, скалярное и векторное произведение, обращение
матриц и т. п. Применение таких языков позволяет
заменить автоматич. распараллеливание
последовательных циклов, к-рое на практике осуществимо, но
относительно сложно, на непосредственное задание
параллельных групповых операций.
Параллельные выражения могут исполняться
асинхронно или синхронно. В первом случае
не фиксируется связь между временами выполнения
параллельных операций, во втором случае времена их
выполнения должны вкладываться в жесткие рамки
тактированного расписания. Если операции имеют
фиксированные длительности и известно число
процессоров, доступных в любой момент исполнения, то
целесообразно применять синхронный метод
вычислений, в противном случае — более гибкий асинхронный.
Управление асинхронным исполнением выражений
основано на потоковом принципе* операция может
выполняться в любой момент времени после того, как для
нее подготовлены операнды.
Распараллеливание на уровне подзадач и
подпрограмм существенно сложнее. В этом случае
параллельные процессы могут иметь сложную внутреннюю
структуру» длительность их выполнения не фиксирована;
процессы взаимодействуют, обмениваясь данными и
обращаясь к общим ресурсам (общие данные и программы
в памяти, внешние устройства и т. п.). Автоматич
распараллеливание на этом уровне требует сложных
алгоритмов анализа задач и учета динамич. ситуаций
в системе. В связи с этим особое значение имеет
создание языков П. п., позволяющих программисту
непосредственно описывать сложные взаимодействия
параллельных процессов.
В большинстве языков и систем П. п. принята
частично асинхронная организация вычислений. В
языках П. п. имеются средства выделения (порождения)
параллельных процессов и средства их синхронизации,
к-рые в аппаратуре поддерживаются механизмами
прерываний — принудительных остановок процессов

649
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
650
с запоминанием их текущих состояний и с
последующей активацией или возобновлением др. процессов.
Наиболее известными и простыми программными
механизмами синхронизации являются семафоры и
события. Семафор — это специальная управляющая
переменная, принимающая целочисленные значения.
Семафор обычно связан с нек-рым конфликтным
ресурсом. К семафору применимы только две операции Ρ и
V. Если в ходе исполнения процесса встретится
операция P(s), где s — семафор, то процесс может
продолжаться с уменьшением значения s на 1 только в том
случае, когда значение s положительно; в противном
случае он приостанавливается и занимает место в
очереди q(s) процессов, ждущих соответствующего
ресурса. Операция V увеличивает значение s на 1 и
возобновляет первый в очереди q(s) процесс. Механизм
семафоров широко используется в языках управления
процессами в операционных системах ЭВМ и в ряде
универсальных языков программирования (напр., алгол-
68). Механизм событий включает управляющие
переменные, текущие значения к-рых отмечают
наступление каких-либо программных или системных
событий (завершение процессов, прерывания и т. п.),
и специальные операторы ожидания событий.
Семафоры и события являются универсальными
средствами синхронизации, но они слишком примитивны, и
неправильное их использование может привести к
аварийным ситуациям таким, как взаимная блокировка
процессов (напр., два процесса требуют для своего
продолжения по два ресурса и каждый «захватил» по
одному). Стремление повысить надежность
программирования приводит к появлению более сложных
механизмов синхронизации: «почтовые ящики» —
особые структуры для обмена сообщениями, для к-рых
фиксированы правила работы с ними параллельных
процессов; мониторы — наборы процедур и
данных, к к-рым процессы могут обращаться только
поочередно и к-рые содержат заданные программистом
правила организации взаимодействий.
Чисто асинхронное П. п. используется для
организации вычислений в распределенных вычислительных
системах, в к-рых полностью исключены конфликты
по ресурсам Стремление упростить организацию
взаимодействий между процессами с общими ресурсами
привлекает внимание к асинхронным методам
вычислений, в к-рых разрешен нерегламентированный доступ
параллельных процессов к общим ресурсам. Напр.,
разрабатываются асинхронные алгоритмы, в к-рых
параллельные процессы обмениваются данными с
общей памятью, причем неупорядоченный доступ к
памяти не мешает достижению однозначного результата.
В теории П. п. разрабатываются формальные модели
параллельных программ, процессов и систем и с их
помощью исследуются различные аспекты П. п.: авто-
матич. распараллеливание последовательных
алгоритмов и программ; разработка параллельных методов
вычислений для разных классов задач и разных
классов параллельных вычислительных систем;
оптимальное планирование параллельных вычислений и
распределение ресурсов между параллельными процессами;
формальное описание семантики программ и языков
П. п. Среди таких моделей — схемы параллельных
программ, отражающие с разной степенью
детализации структурные свойства программ; графовые модели
и асинхронные сети (Петри сети), являющиеся мате-
матич. абстракциями дискретных процессов и систем.
Лит.: [1] Котов BE, «Кибернетика», 1974, №1, с.
1 — 16; №2, с. 1 — 18; [2] Η а р и н ь я н и А. С, там же, № з,
с. 1 — 15; № 5, с. 1—14; [3] Фаддеев а В. Η., Φ а д д е-
евД. К., там же, 1977, №6, с. 28—40; [4] К иск D. J.,
«Сотр. Surveys», 1977, v. 9, № 1, p. 29—59. В. Ε. Котов.
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ —
математическая дисциплина, изучающая математич.
абстракции программ, трактуемых как объекты, вы-
раженные на формальном языке, обладающие
определенной информационной и логич. структурой и
подлежащие исполнению на автоматич. устройствах. П. т.
сформировалось преимущественно на основе двух
моделей вычислений: последовательных программ с
памятью, или операторных программ, и рекурсивных
программ. Обе модели строятся над нек-рой абстрактной
алгебраич. системой <Ζ), Φ, П>, образованной
предметной областью D, конечным набором (сигнатурой)
функциональных Ф= {φχ, . . ., <рт} и предикатных
П= {πχ, . . ., π„} символов с заданным для каждого
символа числом его аргументов (арностью).
Определение класса программ слагается из трех
частей: схемы программы (синтаксиса), интерпретации
и семантики. Схема программы — это
конструктивный объект, показывающий, как строится
программа с использованием сигнатуры и других
формальных символов. Интерпретация — это
задание конкретной предметной области и сопоставление
символам сигнатуры конкретных функций и
предикатов (базовых операций), согласованных с предметной
областью и арностью символов. Семантика —
это способ сопоставления каждой программе
результата ее выполнения. Как правило, с программами
связывают вычисляемые ими функции. Интерпретация
обычно входит в семантику как параметр, поэтому
схема программы задает множество программ и
вычисляемых ими функций, к-рое получается при
варьировании интерпретаций над нек-рым запасом базовых
операций.
Схема программы с памятью,
называемая также алголоподобной, или
операторной, схемой, задается в виде конечного
ориентированного графа переходов,
имеющего обычно одну входную и одну выходную
вершины, вершины с одной (преобразователи) и двумя
(распознаватели) исходящими дугами. С помощью символов
сигнатуры и счетного множества символов переменных
и констант обычным образом строится множество
функциональных и предикатных термов. Каждому
распознавателю сопоставляется нек-рый предикатный терм,
а преобразователю — оператор присваивания,
имеющий вид у:=т, где у — символ переменной, а τ —
функциональный терм. Конечная совокупность всех
переменных в схеме образует ее память.
Интерпретация в дополнение к конкретизации базовых операций
предписывает каждой переменной область ее
изменения, а каждой константе — ее значение. Для программ
с памятью наиболее обычна т. н. операционная
семантика, состоящая из алгоритма
выполнения программы на заданном состоянии памяти.
Программа выполняется при движении по графу
переходов. При попадании на распознаватель вычисляется
предикатный терм и происходит переход по дуге,
соответствующей значению предиката. При попадании на
преобразователь с оператором у:—τ вычисляется
значение τ и присваивается переменной у. Результат
выполнения программы — состояние памяти при
попадании на выходную вершину.
Схема рекурсивной прогр а.м м ы, или
рекурсивная схема, использует кроме
функциональных т.н. условные термы,
образующие вместе с первыми множество вычислительных
термов. Условный терм задает вычисление методом
разбора случаев и имеет вид (πΙτ^Ιτ^), где π —
предикатный, а τχ и τ2 — вычислительные термы, и
соответствует конструкции условного выражения в алголе:
if π then τι else τ2.
Термы строятся над счетным множеством входных и
формальных переменных, констант и символов опреде-

651
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ
652
ляемых функций. Рекурсивная схема состоит из
главного вычислительного терма с входными переменными
и конечного набора рекурсивных уравнений вида
/(ж1? . . ., χη)=τ, где / — символ определяемой
функции, хх, . . ., хп — формальные переменные, а τ —
терм с переменными из множества \хх, . . ., хп) и с
определяемыми функциями из набора уравнений. При
естественных предположениях на интерпретацию
базовых операций система уравнений относительно
определяемых функций всегда имеет т.н.
наименьшую неподвижную точку (н. н. т.) —
совокупность функций, удовлетворяющих уравнениям,
с графиками, принадлежащими графикам любых
других решений уравнений. Подставляя в главный терм
вместо символов определяемых функций
соответствующие компоненты н. н. т., получают функциональный
терм, задающий нек-рую функцию входных
переменных, к-рая и объявляется функцией, вычисляемой
рекурсивной программой. Поскольку такой способ
сопоставления программе вычисляемой ею функции не
дает конкретного алгоритма вычисления., определенная
так семантика наз. денотационной.
Указанные формализмы как бы отмечают диапазон
уровней изобразительных средств языков
программирования: если операторные схемы близки к структуре
машинной программы, то рекурсивные схемы ближе
к исходной формулировке задач, подлежащих
программированию.
Исследования по П. т. несут на себе отпечаток об-
щематематич. средств, используемых при изучении
моделей программ. Формально-комбинаторные методы
формируют теорию схем программ, к-рая
изучает свойства программ, инвариантные
относительно выбора интерпретации базовых операций. Логич.
методы изучают способы определения семантики
программы, а также ищут закономерности в процессе
построения программы. Алгебраич. методы, отвлекаясь
от конкретной структуры программы, концентрируют
свое внимание на изучении множеств, возникающих
при рассмотрении программы или класса программ.
Сложившиеся разделы П. т. охватывают в основном
модели последовательных вычислений, выполняемых
одним активным устройством. Изучение проблем,
возникающих при необходимости организовать
совместную работу ансамбля машин, объединяемых для
решения одной задачи или взаимодействующих
посредством передачи сигналов и информации, составляет
предмет новой дисциплины — т. н. программировании
параллельного.
Теория схем программ. Отправным понятием теории
схем программ является понятие функциональной
эквивалентности. Две схемы функционально
эквивалентны, если для любой интерпретации
соответствующие программы вычисляют одинаковые
функции. Каждому выполнению программы можно
сопоставить его протокол — особого рода терм
в сигнатуре базовых операций, отражающий порядок
их выполнения. Если известны значения истинности
предикатов, входящих в программу, то протокол по
этим значениям строится однозначно, при этом для
построения не нужно знать интерпретации базовых
операций. Если выбирать значения истинности
предикатов произвольно, то в результате для схемы
программы создается нек-рое множество формальных
протоколов, называемое ее детерминантом.
Две схемы формально эквивалентны, если их
детерминанты совпадают. Формальная эквивалентность
корректна, если из нее следует функциональная
эквивалентность. Поскольку детерминант строится чисто
комбинаторно на основе произвольного выбора из
конечного множества, он образует формальный язык,
воспринимаемый нек-рым автоматом. Представляют особый |
интерес такие определения протокола схем программ,
к-рые приводят к разрешимым детерминантам. Для
таких детерминантов можно ставить вопрос о
поиске системы преобразований схем программ, полной
в том смысле, что любые две формально эквивалентные
схемы переводимы одна в другую этими
преобразованиями.
Структура теории схем программ сложилась на базе
основополагающих работ А. А. Ляпунова и Ю. И. Яно-
ва (см. [5], [10]). Последний полностью изучил
простейшую модель операторных схем с сигнатурой
одноместных операций и допускающих в программе
только одну переменную (схемы Я н о в а).
Протоколом схемы Янова является последовательность
выполняемых операций, перемежаемых значениями
предикатов. Автомат, воспринимающий детерминант,
оказывается конечным автоматом, а формальная
эквивалентность разрешима, при этом она совпадает с
функциональной. Для схем Янова найдена полная
система преобразований.
Для общей модели операторных схем
функциональная эквивалентность оказалась неразрешимой, однако
удалось найти форму протокола — т. н. логико-
термальную историю, к-рая приводит
к разрешимому детерминанту. Этот протокол
фиксирует последовательность выполнения и значения
предикатов схемы, а для каждого аргумента предиката
указывает функциональный терм, к-рый вычислял
значение данного аргумента при выполнении
программы. Автоматом, воспринимающим детерминант,
оказывается двухленточный конечный автомат. Для
логико-термальной формальной эквивалентности также
найдена полная система преобразований.
Существенное место в теории схем программ
занимают вопросы перевода схем программ из одной
вычислительной модели в другую. Операторные схемы
эффективно переводятся в рекурсивные схемы в той же
сигнатуре, однако обратная трансляция невозможна, т. к.
выполнение рекурсивной программы требует, вообще
говоря, сколь угодно большого числа ячеек памяти.
Детерминант рекурсивной схемы может быть задан
в виде контекстно-свободного языка (см. Грамматика
бесконтекстная), однако вопрос о разрешимости
соответствующей формальной эквивалентности остается
пока (1983) открытым.
Теория схем программ занимается также изучением
отдельных классов схем программ с целью выделить
случаи разрешимых эквивалентностей, она также
обогащает базовую вычислительную модель
дополнительными конструкциями языков программирования,
изучая при этом выразительную силу обогащений и
вопросы сводимости.
Логическая теория программ. Говорят, что
программа Λ частично правильна относительно
входного условия Ρ и выходного условия Q
(обозначение Ρ {А } <?), если в случае, когда Ρ истинно для
входных значений переменных и А завершает работу, Q
истинно для выходных значений переменных. При этом
Ρ наз. предусловием, a Q —
постусловием программы А . Программа А
тотально правильна (обозначение Р<А ><?), если А
частично правильна относительно Ρ и <?, а также А
завершает работу для входных значений переменных,
удовлетворяющих условию Р. Для доказательства
частичной правильности последовательных программ часто
используется метод Флойда, к-рый состоит в
следующем. На схеме программы выбираются
контрольные точки так, чтобы любой циклич. путь проходил
по крайней мере через одну точку. Контрольные точки
также связываются с входом и выходом схемы С
каждой контрольной точкой ассоциируется специальное
условие (т. н индуктивное утверждение,

653
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЯЗЫК
654
или инвариант цикла), к-рое истинно при
каждом переходе через эту точку. С входной и выходной
точками ассоциируются входное и выходное условия.
Затем каждому пути программы между двумя
соседними контрольными точками сопоставляется т. н. условие
правильности. Выполнимость всех условий
правильности гарантирует частичную правильность программы.
Один из способов доказательства завершения работы
программы состоит во введении в программу
дополнительных счетчиков и установлении ограниченности
этих счетчиков на выходе программы в процессе
доказательства частичной правильности.
Было предложено задавать аксиоматич. семантику
языков программирования посредством конечной
аксиоматич. системы (т. н. логики X о а р а),
состоящей из аксиом и правил вывода, в к-рой в качестве
теорем выводимы утверждения о частичной
правильности программ. Напр., для оператора присваивания
схема аксиом имеет вид
Ρ (χι—β) {х := е] Р,
где Ρ (х+-е) означает результат подстановки в Ρ
выражения е вместо всех вхождений переменной я, а для
оператора цикла типа while правило вывода имеет вид
(Р Л R) {А} Р |— Ρ {while R do Α) (Ρ λ 1 R)
(то есть Р является инвариантом цикла).
Пусть рассматривается логика Хоара, у к-рой в
качестве языка для записи условий взят язык
арифметики 1-го порядка. Утверждение о частичной
правильности программы наз. выводимым, если оно
выводимо в расширении этой логики посредством
добавления истинных формул арифметики, и наз. истинным,
если оно истинно по отношению к операционной (или
денотационной) семантике программы. Логика Хоара
наз. состоятельной, если каждое выводимое
в ней утверждение истинно, и наз. полной
(относительно арифметики), если каждое истинное
утверждение выводимо в ней. Состоятельная и полная логика
Хоара построена, в частности, для языка
программирования, содержащего простые переменные и
операторы присваивания, составной, условный, цикла и
процедуры (возможно, рекурсивные, но с рядом
ограничений) .
Важным обобщением логики Хоара является т. н.
алгоритмическая (или динамическая)
логика. Пусть Ρ {A }Q представлено в виде Pz>
"D[A\Q, где [A]Q есть самое слабое предусловие, для
к-рого справедливо утверждение о частичной
правильности программы А с постусловием Q. Аналогично для
случая тотальной правильности пусть Ρ <Л >@
представлено в виде РГЭ<С4>(?. Формулы алгоритмич.
логики строятся из формул базового логич. языка (для
записи условий) и программ с помощью булевых
операций, кванторов, а также операций вида М]@, <A>Q.
В алгоритмич. логике выразимы различные
утверждения о программах, напр. их эквивалентность.
Аналогично логике Хоара для алгоритмич. логики построена
состоятельная и полная конечная аксиоматич.
система в случае языка программирования, допускающего
и недетерминированные программы.
Для доказательства утверждений о рекурсивных
программах часто используется специальная
индукция, связанная с определением н. н. т. Пусть для
простоты рекурсивная программа задается одним
уравнением f=T(f), а ее денотационная семантика — н. н. т.
/н. При естественных предположениях об условии Ρ
справедлив следующий принцип индукции: если
формула Ρ (Ω) истинна и из Ρ (τ'* (Ω)) следует Ρ (τί + 1 (Ω)),
то выполняется Ρ (/„) (здесь Ω — нигде не
определенная функция). Для описания денотационной семантики
языков программирования высокого уровня
используется задание области данных в виде т.н. полных
решеток Скотта.
Задачу синтеза программы можно формализовать
как задачу построения доказательства теоремы
\/#Зг/П (χ, у) и последующего извлечения программы
из этого доказательства. Построен алгоритм, к-рый по
доказательству в интуиционистской логике дает
программу на языке алгол-68. Если доказательство
использует правило индукции, то ему соответствует в
программе цикл вида for to ... do ... od. Извлекаемая
программа будет приемлемой сложности, если
использовать предположение, что она строится из
стандартных (т. е. заданных) функций и предикатов, свойства
к-рых описаны аксиомами специального вида.
Алгебраическая теория программ. Примером
применения алгебраич. методов в П. т. может служить
проблема эквивалентности дискретных преобразователей
Глушкова, в к-рые естественно вкладываются
операторные схемы программ. Пусть 51 — конечный автомат
Мили с входным алфавитом X и выходным алфавитом
У и с заданными начальным и заключительным
состояниями. Пусть G — полугруппа с множеством
образующих Υ и единицей е. Пусть рассматривается автомат
Мура βμ (возможно, бесконечный) с множествами
состояний G, входов У, выходов X, начальным
состоянием е, функцией выходов μ(#) и функцией переходов
Я(%1 У) — 8У- Автомат 51, работающий совместно с 6?μ,
наз. дискретным преобразователем,
если 51 воспринимает в качестве входа выход θμ , а
Gu воспринимает в качестве входа выход 51. Выходом
21 считается при этом состояние Θμ в момент
остановки 51. Дискретные преобразователи эквивалентны
относительно полугруппы G, если для каждого
отображения μ из G в X они оба не останавливаются при
работе с Gμ либо оба останавливаются с одинаковым
выходом. Установлена разрешимость проблемы
эквивалентности дискретных преобразователей
относительно полугруппы с левым сокращением,
неразложимой единицей, в к-рой разрешима проблема
тождества слов. Описаны также все разрешимые и
неразрешимые случаи эквивалентности дискретных
преобразователей относительно коммутативной полугруппы.
П. т. оказывает свое влияние на практику прежде
всего как концептуальный багаж при изучении
программирования и — более технич. путем — через
теорию формальных языков программирования. Здесь
свойства абстрактных моделей вычислений
используются для уточнения семантики языков
программирования и для обоснования различных манипуляций с
программами (см. Трансляция программ, Программ
оптимизирующие преобразования).
Лит.: [1] Г л у ш к о в В. М., Л е т и ч е в с к и й Α. Α.,
в кн.: Избранные вопросы алгебры и логики, Новосиб., 1973,
с. 5—39; [2] Ершов А. П., Введение в теоретическое
программирование, М., 1977; [3] Котов В. Е., Введение в
теорию схем программ, Новосиб., 1978; [4] Лавров С. С,
«Программирование», 1978, № 6, с. 3—10; [5] Ляпунов
Α. Α., «Проблемы кибернетики», 1958, в. 1, с. 46—74; [6] Η е-
пейвода Η. Η., «Программирование», 1979, № 1, с. 15—25;
[7] Π л ю ш к я в и ч ю с Р. А. [и др.], «Кибернетика», 1979,
№ 2, с. 12—19; [8] Семантика языков программирования. Сб.
статей, пер. с англ., М., 1980; [9] С к о т т Д., «Кибернетический
сборник», 1977, в. 14, с. 107—21; [10] Янов Ю. И.,
«Проблемы кибернетики», 1958, в. 1, с. 75—127; [И] Manna Z.,
Mathematical theory of computation, N.Y., —[a.o.], 1974.
А. П. Ершов, В. А. Непомнящий.
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЯЗЫК — формальная
знаковая система, служащая общению человека с ЭВМ.
Решая вычислительные задачи или управляя
исполнительными механизмами, ЭВМ с ее программным
обеспечением демонстрирует сложные формы поведения,
обычно относимые к умственной деятельности
человека. Именно это сходство функций, отражающее
общность кибернетич. законов обработки информации в
живых организмах и автоматич. устройствах, позволя-

655
ет говорить о языке ЭВМ, о понимании машиной
передаваемой ей информации, об общении человека и
ЭВМ.
Основное назначение П. я.— быть средством
программирования, т. е. формулирования программ,
подлежащих выполнению на ЭВМ. Осмысленная
программа для ЭВМ представляет собой своеобразную
операционную и информационную модель нек-рой
закономерности внешнего мира, причем программа фиксирует
эту закономерность в точной и воспроизводимой форме.
Эта документальная сторона программирования
делает П. я. также важным средством профессионального
общения людей.
Наиболее распространенным видом П. я. являются
алгоритмические языки, формулирующие алгоритм
решения задачи на ЭВМ. Обычно П. я. носит
универсальный характер, допуская формулирование алгоритмов
решения разнообразных задач, подлежащих решению
на разных ЭВМ. В то же время для более удобного
представления задач из нек-рого четко выделяемого
класса создают проблемно-ориентированные языки, а
для более полного использования возможностей
конкретной ЭВМ создают машинно-ориентированные
языки. Наиболее распространенные П. я. в 1970-е гг.—
алгол, фортран, кобол, ПЛ I I, алгол-68. К более
специальным языкам относятся лисп, симула, снобол.
В СССР получили распространение также языки альфа
и рефал.
Лит.: [1] Криницкий Η. Α., Миронов Г А,
Фролов Т. Д., Программирование и алгоритмические
языки, 2 изд., М., 1979; [2] Π ρ а т τ Т., Языки
программирования: разработка и реализация, пер. с англ , Μ , 1979.
А. П. Ершов.
ПРОГРАММЫ СХЕМА — формальный
конструктивный объект, получающийся из программы
абстрагированием от лексич. особенностей использованного
при ее записи формального языка программирования и
от смысла элементарных действий и объектов,
употребляемых в программе. П. с. изучаются в
программировании теоретическом. А. П. Ершов.
ПРОГРЕССИЯ — см. Арифметическая прогрессия,
Геометрическая прогрессия.
ПРО-р-ГРУППА — проконечная группа,
являющаяся проективным пределом конечных р-групп. Напр.,
аддитивная группа кольца %р целых р-адических чисел
является П.-р-г. В теории Галуа П.-р-г. появляются
как группы Галуа р-расширений полей.
Пусть G есть П.-р-т. Ее системой
образующих наз. подмножество EaG, обладающее
свойствами: 1) G совпадает с минимальной замкнутой
подгруппой группы G, содержащей Е, 2) в любой окрестности
единицы группы G содержатся почти все (т. е. все,
кроме конечного числа) элементы из Е.
Пусть / — множество индексов и Ft — абстрактная
свободная группа с системой образующих {α,Ίίζ/}.
Проективный предел F (I) системы групп F[lN, где
N — такие нормальные делители группы Fj, что
индекс подгруппы N в F[ является степенью числа р,
а почти все элементы а^, ΐζΐ, лежат в Ν, является
П.-р-г., к-рая наз. свободной П.-р-г. с системой
образующих {di\i^I}. Всякая замкнутая подгруппа
свободной П.-р-г. сама является свободной П.-р-г.
Всякая П.-р-г. G есть факторгруппа свободной П.-р-г., то
есть существует точная последовательность
гомоморфизмов П.-р-г.
i^R^F ^G—*1,
где F — подходящая свободная П.-р-г. (эта
последовательность наз. представлением группы
G с помощью F) Подмножество EciR наз.
системой соотношений группы G, если R
является наименьшим замкнутым нормальным
делителем в R, содержащим Е, и любой открытый нормаль-
Ы СХЕМА 656
ный делитель в R содержит почти все элементы из Е.
Мощности минимального (относительно включения)
множества образующих и минимальной системы
соотношений соответствующего представления П.-р-г. G
допускают когомологич. интерпретацию: первая
мощность совпадает с размерностью над %1р% пространства
Я1(6!)=Я1 (G, z/pZ), а вторая — с размерностью над
ZlpZ пространства H2{G) = H2(G, %ip%). Здесь Ъ/рЪ
рассматривается как дискретный G-модуль с
тривиальным действием. Если G — конечная р-группа, то
4 dim Η2 (G) ^ (dim Я1 (G) -1)2;
из этого результата выводится отрицательное решение
классич. проблемы башни полей классов [4].
Лит.: [1] С е ρ ρ Ж. - П., Когомологии Галуа, пер. с
франц., М., 1968, [2] Кох X., Теория Галуа р-расширений,
пер. с нем., М., 1973; [3] Алгебраическая теория чисел, пер.
с англ., М., 1969, [4] Голод Е. С, Ш а ф а р е в и ч И Р.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1964, т. 28, №2, с. 261—72.
В. Л. Попов.
ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — свойство решений
обыкновенных дифференциальных уравнений быть
продолженными на больший интервал независимого
переменного. Пусть
* = <Р(0> *€Л 0)
— решение системы
x = f(t, χ), x£Rn. (2)
Решение x=ty(t), t£J, системы (2) наз.
продолжением решения (1), если /Z)/ и φ(*)=φ(*),
Пусть функция
/(*· x)-=(fl (t,*U · ·» хп), ···> /и(*,*Ь ···, *«))
определена в области ifeR?,+i и t0£I. Решение (1)
наз. неограниченно продолжаемым
(неограниченно продолжаемым
вперед (вправо), неограниченно
продолжаемым назад (влево)), если существует его
продолжение, определенное на оси — оо<г<оо
(соответственно на полуоси г0<*<оо, на полуоси — оо <ί^
<£0). Решение (1) наз. продолжаемым
вперед (вправо) до границы Г области G,
если существует его продолжение x=ty(t), t0^.t^.t+ <
<оо, обладающее свойством: для любого компакта
FczG найдется значение t=tF, t0<tF<t+, такое, что
точка (tp, ^(tf)) не содержится в F. Аналогично
определяется продолжаемость назад
(влево) до границы Г. Решение, к-рое нельзя
продолжить, наз. непродолжаемым.
Если функция / (t, x) непрерывна в области G, то
всякое решение (1) системы (2) может быть продолжено
вперед (назад) либо неограниченно, либо до границы
Г. Другими словами, всякое решение системы (2)
может быть продолжено до непродолжаемого решения.
Если частные производные
dfi/dxj, i, / = 1, ..., η, (3)
непрерывны в области G, то такое продолжение
единственно.
Интервал / наз. максимальным
интервалом существования решения системы
(2), если его нельзя продолжить на больший интервал.
Для любого решения линейной системы
с непрерывными на интервале / коэффициентами агу (t)
и правыми частями fi(t), l<:i, /<п, максимальный
интервал существования решения совпадает с /. Для
решений нелинейных систем максимальный интервал
ПРОГРАММ

657 продолжений и
существования может быть разным для разных реше- I
нин, и его отыскание — трудная задача. Напр., для
решения задачи Коши
X — X , X у t q ) — X q
имеет место
^ = (*о-}-яо"\ »)
при я0<0,
/ = (—оо, ίο + ^ο"1)
при :г0>0,
J = (—оо, оо)
при х0=0.
Достаточные условия, при к-рых можно указать
максимальный интервал существования решения, дает,
напр., теорема Уинтнера: пусть функция
f(t, x) непрерывна при t£J=[t0, ί0+α], x£Rn и в этой
области выполняется оценка
|/(f,*)|<Z, (И),
где L(r) —непрерывная при г>0 функция, L(r)>0 и
f + 00dr/L(r)== + oo;
тогда максимальный интервал существования любого
решения системы (2) совпадает с /.
Эта теорема справедлива и в том случае, когда J—
= [*0, оо). Большой интерес представляют достаточные
условия неограниченной продолжаемости решений.
Напр., если функция /(£, х) и ее частные производные
(3) непрерывны при ίθ<:ί<οο, x^Rn и при этих
значениях t, χ выполняются оценки
\dfildxj |<с (t) < оо, i, / = 1, ..., и,
то решение системы (2) такое, что x(t0)=x0, существует
при ί0<ί<οο для любого χ0ζ^η.
Пусть рассматривается задача Коши
i = /(*), χ (t0)=x0 (4)
для автономной системы, причем функция f(x)
непрерывно дифференцируема в области G^zIR?. Если при
возрастании t фазовая траектория решения x=cp(t)
задачи (4) остается в компактном подмножестве FaG,
то это решение можно продолжить на полуось ί0<ί<οο.
Лит.: [1] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Обыкновенные
дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; [2] Арнольд В. И.,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971; [3]
Немы ц кий В. В., Степанов В. В., Качественная
теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; [4]
Коддингтон Э. Α., Левинсон Н., Теория
обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958;
[5] X а ρ τ м а н Φ., Обыкновенные дифференциальные
уравнения, пер. с англ., М., 1970; [6] Ч е з а р и Л.,
Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных
дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1964; [7] Wintner
Α., «Amer. J. Math.», 1945, v. 67, p. 277—84.
M. В. Федорюк.
ПРОДОЛЖЕНИЙ И ОХВАТОВ МЕТОД — метод
исследования различных дифференциально-геометрич.
структур на гладких многообразиях и их
подмногообразиях. В основе П. и о. м. лежат дифференциально-
алгебраич. критерии операций, позволяющих в
инвариантной (безкоординатной) форме присоединять к
данной структуре внутренне связанные с ней
структуры, в том числе и их дифференциальные инварианты.
Исторически П. и о. м. возник вслед за методом
подвижного репера как инвариантный метод
исследования подмногообразий однородных пространств или
пространств со связностью. Впоследствии П. и о. м. был
распространен на геометрию произвольных
расслоенных пространств. В отличие от главной цели метода
подвижного репера — построения канонич. поля
реперов и дифференциальных инвариантов изучаемой
структуры путем последовательного сужения
соответствующих главных расслоенных пространств, П. и о. м. |
I ОХВАТОВ МЕТОД 658
ι ставит целью построение инвариантов и инвариантно
присоединяемых структур без сужения главных
расслоений реперов. В необходимых случаях П. и о. м.
включает и процесс канонизации репера.
Пусть G — группа Ли и К (G) — класс всех G-npo-
странств с левосторонним действием группы Ли G на них
как группы преобразований. G-o хватом наз. такое
гладкое сюръективное отображение
/:Х—►У; X, Y£K(G),
что для любого g£G коммутативна диаграмма
x-Uy
lz\ f К>
x-Uy
где lg и l\ — преобразования G-пространств Ζ и У
соответственно, определяемые элементом g. В этом
случае говорят, что пространство У с помощью /
охвачено пространством X или
пространство X является продолжением
пространства У. Класс К (G) становится категорией
с морфизмами — G-охватами.
Примеры G-охватов.
1) Пусть Т(р, q)£ К (GL (и, R)) — пространство
тензоров типа (р, q), p^l, <7^1. Охватом является
отображение свертки
Г(р, q)—+T(p-l, q — i).
Полная свертка тензоров пространства Т(р,р)
Т(р, p):T(p,p)-+R
является примером охвата инварианта.
2) Если X, Y£K(G), то XXY с помощью pry и ргу
охватывает Ζ и У соответственно. Иными словами,
ХХУ является продолжением как X, так и У.
Понятие охвата естественным образом
распространяется на классы расслоенных пространств,
присоединенных к главным расслоениям. Пусть π : Ρ (Μ, Я) ->
->-М — главное расслоенное пространство со
структурной группой Я, действующей на Ρ правым образом, и
F ζ К (Я) — любое левое Я-пространство. Объектами
класса К (Р) присоединенных к Ρ расслоенных
пространств являются пространства типа
F(P) = PXF/H,
где факторизация подразумевается по следующему
правому действию группы Я на PXF:
(ξ, Y)h = (lh, Λ-'У); (ξ, Y)£PXF, h£II.
Пространство F (Ρ) ζ Κ (Ρ) является расслоенным над
базой Μ пространством с типовым слоем F. Элемент
y£F(P), определяемый парой (ξ, У)ζ PXF,
записывают в виде y=lY. Если F, Ф£К(Н) и / : F -+ Φ —
отображение Я-охвата, то в силу конструкций F (Р) и
Ф(Р) / индуцирует послойное сюръективное отображение
/ : F (Ρ) -+ Φ (Ρ), называемое Р-о хватом. Р-ох-
ват / определяется по закону:
f(lY) = V(Y), l£P, Y£F-
Таким образом, класс К (Р) присоединенных к Ρ
расслоенных пространств является категорией с
морфизмами типа Р-охватов /. Соответствие F\-+F(P), /(-»/
является биективным функтором категории К (Я) на
категорию К(Р). Следовательно, достаточно изучать
операции охвата в категориях Я-пространства.
Если s : Μ -+ F (Ρ) — сечение расслоенного
пространства F (Р) (поле геометрического
объекта типа F), то Р-охват J: F (Ρ) -+ Φ (Ρ)
Ι присоединяет к сечению s сечение s=]CJs охваченного

659 ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО
расслоения Ф(Р); иными словами, поле геометрия,
объекта s(x), x£M, охватывает поле геометрии,
объекта /О s(x). Если s(x) —структурный объект нек-рой
G-структуры, то изучение G-структуры и ее
инвариантов сводится во многом к отысканию охватываемых
геометрия, объектов. В процессе отыскания охватываемых
геометрич. объектов важную роль играют
дифференциальные критерии охватов, формулируемые в терминах
структурных дифференциальных форм расслоенных
пространств и составляющие основу П. и о. м.
Лит.: [1] Лаптев Г. Ф., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1953,
т. 2, с. 275—382; [2] его ж е, в кн.: Тр. Третьего Всесоюзного
матем. съезда. Москва, 1956, т. 3, М., 1958, с. 409—18.
Л. Е. Евтушик.
ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ МЕТОД —
включение данной задачи в однопараметрическое (0<
<а<:1) семейство задач, связывающее данную задачу
(а=1) с известной разрешимой задачей (а—0), и
изучение зависимости решений от параметра а. Метод
широко используется в теории дифференциальных
уравнений.
Пусть, напр., требуется доказать разрешимость в
классе Гёльдера задачи Дирихле
uldD=<Pf (1)
в ограниченной TV-мерной области D£A(n> м-) для
линейного эллиптич. оператора 2-го порядка
г VI ^ / ν а2ц , V^ и ι ч ди ι / ч
Lu=zit i=1 аи Μδϊρ^+Σ^!bi {χϊ щ;+с {х) и>
с(ж)<0, α/у, bh c£Cin-2' μ)(5), D = D + dD,
n^z2, μ > 0.
Вводится семейство эллиптич. операторов
Lau = aLu-\-(i — α) Δι*, Ο^α^Ι,
и рассматривается для него задача Дирихле
Lau — f в DA
uldD = V- J
Пусть 51 — множество тех αζ[0, 1], для к-рых задача
(2) однозначно разрешима в классе &п> м-) (D) при любых
/ и φ, /g№-2. M.)(ZJ), φζ№· м-) (dD). Множество %
не пусто, поскольку при а—0 (т. е. для оператора
Лапласа) задача (2) однозначно разрешима в классе
С(я, \й (D), как это следует из теории потенциала.
Множество Щ одновременно открыто и замкнуто на [0, 1]
и, следовательно, совпадает с [0, 1]. Таким образом,
а=1 принадлежит 21 и задача (1) разрешима.
П. по п. м. (в варианте аналитич. продолжения по
параметру) был предложен и развит в ряде работ
С. Н. Бернштейна (см. [1], [2]). В дальнейшем этот метод
нашел широкое применение в различных вопросах
теории линейных и нелинейных дифференциальных
уравнений, причем идея аналитич. продолжения по
параметру была дополнена более общими
функциональными и топологич. принципами (см. [3]).
Лит.: [1] Бернштейн СН, «Math. Ann.», 1904,
Bd 59, S. 20—76; [21 его же, Собр. соч., т. 3, М., 1960; [3]
Лерэ Ж., Шаудер Ю., «Успехи матем. наук», 1946, в.
3/4, с. 71—95. И. А. Шишмарев.
ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ МЕТОД —
метод приближенного решения нелинейных
функциональных уравнений. П. по п. м. состоит в том, что
решаемое уравнение Ρ (ж)=0 обобщается к виду F (x, t)—0
путем введения параметра t, принимающего
заданные значения на конечном интервале t0^.t^it*, так,
что первоначальное уравнение получается при
t=t* : F(x, t*)=P(x), а уравнение F (x, t0) = 0 легко
решается или известно его решение х0 (см. [1] — [3]).
ПАРАМЕТРУ МЕТОД 660
Обобщенное уравнение F (x, t)=0 последовательно
решается при отдельных значениях / : £и, tl4 . . ., tk=t*.
Уравнение при t—t[+1 решается каким-либо
итерационным методом (методом Ньютона, простой итерации,
итерационным методом вариации параметра [4] и др.),
начиная с полученного решения χι уравнения F (x, t)—0
при t=t{. Применение на каждом шаге по i, напр. η
итераций метода Ньютона, приводит к следующей
формуле:
г(У+1)_ (v) [p'(Jv) t. W-\ p(Jy) f \
x t + i — Xi + i — I'x\xi + i, ti\-\ i/J г \Xi + i, ti + i},
(2)
£ = 0, 1, 2, ..., h — 1; v = 0, 1, 2,
-1
Если разность ί,· + 1—ί/ достаточно мала, то значение
ж/ может оказаться достаточно хорошим начальным
приближением, обеспечивающим сходимость, для
получения решения ж/ + 1 при f=f/+1 (см. [1], [3], [5]).
На практике часто исходная задача естественным
образом зависит от нек-рого параметра, к-рый может
быть выбран в качестве параметра t.
П. по п. м. применяется как для решения систем
нелинейных алгебраич. и трансцендентных уравнений
(см. [1], [2]), так и для более общих нелинейных
функциональных уравнений в банаховых пространствах
(см. [5] - [7]).
П. по п. м. иногда наз. также прямой метод
вариации параметра (см. [2], [6]), а также комбинированный
метод прямого и итерационного методов вариации
параметра. В этих методах построение решений
обобщенного уравнения сводится путем дифференцирования по
параметру к решению дифференциальной задачи с
начальными условиями (задачи Коши) методами
численного интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений. Применяя простейший метод Эйлера
в прямом методе вариации параметра к задаче Коши
-^L = — [/*; (*, t)]~lFt(x, /), χ (/0)=*о>
приближенные значения #(*,·) = £,·, i=l, 2, . . ., к,
решения x(t) уравнения F (x, t) — 0 можно определить
следующими равенствами:
я,Ч1=*/ — (*i+i — ti)[F'x(*i, ti)]~1F't(xh *,·),
i = 0, 1, 2, ..., к — 1.
Элемент х^ будет искомым приближенным решением
исходного уравнения Ρ (х) = 6. Уточнение всех или
нек-рых значений Х( + 1 можно проводить итерационным
методом вариации параметра [4] (или методом
Ньютона). Обобщенное уравнение при этом рассматривается
обычно в виде
F(x, ti + 1) = (i-k)F(x<o), /|Ч1), χΜ=χί + 1
на конечном промежутке 0<λ<1 или, заменяя здесь
1—λ на е~х, на бесконечном промежутке 0<τ<οο.
Метод вариации параметра применен к широкому
классу задач как для построения решений, так и для
доказательства их существования (см., напр., [3], [4],
[6], [7]).
Лит.: [1] La ha у е Е., «Acad. Roy. Belg. Bull., CI. Sci.
Ser. 5», 1948, t. 34, p. 809—27; [2] Давиденко Д. Ф.,
«Укр. матем. ж.», 1953, т. 5, №2, с. 19G—206; [3] О ρ тега
Дж., Рейнболдт В., Итерационные методы решения
нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер.
с англ., М., 1975; [4] Давиденко Д. Ф., «Ж. вычисл.
матем. и матем. физ.», 1975, т. 15, № 1, с. 30—47; 15]
Дементьева А. М., «Докл. АН СССР», 1971, т. 201, JS& 4, с. 774—
777; [6] Д а в и д е н к о Д. Ф., «Укр. матем. ж.», 1955, т. 7,
№ 1, с. 18—28; [7] Ш и д л о в с к а я Η. Α., «Уч. зап. ЛГУ»,
1958, № 271, в. 33, с. 3—17. Д. Ф. Давиденко.
ПРОДОЛЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ — теоремы о
продолжении функции с нек-рого множества на более широкое
таким образом, что продолженная функция обладает
определенными свойствами. К П. т. относятся прежде
всего задачи об аналитическом продолжении функций.

661 продо
Примером теоремы существования непрерывного
продолжения непрерывной функции является теорема
Брауэра — Урысона: если Ε— замкнутое
подмножество нормального пространства X и / : Ε -+R —
непрерывная действительная ограниченная
функция, то существует такая непрерывная ограниченная
функция F : X -> R, что F=f на Е. К числу П. т.
относится Хана — Банаха теорема о продолжении
линейных функционалов в векторных пространствах.
В евклидовом пространстве П. т. в основном связаны
с решением следующих двух задач: 1) продолжение
функций с областей, лежащих в пространстве, на все
пространство; 2) продолжение функций с границы
области на саму область. В обоих случаях требуется,
чтобы продолженная функция обладала
определенными свойствами гладкости, т. е. принадлежала
определенному функциональному классу, зависящему от
свойств продолжаемой функции.
Задача о продолжении функции с сохранением
непрерывности частных производных с области с достаточно
гладкой границей на все пространство была решена
М. Хестенсом [3] и X. Уитни [4]. Если на
(п—^-мерной границе dG области G, лежащей в гс-мерном
пространстве R", эаданы функции ф^.-дС—► R, /с=0, 1,
. . ., т, то задача построения такой функции и : £?-> R,
что для нее
·£^ = φΛ, Λ = 0, 1, ...,m, u£C«(G), (*)
on
где η — нормаль к dG, в случае, когда гладкость
функций φ/j и границы dG описывается в терминах
непрерывности и принадлежности Гёлъдерову пространству
(при наличии, быть может, нек-рых особенностей),
рассматривалась Э. Леви [5], Ж. Жиро [6] — [7] и М. Жевре
[8]. Изучался также порядок роста частных
производных порядка к>т при стремлении аргумента к границе
dG области G.
Систематически обе указанные задачи о продолжении
функций в разных метриках Lp, 1<р<+оо, для разных
измерений и в различных функциональных
пространствах изучались С. М. Никольским и его учениками (см.
[9], [10]). В терминах ряда функциональных пространств
установлены наилучшие характеристики
дифференциальных свойств функций, к-рые можно получить при
продолжении функции, обладающей заданными
дифференциально-разностными свойствами (см. Вложения
теоремы). Для задачи (*) было найдено продолжение,
наилучшее с точки зрения роста производных порядка
к>т при подходе к граничному многообразию (см.
[И], [12]).
Часто методы продолжения функций и систем
функций (*) с границы области на всю область основаны на
интегральных представлениях функций. Подобные
методы продолжения функций обычно являются
линейными. Существуют и другие методы продолжения
функций, напр., основанные на разложении функций в ряды
с последующим продолжением каждого члена ряда.
Этот метод, вообще говоря, не линейный. Имеются
случаи, когда заведомо не существует линейного метода
продолжения [13].
Лит.: [1] X а у с д о ρ φ Φ., Теория множеств, пер. с нем.,
М.— Л., 1937; [2] Колмогоров А. Н., Фомин СВ.,
Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.,
М., 1981; [3] Hestenes Μ. R., Extension of the range of
differentiable function, «Duke Math. J.», 1941, v. 8, p. 183—92;
[4] Whitney H., «Trans. Amer. Math. Soc», 1934, v. 36,
p. 63—89; 1936, v. 40, p. 309—17; [5] Levi E. E., «Mem. Soc.
It. dei XL», 1909, v. 16, p. 3—112; [6] G i га u d G., «Ann. Ёс.
norm, sup.», 1929, t. 46, p. 131—245; [7] его же, там же,
1932, t. 49, p. 1 — 104, 245—308; [8] Gevrey Μ., «Ann. Ёс.
norm, sup.», 1935, t. 52, p. 39—108; [9] Никольский
СМ., Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения, 2 изд., М., 1977; [10] Бесов О. В., Ильин
В. П., Никольский СМ., Интегральные
представления функций и теоремы вложения, М., 1975; [11] Кудряв-
ц е в Л. Д., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1959, т. 55; [12]
КЕНИЯ 662
Успенский СВ., «Сиб. матем. ж.», 19С6, т. 7, Ml,
с. 192—99; № 2, с. 409—18; [13] Буренков В. И.,
Г о л ь д м а н М. Д., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1979,
т. 150, с. 31 —51. Л. Д. Кудрявцев.
ПРОДОЛЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ в
аналитической геометрии — утверждения о
продолжении функций, сечений аналитич. пучков, аналитич.
пучков, аналитич. подмножеств, голоморфных и меро-
морфных отображений с дополнения Х\А в аналитич.
пространстве X к подмножеству А (как правило, тоже
аналитическому) на все пространство X. Классич.
результатами о продолжении функций являются две
теоремы Римана.
Первая теорема Римана утверждает,
что всякая аналитич. функция на Х\4, где X —
нормальное комплексное пространство, а А его аналитич.
подмножество коразмерности ^2, продолжается до
аналитич. функции на всем X. Вторая теорема
Римана утверждает, что всякая аналитич. функция
/ на Х\А, где А нигде не плотное аналитич.
подмножество нормального комплексного пространства X,
локально ограниченная на X, продолжается до аналитич.
функции на всем X. Существуют обобщения этих теорем на
произвольные комплексные пространства X, а также
на сечения когерентных аналитич. пучков (см.
Локальные когомологии).
Важнейшими результатами о продолжениях
аналитических подмножеств являются теорема Реммерта —
Штейна — Шифмана и теорема Бишопа. Теорема
Реммерта — Штейна — Шифмана
утверждает, что всякое чисто р-мерное комплексное аналитич.
подмножество в Х\А, где X — комплексное аналитич.
многообразие, а А его замкнутое подмножество,
имеющее нулевую (2/?—1)-мерную меру Хаусдорфа,
продолжается до чисто р-мерного комплексного аналитич.
подмножества во всем X. Теорема Бишопа
утверждает, что всякое чисто р-мерное комплексное
аналитич. подмножество V в Х\А, где X — комплексное
аналитич. многообразие, а А — его комплексное
аналитич. подмножество, продолжается до чисто р-мерного
комплексно аналитич. подмножества V во всем X,
если V имеет локально конечный объем в нек-рой
окрестности U множества А в X.
Имеются критерии продолжаемости аналитич.
отображений, обобщающие классич. Пикара теорему. Напр.,
всякое аналитич. отображение Х\А—>-У, где
X—комплексное многообразие, А — его аналитическое нигде не
плотное подмножество, a Υ — гиперболическое
компактное комплексное многообразие, можно
продолжить до аналитич. отображения Х->У. Всякое не всюду
вырожденное аналитич. отображение Х\Л->У, где
X—комплексное многообразие, А — его аналитич.
подмножество, Υ — компактное комплексное многообразие
с отрицательным первым классом Чжэня, можно
продолжить до мероморфного отображения Χ-+Υ.
Лит.: [1] Гриффите Ф.,Кинг Дж., Теория Неван-
линны и голоморфные отображения алгебраических
многообразий, пер. с англ., М., 1976; [2] К о бая си UL,
«Математика», 1973, т. 17, в. 1, с. 47 — 96; [3] Харви Р.,
Голоморфные цепи и их границы, пер. с англ., М., 1979.
Д. А. Пономарев.
ПРОДУКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО — множество
натуральных чисел А, для к-рого существует такая
частично рекурсивная функция φ, что φ(χ)ζΑ — Wx для
всякого рекурсивно перечислимого множества Wx с
геделевым номером х, содержащегося в А. Известно,
что для всякого П. м. А существует такая
общерекурсивная функция ψ, что уже для каждого χ в зависимости
от взаимного расположения множеств А и Wx имеет
место либо ψ (я) С А — Wx, либо ψ (я) ζ Wx— A . Таким
образом, П. м. «эффективно» отличается от любого
рекурсивно перечислимого множества. С другой стороны,
всякое П. м. содержит бесконечное рекурсивно
перечислимое подмножество, в силу чего П. м. противопо-

663
ставляются иммунным множествам, хотя
иммунными и продуктивными множествами не исчерпывается
совокупность множеств, не являющихся рекурсивно
перечислимыми. Продуктивными оказываются многие
множества, играющие важную роль в рекурсивной
теории множеств (напр., множество всех гёделевых номеров
общерекурсивных функций в нек-рой гёделевой
нумерации всех частично рекурсивных функций) и в ее
приложениях (в частности, множества всех номеров
истинных и ложных формул элементарной арифметики при
естественной нумерации всех ее формул). Рекурсивно
перечислимые множества, дополнение к-рых (до
натурального ряда) является продуктивным, наз
креативными; они образуют важный класс
рекурсивно перечислимых множеств.
Лит [1] Роджерс X., Теория рекурсивных функций
и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972.
В. А. Душский.
ПРОЕКТИВНАЯ АЛГЕБРА в узком смысле —
алгебра точек на проективной прямой; проективно-
инвариантные конструкции для определения сложения
и умножения точек проективной прямой I,
расположенной в нек-рой проективной плоскости π, для к-рой
выполняется Дезарга предложение. Эти конструкции
зависят от выбора на
I трех различных
точек О, Е, U.
Конструкция! определяет
для любых двух
точек А и В,
отличных от U, третью
точку А-{-В, также
U отличную от U и
называемую с у м-
мой точекЛ
Рис. 1.
и В. Для этого в плоскости π проводятся три прямые а,
Ъ и и, отличные от I, не проходящие через одну точку и
проходящие соответственно через точки А, В и U.
Пусть Ρ — точка пересечения прямых и и a, Q — точка
пересечения прямых и и Ъ, В — точка пересечения
прямых OQ и a, S — точка пересечения прямых Ъ и UB.
Тогда прямая PS пересекает прямую I в определенной
точке Т=А -\-В (общий случай — на рис. 1).
Оказывается, так построенная точка зависит лишь от А, В, О, U
и не зависит от выбора прямых и точки Е.
Конструкция II определяет для любых двух
точек А и В, отличных от U, третью точку А В, также
отличную от U, называемую произведением
τ о ч е к А и В. Для этого в плоскости проводятся три
прямые а, Ь, и, проходящие соответственно через точки
А, В и U, отличные от Ζ и не проходящие через одну
точку. Пусть Ρ — точка пересечения прямых и и a, Q —
точка пересечения прямых ииЬ, R — точка пересечения
прямых EQ и a, S — точка
пересечения прямых OR
и Ъ. Тогда прямая
PS пересекает
прямую I в
определенной точке Т=А-В
(общий случай —
на рис. 2).
Оказывается, так
построенная точка
зависит лишь от А , В,
О, Е, U, но не
зависит от выбора
прямых а, Ъ и и.
Относит е л ь н о
этих операций
сложения и
умножения точки прямой I (отличные от U) образуют тело К (О,
Е, U). Поменяв ролями А и В в конструкции II,
получают инверсно изоморфное тело К*(О, Е, U). Если О',
Рис. 2.
ПРОЕКТИВНАЯ 664
Е', U' — любая другая упорядоченная тройка точек на
прямой I из той же плоскости π, то соответствующее тело
К'(О', Ε', U') изоморфно К (О, Е, U) вследствие того,
что между прямыми I и V существует проективное
соответствие; поэтому любое тело К, изоморфное им, наз.
просто телом данной проективной плоскости (или даже
данной проективной геометрии); говорят также, что
имеет место проективная геометрия над
τ е л о м К. В общих случаях конструкций I и II
фигурируют четыре лежащие в одной плоскости точки Р, Q,
R, S, никакие три из к-рых не коллинеарны; они
образуют т. н. (полный) четырехвер шинник с
тремя парами противоположных сторон PQ, RS; PS,
QR; PR, QS. Точки пересечения Ζ, Χ,Υ этих пар
противоположных сторон называется
диагональными точками, а прямые, соединяющие
диагональные точки,— диагоналями. Специальный
случай, не покапанный на рисунке, соответствует той
ситуации, когда X, Υ, Ζ коллинеарны (см. Фано
постулат).
Аналогичные построения проводятся и в пучке
прямых, проходящих через одну точку с использованием
(полного) четырехсторонника — фигуры,
двойственной четырехвершиннику, и приводят к телу
К*, инверсно изоморфному К.
Свойства проективной прямой I как алгебраич.
системы определяются геометрическими (проективно-ин-
вариантными) свойствами проективной плоскости, в
к-рой она расположена. Так, напр., коммутативность К
эквивалентна выполнению Паппа аксиомы; то, что
характеристика К не равна 2, эквивалентно постулату
Фано; при отсутствии автоморфизмов у тела К, отличных
от внутренних, любое проективное преобразование есть
коллинеация, и т. д.
С помощью тела К на прямой, а затем и в проективном
пространстве, ее содержащем, вводятся проективные
координаты, описывающие алгебраич. модель
проективного пространства, так что содержание проективной
геометрии по существу определяется свойствами того тела
К, над к-рым она построена.
В широком смысле П. а. исследует совокупность
подпространств проективного пространства, являющуюся
дедекиндовой решеткой с дополнениями; при этом
конечномерности пространства не требуется, но
накладываются условия полноты, существования однородного базиса
и т. д., благодаря чему устанавливаются разнообразные
связи с теорией простых и регулярных колец, теорий
операторных абелевых групп и др. разделами алгебры.
Лит.: [1] X о д ж В., Π и д о Д., Методы алгебраической
геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954; [2] А р тин Э.,
Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969.
М. И. Войцеховский.
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии,
изучающий свойства фигур, не меняющиеся при
проективных преобразованиях, напр при проектировании.
Такие свойства наз. проективным и; к ним
относятся, напр., прямолинейное расположение точек
(коллинеарность), порядок алгебраич.
кривой и т. д.
При проектировании точек одной плоскости Π на
другую плоскость П' не каждая точка П' имеет
прообраз в Π и не каждая точка из Π имеет образ в П'. Это
обстоятельство привело к необходимости дополнения
евклидова пространства т. н. бесконечно удаленными
элементами (несобственными точками,
прямыми и плоскостью) ик образованию
нового геометрич. объекта — трехмерного
проективного пространства. При этом каждая прямая дополняется
одной несобственной точкой, каждая плоскость —
одной несобственной прямой, все пространство — одной
несобственной плоскостью. Параллельные прямые
дополняются одной и той же несобственной точкой,
непараллельные — разными, параллельные плоскости

665 ПРОЕЬ
дополняются одной и той же несобственной прямой,
непараллельные — разными. Несобственные точки,
которыми дополняется плоскость, принадлежат
несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость. Все
несобственные точки и несобственные прямые принадлежат
несобственной плоскости. Дополнение евклидова
пространства до проективного пространства приводит к тому,
что проектирование становится взаимно однозначным.
Аналогичная процедура применима и для л-мерного
пространства.
Существуют различные способы аксиоматич.
построения проективного пространства. Наиболее
распространенным является видоизменение системы аксиом,
предложенной в 1899 Д. Гильбертом (D. Hubert) для
обоснования элементарной геометрии (см. Гильберта
система аксиом). Проективное пространство рассматривается
как совокупность элементов трех родов: точек, прямых
и плоскостей, между к-рыми установлено основное для
П. г. отношение инцидентности, характеризующееся
надлежащими аксиомами. Они отличаются от
соответствующей группы аксиом элементарной геометрии тем, что
требуют, чтобы каждые две прямые, лежащие в одной
плоскости, имели общую точку, и на каждой прямой
имелось, по крайней мере, три различные точки. В
конкретных случаях для получения более «богатой» П. г.
эта совокупность аксиом дополняется аксиомами
порядка и непрерывности (для действительного
проективного пространства), Паппа аксиомой (для П. г. над
коммутативным телом), Фано постулатом (для П. г. над
телом, характеристика к-рого ф2) и т. д.
Замечательным положением П. г. является
двойственности принцип. Говорят, что точка и прямая (точка и
плоскость, прямая и плоскость) инцидентны,
если точка лежит на прямой (или прямая проходит через
точку) и т. д. Тогда если верно нек-рое предложение Л
о точках, прямых и плоскостях проективного
пространства, сформулированное только в терминах
инцидентности между ними, то будет верно и двойственное
предложение с£5, к-рое получается из Л заменой слова
«точка» на слово «плоскость», слова «плоскость» на слово
«точка» и с сохранением слова «прямая».
Важную роль в П. г. играет Дезарга предложение,
выполнение к-рого необходимо и достаточно для
введения проективными средствами системы проективных
координат, составленных из элементов нек-рого тела К,
естественным образом связанного с точками
проективной прямой (см. Проективная алгебра).
Основы П. г. были заложены в 17 в. Ж. Дезаргом
(G. Desargues) (в связи с развитием им учения о
перспективе) и Б. Паскалем (В. Pascal) (в связи с изучением
им нек-рых свойств конич. сечений). Большое значение
для последующего развития П. г. имели работы Г. Мон-
жа (G. Monge, 2-я пол. 18 — нач. 19 вв.). Как
самостоятельная дисциплина П. г. была изложена Ж. Понселе
(J. Poncelet, нач. 19 в.). Заслуга Ж. Понселе
заключалась в выделении проективных свойств фигур в
отдельный класс и установлении соответствий между
метрическими и проективными свойствами этих фигур. К
этому же периоду относятся работы Ж. Брианшона (J. Bri-
anchon). Дальнейшее развитие П. г. получила в трудах
Я. Штейнера (J. Steiner) и М. Шаля (М. Chasles).
Большую роль в развитии П. г. сыграли работы К. Штаудта
(Ch. Staudt), в к-рых были намечены также контуры
аксиоматич. построения П. г. Все эти геометры
стремились доказывать теоремы П. г. синтетич. методом,
положив в основу изложения проективные свойства фигур.
Аналитич. направление в П. г. было намечено работами
А. Мёбиуса (A. Mobius). Влияние на развитие П. г.
оказали работы Н. И. Лобачевского по созданию
неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэ-
ли (A. Cayley) и Ф. Клейну (F. Klein) рассмотреть
различные геометрич. системы с точки зрения П. г. Разви-
ЯВНАЯ 666
тие аналитич. методов обычной П. г. и построение на
этой базе комплексной П. г. (Э. Штуди, Е. Study, Э. Кар-
тан, Е. Cartan) поставили задачу о зависимости тех или
иных проективных свойств от того тела, над которым
построена геометрия. В решении этого вопроса
больших успехов добились А. Н. Колмогоров и Л. С. Пон-
трягин.
Лит.: [1] Глаголев Η. Α., Проективная геометрия,
2 изд., М.—Л., 1963; [2] Гильберт Д., Кон-Ф&с-
сен С, Наглядная геометрия, пер. с нем., 3 изд., М., 1981;
[3] К о к с τ е ρ X. С. Μ., Действительная проективная
плоскость, пер. с англ., М., 1959; [4] Г и ль б е ρ τ Д , Основания
геометрии, пер. с нем., М.— Л., 1948; [5] X а ρ τ с χ ο ρ н Р.,
Основы проективной геометрии, пер. с англ , М., 1970, [6J
Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [7]
Александров П. С, Лекции по аналитической
геометрии . . ., М., 1968; [8] Ефимов Н. В., Розендорн
Э. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970;
[9] Ар тин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М.,
1969; [10] Veblen О., Young J. W., Projective geometry,
v. 1—2, Boston—Ν.Υ., 1910—18; [11] Blaschke W., Pro-
jektive Geometrie, 3 Aufl., Basel, 1954. M. И. Вайцеховский.
ПРОЕКТИВНАЯ ГРУППА от п переменных
над τ е л о м К — группа PGLn (К) преобразований
(п—1)-мерного проективного пространства Ρη^λ(Κ),
индуцированных невырожденными линейными
преобразованиями пространства Кп. Имеется естественный
эпиморфизм
P:GLn(K)-±PGLn(K),
ядром к-рого служит группа гомотетий пространства
Кп, изоморфная мультипликативной группе Z* центра
Ζ тела К. Элементы группы PGLn(K), наз.
проективными преобразованиями, являются
коллинеациями пространства Ρη-ι (К), Наряду с
группой PGLn (К), наз. также полной,
проективной группой, рассматривают унимодуляр-
ную проективную группу PSLn (К) и
вообще группы вида P(G), где G — нек-рая линейная
группа.
При п^2 группа PSLn (К) проста, за исключением
двух случаев, когда п=2 и \К\ — 2 или 3. Если К —
конечное поле из q элементов, то
| PSLn (K)\ = (q-\, re)-i9"(n"1)/2 (9"-l)X
X(q*-*-l)...(q*-l).
Лит.: [1] Дьедонне Ж., Геометрия классических
групп, пер. с франц., М., 1974. Э. Б. Винберг.
ПРОЕКТИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий
дифференциально-геометрические свойства кривых и
поверхностей, сохраняющихся при проективных
преобразованиях. Таковы, напр., понятия асимптотич.
направления или, более общо, сопряженных направлений, сопри-
касающейся квадрики (в частности, квадрики Ли, пучка
квадрик Дарбу и т. п.), проективной нормали и т. д.
Важную роль в П. д. г. играет двойственности
принцип, так, напр., поверхность в проективном
пространстве может рассматриваться и как двухпараметрич.
семейство точек, и как огибающая двухпараметрич.
семейства плоскостей. Разработанными разделами
П. д. г. являются (проективная) теория прямолинейных
конгруэнции, вопросы проективного изгибания,
асимптотич. преобразования (в частности, преобразования
Бэклунда, Бианки, Эйзенхарта, Лапласа и др.)·
Первые исследования по П. д. г. начались в кон. 19
в.; здесь особенно важны работы Г. Дарбу (G. Darboux)
по теории поверхностей и конгруэнции. Первой книгой,
где систематически изложена классич. П. д. г., явилась
работа [1]. В дальнейшем появились монографии [2],
[3], [4], в к-рых П. д. г. предстает уже широко развитой
геометрич. теорией, связанной с другими разделами
геометрии и имеющей широкие приложения, напр. в
теории дифференциальных уравнений (в особенности
нелинейных, что выяснилось в последнее время при
«бесквадратурном» получении их решений путем аналогов

667 ПРОЕК
асимптотич. преобразований, см., напр., Синус
Гордона уравнение).
Г. Фубини (G. Fubini) и Э. Чех (Е. Cech) дали
изложение П. д. г. в тензорной форме, используя ковариант-
ное дифференцирование и положив в основу
фундаментальные формы (см., напр., Фубини форма), Так
была решена задача ироективно инвариантного
оснащения поверхности 3-мерного пространства. Большой
вклад в П. д. г. внесен С. П. Финиковым и его школой,
в особенности это касается теории конгруэнции и
теории пар конгруэнции и их преобразований. Проблема
ироективно инвариантного оснащения многообразия в
многомерном проективном пространстве исследовалась
Г. Ф. Лаптевым и др.
Эффективным средством изучения П. д. г.
многомерных пространств является метод
нормализации А. П. Нордена [6]. В этом методе с каждой точкой χ
m-мерной поверхности X т проективного пространства
Рп ассоциируется инцидентная х(п—т)-мерная
плоскость (нормаль 1-го рода), пересекающая
касательную плоскость в единственной точке х, а в
касательной m-мерной плоскости выбирается (т—1)-мерная
плоскость (нормаль 2-го рода), не
инцидентная точке х. При этом на поверхности Xт
индуцируется аффинная связность без кручения, свойства к-рой
зависят как от строения Xт, так и от выбора
нормализации. В случае нормализованной гиперповерхности
возникает двойственная конструкция, приводящая к
внутренним связностям без кручения 1-го и 2-го рода,
сопряженным относительно асимптотич. тензора
гиперповерхности. При специальном выборе нормализации в
общую схему включается дифференциальная геометрия
пространств, отвечающих подгруппам проективной
группы: аффинных, биаксиальных, неевклидовых и
евклидовых пространств.
Наконец, в работах Э. Картана (Е. Cartan) построена
общая теория пространств проективной связности.
Г. Ф. Лаптев, используя метод внешних форм,
исследовал их как расслоенные пространства, структурная
группа к-рых является группой проективных
преобразований проективного пространства.
Лит.: [1] W i 1 с ζ у η s k i F., «Mem. publ. Acad. Bel-
gique», 1911, t. 3, pt. 2; [2] Fubini G., С е с h E., Geometria
proiectiva differenziale, t. 1—2, Bol., 1926—27; [8] Bol G.,
Projective Differentialgeometrie, t. 1—3, Gott., 1950—67; [4]
Фиников СП., Проективно дифференциальная геометрия,
Μ.—Л., 1937; [5] его же, Теория конгруэнции, М.— Л.,
1950; [6] Норден А. П., Пространства аффинной
связности, 2 изд., Μ., 1Θ76; [7] Каган В. Ф., Основы теории
поверхностей в тензорном изложении, ч. 2, М.— Л., 1948.
А. П. Норден, А. Й. Широков.
ПРОЕКТИВНАЯ МЕТРИКА — метрика ρ (*, у) в
подмножестве R проективного пространства Рп такая,
что кратчайшая относительно этой метрики является
частью или всей проективной прямой. При этом
полагают, что R не принадлежит ни одной гиперплоскости и
что 1) для любых трех неколлинеарных точек х, у, ζ
неравенство треугольника выполняется в строюм смысле
р(*. у)+ 9 (у,*) > р(*> *);
2) если х, у — различные точки из 7?, то пересечение
1(х, у) прямой I, проходящей через χ и у, с R есть либо
вся i (большой круг), либо получается из I
удалением нек-рого отрезка (могущего сводиться и к
одной точке) (метрическая прямая).
Множества i?, наделенные П. м., наз.
проективно метрическими пространствами
(п. м. п.).
В одном и том же п. м. п. не могут одновременно
существовать оба типа линий: либо все они — метрич.
прямые (т. е. изометричны отрезку из IR1), либо же
все они — большие круги одинаковой длины
(теорема Гамеля). Пространства первого типа наз. о т-
крытыми (они совпадают с подмножествами аффин-
668
ного пространства, то ость с Л", из к-рого удалена
некрая гиперплоскость); геометрия открытых п. м. п. наз.
также Гильберта геометрией. Пространства второго
типа наз. замкнутыми (они совпадают со всем Рп).
Проблема определения всех П. м.— это так наз.
4-я проблема Гильберта (см. [2]), полное ее решение
дано А. В. Погореловым (1974).
С П. м. связано, как частный ее случаи, т. н.
проективное мероопределение — введение в подмножества
проективного пространства методами проективной
геометрии такой метрики, при к-рой эти подмножества
оказываются изоморфными евклидову,
гиперболическому и эллиптическому пространствам. Так, геометрия
открытых п. м. п., подлежащее множество к-рых
совпадает со всем аффинным пространством, наз.
геометрией Μ и н к о в с к о г о, Евклидова
геометрия — это одновременно геометрия
Гильберта и геометрия Минковского.
Гиперболическая геометрия —
геометрия Гильберта, в к-рой существуют отражения от
всех прямых. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
R было внутренностью эллипсоида.
Эллиптическая геометрия (или Ри-
мана геометрия) — геометрия п. м. п. второго типа,
Лит.: [1] Буземан Г.,Келли П. Дж., Проективная
геометрия и проективные метрики, пер. с англ., М., 1957; 12]
Проблемы Гильберта, пер. с нем., Μ., 19ΘΘ.
М. И. Войцеховский.
ПРОЕКТИВНАЯ НОРМАЛЬ — обобщение понятия
нормали в метрич. геометрии. В отличие от последней,
где нормаль вполне определяется касательной
плоскостью к поверхности (т. е. окрестностью первого
порядка), в проективной геометрии это не так. Даже и
члены третьего порядка малости не определяют вершину
координатного тетраэдра, не лежащую в касательной
плоскости (т. е. к выбранной Дарбу квадрике можно
построить не один автополярный тетраэдр). Это
естественно: проективная группа значительно шире группы
движений, а потому ее инварианты должны быть более
высокого порядка; но и окрестность 4-го порядка не
определяет единственной прямой, к-рую можно принять
за третью ось тетраэдра. На этом пути, напр.,
получаются:
директриса Вильчинского
W = N+±tf'rh
ребро Грина
G = N + T {ерд-Г~Т AU TUp)rP*
ось Чеха
C = N + T (V*4t--T A)kTUk) rh
нормаль Фубини
• dJ
F = N + g's-*rri
(здесь N — аффинная нормаль).
Все они лежат в одной плоскости.
Лит.: [1] Широков НА., Широков А. П.,
Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959; [2| Норд ей
А. П., Пространства аффинной связности, 2 изд., Мм 1976, [3]
Фиников С. II., Проективно-дифференциальная геометрия,
М.— Л., 1937. М. И. Войцеховский
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ, двумерное
проективное пространство,— инци-
дентностная структура π= {?р, Jf, /}, где элементы
множества 3s наз. точками, элементы множества X —
прямыми, а / — отношение инцидентности. Ин-
цидентностная структура удовлетворяет следующим
аксиомам:
1) для любых двух различных точек ρ и q существует
единственная прямая L такая, что pIL и qlL;
ГИВНАЯ

669
ПРОЕКТИВНАЯ
670
2) для любых двух различных прямых L и Μ
существует единственная точка ρ такая, что pIL и р1М\
3) существуют четыре точки, никакие три из к-рых
не инцидентны одной прямой.
Напр., пучок Π прямых и плоскостей трехмерного
аффинного пространства, проходящих через точку О,
является П. п., если в качестве проективной точки
считать прямую пучка П, а в качестве проективной
прямой — плоскость из П. В этой интерпретации
получают прозрачный геометрич. смысл однородные
координаты точки П. π над полем как координаты какого-
либо вектора прямой, изображающей эту точку (см.
Проективная геометрия, Проективные координаты).
Другим примером является Π п., состоящая из семи
точек Л., i-
= 1,
7, и семи прямых {А1ч Л2, А^},
{Л2, Л3, Аъ}
{А3,А^ А6},
Α β, A J }, \А 6
А 7?
Рис. 1.
А2}, {Л7, Аъ As) (рис. 1),—
представитель класса конечных
проективных плоскостей. П. п.
Ρ (2, η) наз. конечной
проективной
плоскостью порядка и, если
отношение инцидентности
удовлетворяет еще одной аксиоме:
4) существует прямая,
инцидентная ровно п+1 точке.
В Ρ (2, η) каждая точка
(прямая) инцидентна п+1 прямой
(точке), а число точек плоскости
равно числу прямых и равно
гс2+ тг+1 .Остается невыясненным
(1983) вопрос, для каких значений я существует П. п.
Ρ (2, η). Доказано существование конечной П. π ,
порядок к-рой есть степень простого числа (см. [4]).
Доказано также (см. [5]) отсутствие П, ц. Ρ (2, η) для широкого
класса чисел: если η сравнимо с 1 или 2 по модулю 4 и
если в разложении этого числа на простые множители
встречается в нечетной степени хотя бы одно простое
число, сравнимое с 3 по модулю 4, то Ρ (2, η) не
существует; таковы, напр., гг=6, 14, 21, 22, ... . Вопрос
относительно гг=10, 12, 15, 18, ... остается открытым.
Важной задачей теории конечных П. п. является
изучение подплоскостей заданной плоскости Ρ (2, η). Так,
если Ρ (2, т) является собственной подплоскостью
конечной П. п. Ρ (2, τι), то т2-\-т<^п или т2=п (см. [5]).
Специфическим для П. п. является понятие
двойственности. Две П. п. наз. двойственными, или
дуальными, если между точками (прямыми)
одной плоскости и прямыми (точками) другой можно
установить взаимно однозначное соответствие,
сохраняющее инцидентность, Нек-рые П. п. (напр., П. п. над
полем к) допускают двойственное отображение на себя,
к-рое наз. корреляцией, а П. п.,
допускающие корреляцию, наз. автодуальными. Для
П. п. имеет место т. н. малый принцип двойственности
если верно нек-рое предложение Л о точках и прямых
П. п., сформулированное только в терминах
инцидентности между ними, то будет верно предложение с&,
двойственное А, т. е. предложение, к-рое получается из Л
заменой слова «точка» на слово «прямая» и наоборот.
Изоморфное отображение П. п. на себя наз к о л-
линеацией. Коллинеация конечной П. п. Ρ(2, η)
является подстановкой множества точек и подстановкой
множества прямых, причем эти подстановки подобны.
Конечная П. п. наз. дезарговой, если она имеет
группу коллинеаций, дважды транзитивную на ее
точках. Группа коллинеаций дезарговой П. п. PG(2, ph)
имеет порядок
h (P2h+Ph+1) (p2h + Ph) P2h (Ph — 1)2·
Группа коллинеаций недезарговой П. п. Ρ (2, η) имеет
порядок, не превосходящий
ns (д2 + /г + 1) (п2 + п)п2(п — 1)2,
где 5<:1η2η. Порядки групп коллинеаций известных
недезарговых П. п. не превосходят порядков групп
коллинеаций дезарговых плоскостей того же порядка.
На рассмотрении 53 типов множеств
Τ (G) = {(x, X)\G является (χ, Х)-транзитивной},
определенных для полной группы коллинеаций G,
основана классификация Ленца — Бар-
толоцциП и. Одним из основных путей изучения
Π п. является введение в ней координат и тернарной
операции. Каждому возможному типу Π π
классификации Ленца — Бартолоцци соответствует система алгебра-
ич. законов, к-рой должно удовлетворять натуральное
тело П. п., определенное через тернарную операцию.
Напр., П. п. является дезарговой (папповой) тогда и
только тогда, когда во всех ее натуральных телах
выполняется ассоциативный (коммутативный) закон Де-
заргова конечная П. π. Ρ (2, η) является папповой.
Особенность дезарговой Π п. PG(2, n) в том, что она
обладает коллинеацией порядка тг2+и+1, циклической
на точках и прямых. Этот результат дает возможность
представить П. п. PG(2, n) в виде циклич. таблицы
Такое представление PG(2, n) заключается в том, что
точки плоскости, занумерованные натуральными числами
от 1 до 7i2+7i+l, располагаются в прямоугольной
таблице из п+1 строки и п2+п+1 столбца таким образом,
что каждый столбец, означающий прямую со всеми
на ней точками, получается прибавлением к каждому
элементу предыдущего столбца единицы по модулю
712+л+1. Напр., представление плоскости Ρ (2, 2)
имеет вид 12 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 1
4 5 6 7 12 3
Плоскости Ρ (2, η), где д<8, единственны с точностью до
изоморфизма — это дезарговы плоскости или плоскости
Галуа (см. [6]), а уже для тг=9 известны четыре
неизоморфные плоскости (см. [7]).
Если к аксиомам П. п. и предложению Дезарга
присоединить аксиомы порядка (к-рыми описывается разде-
ленность двух пар точек, лежащих на одной прямой
напр., на рис. 2 пара С, D разделяет пару А, В, а пара
А, С не разделяет пару В, D) и аксиому непрерывности,
то полученная П. п. оказывается изоморфной
действительной аффинной
плоскости, пополненной несобст- с D
венными элементами: к д г £ т
каждой прямой
присоединяется несобственная рИс. 2.
(бесконечно удаленная)
точка, к параллельным прямым — одна и та же, а к
непараллельным — разные, причем все несобственные
точки лежат на одной несобственной прямой.
П. п. наз. топологической, если множества
ее точек и прямых являются топологич.
пространствами, причем отношение инцидентности является
непрерывным. В топологич. плоскости тернарная операция
непрерывна цо всем своим аргументам. С топологич.
точки зрения множество точек действительной П. п.
(равно как и множество прямых) представляет собой
замкнутое неориентируемое многообразие, эйлерова
характеристика к-рого равна 1
Лит.: [1] Кок стер X., Действительная проективная
плоскость, пер. с англ., Μ , 1959; [2] Бэр Р., Линейная
алгебра и проективная геометрия, пер. с англ , М., 1955; [3]
Скорняков Л. Α., «Успехи матем. наук», 1951, т. 6, в. 6,
с 112—54; [4] К а р τ е с и Ф., Введение в конечные
геометрии, пер. с англ , Μ , 1980, [5] Холл Μ , Теория групп, пер
с англ., М., 1962, гл 20; [б] Dembowski Ρ , Finite
geometries, В.— Ν.Υ , 1968; [7] Room Τ G., Κ i г k ρ a t-
l i ck P. В., Miniquaternion geometry, Gamb., 1971
В. В. Афанасьев.

671
ПРОЕКТИВНАЯ
672
ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ — проективное
пространство размерности 1; П. п., рассматриваемая как
самостоятельный объект, является замкнутым одномерным
многообразием. П. п. является своеобразным
проективным пространством — на ней нет интересных
отношений инцидентности, как у проективных пространств
большей размерности. Единственным инвариантом П. п.
служит число ее точек. П. п. наз. непрерывной,
дискретной или конечной, если она
инцидентна со множеством точек мощности континуума,
счетным или конечным соответственно.
П. п. наз. упорядоченной, если на ней
задано отношение разделения двух пар различных точек.
Предполагается, что разделение не зависит от порядка
пар и порядка точек в парах и любая четверка
различных точек разбивается на две взаимно разделяющиеся
пары единственным образом, а также принимается
аксиома расположения, связывающая пять различных
точек (см., напр., [1]). Упорядочение П. п. над полем R
связано с упорядоченностью этого поля, а именно: пара
точек {Л, В) разделяет пару {С, D}, если двойное
отношение (А, В; C,D) отрицательно, и не разделяет, если
(А, В; С, D) положительно. Конечную П. п. PG(1, q)
над Галуа полем нечетного порядка q можно
упорядочить аналогично вещественной П. п. Полагают (см.
[4]), что пара точек {А, В} разделяет пару {С, D)
тогда и только тогда, когда (А, В; С, D) —
квадратичный вычет поля Галуа GF(q).
П. п. приобретает определенное геометрич. строение,
если она вложена в проективное пространство большей
размерности; так, напр., П. п. однозначно
определяется двумя различными точками, а аналитич.
определение П. п. как множества классов эквивалентности пар
элементов тела /с, не равных одновременно нулю, по
существу эквивалентно вложению П. п. в проективное
пространство Рп(к), »^2. Если Р^к) является П. п.
над полем /с, то группа автоморфизмов П. п. Aut Рг(к)
может быть представлена на точках Р\(к) в параметрич.
форме как множество отображений
к—у а+ , α, Ь, с, dg/c, ad— be φ 0, agAut/c.
Группа алгебраич. автоморфизмов действительной П. п.
изоморфна группе перемещений действительной
плоскости Лобачевского, а порядок группы Aut PG(i, ph)
равен h(pzh—ph).
На П. п. можно построить другие геометрии. Так,
напр., плоскость Мёбиуса порядка ρ допускает
интерпретацию на П. п. PG(i,p2) (см. [5]). Другой
традиционной геометрич. конструкцией является изображение
проективного пространства Рп(к) на П. п. Рх(к) (см.
[2]), при к-ром точки из Рп (к) изображаются набором
η точек П. п. Р\{к) (здесь к — алгебраически
замкнутое поле).
Лит.: [ll Глаголев Η. Α., Проективная геометрия,
М., 1963; [2] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972; [3] Hughes D. R., Piper F. С,
Projective planes, N. Υ., 1973; [4] Κ u s t a a η h e ί m ο P.,
«Comment, phys-math.», 1957, v. 20, № 8, [5] Veblen O.,
Young J. W., Projective geometre, v. 1, Boston, 1910.
В. В. Афанасьев.
ПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ —
дифференциально-геометрическая структура на гладком
многообразии М\ специальный вид связности на многообразии,
когда приклеенное к Μ гладкое расслоенное
пространство Ε имеет своим типовым слоем проективное
пространство Рп размерности n—dim M. Структурой такого
Ε к каждой точке х£М присоединяется экземпляр
проективного пространства (Рп)х, к-рый отождествляется
(с точностью до гомологии с инвариантной связкой
прямых в точке х) с касательным центроаффинным
пространствам Тх (М), дополненным бесконечно удаленной
гиперплоскостью. П. с, как связность в таком Е,
предусматривает сопоставление каждой гладкой кривой
Ж ζ Μ с началом х0 и каждой ее точке xt проективного
отображения (Pn)Xt-+(Pn)x0 так» что удовлетворяется
следующее условие. Пусть Μ покрыто координатными
областями, в к-рых фиксировано гладкое поле репера
(Ρη)χ·> У к-рого вершина, определяемая вектором е0,
совпадает с х. (Репер в Рп определяется классом
эквивалентности базисов в векторном пространстве Vn + il
если эквивалентными считаются те {еа} и {е'а}, а=0,1,
..., п, у к-рых е'а=Хеа, λ^Ο.) Тогда при *->-0
отображение семейства должно стремиться к тождественному
отображению, причем главная часть его отклонения от
последнего должна определяться относительно поля
реперов в нек-рой окрестности точки х0 матрицей
линейных дифференциальных форм
ωδ = Γ?ίώί, detlriJ^O, (1)
α, β = 0, 1, ..., η; i, ; = 1, ..., η,
общей для всех L. Другими словами, образ репера в
точке xt при отображении (Pn)xt^(Pn)x0 должен быть
определен векторами
«Р [*!+«>£<*) * + «£(')],
где X — касательный вектор к L в точке х0 и
lim —-— =0. Возможность перехода к эквивалентным
/-►о *
базисам приводит к тому, что среди форм (1)
существенны только
ωΐ θ( = ωί-δίω8, ω? (2)
При преобразовании репера поля в произвольной точке
х£М согласно формулам еа,= Αα^β, е$=А$'еа,, где
Ao'=Aq'=0, т. е. при переходе к произвольному
элементу главного расслоенного пространства Π реперов в
пространствах (Рп)х, формы (1) заменяются
следующими 1-формами на П:
ω£, = A%'dAl, + Αΐ,Αβ6'ω% (3)
2-формы
Ω&', - da>%, + ωξ', λ ω£', (4)
являются пол у базовыми, т. е. линейными
комбинациями ωοΛωο, и тензорными, т. е. при преобразовании
репера матрицами А\ имеют место формулы
где Ω&, составлены из (3) аналогично (4). Для
существенных форм (2) имеют место структурные уравнения
П. с. (где для простоты опущены штрихи):
Λθο-!-θ/ ΛωΌ = Ωί,
dd[ + Qi Λ θ? + ωο Λ (δ{ω%-Γ δ£ω?) = θί,
<ίω?+ω?Λθ? = Ω?,
где θ[=Ω[—δ{Ω%. Здесь правые части полубазовы;
они составляют систему форм кручения-кривизны П. с.
Равелство Ωο=0 имеет инвариантный смысл. В этом
случае говорят о П. с. нулевого кручения; для нее
θ[ί=θ}·. Инвариантные тождества
(5)
*!*/-о. θ{=-*{
ikl
k I
ωη Λ ωη
выделяют специальный класс П. с, называемых (по
Картану) нормальными П. с.
Формы (1) определяют П. с. на Μ однозначно:
образ при отображении (Ρ η) χ *-> (Ρ η) χ 0 репера в точке χχ

673 ПРОЕКТЕ
определяется решением {ea(t)} системы
dB« = K),u,(*(/))«p <6)
при начальных условиях иа (0)=еа, где χί=χί
(t)—уравнения кривой L в нек-рой координатной окрестности ее
точки х0 с координатами х( (0).
Любые 1-формы ωο, θ{·, ω°, заданные на Π и
удовлетворяющие уравнениям (5) с правыми частями,
выражающимися через ωοΛωο, где ω{>, ί=1, ..., η, линейно
независимы, определяют в этом смысле нек-рую П. с. на Μ.
Кривая, к-рую описывает в (Рп)х точка,
определяемая первым вектором e0(t) решения {ea(t)} системы (6),
наз. разверткой кривой L. Кривая наз.
геодезической л и н и е й П. с. на Л/, если ее
развертка в нек-рой окрестности произвольной ее точки χ
является прямой пространства (Рп)х. Уравнения χί—
=x!(t) геодезич. линии определяются с помощью
функций
6(0 = (<*')* «><*('))
из системы
где θ — нек-рая 1-форма. В репере, где ωί=άχί1
||#=ж', эта система имеет вид
ά%χΛ _ (лα (άχ1 άχη-Λ .
+ ^±0η(— · ^^V (7)
'dx" ν \άχη ' ···' dxn J ' ^
где Qa vl Qn — многочлены 2-го порядка, коэффициенты
к-рых есть функции от ж1, . . ., хп.
Теорема Картана: если на гладком
многообразии Μ задана система кривых, локально
определяемая системой дифференциальных уравнений вида (7),
то существует одна и только одна нормальная П. с,
для к-рой эта система кривых является системой
геодезич. линий.
Теория П. с. дает, таким образом, средство для
инвариантного исследования систем дифференциальных
уравнений специального вида. П. с. полезны также при
исследовании геодезических (или проективных)
отображений пространств аффинной связности. П. с. сводится
к аффинной связности, если на Μ существуют
локальные поля реперов, относительно к-рых щ=Рч·^.
Для каждой аффинной связности на Μ существует
единственная нормальная П. с, имеющая общие
геодезич. линии, из к-рой она может быть получена. Две
аффинные связности геодезически (или проективно)
эквивалентны, если их нормальные П. с. совпадают. В
частности, аффинная связность на Μ при dim Μ>2
проективно евклидова тогда и только тогда, когда ее тензор
проективной кривизны K(kl обращается в нуль.
Лит.: [1] Car tan Ε., «Bull. Soc. math. France», 1924,
t. 52, p. 205—41; [2] его же, Lecons sur la theorie des espaces
a connexion projective, P., 1937; [3] его же, Пространства
аффинной, проективной и конформной связности, пер с франц.,
Казань, 1962; [4] К о b а у a s h i S., N a g a η α Τ , «J Math,
and Mech.», 1964, v. 13, № 2, p. 215—35. Ю. Г. Лумисте.
ПРОЕКТИВНАЯ СХЕМА — замкнутая подсхема
проективного пространства Р\\ в однородных
координатах х0, . . ., хп на Р\ проективная схема задается
системой однородных алгебраич. уравнений:
/i fob ···» s»)=°» ···> fr(4, ···> χη)=0.
Каждая П. с. является полной (компактной в случае
к=С); обратно, полная схема проективна, если на ней
есть обильный обратимый пучок. Имеются и другие
критерии проективности.
Обобщением понятия П. с. служит проективный мор-
физм. Морфизм схем f: Χ -+Υ наз. проективным
IBHOE 674
(а X — схемой, проективной над У), если X является
замкнутой подсхемой проективного расслоения Ργ($),
где <§ — локально свободный (Зу-модуль. Композиция
проективных морфизмов проективна. Проективность
морфизма сохраняется и при замене базы; в частности,
слои проективного морфизма являются проективными
схемами (но не обратное. Если схема X проективна, а
X -► Ζ — конечный сюръективный морфизм, то и Ζ
проективна.
Любая П. с. (над У) может быть получена при
помощи конструкции проективного спектра.
Ограничиваясь случаем аффинной базы, У=8рес Я;
пусть Α— φ Αι· — градуированная 7?-алгебра, при-
;>о
чем R-модуль Аг имеет конечный тип и порождает
алгебру Л, и пусть Pro j (A) — множество однородных
простых идеалов раА, не содержащих Аг. Снабженное
естественной топологией и структурным пучком
множество Proj (А) является проективной У-схемой; более
того, любая проективная У-схема имеет такой вид.
Лит.: [1] Мамфорд Д., Алгебраическая геометрия,
т. 1 — Комплексные проективные многообразия, пер. с англ.,
М., 1979; [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология.
Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47—112. В. И. Данилов.
ПРОЕКТИВНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ
МНОЖЕСТВО — подмножество точек проективного
пространства Рп, определенного над полем &, имеющее (в
однородных координатах) вид
V(I) = {(ao, ..., ап)£Р»\ f(a0, ..., <ζη) = 0
для любого /ζ/}.
Здесь / — однородный идеал в кольце многочленов
к [Х0, . . ., XJ. (Идеал / однороден, если из /ζ/ и /=
=2/ί» гДе все /ί — однородные многочлены степени г,
следует, что все //ζ/.)
Свойства П. а. м.:
1) Г (Si6s'i)=n/€SF (/,·);
2) V(I1(]r2) = V(I1)\jV(I2);
3) если /χ с /2, то V (72) с V (1г);
4) ν(ΐ) = ν(γΤ),
где УI — радикал идеала I. Из свойств 1)—3) следует,
что на V (I) можно ввести топологию Зариского. Если
7= Υ1', то 7 однозначно представляется в виде
пересечения однородных простых идеалов:
/ = »1П...П»,
F(/) = F(8i)U...Un»*).
В случае, когда 7 — однородный простой идеал,
П. а. м. V(7) наз. проективным
многообразием.
Лит.: [1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972; [2] Зарисский О., Самюэль П.,
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1—2, М., 1963.
Bun. С. Куликов.
ПРОЕКТИВНОЕ ИЗГИБАНИЕ — распространение
на проективную геометрию понятия изгибания
(наложения) в метрич. теории поверхностей, дано Г. Фубини
(G. Fubini, 1916) (обобщение этого понятия на геометрию
любой группы преобразований получил Э. Картан,
Е. Cartan, 1920) с использованием понятия т. н. качения
одной поверхности по другой.
Пусть G — группа преобразований пространства Е.
Поверхность S' налагается на поверхность S (или
катится по S) в геометрии группы G, если между их
точками устанавливается взаимно однозначное
соответствие так, что каждой паре соответствующих точек Λ/ζ£,
Μ' ζ Sf можно присоединить преобразование у ζ G, к-рое
переводит S' в положение S. При этом требуется, чтобы
1) М' совмещалась с М\
2) каждая кривая V ££', проходящая через М, имела
в этой точке касание n-το порядка с соответствующей
& 22 Математическая энц., т. 4

675 ΠΡΟΕΙ
кривой l£S (т. е. расстояние между точками М'* и
Μ*, близкими к общей точке М'=М, будет бесконечно
малым порядка п-\-1 по сравнению с расстоянием их от
общей точки). Соответствие S и £", характеризующееся
числом п, наз. наложением и-го порядка.
Содержащееся здесь понятие расстояния не вносит
ограничения на геометрию группы. Однако здесь речь
идет о порядке касания кривых в несколько более
тесном, чем обычно, смысле слова (отличие состоит в том,
что соответствие между точками обеих кривых уже
установлено наложением, тогда как обычно оно
устанавливается при определении порядка касания).
Пусть, далее, G — группа проективных
преобразований и пусть S и S' проективно налагаются. Тогда П. и.
есть преобразование поверхности S с сохранением
проективного линейного элемента
где F2 и F3 — Фубини формы (при этом здесь —
наложимость 2-го порядка). И оказывается, что, кроме
линейчатых поверхностей, только т. н. поверхности R
(см. [1]) допускают нетривиальное П. и.
Проективная геометрия занимает некое среднее
положение между метрической, где, вообще говоря,
всякая поверхность может изгибаться, и аффинной, где
понятие изгибания не имеет места: любые две
поверхности допускают наложение 1-го порядка и никакие
две различные не могут иметь наложение 2-го порядка.
Лит.: [1] Фиников СП., Проективно-дифференциаль-
ная геометрия, М.— Л., 1937; [2] Η ο ρ д е н А П,
Пространства аффинной связности, 2 изд., М., 1976.
М. И. Войцеховский.
ПРОЕКТИВНОЕ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЕ —
введение в подмножествах проективного пространства
методами проективной геометрии такой метрики, при
к-рой эти подмножества оказываются изоморфными
евклидову, гиперболическому или эллиптическому
пространствам. Это достигается выделением из класса всех
проективных преобразований таких преобразований,
к-рые порождают в этих подмножествах группу
преобразований, изоморфную соответствующей группе
движений. Наличие движений позволяет «откладывать»
отрезки от данной точки в данном направлении и тем
самым ввести понятие длины отрезка.
Чтобы получить евклидово мероопределение в п-
мерном проективном пространстве Р, выделяют в нем
одну (тг—1)-мерную гиперплоскость π, называемую н е-
собственной гиперплоскостью, и
устанавливают в этой гиперплоскости эллиптическое
полярное соответствие Π точек и (тг—2)-мерных
гиперплоскостей (т. е. полярное соответствие, при к-ром никакая
точка не принадлежит соответствующей ей (п—2)-мер-
ной плоскости).
Пусть Еп — подмножество проективного
пространства Р, получающееся удалением из неге несобственной
гиперплоскости; X, У, X', У -^- точки, принадлежащие
Еп. Два отрезка ΧΥ и ΧΎ' наз. конгруэнтны-
м и, если существует проективное преобразование φ,
переводящее точки X и У соответственно в точки X' и
У, при к-ром сохраняется поляритет П.
Определенное таким образом понятие
конгруэнтности отрезков позволяет в Еп ввести метрику евклидова
пространства. Для этого в проективном пространстве Ρ
вводится система проективных координат с базисным
симплексом ОА1А2. . .А п, причем точка О не
принадлежит несобственной гиперплоскости π, а точки Аг,
А 2, . .., Ап принадлежат этой плоскости. Пусть точка О
в этой системе имеет координаты 0,0, . . ., О, 1, а точки
Л,·, i=l, 2, . . ., η, имеют координаты
χΊ=0,χ2 = 0, .. .,Х1_г = 0, #;=1,.ζ/ + ι = 0, ...,s„ + i = 0.
Тогда эллиптическое полярное соответствие П, задан-
ИВНОБ 676
ное в гиперплоскости π, может быть записано в виде
Матрица ||агу|| этого соответствия будет
симметрической, а соответствующая ей квадратичная форма
Q (хг, х2, . . ., хп) =^ aijXiXj
— положительно определенной. Пусть
X = (аг:а2:... :ап:ап + 1) и У = (b1:b2:... :bn:bn+1)
— две точки, принадлежащие Еп (то есть ап + 1?=0,
Ьп + 1^0). Можно положить:
О, 02 0п
°П+1 °П+1 On+i
Тогда расстояние ρ между точками X и Υ определяется
соотношением
р(Х, У) = V Q (λ;ι — г/i, х2— г/2, ···, хп—Уц)·
Для установления П. м. в тг-мерном гиперболич.
пространстве в n-мерном проективном пространстве Ρ
рассматривается множество U внутренних точек
действительной овальной гиперповерхности S 2-го порядка.
Пусть X, У, Χ', Υ' принадлежат множеству U, тогда
отрезки ΧΥ и ΧΎ' считаются конгруэнтными, если
существует проективное преобразование
пространства Р, при к-ром гиперповерхность S отображается на
себя, переводящее точки X и У соответственно в точки
X' и У. Введенное таким образом понятие
конгруэнтности отрезков приводит к установлению во множестве
U метрики гиперболич. пространства. Длина отрезка в
этой метрике определяется соотношением
р(Х, Y)=c\\n(XYPQ)\,
где Ρ и Q — точки пересечения прямой ΧΥ с
гиперповерхностью 5, а с — положительное число, связанное
с кривизной пространства Лобачевского.
Для введения в проективном пространстве Ρ эллип-
тич. метрики в этом пространстве рассматривается
эллиптическое полярное соответствие П. Два отрезка ΧΥ
и ΧΎ' наз. конгруэнтными, если существует
проективное преобразование φ, переводящее точки X и У
соответственно в точки X' и У', при к-ром сохраняется
поляритет Π (т. е. для любой точки Μ и ее поляры т
полярой точки ц>(М) будет φ (га)). Если эллиптическое
полярное соответствие Π задано соотношениями
Μί = 2· = ι ai)xl· ί = ί' 2' *··' /ι + 1»
то матрица (αφ будет симметрической, а
соответствующая ей квадратичная форма — положительно
определенной. Тогда если
Х = (х1:х2:... :хп:хп + 1), Υ = (уг: у2:.. .:yn:yn+i),
то
р(Х, У) = агссо8— 'Б(*;у)' = ,
г ' У в (Χ, χ) ν Β(Υ, γ)
где В — билинейная форма с матрицей ||агу||.
Во всех рассмотренных случаях (если дополнить
действительное проективное пространство до
комплексного проективного пространства) при проективных
преобразованиях, определяющих конгруэнтность отрезков,
т. е. движениях, остаются инвариантными нек-рые
гиперповерхности 2-го порядка, наз. абсолютами.
В случае евклидова мероопределения абсолютом будет
мнимая (п—2)-мерная овальная поверхность 2-го
порядка, в случае гиперболич. мероопределения —
овальная (п—1)-мерная действительная гиперповерхность
2-го порядка, в случае эллиптич. мероопределения —

677
ПРОЕКТИВНОЕ
678
мнимая (η—1)-мерная овальная гиперповерхность 2-го
порядка.
Лит.: [1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд.,
М., 1978; [2] Глаголев Η. Α., Проективная геометрия,
2 изд., М., 1963; [3] Б у з е м а н Г., К е л л и П. Д ж.,
Проективная геометрия и проективные метрики, пер. с англ., М.,
1957. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко.
ПРОЕКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО — множество, крое
может быть получено из борелевских множеств
повторным применением операций проектирования и перехода
к дополнению. П. м. классифицируются по классам,
образующим проективную иерархию. Пусть /= ωω—
бэровское пространство (гомеоморфное пространству
иррациональных чисел). Множество Pczlm
принадлежит: 1) классу Аи если Ρ есть проекция борелевского
множества пространства 1т + 1\ 2) классу САп (Р есть
С А п-м ножество), если его дополнение 1т\Р есть
Л „-множество (τι^Ι); 3) классу Ап (Р есть Ап-мяо-
ж е с τ в о), если Ρ есть проекция С А и
.^-множества пространства /m + 1, л>2; 4) классу Вп, если Ρ
принадлежит одновременно классам Ап и САп, η^ί. Те
же классы получаются заменой проекции
непрерывным образом (множества того же пространства 1т),
В силу Суслина теоремы класс Аг совпадает с
классом А -множеств (следовательно, класс САг — с классом
СА-множеств), а класс Вг — с классом борелевских
множеств. Для каждого класса Ап построено
универсальное множество, и при его помощи доказана
следующая теорема о проективной
иерархии (теорема «существования», теорема «о непустоте
классов»): BncAnczBn + 1 (следовательно, ВпаАпа
аВп + 1), где каждое из включений — строгое.
Мощность множества всех П. м. пространства / равна 2**°·
Каждое А 3-множество — объединение #х борелевских
множеств и, значит, счетно или имеет мощность #х или
2*· (см. [2], [7]). Для класса А2 выполнены принципы
униформизации и редукции, а для класса СА2 —
(первый) принцип отделимости. Каждый из проективных
классов с номером л>2 инвариантен относительно А-
операции. Для каждого из классов А п, С А п существует
bs-операция, дающая в точности все множества этого
класса, исходя из замкнутых множеств. Изучение П. м.
(даже второго класса) — трудная задача. Многие
вопросы теории П. м. оказались неразрешимыми в клас-
сич. смысле, что полностью подтвердило предвидение
(см. [6]) «область П. м. есть область, где принцип
исключенного третьего уже не применим». Теория П. м.
получила свое дальнейшее продвижение с
привлечением сильных теоретико-множественных
предположений, таких, как МС (существует измеримый кардинал),
PD (аксиома проективной определимости), V=L.
В предположении МС: каждое А 2-множество измеримо
(по Лебегу), обладает Бэра свойством и, если несчетно,
содержит (непустое) совершенное подмножество;
каждое Лд-множество может быть униформизировано А4-
множеством.
В предположении PD 1) каждое П. м. измеримо,
обладает свойством Бэра и, если несчетно, содержит
совершенное подмножество, может быть униформизировано
Π м., точнее принцип униформизации выполнен для
классов А2п и С A 2n + i'-> 2) для классов А2п и СА2п + 1
выполнен принцип редукции, следовательно, для классов
А2п + 1 и СА2п — принцип отделимости.
В предположении V=L: 1) существует несчетное СА-
множество, не содержащее совершенного подмножества,
и неизмеримое 52~множество без свойства Бэра; 2) при
Ai^2 для класса А п выполнен принцип униформизации.
Если для класса Ап выполнен принцип
униформизации, то выполнен и принцип редукции. При л>3
обратная импликация не доказуема в ZFC. Если
существует неизмеримое (или без свойства Бэра) А 2-множество,
то существует несчетное С А -множество, не содержащее
совершенного подмножества. Если каждое несчетное
С А -множество содержит совершенное подмножество,
то это же верно для каждого несчетного А 2-множества
(см. [7]).
Отмеченные результаты справедливы не только для
пространства /, но и для числовой прямой и, вообще,
для любого полного сепарабельного метрич.
пространства. Имеет место следующая теорема о топологич.
инвариантности П. м.: гомеоморфный образ П. м.
данного класса, расположенный в том же или любом другом
полном сепарабельном метрич. пространстве, есть П. м.
того же класса.
Лит.: [1] ЛузинН. Н., «С. г. Acad, sci.», 1925, v. 180,
p. 1572 (пер.: [6], с. 304—306); [2] S i e г ρ i ή s k i W., «Fund,
math.», 1925, t. 7, ρ 237—43; [3] К у р а т о в с к и й К.,
Топология, пер. [с англ.], т. 1, М., 1966; [4] К у ρ а т о в с к и й
К., Мостовский Α., Теория множеств, пер. с англ., М.,
1970; [5] S i е г ρ i ή s k i W., Les ensembles projectifs et ana-
lytiques, P,, I960; [6] Лузин Η. Η., Собр. соч., т. 2, М.,
1958, о. 242, 268; [7] Jech Т., Set theory, Ν.Υ., 1978; [8]
Hinman P., Recursion theoretic hierarchies, В., 1978;
[9] Новиков П. С, Избр. труды, М., 1979; [10]
Козлова 3. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1962, т. 26, № 2,
с. 223—60; [И] Канторович Л. В., Д и в е н с о н Ε. М.,
«Fund, math.», 1932, t. 18, p. 214—79; [12] Martin D., в
кн.: Handbook of mathematical logic, Amst., 1977, p. 783—815;
[13] Moschovakis У., в кн.: Ргос. of the Inter. Congr.
of MaШещ. (Vancouver, 1974), v. 1, Montreal, 1975, p. 251—57;
[14] К a η о в е й В. Г., «Докл. АН СССР», 1980, т. 253, № 4,
с. 800—03; [15] Л ю б е ц к и й В. Α., в сб.: Исследования по
теории множеств и неклассич. логикам, М., 1976, с. 96—122;
[16] К е chris Α., в кн.: Logic colloquim'77, Amst., 1978,
p. 155—60; [17] Μ a u 1 d i η R., «Mathematika», 1976, v. 23,
№ 2, p. 151—55; [18] Marcus S., «Math. Nachr.», 1959, Bd
17, j\r9 з_б, S. 143—50; [19] Козлова 3. И.,
Филиппов В. П., «Изв. ВУЗов. Матем.», 1978, № 7, с. 33—39.
А. Г. Ельпин.
ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ группы
G — гомоморфизм этой группы в группу PGL(V)
проективных преобразований проективного пространства
Ρ (F), связанного с векторным пространством V над
полем /с.
С каждым П. п. φ группы G связано центральное
расширение этой группы
где ρ — естеств. проекция группы GL(V) на PGL(V),
i — вложение мультипликативной группы поля к в
GL(V) в виде скалярных матриц, a Eq>=p-1(q>(G)).
Каждое сечение s проекции ρ над φ (G) задает
отображение
Ψ = *οφ:<?—+ GL(V),
обладающее свойством
Ψ (*!*.)=' (*1, *ΐ) Ψ (ίΐ) Ψ (*.),
где с: GxG^k* —двумерный коцикл на группе G.
Класс когомологий h этого коцикла не зависит от выбора
сечения s. Он определяется П. п. фи определяет класс
эквивалентности расширения (*). Условие h=Q
необходимо и достаточно для того, чтобы П. п. φ получалось
факторизацией линейного представления группы G.
П. п. естественным образом возникают при изучении
линейных представлений расширений групп.
Важнейшие примеры П. п.: спинорное представление
ортогональной группы и представление Вейля симплектич.
группы. На П. п. непосредственно переносятся
определения эквивалентности и неприводимости линейных
представлений. Классификация неприводимых П. п.
конечных групп получена И. Шуром (I. Schur, 1904).
П. п. наз. унитарным, если пространство V
гильбертово, а отображение Ψ можно выбрать так, чтобы
оно принимало значение в группе U(V) унитарных
операторов в V. Изучались унитарные неприводимые
П. п. топологич. групп [4]; для связной группы Ли G
их изучение сводится к изучению унитарных
неприводимых представлений односвязной группы Ли δ, алгебра
Ли к-рой является центральным расширением алгебры
22*

679
ПРОЕКТИВНОЕ
680
Ли $ группы G с помощью d-мерной коммутативной
алгебры Ли, где d=dim Η2 (q, R).
Лит.: [1] Кириллов Α. Α., Элементы теории
представлений, 2 изд., М., 1978; [2] Кертис Ч., Ρ айн ер И.,
Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр'
пер. с англ., М., 1969; [3] Mackey G. W., «Acta math.»'
1958, v. 99, p. 265—311; [4] В a r g m a η η V., «Ann. Math.»'
1947, v. 48, p. 568—640. А. А. Кириллов]
ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — взаимно
однозначное отображение F проективного пространства
П„ на себя, сохраняющее отношение порядка частично
упорядоченного (по включению) множества всех
подпространств П„, т. е. отображение П„ в себя такое, что
1) если SpaSq, то F(Sp)c:F(Sq);
2) для каждого S р существует S р такое, что F(Sp)=
= SP;
3) S p=Sq тогда и только тогда, когда F(Sp)=F(Sq).
При П. п. сохраняются сумма и пересечение
подпространств, точки отображаются в точки, независимость
точек сохраняется. П. п. образуют группу, наз.
проективной группой. Примеры П. п.: коллине-
ация, перспектива, гомология.
Пусть пространство П„ интерпретируется как
совокупность подпространств Рп(К) левого векторного
пространства А п + 1 (К) над телом К; полулинейным
п_р еобразованием А п + 1 в себя наз. пара
(F, φ), состоящая из автоморфизма F аддитивной группы
Ап + 1 и автоморфизма φ тела К такого, что для любых
а € А п + 1 и к£К имеет место: F(ka) = (p(k) Ψ (а); в
частности, полулинейное преобразование (F, φ) является л и-
н е й_н ы м, если φ(Α:)=Α\ Полулинейное
преобразование (F, φ) индуцирует П. п. F. Обратное утверждение —
первая основная теорема
проективной геометрии: если и^2, то каждое П. п.
F индуцируется нек-рым полулинейным
преобразованием (F, φ) пространства Ап + 1 (К).
Лит.: [1] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная
геометрия, пер. с англ., М., 1955; [2] Ходж В., Π и д о Д.,
Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954.
М. И. Войцеховспий.
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — совокупность
всех подпространств инцидентностной структуры л=
= {«5\ <%, I), где элементы множества 5* наз.
точками, а элементы множества ^-прямыми, I —
отношение инцидентности.
Подпространством инцидентностной структуры π наз.
подмножество S множества 5\ для к-рого справедливо
условие: если р, q£S и ρ^q, то Множество точек прямой,
проходящей через точки ρ и q, также принадлежат S.
Инцидентностная структура π удовлетворяет
следующим требованиям:
1) для любых двух различных точек ρ и q существует
единственная прямая L такая, что pIL, qlL;
2) каждая прямая инцидентна по крайней мере с
тремя точками;
3) если две различные прямьш L, Μ пересекаются в
точке ρ и выполнено qlL и r/L, a si Μ', tIM, то прямые,
проходящие через пары точек г, t и s, q, пересекаются.
Подпространство S порождено множеством s
точек из д* (пишут S— <«>), если S является
пересечением всех подпространств, содержащих s. Множество
точек s наз. независимым, если для любого x£s имеет
место x(fc<s\{x}>. Упорядоченное максимальное и
независимое множество точек подпространства S наз.
базисом S, а число его элементов d(S) —
размерностью подпространства S. Подпространство
размерности 0 является точкой, размерности 1 —
проективной прямой. Подпространство размерности 2 наз.
проективной плоскостью.
В П. п. определены операции сложения и
пересечения подпространств. Суммой Pm-\-Pk подпространств
Ρт и Pk наз. наименьшее из подпространств,
содержащее и Ρ т, и Pk- Пересечением Pm[)Pk подпространств
Ρт и Pk наз· наибольшее из подпространств,
содержащееся и в Ρ т, и в Pk. Размерности подпространств Ρт,
Ρь, их суммы и пересечения связаны соотношением
m + k = d(Pm (}Pk) + d(Pm + Pk).
Для любого Рт существует P„_m_i такое, что РтГ\
Г\Рп-т-1=Р-1=^ И Рт + Рп..т-^Рп{Рп-т-Х -
дополнение Ρт в Рп), и если ΡтаРг, то
(Pm + Pk) ПРг = Рт + РкПРГ
для любого Р&(дедекиндово правило), т. е.
относительно введенных операций П. п. является деде-
киндовой решеткой с дополнениями.
П. п. размерности больше двух дезаргово (см. Де-
зарга предложение), а следовательно, изоморфно П. п.
(левому или правому) над подходящим телом к (см. [1]).
Рп (к) (напр., левое) размерности η над телом к —
совокупность линейных подпространств нек-рого (п+1)-
мерного левого линейного пространства Ап+1(к) над
телом к; точками Рп (к) являются прямые An + i (к), т. е.
множества классов эквивалентности слева строк (х0,
χΐι - · ·» хп)ч составленных из элементов тела к и не
равных одновременно нулю (строки (х0, хг, . . ., хп) и
(#о» У\1 · · ·» Уп) эквивалентны слева, если
существует такое λ ζ к, что .r/^λι/,·, i= 0,1, . . ., η);
подпространствами Рт (к), m=i, . . ., η, являются (лг+1)-мерные
подпространства л/п+1(/с). Можно установить нек-рое
соответствие между левым Рп (к) и правым Ρ η {к) П. п., при
к-ром подпространству Ps (к) соответствует Ρϊι-s-i (к)
(подпространства Ps (к) и Prn-s-i (к) наз.
дуальными друг другу), пересечению подпространств
соответствует сумма, а сумме — пересечение. Если нек-рое
утверждение, основанное только на свойствах
линейных подпространств, их пересечений и сумм,
справедливо для Ρ η (к), то справедливо и соответствующее
утверждение для Ргп(к). Это соответствие между
свойствами пространств Рп (к) и Ρ η (к) наз. принципом
двойственности для П. п. (см. |2|).
Конечное тело необходимо коммутативно,
следовательно, конечное П. п. размерности больше двух и
порядка q изоморфно П. п. над Галуа полем PG(n, q).
Конечное П. п. Р(п, q) содержит (qn + 1—i)/(q—\)
точек и TTr (qn + i-i — 1)/ ТТГ (^+1-/'_1) подпро-
странств размерности г (см. [4]).
Коллинеацией П.п. является
перестановка ее точек, к-рая отображает прямые в прямые, при
этом подпространства отображаются на
подпространства. Нетривиальная коллинеация П. п. имеет не более
одного центра и не более одной оси. Группа коллинеа-
ций конечного П. п. PG(n, ph) имеет порядок, равный
Каждое П. п. PG(n, q) допускает циклическую
транзитивную группу коллинеаций (см. [3]).
Корреляциейб П. п. является перестановка
подпространств, к-рая меняет включения, т. е. если
SaT, то SSzdT&. П. п. допускает корреляцию, только
если оно конечномерно. Важное значение в
проективной геометрии играет корреляция порядка два, наз.
поляритетом.
Лит.: [1] Ар тин Э., Геометрическая алгебра, пер. с
англ., М., 1969; [2] Ходж В., Π и д о Д., Методы
алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954; [3] D e m b о w-
ski P., Finite geometries, В.—[а. о.], 1968; [4] Segre В.,
Lectures on modern geometry, Roma, 1961. В. В. Афанасьев.
ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ — взаимно
однозначное соответствие между элементами проективного
пространства Пп (К) (проективными
подпространствами Sq) и классами эквивалентных упорядоченных ко-

6&1
ПРОЕКТИВНЫЙ
682
нечных подмножеств элементов тела К. П. к.
подпространств Sq при <7>0 (наз. также грассмановыми
координатами) определяются через координаты
точек (0-мерных подпространств), лежащих в SQ, и
потому достаточно определить П. к. точек
проективного пространства.
Пусть в совокупности строк (#0, ж1, . . ., хп)=х не
равных одновременно нулю элементов тела К (к-рые
наз. также однородными
координатами точек) введено отношение эквивалентности
слева (справа): х~у, если существует λζΚ такое, что
х(=Ху1 (xi=yi'k), i=0, . . ., п. Тогда совокупность
классов эквивалентности находится во взаимно
однозначном соответствии с совокупностью точек *р
проективного пространства Р1п (К) (Ргп (К)). Если Цр
интерпретируется как множество прямых левого (правого)
векторного пространства А 1п+\(К) (АГп+\{К)), то
однородные координаты точки Μ имеют смысл координат
векторов, принадлежащих прямой Ζ, представляющей эту
точку, а П. к.— совокупности всех таких координат.
В общем случае П. к. точек проективного
пространства П„ относительно нек-рого базиса вводятся чисто
проективными средствами (при обязательном
выполнении в П„ Дезарга предложения) следующим образом.
Множество оп\п+\) независимых точек Л0, . . ., Ап
пространства Пп наз. симплексом, при этом
точки Л0, . . ., Ai_1, Ai + 1, . . ., Ап также независимы
и определяют нек-рое подпространство Sn_1=2l\ на?,.
гранью этого симплекса. Существует нек-рая
точка Е, не лежащая ни на одной из граней Σ'. Пусть i0,
*ι» · · ·» *л~~ любая перестановка чисел 0,1, . . ., п.
Точки А[ , . . ., Ai , /с^О, и Ε оказываются
независимыми и определяют нек-рое Sn„k. Далее, точки
Л;-о, . . ., А[ определяют тоже нек-рое Sk, а так как
суммой Sk и Sn_k является все пространство П„, то Sk
и Sn_k имеют в точности одну общую точку Е( _ ш ,· , не
лежащую ни в одном из (к—1)-мерных подпространств,
определяемых точками AiQ, . .., Aij_vAij + 1, · · ·, Aik'·,
при этом EiQ #<# ik, Λι , . . ., Α[η также
независимы. Таким образом получается 2η + 1—1 точек
Е[0 _ . ik, включая точки Ei=Ai и Е0 _ П=Е, к-рые
и образуют репер пространства Sn=Un;
симплекс ση является его остовом.
На каждой прямой A(Aj имеются три точки Л,·, Aj,
Ε ι j, пусть они играют роль точек О, U, Ε в определении
тела К рассматриваемой проективной геометрии (см.
Проективная алгебра). Тела К (Л/, Ε ;j, Aj) и K(Ak,
Ekh Α ι) изоморфны друг другу, причем изоморфизм
устанавливается проективным
соответствием Tki] между точками двух прямых A{Aj и
AkAt таким, что точки A fe, Ekh At отвечают точкам Ah
Eij, A j Элемент тела К, соответствующий точке Ρ
прямой AiAj, наз. проективной координатой ρ
точки Ρ в шкале (Ah E{J-, Aj). В частности, П. к. Ец
всегда равна 1, а П. к. Ρ в шкале (Aj, E{J·, A-) есть
р*=р-К
Пусть Ρ — точка пространства, не лежащая ни на
одной из граней симплекса ση: А0, . . ., Ап, образующего
вместе с нек-рой точкой Ε репер R. Если использовать
точку Ρ вместо Ε в вышеприведенной конструкции
репера, то получится последовательность точек Ph Pij4
Pijk, · · ., где PiQ ι лежит в подпространстве,
определяемом Л,о, . . ., Αι (но не лежит нив одной из
граней симплекса σ^, образованного этими точками). Пусть
Pij — координата точки Pi;· (лежащей на А{А j) в шкале
(Aj, E(j, Aj). Тогда если i, /, к попарно различны, то
1) PijPji = l;
2) PikPkjPji = l·
Пусть х0 — произвольный элемент К, отличный от
нуля, а х(=х0р{0, ##0, i=l, . . ., η (при этом
оказывается, что pij=xf1Xi). Тогда совокупность эквивалентных
между собой строк, определяемых различными
элементами х0, и дает П. к. точки Ρ относительно репера R.
Пусть Ρ лежит в подпространстве Sk, определяемом
точками А ,·,..., А ,· , но не лежит ни в одной из граней
симплекса, определяемого этими точками. Пусть
совокупность эквивалентных строк (я/0, . . ., χ ι Λ является
П. к. точки Ρ относительно репера R подпространства
Sb, определяемого симплексом ok и точкой ΕfQ ife#
Тогда П. к. точки Ρ относительно репера R задаются
следующим образом: г/;—я/, i= i0» · · ·» ifa lJi~^-, *?=
Фч, . . ., ik.
Любая совокупность эквивалентных между собой
слева (справа) (п-\-1) строк, построенная
вышеизложенным способом, соответствует одной и только одной
точке Ρ пространства Пп и определяет поэтому в нем П. к.
Лит.: [1] Ходж В., Π и до Д., Методы алгебраической
геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954. М. И. Войцеховский.
ПРОЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ — модуль Р,
удовлетворяющий любому из следующих эквивалентных условий:
1) для любого эпиморфизма модулей а:5->Си любого
гомоморфизма β: Ρ -> С найдется такой гомоморфизм γ:
Ρ -> С, что β=αγ; 2) модуль Ρ является прямым
слагаемым свободного модуля; 3) функтор Нош (Р,—) точен;
4) любой эпиморфизм модулей А —►- Ρ расщепляется.
Теорема Капланского [2],
утверждающая, что всякий П. м. является прямой суммой П. м.
со счетным числом образующих, сводит изучение струк-
| туры П. м. к счетному случаю. П. м. с конечным числом
образующих изучаются в алгебраической ϋΓ-теории.
Простейшим примером П. м. является свободный
модуль. Над кольцами, разложимыми в прямую сумму,
всегда существуют П. м., отличные от свободных.
Совпадение классов проективных и свободных модулей
доказано для локальных колец [2], колец многочленов
над полем от нескольких переменных (см. [3], [4]).
Лит.: [1] К ар тан Α., Эйленберг С,
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Kaplansky J.,
«Ann. Math.», 1958, v. 68, № 2, p. 372—77; [3] Суслин Α. Α.,
«Докл. АН СССР», 1976, т. 229, №5, с. 1063—66; [4] Q u i 1-
1 е η D., «Invent. Math.», 1976, v. 36, p. 167—71. В. Ε. Говоров.
ПРОЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ категори и
—понятие, формализующее свойства ретрактов (или прямых
слагаемых) свободных групп, свободных модулей и т. п.
Объект Ρ категории $ наз. проективным, если
для всякого эпиморфизма v: A —>- В и произвольного
морфизма у: Ρ-+В найдется такой морфизм у': Р^-А,
что γ=γ'ν. Другими словами, объект Ρ проективен,
если основной функтор НР(Х) = Н(Р, X) из $ в
категорию множеств (В переводит эпиморфизмы из $
в эпиморфизмы категории @, т. е. в сюръективные
отображения.
Примеры. 1) В категории множеств всякий
объект проективен. 2) В категории групп проективны
свободные группы и только они. 3) В категории Л*Ш левых
модулей над ассоциативным кольцом Л с единицей
модуль проективен тогда и только тогда, когда он
является прямым слагаемым свободного модуля.
Описание колец, над к-рыми всякий проективный модуль
свободен, составляет содержание проблемы Сер-
р а. 4) В категории ЛЭД1 все модули проективны тогда
и только тогда, когда кольцо Л классически
полупросто. 5) В категории функторов ψ (φ, @) из малой
категории φ в категорию множеств © каждый
объект проективен тогда и только тогда, когда £) —
дискретная категория.
В определении П. о. иногда предполагают, что
функтор Нр переводит в сюръективные отображения не
все эпиморфизмы, а морфизмы выделенного класса ©.
! В частности, если (£ — класс допустимых эпиморфиз-

683
ПРОЕКТИВНЫЙ
684
мов бикатегории $= ($, (£, 9Л), то Ρ наз.
допустимым проективным объектом. Напр.,
в нек-рых многообразиях групп свободные группы этого
многообразия являются допустимыми П. о.
относительно класса всех сюръективных гомоморфизмов, но
не являются П. о., поскольку существуют несюръек-
тивные эпиморфизмы.
Дуальным к понятию П. о. является понятие и н ъ-
ективного объекта. Фундаментальная роль
проективных и инъективных объектов была выявлена
при построении гомология, алгебры. В категориях
модулей всякий модуль представим в виде фактор-
модуля проективного модуля. Это свойство позволяет
строить т. н. -проективные резольвенты и исследовать
различные типы гомология, размерности.
Лит.: [1] К ар тан Α., Э й л е н б е ρ г С,
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2J Маклейн С,
Гомология, пер. с англ., М., 1966. М. Ш. Цаленко.
ПРОЕКТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ, обратный
предел,— конструкция, возникшая первоначально в
теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое
применение во многих разделах математики. Наиболее
часто используется П. п. семейства однотипных мате-
матич. структур, индексированных элементами нек-рого
предупорядоченного множества. Пусть / — множество,
снабженное отношением предпорядка <, и каждому
элементу ίζΐ сопоставлено множество X,·, а каждой
паре (£, /'), ί, /ζ/, в к-рой ί</, сопоставлено
отображение ψί/Χί -> X/, причем фг/-, ι ζ/,—тождественные
отображения и Ф/уФул—Φ/fe ПРИ ^/Х^· Множество X
йаз. проективным пределом
семейства множеств Χι и отображений φ,-y, если выполнены
следующие условия: а) существует такое семейство
отображений πμ X ->- X,·, что Я£ф,-у=яу для любой
пары £</; б) для любого семейства отображений а,-: У-*
->· Хг·, ιζ.1, произвольного множества У, для к-рого
выполнены равенства a^;y=ay при ί</, существует
такое однозначно определенное отображение а: У -ν X,
что αι—απζ для всех ίζ/. Конструктивно П. п. можно
описать следующим образом: рассматривается прямое
произведение ТТ. X ,· и в нем выделяется подмножество
всех функций /: /-> UieiX/, для к-рых выполняются
равенства <ргу (/(0)—/(/) ПРИ К/· Это подмножество
является П. п. семейства X;. Если все X; снабжены
дополнительной однотипной структурой, к-рая
переносится на ТТ. X,·, то эта же структура индуцируется
и в П. п. Поэтому можно говорить о П. п. групп,
модулей, топологич. пространств и т. д.
Естественчым обобщением понятия П. п. является
понятие П. п. функтора. Пусть F : 3) -> Я —
одноместный ковариантный функтор из малой категории 2) в
произвольную категорию U. Объект Χ ζ Ob fl\ вместе
с морфизмами nD: X -> F (/)), D ζ Ob 2), наз.
проективным пределом (обратным
пределом, или просто пределом) функтора
F, если выполнены следующие условия: а) udF (ф)=
^ПО' для любого морфизма φ: D -> Ώ'\ б) для всякого
семейства морфизмов а/) :У —>- F (D), для к-рого
(*dF (ф)=<ЗД' при φ : D -> D', существует такой
единственный морфизм a : У-> X, что ао=апо' для любого
D ζ Ob 2). Обозначение: lim F= (X, nD). Аналогично
определяется проективный предел контравариантного
функтора.
Примеры П. п. 1) Пусть / — дискретная
категория. Тогда для произвольного функтора F: I -> Я
проективный предел функтора F совпадает с прямым
произведением семейства объектов F (i)y ίζΐ.
2) Пусть 2) — категория с двумя объектами А, В
и двумя неединичными морфизмами α, β: А -> В. Тогда
предел любого функтора F : © -> Я является ядром
пары морфизмов F (a), F ($).
Если в категории Я существуют произведения
любых семейств объектов и ядра пар морфизмов, то в Я
существует предел любого функтора F : 2) ->· Я из
произвольной малой категории 2). м. ш. Цаленко.
ПРОЕКТИВНЫЙ СПЕКТР кольца— схема Х =
= Proj(i?), сопоставляемая градуированному кольцу
i?=2 _nRn- Как множество точек X представляет
собою множество однородных простых идеалов pdR,
таких, что ρ-jh V Rn. Топология на X определяется
следующим базисом открытых множеств: Χ/—{ρΙ/ίρ}
для f£Rn, n>0. Структурный пучок Qx локально
окольцованного пространства X задается на базисных
открытых множествах так. Г(Ху, Qx)—[R(f)\o-> т. е.
подкольцо элементов степени 0 кольца частных R(^
по мультипликативной системе {/"}п^о*
Наиболее важным примером П. с. является Рп=
= Proj Z[T0, Tlt . . ., Тп]. Множество его /с-значных
точек Р\ для любого поля к находится в естественном
соответствии с множеством точек проективного л-мер-
ного пространства над полем к.
Если все кольца Rm как Я0-модули натянуты на
R\® - · .®#1>то на Proj (R) определена еще дополни-
m
тельная структура. А именно, покрытие {Ху | /ζ#ι} и
единицы fig определяют 1-коцикл Чеха на Proj(i?),
к-рому отвечает обратимый пучок, обозначаемый через
(3(1). Через Q (п) принято обозначать п-ю тензорную
степень 6(1у®п пучка 6(1). Существует канонич.
гомоморфизм Rn—^Г(Х, 6 (и)), указывающий гео-
метрич. смысл градуировки кольца R (см. [1]). Если,
напр., R = klT0, . . ., Тп], то (3(1) соответствует пучку
гиперплоских сечений в Р\.
Лит.: [1] Мамфорд Д., Лекции о кривых на
алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [2] G г о t h e п-
d i е с k A., Elements de geometrie algebrigue, t. 1—4, P., 1960—
1967 (Publ. IHES). В. В. Шокуров.
ПРОЕКТОР, проекционный оператор,—
линейный оператор Ρ в векторном пространстве X
такой, ЧТО Р2=Р. М. И. Войцеховский.
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ — методы отыскания
приближенного решения операторного уравнения в
заданном подпространстве, основанные на
проектировании уравнения на нек-рое (вообще говоря, другое)
подпространство. П. м. являются основой построения
различных вычислительных схем решения краевых
задач, в том числе метода конечных элементов и
метода коллокации.
Пусть L — оператор, область определения D (L)
к-рого лежит в банаховом пространстве X, а область
значений R (L) — в банаховом пространстве Υ. Для
решения уравнения
Lx = y (1)
проекционным методом выбирают две
последовательности подпространств {Хп} и {Yn},
XnczD(L)c:X, У„сУ, n = l, 2, ...,
а также проекторы Рп, проектирующие У на Yn.
Уравнение (1) заменяется приближенным-
PnLxn=Pny, хп£Хп. (2)
В случае X = Y, Х„=У„, я=1; 2, ... П. м. (2)
принято называть методом Галеркина (иногда
последний метод трактуется более широко, см.
Галеркина метод).
Имеет место теорема сходимостиП.м. для
линейных уравнений (для случая конечномерных
подпространств Хп и Υη). Пусть L линеен и переводит

685 ПРОЕКЦИОН
D (L) на R (L) взаимно однозначно, причем D (L) и
R (L) плотны в X и У соответственно; подпространства
Хп и Υη конечномерны, dimX„=dim Yn, n=\, 2, . . .,
а проекторы Рп ограничены равномерно по тг, то есть
\\РпII<с= const, п—\,' 2, . . . Тогда следующее
условие а) равносильно набору условий б) и в):
а) начиная с нек-рого п=п0 существует единственное
решение хп уравнения (2) и \\Lxn—y\\ -*- 0 при любом
б) последовательность подпространств LXn
предельно плотна в У, т. е. расстояние d(yi LXn)-*-Q при
η -> оо для Vy£F;
в) τ=ΗπιτΛ>0, где τ„= inf \\РпУп\\>
п-+«> Vn£LXnt\\yn\\ = l
Быстрота сходимости при соблюдении условий б)
и в) характеризуется неравенством
d(y, LXn)^\\Lxn~y\\< (i+c/Tn)d(y,LXn). (3)
В случае, когда пространства X и У гильбертовы,
а Рп и Qn — ортопроекторы, проектирующие У
соответственно на Yn и LXn, условие в) равносильно
условию
в') в = Нтвй<1, где θ„= \\Pn—Qn\\ ~ раствор под-
П->00
пространств Υη и LXn; вместо (3) получается оценка
\\v-QnV\\<\\I*n-y\\<-7rL=\\y-Qtfl
l/i-ej
В случае Yn=LXn (метод наименьших квадратов)
θ„—0, п=1, 2, . . ., и критерием сходимости является
условие б).
Теорема дает условие сходимости невязки \\Lxn—у\\.
Если L-1 ограничен и у ζ R (L), то из сходимости
невязки следует сходимость самих приближений хп к
решению x=L~1y уравнения (1). Из теоремы можно
извлечь удобный критерий сходимости метода Галер-
кина; для метода Галеркина — Петрова следует
дополнительно наложить условие типа в').
Пусть I — линейная ограниченная форма, а а —
билинейная ограниченная форма на действительном
гильбертовом пространстве Я (или иолуторалинейная в
случае комплексного И). Допускается, что а представима
в виде а=а-\-Ъ, так что
а(и, u)^y\\uf Уи£Н, 7 = const>0,
а билинейная форма Ь вполне непрерывна, т. е. слабые
сходимости ип -> w, vn -> ν в Я влекут за собой
сходимость b (ип1 vn) -> Ь (и, ν) (симметричность форм а,
а, Ь не обязательна). Пусть поставлена задача: найти
и ζ Я такое, что
а (и, ν) = 1 {ν) γνζΗ. (4)
Метод Галеркина решения задачи (4) заключается в
следующем. Выбирают какие-нибудь (замкнутые)
подпространства НпаН, л=1, 2, . . ., и находят ип£Нп
такое, что
* (и». vn) = l(vn) V»n€Hn· (5)
Имеет место следующая теорема: пусть {#„}
предельно плотна в Я, выполнены наложенные выше на а
условия, и задача (4) имеет единственное решение
и£Н (равносильное условие: однородная задача
отыскания и из условия а (и, v) = Q 4v£H имеет лишь
тривиальное решение гг=0); тогда задача (5) при всех
достаточно больших η имеет единственное решение
ип£Нп и \\ип—и\\ -+■ 0 с оценкой
|| и — Опи || < || ип— и || < с || и — Опи ||,
где Оп — ортопроектор, проектирующий Я на Я„,
с= const.
ЫЙ СПЕКТР 686
В применении к краевым задачам для уравнений эл-
липтич. типа в качестве Я, как правило, выбирается
энергетич. пространство главной части
соответствующего дифференциального оператора.
Лит.: [1] Красносельский М. А. [ид р.],
Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969.
Г. М. Вайникко.
ПРОЕКЦИОННЫЙ СПЕКТР — индексированное
направленным множеством (Л, >) семейство симплици-
альных комплексов {Να : αζΑ } такое, что для каждой
пары индексов α, α'ζ Л, для к-рых а'>а, определено
симплициальное отображение (проекция) π«'
комплексов Να' Η» комплекс Να- При этом требуется,
чтобы π2"=π5'π2", когда α">α'>α (условие
транзитивности). Тогда и говорят, что задан
проекционный спектр S= {Να, π«', Α }, или просто S= {Να,
πα'}· Это понятие принадлежит П. С. Александрову
(см. [2]); оно, по сути, эквивалентно общему понятию
обратной системы, или обратного
спектра (см. Спектр в категории).
Действительно, каждый комплекс Να естественным образом
превращается в частично упорядоченное множество
симплексов этого комплекса, а следовательно в
топологическое 7\)-пространство Να- При этом проекции π«'
становятся непрерывными отображениями. Обратно,
если {Na, JtS'} — обратная система из топологических
7\)-пространств и непрерывных проекций π5', то
каждое Г0-пространство Na естественно превращается в
частично упорядоченное мнвжество, а это частично
упорядоченное множество реализуется в виде симпли-
циального комплекса Να· При этом непрерывные
проекции π£' становятся симплициальными
отображениями. Таким образом, П. с— это в точности обратная
система из топологических Г0-пространств (см. [3]).
Понятия «П. с.» (а следовательно, и обратной
системы пространств) и нерва системы множеств (см.
ниже) оказали огромное влияние не только на
развитие топологии, но и на развитие всей
теоретико-множественной математики. После этого стало возможным
говорить о теории аппроксимации сложных
топологических и алгебро-топологич. объектов более простыми.
Если для каждого а£Л комплекс Να конечен, то
спектр S= {Na, ^а } наз. конечным
проекционным спектром. С каждым П. с. S= {Na,
πα'} связываются следующие понятия. Всякий набор
симплексов ξ= {ta ' α ζ Α } по одному из каждого
комплекса Να спектра S наз. нитью этого спектра, если
при α'>α всегда π£'*α' = *α» где ta, *α'ζξ· Множество
S всех нитей с топологией, базу к-рой образуют
множества ви№ Otao={l'ζ S :4о<*а0}, гдеа0£Л, *α0€Λ'α0
произвольны, a tao<tao означает, что симплекс t'ao
нити ξ' в комплексе Να0 является гранью симплекса
ta0, наз. полным пределом спектра S.
Та же топология получается, если индуцировать на S
топологию тихоновского произведения Π {J^a : α ζ Л },
где cJ\fa — соответствующее комплексу Να
топологическое Го-пространство. Нить ξ'={*α} объемлет нить
ξ— {*α}, если для каждого α ζ А выполнено ta^ta·
Нить ξ наз. максимальной (соответственно м и-
нимальной), если не существует никакой
отличной от нее нити, для к-рой она была бы объемлемой
(соответственно объемлющей)._ Подпространство полного
предельного пространства S спектра S, состоящее из
всех максимальных (соответственно из всех
минимальных) нитей, наз. верхним (соответственно н и
ткни м) пределом спектра S. Полный предел
S является полурегулярным (в другой терминологии —

687
ПРОЕКЦИЯ
688
семирегулярным) ^-пространством, а верхний S
и нижний S пределы суть ^-пространства. Если S —
конечный П. с, то S, S и S — бикомпактные
пространства.
В основе всей теории аппроксимации топологич.
пространств полиэдрами, вернее симплициальными
комплексами, лежит введенное П. С. Александровым
(см. [1]) понятие нерва системы множеств. Нервом
данной системы а множеств наз. симплициальный
комплекс Na, вершины к-рого взаимно однозначно
соответствуют элементам системы α таким образом, что
каждое множество вершин определяет симплекс
комплекса Να тогда и только тогда, когда соответствующие
этим вершинам множества системы α имеют непустое
пересечение.
Удобнее рассматривать т. н. канонич. покрытия
пространства X. Локально конечное (конечное)
покрытие α пространства X наз. каноническим,
если его элементы — канонические множества
(замкнутые) (в другой терминологии — регулярные
замкнутые) с дизъюнктными открытыми ядрами. Если из
двух канонич. покрытий пространства X покрытие а'
следует за покрытием а, т. е. а' вписано в α (в этом
случае α'>α), то определено естественное симплициаль-
ное отображение π2' (проекция) нерва Να* на нерв Ναι
к-рое возникает, если каждому элементу Аа'£а'
покрытия а' поставить в соответствие тот единственный
элемент Аа покрытия а, для к-рого Аа1ЭАа'. Пусть
51 (X) (соответственно 9ϊ0(Χ)) обозначает совокупность
всех локально конечных (конечных) канонич. покрытий
пространства X. Для каждого αζ$(Χ) (соответственно
α ζ 510 (X)) обозначена вся совокупность всех локально
конечных (конечных) канонич. покрытий пространства
X. Для каждого αζ51(Χ) (соответственно αζ2ϊ0(Χ))
рассматривается комплекс Να, являющийся нервом
покрытия а. Если а' >а, то определено симплициальное
отображение л« : Να* —► Να- Полученный таким
образом П. с. £= {Να-, я£'} наз. полным
(соответственно конечным) П. с. топологич.
пространства X. П. С. Александров [2] еще в 1928 доказал, что
каждый метрический (тг-мерный) компакт является
верхним пределом (тг-мерного) конечного П. с. над
счетным множеством индексов. А. Г. Курош в 1934
доказал, что каждый бикомпакт есть верхний предел
своего конечного П. с. В 1961 В. И. Пономарев доказал,
что каждый паракомпакт есть верхний предел своего
полного П. с, то есть спектра, построенного над
множеством 31 (X) всех локально конечных канонич.
покрытий пространства X. В. И. Пономарев ввел
понятие расслабления симплициального
комплекса К, понимая под этим всякий замкнутый
подкомплекс К'аК, содержащий все вершины кохмплекса
К. Нульмерный комплекс, состоящий из всех вершин
комплекса К, наз. его полным
расслаблением (или остовом). Заменяя все комплексы
данного П. с. их (полным) расслаблением и сохраняя
при этом проекции, получают (полное) расслабление
спектра. Исследование неприводимых совершенных
отображений паракомпактов сводится к исследованию
расслаблений их полных П. с. При этом предел
полного расслабления полного П. с. паракомпакта X
есть т. н. абсолют X паракомпакта X, а предел
полного расслабления конечного П. с. любого
регулярного пространства — бикомпактное расширение
Стоуна — Чеха βΧ абсолюта X этого регулярного
пространства. Всякий конечный абстрактный П. с.
эквивалентен спектру над нек-рым направленным
измельчающимся множеством конечных канонических
покрытий нек-рого полурегулярного бикомпактного
Г0-пространства, т. е. получается из этого спектра
посредством конечного числа следующих операции:
1) замена спектра изоморфным ему спектром, 2) замена
спектра его конфинальной частью, 3) замена спектра
спектром, содержащим данный в качестве
конфинальной части (теорема Зайцева).
Понятия нерва и П. с. доставили средства для
редукции свойств общих пространств, и прежде всего
паракомпактов, бикомпактов и метрич. компактов, к
свойствам комплексов и их симплициальных
отображений. Это позволило определить и изучать
гомологические и когомологические инварианты общих
пространств, а не только полиэдров (см. Александрова —
Чеха гомологии и когомологии, Спектральные гомологии).
Все это привело к синтезу геометрических и теоретико-
множественных идей в топологии.
Лит.: [1] А л е к с а н д ρ о в П. С, «С.г. Acad, sci.», 1927,
t. 184, p. 317—20; [2] его же, «Ann. Math.», 1929, v. 30, p.
101—87; [3] e г о же, «Успехи матем. наук», 1947, т. 2, в. 1,
с. 5—57; [4] его же, Введение в теорию множеств и общую
топологию, Μ., 1977; [5] Александров П. С,
Пономарёв В. И., в кн.: General topology and its relations to
modern analysis and algebra, v. 2, Prague, 1967, p. 25—30; [6J
Александров П. С, Федорчук В. В., «Успехи
матем. наук», 1978, т. 33, в. 3, с. 3—48; [7] Пономарев В. И.,
«Матем. сборник», 1963, т. 60, № 1, с. 89—119; [8] Зайцев
В. И., «Труды Моск. матем. об-ва», 1972, т. 27, с. 129—93.
В. И. Пономарев.
ПРОЕКЦИЯ — термин, связанный с операцией
проектирования (проецирования), к-рую
можно определить следующим образом (см. рис.):
выбирают
произвольную точку S
пространства в качестве
центра
проектирования и
плоскость ΙΓ, не
проходящую через точку S,
в качестве
плоскости проекций.
Чтобы
спроектировать точку А (прообраз) пространства на
плоскость П' через центр проекций S, проводят прямую
SA до ее пересечения в точке А' с плоскостью ΙΓ.
Точку А' (образ) наз. проекцией точки А;
проекцией фигуры F наз. совокупность П. всех ее
точек. Описанная П. наз. центральной (или
конической). П. с бесконечно удаленным
центром проектирования наз. параллельной (или
цилиндрической). Если плоскость П.
расположена перпендикулярно к направлению
проектирования, то П. наз. ортогональной (или
прямоугольной).
Параллельные П. широко используются в
начертательной геометрии для получения различных видов
изображений (см., напр., Аксонометрия, Перспектива).
Имеются специальные виды П. на плоскость, сферу и
др. поверхности (см., напр., Картографическая
проекция, Стереографическая проекция). А. Б. Иванов.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ семейства объектов
категории — понятие, описывающее на языке
морфизмов конструкцию декартова произведения. Пусть
Ah iζ/,— индексированное семейство объектов
категории Я. Объект PgObtf (вместе с морфизмами
π,-: Ρ ->- А{, i£I) наз. произведением семейства
объектов Ah i£/, если для всякого семейства морфизмов
а/: X-+Ah ίζί, существует такой единственный мор-
физм α : X -> Ρ, что ant=ah ίζ/. Морфизмы щ наз.
проекциями произведения; П.
обозначается JJ. Ai(ni), или JJ. Л/, или АгХ. . .ХАп
в случае /= {1,
п}. Морфизм а, входящий в
определение П., иногда обозначается lli6/a
(Х)|6/а;.П. семейства А^ ίζ/, определено однозначно
с точностью до изоморфизма; оно ассоциативно и ком-

689 ПРОИЗВОДНЫЙ АВТОМОРФИЗМ
мутативно. Понятие П. семейства объектов двойствен
690
но понятию копроизведения семейства объектов.
Произведением пустого семейства объектов является
правый нуль (терминальный объект)
категории. В большинстве категорий структуризованных
множеств (категории множеств, групп, топология,
пространств и т. д.) понятие П. семейства объектов
совпадает с понятием декартова (прямого) П. этих
объектов. Тем не менее такое совпадение не является
обязательным: в категории периодических абелевых
групп П. семейства групп Gt·, ίζ/, есть периодич.
часть декартова П. этих групп, к-рая в общем случае
отличается от самого декартова П.
В категориях с нулевыми морфизмами для любого
произведения ^=JJ. Aifai) существуют такие
однозначно определенные морфизмы σ,·:-4£·->·Ρ, ίζΐ,
что о№1=1 ар а/Яу=0 при ίφ). Если / конечно, то в
абелевой категории π1σ1+. . .+π„σΛ=1 и П. семейства
объектов Аг, . . ., А п совпадает с их копроизведением.
Лит.: [1] Ц а л е н к о М. Ш., Шульгейфер Е. Г.,
Основы теории категорий, М., 1974. М. Ш. Цаленко.
ПРОИЗВОДНАЯ — одно из основных понятий ма-
тематич. анализа. Пусть действительная функция
/ (х) действительного переменного χ определена в
нек-рой окрестности точки х0 и существует конечный
илл бесконечный предел
Нт '<*>-'<*«>. (*)
Этот предел и наз. производной от
функции }(х) в точке х0- Если положить y=f(x),
х—х0 = Ах, f (x) — f (ж0)=/ (x0 + Ax)—f (x0)=Ay,
то предел (*) запишется так:
Λ1ΐΠ1η"^·
Αχ -+■ О
Используют также обозначения /' (х0), (Жо) , у',
"57' Ίχ~^Χο) и нек-Рые ДРУгие·
Операцию вычисления П. наз.
дифференцированием. Если производная /' (х0) конечна, то
функцию /(х) наз. дифференцируемой в
точке х0. Функцию, дифференцируемую в каждой
точке нек-рого множества, наз. дифференцируемой на
этом множестве. Дифференцируемая функция всегда
непрерывна. Однако существуют непрерывные
функции, не имеющие П. во всех точках заданного
промежутка (см. Недифференцируемая функция).
Пусть функция дифференцируема в нек-ром
промежутке. Ее производная /' (х) может оказаться при этом
разрывной функцией. Однако по классификации Бэра
(см. Бэра классы) она всегда является функцией 1-го
класса и обладает свойством Дарбу: приняв два
значения, принимает и все промежуточные.
Обобщением понятия П. является понятие П. по
множеству. Пусть действительная функция f(x)
определена на нек-ром множестве Ε действительных
чисел, х0 — предельная точка этого множества, х0£Е,
и существует конечный или бесконечный предел
/(х)-/(де0)
х-х0 »
lim
■ х0, хеЕ
к-рый и наз. производной от функции
f(x) по множеству ί в точке х0 и обозначают
символом fcixo). П. функции по множеству есть
обобщение понятия П. Разновидностями этого обобщения
являются понятия односторонней производной,
производного числа, аппроксимативной производной.
Данное определение П. (и его обобщение), а также
простейшие ее свойства почти без изменений
распространяются на комплексные функции и вектор-функции
действительного или комплексного переменного. Кроме
того, существуют понятия П. скалярной функции
точки евклидова пространства Rn (см. Градиент),
П. функции множества по мере (в частности, по
площади, по объему и т. п.), понятие П. распространяют
на вектор-функции точки абстрактного пространства
(см. Дифференцирование отображения).
О геометрич. и механич. истолковании П., о
простейших правилах дифференцирования, о П. высших
порядков, о частных П., а также лит. см. в ст.
Дифференциальное исчисление. г. П. Толстое.
ПРОИЗВОДНОЕ МНОЖЕСТВО — совокупность
М' всех предельных точек множества Μ в топологич.
пространстве. Множество М, совпадающее со своим
П. М., наз. СОВе Ρ Ш θ Η Η Ы Μ. М. И. Войцеховский.
ПРОИЗВОДНОЕ ПРАВИЛО вывода для
данного исчисления — вывода правило,
заключение к-рого выводимо из его посылок в рассматриваемом
исчислении. Напр., в высказываний исчислении правило
вывода
ар в, вэ С
A3 С
является П. п., поскольку в этом исчислении имеет
место выводимость из посылок:
4D5, В=)С \- А^С.
Всякое П. п. является допустимым правилом, но не
всякое допустимое правило является П. п. Напр.,
подстановки правило в исчислении высказываний
является допустимым правилом, но не производным.
Лит.: [1] К л и н и С К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957. С. Н. Артемов.
ПРОИЗВОДНОЕ ЧИСЛО, производное
число Д и н и,— понятие теории функций
действительного переменного. Верхним правым П. ч.
Λα наз. верхний предел отношения _ при
х1-^ х, где хх>х. Аналогично определяют
нижнее правое λα, верхнее А^ и нижнее
λ^ л е в ы е П. ч. Если Λα=λα (Λ^=λ^), то f(x) имеет
в точке χ одностороннюю правую (левую) производную.
Обыкновенная производная существует, если все
четыре П. ч. конечны и совпадают. П. ч. были введены
У. Дини [1]. Как показал Η. Η. Лузин, если все
четыре П. ч. конечны на нек-ром множестве, то функция
имеет обычную производную всюду на этом
множестве, кроме точек множества меры нуль.
Лит.: [1] D ini U., Fondaraenti per la teorica delle funzio-
ni di variabili reali, Pisa, 1878, [2] Сакс С, Теория интеграла,
пер. с англ., М., 1949. Т. П. Лукашенко.
ПРОИЗВОДНЫЙ АВТОМОРФИЗМ в эргодиче-
ской теории — преобразование Τ χ,
определяющееся по автоморфизму Τ пространства с мерой
(Μ, μ) и измеримому подмножеству положительной
меры ХсМ, почти все точки к-рого под действием
итераций Τ снова попадают в X. Для каждой такой
точки χ определяют Τχ(χ) как ту точку траектории
Тпх, в к-рой эта траектория впервые после χ
возвращается в X (согласно Пуанкаре теореме о возвращении,
условие, чтобы почти все точки из X со временем
снова возвращались в X, автоматически выполняется,
если μ(Λί)<οο). Преобразование Τ χ оказывается
автоморфизмом (точнее, автоморфизмом по mod 0)
пространства X с индуцированной на нем мерой
(последняя есть мера μ, рассматриваемая только на
подмножествах X; если μ(Χ)<οο, то обыкновенно эту
меру еще нормируют).
Обратно, если U п>0ТпХ=М (это условие
автоматически выполняется, если автоморфизм Τ эргодичен),

691
то исходный автоморфизм Τ восстанавливается (с
точностью до сопряжения посредством нек-рого
изоморфизма пространств с мерой) по Τ χ и времени
возвращения
пх(х)=тт{п > 0:Тпх £ X}.
А именно, Τ есть специальный автоморфизм,
построенный ПО Τχ И ηχ. Д. В. Аносов.
ПРОИЗВОДНЫЙ ФУНКТОР — функтор,
«измеряющий» отклонение основного функтора от точного.
Пусть Τ (А, С) — аддитивный функтор из категории
^-модулей и Я2-модулей в категорию R-модулей,
ковариантный по первому аргументу и контравариант-
ный по второму. Для инъективной резольвенты X
модуля А и проективной резольвенты Υ модуля С
получают дважды градуированный комплекс Т(Х, Υ).
Группы гомологии ассоциированного одинарного
комплекса Τ (А, С) не зависят от выбора резольвент,
обладают функторными свойствами и наз. правыми
производными функторами RnT(А, С) функтора Τ (Α, С).
Основное свойство П. ф.— существование
бесконечных точных последовательностей
—► RnT (А', С) —► RnT (A, £)—► R
-^Rn + if (Л',С)—► ...
—► RnT (Л, С")—► RnT (Л, С) —► Rn
индуцированных короткими точными
ностями
0 —> А' —► А —► А" —► 0
0 —-* С —■* С —► С" —► 0
*Г (А*С)—■>
Г (Л, Г) —
последователь-
Левые П. ф. определяются двойственным
П. ф. функтора Нош обозначаются Ext^.
образом.
Функтор
Ext/?(Л, С) классифицирует все расширения модуля
А с ядром С с точностью до эквивалентности (см.
Бэра умножение, Когомологии алгебр).
Лит.: [1]КартанА.,ЭйленбергС, Гомологическая
алгебра, пер. с англ., М., 1960, [2] Μ а к л е й н С, Гомология,
пер. с англ., М., 1966. В. Е. Говоров.
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ, генератриса,
числовой или функциональной последовательности
{ап (х)} — сумма степенного ряда
производный функтор 692
ностей случайной величины ξ, ее математич. ожидание
и дисперсия:
Pt(n) = ^F$>(l,Q),Et = F'z(l, 1),
01 = Fh (ξ, 1) + ^ί(ξ, 1)-1>ί(ξ, Ι)?·
Π. φ. случайной величины ξ можно определить как
математич. ожидание случайной величины zl, то есть
Лит.: [1] С е г е Г., Ортогональные многочлены, пер. с
англ., М., 1962; [2] С у е τ и н П. К., Классические ортогональные
многочлены, 2 изд., Μ , 1979; [3] Φ е л л е ρ В., Введение в
теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2,
М., 1967. П. К. Суетин.
ПРОИЗВОДЯЩИЙ ОПЕРАТОР полугруппы—
производная в нуле от полугруппы линейных
ограниченных операторов T(t), 0<ί<οο, действующих в
комплексном банаховом пространстве X. Если Τ (t)
непрерывна по норме операторов, то она имеет вид T(t)=
= е*А°, где А0 — ограниченный оператор,
lim t-1^ (t)x— х] = А0х (1)
/-* о
при любом х£Х и А0 есть П. о. T(t). Обратно, если
предел слева существует при всех х£Х, то ТЦ)=е*А°.
Более сложная картина возникает, когда Τ (t) только
сильно непрерывная полугруппа. В этом случае предел
(1) существует не при всех х. Оператор Л0,
определенный на линейном множестве D (А0) всех тех х, для
к-рых предел существует, является линейным
неограниченным оператором и наз. инфинитезималь-
ным оператором. В частности, А0 определен
на всех элементах вида \ T(t)ydt, α, β>0, у ζ Χ.
Если обозначить через Х0 замыкание объединения
областей значений всех операторов Τ (t), £>0, то D (А0)
плотно в Х0 и, более того, (]nD(Ao) плотно в Х0.
Все значения оператора А0 также лежат в Х0. Если
оператор А0 неограничен, то D (А0) является
множеством первой категории в Х0.
Если в Х0 нет элементов х, на к-рых Γ(φ?=0, τό
оператор А0 допускает замыкание Л = Л0, к-рое и наз.
производящим оператором полугруппы
T(t). В этом случае при x£D (А)
F(x, "0 = ΣΓ= * *"(*)<**
с положительным радиусом сходимости. Если известна
П. ф., то для изучения последовательности {ап(х)}
используются свойства коэффициентов Тейлора ана-
литич. функций. Для многочленов {Рп(х)},
ортогональных на интервале (а, Ь) с весовой функцией h(x),
при нек-рых общих условиях существует П. ф.
Р(*> ωϊ = Ση=οΡη(χ)"η>
χ ζ (а, Ъ).
Для классических ортогональных многочленов П. ф,
представляется в явном виде через весовую функцию
h (x) и используется для вычисления значений этих
многочленов в отдельных точках, а также для вывода
различных тождественных соотношений между этими
многочленами и их производными.
В теории вероятностей П. ф. случайной величины ξ,
принимающей целочисленные значения {п}™ с
вероятностями {Pi (/г)}, определяется формулой
Τ (t)x —
dT (t) x
dt
Τ (s)x= [τ (τ) Axdx,
= A0T(t)x = T (t) Ax.
(2)
Равенство (2) определяет замкнутый оператор Л,
к-рый, вообще говоря, шире, чем замыкание А0. Его
иногда наз. обобщенным производящим
оператором полугруппы Τ(t).
На множестве DR тех же х£Х, для к-рых сходится
несобственный интеграл
$:
Τ {s) x ds,
О)
определен
оператор
R (λ)* =
lim
t -► о
С" е-^Т (s)xds
T(t). Этот опе-
F(l, z) =
ίγ\ °°
^я=<> Ι
Ρ+(ή)ζη, | ζ 1^1.
С помощью П. ф. вычисляются распределения вероят-
при Re λ>ω, где ω — тип полугруппы
ратор обладает свойствами:
1) R(X)DRczDR;
2) R (λ) x — R (μ) χ = {μ — λ) R (λ) R (μ) χ;
3) R (λ) (λ/—Αο)χ = χ, χ £ D (Л0);
4) (XI — A) R (λ) χ = χ, χ ζ DR Π Χ0.
Если интеграл (З) абсолютно сходится при любом
х£Х, то U. о. А существует тогда и только тогда, когда
из T(t)x^Q, х£Х0, следует х=0; оператор R (λ) огра-

693
ПРОКОНЕЧНАЯ ГРУППА
ничен, и, если Х0—Х, он совпадает с резольвентой
оператора А; для того чтобы А0 был замкнутым (А = А0),
необходимо и достаточно, чтобы
1 rt
lim -г- \ Τ (s) x ds=x
*- 0 * Jo
при любом χζΧ0.
Основной задачей теории полугрупп операторов
является установление связи между свойствами
полугрупп и свойствами их П. о., причем последние обычно
формулируются в терминах операторов ΐ?(λ).
Лит.: [1] Хилле Э., Филлипс Р, Функциональный
анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962, [2] Забрей-
ко П. П., 3 а ф и е в с к и й А. В., «Докл. АН СССР», 1969,
т. 189, № 5, с. 934—37; [3] его ж е, там же, 1970, т. 195, № 1,
с. 24—27. С. Г. Крейн.
ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ВАРИАЦИЯ —
метод решения линейных неоднородных обыкновенных
дифференциальных систем (или уравнений). Этот метод
позволяет записать в замкнутой форме общее решение
неоднородной системы, если известно общее решение
соответствующей однородной системы. Идея метода
П. п. в. состоит в том, что произвольные постоянные,
входящие в общее решение однородной системы,
заменяются функциями независимой переменной, к-рые
подбираются так, чтобы удовлетворить неоднородной
системе. В конкретных задачах этот метод применялся
еще Л. Эйлером (L. Euler) и Д. Бернулли (D.
Bernoulli), но его полная разработка принадлежит Ж. Лаг-
ранжу [1].
Пусть рассматривается задача Коши для линейной
неоднородной системы
где
x = A(t)x + f(t), x(t0)=x0,
Л:(α, β)—►HomtIR", R»),
/:(α, β) — R»
(1)
— суммируемые на каждом конечном отрезке
отображения, t0£(a, β). Если Φ (t) — фундаментальная
матрица решений однородной системы
y = A(t)y, (2)
то у=Ф (t)c, eg Rw,—общее решение этой системы.
П. п. в. представляет собой замену переменных в
системе (1):
х = ф (t) и
и приводит кформуле Коши для решения
задачи (1):
х = ф (0 ф-1 (*в) х0 + ф (t) ^ ф-1 (τ) / (τ) άτ,
к-рую наз. иногда формулой вариации
(произвольных) постоянных (см, также
Линейное дифференциальное уравнение обыкновенное).
Идею П. п. в. иногда удается использовать в более
общей нелинейной ситуации для описания связи
решений возмущенной полной системы и решений
невозмущенной укороченной системы (см. [3], [4]). Напр.,
для решения x(t) задачи
x = A(t)x-\-f(t, χ), x(t0)=x0
(где А, / — непрерывные отображения и где
обеспечивается условие единственности решения) справедлива
формула П. п. в., являющаяся интегральным
уравнением:
х (t) =ф (t) Ф-1 (t0) х0 + ф (t) ^ Ф-1 (τ) / (τ, χ (τ)) άτ;
здесь Ф (t) — фундаментальная матрица решений
системы (2).
Лит.: [ilLagrangeJ., (Euvres, t. IV, P., 1869, p. 151 —
251; [2] Π ο η τ ρ я г и η Л. С, Обыкновенные
дифференциальные уравнения, 5 изд., М., 1983; [3] А л е к с е е в В. М., «Вестн.
Моск. ун-та», 1961, № 2, с. 28—36; [4] Ρ е й з и н ь Л. Э ,
Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений, Рига,
1971. Я. X. Розов.
ПРОКОНЕЧНАЯ ГРУППА — топологическая
группа, являющаяся проективным пределом системы
конечных групп Gy, ίζ/, снабженных дискретной
топологией (/ — предупорядоченное множество). П. г.
G обозначается lim G/. Как подпространство прямого
произведения ТТ. G/, снабженного компактной
топологией (базой окрестностей единицы является система
ядер проекций ТТ. Gi^G·), она замкнута и потому
компактна.
Примеры. 1) Пусть / — множество целых
чисел, больших нуля, с естественным отношением
порядка и 6rl-=z/pI*Z. Пусть т^1 : Gi + 1-+· G; —
естественный эпиморфизм и
τ^+1τ<ΐ*
Ί-ι
для любых i</. Тогда lim G[ — (аддитивная) группа
кольца %р целых р-адических чисел.
2) Всякая компактная аналитич. группа над полем
р-адических чисел (напр., SL„(Z^)) является (как
топологич. группа) П. г.
3) Пусть G — абстрактная группа и {Н(, ίζΐ} —
семейство всех ее нормальных делителей конечного
индекса. На / можно ввести отношение <, положив
i</, если #;=>#/. Это отношение превращает / в
предупорядоченное множество. Сопоставляя каждому
ΐζ/ группу GlHi и каждой паре i<.j из / — естественный
гомоморфизм τ\ \ GlHj ^>* GlHi, получают П. г. G=
= lim GlHi, наз· ассоциированной с G П. г.:
она является отделимым пополнением группы G
относительно топологии, определенной подгруппами
конечного индекса. Ядро естественного гомоморфизма
G -+ G является пересечением всех подгрупп
конечного индекса. В этой конструкции можно было бы
вместо семейства всех нормальных делителей конечного
индекса рассматривать лишь те, индекс к-рых есть
степень фиксированного простого числа р.
Соответствующая группа обозначается Gp и является про-р-
группой.
4) П. г. следующим образом естественно возникают
в теории Галуа (вообще говоря, бесконечных) алгеб-
раич. расширений полей. Пусть К Ik — Галуа
расширение и {Кilk, ίζΐ} — семейство всех конечных
расширений Галуа поля к, лежащих в К. Тогда К= (Ji€ i&i-
На / можно ввести отношение <£, положив &<:/, если
K(^Kj. Тогда / становится пред упорядоченным
множеством. Пусть GalKj/k — группа Галуа расширения
К ilk. Каждой паре ι</ из / сопоставляется
естественный гомоморфизм
xiiGalKj/k—+Ga\Kilk.
Тогда соответствующая П. г. lim Gal K-Jk (абстрактно)
изоморфна группе Gal Klk, что позволяет считать
Gal Klk П. г. Система подгрупп Gal KlKf образует в
Gal Klk систему окрестностей единицы (см. Галуа
топологическая группа). Эта конструкция получает
обобщение в алгебраич. геометрии при определении
фундаментальной группы схемы. П. г. могут быть
охарактеризованы как компактные вполне несвязные
группы (см. Компактная группа), а также как
компактные группы, у к-рых имеется множество открытых
нормальных делителей, образующее систему
окрестностей единицы. Теория когомологий П. г. (см. Кого-
мологии групп, Галуа когомологий) играет важную
роль в современной теории Галуа.

695
ПРОМЕЖУТОК
696
Лит.: [1] С е ρ ρ Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц.,
М., 1968; [2] К о χ X., Теория Галуа р-расширений, пер. с нем.,
М., 1973; [3] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М.,
1969. В. Л. Попов.
ПРОМЕЖУТОК, открытый промежуток,
интервал,— множество точек, заключенных
между двумя данными, т. е. удовлетворяющих условию
вида а<х<Ъ. П. не включает концов и обозначается
(а, Ь), в отличие от отрезка [а, Ъ] (замкнутого П.),
включающего концы, т. е. состоящего из точек а<ж<&.
БСЭ-З
ПРОМЕЖУТОЧНАЯ ЛОГИКА в ы с к а з ы в а-
н и й — произвольное непротиворечивое множество
пропозициональных формул, замкнутое относительно
правила вывода модус поненс и правила подстановки
и содержащее все аксиомы интуиционистского
исчисления высказываний I.
Наиболее естественным способом задания П. л.
являются промежуточные
пропозициональные исчисления. Каждое такое
исчисление задается указанием нек-рого числа классически
общезначимых пропозициональных формул,
добавляемых к аксиомам исчисления /.
Совокупность всех П. л. образует дистрибутивную
решетку относительно включения <=, причем конечно
аксиоматизируемые П. л. образуют в ней подрешетку,
в к-рую изоморфно вложима любая конечная
дистрибутивная решетка.
П. л. L наз. разрешимой, если существует
алгоритм, к-рый по каждой пропозициональной
формуле А распознает, принадлежит А П. л. L или нет.
Так, разрешимыми являются интуиционистская и
классическая П. л. Вообще, всякая финитно
аппроксимируемая (см. ниже) конечно аксиоматизируемая
П. л. разрешима. Построен пример конечно
аксиоматизируемой неразрешимой П. л. (см. [7]).
П. л. L наз. дизъюнктивной, если из (A \/B)£L
следует, что A £L или B£L. Этим свойством обладает,
напр., интуиционистская П. л., но не обладает
классическая П. л. Существует бесконечно много
дизъюнктивных П. л.
Интерполяционное свойство П. л.
(теорема Крейга) состоит в том, что если
формула A~Z)B принадлежит П. л. L, то существует
формула С, содержащая только общие для А и В
переменные и такая, что (A Z)C) ζ L и (Cz)#) ζ L; если А и В
не имеют общих переменных, то ή ,4 £L или B£L.
Показано, что интерполяционным свойством, кроме
интуиционистской и классической П. л., обладают еще
ровно пять П. л. (см. [6]).
Формула А наз. выразимой через формулы Вг,
В2, ... в П. л. L, если А можно получить из Вг,
Z?2, ... с помощью конечного числа замен на
эквивалентные (в L) формулы и конечного числа подстановок
ранее полученных формул вместо переменных. Список
формул Σ= {Вх, В2, ..·} функционально
полон в П. л. L, если всякая формула выразима в
L через Σ. Алгоритмическая проблема распознавания
функциональной полноты любого списка формул
разрешима для интуиционистской и нек-рых других
П. л. (см. [3]). Другая алгоритмич. проблема —
проблема распознавания выразимости А через Σ по
данным формуле А и списку Σ — положительно решена
лишь для нек-рых П. л.; она остается пока (1983)
открытой для интуиционистской П. л.
Другой способ задания П. л. дает т. н. семантич.
подход. Под семантикой здесь понимается нек-рое
множество S структур (моделей) ЭД], на к-рых
определено отношение истинности 5Ш(=еЛ данной
пропозициональной формулы А при данной оценке θ (оцен-
к а — отображение, сопоставляющее переменным
формулы А нек-рые значения в ЭД]). Формула А, истинная
в Ш при любой оценке, наз. общезначимой
на ЦП (обозначение Т\^А). Если S^S, то П. л. HSij
есть совокупность всех формул, общезначимых на
любой структуре ϋίΐζ^Ί. Для данной семантики S
естественно определяется отношение
семантического следования Г Ё s^» гДе г состоит из
формул; это отношение означает, что для любой
структуры *Ш££ из *Ш^В для всех /?£Г следует Щ)|= А.
Семантики 6Ί и S2 наз. эквивалентными,
если отношения ^s, и ^s2 совпадают. Основное
требование, предъявляемое к семантике,— это ее
корректность: из Г|—fA должно следовать
Г ^5^4· В°е упоминаемые ниже семантики корректны.
Другое важное свойство семантики — полнота. П. л.
L наз. полной относительно
семантики S, если A £L&L^SA.
Алгебраическая семантика S А
состоит из псевдобулевых алгебр, т. е.
алгебр вида
Щ| = (М, &, ν, Ξ5, П; 1, 0),
где ~| — унарная, а &, V, Ξ5 — бинарные операции
на М, соответствующие связкам ~|, &, ν, Ζ), причем
(Л/, &, ν) — дистрибутивная решетка, а 1 и 0 —
наибольший и наименьший элементы в М. Операции Ξ5
и ~| удовлетворяют свойствам: для любых а, Ь, с ζ Μ
а< (Ъ^с) €> (а&6)<с и Ϊα = (ο5θ).
Отношение *Ш ^ qA здесь означает, что А принимает
в *Ш значение 1 при данной оценке Θ.
Каждая П. л. полна относительно конечно
порожденных псевдобулевых алгебр. Если П. л. L полна
относительно множества конечных псевдобулевых
алгебр (одной конечной псевдобулевой алгебры), то она
наз. фивитно аппроксимируемой
(соответственно табличной). Простейшей табличной
П. л. является классическая П. л. Дизъюнктивные
П. л., в частности интуиционистская, табличными не
являются. Имеется пример не финитно
аппроксимируемой конечно аксиоматизируемой П. л. (см. [3]).
Семантика К ρ и π к е ^ состоит из Крипке
моделей, имеющих в данном случае вид (90Г|, Θ), где
*Ш= (М, О — частично упорядоченное множество,
наз. также остовом, или ш к а л о й, а значениями
оценки θ являются подмножества М, причем для
любых α, β ζ Μ из а£ θ (ρ,·) и α<β следует βζθ(ρ,).
Между семантиками SA и S% имеется тесная связь
(см. [5]), однако они не эквивалентны; в частности,
существуют П. л., не полные относительно S%
(см. [3]).
Конструктивные семантики — это
семантика реализуемости Sr (см. [1]) и семантика
финитных задач SF. Эти семантики не полны даже для
интуиционистской П. л., более того, существуют
формулы, общезначимые в SR и не общезначимые в SF,
и наоборот.
Предикатные П. л. определяются по
аналогии с П. л. высказываний, т. е. это — расширения
интуиционистской логики предикатов L/,
содержащиеся в классич. логике предикатов. В отличие от
пропозициональных П. л. все предикатные П. л.
неразрешимы. Семантика предикатных П. л. аналогична
соответствующей семантике П. л. высказываний (см. [2]).
Лит.: [1] Новиков П. С, Конструктивная
математическая логика с точки зрения классической, М., 1977, [2] Д ρ а-
галин А. Г., Математический интуиционизм. Введение в
теорию доказательств, М., 1979; [3] Кузнецов А. В., в кн.:
Логический вывод, Μ , 1979, с. 5—33; [4] е г о ж е,
«Математические исследования», 1975, т. 10, в. 2, с. 150—58; [5] Э сак и а
Л Л , в кн.: Логический вывод, М., 1979, с. 147—72; [6] Μ а
κοκ мо в а Л. Л., «Алгебра и логика», 1977, т. 16, с. 643—81;
[7] Шехтман В. В., «Докл. АН СССР», 1978, τ 240, № 3,

697
с. 549—52; [8] Η о s о i Т., О η ο Η., «J.
1973, v. 5, p. 67—82.
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ЯКОБИАН
Tsuda College»,
С. К. Соболев.
набор
комплексных торов, определяемых нечетномерными когомоло-
гиями комплексного кэлерова многообразия,
геометрия к-рых тесно связана с геометрией самого
многообразия.
Пусть Нп(Х, R) (соответственно Нп(Х, %)) —
пространство я-мерных когомологий с действительными
(соответственно с целыми) коэффициентами комплексно-
аналитич. кэлерова многообразия X. На веществ, торе
Г» (X) =#»(*, R)/#»(X, Ъ)
при нечетном η можно двумя различными способами
ввести комплексную структуру, используя
представление и-мерных когомологий с комплексными
коэффициентами в виде прямой суммы Нп(Х, С) —
= ®P + q=rflp g пространств Нр*q гармонич. форм
типа (р, q). Пусть Pptq : Я"(Х, С) -> Нр% q
ция, а
р-д
CW = 2ip + q = n
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ
[1] Ш е м е τ к о в Л. А.
проек-
*Р-Я1
Ρ* Я
и Сгт= Zj
\p-q\
P<U
— операторы, переводящие когомологий с
действительными коэффициентами в себя. Полагая
(a-\-ib) ω = αω-|-&CV (<ω) и (α4- ib) ш = аш + 6С0 (ω),
для любого ω из Нп(Х, R), a, 6£R, получают
комплексные структуры на Тп(Х), первая из к-рых Τψ (Χ)
наз. промежуточным якобианом Вей-
л я, а вторая Т% (X) — промежуточным
тором Гриффитса. Если X — многообразие
Ходжа, то ходжева метрика на X канонически определяет
на П. я. Τ ψ (Χ) структуру поляризованного абелева
многообразия, что не всегда имеет место для Т*о(Х).
С другой стороны, при голоморфной вариации
многообразия X промежуточные торы Т^ (X) варьируются
голоморфно [2], а П. я. Вейля этим свойством могут
не обладать. Gup-произведение, задающее спаривание
пространств Нп(Х, R) и Hd~n(X, R), где d=dimRX,
определяет комплексное спаривание торов Т% (X) и
То~п(Х) и двойственность между абелевыми
многообразиями Τψ(Χ) и Τψη(Χ). В случае, когда dim^x^
= 2к-\-1, П. я. Т\р+Х (X) является самодвойственным
абелевым многообразием с главной поляризацией, а
Tq+1(X) — главным тором.
П. я. служит важным инвариантом кэлеровых
многообразий. Если для двух многообразий X и Υ из
совпадения Τψ(Χ)= Τ ψ (Υ) (соответственно TnG (X)=
= Tuq (Y)) следует, что X^Y, то говорят, что для X
выполнена теорема Торелли. Теорема То-
релли выполняется, напр., для алгебраич. кривых.
С помощью П. я. была доказана нерациональность
общей кубики в проективном пространстве Р4 (см.
[1]) и нек-рых других многообразий Фано.
Лит.: [1] Clemens С, Griffiths Ph., «Ann. Math.»,
1972, v. 95, № 2, p. 281—356; [2] С г i f f i t h s Ph., «Amer. J.
math.», 1968, v. 90, p. 568—626, 805—65; [3] W e i 1 Α., «Amer. J.
math.», 1952, v. 74, p. 865—94. Bun. С. Куликов.
ПРОНОРМАЛЬНАЯ ПОДГРУППА — подгруппа Н
группы G, удовлетворяющая следующему условию:
если К — подгруппа из G, сопряженная с Н, то К
сопряжена с Η в подгруппе, порожденной Η и К.
Силова подгруппы в конечных группах, Холла
подгруппы и Картера подгруппы в конечных разрешимых
группах пронормальны. Понятие П. п. тесно связано
с понятием абнормальной подгруппы. Любая абнор-
мальная подгруппа пронормальна, а нормализатор
П. п. абнормален.
Лит.: [1] Ш е м е τ к о в Л. Α., Формации конечных групп,
М., 1978. В. Д. Мазуров.
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ —
символ формального языка, служащий для обозначения
ПРОИЗВОЛЬНОГО Высказывания. С. К. Соболев.
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗКА — символ
формального языка, служащий для обозначения
логической операции, с помощью к-рой из данных
высказываний можно получать новые высказывания.
Важнейшими П. с. являются конъюнкция & (иначе л),
дизъюнкция V, импликация Ζ) (иначе -> или —>),
отрицание ~| (иначе ~), эквивалентность = (иначе <-»
или ФФ). Эти П. с. соответствуют в русском языке
выражениям «и», «или», «влечет», «не верно, что» и
«равносильно». Иногда рассматриваются и другие
П. с, напр. т. н. Шеффера штрих.
Символ = обычно вводится не как независимая П. с,
а как сокращение:
Α = Β±ϊ(Α=)Β)&(Β=)Α). (1)
Если же в языке имеется пропозициональная
константа _|_, обозначающая «ложь», то отрицание можно
рассматривать как сокращение: ~|4±^(4z)J_).
П. с. &, v, D и ~| не являются независимыми в
классич. логике, поскольку в ней верны
эквивалентности:
А&В = Π П4у"1Д)^-|(Лэ 1В), (2)
AvB= -\(-\A&-]B) = (^\A=)B) = ((A=)B)=)B), (3)
Az>B = HAvB)=-\(A&^B), (4)
т. е. каждая из П. с. &, ν, Ζ) выражается через ~|
и одну из остальных. Поэтому при формулировках
классического пропозиционального исчисления
высказываний в качестве исходной можно брать две П. с:
~| и одну из П. с. &, v, D, а остальные рассматривать
как сокращения, согласно (1) — (4). В
интуиционистской логике П. с. &, v, D и ~| являются
независимыми. С. К. Соболев.
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМА, в ы с к а з ы-
вательная форма,— языковое выражение,
содержащее переменные, вместо к-рых можно
подставлять высказывания, получая при этом новые
высказывания. В формализованных языках П. ф. наз.
формулы, содержащие свободные вхождения
пропозициональных переменных, принимающих значения в
множестве истинностных значений.
П. ф. наз. также выражения, построенные по типу
пропозициональной формулы, в к-рых вместо
пропозициональных переменных используются символы
метаязыка, обозначающие произвольные формулы
высказываний исчисления.
Лит.: [1] Мендельсон Э., Введение в математическую
логику, пер. с англ., М., 1971. -В. Я. Гришин.
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛА —
выражение, построенное из пропозициональных переменных
с помощью пропозициональных связок &, V, D, ~|, =
(и, возможно, нек-рых других) по следующим
правилам: 1) каждая пропозициональная переменная есть
П. ф.; 2) если А, В суть П. ф., то (А&В), (ΑνΒ),
(A"Z)B) и (~|^4) суть также П. ф.
Если σ — нек-рый набор пропозициональных связок
(сигнатура), то под П. ф. сигнатуры σ
понимается такая П. ф., в построении к-рой в 2)
использовались ЛИШЬ СВЯЗКИ ИЗ σ. С. К. Соболев.
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — функция,
аргументами и значениями к-рой являются
истинностные значения. Этот термин употребляют, когда речь
идет об интерпретации формализованного логич. языка.
Если Ω — множество истинностных значений формул
данного языка, то П. ф.— это любое отображение вида
Ω" ->· Ω (?г>0). Этими функциями интерпретируются
пропозициональные связки, позволяющие образовывать

699
ПРОСТАЯ
700
из предложений или формул новые предложения или
формулы. При классической двузначной интерпретации
множества истинностных значений, т. е. когда Ω— {0,1},
такие функции наз. также функциями
алгебры л о г и к и. В. Н. Гришин.
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,
исчисление высказывани й,— логическое
исчисление, в к-ром выводимыми объектами являются
пропозициональные формулы. Каждое П. и. задается набором
аксиом (произвольных пропозициональных формул)
и вывода правил. Формула, выводимая в данном П. и.,
наз. теоремой этого П. и. В качестве правил
вывода обычно берут модус поненс и подстановку
(произвольных пропозициональных формул вместо
переменных). Иногда П. и. задают не аксиомами, а аксиом
схемами\ тогда правило подстановки оказывается
излишним.
Классическое П. и. задается следующими
аксиомами:
1) pD(gDp),
2) (ρ Ζ) (q Ζ) г)) Ζ) ((ρ Ζ) if) Ζ) (ρ Ζ) г)),
3) (ρ &<?)=)/>,
4) (p&q) Z)g,
5) ρ Ζ) (g Ζ) (ρ &<?)),
6) p^(p\/q),
7) q=)(pVq)>
8) (pz)r)z5((gz>r)z)((pvg)Z)r»,
9) (pDi)D((pDli)Dlp),
10) Ί1ρζ)ρ.
В этом П. и. пропозициональные связки &, ν, Ζ), ~~|
не являются независимыми. Его можно задать с
помощью только аксиом 1), 2), 9) и 10), основываясь на
связках Ζ), ~| в качестве исходных. Тогда связки &
и V рассматриваются как сокращения:
Α&Β±^~\(Α^>^\Β), Αν В f- -\Az)B,
а аксиомы 3) — 8) становятся теоремами.
Классическое П. и. наз. также полным П. и., поскольку
добавление к нему любой невыводимой в нем формулы
в качестве аксиомы приводит к
противоречивому П. и., т. е. к такому, в к-ром выводимы все
пропозициональные формулы. Часто классическое П. и.
наз. просто П. и.
Интуиционистское
(конструктивно е) П. и. получается из классического П. и. заменой
аксиомы 10) более слабой аксиомой
И) ~|pz)(pz)<z).
П. и., получаемое из конструктивного П. и.
добавлением конечного (или рекурсивного) числа аксиом, наз.
промежуточным,
суперинтуиционистским (или суперконструктивным).
См. также Промежуточная логика.
Другими примерами П. и. являются импликативное
пропозициональное исчисление, минимальное
пропозициональное исчисление, позитивное пропозициональное
исчисление.
Интерпретация П. и. осуществляется с
помощью алгебр (матриц) вида
Т\ = <М, D; &*, V*, ζΛ Τ>,
где Μ — множество истинностных значений, D —
множество выделенных истинностных значений,
DdM, a &*, V*, Ζ)*, Π*
— операции на М, соответствующие связкам &, ν, Ζ) и
~|. Множество D должно удовлетворять следующему
условию: для любых а, b£D, если a£D и (αζ)*&) ζΌ, то
b£D (согласованность с правилом модус поненс).
Формула наз. общезначимой на матрице *Ш, если
она принимает выделенное значение при любой
интерпретации ее переменных элементами М. Простейшей
матрицей является матрица *Ш2» состоящая из двух
элементов 1, 0 («истина», «ложь») и одного выделенного
значения 1, а операции &*, ν*, Ζ)*, ~|* определяются
обычным образом (см. Алгебра логики).
Пропозициональная формула, общезначимая на ПЛ2, наз.
тавтологией. Формула является тавтологией тогда и
только тогда, когда она является теоремой
классического П. и.
Лит.: [1] Ч ё ρ ч Α., Введение в математическую логику,
пер. с англ., М., 1960. С. К. Соболев.
ПРОСТАЯ АЛГЕБРА — неодноэлементная алгебра
без двусторонних идеалов, отличных от 0 и всей алгебры.
П. а. без единицы может и не быть простым кольцом,
т. к. в этом случае не всякий идеал кольца является
идеалом алгебры. Для нек-рых классов алгебр
известна классификация конечномерных П. а. (см.
Альтернативные кольца и алгебры, Йорданова алгебра,, Ли
алгебра). Любая ассоциативная алгебра над полем,
обладающая единицей, вложима в П. а. с той же еди*
ницей.
Лит. см. при ст. Простое кольцо. Л. А. Скорняков.
ПРОСТАЯ ГИПОТЕЗА в математической
статистике — утверждение, согласно к-рому
наблюдаемая случайная величина подчиняется конкретно
заданному распределению вероятностей.
Распределение вероятностей, определяемое П. г., наз.
гипотетическим распределением. Напр., если
наблюдается случайная величина X, то утверждение
«X подчиняется закону Пуассона с параметром 1»
является П. г. См. также Сложная гипотеза.
М. С. Никулин.
ПРОСТАЯ ГРУППА — группа, не имеющая
нормальных подгрупп, отличных от всей группы и
единичной подгруппы. Описание всех простых конечных
групп является центральной проблемой в теории
конечных групп. В теории бесконечных групп
значение П. г. значительно меньше ввиду их необозримости.
Простой является группа всех четных подстановок,
каждая из к-рых перемещает конечное подмножество
элементов множества Μ, если мощность Μ не меньше 5.
Эта группа бесконечна, если Μ бесконечно.
Существуют конечно порожденные и даже конечно
определенные бесконечные П. г. Всякая группа вложима в
П. г. В теории групп Ли и алгебраич. групп
определение П. г. несколько отличается от приведенного
выше (см Ли полупростая группа). а. Л. Шмелъкин.
ПРОСТАЯ ДУГА — гомеоморфный образ отрезка.
Внутренняя характеристика: П. д.— это линия,
имеющая в двух точках индекс ветвления 1 (концевые
точки), а во всех остальных точках — индекс
ветвления 2 (внутренние точки).
М. И. Войцеховский.
ПРОСТАЯ КОНЕЧНАЯ ГРУППА — конечная
группа, в к-рой нет нормальных подгрупп, отличных от
всей группы и от единичной подгруппы. П. к. г.—
наименьшие «строительные блоки», из к-рых с помощью
расширений может быть «собрана» любая конечная
группа. Каждый фактор композиционного ряда
конечной группы является П. к. г., а минимальная
нормальная подгруппа — прямое произведение П. к. г.
Простейшими примерами П. к. г. служат циклич. группы
простых порядков. Только таким П. к. г. изоморфны
факторы композиционных рядов разрешимых групп.
Все остальные П. к. г. неразрешимы и их порядки
четны [см. Бёрнсайда проблема — 1)]. Бесконечные
серии примеров неразрешимых П. к. г. дают
знакопеременные группы Шп, проективные специальные
линейные группы PSL(n, q) над конечным полем
порядка q, проективные симплектич. группы PSP(2n, q),
проективные ортогональные группы ΡΩ (w, q) и про-

701
ПРОСТАЯ
702
ективные унитарные группы PSU(n, q2). Все
перечисленные П. к. г. были известны еще в прошлом веке.
Кроме них, в кон. 19 в. были открыты еще 5 групп (см.
Матъё группа). В нач. 20 в. построены конечные
аналоги простых групп Ли типа G2 (см. Диксона группа).
Открытия новых бесконечных серий П. к. г.,
сделанные в 50-х гг., позволили получить большинство
типов известных простых групп из групп
автоморфизмов простых алгебр Ли (см. Шевалле группа).
Известные бесконечные серии П. к. г. представлены в таблице.
идеалов и не являющаяся двухэлементной полугруппой
с нулевым умножением, бипростая — состоящая
из одного .©-класса (см. Грина отношения
эквивалентности), 0-6 ипростая — состоящая из двух @)-
классов, один из к-рых нулевой, простая
относительно конгруэнции — не имеющая
конгруэнции, кроме универсального отношения и
отношения равенства.
Всякая простая слева или справа полугруппа би-
проста; всякая бипростая полугруппа идеально про-
Обозначение,
связанное с
типом
соответствующей
алгебры Ли
А,(<7)
в,<«)
С,(в)
Di<*)
Е9 (q)
E,(q)
Ee(q)
F*(q)
G2(q)
2Al (q2)
2Dl (q2)
2£e (q2)
»D4 <q»)
2B2 (q)
*G2(q)
2F< (q)'
Другое
обозначение
%p
*l
PSL(l+\, q)
ΡΩ(2ί + 1, q)
PSp (21, q)
ΡΩ+ (21, q)
PSU (l+l, q2)
ΡΩ- (21, q)
Sz(q)
R(q)
Условия
существования
П. к. г.
ρ —простое число
ί>5
ί>2; 1 = 1, q>4
ί>3; 1 = 2, q>3;
1 = 1, q>4
Z>3; 1 = 2, q>3;
1=1, 9>4
l>3
ί>3; 1 = 2, q>3
1 = 1, Q>4
l>2
q = 22l + 1
q = 33' + 1
q = 22i-l
Порядок группы
Ρ
/!/2
ql (Z + l)/2 (^2.!) (q8_i)...(qi + l_i)/d
ql2(q*-\)(q*-i)--.(q**-i)/d
ql* (q*-!)(#-1)·--(qrt-D/d
ql(l~1)(q2-^(qt-^-(q2l~2-^(q,-^)/d
qse(q2-l) (q6-l) (qfe-l) (qe-D (q9-l) (q12- 1 )/d
β"(β·-1)(9·-1)(α·-1)(β»·-1)(ς»-1)(ς»«-1)(ς"-1)/<ί
q120 <g»-l) (9e-l) (912-1) (914-1) (qie-l) (q20-l)·
.(q24-l)(Q30-l)
924(92-l)(9e-l)(Qe-l)(912-l)
q6(g2-i)(ge-i)
gi (/+l)/2 (g2_ i^ (q*+\) (q*- 1). ..(q* + i +(_ \)l)/d
ql (l-l)/2 (Q2_l) (q*-1). ..(q**-*-1) (ql + l)/d
q3* (92-l) (96+l) (Qe-D (Qe~l) (99 + l) (q12-l)/d
Q12(92-l)(ae-l)(Qe + 94+l)
Q2(9-l)(92+l)
q3(q-D(93+l)
Q12 (q-1) (53+l) (94-l) (<7e+l)/<*
d
(l + l. 9-1)
(2, q-D
(2, q-1)
(4, q*-i)
(3, a-1)
(2, q-1)
(Z+l, q+1)
(4, q'+l)
(3, q+1)
2 при q = 2
1 при q>2
Здесь q — ненулевад степень простого числа, I —
натуральное число, (s, t) — наибольший общий делитель
чисел s и t. Кроме перечисленных в таблице, известны
еще 26 П. к. г., не входящих ни в одну бесконечную
серию П. к. г. (т. н. спорадические простые группы).
Главной задачей теории П. к. г. является проблема
классификации П. к. г., содержанием к-рой служит
доказательство того, что каждая П. к. г. изоморфна
одной из известных простых групп. Другая задача
состоит в изучении свойств известных простых групп:
изучении их матричных представлений (см. Конечной
группы представление), описании примитивных
подстановочных представлений (см. Подстановок группа)
или, более общо, представлений в виде групп
автоморфизмов различных математич. объектов (графов,
конечных геометрий), описании подгрупп, в частности
максимальных подгрупп, и т. д.
Лит.: [1] Картер Р., «Математика», 1966, т. 10, № 5,
с. 3—47; [2] А ш б а х е ρ Μ., «Успехи матем. наук», 1981, т. 36,
№ 2, с. 141—72; [3] Hupp ert В., Endliche Gruppen, [Bd]
1, В., 1967; [4] Blackburn Ν., Hupp ert В., Finite
groups II, III, В., 1981. В. Д. Мазуров.
ПРОСТАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа, не
содержащая собственных идеалов или конгруэнции того
или иного фиксированного типа. В зависимости от
рассматриваемого типа возникают различные типы
П. п.: идеально простая — не содержащая
собственных двусторонних идеалов (термин «П. п.»
часто относят только к таким полугруппам),
простая слева (справа) — не содержащая
собственных левых (правых) идеалов, 0-п ρ о с τ а я
(слева, справа) — полугруппа с нулем, не содержащая
собственных ненулевых двусторонних (левых, правых)
ста, но существуют идеально П. п., не являющиеся
бипростыми (и даже такие, что все их ^-классы
одноэлементны). Важнейшим типом идеально П. п. (0-про-
стых полугрупп) является вполне простая полугруппа
(вполне 0-простая полугруппа). Важнейшие примеры
бипростых, но не вполне П. п.: бициклическая
полугруппа, четырехспиральная полугруп-
п a Sp4 (см. [11]) — это полугруппа, заданная
порождающими а, Ъ, с, d и определяющими соотношениями
а2=а, b2=b, с2=с, d2=d, ba=a, ab=b, bc=b, cb=c,
dc=c, cd=d, da—d\ полугруппа Sp4 изоморфна рисов-
ской полугруппе матричного типа над бициклич.
полугруппой с порождающими и, ν, где uv=i, с сэндвич-
матрицей
1 υ\\
1 l|
Четырехспиральная полугруппа является в нек-ром
смысле минимальной среди бипростых и не вполне
П. п., порожденных конечным числом идемпотентов,
и нередко возникает как подполугруппа таких
полугрупп.
Простые справа полугруппы (п. с. п.) наз. также
полугруппами с правым делением
или полугруппами с правой
обратимостью. Основанием для этих терминов является
следующее свойство таких полугрупп, эквивалентное
определению: для любых элементов а и Ъ существует
элемент χ такой, что ах=Ъ. П. с. п., содержащие идем-
потенты,— это в точности правые группы. Важный
пример п. с. п. без идемпотентов доставляет полугруппа
Т(М, 6, р, q) всех таких преобразований φ множества

703
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК
704
Μ, что 1) ядро φ равно отношению эквивалентности δ
на М, 2) мощность фактормножества Μ/δ равна р,
3) множество Μφ пересекается с каждым ό-классом не
более чем по одному элементу, 4) множество 6-классов,
не пересекающихся с Μφ, имеет бесконечную
мощность q, причем q<ip. Полугруппа Т(М, 6, р, q) наз.
полугруппой Тесье типа (р, ?), ав случае,
когда δ — отношение равенства, она наз.
полугруппой Бэра —Леви типа (р, q) (см. [6],
[71). Полугруппа Тесье — пример п. с. п. без идем-
потентов, не обязательно удовлетворяющей
правостороннему закону сокращения. Всякая п. с. п. без идем-
потентов вкладывается в подходящую полугруппу
Тесье, а всякая п. с. п. без идемпотентов и с
правосторонним законом сокращения вкладывается в
подходящую полугруппу Бэра — Леви (причем в обоих
случаях можно выбрать p=q).
Различные типы П. п. часто возникают в качестве
«блоков», из к-рых строятся рассматриваемые
полугруппы. По поводу классич. примеров П. п. см. Вполне
простая полугруппа, Брандта полугруппа, Правая
группа; о бипростых инверсных полугруппах (в том
числе структурные теоремы при нек-рых ограничениях
на полу решетку идемпотентов) см. [1], [8], [9].
Существуют идеально простые инверсные полугруппы с
произвольным числом ^-классов. При изучении
вложений полугрупп в П. п. обычно либо указываются
условия для возможности соответствующего вложения,
либо устанавливается, что всякая полугруппа
вкладывается в подходящую П. п. рассматриваемого типа;
напр., любая полугруппа вкладывается в бипростую
полугруппу с единицей (см. [1]), в бипростую
полугруппу, порожденную идемпотентами (см. [10]), в простую
относительно конгруэнции полугруппу (к-рая может
обладать теми или иными наперед заданными
свойствами: наличие или отсутствие нуля, полнота,
пустота подполугруппы Фраттини и т. д., см. [3] — [5]).
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1—2,М., 1972; [2] Л
Άτι и н Е. С, Полугруппы, М., 1960; [3] Б о к у τ ь Л. Α., «Сиб.
матем. ж.», 1963, т. 4, № з, с. 500—18, [4] Ш у τ о в Э. Г., «Ма-
тем. сб.», 1963, т. 62, № 4, с. 496—511; [5] Климов В. Н„
«Сиб. матем. ж.», 1973, т. 14, № 5, с. 1025—36; [6]BaerR.,
Levi F., «Sitzungsber. Heidelberg. Akad. Wiss. Math.-naturwiss.
KL», 1932, Abh. 2, S. 3—12; [7] Τ e i s s i e г Μ., «Gompt. rend.
Acad, sci.», 1953, v. 236, № 11, p. 1120—22; [8] Μ u η η W. D.,
в кн.: Semigroups, Ν. Υ.— L., 1969, p. 107—23; [9] Η ο w i e J.,
An introduction to semigroup theory, L.— [a. o.], 1976; [10]
Ρ a s t i J η F., «Semigroup Forum», 1977, v. 14, № 3, p. 247—
263; [11] ByleenK., Μ e a k i η J., Ρ as t i j η F., «J.
Algebra», 1978, v. 54, p. 6—26. Л. H. Шеврин.
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК — случайная
последовательность моментов времени 0<τ1<τ2<. . ., в к-рые
происходят события нек-рого потока событий (напр.,
потока вызовов, приходящих на телефонную станцию),
удовлетворяющая условию независимости и
одинаковой показательной распределенности разностей т/ + 1—
τ,·. П. п. с распределением
F (я) = Р{тг + 1 — τ/<;ζ} = 1— е-^х, х^0,
(*)
является частным случаем процесса восстановления
(см. Восстановления теория). С П. п. связан пуассо-
новский процесс ξ(ί), равный числу событий потока в
отрезке времени (0, t). П. п. и соответствующий
ему пуассоновский процесс удовлетворяют следующим
условиям.
Стационарность. Для любых 0<£0, 0<^<
<*2<- · -<*ft распределение случайных величин
ξ(*ί + *ο)-ξ(**-ι+Ό), 1 = 2, ..., А,
не зависит от t0.
Ординарность. Вероятность появления в
интервале (t, t-\-At) двух или более событий потока
равна о (At) при Δ* -> 0.
Отсутствие последействия. При 0<
<*ι<ί2<· · -<tn случайные величины l(tt) — |(fj_i),
1=1, . . ., к, независимы.
Доказывается, что при выполнении этих условий
и при условии
P{l(t + At)-l(t) = l} = XAt + o(M)
поток будет простейшим с показательным
распределением (*).
Лит.: [1] X и н ч и н А. Я., Работы по математической теории
массового обслуживания, М., 1963. Б. А. Севастьянов
ПРОСТОГО СЛОЯ ПОТЕНЦИАЛ — выражение вида
и (х) = ^sh (|а —у |) f(y) do (у),
(1)
где S — замкнутая поверхность Ляпунова (класса
С*1» λ)) в евклидовом пространстве R", п^2,
разделяющая R" на внутреннюю область D+ и внешнюю
D~\ h(\x—y\) — фундаментальное решение оператора
Лапласа:
1 п^З;
h(\x-y\) = \ («-2)ω^|χ-νΐ
2π 1η | ас —ι/ | '
N-2
2;
ω„=2πη/2/Γ (η/2) — площадь единичной сферы в R",
\х — у\ — расстояние между точками хну, do (у) —
элемент площади S.
Если /(я)£С(0>(£), то П. с. п. и(х) определен всюду
в R". П. с. п. представляет собой частный случай
ньютонова потенциала, порождаемого массами,
распределенными на поверхности S с поверхностной
плотностью f(y), и обладает следующими свойствами.
В D+ и D~ П. с. п. и(х) имеет производные всех
порядков, к-рые можно вычислять под знаком
интеграла, и удовлетворяет уравнению Лапласа Аи(х)=0,
т. е. является гармонической функцией. При п^Ъ
эта функция регулярна на бесконечности, и(оо)=0.
П. с. п. и(х) непрерывен во всем пространстве R",
причем и(х)£С(°> v)(R«) при любом ν, 0<ν<λ. При
переходе через поверхность S производная по
направлению внешней нормали щ к S в точке y0£S терпит
разрыв. Предельные значения нормальной
производной из области D + и из области D - существуют и
непрерывны всюду на S и выражаются соответственно
формулами
du | du (уд.) /Q/o)
lim •πττΙ^—^Γ — » (2)
lim
dn0 \i
о
du
dn0 \l
dn0
du (y0)
dn0
2
/(l/o)
где
du(yt
dn{
7= Ss a^<l</-*ΌI)/(!/)*>(!/)
(3)
— т. h. прямое значение нормальной
производной П. с. п. в точке y0£S, причем
du(y0)/dn0£C(*, v)(£) привсехг, 0<ν<λ. Если /(у) ζ
ζ£4°» λ)(£), то частные производные функции и(х)
непрерывно продолжаются в D+ и в D" до функций
классов С (о. λ) (17+) и С (о. λ)(ϊ)~-) соответственно. В
этом случае также
du(y0)/dn0^C^l){S).
Эти свойства обобщаются в различных направлениях.
Напр., если f(y)gL1 (S), то u(x)^Lx внутри и вне S,
формулы (2) имеют место почти всюду на S, причем
интеграл (3) суммируем на S. Изучены также свойства
П. с. п., понимаемых как интегралы по произвольной
радоновской мере μ, сосредоточенной на S:
и(х) = ^ h(\x — y\)d\i(yy,

705
ПРОСТОЕ
706
здесь также и(х) — гармонич. функции вне S, формулы
(2) имеют место почти всюду на S по мере «Лебега с
заменой / (у) на производную меры μ' (у0) по мере
Лебега. В определении (1) фундаментальное решение
оператора Лапласа можно заменить на произвольную
функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го
порядка с переменными коэффициентами класса С(°» λ)
с заменой нормальной производной d/dn0 на
производную по конормали. При этом перечисленные
свойства остаются в силе (см. [2] — [4]).
П. с. п. используется при решении краевых задач
для эллиптич. уравнений. Представление искомого
решения 2-й краевой задачи в виде П. с. п. с
неизвестной плотностью / (у) и использование свойства (3)
приводит к интегральному уравнению Фредгольма
2-го рода на S для определения /(у) (см. [2] — [5]).
При решении краевых задач для параболич.
уравнений используется тепловой потенциал
простого слоя вида
где
G (х, /; у, τ) = ·
(2 Уп )п (ί-τ)"/2
βχρ[-|*-ί/Ι2/4(*-τ)]
— фундаментальное решение уравнения
теплопроводности в л-мерном пространстве, /(ι/, τ) — плотность.
Функция v(x, t) и ее обобщение на случай
произвольного параболич. уравнения 2-го порядка обладают
свойствами, аналогичными указанным для и(х) (см.
[3], [4], [6]).
Лит.: [1] Гюнтер Η. Μ., Теория потенциала и ее
применение к основным задачам математической физики, М., 1953;
[2] Μ и ρ а н д а К., Уравнения с частными производными
эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н.,
Самарский Α. Α., Уравнения математической физики,
5 изд., М., 1977, [4] Смирнов В. И , Курс высшей
математики, т. 4, 5 изд., М., 1958; [5] Фридман А, Уравнения с
частными производными параболического типа, пер с англ., М.,
1968; [6] Б и ц а д з е А. В., Краевые задачи для эллиптических
уравнений второго порядка, М., 1966. Е. Д. Соломенцев.
ПРОСТОЕ КОЛЬЦО — неодноэлементное кольцо без
двусторонних идеалов, отличных от 0 и всего кольца.
Ассоциативное П. к. с единицей, содержащее
минимальный односторонний идеал, изоморфно кольцу
матриц над нек-рым телом. Без предположения
существования единицы такое кольцо оказывается
локально матричным над нек-рым телом D, т. е. каждое
его конечное подмножество содержится в подкольце,
изоморфном кольцу матриц над D (см. [2]).
Существуют П. к. без делителей нуля (даже нётеровы),
отличные от тел, а также нётеровы П. к. с делителями
нуля, но без идемпотентов [3]. Известны П. к.,
радикальные в смысле Джекобсона (см. [1]). Однако
открыт вопрос о существовании простых нильколец.
Описание строения альтернативных П. к. сводится
к ассоциативному случаю (см. Альтернативные кольца
и алгебры). См. также Простая алгебра.
Лит.: [1] Б о к у т ь Л. Α., Ассоциативные кольца, ч. 1—2,
Новосиб., 1977—81; [2] Д ж е к о б с о н Н., Строение колец,
пер. с англ., М., 1961; [3] 3 а л е с с к и й А. Е., Неросла в-
ский О., «Communs. Alg.», 1977, v. 5, № 3, p. 231—44; [4]
Φ e й с К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ.,
т. 1—2, М., 1977—79; [5] Cozzens J., Faith С, Simple
Noetherian rings, Camb.— [a. o.], 1975. Л. А. Скорняков.
ПРОСТОЕ МНОЖЕСТВО — рекурсивно
перечислимое множество натуральных чисел, дополнение к-рого
есть иммунное множество. П. м. являются
промежуточными в смысле так наз. m-сводимости (см.
Рекурсивная теория множеств) между разрешимыми
множествами и творческими (креативными) множествами —
последние являются наибольшими среди перечислимых
множеств в смысле m-сводимости. Пусть Ρ —
произвольное П. м., а К — произвольное креативное
множество натуральных чисел (нацр., множество геделевых
номеров теорем формальной арифметики). Тогда не
существует общерекурсивной функции /(я), сводящей
К к Р, т. е. такой, что
x£K&f (х) £Р.
Сводимость Ρ к К имеет место всегда, а к Ρ не сводится
ни одно разрешимое множество.
Лит.: [1] Успенский В. Α., Лекции о вычислимых
функциях, М., 1960; [2] Μ а л ь ц е в А. И., Алгоритмы и
рекурсивные функции, М., 1965; [3] Роджерс X., Теория
рекурсивных функций и эффективная вычислимость, пер. с англ., М.,
1972. С. Н. Артемов.
ПРОСТОЕ ОТНОШЕНИЕ трех точек Ml9 M, М2 на
прямой — число λ такое, что
При этом говорят, что точка Μ делит отрезок М1М2
в отношении λ. Если (х1ч уг) и (x2i у2) — координаты
точек Мг и М2, то координаты точки Μ определяются
по формулам
_ хх + %мг _ ух + Ху2
χ— ι+λ ' у~ 1+λ *
П. о. является инвариантом аффинных преобразований.
А.Б. Иванов.
ПРОСТОЕ ПОЛЕ — поле, не содержащее
собственных подполей. Каждое поле содержит единственное
простое подполе. П. п. характеристики 0 изоморфно
полю рациональных чисел. П. п. характеристики ρ
ИЗОМОрфнО ПОЛЮ ВЫЧетОВ ПО МОДУЛЮ р. О. А. Иванова.
ПРОСТОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — то же, что
неприводимое представление.
ПРОСТОЕ ЧИСЛО — натуральное (целое
положительное) число р>1, имеющее только два делителя
Р' 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . . .
Числа, имеющие не менее трех различных делителей,
наз. составными. Понятие П. ч. является
основным при изучении делимости натуральных чисел.
Так, основная теорема элементарной
теории чисел утверждает, что всякое натуральное
число, отличное от единицы, либо простое, либо, если
оно составное, может быть представлено в виде
произведения простых чисел. При этом такое представление
единственно (с точностью до расположения
сомножителей). Запись этого произведения в виде степеней
одинаковых П. ч., а самих П. ч. в порядке возрастания,
дает канонич. разложение натурального числа:
η=Ρι Ρ2
р>-
С помощью канонич. разложений натуральных чисел
аъ а2, . . ., ak находят наибольший общий делитель
d= (α1? α2, . . ., а^ и наименьшее общее кратное т—
= [а1ч а2, . . ., я&] этих чисел. С помощью канонич.
разложения натурального числа η вычисляются
значения теоретико-числовых функций τ (л), S (п) и φ (га),
к-рые обозначают соответственно число делителей,
сумму делителей числа η и количество натуральных
чисел т<тг, взаимно простых с η (т. е. таких, что
(m, n)=l):
τ(η) = (αι + 1)(αΛ + 1) ... (α* + 1),
S(n) =
_P?1+1-1 P^1-! Pfcfc+ -i
Pi-l P2-I
Pfe-1
Существенной особенностью этих формул является их
зависимость от арифметич. структуры натурального
аргумента п.
П. ч. играют роль своеобразных «кирпичиков», из
к-рых строятся все остальные натуральные числа.
Еще в 3 в. до н. э. Евклид доказал бесконечность мно-
&23 Математическая энц., т. 4

707
ПРОСТОЙ
708
жества П. ч., а Эратосфен нашел способ отсеивания
П. ч. из множества натуральных чисел (см. Эратос-
фена решето). Л. Эйлер (L. Euler) нашел
доказательство бесконечности множества П. ч., основанное на
использовании средств математич. анализа.
Дальнейшее развитие аналитич. метода Эйлера оказалось
очень плодотворным (см. Аналитическая теория
чисел). П. Л. Чебышев открыл ряд новых законов, к-рым
подчиняются П. ч. В частности, с помощью
элементарных рассуждений, использующих канонич.
разложение для числа л!, П. Л. Чебышев нашел
неравенства, к-рым должно удовлетворять количество
π (χ) простых чисел ρ <ж:
-г^— < π (χ) < Ъ —— ,
1η χ ν ' in χ '
где а<1, Ь>1 — нек-рые положительные константы.
Наиболее глубокие закономерности, к-рым
подчиняется поведение последовательности П. ч., были
получены путем углубления исходных идей П. Л. Чебы-
шева с помощью аналитических и, в ряде случаев,
элементарных методов (см. Распределение простых
чисел).
П. ч. связаны не только с мультипликативной, но
и с аддитивной структурой натуральных чисел.
Достаточно характерной в этом отношении является
Гольдбаха проблема о разбиении натуральных чисел
на сумму трех П. ч., решенная в 1937 И. М.
Виноградовым (см. Аддитивная теория чисел). Изучение
законов разложения П. ч. в алгебраич. полях
проливает свет на свойства обычных П. ч. Напр.,
рассматривая закон разложения П. ч. рф2 в поле гауссовых
чисел, получают теорему Гаусса: p=a2-J-62
тогда и только тогда, когда р^\ (mod 4).
Существует много пока (1983) еще не решенных
проблем, относящихся к П. ч. Напр.:
будет ли бесконечным множество П. ч. Мерсенна:
ρ = 24 — 1, где q — простое;
будет ли бесконечным множество П. ч. Ферма:
р = 22 +1, где п^О — целое;
существует ли бесконечное множество П. ч. рх и р2
«близнецов», т. е. таких, что ρλ—р2==^-
Экспериментальные и эвристич. соображения
свидетельствуют в пользу положительного решения
сформулированных выше проблем и др. аналогичных задач.
Лит.: [1] X а с с е Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем.,
М., 1953. Б. М. Бредихин.
ПРОСТОЙ ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП — класс
клеточных комплексов, принадлежащих одному
гомотопическому типу, такой, что Уайтхеда кручение
соответствующей гомотопич. эквивалентности равно
Нулю. М. И. Войцеховский.
ПРОСТОЙ ИДЕАЛ — двусторонний идеал Ρ кольца
R такой, что из АВ<^Р, где А и В — идеалы в Я,
следует, что либо А<=Р, либо Βς=Ρ. Для
ассоциативного кольца экгивалентным определением на языке
элементов будет следующее:
aRb[
α ζ Ρ или Ь£Р,
где a, b — элементы кольца R. Всякий примитивный
идеал прост.
Пусть R — ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей. Тогда простота идеала PczR эквивалентна
тому, что ab£P^a£P или Ъ ζ Ρ, т. е. тому, что фактор-
кольцо R/P есть область целостности. В этом случае
всякий максимальный идеал прост, а пересечение всех
простых идеалов кольца R является радикалом
нулевого идеала (т. е. множеством нильпотентных
элементов).
Обобщением понятия П. и. служит понятие примар-
ного идеала. В теории примарных разложений П. и.
играют ту же роль, что простые числа в разложении
целых чисел по степеням простых, а примарные
идеалы — роль степеней простых чисел.
Идеал Ρ решетки L наз. простым, если
аЬ ζ Ρ—+α ζ Ρ или b£P.
Идеал Ρ прост тогда и только тогда, когда F= L\P —
простой фильтр, т. е. если a-\-b£F -+ a£F или b£F.
Лит.: [1] Бурбакй Н., Коммутативная алгебра, пер.
с франц., М., 1971; [2] Джекобсон Н., Строение колец,
пер. с англ., М., 1961; [3] ЗарисскийО., Самюэль П.,
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [4] С к о р-
н я ко в Л. Α., Элементы теории структур, М., 1970.
О. А. Иванова.
ПРОСТОЙ ИНТЕРВАЛ частично
упорядоченного множества — подмножество,
состоящее из двух элементов а<6 таких, что между ними в
данном частично упорядоченном множестве нет других
элементов, т. е.
а <iχ <^ b r=> a = xAb = x
СУ A. $Тв омов о,
ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ МЕТОД — метод
приближенного решения системы линейных алгебраич.
уравнений Ах=Ь, к-рая преобразуется к виду х=Вх-\-с
и решение к-рой находится как предел
последовательности xk + 1=Bxk-\-c, &=0, 1, . . ., где х° — начальное
приближение. Для сходимости П. и. м. при любом
начальном приближении х° необходимо и достаточно,
чтобы все собственные значения матрицы В были по
модулю меньше единицы; и достаточно, чтобы какая-
либо норма матрицы В была меньше единицы. Если
для нормы матрицы В, согласованной с нормой вектора
х, имеет место оценка ||Z?||s^p<l, то П. и. м. сходится
со скоростью геометрич. прогрессии и для погрешности
метода верна оценка
\\хт— х\\*^рт\\х0 — х\\.
Для случая кубической, октаэдрической и
сферической векторных норм условие ||2?||<:р будет
выполнено, если имеют место оценки:
*) 23"= ι ib<vi<p' i=1· 2· ···'п'
2) 2"=1 1М<Р. 7 = 1. 2, ..·, п;
*>2i/.Л«*
Простейший вариант метода соответствует случаю,
когда в качестве матрицы В выбирают матрицу Ε — А ,
где Ε — единичная матрица. Если все диагональные
элементы матрицы А отличны от нуля, то, выбирая
6=D_1(Z)—А) и c=D~1b, где D —диагональная
матрица, диагональные элементы к-рой совпадают с
диагональными элементами матрицы А, получают Якоби
метод или метод одновременных смещений.
Частным случаем П. и. м. является метод В = Е—τ А
и с=тЬ, где τ — итерационный параметр, к-рый
выбирается из условия минимума по τ нормы матрицы
Ε—τΑ. Если ух и Υ2 — минимальное и максимальное
собственные значения симметричной положительно
о
определенной матрицы А, то при т=
Y1+V2
Для
сферич. нормы матрицы В имеет место оценка ||Ζ?||<:ρ,
где р=
Vz+V
Для нелинейной системы алгебраич. уравнений
ф/(ж)=0, 1<1<дг, х = (хи х2, ..·, хп),

709 пространств
П. и. м. имеет вид
xki + 1=xki — τφ, (я*), 1<г<гс, fc^O.
Вопрос о выборе итерационного параметра τ решается
в зависимости от дифференциальных свойств функций
q>i(x). Часто он подчинен требованию локальной
сходимости метода в окрестности решения.
Лит.: [1] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н.,
Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М., 1963; [2] Бе-
резин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд.,
т. 1, М., 1966; [3] Ортега Дж., РейнболДтВ.,
Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со
многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; [4] С а м а
ροκ и й А. Α., Николаев Ε. С, Методы решения сеточных
уравнений, М., 1978. Е. С. Николаев.
ПРОСТОЙ ЭЛЕМЕНТ — обобщение понятия
простого числа. Пусть G — область целостности или
коммутативная полугруппа с единицей, удовлетворяющая
закону сокращения. Ненулевой элемент p£G, не
являющийся делителем единицы, наз. простым, если
произведение аЪ может делиться на ρ лишь в том
случае, когда хотя бы один из элементов а или Ъ делится
на р. Всякий П. э. является неприводимым,
т. е. делится только на делители единицы и
ассоциированные с ним элементы. Неприводимый элемент не
обязан быть простым, однако в гауссовой полугруппе
эти два понятия совпадают. Более того, если всякий
неприводимый элемент из G является простым, то
полугруппа G гауссова. Аналогичные утверждения
имеют место для факториалъных колец. Элемент кольца
является простым тогда и только тогда, когда главный
идеал, порожденный этим элементом,— простой идеал.
Существуют обобщения этих понятий на
некоммутативный случай (см. [2]).
Лит.: [1] Кон П., Свободные кольца и их связи, пер. с
англ., М., 1975; [2] К у ρ о ш А. Г., Лекции по общей алгебре,
2 изд., М., 1973; [3] Л е н г С, Алгебра, пер. с англ , М., 1968.
О. А. Иванова.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ — связные полные
римановы пространства постоянной кривизны.
Проблема классификации д-мерных римановых пространств
произвольной постоянной кривизны была
сформулирована В. Киллингом (W. Killing, 1891), к-рый
назвал ее проблемой пространственных
форм Клиффорда — Клейна;
современная формулировка этой проблемы дана X. Хопфом
(Н. Hopf, 1925).
Примеры П. ф.: евклидово пространство Еп
размерности η есть П. ф. нулевой кривизны (так
называемое плоское пространство); сфера Sn в Еп + 1
радиуса г>0 есть П. ф. положительной кривизны 1/г2;
пространство Лобачевского (гиперболич. пространство)
Λ" есть П. ф. отрицательной кривизны; плоский тор
Тп=Еп/Т, где Г— л-мерная решетка в Еп, есть П. ф.
нулевой кривизны (плоское пространство).
Любая П. ф. Мп кривизны σ может быть получена
из односвязной П. ф. Мп той же кривизны
факторизацией по дискретной группе Г движений пространства
М", действующих свободно (т. е. без неподвижных
точек); при этом два пространства Мп=Мп!Т и М'п=
.= Мп/Т' изометричны в том и только в том случае,
когда Г и Г' сопряжены в группе всех движений Μή.
Тем самым проблема классификации П. ф. сводится
к задаче описания всех несопряженных групп
движений пространств Sn, En в Λ", действующих свободно.
Пространство Мп наз. сферической
пространственной формой (с. п. ф.), если Мп=
= 5"/Г, евклидовой пространственной
формой (е. п. ф.), если Мп=Еп/Т, и
гиперболической пространственной
формой (г. п. ф.), если Ми=Л'г/Г; фундаментальная
группа Мп изоморфна Г. При изучении проблемы
классификации П. ф. ненулевой кривизны σ значение
шые формы 710
1σ| не играет существенной роли, поэтому обычно
считают [σ| = 1.
Если η четно, то единственным движением сферы
Sn без неподвижных точек является центральная
симметрия, переводящая каждую точку сферы в
диаметрально противоположную; факторпространство Sn/T
по группе Г, порожденное этим движением, есть
пространство Римана (эллиптич. пространство). Любая
с. п. ф. четной размерности η изометрична либо Sn,
либо Рп. Были классифицированы трехмерные с. п. ф.
(см. [2]). Следующим шагом в направлении
классификации с. п. ф. явилась общая программа решения
этой проблемы и её применение для классификации
с. п. ф. размерности 4/c-J-l (см. [4]). Поскольку сфера
Sn компактна, дискретная группа Г движений Sn
конечна, то для классификации я-мерных с. п. ф.
достаточно описать все несопряженные конечные
подгруппы ортогональной группы 0 (/г—|-1), действующие
свободно на Sn. Говорят, что ортогональное
представление π конечной группы G в έη + 1 свободно от
неподвижных точек, если для всех £ζ£\{1}
преобразование π (g) сферы Sn не имеет неподвижных
точек; в частности, π — точное представление. Согласно
программе, изложенной в [4], решение проблемы
с. п. ф. Клиффорда — Клейна можно разбить на ряд
этапов. Во-первых, найти необходимые и достаточные
условия для того, чтобы абстрактная группа G могла
служить фундаментальной группой с. п. ф. и
классифицировать такие группы; получается нек-рое
семейство {G% } групп. Во-вторых, описать все
неэквивалентные неприводимые ортогональные представления
каждой из групп {G\ } и выделить среди них представления,
свободные от неподвижных точек. Наконец, определить
все автоморфизмы групп {G\} и выяснить, какие из
найденных представлений эквивалентны по модулю
автоморфизма соответствующей группы. Эта программа
в полном объеме была реализована в [5], что привело
к исчерпывающей классификации с. п. ф. Любая
конечная циклич. группа принадлежит семейству
{Gi}; чтобы нециклич. группа порядка N могла
служить фундаментальной группой n-мерной с. п. фм
необходимо (но не достаточно), чтобы N было взаимно
просто с п+1 и делилось на квадрат какого-либо
целого числа.
Глобальная теория е. п. ф. возникла как приложение
нек-рых результатов геометрич. кристаллографии. В
работе [3] был использован известный с кон. 19 в. список
кристаллографич. групп в Еъ и получена
топологическая, а в компактном случае аффинная, классификация
трехмерных е. п. ф. Теоремы Бибербаха о
кристаллографич. группах в Еп приводят к структурной теории
компактных е. п. ф. произвольной размерности. В
частности, для любого д^2 существует только конечное
число разных классов эквивалентных компактных
е. п. ф. размерности п, при этом две компактные е. п. ф.
Мп=Еп/Т и М'п=Еп/Т' аффинно эквивалентны, если
и только если их фундаментальные группы Г и Г'
изоморфны. Напр., любая двумерная компактная
е. п. ф. гомеоморфна (а следовательно, аффинно
эквивалентна) либо плоскому тору, либо поверхности
Клейна. Абстрактная группа Г тогда и только тогда
может служить фундаментальной группой компактной
е. п. ф. Мп, когда а) Г имеет нормальную абелеву
подгруппу Г* конечного индекса, изоморфную %п\
б) Г* совпадает со своим централизатором в Г; в) Г
не имеет элементов конечного порядка. Если такая
группа Г реализована в виде дискретной подгруппы
в группе всех движений пространства Еп, то Г*
совпадает с множеством параллельных сдвигов,
принадлежащих Г, и имеется нормальное накрытие ρ
пространства Мп=Еп/Т плоским тором Тп=^Еп/Т*,
определенное формулой ρ (Τ* (х)) = Т (х) для всех x^Ent
23*

711
ПРОСТРАНСТВО
712
Конечная группа Г/Г* изоморфна группе
накрывающих преобразований для р, к-рая в свою очередь
изоморфна голономии группе пространства Мп.
Компактная е. п. ф. всегда имеет конечную группу
голономии. Справедливо и обратное утверждение:
компактное риманово пространство, группа голономии к-рого
конечна, является плоским. Доказано, что любая
конечная группа изоморфна группе голономии нек-рой
компактной е. п. ф. Аффинная классификация
компактных е. п. ф. заданной размерности η в настоящее
время (1983) известна только для л<4. При л=3
имеется 6 классов ориентируемых и 4 класса
неориентиру емых аффинно эквивалентных компактных е. п. ф.
Классифицированы компактные е. п. ф. с циклич.
группами голономии простого порядка. Семейство всех
неизометричных плоских торов Тп можно
параметризовать элементами из
SL(n, Z)\GL+ (n, R)/SO(n),
где GL+(η, R)— связная компонента единицы в
GL(n, R), а изометрич. классификация компактных
е. п. ф. размерности η непосредственно следует из их
аффинной классификации и изометрич. классификации
торов Тп. Некомпактные е. п. ф. классифицированы
(с точностью до изометрии) только в размерностях
2 и 3; в частности, двумерная некомпактная е. п. ф.,
отличная от Е2, гомеоморфна цилиндру, либо листу
Мёбиуса. Любая некомпактная е. п. ф. допускает
действительную аналитич. ретракцию на компактное
вполне геодезич. плоское подмногообразие; класс
фундаментальных групп некомпактных е. п. ф. совпадает с
классом фундаментальных групп компактных е. п. ф.
Исследование двумерных г. п. ф. по существу
началось в 1888, когда А. Пуанкаре (Н. Poincare, [1]),
изучая дискретные группы дробно-линейных
преобразований верхней полуплоскости lm(z)>0
комплексной плоскости — фуксовы группы, заметил, что их
можно трактовать как группы движений плоскости
Лобачевского А2. Пусть Ж — группа движений А2,
сохраняющих ориентацию; Ах, . » ., А4т, яг>2,—
выпуклый 4яг-уголъник в А2 с попарно конгруэнтными
геодезич. сторонами
где i=l, . . ., m, Aim + 1=A1, сумма углов к-рого 2π.
Элементы о,I и hi из J£ переводят А4^_3^44ί·_2 в
A.UA*i-l И ^4/-2^4/-1 В ^4i-1^4/
соответственно (на рис. показан случай тп—2). Тогда
подгруппа TczJZ, порожденная элементами af·, Ь/,
действует на А2 без неподвижных точек, а заданный 4т-
угольник служит
фундаментальной областью этой
группы; при этом Г имеет
единственное определяющее соотношение
Факторпространство А2/Г
является ориентируемой компактной
г. п. ф. рода т, и каждая
двумерная ориентируемая компактная
"* г. п. ф. может быть получена
таким способом. Пусть теперь Г— абстрактная группа,
изоморфная фундаментальной группе ориентируемой
замкнутой поверхности рода т. Тогда существует
непрерывное отображение φ:ΓΧ#6/Λ-6-* if,
удовлетворяющее условиям: а) для всех x£R6m~6 отображение
ц>х : g ->- φ (g, χ) является мономорфизмом Г в J?;
б) подгруппы ΓΑΓ=φχ(Γ) и Тх^=ц>х^(Т) сопряжены в
J? тогда и только тогда, когда х=х; в) если
дискретная подгруппа T'aJZ изоморфна Г, то она сопряжена
с Тх для нек-рого x£R6m~6. Таким образом, семейство
неизоморфных компактных г. п. ф. размерности 2
рода m зависит от 6т—6 действительных параметров.
Двумерная компактная г. п. ф. естественным образом
наделяется структурой римановой поверхности, и
только что сформулированное утверждение
первоначально было доказано средствами теории униформи-
зации; геометрич. доказательство было дано в [7].
Указанные результаты обобщаются на некомпактные
г. п. ф., гомеоморфные сфере с конечным числом ручек
и дырок, а также на неориентируемые г. п. ф.
размерности 2. В противоположность двумерному случаю
не существует непрерывных семейств неизометричных
компактных г. п. ф. размерности больше 2. А именно,
компактные г. п. ф. размерности л^З, имеющие
изоморфные фундаментальные группы, изометричны.
Других общих результатов, непосредственно относящихся
к классификации л-мерных г. п. ф., в настоящее время
(1983) нет; примеры г. п. ф. размерности п^Ъ
приведены в [6], [8].
Кроме римановых П. ф. изучались их обобщения:
псевдоримановы, аффинные и комплексные П. ф. и
П. ф. симметрич. пространств (см., напр., [9]).
Лит.: [1] Пуанкаре Α., Избр. труды, т. 3, М., 1974;
[2] Τ h г е 1 f а 1 1 W., S e i f е г t Η., «Math. Ann.», 1930, Bd
104, S. 1—70; [3] Nowacki W., «Comment, math, helv.»,
1934, v. 7, p. 81—93; [4] Vincent G., там же; 1947, v. 20,
p. 117—71; [5] В о л ь ф Д ж., Пространства постоянной
кривизны, пер. с англ., М., 1982; [6] В и н б е ρ г Э. Б., «Матем.
сб.», 1969, т. 78, № 4, с. 633—39; [7] Натан зон С. М.,
«Успехи матем. наук», 1972, т. 27, в. 4, с. 145—60; [8] Mil 1-
son J. J., «Ann. Math.», 1976, v. 104, p. 235—47; [9] В o-
r e 1 Α., «Topology», 1963, № 2, p. 111 — 22. Я. P. Камышанский.
ПРОСТРАНСТВО — логически мыслимая форма (или
структура), служащая средой, в к-рой осуществляются
другие формы и те или иные конструкции. Напр., в
элементарной геометрии плоскость или пространство
служат средой, где строятся разнообразные фигуры.
В большинстве случаев в П. фиксируются отношения,
сходные по формальным свойствам с обычными
пространственными отношениями (расстояние между
точками, равенство фигур и др.), так что о таких П. можно
сказать, что они представляют логически мыслимые
пространственно-подобные формы. Первым и
важнейшим математич. П. является трехмерное евклидово
пространство, представляющее приближенный
абстрактный образ реального П. Общее понятие «П.» в
математике сложилось в результате обобщения и
видоизменения понятий геометрии евклидова П. Первые
П., отличные от трехмерного евклидова, были введены
в 1-й пол. 19 в. Это были Лобачевского пространство
и евклидово П. любого числа измерений (см.
Многомерная геометрия). Общее понятие о математич. П. как
«многократной протяженности» было выдвинуто в 1854
Б. Риманом (В. Riemann); оно обобщалось,
уточнялось и конкретизировалось в разных направлениях:
таковы, напр., риманово пространство, финслерово
пространство, векторное пространство, гильбертово
пространство, метрическое пространство, топологическое
пространство. В современной математике П.
определяют как множество каких-либо объектов, к-рые наз.
его точками; ими могут быть геометрич. фигуры,
функции, состояния физич. системы и т. д. Рассматривая
их множество как П., отвлекаются от всяких их
свойств и учитывают только те свойства их
совокупности, к-рые определяются принятыми во внимание или
введенными по определению отношениями. Эти
отношения между точками и теми или иными фигурами, т. е.
множествами точек, определяют «геометрию» П. При
аксиоматич. ее построении основные свойства этих
отношений выражаются в соответствующих аксиомах.
Примерами П. могут служить: 1) метрич. Π , в к-рых
определено расстояние между точками; напр., П. не-

713
ПРОСТРАНСТВО
714
прерывных функций на к.-л. отрезке [я, 61, где
точками служат функции f(x), непрерывные на [а, Ь], а
расстояние между /х (х) и /2(я) определяется как максимум
модуля их разности:
r = max|/i(z)— /a(*)|.
2) «П. событий», играющее важную роль в геометрич.
интерпретации теории относительности. Каждое
событие характеризуется положением — координатами х,
у, ζ и временем t, поэтому множество всевозможных
событий оказывается четырехмерным П., где «точка» —
событие определяется 4 координатами х, у, z, t. 3)
Фазовые П., рассматриваемые в теоретич. физике и
механике. Фазовое П. физич. системы — это совокупность
всех ее возможных состояний, к-рые рассматриваются
при ЭТОМ как ТОЧКИ ЭТОГО П. А. Д. Александров.
/^-ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство
с умножением, обладающим двусторонней гомотопич.
единицей. Подробнее, пунктированное топологич.
пространство (Χ, е), для к-рого задано непрерывное
отображение т : XX X -> X, наз.
//-пространством, если т(е, е)=е и отображение X -> Χ, χ ->
-+т(х, е) и х-+т(е, х) гомотопны rel(e, e
Тождественному отображению. Отмеченная точка е наз.
гомотопической единицей Я-П. X. Иногда
термин «//-П.» употребляется в более узком смысле,
при к-ром требуется, чтобы отображение т : XXX ->
-*Х было гомотопически
ассоциативным, т. е. чтобы отображения
т о (т χ id), т о (id X т): X X X X X —► X
были гомотопны rel (β, е, е) между собой. Иногда
требуется также существование гомотопически
обратных элементов. Это значит, что
должно быть задано отображение μ : (X, е) -> (Χ, е), для
к-рого отображения
X —► Χ, χ —> т (χ, μ (χ)), χ —г τη (μ (χ), χ)
гомотопны постоянному отображению X ->· е. Напр.,
для любого пунктированного топологич. пространства
Υ петель пространство Ω У является гомотопически
ассоциативным //-П. с гомотопически обратными
элементами, а Ω2Υ—Ω(ΩΥ) является также и
коммутативным Я-П., то есть таким, что отображения
X X X —> X, (я, у) —► т (х, у), (х, у) —► т {у, х)
гомотопны. Группы когомологий Я-П. образуют Хопфа
алгебру.
Лит.: [1] БордманДж., Фогт Р., Гомотопически
инвариантные алгебраические структуры на топологических
пространствах, пер. с англ., М., 1977. А. Ф. Харшиладзе.
/^-ПРОСТРАНСТВО, Канторовича
пространство,— порядково полное векторное
пространство, т. е. векторное полуупорядоченное
пространство, в к-ром всякое ограниченное сверху
множество имеет верхнюю грань. Открыто Л. В.
Канторовичем [1].
Лит.: [1] К а н τ ο ρ о в и ч Л. В., «Матем. сб.», 1937, т. 2,
с. 121 —68. М. И. Войцеховский.
ПРОСТРАНСТВО НАД АЛГЕБРОЙ — пространство,
обладающее дифференциально-геометрической
структурой, точки к-рого могут быть снабжены
координатами из нек-рой алгебры. В большинстве случаев алгебра
предполагается ассоциативной с единицей, иногда —
альтернативной с единицей (см. Ассоциативные кольца
и алгебры, Альтернативные кольца и алгебры).
Для построения широкого класса П. н. а. можно
исходить из понятия унитарного модуля над алгеброй,
определение к-рого получается из определения
векторного пространства над телом путем замены тела
на ассоциативную алгебру с единицей (см. [1J, [3]).
В результате присоединения к элементам модуля,
называемым векторами, новых элементов, называемых
точками, связанных с векторами теми же аксиомами,
что и точки аффинного пространства с его векторами,
получается аффинное пространство над ассоциативной
алгеброй с единицей. Аффинные преобразования в
аффинном пространстве над алгеброй имеют в
координатах вид
*f = J%=1Alif(xJ)+a!,
где f(x) — непрерывный автоморфизм алгебры, η
-мерное аффинное пространство над алгеброй, имеющей
ранг г над нек-рым полем, допускает естественную
модель (представление) в иг-мерном аффинном
пространстве над тем же полем. В этой модели каждая точка
аффинного пространства над алгеброй изображается
точкой лг-мерного аффинного пространства над
рассматриваемым полем, координатами к-рой являются
коэффициенты разложений координат точек
пространства над алгеброй по базисным элементам алгебры.
В случае, когда базисные элементы ε^, 4 = 1, . . ., г,
алгебры связаны между собой структурными
уравнениями
*АЪв = У(Хввс*
где Уав — структурные константы алгебры, каждому
базисному элементу ε^ соответствует в модели линейное
преобразование с матрицей
Ул
О
... О
Уа
(*)
где по диагонали стоят η одинаковых г-мерных блоков
Yi4= HySbII· ^ аффинных пространствах над алгебрами
можно задать эрмитову метрику (евклидову и
псевдоевклидову), а в случае коммутативных алгебр и
квадратичную (евклидову и псевдоевклидову) метрику. Для
этого в унитарном модуле определяется скалярное
произведение векторов (а, Ъ), в первом случае
обладающее свойством
(а, Ь) = (Ъ, а)1,
где / — инволютивный антиавтоморфизм (инволюция)
в алгебре, а во втором случае — свойством
(а, Ъ) = (Ъ, а).
Скалярный квадрат вектора А В определяет метрич.
инварианты пары точек А и В; движения евклидовых
и псевдоевклидовых пространств — аффинные
преобразования, сохраняющие скалярное произведение
векторов. При замене в определении эллиптических и
гиперболических П. н. а. скалярного произведения
векторов скалярным произведением векторов (ос, у), для
к-рого (ос, у)=—(у, ос)1 или (ос, у)=— (у, ос),
получается эрмитово, или квадратичное
симплектическое, П.н. а.
Многообразие одномерных подмодулей (л+1)
-мерного унитарного модуля над алгеброй К наз. л-мерным
проективным пространством над
алгеброй К; точками этого пространства наз.
одномерные подмодули, а координаты векторов этих
подмодулей наз. проективными координатами точек.
В проективном П. н. а. определяются так же, как в
проективных пространствах над полями, коллинеации
и корреляции. В проективных координатах
коллинеации имеют вид
*"=5£i4><*y>·

715
ПРОСТРАНСТВО ОТОБРАЖЕНИЙ
716
где / (х) — непрерывный автоморфизм алгебры, а
корреляции имеют вид
где / (х) — непрерывный антиавтоморфизм алгебры, а
ut — проективные координаты гиперплоскости.
Введение скалярного произведения векторов в унитарном
модуле позволяет определить в проективном
пространстве, построенном с помощью этого модуля, эрмитовы
или, в случае коммутативной алгебры, квадратичные
эллиптические и гиперболич. метрики. Метрич.
инварианты точек этих пространств определяются
скалярными произведениями векторов а? ту соответствующих
подмодулей с помощью двойного отношения
W = (oc, ж)-1 (ж, у) {у, у)'1 (у, ос).
В том случае, когда W — действительное число,
инвариант ω, для к-рого W=cos2 ω, наз. расстояни-
е м между соответствующими точками (см. [2]).
Проективные, эллиптические, гиперболические и
симплектич. пространства над действительными про-
стыми алгебрами (напр., алгебрами действительных,
комплексных и кватернионных матриц) обладают тем
свойством, что их фундаментальные группы являются
простыми группами Ли бесконечных серий.
Евклидовы, псевдоевклидовы и квазиэллиптические,
квазигиперболические и квазисимплектич. пространства над
теми же алгебрами обладают тем свойством, что их
фундаментальные группы являются квазипростыми
группами Ли тех же серий (см. [2]); тем же свойством
обладают проективные, эллиптические,
гиперболические и симплектич. пространства над полупростыми
алгебрами, к к-рым относится алгебра дуальных чисел.
Несколько сложнее определяются проективные и
эрмитовы (эллиптические и гиперболические)
плоскости над альтернативными алгебрами. Фундаментальные
группы этих плоскостей являются простыми или
квазипростыми группами Ли нек-рых особых классов.
Лит.: [i] Б у ρ б а к и Η., Алгебра. Алгебраические
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М.,
1962; [2] Ρ о з е н φ е л ь д Б. Α., Неевклидовы пространства,
М., 1969; [3] В е η ζ W., Vorlesungen tiber Geometrie der Algeb-
ren, В., 1973. Б. А. Розенфельв, А. П. Широков.
ПРОСТРАНСТВО ОТОБРАЖЕНИЙ
топологическое— множество F отображений множества X
в топологич. пространство У с какой-нибудь
естественной топологией Τ на F. При фиксированных множестве
X и пространстве У получаются различные П. о. в
зависимости от того, какие отображения X —>■ Υ
включаются в F и какая естественная топология берется
на F. Выбор F связан с наличием на X и У
дополнительных структур и спецификой рассматриваемой
ситуации. Так, в качестве F могут фигурировать: множество
всех непрерывных отображений множества X в
пространство У, множество всех отображений множества X
в пространство У, множество всех непрерывных
линейных отображений топологического векторного
пространства X в топологическое векторное пространство
У, множество всех непрерывных гомоморфизмов
топологич. группы X в топологич. группу У, множество
всех гладких отображений отрезка в прямую и т. д.
Важность рассмотрения П. о. в определенной мере
вызвана тем, что отображения представляют собой
наиболее общий способ сравнения математич.
объектов.
Естественные топологии (на множестве F) обычно
определяются по следующей схеме. В F фиксируется
семейство S подмножеств, и предбаза топологии Τ на F
составляется из множеств вида
V(A, V) = {f £F; f(A)dV},
где A £S и V — любое открытое множество в F. Если
S — семейство всех конечных (или одноточечных)
подмножеств множества X, то Τ наз. топологией
поточечной сходимости на X. Если S
состоит из всех компактных подмножеств топологич.
пространства X, то Τ наз. компактно
открытой топологией. Если Χ ζ S, то Τ наз.
топологией равномерной сходимости (на
X). Впрочем, всякую топологию Τ на F, получаемую
по этой схеме, наз. топологией равномерной
сходимости на элементах семейства S.
В зависимости от области математики те или иные
П. о. оказываются особенно важными. К числу
центральных объектов функционального анализа относятся
банаховы пространства непрерывных функций на
компактах в топологии нормы, т. е. топологии
равномерной сходимости, ив слабой
топологии, к-рая описывается в терминах поточечной
сходимости. В теории гомотопий важную роль играет
пространство путей в топологич. пространстве, т. е.
пространство непрерывных отображений
действительного отрезка в это пространство. Гомотопий одного
отображения в другое представляются путем в
пространстве отображений. П. о. сфер в сферы возникает
при определении гомотопических и когомотопических
групп.
Особенно естественной на множестве всех
отображений одного ^-пространства в другое оказывается
компактно открытая топология. Преимуществом топологии
равномерной сходимости (на всем пространстве)
является ее метризуемость. Эта топология — сильнейшая
в большом классе естественных топологий на П. о.
Но обладает важными преимуществами и топология
поточечной сходимости — слабейшая в том же круге
топологий. Во-первых, эта топология обладает
наибольшим запасом компактов, как слабейшая, а
компактность является одним из наиболее полезных свойств
множества функций. Во-вторых, имеет место
фундаментальный результат Дз. Нагаты (J. Nagata), к-рым
изучение любых тихоновских пространств ставится в
прямую связь с исследованием топологич. колец.
А именно, тихоновские пространства X и У гомеоморф-
ны в том и только в том случае, если топологически
изоморфны топологич. кольца Ср(Х) и Сp(Y)
непрерывных функций на X и У, взятые в топологии
поточечной сходимости.
Рассмотрение топологич. свойств П. о. полезно при
доказательстве теорем о существовании отображений
с тем или иным свойством Полнота метрич.
пространства непрерывных действительных функций на компакте
через принцип сжатых отображений применяется для
доказательства фундаментальной теоремы о
существовании решения дифференциального уравнения в
известных предположениях. Следствием полноты метрич.
пространства функций является Б-эра свойство. На этой
основе доказывается, напр., существование
непрерывной нигде не дифференцируемой функции на отрезке.
Свойство Бэра П. о. играет центральную роль при
доказательстве теорем общего положения, при
доказательстве известной теоремы о вложимости каждого
и-мерного компакта со счетной базой в (2и+1)-мерное
евклидово пространство, и т. п.
Влияние пространств действительных функций на
общую топологию проявилось в следующей задаче
общего характера: как связаны свойства пространств X
и У, если пространства непрерывных действительных
функций над ними (в топологии поточечной сходимости,
в компактно открытой топологии) гомеоморфны
(линейно гомеоморфны). Известно, напр., что линейные
гомеоморфизмы сохраняют компактность и размерность.
Существенное значение имеет наследование
двойственности между свойствами топологич. пространства и
топологич. свойствами пространства функций над ним
в топологии поточечной сходимости. Примером полез-

717 ПРОСТРАНСТВО С ИНД1
ного результата в этой области может служить теорема:
любая конечная степень пространства линделёфова в
том и только в том случае, если пространство функций
над ним имеет счетную тесноту. Этот результат
применяется, в частности, при исследовании строения
компактов Эберлейна — компактов,
лежащих в банаховых пространствах, наделенных слабой
топологией.
Лит.: [1] К е л л и Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ.,
М., 1981. А. В. Архангельский.
ПРОСТРАНСТВО С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ,
G-u ространств о,— пара объектов (Е, G), из
к-рых первый есть векторное пространство Ε над полем
комплексных чисел, а второй есть билинейная (точнее,
полуторалинейная) форма G над Е\ эта форма наз.
также G-метрикой. Если G — положительно
определенная (т. н. дефинитная) форма, то G есть
скалярное произведение в Е, и с помощью G можно канонич.
способом (см., напр., Гильбертово пространство с
индефинитной метрикой) ввести норму и расстояние
(т. е. обычную метрику) для элементов из Е. В случае
общей полуторалинейной формы нет норм или метрик,
канонически связанных с G, и термин «^-метрика» лишь
напоминает о тесной связи дефинитных полуторалиней-
ных форм с нек-рыми метриками в векторных
пространствах.
Теория конечномерных пространств
с индефинитной метрикой, наз. чаще
билинейно метрич. пространствами или
пространствами с билинейной метрикой,
разработана еще Г. Фробениусом и излагается в курсах
линейной алгебры (см. [1]).
Основной целью общей теории П. си. м.
является выделение и исследование сравнительно
простых, но важных для приложений классов
несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. П. с
и. м. впервые введены Л. С. Понтрягиным [2]
(подробнее см. Понтрягина пространство).
Теория П. с и. м. развивается по двум
направлениям — геометрия этих пространств и линейные
операторы в них.
Геометрия общих П. с и. м. в основном исследует:
а) связь G-метрики с различными топологиями на Е\
б) классификацию векторных подпространств
(линеалов) в Ε относительно G-метрики (особенно т. н.
дефинитных подпространств; см. ниже); в) свойства G-npo-
ектирования; г) базисы G-пространств.
В случае эрмитовой G-метрики (G3-
метрики), т. е. такой, что G(x, y)=G(y, x) для
всех χ, у£Е, важнейшими понятиями и результатами
геометрии П. с и. м. являются следующие. Пусть
каждому вектору у ζ Ε поставлен в соответствие линейный
функционал Gy : χ ->► G(x, у), χζΕ. Топология
τ на £ наз. подчиняющей б - м е τ ρ и к у,
если функционал Gy непрерывен в τ для всех у£Е;
топология τ наз. согласующейся с
G-м е т ρ и к о й, если она подчиняет G и каждый
τ-непрерывный функционал имеет вид Gy, у£Е. В
пространстве Ε с индефинитной метрикой можно задать
не более одной топологии Фреше, подчиняющей G, и,
однако, не каждая G-метрика допускает такую
топологию (см. [4]). Если подчиняющая G-метрику топология
является предгильбертовой топологией на Ε и задается
в Ε скалярным произведением //(·, ·)> то форма Η
наз. эрмитово неотрицательной
мажорантой формы G; в этом случае
\G{x, у)\2<СН {χ, х)Н(у, у), С = const, χ, у а Е.
После пополнения по //-норме получается
гильбертово пространство с индефинитной
метрикой (£, G), где G — продолжение G но не-
инитной метрикой 718
прерывности на все пространство Е, При этом метрика
G может оказаться вырожденной, даже если G —
невырожденная метрика. Этого вырождения не происходит,
если метрика G невырождена и наибольшая из
размерностей κ положительных подпространств в Ε конечна.
В последнем случае получается пространство
Понтрягина Πκ·
Подпространство L в пространстве (Е, G) с
индефинитной метрикой наз. положительным
подпространством, отрицательным
подпространством (общее название —
дефинитным подпространством) или н е й т-
ральным подпространством, в
зависимости от того, будет ли G(x, x)>0, G(x, #)<0 или
G{x, x) = 0 для любого x£L; подпространство
максимально положительно, если оно
положительно и не может быть расширено с сохранением этого
свойства. Всякое подпространство одного из названных
типов содержится в максимальном подпространстве
того же типа.
Важную роль в классификации подпространств в
пространствах с индефинитной метрикой играют
понятия канонического разложения и G-
ортогонального проектирования.
Вектор χζΕ наз. G-o ртогональным к
подпространству LczE (= изотропным
подпространством относительно L), если
G(x, y)=0 для любого y£L. Подпространство L наз.
вырожденным, если оно содержит хотя бы
один ненулевой вектор, изотропный относительно L.
Если L — подпространство в пространстве Ε с
индефинитной метрикой, то L'= {у : G(x, у) = 0, V-ζζΖ,}—
его G-o ртогональное дополнение.
Всегда Ε"=Ετ, где τ — любая топология, согласующаяся
с G. G-ортогональное дополнение V вырожденного
векторного подпространства L является вырожденным
векторным подпространством, замкнутым относительно
любой топологии τ, согласующейся с G, a L[\LL есть
векторное подпространство изотропных элементов.
Подпространство L наз. проекционно пол-
н ы м, если каждый вектор у £ Ε имеет G-n ρ о е к ц и ю
на L, т. е. существует такое y0£L, что G(x, у—у0) = 0
для каждого x£L. Единственность G-проекции на L
равносильна невырожденности подпространства L, а
ее существование зависит от непрерывности
функционала Gy в топологиях на L, согласующихся с G. Если
Μ и N являются G-ортогональными подпространствами
и Μ+Ν=Ε, то Μ и N проекционно полны; если L —
проекционно полное подпространство, то L-\-L' = E,
причем сумма есть прямая сумма, если Ε —
невырожденное пространство с индефинитной метрикой.
Пусть L — дефинитное подпространство в
пространстве с индефинитной метрикой Е; оно наз.
регулярным, если каждый функционал Gy, y£E,
непрерывен на L в норме ||ж||0=|Сг(я, х)\^2. В противном
случае оно наз. сингулярным. Всякое
невырожденное бесконечномерное пространство с
индефинитной метрикой содержит сингулярные
подпространства. Дефинитное подпространство L проекционно
полно в том и только в том случае, если оно регулярно
и если для любого у£Е найдется такой вектор x£L,
что
\\xfG4GytG = G(x, у).
Линейные операторы в пространствах с индефинитной
метрикой изучались в основном в гильбертовых
пространствах с индефинитной метрикой; имеется обзор
банаховых аналогов (см. [8]).
Как и в случае гильбертовых пространств с
индефинитной метрикой, важным инструментом изучения
геометрии П. с и. м. и линейных операторов в прост-

719
ПРОСТРАНСТВО С МЕРОЙ
720
ранствах (Е, G), наделенных нек-рой топологией,
согласованной с G, являются так наз. G-o ρ τ о н о р-
мированные базисы в Е, т. е. такие базисы
{еп} топологического векторного пространства Е, что
(С*Л> *n)=±6fcn; к, п=1, 2, . . . (см. [4]).
Лит.: [1] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры,
3 изд., М., 1970; [2] Π о н τ ρ я г и н Л. С, «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1944, т. 8, с. 243—80; ИЗ] Иох видов И. С,
К ρ е й н М. Г., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1956, т. 5, с. 367—
432; [4] Гинзбург Ю. П., Иохвидов И. С, «Успехи
матем. наук», 1962, т. 17, № 4, с. 3—56; [5] К ρ е й н М. Г.,
в кн.: Вторая летняя матем. школа, ч. 1, К., 1965, с. 15—92; [6]
Азизов Т. Я., Иохвидов И. С, «Успехи матем. наук»,
1971, т. 26, в. 4, с. 43—92; [7] Η а д ь К., Пространства
состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля, пер. с
англ., М., 1969; [8] И о χ в и д о в И. С, «Изв. АН Молд. ССР»,
1968, № 1, с. 60—80. Я. К. Никольский, Б. С. Павлов.
ПРОСТРАНСТВО С МЕРОЙ (Χ, 4, μ) — измеримое
пространство (X, А) с заданной на А мерой μ (т. е.
счетно аддитивной функцией со значениями в [0, оо],
для к-рой μ(0)=Ο; последнее свойство следует из
аддитивности, если мера конечна, т. е. не принимает
значения оо, и даже если имеется хоть одно ΥζΑ с
μ^<οο). Запись (X, Л, μ) часто сокращают до (Χ, μ)
и говорят, что μ есть мера на X; иногда эту запись
сокращают даже до X. Основной случай — когда А
является σ-алгеброй и X можно представить в виде
U η=ι%η с %п€.А и M^rc<°°; меру в этом случае наз.
(вполне) σ-κ онечной (а если μΧ<οο, то
(вполне) конечной). Такова, напр., мера
Лебега на R (см. Лебега пространство). Однако иногда
встречаются и не σ-конечные меры, как, напр., /с-мер-
ная Хаусдорфа мера на R" при к<п. Встречаются
также модификации, когда μ принимает значения в (—оо,
оо], комплексные или векторные значения, а также
когда μ всего лишь конечно аддитивна.
Лит.: [1] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М.,
1953; [2] Д анфордН., Шварц Д ж., Линейные операторы,
ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1962. Д. В. Аносов.
ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ — термин, обозначающий
геометрич. конструкцию, к-рая описывает
пространственные и временные отношения в тех физич. теориях,
в к-рых эти отношения рассматриваются как взаимо-
зависящие (эти теории принято наз. релятивистскими).
Впервые понятие П.-в. возникло при формулировке
и систематизации основных положений теории
относительности. П.-в. этой теории является четырехмерным
псевдоевклидовым пространством E\it а) с линейным
элементом
ds2 = c2dt2 — dx2 — dy2—dz2,
где я, у, ζ — пространственные координаты, a t —
временная координата, с — скорость света. Эта
система координат называется в физике галилеевой системой
координат и соответствует инерциальной системе
отсчета. Переход между различными галилеевыми
системами координат, соответствующий рассмотрению инер-
циальных систем отсчета, движущихся друг
относительно друга, осуществляется с помощью Лоренца
преобразований. То, что значение временной координаты в
новой системе координат оказывается при этом
выраженным как через временную, так и через
пространственные координаты старой системы координат, отражает
взаимозависимость пространственных и временных
отношений в специальной теории относительности. П.-в.
специальной теории относительности принято называть
также П.-в. Минковского, лоренцевым
П.-в.
В общей теории относительности в качестве П.-в.
используются различные четырехмерные псевдорима-
новы пространства сигнатуры (1, 3). Отличие метрики
этого П.-в. от плоской метрики П.-в. специальной
теории относительности описывает в общей теории
относительности гравитационное поле (см. Гравитация).
В свою очередь метрика П.-в. связана с
распределением и свойствами негравитационных полей и различных
видов с помощью Эйнштейна уравнений.
Выработка концепции П.-в. сыграла важную роль в
преодолении метафизич. подхода к пространству как
абсолютному вместилищу тел и к времени как
абсолютной длительности, не связанной с реальными
физич. процессами.
В дальнейшем концепция П.-в. в той или иной форме
входит в структуру других физич. теорий,
рассматривающих релятивистские эффекты (релятивистской
квантовой механики, квантовой теории поля и др.). В общей
теории относительности были изучены многие типы
П.-в., являющиеся решениями уравнений Эйнштейна.
Качественное различие между пространственными и
временными отношениями с точки зрения
релятивистской физики находит свое отражение в наличии в
П.-в. векторов различной природы — пространственно-
и времениподобных векторов, образующих в
касательных пространствах конусы. Соответственно, метрика
П.-в. оказывается индефинитной, пространственно- и
времениподобные векторы имеют разные знаки
скалярного квадрата. Границу между конусами
пространственно- и времениподобных векторов образует
изотропный конус, изотропные векторы к-рого имеют
нулевой скалярный квадрат и соответствуют движению
света и других частиц с нулевой массой покоя.
Многие специфич. эффекты теории относительности
связаны именно с индефинитностью метрики П.-в. и
с наличием структуры изотропных конусов на П.-в.
Напр., лоренцево замедление времени есть следствие
обратного неравенства треугольника в пространстве с
индефинитной метрикой, согласно к-рому в двумерном
псевдоевклидовом пространстве наклонная всегда
короче своей проекции.
Во многих случаях оказывается полезным в
различной степени отвлекаться от конкретного строения
метрики П.-в. и рассматривать лишь свойства структуры
изотропных конусов на П.-в., то есть рассматривать
различные т. н. общие пространства кинематич. типа,
или времениподобные пространства.
При ретроспективном анализе предшествующих
физич. теорий с точки зрения теории относительности
были построены различные типы П.-в., к-рые можно
условно поставить в соответствие ньютоновской
механике (галилеево пространство) и даже физич.
представлениям Аристотеля (см. [5]). Эти П.-в. являются
различными пространствами с вырожденным
изотропным (световым) конусом (напр., полуримановым
пространством). Именно вырождение изотропного конуса
позволяет рассматривать эти пространства как
предельные случаи П.-в. теории относительности и
сопоставлять их тем теориям, исходной внутренней
структуре к-рых концепция П.-в. была чужда.
Лит.: [1] Эйнштейн Α., Собр. науч. трудов, т. 1—4,
Μ , 1965—67; [2] Александров А. Д., «Вопросы
философии», 1959, №1, с. 67—84; [3] Ландау Л. Д., Л и ф-
ши ц Е. М., Теория поля, 6 изд., М., 1973 (Теоретич. физика,
т. 2); [4] Ρ а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и
тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [5] Π е н ρ о у з Р., Структура
пространства-времени, пер. с англ., М., 1972. Д. Д. Соколов.
ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ ТЕОРЕМА - теорема, по
лучающаяся путем замены условия и заключения
данной исходной теоремы их отрицаниями.
ПРОТИВОРЕЧИВЫЙ КЛАСС — класс К формул
языка узкого исчисления предикатов (УИП) такой,
что существует такая формула φ, что средствами УИП
из К выводимо как φ, так и ~~|ф (отрицание φ). Другими
словами, если к аксиомам УИП добавить все формулы
из К в качестве новых аксиом, то в полученном
исчислении будет выводима как формула φ, так и формула
~]ф· В. И. Гришин.
ПРОТИВОРЕЧИЕ — формула φ языка узкого
исчисления предикатов (УИП) такая, что во всех моделях

721 πρ;
этого языка она ложна. Формула φ является П. тогда
и только тогда, когда ~]φ выводимо в УИП.
В. Н. Гришин.
ПРОТИВОРЕЧИЯ ЗАКОН — логический закон,
утверждающий, что никакое высказывание не может
быть истинным одновременно со своим отрицанием.
В языке исчисления высказываний П. з. выражается
формулой
Ί (Λ&Ί А).
Эта формула выводима как в классическом, так и в
интуиционистском исчислении высказываний.
В. Н. Гришин.
ПРОЦЕДУРА — 1) Последовательность действий,
выполняемая закономерно, согласно точному
предписанию; алгоритм.
2) П.— особым образом оформленная программа,
решающая задачу, частную по отношению к другой,
более широкой задаче; фундаментальная конструкция
алгоритмических языков.
П. является главным средством преодоления
сложности программирования путем систематич. разделения
задачи на части. Различают два способа выделения П.
при программировании: нисходящий и восходящий.
При нисходящем способе П. возникает при
однократном разбиении задачи на малое число
стандартно сопрягаемых подзадач; тем самым П.
идентифицируется до того, как будет построена ее программа.
При восходящем способе П.
заготавливается впрок, с тем чтобы в дальнейшем быть
использованной при решении более широкой задачи как
элементарное действие.
Программа, образующая П., обычно содержит
свободные переменные, называемые формальными
параметрами П. При обращении к выполнению П.
формальным параметрам придаются их значения, называемые
фактич. параметрами. Описание П. обычно состоит из
четырех частей: тела П., т. е. собственно программы,
образующей П., имени П., списка формальных
параметров и атрибутов — перечня свойств П. Обычно
атрибуты характеризуют множества, к-рым
принадлежат значения формальных параметров и результатов
П. Простейшим видом П. являются процедуры-
функции. Для них формальные параметры
являются аргументами функции, а обращение к П.-функции,
имеющее вид имени П., за к-рым стоит в скобках список
фактич. параметров, означает «команду» вычисления
значения функции, соответствующего этим
параметрам. А. П. Ершов.
ПРЮФЕРА ПОВЕРХНОСТЬ — пример двумерного
действительного аналитич. многообразия, не имеющего
счетного базиса открытых множеств; приведен в работе
Т. Радо [1]. Имеется обобщение П. п. на случай любой
четной размерности (см. [2]). Однако всякая риманова
поверхность имеет счетный базис открытых множеств
(теорема Радо).
Лит.: ll] R a d ό Т., «Acta Szeged», 1925, v. 2, p. 101 — 21;
[2] С a 1 a b i Ε., RosenlichtM., «Pmc. Amer. Math. Soc»,
1953, v. 4, p. 335 — 40; [3] Спрингер Дж., Введение
в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; L4J
Неванлиниа Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955.
Е. Д. Соломенцев.
ПРЯМАЯ — одно из основных геометрич понятий.
П. обычно косвенным образом определяется
аксиомами геометрии; напр., евклидова П.— аксиомами
инцидентности, порядка, конгруэнтности, непрерывности.
П. наз. проективной, аффинной, гиперболической и
т. д. в зависимости от плоскости, в к-рую она вложена.
П. можно изучать по ее преобразованиям,
индуцируемыми коллинеациями плоскости. Так, напр., группа
алгебраич. автоморфизмов действительной
проективной П. изоморфна группе перемещений действительной
плоскости Лобачевского. Топологически все П. одной
плоскости эквивалентны. Так, эллиптическая и дейст-
1АЯ 722
вительная проективная П. топологически
эквивалентны окружности евклидовой плоскости, а комплексная
проективная П.— двумерной сфере евклидова
пространства. П. наз. непрерывной, дискретной или
конечной, если она инцидентна со множеством точек
мощности континуума, счетным или конечным множеством
с оответственно.
В плоскости над произвольным полем под П.
понимают алгебраич. линию 1-го порядка. В
прямоугольной системе координат (х, у) евклидовой плоскости
IR2 П. задается линейным уравнением
коэффициенты Α , В определяют координаты
нормального вектора этой прямой.
Прямой (А, В) аффинного пространства над полем к
(по Вейлю) наз. множество таких точек М, что АМ=
— lAB, где t£k. в> в- Афанасьев, Л. А. Сидоров.
ПРЯМАЯ СУММА — конструкция, широко
используемая в теориях таких математич. структур, категории
к-рых близки к абелевым категориям; в неабелевом
случае конструкция прямой суммы обычно наз, д и с-
к ρ е τ н ы м прямым произведением.
Пусть U — нек-рый класс однотипных алгебраич.
систем, содержащих одноэлементную (нулевую)
подсистему. Прямой суммой или (дискретным) прямым
произведением систем Χ,·, ΐζ/, из класса U наз.
подсистема прямого произведения ^~ТТ. ,^ι» состоящая
из таких функций / : / -> X, все значения к-рых,
кроме конечного числа, принадлежат соответствующим
нулевым подсистемам. П. с. обозначается одним из
следующих способов:
п®, *.·- п2/*<. s;e,*·
Для конечного числа слагаемых используются также
обозначения
Xi+...+Χη, Χι®...0ΧΛ.
Непосредственно из определений следует совпадение
П. с. и прямого произведения в случае конечности
числа слагаемых.
Для каждого слагаемого П. с. Х= Д. X,-
существует канонич. вложение q{ : X,■ —>- X, к-рое элементу
χξ:Χί сопоставляет функцию qi{x) : I —»- X,
принимающую значение χ при значении аргумента i и равную
нулю в остальных случаях. Следовательно, можно
считать, что П. с. содержит свои слагаемые. В случае
Ω-групп (в частности, в случае групп, абелевых групп,
векторных пространств, колец) можно дать
«внутреннее» определение П. с. Ω-группа G является П. с. своих
Ω-подгрупп б?,·, ίζ/, если выполнены следующие
условия: a) G порождается Gh ΐζ/; б) каждая Ω-подгруппа
Gj является идеалом в о; в) пересечение G; с
Ω-подгруппой, порожденной остальными идеалами, является
нулевой подгруппой для каждого i.
Всякое векторное пространство есть П. с.
одномерных подпространств. Всякая свободная абелева группа
является П. с. бесконечных циклич. групп. Всякая
конечная абелева группа есть П. с. примарных циклич.
групп. Всякое ассоциативное кольцо с единицей,
удовлетворяющее условию минимальности для идеалов,
есть П. с. конечного числа полных колец линейных
преобразований подходящих конечномерных
векторных пространств.
В теории групп, решеток и категорий глубокое
развитие получила проблема изоморфизма прямых
разложений, начало к-рой было положено теоремой Рема-
ка — Шмидта о центральном изоморфизме прямых

723
ПРЯМОЕ
724
разложений групп, обладающих главным рядом (см.
Крулля — Ремака — Шмидта теорема).
В теории категорий иногда П. с. наз. понятие,
двойственное понятию произведения, т. е. копроизве-
дение объектов категории. м. ш. Цаленко.
0-ПРЯМОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ полугрупп с
нулем— полугруппа, полученная из данного семейства
{Sa} полугрупп с нулем, попарно пересекающихся
лишь по этому нулю, заданием на объединении \JSa
операции умножения, совпадающей с исходной
операцией на каждой полугруппе Sa и такой, что £α£β=0
для любых различных α, β. 0-Π. о. наз. также
ортогональной суммой. Описание ряда типов
полугрупп устанавливает возможность их разложения
в 0-П. о. тех или иных известных полугрупп (см.,
напр., Максимальный идеал, Минимальный идеал,
Регулярная полугруппа).
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 2, М., 1972.
Л. Н. Шеврин.
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — одна из основных
общематематич. конструкций, идея к-рой принадлежит
Декарту; поэтому П. п. наз. также декартовым
произведением. П. п., или просто
произведением, двух непустых множеств X и Υ наз. множество
ΧΧΫ, состоящее из всех упорядоченных пар вида
(х, у), гдея^Х, y£Y:
ΧχΥ={(χ, у)\х£Х, у ζ У}.
Если одно из множеств X или У пусто, то произведение
пусто. Множество ΧΧΥ можно отождествить с
множеством функций, определенных на двухэлементном
множестве {1, 2} и принимающих значения в
множестве X при значении аргумента, равном 1, и в множестве
У при значении аргумента, равном 2. Это
отождествление позволяет распространить определение П. п. на
случай любого количества множителей. Пусть / —
нек-рое множество индексов и пусть Х[ —
произвольное семейство множеств, заиндексированных
элементами множества /. П. п. семейства множеств Χ,·, ίζ/,
наз. множество таких функций / : I -+ X, где Х= (J Xh
iei
что f(i)£Xi для каждого ίζ/. Обычно П. п.
обозначается ТТ. Χι; для конечного множества индексов
/= {1, .. ., η } используются также обозначения JJ. Хг·
или ΧλΧΧ2Χ. . .ХХп. Если / состоит из одного
элемента 1, то ΤΤΐ = ιΧι=Χι· Иногда П. п. конечного числа
множителей определяется индуктивно:
JJ.= i X, = Хи Ц2=1 Xi = {(x1, х2)\хг ζ Xlf х2 ξ Х2},
π;^-π::>*χ*»·
Значение конструкции П. п. определяется прежде
всего тем, что в нем естественно вводится
дополнительная структура, если все множители являются
однотипными математич. структурами. Напр., пусть X,·,
ίζΐ,— однотипные алгебраич. системы, т. е.
множества с общей сигнатурой конечноместных
предикатов и операций. Тогда произведение Х = ТТ. ΊΧί
превращается в алгебраич. систему с той же сигнатурой:
для функций /х, . . .,/„:/-> X и л-арной операции ω
действие функции /х. . ./„ω на элемент ί определяется
равенством
/ι ... /«со (i) = /х (0 ... fn(i) ω;
значение предиката Ρ (/χ, . . ., /„) истинно, если для
любого i£I истинно значение P(f1(i), . . ., fn(i)). При
этом выполнение во всех X/ определенных тождеств
влечет за собой их выполнение в произведении.
Поэтому П. п. полугрупп, групп, колец, векторных
пространств и т. п. снова являются полугруппами,
группами, кольцами, векторными пространствами
соответственно.
Для любого множителя П. п. X=JJ- .Xi существует
естественная проекция pi : X —> X,·,
определяемая равенством fpi~f(i). Множество X и
семейство проекций ρι, ίξ_Ι, обладают следующим
универсальным свойством: для любого
семейства отображений g( : У -► X,- существует такое
однозначно определенное отображение h : У —>■ X, что
8i~hPi Для каждого ίζΐ. Это свойство сохраняется
в случае, когда все X/ — однотипные алгебраич.
системы, и позволяет определить подходящую топология,
структуру П. п. топологич. пространств.
Сформулированное свойство лежит в основе определения
произведения объектов категории.
Многие задачи математики связаны с описанием
математич. объектов, неразложимых в П. п., и с
выяснением условий, при к-рых множители произведения
определены однозначно с точностью до изоморфизма.
Классич. результатами здесь являются теорема о
строении конечно порожденных модулей над кольцом
главных идеалов и теорема Ремака — Шмидта о
центральном изоморфизме прямых разложений групп с
главным рядом.
П. п. иногда наз. полным прямым
произведением в отличие от дискретного прямого
произведения (или прямой суммы), к-рое определяется в
тех случаях, когда дополнительная структура в
множителях позволяет выделить одноэлементные
подструктуры (напр., единичные подгруппы, нулевые
подпространства и т. п.). Как правило, П. п. конечного
числа множителей совпадает с дискретным
произведением. М. Ш. Цаленко.
ПРЯМОЙ ПЕРЕСЧЕТ — пересчет элементов нек-рого
множества натуральных чисел в порядке их
возрастания. Точнее, П. п. множества А натуральных чисел
есть строго возрастающая функция натурального
аргумента, область значений к-рой совпадает с А. В
теории алгоритмов рекурсивность и скорость
возрастания П. п. множества являются его важными
характеристиками. Напр., общерекурсивность (примитивная
рекурсивность) П. п. бесконечного множества
эквивалентна разрешимости (примитивно рекурсивной
разрешимости) этого множества. Множества натуральных
чисел, П. п. к-рых не мажорируются никакой
общерекурсивной функцией, наз. гипериммунными, они
играют существенную роль в теории табличной
сводимости.
Лит.: [1] Успенский В. Α., Лекции о вычислимых
функциях, М., 1960; [2] РоджерсХ., Теория рекурсивных
функций и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972.
С. Я. Артемов.
ПРЯМОУГОЛЬНИК — четырехугольник, у к-рого
все углы прямые. П. является параллелограммом.
ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ФОРМУЛА - формула
вычисления интеграла по конечному промежутку [а, Ь]:
Yaf(x)dx^h^=if(a+(k-l)h), (*)
где h=(b—a)/N и αζ[α, a-\-h]. Алгебраич. степень
точности равна 1 при a=a-\-hl2 и равна 0 в остальных
случаях.
Квадратурная формула (*) точна для тригонометрич.
функций
cos^^fo;, sin-^-A^, k = 0, 1, 2, ..., N — i.
b-a ' b-a ' 7777
В случае Ъ—а=2п квадратурная формула (*) точна
для всех тригонометрич. полиномов порядка не выше
Лг—1, более того, ее тригонометрич. степень точности
равна N—\. Никакая другая квадратурная формула с

725
ПСЕВДОБУЛЕВА АЛГЕБРА
726
N действительными узлами не может иметь
тригонометрия, степень точности, большую чем N—1, так что
П. ф. при Ь—а=2л обладает наивысшей тригонометрич.
степенью точности.
Пусть Я (/, а) — погрешность П. фм то есть разность
между левой и правой частями приближенного
равенства (*). Если подинтегральная функция f(x) дважды
непрерывно дифференцируема на [a, ft], то при а=
— a+hl2 справедливо представление
Λ('·β+τ) = ττ W'(6),
где ξ — нек-рая точка промежутка [а, Ь]. Если
функция f(x) — периодическая с периодом Ъ—а и имеет
непрерывную производную порядка 2к (к — натуральное
число) на всей действительной оси, то при любом
αζ[α, a-\-h]
R(f, a)=-(ft-«) 5,4^-/0*) (η),
где η — точка промежутка [я, ft] и 2?2fe ~ число
Берну ЛЛИ. и. П. Мысовских.
ПРЯМЫХ МЕТОД — метод численного решения
дифференциальных уравнений с частными производными
(см. [1] — [3]). Применим для нелинейных уравнений
эллиптического [4], гиперболического [5] и
параболического [6] типов любых порядков и систем уравнений.
П. м. позволяет проводить численные расчеты в
областях с криволинейными границами [7]. П. м.
используется для решения разнообразных задач механики [8].
В П. м. производится аппроксимация операции
дифференцирования по нек-рым направлениям, что
позволяет понизить размерность задачи и заменить решение
исходной системы дифференциальных уравнении с
частными производными расчетом аппроксимирующей ее
системы меньшего порядка.
С помощью П. м. решен ряд задач газовой динамики
[9]. При этом задача интегрирования исходной системы
дифференциальных уравнений с частными
производными сводится к расчету аппроксимирующей ее
системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В П. м. область интегрирования разбивается поперек
ударного слоя рядом прямых лучей на полосы.
Замыкающий луч расположен в сверхзвуковой области.
Лучи располагаются соответственно узлам многочлена
Чебыгаева или равномерно. Газодинамич. функции
аппроксимируются кусочно линейно вдоль каждой
полосы либо полиномиально с узлами интерполяции
на всех лучах. Получаемая аппроксимирующая система
обыкновенных дифференциальных уравнений
интегрируется вдоль каждого луча от ударной волны к телу.
В отличие от интегральных соотношений метода не
составляются интегральные соотношения и не
выделяется минимальная область влияния затупления, что
приводит к снижению точности, но упрощает вид
аппроксимирующей системы (см. [10]).
П. м. проведены расчеты двумерного обтекания ряда
тел вращения совершенным [11], равновесным [12] и
неравновесным [13] газом. П. м. решена задача
сверхзвукового обтекания сферы горючей смесью с
использованием модели детонационной волны [14], ударной
волны и фронта пламени [15] и др. С применением
тригонометрич. аппроксимаций по меридиональному углу
П. м. распространен на пространственно-трехмерный
случай (см. [16], [17]), в том числе для неравновесного
обтекания затупления [18].
Лит.: [1] Rothe Ε. Η., «Math. Ann.», 1930, Bd 102, S.
650—70; [2] К о л м о г о ρ о в Α. Η., Π е τ ρ о в с к и й И. Г.,
Пискунов Н. С, «Бюлл. МГУ. Секц. А», 1937, т. 1, в. 6,
с. 1—26; [3] Дородницын Α. Α., в кн.: Конференция
«Пути развития советского математического машиностроения
и приборостроения», М., 1956; [4] Костюкович Е. X.,
«Докл. АН СССР», 1958, т. 118, Η 3, с. 433—35; [5]
Лебедев В. И., «Вест. МГУ», 1955, №10, с. 47-57; [6] Олей-
ник О. Α., Калашников А. С, Чжоу Юй-линь,
«Изв. АН СССР* Сер. матем.», 1958, т. 22, Nt 5, с. 667—704;
[7] Б у д а к Б. М., Горбунов А. Д., «Докл. АН СССР»,
1958, т. 118, № 5, с. 858—61; [8] А л и χ а ш к и н Я. И.,
«Вычислит, матем.», 1957, № 1, с. 136—52; [9] Г и л и н с к и й С. М.,
ТеленинГ. Ф., ТиняковГ. П., «Изв. АН СССР. .Механ.
и машиностр.», 1964, № 4, с. 9—28; [10] Белоцерков-
скийО. М., ЧушкинП. И., «Ж. вычисл. матем. и матем,
физ.», 1962, т. 2, № 5, с. 731—59; [И] Росляков Г. С,
ТеленинГ. Фч в кн.: Сб. работ ВЦ Моск. ун-та, 1968, №11,
с. 93—112; [12] Τ е л е н и н Г. Φ., Τ и н я к о в Г. П., «Докл.
АН СССР», 1964, т. 159, № 1, с. 39—42; [13] С τ у л о в В. П.,
в кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике,
в. 5, М., 1974, с. 140—227; [14] Г и л и н с к и и СМ., 3 а п-
ряновЗ. Д., Черный Г. Г., «Изв. АН СССР. Механ.
жидкости и газа», 1966, № 5, с. 8—13; [15] ГилинскийС. М.,
Черный Г. Г., там же, 1968, № 1, с. 20—32; [16] Минос
цев В. В., Теленин Г. Ф., Тиняков Г. П., «Докл.
АН СССР», 1968, т. 179, № 2, с. 304—07; [17] Б а з ж и н А. П.,
Челышева И. Ф., «Изв. АН СССР. Механ. жидкости И
газа», 1967, № 3, с. 119—23; [18] Семенихина О. Н.,
Ш к а д о в а В. П., там же, 1973, № 2, с. 99—103.
Ю. М. Давыдов.
ПСЕВДОБАЗА топологического
пространства X — семейство открытых в X множеств
такое, что каждая точка пространства X является
пересечением всех содержащих ее элементов этого
семейства. П. существует только в пространствах, все
одноточечные подмножества к-рых замкнуты (т. е. в Г,-
пространствах). Если ^-пространство с базой S
наделить другой более сильной топологией, то & уже не
будет базой нового топологич. пространства, но
останется его П. В частности, счетную П. имеет дискретное
пространство мощности континуум, в к-ром счетной
базы нет. Однако для бикомпактов (т. е. бикомпактных
хаусдорфовых пространств) из наличия счетной П.
следует существование счетной базы.
Лит.: [1] Архангельский А В.,
Пономаре в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
М.,1974. А. В. Архангельский.
ПСЕВДОБУЛЕВА АЛГЕБРА — решетка L = (L, <),
содержащая наименьший элемент 0 и такая, что
для любых ее элементов а и Ь во множестве {x£L :
аЛя<Ь} существует наибольший элемент aZDb, где
а Ах — наибольшая нижняя грань для а и х. Элемент
бОЬ наз. псевдодополнением а
относительно Ь, или импликацией от а к
Ь. Всякая П. а. является дистрибутивной решеткой
с наибольшим элементом 1 (таковым будет любой
элемент вида ύΟα).
П. а. служат алгебраич. моделями
интуиционистского исчисления высказываний Гейтинга и
характеризуют его аналогично тому, как булевы алгебры
характеризуют классич. исчисление высказываний. П. а. наз.
также алгебрами Гейтинга.
Решетки с относительным псевдодополнением
рассматривал еще в 1919 Т. Сколем [1], правда без связи
с логикой. Впервые такая связь появилась при
рассмотрении решеток, двойственных П. а. (т. е.
решеток, получающихся из П. а. обращением
отношения <; см. [2]). Такие решетки были названы
алгебрами Брауэра. Позднее алгебрами Брауэра
стали называть и П. а.
Класс П. а., рассматриваемых как универсальные
алгебры (L; 0, Λ, V, Ζ>) с константой 0 и двуместными
операциями Λ, V, D, может быть задан с помощью
нек-рой системы тождеств.
Конгруэнция R^LXL универсальной алгебры (L;
0, А, V, Z)), являющейся П. а., полностью
определяется классом эквивалентности, содержащим 1, т. θ.
множеством
V ={*€£:<*, 1>€ Я} (1)
по формуле
<*, у> 6 R&1* =>У € V и yzDx ζ ν). (2)
Множество (1) является решеточным
фильтром, т. е. удовлетворяет условиям
(a:£V и х^у)=3>у£у и(^у пу£у)=>*ЛУ€У.

727
ПСЕВДОВЕКТОР
728
Наоборот, всякий непустой решеточный фильтр ν
произвольной П. a. L определяет по формуле (2)
конгруэнцию на алгебре (L;0, Л, V, Z)), класс
эквивалентности единицы к-рой совпадает с исходным
фильтром V·
В П. a. (L, <) выполняется также бесконечный
дистрибутивный закон
aAsup X = sup {af\x:x ζ Χ) (3)
для любого a£L и любого множества Х<=£, имеющего
в L наименьшую верхнюю грань sup X. Если решетка
(L, <) полна, т. е. sup X существует для любого Х<=£,
то, наоборот, из того, что в ней справедливо тождество
(3), вытекает, что она является П. а. Операция Z)
определяется равенством
α Ζ) Ь — sup {χ ζ L.aAx^b}.
Полные П.а. (т.е. полные решетки,
удовлетворяющие тождеству (3)) рассматривают как алгебры
(L; О, Л, sup) с константой 0, двуместной операцией
Л : LXL -> L и «бесконечноместной» операцией sup :
{X : X<=kL}-*-L. Этот подход определяет для полных
П. а. смысл таких понятий, как гомоморфизм,
конгруэнция, подалгебра. Так, для конгруэнции R<=LXL
должно выполняться условие: если Х= {χι : i£I) и
Y= {у ι : ίζ/} — два подмножества в L таких, что для
всякого ίζ/ имеет место <#,·, */;>£#, то <sup X,
sup Y>£R. Класс полных П. а., рассматриваемых
как алгебры (L; О, Л, sup), может быть задан нек-рой
системой тождеств, содержащих операции О, Л, sup.
Поэтому он замкнут относительно подалгебр, фактор-
алгебр и прямых произведений семейств алгебр. В
классе полных П. а. существуют свободные алгебры с
любым множеством образующих.
Если /: L -> L — мультипликативный
оператор замыкания на полной П. a. L=
=(L, <:), т. е. такая функция, что в L тождественно
выполняются условия
Ж/ (x)=J (J (χ)) и J (x/\y)=J (x)/\J (у),
то отношение
*/={<*, V>^LxL:J(x)=J(y)} (4)
является конгруэнцией на алгебре A (L; О, Л, sup),
а множество JL— {x£L : J (χ)—χ) с индуцированным
из L порядком <\л — полной П. a. (JL; <lyz,),
изоморфной факторалгебре A/Rj. Наоборот,
произвольная конгруэнция R на А определяет по формуле
/*(*) = sup {у £ L:<y, x> ζ /?} (5)
мультипликативный оператор замыкания J# : L—*-L.
Отображения Jv+Rj и R\-*J%, определяемые
формулами (4) и (5), взаимнообратны.
Примеры П. а. 1) Множество {X : X<^U},
упорядоченное по включению ς=, является полной П. а.
Его подалгебрами будут топологии на U и только они.
2) Если функция / : L -> L на полной П. a. (L, <)
тождественно удовлетворяет условиям
/(/(*))=/(*)<*, 1(хлу)=1(х)л1(у), (6)
то множество IL— {x£L : Ix=x} с индуцированным
отношением порядка образует подалгебру алгебры
(L; О, Λ, sup). Всякую подалгебру A^L этой алгебры
можно получить указанным способом из единственной
функции /, удовлетворяющей условиям (6). Она
определяется равенством
/ (х) = sup {α ζ А: а ^ х).
Функция /, удовлетворяющая условиям (6), наз.
одератором взятия внутренности.
3) Если определить на множестве Φ всех формул
языка интуиционистского исчисления высказываний
отношение х<.у так, что A <i? тогда и только тогда,
когда формула A~Z)B выводима в этом исчислении и
факторизовать это множество по отношению
эквивалентности я<z/&*/<£, то получится свободная П. а.
Лит.: El] Skolem Т., Selected works in logic, Oslo, 1970,
p. 67—101; [2] McKinsey J. G. C, Tarski Α., «Ann.
Math.», 1946, v. 47, p. 122—62; [3] Ρ а с ё в а Е., С и к о
ροκ и й Р., Математика метаматематики, пер. с англ , М., 1972;
[4] Д ρ а г а л и н А. Г., Математический интуиционизм.
Введение в теорию доказательств, М., 1979; [5] Applications of
sheaves. Proc. ...of sheaf theory to logic, algebra and analysis, В.—
Ν. Υ., 1979. В. Я. Гришин.
ПСЕВДОВЕКТОР — то же, что осевой вектор.
ПСЕВДОВЫПУКЛОСТЬ И ПСЕВДОВОГНУТОСТЬ —
свойства областей в комплексных пространствах, а
также комплексных пространств и функций на них,
аналогичные свойствам выпуклости и вогнутости
областей и функций в пространстве IRn. Вещественная
функция φ класса С2 на открытом множестве UaCn
наз. р-п севдовыпуклой (или р-в ы π у к-
л о й), если эрмитова форма
νψ; ZtitkOz/dzk J k
имеет в каждой точке области U не менее чем η—р+1
неотрицательных собственных значений. В случае,
когда Я (φ) имеет не менее чем п—р+1 положительных
собственных значений, говорят, что φ сильно (или
строго) р-п севдовыпукла. В частности,
(сильно) 1-псевдовыпуклые функции — это (строго)
плюрисуб'гармонические функции класса С2. Функция
на аналитич. множестве XdU наз. (сильно) р-выпук-
лой, если она является ограничением сильно р-псевдо-
выпуклой функции на U. Наконец, (сильно) р-выпуклая
функция на произвольном комплексном пространстве
X — это непрерывная функция на X, к-рая в
окрестности любой точки представляется (сильно) р-выпуклой
функцией в соответствующей локальной модели (см.
Аналитическое пространство).
Комплексное пространство X наз. (р, а)-ъ ы π у к-
ло-вогнутым, если существуют непрерывная
функция φ : X ->- R и такие d0, с0, где — оо «20<с0<оо,
что для любых с^с0 и d<d0 множество
хс> d = {χ € х \d < φ И < с)
относительно компактно в X, а φ сильно ρ-выпукла
на Zoo, со и сильно д-выпукла на Ха(и -ж. Если d0— — оо
или с0=оо, то пространство X наз. сильно р-
псевдовыпуклым или сильно q-в о г н у-
т ы м соответственно. Если же d0=c0= — оо, то X наз.
р-п о л н ы м.
Примеры. 1) Открытое множество X с гладкой
границей дХ в комплексном многообразии Μ наз.
строго р-п севдовыпуклым (строго р-
псевдовогнутым), если всякая точка х0£дХ
обладает окрестностью U, в к-рой существует такая
сильно ρ-выпуклая функция φ, что X(]U— {χζ
ζ£/|φ(#)<0} (соответственно Xfl U= {xζ £/|φ(#)>0})·
Всякое строго р-псевдовыпуклое (строго р-псевдово-
гнутое) относительно компактное открытое множество
является сильно р-выпуклым (сильно р-вогнутым)
многообразием. Если нек-рые компоненты границы дХ
удовлетворяют условию р-псевдовыпуклости, а
другие — условию </-псевдовогнутости, то получаются
примеры (р, д)-выпукло-вогнутых многообразий.
2) Компактные комплексные пространства
естественно считать 0-выпуклыми.
3) Класс 1-полных пространств совпадает с классам
Штейна пространств.
4) Класс сильно 1-выпуклых пространств совпадает
с классом пространств, получающихся из пространств
Штейна путем собственной модификации в конечном
множестве точек.

729
ПСЕВДОГРУППА
730
5) Пусть X — компактное комплексное
многообразие размерности п, S— его замкнутое подмногообразие,
все компоненты к-рого имеют размерность q. Тогда
Х\£ является сильно (д-(-1)-вогнутым, а если
нормальное расслоение над S положительно — сильно
(га—q)-выпуклым пространством.
6) Если S — замкнутое подмногообразие
коразмерности ρ в многообразии Штейна X, то Х\£ р-полно.
7) Голоморфное векторное расслоение Ε ранга г
над многообразием X наз. р-п оложительным
(q-o трицательным), если на Ε существует
такая послойная эрмитова метрика га, что функция
χ (у)——h (ν, ν) на Ε является сильно (р+г)-выпуклой
(соответственно —χ является сильно g-выпуклой) вне
нулевого сечения (в случаях р— 1 и q—i получают
понятия положительного расслоения и отрицательного
расслоения). Если X компактно, то пространство
^-положительного расслоения Ε является сильно
(p-j-/^-вогнутым, а пространство g-отрицательного расслоения —
сильно g-выпуклым. Пространство голоморфного
векторного расслоения над р-полным пространством всегда
ρ -полно.
Для (р, <7)-выпукло-вогнутых пространств доказаны
теоремы о конечномерности и отделимости нек-рых
пространств когомологий со значениями в когерентных
аналитич. пучках (см. Конечности теоремы в теории
аналитических пространств). Аналогичные теоремы
конечности доказаны также и для сильно (р, ^-выпукло-
вогнутых отображений (см. [1], [2]). Пространство X
является сильно 1-выпуклым тогда и только тогда,
когда dim Hr (X, F)<oo для всех г и любого
когерентного аналитич. пучка F на X. Если X р-полно, то
Hr(X, F)=0 для всех г^р и любого когерентного
аналитич. пучка F на X.
Группы гомологии р-выпуклых и р-полных
пространств обладают следующими свойствами. Если X
есть л-мерное приведенное сильно р-выпуклое (р-пол-
ное) комплексное пространство, то dim Hr(X, С)<оо
(соответственно НГ(Х, С) = 0) для г^п-\-р. Для сильно
1-выпуклых пространств известно также, что группы
ЯГ(Х, Z) конечно порождены при г>га+1, а для р-
полных многообразий,— что Hr(X, W,) — 0 для г^п-\~р
и что группа Ηη+ρ-ι (X, %) свободна.
Комплексное пространство X наз. псевдовог-
нуты м, если в X существует относительно
компактное открытое множество С/, пересекающее каждую
неприводимую компоненту пространства X и
удовлетворяющее следующему условию: любая точка x0£dU
обладает такой окрестностью V в X, что для любых
точек x£V, достаточно близких к х0,
| / (х) |< sup | / (у) |
yevn и
для всех голоморфных функций / в V. Если X есть
Ai-мерное многообразие, га>2, то достаточно, чтобы
множество U было сильно (га—1)-псевдовогнутым в X.
Любое компактное пространство псевдовогнуто. Для
псевдовогнутых пространств X доказаны следующие
теоремы конечности: пространство голоморфных
сечений любого голоморфного векторного расслоения над
X конечномерно; если X связно, то все голоморфные
функции на X постоянны; поле мероморфных функций
на X есть поле алгебраич. функций, степень
трансцендентности к-рого не превосходит dim X.
Последняя теорема имеет важные приложения к автоморфным
функциям, основанные на том, что пространство D/T,
где Г — собственно разрывная группа автоморфизмов
ограниченной области D в С", во многих случаях
оказывается псевдовогнутым (в этом случае говорят, что
Г — псевдовогнутая группа). Напр.,
псевдовогнутыми являются арифметич. подгруппы
групп автоморфизмов ограниченных симметрич.
областей.
Лит.: [1] Ermine J. L., «Ann. Sc. norm. sup. Pisa. CI.
sci», 1979, v. 6, № 1, p. 1—18; [2] Итоги науки и техники.
Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 93—171.
А. Л. Онищик.
ПСЕВДОГАЛИЛЕЕВО ПРОСТРАНСТВО —
проективное га-пространство с выделенной бесконечно
удаленной (га—1)-плоскостью Τ о аффинного
га-пространства, в к-рой, в свою очередь, выделена бесконечно
удаленная (га—2)-плоскость Т1 псевдоевклидова
пространства lRn-\, а в (га—2)-плоскости Т1 выделена (га—3)-
квадрика <?2, являющаяся абсолютом гиперболического
(га—1)-пространства индекса I. Совокупность
плоскостей T0i Т1 и квадрики Q2 образует абсолют (базис) П. п.,
обозначаемого 1ТП. Напр., 3-пространство гГ3 имеет
своим абсолютом 2-плоскость Г0, прямую Т1 в Т0 и пару
действительных точек Q2 на прямой Тх. П. п. можно
определить как аффинное га-пространство, в бесконечно
удаленной плоскости к-рого при дополнении до
проективного га-пространства определена геометрия
псевдоевклидова (га—1)-пространства индекса I.
Расстояние между точками определяется
аналогично определению расстояния в галилеевом пространстве.
Движениями П. п. 1Тп являются его коллинеации,
переводящие абсолют в себя. Движения образуют
группу, являющуюся группой Ли.
Пространство, абсолют к-рого двойствен абсолюту
П. п. *Г„, наз. копсевдогалилеевым пространством.
Флаговое пространство — предельный случай П. п. 1Тп.
Лит.: [1] Ρ о з е н φ е л ь д Б. Α., Неевклидовы
пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.
ПСЕВДОГРУППА преобразований
дифференцируемого многообразия Μ —
семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств
многообразия Μ в М, замкнутое относительно
композиции отображений, перехода к обратному
отображению, а также сужения и склейки отображений. Точнее,
псевдогруппа преобразований (п. п.) Г многообразия
Μ состоит из локальных
преобразований, т. е. пар вида p==(Dр, р), где D р — открытое
подмножество в М, а р —диффеоморфизм Dp-+M,
причем предполагается, что 1) р, q ζ T=^poq= (q-1 (Dp f|
r\q(Dq)), Ρ°ί)€Γ, 2) ρζΤ^ρ-^GiDp), f-1)^,
3) (M, id)gr, 4) если р —диффеоморфизм открытого
подмножества DczM в Μ nD= Ца#а, где Da —
открытые подмножества в М, то (D, ρ)ζΓΦΦ(Ζ)α, ρ|/)α)ζΓ
для любого а. Видоизменяя должным образом
условия 1)—4), можно определить п. п. произвольного то-
пологич. пространства (см. [7]) или даже
произвольного множества. Так же, как группа преобразований,
п. п. определяет на Μ отношение эквивалентности;
классы эквивалентности наз. ее орбитами. П. п. Г
многообразия Μ наз. транзитивной, если М—
ее единственная орбита, и наз. примитивной,
если в Μ нет нетривиальных гладких Г-инвариантных
слоений (в противном случае п. п. наз. и м π ρ и м и-
т и в н о й).
П. п. Г дифференцируемого многообразия Μ наз.
п. п. Л и, определяемой системой S
дифференциальных уравнений в частных производных, если Г состоит
из тех и только тех локальных преобразований
многообразия М, к-рые удовлетворяют системе S. Напр.,
П. конформных преобразований плоскости — это п. п.
Ли, определяемая уравнениями Коши — Римана.
Порядком п. п. Ли наз. минимальный порядок
определяющей ее системы дифференциальных уравнений.
Примеры п. п. Л и. 1) П. всех голоморфных
локальных преобразований га-мерного комплексного
пространства С". 2) П. всех голоморфных локальных
I преобразований пространства Сп с постоянным яко-

731 ПСЕВДОГРУПП*
бианом. 3) П. всех голоморфных локальных
преобразований пространства С" с якобианом, равным 1.
4) Гамильтояова псевдогруппа,
состоящая из всех голоморфных локальных
преобразований пространства С" (п четно), сохраняющих
дифференциальную 2-форму
ω^άζ1 Adz2 + dz* Adz*-\- . . . -\-dzn~1 f\dzn.
5) П. всех голоморфных локальных преобразований
пространства С", сохраняющих форму ω с точностью
до постоянного множителя. 6) Контактная
псевдогруппа, состоящая из всех голоморфных
локальных преобразований пространства С" (при
η=2πι+\ι т>1), сохраняющих с точностью до
(функционального) множителя дифференциальную 1-форму
dz" + 2l (zl dz* + i — zm + i dz*).
7) Вещественные аналоги комплексных п. п. из
примеров 1) — 6). Порядки п. п. Ли из примеров 1), 3) — 6)
равны 1, а в примере 2) порядок равен 2.
Любая группа Ли G преобразований многообразия
Μ определяет п. п. T(G), состоящую из ограничений
преобразований из G на открытые подмножества
многообразия Μ. П. п. вида Г (G) наз. глобализуе-
м ы м и. Так, П. локальных конформных
преобразований сферы Sn глобализуема при л>2 и не глобали-
зуема при тг=2.
П. п. Ли Г наз. п. п. конечного типа, если
найдется такое натуральное число d, что любое
локальное преобразование ρ ζ Γ однозначно определяется
своей d-струей в нек-рой точке x^Dp; наименьшее
такое число d наз. степенью, или типом, п. п.
Г; если же такого d не существует, то Г наз. п. п.
бесконечного типа. П. п. в примерах 1) —
6) — примитивные п. п. Ли бесконечного типа.
Пусть Г — транзитивная п. п. Ли л-мерного
дифференцируемого многообразия Μ и Gr (T) —
совокупность всех г-струй локальных преобразований из Г,
сохраняющих точку О ζ Μ, т. е. таких ρ ζ Г, 4ToO£Dp
и р(0)=0. Множество Gr (Г), снабженное естественной
структурой группы Ли, наз. группой
изотропии г-г о порядка п. п. Г (группа G1 (Г) наз.
также линейной группой изотропии
п. п. Г). Алгебра Ли дг(Г) группы Gr (Г) естественным
образом вкладывается в алгебру Ли г-струй векторных
полей на Μ в точке О. Если Г — п. п. Ли первого
порядка, то ядро G(r) (Г) естественного гомоморфизма
Gr + l (T)-+Gr (Г) при любом г>1 зависит только от
линейной группы изотропии G1 (Г) и наз. ее г-м
продолжением. П. п. Ли Г первого порядка тогда
и только тогда является п. п. конечного типа d, когда
d\mG^-lUT) #0 и <НтС<*(Г) = 0.
Если при этом линейная группа изотропии G1 (Г) не-
приводима, то d<2 (см. [5]). Для того чтобы п. п. Ли Г
первого порядка была п. п. конечного типа,
необходимо, а в комплексном случае и достаточно, чтобы алгебра
Ли д1 (Г) не содержала эндоморфизмов ранга 1 (см.
[10]). Такие линейные алгебры Ли наз.
эллиптическими.
Для п. п. Ли Г первого порядка в терминах ее
линейной алгебры изотропии вычислены алгебры Ли всех
продолжений G(r) (Г), г^1. А именно, алгебра Ли
д(Г) (Г) группы С(/">(Г) состоит из (г+1)-струй
векторных полей на Μ в точке О, имеющих в нек-рой
локальной системе координат (ж1, х2, . . ., хп) вид
AJ t0ii ... lr βχι ♦
где v\oii ι — произвольный тензор, симметричный по
нижним индексам и удовлетворяющий условию: при
АЯ СТРУКТУРА 732
любых фиксированных ix, i2, . . ., ir матрица
lr/, it, it irili, /=1, 2, ..., η
содержится в алгебре Ли дх(Г), отнесенной к системе
координат (ж1*).
Пусть Μ — тг-мерное дифференцируемое
многообразие над полем К=& или С. Всякая транзитивная п. п.
Ли Г порядка к многообразия Μ совпадает с П. всех
локальных автоморфизмов нек-рой Gk (Г)-структуры
(см. G-cmpynmypa) порядка к на Μ (первая
основная теорема Картана).
Классификация всех примитивных п. п. Ли бесконечного типа
впервые была получена Э. Картаном [2]. Согласно его
теореме всякая примитивная п. п. Ли бесконечного
типа, состоящая из голоморфных локальных
преобразований, локально изоморфна одной из п. п. примеров
1)—6). Эта теорема неоднократно передоказывалась; ее
современные доказательства получаются чисто алге-
браич. средствами. При этом локальное изучение
транзитивной п. п. Ли Г сводится к изучению нек-рой
фильтрованной алгебры Ли (см. [9]). Классификация таких
фильтрованных алгебр Ли может быть проведена на
основе классификации простых градуированных
алгебр Ли (см. [3]). Классификация примитивных п. п.
Ли получена также и в вещественном случае, причем
условие аналитичности действия п. п. заменено более
слабым условием бесконечной дифференцируемости
(см. [8], [9]).
Построены нек-рые абстрактные модели транзитивных
п. п. Ли, к-рые призваны играть в теории п. п.
бесконечного типа такую же роль, какую в конечномерном
случае играют абстрактные группы Ли (см. [6], [9]).
Лит.: [1] Стерноерг С, Лекции по дифференциальной
геометрии, пер. с англ., М., 1970; [2] Carta η Ё., Oeuvres
completes, v. 2, P., 1953, p. 571—714 857^925; 1335—84; [3]
G u i 1 1 e m i η V., «J. Diff. Geom.», 1970, v. 4, H, 3, p. 257—82;
[4] К о bay as hi S., Transformation groups in differential
geometry, В.— Eu. a.], 1972; [5] К о b а у a s h i S., N a g a-
η о Т., «J. Math, and Mech.», 1964, v. 13, № 5, p. 875—907; 1965,
v. 14, p. 679—706; [6] К u г a n i s h i M., «Nagoya Math. J.»,
1959, v. 15, p. 225—60; 1961, v. 19, p. 55—91; [7] Liber-
m a n η P., «Bull. Soc. math. France», 1959, t. 87, № 4, p. 409-25;
[8] S h η i d e г S., «J. Diff. Geom.», 1970, v. 4, Nq 1, p. 81—89;
[9] Singer I. M., Sternberg S., «J. d'Analyse math.»,
1965, t. 15, p. 1—114; [10] WilsonR. L, «Proc. Amer. Math.
Soc», 1971, v. 29, № 2, p. 243 — 49. Э. Б. Винберг.
ПСЕВДОГРУППОВАЯ СТРУКТУРА на м н о-
гообразии Μ — максимальный атлас А
гладких локальных диффеоморфизмов многообразия Μ на
фиксированное многообразие V, все функции перехода
между к-рыми принадлежат данной псевдогруппе Г
локальных преобразований многообразия V.
Псевдогруппа Г наз. определяющей
псевдогруппой, а многообразие V — модельным
пространством. П. с. с определяющей псевдогруппой Г наз.
также Г-с труктурой. Более подробно, множество
А F-значных карт многообразия Μ (т. е.
диффеоморфизмов φ : U -> V открытых подмножеств UczM на
открытые подмножества y(U)cz.V) называется П. с,
если а) любая точка χ ζ Μ принадлежит области
определения нек-рой карты φ из А; б) для любых
карт φ : U -► V, ψ : W -+ V из Л функция перехода
ψοφ-1 : y(U(]W) ->- ty(U(]W) является локальным
преобразованием данной псевдогруппы Г; в) множество
А является максимальным множеством карт,
удовлетворяющих условию 2).
Примеры П.с. 1) Псевдогруппа Г
преобразований многообразия V задает П. с. (V, Г) на V, картами
к-рой служат локальные преобразования из Г. Она
наз. стандартной плоской Г-струк-
турой. 2) Пусть V=Kn есть η -векторное
пространство над K=R, С или левый модуль над телом
кватернионов К=Н, а Г — псевдогруппа локальных
преобразований V, главные линейные части к-рых принадлежат
группе GL(n, К). Соответствующая Г-структура на

733
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР
734
многообразии Μ есть структура гладкого многообразия
при К— R, комплексного аналитич. многообразия при
К=С й специального кватернионного многообразия
при К=Н. 3) Пусть Г — псевдогруппа локальных
преобразований векторного пространства V,
сохраняющих данный тензор S. Задание Г-структуры
равносильно заданию интегрируемого поля тензоров типа
S на многообразии М. Напр., если S —
невырожденная кососимметричная 2-форма, то Г-структура есть
симплектич. структура. 4) Пусть Г — псевдогруппа
локальных преобразований пространства R2w + 1,
сохраняющих с точностью до функционального
множителя дифференциальную 1-форму
άχ* + Υη ж2'-1 da:2'.
Тогда Г-структура есть контактная структура. 5) Пусть
V=G/H — однородное пространство группы Ли G, а
Г — псевдогруппа локальных преобразований V,
продолжающихся до преобразований из группы G. Тогда
Г-структура наз. П. с, определяемой однородным
пространством V. Примерами таких структур являются
структура пространства постоянной кривизны (в
частности, локально евклидова пространства), плоские
конформные и проективные структуры.
Пусть Г — транзитивная псевдогруппа Ли
преобразований пространства 7=IR" порядка 1\ Г-структура
А на многообразии Μ определяет главное подрасслое-
ние π& : Bk —>» Μ расслоения кореперов любого
порядка к на Μ, состоящее из /с-струй карт из А:
£*={/5<Ρΐφ€Λ. φ(*)=θ}, π*(/£φ)=*.
Структурной группой расслоения л^ является группа
изотропии к-то порядка Gk (Т) псевдогруппы Г, к-рая
действует на Bk по формуле
1о(а) )χφ=ίχ(αοφ).
Расслоение л& наз. к-м структурным
расслоением или Gk (Г)-с тру к турой,
определяемой П. с. А. Расслоение π/, где I — порядок
псевдогруппы Г, в свою очередь, однозначно определяет
П. с. А как множество карт φ : U -> F, для к-рых
ίχ(αοφ)ζΒι, если α ζ Γ, α ο φ (χ) = 0.
Геометрия расслоения π^ характеризуется наличием
канонической Gk (Г)-эквивариантной горизонтальной
относительно проекции Bk ->· В11-1 1-формы 6/г : ТВк -*
->-У+9*(Г) со значением в пространстве Р+дл(Г),
где 9Л(Г) —алгебра Ли группы изотропии Gk(Y).
Она задается формулой
e**(^)=s-/o_1(q>to9i%=o,
где
Ь* = /5.(фо), b* = ^/if(9i),
4t£A, Ψί(*ί)=0, ίζ[0, ε],
и удовлетворяет нек-рому структурному уравнению
Маурера — Картана. Алгебра Ли инфинитезимальных
автоморфизмов Г-структуры может быть
охарактеризована как алгебра Ли векторных полей на В1,
сохраняющих каноническую 1-форму Q1.
Основной проблемой теории П. с. является проблема
описания П. с. на многообразии с определяющей
псевдогруппой Г с точностью до эквивалентности. Две П. с.
на многообразии наз. эквивалентными, если
одна из них может быть переведена в другую
диффеоморфизмом многообразия.
Пусть Г — глобализуемая транзитивная
псевдогруппа преобразований односвязного многообразия V. Лю- I
бое односвязное многообразие Μ с Г-структурой А
допускает отображение ρ : Μ -+ V, называемое
разверткой Картана, к-рое локально является
изоморфизмом Г-структур. Если Г-структура А обладает
нек-рым условием полноты, в частности, если
многообразие Μ компактно, то отображение ρ является
изоморфизмом Г-структур я все Г-структуры
рассматриваемого типа являются формами стандартной Г-структуры
V, т. е. получаются из V факторизацией по свободно
действующей дискретной группе автоморфизмов (V, Г).
Так обстоит дело, напр., с (псевдо)римановыми
структурами постоянной кривизны и с конформно плоскими
структурами на компактных многообразиях Мп, тг>2.
Важное место в теории П. с. занимает теория
деформаций, первоначально развитая для комплексной
структуры. В ней изучается вопрос об описании
нетривиальных деформаций Г-структуры А, т.е. семейств At
Г-структур, содержащих данную Г-структуру и гладко
зависящих от параметров t по модулю тривиальных
деформаций. Пространство формальных
инфинитезимальных нетривиальных деформаций данной
Г-структуры описывается как пространство ЯХ(М, Θ)
одномерных когомологий многообразия Μ с
коэффициентами в пучке ростков θ инфинитезимальных
автоморфизмов Г-структуры А . Тривиальность этого
пространства влечет жесткость Г-структуры. Тривиальность
двумерных когомологий: Н2(М, θ)^0 позволяет при
нек-рых условиях доказать существование
нетривиальных деформаций Г-структуры, соответствующих данной
инфинитезимальной деформации из Ηι(Μ, Θ).
Лит.: [1] К а р τ а н Э., Геометрия римановых пространств,
пер. с франц., М.^ Л., 1936; [2] Guillemin V.,
Sternberg s., Deformation theory of pseudogroup structures,
Providence, 1966 («Mem. Amer. Math. Soc», № 64); [3] Ρ ο 11 а с k A. S.,
«J. Diff. Geom.», 1974, v. 9, №3, p. 355—90; [4] Grif-
fithsP. Α., «Math. Ann.», 1964, Bd 155, H. 4, S. 292—315;
1965, Bd 158, H. 5, S. 326—351; [5] Pommaret J. F, «Ann.
Inst. H. Poincare, n. Ser.», 1973, v. 18, p. 285—352; [6] В е г а г d
BergeryL.,Bourguignon J. P., Lafontaine J.,
«Proc. Svmp. Pure Math.», 1975, v. 27, p. 3—32; [7] Spen-
c e г D. C, «Ann. Math.», 1962, v. 76, № 2, p. 306—398; № 3,
p. 399—445. Д. В. Алексеевский.
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР —
оператор, действующий в функциональных
пространствах на дифференцируемом многообразии и локально
по определенным правилам записываемый с помощью
нек-рой функции, обычно наз. символом П. о., и
удовлетворяющей оценкам производных определенного
типа, аналогичных оценкам производных полиномов,
являющихся символами дифференциальных операторов.
Пусть Ω — открытое подмножество в R", С^ (Ω) —
пространство бесконечно дифференцируемых функций
с компактным носителем, принадлежащим Ω.
Простейший П. о. в Ω — это оператор Ρ : С™ (Ω) ->· С°° (Ω),
задаваемый формулой
Pu(x) = (2n)-»^eixtp(x, l)u(l)dl, (l)
где u£Co(Q), ξζΚ", d\ — мера Лебега на Κ\*·ξ —
обычное скалярное произведение векторов χ и ξ, и (ξ) —
преобразование Фурье функции и, то есть
и (I) = С e~ix Ч (х) dx
(интеграл здесь и выше берется по R"), ρ (χ, ξ) —
гладкая функция на QxRn, удовлетворяющая нек-рым
условиям и называемая символом П. о. Р.
Оператор Ρ вида (1) обозначается также ρ (χ, D) или
ρ (χ, Dx). Если
Р(*. 1)=--Σ\α\<ηιΡ*(χ)ξα
— многочлен от ξ с коэффициентами ра £ С°° (Ω)
(здесь α — мультииндекс, т. е. α=(αχ, . . ., αΛ), <ху>0,

735
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР
736
α,- целые, |α|=αι+. . .+α„, ξβ=ξ?' . . . ξ£Ό, то
ρ (χ, D) совпадает с дифференциальным оператором,
получаемым, если в выражение для ρ (я, ξ) вместо ξ
подставить вектор D= —-*- ·
Часто используется класс символов jo (re, ξ) ζ С°° (Ω Χ
XR")» удовлетворяющих условиям
| «£<&>(*, i)|<ca>p..r(i + |||)'"-0<«>+6«5>, (2)
где α, β — мультииндексы, &χ~ ~β£ * dl ~ W '
з5Г—компакт в Ω. Этот класс обозначается Sp?t б (или
£%, 6(QXR»)).
Обычно предполагается, что 0<р<1, 0<δ<1. Через
L™ б (или Lp*t б (Ω)) обозначается класс операторов
(также называемых П. о. в Ω) вида ρ (χ, D)-\-K, где
p£S*pt б» а К — интегральный оператор с бесконечно
дифференцируемым ядром, т. е. оператор вида
Ки(х)=\^ К (х, у) и (у) dy,
где К(х, у)£С°° (ΩΧΩ). Функцию ρ (χ, ξ) по-прежнему
наз. символом П. о. ρ (χ, D)-\-K, хотя теперь она
определена уже не однозначно, а с точностью до символов,
принадлежащих £-°°= nm€R«Si| 0· Оператор A£L™t б
наз. П. о. порядка не выше т и типа ρ, δ.
Описанный выше дифференциальный оператор
принадлежит классу Lj%. Наименьшее возможное значение т
часто наз. порядком П. о. Классы S™ б, L™ б
часто наз. классами Хёрмандера.
Можно задавать П. о. в Ω с помощью двойных
символов, т. е. в виде
Ри=(2п)-«^ е1<*-У)*а(х, у, ξ) и (у) dydl. (3)
При а(х, у, 1)=р(х, ξ) эта формула переходит в (1).
Обычно предполагается, что а(х, у, !)££{£ б (ΩΧ ΩΧ
X R"), то есть
\%&дра(х, у, ξ)| <
^С. в- ν* (1 + и1)т-р|а|+б|Р' + Р"', х, у£Ж (4)
α, ρ , ρ ,ойг
где &С — компакт в Ω. Если 0<б<р<1, то
построенный класс операторов вида (3) (со всевозможными
функциями a£S™f б) совпадает с классом L™, б (Ω). При
этом символ ρ (χ, ξ) (определенный с точностью до
символов из S~°°) имеет следующее асимптотич.
разложение:
'<*· ε)~ΣαϊίβεΖ?"β(*·ΐ'·ξ)|ν=,·
где αί^ο^! . . . a J и суммирование ведется по всем
мультииндексам. Эта запись означает, что разность
между ρ (χ, ξ) и частью суммы, взятой по тем а, для
к-рых |а| <Ν, является символом, принадлежащим
S^~b , т. е. символом, порядок к-рого не выше
наибольшего из порядков оставшихся членов.
U. о. Ρ продолжается по непрерывности или с
помощью двойственности до оператора Ρ : $' (Ω)—► /)' (Ω),
где D' (Ω) и £' (Ω) — пространства обобщенных
функций и обобщенных функций с компактным
носителем в Ω соответственно. Если 6<1, то при этом П. о.
обладает следующим свойством
псевдолокальности: если и£$' (Ω)Π^°°(Ω'), где Ω'(ΖΩ, то
Ри£ С°° (Ω'). Другая формулировка свойства
псевдолокальности: ядро К (х, у) (в смысле Шварца)
оператора Ρ бесконечно дифференцируемо по я, у при хфу.
Классический П. о. порядка т в Ω — П. о.
Ρζ-Ljjo, символ к-рого р(х, ξ) допускает асимптотич.
разложение
Р{х, ξ)~Σ~=οχ(ξ)Ρ,Λ-/(3% ξ),
где x(6)€C"°(R»), ХЙ)=1 при |ξ|>1, χ(ξ)=0 при
|ξ|<1/2, pm-j{x, ξ) <Ξ С" (Ω Χ (*"№)) и положительно
однородна по ξ порядка m—j
pm-j(x, tl) = t*-*pm-j{x, ξ), χζΩ, l£*"\Q.
Примером классического П. о. является
дифференциальный оператор (с гладкими коэффициентами).
Функция рт (х, |) наз. главным символом
классического П. о.
П. о. в Ω наз. собственным (или П. о. с
собственным носителем, или П. о. с
компактным носителем), если проекции
носителя его ядра при проектировании Ω Χ Ω на
каждый сомножитель являются собственными
отображениями. Собственный U. о. Ρ отображает Со° (Ω) в
СЦ° (Ω) и продолжается по непрерывности до
отображений C°°(Q)-+ £°°(Ω), ^'(Ω)-><^'(Ω) и/)' (Q)-+D' (Ω),
он может быть записан в виде (1) с символом ρ (χ, ξ)=
—е~гх'*Р (eix £), где экспонента в скобках
рассматривается как функция от гс, а ξ является параметром.
Пусть А, В — два П. о. в Ω, из к-рых один является
собственным. Тогда имеет смысл их произведение
(композиция) С—АВ. Важную роль в теории П. о. играет
теорема о композиции: если Α ζ L™1 б ,
B£L™fb, 0<б<р<1, то C=AB£L™>+6m*. Если при
этом 6<р, с(х, ξ), а (ж, ξ), b(x, ξ) — символы
операторов С, А, В, то
* (*, Ι) ~ Σα 5i ldta (*· δ)] Wb (x, ξ)].
В частности, если А, В — классические П. о.
порядков т11 т2, то С — классический П. о. порядка mi-\-m2
с главным символом cmi + m%(x, l)=amx (x, l)bmt(x, ξ),
где ami (χ, ξ), Ът%(х, ξ) — главные символы операторов
А и В.
Если P£L™f б, 0<6<р<1, то существует и единствен
сопряженный П. о. Р*££/р,&, для к-рого
(Ри, υ)—(и, Ρ*ν), и, v£Co (Ω), где (и, v)=\u(x)v(x)dx—
скалярное произведение и и ν в L2(Q). Если при этом
6<р и р* (я, ξ) — символ П. о. Р*, а р (χ, ξ) — символ
Ρ, то
р*(^1)~2а^та|Я?й^Л).
Таким образом, собственные П. о. при 6<р образуют
алгебру с инволюцией, задаваемой переходом к
сопряженному оператору. Произвольные П. о. образуют
модуль над этой алгеброй.
Теорема об ограниченности П. о.
классов Хёрмандера в £2-нормах в наиболее точной
форме состоит в следующем (см. [8]): пусть Ω=Κ",
оператор Ρ имеет вид (3) с двойным символом а (я, у, ξ),
удовлетворяющим оценкам (4), где числа т, ρ, δ
удовлетворяют условиям
0<р<1, 0<6<1, w<0, ρ — 6—^-^0; (5)
тогда оператор Ρ продолжается до ограниченного one-
ратора Ρ : L2 (IRn) -► L2 (Rn). В частности, при
условии (5) ограничены в L2 (Rn) П. о. вида (1) с символами,
удовлетворяющими оценкам (2) равномерно по χ (т. е.
с постоянными Са, β, оЯГ=Са, β» не зависящими от Ж).
Отсюда следует, напр., ограниченность в L2(R") опе"
раторов ΡζΖ,ρ,δ, если 0<6<р<1 и ядро оператора Ρ
имеет компактный носитель (или оценки символа опять-

737
таки равномерны по х). При р<6 или при 6=1
операторы такого вида уже не обязательно ограничены.
Аналогично, в общей ситуации невыполнение одного из
двух последних условий (5) уже дает класс П. о.,
содержащий неограниченные операторы.
В терминах оценок символа можно дать условия
ограниченности П. о. в Z^-нормах, а также в гёльдеровых
и в жевреевских нормах (см. [8]).
Если в Rn дан оператор Р=р(х, D), где P£S™ δ*
0<6<р<1, причем оценки (2) равномерны по χ ζ Rn, то
этот оператор продолжается до ограниченного оператора
Ρ : Hs(Rn)->Hs-m(Rn), s^R, где #*(R») означает
обычное пространство Соболева на Rn (иногда
обозначаемое также W2(Rn)).
Класс П. о. L™ б при 1—р<6<р<1 в естественном
смысле инвариантен относительно диффеоморфизмов
так же, как и его подкласс классических П. о. Это
позволяет определить класс П. о. L™t б (X) и
классические П. о. на произвольном гладком многообразии
X. Формула замены переменной в символе при
диффеоморфизме κ : Ω -> Ωχ, где Ω, Ωχ — области в X, имеет
вид
«ι (У. η)Ιί/=κ(χ)-2α^Γα (^ *'ИЛ)Х
где α (χ, ξ) — символ оператора Α ζ L™t б (Ω), аг (у, η) —
символ оператора A^L™, б (Ωι), заданного формулой
Аги=[А (wox)Jox-1, т. е. полученного из А заменой
переменных κ; κ' (χ) обозначает якобиан отображения^
κ, *х'(я) — транспонированная матрица,
а(а) (^ξ)=0£α(*,ξ),κί (ζ)=κ(ζ) — κ (ж) —κ' (χ) {ζ —χ).
В частности, отсюда следует, что главный символ
классического П. о. на многообразии X является
корректно определенной функцией на кокасательном
расслоении Т*Х.
Если X — компактное многообразие (без края), то
П. о. на X образуют алгебру с инволюцией, если
вводить инволюцию с помощью скалярного произведения,
задаваемого гладкой положительной плотностью.
Оператор A£Lltb(X) ограничен в L2(X), а если Α ζ
ζ L{£ б (Χ), где πι <0, то такой Π. ο. компактен в L2 (X).
Для классических П. о. Л порядка 0 на X
int\\A + K\\ = sup |αο(*. ξ)|,
(х, &ет*х
где а0 (χ, ξ) — главный символ оператора А, а К
пробегает множество всех компактных операторов в L2(X).
Оператор A£L™ &(Х) непрерывно отображает Hs (X)
в Hs~m(X) при любом s£R.
Параметриксом П. о. Л наз. такой П. о. В,
что I—AB и I—BA — П. о. порядка —оо, т. е.
интегральные операторы с гладким ядром. Пусть A g L™ δ(Ω),
0<6<р<1, α (χ, ξ) — символ оператора А.
Достаточным условием существования параметрикса
оператора А является выполнение оценок:
\а{хщ ξ)|^β|ξ|«ο, |6|^Д, ε>0, m^R; )
|α-ΐ(*. 1)д%д%а(х, ξ)|< [ (6)
<<а.Р.*1бГр|а|+б,р|. ΙΕΙ^λ,χ€λ:. J
В этом случае существует параметрикс i?gL~™° (Ω).
Простейшим следствием существования параметрикса
является гипоэллиптичность оператора А: если Аи£
ζ£°°(Ω'), где Ω'(ΖΩ, то и£С°° (Ω'). Иными словами,
sing supp^a=sing supp и. Верен также следующий
более точный факт (теорема
регулярности): если 4w£#joc(Q'),to w£#j+cm°(Q'). Имеет место
АЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР 738
и микролокальная теорема регулярности: WF (Аи)=
= WF(u), где WF (и) означает волновой фронт
обобщенной функции и.
Условия (6) при 1—р<6<р<1 инвариантны
относительно диффеоморфизмов. Поэтому имеет смысл
соответствующий класс операторов на многообразии X.
Если X — компактное многообразие, то такой
оператор А фредгольмов в С°° (X), т. е. имеет в С°° (X)
конечномерные ядро и коядро, а также замкнутый образ.
Классический П. о. Л порядка m с главным символом
ат (я, ξ) наз. эллиптическим, если ат (χ, ξ)^0
при ξ#0. Такой оператор удовлетворяет условиям
(6) с т0=т и имеет параметрикс, также являющийся
классическим П. о. порядка — т. На компактном
многообразии X такой П. о. задает фредгольмов оператор
А:Н*(Х)^Н*-т(Х), s£R.
Все эти определения и факты переносятся на П. о.,
действующие в вектор-функциях или, более общо, в
сечениях векторных расслоений. Для эллиптич.
оператора на компактном многообразии X индекс
задаваемого им отображения А : Hs (X) -> Hs"m (X) на
Соболевских классах сечений не зависит от s£R и может
быть явно вычислен (см. Индекса формулы).
Роль П. о. состоит в том, что имеется ряд операций,
выводящих за класс дифференциальных операторов, но
сохраняющих класс П. о. Напр., резольвента и
комплексные степени эллиптического дифференциального
оператора на компактном многообразии являются
классическими П. о., они возникают при сведении на
границу эллиптической граничной задачи (см., напр., [7],
[8] и предпоследнюю статью в [1]).
Существуют разные варианты теории П. о.,
приспособленные к решению различных задач анализа и ма-
тематич. физики. Часто возникают П. о. с параметром,
необходимые, напр., для изучения резодьвенты и
асимптотики собственных значений. Важную роль играют
различные варианты теории П. о. на Rn, учитывающие
эффекты, связанные с описанием поведения функции на
бесконечности, и частично инспирированные матема-
тич. вопросами квантовой механики, возникающими
при изучении квантования классич. систем (см. [5], [1]).
В теории локальной разрешимости уравнений с
частными производными и в спектральной теории полезны
П. о., поведение к-рых описывается с помощью весовых
функций, заменяющих ||[ в оценках типа (2) (см. [8],
[14]). Построена алгебра П. о. на многообразии с краем,
содержащая, в частности, параметрикс эллиптической
граничной задачи (см. [3], [13]).
Частным случаем П. о. являются многомерные
сингулярные интегральные и интегро-дифференциальные
операторы, изучение которых подготовило Появление
теории П. о. (см. [10]).
Теория П. о. служит основой для изучения
интегральных операторов Фурье (см. [7], [10]), играющих ту же
роль в теории гиперболич. уравнений, что и П. о. в
теории эллиптич. уравнений.
Лит.: [11 Псевдодифференциальные операторы, пер. с
англ., М., 1967; [2] А г ρ а н о в и ч М. С, В и ш и к М. И.,
Псевдодифференциальные операторы, М., 1968; [3] Э с к и н Г. И.,
Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных
уравнений, М., 1973; [4] Грушин В. В.,
Псевдодифференциальные операторы, М., 1975; [5] Ш у б и н Μ. Α., Псевдо
дифференциальные операторы и спектральная теория, М., 1978; [6]
Friedrichs К. О., Pseudo-differential operators, Ν. Υ.,
1970; [7] Treves F., Introduction to pseudo-differential
and Fourier integral operators, v. 1—2, N. Y., 1980; [8]
Taylor M., Pseudo-differential operators, В.— [u. a.], 1974;
L9] Kumano-go H., Pseudo-differential operators, Camb.,
1981; [10] Duistermaat J., Fourier integral operators,
N. Y., 1973; [11] Μ а с л о в В. П., Φ е д о ρ ю к М. В.,
Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики,
М., 1976; [12] Агранович М. С, «Успехи матем. наук»,
1965, т. 20, в. 5, с. 3—120; [13] Boutet de MonvelL.,
«Acta math.», 1971, v. 126, p. 11—51; LI4] Hormander L.,
«Gomm. Pure Appl. Math.», 1979, v. 32, № 3, p. 359—443.
M. А. Шубин.
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦ
&24 Математическая энц., т. 4

739 псев
ПСЕВДОДУГА — наследственно неразложимый
содержащий более одной точки змеевидный континуум.
Таков, напр., Кнастера континуум, м. И. Войцеховский.
ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО —
действительное аффинное пространство, в к-ром каждым двум
векторам а и & поставлено в соответствие определенное
число, называемое скалярным
произведением (а, Ъ).
1) Скалярное произведение коммутативно:
{а, &) = (&, а);
2) скалярное произведение дистрибутивно
относительно сложения векторов:
(а(Ъ + с)) = (а, Ь) + (а, с);
3) числовой множитель можно вынести за знак
скалярного произведения:
(ка, Ь)=к (а, Ь);
4) существуют такие η векторов α ι, что
(ас, ас) > 0, с < I; (ad, ad) < 0, d > I;
(α-ί, «у)=0, i^j.
Число η наз. размерностью П. п., I — и н д е к с о м,
пара чисел (I, р), р=п—1, — сигнатурой. П. п.
обозначается Е{1р) (или 1Еп). Пространство E{lt 3) наз.
Минковского пространством. В пространстве Ец,р) во
всякой системе η векторов &/, для к-рых (&,·, 6f-)V 0 и
(&/, bj)=Q при 1Ф), число векторов &,·, для к-рых (6/,
&t-)>0, равно I, а число векторов £,·, для к-рых (6/,
fy)<0, равно л—Ζ (закон инерции
квадратичной формы).
Μ о д у л ь \а\ вектора а П. п. может быть определен
как неотрицательный корень У\(а, а)\. Векторы,
скалярные квадраты к-рых равны 1 и —1, наз.
соответственно единичными и мнимоединич-
ными векторами. Векторы х, для к-рых
(ж, ас)—0, обладают нулевым модулем и наз.
изотропными векторами; направления
изотропных векторов — изотропными
направлениями.
В П. п. имеются три вида прямых: евклидовы,
направляющий вектор к-рых имеет положительный
скалярный квадрат ((а, а)>0), псевдоевклидовы (а, а)<0)
и изотропные ((а, а)—0). Совокупность всех
изотропных прямых, проходящих через нек-рую точку, наз.
изотропным конусом.
В П. п. имеется несколько видов плоскостей:
евклидовы плоскости Е2, псевдоевклидовы плоскости Ε,χ. ^
и плоскости, содержащие изотропные векторы,— т. н.
полуевклидовы плоскости сигнатуры (0,1) и (1,0) и
дефекта 1 (см. Полу евклидово пространство) и
изотропные плоскости, все векторы к-рых изотропны.
За расстояние между точками А (ж) и В (ос)
принимается модуль вектора А В, и оно может быть вычислено
следующим образом:
АЛ2 = \у-х\2 = \(у-х), (у-»)|.
П. п. не является метрич. пространством, т. к. в нем
не выполняется неравенство треугольника. Если
векторы а и Ъ принадлежат евклидовой плоскости (или
псевдоевклидовой плоскости индекса 0), то для них
выполняется неравенство треугольника, а если они
принадлежат псевдоевклидовой плоскости индекса 1, то
для них выполняется т. н. обратное неравенство
треугольника:
\а + Ь\^\а\ + \Ь\.
В П. п. имеются три вида сфер: сферы с
положительным квадратом радиуса: (х, х)=р2, сферы с
отрицательным квадратом радиуса: (аз, ж)=— о2и сферы нулевого
радиуса: (х, as)=0, совпадающие с изотропным конусом.
дуга 740
Движения П. п. являются аффинными
преобразованиями и могут быть записаны в виде
х' = Ux-\- а.
Оператор U удовлетворяет условию \Ux\ = \x |, т.е.
сохраняет расстояние между точками. Движения П. п.
образуют группу по умножению; она зависит от
η (п-\-\)12 независимых параметров. Движения П. п.
наз. движениями 1-го или 2-го рода, если они являются
аффинными преобразованиями соответствующего рода.
Антидвижением П. п. называют геометрич.
преобразование, при к-ром всякий вектор а переходит
в вектор а/ такой, что (а, а)=— (а', а').
В П. п. можно ввести основные операции векторной
и тензорной алгебры. Основные дифференциально-гео-
метрич. понятия строятся в соответствии с правилами
геометрии псевдоримановых пространств. Метрич.
тензор П. п. имеет вид (в галилеевой системе координат)
Hj =
П. п. является плоским, т. е. его Римана тензор равен
нулю. Если тензор Римана псевдориманова
пространства равен нулю тождественно, то оно является л о-
кально псевдоевклидовым
пространством.
Подмногообразия П. п. могут нести различные
метрики: положительно или отрицательно определенную
риманову метрику, псевдориманову метрику и
вырожденную метрику (см. Индефинитная метрика).
Так, напр., сферы П. п. несут (вообще говоря,
индефинитную) метрику постоянной кривизны. В E{lt п_г)
сфера с положительным квадратом радиуса является
(п—1)-мерным пространством, изометричным
пространству Лобачевского.
П. п. Eilt р) (1-\-р=п) и евклидово пространство Еп
можно рассматривать как подпространства
комплексного пространства с формой ds2=^i=1fl!z?. Если χι —
координаты П. п., ^—действительного евклидова
пространства, zJ — комплексного евклидова
пространства, то уравнения подпространств имеют вид
s/ = Rez^, 0 < /< I; х' = \тг'\ l<j^n, yJ^RezK
Метрику П. п. можно формально получить из метрики
евклидова пространства заменой xJ=iyJ\ l<j^n.
Лит.: [1] Ε φ и м о в Н. В., Ρ о з е н Д о ρ н Э. Р.,
Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970; [2] Розен*
фельд Б. Α., Многомерные пространства, М., 1966; [3] Л а н-
д а у Л. Д., Л и φ ш и ц Е. М., Теория поля, 6 изд., М., 1973.
Д. Д. Соколов.
ПСЕВДОКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО -
вполне регулярное пространство X такое, что всякая
действительная функция, определенная и непрерывная
на X, ограничена. В классе нормальных пространств
объемы понятий счетной компактности и
псевдокомпактности совпадают. М. И. Войцеховский.
ПСЕВДОКОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — биголо-
морфное отображение области D пространства С" на
область D'aCn при л>1. Название связано с тем,
что при я>1 это отображение не является, вообще
говоря, конформным отображением. е. Д. Соломенцев.
ПСЕВДОМЕТРИКА на множестве X —
неотрицательная действительная функция р,
определенная на множестве всех пар элементов множества X

7*1 π сев д op им ah
(т. е. на XX X) и подчиненная следующим трем
ограничениям, наз. аксиомами π с е в д о м е τ ρ и-
ки: а) если х=у, то р(я, у)=0; б) р(х, у)=р(у, х)\
в) рх, 2)<р(#, у)+р(у, ζ), где х, у, ζ — любые
элементы множества X.
Не требуется, чтобы из ρ (я, у)=0 следовало, что х=
=у. По псевдометрике ρ на множестве X определяется
топология на X: точка χ принадлежит замыканию
множества АаХ, если ρ (я, Л) = 0, где
р(х, 4) = inf {р(;г, у):у£А}.
Эта топология вполне регулярна, но не обязательно
хаусдорфова: одноточечные множества могут быть
незамкнуты. Каждая вполне регулярная топология
может быть задана семейством П. как структурное
объединение отвечающих этим П. топологий. Аналогично,
семейства П. могут служить для определения, описания
и исследования равномерных структур.
Лит.: [1] К е л л и Д ж., Общая топология, пер. с англ.,
2 изд., М., 1981. А. В. Архангельский.
ПСЕВДОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО —
множество Л, наделенное псевдометрикой. Каждое П. м.
нормально и удовлетворяет первой аксиоме счетности.
Вторая аксиома счетности выполняется в том и только
в том случае, когда X — сепарабельное пространство.
М. И. Войцеховсъий.
ПСЕВДОМНОГООБРАЗИЕ и-мерное
замкнутое (соответственно, с краем) — конечное сим-
плициальное разбиение со следующими свойствами.
а) Неразветвленность: каждый
(п—^-мерный симплекс является гранью ровно двух
(соответственно, одного или двух) л-мерных симплексов; б) с и л ь-
ная связность: любые два л-мерных симплекса
можно соединить «цепочкой» л-мерных симплексов, в
к-рой каждые два соседние симплекса имеют общую
(п—1)-мерную грань; в) размерностная
однородность: каждый симплекс является гранью
нек-рого л-мерного симплекса. Если нек-рая
триангуляция топологич. пространства является П., то и
любая его триангуляция является П., поэтому можно
говорить о свойстве топологич. пространства быть (или
не быть) П.
Примеры П.: триангулируемые связные компактные
гомологич. многообразия над %\ комплексные алгебра-
ич. многообразия (даже с особенностями); Тома
пространства векторных расслоений над триангулируемыми
компактными многообразиями. Наглядно П. можно
считать комбинаторной реализацией общей идеи
многообразия с особенностями, образующими множество
коразмерности два. Для П. имеют смысл понятия
ориентируемости, ориентации и степени отображения,
причем при комбинаторном подходе П. образуют
естественную область определения этих понятий (тем более что
формально определение П. проще, чем определение
комбинаторного многообразия). Циклы в многообразиях
можно в нек-ром смысле реализовать посредством П.
(см. Стинрода задача).
Лит.: [1] 3 е й φ е ρ τ Г., Тр ельфалль В., Топология,
пер. с нем., М.— Л., 1938; [2] Спеньер Э., Алгебраическая
топология, пер. с англ., М., 1971. Д. В. Аносов.
ПСЕВДОНОРМИРОВАНИЕ — обобщение понятия
мультипликативного нормирования, заключающееся в
ослаблении одной из аксиом: вместо условия w (a, b)=
—w(a) w(b) требуется только w(a, b)-^w(a) w(b).
Пример П.: в кольце всех непрерывных действительных
функций f(x), определенных на отрезке [ОД], П., не
являющееся нормированием, определяется формулой
(/)= max |/(*)|.
*е[0, 1]
Всякая действительная конечномерная алгебра может
быть псевдонормирована.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд.,
"М., 1973. О. А. Иванова.
А ГЕОМЕТРИЯ 742
ПСЕВДООТКРЫТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ —
непрерывное отображение / : X ->· Υ такое, что для всякой
точки y£Y и любой окрестности U множества j~1y в
X непременно j/glnt/C/ (здесь Int/C/ — множество всех
внутренних точек fll относительно Y).
М. И. Войцеховский.
ПСЕВДОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ сперио-
д а м и ω0, ωι, . . ., ωΓ — функция /(*, иг, . . ., иг)
от г+1 переменных, удовлетворяющая условиям:
/(*, иь ..., Mf + ω,·, ..., иг) =
= /(*, иг, ..., щ, ..., ur), i = l, ..., г;
/(ί + ω0, ι*ι, ..·, ur) = f(t, ι*ι + ω0ι ..., ι*Γ + ω0).
Пример: если/0(£) nfi(t) —непрерывные периодич.
функции с периодами а>о и ωχ соответственно, причем
отношение ш0/шх иррационально, το/(ί, ^ι)=/0(0+/ι(Η-"ι)
является П. φ.
П. ф. связана с квазипериодической функцией и
определяется по ней единственным образом: функция F(t)
квазипериодична с периодами ω0, ωι, . . ., ωΓ тогда и
только тогда, когда существует такая непрерывная
П.ф. /(£, их, . . ., иг) с периодами ω0, ωι, . . ., ωΓ, что
F(t) = f(t, 0, . . ., 0). Ю. В. Номленко.
ПСЕВДОРИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ —
совокупность геометрич. свойств поверхностей и кривых в
псевдоримановом пространстве lVn. Эти свойства
вытекают из свойств псевдоримановой метрики этого
пространства, к-рая является знаконеопределенной
квадратичной формой индекса I:
ds2 = gi/(X)dxidxJ.
Длина дуги кривой I выражается формулой
s=\i gij' άχ1 άχ/'
она может быть действительной, чисто мнимой или нулем
(изотропная кривая). Геодезич. линии в lVn даже в
малых своих частях теряют экстремальные свойства,
оставаясь линиями стационарной длины. Длина дуги
I может быть больше или меньше длины геодезич,
отрезка, соединяющего концы дуги I. Если
рассматривается пространство n~lVn, то отрезок геодезической
А В действительной длины дает длиннейшее расстояние
между точками А, В (в предположении, что эту дугу
геодезической можно вложить в полугеодезическую
координатную систему в виде координатной линии и что
для сравнения берутся гладкие кривые действительной
длины из области, где определена эта координатная
система). В случае, когда рассматривается псевдорима-
ново пространство n~xRnl можно всякую прямую
действительной длины принять за ось хп ортонормиро-
ванной координатной системы, в к-рой скалярный
квадрат вектора χ имеет вид
Здесь любой прямолинейный отрезок действительной
длины (вдоль оси хп) будет служить длиннейшим
расстоянием между точками, являющимися его концами.
В случае пространства Ύνη (или 1Вп) отрезок геодезич.
линии мнимой длины будет служить длиннейшим
расстоянием по сравнению со всевозможными гладкими
кривыми мнимой длины, концы к-рых совпадают с
концами геодезич. отрезка.
На основе псевдоримановой метрики развертывается
дифференциальная геометрия поверхностей и кривых
в псевдоримановом пространстве, определяются
кривизны кривых и поверхностей и т. д.
П. г. возникает также на поверхностях в гиперболич.
пространствах. Простейшим случаем П. г. является
24*

743 ПСЕВДОРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
геометрия псевдоевклидова пространства lRn и, в част
744
ности, геометрия Минковского пространства.
Лит. см. при ст. Псевдориманово пространство.
Л. А. Сидоров.
ПСЕВДОРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО —
пространство аффинной связности (без кручения), касательное
пространство в каждой точке к-рого является
псевдоевклидовым пространством.
Пусть Ап есть л-пространство аффинной связности
(без кручения) и lRn — касательное псевдоевклидово
пространство в каждой точке пространства А п, в этом
случае П. п. обозначается lVn. Как и в собственном
римановом пространстве, метрич. тензор пространства
lVn является невырожденным и абсолютно постоянным,
а метрич. форма пространства lVn является
квадратичной формой индекса I:
ds2 = gijdxi dx), i, / = 1, ..., η,
glj (X) —метрич. тензор lVm det[|gfy[|^0.
Пространство lVn можно определить как л-мерное многообразие,
в к-ром задана инвариантная дифференциальная
квадратичная форма индекса I.
Простейшим примером П. п. является пространство
R п*
П. п. cVn наз. приводимым, если в окрестности
каждой его точки существует такая система координат
(х1, . . ., хп), что все координаты х* можно разделить
на группы я α такие, что £ia/a5*0 лишь для тех индексов
*α, /α» к-рые принадлежат одной группе, a g-aja
являются функциями только координат этой группы.
В П. п. определяется кривизна пространства в
двумерном направления, она может быть истолкована как
кривизна геодезической (неизотропной) 2-поверхности,
проведенной в данной точке в данном двумерном
направлении. Если значение кривизны в каждой точке
одно и то же по всем двумерным направлениям, то оно
является постоянным во всех точках (теорема
Шура) и П. п. наз. в этом случае П. п. постоянной
кривизны. Примером П. п. постоянной отрицательной
кривизны является гиперболич. пространство lSn
отрицательной кривизны — оно является П. п. n~lVn;
пространство lRn есть П. п. нулевой кривизны.
Лит.: [1] Ρ а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и
тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Ρ о з е н φ е л ь д Б. Α.,
Неевклидовы тлространства, М., 1969; [3] Эйнштейн Α.,
Собр. науч. трудов, τ 1, Μ., 1965. Л. А. Сидоров.
ПСЕВДОСКАЛЯР — величина, не изменяющаяся
при переносе и повороте координатных осей, но
изменяющая свой знак при замене направления каждой оси на
противоположное. Примером П. может служить
смешанное произведение трех векторов и скалярное
произведение (ст, 6), где а — осевой вектор, Ь — обычный
(полярный) вектор. БСЭ-з.
ПСЕВДОСКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, косое
произведение, ауЪ ненулевых векторов а и
Ъ — произведение их модулей на синус угла φ
положительного (против часовой стрелки) вращения от а к Ь:
ауЪ — \ а\ | Ъ\ sin φ.
Если а=0 и (или) 6=0, то П. п. полагают равным нулю.
См. Векторная алгебра. А. Б. Иванов.
ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА — см. Случайные
и псевдослучайные числа.
ПСЕВДОСФЕРА — поверхность постоянной
отрицательной кривизны, образованная вращением
трактрисы вокруг ее асимптоты (см. рис.). Линейный
элемент в полугеодезич. координатах имеет вид (линия
и=0— геодезическая):
ds2 = du2 + ch2 — dv2, a = const;
в изотермич. координатах:
ds2 = а2 х * y , а = const.
Всякая поверхность
постоянной отрицательной
кривизны наложима на П.
Внутренняя геометрия П.
локально совпадает с геометрией Лобачевского (см. Бель-
трами интерпретация).
Лит.: [1] Выгодский М. Я., Дифференциальная
геометрия, М.— Л., 1949; [2] К а г а н В. Ф., Основы теории
поверхностей в тензорном изложении, ч. 2, М.— Л., 1948.
А. Б. Иванов.
ПСЕВДОТЕНЗОР — тензор, рассматриваемый с
точностью до произвольного функционального множителя.
ПСЕВДОХАРАКТЕР множества А в
топологическом пространстве X —
наименьший из всех бесконечных кардиналов τ таких,
что существует семейство мощности τ открытых в X
множеств, пересечение к-рых есть А. Обозначается
обычно ψ (А, X). Псевдохарактер ψ (А, X) определен
для всех подмножеств А пространства X в том и только
в том случае, если в X все одноточечные подмножества
замкнуты. Под псевдохарактером ψ (я, X) точки х£Х
в топологич. пространстве X понимается
псевдохарактер ψ ({χ}, X) множества {χ} в Χ.
Псевдохарактер ψ (X) топологич. пространства X —
наименьший бесконечный кардинал τ такой, что каждая
точка является пересечением семейства мощности <τ
открытых в X множеств. Пространства счетного П.—
те, в к-рых каждая точка имеет тип Gq . Каждое
топологич. пространство можно представить как образ при
непрерывном открытом отображении нек-рого пара-
компактного хаусдорфова пространства счетного П.
Для бикомпактных хаусдорфовых пространств счет-
ность П. равносильна первой аксиоме счетности.
Вообще, П. замкнутого множества А в бикомпактном xayG-
дорфовом пространстве X равен мощности
некоторой определяющей системы окрестностей множества
А в X.
Лит.: [1] Архангельский А. В., Понома-
е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
1974; [2] Архангельский А В., «Успехи матем.
А. В. Архангельский.
ИНТЕГРАЛ — интег-
наук», 1981, т. 36, в. 3, с. 127—46.
ПСЕВДОЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ
рал вида
J i? (z, Vf(z))dz,
где R — рациональная функция двух аргументов,
/ (ζ) — многочлен 3-й или 4-й степени без кратных
корней, к-рый может быть выражен элементарно, т. е.
через алгебраич. функции от ζ и логарифмы от таких
функций. Напр.,
z*dz
Г z*dz
) Vz~*=l
Vz~*=l
есть П. и. См. Эллиптический интеграл, е. д. Соломенцев.
ПСИ-ФУНКЦИЯ, ψ - ф у н к ц и я Гаусса,
дигамма-функци я,— первая производная от
логарифма гамма-функции.
ПТОЛЕМЕЯ ТЕОРЕМА: во всяком выпуклом
четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение
длин диагоналей равно сумме произведений длин его
противоположных сторон. Названа по имени Клавдия
Птолемея (2 в.), к-рый использовал ее для вывода
НеК-рЫХ СООТНОШеНИЙ В Тригонометрии. П. С. Моденов.
ПУАНКАРЕ ГИПОТЕЗА — утверждение,
приписываемое А. Пуанкаре (Н. Poincare) и гласящее: любое
замкнутое односвязное трехмерное многообразие го-
меоморфно трехмерной сфере. Естественным обобщением
является следующее утверждение (обобщенная
гипотеза Пуанкаре): любое замкнутое

745 пуа
и-мерное многообразие, гомотопически эквивалентное
«-мерной сфере Sn, гомеоморфно ей; в настоящее время
(1983) доказана для всех п, кроме п=3 (при п=4 —
лишь для гладких многообразий). ю. б. Рудяк.
ПУАНКАРЕ ГРУППА — группа движений
пространства Минковского. П. г. является полупрямым
произведением группы преобразований Лоренца и группы
четырехмерных сдвигов (трансляций). П. г. названо по
имени А. Пуанкаре (Н. Poincare), который впервые
(1905) установил, что преобразования Лоренца
образуют группу. А Б Иванов.
ПУАНКАРЕ ДВОЙСТВЕННОСТЬ — изоморфизм
р-мерных групп (модулей) гомологии л-мерного
многообразия Μ (в том числе обобщенного) с коэффициентами
в локально постоянной системе § групп (модулей),
изоморфных G, (η— ρ)-мерным когомологиям Μ с
коэффициентами в ориентирующем пучке fflη (§) наД м
(слой этого пучка в точке χζΜ совпадает с локальной
группой гомологии Нп=Нп(М, М\х; <§)). При этом
обычные гомологии Нср (М; §) изоморфны когомологиям
Не (М; 5£fw ($))> q=n—p, с компактными носителями
(когомологиям «второго рода»), в то время как
гомологии «второго рода» Нр(М; <§) (определяемые
«бесконечными» цепями) изоморфны обычным когомологиям
Hq (Μ; 5£fw($))· β более общем виде имеют место
изоморфизмы Н$(М; $)=Нф(М; 9СпШ* где Ф-любое
семейство носителей.
Аналогичные отождествления имеются также для
гомологии и когомологий подмножеств AczM и пар
(Μ, А) (двойственность Пуанкаре—
Л ефшеца). Именно, пусть А — открытое или
замкнутое подпространство в Μ иВ=М\А. Пусть Ф/В —
семейство всех тех множеств из Ф, к-рые содержатся в
В, и пусть ФП^4 —семейство множеств вида FflA,
Fa<I>. Тогда точная последовательность гомологии пары
(И, В)
• · · Н<ув (В; ») -> Н* (М; ») — Η* (Μ; В; ») —
-* ОД № »)-*... (*)
совпадает с когомологич. последовательностью пары
(М, А)
. · · -* НЯф (М, А; $Сп (<§)) -~+ Нф (М; ^п «)) —
->Н%^А(А; Жп($)) -+ Η«φ+ί (М; А; Жп($)) ^ ... .
Группы Н^В(В; $)=Н*/В(М; <§) совпадают с
Нср (В; §) в случае, когда Ф=с, и с Нр (В; <§) в случае,
когда Φ — семейство Ψ всех замкнутых в Μ множеств,
а множество В замкнуто (в этом случае символ Φ в
первой последовательности может быть опущен,
причем имеет место изоморфизм Нр(М, В; $)=Нр (А; <$)).
В случае, когда Φ=Ψ, а В открыто, символ Φ можно
опустить лишь во втором и третьем членах гомологич.
последовательности, т. к. гомологии Н®/в (В; §)
зависят не только от топологич. пространства В, но и от
вложения ВаМ.
В случае, когда Φ=Ψ, этот символ (вместе с ФП^4)
может быть опущен в когомологич. последовательности
пары (М, А). Если А замкнуто, то
Нф(М, А; Жп($)) = Н«ф/в(М; ЯГП«)) =
= Нф/в(В;Жп($)),
при Ф= Ψ возникающие когомологий В зависят не
только от В, но и от вложения ВаМ. Если Ф=с и А
замкнуто, то Φ Π ^4 можно заменить на с, и в этом случае
также Н?(М; A; S%n{<§))=Hqc {В; $%η (<§)) - когомоло-
746
гии «второго рода» пространства В. Если Ф—с, но А
открыто, то когомологий Н^А (А; ffln (<§)) отличаются
от Hqc (А; 3%п{$)) (и зависят от вложения АаМ).
Двойственность Пуанкаре — Лефшеца легко может
быть применена для описания двойственности между
гомологиями и когомологнями многообразия с краем.
Полезно иметь в виду, что если все отличные от нуля
слои пучка 3%п (R) изоморфны основному кольцу R,
то ЯГЯ(»)=ЯГ|.(Д)®*». м
В случае, когда пучок ygn (R) локально постоянен,
существует единственный с точностью до изоморфизма
локально постоянный пучок <%(R), для к-рого
% (Р)®яЖη (Щ=R. Поэтому если в гомологич.
последовательности (*) вместо § использовать пучок
коэффициентов ^6{R)®r<§, то в когомологич.
последовательности станет (вместо ffln (§)) фигурировать пучок g.
Таким образом, наперед заданные коэффициенты в
изоморфизмах двойственности могут фигурировать как в
гомологиях, так и в когомологиях.
Наиболее естественное доказательство П. д.
получается средствами теории пучков. П. д. в топологии —
частный случай соотношений двойственности
типа Пуанкаре, справедливых для
производных функторов в гомологич. алгебре (другой частный
случай — двойственность типа Пуанкаре для
гомологии и когомологий групп).
Лит.: [1] Скляренко Е. Г., «Успехи матем. науки»,
1979, т. 34, в. 6, с. 90—118; [2] е г о же, «Матем. заметки»,
1980, т. 28, № 5, с. 769—76; [3] Μ а с с и У., Теория гомологии
и когомологий, пер. с англ., М., 1981. Е. Г. Скляренко.
ПУАНКАРЕ ДИВИЗОР — дивизор, заданный
естественной поляризацией на якобиане алгебраич.
кривой. Форма пересечений одномерных циклов гомологии
алгебраич. кривой X индуцирует улимодулярную косо-
симметрич. форму на решетке периодов. В соответствии
с определением поляризованного абелева многообразия
эта форма определяет главную поляризацию на
якобиане кривой 1(Х). Поэтому эффективный дивизор вс
с/ (X), заданный этой поляризацией, определен
однозначно с точностью до сдвига на элемент χ ξ Ι (X).
Геометрия П. д. θ отражает геометрию алгебраич.
кривой X. В частности, размерность множества особых
точек П. д. dim q sing S^g—4, где g — род кривой X
(см. [1]).
Лит.: [1J Andreotti Α., Mayer Α., «Ann. Sc. norm,
sup. Pisa», 1967, v. 21, № 2, p. 189—238. Вик. С. Куликов.
ПУАНКАРЕ ЗАДАЧА: найти гармоническую в
конечной односвязной области S + функцию по условию на
границе L области:
А(*)ж+В(*)тз+с^и=1(*>>
где A (s), B(s), c(s), f(s) — заданные на L
действительные функции, s — дуговая абсцисса, η — нормаль к
L. К этой задаче пришел А. Пуанкаре (Н. Poincare,
1910), разрабатывая математич. теорию приливов, и дал
(неполное) решение задачи в случае, когда A(s)=l,
c(s)=Q, контур L и функции B(s), f(s) —
аналитические.
См. также Граничные задачи теории аналитических
функций. А. Б. Иванов.
ПУАНКАРЕ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ — модель,
реализующая геометрию плоскости Лобачевского (гипербо-
лич. геометрию) на плоскости комплексного
переменного. В П. и. с круговым абсолютом каждая точка
единичного круга Е= {ζ: \ζ\ <1} в плоскости ζ наз.
гиперболической точкой, а сам круг —
гиперболической плоскостью. Дуги
окружностей (и диаметр) в Е, ортогональные к граничной
окружности Ω= {ζ : \ζ\ = 1}, наз.
гиперболическими прямыми. Каждая точка Ω наз.
идеальной точкой. Гиперболич. прямые с общей
гиперболич. точкой наз. пересекающимися
[КАРЕ

747 пуа
прямыми; с общей идеальной точкой —
параллельными прямыми; прямые, к-рые не
пересекаются и не параллельны,—
гиперпараллельными (расходящимися) прямыми. Так,
напр , на рис. 1 изображены две прямые, проходящие
через точку zb параллельно прямой z2z3.
В П. и. в полуплоскости Н= {z=x-\-iy\y>0} каждая
точка верхней полуплоскости наз.
гиперболической точкой, а сама полуплоскость —
гиперболической плоскостью.
Полуокружности и полупрямые, ортогональные
действительной оси, наз. гиперболиче-
^^ ^^^ скими прямыми. Множе*
У^^ ^^^v ством идеальных точек (абсолю-
/ I л. том) является действительная
/ / ^\ ось и бесконечно удаленная точка
Рис. 1. Рис. 2.
плоскости ζ. Аналогично П. и. с круговым абсолютом
определяются параллельные, пересекающиеся и
расходящиеся прямые. Так, напр., на рис. 2 изображены
две пгшмые, проходящие через точку zx параллельно
прямой z2 z3.
Движения описываются конформными
преобразованиями, переводящими абсолют в себя. Расстояния
определяются с помощью двойного отношения четырех
точек
Р(*ь 22) = /с In (ζχ, ζ2, ζί, ζί),
где ζ χ — идеальная точка полупрямой, исходящей из
ζχ и проходящей через ζ2; ζ\ — идеальная точка
полупрямой, исходящей из ζ2 и проходящей через ζ1; к —
произвольное положительное постоянное;
Величины углов в П. и. совпадают с величинами углов
в геометрии Лобачевского.
П. и. предложена А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1882).
Лит.: [1] Клейн Ф., Элементарная математика с точки
зрения высшей, пер. с нем., т. 2, М.— Л., 1934; [2] Каган
В. Ф., Лобачевский и его геометрия, М., 1955; [3]
Гильберт Д., Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия, пер. с
нем., 3 изд., М.— Л., 1981; [4] Π у а н к а р е Α., Избранные
труды, [пер. с франц.], М., 1974; [5] Неванлинна Р.,
Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [6] Sanson e G.,
GerretsenJ., Lectures on the theory of functions of a
complex variable, [v.] 2, Geometric theory, Groningen, 1969.
А. Б Иванов
ПУАНКАРЕ КОМПЛЕКС — обобщение понятия
многообразия; пространство, группы гомологии к-рого
устроены в нек-ром смысле так же, как группы
гомологии замкнутого ориентируемого многообразия. А.
Пуанкаре (Н. Poincare) обнаружил, что группы
гомологии многообразия удовлетворяют нек-рому
соотношению (изоморфному Пуанкаре двойственности). П. к.
представляет собой пространство, где
аксиоматизирован этот изоморфизм (см. также Пуанкаре
пространство).
Алгебраический комплекс
Пуанкаре — цепной комплекс с формальной
двойственностью Пуанкаре — аналог прежнего.
Пусть С= {Сι) — пополненный цепной комплекс с
С/*=0 при ί>0 такой, что его группы гомологии
конечно порождены. Пусть, кроме того, комплекс С снабжен
такой (цепной) диагональю Δ: С-+С®С, что (ε®1)Δ=
748
= (1®ε)Δ, где ε : С -> % — пополнение (и С
отождествляется с С®% и Ъ®С). Наличие диагонали
позволяет определить спаривание
Н*(С)®Нп(С)^Нп_к(С), х®у^х(]у.
Комплекс С наз. геометрическим, если задана
цепная гомотопия между Δ и ΓΔ, где Τ : С®С -> С®
®С — перестановка сомножителей Τ (a®b)=b®a.
Геометрич. цепной комплекс наз. алгебраическим
П. к. формальной размерности п, если существует такой
элемент бесконечного порядка μζΗη(ϋ), что для
любого к гомоморфизм Π μ : Hk (С) -► #„_£ (С) есть
изоморфизм.
Примерами алгебраич. П. к. являются комплекс
сингулярных цепей ориентируемого замкнутого
многообразия или, более общо, П. к., определенный выше,
с подходящими условиями конечности. Можно
определить также цепные пары Пуанкаре —
алгебраич. аналоги пар Пуанкаре (X, А).
Рассматриваются также П. к. (и цепные пары Пуанкаре) модулей
над подходящими кольцами. Ю. в. Рудяк.
ПУАНКАРЕ ПРОСТРАНСТВО — 1) П. п.
формальной размерности η — топологическое
пространство X, где задан элемент μ£Ηη(Χ)=ζ, что
гомоморфизм Π μ : #« (Χ) -> Hn..k(X) вида χ-+χΓ\μ
является изоморфизмом для любого к (здесь Π
—операция Уитни умножения, высечение). При этом (]μ наз.
изоморфизмом двойственности
Пуанкаре и элемент μ порождает группу Нп (Х)= Ζ ·
Любое замкнутое ориентируемое /г-мерное связное
топологич. многообразие является П. п. формальной
размерности п\ в качестве μ берется ориентация
(фундаментальный класс) многообразия.
Пусть X — конечное клеточное пространство,
вложенное в евклидово пространство R^ большой
размерности Ν,ίΐ U — замкнутая регулярная окрестность
этого вложения, а дU — ее край. Стандартное
отображение ρ : dU -> X превращается (по Серру) в расслоение.
Теорема: пространство X является П. п.
формальной размерности η тогда и только тогда, когда слой этого
расслоения гомотопически эквивалентен сфере SN-п~1.
Возникающее над П. п. X описанное расслоение (слой
к-рого — сфера) единственно с точностью до
стационарной эквивалентности и наз. сферическим
нормальным расслоением, или
расслоением С π и в а к а, П. п. X. При этом конус
проекции ρ : dU —► X есть Тома пространство
нормального сферич. расслоения над X.
Если ограничиться лишь гомологиями с
коэффициентами в нек-ром поле F, то получится т. н. прост-
ранствоПуанкаре над F.
Рассматриваются также пары Пуанкаре
(X, А) (обобщение понятия многообразия с краем), где
для нек-рой образующей μζ#„(Χ, Α)=% и любого
к имеется изоморфизм двойственности Пуанкаре:
(]μ:Η*(Χ)^Ηη_Η(Χ, А).
П. п. естественным образом возникают в задачах
существования и классификации структур на
многообразиях. Содержательна также задача сглаживания
(триангуляции) П. п., то есть отыскания гладкого
(кусочно линейного) замкнутого многообразия,
гомотопически эквивалентного данному П. п.
2) П. п. п-м е ρ н о е — замкнутое n-мерное
многообразие М, гомологии группы Η ι {Μ) к-рого изоморфны
группам гомологии Η ι (Sn) и-мерной сферы Sn; другое
название — гомологическая сфера.
Односвязное П. п. гомотопически эквивалентно сфере
(см. Гомотопический тип). Для группы π, реализуемой
как фундаментальная группа нек-рого П. п., имеют
место равенства Η1(π) = Η 2(π) = 0, где Ηι(π) — группы
гомологии группы π. Обратно, для любого ;г^5 и любой
[КАРЕ

749
ПУАНКАРЕ
750
конечно представимой группы π с Η1(π)~Η2(π)—0
существует гс-мерное П. п. Μ с πλ(Μ)π.
Для 7г=3,4 этих условий недостаточно для
реализации группы π в виде π=π1(Μ). Так, напр.,
фундаментальная группа любого трехмерного П. п. допускает
копредставление с одинаковым числом образующих
и соотношений. Единственная конечная группа,
реализуемая как фундаментальная группа трехмерного
П. п., есть бинарная группа икосаэдра ζχ, у : х2=г/5 = 1>,
являющаяся фундаментальной группой додекаэдра
пространства — исторически первого примера П. п.
Лит.: [1] Б pay дер В., Перестройки односвязных
многообразий, пер. с англ., М., 1983. Ю. Б. Рудяк.
ПУАНКАРЕ СФЕРА — сфера в пространстве R:*
с отождествленными диаметрально противоположными
точками. П. с. диффеоморфна проективной плоскости
IRP2; она была введена А. Пуанкаре (Н. Poincare, см.
[1]) для исследования поведения на бесконечности
фазовых траекторий двумерной автономной системы
i = P(x, У), y = Q (*, У) (1)
в случае, когда Ρ и Q — многочлены. П. с. обычно
изображают так, чтобы она касалась плоскости (х, у); при
проектировании из центра П. с. взаимно однозначно
отображается на RP2, причем паре диаметрально
противоположных точек экватора отвечает бесконечно
удаленная точка. Соответственно, фазовые траектории
системы (1) отображаются на кривые на сфере.
Эквивалентный метод исследования системы (1) —
применение преобразований Пуанкаре:
ν 1 и g.. v 1
а)*= —, у=тнб)т = т, ,V=— ·
Первое (соответственно второе) из них пригодно вне
сектора, содержащего ось у (ось х). Напр.,
преобразование а) приводит систему (1) к виду
■£ = *·(". z)' 7F= <?*<*' z>' (r>
где dt=znd% и η — наибольшая из степеней Ρ, Q;
особые точки системы (Г) наз. бесконечно
удаленными особыми точками системы (1).
Если многочлены Р, Q взаимно просты, то многочлены
Р*, Q* также взаимно просты и система (1) имеет
конечное число бесконечно удаленных особых точек.
Лит.: [1] II у а н к а р е Α., О кривых, определяемых
дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; 121
А н Д ρ о н о в Α Α., Л е о н τ о в и ч Ε. Α., Γ ο ρ д о н И. И.,
Μ а й е ρ А. Г., Качественная теория динамических систем
второго порядка, М., 1966; [3] ЛефшецС, Геометрическая
теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961.
М. В. Федорюк.
ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА: пусть на гладком
замкнутом двумерном римановом многообразии V определено
векторное поле X, имеющее конечное число
изолированных особых точек Аи . . ., Ak.
Тогда
Σ№, Al) = X(V);
здесь / (Χ, Α ι) — индекс точки Α ; относительно X (см.
Особой точки индекс)j χ — Эйлерова характеристика
V. Установлена А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1881).
М. И. Войцехобский.
ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА в теории
устойчивости — см. Устойчивость по Пуассону.
ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА ВОЗВРАЩЕНИЯ — одна па
основных теорем общей теории дина.мпч. систем с
инвариантной мерой.
Пусть движение системы описывается
дифференциальными уравнениями
p = Xi(xu ..., Хп), i = l, ..., л> (1)
где однозначные функции Χ{(χχ, . - ., хп)
удовлетворяют условию
^п д (MXΛ
так что уравнения (1) допускают положительный
интегральный инвариант
^yMdxi ... dxn. (2)
Предполагается также, что если изображающая точка
Ρ с координатами хх, . . ., хп в начальный момент
времени t0 находится внутри нек-рой области V конечного
объема, то она будет оставаться неопределенно долго
внутри этой области, и что
Μ dx\ ... dxn < оо.
I П. т. в.: если рассматривается область ί/0,
содержащаяся в V, то можно выбрать бесконечным числом
способов начальное положение точки Ρ таким образом,
чтобы эта точка пересекла область U0 бесконечно много
раз. Если этот выбор начального положения делается
наудачу внутри ί/0, то вероятность того, что точка Ρ
не пересечет область U0 бесконечное число раз, будет
бесконечно мала.
Другими словами, если начальные условия не
являются исключительными в указанном смысле, то точка
Ρ пройдет бесконечно много раз сколь угодно близко
от своего начального положения.
Движение, при к-ром система бесконечное число раз
возвращается в окрестность начального состояния,
А. Пуанкаре (Н. Poincare) назвал устойчивым
в смысле Пуассона. П. т. в. была впервые
установлена А. Пуанкаре (см. [1], [2]), а его
доказательство было улучшено К. Каратеодори [3].
Введя в метрич. пространстве R с помощью четырех
аксиом абстрактное понятие меры μΑ любого
множества AczR и рассматривая динамич. систему /(р, t) (p =
—Р для ί=0), заданную в i?, К. Каратеодори назвал
меру μ инвариантной относительно системы f(p, t),
если для любого μ-измеримого множества А имеет место
равенство
μ/ (Λ, ί)=μΑ, — оо < t < + оо.
Инвариантная мера представляет собой естественное
обобщение интегрального инварианта (2) для
дифференциальных уравнений (1). Предположив меру всего
пространства R конечной, К. Каратеодори доказал, что:
1) если μΑ = ηι>0, то найдутся значения t, UI>1,
такие, что μ[Α·ί(Α, t)]>0, где A>f (A, t) — множество
точек, принадлежащих одновременно множествам А и
/μ,*);
2) если в пространстве R со счетной базой μR=ί для
инвариантной меры μ, то почти все точки p£R (в
смысле меры μ) устойчивы по Пуассону.
А. Я. Хинчин [5] уточнил часть 1) этой теоремы,
доказав, что для всякого измеримого множества £, μΕ=
= га>0, и любого £, — оо<*<+оо, неравенство
μ (0= μ (£·/(£, 0) > km2
выполняется для относительно плотного множества
значений t на оси —oo<i<-J-oo (при любом λ<1).
Η. Г. Четаев (см. [6], |7]) обобщил П. т. в. на случай,
когда функции Х{ в (1) зависят также от времени t
периодически. Именно, пусть а) действительным
состояниям системы отвечают лишь действительные
значения переменных; б) функции X/ в
дифференциальных уравнениях движения (1) суть периодические
относительно t с одним общим им всем периодом τ; в) в
своем движении точка Ρ не выйдет из нек-рой замкнутой
области R, если ее начальное положение Р0 находится

751 ПУАНКАРЕ
где-либо внутри определенной области г0; г) mes W^
^а mes W0, где mes Wk= \w dxx ... dxn обозначает меру
множества W^ (объем в смысле Лебега), к-рое
заполняют в момент t=t0-\-kT движущиеся точки, вышедшие
в t0 из W0; к — нек-рое целое число, постоянная а
предполагается не бесконечно малой. Тогда почти всюду
(кроме, быть может, множества точек меры нуль) в
области г0 траектории имеют устойчивость в смысле
Пуассона.
Н. М. Крылов и Η. Η. Боголюбов [8] для весьма
широкого класса динамич. систем дали построение меры,
инвариантной относительно данной динамич. системы
(см. также [4]).
Лит.: [1] Poincare Η., «Acta math.», 1890, v. 13,
p. 1—270; [2] e г о же, Избр. тр., пер. с франц., М., 1972;
[3] Caratheodory С, «Sitz. Pres. Acad. Wiss. Berlin»,
1919, S. 580, [4] Немыцкий В. В., Степанов В. В.,
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд.,
М.— Л., 1949; [5] X и н ч и н А. Я., «Сотр. math.», 1934, ν. Ι
p. 177—79; [6] Ч е τ а е в Η. Г., «С. г. Acad, sci.», 1928, t. 187,
p. 637—38; [7] e г о же, «Уч. зап. Казанск. ун-та», 1929, т. 89
кн. 2, с. 199—201; [8] Крылов Η. Η.,Боголюбов Η. Η.
«Ann. Math.», 1937, v. 38, № 1, p. 65—113. В. В. Румянцев]
ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА ПОСЛЕДНЯЯ: пусть К —
кольцо на плоскости, ограниченное окружностями с
радиусами г—а и г— 6, и дано отображение его в себя
(Θ — полярный угол)
752
Γ=φ(Γ, θ), θ = ψ(Γ, θ),
удовлетворяющее условиям: 1) отображение сохраняет
площадь, 2) каждая граничная окружность переходит
в себя φ (α, θ)=α, φ (δ, θ)=6, 3) точки с г=а
передвигаются против часовой стрелки, а точки с г— Ь — по
часовой стрелке, то есть ψ (α, θ)>θ, ψ (δ, θ)<θ. Тогда
это отображение имеет две неподвижные точки. Вместо
сохранения площади, более общо, можно потребовать,
чтобы никакая подобласть не преобразовывалась в свою
(собственную) часть.
Эта теорема высказана А. Пуанкаре [1] в 1912 в
связи с нек-рыми задачами небесной механики; доказана
им в ряде частных случаев, однако общего
доказательства этой теоремы он не получил. Работа была послана
А. Пуанкаре в итальянский журнал (см. [1]) за две
недели до смерти, причем автор в сопроводительном
письме редактору выразил уверенность в справедливости
теоремы в общем случае.
Полное доказательство дал через полгода Дж. Бирк-
гоф [2].
Лит.: [1] Poincar6H., «Rend. circ. mat. Palermo»,
1912, v. 33, p. 375—407, [2] Birkhoff G., «Trans. Amer.
Math. Soc», 1913, v. 14, ρ 14—22; [3] Π a p с Л. Α.,
Аналитическая динамика, пер. с англ., М., 1971. М. И. Войцеховский.
ПУАНКАРЕ УРАВНЕНИЯ — общие уравнения
механики голономных систем, представимые с помощью
нек-рой группы Ли бесконечно малых преобразований.
Пусть ж,·, i=l, . . ., и,— переменные,
определяющие положение голономной механич. системы,
стесненной идеальными связями, зависящими явно от времени.
Если система имеет к степеней свободы, то существует
интранзитивная группа бесконечно малых
преобразований
α = 1,
*,
дх.
позволяющая перевести систему в момент времени t из
положения Χζ в бесконечно близкие действительное
положение X(-\-dxi и возможное положение х^бх; бес-
канечно малыми преобразованиями группы (Х0+
+ Zj _Λγ)αΧα) dt и подгруппы \] _ ω/Χ/
соответственно. Здесь ωα и ηα — независимые переменные,
определяющие соответственно возможные и
действительные перемещения системы,— связаны уравнениями
если группа возможных перемещений Ха определена
своими структурными постоянными <?αβι·:
α, β = 1, ..., /с,
а оператор Х0 перестановочен с группой возможных
перемещений
(Х0Ха) = 0, а = 1, ..., к.
Эти условия далее предполагаются выполненными.
П. у. имеют вид обыкновенных дифференциальных
уравнений 2-го порядка
^ = Χβ=/α'^α^ + *^' (1)
где / — 1, ..., /с,
L(t, xu ..., хп, гц, ..., щ) = Т + и
— функция Лагранжа, Τ (t, χ, η) — кинетич. энергия,
U (t, x) — силовая функция.
Уравнения (1) были получены впервые А. Пуанкаре
(см. [1]) для случая транзитивной группы возможных
перемещений, когда связи не зависят явно от времени,
и применены (см. [2]) для исследования движения
твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком
заполненной идеальной жидкостью, совершающей
однородное вихревое движение. Н. Г. Четаев (см. [3])
обобщил П. у. на случай интразитивной группы
перемещений, когда связи зависят явно от времени, и
разработал их теорию (см. [3]—[5]), а также преобразовал к
более простому канонич. виду (см. Четпаева уравнения),
В частности, им был дан (см. [5]) метод построения
группы возможных и действительных перемещений, когда
голономные связи заданы в дифференциальной форме,
и введено важное понятие циклич. перемещения.
Перемещения Хг, г— 5+1, . . ., /с, наз.
циклическими, если они удовлетворяют условиям:
1) XrL = 0,
2) (ХГХР) = 0, r = e + l, ..., *, β = 1, ..., *.
Согласно 2) циклич. перемещения Хг образуют абелеву
подгруппу группы возможных перемещений,
перестановочную со всеми операторами Χβ. Для циклич.
перемещений существуют первые интегралы П. у.
-— — а» = const, г = 5 + 1, ..., /с.
Из этих соотношений переменные ηΓ можно выразить
через постоянные аг и переменные t, ж,·, %, . . ., η^ и
ввести функцию Рауса
R (ί, х1ч ..., хп; гц, ..., r\s; as + u ..., ак) =
dL
т VI* dL
дч\г
Тогда для нециклич. перемещений П. у. принимают
вид уравнений
а, /, β = 1, ..., s; γ=ί + 1, ..., к.
После интегрирования уравнений (2) значения ηΓ
определяются равенствами

753
ПУАССОНА ИНТЕГРАЛ
754
Если дополнительно выполняются равенства са/<у=0,
а, /=1, . . .,«; γ=Η-1, ...,&, т. е. если нециклич.
перемещения Χβ, β=1, . . ., /с, представляют собой
подгруппу группы возможных перемещений, то по
отношению к этой подгруппе рассматриваемая механич.
система образует как бы самостоятельную голономную
систему с s степенями свободы, описываемую уравнениями
(1) при а, /, β=1» · · ·» s, где роль функции L играет
функция R.
П. у. содержит как частные случаи: Лагранжа
уравнения, когда группа преобразований, увеличивающая
одну из переменных на бесконечно малую постоянную,
приводится к группе перестановочных между собой
преобразований; Эйлера уравнения вращения твердого
тела, когда роль ц{ играют проекции р, q, r мгновенной
угловой скорости.
Лит.: [1] Ρ о i η с а г е" Η , «С. г. Acad, sci.», 1901, t. 132, p.
369—71; [2] e г о же, «Bull. Astron.», 1910, t. 27, p. 321—56;
[3] 4 e τ a e в Η. Г., «Докл. АН СССР», 1928, № 7, с. 103—04;
[4] его же, «С. г. Acad, sci.», 1927, t. 185, p. 1577—78; [5]
его же, «Прикл. матем. и механ.», 1941, т. 5, № 2, с. 253—62.
В. В. Румянцев.
ПУАНКАРЕ — БЕНДИКСОНА ТЕОРИЯ — раздел
качественной теории дифференциальных уравнений и
теории динамич. систем, относящийся к предельному
(при ί-> ± со) поведению траекторий автономных систем
двух дифференциальных уравнений 1-го порядка:
*I=/l (*1, *2Ь ί==1» 2
(*)
(условия, обеспечивающие существование и
единственность решений, подразумеваются выполненными). В
наиболее важном случае, когда в ограниченной части
плоскости система имеет только конечное число равновесия
положений, основной результат А. Пуанкаре (Н. Poin-
саге, см. [1]) и И. Бендиксона (I. Bendixson, см. [2])
состоит в том, что любая ограниченная
полутраектория (положительная или отрицательная) либо
стремится к положению равновесия, либо навивается
(наподобие спирали) на предельный цикл, либо аналогичным
образом навивается на замкнутую сепаратрису или «се-
паратрисный контур», состоящий из нескольких
сепаратрис, «соединяющих» нек-рые положения
равновесия, либо сама является положением равновесия или
замкнутой траекторией. Наиболее часто используемое
следствие: если полутраектория не выходит из нек-рой
компактной области, не содержащей положения
равновесия, то в этой области имеется замкнутая
траектория. Для тех случаев, когда положений равновесия
бесконечное число или когда полутраектория не
является ограниченной, тоже имеется достаточно полное,
хотя и более сложное описание (см. [4]). Наконец,
можно рассматривать непрерывный поток на плоскости, не
предполагая, что он задается дифференциальными
уравнениями (*), ибо при этом все еще возможно
использовать основные «технические» предпосылки П,- Б. т.:
Жор дана теорему и последования отображение для
локальных сечений, гомеоморфных отрезку
(существование их доказано в [7], см. также [8]).
К П.— Б. т. примыкают: открытая А. Пуанкаре связь
между вращением векторного поля на границе области
и индексами положений равновесия внутри нее (см.
Особой точки индекс); результаты И. Бендиксона и
Л. Брауэра (L. Brouwer) о возможных типах поведения
траекторий возле положений равновесия (см. [2] —
[5]); результаты, уточняющие роль «особых
траекторий» — положений равновесия, предельных циклов и
сепаратрис — в «качественной картине», возникающей
на фазовой плоскости (см. [61).
Хотя общая теория дает исчерпывающую информацию
о вариантах поведения фазовых траекторий,
возможных для систем (*), это не отвечает на вопрос, какой
вариант реализуется для той или иной конкретной
системы. Решению подобных вопросов (обычно не для
отдельной системы, а для нек-рого класса систем)
посвящено большое количество работ, в к-рых, как
правило, существенно используется общая теория, но
к-рые никоим образом не сводятся к ее автоматич.
применению.
Лит.: [1] Пуанкаре Α., О кривых, определяемых
дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; [2]
Бендиксон И., «Успехи матем. наук», 1941, в. 9, с. 191 —
211; [3] Brouwer L. Ε., «Verhandel. Konikl. nederl. akad.
wet. Afd. natuurkunde. I. reeks», 1909, v. 11, p. 850—58; 1910,
v. 12, p. 716—34; 1910, v. 13, № 1, p. 171—86; [4] Η e м ы ц-
кий В. В., Степанов В. В., Качественная теория
дифференциальных уравнений, 2 изд., М., 1949; [5] X а ρ τ м а н Ф.,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М.,
1970; [6] Андронов Α. Α., Леонтович Ε. Α., Г о р-
д о н И. И., Μ а й е ρ А. Г., Качественная теория динамических
систем второго порядка, М., 1966; [7] Whitney H., «Ann.
Math.», 1933, v. 34, № 2, p. 244—70; [8] Η e м ы ц к и й В. В.,
«Вестн. Моск. ун-та», 1948, № 10, с. 49—61. Д. В. Аносов.
ПУАНКАРЕ — БЕРТРАНА ФОРМУЛА — формула
перестановки порядка интегрирования в повторных
несобственных интегралах в смысле главного значения
по Коши.
Пусть Г — простая замкнутая или разомкнутая
гладкая линия на комплексной плоскости; φ (ί,
ίχ)—определенная на Г (вообще говоря, комплекснозначная)
функция, удовлетворяющая равномерно условию Гёльдера
по t, ix; t0 — фиксированная точка на Г, отличная от
концов, если Г разомкнута. Тогда имеет место П.—
Б. ф.
Г dt Г φ (*, tt) Л4 _
jr^r;jr tt-t dti~
= -πΝΧ*0, to)+lrdt1lrU^^)dt. (1)
Формула справедлива и при более общих
предположениях относительно линии Г и функции φ (см. [4]).
Если φ(ί, *ι) = α(ί) β(ίχ), где a£Lp, βζΖ,ρ> , ρ>1, pr—
=ρ/(ρ—1), то равенство (1) справедливо для почти всех
t0£Y (см. [5], [6]). Если линия Г замкнута и функция φ
зависит от одного аргумента, то равенство (1)
принимает вид
(2)
и имеет место для всех или почти всех t0 ζ Γ в
зависимости от того, удовлетворяет φ условию Гёльдера или
(pgLjp, р>1. Равенство (2) также наз. П.— Б. ф.
Построены аналоги формулы (1) в случае кратных
интегралов (см. [8]—[И]).
Формула (1) при определенных условиях была
получена Г. Харди (см. [7]) ранее А.Пуанкаре (см. [1]) и
Ж. Бертрана (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Poincare Η., Legons de mecanique celeste,
t. 3, P., 1910; [2] Bert rand G., «G. r. Acad, sci.», 1921, t. 172,
p. 1458—61; [3] e г о же, «Ann. sci. Ecole norm, super.», 1923,
t. 40, p. 151—258; [4] Μ у с х е л и ш в и л и Н. И.,
Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [5] X в е д е-
л и д з е Б. В., «Сробщ. АН Груз. ССР», 1947, т. 8, № 5, с. 283—
90; [6] е г о ж е, в кн.: Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики, т. 7, М., 1975, с. 5—162; [7] Η а г-
d у G. Н., «Ргос. London Math. Soc», 1909, v. 7, № 2, ρ 181—208;
[8] Τ г i с о m i F., «Math. Z.», 1928, Bd 27, S. 87—133, [9] G i-
raud G., «С. г. Acad, sci.», 1936, t. 202, № 26, p. 2124—26;
[10] e г о же, «Ann. sci. Ecole norm, super.», 1934, t. 51, f. 3—
4, p. 251—372; [11] Михлин С. Г., «Успехи матем. наук»,
1948, т. 3, в. 3, с. 29—112; [12] е г о же, Многомерные
сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М., 1962.
Б. В. Хведелидзе.
ПУАССОНА ИНТЕГРАЛ — интегральное
представление решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения
в простейших областях. Так, П. и. для шара Вп (0, R)
евклидова пространства R", п^ 2, радиуса R с центром
в начале координат имеет вид
(1)
1 Г dt Г <p(fj) ,. ,, .
M*)=L ,« pJ(y)PBn(*> y)dSn(y),
J ои (0, К)
где /(//) — данная непрерывная функция на сфере
Sn(Q, R) радиуса R,
1 Rn~2 (R2-\ χ \Ζ\
<Уп
\Х-У\п

755
ПУАССОНА
756
— ядро Пуассона для шара, σ„~
=nnn/2Rn-l/T(n/2+i) площадь сферы Sn (О, R), dSn —
элемент площади Sn(Q, R).
С. Пуассон [1] пришел к формуле (1) в случае п=2
как к интегральной форме записи суммы тригонометрия.
ряда
"Τ + 2Γ=ι (**cos*e + ftfcsin*e)r*,
где ak, bk — коэффициенты Фурье функции /(г/)=/(<^ф),
(г, Θ) и (1, φ)— полярные координаты соответственно
точек х=ге& и y=ei(v, когда ядро Пуассона имеет вид
РВЛХ, у) = РВ2(ге*, ^) = 4ΐ-2,οο8Τθ-φ) + ^ (2)
(о применениях П. и. в теории тригонометрия, рядов
см. [3], а также Абеля — Пуассона метод
суммирования).
П. и. для полупространства
имеет вид
где
Я" ={* = (*!, ...,xn)£Rn: xn>0}
»(*) = $/(?) **!£(*, y)dRn0(y),
(3)
Ri = {v = ivu ·.·, Vn)£*n·- Уп-0},
dRo — элемент площади i?o, f(y) — ограниченная
непрерывная функция на i?o,
2Г ( ^- + 1
PRn+(x, у) = —Цр
ηπη'ύ
Пуассона для
Хп
\х-у \п
— ядро Пуассона для
полупространства. Формулы (1) и (3) суть частные случаи
формулы Грина
"И = $г/(г/)д-^<ггы, (4)
дающей решение задачи Дирихле для областей DczRn
с гладкой границей Г при помощи производной
dG(x, y)ldny функции Грина G(x, у) по направлению
внутренней нормали к Г в точке у ξ?Γ. Иногда
формулу (4) также наз. П. и.
Основные свойства П. и.: 1) и(х) есть гармонич.
функция координат точки х; 2) П. и. дает решение задачи
Дирихле с граничными данными / (у) в классе
(ограниченных) гармонич. функций, т. е. функция и(х),
продолженная на границу области значениями /(#),
непрерывна в замкнутой области. На этих свойствах
основаны применения П. и. в классической математич.
физике (см. [4]).
П. и., понимаемый в смысле Лебега, от суммируемой
функции /(#), напр. на Sn (О, R), наз.
интегралом Пуассона — Лебега; интеграл вида
и(*>=к
(О, R)
РВп (х, у) άμ (у)
(5)
по произвольной конечной борелевской мере μ,
сосредоточенной на Sn (О, R), наз. интегралом
Пуассона — Стилтьеса. Класс А гармонич. функций
и(х), представимых интегралом (5), характеризуется
тем, что любая функция и(х)£А есть разность двух
неотрицательных гармонич. функций в В „(О, R). Класс
функций, представимых интегралом Пуассона —
Лебега, есть правильный подкласс класса Л, содержащий,
в свою очередь, все ограниченные гармонич. функции в
Вп (О, Я). Для почти всех точек y£Sn (О, R) по мере
Лебега на S„(0, R) интеграл Пуассона — Стилтьеса (5)
имеет угловые граничные значения, совпадающие со
значением производной μ' (у) меры μ по мере Лебега.
Теория интегралов Пуассона — Стилтьеса и
Пуассона — Лебега строится и для случая полупространства
(см. [5]).
Большую роль в теории аналитич. функции многих
комплексных переменных и в ее применениях к
квантовой теории поля играют различные модификации П. и.
Напр., ядро Пуассона для поликруга
*7« = {* = (*!. .... zn)^Cn: 1*/1<1» /==1' ·*·' ηϊ
комплексного пространства С" получается при
перемножении ядер (2):
Соответствующий П. и.
u(s)=\Tnf(QPU»(z, ζ)άΤ*(ζ)
по остову поликруга Тп= {ζ= (ζ, . . ., ζη)£0η: |ζ/| = 1,
7 = 1,. . ., η} даеткратногармонич. функцию и(z), ζζϋ",
принимающую на остове Тп непрерывные значения
/(ζ). Рассматриваются также обобщения в виде
интегралов Пуассона — Лебега и Пуассона — Стилтьеса
(см. [6]).
В квантовой теории поля применяются П. и. для
трубчатых областей Тс комплексного пространства Сп
над выпуклым открытым острым конусом С в
пространстве Rn (с вершиной в начале координат) вида
Tc=Rn + iC = {z = x + iy£Cn:
χ = (χι, ..., хп)€&п; y = (yu ···> yn)6C}.
П. и. для полуплоскости вида (3) при п=2 есть частный
случай таких П. и. для трубчатых областей. П. и. для
ограниченных симметрич. областей пространства С"
представляется так же, как П. и. для трубчатой области
в пространстве матриц. Понимая плотность П. и. / как
обобщенную функцию, а сам П. и.— как свертку / с
ядром Пуассона, приходят к важному понятию П. и.
от обобщенных функций определенных классов (см.
[7]-[9]).
Лит: LI] Poisson S. D., «J . Ecole polytechn.», 1820, t. 11,
p. 295—341; 1823, t. 12, p. 404—50Θ; [2] Schwarz Η. Α.,
«Vierteljahreechr. Naturforech. Ges. Zurich», 1870, Bd 15, S. 113 —
28; [3] Вари Η. К., Тригонометрические ряды, Μ., 1961; [4]
Тихонов Α. Η., Самарский Α. Α., Уравнения
математической физики, 5 изд , Μ , 1977; [5] С о л о м е н ц е в Ε. Д.,
Итоги науки Математический анализ. Теория вероятностей.
Регулирование. 1962, М., 1984, с. 83—100; [6] Ρ удин У.,
Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974; [7]
Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической
физике. М., 1976; [8] Хуа Л о - к е н, Гармонический анализ
функций многих комплексных переменных в классических
областях, пер. скит., М., 1959; [9] С τ е й н И., В е й с Г.,
Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах,
пер с англ , М., 1974. Е. Д Соломенцев.
ПУАССОНА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — то же,
что Абеля — Пуассона метод суммирования.
ПУАССОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное
преобразование вида
где a(t) — функция ограниченного изменения в каждом
конечном интервале, а также преобразование
/Ы__1Г°° ф<«) dt
абсолютно непрерыв-
вытекающее из (*), если a(t)
ная функция. Пусть
£(*)=—Т" J Г и~2 ls(x + u) — 2g(x)+g(x — u)]du
+ 2jfc=0(~1) (2fc+l)!
Л)кш\^2к){х)+
g{2k) (Χ).

757 Пуассона
Имеют место следующие формулы обращения для П. π
а (зс + 0) + а (х-0) α ( + 0) + α (-0)_
758
lim
-► 1-0
Ttf (и) du
при всех χ и
φ (χ) = lim Ttf (x)
t -+ 1-0
для почти всех х.
Пусть С — выпуклый открытый острый конус в R"
с вершиной в нуле и С* — сопряженный конус, т. е.
£·={Ε:ξι*ι+...+ε,Α.^ο, v*€q.
Функция
<у* ι
:(■) = $
JW.+ ...
с*
+*п\п)д£
наз. ядром Коши трубчатой области Тс= {z=
=a;+i#; x£Rn, у£С} П. п. (обобщенной) функции/
наз. свертка
где
[Kc(* + i?/)|2
5>с(*, Й =
(2л)" Кc(iy)
[2]).
— ядро Пуассона трубчатой области ТС (см.
Лит.: [1] Pollard Η., «Trans. Amer. Math. Soc!», 1955,
v. 78, № 2, p. 541—50; [2] В л а д и м и ρ о в В. С, Обобщенные
функции в математической физике, М., 1976.
Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.
ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение
вероятностей случайной величины X, принимающей
целые неотрицательные значения /с=0,1,2, . . ., с
вероятностями
Р{Х = щ = е
Λ! '
где λ>0 — параметр. Производящая функция и харак-
теристич. функция П. р. определяются соответственно
равенствами
φ(ζ) = ^λ<ζ-1> и /(ί) = βχρ[λ(β«—1)].
Математич. ожидание, дисперсия и все семиинварианты
более высокого порядка равны λ. Функция
распределения П. р.
в точках Л=0,1,2, . . . выражается формулой
■«-тИ;
y*e-ydy = i—Sk + 1(X),
где Sk + i (λ) — значение в точке λ функции
гамма-распределения с параметром k-\-i (или формулой F(k)=
=1 —#2fe + 2 (2λ), где H2k+2(2k) — значение в точке 2λ
функции «хи-квадрат» распределения с 2/с+2 степенями
свободы), откуда, в частности, следует соотношение
P{X = k} = Sk(K)-Sk + 1(X).
Сумма независимых случайных величин Хг, . . ., ХП9
имеющих П. р. с параметрами λχ, . . ., λη, подчиняется
П. р. с параметром λχ +...+ λ„.
Обратно, если сумма Хх+Х2 двух независимых
случайных величин Хг и Х2 имеет П. р., то каждая
случайная величина Χλ и Х2 подчинена П. р. Имеются общие
необходимые и достаточные условия сходимости
распределения сумм независимых случайных величин к
у л
П. р. Πρπλ->οο случайная величина имеет в пре-
' λ
деле стандартное нормальное распределение.
П. р. было впервые получено С. Пуассоном (S. Ро-
isson, 1837) при выводе приближенной формулы для
биномиального распределения в условиях, когда η
(число испытаний) велико, а р (вероятность успеха) мало.
См. Пуассона теорема 2). П. р. с хорошим
приближением описывает многие физич. явления (см. [2], т. I,
гл. 6). Л. р. является предельным для многих
дискретных распределений, таких как, напр.,
гипергеометрическое распределение, отрицательное биномиальное
распределение, Пойа распределение, для распределений,
возникающих в задачах о размещении частиц по
ячейкам при определенном изменении их параметров. В
вероятностных моделях П. р. играет большую роль как
точное распределение вероятностей. Природа П. р.
как точного распределения вероятностей наиболее
полно раскрывается в теории случайных процессов (см.
Пуассоновский процесс), где П. р. появляется как
распределение числа X (t) нек-рых случайных событий,
происходящих в течение фиксированного интервала
времени t:
?{Х (t) = k} = e-kt(-^, * = 0, 1,2, ...
(параметр λ — среднее число событий в единицу
времени), или, более общо, как распределение случайного
числа точек в нек-рой фиксированной области
евклидова пространства (параметр распределения
пропорционален объему области).
Наряду с П. р., как оно определено выше,
рассматривают и так наз. обобщенное или сложное
П. р. Так называют распределение вероятностей суммы
Χ1+Χ2+···+^ν случайного числа ν одинаково
распределенных случайных величин Хх, Х2, . . . (при этом
ν, Хъ Х2
считают взаимно независимыми, и ν —
распределенным по П. р. с параметром λ). Характерис-
тич. функция φ (£) обобщенного П. р. равна
φ(ί)=θχρ{λ(ψ(ί)-1)},
где ψ (ί) — характеристич. функция Ху, Напр.,
отрицательное биномиальное распределение с параметрами η
и ρ является обобщенным П. р., так как для него
можно положить
гИ^-Mog-i- , X = logi-,g = l-p.
А l-qe" P
Обобщенные П. р. безгранично делимы и каждое
безгранично делимое распределение является пределом
обобщенных П. р. (может быть «сдвинутых», т. е. с ха-
рактеристич. функциями вида θχρ(λ„(ψ„(ί)~-1—itan)).
Вместе с тем все безгранично делимые распределения
(и только они) могут быть получены как пределы
распределений сумм вида hnlXnl+ . . . +hnknXnkn—An,
где (Хщ, . . ., Xnk ) образуют схему серий
независимых случайных величин с П. p., ftnfen>0 и А
„—действительные числа.
Лит.: [1] Ρ о i s я о η S. D., Recherches sur la probabilite"
des jugements en matiere criminelle et en matiere civile, precedees
des regies generates du calcul des probabilites, P., 1837; [2] Фел-
л е ρ В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер.
с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967; [3] Б о л ь ш е в Л. Н., С ми р-
н о в Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М.,
1968; [4] Линии к Ю В., Островский И. В.,
Разложения случайных величин и векторов» М., 1972.
А. В. Прохоров.
ПУАССОНА СКОБКИ — дифференциальное
выражение
/ ν χι η / ди dv ди dv \ /А.
(„,,,)=2ίβ1 («5^—^-55-,) . ()
зависящее от двух функций и (q, ρ) и ν {α, ρ) 2η
переменных q= (ft, . . ., qn), p= (pj, . . ., Рп)· Введены С.
Пуассоном [1]. П. с.— частный: случай Якоби скобок, П. с.
есть билинейная форма от функций и, ν, причем
(и, ν) = —(ν, и),

759
ПУАССОНА
760
и имеет место тождество Якоби (см. [2])
(U, (V, W)) + (V, (И7, U)) + (W, (U, 17)) =0.
П. с. применяются в теории дифференциальных
уравнений с частными производными 1-го порядка и
являются удобным математич. аппаратом в аналитич. механике
(см. [3] —[5]). Напр., если q, p — канонич. переменные
и дано преобразование
<? = <? (<?, Р), P = P(q, ρ), (2)
где <?=(<?!, . . ., <?„), />=(/>!, . . ., Ρп) и (тгХ
^-матрицы
(Р, Р), (Q, Q), (0, Р) (3)
составлены из элементов (Ph Pj), ((?,·, Qj), (Qi, Pj)
соответственно, то (2) является канонич. преобразованием
тогда и только тогда, когда первые две матрицы в (3)
нулевые, а третья — единичная.
П. с, вычисленные для случая, когда в (1) и и ν
замещены какой-либо парой координатных функций от
q, ρ, наз. фундаментальными скобками.
Лит.: [1] Poisson S., «J. Ecole polytechn.», 1809, t. 8,
p. 266—344; [2] J а с о b i C.,' «J. reine und angew. Math.», 1862,
Bd 60, S. 1—181; [3] У и τ τ е к е ρ Ε. Т., Аналитическая
динамика, пер. с англ., М.— Л., 1937; [4] Л у ρ ь е А. И.,
Аналитическая механика, М., 1961; [5] Г о л д с τ е й н Г.,
Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. П. Солдатов.
ПУАССОНА ТЕОРЕМА — 1) П. т.— предельная
теорема теории вероятностей, являющаяся частным
случаем больших чисел закона. П. т. обобщает Бернулли
теорему на случай независимых испытаний, вероятность
появления в к-рых нек-рого события зависит от номера
испытаний (т. н. схема Пуассона).
Формулировка П. т. такова: если в последовательности
независимых испытаний событие А наступает с вероятностями
pfe, зависящими от номера испытания /с, /с=1, 2, . . .,
μη/η — частота А в первых η испытаниях, то при любом
ε>0 вероятность неравенства
|^_Р. + ...+Рп1
\ η η | ^
будет стремиться к 1 при /г->оо. Теорема Бернулли
следует из П. т. при Ρι=. . -=Ρη· П. т. была установлена
С. Пуассоном [1]. Доказательство П. т. было получено
С. Пуассоном из варианта Лапласа теоремы. Простое
доказательство П. т. было дано П. Л. Чебышевым (1846),
к-рому также принадлежит первая общая форма закона
больших чисел, включающая П. т. в качестве частного
случая.
2) П. т.— предельная теорема теории вероятностей
о сходимости биномиального распределения к Пуассона
распределению: если Рп(т) — вероятность того, что в
η испытаниях Бернулли нек-рое событие А наступает
ровно т раз, причем и вероятность А в каждом
испытании равна р, то при больших значениях η и \1р
вероятность Рп (т) близка к
ml
Величина λ=ηρ равна среднему значению числа
наступлений А в η испытаниях, а последовательность зна-
чений е-* -^- , w=0,l, 2, . . ., λ>0, образует
распределение Пуассона. П. т. была установлена С. Пуассоном
[1] для схемы испытаний, более общей, чем схема
Бернулли, когда вероятности наступления события А
могут меняться от испытания к испытанию так, что рп-+0
при η -> оо. Строгое доказательство П. т. в этом случае
основано на рассмотрении схемы серий случайных
величин такой, что в тг-й серии случайные величины
независимы и принимают значения 1 и 0 с вероятностями
и рп ί—ρη соответственно. Более удобна форма П. т.
в виде неравенства: если λ=ρ1+· · ·Λ-ρη·> δ=Ρι+. . .
• · ·+Ρη, то при п>2
Ι η ( \ -λ λ™ ι _0c
|^W-i -^j-|<26.
Это неравенство указывает ошибку при замене Рп (т)
величиной β~λ —j-. Если рг= . . . =ρη—λΙη, то 6 =
=λ2/η. Π. т. и теорема Лапласа дают исчерпывающее
представление об асимптотич. поведении биномиального
распределения.
Последующие обобщения П. т. создавались в двух
основных направлениях. С одной стороны, появились
уточнения П. т., основанные на асимптотич.
разложениях, с другой — были установлены общие условия
сходимости сумм независимых случайных величин к
распределению Пуассона.
Лит.: [1] Poisson S. - D., Recherches sur la probabilite
des jugements en matiere criminelle et en matiere civile..., P.,
1837; Ϊ2] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М.,
1962; [3] Боровков Α. Α., Теория вероятностей, М., 1976.
А. В. Прохоров.
ПУАССОНА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное
уравнение с частными производными, к-рому
удовлетворяет объемный потенциал внутри областей, занятых
создающими этот потенциал массами. Для ньютонова
потенциала в пространстве R", д^З, и
логарифмического потенциала в R2 П. у. имеет вид
Δα==Σ" -τι = -σ($») ρ (*ϊ,...,*„),
** ι = ι дх\
где ρ—p(#i, ...,£„) — плотность распределения масс,
o(Sn) = nnn/2/T(ni2+l) — площадь единичной сферы
Sn в R", Γ(αι/2+1) — значение гамма-функции.
П. у. является основным примером неоднородного
уравнения эллиптич. типа. П. у. впервые рассмотрено
С. Пуассоном (S. Poisson, 1812).
Лит.: [1] Б и ц а д з е А. В., Уравнения математической
физики, М.,1976; [2]КурантР., Уравнения с частными
производными, пер. с англ., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.
ПУАССОНА УРАВНЕНИЕ; численные
методы решения — методы, заменяющие исходную
краевую задачу для уравнения Пуассона
A«W-yrf ^^ = /И, *^(*ι,*2,.·.,*,*) (1)
системой из N линейных алгебраич. уравнений
LN (uN) =fN, (2)
решение к-рой их=(их, и2, . . ., uN) позволяет
построить нек-рую аппроксимацию р^и^ для решения
исходной задачи, N->oo.
В зависимости от способа сравнения решений
исходной задачи (1) и дискретной задачи (2) определяются
такие важнейшие понятия, как погрешность численного
метода и оценка погрешности (точности). Другими
характеристиками численных методов служат алгебраич.
свойства систем (2) (дискретных аналогов краевых
задач), связанные с устойчивостью их решений
(корректностью дискретных задач) и возможностью отыскания
точных или приближенных решений (2) теми или
иными прямыми или итерационными методами при
выполнении соответствующей вычислительной работы и
соответствующих требованиях на объем используемой
памяти ЭВМ (см. Минимизация вычислительной работы).
Важность численного решения краевых задач для
П. у. определяется не только тем, что эти задачи часто
возникают в разнообразных областях науки и техники,
но и тем, что они нередко служат и средством решения
более общих краевых задач как для уравнений и систем
уравнений эллиптич. типа, так и различных
нестационарных систем. Основными численными методами для
решения рассматриваемых краевых задач являются
проекционные методы и разностные методы.

761
ПУАССОНА
762
Проекционные методы включают в себя
ряд методов: вариационные, наименьших квадратов,
Галеркина, проекционно-разностные, проекционно-се-
точные, конечных элементов. Для всех них характерно
сведение исходной краевой задачи к операторному
уравнению
L(u)=f (3)
(оператор L действует, напр., из гильбертова
пространства Η в Н) с последующим выбором конечномерных
подпространств ΗΝ и FN (N-+qq)\ сама задача (3) в
этих методах заменяется задачей нахождения uN£HN
такой, что для любого v£FN
(LuN—f,v)H = 0.
Тогда при заданных базисах в Η χ и F ^ система (2)
является системой относительно коэффициентов
разложения uN по базису Η χ и за p^uj^ можно принять
саму функцию uN\ погрешность метода естественно
определить как \\u~uN\\H. В наиболее важных случаях
Η является нек-рым подпространством пространства
Соболева Η^(Ω), HN=FN, и если ψι(#), ψ^), · · ·»
Ψν (χ) — базис ΗΝ, то система (2) принимает вид
Σ / = ι "-Λ q 2rad 4V Srad *' № dx =
= $Q/W*i (*)**. « = 1,2, ...,7V. (4)
Погрешность метода при этом определяется
расстоянием в Я от решения исходной задачи до
подпространства ΗΝ (см. [1], [5] —[9]). В современных вариантах
проекционных методов подпространства ΗΝ стремятся
выбирать так, чтобы функции tyi(x) имели локальные
носители и в каждом уравнении (4) лишь конечное
число коэффициентов было отлично от нуля. Методы такого
типа и наз. проекционно-сеточными
методами (проекционно-разностными, вариационно-
разностными, конечных элементов) (см. [1], [4], [7] —
[9], [11]). Наибольшим достоинством этих методов
является их применимость при достаточно сложной
геометрии области Ω, в к-рой рассматривается краевая
задача. К проекционным методам примыкает и
относительно редко применяемый коллокаций метод.
Разностные (конечноразностные)
методы используют аппроксимацию исходной
области Ω нек-рой сеточной областью Ω^ν, содержащей N
узлов сетки, и обычно приводят к системе (2) на основе
аппроксимации П. у. и соответствующих граничных
условий их разностными (сеточными) аналогами,
использующими лишь значения функции в выбранных
узлах (см. [1]). Погрешность метода обычно получается
сравнением вектора и^ и вектора, получаемого
сужением искомого решения на множество рассматриваемых
узлов. Корректность и аппроксимация могут изучаться
при различных выборах норм, в частности возможно
использование принципа максимума; сходимость
получается как следствие корректности и аппроксимации
(см. [1]-[4]).
Системы (2) могут выводиться и на основе нек-рых
дискретных аналогов соответствующих вариационных
задач и на основе аппроксимации нек-рых
интегральных соотношений (см. [1], [2], [4], [10]); такие подходы
несколько сближают эти варианты разностных методов
с проекционно-разностными.
Методы решения систем
сеточных уравнений (2) наиболее интенсивно
изучались для простейших разностных аналогов на парал-
лелепипедной сетке (см. [1], [9], [И] —[19]). В случае
двух переменных и области Ω на плоскости, являющейся
прямоугольником, часто применяются для ряда
граничных условий прямые методы, позволяющие найти
решение (2) при затрате О (Μη Ν) арифметич.
действий. Это — метод разделения переменных,
использующий дискретное преобразование Фурье, и метод
редукции (см. [12], [13]); известны и методы с оценкой 0(Ν)
действий (см. [14]). При <£>2 и наличии разделения
переменных (Ω в этом случае — параллелепипед) решение
(2) с точностью ε>0 можно найти при затрате О (N In
Ν\\η εI) действий с помощью итерационного метода
переменных направлений (см. [1], [12]); итерационные
методы с факторизуемыми операторами (метод
последовательной сверхрелаксации с симметризацией,
неполной матричной факторизации,
попеременно-треугольный) позволяют найти решение (2) с точностью ε при
затрате 0(дг1 + 1/2ег |ln ε|) действий (см. [12], [15]) для
довольно общих ситуаций.
В случае односвязных и многосвязных областей Ω
на плоскости, составленных из конечного числа
прямоугольников, решение системы (2) с точностью ε может
быть найдено при затрате 0(N\nN-\-N^*\\ne\ In N)
действий на основе разрезов Ω на прямоугольники
(см. [15], [16]). Похожая асимптотика для дискретных
аналогов задачи Дирихле в случае некоторых
областей получена с помощью метода емкостей (см. [17])
и фиктивных неизвестных (см. [18]). Для ряда систем
(2), являющихся проекционно-разностными
аналогами исходных задач, затраты типа 0(N In ΑΠΙη ε|), a
иногда и О (Ν In N) (при eXiV-a, α>0) достигаются
с помощью итерационных методов, использующих
эквивалентность операторов по спектру (см. [11], [17],
[19]). Использование последовательностей сеток в ряде
случаев позволяет получить итерационные методы,
дающие решение (2) с точностью eXiV~a, a>0, при
асимптотически минимальных затратах вычислительной
работы (число действий есть O(N)) (см., напр., [1], [9],
[И], [19]).
Лит.: [1] Годунов С. К., Рябенький В. С,
Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; [2] Л а д ы ж е н-
с к а я О. Α., Краевые задачи математической физики, М., 1973;
[3] Μ а р ч у к Г. И., Ш а й д у ρ о в В. В., Повышение
точности решений разностных схем, М., 1979; [4] С а м а
ροκ и й А. Α., Андреев В. В., Разностные методы для
эллиптических уравнений, М., 1976; [5] Μ и χ л и н С. Г., Численная
реализация вариационных методов, М., 1966; [6] Красно-
с е л ь с к и й М. А. [и др.], Приближенное решение
операторных уравнений, М., 1969; [7] О б э н Ж. П., Приближенное
решение эллиптических краевых задач, пер. с англ., М., 1977; [8]
Стренг Г., Фикс Дж., Теория метода конечных
элементов, пер. с англ., М., 1977, [9] Оганесян Л. Α., Ρ и в-
кинд В. Я., Руховец Л. Α., Вариационно-разностные
методы решения эллиптических уравнений, ч. 1—2, Вильнюс,
1973—74 (Дифференциальные уравнения и их применение, в.
5, 8); [10] Самарский А. А.,ФрязиновИ. В., «Успехи
матем. наук», 1976, т. 31, в. 6, с. 167—97; 111] Д ьяко н о в Е. Г.,
в кн.: Вариационно-разностные методы в математической
физике, Новосиб., 1978, с. 149—64; [12] Самарский Α. Α., Ни-
к о л а е в Е. С, Методы решения сеточных уравнений, М., 1978;
[13] Barker R. J., в кн.: Mathematical models and
numerical methods, Warsz., 1978, p. 255—68 (Banach center
publications, v. 3); [14] BankR.E., RoseD.J., «SIAM J. Numer.
Anal.», 1975, v. 12, № 4, p. 529—40; [15] К у з н е ц о в Ю. Α.,
в кн.: Вариационно-разностные методы в математической
физике, Новосиб., 1978, с. 178—212; [16] Дьяконов Е. Г., в
кн.: Численные методы в математической физике, Новосиб.,
1979, с. 45—68; [17] Астраханцев Г. П., в кн
Разностные и вариационно-разностные методы, Новосиб., 1977, с. 63—
72; [18] Капорин И. Е., Николаев Е. С,
«Дифференциальные уравнения», 1980, т. 16, № 7, с. 1211—25; [19] К о р-
н е е в В. Г., Схемы метода конечных элементов высоких
порядков точности, Л., 1977. Е. Г. Дьяконов.
ПУАССОНА ФОРМУЛА — 1) То же, что Пуассона
интеграл.
2) Формула, дающая интегральное представление
решения задачи Копти для волнового уравнения в
пространстве R3:
|£-α2Δ^ = 0, t > 0, М = (х, у,ζ),
— оо < χ, у, ζ < + оо,
и(М,0)=у(М), ди(^ 0) = Ц(М)

763
и имеющая
вид
где
«* (М'. *)=1Γ {*Γα*(φ)} + ίΓβί (ψ)
Γ^(φ)-4τ5βαίΦ(ρ)^Ω
(i)
— среднее значение функции φ на сфере Sat в
пространстве (ж, у, ζ) радиуса at с центром в точке М, dQ —
элемент площади единичной сферы. В случае
неоднородного волнового уравнения в формуле (1) добавляется
третье слагаемое (см. [2]).
Из формулы (1) спуска методом получаются формулы
решения задачи Коши для случая двух (Пуассона
формула) и одного (Д' Аламбера форму-
л а) пространственного переменного (см. [2]). См, также
Кирхгофа формула.
3) Иногда П. ф. наз. интегральное представление
решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
в пространстве R3:
-^—-2 Δι^ = 0, t > 0, М = (х, у, ζ),
ПУАССОНА ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ 764
бований во многих системах массового обслуживания.
Распределения случайных величин τη—τη_1
независимы при п=1,2,. . . и имеют показательную плотность
λ*-4 t > о.
Одним из свойств П. п. является следующее:
условное распределение моментов скачков 0 < τχ < τ2 < . . .
<τη < t при X(t) — Χ (0) = η совпадает с
распределением вариационного ряда независимой выборки объема
η с равномерным распределением на [0, t]. С другой
стороны, если 0 < τχ < τ2 < . . . <τη — описанный
выше вариационный ряд, то при η ->- оо, t ->- оо, с nlt-+
-►λ получают в пределе распределение скачков П. п.
В неоднородном П. п. интенсивность λ(ί) зависит от
времени t и распределение X (t2)~X (h) определяется
формулой
Г f 2 λ (и) dul -С 2 λ (и) du
Ρ {X (*,)-* (i0 = *} = kii!_ 1-е J/l
dt
имеющее вид
00 < X, у, Ζ < + О
и (Μ, 0)=q>(Jlf),
I MP I
(2)
'^ί, = δν^]Κι"?>· "" άσ{Ρ)·
Формула (2) непосредственно обобщается на любое
число пространственных переменных η ^ 1.
Лит.: [1] Poisson S. D., «Mem. Acad, sci.», 1818, t. 3,
p. 121—76; [2] Тихонов Α. Η., Самарский Α. Α.,
Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [3]
Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 4 изд.,
М., 1981. Е. Д. Соломенцев.
ПУАССОНА ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ —
формула
2;:_м,(2,я)=2;:_^5::,и,-^^.
П. ф. с. имеет место, если, напр., функция g(x)
абсолютно интегрируема на интервале (— оо, +оо), имеет
ограниченное изменение и 2g(x)=g(x-\-0)-\-g(x~ 0).
П. ф. с. записывается также в виде
^ς;λ.*<«*>-^ς*"
ι k=-
%(bh),
где α ιι b — любые два положительных числа,
удовлетворяющие условию аЬ=2л, а χ (и) есть
преобразование Фурье функции g:
Лит.: [1] Зигмунд Α., Тригонометрические ряды, пер.
с англ., т. 1, М., 1965; [2] Τ и т ч м а р ш Е., Введение в теорию
интегралов Фурье, пер. с англ., М.— Л., 1948. И. И. Волков.
ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК — то же, что пуассонов-
ский процесс. Этот термин используют, как правило, в
теории массового обслуживания.
ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС — случайный процесс
X (t) с независимыми приращениями X (t2)—X(ti),
t2 > *ι, имеющими Пуассона распределение. В
однородном П. п. для любых t2 > h
Ρ {χ {h)-X {h)=k}=}"k(ti-ti)k e-M'.-'i>f
* = 0, 1, 2, ... (1)
Коэффициент λ > 0 наз. интенсивностью пу-
ассоновского процесса X (t). Траектории
П. п. X (t) представляют собой ступенчатые функции со
скачками размера 1. Моменты скачков 0 < τΧ < τ2<· . .
образуют простейший поток, описывающий поток тре-
При определенных условиях П. п. может быть
показан как предел суммы неограниченно возрастающего
числа независимых «редких» потоков довольно общего
вида. О нек-рых поучительных парадоксах, связанных с
П. п., см. [3], т. 2, гл. 1.
Лит.: [1] Боровков Α. Α., Теория вероятностей, М.,
1976; [2] ГихманИ. И., С к о ρ о х о д А. В., Ядрен-
к о М. И., Теория вероятностей и математическая статистика,
К., 1979; [3] Φ е л л ер В., Введение в теорию вероятностей и её
приложения, 2 изд., пер. с англ., т. 1 — 2, М., 1967.
Б. А. Севастьянов.
ПУЛЬВЕРИЗАЦИЯ на
дифференцируемом многообразии Μ—векторное поле W на
касательном пространстве ТМ, имеющее в терминах
локальных координат (ж1,. . ., хп, у1,. . ., υη) на ТМ, ее-
тественным образом связанных с локальными
координатами (я1,. . ., хп) на М, компоненты (ν1,. . ., νη, Ζ1,. . ., /"),
где //=/1"(гс1»· · ·» χηι yV - - , ν") — функции класса
С1, причем при фиксированных х1,. . ., хп они
являются положительно однородными функциями от у1,. . ., ип
степени 2 (эти свойства W не зависят от конкретного
выбора локальных координат). Определяемая этим
полем система дифференциальных уравнений
dxl : dvl ,,·. ,
эквивалентна системе
2-го порядка
Т&г^*1.
., ХП, У1, ..., У"), 1-1, ..., Λ,
дифференциальных уравнений
..'., Хп, У1, ...,У»),
поэтому П. описывает (причем инвариантным образом,
т. е. не зависящим от системы координат) систему таких
уравнений на М.
Важнейший случай П.— когда /' суть многочлены
2-й степени от у'':
/' = 2г*д(*>, ...,*») ι>Λ>*.
rW
= Γί
*/·
(*)
В этом случае Tjk задают на Μ аффинную связность с
нулевым тензором кручения. Обратно, для всякой
аффинной связности уравнения геодезич. линий
задаются нек-рой П. с /' вида (*) (причем при переходе от
связности к пульверизации T)k симметризуются по
нижним индексам). Если поле W — класса С2, то /'
обязаны иметь вид (*). В общем случае W, каким бы
гладким оно ни было вне нулевого сечения расслоения Τ Μ,
не обязано быть полем класса С2 возле этого сечения.
В такой ситуации иногда говорят об обобщенной П.,
оставляя термин «П.» только для специального случая
(*). Дифференциальные уравнения для геодезических в
финслеровой геометрии приводят к обобщенной П.
Можно дать определение П. в инвариантных
терминах, пригодное и для банаховых многообразий
(см. [1]).

765 пучков
Лит.: [1] Л е н г С, Введение в теорию дифференцируемых I
многообразий, пер. с англ., М., 1967. Д. В. Аносов.
ПУНКТИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО —
топологическое пространство X с отмеченной точкой х0 в нем;
пунктированный объект категории топологич.
пространств. jVf. И. Войцеховский.
ПУНКТИРОВАННЫЙ ОБЪЕКТ категории
С, обладающей финальным объек-
т о м,— пара (X, #0), где Х£0ЬС, х0 — морфизм
финального объекта в X. Важнейший пример:
пунктированное топологич. пространство, т. е. пара (X, х0),
где X — топологич. пространство, х0£Х — точка,
называемая отмеченной. Пунктированные топологич.
пространства образуют категорию, морфизмами в к-рой
являются отображения, переводящие отмеченную точку
В отмеченную. А. Ф. Харшиладзе.
ПУНКТИФОРМНЫЙ НАРОСТ - нарост топологич
пространства X в его бикомпактном расширении Υ
такой, что всякий связный бикомпакт в Υ\Χ состоит
ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ. М. И. Войцеховский.
ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО — множество, не
содержащее элементов. Обозначения: 0, Λ. Иначе, 0= {х :
χ Φ χ}, при этом' вместо χ Φ χ в этом определении
можно было бы использовать любое всегда ложное
утверждение. П. м. является подмножеством любого
множества. М. И. Войцеховский.
ПУСТЫХ ЯЩИКОВ КРИТЕРИЙ — статистический
критерий проверки гипотезы Н0 о принадлежности
независимой выборки фиксированному распределению.
Подробнее, пусть Хь. . ., Хп — независимая выборка,
взятая из непрерывного распределения F(x). Точки
ζ0=— οο<ζχ < ζ2 < ... <ζ^_!<ζη=οο выбираются
так, чтобы F(zk) — F{zk_x) = 1/ΛΓ, fc=l,2,. . ., Ν.
Критерий строится на основе статистики μ0, равной числу
полуинтервалов (ζ^_χ, zfe], в к-рые не попало ни одного
наблюдения #,·. Этот критерий имеет следующий вид:
если μ0 < С, то гипотеза Н0 принимается; если μ0 > С,
то гипотеза Н0 отвергается. Константа С выбирается из
условия, что ошибка 1-го рода, т. е. вероятность
отвергнуть гипотезу Н0 если она верна, равна заданному
значению. Вычисление константы С и расчет мощности
П. я. к. при больших η is. N производится с помощью
предельных теорем в случайных размещениях.
Лит.: [1] КолчинВ.Ф,, Севастьянов Б. Α., Чи-
стяковВ П, Случайные размещения, М., 1976.
ПУТЕЙ ПРОСТРАНСТВО — пространство Ε
расслоения (Е, р, X), называемое расслоением
путей, где X — линейно связное пространство с
отмеченной точкой *, Ε — множество путей в X,
начинающихся в *, ρ — отображение, сопоставляющее каждому
пути его концевую точку; при этом Ε рассматривается в
компактно открытой топологии. Слоем этого расслоения
(являющегося Серра расслоением) является петель
пространство QX — множество всех петель
пространства X в точке *. П. п. стягивается по себе в точку,
так что гомотопич. группы лп(Е)=0, и гомотопич.
последовательность расслоения путей вырождается в
т. н. изоморфизмы Гуревича:
πη(ΩΧ)«πη+1(Χ).
Μ. if. Войцеховский.
ПУТЬ — непрерывное отображение / отрезка [0, 1]
в топологич. пространство X. Точки /(0) и /(1) наз.
начальной и концевой точками пути /.
П., определенный по / формулой £—у/(1—£), ίξ(0, 1],
наз. путем, обратным /, и обозначается /-1.
П., определяемый по путям fx и /2 с /х (1)=/2(0) формулой
t^ ( f(2t), ί<1/2,
I /(2f-l), i^l/2,
наз. п роизведением путей fx и /2 и
обозначается fj2' Совокупность всех П. линейно связного
ТЕОРИЯ 766
пространства X с отмеченной точкой *, начинающихся
В ней, образует путей пространство, м. И. Войцеховский.
ПУЧКОВ ТЕОРИЯ — специальный математич.
аппарат, обеспечивающий единый подход для
установления связи между локальными и глобальными свойствами
топологич. пространств (в частности, геометрич.
объектов) и являющийся мощным средством исследования
многих задач в современной алгебре, геометрии,
топологии и анализе.
На топологич. пространстве X задан предпучок
F, если каждому открытому подмножеству UczX
сопоставлена абелева группа (кольцо, модуль над кольцом
и т. п.) F(U) и всякой паре открытых множеств VcU—
гомоморфизм Fy : F(U) ->· F(V) такой, что
Fjj—тождественный изоморфизм и Fw—FypFv для каждой
тройки W С V с U, Другими словами, предпучок —
контравариантный функтор из категории открытых
подмножеств X и их вложений в категорию групп
(колец и т. п.) и их гомоморфизмов. Отображения Fy,
наз. гомоморфизмами ограничения (напр.,
если F(U) — функции какого-либо типа, Fy —
ограничения их на меньшее подмножество). На множестве
(F— U <F*> гДе ¥х — прямой предел lim F(U),
хеХ xeU
следующим образом определена топология: для всякого
U с Χ η любого o£F(U) в ψ объявляется открытым
множество S, состоящее из тех точек ψ х, x£U, к-рые
служат образами σ при определении fx. В этой
топологии слои $f х дискретны и замкнуты в ^",
определяемые прямыми пределами послойные алгебраич. операции
на ψ непрерывны, а естественная проекция ρ : <fP ->
-> X, при к-рой EFx—P~1(x)* является локальным
гомеоморфизмом. Пространство ψ вместе с послойными
алгебраич. операциями и проекцией ρ наз. пучком
абелевых групп (колец и т. п.) над X, определяемым
предпучком F.
Всякое непрерывное отображение s : U -► <|Р, для
к-рого x—ps(x), наз. сечением ψ над U. Сечение ψ
над X, определяемое всеми нулями в ψх, наз.
нулевым. Если нек-рое сечение s равно нулю в точке х,
то s совпадает с нулевым сечением в нек-рой
окрестности х, поэтому множество тех точек, в к-рцх s отлично
от нуля (носитель сечения s), замкнуто в U.
Пусть Г (С/, <f) (соответственно /^(Х, <fp), где Φ —
нек-рое семейство замкнутых множеств в X, в
частности ТС(Х; £f)) — группа (кольцо, модуль и т. п.) всех
сечений над U (соответственно сечении над X с
носителями из Ф, в частности сечений с компактными
носителями). Соответствие £/-*Г(£/, Jp) является
предпучком над X, к-рый наз. предпучком сечений
пучка JF- Используемое при определении топологии на
ψ соответствие σ -► s определяет также гомоморфизмы
F(U) -у Г(£/, §~), коммутирующие с ограничениями на
V a U, т. е. гомоморфизм предпучков. Этот
гомоморфизм является изоморфизмом при условии, что
исходный предпучок F удовлетворяет требованиям: а) если
U=[)U% и σ, o'£F(U), то σ=σ\ если равны ограни-
λ
чения σ, σ на все 17χ; б) если 17= (J U%, а σκ ζ F (ϋχ )—
λ
такой набор элементов, что ограничения αχ, σμ на U% fl
Π Uμ совпадают, то существует a£F(U), ограничения
к-рого на каждое 17χ совпадают с σλ. Понятие предпуч-
ка, удовлетворяющего этим требованиям, эквивалентно
понятию порожденного им пучка, поэтому такие пред-
пучки также нередко наз. пучками.
Пучок вида X X G, где G — нек-рая группа, наз.
постоянными обозначается через G. Л о к а л ь-
но постоянным наз. пучок, постоянный в
достаточно малых окрестностях х£Х. Топология таких
I пучков отделима, если X — отделимое пространство.

767
ПУЧКОВ
ТЕОРИЯ
768
В более типичных ситуациях топология JF может
быть неотделимой, даже если отделимо X (таков, напр.,
пучок ростков непрерывных (или дифференцируемых)
функций, порожденный предпучком F, где F(U) —
непрерывные (дифференцируемые) функции на U;
однако пучок ростков аналитич. функций на
многообразии отделим).
Всякий гомоморфизм предпучков F -> F' приводит
к отображению соответствующих пучков JF -+ψ',
к-рое является локальным гомеоморфизмом и
гомоморфно отображает слои в слои; такое отображение пучков
наз. гомоморфизмом пучков.
Стандартным образом определяются моно- и эпиморфизмы. При
любом гомоморфизме / : g" ->- ψ образ /(JF') есть
открытая часть ff', замкнутая по отношению к
послойным алгебраич. операциям. Всякая часть ψ,
удовлетворяющая этим требованиям, наз. подпучком
в <fp. Факторпучок пучка <ff по подпучку ψ'
определяется как пучок JF"> порожденный предпучком
U ->- T(U, $f)lY{U, <|P'); при этом имеется эпиморфизм
¥^¥", причем $"χ=ψχΙψ'χ. Для всякого открытого
UczX через ψυ обозначается подпучок в ψ,
являющийся объединением p~x(U) с нулевым сечением ψ над X,
а через ¥χ\υ — соответствующий факторпучок
(ограничение к-рого на X\U совпадает с ограничением ^р).
Возможность употреблять по отношению к пучкам
над X такие привычные термины, как гомоморфизм,
ядро, образ, подпучок, факторпучок и т. д., вкладывая
в эти понятия такой же смысл, как в алгебре, позволяет
рассматривать их с категорной точки зрения и
применять в П. т. конструкции гомологической алгебры.
Возникающие над X категории пучков родственны таким
классическим, как категория абелевых групп или
категория модулей; в частности, для пучков
определяются прямые суммы, бесконечные прямые
произведения, индуктивные пределы и др. понятия.
Аппарат П. т. проник в разнообразные области
математики благодаря тому, что определены естественные
когомологии Н*(Х, ff*) пространства X с
коэффициентами в пучке ψ, причем без каких-либо ограничений
на X (что существенно, напр., в алгебраич. геометрии,
где возникающие пространства, как правило,
неотделимы), и что другие когомологии (в тех или иных
конкретных условиях) сводятся к пучковым по крайней
мере в тех ситуациях, где их применение оправдано.
Для определения Н* (X, ^) сначала строится
каноническая резольвента
^(Г):0-+Г-*С0(£')—^1(Г)-->···.
где C°(aF) — пучок, определяемый предпучком F,
для к-рого F(U) — группа всех (включая разрывные)
сечений ψ над U, при этом Г (С/, C°(ff'))=
=F(U), СЦГ)=СЧСЧГ)/Ю, · · · > ^ + 1(Г)=
=C°(CP(iF)/Im СР~х(дг)), .... По определению,
НР(Х, дг)=НР(Т(Х, C*{fr))(H%(X, дг) получа-
ются заменой символа Г на Гф)). При этом сам пучок ψ
удаляется из С*(У), так что Н°ф(Х, У)=Гф(Х, Щ
(для классич. когомологии Н°(X, G)—группа локально
постоянных функций на X со значениями в G).
Резольвента С* ($*)—точный ковариантный функтор от ψ\
точной тройке «коэффициентов» 0->^ -><fF-><IF"->0
отвечает точная тройка резольвент. Функтор Гф
оказывается точным на членах Ср, ρ ^ О, резольвент,
поэтому указанным коэффициентам отвечает точная
последовательность когомологии
• · · -> нФ~г (X, ¥") — нф (X, г4) —
— нф (х, gr) -+ нф (х, г") — - · ·,
начинающаяся с 0 -> Гф (Χ, ψ') -► Гф (X, gr) -> . . . .
Когомологич. последовательность пары (X, А)
отвечает тройке 0 ->» g"χ\Α ~+ ¥ ^ ¥А ->0 (А —
замкнутое множество).
Когомологии Нф(Х, gr) обладают следующим
свойством «универсальности», раскрывающим их значение:
для любой другой резольвенты if* (т. е. начинающейся
с gr точной последовательности пучков J??) имеется
естественный гомоморфизм «сравнения» Нр(Тф(Х,
i?*)) ->- Нф(Х, g'), Для описания к-рого в терминах
Нф(Х, %q) применяются спектральные
последовательности. Важен случай, когда пучки резольвенты Ф-
а ц и к л и ч н ы, т. е. когда Н£(Х, i??)=0 при ρ >1:
в этом случае указанный гомоморфизм есть изоморфизм.
Основными примерами ацикличных пучков являются
вялые пучки (для всех Ut^X отображения Т(Х, 36) ->-
->- Г (С/, if) эпиморфны) и мягкие пучки (любое сечение
над замкнутым множеством продолжается до сечения
над всем X). Канонич. резольвента состоит из вялых
пучков. Если X — паракомпактное пространство, то
всякий вялый пучок является также и мягким.
Свойство универсальности позволяет сравнивать с
пучковыми (а следовательно, и между собой)
когомологии, возникающие в более конкретных ситуациях,
определять для них те естественные границы, в к-рых
их применение эффективно, а также применять методы
П. т. для решения конкретных задач. Напр.,
когомологии Александрова — Чеха можно определить с помощью
коцепей, получающихся из коцепей специально
подобранной системы открытых покрытий переходом к
прямому пределу. Эти коцепи оказываются сечениями пучков
ростков коцепей (определяемых аналогично пучкам
ростков функций), составляющих резольвенту группы
(или даже пучка) коэффициентов, к-рая оказывается
мягкой, если пространство паракомпактно. Таким
образом, для паракомпактных пространств когомологии
Александрова — Чеха совпадают с пучковыми.
Аналогичный вывод имеет место для пространств Зариского
(в частности, для алгебраич. многообразий).
Сечениями пучков резольвенты оказываются и коцепи Алек-
сандера — Спеньера, причем резольвента состоит из
мягких пучков, если X паракомпактно, в частности, в
этом случае когомологии Александера — Спеньера и
Александрова—Чеха естественно изоморфны. В случае
сингулярных когомологии отождествление коцепей,
совпадающих друг с другом на сингулярных
симплексах мелкости (произвольных) открытых покрытий,
приводит к т. н. локализованным коцепям (дающим те же
когомологии), к-рые являются сечениями пучков,
определяемых предпучками обычных сингулярных
коцепей. Пучки оказываются мягкими, если X
паракомпактно (а если X наследственно паракомпактно, то даже
вялыми), но образуют резольвенту при дополнительном
требовании, чтобы X было слабо локально стягиваемым
(в каждой окрестности U каждой точки χ £ Χ найдется
меньшая окрестность, стягиваемая в точку внутри U).
Классич. примером является теорема де Рама:
когомологии комплекса дифференциальных форм
дифференцируемого многообразия совпадают с обычными
когомологиями с коэффициентами в поле IR
действительных чисел (пучки ростков дифференциальных форм
являются мягкими и образуют резольвенту R: вблизи
каждой точки каждая замкнутая дифференциальная
форма является точной).
Имеются также резольвенты, отвечающие любым
открытым или локально конечным замкнутым покрытиям
и позволяющие сравнивать когомологии X с
когомологиями покрытий (спектральные последовательности
покрытий). В частности, изоморфизм обеспечивается

769
ПУЧКОВ
ТЕОРИЯ
770
условием Нд—0 при q > 1 для всех элементов покрытия
и их конечных пересечений (теорема Лере).
Переход к прямому пределу по открытым покрытиям
дает изоморфизм когомологий Александрова — Чеха
Й* с пучковыми и для непаракомпактных X при
условии, что в X имеется достаточно много мелких
открытых множеств U, для к-рых Hq{U, ^)=0 при q > 1
(теорема Картана). Это означает, что
применяемые в алгебраич. геометрии когомологий Я* с
коэффициентами в когерентных пучках также изоморфны
стандартным пучковым когомологиям Я*.
Общие конструкции, обеспечивающие гомоморфизм
сравнения, позволяют также сравнивать когомологий
НЦХ, $С*) с Я* (Г(Х, J?*)) [аналогично Н% (X, SKq)
с Я* (Гф(Х, if*))] в случае, когда if* — любой
дифференциальный пучок (т. е. пучок, в к-ром
для любого q композиция ifq -> if? + 2 равна нулю) с
ацикличными if?, где §Cq — производные пучки от if*
(являющиеся факторпучками ядер по образам в каждой
размерности q). Соответствующие этому спектральные
последовательности имеют много различных
применений. При этом, если fflg=Q при q > 1, то Н*(Т(Х,
<3?*))=Я*(Х, 5£f0)· Напр., если в качестве if* взять
пучок цепей #* (оператор границы понижает
размерность на единицу, Г (С/, ##) — цепи пары (X, X\U),
слои Жхц= \imHq(X, X\U)=Hq(X, X\x)), то
получается зависимость гомологии Hf(X, G) от
всевозможных Я£>(Х, SKq)- На многообразии $fa=0 при
q < n^dimX и Н*(Х, G) = H%-*>(X, Ж η), т. е. имеет
место Пуанкаре двойственность. Если А — открытое
или замкнутое подмножество локально компактного
X, то гомологии А определяются теми сечениями #*,
носители к-рых содержатся в Л, а гомологии пары (X,
А) — сечениями ограничения %^ на Х\А. Наоборот
(и это — тоже одно из проявлений двойственности
Пуанкаре), если #* — любая вялая резольвента для
когомологий, то ограничение #* на Х\А определяет
когомологий Х\А, а сечения %* с носителями в А —
когомологий пары (X, Х\А). Пучки #* вялые, и в
случае многообразия гомологич. последовательность
пары (X, А) совпадает с точностью до обратной
нумерации с когомологич. последовательностью пары
(X, Х\А). Это означает, что двойственности в
многообразиях, подобные Лефшеца двойственности Нр(Х,
U, G)=Hn~p(X\U, ffln), являются частными
случаями двойственности Пуанкаре. Оказывается, что
соотношения двойственности, не укладывающиеся в эту
схему, являются следствиями двойственности Пуанкаре
и ацикличности многообразия в нек-рых размерностях.
Такая же ситуация возникает в случае непрерывного
отображения / : X -> Υ. Резольвента для когомологий
X определяет на У нек-рый дифференциальный пучок
if*, для к-рого слои &Су СУТЬ прямые пределы
когомологий Hq (f~1(U), ff) по окрестностям U точек у (а
для замкнутых отображений Hqy—Hq(f-1(y)4 яг))ч
причем Я*(Х, ^)=#*(Г(У, if*)). Возникающая
зависимость Я* (X, ^) от HP(Y, fflq) описывается
спектральной последовательностью Лере отображения /
(частным случаем к-рой является спектральная
последовательность Серра расслоения). Обращение в нуль
SfCq отвечает ацикличным отображениям, обеспечивая
изоморфизмы когомологий X и У с соответствующими
коэффициентами (теорема Вьеториса и ее
обобщения). Упоминавшиеся выше общие конструкции
дают также спектральную последовательность
отображения, учитывающую (наряду с их когомологич.
структурой) степень несвязности прообразов точек, к-рая
особенно эффективна для нульмерных или конечно-
кратных отображений (в случае накрытий она
превращается в спектральную последовательность Картана).
Имеются также специальные спектральные
последовательности в категориях ^-пространств (пространств,
на к-рых определено действие группы G).
В пучковых когомологиях естественным образом
определяется мультипликативная структура.
Существование специальных вялых резольвент, отображения
внутри к-рых определяются нек-рой полусимплициаль-
ной структурой, позволяет дать явные формулы для
умножения коцепей, аналогичные обычным.
Одновременно это дает возможность определить в П. т. и др.
когомологич. операции.
Аппарат П. т. находит много применений всюду, где
существенно использование абстрактных гомологич.
методов: в топологии (гомологич. и когомологич.
размерность, локальные гомологии и двойственность,
структура различных классов непрерывных
отображений, в том числе вложений на плотные подмножества,
в частности бикомпактификаций, и т. п.), в теории
аналитич. многообразий [гомологии и когомологий с
коэффициентами в когерентных аналитич. пучках и их
приложения, когомологий и аналитические
дифференциальные формы, гомологии и аналитич. потоки
(аналог теоремы де Рама и т. п.)], а также в абстрактной
алгебраич. геометрии (когомологий аффинных,
проективных и полных алгебраич. многообразий с
коэффициентами в когерентных алгебраич. пучках, алгебраич.
двойственность Серра, алгебраическая
(комбинаторная) размерность и др.).
Нек-рые основные идеи П. т. и спектральных
последовательностей появились в работе Ж. Лере (J. Leray,
1945 и позже) в связи с изучением гомологич. свойств
непрерывных отображений локально компактных
пространств, к-рым было дано также определение
когомологий (с компактными носителями) с коэффициентами в
пучке. Довольно полное изложение теории пучков с
применением резольвент было дано позже А. Картаном
(Н. Cartan). Большое влияние на развитие П. т.
оказали данное А. Вейлем (A. Weil, 1947) доказательство
теоремы де Рама и работы Ж. П. Серра (J.-P. Serre,
нач. 50-х гг.) по алгебраич. многообразиям.
Когомологий с коэффициентами в пучке определялись
первоначально способом Александрова — Чеха. Завершенный
вид П. т. приобрела в конце 50-х гг. в работах А. Гро-
тендика (A. Grothendieck) и Р. Годмана (R. Godement),
в к-рых была достигнута максимальная общность, а
методы значительно упрощены. В частности, было
показано, что в категории пучков над X имеется образующая
(т. е. пучок /, допускающий ненулевые гомоморфизмы
в любой ненулевой пучок; для пучков абелевых групп
J=^UqX Ъи), так что каждый пучок вкладывается в
инъективный (теорема Гротендика). В
этом состоит причина формальной аналогии между
теорией когомологий с коэффициентами в пучках и
теорией производных от функторов в категории модулей:
в категории пучков над X «достаточно» инъективных
объектов (хотя, как правило, мало проективных), и
поэтому можно свободно применять все
соответствующие средства гомологич. алгебры, в частности
определять когомологий Нф(Х, §>) (без каких-либо
ограничений на X) как производные точного слева функтора
Гф(^\ dF) (и даже как Ext* (Жχ, <F))· Это же
проливает свет и на общую природу, напр., таких понятий,
как когомологич. размерность (над %) пространства,
алгебраич. размерность многообразия и глобальная
размерность кольца. А. Гротендиком дано описание
спектральной последовательности для функтора Ext,
необходимой в алгебраич. геометрии. Более простой
£25 Математическая энц., т. 4

771 пуч
способ конструирования инъективных пучков был най- I
денР. Годеманом. Он показал также, что для
построения теории когомологий вполне достаточно
пользоваться предложенной им канонической вялой резольвентой,
к-рая с точки зрения гомология, алгебры оказывается
просто одной из ацикличных резольвент пучка. Р. Годе-
ман первым стал применять вялые и мягкие пучки,
оказывающиеся ацикличными в том же смысле (мягкие
ацикличны лишь при условии паракомпактности X,
чем объясняется их использование преимущественно в
топологии).
Лит.: [1] Bredon G. Ε., Sheaf theory, N. Υ., 1967; [2]
Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков,
пер. с франц., М., 1961; [3] Гротендик Α., О некоторых
вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961;
[4] S w a n R., The theory of sheaves, Chi.— L., 1964.
E. Г. Скляренко.
ПУЧОК — 1) Π.— предпучок F такой, что для
всякого объединения f/= ^J%U% открытых подмножеств U%
топологич. пространства X выполнены следующие
условия: 1) если ограничения на каждое ϋχ элементов
s и s' из F(U) совпадают, то s'—s"', 2} если sx^F(Ux)
таковы, что для любой пары индексов λ, μ ограничения
$λ и 5μ на U% Π ^μ совпадают, то существует элемент
s£F(U), ограничения к-рого на все ϋχ совпадают с
s^. Всякий П. на X изоморфен П. ростков
непрерывных сечений некоторого накрывающего пространства
ρ : Ε -> X над X, к-рое определяется однозначно с
точностью до изоморфизма (под накрывающим
пространством понимается непрерывное отображение Ε на X,
являющееся локальным гомеоморфизмом), поэтому под
П. обычно понимается также и само накрывающее
отображение ρ : Ε -> X (см. Пучков теория).
Е. Г. Скляренко.
2) П.— однопараметрическое семейство линий на
плоскости или поверхностей в пространстве, линейно
зависящее от параметра. Пусть Ft и F2 — функции двух
переменных, непропорциональные друг другу.
Семейство линий на плоскости, определяемых уравнением
%lF1 + k2F2 = 0
при всевозможных значениях параметров λχ и λ2
(кроме λχ=0, λ2=0), представляет собой П, (фактически П.
зависит от одного параметра λχ : λ2). Аналогично
записывается уравнение П. поверхностей в пространстве.
Два уравнения /Ί=0, F2=0 дают два элемента П.
(две линии или две поверхности), к-рые определяют
весь П. Каждые два элемента П. пересекаются по
одному и тому же множеству точек — носителю.
Носитель П. может содержать как действительные,
так и мнимые точки. Если исходные кривые П.
являются алгебраич. кривыми порядков т и д, то носитель
состоит из тп точек (действительных или мнимых,
собственных или несобственных).
Пучок прямых — множество всех прямых,
лежащих в одной плоскости и проходящих через
фиксированную точку (собственный П.) или
параллельных фиксированной прямой
(несобственный П.). Уравнение П. прямых имеет вид
λι (Агх + В1у + С1) + λ2 (А2х + В2у + С2) = 0.
Пучок плоскостей — множество всех
плоскостей, проходящих через фиксированную прямую
(собственный П.) или параллельных нек-рой
фиксированной плоскости (несобственный П.).
Уравнение П. плоскостей имеет вид
λχ (А1х + В1у + ClZ + Dx) + λ2 (А2х + В2у + C2z + D2)=0.
Пучок окружностей —
однопараметрическое семейство окружностей, линейно зависящее от
параметра. П. окружностей содержит окружности и
одну прямую. Носителем (собственного) П.
окружностей являются две круговые точки и две
собственные точки а и Ъ. Если а Ф Ъ, то П. окружностей |
Ж 772
можно определить как множество окружностей (считая
прямые окружностями бесконечного радиуса),
проходящих через точки а и Ь; если а—Ъ, нужно дополнительно
требовать, чтобы окружности касались друг друга в
точке а. Если а и Ъ действительные и различные, П.
Рис. 1. Рис. 2.
окружностей наз. эллиптическим (рис. 1), если
совпавшие (действительные) —
параболическим (рис. 2), если мнимые (различные) —
гиперболическим (рис. 3). Несобственным
П. окружностей наз. совокупность концентрических
окружностей (рис. 4).
У каждого собственного П. окружностей существует
так наз. радикальная ось — прямая, каждая точка к-рой
Рис. 3. Рис. 4.
имеет одинаковую степень точки (различную для
различных точек) относительно всех окружностей П.
Радикальная ось эллиптического П. проходит через общие
точки окружностей; параболического — является их
общей касательной; гиперболического — линией
центров двух окружностей, ортогональных ко всем
окружностям П. Центры окружностей П. лежат на прямой,
перпендикулярной радикальной оси. Точка
пересечения линии центров П. и его радикальной оси наз.
центром П. Степень центра П. относительно любой
окружности П. одинакова и наз. степенью П. Если
ось абсцисс является линией центров окружностей
П., а ось ординат — радикальной осью П., то
уравнение произвольной окружности П. имеет вид
х2 + у2 — 2xt + p = Q,
где t — параметр, определяющий данную окружность,
ρ — степень П. Для эллиптического П. ρ < 0, для
параболического П. р = 0, для гиперболического ρ > О
(степень несобственного П. можно считать бесконечной).
Окружности, ортогональные всем окружностям
данного П., сами образуют П.; про этот П. говорят, что он
сопряжен с данным. Эллиптический П. сопряжен с
гиперболическим, параболический — с
параболическим.
Любой П. окружностей является пересечением двух
связок окружностей.
Пучок сфер — однопараметрическое семейство
сфер, линейно зависящее от параметра. Любые две
сферы П. пересекаются по нек-рой окружности дейст-
| вительного, нулевого или мнимого радиуса. В первом

773 πφ>
случае П. сфер наз. эллиптическим, он состоит
из всех сфер, проходящих через данную окружность;
во втором — параболическим, П. состоит из
всех сфер, касающихся друг друга в общей точке; в
третьем — гиперболическим, П. состоит из
всех сфер, ортогональных к нек-рым трем данным
сферам, пересекающимся в двух точках. У П. сфер имеется
так наз. радикальная плоскость, каждая
точка к-рой имеет одинаковую степень (различную для
разных точек) относительно сфер П.; центры всех сфер
П. лежат на одной прямой, перпендикулярной
радикальной плоскости.
П. сфер является пересечением трех сетей сфер,
центры к-рых не лежат на одной прямой.
В проективной геометрии алгебраическим
пучком прямых наз. множество всех прямых
проективной плоскости, координаты ult и2, и3 к-рых
удовлетворяют уравнению
F (иь и2, w3) = 0,
где F(ux, u2i ид) — не равный тождественно нулю
многочлен, однородный относительно переменных иъ
и2, ид; степень многочлена F наз. степенью (или
порядком) П. прямых. Алгебраический П. прямых
первого порядка задается уравнением
и представляет собой множество всех прямых,
проходящих через точку с координатами (а1? а2, а3).
Алгебраический П. прямых второго поряд-
к а задается уравнением
/ ιι^ι + /22*4 + /ззИз + 2f12u1u2 + 2f13u1u3 +
+ 2/23и2Из = С), /i7 = //m h / = 1, 2, 3,
где fij — действительные числа, среди к-рых по крайней
мере одно отлично от нуля. Если дискриминант δ=
= Г/ £ у I, i=l» 2, 3, отличен от нуля, П. прямых второго
порядка наз. невырожденным, если 6=0 —
вырожденным. Каждый невырожденный П.
второго порядка является множеством касательных к
невырожденной линии второго порядка; каждая
невырожденная линия второго порядка является огибающей
нек-рого невырожденного П. второго порядка.
Лит.: [1] Π о с τ н и к о в Μ. Μ., Аналитическая геометрия,
М., 1973. А. Б. Иванов.
ПФАФФА ПРОБЛЕМА — проблема описания
интегральных многообразий максимальной размерности
для системы Пфаффа уравнений
θα = 0, α = 1, ..., g, (*)
задаваемой набором из q дифференциальных 1-форм в
нек-рой области AfczR" (или на нек-ром многообразии),
линейно независимых в каждой точке. Подмногообразие
NczM наз. интегральным многообрази-
е м системы (*), если ограничение форм θα на N
тождественно равно нулю. П. п. была поставлена И.
Пфаффом (J. Pfaff, 1814).
С геометрич. точки зрения система (*) определяет
(п—д)-мерное распределение (Пфаффа структуру)
в М, т. е. поле
*i-*/>x=:{y€R»|e?(iO=0}, χ ζ Μ,
(п—д)-мерных подпространств, а П. п. состоит в
описании подмногообразий максимальной возможной
размерности, касающихся этого поля. Важность П. п.
определяется тем, что интегрирование произвольного
уравнения с частными производными может быть
сведено к (соответствующим образом уточненной) П. п.
Напр., интегрирование уравнения 1-го порядка
F (χ', и, ди/дх1)=0
'ФА 774
сводится к П. п. для уравнения Пфаффа Q^du—pidxi= 0
на многообразии (вообще говоря, с особенностями),
задаваемом в пространстве R2n + 1 уравнением
F(x*, и, Pi)=0.
Вполне интегрируемая система Пфаффа (а также
одно уравнение Пфаффа постоянного класса) локально
может быть приведена к простому канонич. виду.
В этих случаях решение П. п. сводится к решению
обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем
случае (в классе гладких функций) П. п. не решена (1983).
В аналитич. случае П. п. была решена Э. Картаном
(Е. Cartan) в его теории систем в инволюции.
Формулировка основной теоремы Картана основана на понятии
регулярного интегрального элемента, /с-мерное
подпространство Ek касательного пространства ТХМ наз. к-
мерным интегральным элементом
системы (*), если
9«(Я*)=0, d№(Ek лЕк)=0, а = 1, ..., q.
Подпространство S (Ек) кокасательного пространства
ТХМ, порожденное 1-формами θα|χ, EkJdBa\x, где
J — операция внутреннего умножения, наз.
полярной системой интегрального элемента Е%.
Интегральный элемент Е^ наз. регулярным, если
существует такой флаг E^Ek + i'Z) . . . Ζ)^χΖ)0, для
к-рого
dim Z?/ = i, dim б' (Е{)= max dim S (Е\),
где максимум берется по всем ΐ-мерным интегральным
элементам Е\, содержащим Z?/_i. Теорема
Картана утверждает следующее: пусть N есть /с-мерное
интегральное многообразие системы Пфаффа с
аналитич. коэффициентами и для нек-рого χζΝ
касательное пространство ΤΧΝ является регулярным
интегральным элементом. Тогда для любого интегрального
элемента Ek+1"Z)TXN размерности /с+1 существует в
некрой окрестности точки χ интегральное многообразие
7V, локально содержащее Ν, для к-рого Ε^ + ι=ΤχΝ.
Теорема Картана была обобщена на произвольные
дифференциальные системы, задаваемые идеалами в алгебре
дифференциальных форм на многообразии (теорема
Картана —Кэлера).
Лит.: [1] К ар тан Э., Внешние дифференциальные
системы и их геометрические приложения, пер. с франц., М., 1962;
[2] е г о же, Интегральные инварианты, пер. с франц., М.—
Л., 1940; [3] Рашевский Π К., Геометрическая теория
уравнений с частными производными, М.— Л., 1947; [4] С τ е ρ н-
б е ρ г С, Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ.,
М., 1970. Д. В. Алепсеевский.
ПФАФФА СИСТЕМА — система Пфаффа уравнений
(см. также Пфаффа структура).
ПФАФФА СТРУКТУРА, распределени е,—
векторное подрасслоение π : Ρ ->· Μ касательного
расслоения Τ Μ ->· Μ многообразия Μ. Размерность р
слоев Ρχ=π-1 (χ) наз. размерностью П. с. π,
а число q—n—p (где 7i=dim Μ) — рангом, или к о-
размерностью. П. с. размерности ρ можно
рассматривать как поле р-мерных подпространств χ н- Рх
на многообразии М.
Обычно П. с. задают системой Пфаффа уравнений
θ*=. . .= θ^=0 или, двойственным образом, указанием
векторных полей, значения к-рых в произвольной
точке χ ζ Μ образуют базис подпространства Рх.
Подмногообразие NczM наз. интегральным
многообразием П. с, если TxNczPx для всех
χζΝ. Π. с. наз. вполне интегрируемой,
если через каждую точку χ ζ Μ проходит р-мерное
интегральное многообразие или, что эквивалентно, если
локально она может быть задана системой уравнений
Пфаффа dy1=. . .=dyg=0, где у1, . . ., уп — нек-рые
локальные координаты в М. Это понятие соответствует
понятию вполне интегрируемой системы уравнений
Пфаффа. Пусть Г (π) — пространство сечений рас-
25*

775 пфа
слоения π : Ρ ->· Μ, a L(n) — пространство
дифференциальных 1-форм, обращающихся в нуль на Р.
Согласно теореме Фробениуса, П. с. π вполне
интегрируема тогда и только тогда, когда пространство
Г (π) является подалгеброй алгебры Ли D (М)
векторных полей на Μ или, что эквивалентно, если идеал,
порожденный пространством L (π) в алгебре Ω (Μ)
дифференциальных форм, замкнут относительно
оператора внешнего дифференцирования.
Пусть Α (π) — алгебра Ли инфинитезимальных
автоморфизмов П. с. π, τ. е. множество векторных
полей ΧζΓ(π), для к-рых [Χ, Γ(π)](ζΓ(π). Алгебра
Α (π) есть подалгебра алгебры Ли D (М) и
одновременно модуль над кольцом F (М) гладких функций на Μ'.
Фактормодулъ Г (л)/Α (л) характеризует степень
неинтегрируемости П. с.
П. с. π наз. регулярной, если размерность
пространства ^(π)^ [Κρ, ΧζΑ (π)} не зависит от р£М.
В этом случае Α (π) есть пространство сечений вполне
интегрируемой П. с. π' : Ρ'— \JveM^p(n) -* Μ, к-рая
наз. характеристической системой
П. с. π. Ранг структуры π' наз. классом П. с. π,
он равен наименьшему возможному числу координат
локальной системы координат, через к-рые выражаются
все 1-формы из L(n). Класс регулярной П. с. ранга 1
(т. е. поля гиперплоскостей) нечетен и образует
полную систему локальных инвариантов: локально в
некрой системе координат у* Π. с. класса 2/с+1 задается
уравнением Пфаффа
dyi + y*dy*+...+y**dy** + 1 = 0.
Другим важным локальным инвариантом П. с.
является ее ρ о д, указывающий размерность
максимальных интегральных неособых многообразий (см. Пфаффа
проблема). Полная система локальных инвариантов
П. с. размерности ρ при 1 < ρ < η — 1 неизвестна.
П. с. можно рассматривать как G-структуру
бесконечного типа, где G — группа линейных
преобразований пространства R", оставляющих инвариантной
р-мерную координатную плоскость. Ее структурная
функция 1-го порядка соответствует F
(М^билинейному отображению с : Г (π) Χ Γ (π) ->· D (Μ)/Τ (π), к-рое
определяется коммутированием векторных полей.
Пространство Α (π) совпадает с ядром векторнозначной
билинейной формы с.
Лит. см. при ст. Пфаффа проблема. Д. В. Алексеевский.
ПФАФФА УРАВНЕНИЕ — уравнение вида
ω==α1(χ)άχ1+ . . . -\-ап(х) dxn=Q, л^З, (1)
где x£Da^n, ω — дифференциальная 1-форма,
функции aj(x), /=1,. . ., η, действительнозначны. Пусть
aJ-(x)^C1(D) и векторное поле а(х)=(а1(х),. . ., ап(х))
не имеет критич. точек в области D.
Многообразие Mkd^n размерности &>1 и класса С1
наз. интегральным многообразием
П. у. (1), если ω=0 на Mk. П. у. наз. вполне
интегрируемым, если через каждую точку области
D проходит интегральное многообразие максимально
возможной размерности η—1 и притом только одно.
Теорема Фробениуса: для того чтобы П. у.
(1) было вполне интегрируемым, необходимо и
достаточно выполнение условия
άω Α ω = 0. (2)
В этом случае интегрирование П. у. сводится к
интегрированию семейства систем обыкновенных
дифференциальных уравнений.
В трехмерном евклидовом пространстве П. у. имеет
вид
Pdx+Qdy + Rdz=0, (З)
ФА 776
где Р, <?, R — функции от х, у, ζ, а условие (2) полной
интегрируемости принимает вид
п / dQ OR \ . ri fdR дР \ . о fdp dQ λ λ ί/\
р(^-а7)+С(аГ-а7) + Л(а^-^) ()
или
(rot F, F)=0, где F = (P, Q, R).
В этом случае существуют гладкие функции μ, U
(μ φ 0) такие, что
Pdx +Qdy + Rdz = \kdU,
и интегральные поверхности П. у. (3) задаются
уравнениями U (x, J/, z)=const. Если F есть нек-рое
силовое поле, то поле μ"1^ имеет потенциальную
функцию, равную U. Если П. у. (3) не вполне
интегрируемо, то оно не имеет интегральных поверхностей, но
может иметь интегральные кривые. Если заданы
произвольные функции x=x(t), y=y(t), то (3) будет
обыкновенным дифференциальным уравнением для ζ и
кривая x—x(t), y=y(t), z=z(t) будет интегральной.
Постановка задачи об исследовании уравнения (1)
для произвольного η ^ 3 и о приведении
дифференциальной 1-формы ω к канонич. виду принадлежит
И. Пфаффу [1]. Условие (4) впервые было получено
Л. Эйлером в 1755 (см. [2] гл. IX).
Локально любое П. у. с помощью гладкой замены
переменных приводится к виду
duo—2yP=1 Zjdyj=-Qi (5)
где 2/0,. . ., ур, гх,. . ., ър — новые независимые
переменные (2р + 1 ^ η, ρ > 0). Число 2р + 1 наз.
классом П. у.; здесь ρ — наибольшее число такое, что
дифференциальная форма ω Λ do Λ ... Αάω степени
2ρ+1 не равна тождественно нулю. При р=0 П. у.
вполне интегрируемо. Функции у0(х),. . ., уР(х) наз.
первыми интегралами П. у. (5), а его
интегральные многообразия максимально возможной
размерности п—р—1 задаются уравнениями
Уо (*) = со. ··> Ур(х) = сР-
Системой Пфаффа наз. система уравнений
вида
(ΰι = 0, ..., CDfe = 0, к < η, (6)
где x£DaRn, (dj — дифференциальные 1-формы:
^j=^ilzzi(HJk{x)dxkj 7 = 1, ·♦., к.
Ранг г матрицы ||ω/*(χ)\\ наз. рангом системы
Π φ а ф φ а в точке х. Система Пфаффа наз. вполне
интегрируемой, если через каждую точку я ζ U
проходит интегральное многообразие максимально
возможной размерности д—г и притом только одно.
Теорема Фробениуса: для того чтобы
система Пфаффа (6) была вполне интегрируемой,
необходимо и достаточно выполнение условий
dtoj Λ ωχ Λ ...Afflft = 0, / = l, ...,Λ\
Задача об интегрировании любой конечной
нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными
производными эквивалентна задаче об интегрировании
нек-рой системы Пфаффа (см. [6]).
Получен ряд результатов по аналитич. теории
систем Пфаффа. Рассматривалась вполне интегрируемая
система Пфаффа
dy = χ-Pfdx -\-z~ Qgdz
из т уравнений, где р, q — положительные целые
числа, а вектор-функции f(x, у, z),g(x, у, ζ)
голоморфны в точке х=0, £/=0, z=0; указаны достаточные

777
ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ
778
условия существования голоморфного в начале
координат решения (см. [7]), приведены обобщения на большее
число независимых переменных.
Лит.: [1] Ρ f a f f J. F., «Berl. Abh.», 1814—1815, S. 76—135;
[2] Эйлер Л-, Дифференциальное исчисление, пер. с лат.,
М.— Л., 1949, [3] Π е τ ρ о в с к и й И Г., Лекции по теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970;
[4]БогдановЮ.С, Лекции по дифференциальным
уравнениям, Минск, 1977; 15] К а ρ τ а н Э., Внешние
дифференциальные системы и их геометрические приложения, пер. с франц.,
М., 1962; [6] Ρ а ш е в с к и й П. К., Геометрическая теория
уравнений с частными производными, М.— Л., 1947; [7]
Equations differentielles et systemes de Pfaff dans le champ complexe,
В., 1979. Μ. В. Федорюк.
ПФАФФА ФОРМА — дифференциальная форма
степени 1.
ПФАФФИАН знакопеременной
матрицы X — многочлен PfX от элементов матрицы X,
квадрат к-рого равен detX. Точнее, если Х=\\хц\\ —
знакопеременная (т. е. удовлетворяющая условиям хц =
= —xji, хц=0) матрица порядка 2/г над коммутативно-
ассоциативным кольцом А с единицей, то PfZ есть
элемент кольца Л, вычисляемый по формуле
pf* = S,eW*'V· ··· *
inln'
где суммирование ведется по всевозможным разбиениям
s множества {1, . . ., 2/г} на непересекающиеся пары
θα, /α}, причем считается, что ia </α» α=1, . . ., /г,
a e(s) — знак подстановки
/12 ... 2п — 1 2п>
\ ίι/i — in In
П. обладает следующими свойствами:
1) Pf (СТХС) = (det С) (Pf X)
для любой матрицы С порядка 2/г;
2) (PfZ)2 = detX;
3) если Ε — свободный Л-модуль с базисом
еь . . ., е2п и
и = 2. <jxijei A ej ζ Λ2А,
то
η
Аи = п\ (Pf X) ег Λ ... Λ е2п.
Лит.: [1] Б у ρ б а к и Н., Алгебра. Модули, кольца, формы,
пер. с франц., М., 1966. А. Л. Онищик.
ПЬЕРПОНТА ВАРИАЦИЯ — одна из числовых
характеристик функции нескольких переменных, к-рую
можно рассматривать как многомерный аналог вариации
функции одного переменного. Пусть функция f(x)=
=/(#!,. . ., хп), /1=2,3,. . ., задана на /г-мерном
параллелепипеде
Лп=[*1, h] X ··· X К, Ъп]
и П/Г, А=1, . . ., /г,— разбиение отрезка [afe, bk] на т,
/тг=1, 2, . . ., равных между собой отрезков точками
«* = «*<«*< ··· <aT=bk
{ak — ak~1=:=(bk — flfc)/"», * = 1, ..., m) .
Эти разбиения порождают разбиение
п^_пт χ χ nm
параллелепипеда Dn на m" параллелепипедов dv
d2, . . ., dm„ с ребрами, параллельными координатным
осям.
Пусть
Ω(/, n«)=2^^(/, dy),
где ω (/, dj) — колебание функции / (χ) на dj. Тогда
def
Р(/, £>„) = supsup ' Ω(/, П«).
Если Ρ (/, Ζ)„) < оо, то говорят, что функция /(ж)
имеет ограниченную (конечную) П. в. на Dn, а класс
всех таких функций обозначается через P(Dn). Это
определение предложил Дж. Пьерпонт [1]. Класс
Ρ (Dn) содержит в себе класс A (Dn) функций, имеющих
ограниченную Арцела вариацию на Dn.
Лит.: [1] Pierpont J., Lectures on the theory of
functions of real variables, v. 1, N. Y., 1959; [2] Η a h η H., Theorie
der reellen Funktionen, Bd 1, В., 1921. Б. И. Голубое.
ПЭЛИ — ВИНЕРА ТЕОРЕМА: функция /ζΖ,2(—оо,
+ оо) тогда и только тогда обращается в нуль почти
всюду вне отрезка [—А, А], когда ее преобразование
Фурье
FW=\ +_°ll{x)eixydx, у ζ R,
удовлетворяет условию
+ 00
— 00
S
F{y)\*dy < оо
и является ограничением на действительную прямую
нек-рой целой аналитич. функции F (ζ) комплексного
переменного ζ, причем |F(z)|^eA,z| для всех zgC
(см. [1]). Аналогом П.— В. т. наз. описание образа
нек-рого пространства функций или обобщенных
функций на локально компактной группе при Фурье
преобразовании или другом инъективном интегральном
преобразовании; чаще всего аналогом П.— В. т. наз. описание
образа пространства Со° (G) финитных бесконечно
дифференцируемых функций или пространства S (G)
быстро убывающих бесконечно дифференцируемых
функций на локально компактной группе G при
преобразовании Фурье на группе G. Такие аналоги известны,
в частности, для абе левых локально компактных
групп, для нек-рых связных групп Ли, для нек-рых
подалгебр алгебры Со° (G) на вещественных полупростых
группах Ли, а также для нек-рых других интегральных
преобразований.
Лит.: [1] Винер Η., Π э л и Р., Преобразование Фурье
в комплексной области, пер. с англ., М., 1964; [2] В л а д и м
προ в B.C., Обобщенные функции в математической физике,
М., 1976; [3] Гельфанд И.М., Г ρ а е в М. И., В и л е н-
к и н Н. Я., Интегральная геометрия и некоторые связанные с
ней вопросы теории представлений, М., 1962; [4] Ж е л о б е н-
к о Д. П., Гармонический анализ на полупростых комплексных
группах Ли, М., 1974; [5] Ρ удин У., Функциональный
анализ, пер. β англ., М., 1975. А. И. Штерн.
ПЮИЗЁ РЯД — см. Ветвления точка.
ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ, аксиома
параллельности Евклид а,— через точку Ρ вне прямой
А А' в плоскости, проходящей через Ρ и А А'', можно
провести лишь одну прямую, не пересекающую А А''.
В «Началах» Евклида П. п. был приведен в
следующей эквивалентной формулировке: «И если прямая,
падающая на две прямые, образует внутренние и по
одну сторону углы, меньшие двух прямых, то
продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той
стороны, где углы меньше двух прямых» (см. [1]). У
комментаторов Евклида возник взгляд, что это
предложение можно доказать, опираясь на остальные аксиомы.
Попытки доказательств возникли еще в Древней
Греции. Эти попытки продолжались на Средневековом
Востоке, а затем в Западной Европе. Если не говорить
о прямых логич. ошибках, то обычно неявно (а иногда
и с отчетливым пониманием) вводилось предположение,
не выводимое из остальных аксиом, к-рое оказывалось
таким образом эквивалентным П. п. Напр., расстояние
между параллелями ограничено, пространство
допускает «простое» (поступательное) движение (все
траектории — прямые линии), две сближающиеся прямые
всегда пересекаются, существуют подобные не равные
фигуры, сумма углов треугольника равна двум прямым
и др. Дж. Саккери (G. Saccheri, 1733) рассматривал
четырехугольник с прямыми углами при основании и

779 пятый
равными боковыми сторонами. Ранее такой
четырехугольник рассмотрел Омар Хайям (И —12 вв.). Из трех
возможных гипотез об остальных двух равных углах
(они тупые, они острые, они прямые) он стремился
отвергнуть две первые, т. к. из третьей вытекал П. п.
Дж. Саккери удалось привести к противоречию
следствия из первой гипотезы, но он совершил логич. ошибку
в опровержении гипотезы острого угла. И. Ламберт
(J. Lambert, 1766, опубл. 1786) при аналогичном
подходе опровергнул гипотезу острого угла, тоже
совершив при этом серьезную ошибку. Он высказал
предположение, что такая геометрия осуществляется на
мнимой сфере. А. Лежандр (A. Legendre, 1800) в первых
изданиях учебника «Элементы геометрии» исходил из
суммы S углов треугольника. Опровергнув гипотезу
780
S > 2d, он допустил ошибку при выводе следствий из
гипотезы S < 2d, а именно, он неявно ввел аксиому,
что для любой точки внутри острого угла существует
прямая, проходящая через эту точку и пересекающая
обе стороны угла. Решение проблемы П. п. (точнее
ее снятие) было получено путем создания Н. И.
Лобачевским (1826) геометрии, отрицающей П. п. Из
непротиворечивости Лобачевского геометрии следует
независимость П. п. от др. аксиом евклидовой геометрии.
Лит.: [1] Начала Евклида, дер. с греч., т. 1—3, М.— Л.,
1948—50; [2] К а г а н В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М.—
Л., 1949; [3] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М.,
1971; [4] Об основаниях геометрии. Сб. классических работ
по геометрии Лобачевского..., М., 1956; [5] Розенфельд
Б. Α., История неевклидовой геометрии, М., 1976.
В. Л. Лаптев,
[ОСТУ ЛАТ

Ρ
РААБЕ ПРИЗНАК
в ы χ рядов: ряд
СХОДИМОСТИ ЧИСЛО-
ап сходится, если при
достаточно больших η выполняется неравенство
*"ξ4^~~γ)^γ' где г>1;
если Rn < 1, начиная с нек-рого номера л, то ряд
расходится.
Установлен Й. Раабе (J. Raabe). Ε. Г. Соболевская.
РАВЕНСТВА АКСИОМЫ — аксиомы,
регулирующие употребление отношения равенства в математич.
доказательствах. Аксиомы эти утверждают
рефлексивность отношения равенства и возможность замены
равного равным. Символически Р. а. записываются так:
* = У Л φ (у/ν) =>φ (χ/ν),
x = y=5>t (y/v)=t (χ/υ),
где φ — произвольная формула, а £ — произвольный
терм рассматриваемого языка; х, у, ν — переменные,
имеющие одну и ту же непустую область изменения;
выражения вида φ (χ/ν) и t(xlv) обозначают результат
замены всех свободных вхождений переменной υ в
формуле φ или терме t на х.
С помощью Р. а. можно доказать симметричность и
транзитивность отношения равенства. Для этого в
качестве φ надо взять формулу y=v в первом случае и
формулу υ—ζ во втором.
Если формулы и термы рассматриваемого языка
строятся из атомарных формул и термов с помощью логич.
связок и суперпозиций, то приведенные Р. а. можно
вывести из их частных случаев, когда в качестве φ
и t берутся атомарные формулы и термы.
Символически:
Щ = У1 Λ Ρ (Χχ, ...,S|, ...,£„)=>/> (*!, ...,у£-, ...,*„),
*ί=0/=^/(*1» -·-,*» ···, *п)=/ (*1> ..., 2/iV··.. *„),
где Р и / суть л-местные предикатный и
функциональный СИМВОЛЫ. В. Н. Гришин.
РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ
ФИГУРЫ — две фигуры в R2, имеющие равные площади и
соответственно два многоугольника Мх и М2 такие, что
их можно разрезать на многоугольники так, что части,
составляющие Л/х, соответственно конгруэнтны частям,
составляющим М2-
Для IRn, η ^ 3, равновеликость означает равенство
объемов; равносоставленность многогранников
определяется аналогично с R2. Эти понятия обобщаются также
на неевклидовы геометрии.
Площадь (многоугольника) есть функция s(M),
удовлетворяющая следующим аксиомам:
(a) s(M)^0 для любого многоугольника М\
(β) если Μ есть объединение многоугольников
Мх,. . ., Mki попарно не имеющих общих точек, то
s(M)=,s(M1)+...+s(Mk)·
(у) если Мх и Μ2 конгруэнтны, то s(M1)=s(M2)',
(δ) площадь квадрата, стороной которого является
единица длины, равна 1.
С помощью этих аксиом определяется площадь
прямоугольника.
Теорема. Если два многоугольника равносостав-
лены, то они равновелики.
На этой теореме основан метод разбиения,
известный еще Евклиду: для вычисления площади
многоугольника пытаются разбить его на конечное число
частей, из к-рых можно составить фигуру известной
площади. Напр., параллелограмм равносоставлен с
прямоугольником, имеющим то же основание и ту же
Рис. 1.
Рис. 2.
__J
высоту (см. рис. 1); треугольник равносоставлен с
параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое
меньшую высоту (см. рис. 2). Таким образом, вся теория
площадей многоугольников может быть построена на
основе теоремы о площади прямоугольника.
Существует и другой способ вычисления площадей,
основанный на аксиомах (β) и (γ),— м е τ о д
дополнения. Два многоугольника наз. равнодопол-
н я е м ы м и,
если их можно до- /
полнить соответ- /
ственно конгру- /
энтными частями *-
так, чтобы полу- рис. з.
чились
конгруэнтные многоугольники. Напр., параллелограмм и
прямоугольник с одинаковыми основаниями и
одинаковыми высотами равнодополняемы (см. рис. 3) и потому
равновелики.
В евклидовой плоскости два многоугольника в том
и только в том случае равновелики, если они равносо-
ставлены (а также если они равнодополняемы).
Аналогичная теорема справедлива в плоскости Лобачевского
и в эллиптической плоскости. Напротив, в
неархимедовой геометрии эквивалентны лишь равновеликость
и равнодополняемость; равновеликость же им не
эквивалентна.
Теория объемов в R3 базируется на аксиомах (а),
(β), (γ), (δ), аналогичных аксиомам площади. Однако
для вычисления объема тетраэдра со времен Евклида
используется предельный переход («чертова лестница»),
а в современных учебниках — интеграл, определение
к-рого также связано с предельным переходом.
Обоснование использования «лишнего» (по сравнению с
планиметрией) предельного перехода, доказательство
того, что методами разбиения и дополнения невозможно
вычислить объем произвольного тетраэдра, составили
третью проблему Гильберта. В 1900 М. Ден (М. Dehn)
решил третью проблему, доказав, что правильный

783
РАВНОВЕСИЯ
784
тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены.
Для равносоставленности двух равновеликих
многогранников Мх и М2 в R3 необходимо и
достаточно, чтобы для каждого инварианта Дена / (М) (нек-рой
функции от длин ребер и величин соответствующих
двугранных углов, см. [2]) выполнялось равенство
f(M1)=f(M2).
Имеются многомерные обобщения инвариантов Дена,
с помощью к-рых сформулировано необходимое условие
равносоставленности и доказано, что при η ^ 3
правильный л-мерный симплекс не равносоставлен с
равновеликим ему кубом. В R4 необходимое условие
равносоставленности является также и достаточным.
Пусть G — нек-рая группа движений плоскости.
Два многоугольника М1 и М2 наз. G-κ онгруэнт-
н ы м и, если существует такое движение g£G, что
g(M1)=M2. Два многоугольника Мг и М2 наз. G-
равносоставленными, если их можно
разрезать на части таким образом, что части,
составляющие Мг, соответственно конгруэнтны частям,
составляющим М2. Аналогично определяется G-равносостав-
ленность многогранников.
Пусть S — группа движений, состоящая из всех
параллельных переносов и центральных симметрии.
Понятия равносоставленности и ^-равносоставленности
в IR2 эквивалентны. В частности, равновеликие
многоугольники можно разбить на части таким образом, что
соответствующие их части не только конгруэнтны, но и
имеют соответственно параллельные стороны.
Равносоставленность в том и только в том случае
эквивалентна ^-равносоставленности, если Gz)S в случае
IR2 и GczD0 в случае IR3, где D0 — группа всех
движений, сохраняющих ориентацию.
Ниже приводится определение флаговых инвариантов,
позволяющих дать необходимое и достаточное условие
^-равносоставленности, где Τ — группа всех
параллельных переносов. Пусть R"-1, . . ., R', 1 <; i < п—1,—
такая последовательность подпространств
пространства R", что Rn~1z^ . . . D^' (верхний индекс означает
размерность). Пусть, далее, для каждого /=i+l»· . ., η
фиксировано одно из двух полупространств, на к-рое
& разбивается подпространством R/-3; это
полупространство наз. «положительным» и обозначено через
PJ. Последовательность Ф= (Рп, . . ., Pi + 1) наз.
флагом порядка i в R". Пусть, наконец, Q= (Mn~1, . . .,
М1) — такая последовательность граней
многогранника MndRn, что АР2-1!} . . . DM1'. Если М*\\& для
всех / = ί,. . ., д—1, то полагают
Яф(9)=еп_1. ... ·ε;|Μ<·|,
где |ЛР'| есть έ-мерный объем грани М'\ a ej=±l
в зависимости от того, примыкает ли MJ + 1 к М/с
положительной стороны или нет. Если же М* H. R' хотя бы
для одного /, то Нф (Q)=0; Нф (Мп) — сумма ^ЯФ (#)
по всем последовательностям Q, составленным из граней
многогранника Мп.
Два равновеликих многогранника в том и только в
том случае Г-равносоставлены, если для каждого
флангового инварианта Нф его значения на этих
многогранниках одинаковы.
Многогранник Мпа^п наз. к-к ратной суммой
Минковского, если существуют такие
многогранники Nl9. . ., Nk (положительных размерностей),
несущие плоскости к-рых порождают разложение
пространства R" в такую прямую сумму, что Mn=N1-\- . . . +
-\-Nk (в смысле векторной суммы множеств).
Многогранник называется принадлежащим классу 3&, если Мп
можно разбить на конечное число многогранников,
каждый из к-рых Г-равносоставлен с многогранником,
представляющимся в виде /с-кратной суммы
Минковского.
Многогранник M"£3fe в том и только в том случае,
если Нф(Мп)=0 для всех флаговых инвариантов Нф
порядков, меньших к.
Пусть Г — группа, состоящая из всех гомотетий с
положительными коэффициентами и параллельных
переносов. В R" любые два многогранника Г-равносостав-
лены. Рис. 4
иллюстрирует Г-равносоставлен- [Г I К
ность треугольника и пря- \ \
моугольника (одинаковы- \ \
ми цифрами обозначены \ ?\
Г-конгруэнтные много- \ 1 \
УГОЛЬНИКИ). \ L \
Пусть при гомотетии с 2 К К; \
коэффициентом λ > О 1Д VI \
объем л-мерного много- г\\ | р] \
гранника увеличивается
в λη раз. Если принять Рис. 4.
это утверждение как
аксиому, то объем любого многогранника может быть
найден методом разбиения.
Пусть группа движений G в л-мерном евклидовом,
гиперболическом или эллиптич. пространстве почти
транзитивна (т. е. орбита точки всюду плотна); два
многогранника в этом пространстве тогда и только
тогда G-равнодополняемы, когда они G-равносоставлены.
Лит.: [1] Проблемы Гильберта, М., 1969; [2]
Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фигуры, М.,
1956; [3] е г о же, Третья проблема Гильберта, М., 1977;
[4] X а д в и г е ρ Г., Лекции об объеме, площади поверхности
и изопериметрии, пер. с нем., 1966; [5] lessen В., Tho-
ru ρ Α., «Math. Scand.», 1978, v. 43, fasc. 2, p. 211—40.
В. Г. Болтянский.
РАВНОВЕСИЯ ПОЛОЖЕНИЕ системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
i = /(*,*), χ ζ R», (*)
— точка ξ ζ R" такая, что χ— ξ является (постоянным по
времени) решением системы (*); Р. п. наз. также и само
это решение. Точка ξ ζ R" есть Р. п. системы (*) тогда и
только тогда, когда
/ (ί, ξ) = 0 при всех t.
Пусть x=cp(t) — произвольное решение системы (*).
Замена переменных x=(p(t)-{-y переводит это решение в
Р. п. у=0 системы
i = F(t, у), F(t, y)^f(t,q>(t) + y)-f(t, φ(ί)).
Поэтому, напр., в теории устойчивости без ограничения
общности можно считать, что речь всегда идет об
исследовании устойчивости Р. п. в начале координат Rn-
Р. п. х=0 неавтономной системы (*) часто наз.
тривиальным, или нулевым,
решением, а термин Р. п. предпочитают использовать в теории
автономных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений и в теории динамич. систем. Здесь
употребляется много синонимов этого термина: особая
точка, неподвижная точка,
стационарная точка, точка покоя,
состояние раВНОВеСИЯ. Н. X. Розов.
РАВНОВЕСИЯ СООТНОШЕНИЕ — соотношение,
выражающее связь между ростом функции /(г), меро-
морфной при \z\ < R <: оо, и ее распределением
значений (см. Распределения значений теория). Каждая
мероморфная функция / (ζ) обладает следующим
свойством равновесия: сумма ее считающей
функции N (г, а, /), характеризующей плотность
распределения α-точек /(z), и функции приближения т (г, а, /),
характеризующей скорость среднего приближения
/ (ζ) к данному числу а, остается инвариантной для
различных значений а. Наиболее эффективным Р. с.
становится при использовании сферич. метрики.

785
Пусть
V\+\ a|*-Vl+ |Ьр
означает сферич. расстояние между двумя числами
а и Ь и пусть для каждого комплексного числа а
»(г, α, /)=^-5 20"ΐη [_Ι—^θ-αία, /),
где
а п—п (О, а, /) означает кратность α-точки / (ζ) при ζ—0.
При г ^^ R функция т. (г, а, /) отличается от неванлин-
новской функции приближения т (г, а, /) на
ограниченное слагаемое. Поэтому на окружности |z| = r < i?
функция m. (г, а, /) по-прежнему характеризует среднюю
скорость приближения /(ζ) к числу а. Имеет место
следующее утверждение. Для каждого значения г, 0 <
<г < i?, любого комплексного числа а из расширенной
комплексной плоскости и для произвольной мероморф-
ной при \z\ < R <оо функции /(ζ) выполняется
равенство (соотношение равновесия):
m(r,a, f)+N(r,a, f)=m(r, oo, f)-\-N(r, oo, /),
где
N (г, а, /) = ^ [η (ί, а, /)-* (0, а, /)] Ц.+
+ n(0, a, /)lnr,
a Ai(£, a, /) означает число α-точек /(ζ), попавших в
круг {ζ : |ζ| < *}.
После основополагающих работ Р. Неванлинны [1]
Р. с. были перенесены на р-мерные целые кривые (см.
[3]) и на голоморфные отображения (см. [4], [5]).
Лит.: [1] N е ν а η 1 i η η a R., Analytic functions, N. Y.—
В., 1970; [2] В и τ τ и х Г., Новейшие исследования по
однозначным аналитическим функциям, пер. с нем., М., 1960; [3] W е-
у 1 Н., Meromorphic functions and analytic curves, Princeton,
1943; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2
изд., ч. 2, М., 1976; [5] Г ρ и φ φ и τ с Φ., К и н г Д ж., Теория
Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических
многообразий, [пер. с англ.], М., 1976. В. П. Петренко.
РАВНОМЕРНАЯ АЛГЕБРА — замкнутая
относительно равномерной сходимости подалгебра А алгебры
С (X) всех непрерывных комплексных функций на
компакте X, содержащая все функции-константы и
разделяющая точки компакта X. Последнее условие
означает, что для каждой пары х, у различных точек из X
в алгебре А имеется функция /, для к-рой / (χ) Φ f(y).
Р. а. обычно снабжают sup-нормой:
|/l = sup|/(*)|.
X
При этом ||/21| — Ц/112. Каждая банахова алгебра с
единицей (даже без предположения коммутативности),
норма в к-рой подчинена последнему условию,
изоморфна нек-рой Р. а.
Р. а. составляют важный подкласс класса
коммутативных банаховых алгебр над полем С комплексных
чисел.
Каждой точке χξ^Χ отвечает гомоморфизм φχ : А-+-
->С, действующий по правилу φ* (/)=/(#). Поэтому Ζ
естественно топологически вкладывается в пространство
максимальных идеалов алгебры А и при
соответствующем отождествлении поглощает границу Шилова. При
изучении Р. а. важную роль играют точки пика
(т. е. такие точки из X, в к-рых достигается строгий
максимум модуля хотя бы для одного элемента из А),
мультипликативные вероятностные меры на X (т. е.
представляющие меры гомоморфизмов из А в С) и
1РНАЯ 786
ортогональные к А меры на X. Многие конкретные
результаты, относящиеся к Р. а., касаются связей
между этими объектами.
Р. а. наз. симметричной, если вместе с
каждой функцией к алгебре принадлежит и комплексно
сопряженная ей функция. Согласно теореме Стоуна —
Вейерштрасса, каждая симметричная Р. а. на компакте
X совпадает с С(Х). Полярный класс составляют т. н.
антисимметричные Р. а., вовсе не
содержащие действительных функций, кроме констант.
Типичный пример — алгебра всех функций, аналитических в
открытом единичном диске комплексной плоскости и
непрерывных в его замыкании (диск-алгебра).
Теорема Шилова — Бишопа: каждая Р. а.
определенным способом может быть «склеена» из
антисимметричных. Известны и более тонкие классификационные
теоремы. Вместе с тем произвольные Р. а. не сводятся
к алгебрам аналитич. функций типа диск-алгебра.
Напр., можно сконструировать такую Р. а. на
одномерном компакте, который совпадает с ее
пространством максимальных идеалов, что все точки компакта
являются точками пика и одновременно среди
элементов алгебры только тождественный нуль может
принимать нулевое значение на непустом открытом
подмножестве .
Лит.: [1] Гамелин Т., Равномерные алгебры, пер. с
англ., М., 1973. Е. А. Горин.
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ — свойство
функции (отображения) / : X ->- У, где X и У— метрич.
пространства, означающее, что для любого ε > 0
существует такое δ > 0, что для всех хг£Х, х2£Х,
удовлетворяющих условию ρ(#ι, х2) < о, выполняется
неравенство p(/(#i), f (х2)) < е.
Если отображение / : X -> У непрерывно на X и
X — компакт, то / равномерно непрерывно на X.
Композиция равномерно непрерывных отображений
равномерно непрерывна.
Р. н. отображений встречается и в теории топологич.
групп. Напр., отображение /: Х0 ->- У, где XQaX, X
и У — топологич. группы, наз. равномерно
непрерывным, если для любой окрестности
Uy единицы группы У существует такая окрестность
Ux единицы группы X, что для любых элементов хг ζ Χ0,
^гб^о* удовлетворяющих условию χχχ2λ ζ Ux
(соответственно χϊ1χ2ζ Uy), выполняется включение
/(«ι)[/(«2)]_1€^ (соответственно [f(x1)]-1f(^2)^uy)·
Понятие Р. н. обобщается на отображения
равномерных пространств.
Лит.: [1J К о л м о г о ρ о в Α. Η., Φ о м и н С. В.,
Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М.,
1981; [2] Π о н τ ρ я г и н Л. С, Непрерывные группы, 3 изд.,
М., 1973; [3] К е л л и Д ж. Л., Общая топология, 2 изд., пер.
с англ., М., 1981; [4] Б у ρ б а к и Н., Общая топология, пер. с
франц., М., 1968. Л. Д. Кудрявцев.
РАВНОМЕРНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ сверху
(снизу) — свойство семейства действительных
функций /а : X -> R, где αζ5ϊ, 51 — нек-рое множество
индексов, X — произвольное множество, означающее,
что существует такая постоянная с > 0, что для всех
α ζ 51 и всех х£Х выполняется неравенство fa(x)<c
(соответственно /а (х) ^ — с).
Семейство функций /а : X ->- R, αζ5ϊ, наз.
равномерно ограниченным, если оно
равномерно ограничено как сверху, так и снизу.
Понятие Р. о. семейства функций обобщается на
случай отображений в нормированные и
полунормированные пространства: семейство отображений /а : X ->- У,
где α ζ 51, X — произвольное множество, а У —
полунормированное пространство с полунормой (нормой)
|| · ||у, наз. равномерно ограниченным,
если существует такая постоянная с > 0, что для всех
αζ5ΪΗ всех χξ^Χ выполняется неравенство H/aWllr^
<:с. Если в пространстве {X ->- У} ограниченных отоб-

787
РАВНОМЕРНАЯ
788
ражений / : X -»» У ввести полунорму (норму) по
формуле
l\f\\{X^Y)=snp\f(x)ly,
то Р. о. множества функций /а : X ->- У, а£91,
означает ограниченность этого множества в пространстве
с полунормой ll*ll{jf^y}·
Понятие Р. о. снизу и сверху обобщается на случай
отображений / : X -► У в упорядоченные в том или
ИНОМ СМЫСЛе множества У. Л. Д. Кудрявцев.
РАВНОМЕРНАЯ ПОДГРУППА локально
компактной топологической
группы G — такая замкнутая подгруппа HaG, что фактор-
пространство G/H компактно. С понятием Р. п. близко
связано понятие квазиравномерной
подгруппы в G, т. е. такой замкнутой подгруппы Η в G, для к-рой
на GIH существует G-инвариантная мера μ с μ (GlH) <oo.
Напр., подгруппа SL2(%) группы SL2 (Щ
квазиравномерна, но не равномерна в ней. С другой стороны,
подгруппа Τ всех верхнетреугольных матриц из
SL2(R) — Р. п. в SL2(K), не являющаяся
квазиравномерной (на факторпространстве SL2(R)lT нет
SL2 (К)-инвариантных мер). Однако всякая связная
квазиравномерная подгруппа в группе Ли G является
Р. п. (см. [1]), а всякая дискретная Р. п. в G
квазиравномерна [2]. (О дискретных Р. п. в группах Ли см.
Дискретная подгруппа.) Если G—связная группа Ли и Я —
Р. п. в G, то нормализатор Ng(H°) в G связной
компоненты единицы Я0 группы Η содержит максимальную
связную треугольную подгруппу группы G (см. [3]).
Алгебраич. подгруппа Η связной алгебраической
комплексной линейной группы Ли G тогда и только
тогда является Р. п., когда Η — параболич. подгруппа в
G. Описаны все связные Р. п. в полупростых группах
Ли (см. [4]). Недискретная Р. п. Я связной полупростой
группы Ли G обладает свойством сильной
жесткости (см. [5]), к-рое состоит в том, что в G имеется
конечное число таких подгрупп Я/, £=1,. . ., т, что
любая подгруппа H'aG, изоморфная Я, сопряжена
одной из подгрунп Я/. Важные примеры равномерных
и квазиравномерных подгрупп строятся следующим
образом. Пусть G — линейная алгебраич. группа,
определенная над полем рациональных чисел Q, &д —
ее группа аделей и GqCzG^ — подгруппа главных аде-
лей. Тогда Gq — дискретная подгруппа в Сд, причем
Gq является Р. п. в £д тогда и только тогда, когда
Ό У группы G нет нетривиальных рациональных
характеров, определенных над полем Q, и 2) все унипо-
тентные элементы группы Gq принадлежат ее радикалу
(см. [6], [7]). В частности, если G — унипотентная
алгебраич. группа, определенная над Q, то Gq есть Р. п.
в G^. Условие 1) является необходимым и достаточным
для квазиравномерности Gq в G^.
Лит.: [1] Μ ο β t о w G. D., «Ann. Math.», 1962, v. 75, № 1,
p. 17—37; [2]РагунатанМ., Дискретные подгруппы групп
Ли, пер. с англ., М., 1977; [3] О н и щ и к А. Л., «Матем. сб.»,
1966, т. 71, № 4, с. 483—94; [4] е г о же, там же, 1967, т. 74,
№ 3, с. 398—416; [5] Goto M., Wang H.- С, «Math. Ann.»,
1972, Bd 198, Η 4, S. 259—86; [6] Б о ρ e л ь Α.,«Математика»,
1964, т. 8, JWw 2, с. 73—75; [7] Μ о s t о w G. D., T a m a g a-
w a T.t «Ann. Math.», 1962, v. 76, JMi 3, p. 446—63.
В. Л. Попов.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
последовательности функций (отображений) —
свойство последовательности fn : X -+· У, где X —
произвольное множество, У — метрич. пространство,
η = 1, 2,. . ., к функции (отображению) / : X ->У,
означающее, что для любого ε > 0 существует такой
номер пг, что для всех номеров η > пг и всех точек
χζΧ выполняется неравенство
р(Ж,/«(*))< ε, I
ι Это условие равносильно тому, что
lim sup ρ (/„И, f(x))=0.
η -> со х 6 Ε
Чтобы последовательность {/„} равномерно сходилась
на множестве X к функции /, необходимо и достаточно,
чтобы нашлась такая числовая последовательность
{а„}, что lim а„=0, и существовал такой номер п0, что
π-* со
для всех η > п0 и всех х£Х выполнялось неравенство
Р(/и(*Ь /(*))<<*„.
Пример. Последовательность /„ (х) ■=.τη, η= 1,2, ...,
равномерно сходится на любом отрезке [0, а], 0 <
< а < 1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].
Необходимое и достаточное условие Р. с.
последовательности функций без использования понятия
предельной функции дает Ноши критерий равномерной
сходимости.
Свойства равномерно
сходящихся последовательностей.
1. Если У — линейное нормированное пространство
и последовательности отображений /„ : X -► У и
gn : X -► У, η — 1, 2,. . ., равномерно сходятся на
множестве X, то при любых λζϋ и μζ€
последовательность {λ/„+μ#„} также равномерно сходится на X.
2. Если У — линейное нормированное кольцо,
последовательность отображений /п : X ->· У, п=1,
2,. . ., равномерно сходится на множестве 1и^:Х->
->- У — ограниченное отображение, то
последовательность {gfn} также равномерно сходится на X.
3. Если X — топологич. пространство, У — метрич.
пространство и последовательность непрерывных в
точке х0£Х отображений fn:X->Y равномерно на
множестве X сходится к отображению / : X -► У, то
это отображение также непрерывно в точке х0, то есть
lim lim fn(x)~ lim fn(x0) — lim lim fn(x).
x-+x0n-+cc n->cc n-><x>x-+x0
Условие равномерной сходимости последовательности
{/„ } на X является в этом утверждении существенным в
том смысле, что существуют даже последовательности
числовых непрерывных на отрезке функций,
сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся
непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером
такой последовательности является ίη{χ)—χΤΙ-> п=\у
2,. . ., на отрезке [0, 1]. Р. с. последовательности
непрерывных функций не есть необходимое условие
непрерывности предельной функции. Однако если
множество X — компакт, У — множество
действительных чисел R, последовательность непрерывных
функций /„ : X ->· R во всех точках х£Х одновременно
возрастает или убывает и имеет конечный предел,
lim fn(x) = f(x),
п-+ со
то для того, чтобы функция / была непрерывной на
множестве X, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность {/„} сходилась равномерно на этом
множестве. Необходимые и одновременно достаточные
условия для непрерывности предела
последовательности непрерывных функций в общем случае даются в
терминах квазиравномерной сходимости
последовательности.
4. Если последовательность интегрируемых по Ри-
ману (по Лебегу) функций fn : [α, b] ->- R, я=1,2,. . .,
равномерно на отрезке [а, Ь], сходится к функции
/ : [а, Ь] -► R, то эта функция также интегрируема по
Риману (соответственно по Лебегу), и для любого
χζ[α, b] имеет место равенство
lim [X fn{t)dt=[Xf(t)dt^[x lim fn(t)dt, (*)
«-►се J α Jfl J a n-> oo

789
РАВНОМЕРНАЯ
790
и сходимость последовательности < \ fn (t)dt > на
отрезке [я, Ь] к функции \ f(t)dt равномерна. Формула (*)
обобщается на случай Стилтьеса интеграла. Если же
последовательность интегрируемых на отрезке [а, Ъ]
функций fn, п=1, 2, . . ., просто сходится в каждой
точке этого отрезка к интегрируемой же на нем функции
/, то формула (*) может не иметь места.
5. Если последовательность непрерывно
дифференцируемых на отрезке [а, Ъ] функций fn : [а, Ъ] ->- R,
η = 1, 2,. . ., сходится в нек-рой точке χ0ζ[α, Ь], a
последовательность их производных { -—£- > равномерно
I ах )
сходится на [а, Ь], то последовательность {/„} также
равномерно сходится на отрезке [а, Ь], ее предел
является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке
функцией и
■§- lim /„(*)=-. lim *gL, α«ζ<6.
Пусть Χ — произвольное множество, а Υ — метрич.
пространство. Семейство функций (отображений) /а :
: X -► У, а^ЭД, где 51 — топологич. пространство, наз.
равномерно сходящимся при α-^αοζ^ί
к функции (отображению) / : X —►■ У, если для любого
8 >0 существует такая окрестность U(а0) точки а0,
что для всех α ζ U (а0) и всех ,ζ ζ Ζ выполняется
неравенство
ρ (f(x), fa (x)) < ε.
Для равномерно сходящихся семейств функций имеют
место свойства, аналогичные указанным выше
свойствам Р. с. последовательностей функций.
Понятие Р. с. отображений обобщается на случай,
когда У — равномерное пространство, в частности,
когда У — топологич. группа.
Лит.: [1] Александров]!. С, Введение в теорию
множеств и общую топологию, М., 1977; [2]
Колмогорова. Η., Φ о м и н С. В., Элементы теории функций и
функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] К е л л и Д ж. Л.,
Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981.
Л. Д. Кудрявцев.
РАВНОМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ — топология, по
рожденная равномерной структурой. Подробнее, пусть
X — множество, наделенное равномерной
структурой (т. е. равномерное пространство) U,
и пусть для каждого χζΧ через В (х) обозначено
множество подмножеств V (х) множеств X, где V пробегает
все окружения U. Тогда в X существует и притом
только одна топология, для к-рой В (х) является
фильтром окрестностей точки χ при любой χζΧ. Топология
наз. равномеризуемой, если существует
равномерная структура, ее порождающая. Не всякое
топологич. пространство равномеризуемо: таковы, напр.,
не регулярные пространства. м. И. Войцеховский.
РАВНОМЕРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ —
устойчивость по Ляпунову, равномерная относительно
начального момента. Решение x0(t), t£R + , системы
дифференциальных уравнений
i = f (ί, ж), χ ζ R",
наз. равномерно устойчивым, если для
всякого ε>0 найдется δ > 0 такое, что для всякого
*о€^+ и всякого решения x(t) той же системы,
удовлетворяющих неравенству
|*(*о)-*о('о)| < б,
выполнено неравенство
\х (t)—x0(t)\ < ε
для всех t ^ t0.
Устойчивая по Ляпунову неподвижная точка
автономной системы дифференциальных уравнений x=f(x),
x£Rn, равномерно устойчива, но устойчивое по
Ляпунову решение, вообще говоря, может не быть
равномерно устойчивым. Напр., решение x(t)=0, *ζΚ+,
уравнения
χ = [sin In (l + t) — a]x (1)
при каждом α ζ (1/к 2, 1) устойчиво, но не равномерно
устойчиво.
Пусть дана линейная система дифференциальпых
уравнений
x = A(t)x, χ ζ R», (2)
где А (·) — суммируемое на каждом отрезке
отображение R+->Hom(R", R").
Для того чтобы решение х=0 системы (2) было
равномерно устойчивым, необходимо, чтобы верхппп
особый показатель Ω0 (А) системы (2) был меньше или равен
нулю. Напр., в случае уравнения (1) верхний особый
показатель Ω0 (А) = 1—ос, а Ляпунова
характеристический показатель λχ (А )= гг= —а. Для существования б >()
такого, чтобы решение х=0 всякой системы
х = А (t)x + g (t, χ), χ ζ R",
удовлетворяющей условиям теоремы существования и
единственности решения задачи Коши и условию
\g(t,x)\ <Ь-\х\,
было равномерно устойчиво, необходимо и достаточно,
чтобы верхний особый показатель Ω0 (А) системы (2)
был меньше нуля.
Лит.: [1] Персидский К., «Матем. сб.», 1933, т. 40,
№ 3, с. 284—93; [2] Д е м и д о в и ч Б. П., Лекции по
математической теории устойчивости, М., 19G7; [3] Д а л е ц-
кий Ю. Л., К ре йн М. Г., Устойчивость решений
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970.
В. М. Миллионщиков.
РАВНОМЕРНО НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЙ
КРИТЕРИЙ — статистический критерий с заданным уровнем
значимости для проверки сложной гипотезы Я0 против
сложной альтернативы Ях, мощность к-рого не меньше
мощности любого другого статистич. критерия,
предназначенного для проверки Я0 против Н1 и имеющего
тот же уровень значимости.
Пусть проверяется сложная гипотеза II0 : θζΘ0(Ζ:θ
против сложной альтернативы Нг : θξθ1=Θ\Θ0 и
пусть задана верхняя грань а, 0 < а < 1,
вероятностей ошибок 1-го рода, к-рые можно совершить,
отклоняя проверяемую гипотезу Я0 с помощью статистич.
критерия, когда она в действительности верна (число α
наз. уровнем значимости критерия,
а про сам критерий говорят, что он имеет уровень а).
Таким образом, ограничение на вероятности ошибок 1-го
рода сужает множество всех статистич. критериев,
предназначенных для проверки Я0 против Я1? до
класса критериев уровня а. В терминах функции мощности
β (θ), θζθ = θ0υθι» статистич. критерия
фиксирование уровня значимости α означает, что
sup β(θ) = α.
θ€θ0
Если в классе всех статистич. критериев уровня а,
предназначенных для проверки Я0 против Я1?
существует такой, что его функция мощности β* (θ)
удовлетворяет условию
sup β·(θ) = α, β*(θ)^β(θ), θ ζ ©lf
θ€θ«
где β (θ) — функция мощности любого другого критерия
из этого же класса, то такой критерий наз. ρ а в-

791 рАвн<
но мерно наиболее мощным
критерием уровня α для проверки Я0 против Нг. Р. н. м.к.
является наилучшим критерием, если сравнение
критериев производят в терминах мощности критериев.
Лит.: [1] Л ем а н Э., Проверка статистических гипотез,
пер. с англ., 2 изд., М., 1979. М. С. Никулин.
РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД — функцио
нальный ряд
2 "=1 «»(*). *€*. (*)
с (вообще говоря) комплексными членами, сходящийся
на множестве X, и такой, что для любого ε > 0
существует номер ηε , что для всех η > ηε и всех χζΧ
выполняется неравенство
1*я(*) —s И1 < ε»
где
*»(*)=ΣΓ=1α*(*)
и
Иными словами, последовательность частичных сумм
sn (χ) является равномерно сходящейся
последовательностью. Определение Р. с. р. равносильно выполнению
условия
lim sup |г„(ж)| = 0,
Я-*СО X £ X
что означает равномерную сходимость к нулю на
множестве X последовательности остатков
ряда (1).
Пример. Ряд
равномерно сходится на каждом конечном круге
комплексной плоскости и не сходится равномерно на всем
множестве С комплексных чисел.
Условие равномерной сходимости ряда (1) на
множестве X без использования понятия суммы ряда дает
Коши критерий равномерной сходимости ряда.
Достаточное условие равномерной сходимости ряда дается
Вейерштрасса признаком.
Ряд2 __, ап(х) наз· правильно
сходящимся на множестве X, если существует такой числовой
ряд 7jо*η, аи^0, что для всех /ι=1, 2,. . . и всех χζΧ
выполняется неравенство
\ап(х) |<аи,
т. е. если ряд (1) удовлетворяет условиям признака
Вейерштрасса равномерной сходимости рядов. В силу
этого признака правильно сходящийся на множестве X
ряд равномерно сходится на этом множестве. Обратное,
вообще говоря, неверно; однако во всяком равномерно
сходящемся на множестве X ряде можно так
объединить следующие друг за другом его члены в конечные
группы, что получившийся при этом ряд будет уже
правильно сходиться на множестве X.
Имеются признаки равномерной сходимости ряда,
аналогичные признакам Дирихле и Абеля для
сходимости числового ряда. Эти признаки равномерной
сходимости ряда впервые встречаются в работах Г. Харди
(G. Hardy). Если в ряде
^ап(х)Ъп(х) (2)
функции ап (х) и Ьп(х), /1=1, 2, . . ., определенные на
множестве X, таковы, что последовательность {ап(х)}
IEPHO 792
монотонна при каждом х£Х и равномерно
стремится к нулю на I, а последовательность частичных сумм
{Вп(х)} ряда 2 ьп(х) равномерно ограничена на
множестве X, то ряд (2) равномерно сходится на этом
множестве.
Если последовательность {ап(х)} равномерно
ограничена на множестве X и монотонна при каждом
фиксированном χζΧ, а ряд Jjbn(x) равномерно сходится
на множестве X, то ряд (2) также равномерно сходится
на X.
Свойства равномерно
сходящихся рядов. Если ряды ^ап(х) и 2jbn (x) равномерно
сходятся на множестве Χ, λζ€ и μ ζ С, то ряд
2 λαη (χ) + №п (х)
также равномерно сходится на множестве X.
Если ряд 2 ап (х) равномерно сходится на множестве
X, &Ь(х) — ограниченная на этом множестве функция,
то ряд 2 & (х) ап (х) также равномерно сходится на X.
Непрерывность суммы ряда. Для
изучения свойств суммы функционального ряда
является полезным понятие «точки равномерной сходимости
ряда». Пусть X— топологич. пространство и ряд (1)
сходится на X. Точка х0£Х наз. точкой
равномерной сходимости ряда (1), если для любого
ε>0 существует такая окрестность U=U(x0) точки
х0 и такой номер хПг, что для всех я ζ U и всех и>и£
выполняется неравенство \гп(х)\<е.
Если множество X — компакт, то, для того чтобы
ряд (1) равномерно сходился на X, необходимо и
достаточно, чтобы каждая точка χζΧ являлась точкой его
равномерной сходимости.
Если X — топологич. пространство, ряд (1)
сходится на X, х0 — точка равномерной сходимости ряда (1)
и существуют конечные пределы
lim ап(х) — сп, лг = 1, 2, ...,
Х^*-Х0
то числовой ряд2сл сходится, сумма s(x) ряда (1)
имеет предел при χ ->· х0, причем
lira 8(x)= lim ^ап(х) = ^ lim ап(х) = ^сп, (3)
X—^Xq X —► Xq X—^-Xq
т. е. при сделанных предположениях в ряде (1)
возможен почленный переход к пределу в смысле формулы
(3). Отсюда следует, что если ряд (1) сходится на X, его
члены непрерывны в точке равномерной сходимости
£0£Х, то его сумма также непрерывна в этой точке:
lim ίφ) = 2 lim an(x) = ^^n(xo) = s(xo)·
X—*· Xq X—*· Xq
Поэтому если ряд непрерывных функций сходится
равномерно на топологич. пространстве, то его сумма
непрерывна на этом пространстве. В случае, когда
пространство X является компактом и члены ряда (1)
неотрицательны на X, то равномерная сходимость ряда
(1) является и необходимым условием для
непрерывности на X суммы ряда (1) (см. Дини теорема).
В общем случае необходимым и достаточным
условием для непрерывности суммы сходящегося на
топологич. пространстве X ряда (1), члены к-рого непрерывны
на X, является квазиравномерная сходимость
последовательности его частичных сумм sn (χ) к его сумме s (x)
(теорема Арцела — Александрова).
Ответ на вопрос о существовании точек равномерной
сходимости у сходящихся рядов, непрерывных на
отрезке функций, дает теорема Осгуда — Гобсо-
н а: если ряд (1) сходится в каждой точке отрезка [а, Ь]
и члены ап(х) этого ряда непрерывны на [а, Ь], то
на отрезке [а, Ь] существует всюду плотное множество

793 равно
точек равномерной сходимости ряда (1). Отсюда
следует, что сумма всякого ряда непрерывных функций,
сходящегося на нек-ром отрезке, непрерывна на всюду
плотном множестве этого отрезка. Вместе с тем
существует и сходящийся во всех точках отрезка ряд
непрерывных функций такой, что точки, в к-рых он сходится
не равномерно, образуют всюду плотное множество
рассматриваемого отрезка.
Почленное интегрирование
равномерно сходящихся рядов. Пусть
Х=[а, Ь]. Если члены ряда
Σαη(*)> х € [<*, Ь], (4)
интегрируемы по Риману (по Лебегу) на отрезке [а, Ъ],
а ряд (4) равномерно сходится на этом отрезке, то
его сумма s(x) также интегрируема по Риману (по
Лебегу) на [а, Ь] и для любого χζ[α, Ъ] имеет место
равенство
Yas{t)dt = yj^an(t)]dt==^Yaan(t)dt, (5)
причем ряд, стоящий в правой части равенства,
сходится равномерно на отрезке [а, Ъ].
В этой теореме нельзя заменить условие равномерной
сходимости ряда (4) просто условием его сходимости на
отрезке [а, Ь], так как существуют сходящиеся на
отрезке ряды даже непрерывных функций с
непрерывной суммой, для к-рых неверна формула (5). Вместе
с тем существуют различные ее обобщения. Ниже
приведен результат для интеграла Стилтьеса.
Если g(x) — возрастающая на отрезке [а, Ь] функция,
ап (х) — интегрируемы по Стилтьесу относительно
функции g(x), ряд (4) сходится равномерно на отрезке [а, Ь],
то сумма s(x) ряда (4) также интегрируема по
Стилтьесу относительно функции g (x),
Yas{t)dg(t)^Yaan(t)dg(t),
и ряд, стоящий в правой части равенства, сходится
равномерно на отрезке [а, Ь].
Обобщается формула (5) и на функции многих
переменных.
Условия почленного
дифференцирования рядов в терминах
равномерной сходимости. Если члены ряда
(4) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ь],
ряд (4) сходится в нек-рой точке этого отрезка, а ряд,
составленный из производных членов ряда (4),
равномерно сходится на [а, Ь], то сам ряд (4) также
равномерно сходится на отрезке [а, Ь], а его сумма s (х)
непрерывно дифференцируема на нем и
жs (χ)=4ζ 2α* (*)=Σ ж ап (χ)- (6)
В этой теореме условие равномерной сходимости
ряда, получающегося из данного почленным
дифференцированием, нельзя заменить просто условием его
сходимости на отрезке [а, Ь], так как существуют равномерно
сходящиеся на отрезке ряды непрерывно
дифференцируемых функций, для к-рых ряды, получающиеся из
них почленным дифференцированием, сходятся на
отрезке, однако сумма исходного ряда либо недифферен-
цируема на всем рассматриваемом отрезке, либо
дифференцируема, но ее производная не равна сумме ряда
из производных.
Таким образом, наличие свойства равномерной
сходимости у рядов, так же как и свойства абсолютной
сходимости (см. Абсолютно сходящийся ряд), позволяет
перенести на эти ряды нек-рые правила действия с
конечными суммами: равномерная сходимость — возможность
почленно переходить к пределу, почленно интегриро-
sphoe 794
вать и дифференцировать ряды (см. формулы (3) —
(6)), а абсолютная сходимость — возможность
переставлять члены ряда в любом порядке без изменения его
суммы и перемножать ряды почленно.
Свойства абсолютной и равномерной сходимости
функциональных рядов независимы друг от друга.
Так, ряд
поскольку все его члены не отрицательны, абсолютно
сходится на всей числовой оси, но заведомо точка х~0
не является его точкой равномерной сходимости, т. к.
его сумма
( 1+я2, если χ Φ О,
S (х) = \
v ' ( 0, если х = 0
разрывна в этой точке.
Ряд
Σ оо (-1)»+»
„=1 х2 + п
равномерно сходится на всей действительности оси, но
не сходится абсолютно ни в какой ее точке.
Лит см. при ст. Ряд. Л. Д. Кудрявцев.
РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ — то же, что
чебышевское приближение.
РАВНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество с
определенной на нем равномерной структурой.
Равномерная структура
(равномерность) на множестве X определяется заданием
нек-рой системы 2Ϊ подмножеств произведения XXX.
При этом система 51 должна быть фильтром (т. е. для
любых νΐ4 V2£% пересечение V1(]V2 такте содержится
в 51, и если Wz)F, Fg2l, то W£2i) и должна
удовлетворять следующим аксиомам.
U1) Всякое множество Fg2l содержит диагональ Δ=
= {(χ χ)'. xGX }·
U2) Если FG5T, то У-г={(у, χ) : (χ, y)€V}£%.
U3) Для любого F£2i существует W£% такое, что
Wo WaV, где Wo W= {(x, у): существует такое ζζΧ,
что (χ, z)£W тя. (ζ, у) g W). Элементы 5ί наз.
окружениями равномерности, определяемой системой 5Г.
Равномерность на множестве X может быть
определена также путем задания на X системы покрытий (5,
удовлетворяющей следующим аксиомам.
С1) Если α ζ(£ и α вписано в покрытие β, то β ζ(£.
С2) Для любых αχ, α2£(£ существует покрытие β ζ(£,
к-рое звездно вписано в ах и в а2 (т. е. для
любой точки х£Х все элементы β, содержащие х, лежат
в нек-рых элементах αχ и а2). Покрытия,
принадлежащие (£, наз. равномерными
покрытиями X (относительно равномерности, определяемой
системой ©).
Указанные два способа задания равномерной
структуры эквивалентны. Напр., если равномерная структура
на X задана системой окружений 5Ϊ, то система ($
равномерных покрытий X может быть построена так.
Для всякого F£(S семейство a(V)= {Υ(χ) : χζΧ} (где
V (х)= {у: (х, у)ζ V}) является покрытием X. Покрытие
α принадлежит S тогда и только тогда, когда
существует вписанное в а покрытие вида a(F), Fg5i. Обратно,
если (5 — система равномерных покрытий Р. п.,
систему окружений образуют множества вида (J {HXH :
: #ζα}, α ζ (5, и всевозможные множества, их
содержащие.
Равномерная структура на X может быть задана
также с помощью системы псевдометрик. Всякая
равномерность на множестве X порождает топологию: Т= {GaX:
для любой точки x£G существует такое Vg$C, что
V(x)£G}.
Свойства Р. п. являются обобщением равномерных
свойств метрических пространств. Если (X, р) — ме-

795 РАВНОМЕРНОЕ
трич. пространство, на X возникает равномерность,
порожденная метрикой р. Систему окружений этой
равномерности образуют всевозможные множества,
содержащие множества вида {(х, у) : р(х, ί/)<ε}, ε>0.
При этом топологии на X, индуцированные метрикой и
равномерностью, совпадают. Равномерные структуры,
порожденные метриками, наз. метризуемыми.
Р. п. были введены в 1937 А. Вейлем [1] (посредством
окружений; определение Р. п. посредством
равномерных покрытий было дано в 1940, см. [4]). Однако идея
использования многократной звездной вписанности для
построения функций появилась ранее у Л. С. Понтря-
гина (см. [5]) (впоследствии эта идея была
использована при доказательстве полной регулярности топологии
отделимого Р. п.). Первоначально равномерные
структуры использовались как инструмент для изучения
(порожденных ими) топологий (подобно тому, как метрика
на метризуемом пространстве часто используется для
изучения топология, свойств этого пространства).
Однако теория Р. п. имеет и самостоятельное значение,
хотя и тесно связана с теорией топологич. пространств.
Отображение /:1->7Р.п. X вР.п. У наз.
равномерно непрерывным, если для любого
равномерного покрытия α пространства У система/-1α=
={f~1U : U£a} является равномерным покрытием X.
Всякое ралномерно непрерывное отображение является
непрерывным относительно топологий, порожденных
равномерными структурами на X и У. Если
равномерные структуры на Ζ и У индуцированы метриками, то
равномерно непрерывное отображение / : X ->- У
оказывается равномерно непрерывным в классич. смысле
как отображение метрич. пространств.
Более содержательной является теория Р. п., к-рая
удовлетворяет дополнительной аксиоме отделимости:
и4)ПУб5^ = А
(в терминах окружений) или (в терминах равномерных
покрытий):
СЗ) для любых двух точек χ, ι/ζΧ, хфу, существует
такое α ζ (£, что никакой элемент α не содержит точки χ
и у одновременно.
Далее речь будет идти только о Р. п., наделенных
отделимой равномерной структурой. Топология,
порожденная на X отделимой равномерностью, является
вполне регулярной и обратно, всякая вполне
регулярная топология на X порождается нек-рой отделимой
равномерной структурой. Как правило, существует
много различных равномерностей, порождающих
одинаковую топологию на X. В частности, метризуемая
топология может порождаться неметризуемой отделимой
раъномерностыо.
Р. п. (X, 5Ϊ) является метризуемом тогда и только
тогда, когда 5ί имеют счетную базу. При этом базой
равномерности наз. (в терминах окружений) всякая
подсистема 53с51, удовлетворяющая условию: для
любого Fg5l существует такое W£33, что WaV, или
(в терминах равномерных покрытий) подсистема 51с:($
такая, что для любого α ζ (5 существует β ζ 51, к-рое
вписано в α. Весом Р. п. (X, 5Ϊ) наз. наименьшая
мощность базы равномерности 5ί.
Пусть Μ — подмножество Р. п. (X, Щ. Система
окружений УИм= {(МХМ)Г\У '- У£Ш,} определяет
равномерность на Μ. Пара (М, ЗГ^) наз.
подпространством Р. п. (X, 5Ϊ). Отображение /: X -+ У Р. п. (X, 5ί)
в Р. п. (У, 5Г) наз. равномерным
вложением, если / взаимно однозначно, равномерно
непрерывно и отображение /_1 : (/X, Щх) -> (X, 51) также
равномерно непрерывно.
Р. п. X наз. полным, если всякий фильтр Коши
в X (т. е. фильтр, содержащий нек-рый элемент всякого
равномерного покрытия) имеет точку прикосновения
РОСТРАНСТВО 796
(т. е. точку, лежащую в пересечении замыканий
элементов фильтра). Метризуемоо Р. п. является полным
тогда и только тогда, когда полна метрика,
порождающая его равномерность. Любое Р. п. (X, 51) может
быть равномерно вложено в качестве всюду плотного
подмножества в единственное (с точностью до
равномерного изоморфизма) полное Р. п. (Χ, 5Ϊ), к-рое наз. π ο-
полнением (X, 51). Топология пополнения (X,
Й) Р. и. (X, 51) бикомпактна тогда и только тогда,
когда 51 является прекомпактной
равномерностью (т. е. такой, что в любое равномерное
покрытие можно вписать конечное равномерное
покрытие). В этом случае пространство X является
бикомпактным расширением X и наз. расширением
Самюэля пространства X относительно
равномерности 51. Для всякого бикомпактного расширения ЪХ
пространства X существует единственная прекомпакт-
ная равномерность на X, расширение Самюэля
относительно к-рой совпадает с ЪХ. Таким образом, на языке
прекомпактных равномерностей описываются все
бикомпактные расширения ЬХ. На бикомпактном
пространстве существует единственная равномерность
(полная и прекомпактная).
Всякая равномерность 51 на множестве X
индуцирует близость δ по следующей формуле:
АЪВ<& (AxB)ftV φ 0
для любого Fg5(. При этом топологии, порожденные на
X равномерностью 51 и близостью δ, совпадают.
Любое равномерно непрерывное отображение является
близостно непрерывным относительно близостей,
порожденных равномерностями. Как правило, существует
много различных равномерностей, порождающих на X
одну и ту же близость. Тем самым множество
равномерностей на X распадается на классы эквивалентности
(две равномерности эквивалентны, если
индуцированные ими близости совпадают). Каждый класс
эквивалентных равномерностей содержит ровно одну преком-
пактную равномерность, причем расширения Самюэля
относительно этой равномерности совпадают с
расширениями Смирнова (см. Близости пространство)
относительно близости, индуцированной равномерностями
этого класса. В множестве равномерностей на X задается
естественный частичный порядок: 5ϊ>5Γ, если 5ΪΖ)5Γ.
Среди всех равномерностей, порождающих на X
фиксированную топологию, есть наибольшая — т. н. у н и-
версальная равномерность, к-рая
индуцирует на X близость Стоуна — Чеха. Всякая
прекомпактная равномерность является наименьшим
элементом в классе эквивалентных ей равномерностей.
Если (5 — система равномерных покрытий нек-рой
равномерности на X, то система равномерных покрытий
эквивалентной прекомпактной равномерности состоит
из таких покрытий X, в к-рые можно вписать конечные
покрытия из (£.
Произведением Р. п. (X*, Щ), *ζ 7\ наз. Р. п.
(ПХг, Π5ίί), где П5(^ — равномерность на ПХ^, базу
окружений к-рой образуют множества вида
{(Ы, Ы):(*7., yti)^vtr i = 1. ···> "}>
/.еГ, Ι^ζ^., * = 1,2,
Топология, индуцированная на ПХ^ равномерностью
n5if, совпадает с топологией тихоновского
произведения пространств Xf. Проекции произведения Р. п.
на сомножители равномерно непрерывны. Всякое Р. п.
веса τ может быть вложено в произведение τ
экземпляров метризуемых Р. п.
Семейство F непрерывных отображений топологич.
пространства X в Р. п. (У, 51) наз. равностепен-

797
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
798
но непрерывным (относительно
равномерности 3Ϊ), если для любой точки х£Х и любого 7ζ5ί
существует окрестность Ох^х такая, что (f(x), f(x))£V
при χ' ζΟχ и /ζ-F. Имеет место следующее обобщение
классич. теоремы Асколи: пусть X есть /с-пространство,
(У, 9Ϊ) — равномерное пространство и Υχ —
пространство непрерывных отображений X в Υ с компактно
открытой топологией. Для того чтобы замкнутое
подмножество FaYx было бикомпактным, необходимо и
достаточно, чтобы F было равностепенно непрерывно
относительно равномерности 51 и все множества {f(x) :
f£F}, χζΧ, имели бикомпактные замыкания в Υ
(/с-пространства — это хаусдорфовы пространства,
являющиеся факторным образом локально компактных
пространств; класс /с-пространств содержит все
хаусдорфовы пространства с первой аксиомой счетности и
все хаусдорфовы локально бикомпактные пространства).
Топология метризуемого Р. п. паракомпактна в
силу теоремы Стоуна. Однако решается отрицательно
проблема Исбелла о равномерной паракомпактности
метризуемых Р. п. Построен пример метризуемого Р. п.,
имеющего равномерное покрытие.
В теории размерности Р. п. основными являются
равномерные размерностные инварианты 6d и Ad,
определяемые аналогично топологич. размерности dim (δά —
при помощи конечных равномерных покрытий, a Ad —
при помощи всех равномерных покрытий), и
равномерная индуктивная размерность 6Ind. Размерность 6lnd
определяется по аналогии с большой индуктивной
размерностью Ind индукцией по размерности близостных
перегородок между далекими (в смысле близости,
порожденной равномерностью) множествами. При этом
множество Η наз. близостной
перегородкой между А и В (где Α δ В), если для любой 6-окрест-
ности U множества Я такой, что и(](А(]В)Ф0, имеет
место X\U=A'\JB', где Α'δΒ', АаА', ВсВ' (U наз.
δ-окрестностью Я, если Η δ(Χ\ϋ). Таким образом,
размерность 6Ind (равно как и od) является не только
равномерным, но и близостным инвариантом.
Размерность δα Р. п. (X, U) совпадает с обычной
размерностью dim расширения Самюэля, построенного по
эквивалентной 51 прекомпактной равномерности. Если
размерность AdX конечна, то ΑάΧ=δάΧ. Однако
может быть δάΧ=0, a AdX=oo. Для метризуемого
Р. п. всегда 6dZ<6lnd Χ=ΔάΧ (и если ΔαΧ<οο,
то δάΧ=δΙηάΧ=ΑάΧ). Равенства δάΧ=0 и 6lndX=0
эквивалентны для любого Р. п. Если Р. п. метризуемо,
то эквивалентны также равенства 6dX=0 и AdX=0.
Если Р. п. X' является всюду плотным подмножеством
Р. п. X, то δΐηα X'>6lnd X. Всегда 6lnd X<Ind X.
Для размерности δά имеет место аналог теоремы о
перегородках.
Различные обобщения Р. п. получаются путем
ослабления аксиом равномерности. Так, в аксиоматике
квазиравномерности (см. [8]) исключена аксиома
симметрии. При определении обобщенной равномерности (см.
[10]) (/-равномерности) вместо равномерных покрытий
рассматриваются равномерные семейства подмножеств
X, к-рые, вообще говоря, не являются покрытиями
(тела этих семейств оказываются всюду плотными в
X в топологии, порожденной /-равномерностью). Одно
из обобщений равномерности — так наз. θ-ρ а в н о-
мерность — связано с наличием топологии на
Р. п. Она определяется семействами θ-покрытий хаус-
дорфова пространства; θ-покрытиями наз. система η
канонических открытых множеств X, удовлетворяющих
следующему условию: для любой точки χ ζ Χ существуют
^ι» · · ·» νηζ Ή такие, что χ ζ int (J [F,·].
Лит.: [1] W e i 1 Α., Sur les espaces a structure uniforme et
sur le topologie generate, P., 1937; [2] Б у р б а к и Н., Общая
топология. Основные структуры, пер. с франц., 2 изд., М,,
1968; [3] е г о же, Общая топология. Использование
вещественных чисел в общей топологии. Функциональные
пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., Μ , 1975, [4]
Τ u k e у J., Ann. of Math. Studies 2, Princeton, 1940; [5] Π о н-
т р я г и н Л. С, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [6]
I s b е 1 1 J., Uniform spaces, Providence, 1964; [7] Sam u-
el P., «Trans. Amer. Math. Soc», 1948, v. 64, p. 100—32; [8]
Csaszar Α., Foundations of general topology, Oxford—[etc.],
1963; [9] Φ e д о р ч у к В. В., «Докл. АН СССР», 1970, т. 192,
№ 6, с. 1228—30; [10] К и 1 ρ a W., «Colloq. Math.», 1972, v. 25,
p. 227—40; [И] ЩепинЕ.В, «Докл. АН СССР», 1975, т. 222,
№ 3, с. 541—43. А. В. Иванов, Я. С. Стреколовская.
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — общее
название класса распределений вероятностей,
возникающего при распространении идеи «равновозможности
исходов» на непрерывный случай. Подобно
нормальному распределению Р. р. появляется в теории
вероятностей как точное распределение в одних задачах и как
предельное — в других.
Р. р. на отрезке числовой прямой,
(прямоугольное распределение).
Р. р. на каком-либо отрезке [а, Ь], а<Ь, — это
распределений вероятностей, имеющее плотность
, ч ί ,—, χ£[α, Ь],
р(х) = > Ъ-а> ^
1 0, *$[а, Ъ].
Понятие Р. р. на [а, Ъ) соответствует представлению о
случайном выборе точки на этом отрезке «наудачу».
Математич. ожидание и дисперсия Р. р. равны,
соответственно, (6+о)/2 и (Ь—а)2/12. Функция
распределения задается формулой
F(x)
ίΟ, χ <: α,
χ- a
;ь,
I
ι,
χ > b,
а характеристич. функция — формулой
φ(ί):
.(eiib__eita)t
it (b-a)
Случайную величину с Р. р. на [0,1] можно
построить, исходя из последовательности независимых
случайных величин Хг, X2, . . ., принимающих значения 0
и 1 с вероятностями V2, полагая
(Хп являются цифрами в двоичном разложении X),
Случайное число X имеет Р. р. на отрезке [0,1]. Этот
факт имеет важные статистич. приложения, см., напр.,
Случайные и псевдослучайные числа.
Если независимые случайные величины Хг и Х2
имеют Р. р. на [0,1], то их сумма Хг+Х2 имеет так наз.
треугольное распределение на [0,2]
с плотностью u2(x) = i —11— я|для я£[0,2]и и2(х) = 0 для
я£ [0,2]. Сумма трех независимых случайных величин
с Р. р. на [0,1] имеет распределение на [0,3] с
плотностью
/ *2/2, 0<я < 1,
/ ч_ I [^2—3 (^_1)2]/2, 1<*<2,
Ыз {Х) ~ \ [я2-3 (я-1)2+3 (*-2)2]/2, 2 < χ < 3,
[ 0, *£[0, 3].
В общем случае сумма Хх+Х2+. · · +Хп независимых
величин с Р. р. на [0,1] распределена с плотностью
ип (х) =
"(п-1)! ^fe= о
ΣΙ- „<-*)*Сп(х-к)"Г
для 0<х<« и ип(х)=0 для х£ [0, п]; здесь
■-U
ζ >0,

799 РАВНОМЕРНОЙ CXOi
Распределение суммы Хг+. . .+Хга» нормированной
математич. ожиданием nil и среднеквадратич.
отклонением 1^72/12, с ростом η быстро сближается с
нормальным распределением с параметрами 0 и 1 (уже при п=3
приближение удовлетворительно для многих практич.
целей).
В статистич. приложениях процедура построения
случайной величины с заданной функцией
распределения F (х) основана на следующем факте. Пусть
случайная величина У распределена равномерно на [0,1] и
функция распределения F (х) непрерывна и строго
возрастает. Тогда случайная величина X=F~1(Y) имеет
функцию распределения F (х) (в общем случае надо
заменить в определении X функцию F~1(y) на нек-рый ее
аналог, а именно / (?/)=inf {χ : F (x)^y^F (я+0)}).
ос
P.p. на отрезке как предельное
распределение. Ниже приводятся типичные
примеры возникновения Р. р. на [0,1] в качестве
предельного.
1) Пусть Хх, Х2, . . ., Хп, ... — независимые
случайные величины, имеющие одну и ту же непрерывную
функцию распределения. Тогда распределение их
суммы Sn, приведенной по mod 1, т. е., иными словами,
распределение дробной части [Sn } суммы Sn, сходится
к равномерному на [0, 1] распределению.
2) Пусть параметры α и β имеют абсолютно
непрерывное совместное распределение; тогда при t ->оо
распределение {αί+β} сходится к равномерному на [0,1].
3) Р. р. встречается как предельное распределение
дробных долей нек-рых функций g(n) натурального
аргумента п. Напр., при иррациональном α доля тех
т, 1<т<и, из η для к-рых
0 < а < {па} < Ь < 1,
имеет пределом при и->оо величину Ь—а.
Р. р. на подмножествах Rfe. Пример Р. р. в
прямоугольнике встречается уже в Бюффона задаче (см.
также Геометрические вероятности, Стохастическая
геометрия), Р. р. на нек-ром ограниченном множестве
D в евклидовом пространстве Rk определяется как
распределение, имеющее плотность
„,- x)-f с^°- *€Я.
где С обратна /с-мерному объему (или лебеговой мере)
области D.
Рассматривают также и Р. р. на поверхностях. Так,
«случайное направление» (напр., в IR3) определяют
вектором, идущим из начала координат в случайную точку
поверхности единичной сферы, равномерно
распределенную в том смысле, что вероятность ее попадания в
какую-либо часть поверхности пропорциональна
площади этой части.
Роль Р. р. на алгебраич. группах играет
нормированная Хаара мера.
Лит.: [1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и
ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967.
А. В. Прохоров.
РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ТОПОЛОГИЯ —
топология пространства ψ (X, У) отображений
множества Ζ в равномерное пространство У, порожденная
равномерной структурой множества $Г(Х, У), базой
окружений к-рой являются совокупности всех пар
(/. £)€<F(X, Y)*F(X, У) таких, что (/(*), g(x))£v
для любого χζΧ и ν пробегает базу окружений
пространства У. Сходимость направления {/а }ае^а§г (X, У)
к /o€gF№ У) в такой топологии наз. сходимостью /а
к /0, равномерной на множестве X. Если У полно, то
ijF(X, У) — полное пространство в топологии
равномерной сходимости. Если X — топологич.
пространство и % (X, У) — множество всех непрерывных в
топологии пространства X отображений Ζ в У, то % (X, У)
мости топология 800
замкнуто в ψ (X, У) в Р. с. т.; в частности, предел f0(x)
равномерно сходящейся последовательности fn(x)
непрерывных на X отображений есть отображение,
также непрерывное на X.
Лит.: L1] Бур баки Н., Общая топология.
Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные
пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М.,
1975; [2] Келли Д ж., Общая топология, пер. с англ., 2
изд., М., 1981. В. И. Соболев.
РАВНОСИЛЬНОСТЬ, или эквивалентность,
утверждений (формул) А и В — понятие, означающее,
что при каждом допустимом наборе значений
параметров утверждения А и В оба истинны или оба ложны.
Напр., Р. уравнений, неравенств и их систем означает
совпадение множеств их решений. Р. формул
высказываний исчисления есть совпадение задаваемых ими
булевых функций.
Лит.: [1] Новиков П. С, Элементы математической
логики, 2 изд., М., 1973. С. Н. Артемов.
РАВНОСИЛЬНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ —
методы, суммирующие одни и те же
последовательности (быть может, к разным пределам); иначе, Р. м. с.—
методы суммирования, имеющие одно и то же
суммируемости поле. Иногда Р. м. с. наз. методы, к-рые
имеют одинаковые поля суммируемости и являются
совместными методами суммирования. Примерами
равносильных и совместных методов суммирования являются
Чезаро метод суммирования (С, к) и Рисса метод
суммирования (Я, п, к) (при одном и том же /с^0),
Чезаро метод суммирования (С, к) и Гёлъдера метод
суммирования (Я, к) (при одном и том же целом
к^0). Существуют Р. м. с, не являющиеся
совместными .
Иногда рассматривают не полные поля
суммируемости, а их подмножества, принадлежащие нек-рому
множеству U. Если для двух методов суммирования эти
подмножества совпадают, то говорят, что методы
суммирования равносильны на множестве U. Методы
суммирования действительных последовательностей наз.
вполне равносильными, если равенство
их полей суммируемости остается справедливым при
включении в них последовательностей, суммируемых
к +оо и —оо. Аналогично определяется равносильность
методов суммирования для специальных видов
суммируемости (абсолютной, сильной и др.).
Матричные методы суммирования, определенные
преобразованиями последовательности в
последовательность посредством матриц ||а„^|| и ||&„fe||, наз.
абсолютно равносильными (абсолютно
эквивалентными) на множестве U
последовательностей {sk }, если %п — Μι -> 0, η ->оо, для
любой {sk}aU, где
τ»Λ=ΣΓ=, «»*«*· τ*)=ΣΓ=ι >»***·
а ряды в выражениях для τ^ и τ\ι ) сходятся для всех в.
Лит.: [1] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [2] Харди Г.,
Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [3] К а н г ρ о Г. Ф.,
в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12,
М., 1974, с. 5—70. И. И. Волков.
РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
множества функций — понятие, тесно связанное
с понятием компактности множества непрерывных
функций. Пусть X, У — компактные метрич. пространства и
С(Х, Υ) — множество непрерывных отображений X в
Υ. Множество DdC (Χ, Υ) наз. равностепенно
непрерывным, если для любого ε>0 существует
такое δ >0, что из ρχ(χ^, х2) <б вытекает ру(/ (хг), f (x2))^
<:ε для всех χλ, χ2ζΧ, f£D. Р.н. D эквивалентна
относительной компактности D в С(Х, У), наделенном
метрикой
р(/, £) = max рк (/(*), g (*)),
хеХ

801
РАДИКАЛ
802
что составляет содержание теоремы А р ц е л а —
А с к о л и. Понятие Р. н. переносится на топологии,
пространства.
Лит.: [1J К о л м о г о ρ о в Α. Η., Φ о м и н С. В.,
Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М.,
1981; [2] Э д в а р д с Р., Функциональный анализ, пер. с англ.,
М., 1969. Ε. М. Семенов.
РАВНОСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ — такие сходящиеся
или расходящиеся числовые ряды >, а„ и >. Ьп,
разность к-рых является сходящимся рядом с суммой,
равной нулю: V _Лап—Ьп)=®- Если же их разность
является лишь сходящимся рядом, то исходные ряды
наз. равносходящимися в широком
смысле.
Если ап=ап(х) и Ъп=Ьп(х) — функции, напр. ап :
X _► R, Ьп: X -> (R, где X — произвольное множество,
a IR. — множество действительных чисел, то ряды
2Γ=ι *"№ и 2Г=1 Ьп^ наз* РавномеРно
равносходящимися (равномерно
равносходящимися в широком смысле) на
множестве X, если их разность есть ряд, к-рый
равномерно сходится на Ζ и его сумма равна нулю
(соответственно просто равномерно сходится на I).
Пример. Если две интегрируемые на отрезке
[—π, π] функции равны на интервале /cz[—π, π], то
их ряды Фурье — равномерно равносходящиеся на
каждом интервале /*, внутреннем к интервалу /, а
сопряженные ряды Фурье — равномерно
равносходящиеся на /* В широком СМЫСЛе. Л. Д. Кудрявцев.
РАДЕМАХЕРА СИСТЕМА — ортонормированная на
отрезке [0,1] система {г&(я)}. Введена X. Радемахером
[1]. Функции rk(x) можно определить равенствами
rk (х) = sign sin 2к πχ, #ζ[0, 1], к = {, 2, ...
Другое определение функций Радемахера rk(x)
получается путем рассмотрения двоичных разложений
чисел отрезка [0,1]: если в двоичном разложении числа
χ на к-м месте стоит цифра 0, то полагают rk(x) — 1, если
же на к-м месте стоит 1, то г^(а:)=—1; в случае же,
когда х=0 или число χ допускает два разложения,
полагают rk(x) — 0. Согласно этому определению
отрезок [0,1] распадается на 2* равных подинтервала, в
каждом из которых функция rk(x) принимает
попеременно значения +1 и —1, а на концах подинтерва-
лов гь(х) — 0.
Система {г^(х)} представляет типичный пример
стохастически независимых функций и имеет применения
как в теории вероятностей, так и в теории
ортогональных рядов.
Одно из важных свойств Р. с. устанавливается
теоремой Радемахера: если ^ с\ <+ оо, то ряд
2 ck rk(x) сходится почти всюду на [0,1], и теоремой
Хинчина — Колмогорова: если ^ с\— + оо,
то ряд 2 ck rk(x) расходится почти всюду на [0,1].
Так как функции Радемахера в двоично
иррациональных точках интервала [0,1] принимают лишь
значения ±1, то рассмотрение ряда 2 сп ГЛХ) означает,
что у членов ряда 2j cn выбирается распределение
знаков ±1, зависящее от точки х. Если х=0, ах а2. . .
ап . . .— представление числа χ ζ [0,1] в виде
бесконечной двоичной дроби, то при <хп=0 перед сп ставится
знак + и при ап— 1 ставится знак — .
Вышеприведенные теоремы в терминах теории
вероятностей означают, что если ^^<+οο, то ряд 2j±cn
сходится для почти всех распределений знаков
(сходится с вероятностью 1), и если2ся~ + °°> т0 РЯД Zjibc»
расходится для почти всех распределений знаков
(расходится с вероятностью 1).
Наоборот, ряд теорем теории вероятностей можно
сформулировать в терминах функций Радемахера.
Напр., теорема Кантелли о том, что при игре «в герб и
решетку» со ставкой 1 средний выигрыш с вероятностью
1 стремится к нулю, означает, что почти всюду на [0,1]
выполняется равенство
П—*-оо ^™К _ 1
Лит.: ίύ Rademacher H., «Math. Ann.», 1922, Bd 87,
S. 112—38; E2] КачмажС, ШтейнгаузГ., Теория
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [3] А л е к с и ч Г.,
Проблемы сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М.,
1963; Ϊ4] К а ц М., Статистическая независимость в теории
вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.
А. А. Талалян.
РАДИАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ —
значение функции /(z), определенной в единичном круге
D={z£C: |z|<l} в граничной точке ζ=^ιθ, равное
пределу
lim f (reiQ) = f* (eie)
/--► 1-0
функции f(z) по множеству точек радиуса Н~ {z=reiQ :
0<г<1}, проведенного в точку ζ. Термин «Р. г. з.»
иногда употребляется в обобщенном смысле для
функций /(z), заданных в произвольных областях (включая
многомерные) D, причем в качестве Η берется
множество точек нормали (или ее аналога) к границе D,
проведенной в граничной точке. Напр., в случае бикруга
D = {(*и 22)еС2:|21| < 1, |г2| < 1}
под Р. г. з. в точке ζ— (ег х, е1®2) понимается предел
lim f(reie\ re1'02)-/* (ξ).
/--► 1-0
Лит.: [1] Μ а ρ к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 1 —2, М.. 1967—68; [2] Π ρ и в а л о в И. И.,
Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л.,
1950. Е. Д. Соломенцев.
РАДИАН — угол, соответствующий дуге, длина
к-рой равна ее радиусу; содержит приблизительно
57°17'44", 80625. Р. принимается за единицу
измерения углов при т. н. круговом, или радианном,
измерении углов. Если круговая мера угла равна α Р., то угол
содержит 180° α/π градусов; обратно, угол в п° имеет
круговую меру ягс°/180° Р. БСЭ-з.
РАДИКАЛ — 1) Р.— математический знак У~
(измененное латинское г), к-рым обозначают извлечение
корня, т. е. решение двучленного алгебраич.
уравнения вида хп— а=0. Под символом у а
подразумевается один из корней этого уравнения.
Проблема решения алгебраич. уравнений над полем
С комплексных чисел в Р.: выразить корни алгебраич.
уравнения (с комплексными коэффициентами) через
его коэффициенты с помощью конечного числа
действий сложения, вычитания, умножения, деления,
возвышения в степень и извлечения корня. Уравнения выше
4-й степени, вообще говоря, нельзя решить в Р. (см.
Галуа теория).
Знак Р. используется также для обозначения
радикала идеала.
2) Р. в нек-ром классе алгебраических систем —
понятие, связанное с понятием радикального свойства.
Первые примеры Р. возникли в теории ассоциативных
колец (см. подробнее Радикалы колец и алгебр),
построение общей теории Р. было начато С. Амицуром
(S. Amitsur) и А. Г. Курошем.Теория Р. может быть
развита в любой категории алгебраич. систем,
обладающей нек-рыми необходимыми свойствами (напр., в
категории мультиоператорных групп). Многие вопросы
ft 26 Математическая энц., т. 4

803
теории Р. изучаются в рамках теории категорий. См.
также Радикал группы, Радикал в классе полугрупп.
О. А. Иванова.
РАДИКАЛ в классе полугрупп — функция
р, ставящая в соответствие каждой полугруппе S ее
конгруэнцию p(S) и обладающая следующими
свойствами: 1) если S изоморфна Τ и р(£) = 0 (через 0
обозначено отношение равенства), то р(Т)=0; 2) если
θ — конгруэнция на 5 и ρ(£/θ)=0, то ρ(£)<θ; 3)
p(»S7p (£))=0. При выполнении 1) и 3) свойство 2)
равносильно неравенству
sup{p(S), θ}/θ<ρ(£/θ)
для всякой конгруэнции θ на S. Полугруппа S наз. р-
полупростой, если ρ(S)—0. Класс р-полупрос-
тых полугрупп содержит одноэлементную полугруппу
и замкнут относительно изоморфизма и подпрямых
произведений. Наоборот, каждый класс полугрупп,
обладающий этими свойствами, служит классом р-полу-
простых полугрупп для нек-рого радикала р. Если
p(S)=SXS, то полугруппа S наз. р-р а д и к а л ь-
н о й. В отличие от колец Р. в полугруппах не
определяется соответствующим радикальным классом. Если
в определении Р. ограничиться рассмотрением
конгруэнции, определяемых идеалами, то возникает другое
понятие Р., где соответствующая функция выделяет
в каждой полугруппе идеал.
Если $ — класс полугрупп, замкнутый относительно
изоморфизма и содержащий одноэлементную
полугруппу, то функция, ставящая в соответствии каждой
полугруппе S пересечение всех ее конгруэнции θ таких, что
£/θζ$, оказывается Р., напр. р^. Класс $ совпадает с
классом р^-полупростых полугрупп тогда и только
тогда, когда он замкнут относительно подпрямых
произведений. В этом случае на S/p^S) можно смотреть
как на наибольшую фактор полугруппу полугруппы S
среди лежащих в Я (ср. Реплика).
Пример. Пусть к — класс полугрупп,
допускающих точное неприводимое представление. Тогда
ρΛ(5) = {(α, Ъ)\а, b£S, (α, 6)£μ ΜΠμ №*)
для всех s£S\J0}, где
μ(α) = {(χ, у)\х, y£S, amx=any
для некоторых m, n^O}.
Рассматривались Р., определенные на данном
классе полугрупп, замкнутом относительно гомоморфных
образов.
С каждым радикалом ρ связан класс левых полигонов
Σ(ρ). Именно, если А — левый ^-полигон, то
конгруэнция θ на полугруппе S наз. Л-аннулирующей, если
(λ, μ) ζ θ влечет за собой λα=μα для всеха^А. Точная
верхняя грань всех Л-аннулирующих конгруэнции
оказывается А -аннулирующей конгруэнцией и
обозначается Ann А. Класс Σ(ρ), по определению, состоит
из всех таких левых S-полигонов А, что ρ (Si Ann A) —
=0, причем S пробегает класс всех полугрупп. Если Θ—
конгруэнция на S, то левый (£/6)-полигон лежит в
Σ (ρ) тогда и только тогда, когда он лежит в Σ (р),
будучи рассматриваемым как левый ^-полигон. Наоборот,
если дан класс Σ левых полигонов, обладающий этим
свойством, и Σ (S) — класс всех левых S-полигонов,
лежащих в Σ, то функция
( SxS, если Σ (S) пусто,
^ ^ ' ~ 1 Π Ann А в противном случае
оказывается Р.
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 2, М., 1972; [2]
Скорняков Л. Α., в кн.: Избр. вопросы алгебры и логики, Ново-
РАДИКАЛ 804
сиб., 1973, с. 283—99;[3] Clifford Α. Η., «Semigroup Forum»,
1970, V. 1, № 2, p. 103—27; [4]R ο i zE. Ν., S с h e i ηΒ. Μ.,
там же, 1978, v. 16, № 3, p. 299 — 344. Л. А. Скорняков.
РАДИКАЛ группы G — наибольшая
нормальная подгруппа группы G, принадлежащая данному
радикальному классу групп. Класс групп наз.
радикальным, если он замкнут относительно
гомоморфных образов, а также относительно «бесконечных
расширений», т. е. если классу обязана принадлежать
всякая группа, обладающая возрастающим нормальным
рядом с факторами из данного класса (см. Нормальный
ряд). Во всякой группе имеется наибольшая
радикальная нормальная подгруппа — радикал.
Факторгруппа по Р. является полупростой
группе й, т. е. имеет единичный радикал.
Примером радикального класса является класс групп,
обладающих возрастающим субнормальным рядом с
локально нильпотентными факторами. Иногда термин
«Р.» используется именно применительно к наибольшей
локально нильпотентной нормальной подгруппе
(в случае конечных групп — это нильпотентныйР., или
подгруппа Фиттинга). Важнейшим Р. в конечных
группах является разрешимый Р. (см. Разрешимая группа).
Конечные группы, имеющие тривиальный разрешимый
Р., допускают нек-рое описание в терминах простых
групп и их групп автоморфизмов (см. [1]).
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.
А. Л. Шмелъкин.
В классе групп Ли радикалом наз. наибольшую
связную разрешимую нормальную подгруппу. В
любой группе Ли G существует радикал Я, причем Я —
замкнутая подгруппа Ли в G. Если Я — нормальная
подгруппа Ли в &, то группа G/H полупроста (см. Ли
полупростая группа) тогда и только тогда, когда H^2R.
Подалгебра алгебры Ли g группы Ли G,
соответствующая Р., совпадает с Р. алгебры Ли q.
Радикал алгебраической
группы — наибольшая связная разрешимая нормальная
подгруппа алгебраич. группы G, всегда замкнутая в G.
Радикал Я (G) линейной алгебраич. группы G совпадает
со связной компонентой единицы в пересечении всех
Бореля подгрупп группы G\ он является наименьшей
из таких замкнутых нормальных подгрупп Я, что
группа GIΗ полупроста (см. Полупростая алгебраическая
группа). Множество R(G)a всех унипотентных
элементов в Я (G) есть связная унипотентная замкнутая
нормальная подгруппа в G, являющаяся наибольшей среди
всех связных унипотентных нормальных подгрупп.
Эта подгруппа наз. унипотентным
радикалом группы G и может быть охарактеризована
как наименьшая из таких замкнутых нормальных
подгрупп Я в G, что G/II редуктивна. а. л. онищик.
РАДИКАЛ ИДЕАЛА А
ассоциативно-коммутативного кольца R — множество всех
элементов Ь£Я, нек-рая степень к-рых содержится в
А. Это множество обозначается ΥА. Оно является
идеалом в Я, причем У Α ζ)Α и V У А = Υ А.
Обобщением этого понятия является понятие
радикала подмодуля. Пусть Μ — модуль над Я и
N — его подмодуль. Радикалом подмодуля N наз.
множество всех элементов a£R таких, что anMczN для
нек-рого целого η (вообще говоря, зависящего от п).
Радикал подмодуля будет идеалом в Я. о. А. Иванова.
РАДИКАЛЫ колец и алгебр — понятие,
впервые возникшее в классической структурной теории
конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р.
первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал
конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым
Р. (называемые полупростыми) получили в
классич. теории достаточно полное описание: любая
полупростая конечномерная ассоциативная алгебра
является прямой суммой простых матричных алгебр

805 ради
над подходящими телами. Впоследствии было
обнаружено, что наибольшие иильпотентные идеалы
существуют в любых ассоциативных кольцах и алгебрах с
условием минимальности для левых (или правых)
идеалов, т. е. в любых артиновых кольцах и алгебрах, и
описание артиновых полупростых колец и алгебр
совпадает с описанием конечномерных пол у простых
алгебр. В тоже время оказалось, что Р., как наибольший
нильпотентный либо разрешимый идеал, может быть
определен и во многих классах конечномерных
неассоциативных алгебр (альтернативных, йордановых,
лиевых и др.). При этом, как и в ассоциативном
случае, полупростые алгебры оказываются прямыми
суммами простых алгебр нек-рого специального вида.
В связи с тем, что в бесконечномерном случае
наибольшего нильпотентного идеала может и не существовать,
появилось много различных обобщений классического
Р.: радикал Бэра, радикал Джекобсона, радикал
Левицкого, радикал Кёте и др. Наиболее часто
используемый из них — Джекобсона радикал. Были введены
также Р., в нек-ром смысле противоположные
классическому. Так, напр., все классически
полупростые кольца (т. е. прямые суммы полных
матричных колец) радикальны в смысле регулярного
радикала Неймана и наследственно идемпотентного
радикала Блэра. Построение общей теории Р. было начато
в работах С. Амицура [1] и А. Г. Куроша [2].
Общая теория радикалов. Всюду в дальнейшем
говорится только об алгебрах (имеются в виду алгебры
над произвольным фиксированным
ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей); кольца являются
частным случаем таких алгебр. Под идеалом алгебры,
если это не оговорено специально, понимается
двусторонний идеал.
Пусть 5Ϊ — нек-рый класс алгебр, замкнутый
относительно взятия идеалов и гомоморфных образов, т. е.
содержащий вместе со всякой алгеброй любой ее идеал
и любой ее гомоморфный образ. И пусть г — нек-рое
абстрактное свойство, к-рым может обладать или не
обладать алгебра из 51. Алгебра, обладающая
свойством г, наз. г-а л г е б ρ о й. Идеал / алгебры А наз. ее
г-и д е а л о м, если / является г-алгеброй. Алгебра
наз. 7-п олупростой, если она не имеет
ненулевых г-идеалов. Говорят, что г является
радикальным с в о й с τ в о м в классе 5Ϊ или что в 51 задан
радикал (в смысле Куроша), если выполняются
следующие условия:
(A) гомоморфный образ r-алгебры есть г-алгебра;
(Б) каждая алгебра А класса 51 обладает
наибольшим г-идеалом, т. е. идеалом, содержащим любой г-
идеал этой алгебры, и этот максимальный г-идеал
наз. тогда г-радикалом этой алгебры и
обозначается г (А);
(B) факторалгебра Air (А) г-полупроста.
Алгебра, совпадающая со своим Р., наз.
радикальной. В любом классе алгебр и для любого
радикала {0} является единственной одновременно
радикальной и полупростой алгеброй. Подпрямое
произведение любого множества полупростых алгебр само
полупросто.
С каждым радикалом г связаны два подкласса алгебр
в 5(: класс 31 (г) всех r-радикальных алгебр и класс
3 (г) всех г-полупростых алгебр. По любому из этих
классов однозначно находится радикал г (А) для
каждой алгебры А из 51, а именно:
г (4) =2 {/|/-идеал в А, Г ζ Я (г)};
г(А)=(]{1\ /-идеал в А, А/1 £ Ρ (г)}.
Алгебра г-радикальна тогда и только тогда, когда она
не может быть отображена гомоморфно ни на одну
ненулевую г-полупростую алгебру.
алы 806
Известны условия на подклассы алгебр, необходимые
и достаточные для того, чтобы эти подклассы служили
классами всех радикальных или классами всех
полупростых алгебр для каких-либо Р. в %. Такие
подклассы алгебр принято называть соответственно
радикальными и полупростыми
подклассами.
Частичная упорядоченность радикальных классов
по включению индуцирует частичный порядок на
классе всех Р. в 5Ϊ. А именно, считается, что г1^г2, если
31 (гι) содержит 31 (г2) (и в этом случае также 9* (ri)
содержит 5*(г2)).
Для каждого подкласса Μ класса 51 нижним
радикальным классом I (M),
порожденным классом М, наз. наименьший радикальный класс,
содержащий М, а соответствующий ему Р. наз.
нижним радикалом, определяемым классом Μ.
Верхним радикальным классом
и(М), определенным классом М, наз. наибольший
радикальный класс, относительно Р. к-рого все алгебры из Μ
полупросты (этот Р. наз. верхним
радикалом, определяемым классом А/). Для любого класса Μ
нижний радикальный класс I (M) существует. Если 51 —
класс ассоциативных алгебр, то верхний Р. для любого
подкласса Μ также всегда существует. В
неассоциативном случае верхний Р. может не существовать.
Известны достаточные условия на класс М, при к-рых
верхний радикал для Μ существует. Этим условиям, в
частности, удовлетворяет всякий класс, содержащий только
простые алгебры.
Для любого Р. всякая простая алгебра либо
радикальна, либо полупроста. Таким образом, каждому
радикалу г соответствует разбиение простых алгебр на
два непересекающихся класса: 5Х — класс
г-полупростых простых алгебр, или верхний класс, и £2
класс всех г-радикальных простых алгебр, или
нижний класс. Принято говорить, что радикал г
соответствует этому разбиению. Обратно, для
произвольного разбиения простых алгебр на два
непересекающихся класса, один из к-рых 5Ί назван верхним,
а другой S2 — нижним, существует радикал,
соответствующий данному разбиению. Такими будут
верхний радикал гх, определяемый классом Sl4 а также
нижний радикал г2, определяемый классом S2; радикалы
гх и г2 наз. соответственно верхним и нижним
радикалами данного разбиения
простых алгебр. Для любого радикала г,
соответствующего тому же разбиению простых алгебр, r1^r^r2.
В классе всех ассоциативных алгебр для любого
разбиения простых алгебр г1>г2. Классический Р. в классе
конечномерных ассоциативных алгебр над полем
соответствует тому разбиению простых алгебр, нижний
класс которого пуст, причем является единственным
нетривиальным Р., соответствующим этому
разбиению.
Наследственные радикалы. Радикал г наз.
идеально наследственным
радикалом, или кручением, в классе 51, если для
всякого идеала / алгебры А этого класса: r(I) = r(A)f]I.
Идеально наследственные Р. есть в точности те Р., для
к-рых классы 31 (г) и 3* (г) замкнуты относительно
идеалов. Радикал г наз. наследственным, если
класс 31 (г) замкнут относительно идеалов. В классах
ассоциативных, а также альтернативных алгебр
каждый наследственный Р. является кручением. Радикал
г наз. строго наследственным, если
класс 9*(г) замкнут относительно подалгебр.
Класс всех кручений является полной
дистрибутивной «решеткой» (см. Дистрибутивная решетка).
Употребление кавычек здесь связано с тем, что совокупность
элементов этой «решетки» является не множеством, а
классом.
26*

807
РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ
808
В классе всех кручений выделены два
противоположных подкласса: класс наднилъпотентных
к ρ у ч е н и й, т. е. таких кручений г, что все алгебры
с нулевым умножением r-радикальны, и класс π о д-
идемпотентных кручений — таких
кручений г, что все алгебры с нулевым умножением г-полу-
просты (а все г-радикальные алгебры идемпотентны).
Важным частным случаем наднилъпотентных Р.
являются специальные радикалы — такие
кручения г, что все г-полунростые алгебры
разлагаются в подпрямое произведение первичных г-полупростых
алгебр. Существуют наднильпотентные неспециальные
Р. (см. [5], [7]).
Радикалы в классе ассоциативных колец. Пусть
Ж — класс всех ассоциативных колец. И пусть:
φ — нижний Р., определяемый классом всех простых
колец с нулевым умножением;
β (нижний радикал Бэра) — нижний
Р., определяемый классом всех нильпотентных колец;
верхний Р., определяемый классом всех первичных
колец; наименьший специальный Р.; равен
пересечению простых идеалов кольца;
J? (радикал Левицкого)— нижний Р.,
определяемый классом всех локально нильпотентных
колец; равен сумме всех локально нильпотентных
идеалов кольца и содержит любой односторонний локально
нильпотентный идеал кольца;
&С (верхний нильрадикал, или ρ а-
дикал Кёте) — нижний Р., определяемый
классом всех нильколец;
^ (радикал Джекобсона) — верхний Р.,
определяемый классом всех примитивных колец;
равен пересечению всех примитивных идеалов кольца,
а также пересечению всех модулярных максимальных
правых (левых) идеалов, является квазирегулярным
идеалом, содержащим все квазирегулярные правые
(левые) идеалы;
^* (радикал Брауна — Маккоя) —
верхний Р., определяемый классом всех простых колец
с единицей, совпадает с верхним Р. своего разбиения;
равен пересечению всех максимальных модулярных
идеалов кольца;
τ — верхний Р., определяемый классом всех
матричных колец над телами;
А (обобщенный нильрадикал) —
верхний Р., определяемый классом всех колец без
делителей нуля;
F — верхний Р., определяемый классом всех полей.
В классе всех ассоциативных колец имеют место
строгие неравенства:
4<§<£<M<f<$'<%<F,
Ж <Л < F.
В классе колец с условием минимальности первые
семь Р. совпадают и соответствуют классическому Р.
Если радикал г индуцирует в классе колец с условием
минимальности классический Р., то φΟ<τ. Для колец
с условием максимальности β=^=-<£Γ. Для
коммутативных колец /$-=^~=t=F, $=Л£=Ж=<Д. Радикалы
β, if, а%Г, ^, с|Г, τ, A, F являются специальными.
Радикалы φ, β, J? соответствуют одному и тому же
разбиению простых колец, a J£, £Г, τ, А, /'' — другим
попарно различным разбиениям.
Лит.: [1] Araitsur S. Α., «Amer. J. Math.», 1952, v. 74,
p. 774—86; 1954, v. 76, p. 100—36; [2] К у р о ш А. Г.,«Матем.
сб.», 1953, т. 33, в. 1, с. 13—26; [3] D i v i n s k у Ν., Rings and
radicals, Toronto, 1965;[4] Artin E., Nesbitt C, Tho-
r a 1 1 R., Rings with minimum condition, Ann Arbor, 1944; [5]
Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967, Μ., 1969,
с. 28—32; [6] Кольца, т. 2, Новосиб., 1973, с. 3—6; [7] А н д ρ у-
накиевич В. Α., Рябухин Ю. М., Радикалы алгебр и
структурная теория, М., 1979; [8] Жевлаков К. Α.,
С л и н ь к о А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И.,
Кольца, близкие к ассоциативным, М., 1978.
В. А. Андрунакиевич.
В классе алгебр Ли обычно радикалом ваз.
наибольший разрешимый идеал, т. е. разрешимый идеал г,
содержащий все разрешимые идеалы данной алгебры
Ли. В конечномерной алгебре Ли д существует также
наибольший нильпотентный идеал η (называемый
иногда нильрадикалом), к-рый совпадает с
наибольшим идеалом, состоящим из нильпотентных
элементов, а также с множеством таких χζ$, что
присоединенный оператор adx содержится в Р. ассоциативной
алгебры линейных преобразований пространства д,
порожденной присоединенной алгеброй Ли adcj.
Рассматривается также нильпотентный
радикал § алгебры Ли $ — это множество таких τζ$,
что σ(χ)=0 для любого неприводимого конечномерного
линейного представления σ алгебры д. Нильпотентный
Р. совпадает также с наибольшим из идеалов,
представляемых нильпотентными операторами при любом
конечномерном линейном представлении алгебры q.
При этом ΓΞ2ηΞ>§. Если характеристика основного
поля равна 0, то § — это наименьший из идеалов \а
Cg, для к-рых g/f — редуктивная алгебра Ли. В этом
случае нильпотентный Р. связан с радикалом г,
соотношениями
§=№, r] = fo, 31Пг;
любое дифференцирование алгебры Ли д переводит
г в η и § в §. Нильрадикал и нильпотентный Р.,
однако, не являются Р. в смысле общей теории Р.
колец и алгебр.
Лит.: [1] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, пер. с англ.,
М., 1964; [2] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар
«Софус Ли», пер. с франц., М., 1962; [3] Шевалле К.,
Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958. А. Л. Онищик.
РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ — совокупность точек
плоскости, имеющих относительно двух неконцентрич.
окружностей
х2 + у2 — 2а1х — 2Ь1у — 2с1=0,
х2-\-у2 — 2а2х — 2Ь2у — 2с2 = 0
одинаковую степень точки. Уравнение Р. о.:
(a2 — ai)x+(b2~b1) у-\-{с2 — с1) = 0.
Р. о. двух непересекающихся окружностей проходит
вне окружностей и перпендикулярна прямой,
проходящей через их центры (иногда принимают, что Р. о.
Э\е ©[
концентрич. окружностей является несобственная
прямая). Р. о. двух пересекающихся окружностей
является прямая, проходящая через точки их пересечения;
а Р. о. двух касающихся окружностей — их общая
касательная. Для любых трех окружностей с неколлинеар-
ными центрами Р. о. каждой пары окружностей
проходят через одну точку (радикальный центр).
А. Б. Иванов.
РАДИУС окружности — отрезок,
соединяющий точку окружности (или сферы) с центром. Р. наз.
также длину этого отрезка. бсэ-з.

809 pA3l
РАДИУС-ВЕКТОР точки пространства—
вектор, идущий в эту точку из нек-рой заранее
фиксированной точки, называемой полюсом. Если в
качестве полюса берется начало декартовых координат,
то проекции Р.-в. точки Μ на оси координат
(декартовых прямоугольных) совпадают с координатами
точки М. БСЭ-з.
РАДО КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА —
квадратурная формула наивысшей алгебраич. степени точности
для промежутка [а, Ь]=[—1, 1] и веса р(х)=1 с одним
фиксированным узлом—концом промежутка, напр.—1.
Р. к. ф. имеет вид
J \ χ / (χ) dx - Af (-1) + 2J"= t Cjf (xj).
Узлы xj — корни ортогонального на [—1,1] с весом
i+x многочлена Якоби Ρ{?,υ (я), Л = 2/(И-1)2.
Коэффициенты Cf положительны. Алгебраич. степень
точности равна 2 п. Существуют таблицы узлов и
коэффициентов для Р. к. ф., напр. для п=1(1) 6 см. [2].
Формула найдена Р. Радо [1].
Лит.: [1] R a d a u R., «J. math, pures etappl.», 1880, v. 6,
p. 283—336; [2] Крылов В. И., Приближенное вычисление
интегралов, 2 изд., М., 1967. И. П. Мысовских.
РАДОНА ИНТЕГРАЛ — интеграл по Радона мере.
Подробнее, пусть даны σ-алгебра Σ подмножеств
множества Τ и конечная счетно аддитивная функция φ
на Σ (мера Радона). Тогда в совокупности всех
измеримых функций выделяется класс функций, называемых
суммируемыми по функции φ, к-рым
сопоставляется нек-рое конечное число, к-рое и наз.
интеграломРадона. м. И. Войцеховский.
РАДОНА МЕРА, внутренне регулярная
мера,— конечная мера μ, определенная на борелев-
ской σ-алгебре ЭЗ(Х) топологич. пространства X,
обладающая следующим свойством. Для любого ε>0
найдется компакт К=Кг <=Х такой, что μ (Х\Кг )<ε.
Введена И. Радоном (J. Radon, 1913), исходные
построения к-рого относились к мерам на σ-алгебре
ffi(Rn) — борелевской σ-алгебре пространства Rn, п=
=1,2, . . . .Топологич. пространство X наз.
радоновым пространством, если любая конечная
мера, определенная на σ-алгебре 33(Х), является Р. м.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Интегрирование. Меры,
интегрирование мер, пер. с франц., М., 1967; [2] Данфорд Н.,
Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с
англ., т. 1, М., 1962. Р. А. Миилос.
РАДОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное
преобразование функций от нескольких переменных,
родственное Фурье преобразованию. Введено И. Радоном
(см. [1]).
Пусть /(#!, . . ., хп) — непрерывная и достаточно
быстро убывающая на бесконечности функция от
действительных переменных s/glR1, i=l, 2, . . ., и, /ι=1,
2, . . .
Для любой гиперплоскости в R"
Г = {(*ι, ..., xn)-li*i+---+lntn = C},
gfg R\ i = l, ..., w,
и
2"=1Й>0, CgR»,
определяется интеграл
F(lu ...Лп,С)= ' ^/(х,, ...,*.) ДГГ,
ΐΑ=ιξί;
где VT — евклидовый (п—1)-мерный объем на
гиперплоскости Г. Функция
F(li, ..., ξ„, С), (ξχ, ..., ξ„, С) 6 R^1,
наз. преобразованием Радона функ-
810
ции /. Она является однородной функцией своих
переменных степени —1.
^(αξι, ..., αξ„; <*C) = -±TF fa, ..., ξΒ; С)
и связана с преобразованием Фурье /(ξ^ . . ., ξ„),
St € 'R1? функции / формулой
= 45-«7(αξι' ···, *ln)e-iaC da.
С Р. п. непосредственным образом связана задача,
восходящая к И. Радону, о восстановлении функции /
по значениям ее интегралов, вычисленных по всем
гиперплоскостям пространства R" (т. е. задача об
обращении Р. п.).
Лит.: [1] Radon J., «Ber. Verh. Sachs. Acad.», 1917, Bd
69, S. 262—77; [2] Гельфанд И. Μ., Граев М. И., В и-
л е н к и н Н. Я., Интегральная геометрия ..., М., 1962.
Ρ A. Jblwmioc
РАДОНА — НИКОДИМА ТЕОРЕМА: у заряда ν,'
абсолютно непрерывного относительно нек-рой меры μ,
dv
существует плотность р— -т- относительно μ,
суммируемая по этой мере. Установлена И. Радоном [11 и О. Ни-
кодимом [2]. Точнее, пусть на измеримом пространстве
{X, S3), 23 — нек-рая σ-алгебра подмножеств X,
определены заряд ν, т. е. счетно аддитивная
действительная или комплексная функция, заданная на S3, и мера
μ, причем заряд ν абсолютно непрерывен относительно
μ. Тогда существует такая суммируемая по мере μ
функция ρ(χ), χζΧ, что для любого множества Α ζ®
имеет место
ν(Α)=ί\>Αρ(χ)άμ(χ).
Функция ρ единственна (с точностью до изменения на
множестве нулевой μ-меры) и наз. плотностью
заряда ν относительно меры μ. Имеются (см. [3])
обобщения этой теоремы на случай, когда заряд
принимает значения из нек-рого векторного пространства.
Лит.: [1] Radon J., «Acad. Wiss.», Wien, 1919, t. 128,
S. 1083—1121; [2] N i со dym O., «Fund, math.», 1930, t. 15,
p. 131—79; [3] Д a η ф о р,д Н., Шварц Д., Линейные
операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1962, [4] D i e s-
t e 1 J., U h 1 J., Vector measures, Providence, 1977.
P. А. Минлос.
РАЗБАВЛЕНИЕ РЯДА — включение в ряд между
его соседними членами любого конечного числа нулей.
Для ряда
разбавленный ряд имеет вид
ио+0 + ...+0 + И1 + 0+...+0 + и2 + 0+...
...+0 + и3+... .
Р. р. не отражается на его сходимости, однако может
нарушить суммируемость ряда (суммируемый к числу
s каким-либо методом суммирования ряд (*) после
разбавления может оказаться вообще не суммируемым этим
методом или суммируемым к числу a=£s).
И. И. Волков.
РАЗБИЕНИЕ — 1) Р.— представление заданного
множества в виде объединения системы множеств, не
имеющих попарно общих точек.
В дискретной геометрии часто рассматривают Р.
нек-рого пространства на замкнутые области, к-рые
покрывают все пространство и попарно не имеют общих
внутренних точек (граничные точки могут быть общими).
Напр., если зафиксировать любую точечную решетку
евклидова пространства Rn и сопоставить каждой
точке решетки те точки пространства, к-рые удалены от
этой точки не более, чем от любой другой точки
решетки, то получается т.н. разбиение Дирихл е—
Вороного. Р. пространства наз. правильным,
1ЕНИЕ

811
РАЗВЕРТКА
812
если для любых его областей D^ и D2 существует такое
движение М, что D2^M(DX) и Р~ М(Р). См. также
Вороного типы решеток.
В комбинаторной геометрии имеется ряд задач и
результатов, относящихся к специальным Р. нек-рых
множеств. Примером такой задачи является Борсука
проблема: можно ли разбить любое множество диаметра
d, лежащее в IR", на η-f-l таких частей, что каждая из
них имеет диаметр <d? В IR" существуют такие
ограниченные множества, разбиение к-рых на меньшее число
таких частей невозможно. Любое Р. определяет
некрое покрытие и из любого покрытия можно получить
нек-рое Р. Разбиения имеют тесную связь с освещения
задачами и с Хадвигера гипотезой.
Лит.: [1] Болтянский В. Г., СолтанП. С,
Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств,
Киш., 1978; [2] Г ρ ю н б а у м В., Этюды по комбинаторной
геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971.
П. С. Солтан.
2) Р. пространства X — система 9Л его
дизъюнктных подмножеств, объединение к-рых есть X.
Множество 9Л превращается в топологич. пространство,
если объявить открытыми в нем множествами всякие
множества *ftc:9[ft, прообразы к-рых при естественном
отображении μ: Χ -* 9Л (каждой точке χζΧ ставится
в соответствие единственное содержащее его
множество МаШ) являются открытыми множествами в X.
3) Р.— локально конечное покрытие
пространства, элементами к-рого являются замкнутые кано-
нич. множества с дизъюнктными открытыми ядрами.
М. И. Войцеховский.
РАЗВЕРТКА — 1) Р.— область на плоскости, изо-
метричная заданной области на развертывающейся
поверхности. Пример: Р. боковой поверхности конуса,
разрезанного по образующей, есть плоский сектор.
Приближенное построение Р. может осуществляться
графически, средствами начертательной геометрии.
2) Р. многогранной поверхности —
набор многоугольников (граней Р.) с указанием правила
склеивания их сторон, порождающий многогранную
метрику, изометричную внутренней геометрии
заданной многогранной поверхности. Грани Р. не обязаны
совпадать с истинными гранями поверхности: при
наложении на поверхность они могут переламываться.
В. А. Залгаллер.
РАЗВЕРТЫВАЮЩАЯСЯ ПОВЕРХНОСТЬ, торс,-
линейчатая поверхность нулевой гауссовой кривизны.
Во всех точках одной и той же образующей Р. п. имеет
одну и ту же касательную плоскость. Параметр
распределения Р. п. равен нулю. Если образующие Р. п.
параллельны одной и той же прямой, то она —
цилиндр. Если образующие Р. п. проходят через одну
точку, то она — конус. В остальных случаях Р. п.
образована касательными к нек-рой кривой —
ребру возврата Р. п. Для того чтобы кривая на
поверхности была ее линией кривизны, необходимо и
достаточно, чтобы нормали вдоль этой линии
образовывали Р. п.
Р. п.— огибающая однопараметрич. семейства
плоскостей (напр., спрямляющая поверхность) и потому
локально является изгибанием куска плоскости.
И. X. Сабитов.
РАЗВЕТВЛЕНИЯ ТОЧКА — то же, что ветвления
точка аналитич. функции.
РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОД — то же,
что Фурье метод.
РАЗДЕЛИТЕЛЬНАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ — одна из
логич. связок. Предложение Α ν В, получающееся
из двух предложении А и В с помощью Р. д. ν,
считается истинным в случае, если истинно А и ложно В, или
в случае, если ложно А и истинно В. В остальных
случаях оно считается ложным. Таким образом, Р. д.
может быть выражена через обычную (не разделительную)
дизъюнкцию по формуле
АуВ^ (AvB)Sc^ {АлВ).
В. Н. Гришин.
РАЗЛИЧАЮЩАЯ, различающая к о-
ц е π ь,— препятствие к продолжению гомотопны
между отображениями. Пусть X — нек-рое клеточное
пространство, У — односвязное топологич. пространство;
пусть, далее, даны два отображения /, g: X -+ У и
гомотопия
F:XxO\jXn-1Xl\jXxl
(где /— [0, 1] и Хп есть гс-мерный остов пространства X)
между ними на (п — 1)-мерном остове. Для каждой
ориентированной гс-мерной клетки еп пространства X
ограничение отображения F на д(еХ1) задает
отображение Sn -* У (Sn есть гс-мерная сфера) и, значит, элемент
группы л „(У). Таким образом возникает коцепь
dn(f, g)£Cn(X'> я„(У)) (более точным было бы
обозначение d/r(/, g)), к-рая и наз. различающей
коцепью; коцепь dn(f, g) является препятствием к
продолжению отображения F на ХХО (J XnXl\JXX
Xl= (ХХ1)п-1[)ХХ{0, 1}.
Справедливы следующие утверждения: 1) dn(f, g)=0
тогда и только тогда, когда гомотопия между fug
продолжается на Хп; 2) коцепь
<*"(/, g) ζ Сп (Χχΐ, Χχ{0, 1}; πη(Υ))
является коциклом; 3) класс когомологий
Id» (f, g)) € Нп (XX/, Хх{0, 1}; πη(Υ))
тогда и только тогда равен нулю, когда между fug
имеется гомотопия на Хп, совпадающая с F на Хп~2.
Без ограничения общности можно считать, что / и g
совпадают на X"-1 и что F (х, t) = f(x)=g(x) для χ ζ
ζΧ"~2. При этих предположениях справедливы
следующие утверждения:
1) dn(f, g)=—dn(g, /), в частности dn(f, /)=0;
2) d»(/, g) + d»(g, h)=d»(f, h);
3) для любого отображения / : X —► У и любой
коцепи d£Cn(X; πη(Υ)) существует такое отображение g,
что f\xn-i = g\xn-i и dn(f, g) = d.
Пусть теперь заданы два отображения /, g: Xn -+ У
f\xn-i=g\xn-i и пусть с1}*1 и c"+l — препятствия к
продолжениям соответствующих отображений. Роль Р.
в теории препятствий определяется следующим
предложением:
c7+1-c»+l = ad»(/, g).
Таким образом, если g продолжается на Хп + 1, то
[с?+1] = 0, а если [crj + 1] = 01 то Ι\χη-ι продолжается на
Хп + 1. ю. Б. Рудяк.
РАЗЛИЧАЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ в ^-теории-
элемент группы К(Х, А) (где (X, А) — пара пространств,
при этом обычно X считается конечным клеточным
пространством и А — его клеточным подпространством),
строящийся но тройке (ς, η, ζ), где ξ и η —
векторные расслоения одной и той же размерности над X и
ζ · Via —► ά\α~ изоморфизм векторных расслоений (здесь
о\А — часть векторного расслоения σ над X,
расположенная над подпространством А). Построение Р. э.
осуществляется следующим образом. Пусть сначала
расслоение η тривиально и фиксирована какая-нибудь
тривиализация расслоения η над X. Тогда ζ задает
тривиализацию расслоения ξ| 4 и, значит, задает
элемент группы К (XIА ) — К(Х, А). Этот элемент не зависит
от выбора тривиализации расслоения η над всем X.
В общем случае подбирается такое расслоение σ над X,
что расслоение ηφσ тривиально и тройке (ξ, η, ζ) со-

813 разложил
поставляется тот же элемент, что и тройке (ξ©σ, η0σ,
ζφίά σ). ю. б. Рудяк.
РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ СИСТЕМА для
заданного семейства подмножеств F— {F{, 1^/}множест-
ва S — множество R—{n(i), ίζ/} при любом взаимно
однозначном отображении π : I -+ S, обладающем
свойством: n(i)£F[ для любого ίζ/ (здесь / —
произвольное множество индексов). Другое название Р. п. с.
R — трансверсаль семейства F.
Рассматриваются также частичные трансвер-
сали семейства F — множества вида {π (ί),
ίζ/0}, где /0 — подмножество /, π: /0 —►■ S —
взаимно однозначное отображение.
Р. п. с. применяются как в чисто комбинаторных
математич. исследованиях, так и в их приложениях
к линейному программированию, математич. экономике
и кибернетике. В пределах комбинаторной математики
Р. п. с. играют существенную роль в той ее части,
к-рая связана с задачами выбора и экстремальными
задачами. Они используются, в частности, при изучении
латинских прямоугольников, в задаче о назначениях,
при исследовании матриц с неотрицательными
элементами и с суммами элементов по строкам и столбцам,
лежащими в заданных границах.
Критерий существования Р. п. с. для конечного /
дается теоремой Холла: пусть на множестве
S задано семейство F={F^ i£I} из \1\ = п элементов,
η конечно; для существования Р. п. с. необходимо и
достаточно, чтобы \Fj [)Fi [). . -\}Fik\^k для каждого
/с-подмножества {ix, i2, . . ., ift}—/ и каждого /с, к=
=1, 2, . . ., п. Теорема Холла представляет собой
утверждение, эквивалентное теореме Кёнига (см. Выбора
теоремы) о матрицах из нулей и единиц. Этот
фундаментальный критерий применим также к бесконечному
/, когда все F;, ίζ/, конечны. Упомянутыми
случаями, вообще говоря, исчерпывается, как показывают
примеры, область применения критерия Холла, но он
послужил отправной точкой для различных критериев
в ряде других случаев (см. [3]), напр.: а) когда
существует такое подмножество 10а1, что /—10 конечно, а
F[ конечны при всех ίζ/0ί б) когда / — счетное
множество.
Ввиду широкого использования Р. п. с.
представляют интерес алгоритмы, разработанные для их практич.
нахождения (см. [1]).
Одной из основных задач о Р. п. с. является задача
о числе Р. п. с. для конечных семейств, состоящих из
конечных множеств; она связана с вычислением
перманента матрицы, состоящей из нулей и единиц. Для
числа Р. п. с. существуют оценки снизу. Пусть
семейство F состоит из η подмножеств Fl4 . . ., Fn и пусть
они упорядочены по мощности: m=\F1\^.\F2] <:. . .<
<;|FJ. Тогда если F удовлетворяет критерию Холла,
то число Р. п. с. не меньше, чем
lC,ffl'"(ini-Hi).
Вопросы, связанные с системами представителей,
разрабатываются также в рамках теории матроидов
(иначе — пространств независимости, комбинаторных
геометрий). Связь теории представителей с матроида-
ми дается теоремой Эдмондса — Фал-
к е ρ с о н а: для заданного семейства подмножеств
конечного множества совокупность всех частичных
трансверсалей есть совокупность независимых
подмножеств нек-рого матроида. Матроид, полученный таким
образом из семейства F, наз. трансверсаль-
ным матроидом для F. Многие матроиды могут
быть представлены как трансверсальные для нек-рого
семейства подмножеств.
Понятие Р. п. с. обобщается в различных
направлениях, напр.: а) р-т рансверсали для заданного
lH группа 814
семейства F= {Fu . . ., Fn) и целочисленного вектора
р= (Pi, · . ·, Рп) СУТЬ множества {π(1), . . ., π (/ι)},
где π (0 — /''м *=1» · · ·» п,— такие попарно различные
подмножества S, что 1<|π (ι)\ <:р;; б) k-τ ρ а н с в е р-
с а л и для F— {F£·, ig/} и целого числа /с>1 суть
подмножества R— {π (ί), ΐζ^} для отображений π : / -► S
со свойствами π(ί)ζ^·Η 1<| {π-1(π(ΐ))}|<&, i£I.
Лит.: [1] X о л л М., Комбинаторика, пер. с англ., М., 1970;
[2] Μ i г s к у L., Transversal theory, Ν. Υ.— L., 1971; [3] Τ a-
ракановВ. Е., в кн.: Вопросы кибернетики, в. 16, М., 1975,
с. 110—24. В. Е. Тараканов.
РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ — однопараметрическое
семейство { Ε χ }, — оо <λ<οο, проекционных операторов,
действующих в гильбертовом пространстве 5£?» такое,
что
1) Εχ^Εμ,, если λ<μ;
2) Εχ сильно непрерывно слева, т. е. Εχ-ο—Εχ для
любого λ£(—оо, оо);
3) Εχ^-Ο при λ-* — оо и Εχ^Ε при λ-)- оо, здесь О
и Ε — нулевой и единичный операторы в пространстве
$С. Условие 2) можно заменить на условие
непрерывности справа в каждой точке λ ζ (— оо, оо).
Всякий самосопряженный оператор Л, действующий
в $£?» порождает соответствующее ему вполне
определенное Р. е. При этом кроме условий 1)—3)
выполняются еще условия:
4) если В — ограниченный оператор такой, что #Л =
=АВ, то ΒΕχ=Εχ В для любого λ;
5) если Л — ограниченный оператор, πι, Μ — его
нижняя и верхняя грани соответственно, то
#λ = 0, — оо < λ<™, и Ελ = Ε при Μ<λ<οο.
Р. е., порожденное оператором Л, полностью
определяет спектральные свойства этого оператора, а именно:
(а) точка λ есть регулярная точка оператора А тогда
и только тогда, когда она является точкой
постоянства, т. е. когда существует 6>0 такое, что Εμ=Εχ%ηη
μζ(λ-δ, λ+δ);
(β) точка λ0 есть собственное значение оператора А
тогда и только тогда, когда в этой точке Ε χ имеет
скачок, т. е. £λο + 0-£λο>0;
(γ) если Ε(Δ)=Εμ— Εχ , το LE^ = E (A)5£f есть
инвариантное подпространство оператора А.
Поэтому Р. е., порожденное оператором Л, наз.
также спектральной функцией этого
оператора.
Обратно, каждое Р. е. {Εχ } однозначно определяет
самосопряженный оператор Л, для к-рого это Р. е.
является спектральной функцией. Область
определения D (А) оператора Л состоит из тех и только тех χ ζ ffl,
для к-рых
и имеет место представление оператора А в виде
операторного интеграла Стилтьеса
A = ^_^XdEK.
Лит.: [1] Рисе Ф., Сё кефа л ьви-На дь Б., Лекции
по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979;
[2] А х и е з е ρ Н. И., Г л а з м а н И. Μ., Теория л инейных
операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [3] К а н-
торовичЛ. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ,
2 изд., М., 1977. В. И. Соболев.
РАЗЛОЖИМАЯ ГРУППА над полем /с, рас-
щепимая группа над /с, /с-р а з л о ж и-
мая групп а,— линейная алгебраич. группа,
определенная над к и содержащая разложимую над к
Бореля подгруппу; при этом связная разрешимая
линейная алгебраич. группа В наз. разложимой над /с, если
она определена над к и обладает таким
композиционным рядом B = B^'Z)Bl'Z)B2'Z>. . .Z)#f= {1}, что все
В ι — связные, определенные над к алгебраич. подгруп-

815 pa;
пы, а каждая из факторгрупп BilBi + x изоморфна над к
либо одномерному тору Gm = GL1, либо аддитивной
одномерной группе Ga. В частности, алгебраический тир
тогда и только тогда разложим над /с, когда он
определен над к и изоморфен над к прямому произведению
нескольких экземпляров группы Gm. Для связных
разрешимых /с-разложимых групп справедлива Бореля
теорема о неподвижной точке. Определенная над к
редуктивная линейная алгебраич. группа тогда и
только тогда разложима над /с, когда она обладает
разложимым над к максимальным тором, т. е. когда
ее /с-ранг совпадает с ее рангом (см. Ранг
алгебраической группы). Образ /с-разложимой группы при любом
определенном над к рациональном гомоморфизме
является /с-разложимой группой. Всякая определенная
над к линейная алгебраич. группа G разложима над
алгебраич. замыканием поля к; если, кроме того,
группа G ре,дуктивна или разрешима и связна, то она
разложима над нек-рым конечным расширением поля к.
Если поле к совершенно, то связная разрешимая
определенная над к линейная алгебраич. группа тогда
и только тогда разложима над /с, когда она
приводится над к к треугольному виду. Если char k=0,
то определенная над к линейная алгебраич. группа
тогда и только тогда разложима над /с, когда ее
алгебра Ли L является разложимой (или ρ а с-
щепляемой) над /с алгеброй Ли;
последнее, по определению, означает, что алгебра Ли L
обладает расщепляющей подалгеброй
К а р τ а н а, т. е. такой Картана подалгеброй HaL,
что все собственные значения каждого оператора ad^/i,
h£H, принадлежат полю к.
Если Gfc— вещественная группа Ли, совпадающая
с группой вещественных точек полупростой IR-разло-
жимой алгебраич. группы G, a G^— комплексификация
группы Ли GR, то GR наз. нормальной
вещественной формой комплексной группы Ли G^.
Существуют квазиразложимые группы над полем к·,
не являющиеся Р. г. над к\ примером при /c=IR может
служить группа £0(3, 1).
Лит.: [1] Б о ρ е л ь Α., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ , М., 1972; [2] Б о ρ е л ь Α., Τ и τ с Ж.,
«Математика», 1967, τ И, № 1, с. 43—111; [3] Μ е ρ з л я к о в Ю. И.,
Рациональные группы, М., 1980; [4] Хамфри Д ж.,
Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980. В. Л. Попов.
РАЗМАХ выборки — разность
между наибольшим ятах=£л и наименьшим хт\и=^1
значениями в выборке
(#1, . . . , Хп), Хг^.Х2^. . . . ^ Хп,
получающейся с помощью η независимых измерений
одной и той же случайной величины X. Пусть F (х) =
=?{Х^х) — функция распределения случайной
величины X. Тогда распределение вероятностей для
значений Р. равно
Ρ {">«<*} = * Poo (F (* + ') — F (x))n~1dF (x),
0<ί < oo.
Лит.: [1] Ван дер ВарденБ. Л., Математическая
статистика, пер. с англ., М., 1960; [2] Большев Л. Н.,
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2
изд., М., 1968. Т. Ю. Попова.
РАЗМЕРНОСТЕЙ АНАЛИЗ — метод установления
связи между физич. величинами, существенными для
изучаемого явления, основанный на рассмотрении
размерностей этих величин. В Р. а. рассматриваются
проблемы установления различных систем единиц
измерения, вопросы о выборе первичных величин и
соответствующих им опытных единиц измерения и
связанное с выбором первичных единиц измерения
ах 816
образование вторичных единиц измерения для величин,
определяемых через первичные.
В качестве величин, для к-рых выбираются
первичные единицы измерения, можно брать различные.
В разных областях приложений выгодно и удобно
выбирать в качестве первичных единиц измерения
свои местные единицы. В связи с этим и с
установившимися обычаями на практике были созданы
различные системы единиц измерения и возникла задача
0 переходе (задача пересчета) от одной системы единиц
измерения к другой. Распространены многочисленные
системы единиц измерения: в числе главных — система
СГС, в к-рой первичные сантиметр, грамм-масса и
секунда; система МКГСС, в к-рой первичные метр,
килограмм-сила и секунда; система СИ, в к-рой
первичные метр, килограмм-масса, секунда, ампер,
Кельвин, кандела. Число первичных единиц измерений в
употребляемых или потенциально допустимых системах
единиц измерения может быть разным: меньшим трех,
равным трем, как в системах СГС и МКГСС, и др.
Выражение производной единицы измерения через
основные единицы наз. формулой
размерности, к-рая записывается через символы первичных
единиц измерения и имеет вид степенных одночленов.
Напр., в системе СГС формулы размерности содержат
три аргумента: единицу длины L, единицу времени Τ
и единицу массы М\ на основании определения силы
через массу и ускорение формула размерности силы К
имеет вид
K = ^ = MLT~\ (1)
В системе СГС формулы для любой величины N
механической, тепловой или электромагнитной природы
имеют вид
N = LlT*Mm, (2)
где показатели степеней I, t, m — нек-рые целые или
дробные действительные числа, к-рые наз.
показателями размерности, или
размерностью, величины N. Принимают, что размерность
первичной величины в отношении себя равна единице,
а в отношении любой другой первичной величины —
нулю.
Формулы размерности позволяют определить
численные масштабные множители для пересчета
соответствующих характеристик при изменении величин
первичных единиц измерения. Если вместо заданных
единиц измерения длины />, времени Τ и массы Μ
перейти к новым единицам измерения, меньшим для
длины в а раз, для времени в β раз и для массы в γ раз,
то новая единица измерения для величины N с
размерностью по формуле (2) будет меньше первоначальной
в αψγ77* Раз·
Если l=t=m=0, то численное значение величины
не зависит от выбора масштабов для первичных
единиц и, следовательно, такая величина будет
безразмерной, или отвлеченной. Примерами
безразмерных величин являются: число Рейнольдса Re=
ν2
= ρνΙ/μ; число Фруда Υτ = ττ= , число Маха М=у/о,
число кавитации κ=2ΔΡ/ρι;2Ζ2, где для характерных
в нек-рых явлениях размерных величин приняты
следующие обозначения: ρ — плотность, ν — скорость,
1 — линейный размер, μ — динамич. коэффициент
вязкости, АР — характерная разность давлений, g —
ускорение силы тяжести.
Число первичных единиц измерения можно
увеличивать, если кроме уже выбранных первичных единиц
измерения выбирать по соглашению независимо
единицы измерения для любых др. величин, напр. можно
взять независимо единицы измерения: для тепловой
энергии — калорию и для механич. энергии — кило-

817
РАЗМЕРНОСТЕЙ АНАЛИЗ
818
граммометр, прибавив соотношение: / — тепловая
энергия в калориях или механич. энергия в
килограммометрах, где / — размерная «физическая» постоянная,
называемая механич. эквивалентом тепла.
Физич. законы, содержащие размерные постоянные,
можно использовать для сокращения числа первичных
единиц измерения. Так, напр., постоянную скорости
света можно считать абсолютной постоянной, т. е.
безразмерной величиной, и таким путем выразить
единицу измерения и размерность длины через единицу
измерения и размерность времени; при рассмотрении
гравитационной постоянной как абсолютного
безразмерного числа можно выразить размерность и единицу
измерения для массы через размерность и единицы
измерения для длины L и времени Т.
В нек-рых вопросах явно проявляется тенденция
к стандартизации путем введения единой универсальной
системы единиц измерения. Однако привязывание
универсальной системы единиц измерения к
определенным физически фиксированным масштабам или к
соответствующим физич. постоянным является
искусственным. Наоборот, возможность использования
произвольных единиц измерения и независимость
рассматриваемых закономерностей от выбора систем
единиц измерения могут служить источником ценных
выводов.
Физич. закономерности, вообще говоря, не зависят
от выбора системы единиц измерения. Это
обстоятельство обусловливает особую структуру функций
и функционалов, выражающих собой через посредство
размерных величин физич. закономерности,
независимые от систем единиц измерения. Эта специальная
структура функциональных соотношений
устанавливается π-τ е о ρ е м о й: всякое соотношение между
размерными характеристиками, имеющее физич. смысл,
представляет собой, по существу, соотношение между
отвлеченными безразмерными комбинациями, к-рые
можно составить из размерных определяемых и
определяющих величин, среди к-рых должны учитываться
и размерные физич. постоянные, имеющие
существенное значение в рассматриваемых явлениях.
Дополнительные данные об отсутствии нек-рых физич.
постоянных в рассматриваемом соотношении приводят
к сокращению в этих соотношениях существенных
аргументов. Напр.. если в рассматриваемых тепловых
и механич. явлениях нет преобразования — перехода
тепловой энергии, измеряемой в калориях, в
механическую, измеряемую в эргах, то постоянная механич.
эквивалента тепла будет отсутствовать среди
аргументов функции, описывающей соответствующую
закономерность.
Для получения полезных выводов с помощью Р. а.
необходимо схематизировать проблему и, прежде
всего, фиксировать общее моделирование явлений и
свойств рассматриваемых объектов. Во многих случаях
такая схематизация может быть связана с рядом
рабочих гипотез. В рамках нек-рых моделей
устанавливается система характеристик, к-рые связаны между
собой физич. соотношением и к-рые согласно π-теореме
должны представляться как соотношения между
безразмерными параметрами. Таким образом, нужно
ввести систему определяющих параметров постоянных
или переменных, вытекающую из постановки
выделяемого класса задач и характеризующую, вообще
говоря, полностью для данной среды каждую отдельно
взятую задачу.
При выделении минимального числа определяющих
параметров требуется учитывать условия симметрии
и выбор выгодных систем координат. Независимые
переменные (координаты точек пространства и времени")
и физич. параметры типа коэффициентов
теплопроводности, вязкости, модулей упругости и т. п.
необходимо включать в таблицу определяющих параметров.
Такие постоянные, как ускорение силы тяжести или
механич. эквивалент тепла, тоже должны фигурировать
в перечне определяющих параметров, когда
гравитация или переход тепловой энергии, измеряемой в
калориях, в механическую, измеряемую в
килограммометрах (или в эргах), существенны.
Для выделенного класса задач необходимо включать
в число определяющих параметров размерные или
безразмерные характеристики заданных границ
рассматриваемых тел и задаваемых функций, участвующие
в формулировке начальных, краевых или каких-либо
других условий.
Если рассматриваемая задача сформулирована как
математическая, то можно выписать полную таблицу
аргументов для соотношений вида
a = f (аь α2, ..., α„), (3)
где а — искомая величина, а αΐ5 . . ., ап —
определяющие параметры. В зависимости от постановки задачи
число η может быть конечным или бесконечным. Обычно
при соответствующем фиксировании класса
рассматриваемых задач можно ограничиваться случаями, когда
η конечно и, вообще говоря, невелико. Параметры
аг, . . ., ап составляются из задаваемых величин,
входящих в основные уравнения, граничные условия и
начальные данные. Определяющие параметры — это
все исходные данные, к-рые надо знать предварительно
по смыслу постановки математич. задачи для
вычисления искомой функции различными путями, в том
числе и при расчетах на специальных машинах или
с помощью аналоговых систем.
Определяющие параметры при получении нужных
ответов с помощью экспериментов — это величины,
характеризующие каждый отдельный опыт, величины,
к-рые необходимы и достаточны для повторения и
сравнения различных экспериментов.
Можно выписать систему определяющих параметров
и в тех случаях, когда детальные свойства модели и
системы уравнений, описывающих рассматриваемые
явления, вообще говоря, неизвестны, достаточно
опереться на предварительные данные или гипотезы о
виде задаваемых функций и о постоянных, к-рые
входят или могут входить в определение модели, и на
др. условия, выделяющие конкретные решения задачи.
Выводы Р. а. получаются на основании π-теоремы о
существовании соотношения вида (3), к-рое
выполняется для определяемой величины и определяющих
величин αΐ5 . . ., ап в любой системе единиц измерения.
Система аргументов в соотношении (3) должна в
смысле теории размерностей обладать полнотой. Это
значит, что если величина а отлична от нуля или
бесконечности, то существуют числа αΐ5 . . ., ап такие, что
размерности величины а и комбинаций а\х а%2. . .а%п
одинаковы. На основании этого и π-теоремы
соотношение (3) можно переписать в виде
где πΐ5 . . ., πη_£— степенные безразмерные
одночлены (аналогичные π=3,14. . .), образованные из
αΐ5 . . ., ап, причем /с<:и. Число к равно числу
параметров среди аъ . . ., ап с независимыми
размерностями .
После явной записи физич. закономерностей в виде
(4) по существу заканчиваются возможности
применений Р. а. Соответствующие результаты, полученные
таким путем, носят ограниченный характер. Если
видоизменить любым способом уравнения движения
без внесения в них каких-либо новых параметров, то
физич. закономерности (4) могут сильно измениться,

819
РАЗМЕРНОСТИ
820
но основной вывод, содержащийся в формуле (4),
сохраняет свою силу.
Существует целый ряд примеров получения
плодотворных выводов и установления целесообразных
удобных методов обработки экспериментальных
результатов с использованием Р. а. и π-теоремы. Особая
польза достигается за счет сокращения числа
аргументов у искомых функций; это сокращение
обеспечивается π-теоремой и во многих случаях достигается на
основании постановки задачи с использованием
опытных данных или нек-рых гипотез о механизмах
существенных эффектов в изучаемых вопросах.
Основная практич. польза состоит в установлении
возможности перенесения результатов опыта в одних
условиях на др. условия, в к-рых опыт не проводился.
Напр., по опытам с водой, движущейся в трубе с
фиксированным диаметром, можно давать автоматически
нужные ответы о движении воды в трубах той же
формы, но других размеров, о движении в трубах
нефти, воздуха и т. п. Однако для возможности
перенесения результатов данного опыта на др. опыты
необходимо обеспечивать в соответствующих случаях
одинаковые значения безразмерных параметров. Значения
нек-рых из этих величин легко обеспечиваются гео-
метрич. условиями постановки опытов. Значения
других параметров связаны с физико-механич. условиями
проведения опытов.
Примерами применения Р. а. являются примеры
установления из постановки задач автомодельности
искомых решений. Свойство автомодельности
состоит в следующем. При первом подходе к математич.
разрешению ставящейся задачи можно отметить
независимые переменные аргументы функций; обычно это
три координаты точек в нек-ром объеме пространства
и время. Кроме этих переменных величин среди
аргументов искомых функций могут фигурировать нек-рые
задаваемые постоянные параметры, возникающие при
описании свойств изучаемой модели и при выделении
конкретной схематизированной задачи. Всякую задачу
можно сформулировать в безразмерных переменных
как для искомых функций, так и для их независимо
изменяющихся аргументов. Автомодельность
проявляется в том, что сокращается число независимых
безразмерных переменных аргументов по сравнению с
числом размерных.
Эффективные результаты, связанные с автомодель-
ностыо, получаются в теории нек-рых одномерных
неустановившихся задач со сферическими,
цилиндрическими и плоскими волнами, когда имеются только две
независимые переменные: координата г с размерностью
длины и время X. Если из определяющих размерных
постоянных, присутствующих в постановке задачи,
нельзя образовать две комбинации — одну с
размерностью длины, а другую с размерностью времени,
то единственным неременным безразмерным
аргументом в искомых безразмерных функциях будет параметр
вида X=Cr/ta, где α — нек-рый показатель, а С —
размерная постоянная, выражающаяся через заданные
постоянные, фигурирующие в постановке задачи.
В частности, если математич. задача сводилась к
решению нек-рой системы дифференциальных уравнений с
частными производными по г и t, то при наличии только
одного переменного параметра λ уравнения с частными
производными по г и t преобразуются к обыкновенным
дифференциальным уравнениям с одной независимой
переменной λ, вследствие чего математич. задача
сильно упрощается. Таким путем было получено
решение многих практически важных задач, напр. задачи
о возмущенном движении воздуха, вызванном
концентрированным атомным взрывом в атмосфере.
Соображения Р. а. для автомодельных процессов
могут служить не только для сведения уравнений с
частными производными к обыкновенным, но и для
получения конечных соотношений между искомыми
функциями (интегралов этих уравнений), что
позволяет находить решения нек-рых автомодельных задач
в замкнутом формульном виде. Эти методы были
продемонстрированы при решении задач о сильном взрыве
в атмосфере и в задачах о распространении взрывных
волн в газовых средах, в к-рых в исходном состоянии
плотность переменна и изменяется вдоль радиуса по
степенному закону. Эти задачи ставятся как сильно
схематизированные модели взрыва звезд.
Р. а. непосредственно связан с понятием о физич.
подобии, к-рое изучается в подобии теории.
Лит.: [1] Бриджмен П. В., Анализ размерностей, пер.
с англ., Л.— М., 1934; [2] Седов Л. И., Методы подобия и
размерности в механике, 9 изд., М., 1981. Л. И. Седов.
РАЗМЕРНОСТИ АДДИТИВНЫЕ СВОЙСТВА —
свойства, выражающие связь размерности топологич.
пространства X, представленного в виде суммы своих
подпространств Ха, с размерностями пространств Ха.
Имеется несколько видов Р. а. с.
Теорема суммы. Если хаусдорфово и
нормальное пространство X представимо в виде конечной
или счетной суммы своих замкнутых подмножеств X,·,
то
dim X£- = sup dim Хг·.
i
Если, дополнительно, пространство X совершенно
нормально или наследственно паракомпактно, то
Ind X = sup Ind Χι.
i
Локально конечная теорема с у м-
м ы. Если хаусдорфово и нормальное пространство X
представлено в виде суммы локально конечной системы
своих замкнутых подмножеств Ха, то
dim X = sup dim Χα.
α
Если, дополнительно, пространство X совершенно
нормально или наследственно паракомпактно, то
Ind X = sup Ind Xa.
а
Теорема сложения. Если пространство X
хаусдорфово, наследственно нормально и X = A\JB, то
dim X< dim Л + dim Я + 1
(формула Менгера — Урысона). Если,
кроме того, пространство X совершенно нормально, то
Ind X< Ind Л +Ind 5+1.
Метрич пространство R имеет размерность dim i?<rc
тогда и только тогда, когда
п+\
R= у Д., dim Я£-<0, i = l, ·.., п + 1; л = 0, 1, 2, ....
t=l
В хаусдорфовом наследственно нормальном
пространстве X для любого замкнутого подмножества F
выполняются равенства
dim X = max (dim F, dim X\F),
Ind X = max (Ind F, \ndX\F).
Б. А. Пасынков.
РАЗМЕРНОСТИ ТЕОРИЯ — часть топологии, в
к-рой для каждого компакта, а впоследствии и для
более общих классов топологич. пространств тем или
иным естественным образом определяется числовой
топологич. инвариант — размерность, совпадающий, если
X есть полиэдр (в частности, многообразие), с его
числом измерений в смысле элементарной или
дифференциальной геометрии. Первое общее определение раз-

821
РАЗМЕРНОСТИ ТЕОРИЯ
822
мерности было дано Л. Брауэром (L. Brouwer, 1913)
для компактов и даже более широкого класса полных
метрич. пространств. Определение строится по
индукции следующим образом. Пустому множеству
приписывается размерность — 1. В предположении, что
определены пространства, а значит и лежащие в них
множества, размерности <:и, говорят, что
пространство X имеет размерность </г+1, если между любыми
двумя дизъюнктными замкнутыми множествами А и В
пространства X имеется перегородка Φ размерности
<:л (при этом перегородкой между
множествами А и В в пространстве X наз. такое замкнутое
множество Φ этого пространства, что дополнение Х\Ф
есть сумма двух дизъюнктных открытых множеств С
и D, из к-рых одно содержит множество А, а другое —
множество В). В 1921 П. С. Урысон и К. Менгер
(К. Menger) независимо от Л. Брауэра и друг от друга
пришли к эквивалентному в случае компактов и даже
любых сепарабельных метрич. пространств
определению, отличающемуся от брауэровского тем, что одно из
двух замкнутых множеств А, В предполагается
состоящим из одной точки. Определения размерности в
смысле Брауэра и в смысле Урысона и Менгера
могут быть сформулированы для любых хаусдорфовых
пространств, и определяемые ими топологич.
инварианты наз. соответственно большой и малой
индуктивной размерностями и
обозначаются Ind X и ind X, причем всегда ind X^Ind X.
Совершенно иной подход к понятию размерности
берет начало от А. Лебега (Н. Lebesgue), высказавшего
следующую теорему: и-мерный в смысле элементарной
геометрии куб Qn при любом положительном числе ε
может быть покрыт конечным числом замкнутых
множеств (даже кубов) диаметра <ε таким образом, что
кратность этого покрытия равна тг+1, тогда как при
достаточно малом ε>0 не существует покрытия куба Qn,
к-рое имеет кратность </г+1 и состоит из замкнутых
множеств диаметра <ε (при этом кратностью какой-либо
(конечной) совокупности множеств наз. наибольшее
целое число т такое, что в данной совокупности имеется
т множеств с непустым пересечением). Теперь можно
теорему Лебега сформулировать так. Число измерений
куба Qn есть наименьшее такое целое число /г, для
к-рого имеется сколь угодно мелкое (т. е. состоящее из
элементов сколь угодно малого диаметра) покрытие
кратности п-\-\ замкнутыми множествами. Эта
теорема, впервые доказанная лишь Л. Брауэром, приводит
к следующему определению. Размерностью dim X
компакта X (определенной посредством
покрытий) наз. наименьшее число η такое, что при любом
ε>0 компакт X имеет покрытие кратности тг+1,
состоящее из замкнутых множеств диаметра <ε. Не
меняя содержания этого определения, можно заменить
в его формулировке замкнутые множества открытыми.
При определении размерности компакта X
применяется понятие диаметра множества, относящееся к
метрике, а не к топологии компакта X. Однако
доказывается, что определенное так число dim X тем не менее
является топологич. инвариантом компакта X, т. е.
что два гомеоморфные между собою компакта имеют
одну и ту же размерность dim X. Этот факт
устанавливается непосредственно, но его легко вывести и из
того, что числу dim X можно дать и непосредственно
топологич. определение, опирающееся лишь на
топологию компакта X.
Покрытием данного топологич. пространства
наз. любая конечная совокупность его открытых
множеств, дающих в своей сумме все это пространство.
Покрытие а' мельче покрытия а, если а' вписано в а,
т. е. если каждый элемент покрытия а' является
подмножеством хотя бы одного элемента покрытия а.
Оказывается, размерность dim X можно определить
так: число dim X есть наименьшее целое число η
такое, что для всякого покрытия пространства X
существует вписанное в него покрытие кратности /г-Н·
Но это определение, очевидно, может быть
сформулировано не только для компактов, а для любых
топологич. пространств, и позволяет определить для них
размерность. Размерность dim X, определенная таким
образом для топологич. пространств, позволяет построить
содержательную и богатую математич. фактами
теорию, оставаясь, по крайней мере, в классе нормальных
пространств (а значит, в частности, и метризуемых
пространств).
Одной из главных проблем Р. т. является
выяснение наиболее широких условий, в к-рых имеет место
т. н. основное тождество Урысона, а
именно:
indX = IndX = dimX.
Оказывается, оно имеет место для всех сепарабельных
метризуемых пространств, т. е. для всех нормальных
пространств со счетной базой, а также для пространств
локально бикомпактных групп (теорема
Пасынке в а). Без предположения сепарабельности для
метризуемых пространств можно утверждать лишь
справедливость формулы Катетова
indX<IndX = dimX,
а для бикомпактов — формулы Александр о-
в а
dim X < ind Χ < Ind Χ,
причем имеются бикомпакты X, для к-рых
dim Χ Φ ind X
(пример Лунц а—Л окуциевского), и
бикомпакты X, для к-рых
ind Χ φ Ind X
(пример Филиппова).
Большое общепознавательное значение имеет
следующая теорема Нёбелинга — Понтряги-
н а: необходимое и достаточное условие для того,
чтобы топологич. пространство X было гомеоморфно
подпространству какого-либо евклидова пространства
конечного числа измерений, заключается в том, чтобы
X было нормальным пространством конечной
размерности, имеющим счетную базу. Это позволяет при
изучении конечномерных компактов и вообще
конечномерных нормальных пространств со счетной базой
рассматривать их как подпространства евклидовых
пространств.
В связи с этим приобретает особый интерес т.н.
теорема об ε-сдвигах: для того чтобы компакт X,
лежащий в каком-либо евклидовом пространстве ROT,
имел размерность dim Х<тг, необходимо и достаточно,
чтобы при любом ε>0 этот компакт мог быть
превращен в полиэдр размерности <тг посредством ε-сдвига
в пространстве Rm (при этом ε-сдвигом
подпространства X в евклидовом пространстве Rm наз. такое
непрерывное отображение / этого подпространства X
в содержащее его евклидово пространство Rm, при
к-ром расстояние р(х, fx) любой точки χζΧ от ее
образа fx меньше числа ε). Интуитивное содержание
этой теоремы состоит в том, что всякий компакт
данной конечной размерности /г, рассматриваемый как
множество, лежащее в каком-либо евклидовом
пространстве Rm, может быть сколь угодно малым
непрерывным видоизменением (к чему и сводится его ε-сдвиг)
превращен в полиэдр той же, но не меньшей,
размерности. Эта теорема так же, как и определение
размерности dim X для компактов, может быть
переформулирована в чисто топологич. терминах, причем снова

823
РАЗМЕРНОСТИ
824
«сколь угодно малые» числа в>0 заменяются «сколь
угодно мелкими» покрытиями ω. Это позволяет
аналогичную теорему сформулировать для любых
нормальных пространств и придти к заключению, что в нек-
ром (все же наглядном) геометрическом смысле
всякое /i-мерное нормальное пространство «похоже» и
даже «сколь угодно мало отличается» от /г-мерного
полиэдра.
Одной из важнейших теорем Р. т. является т. н.
теорема о существенных
отображениях, лежащая в основе значительной части всей
этой теории. Пусть / — непрерывное отображение
(нормального) пространства X на /ι-мерный шар Qn с
границей £"-\ Пусть ФаХ — прообраз сферы Srt~1
при этом отображении, 0=f-1Sn~1. Отображение
/ : X-+Qn наз. существенным, если всякое
непрерывное отображение g : X^-Qn, совпадающее с / во
всех точках χζΦ, есть отображение на весь шар Qn.
Упомянутая теорема Александрова
утверждает, что нормальное пространство X тогда и только
тогда имеет размерность dim Х>/г, когда пространство
X можно существенно отобразить на /г-мерный шар.
Из этой теоремы выводится теорема суммы
(доказанная для компактов П. С. Урысоном и К. Менгером еще
в самом начале развития Р. т.): если (нормальное)
пространство X размерности dim X=n является
объединением конечного или счетного числа своих
замкнутых множеств Ф^, то по крайней мере для одного
из этих Ф^ имеет место άίϊηΦ{ι=η.
Теорема о существенных отображениях лежит в
основе т. н. гомологической теории
размерности, позволяющей применить к изучению
размерности в весьма общих предположениях методы
алгебраич. топологии. Понятие гомологической
размерности связано с понятиями цикла и гомологии и
поэтому предполагает, что наряду с топологич.
пространством X дана и нек-рая коммутативная группа ($,
к-рая наз. группой коэффициентов. Тогда можно
говорить о циклах компакта X по этой группе
коэффициентов, об их носителях ФаХ и, в частности, о
циклах, гомологичных нулю в Ζ по области
коэффициентов ©, причем эти понятия можно
эквивалентным образом понимать как в смысле теории
гомологии Александрова — Чеха, так и в смысле гомо-
логич. теории Вьеториса.
После этого можно определить гомологич.
размерность компакта X по группе коэффициентов ® как
наибольшее целое число η такое, что в компакте X
имеется (п—1)-мерный цикл Ζ"-1, гомологичный
нулю в I, но не гомологичный нулю на нек-ром своем
носителе Ф. Оказывается, что dim X есть гомологич.
размерность по группе κ, являющейся факторгруппой
группы всех действительных чисел по подгруппе целых
чисел, и она является наибольшей среди всех вообще
гомологич. размерностей.
Если от циклов и гомологии перейти к коциклам и
когомологиям, то получится когомологическая
размерность, причем когомологич. размерность компакта по
данной дискретной группе ίί равна гомологич.
размерности по бикомпактной группе 33, двойственной
группе 21 в смысле теории характеров Понтрягина.
Отсюда следует, что размерность dim X совпадает с
когомологической размерностью по группе целых
чисел.
Лит. см. при ст. Размерность. П. С. Александров.
РАЗМЕРНОСТИ ФУНКЦИЯ — целочисленная
функция d на решетке L (т. е. отображение d : L->z)t
удовлетворяющая условиям: 1) d(x-\-y)-\-d(xy)=d(x)-\-
-\-d (у) для любых х, у ζ L; 2) если [х, у]—простой
интервал в Ζ/, то d(y)=d(x)-\-i. Для решетки, все
ограниченные цепи к-рой конечны, существование Р. ф.
эквивалентно дедекиндовости этой решетки.
Существует и более общее определение Р. ф. на ор-
томодулярной решетке или ортомодулярном частично
упорядоченном множестве, где значениями Р. ф.
могут быть произвольные действительные числа или даже
функции (см. [3]).
Лит.: II] С к о ρ н я к о в Л. Α., Элементы теории структур,
М., 1970; [2] В i г k h о f f G., Lattice theory, 3 ed., Providence,
1967; [3] К a 1 m b а с h G., Omolattices, L., 1981.
Т. С. Фофанова.
РАЗМЕРНОСТНЫЙ ИНВАРИАНТ — целое число
d(X), определяемое для каждого топологич.
пространства X данного класса е%Г и обладающее достаточным
количеством свойств, сближающих его с обычным
числом измерений евклидовых многомерных пространств.
При этом от класса ЙГ требуется, чтобы он содержал
все кубы любого числа измерений и вместе с любым
данным пространством X, являющимся его элементом,
содержал в качестве элемента и всякое пространство,
гомеоморфное пространству X. От Р. и. d(X)
предполагается, во всяком случае, что для гомеоморфных
пространств X и X' всегда d(X)=d(X') и что для
/г-мерного куба 1п выполняется d(In) = n. Среди Р. и.
важнейшими являются т. н. классические
размерности — Лебега размерность dim X и
(большая и малая) индуктивная размерность Ind X,
ind X.
Имеют место следующие предложения, выделяющие
размерность dim X среди всех Р. и., определенных
соответственно в классе всех (метрических) компактов,
всех метризуемых и всех сепарабельных метризуемых
пространств и тем решающие для этих пространств
проблему аксиоматич. определения размерности.
Единственный, удовлетворяющий нижеперечисленным
условиям 1), 2), 3), определенный в классе &С всех
(метрических) компактов X размерностный инвариант d (X)
есть размерность dim X=Ind X=ind X (теорема
Александрова).
Условие 1) (аксиома Пуанкаре).
Если пространство принадлежит к классу &С md(X)
равно неотрицательному целому числу /г, то в X
содержится замкнутое подпространство Х0, для к-рого
d(x0)<n и такое, что множество Х\Х0 несвязно.
Условие 2) (аксиома конечной
суммы). Если принадлежащее к классу <£Г пространство
X есть объединение двух замкнутых подпространств
Χι и Х2, для к-рых d(Xi)^n, d(X2)<.n, то и d(X)<.n.
Условие 3) (аксиома Брауэра в
метрической форме). Если X —
принадлежащее к классу &С пространство и d(X) есть
неотрицательное целое число /г, то существует такое
положительное число ε, что для всякого пространства У,
являющегося образом пространства X при каком-либо
ε-отображении, имеет место неравенство d(Y)~^n. При
этом отображение / компакта X на компакт Υ наз.
ε-отображением, если оно непрерывно, и
полный прообраз /-1 (у) каждой точки y£Y имеет в X
диаметр <ξ.
Теорема Щепина [2]. Размерность dim X
есть единственный, определенный соответственно в
классе &С всех метрических, всех сепарабельных мет-
рич. пространств X размерностный инвариант d(X),
удовлетворяющий следующим условиям (теорема
Щепина).
Условие 1) (аксиома Пуанкаре, см.
выше).
Условие 2) (аксиома счетной
суммы). Если принадлежащее к классу &С пространство
X есть объединение счетного числа своих замкнутых
подпространств Хь, к—1,2,. . ., для каждого из к-рых
d(Xk)<-n, то и <2(Х)</г.
Условие 3) (аксиома Брауэра в
общей форме). Если для принадлежащего к классу
Ж пространства X имеется d(X)</i, то существует та-

825
РАЗМЕРНОСТЬ
826
кое конечное открытое покрытие ω пространства X,
что для всякого, принадлежащего к классу Ж
пространства Υ, являющегося образом пространства X при
каком-либо ω-отображении, будет d(Y)^n. При этом
отображение / пространства X, на к-ром зафиксировано
нек-рое открытое покрытие ω, на пространство Υ наз.
ω-ο тображением, если каждая точка у
пространства Υ имеет окрестность Оу, полный прообраз
к-рой /-1 (Оу) содержится в нек-ром элементе
покрытия ω.
Лит.: [1] Александров П. С,в кн.: Тр.
Международного симпозия по топологии и ее применениях. Херцег-Нови·
1968, Beograd, 1969, с. 38—42; [2] Ще π и н Е., «Докл. АН СССР»,
1972, т. 206, № 1, с. 31—32; [3] Александров П.С ., Π а-
сынков Б. Α., Введение в теорию размерности, М., 1973.
А. А. Мальцев.
РАЗМЕРНОСТНЫЙ МНОГОЧЛЕН
расширения дифференциальных полей —
многочлен, описывающий количество производных констант
в решении системы уравнений с частными
производными и являющийся аналогом Гильберта многочлена.
Пусть G — дифференциальное расширение
дифференциального поля F. Максимальное подмножество поля
G, дифференциально сепарабельно независимое над F,
наз. базисом дифференциальной
сепарабельности. Базис дифференциальной
сепарабельности расширения G над F, дифференциально
алгебраически независимый над F, наз.
дифференциальным базисом
трансцендентности.
Пусть G — конечно порожденное дифференциальное
расширение: G=F (ηχ,. . .,η„) и (η!,. . .,η„) — общий
нуль простого дифференциального идеала pdF{Yl4. . .,
Yn}. Дифференциальная степень трансцендентности
поля G над F наз. дифференциальной
размерностью идеала ρ (она обозначается d(p)).
Если q — другой простой дифференциальный идеал
и pdq, то d(p)^d(q), причем равенство может иметь
место даже для строгого включения. По этой причине
желательно иметь более тонкую меру для измерения
идеалов.
Фильтрация кольца дифференциальных многочленов
F{Yl,. . .,Yn} по степеням дифференцирований θζΘ
индуцирует фильтрацию полей расширения G=F<v\1,
• - -,Цп> поля F:
^ = ®оС®1С... с©5с:...
Существует (см. [2]) многочлен, значение к-рого в
точках s£z для всех s^N0 равно степени
трансцендентности расширения (&s поля F. Он наз. ρ а з-
мерностным многочленом
расширения ©/F и имеет вид
%/^=2„<i<ma<-(T).
где т — мощность множества дифференцирований Δ,
а α{· — целые. Р. м. является бирациональным
инвариантом поля, то есть F (η) = /Γ(ζ)=φωη/ί.= ωζ/ί,, но
не является дифференциальным бирациональным
инвариантом, то есть из F<rj>— F<£>, вообще говоря,
не следует, что ωη/^=(ΰζ/^. Тем не менее этот
многочлен содержит в себе дифференциальные бирациональ-
ные инварианты, каковыми являются степень
многочлена x=deg ωη/ί? (она наз.
дифференциальным типом расширения F<η> над F) и
старший коэффициент ατ (называемый типовой
дифференциальной размерностью).
Среди дифференциальных Р. м., соответствующих
различным системам дифференциальных образующих
дифференциального расширения, существует минимальный
относительно нек-рого отношения порядка на
множестве всех целозначных многочленов, являющийся,
таким образом, дифференциальным бирациональным
инвариантом расширения.
Многочлен дифференциальной размерности
определяется также и для дифференциальных модулей.
Р. м. вычислен для расширений, задаваемых
следующими системами (см. [1], где Р. м. наз. мерой
жесткости системы уравнений поля): 1) волновое
уравнение; 2) уравнение Максвелла для пустого
пространства; 3) уравнения электромагнитного поля, задаваемого
потенциалами; 4) уравнения Эйнштейна для пустого
пространства. Другие примеры вычисления Р. м. см.
в [31.
Лит.: [1] Э й н ш τ е й н Α., Собрание научных трудов, т. 2,
М., 1966; [2] К о 1 с h i n E. R Differential algebra and
algebraic groups, N. Y.— L., 1973; [3] Михалев А. В., П а н-
к р а т ь е в Е. В., в кн.: Алгебра, М., 1980, с. 57—67.
Е. В. Панкратьев.
РАЗМЕРНОСТЬ топологического
пространства X — целочисленный инвариант dim X,
определяемый следующим образом. Тогда и только
тогда dim Х = —1, когда Х=ф. О непустом тополо-
гич. пространстве X говорят, что оно не более чем п-
мерно, и пишут dim Х<тг, если в любое конечное
открытое покрытие пространства X можно вписать
конечное открытое покрытие пространства X кратности
<:д+1, п=0, 1, 2, . . .. Если dim X<:д для нек-рого
п—- —1,0,1,. . ., то пространство X наз.
конечномерным, пишется dim X<oo и считается
dim X = min {n: dim X ^ η].
При этом если dim X=n, то пространство наз. л-мер-
ным. Понятие Р. топологич. пространства обобщает
элементарно-геометрич. понятие числа измерений
евклидова пространства (и полиэдра), т. к. размерность
л-мерного евклидова пространства (и любого л-мерного
полиэдра) равна л (теорема Брауэра —
Лебег а).
Важность понятия Р. топологич. пространства
выявляется теоремой Нёбелинга — Понт-
рягина — Гуревича — Куратовского:
я-мерное метризуемое со счетной базой пространство
вкладывается в (2л+1)-мерное евклидово
пространство. Таким образом, класс пространств, топологически
эквивалентных подпространствам всевозможных л-мер-
ных евклидовых пространств, /ι=1, 2,. . ., совпадает
с классом конечномерных метризуемых пространств со
счетной базой.
Размерность dim X иногда наз. лебеговой,
т.к. ее определение отталкивается от теоремы
Лебега «о м о с τ о в ы х»: л-мерный куб для любого
ε>0 обладает конечным замкнутым кратности <:/ι+1
покрытием с диаметром элементов <ε; существует
такое ε0>0, что кратность любого конечного замкнутого
покрытия л-мерного куба ^д+1, если диаметр
элементов этого покрытия <ε0.
К определению Р. топологич. пространства
возможен другой — индуктивный — подход (см.
Индуктивная размерность), основанный на разбиении
пространства подпространствами меньшего числа измерений.
Этот подход к понятию Р. восходит к А. Пуанкаре
(Н. Poincare), Л. Брауэру (L. Brouwer), П. С. Урысону
и К. Менгеру (К. Menger). В случае метризуемых
пространств он эквивалентен лебеговскому.
Основы теории Р. были заложены в 1-й пол. 20-х
гг. 20 в. в работах П. С. Урысона и К. Менгера. К кон.
30-х гг. была построена теория Р. метризуемых
пространств со счетной базой, а к нач. 60-х гг.— теория
Р. любых метризуемых пространств.
Ниже все рассматриваемые топологич. пространства
считаются нормальными и хаусдорфовыми. В этом
случае в определении Р. без ущерба вписываемые открытые
покрытия можно заменить на замкнутые.

827
РАЗМЕРНОСТЬ
828
Лебегов подход к определению Р. (в отличие от
индуктивного подхода) позволяет в случае любых
рассматриваемых пространств геометризовать понятие Р.
посредством сравнения исходного топологич.
пространства с простейшими геометрич. образованиями —
полиэдрами. Грубо говоря, пространство тг-мерно тогда и
только тогда, когда оно сколь угодно мало отличается
от /г-мерного полиэдра. Точнее, имеет место теорема
Александрова об ω-ο тображениях:
тогда и только тогда dim Х</г, когда для любого
конечного открытого покрытия ω пространства X
существует ω-отображение пространства X на не более чем
/г-мерный, /г=0,1,2,. . ., (компактный) полиэдр.
Особую наглядность сформулированная теорема
приобретает в случае компактов: для компакта X тогда и
только тогда dim Х</г, когда для любого ε>0 существует
ε-отображение компакта на не более чем и-мерный
полиэдр. Если еще X лежит в евклидовом или
гильбертовом пространстве, то ε-отображение можно
заменить ε-сдвигом (теорема Александрова
об ε-отображениях и ε-сдвигах).
Следующее утверждение позволяет выяснить, какова
Р. пространства, посредством его сравнения со
всевозможными /г-мерными кубами: тогда и только тогда
dim Х^п, когда пространство обладает существенным
отображением на /г-мерный куб, ?г=0,1,2,. . .
(теорема Александрова о существенных
отображениях).
Этой теореме можно придать следующую форму.
Тогда и только тогда dim Х</г, когда для любого
замкнутого в X множества А и любого непрерывного
отображения / : A-+Sn в /г-мерную сферу существует
непрерывное продолжение F : X-*Sn, /г=0,1,. . .,
отображения /.
Следующая характеристика Р. указывает на роль
этого понятия в вопросах существования решений
систем уравнений: тогда и только тогда dim Х>/г, тг=
=1,2,..., когда в X существует такая система
дизъюнктных пар замкнутых множеств А^ Bh i=l,. . ., тг, что
для любых непрерывных на X функций /г·,
удовлетворяющих условию /г-|л->0»/ιΙβ·<0» i=lT···» и,
найдется точка х£Х, в к-рой /{·(α·)=0, i=l,. . ., η
(теорема Отто — Эйленберга—Хеммингсе-
на о перегородках).
Одно из важнейших свойств Р. выражает теорема
суммы Менгера — Урысона — Чеха:
если пространство X есть конечная или счетная сумма
своих замкнутых подмножеств размерности <?г, то и
dim Х<тг, ?г=0,1,. . .В этой теореме можно условие
конечности или счетности суммы заменить условием
ее локальной конечности. Аналогичное теореме суммы
утверждение для большой и малой индуктивных Р.
не выполняется уже в классе бикомпактов. Следующие
утверждения принадлежат к числу основных общих
фактов теории Р. и позволяют сводить рассмотрение
любых пространств к рассмотрению бикомпактов. Для
любого нормального пространства
а) dimpX = dimX, Ind βΧ-IndX, где βΧ
—максимальное бикомпактное расширение Стоуна — Чеха
пространства X; в то же время неравенство ind βΧ>
>ind X = Ind X возможно;
б) существует бикомпактное расширение ЪХ
пространства X, вес к-рого w(bX) равен весу wX, и
размерность dim ЬХ равна размерности dim X;
аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р.
Особенно интересен случай счетного веса пространства,
т. к. в этом случае расширение ЪХ метризуемо.
Утверждение б) может быть усилено следующим
предложением: для любого 7г=0,1,. . . и любой
бесконечной мощности существует бикомпакт ТТ веса τ и
размерности dim TJ =/г, содержащий гомеоморфный
образ любого нормального пространства X веса <τ
и размерности dim Х</г (теорема об универсальном
бикомпакте данного веса и размерности). Аналошчное
утверждение верно и для большой индуктивной Р. При
этом в качестве II можно взять канторово
совершенно ^
ное множество, а в качестве ТТ — менгеровскую
универсальную кривую.
Казалось бы, что Р. должна обладать свойством
монотонности: dim A <dim X, если АаХ. Это так, если
а) множество А замкнуто в X или сильно паракомпакт-
но, или б) пространство X метризуемо (и даже
совершенно нормально). Однако уже для подмножества А
наследственно нормального пространства X может быть
dim A >dim X и Ind A >Ind X. Но всегда ind A <
s^ind X при АаХ.
Одним из важнейших вопросов теории Р. является
поведение Р. при непрерывных отображениях. В
случае замкнутых отображений (к ним принадлежат и все
непрерывные отображения бикомпактов) ответ дается
формулами В. Гуревича (W. Hurewicz), полученными
им первоначально в классе пространств со счетной
базой.
Формула Гуревича для
повышающих размерность отображений: если
отображение / : Х->У непрерывно и замкнуто, то
кратность / + dimX — l^dimy,
где кратность f=sup{\f~1y\:y^Y}.
Формула Гуревича для
понижающих размерность отображений: для
непрерывного замкнутого отображения /:Х->У на па-
ракомпакт У выполняется неравенство
dim X —dim / < dim У, (1)
где
dim / = sup {dim f~1y.y ζ У}.
Для произвольного нормального пространства У эта
формула, вообще говоря, неверна.
В случае непрерывных отображений конечномерных
компактов установлено, что непрерывное отображение
/ размерности dim f=k является суперпозицией к
непрерывных отображений размерности 1 (это —
уточнение формулы (1) и аналог того факта, что /с-мерный
куб есть произведение к отрезков).
В случае открытых отображений можно показать,
что образ нульмерного бикомпакта нульмерен и в то
же время гильбертов кирпич есть образ одномерного
компакта, даже если соответствующее отображение /
имеет размерность dim /, равную нулю. Однако в
случае открытого отображения / : Х->У бикомпактов X
и У кратности <:#0 выполняется равенство dim Х =
=dim У.
Поведение Р. при взятии топологич. произведения
описывают следующие утверждения:
а) существуют такие конечномерные компакты X и
У, что dim XX y<dimX + dim У;
б) если один из сомножителей произведения X X У
бикомпактен или метризуем, то dim Xxy<;dimX+
+dim У;
в) существуют такие нормальные пространства X и
У, что dim Xxy>dimX+dimy.
В случае бикомпактных X и У всегда Ind ХХУ<оо,
если Ind X<oo и Indy<oo, но может быть IndXxy>
IndX-flndy. Если же бикомпакты X и У совершенно
нормальны или одномерны, то Ind Xxy<IndX+
4-Indy.
Наиболее содержательна теория Р. прежде всего в
классе метрич. пространств со счетной базой и затем

829 PA3MJ
в классе любых метрич. пространств. В классе мет-
рич. пространств со счетной базой выполняются ρ а-
венства Урысона
dim X = ind Χ = Ind X. (2)
В классе любых метрич. пространств выполняется ρ а-
венство Катетова
dim X = Ind Χ (3)
и может быть ind X=0<IndX=l.
В случае метрич. пространств понятие л-мерного
пространства следующими двумя способами может быть
сведено к понятию нульмерного пространства. Для
метрич. пространства X тогда и только тогда dim X<rc,
п=0,1,. . ., когда
а) пространство X может быть представлено в виде
не более чем п-\-\ нульмерных слагаемых;
б) существует непрерывное замкнутое отображение
кратности <л+1 нульмерного метрич. пространства
на пространство X.
Для любого подмножества А метрич. пространства
X найдется такое подмножество B~Z)A типа G^ в X,
что dim Z?=dim A.
В классе метрич. пространств веса <τ и размерности
<л существует универсальное (в смысле вложений)
пространство. Важную роль в построении теории Р.
любых метрических (и более общих) пространств
сыграла теорема Даукера: тогда и только тогда
dim Х<я, когда в любое локально конечное открытое
покрытие пространства X можно вписать открытое
покрытие кратности <п+1.
Одним из наиболее важных вопросов теории Р.
является вопрос о соотношениях между лебеговой и
индуктивными Р. Хотя для произвольного пространства
X значения размерностей dim X, ind X, Ind X,
вообще говоря, попарно различны, однако для нек-рых
классов пространств, в том или ином смысле близких
к метрическим, выполнено, напр., следующее:
а) если пространство X обладает непрерывным
замкнутым отображением / размерности dim /=0 на
метрич. пространство, то выполняется равенство (3),
отсюда следуют равенства (2) для локально
бикомпактных групп и их факторпространств;
б) если существует непрерывное замкнутое
отображение метрич. пространства на пространство X, то
выполняются равенства (2).
Еще одно общее условие для выполнения равенства
(3) для паракомпакта X выглядит так: dim X—n и
пространство X является образом нульмерного
пространства при замкнутом отображении кратности <гс+
+ 1, л=0,1,. . .
В случае произвольного пространства X всегда
выполняются неравенства dim X<IndX и indX<IndX,
а равенства dim X=0 и IndX=0 равносильны. Для
сильно паракомпактного (в частности, бикомпактного
или финально компактного) пространства X
выполняется неравенство dim X<indX. Для бикомпактов
равенства ind X=l и IndX—1 равносильны.
Существуют бикомпакты, удовлетворяющие первой аксиоме
счетности (и даже совершенно нормальные в
предположении континуум-гипотезы), для которых dim X=l,
ind X=n, я=2,3,. . . Построен пример топологич.
однородного бикомпакта с dim X<ind X. Для
совершенно нормальных бикомпактов всегда ind X=Ind X.
Существуют бикомпакты даже с первой аксиомой
счетности, для к-рых ind X<IndX. Существует ли такое
т, что для каждого п>т найдется бикомпакт (метрич.
пространство) X с ind Х=т, Ind X= п,— неизвестно
(1983).
В случае неметризуемых пространств Р. может не
только не быть монотонной, но и обладает другими
патологич. свойствами. Для любого η=2,3,. . . построен
ценив 830
пример такого бикомпакта θ„, что любое замкнутое
подмножество его имеет Р. или 0 или n=dim θ„.
Аналогичный пример в случае индуктивных Р.
невозможен. Построен также для любого п=1,2,. . .пример
такого бикомпакта Ф„, что любое разбивающее этот
бикомпакт замкнутое множество имеет размерность п—
=dim Ф„. Таким образом, подход к определению Р. в
случае неметризуемого пространства в принципе
отличен от индуктивного подхода А. Пуанкаре, основанного
на разбиении пространства подпространствами
меньшего числа измерений. Бикомпакты Фп имеют
непосредственное отношение к следующему утверждению:
в любом я-мерном бикомпакте содержится и-мерное
канторово многообразие.
Подмножество д-мерного евклидова пространства Еп
тогда и только тогда д-мерно, когда оно содержит
внутренние относительно Еп точки. Компакт имеет
размерность <Ai тогда и только тогда, когда он обладает
отображением Р. нуль в Еп, и, таким образом, с
точностью до нульмерных отображений тг-мерные
компакты не отличимы от ограниченных замкнутых,
содержащих внутренние (относительно Еп) точки
подмножеств Еп.
См. также Размерности теория.
Лит.: [1] Александров П. С, Пасынков Б. Α.,
Введение в теорию размерности, М., 1973; [2] Г у ρ е в и ч В.,
В о л м э н Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; [3]
У ρ ы с о н П. С, Труды по топологии и другим областям
математики, т. 1—2, М.— Л., 1951. Б. А. Пасынков.
РАЗМЕЩЕНИЕ с повторениями из т
элементов по л — конечная последовательность а —
=(αΙ·1, at·,. · .,fl| ) элементов нек-рого множества А =
={а1, α2,. . .,Ят}· Если все члены а различны, то а наз.
Р. без повторений. Число всех возможных Р.
с повторениями из т по η равно тп, а без повторений —
(m)n--m(m—i). . .(т—п—1).
Р. можно рассматривать как функцию φ, заданную
на Zn={i, 2, . . ., гс} и принимающую значения из А:
φ (/c=)af·. ,/c=l,2,. . ., п. Элементы А принято называть
ячейками (или урнами), а элементы Zn — ч а-
с т и ц а м и (или шарами); φ определяет
заполнение различных ячеек различными частицами. Если
речь идет о неразличимых частицах или ячейках, то
подразумевается, что рассматриваются классы Р.
Так, если все частицы одинаковы, то два Р.,
определяемые соответственно функциями φ и ψ, относятся к
одному классу, если найдется подстановка σ
множества Ζη такая, что φ (σ (/с)) = гр (/с) для всех k£Zn.
В этом случае число таких классов, или, как говорят,
число размещений η одинаковых частиц по т
различным ячейкам, есть число сочетаний с повторениями
лз η по т.
Если говорят, что все ячейки одинаковы, то имеют
в виду, что Р. разбиваются на классы так, что два Р.,
определяемые функциями φ и ψ соответственно,
относятся к одному классу, если существует подстановка
τ множества А, при к-рой т (φ (7c))=op (/с) для всех
k£Zn. В этом случае число размещений η различных
частиц по т одинаковым ячейкам, т. е. число классов,
равно У] _ S (п, /с), где S (я, к) — числа Стир-
линга II рода:
S (n, k) = S (η — ί, к — l) + kS (η — 1, к), S (0,0) = 1,
S (тг, k) = Q при к>п и fc = 0, η > 0.
Если не различать как частицы, так и ячейки, то
получают размещение η одинаковых частиц по т
одинаковым ячейкам; число таких Р. равно Zj лРп(к),
где рп (к) — число разбиений η на к натуральных
слагаемых.

831
РАЗНОСТНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ СХЕМА
832
Рассматриваются и другие разбиения Р. на классы,
напр. когда вышеупомянутые подстановки σ и τ
берутся из подгрупп симметрия, групп соответственно
степеней пит (см. об этом и других обобщениях в [1],
[2]). Синонимами «Р.» являются термины «л-переста-
новка», «упорядоченная л-выборка из генеральной
совокупности».
Лит.: [1] С а ч к о в В. Н., Комбинаторные методы
дискретной математики, М., 1977; [2] Риордан Дж., Введение в
комбинаторный анализ, пер. с англ., М., 1963. В. М. Михеев.
РАЗНОСТНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ СХЕМА —
разностная схема, построенная на основе вариационной
задачи, соответствующей краевой задаче для
дифференциального уравнения. Основная идея построения Р.
в. с. состоит в том, чтобы при специальном выборе
координатных функций в Ритца методе получить
систему линейных алгебраич. уравнений, совпадающую по
структуре с системой разностных уравнений; обычно
неизвестными параметрами являются приближенные
значения в узлах сетки точного решения и, возможно,
нек-рых его производных. В качестве таких
координатных функций можно использовать кусочно
линейные, полилинейные и др. функции.
Разностные схемы можно получать также, выбирая
специальным образом координатные функции в Галер-
кина методе. Метод получения разностных схем с
помощью метода Галеркина наз. вариационно-
разностным методом (или проекцион-
но-разностным методом). Вариационно-
разностный метод иногда наз. методом
конечных элементов, хотя последнее название
употребляется в более общем смысле.
Пусть поставлена краевая задача:
-(р(х)и' (x))'=f(x), 0<з<1, (1)
и(0)=м(1)=0, (2)
где ](х) — непрерывная функция, ρ (χ) — непрерывно
дифференцируема и ρ (х)^р0>0.
Умножение (1) на произвольную функцию φ (я),
удовлетворяющую условиям (2), и интегрирование по х:
— \ (ри')' ($ dx=\ fydx
приводит к тождеству
L (и, φ) ξ \ ри' φ' dx = \ /φ dx, (3)
к-рому удовлетворяет решение задачи (1), (2).
Справедливо и обратное утверждение: функция и(х),
удовлетворяющая граничным условиям (2) и тождеству (3)
при произвольных функциях φ (я), φ(0) = φ(1) = 0,
является решением задачи (1), (2). Тождество (3)
используется для построения приближенного решения методом
Галеркина. Промежуток [0,1] разбивается на N
частей точками Xi=ih, i— 1,. . ., TV—1, h=N~1.
Множество {xi} наз. сеткой, точки χ; — узлами сетки,
h — га а г о м сетки. В качестве координатных
функций в методе Галеркина берутся функции
φΙ·(«)=ψ(Λ 1*—0, ΐ = 1, 2, ..., TV —1,
где
*(') = {
— \t\ при |ί|<1,
0 при 111 > 1.
Функции φι(χ)==0 вне промежутка [я,_1, Χ{+ι\. Это
свойство координатных функций принято называть
свойством локальности. Пусть
приближенное решение задачи ищется в виде
ΛΝ-ι
"=Σ4=1 ww»
(4)
где ν ι — искомые параметры, к-рые являются
значениями приближенного решения в узлах сетки:
Vi = v(xi), i = l, ..., N — 1.
Пусть К — множество функций вида (4). Функции
из К линейны на промежутках [я/, ;г/+1], непрерывны
на [0,1] и равны нулю при х=0 и х=1. Система метода
Галеркина получается при подстановке в (3) функции
υ(χ) вместо и(х) и функций ψί(χ) вместо φ (я):
L (ν, φ,) = Σ/// ν/ ΫοΡ № Φ'* ^ Φ' ^ dx==
= ] 0 / W Φ/ (*) dx
При этом
φ;, (χ) = J
i = l,
Ν — ί.
(5)
1/h при £,·_! < χ < χι,
i/h при Xi < χ < xi+i
Мф/, Ф/) = 5о Wffidx^O
лишь для f=i—1, ί, i+1, т. е. в каждом уравнении
имеется не более трех неизвестных.
Система (5) может быть записана в виде
Α-ί[-αί-·/,Ι,ί-ι + (αί-ν.+αί + ν.)Ι,'-αί + ν.Ι,'· + 1] = /ί'
где
а1-Чш=Н'1\Хх[ P(x)dx>
fi = h~1 Γ*ί+1/ (x)<pi (x)dx, v0 = vN=0.
Jxi-i
Эта система по структуре сходна с обычной
разностной. Системы уравнений, полученные таким способом,
и наз. разностными вариационными
схемами. В отличие от обычных разностных схем
коэффициенты αί—1/ и /,· являются не значениями
функций ρ и / в фиксированных точках, а их усреднениями.
Это обстоятельство позволяет использовать Р. в. с.
для уравнений с «плохими» (напр., разрывными)
коэффициентами.
Пусть Lh={L{$j, φ,·)} — матрица системы (5). Так
как £(φ/, φΙ·)=^(φί·, φ/), то матрица Lh симметрична.
Имеет место равенство
{Lhwh, wh) = ^p(w')2dx,
где и^={шг}1=1 — произвольный вектор из евклидова
пространства Е^-\ размерности TV—1, (.,.) —
скалярное произведение в Ем-ι,
ΣΝ-ι
•=1 w/<Pi(*).
Из неравенства
maxi^2 (x)=max f\Xu'{t)dt) < С1 (и')2 dx,
справедливого для произвольной непрерывной и
дифференцируемой функции, удовлетворяющей условию
и (0)=(0), следует оценка
\ ρ (χ) (w' (x))2 dx^p0max (w (x))2^
из к-рой выводится неравенство
{Lhwh, wh)^p0h(wh, wh). (6)
Матрица Lh положительно определена; система (5)
однозначно разрешима.

833
РАЗНОСТНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ СХЕМА
834
При малых значениях h система (5) состоит из
большого числа уравнений. Точность решения системы ал-
гебраич. уравнений и объем необходимой для этого
работы в большой степени зависят от величины т. н.
числа обусловленности Ρ — imax/Xm{n
матрицы системы, где Хтах и λη
наибольшее и
наименьшее собственные значения матрицы Lh. Из
неравенства (6) следует, что λΓηίη>ρ0/^. Справедлива
также оценка
^тах ^ 4 А -х max ρ (χ).
χ
Число обусловленности P=0(h~2), что совпадает по
порядку h с известными оценками для матриц обычных
разностных схем.
Сходимость приближенного решения к точному
доказывается по обычной для метода Галеркина схеме.
Из (3) и (5) для произвольной функции φ из К следует,
что
L(u-v, φ) = 0, (7)
откуда
L (и—у, и—v)=L(u—у, и—w), (8)
где w — произвольная функция из К. Правая часть
(8) оценивается с помощью неравенства
[Ζ,(φ, ψ)]2<Ζ,(φ, φ)Μψ, ψ).
Таким образом,
L (и—у, и — υ) — V ρ (χ) (и' — vf)2 dx<
< inf
Обозначение
inf \ ρ (χ) (u'—w')2 dx.
\u\=(^\pu'2dx)112
(число I u I наз. энергетической нормой
функции и) позволяет переписать последнее
неравенство в виде
| и—υ |<: inf | и—w\.
Оценка погрешности Р. в. с. сводится к оценке
наилучшего приближения точного решения функциями класса
К. Если в качестве w(x) взять кусочно линейную
функцию
">(x)=]£i=il1u(*i)4>i(*h
совпадающую с функцией и(х) в узлах сетки, то
справедлива оценка:
\и—ν | <: Ch2 max ρ (χ) \ (и")2 dx,
где С — постоянная.
На рассмотренном примере видны нек-рые
характерные черты вариационно-разностного метода:
локальность координатных функций, обеспечивающих
близость Р. в. с. по структуре к разностным схемам, и
применимость техники проекционных методов к
исследованию сходимости Р. в. с.
Основным при построении Р. в. с. является выбор
локальных координатных функций, обладающих
требуемыми аппроксимационными свойствами. Задача
аппроксимации ставится в различных функциональных
пространствах. Для задач математич. физики важны
пространства Соболева WP(Q), т.е. линейные
множества функций с конечной нормой
dx,
Ир
■•Ь'=2,.,<«(51>вв1'л*
где Ω — область в Еп, p^l, I — неотрицательное целое
число, а=
динатами,
■((*!,. . .,а„)- вектор с целочисленными коор-
|а|=а1+а2+. . .+а„,
dlalw
D°
дх*Юх%*.
. dx"
Многие классы локальных координатных функций
строятся по следующей схеме. Пусть заданы функции
φ1 (ξ), φ2 (ξ;,. . ·,φΓ(ξ), принадлежащие Wp(En) и
равные нулю вне л-мерного куба |£y|<i?, /=1,2,. . .,и.
Пусть h=(h1,. . .,hn) — заданный вектор с
положительными координатами, i= (ΐχ,. . ., in) —
произвольный целочисленный вектор,
h-1 (x) = (hY1x1, Ь.ъхх2, ..., h^Xn).
Через / обозначено множество векторов i таких, что
и-мерный параллелепипед Ih^xj—ij\ <i?, /=1,. . .,
и, пересекается с Ω. Для данной области Ω в качестве
координатных функций выбираются функции вида
φ? (χ)=ψμ (h-'Lx— ι), i£/, μ = 1, ..., г,
т. е. функции, полученные из исходных функций
масштабированием аргументов и сдвигом на вектор ί.
Такие координатные функции принято называть
регулярными. Пусть классом К наз. множество
функций вида
Если любой полином Ρι-ι степени I от ξ можно
представить как линейную комбинацию φ1 (ξ),. . ., φΓ(ξ),
то для произвольной функции и(х)£ Wp(Q) можно
указать функцию ινζΚ такую, что справедливо аппрок-
симационное неравенство
\\u-w\\p>k^Ch^k\\u\\pth 0</c<Z, (9)
где h=max hj, С не зависит от h и и.
Р. в. с. для краевых задач для эллиптич. уравнений
строятся на основе эквивалентных задач нахождения
функций, удовлетворяющих интегральным тождествам.
Многие из этих задач состоят в нахождении функции
u^W™ (Q), удовлетворяющей при произвольной
функции φ ς W™(Q) интегральному тождеству
L (и, φ) = V , 0 , С α„»ΏαηΌ\ dQ +
+ У| [ bnTDQuDx<pdS=:[ fwdQ, (10)
где S — граница Ω, ααβ(-ζ), Ьрх(х) и f(x) — заданные
функции. Предполагается, что
0αβ=Λβα, δρτ^&τρ
и L (и, и) ^ у \\u§t m, v = const>0.
Применение к (10) метода Галеркина с координатными
функциями (pf приводит к Р. в. с. для задачи (10).
Пусть решение и(х) задачи (10) принадлежит Η^2(Ω),
1>т, и функции φ^ удовлетворяют условиям, при
к-рых справедливо неравенство (9). Для оценки
погрешности Р. в. с. используют стандартную технику
метода Галеркина:
Υ Ο"— ν ||2,m<£ (и — у, и — у)<
07, и— w)^Ch2^-^)\\u
^ inf L (и
weK
12/'
где ν — приближенное решение.
Задачи вида (10), для к-рых в качестве функции φ
может быть взята произвольная функция из \Υ™(Ω),
наз. задачами с естественными крае-
&27 Математическая энц., т. 4

835
РАЗНОСТНАЯ СХЕМА
836
выми условиями. Существует другой класс
краевых задач, в к-рых на границе 6 ставятся краевые
условия вида
(2|a|<mbaZ)aw)ls=0» 0</<v, V<m-1. (11)
В этом случае краевым условиям (И) в тождестве (10)
должны удовлетворять и функции φ ζ Η^Ω). Для
приближенного решения таких задач методом Галеркина
необходимо, чтобы координатные функции
удовлетворяли условиям (11). Введенные выше координатные
функции ф^(^), в силу самого способа их
построения, вообще говоря, не пригодны для представления
приближенного решения, удовлетворяющего условиям
(11).
Один из приемов построения Р. в. с. для задач с
краевыми условиями вида (И) связан с использованием
метода штрафа. Пусть, напр., требуется
решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Эта
задача эквивалентна определению функции и(х), и\§=
=0, удовлетворяющей при произвольной функции φ (χ),
φ|$=0, интегральному тождеству
Ц£8+£8) ·»=$■.*«·
В методе штрафа вводится в рассмотрение функция ν,
удовлетворяющая при произвольных функциях φ
интегральному тождес!ву
= JQ/q>dQ, ε>0.
Функция ν является решением задачи с естественным
краевым условием. Доказывается, что при малых
значениях ε решения и и ν близки. Для приближенного
решения последней задачи можно применить Р. в. с.
с использованием регулярных координатных функций.
Общий способ построения координатных функций
таков.
Пусть для произвольного положительного числа h
в Ω задано множество точек zt-, i=l, 2,. . ., TV, наз.
узлами сетки, такое, что каждая точка области отстоит
от какого-либо узла не более чем на h. Пусть для
каждого узла ζι определен набор функций φί, φ|,. . .,
(fv(i) из ^^(Ω), удовлетворяющих заданным
граничным условиям (11), причем v(i)^M, где Μ не
зависит от i и h. Пусть при каждом i и всех / интеграл
отличен от нуля лишь для числа индексов /с,
ограниченного числом, не зависящим от i и h (условие
локальности координатных функций). Пусть К — класс
функций вида
где λ/ — числовые параметры.
Если решение и(х) краевой задачи может быть
приближено функциями класса К с точностью,
характеризуемой неравенством
inf \\и-и>\\2,т<СЪ1-т\\и\г%1, т<1,
we к
то для решения, полученного при помощи Р. в. с,
справедлива оценка погрешности
Нерегулярные сетки применяются иногда для более
полного учета свойств задачи. Напр., для более
точного воспроизведения функции в окрестности угловой
точки границы можно расположить узлы на радиально-
кольцевой сетке.
Для численной реализации матрица Р. в. с. должна
обладать не слишком плохой обусловленностью. Для
задач вида (10) оптимальной считается обусловленность,
выражаемая соотношением Р=0 (N2mln), где Ρ — число
обусловленности матрицы Р. в. с, N — число узлов
сетки, η — размерность пространства, содержащего
область Ω. Для многих конкретных задач такая
обусловленность действительно имеет место.
Использование Р. в. с. сочетает достоинства метода
сеток и проекционных методов. Структура Р. в. с.
позволяет использовать экономичные методы решения
разностных схем. Легко устанавливается разрешимость
Р. в. с: матрица Р. в. с. положительно определена, если
положительно определен дифференциальный оператор.
Вопрос о сходимости сводится к вопросу об
аппроксимации точного решения координатными функциями Р.
в. с, и, следовательно, скорость сходимости
определяется дифференциальными свойствами точного
решения. Р. в. с. можно применять при весьма слабых
ограничениях на данные задачи.
Исследования по Р. в. с. проводятся в следующих
основных направлениях:
1) создание координатных функций,
удовлетворяющих краевым условиям, исследование их аппроксима-
ционных свойств;
2) получение оценок точности в различных нормах;
3) построение Р. в. с. для задач, имеющих те или
иные особенности (линии разрыва коэффициентов,
угловые точки границы и т. д.);
4) разработка методов решения Р. в. с. и способы
оптимизации методов решения;
5) решение нелинейных уравнений;
6) применение Р. в. с. для нестационарных
уравнений.
Лит.: [1] О г а н е с я н Л. Α., Ρ и в к и н д В. Я., Ρ у χ о-
в е ц Л. Α., Вариационно-разностные методы решения
эллиптических уравнений, ч. 1—2, Вильнюс, 1973—74; [2] Strang 6.,
Fix G., An analysis of the finite element method, Englewood
Cliffs, 1973; [3] A u b i η J.-P., Approximation of elliptic
boundary — value problems, N. Y., 1972; [4] Варга Р.,
Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном
анализе, пер. с англ., М., 1974; [5] Μ и χ л и н С. Г., «Зап. научн.
семинаров ЛОМИ», 1974, т. 48, с. 32—188; [б] Μ а р ч у к Г.И.,
Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; [7]
Дьяконов Е. Г., Разностные методы решения краевых задач,
М., 1971. Л. А. Оганесян.
РАЗНОСТНАЯ СХЕМА — система разностных
уравнений, аппроксимирующих дифференциальное
уравнение и дополнительные (начальные, граничные и др.)
условия. Аппроксимация исходной дифференциальной
задачи Р. с— это один из способов приближенной
дискретизации исходной задачи. Он заключается в том,
что заданную область изменения независимых
переменных G заменяют дискретным множеством точек Gh —
сеткой, а производные, входящие в
дифференциальное уравнение, заменяют на сетке Gh разностными
отношениями. В результате такой замены возникает
замкнутая система большого числа алгебраич. уравнений
(линейных или нелинейных в зависимости от исходной
дифференциальной задачи), к-рая и представляет собой
Р. с. По существу Р. с.— это семейство разностных
уравнений, зависящих от шагов сетки. Решение Р. с.
также зависит параметрически от шагов сетки. Р. с.—
многопараметрический и сложный объект. Помимо
коэффициентов исходного дифференциального уравнения
она содержит свои собственные параметры такие, как
шаги по времени и пространству, весовые множители
и др. Влияние этих параметров может существенно
исказить представление о поведении исходной
дифференциальной задачи.
В связи с разностной аппроксимацией
дифференциальных задач изучаются следующие вопросы: о спо-

837
собах построения Р. с, о сходимости при измельчении
сетки решения разностной задачи к решению исходной
дифференциальной задачи, о методах решения систем
разностных уравнений. Все перечисленные вопросы
рассматривает разностных схем теория. Разработаны
эффективные численные методы решения типичных Р. с.
для обыкновенных дифференциальных уравнений
и уравнений с частными производными,
предполагающие использование быстродействующих ЭВМ.
Ниже приводится простой пример Р. с. Пусть
имеется дифференциальная задача
и" {x) — q (x) u(x)=—f (.τ), q (χ) ^ 0, 0 < x <
ur (0) = aw(0) — μι, ι*(1) = μ2, σ > 0.
Область £?{0<;ζ<1} заменяется сеткой
Gh = {xi = ih, i = 0, 1, ..., Ν, hN = i}.
Р. с. для задачи (1) имеет вид
*/ί + ι-2Μ-ι/ι-ι
РАЗНОСТНОЕ
838
'·}
(1)
у1 + 1
h2
У\-Уь_
h
-Qiyi = — fi, ί = 1, 2,
Ν — 1,
(a+0,bhq0) уQ — (μι + 0,5Λ/0),у Ν = μ2,
(2)
где yi=y (х{), qi=q(xi), Xi^Gh. Можно показать, что
при h-+0 решение разностной задачи (2) сходится к
решению исходной задачи (1) и при достаточной
гладкости функции q(x), f(x).
Р. с. (2) имеет второй порядок точности, т. е.
max \ yi — u (χι) | ^ Μh2,
о < t < л/
где Μ — постоянная, не зависящая от h. Решение Р. с.
(2) находится методом прогонки.
Лит.: [1] Самарский Α. Α., Теория разностных схем,
М., 1977; [2] С а м а ρ с к и й Α. Α., Η и к о л а е в Ε. С,
Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.
А. В. Гулин, А. А. Самарский.
РАЗНОСТНОЕ МНОЖЕСТВО, совершенное
разностное множество,— множество D,
состоящее из к вычетов dx, d2,. . ., d^ по модулю нек-
рого натурального числа υ, причем для каждого αζΖ),
аф& (mod v), существует точно λ упорядоченных пар
(d{, dj) элементов из D таких, что
а= d( — dj (mod v);
числа ν, к, λ наз. параметрами Р. м. Напр.,
множество D={1, 3, 4, 5, 9} вычетов по модулю 11 есть
Р. м. с λ=2.
Р. м. тесно связаны с блок-схемами, а именно:
существование Р. м. равносильно существованию
симметричной блок-схемы с параметрами (ν, к, λ),
обладающей циклич. группой автоморфизмов порядка ν (блоки
такой схемы суть множества {o^+i,.. .,d^-j-i}, £=0,1,. . .,
ν—l). Идея Р. м. обобщается следующим образом:
множество D, состоящее из к различных элементов dx,. . .,
dk группы G порядка ν, наз. (ν, к, λ)-ρ а з н о с т-
ным множеством в G, если для любого
a£G, αφί, существует в точности λ упорядоченных
пар (di, dj), di, dj£G, таких, что didj1=a (или, что то
же, λ пар (d^ dj) с djldj=a). Тогда определенное выше
Р. м. наз. циклическим Р. м. (т. к. группа
классов вычетов по mod v есть циклич. группа).
Существование (ν, к, Я)-разностных множеств в группе G
порядка ν равносильно существованию симметричной
блок-схемы с параметрами ν, к, λ, допускающей G в
качестве регулярной (т. е. без неподвижных элементов)
группы автоморфизмов (эта схема получается
отождествлением элементов блок-схемы с элементами группы
и блоков — с множествами {d^,. . .,d^}, где g
пробегает G).
Основным в теории Р. м. является вопрос о
существовании и построении Р. м. с заданными параметрами.
При его изучении оказывается полезным понятие
множителя Р. м.: автоморфизм группы G наз
множителем (ν, к, Я)-разностного множества D в G, если
он является также автоморфизмом блок-схемы,
определяемой Р. м. D. Для циклического Р. м множитель —
это число t, взаимно простое с у и с тем свойством, что
{tdx, ..., tdk} = {d1 + i, ..., dk + i}
для нек-рого i, 0<i<y —1. Множители
циклического Р. м. образуют группу. Справедливо утверждение:
если D — циклическое (ν, к, Я)-разностное множество
и если ρ — простое число, делящее к—λ и такое, что
(р, у)=1 и ρ>λ, то ρ — множитель Л (теорема о
множителе Р. м.). При построении Р. м.
полезен следующий результат: для любого множителя (ν,
к, Я)-разностного множества D в абелевой группе G
порядка ν в блок-схеме, определяемой D, существует
блок, фиксируемый этим множителем; при (v, k)=i
существует блок, фиксируемый любым множителем.
Р. м. обычно строятся прямыми методами с
использованием свойств конечных полей, полей деления круга
(см. Круговое поле), а также конечных геометрий.
Известно несколько бесконечных семейств Р. м., напр.
следующие типы S и Q.
Тип S (разностные множества
Зингера): это — гиперплоскости в и-мерной проективной
геометрии над полем из q элементов; параметры:
v = (q« + 1-l)/(q-l),
Λ = (ς?"-1)/(ς?-1), ^=(qn-1 — i)/(q — l);
тип Q: квадратичные вычеты в поле GF (рг) при
prs=3(mod 4) (ρ — простое число); параметры:
v = pr = 4t — l, Λ = 2ί —1, λ = ί — 1.
Другие бесконечные семейства Р. м. см. в [1]—[3].
Наряду с Р. м. часто рассматриваются
обобщенные Р. м., или разностные семейств а,—
это множества Dx,. . ., Dr, состоящие из вычетов по
mod v и такие, что для любого а^О (mod v)
существует точно λ упорядоченных пар (di, dj), di, dj£Dk,
с a = di — dj (mod v)
для нек-рого к, 1</с<:г.
Имеются также другие обобщения Р. м.
Лит.: [1] X о л л М., Комбинаторика, пер. с англ.. М., 1970;
[2] В а u m е г t L. D., Cyclic difference sets, В.— Hdlb.—N.Y.,
1971; [3] Hall Μ., «Math. Centre Tracts», 1974, v. 57, p. 1—26.
В. E. Тараканов.
РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение,
содержащее конечные разности искомой функции. Пусть у (п)=
—Уп — функция целочисленного аргумента п=0,±1,
±2,...;
&Уп=Уп+1 — Уп,
Ь1Уп = &Уп,
т = 1, 2, ...,
— конечные разности. Выражение Атуп содержит
значения функции у в (т-\-1)-и точке п, n-\-i,
Справедлива формула
ΔmУn = ΣLo{-ί)m~'lCk"lУn+k'
уравнением наз.
Разностным
вида
F (п; Уп, &уп,
п-\гт.
(1)
уравнение
(2)
где у — искомая и F — заданная функции. Замена
в (2) конечных разностей их выражениями через
значения искомой функции согласно (1) приводит к
уравнению вида
F (п; уп, уп+1, .·., уп+т) = 0. (3)
27*

839
РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ
840
Если |£#0,
dF
■фО, т. е. уравнение (3) дейст-
дУп + т
вительно содержит как уп, так и уп+т, то уравне-
вие (3) наз. разностным уравнением
m-το порядка, или дифференциально-
разностным уравнением.
Наиболее развита теория линейных Р. у., к-рая
имеет много общего с теорией обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений (см. [1] — [3]).
Линейным Р. у. иг-го порядка наз. уравнение
*« (п) Уп + m + am-l (п) Уп + m -1 + · · · + а0 W Уп=1п, (4)
где fn=f(n) — заданная функция, а&(и), к— 0, 1, . . .,
т, — заданные коэффициенты, причем ат(п)ф0,
а0(п)ф0. Решением Р. у. (4) наз. всякая функция уп—
=У (η)ι удовлетворяющая уравнению (4). Как и в случае
дифференциальных уравнений, различают частное и
общее решения Р. у. (4).Общим решениемР.у.
(4) наз. его решение, зависящее от т произвольных
параметров и такое, что каждое частное решение
может быть получено из этого общего решения при
нек-ром значении параметров. Обычно конкретные
значения параметров находятся из дополнительных
условий. Типичной является задача Коши: по
заданным j/0, уг, . . ., ym-i, fn найти решение уп уравнения
(4) при п=т, т+1, . . . Существование и способ
построения решения Р. у. (4) устанавливаются по
следующей схеме. Наряду с (4) рассматривается
однородное Р. у.
«« (п) Уп + т + ат-1 (л) Уи + т-1+...+αο (л) Уп = 0· (5)
Справедливы следующие утверждения.
1) Пусть уф, уп2\
.<*>
Уп' — решения уравнения
(5) и clt с2, . . ., Ck — произвольный набор постоянных.
Тогда функция с1уп1) + с2уп2)+. . . + ckynk) также
является решением уравнения (5).
2) Если упг\ · · ., уУР сУть т решений уравнения
(5) и определитель
У?
Уо
(2)
Уг}
У^
. у[т)
i^-lifS?-!-.
i/(m),
Упг-l
отличен от нуля, то общее решение однородного Р. у.
(5) имеет вид
Уп
Σπι
Λ=1
cky{nk\
(6)
где ck — произвольные постоянные.
3) Общее решение неоднородного Р. у. (4)
представляется в виде суммы какого-либо частного его решения
и общего решения однородного Р. у. (5).
Частное решение неоднородного уравнения (5) можно
построить, исходи из общего решения (6) однородного
уравнения, путем применения метода вариации
произвольных постоянных (см., напр., [2]). В случае
Р. у. с постоянными коэффициентами
атУт + п + ат-1Ут + п-1+.·' +а0уп = 0 (7)
можно непосредственно найти т линейно независимых
частных решений. Для этого рассматривается харак-
теристич. уравнение
^m9m + am-iqm'1 + .
и ищутся era корни qx, q2,
простые, то функции
Уп -
-п{п)
//(2) -
Уп -
An)
.+«0 = 0 (8)
qm. Если все корни
7У(т) -
Уп -
нения (7). В случае, когда q^ — корень кратности г,
линейно независимыми являются решения
η η 9 η г — л η
Як, Mk, n2qk, ..., пГ 1qk.
Если коэффициенты а0, ах, . . ., ат действительные
и уравнение (8) имеет комплексный корень, напр.
простой корень <7k=p(cos(p+isin φ), то вместо
комплексных решений ς$, qkn выделяют два линейно
независимых действительных решения
p"cosmp, prasinwp.
Пусть имеется Р. у. 2-го порядка с постоянными
действительными коэффициентами
*2Уп + 2 + а1Уп + 1+*0Уп = й- (9)
Характеристич. уравнение
«2(?2 + ai9 + «o = 0
имеет корни
9ι,2 = (—«ι ± V а\— 4a0a2)/(2a2).
Общее решение уравнения (9) в случае g2=^9i Удобно
записывать в виде
Уп = С1—-——+С2
(10)
42—Qi ' * Qi—Qi
где сх и с2 — произвольные постоянные. Если дх и q2 —
комплексно сопряженные корни:
9ι, 2 = Ρ (cos φ i isintp),
то другое представление общего решения имеет вед
Уп =
. п 8ίη(η-1)φ + срЯ-1 Ё™Е . (И)
1Г sin φ ' Δν sin φ ν '
образуют линейно независимую систему решений урав-
В случае кратного корня общее решение может быть
получено предельным переходом из (10) или (11).
Оно имеет вид
Уп = — ci (п — 1) qri+c2Mi~1-
Как и в случае уравнений произвольного порядка,
для Р. у. 2-го порядка можно рассматривать задачу
Коши или различные краевые задачи. Напр., для
задачи Коши
Тп + 2(х)-2хТп + 1(х) + Тп(х) = 0, и = 0, 1,...,)
T0(x) = U Тг(х) = х, / [ ]
где χ — любое действительное число, решением (12)
является многочлен Тп(х) степени η (многочлен
Чебыш.ева 1-го рода), к-рый определяется
формулой
Τп (х) = cos (n arccos χ) =
-0,5 [(χ+ |/"ί2ΖΓΓ)" + (^+ ]/Ί*=Γ)-η].
Краевая задача Р. у. 2-го порядка состоит в
нахождении функции уп, удовлетворяющей при п=1, 2, . . .,
N—1 уравнению
ЬУп = апУп-1—спУп + ЬпУп + 1 = —1п (13)
и двум линейно независимым краевым условиям.
Такими краевыми условиями могут быть, напр., условия
*/ο = *ι*/ι + μι, yN=^2yN-i+^2 (14)
или условия
*/ο = μι, yN=\*>2- (15)
Для Р. у. 2-го порядка справедлив следующий
принцип максимума. Пусть дана задача (13), (15)
и пусть выполнены условия
ап > 0, ьп > 0, с„^а„ + 6„, и = 1, 2, ..., Ν—1.
Тогда если £г/„>0 (Li/w<:0), и=1, 2, . . ., Ν—1, то
?/„^const не может принимать наибольшего положи-

841
РАЗНОСТНЫЙ ОПЕРАТОР
842
тельного (наименьшего отрицательного) значения при
п=1, 2, . . ., N—1. Из принципа максимума следует
однозначная разрешимость краевой задачи (13), (15)
и устойчивость ее решения относительно изменения
граничных условий μχ, μ2 и правых частей /„. Для
решения разностных краевых задач (13), (14)
применяется прогонки метод (см. [2]).
Построить в явном виде решения нелинейных Р. у.
Уп+1 = {п(Уп), п = 0, 1» ··· (16)
удается лишь в отдельных очень частных случаях.
Для уравнений вида (16) изучаются в основном
качественные вопросы поведения решений при η —у со и
развита теория устойчивости, аналогичная теории
устойчивости обыкновенных дифференциальных
уравнений (см. [4], [5]).
При разностной аппроксимации уравнений с
частными производными возникают многомерные Р. у.
(см. [2], [6]). Напр., уравнение Пуассона
д2и . d2u
~dxj^~~dxj
-- — f (Xl, Хъ)
можно аппроксимировать Р. у.
tt/+i, y-2ui,/+ui-i, / , ui,/ + i-2ui, /+ui\/+ί
'Пф
где
hi, h2
i, 7=0, ±1, ±2, ...,
шаги сетки.
Система многомерных Р. у. в совокупности с
дополнительными начальными и граничными условиями
образует разностную схему. В связи с многомерными
Р. у. изучаются такие вопросы, как корректность
разностных задач, методы их решения, сходимость при
измельчении сетки к решениям исходных
дифференциальных уравнений (см. Разностных схем теория).
Хотя существуют различные математические и тех-
нич. модели, приводящие к Р. у. (см., напр., [4], [5]),
основной областью их применения являются
приближенные методы решения дифференциальных уравнений
(см. [6], [9]).
Лит.: [1] Г е л ь φ о н д А. О., Исчисление конечных
разностей, 3 изд., М., 1967; [2] Самарский Α. Α.,
Николаев Е. С, Методы решения сеточных уравнений, М., 1978;
[3] Самарский Α. Α., Карамзин Ю. Н., Разностные
уравнения, М., 1978; [4] Μ а р τ ы н ю к Д. И., Лекции по
качественной теории разностных уравнений, К., 1972; [5] Хал а-
найА., ВекслерД., Качественная теория импульсных
систем, пер. с рум., М., 1971; [б] Самарский Α. Α., Теория
разностных схем, М., 1977; [7] Березин И. С, Ж и д-
к о в Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; [8 ]Б а х-
валов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [9]
Горбунов А. Д., Разностные уравнения, М., 1972.
А. В. Гулии, А. А. Самарский.
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ — методы приближенного
решения дифференциальных уравнений, основанные
на замене этих уравнений уравнениями относительно
функций дискретного аргумента. См.
Гиперболического типа уравнение, численные методы решения;
Параболического типа уравнение, численные методы
решения; Эллиптического типа уравнение, численные методы
решения; Дифференциальное уравнение обыкновенное,
Приближенные Методы решения. Н. С. Бахвалов.
РАЗНОСТНЫЙ ОПЕРАТОР — оператор,
действующий в пространстве сеточных функций. Р. о. возникают
при аппроксимации дифференциальной задачи
разностной и являются предметом изучения разностных схем
теории. Разностную схему можно рассматривать как
операторное уравнение с операторами, действующими
в нек-ром функциональном пространстве, а именно
в пространстве сеточных функций. Под пространством
сеточных функций понимается множество функций,
определенных в точках заданной сетки и образующих
конечномерное векторное пространство. Пространства
сеточных функций обычно возникают при
аппроксимации того или иного пространства функций
непрерывного аргумента.
Пример 1. Пусть С [0, 1] — пространство
непрерывных функций, заданных на отрезке 0<#<1 с
нормой
|| и ||с = max \и(х) |.
Х€[0, 1]
Вводится сетка
u>h = {xi=ih, ΐ = 0, 1, ..., Ν, hN = i}
и рассматривается множество Сд [0, 1] функций у=
= {у/}о^ yi=y(xi), заданных на сетке ω^. Множество
СН[Ъ, 1] образует (7У+1)-мерное векторное пространство
относительно покоординатного сложения и умножения
на число. Норма в Сд [0, 1]
ЫСы
= max | iji I
согласована с нормой в С [0, 1] в том смысле, что для
любой функции и ζ С [0, 1] определен вектор
*a = W€Ca[0, 1], Щ=и(хй,
и существует
lim|K||c НИс·
h -► 0 η
Любой линейный Р. о. Ah как оператор,
действующий в конечномерном пространстве, может быть
представлен матрицей. Характерными свойствами матриц,
порождаемых разностными операторами, являются их
большой размер и относительно большое число нулевых
элементов.
В общем случае конструкция пространств сеточных
функций и Р. о. может быть весьма сложной.
Наиболее изучены свойства Р. о., действующих в
пространствах с гильбертовой метрикой. В этом случае
наибольший интерес представляют такие свойства
Р. о., как самосопряженность и положительность.
В основе математич. аппарата, позволяющего
исследовать свойства Р. о., лежат разностные аналоги
формул дифференцирования произведения и
интегрирования по частям.
Пример 2. Пусть задано множество
действительных функций на сетке ω^. Вводятся обозначения:
Уг-Vt-i
Ух, ι=-
**·.<=-
У,' + л-У.
i + i yi-\
vi + 1-*Vi+Vi-i ,„ ,,,.γ"-1
/ι*
h ' υχ, i~ 2/ι
(У. ν) = 2ί = ι yivih*
(У, »]=2]ίβ1^/Λ, [У, ν) = Σ^' VPih.
Справедливы следующие формулы:
№)х. i=--yx,ivi+yivx, ь~НУх, ivx, ί·
(У»)х, 1 = Ух, Pi + УРх. i + hVx, Px. /·
Имеет место также формула суммирования по частям
(У> их] = —1Ух* v) + yNvN—y<>vo·
Из последней формулы следует, в частности,
самосопряженность и положительность оператора второй
разностной производной
(Ay)i = —y-
х χ, i '
= 1, 2, .... iV—1
на множестве функций, заданных на сетке сод и
обращающихся в нуль на границе i— 0, i—N.
Многочисленные исследования посвящены изучению
свойств разностных аппроксимаций дифференциальных

843 РАЗНОСТНЫХ
операторов эллиптич. типа (см. [1] — [4]). Для
построения соответствующих Р. о. используются такие
эффективные методы, как метод баланса, конечных
элементов, вариационные и проекционные методы.
Найденные разностные аппроксимации хорошо
моделируют основные свойства исходных операторов, такие,
напр., как эллиптичность, выполнение принципа
максимума и др. Построены также Р. о.,
аппроксимирующие эллиптические дифференциальные операторы
в областях сложной формы при различных типах
краевых условий и в случае нерегулярных сеток
(см. [5]).
Свойства стационарных Р. о. используются для
изучения устойчивости нестационарных разностных
задач и для построения итерационных методов. При
этом теория итерационных методов может быть
изложена как один из разделов общей теории устойчивости
разностных схем (см. [6], [7]).
В связи с построением экономичных разностных
схем для многомерных задач математич. физики
исследованы факторизованные Р. о., то есть
многомерные Р. о., представимые в виде произведения
одномерных Р. о. (см. [1]). Изучались и нелинейные
Р. о. (см. [8]).
Лит.: [1] Самарский Α. Α., Теория разностных схем,
М., 1977; [2] Самарский Α. Α., Андреев В. В.,
Разностные методы для эллиптических уравнений, М., 1976; [3] К о р-
н е е в В. Г., Схемы метода конечных элементов высоких
порядков точности, Л., 1977; [4] О б э н Ж.-П., Приближенное
решение эллиптических краевых задач, пер. с англ., М., 1977; [5J
Самарский Α. Α., Фрязинов И. В., «Успехи матем.
наук», 1976, т. 31, в. 6, с. 167—97; [6] С а м а р с к и й Α. Α.,
Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, М., 1973; [7]
Самарский Α. Α., Николаев Е. С, Методы решения
сеточных уравнений, М., 1978; [8] К а р ч е в с к и й Μ. Μ.,
Ляшко А. Д., «Изв. вузов. Математика», 1972, № И, с.
23—31; 1973, № 3, с. 44—52. А. В. Гулиа, А. А. Самарский.
РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ТЕОРИЯ — раздел
вычислительной математики, изучающий методы
приближенного решения дифференциальных уравнений путем их
замены конечноразностными уравнениями
(разностными схемами).
Р. с. т. изучает способы построения разностных
схем, исследует корректность разностных задач и
сходимость решения разностной задачи к решению
исходной дифференциальной задачи, занимается
обоснованием алгоритмов решения разностных задач. Метод
конечных разностей (называемый также методом
сеток) является универсальным вычислительным
методом, позволяющим эффективно решать сложнейшие
задачи математич. физики, включая нелинейные
задачи. Отличительной чертой современной Р. с. т.
является ориентация на построение и исследование
методов, пригодных для ЭВМ.
Основные понятия. Метод конечных разностей
применяется в теории дифференциальных уравнений как
эффективное средство доказательства теорем
существования. Для целей вычислительной математики
задачи Р. с. т. существенно меняются. Решая приближенно
ту или иную задачу математич. физики, заранее
предполагают, что эта задача поставлена корректно; при
этом основной целью Р. с. т. становится нахождение
и обоснование наилучшего метода решения исходной
дифференциальной задачи, формулировка общих
принципов построения разностных схем с заданными
свойствами для широких классов задач математич. физики.
Ниже излагаются на достаточно общем примере
основные понятия, к-рыми оперирует Р. с. т.— понятия
аппроксимации, устойчивости, сходимости;
демонстрируется один из возможных подходов к построению
Р. с. т.
Пусть в л-мерной области G с границей Г ищется
решение дифференциального уравнения
Lu(z)=f(x), * = (*,, ..., xn)£G, (l)
КЕМ ТЕОРИЯ 844
с дополнительными (граничными, начальными)
условиями
Ιιι(χ) = μ(χ), χζΤ, (2)
где L и I — линейные дифференциальные операторы,
f(x) и μ (χ) — заданные функции. Пусть в нек-ром
классе функций задача (1), (2) поставлена корректно
(т. е. ее решение и(х) существует, единственно и
непрерывно зависит от входных данных /(ж), μ(χ)).
В методе конечных разностей область G=G+T
приближенно заменяют дискретным множеством точек —
сеткой βΛ=£Λ+ΓΛ. Параметр h= (h^ . . ., hn),
шаг сетки, характеризует, плотность сетки, и обычно
при \h\ —>- 0 последовательность сеток G^ стремится
заполнить всю область G. Производные, входящие в
(1), (2), аппроксимируются на сетке Gh
соответствующими разностными отношениями. В результате
получается система линейных алгебраич. уравнений
LhVh (х) = <ΡΛ И, х ζ Gh\ lhyh (χ) = χΛ (χ), χ ζ ΓΛ, (3)
где ун (х) — искомая сеточная функция, φ^(^), %н(х) —
заданные сеточные функции £д, lh — разностные
операторы. Семейство уравнений (3), зависящее от
параметра h, наз. разностной схемой. Хотя
уравнение (3) получено путем аппроксимации исходной
задачи (1), (2), его можно рассматривать как
независимый математич. объект. Из корректности задачи
(1), (2) не следует, вообще говоря, корректность
разностной задачи (3). Поэтому-одной из основных задач
Р. с. т. является исследование корректности задачи
(3). Кроме того, Р. с. т. изучает сходимость при h —>· О
решения у^ (х) разностной задачи к решению и (х)
исходной дифференциальной задачи. Корректность и
сходимость тесно связаны между собой.
Пусть множество сеточных функций, заданных на
Gh, образует векторное пространство #л, а операторы
Lh, lh действуют в этом пространстве; в пространствах
решений у^(х) и правых частей ф/г(ж), %h(h) вводятся
нормы ||.||(1Л), 1Н1(ЯЛ), 1Н1(,Д).
Говорят, что разностная задача (3) поставлена
корректно, если для всех достаточно малых \h\ и при
любых φΛ, Х/г£#л ее решение существует, единственно
и для него выполняется оценка
Ш^мцш^+ш^) (4)
с константой Л/, не зависящей от h. Последнее
свойство, означающее равномерную по h непрерывную
зависимость решения от входных данных, наз.
устойчивостью разностной схемы. Оценки
вида (4) решения разностной задачи через известные
правые части наз. априорными оценками.
Получение априорных оценок составляет основу Р. с. т.
Для оценки погрешности решение задачи (3)
представляется в виде суммы
где uh (χ) — проекция решения и (х) задачи (1), (2)
в пространство ЯЛ, zh (χ) — погрешность
приближенного решения. В силу линейности задачи (3) для
погрешности zh (x) получаются уравнения
LhZh (х) = Ψλ (*), χ €Gh; lhzh (χ) =vh(x), x£Th, (5)
где
Ψλ (*) =ΦΛ (X)—Lhuh (x); vh (x) =%h {x) — lhuh (x),
функции ψβ (χ) и νΛ (χ) наз. погрешностями
аппроксимации разностной схемой (3)
уравнения (1) и дополнительного условия (2) соответствен-

845
РАЗНОСТНЫХ
СХЕМ ТЕОРИЯ
846
но. Говорят, что схема (3) аппроксимирует задачу
(1), (2) с т-м порядком аппроксимации, если
|*1(«Л)=°(1Л1ть 1М1(зл)=°(1>чть ™>о.
Схема (3) имеет т-й порядок точности или сходится
со скоростью 0(\h\m), если
\\yh-»h\\(ih) = 0(\h\rn).
Для сходимости разностной схемы одной только
аппроксимации, вообще говоря, недостаточно: надо
потребовать еще, чтобы разностная задача (3) была
корректна. Именно, справедливо следующее утверждение:
если разностная схема (3) корректна и имеет т-ш
порядок аппроксимации, то она сходится со скоростью
0(|Л|«) (см. [28]).
Возможны и другие подходы к построению Р. с. т.
Так, в теории Лакса (см. [8]) сходимость разностных
схем изучается не в пространствах сеточных функций,
а в пространстве решений исходной дифференциальной
задачи; здесь доказана т. н. теорема эквивалентности:
если исходная задача (1), (2) корректна и схема (3)
аппроксимирует задачу (1), (2), то устойчивость
необходима и достаточна для сходимости. Возможны
и другие постановки вопроса о связи устойчивости и
сходимости (см., напр., [9]). Исследование сходимости
разностных схем проводилось и в пространствах
обобщенных решений (см. [10]).
Требования к разностным схемам. При расчетах на
современных ЭВМ не всегда достаточно требовать от
разностной схемы только сходимости при \h\ ->· 0.
Использование реальных сеток при конечном шаге
сетки предъявляет к схемам ряд дополнительных
требований. Они сводятся к тому, что разностная схема
помимо обычной аппроксимации и устойчивости должна
хорошо моделировать характерные свойства исходного
дифференциального уравнения. Кроме того,
разностная схема должна удовлетворять определенным
условиям простоты реализации вычислительного
алгоритма. Ниже рассматриваются нек-рые из этих
дополнительных требований.
Под однородной разностной схемой
(см. [1], [11]) понимается разностная схема, вид к-рой
не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного
класса, ни от выбора разностной сетки. Во всех узлах
сетки для любой задачи из данного класса разностные
уравнения имеют один и тот же вид. К однородным
разностным схемам относятся, в частности, схемы
сквозного счета для решения уравнений с сильно
меняющимися или разрывными коэффициентами. Схемы
сквозного счета не предусматривают явного выделения
точек разрыва коэффициентов и позволяют вести
вычисления по одним и тем же формулам. Широко
используются схемы сквозного счета при расчетах
разрывных решений уравнений газовой динамики (см.
[1], [5], [12]).
Требование консервативности
разностной схемы означает, что данная
разностная схема имеет на сетке такой же закон сохранения,
что и исходное дифференциальное уравнение. В
частности, если L - самосопряженный оператор и схема (3)
консервативна, то Lh — самосопряженный в Hh
оператор, т. е. консервативная схема сохраняет свойство
самосопряженности.
Регулярным методом получения консервативных
однородных схем является т. н. метод баланса,
или интегро-интерполяционный
метод. Сущность метода баланса состоит в
аппроксимации на разностной сетке интегрального закона
сохранения (уравнения баланса), соответствующего
данному дифференциальному уравнению. Метод
баланса нашел широкое применение при аппроксимации
уравнений с переменными, в том числе и разрывными,
коэффициентами. Другой группой методов построения
разностных схем, сохраняющих свойства
самосопряженности и положительности исходного оператора,
являются методы, основанные на вариационных
принципах (метод Ритца, метод конечных элементов) (см.
Разностная вариационная схема).
При конструировании разностных схем для
уравнений газовой динамики нашел применение принцип
полной консервативности (см. [5]). Для уравнений
гиперболич. типа оказалось полезным исследование
дисперсионных свойств соответствующих разностных
уравнений (см. [13]).
Если известно, что при t ->- оо решение исходной
дифференциальной задачи стремится к нулю, то
естественно требовать того же и от решения
аппроксимирующей разностной задачи. Схемы, обладающие этим
свойством, наз. асимптотически
устойчивыми (см. [4]).
Другой подход к построению разностных схем
лучшего качества состоит в получении схем,
удовлетворяющих тем же априорным оценкам, к-рые характерны
(неулучшаемы) для исходных дифференциальных
уравнений (см. [14]).
Экономичные разностные схемы для многомерных
задач математической физики. При решении систем
разностных уравнений, аппроксимирующих
нестационарные многомерные задачи математич. физики (с
числом пространственных переменных два или более),
возникают специфич. затруднения, связанные с тем,
что число арифметич. операций, необходимых для
отыскания решения на новом временном слое, резко
возрастает при измельчении сетки. В то же время
решение одномерных нестационарных задач
осуществляется методом прогонки, к-рый экономичен в том
смысле, что он требует конечного (не зависящего от
шага сетки К) числа действий на одну точку сетки.
В общем случае разностную схему наз.
экономичной, если отношение числа действий, необходимых
для отыскания решения на новом временном слое к
числу узлов пространственной сетки, не зависит от
числа узлов сетки. Обычные неявные разностные
схемы не являются экономичными. Наиболее
эффективным приемом построения экономичных разностных
схем является метод сведения многомерных задач к
нескольким одномерным задачам (метод переменных
направлений, метод расщепления) (см. [1], [15], [16]).
Новые алгоритмы стимулировали и новый подход
к основным понятиям теории разностных схем:
аппроксимации, устойчивости, сходимости. Напр.,
оказалось плодотворным понятие суммарной
аппроксимации или аппроксимации в слабом смысле (см. [1],
[16]). Сформулирован принцип аддитивности,
позволяющий в общем случае строить экономичные
разностные схемы, обладающие свойством суммарной
аппроксимации (см. [17]). Дальнейшим обобщением
разностных схем переменных направлений явились схемы
с уравнениями на графах и векторные схемы (см. [18]).
Методы исследования корректности и сходимости
разностных схем* Для линейных задач из устойчивости
и аппроксимации следует сходимость. Поэтому
основное внимание в Р. с. т. уделяется получению
априорных оценок, из к-рых следует корректность задач в
той или иной норме. Методы получения априорных
оценок для разностных схем во многом аналогичны
тем же методам в теории дифференциальных
уравнений, напр. можно указать следующие методы:
разделение переменных, преобразование Фурье, принцип
максимума, энергетич. неравенства.
Методы решения сеточных уравнений. Любой
сеточный метод для дифференциальных уравнений приводит
к большим системам линейных алгебраич. уравнений.

847 ΡΑ3ϊ
Напр., в случае многомерных задач число уравнений
достигает порядка ΙΟ4—106. Одномерные разностные
задачи обычно решают методом прогонки (см. [2]),
представляющим собой вариант метода
последовательного исключения неизвестных. Наиболее
распространенными методами решения многомерных сеточных
уравнений являются итерационные методы. В
вычислительной практике широко используются такие
итерационные методы, как метод Ричардсона с чебышев-
ским набором параметров, итерационные методы
переменных направлений, двухступенчатые итерационные
методы, представляющие собой комбинацию методов
переменных направлений (внутренняя итерация) с
каким-либо классич. методом (внешняя итерация).
Часто используются также метод верхней релаксации
и попеременно-треугольный итерационный метод (см.
[2], [6]). Теория итерационных методов может быть
изложена как один из разделов общей теории
устойчивости разностных схем (см. [2]).
Наметилась тенденция к использованию прямых
(неитерационных) методов решения многомерных
разностных задач. К таким методам относятся матричная
прогонка, быстрое дискретное преобразование Фурье
и его обобщения, метод суммарных представлений.
Нелинейные задачи. Развита теория однородных
разностных схем для нелинейных уравнений парабо-
лич. типа (см. [19]). Обобщена на нелинейный случай
теорема Лакса о связи между устойчивостью и
сходимостью (см. [20], [21]). Рассматривались разностные
схемы для нелинейных эллиптич. уравнений (см. [23],
[24]) и для нелинейных параболич. уравнений (см.
[21], [22]). Имеется ряд общих теорем о корректности
разностных схем для нелинейной абстрактной задачи
Копти (см. [25]). Изучалась сходимость разностных
схем для нелинейных эволюционных уравнений (см.
[26], [27])
Лит.: [lJ Самарский Α. Α., Теория разностных схем,
М., 1977; [2] С а м а р с к и й Α. Α., Николаев Е.С.,
Методы решения сеточных уравнений, М., 1978; [3]
Самарский Α. Α., Андреев В. В., Разностные методы для
эллиптических уравнений, М., 1976; [4] Самарский Α. Α.,
Г у лин А. В., Устойчивость разностных схем, М., 1973; [5]
Самарский Α. Α., Попов Ю. П., Разностные методы
решения задач газовой динамики, М., 1980; L6] Μ а р ч у и Г. И.,
Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; [7]
Годунове. К., Рябенький В. С, Разностные схемы.
Введение в теорию, М., 1973; [8] Ρ и χ τ м а й е ρ Р. Д., Мор-
тон К., Разностные методы решения краевых задач, пер. с
англ., М., 1972; [9] Г у д о в и ч Η. Η., «Ж. вычисл. матем. и
матем. физ.», 1966, т. 6, № 5, с. 916—21; Ею] Кузне-
ц о в Η. Η., там же, 1972, т. 12, JN° 2, с. 334—51; [11]
Тихонова. Н., С а м а р с к и й Α. Α., там же, 1961, т. 1, № 1, с.
5—63; [12] Рождественский Б. Л., Яненко Η. Η.,
Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой
динамике, М., 1978; [13] Π ο τ τ ер Д., Вычислительные методы
в физике, пер. с англ., М., 1975; [14] Μ о к и н Ю. И., «Ж. т»ы-
числ. матем. и матем. физ.», 1975, т. 15, № 3, с. 661—71; [15]
Фр я зин о в И. В., там же, 1976, т. 16, № 4, с. 908 — 921;
[16] Яненко Η. Η., Метод дробных шагов решения
многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [17]
Самарский Α. Α., «Докл. АН СССР», 1965, т. 165, № 6,
с. 1253—56; [18] Самарский Α. Α., Фрязинов И. В.,
«Beitr. Numer. Math.», 1975, № 4, S. 191—203; [19]
Самарский Α. Α., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1962, т. 2,
№ 1, с. 25—56; [20] Якут Л. И., «Докл. АН СССР», 1904,
т. 156, № 6, с. 1304—07; [21] AnsorgeR., Η a s s R., Коп-
vergenz von Differenzenverfahren fur lineare und nichtlineaie
Anfangswertaufgaben, В., 1970; [22] Дьяконов Е. Г.,
Разностные методы решения краевых задач, в. 2 — Нестационарные
задачи, М., 1972; [23] К а р ч е в с к и й Μ. Μ., Л я ш к о А. Д.,
«Изв. высш. учебн. заведений. Математика», 1972, № 11, с. 23—
31; 1973, № з, с. 44—52; [24] СапаговасМ. П., «Ж. вычисл.
матем. и матем. физ.», 1965, т. 5, № 4, с. 638—47; [25] К а р-
чевскийМ. М., Л а п ин А. В., Л я шко А. Д., «Изв. высш.
учебн. заведений. Математика», 1972, № 3, с. 23—31; [26] Л а-
п и н А. В., Л я ш к о А. Д., там же, 1973, № 1, с. 71 — 77; [27]
R a v i а г t P. A., «J. math, pures et appl.», 1967, t. 46, № 1,
p. 11 —107; № 2, p. 109—83; [28] РябенькийВ.С,
Филиппов Α. Φ., Об устойчивости разностных уравнений, М.,
1956. А. В. Ту лип, А. А. Самарский.
РАЗНОСТЬ множеств — одна из операций
над множествами. Пусть имеется два множества А и В
(из к-рых второе может и не содержаться в первом).
сть 848
Тогда множество тех элементов множества Α, к-рые
не являются элементами множества В, наз.
разностью этих множеств.
Р. множеств А и В обозначается А\В.
М. И. Войцеховский.
РАЗРЕЖЕННАЯ МАТРИЦА — матрица с малым
числом ненулевых элементов. Системы линейных
уравнений с такими матрицами возникают, в частности, при
аппроксимации дифференциальных уравнений конеч-
норазностными или вариационно-разностными.
Н. С. Бахвалов.
РАЗРЕЖЕННОСТЬ МНОЖЕСТВА EaRn в точке
y0£Rn— локальный признак того, что Ε является
полярным множеством. Непустое множество EaRn наз.
разреженным в точке 1/0^" в двух
случаях: 1) если у0 не является предельной точкой Е,
то есть уцфЕ', где Е'— производное множество для Е;
2) если Уо£Е' и в окрестности у0 существует супергар-
монич. функция и(х) (см. Субгармоническая функция)
такая, что
lim inf ν (χ) > ν (y0).
х-*· У о
хеЕ\{у0)
Множество Е является полярным тогда и только
тогда, когда оно — разреженное множество (р. м.)
в каждой из своих точек. Для произвольного множества
Ε подмножество тех точек, в к-рых Ε есть р. м.,
является полярным. Любое непустое подмножество р. м.
в точке j/o€^" является р. м. в у0. Объединение
конечного числа р. м. в точке г/о€^" является р. м. в точке г/0.
Отрезок на плоскости R.2 не является р. м. ни в
одной из своих точек. Если Еа№ — р. м. в точке г/0,
то существуют сколь угодно малые окружности с
центром г/0, не пересекающиеся с Е. Полярное
множество Еа№ вполне разрывно. Однако канторово
множество меры нуль на оси абсцисс не является р. м.
ни в одной из своих точек. Вместе с тем в пространстве
R3, напр., множество точек
Е = {(х, у, z} : V(x, г/, z)^k > 1},
имеющее острие в точке (0, 0, 0), где
V (χ, у, ζ)=\ ,
Jo Κ(χ-*)2+ί/2+ζ3
— ньютонов потенциал плотности t на отрезке (0<:гс<:
<1, 0, 0), есть р. м. в острие (0, 0, 0) ζΕ' (пример
Лебега).
Лит.: [1] Брело М., Основы классической теории
потенциала, пер. с франц., М., 1964; [2] Л а н д к о φ Η. С, Основы
современной теории потенциала, М., 1966. Е. Д. Соломенцев.
РАЗРЕЗ области DaC по разомкнутой простой
дуге γ= {ζ(£):0<£<1} — удаление из области D точек
дуги γ, τ. е. переход от области D к области (или
областям) D\y, а также само множество у. При этом
предполагается, что области D принадлежит либо
вся дуга γ, либо вся дуга за исключением начальной
или конечной точек z(0), z(l), a ζ(0) или ζ(1)
принадлежат границе dD. Каждой точке z(t) разреза у при
0<£<1 соответствуют два граничных элемента
прилегающей к у части области D: левый и правый. В
совокупности эти элементы образуют соответственно л е-
вый и правый берега разреза 7.
Е. Д. Соломенцев.
РАЗРЕЗА МНОЖЕСТВО, множество
раздела, от точки О — множество тех точек χ риманова
многообразия W, к-рые либо соединимы с О более
чем одной кратчайшей Ох, либо Ох не продол жима как
кратчайшая за точку х. В двумерном случае Р. м.
является одномерным графом без циклов (см. [2]);
в аналитическом W любой размерности — полиэдром
из аналитич. подмногообразии (см. [31). Р. м.
непрерывно зависит от О. Р. м. определяется не только от
точки, но и от других подмножеств, напр. от края dW,

849 разрешим
а также в пространствах, отличных от римановых,
напр. на выпуклых поверхностях (см. [4]) и в
двумерных многообразиях ограниченной кривизны.
Лит.- [1] Громол Д., Клингенберг В., Мей-
ер В , Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2]
Μ у е г s S. В., «Duke Math. J.», 1935, v. 1, p. 376—91; [3]
BuclmerM. Α., «Proc. Amer. Math. Soc», 1977, v. 64,
№ 1, p. H8—21; [4] К u η ζ e J., Der Schnittort auf konvexen
Verheftungsflachen, В., 1969. В. А. Залгаллер.
РАЗРЕШАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ - то же, что Сколема
функция.
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ, десингуля-
р и з а ц и я,— замена особого алгебраич.
многообразия на бирационально изоморфное неособое
многообразие. Более точно, Р. о. алгебраич. многообразия
X над основным полем к наз. собственный бирацио-
нальный морфизм/ : Х'-+Х такой, что многообразие X'
неособое (гладкое). Аналогично определяется Р. о.
схемы, комплексно-аналитического пространства и
т. д. Существование Р. о. позволяет сводить многие
вопросы к неособым многообразиям, при изучении
к-рых можно использовать теорию пересечений и
аппарат дифференциальных форм.
Обычно Р. о. происходит путем последовательного
применения операции моноидалъного преобразования.
Известно, что если центр D моноидального
преобразования Х'-+Х допустим (то есть D неособо, а X —
нормальное плоское многообразие вдоль D), то
численные характеристики особенностей многообразия
(кратность, функция Гильберта и т. д.) не хуже, чем
у X. Проблема состоит в выборе центра раздутия так,
чтобы особенности у X' действительно улучшились.
В случае кривых проблема Р. о. сводится по существу
к нормализации. В двумерном случае ситуация
сложнее. Доказано существование Р. о. у любого
многообразия над полем к нулевой характеристики. Точнее,
для приведенного многообразия Х0 существует
конечная последовательность допустимых моноидальных
преобразований //: X{ + 1-+Xh i=0, 1, . . ., г, с
центрами D(dXi такая, что Ζ>£· содержатся в множествах
особых точек Х^ а Хг — неособое многообразие.
Аналогичный результат верен для
комплексно-аналитических пространств. В положительной
характеристике существование Р. о. установлено (1983) для
размерностей <3.
С задачей Р. о. тесно связана задача разрешения
вложенных особенностей, формулируемая следующим
образом. Пусть X вложено в неособое алгебраич.
многообразие Ζ; существует ли собственное отображение
f:Z'-+Z с неособым Z' такое, что а) / индуцирует
изоморфизм Z'\/_1 (X) на Z\X, б) /_1(Х) является дивизором
с нормальными пересечениями? (Дивизор на неособом
многообразии имеет нормальные пересечения, если
локально он задается уравнением tx . . . ί^=0, где
tx, . . ., tk — часть регулярной системы параметров
на Z.)
Задача разрешения вложенных особенностей
является частным случаем задачи тривиализации пучка
идеалов. Пусть Ζ — неособое многообразие, / —
когерентный пучок идеалов на Z, a DaZ — неособое
замкнутое подмногообразие. Слабым прообразом идеала /
при раздутии f:Z'-+Z с центром в D наз. пучок идеалов
/*(7)®б 6z>(mD')
на Z', где D' = f~l(D), а т — кратность идеала / в
общей точке D. Тривиализация пучка идеалов состоит
в нахождении последовательности раздутий с
неособыми центрами, при к-рых слабый прообраз /
становится структурным пучком. Пусть Z0 — неособое
многообразие над полем нулевой характеристики, /0 —
когерентный пучок идеалов на Z0 и, кроме того, задан
нек-рый дивизор Е0 на Z0 с нормальными
пересечениями. Тогда существует последовательность раздутий
* группа 850
fi'.Zi + 1-^Zi, ί=0, 1, . . ., г—1, с неособыми центрами
DidZi, обладающая следующими свопствами: если
определить 1[+1 как слабый прообраз // при
раздутии /;, а £,+ 1-как fj^E^f-HD), то ΙΓ = βζ^
а Ег имеет лишь нормальные пересечения (теорема
Хиронака). Более того, можно считать, что D{
лежит в множестве точек максимальной кратности 11
и имеет нормальные пересечения с Е{. В
положительной характеристике аналогичный результат известен
лишь при dim Z<3.
Другой задачей этого типа является задача
исключения точек неопределенности рационального
отображения. Пусть f:X->Y — рациональное отображение
неособых алгебраич. многообразий. Существует ли
последовательность раздутий с неособыми центрами
Α γ —> Α ρ — ι —>■. .. —> А о ==L A
такая, что индуцированное отображение Xr—>Y
является морфизмом? Эта задача сводится к задаче
существования тривиализации пучка идеалов, и ответ
утвердителен, если char k=0 или если dim A<3.
Лит.: [1] A b h у a n k a r S., Resolution of singularities
of embedded algebraic surfaces, N. Y.— L., 1966; в кн.: Тр.
Международного конгресса математиков. 19GG, М., 1968, с. 469 —
481; [2] L i p m a n J., в кн.: Algebraic geometry, Providence,
1975, p. 531—46; [3] Хиронака X., «Математика», 1965,
т. 9, № 6, с. 2—70. В. И. Данилов.
РАЗРЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМА — алгоритмическая
проблема, в к-рой для заданного множества А требуется
построить алгоритм, разрешающий А относительно
другого множества В, включающего А (4<=#), т. е.
такой алгоритм 21, к-рый применим ко всякому
элементу из В, причем Я(я)=1, если х£А, и 3((ж)=0,
если х£В\А. Важным классом алгоритмич. проблем
являются Р. п. для формальных теорий, то есть Р. п.
множества всех доказуемых в теории формул
(множество А) относительно множества всех формул теории
(множество В).
Термин «Р. п.» следует отличать от термина
«проблема разрешимости», означающего вопрос о
разрешимости той или иной математической (напр.,
алгоритмической) проблемы. В. Е. Плиско.
РАЗРЕШИМАЯ ГРУППА — группа, обладающая
конечным субнормальным рядом с абелевыми факторами
(см. Подгрупп ряд). Она также обладает нормальным
рядом с абелевыми факторами (такие ряды наз.
разрешимым и). Длина кратчайшего разрешимого
ряда группы наз. ее длиной, или ступенью
разрешимости. Важнейшим из таких рядов
является ряд коммутантов, или производный ряд (см.
Коммутант группы). Термин «Р. г.» возник в теории
Галуа и связан с разрешимостью алгебраич. уравнений
в радикалах.
Конечные Р. г. обладают субнормальным рядом с
факторами простых порядков. Эти группы
характеризуются справедливостью следующего обращения
теоремы Лагранжа: для любого разложения п=п1п2
порядка η группы на два взаимно простых
сомножителя существует подгруппа порядка пх. и все
подгруппы порядка пг сопряжены между собой. Если
порядок конечной группы делится только на два
простых числа, то такая группа разрешима. В классе
Р. г. конечные группы выделяются как конечно
порожденные периодич. группы.
Частными случаями Р. г. являются нильпотентпые
группы, полициклические группы, метабелевы группы.
Важный подкласс образуют конечно порожденные
группы, являющиеся расширениями своей абелевой
нормальной подгруппы с помощью полициклич.
факторгруппы. Они удовлетворяют условию
максимальности для нормальных подгрупп (см. Обрыва цепей
условие) и финитно аппроксимируемы (см. Финитно
аппроксимируемая группа). Всякая связная разрешимая

851 PA3PEI
группа Ли, а также Р. г. матриц, связная в Зариского
топологии, имеют нилт.нотентный коммутант. Всякая
матричная Р. г. над алгобршчески замкнутым полем
имеет подгруппу конечного индекса, сопряженную с
подгруппой треугольной группы (см. Ли — Колчина
теорема).
Все Р. г. длины, не превосходящей числа I, образуют
многообразие (см. Групп многообразие). Свободные
группы таких многообразий наз. свободными
разрешимыми группами.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[2] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы
теории групп, 2 изд., М., 1977. А. Л. Шмелъкин.
π-РАЗРЕШИМАЯ ГРУППА — обобщение понятия
разрешимой группы. Пусть π — нек-рое множество
простых чисел. Конечная группа, каждый индекс
композиционного ряда к-рой либо не делится ни на
одно число из π, либо совпадает с нек-рым числом из π,
наз. π-ρ азрешимой группой. Основные
свойства π-Ρ. г. подобны свойствам разрешимых групп.
π-Ρ. г. является πχ-Ρ. г. для любого πχ(Ζπ; подгруппы,
факторгруппы и расширения π-Ρ. г. с помощью π-Ρ. г.
также являются π-Ρ. г. В π-Ρ. г. G каждая π-п о д-
группа (т. е. подгруппа, все простые делители
порядка к-рой принадлежат π) содержится в нек-рой
холловской π-п одгруппе (π-подгруппа наз.
холловской, если ее индекс в группе не делится ни
на одно число из π), а каждая π'-подгруппа (где л/ —
множество, дополняющее π в множестве всех простых
чисел) — в нек-рой холловской π'-подгруппе; все
холловские π-подгруппы, а также холловские π'-
подгруппы сопряжены в G; индекс максимальной
подгруппы группы G либо не делится ни на одно число из
π, либо равен степени одного из чисел множества
π (см. [1]). Число холловских π-подгрупп в G равно
aja2 ... а*, где α,·=1 (mod р^ для каждого ρ/ζπ,
делящего порядок группы G, причем а/ делит порядок
одного из главных факторов группы G (см. [2]).
Лит.: [1] Чунихин С. Α., Подгруппы конечных групп,
Минск, 1964; [2] Вгаиег W.,«Arch. Math.», 1968, Bd 19,
JSfe 3, S. 245—55. С. П. Стручков.
РАЗРЕШИМАЯ ФОРМУЛА (в данной системе) —
такая формула А данной формальной системы, что
либо она доказуема в этой системе (т. е. является
теоремой), либо опровержима (т. е. доказуемо ее
отрицание ~^А). Если всякая замкнутая формула данной
формальной системы разрешима в ней, то такая
система наз. полной. (Следует заметить, что нельзя
требовать, чтобы в системе были разрешимы все
формулы, а не только замкнутые. Так, формула х=0,
где χ — переменная для натуральных чисел, не
выражает ни истинное, ни ложное суждение, и поэтому
ни она, ни ее отрицание не являются теоремами
формальной арифметики.)
Название «Р. ф.» связано с тем, что вопрос об
истинности или ложности суждения, выражаемого такой
формулой, может быть решен на основе данной
системы аксиом. В силу Гёделя теоремы о неполноте в
любой формальной системе арифметики найдется
неразрешимое предложение, т. е. замкнутая формула,
к-рая не является разрешимой в этой системе. В
частности, неразрешимой оказывается формула,
выражающая утверждение о непротиворечивости такой системы.
Термин «Р. ф.» следует отличать от термина
«разрешимый предикат». в. е. Плиско.
РАЗРЕШИМОЕ МНОГООБРАЗИЕ, солвмного-
образие,— компактное факторпространство
связной разрешимой группы Ли (иногда, впрочем,
компактности не требуют). Частный случай — нилъмного-
образие. По сравнению с последним общий случай
значительно сложнее, но для него тоже имеется полная
структурная теория.
1МАЯ 852
Лит.: [1] Auslander L., «Bull. Amer. Math. Soc»,
1973, v. 7.9, № 2, p. 227 — 61. Д. В. Аносов.
РАЗРЕШИМОЕ МНОЖЕСТВО — множество
конструктивных объектов какого-либо фиксированного
типа, допускающее проверку принадлежности к нему
его элементов при помощи алгоритма. Фактически
мы можем ограничиться понятием Р. м. натуральных
чисел, т. к. более общий случай может быть сведен к
данному при помощи соответствующей нумерации
рассматриваемых объектов. Множество Μ
натуральных чисел наз. разрешимым, если существует
такая общерекурсивная функция /, что М= {n\f(n)=Q}.
В этом случае / и представляет собой алгоритм,
проверяющий принадлежность к Μ натуральных чисел.
В самом деле, п£М равносильно тому, что f(n)=0.
Р. м. натуральных чисел часто наз. также о б щ е ρ е-
курсивным, или рекурсивным,
множеством.
Многие известные математич. проблемы (такие, как
проблема тождества, проблема гомеоморфии, 40-я
проблема Гильберта, проблема разрешимости в
математич. логике) состоят в требовании доказать или
опровергнуть утверждение о том, что нек-рые
конкретные множества суть Р. м. Известные
(отрицательные) решения перечисленных выше проблем состоят в
установлении неразрешимости соответствующих им
множеств (см. также Алгоритмическая проблема).
Лит.: [1] Успенский В. Α., Лекции о вычислимых
функциях, М., 1960. Я. М. Нагорный.
РАЗРЕШИМЫЙ ПОТОК — поток на разрешимом
многообразии M=GlH, определяемый действием на Μ
какой-нибудь однопараметрич. подгруппы gf
разрешимой группы Ли G: если Μ состоит из смежных
классов gH, то под действием Р. п. такой класс за время t
переходит в класс gfgH. Частный случай Р. п.— нилъ-
поток; в общем случае свойства Р. п. могут быть
значительно более разнообразными.
Лит.: [1] А у с л е н д е ρ Л., Г ρ и н Л., X а н Ф., Потокина
однородных пространствах, пер. с англ., М., 1966; [2]
Степи н А. М., «Успехи матем. наук», 1969, т. 24, в. 5, с. 241—42;
[3] Auslander L., «Bull. Amer. Math. Soc», 1973, v. 79,
№ 2, p. 262—85; [4] Сафонов А. В., «Функциональный
анализ и его приложения», 1980, т. 14, № 4, с. 81—82.
Д. В. Аносов.
РАЗРЕШИМЫЙ ПРЕДИКАТ — такой и-местный
предикат Р, заданный на нек-ром множестве
конструктивных объектов (напр., натуральных чисел) М,
для к-рого существует алгоритм, позволяющий для
любого набора ах, . . ., ап элементов множества Μ
найти значение (И или Л) предиката Ρ на этом наборе.
Иными словами, предикат является разрешимым,
если он, рассматриваемый как тг-местная функция
на Μ со значениями во множестве {И, Л}, является
вычислимой функцией.
Когда в качестве математич. уточнения понятия
вычислимости используется понятие рекурсивной
функции или какое-либо эквивалентное понятие, то вместо
«Р. п.» обычно употребляется термин «рекурсивный
предикат». в. е. π лист.
РАЗРЫВА ТОЧКА — точка, принадлежащая
множеству X определения функции /: X ->- Υ, где X и
Υ — топологич. пространства, в к-рой эта функция
не является непрерывной. Иногда к Р. т. относят и
точки, к-рые хотя и не принадлежат множеству
определения функции, но в этом множестве содержатся
нек-рые их проколотые окрестности.
Среди Р. т. функций, определенных в проколотых
окрестностях точек числовой оси, различают точки
разрыва 1-го и 2-го рода. Если точка х0 является
Р. т. функции /, определенной в нек-рой окрестности
этой точки, кроме, быть может, ее самой, и в ней
существуют конечные пределы слева f (х0—0) и справа
/(я0+0) функции / (по проколотой окрестности точки
х0), то эта точка наз. точкой разрыва 1-го

853
РАЗРЫВНАЯ
854
рода, а число/(.r0+0)— f(x0—0) скачком функции
/ в точке х0, причем если он равен нулю, то х0 наз.
точкой устранимого разрыва. Если
Р. т. не является точкой разрыва 1-го рода, то она наз.
точкой разрыва 2-г о ρ о д а. Л. Д. Кудрявцев.
РАЗРЫВНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА —
задача вариационного исчисления, в к-рой экстремум
функционала достигается на ломаной экстремали.
Ломаная экстремаль — кусочно гладкое решение
Эйлера уравнения, удовлетворяющее в угловых точках
нек-рым дополнительным необходимым условиям. Эти
условия принимают конкретный вид в зависимости от
типа Р. в. з. Так, в Р. в. з. 1-го рода ломаная
экстремаль разыскивается при обычных предположениях
относительно непрерывности и непрерывной
дифференцируемое™ подинтегральной функции. Для
простейшего функционала
в угловой точке х0 ломаной экстремали необходимо
выполнение условий Вейерштрасса —
Эрдмана
Fy(*o, У(*о), y'(xo-0)) = Fy,(x0, у(х0), у'(:с0+0)), (2)
F (х0, у (х0), У' (*о —0)) —
— У' (xo — 0)Fy(xQ, y(x0), у' (х0—0)) =
У'(*о + 0)) +
У(*о), У'(*о + 0)). (3)
= F {х0, у(х0),
+ у' (x0+0)Fy,(x0,
В случае, когда F зависит от η неизвестных функций,
т. е. у в (1) есть тг-мерный вектор у— (у±1 . . ., уп),
условия Вейерштрасса — Эрдмана в угловой точке имеют
вид, аналогичный (2), (3):
dF Ί _ Г dF
dy'i J*o-0 [ дУ\
\^Α = Ρ
= 1,
(4)
Ζ,
' dF
ι ду.
*ο + 0
(5)
Для з^дач на условный экстремум, в к-рых подинте-
гральная функция зависит от η неизвестных функций
и имеется т дифференциальных ограничений типа
равенства (см. Болъца задача), условия
Вейерштрасса— Эрдмана формулируются с помощью функции
Лагранжа L и имеют вид (4), (5) с заменой F на L.
В терминах теории оптимального управления
необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали
требуют непрерывности сопряженных переменных и
функции Гамильтона в точках разрыва оптимального
управления. Как следует из Понтрягина принципа
максимума, эти условия автоматически выполняются,
если управление вдоль ломаной экстремали
определяется из условия максимума функции Гамильтона.
В Р. в. з. 2-го рода подинтегральная функция
разрывна. Пусть, напр., F(x, у, у) претерпевает разрыв
вдоль линии у=у(х) так, что F (х, у, у') соответственно
равна F1(x, у, у') и F2(x, у, у') по одну и другую
сторону от линии у—-у(х). Тогда если оптимальное
решение существует, то оно достигается на ломаной
экстремали, имеющей угловую точку (х0, φ (х0)) и
вместо функционала (1) получают функционал
J=\X°F1(x,y, y')dx+[XtF2(x, y,y')dx = J1+Jtm^)
Вариация функционала (6) сводится к вариации
функционалов /х и /2 на кривых сравнения, имеющих
соответственно правый и левый подвижные концы,
смещающиеся вдоль линии #=(р(я). Для того чтобы ломаная
экстремаль доставляла минимум функционалу (6),
необходимо, чтобы в угловой точке (х0, φ (χ0))
выполнялось условие
[F1-(9'-/)F1^eXi.0 = [F1+(9'-/)Fly^SBXi + 0.
(7)
Для случая, когда F зависит от η неизвестных функций
У~ (Ун · · ·» У и)» а поверхность разрыва F задана в виде
Ф(*, У)=0, (8)
необходимые условия в угловой точке ломаной
экстремали, находящейся на поверхности (8), принимают вид
L ^*Βί *νι Ьо-о L ^i=1 %dyt
Г—Ί
L дх ]хо
■JL·] -Г.
. ду1 J *o-0 1.
dF2
ду[
х0 + 0
Г dF, 1 Г eF,-[
[ дуп Jxo-o [ дуп\х0+ъ
1ду" ]хо
(9)
Необходимые условия (7), (9) дают недостающие
условия для вычисления произвольных постоянных,
Определяющих ломаную экстремаль — частное
решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным
условиям. Действительно, равенства (9) дают η
необходимых условий, к-рые в совокупности с 2п
граничными условиями, η условиями непрерывной стыковки
ломаной экстремали в угловой точке и уравнением
(8) дают 4д+1 условий, с помощью к-рых можно
определить абсциссу угловой точки х0 и 4д
произвольных постоянных — по 2п для каждой из
экстремалей, лежащих по разные стороны от поверхности (8).
Лит.: [1] Гюнтер Η. Μ., Курс вариационного
исчисления, Л.— М., 1941; [2] С м и ρ н о в В. И., Курс высшей
математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [3] Π о н τ ρ я г и н Л. С. [и др.],
Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976.
И. Б. Вапнярский.
РАЗРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ — функция /: X -* У,
где X и У — топологич. пространства, не являющаяся
непрерывной функцией на пространстве X. Среди
разрывных действительных функций /: X ->· IR важные
классы составляют Бэра классы, кусочно непрерывные
функции, ступенчатые функции.
Р. ф. возникают, напр., при интегрировании по
параметру элементарных функций (см. Дирихле
разрывный множитель), при вычислении суммы
функциональных рядов, членами к-рых являются элементарные
функции, в частности при вычислении суммы тригоно-
метрич. рядов, в задачах оптимального управления.
Примеры.
у- *» / О,
2)
Σ СО
П=1
о,
-X
если ж = 0,
если χ т^О.
если х = 0,
если 0 < χ < 2π.
Л. Д. Кудрявцев.
РАЗРЫВНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ — величина,
зависящая от одного или более параметров и принимающая
два (или больше) значения. Напр.,
2лг J
2 +i<x>
„S + 2k t
J
(2fe)!
ico s (s+1). . .(s + 2fe)
(y — l)2*, если г/^1, к > О,
О, если 0<; у < 1.

855
РАМА
856
Р. м. применяются для формального расширения
области суммирования или интегрирования, для
сведения данного выражения к другому, к к-рому можно
применить заданные формулы или преобразования.
Другие примеры — Дирихле разрывный множитель,
дельта-функция Дирака и т. п. к. Ю. Булота.
РАМА КОГОМОЛОГИИ, де Рама когомо-
л о г и и, алгебраического многообразия — теория ко-
гомологий алгебраич. многообразий, основанная на
дифференциальных формах. С каждым алгебраич.
многообразием X над полем к связывается комплекс
регулярных дифференциальных форм (см.
Дифференциальная форма на алгебраическом многообразии);
его группы когомологий Hpdr (Х/к) наз. группами Р. к.
многообразия X. Если X гладко и полно, a char к=0,
то Р. к. являются Вейля когомологиями (см. [2], [3]).
Если X гладко и аффинно, а к=С, то справедлив
следующий аналог Рама теоремы'.
H?DR(X/k)~HP(Xan, O.pSsO,
где Хап — комплексное аналитич. многообразие,
соответствующее алгебраич. многообразию X (см. [1]).
Напр., если X — дополнение к алгебраич.
гиперповерхности в Рп(С), то когомологий НР(Х, С) могут
быть вычислены при помощи рациональных
дифференциальных форм на Рп(€) с полюсами на этой
гиперповерхности.
Для любого морфизма /: X -> S можно определить
относительный комплекс де Рама 2р>о Г (®x/s) (CM*
Дифференциалов модуль), приводящий к
относительным когомологиям де Рама
Hpdr(X/S). В случае, когда X=Spec А и S=Spec В
аффинны, относительный комплекс де Рама совпадает
с ΛΩ^/β. Когомологий ^R (X/S) комплекса пучков
ip>o/*^z/S на & на3, пучками
относительных когомологий де Рама. Эти пучки
когерентны на S, если / — собственный морфизм.
Лит.: El] Grothendieck Α., «Pubis math. IHES»,
1966, t. 29, p. 351—59; [2] Harts home R., Ample sub-
varieties of algebraic varieties, В., 1970; [3] e г о же, «Ма-
nuscr. math.», 1972, v. 7, p. 125—40. А. Л. Онищик.
РАМА КРУЧЕНИЕ, де Рама кручени е,—
инвариант, позволяющий различать многие
структуры в дифференциальной топологии; то же, что Рей-
демейстера кручение.
РАМА ТЕОРЕМА, де Рама теорем а,—
теорема, выражающая вещественные когомологий
дифференцируемого многообразия Μ при помощи
комплекса дифференциальных форм на М. Если Е* (М)=
= 2 _0еР(М) — комплекс де Рама многообразия М,
где ЕР (М) — пространство всех бесконечно
дифференцируемых ρ-форм на М, снабженный внешним
дифференциалом, то Р. т. устанавливает изоморфизм
между градуированными алгебрами когомологий Я* (Е*(М))
комплекса Е* (М) и когомологий Η* (Μ, R)
многообразия Μ со значениями в R. Явная
интерпретация этого изоморфизма состоит в том, что каждой
замкнутой р-форме ω сопоставляется линейная форма
У -> Jv ω на пространстве р-мерных сингулярных
циклов у в М.
Р. т. впервые была установлена Ж. де Рамом [1],
хотя идея связи между когомологиями и
дифференциальными формами восходит к А. Пуанкаре (Н. Poincare).
Существует ряд вариантов Р. т. Напр., когомологий
Н* (Ее (М)) комплекса Ε с (М) с компактными
носителями изоморфны алгебре вещественных когомологий
Ηс (М, Щ многообразия Μ с компактными
носителями. Когомологий многообразия Μ со значениями в
локально постоянном пучке векторных пространств
изоморфны когомологиям комплекса
дифференциальных форм со значениями в соответствующем плоском
векторном расслоении [3]. Когомологий симплициаль-
ного множества S со значениями в любом поле к
характеристики 0 изоморфны когомологиям
соответствующего полиномиального комплекса де Рама над к.
В случае, когда S — сингулярный комплекс
произвольного топологич. пространства X, получают таким
образом градуированно-коммутативную
дифференциальную градуированную /с-алгебру Adr(X), алгебра
когомологий Н* (Adr(X)) к-рой изоморфна алгебре
сингулярных когомологий Н*(Х, к) (см. [4]). Если
X — гладкое аффинное алгебраич. многообразие над
С, то когомологий Н* (X, С) изоморфны
когомологиям комплекса регулярных дифференциальных форм
на Μ (см. Рама когомологий).
Лит.: [1] Rhara J. de, «J. math, pures etappl. 9 ser.», 1931,
t. 10, p. 115—200; [2] Ρ а м Ж д е, Дифференцируемые
многообразия, пер. с франц., М., 1956; [3] Ρ а г у н а т а н М.,
Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977; [4]
Гомотопическая теория дифференциальных форм, пер. с англ. и
франц., М., 1981. А. Л. Онищик.
РАМАНУДЖАНА ГИПОТЕЗА — высказанное С. Ра-
мануджаном [1] предположение, что коэффициенты
Фурье х(п) функции Δ (параболич. формы веса 12)
удовлетворяют неравенству
| τ (ρ)\<>2ρ11/2, р — простое,
х(п) наз. также Рамануджана функцией. Функция
Δ есть собственная функция операторов Гекке, τ(η) —
соответствующие собственные значения. Петерсон (Н.
Petersson) обобщил Р. г. на случай собственных
значений операторов Гекке модулярных форм веса /с,
к — целое ^2 (гипотеза Петерсон а). П. Де-
линь (P. Deligne, см. [2]) свел гипотезу Петерсона к
гипотезе Вейля, затем доказал последнюю (1974).
Этим была доказана и Р. г.
Лит.: [1] Ramanujan S., «Trans. Gamb. Phil. Soc»,
1916, v. 22; [2] ДелиньП,, «Успехи матем. наук», 1975, т. 30,
в. 5, с. 159—90; [3] Фоменко О. М., в кн.: Итоги науки и
техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с.
5—91. К. Ю. Булота.
РАМАНУДЖАНА СУММЫ — зависящие от двух
целочисленных параметров к и η тригонометрич. суммы
:(»>=Σ*
ехр
2лпМ
)=2»
cos
2nnh
где h пробегает все целые неотрицательные числа,
меньшие, чем /с, и взаимно простые с к. Основные
свойства Р. с.— мультипликативность относительно
индекса к:
Ckk'{n)=ck(n)ck'(п), если (/с, А') = 1,
а также представление через функцию Мёбиуса μ:
Р. с. являются ограниченными, если ограничено к
либо п. В частности, с&(1)— 1.
Многие мультипликативные функции от
натурального аргумента разлагаются в ряды по Р. с. и
наоборот, основные свойства Р. с. позволяют просуммировать
суммы вида
Σ°° сь (qn) yr-ч оо с. (qn)
„=1^т-/н, S*=1-V-/(/c)'
где f(n) — мультипликативная функция, q — целое
число. В частности,
оо с. (п)
Σ0Ο
k-1
θΊ-s (η)
ζ(β)
где ζ (s) —дзета-функция Римана, оа(п) —сумма а-х
степеней делителей числа п. Такие суммы тесно свя-

857
залы с особыми рядами нек-рых аддитивных проблем
теории чисел, напр. представление натуральных чисел
в виде четного числа квадратов. С. Рамануджаном [1]
были получены многие формулы, содержащие Р. с.
Jlum.:[l] Ramanujan S., «Trans. Camb. Phil. Soc», 1918,
v. 22, p. 259—76; [2] Η a r d у G. H., «Proc. Camb. Phil. Soc»,
1920/21, v. 20, p. 263—71; [3] Ramanujan S., Collected
papers, ed. G. H., Hardy, [a. o.], Camb., 1927, p. 137—41; [4]
V о 1 k m a n η В., «J. reine und angew. Math.», 1974, Bd 271,
S. 203—13; 1.5] Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции
Римана, пер. с англ., М., 1953; [6] Л е в и н В. И., в кн.: Исто-
рико-математические исследования, т. 13, М., 1960.
К. Ю. By лота.
РАМАНУДЖАНА ФУНКЦИЯ
где τ (я) — коэффициент при хг
произведения
D(x) =
в степенной ряд:
D(x)
Если положить
Δ(ζ) =
РАНГ
858
- функция η ->- τ (η),
(л>1) разложения
Щ^1-*-)14
:ΣΓ=ιτ^
D {β™**), Imz >0,
то Р. ф. является п-м коэффициентом Фурье параболич.
формы Δ (ζ), впервые исследованной С. Рамануджаном
[1]. Нек-рые значения Р. φ.: τ(1)=1, τ (2)=—24,
τ(3) = 252, τ (4)=-1472, τ(5)=4830, τ (6)=-6048,
τ(7)=—16744, τ(30)= 9458784518400. С. Рамануджан
предположил (а Л. Дж. Морделл, L. J. Mordell,
доказал) справедливость следующих свойств Р. ф.:
τ (тп) = τ (т) τ (η); если (т, п) = \,г
τ(ρη + 1)=τ(ρη)τ(ρ)— рЧСр"-1), если р — простое, пг
Λ.
Следовательно, вычисление τ (ή) сводится к вычислению
τ(ρ)5 Ρ — простое. Известно, что |τ(ρ)|<2ρη/2 (см.
Рамануджана гипотеза). Известны многие сравнения,
к-рым удовлетворяет Р. ф. Напр., С. Рамануджану
было известно сравнение
x(p) = l+pl(mod691).
Примеры позже найденных сравнений:
τ (η) = ση (η) (mod 21), если η = 1 (mod 8);
τ(Ρ) = Ρ + Ρ™ (mod 25);
и т. п.
Лит.: [1] Ramanujan S., «Trans. Camb. Phil. Soc»,
1916, v. 22, p. 159—84; [2] С e ρ ρ Ж.-П., «Математика», 1969,
т. 13, № 4, с. 3—15; [3] Φ о м е н к о О. М., в кн.: Итоги науки и
техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 5—
91. К.Ю.Булота.
РАМСЕЯ ТЕОРЕМА — название нескольких теорем
в дискретной математике,, сформулированных и
доказанных Ф. Рамсеем [1].
Первую из этих теорем Ф. Рамсей сформулировал
следующим образом. Пусть Г— бесконечный класс
и μ и г — положительные целые числа; и пусть все
те подклассы Г, к-рые имеют г элементов или, иначе,
все г-сочетания элементов Г, разделены любым
способом на μ взаимно исключающих классов С ι, i=l, 2,
. . ., μ, так, что каждое г-сочетание является элементом
одного и только одного класса С,·; тогда, предполагая
справедливой аксиому выбора, класс Г должен
содержать бесконечный подкласс Δ такой, что все
г-сочетания членов Δ принадлежат одному и тому же классу
С,·. Конечный аналог этой Р. т., также
установленный Ф. Рамсеем, можно сформулировать
следующим образом.
Пусть S — множество, содержащее N элементов,
и Τ — семейство всех подмножеств множества S,
содержащих в точности г элементов из S. Пусть
семейство Τ разбито на t (непересекающихся)
подсемейств 7\, Т2, . . ., Tf и пусть q±, q2, . . ., <ft, r — целые
числа, д;>г>1, i=l, 2, . . ., t. Тогда существует такое
минимальное число η (q1, q2, - · ., qt, г), зависящее
только от #!, q2, · - ., qt, r и не зависящее от множества
*S, что если N^n(q1, q2, . . ., ς/, г), то для нек-рого έ,
i=l, 2, . . ., t, в S существует подмножество At из дг·
элементов, все г-подмножества κ-poro находятся в
семействе ~
также в [2], [3]).
Последнюю теорему можно пояснить примером, в
к-ром вычисляется число η (3, 3, 2). Рассматриваются
шесть точек на плоскости, связанных попарно дугами,
каждая из к-рых окрашена либо в красный, либо в
голубой цвета. Существуют три точки такие, что дуги,
соединяющие их, окрашены в один и тот же цвет. Из
пяти дуг, соединяющих нек-рую точку Р0 с пятью
другими точками, три дуги одного цвета (напр., красного).
Пусть это дуги РоРг, PqP^ ΛΛ· Если какая-нибудь
из дуг ΡχΡ2' ^Λ> ^2^з красная, то она и две другие,
соединяющие ее концы с точкой Р0, образуют красный
треугольник, если же они все голубые, то сами
образуют голубой треугольник. Это означает, что η (3, 3, 2)<
<6. Однако пять точек на плоскости можно так
попарно соединить красными и голубыми дугами, что
при этом не найдется треугольника одного цвета. Для
этого пусть дуги РгР2, PiP3, Р2Р^ Р3РГл, РАРЪ будут
красными, а остальные — голубыми. Это показывает,
что п(3, 3, 2)>5. Таким образом, и(3, 3, 2)=6.
Из Р. т. вытекает следующий результат: для данного
натурального л>3 существует целое число N—N(n)
такое, что любые N точек в плоскости, никакие три из
к-рых не лежат на одной прямой, содержат η точек,
образующих выпуклый л-угольник (см. [4]).
Лит.: [1] R a m s е у F. P., «Proc. London Math. Soc. Ser. 2»,
1930, v. 30, p. 264—86; [2] Райзер Г.-Дж., Комбинаторная
математика, пер. с англ., М., 1966; [3] X о л л М.,
Комбинаторика, пер. с англ., М., 1970; [4] Erdos P., Szekeres G.,
«Compositio math.», 1935, v. 2, p. 463—70; [5] Erdos P.,
RadoR., «Bull. Amer. Math. Soc», 1956, v. 62, p. 427—89.
M. П. Минеев.
РАНГ — понятие, тесно связанное с понятием
базиса. Обычно Р. определяется либо как минимальная
из мощностей порождающего множества (так, напр.,
вводится базисный ранг
алгебраической системы), либо как максимальная мощность
независимой в нек-ром смысле подсистемы элементов.
Ранг системы векторов в векторном
пространстве над телом — это максимальное число
линейно независимых векторов в этой системе (см.
Линейная независимость). Ранг, или
размерность, векторного пространства, в
частности, равен числу элементов базиса этого
пространства (Р. не зависит от выбора базиса, все базисы
имеют одну и ту же мощность). Для модулей ситуация
сложнее. Существуют такие ассоциативные кольца Я,
что даже свободный модуль над R может обладать
двумя базисами с различным числом элементов (см.
Ранг модуля, Свободный модуль). Если каждый
свободный R-модуль имеет единственный Р., то говорят, что
R обладает свойством инвариантности базисного числа.
Таким кольцом является всякое
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, что позволяет определить,
напр., ранг (Прюфера) абелевой группы (к-рую можно
рассматривать как модуль над кольцом %). В неабе-
левом случае вводятся два понятия Р. группы —
общий и специальный Р. (см. Ранг группы). Особым
образом определяются ранг алгебраической группы
и ранг группы Ли.
Ранг алгебры (над телом) понимается как Р.
ее аддитивного векторного пространства. Однако особо
существует еще понятие Р. в теории алгебр Ли (см.
Ранг алгебры Ли).
Ранг матрицы определяется как Р. системы
векторов ее строк (строчный ранг) или
системы ее столбцов (столбцовый ранг). Для

859 r
матриц над телом или коммутативным кольцом с
единицей оба эти понятия Р. совпадают. Для матрицы
над полем Р. район также максимальному порядку
отличного от нуля минора. Р. произведения матриц
не больше Р. каждого из сомножителей. Р. матрицы
не меняется при умножении ее на невырожденную
матрицу.
Ранг линейного отображения —
это размерность образа этого отображения. В
конечномерном случае он совпадает с Р. матрицы этого
отображения.
Вводятся также понятия ранга билинейной
формы (см. Билинейная форма) и ранга
квадратичной формы (см. Квадратичная форма).
Они также (в конечномерном случае) совпадают с Р.
матрицы соответствующей формы. о. А. Иванова.
РАНГ линейного обыкновенного дифференциального
уравнения в комплексной области
2"=оРу(2)н;<*-/> = 0, Р0(*) = 1, (1)
— число г=/с+1, где
к = max п.·/].
ι < / < η
Коэффициенты уравнения (1) — сходящиеся при
больших \ζ\ ряды
Понятие Р. употребляется только тогда, когда ζ—
"оо — особая точка дифференциального уравнения (1).
Р. дифференциального уравнения наз. также рангом
особой точки ζ= оо. Если эта точка —
регулярная особая точка, то г=0; если иррегулярная особая
точка, то г>0. Число к наз. подрангом. Р.
уравнения — целое или дробное число. Если под ранг
дробный, со знаменателем q^2, то подранг уравнения,
полученного из (1) заменой переменной ζ=ξ1/9, будет
целым. Р. уравнения инвариантен относительно
замены переменной вида ζ=ξφ(ξ), где функция φ (ζ)
голоморфна и отлична от нуля в точке ξ— оо.
Понятие Р. уравнения и особой точки используется
при исследовании структуры решений уравнения (1)
на бесконечности. Пусть Q (ζ) — многочлен степени р,
— формальный ряд, s!>l — целое число. Ряд
w =^(2ΐ/5)ΖΡψ(ζ1/5) (2)
наз. нормальным (соответственно
поднормальным) порядка pis, если s~ 1 (соответственно
s^2). Решение уравнения (1), представимое
сходящимся в окрестности точки z= оо нормальным
(поднормальным) рядом, наз. нормальным
(поднормальным) решением того же порядка (см. [2], [3]).
Порядок нормального (поднормального) решения
не превосходит Р. уравнения; это верно и для
формальных решений вида (2). Если рапг г уравнения (1)
целый, то оно имеет по крайней мере одно формальное
решение вида (2) порядка г. Подстановка w (z) = eQ^u(z)
не меняет Р. уравнения. Если подранг k=p/q, где р,
q — взаимно простые целые числа и q^2, то уравнение
имеет не менее q формальных решений вида (2)
порядка г.
Уравнением Гамбургера наз.
уравнение (1) с рациональными коэффициентами, если оно
имеет ровно две особые точки: регулярную z=0 и
иррегулярную ζ— оо. Для уравнения Гамбургера
получены достаточные условия, при к-рых оно имеет |
860
нормальные решения, а при гс=2 — необходимые
и достаточные условия существования нормальных
и поднормальных решении (см. [2]).
Понятие Р. вводится и в том случае, когда
уравнение (1) имеет конечную особую точку (см. [2], [3]).
В случае линейной системы из η обыкновенных
дифференциальных уравнений в комплексной области
w' = zrA (z) w, (3)
где г^ — 1 — целое число, матрица-функция Α (ζ)
голоморфна в точке ζ= оо и А (оо)^=0, число г+1 наз.
рангом системы (3), или рангом особой
точки ζ— оо, число г — ее подрангом (см.
[4] — [6]). Если г=—1, то точка ζ=οο — регулярная
особая точка; в отличие от скалярного уравнения (1),
точка ζ= оо может быть регулярной особой, если г>—1
(см. [4]).
Лит.: [1] Poincare Η., «Acta math.», 1886, v. 8; [2]
Айне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения,
пер. с англ., Харьков, 1939; [3] Латышева К. Я.,
Терещенко Н. И., Орел Г. С, Нормально-регулярные
решения и их приложения, К., 1974; [4] К о д д и н г τ о н Э., Л е-
в и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, пер. с англ., М., 1958; [5] К а м к е Э., Справочник по
обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем.,
5 изд., М., 1976; [6] В а з о в В., Асимптотические разложения
решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с
англ., М., 1968. М. В. Федорюк.
РАНГ особой точки — см. Ранг линейного
обыкновенного дифференциального уравнения.
РАНГ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ G —
размерность любой из ее Картана подгрупп (эта размерность
не зависит от выбора подгруппы Картана). Наряду с
Р. а. г. G рассматриваются ее полупростой
ранги редуктивный ранг, к-рые, по
определению, равны соответственно Р. а. г. GIR и Р. а. г.
GlRu, где R — радикал алгебраич. группы G, a Ru —
ее унипотентный радикал. Редуктивный Р. а. г. G
равен размерности любого из ее максимальных торов.
Редуктивным &-р а н г о м линейной алгебраич.
группы G, определенной над полем к (а в случае, когда
группа G редуктивна,— просто ее /с-ρ а н г о м), наз.
размерность любого ее максимального /г-разложимого
тора (эта размерность не зависит от выбора тора; см.
Разложимая группа). Если /с-ранг определенной над к
редуктивной линейной алгебраич. группы G равен
нулю (соответственно рангу G), то группа G наз.
анизотропной (соответственно разложимой)
над к (см. также Анизотропная группа).
Примеры. 1) Р. а. г. Тп всех невырожденных
верхнетреугольных квадратных матриц порядка η
равен ее редуктивному рангу и равен п\ полупростой
ранг группы Тп равен нулю. 2) Р. а. г. Un всех
верхнетреугольных квадратных матриц порядка η с
единицами на главной диагонали равен ее размерности
п(п—1)/2, а редуктивный и иолупростой ранги группы
Un равны нулю. 3) Р. а. г. Оп(к, /) всех автоморфизмов
определенной над полем к квадратичной формы / в п-
мерном векторном пространстве над к равен [п/2], а
/с-ранг группы Оп(к, /) равен индексу Витта формы /.
Если характеристика основного поля равна 0, то
Р. а. г. G совпадает с рангом ее алгебры Ли L (см.
Ранг алгебры Ли) и равен минимальной из кратиостей
собственного значения λ^=1 всевозможных
присоединенных операторов Ad/g (минимум берется но всем
g£G). Элемент g£G, для к-рого эта кратность равна
Р. а. г. G, наз. регулярным. Множество
регулярных элементов группы G открыто вбв топологии
Зариского.
Лит.: [1]ШеваллеК., Теория групп Ли, пер. с франц.,
τ 3, Μ., 1958; [2] Б о ρ е л ь Α., Тите Ж., «Математика»,
1967, т. И, № 1, с. 43—111; [3] Б о ρ е л ь Α., Линейные
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [4] X а м ф ρ и Д ж.,
Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.
В. Л. Попов.
нг

861
РАНГ АЛГЕБРЫ ЛИ—минимальная из кратностей
собственного значения λ=^0 для линейных операторов
ааьх по всем χ из алгебры Ли L. Предполагается,
что алгебра L конечномерна. Элемент х, для к-рого
эта кратность минимальна, наз. регулярным.
Множество регулярных элементов алгебры Ли открыто
в ней (в топологии Зариского). Р. а. Ли равен
размерности любой из ее К ар тана подалгебр. Ранг rkL
ненулевой алгебры Ли L удовлетворяет неравенствам
1 =<, rkLs^dimZ/,
причем равенство rkL=dimL имеет место тогда и
только тогда, когда L нильпотентна. Для полупростых
алгебр Ли над полем к ранг совпадает со степенью
трансцендентности над к подполя поля рациональных
функций на L, порожденного всеми коэффициентами
характеристич. многочлена эндоморфизма ad^z.
Р. а. Ли L/R, где R — радикал в L, наз.
полупростым рангом алгебры!/.
Примеры. Пусть L — одна из следующих
алгебр Ли: 1) алгебра Шп всех квадратных матриц
порядка л с элементами из поля к; 2) алгебра Шп всех
матриц с нулевым следом; 3) алгебра всех
верхнетреугольных матриц; 4) алгебра всех диагональных
матриц; 5) алгебра всех верхнетреугольных матриц с
нулями на главной диагонали. Для этих алгебр ранг и
полупростой ранг равны соответственно д, η—1, л, л,
п(п—1)/2 и л—1, л—1, 0, 0, 0.
Лит.: [1] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М.,
1964; [2] С ер ρ Ж.-IL, Алгебры Ли и группы Ли, пер. с
англ. и франц., М., 1969; Ез] Ш е в а л л е К., Теория групп
Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958. В. Л. Попов.
РАНГ ГРУППЫ (общий и специальный) — понятие
теории групп. Группа G имеет конечный общий
ρ а н г г, если г — наименьшее число с тем свойством,
что всякая конечно порожденная подгруппа группы G
содержится в подгруппе, обладающей г' образующими
(г'<г). Группа G имеет конечный специальный
ранг г, если г является наименьшим числом с тем
свойством, что всякая конечно порожденная
подгруппа группы G обладает системой образующих,
содержащей не более чем г элементов. В случае» если
соответствующего конечного числа не существует,
общий (специальный) Р. г. считается бесконечным.
Общий Р. г. меньше или равен ее специальному
рангу. Существуют группы, общий ранг к-рых конечен
(и даже равен двум), в то время как специальный
ранг бесконечен. Такова, напр., счетная симметрич.
группа. Для абелевых групп общий и специальный
ранги совпадают с рангом Прюфера (см. Абелева группа).
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, Зизд., М., 1967.
О. А. Иванова
РАНГ ГРУППЫ ЛИ (вещественной или
комплексной) — размерность (соответственно вещественная или
комплексная) любой из ее Картана подгрупп. Р. г.
Ли равен рангу ее алгебры Ли (см. Ранг алгебры Ли).
Если группа Ли G совпадает с множеством
вещественных или комплексных точек линейной алгебраич.
группы 6, то Р. г. Ли G равен рангу алгебраической
группы G. в. Л. Попов.
РАНГ МОДУЛЯ — 1) ранг левого модуля
Μ над кольцом Л, вложимым в тело к — размерность
тензорного произведения к#@М, рассматриваемого
как векторное пространство над к. Если R=% ~
кольцо целых чисел, то это определение совпадает с
обычным определением ранга абелевой группы. Если
тело к является плоским R-модулем (напр., к — тело
частных кольца Л), то для точной последовательности
0 _+ М' —+ Μ —+ Μ" —+ 0
выполняется следующее равенство между рангами:
rkM = rkM'+rkM".
[Г 862
2) Ранг свободного модуля Μ над
произвольным кольцом R определяется как число его
свободных образующих. Для колец, вложимых в
тело, это определение совпадает с определением из
пункта 1). В общем случае ранг свободного модуля
определяется неоднозначно. Существуют кольца
(называемые л-Т^-кольцами), над к-рыми любой
свободный модуль с не более, чем η свободными образующими,
имеет однозначно определенный ранг, а для свободных
модулей с числом образующих, большим д, это
свойство не верно. Достаточным условием однозначности
ранга свободного модуля над кольцом R является
существование гомоморфизма φ: R -> к в тело к. В этом
случае понятие Р. м. распространяется на проективные
модули следующим образом. Гомоморфизм φ
индуцирует гомоморфизм групп проективных классов
φ*: K0R -> K0k^ % и рангом
проективного модуля/* наз. образ представителя модуля Ρ в
%. Гомоморфизм φ существует для произвольного
коммутативного кольца R.
Лит.: [1] Кон П., Свободные кольца и их связи, пер. с
англ., М., 1975; [2] Ми л но ρ Дж., Введение в
алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974. В. Е. Говоров.
РАНГОВ ВЕКТОР — векторная статистика R=
= (i?x, . . ., i?„), построенная по случайному вектору
наблюдений Х= (Хх, . . ., XJ, ί-я компонента к-рой
i?/=i?/(X), i=l, 2, . . ., тг, определяется по правилу
где δ (χ) — характеристическая функция множества
[0, + оо), т. е.
с . ч Г1, если £^s 0,
δ (х) = < ' '
ν ; \0, если χ < 0.
Статистика i?,· наз. ρ а н г о м ϊ-й компоненты Хг·, &=1,
2, . . ., я, случайного вектора X. Определение Р. в.
будет корректным при выполнении следующего
условия:
к-рое заведомо выполняется, если распределение
вероятностей случайного вектора X задается плотностью
р(х)~р(х\, . . ., хп)- β этих условиях из определения
Р. в. следует, что статистика R принимает значения в
пространстве $К={г} всех перестановок г= (г1ч г2,
. . ., гп) чисел 1, 2, . . ., л, при этом реализация г,-
(гι=1, 2, . . ., п) ранга i?/ численно равна количеству
компонент вектора X, наблюденные значения к-рых
не превосходят реализации i-й компоненты X,·, i=l, 2,
. . ., п.
Пусть Χ<·>= (X(„D , . . ., Х(пп)) — вектор
порядковых статистик, построенный по вектору наблюдений
X. Тогда пара (i?, Х<#)) является достаточной
статистикой для распределения вектора X, причем сам
вектор X однозначно восстанавливается по достаточной
статистике (Л, Х(,)). Кроме того, при дополнительном
предположении о симметричности плотности
вероятности ρ (χ) случайного вектора X относительно
перестановок аргументов компоненты R и Χ<·> достаточной
статистики (Я, Х<->) независимы и
В ^частности, если
ρ(χ)=ρ(*ι, χ*, ···» *B)=H"=1/to), (1)
т. е. компоненты Хх, Х2, · · .» Хп случайного вектора
X суть независимые одинаково распределяемые слу-
РА

863
чайные величины
чайной величины
X/), то
ι
РАНГОВАЯ
плотность вероятности слу-
P№=A)fl.=m}=__L_
Ε {/?,·} = -
2, .·.,
, i Φ U
. . ., Λ,
, i = l,
Φ m,
\ (2)
2,
п.)
г, /, /с, лг = 1, 2,
71+1 п/д ι гс2"1
для любого /с= 1, 2, . . ., п.
При выполнении условия (1) существует совместная
плотность вероятности д(я,·, /с), А=1, 2, . . ., п,
случайных величин Xi и /?/, к-рая выражается формулой
q(xh k) =
[F(xi)^-^[i-F(xi)]n-kf{Xi)^ (3)
СТАТИСТИКА 864
В классе всех Р. с. особое положение занимают т. н.
линейные Р. с, к-рые определяются следующим
образом. Пусть A = \\a(i, /)|| — произвольная квадратная
матрица порядка п. Тогда статистика
τ=Σ"=ι й(г' Ri)
наз. линейной ранговой статистикой.
Напр., коэффициент ρ ранговой
корреляции Спирмена между векторами R и 1,
определяемый по формуле
(п-1)!
(fe-1) ! (n-h) I
где F (χι) — функция распределения случайной
величины Х(. Из (2) и (3) следует, что условная плотность
вероятности q(x[\Ri—k) случайной величины Χι при
условии, что Ri—k (к— 1, 2, . . ., п), выражается
формулой
q(xi\Ri^k)^
- (ft-l/lin-ft)! fF Ml*"1 i1 ~F W]'1-* / (*/)· (4)
Последняя формула позволяет проследить внутреннюю
связь, существующую между вектором наблюдений X,
Р. в. R и вектором порядковых статистик Х(), так
как (4) есть не что иное, как плотность вероятности /с-й
порядковой статистики X(„fe>, А=1, 2, ... , /г. Кроме
того, из (3) следует, что условное распределение ранга
Rl выражается формулой
Р{Д/=*|Х/} =
(п-1)!
■[^(Хй]*-Ч1-^№)1
η- к
^Г
(fe-1) J (n-fe)
И, наконец, при допущении о существовании моментов
Е{Х£·} и D{Xi} и выполнении (1) из (2) и (3) следует,
что коэффициент корреляции р(Хг·, /?/) между X,- и 7?,·
равен
ρ (χ,, д^/^й/гД)]!. *<· |>'>- τ] «*<**>·
В частности, если X,- подчиняется равномерному
распределению на отрезке [0,1], то
В случае, если X,- подчиняется нормальному
распределению Ν (α, σ2), то
причем ρ (Χ/, i?£) не зависит от параметров нормального
закона.
Лит.: [1] Hoeffding W,bkh: Ргос. 2 Berkeley
symposium on mathematical statistics and probability, Berkeley — Los
Ang., 1951, p. 83—92,[2] Гаек Я , Шидак 3., Теория
ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971;[3] Τ а р а с е н к о Ф. П.,
Непараметрическая статистика, Томск, 1976. М. С. Никулип.
РАНГОВАЯ СТАТИСТИКА — статистика,
построенная по вектору рангов. Если R = (Rl4 ... , Rn) —
рангов вектор, построенный по случайному вектору
наблюдений X = (Xf, ... , Хп), то любая статистика
T=T(R), являющаяся функцией от R, наз.
ранговой статистикой. Классич. пример Р. с. дает
коэффициент τ ранговой
корреляции Кендалла между векторами R и 1 = (1,
1, ... , 1), к-рый определяется по формуле
P =
12
.У"
71+ 1
R,-
n+ 1
η (n - 1) ^ i — 1
является линейной Р. с.
Линейные Р. с, как правило, просто устроены в
вычислительном отношении и их распределения
вероятностей нетрудно находить. Именно поэтому в теории Р. с.
играет большую роль понятие проекции Р. с. в
семейство линейных Р. с. Если Τ — нек-рая Р. с,
построенная по случайному вектору X, относительно
распределения вероятностей к-рого высказана гипотеза Я0, то
проекцией Т= Τ (R) Р. с. Τ в семейство линейных
Р. с. наз. такую линейную Р. с, что Е{(Т—Т)2}
минимально при справедливости Я0. Как правило, проекция
Τ достаточно хорошо аппроксимирует Р. с. Г, и
разность Т—Т пренебрежимо мала, когда я->оо. При
справедливости гипотезы #0, согласно к-рой
компоненты Хх, ... , Хп случайного вектора X суть
независимые случайные величины, проекция Г Р. с. Τ
определяется по формуле
?=-^ИГ=1*<*· Л,)-(п-2)Е{П· (*)
где a(ij )=E {T\R,=/}, 1<έ, /<η (см. [1]).
Существует внутренняя связь между Р. с. τ и р.
Как показано в [1], при справедливости гипотезы Я0
проекция τ коэффициента корреляции Кендалла τ
в семейство линейных Р. с. с точностью до постоянного
множителя совпадает с коэффициентом ранговой
корреляции Спирмена р, а именно:
*=-К*+4>.
Из этого равенства следует, что коэффициент
корреляции согг(р, τ) между ρ и τ равен
согг (ρ, τ) =
Υ Οτ
2(n+f)
V2n(2n+5) '
и τ асимптотически эквива-
т. е. при больших η Р. с. ρ
лентны (см. [2]).
Лит.: [1] Гаек Я., Шидак 3., Теория ранговых
критериев, пер. с англ., М., 1971; [2] К е η d a 1 1 Μ. G., Rank
correlation methods, 4 ed., L., 1970. M. С. Никулин.
РАНГОВЫЙ КРИТЕРИЙ — статистический
критерий, основанный на ранговой статистике. Напр.,
критерии Вилкоксона и Манна — Уитни являются
ранговыми. Р. к. инвариантны относительно группы G
всех преобразований, задаваемых непрерывными строго
возрастающими функциями и, следовательно, являются
инвариантными относительно изменений параметров
сдвига и масштаба. Кроме того, во многих задачах ста-
тистич. проверки гипотез наиболее мощные
инвариантные критерии хорошо аппроксимируются Р. к.
См. также Непараметрический критерий.
Лит.: [1] Гаек Я., Шидак 3 , Теория ранговых
критериев, пер. с англ., М., 1971; [2] Л е м а н Э., Проверка
статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд , М., 1979. Μ С. Никулин.
РАНДОМИЗАЦИИ КРИТЕРИЙ,
перестановок критерий,— статистический критерий,
предназначенный для проверки гипотезы о симметричности

865
РАО - БЛЭКУЭЛЛА — КОЛМОГОРОВА ТЕОРЕМА
866
плотности вероятности наблюдаемого случайного
вектора относительно перестановки ее аргументов.
Пусть по реализации х=(х1ч ... , хп) случайного
вектора Х = (Хг, ... , Хп) надлежит проверить гипотезу #0,
согласно крой неизвестная плотность вероятности
ρ (х) = р (хг, ... , хп) случайного вектора X симметрична
относительно перестановок своих аргументов, т. е.
ρ (хи ..., χη)=ρ(χΓι, ..., хГп),
где (гх, ... , гп) — вектор, получающийся в результате
произвольной перестановки координат вектора (1,
2, ... , п). Далее, пусть Х(,) и R — вектор порядковых
статистик и вектор рангов соответственно, построенные
по вектору наблюдений X, и пусть Ψ=Ψ (Х(,), R) такая
статистика, что
Ε {Ψ (*<·>, R)\Xi-)} = a
почти всюду для нек-рогоа^(0; 1). В таком случае ста-
тистич. критерий с критич. функцией φ, связанной со
статистикой Ψ соотношением φ(Χ)—Ψ(Χ(·>, i?), наз.
критерием рандомизации. В силу того
что Χ"<·> является полной достаточной статистикой,
то при справедливости гипотезы Н0 семейство подобных
критериев совпадает с семейством критериев
перестановок.
Лит.: [1] Гаек Я., Шидак 3., Теория ранговых
критериев, пер. с англ., М., 1971; [2]ЛеманЭ., Проверка
статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979. М. С. Никулин.
РАНДОМИЗАЦИЯ — статистическая процедура, в
к-рой решение принимается случайным образом. Пусть
по реализации χ случайной величины X, принимающей
значения в выборочном пространстве (ЗЕ, 33, Ре ), θζΘ
надлежит принять решение ξ из измеримого
пространства решений (Ξ, Л) и пусть на этом пространстве (Ξ, Л)
задано семейство {Qx}, ;ζζϊ, τ. н. переходных
вероятностных распределений <?*·(·) таких, что для любого
фиксированного события А, А£Л, функция Q.(A)
является ^-измеримой от х. В таком случае статистич.
процедура принятия решения, в к-рой по наблюденной
реализации χ случайной величины X решение
принимается с помощью розыгрыша по вероятностному
закону Qx('), наз. рандомизацией.
Лит.: [1] Ченцов Η. Η., Статистические решающие
правила и оптимальные выводы, М., 1972. М. С. Никулин.
РАО — БЛЭКУЭЛЛА — КОЛМОГОРОВА
ТЕОРЕМА — утверждение из теории статистич. оценивания,
на основе к-рого построен метод улучшения
несмещенных статистич. оценок.
Пусть X — случайная величина, принимающая
значения в выборочном пространстве (£, S3-, Ρθ ), θζθ,
причем семейство вероятностных распределений {Ре,
θζΘ} обладает достаточной статистикой Т=Т(Х), и
пусть φ=φ(Χ) — нек-рая векторная статистика с
конечной матрицей вторых моментов. В этом случае ма-
тематич. ожидание Ее {φ} статистики φ существует и,
кроме того, условное математич. ожидание φ* =
= Ее {φ| Τ] является несмещенной оценкой для Ее {φ},
то есть
Εθ{φ*}=Έθ{Εβ{φΙΤ}} = Εθ{φ}.
В этих условиях Р.— Б.— К. т. утверждает, что
квадратичный риск статистики φ* не превосходит
квадратичного риска статистики φ равномерно по всем θζθ,
т. е. для любого вектора ζ, имеющего ту же
размерность, что и статистика φ, выполняется неравенство
*в {(ф-е9 М)г (φ-εθ МЖ s*
Ϊ^ΕΘ {(φ*-Εθ {φ*})Τ (φ*-Εθ {φ*})} ζΤ
для всех θ ζ Θ. В частности, когда φ является
одномерной статистикой, то при любом θζΘ дисперсия D6(p*
статистики φ* не превосходит дисперсии Οθφ
статистики φ.
I В самом общем случае Р.— Б.— К. т. утверждает,
J что операция осреднения по достаточной статистике не
I приводит к увеличению риска относительно
произвольной выпуклой функции потерь, откуда следует, что
хорошие статистич. оценки нужно искать только в
терминах достаточных статистик, т. е. в классе необходимых
статистик.
В случае, когда семейство {Ре } является полным,
т. е. когда единственной несмещенной оценкой нуля
является функция, почти всюду равная нулю,
несмещенная оценка с равномерно минимальным риском,
получаемая с помощью Р.— Б.— К. т., является
единственной. Таким образом, Р.— Б.— К. т. дает рецепт
построения наилучших несмещенных оценок: нужно
взять любую несмещенную оценку, а затем осреднить
ее по достаточной статистике. Именно таким образом
в следующем примере, принадлежащем А. Н.
Колмогорову, строится наилучшая несмещенная оценка
функции распределения нормального закона.
Пример. Пусть по реализации случайного
вектора Х=(Хг, ... , Хп), компоненты к-рого Χ,·, ί=ί,
2, ... , η, Ai>3, суть независимые случайные величины,
подчиняющиеся одному и тому же нормальному закону
iV1(g, σ2), следует оценить функцию распределения
<t>(*=t)=^[' e-^-^^'du, |ξ|<«ο,σ>0.
\ σ / V 2π σ J - «
Предполагается, что параметры ξ и σ2 неизвестны. Так
как семейство
{Ф(^), |ξ|<·, σ>θ}
нормальных законов является полным и существует
достаточная статистика Г=(Х, S2), где
Х=±(Х1+...+Хп)
и
52=τΣΓ=1<*«·-^)2>
то для построения наилучшей несмещенной оценки
функции распределения ф( —jr- J следует
воспользоваться Р.— Б.— К. т. В качестве исходной статистики
φ можно взять, напр., функцию эмпирич.
распределения, построенную по какой-то одной компоненте
вектора X, напр. Хг, то есть
_ ίθ, если χ < Хг
}1, если χ ^ Χι,
к-рая является тривиальной несмещенной оценкой для
Φί-^-j, так как
Е{ф} = Р{Х1<4=ф(~Е)·
Осреднение оценки φ по достаточной статистике Τ
приводит к оценке
φ* = Ε{φ|Τ} = Ρ{Χ1<Λ|λ', S2} =
= р{^<^|х, s»}. (1)
В силу того что статистика
Ι γτ ι Χ χ — X X 2~X X п~' ** \
ν ^ V s ' s ' '"' s У'
являющаяся дополнительной к достаточной статистике
Г, имеет равномерное распределение на (п—2)-мерной
сфере радиуса η и, следовательно, не зависит ни от не-
I известных параметров ξ и σ2, ни от достаточной
статист 28 Математическая энц., т. 4

867
РАО — КРАМЕРА
стики Т, то (X1—X)/S тоже не зависит от ξ, σ2 и Τ,
причем
:7V-2 (И), Μ < ^«-l,
(2)
где
Tf(u)
1
'('-£
Vn(f+1)
■(*)
t,~b-rl·^'-
(3)
— функция распределения Томпсона с /
свободы. Таким образом, из (1)—(3) следует,
±
с
лучшей несмещенной оценкой для
ноп по
ляется
.(!
п независимым наблюдениям Х1
степенями
что наи-
построен-
, Хи, яв-
х-Х
S
п-\-
х-X \
Т"7
где Sj(.) — функция распределения Стьюдента с /
степенями свободы.
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «Изв. АН СССР. Сер.
матем.», 1950, т. 14, № 4, с. 303—26; [2] Ρ а о С. Р., Линейные
статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968;
[3]Ван дер ВарденБ. Л., Математическая статистика,
пер. с нем., М., 1960; [4] В 1 а с k w е 1 1 D., «Ann. Math.
Statistics», 1947, v. 18, p. 105—10. Μ. С. Никулин.
РАО — КРАМЕРА НЕРАВЕНСТВО,
неравенство Фреше, неравенство
информации,— неравенство в математич. статистике,
устанавливающее нижнюю границу риска в задаче статистич.
Оценивания неизвестного параметра относительно
квадратичной функции потерь.
Пусть распределение вероятностей случайного
вектора Х=(Х1ч ... , Хп), принимающего значения в я-мер-
ном евклидовом пространстве R", задается плотностью
вероятности p(x\Q), x=(xt, ... , χη)τ, θζθοίΚ1, и пусть
в качестве оценки неизвестного скалярного параметра θ
используется статистика Т—Т(Х) такая, что
ΕθΓ=θ + ό(θ),
где 6(θ) — нек-рая дифференцируемая функция,
называемая смещением статистики Т. В таком случае
при определенных условиях регулярности семейства
{р (ж|6)}, одно из к-рых заключается в отличии от нуля
информационного количества
Фишера
"dlnp (X]Q)'
(9) = Е[91ПРае*1е)]2>
имеет место неравенство Рао — Крамера
ir-ei's^y1'+ь'(б),
(1)
устанавливающее нижнюю границу для
среднеквадратичной ошибки Eq\T—θ|2 всех оценок Τ неизвестного
параметра Θ, имеющих одну и ту же функцию смещения
ь(в).
В частности, если статистика Τ является несмещенной
оценкой параметра Θ, то есть Ее T=Q, то из (1) следует,
что
ОТ = €9\Т-вр^^. (2)
Таким образом, в этом случае Р.— К. н. показывает
нижнюю гралицу для дисперсий несмещенных оценок Τ
параметра Θ, к-рая равна 1/1 (Θ), и, кроме того, Р.—
К. ы. демонстрирует, что существование состоятельных
оценок связано с неограниченным ростом
информационного количества Фишера / (Θ) при η -> оо. В случае
если в Р.— К. н. (2) достигается равенство для какой-то
несмещенной оценки Т, то она является наилучшей в
смысле минимума квадратичного риска в классе всех
НЕРАВЕНСТВО 868
несмещенных оценок и наз. эффективной
оценкой. Напр., если ΧΊ, Х2, ... , Хп —
независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и
тому же нормальному закону iV(6, 1), то статистика
Т=—(Z1+...+Z„) является эффективной оценкой
неизвестного математич. ожидания Θ.
В общем случае равенство в (2) достигается тогда и
только тогда, когда семейство {ρ(#|θ)} является
экспоненциальным, т. е. плотность вероятности
случайного вектора X представима в виде
p(x\Q)=c (χ) ехр {и (θ) φ (χ) —ν (θ)},
причем эффективной оценкой для параметра θ в этом
случае является достаточная статистика Г—φ(Χ).
В тех случаях, когда эффективные оценки не
существуют, нижнюю границу дисперсий несмещенных оценок
сяедует уточнять в силу того, что Р.— К. н дает лишь
нижнюю границу, к-рая не обязательно является
точной нижней границей. Напр., если Хг, ... , Хп —
Независимые случайные величины, подчиняющиеся
одному и тому же нормальному закону Nfa1'3, 1), то нижней
границей для дисперсий несмещенных оценок
параметра а является
+
18а2
в то время как
ι
/(θ)
9а*
Вообще, если в Р.— К. н. (2) равенство не достигается,
то это не означает, что найденная оценка не является
наилучшей, т. к. она может оказаться единственной
несмещенной оценкой.
Существуют различные обобщения Р.— К. н. на
случай векторного параметра, а также на случай, когда
оценивается неизвестная функция от этого параметра.
Именно в этих случаях большую роль играют
уточнения нижней границы в Р.— К. н.
Неравенство (1) было получено независимо друг от
друга М. Фреше (М. Frechet), Рао (С. В. Rao), Г.
Крамером (Н. Cramer).
Лит.: Ll] К ρ а м е ρ Г., Математические методы статистики,
пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] В а н д е ρ В а р д е н Б. Л.,
Математическая статистика, пер. с нем , М., 1960; [3] Бол ь-
ш с в Л. Н., «Теория вероятностей и ее применения», 1961, т. 6,
№ 3, с. 319—26; 14] В ha 11 a cha г у у a A., «Sankhya», 1946,
v. 8, № ι, p. 1 — 14; 1947, v. 8, № 3, p. 201 — 18; 1948, v. 8, № 4,
p. 315—28. M. С. Никулин.
РАСКРОЯ ЗАДАЧА, задача
рационального раскроя,— выбор такого размещения
заготовок в кусках материала, к-рое дает заготовки, как
правило, в требуемой комплектности при минимальном
расходе материала. В соответствии с особенностями в
технологии и организации раскроя различаются
математич. модели рационального раскроя (р. р.) для
массового и индивидуального производства: для прямых
(отрезки, прямоугольники, параллелепипеды) и
фигурных заготовок, для случая кусков материала
постоянных размеров и формы и с разбросом формы или
размещения пороков (см. [1]). В зависимости от отрасли
производства и используемого оборудования
учитываются ограничения на допустимые виды раскроев. С Р. з.
совпадает постановка нек-рых задач размещения грузов
в сушильных печах, в вагонах, на палубах судов.
В массовом производстве при поступлении
одинаковых кусков материала, если можно перечислить все
ί=1, 2, ... , N доступные способы раскроя одного куска
материала на нек-рые из / = 1, ... , т нужных видов
заготовок, Р. з. сводится к решению задачи линейного
программирования: найти интенсивность применения
я/>0 каждого из раскроев, при к-рых ^.^/=min и для
каждого / соблюдено условие ^aij-x^bj, где а/у—-
количество /-χ заготовок в ί-м раскрое, a bj — необходи-

869 расписан
мое на одно изделие количество этих заготовок. На
практике обычно нельзя перечислить все допустимые
раскрои. Упомянутую задачу линейного
программирования решают исходя из нек-рого набора допустимых
раскроев методом последовательного улучшения
плана. Одновременно нередко изменяют список
допущенных к рассмотрению раскроев. На каждом шаге
составляют (генерируют на ЭВМ) один из тех раскроев, к-рые,
согласно оценкам двойственной задачи линейного
программирования, способны улучшить план раскроя в
целом. В случае «линейного» материала (к-рый надо
кроить только но длине) упомянутое генерирование
осуществимо в приемлемое время средствами
динамического программирования (см. [1], [2]). При раскрое
листов на прямоугольники этот путь принципиально тоже
осуществим, но в реальных задачах может становиться
громоздким. Генерирование улучшающих раскроев
тогда ведут эвристич. алгоритмами: ограничиваются
целенаправленным составлением раскроев с участием
не более трех разнотипных заготовок (см. [2], [3]).
Сходно ставятся и решаются Р. з. при возможности
выбора одного или нескольких стандартных размеров
материала или при необходимости использовать
имеющийся в наличии материал нескольких размеров (см.
[1]). В программах решения Р. з. для,прямых и
прямоугольных заготовок учитываются ограничения,
связанные со спецификой используемого оборудования (см.
[2], [3]). В программы включают составление
подетальных норм и печать карт раскроя.
В массовом производстве часто используют
линейный материал смешанных длин. Здесь Р. з. состоит в
выборе раскроя очередного куска конкретной длины.
В машиностроении целесообразно применять
специально рассчитываемую линейку, предписывающую раскрой
остатка, к-рый возникает после отрезания нескольких
заготовок [1]. В швейном производстве при составлении
настилов ткани из рулонов разной длины используют
также малые специализированные ЭВМ (см. [4]),
решающие только эту Р. з. В металлургии на прокатных
станах замеряют на ходу длину прокатного металла и,
на основе решения Р. з. на ЭВМ, осуществляют в авто-
матич. режиме управление раскройным устройством
(см. [5]). В зарубежной стекольной промышленности
автоматизируют обнаружение пороков стекла и решают
на ЭВМ Р. з., подчиняя ее обходу пороков. В
лесопилении бревна также имеют разброс размеров и формы,
но массовость задачи придает коэффициентам aijk
(характеризующим для k-й группы бревен выход досок /-го
вида при установке пил i-м способом) устойчивый ста-
тистич. характер. Р. з. в лесопилении математически
поставлена давно (см. [1]) и эффективно решена в
производственных условиях (см. [6]).
Для фигурных заготовок в массовом производстве
есть вполне применимые программы выбора
оптимального положения заготовок при однорядной и
двухрядной штамповке из бесконечной ленты (см. [7], [8]), а
также при штамповке из лент, нарезаемых из заданного
листа. Остается эффективным также глазомерное
составление наборов, включающих разные фигурные
заготовки раскроев с последующим решением задачи
линейного программирования только на этом множестве
раскроев.
При индивидуальном производстве Р. з. требует
вместо линейного программирования решения более
сложной задачи целочисленного программирования, снова
с неявно заданной матрицей коэффициентов, поскольку
все допустимые раскрои не перечислены. Для линейных
и прямоугольных заготовок запрограммированы
практичные эвристич. алгоритмы приближенного решения
этой задачи (см. [2]).
Для фигурных заготовок при индивидуальном произ-
овдстве имеются различные разработки, но пока нет
й теория 870
(1983) достаточно удовлетворительных приемов решения
Р. з. на ЭВМ. Надобность в таком решении ощущает
в первую очередь судостроительная промышленность.
Довольно эффективны диалоговые алгоритмы, при к-рых
глазомерные возможности человека сочетаются с
переносом на ЭВМ труда по воспроизведению поправок,
обсчету и оформлению возникающих вариантов.
Лит.: [1] Канторович Л. В., Залгаллер В. Α.,
Рациональный раскрой промышленных материалов, 2 изд.,
Новосиб., 1971; [2] Мухачева Э. Α., «Кузн.-штамп, про-
из-во», 1979, № 6, с. 14—17; [3] Математическое обеспечение
расчетов линейного и прямоугольного раскроя, Уфа, 1980 (Тр.
Всесоюзного науч. семинара); [4] Г а л ы н к е ρ И. И., С а φ ρ о-
н о в а И. В., Механическая технология производства одежды,
М., 1977; [5] Э π ш τ е й н В., Лагутин Α., «Материально-
техн. снабж.», 1976, № И, с. 77—81; [6] С о б о л е в И. В.,
Управление производством пиломатериалов, Петрозаводск, 1976;
[7] Белякова Л. В., Ρ я б и н и н а Н. О., «Кузн.- штамп,
произ-во», 1977, № И, с. 25—28; [8] С τ о я н Ю. Г., Пана-
сен к о Α. Α., Периодическое размещение геометрических
объектов, К., 1978. В. А. Залгаллер, Л. В. Канторович.
РАСПАДА РАЗРЫВА МЕТОД — один из методов
численного решения задач математич. физики. Термин
«распад разрыва» привнесен из газовой динамики. Он
означает процесс, возникающий при соприкосновении
двух масс газа с различными состояниями газодинамич.
величин (плотности, скорости, давления, внутренней
энергии). Применительно к численному решению задач
газовой динамики метод заключается в следующем.
В области, где численно решается задача, строится
разностная сетка (см. Подвижных сеток метод).
Принимается, что в пределах каждой ячейки разностной сетки
газодинамич. величины постоянны и равны нек-рым
средним значениям, полученным из имеющегося их
распределения. Затем на каждой из границ ячеек сетки
решается задача о распаде разрыва применительно к
состоянию газов в двух соседних ячейках. Ее решение
достаточно просто алгоритмизируется для двух
полубезграничных, соприкасающихся по плоской
поверхности газов, в каждом из к-рых распределение
газодинамич. величин постоянно. Значения газодинамич.
величин из решения этой задачи, отвечающие
пространственно-временному положению границы, разделяющей
ячейки сетки, принимаются за значения на
соответствующей границе ячейки. Это приближение справедливо
по крайней мере на промежутке времени Δί, пока ни
одно из попарных взаимодействий на границах
соседних ячеек не будет влиять друг на друга. Рассчитав
потоки по значениям газодинамич. величин на границах
ячеек и зная исходное ступенчатое распределение на
момент £0, из балансов массы, импульса, полной энергии
по каждой ячейке разностной сетки рассчитывается
ступенчатое распределение на момент *0+Δί. Сама
разностная сетка может перестраиваться в ходе расчета. Ее
движение может задаваться независимо или
определяться в соответствии с особенностями решаемой
задачи. Упомянутое выше ограничение на временной шаг
Δί является по своей сути условием устойчивости
описанной схемы расчета.
Изложенный подход к построению вычислительных
алгоритмов обобщается применительно к решению задач
гидродинамики с теплопроводностью, теории упругости
и др. Благодаря наглядной физич. интерпретации,
адекватности граничных условий исходной
дифференциальной постановке и универсальности, Р. р. м.
получил широкое распространение в практике численного
решения задач математич. физики.
Лит.: [1] Ландау Л. Д., Л и φ ш и ц Ε. Μ., Механика
сплошных сред, 2 изд., М., 1954; [2] Численное решение
многомерных задач газовой динамики, М., 1976. А. В. Забродин.
РАСПИСАНИЙ ТЕОРИЯ — ветвь прикладной
математики (раздел исследования операций), изучающая
математич. постановки π методы решения задач
оптимального упорядочения и согласования выполнения нек-рых
действий во времени. К Р. т. относятся вопросы, свя-
28*

871 распознав^
занные с построением оптимальных расписаний
(календарных планов, графиков) выполнения конечных (или
повторяющихся) комплексов операций. Область
приложения результатов Р. т. включает в себя управление
производством, транспортом, строительством,
вычислительными системами и др.
Исследуемые в Р. т. задачи часто формулируются
как задачи оптимизации процесса обслуживания
конечного множества требований в системе, содержащей
ограниченные ресурсы. Конечное множество
требований отличает модели Р. т. от сходных с ними моделей
массового обслуживания теории, где в основном
рассматриваются бесконечные потоки требований. В
остальном эти теории имеют близкие отправные точки.
В Р. т. для каждого требования задается момент его
поступления в систему. Находясь в системе, требование
должно пройти одну или несколько, в зависимости от
условий задачи, стадий обслуживания. Для каждой
стадии указываются допустимые наборы ресурсов и
длительности обслуживания требования при
использовании этих наборов. Оговаривается возможность
прерываний процесса обслуживания отдельных
требований. Ограничения на очередность обслуживания
задаются, как правило, транзитивным,
антирефлексивным бинарным отношением. Алгоритмы расчета
характеристик больших частично упорядоченных
множеств требований составляют основное содержание
раздела Р. т., к-рый носит название теории сетевого
планирования. Иногда в моделях Р. т. указываются
длительности переналадок при переходе от
обслуживания одного требования к обслуживанию следующего
требования и др. условия.
Следует отметить, что исходя из практич.
направленности Р. т. не стремится к унификации
терминологии: наряду с термином «требование» употребляются,
напр., термины «работа», «операция» и т. д. По той же
причине по-разному формально определяется
расписание обслуживания требований. В общем случае под
расписанием можно понимать однозначное
отображение, ставящее в соответствие каждому требованию в
каждый момент времени определенный набор ресурсов.
В качестве критериев обычно выбираются критерии
суммарного и максимального штрафов, имеющие
следующий вид:
здесь ta(s) — момент завершения обслуживания
требования а в расписании s, N — множество требований,
а Φα(') — неубывающие функции, именуемые
функциями штрафа. В практич. постановках функции штрафа
имеют обычно конкретный экономич. смысл (напр.,
омертвление оборотных средств, ущерб от потери
потребителей и т. д.). Рассматриваются
многокритериальные задачи.
Помимо детерминированных изучаются и стохастич.
модели. В этом случае обычно рассматривается либо
задача минимизации математич. ожидания значения
одного из используемых в детерминированных
постановках критериев, либо задача минимизации вероятности
нек-рого события. Таким событием может быть, напр.,
запаздывание в обслуживании требований относительно
заданных сроков.
Основным подходом к решению детерминированных
задач Р. т. является общая алгоритмич. схема
последовательного анализа вариантов. Именно на этом пути
удалось решить наиболее адекватные практике задачи,
отработать оптимизационные процедуры планирования
работ во времени (календарное
планирование), реализуемые в автоматизированных системах
управления. Вместе с тем для ряда
детерминированных задач получены быстродействующие решающие
ИЕ ОБРАЗОВ 872
правила, доказаны необходимые и достаточные условия
их применимости, предложены эффективные приемы,
имеющие значение для дискретной оптимизации в
целом (см., напр., [1]—[4]). При разработке таких
оптимизационных алгоритмов находят применение, в
частности, результаты графов теории и математич.
программирования. Опубликованные в нач. 70-х гг. 20 в.
работы по теории Ν Ρ -пол ноты привели к появлению
многочисленных исследований сложности задач Р. т. (см.,
напр., [5]). Результаты этих исследований повысили
интерес к алгоритмам приближенного решения и
оценке точности таких алгоритмов (см., напр., [6]). Для
многих подходов и приемов решения задач
дискретной оптимизации Р. т. представляет легко
формулируемые практически значимые «пробные камни» —
примеры.
Лит.: [1] Τ а н а е в В. С, Ш к у ρ б а В. В., Введение в
теорию расписаний, М., 1975; [2] Конвей Р. В.,
Максвелл В. Л., Миллер Л. В., Теория расписаний, пер. с
англ., М., 1975; [3] Computer and job-shop scheduling theory,
Ν. Υ.—[а. о.], 1976; [4] G ο η ζ a 1 e ζ Μ. J., «А С Т Computing
Surveys», 1977, v. 9, № 3, p. 173—204; L5] Lenstra J. K.,
RinnooyKanA. H. G., «Operations Research», 1978, v. 26,
№ 1, p. 22—35; [6] G а г е у М. R., GrahamR.L.,
Johnson D. S., там же, р. 3—21. Я. Б. Зиндер, В. В. Шкурба.
РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ — раздел математич.
кибернетики, разрабатывающий принципы и методы
классификации, а также идентификации предметов,
явлений, процессов, сигналов, ситуаций — всех тех
объектов, к-рые могут быть описаны конечным набором
нек-рых признаков или свойств, характеризующих
объект.
Описание объекта представляет собой л-мерный
вектор, где η — число признаков, используемых для
характеристики объекта, причем i-я координата этого
вектора равна значению ί-го признака, i=l, ...,/?.
В описании объекта допустимо отсутствие информации
о значении того или иного признака. Если необходимо
расклассифицировать предъявленные объекты по
нескольким группам (образам) только на основе их
описаний, причем число групп не обязательно известно,
то такая задача Р. о. наз. задачей
таксономии (кластера, обучения без
учителя, самообучения). Собственно для задач
Р.о. (обучения с учителем), кроме описания
объектов, необходимы дополнительные сведения о
принадлежности этих объектов к тому или иному классу
(образу). Количество классов конечно и задано. Классы
могут пересекаться.
Совокупность описаний объектов, для к-рых известны
образы, к к-рым они принадлежат, образует т. н.
обучающую последовательность
(набор эталонов). Основная задача Р.о.
заключается в том, чтобы исходя из обучающей
последовательности определить класс, к к-рому принадлежит
описание нек-рого объекта, подвергаемого
классификации или идентификации. К такой схеме приводится
любая задача принятия решений, если только процесс
принятия решения базируется в основном на изучении
ранее накопленного опыта.
Прикладные задачи, решаемые методами Р.о.,
возникают при идентификации машинописных и
рукописных текстов, идентификации фотоизображений, при
автоматич. распознавании речи, в медицинской
диагностике, при геологич. прогнозировании,
прогнозировании свойств химич. соединений, оценке экономических,
политических, производственных ситуаций, при
классификации социологич. материала и т. п. Для решения
этих задач накоплено большое число т.н.
эвристических алгоритмов распознавания,
ориентируемых на специфику каждой конкретной
задачи. Кроме того, на основе нек-рых интуитивных
принципов строятся модели алгоритмов
распознавания, т.е. семейства алгоритмов для

873
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
874
решения классификационных задач. Наиболее
употребительны следующие модели: модели, построенные с
использованием принципа разделения, задающие класс
поверхностей, разделяющих образы; модели,
построенные на принципе потенциалов; модели вычисления
оценок (голосования); структурные модели; статистич.
модели.
На уровне модели ставится задача отыскания
экстремального по качеству алгоритма распознавания (модель
вычисления оценок). О качестве работы распознающего
алгоритма обычно судят по результатам работы
алгоритма на нек-ром тестовом наборе объектов
(контрольная последовательность), для к-рого исследователю
априори известна достоверная классификация. При
построении общей теории распознающих алгоритмов
наиболее полные результаты получены в рамках алгеб-
раич. подхода. Распознающий алгоритм представляется
в виде произведения распознающего оператора и
решающего правила. Введение над распознающими
операторами операций сложения, умножения, умножения на
скаляр позволяет доказать существование в рамках
нек-рого алгебраич. расширения исходного набора
распознающих операторов такого распознающего
алгоритма, к-рый обладает экстремальным качеством на любой
контрольной последовательности.
К задачам Р. о. относятся также задачи
минимизации описания исходных объектов, выделения
информативных признаков.
Лит.: [1] Журавлев Ю. И., «Проблемы кибернетики»,
1978,. в. 33, с. 5—68; [2] Айзерман Μ. Α., Б ρ а в е р-
ман Э. М., Розоноэр Л. И., Метод потенциальных
функций в теории обучения машин, М., 1970; [3] В а п н и к В. Н.,
Червоненкис А. Я., Теория распознавания образов, М.,
1974; [4] Фу К. С, Структурные методы в распознавании
образов, пер. с англ., М., 1977. П. П. Кольцов.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — то же, что обобщенная
функция.
i^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Фишера F-распределе-
ние.
^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Стьюдента
распределение.
Г2-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Хот,еллинга
^-распределение.
JF-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Уишарта
распределение.
^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Фишера z-pacnpeделение.
В-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Бета-распределение.
Г-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Гамма-распределение.
Х2-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. «Хи-квадрат»
распределение.
(^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. «Омега-квадрат»
распределение.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — одно из
основных понятий вероятностей теории и
математической статистики. При современном подходе в качестве
математич. модели изучаемого случайного явления
берется соответствующее вероятностное пространство
{Ω, S, Р), где Ω — множество элементарных событий,
S — выделенная в Ω σ-алгебра подмножеств, Ρ —
определенная на S мера со свойством Ρ (Ω)=1
(вероятностная мера).
Любую такую меру на {Ω, S } и называют
распределением вероятностей (см. [1]). Однако
это определение, являющееся основой аксиоматики
А. Н. Колмогорова (1933), при последующем развитии
теории оказалось чрезмерно общим и было, с целью
исключения нек-рых «патологических» случаев,
заменено более ограничительным, напр. требованием
«совершенности» вероятностной меры Ρ (см. [2], особенно
добавление к англ. переводу [3] этой книги). От Р. в.
в функциональных пространствах требуют обычно
выполнения нек-рого свойства регулярности,
формулируемого как сепарабельность, но допускающее
формулировку и в других терминах (см Сепарабелъный
процесс, а также [4]).
Р. в., встречающиеся в большинстве конкретных
задач теории вероятностей и математич. статистики,
весьма немногочисленны. Все они давно известны и связаны
с основными вероятностными схемами [5]. Они
описываются или вероятностями отдельных значений (см.
Дискретное распределение) или плотностями
вероятности (см. Непрерывное распределение). В необходимых
случаях для них составлены таблицы [6].
Из этих основных Р. в. одни связаны с повторениями
независимых испытаний (см. Биномиальное
распределение, Геометрическое распределение, Полиномиальное
распределение), а другие — с соответствующими этой
вероятностной схеме предельными закономерностями,
возникающими при неограниченном возрастании числа
испытаний (см. Нормальное распределение, Пуассона
распределение, Арксинуса распределение). Однако эти
предельные распределения могут возникать и как
точные: в теории случайных процессов (см. Винеровский
процесс, Пуассоновский процесс) или как решения
уравнений, возникающих в т. н. характеризационных
теоремах (см. также Нормальное распределение,
Показательное распределение). Равномерное распределение
вероятностей, принимаемое обычно как математич.
выражение равновозможности соответствующих исходов
опыта, также может быть получено как предельное
(напр., при приведении по какому-то модулю суммы
большого числа случайных величин или каких-либо
других случайных величин с достаточно гладкими
«расплывающимися» распределениями). Из упомянутых
выше основных Р. в. получают другие Р. в. с помощью
функциональных преобразований рассматриваемых
случайных величин. Так, напр., в математич. статистике из
нормально распределенных случайных величин
получают величины, имеющие «хи-квадрат» распределение,
нецентральное «хи-квадрат» распределение, Стьюдента
распределение, Фишера F-распределение и др.
Важные классы распределений были открыты в связи
с развитием асимптотич. методов теории вероятностей
и математич. статистики (см. Предельные теоремы,
Устойчивое распределение, Безгранично делимое
распределение, «Омега-квадрат» распределение).
С теоретической и прикладной точек зрения важно
умение определить понятие близости распределений.
Совокупность всех Р. в. на {Ω, S} может быть
различными способами превращена в топологич. пространство.
При этом основную роль играет слабая сходимость Р. в.
(см. Распределений сходимость). В одномерном и
конечномерном случаях основным средством изучения
сходимости Р. в. является аппарат характеристических
функций.
Часто полное описание Р. в. (напр., при помощи
плотности вероятности или распределения функции)
заменяют заданием небольшого числа характеристик.
Из этих характеристик наиболее употребительны
математическое ожидание (среднее значение), дисперсия,
медиана и моменты в одномерном случае. О числовых
характеристиках многомерных Р. в. см. Корреляция,
Регрессия.
Статистическим аналогом Р. в. является эмпирическое
распределение. Эмпирич. распределение и его
характеристики могут быть использованы для приближенного
представления теоретического Р. в. и его характеристик
(см. Оценка статистическая). О способах измерения
степени согласия эмпирич. распределения с
гипотетическим Р. в. см. Статистических гипотез проверка,
Непараметрические методы статистики.
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Основные понятия
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [3] Гн еден к о Б В.,
Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин, М.—Л., 1949; [3] их же,
Limit distributions for sums of independent random variables,

875 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Camb. Mass. 1954; [4] Π ρ ο χ ο ρ о в Ю. В., в кн.: Proc. fourth I
Berkeley symposium on mathematical statistics and probability,
v. 2, Berkeley — Los Aug., 1961, p. 403—19; [5] Φ e л л е р В.,
Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ.,
2 изд., т. 1—2, М., 1967; [6] Большев Л.Н.,
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., МГ.,
1968; [7] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5
изд., М., 1969; [8] Крамер Г., Математические методы
статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [9] Η е в ё Ж.,
Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969.
Ю. В. Прохоров.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ —
распределение в единичном интервале [0,1) дробных долей {ау}
последовательности действительных чисел а,·, /=
=1,2, ... Последовательность дробных долей {ау·},
./—1,2, . . . , наз. равномерно распределен- j
ной в интервале [0,1), если для каждого
интервала [а, &)СГ[0,1) имеет место равенство
lim Ψη («ι Ь)_ β ι
η -> oo η '
где φ„(α, b) — число первых η членов {ay}, 1<;/<^?
последовательности {a/}, /=1,2, . . . , попавших в
[a, b). При этом последовательность чисел а,·, /=
=1,2, . . . , наз. равномерно
распределенной по модулю 1.
Критерий Вейля (см. [1]) для равномерно
Р. д. д.: бесконечная последовательность дробных долей
{осу}, / = 1, 2, ... , равномерно распределена в единичном
интервале [0, 1) тогда и только тогда, когда
lim JLy* /({ay})= [1f(x)dx
для любой интегрируемой по Риману на отрезке 0<я<:
<1 функции f(x). Это утверждение эквивалентно
следующему. Для того чтобы последовательность ay, /=
= 1, 2, ..., была равномерно распределена по модулю 1,
необходимо и достаточно, чтобы
lim ± уп в«я'шс7=0
для каждого целого тфО. Из критерия Вейля и его
оценок тригонометрич. сумм
следует, что если хотя бы один из коэффициентов as,
l<s<A;, многочлена
f(x) = akxk+...+a1x
иррационален, то последовательность дробных долей
{/(л)}, 7i=l, 2, ... , равномерно распределена в
интервале [0, 1). |
Понятию равномерного Р. д. д. {ay}, /~1, 2, ... ,
можно придать количественный характер, если ввести !
в рассмотрение величину
Dn= sup |ϊ»ί£ϋ!)_(6_β)|,
о < а< 6< ι ' п I
называемую отклонением первых и членов
последовательности {а,-}, /=1, 2, ... (см. [2], [3]).
Лит.; [1] W е у 1 Н., «Math. Ann.», 1916, Bd 77, S. 313—52;
[2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в
теории чисел, М., 1971; [3] X у а Ло - к е н, Метод
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем.,
М., 1964. С. А. Степанов.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
МНОГОМЕРНОЕ — распределение в и-мерном единичном кубе
Е, 0<я/<1, i=l, 2, ... , и, дробных долей {Pj}=
= ({χι}ι ··· » Ы/*}) последовательности точек /г-мер-
ного евклидова пространства Pj=(x^\ ... , х$), /=1,
2, ... . Здесь { } — знак дробной доли.
Последовательность дробных долей {Ру}, /=1, 2, ... ,
наз. равномерно распределенной в
ДРОВНЫХ ДОЛЕЙ 876
единичном n-мерном кубе Е, если для каждого
прямоугольника V, содержащегося в Е, имеет место равенство
lim Ф«0О_| τ/1
гДе ФтСЮ — число точек среди первых т членов
последовательности {Рj}, попавших в F, и | V\ — мера
прямоугольника У.
Последовательность Р/, /=1, 2, ... , точек тг-мерного
пространства наз. равномерно
распределенной по модулю 1, если соответствующая ей
последовательность дробных долей {Р/} равномерно
распределена в единичном кубе Е.
Критерий Вейля для Р. д. д. м. Последовательность
{Pj}, /=1, 2, ... , равномерно распределена в единичном
кубе Ε тогда и только тогда, когда
lim _L yN е2л( (aAi)+aAi)+ - + anXH))=Q
для каждого набора целых чисел (αχ, α2, ... , α„)#(0,
0. . .0). Частным случаем этой теоремы является Вейля
критерий для равномерного распределения по модулю
1 последовательности действительных чисел. Из
критерия Вейля следует теорема Кронекера:
пусть θχ, θ2, ... , θ„, 1 — действительные числа,
линейно независимые над полем рациональных чисел, ах,
а2, ... , сип — произвольные действительные числа и
TV, ε — положительные числа; тогда существуют целые
т и plt р2, ... , рп такие, что
т > 7V, | mQi — pi — <Х[ | < ε
для всех i=l, 2, ... , п. Иначе говоря,
последовательность mQ=(mQ1, w62, ... , mQn), m=l, 2, ... ,
равномерно распределена по модулю 1.
Лит.: [1] Касселс Дж. В. С, Введение в теорию дио-
фантовых приближений, пер. с англ., М., 1961.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ — раздел
теории чисел, в к-ром изучаются закономерности
распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных
чисел. Центральной является проблема наилучшего
асимптотич. выражения при χ -»- oo функции π (χ),
обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а также
функции п(х; d, Ζ), обозначающей число п. ч., не
превосходящих χ в арифметич. прогрессии dn-\-l при 1<:
<J<d, 7i=0, 1, 2, ... , для растущих вместе с χ
значений d.
Основная теорема арифметики:
каждое натуральное число /г>1 является или п. ч. или
единственным (с точностью до перестановки сомножи-
I телей) произведением п. ч.
η— рг .. . pk
(т. н. каноническое представление
числа я), где р1, ... , р^ — различные п. ч., пх, ...
... , nk — натуральные числа. Таким образом, п. ч.
есть базис мультипликативного построения ряда
натуральных чисел, это, однако, непосредственно ничего
не говорит о величине π(χ).
Для нахождения п. ч. от 1 до χ служит известный с
3 в. до н. э. метод Эратосфена решета. Решето Эрато-
сфена является простейшей процедурой получения
последовательности п. ч. Однако аналитич. формула
решета
где d пробегает делители произведения всех п. ч. <:Ух,
ν (d) — число простых делителей d, [и] — целая часть
и, непригодна для изучения π (χ) при £->оо.
Рассмотрение последовательности п. ч. от 1 до х:
I 2, 3, 5, 7, И, 14, ..., ρ (1)

877
показывает, что с увеличением χ она становится в
среднем все более редкой. Существуют сколь угодно
длинные отрезки ряда натуральных чисел, среди к-рых нет
ни одного п. ч. Напр., п—1 натуральных чисел вида
и!+ 2, ... , тг!+7г для любого тг>2 являются составными
числами. В то же время в (1) встречаются п. ч. такие,
как 8004119 и 8004121, разность между к-рыми равна 2
(п. ч.— близнецы). Проблема поведения π (χ) при
х—>- оо является одной из наиболее трудных и
интересных проблем теории чисел.
Первый результат о величине π (χ) — теорема
Евклида: π (χ) -»- оо при χ -> оо. Л. Эйлер (L. Eu-
ler, 1737, 1749, см. [1]) ввел функцию
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
вследствие (5), дает тождество
878
^=ς:
и показал, что при s>l
(2)
(3)
где ряд распространяется на все натуральные числа,
а произведение на все п. ч. Тождество (3) и его
обобщения играют фундаментальную роль в теории Р. п. ч.
Исходя из него, Л. Эйлер доказал, что ряд VVp и про-
П1 ^™^
(1 )-1 по простым ρ расходятся. Это—
новое доказательство бесконечности числа п. ч. Более
того, Л. Эйлер установил, что п. ч. «много», ибо
л(х) > log—,
и, в то же время, почти все натуральные числа
являются составными, т. к.
π (χ) χ ~г —► 0 при χ —> оо.
Далее значительного успеха достиг П. Л. Чебышев
(1851—52, см. [2]). Он доказал, что:
1) для любых т>0, М>0 есть последовательности
χ -> оо, у —>- оо, для к-рых
л (х) — Υιχ < Мх \og~m χ,
π (у) — \\ у >—My\og-my;
2) если существует предел частного π (χ) log χ Ι χ при
χ ->· оо, то он равен 1.
Тем самым впервые был решен вопрос о
существовании простой функции
ι- С χ du
hx= \ =
J 2 log U
log χ ι log2 x
...+(г-1)!·
-0
logr χ
к-рая служит наилучшим приближением для π (χ).
Затем П. Л. Чебышев установил истинный порядок
роста π (я), т. е. существование постоянных а>0, А >0
таких, что
а -Л < π (χ) < А г-^—, (4)
log χ v ' log· λ; ' ν '
причем, α=0,92... , Α = 1,05... для χ^χ0. Он же
доказал, что при любом п~^2 в интервале (/г, 2п)
содержится по крайней мере одно п.ч. (постулат
Бертрана). В основе вывода неравенств (4) лежит
тождество Чебышева
F(x) = \og[x)\:
-Ση
<г*'п
(5)
в к-ром введенная П. Л. Чебышевым функция ψ
определяется суммой по степеням рт, иг=1, 2, ... , п.ч. р:
Именно, комбинация log [u]\ для я>30 в форме
f*W = F(I) + f(i)-f({)-F(i)-i({),
+ (*) = Σρ-<;
из к-рого следует, что
-+(п)
m ] + · · ·'
ψ (ж)—ψ
< F* (χ) < ψ (χ).
Отсюда, вследствие асимптотич. формулы Стирлинга
для п\, вытекает аналог неравенств (4) для ψ(#)τ из
к-рых частичным суммированием получаются
неравенства (4). Функция Чебышева ψ (χ) оказалась более удоб*
ной, чем л(х), при изучении Р. п. ч., поскольку
наилучшим приближением ее является сам аргумент х.
Поэтому обычно сначала рассматривают ψ (χ), а затем
частичным суммированием получают соответствующий
результат для π (χ).
Принцип Римана. В 1859—60 Б. Риман (В. Riemann,
см. [3]) рассмотрел введенную Л. Эйлером для s>i
функцию ζ(δ) как функцию комплексного переменного
5=σ+ίί, где σ, t — действительные переменные,
определяемую рядом (2) при σ>1 (см. Дзета-функция),
и обнаружил исключительную важность этой функции
для теории Р. п. ч. В частности, он указал выражение
разности π (χ) —Η χ через х и нули функции ζ(β),
лежащие в полосе 0<σ<1, к-рые наз.
нетривиальными нулями функции ζ(s).
Вместо формулы Римана обычно используется более
простой конечный ее аналог для ψ (χ), доказанный
(наряду с формулой Римана) X. Мангольдтом (Н. Мап-
goldt, 1895). Именно, для х>\
*(*)=*- 2|v K T^ + 0 (^\og*xT + \og2x), (6)
где ρ=β+ίγ пробегает нетривиальные нули ζ($), Τ —
любое ^2.
Поскольку
Σ|γ|<ΓΤ«1οδ27\
формула (6) показывает, что величина разности ψ (χ)—χ
в главном определяется величиной β (действительной
частью самых правых нулей р). В частности, если £($)^
=£0 правее вертикали σ=θ, 1/2<θ<1, для функций
ψ (я), π (χ) справедливы следующие асимптотич.
выражения:
ψ (x)=x + 0(xQ log2я),
π (χ) = li x + O (xQ log χ).
Наоборот, из этих соотношений следует, что £(s)=j£0
для σ^θ. Если справедлива гипотеза Римана, т. е.
все нетривиальные нули ζ (s) лежат на одной прямой
σ— г/2, тогда асимптотич. закон распределения п. ч.
должен иметь вид
ψ (х) =х-{-0 (V~x log2 χ),
π(χ) = \[χ-\-0 {Vχ log x).
Причем эти соотношения существенно усилить нельзя,
т. е. существуют последовательности χ-+■ оо, у -> оо
такие, что
/ ν τ ^ л/—log los log x
π (χ) — ί\ χ < — у χ —Λ—: ·,
ν ' r log log x '
log log log у
Таким образом, согласно принципу Римана проблема
асимптотич. выражения функций Р. п. ч. ψ (ж), л (.τ)
сводится к проблеме границы действительной части
нетривиальных нулей функции ζ(ε). До сих пор (1983),
однако, не удалось найти какое-либо постоянное Θ,
ν2<θ<1, с условием β>0. Искомая граница для β

879 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
оказывается связанной с мнимой частью у нулей р,
причем так, что прямая σ=ί является для нее
асимптотой.
Методы Адамара и Валле Пуссена. Асимптотич. закон
Р. п. ч в простейшем виде
Ψ (χ)
χ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
для я;>55
880
ι. π (ее) log χ ι.
hm ———— = hm
1
был получен в 1896 независимо Ж. Адамаром (J. Hada-
mard) и Ш. Валле Пуссеном (Ch. La Vallee Poussin),
к-рые доказали, что ζ (1+ΐί)=£θ, т. е. что на прямой σ=1
нет нулей функции ζ($). В 1899 Ш. Валле Пуссен
показал, что ζ(σ+ϋ)Φθ в области σ>1— c/log(|f| + 2).
Тем самым было доказано, что
ψ (χ) =χ-\Ό (я ехр ( — a У log x)),
η (x) = \i χ-\-0 (χ exp (— b У log x))
при постоянных α>0, &>0.
Были получены также дальнейшие расширения
области свободной от нулей функции ζ (s) (см. [4] —[12]).
Метод Вейля — Литлвуда. Существует определенная
связь между ростом модуля функции ζ(β) и ее нулями
вблизи прямой σ=1. Именно, если ζ (s)<exp((p(£)) при
1—θ(ί)<:σ<:2, где φ(ί), 1/θ(ί) — положительные
неубывающие функции £>0 такие, что θ(ί)<:1, φ(ί) -> оо при
ί-> оо и φ (ί)/θ (i)<^exp φ(ί), то существует постоянная
А такая, что ζ («)#0 в области
σ^Ι — Α (θ) (2f + l)/<p (2f+ 1).
При этом для оценки ζ(β) используется частная сумма
ее ряда (2), к-рая сводит вопрос к оценке тригономет-
рич сумм вида
Σν<η<ιι^ Ш log п).
За счет оценок таких сумм по Вейля методу Дж. Литл-
вуд (J. Littlewood, 1921) показал, что для t>A ζ (s)<
<log5£ при σ>1—log2log ί/log t и, следовательно, £(s) /=
Φθ в области
σ ^ 1 — A log log i/log ί.
Отсюда
π (x) = \i x-\-0 (χ exp ( — α У log χ log log re)).
Метод Виноградова. Дальнейший прогресс в
оценках π (я), ψ (χ) связан с созданием И. М. Виноградовым
(см. Виноградова метод) нового, значительно более
мощного метода оценок тригонометрич. сумм. При
помощи этого метода им в 1938 было доказано, что ζ(β)φ0
при
σ^Ι _c/log3/4(| t (+2) log3/4log (| t J+2)
и соответственно что
π (я) — li x-\-0 (re exp { — a log4/7# log~3/7log.r)).
В 1858 И. М. Виноградов и другие (см. [6]—[И])
показали, что ζ^φΟ при
a^l-C/log2/3(|i|+2)log1/3log(|i|+2).
Это пока (1983) лучший результат о границе
нетривиальных нулей функции £(s), к-рому отвечает лучший
результат в Р. п. ч.:
л(х)=Их-\-0(хех1р { — a log3/5;z log"1/5 log я)),
\р(х)=х-\-0(хехр (_Mog3/5;zlog~1/6log:z)).
Из асимптотики π (χ) следует асимптотика тг-го простого
числа рп~п log п. Показано (см. [21]) также, что рп>
>п log η для всех тг>1 и что для 17^.х^.е100, я>е200
\Zg~x < π(χ) < i0g χ-2 ;
Юцх + 2 < π(χ) < logx-4 *
Элементарные методы. Так называют методы
изучения асимптотич. закона Р. п. ч., не опирающиеся на
принцип Римана (нули дзета-функции) и, вообще, на
какие бы то ни было положения теории функций
комплексного переменного. Впервые такой метод открыли в
1948 А. Сельберг [16] и П. Эрдёш [17]. В основе лежит
элементарная формула Сельберга
ψ (χ) log χ +
'<η<χΨ (тг;Л(п)=2*1ов*+0(*).(7)
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы из асимптотики
в среднем для ψ (и) в виде (7) вывести асимптотику ψ (χ).
Это можно сделать по-разному, но общим во всех
случаях является использованием факта медленного
колебания функции ψ (см. [18]). В 1962 Э. Бомбьери (Е. Вош-
bieri) и Э. Вирзинг (Е. Wirsing) доказали, что при
любом фиксированном А >0
ψ (х)=х^О (х log-Αχ).
В 1970 X. Дайамонди Дж. Стейниг (см. [19])
существенно усовершенствовали идею и технику оценок
элементарного метода и доказали, что для я^ехр ехр 100
| ψ (χ) —χ I <x exp ( — log1/7:z log-2 log x).
Наконец, в 1973 Α. Φ. Лаврик и А. Ш. Собиров [20]
показали, что при элементарном методе доказательства
справедлива теорема: для я>ехр ехр 103
| ψ (х)—х\ < χ ехр (— \og1/Qx log-3 log x).
Этот результат представляет пока лучшее достижение
элементарного метода в изучении Р. п. ч., хотя он
несколько слабее того, к-рый получен аналитич. методом,
в принципе эти результаты близки между собой.
Разность между простыми числами. Существует
много вопросов Р. п. ч., касающихся разности между п. ч.
Среди них выделяются вопросы поведения dn=pn + 1—
~~Рп ~ разности между соседними п. ч.; проблема
количества п. ч. близнецов, или, более общо, пар п. ч.
разности 2/с и, вообще, числа систем ρ, р-\-иъ ... , р-\-ит
из т+1 п. ч., лежащих на отрезке [1, х].
С помощью гипотезы Римана доказано, что d„<
^.Vpnlog pn, а нек-рые эвристич. рассуждения
показывают, что, вероятно, справедлива оценка dn<^log2pn.
Лучшей к 1983 является оценка άη<ζρη, где δ=τ9+ε>
ε>0, полученная Μ. Η. Хаксли (Μ. N. Huxley, 1973)
по методу большого решета. Что касается пар п. ч.
разности, равной 2 (близнецов), или разности, равной
2/с, /с= 1, 2, ... , то до сих пор (1983) неизвестно,
является количество их бесконечным или нет. Пусть nk(x)
есть число пар п. ч., не превосходящих х, разности 2/с.
В 1919 В. Брун (V. Вгип) нашел метод решета (см.
Бруна решето), к-рый позволил получить ожидаемую
оценку сверху для п^(х):
Kk (*) < i
;ΠΡ,Λι-+Γ·
log2 x±±p\k
Кроме этого, за счет оценок И. М. Виноградова
тригонометрич. сумм с п. ч. (см. Виноградова метод) доказано
круговым методом (см. [13]), что если положить
/И =2 Π
ι
s:
du
-ρ > 2 V" (Ρ- Ι)2/ J 2 log2 и '
то при любых фиксированных Л>1, М>0
Σΐ<2*<*1θΓ>1*ίπ*(ί)~/(ί) Пр\*.Р>2§гУ <
<^X*log-A-M\x.

881 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Отсюда, в частности, следует, что ηρπΧ=χ log~Ax для
всех l<:fe<X, исключая не более X log-Mx из них,
лк{х) имеет асимптотич. выражение в виде
Я*(*>~21Ъ>2Н
(Р-1)2
X
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
L(s, X), имеет вид
882
Х-^-ТТ 2zl
^ log2 X ±J.p\k, p > 2 ρ- 2 '
Аналогичные результаты получены для систем п. ч.
ρ, ρ+Ηι, .. , р+ит при любом /?г>1.
Простые числа арифметической прогрессии. Первый
способ (Евклида) доказательства бесконечности числа
п. ч. можно перенести и на нек-рые арифметич.
прогрессии. Но доказать таким путем, что в каждой арифметич.
прогрессии dn-^l, первый член к-рой I и разность d
взаимно просты, содержится бесконечно много п. ч.,
до сих пор (1983) не удалось. Задачу другим методом
решил П. Дирихле (P. Dirichlet, 1837—40),
распространив идею Л.Эйлера о том, что ^>ji/ps -+ со при
s ->- 1+0 на п. ч. p=l (mod d). Для этого он ввел
арифметич функции — характеры %=%(п, d) (см. Дирихле
характер) и функции L (s, χ) (см. Дирихле L-фунщия),
которые подобно функции £(s) для π (χ), ψ (χ) служат
в качестве основного аппарата изучения функции
π (χ; d, I) и ее аналога
ψ (ж; d, 1)=Ση<χ, n^l(modd)A(n)·
В случае фиксированного значения d, l<Z<:d, (I, d) = i,
большинство результатов, указанных выше для π (χ)
иф(х), перенесены и на функции π (χ; d, I) и ψ(#; d, I).
Однако особый интерес здесь представляют результаты
для растущих вместе с χ значений d, к-рые важны в
аддитивной теории чисел и ряде других задач. В таком
случае возникают значительные дополнительные
трудности, связанные прежде всего с оценкой величины
d — наибольшего действительного нуля функции L (s,x)
по mod d. При помощи Пейджа теорем доказано, что
для l<d<:(log я)2-е, 0<e<V2,
Ψ(*; d, l)=^+0(xexp(--aloge/*x)),
а вследствие оценки К. Зигеля (К. Siegel, 1935) для
любого фиксированного А >1 при l<:d<log^#
Ψ(*; d> l^=^d) + °^xexip (—Cl l^i°g~i)),
где φ (d) — функция Эйлера, а — положительная
постоянная, с1=с1(А) — неэффективная постоянная >0,
то есть сг не может быть вычислена по заданному А.
Если справедлива расширенная Римана гипотеза, то
для d^x
Таким образом, к 1983 доказано, что п. ч. равномерно
распределены по всем φ (d) прогрессиям l<Z<d, (I, d) =
= 1, разности d лишь при d^logAx. Что же касается
отрезков прогрессий dn^-l^.x разности, напр. ά=χ£ с
каким бы то ни было постоянным ε>0, то из
предыдущего не следует даже, что такая прогрессия содержит
хотя бы одно п. ч.
Метод решета Б руна, как и его модификация,
предложенная А. Сельбергом в 1947, показывает, что для
всех l^.d<x, l<Z<d, (I, d) = \, имеет место неравенство
сверху
π (я; d, Z)< -—-,
φ (d) log -j-
c абсолютной константой <, но никаких оценок снизу
для π (х; d, l) эти методы дать не могут.
Выражение для ψ (χ; d, 1) по принципу Римана через
нули ρ=β+η\ лежащие в полосе 0<σ<:1 функции
*<*;'.'>=ίδ-
"515) (Σχ Χ № Σ,ν
Κ τ ρ
χΡ f- χ(1\χα )-|-Д, (8)
где штрих у суммы — знак суммирования по
комплексным χ mod d, a — действительный нуль функции
L (s, χ), если он существует и больше 1 — C0/\og d,
R<^xT-1log2dx+x1^ logx,
Τ — любое >2.
Из (8) видно, если не считать слагаемого,
отвечающего а, что остаточный член асимптотики ψ (я; d, I)
определяется величиной двойной суммы, зависящей и от
действительной части нулей ρ и от количества всех
^ (s> X) с X m°d d, имеющих нули ρ с Re ρ=β. Если для
0,5<:σ<1 через Ν(σ, Τ, χ) обозначить число нулей
функции L(s, χ) в прямоугольнике: a<:Re s<:l, |ί|<:7\
то вопросы оценки остаточного члена для ψ (χ; d, I)
и его среднего значения сводятся к вопросам оценки
плотности распределения нулей L-функций в виде
*-Scad** <* Γ·*>·
(«)
Таким образом,, понижение разного рода оценок для
п. ч. связывается не только с отсутствием нулей L (s, χ)
в критич. полосе, но и с сравнительно редким их
распределением здесь.
Реализация этой идеи была одним из центральных
направлений исследований Р. п. ч. последних 40 лет.
Начало положил Ю. В. Линник открытием в 1941
метода большого решета (см. [22], а также [14], [15], [24]).
Особо важными являются теоремы о наименьшем п. ч.
в арифметической прогрессии, о поведении π (χ; d, I) и
ψ (#; d, l) в среднем по d^.D и о двойном усреднении
этих функций по l<:Z<:d, (I, d)=i, и d<Z).
Именно, в 1944 Ю. В. Линник [23] показал, что при
d-> оо сумма Nt в (9) имеет оценку <da(! -σ), где а —
постоянная; отсюда он вывел существование
постоянной с такой, что любая арифметич. прогрессия dn-\-l, где
l<Z<:d, (Z, d) = l, содержит п. ч., меньшее dc.
Последняя к 1983 оценка постоянной Линника имеет вид
с=17; а если верна плотностная гипотеза: iVx<
<(<2Γ)2(ΐ-σ + ε)? то с=2+г.
В 1965 А. И. Виноградов и Э. Бомбьери независимо
получили сильные оценки сумм Ν2 из (9). Более
совершенствованный метод оценки этих сумм разработал
Г. Монтгомери (Н. Montgomery, 1969). Одним из
следствий оценок N2 является следующий результат о
Р. п. ч. в арифметич. прогрессиях в среднем:
V max max \ty(y;d, I) ■
^ά< Vlc\og~ χ y<x (Λ <0=ι '
<P(d)
Σ - в
<ζχ log~Ax,
max max π (у; d, l)-
Hy
φ {d)
<
<^x\og~Ax,
при любом постоянном А и В=А-\-7/2. Эти оценки
существенно усилить уже нельзя, т. к. из расширенной
гипотезы Римана следует, что В — А + 2.
Другие вопросы распределения простых чисел. Пусть
πν(#; d, I) есть количество чисел вида dn+l^x, к-рые

883
являются произведением простых ν чисел
(Н. Richert, 1953) доказал, что
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
884
ι
Φ (d)
πν(χ; d, l)~
^r (λ) γν-ι г
X Рихерт
■ du-
+0(хех?(-г(х))) +
o(
V
d)
\0gm + i u
l - i/bde logv-1d logV-1 log*
φ (d) log χ
где r(x) = cyr\og x, c>20, 6=6(ε), ε>0, A (h, m,
определяется рядами, зависящими от h, m, d и ν
Э. Ландау (Ε. Landau, 1903—1918) перенес нек-рые
результаты Р. п. ч на алгебраические числовые поля.
Пусть К — алгебраическое числовое поле n-ϊι степени,
π (χ; К) — есть число простых идеалов с нормой <£
в К. Тогда
π (χ, А") = li χ-j-О
*cxp(~r^loK*))
гдз с — абсолютная положительная постоянная, и
π (χ) — Η χ= ± Ω
log x
log log log χ,
где Ω — отрицание символа о (малое).
Много изучалась функция F (х, у), обозначающая
число натуральных чисел <:#, не содержащих простых
делителей, меньших у. Для у=х^·^, ξ= ξ (#)->- оо при
χ ->· оо, такие числа наз квазипростыми
числами. Методом решета для этих чисел получена
достаточно полная теория их распределения,
аналогичная ожидаемой теории Р. п. ч. Рассматривалось также
распределение чисел с малыми простыми делителями
(см. [25]).
Лит.: [1] Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных,
пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; [2] Чебышев П. Л.,
Избр. матем. труды, М— Л., 1946; [3] Риман В., Соч., пер.
с нем., М.— Л., 1948;,[4] И н г а м А. Е., Распределение
простых чисел, пер. с англ., М.—Л., 1936; [5]
Виноградов И М., Избр. труды, М., 1952; [6] е г о же, «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1958, т. 22, № 2, с. 161—64; [7] е г о же,
Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [8]
Титчмарш Е., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ ,
М., 1953; [9] Π ρ а х а р К., Распределение простых чисел, пер.
с нем., М., 1967; [10] К а р а ц у б а Α. Α., Основы
аналитической теории чисел, М., 1975; [11J X у а Л о-к е н, Метод
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с
нем., М., 1964; [12] Ч у д а к о в Н. Г., Введение в теорию L~
функций Дирихле, М.— Л., 1947; [13] Л а в ρ и к А. Ф. «Тр.
Матем. ин-та АН GCCP», 1961, т. 64, с. 90—125; [14] Дэвен-
п о рт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М.,
1971; [15] Монтгомери Г., Мультипликативная теория
чисел, пер. с англ., М., 1974; [16] Selberg A., «Ann. Math.»,
1949, v. 50, p. 305—13; [17] Ε г d б s P., «Proc. Nat. Acad. Sci.
USA», 1949, v. 35, p. 371—84; [18] Л а в р и к А. Ф. (Обзорный
доклад международной конференции по теории чисел, М., 1981);
[19] Diamond Η. G., S t e i n i g J., «Invent. Math.», 1970,
V. 11, p. 199—258; [20] Лаврик А. Ф., Собиров А. Ш.,
«Докл АН СССР», 1973, т. 211, № 3, с. 534—36; [21] R о sser В.,
«Proc. London math. Soc», 1939, v. 45 (2), p. 21—44; [22] Л и н-
ни к Ю. В , «Докл. АН СССР», 1941, т. 30, № 4, с. 290—92;
[23] его же, «Матем. сб.», 1944, т. 15, с. 139—78; [24]
Лаврик А. Ф., «Успехи матем. наук», 1980, т. 35, в. 2, с. 55—65;
125] Halberstam Η., Richert Η. Ε., Sieve Methods,
L·— [etc], 1974. А. Ф. Лаврик.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ И
НЕВЫЧЕТОВ — распределение среди чисел 1, 2,. ♦ .,
т—1 тех значений х, для к-рых сравнение
Г
-х (mod т),
м>1 — целое, разрешимо (неразрешимо). В вопросах,
связанных с Р. с. в. и н., наиболее полно изучен случай
простого модуля р. Пусть ?=(w, p —1). Тогда сравнение
уп—х(тоа р) разрешимо при ν ~ значениях χ из
множества 1, 2, ... , р — 1 и неразрешимо при остальных
(9-1)
р-1
значениях χ (см. Двучленное сравнение).
Однако сравнительно немного известно о том, как
расположены эти значения среди чисел 1, 2,. . ., р — 1.
Первые результаты о распределении степенных
вычетов были получены еще К. Гауссом (С. Gauss, см. [11)
в 1796. С того времени и до работ И. М. Виноградова
в вопросах о Р. с. в. и н. были получены лишь
отдельные частные результаты. В 1915 И. М. Виноградов
(см. [2]) доказал ряд общих результатов о
распределении степенных вычетов и невычетов, а также
первообразных корней по модулю ρ среди чисел 1, 2,. . ., р.
В частности, им была получена оценка
Νη
,2 V
min<P" cdnp)2
для наименьшего квадратичного невычета iVmin й
оценка
iVmin<22* j/^lnp,
где к — число различных простых делителей р — 1, для
наименьшего первообразного корня TVmin по простому
модулю р. Кроме того, И. М. Виноградовым был
высказан ряд гипотез о распределении квадратичных
вычетов и невычетов (см. Виноградова гипотезы),
стимулировавших ряд исследований в этой области. Так,
Ю. В. Линник [3] доказал, что при достаточно большом
N на отрезке [Νε , Ν] количество простых чисел р, для
к-рых Nm-in>pe, не превосходит нек-рой константы
С (ε), зависящей лишь от ε>0. Таким образом, простые
числа р, для к-рых Nm-m>pe , если только они
существуют, встречаются очень редко. Другим существенным
шагом в исследовании гипотез Виноградова явилась
теорема Д. Бёрджесса [4]: для любого фиксированного
сколь угодно малого 6>0 максимальное расстояние
d(p) между соседними квадратичными невычетами
удовлетворяет неравенству
ά(ρ)<Α(δ)ρΤ + .
Отсюда, в частности, следует оценка
ι
7=г + 6
Nn
B{b)p*v e
В этих неравенствах константы Α (δ), Β (б) зависят
только от δ и не зависят от р. Доказательство теоремы
Бёрджесса, сложное само по себе, основывалось на
теореме Хассе — Вейля о числе решений гиперэллиптич.
сравнения
У2 = / (*) (mod p),
доказательство к-рой требовало привлечения аппарата
абстрактной алгебраич. геометрии. Простой вывод
теоремы Бёрджесса см. в [5], [6].
Лит.: [1] Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, пер. с
нем., М., 1959; [2] Виноградов И. М., Избранные труды,
М., 1952; [3] Л и н н и к Ю. В., «Докл. АН СССР», 1942, т. 36,
с. 131; [4] Berdgess D., «Mathematika», 1957, v. 4, № 8,
p. 106—12; [5] С т е п а н о в С. Α., «Тр. Матем. ин-та АН СССР»,
1973, т. 132, с. 237—46; [б] Карацуба Α. Α., «Докл. АН
СССР», 1968, т. 180, № 6, с. 1287—89. С. А. Степанов.
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПОЛНОЕ СЕМЕЙСТВО —
семейство вероятностных мер {Ре, 6£0cilR*}, заданное
на измеримом пространстве (<£, 58), для к-рого
единственной несмещенной оценкой нуля в классе
^-измеримых функций на £ является функция, тождественно
равная нулю, т. е. для любой ^-измеримой функции
/(·)» определенной на ϊ и удовлетворяющей
соотношению
(*)
\ / (х) d?Q (х) = 0 для любого θ ζ Θ,
следует, что/(.г)=0. Напр., экспоненциальное семейство
распределений является полным. Если соотношение
(*) выполняется при дополнительном предположении
об ограниченности функции f(x), то семейство {Ре,
θ ζ θ} наз. ограниченно полным.
Ограниченно полные семейства распределений достаточных

885
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
статистик играют важную роль в математич.
статистике, в частности в задаче построения подобных критериев,
обладающих Неймана структурой.
Лит.: [1] Л и н н и к Ю. В., Статистические задачи с
мешающими параметрами, М., 1966; [2] Л е м а н Э., Проверка
статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979.
М. С. Никулин.
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СХОДИМОСТЬ — в основном
слабая сходимость и сходимость по вариации,
определяемые следующим образом. Последовательность
распределений (вероятностных мер) {Рп} на борелевских
множествах метрич. пространства S наз. слабо
сходящейся к распределению Р, если
lim Г fdPn=[ fdP
η JS
(*)
для любой действительной ограниченной непрерывной
функции /на S. Слабая сходимость является основным
типом сходимости, рассматриваемым в теории
вероятностей. Обозначают ее обычно знаком =>. Следующие
условия равносильны слабой сходимости:
1) соотношение (*) выполняется для любой
ограниченной равномерно непрерывной действительной
функции /;
2) соотношение (*) выполняется для любой
ограниченной непрерывной Р-почти всюду действительной
функции /;
3) Um~Pn(F)^P(F)
η
Для любого замкнутого множества FaS;
4) lim Pn(G)^ Ρ (G)
η
для любого открытого множества GczS;
5) lim Рп (А) = Ρ (Α)
η
для любого борелевского множества AaS такого, что
Р(дА)=0, где дА —граница А;
6) limp{Pn, Р)=0,
η
где ρ есть Леей — Прохорова метрика.
Пусть U — замкнутый относительно пересечений
класс подмножеств S такой, что всякое открытое
множество из S есть конечное или счетное объединение
множеств из U. Тогда если lim Pn(A) = P (А) при всех
η
Α ζ С/, то Рп=>Р. Если S=Rk и Fn, F — функции
распределения, отвечающие Рп и Ρ соответственно, то
Р/г—>/> тогда и только тогда, когда Fn(x) -+■ F (х)
в каждой точке χ непрерывности функции F.
Пусть пространство S сенарабельно и £f — класс
ограниченных борелевских действительных функций на
S. Для того чтобы \ fdPn-+\ fdP равномерно по /ζ^Γ
для всякой последовательности \Рп} такой, что
Рп=^Р, необходимо и достаточно, чтобы:
а) sup ω, (S) < qo,
feF
б) lim 8UvP({x:<uf(SXte) > δ}) = 0, νδ > О,
где
(u/(A) = 8nv{\f(x) — f(y)\, χ, у ζ Α],
и где Sx, ε — открытый шар радиуса в с центром в х.
Если класс ψ образован индикаторами множеств из
нек-рого класса Е, то условия а) и б) сводятся к условию
lim sup Ρ (Ле\4-е)=0,
ε|0 АеЕ
где
Αε = UxeAS*. e,A-e--=-S\(S\A)£
(когда всякий открытый шар в S связен, Л8\Л_е =
= (дА)в). Если S=*Rk и распределение Ρ абсолютно
непрерывно по мере Лебега, то Рп-=$>Р тогда и только
тогда, когда Рп(А) -+■ Ρ (А) равномерно по всем боре-
левским выпуклым множествам А.
Пусть Рп, Ρ — распределения на метрич.
пространстве S, Рп=фР и h — непрерывное Р-почти всюду
измеримое отображение S в метрич. пространство S';
тогда Pnh"1^Ph~1, где для любого распределения Q
на S распределение Qh-1 есть его Λ-образ на £":
Qh-HA) = Q(k-i(A))
для любого борелевского A£S'.
Семейство распределений jp на S наз. слабо
относительно компактным, если всякая
последовательность его элементов содержит слабо
сходящуюся подпоследовательность. Условие слабой
относительной компактности дает теорема Прохорова.
Семейство З3 наз. плотным, если \/ε>0 существует
компакт KdS такой, что Ρ (к)>1— ε 4Ρζ$*.
Теорема Прохорова: если Ρ плотно, то оно
относительно компактно, а если S сепарабельно и полно,
то слабая относительная компактность fj* влечет его
плотность. В случае, когда S=Rk, семейство
распределений р слабо относительно компактно тогда и
только тогда, когда соответствующее Ρ семейство характе-
ристич. функций равностепенно непрерывно в нуле.
Пусть теперь Рп, Ρ — распределения на измеримом
пространстве (X, А), где А есть σ-алгебра. Под
сходимостью по вариации Рп κ Ρ понимают
равномерную сходимость по всем множествам из А или,
что равносильно, стремление вариации
\Рп-Р\ = (Рп-Р) + + (Рп-Р)-
к нулю; здесь (Рп—Р)+ и (Рп—Р)-— компоненты
разложения Жордана — Хана обобщенной меры Рп—Р.
Лит.: [1] Ц и л л и н г с л и П., Сходимость вероятностных
мер, пер. с англ., М., 1977; [2] Л о э в М., Теория вероятностей,
пер. с англ., М.. 1962; [3] Бхаттачария Р. Н., Р. Ρ а н-
г а Р а о, Аппроксимация нормальным распределением и
асимптотические разложения, пер. англ., 1982. В. В. Сазонов.
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ТИП — совокупность
распределений вероятностей случайных величин, получаемых
одна из другой каким-либо линейным преобразованием.
Точное определение в одномерном случае таково:
распределения вероятностей случайных величин Хг и Х2
называют однотипными, если существуют
постоянные А и #>0 такие, что распределения величин Х2 и
ВХг-\-А совпадают. Соответствующие функции
распределения связаны при этом соотношением
(*)=*ί(-
F. (χ) =
х-А
'=F1(te + e).
где Ъ=\1В и о=— А/В.
Таким образом, множество функций распределения
разбивается на попарно непересекающиеся типы. При
этом, напр., все нормальные распределения образуют
один тип, все равномерные распределения также
образуют один тип.
Понятие типа широко используется в предельных
теоремах теории вероятностей. Распределение сумм Sn
независимых случайных величин часто
«неограниченно расплываются» при η -> оо и сходимость к
предельному распределению (например, к нормальному)
оказывается возможной только после линейной
«нормировки», т. е. для сумм п~ап, где ап и Ьп>0 — нек-рые
константы, Ъп ->- оо при η -> оо. При этом если для
каких-либо случайных величин Хп распределения вели-
Хп-сщ Х" - ап
чин —g и ;— сходятся к невырожденным
предельным распределениям, то эти последние обязательно
однотипны. Поэтому можно дать следующее определе-

887
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ние сходимости типов (А. Я. Хинчин, 1938). Пусть
Τ (F) — тип, к-рому принадлежит функция
распределения F (из дальнейшего изложения исключается
вырожденный тип — тип, к-рому принадлежат
вырожденные распределения). Говорят, что последовательность
типов Тп сходится к типу Г, если существует
последовательность функций распределения Fn£ Tn,
сходящаяся (слабо) к функции распределения Fg Г.Топологизи-
рованное таким образом множество типов есть хаус-
дорфово нерегулярное пространство и, следовательно,
неметризуемо (В. Дёблин, W. Doeblin, 1939).
Пусть, теперь, Sn — суммы независимых одинаково
распределенных случайных величин и Fn —
соответствующие функции распределения. Тогда класс типов,
предельных для T(Fn), совпадает с классом всех
устойчивых типов, т. е. таких типов, что из Ег£Т и Е2£Т
вытекает, что свертка F1 и F2 принадлежит Τ (т. е.,
иными словами, сумма двух независимых случайных
величин с распределениями типа Τ снова имеет тип Г,
см. Устойчивое распределение).
Понятие Р. т. может быть распространено на
многомерный случай. Однако это распространение
неоднозначно. Выбирая какую-либо подгруппу G полной
группы матриц, можно получить соответствующее понятие
Р. т. Случайные векторы Хг и Х2 со значениями из Rn
называют G-однотипными, если существует такое
преобразование g£G, что Хо и gXx имеют одно и то же
распределение. Соответственно можно ввести понятие
G-устойчивости Р. т. По отношению к полной группе
матриц устойчивы только нормальные распределения
(Г. Сакович, 1960).
Лит.: [1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н.,
Предельные распределения для сумм независимых случайных
величин, М.—Л., 1949. Ю. В. Прохоров.
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАКОН в теории
вероятностей — удобный описательный термин,
могущий означать, в зависимости от контекста,
распределение вероятностей (напр., какой-либо случайной
величины) или соответствующую распределения функцию
или плотность вероятности. Ю. В. Прохоров.
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ТЕОРИЯ — теория
распределения значений мероморфных функций,
построенная в 20-х гг. 20 в. Р. Неванлинной (R. Nevan-
linna, см. [1]), основной задачей к-рой является
изучение систем {zn} точек области G, в к-рых функция w(z)
принимает заданное значение w=a (так наз. α-точек);
при этом рассматриваются всевозможные значения
agCUfoo}.
Основные понятия. Основные положения неванлин-
новской теории можно проиллюстрировать на случае,
когда w=f(z) является трансцендентной мероморфной
функцией во всей открытой комплексной плоскости С.
Пусть η (£, a, /) обозначает число α-точек /(ζ) с учетом
их кратностей, попавших в круг {|ζ|<ί}. И пусть для
произвольного комплексного числа a
TV (г, a, f)=^[n(t, a, f)-n (0, a, f)]dlnt +
+ n (0, a, /)lnr,
m (r, a, f) = m (r, oo, -—j- ) , α φ oo,
m(r, »,/)=-^0 1η+|/(Γ*ίθ)μθ,
Г(г, /)-m(r, oo, f) + N(r, oo, /).
Функция Τ (г, /) наз. неванлинновской
характеристикой (или
характеристической функцией) мероморфной функции
f(z). Функция 771 (г, а, /) характеризует скорость
среднего приближения f(z) к числу α при |z| —>- оо, а
функция N (г, а, /) характеризует среднюю плотность
распределения α-точек /(ζ). Справедлива следующая
теорема, допускающая геометрич. интерпретацию
характеристики Г (г, /). Пусть Fг обозначает часть римановой
поверхности /(ζ), соответствующей кругу {|z|<r}, а
π А (г, /) — сферич. площадь поверхности Fr, тогда
Τ (г, f) = YQ A(sj)d\ns+0(i) (г —oo).
С помощью характеристики Τ (г, /) определяются
порядок роста ρ функции f(z) и ее нижний порядок роста λ:
ТТ- 1η Τ (г, /) . ,.
p=hm —|——, λ = hm
In T (r, f)
In r
Первая основная теорема Неван-
л и н н ы: при г ->· оо
т(г, а, f) + N(r, а, /) = Г(г, /) + 0(1),
т. е. сумма m(r, a, f)+N(r, a, /), с точностью до
ограниченного при г —> оо слагаемого, сохраняет
постоянное для различных α значение Г (г, /). В этом смысле
все значения w для мероморфной функции / (ζ) являются
равноправными. Особый интерес представляет
поведение при г->- оо функции N (г, а, /). В Р. з. т.
используются следующие количественные характеристики
роста функций N (г, а, /) и т (г, а, /) по сравнению с
ростом характеристики Г (г, /):
δ (α, /) = 1 — lim
Δ (ο, /) = 1 — 1™
N (г, а, /)
Τ (г, /)
N (г, а, /)
Τ (г, f)
= lim
= lim
т (г, а, /)
Τ (τ, /)
т (г, а, /)
Τ (г,/)
<1,
<1.
Величина δ (α, /) наз. дефектом /(ζ) в точке а
в смысле Неванлинны, а величина Δ (α, /) —
дефектом /(ζ) в точке α в смысле
Вали ρ о н а. Пусть
0(/) = {α:δ(α, /) > 0}, F(/) = {a:A(a, /) > 0}.
Множество D (/) наз. множеством дефектных значений
/(ζ) в смысле Неванлинны, а множество V(f) —
множеством дефектных значений /(ζ) в смысле Валирона.
Теорема Неванлинны о величинах дефектов
и о множестве дефектных значений /(ζ): для
произвольной мероморфной функции /(ζ) справедливы
утверждения: а) множество D (/) не более чем счетно;
б) дефекты /(ζ) удовлетворяют соотношению
Σ β(«./)<2 (1)
(соотношение дефектов). Постоянная 2,
фигурирующая в (1),— это эйлерова характеристика
всей замкнутой плоскости C(j{oo}, к-рую накрывает
риманова поверхность функции /(ζ).
Структура множества D(f). Утверждение Р.
Неванлинны о том, что множество D (/) не более чем счетно,
усилить нельзя. Справедлива теорема: каково бы ни было
конечное или счетное множество Ε точек из
расширенной^ комплексной плоскости и каково бы ни было число
р, 0<р<оо, существует мероморфная функция /р (ζ)
порядка р, для к-рой Ε совпадает с множеством ее
дефектных значений D(/p). Для мероморфных функций
нулевого нижнего порядка D (/) может содержать самое
большее одну точку. Таким образом, вопрос о
структуре множества D (/) полностью решен.
Кроме того, показано, что для каждого р>0,5
существует целая функция gp (z) порядка ρ, для к-рой
множество D (gp ) является счетным. Целые функции
нижнего порядка λ<0,5 не могут иметь конечных
дефектных значений.
Структура множества V(f). Множество валиронов-
ских дефектных значений V(f) исследовано (1983) не в
полной мере. Ж. Валирон (G. Valiron) показал, что
существует целая функция g(z) 1-го порядка, для к-рой

889
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ТЕОРИЯ
890
множество V(g) имеет мощность контиуума. С другой
стороны, справедлива теорема для произвольной меро-
морфной функции /(ζ) множество V(f) всегда имеет
нулевую логарифмич. емкость.
Для каждого множества Ε класса FG нулевой
логарифмич. емкости существует целая функция g(z)
бесконечного порядка, для к-рой EaV(g).
Свойства дефектов мероморфных функций конечного
нижнего порядка. Для мероморфных функций
бесконечного нижнего порядка величины дефектов, вообще
говоря, не удовлетворяют никаким дополнительным
соотношениям, кроме основного соотношения (1).
Однако если ограничиться рассмотрением мероморфных
функций конечного нижнего порядка, то картина резко
меняется. Справедлива теорема: если /(ζ) имеет
конечный нижний порядок λ, то при любом а, 1/3^.а<.1,
Σ(β)δα(α, /)<*(λ, а), (2)
где постоянная К (λ, α) зависит лишь от λ и а. С другой
стороны, существуют мероморфные функции конечного
нижнего порядка, для к-рых при а<1/3 ряд, стоящий
слева в (2), уже может расходиться. Наличие у меро-
морфной функции /(ζ) нижнего порядка λ<0,5 одного
дефектного значения а такого, что δ (α, /)>1— cos πλ,
влияет на ее асимптотич. свойства: такая функция не
может иметь других дефектных значений.
Обратная задача Р. з. т. В несколько упрощенном
виде обратную задачу Р. з. т. в каком-либо классе Ж
мероморфных функций можно сформулировать в
следующем виде. Каждой точке нек-рой
последовательности {α/j} из расширенной комплексной плоскости
поставлено в соответствие число δ (α^), 0<δ(αβ)<1, так,
что Zfe6(afe)<2. Требуется указать мероморфную
функцию f(z)££% такую, что 6(afe, /) = 6(ofe), /c= 1, 2, ... , и
δ (о, /)=0 для каждого афак, А=1, 2, ... , либо
доказать отсутствие таких функций в Ж'. Обратная задача
полностью решена положительно в классе целых
функций бесконечного нижнего порядка и в классе
мероморфных функций бесконечного нижнего порядка. При
решении обратной задачи в классе мероморфных функций
конечного нижнего порядка возникают определенные
трудности, к-рые объясняются тем, что в этом случае
величины дефектов, кроме основного соотношения (1),
подчинены еще другим соотношениям (см. (2)).
Рост мероморфных функций. Пусть для мероморфной
функции f(z)
L(r, », /)= max ln+|/(*)|,
\z\=r
L(r, a, /)=L (r, oo, —J , α φ oo,
β(α,/)= lim ^fef.
r -*· oo
Величина β (α, /) наз. величиной отклонения
мероморфной функции f(z) от числа а, а множество
Ω(/)={α : β (α, /)>0} наз. множеством положительных
отклонений мероморфной функции /(z); Ζ)(/)ς=Ω(/).
Доказано, что если g(z) — целая функция конечного
порядка р, то
β (oo, g)^l βΐηπρ
( πρ, если р ^0,5.
если 0 < ρ<0,5,
Справедлива также теорема: если мероморфная функция
/(ζ) имеет конечный нижний порядок λ, то а) множество
Ω (/) не более чем счетно; б) для каждого а
πλ
β(«, f)
Ι/ βΐηπλ
(. πλ,
если 0 < λ < 0,5,
если λ ^0,5;
в) при любом а, 0,5<а<1.
23(a) βα(*. /)<Μλ, а),
где постоянная К (λ, α) зависит лишь от λ и а;
г) Ω(/)ς=^(/).
Кроме этого, существуют мероморфные функции
бесконечного нижнего порядка, для к-рых множество Ω (/)
имеет мощность континуума. Множество Ω (/) (подобно
V(f)) для каждой мероморфной функции f(z) имеет
нулевую логарифмич. емкость. Следующая теорема
характеризует отличия в свойствах величин δ (α, /)
и β (а, /): для любого λ, 0<λ<οο, существует
мероморфная функция /λ(ζ) нижнего порядка λ, для к-рой при
нек-ром а выполняются соотношения
б (а, /) = 0 и β (а, /)^1.
Исключительные значения мероморфных функций
в смысле Пикара и Бореля. Значение а наз.
исключительным значением мероморфной функции / (ζ) в смысле
Пикара, если число α-точек /(ζ) при {|ζ|<οο } конечно.
Значение а наз. исключительным значением /(ζ) в
смысле Бореля, если η (г, а, /) при г ->- оо растет в
определенном смысле медленнее Г (г, /). Каждая мероморфная
функция, отличная от постоянной, не может иметь
более двух борелевских (а значит, и пикаровских)
исключительных значений.
Успешно развивается теория распределения
значений голоморфных отображений комплексных
многообразий — многомерный аналог теории Неванлинны (см.
[6], [7]), а также теория распределения значений
минимальных поверхностей (см. [9], [10]).
Распределение значений функций, мероморфных в
круге. Выше описана теория распределения значений
мероморфных во всей открытой плоскости функций; это
параболич. случай. Теория роста и распределения
значений построена также и для случая гиперболического,
т. е. когда f(z) является функцией, мероморфной в
единичном круге {|ζ|<1} (см. [1], [8]). При этом функции
N (г, а, /), т(г, а, /), L(r, а, /) и Г (г, /) определяются
для каждого г, 0<:г<1, точно так же, как и в
параболическом случае. Дефект f(z) в точке а в смысле
Неванлинны и в смысле Валирона определяется
соответственно так:
с / j\ τ т (г, а, /)
δ (α, /)= lim ±'{r 'f)n ,
Δ (a, /)= lim
' m (r, a, /)
χ T(r, f)
А величина
β («,/) = limH^
наз. величиной отклонения /(ζ) относительно
значения a.
Пусть D(f)={a : δ (α, /)>0},
7(/) = {α:Δ(α, /) > 0} и Ω (/) = {α:β (a, /) > 0}.
Основные положения параболич. случая о величинах
δ (α, /), Δ (а, /) и β (а, /), а также о структуре множеств
МА» V (f) и ^ (/) сохраняются и в гиперболич. случае,
но не для всех функций, а лишь для функций с быстро
растущей (в определенном смысле) при г —>- 1
характеристикой Г (г, /).
Лит.: [1] Неванлинна Р., Однозначные аналитические
функции, пер. с нем., М.— Л., 1941; [2] Хейман У.-К.,
Мероморфные функции, пер. с англ., М., 1966; [3] Араке-
л я н Н. У., «Докл. АН СССР», 1966, т. 170, № 5, с. 999 — 1002;
[4] Г о л ь д б е ρ г Α. Α., Островский И. В.,
Распределение значений мероморфных функций, М., 1970; [5] Π е τ ρ е н-
к о В. П., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1969, т. 33, № 6, с 1330—
1348; 1970, т. 34, № 1,с. 31—56; [6] Г ρ и φ φ и τ с Φ., Кинг Д ж.,
Теория Неванлинны и голоморфные отображения
алгебраических многообразий, пер. с англ., М., 1976; [7] Ш а б а т Б. В.,

:ния функция
892
891 РАСПРЕДЕЛИ
Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [8]
Петренко В. П., Рост мероморфных функций, Хар., 1978; [9]
его же, «Докл. АН СССР», 1981, т. 256, № it c. 40—42; [10]
Beckenbach Ε. F., Hutchison G. Α., «Pacific J.
Math.», 1969, v. 28, № 1, p. 17—47. В. П. Петренко.
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ какой-либо
случайной величины X — функция
действительного переменного х, принимающая при каждом χ
значение, равное вероятности неравенства Х<х.
Каждая Р. ф. F (х) обладает следующими свойствами:
1) F(x')<cF(x") при х'<х";
2) F (х) непрерывна слева при каждом х;
3) lim F(x)=0, UmF(x) = l
Χ ->■ — CO X ->- GO
(иногда Р. φ. определяют как вероятность неравенства
Х^.х, и тогда она оказывается непрерывной справа).
В математич. анализе Р. ф. называют любую
функцию, для к-рой имеют место свойства 1)—3). Существует
взаимно однозначное соответствие между
распределениями вероятностей Ρ ρ на σ-алгебре <ξ& борелевских
подмножеств числовой прямой R1 и Р. ф. Это
соответствие определяется формулой: для любого интервала
U, Ъ)
PF([a,b)) = F{b)-F(a).
Каждая функция F, обладающая свойствами 1)—3),
может рассматриваться как Ρ φ. нек-рой случайной
величины X (напр., случайной величины X (х)—х,
заданной на вероятностном пространстве (R1, ώ, Ρ ρ)).
Всякая Р. φ. может быть однозначно представлена
в виде суммы
F (х) = axFx (x) + a2F2 (χ)-'г a3F2 (x),
где αλ, α2, α3 — неотрицательные числа, сумма к-рых
равна 1, a F±, F2, F3 — Р. φ. такие, что Fx(x) абсолютно
непрерывна:
F1(x) τ=γ_φΡ(ζ)άζ,
F2(x) — «ступенчатая функция»:
А/г< λ
где х% — точки скачков F (х), а р&>0 пропорциональны
размеру этих скачков; F3(x) — «сингулярная»
компонента — непрерывная функция, производная к-рой
почти всюду равна нулю.
Пример. Пусть Xk, k=^i, 2. 3, ... ,— бесконечная
последовательность независимых случайных величин,
принимающих значения 1 и 0 с вероятностями 0<Pk<-
<1/2 и gfe=l—ρ /г, соответственно. Пусть
х = у if,
£k=\ 2*
тогда
1) если pft=gfe=l/2 при всех к, то X имеет абсолютно
непрерывную Б\ ф. (с р(х)=\ для 0<х<:1, т. е. X
равномерно распределена на [0, 1]);
Σ со
Pk<oo, то X имеет «ступенчатую»
Р. ф. (она имеет скачки во всех двоично-рациональных
точках отрезка [0, 1]);
3) если 2Ь _ Pk^ °°» Pk~^~Q ПРИ А; -> оо, то X
имеет «сингулярную» Р. ф.
Этот пример является иллюстрацией одной теоремы
П. Леви (P. Levy), в соответствии с к-рой предел
бесконечной свертки дискретных Р. ф. может содержать
только одну из указанных выше компонент.
«Расстояние» между распределениями Ρ и Q на
числовой прямой часто определяют в терминах
соответствующих Р. ф. F и S, полагая, напр.,
Pi(P, Q)=mV\F(x)-S(x)\
χ
или
ра(Л Q) = V8lt(F(x)-S(x))
(см. Распределений сходимость, Леви метрика,
Характеристическая функция).
Р. ф. наиболее употребительных распределений
вероятностей (напр., нормального, биномиального, пуас-
соновского распределений) табулированы.
Для проверки гипотез о Р. ф. F по результатам
независимых наблюдений используют так или иначе
измеренное отклонение F от эмпирической Р. ф. (см.
Колмогорова критерий, Колмогорова — Смирнова критерий,
Крамера — Мизеса критерий).
Понятие Р. ф. естественным образом
распространяется на многомерный случай, но многомерные Р. ф.
значительно менее употребительны, чем одномерные.
О приближенном представлении Р. ф. см. Г рама —-
Шарлье ряд, Эджворта ряд, Предельные теоремы.
Лит.: [1] К ρ а м е ρ Г., Случайные величины и
распределения вероятностей, пер. с англ., М., 1947; [2] е г о ж е,
Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3J
Φ е л л е ρ В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения,
пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967; [4] Б о л ь ш е в Л Н.,
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики,
2 изд., М., 1968. Ю. В. Прохоров.
РАССЕИВАНИЕ ВЫБОРКИ — одна из скалярных
характеристик разброса выборки на прямой
относительно какой-либо конкретной точки, называемой
центром рассеивания, численно равная
сумме квадратов отклонений значений случайных
величин, образующих выборку, от центра рассеивания.
Пусть Χλ, ... , Хп — независимые случайные величины,
подчиняющиеся одному и тому же закону, и пусть
точка х, zglR1, выбрана в качестве центра рассеивания.
Тогда величина
я»(*) = 2"= ,№-*)■
наз. рассеиванием выборки Хг, ... , Хп
относительно центра рассеивания х. Так как для
любого χ
Sn(x)=Sn(X) + n(X-x)*^Sn(X).
— ι
где Х=—(Х^...-{-Хп), то Р. в. будет минимальным,
если в качестве центра рассеивания выбрать X. Малые
значения Р. в. говорят о сосредоточенности элементов
выборки около центра рассеивания, и наоборот:
большие значения Р. в. говорят о большой разбросанности
элементов выборки. Понятие Р. в. естественным
образом распространяется на многомерные выборки.
Лит.: [1] Уилкс С, Математическая статистика, пер.
сангл.,М., 1967. Ы. С. Никулин.
РАССЕИВАНИЯ ЭЛЛИПСОИД — эллипсоид в
пространстве реализаций случайного вектора,
характеризующий сосредоточенность его распределения
вероятностей возле нек-рого заданного вектора в терминах
моментов 2-го порядка. Пусть случайный вектор X,
принимающий значения x=(xlt ... , хп)Т в /г-мерном
евклидовом пространстве R", имеет невырожденную
ковариационную матрицу В. В таком случае для любого
фиксированного вектора a, αζ$ίη, в пространстве
реализаций Rn можно определить эллипсоид
(х—а)т В-1 (х — а) = п-[-2, x£R'\
к-рый наз. эллипсоидом рассеивания
распределения вероятностей случайного вектора X
относительно вектора а, или эллипсоидом рассеивания
случайного вектора X. В частности, если а=ЕХ, то
Р. э. является геометрич. характеристикой концентра-

893
РАССЛОЕНИЕ
894
ции распределения вероятностей случайного вектора X
около его математич. ожидания EX.
В задаче статистич. оценивания неизвестного /г-мер-
ного параметра θ с помощью понятия Р. э. можно
ввести отношение частичного упорядочивания на
множестве τ= {Τ} всех несмещенных оценок Τ параметра Θ,
имеющих невырожденные ковариационные матрицы,
считая, что из двух оценок Тг, Т2 ζ τ предпочтительней
является оценка Тг, если Р. э. оценки Тг лежит
целиком внутри Р. э. оценки Т2. Именно в этом смысле
несмещенные эффективные оценки неизвестного
векторного параметра являются наилучшими, то есть Р. э.
несмещенной эффективной оценки лежит внутри Р. э.
любой другой несмещенной оценки. См. Рао —
Крамера неравенство, Эффективная статистика,
Информации количество.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы статистики,
пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Андерсон Т., Введение в
многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963;
[3] Ибрагимов И. С, Хасьминский Р. 3.,
Асимптотическая теория оценивания, М., 1979. М. С. Никулин.
РАССЕЛА ПАРАДОКС — см. Антиномия.
РАССЕЯНИЯ МАТРИЦА, S-u а т ρ и ц а,—
совокупность величин (матрица), описывающая процесс
перехода квантовомеханич. систем из одних состояний в
другие при их взаимодействии (рассеянии).
При рассеянии система переходит из одного
квантового состояния, начального (его можно отнести к
моменту времени £= — оо), в другое, конечное (£=+°о).
Если обозначить набор квантовых чисел,
характеризующих начальное состояние, через i, а конечное —
через U то амплитуда рассеяния (квадрат модуля к-рой
определяет вероятность данного рассеяния) может быть
записана как S(j. Совокупность амплитуд рассеяния
образует таблицу с двумя входами, к-рая и наз.
матрицей рассеяния S.
Нахождение Р. м.— основная задача квантовой
механики и квантовой теории поля. Р. м. содержит всю
информацию о поведении системы, если известны
не только численные значения, но и аналитич. свойства
ее элементов; в частности, ее полюсы определяют
связанные состояния системы (а следовательно,
дискретные уровни энергии). Из основных принципов
квантовой теории следует важнейшее свойство Р. м.— ее
унитарность.
По материалам ст. Матрица рассеяния в БСЭ-3.
РАССЛОЕНИЕ — непрерывное сюръективное
отображение π : X ->- В пространства X на пространство В
(следует различать Р. как процесс и Р. как объект (X,
π, В)). При этом X наз. пространством Р.,
В — базой Р., π — проекцией Р., π-1(&) —
слоем над Ъ. Р. представляет собой объединение
слоев π_1(6), параметризованных базой В и склеенных
топологией пространства X. Напр., расслоение-
произведение π : BXF -+ В, где π —
проекция на первый сомножитель; расслоение-база
π : В -+■ В, где n = id, Χ отождествляется с В;
расслоение над точкой* , где X
отождествляется с (единственным) пространством F.
Сечением Р. наз. непрерывное отображение
s : В -+■ X такое, что ns—id.
Ограничением расслоения π : X -+ Ь
на подмножестве АаВ наз. расслоение π' : X' -+А,
где Χι — π~1(Α) и π'=π| . Обобщением операции
ограничения является построение индуцированного
расслоения.
Отображение F : X -+· X' наз. морфизмом
расслоения π : X ->- В в расслоение π' : X' -*-
-+В', если оно переводит слои в слои, т. е. если для
каждой точки ЪаВ существует такая точка ϋ'ζΒ',
что F (к~г (Ь))ал~г (Ь'). Отображение F определяет
согласно формуле /(6)=π'/Γ(π~1(6)) нек-рое
отображение / : В —>■ В'; F является накрытием f и имеет
место равенство nOF=fon; ограничения F& : π-1 (&)—>·
-> (π')_1(6') суть отображения слоев. Если В=В'
и /=id, то морфизм F наз. В - м о ρ φ и з м о м. Р.
и их морфизмы образуют категорию, содержащую в
качестве подкатегории Р. над В и их Ζ?-морфизмы.
Всякое сечение расслоения π : X -> В представляет
собой Б-морфизм s : В -> X расслоения (В, id, В)
в расслоение (Χ, π, В). Если АаВ, то канонич.
вложение ί : π-1 (Α) -> В является морфизмом
расслоения π|^4 в расслоение π.
Гомеоморфное отображение F наз.
изоморфизмом. Р., изоморфное расслоению-произведению, наз.
тривиальным Р., а изоморфизм θ : X-^BXF—
тривиализацией π.
Если каждый слой n~~l(b) расслоения гомеоморфен
пространству F, то расслоение π наз.
расслоением со слоем F. Напр., в любом локально
тривиальном Р. над связной базой В все слои π_1(6)
гомеоморфны, и в качестве F можно взять любое
π~](60); таким образом, определены гомеоморфизмы
ф5 · F —>· Я-1 (Ь). М. И. Войцеховский.
G-РАССЛОЕНИЕ, расслоение со
структурной группой,— обобщение понятия
прямого произведения двух топологич. пространств.
Пусть G — топологич. группа, а X — эффективное
правое G-пространство, т. е. топологич. пространство
с заданным правым действием группы G таким, что
xg=x влечет g=l, χζΧ, g£G. Пусть Х*сХХХ —
подмножество таких пар (х, х'), что xf = xg для нек-
рого g£G, B=X/q — пространство орбит ир :!->
-> В — отображение, сопоставляющее с каждой точкой
ее орбиту. Если отображение Х*-> G : (х, xg) -> g
непрерывно, то набор ξ=(Χ, р, В) наз. главным
расслоением со структурной груп-
п о й G.
Пусть F — левое ^-пространство. Топологич.
пространство XXF снабжается правым действием группы G
по формуле (xf)g=(xg, g-1/) >/€^· Композиция X XF_J£
^ X Д. В индуцирует отображение X p=(XXF)/G __ζ.
PF В (здесь Хр — пространство орбит действия G на
XXF). Набор (Хр, рр, В, F) наз. расслоением
со структурной группой,
ассоциированным с главным расслоением ξ,
а набор (Хр, рр, F, ξ) — расслоением со
слоем F, базой В и структурно и
группой G. Таким образом, главное расслоение со
структурной группой является частью структуры
любого расслоения со структурной группой, и оно
однозначно определяет расслоение для любого левого G-
пространства F.
Если ξ=(Χ, ρ, Β), ξ' = (Χ', ρ', В') —два главных
расслоения со структурной группой G, то морфизмом
|-»-!' наз. отображение ^-пространств h : X ->- X'.
Отображение h индуцирует отображение / : В ->- В'.
Главное расслоение со структурной группой наз.
тривиальным, если оно изоморфно расслоению
следующего вида:
(BxG, pr5, В), (Ъ, g)g' = (b; gg'), b£B, g,g'£G.
Пусть (Χ, ρ, Β) — главное расслоение и f : В' -*·
—>- В — непрерывное отображение произвольного
топологич. пространства В' в В. Пусть Х'аВ'XX —
подмножество таких пар (Ъ, х), что f(b)—p(x).
Проекция ргв, : В'ХХ -+■ В' индуцирует отображение
р' : X'—> В'. Пространство X'обладает естественной
структурой правого ^-пространства, и тройка (X',
ρ', В') представляет собой главное расслоение, оно
индуцировано расслоением (X, р, В) с помощью
отображения / и наз. индуцированным
расслоением. Если / : В' -> В — включение подпростран-

895
ства, то (Χ', ρ', В') наз. ограничением (X, р,
В) над подпространством В'.
Главное расслоение со структурной группой наз.
локально тривиальным, если его ограничение
на нек-рую окрестность любой точки базы В
тривиально. Для широкого класса случаев требование
локальной тривиальности излишне (напр., если G —
компактная группа Ли, X — гладкое
(^-многообразие). Поэтому часто термин «расслоение» со
структурной группой используется в смысле локально
тривиального расслоения (или косого произведения).
Пусть (Xjp, pF, F, ξ), (X'F, p'F, F, ξ') пара
расслоений с одной структурной группой и одним 6?-прост-
ранством в качестве слоя. Для морфизма h : ξ ->· ξ'
главных расслоений отображениеhXid: XXF-* X' XF
индуцирует непрерывное отображение (p:XF-*XF,
и пара (Д, φ) наз. морфизмом расслоений со
структурной группой (XF, рр, F, ξ) ->- (Xf, pf, F, I').
Локально тривиальное расслоение η=(Λ>, ρ ρ,
F, ξ) допускает следующее описание, лежащее в основе
другого, также общепринятого определения
расслоения со структурной группой. Пусть U= {иа} —
открытое покрытие базы В для к-рого ограничение η на иа
при всех α тривиально. Выбор тривиализации и их
сравнение на пересечениях иа{\ир приводит к
непрерывным функциям (наз. функциями
перехода) {#αβ}, £αβ *· ^αΓΙ^ν -> G· В пересечениях трех
окрестностей иа Π Щ Π Щ имеет место равенство
^αβ0^βν0^να=1€^' а выбор других тривиализации над
каждой окрестностью приводит к новым функциям
^β=ΑαδΤαβΑβ1· Таким образом, функции {^αβ}
образуют одномерный коцикл в смысле Александрова —
Чеха с коэффициентами в пучке ростков G-значных
функций (коэффициенты неабелевы), и локально
тривиальное расслоение определяет этот коцикл с
точностью до кограницы.
Лит.: [1] ХьюзмоллерД., Расслоенные пространства,
пер. с англ., М., 1970; [2] С τ и н ρ о д Н., Топология косых
произведений, пер. с англ., М., 1953. А. Ф. Харшиладзе.
РАССЛОЕННАЯ ВЫБОРКА — выборка, разбитая
на несколько выборок меньших объемов по нек-рым
отличительным признакам. Пусть каждый элемент
какой-то выборки объема 7V>2 обладает одним и
только одним из к^2 возможных признаков. В таком
случае исходную выборку можно разбить на к выборок
объемов пг, . . ., Aife соответственно (/1,+· . .+гс&=
=ЛГ):
Хп, ..., Х\Пх,
Χ2ι, . . · , ^2П2»
исходя из принципа: в i-ю выборку ХгЬ . . ., Хг-Ш-
отнесены только те элементы исходной выборки, к-рые
обладают i-м признаком. В результате такого
разбиения первоначальная выборка оказывается как бы
расслоенной на к слоев Хц, . . ., Хг-„., i=l, . . ., /с,
причем именно i-й слой содержит информацию об i-м
признаке. К понятию Р. в. приходят, наблюдая, напр.,
реализации компоненты X двумерной случайной
величины (X, У), вторая компонента к-рой Υ подчиняется
дискретному распределению.
Лит.: [1] У и л к с С, Математическая статистика, пер. с
англ., М., 1967. М. С. Никулин.
РАССЛОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ объектов
категории — частный случай понятия
(обратного или проективного) предела. Пусть St—
произвольная категория и пусть заданы морфизмы а: А ->-
-^ С, β: В ->- С из $. Объект D, вместе с морфизмами
φ: D ->- Α ψ: D -> В, наз. расслоенным про-
[ ВЫБОРКА 896
изведением объектов А ж В (над α и β),
если φα=ψβ и для любой пары морфизмов у: X -> А,
§: χ->Β, для которой γα=δβ, существует такой
единственный морфизм ξ : Х_>2), что ξφ = γ, ξψ = δ.
Коммутативный квадрат
А—+С
α
часто наз. универсальным, или
декартовым, квадратом. Объект D вместе с
морфизмами φ и ψ есть предел диаграммы
В
А—*С .
α
Р. п. объектов А и В над α и β обозначают одним из
следующих способов:
АхВ, АХВ, аЦв
С α, β α β
Р. п., если оно существует, определено однозначно
с точностью до изоморфизма.
В категории с конечными произведениями и ядрами
пар морфизмов Р. п. объектов А и В над α и β строится
следующим образом. Пусть Р=А XВ —
произведение А и В с проекциями % и л2 и пусть (D, μ) — ядро
пары морфизмов πχα, π2β : Ρ -+ С. Тогда D, вместе
с морфизмами μπ1=φ и μπ2=ψ, есть Р. п. Л и В над
α и β. Во многих категориях структуризованных
множеств D является подмножеством произведения (А X
ХВ), состоящим из всех таких пар (а, 6), где αζΑ,
Ь£В, ДЛЯ К-рыХ αα=6β. Μ. Ш. Цаленко.
РАССЛОЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО — тотальное
пространство расслоения. М. И. Войцеховский^
РАСТЯГИВАЮЩЕЕ ОТОБРАЖЕНИЕ —
дифференцируемое отображение / замкнутого многообразия Μ
на себя, под действием к-рого длины всех касательных
векторов (в смысле какой-нибудь, а тогда и любой,
римановой метрики) растут с экспоненциальной
скоростью, т. е. существуют такие константы С>0 и
λ>1, что для всех ΧζΤΜ и всех п>0
J Tf^(X)\\^CXn\\X\\.
Имеется также вариант понятия Р. о. без условия диф-
ференцируемости, охватывающий, в частности, многие
ранее изучавшиеся одномерные примеры. Свойства
Р. о. аналогичны свойствам У-систем и отчасти даже
проще (так, Р. о. класса С2 всегда имеет конечную
инвариантную меру, задаваемую в терминах локальных
КООрДИНат ПОЛОЖИТеЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ). Д. В. Аносов.
РАСХОДЯЩАЯСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —
последовательность точек топологич. пространства, не
имеющая предела. Из всякой расходящейся
последовательности метрич. компакта можно выделить
сходящуюся подпоследовательность. В классе Р. п.
нормированных пространств выделяют бесконечно
большие последовательности, т. е. такие
последовательности {хп} точек этих пространств, что lim||a:„||=oo.
Л->оо
Понятие Р. п. обобщается на кратные
последовательности и на направленные (частично упорядоченные)
Множества. Л. Д. Кудрявцев.
РАСХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ — понятие,
противоположное понятию сходящегося интеграла (см.
Несобственный интеграл). Напр., если функция
определена на конечном или бесконечном промежутке [а, 6),
— оо<а<Ь<;оо, если для любого η ζ [а, Ь] она
интегрируема на отрезке [α, η] и не существует конечного
РАССЛОЕННА

897
РАСШИРЕНИЕ
898
предела
lim νη/ (χ) dx,
η -> b J α
ГЬ
то говорят, что интеграл \ f(x)dx расходится. В
случае, когда
f (χ) dx = + oo или — oo,
,, -г с <, α
говорят, что Р. и. \ f(x)dx равен соответственно
+ 00 ИЛИ —оо. Л. Д. Кудрявцев.
РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД — ряд, у к-рого
последовательность частичных сумм не имеет конечного предела.
Напр., ряды
1 + 1 + 1+1 + 1 + ...,
1 — 1 + 1 — 1 + 1 — ...,
1-2 + 3—4 + 5-...,
1+<г + )Г2_[_)Гз + ;г4+ _ (|а|^1),
расходятся.
Р. р. стали появляться в работах математиков
17—18 вв. Л. Эйлер (L. Euler) первым пришел к
выводу, что нужно ставить вопрос, не чему равна сумма,
а как определить сумму Р. р., и нашел подход к
решению этого вопроса, близкий к современному. Р. р.
до кон. 19 в. не находили применения и были почти
забыты. Накопление к кон. 19 в. различных фактов
математич. анализа вновь пробудило интерес к Р. р.
Стал выдвигаться вопрос о возможности
суммирования рядов в нек-ром смысле, отличном от обычного.
Примеры. 1) Если перемножить два ряда
Σα„ и У1. Ьп,
сходящихся соответственно к А и В, то полученный
в результате перемножения ряд
2Г=оСи==2Г=0 (αο&»+^ιχ-ι+···+«Λ) (1)
может оказаться расходящимся. Однако если сумму
ряда (1) определить не как предел частичных сумм sm
а как
то в этом смысле ряд (1) всегда будет сходиться (т. е.
предел в (2) будет существовать) и его сумма в этом
смысле равна С—АВ.
2) Ряд Фурье функции /(ж), непрерывной в точке х0
(или имеющей разрыв 1-го рода), может расходиться
в этой точке. Если же сумму ряда определить по
формуле (2), то в этом смысле ряд Фурье такой функции
всегда будет сходиться и его сумма в этом смысле равна
f(x0) (или соответственно [f(x0 + 0)+f(x0—0)]/2, если
х0 — точка разрыва 1-го рода).
3) Степенной ряд
2Г=ог» (3)
сходится для Ы<1 к сумме 1/(1—ζ) и расходится для
|ζ|^1. Если сумму ряда определить как
lim е-* V" „-*£-, (4)
х-+ оо ^я=0 п!
где sn — частичные суммы ряда (3), то в этом смысле
ряд (3) будет сходиться для всех ζ, удовлетворяющих
условию Re ζ<1, причем его суммой будет функция
1/(1-*).
Для обобщения понятия суммы ряда в теории Р. р.
рассматривают нек-рую операцию или правило, в
результате к-рого Р. р. ставится в соответствие
определенное число, наз. его суммой (в этом определении).
Такое правило наз. суммирования методом. Так,
правило, описанное в примере 1), наз. методом
суммирования средних арифметических (см. Чезаро методы
суммирования). Правило, определяемое в примере 2),
наз. Бореля методом суммирования.
См. также Суммирование расходящихся рядов.
Лит.: [1] В о г е 1 Е., Lecons sur les series divergentes, P.,
1928; [2] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М.,
1951; [3] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер с англ., М., 1960; [4] Peyerimhoff
Α., Lectures on summability, В., 1969; [5] К n ο ρ ρ Κ , Theory
and application on infinite series, N. Y., 1971; [6] Ζ e 1 1 e г К.,
Beekmann V., Theory der Limitierungsverfahren, В.—
Hdlb. — N. Y., 1970. И. И. Волков.
РАСШИРЕНИЕ алгебры Л и £ с ядром А —
алгебра Ли G с эпиморфизмом φ : G -+ S, ядром к-рого
служит идеал AaG, это равносильно заданию точной
последовательности
О -+ Л —>G-^S—► 0.
Р. наз. расще пимым, если существует
подалгебра 51с5' такая, что G=S1@A (прямая сумма
модулей). Тогда φ индуцирует изоморфизм S^S, и потому
определено действие алгебры 5 на Л
дифференцированиями. Обратно, по любому гомоморфизму α : S -+·
-ν Der A, где Der A — алгебра дифференцирований
алгебры А, однозначно строится расщепимое
расширение £0Л с законом умножения
[(s, a),(s\ a')] = ([s, s'], α (s) a' — a (sf) a+ [ a, a']).
Для конечномерных алгебр Ли над полем
характеристики 0 справедлива теорема Лев и: если S
полупроста, то всякое расширение алгебры S расщепимо.
Из нерасщепимых Р. наиболее изучены абелевы Р.,
то есть Р. с абелевым ядром А. В этом случае действие
алгебры G на А индуцирует действие алгебры G/A ^S
на А, то есть А есть S-модуль. Для алгебр Ли над
полем всякое абелево Р. алгебры S, ядром к-рого
служит S-модуль Л, имеет вид £0Л со следующим
законом умножения:
[(.9, a), (s', a')] = ([s, s'], a(s)a' — a(s')a + ty(s, s')),
где ψ — нек-рое линейное отображение SAS ->- А.
Тождество Якоби равносильно тому, что ψ —
двумерный коцикл (см. Когомологии алгебр Ли). Р., к-рым
эквивалентны когомологичные коциклы,
эквивалентны в естественном смысле; в частности, Р. расщепимо
тогда и только тогда, когда ψ когомологичен нулю.
Таким образом, абелевы Р. алгебры S с ядром А
описываются группой когомологий H2(S, А). К случаю
абелевых Р. сводится изучение Ρ с разрешимым ядром.
Лит.: [1] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, пер. с англ ,
Μ , 1964 А К Толпыго
РАСШИРЕНИЕ ассоциативной алгебры
R над коммутативным кольцом К — гомоморфизм
φ : S -> R К -алгебры S на алгебру R. Если Кегср=
= / — алгебра с нулевым умножением, то Р. наз.
сингулярным. В этом случае на 7
естественным образом вводится структура Л-модуля. На
множестве всех Р. ассоциативной алгебры R с
ядром 7 вводится отношение эквивалентности (так же,
как для групп, модулей и т. д.), и множество классов
эквивалентных Р. обозначается F(R, I). Если
алгебра R является Ζ-проективной, то алгебра S разложима
в прямую сумму Ζ-модулей 5=7+R, и элементы
алгебры S можно записать в виде пар (и, г), и£1, г ζ R,
к-рые перемножаются по правилу
(ult Γχ) (w2, r2) = {u1r2+r1u2 + a(r1, r2), ггг2),
где а : i?®7? ->- 7. Ассоциативность умножения на-
£t 29 Математическая энц., т. 4

899
РАСШИРЕНИЕ
900
кладывает ограничения на функцию а, превращая ее
в коцикл. Сопоставление Р. его коцикла
устанавливает изоморфизм Я-модуля F(R, I) со второй группой
когомологий Я2 (Л, /) алгебры R с коэффициентами в /.
Р. алгебры R наз. также алгебру, содержащую R.
Такие Р. часто связаны с конкретной конструкцией
(многочлены над i?, локализация /?, кольцо частных
алгебры Лит. д.). См. также Расширение поля.
Лит.: [1] Μ а к л е й н С, Гомология, пер. с англ., М., 1966;
[2] Η о с h s с h i 1 d G., «Ann. Math.», 1945, v. 46, p. 58—67.
В. Е. Говоров.
РАСШИРЕНИЕ группы — группа, содержащая
данную группу в качестве нормального делителя.
Обычно фиксируется и факторгруппа, т. е.
расширением группы А при помощи
группы В наз. группа G, содержащая А в качестве
нормального делителя и такая, что GlA^zB, или точная
последовательность
Ε—+Α—>£-Л# —+E. (1)
Иногда группу G наз. расширением группы
В при помощи г ρ у и π ы 4 (см., напр., [2]) или
эпиморфизм у : G-* В — Р. группы В (см., [1]).
Наконец, точная последовательность (1) может
называться как Р. группы А при помощи группы В, так
и Р. группы В при помощи группы А. Р. группы А
при помощи группы В всегда существует, однако
группы А и В определяют его неоднозначно. Необходимость
описания всех Р. группы А при помощи группы В
вызвана как потребностями самой теории групп, так
и ее приложениями. Такое описание естественно
проводить с точностью до эквивалентности. Два Р.
группы А при помощи группы В наз.
эквивалентными, если коммутативна диаграмма
Е—>А—>G—> В—+Е
II I II
Е—>Л—>G'—+ В —+Е.
Произвольное Р. (1) определяет путем
трансформирования элементами группы G гомоморфизм
a:G—*AutA, a (g) a — gag'1,
для к-рого α (А) содержится в группе In А
внутренних автоморфизмов группы А, и, следовательно,
определяет гомоморфизм
β:£ —> Aut A/hi A.
Тройку (А , В, β) наз. абстрактным ядром Р.
Фиксируя Р. (1), выбирают для каждого Ь£В
представителя u(b)£G так, чтобы удовлетворялись
условия уи(Ь)—Ь и и(1)=1. Тогда сопряжение элементом
и(Ь) порождает автоморфизм φ (6) группы А:
φ (Ь) а = и (Ъ) а и (b)~1=iab.
Произведение ufa) и(Ъ2) равно u(bxb2) с точностью до
множителя /(&!, Ь2)£А:
i*(6i) u(b2) = f(bu b2) u{bx b2).
Легко проверяется, что введенные функции должны
удовлетворять условиям
[<p(bi)/(b„ b3)]f(blib2b3) = f(b1,b2)f(b1b2,bs), (2)
(α^)*. = (β/<*ι.*.>)*Α, (3)
где в равенстве (3) неявно присутствует функция
φ : В ->· Aut A.
Задание групп А и В и функций f:BXB->A,
φ : Β -> Aut A, удовлетворяющих условиям (2) и (3)
и условиям нормализованности:
φ(1) = 1, /(я, !> = !=/ (1, Ъ),
определяет Р. (1) в следующем смысле. Множество
В0(А, В, φ, /) пар(а, Ь), а£А, Ь£В,
является группой относительно операции
(а, 6)(о„ &ι) = (αοί/(6, bi), bbj.
Гомоморфизмы α(-»(α, 1), (α, b) h» b задают Р.
Если задано абстрактное ядро (Л, В, β), то всегда
можно найти нормализованную функцию φ,
удовлетворяющую условию (3). Естественно возникает
функция /, однако условие (2) не всегда выполняется; в
общем случае
/(6а, Ь3) / (Ьь Ъ2 Ьл) = к (Ьи Ьа> Ь9) f (blt b2) f (h b2, b3),
где k(b19 b2, b3)£A. Функция f:BXB-*A наз.
системой факторов, а функции к : ΒΧΒχ
ХВ-+-А наз. препятствиями к Р. Если
группа А абелева, то системы факторов составляют
группу Ζ2(Β, А) относительно их естественного
сложения. Факторы, соответствующие полупрямым
произведениям, составляют подгруппу В2(В, А) группы
Ζ2(Β, А). Факторгруппа Ζ2(Β, Α)/Β2(Β, А) изоморфна
второй группе когомологий группы В с
коэффициентами в группе А. Аналогичную интерпретацию имеют
препятствия в третьей группе когомологий.
Идея изучения Р. с помощью систем факторов
появилась давно (О. Гёльдер, О. Holder, 1893). Однако
упоминание систем факторов обычно связано с именем
О. Шрайера (О. Schreier), предпринявшего с их
помощью первое систематич. изучение расширений.
Р. Бэр (R. Ваег) впервые начал инвариантные
исследования Р. групп без участия систем факторов. Теория
Р. групп явилась одним из истоков гомологич. алгебры.
Лит.: [1]КартанА.,ЭйленбергС, Гомологическая
алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Кириллов Α. Α.,
Элементы теории представлений, М., 1978; [3] Курош А. Г.,
Теория групп, 3 изд., М., 1967; [4] Μ а к л е й н С, Гомология,
пер. с англ., М., 1966. В. Е. Говоров.
РАСШИРЕНИЕ дифференциального
поля F0 — дифференциальное поле F-Z)F0 с таким
множеством дифференцирований Δ, что ограничение
Δ на F0 совпадает с множеством дифференцирований,
заданных на F0. В свою очередь F0 будет
дифференциальным подполем поля F.
Пересечение любого множества дифференциальных
подполей в F является дифференциальным подполем
поля F. Для любого множества элементов 2cF
существует наименьшее дифференциальное подполе в F,
содержащее все элементы из Σ и F0; оно обозначается
F0{2) и наз. расширением поля F0,
порожденным множеством Σ (при этом
говорят, что Σ является множеством, или семейством,
образующих расширения F0(X) над FQ). P. наз. к о-
нечно порожденным, если оно имеет
конечное множество образующих, и наз. просто
порожденным, если множество образующих состоит
из одного элемента. Если Fx и F2 — два
дифференциальных подполя в F, то подполе
F1F2=F1 <F2y=Ft (F2)=F2 (Fx) =Ff <FX>,
являющееся дифференциальным подполем поля F,
наз. композитом полей Ft и F2.
Пусть Θ — свободная коммутативная полугруппа
с множеством свободных образующих Δ (ее элементы
наз. дифференциальными
операторами). Семейство (a£)i6i элементов
дифференциального поля F наз. дифференциально
алгебраически зависимым над
дифференциальным полем FQaF, если семейство (θα,·)| G j q e θ
алгебраически зависимо над F0, в противном случае
семейство (a£)j€ j наз. дифференциально
алгебраически независимым над F0, или

901
РАСШИРЕНИЕ
902
семейством дифференциальных
неизвестных над F0. Говорят, что элементы (a/)i6 т д и ф-
ференциально сепарабельно
зависимы над F0, если семейство (θα,·)ί6 / ее θ
сепарабельно зависимо над F0; в противном случае семейство
(a/)i6i наз. дифференциально
сепарабельно независимым над F0.
Расширение F наз. дифференциально
алгебраическим над F0, если таковым является
каждый элемент поля F. Аналогично, F наз.
дифференциально сепарабельным над F0,
если таковым является каждый элемент из F. Для
дифференциальных Р. справедлива теорема о
примитивном элементе: пусть множество θ независимо на
F0, тогда всякое конечно порожденное
дифференциально сепарабельное расширение F поля F0
порождается одним элементом.
Пусть / — нек-рое множество и F0[(y.Q )iGj,eeel-
алгебра многочленов над F0 от семейства
неизвестных (у/θ) jб j θg θ с множеством индексов /Χθ.
Любое дифференцирование δζΔ поля F0 единственным
образом продолжается до дифференцирования кольца
Fol(y^)jсj,eее'' отображающего yjQ в yj6Q. Это
дифференциальное кольцо наз. кольцом
дифференциальных многочленов от
дифференциальных неизвестных г/у, /ζ/, и обозначается
F0{{уj)jej}. Его дифференциальное поле
частных (т. е. поле частных с продолжением
дифференцирований) обозначается F0((y)-ej), а элементы
этого поля наз. ди фференциальными
функциями над F0 от дифференциальных
неизвестных (y)jej- Для обыкновенных дифференциальных
полей имеет место аналог теоремы Люрота:
пусть F — произвольное дифференциальное Р.
дифференциального поля F0, содержащееся в F0(u), тогда
F содержит элемент ν такой, что F=F0(v).
Для любого дифференциального поля F существует
сепарабельное полууниверсальное
расширение, т. е. такое Р., в к-рое вкладывается
всякое конечно порожденное сепарабельное Р. поля F.
Более того, существует сепарабельное
универсальное расширение £/, т. е. такое
Р., к-рое является полууниверсальным над каждым
конечно порожденным Р. дифференциального поля F,
содержащимся в U.
В теории дифференциальных полей нет объекта,
соответствующего алгебраически замкнутому полю
В теории полей. До нек-рой степени их роль играют
стесненно замкнутые поля. Основным свойством
такого поля F является то, что любая конечная система
алгебраических дифференциальных уравнений и
неравенств с коэффициентами в F, имеющая решение,
рациональное над нек-рым Р. поля F, имеет решение,
рациональное над F. Семейство η=(η/)<7·ζ7 элементов
из нек-рого Р. дифференциального поля F наз.
стесненным над F, если существует дифференциальный
многочлен c£F{(ijj)je т} такой, что с(ч\)ф0 и c(rj') = 0
для любой необщей дифференциальной специализации
η' точки η над F. Расширение $ поля F наз.
стесненным над F, если любая конечная система
элементов %, .. . , η„ζ$ является стесненной над
F\ это равносильно тому, что произвольный элемент
из g является стесненным над F. Дифференциальное
поле, не имеющее нетривиальных стесненных Р., наз.
стесненно замкнутым. Пример такого
поля — универсальное дифференциальное поле нулевой
характеристики (универсальное Ρ поля
рациональных чисел Q). Для любого дифференциального поля
нулевой характеристики существует стесненное
замыкание, т.е. стесненно замкнутое Р. поля F,
к-рое вкладывается в любое другое стесненно
замкнутое Р. поля F.
Определение нормального Р. из теории полей может
быть перенесено в дифференциальную алгебру
различными способами. В дифференциальной теории Га-
луа основную роль играют сильно нормальные Р.
Пусть U — фиксированное универсальное
дифференциальное поле характеристики 0 с полем констант К.
Все дифференциальные поля, встречающиеся ниже,
предполагаются лежащими в U, а все упоминаемые
далее изоморфизмы предполагаются
дифференциальными изоморфизмами, т. е. коммутируют с
операторами из множества Δ. Пусть F и % —
дифференциальные поля, над к-рыми U универсально. Пусть С —
поле констант поля $. Изоморфизм σ поля <§ наз.
сильным, если σ оставляет инвариантным
каждый элемент из С, о^а^К и ^ασ^Κ (то есть
$Κ=$σΚ). Сильно нормальным Р.
дифференциального поля F наз. конечно порожденное
расширение $ поля F такое, что всякий изоморфизм
поля $ над F является сильным. Сильно нормальные
Р. являются стесненными. Множество сильных
изоморфизмов сильно нормального расширения $ над
F имеет естественную структуру алгебраич. группы,
определенной над полем К (обозначаемой через
G(<§lF)). Это — Галуа дифференциальная группа
расширения %IF, Частным случаем сильно
нормальных Р. являются расширения Пи к ара —
Вессио, т.е. расширения, сохраняющие иоле
констант и получающиеся присоединением к полю F базиса
решений какой-либо системы линейных однородных
дифференциальных уравнений с коэффициентами из F.
Для таких Р. группа Галуа G($/F) является
алгебраической матричной группой, т. е. алгебраич.
подгруппой группы GLK(n) для нек-рого целого п>0.
Дифференциальные группы Галуа типичных
дифференциально-алгебраических Р. имеют следующий
вид.
1) Пусть $=F(a), где α удовлетворяет системе
уравнений 6/a=a£-a, δ^ζΔ, a^F, i=l, . . ., m, и
пусть поля констант полей $ и F совпадают. Тогда
$ является расширением Пикара — Вессио ноля F
и дифференциальная группа Галуа G(<§lF) является
подгруппой мультипликативной группы поля К (то
есть GLf((l) = K*). Если элемент α трансцендентен
над F, то G(<§lF)^K*, а если α алгебраичен, то a
удовлетворяет уравнению вида yd—6=0, где b£F и
G(<g/F) = Zd (группа корней из 1 степени d). Расширение
$ поля F наз. Р.при помощи экспоненты.
2) Пусть $—F(a), где α удовлетворяет системе
уравнений 6/a=at·, δ/ξ Δ, a;£F, ί=1, . . ., /тг (такой
элемент α наз. примитивным над F). И пусть
поле констант поля F{a) совпадает с С. Если a£F,
то α трансцендентен над F. Полученное Р. является
расширением Пикара — Вессио, и группа Галуа
G(F{a)lF) изоморфна аддитивной группе поля К.
Такие Р. наз. расширениями при помощи
интеграла.
3) Пусть g2, £з — элементы поля С такие, что
gl—27 gt=£0. Элемент α ζ U наз. в е й е ρ ш τ ρ а с-
с о в ы м над F, если α удовлетворяет системе уравнений
(δ,α)2—a?(4a3—g2a—g3); δ/ζ Δ, a;£F, l<i<m.
Расширение <§=F{a) является сильно нормальным над
F, однако, если α трансцендентен над F, оно не
является расширением Пикара — Вессио. Имеется
мономорфизм
c:G{F<a>/F) — +WK,
где W%— группа точек кубич. кривой
29*

903 РАСШ]
Если α трансцендентен над Ь\ то с является
изоморфизмом.
4) Пусть F — дифференциальное поле, аг, . . ., an£F
и (%,..., η„) — фундаментальная система нулей
уравнения y(ra)+flij/ra-1)+· . . -\-апу=0, к-рая порождает
расширение Пикара — Вессио поля F. Группа Галуа
G(F<j\x ,. . ., r\n>/F) содержится в SLK(n) тогда и
только тогда, когда уравнение г/'+ад^О имеет
нетривиальный нуль в F. В частности, если F—C(x) —
дифференциальное поле рациональных функций
одного комплексного переменного с
дифференцированием dldx и Bv =y"-\-x~1y'-\-(\—v2x-2)y —
дифференциальный многочлен Бесселя, то группа Галуа
соответствующего Р. совпадает с SL/^(2) при ν—1/2£Ζ-
Если ν—1/2ζζ, то группа Галуа совпадает с Ζ*.
Для любого натурального η можно построить Р.
дифференциальных полей $z)F такое, что G (%/F) ^ GL# (η).
Существует соответствие Галуа между множеством
дифференциальных подполей сильно нормального Р.
и множеством алгебраич. подгрупп его группы Галуа.
Как и в обычной теории Галуа, в дифференциальном
случае рассматриваются две общие задачи.
а) Прямая задача: задано сильно нормальное
расширение g дифференциального поля F. Определить
его группу Галуа.
б) Обратная задача: заданы дифференциальное поле
F и алгебраич. группа G. Описать множество сильно
нормальных Р. поля F, группа Галуа к-рых изоморфна
группе G (в частности, определить, не пусто ли оно).
Существует другой способ обобщения нормальности
на случай Р. дифференциальных полей и построения
дифференциальной теории Галуа, использующий
методы дифференциальной геометрии [4].
Лит.: [1] Ritt J. F., Differential algebra, Ν. Υ., 1950;
[2] К о 1 с h i η Ε. R., Differential algebra and algebraic groups,
N. Y., 1973; [3] Капланский И., Введение в
дифференциальную алгебру, пер. с англ., М., 1959; [4] Pommaret
J. F., Differential Galois theory, N. Y.-L.-P., 1983.
А. В. Михалев, Ε. В. Панкратьев.
РАСШИРЕНИЕ модуля — любой модуль X,
содержащий данный модуль А в качестве подмодуля.
Обычно, говоря о Р. модуля А, фиксируют фактормо-
дуль Х/А, т. е. расширением модуля А
с помощью модуля В наз. точную
последовательность
0—+А—+Х—+В—+0.
Такой модуль X всегда существует (напр., прямая
сумма 4 и 5), но не определяется модулями А ж В
однозначно. Как в теории модулей, так и в ее приложениях
возникает потребность в обозрении всех различных
Р. модуля А с помощью В. С этой целью в классе всех
Р. модуля А с помощью В вводится отношение
эквивалентности, а на классах эквивалентных Р.— операция
умножения (см. Бэра умножение), относительно к-рой
множество классов эквивалентности Р. модуля А над
кольцом R образует абелеву группу Ext^(4, В). Эта
конструкция обобщается и на п-к ратные Р.
модуля А с помощью В, т. е. на точные
последовательности вида
0 —* А —* Хп_х —* ... —^ Х0 — > В —- 0,
к-рым соответствует группа Ext%(A, В). Группы
Ext % (А, В), тг = 1, 2, ...,
являются производными функторами функтора
Нотд(Л, В) и вычисляются с помощью проективной
резольвенты модуля А или инъективной резольвенты
модуля В. Расширение X модуля А наз.
существенным, если для любого подмодуля S модуля X
из $ГМ = 0 следует 5=0. Всякий модуль обладает
максимальным существенным Р., являющимся
минимальным инъективным модулем, содержащим данный.
Лит. см. при ст. Расширение группы. В. Е. Говоров.
ЕНИЕ 904
РАСШИРЕНИЕ оператора — линейный
оператор, график к-рого содержит график данного
линейного оператора. Тот факт, что оператор В есть Р.
оператора А, записывается в виде А а В. Обычные задачи
теории Р.: максимально расширить оператор, сохраняя
определенное свойство, или изучить Р. оператора,
обладающие нек-рым дополнительным свойством.
Пусть, напр., дан изометрич. оператор А в
гильбертовом пространстве Η с областью определения D (А)аН
и областью значений R (А)аН; тогда изометрические Р.
оператора А находятся во взаимно однозначном
соответствии с изометрич. отображениями из H+ = D (А)·*-
в H- = R(A)·*-. В частности, А имеет унитарные Р.,
когда размерности #+ и #_ совпадают.
Расширения симметрических
операторов. Наиболее развитой (и важной для
приложений) является теория самосопряженных Р.
симметрия, операторов в гильбертовом пространстве.
Оператор Τ является симметрическим тогда и только тогда,
когда ГсГ*, где Т* — сопряженный к Τ оператор.
Поэтому область определения любого симметрического
Р. оператора Τ содержится в D (Г*), и это Р. есть с у-
ж е н и е оператора Г*. Тем самым описание
симметрических Р. сводится к нахождению их областей
определения. Подпространство LaD (T*) является областью
определения нек-рого симметрического Р. оператора Τ
тогда и только тогда, когда (Т*х, у)=(хТ*у) для любых
х, y£L. Оказывается, что
D(T*)=D(T) + N+ + N_,
где N±=Ker(T* TO — дефектные
подпространства (их размерности п±— dim N± наз.
дефектными числами), и симметрические Р.
оператора Τ находятся во взаимно однозначном
соответствии с изометрич. отображениями из N + в 7V_:
каждому такому отображению V соответствует Р. оператора Τ
с областью определения Ζ)(Γ)+ΐγ, где Ту — график
оператора V. Самосопряженные Р. соответствуют
унитарным операторам V и, следовательно, существуют
тогда и только тогда, когда дефектные числа равны.
Области определения Р. симметрич. операторов
удобно описывать с помощью т. н. (абстрактных) граничных
условий. Граничным значением для
симметрич. оператора Τ наз. всякий линейный функционал
на D(T*), непрерывный относительно нормы (х) =
= (Μ2+ΙΙίΓ*ζ||2)1/2 и равный нулю на D (Т);
граничным условием наз. уравнение f(x)—0, где / —
граничное значение. Граничные значения определяются
своими значениями на N + +N-. Если дефектные числа
симметрич. оператора Τ конечны, то всякое его
симметрич. расширение Τ определяется семейством
граничных условий, то есть D (Т)= Π t=iKer /;, где /,· —
граничные значения. Семейства граничных значений,
определяющие самосопряженные Р. оператора Τ с
дефектными числами п + — п- = п, описываются следующим
образом. Пусть φχ, ... , φΛ — ортонормированный базис
в Ν+, а г|?х, ... , ψη — в Ν- и пусть для 1<έ<τι
/,-(*) = (Г·*, φ«)-(*, Γ·φ,·),
gi(x) = (T*xf %)-(*, Т*ур{).
Тогда всякое самосопряженное расширение Τ
оператора Τ определяется граничными условиями
D (?) = П?=, Кег(/,— 2"=, Ь/g/) ,
где ||0/у|| — унитарная (тгХ л)-матрица.
В нек-рых случаях удается установить
существование самосопряженных Р. (и найти нек-рые из них), не
решая трудной задачи нахождения дефектных подпрост-

905 расш!
ранств и дефектных чисел. Напр., если Τ коммутирует
с (антиунитарной) инволюцией пространства Я, то он
допускает самосопряженное Р. Это часто используется
в теории дифференциальных операторов, где в качестве
инволюции берется комплексное сопряжение
пространства J?2. Равенство дефектных чисел имеет место и в том
случае, когда на действительной оси есть точки
регулярного типа оператора Τ (точка λ наз. точкой
регулярного типа, если \\Тх—λχ\\^ο\\χ\\ при
нек-ром с>0 и для всех x£D(T)).
Расширения полуограниченных
операторов. Оператор Τ наз.
полуограниченным снизу числом a£R, если его
числовая область {(Тх, х) : ||я||=1, x£D (Τ)} лежит в
интервале (а, оо); оператор, полуограниченный снизу
нулем, наз. положительным. Если Τ
полуограничен снизу числом а, то все числа λ<α — его
точки регулярного типа, дефектные числа равны и
существуют самосопряженные Р. Одно из них можно
построить следующим образом. Полуторалинейная форма
Qt(xi у)=(Тх, £/),_определенная на D (T)XD (T),
допускает замыкание qj. Но, как всякой замкнутой
симметричной билинейной форме, форме qj соответствует
единственный самосопряженный оператор Τ такой, что qfd
CZqT. Оператор Τ наз. расширением
Фридрих с а оператора Т, он полуограничен, и нижняя
грань его спектра равна нижней грани числовой
области оператора Т. Это — единственное самосопряженное
Р., область определения к-рого содержится в области
определения формы qT. С помощью расширения Фрид-
рихса можно описать другие полуограниченные Р.
оператора Τ (если дефектные числа оператора Τ конечны,
то все его самосопряженные Р. полуограничены). Для
этого достаточно найти все положительные Р.
положительных операторов (общий случай сводится к данному
добавлением оператора, кратного единичному). Пусть
Τ — положительный оператор, L=Ker Г*, тогда
положительные самосопряженные Р. оператора Τ
однозначно соответствуют положительным ограниченным
операторам В в L: для каждого такого оператора В
подпространство D (T)-\-(f ~1JrB)L — область
определения соответствующего Р. (см. [4]).
Построение расширения Фридрихса обобщается на
секториальные операторы, т. е.
операторы, числовая область к-рых содержится в нек-ром
угле {ζζ€ : | arg(z—z0)| <θ<π/2}; существует Р.,
являющееся максимальным секториальным оператором,
числовая область к-рого находится в том же угле и к-рое
обладает свойством минимальности, аналогичным
свойству расширения Фридрихса. Рассмотрен случай
операторов, действующих из банахова пространства в
сопряженное к нему (см. [5]).
Диссипативные расширения. В нек-рых
задачах возникает необходимость строить
симметрические Р. симметрич. операторов. Типичный результат
состоит в следующем. Оператор А наз. д и с с и π а-
т и в н ы м, если его числовая область лежит в левой
полуплоскости, и максимальным диссипа-
т и в н ы м, если он диссипативен и не имеет диссипа-
тивных Р. Всякий симметрич. оператор имеет Р. вида
iA, где А — максимальный диссипативный оператор;
все такие Р. описываются с помощью сжимающих
отображений N+ в 7V_ (см. [8]).
Расширения дифференциальных
операторов. Важные применения теория Р.
операторов имеет при исследовании дифференциальных
операторов. Пусть
1 м =2Г=о(—1)Я~/ {Pi (x) у{п-1)){п~1)
ЕНИЕ 906
— формально самосопряженное дифференциальное
выражение на интервале (а, Ь); пусть Ζ) ζ Jf2(a, Ъ) —
подпространство, состоящее из всех функций с абсолютно
непрерывными квазипроизводными порядков 0, 1, ... ,
2п—1 и 2п-й квазипроизводной, принадлежащей Jf2(a,
&), где D0 — подпространство в D, состоящее из
функции, носители к-рых не содержат концов интервалов.
Формула Ту—1(у) при y£D определяет оператор Т;
пусть ТО — его сужение на D0. Оператор ГО —
симметрический, Т'о*=Т и пусть Т0=Т'о — его замыкание.
Область определения оператора Т0 в регулярном
случае (т. е. когда интервал (a, b) конечен и функция
1/р0 суммируема) образована всеми функциями из D,
первые 2п—1 квазипроизводных к-рых обращаются
в 0 на концах интервала. В сингулярном случае D (Т0)
описывается более сложно (см. [2]). Дефектные числа
оператора Т0 равны, причем в регулярном случае они
равны 2л, а в сингулярном — не превосходят 2тг.
Таким образом, Т0 всегда обладает самосопряженными
Р.; их спектры, спектральные разложения и
резольвенты являются основными объектами теории
дифференциальных операторов, поскольку выбор того или иного
самосопряженного Р. является фактически точной
постановкой нек-рой спектральной задачи. Это
особенно наглядно проявляется в регулярном случае:
(абстрактные) граничные условия, задающие область
определения самосопряженного Р. оператора Т0,
записывается тогда в виде обычных граничных условий:
S^iay*^-1J(e)+2l^P/^"1J(6)=0'
/ = 1, ..., 2п,
где a^fe, βι-fe — набор чисел (такое описание следует из
вышеприведенного описания (абстрактных) граничных
условий, поскольку в регулярном случае определены
граничные значения Ц>/(у) = у^(а), tyj(y)=i/J4b))-
При р0(х)>0 оператор Т0 является
полуограниченным снизу, и его расширение Фридрихса соответствует
граничным условиям у^(а)=у^(Ъ)=0, 0</<2тг—1.
В общем случае самосопряженные Р. оператора Т0
можно описать следующим образом. Пусть
[у, Ζ]=^η_ (y(k-Uj[2n-k]_yi2n-kutk-^)
для любых функций у и ζ из D; тогда существуют
пределы
lim [г/, z]x = [y, z]a, lim [у, z]{x) = [y, z]b,
χ -> a *-> b
причем
[V, z]b-[y, z]a = (Ty, z)-(y, Tz)
(формула Лагранжа). Поэтому для описания
самосопряженных Р. оператора Т0 достаточно выбрать
базисы φχ, ... , φΛ и ψχ, ... , ψΛ в дефектных
подпространствах Ν+ и Ν- (удобно считать, что ψ£·=φί) и
каждой унитарной матрице ||6£у|| поставить в соответствие
самосопряженное расширение Tq , область определения
к-рого состоит из всех функций y£D, удовлетворяющих
граничным условиям
[У, 6уЬ-[0, £/]а = 0, 1</<я,
где
Бу = фу—2Γ=ι Θ'/Φ«--
Расширения, отвечающие краевым
задачам. Р. полуограниченных операторов играют
центральную роль в теории эллиптических краевых
задач. Пусть, напр., I(у) — эллиптическое
дифференциальное выражение 2-го порядка в области G л-мер-

907 РАСШ1
ного пространства и пусть А0 и А=А0 — минимальный
и максимальный операторы, определенные этим
выражением. Тогда оператор А0 положительно определен,
его дефектные числа бесконечны и дефектное
подпространство L0=Ker А (оно наз. пространством
/-гармонических функций в (?)
допускает естественную реализацию в виде пространства
функций на границе 0G области G. Таким образом,
различные Р. оператора А0 соответствуют тем или иным
граничным условиям и определяют различные краевые
задачи. В частности, расширение Фридрихса А0
определено на всех функциях из пространства Соболева
Wl(G), обращающихся в нуль на dG, и уравнение
A0u=f соответствует задаче Дирихле:
'(«) = /. "|дс=0·
Теория уравнений с частными производными диктует
постановку многих общих задач о Р. симметрич.
операторов. Среди них задачи об условиях единственности
самосопряженного Р. (т.н. существенная
самосопряженность), о существовании
коммутирующих Р. у коммутирующих (в том или ином
смысле) симметрич. операторов, о существовании
промежуточных Р. с заданными свойствами (напр., с
условиями на спектр) и т. д. (см. [7]—[9]).
Расширения с выходом из
гильбертова пространства. Всякий симметрич.
оператор, действующий в гильбертовом пространстве
Я, может быть расширен до самосопряженного
оператора, действующего в нек-ром пространстве ЯхзЯ (см.
[10]), откуда следует существование у всякого
симметрич. оператора обобщенной спектральной функции.
С этим также связаны различные результаты о Р. с
выходом из пространства и дилатациях (см. [11]). Так,
всякое сжатие, т. е. оператор с нормой <:1,
гильбертова пространства может быть расширено до коизо-
метрического (т. е. сопряженного к изометрическому)
оператора; всякое сжатие, степени к-рого сильно
сходятся к нулю, может быть расширено до обратного
одностороннего сдвига (т. е. сопряженного к
одностороннему сдвигу). Результаты о Р. с выходом из
пространства обобщаются на коммутативные семейства,
полугруппы и т. д.
Лит.: [1] Да н форд Н., Шварц Д ж.- Т., Линейные
операторы, пер. с англ., т. 2, М., 1966; [2] Η а й м а р к Μ. Α.,
Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [3]
К а т о Т., Теория возмущения линейных операторов, пер. с
англ., М., 1972; [4] Крейн М. Г.,«Матем. сб.», 1947, т. 20,
с. 431—98, т. 21, с. 365—404; [5] Бирман М. Ш., там же,
1956, т. 38, с. 431—50; [6J Филлипс Р. С, «Математика»,
1962, т. 6, № 4, с. 11—70; [7] Μ ο ρ е н К., Методы гильбертова
пространства, пер. с польск., М., 1965; [8] Б е ρ с з а н-
ский Ю. М., Разложение по собственным функциям
самосопряженных операторов, К., 1965-; [9] Михлин С. Г.,
Проблема минимума квадратичного функционала, М.— Л., 1952; [10]
Найма ρ κ Μ. Α., «Изв. АН СССР. Сер. матсм.», 1940, т. 4, с.
277—318; [11] Секефальви-Надь Б.,Фояш Ч.,
Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве,
пер. с франц., М., 1970; [12] Brown L., Douglas R.,
Fillmore P., в кн.: Proc. Conference operator theory, B.—
[a.o.], 1973; [13] A r ν e s ο η W., «Duke math. J.», 1977, v. 44,
№2, p. 329—55; [14] Рид Μ., Саймон В., Методы
современной математической физики, пер. с англ., т. 2 —
Гармонический анализ. Самосопряженность, М., 1978.
А. И. Логинов, B.C. Шульман.
РАСШИРЕНИЕ полугруппы А —
полугруппа S, содержащая А в качестве подполугруппы. Обычно
речь идет о расширениях полугруппы А, связанных с А
теми или иными условиями. Наиболее развита теория
идеальных Р. полугрупп (полугрупп, содержащих А
в качестве идеала). Каждому элементу s идеального
расширения S полугруппы А сопоставляют ее левый и
правый сдвиги λ5, р^ : Ksx=sx, xps=xs(x£A); пустьxs=
= (λ5, р^). Отображение τ является гомоморфизмом
полугруппы S в сдвиговую оболочку Τ (А) полугруппы А
пли изоморфизмом, если А слабо редуктивна (см. Сдви-
ЕНИБ 908
ги полугрупп). Полугруппа %S наз. типом
идеального расширения S. Среди идеальных
расширений S полугруппы А выделяют строгие
Р., для к-рых %S=%A , и чистые Р., в к-рых τ~1τΑ =
= А. Каждое идеальное Р. полугруппы А является
чистым Р. нек-рого ее строгого Р.
Идеальное расширение S полугруппы А наз.
плотным (иногда существенным), если всякий
гомоморфизм полугруппы S, инъективный на Л,
является изоморфизмом. Полугруппа А тогда и только
тогда обладает максимальным плотным идеальным
расширением D, когда А слабо редуктивна; в этом случае D
единственна с точностью до изоморфизма и изоморфна
Τ (А), а полугруппа А наз. плотно
вложенным идеалом в D. Подполугруппы Τ (А),
содержащие τΑ, и только они изоморфны плотным
идеальным Р. слабо редуктивной полугруппы А.
Если S — идеальное Р. полугруппы А и факторполу-
группа Si А изоморфна Q, то S называется Р.
полугруппы А при помощи полугруппы Q. Хорошо изучены
идеальные Р. вполне простых полугрупп, идеальные Р.
группы при помощи вполне 0-простой полугруппы,
коммутативной полугруппы с сокращением при помощи
группы с присоединенным нулем и т. д. В общем случае
задача описания всех идеальных Р. полугруппы А
при помощи полугруппы Q далека от решения.
Среди Р. полугруппы А других типов выделяются
полугруппы S, обладающие конгруэнцией, одним из
классов к-рой является А, в частности т. н.
шрейеровы Р. полугруппы с единицей [1] — аналог
шрейеровых расширений групп. При изучении различных
видов таких Р. полугрупп (в частности, для инверсных
полугрупп) используются когомологии полугрупп.
Другим широким направлением теории Р. полугрупп
являются различные задачи о существовании Р.
полугруппы Л, принадлежащих фиксированному классу
полугрупп. Так, всякую полугруппу А можно вложить
в полную полугруппу, в простую относительно
конгруэнции полугруппу, в бипростую полугруппу с
нулем и единицей (см. Простая полугруппа); всякую
конечную или счетную полугруппу — в полугруппу с
двумя образующими. Известны условия, при к-рых
полугруппу А можно вложить в полугруппу без
собственных левых идеалов, в инверсную полугруппу, в группу
(см. Вложение полугруппы) и т. д.
Лит [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., М., 1972, т. 1; [2] Ре t-
richM., Introduction to semigroups, Columbus, 1973.
Л. М. Глускин.
РАСШИРЕНИЕ поля — поле, содержащее данное
поле в качестве нодполя. Запись К Ik означает: К —
расширение поля к. Поле К в этом случае наз. также
надполем поля к.
Пусть К/к и Llk — два Р. поля к. Изоморфизм полей
φ : К ->- L наз. изоморфизмом
расширений (или к- и з о м о ρ ф и з м о м полей), если φ
тождествен на к. Если изоморфизм Р. существует, то
Р. наз. изоморфными. В случае K=L φ наз.
автоморфизмом расширения К/к. Множество
всех автоморфизмов Р. образует группу G(K/k)=
= Aut (К/к), наз. группой Г а л у а поля К
относительно к, или группой Галуа
расширения К/к. Расширение наз. а б е л е-
в ы м, если эта группа абелева.
Элемент поля α наз. алгебраическим над /с,
если он удовлетворяет нек-рому алгебраич. уравнению
с коэффициентами из поля к, и
трансцендентным — в противном случае. Для каждого алгебраич.
элемента α существует единственный многочлен fa(x)
со старшим коэффициентом, равным 1, неприводимый
в кольце многочленов к [х] и такой, что /α(α)=0, и
всякий многочлен над к, корнем к-рого является
элемент а, делится на /«(ж). Этот многочлен наз. мини-

909
мальным многочленом элемента а.
Расширение Klk наз. алгебраическим, если
всякий элемент из К алгебраичен над к. Р., не
являющееся алгебраическим, наз. трансцендентным.
Р. наз. нормальным, если оно алгебраическое
и всякий неприводимый в к [х] многочлен, обладающий
корнем в К, разлагается в К [х] на Линейные
множители. Подполе к наз. алгебраически
замкнутым в^, если каждый алгебраический над к элемент
из К на самом деле лежит в к, т. е. всякий элемент из
Klk трансцендентен над к. Поле, алгебраически
замкнутое в любом своем Р., является алгебраически
замкнутым полем.
Расширение Klk наз. конечно
порожденным (или расширением конечного
типа), если в К существует такое конечное
подмножество элементов S, что К совпадает с наименьшим под-
полем, содержащим S и к. В этом случае говорят, что
К порождается множеством S над к. Если К может быть
порождено над к множеством из одного элемента а, то
Р. наз. простым и обозначается К=к (а). Простое
алгебраич. расширение к (а) полностью определяется
минимальным многочленом /а порождающего
элемента а. Точнее, если к (β) — другое простое
алгебраическое Р. и /а=/β, то существует изоморфизм расширений
к (а) —>- /с (β), переводящий α в β. Далее, для любого
неприводимого многочлена /ζк [х] существует простое
алгебраич. расширение к (а) с минимальным
многочленом fa—f. Оно мржет быть построено как факторколь-
цо к [x]lfk [x]. С другой стороны, для всякого простого
трансцендентного расширения к (а) существует
изоморфизм расширений к (а) —> к(х), где к(х) — поле
рациональных функций от χ над к. Любое Р. конечного типа
может быть получено с помощью конечной цепочки
простых Р.
Расширение Klk наз. конечным, если К как
алгебра конечномерна над полем к, и бесконе ч-
н ы м, если эта алгебра бесконечномерна. Размерность
этой алгебры наз. степенью расширения
Klk и обозначается [К : к]. Каждое конечное Р.
является алгебраическим и каждое алгебраическое Р.
конечного типа — конечным. Степень простого
алгебраического Р. совпадает со степенью соответствующего
минимального многочлена. Напротив, простое
трансцендентное Р. бесконечно.
Пусть дана последовательность расширений KdLcz
CZM. Расширение Ml К является алгебраическим тогда
и только тогда, когда и LlK и MlL — алгебраические
Р. Далее, Ml К конечно тогда и только тогда, когда
конечны LlK и MlL, причем
[M:K] = [M:L]-[L:K].
Если Ρ Ik и Qlk — два алгебраических Р. и PQ —
композит полей Ρ и Q в нек-ром их общем надполе, то
PQlk также алгебраическое Р.
См. также Сепарабелъное расширение,
Трансцендентное расширение.
Лит.: [1] Бур баки Н., Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] В а н дер
В а р д е н Б. Л., Алгебра, 2 изд., пер. с нем., М., 1979; [3]
Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра,
т. 1, пер. с англ., М., 1963; [4] Л е н г С, Алгебра, пер. с англ.,
М., 1968. О. А. Иванова.
РАСШИРЕНИЕ топологического
пространства X — топологическое пространство У,
в к-ром X является всюду плотным подпространством.
Если У бикомпактно, то оно наз.
бикомпактным расширением, если У хаусдорфово —
хаусдорфовым расширением.
М. И. Войцеховский.
РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ ПРИНЦИП,
принцип Карлемана: гармоническая мера ω (ζ, α, D)
дуг α границы Г области D может только возрастать
РАСЩЕПЛЕНИЯ МЕТОД 910
при расширении области D через дополнительные дуги
РсГ, αυβ=Γ· Точнее, пусть граница Г области D на
плоскости комплексного переменного ζ состоит из
конечного числа жордановых кривых, α — часть Г,
состоящая из конечного числа дуг Г, и пусть область D'
есть расширение области D через
дополнительные дуги β=Γ\α, то есть DdD' и α есть часть
границы Г' области Ώ'. Тогда для гармонич. мер
справедливо неравенство ω (ζ, α ,/))<;ω (ζ, α, £>'), ζζϋ,
причем знак равенства здесь имеет место только в случае
D'=D. P. о. п. справедлив и для гармонич меры
относительно областей евклидова пространства Rn, и>2,
или С", п^\.
Р. о. п. находит важные применения в различных
ситуациях, связанных с оценками гармонич. меры. Напр.,
еще Т. Карлеман [1] дал при помощи Р. о. п. решение
следующей проблемы К а ρ л е м а н а - Μ и й ю.
Пусть граница Г односвязной области D состоит из
конечного числа жордановых дуг, точка ζ расположена
на Г или ζζΟΌ, Δ={ζ: \z—ζ|<#} — круг радиуса R
с центром ζ, а α — часть Г, попавшая в Ад— Δ
Потребуется найти оценку снизу для гармонич. меры
ω (ζ, α, Δ/?), зависящую только от Л и \ζ—ζ|, ζ£Δ/?.
Решение выражается неравенством
ω (z,
где Я θ (Я)
Поскольку
ω (ζ, α,
α, Δ#);
-arc
*г(тлг
In
(Я) * |z-CI
— сумма длин дуг пересечения
{ζ: \ζ-ζ\ = Η}Γΐϋ.
θ(/?)<2π, то
A^)^-|arctg(-llnT^n),zeA^
(1)
(2)
Имеются обобщения проблемы Карлемана — Мийю и
уточнения формул (1), (2) (см. [3]). Р. о. п. позволяет
доказать также Линдел'ефа теоремы. Многочисленные
применения Р. о. п. и формул типа (1), (2) дал А. Мийю
(см. [2], а также [3], [4]).
Лит.: [1] С а г 1 е m a n Т., «Ark. Mat. Astron. Fys.», 1921,
v. 15, № 10; [2] Μ i 1 1 о u χ Η., «J. math, pures et appl.», 9 ser.,
1924, t. 3; [3] Η e в а н л и н н а Р., Однозначные аналитические
функции, пер. с нем., М.— Л., 1941; [4] Ε в г ρ а ф о в Μ. Α.,
Аналитические функции, 2 изд., М., 1968. Ε Д Соломенцев.
РАСШИРЕННАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ —
плоскость комплексного переменного С,
компактифицированная посредством добавления бесконечно
удаленной точки оо и обозначаемая С. Окрестностью оо
является внешность любого круга в С, т. е. множество
вида {oo}l){z£C:\z — z0\ > i?}, R^0. P. к. п. есть
Александрова бикомпактное расширение плоскости С,
гомеоморфное и конформно эквивалентное Римана
сфере. Сферическая, или хордальная,
метрика на С дается формулами
Ρ (z, w) :
2 I z-w\
V\+\ z\* V\ + \w\*
2
IflgC,
p(z, oo) =
Vi+\ Ζ |2
Лит.: [1] Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 1—2, М., 1967—68; [2] Шабат Б. В.,
Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1—2, М., 1976.
Е. Д. Соломенцев.
РАСЩЕПЛЕНИЯ МЕТОД — сеточный метод
решения нестационарных задач со многими
пространственными переменными, в к-ром переход от заданного
временного слоя tn к новому слою *л + 1—ί„+τ
осуществляется за счет последовательного решения сеточных
аналогов родственных нестационарных задач с меньшим
числом пространственных переменных (см. [1] — [4]).

911 РАСЩЕПЛЯЕМАЯ ГРУППА
Часто в этом классе методов могут быть найдены такие,
что 1) весь переход от сеточного слоя в момент времени
tn к новому сеточному слою t—tn + 1 является достаточно
простым и может быть осуществлен при затрате О (N)
арифметич. действий, где N — число узлов
пространственной сетки; 2) гарантируется абсолютная
устойчивость метода, 3) гарантируется наличие приемлемой
точности метода (наличие аппроксимации в том или
ином смысле). Р. м. довольно широко применяются
при практич. решении многомерных задач математич.
физики, связанных, напр., с линейными и
нелинейными системами параболического, гиперболического или
смешанного типа (см. [1] — [8]).
Обычно для задачи с ρ пространственными
переменными переход от tn к tn+1 в Р. м. производится с
использованием ρ вспомогательных (дробных) шагов:
А(п)
912
un + sjp._
=M"V,
W« + l/P,
Μ/ι + ίί-D/p), (1)
где
u»=u(tn), un + k/P = u(tn + 1), 4n>
— матрица, соответствующая разностной
аппроксимации нек-рого дифференциального оператора,
содержащего производные только по xs (одномерного
дифференциального оператора), а правые части (1) легко
вычислимы. При соответствующей нумерации
неизвестных, связанной с выбором направления xs, матрицы
A(sn) становятся обычно диагональными и решение
систем (1) при каждом s сводится к многократному
решению одномерных разностных систем по
направлению xs. Поэтому часто Р. м. наз. также или переменных
направлений методом или дробных шагов методом.
Одним из типичных примеров в случае уравнения
ди
dt
д2и , д2и
дх\ дх 2
+ /, (*ι, *2)€Ω,
с начальным условием u\f=0=(p (х1ч х2) и краевым
условием u\r = yjp(xi, ж2, t), гДе Ω=(0, 1)Χ(0, 1), Г—
граница Ω, может служить следующий метод, построенный
на квадратной сетке с шагом h:
τ/2
[Λχ (σι*η + 1'2+(1—σ) un)]£ = f1 + 1/2>
^+1/ί = ψπ+ι/«
прибег, и?+1 = ψ?"
при
П + 1/2
τ/2
где i=(iu ΐ2), */ =
-[Λ2(σι*η + 1 + (1 — σ) ι*"+ i/2)]/==
1ι
n-h 1/2
?€**«,
(2)
ι(ΐχ/ι, i2h),un=u (η τ, *t·), ψ'
- Аг и Л2
/г + 1/2_
разностные аппроксимации для
простейшие
& η
— , iln—
совокупен
дх\
ность внутренних узлов χ ι, σ^1/2.
Имеются два альтернативных подхода к теории Р. м.
В одном из них промежуточные шаги ни в чем
существенном не отличаются от целых шагов, и сами
разностные уравнения на дробных шагах и граничные
условия для них, подобно методу (2), устроены одинаково,
и можно ожидать, что ип и ип + 1^2 будут служить
аппроксимациями для решения исходной задачи в
моменты времени tn и £n +j/2= £„+τ/2. Этот подход основан
на использовании понятия составной схемы и
суммарной аппроксимации (см. [2]). Схемы такого типа часто
наз. локальноодномерными схемами
или аддитивными схемам и; их можно также
трактовать как обычные разностные схемы для нек-
рого уравнения с сильно осциллирующими по времени
коэффициентами, решение к-рого должно быть близко
к решению исходной задачи (см. [1] — [4]). Достоинства
этого подхода в его простоте и общности, напр.
обобщения метода (2) возможны и для случая
криволинейных областей Ω и более общих задач. Точность же
получаемых на этом пути методов обычно не очень высока.
Известны и иногда успешно применяются варианты
Р. м., в к-рых расщепление производится не по
пространственным переменным, а по физич. процессам
(см. [5]).
Второй подход в плане анализа устойчивости и
сходимости исключает какие-либо дробные шаги из
рассмотрения. Сама разностная схема и аппроксимация
трактуются традиционным образом. Необычность
разностной схемы проявляется лишь в том, что на
верхнем слое схемы появляется необычный разностный
оператор. Напр., вместо метода (2) рассматривается метод
('
U"H
·)),
(3)
uc = ypi при я?,· ζ Г,
где А=(Е-\-отАг) (Ε-\-στΑ2), Ε — тождественный
оператор. Такие операторы А обычно наз.
расщепляющимися или факторизованными
операторами. Дробные шаги связываются лишь
с методом решения возникающих систем и для одной
и той же схемы (3) могут быть введены различными
способами, граничные условия для них должны выбираться
в зависимости от этого. Сами схемы типа (3) можно
трактовать как обычные схемы с весом для ε-уравнения,
напр., вида
дги
ди
дНс
ах?
дх%
+ ε-
дъи
■ = /, ε>0,
решения к-рого отличаются от решения исходной
задачи на О (ε) (см. [4]). В случаз области Ω, составленной
из прямоугольников, матрицы возникающих систем в
методах типа (3) уже не представимы в виде
произведения «одномерных» матриц,. Все же решения подобных
систем могут быть найдены при затрате 0(Ν)
арифметич. действий (см. [4]), операторы подобного типа наз.
расширенно расщепляющимися
операторами. При исследовании устойчивости и
сходимости схем с расщепляющимися и расширенно
расщепляющимися операторами большую роль играет
метод энергетич. неравенств (см. [2], [4], [6] —[8]).
Лит.: [1] Μ а р ч у к Г. И., Методы вычислительной
математики, 2 изд., М., 1980; [2] С а м а р с к и й Α. Α., Теория
разностных схем, М., 1977; [3] Я н е н к о Η. Η., Метод дробных
шагов решения многомерных задач математической физики, Но-
восиб., 1967; [4] Д ь я к о н о в Е. Г., Разностные методы
решения краевых задач, в. 1—2, М., 1971—72; [5] К о в е н я В. М.,
Я н е н к о Η. Η., Метод расщепления в задачах газовой
динамики, Новосиб., 1981; [6] Д ρ ы я М., в кн.: Banach center
publications, v. 3, Warszawa, 1978, p. 59—67; [7] 3 л о т н и к Α. Α.,
«Ж. вычислит, матем. и матем. физ.», 1980, т. 20, №2, с. 422—32;
[8] Η a yes L. J., «SIAM J. Nuraer. Analysis», 1981, v. 18, № 4,
p. 627—43. E. Г. Дьяконов.
РАСЩЕПЛЯЕМАЯ ГРУППА — группа G,
порожденная своими подгруппами Я и К такими, что Я
инвариантна в G и пересечение Н[}К—Е (так что
факторгруппа GlH изоморфна К). В этом случае G наз.
также расщепляемым расширением
группы Я при помощи группы К, или
полупрямым произведением Я на К. Если
подгруппы II и К поэлементно перестановочны, то их
полупрямое произведение совпадает с прямым произведением
НХК. Полупрямое произведение G группы Я на группу

913 РАЦИОНАЛЬНАЯ КРИВАЯ
К существует тогда и только тогда, когда существует
гомоморфизм ψ группы К в группу Aut H
автоморфизмов группы Н. В этом случае для любых к£К, h£H
справедлива формула
определяющая умножение в G. В случае, когда
K=Aut Η и ψ — тождественное отображение, группа
G наз. голоморфом группы Я.
Лит.: [1] Gorenstein D., Finite groups, Ν Υ.— L.,
1968. Η Η Вильяме.
РАСЩЕПЛЯЮЩАЯСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ—
точная последовательность
0-
f
Β·
g
*0
(·)
в абелевой категории, изоморфная последовательности
прямой суммы:
0—>А—+А®С—► <?—+0,
причем этот изоморфизм таков, что А и С отображаются
в А ж С соответственно тождественным образом. Для
расщепляемости последовательности (*) достаточно
существования правого обратного /' для отображения /
или левого обратного g' для отображения g. Класс
расщепляющихся точных последовательностей
является нулем группы Ext ^(А, С) (см. Бэра
умножение). В категории векторных пространств (т. е.
модулей над фиксированным полем) все точные
последовательности являются расщепляемыми.
Для относительной гомологической алгебры
типична ситуация, когда рассматриваются точные
последовательности одной категории, являющиеся Р. п. в
другой категории. В. Е. Говоров.
РАУСА ТЕОРЕМА — теорема, позволяющая для
многочлена f(x) с действительными коэффициентами
(в регулярном случае) определить с помощью схемы
Рауса число комплексных корней этого многочлена с
положительной действительной частью.
Пусть многочлен f(x) для удобства записан в виде
Схемой Рауса
сел
+ а1^-2+61^-з+...(а0^0).
этого многочлена наз. система чи-
а0ага2
b0b1b2
CqCxC2
ά0άχά2
В этой схеме первые две строки составлены из
коэффициентов многочлена f(x), а каждая строка, начиная
с третьей, получается из двух предыдущих следующим
образом: из первой строки вычитается вторая,
умноженная на такое число, чтобы первый элемент
тился в нуль. Выбрасывая этот первый нуль,
чают искомую строку. Напр., в третьей строке
обра-
полу-
с: = а,
ϊ + ι-
-*,' + !-£-, «=0, 1, 2,...
В первой строке схемы Рауса число элементов равно
целой части числа ~— , во второй — целой части числа
-γ, в /с-й строке при к >2 число элементов на 1 меньше,
чем в (/с—2)-й строке. Вся схема содержит я+1 строку.
Регулярным наз. тот случай, когда в схеме
Рауса многочлена все числа первого столбца отличны от
нуля.
Теорема Рауса. Для многочлена с
действительными коэффициентами в регулярном случае число
корней, лежащих в правой полуплоскости (т. е. име-
914
ющих положительные действительные части), равно
числу перемен знака в ряду чисел первого столбца
схемы Рауса. В регулярном случае многочлен не может
иметь корней, лежащих на мнимой оси. Критерий
Рауса: для того чтобы все корни многочлена f(x) с
действительными коэффициентами имели
отрицательные действительные части, необходимо и достаточно,
чтобы все числа первого столбца схемы Рауса были
отличны от нуля и имели одинаковые знаки. Эти
теоремы были установлены Э. Раусом [1]. Метод Рауса
применяется для определения числа корней
многочлена в правой полуплоскости и в нек-рых нерегулярных
случаях.
Построение схемы Рауса возможно лишь для
многочленов с заданными числовыми коэффициентами. Более
широко применим метод, в к-ром роль схемы Рауса
играет матрица Гурвица, а роль первого столбца
схемы Рауса — последовательность главных миноров Δ,·,
i=l, 2, . . ., η (см. Рауса — Гурвица критерий). При
этом аналогом Р. т. будет теорема Рауса —
Гурвица: если все миноры Δ,- отличны от нуля,
то число корней многочлена f(x), лежащих в правой
полуплоскости, равно числу перемен знака в ряду чисел
Α Δ2 Δ3 Ал
и f(x) не имеет корней, лежащих на мнимой оси. Этот
метод применим при нек-рых дополнительных условиях
к случаю, когда отдельные из миноров Δ/ равны нулю.
Лит.: [1] RouthE.J., Treatise on the stability of a given
state of motion..., L., 1877; [2] e г о же, The advanced part of
a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, 6 ed., L.,
1905; [3] Ляпунов Α. Μ., Общая задача об устойчивости
движения, М.~ Л., 1950; [4] Г а н тм а х ер Ф. Р., Теория
матриц, 3 изд., М., 1967. И. В. Проскуряков.
РАУСА — ГУРВИЦА КРИТЕРИЙ, Гурвица
критерий, — необходимое и достаточное условие
того, чтобы все корни многочлена
/ (х) = а0хп + агхп ~ г + ... + ап
с действительными коэффициентами и а0>0 имели
отрицательные действительные части. Р.—Г. к. состоит
в том, чтобы были положительными все главные
миноры Δ,·, i=l, 2, . . ., л, матрицы Гурвица
Я, где Η — матрица порядка тг, ί-я строка к-рой имеет
вид
α2-ίι α\-ίι ···» a2n-h
и, по определению, α&=0, если /с<0 или /с>и
(условия Гурвица, условия Рауса — Гур-
в и ц а). Этот критерий получен А. Гурвицем [1] и
является обобщением работы Э. Рауса (см. Рауса
теорема).
Многочлен f(x), удовлетворяющий условиям
Гурвица, наз. многочленом Гурвица, или
устойчивым многочленом, что связано
с применениями Р.— Г. к. в теории устойчивости
колебательных систем. Известны и другие критерии
устойчивости многочленов: критерий Рауса, Льенара —
Шипара критерий, а также способы определения числа
корней многочлена.
Лит.: [1] Η и г w i t ζ Α., «Math. Ann.», 1895, Bd 46, S. 273—
84; [2] Г а н т м a x e ρ Φ. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967.
Ε. Η. Кузьмин.
РАЦИОНАЛЬНАЯ КРИВАЯ — одномерное алгеб-
раич. многообразие, определенное над полем /с, ноле
рациональных функций к-рого является чисто
трансцендентным расширением поля к степени 1. Все
неособые полные Р. к изоморфны проективной прямой Р1.
Полная неособая кривая X рациональна тогда и
только тогда, когда ее геометрич. род g=0, то есть
когда на X нет регулярных дифференциальных форм.
В случае, когда к=С — поле комплексных чисел,
неособая полная Р. к. X — это сфера Римана С (J {оо }.
Вик. С. Нуликов.

915
РАЦИОНАЛЬНАЯ ОСОБЕННОСТЬ - нормальная
особая точка Ρ алгебраич. многообразия или
комплексно аналитич. пространства X, допускающая
разрешение особенности π : Υ-+Χ, при к-ром прямые
образы &п*Оу структурного пучка О у тривиальны при
ί^Ι. Тогда этим свойством будет обладать и любое
разрешение данной особенности. Если основное поле
имеет характеристику 0, то особенность является Р. о.
тогда и только тогда, когда X — многообразие Коэна —
Маколея и вложение π* : ω^->ωχ дуализирующих
пучков является изоморфизмом [5].
Р. о. являются, например, особые точки фактор-
пространства Cn/G, где G — конечная группа линейных
преобразований; особая точка 0 гиперповерхности
xkQ9+. . .+ xknn -0 при У п л к~1>\ (см. [8]); торичес-
*" 1= 1 1
кие особенности.
Если ΡζΧ — горенштейнова
изолированная особенность (т. е. пучок ωχ локально свободен)
над полем С и ω—образующая пучка ωχ, то Ρ
является Р. о. тогда и только тогда, когда
L©A©< оо
в достаточно малой окрестности U точки Ρ (см. [7]).
В случае, когда dim Х—2, особенность Ρ
рациональна тогда и только тогда, когда ^(Од) — 0 для каждого
цикла D на исключительной кривой Ε—π~1(Ρ)
разрешения π. В этом случае для Р. о. все компоненты Ε ι
кривой Ε изоморфны проективной прямой Ρ1, Ε —
дивизор с нормальными пересечениями и граф Г
разрешения является деревом.
Фундаментальным циклом особенности наз.
минимальный цикл Ζ>0 на Е, для к-рого Ζ ·£/<:0 для всех i.
В терминах цикла Ζ можно дать критерий
рациональности: kl(Oz)^0, а также вычислить кратность
особенности и размерность касательного пространства [1].
Обозначение
Dn , η -> 4
Уравнение
гл+1 +у2 + 72
т3 + у4 + ι2
τ + хуъ + ζ2
х3 + ys + ζ2
Граф
Dn-г
Τ
О
I
Р. о. гиперповерхностей X в трехмерном аффинном
пространстве А'л или, что эквивалентно, двумерные
Р. о. кратности 2 паз. двойными Р. о. Двойные
Р. о. имеют ряд эквивалентных характеризаций и
несколько различных названий: особенности
Клейна, особенности Д ю Валя,
простые особенности. Уравнения двойных Р. о.
возникают как уравнения, связывающие инварианты
групп симметрии правильных многогранников (см.
[6]). Это соответствует характеризаций двойных Р. о.
как особенностей факторпространств Х = С2/6?с:С3,
где G — конечная подгруппа в SL (2, С); с точностью
до сопряженности такие подгруппы исчерпываются
списком: Сп— циклич. группа порядка п, бинарные
группы диэдра Dn, группа тетраэдра Т, группа
октаэдра О, группа икосаэдра /. Если π — минимальное
разрешение двойной Р. о., то все Е2{——2 и взвешенный
граф Г совпадает со схемой простых корней одной из
РАЦИОНАЛЬНАЯ 916
полупростых алгебр Ли Ап, Dn, E6, Е:, £8,
обозначения к-рых переносятся и на особенности. С точностью
до изоморфизма такая особенность определяется своим
взвешенным графом Г ([3], [11]), см. таблицу, кол. 915.
Двойные Р. о. могут быть охарактеризованы как
двумерные горенштейновы Р. о. Они наз. также
каноническими особенностями, т. к. это
в точности те особенности, к-рые появляются на ка-
нонич. моделях алгебраич. поверхностей основного
типа.
Если ΡζΧ горенштейнова Р. о. произвольной
размерности, то ее общее гиперповерхностное сечение есть
либо рациональная, либо эллиптическая горенштейнова
особенность, что позволяет, в частности, описать
трехмерные Р. о. (см. [8]).
В произвольной размерности справедливы следующие
факты (см. [4]). 1) Деформация Р. о. есть снова Р. о.
2) Если / : X-+S — плоский морфизм, х£Х, причем
точка s=f(x) является Р. о. в S, а х — Р. о. слоя
Xs^f'1^), то χ является Р. о. в X. 3) Если деформация
/ : X-+S имеет гладкую базу S и допускает
одновременное разрешение особенностей, то точка х£Х
является Р. о. тогда и только тогда, когда χ является Р. о. в
своем слое f~l(f(x)).
В случае dim X=2 любая деформация многообразия
Y, разрешающего Р. о. ΡζΧ, определяет деформацию
особенности Р, к-рая получается, если стянуть
исключительные кривые слоев данной деформации. В
результате получается морфизм φ : Def У-^Def X баз
версальных деформаций многообразия У и особенности
Р. Образ 4 = q>(Def У) есть неособая неприводимая
компонента в Def X, называемая компонентой
Артина, а φ: Def Y-+A — накрытие Галуа,
группа W к-рого может быть найдена при помощи графа
Г особенности Ρ (см. [2], [10]). В частности, для двойной
Р. о. φ сюръективно и W совпадает с группой Вейля
соответствующей алгебры Ли, т. е. версальная
деформация Р.о. одновременно разрешается после накрытия
Галуа базы деформации с группой Вейля W (см. [9]).
Лит.: [1] А г t i η Μ., «Amer. J. Math.», 1966, v. 88, p. 129—
36; [2] e г о же, «J. Algebra», 1974, v. 29, №2, p. 330—48;
L3J В г i e s k о г η Ε., «Invent, math.», 1968, v. 4, p. 336—58;
14] Ε Ik i k R., там же, 1978, v. 47, p. 139—47; [5] К em p f
G., в кн.: Toroidal embeddings, v. 1, В.— [u. a.], 1973, p. 41—52;
[6] Klein F., Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auf-
losung der Gleichung von ftinften Grade, Lpz., 1884; [7] L a
life г Н. В., «Amer. J. Math.», 1972, v. 94, p. 597—608; [8] R e i d
M., в кн.: Geometrie algebrique, Rockvill, 1980, p. 273 — 311; [9]
Slodowy P. J., Simple singularities and simple algebraic
groups, В., 1980; [10] W a h 1 J., «Compos, math.», 1979, v. 38,
p. 43—54; [11] Τ ю р и н а Г. Н., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1968, т. 32, -с. 943—70. Вал. С. Куликов.
РАЦИОНАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — двумерное
алгебраич. многообразие, определенное над полем &,
поле рациональных функций к-рого является чисто
трансцендентным расширением поля к степени 2.
Любая Р. п. X бирационально изоморфна проективному
пространству Р2.
Геометрич. род pg и иррегулярность q полной
гладкой Р. п. X равны 0, то есть на X нет регулярных
дифференциальных 2-форм и 1-форм. Все кратные роды
Pn=dim Я°(Х, Οχ(ηΚχ)) гладкой полной Р. п. X
также равны 0, где К χ— канонич. дивизор
поверхности X. Эти бирациональные инварианты выделяют
Р. п. среди всех алгебраич. поверхностей, а именно,
всякая гладкая полная алгебраич. поверхность с
инвариантами Pg=q=P2=Q является Р. п.
(критерий рациональности Кастельнуо-
в о). Согласно другому критерию
рациональности гладкая полная алгебраич. поверхность
X является Р. п. тогда и только тогда, когда на X
лежит неособая рациональная кривая С, индекс
самопересечения к-рой (С2)х>0.
Каждая алгебраич. поверхность, кроме Р. п. и
линейчатых поверхностей, бирационально изоморфна

917
РАЦИОНАЛЬНАЯ
918
единственной минимальной модели. В классе Р. π.
имеется счетное множество относительно минимальных
моделей. Это — проективное пространство Р2 и
поверхности Fnc^P (J£n) (проективизации двумерных
линейных расслоений над проективной прямой Р1), <£„?**
^0ρι06>ρι(—η), где тг>0 и ηφί. Другими словами,
поверхность Fn— это расслоение на рациональные
кривые над рациональной кривой, у к-рого есть
сечение Sn— гладкая рациональная кривая с индексом
самопересечения (S2n)f=—n. Поверхность F0
изоморфна прямому произведению Р3хРх, а поверхности
Fn получаются из F0 с помощью последовательности
элементарных преобразований (см. [1]).
Р. п. имеют большую группу бирациональных
преобразований (т. н. группу кремоновых
преобразований).
Если на гладкой полной Р. п. антиканонич. пучок
#х(—Κχ) обилен, то X наз. поверхностью
Дель Пеццо. Наибольшее целое число г>0
такое, что —Κχ~τϋ для нек-рого дивизора D на X, наз.
индексом поверхности Дель Пеццо.
Индекс г может принимать значения 1, 2, 3 (см. [2]).
Поверхность Дель Пеццо индекса 3 изоморфна Р2. Для
поверхности Дель Пеццо X индекса 2 рациональное
отображение φ0 (1)ч : Х->Р3, определяемое пучком
Οχ(Ρ)ι Дает бирациональный изоморфизм на квадрику
в Р3. Поверхности Дель Пеццо индекса 1 могут быть
получены η моноидальными преобразованиями
плоскости Р2 с центрами в точках общего положения, где
1<и<8 (см. [2]).
Лит.: [1] Алгебраические поверхности, М., 1965 [Тр. Ма-
тем. ин-та АН СССР, т. 75]; [2] И с к о в с к и χ В. Α., в сб.:
Современные проблемы математики, т. 12, М., 1979, с. 59—157;
[3] Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, пер. с
англ., М., 1981. Bun. С. Нуликов.
РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 1) Р. ф —
функция w=R(z), где R (ζ) — рациональное выражение
от ζ, т. е. выражение, полученное из независимого
переменного ζ и нек-рого конечного набора чисел
(действительных или комплексных) посредством конечного
числа арифметич. действий. Р. ф. можно записать (не
единственным образом) в виде
R(z) =
Ρ (ζ)
Q(z) '
где Ρ, Q — многочлены, <?(z)#K). Коэффициенты этих
многочленов наз. коэффициентами Р. ф.
Дробь PlQ наз. несократимой, если Р, Q не имеют
общих нулей (то есть Р, Q — взаимно простые
многочлены). Всякую Р. ф. можно записать в виде несократимой
дроби R(z) = P (z)lQ(z)\ если при этом Ρ имеет степень
т, a Q — степень п, то степенью Р. ф. R(z) наз. пару
(т, п) или число
N = max {m, n}.
Р. ф. степени (/τι, η) при гс=0, т. е. многочлен, наз.
целой рациональной функцией, в
противном случае —дробно-рациональной
функцией. Р. ф. R (ζ)=0 не имеет степени. При
т<п дробь R наз. правильной, при ггС^п —
неправильной. Неправильную дробь можно единственным
образом записать в виде
Ρ
Q
-P1 + i
где Рг— многочлен, наз. целой частью дроби PlQ,
a PJQ — правильная дробь. Правильная дробь с
несократимой записью R (ζ)—Ρ (z)IQ(z), где
Q (z) = b(z-b1)tl...{z-bl)\
может быть единственным образом разложена в сумму
(1)
простейших дробей:
Если P(x)lQ(x) — правильная Р. φ. с действительными
коэффициентами и
Q(x) = bQ(x — b1)l\..(x-br)lr(x* + p1x + q1)U...
где Ь0, &!,..., Ъг, р1? д1? . . ., р„ qs ~
действительные числа, р/—4<зу<0, /=1,
., 5, то Ρ {x)(Q (χ) также
единственным образом представляется в виде
ρ (*) v-^r
Q (χ) — 2ji=i
(x-b{)
ί)_Λ2 + ·
«-ν+ΒΛ
+■
D χ+Ε
J a 'a
j=l \_xz + p .x + q ■ (x2 + P,-x + 9y)
+ ···
+
···+■
л.
j
x + E .
HJ
(x
+ PjX + qj) J J
(2)
где все коэффициенты действительны. Эти
коэффициенты, как и С(: в (1), могут быть найдены неопределенных
коэффициентов методом.
Р. ф. степени (т, п) в несократимой записи
определена и аналитична в расширенной комплексной
плоскости (т. е. плоскости, дополненной точкой z=oo)
за исключением конечного числа особых точек—
полюсов в нулях ее знаменателя, а при т>п еще и в
точке оо; при этом сумма кратностей полюсов функции R
равна ее степени N. Обратно, всякая аналитич
функция, имеющая в расширенной комплексной плоскости в
качестве особых точек только полюсы, является Р. ф.
В результате арифметич. действий над Р. ф.
получают также Р. ф. (деление на R (ζ)ξ=0 исключается),
так что все Р. ф. образуют поле; вообще, Р. ф. с
коэффициентами из нек-рого поля образуют поле. Если
Rt(z), R2(z) суть Р. φ., той R1(R2(z)) является Р. ф.
Производная порядка ρ от Р. ф. степени N есть Р. ф.
степени <^.(p+i)N. Неопределенный интеграл
(первообразная) от Р. ф. представляет собой сумму нек-рой
Р. ф. и выражений вида crln(z—Ьг). Если Р. ф. R (х)
действительна при действительном х, то
неопределенный интеграл \ R (x)dx может быть записан в виде
суммы нек-рой Р. ф. R0(x) с действительными
коэффициентами, выражений вида
с: In \х — bi |, Μ j In {x2 + Pjx + qj),
N j arctg
2x + p .
V
4<7,-i>/
i = l,
η / = i,
V *7
произвольной постоянной
и произвольной постоянноп С (здесь числа с ι , &,·,
ру, cjj— те же, что ив (2), Л/у, Nj— нек-рые
действительные числа). Функцию R0(x) по Остроградского
методу можно найти, минуя разложение R (х) на
простейшие дроби (2).
Удобные для вычислений, Р. ф. используются для
приближенного представления функций.
Рассматриваются также Р. ф. от нескольких действительных или
комплексных переменных R—P/Q, где Р, Q —
многочлены от соответствующих переменных ($#0), а также
абстрактные Р. ф.
У^А^!* ... +АтФт
B&i+ .. .+впФп *
где Ф1? Ф2, . . . — линейно независимая система
непрерывных функций на нек-ром бикомпакте X, а
А19 . . ., Ат, #ι, . . ., Вп — числа.

919
РАЦИОНАЛЬНОЕ
920
См. также Дробно-линейная функция, Жуковского
функция.
Лит.: [1] Π ρ и в а л о в И. И., Введение в теорию функций
комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [2] К у ρ о ш А. Г.,
Курс высшей алгебры, И изд., М., 1975. Е. П. Долженко.
2) Р. ф. на алгебраическом
многообразии — обобщение классич. понятия рациональной
функции (см. п. 1). Р. ф.. на неприводимом алгебраич.
многообразии X — это класс эквивалентности пар
(£7, /), где X— непустое открытое подмножество в X,
а / — регулярная функция на U. Две пары (С/, /) и
(F, g) наз. эквивалентными, если f=g на U[\V. Р. φ.
на X образуют поле, обозначаемое к(Х).
В случае, когда X=Spec R — аффинное
неприводимое многообразие, поле Р. ф. на X совпадает с полем
частных кольца R. Степень трансцендентности над
к поля к(X) наз. размерностью
многообразия X.
Лит.: [1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972. Bun. С. Нуликов.
РАЦИОНАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ —
алгебраическое многообразие X над алгебраически замкнутым
полем /с, поле рациональных функций к(Х) к-рого
изоморфно чисто трансцендентному расширению
конечной степени поля к. Другими словами, Р. м.— это
алгебраич. многообразие X, бирационально
изоморфное проективному пространству Р".
Полное гладкое Р. м. X обладает следующими бира-
циональными инвариантами. Размерности всех
пространств #°(Χ,Ωχ) регулярных дифференциальных
/с-форм на X равны 0. Кроме того, кратный род
Рп = dim* Н° (Χ, Οχ (ηΚχ))-ОприоО,
где Κχ— канонич. дивизор алгебраич. многообразия
X, т. е. кодаировская размерность Р. м. X равна 0.
В малых размерностях перечисленные выше
инварианты однозначно выделяют класс Р. м. среди всех
алгебраич. многообразий. Так, если dimfeX=l и род
алгебраич. кривой X равен 0, то X — рациональная
кривая. Если dimfeX = 2, а арифметич. род
pa = aimkH° (X, Q2x)-dimfe#° (Z, Q3c) = 0
и кратный род Р2= 0, то X — рациональная
поверхность. Однако в случае dim^ Х>3 нет хорошего
критерия рациональности из-за отрицательного решения
Люрота проблемы.
Лит.: [1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972. Bun. С. Куликов.
РАЦИОНАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — обобщение
понятия рациональной функции на алгебраич.
многообразии. А именно, рациональным
отображением неприводимого алгебраич.
многообразия X в алгебраич. многообразие Υ (оба определены
над полем к) наз. класс эквивалентности пар (U, φ^),
где U — непустое открытое подмножество в X, а Ц)ц—
морфизм из U в Υ. При этом пары (U, φυ) и (F, ц>у)
считаются эквивалентными, если Ц)ц и φ^ совпадают на
U[)V. В частности, Р. о. многообразия X в аффинную
прямую есть рациональная функция на многообразии
X. Для каждого Р. о. φ : X ν У существует такая
пара (ΰ, φ^), что U^U для любой эквивалентной ей
пары (U, Ц)ц) и (рц является ограничением φ^ на U,
Открытое подмножество U наз. областью
регулярности Ρ ο. φ, а φ(£/) —образом
многообразия X (обозначается φ(Χ)) при Р. о. φ.
Если φ : X ν Υ — Р. о. алгебраич.
многообразий и образ φ(Χ) плотен в У, то φ определяет
вложение полей φ*: k(Y)-+k(X). Обратно, вложение полей
рациональных функций φ* : k(Y)-+k(X) определяет
Р. о. многообразия X в Y. Если Р. о. φ индуцирует
изоморфизм полей рациональных функций к(Х) и к (У),
то φ наз. бирациональным
отображением.
Множество точек из X, в к-рых Р. о. φ: X >Υ
не регулярно, имеет в общем случае коразмерность 1.
Но если У — полное многообразие, а X — гладкое
неприводимое многообразие, то множество точек из X,
в к-рых φ не регулярно, имеет коразмерность не
меньше двух. Если X is. Y — полные неприводимые
многообразия над алгебраически замкнутым полем
характеристики 0, то Р. о. φ: Χ ν У может быть
включено в коммутативную диаграмму (см. [2]):
X
χί Σ ±υ
где η, / — морфизмы алгебраич. многообразия Ζ,
и η является композицией моноидальных
преобразований. Если φ : X ν У — бирациональное
отображение полных неособых поверхностей, то существует
диаграмма (*), в к-рой оба морфизма / и η являются
композициями моноидальных преобразований с
неособыми центрами (теорема Зариского), т. е.
любое бирациональное отображение полных неособых
поверхностей раскладывается в композицию
моноидальных преобразований с неособыми центрами и
обратных к ним отображений. В случае dim Х^З
аналогичный вопрос о разложении бирационального
отображения открыт (1983).
Лит.: [1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972; [2] Hironaka H., «Ann. Math.», 1964,
v. 79, № 1—2, p. 109—326. Bun. С. Нуликов.
РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
алгебраической группы G — линейное
представление алгебраич. группы G над алгебраически замкнутым
полем к в конечномерном векторном пространстве V
над /с, являющееся рациональным (и тем самым
регулярным) гомоморфизмом группы G в GL(F). Говорят
также, что V — рациональный G-u о д у л ь.
Прямая сумма и тензорное произведение конечного
числа Р. п. группы G являются Р. п.; подпредставление и
факторпредставление нек-рого Р. п. являются Р. п.;
симметрическая или внешняя степень любого Р. п.
является Р. п.; представление, контрагредиентное к Р. п.,
является Р. п.
Если G конечна, то всякое ее линейное
представление будет Р. п. и теория Р. п. сливается с теорией
представлений конечных групп. В наибольшей степени
специфич. методы теории линейных алгебраич. групп
используются при исследовании Р. п. в том случае,
когда рассматриваемая группа связна, причем
наиболее глубоко развита теория Р. п. связных полупростых
алгебраич. групп. Далее G — такая группа. Пусть
Τ — ее максимальный тор, Х(Г) — его группа
рациональных характеров (записываемая аддитивно), Σ —
система корней группы G относительно T,W — ее
группа Вейля. И пусть φ : G->GL(F) есть Р. п.
Ограничение представления φ на Г разлагается в прямую
сумму одномерных представлений, точнее
где Ρφ(ζΧ(Τ) — нек-рое множество характеров
тора Г, называемых весами представления, а
V(x) = {v£V\<p(t)v = X(t)u ν*£Γ}^0.
Множество весов Ρ φ инвариантно относительно W.
Если char А=0, то всякое Р. п. группы G вполне
приводимо, но если char &>0, то это уже не так (см. Мам-
форда гипотеза). Однако при любой характеристике

921 рацио]
поля к имеется полное описание неприводимых Р. п.
Пусть В — борелевская подгруппа в G, содержащая
Г, и Δ — определяемая ею система простых корней в
Σ. Группа Х(В) рациональных характеров группы β
отождествляется с Х(Т). В пространстве V любого
неприводимого Р. п. φ :G^>GL(V) существует
единственное одномерное весовое подпространство ^(δφ),
δφ £Ρφ, инвариантное относительно группы Б.
Характер δφ наз. старшим весом
неприводимого Р. п. φ; он доминантен, т. е. скалярное
произведение (δφ, α)>0 для любого αζΔ, а всякий другой
вес ΧζΡφ имеет вид
Отображение φΗ»δφ определяет биекцию между
классами эквивалентных неприводимых Р. п. и
доминантными элементами из Х(Т). Явная конструкция всех
неприводимых Р. п. может быть получена следующим
образом. Пусть k[G] — алгебра регулярных функций
на G. Для любого χ£Χ(Τ)=Χ(Β) рассматривается
подпространство
* IG]X= {f£k [G] I / (*ty=x (b) f (g) Vb^B, g£G}.
Оно конечномерно и является рациональным G-мо-
дулем относительно действия группы G левыми
сдвигами. Геометрич. смысл этого пространства таков:
оно канонически отождествляется с пространством
регулярных сечений одномерного однородного векторного
расслоения над G/B, определенного характером —χ.
Пусть wQ£W — элемент, переводящий положительные
корни в отрицательные. Тогда если k[G]_w /χ)¥=0» то
χ — доминантный характер и минимальный ненулевой
Й-подмодуль в k[G]_w^) является неприводимым
рациональным G-модулем со старшим весом χ. Всякий
неприводимый рациональный G-модуль получается при
помощи такой конструкции. Если char /c=0, то уже сам
β-модуль к [G]_w^y. неприводим.
Для получения неприводимых Р. п. часто
используются упомянутые выше операции над Р. п. Напр., если
φ,— неприводимое Р. п. со старшим весом χ,·, ί=1,
..., d, то нек-рое факторпредставление φ^ . . .®φ^
является неприводимым Р. п. со старшим весом χΧ+
+ · · -~*г%а (оно наз· картановской
композицией Р. п. φΧ, . . ., φα). Если φ —
неприводимое Р. п. со старшим весом χ, то нек-рое
факторпредставление £φ является неприводимым Р. п. со старшим
весом dl, а φ* — неприводимо и его старшим весом
является — и>о(/)·
Пусть g — алгебра Ли группы G. Если φ : G->GL(F)
есть Р. п., то его дифференциал dy является
представлением алгебры Ли g. Р. п. φ наз. инфинитези-
мально неприводимым, если dtp —
неприводимое представление алгебры $. Инфинитезимально
неприводимое Р. п. неприводимо, а в случае char к—О
верно и обратное (что в значительной степени сводит
теорию Р. п. группы к теории представлений ее
алгебры Ли), однако в случае char/c>0 это уже не так.
Инфинитезимально неприводимые Р. п. в этом случае —
это в точности неприводимые Р. п. со старшими весами
χ, для к-рых
0<: · у < ρ при любом αζΔ.
Более того, все неприводимые Р. п. могут быть
построены при помощи инфинитезимально неприводимых.
Точнее, если G односвязна, т. е. если X (Т) совпадает с
решеткой весов корневой системы Σ , то всякое
неприводимое Р. п. однозначно разлагается в тензорное про-
1ЛЬНОЕ 922
изведение вида
где φ0, φΧ, . . ., φ^ инфинитезимально неприводимы,
а φΓΓ — представление, полученное применением к
матричным элементам представления φ;
автоморфизма Фробениуса а\->ар1(а£к), Ρ = char к.
Лит.: [1] Боре л ь Α., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] е г о ж е, в кн.: Algebraic geometry,
Providence, 1975, p. 421—40 (Proc. Symposia in pure math.,
v. 29, Arkata, 1974); [3] X а м ф р и Д ж.. Линейные
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [4J Семинар по
алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973; [5] С τ е й н б е ρ г Р.,
Лекции о группах Шевалле, пер. с англ., М., 1975; [6] его же,
«Nagoya math. J.», 1963, v. 22, p. 33—56; [7] Hochschild
G., The structure of Lie groups, S. F., 1965; [8]
Humphreys J. E., Introduction to Lie algebras and representation
theory, N. Y. — [a. o.], 1972. В. Л. Попов.
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — число, выражаемое
рациональной дробью. Формальная теория Р. ч. строится
с помощью пар целых чисел. Рациональной
дробью ·£- наз. упорядоченная пара (а, Ь) целых
чисел а и Ь, у к-рой ЪфО. Две рациональные дроби —
и — наз. эквивалентными (равными)
тогда и только тогда, когда ad=bc. Это соотношение
эквивалентности, будучи рефлексивно, симметрично
и транзитивно, разбивает множество всех
рациональных дробей на классы эквивалентности.
Рациональным числом наз. каждый класс
эквивалентности рациональных дробей. Разные классы
определяют разные Р. ч. Множество Р. ч. счетно. Р. ч.,
содержащее рациональную дробь вида —, наз. н у-
л е м. Если г есть Р. ч. и -г-£г, то Р. ч., содержащее
рациональную дробь ^ , наз. рациональным числом,
противоположным Р. ч. г, и обозначается через — г.
Р. ч. г наз. положительным (отрицатель-
н ы м), если оно содержит рациональную дробь -г- ,
у к-рой а и Ъ одного знака (разных знаков). Если Р. ч.
положительно (отрицательно), то противоположное ему
число отрицательно (положительно). В множестве Р. ч.
вводится упорядоченность: всякое отрицательное Р. ч.
считается меньшим всякого положительного,
положительное Р. ч. г' считается меньшим положительного
Р. ч. г" : г' <г"', если существуют такие рациональные
дроби ££г' и ■£- ζ г", а>0, Ь>0, с>0, d>0, что ad<
<bc; всякое отрицательное (положительное) Р. ч. г
считается меньше (больше) нуля: г<0 (г>0); отрицательное
Р. ч. г' считается меньшим отрицательного Р. ч. г",
если положительное Р. ч.— г' больше положительного
Р. ч.—· г": —rf>—r". Абсолютная величина \г\ Р. ч.
определяется как обычно: |г| = г, если г^О, и |г| = — г,
если г<0.
Суммой рациональных дробей -^- и -у наз. рацио-
-. ad + be ас f-y
нальная дробь —^—— , а произведением — ^ .
Суммой и произведением Р. ч. г' и г" наз.
классы эквивалентных рациональных дробей,
содержащие соответственно сумму или произведение
рациональных дробей -^- и -^-, принадлежащих г' и г":
■Ц- £r',-j-£r". Упорядоченность, сумма и произведение
Р. ч. г 'и г" не зависят от выбора представителей в
соответствующих классах эквивалентности -г-ζ г' и ~т€:г"'>
т. е. однозначно определяются самими Р. ч. г' и г".
Р. ч. образуют упорядоченное поле, обозначаемое Q.

923 РАЦИОНАЛЬНОСТ
Для обозначения Р. ч. г применяются рациональные
дроби-^-из класса эквивалентности, задающего это число:
-£-£г. Таким образом, одно и то же Р. ч. может быть
записано разными, но эквивалентными рациональными
дробями.
Если каждому Р. ч., содержащему рациональную
дробь вида -γ , поставить в соответствие целое число я,
то получится изоморфное отображение множества
указанных Р. ч. на кольцо Ζ целых чисел. Поэтому
Р. ч., содержащие рациональные дроби вида ~ ,
обозначают через а.
Всякая функция вида
Ф(г) = |г|а, 0 <а<1, (1)
является метрикой в поле Р. ч. Q, то есть
удовлетворяет условиям:
1) (р(г)>0 при любом г Ф 0, φ(0) = 0;
2) φ(Γ' + Γ'')<;φ(Γ')+φ(0;
3) φ (г', r") = cp(r')q)(r")
при любых г' £Q и r"£Q. Поле Р. ч. не является
полным в метрике (1). Пополнением поля Р. ч. по метрике
(1) является поле действительных чисел.
Функция
Ψρ(Γ) = ρν<Γ), (2)
где ρ ~ простое число, г—Р. ч., представпмое в виде
г ъ
(ν (г) — целое, -^- — несократимая рациональная
дробь, причем числа а и Ь не делятся на р), а р —
фиксированное число, 0<р<1, также является метрикой
в поле Р. ч. Q. Она наз. р-а дической метри-
к о й. Поле Р. ч. Q с метрикой (2) не является полным.
Пополнением поля Р. ч. по метрике (2) является поле
р-адических чисел. Метрики (1) и (2) (для всех простых
чисел) исчерпывают все нетривиальные метрики в поле
Р. ч.
В десятичной записи Р. ч. и только они представи-
мы периодическими десятичными дробями.
Лит.: Ll] Б о ρ е в и ч 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Π и з о III., За майский М.,
Курс математики. Алгебра и анализ, пер. с франц., М., 1971.
Л. Д. Кудрявцев.
РАЦИОНАЛЬНОСТИ ТЕОРЕМЫ для
алгебраических групп — утверждения о
рациональности (унирациональности) или нерациональности
тех или иных групповых алгебраич. многообразий.
Так как абелевы многообразия всегда нерациональны,
то основной интерес представляют Р. т. для линейных
алгебраич. групп, Здесь проблема рациональности
имеет два существенно различных аспекта:
геометрический и арифметический, отвечающие соответственно
алгебраически замкнутому и незамкнутому основному
полю К. Первые Р. т. над полем С комплексных
чисел были фактически доказаны еще Э. Пикаром (Е. Pi-
card) и в современной терминологии устанавливают
унирациональность многообразий связных
комплексных групп. В явной форме проблема рациональности
групповых многообразий была поставлена К. Шевалле
[1] лишь в 1954. Прогресс в этом направлении тесно
связан с достижениями структурной теории
алгебраич, групп. Так, разложение Леви позволяет свести
проблему рациональности к редуктивным группам, а
разложение Брюа — доказать рациональность
многообразий редуктивных групп над любым
алгебраически замкнутым полем. Таким образом, в геометрия,
случае имеется окончательный результат.
ГИ ТЕОРЕМЫ 924
Гораздо более сложной оказывается ситуация для
незамкнутых полей Λ'. Примеры нерациональных К-
многообразий доставляют уже алгебраич. торы; напр.,
трехмерный норменный тор T=RI}/1^(Gm),
соответствующий биквадратичному расширению£= К( У а, У~Ь)
поля К (см. [1]). Этот пример минимален, ибо
торы размерности <2 рациональны. В общем случае
алгебраич. торы всегда унирациональны.
Произвольные связные Я-группы не обязательно
унирациональны [3], однако, если поле К совершенно или группа
G редуктивна, унирациональность имеет место (см.
[1] — [4]). Тем самым проблема рациональности
групповых многообразий имеет характер Люрота проблемы
над незамкнутым полем.
Так как произвольная редуктивная группа является
почти прямым произведением тора и полупростой
группы, то естественно различать два основных
случая: \) G — тор; 2) G — полупростая группа. В
первом случае исследование проводится при помощи
различных когомологич. инвариантов (для полупростых
групп эти инварианты оказываются неэффективными).
Достаточно законченные результаты имеются для
торов, разложимых над абелевым расширением поля
определения (см. [5]). Первый пример нерационального
многообразия в классе полупростых групп был неодно-
связной группой, конструкция к-рой фактически
содержится в [10]. Возникшая при этом гипотеза о
том, что многообразия односвязных групп всегда
рациональны, была решена отрицательно В. П.
Платоновым при помощи развитой им приведенной
^-теории (см. [6], [7]). Оказалось, что приведенная
группа Уайтхеда SK^D) конечномерной центральной
простой ϋΓ-алгебры D тривиальна, если многообразие,
определяемое SL(1, D), рационально над К. Эти
результаты были перенесены на унитарные группы [12].
Ряд результатов связан с исследованием
рациональности спинорных многообразий Spin (л, /), где / —
невырожденная квадратичная форма над К от η переменных
(char Кф2). Спинорные многообразия рациональны,
если либо η <5, либо поле К является недискретным
локально компактным или полем рациональных чисел
(см. [8], [9], [И]); для /г>6 существуют нерациональные
спинорные многообразия [8]. Последний результат
удивителен тем, что Spin (n, f) является двулистным
накрытием рационального многообразия SO(n, /).
Термин «Р. т.» иногда употребляется в теории
алгебраич. групп в несколько ином смысле,
применительно к утверждениям о свойствах групп над не
обязательно алгебраически замкнутым полем. К
утверждениям такого типа относится, напр., теорема Ро-
зенлихта — Гротендика о том, что любая
связная Z-группа обладает максимальным тором,
определенным над К (см. [4]).
Лит.: [1] Chevalley С, «J. Math. Soc. Japan», 1954,
v. 6, № 3/4, ρ 303—24; [2]DemazureM., Grothendi-
eck Α., Schemas en groupes, В.— [u. a.], 1970; [3] Rosen-
1 i с h t M., «Ann. mat. pura appl.», 1957, v. 43, p. 25—50; [4]
Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ.,
М., 1972; [5] Воскресенский В. Е., Алгебраические
торы, М., 1977; [6] Π л а т о н о в В. П., «Тр. Матем. ин-та АН
СССР», 1976, т. 142, с. 198—207; [7] е г о ж е, «Докл. АН БССР»,
1977, т, 21, № 3, с. 197—98; [8] е г о же, «Докл. АН СССР»,
1979, т. 248, № 3, с. 524—27; [9] е г о ж е, «Тр. Матем. ин-та
АН СССР», 1981, т. 157, с. 161—69; [10] С е ρ ρ Ж - П., Когомо-
логии Галуа, пер. с франц., М., 1968; [И] Ч е ρ н о у сов В. И.,
«Докл. АН БССР», 1981, т. 25, № 4, с. 293—96; [12] Я н ч е в-
с к и й В. И., «Матем. сб.», 1979, т. 110, № 4, с. 579—96.
А. С. Рапинчук.
РЕАЛИЗУЕМОСТЬ — один из видов неклассич.
интерпретаиий логических и логико математических
языков. Различные интерпретации типа Р.
определяются по следующей схеме. Для формул логико-матема-
тич. языка определяется отношение «объект е реализует
замкнутую формулу F», к-рое сокращенно
записывается «erF». Определение носит индуктивный характер:

925 регресс иош
сначала отношение erF определяется для элементарных |
формул F', а затем для сложных формул в
предположении, что для составляющих их более простых
формул это отношение уже определено Замкнутая формула
F наз. реализуемой, или истинной при данной
интерпретации, если существует такой объект е, что
erF. Формула F, содержащая свободные переменные
#!,..., хп, считается реализуемой, если реализуема
замкнутая формула V#i . . . VxnF.
Впервые интерпретация такого вида, известная как
рекурсивная реализуемость, была предложена С. К
лини (см. [1], [2]) с целью уточнения интуиционистской
(конструктивной) семантики языка формальной
арифметики в терминах рекурсивных функций. Другие
понятия Р. являются модификациями рекурсивной Р.
Интуитивный смысл отношения erF такой: объект е
кодирует информацию об истинности формулы F.
Напр., в рекурсивной Р. натуральное число 0 реализует
элементарную формулу вида s=t тогда и только тогда,
когда эта формула верна (т. е. значения термов s и t \
совпадают); если число е реализует дизъюнкцию A VB,
то по нему можно выяснить, какой ее член реализуем,
и найти число, его реализующее; по числу,
реализующему формулу УхА (ж), можно построить алгоритм,
к-рый по любому натуральному числу η строит
реализацию формулы А (п). В качестве реализаций, т. е.
объектов, реализующих формулы, чаще всего
выступают натуральные числа. Однако при интуиционистской
интерпретации языка математич. анализа в качестве
реализаций могут использоваться и другие объекты, напр.
одноместные теоретико-числовые функции (см , напр.,
[3]).
Для формул логич. языков, напр. для
пропозициональных или предикатных формул, Р. определяется
обычно через понятие Р. для того или иного логико-ма-
тематич. языка Ω. Логич. формула 51 считается
реализуемой, если реализуема всякая формула языка
Ω, получающаяся подстановкой в ЭД формул языка
Ω вместо предикатных переменных.
Интерпретации типа Р. нашли широкое применение
в исследовании неклассических, прежде всего
интуиционистских и конструктивных, логических и логико-
математич. теорий. Имеется описание различных
понятий Р. и их применений в теории доказательств для
исследования интуиционистских теорий (см. [3], [4]).
Лит.: [1] К 1 е е η е S. С, «J. Symbolic Logic», 1945, v. 10,
p. 109—24; [2] К лини С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [3] К л и н и С, ВеслиР , Основания
интуиционистской математики..., пер. с англ., Μ , 1978; [4]
Драгалин А. Г., Математический интуиционизм. Введение
в теорию доказательств, М., 1979. В. Е. Плиско.
РЕБРО многогранника — сторона грани
многогранника.
РЕГРЕССИИ КОЭФФИЦИЕНТ — коэффициент при
независимой переменной в уравнении регрессии. Так,
напр., в уравнении линейной регрессии Ε(Υ\Χ=χ)=
— βο+βι^' связывающей случайные величины Υ и X, \
Р. к. β0 и βχ равны:
fc = ma-p£mlf βι = ρ-£,
где ρ — корреляции коэффициент X и Υ, т1=£Х,
m2=EY, oi=DX, θ2=ΟΥ. Вычисление оценок Р. к. I
(выборочных Р. к.)— основная задача
регрессионного анализа. а. В Прохоров
РЕГРЕССИИ МАТРИЦА — матрица В
коэффициентов регрессии β/£·, ;=1, . . . m, i=l, . . ., г, в
многомерной линейной модели регрессии
Χ = ΒΖ + ε. (*)
Здесь X — матрица с элементами Xyfe, /=1, . . ., т,
к=1, . . ., тг, Xjk, А=1, . . ., /г, — наблюдения над
/-й компонентой исходной m-мернои с π уча иной
величины; Ζ — матрица известных регрессионных пере- |
ЫЙ АНАЛИЗ 926
менных zik, i=l, . . ., г, /с=1, . . ., п; г — матрица
ошибок e.jk, /=1» · · *» т, п=1, . . ., тг, с Е8у&=0.
Элементы ($,·,· Р. м. В неизвестны и подлежат оценке.
Модель (*) является обобщением на лг-мерный случай
общей линейной модели регрессионного анализа.
Лит.: [1] К ен да л л М. Д ж., СтьюартА., Многомерный
статистический анализ и временные ряды, пер. с англ., М.,
1976. А. В. Прохоров,
РЕГРЕССИИ ПОВЕРХНОСТЬ (гиперповерхность) —
общее геометрич. представление уравнения регрессии.
Если заданы случайные величины Хг, Х2, . . ., Хп и
/ (Я2, ••■>*/l) = E(*l| *2 = *2, '··, ХП = Хп)
— регрессия Хг по Х2, . . ., Хп, то уравнение у=
= /(£2, . . ., хп) задает в «-мерном пространстве
соответствующую Р. п. При п=2 Р. п. обычно наз.
кривой регрессии. Иногда эти термины
используются для того, чтобы подчеркнуть, что соответствующие
уравнения регрессии не являются линейными. В
линейном случае Р. п. наз. соответственно
плоскостью регрессии ипрямой регрессии.
См. Регрессия. А.В.Прохоров.
РЕГРЕССИИ СПЕКТР — спектр случайного
процесса, входящего в регрессионную схему для стационарных
временных рядов. Именно, пусть случайный процесс
yt, наблюдаемый при f=l, . . ., и, представляется в
виде
Уг = щ + *ь (1)
где xf— стационарный процесс с E#f=0, а среднее
значение Eyt—mt выражено в форме линейной регрессии
*t=2LiMfc). (2)
где cp{k) =(φ<*> , . . ., φ^}),Α:=1, . . ., s,— известные
регрессионные векторы, βχ, . . ., β5— неизвестные
регрессии коэффициенты. Пусть Μ (λ) — спектральная
функция распределения регрессионных векторов φ(1),
. . ., φ(5). Спектром регрессии для Μ (λ)
наз. множество всех λ таких, что Μ (λ2) — Μ (кг)>0
для любого интервала (λχ, λ2), содержащего λ, λ!<λ<λ2.
Р. с. играет важную роль в задачах оценки
коэффициентов регрессии в схеме (1) — (2). В терминах
элементов Р. с. выражается, напр., необходимое и
достаточное условие асимптотич. эффективности оценок β
по методу наименьших квадратов.
Лит.: [1] GrenanderU., Rosenblatt M.,
Statistical analysis of stationary time series, Stockh., 1956.
А. В. Прохоров.
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ — раздел математич.
статистики, объединяющий практич. методы
исследования регрессионной зависимости между величинами по
статистич. данным (см. Регрессия). Проблема регрессии
в математич. статистике характерна тем, что о
распределениях изучаемых величин нет достаточной информации.
Пусть, напр., имеются основания предполагать, что
случайная величина Υ имеет нек-рое распределение
вероятностей при фиксированном значении χ другой
величины, так что
Ε (У | *) = *(*, β),
где β — совокупность неизвестных параметров,
определяющих функцию g(x), и нужно по результатам
наблюдений определить значения параметров. В
зависимости от природы задачи и целей анализа результаты
эксперимента (хг, уг), . . ., (я„, уп) по-разному
интерпретируются в отношении переменной х. Для
установления связи между величинами в эксперименте
используется модель, основанная на упрощенных
допущениях: величина χ является контролируемой величиной,
значения к-рой заранее задаются при планировании
эксперимента, а наблюдаемые значения у представимы в
виде
?/ = *(*/, β) + ε*> * = 1> ···, и,

927 регрессной
где величины ε,- характеризуют ошибки, независимые
при различных измерениях и одинаково
распределенные с нулевым средним и постоянной дисперсией. В
случае неконтролируемой переменной результаты
наблюдений (х1ч ух,), . . ., (хп, уп) представляют собой
выборку из нек-рой двумерной совокупности. Методы Р. а.
одинаковы и в том, и в другом случае, однако
интерпретация результатов различается (в последнем
случае анализ существенно дополняется методами теории
корреляции).
Исследование регрессии по экспериментальным
данным производится методами, основанными на принципах
средней квадратич. регрессии. Р. а. решает
следующие основные задачи: 1) выбор модели регрессии, что
заключает в себе предположения о зависимости
функций регрессии от я и β, 2) оценка параметров β в
выбранной модели методом наименьших квадратов, 3)
проверка статистич. гипотез о регрессии.
Наиболее естественной с точки зрения единого
метода оценки неизвестных параметров является модель
регрессии, линейная относительно этих параметров:
*(*, β) = βο*ο(*)+...+β«**(*).
Выбор функций g((x) иногда определяется по
расположению экспериментальных значений (х,у) на
диаграмме рассеяния, чаще — теоретич. соображениями.
Предполагается также, что дисперсия σ2 результатов
наблюдений постоянна (или пропорциональна
известной функции от х). Стандартный метод оценки
регрессии основан на использовании многочлена нек-рой
степени т, l<m<rc:
*(*, β) = βο+βι*+...+β**»
или в простейшем случае — линейной функции
(линейная регрессия)
*(*, β) = βο + βι*·
Существуют критерии линейности и рекомендации по
выбору степени аппроксимирующего многочлена.
В соответствии с принципами средней квадратич.
регрессии оценка неизвестных регрессии коэффициентов
βο> · · ·» β/я и дисперсии σ2 осуществляется методом
наименьших квадратов. Согласно этому методу в качестве
статистич. оценок параметров β0, . . ., β^, выбираются
такие значения β0, . . ., β^, к-рые обращают в
минимум выражение
Многочлен g{x)= βο+· · -~\~Ьтхт^ построенный
методом наименьших квадратов, наз. эмпирической
линией регрессии и является статистич.
оценкой неизвестной истинной линии регрессии. При
гипотезе линейности регрессии уравнение эмпирич.
прямой регрессии имеет вид
£(*) = &> + &*,
где
_ Σ* (*/ — ~χ) (yj — У)
Случайные величины β0, . . ., $т наз.
выборочными коэффициентами регрессии.
Несмещенная оценка параметра σ2 дается формулой
s2-%^{yi-e(xi))2l(n~m).
Если дисперсия зависит от я, то метод наименьших
квадратов применим с нек-рыми видоизменениями.
928
Если изучается зависимость случайной величины У
от нескольких переменных х1, . . ., х^, то общую
линейную модель регрессии удобнее записывать в матричной
форме: вектор наблюдений у с независимыми
компонентами У\, . . ., уп имеет среднее значение и
ковариационную матрицу
Ε(Υ|*ι, ...,**) = Χβ, D(Y|*b ...,xk) = a*I, (*)
где β=(βχ, . . ., β*) — вектор коэффициентов
регрессии, X = ||a:I-y||, i=l, . . ., л, /=1 ,. . ., /с, — матрица
известных величин, связанных друг с другом, вообще
говоря, произвольным образом, / — единичная
матрица тг-го порядка; при этом л>/с и \ХТХ\=£0. В более
общем случае допускается корреляция между
наблюдениями У(\
Ε (У | *lf ..., xk) = Χβ, D (У I xu ..., ι») = σΜ,
где матрица А известна, но эта схема сводится к
модели (*). Несмещенной оценкой β по методу
наименьших квадратов является величина
а смещенной оценкой для σ2 служит
s^^k(yTy-VxTy).
Модель (*) является наиболее общей линейной
моделью, поскольку она применима к различным
регрессионным ситуациям и включает в себя все виды пара-
болической регрессии 7 по ^, . . ., хь (в частности,
рассмотренная выше параболич. регрессия У по χ
порядка m может быть сведена к модели (*), в к-рой m
регрессионных переменных функционально связаны).
При таком линейном понимании Р. а. задача оценки β и
вычисления ковариационной матрицы оценок Dp =
= σ2(ΧτΧ)-1 сводится к задаче обращения матрицы
ХТХ.
Указанный метод построения эмпирич. регрессии
в предположении нормального распределения
результатов наблюдений приводит к оценкам для β и σ2,
совпадающим с оценками наибольшего правдоподобия.
Однако оценки, полученные этим методом, являются
в нек-ром смысле наилучшими и в случае отклонения
от нормальности, если только объем выборки
достаточно велик.
В данной матричной форме общая линейная модель
регрессии (*) допускает простое обобщение на тот
случай, когда наблюдаемые величины у( являются
векторными случайными величинами. При этом никакой
новой статистич. задачи не возникает (см. Регрессии
матрица).
Задачи Р. а. не ограничиваются построением
точечных оценок параметров β и σ2 общей линейной
модели (*). Проблема точности построенной эмпирич.
зависимости наиболее эффективно разрешается при
допущении, что вектор наблюдений у распределен
нормально. Если вектор у распределен нормально и
любая оценка β является линейной функцией от у, можно
заключить, что величина βί распределена нормально
со средним β,- и дисперсией Οβ,·=σ2&,7, где Ьц—
диагональный элемент матрицы (X X)"1. Кроме того,
оценка s2 для σ2 распределена независимо от любой
компоненты вектора β, а величина (n~k)s2/o2 имеет чхи-
квадрат» распределение с (п—к) степенями свободы.
Отсюда следует, что статистика
* = <&«— Ш*Ьи}1,г
подчиняется Стъюдента распределению с η—к
степенями свободы. Этот факт используется для построения до-
1ЫЙ АНАЛИЗ

929
РЕГРЕССИЯ
930
верительных интервалов для параметров β,- и для
проверки гипотез о значениях, к-рые принимает величина
β,·. Кроме того, появляется возможность найти
доверительные интервалы для Ε {Υ\χ\, . . ., я&) при
фиксированных значениях всех регрессионных переменных и
доверительные интервалы, содержащие следующее
(л+1)-е значение величины у (т. н. интервалы
предсказания). Наконец, можно на основе вектора
выборочных коэффициентов регрессии β построить
доверительный эллипсоид для вектора β или для любой
совокупности неизвестных коэффициентов регрессии, а также
доверительную область для всей линии или прямой
регрессии.
Р. а. является одним из наиболее распространенных
методов обработки экспериментальных данных при
изучении зависимостей в физике, биологии, экономике,
технике и др. областях. На моделях Р. а. основаны
такие разделы математич. статистики, как
дисперсионный анализ и планирование эксперимента, эти модели
широко используются в многомерном статистическом
анализе.
Лит.: [1] К е н д а л л М. Д ж., Стьюарт Α.,
Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; [2]
Смирнов Н. В., Дунин-Барковский Н. В., Курс теории
вероятностей и математической статистики для технических
приложений, 3 изд., М., 1969; [3] А й в а з я н С. Α.,
Статистическое исследование зависимостей, М., 1968; [4] Ра о С. Р.,
Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ.,
М., 1968; [5] Д ρ е й π е ρ Η., Смит Г., Прикладной
регрессионный анализ, пер. с англ., М., 1973. А. В. Прохоров.
РЕГРЕССИЯ — зависимость среднего значения
какой-либо случайной величины от нек-рой другой
величины или от нескольких величин. Если, например,
при каждом значении х=х( наблюдается П[ значений
У Hi · · ·» У in- случайной величины У, то зависимость
средних арифметических
У1=—(УЦ+"-+У1п{)
этих значений от х$ и является Р. в статистич.
понимании этого термина. При обнаруженной закономерности
изменения у с изменением χ предполагается, что в
основе наблюдаемого явления лежит вероятностная
зависимость: при каждом фиксированном значении χ
случайная величина У имеет определенное
распределение вероятностей с математич. ожиданием, к-рое
является функцией х:
E(Y\x) = m(x).
Зависимость у=т(х), где χ играет роль «независимой»
переменной, наз. регрессией (или
функцией регрессии) в вероятностном понимании этого
термина. График функции т (х) наз. линией
регрессии, или кривой регрессии,
величины У по х. Переменная χ наз. регрессионной
переменной, или регрессором. Точность,
с к-рой линия регрессии У по χ передает изменение У
в среднем при изменении я, измеряется дисперсией
величины У, вычисляемой для каждого значения х:
0(Υ\χ) = σ2(χ).
Графически зависимость дисперсии σ2 (χ) от χ
выражается т. н. скедастической линией. Если
&*(х)=0 при всех значениях #, то с вероятностью 1
величины связаны строгой функциональной
зависимостью. Если σ2 (х)¥=0 ни при каком значении χ и т (х) не
зависит от я, то регрессия У по χ отсутствует.
В теории вероятностей задача Р. решается
применительно к такой ситуации, когда значения
регрессионной переменной χ соответствуют значениям нек-рой
случайной величины X и предполагается известным
совместное распределение вероятностей величин X и У
(при этом математич. ожидание Ε(Υ\χ) и дисперсия
0(Υ\χ) будут соответственно условным математич.
ожиданием и условной дисперсией случайной величины
У при фиксированном значении Х=х). В этом случае
определены две Р.: У по χ и X по у, и понятие Р. может
быть использовано также для того, чтобы ввести нек-
рые меры взаимосвязанности случайных величин X
и У, определяемые как характеристики степени
концентрации распределения около линий Р. (см.
Корреляция).
Функции Р. обладают тем свойством, что среди всех
действительных функций f(x) минимум математич.
ожидания Ε (У—/(я))2 достигается для функции /(х)—
= т(х), то есть регрессия У по χ дает наилучшее (в
указанном смысле) представление величины У. Наиболее
важным является тот случай, когда регрессия У по я
линейна, т. е.
Ε0Ί*) = β0 + βι(*).
Коэффициенты β0 и βχ, наз. коэффициентами
Р., легко вычисляются:
(здесь ρ — корреляции коэффициент X и У, тх=ЕХ,
my=EY, σ2χ=ϋΧ, σ2=ΟΥ), и прямая
регрессии У по гс имеет вид
Су
y = mY + p—(x — mx)
(аналогичным образом находится прямая регрессии
X по у). Точная линейная Р. имеет место в случае,
когда двумерное распределение величин X и У является
нормальным.
В условиях статистич. приложений, когда для
точного определения Р. нет достаточных сведений о форме
совместного распределения вероятностей, возникает
задача приближенного нахождения Р. Решению этой
задачи может служить выбор из всех функций #(#),
принадлежащих заданному классу, такой функции,
к-рая дает наилучшее представление величины У в
том смысле, что минимизирует математич. ожидание
Ε (У—g(X))2. Найденная функция наз. средней
квадратической Р.
Простейшим будет случай линейной средней
квадратической Р., когда отыскивают
наилучшую линейную аппроксимацию величины У
посредством величины X, т. е. такую линейную функцию
g(x)=ft0+P1x1 для к-рой выражение £(Y—g(X))2
принимает наименьшее возможное значение. Данная
экстремальная задача имеет единственное решение
Ογ
$0 = mY — $1mx, β1=:ρ— ,
т. е. вычисление приближенной линии Р. приводит к
тому же результату, к-рый получен в случае точной
линейной Р.:
У=ту + р-^-(х — тх).
Минимальное значение E(Y—g(X))2 при вычисленных
значениях параметров равно θγ(1— ρ2). Если регрессия
т (х) существует, то при любых β0 и βχ имеет место
соотношение
Ε^-β0-βιΧ]2=Ε^-^(Χ)]2+ΕΗ(Χ)-β0-β1Χ]2,
откуда следует, что прямая средней квадратич.
регрессии ί/=βο+βι^ дает наилучшее приближение к
линии регрессии т(х), если измерять расстояние вдоль
оси у. Поэтому если линия т (х) есть прямая, то она
совпадает с прямой средней квадратической Р.
В общем случае, когда Р. сильно отличается от
линейной, можно поставить задачу нахождения
многочлена £(#)=βο+βι#+·· .+$mxm нек-рой степени т, для
& 30 Математическая энц., т. 4

931
РЕГУЛЯРИЗАЦИИ МЕТОД
932
к-рого среднее значение £(Y—g(x))2 имеет возможно
меньшее значение.
Такое решение задачи соответствует
параболической (или полиномиальной) средней
квадратической Р. (см. Параболическая регрессия)
порядка т. Кривая y=g(x) есть парабола га-го порядка,
дающая наилучшую аппроксимацию истинной линии
Р. Обобщением параболической Р. служит функция Р.,
выраженная линейной комбинацией тех или иных
заданных функций:
g (х) = βοΦο (*) + βιΦι (*)+···+ β^Ψβ, И·
Наиболее важное значение имеет случай, когда сро(я),
• · ·» Фт (я) —- ортогональные многочлены
соответствующих порядков, построенные по распределению X.
Другими примерами нелинейной
(криволинейной) Р. являются случаи тригонометрической Р.,
показательной Р., и т. п.
Понятие Р. естественным образом обобщается на
тот случай, когда вместо одной регрессионной
переменной рассматривается нек-рое множество переменных.
Если случайные величины Хх, Х2, . . ., Хп имеют
совместное распределение вероятностей, то
множественная Р. определяется, напр., как регрессия
Χι по я2, . . . , хп:
Ε (Xl I Х2~Х2, · · ·» Xn=Xn) = ™1 (X2, · · · » Xn)'
Соответствующее уравнение определяет
поверхность регрессии Хг по х2, . . ., хп. Линейная
регрессия Хх по х2, . . ., хп имеет вид
Ε (Χι I s2, ..., χη) = β2ζ2+ · · · "L β«*η,
где $2, . . ., β„— коэффициенты Р. (при ЕХ^=0).
Линейная средняя квадратическая Р. величины Хх по
х2, . . ., хп определяется как наилучшая линейная
оценка величины Хх величинами Х2, . . ., Хп в
смысле обращения в минимум выражения
Е(Х1-Р2Х2-...^пХп)\
Соответствующая плоскость Р. дает наилучшую
аппроксимацию поверхности регрессии х1=т(х2,
. . ., хп), если последняя существует. Если
поверхность Р. есть плоскость, то она необходимо совпадает
с плоскостью средней квадратической Р. (так будет
в случае, когда совместное распределение всех η
величин нормально).
Простым примером регрессии У по X является
зависимость между Υ и X, к-рая выражается
соотношением Y=u(x)-\-6, где u(x)=£(Y\X = x), а
случайные величины X и δ независимы. Это представление
полезно, когда планируется эксперимент для изучения
функциональной связи у—и(х) между неслучайными
величинами у и х. Эта же модель Р. используется во
многих приложениях при изучении характера
зависимости случайной величины Υ от неслучайной
величины х. На практике выбор функции у~и(х) и оценку
неизвестных коэффициентов Р. по экспериментальным
данным производят методами регрессионного анализа.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы
статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] К е н д а л л М. Д ж.,
Стьюарт Α., Статистические выводы и связи, пер. с англ.,
М., 1973. А. В. Прохоров.
РЕГУЛЯРИЗАЦИИ МЕТОД — метод построения
приближенных решений некорректных задач,
состоящий в том, что в качестве приближенных
решений некорректных задач [точнее — некорректно
поставленных задач (н. п. з.)] берутся значения
регуляризирующего оператора с учетом
приближенного характера исходной информации (см.
Некорректные задачи).
Для определенности ниже рассматривается задача
нахождения решений функциональных уравнений вида
Az=u, в к-рых ζ и и —- элементы метрич. пространств
F и U с расстоянием р^(,) и р^/(,). Если, напр , А —
вполне непрерывный оператор, то решения такого
уравнения не обладают свойством устойчивости к малым
изменениям правой части и. Пусть вместо точных
значений исходной информации (А, и) даны их
приближения (Л, и). В этих условиях речь может идти лишь о
нахождении приближений к решению ζ уравнения
Az—u. Нельзя в качестве приближенного решения
н. п. з. такого вида с приближенной исходной
информацией (Л, и) брать точное решение уравнения Az=u,
т. к. такого решения может не существовать, а если
оно и существует, то не будет устойчивым к малым
изменениям исходной информации и, следовательно,
такое «решение» может не допускать физич.
интерпретации. В дальнейшем полагается для простоты, что
приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор
А задан точно.
Пусть δ — оценка уклонения нот и, т. е.
расстояния рц(и, и), и F0aF — заданный класс возможных
решений (моделей сравнения). Естественно искать
приближенные решения уравнения Az—u среди
элементов z£F0, сопоставимых с исходной информацией,
т.е. таких, что p^(Az, w)<6. Пусть F& — множество
всех таких элементов из Fo . Если в выбранном классе
F0 возможных решений нет элементов (напр., функций
z(s)), сопоставимых с исходными данными, то это
значит, что элементы ζ из F0 имеют слишком упрощенную
(грубую) структуру. В этом случае надо расширять
класс F0, беря, возможно, последовательность
расширяющихся классов F0 с ^С. . . С Fna . . ., пока не
найдется класс Fn, содержащий элементы (напр.,
функции), сопоставимые с исходными данными.
Если Fn не пусто, то оно может содержать
существенно отличающиеся друг от друга элементы(функции).
В таких случаях одно лишь требование сопоставимости
возможных решений с исходными данными не может
служить критерием нахождения однозначно
определенных приближенных решений уравнений Az—u, т. к.
нет достаточных оснований для выбора в качестве
приближенного решения того или иного сопоставимого
элемента из Fn.
Для однозначного определения устойчивых решений
необходим нек-рый принцип отбора сопоставимых с и
решений. Обычно его формулируют, пользуясь смыслом
задачи. Такой отбор может быть произведен, напр.,
по принципу выбора элемента (функции) из Fn,
имеющего минимальную сложность. Понятие сложности
элемента ζ может быть формализовано, напр., с
помощью функционалов сложности Ω [ζ] —
непрерывных, неотрицательных и удовлетворяющих нек-рым
специальным условиям (см. [1]). За меру сложности
элемента ζ принимается значение функционала Ω[ζ].
Так, если элементами ζ являются непрерывные на
отрезке [а, Ь] функции ζ (s) класса W\, то функционал
сложности Ω [ζ] можно взять, напр., в виде
°м-К{"+(*)>
Желание искать приближенные решения уравнений
Az=u среди простейших элементов (функций),
сопоставимых с исходными данными, приводит к задаче
нахождения элемента из F&, минимизирующего Ω[ζ]
на F$ . Если оператор А линейный и функционал Ω[ζ] не
имеет локальных минимумов на области своего
определения Fq, to эта задача может быть сведена (см.
подробнее в [1]) к задаче нахождения элемента za из
множества F& (]Fq, минимизирующего функционал
M*[z,A, и] =p)j(Az, ϊ) + αΩ [ζ].

933
РЕГУЛЯРНАЯ
934
Значение параметра α (параметра регуляризации)
должно быть согласовано с уровнем погрешности исходных
данных. Его можно определить, напр., по невязке, т. е.
из условия ρυ(Αζα, и)=6, если известно число δ. Но
возможны и др. способы определения α (см. [1]).
Таким образом, параметр α должен зависеть от δ и и,
α=α(δ, и). Элемент za^tu) и принимается за
приближенное решение уравнения Az=u. Это и есть одна
из форм разработанного в [2], [3] Р. м. Аналогично
строятся приближенные решения уравнений Α ζ =и с
приближенно заданным оператором А и правой частью
и. При этом минимизируется функционал типа Ma[z, A,
и] (см., напр., [1]). Возможны и другие формы Р. м.
и применение его к иным классам задач(см. [1]). Р. м.
развит и для решения нелинейных задач (см. [1], [4]).
Лит.: [1] Τ и χ о н о в А. Н., Арсенин В. Я., Методы
решения некорректных задач, 2 изд., М., 1979; [2]
Тихонова. Н., «Докл. АН СССР», 1963, т. 151, № 3, с. 501 — 04;
[3] е г о же, там же, τ 153, № 1, с. 49—52; [4] Л а в ρ е н τ ь-
евМ. М., О некоторых некорректных задачах математической
физики, Новосиб , 1962 В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов.
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ — использование той или иной
формы отбора допустимых решений при построении
устойчивых к исходной информации приближенных
решений некорректно поставленных задач (см. также
Некорректные задачи и Регуляризации метод).
В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов.
РЕГУЛЯРНАЯ ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА — точка
у0 границы Г области D евклидова пространства R",
л^2, в к-рой для любой непрерывной на Г функции
f(y) обобщенное решение и(х) Дирихле задачи в смысле
Винера — Перрона (см. Перрона метод) принимает
граничное значение /(г/0), то есть
lim u(x) = f(y0).
χ-*> у0) xeD
Р. г. т. для области D образуют множество R, в
точках к-рого дополнение CD — Rn\D не является
разреженным множеством; множество Г\Д
иррегулярных граничных точек есть полярное множество типа Fc.
Если все точки Г суть Р. г. т., то область D наз. ρ е-
гулярной относительно задачи Дирихле.
Для того чтобы точка у0£Т была Р. г. т., необходимо
и достаточно, чтобы в пересечении U0—U(]D области
D с нек-рой окрестностью U точки у0 существовал
барьер, т. е. супергармонич. функция ω(χ)>0 в U0
такая, что limco(х)=0 (критерий барьера Ле-
Х->Уо
бега). А. Лебег (Н. Lebesgue, 1912) впервые показал,
что при тг^З вершина достаточно острого входящего в
D острия может не быть Р. г. т.
Пусть
tffc = {*gCZ>:2-*<|*-iU<2-* + 1},
ck-=C(Ek) — емкость Е^. Для того чтобы точка у0£Г
была Р. г. т., необходимо и достаточно, чтобы
расходился ряд
2Г=12*(Я"2)С*' *^3'
или при Ai=2 ряд
причем здесь
£ft=(x€CD:2*<lnT7^7T<2*+1}
(критерий Винера).
При тг=2 точка у0£Г является Р. г. т., если
существует непрерывный путь x(t), 0<£<1, такой, что
x(i) = y0, x(t)£CD при 0<*<1. При тг>3 точка г/0€Г
является Р. г. т., если ее можно коснуться вершиной
прямого кругового конуса, принадлежащего CD в
достаточно малой окрестности у0. В случае^ области
D компактифицированного пространства R", тг^З,
бесконечно удаленная точка оо ζ Γ всегда является
Р. г. т.; при тг=2 бесконечно удаленная точка оо ζ Γ
является Р. г. т., если существует непрерывный
путь x(t), 0<£<1, такой, что χ(t)ζ CD при 0<ί<1
и lim x(t)=oo.
ί->1-0
См. также Иррегулярная граничная точка.
Лит.: [1] К е л д ы ш М. В., «Успехи матем. наук», 1941,
в. 8, с. 171—232; [2] Л а н д к о φ Η. С, Основы современной
теории потенциала, М., 1966; [3] Хейман У.,
Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980.
£\ Д. Соломенцев.
РЕГУЛЯРНАЯ р-ГРУППА — р-группа G такая,
что для любых ее элементов а, Ъ и любого целого п—ра
справедливо равенство
(аЬ)" ==*"&"*?...*?,
где Sj, . . м Sf— нек-рые элементы из коммутанта
подгруппы, порожденной элементами а и Ъ. Подгруппы и
факторгруппы Р. p-τ. регулярны. Конечная р-группа
регулярна тогда и только тогда, когда для любых ее
элементов а и Ъ справедливо равенство
aW=(ab)W,
где s — нек-рый элемент коммутанта подгруппы,
порожденной элементами а и Ъ.
Элементы Р. р-т. G, имеющие вид αΡα, αζ<2,
образуют характеристич. подгруппу Ca(G), а элементы
порядка, не большего числа ра,— вполне характеристич.
подгруппу Ca(G).
Примерами Р. р-г. являются любая р-группа, класс
нильпотентности к-рой меньше р, а также любая р-
группа порядка, не большего числа рР. Для любого
ρ существует нерегулярная р-группа порядка рР + х, а
именно, силовская подгруппа Sр симметрич. группы
S (р2) степени р2 (она изоморфна сплетению циклич.
группы порядка ρ с самой собой).
Лит.: [1] X о л л М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962.
Я. Я. Вильяме.
РЕГУЛЯРНАЯ МЕРА — мера, определенная на бо-
релевской σ-алгебре 33(7") топологич. пространства Τ
такая, что для любого борелевского множества Χ ζ ЩТ)
и любого ε>0 найдется открытое множество GczT,
покрывающее X : XaG и μ(β\Χ)<ε. Равносильное
определение: для любого Χζ$Β(Τ) и ε>0 найдется
замкнутое множество FczX такое, что ui(X\F)<e.
Р. А. Минлос.
РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — понятие теории
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
с комплексным независимым переменным. Точка а£С
наз. Р. о. т. уравнения
y(n) + ai (t) у<п-и+... +ап (t) у = 0 (1)
или системы
z = A(t)z, z£Cn, (2)
с аналитич, коэффициентами, если а — изолированная
особенность коэффициентов и все решения уравнения
(1) или системы (2) растут не быстрее, чем \t—a\d
для нек-рого dζ R, когда t стремится к α, оставаясь
внутри произвольного острого угла с вершиной а.
Последнее ограничение вызвано тем, что в
окрестности Р. о. т. решения являются неоднозначными
аналитич. функциями и при t-^a по произвольной кривой
могут расти существенно быстрее, чем при стремлении
t-^a по лучу с вершиной а.
Для того чтобы особая точка коэффициентов
уравнения (1) или системы (2) была Р. о. т., необходимо,
чтобы она была полюсом, а не существенно особой
точкой коэффициентов. Для уравнений (1) имеет место
условие Фукса: особая точка t— 0 коэффициен-
30*

935
РЕГУЛЯРНАЯ
ПОЛУГРУППА
936
тов aj(t) регулярна для уравнений (1) тогда и только
тогда, когда все функции {t—a)J aj(t), /=1, . . ., η,
голоморфны в нуле. Для систем (2) справедливо
следующее достаточное условие: если элементы матрицы A (t)
имеют простой полюс в точке а, то эта точка — Р. о. т.
системы (2). Явное условие на матрицу A (t),
необходимое и достаточное для того, чтобы точка а была Р. о. т.
системы (2), пока (1983) не получено.
Лит.: [ЦГолубевВ. В., Лекции по аналитической теории
дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1950; [2] К о д-
дингтон Э. Α., Левинсон Н., Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [3] L е-
ν е 1 t А. Н. М., «Ргос. Koninkl. Nederl. akad. wet. Ser. A», 1961,
v. 64, № 4, p. 362—403; [4] D e 1 i g η e P., Equations differen-
tielles a points singuliers reguiliers, В., 1970 (Lect. Notes in Math.,
№ 163); [5]-Ρ 1 e m e 1 j J., Problems in the sense of Riemann
and Klein, Univ. of Adelaide, 1964. Ю. С. Ильяшенко.
РЕГУЛЯРНАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа,
каждый элемент к-рой регулярен.
Произвольная Р. п. S содержит идемпотенты (см.
Регулярный элемент), и строение S в значительной
степени определяется «строением» и «расположением»
в S множества всех ее идемпотентов Ε (S). Р. п. с
единственным идемпотентом — это в точности группы. На
Ε (S) прежде всего можно смотреть как на частично
упорядоченное множество относительно естественного
частичного порядка (см. Идемпотент); известны
структурные теоремы, описывающие Р. п. S с нек-рыми
естественными ограничениями на множество E(S).
Одно из таких ограничений (для полугрупп с нулем)
состоит в том, что все ненулевые идемпотенты
примитивны (см. Вполне простая полугруппа); полугруппа
с этим свойством наз. примитивной.
Следующие условия для полугруппы S эквивалентны: a) S
есть примитивная Р. п., б) S есть Р. п., равная
объединению своих О-минимальных (см. Минимальный
идеал) правых идеалов, в) S есть 0-прямое объединение
вполне 0-простых полугрупп. Описано строение Р. п.,
у к-рых Ε (S) есть цепь, упорядоченная по типу
отрицательных целых чисел [2].
Более информативный взгляд на Ε (S) состоит в
рассмотрении на этом множестве частичной операции о,
заданной следующим образом. Если для е, f£E(S)
хотя бы одно из произведений е/, fe равно одному из
элементов е, /, то ef£E(S); полагают тогда eof=ef.
Возникающая частичная алгебра может быть
охарактеризована аксиомами, использующими два
отношения квазипорядка о/ и о/, тесно связанные с заданной
частичной операцией (реализация этих отношений в
Ε (S) такова: ео// означает /е=е, e(ulf означает ef=e;
тогда о/ Π ω' есть отношение естественного частичного
порядка на Ε (£)); такая частичная алгебра наз. б и-
упорядоченным множеством (см. [5]).
Произвольная Р. п. может быть определенным
образом сконструирована из биупорядоченного множества
и групп. Таким образом, в терминах биупорядочен-
ных множеств можно проводить классификацию Р. п.
Среди исследованных в этом направлении типов
полугрупп — ко мб и н ат о рны е Р. п. (см. [7]), т. е.
имеющие лишь одноэлементные подгруппы.
Гомоморфный образ Р. п. будет Р. п. Всякий
нормальный комплекс Р. п., являющийся подполугруппой,
содержит идемпотент. Произвольная конгруэнция на
Р. п. однозначно определяется своими классами,
содержащими идемпотенты. Конгруэнция на Р. п. S
разделяет идемпотенты тогда и только тогда, когда она
содержится в отношении ffl (см. Грина отношения
эквивалентности); множество таких конгруэнции
составляет модулярную подрешетку с нулем и единицей в
решетке всех конгруэнции на S. Р. п. наз.
фундаментальной, если эта подрешетка состоит лишь из
отношения равенства. Всякая комбинаторная Р. п.
будет фундаментальной Фундаментальные Р. п. важны
не только как один из более обозримых типов Р. п.,
но и в силу определенной «универсальности» их класса
для Р. п. А именно, для любого биупорядоченного
множества Ε можно канонич. образом сконструировать
фундаментальную Р. п. ТЕ, для к-рой Ε будет биупорядо-
ченным множеством всех идемпотентов, причем для
любой Р. п. S такой, что Ε (S)=E, существует
разделяющий идемпотенты гомоморфизм φ : S-+TE, для к-рого
φ (S) будет подполугруппой в ТЕ, содержащей Ε (ο
различных конструкциях для ТЕом. [3], [5], [8], [10]).
Р. п. S фундаментальна тогда и только тогда, когда
гомоморфизм φ инъективен.
Если S — Р. п., то подполугруппа <£(£)>,
порожденная всеми ее идемпотентами, также будет Р. п.
Подполугруппа <Е (£)> оказывает существенное
влияние на строение S. Р. п. идемпотентно порождена тогда
и только тогда, когда таков каждый ее главный фактор
[10]. В идемпотентно порожденной Р. п. S для
произвольного элемента χ существует представление х=
= еге2 . . . еп, где е^Е (S) и e/(J?(J3£)e/+i при ί=
= 1, . . ., η—1 (здесь Jf и ^ί — отношения
эквивалентности Грина) (см. [5]). Последовательность
идемпотентов вц е2, . . ., еп с указанным свойством наз. Ε -
цепью. В бипростой идемпотентно порожденной
полугруппе любые два идемпотента связаны нек-рой Е-
цепью, и если они сравнимы в смысле естественного
частичного порядка, то длина такой цепи ]>4.
Если (Е (S)y=E (S), т. е. произведение любых двух
идемпотентов снова есть идемпотент, то Р. п. S наз.
ортодоксальной. Класс ортодоксальных
полугрупп содержит, в частности, все инверсные
полугруппы. Полугруппа ортодоксальна тогда и только
тогда, когда каждый ее главный фактор ортодоксален.
Имеются структурные теоремы об ортодоксальных
полугруппах (см. [4], [9]).
Отношение естественного частичного порядка на
Ε (S) может быть продолжено на Р. п. S следующим
образом: х<.у, если существуют идемпотенты ей/
такие, что x=ey=yf. В случае, когда S инверсна,
отношение <: превращается в отношение естественного
частичного порядка, для произвольной Р. п. оно также
наз. отношением естественного
частичного порядка. Отношение < на Р. п. S
согласовано с умножением тогда и только тогда, когда
для любого идемпотента е подполугруппа eSe инверсна
[6]. Р. п., обладающие таким свойством, наз.
псевдоинверсными. Более широкий класс
составляют псевдоортодоксальные полугруппы
(для любого идемпотента е подполугруппа eSe
ортодоксальна). Для указанных классов полугрупп
использовались также термины «локально инверсная» и
«локально ортодоксальная». Р. п. наз.
естественной, если множество всех ее групповых элементов
(см. Регулярный элемент) есть подполугруппа. Имеются
структурные теоремы о псевдоинверсных,
псевдоортодоксальных [И] и естественных [12] Р. п.
Многие структурные теоремы о различных типах Р. п.
представляют собой (подчас весьма далекие)
обобщения и модификации конструкции рисовской полугруппы
матричного типа или суммы прямого спектра групп
(см. Клиффордова полугруппа), либо опираются на те
или иные представления полугрупп и разложения их
в подпрямые произведения (см. [1], [13]). См. также ст.
Полугруппа.
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1—2, М., 1972; [2] Μ и η η
W. D., «Glasgow Math. J.», 1968, v. 9, pt. 1, p. 40—66; [3] С 1 i f-
f о r d Α., «Semigroup Forum», 1975, v. 10, p. 84—92· [4] его
ж e, «J. pure and appl. algebra», 1976, v. 8, p. 23—50; [5] N a m-
booripad K. S. S., «Mem. Amer. Math. Soc», 1979, v. 22,
№ 224; T6] e г о же, «Ргос. Edinburgh Math. Soc», 1980,
v. 23, pt 3, p. 249—60; [7] Nambooripad K. S.S.S.,Raj an
A. R., «Quart. J. Math.», 1978, v. 29, № 116, p. 489—504; [8]
G r i 1 1 e t P. Α., «Semigroup Forum», 1974, v. 8, p. 177—83;
p. 254—65; p. 368—73; [9] Η a 1 1 T. E., «Pacif. J. Math.», 1971,
v. 39, p. 677—86; [10] его же, «J. Algebra», 1973, v. 24,

937
РЕГУЛЯРНАЯ
938
p. 1—24; [11] Μ е а к ι η J., N a m b о о г ι ρ a d К. S. S.,
«J. Austral. Math. Soc», 1980/1981, v. 30, p. 73—86; [12]War-
n e R. J., в кн.: Algebraic theory of semigroups, Amst., 1979,
p. 685—720; [13] L a 1 1 e m e η t G., «Semigroup Forum», 1972,
v. 4, p. 95 — 123. Л. H. Шеврин.
РЕГУЛЯРНАЯ РЕШЕТКА, структура
регулярная,— условно полная решетка (структура),
в к-рой выполняется следующее условие (наз. также
аксиомой регулярности): для любой
последовательности {Еп} ограниченных множеств, для
к-рой
(о) (о)
sup£„—>а, inf#„—► Ь,
найдутся конечные подмножества Е'паЕп с тем же
свойством (1°^ означает сходимость по упорядочению).
Такие структуры (в первую очередь регулярные К-
пространства и булевы алгебры) чаще всего
встречаются в функциональном анализе и теории меры. Они
естественно возникают в задаче продолжения
гомоморфизмов и линейных положительных операций. В Р. р.
выполняются следующие два принципа: а) принцип диа-
х для нек-рой
принцип счет-
(о).
(о)
(о)
гбнали (если χητηΣ2>χη, χη^2+χ, то хпт
последовательности индексов тп) и б)
ности типа (всякое бесконечное ограниченное множество
содержит счетную часть с теми же гранями). В свою
очередь, а) и б)вместе эквивалентны аксиоме
регулярности. Примеры Р. р.: всякое .^-пространство и, в
частности, всякое Lp, 1<р<+оо; булева алгебра
mod 0 измеримых множеств произвольного
пространства с конечной счетно аддитивной мерой. Другие
известные примеры регулярных булевых алгебр
основываются на отрицании Суслика гипотезы.
Лит.: [1] Канторович Л. В., В у л и χ Б. 3., Пин-
скер А. Г., Функциональный анализ в полуупорядоченных
пространствах, М.—Л., 1950. Д. А. Владимиров.
РЕГУЛЯРНАЯ СХЕМА — схема (X, 6χ),
локальное кольцо 6х,х любой точки χ к-рой регулярно.
Для схем конечного типа над алгебраически
замкнутым полем к регулярность эквивалентна тому, что пучок
дифференциалов ^Х/к локально свободен. Регулярные
локальные кольца факторна льны, поэтому любая
замкнутая приведенная неприводимая подсхема
коразмерности 1 на Р. с. (Χ, (3χ) локально задается одним
уравнением (см. [2]). Важной задачей является
построение Р. с. (X, Qx) с заданным полем К рациональных
функций, снабженной собственным морфизмом Х->£ на
нек-рую базисную схему S. Эта задача решена в
случае, когда S — спектр поля характеристики 0 (см.
[3]), а для малых размерностей схемы и в случае простой
характеристики, а также в случае, когда S — спектр
дедекиндовой области и dim Х/5<1 (см. [1]).
Лит.: [1] A b h у a n k а г S h. Sh.,B кн.: Тр.
Международного конгресса математиков (Москва — 1966), М., 1968, с. 469—
481; [2] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической
поверхности, пер. с англ., М., 1968; [3] X и ρ о н а к а X.,
«Математика», 1965, т. 9, № 6, с. 2—70; 1966, т. 10, № 1, с. 3—89;
№ 2, с. 3—58. С. Г. Танпеев.
РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ, правильная
функция, в области — функция /(ζ)
комплексного переменного ζ, однозначная в этой области и
имеющая в каждой ее точке конечную производную (см.
Аналитическая функция). Р. ф. в точке а — это
Р. φ. Β нек-рой окрестности а. Ю. Д. Максимов.
РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА —
аддитивная функция μ, определенная на системе множеств
топологич. пространства, полная вариация к-рой |μ|
удовлетворяет условию
| μ | (Ε) = inf Ι μ | (G) = sup | μ | (F), G Z5 Ε Ζ) F,
где G — внутренность множества G, F — замыкание
множества F(E, G, F — из области определения μ).
Ограниченная аддитивная Р. φ. м., определенная на
полукольце множеств бикомпактного топологич.
пространства, является счетно аддитивной функцией (т е-
орема Александрова).
Свойство регулярности можно относить и к мере
как частному случаю функции множества и говорить
о регулярной мере, заданной на топологич.
пространстве. Примером регулярной меры является
Лебега мера.
Лит.: [1] Данфорд Н., ШварцДж., Линейные
операторы, пер. с англ., ч. 1, М., 1962; [2] А л е к с а н д ρ о в А. Д.,
«Матем. сб.», 1941, т. 9, с. 563—628. А. П. Терехин.
РЕГУЛЯРНАЯ ЭКСТРЕМАЛЬ, неособенная
экстремаль,— экстремаль у(х), во всех точках
к-рой выполняется условие
Fy.y.{x, у(х), у' (*)) Φ 0, (1)
где F(х, у, у') — подинтегральная функция, входящая
в минимизируемый функционал
J=[x*F(x, у, y')dx.
Как всякая экстремаль, Р. э. есть, по определению,
гладкое решение Эйлера уравнения
d
У dx
/v=o.
Точки экстремали, в к-рых выполнено условие (1),
паз. регулярными точками. Доказано, что
в каждой регулярной точке экстремаль имеет
непрерывную 2-ю производную у"(х). На Р. э. 2-я
производная у"(х) непрерывна. Для Р. э. уравнение Эйлера
Fy — Fvx—FyyV' — Fyyy" = 0
можно записать в виде, разрешенном относительно
старшей производной
?* = /(*, У, У')-
Свойство регулярности (1) непосредственно связано
с необходимым Лежандра условием (в усиленной форме),
согласно к-рому во всех точках экстремали должно
выполняться неравенство
Fy.y,(x, у (χ), у' (χ)) <0.
Регулярность существенно используется при
доказательстве возможности включения экстремали у (х) в
окружающее ее поле экстремалей. Если хотя бы в
одной точке условие (1) нарушается, то экстремаль не
всегда может быть включена в поле. Условие включения
экстремали в поле является одним из достаточных
условий экстремума.
Приведенное определение Р. э. дано для простейшей
задачи вариационного исчисления, в к-рой
рассматривается функционал, зависящий от одной неизвестной
функции. Для функционалов, зависящих от η
неизвестных функций:
/ =
-s:'<-
Уи
) &Χι
Р. э. наз. такая экстремаль,
делитель и-го порядка
Еу\у)
Ую Уи ···, Уп
во всех точках к-рой опре-
5*0.
(2)
Для более общих задач вариационного исчисления
на условный экстремум (см. Болъца задача) Р. э.
определяется аналогично: только вместо F в (2) следует
подставить Лагранжа функцию L.
Экстремаль, у к-рой на нек-ром участке условие
регулярности ((1) или (2)) нарушается во всех точках,
наз. особой экстремалью, а указанный
участок наз. участком особого режима.
Для особых режимов выведены необходимые условия,
дополняющие известные классические необходимые
условия экстремума (си. Оптимальный режим особый).

939
РЕГУЛЯРНОЕ КОЛЬЦО
940
Лит.: [1] Б л и с с Г. Α., Лекции по вариационному
исчислению, пер. с англ., М., 1950; [2] Лаврентьев Μ. Α.,
Л ю стер ни к Л. Α., Курс вариационного исчисления, 2
изд., М.—Л., 1950. И. Б. Вапнярский.
РЕГУЛЯРНОЕ КОЛЬЦО в коммутативной
алгебре — нётерово кольцо А, все локализации
Ар к-рого регулярны; здесь р — простой идеал в А.
При этом локальное нётерово кольцо А с максимальным
идеалом m наз. регулярным, если m
порождается η элементами, где п— dim Л, т. е. если касательное
пространство m/m2 (как векторное пространство над
полем вычетов) имеет размерность, равную dim А. Это
равносильно отсутствию особенностей у схемы Spec А.
Локальное Р. к. Л всегда целостно и нормально, а
также факториально (теорема Ауслендера —
Буксбаума), глубина его равна dim А.
Ассоциированное градуированное кольцо
изоморфно кольцу многочленов к[Хг, . . ., Хп].
Локальное нётерово кольцо А регулярно тогда и только
тогда, когда регулярно его пополнение А; вообще, если
А аВ — плоское расширение локальных колец и В
регулярно, то и Л регулярно. Для полных локальных
Р. к. имеет место структурная теорема
К о э н а: они имеют вид R[[X^ . . ., Хп]], гДе R ~
поле или кольцо дискретного нормирования. Любой
модуль конечного типа над локальным Р. к. обладает
конечной свободной резольвентой (см. Гильберта
теорема о сизигиях); верно и обратное (см. [2]).
Р. к. являются любое поле и любое дедекиндово
кольцо. Если А регулярно, то регулярно кольцо
многочленов A[Xi, . . ., Хп] и кольцо формальных степенных
рядов Л [[Χι, . . ., Хп]] над А. Если αζΑ —
необратимый элемент локального Р. к., то А/аА регулярно тогда
и только тогда, когда афт2.
Лит.:[\] ЗарисскийО., Самюэль П.,
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] С е ρ ρ Ж.- П.,
«Математика», 1963, т. 7, № 5, с. 3—93; [3] Grothendi-
eck Α., Dieudonne" J. (red.), Elements de geometrie al-
gebrique, chap. 4, P., 1964. В. И. Данилов.
РЕГУЛЯРНОЕ КОЛЬЦО (в смысле Неймана) —
ассоциативное кольцо (обычно с единицей), в к-ром
уравнение аха=а разрешимо для любого а. Следующие
свойства ассоциативного кольца R с единицей
равносильны: a) R есть Р. к.; б) каждый главный левый
идеал кольца R порождается идемпотентом; в) главные
левые идеалы кольца R образуют подрешетку в решетке
всех его левых идеалов, являющуюся дедекиндовой
решеткой с дополнениями; г) каждый главный левый
идеал кольца R имеет дополнение в структуре всех его
левых идеалов; д) все левые Я-модули плоские; е)
имеют место правые аналоги свойств б) — д) (см. [3], [4],
[5], [8], [10]). Ввиду д) Р. к. иногда наз. абсолютно
плоскими. Коммутативное кольцо регулярно
тогда и только тогда, когда инъективны все простые
модули над ним (см. [5]). Любой конечно порожденный
левый (правый) идеал Р. к. оказывается главным и,
следовательно, выделяется прямым слагаемым.
Всякий не делите ль нуля в Р. к. обратим. Радикал Дже-
кобсона Р. к. равен нулю. Кольцо матриц над Р. к.
оказывается Р. к. Класс Р. к. замкнут относительно
перехода к прямым произведениям и факторкольцам. Идеал
Р. к. является Р. к. (возможно, без единицы). Если
Р. к. нётерово или совершенно (слева или справа),
то оно оказывается классически полупростым кольцом.
Всякое классически иолупростое кольцо регулярно.
Более того, регулярным оказывается кольцо
эндоморфизмов векторного пространства над телом (даже
бесконечномерного), а также факторкольцо кольца
эндоморфизмов инъективного левого (правого) модуля над
любым кольцом по его радикалу Джекобсона (см. [3]).
В частности, всякое самоинъективное слева (справа)
кольцо с нулевым радикалом Джекобсона регулярно,
Групповое кольцо группы G над Р. к. регулярно тогда и
только тогда, когда любая конечно порожденная
подгруппа в G конечна и порядок каждой из таких
подгрупп обратим в исходном Р. к. (см. [3]). Кольца
эндоморфизмов всех свободных левых Л-модулей
регулярны в том и только в том случае, когда R
классически полупросто [6]. Счетно порожденные
односторонние идеалы Р. к. проективны [8].
Если R есть Р. к., то конечно порожденные
подмодули левого Л-модуля Rn и-мерных строк над R
образуют дедекиндову решетку L с дополнениями,
являющуюся подрешеткой решетки всех подмодулей модуля Rn.
Решетка L содержит однородный базис
а1? . . ., а„, то есть эти элементы независимы (см. Де~
декиндова решетка), их сумма равна наибольшему
элементу из L (а именно, Rn) и любые а; и о/
перспективны, что означает существование для них общего
дополнения. Наоборот, всякая дедекиндова решетка с
дополнениями, обладающая однородным базисом,
содержащим не менее четырех элементов, изоморфна
решетке L для подходящего Р. к. R. Решетка L
изоморфна решетке главных левых идеалов кольца всех (пХп)-
матриц над R (см. [4], [10]).
Важный частный случай Р. к.— строго
регулярное кольцо, в к-ром, по определению,
разрешимо уравнение а2х=а. Равносильны следующие
свойства Р. к. R: a) R строго регулярно; б) R не
содержит ненулевых нильпотентных элементов; в) все идем-
потенты кольца R центральны; г) каждый левый (или
каждый правый) идеал кольца R является
двусторонним; д) решетка главных левых (правых) идеалов
кольца R дистрибутивна; е) мультипликативная полугруппа
кольца R является инверсной полугруппой (см. [7],
[8]).
Другой подкласс класса Р. к. образуют и-р егуляр-
ные кольца, где, по определению, уравнение
ах а—а имеет в качестве решения обратимый элемент.
В классе Р. к. ^-регулярные кольца характеризуются
транзитивностью перспективности в решетке конечно
порожденных подмодулей суммы двух экземпляров
основного кольца, а также возможностью сокращать
прямую сумму на конечно порожденный проективный
модуль (см. [4], [8]).
Р. к. наз. непрерывным слева, если
непрерывна решетка его главных левых идеалов.
Непрерывное Р. к. г^-регулярно и разлагается в прямую
сумму строго Р. к. и самоинъективного кольца. На
Р. к. может быть определена псевдоранг-функция,
являющаяся аналогом меры на булевой алгебре. Она
определяет псевдометрику. Пополнение Р. к. по этой
метрике оказывается самоинъективным Р. к. (см. [8]).
Р. к. являются частным случаем π-ρ егулярных
колец, в к-рых, по определению, для каждого
элемента а найдутся элемент χ и натуральное число η
такие, что апхап=ап.
Как двусторонний аналог Р. к. можно рассматривать
бирегулярные ко л.ь ц а, в к-рых, по
определению, каждый главный двусторонний идеал
порождается центральным идемпотентом. Каждый
двусторонний идеал бирегулярного кольца является
пересечением его максимальных двусторонних идеалов.
Всякое бирегулярное кольцо с единицей изоморфно кольцу
глобальных сечений с бикомпактными носителями
пучка простых колец с единицей над бикомпактным
вполне несвязным хаусдорфовым топологич. пространством,
и всякое такое кольцо глобальных сечений бирегулярно
(см. [2]). В коммутативном случае классы бирегуляр-
ных, строго Р. к. и Р. к. совпадают, и простые кольца
в последней теореме заменяются полями.
Близки к Ρ к. бэровские кольца,
определяемые тем условием, что каждый левый (или, что
при наличии единицы равносильно, каждый правый)

941
РЕГУЛЯРНОЕ
942
аннулятор порождается идемпотентом. Примерами бэ-
ровских колец служат кольцо эндоморфизмов
векторного пространства над телом и кольцо ограниченных
операторов гильбертова пространства. Бэровское кольцо
наз. абелевым, если все его идемцотенты
центральны, и конечным (п о Д е д е к и н д у), если ху=1
влечет за собой ух— 1. Идемпотент е бэровского кольца
R наз. абелевым (конечным), если кольцо
eRe абелево (конечно но Дедекинду). Различаются
следующие типы бэровских колец: Ifin — конечные
кольца, содержащие абелев идемпотент, не принадлежащий
никакому собственному прямому слагаемому; Ijnf —
бесконечные по Дедекинду (т. е. не содержащие
ненулевых конечных центральных идемпотентов) кольца,
содержащие абелев идемпотент, не принадлежащий
никакому собственному прямому слагаемому; IIfin (или
Hi) — конечные по Дедекинду кольца без ненулевых
абелевых идемпотентов, содержащие конечный
идемпотент, не принадлежащий никакому собственному
прямому слагаемому; IIini — бесконечные по
Дедекинду кольца с условием, указанным в Ilf in; III — кольца
без ненулевых конечных идемпотентов. Каждое
бэровское кольцо единственным способом разлагается в
прямую сумму колец перечисленных типов (см. [9]).
Р. к. были введены для координатизации
непрерывных геометрий, бирегулярные — в связи с
исследованием функциональных представлений колец, бэровские
(и риккатовы) — при исследовании колец операторов.
Рассматривались неассоциативные Р. к. См. также
•^-регулярное кольцо, риккартово кольцо.
Лит.: [1] Б у ρ б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. с
франц., М., 1971; [2] Дауне Д ж., Гофман К.,
«Математика», 1968, т. 12, № 4, с. 3—24; [3] Л амб ек И., Кольца и модули,
пер. с англ., М., 1971; [4] Скорняков Л. Α., Дедекиндовы
структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961;
[5J Φ е й с К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с
англ., т. 1—2, М., 1977—79; [6] Цукерман Г. М., «Сиб.
матем. ж.», 1966, т. 7, № 5, с. 1161—67; [7] Шайн Б. М.,
«Изв. ВУЗов. Математика», 1966, № 2, с. 111—22; [8] G о о d е-
а г 1 К. R., Von Neumann regular rings, L.— [a. o.], 1979; [9]
К a p 1 a n s k y| I., Rings of operators, N. Y.—Amst., 1968;
[10] Neumann J., Continuous geometry, Princeton, 1960.
Л. А. Скорняков.
♦РЕГУЛЯРНОЕ КОЛЬЦО — регулярное кольцо,
допускающее инволюционный антиавтоморфизм ан»а*
такой, что αα* = 0 влечет за собой а=0. Идемпотент е
из *-Р. к. наз. проекцией, если е* = е. Каждый
левый (правый) идеал *-Р. к. порождается однозначно
определенной проекцией. Поэтому можно говорить о
решетке проекций *-Р. к. Если эта решетка полна,
то она является непрерывной геометрией. Дедекиндова
решетка с дополнениями, обладающая однородным
базисом а1ч . . ., ап, где л^4 (см. Регулярное кольцо),
является решеткой с ортодополнениями тогда и только
тогда, когда она изоморфна решетке проекций нек-рого
*-Р. к.
Лит.: [1] Скорняков Л. Α., Дедекиндовы структуры с
дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [2] В е г b e г i-
nan S. К., Baer *-rings, В.— [а. о.], 1972; ЕЗ] Kaplans-
k у I., Rings of operators, N. Y.— Amst., 1968.
Л. А. Скорняков.
РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — 1) P. п.
(левое) алгебры А — линейное представление L
алгебры А в векторном пространстве Е=А,
определяемое формулой L(a)h=ab для всех а, Ъ£А\ аналогично,
формула R(a)b=ba, a, b£A, определяет
(антипредставление алгебры А в пространстве Е — А, наз.
(правым) Р. п. Л. Если А — топология, алгебра (с
умножением, непрерывным по совокупности переменных),
то L и R — непрерывные представления. Если А —
алгебра с единицей или полупростая алгебра, то все
ее Р. п.— точные.
2) Р. п. (правое) группы G — линейное
представление R группы G в пространстве Ε комплексно-
значных функций на G, определенное формулой
(Д (*)/)(*!) =/(*!*), g,gi£G, f£E,
причем пространство Ε разделяет точки группы G и
обладает тем свойстволг, что функция g\-*-f (gig), gi£G,
принадлежит пространству Ε для всехf^E, g£G.
Аналогично, формула
(L (g) /) (gl)=f {g-i gl), g, giSGJZE,
определяет (левое) Р. п. группы G в пространстве Е,
если функция gi-+f(g~igi), gi£G, принадлежит Ε
для всех g£G, f£E. Если G — топологич. группа, то в
качестве пространства Ε часто рассматриваются
пространства непрерывных функций на G. Если G —
локально компактная группа, то (правым) Р. п. группы
G наз. (правое) Р. п. группы G в пространстве L2(G),
построенном по правоинвариантной мере Хаара на G;
Р. п. локально компактной группы является ее
непрерывным унитарным представлением, причем левое и
правое Р. п. унитарно эквивалентны. а. и. Штерн
РЕГУЛЯРНОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО — простое
нечетное число ρ, для к-рого число классов идеалов кругового
поля R(e^nx^v) не делится на р. Все остальные
простые нечетные числа наз. иррегулярными
(см. Иррегулярное простое число). О.А.Иванова.
РЕГУЛЯРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое
пространство, в к-ром для каждой точки χ и каждого
не содержащего ее замкнутого множества А найдутся
непересекающиеся множества U и V такие, что χζϋ
и Α ζ V. Регулярными являются все вполне регулярные
пространства и, в частности, все метрические
пространства.
Если в Р. п. все одноточечные подмножества
замкнуты (а это выполняется не всегда!), то оно наз.
Т3-и ространством. Не всякое Р. п. вполне
регулярно: существует бесконечное Т3-пространство,
на к-ром каждая непрерывная действительная функция
постоянна Тем более, не каждое Р. п. является
нормальным пространством. Однако если пространство
регулярно и из каждого его открытого покрытия можно
выделить счетное подпокрытие, то оно нормально.
Пространство со счетной базой метризуемо в том и только
в том случае, если оно является Т3-пространством.
Регулярность наследуется любыми пространствами и
мультипликативна.
Лит.: [1] К е л л и Д ж., Общая топология, пер. с англ.,
2 изд., М., 1981; [2]АрхангельскийА В., Π о н о м а-
р е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
М., 1974. А. В. Архангельский.
РЕГУЛЯРНОЕ СОБЫТИЕ — множество слов
конечного алфавита, к-рое на алгебраич. языке может быть
задано с использованием выражений специального
вида — регулярных выражений. Пусть А —
конечный алфавит и (J, о, * — символы операций,
наз. объединением, конкатенацией и
итерацией соответственно. Регулярные
выражения в алфавите А задаются индуктивно:
1) каждая буква из алфавита А есть регулярное
выражение, 2) если i?x, R2n R — регулярные выражения,
т0 (#iU#2b (#i°^2) ni?* суть также регулярные
выражения. Язык регулярных выражений
интерпретируется следующим образом.
Пусть А * — множество всех слов в алфавите А,
У&1^А*, 5Ϊ2<Ξ^4*. Символ любой буквы из А
понимается как множество, состоящее из одной буквы, а
5tiU^2 — как обычное теоретико-множественное
объединение. Множество 5ίιο3ί2 состоит из всех слов,
к-рые представимы в виде αχα2, где ο^ζ^, α2ζ$2,
причем если 5ίι и 5ί2 содержат пустое слово А, то
Λα2=α2, α1Λ=α1, ΛΛ=Λ. Пусть ty^A* и для
любого п^2 имеет место обозначение 9Р1=5Ь . . . о$)[
(п раз). Тогда 5Ϊ* совпадает с 2i(j2l2U$3U . . ., т. е.
если αζ5ί*, то существует т^\ такое, что α предста-
вимо в виде аг а2 . . . ат, где схг£ЭД для любого i=
— 1, . . ., т. Таким образом, множество слов конечного
алфавита является регулярным событием

943
РЕГУЛЯРНОСТИ ПРИЗНАКИ
944
тогда и только тогда, когда оно может быть получено
из однобуквенных множеств с помощью применения
конечного числа операций объединения, конкатенации
и итерации. Р. с. могут быть заданы и с помощью
других операций, сохраняющих регулярность (напр.,
пересечение, дополнение и т. п.), а также путем задания
множества слов, выводимых в формальных системах
типа систем полу-Туэ (см. Туэ система), грамматик и
т. д.
Понятие «Р. с.» возникло при исследовании
поведения автомата конечного, рассматриваемого в качестве
акцептора. Одной из основных для конечных автоматов
является теорема: событие представимо в конечном
автомате тогда и только тогда, когда оно регулярно.
В связи с этим в теории автоматов рассматривают две
задачи: задачу анализа — по данному
автомату, представляющему нек-рое событие, построить
регулярное выражение, задающее это событие; и
задачу синтеза — имея нек-рое регулярное
выражение, построить автомат, представляющий
соответствующее событие.
Множество всех подмножеств слов в конечном
алфавите А (событий) вместе с введенными на этом
множестве операциями образуют нек-рую алгебру
событий; важнейшими среди таких алгебр являются
алгебры Р. с. с операциями, позволяющими все Р. с.
получить из однобуквенных множеств. Наибольший
интерес представляет вопрос о конечно-аксиоматизируе-
мости алгебр Р. с, то есть вопрос о существовании в
таких алгебрах конечных полных систем тождеств. В
самой общей постановке ответ на этот вопрос отрицателен,
хотя существуют важные подалгебры алгебр Р. с, в
к-рых конечная полная система тождеств существует.
См. также Автомат, Автоматов способы задания,
Синтеза задачи.
Лит.: [1] Кудрявцев В. В., Алешин СВ., Π о д-
колзин А. С, Элементы теории автоматов, М., 1978; [2]
Саломаа Α., «Проблемы кибернетики», 1966, в. 17, с. 237—
246; [3] Янов Ю. И., там те, 1964, в. 12, с. 253 — 58; 1966, в. 17,
с. 255—58; [4] Ушчумлич Ш., «Докл. АН СССР», 1979,
т. 247, № 3, с. 561—65. В. А. Буевич.
РЕГУЛЯРНОСТИ ПРИЗНАКИ для методов
суммирования — условия регулярности
суммирования метода.
Для матричного метода суммирования,
определенного преобразованием последовательности в
последовательность посредством матрицы ||а„&||, п, А=1, 2, . . .,
условия:
2) lim ank = 0,
:М,
3) lim
ΣΓ=ια"*=
1,
(1)
являются необходимыми и достаточными для
регулярности метода суммирования. Для матричного метода
суммирования, определенного преобразованием ряда в
последовательность посредством матрицы ||gnfell· n,
A=l, 2, . . ., необходимыми и достаточными
условиями регулярности являются:
*) 2Г=1 \Zn,k — 8n,k-i\'
2) lim gnk = i-
\МЧ
(2)
Условия (1) первоначально были установлены О. Тёп-
лицем [1] для треугольных методов суммирования, а
затем X. Штейнхаузом [2] распространены на
произвольные матричные методы суммирования. В
связи с этим матрицу, удовлетворяющую условиям (1),
наз. матрицей Теплица, или Т-м атри-
ц е й.
Для полунепрерывных методов суммирования,
определенных преобразованием последовательности в
функцию посредством полунепрерывной матрицы ||α&(ω)ΙΙ
или преобразованием ряда в функцию посредством
полунепрерывной матрицы ||gfe((o)||, P. п. подобны
соответственно условиям (1) и (2).
Регулярный матричный метод суммирования
является вполне регулярным, если все элементы
матрицы преобразования неотрицательны. Это условие
в общем случае не является необходимым для полной
регулярности.
Лит.: [1] Τ о ер 1 i t ζ О., «Ргасе mat.-fizyczne», 1911, v. 22,
p. 113—19; [2] S t e i η h a u s Η., там же, р. 121—34; [3] X a p-
д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [4] К у к Р.,
Бесконечные матрицы и пространства последовательностей,
пер. с англ., М., 1960. И. И. Волков.
РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ,
перманентные методы суммировани я,—
методы суммирования рядов (последовательностей),
суммирующие каждый сходящийся ряд
(последовательность) к той же сумме, к к-рой этот ряд
(последовательность) сходится. Р. м. с. являются частным
случаем консервативных методов
суммирования— методов, к-рые каждый сходящийся ряд
(последовательность) суммируют к конечной сумме,
хотя быть может и отличной от той, к к-рой он сходится.
Если Р. м. с. определен преобразованием
последовательности {sn} в последовательность {σ„} посредством
бесконечной матрицы ||α„&||·'
=2Γ=ιunkSk'n=1,2'
(*)
(см. Матричные методы суммирования), то
преобразование (*) и матрицу этого преобразования \\ank\\ наз.
регулярными.
Наиболее распространенные методы суммирования,
как правило, регулярны. Напр., регулярными
являются Чезаро метод суммирования (С, к) при /с^О,
Гельдера методы суммирования, Абеля метод
суммирования и др. Существуют нерегулярные методы
суммирования. Напр., метод суммирования Чезаро (С, к)
при /с<0, Римана метод суммирования не являются
регулярными.
Метод суммирования наз. вполне
регулярным методом суммирования, если он
регулярен и каждый ряд (последовательность) с
действительными членами, сходящийся к +оо (или —оо),
суммируется этим методом также к + оо (соответственно
— оо). Р. м. с, определенный положительной
матрицей, является вполне регулярным (см. также
Регулярности признаки).
Лит.: [1] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [2] К у к Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [3] К а н г ρ о Г. Ф.,
в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12,
М., 1974, с. 5—70; [4] Барон С, Введение в теорию
суммируемости рядов, Таллин, 1977. И. И. Волков.
РЕГУЛЯРНЫЙ АВТОМОРФИЗМ — автоморфизм
φ группы G такой, что g(p=£g ни для Какого
неединичного элемента g группы G (т. е. образы всех
неединичных элементов группы при Р. а. должны быть отличны
от своих прообразов). Если φ — Р. а. конечной группы
G, то для каждого простого р, делящего порядок
группы, он оставляет инвариантной (т. е. отображает в
себя) единственную силовскую р-подгруппу Sp и
любая инвариантная относительно φ р-подгруппа
группы G содержится в Sp. Конечная группа, допускающая
Р. а. простого порядка, нильпотентна [2], однако
существуют разрешимые ненильпотентные группы,
допускающие Р. а. составного порядка.
Лит.: [l] Goren stein D., Finite groups, Ν. Υ., 1968;
[2] Thompson J. G., «Proc. Nac. Res. Acad. Sci.», 1959,
v. 45, p. 578—81. Η. Η. Вильяме.
РЕГУЛЯРНЫЙ ИДЕАЛ — то же, что и модулярный
идеал.

945
РЕГУЛЯРНЫЙ TOP — алгебраический тор в
связной алгебраич. группе G, содержащийся лишь в
конечном числе борелевских подгрупп. Максимальные торы
в G всегда регулярны. В общем случае тор SaG
является регулярным тогда и только тогда, когда его
централизатор CG(S) — разрешимая группа. В теории
алгебраич. групп важную роль играют одномерные
Р. т. S и соответствующие им однопараметрич.
подгруппы λ : Gm-+S (т. н. регулярные
параметры). Тор, не являющийся регулярным, наз.
сингулярным. Для редуктивной группы G можно
дать критерий сингулярности тора SczG в терминах
системы корней. А именно, если Τ — максимальный
тор в G, содержащий S, и Φ (Τ, G) — соответствующая
система корней, то S сингулярен в том и только в том
случае, если SczKer α для нек-рого αζΦ(Γ, G).
Иногда под Р. т. в G понимают тор S, содержащий
регулярный элемент (элемент sζS
регулярен, если размерность централизатора Cq (s) в G
минимальна), и называют полурегулярным тор,
являющийся регулярным в смысле первоначального
определения (см., напр., [1]). Для редуктивных групп
оба эти определения эквивалентны.
Лит.: [1] Бор ель Α., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] X а м φ ρ и Д ж., Линейные
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980. В. П. Платонов.
РЕГУЛЯРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ полугруппы —
элемент а такой, что а—аха для нек-рого элемента χ
данной полугруппы; если при этом ах=ха, то а наз.
вполне регулярным. Если а — Р. э.
полугруппы S, то главный правый (левый) идеал в S,
порожденный а, порождается нек-рым идемпотентом;
обратно, каждое из этих двух симметричных свойств
влечет регулярность а. Если aba=a и ЬаЪ=Ъ, то
элементы а и Ь наз. инверсными друг к другу
(а также обобщенно обратными,
регулярно сопряженными). Всякий Р. э. имеет
инверсный к нему элемент, вообще говоря, не
обязательно единственный (ср. Инверсная полугруппа.)
Полугруппы, в к-рых всякие два элемента инверсны друг
к другу,— это в точности прямоугольные полугруппы
(см. Идемпотентов полугруппа). Всякий вполне Р. э.
а имеет инверсный к нему элемент, перестановочный
с а. Элемент вполне регулярен тогда и только тогда,
когда он групповой, т. е. принадлежит нек-рой
подгруппе полугруппы (ср. Клиффордова полугруппа).
О регулярных ^-классах см. Грина отношения
эквивалентности.
Лит.: [1] Клиффорд Α.,Престон Г., Алгебраическая
теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972; [2] Л я π ин Е. С,
Полугруппы, М., 1960. Л. Н. Шеврин.
РЕГУЛЯТОР поля К алгебраических
чисел — число Яд-, к-рое, по определению, равно 1,
если К есть поле Q или мнимое квадратичное расшире-
ν
ние поля Q, а в остальных случаях равно 77= , где
г — ранг группы Ε единиц поля К (см. Алгебраическое
число, Алгебраическая теория чисел), а ν—г-мерный
объем основного параллелепипеда г-мерной решетки в
Rr+1, являющейся образом группы Ε при ее
логарифмическом изображении I в Rr + 1.
При этом гомоморфизм I определяется следующим
образом. Пусть ог, . . ., σ^ — все вещественные, а σ^ + χ, . . .,
os+t — комплексные попарно несопряженные
изоморфизмы К в С; s+2£=dimQ К (см. Дирихле теорема о
единицах). Тогда r-\-\=s-\-t, а гомоморфизм I : E->Rr + l
определяется формулой
где
h (α) =
Ζ(α)=(Μα),
σ,- (α) |
1η |
1η
σ/ (α) |
при
при
1 < i ^ s
s + l<i
РЕДУКТИВНАЯ ГРУППА 946
Образом гомоморфизма I является г-мерная решетка в
Rr+1, лежащая в плоскости V я£-=0 (х[—канонич.
координаты). ~~
Единицы εχ, . . ., εΓ, для к-рых Ζ(εχ), . . ., 1(гг)
является базисом решетки 1(E), наз. основными
единицами поля К и
J?K = I det (i, (еу)),, /=1, ...,г\.
Имеются и другие формулы, связывающие Р. с
другими инвариантами поля К (см., напр., Дискриминант, 3)).
Если вместо Ε рассматривать пересечение этой
группы с каким-либо порядком Q поля К, то аналогично
можно определить регулятор R^ порядка Q.
Лит.: [1] БоревичЗ. И., ШафаревичИ. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Л е н г С, Алгебраические числа,
пер. с англ., М., 1966. В. Л. Попов.
РЕДУКТИВНАЯ ГРУППА — линейная алгебраич.
группа G, удовлетворяющая одному из следующих
эквивалентных условий: 1) радикал связной
компоненты единицы G0 группы G есть алгебраический тор,
2) унипотентный радикал группы G0 тривиален, 3)
группа G0 разлагается в произведение замкнутых
нормальных подгрупп S и Т, являющихся соответственно
полупростой алгебраической группой и алгебраич. тором.
При этом S — коммутант группы G°, a T совпадает с
радикалом группы G0, а также со связной компонентой
единицы ее центра; SflT конечно, любая полупростая,
а также любая унипотентная подгруппа группы G0
содержится в S.
Линейная алгебраич. группа G наз. линейно
редуктивной, если выполнено любое из
следующих двух эквивалентных условий: а) каждое
рациональное линейное представление группы G вполне
приводимо, б) для каждого рационального линейного
представления p.G-^GL(W) и любого ρ
(^-инвариантного вектора w ζ W\{0} существует такая ρ (G)-
инвариантная линейная функция / на W, что f(w)=£0.
Всякая линейно Р. г. является Р. г. Если
характеристика основного поля К равна 0, то верно и обратное.
В случае char ϋΓ>0 это не так — всякая связная
линейно Р. г. является алгебраич. тором. Однако и в
общем случае Р. г. могут быть охарактеризованы в
терминах теории представлений. Линейная алгебраич.
группа G наз. геометрически редуктивной
(или полуредуктивной), если для каждого
рационального линейного представления ρ : G-+GL (W)
и любого р(6?)-инвариантного вектора w ζ VT\{0}
существует такая ρ (^-инвариантная полиномиальная
функция / на W, что /(ιυ)φθ. Линейная алгебраич.
группа тогда и только тогда является Р. г., когда она
геометрически редуктивна (см. Μ амфор да гипотеза).
Для Р. г. справедлива обобщенная Гильберта
теорема об инвариантах. Верно и обратное: если G —
линейная алгебраич. группа над алгебраически замкнутым
полем К и при любом ее локально конечномерном
рациональном представлении автоморфизмами
произвольной конечно порожденной
ассоциативно-коммутативной А>алгебры А с единицей алгебра инвариантов
А0 конечно порождена, то G есть Р. г. (см. [4]).
Каждая конечная линейная группа является Р. г.,
а если ее порядок не делится на char К, то и линейно
Р. г. Связные Р. г. допускают структурную теорию,
во многом аналогичную структурной теории
редуктивных алгебр Ли (система корней, группа Вейля и т. п.,
см. [2]). Эта теория распространяется и на группы вида
Gk, где G — связная Р. г., определенная над нек-рым
подполем kaK, a Gk— группа ее /с-рациональных
точек (см. [3]). При этом роль борелевских подгрупп,
максимальных торов, групп Вейля играют
соответственно минимальные определенные над к параболич.
подгруппы, максимальные разложимые над к торы,
-t. | относительные группы Вейля (см. Вейля группа). Лю-

947 РЕДУКТИВНОЕ
бые две минимальные определенные над к параболич.
подгруппы группы G сопряжены над /с, т. е. при
помощи элемента группы G^\ то же верно и для любых двух
максимальных Λ-разложимых торов группы G.
Если G — связная Р. г., определенная над полем
/с, то G — разложимая группа над нек-рым сепарабель-
ным расширением конечной степени поля к; если,
кроме того, поле к бесконечно, то G^ плотна в G в
смысле топологии Зариского. Если G — Р. г. и Η —
ее замкнутая подгруппа, то факторпространство G/H
аффинно тогда и только тогда, когда Η — Р. г.
Линейная алгебраич. группа над полем характеристики 0 ре-
дуктивна тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли
является Ли редуктивной алгеброй или когда она
является комплексификацией нек-рой компактной
группы Ли (см. Комплексификация группы Ли).
Лит.: [1] Спрингер Т., Теория инвариантов, пер. с
англ., М., 1981; [2] Хамфри Дш., Линейные алгебраические
группы, пер. с англ., М., 1980; [3] Б о ρ е л ь Α., Тите Ж.,
«Математика», 1967, т. И, № 1, с. 43—111; № 2, с. 3—31; [4]
Π ο π о в В. Л., «Докл. АН СССР», 1979, т. 249, № 3, с. 551 — 55.
В. Л. Попов.
РЕДУКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — такое
однородное пространство G/H связной группы Ли G, что
в алгебре Ли $ группы G существует Ad
(^-инвариантное подпространство, дополнительное к
подалгебре Ijczg, являющейся алгеброй Ли группы Н.
Выполнение любого из следующих условий достаточно
для того, чтобы однородное пространство G/H было
Р. π : 1) линейная группа Ad (Я) вполне приводима,
2) на g существует Adg (Я)-инвариантная билинейная
форма, сужение к-рой на ή невырождено. В частности,
всякое однородное риманово пространство является
Р. п. Если M=G/H — Р. п. и группа G действует
эффективно на М, то линейное представление изотропии
группы Я в касательном пространстве М0 к
многообразию Μ в точке о—еН^М точно. С каждым AcL (#)-
инвариантным подпространством ΠΚΖ$,
дополнительным к ή, связаны две важные G-инвариантные
аффинные связности на М: каноническая
связность и естественная связность без
кручения. Канонич. связность на Р. п. M=G/H
с фиксированным Adg (Я)-инвариантным разложением
(}=lj+ttt — единственная G-инвариантная аффинная
связность на Л/, обладающая тем свойством, что для
любого вектора Χζιη и любого репера и в точке о
кривая (exp tX)u в главном расслоении реперов над
Μ горизонтальна. Канонич. связность полна и
множество ее геодезических, проходящих через точку о,
совпадает с множеством кривых вида (exp tX) о, где Xgm.
После естественного отождествления пространств m
и М0 тензор кривизны R и тензор кручения Τ канонич.
связности определяются формулами (R(X,Y)Z)0~
= -UX,Y]fi,Z] и Г(Х, Υ)β=-[Χ, У]т, где X, У,
Z£m, а через W^ и Wm обозначены проекции вектора
W£$ на ί) иш соответственно. Тензорные поля R и
Τ параллельны относительно канонич. связности так
же, как и любое другое G-инвариантное тензорное поле
на М. Алгебра Ли линейной группы голономии (см.
Голономии группа) канонич. связности на Μ с
опорной точкой о порождается множеством {λ([Χ, У]б )
|Х, ygm}, где λ — линейное представление
изотропии алгебры Ли ή в пространстве М0. Всякое связное
односвязное многообразие, снабженное полной
аффинной связностью с параллельными полями кривизны и
кручения, может быть представлено в виде Р. п.,
канонич. связность к-рого совпадает с заданной аффинной
связностью. На Р. п. M=G/H с фиксированным
Ad8 (Я)-инвариантным разложением fi=ft-f m
существует единственная G-инвариантная аффинная
связность с нулевым кручением, имеющая те же геодезиче-
пространство 948
I ские, что и канонич. связность. Эта связность наз. е с-
тественной связностью без
кручения на Μ (относительно разложения $=fj+ro).
Однородное риманово или псевдориманово
пространство М— G/H наз. естественно редуктив-
н ы м, если оно допускает такое AcL (Я)-инвариант-
ное разложение β=ί)+τη, что
B(X,[Z,Y]m) + B([Z,X]m,Y) = 0 (*)
для всех X, У, Z£m, где В — невырожденная
симметрическая билинейная форма на ш, индуцированная
римановой (псевдоримановой) структурой на Μ при
естественном отождествлении пространств ш и М0. Если
М— G/H — естественно редуктивное риманово или
псевдориманово пространство с фиксированным AcL (#)-
инвариантным разложением cj—fy+ttt,
удовлетворяющим условию (*), то естественная связность без
кручения совпадает с соответствующей римановой или
псевдоримановой связностью на Μ. Если Μ — одно-
связное естественно редуктивное однородное риманово
пространство и Μ = М0 X М1X . . .X Мг — его
разложение де Рама, то Μ может быть представлено в виде
M=G/H, причем G=GQXG1X. . .XGn H=H0XH1X
X. . . ХЯГ и Mi=Gi/Hi (ί=0, 1, 2, . . ., г).
Важным обобщением Р. п. являются v-редуктивные
однородные пространства [4]. Однородное пространство
G/H наз. v-p e д у к τ и в н ы м, если его
стационарная подалгебра fj допускает разложение в
прямую сумму подпространств ϊ)=ί)ι+ί)2+ · · · + ϊ)ν, где
ήν7£={0}, причем в ή существует такое
дополнительное к ί) подпространство Ш, что [[),·, т]с^_1, i=
= 1, 2, . . ., ν, где i)0=m. При этом 1-редуктивные
однородные пространства — это в точности Р. п.;
примерами 2-редуктивных однородных пространств
являются проективное и конформное пространства, на
к-рых действуют группа проективных преобразований
и группа конформных преобразований соответственно.
Если M—G/H есть v-редуктивное однородное
пространство и ν>1, то линейное представление изотропии
алгебры Ли ί) не является точным (так как [ί),·, m]cf)
при i>l) и, следовательно, на Μ не существует G-
инвариантной аффинной связности. Однако на v-pe-
дуктивном однородном пространстве существует
каноническая (j-инвариантная связность, слоем к-рой
является однородное пространство нек-рой транзитивно-
дифференциальной группы порядка ν (см. [4]).
Наряду с Р. п. рассматриваются также частично
редуктивные пространства, т. е,
такие однородные пространства G/H, что существует
разложение алгебры Ли g в прямую сумму двух
ненулевых Ad (Я)-инвариантных подпространств, одно из
к-рых содержит подалгебру β (см. [5]).
Лит.: [1] К о б а я с и III., НомидзуК., Основы
дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [2] Ра ш е в-
с к и й П. К., «Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу», 1952,
в. 9, с. 49—74; [3] N о m i z u K., «Amer. J. Math.», 1954, v. 76,
№ 1, p. 33—65; [4] К а н т о р И. Л., «Тр. Семинара по вект. и
тенз. анализу», 1966, в. 13, с. 310—98; [5] Винберг Э. Б.,
«Тр. Моск. матем. об-ва», 1960, т. 9, с. 191—210.
РЕЗИДУАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ - изотопное
отображение φ частично упорядоченного множества Ρ
в частично упорядоченное множество Р', для к-рого
существует изотопное отображение φ' из Ρ' в Ρ такое,
что φ' (φ(χ))^χ для всех χζΡ и φ (φ'(#'))<#' для всех
х' ζΡ'. Если Ρ и Р' — полные решетки и φ сюръектив-
но, то это равносильно равенству
φ (sup i4) = sup φ (Α)
для всякого подмножества А из Р. Совокупность Р. о.
частично упорядоченного множества Ρ в себя образует
I полугруппу, к-рую можно сделать частично упорядо-

949
РЕЗОЛЬВЕНТА
950
ченной (см. Упорядоченная полугруппа), полагая
φ<ψ, если φ (ж) <?ψ (ж) для всех х£Р. Свойства этой
частично упорядоченной полугруппы тесно связаны со
свойствами частично упорядоченного множества Ρ
(СМ. Решетка). Л. А. Скорняков.
РЕЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность,
образованная из ортогональных траекторий однопараметрич.
семейства плоскостей. Р. п. имеет одно семейство
плоских линий кривизны, к-рые одновременно являются
для Р. п. геодезическими. Если семейство плоскостей
вырождается в пучок, то Р. п. будет поверхностью
вращения. Сечения Р. п. плоскостями семейства наз.
меридианами, а ортогональные траектории —
параллелями Р. п. Все меридианы конгруэнтны,
так что Р. п. можно образовать движением плоской
линии L (меридиана), плоскость к-рой катится без
скольжения по нек-рой развертывающейся
поверхности, называемой направляющей поверхностью
Р. п. и являющейся одной из полостей ее эволюты.
Если p(s) — радиус-вектор одной параллели, то
радиус-вектор Р. п. есть
r = 9(s) + r\(v) ρ (8) + ζ(ν) q (s),
где p = v cos θ+β sin Θ, q= — ν sin θ+β cos θ, ν —
главная нормаль, β-бинормаль, χ — кручение кривой Г,
а θ= — \xds. Ее линейный элемент:
ds2 =li + k& sin θ—η cos θ)]2 ds2-f (η'2 + ζ'2) dv*,
где η (у), ζ (ν) — уравнения Г, а к — кривизна.
И. X. Сабитов.
РЕЗОЛЬВЕНТА — 1) Р. алгебраического
уравнения f(x)=Q степени η — алгебраическое
уравнение g(y)=0 с коэффициентами, рационально
зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание
корней этого уравнения позволяет найти корни данного
уравнения /(я)=0 в результате решения более простых
уравнений, степеней не больших п. Иногда Р. называют
само рациональное выражение y=y(xi, . . ., хп).
Пусть f(x) — сепарабельный многочлен над полем к
с группой Галуа G и Η — нормальный делитель группы
G. Пусть у=у(хц . . ., хп) — рациональное выражение
от xlt . . ., хп, остающееся инвариантным при всех
подстановках корней xlt . . ., хп из группы Я, и у£к.
Тогда у является корнем нек-рого уравнения g(y)=0
с коэффициентами из &, группа Галуа к-рого является
собственной факторгруппой группы G. Таким образом,
решение уравнения f(x)=0 сводится к решению
уравнения g(y) = 0 и решению уравнения f(x)=Q над полем
к(уг, . · ·, ys)·
Напр., для решения уравнения 4-й степени
я4 -\~ рх2 -\- qx -\- г = 0
(любое уравнение 4-й степени приводится к такому
виду) используют кубич. Р.
г/з__2рг/2+(р2-4г2)г/ + д2 = 0,
корни к-рой уг, у2, у3 связаны с корнями xlt х2, xs, я4
соотношениями j/i=(^i+^2) (χ3~\~χ*)ι У2 — (х1~^хз)(х2~^~
+х±), Уз = (х2+Ч) (яг+яз)· Корни J/!, у2, у3
определяются с помощью формулы Кардано, что позволяет
определить и корни xlt х2, ж3, х\>
Последовательное применение метода Р. позволяет
свести решение любого уравнения с разрешимой
группой Галуа к решению цепочки уравнений с циклич.
группой Галуа. Для решения последних
используются резольвенты Лагранжа.
Пусть /(ж) = 0 — уравнение над полем к с циклич.
группой Галуа G порядка η и пусть к содержит
первообразный корень из единицы ζη степени п. Для
элемента а, принадлежащего полю разложения
многочлена f(x), и характера χ группы G в группу корней из
единицы степени /ι резольвента Лагранжа
ρ (χ, α) определяется формулой
ρ (χ, α) = 2σ6 G χ (σ)_1 σ (α)* W
Пусть α=χ1— один из корней многочлена f(x) и χ
пробегает все характеры группы G. Тогда система
линейных уравнений (*) позволяет определить корни
хг, х2, . . ., хп, если известны резольвенты Лагранжа
для всех характеров χ группы G.
Для t£G выполняется соотношение
τρ(χ, «) = Χ (τ) Ρ (Χ, α),
к-рое показывает, что элементы α—ρ (χ, α)" и fet=
= Ρ(Χ» α)-ίΡ(%*> α) ПРИ любом целом ί инвариантны
относительно G и, следовательно, являются однозначно
определенными рациональными выражениями от
коэффициентов многочлена / (х) и корня ζη. Если χ порождает
группу характеров группы G, то имеют место
равенства ρ (χ, а)=У~а и ρ (χ', α)=6,·ρ(χ, α)' для χ'=χ'.
Резольвентой Галуа уравнения f(x) — 0
наз. такое неприводимое над данным полем алгебраич.
уравнение у(х) = 0 (см. Галуа теория), что в
результате присоединения одного из его корней к этому полю
получается поле, содержащее все корни уравнения
f(x) = 0.
Лит.: [1] В а н дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с
нем., 2 изд., М., 1979. Л. В. Кузьмин.
2) В теории интегральных уравнений под Р.
(разрешающим ядром) уравнения
4(*)+λΫαΚ{8' ') Ψ (')<" = /(») (**)
понимают функцию Г (s, t; λ) переменных s, t и
параметра λ, при помощи к-рой решение уравнения (**)
представляют в виде
f(s) + k[baT(s, t, X)f(t)dt,
если λ не есть собственное значение уравнения (**),
напр. для ядра К (s, t)=s-\-t резольвентой является
функция
Γ(Μ;λ) = ν 2 λ, ; ·
БСЭ-3.
3) Р. оператора — оператор R%, обратный к Т% =
—Α— λΓ, где А — замкнутый линейный оператор,
определенный на плотном множестве D^ банахова
пространства X со значениями в том же пространстве, при
условии, что λ таково, что Τ χ1 есть линейный
непрерывный оператор, определенный на всем X. Точки λ, для
к-рых Р. существует, наз. регулярными
точками оператора А, а совокупность всех регулярных
точек — резольвентным множеством р(А)
этого оператора. Множество р(А) — открытое и на
каждой его связной компоненте оператора Rk
является аналитич. функцией параметра λ.
Свойства Р.:
1) Ri — #μ = Γλ—μ)#λ#μ для любых двух точек λ,
μ€ΡΜ)5
2) из Rix=0 следует х=0; #
3) если X — гильбертово пространство, то R^=Ri-
Лит.: [1] И о с и д а К., Функциональный анализ, ггер. с
англ., М., 1967; [2] А х и е з е ρ Η. И., Глазман И. М.,
Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве,
2 изд., М., 1966; [3] К а н т о ρ о в ич Л. В., А к и л о в Г. П.,
Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. В. И. Соболев.
4) В гомологической алгебре Р. модуля —
комплекс С, определенный для положительных степеней и
снабженный пополняющим гомоморфизмом А->С (мо-

951
РЕЗОЛЬВЕНТНОЕ МНОЖЕСТВО
952
дуль А рассматривается как комплекс, равный нулю
в ненулевых степенях) таким образом, что
последовательность 0—wl—>»С0—^С1-*. . . точна. Р. наз. инъек-
т и в н о й, если все С1 инъективны. Двойственным
образом определяется проективная
резольвента. Р. является основным средством вычисления
производных функторов. В частных случаях удобно
использовать специальные виды Р. Напр., для кольца
многочленов R=k[x1,. . .,хп] внешняя алгебра Ej^(u^. . ., ип)
превращается в Р. тривиального R-модуля /с, если
задать дифференциал д{щ) = х1 и пополняющий
гомоморфизм ε(ι^·) —0. Эта конструкция применима к кольцам
степенных рядов (как сходящихся, так и формальных)
и носит название комплекса Козюля.
В. Е. Говоров.
РЕЗОЛЬВЕНТНОЕ МНОЖЕСТВО — множество
ρ (Г), где Τ — линейный оператор в банаховом
пространстве, такое, для к-рого существует оператор Rz~
={T—zI)-1, ограниченный и имеющий область
определения, плотную в X. Дополнительное к Р. м.
множество есть спектр оператора Т.
Лит.: [1] Рисе Ф., С ё к е фа л ь в и - Η а д ь Б., Лекции
по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979.
М. И. Войцеховский.
РЕЗОНАНС — явление увеличения амплитуды
вынужденных колебаний при приближении частоты
внешнего воздействия к одной из частот собственных
колебаний динамич. системы. Явление Р. имеет наиболее
простой характер в линейной динамич. системе.
Дифференциальное уравнение движения линейной системы
с одной степенью свободы в среде с вязким трением при
гармонич. воздействии имеет вид
aq + bq-\-cq = H sin {pt -f- δ),
где q — обобщенная координата; α, 6, с — постоянные
параметры, характеризующие систему; Я, ρ, δ —
соответственно амплитуда, частота, начальная фаза
внешнего воздействия. Установившиеся вынужденные
колебания происходят по гармонич. закону с частотой ρ и
амплитудой
я
D =
α γ (ft2_
р2)2 + -
Ь2
где к= У с/а—частота собственных колебаний при
отсутствии рассеивания энергии (Ь=0). Амплитуда D имеет
максимальное значение при
JL=-|/l-—
к У 2ас
и при малом
рассеивании энергии близка к ее значению при р=к.
Принято называть резонансом тот случай, когда
р = к. Если 6=0, то при р — к амплитуда вынужденных
колебаний возрастает пропорционально времени.
Если линейная система имеет η степеней свободы,
то Р. наступает при совпадении частоты внешней силы
с одной из собственных частот системы. При негармо-
нич. воздействии Р. может иметь место лишь при
совпадении частот его гармонич. спектра с частотами
собственных колебаний.
Лит.: [1] С τ ρ е л к о в С. П., Введение в теорию
колебаний, М.— Л-, 1951. · Н. В. Бутенин.
РЕЗОНАНСНЫЕ ЧЛЕНЫ —те члены fPQXpX
Хехр {i<Q,Y>} ряда Тейлора — Фурье
/(X, Y) = %fPQXPexv{i<Q, У», (1)
Р$.%т, Р^О, Q£%n,
уР—гР\ гРт
Λ —х1...хт,
у к-рых показатели Ρ и Q удовлетворяют линейному
соотношению вида
<Р, A> + i<0. Q> = c (2)
Здесь fpQ — постоянные коэффициенты, <<?, У> —
скалярное произведение Q и У; постоянные (λχ,. . .,
Хт)=А и (ω!,. . ., ω„) = Ω — обычно собственные
значения и базис частот нек-рой системы обыкновенных
дифференциальных уравнений; константа с не зависит
от Ρ и <?, она определяется ролью ряда (1) в
рассматриваемой задаче.
Если в линейной системе
ij = XjXj, / = 1, ..., то, yk = iuk, А = 1, ..., п, (3)
все λj чисто мнимые и в (2) с=0, то сумма Р. ч. ряда (1)
совпадает с осреднением этого ряда вдоль решений
системы (3). Систему обыкновенных дифференциальных
уравнений в окрестности нек-рых инвариантных
многообразий можно привести к нормальной форме, в к-рой
ряды содержат только Р. ч. (см. [1]). Так, для гамиль-
тоновой системы в окрестности неподвижной точки
гамильтониан может быть приведен к виду (1), где л—0,
и выполнено (2) с с=0, причем Λ=(λ1,. . ., λ^,—λΐ4...,
—λ ι) — вектор из собственных значений
линеаризованной системы (см. [2]). В этом случае иногда члены с
Pj=Pj+u /=1, . . ., I, наз. вековыми (для них
(2) выполняется тривиально), а резонансными наз.
остальные члены ряда (1), для к-рых выполнено (2).
Выделение Р. ч., производимое в задачах с малым
параметром, зачастую также может быть обосновано с
помощью нормальной формы (см. [1]). Для точечного
преобразования с мультипликаторами (μχ,. . ., \кт)—М
показатели Р.ч. ряда (1) с п— 0 удовлетворяют
соотношению Мр=1; если положить Λ=1ηΛ/ и ω^Ι, то
получится соотношение (2) с с=0.
Лит.: [1] Б ρ ю н о А. Д., Локальный метод нелинейного
анализа дифференциальных уравнений, М., 1979; [2] е г о же,
«Тр. Моск. матем. об-ва», 1971, т. 25, с. 119—262; 1972, т. 26,
с. 199—239. А. Д. Брюно.
РЕЗУЛЬТАНТ многочленов f(x) и g(x) —
элемент поля <?, определяемый формулой
r и, g)=a№ п;=1 π;=ι (а'-р/>. (1)
Где Q — поле разложения многочлена fg, α/, β7· —
корни многочленов
/ (χ) = а0хп + а1хп~1 + ...+ап
g(x) = b0xs + b1xS-i+...+bs
соответственно. Если а0Ь0фО, то многочлены тогда и
только тогда имеют хотя бы один общий корень, когда
их Р. равен нулю. Имеет место равенство
/?(#, /) = (-1 У* Д (/,*).
Р. можно записать в любом из следующих видов:
* (/,£) = < IlLi^b (2)
Л(/, g) = (-i)n%Haj=sLf^j). (3)
Выражения (1), (2) и (3) неудобны для вычисления Р.,
так как они содержат корни многочленов. Через
коэффициенты многочленов Р. можно выразить в виде
следующего определителя порядка n+s:
*(/,*l·
а0аг .
а0 .
Μι ·
bo ·
.... αη_λ αη
αη αχ .. -αη_ι αη
bs-i bs
&ι ...&5-ι bs
(4)
Этот определитель в первых s строках содержит
коэффициенты многочлена f(x), в последних η строках —
коэффициенты многочлена g(x), а на свободных
местах — нули.

953
РЕКУРРЕНТНАЯ
954
Р. многочленов f(x) и g(x) с числовыми
коэффициентами можно представить в виде определителя порядка
η (или s). Для этого находят остаток от деления
xk g(x) на f(x), А=0, 1, 2,. . ., и—1. Пусть это будет
ako+akiX+'-' + akn-iX"-1·
Тогда
Д (/,*) =
аоо
^10
^01
а1 п-1
а«-ю ап-п ··· ди-1'и-1
Дискриминант D (f) многочлена
/(*) = α0ζ» + *ι*η~1···αιι, α0 ^0,
выражается через Р. многочлена f(x) и его
производной /' (х) следующим образом:
η (η- Ι)
fl(/) = H)~ a^R(f, Г).
Применение к решению систем
уравнений. Пусть дана система двух алгебраич.
уравнений с коэффициентами из поля Р:
/<*.*>=<>, ι
e(x,y) = o.f w
Многочлены / и g записывают по степеням х:
f(x,y) = a0(y)xb + a1(y)x*-1+...+ak{y),
е(*,У) = Ь0(у)х* + Ъ1(у)х*-1+...+Ъ1(у),
и по формуле (4) вычисляют Р. этих многочленов как
многочленов от х. Получается многочлен, зависящий
только от у:
R(f,g) = F(y).
Говорят, что многочлен F (у) получен путем
исключения χ из многочленов f (х,у) и g(x,y). Еслия=а, £/=β—
решение системы (5), то F($)=Q, и обратно, если
F (β)=0, то или многочлены f(x, β), g(x, β) имеют
общий корень (к-рый надо искать как корень их
наибольшего общего делителя), или α0 (β)=60(β)=0. Тем
самым решение системы (5) сводится к вычислению
корней многочлена F (у) и общих корней многочленов
/ (χ·, β), g(x, β) с одним неизвестным.
Аналогично можно решать и системы уравнений с
любым числом неизвестных, но эта задача приводит
к весьма громоздким вычисл ниям (см. также
Исключения теория).
Лит.: Ш К у ρ о ш А. Г., Курс высшей алгебры, И изд.,
М., 1975; [2] О к у н е в Л. Я., Высшая алгебра, 4 изд., М.—
Л., 1949; [3] В а н дер В а р д е н Б. Л., Алгебра, пер. с
нем., 2 изд., М., 1979; [4] X о д ж В., Π и д о Д., Методы
алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1 — 3, М., 1954—55.
И. В. Проскуряков.
РЕЙДЕМЕЙСТЕРА КРУЧЕНИЕ, кручение
де Рама, кручение Франц а,— инвариант,
позволяющий различать многие структуры в
дифференциальной топологии, напр. узлы, гладкие структуры
на многообразиях, в частности на линзовых
пространствах. Впервые Р. к. введено К. Рейдемейстером (см.
[1]) при изучении трехмерных линз, обобщения для
л-мерных линз были независимо получены в [2] и [3].
Пусть С — свободный комплекс левых Л-модулей,
где А — ассоциативное кольцо с единицей. Пусть,
далее, h — матричное представление кольца А, т. е.
гомоморфизм кольца А в кольцо Rnxn всех
действительных (лX л)-матриц. И пусть в модулях С^ комплекса С
отмечены базисы cfe, а комплекс С = Rn*n (/)дС Rn*n-
модулей ацикличен; тогда определено Уайтхеда кру-
чение τ (C')£K1Rn><n = K1R = R + , где R + —
мультипликативная группа поля действительных чисел.
Число т(С') наз. кручением Рейде мейстера
комплекса С, а также действительным Р. к.
Эффективность замены кручения Уайтхеда на Р. к.
основывается на т е о ρ е м е Б а с с а [4]: если π —
конечная группа, то элемент ω ξ ^ (π) имеет
конечный порядок, если &*(ω)=1 для любого
представления h, где /**(ω) — Р. к., индуцированное элементом ω.
Лит.: [1] ReidemeisterK., «Abhandl. math. Semin.
Univ. Hamburg», 1935, Bd 11, S. 102—09; [2] Franz W.,
«J. fiirr. und ang. Math.», 1935, Bd 173, S. 176—84; [3] R h a m G.
d e, «Матем. сб.», 1936, т. 1, № 5, с. 737—43; [4] Bass H.,
«Publ. math.», 1964, № 22, p. 5—60 [IHES). А.С.Мищенко.
РЕЙНОЛЬДСА ЧИСЛО — один из критериев
подобия для течений вязких жидкостей и газов,
характеризующий соотношение между инерционными силами
и силами вязкости:
Re — pvl/μ,
где ρ — плотность, μ — динамич. коэффициент
вязкости жидкости или газа, ν — характерная скорость
потока, I — характерный линейный размер.
От Р. ч. зависит также режим течения жидкости,
характеризуемый критическим Р. ч. ReKp.
При Re<ReKp возможно лишь ламинарное течение
жидкости, а при Re>ReKp течение может стать
турбулентным.
Р. ч. названо по имени О. Рейнольдса (О. Reynolds).
По материалам одноименной статьи из БСЭ-3*
РЕКУРРЕНТНАЯ ТОЧКА динамической
системы — точка χ динамич. системы /* (или, в
иных обозначениях, /(*,·)> см. [2]), заданной на мет-
рич. пространстве S, удовлетворяющая условию: для
всякого ε>0 найдется Г>0 такое, что все точки
траектории рх содержатся в ε-окрестности всякой дуги
временной длины Τ этой траектории (иными словами,
при любом xgR ε-окрестность множества
{/'*}, <€Ιτ, τ+Γ],
содержит всю траекторию fx). В этом случае fx наз.
рекуррентной траекторией.
Теорема Биркгофа: если пространство S
полное (напр., S=Rn), то 1) для того чтобы точка
была рекуррентной, необходимо и достаточно, чтобы
замыкание ее траектории было минимальным множеством',
2) для того чтобы существовала Р. т., достаточно,
чтобы существовала точка, устойчивая по Лагранжу (см.
Устойчивость по Лагранжу).
Р. т. устойчива по Лагранжу и по Пуассону (см.
Устойчивость по Пуассону). Почти периодическая (в
частности, неподвижная или периодическая) точка
динамич. системы рекуррентна. Вообще, всякая точка
строго эргодической динамич. системы рекуррентна, но
сужение динамич. системы на замыкание рекуррентной
траектории (минимальное множество) может не быть
строго эргодической динамич. системой (пример
Маркова, см. [2]).
Лит.: [1] Б и ρ к г о φ Д. Д., Динамические системы, пер. с
англ., М., 1941; [2] Η е м ы ц к и й В. В., С т е п а н о в В. В.,
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд.,
М.— Л., 1949. В. М. Миллионщиков.
РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА — то же, что
рекуррентное соотношение.
РЕКУРРЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция,
являющаяся рекуррентной точкой сдвигов динамич. системы.
Эквивалентное определение: функция φ : R-+S, где S —
метрич. пространство, наз. рекуррентной, если она
имеет предкомпактное множество значений,
равномерно непрерывна и для всякой последовательности чисел
tk G атакой, что существует предел
ί(ί)= Hm φ(<* + 0
(предел в компактно открытой
топологии, т. е. равномерный на каждом отрезке), най-

955 рекуррентное
дется последовательность чисел τ^ξΚ такая, что
<р(0= Нт φ(τ* + 0
k -> оо
в компактно открытой топологии.
Если cp.R—>-Rw — ограниченная равномерно
непрерывная функция, то найдутся tk£R такие, что предел
φ(ί)= lim <p(tk + t)
h -> со
(в компактно открытой топологии) существует и
является Ρ ф. Всякая почти периодич. функция и, в
частности, всякая периодич. функция являются Р. ф.
Лит.: [1] Итоги науки и техники. Математический анализ,
т. 12, М., 1974, с. 71 — 146. В. М. Миллионщиков.
РЕКУРРЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ,
рекуррентная формула,— соотношение вида
к-рое позволяет вычислять все члены
последовательности а±, α2, я3,. . ., если заданы ее первые ρ членов.
Примеры Р. с: 1) an+i—q-an(q^0) —геометрич.
прогрессия, 2) an+1=an-\-d — арифметич. прогрессия, 3) ап+2—
—ап+\~^ап — последовательность чисел Фибоначчи.
В случае, когда Р. с. линейно (см. Возвратная
последовательность), задача описания множества всех
последовательностей, удовлетворяющих данному Р. с,
имеет аналогии с решением обыкновенного
однородного линейного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами.
Лит.: [1] Маркушевич А. И., Возвратные
последовательности, 2 изд., М., 1975. С. Я. Артемов.
РЕКУРРЕНТЙЫЕ СОБЫТИЯ в
последовательности повторных испытаний со
случайными исходами — ряд событий
Ах, А2,. . ., Ап,. . . таких, что наступление события
Ап определяется исходами первых η испытаний,
л=1,2,. . ., а при условии, что наступило событие Ап,
наступление события Ат, т>п, определяется
исходами (я+1)-го, ^тг+2)-го и т.д. до m-το испытаний,
причем при условии одновременного наступления событий
Ап и Ат (т>п) исходы первых η и последующих т—η
испытаний условно независимы.
Более точно, пусть X — совокупность (конечная или
счетная) всех исходов отдельного испытания, χί1,ηί —
пространство последовательностей (хг,. . ., хп), χιζΧ,
ί=1,. . ., η, исходов при η испытаниях, n—i, 2, 3,. . .,
иХ^1' °°]— пространство бесконечных
последовательностей (χχ,. . ., Хп...), Χ{ζΧ, 1=1,2,. . ., П,. . ., ИСХОДОВ,
в к-ром задано нек-рое распределение вероятностей р.
Пусть в каждом пространстве Χ^-ί,η\ η=ί,2,. . .,
выделено нек-рое подмножество е/|с=х'-1»и] так> Х1Т0 для
любых пит, 1^?г<т<оо, последовательность х =
=(*!,. . ., xm)£X[Um] такая, что ~x\i==(j14. . .,хп)£ъп,
принадлежит гт в том и только в том случае, когда
последовательность
Х \п+1 Ξ \χη + 1ι · · · » хт) £ε/π-«·
Если последнее условие выполнено и х£гт, то
р{х£Х1{'°0):х\? = х}=р{х£Х11'*):х\Ч =
= ΐ|?}ρ^€^[1·β)^|7+ι=ϊ|?+ι},
где для последовательности х=(х1,. . .,хп,. . .)ζΧ^> °°^
через χ \[ обозначена последовательность
*Ιί=Φι» «i + i» ■■·»*/)» *</, (*, 7") = 1, 2, —
Событие
4,={*€Χ11·-):*|?€β„}
СООТНОШЕНИЕ 956
ι наз. рекуррентным событием,
наступившим после η испытаний.
Примеры. 1) В последовательности независимых
бросаний люнеты — события, состоящие,
соответственно, в том, что при η испытаниях герб и решка выпадут
одинаковое число раз (такое событие возможно только
при четных ή).
2) При случайном блуждании точки но одномерной
решетке Ζ1, начинающемся в нуле (с независимыми
при разных шагах переходами в соседние точки с
вероятностями ρ и q, p + q—l), события, состоящие,
соответственно, в том, что блуждающая точка окажется в
нуле после η-το шага, п=2,А,. . ., являются
рекуррентными.
Лит.: [1]ФеллерВ., Введение в теорию вероятностей и
се приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.
Т. Ю. Попова.
РЕКУРСИВНАЯ ИГРА — стохастическая игра
с терминальным выигрышем (см. также Динамическая
игра). Ввиду того, что Р. и. может никогда не
закончиться, необходимо определять выигрыши игроков в
случае бесконечных партий. Анализ любой игры Шеп-
ли может быть сведен к анализу нек-рой Ρ и , но из-за
возможности бесконечных партий исследование Р. и.
в общем случае сложнее, чем исследование стохастич.
игр. Любая антагонистическая конечная Р. и. обладает
значением, и оба игрока имеют стационарные
ε-оптимальные стратегии. X. Эверетт [1] указал метод
нахождения как значений игры, так и оптимальных
стратегий.
Лит.: [1] Everett H., в кн.: Contributions to the theory
of games, v. 3, Princeton, 1957, p. 47—78. В. К. Доманский.
РЕКУРСИВНАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ — уточнение
интуиционистской семантики арифметич. суждений на
основе понятия частично рекурсивной функции,
предложенное С. К лини (см. [1], [2]). Для всякой замкнутой
арифметич. формулы F определяется отношение
«натуральное число е реализует формулу F», обозначаемое
erF. Отношение erF определяется индуктивно в
соответствии с построением формулы F.
1) Если F — элементарная формула без свободных
переменных, т. е. формула вида s=t, где s и t —
постоянные термы, то erF тогда и только тогда, когда е—
=0 и значения термов s и t совпадают.
Пусть А и В — формулы без свободных переменных.
2) ег(А&В) тогда и только тогда, когда β=2α·3&,
где агА, ЬгВ.
3) er(AvB) тогда и только тогда, когда е=2°-За и
агА или е=21-Зъ и ЬгВ.
4) er(A"Z)B) тогда и только тогда, когда е — гёделев
номер такой одноместной частично рекурсивной
функции φ, что для любого натурального числа а, если агА,
то φ применима к я и ср(а)гВ.
5) ег(~\А) тогда и только тогда, когда ег(А1Э\ — 0).
Пусть А (х) — формула без свободных переменных,
отличных от х; если η — натуральное число, то η —
терм, изображающий в формальной арифметике
число п.
6) ег(1хА (х)) тогда и только тогда, когда е=2п-Ъа
и агА (п).
7) ег (ухА(х)) тогда и только тогда, когда е —
гёделев номер такой общерекурсивной функции /, что для
любого натурального η число f(n) реализует А (п).
Замкнутая формула F называется
реализуемой, если существует число е, реализующее F.
Формула А (уг,. . ..у,п), содержащая свободные
переменные ух,. . ., ут, может рассматриваться как предикат
от ух,. . ., ут («формула А(ух,. . .,ут) реализуема»).
Если формула F выводима из реализуемых формул в
интуиционистском арифметическом исчислении, то F
реализуема (см. [3]). В частности, всякая формула, до-
I казуемая в интуиционистской арифметике, реализуема.

957
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
958
Можно указать такую формулу А (х), что формула
Ух (Α (χ) ν ~]А (#)) не реализуема. Соответственно, в
этом случае формула ~]Чх(А (χ) ν А (х)) реализуема,
хотя является классически ложной.
Всякая предикатная формула Щ., доказуемая в
интуиционистском исчислении предикатов, обладает тем
свойством, что каждая арифметич. формула,
получающаяся из 9Ϊ подстановкой, реализуема. Предикатные
формулы, обладающие этим свойством, наз. ρ е а л и-
з у е м ы м и. Было показано [4], что
пропозициональная формула
(Π Ί D Z) D) D Π Ί D V Ί D)) Ζ) П "1 DVID),
где D обозначает формулу ~]pV~]9» реализуема, но
не выводима в интуиционистском исчислении
высказываний.
Лит.: [1] KleeneS. С, «J. Symbolic Logic», 1945, v. 10,
p. 109—24; [2] К лини С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [3] Nelson D., «Trans. Amer. Math.
Soc», 1947, v. 61, p. 307—68; [4] R о s e G. F., там же, 1953, v. 75,
p. 1 — 19; [5] Η о в и к о в П. С., Конструктивная
математическая логика с точки зрения классической, М., 1977.
В. Е. Плиско.
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел тео
рии рекурсивных функций, в к-ром рассматриваются
и классифицируются подмножества натуральных чисел
с алгоритмич. точки зрения, а также исследуются
структуры, возникающие в результате такой классификации.
Для каждого множества Л, к-рое является
подмножеством множества всех натуральных чисел Ν, можно
сформулировать следующую проблему
разрешимости: существует ли алгоритм, позволяющий
для любого χ ζ Ν ответить на вопрос о принадлежности
х к А?
Математическая постановка проблем такого рода,
как и развитие Р. т. м., стала возможна лишь в 40-х гг.
20 в. после успешной формализации интуитивного
понятия (алгоритмически) вычислимой функции. Области
значений таких функций образуют семейство
рекурсивно перечислимых множеств (р. п.
м.). Множества, для к-рых сформулированная выше
проблема разрешима, наз. рекурсивными.
Точнее, А рекурсивно тогда и только тогда, когда А и Ν\Α
оба являются р. п. м. Первыми примерами
нерекурсивных р. п. м. оказались т. н. креативные (творческие)
множества. Именно, р. п. м. К наз. креативным,
если существует вычислимая функция, к-рая по
номеру любого р. п. м. А, не пересекающегося с К, выдает
число, принадлежащее N\(K\JA). Одновременно с
креативными Множествами были обнаружены и другие
нерекурсивные р. п. м., в частности простые. Р. п. м.
наз. простым, если оно имеет бесконечное
дополнение, к-рое не содержит бесконечных р. п. м. Таким
образом, уже для р. п. м. возникает тонкая проблема
классификации их проблем разрешимости. Одним из
инструментов для такой классификации служит
понятие сводимости. На интуитивном уровне
множество А сводимо к множеству В, если существует
алгоритм, к-рый решал бы проблему вхождения
элементов для множества А при условии, что есть
возможность по мере надобности пользоваться информацией
о принадлежности тех или иных натуральных чисел
множеству В. В этом случае А оказывается в
определенном смысле «рекурсивным» относительно В, а
обычные рекурсивные множества — «рекурсивными»
относительно любого множества. Такая сводимость в
самом общем виде (точная формулировка к-рой
достаточно сложна) наз. тьюринговой, или Г-с в о д и-
мостью. Накладывая те или иные ограничения на
алгоритм, участвующий в понятии сводимости,
приходят к определению других сводимостей, напр. 1-, т-,
Ьи- или tt-c води мости. В частности, А /n-с водимо
к В, если существует всюду определенная вычислимая
функция / такая, что для всех χ из N
x£A<=>f(x)£B.
Если / можно выбрать разнозначной, то говорят, что
А 1-е водимо к В.
Обобщением m-сводимости является табличная
(U-) сводимость. Множество А ίί-сводимо к множеству
В, если существует алгоритм, к-рый для каждого χ
дает набор чисел <ίί, t\,. . ., $и)> и булеву функцию
β*(ί/ι· · ·, i/nU)), причем
*€^^β*(χ(*ί),...,χ(*£<*>))=!.
гдех(£)=1, если t£B, их(£)=0в противном случае. Если
А можно таблично свести к В так, что η (χ) будет
ограничено нек-рой константой, то говорят, что А
ограниченно таблично (btt-) сводится к В.
Пусть г — нек-рая сводимость. Пишут Л<г#, если
множество А г-сводимо к В. Отношение <г должно
быть предпорядком. Если положить
А ^г В ФФ (А <ГЯ & В <гА),
то ξ=γ будет отношением эквивалентности, отдельный
класс к-рой наз. r-с τ е π е н ь ю (и рекурсивно
перечислимой r-степенью, если этот класс содержит р. п. м.).
Тьюринговы степени известны в литературе и как
степени неразрешимости. Отношение <г
порождает частичное упорядочение всех г-степеней.
Сводимость г' слабее, чем г, если Α <ΓΖ? влечет А <.Г'В.
Частично упорядоченные множества г-степеней для
т- и более слабых сводимостей образуют верхние
полурешетки (что неверно для 1-степеней), имеющие
наименьший элемент 0—г-степень рекурсивных множеств.
Если ограничиться изучением только рекурсивно
перечислимых г-степеней, то они имеют также и
наибольший элемент 1, к-рый наз. полной г-степе-
н ью. Р.п.м., содержащиеся в полной г-степени, наз.
г-п олными. Минимальными г-степеня-
м и наз. такие, к-рые имеют лишь единственную
строго меньшую г-степень, а именно 0.
После определения той или иной сводимости ее
изучение развивается в основном в двух направлениях.
Первое связано с вопросами описания верхней
полурешетки степеней относительно введенной сводимости.
Известным примером проблемы такого типа явилась
проблема Поста [1]: верно ли, что все
рекурсивно перечислимые нерекурсивные множества имеют
одну и ту же степень неразрешимости? Или, другими
словами, верно ли, что полурешетка рекурсивно
перечислимых степеней неразрешимости состоит лишь из
двух элементов? Получено отрицательное решение этой
проблемы [2]. Решения этих вопросов о строении
верхних полурешеток рекурсивно перечислимых т-, tt- и
Г-степеней являются определенными вехами в
изучении сводимостей. В нач. 1960-х гг. было доказано, что
полурешетка Г-степеней (везде ниже подразумеваются
полурешетки рекурсивно перечислимых степеней) не
является решеткой и не имеет минимальных элементов;
тогда же было отмечено существование минимальных
m-степеней и показано, что полная m-степень не
является точной верхней гранью двух несравнимых т-
степеней. Позднее выяснилось, что этот факт не имеет
места для btt- и более слабых сводимостей. Ю. Л.
Ершов [4] доказал, что верхняя полурешетка т-степеней
не является решеткой и что под нек-рыми ее
элементами нет минимальных. Аналогичные результаты, а
также существование минимальных элементов, были
получены для полурешеток btt- и ^-степеней [5].
Установлено, что элементарные теории полурешеток m-, btt-,
tt-, T- и нек-рых других степеней попарно различны.
Второе направление связано с вопросами о том,
какие r-степени, сколько их и как они расположены в сте-

959 рекурсивная функция
пенях относительно более слабой сводимости, чем г.
В частности, полная T(tt-, Ш-,ί-степень содержит
счетное число рекурсивно перечислимых tt (соответственно
btt-, лг-)-степеней. С другой стороны, существуют
нерекурсивные Τ (Ш-)-степени, состоящие из одной
tt(m-)-степени, но каждая нерекурсивная ^-степень
содержит, по крайней мере, две Ш-степени.
К изучению р. п. м. имеются и другие подходы, не
связанные с понятием сводимости. Один из них
заключается в следующем. Все р. п. м. вместе с
операциями объединения и пересечения образуют решетку <^.
Нек-рое свойство р. п. м. наз. теоретик о-р е ш е-
точным, если оно сохраняется при всех
автоморфизмах (§. Такими, напр., являются свойства «быть
рекурсивным», «быть простым» или «быть
максимальным» множеством. Р. п. м. А наз.
максимальным (г-м а к с и м а л ь н ы м), если его дополнение
бесконечно и не может быть разбито р. п. м.
(соответственно рекурсивным множеством) на две бесконечные
части. Классич. результатами, связанными с
изучением <$\ могут служить теоремы о существовании
максимальных множеств и о возможности разбиения любого
нерекурсивного р. п. м. на два нерекурсивных р. п. м.
(см. [2]) и теорема о существовании г-максимального
множества без максимальных надмножеств (см. [3]).
Понятие максимального множества возникло в связи
с надеждой, что они окажутся не Г-полными. Это было
бы естественным решением проблемы Поста. Сам
Э. Пост, накладывая все более жесткие ограничения на
дополнения р. п. м., определил классы гиперпростых и
гипергиперпростых множеств, показав, что гиперпростые
множества не могут быть ^-полными. При этом р. п. м.
А с бесконечным дополнением наз.
гиперпростым (гипергиперпростым), если не
существует вычислимой последовательности попарно
непересекающихся конечных (соответственно рекурсивно
перечислимых) множеств, каждое из к-рых имеет
непустое пересечение с дополнением А. Определение этих
классов множеств дается не в теоретико-решеточных
терминах, и в действительности удалось показать, что
«быть гиперпростым» не является
теоретико-решеточным свойством. Однако доказано, что р. п. м. А с
бесконечным дополнением является гипергиперпростым
тогда и только тогда, когда для любого р. п. м. В
существует рекурсивное множество R такое, что i?c=S
и (B\A)^R, т.е. свойство «быть гипергиперпростым»
оказалось теоретико-решеточным. Было построено ги-
пергиперпростое множество без максимальных
надмножеств, а также доказано, что для любого
нерекурсивного р. п. м. А существует автоморфизм Φ решетки
<$ такой, что Φ (А) является Г-полным множеством
[6]. Таким образом, надежда найти
теоретико-решеточное свойство, к-рым не обладали бы рекурсивные и
Г-полные множества, не оправдалась.
Имеется также концепция (в духе [7]), согласно
к-рой Р. т. м. должна изучать свойства подмножеств Ν,
сохраняющиеся при рекурсивных перестановках. В
соответствии с этим говорят, что множества А ж В имеют
один и тот же тип рекурсивной
эквивалентности, если существует разнозначная
вычислимая функция / такая, что f(A) = B и f~1(B)=А.
Типы рекурсивной эквивалентности, не содержащие
множеств, имеющих бесконечные рекурсивно
перечислимые подмножества, наз. и з о л я м и. После
определения для изолей подходящим образом операции
сложения и умножения стала развиваться «арифметика»
изолей.
Изучение свойств р. п. м. и сводимостей не только
взаимосвязано с другими направлениями теории
рекурсивных функции, но и находит применение в
логике, теории моделей и алгебре. Р. т. м. имеет в своем
арсенале собственные, присущие пока только ей мето-
960
ды исследований. Наиболее известным является т. н.
приоритета метод, с помощью к-рого получаются
особенно глубокие результаты.
Лит.: [1] Ρ ο β t Е. L., «Bull. Amer. Math. Soc», 1944, v. 50,
p. 284—316; [2] Friedberg R. M., «J. Symbolic Logic»,
1958, v. 23, p. 309—16; [3] L а с h 1 a n A. H., «Trans. Amer.
Math. Soc», 1968, v. 130, № 1, p. 1 — 37; [4] Ершов Ю. Л.,
«Алгебра и логика», 1969, т. 8, № 5, с. 523—52; [5] Д е г τ е в
А. Н., «Успехи матем. наук», 1979, т. 34, в. 3, с. 137—68; [6]
S о а г е R. I., «Bull. Amer. Math. Soc», 1978, v. 84, № 6, p.
1149—81; [7] Dekker J. С Ε., Μ у h i 1 1 J., «Univ. Calif,
publ. math.», 1960, v. 3, № 3, p. 67—213; ШМальцевА. И.,
Алгоритмы и рекурсивные функции, М., 1965; [9] Ρ о д ж е ρ с X.,
Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость,
пер. с англ., М., 1972. А. Н. Дегтев.
РЕКУРСИВНАЯ ФУНКЦИЯ, частично
рекурсивная функция,— одно из математич.
уточнений интуитивного понятия вычислимой функции,
определяемое следующим образом. Рассматриваются
функции, заданные на натуральных числах и с
натуральными значениями. Функции предполагаются ч а-
стичными, т. е. определенными, вообще говоря,
не для всех значений аргументов. Следующие
функции наз. простейшими: S (х)=х-\-1, о (х)—0,
1т(%1,- . .,хп)=хт(1^т^;П). Будем говорить, что п-ме-
стная функция ψ получена из m-местной функции φ и
тг-местных функций /х,. . .,fm с помощью
оператора суперпозиции, если для всех хг,. . .,хп
имеет место равенство
я|)(жь ...,*„) = φ(/ι(*ι, · ..,ж„), ...,/Λ(*ι, ...,*„)).
Скажем, что (я+1)-местная функция / получается из
гс-местной функции φ и (?г+2)-местной функции ψ с
помощью оператора примитивной
рекурсии, если при любых значениях хъ. . ., хп, у
выполняются равенства
/ («ι, ...,жи,0)=ф(а:1, . ..,хп),
!(хъ ...,хп, у + 1)='ф(а:1, ...,хп, у, / (хи ...,жя, у)).
Будем говорить, что я-местная функция / получается
из (я+1)-местной функции φ с помощью
оператора минимизации, или наименьшего числа
оператора, если для любых хх,. ..,хп, у выполнено
условие / (#!,. . ., хп)—у тогда и только тогда, когда
значения ц>(хг,. . .,хп,0),. . ., ц>(хг,. . ·, хп, у—1)
определены и не равны 0, а φ (хх,. . .,хп, у)=0. Частичная функ-
ция / наз. рекурсивной, если она может быть
получена из простейших функций с помощью
конечного числа применений операторов суперпозиции,
примитивной рекурсии и минимизации.
Иными словами, / является Р. ф., если существует
такая конечная последовательность частичных
функций #!,. . .,gk, что gk=ftt каждая функция этой
последовательности либо является простейшей, либо
получается из предыдущих с помощью операторов
суперпозиции, примитивной рекурсии или минимизации.
С помощью метода арифметизации можно получить
пересчет всех таких описаний Р. ф., а именно, можно
указать алгоритм, к-рый каждому натуральному числу
χ сопоставляет нек-рое описание Р. ф. Задаваемую этим
описанием Р. ф. обычно обозначают φ*, а х наз. ее г ё-
делевым номером.
Всюду определенные Р. ф. наз.
общерекурсивными. Существуют Р. ф., к-рые не могут быть
продолжены до обще рекурсивных.
Для любой Р.ф. можно указать алгоритм вычисления
ее значений, т. е. все Р. ф. суть вычислимые функции.
Распространенная гипотеза, известная под названием
тезиса Чёрча, состоит в том, что всякая
вычислимая функция является Р. ф. Эта гипотеза
подтверждается рядом фактов. Так, все рассматривавшиеся в
математике конкретные функции, признаваемые
вычислимыми в интуитивном смысле этого слова,
оказывались рекурсивными. Понятие Р. ф. оказывается
совпадающим по объему с другими математич. уточнениями

961 рекурсия
понятия вычислимой функции (напр., с понятиями
функции, вычислимой на машине Тьюринга, вычислимой
с помощью нормального алгорифма Маркова и др.)·
Возможны различные определения класса всех Р. ф.
через исходные функции и порождающие операции.
В частности, всякая Р.ф. может быть получена из
функций
а(х, у)=х + Уч т{х, у)=х-у, 1%,
и
к (х, у)
-К:
если χ < у,
если χ ^ у,
с помощью конечного числа применений операторов
суперпозиции и минимизации.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные
функции, М., 1965; [2] Роджерс X., Теория рекурсивных
функций и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972.
В. Е. Плиско.
РЕКУРСИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ — часто
применяемый в математике способ задания функций, при
к-ром значение искомой функции в данной точке
определяется через ее значения в предшествующих точках
(при подходящем отношении предшествования). Р. о.
теоретико-числовых функций являются объектами
изучения в теории алгоритмов (см. Рекурсия). В теории
множеств постоянно используется для определения
функций на ординалах трансфинитная рекурсия. В
более общем плане Р. о. рассматриваются в теории
допустимых множеств, в основе к-рой лежит некий
синтез идей теории множеств и теории алгоритмов (см.
[2])·
Лит.: L1J Роджерс X., Теория рекурсивных функций и
эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972; [2] В а г-
wiseJ., Admisible sets and structures, В., 1975.
Я. В. Белякин.
РЕКУРСИВНОЕ ОТНОШЕНИЕ — такое отношение
#<ΞΝ", где N — множество натуральных чисел, что
функция /, определенная на Ν" условием
/(*1
.....*„)={ J;
если <яь ..., xn>£R,
если <#!, ..., #„>(£/?,
является рекурсивной функцией. В частности, при
любом η универсальное отношение Ν" и нуль-отношение
0 являются Р. о. Если R и S суть я-местные Р. о.,
то отношения R\JS, R(]S, R'=Nn\R,R\S также
будут Р. о. Относительно операций U» П/ система всех
η -местных Р. о. образует булеву алгебру, в. е. Плиско
РЕКУРСИВНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ТИП —класс
эквивалентности для отношения рекурсивной
эквивалентности, т. е. совокупность всех подмножеств
натурального ряда, каждые два из к-рых могут быть
приведены во взаимно однозначное соответствие с помощью
частично рекурсивной функции. Таким образом,
понятие Р. э. т. служит в рекурсивной теории множеств
аналогом понятия мощности в классич. теории
множеств. Так как любые два конечных множества
рекурсивно эквивалентны тогда и только тогда, когда они
содержат одинаковое число элементов, то Р. э. т.
конечного множества полностью характеризуется
мощностью этого множества. Для бесконечных множеств
натуральных чисел, несмотря на их равномощность,
это не так: совокупность всех таких множеств
распадается на множество континуальной мощности
различных Р. э. т. При этом всякий Р. э. т. (кроме Р. э. т.
пустого множества) сам является счетным множеством.
Множества, принадлежащие одному Р. э. т., сходны в
отношении нек-рых алгоритмич. свойств. Так,
бесконечные рекурсивно перечислимые множества (как
рекурсивные, так и нерекурсивные) образуют один Р. э. т.
Так как множество, рекурсивно эквивалентное
продуктивному, само является продуктивным, всякий
Р. э. т., содержащий продуктивное множество, состоит
962
только из продуктивных множеств; так же обстоит дело
с иммунными множествами. Теория Р. э. т. иммунных
множеств, называемых вместе с Р. э. т. конечных
множеств изолями, разрабатывалась особенно интенсивно.
Над Р. э. т. определяются алгебраич. операции,
важнейшими из к-рых являются сложение и умножение:
если А и В суть Р. э. т., αζΑ, βζ#, причем α состоит
из четных чисел, а β — из нечетных, то А -\-В есть
Р. э. т. множества αυβ; А -В есть Р. э. т. множества
/ (αΧ β), где / — общерекурсивная функция, взаимно
однозначно отображающая декартов квадрат
натурального ряда на натуральный ряд. Алгебра Р. э. т. тесно
связана с алгеброй кардинальных чисел, развиваемой
без аксиомы выбора. Совокупность изолей замкнута
относительно указанных операций.
Предпринимались попытки перенесения понятия
Р. э. т. на классы множеств.
Лит.: [1] Роджерс X., Теория рекурсивных функций и
эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972; [2] Dek-
kerJ. G. E.,MyhillJ., Recursive equivalence types, Berk.—
Los Ang., 1960. В. А. Душский.
РЕКУРСИВНЫЙ ОПЕРАТОР — всюду
определенный частично рекурсивный оператор. в. Е. Плиско.
РЕКУРСИВНЫЙ ПРЕДИКАТ — предикат Ρ (хг,
. . .,#„), определенный на натуральных числах и
такой, что функция /, заданная на натуральных числах
условием
{1, если Ρ {хи
0
если Ρ (х1ч
., хп) истинно,
., хп) ложно,
В. Е. Плиско.
является рекурсивной функцией.
РЕКУРСИИ ВЫСШИХ СТУПЕНЕЙ — рекурсивные
определения, в к-рых в качестве вспомогательных
объектов наряду с числовыми функциями используются
нек-рые функционалы более высоких типов. Напр., для
случая рекурсии второй ступени таковыми являются
«подстановочные» функционалы вида
F*,...*„(*!» ·*·' α"' ' to» ··.»*«))=/(*!» ··., an),
а также функционалы, получаемые из них посредством
этой рекурсии. Интересное свойство Р. в. с.
заключается в том, что многократную рекурсию можно свести
к однократной за счет перехода к более высокой
ступени. На этом основан метод приведения многократных
рекурсий к нормальной форме. Следует иметь в виду,
что терминологию в этой области нельзя считать
окончательно установившейся. В частности, под термином
«Р. в. с.» иногда понимают нормальные формы
многократных рекурсий.
Лит.: [1] Петер Р., Рекурсивные функции, пер. с нем.,
М., 1954. Я. В. Белякин.
РЕКУРСИЯ — способ определения функций,
являющийся объектом изучения в теории алгоритмов и
других разделах математич. логики. Этот способ давно
применяется в арифметике для определения числовых
последовательностей (прогрессии, чисел Фибоначчи и
пр.). Существенную роль играет Р. в вычислительной
математике (рекуррентные методы). Наконец, в теории
множеств часто используется трансфинитная Р.
Долгое время термин «Р.» употреблялся
математиками, не будучи точно определенным. Его
приблизительный интуитивный смысл можно описать следующим
образом. Значение искомой функции / в произвольной
точке χ (под точкой подразумевается набор значений
аргументов) определяется, вообще говоря, через
значения этой же функции в других_точках у, к-рые в
каком-то смысле «предшествуют» х. (Само слово
«рекурсия» означает «возвращение».) Конечно, в нек-рых
«исходных» точках значения / должны задаваться
непосредственно. Иногда при помощи Р. определяются
одновременно несколько функций; тогда вышеприве-
I денные разъяснения нуждаются в соответствующей мо-
& 31 Математическая энц., т. 4

963
РЕКУРСИЯ
964
дификации. Примеры разнообразных Р. будут даны
ниже. Отношение «xt предшествует х2» (где х\, х2
принадлежат области определения искомой функции)
в разных видах Р. («рекурсивных схемах») может
иметь разный смысл, однако оно должно быть
«фундированным» (т. е. не должно существовать бесконечной
последовательности точек хп, /г=0, 1,2,. . ., такой, что
χη+ι предшествует хп). Кроме того, неявно
подразумевается, что оно является «достаточно естественным»
(напр., желательно, чтобы это отношение усматривалось
из самого описания рекурсивной схемы, а не из
процесса ее применения). Последнее условие имеет чисто
эвристич. значение (напр., для определения каких-
нибудь специальных, сравнительно простых видов Р*)·
Уточнение этого условия по существу неотделимо от
уточнения самого понятия Р., а для этого необходимо
установить, какого рода формальные выражения могут
быть признаны в качестве рекурсивных определений.
В тех случаях, когда речь идет о рекурсивных
описаниях числовых функций (т. е. функций от
натуральных аргументов и с натуральными значениями),
обычно подразумевается, что такие описания задают способ
вычисления определяемых функций. Ниже всюду
(кроме заключительных замечаний) термин «Р.» будет
пониматься именно в таком смысле. Простейшей и налболсе
употребительной рекурсивной схемой является
примитивная Р.:
/ (0, хг, *..,xn)=g(xi, ...,*„),
/(tf + 1, *ι· ■■ ■·*«) = Μϊ/> /(У· xi, ■··,*„), *ъ ■■-,*«),
где функции g, h предполагаются известными, / —
определяемая функция, у — переменная, по к-рой
ведется Р., хг,. . ., хп — параметры* не участвующие в
Р. Ближайшим обобщением этой схемы является т. н.
возвратная Р., охватывающая такие виды
рекурсивных определений, у к-рых, подобно примитивной
Р., только одна переменная участвует в Р., а
соответствующее отношение предшествования совпадает с
обычным упорядочением натуральных чисел (иногда,
впрочем, этот термин употребляется и в более широком
смысле). Наиболее типичная разновидность
возвратной Р. такова:
/(О, xlt ..., xn) = g(xi, ..., χη),
/ (У + 1» хъ .··, хп) =
= А(у, /(αϊ (у), хи ···, *и), ·, f\<*k(y)> хи ···, *„),
Х1-> · · · > Xtl)i
где а/(г/)<г/, i=l,. . ., к. Представляет интерес тот
факт, что возвратную Р. можно заменить конечным
числом примитивных Р. и подстановок. Другой пример
рекурсивной схемы, сводящейся к примитивной Р.,
дает одновременная Р. вида
/ΐ(0, «ι, ·.., *n)=gi(xu ···, χη),
fi (У + i, «ι, ···, xn) =
= hi(y, /i (y, xu ···, жи), ···, fk(y,xu ···> xn),
xl, · · · » xn)'
где i=l,. . ., к. Математич. логика часто имеет дело с
примитивно рекурсивными
функциям и, т. е. с такими, к-рые можно получить за конечное
число шагов при помощи подстановок и примитивных
Р., исходя из нек-рого фиксированного запаса совсем
простых функций (напр., f(x)=x-{-i,f(x, у)=у и т. п.).
Последовательность функциональных равенств,
описывающая такое построение, наз. примитивно
рекурсивным описанием
соответствующей функции. Эти описания суть синтаксич. объекты
(т. е. цепочки символов), обладающие определенной
эффективно распознаваемой структурой. Практически
все числовые функции, употребляемые в математике по
какому-либо конкретному поводу, оказываются
примитивно рекурсивными. Этим в значительной мере
объясняется интерес к данному классу функций.
Более сложные виды рекурсивных определений
получаются, когда Р. идет сразу по нескольким переменным.
Такие определения, вообще говоря, выводят из класса
примитивно рекурсивных функций, хотя
соответствующее отношение предшествования может выглядеть как
вполне естественное. Напр., в определении /(ж, у)
могут участвовать значения f(u, ν), где и<х или и=х,
у<у, как это имеет место в следующей схеме
двукратной Р.:
f(x, y) = g(x, у), если х = 0 или у —О,
/(*+1, у + 1) =
= h(x, у, f (х, α (я, у, /(ж+1, у))), f (х + 1, у)).
Эта схема уже не сводится к примитивной Р. С другой
стороны, к ней сводимы многие более сложные
рекурсивные определения (см. [1]).
Перечисленные частные виды Р. имеют точные
математич. определения — в отличие от расплывчатых
«около математических» представлений о «рекурсии
вообще». Уточнение этих представлений естественно
мыслить как отыскание подходящего алгоритмич. языка
(т. е. формального языка для описания
вычислительных процедур), включающего все вообразимые виды
Р., но и не слишком широкого. Правомерно ожидать,
что выработка такого уточнения может потребовать
дополнительных соглашений, вносящих нечто новое в
интуитивное понимание Р. В этой связи небезинтересно
отметить, что все рассмотренные выше рекурсивные
схемы ориентированы на порождение тотальных
(всюду определенных) функций. Так, если в схеме
примитивной рекурсии g, h тотальны, то такова же и /. И
вообще, рекурсивные определения, задающие частичные
функции, с интуитивной точки зрения выглядят
несколько искусственно. Однако есть причины привлечь
такие Р. к рассмотрению. Это связано ст. н.
диагональным методом. Именно, пусть дан
алгоритмич. язык L, в к-ром определимы лишь тотальные
функции, и пусть синтаксич. конструкции L не
выводят за пределы интуитивно понимаемой рекурсивно-
сти. Конечно подразумевается, что выражения языка
L (являющиеся описаниями функций) алгоритмически
распознаваемы и что имеется единообразный способ
вычисления функций, представимых в L, по их
описаниям. Если рассматривать выражения в L просто
как цепочки символов, то каждую такую цепочку
можно считать изображением натурального числа в
подходящей системе счисления, являющегося «кодом»
данного выражения. Пусть теперь функция G(m, x)
определена так. Если т есть код описания (в языке L)
нек-рой одноместной функции fm, то G(m, x)=fm(x).
В противном случае G(m, χ)=φ(χ), где φ — какая-
нибудь фиксированная функция, представимая в L.
Ясно, что G(rn, x) вычислима и тотальна и такова же
функция F (x)=G(x, x)+l. Но F невыразима в L, ибо
ни при каком т невозможно равенство F(m) = fm (m).
(В этом рассуждении существенно использована
тотальность F.) Возникает вопрос: является ли данное
описание F рекурсивным? Если в качестве L взять язык
примитивно рекурсивных описаний, то оно
оказывается сводимым к двукратной Р. В общем случае
ситуация неясна из-за расплывчатости интуитивных
представлений о Р., так что положительный ответ на
поставленный вопрос представляет собой дополнительное
соглашение. Если принять его (как это неявно делает
современная логика), то язык L, описывающий в
точности все виды «тотальной» Р., оказывается
невозможным.

965
РЕЛАКСАЦИОННОЕ КОЛЕБАНИЕ
966
Между тем, если в L выразимы также частичные
функции (и их описания признаются рекурсивными),
то диагонализация не обязательно выводит за пределы
L, так что такой язык в принципе может быть
пригодным для адекватного уточнения рекурсивности.
Правда, это связано с нек-рым переосмыслением самого
понятия Р., и современное строгое определение этого
понятия не вполне согласовано с имевшимися ранее
интуитивными представлениями. В новом уточненном
смысле Р. есть нек-рая синтаксич. операция (с
фиксированной интерпретацией), употребляемая для
построения выражении в различных алгоритмич. языках. Если
L—один из таких языковi то естественно предполагать,
что в нем есть и другие синтаксич. операции, от к-рых
зависит конкретный вид рекурсивных описаний в L.
Вообще говоря, выражения языка L не обязательно
описывают только числовые функции. Нек-рые из них
могут задавать функциональные операторы и другие
объекты. Это нужно, в частности, для определения Р.
Рекурсивные описания в L — это системы
функциональных уравнений вида fi=Ti(f1, ... , /„), i=l, ... , и,
где fi — определяемые функции, а ϊ( — выражения в
L, задающие в совокупности нек-рый оператор. Но все
выразимые в L операторы должны быть эффективными
(поскольку L — алгоритмич. язык) и потому
монотонными (т.е. они сохраняют отношение φ -£ ψ,
означающее, что ψ Доопределяет φ). В силу этого всякая система
указанного вида обладает минимальным (в смысле
отношения -*ξ) решением и, по определению, является
рекурсивным описанием функций, составляющих это
решение. Исходя из данного описания, искомое
минимальное решение можно получить посредством
следующего процесса. Для i=l, ... , η пусть fi— нигде не
определенная функция и /f+1 = ГД/ι, ... , /*), так что
/t—^/i+1. Нетрудно убедиться, что искомые функции
fi получаются «объединением» fi (к=0, 1, 2, ...). Тем
самым задан способ совместного вычисления /,. Этот же
процесс задает более или менее естественное отношение
предшествования на аргументах, к-рое и оправдывает
(в удовлетворительной мере) употребление термина
«Р.» в данной связи*
Для того чтобы приведенные ранее рекурсивные
схемы подходили под такое определение, необходимо,
чтобы язык L был не слишком беден. Так, уже в случае
цримитивной Р. нужны подстановка и «кусочное»
определение (т. е. задание функции несколькими
равенствами). Вместе с тем этих двух синтаксич. операций,
в сочетании с только что определенной Р., уже
достаточно для получения всех вычислимых функций (исходя
из простейших). При соответствующих предположениях
об L можно также достаточно уверенно утверждать, что
данное определение Р. охватывает все интуитивно
мыслимые рекурсивные описания. В то же время введенное
общее определение обладает характерными чертами
неформально понимаемой рекурсивности, к-рые
признаются существенными в современной математике.
Плодотворность данного определения Р. заключается
не только в его значении для теории алгоритмов, но и в
том, что оно позволяет взглянуть с «алгоритмической»
(в обобщенном смысле) точки зрения также и на нек-рые
конструкции абстрактной математики, имеющие
определенное сходство с «числовыми» Р. (трансфинитная
Р., индуктивные определения, рекурсивные иерархии
и т. п.).
Лит.: [1] Петер Р., Рекурсивные функции, пер. с нем.,
М., 1954; [2] Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные
функции, М., 1965; [3] У с π е н с к и й В. Α., Лекции о
вычислимых функциях, М., 1960; U] К л и н и С. К., Введение в
метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [5] Μ о s с h о ν a k i s Υ. Ν.,
Elementary induction on abstract structures, Amst.,— [а. о ],
1974. Я. J3e Белякии.
31*
РЕЛАКСАЦИИ МЕТОД, ослабления
метод,— метод итерационного решения системы
линейных алгебраич. уравнений Ах=Ь, элементарный шаг
κ-рого состоит в изменении только одной компоненты
вектора неизвестных, причем номера изменяемых
компонент выбираются в нек-ром циклич. порядке.
Наиболее часто Р. м. используется для решения систем с
положительно определенной матрицей А.
Если изменение одной компоненты вектора
неизвестных хк осуществляется так, Что для нового
приближения xk + 1 квадратичная форма (A (xk + 1—x), xk + 1—χ)
минимизируется, то Р. м. наз. методом полной
релаксации. Если же за один элементарный шаг
значение квадратичной формы лишь уменьшается, но
не минимизируется, то Р. м. наз. методом
неполной релаксации.
Наиболее полно исследован метод
последовательной верхней релаксации,
когда матрица А обладает т. н. свойством (А) и
согласованно упорядочена. Матрица А наз. матрицей,
обладающей свойством (А), если существует матрица
перестановок Ρ такая, что матрица РАРТ имеет форму
И?1? II ' гДе ^ι и ^2 — квадратные диагональные
матрицы.
Итерационная схема Р. м. имеет следующий вид:
(D + fuL)x^ 1 = ((1— ω)£> — (uU)xb + (ub, Λ = 0, 1, ...,
где ω — параметр релаксации, D — диагональная, L —
нижняя треугольная и {/- верхняя треугольная
матрицы из разложения A = D-\-L-\-U. Если ω>1, то метод
наз. методом верхней релаксации
(сверхрелаксации), если ω <1 — методом
нижней релаксации. Параметр ω выбирается
из условия минимизации спектрального радиуса
матрицы S перехода от итерации к итерации:
S = (D+(uL)~1((l— ω) D — ωϋ).
Если А — симметричная матрица с положительными
диагональными элементами и λ,- — корни детерминант -
ного уравнения det(L+XD+^) — 0, то Оптимальное
значение параметра ω дается формулой
2
где Xo=max λ?. Для ω=ω0 спектральный радиус
матрицы S равен
ΐ-ΐΛ-λ20
ι+]Λ-λ20
Рассмотрены случаи, когда нек-рые λΓ· комплексны.
Разработаны методы блочной релаксаций.
Лит.: [1] YoungD. Μ., «Trans. Amer. Math. Soc.$>, 1954,
v. 76, № 1, p. 92—111; [2] e г о же, Iterative solution of large
linear systems, N. Y. —L., 1971; Гз] В а зов В.,
Форсайт Д ж., Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных, пер. с англ., М., 1963; [4]
Фаддеев Д. К., Фаддбева В. Н., Вычислительные
методы линейной алгебры, М., 1960. Е. С. Николаев.
РЕЛАКСАЦИОННОЕ КОЛЕБАНИЕ —
периодический процесс, при к-ром медленное, плавное изменение
состояния объекта в течение конечного промежутка
времени чередуется с быстрым, скачкообразным
изменением его состояния за бесконечно малое время. Такие
колебательные процессы наблюдаются во многих
реальных механических, радиотехнических, биологических
и др. объектах (см., напр., [1]—[3]).
Математич. моделью, описывающей Р. к., являются
автономные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с малым параметром при части производных:
ex = f (χ, у), y = g {χ, г/), ' = d/dt, (1)
χξ№, ygR", 0<ε<1.

967
РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНАЯ СХЕМА
968
Периодическое по времени t решение такой системы и
наз. релаксационным колебанием.
Классич. примером системы с одной степенью свободы,
имеющей Р. к., служит Ван дер Поля уравнение
при больших положительных значениях параметра λ
(с этой точки зрения уже значение λ= 10 можно считать
большим). Если положить
то уравнение (2) приводится к системе типа (1):
• χ3 ·
ex = y — -j-\-x, y = — x.
Вопрос о существовании и числе Р. к. системы (1)
решается в терминах вырожденной системы
/(*, «0 = 0, i = g(x, у), (3)
являющейся гибридной системой уравнений.
Траектории системы (3) в фазовом пространстве R^xIR.^
естественно трактовать как пределы фазовых траекторий
невырожденной системы (1) при ε —>- 0.
В частности, траектория Р. к. системы (1) при ε-> 0
стремится к замкнутой траектории системы (3),
состоящей из чередующихся участков двух типов: участков,
проходимых фазовой точкой системы (3) за конечное
время (каждый из них лежит на поверхности f(x, у)=
— 0), и участков, проходимых фазовой точкой
системы (3) мгновенно (каждый из них начинается в
точке срыва, т. е. в точке, где
/(*, 2/) = 0, det||0//ue[| = O,
лежит в плоскости, параллельной IRft, и кончается на
поверхности /(я, у) = 0). Решение системы (3),
соответствующее такой замкнутой траектории, наз.
разрывным периодическим решением, а
потому Р. к. системы (1) часто наз. периодическим
решением, близким к разрывному,
или даже просто разрывным колебанием.
(Система (3) может иметь замкнутую траекторию,
целиком лежащую на поверхности /(я, j/)=0 и не
проходящую через точки срыва. В таком случае система (1)
имеет близкую к ней замкнутую траекторию, однако
соответствующее ей периодич. решение системы (1) не
будет Р. к.; см. [6].)
Важной задачей является асимптотич. (при ε -> 0)
вычисление фазовой траектории Р. к. системы (1), а
также получение асимптотич. формул для
характеристик этого колебания — его периода, амплитуды и т. д.
Вычисление траектории Р. к. уравнения Ван дер Поля
(2) проводил А. А. Дородницын [7], построивший
асимптотич. приближения при λ -> со для амплитуды
α-2+0,77937λ-4/3-~1-^-0,8762λ-2 + θ(λ-8/3)
и для периода (см. также [8])
Γ = ι,6ΐ37θ6λ+7,οΐ432λ-1/3 —Ι-Ι^—^згззя-1^-
+ 0(λ-5/3).
В случае системы (1) 2-го порядка (т. е. при k—m=i)
с точками срыва общего положения проблема
асимптотич. вычисления Р. к. решена полностью [9]. В
частности, выяснена структура асимптотич. разложения
при ε -> 0 периода Р. к.:
где χ(η)=Ύ^—g—tgy, ηζζ;
а Кп, ν — коэффициенты, эффективно вычисляемые
непосредственно по функциям f(x, у) и g(x, у) (см. [10]).
Для общей системы (1) произвольного порядка остается
(1983) не перекрытым результат Л. С. Понтрягина и
Ε. Φ. Мищенко, вычисливших асимптотику Р. к. с
точностью до О (ε) (см. [И], [12], [9]).
Изучался также вопрос о периодич. решениях типа
Р. к. неавтономных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений (см., напр., [13]).
Лит.: [1] Андронов Α. Α., Витт Α. Α., X а й-
к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [2] Л a hj
д а П. С, Автоколебания в системах с конечным числом степеней
свободы, М., 1980; [3] Романовский Ю. М.,
Степанова Н. В., Чернявский Д. С, Математическое
моделирование в биофизике, М., 1975; [4] V a n d е г Ρ о 1 В., «Phil.
Mag. Ser. 7», 1926, v. 2, №11, p. 978—92; [5] Желез-
ц о в Η. Α., Ρ о д ы г и н Л. В., «Докл. АН СССР», 1951, т. 81,
№ 3, с. 391—94; [б] А н о с о в Д. В., «Матем. сб.», 1960, т. 50,
№ 3, с. 299—334; [7] Дородницын Α. Α., «Прикл. матем.
и механ.», 1947, т. 11, № 3, с. 313—28; [8] Ж а р о в М. И., Μ и-
щ е н к о Ε. Φ., Ρ о з о в Н. X., «Докл. АН СССР», 1981, т. 261,
№ 6, с. 1292-96; [9] Μ и щ е н к о Ε. Φ., Ρ о з о в Н. X.,
Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные
колебания, М., 1975; [10] Розов Н. X., «Докл. АН СССР»,
1962, т. 145, № 1, с. 38—40; [И] Π о н τ ρ я г и н Л. С, «Изв.
АН СССР. Сер. матем.», 1957, т. 21, № 5, с. 605—26; [12] Μ и-
щ е н к о Е. Ф., там же, с. 627—54; [13] Levi Μ., «Mem.
Amer. Math. Soc», 1981, v. 32, № 244. H. X. Розов.
РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНАЯ СХЕМА —
математическая модель электротехнич. устройств, состоящих из
контактов и промежуточных реле, функционирующих
в дискретные моменты времени. Р.-к. с.— один из
первых классов управляющих систем, рассмотренных с ма-
тематич. точки зрения, а также один из первых
вариантов понятия автомата конечного. Первые описания
Р.-к. с. появились в 1938—44 (см. [1]—[3]).
Математически Р.-к. с. представляет собой конечный
граф, всем ребрам и нек-рым выделенным вершинам
к-рого приписаны символы из алфавитов
х = {хг, ~хи ..., хп, хп}, Y = {Yb ..., Ym},
У = {Уи ί/ь ···, Ут, Ут), <* = {<*+, а-> аь ··, «5}
следующим образом. Каждой выделенной вершине
графа (эти вершины наз. полюсами) приписан символ
из алфавита а так, что различным полюсам приписаны
различные символы. Множество ребер графа разбито
на три непересекающиеся подмножества: R, Кг, К2.
Ребрам каждого из этих подмножеств приписаны
символы из У, х, у следующим образом. Каждому ребру из
R приписан символ из У, всем ребрам из R приписаны
различные символы, и все символы из У приписаны
ребрам из R. Каждому ребру множества Кг
(соответственно К2) приписаны символы из χ (соответственно у) так,
что каждый символ может быть приписан нескольким
ребрам, нек-рые символы могут быть не приписаны
никаким ребрам. Если множество У пусто, то пусто и
множество К2. В таком случае (если непусто только Кх)
Р.-к. с. является контактной схемой. Две Р.-к. с. наз.
изоморфными, если изоморфны их графы и
соответствующим ребрам и полюсам приписаны одинаковые
символы.
Полюс а+ наз. входным, полюсы аг, ... , as наз.
выходными, полюс а_ может иногда также быть
выходным. Ребра, к-рым приписаны символы из х,
наз. контактами основных реле (или
основными контактами); множество всех
реберг помеченных символами Уг·, у ι, г/г·, наз. i-м
промежуточным реле, i— 1, ... , т\ ребра,
помеченные символами из г/, наз. контактами
промежуточных реле; ребра, помеченные
символами из У, наз. обмотками. Последовательность
контактов и обмоток между нек-рыми вершинами Р.-
к. с, соответствующая простой цепи графа, наз.
цепью.

969
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ АСТРОФИЗИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
970
Функционирование Р.-к. с. происходит в дискретные
моменты времени 1, 2, ... , £, ... и рассматривается в
терминах проводимостей, к-рые в каждый момент
представляют собой (в рассматриваемой модели) функции
алгебры логики. Проводимость контактов xj, x~j, / = 1,
... , я, в любой момент t равна значению
соответствующей переменной (xj или xj). Проводимость
контакта j/t·, i=l, ... , т, промежуточного реле в
момент 1 равна нулю, проводимость контакта у,- в
момент 1 равна единице; проводимость обмот-
к и всегда равна единице. Всякая обмотка в момент t
может находиться в различных состояниях. Состояние
обмотки в момент t (в рассматриваемой двузначной
модели — 1 и 0 — «возбуждена» и «не возбуждена») может
определяться по-разному. Напр., обмотка Υ ι находится
в состоянии 1 в момент времени t тогда и только тогда,
когда либо а) существует цепь σ между полюсами а+ и
а_, проходящая через У£· и имеющая в момент t
проводимость 1; либо б) выполнено условие а) и не
существует цепи, состоящей только из контактов, имеющей
в момент t проводимость 1 и соединяющей некоторые
вершины цепи σ, расположенные по разные стороны
от Yh
Проводимость промежуточного контакта £/;(#,·) в
момент t зависит от состояния обмотки Υ ι в момент t— 1,
а именно: проводимость у ι с ним совпадает,
проводимость iji — противоположна. Проводимость цепи Р.-
к. с. между двумя вершинами в момент t равна
конъюнкции проводимостей в момент t образующих ее
контактов и обмоток. Состояния обмоток, таким образом,
в момент £, вообще говоря, зависят от
последовательности наборов значений переменных хг, ... , хп в
предыдущие моменты времени. При подаче в последовательные
моменты времени на переменные хг, ..., хп
последовательности наборов значений между парой полюсов а+
и α/г, к—1, ... , s, a в частном случае и между а+ и а_,
реализуется ограниченно-детерминированная функция.
Изоморфные Р.-к. с. реализуют одну и ту же
ограниченно-детерминированную функцию. Если Р.-к. с. такова,
что при подаче на переменные хг, ... , хп одного и того
же набора значений (σχ, ... , σ„), начиная с нек-рого
момента t, обмотки промежуточных реле не меняют
своих состояний (и так для каждого набора значений
переменных хг, ... , хп), то говорят об «установившихся»
состояниях обмоток, и посредством Р.-к. с. реализуются
функции алгебры логики. Если стабилизация обмоток
с момента t наступает сразу для всех наборов значений
переменных хг, ... , хп, то Р.-к. с. наз. однотакт-
н о й; если стабилизация наступает в момент ί+τ, то
Р.-к. с. наз. τ-т а к т н о й.
Сложность Р.-к.с. определяется как сумма
весов (или индексов сложности) всех основных
контактов, промежуточных контактов и обмоток Р.-к. с.
Асимптотич. выражение для сложности самой простой
Р.-к. с, реализующей самую сложно реализуемую
функцию алгебры логики, имеет вид р2п/п, где ρ —
константа, зависящая от выбранного способа
функционирования, топологии схем и сложности контактов и обмоток
реле
Лит.: El] Шеннон К., Работы по теории информации и
кибернетике, пер. с англ., М., 1963, с. 9—45; [2] Г а в ρ и-
л о в Μ. Α., Теория релейно-контактных схем, 2 изд., Минск,
1950; [3] Ш е с τ а к о в В. И., «Уч. зап. МГУ. Математика»,
1944, в. 73, кн. 5, с. 45—48; [4] Л у π а н о в О. В., «Проблемы
кибернетики», 1964, в. И, с. 25—47. Н. А. Карпова.
РЕЛЬЕФ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ — то же,
что аналитический ландшафт.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА — раздел
частной теории относительности, посвященный изучению
движения материальных тел под действием
приложенных к ним сил.
В теории относительности свободные, т. е. не
подверженные действию сил, материальные точки имеют в
качестве своих мировых линий времениподобные или
изотропные геодезические. Этот факт является выражением
закона инерции в теории относительности.
Если на частицу действуют силы, то ее мировая
линия не совпадает с геодезической. Для описания
движения частицы вводятся понятия четырехмерного
вектора энергии-импульса р' и вектора четырехмерной
силы g1'. Именно,
pt = (JE/c; ρ), (Ι)
где Ε — энергия частицы, т — масса покоя, ρ —
трехмерный импульс частицы. Вектор gi определяется
соотношением
*i-( FV F \
\c8Vl—V*/c* ' с V\—Vz/c2 J '
где F—трехмерная сила, V — скорость. С
использованием этих векторов основные уравнения Р. д. могут
быть записаны в виде, аналогичном виду уравнений
второго закона Ньютона:
dp* ^_dul
gi =-y— = тс-,
5 ds ds
(2)
Конкретный вид силы g1' устанавливается в тех разделах
теории относительности, к-рые изучают конкретные
свойства различных взаимодействий. Напр., сила,
действующая на частицу в электромагнитном поле —
сила Лоренца, имеет вид
где е — заряд частицы, Fik — тензор
электромагнитного поля, Uk — четырехмерная скорость.
Лит.: [1] Л а н д а у Л. Д., Л и φ ш и ц Ε. М#, Теория поля,
6 изд., М., 1973. Д. Д. Соколов.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ —
свойство физич. законов сохранять свой вид при
преобразованиях Лоренца, описывающих переход от одной инер-
циальной системы отсчета к другой. Это свойство
физич. законов наз. лоренц-инвариантностью.
В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что Р. и.
включает и инвариантность при параллельных
переносах во времени и пространстве, говорят о π у а н к а-
ре-инвариантности. Лоренц-инвариантность
означает равноправие всех инерциальных систем и
однородность пространства-времени.
В общей теории относительности инвариантность
физич. законов при переходе от одной локальной
инерциальной системы отсчета к другой наз. л о к а л ь-
ной лоренц-инвариантностью. В нек-рых
случаях в общей теории относительности
рассматривают также величины, к-рые определены при задании
конгруэнции линий времени (т. е. задании системы
отсчета) и инвариантны относительно выбора
пространственных сечений. Эти величины наз.
хронометрическими инвариантами.
Лит.: [1] Φ о к В. Α., Теория Эйнштейна и физическая
относительность, М., 1967. Д. Д. Соколов.
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ АСТРОФИЗИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — задачи, возникающие при
изучении астрофизич. явлений, в к-рых существенны
релятивистские эффекты, т. е. эффекты специальной или
общей теории относительности.
Принято разделять Р. а. м. з. на задачи,
относящиеся к космологии — науке о строении и эволюции
Вселенной, и задачи релятивистской астрофизики
отдельных небесных тел. Примером космологич. решения,
описывающего расширение (или сжатие) однородной и
изотропной Вселенной, является решение А. А.
Фридмана. Однородные анизотропные космологич. решения
классифицированы (выделено 9 типов по Бианки) и
хорошо изучены. Детально изучены анизотропные и не-

971 релятив
однородные решения, представляющие собой малые
отклонения от решения Фридмана (линейное
приближение), и построены некоторые простые нелинейные
решения.
Особое место занимает проблема, связанная с
наличием особой точки в общем космологич. решении, в к-рой
достигается бесконечная плотность вещества и
бесконечная кривизна пространства-времени. Показано, что
сингулярность неизбежна в прошлом в условиях,
имеющих место в реальной Вселенной, и построено общее
решение уравнений общей теории относительности с
сингулярностью. Активно исследуется возможность
построения космологич. решений без сингулярности,
связанная с выходом за рамки классической общей
теории относительности.
Большой класс Р. а. м. з. связан с изучением
взаимодействия реликтового излучения, заполняющего
пространство, с веществом в ходе расширения Вселенной и
физич. процессов, способных породить такое излучение.
Р. а. м. з. для отдельных небесных тел касаются
равновесия и устойчивости звезд и звездных скоплений.
Найдены равновесные массы белых карликов и
нейтронных звезд и изучен релятивистский коллапс более
массивных звезд, превращающихся в т. н. «черные
дыры» — объекты, к-рые можно обнаружить лишь по
проявлению их гравитационного поля. В связи с
задачей поиска и изучения релятивистских объектов
(нейтронных звезд, «черных дыр» и др.) рассматривается
задача об аккреции на них вещества с магнитным
полем.
К Р. а. м. з. относится также исследование
гравитационного излучения. В слабом гравитационном поле в
пустоте возмущения, напр. инварианта кривизны,
подчиняются волновому уравнению, и поле тяготения
распространяется в пространстве подобно
электромагнитным волнам.
Лит.: [1] 3 е л ь д о в и ч Я. Б-, Η о в и к о в И. Д.,
Релятивистская астрофизика, М., 1967; [2] и χ ж е, Теория
тяготения и эволюция звезд, М., 1971; [3] и χ же, Строение и
эволюция Вселенной, М., 1975; [4] Π и б л с П., Физическая
космология, пер. с англ., М., 1975; [5] Μ и з н е ρ Ч., Τ ο ρ н К., У и-
лер Д ж., Гравитация, т. 2—3, пер. с англ., М., 1977; [6J
Лифшиц Ε. Μ., «Ж. экспериментальной и теоретич.
физики», 1946, т. 16, с. 587—602; [7] Белинский В. Α.,
Лифшиц Е. М., Халатников И. М., «Успехи физ. наук»,
1970, т. 102, с. 463—500; [8] Б ρ а г и н с к и й В. В., там же,
1965, т. 86, с. 433—46. А. А. Рузмайкин.
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — задачи для системы
уравнений, описывающей течения жидкости со скоростями,
близкими к скорости света с, и ее взаимодействие с
сильными гравитационными полями. В предельном случае
малых скоростей v<^c и слабых гравитационных полей
φ<φ2, где φ — гравитационный потенциал, Р. г. м. з.
сводятся к гидродинамики математическим задачам.
Система уравнений релятивистской гидродинамики
образуется путем приравнивания к нулю ковариантных
дивергенций тензора энергии-импульса и вектора
плотности потока вещества:
Tik= (ε+Ρ) UiUk—Peik + tik, (1)
ni==nui-\-\ii j, /c = l, 2, 3, 4, (2)
где ε, ρ и я — плотность энергии, давление и плотность
числа частиц в системе отсчета, покоящейся
относительно рассматриваемого элемента жидкости, g^ — метрич.
тензор, и ι — четырехмерная скорость, τ^ и ν,- — части
тензора энергии-импульса и вектора потока вещества,
описывающие эффекты, связанные с вязкостью (см. [1]).
Пример решений Р. г. м. з.: распространение звука
в веществе с ультрарелятивистским уравнением
состояния ρ=ε/3, для возмущения давления или плотности
энергии получается волновое уравнение со скоростью
звука и=сУгЗ.
стекой 972
Р. г. м. з. возникают, напр., при рассмотрении
физич. процессов, протекающих в окрестности звезд,
обладающих сильными гравитационными полями
(нейтронные звезды и т. н. «черные дыры») и
расширяющейся Вселенной, заполненной излучением и веществом.
Лит.: [1] Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ., Механика
сплошных сред, 2 изд., М., 1954; [2] Зельдович Я. Б.,
Новиков И. Д., Теория тяготения и эволюция звезд, М.,
1971; [3] их же, Строение и эволюция Вселенной, М., 1975;
[4]МизнерЧ.,ТорнК.,Уилер Дж., Гравитация, пер.
с англ., т. 2, М., 1977. А. А. Рузмайкин.
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — установление
соотношений между величинами, характеризующими макроско-
пич. состояния тел (термодинамич. величинами), при
наличии сильных гравитационных полей и скоростей,
сравнимых со скоростью света.
Обычно рассматривается равновесная термодинамика
идеальной жидкости с заданным химич. составом.
Установленные в нерелятивистской термодинамике
соотношения между термодинамич. величинами сохраняются
как при релятивистском макроскопич. движении
частиц, составляющих тело, так и релятивистском
движении самого тела, а также в сильных гравитационных
полях, если значения термодинамич. величин взяты в
системе отсчета, покоящейся относительно
рассматриваемого элемента объема жидкости или тела, и в
энергию и химич. потенциал включены все формы энергии
(в частности, энергия покоя).
Основные уравнения релятивистской термодинамики
формулируются в следующем виде:
(тш'),1=0 — закон сохранения барионов,
άε=μάη-\-ηΤάσ — первый закон термодинамики,
(аи[),(=0 — условие адиабатичности,
где и1 — четырехмерная скорость (величины η —
плотность барионов, ε — плотность энергии, Τ —
температура, μ— —^ — химич. потенциал, ρ — давление, σ —
плотность энтропии относятся к системе отсчета,
покоящейся относительно рассматриваемого элемента
объема). При этом давление и плотность энергии связаны
соотношением ρ<ε/3. При переходе к движущейся
относительно элемента объема системе отсчета или к
локализованному наблюдателю (при наличии
гравитационных полей) нек-рые величины (напр., плотность
барионов η или энтропия S) не изменяются, т. е.
являются скалярами, другие преобразуются, напр.
Т = Ти*, μ = μι*ο,
где компонента четырехмерной скорости и0 берется
вдоль мировой линии, описываемой данной точкой тела.
Следствием этого является, напр., тот факт, что в
постоянном гравитационном поле условие теплового
равновесия требует постоянства вдоль тела не температуры,
а величины Τ У^00= const, где g00 — компонента
метрич. тензора, g00=l — 2(p/c2 в слабом гравитационном
поле (φ — гравитационный потенциал, с — скорость
света). А температура, измерепная наблюдателем,
относительно к-рого тело движется со скоростью у, равна
f = T/(i — v2/c2)1/K
Релятивистская инвариантность энтропии S
позволяет записать второй закон термодинамики в форме,
принятой в не релятивистской термодинамике:
где изменение тепла 6Q и Τ преобразуются по
одинаковому закону. Равенство достигается для обратимых
процессов.
Лит.: [1] Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ.,
Статистическая физика, 2 изд., М., 1964; [2] Μ и з н е ρ Ч., ТорнК.,
Уилер Д ж., Гравитация, пер. с англ., т. 2—3, М., 1977;
[3] Μ ё л л е ρ К., Теория относительности, пер. с англ., 2 изд.,
М., 1975. А. А. Рузмайник.

973
РЕПЛИКА
974
РЕЛЯТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — геометрия
конфигурации, состоящей из двух поверхностей S0 : п=п(и1,
и2) и S : г=г(их, и2), находящихся в Петерсона
соответствии. Аналогия между этим соответствием и
сферическим отображением позволила ввести понятия
релятивной площади, полной и средней кривизны и т. д.,
в частности релятивно минимальной поверхности
(см. [1]).
Рассмотрение деривационных уравнений для репера
дг дг
дгГ1 * Ш~2' п привело к понятию внутренней Р. г.
поверхности S (см. [2]). Это есть геометрия аффинной
связности (точнее эквиаффинной) без кручения. Было
введено понятие геометрии 2-го рода, аналогичной
геометрии сферич. отображения (см. [3]).
Р. г. позволяет включить в общую схему, кроме
геометрии поверхностей евклидова и псевдоевклидова
пространств, также и геометрию аффинной
дифференциальной геометрии. Вектор η аффинной нормали
характеризуется тем, что асимптотич. сеть поверхности
S — чебышевская (см. [3]).
Дальнейшим обобщением Р. г. является теория
нормализованных поверхностей (см.
[4]). С каждой точкой поверхности S проективного
пространства связываются две прямые: нормаль 1-го рода,
проходящая через точку поверхности А, но не имеющая
с касательной плоскостью α других общих точек и
нормаль 2-го рода, принадлежащая а, но не проходящая
через А. На поверхности S определяются при этом две
внутренние геометрии, сопряженные относительно
асимптотич. сети. Построения Р. г. допускают
многомерное обобщение (см. [4]).
Лит.: [1] Μ и 1 1 е г Е., «Monatsh. Math, und Physik», 1921,
Bd 31, S. 3—19; [2] N о г d e η A.P. (НорденА. П.), «С. г.
Acad, sci.», 1931, t. 192, p. 135—37; [3] e г о ж е,«Изв. ВУЗов.
Математика», 1958, №4, с. 172—83; [4] его же,
Пространства аффинной связности, 2 изд., М., 1976. А. П. Норден.
РЕНЬИ КРИТЕРИЙ — статистический критерий,
применяемый для проверки простой непараметрич.
гипотезы Н0, согласно к-рой независимые одинаково
распределенные случайные величины Хг, ... , Хп имеют
заданную непрерывную функцию распределения F(x),
против альтернатив следующего вида:
#ί : sup y[F(x))(£Fn(x)—F(x))>0,
Ι X I < οο
#Γ : inf ψ [F (χ)] (EF„— (x)F (x)) < О,
Ul<«
#! : sup ψ [F (χ)] I £Fn (x) — F (x) | > 0,
\ x\< qo
где Fn(x) — функция эмпирич. распределения,
построенная по выборке Хг, ... , Хю ψ(/^), Ψ>0,— весовая
функция. В случае, если
V I* WJ - \ 0 при/»<а,
где а — любое фиксированное число из отрезка [0, 1],
то Р. к., предназначенный для проверки На против
указанных альтернатив Н\, #Г, Hlt основан на
соответствующих им статистиках Реньи:
Я» («,
1)= SUP F"ff-f(*>:
F (χ) >α * (χ>
-—F
(*(*.))
R~(a, 1)==—inf
F{x)>a
max
F(Xm))>a
Fn (x)-F (x)
F (X,
(*(«>)
F(x)
= max
F(X(m))—-TT
р(хш))>а Е(хш)
Ля(а,1)= sup **»™-?(χ)] =
F(x)>a * (χ>
= max {Rn (а, 1), Rn (a, 1)},
где X(1), X(2), ... , X(n) — члены вариационного ряда
построенного по наблюдениям Х1ч ..., Х(П).
Статистики Rn(a, 1) и Л «(а, 1) подчиняются одному
и тому же вероятностному закону, и если 0<а<:1, то
lim ρ{^§-*π (*» 1) < *}=2Ф (*)-1, χ > 0, (1)
ИтР{т/ЖЛ»(в' 1)<*}=М*), *>°> (2)
где Φ (χ) — функция распределения стандартного
нормального закона, L(x) — функция
распределения Реньи, определяемая формулой:
^м-1г^=0 2ШехР\·
(2fe+l)2Jt2
«te=0 2fe+l
В случае, если α=0, то
Р{Я^(0, !)>*} =
8*2
}·
X
'1 + сс1
х > 0.
Из (1) и (2) следует, что при больших значениях η для
вычисления ^-процентных критич. значений (0% <Q<
э +
<50%) для статистик Ял (а, 1) и Rn(a, 1) можно
воспользоваться следующими приближенными значениями:
1— а л_, 1А л λλγλ^ „ - /~1—α .
V—
У па
Ф-1 (1 — 0,005^) и
-L-41—0,01 (?)
соответственно, где φ-χ(χ) и L-X(x) функции, обратные
Φ (χ) и L(x) соответственно, при этом имеют в виду, что
если 0%«?<10%,то φ-ι(1-Ο,ΟΟ50)«Ζ,-ΐ(1-Ο,Ο2ρ).
Кроме того, если я>2,99, то при вычислении
значений функции распределения Реньи L (х) рекомендуется
пользоваться приближенным равенством
L{x) #4Φ(;ζ)—3,
погрешность к-рого не превосходит 5·10~7.
Кроме рассмотренных Р. к., существуют аналогичные
критерии, отвечающие весовой функции
, если F (χ) ^ α,
ψ [F (*)] = <( i-F(x)
[ 0, если F (х) > а,
где а — любое фиксированное число из отрезка [0, 1].
Лит.: [1] Renyi A., «Acta math. Acad, scient. hung.»,
1953, v. 4, p. 191—231; [2j Г а е к Я., Ш и д а к 3., Теория
ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971; [3] Б о л ь ш е в Л. Н.,
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2
изд., М., 1968. М. С. Никулин.
РЕПЕР — совокупность линейно независимых
векторов, взятых в определенном порядке и отложенных от
общего начала. Для векторов в пространстве Р. может
служить любая тройка непараллельных одной
плоскости векторов. Если векторы, составляющие Р., попарно
ортогональны, то Р. наз. ортогональным;
если при этом векторы имеют длину, равную единице,
то Р. наз. ортонормированным. всэ-з.
РЕПЛИКА алгебраической системы
А в заданном классе $ алгебраических систем той же
сигнатуры — алгебраическая система К0 из Я,
обладающая следующими свойствами: 1) существует сюръек-
тивный гомоморфизм φ0 системы А на К0; 2) если К£$
и φ — гомоморфизм системы А в К, το φ=φ0ψ для не-
к-рого сюръективного гомоморфизма ψ системы К0 на
К. Р. системы А в классе Я (если она существует)
определяется однозначно с точностью до изоморфизма.
Класс $ наз. реплично полным, если он
содержит Р. любой алгебраич. системы той же сигнатуры.
Класс алгебраич. систем фиксированной сигнатуры
реплично полон тогда и только тогда, когда он содержит
одноэлементную систему и замкнут относительно под-

975 реш
систем и прямых произведений. Аксиоматизируемыми
реплично полными классами являются
квазимногообразия и только они.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970. Л. А. Скорняков.
РЕПЛИКА эндоморфизма X конечномерного
векторного пространства V над полем к характеристики
0 — элемент наименьшей, содержащей X, алгебраич.
подалгебры Ли $i(T0 (CM· Ли алгебраическая алгебра).
Эндоморфизм X'£§\(V) является Р. эндоморфизмах
тогда и только тогда, когда всякий тензор на V,
аннулируемый эндоморфизмом X, аннулируется также и
эндоморфизмом X'.
Каждая Р. эндоморфизма X может быть представлена
в виде многочлена от X с коэффициентами из поля к
с нулевым свободным членом. Полупростая и нильпо-
тентная компоненты эндоморфизма X (см. Жор дана
разложение, 2) являются его Р. Подалгебра алгебры Ли
§l(V) тогда и только тогда алгебраична, когда она
содержит все Р. любого своего элемента. Эндоморфизм
X пространства V тогда и только тогда нильпотентен,
когда Тг XX'= 0 для любой реплики X'
эндоморфизма X.
Пусть к алгебраически замкнуто, φ — автоморфизм
поля /с, X — полупростой эндоморфизм пространства V,
а φ(Χ) — такой эндоморфизм пространства V, что
всякий собственный вектор эндоморфизма X, отвечающий
собственному значению λ, является собственным
вектором и для φ (Χ), но отвечающим собственному значению
φ (λ). Эндоморфизм X'£q[(V) тогда и только тогда
является Р. эндоморфизма X, когда Χ' = φ(Χ) для
нек-рого автоморфизма φ поля к.
Лит.: [1] С е ρ ρ Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер.
с англ. и франц., М., 1969; [2] Теория алгебр Ли. Топология
групп Ли, пер. с франц., М., 1962; [3] Ш е в а л л е К., Теория
групп Ли, пер с франц., т. 2, М., 1958. В. Л. Попов.
РЕПРЕЗЕНТАТИВНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО —
подпространство X топологич. пространства У такое,
что включение XczY является слабой гомотопич.
эквивалентностью. А. Ф. Харшиладзе.
РЕТРАКТ объекта категории — понятие,
обобщающее соответствующие понятия алгебры и
топологии. Объект R категории Я наз. ретрактом
объекта Л, если существуют такие морфизмы
μ : R —► А и ν : А -—► R,
что μν=1β. Морфизм μ при этом оказывается
мономорфизмом и, более того, ядром пары морфизмов 1^, νμ.
Двойственно, морфизм ν — эпиморфизм и, более того,
коядро пары морфизмов 1^, νμ. Иногда μ наз.
сечением, av — расслоением.
Если R есть Р. объекта А и объект R' изоморфен i?,
то R' есть ретракт А. Поэтому изоморфные Р. образуют
один подобъект объекта А. Каждому ретракту i?,
определяемому морфизмами μ : /?-^ Л hv : Л -^i?,
соответствует идемпотентный морфизм φ—νμ : Л-кД.Два рет-
ракта R и R' объекта А принадлежат одному и тому же
подобъекту тогда и только тогда, когда им соответствует
общий идемпотент. Р. любого объекта произвольной
категории образуют МНОЖеСТВО. М. Ш. Цаленко.
РЕТРАКТ топологического
пространства X — подпространство А этого пространства,
для к-рого существует ретракция X на А. Если
пространство X хаусдорфово, то всякий Р. пространства X
замкнут в X. Всякое непустое замкнутое множество кан-
торова совершенного множества является его Р. При
переходе от пространства к его Р. сохраняются многие
важные свойства. В частности, всякое свойство,
сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно
как и любое свойство, наследуемое замкнутыми
подпространствами, устойчиво относительно перехода к Р.
Поэтому компактность, связность, линейная связность,
сепарабельность, ограничение сверху на размерность,
[КА 976
паракомпактность, нормальность, локальная
компактность, локальная связность сохраняются при переходе
к Р. В то же время Р. пространства может быть устроен
гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен
для конкретного исследования. Так, одноточечное
множество является Р. отрезка, прямой, плоскости и т. д.
Если пространство X имеет свойство
неподвижной точки, т. е. для каждого непрерывного
отображения / : X -> X существует точка χζΧ такая,
что }(х)=х, то и каждый Р. пространства X обладает
свойством неподвижной точки. В частности, и-мерная
сфера не является Р. (тг+1)-мерного шара евклидова
пространства, где тг—0, 1, ... , так как замкнутый шар
обладает свойством неподвижной точки (теорема
Брауэра), а сфера этого свойства не имеет.
Подпространство А пространства X наз. окрестное
τη ы м Р. этого пространства, если существует в X
открытое подпространство, содержащее А, ретрактом
к-рого А является. Понятие Р. имеет прямое отношение
к вопросу о продолжаемости непрерывных отображений.
Так, подпространство А пространства X является его
Р. в том и только в том случае, если всякое непрерывное
отображение пространства А в произвольное
топологич. пространство У можно продолжить до
непрерывного отображения всего пространства X в У.
Метризуемое пространство X наз. абсолютным
Р. (абсолютным окрестности ым Р.),
если оно является Р. (соответственно окрестностным
Р.) всякого метризуемого пространства, содержащего X
в качестве замкнутого подпространства. Для того чтобы
метризуемое пространство X было абсолютным Р.,
необходимо, чтобы оно было Р. нек-рого выпуклого
подпространства линейного нормированного
пространства, и достаточно, чтобы X было Р. выпуклого
подпространства локально выпуклого линейного пространства.
Таким образом, все выпуклые подпространства
локально выпуклых линейных пространств являются
абсолютными Р.; в частности, таковы точка, отрезок, шар,
прямая и т. д. Из приведенной характеристики
вытекают следующие свойства абсолютных Р. Всякий Р.
абсолютного Р. снова есть абсолютный Р. Каждый
абсолютный Р. стягиваем по себе и локально стягиваем.
Все гомологические, когомологические, гомотопические
и когомотопич. группы абсолютного Р. тривиальны.
Метризуемое пространство У является абсолютным Р.
в том и только в том случае, если, каковы бы ни были
метризуемое пространство X, его замкнутое
подпространство А и непрерывное отображение пространства А
в У, его можно продолжить до непрерывного
отображения всего пространства X в У. Абсолютные окрестност-
ные Р. характеризуются как Р. открытых подмножеств
выпуклых подпространств линейных нормированных
пространств. К их числу относятся все компактные
полиэдры. Существенным их свойством является
локальная стягиваемость.
Если ретракция пространства X на его
подпространство А гомотопна тождественному отображению
пространства X на себя, то А наз. деформационным
Р. пространства X. Деформационный Р. пространства
гомотопически эквивалентен этому пространству, т. е.
имеет с ним один и тот же гомотопич. тип. Обратно, два
гомотопически эквивалентных пространства всегда
можно вложить в нек-рое третье пространство таким
образом, что оба они будут его деформационными Р.
Лит.: [1] Бор сук К., Теория ретрактов, пер. с англ.,
М., 1971. А. В. Архангельский.
РЕТРАКЦИЯ — непрерывное отображение f
топологич. пространства X на его подпространство Л,
тождественное на Л, то есть такое, что f(x) = x при всех
Χ ξ А . М. И. Войцеховский.
РЕФАЛ, алгоритмический язык
рекурсивных функций,— алгоритмический язык,

977 рефл
ориентированный на задачи преобразования символьной
информации; в первоначальном варианте назывался
«метаалгоритмическим языком» (см. [1]). Р. был создан
как универсальный метаязык для описания
преобразований языковых объектов. Он используется для
трансляции с одного алгоритмич. языка на другой, для
машинного выполнения аналитич. выкладок,
доказательства теорем, перевода с естественных языков и т. п.
Запись алгоритма на Р. представляет описание не-
к-рого числа рекурсивных функций на множестве в ы-
ражений (т.е. последовательностей символов и
скобок), правильно построенных (в обычном смысле)
относительно скобок. Значение функции φ при
аргументе $ изображается на Р. в виде Κφ<^~, где К —
знак конкретизации, служащий для явного
указания на необходимость вычисления значения
функции, а символ ~ означает закрывающую скобку для К.
Описание функции распадается на несколько
предложений (правил конкретизации),
относящихся к случаям, когда аргумент имеет тот или иной
частный вид. Напр., функция сложения в рекурсивной
арифметике описывается на Р. двумя предложениями:
1) К+(ЕА)(0)^>ЕА,
2) K+(EA)(EBi)^K+(EA) {ЕВ)^А.
Предложение состоит из левой и правой частей,
разделяемых знаком ΞΞ>, и может включать свободные
переменные (в примере это — В А и ЕВ). Оно считается
применимым для конкретизации выражения вида .Κφ^-ΐ-,
если это последнее может быть отождествлено с левой
частью предложения при нек-рых значениях входящих
в нее свободных переменных. Применение предложения
состоит в замене конкретизируемого выражения на
правую часть предложения, в к-рой свободные
переменные замещены их значениями. Для вычисления
значения функции предложения рассматриваются
последовательно, и применяется первве из них, оказавшееся
подходящим. Этот процесс повторяется, пока в объект
работы входят знаки К.
Для реализации программ на Р. разработаны
эффективные трансляторы (см. [3], [4]; пример использования
Р. для машинного выполнения выкладок в теоретич.
физике см. в [5]).
Лит.: [1] Τ у ρ ч и н В. Ф., «Кибернетика», 1968, № 4, с.
45—54; [2] Тур чин В. Ф., Сер до бол ьский В. И.,
«Кибернетика», 1969, № з, с. 58—62; [3] Φ л о ρ е н ц е в С. Н.,
Олюнин В. Ю., Турчин В. Ф., «Тр. 1 Всесоюзн.
конференции по программированию», К., 1968, с. 114—33; [4] Ро-
маненкоО. Α., Турчин В. Ф., «Тр. 2-й Всесоюзн. кон-
?еренции по программированию», Новосиб., 1970, с. 31—42;
5] Б у д н и к А. П. [ид р.], «Ядерная физика», 1971, т. 14,
с. 304—13. В. Ф. Турчин.
РЕФЛЕКСИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — банахово
пространство X, совпадающее при каноническом вложении
со своим вторым сопряженным X**. Подробнее, пусть
X* — пространство, сопряженное с X, то есть
совокупность всех непрерывных линейных функционалов,
определенных на X. Если <я, /> — значение функционала
/£Х* на элементе χζΧ, то при фиксированном χ и /,
пробегающем X*, выражение <я, />=cF*(/) будет
линейным функционалом на X*, то есть элементом
пространства X**. Пусть ХаХ** — множество таких
функционалов. Соответствие х-^^х есть изоморфизм, не
меняющий нормы ||3||=||<fFxll· Если Х = Х**, то
пространство X наз. рефлексивным. Пространства
1р и Lp(a, 6), р>1, рефлексивны, пространство С [а, Ь]
не рефлексивно.
Пространство X рефлексивно тогда и только тогда,
когда X* рефлексивно. Другим критерием
рефлексивности банахова пространства X является слабая
компактность единичного шара этого пространства.
Р. п. слабо полно, и замкнутое подпространство Р. п.
рефлексивно.
стор 978
Понятие рефлексивности естественным образом
распространяется на локально выпуклые пространства.
Лит.: [1] ДанфордН., Шварц Дш., Линейные
операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1962; L2] И о-
сида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
[3] Канторович Л. В., Акилов Г. П.,
Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. В. И. Соболев.
РЕФЛЕКСИВНОСТЬ — одно из свойств бинарных
отношений. Отношение R на множестве А наз.
рефлексивным, если aRa для любого αζΑ.
Примерами рефлексивных отношений являются равенство,
эквивалентность, ПОряДОК. Т. С. Фофанова.
РЕФЛЕКТИВНАЯ ПОДКАТЕГОРИЯ —
подкатегория, содержащая «наибольшую» модель любого объекта
категории. Точнее, полная подкатегория © категории
$ наз. рефлективной, если © содержит
©-рефлектор (см. Рефлектор) для любого объекта категории.
Полная подкатегория © категории Я рефлективна
тогда и только тогда, когда функтор вложения Ide, $ : ©->Я
обладает сопряженным слева функтором S : Я ->· ©.
Функтор S сопоставляет каждому объекту А из
Я его ©-рефлектор S(А)\ морфизмы яд : А —►· S(А),
входящие в определение ©-рефлектора, определяют
естественное преобразование тождественного функтора
Idtf в композицию функторов Sid®, β. Двойственным
к понятию Р. п. является понятие корефлектив-
ной подкатегории.
Р. п. © наследует многие свойства объемлющей
категории Я. Напр., морфизм μ ζ Мог© тогда и только
тогда является мономорфизмом в©, когда он
мономорфизм в $. Поэтому всякая Р. п. локально малой слева
категории локально мала слева. Р. п. обладает
произведениями тех семейств объектов, для к-рых
произведение существует в самой категории, при этом оба
произведения оказываются изоморфными. То же самое
справедливо и для любых пределов. С другой стороны,
функтор S переводит копределы из Я в копределы в ©.
Поэтому Р. п. полной (слева) категории является
полной (слева) категорией.
Пусть St — полная локально малая категория.
Всякая полная подкатегория © категории Я, замкнутая
относительно произведений и подобъектов своих объектов
и содержащая правый нуль, является Р. п. В частности,
всякое многообразие категории .ff есть Р. п.
©-рефлектор произвольного объекта А строится
следующим образом. Выбираются представители (ν,·, Л/),
ΐζ/, таких факторобъектов объекта А, что А^ОЪ ©.
Произведение
принадлежит ©, и ©-рефлектор S(А) является
образом однозначно определенного морфизма γ : А -> Р,
для к-рого γπ,-^ν,·, i£I.
Примеры. 1) Пусть R — область целостности.
Полная подкатегория инъективных модулей без
кручения является Р. п. категории R-модулей без кручения:
рефлекторами являются инъективные оболочки
модулей. В частности, подкатегория полных абелевых групп
без кручения есть Р. п. категории абелевых групп без
кручения.
2) Полная подкатегория нормальных топологич.
пространств есть Р. п. категории вполне регулярных
топологич. пространств: рефлекторы строятся с
помощью компактификации Чеха.
3) Полная подкатегория пучков есть Р. п. категории
предпучков: рефлекторы определяются функтором
ассоциированного пучка. М. Ш. Цаленко.
РЕФЛЕКТОР объекта категории —
понятие, описывающее «наибольшую» модель данного
объекта в нек-ром классе объектов. А именно, пусть © —
подкатегория категории Я; объект В ζ© наз.
рефлектором объекта Л £ Я в©, или © - ρ е ф-

979 РЕШАЮЩА
лектором, если существует такой морфизм π : А ->·
-+В, что для любого объекта X из (5 отображение
Их(я): Я,(В, X) —Я^(Л, X)
биективно. Другими словами, для любого морфизма
α : А —>- X существует такой единственный морфизм
α' : Β-^ΧζΟ,, что а=πα'. (5-рефлектор объекта Л
определен неоднозначно, но любые два (S-рефлектора
объекта А изоморфны, (^рефлектор левого нуля
(инициального объекта) категории Я является левым нулем в β.
Примеры. В категории групп факторгруппа GlG'
произвольной группы G по коммутанту является Р.
группы G в подкатегории абелевых групп, Для абеле-
вой группы А ее факторгруппа А/Т(А) по периодич.
подгруппе Τ (А) является Р. группы А в полной
подкатегории абелевых групп без кручения. Пополнение
(инъективная оболочка) Л группы А/Т(А) является Р.
групп А и A IT (А) в подкатегории полных абелевых
групп без кручения.
Обычно Р. рассматриваются в полных подкатегориях.
Полная подкатегория (5 категории $, в к-рой
существуют Р. для любых объектов из к, наз,
рефлективной, м. Ш. Цаленко.
РЕШАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ, решающая п ρ о-
цедура, статистическое решающее
и ρ а в и л о,— правило, согласно к-рому на основании
полученных наблюдений делают статистич. выводы
(принимают решения).
Пусть X — случайная величина, принимающая
значения в выборочном пространстве (ЭЁ, Щ, Ρθ), θζθ, и
пусть D~ {d} — множество всех возможных решений d,
к-рые можно вынести относительно параметра θ по
реализации случайной величины X. Согласно
терминологии, принятой в математич. статистике и теории игр,
любое ©-измеримое отображение δ : $ -*- D
пространства реализаций ЗЁ случайной величины X в множество
возможных решений D наз. Р. ф. Напр., в задаче
статистич. оценивания параметра θ любая точечная оценка
θ=θ(Χ) является Р. ф. Основной задачей статистики
при получении статистич. выводов является выбор
такой Р. φ. δ(·), к-рая минимизирует риск
Я(в, δ) = £θ[ΜΘ, δ (Χ))]
относительно используемой функции потерь £(·, ·).
Понятие Р. ф. является основным в теории
статистических Р. ф., созданной А. Вальдом (A. Wald).
Лит.: ШЧенцовН.Н., Статистические решающие
правила и оптимальные выводы, М., 1972; [2] В а л ь д Α.,
Статистические решающие функции, в сб.: Позиционные игры, М., 1967,
с. 300—522. М. С. Никулин.
РЕШЕНИЕ в теории игр — исход (или
множество исходов), удовлетворяющий принятому в данной
модели принципу оптимальности. Выделяют следующие
основные типы Р.: 1) решение по Нашу (см.
Бескоалиционная игра), в частности седловая точка
функции выигрыша в антагонистич. играх; 2)
решение по Нейману — Моргенштерну
(Н — М-решение) — множество дележей, никакие
два из к-рых не доминируют друг друга, причем для
каждого дележа, не принадлежащего этому множеству,
найдется доминирующий его дележ из этого множества
(см. Доминирование); 3) решение Нэша в
арбитражных схемах.
Лит.: [1]НейманДж.,МоргенштернО., Теория
игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; [2] О у-
э н Г., Теория игр, пер. с англ , Μ., 1Θ71. А. Н. Ляпунов.
РЕШЕТА МЕТОД — один из общих методов теории
чисел, обобщающий принцип высеивания составных
чисел из натурального ряда (см. Эратосфена решето).
Проблема Р. м. состоит в оценке для конечного
множества А целых чисел количества тех элементов, к-рые
не делятся ни на какое простое число ρ из нек-рого мно-
функция 980
жества Ρ простых чисел. Оценивается «просеивающая»
функция S(A; Ρ, ζ), обозначающая количество
указанных элементов из А при дополнительном условии: ρ <ζ.
Для получения оценок просеивающей функции часто
используется информация о числе N(Aq) элементов
множества Aq, состоящего из элементов А, к-рые
делятся на свободное от квадратов число q. При q=l
множество Aq—A. Поэтому обычно оценивается более общая
просеивающая функция S (Aq; Ρ, ζ).
При выборе ожидаемого значения для N (Aq) в форме
(iu(q)lq)X, где X —ожидаемое значение для N (А) и
ω (q) — мультипликативная функция, руководствуются
тем, чтобы погрешность
R(X, q) = N(Aq)-(<o(q)/q)X
была относительно мала. Если при этом ω (р)—к (по
крайней мере, «в среднем»), то к наз. размерностью
решета.
Общая теория Р. м. с ее приложениями продвинулась
наиболее далеко в случае линейного решета (при к—1).
Существуют различные специализации Р. м,, наиболее
важные из к-рых принадлежат В. Бруну (V. Brim; см.
Бруна решето) и А. Сельбергу (A, Selberg; см. Селъ-
берга решето).
В приложениях Р. м. к аддитивным задачам (см.
Аддитивная теория чисел), кроме оценок просеивающей
функции сверху, необходимы оценки этой функции
снизу. Получение оценок снизу может быть основано
на логическом комбинаторном тождестве
S(Aq; Ρ, *) = ЛГ(4,)-2„<г. piPS(Aqp; Ρ, ρ).
Наиболее точные оценки снизу получаются с
добавлением комбинаторных соображений, связанных с
использованием весовых функций. Сильный результат
в приложениях Р. м. с весовыми функциями состоит в
том, что каждое достаточно большое четное число N
представимо в виде Ν=ρ-\-Ρ2, где ρ — простое число,
Ρ2 содержит не более двух простых множителей.
Лит.: [1] Прах ар К., Распределение простых чисел,
пер. с нем., М., 1967; [2] Г е л ь φ о н д А. О., Л и н н и к Ю. В.,
Элементарные методы в аналитической теории чисел, М., 1962;
[3] Halberstam Η., Richert H., Sieve methods,
L.— [a. o.], 1974. Б. М. Бредихин.
РЕШЕТКА в группе Ли — дискретная
подгруппа Г группы Ли G такая, что G/T имеет конечный
объем относительно ^-инвариантной меры.
Р. размерности (или ранга) η в
векторном пространстве V над R или С — свободная абелева
подгруппа в V, порожденная η векторами, линейно
независимыми над полем IR. Подгруппа аддитивной
группы конечномерного векторного пространства V над R
дискретна тогда и только тогда, когда она является
решеткой [1].
Лит.: [1] Μ ο ρ ρ и с С, Двойственность Понтрягина и
строение локально-компактных абелевых групп, пер. с англ., М.,
1980. А. Л. Опищик.
РЕШЕТКА, структура,— частично
упорядоченное множество, в к-ром каждое двухэлементное
подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную
нижнюю грани. Отсюда вытекает существование этих
граней для всякого непустого конечного подмножества.
Примеры. 1) Линейно упорядоченное множество
Μ (или цепь), где для а, Ь ζ Μ, если а<Ь, то
sup {a, b} = b, inf {a, b} = a.
2) Подпространства векторного пространства,
упорядоченные по включению, где
sup {А, В} = {х | х = а-\-Ъ, а£А, Ъ£В),
inf {А, В} = А[)А.
3) Подмножества данного множества, упорядоченные
по включению, где
sup {Л, B} = A\JB,
inf {Л, В} = А[\В.

981 рещ]
4) Неотрицательные целые числа, упорядоченные по ,
делимости: а<.Ь, если Ь=ас для нек-рого с, где sup {а,
Ъ) — наименьшее общее кратное а и Ь, a inf {а, Ъ) —
наибольший общий делитель а и Ъ.
5) Действительные функции, определенные на
отрезке [0, 1] и упорядоченные условием: /<g, если
(*) <8(t) для всех ί ζ[0, 1],где
sup{/, £} = и,
причем
M(f) = max{/(f), #(*)},
а
inf {/,£} = ν,
причем
i>(f) = min{/(i), *(0Ь
Пусть Μ — решетка. Μ становится универсальной
алгеброй с двумя бинарными операциями, если
определить
a-\-b = suip{a, b},
a-b=zini {α, 6}
(вместо + и · часто употребляются символы (J и Π или
V и л). Эта универсальная алгебра удовлетворяет
следующим тождественным соотношениям:
(1) а-\-а — а\ (1') а-а —а;
(2) а + Ь = Ь-|-а; (2') а-Ъ = Ь-а\
(3) (α-f &)+с = а+(й+с); (3') (а.&).с = а.(Ь.с);
(4) а(а + Ь) = а; (4') α + «·δ = α.
Наоборот, если Μ — множество с двумя бинарными
операциями, обладающими перечисленными выше
свойствами (1)—(4), (1')—(4'), то на Μ можно задать
порядок <, полагая а<Ь, если а-\~Ъ=Ъ (при этом окажется,
что а<.Ь тогда и только тогда, когда а*Ь=а).
Возникающее частично упорядоченное множество будет Р.,
причем
sup {а, Ъ} — а-\-Ъ, a inf {α, b} = a-b.
Таким образом, Р. можно определить как
универсальную алгебру, описываемую тождествами (1)—(4), (1') —
(4'), то есть Р. образует универсальных алгебр
многообразие.
Если частично упорядоченное множество
рассматривать как малую категорию, то оно оказывается Р. в том
и только в том случае, когда для любых двух объектов
этой категории существует их произведение и копроиз-
ведение.
Если Ρ и Р' — решетки и / — изоморфизм этих
частично упорядоченных множеств, то / является также
изоморфизмом соответствующих универсальных
алгебр, т. е,
f(x+y) = f(x)+f(y) и f(xy)=f(x)-f(y)
для любых х, у£Р. Однако произвольное изотопное
отображение решетки Ρ в решетку Р' не обязано быть
гомоморфизмом этих Р., рассматриваемых как
универсальные алгебры. Так, для любого αζΡ отображения
f(x)—x+a и g(x) — x-a — изотонные отображения
решетки Ρ в себя, являющиеся гомоморфизмами лишь в
том и только в том случае, когда Ρ — дистрибутивная
решетка. Впрочем, первое из этих отображений
является гомоморфизмом полурешетки Ρ с операцией +> а
второе—гомоморфизмом полурешетки Ρ с операцией·.
Совокупность всех Р. образует категорию, если морфиз-
мами считать гомоморфизмы.
Антигомоморфизм решетки Ρ в
решетку Р' есть такое отображение f : Ρ -** Ρ', что
f(x+y) = f(x)-f(y) и f(x.y) = f(x) + f(y)
для любых х, у£Р. Последовательное выполнение двух
антигомоморфизмов является гомоморфизмом. Частично
упорядоченное множество, антиизоморфное Р., есть Р. |
[ЕТКА 982
I Под координатизацией Р. понимают
нахождение алгебраической системы (чаще, универсальной
алгебры) такой, что данная Р. изоморфна Р. подсистем,
Р. конгруэнции или какой-либо другой Р., связанной с
этой алгебраич. системой или универсальной алгеброй.
Произвольная Р. с 0 и 1 координатизируется частично
упорядоченной полугруппой ее резидуальных
отображений в себя, оказываясь изоморфной Р. правых анну-
ляторов этой полугруппы. Сама полугруппа является
б э ρ о в с к о й, т. е. как правый, так и левый ан-
нулятор каждого из ее элементов порождается идем-
потентом.
Наиболее важные результаты получены для Р.,
подчиненных тем или иным дополнительным ограничениям
(см. Алгебраическая решетка, Атомная решетка, Брау-
эра решетка, Векторная решетка, Дедекиндова
решетка, Дистрибутивная решетка, Мультипликативная
решетка, Ортамодулярная решетка, Полная решетка,
Свободная решетка, Решетка с дополнениями, Булева
алгебра). По отдельным вопросам теории Р, см. Идеал,
Фильтр, Пополнение сечениями. Особую роль играют
алгебраич. образования, являющиеся в то же время Р.
(см. Структурно упорядоченная группа). Наибольшее
число приложений теории Р, связано с булевыми
алгебрами. Другие классы Р. использовались в квантовой
механике и физике.
Появление понятия «Р.» относится к сер. 19 в. и
связано с тем, что многие факты, касающиеся множества
идеалов кольца и множества нормальных подгрупп
группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в
рамках теории дедекиндовых Р. Как самостоятельное
направление алгебры теория Р, сформировалась в
30-х гг. 20 в.
Лит.: [1] Б и ρ к г о φ Г., Теория решеток, пер. с англ.,
М., 1983; [2] Гретцер Г., Общая теория решеток, пер. с
англ., М., 1982; [3] С а л и й В. Н., Лекции по теории решеток,
Саратов, 1970; [4] Скорняков Л. Α., Дедекиндовы
структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961: L5] его
ж е, Элементы теории структур, 2 изд., М-, 1982; [6] Итоги
науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 237—74, [7] Итоги науки.
Алгебра, топология, геометрия. 1968, М., 1970, с. 101—54; [8]
Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1975; [9]
BlythT., Janowitz M., Residuation theory, N. Υ., 1972.
Л. А. Скорняков.
РЕШЕТКА ПОДАЛГЕБР универсальной
алгебры А — частично упорядоченное
(отношением теоретико-множественного включения) множество
Sub А всех подалгебр алгебры А. Для произвольных
Χ, Υ ζ Sub А их супремумом будет подалгебра,
порожденная X и Y, а их инфинумом — пересечение Xfl^·
Пересечение подалгебр может быть пустым, поэтому
для нек-рых типов алгебр (напр., для полугрупп и
решеток) к числу подалгебр относят и пустое множество.
Для любой алгебры А Р. п. Sub А является
алгебраической и обратно, для любой алгебраической решетки L
существует алгебра А такая, что L^Sub А (теорема
Биркгофа — Фринка). Любая решетка вло-
жима в решетку Sub А для нек-рой группы А.
Р. п. Sub A — одна из основных производных
структур, сопоставляемых алгебре А (наряду с такими
структурами, как группа автоморфизмов, полугруппа
эндоморфизмов, решетка конгруэнции и т. п.).
Проблематика, посвященная изучению связей между алгебрами
и их Р. п. делится на такие аспекты: решеточные
изоморфизмы, решеточные характеристики тех или иных
классов алгебр, исследование алгебр с различными
ограничениями на Р. п. Алгебры А и В наз. решеточно
изоморфными, если Sub 4^Sub В; всякий
изоморфизм Sub А на Sub В наз. решеточным
изоморфизмом (или проектированием)
А на В. Изоморфные алгебры решеточно изоморфны,
обратное же далеко не обязательно. Говорят, что
алгебра А решеточно определяется (в
данном классе &£), если для любой однотипной с ней алгеб-
| ры В (из <*#*) из Sub #2sSub А следует В^А. В некото-

983
рых случаях (напр., для полугрупп) понятие
решеточной определяемости расширяют добавлением в
заключение импликации условия «или В антиизоморфна Л»,
так как антиизоморфные полугруппы также решеточно
изоморфны. Классический пример решеточной
определяемости доставляет первая основная теорема
проективной геометрии (см. [1]), где в качестве А
рассматриваются векторные пространства над телами. Решеточно
определяющимися являются также всякая абелева
группа, содержащая два независимых элемента
бесконечного порядка, всякая свободная группа (свободная
полугруппа) и группа (полугруппа), нетривиально
разложимая в свободное произведение, всякая нильпотентная
группа без кручения, всякая коммутативная
полугруппа с законом сокращения и без идемпотентов, всякая
свободная полугруппа идемпотентов, свободная
полурешетка более чем с двумя свободными образующими.
При этом нередко оказывается, что каждое
проектирование алгебры индуцируется ее изоморфизмом (или
антиизоморфизмом). Класс однотипных алгебр $ может
содержать решеточно не определяющиеся алгебры, но
обладать тем свойством, что из А^&С и Sub 5^Sub A
вытекает, что Z?ga%T; в этом случае говорят, что гТ
решеточно определяется (или
решеточно замкнут); если при этом алгебры В берутся
только из класса ©#, то к соответствующему термину
добавляют «в классе ©#». Среди решеточно замкнутых
классов — класс всех разрешимых групп.
Многие ограничения, накладываемые на изучаемые
алгебры, формулируются в терминах Р. п.;
классический пример — условия минимальности и
максимальности для подалгебр. Sub Л удовлетворяет условию
максимальности тогда и только тогда, когда все подалгебры
в А конечно порожденные (см. также Группа с условием
конечности, Полугруппа с условием конечности). В
качестве других накладываемых на Р. п. ограничений
рассматриваются такие теоретико-решеточные свойства
как дистрибутивность, модулярность, различные виды
полумодулярности, условие Жордана — Дедекинда,
дополняемость, относительная дополняемость и т. д.
Напр., для группы Л Р. п. дистрибутивна тогда и только
тогда, когда А локально циклическая (теорема
Оре); условия дистрибутивности изучены и в случае
полугрупп, ассоциативных колец, модулей, алгебр Ли
и др.
Наряду с изоморфизмами Р. п. рассматриваются д у а-
л и з м ы (т. е. антиизоморфизмы), гомоморфизмы. В
случае, когда А — топологическая алгебра, наиболее
естественно сопоставлять ей решетку всех замкнутых
подалгебр; соответствующая проблематика также
активно разрабатывается.
Лит.: [1] Б э ρ Ρ , Линейная алгебра и проективная
геометрия, пер. с англ., Μ , 1955; [2] С у д з у к и Μ., Строение
группы и строение структуры ее подгрупп, пер. с англ., М., 1960;
[3] Скорняков Л. Α., Дедекиндовы структуры с
дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [4] К о н П.,
Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] Садовский Л. Е.,
«Успехи матем. наук», 1968, т. 23, в. 3, с. 123—57; [6] Арши-
н о в М. Н., С а д о в с к и й Л. Е., там же, 1972, т. 27, в. 6,
с. 139—80; [7] Ш е в ρ и н Л. Н., «Сибирск. матем. ж.», 1962,
т. 3, № 3, с. 446—470; [8] Итоги науки Алгебра. 1964, М.,
1966, с. 237—74; [9] Итоги науки Алгебра Топология.
Геометрия. 1968, М., 1970,с. 101—54; [10] Упорядоченные множества
и решетки, в. 3, Саратов, 1975, с. 50—74. Л.Н.Шеврин.
РЕШЕТКА С ДОПОЛНЕНИЯМИ — решетка L
с нулем 0 и единицей 1, в к-рой для любого элемента а
существует такой элемент Ъ (наз. дополнением
элемента а), что а\/ Ь=1 и алЬ=0. Произвольную
решетку можно вложить в решетку, каждый элемент
к-рой обладает единственным дополнением. Если для
любых a, b£L интервал [а, Ъ] является Р. с д., то L наз.
решеткой с относительными
дополнениями. Каждая модулярная Р. с д. является
решеткой с относительными дополнениями. Решетка L
[Олнениями 984
с нулем 0 называется: а) решеткой с
частичными дополнениями, если каждый ее
интервал вида [0, о], a£L, является Р. с д.; б) решеткой
со слабыми дополнениями, если для
любых а, b£L существует такой элемент с ζ L, что α Λ с=0
и ЬЛс^О; в) решеткой с
полудополнениями, если для любого a£L, аф\, существует такой
элемент b£L, b^0, что алЬ=0; г) решеткой с
псевдодополнениями, если для любого
a£L существует такой элемент а*, что аЛх.= 0 тогда и
только тогда, когда я<а*; д) решеткой с
квазидополнениями, если для любого x£L
существует такой элемент y£L, уфх, что xVy является
плотным элементом. Большую роль играют также
решетки с ортодополнениями (см. О ρ то модулярная
решетка). О связи между различными типами дополнений в
решетках см. [4].
Лит.: [1] Б и ρ к г о φ Г., Теория структур, пер. с англ.,
М., 1952; [2] С к о ρ н я к о в Л. Α., Элементы теории структур,
2 изд., М., 1982; [3] е г о же, Дедекиндовы структуры с
дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [4] G г i 1 1 е t Р. Α.,
Varlet J. С, «Bull. Soc. roy. Sci. Liege», 1967, t. 36,
№ 11 — 12, p. 628—42. Т. С. Фофанова.
РЕШЕТОЧНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА - то
же, что структурно упорядоченная группа.
РЕШЕТЧАТОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — дискретное
вероятностное распределение, сосредоточенное на
множестве точек вида a\-nh, где Д>0, а — действительное
число, л=0, ±1, ±2, ... . Число h наз. шагом Р. р.,
и если ни при каких ах и ht>h распределение не
сосредоточено на множестве вида a-^+nh^ п=0, ±1, ±2, ... ,
то шаг h наз. максимальным. Частным случаем
Р. р. является арифметич. распределение.
Для того чтобы вероятностное распределение с харак-
теристич. функцией /(t) было решетчатым,
необходимо и достаточно, чтобы существовало
действительное число t0^0 такое, что \f(t0)\ = l; причем h
является максимальным шагом тогда и только тогда,
когда |/(*)|<1 при 0<t<2n/h и |/(2π/Λ)| = 1. Характери-
стич. функция Р. р. является периодич. функцией.
Формула обращения для Р. р. имеет вид
η —— f e~U (a + nhU (t\dt
ρη~2π )\t\<n/he T{i)at,
где ρn — вероятность, к-рую Р. р. приписывают точке
a-\-nh, f(t) — соответствующая характеристич.
функция. Справедливо также равенство
Свертка двух Р. р. с шагами пг и h2 является Р. р.
тогда и только тогда, когда h1/h2 — рациональное число.
При исследовании предельного поведения сумм
независимых случайных величин, имеющих Р. р., основной
результат центральной предельной теоремы о
сходимости к нормальному распределению существенно
дополняется локальными теоремами для Р. р. Простейшим
примером локальной теоремы для P.p. является
Лапласа теорема. Ее обобщением служит следующее
утверждение: пусть Хг, Х2, ...— последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин
с ЕХ1=т, DX1=o2 и Sk=X1-\-...-}-Xk и Хг принимает
значения вида a-\-nh, Д>0; тогда если
Pk(n) = P{Sfc = ka + nh},
для выполнения при к ->- оо предельного соотношения
IaVlT ι { 1 fha + nh-km \Ъ\ I
V-^W-Ks^l-TC-TTjf-) }|-о
равномерно относительно п, необходимо и достаточно,
чтобы шаг h был максимальным.
Лит.: [1] Г н е д е н к о Б. В., Курс теории вероятностей,
5 изд., М., 1969; [2] Петро в В. В., Суммы независимых
случайных величин, М., 1972; [3] Прохоров Ю. В., Роза-
н о в Ю. Α., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.
Н. Г. Ушаков.
РЕШЕТКА С ДО

985
РИККАТИ УРАВНЕНИЕ
986
РИБОКУРА КОНГРУЭНЦИЯ — конгруэнция
прямых, развертывающиеся поверхности к-рой секут ее
среднюю поверхность по сопряженной сети линий.
Пусть S — средняя поверхность Р. к. Тогда
существует семейство поверхностей, к-рые соответствуют
поверхности S ортогональностью линейных элементов и в
каждой паре соответствующих точек имеют нормаль,
параллельную лучу конгруэнции. Наоборот, если
задана пара поверхностей S и S, соответствующих
ортогональностью линейных элементов, то конгруэнция,
образованная лучами, проходящими через точки
поверхности S и коллинеарными нормалям поверхности S в
соответствующих точках, является Р.к. со средней
поверхностью S. Поверхность S наз. образующей
поверхностью Р. к. Линии кривизны
образующей поверхности S соответствуют тем линейчатым
поверхностям конгруэнции, линии сжатия к-рых
пересекают луч в центре. Развертывающиеся· поверхности
Р. к. соответствуют асимптотич. линиям образующей
поверхности S. У нормальной Р. к. образующая
поверхность минимальная. Такая конгруэнция образована
нормалями поверхности с изотермическим сферич.
изображением линий кривизны.
Конгруэнция впервые рассмотрена А. Рибокуром
(A. Ribaucour, 1881).
Лит.: [1] Фиников СП., Проективно-дифференциаль-
ная геометрия, М.— Л., 1937; [2] е г о же, Теория
конгруэнции, М.— Л., 1950. В. С. Малаховский.
РИБОКУРА КРИВАЯ — пло
екая кривая, радиус кривизны
R к-рой в произвольной точке
Μ пропорционален длине
отрезка нормали MP (см. рис.).
Уравнение Р. к. в декартовых
прямоугольных
координатах:
dy
/(τ
где η
параметрич
¥£- . Если n=i/h (h — любое целое число), то
уравнения Р. к.:
x = (m+i)C V sinm + 1tdt, y = Csmm + 1t,
где т=—(п-\-1)п. При т=0 Р. к. есть окружность, при
т=1 — циклоида, при т=—2 — цепная линия, при
т=—3 — парабола.
Длина дуги Р. к.:
1--
= (771-4-1) С f sinm tdt\
радиус кривизны:
R = — (τη+ 1) С sinm t.
Эту кривую исследовал А. Рибокур (A. Ribaucour,
1880).
Лит.: [1] Савелов Α. Α., Плоские кривые, М., 1960;
[2] Ρ а ш е в с к и й П. К., Курс дифференциальной геометрии,
4 изд., М., 1956. Д- Д- Соколов.
РИККАРТОВО КОЛЬЦО левое, левое РР-к о л ь-
ц о,— кольцо, в к-ром левый аннулятор любого
элемента порождается идемпотентом (симметричным
образом определяются правые Р. к.). Р. к.
характеризуются проективностью всех главных левых (правых)
идеалов. Риккартовыми являются регулярные, бэров-
ские и полунаследственные кольца. Левое Р. к. не
обязано быть правым Р. к. Может не быть риккартовым
и кольцо матриц над Р. к. Кольца эндоморфизмов всех
свободных левых R-модулей суть Р. к. тогда и только
тогда, когда R наследственно слева. Все эти кольца
будут правыми Р. к. в том и только в том случае, когда
R наследственно слева, совершенно слева и когерентно
справа. Сами же кольца эндоморфизмов при этих
условиях оказываются бэровскими (см. Регулярное кольцо).
Коммутативное кольцо R является Р. к. тогда и только
тогда, когда его полное кольцо частных регулярно в
смысле Неймана и для всякого максимального идеала
Ш кольца R кольцо частных Rm не имеет делителей
нуля. Кольцо многочленов над коммутативным Р. к.
является Р. к.
Кольцо с инволюцией * наз. риккартовым
* - к о л ь ц о м, если левый аннулятор любого
элемента порождается проекцией, т. е. таким элементом е,
что е=е2=е*. Аналогичное свойство для правых анну-
ляторов при этом выполняется автоматически.
Проекции риккартова *-кольца образуют решетку. Эта
решетка полна в том и только в том случае, когда
проекцией порождается аннулятор любого множества. Такие
кольца наз. бэровскими ^-кольцами.
Термин «Р. к.» введен в честь Ч. Риккарта,
рассмотревшего соответствующее свойство в кольцах
операторов (см. [1]).
Лит.: [1] Rickart С. Ε., «Ann. math.», 1946, v. 47, p.
528—50' [2] В е г b e r i a n S. К., В а е г *-rings, В— [а. о.],
1972; [3] К a p 1 a n s k у I., Rings of operators, N. Y.— Amst,
1968; [4] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология.
Геометрия, т. 15, М., 1981, с. 31 —134. Л. А. Скорняков.
РИККАТИ УРАВНЕНИЕ — обыкновенное
дифференциальное уравнение 1-го порядка вида
z' + az2
(1)
где а, Ь, а — постоянные. Впервые это уравнение
исследовал Я. Риккати (1723, см. [1]); отдельные частные
случаи рассматривались раньше. Д. Бернулли (D.
Bernoulli, 1724—25) установил, что уравнение (1)
интегрируется в элементарных функциях, если а=—2 или а=
= — 4/с(2/с — 1), где к — целое число. Ж. Лиувилль
(J. Liouville, 1841) доказал, что при других значениях а
решение уравнения (1) нельзя выразить в квадратурах
от элементарных функций. Общее решение уравнения
(1) может быть записано с помощью цилиндрических
функций (см. [1]).
Дифференциальное уравнение
z' = 2a (t) z + b (t)—c (t) ζ2, (2)
где α(ί), b(t), c(t) — непрерывные функции, наз. о б-
щим уравнением Риккати (в отличие от
него уравнение (1) наз. специальным
уравнением Риккати). При c(t)^Q общее Р. у. является
линейным дифференциальным уравнением, при Ь(£)—
=0 — Бернулли уравнением; решения этих двух
уравнений находятся в квадратурах. Изучены также другие
случаи интегрируемости общего Р. у. (см. [2]).
Уравнение (2) тесно связано с системой
дифференциальных уравнений:
х' = а (t)x+b {t)y,
y'=c(t)x—a(t)y.
Если (x(t), y(t)) — решение системы (3) при t£I=(t0, tt)
и у (t) не обращается в нуль на /, то z=rc(i)j/-1(i) есть
решение уравнения (2); если z(t) — решение уравнения
(2), a y(t) — решение уравнения
y' = [c(t)z(t)-a(t)]y,
то пара (x(t)=z(t)y(t), у (t)) является решением
системы (3). В частности, решения уравнения(2) при с(£)=1
связаны с решениями уравнения
y" = 2a(t)y' + b(t)y, fg/,
равенством z(t)=y,(t)y1(t), если y(t) не обращается
в нуль на /. В силу отмеченной связи, уравнение (2)
часто привлекается для исследования колеблемости,
неосцилляции, приводимости и многих других
вопросов качественного поведения линейных уравнений и
систем 2-го порядка (см. [3], [4]).
;·.}
(3)

987
РИМАНА ГЕОМЕТРИЯ
968
Уравнение
Z' = A(t)Z+B(t) — ZC(t)Z — ZD(t), (4)
где Z^Z(t) — неизвестная (тгХлг)-матрица-функция, а
матрицы-функции А, В, С, D имеют размеры пХп,
пХт, тХп, тХт соответственно, наз.
матричным уравнением Риккати. Решения Ζ(t)
матричного Р. у. (4) связаны с решениями (Χ (ί), Υ (t))
матричной линейной системы:
X' = A(t)X + B(t)Y, \
Y'=C(t)X + D(t)Y f K )
равенством X (t)=Z (t)Y (t),
Матричное Р. у. играет важную роль в теории
линейных гамильтоновых систем, вариационном исчислении,
задачах оптимального управления, фильтрации,
стабилизации управляемых линейных систем и др. (см. [6],
[7]). Напр., оптимальное управление и0 в задаче
минимизации функционала
хг(^) Фх (*!)|+ V1 [xr(t) Μ (t) x (t)+ur(t) N (t) и (0] dt
J *o
на решениях системы
x' = A(t)x-\-B (t) и, x(t0)=x0,
((ηΧ η)-матрицы Φ, Μ (t) симметричны и
неотрицательно определены, а (га X/я)-матрица N(t), положительно
определенная при £ζ[£0, Jj), дается равенством
Щ (t) = — Ν-1 (t) BT (t) Z {t) х,
где Z(t) — решение матричного Р. у.
Z'=—ZA (t)—AT(t) Z+ZB(t) N~l(t) BT(t) Z — M{t) (6)
с граничным условием Ζ(ί1)=Φ (cai. [5], [8]).
В задачах управления на бесконечном интервале
времени важными являются вопросы о существовании у
матричного Р. у. неотрицательно определенного
ограниченного на [£0, оо) решения, о существовании
периодического или почти периодического решения (в случае
периодических или почти периодических
коэффициентов уравнения) и о способах приближенного построения
таких решений.
В вариационных задачах с дискретным временем и
задачах дискретной оптимизации аналогом уравнения
(4) служит матричное рекуррентное
уравнение Риккати
Zk + i = Akzk + Bk—zkckzk~zkDk-
Уравнению (4) можно естественным образом
поставить в соответствие динамич. систему на многообразии
Грассмана Gm„ (см. [9]), что позволяет привлечь
к исследованию' уравнения (4) теорию динамич. систем.
Напр., если матрицы А, В, С, D в уравнении (4)
периодичны с периодом ω>0 и |Я1|<|Я2|<...<|Я„+т|, где
λ,- — мультипликаторы (см. Флоке — Ляпунова
теорема) системы (5), то соответствующая динамич. система
порождается диффеоморфизмом Морса — Смейла (см.
Морса — Смейла система), и потому она структурно
устойчива.
Лит.: [1] R i с с a t i J., Opere, Treviso, 1758 (2 Aufl.,
Lucca, 1761—65); [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным
дифференцальным уравнениям, пер с нем., 5 изд., М., 1976;
[3] Ε ρ у г и н Н. П., Книга для чтения по общему курсу
дифференциальных уравнений, 3 изд., Минск, 1979; [4] его же,
Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений, Минск, 1963; [5] R e i d W. Т., Riccati differential
equations, Ν. Υ.— L., 1972; [6] К а л м а ц Р., Ф а л б П., А р б и б М.,
Очерки по математической теории систем, пер с англ., М., 1971;
[7] Лионе Ж.-Л., Оптимальное управление системами,
описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с
франц., М., 1972; Г8] 3 а х а р - И τ к и н М. X., «Успехи матем.
наук», 1973, т. 28, в. 3, с. 83—120; [9] S с h n e i d e г С. R.,
«Math. Syst, Theory», 1973, v. 7, № 3, ρ 281—86. Ε. Л. Тонкое.
РИМАНА ГЕОМЕТРИЯ, эллиптическая
геометрия,— одна из неевклидовых геометрий,
т. е. геометрич. теория, основанная на аксиомах,
требования к-рых отличны от требований аксиом
евклидовой геометрии. В отличие от евклидовой геометрии в
Р. г. осуществляется одно из двух возможных
отрицаний аксиомы параллельности евклидовой геометрии:
в плоскости через точку, не инцидентную данной
прямой, не проходит ни одной прямой, не пересекающей
данную; другое отрицание евклидовой аксиомы
параллельности осуществляется в Лобачевского геометрии:
в плоскости через данную точку, не инцидентную данной
прямой, проходит по крайней мере две прямые, не
пересекающие данную.
Система аксиом трехмерной Р. г. может быть
построена по основе тех же понятий, что и Гильберта система
аксиом евклидовой геометрии, где в качестве основных
понятий полагаются «точка», «прямая», «плоскость».
«Прямая» и «плоскость» понимаются как нек-рые классы
«точек», а под «пространством» подразумевается
совокупность всех объектов: «точек», «прямых» и
«плоскостей».
Система аксиом состоит из четырех групп.
I группа — аксиомы
принадлежности — содержит все аксиомы, составляющие I группу
гильбертовой системы аксиом, и, кроме того,
дополняется еще одной аксиомой: каждым двум различным
прямым в плоскости принадлежит одна и только одна
общая им точка,
II группа — аксиомы порядка, или ρ а-
сположения точек на прямой. Аксиомы
этой группы описывают понятие «разделенность двух
пар точек прямой», с помощью к-рого определяется
порядок точек на прямой. П1. Каковы бы ни были три
различные точки А, В, С произвольной прямой,
существует на этой прямой такая точка D, что пара А, В
разделяет пару С, D (обозначается AB+-CD). Если АВ~~
+-CD, то все четыре точки А, В, С, D различны. П2.
Если AB--CD, то BA+-CD и CD+-AB. П3. Каковы
бы ни были четыре различные точки А, В, С, D прямой,
из них могут быть всегда и единственным образом
составлены две разделенные пары. П4. Пусть точки А,
В, С, D, Ε лежат на одной прямой, если CD^-AB и
СЕ+-АВ, то пара DE не разделяет пару АВ. П5. Если
пары CD и СЕ не разделяют пару А В, то и пара DE не
разделяет пару А В (см. П4). П6 Пусть четыре
различные прямые нек-рого пучка пересекаются двумя
различными прямыми соответственно в точках А, В, С, D
и Αι, Вх, Сх, Dx, тогда если AB+-CD, то и A1B1^-C1D1.
III группа — аксиомы
конгруэнтности — описывает отношение «конгруэнтность» отрезков,
углов и т. д Под отрезком подразумевается множество
точек прямой, определенное парой различных точек А,
В этой прямой следующим образом. Вследствие аксиом
II группы на прямой существует такая пара точек Μ, Ν,
что AB^-MN; множество точек X, к-рые удовлетворяют
соотношению АВ+-МХ, образуют класс внутренних
точек отрезка, определяемого точками А и В\
обозначается [АВ]м. Точки прямой, внешние относительно
[Л#]до, образуют взаимно
дополнительный отрезок [ΑΒ]χ, точки А и В наз. концами
отрезков [АВ]м и [ΑΒ]χ. В аксиомах, относящихся к
понятию отрезка, под отрезком подразумевается всегда
класс внутренних точек или всегда класс внешних
точек. IIT-l. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе.
1П2. Если первый отрезок конгруэнтен второму, то
второй отрезок конгруэнтен первому. Ш3. Если первый
отрезок конгруэнтен второму, а второй конгруэнтен
третьему, то и первый конгруэнтен третьему. Ш4.
Из конгруэнтности двух отрезков следует
конгруэнтность их взаимно дополнительных отрезков. II15.
Каждый отрезок не конгруэнтен своей части.
Полупрямыми наз. конгруэнтные взаимно дополнительные
отрезки одной прямой. Концы таких отрезков наз. про-

989 римана ]
тивоположными точками прямой. 1П0. Для каждой
точки прямой существует ей противоположная. Ш7. Все
полупрямые конгруэнтны между собой. Ш8. Если
отрезок [АВ] конгруэнтен отрезку [Л^] и точка С есть
внутренняя точка первого отрезка, то внутри второго
отрезка существует такая точка Съ что отрезок [^CJ
конгруэнтен отрезку [АС] и отрезок [ΟλΒ^\
конгруэнтен отрезку [СВ]. Пусть на сторонах угла,
образованного двумя прямыми, отмечены противоположные
точки относительно вершины угла, тогда отрезком,
соотнесенным углу, наз. отрезок прямой, проходящий через
эти две точки, к-рый расположен внутри данного угла.
Два угла наз. конгруэнтными, если
конгруэнтны соотнесенные им отрезки. ΙΠ9· Если в двух
треугольниках ABC и А1В1С1 сторона А В конгруэнтна
стороне ΑλΒλ, а сторона АС — стороне АгСъ то угол А
конгруэнтен углу Аг тогда и только тогда, если
конгруэнтны стороны ВС и В1С1.
IV группа — аксиома непрерывности.
Пусть внутренние точки отрезка [АВ]м разделены на
два класса таких, что 1) каждая точка отрезка попадает
в один из этих классов, 2) каждый класс не пуст, 3) если
точка X принадлежит первому классу, а точка Υ —
второму, то X — всегда внутренняя точка отрезка
[4У]до. Тогда на отрезке [АВ]м существует такая точка
С, что всякая внутренняя точка отрезка [ЛС]^
принадлежит первому классу, а всякая внутренняя точка
отрезка [СВ]м — второму.
Имеются и другие системы аксиом Р. г., в основе
к-рых лежат иные основные понятия и отношения (см.,
напр., [3], [5]).
Метрич. свойства Р. г. «в малом» совпадают с метрич.
свойствами нек-рой гиперсферы в соответствующем
евклидовом пространстве. Напр., для любой точки
плоскости Римана существует содержащая эту точку
часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы в
3-мерном евклидовом пространстве, радиус г этой
сферы — один и тот же для всех плоскостей данного
пространства Римана — наз. радиусом кривизны этого
пространства; метрич. свойства 3-мерного пространства
Римана «в малом» совпадают с метрич. свойствами
гиперсферы 4-мерного евклидова пространства и т. д.
Число к=\1г2 наз. кривизной
пространства Римана.
Ниже приведены основные факты Р. г. прямой,
плоскости и 3-мерного пространства.
Прямая Римана (эллиптическая
прямая)— замкнутая конечная линия Э1. Моделью
прямой в евклидовой плоскости Ег может служить
окружность радиуса г с отождествленными диаметрально
противоположными точками. Две различные точки
прямой делят ее на две части. Взаимное расположение
точек на прямой определяется с помощью понятия «раз-
деленности двух пар точек». Расстояние между двумя
точками прямой определяется двузначно: меньшее из
них не превышает яг/2, большее — превосходит яг/2.
Длина всей прямой равна яг. Две точки, расстояние
между к-рыми равно яг/2, наз. взаимно поляр-
н ы ми; каждой точке прямой соответствует
единственная, полярная ей.
Плоскость Римана (эллиптическая
плоскость) — замкнутая конечная односторонняя
поверхность Э2, гомеоморфная листу Мёбиуса, граница
к-рого заклеена кругом. Моделью плоскости Р. г. с
кривизной 1/га в 3-мерном евклидовом пространстве может
служить сфера радиуса г с отождествленными
диаметрально противоположными точками. Прямая не
разделяет плоскость на две области.
Всякие две прямые на плоскости обладают общим
перпендикуляром; его длина равна аг, где а — угол между
прямыми, г — радиус кривизны плоскости Римана.
Две различные прямые делят плоскость на две области,
ометрия 990
к-рые наз. углами. Трехсторонник разделяет всю
плоскость на 4 области, к-рые наз.
треугольниками.
Метрич. соотношения в треугольнике на плоскости Э2
кривизны 1/г2 выражаются соответствующими
соотношениями сферич. тригонометрии на сфере радиуса г
в евклидовом пространстве Е3. Вообще, формулы
тригонометрии в Э% Р. г. тождественны формулам
сферической тригонометрии на сфере соответствующего
радиуса в евклидовом пространстве, однако существуют
определенные условия справедливости сферич. формул
на плоскости Э2.
Множество точек плоскости, отстоящих от дайной
точки (полюса) на расстоянии яг/2, есть прямая —
поляра полюса. Любая прямая однозначно
определяется своим полюсом и, обратно, определяет свой
полюс. Полюсы прямых, проходящих через данную
точку, располагаются на поляре этой точки, а поляры
точек, лежащих на нек-рой прямой, пересекаются в
полюсе этой прямой. Взаимно полярные
треугольники имеют вершинами полюсы
соответствующих сторон. Для двух взаимно полярных
треугольников имеет место теорема Шаля о пересечении
в одной точке трех прямых, соединяющих
соответствующие вершины этих треугольников. Если вершины
треугольника являются полюсами его сторон, то его наз.
автополярным треугольником.
Сумма углов треугольника больше я; его площадь
£=γ2·Δ пропорциональна угловому избытку Δ=Α +
-\rB-\-C—я, где г — радиус кривизны плоскости
Римана.
Окружность в Э2 — множество точек,
расположенных на одинаковом расстоянии от нек-рой точки
(ее центра). Под радиусом окружности R можно
понимать любой из взаимно дополнительных отрезков
длины R и яг—7?, обычно выбирается радиус, не
больший яг/2. Окружность является эквидистантой нек-рой
прямой (базы окружности). При R=nr/2
окружность является прямой — полярой центра.
Длина окружности радиуса R равна 2яг sin (Д/r), а
площадь круга равна 4rtr2sin2(#/2r).
Существуют четыре и только четыре окружности,
проходящие через три данные точки, не лежащие на
одной прямой. Две различные окружности могут
пересекаться не более, чем в четырех различных точках.
Площадь всей плоскости Э2 радиуса кривизны г равна
2яг2.
В Р. г. плоскости имеет место принцип
двойственности: во всяком верном утверждении
можно взаимно заменить термины «точка» и «прямая», в
результате получается верное утверждение.
Пространство Римана трехмерное (э л-
липтическое пространство) —
замкнутое конечное двустороннее (ориентируемое)
пространство Э3. Моделью пространства Э3 в евклидовом
пространстве £4 может служить гиперсфера радиуса г с
отождествленными диаметрально противоположными
точками. Пространство Римана с радиусом кривизны г
имеет объем я2г3.
Плоскость не разделяет пространство на две области.
Две различные плоскости в Э3 пересекаются по прямой.
Прямая, не лежащая в плоскости, пересекает ее в одной
точке.
Множество точек пространства, отстоящих от данной
точки (п о л ю с а) на расстоянии яг/2, есть плоскость —
поляра полюса. Любая плоскость определяется
однозначно своим полюсам и обратно, определяет свой
полюс. Если три плоскости проходят через одну
прямую, то их полюсы лежат на одной прямой и обратно,
если полюсы трех плоскостей лежат на одной прямой,
то эти плоскости пересекаются по одной прямой. Для

991 рш
каждой прямой существует такая скрещивающаяся с
ней прямая, что полюсы плоскостей, проходящих через
одну прямую, лежат на другой, а полярные плоскости
точек, лежащих на одной прямой, проходят через
другую. Такие скрещивающиеся прямые наз. взаимно
полярными (взаимные поляры). Две
скрещивающиеся прямые наз. косыми, если они не являются
взаимными полярами или если каждая из них не
пересекает прляру другой. Две косые прямые имеют два
общих перпендикуляра, являющихся взаимными
полярами. Если два общих перпендикуляра косых
прямых не равновелики (имеют разные длины), то эти косые
прямые наз. расходящимися, а длины общих
перпендикуляров дают наименьшее и наибольшее
расстояния одной прямой от другой. Две косые прямые,
имеющие бесконечное множество общих
перпендикуляров одинаковой длины, наз. параллелями
Клиффорда (равноотстоящими, па-
ратактичными прямыми). Через каждую
точку пространства, лежащую вне данной прямой и вне
полярной ей прямой, проходят две параллели
Клиффорда к данной прямой. Множество точек, отстоящих от
данной прямой на одном и том же расстоянии, меньшем
лг/2, наз. поверхностью Клиффорда.
Данная прямая наз. осью, а расстояние ρ точек от оси —
радиусом поверхности Клиффорда. Эта поверхность
имеет две взаимно полярные оси и соответственно два
радиуса, дополняющих друг друга до полупрямой.
Плоскости, проходящие через ось поверхности
Клиффорда, пересекают ее по окружности. Через каждую
точку поверхности Клиффорда проходят две прямые,
равноотстоящие от ее осей и целиком принадлежащие
поверхности; эти прямые наз.
прямолинейными образующими поверхности
Клиффорда. Всякие три прямые, равноотстоящие друг от
друга, определяют поверхность Клиффорда, для к-рой
они являются образующими. Каждая пара
прямолинейных образующих различных семейств пересекается
под постоянным углом. Поверхность Клиффорда изо-
метрична евклидову ромбу с острым углом, равным углу
между образующими различных семейств, и стороной
длины яг, у к-рого отождествлены точки
противоположных сторон, соединяемых прямыми, параллельными
другим сторонам. Иными словами, поверхность
Клиффорда несет на себе евклидову геометрию. Площадь
поверхности Клиффорда радиуса ρ равна jt2r2sin(2p/r).
Сфера в Э3 — множество точек, расположенных
на одинаковом расстоянии от нек-рой точки (ее цен т-
р а). Сфера является эквидистантой нек-рой плоскости
(базы сферы). Площадь сферы радиуса R равна
4jtr2sin2(i?/r).
В Р. г. пространства имеет место принцип
двойственности: во всяком верном утверждении
можно взаимно заменить термины «точка» и «плоскость»,
в результате получается также верное утверждение.
По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано
Б. Риманом (В. Riemann) в его лекции «О гипотезах,
лежащих в основании геометрии» (1854, опубл. 1867,
см. [1]), где Р. г. рассматривалась как риманова
геометрия постоянной положительной гауссовой
кривизны.
Лит.: tlJ Ρ и м а н В., в кн.: Об основаниях геометрии, М.,
1956, с. 301)—25; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6
изд., М., 1978; [3] РозенфельдБ. Α., Неевклидовы
пространства, М., 1969; [4] Каган В. Ф., Основания геометрии,
ч. 2, М., 1956; 15] Б о г о м о л о в С. Α., Введение в
неевклидову геометрию Римана, Л.— М., 1934 Л. А. Сидоров.
РИМАНА ГИПОТЕЗЫ в аналитической
теории чисел — пять гипотез, высказанных
Б. Риманом (В. Riemann, 1876) относительно
распределения нетривиальных нулей дзета-функции ζ($) и
относительно выражения через эти нули числа простых
чисел, не превосходящих χ (см. Дзета-функция). Не
на 992
доказана и не опровергнута одна Р. г.: все
нетривиальные нули дзета-функции ζ(δ) лежат на прямой
Re s=1/2. Α. Φ. Лаврик.
РИМАНА ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ — см. Дзета-функция.
РИМАНА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ -
линейное однородное обыкновенное дифференциальное
уравнение 2-го порядка в комплексной плоскости,
имеющее три заданные регулярные особые точки а, 5, с
с соответствующими характеристич. показателями а,
α', β, β', γ, γ' в этих точках. Общий вид такого
уравнения впервые выписал Э. Паппериц (Е. Papperitz), из-за
чего оно также наз. Папперица уравнением. Решения
Р. д. у. записываются в виде так наз. Р-ф у н к ц и и
Римана
fa Ь с \
w=P \а β γ ζ\.
U' β' υ' ;
Р. д. у. принадлежит Фукса классу уравнений с тремя
особыми точками. Частным случаем Р. д. у. является
гипергеометрическое уравнение (особые точки: 0, 1, оо);
поэтому само Р. д. у. иногда наз. обобщенным
гипергеометрическим уравнением.
Р. д. у. приводится к Похгаммера уравнению, а потому
решение Р. д. у. можно записать в виде интеграла по
специальному контуру в комплексной плоскости.
Лит. см. при ст. Папперица уравнение. Н. X. Розов.
РИМАНА ИНТЕГРАЛ — обобщение понятия Ноши
интеграла на нек-рый класс разрывных функций,
введенное Б. Риманом (В. Riemann, 1853). Пусть
функция f(x) задана на отрезке [а, Ь] и a=rc0<rc1<...<rc/_i<
<Xi<...<xn-=b, i=l, 2, ... , λ, X(—xi^1=^Xi. Сумму
вида
σ = / (ξι) (*ι-*ο)+ · · · +/ (δι) (*,— */-ι) + . · ·
...+/(U(^-**-i), (1)
где x._1<bi<-xl· наз· интегральной суммой,
отвечающей данному разбиению отрезка [а, Ь] точками
χι и выбору точек ξ/. Число / наз. пределом
интегральных сумм (1) при max Д.г^<6, если для любого ε>0 най-
г
дется 6>0 такое, что при max Δχ; -+■ 0 справедливо не-
г
равенство |σ—/|<ε. Если существует конечный предел
/ интегральных сумм при max Δζ; ->- 0, то функцию
г
f (x) наз. интегрируемой в смысле Рима-
н а на отрезке [а, Ь] при а<6, а указанный предел —
определенным интегралом Римана
от функции f(x) по отрезку [а, Ь] и обозначают
\baf(x)dx. (2)
При а=Ь, по определению, полагают
[а f (x)dx = 0,
а при а>Ь определяют интеграл (2) с помощью
равенства
V / (х) dx = — \ / (х) dx.
Необходимым и достаточным условием
интегрируемости f(x) на [а, Ь] в смысле Римана являются
ограниченность f(x) на этом отрезке и равенство нулю Лебега
меры множества всех точек разрыва/(я), содержащихся
на [а, Ь].
Свойства Р. и. 1) Всякая интегрируемая по Ри-
ману на отрезке [а, Ь] функция f(x) ограничена на этом
отрезке (обратное неверно: примером ограниченной и
неиытегрируемой на [а, Ь] функции служит Дирихле
функция).

993
РИМАНА
994
2) Линейное свойство: для любых
постоянных α и β из интегрируемости на [а, Ь] каждой из
функций f(x) и g (x) следуют интегрируемость на этом
отрезке функции [af(x)+$g(x)] и равенство
^а [α/ (x) + fg (x)] dx = a γα f (χ) dx + P J* * (χ) dx.
3) Из интегрируемости на отрезке [а, Ь] каждой из
функций f(x) и g(x) следует интегрируемость на этом
отрезке произведения f(x)g(x).
4) Аддитивность: из интегрируемости
функции f(x) на каждом из отрезков [а, с] и [с, Ь] следуют
интегрируемость f(x) на отрезке [а, Ь] в равенство
\ / (х) dx= \ / (х) dx-\- \ / (х) dx,
кции f(x) и g(x) интегр!
(х) всюду на этом отрез!
\ / (х) dx ^ \ g (x) dx.
5) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на (а, Ь]
и если f(x)^g(x) всюду на этом отрезке, то
6) Из интегрируемости на [а, Ь] функции f(x) следуют
интегрируемость на этом отрезке функции \f(x)\ и
справедливость оценки
15*/(*)ώ|< $*ι/(*) μ*.
7) Формула среднего значения: если
функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], функция
g(x) неотрицательна или неположительна всюду на этом
отрезке, а М и т — точные верхняя и нижняя грани
f(x) на [a, b], то найдется число μ из отрезка πι<.μ<.Μ
такое, что справедлива формула
\ f (x) g (х) άχ = μ \ g (x) dx.
(3)
Если, кроме того, функция f(x) непрерывна на [а, Ь],
то на этом отрезке найдется точка ξ такая, что в
формуле (3)
μ = /(ξ).
8) Вторая формула среднего
значения (формула Бонне): если функция / (х)
интегрируема на [a, b], а функция g(x) монотонна на этом
отрезке, то найдется точка ξ на [a, b] такая, что
справедлива формула
γα f (x) g (x)dx = g(a) J J / (*) dx + g(b) J* / (x) dx.
Лит.: [1] Riemann В., «Gottinger Akad. Abhandl.»,
1868, Bd 13; [2] И л ь и н В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы
математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971, 2 изд., ч. 2, Μ , 1980;
[3] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа,
т. 1—2, М., 1981; [4] Η и к о л ь с к и й СМ., Курс
математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975. В. А. Ильин.
РИМАНА МЕТОД, Римана — Вольтерра
метод,— метод решения Гурса задачи и Коти задачи
для линейных гиперболич. типа уравнений 2-го порядка
с двумя независимыми переменными
Lu = uxy+a (x, у) их-\-Ъ (х, у) иу-\-с (х, у)и =
= /(*,У). (1)
В Р. м. фундаментальную роль играет функция
Римана R — R(x, г/; ξ, η), к-рая при определенных
предположениях относительно заданных функций а, Ь,
си/ однозначно определяется как решение
специальной задачи Гурса:
Я (ξ, у; ξ,η)=βχρ^α(ξ,0
Д (*, η; S, η)=βχρ [Х b(t, η)
dt:
dt
для сопряженного уравнения
L*R^Rxy-±(a, R)-^(bR) + cR = 0.
Функция R по переменным ξ, η является решением
однородного уравнения
Λ|η + α(ξ, η)*ξ + δ(ξ, η)/?η+<(ξ, т,)Д = 0.
При a=b=Q, c=const функция R=J0(Y~kc(x—l)(y—η)),
где J0(z) — функция Бесселя порядка нуль.
Функцию Римана можно определить как решение
нагруженного интегрального уравнения Вольтерра:
R
(*> У, ξ, η)— [У α (χ, τ) R (χ, τ; ξ, η) dx—
+ ^dt^c(t,T)R(t,T- ξ,η)*τ = 1.
(2)
Р. м. решения задачи Гурса реализуется следующим
образом: для любой дифференцируемой до
соответствующего порядка функции и—и(х, у) имеет место
тождество
д2
^^y-[uR(x, у; ξ, η)]—Л (ж, у\ ξ, η)Ζ,ι* =
из к-рого интегрированием по частям получается, что
любое решение и уравнения (1) представляет собой
решение нагруженного интегрального уравнения:
и(х, y) = R (χ, у0\ х, у) и (х, у0) +
+# (я0, у'у £> у)и (*<ъ у)—л (ж0, у0; ху у)+
dR{
Χι* (ί, y0)^+ V Γα (*ο> τ) R (χ0, τ; ж, г/) —
Χ
ад (χ0, τ; χ, у) '
дх
Ι Π
" и (я<ъ τ) d%-\-
-\-\ dt\y R (t, τ\ χ, у) f (χ, τ) dx, χ > χ0, у > у0. (З)
Из (3) непосредственно вытекает корректность задачи
Гурса
"(*· Уо)=фИ» м(*о> Уо)=*(у)> φ(*ο) = Ψ(^ο)
для уравнения (1).
Р. м. приводит решение задачи Коши для уравнения
(1) с начальными данными на любой гладкой нехаракте-
ристич. кривой к нахождению функции Римана и дает
возможность в квадратурах выписать решение этой
задачи.
Р. м. обобщен на широкий класс линейных
гиперболич. уравнений и систем.
Для случая гиперболич. типа системы линейных
уравнений с частными производными 2-го порядка
"хх — иуу+а(х, y)ux+b(x, у)иу + с(х, y)u = f(x, у),
где α, b, с — заданные действительные квадратные
симметрии. матрицы порядка т, f=(fi, ... , fm) — заданный,
а и=(иг, ... , ит) — искомый векторы, матрица
Римана однозначно определяется как решение
системы нагруженных интегральных уравнений
Вольтерра вида (2), в правой части к-рой стоит единичная
матрица / порядка т.
В. Вольтерра (V. Vol terra) впервые обобщил Р. м. на
волновое уравнение
f — un = f (χ, у, t).
(4)
£32
Математическая энц.. т. 4

995
РИМАНА
996
Роль функции Римана, позволяющей выписать в
квадратурах решение задачи Коши с начальными данными
на плоскости t= const и задачи Гурса с данными на ха-
рактеристич. конусе для уравнения (4), играет функция
где Γ2 = (^-ξ)2 + (ί/-η)2.
Метод предложен Б. Риманом (В. Riemann, 1860).
Лит.: [1] Бицадзе А. В,, Уравнения смешанного типа,
М., 1959; [2] К у ρ а н τ Р., Уравнения с частными
производными, пер. с англ., М., 1964; [3] С м и ρ н о в В. И., Курс
высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958. А. М. Нахушев.
РИМАНА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — один из
методов суммирования числовых рядов. Ряд V ап
суммируется методом Римана к числу S, если
Впервые этот метод ввел и доказал его регулярность
Б. Риман (В. Riemann, см. [1]) в 1854. Р. м. с.
применяется в теории тригонометрич. рядов, где его обычно
формулируют следующим образом: тригонометрич. ряд
■ТГ + Zjn=1 ancosnx-\-bnsinnx
с ограниченными коэффициентами аа, Ьп суммируется
методом Римана в точке х0 к числу S, если функция
ρ(*)=ψ-π=1
00 апсов пх + Ъп si η ηχ
имеет в точке х0 Римана производную, равную S.
Лит.: [1] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.—Л., 1948;
[2] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [3]
Зигмунд Α., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1, М.,
1965; [4] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М.,
1951. Т. П. Лукашенко.
РИМАНА ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА —
высказывание о нетривиальных нулях Дирихле L-функций,
дзета-функций Дедекинда и нек-рых других подобных
функций, вполне аналогичное Римана гипотезе
относительно нетривиальных нулей дзета-функции Римана
ζ(s). Р. о. г. в случае Дирихле L-функций наз. также
расширенной гипотезой Римана.
А. Ф. Лаврик.
РИМАНА ПРОИЗВОДНАЯ, производная
Шварца, вторая симметрическая
производная, функции f(x) в точке х0 — предел
j)2f (х \ _ Нт^ foo+fr)-^ (*<>)+/ (*o-ft)
Введена Б. Риманом (В. Riemann, 1854); он доказал,
что если в точке х0 существует 2-я производная f"(x0),
то существует Р. п. и D2f(x0)=f"(x0). Верхний и нижний
пределы
/ (x0 + h)-2f(x0) + f(x0 + h)
при h —>· 0 наз. соответственно верхней D2f(x0) и
нижней D_2f(x0) P. п.
Р. п. получила широкое применение в теории
представления функций тригонометрич. рядами; в
частности, в связи с Римана методом суммирования.
Т. П. Лукашенко.
РИМАНА СООТНОШЕНИЕ, билинейные
соотношения Римана,— см. А белев
дифференциал.
РИМАНА СФЕРА — сфера в евклидовом
пространстве R3 (ξ, η, t), на к-рую расширенная комплексная
плоскость С отображается взаимно однозначно и
конформно при помощи стереографической проекции.
Напр., в качестве Р. с. можно взять единичную сферу
а плоскость С совместить с плоскостью t=0 так, чтобы
действительная ось совпала с осью η=0, t=0, а мнимая
ось — с осью ξ=0, ί=0 (см. рис.). Каждой точке ζ—
= x-\-iyΦ оо при стерео-
графич. проекции
соответствует точка сферы
Μ (ξ, η, ί)φΡ(0, 0, 1),
получающаяся как
точка пересечения луча со
сферой £2,
проведенного из северного полюса
сферы Ρ (0, 0, 1) в точку
z; бесконечно удаленной
точке z=oo соответствует северный полюс Ρ (0, 0, 1).
Аналитически это соответствие выражается
формулами
1+щ
2ι
t =
|z|2-l
ξ + ίη
1-ί
(*)
Ι ζ |· + 1 ' \ζ 1*4-1
Иначе говоря, соответствие (*) определяет
дифференцируемое вложение одномерного комплексного
проективного пространства СР1 в пространство К3 в виде сферы
S2. Во многих вопросах теории функций расширенную
комплексную плоскость отождествляют с Р. с. От
исключительной роли бесконечно удаленной точки
плоскости С можно избавиться, если за расстояние между
двумя точками z, w ζ С принять хордальное,
или сферическое, расстояние χ(z, w)
между их образами Λ/, N£S2:
2 1 z-w\ .. /_ ..ч 2
λ(Ζ, IV):
. x(z, ») = ,
V'\z\*+\V |го|2+ 1 ' Λ,ν~' "' V\z\*+\
Вложение многомерного комплексного проективного
пространства СРп, η >1, в пространство iR"(n + 2)
можно осуществить при помощи формул комплексно л-мер-
ной стереографич. проекции, обобщающих формулы (*)
(см. [2])
Лит.: [1J Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ,
2 изд., ч. 1—2, М., 1976; [2] Φ у к с Б. Α., Введение в теорию
аналитических функций многих комплексных переменных,
[2 изд.], М., 1962. Е. Д. Соломенцев.
РИМАНА ТЕНЗОР — четырехвалентный тензор,
рассматриваемый в теории кривизны пространств.
Пусть Ln — пространство аффинной связности, Г;/ —
объект связности пространства Ln, компоненты
(координаты) Р. т., один раз контравариантного и трижды
ковариантного, имеют вид
дТИ dTki vq ГР ir? ΤΗ·
*?*.
Ζ, /с, i, # = 1, 2,
я,
где —£ — символ дифференцирования по
пространственной координате хк, fc=l, ... , п. В римановом
пространстве Vn с основным метрич. тензором gtj, кроме
тензора RQikt ί, рассматривается четырежды ковари-
антный Р. т., получаемый опусканием верхнего
индекса q с помощью метрич. тензора gy:
оя π - ι ( "**'
2 \дх*дх1
д2ёц
d*g
k/
τ + ·
d2gb
+^(Г?/ГЬ-П/Ш.
dxk дх1 дх1 дх1 дх1 dxJ
Здесь Tij= Γ/ί, так как Vn снабжено римановой
связностью (без кручения). В произвольном пространстве
с аффинной связностью без кручения координаты Р. т.
удовлетворяют тождеству Риччи
Rht+Rlt. /+я?/,*=о,
Rlk, ij + Rki, lj-\-Ril, kj = ®>

997
РИМАНА
998
т. е. циклирование по трем первым (нижним) индексам
дает нуль.
Р. т. обладает следующими свойствами:
1) Rik,ij = Rij,ik, 2) Д?./* = -Д?,«;
3) Rlk,ij=—Rkl,iji Rlk.iJ = —Rlk,jn
4) Raa,ij = Q, Rlk,bb = Q,
если оба индекса одной пары одинаковы, то
соответствующая координата равна нулю: R&a, ί=0;
5) для абсолютных производных Р. т. имеет место
тождество Бианки
где Vm — символ ковариантного дифференцирования
по координате хт. Аналогичное тождество имеет место
и для тензора /?^t /у.
Р. т. имеет всего д4 координат, где η — размерность
пространства, из них п2(п2—1)/12 существенных, между
к-рыми нет тождественных зависимостей, вытекающих
из указанных свойств.
В случае п—2 Р. т. имеет одну существенную
координату i?12) 12, к-рая входит в определение внутренней,
или римановой, кривизны поверхности К= de't2' *2 (см.
Гауссова кривизна).
Р. т. был определен Б. Риманом (В. Riemann) в 1861
(опубл. в 1876).
Лит.: [1] Ρ а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и
тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Эйзенхарт Л. П.,
Риманова геометрия, пер. о англ., М., 1948; [3] Г ρ о м о л Д.,
Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в
целом, пер. с нем., М., 1971. Л. А, Сидоров.
РИМАНА ТЕОРЕМА — 1) Р. т. о конформном
отображении: каковы бы ни были две односвяз-
ные области G± и G% расширенной комплексной
плоскости С, отличные от С, а также от С с какой-либо
исключенной из нее точкой, найдется бесконечное число
аналитических и однолистных в области G1 функций,
каждая из к-рых осуществляет взаимно однозначное и
конформное отображение Gx на Ga. При этом для любой
пары точек a£Gx, αφоо, и ЬζG2 и любого
действительного числа α, 0<α<:2π, найдется, и притом единственная,
функция / этого класса, для к-рой f(a)=b, arg/'(a)=a.
Условие arg/'(a)=a геометрически означает, что
каждый бесконечно малый вектор, выходящий из точки а,
при отображении w=f(z) переходит в бесконечно малый
вектор, направление к-рого образует с направлением
исходного вектора угол а.
Р. т. является основной в теории конформных
отображений и вообще в геометрич. теории функций
комплексного переменного. Вместе со своими
обобщениями на многосвязные области она имеет
обширные применения в теории функций комплексного
переменного, математич. физике, теории упругости,
аэро- и гидромеханике, электро- и магнитостатике
и т. д. Эта теорема для более общего случая односвяз-
ных и, вообще говоря, неоднолистных областей над
комплексной плоскостью была сформулирована Б.
Риманом (В. Riemann, 1851). При этом вместо условий
нормировки «f(a)=b, arg/'(a)=a» конформного
отображения w—f(z), обеспечивающих его единственность, в
формулировке Б. Римана для той же цели
использовались условия «/(а) =6, /(ζ)=ω>>, где α ζ Gx, b£G2, а ζ и
ω — наперед заданные точки границ областей Gx и G2
соответственно. Последние условия при современном
определении понятия односвязной области не всегда
корректны. Б. Риман доказывал свою теорему в
значительной степени исходя из физич. представлений, к-рые
его также убедили в важности этой теоремы для
приложений. В современном понимании математич. строгость
доказательству Б Римана придал Д. Гильберт (D.
Hubert), обосновавший использованный Б. Риманом в его
доказательстве т. н. Дирихле принцип.
См. также Конформное отображение.
Лит.: [1] Риман Б., Соч., пер с нем., М·—Л., 1948,
с. 49—87; [2] Π ρ и в а л о в И. И-, Введение в теорию функций
комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [3] Г о л у-
з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного
переменного, 2 изд., М., 1966. Е. П. Должвнко.
2) Р. т. о перестановке членов ряда:
если ряд, члены к-рого являются действительными
числами, сходится, но не абсолютно, то каково бы ни было
число А, можно так переставить члены этого ряда, что
сумма получившегося ряда будет равна А. Кроме того,
члены ряда можно так переставить, что его сумма будет
равна одной из наперед заданных бесконечностей со
знаком +оо или — оо, а также так, что его сумма не
будет равна ни +оо, ни —оо, но последовательность его
частичных сумм будет бесконечно большой, и, наконец,
так, что последовательность его частичных сумм не
будет иметь ни конечного, ни бесконечного предела
(см. Ряд). Л. Д. Кудрявцев
РИМАНА ТЕТА-ФУНКЦИЯ — суперпозиция
теша-функций 1-го порядка 0#(гг), и=(и1, ... , ир),
с полуцелыми характеристиками Η и абелевых
интегралов 1-го рода, примененная Б. Риманом (В. Riemann,
1857) для решения Якоби проблемы обращения.
Пусть F (и, ш)=0 — алгебраич. уравнение,
определяющее компактную риманову поверхность F рода р;
Φι, ... , Ф« — базис абелевых дифференциалов 1-го рода
на F с матрицей периодов размера рХ2р:
W--
= \\ШЕ, А\\ =
Пусть
U(W)= (u!(Wi
κι 0 ...
0 ni ..,
0 0 ...
0 an a12
0 #21 #22
πι αρι ap2
..., up{wp)
... alp
... a2p
... app
H =
— вектор базисных абелевых интегралов 1-го рода, где
(сх, ... , ср) — фиксированная система точек на F, а м>=
= (и>1, ... , ινр) — текущая система точек на F. Для
любой тета-характеристики
|Λι ... hpj
\h[ ... h'PY
где целые числа h;, h\ принимают только значения О
или 1, можно построить тета-функцию SH(u) с матрицей
периодов W, причем 0#(и) удовлетворяет основным
соотношениям:
вн(и + Ше) = (-1)^вм(и), }
и' Г (1)
®н (и+е^А) = (-l)V exp (-αμμ-
■2^-θ/
где £μ есть μ-я вектор-строка единичной матрицы Е,
μ=1, ... , р.
Если z—(zl9 ... , zp) — нек-рыи фиксированный
вектор в комплексном пространстве Ср, то тета-функ-
ция Римана Фя(м>) представляет из себя
суперпозицию
<DH(w)=e„(u(w) — z). (2)
В области F*, получающейся из F после удаления
разрезов вдоль циклов агЬг ... арЪр базиса гомологии F,
Р. т.-ф. (2) всюду определены и аналитичны При
переходе через разрезы Р. т.-ф., вообще говоря, умножаются
на мультипликаторы, значения к-рых определяются из
основных соотношений (1). Особую роль при этом
играет тета-функция 1-го порядка Θ(η)=Θ0(η) с нулевой
I характеристикой Н=0. Именно нули η1? ... , г\р соот-
32*

999 римана α
ветствующей Р. т.-φ. Φ (w)—Q)0(w) определяют
решение проблемы обращения Якоби.
Для фактич. построения аналитич. выражений,
решающих проблему обращения, используются
отношения Р. т.-ф. вида Ψh(w)=®h(u (w)) c общим
знаменателем ψ (w)=B(u(w))=%(u(w)). Из (1) видно, что такие
отношения ΨΗ(ιν)/Ψ(ιν) могут иметь в качестве
нетривиальных мультипликаторов только —1, а квадраты
этих отношений являются однозначными мероморфны-
ми на F функциями, т. е. рациональными функциями
точки поверхности F. Используемые при этом квадраты
и другие рациональные функции от отношений тета-
функций представляют собой специальные абелевы
функции с 2р периодами. Специализация выражается
в том, что ρ (ρ+1)/2 различных элементов αμν симмет-
рич. матрицы А при р>3 связаны определенными
соотношениями, налагаемыми конформной структурой
поверхности F, так что независимых среди них остается
3(р-1).
Р. т.-ф., построенные для случая гиперэллиптич.
поверхности F, когда F(u, w)—w2—P(u), где Ρ (и) —
многочлен степени п^Ъ без кратных корней, иногда
выделяются под названием
гиперэллиптических тета-функций.
Лит.: [1] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических
функций, М.—Л., 1948, гл. 9; [2] Μ а р к у ш е в и ч А. И.,
Введение в классическую теорию абелевых функций, М., 1979;
L3J Krazer A., Lehrbuch der Thetafunktionen, Lpz., 1903;
[4] G ο η f о r t о F., Abelsche Funktionen und algebraische Geo
metrie, В., 1956. Ε. Д. Соломенцев.
РИМАНА ФУНКЦИЯ — 1) Р. ф. в теории три
гоно метрических рядов — функция,
введенная Б. Риманом (В. Riemann, 1851) (см. [1]) для
изучения вопроса о представимости функции тригономет-
рич. рядом. Пусть дан ряд
•γ- +2Γ=ι (an^osnx + bnsmnx) (*)
с ограниченными последовательностями {аи}, {Ьп}·
Функцией Римана для этого ряда наз.
функция F (я), полученная почленным двукратным
интегрированием данного ряда:
F(x)=^l — ^™=i-L(ancosnx + bnsmnx)+Cx + D,
С, D = const.
Теоремы Римана. 1) Пусть ряд (*) сходится
в точке х0 к числу S. Тогда производная Шварца
D2F(x0)=S. 2) Пусть ап, Ьп-+0 при п-+ оо. Тогда в
любой точке χ
Ит F(x + h) + F(x-h)-2F(x) _Q
П -> QO
причем сходимость на любом промежутке равномерная,
то есть F (х) — равномерно гладкая функция.
Если ряд (*) сходится на [0, 2π] к f(x) и
f(x)£L [0, 2π], то D2F(x)=f(x) на [0, 2π] и
F (χ) = YQdt J'o/ (и) du+Cx + D.
Пусть α„, Ъп ->- 0 при η -> оо и пусть
S_ (χ) = lim Sn (x) и £ (χ) = ПпГ Sn (χ)
П -> оо η -> оо
конечны в точке χ, а
S И = Τ Ο. (*) + £>)), δ (χ) = \ (S (*)-£(*)).
Тогда нижняя и верхняя производные Шварца D2F(x)
и D2F(x) принадлежат [S—μδ, S+μδ], где μ — нек-рая
абсолютная постоянная (лемма Дюбуа-Ре й-
м о н а).
нкция ЮОО
Лит.: [1] Риман В., Соч., пер. с нем., М.—Л., 1948;
[2] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.
А. А. Конюшпов.
2) Р. ф. в теории дифференциальных
уравнений — см. Римана метод.
РИМАНА — ГИЛЬБЕРТА ЗАДАЧА— см.
Граничные задачи теории аналитических функций.
РИМАНА — ГУРВИЦА ФОРМУЛА, формула
Гурвица, соотношение Гурвиц а,—
формула, связывающая род замкнутой римановой
поверхности с числом ее листов и кратностью точек
ветвления. Пусть R — замкнутая риманова поверхность
рода g, R — накрывающая R риманова поверхность,
имеющая т листов над R, конечное число точек
ветвления с кратностями klf ... , ks и род g. Тогда имеет место
Р.- Г. ф.:
2j-2 = m(2g-2) + 2^=1 (*v-l).
В частности, если риманова поверхность R
рассматривается как накрывающая поверхность над Римана
сферой, то g—Ο и Р.— Г. ф. дает соотношение
Р.— Г. ф. позволяет подсчитать род алгебраич.
функции (т. е. род соответствующей римановой
поверхности), определяемой алгебраич. уравнением F (z, w)=0.
В более общем понимании Р.— Г. ф. связывает род g
поля алгебраич. функций с родом g его конечного (се-
парабельного) расширения степени т и индексами
ветвления kv (см., напр., [4], [5]).
Р.— Г. ф. была высказана Б. Риманом [1] и доказана
А. Гурвицем [2].
Лит.: [1] Riemann В., Gesammelte mathematische
Werke, Lpz., 1876, S. 129; [2] Hurwitz Α., Mathematische
Werke, Bd 1, Basel, 1932, S. 321—83; [3] Г у р в и ц Α.,
Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Vi] Η е в а н-
л и н н а Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [5] Ленг С,
Введение в алгебраические и абелевы функции, пер. с англ.,
М., 1976. Е. Д. Соломенцев.
РИМАНА — КРИСТОФФЕЛЯ ТЕНЗОР - четырех
валентный тензор, координаты (компоненты) к-рого
определяются объектами Г^· связности пространства,
называемыми Кристоффеля символами 2-го рода. Р.—
К. т. наз. также Римана тензором. л. А. Сидоров.
РИМАНА — РОХА ТЕОРЕМА — теорема,
позволяющая выразить эйлерову характеристику χ (Ε)
локально свободного пучка Ε на алгебраическом или аналитич.
многообразии X в терминах характеристич. классов
Чжэня пучка Ε и многообразия X. Она может быть
применена для вычисления размерности пространства
сечений пучка 2? (проблема Римана — Роха).
Классическая Р.— Р. т. относится к случаю неособых
алгебраич. кривых X и утверждает, что для любого
дивизора D на X
l(D)-l(Kx-D) = degD-g + i, (*)
где l(D)=dim H°(X, Οχ(ϋ)) — размерность
пространства функций /ζ к (X), для к-рых (/)+#>0, κ χ — кано-
нич. дивизор, a g — род кривой X. В сер. 19 в. Б.
Риман (В. Riemann) аналитич. методами получил
неравенство
l(D)^degD-g + l.
Равенство (*) было доказано Э. Рохом (Е. Roch).
Р.— Р. т. для кривых представляет собой
одномерный случай более общей теоремы Римана — Роха —
Хирцебруха — Гротендика. Пусть X — неособое
проективное многообразие размерности д, а Н'Х —
подходящая теория когомологий: либо Н'Х=Н'(Х, Q) —
сингулярные когомологий в случае, когда основное
поле /с=С, либо Η Х=А (Х)®0, где А (X) — Чжоу
кольцо, либо Η Χ — кольцо, присоединенное к кольцу

1001
РИМАНА - ШВАРЦА ПРИНЦИП
1002
Гротендика К°(Х) (см. К-функтор в алгебраической
геометрии) относительно нек-рой специальной γ-филь-
трации (см. [2], [7]). Пусть Ε — локально свободный
пучок ранга г на X. Для пучка Ε следующим образом
определяются универсальные многочлены с
рациональными коэффициентами ch (—) и td (—) от классов Чжэня
Ci(E)£H'X пучка Е. Для многочлена Чжэня
рассматривается разложение на множители
ct(E)=c0(E)+...+cr(E)tr= П1Г=1(1+^)'
где αι — формальные символы. Экспоненциальный
характер Чжэня определяется формулой
<*(*)= 2^ Λ (** = !+* + £
и, соответственно, класс Тодда
■+...)
«о-п;.,
1-е
ch(E) и td(E) — симметрич. функции от а,·, и их можно
записать в виде многочленов от с^Е).
Теорема Римана — Роха — Хирцебру-
х а: если X — неособое проективное многообразие или
компактное комплексное многообразие размерности п,
Ε — векторное расслоение ранга г на X, то
%(E) = deg(ch(E)td(Tx))n,
где Τ χ — касательный пучок на X, a deg( )„
обозначает компоненту степени η в Н'Х. Эта теорема была
доказана Ф. Хирцебрухом (F. Hirzebruch) в случае
основного поля С. В случае п=2 и обратимого пучка Е=
=6x(D) она приводит к равенству
X (6x(D)) = ±D (D-KX) + ±(K2x+c2),
где с2=с2 (X) — 2-й класс Чжэня поверхности X, а
Κχ — ее канонич. класс. В частности, при D = Q
получается формула Нётера
X(6x) = i+Pa=Y2(K2X+c2).
Для трехмерных многообразий (и=3) теорема приводит
к равенству
X (бх (D)) = | Я3 - -f D*KX + ± D (Кх+с2) -
-πκ*>»
В частности, при D=0
Х(6х) = — ^Кхс2.
В 1957 А. Гротендик (A. Grothendieck) обобщил
теорему Римана — Роха — Хирцебруха на случай мор-
физмов неособых многообразий над произвольным
алгебраически замкнутым полем (см. [1]). Пусть К0Х
и К°Х — группы Гротендика соответственно
когерентных и локальных свободных пучков на X. Функтор
К0Х является ковариантным функтором из категории
схем и собственных морфизмов в категорию абелевых
групп, при этом для собственного морфизма f : X -+ Υ
гомоморфизм / : К0Х ->· Κ0Υ определяется формулой
л (л=Σ (-!)'#/·(*■).
где ff" — произвольный когерентный пучок на X;
К°Х — контравариантный функтор в категорию колец.
Для регулярных схем с обильным пучком группы
К0Х и К°Х совпадают и обозначаются К(Х). Характер
Чжэня ch : К(Х)-+ Н'Х является гомоморфизмом
колец; Н'Х также является ковариантным функтором:
определен гомоморфизм Гизина /* : Н'Х -ν ΗΎ.
В случае, когда #'Х=#'(Х, Q), гомоморфизм /*
получается из /* для гомологии с помощью
двойственности Пуанкаре. Обобщенная А. Гротендиком теорема
выражает меру отклонения от коммутативности
гомоморфизмов /( и ch.
Теорема Римана — Роха —
Хирцебруха—Гротендика: пусть / : X -*· Υ — гладкий
проективный морфизм неособых проективных
многообразий; тогда для любого χζΚ(Χ) в Н'Х справедливо
равенство
ch(/lH)=/#(ch(x)td(r/)),
где Tf= Tx—f*( Τ γ) ζ Κ χ (относительный
касательный пучок морфизма /).
В случае, когда Υ — точка, эта теорема сводится к
теореме Римана — Роха — Хирцебруха. Имеются
обобщения (см. [5]—[7]) на случаи, когда Υ — нетерова
схема, обладающая обильным обратимым пучком, когда
/ — проективный морфизм, слои к-рого — локально
подлые пересечения, а также на особые
квазипроективные многообразия.
Нек-рые варианты Р.— Р. т. тесно связаны с
проблемой индекса эллиптич. операторов (см. Индекса
формулы). Напр., теорема Римана — Роха — Хирцебруха
для компактных комплексных многообразий является
частным случаем теоремы Атьи — Зингера об индексе.
Лит.: [1] Бор ель Α., СеррЖ.-П., «Математика»,
1961, т. 5, № 5, с. 17—54; [2] Μ а н и н Ю. И., «Успехи матем.
наук», 1969, т. 24, в. 5, с. 3—86; [3] X а ρ τ с х о ρ н Р.,
Алгебраическая геометрия, пер. с англ., М., 1981; [4] X и ρ ц е б-
р у х Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии,
пер. с англ., М., 1973; [5] В a u m P., Fulton W., Mac,
Ρ hers о η R., «Publ. Math. IHES», 1975, №45, p. 101—45;
[61 их же, «Acta math.», 1979, v. 143, № 3-4, p. 155—92;
[7J Theorie des intersections et thebreme de Riemann— Roch
(SGA, A6), В.— [е. a], 1971.
РИМАНА - СТИЛТЬЕСА
тъеса интеграл.
РИМАНА — ШВАРЦА
мальная поверхность, натянутая на полигональный
контур, многоугольник. Она представляет собой одно
из первых достаточно общих решений Плато задачи.
Аналитически выражается с помощью Кристоффеля —
Шварца формулы. Рассмотрена впервые Б. Риманом
(В. Riemann, 1872) и Г. Шварцем (Н. Schwarz, 1874).
Μ. И. Войцеховский.
РИМАНА — ШВАРЦА ПРИНЦИП, принцип
симметрии Римана — Шварц а,— метод
продолжения конформных отображений и аналитич.
функций комплексного переменного, сформулированный
Б. Риманом (В. Riemann) и обоснованный Г. Шварцем
(Н. Schwarz) в 19 в.
Р.— Ш. п. для конформных
отображений состоит в следующем. Пусть области Dlt D2 на
комплексной плоскости С симметричны относительно
действительной оси R и не пересекаются, а их границы
содержат общий интервал ycR, причем D=D1\Jy\J
\JD2 — тоже область. Пусть аналогично определены
^i, D2, у* и D*. Если функция /1? непрерывная на
Z>! UV» конформно отображает Dx на Dl и если /ι(γ)=
=γ*, то функция /(ζ), равная/^) при 2^D1(Jv и /ι(ζ)
при z£D2, осуществляет конформное отображение
области D на область D*.
Более общая формулировка Р.— Ш. п. получается,
когда Dl9 D2 и Dij, D% — области на Римана сфере С,
симметричные относительно окружностей С, С*с:С
соответственно, и уаС, ус:С* — открытые дуги (см.
Симметрии принцип).
Р.— Ш. п. для голоморфных функций.
Пусть граница области DczC содержит открытый
участок γ, к-рый является гладкой вещественно
аналитической дугой. Если функция / голоморфна в D,
непрерывна в D (J у и ее значения на у принадлежат нек-рой
Вал. С. Куликов.
ИНТЕГРАЛ — см. Стил-
ПОВЕРХНОСТЬ — мини-

1003
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
1004
другой гладкой вещественно аналитической дуге γ*, то
/ аналитически продолжается в нек-рую окрестность
Дуги у.
Р.— Ш. п. используется для построения конформных
отображений плоских областей, а также в теории ана-
литич. продолжения функций одного и многих
комплексных переменных.
Лит.: [1] Лаврентьевы. Α., Ш а б а т Б. В.,
Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М.,
1973. Ε Μ. Чирка.
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова
пространства. Римановым пространством
наз. тг-мерное связное дифференцируемое многообразие
Мп, на к-ром задано дифференцируемое поле ковари-
антного, симметрического и положительно
определенного тензора g ранга 2. Тензор g наз.
метрическим тензором. Р.г. есть многомерное
обобщение внутренней геометрии двухмерных поверхностей
в эвклидовом пространстве Е3. Метрика риманова
пространства с точностью до первого порядка малости,
по сравнению с размерами рассматриваемой области,
совпадает с евклидовой метрикой. Отличие этих метрик
оценивается (локально) римановой кривизной -*-
многомерным обобщением понятия гауссовой кривизны
поверхности в Е3.
В основании Р. г. лежат три идеи. Первая идея -—
осознание факта существования неевклидовой
геометрии — геометрии Н. И. Лобачевского. Вторая идея —
понятие внутренней геометрии поверхностей,
созданной К. Гауссом (С. Gauss). Третья идея — понятие п-
мерного пространства, разработанное в 1-й пол. 19 в.
Б. Риман (В. Riemann) соединил и обобщил эти идеи в
лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
Понятия Р. г. сыграли важную роль в создании А.
Эйнштейном (A. Einstein) общей теории относительности,
дальнейшее ее развитие связано с созданием аппарата
тензорного исчисления. Р. г. и ее многочисленные
обобщения успешно развиваются, особенно в той ее части,
к-рая наз. римановой геометрией в целом, и находят
обширные и глубокие механические и физич.
применения.
Основные понятия Р. г. следующие.
Скалярное произведение. В каждом
касательном пространстве (ТМп)р, ρ ζ Μ", тензор g
определяет скалярное (внутреннее) произведение < ·, · >
по формуле
<Х, Y>=g(X, У), Χ, Υζ(ΤΜη)ρ
Верно и обратное: если для любого ρ ζ Μη в (ТМп)р
определено скалярное произведение, дифференцируемо
зависящее от /?, то оно определяет тензорное поле g с
указанными выше свойствами. Степени гладкости Мп и g
варьируются в зависимости от поставленной задачи.
В большинстве случаев достаточно потребовать, чтобы
Мп было трижды непрерывно дифференцируемо, а поле
тензора g — дважды непрерывно дифференцируемо
(далее необходимая степень гладкости указываться не
будет). В локальных координатах {х1} с локальным
базисом {д(}, ι=1, .,. , п, компоненты тензора g имеют
вид
так что
где
gi/ = <d» 0y>,
<ΧΎ>=ΣΙ !=!*»№>
кривой c(t) : [0, 1] -*· Мп определяется формулой
Риманово пространство как
метрическое пространство. Длина I гладкой
l=Y0\'c\dt,
где с — касательный вектор к c(t). Длина кусочно
гладкой кривой равна сумме длин ее гладких звеньев.
Если xi=xi(t) — уравнения c(t) в локальных
координатах, то
-Σ
^•=i dt °ч Jo К Ai,j=iglJ dt dt
Имея в виду эту формулу, метрику на Мп записывают
в традиционной форме
dt» = У,п
ι, /
_!_ gi/dxi dx/,
и ds наз. элементом длины, а функции gi/(x) —
коэффициентами метрической (основной, первой
квадратичной) формы. Угол между двумя кривыми в точке их
пересечения определяется как угол между
касательными к ним. Объём V(U) области U, принадлежащей
координатной окрестности, определяется формулой
F(C/)==ut/^|1/2 άχΚ~άχηι
где g=det WgyW. Объем произвольной области равен
сумме объемов ее частей, причем каждая из частей
лежит в нек-рой координатной окрестности.
Расстояние р(р, q) между точками р, q£Mn
определяется как точная нижняя грань длин всех ку^
сочно гладких кривых, соединяющих ρ с q. Аналогично
определяется метрика ρυ в произвольной связной
области U. Два римановых пространства Λίχ и М\ наз.
изометричными, если существует отображение
φ : Μι ->- Μ", при к-ром
Рмп(Р, Я)-
Ρμί(ψ(ρ)> ψ («))»
'Μ
или, что то же, l(c) — l(q>(c)), где с — произвольная
кривая в М\. Если φ — изометрия, то для любой точки
ρ ξ Λί? существует координатная окрестность U^p и
координатная окрестность С^2Эф(р) такие, что g]j(x)=
— gij(y(x))ix€UiihJ—li ··· » п- Изометрич.
отображение Мп на себя наз. движением.
Кривая с концами в точках ри? наз.
кратчайшей, если ее длина равна р(р, q). Стационарная
кривая функционала длины I наз. геодезической
линией. Каждая кратчайшая в Мп есть геодезическая,
и каждая достаточно малая дуга геодезической есть
кратчайшая. Область U<z.Mn наз. геодезически
выпуклой, если кратчайшие, определенные по
метрике ρυ, есть геодезические Мп. Если xi=xi(t),
i=l, .., , η,— уравнения геодезической в локальной
системе координат {гг1'}, то функции xl'(t) удовлетворяют
системе уравнений, к-рая в случае, когда t — параметр,
пропорциональный длине дуги, имеет вид
d*xl
dt2
.Vя
dxJ dxk
ι ν" γ,ι axJ αχ" η . λ
+ А*=1г'*"зг-зг=0· ,=1·
η,
где
Γ/*=Σ:=ι*β'Γ'*·β·
- jk, a
ъ)а
ha
\ dxR dxJ
ab
d*Jk
дхи
— символы Кристоффеля, gab — элементы матрицы,
обратной к WgfjW, i, ;, /с, а, Ь=1, ... , п.
Риманово пространство наз. полным
(геодезически полным), если оно полно как метрич.
пространство (если любую дугу геодезической можно
неограниченно продолжить в обе стороны). Риманово

1005
пространство полно тогда и только тогда, когда оно
геодезически полно. В полном римановом пространстве
любые две точки можно соединить кратчайшей (не
обязательно единственной). На любом дифференцируемом
многообразии можно ввести структуру полного римано-
ва пространства.
Риманово пространство как
многообразие со связностью. Иовариантная
производная у наз. симметрической и
совместной с метрикой g пространства Мп, если
выполняются условия симметричности
VXY-VYX = [X, У]
и совместности
z<x, y>=<vzz, y>+<x, vzy>,
где X, У, Ζ — дифференцируемые векторные поля, а
[Χ, Υ] — их коммутатор. Этими условиями
производная ν определяется однозначно через поле метрич.
тензора g. В локальных координатах {х1} компоненты
связности ν имеют вид Г^у ,-=<Vfcd/, 0/> и совпадают
с символом Кристоффеля 1-го рода, а
Аналогичной формулой определяется ковариантная
производная любого тензора.
Векторное поле Y(t) вдоль кривой c(t) наз.
параллельным, если v.Y~0. Аналитически параллель-
с
ное поле Y(t) определяется решением системы
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 1006
аналогичная теории кривых в Еп, определяются
первая, вторая и т. д. кривизны и выводятся уравнения,
аналогичные формулам Френе. Первая кривизна
кривой кг обычно наз. геодезической
кривизной и вычисляется по формуле
ΐ + Σΐ^Φ-·
dxR
dt
i = l,
где χί==χί(ή — уравнения кривой c(t). Решения этой
системы при различных начальных условиях дают
отображение (ТМп)с{0) в (ТМп)с{1); оно оказывается изо-
метричным и наз, параллельным
перенесением Леви-Чивита. Результат
перенесения зависит, вообще говоря, не только от конечных
точек с(0) и с(1), но и от самого пути c(t). Кривая, для
к-рой ν с=0, является геодезической, и это свойство
с
геодезической можно взять за ее определение.
Подмногообразия риманова
пространства. Если Mk, к<п,— дифференцируемое
подмногообразие риманова пространства Мп, то в каждом
касательном пространстве к Mk((TMk)pCZ(TMn)p)
индуцируется скалярное произведение и тем самым на Мк
возникает структура риманова пространства с метрич.
тензором а, компоненты к-рого вычисляются по
формулам
Ση дх dxJ
α, β = 1,
к,
где xi=xi(u1, .,. , и&) — уравнения М& в локальных
координатах. Внешняя геометрия Mk, к^*2,
описывается вторыми квадратичными формами В (vp), к-рые
определяются для каждой единичной нормали vp к М*·
формулой
B(vp)(X, Y) = -(v*v, У),
где X и У — векторные поля на Mk, a v —
произвольное поле единичных нормалей, содержащее νρ. Для
любой формы Β(νρ) определяются нормальные
кривизны, главные направления и кривизны, средняя и полная
кривизны и т. д. и выводятся уравнения Гаусса — Ко-
дацци — Риччи, связывающие коэффициенты первой
и вторых квадратичных форм. Свойствами вторых форм
характеризуются важные классы подмногообразий,
напр. минимальные, вполне геодезические, выпуклые
и т. п. Для Mx=c(t) (гладкая кривая) строится теория,
если t — длина дуги; в локальных координатах
где
ι _ ά2χί _l V" vi dxJ dxk
a xi=xi(t) — уравнения c(i).
Большой круг задач Р. г. связан с изометрическими
погружениями одного риманова пространства в другое
и изучением свойств этих погружений. Эти задачи
трудны и исследованы мало (более подробно — в двумерном
случае).
Экспоненциальное отображение
βχρ^ : (TMn)q -+ Мп определяется условием: ехр^Х^
= г, где г — конец дуги геодезической с началом в q, с
направлением X£(TMn)q и длины |Х|. Если в
окрестности точки ρ ввести систему координат, сопоставляя
точке ρ декартовы координаты точки βχρ^ρζί^^^α»
то окажется
T}n\x=q-=Tjkt ,1*^=0, то есть
ди±\
дх* I
= 0, ί, /, Λ = 1,
это — т. н. (римановы) нормальные
координаты.
Кривизна. Если в окрестности точки q ввести
нормальные координаты, то компоненты метрич.
тензора записываются в виде
'.7 = *ί7 - ΤΣΙ, Ui *'·*· »***+Σΐ иг*»·»***''
где ε,·^ jι ->- 0 при χ1' ->· 0, ί, /', /с, Z=l, ... , п. Отсюда
выводится важное свойство римановой метрики: для
любой точки g ζ Μη экспоненциальное отображение φ^ε
=ехр^ : (TMn)q ->- Мп обладает свойством
(X, у) = |Х_У| = р (φ(Χ), ф(У))Х
9(ТМП) д
Мп
χ(1+ε(Χ, У)),
где &(Х1 У) ->· 0 при \Х\, |У| -* 0. Добиться более
высокого по порядку малости совпадения метрик Мп и
(TMn)q за счет удачного выбора отображения φ в общем
случае невозможно. Поэтому коэффициенты Rikt д
характеризуют отличие метрики Мп от евклидовой
метрики (TMn)q, Эти коэффициенты являются компонентами
т. н. тензора кривизны, или тензора
Римана — Кристоффеля (в точке q). В
локальных координатах {χί} они выражаются через
коэффициенты метрич. тензора и их первые и вторые
производные по формуле
R.k ь_Ч д*ёп | b*4i d*8iJ d2gkl ) ι
'J 2 \dxk dxJ dxl dxl dxkdxl дх* dxj )
+ 2*a, 6=1
)xJ dxl dxL дхк дх
i, /, Aj, Ζ, α, fc = l, .,., n.
дх* dxJ
С тензором кривизны связан целый ряд других понятий,
также (с разных сторон) характеризующих меру отли-

1007
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
1008
чия метрики Мп от евклидовой. Так, через тензор
кривизны определяются тензоры Риччи
*</-ΣΙ. ,.!«**».;«
и Эйнштейна
где
— т. н скалярная кривизна Мп.
Трилинейное отображение, сопоставляющее трем
векторным полям X, У, Ζ поле
R(X, y)Z=vr(VJfZ)-VJf(VrZ)-V[xnZ,
наз. преобразованием кривизны. Его
свойства:
1) R(X, Υ)Ζ+7? (У, X)Z = Q;
2) Я(Х, У) Z+Д (У, Z) Z+Я (Z, Х)У = 0
(тождество Риччи),
3) </? (X, У) Z, ИО = <Я (X, Y) W, Z>;
4) <Я(Х, Y)Z, W> = <iR(Z, W)X, У>.
Кроме того, имеет место тождество Бианки
Vx(R(Y,Z)W)+Vy(R(Z, X)W)+4z{R(X, Y)W)=0.
Преобразование кривизны можно связать нек-рой
конструкцией с параллельным перенесением. Алгебраич.
свойства тензора кривизны выводятся из свойств
преобразования кривизны, т. к. через него, а именно через
«биквадратичную форму» к(Х, Y)=<R(X, Y)Y, Х>,
тензор кривизны (точнее, его значения на векторах X,
У, Z, W) однозначно (алгебраически) выражается
(см. Кривизна).
Секционная кривизна. Пусть F2 —
двумерная поверхность в Мп, проходящая через ρ, σ=
= (TF2)p, Г — простая замкнутая кривая на Г2,
проходящая через р, S — площадь области на F2,
ограниченной кривой Г, z£(TF2)p,z — вектор, полученный из
ζ параллельным перенесением вдоль Г, φ — угол
между вектором ζ и касательной составляющей вектора ζ.
Тогда при стягивании Г к точке ρ существует предел
К(р, a)=lim γ , к-рый наз. римановой
секционной кривизной пространства Мп в данной
точке ρ и в данном двумерном направлении σ (Κ (ρ, σ) не
зависит от поверхности F2, а зависит только от σ).
Секционная кривизна показывает меру «искривления» Мп
в данной точке и в данном двумерном направлении.
Вообще говоря, в разных двумерных направлениях это
искривление различно; но если в каждой точке
кривизна К(р, σ) не зависит от выбора σ, то она не меняется
и от точки к точке (теорема Шура).
Тождественное обращение секционной кривизны в нуль —
необходимое и достаточное условие того, чтобы Мп было
локально изометрично Еп (в целом оно может отличаться
от Еп). Секционную кривизну Мп можно связать и с
другими объектами Р. г., напр. с дефектом (избытком)
геодезич. треугольника (см. Гаусса — Бонне теорема).
Сам Б. Риман определял секционную кривизну как
гауссову кривизну двумерной поверхности ехр^о,
вычисленную по формуле Гаусса в точке р. В свою
очередь, по секционной кривизне метрика Мп
определяется однозначно в следующем смысле: если у двух
многообразий Μι и М\ секционные кривизны постоянны и
равны одному и тому же числу а, то Л/? и М\ локально
изометричны, если они к тому же оба односвязны, то —
просто изометричны. Односвязное риманово
пространство постоянной секционной кривизны а изометрично:
71-мерному пространству Лобачевского Ln при а<0, п-
мерному евклидову пространству Еп при а=0; тг-мер-
ной сфере Sn в Еп + 1 радиуса ί/Ϋ~α при а>0. В общем
случае известен следующий результат. Если М\ —
аналитическое риманово пространство непостоянной
секционной кривизны и существует диффеоморфизм
φ : Μχ-^Μ", при к-ром К(р, σ)=Κ(φ(ρ), dkp(a)), то
при я^4 отображение φ — изометрия; в случае п—Ъ
это утверждение доказано при нек-рых дополнительных
предположениях, а в случае гг=2 теорема не верна.
Однако неизвестно (1983), кроме двумерного случая,
какова должна быть функция К (ρ, σ), чтобы для нее
существовала метрика g, для к-рой К(р, σ) была бы
секционной кривизной. В этом направлении известны только
нек-рые отрицательные результаты.
Секционная кривизна связана с преобразованием
кривизны формулой
<н (хр. ур) хр. у
(Р' >~\Χρ\2\Υρ\2-<Χρ, V2'
а через компоненты тензора кривизны выражается так:
К (р, а) =
^i,j, k,l=l
gkJ*kl
(χΐγί-χίγ1) (xkYl-xlrk)
где σ определено векторами
Значение тензора Риччи Ry на векторе X связано с
секционной кривизной следующим образом: пусть векторы
X, Уь ... , Υη-ι образуют ортонормированный базис
в (ТМп)р, тогда
где ok — двумерное направление векторов X и Yk.
Классы римановых пространств.
Помимо общих (произвольных) римановых пространств
существуют римановы пространства, на к-рых могут
быть введены дополнительные структуры. Эти
структуры возникают тогда, когда непосредственно на метрику
или на кривизну накладываются те или иные условия
геометрического или алгебраич. характера. Таким
способом определяются важные классы римановых
пространств: многообразия постоянной секционной
кривизны (см. Пространственные формы), однородное
пространство, симметрическое пространство, эрмитовы и
кэлеровы многообразия, пространства Эйнштейна и т. д.
Обобщения. Развитие идей Р. г. и геометрии
в целом привело к ряду обобщений понятия Р. г.
Псевдориманова геометрия — теория
псевдориманова пространства. Псевдоримановым
пространством наз. дифференцируемое многообразие, на
к-ром задано поле знакопеременного симметричного
невырожденного тензора.
Финслерова геометрия — теория
дифференцируемого многообразия, на касательном
расслоении к-рого задана функция F(x, λ), однородная первой
степени по λ. Длина I кривой с (t) вычисляется:
1= С г F (с, 'c)dt.
Пространства ограниченной
кривизны — теория двумерных метрич. многообразий с
внутренней метрикой (без всяких предположений
гладкости), в к-рых определена интегральная кривизна
любого ограниченного борелевского множества. Сюда, в
частности, относится внутренняя геометрия выпуклых

1009 РИМАНОВА ГЕО!
поверхностей. Этот класс метрич. пространства можно
получить, присоединяя к двумерным римановым
пространствам двумерные метризованные многообразия,
метрика к-рых в окрестности каждой точки допускает
равномерное приближение римановыми метриками с
ограниченными в совокупности интегралами от абсолютной
гауссовой кривизны.
Пространства кривизны не больше
К — теория полных метрич. многообразий с
внутренней метрикой, в к-рых сумма верхних углов
треугольников, составленных из кратчайших, не превосходит
суммы углов треугольника на плоскости постоянной
кривизны К с такими же длинами сторон (кроме того,
предполагается, что любые две точки можно соединить
единственной кратчайшей).
См. также Геодезических геометрия, Конформная
геометрия, Риманово пространство обобщенное.
Лит.. [1] Ρ и м а н В., Соч., пер. с нем., М.—Л., 1948; [2]
Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный
анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Э й з е н χ а р τ Л. П., Риманова
геометрия, пер. с англ., М., 1948; [4] Г ρ о м о л Д., К л и н г е н-
бергВ., МейерВ., Риманова геометрия в целом, пер. с
нем., М., 1971; [5] А л е к с а н д ρ о в А. Д., Внутренняя
геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л., 1948; [6] Б у ρ а-
г о 10. Д., ЗалгаллерВ. Α., «Успехи матем. наук»,
1977, т. 32, в. 3, с. 3—55; [7] Μ и л н о ρ Д ж., Теория Морса,
пер. с англ., М., 1965; [8] К а ρ τ а н Э., Геометрия римановых
пространств, пер. с франц., М.—Л., 1936; [9] К и 1 к а г η i R. S.,
«Ann. Math.», 1970, v. 91, №2, p. 311—31; [10] W о 1 f J. Α.,
Spaces of constant curvature, N.Y., 1967. В. А. Топопогов.
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ — раздел рима-
новой геометрии, изучающий связи между локальными
и глобальными характеристиками римановых
многообразий (р. м.). Термин Р. г. в ц. обычно относят к
определенному кругу проблем и методов, характерных для
геометрии в целом. Основное место в Р. г. в ц. занимает
изучение связи между кривизной и топологией р. м.
При этом исследуются вопрос о топологическом и
метрик строении р. м. с данными условиями на кривизну
и вопрос о существовании на заданном гладком
многообразии римановой метрики с предписанными
свойствами кривизны {секционной кривизны Ко, Риччи
кривизны Шс, скалярной кривизны Кск). Большая часть
полученных результатов относится к пространствам с
кривизнами постоянного знака. Р. г. в ц. тесно
соприкасается с теорией однородных пространств и
вариационной теорией геодезических линий. О
подмногообразиях Р. м. см. в статьях Изометрическое погружение
и Погруженных многообразий геометрия.
Методы Р. г. в ц. носят синтетич. характер. Наряду
с локальной дифференциальной геометрией широко
используются теория дифференциальных уравнений и
Морса теория. Но основные достижения связаны с
нахождением удачных конструкций, напр. построением
замкнутых геодезических, минимальных пленок или
пленок из геодезических, орисфер, выпуклых множеств.
Исследованию топологии р. м. обычно предшествует
изучение их метрич. свойств. Последнее часто
осуществляется путем сравнения р. м. с подходящим эталонным
пространством (см. ниже теоремы сравнения).
Топологическое строение. Для
замкнутых поверхностей связь между кривизной и
топологией по существу исчерпывается формулой Гаусса —
Бонне. Среди замкнутых поверхностей метрику
положительной кривизны могут нести только сфера S2 и
проективная плоскость Р2, а нулевой кривизны — тор и
бутылка Клейна. Строение р. м. размерности л>2
известно хуже (1983). Вот примеры известных теорем.
Полное односвязное р. м. Мп с Κσ <0 диффеоморфно
R" (теорема Адамара — Картана),
причем для любой точки χ ζ Μη экспоненциальное
отображение ехр^ есть диффеоморфизм касательного
пространства ТхМп на Мп.
Для замкнутых р. м. с Κσ >0 имеет место следующая
теорема о сфере: полное р. м. Мп с 0<6<
1ТРИЯ В ЦЕЛОМ 1010
<.Κσ <1 наз. δ-з ащемленным; если оно одно-
связно и б>х/4, то Мп гомеоморфно Sn. Для четных η
граница здесь точная: при δ=ν4 существуют Мп, не-
гомеоморфные Sn, это — симметрические пространства
ранга 1 и только они. Для нечетных η теорема о
гомеоморфности Мп и Sn верна и при δ=1/4. При п<7, пфк,
гомеоморфность сфере Sn влечет диффеоморфность. При
η^Ί диффеоморфность сфере установлена при более
жестком, чем в теореме о сфере, защемлении
(достаточно взять 6>0,87, а при η -+■ оо взять 6>0,66).
Известно также, что при еще более жестком защемлении
(достаточно 6>0,98 и 6>0,66 при η -> оо) неодносвязное
Мп диффеоморфно пространству постоянной кривизны
(факторпространству Sn по дискретной подгруппе изо-
метрий). Есть ряд результатов об условиях на Ко,
обеспечивающих гомеоморфизм симметрич. пространству
ранга 1 (см. [14], [15]).
Открытое, т. е. полное некомпактное, р. м. с Ко >0
всегда диффеоморфно Rn. Множество XczMn наз.
абсолютно выпуклым, если каждая
геодезическая с концами в X вся лежит в X. Пусть Мп —
открытое р. м. с Ко^0, тогда в Мп существует вполне
геодезическое абсолютно выпуклое замкнутое
подмногообразие N такое, что Мп диффеоморфно пространству
ν (Ν) нормального расслоения N в Мп (если Ко >0, то
dim N=0). В случаях dim iV=l или η—ί, а для
однородных пространств — всегда, Мп даже изометрично
ν (Ν) со стандартной метрикой нормального расслоения.
При αι<3 это дает полную классификацию открытых
р. м. с ϋΓσ>0.
Прямой наз. полная геодезическая, кратчайшая
на любом своем участке. Теорема о цилиндре:
открытое Мп с Ко^0 изометрично прямому метрич.
произведению Mn~kxRk, 0</с<л, где Mn~k не
содержит прямых. Условие Ко^0 здесь можно заменить на
Ric>0.
Фундаментальная группа. При Κσ >0
и четном η замкнутое Мп либо ориентируемо и односвяз-
но, либо неориентируемо и фундаментальная группа
я1(Ми)= Ζ а; ПРИ нечетном η оно всегда ориентируемо,
но о п1(Мп) за пределами теоремы о сфере мало что
известно. Даже для Мп постоянной кривизны ϋΓσ = 1
полное описание возможных строений пг(Мп) для
нечетных η оказалось трудной задачей (см. [9]).
Если ϋΓσ = 0, то универсальное накрывающее Мп
пространства Мп изометрично R" и фундаментальная
группа щ{Мп) изоморфна дискретной группе изометрий
Rn без неподвижных точек; она содержит подгруппу
сдвигов конечного индекса. (Тем самым Мп допускает
конечное изометрич. накрытие плоским тором.)
Если в Мп все Ко <0, то Мп диффеоморфно R".
Поэтому все гомотопич. группы щ (Мп) для i>l
тривиальны, и гомотопич. тип определяется пх(Мп). Если Ка <0,
то лг(Мп) полностью некоммутативна в том смысле, что
любая абелева (и даже любая разрешимая) ее
подгруппа является бесконечной циклической. В случае Ка <0
известно следующее. Пусть Г — разрешимая подгруппа
пх{Мп). Тогда Г изоморфна дискретной группе
изометрий Кп (без неподвижных точек) и Мп содержит
компактное вполне геодезич. подмногообразие, изометрич-
ное Rw/r. Вместо Ко <0 достаточно при этом
потребовать отсутствия на геодезических сопряженных точек.
Для двух многообразий одинаковой постоянной
отрицательной кривизны и одинаковой размерности тг^З
изоморфизм πχ влечет изометрию (теорема
Место в а).
Римановы многообразия, для к-рых max \Κσ\Χ
Xdiam Λί"<ε, наз. ε-п л о с к и м и. Такие
многообразия могут при произвольном ε>0 топологически
отличаться от локально плоских. Для них при любом тг^2
существует такое гт что для ε^-плоского Мп в лг(Мп)

1041 риманова гео
есть нильпотентная подгруппа конечного индекса. При
этом Мп допускает конечное (с кратностью, зависящей
лишь от п) накрытие, диффеоморфное факторпростран-
ству нильпотентной группы Ли по ее дискретной
подгруппе (см. [8]).
Полное р. м. с кривизной Ric>a>0 имеет конечный
diam Мп<сл/Уа и потому конечную группу π^Μ").
Если для замкнутого Мп Ric^O, то существует такая
конечная нормальная подгруппа ТСпг(Мп), что π1/Γ^—
дискретная группа изометрий R*, 0<Α;<:αι, причем Мп
разлагается в прямое метрич. произведение Μ*χ№,
где М* замкнуто, разложение инвариантно
относительно пг(Мп), а Г — тривиальна на &Ь.
Наряду с изучением π1(Μ") получены с помощью
теории гармонических дифференциальных форм нек-рые
оценки для чисел Бетти bk для δ-защемленных Мп. Так,
Ь2=0 при 6>(л—3)(4ai—9)-1 и нечетном л>5.
Теоремы сравнения. Многие глобальные
свойства р. м. доказываются путем сравнения
конструкций в изучаемом р. м. с аналогичными
конструкциями в эталонном пространстве. В качестве последнего
берут многообразие постоянной кривизны, реже —
другое симметрич. пространство. Ниже с - п л о с-
костью называем IR2 при с=0, сферу £? радиуса
с"1/* при с>0, плоскость Лобачевского кривизны с при
с<0.
Многочисленные применения имеет следующая
теорема Топоногова сравнения углов.
Пусть в р. м. Мп все Ка^с и ах, а2, а3 — углы
треугольника из кратчайших, а а[, а2, а^ —
соответствующие углы треугольника с теми же длинами сторон на
с-плоскости; тогда аг>а;. Если Κσ <:с и любые две
точки сторон рассматриваемого в Мп треугольника
соединимы единственной кратчайшей, то аг<а;. Эта теорема
эквивалентна следующему условию
выпуклости: если в Мп кратчайшие ab, ас образуют тот же
угол, что кратчайшие а'&', а'с' тех же длин на с-плоско-
сти, то рМп(Ь, с)<рс(6', с'). Здесь по существу
сравнивается быстрота расходимости кратчайших.
В теореме сравнения Рауха
сравниваются скорости движения концов Ъ и &' кратчайших
ab, а'Ь' в двух р. м. Мп и М'п при условии, что ah и а'Ъ'
поворачиваются вокруг своих начал а, а' с одинаковой
скоростью в условиях, когда (при нек-ром естественном
сопоставлении) секционные кривизны в Мп не меньше,
чем в М'п. Тогда скорость движения Ъ не больше, чем
скорость Ъ'. В основном случае (при сравнении с с-пло-
скостью) теорема Рауха равносильна инфинитезималь-
ному варианту теоремы сравнения углов.
Имеются аналоги теоремы Рауха, в к-рых точки я, а'
смещаются по гиперповерхностям, к к-рым ab, а'Ь'
остаются ортогональными. Есть также теоремы
сравнения для ооъемов трубчатых окрестностей
подмногообразий (см. [13], [16]).
Экстремальные теоремы. Теоремы
сравнения приводят к оценкам таких характеристик Мп,
как диаметр, радиус инъективности, длина замкнутой
геодезической, объем шара данного радиуса и т. п.
Ответы на вопросы о случаях достижения равенства в
таких оценках дают экстремальные теоремы.
Для Мп с К0^1 всегда diam Ми<л. Равенство
достигается только для единичной сферы. Если Мп
замкнуто и 0<Ко <1 при четном η или 1/4<Ζσ <1 при
нечетном п, то радиус инъективности rin(Mn)^n и длина
замкнутой геодезической ^2π, Если при этом в Мп есть
замкнутая геодезическая γ длины 2π, то при четном η в
Мп существует вполне геодезич. поверхность,
содержащая у и изометричная £?, а при 1/4<KG <1, независимо
от четности л, Мп изометрично S\ (см. [6]). Объем шара
СТРИЯ В ЦЕЛОМ 1012
D радиуса r<rin(Mn) в Мп с Ко <:с(Ка^с) не меньше
(не больше), чем объем шара Dс того же радиуса в
пространстве постоянной кривизны с, с равенством, лишь
если D изометрично Dc.
Экстремальные теоремы не всегда связаны с оценками
кривизны. Пусть, напр., на замкнутой поверхности F
для любой точки множество точек, ей сопряженных,
состоит из единственной точки. Тогда F изометрично
сфере.
Конечность топологических типов.
Среди замкнутых р. м. с равномерно ограниченными
кривизнами и ограниченными снизу радиусами
инъективности Vol Mn<Cu rin>C2>0, Ka<C3, есть лишь
конечное число попарно гомотопически
неэквивалентных, а при замене Κσ <С3 на \К$ |<С3 — лишь
конечное число попарно негомеоморфных. В этом
утверждении условие г|-и>С2>0 можно заменить
обеспечивающими его, но легче проверяемыми условиями Vol Mn^
>С4>0, diam М*<СЪ (см. [14]).
Для р. м. со знакопостоянными Κσ условия,
обеспечивающие конечность их топологич. типов,
упрощаются. Напр., для четных η и Κσ >0 достаточно условия
max K0 <C min Ко.
При л>3 для Мп с — 1<ϋΓσ <0 справедлива оценка
Vol Mn>>C(\-\-diam Mn). Поэтому при пфЪ конечно
число топологич. типов замкнутых р. м.,
удовлетворяющих условиям Vol Мп<Сг, С2<К0 <0. Но при п—3
существует бесконечная серия попарно негомеоморфных
М3, удовлетворяющих условиям (см. [12]).
Метрики с заданной кривизной.
Пусть χ — эйлерова характеристика замкнутой
поверхности М2. Чтобы гладкая функция / на Мп была
кривизной нек-рой римановой метрики на М2,
необходимо: max />0 при χ>0, min /<0 при χ<0 и / меняет
знак или /=0 при χ—0. Эти условия и достаточны.
Условие \Λ|2ω=2πχ необходимо и достаточно, чтобы 2-
форма (ύ была формой кривизны ω= \ К dS римановой
метрики на М2. Если М2 — открытое подмногообразие
замкнутого многообразия N2, то любая гладкая / на М2
есть кривизна нек-рой (быть может, неполной)
римановой метрики на М2. Необходимые и достаточные
условия, при к-рых / есть кривизна полной римановой
метрики на некомпактной поверхности, выяснены (1983)
лишь для конечносвязных поверхностей.
С ростом размерности число независимых компонент
тензора кривизны растет быстрее числа компонент
метрич. тензора. Условия, при к-рых данное поле
тензора служит, хотя бы локально, полем тензора
кривизны нек-рой метрики, неизвестны (1983). Но для
скалярной кривизны при л>2 каждая гладкая функция / на
замкнутом Мп, для к-рой min /<0, является скалярной
кривизной нек-рой римановой метрики на Мп (см. [4]).
Существуют многообразия, не допускающие метрики с
положительной скалярной кривизной, напр.
трехмерный тор (см. [5]).
Выпуклые функции. Существование на р. м.
Мп скалярной функции /, выпуклой вдоль любой
геодезической, налагает жесткие ограничения на строение
такого Мп. Напр., если на Мп есть выпуклая функция
/, то Vol Mn—oo. Если / строго выпукла и при любом
с компактны множества /_1(с), то Мп диффеоморфно R".
В ряде случаев выпуклые функции удается
построить. Напр., при Ко <0 выпуклы функции fi(x)=p(r, ρ),
/2(s)=p(s, Ρ)2, ρ£Μη. Если Κσ<0 и у: Мп -> Мп —
изометрия, то выпукла функция бу(х)~р(х, ух). При
К0 >0 существуют выпуклые / с компактными /_1(с);
это связано с абсолютной выпуклостью (при Ко ^0)
дополнений к оришарам и с тем обстоятельством, что
при #σ>0 выпуклость множества UdMn влечет
выпуклость множества {χζϋ : р(х, dU)^t).

1013 риш
Изучались и проблемы Р. г. в ц. для р. м. с
дополнительными структурами, напр. для кэлеровых
многообразий (см. [10]).
Лит.: [ЦГромол Д., Клингенберг В., Мейер
В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Б у -
ρ а г о Ю. Д., 3 а л г а л л е ρ В. Α., «Успехи матем. наук>>,
197 7, т. 32, в. 3, с. 3-55; [3]CheegerJ.,EbinD.,
Comparison theorems in riemannian geometry, Amst.— Oxf.—N. Y.,
1975; [4] Исследования по метрической теории поверхностей,
пер. с англ. и франц., М., 1980; [5] S с h о е η R., Y a u S.,
«Ann. Math.», 1979, v. 110, p. 127—42; [6] Τ ο по н о г о в В. Α.,
«Сиб. матем. ж.», 1974, т. 15, № 6, с. 1348—71; [7] G г о m о ν Μ.,
LawsonB., «Ann. Math.», 1980, V. Ill, №2, p. 209—30;
[8] BuserP., KaraherH., Gromov's almost flat
manifolds, «Asterisque», 1981, v. 81; [9] В о л ь ф Дш.,
Пространства постоянной кривизны, пер. с англ., М., 1982; [10]
Goldberg S., Curvature and homology, N. Υ., 1963; [И] Б ее с е Α.,
Многообразия с замкнутыми геодезическими, пер. с англ., М.,
1981; [12] Thurston W., The geometry and topology of 3
manifolds, Preprint, Princeton, 1978; [13] Heintze E.,
Karcher H., «Ann. scient. Ecole norm, super.».. 1978, v. 11,
№ 4, p. 451—70; [14] Cheeger J., «Amer. J. Math.», 1969,
v. 91, No 3, p. 807—34; [15] Μ i n-O o,· Ruh E., «Ann. scient.
Ecole, norm, super.», 1979, v. 12, p. 336—53; [16] Gray Α.,
«Topology», 1982, v. 21, № 2, p. 201—28.
Ю. Д. Бураго, В. А. Топоногов.
РИМАНОВА КРИВИЗНА — мера отличия метрик
риманова и евклидова пространств. Пусть Μ — точка
риманова пространства, F — двумерная регулярная
поверхность х(—х1(и, ν), проходящая через Μ, L —
простой замкнутый контур на F, проходящий через М,
σ — площадь участка поверхности, ограниченного
контуром L. Пусть произвольный вектор а1', касательный к
поверхности F (т. е. линейно выражающийся через
векторы -— , —— ), перенесен параллельно по L. Тогда
составляющая перенесенного вектора, касательная к F,
окажется повернутой по отношению к ai на угол φ
(положительное направление отсчета углов должно
совпадать с направлением обхода L). Если при стягивании
L в точку Μ существует предел
ύ
то он наз. римановой кривизной (кривизной
риманова пространства) в данной точке в направлении
двумерной поверхности; Р. к. зависит не от
поверхности, а лишь от ее направления в точке Μ, т. е. от
направления двумерной плоскости касательного евклидо-
ва пространства, содержащего векторы — , — .
ди dv
Р. к. К связана с тензором кривизны формулой
где
Xml -= JL (дхГПдх1 дх1дхт\
~2 \ ди dv ди dv J '
причем параметры и, ν выбраны так, что площадь
параллелограмма, построенного на векторах ~ , ?ΐ_ ,
равна 1.
По материалам ст. Риманова геометрия в БСЭ-3.
РИМАНОВА МЕТРИКА — метрика пространства,
задаваемая положительно определенной квадратичной
формой. Если в пространстве Vn введена локальная
система координат (х1, ... , хп) и в каждой точке X (ж1, ... ,
... , χη)ζ Vn определены функции #гу(Х), i, /=1, 2, ... ,
η, det (gij) >0, gij(X) — gji(X), являющиеся
компонентами ковариантного симметричного тензора второй
валентности, то этот тензор наз. основным
метрическим тензором пространства Vn. С
помощью основного тензора выражается длина ds контрава-
риантного вектора (dx1, ... , dxn):
ds2 — gij (X) dx1' dxi\
форма gijdxldxJ является положительно определенной
квадратичной формой. Метрика пространства Vn,
определенная с помощью формы ds2, наз. римановой, а про-
ОВА 1014
странство с введенной в нем Р. м. наз. римановым
пространством. Задание Р. м. на нек-ром
дифференцируемом многообразии означает задание на этом
многообразии евклидовой структуры, дифференцируемым образом
зависящей от точки.
Р. м. является обобщением первой квадратичной
формы поверхности в трехмерном евклидовом
пространстве — внутренней метрики поверхности. Геометрия
пространства Vn, основанная на определенной Р. м., наз.
римановой геометрией.
Существуют обобщения понятия Р. м. Так, псевдо-
риманова метрика определяется с помощью
неопределенной квадратичной формы (см. Псевдориманово
пространство и Относительности теория). Вырожденная
Р. м., то есть метрич форма, определенная с помощью
функций gij(X), для к-рых det(g,y)=0, определяет не-
к-рое полуриманово пространство.
Лит.: [1] Э й з е н χ а р τ Л. П., Риманова геометрия, пер.
с англ., М., 1948; [2] Ρ а ш е в с к и й П. К., Риманова
геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] ρ и м а н Б.,
О гипотезах, лежащих в основании геометрии, пер. с нем., в кн.:
Об основаниях геометрии, М., 1956. Л. А. Сидоров.
РИМАНОВА ОБЛАСТЬ, комплексное
(аналитическое) многообразие над Сп,—
аналог римановой поверхности аналитич. функции w=
=f(z) одного комплексного переменного ζ для случая
аналитич. функции w=f(z), z=(zt, ..., ζ„), многих
комплексных переменных zlt ..., ζη, τι>2.
Точнее, линейно связное хаусдорфово топологич.
пространство R наз. (абстрактной)
римановой областью, если существует локальный
гомеоморфизм (проекция) π : R ->· Сп такой, что для
каждой точки Po£R существует окрестность U(р0\ ε),
гомеоморфно отображающаяся на нек-рый поликруг
D(**; β) = {i = (ib ..., *«)£€«:
\zj — z°i\ < ε, / = 1, ..., η)
в комплексном пространстве Сп. Р. о. сепарабельна.
Комплексная функция g наз. голоморфной
на R, если для любой точки p0£R функция g [π~1(ζ)]
от η комплексных переменных ζχ, ..., ζη голоморфна в
соответствующем поликруге D (я0; ε). Проекция π
задается набором η голоморфных функций п=(пг, ..., π„),
соответствующих координатам гг, ..., ζη в С". Исходя
из данного регулярного элемента аналитич. функции
w—f(z), ее Р. о. строится аналогично тому, как строится
риманова поверхность данной аналитич. функции
одного комплексного переменного, т. е. сначала
посредством аналитич. продолжения строится полная
аналитическая функция w—f(z), а затем с помощью
окрестностей вводится топология на множестве элементов
полной аналитич. функции. Так же, как и римановы
поверхности, Р. о. неизбежно возникают при аналитич.
продолжении данного элемента аналитич. функции,
когда полную аналитич. функцию w—f(z) стремятся
представить, следуя идеям Б. Римана (В. Riemann), как
однозначную функцию точки соответствующей Р. о.
В частности, Р. о. возникают как многолистные
голоморфности области аналитич. функций многих
комплексных переменных. Теорема Ока утверждает,
что Р. о. является областью голоморфности тогда и
только тогда, когда она голоморфно выпукла (см.
Голоморфно выпуклое комплексное пространство).
Современное изучение Р. о. проводится в рамках
общей теории аналитич, пространств. Обобщение
понятия области голоморфности приводит к Штейна
пространствам.
Лит.: [1] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
2 изд., ч. 2, М., 1976; [2] Г а н н и н г Р., Ρ о с с и X.,
Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ.,
М., 1969; [3] X е рмандер Л., Введение в теорию функций
нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1968.
Е. Д. Соломенцев.

1015 РИМАНОВА
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ аналитической
функции w—f (ζ) комплексного
переменного ζ — поверхность R такая, что данная
полная аналитическая функция w=f(z), вообще говоря
многозначная, может рассматриваться как однозначная
аналитич. функция w=F(p) точки ρ поверхности R.
Понятие Р. п. возникло в связи с изучением алгебра-
ич. функций w=/(z), определяемых алгебраич.
уравнением
а0 (ζ) шт+аг (ζ) и>"-г+ ...+am{z)=0,
(1)
поверхность 1016
к-рых случаях в определении А более удобно допускать
конформное отображение не только I рода, но и II рода.
Получающаяся при таком подходе Р. п. с краем R (или
без него) не является уже, вообще говоря,
ориентируемой, но в предположении ее конечности она может
быть вложена конформно в ориентируемую замкнутую
Р. п.— дубль римановой поверхности R (см. [8]).
Пусть аналитич. функция w=f(z) задана одним из
своих регулярных элементов (α, Ρ)=(α, Ρ (ζ—α)), τ. е.
парой, состоящей из точки а£С и степенного ряда
где aj(z), /=0, ..., т,— многочлены с постоянными
коэффициентами, α0(ζ)=£0, ат(т,)ф0. В работах В. Пюи-
зё (V. Puiseaux, 1850—51) было достигнуто ясное
понимание многозначности, присущей этим функциям
w=f(z), когда каждому значению переменного ζ
ставится в соответствие т значений переменного w. Б. Ри-
ман (В. Riemann, 1851—57, см. [1]) впервые показал, как
для любой алгебраич. функции построить поверхность,
на к-рой ее можно рассматривать как однозначную
рациональную функцию точки. Полученную Р. п. можно
отождествить с алгебраич. кривой, определяемой
уравнением (1). Вообще, для всего дальнейшего развития
теории Р. п., связанного с именами Φ. Клейна (F. Klein),
А. Пуанкаре (Н. Poincare), П. Кёбе (P. Koebe)
и др., характерно (то усиливающееся, то несколько
ослабевающее) взаимопроникновение, с одной стороны,
идей и методов теории функций комплексного
переменного, с другой — алгебры и алгебраич. геометрии.
Важной вехой в этом развитии явилось первое издание
книги Г. Вейля [18], в к-рой было сформулировано
общее понятие абстрактной Р. п.
Определение А: связное хаусдорфово топо-
логич. пространство R наз. абстрактной
римановой поверхностью, или просто ρ и-
мановой поверхностью, если оно
допускает покрытие открытыми множествами U с
соответствующим каждому множеству U гомеоморфным
отображением α : £/->£>, где D={z£C : U|<1} есть единичный
круг на плоскости С комплексного переменного ζ,
причем если точка ρ ζ R принадлежит U и U', то взаимно
однозначное соответствие ζ'=α'α-1(ζ) есть конформное
отображение I рода в окрестности точки α (ρ) ζ D, то
есть z,=afa"1(z) есть однолистная аналитич. функция в
окрестности точки α (ρ) ζ D. Иначе говоря, абстрактная
Р. п. есть двумерное комплексное аналитич.
многообразие.
Определение римановой поверхности с
краем R отличается от определения А тем, что
наряду с гомеоморфизмами α : U ->- D допускаются
гомеоморфизмы a: U-+DS, где d£={z£C : |z|<l, lmz>0}
— единичный полукруг на плоскости С, причем
обычно предполагается, что R не является Р. п. в
смысле определения А. Точки Р. п. с краем R, имеющие
окрестности, гомеоморфные D, наз. внутренними, а
остальные точки, отображающиеся в точки отрезка
{z = x+iy£C: — l <x<i, г/ = 0},
образуют край dR. Совокупность внутренних точек R
(внутренность R) есть Р. п. в смысле
определения А. Таким образом, в случае Р. п. с краем обычно
край предполагается непустым множеством.
Р. п. (или Р. п. с краем) есть триангулируемое и
ориентируемое многообразие со счетной базой, к-рое,
следовательно, сепарабельно и метризуемо. Компактная
Р. п. (без края) наз. замкнутой Р. п.; более
широкий класс конечных Р. п. включает замкнутые
Р. п. и компактные Р. п. с краем, состоящим из
конечного числа связных компонент. Некомпактные Р. п. с
краем или без него наз. открытыми Р. п. В не-
Ρ(ζ-α) = 2"=0*ν(*-α)ν
с центром а и радиусом сходимости г (а), 0<г(а)<оо.
Аналитическое продолжение элемента (α, Р) вдоль
всевозможных путей в расширенной плоскости С
позволяет получить все регулярные элементы такого же типа
(Ьу <?), составляющие в совокупности полную аналитич.
функцию, к-рую мы будем продолжать обозначать w=
=f(z). Кроме того, при аналитич. продолжении
появляются элементы более общей природы
(6, s)=(b, ε(γΊ=Ί)),
т.е. пары, состоящие из точки Ь£С и обобщенного
степенного ряда (ряда Пюизё):
*(/~»)=Sv=mM*-*)v/n
или (в случае, когда Ь=оо —бесконечно удаленная
точка):
^^i/n)=s:=mv-v/n.
где т — целое, ал — натуральное числа, причем эти
ряды сходятся соответственно при \z—b]<r(b) или при
|z|>r(oo)>0. Обобщенные элементы (Ь, S), а точнее
их классы эквивалентности, составляют в совокупности
аналитический образ Af, соответствующий данной
аналитич. функции w=f(z). Среди составляющих
аналитич. образ классов эквивалентности элементов (fc, S)
различаются регулярные с п= 1 и разветвленные с η >1.
Введение подходящей топологии на аналитич. образе
Af превращает его в Р. п. Ry аналитич. функции w—
=f(z). Это получается, напр., если задавать
окрестность элемента (fc, S), Ьфоо, как множество, состоящее
из самого элемента (Ь, S) и всех тех регулярных
элементов (а, Р) из Af, для к-рых \Ь—а]<ри, p<r(b) и ряд
Ρ (ζ—а) сходится к одному из η определений ряда
S (\/z—b) в их общей области определения, т. е.
где ε — один из корней из единицы степени /г, еи=1.
Окрестность элемента (оо, S) состоит из самого
элемента (оо, S) и всех тех регулярных элементов (α, Ρ) из Af,
для к-рых \а\ >р~п, p<r(b) и ряд Ρ (ζ—а) сходится к
одному из η определений ряда S(z-i/n). Пространство Rf
удовлетворяет всем условиям определения А.
Таким образом, каждой аналитич. функции w=f(z)
соответствует Р. п. R/, на к-рой эта функция
представляется как однозначная аналитич. функция точки w—
= F(p), p=(b, S)£R/. Это означает, что в окрестности
любой точки р0=(Ь, S) существует локальный униформи-
зирующий параметр t=ri/z—6, через к-рый w
выражается как однозначная аналитич. функция w=P(t)=^
= F(p). Иначе говоря, Р. п. Rf аналитич. функции есть
геометрич. конструкция для глобальной униформиза-
ции многозначного, вообще говоря, соотношения w=
=f(z). В окрестности каждой точки p0=(b, S)£Rf оно
униформизируется посредством двух однозначных
аналитич. функций z—b-\-tn и w=S(t). С другой стороны,

1017
РИМ АН ОВ А ПОВЕРХНОСТЬ
1018
отображение проектирования Π : (Ь, £) -> Ь, ставящее
в соответствие каждому элементу p0=(b, S)£Rf его
центр 6, показывает, что Р. п. Rf аналитич. функции
есть (разветвленная) накрывающая поверхность над
расширенной комплексной плоскостью С или, что то
же, над Римана сферой. Проекции разветвленных
элементов (Ь, 5) с /г>1 суть точки ветвления этого
накрытия.
В то же время каждой априори заданной Р. п. Л
соответствует бесконечно много аналитич. функций w=
=f(z), для к-рых именно R является их Р. п., Rf=R.
Это утверждение для случая замкнутых Р. п. было
высказано и обосновано еще Б. Риманом в 1851.
Центральным пунктом соответствующего доказательства
является конструкция гармонич. функций на R с заданными
особенностями. Данное Б. Риманом обоснование
опиралось на некритич. применение т. н. Дирихле
принципа; строгое доказательство впервые было дано П.
Кебе (1909); позднее были даны более простые
доказательства этого фундаментального положения, в том числе
и опирающиеся на надлежащим образом применяемый
принцип Дирихле (см., напр., [3], [4], [17], [18]).
Какова бы ни была ориентируемая топологич.
поверхность S, можно построить Р. п. R, гомеоморфную
S, т. е. построить Р. п. R того же топологич. типа, что
и S. Замкнутые Р. п. топологически вполне
характеризуются одним числом — родом g, 0<g<+oo.
Топологич. тип такой Р. п. Л при g=Q есть сфера, при g=
— 1 — тор, при g>l — обобщенный тор, или сфера с g
ручками. Разрезав Р. п. R рода g=Q вдоль нек-рой
дуги, получают в качестве ее топологич. модели, или
нормальной формы, двуугольник с символомs=aa~1,
указывающим, что точки сторон α и а-1
отождествляются; при g^l необходимо сделать 2g канонических
разрезов аг, &!, ..., ag, bg, после чего получается нормальная
форма замкнутой Р. п. R — многоугольник с 4g
сторонами, попарно отождествляемыми, символ s=a2 ...
должен указывать порядок следования сторон. Напр., на
рис. 1 изображены нормальные формы сферы при ^=0 и
тора при g= 1 с их символами. С аналитич. точки зрения
замкнутая Р. п. R характеризуется тем, что она есть
Р. п. нек-рой алгебраич. функции w=f(z),
определяемой алгебраич. уравнением (1) степени т. Эту Р. п. R
можно представлять себе также в виде т листов, про-
Рис. 1.
стирающихся над сферой Римана и определенным
образом соединяющихся между собой в точках ветвления
и вдоль нек-рых линий, соединяющих эти точки (способ
соединения определяется конкретным видом
уравнения (1)). При этом род g Р. п. Л выражается через число
листов т и порядки /сх, ..., ks точек ветвления
Римана — Гурвица формулой
ν=ι-ΊΓ--™+1·
Конечные Р. п. R топологически вполне
характеризуются родом g, 0<:g<oo, и числом I связных
компонент края, 0<Z<oo; их топологич. типом является
сфера с g ручками и I отверстиями. В нормальной форме
конечной Р. п. число сторон не обязательно четное,
нек-рые стороны, соответствующие компонентам края,
остаются свободными, не отождествляются. Понятие
рода обобщается и для открытых Р. п. R, напр. при
помощи исчерпания R последовательностью {ΛνΙν^ι
принадлежащих R компактных Р. п. с краем Rv
таких, что Rv содержится внутри i?v+i, (Jv«=ii?v=#.
Род g Р. п. R полагают равным g=lim gv, где g — род
V-*oo
Rv Этот предел существует и не зависит от выбора
исчерпания {Rv}, 0<g<+oo. Однако род не полностью
определяет топологич. тип открытой Р. п.; топологич.
типы открытых Р. п. могут быть весьма
разнообразными. Так, на рис. 2 изображены две модели с g=0 и
Важной топологич. характеристикой Р. п. R
является порядок связности: R наз. односвязной,
если любую простую замкнутую кривую на R можно
непрерывно деформировать в точку, не выходя за
пределы R, т. е., иначе говоря, если фундаментальная
группа поверхности R тривиальна. В противном
случае Р. п. R наз. многосвязной. Важный класс
составляют Р. п., подобные однолистным:
так наз. Р. п. (с краем или без края), к-рые разделяются
любой простой замкнутой кривой на две
непересекающиеся части. Напр., на рис. 2, а представлена
топологич. модель многосвязной Р. п., подобной однолистной.
Р. п., подобная однолистной, необходимо имеет род
нуль. Р. п. R, подобная однолистной, наз. п-с вяз-
Рис. 2.
ной, если минимальное число разрезов,
превращающих R в односвязную Р. п., равно η—1, ή^ί (см.
рис. 2, б).
Топологич. свойства Р. п. R отнюдь не определяют
полностью аналитич. свойства i?, т. е. топологич.
свойства R не определяют полностью поведение функций
различных классов на Л. В частности, пусть / : Лх->
-> R2 — функция на Р. п. R1 со значениями на другой
Р. п. i?2. Функция / наз. аналитической на /?х, если для
любой точки р0£#г, /(Po^tfo* можно найти локальные
униформизирующие параметры соответственно t=(p(p)
в окрестности р0 на R1 и τ=ψ (q) в окрестности q9 на R2
такие, что сложная функция
τ = φ{/[φ-1 (')]} = *(*)
является аналитич. функцией комплексного
переменного t в окрестности значения t0=(p(p0). Две Ρ· π· Ri и
R2 наз. конформно эквивалентными,
или принадлежащими одному и тому же конформному
классу, если существует аналитич. функция f : R1-^·
->i?2, взаимно однозначно отображающая Rx на i?2.
С точки зрения поведения аналитич. функций на Р. п.,
конформно эквивалентные Р. п. следует рассматривать
как одну и ту же Р. п., но топологически эквивалентные
Р. п. не всегда являются конформно эквивалентными.
Применительно к Р. п. можно следующим образом
сформулировать теорему Римана о
конформном отображении: всякая односвяз-
ная Р. п. R конформно эквивалентна одной из трех_об-
ластей: 1) расширенной комплексной плоскости С —
= С (J {оо }, или сфере Римана (эллиптический

1019 риманова
случай); 2) конечной комплексной плоскости С,
или сфере Римана с одной выколотой точкой
(параболический случай); 3) единичному кругу D—
= {z£C : |ζ|<1} на плоскости С, или сфере Римана с
разрезом положительной длины
(гиперболический случай). Важный результат состоит в том,
что любая Р. п., подобная однолистной, конформно
эквивалентна нек-рой канонич. области расширенной
комплексной плоскости. В качестве такой канонич. области
можно взять всю расширенную плоскость с конечным
или бесконечным числом разрезов, параллельных
действительной оси, причем нек-рые из этих разрезов могут
вырождаться в точки. Как указано выше, в случае од-
носвязной Р. п. канонич. область либо не имеет ни
одного разреза (эллиптический тип), либо
разрез вырождается в точку (параболический
тип), либо разрез имеет положительную длину (г и-
перболический тип). Все три типа односвяз-
ных Р. п. конформно различны, хотя последние два из
них топологически эквивалентны. Проблема ти-
π а, пока (1983) не получившая полного решения,
состоит в разыскании дополнительных условий на одно-
связную Р. п., при к-рых она принадлежит
гиперболическому или параболич. типу (см. [6], [7], [10], [11]).
В общем случае произвольной Р. п. R односвязной
Р. п. будет всегда ее универсальная накрывающая
поверхность R, к-рая, следовательно, принадлежит
одному из трех указанных типов. Сама Р. п. Я считается
Р. п. эллиптического, параболическо-
г о или ги перболического типа в соответствии
с тем, какого типа будет ее универсальная
накрывающая R. Эта классификация Р. п. оправдывается
следующими соображениями. Пусть D — одна из трех
областей: расширенная комплексная плоскость, конечная
комплексная плоскость или единичный круг, а Λ —
нек-рая группа дробно-линейных отображений области
D на себя (автоморфизмов), не имеющая неподвижных
точек в D. Конформное отображение w=W(q)
универсальной накрывающей R на D переводит группу Λ
преобразований накрытия R, изоморфную
фундаментальной группе %(i?), в нек-рую группу Λ автоморфизмов
области D. При этом w= W(q) можно рассматривать как
конформное отображение факторпространства И/А на
факторпространство D/A, а Й/А можно отождествить
с R. Таким образом, w— W(q) можно рассматривать как
конформное отображение Р. п. R на
факторпространство D/A с нек-рой группой автоморфизмов Λ,
изоморфной фундаментальной группе %(#).
Так как Р. п. R эллиптич. типа обязательно односвяз-
на, то группа Λ тривиальна, а значит, такая Р. п. есть
обязательно Р. п. функции, обратной рациональной.
Односвязная Р. п. параболич. типа обязательно
является Р. п. функции, обратной мероморфной в
конечной плоскости. Компактная Р. п. рода g=0, g— 1 и g>l
является соответственно Р. п. эллиптического,
параболического и гиперболич. типа.
В связи с конформной эквивалентностью Р. п.
возникает также вопрос о строении группы Σ конформных
автоморфизмов Р. п. Я. За нек-рыми простыми
исключениями эта группа Σ дискретна, а для компактных
Р. п. рода g>l она конечна (теорема Шварца).
Исключительных случаев, когда группа Σ непрерывна,
всего семь, а именно (указаны представители
соответствующих конформных классов): сфера в эллиптич.
случае; сфера с одной или двумя выколотыми точками и тор
в параболич. случае; круг, круг с выколотой точкой и
кольцо в гиперболич. случае.
Важное значение имеет также проблема
модулей Р. п. в различных постановках. Это вопрос о
возможном описании разнообразия конформно неэквива-
>верхность 1020
лентных Р. п. того или иного вида. Напр., легко
устанавливаются следующие положения. Множество видов
конформно неэквивалентных двусвязных Р. п.,
подобных однолистным (колец), зависит от одного
действительного параметра (модуля) /с, 0</с<1; т.е. два
кольца 0<rv <|s| <i?v , ν=1, 2, конформно
эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают отношения их
радиусов: k=(r1/R1)—(r2/R2)- Множество видов
конформно неэквивалентных тг-связных Р. п., подобных
однолистным, при п>2 зависит от Ъп — 6 действительных
параметров. Множество видов конформно
неэквивалентных замкнутых Р. п. рода g>l при g=l зависит от
двух действительных параметров, а при g>l — от
6g — 6 действительных параметров (см. Римановых
поверхностей конформные классы, а также [3], [12], [13],
[15], [16]; относительно поведения функций других
классов на Р. п. см. Римановых поверхностей
классификация).
Важным аспектом теории Р. п. является связь с
понятием униформизации. Для многозначной, вообще
говоря, аналитич. функции
w = f(z) (2)
ее Р. п. Rf дает геометрич. средство униформизации:
многозначное соотношение (2) заменяется двумя
однозначными представлениями:
w = F(p), z^g(p), p£Rf, (3)
выражающими переменные ζ и w однозначно во всей
области существования функции (2) как полной
аналитич. функции. С другой стороны, подход К. Вейерштрас-
са (К. Weierstrass) к построению понятия полной
аналитич. функции (2) состоит в использовании локального
униформизирующего параметра £, позволяющего
выразить переменные гиш аналитически в виде однозначных
аналитич. функций z=z(t) и w=w(t) локально в
окрестности нек-рой точки (з0, w0), w0=f(z0). Задача
униформизации в ее простейшей классич. постановке есть
задача синтеза этих двух идей. Требуется заменить
соотношение (2) во всей области его определения двумя
аналитич. представлениями z=z(t), w=w(t), где t —
униформизирующее комплексное переменное,
изменяющееся в нек-рой области на плоскости.
Возможность униформизации в указанной постановке
установлена П. Кёбе и независимо А. Пуанкаре почти
одновременно в 1907. Если Р. п. Rf функции (2) одно-
связна или подобна однолистной, то задача
униформизации сводится к построению конформного
отображения φ : R/-> D Р. п. Rf на плоскую область D.
Представления (3) тогда дают искомую униформизацию:
г^ф-ЧОЬ w = F[cp-i(t)], *€*>·
Конформное отображение / на плоскую область
существует для Р. п. Rf, подобных однолистным, и
только для них (общая теорема
униформизации).
В общем случае произвольного аналитич.
соотношения (2) Р. п. Rf не является подобной однолистной,
но ее универсальная накрывающая Rf односвязна, и
следовательно, существует конформное отображение
ψ: Rf-^D,
где D — одна из упоминавшихся областей: С, С или
единичный круг. Функция w=f(z) мероморфна на Р. п.
Rf, а следовательно и на Rf, причем она зависит только
от проекции p=p(q), p£Rf, точки q^Rf. Таким
образом, получается геометрич. униформизация в виде
z=g[p(q)], w = F [p (q)],

1021
РИМАНОВО
1022
а отсюда и аналитич. униформизация:
*=g{p№-1(t))} = W(t),
w = F{p№-*(t)]} = <b(t), t£D,
где ζ и w выражаются как мероморфные функции Φ (t)
и Ψ (t) переменного t£D. Эти функции Φ (t) и Ψ (t) суть
автоморфные функции в области D относительно группы
автоморфизмов Λ, изоморфной фундаментальной
группе π* (RA Р. п. Rf униформизируемой функции (см. [3],
[7], [15], [16]).
Лит.: [1] Риман В., Соч., пер. с нем., М.—Л., 1948;
[2] м а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций,
2 изд., т. 1—2, М., 1967—68; [3] Г у ρ в и ц Α., К у ρ а н τ Р.,
Теория функций, пер. с нем., М., 1968; [4] С той лов С,
Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 1—2,
М., 1962; [5] его же, Лекции о топологических принципах
теории аналитических функций, пер. с франц., М., 1964; [6]
Спрингер Д ж., Введение в теорию римановых
поверхностей, пер. с англ., М., i960; [7] НеванлиннаР.,
Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [8] Ш и φ φ е ρ Μ.,
Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых
поверхностях, пер. с англ., М., 1957; [9] Ч е б о τ а р е в Н. Г., Теория
алгебраических функций, М.—Л., 1948; L10] Волковы с-
к и й Л. И., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1950, т. 34, с. 3—171;
[lllero же, «Успехи матем. наук», 1956, т. 11, в. 5, с. 77—84;
[12] Крушкалв С. Л., Квазиконформные отображения и
римановы поверхности, Новосиб., 1975; [13] Крушкаль
С. Л., Α π а н а с о в Б. Н., Г у с е в с к и й Η. Α., Клейно-
вы группы в примерах и задачах, Новосиб., 1978; [14] Итоги
науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 16, М.,
1978, с. 191—245; [15] Альфорс Л., Вере Л.,
Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения,
пер. с англ., М., 1961; [16] Вере Л., «Успехи матем. наук»,
1973, т. 28, в. 4, с. 153—98; 1974, т. 29, в. 2, с 86 — 102; [17]
Klein F., Riemannsche Fiachen... Vorlesung von F. Klein,
Gott., 1894; [18] Weyl H., Die Idee der Riemannschen
Flache, 3 Aufl., Stuttg., 1955; [19] AhlforsL, SarioL,
Riemann surfaces, Princeton, 1960; [20] Ρ f luge г Α., Theorie
der Riemannschen Flachen, В.— [u. a.], 1957; [21] S а г i о L.,
N a k a i M., Classification theory of Riemann surfaces, B.—
[u. a.], 1970; [22] Η e i η s M., Hardy classes on Riemann
surfaces, В.— [u. a.], 1969; [23] G u η η i η g R. C, Lectures on
Riemann surfaces, Princeton, 1966; [24] его же, Lectures on
Riemann surfaces, Jacobi varieties, Princeton, 1972; [25]
Форстер О., Римановы поверхности, пер. с нем., М., 1980.
Е. Д. Соломенцев.
РИМАНОВА СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность на
римановом пространстве М, относительно к-рой
метрик, тензор пространства #гу является ковариантно
постоянным. Если аффинная связность на Μ задана с
помощью матрицы локальных форм связности
ш' = г£лг*, det|ri|^0,|
ω} = Γ/Λώ;* J
и метрич. формой на Μ является ds2=gij(ui(uJ, то
последнее условие выражается в виде
dgij = gkj<4+gik®kj · (2)
Оно может быть выражено еще следующим образом:
при параллельном перенесении вдоль любой кривой
многообразия Μ скалярное произведение <Х, У>=
= gij(ui(X)<uJ(Y) произвольных двух векторов
сохраняет свое значение, т. е. для любых векторных полей
X, У, Ζ на Μ справедливо равенство
Z<X, Y> = <vzX, Y>+<X, VZY>,
где ν ?Χ — векторное поле, называемое ковариантной
производной поля X относительно поля Ζ и
определяемое формулой
ω* (νζΧ) = Ζω* (*)+ω£ (Ζ) ω* (Χ).
Если на Μ перейти к локальному полю ортонормиро-
ванных реперов, то gij=§ij (если ограничиться случаем
положительно определенной ds2) и условие (2)
принимает вид
ω{+ω} = 0,
т. е. матрица ω, составленная из форм (1), принимает
значения в алгебре Ли группы движений евклидова
пространства Еп размерности n=dim Μ. Поэтому Р. с.
может быть интерпретирована как связность в
расслоенном пространстве ортонормированных реперов в
касательных к Μ евклидовых пространствах. Голоно-
мии группа Р. с. есть нек-рая подгруппа группы
движений пространства Еп\ римановой связностью для
нек-рой римановой метрики на Μ является каждая
аффинная связность, группа голономии к-рой —
группа движений или нек-рая ее подгруппа.
Если в (1) ωί=<1χ£ (то есть Μ отнесено к полю
натуральных реперов локальной координатной системы),
то
и
r?/={i}-4tf/-*«f.<tf!/.
где
— т. н. символ Кристоффеля и S{j=Tij—Tjk — тензор
кручения Р. с. Существует одна и только одна Р. с.
без кручения (т. е. такая, что £^=0), к-рая
определяется формами ti>lf={L}ijdxk и наз· Леви-Чивита
связностью.
Лит.: [1] Г ρ о м о л Д., К л и н г е н б е ρ г В., Мейер
В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Л и-
хнерович Α., Теория связностей в целом и группы
голономии, пер. с франц., М., 1960. Ю. Г. Лумисте.
РИМАНОВО МНОГООБРАЗИЕ — дифференцируемое
многообразие, наделенное римановой метрикой. По
существу Р. м.— то же, что и риманово пространство,
М. И. Войцеховский.
РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, в
малых областях к-рого имеет место приближенно (с
точностью до малых высшего порядка сравнительно с
размерами областей) евклидова геометрия, хотя в целом
такое пространство может не быть евклидовым. Р. п.
названо по имени Б. Римана (В. Riemann), наметившего
в 1854 основы теории таких пространств (см. Риманова
геометрия). Простейшими Р. п. являются евклидово
пространство и примыкающие к нему два других
пространства постоянной кривизны, в к-рых имеет место
Лобачевского геометрия и Римана геометрия (не
смешивать последнюю с общей римановой геометрией, к-рая
изучает Р. п. вообще).
По материалам одноименной статьи в БСЭ-3.
РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННОЕ —
пространство с внутренней метрикой, подчиненное не-
к-рым ограничениям на кривизну. К ним относятся
пространства с «кривизной, ограниченной сверху»,
и др. (см. [3]). Р. п. о. отличаются от римановых
пространств не только большей общностью, но и тем, что они
определяются и исследуются, исходя из метрики, без
координат. При нек-ром соединении условий на
кривизну и поведении кратчайших (т. е. кривых, длины
к-рых равны расстояниям между концами) · Р. п. о.
оказывается римановым, что дает чисто метрич.
определение риманова пространства.
Определения Р. п. о. исходят из классич. связи
кривизны с избытком геодезического треугольника (избы-
ток= сумма углов минус π). Эти понятия переносятся
на. пространство с внутренней метрикой такое, что у
каждой точки его есть окрестность, любые две точки
к-рой соединены кратчайшей. Это условие далее
подразумевается без оговорок. Треугольником Г—
= АВС наз. тройка кратчайших АВ,ВС, СА — сторон
треугольника, соединяющих попарно три различных
точки А, В, С — вершины треугольника. Угол
определяется между кривыми в любом метрич. пространстве.

1023
РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННОЕ
1024
Пусть L, Μ — исходящие шг одной точки О кривые в
пространстве с метрикой р. Выбираются точки X£L,
ΥζΜ (Χ, ΥφΟ), строится евклидов треугольник со
сторонами х=р(0, X), у=р(0, У), z=p(X, Y) и углом
у(х, у), противолежащим стороне ζ. Определяется
верхний угол между L и М:
ά= ϊϊπΐ у(х,у). (1)
Верхние углы треугольника — это верхние углы α, β,
у между его сторонами при вершинах Л, В, С, а
избыток треугольника δ (Γ)=α+β+γ—π.
Р. п. о. с ограниченной кривизной (<.К и ^К')
определяется условием:
(А) для каждой последовательности треугольников
Тп, стягивающихся к точке,
К^Ш$^^Ш±Р£^К', (2)
°(тп) <Чтл)
где σ (Τη) — площадь евклидова треугольника^ такими
же сторонами, что Тп (если σ(Γ°)=0, то δ(ΤΗ)=0).
Такое пространство оказывается римановым при Двух
естественных дополнительных условиях:
(1) локальная компактность
пространства (в пространстве с внутренней метрикой
это уже обеспечивает условие локального
существования кратчайших);
(2) локальная продолжаемость
кратчайших — у каждой точки существует окрестность
U такая, что любую кратчайшую ΧΥ, где Χ, Υζϋ,
можно продолжить за ее концы. При всех этих
условиях пространство является римановым (см. [4]), причем
в окрестности каждой точки можно ввести координаты
х1 так, что метрика будет задаваться линейным
элементом ds2=gifdxidxJ с коэффициентами gij£Wl(]C1>a,
0<α<1. Тем самым имеется параллельный перенос (с
непрерывными T)k) и почти везде — тензор кривизны.
Кроме того, доказано [7], что координаты xi можно
взять гармоническими, т. е. удовлетворяющими
равенствам 2^j..glJTij—0. Гармонич. системы координат
составляют атлас класса С3» α при любом а, 0<а<1.
Р. п. о. с ограниченной кривизной при К = К\
удовлетворяющее условиям (1) и (2), является
римановым пространством постоянной римановой кривизны
К (см. [3]).
Всякое риманово пространство с римановой
кривизной, заключенной между К и К (К'^.К), является
Р. п. о. кривизны <:# и ^К' и удовлетворяет
условиям (1) и (2).
«Пространство с кривизной <:#» определяется левым
неравенством (2), т. е. условием:
(А~) для любой последовательности треугольников
Тп, стягивающихся в точку,
Другое равносильное определение и начало
исследования Р. п. о. исходят из сравнения произвольного
треугольника Т=АВС с треугольником Tk со сторонами
той же длины в пространстве постоянной кривизны К.
Пусть ось, β^, γβ — углы такого треугольника;
относительный _верхний избыток треугольника Τ
определяется как δ^(Γ)=(α+*β+γ)—(α^+β^+γ/ί). Условие
(А ~) в определении пространства с кривизной <#
можно заменить на условие:
(Αϊ) у каждой точки есть окрестность i?ft, в к-рой
6/г(Г)<:0 для всякого треугольника Т. Выполняется и
более сильное свойство вогнутости метрики. Именно,
пусть L, Μ — кратчайшие, исходящие из одной точки
О, и 7/г(я> у) — угол в треугольнике Tk со сторонами
з=р(0, X), у=р(0, X), ζ=ρ(Χ, Υ), X£L, Y£M, в
пространстве постоянной кривизны К, противолежащий
стороне ζ. В Rk (локально) угол γ&(£, у) оказывается
неубывающей функцией (γ/^χ, j/i)<Yft(z2> У'г) ПРИ χι<·
<.х2, г/1<г/г)· Отсюда следуют локальные свойства:
(I) между любыми двумя кратчайшими, исходящими
из одной точки, существует угол и даже «угол в сильном
смысле» ас—lim Yft(rc, у) (так что, в частности, если
ху-+о
у=const, то lim—£— =cos ас);
х-*· 0
(II) для углов α, β, у треугольника вЛ^и
соответствующего треугольника Tk
a<afe, β<β^, Y<Yfe*>
(III) в Rk, если An-*-A, Вп-+В, кратчайшие
АпВп-+ АВ (тем самым кратчайшая в R^ с данными
концами единственна).
Двойственными пространствами с кривизной <#
будут пространства с кривизной >А\ определяемые
аналогично через нижние избытки, к-рые вычисляются по
нижним углам в сильном смысле. Для кратчайших L,
Μ этот угол есть
а= lim у (я, у).
ху~^о
Нижний избыток треугольника есть δ=α+β+γ—π.
Пространство с кривизной ^К — это такое
пространство, в к-ром вместо (А~) выполняется условие:
(А+) для любой последовательности Тп
треугольников, стягивающихся к точке,
-^^ ()
Неравенство с верхним избытком 6, противоположное
неравенству (3), не дает содержательных результатов,
их не дает и неравенство с избытком, вычисляемым
просто с нижними углами
lim у (χ, у).
Условие (А+) можно заменить на условие:
(Αχ) у каждой точки есть окрестность Rk , в к-рой
6/г(Г)^0 для всякого треугольника Т. В i?fef (локально)
угол yk(x, у) для двух кратчайших L, Μ оказывается
невозрастающей функцией (выпуклая метрика).
Аналогично пространствам с кривизной <ϋΓ для
пространств с кривизной ^К выполняются (локальные)
свойства, подобные (I) и (II): между кратчайшими
существует угол в сильном смысле; α^α^, β^β^, у^
^yk для всякого треугольника в R£· Вместо (III)
выполняется условие неналегания кратчайших или, что
то же, единственность их продолжения: если AC~z>AB
и AC{Z)AB в R£, то либо ACzzAC^ либо AC{Z)AC.
Таким образом, пространство с ограниченной
кривизной получается соединением условий,
определяющих оба класса пространств — с кривизной,
ограниченной сверху или снизу (причем в левой части
неравенства (3) нет нужды брать 6). Условие (А) можно
заменить, подобно (Л1~) и (АГ), на условие:
(Ах) у каждой точки есть окрестность R&k', где
6^(Г)<:0, 6fe>(r)>0 для всякого треугольника Т. Это
оказывается также равносильным следующему:
(А2) для всякой четверки точек в Rkk' существует
четверка точек с теми же попарными расстояниями в
пространстве постоянной кривизны /с, где К' <:&<# и
к зависит, вообще говоря, от выбранной четверки точек
в Rkk'.

1025 риманово простри
Примером Р. п. о. с кривизной ^К (^Кг) является
область риманова пространства, в к-рой римановы
кривизны всех двумерных площадок во всех точках
ограничены сверху (снизу) числом К(К').
Множество V в пространстве с внутренней метрикой
наз. выпуклым, если любые две точки X, У ζ V
можно соединить кратчайшей X, У и всякая такая
кратчайшая содержится в V.
Установлен [8] следующий результат: если
пространство R с внутренней метрикой получено склеиванием
двух пространств Rf, R" кривизны <.К по выпуклым
множествам V'aR" и V"c:R", то R само есть
пространство кривизны <:#. Условие склеивания заключается
в том, что R = R'\}R\ V'=V"=R'[\R" и в Я', R"
индуцируется метрика пространства R.
Две выходящие из точки О кривые L, Μ (по
определению) имеют в О одинаковое
направление, если верхний угол между ними равен нулю
(если L=M, то говорят, что L имеет в О определенное
направление). Направление в точке О
определяется как класс кривых, имеющих в О одинаковое
направление. Направления в точке О образуют метрич.
пространство, в к-ром расстояние между
направлениями определяется верхним углом между любыми их
представителями. Это пространство наз.
пространством направлений в точке О.
Доказано [5]: если точка О содержится в окрестности
пространства кривизны <.К, гомеоморфной Еп, то
пространство направлений в точке О является
пространством кривизны <1. Неизвестно (1983), гомеоморф-
но ли оно (п—1)-мерной сфере.
В двумерном случае теория многообразий
ограниченной кривизны (см. Двумерное многообразие
ограниченной кривизны) включает в себя как частный случай
теорию многообразий с кривизной <#. Примером
двумерного многообразия с кривизной <.К является
линейчатая поверхность в Rk, снабженная внутренней
метрикой, т. е. поверхность, образованная внутренними
частями кратчайших, концы к-рых зачеркивают две
спрямляемые кривые Ll4 L2. Если кривая L2
вырождается в точку О, поверхность наз. конусом
кратчайших, натянутым из точки О на кривую Lx. Если
Li есть треугольник ОАВ, то такой конус наз. π ο-
верхностным треугольником (см. [3]).
Отображение φ : Μλ -> М2 метрич. пространства наз.
нерастягивающим, если р^ДХ, У)>Рж2(ф №>
φ (У)) для любых X, У£Мг. Отображение φ : 1\ ->- Г2
замкнутой кривой 1\ в Мх на замкнутую кривую Г2 в
М2 наз. эквилонгальным, если длины
соответствующих при отображении φ дуг кривых 1\ и Г2
совпадают. Пусть V — выпуклая область в
пространстве постоянной кривизны К и L — краевой контур V.
Область V мажорирует замкнутую кривую Г в
метрич. пространстве М, если существует нарастающее
отображение области V в Μ, эквилонгально
отображающее L на Г. Само отображение наз.
мажорирующим.
Пусть Rk — выпуклое пространство с внутренней
метрикой; С — конус кратчайших, натянутый на
замкнутую спрямляемую кривую Г в Rk из точки О ζ Γ,
причем в случае К >0 длина I кривой Г меньше 2п/ У^К ·
Тогда в пространстве постоянной кривизны К
существует выпуклая область V, мажорирующая Г> такая, что
y(V)=C для соответствующего мажорирующего
отображения φ. Это свойство характеризует пространства
кривизны <#. Достаточным является уже
существование эквилонгального нерастягивающего
отображения контура L области Уна Г.
Поверхностью в метрич. пространстве Μ
наз. непрерывное отображение / круга В в Μ. Пусть
Ρ — триангулируемый многоугольник, т. е. комплекс
СТВО ОДНОРОДНОЕ 1026
из треугольников Г,·, вписанный в В. Треугольнику Г/
с вершинами Χ,Υ,Ζ сопоставляется евклидов
треугольник Τ°ι со сторонами, равными расстоянию между
точками /(X), /(У), f(Z). Пусть S0(P) обозначает сумму
площадей S(Г?) всех треугольников Г?; тогда
площадь S(/) поверхности / определяется (см.
[3]) как нижний предел величин S0(P) при условии,
что вершины комплекса Ρ неограниченно сгущаются в
В : S (f)=lim S0(P). Это определение модифицировано
так (см. [6]). Вместо точек /(X), /(У), f(Z) вершинам
Χ,Υ,Ζ треугольника Τ ι комплекса Ρ сопоставляются
нек-рые точки Хр, Υρ, Ζρ в Μ, причем вершинам
комплекса Ρ сопоставляются одинаковые точки в том и
только в том случае, когда образы вершин при
отображении / совпадают. За площадь L(f) поверхности /
принимается нижний предел сумм площадей
евклидовых треугольников Т\ со сторонами, равными
расстояниям между точками Хр, Yp, Zp при дополнительном
предположении, что р(/(Х^), Xk) по всем вершинам Xk
комплекса Ρ стремится к нулю. Всегда £(/)<£(/).
1) Если последовательность поверхностей /„ в Rk
равномерно сходится к поверхности /, то
L (/) < \irnL (/„) (полунепрерывность).
2) Если ρ — нерастягивающее отображение из Rk
в Rk и / — поверхность в Rk·, то
L (р о f)^L (/) (принцип Колмогорова).
3) Площадь S (f) поверхностного треугольника Τ в
Rk не больше площади соответствующего треугольника
Тк и равна ему тогда и только тогда, когда треугольник
Τ изометричен Тк (локальное свойство).
4) В условиях теоремы о существовании
мажорирующего отображения (см. выше) площадь S (G) не больше
площади круга в пространстве постоянной кривизны К
с периметром I (изопериметрическое неравенство) (см.
[31, [6]).
Решается [6] задача Плато в Rk о существовании
поверхности минимальной площади, натянутой на
замкнутую кривую Г. Доказано следующее. Пусть Rk —
метрически полное пространство кривизны <:# (при #>0
диаметр d(R^<nl2yК), Г — замкнутая жорданова
кривая в Rk· Тогда существует поверхность /
минимальной площади £(/), натянутая на кривую Г. Пусть
Г, г„, /1=1, 2, ... ,— замкнутые жордановы кривые
в таком пространстве и α (Г), а (Гп) — минимальные
площади поверхностей, натянутых соответственно на Г и
Г„. Если Гп равномерно сходятся в нек-рых
параметризациях к Г, то а(Г)<Нша(Гп).
Рассматривались двумерные многообразия с
индефинитной метрикой ограниченной кривизны. Не
решена (1983) задача бескоординатного определения
многомерных пространств с индефинитной метрикой
ограниченной кривизны, в частности пространств общей
теории относительности.
Лшп.: [1] Александров А. Д., Внутренняя
геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л., 1948; [2] е го ж е,
«Труды Матем. ин-та АН СССР», 1951, т. 38, с. 5—23; [3] е г о же,
«Schrift. Inst. Math. Deutsch. Acad. Wiss.», 1957, H. 1, S. 33—
84; [4] Б e ρ e с т о в с к и й В. Н., «Сиб. матем. ж.», 1975,
т. 16, № 4, с. 651—62; [5] Николаев И. Г., там же, 1978,
т. 19, № 6, с. 1341—48; [6] е г о же, там же, 1979, т. 20, № 2,.
с. 345—53; [7] Ρ е ш е τ н я к Ю Г., «Матем. сб.», 1960, т. 52,
№ 3, с. 789—98; [8] е г о же, «Сиб. матем. ж.», 1968, т. 9, № 4,
с, 918—27. А. Д. Александров, В. Н. Берестовский.
РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ОДНОРОДНОЕ —
риманово пространство (М, у) вместе с транзитивной
эффективной группой G его движений. Пусть К —
стационарная подгруппа фиксированной точки о£М.
Тогда многообразие Μ отождествляется с факторпрост-
ранством G/K с помощью биекции G/K Э gK^rf^go g Μ,
а риманова метрика γ рассматривается как G-инвариант-
ная метрика на G/K. Обычно предполагается дополни-
&33 Математическая энц., т. 4

1027
тельно, что группа G замкнута в полной группе
движений. В этом случае стационарная подгруппа К
компактна .
Пусть К — компактная подгруппа группы Ли G, не
содержащая нормальных делителей группы G. Тогда
однородное пространство M—GlK допускает
инвариантную риманову метрику γ, к-рая определяется
следующим образом. Пусть ®—$+9Л — редуктивная
структура в М, т. е. разложение алгебры Ли © группы Ли G
в прямую сумму алгебры Ли Я группы К и
подпространства £Щ, инвариантного относительно
присоединенного представления Ad К группы К в пространстве
©. Пространство ЭД1 естественным образом
отождествляется с касательным пространством Т0М«©/Я точки
о—еК, а представление изотропии группы К в Т0М —
с представлением Ad K\$R. Любая G-инвариантная ри-
манова метрика у на Μ получается из нек-рого Ad К-
инвариантного скалярного произведения у0 в *Ш
разнесением с помощью преобразований из G:
yg0(X, Y) = y0(g~1X1 g-'Y), X, Y£Tg0M, g£G.
Существование такого скалярного произведения
следует из компактности группы изотропии Ad К\*Ш.
Любое Р. п. о., локально изометричное односвязному
Р. п. о. М, получается из Μ факторизацией по
произвольной дискретной группе изометрий Клиффорда —
Вольфа (т. е. движений многообразия М,
перемещающих все точки на одинаковые расстояния [2]).
Наиболее изученными классами Р. п. о. являются
римановы симметрич. пространства, однородные кэле-
ровы пространства и однородные кватернионные
пространства, изотропно неприводимые Р. п. о.
(классифицированы в [9], [10]), нормальные Р. п. о., в к-рых
скалярное произведение γ0 в 9CR продолжается до
невырожденной симметрической Ad G-инвариантной
билинейной формы на ©, естественно редуктивные Р. п. о.,
характеризуемые тем, что в них любая геодезическая
является траекторией однопараметрич. группы
движений.
Изучена структура Р. п. о. с различными условиями
на тензор кривизны. Напр., известна классификация
Р. п. о. положительной секционной кривизны [5].
Описана структура просто транзитивных групп движений
Р. п. о. неположительной кривизны [8],
неотрицательной кривизны и неотрицательной кривизны Риччи [4].
Р. п. о. с разрешимой группой движений G всегда имеет
неположительную скалярную кривизну sk, и случай
sk=0 возможен только для локально евклидова
пространства. Любая инвариантная риманова метрика на
односвязном Р. п. о. GIK имеет неположительную
скалярную кривизну тогда и только тогда, когда К
есть максимальная компактная подгруппа группы G
(см. [4]).
Р. п. о. (Λ/, у) наз. эйнштейновым, если его
тензор Риччи ρ пропорционален метрике: ρ=λγ, λ—
— const. Проблема описания эйнштейновых Р. п. о. не
решена (1983). Известен ряд частных результатов. Пусть
(M=G/K, у) — эйнштейново Р. п. о. со скалярной
кривизной sk. 1) Если sk>0, то многообразие М
компактно. Описаны все такие пространства: а) если (Λ/,
у) — кватернионное пространство, б) если Μ диффео-
морфно симметрич. пространству ранга один, в) для
нек-рого класса естественно редуктивных Р. п. о. (см.
[7]) и для изотропно неприводимых Р. п. о. (см. [10]).
2) Если sk=0, то Μ есть локально евклидово
пространство. 3) Если sk<0 и группа G унимодулярна (т. е.
определитель операторов ее присоединенного
представления равен 1), то группа G полупроста.
Лит.: [1J КобаясиШ., НомидзуК., Основы
дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; L2]
Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны, пер. с
англ., М., 1982; [3] Хелгасон С, Дифференциальная
геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М.,
эординаты 1028
1964; [4] В έ г а г d Bergery L., «Ann. sci Ёс. norm, sup.»,
1978, t. 11, №4, p. 543—76; [5] e г о же, «J. Math, pures et
appl.», 1976, t. 55, p. 47—67; [6] J e η s e η G. R., «J. Dif.
Geom.», 1973, v. 8, p. 599—614; [7]D'Atri J. E., Ziller W.,
«Mem. Amer. Math. Soc», 1979, v. 18, p. 1—72; [8] A z e η с о 11
R., Wilson E. N.. там же, 1976, v. 8, p. 1—102; [9]
Мантуров О. В., «Тр. сем. по вект. и тенз. анализу»,
1966, т. 13,68—145; [10] Wolf J., «Acta math.», 1968, v. 120,
p. 59—148. Д. В. Алексеевский.
РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ — см. Геодезические
координаты.
РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
КЛАССИФИКАЦИЯ — изучение римановых поверхностей (р. п.),
связанное с рассмотрением поведения функций различных
классов на этих поверхностях.
Комплексная функция f : R -± С на р.п. R наз.
аналитической на Я, если для любой точки
Po£R существуют окрестность U и локальный унифор-
мизирующий параметр ζ=φ(ρ), φ(ρ0)~0»
отображающий гомеоморфно U на единичный круг D —
= {z£C : Ы<1} и такой, что сложная функция F(z)=
=/[φ_1(ζ)] является однозначной аналитич. функцией
в D. Аналогично определяются на р. п. действительные
и комплексные гармонич. функции, субгармонич.
функции и др. Пусть W — нек-рый конформно
инвариантный класс функций на р. п. R, содержащий константы.
Задача Р. п. к. в простейшей постановке состоит в
определении условий, при к-рых данная р. п. R
принадлежит или не принадлежит классу Οψ таких р. п., что
класс W на них состоит только из констант. Теория
Р. п. к. выросла в 20 в. из классич. теоремы Римана
о конформном отображении односвязных р. п.,
проблемы типа, проблемы существования Грина функции
р. п. и понятия идеальной границы р. п.
Теорема Римана утверждает, что любая одно-
связная р. п. R отображается конформно (и,
следовательно, гомеоморфно) на плоскую область D одного из
трех видов: Z)=C=C|J {oo} — расширенная
комплексная плоскость (случай р.п. R
эллиптического тип a); Z)=C — конечная комплексная
плоскость (Л — параболического типа); D~
= {ζ ζ С : \ζ\ <1} — единичный круг (R —
гиперболического типа). Поскольку эллиптич.
случай отличается от остальных уже топологически,
остается трудная задача распознавания, когда данная
р. п. R принадлежит гиперболическому или параболич.
типу. Это и есть классич. проблема типа,
полностью пока не решенная (1983). Известно, что
замкнутая р. π рода g при g=Q эллиптич. типа, при g=l
параболич. типа, при g>l гиперболич. типа, поэтому
проблема типа важна в основном для открытых р. п. В
случае произвольной р. п. /?, не обязательно односвязной,
ее типом является тип ее универсальной накрывающей
поверхности (см. Универсальное накрытие) R, к-рая
всегда односвязна.
Для односвязных конечных р. п. R задача отыскания
конформного отображения R на единичный круг D
эквивалентна задаче отыскания функции Грина G(p, p0)
для i?, т. е. положительной гармонич. функции о лога-
рифмич. особенностью вида ln(l/|z—z0\) в полюсеp0£R
(ζ=φ(ρ) — параметр в окрестности р0, z0=q>(p0),
обращающийся в нуль во всех точках края OR).
Функция Грина строится и для многосвязных конечных р. п.
гиперболич. типа. В случае произвольной открытой
р. п. R можно построить исчерпание {i?v)v^=i
поверхности R с помощью конечных р. п. i?v с краем,
имеющих функции Грина
Gv(P, Ро) = In |z_Zp| +Yv +0(\z — z0\ ), ζ—> ζ0
(или Gv(p, p0)==-f-oo, начиная с нек-рого номера ν),
и таких, что RvdRv+i, \Jv—iRv=R* Постоянная
РИМАНОВЫ

1029 римановых поверхносп
γν,— οο<γν<+°ο, наз. Робена постоянной р. п. i?v>
cv=e v есть емкость края dRv (относительно
фиксированного полюса Po£R). При стремлении ν к оо
значения Gv(p, p0) и γν могут только возрастать.
Функция Грина открытой р. п. R определяется как предел
G{p-> Po) возрастающей последовательности {Gv(p, p0)},
если он существует; в противном случае, когда
lim Gv(p, p0)^+oo,
V-voo
говорят, что р. п. R не имеет функции Грина, причем
существование или несуществование функции Грина не
зависит от выбора полюса p0£R. Класс р. п., для
к-рых функция Грина не существует, обозначается 0G.
Иными словами, класс QG характеризуется тем, что
lim γ = + оо или lim сv = 0,
причем эти соотношения также не зависят от выбора
полюса.
Пусть R — открытая р. п. и {Av}\Li — т.н.
определяющая последовательность
замкнутых на R областей Δν, τ. е. такая последовательность,
что 1) граница Δν есть простая замкнутая кривая на R;
2) Δν+iCAv, ν=1, 2, ... ; 3) Πν==ιΔν=0, то есть Δν
не компактны на R. Две определяющие
последовательности {Δν} и {Δν} эквивалентны, если каждому ν
соответствуют такие η и т, что A«dAv и AOTdAv. Классы
эквивалентности определяющих последовательностей
наз. граничными элементами р. п. i?,
а совокупность всех граничных элементов образует
идеальную границу Г р. п. й,
рассматриваемой как топологич. поверхность. Напр., идеальная
граница единичного круга D состоит из одного
граничного элемента. Отметим, что функция Грина открытой
р. п. Я, в отличие от случая гиперболич. конечной р. п.,
не обязательно обращается в нуль на всех элементах
идеальной границы Г. Класс QG характеризуется
также как класс р. п. с идеальной границей нулевой
емкости, или, короче, как класс р. п. с нулевой
границей; если R£Qg-> to limcv=c>0 наз. емкостью иде-
V->co
альной границы. Существование или несуществование
функции Грина р. п. R, а также объем других
функциональных классов на R определяются прежде всего этой
и другими более тонкими характеристиками идеальной
границы, связанными с самими функциональными
классами.
Основными функциональными
классами W на р. п. R являются следующие:
А В — класс ограниченных однозначных аналитич.
функций на R;
AD — класс однозначных аналитич. функций f(z)
на R с конечным Дирихле интегралом
DR^==\\R\d^dxdy' Ζ:==χ+4>
HP, HB и HD — классы однозначных гармонич.
функций на R соответственно положительных, ограниченных
и с конечным интегралом Дирихле. Эти классы могут
комбинироваться, напр. ABD — класс ограниченных
однозначных аналитич. функций на Д с конечным
интегралом Дирихле. Для соответствующих классов
0W р. п. Л установлены следующие строгие включения
и равенства:
бо с 6нр с бнв с: блв cz 6abd = 6adi
Ghb^Ghd^Qad, 6hbd=6hd-
а конформные классы 1030
Для плоских областей R эти соотношения упрощаются:
Qg = Θηρ = бнв = Qhd »
6ab<^6abd=6ad·
Важное значение имеют также классы Харди
А Нр, 0<р<+°°> однозначных аналитич. функций w=
— f(z) на р. п. R. При 0<р<+оо функция f£AHp,
если субгармонич. функция \f\p имеет на всей р. п. R
гармонич. мажоранту, а АН^^АВ (см. Граничные
свойства аналитических функций).
Р. п. параболич. типа принадлежит классу Qq,
поэтому иногда вопрос о характеризации р. п. класса
00 наз. обобщенной проблемой типа.
Имеется много результатов, в к-рых в различных
терминах устанавливаются условия принадлежности р. п.
указанным выше классам. Глубокие исследования были
посвящены выяснению внутренних свойств р. п.
определенных классов. В частности, оказалось, что р. п. с
нулевой границей во многих отношениях аналогичны
замкнутым р. п. На них строятся аналоги абелевых
дифференциалов и соответствующие интегралы.
Более тонкие свойства идеальной границы р. п. R
удается исследовать также с помощью различных ком-
пактификаций R. Напр., пусть N(R) — винеровская
алгебра функций и на р. п. i?, ограниченных,
непрерывных и гармонизуемых на i?; последнее означает,
что для любой регулярной области GczR существует
обобщенное решение задачи Дирихле в смысле
Винера — Перрона (см. Перрона метод) с граничными
данными и на границе до. Компактификацией
Винера р. п. R наз. компактное хаусдорфово
пространство R* такое, что R есть открытое плотное
подпространство /?*, каждая функция u£N(R)
непрерывно продолжается на R* и N(R) разделяет точки R*.
Компактификация Винера существует для любой р. п.
R. Множество T(R)=R*\R наз. винеровской
идеальной границей р. п. i?,a
подмножество Δ (R)aT (/?), состоящее из тех точек #*, в к-рых все
потенциалы из N(R) обращаются в нуль,-
винеровской гармонической границей.
В этих терминах, напр., включение R£6g
равносильно равенству Δ(/?)=0; отсюда получается также
строгое включение бнр^бнв-
С Р. п. к. связан также вопрос об устранимых
множествах на р. п. Так, компакт К на р. п. R наз. АВ-
устранимым, если для нек-рой окрестности C/Z)
DA" на i? все А В -функции на U\K имеют аналитич.
продолжение на всю окрестность U.
Внимание многих исследователей привлечено также
к вопросам классификации римановых многообразий
произвольных размерностей А^2, связанной с
рассмотрением описанных выше классов функций.
Лит. см. при ст. Риманова поверхность.
Е. Д. Соломенцев.
РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНФОРМНЫЕ
КЛАССЫ — классы, состоящие из конформно
эквивалентных римановых поверхностей. Замкнутые рима-
новы поверхности (р. п.) имеют простой топологич.
инвариант — род g; при этом любые две поверхности
одного рода гомеоморфны. В простейших случаях
топологич. эквивалентность двух р. п. обеспечивает и их
принадлежность к одному и тому же Р. п. к. к., то
есть конформную эквивалентность, или, говоря иначе,
совпадение их конформных структур. Это
выполняется, напр., для поверхностей рода 0, то есть гомеоморф-
ных сфере. В общем случае дело обстоит не так. Еще
Б. Риман (В. Riemann) заметил, что классы конформной
эквивалентности р. п. рода g>l зависят от 3g—3
комплексных параметров, называемых модулями римановых
поверхностей; для конформно эквивалентных
поверхностей эти модули совпадают. Случай g—1 описан ниже.
Если же рассматривать компактные р. п. рода gen
33*

1031 РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОС
аналитич. компонентами края, то для их конформной
эквивалентности требуется совпадение 6g—6+Зл
действительных параметров-модулей (g^O, п^О, 6g—6+
+3п>0). В частности, для л-связных плоских областей
(и>3) таких модулей Зл—6; всякая двусвязная плоская
область конформно эквивалентна кольцу с
определенным отношением радиусов.
Указанное выше замечание Б. Римана послужило
истоком классич. проблемы модулей р. п.,
к-рая заключается в том, чтобы изучить природу этих
параметров и, если возможно, ввести их так, чтобы они
определяли на множестве р. п. данного рода g комплекс-
но-аналитич. структуру. Имеются два подхода к
проблеме модулей: алгебраический и аналитический. Алгеб-
раич. подход связан с изучением полей К (S) мероморф-
ных функций на р. п. S. В случае замкнутой
поверхности К (S) есть поле алгебраич. функций (для g—0 —
это поле рациональных, а для g—1 — поле эллиптич.
функций). Каждая замкнутая р. п. S конформно
эквивалентна р. п. нек-рой алгебраич, функции,
определяемой уравнением Ρ (ζ, w)—Q, где Ρ—неприводимый
многочлен над О. Это уравнение задает плоскую
алгебраич. кривую X, и поле рациональных функций на X
отождествляется с полем мероморфных функций на S.
Конформной эквивалентности р. п. соответствует бира-
циональная эквивалентность (совпадение) полей их
алгебраич. функций или, что равносильно, бирациональ-
ная эквивалентность определяемых этими
поверхностями алгебраич. кривых.
Аналитич. подход опирается на геометрические и
аналитич. свойства р. п. Оказывается удобным ослабить
конформную эквивалентность р. п., наложив топологич.
ограничения. Вместо р. п. S данного рода g>l берутся
пары (S, /), где / — гомеоморфизм фиксированной
поверхности £0 рода g на S; две пары (S, /), (£', /')
считаются эквивалентными, если существует такой
конформный гомеоморфизм h : S -+ Sf, что отображение
(n-iohof: S0-+S0
гомотопно. тождественному. Множество классов
эквивалентности {(£, /)} наз. пространством Тай
χμ ю л л е ρ а Τ(S0) поверхности S0. В T(S0) вводится
метрика с помощью квазиконформных гомеоморфизмов
S -+ S'. Аналогичным образом определяется
пространство Тайхмюллера и для некомпактной р. п., но тогда
берутся только квазиконформные гомеоморфизмы /.
Для замкнутых поверхностей S0 данного рода g
пространства T(S0) изометрически изоморфны, и можно
говорить о пространстве Тайхмюллера Tg
поверхностей рода g. Пространство Rg P. п. к. к. рода g
получается факторизацией Τ g по нек-рой счетной группе Г^
его автоморфизмов, называемой модулярной группой.
Наиболее простым является случай поверхностей
рода 1 — торов. Каждый тор S после конформного
отображения его универсальной накрывающей на
комплексную плоскость С представляется в виде C/G,
где G — группа сдвигов с двумя образующими ωΑ, ω2
такими, что 1ш(ш2/ш1)>0; при этом два тора S и S'
конформно эквивалентны тогда и только тогда, когда
отношения T^iug/co! и τ'=ω2/ωί соответствующих
образующих связаны модулярным преобразованием
%'= (a%-\-b)l(cx-\-d), ad—bc = l;
a, b, с, d£z.
В качестве (комплексного) модуля данного Р. п. к. к.
{S} можно взять значение эллиптической модулярной
функции J (τ). Пространство Тайхмюллера Тг совпадает
с полуплоскостью #={т£С : 1ш τ>0}, Ι\ есть
эллиптическая модулярная группа «SL(2,z)/{±l}, a Rx =
= Т1/Г1 — риманова поверхность, конформно
эквивалентная С\{0, 1}. Все эллиптич. кривые (и поверх-
Й КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ 1032
ности рода 1) допускают одновременную униформиза-
цию с помощью функции Вейерштрасса ψ (ζ; Ι, τ) и ее
производной $' (ζ; Ι, τ).
При g>l ситуация значительно сложнее.
Установлены, в частности, следующие основные свойства
пространства Tg\ 1) Tg гомеоморфно #6£-6; 2) Tg биголо-
морфно вкладывается в виде ограниченной области в
С3£-3, к-рая голоморфно выпукла; 3) модулярная
группа Г^ дискретна (даже собственно разрывна) и при
g>2 является полной группой биголоморфных
автоморфизмов Tg; 4) накрытие Τg ->- Tg/Tg является
разветвленным, a TglTg=Rg есть нормальное комплексное
пространство с неуниформизируемыми особенностями.
Такие же свойства, за отдельными исключениями в 3),
имеют место и для более общего случая замкнутых р. п.
с конечным числом проколов, к-рым соответствуют
конечномерные пространства Тайхмюллера. Указанное
биголоморфное вложение Tg в С3£~3 получается с
помощью униформизации и свойств квазиконформных
отображений. Поверхность S0 представляется в виде
S0=H/TQ, где Г0 — фуксова группа, действующая
разрывно в верхней полуплоскости Η (определяемая с
точностью до сопряжения в группе всех конформных
автоморфизмов Н), и рассматриваются
квазиконформные автоморфизмы ιυ=(μ(ζ) плоскости C = CU{°°}>
т. е. решения уравнения Бельтрами ιυ-=μ(ζ)ιυζ, где
μ (z)dz/dz — инвариантные относительно Г0 формы с
носителями в Н, |^||L <1. Пусть еще fv· оставляют
неподвижными точки 0, 1, оо. Тогда Tg можно
отождествить с пространством сужений fv\R или, что
равносильно, сужений fv>\L, L= {z£C : lmz<0}, и Tg биголо-
морфно эквивалентно области, заполняемой
производными Шварца
ffix л-*"'Ю 3 ΓΓ(Ζ)Τ /-/μ zCT
в комплексном пространстве Β (L, Г0) голоморфных в L
решений уравнения
φ(γ(ζ))γ'2(ζ) = φ(ζ), γζΓα,
с нормой
|[φ [| = sup I Im г |2 I ф (ζ) |;
при этом dim В (L, Г0)=3#—3. Используя это
вложение, можно построить расслоенное пространство Τg
с базой Tg, также допускающее введение комплексной
структуры, и голоморфные функции ψυ ... , it>5£-5 на
fg, позволяющие дать параметрич. представление всех
алгебраич. кривых рода g в комплексном проективном
пространстве Рп, п^2. Указанная конструкция,
связанная с вложением Tg в В (L, Г0), обобщается на
произвольные р. п. и фуксовы группы. В частности, для
компактных р. п. с аналитич. границами получающееся
пространство Тайхмюллера допускает введение в нем
глобальной вещественно аналитич. структуры
соответствующей размерности.
Другое описание Р. п. к. к. рода g>l получается с
помощью т. н. матриц периодов этих
поверхностей. Это — симметрические (gX ^-матрицы с
положительно определенной мнимой частью.
Пространство Tg голоморфно вкладывается во множество всех
таких матриц (верхнюю полуплоскость Зигеля) Η» (см.
[4], [5]).
Имеются замкнутые р. п. с определенной симметрией,
конформные классы к-рых зависят от меньшего числа
параметров. Это — гиперэллиптйческие
поверхности, эквивалентные двулистным р. п.
функций w=Vp(z), где ρ (ζ) — многочлены вида
(ζ—ζχ) ... (z—z2g+2)· Они допускают конформную инво-

1033 РИООВСКАЯ ПОЛУГРУ1
люцию и зависят от 2g—1 комплексных параметров. Все
поверхности рода 2 гиперэллиптичны; при g>2 такие
поверхности образуют в Tg аналитич. подмногообразия
размерности 2g—l.
С Р. п. к. к. связан вопрос о конформных
автоморфизмах данной римановой поверхности S. За
исключением нескольких частных случаев группа Aut S таких
автоморфизмов дискретна. В случае замкнутых
поверхностей рода g>l она конечна, причем тогда порядок
Aut S не превосходит 84(g—1).
Имеющаяся классификация некомпактных р. п.
бесконечного рода основана на выделении отдельных
конформных инвариантов и не определяет Р. п. к. к.
полностью; обычно это делается в терминах существования
аналитических или гармонич. функций с определенными
свойствами.
Лит.: [1] Неванлинна Р., Униформизация, пер. с
нем., М., 1955; [2] Спрингер Дж., Введение в теорию ри-
мановых поверхностей, пер. с англ., М., i960; [3] Крушкаль
С. Л., Квазиконформные отображения и римановы
поверхности, Новосиб., 1975; [4] Б е ρ с Л., «Успехи матем. наук», 1973,
т. 28, в. 4, с. 153—98; [5] Ш и φ φ е ρ Μ., С π е н с е ρ Д. К.,
Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с
англ., М., 1957; [6] Abikof f W., The real analytic theory of
Teichmuller space, В.— [u. a.], 1980. С. Л. Крушкаль.
РИМСКИЕ ЦИФРЫ — цифры древних римлян.
Система Р. ц. основана на употреблении особых знаков
для десятичных разрядов 1=1, Х=10, С=100, М=1000
и их половин V=5, L=50, D=500. Натуральные числа
записываются при помощи повторения этих цифр.
При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то
они складываются (принцип сложения), если же
меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из
большей (принцип вычитания). Последнее правило
применяется только во избежание четырехкратного
повторения одной и той же цифры. Выполнение арифметич.
действий над многозначными числами в этой записи
весьма неудобно. Система Р. ц. в настоящее время не
применяется, за исключением, в отдельных случаях,
обозначения веков, годов н. э. и месяцев при указании
дат, порядковых числительных, а также иногда
производных небольших порядков, больших трех: у v, j/v
и т. д. БСд-з.
РИСК статистической процедуры —
характеристика, выражающая средние потери
экспериментатора в задаче принятия статистич. решения и этим
самым определяющая качество используемой статистич.
процедуры.
Пусть по реализации случайной величины X,
принимающей значения в выборочном пространстве (ЭЁ, 33,
Ρθ), θ ζ θ, надлежит принять решение d из измеримого
пространства решений (D, Л) относительно параметра
Θ. Далее, пусть потери статистика от принятия решения
d, если случайная величина X подчиняется закону Ρθ>
равны L(6, d), где L — нек-рая функция потерь,
заданная на SXD. В таком случае, если статистик в задаче
принятия решения d пользуется нерандомизированной
решающей функцией δ : Ж-+D, то в качестве
характеристики этой решающей функции δ используют
функцию
R (θ, δ) = ΕθΖ, (θ, δ (Х)) = 5/ (θ, δ (Χ)) d?Q (x),
называемую функцией риска, или просто ρ и-
с к о м, статистич. процедуры, основанной на
решающей функции δ относительно функции потерь L.
Понятие Р. позволяет ввести отношение частичного
упорядочивания на множестве Δ= {δ} всех
нерандомизированных решающих функций, при этом считают, что
из двух различных решающих функций δχ и δ2
предпочтительнее является δχ, если i?(6, δχ)<:,/?(θ, δ2)
равномерно по всем Θ.
В случае, если решающая функция δ является
рандомизированной, Р. статистич. процедуры определяется
А МАТРИЧНОГО Τ ИПА 1034
по формуле
Я(6, б) = Ы L(B,d)dQx(d)drb(x),
где {Qx(d)} — семейство марковских переходных
распределений вероятностей, определяющих процедуру
рандомизации.
Лит.: [1] Леман Э., Проверка статистических гипотез,
пер. с англ., 2 изд., М., 1979; [2] Ч е н ц о в Η. Η.,
Статистические решающие правила и оптимальные выводы, М., 1972;
[3] В а ль д Α., Статистические решающие функции, в сб :
Позиционные игры, М., 1967. М. С Никулин.
РИСОВСКАЯ ПОЛУГРУППА МАТРИЧНОГО
ТИПА—теоретико-полугрупповая конструкция,
определяемая следующим образом. Пусть S — произвольная
полугруппа, / и Λ — (индексные) множества, Р=(р λί) —
(ЛХ/)-матрица над S, т.е. отображение декартова
произведения ЛХ/ в S. На множестве M=IXSXA
определяется операция посредством формулы
(*, *, λ)(;\ t, μ)=(ί, spkt, μ).
Тогда М превращается в полугруппу, к-рая наз. Р. п.
м. т. над полугруппой S и обозначается qS(S; I, Л; Р);
матрица Ρ наз. сэндвич-матрицей
полугруппы οΜ(β\ I, Л; Р). Если S есть полугруппа с нулем
0, то Z= {(i, 0, λ)|ίζ/, λζΛ} есть идеал в M=q£(S;
/, Л; Р) и факторполугруппа Риса M/Z (см. Полугруппа)
обозначается qS°(S; /, Λ; Ρ); в случае, когда S=G° есть
группа G0 с присоединенным нулем, вместо qS°(G°; Ι, Λ;
Ρ) пишут q/H\G; /, Λ; Ρ) и называют эту полугруппу
Р. п. м. т. над группой с присоединенным нулем G0.
Для полугрупп qM\G\ /, Λ; Ρ) и qM\G\ /, Λ; Ρ) группа G
наз. структурной группой.
Другое представление Р. п. м. т. над полугруппой S
с нулем и (Λ X/)-сэндвич-матрицей Ρ осуществляется
следующим образом. (/XЛ)-матрица над S наз.
матрицей Риса, если она содержит не более одного
ненулевого элемента. Через \\α\\ιχ обозначается матрица
Риса над S, у к-рой в i-й строке и λ-м столбце стоит а,
а на остальных местах — нули. На множестве всех
(/ХЛ)-матриц Риса над S задается операция:
АоВ = АРВ, (*)
где в правой части — «обычное» матричное умножение.
Относительно этой операции указанное множество
образует полугруппу. Отображение \\a\Ux И· (ί, α, λ)
является изоморфизмом этой полугруппы на полугруппу
gS°(S; Ι, Δ; Ρ); обозначение gS°(S; I, Л; Р) применяется
для обеих этих полугрупп. Формула (*) объясняет
термин «сэндвич-матрица» для Р. Если G — группа, то
полугруппа o/H\G\ I, Л; Р) будет регулярной тогда и
только тогда, когда каждая строка и каждый столбец
матрицы Ρ содержит ненулевой элемент; всякая
полугруппа o/ft{G\ I, Л; Р) вполне проста, всякая регулярная
полугруппа q^°(G; I, A; P) вполне 0-проста. Обращение
последних двух утверждений составляет основное
содержание теоремы Риса [1]: всякая вполне
простая (вполне 0-простая) полугруппа изоморфно пред-
ставима Р. п. м. т. над группой (регулярной Р. п. м. т.
над группой с присоединенным нулем). Если qS°(G; I,
Л; Р) и q£°(G'; Г, А'; Р') изоморфны, то группы G и G'
изоморфны, I а Г равномощны, Л и Л' равномощны;
необходимые и достаточные условия изоморфизма
полугрупп qS°(G; I, Л; Р) и gS°(G'; /', Л'; Р') хорошо
известны и наряду с только что приведенными условиями
включают вполне определенную связь между сэндвич-
матрицами Ρ и Р' (см. [1]—[3]). В частности, любая
вполне 0-простая полугруппа изоморфно представима
Р. п. м. т., у сэндвич-матрицы Ρ к-рой каждый элемент
в данной строке и данном столбце равен либо 0, либо
единице структурной группы; такая сэндвич-матрица

1035
РИССА
1036
наз нормализованной. Аналогичные
свойства выполняются для вполне простых полугрупп.
Лит.. [1] R ees D., «Proc. Gamb. Phil. Soc»., 1940, v. 36,
p. 387—400; [2] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972; [3]
Л я пин Е. С, Полугруппы, М., 1960. Л. Н. Шеврин.
РИССА БАЗИС — см. Рисса система.
РИССА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА -
формула, дающая выражение для производной
тригонометрия, полинома в нек-рой точке через значения самого
полинома в конечном числе точек, если Тп(х) —
тригонометрич. полином с действительными
коэффициентами степени ni то для любого действительного χ
имеет место равенство
где х{1)=(2к—1)π/2η, A=l, 2, ... , 2п.
Р. и. ф. обобщается на целые функции
экспоненциального типа: если / — целая функция, ограниченная
на действительной оси IR и имеющая степень σ, то
причем ряд, стоящий в правой части равенства,
сходится равномерно на всей действительной оси.
Установлена М. Риссом [1].
Лит.: [1]R i е в ζ Μ., «С. г. Acad, sci.», 1914, t. 158, p. 1152—
54; [2] БернштейнС. Н., Экстремальные свойства
полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной
вещественной переменной, ч. 1, Л.—М., 1937; [3]
Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения, 2 изд., М., 1977. Л. Д. Кудрявцев.
РИССА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — метод
суммирования числовых и функциональных рядов; обозна-
ΣΟΟ
ап суммируем методом
суммирования Рисса (Я, λ, к) к сумме s,
если
lim V Л-Ьауд =,,
1 χτί"*
где /c>0, 0<λ0<λι<...<λ„-* οο, ω — непрерывный
параметр. Метод был введен М. Риссом [1] для
суммирования рядов Дирихле. Метод (R, λ, к) регулярен; при
λη—η равносилен Чезаро методу суммирования (С, к)
и совместен с ним.
М. Рисе рассматривал также метод, в к~ром сумми-
ап определяется через предел
последовательности {от}, где
Этот метод обозначается (/?, рп). Метод (R, λ, А:)
является модификацией метода (R, pn) (при к=1) и
обобщением его на произвольные к>0.
Лит.: [l]Riesz Μ., «С. г. Acad, sci.», 1911, t. 152, p. 1651 —
54; [2] e г о же, там же, 1909, t. 149, р. 18—21; [3] Η а г d у
G. Н., Riesz Μ., The general theory of Dirichlets series,
Camb., 1915; [4] X a p д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951. И. И. Волков.
РИССА НЕРАВЕНСТВО - 1) Пусть {φ„} — орто-
нормированная система функций на отрезке [а, Ь],
|φ„|<Μ почти всюду на [а, Ь] для любого п.
а) Если /ζ//[α, b], 1<р<2, то ее коэффициенты
Фурье
cn=\ahndx
удовлетворяют неравенству Рисса
№n}\\q<№>P-i\\f\\p, l/p + l/g = l.
б) Для любой последовательности {сп} с ||{сА/}||/?<оо,
1</?<2, существует функция ίζ№{α, b], имеющая сп
своими коэффициентами Фурье и удовлетворяющая
неравенству Рисса
\\f\\q^M*lP-*\\{cn)\\p, l/p + i/q = l.
2) Если /ζ//[Ο, 2π], 1<р<оо, то сопряженная
функция /ζΖ/[0, 2π] и справедливо неравенство
Рисса _
где Ар — постоянная, зависящая только от р.
Утверждение 1) впервые доказано Ф. Риссом [1],
частные случаи этого утверждения ранее
рассматривали У. Юнг (W. Young) и Ф. Хаусдорф (F. Hausdorf).
Утверждение 2) впервые доказано М. Риссом [2].
Лит.: [1] Rieez F., «Math. Ζ.», 1923, Bd 18, S. 117—24;
[2] Riesz M., там же, 1Θ27, Bd 27, 9. 218—44; [3] Бари
Η. К., Тригонометрические ряды, М., 1961, с. 211, 566; [4]
Зигмунд Α., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд.,
т. 1-2, Μ., 19Θ5, с. 404 (т. 1), 0. 154 (т. 2) Т П Лукашенко,
РИССА ПОТЕНЦИАЛ, απ ο τ е н ц и а
л,—потенциал вида
Va (x) = V(x; α, μ)= С ^*Μ- , α > 0,
J \x-y\a
где μ — положительная борелевская мера с
компактным носителем на евклидовом пространстве R", п^2,
\х—у\ — расстояние между точками я, j/ζ Rn. При п^Ъ
иа=л-2 Р. п. совпадает с классическим ньютоновым
потенциалом] при п=2 и α -*· 0 предельным случаем
Р. п. в нек-ром смысле является логарифмический
потенциал. При п^Ъ и 0<а</г—2 Р. п. есть cyneprap-
монич. функция во всем пространстве R"; при этом в
классич. случае а=п—2 вне носителя £'(μ) меры μ
потенциал V(x)= Vn-2(x) есть гармонич. функция. При
α>τι—2 Р. п. Va(x) есть субгармонич. функция вне
£(μ). При всех а>0 Р. п. Va(x) — полунепрерывная
снизу функция в R", непрерывная вне S (μ).
Из общих свойств Р. п. важнейшими являются
следующие. Принцип непрерывности: если
#0ζ£(μ) и сужение Va(x)\S(μ) непрерывно в точке х0,
то Va(x) непрерывен в х0 как функция на всем R".
Ограниченный принцип максимума:
если Va(x)\Sfa)<.M, то Va(x)<2aM всюду в R». При
п—2<а<я справедлив более точный принцип
максимума: если Va(x)\S (μ)<Μ, то Va(x) < Μ
всюду в Rn (это утверждение остается верным и при
п=2 и α -+ 0, то есть для логарифмич. потенциала).
Теория емкости для Р. п. строится, напр., исходя
из понятия α-энергии меры μ:
,β(μ)^*^,β>0.
Для компакта К можно положить
^α(£)==ίηί{£α(μ)},
где нижняя грань берется по всем мерам μ,
сосредоточенным на К и таким, что μ(K)—i\ тогда α-e м к о с τ ь
равна
Са(К) = [Уа(К)]-И«.
Если Va(K)<-\-ao, то нижняя грань достигается на
сосредоточенной на К емкостной мере λ,
λ(Χ)=1, порождающей соответствующий е м к о с
τη ы й а-п о τ е н ц и а л V(χ; α, λ). Дальнейшее
построение α-емкостей произвольных множеств
производится так же, как и для классич. емкостей.
Р. п. назван по имени М. Рисса (см. [2]), получившего
ряд важных свойств Р. п.; впервые такие потенциалы
были исследованы О. Фростманом (см. [1]).
Лит.: [1] Frostmann О., «Medd. Lunds Univ. Ma4.
Sem.», 1935, v. 3; [2] R i e s ζ Μ., «Acta sci. math. Szeged»,
1938, v, 9, p. 1—42; [3] Л а н д к о ф Η. С, Основы современ-

1037 P
ной теории потенциала, Μ., 1966; [4] Хейман У.,
Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., т. 1, М.,
1980. Е. Д. Соломенцев.
РИССА ПРОИЗВЕДЕНИЕ - бесконечное
произведение вида
nr=i(1+efcCOSnfcx), -Ilfcfci^g >l, |afc|<l, (l)
k
для всех к ζ Ν, χ ζ [0, π].
С помощью таких произведений (α^=1, пк=Ък при
всех /cgN)oO. Рисе (F. Riesz) указал первый пример
непрерывной функции с ограниченным изменением,
коэффициенты Фурье к-рой не равны о( — \ Если ?>3,
то тождество
Пт
k=1(i+akcosnkx) = i +2^ Y*cos **'
Рт = }Ч+---+пт, ^ζΝ, ж£[0, π],
определяет ряд
о к-ром говорят, что он представляет Р. п. (1). В случае,
когда д>3, —1<αΛ<1 для всех /c£N, ряд (2) есть ряд
Фурье — Стилтьеса неубывающей непрерывной
функции F. Если д>3,
при всех &£N, то F' (ж)=0 почти всюду. Если
дополнительно a,k -»- 0, то ряд (2) сходится к нулю почти всюду.
Ряд проблем, относящихся в основном к теории триго-
нометрич. рядов, удалось решить, используя
естественное обобщение Р. п., когда в (1) вместо akcosnkx
записаны специально выбранные тригонометрич. полиномы
Лит.: [1] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961; [2] 3 и г м у н д Α., Тригонометрические ряды, пер. с
англ., т. 1—2, М., 1965. В. Ф. Емельянов.
РИССА ПРОСТРАНСТВО, векторная
решетка,— вещественное частично упорядоченное векторное
пространство X, в к-ром
1) структуры векторного пространства и
упорядоченного множества согласованы, т. е. из х, у, ζξ-Χ и
χ < у следует χ-\-ζ < у + ζ и из χζΧ, χ > 0, λζΚ,
λ > 0 следует λχ > 0;
2) для любых двух элементов х, у существует sup (я,
у) ζ Χ. В частности, существуют sup и inf любого
конечного множества.
В отечественной литературе Р. п. обычно наз. Я-л и-
н е а л а м и. Впервые такие пространства были
введены Ф. Риссом (F. Riesz, 1928).
Примером Р. п. может служить пространство С [а, Ь]
действительных непрерывных на С [a, b] функций с
поточечным упорядочением. Для любого элемента
χ Р. п. определяются # + = sup(#, 0), rc_ = sup(— x, 0)
и \х\=х + -\-х-. При этом оказывается, что х—х + — Х-.
В Р. п. вводятся два вида сходимости
последовательности {хп}. Порядковая сходимость,
о
0-е χ о д и м о с τ ь: хп->-х0, если существуют
монотонно возрастающая последовательность {ип} и
монотонно убывающая последовательность {z„} такие, что
У η < хп < ζη и sup yn=mi zn—x0.
Относительно равномерная сходимость, г-схо-
Т
димость: ж„ -»- х0, если существует элемент и > 0
такой, что для любого ε > 0 существует п0 такое, что
\хп — хо\ < ги ПРИ η ^ п0 (r-сходимость наз. также
сходимостью с регулятором). Понятия
о- и r-сходимости обладают многими обычными
свойствами сходимости числовых последовательностей и
ЗСА Ю38
естественным образом распространяются на
направления {ia}a6?iCX.
Р. п. наз. архимедовым, если из я, у£Х и
пх < у для 71=1,2,. . . следует χ < 0. В архимедовом
Р. п. из λ„ ->· λ0 и хп ->· х0 следует ληχη -> λ0χ0(λη,
λ ζ Κ, χ η, ^οζ-^Ο и из ^-сходимости следует о-схо-
димость.
Лит.: [1] Riesz F., в кн.: Atti del Congr. Int. dei Math.,
v. 3, Bologna, 1930, p. 143—48; [2] L u χ e m b u г g W., Ζ a a-
nen Α., Rieszspaces, v. 1, Amst.—L., 1971; [3] В у ли х
Б. 3., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М.,
1961. В. И. Соболев.
РИССА СИСТЕМА — понятие теории ортогональных
систем. Пусть фиксирована в пространстве L2=L2(a,b)
полная система функций {ψ„}. Ее считают
нормированной или, более общо, почти нормированной, т. е.
допускают наличие чисел т > 0 и Μ > 0, при к-рых
т < ΙΙΨηΙΙ < Μ Для всех ΑίζΝ. Ослабляя требования
ортогональности системы {ψ„}, предполагают, что
существует полная в L2 система функций {gn} и такая,
что (ψ„, gn) = l, (ψ„, gm)=0 Для BCex η Φ т.Ъ частном
случае, когда система {ψ„} ортонормирована, gn=tyn
для всех /ι£Ν· Если ряд
сходится в L2 к функции /, то ап~ (/, gn) при всех и ζ Ν·
Поэтому имеет смысл называть число ап— (/, gn) n-
коэффициентом Фурье функции / по системе {ψ„}. В
доказательстве ряда теорем теории ортогональных рядов
играют важную роль неравенство Бесселя и теорема
Рисса—Фишера. В общем случае эти теоремы не верны,
и поэтому приходится выделять специальный класс
Р. с. с помощью следующих требований к системе {ψΛ}.
1) Для любой функции / сходится ряд из квадратов
коэффициентов Фурье, т. е.
ΣΓ=ι(/'*η)2<+ς°·
2) Для любой последовательности чисел {ап}£12
существует функция /, имеющая числа ап своими п-
коэффициентами Фурье по системе {ψ,*}, то есть ап=
= (/, gn) для всех тг£Ν·
Первое требование к системе {ψ„} заменяет
неравенство Бесселя, второе — теорему Рисса — Фишера.
Н. К. Бари доказала (см. [2]), что система {ψ„} есть
Р. с. тогда и только тогда, когда существует линейный
непрерывный обратимый в L2 оператор А такой, что
система функций {Лг|)„} является полной и ортонорми-
рованной. Поэтому Р. с. наз. также базисом Рис-
с а, эквивалентным ортонормированному. Н. К* Бари
указала удобный критерий для Р. с. Полная в L2
система функций {tyn} является Р. с. тогда и только тогда,
когда матрица Грама ||(грп, ψΛ)ΙΙ определяет линейный
непрерывный обратимый оператор в I2. Если в Р. с.
переставить произвольно члены, то получится Р. с.
Обратно, если базис в /достается базисом после любой
перестановки его членов, то, нормируя его, получают
Р. с. Естественное обобщение Р. с. получают, если
заменить L2 на замыкание линейной оболочки системы
{ψ„} по норме того гильбертова пространства, из к-рого
взяты элементы г|?„ (см. [4]).
Лит.: [1] Бари Н. К., «Докл. АН СССР», 1946, т. 54,
с. 383—86; [2] ее же, «Уч. зап. МГУ», 1951, в. 148, №4,
с. 69—107; [3] Г о χ б е ρ г И. П., К ρ е й н М. Г., Введение
в теорию линейных несамосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве, М., 1965; [4] Г а п о ш к и н В. Ф.,
«Успехи матем. наук», 1966, т. 21, в. 6, с. 3—82. В. Ф. Емельянов.
РИССА ТЕОРЕМА — 1) Р. т. о
представлении субгармонической функции: если
и(х) — субгармонич. функция в области D евклидова
пространства R", η ^ 2, то существует единственная
положительная борелевская мера μ па D такая, что для
любого относительно компактного множества KczD

1039
справедливо представление Рисса
функции и(х) в виде суммы потенциала и гармония, функции
h(x):
и(х) = — ^кЕп(\ х — у |) άμ(ν) + Η (χ),
где
Я2(|*-И) = 1п
1
ι χ-y i
Еп{\х-у\)--
1
I x-y |"~2
л ^ 3, |ж—y\ — расстояние между точками х, j/ζ^"
(см. [1]). Мера μ наз. ассоциированной
мерой для функции и(х) или мерой Рисса.
Если К=Н есть замыкание области Я, причем
существует обобщенная функция Грина g(x, у, Я), то
формулу (1) можно записать в виде
и <*> = - S/7* (*' у; Н) *Р (У)+н* (*Ь <2>
где А* (я) — наименьшая гармонич. мажоранта и (х) в
области Я.
Формулы (1), (2) можно распространить при нек-рых
дополнительных условиях на всю область D (см.
Субгармоническая функция, а также [3], [5]).
2) Р.т. о среднем значении
субгармонической функции: если и(х) — субгармонич.
функция в кольцевой области {x£Rn : 0 < г < \х—
—х0\ <: R }, то ее среднее значение по площади сферы
Sn(xo, Ρ) с центром х0 и радиусом р, г < ρ <: i?,
равно
РИССА Ю40
функцией от параметров α и β в области α ^ 0, β ^ 0,
если форма действительна (α,-y, я/, г/г€^ + ), и в области
0 <: α, β <: 1, а + β !> 1, если форма комплексна
(а^у, χι, уj £ С). Эта теорема была доказана М. Рис-
сом [1].
Обобщение Р. т. в. на линейные операторы (см. [3]):
пусть Lp, 1 <р < оо,— совокупность всех комплек-
созначных суммируемых в р-й степени при 1 ^ ρ < оо
и существенно ограниченных при р=оо функций на
нек-ром пространстве с мерой; пусть, далее, Τ : L ->■
"ση(Ρ)
ι (*о. Ρ)
где σ„(ρ) — площадь Sn(x0, p), и является выпуклой
функцией относительно 1/р"-2 при л>3 и
относительно 1пр при Αΐ=2. Если же и(х) — субгармонич.
функция во всем шаре {χζ^η: \х—х0\ <i? }, то /(р), кроме
того,— неубывающая непрерывная функция
относительно ρ при условии, что J(0)=u(x0) (см. [1]).
3) Р. т. об аналитических функциях
классов Харди Яб, δ > 0: если f(z) —
регулярная аналитич. функция в единичном круге D =
= {z=reto£C :\z\ < 1} класса Харди Яб, δ > 0 (см.
Граничные свойства аналитических функций), то
нее имеют место соотношения
lim [ \f(reM)\udQ=[ \f(eiQ)\&dQ,
ДЛЯ
lim
[2n\f(reM)-f(eM)\6dQ = 0,
где Ε — любое множество положительной меры на
окружности Г= {z=eiQ : \z\ = i), f(eiQ) — граничные
значения f(z) на Г. Кроме того, ί(ζ)ζΗ1 тогда и только
тогда, когда ее первообразная непрерывна в замкнутом
круге D\JT и абсолютно непрерывна на Г (см. [2]).
Теоремы 1) — 3) доказаны Ф. Риссом (см. [1], [2]).
Лит.: [l]Riesz P., «Acta math.», 1926, v. 48, p. 329—43;
1930, v. 54, p. 321—60; [2] e г о же, «Math. Ζ.», 1923, Bd 18,
S. 87—95; [3] Привалов И. И., Субгармонические
функции, М.—Л., 1937; [4] е г о же, Граничные свойства
аналитических функций, 2 изд., М.—Л., 1950; [5] Хейман У. К.,
Кеннеди П. В., Субгармонические функции, пер. с англ.,
т. 1, М., 1980. Е. Д. Соломенцев.
РИССА ТЕОРЕМА ВЫПУКЛОСТИ: логарифм
In Μ (α, β) точной верхней грани модуля Μ (α, β)
билинейной формы
ЧУ]
на множестве
SL"
^Σ^ιΐ»/!1"^1
(если а=0 или β=0, то соответственно |я/|<:1, i=l, ....
. . ., т или \yj\ <: 1, / — 1,. . . , η) является выпуклой
->- L , 1 < pi, qi <: оо, i = 0, 1,— линейный непре-
qi
рывный оператор; тогда Τ является непрерывным
оператором из Lp в Lq , где
l/pt=(i-t)fp0 + t/Pl, l/qt=(i-t)/q0 + t/qi, ίζ[0,1]
и норма kf оператора Τ (как оператора из Lp в Lq \
удовлетворяет неравенству /с/<:/со~ /с ι (т. е. является
логарифмически выпуклой функцией). Эту теорему
наз. теоремой Рисса — Торина об
интерполяции, но иногда теоремой
выпуклости Рисса [4].
Р. т. в. явилась отправным пунктом для целого
направления в анализе, где изучаются интерполяционные
свойства линейных операторов. Среди первых из
обобщений Р. т. в.— теорема Марцинкевича
об интерполяции [5], к-рая гарантирует при 1 <: р/<
<#;< оо, i=0, 1, непрерывность оператора Τ : Lp ->■
->- Lq , ί£(0, 1), при более слабых предположениях,
чем в теореме Рисса — Торина. См. также
Интерполирование операторов.
Лит.: [1] R i e s ζ Μ., «Acta math.», 1926, v. 49, p. 465—97;
[2] Харди Г., ЛиттльвудД., ПолиаГ.,
Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [3] Thorin G., «Gomm. Sem.
Math. Univ. Lund.», 1939, v. 4, p. 1—5; [4] С т е й н И., В е й с
Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах, пер. с англ., М., 1974; [5] Marcinkiewicz J.,
«С. г. Acad. Sci.», 1939, t. 208, p. 1272—73; [6] К р е й н С. Г.,
Петунии Ю. И., Семенов Ε. Μ., Интерполяция
линейных операторов, М., 1978; [7] Τ г i e b е 1 Н.,
Interpolation theory, В., 1978. В. М. Тихомиров.
РИССА — ФИШЕРА ТЕОРЕМА — теорема,
устанавливающая связь между пространствами I2 и L2 [а, Ь]:
если система функций {φ„(ί)}~=1 ортонормирована на
отрезке [a, b], a последовательность чисел {cn}n=i
такова, что
2+п = 1
<оо
(то есть сп£12)
для к-рой
то существует функция f(t)£L2 [а, Ь],
fit)
*»=$*/(*) φ» (*)<*'·
При этом функция f(t) единственна как элемент
пространства L2 [a, 6], т. е. с точностью до ее значений
на множестве нулевой меры Лебега. В частности, если
ортонормированная система {φ„ (t)} замкнута (полна) в
L2 [а, Ь], то с помощью Р.— Ф. т. устанавливается, что
пространства I2 и L2 [а, Ь] изоморфны и изометричны.
Р.— Ф. т. доказана независимо Ф. Риссом [1] и Э.
Фишером 12].
Лит.: [1] R i e s z F., «С. г. Acad, sci.», 1907, t. 144, p. 615 —
19; [2] F i s с h e г Ε., там же, 1907, t. 144, p. 1022—24, 1148—
50; [3] Η а т а н с о н И. П., Теория функций вещественной
переменной, 3 изд., М., 1974, с. 168. В. И. Голубое.
РИССОВ ТЕОРЕМА — 1) Р. т.
единственности для ограниченных
аналитических функций: если f(z) — ограниченная
регулярная аналитич. функция в единичном круге D= {ζζϋ :
\ζ\ < 1}, имеющая радиальные граничные значения
нуль на множестве Ε точек окружности Г= {ζ : |ζ| = 1}
положительной меры, mes Ε > 0, то / (ζ) = 0. Теорема

1041
РИЧАРДСОНА ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
1042
и М.
сформулирована и доказана братьями Ф. Риссом
Риссом (F. Riesz, Μ. Riesz, 1916, см. [1]).
Это — одна из первых граничных теорем-
единственности для аналитич. функций. Независимо от братьев
Риссов наиболее общие граничные теоремы
единственности были получены Η. Η. Лузиным и И. И.
Приваловым (см. [2], [3]).
2) Р. т. об и н τ е г ρ а л е К о ш и: если f(z) есть
интеграл Коши
в единичном круге D и его граничные значения /(ζ)=
=f(eiQ) образуют функцию ограниченной вариации
на Г, то /(ζ) есть абсолютно непрерывная функция на Г
(см. [1]).
Эта теорема допускает обобщение для интегралов
Коши по любому спрямляемому контуру Г (см. [3]).
Лит.: [1] Riesz F., GEuvres completes, t. 1, P.— Bdpst,
1960, p. 537—54; [2] Привалов И. И., Интеграл Cauchy,
Саратов, 1918; [3] его же, Граничные свойства
аналитических функций, 2 изд., М.—Л., 1950. Е. Д. Соломенцев.
РИТЦА МЕТОД — метод решения задач
вариационного исчисления и вообще бесконечномерных задач на
экстремум, основанный на минимизации
функционала на конечномерных подпространствах или
многообразиях.
Пусть поставлена задача нахождения точки
минимума ограниченного снизу функционала / : U -> R на
сепарабельном банаховом пространстве U. Задается
нек-рая (т. н. координатная) система элементов {φ„}Γ(Γ
С С/, полная в U. По Р. м. минимизирующий элемент в
п-м приближении разыскивается в линейной оболочке
первых η координатных элементов φ1? . . ., φ„, т. е.
коэффициенты с[п\ . . ., с™ приближения
■ς;.^/
определяются из условия минимальности J (ип) среди
элементов указанного вида. Вместо координатной
системы можно задать последовательность подпространств
Unc:U, не обязательно вложенных друг в друга.
Пусть Η — гильбертово пространство со скалярным
произведением (и, v), A — самосопряженный,
положительно определенный, вообще говоря, неограниченный
оператор в Я, а НА — гильбертово пространство,
получаемое пополнением области определения D (Л)д=#
оператора А по норме \\и\\А, порожденной скалярным
произведением (и, v)A=(Au, v), и, v£D(A). Пусть
нужно решить задачу
Au = f. (1)
Она равносильна задаче отыскания точки минимума
квадратичного функционала
Ф(и) = (Аи,и)-(и, /)-(/, и),
к-рыи можно записать в
Φ (и) = [|и—ι
Ά-
виде
«oft,
αζΗ,
где щ=А -1/ — решение уравнения (1). Пусть НпаН А,
п=1, 2, . . .,— замкнутые (обычно конечномерные)
подпространства такие, что ||и—Рпи\\А-+- 0 при и->оо
для каждого и£НА, где Рп — ортопроектор в НА,
проектирующий на Нп. Минимизируя Φ в Нп,
получают ритцовское приближение ип=Рпи0 к решению
уравнения (1); при этом \\ип—и0\\А = \\щ — Рпи0\\А-+ 0
при η -> оо. Если dim Нп=п и
Нп, то коэффициенты элемента
ф'Л
φ(;>·
базис
-HL
ε(.«)φ(η)
(2)
(3)
определяются из линейной системы уравнении
2j=i((p(.">, φ(/ι>)^) = (/, qf>), i = l,
К ритцовскому приближению можно прийти и минуя
вариационную формулировку задачи (1). А именно,
определив приближение (2) из условий
(Aua—f, φ(/Ρ) = 0, i = l, ..., η
(метод Галеркина), приходят к той же системе
уравнений (3). Поэтому Р. м. для уравнения (1) иногда
наз. методом Ритца — Галеркина.
Р. м. широко применяется и при решении задач на
собственные значения, краевых задач и вообще
операторных уравнений. Пусть А и В — самосопряженные
операторы в Я, причем А положительно определен, В
положителен, D (Α)<ΞΞ:ϋ (В) и оператор А~*В вполне
непрерывен в пространстве ΗΑ. ~
условий А~ХВ самосопряжен и
и спектр задачи
Аи — кВи
В силу наложенных
положителен в НА
(4)
►00.
состоит из положительных собственных значений:
Auk = XkBuk, 0 < λι<:λ2<;. · ·; λ^—► оо при к ·
Р. м. основан на вариационной характеризации
собственных значений. Напр.,
λι= inf
иен
(Аи, и)
(Ви, и) '■
и, проведя минимизацию лишь по подпространству
Нпс:НА, получают ритцовские приближения λ1η, uin к
λχ, щ. Если φ[η\ . . ., у{п\ как и выше, базис Нп, то
ритцовские приближения λ^η κ λ^, к=1,. . ., п,
определяются из уравнения
det(^n—룄) = 0,
а вектор коэффициентов с^ п-
жения
cnk) прибли-
«^SHiW
к щ определится как нетривиальное решение линейной
однородной системы (Ап—^^пВп)с^п—^- Ρ- Μ·
приближает собственные значения сверху, то есть λ^η ^ λ^,
к—1, . . ., п. Если к-е собственное значение задачи
(4) простое (λ^_ι < λ^ < λΛ + 1), то быстрота сходимости
Р. м. характеризуется соотношениями
λ*„—λΛ = λΛ (ί + Чп) II u>k—Pnu>kfA,
[U = i. \\Щп—"felU = (i+^)||^—Pnu>kh>
l"ftn|U=ll"IU = i.
О при η -> оо. Подобные соотношения
I ^ II
где &kn, &kn-
распространяются и на случай кратного λ^, но требуют
нек-рых уточнений (см. [2]). В. Ритц [4] предложил
свой метод в 1908, но ранее Рэлей (Rayleigh) применял
этот метод при решении нек-рых задач на собственные
значения. В связи с этим Р. м. часто наз. методом
Рэлея — Ритца, особенно, если речь идет о
решении проблемы собственных значений.
Лит.: [1] ВайнбергМ. М., Вариационный метод и
метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений,
М., 1972; [2] Красносельский М. А. [и др.].
Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [3] Μ и х-
лин С. Г., Вариационные методы в математической физике,
2 изд., М., 1970; [4] R i tz W., «J. reine und angew. Math.»,
1908, Bd 135, S. 1—61. Г. M. Вайниппо.
РИЧАРДСОНА ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ — метод
ускорения сходимости решений разностных задач (см.
Аппроксимация дифференциальной краевой задачи

1043
РИЧЧИ КРИВИЗНА
1044
разностной). Основная идея метода состоит в
исследовании решения uh (χ) сходящейся разностной задачи
при фиксированных χ как функции параметра h
разностной сетки, стремящегося к нулю, в подборе
подходящей интерполяционной функции χ (h), построенной по
нескольким значениям решения uh (x) при различных
/г, и вычислении величины χ(0), являющейся
приближенным значением искомого решения и(х) — предела
последовательности uh(x) при h ->- 0. Чаще всего
функция χ (h) ищется в виде интерполяционного многочлена
от h.
Метод носит имя Л. Ричардсона [1], к-рый впервые
использовал его как средство для улучшения точности
решений разностных задач и называл
постепенным переходом к пределу.
Теоретич. основой применимости метода служит
существование разложения вида
и% (х) = и(х)+^^ h hi (x) + hBr)h (χ),
где В > pm_i >. . ·>βχ > 0 и функции vt- не зависят
от h, а τ|β(.ϊ) —- значения сеточной функции,
ограниченные при h ->· 0. Имеется несколько теоретич.
приемов для выяснения существования таких
разложений [4].
Чаще всего используется линейная экстраполяция:
с помощью т значений uh (χ) в одной точке χ для
различных параметров Д=Д1, . . ., hm вычисляется
экстраполированное значение и^(х) по правилу
"tf(*) = 2™=1Vft% И,
где веса у^ определяются из системы уравнений:
ΣΓ=1ν*=ΐ; ΣΓ=1νΛβ''=0' '=1. ···. »-ΐ·
Если среди h^ нет слишком близких значений, то
\ин(х)-и(х)\=0(1ьВ),
где Й^тах h^, το есть величина ин (х) сходится к и (х)
i<k<m
при h -> 0 с порядком В, что больше βΧ — порядка
сходимости uh (χ) к и (χ). В двух частных случаях
существуют алгоритмы вычисления величины ин(х),
минуя определение коэффициентов γ&:
а) в случае β£· = φ, ρ > 0, ί = 1, . . ., т — 1, метод
приводит к интерполяции многочлена от hp и из свойств
Лагранжа интерполяционной формулы следует, что
где
иИ(х)=а(гп-1)ч
a(9) = uh.(x), / = 1, 2, ..., т\
„(ί-υ.Λί-ΐ)
а
-а
/+1
/+1
у
(h//hl + J)P-
(*)
/ = 1, ·.., т—i, i = l, · ·., т — 1;
б) в случае к[=к0Ь^ 0 < Ъ <1, i=l, . . ., т — 1,
формула (*) заменяется следующей:
«.(0.
2(/-1}
ffl(i-D_rt(i-i)
+■
У+1
У
Р/-1
Этот алгоритм, называемый правилом
Ромбе ρ г а (W. Romberg, 1955), нашел распространение
при конструировании квадратурных формул (см. [5]).
Для того чтобы при различных /г,- сетки DhU (см.
Аппроксимация дифференциального оператора
разностным) имели возможно больше общих узлов для
осуществления Р. э., параметры /г,- выбирают как часть одной
из последовательностей: ht = hji, i=l, 2, ...; /&г·—/&021-',
ί=1, 2, ... ; /*0, h0/2, Λ0/3, Λ0/4, V6» V8» V12» · · · ·
Линейная экстраполяция не является единственно
возможной. Напр., в случае β,·=ίρ, ρ > 0, в качестве
интерполяционной функции χ (/г) используют
рациональные функции вида (p(hp)/ty(hp), где φ(ί),
ΨΜ—многочлены от t степени [(т—1)/2] и [т/2] соответственно.
Тогда результат рациональной экстраполяции иИ{х)=
= χ(0) может быть вычислен с помощью рекуррентной
процедуры:
Λ-1).
= 0, ;=2,
d}°> =
zUhj(x), / = 1, 2,
X
^)=<-11)+«-ι1,-<-1,)χ
w — 1;
ay +1 a;
/ = 1, ..., m—i, i = l, ..
P. э. удобна для реализации на ЭВМ, поскольку
для достижения высокой точности использует
многократное решение простых разностных задач (иногда
с небольшими модификациями) невысокого порядка
аппроксимации, для к-рых обычно хорошо разработаны
стандартные приемы решения и программы для ЭВМ.
Лит.: [1] Richardson L. F., «Philos. Trans. Roy. Soc.
Ser. A», 1910, v. 210, p. 307 — 57; [2] В u 1 i г s с h R., S t о е г J.,
«Numer. Math.», 1964, Bd 6, H. 5, S. 413—27; [3] J о i с e D. C,
«SIAM Review», 1971, v. 13, № 4, p. 435—90; [4] Μ a p ч у к
Г. И., Ш а й д у ρ о в В. В., Повышение точности решений
разностных схем, М., 1979; [5] Бахвалов Н. С,
Численные методы, 2 изд., М., 1975. В. В. Шайдуров.
РИЧЧИ КРИВИЗНА рпманова
многообразия Μ в ύ о ч к е р£М — число,
сопоставляемое каждому одномерному подпространству из
касательного пространства Μρ по формуле
r(v) =
(cR) (ν, ν)
g (ν, ν) '
где cR — Риччи тензор, υ — вектор, порождающий
одномерное подпространство, g — метрич. тензор рима-
нова многообразия Μ. Р. к. выражается через
секционные кривизны многообразия М. Пусть Кр(а, β) —
секционная кривизна в точке ρ £ Μ в направлении
площадки, определяемой векторами α и β, 1г, . . .,
1п-\ — нормированные векторы, ортогональные друг
другу и вектору у, η — размерность Μ, тогда
'•(")=2"Г11А'и^г.·)·
Для многообразий Μ размерности больше двух имеет
место следующее предложение: если Р. к. в точке ρ ζ Μ
имеет одно и то же значение г по всем направлениям
у, то Р. к. имеет одно и то же значение г во всех точках
многообразия. Многообразия с постоянной Р. к. наз.
пространствами Эйнштейна. Тензор
Риччи пространства Эйнштейна имеет вид cR~rg, где
г — Р. к. Для пространства Эйнштейна выполняется
равенство
nRijRO'~s2^0,
где i?,y, RlJ — ковариантные и контравариантные
координаты тензора Риччи, η — размерность пространства,
s — скалярная кривизна пространства.
Р. к. может быть определена и на псевдоримановых
многообразиях с помощью аналогичных формул, в этом
случае вектор предполагается неизотропным.
По Р. к. однозначно восстанавливается тензор Риччи:
(cR)(u, v) = -j-[r (u + v) g(u-\-v,u + v) — r (u)g (и, и) —
~r (v)g(v,v)].
Лит.: [1] Громол Д., Клингенберг В., Мей-
ер В., Риманова геометрия в целом, пер с нем., М., 1971;
[2] Π е τ ρ о в А. 3 , Пространства Эйнштейна, М., 1961.
Л. А: Сидоров.

1045
РИЧЧИ ТЕНЗОР — дважды ковариантный тензор,
получаемый из Римана тензора Rjki путем
свертывания верхнего индекса с нижним:
Rki = Rmkti'
В римановом пространстве VnP. т. является
симметрическим: Rki= Rik- β результате свертывания Р. т. с
контравариантным метрич. тензором gO' пространства
Vn получается скалярная величина R = g'SRij,
называемая инвариантом кривизны, или
скалярной кривизной Vn. Компоненты Р. т.
выражаются через основной метрич. тензор gy
пространства Vn: _ __
Ρ _ЭЧп VJ 0 vk _\Гтгк rmd\nV~g
ntJ — ~7ZnZi IZk ί tV"*"1 ikl mj — V ij
dxldxl
dxm
где g=detgij, П/— символы Кристоффеля 2-го рода,
вычисленные относительно тензора gy.
Тензор введен Г. Риччи [1].
Лит.: El] R i с с i G., «Atti Reale Inst. Veneto», 1903—04,
t. 53, № 2, p. 1233—39; [2] ЭйзенхартЛ. П., Риманова
геометрия, пер. с англ., М., 1948. Л. А. Сидоров.
РИЧЧИ ТЕОРЕМА: для того чтобы поверхность
S с метрикой ds2 и гауссовой кривизной А < 0 была
локально изометрична нек-рой минимальной
поверхности F, необходимо и достаточно, чтобы метрика ds2 =
= У—Kds2 имела (во всех точках, где К < 0) гауссову
кривизну А — 0. И. X. Сабитов.
РИЧЧИ ТОЖДЕСТВО — 1) Тождество, выражающее
одно из свойств Римана тензора i?i/,fe, (или i?t*t Jt м)'·
Для ковариантного тензора Z?^ kl тождество имеет вид
Rij, ki+Rjk, H+Rki, у/ = 0,
т. е. циклирование по трем первым индексам дает
нуль.
2) Тождество, к-рому должны удовлетворять кова-
риантные производные 2-го порядка относительно
метрич. тензора gy риманова пространства Vm
отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Если λ, —
тензор 1-й валентности, λ^ jk — ковариантная
производная 2-го порядка по χί и' по xk относительно тензора
gji, то Р. т. имеет вид
λ/,/ft —λ/, kj^hRij^ki
где RiJf k — тензор Римана, определяемый метрич.
тензором gij, то есть в метрике пространства Vn (иными
словами, альтернированная 2-я абсолютная
производная тензорного поля λ/ в метрике gy выражается через
тензор Римана и компоненты λ,·).
Для ковариантного тензора 2-й валентности ау Р. т.
имеет вид
ai/, kl — ^ij, Ik^lihRjk, l + ahjRik, V
Вообще, для ковариантного тензора т-й валентности
аги..гт тождество имеет вид
ari...rmtkl — ari...rmtlk =
Аналогичные тождества образуются и для ковариант-
ных и смешанных тензоров в Vп. Р. т. применяется,
напр., при построении геометрии подпространств в Vn
в качестве условия интегрируемости основных дерива-
риационных уравнений, из к-рого выводятся
уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци для подпространств
в Vn.
Тождество установлено Г. Риччи (см. [1]).
риччи 1046
Лит.: [1] R i с с i G., L e v i-G i v i t а Т., «Math. Ann.»,
1901, Bd 54, S. 125—201; [2] Ρ а ш е в с к и й П. К. Риманова
геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Э й з е н-
харт Л. II., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948.
Л. А. Сидоров.
РИШАРА ПАРАДОКС — см. Антиномия.
РОБЕНА ЗАДАЧА, задача равновесия,
электростатическая задача,— задача о
таком распределении положительной борелевской
меры λ на границе S компакта А' в л -мерном евклидовом
пространстве Rn, η ^ 2, к-рое создает постоянный
ньютонов потенциал при η > 2 или логарифмический
потенциал при п~2 на каждой из связных компонент
внутренности А', т. е. задача о равновесном
распределении электрич. заряда λ (А) на поверхности S
проводника А.
В простейшем классич. случае, когда А есть гомео-
морфная шару замкнутая область в R", ограниченная
гладкой простой замкнутой поверхностью или (при
п=2) кривой S класса С1· а, 0 < а < 1, ΟζΑ, решение
Р. з. сводится к отысканию нетривиального решения
ν(х), x£S, однородного интегрального уравнения Фред-
гольма 2-го рода
YV(x)+-J£^sv(y)£;E„(z,y)dS(y) = 0,z£S, (I)
с условием нормировки
b(S)=\sv(y)dS(y) = l.
Здесь
(2)
е2(х, г/)--=1п
ι
I х-у I
• Еп(*> У)=·
U-
при η > 3, \х—у\ — расстояние между точками
я» νζ.^η, ηχ — направление внешней нормали к S в
точке x£S, v(x) — производная, или плотность,
абсолютно непрерывной меры λ по мере Лебега на 5,
/$2 — ^<JX, Kfl -
2(κ-2)π"/2
Г (η/2)
при η ^ 3, dS (у) — элемент площади поверхности S.
Уравнение (1) получается при рассмотрении
внутренней задачи Неймана для области с границей S при
нулевых граничных данных, т. к. потенциал простого слоя
и(х) = и (х- А) = ^v (у) Еп (х, у) dS (у),
называемый потенциалом Робена, или
равновесным потенциалом, должен, по
условию Р. з., иметь постоянное значение на К (см.
Потенциала теория, а также [2]). Решение v(x) задачи (1),
(2) при указанных условиях всегда существует в
классе непрерывных функций C(S). Мера
λ(Ε)=[ v(y)dS(y), EaS,
дающая решение Р. з., наз равновесной
мерой. Аналогично решается Р. з. и в более сложном
случае, когда граница компакта К состоит из конечного
числа непересекающихся простых замкнутых
поверхностей или (при п=2) кривых класса С1· а, 0 < а < 1
(см. [2]). При этом на ограниченных связных
компонентах открытого множества G=CK—Rn\K
потенциал Робена и(х) также сохраняет постоянное
значение, т. е. на границах этих компонент плотность
v(a:)=0.
Пусть компакт А есть связное множество. Постоянное
значение потенциала Робена и(х) на А
y=\5y(y)En(x,y)dS(y), χζΚ,
наз. постоянной Робена компакта А. При
η ^ 3 она связана с гармонической, или ньютоновой,

1047 роб
емкостью компакта К простым соотношением С (К)—
= 1/γ, причем 0 < у < +оо, 0 <С(К)<+оо. При п=2
постоянная Робена может принимать все значения
— оо <γ < +оо, гармонич. емкость выражается
формулой С(К)=е~У.
Иначе, равновесная мера λ определяется как мера,
дающая минимум интегралу энергии
в классе всех мер μ, сосредоточенных на К и таких,
что μ > 0, μ (К) = 1. Такая мера λ в случае компакта
К с гладкой границей совпадает с найденной выше, но
она существует и в общем случае произвольного
компакта Ка^п, η > 2, если только С (К) > 0.
Соответствующий равновесный потенциал
и (х) = и(х\К)=\ Еп (х, у) dk(y)t
являющийся обобщением потенциала Робена, сохраняет
постоянное значение у= \1С{К) при гС^Ъ или у= — \пС(К)
при Ai=2 всюду на К, за возможным исключением точек
нек-рого множества емкости нуль.
Название Р. з. связано с исследованиями Г. Робена
(см. [1]).
Лит.: ill Robin G., «Ann. sci. Ее. norm, super.»,
1886, v. 3; [2] Г ю н τ e ρ Η. Μ., Теория потенциала и ее
применение к основным задачам математической физики, М., 1953;
[3] Л а н д к о φ Η. С, Основы современной теории
потенциала, М., 1966; ШХейман У., Кеннеди П.,
Субгармонические функции, пер. с англ., т. 1,М., 1980. Е. Д. Соломенцев.
РОБЕНА ПОСТОЯННАЯ — численная
характеристика множества точек евклидова пространства R",
η ^ 2, тесно связанная с емкостью множества.
Пусть К — компакт в R", μ — положительная боре-
левская мера, сосредоточенная на К и нормированная
условием μ(Ζ)=1. Интеграл
V (μ) = S ^КхКЕп (*' У) άμ {Х) άμ {yh
где
Е2 (*, У) = 1П-ПГТГ » Еп(х,у) = i-^Tg прид^З,
'Х~УI \х-У\
\х—у\ — расстояние между точками х, y£Rn, есть
энергия меры μ. Постоянной Робена
компакта К наз. нижняя грань у (Κ) = 'ιηϊ V (μ) по
всем мерам μ указанного вида. Если у (К) < +°°»
то эта грань конечна и достигается на нек-рой
(единственной) равновесной (или емкостной)
мере λ > О, y(K)=V(k), λ(Κ)=1, сосредоточенной
на К; если у(К)=-\-оо, то ν(μ) = + οο для всех мер μ
указанного вида. Р. п. компакта К связана с его
емкостью соотношениями
у (К) = 1/С (К) при п^З,
у(К) = —\пС(К) при п = 2.
Если граница S компакта К достаточно гладкая, напр.
состоит из конечного числа попарно непересекающихся
простых замкнутых поверхностей (при η !> 3) или
кривых (при 71=2) класса С1» а, 0< а< 1, то равновесная
мера λ сосредоточена на части SaS, к-рая составляет
границу той связной компоненты дополнения СК—
— Rn\K, к-рая содержит бесконечно удаленную точку.
Равновесный потенциал, т. е. потенциал
равновесной меры
и{х)=^Еп(х, V)dk(y),
в этом случае принимает на S постоянное значение,
равное у (К), что и позволяет вычислить Р. п. компакта в
простейших случаях (см. Робена задача). Напр., Р. п.
круга радиуса г > 0 в R2 равна — 1д г, а Р. п. шара
IA 1048
радиуса г > 0 в R", η ^ 3, равна 1/г"-2. В случае
произвольного компакта К положительной емкости
всюду и(х) <γ(Λ^) и и(х)—-у(К) всюду на носителе
S (λ) равновесной меры λ, кроме, быть может, точек
нек-рого полярного множества, причем всегда S (λ)αΚ.
Пусть D — область расширенной комплексной
плоскости С, содержащая внутри бесконечно удаленную
точку и допускающая функцию Грина g(z, оо) с
полюсом в бесконечности. Тогда имеет место представление
g(z, οο) = 1η|*| + γ(Ζ>) + ε(*, оо), (1)
где z—x-\-iy — комплексное переменное, y(D) —
постоянная Робена области D, г (ζ, оо) —
гармонич. функция в D, причем
lim ε (ζ, οο) = 0.
|z|-»co
Определяемая формулой (1) Р. п. области D совпадает
с Р. п. компакта dD, y(D)=y (dD). Если функция Грина
для области D не существует, то полагают y(D)=-\-oo.
Обобщая представление (1), для римановой
поверхности i?, допускающей функцию Грина, может быть
получено локальное представление функции Грина
g(P-> Po) c полюсом Po(zR:
g(P, Po) = \n^z_\o] +y(R\ Po)+e(p,Po), (2)
где z=z(p) — локальный униформизирующий
параметр в окрестности полюса р0, z(p0)=z0, y(R; p0) —
постоянная Робена римановой поверхности R
относительно полюса р0, ε(ρ, ρ0) — гармонич. функция в
окрестности р0, причем lim ε (ρ, р0)=0. Для римановых
Р-+Ро
поверхностей i?, не допускающих функцию Грина,
полагают y(R; p0)= + oo. В выражении (2) значение Р. п.
y(R', Ро) зависит уже от выбора полюса р0€^» но
соотношения y(R; Ро)< +00 и y(R; p0)=-\-<x> не зависят
от выбора полюса, что и позволяет использовать
понятие Р. п. для классификации римановых
поверхностей.
Лит.: [1] Неванлинна Р., Однозначные
аналитические функции, пер. с нем., М.—Л., 1941; [2] С τ о и л о в С,
Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 2,
М., 1962; [3] S а г i о L., Nakai M., Classification theory of
Riemann surfaces, B.—N. Y., 1970. E. Д. Соломенцев.
£-РОД — характеристическое число,
соответствующее L-классу Хирцебруха (см. Понтрягина класс).
А. Ф. Харшиладзе.
РОД АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ — см.
Алгебраическая функция.
РОД КРИВОЙ — численный инвариант одномерного
алгебраич. многообразия, определенного над полем
к. Род g гладкой полной алгебраич. кривой X равен
размерности пространства регулярных
дифференциальных 1-форм на X. Род алгебраич. кривой X, по
определению, равен роду полной гладкой алгебраич.
кривой, бирационально изоморфной кривой X. Для любого
целого g ^ 0 существует алгебраич. кривая рода g.
Алгебраич. кривая над алгебраически замкнутым
полем рода g—Ο является рациональной кривой, т. е.
бирационально изоморфна проективной прямой Р1.
Кривые рода g— 1 (эллиптич. кривые) бирационально
изоморфны гладким кубич. кривым в Р2. Алгебраич.
кривые рода g > 1 распадаются на два класса: гипер-
эллиптич. кривые и негиперэллиптич. кривые. Для
негиперэллиптич. кривых X рациональное
отображение φ,κ ι : X ->· Р^-1, определяемое канонич. классом
Κχ полной гладкой кривой, является изоморфным
вложением. Для гинерэллиптич. кривой X отображение
qw ι : Χ —»■ Pi~x является двулистным накрытием
рациональной кривой φ.^· .(Χ), разветвленным в
2g+2 точках.

1049
Если X
РОД
проективная плоская кривая степени т, то
_ (m-l) (7П-2) ,
если т—четно,
где d — неотрицательное целое число, измеряющее
отклонение от гладкости кривой X. Если X имеет
только обыкновенные двойные особые точки, то Нравно
числу особых точек алгебраич. кривой Х.Для
пространственной кривой X имеет место оценка
/ (т- 2)2
S^j (m-l)(m-3)
I £ , если т—нечетно,
где т — степень кривой X в Р3.
Если к—С — поле комплексных чисел, то алгебраич.
кривая X может быть рассмотрена как риманова
поверхность. В этом случае гладкая полная кривая X
рода g гомеоморфна сфере с g ручками.
Лит.: [1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972; [2] Хартсхорн Р., Алгебраическая
геометрия, пер. с англ., М., 1981. Вик. С. Нуликов.
РОД ПОВЕРХНОСТИ — численный бирациональный
инвариант двумерного алгебраич. многообразия,
определенного над алгебраически замкнутым полем к.
Различают два рода — арифметический и
геометрический. Геометрический родр^полной гладкой
алгебраич. поверхности X равен
pg = aimkH»(X, Q2X)
размерности пространства регулярных
дифференциальных 2-форм на X. Арифметический род
ρα полной гладкой алгебраич. поверхности X равен
Ра = Х(Х, Ox)-l = dimkH* (X, Ox)-dimkm (Χ, Οχ).
Геометрический и арифметич. роды полной гладкой
алгебраич. поверхности X связаны соотношением pg—
—Ρα=(1ι гДе Я — иррегулярность поверхности X,
равная размерности пространства регулярных
дифференциальных 1-форм на X.
Лит.: [1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Труды
МИАН СССР, т. 75). Вик. С. Нуликов.
РОД ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ — целое число, равное
наибольшему из чисел ридв представлении целой функции
f(z) в форме
/(*) = ;
где q -
целое,
Число
eQ(z)
п;
ι —
^+k+-+
- степень многочлена Q (ζ), a p
удовлетворяющее условию
н
(*>
наименьшее
ak\P+i
произведения, участ-
р наз. родом
вующего в формуле (*).
Лит.: ll] Левин Б. Я., Распределение корней целых
функций, М., 1956. А. Ф. Леонтьев.
РОД ЭЛЕМЕНТА арифметической группы—
совокупность элементов группы единиц G связной ал-
гебраической Q-группы G, сопряженных с данным
элементом а в группах GQ и G для всех простых р, где
** /и ρ
Q, Ъρ — соответственно поле рациональных чисел и
кольцо целых р-адических чисел; класс элемента а
определяется как его класс сопряженности в G . Число
непересекающихся классов, на к-рые распадается род
элемента а, конечно [1], обозначается fo(a) и наз.
числом классов в роде элемента а.
Возникающая здесь функция fG на G является важной
арифметич. характеристикой, выражающей
отклонение от локально-глобального принципа в вопросах
сопряженности. Вообще говоря, jq (a) > 1. Более того,
если группа G полупроста, а группа Gr
1050
бесконечна, то
sup/G(a)=oo для любой арифметич. подгруппы На
CZG (см. [1], [3]). Рассмотренные понятия
представляли
ют естественную модификацию соответствующих клас-
сич. понятий из теории квадратичных форм и
применяются при исследовании финитной
аппроксимируемости арифметич. групп относительно сопряженности
(см. [2]).
Лит.: [1] Платонов В. П., «Докл. АН СССР», 1971,
т. 200, № 4, с. 793—96; [2] Π л а т о н о в В. П., Матвеев
Г. В., «Докл. АН БССР», 1970, т. 14, № 9, с. 777—79; [3]
Рапинчук А. С, «Докл. АН БССР», 1981, т. 25, № 2,
с. 101—04. А. С. Рапинчук.
РОДРИГА ФОРМУЛА — 1) Р. ф. — формула,
связывающая дифференциал нормали η к поверхности с
дифференциалом радиус-вектора г поверхности в
главном направлении:
dn = —kidr или dn=z—k2dr,
где kx и k2 — главные кривизны.
Формула получена О. Родригом (О. Rodrigues, 1815).
А. Б. Иванов.
2) Р. ф.— представление ортогональных
многочленов через весовую функцию с помощью
дифференцирования. Если весовая функция h(x) удовлетворяет
дифференциальному уравнению Пирсона
h(x)
qo + QiX + Qz*2
В (χ)
причем на концах интервала ортогональности
выполняются условия
lim h(x)B(x) = lim h (χ) Β (х) = 0,
х-+а + 0 х^*>Ъ - 0
то ортогональный многочлен Рп(х) представляется в
виде формулы Родрига
Pn(x) = cn[h(x)Bn(x)]M/h(x),
где сп — постоянная. Р. ф. имеет место только для
классических ортогональных многочленов и для
многочленов, полученных из последних линейными
преобразованиями аргумента. Первоначально эта формула
была установлена О. Родригом [1] для Лежандра
многочленов.
Лит.: [1] Rodrigues О., «Correspondance sur l'Ecole
polytechnique», 1816, t. 3, p. 361—85. П. К. Суетин.
РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ ПРОЦЕСС — марковский
процесс с состояниями 0, 1, 2, . . ., в к-ром за время
(*, t+h) возможны переходы из состояния η в
состояния /1+1 и и—1 с вероятностями kn(t)h-\-o(h) и \bn(t)h+
+о(Д) соответственно, а вероятность остальных
переходов равна o(h). При специальном выборе
коэффициентов размножения λη(ί) и гибели μη(ί) получаются
частные случаи, к-рые дают удовлетворительное
описание различных реальных процессов: радиоактивных
превращений, работы телефонных станций, эволюции
биологич. популяций и т. д. Использованию Р. и г. п.
в приложениях способствует простота уравнений для
переходных вероятностей, к-рые часто удается найти в
явном виде. Напр., в случае пуассоновского процесса
λ„(ί)=λ, μ„(ί)=0, вероятности Ρη(ΐ) (Pn(t) —
вероятность нахождения в момент времени t в состоянии
и, если процесс начался из состояния 0) удовлетворяют
системе уравнений:
Решение
Po(t) = -kP0(t)
ρ;(ο=-λΡη(ο+λΡΒ-ι(ί),
этой системы:
Λ.
Pn(t)-
п\
= 0, 1, 2,

1051
РОЗЫ
1052
Более общим является процесс, для к-рого λη(ί)—ηλ,
μ„(£)=0. Этот тип процесса был впервые изучен
Дж. Юлом (G. Jule, 1924) в связи с математич. теорией
эволюции. Процесс Юла является частным
случаем процесса чистого размножения,
к-рый получается из общего Р. иг. п., если положить
λ„(£)=λ„, μ„(ί)—0. Если λη растут очень быстро, то за
конечное время можно с положительной вероятностью
пройти по всем состояниям и тогда
Условие
для процесса чистого размножения выполняется тогда
и только тогда, когда расходится ряд 2 1/^„. Если
λη(ή=ηλ-\-ν, μη(ί)=ημ, то Р. и г. п. представляет
собой ветвящийся процесс с иммиграцией, в к-ром
состояние η означает число частиц, причем каждая
частица за время (i, t-\-h) с вероятностью μ/&+ο(/ι)
погибает, с вероятностью λ&+ο(Λ) делится на две и, кроме
того, извне иммигрирует одна частица с вероятностью
vh-\-o(h). Если v=0, то получится простейший
ветвящийся процесс без иммиграции.
Если λ=0, а ν > 0, то этот вид процесса с иммиграцией
можно применить к описанию работы телефонной
системы с бесконечным числом линий. Состоянием тогда
является число занятых линий. Коэффициент
размножения λ„(ί) = ν характеризует поступающий поток
вызовов, а μ — длительность разговора.
Лит.: [1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей
и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1964—67; [2] С е в а-
стьянов Б. Α., Теория ветвящихся процессов, в кн.: Итоги
науки. Серия Математика, т. 14— Теория вероятностей.
Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1967, М.,
1968, с. 5—46; [3] С а а т и Т. Л., Элементы теории массового
обслуживания и ее приложения, пер. с англ., М., 1965.
В. П. Чистяков.
РОЖДЕНИЯ ОПЕРАТОРЫ — семейство замкнутых
линейных операторов {а* (/), /ζ#}, где Η — нек-рое
гильбертово пространство, действующих в Фока
пространстве, построенном над Я, и являющихся
сопряженными к уничтожения операторам (fl(/), /ζ#}.
Р, А. Минлос.
РОЗЫ — плоские кривые, уравнения к-рых в
полярных координатах имеют вид
p = asin fap,
где а и к — постоянные. Если к=т/п — число
рациональное, то Р.— алгебраич. кривая четного порядка.
Порядок Р. равен
т-\-п, если т и η —
нечетные числа, и
равен 2(т-\-п), если
одно из чисел т или
η — нечетное. Вся
кривая расположена
внутри круга
радиуса а, состоит из
конгруэнтных лепестков
(см. рис ) Если к —
целое, то Р. состоит
из к лепестков при
к нечетном и из 2/с
лепестков при к
четном. Если к=т/п и
т, η — взаимно
простые, то Р. состоит
из т лепестков,
когда т и η нечетные,
и из 2т лепестков, если одно из чисел т или η
является четным.
При иррациональном к лепестков бесконечное
множество. Р. относятся к семейству циклоидальных
кривых. Р. являются гипоциклоидами, если /с>1, и
эпициклоидой, если /с<1.
С семейством циклоидальных кривых Р. связаны и
тем, что они являются подэрами эпи- и гипоциклоид
относительно центра их неподвижного круга.
Длина дуги Р. выражается эллиптич. интегралом
2-го рода. Площадь одного лепестка: S=na2/4k.
Р. наз. также кривыми Гуидо Гранди
(G. Grandi), впервые описавшего их в 1728.
Лит.: [1] С а в е л о в Α. Α., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
РОЛ ЛЯ ТЕОРЕМА: если действительная функция
/ непрерывна на нек-ром отрезке [а, Ь], имеет в каждой
его внутренней точке конечную или определенного знака
бесконечную производную, а на его концах принимает
равные значения, то на интервале (а, Ь) существует по
крайней мере одна точка, в к-рой производная функции
/ равна нулю.
Геометрич. смысл Р. т. состоит в том, что на графике
функции /, удовлетворяющей условиям Р. т.,
существует такая точка (ξ, /(ξ)), α < ξ < Ь, что в ней
касательная к графику параллельна оси х.
Механич. интерпретация Р. т. означает, что для
материальной точки, непрерывно двигающейся по
прямой и вернувшейся через нек-рый промежуток времени
в исходную точку, существует момент времени, в к-рый
ее мгновенная скорость равнялась нулю.
Впервые теорема была получена для алгебраич.
многочленов М. Роллем [1].
Лит.: [1] Rolle Μ., Traite d'algebre, P., 1690; [2] Η и-
кольскийС. М., Курс математического анализа, 2 изд.,
т. 1, М., 1975. Л. Д Кудрявцев.
РОМБ — плоский четырехугольник с равными
сторонами. Р. можно рассматривать как частный случай
параллелограмма, у к-рого или две смежные стороны
равны, или диагонали взаимно перпендикулярны, или
диагональ делит угол пополам. Р. с прямыми углами
наз. квадратом. бсэ-з.
РОМБЕРГА МЕТОД, правило Ромберг а,—
метод вычисления определенного интеграла,
основанный на Ричардсона экстраполяции. Пусть вычисляется
значение / нек-рого функционала, при этом
вычисляемое приближенное значение Τ (К) зависит от параметра
h, так что в результате вычисления получается
приближенное равенство I ^ Г(/г)> Пусть известна
информация о поведении разности l — f(h) как функции от h,
а именно:
I — T(h)=ahm, (1)
где т — натуральное число и а зависит от
приближаемого функционала и той функции, на к-рой он
вычисляется, от способа приближения и (слабо) от h. Если
наряду с Τ (h) вычислено T(2h), то способ Ричардсона
дает для / приближение
f _2'»T(h)-T(2h)
— 2т-1 " К }
Это приближение тем лучше, чем слабее α из равенства
(1) зависит от h. В частности, если α от h не зависит, то
в (2) имеет место точное равенство.
Р. м. применяется к вычислению интеграла
$>)
dx.
Промежуток [0, 1] взят для простоты записи, он может
быть любым конечным. Пусть
^,= 2-*-|/(0)+22/=1 /(/2-*)+/(1)]. (3)
fc = 0, 1, 2, ... .

1053
РУЛЕТТА
1054
Вычисления в Р. м. сводятся к составлению следующей
таблицы:
71 Т> гр гр ГТЛ
1 00 -1 01 i 02 ··· '0,П-1 J Ott
^io Тц Т12 ... Tlitl-i
1 гс-1, О 1 «-1,1
Τηθι
где первый столбец состоит из квадратурных сумм (3)
формулы трапеций. Элементы (1-\-2)-το столбца
получаются из элементов (Z+l)-ro столбца по формуле
Л = 0, 1,2, ...,Λ_ζ_ΐ. (4)
1 fe, ί + ι=-
02l+2 ,
При составлении таблицы главная часть
вычислительного труда затрачивается на вычисление элементов
первого столбца. Элементы следующих столбцов
вычисляются чуть сложнее конечных разностей.
Каждый элемент Tkt таблицы есть квадратурная
сумма, приближающая интеграл
1*ТМ. (5)
Узлами квадратурной суммы Tkt являются точки
/2-*-*, / = 0, 1, 2, ..., 2k + l, а ее коэффициенты —
положительные числа. Квадратурная формула (5)
точна для всех многочленов степени не выше 2Z+1.
В предположении, что подинтегральная функция
f(x) имеет непрерывную производную порядка 21-\-2
на [0, 1], разность Ι—Τ^ι имеет представление вида
(1), в к-ром т,= 21-\г2. Отсюда следует, что элементы
(Z+2)-ro столбца, вычисляемые по формуле (4),
являются улучшениями по Ричардсону элементов (Z-j-l)-ro
столбца. В частности, для погрешности квадратурной
формулы трапеций справедливо представление
I-Tk0^-^-h\ Λ = 2-*, Ш0, lj,
и способ Ричардсона дает более точное приближение
к /:
РОСТА ИНДИКАТРИСА, индикатор целой
функции,— величина
4Т£ + 1,о~Т/го
lki··
, А = 0, 1, 2, ..., п — 1.
Tkl оказывается квадратурной суммой формулы Симп-
сона, и т. к. для погрешности этой формулы
справедливо представление
/-Γ» = —ίΤΙ(ΓΐΛ1' ^ = 2-^, ηζ[0, 1],
то снова можно воспользоваться способом Ричардсона
и т. д.
В Р. м. в качестве приближения к / берется Т0п, при
этом предполагается, что существует непрерывная
производная рп) (х) на [0, 1]. Ориентировочное
представление о точности приближения Т0п можно
получить, сравнивая Т0п и TUn^,1.
Впервые метод изложен В. Ромбергом [1].
Лит.: [1] Romberg W., «Kgl. norske vid. selskabs for-
handl.», 1955, Bd 28, №7, s. 30—36; [2] В a u e г F. L., R u-
tishauserH., StiefelE., «Proc. Symp. Appl. Math.»,
1963, v. 15, p. 199—218. И. П. Мысовских.
РОМБИЧЕСКАЯ СЕТЬ, конформно-чебы-
шевская сеть,— сеть, в каждом
четырехугольнике к-рой, образованном двумя парами линий
различных семейств, стороны равны с точностью до бесконечно
малых 1-го порядка. На поверхности вращения ее
асимптотическая сеть есть Р. с. Напр., на гиперболоиде
вращения его прямолинейные образующие составляют
Р. С. А. В. Иванов.
ш=шШ£Я.,
характеризующая рост целой функции f(z) конечного
порядка ρ > 0 и конечного типа σ вдоль луча arg z= φ
при больших r(z=rei(V). Напр., для функции
f(z) = e<a-lb^P
порядок равен р и Р. и. равна h ((p) = acosp(p-f-& βίηρφ;
для функции sin ζ порядок р=1 и /?,(rp)=|sinq)|.
Функция /г (φ) всюду конечна, непрерывна, имеет в каждой
точке производную слева и справа, имеет производную
всюду, кроме, быть может, счетного множества точек;
всегда h (φ) <: σ и имеется, по крайней мере, одно φ,
когда &(φ)—σ; обладает характерным свойствам
тригонометрич. выпуклости, т.е. если
h (φχ) < Η (φχ), h (φ2) < Η (φ2),
Η (φ) = acosp(p-{-b sin ρφ,
Φι < <Рг> Фз—Φι < min ( π/ρ, 2лЛ,
το Λ(φ)<#(φ), φι<φ<φ2·
Выполняется неравенство
|/(Γ^Φ)|<^Φ) + ε^Ρ, r>r0(e), νε>0,
где г0(е) не зависит от φ.
Р. и. вводится также для функции, аналитической в
угле и имеющей в этом угле конечный порядок или
уточненный порядок и конечный тип.
Лит.: [1] Левин В. Я., Распределение корней целых
функций, М,, 1956; [2] Μ а р к У ш е в и ч А. Я., Теория
аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968. А. Ф. Леонтьев.
РОСТОК — термин, означающий точечную
локализацию различных математич. объектов (Р. функций, Р.
отображений, Р. аналитических множеств и т. п.).
Пусть, напр., χ есть точка топологич. пространства и
F — нек-рое семейство функций, определенных в
окрестности χ (каждая в своей). Функции /, g считаются
эквивалентными (в точке х), если они совпадают в
некрой окрестности х. Класс эквивалентности по этому
отношению наз. ростком функций класса F
в точке х. Так определяются Р. непрерывных функций,
дифференцируемых функций в точках
дифференцируемого многообразия, голоморфных функций в точках
комплексного многообразия и т. п. Если семейство F
обладает нек-рой алгебраич. структурой, то множество
Р. функций семейства F наследует эту структуру
(операции при помощи представителей классов). В
частности, Р. голоморфных функций в точке ζ образуют
кольцо. Элементы поля частных этого кольца наз.
ростками мероморфных функций в точке ζ.
Аналогично определяется Р, семейства подмножеств
топологич. пространства. Напр., в точках аналитич.
многообразия есть Р. аналитических множеств (класс
эквивалентности определяется по совпадению в
окрестности данной точки). На Р. семейств подмножеств
естественно определяются теоретико-множественные
операции и отношения. Понятие Р. имеет смысл и для
других объектов, определенных на открытых
подмножествах топологич. пространства.
См. также Аналитическая функция, Мероморфная
функция. Пучок.
Лит.: [1] Ганнинг Р., Ρ осей X., Аналитические
функции многих комплексных переменных, пер с англ., Μ ,
1969. Ε. Μ. Чирка.
РОТОР — то же, что вихрь.
РУЛЕТТА — название плоской кривой,
рассматриваемой как траектория точки, жестко связанной с
некрой кривой, катящейся по другой неподвижной
кривой. В случае, когда окружность катится по прямой,

1055 py
P. есть циклоида; если окружность катится по
окружности — циклоидальная кривая; если по прямой катится
гипербола, эллипс или парабола — Штурма кривая.
Траектория точки эллипса, катящегося по др. эллипсу,
наз. эпиэллипсом. Каждая плоская кривая
многими способами может быть рассмотрена как Р.;
напр., всякая кривая может быть образована качением
прямой по эволюте.
Лит.: [1] Савелов Α. Α., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д Соколов.
РУНГЕ ОБЛАСТЬ, область Рунге
первого рода,— область 6? в пространстве С" комплексных
переменных (%,. . ., ζ„), обладающая тем свойством,
что для любой голоморфной в G функции /(zb . . ., zn)
существует последовательность многочленов
{Р*(*1. ···. *„)}£_,, (*)
сходящаяся в G к f(zx, . . ., zn) равномерно на каждом
замкнутом ограниченном множестве EaG. Определение
Р.о. второго рода получается отсюда заменой
последовательности (*) последовательностью
рациональных функций {Rk(zll. . ., ζη)}%=1. Прил=1 всякая
односвязная область является Р. о. первого рода,
всякая область — Р. о. второго рода (см. Рунге теорема).
При «> 2 не всякая односвязная область есть Р. о.
и не всякая Р. о. односвязна.
Лит.: [1] Φ у к с Б. А , Специальные главы теории
аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963;
[2] Владимиров В. С, Методы теории функций многих
комплексных переменных, М., 1964. Е. П. Долженпо.
РУНГЕ ПРАВИЛО — один из методов оценки
погрешности формул численного интегрирования. Пусть
R—hkM — остаточный член формулы численного
интегрирования, где h — длина отрезка интегрирования
или какой-то его части, к — фиксированное число и Μ —
произведение постоянной на производную подинтег-
ральной функции порядка к—1 в какой-то точке
промежутка интегрирования. Если / — точное значение
интеграла, а / — его приближенное значение, то /—
= I+h*M.
Согласно Р. п. вычисляется тот же самый интеграл
по той же формуле численного интегрирования, но
вместо h берется величина hi 2. При этом, чтобы получить
значение интеграла по всему отрезку, формула
интегрирования применяется дважды. Если производная,
входящая в М, меняется не сильно на рассматриваемом
промежутке, то
R=h*M = Jl~/ ,
1--J—
2*"1
где Ιχ — значение интеграла, вычисленное по hi 2.
Р. п. используется и при численном решении
дифференциальных уравнений.
Правило предложено К. Рунге (С. Runge, нач. 20в.).
Лит.: [1] Б е ρ е з и н И. С, Жидков Н. П., Методы
вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; 2 изд., т. 2, М., 1962; [2]
Современные численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1979.
А. Б. Иванов.
РУНГЕ ТЕОРЕМА — теорема о возможности
полиномиальных приближений голоморфных функций,
впервые доказанная К. Рунге (С. Runge, 1885).
Пусть D — односвязная область на плоскости
комплексного переменного ζ. Тогда всякая функция /,
голоморфная в D, приближается равномерно внутри D
многочленами от ζ. Точнее, для любого компакта KczD
и любого ε > 0 найдется многочлен ρ (ζ) с
комплексными коэффициентами такой, что \f(z) — ρ (ζ)] <ε для
всех ζζΚ.
В иной формулировке: любая функция /,
голоморфная в односвязной области DczC, представляется в
виде ряда из многочленов от ζ, абсолютно и равномерно
сходящегося к / внутри D.
ге 1056
Эквивалентная формулировка Р. т.: пусть К —
компакт на комплексной плоскости С со связным
дополнением С\К; тогда всякая функция, голоморфная
в окрестности К, равномерно на К приближается
многочленами от ζ. В такой форме Р. т. есть частный случай
Мергеляна теоремы.
Р. т. наз. также следующая теорема о
рациональных приближениях: всякая функция
/, голоморфная в области DdC, равномерно внутри D
приближается рациональными функциями с полюсами
вне D.
Р. т. имеет многочисленные применения в теории
функций комплексного переменного и в
функциональном анализе. Аналог Р. т. справедлив на некомпактных
римановых поверхностях. Обобщением Р. т. для
функций многих комплексных переменных является теорема
Ока — Вейля (см. Ока теоремы).
Лит.: [1] Маркушевич А. И., Краткий курс теории
аналитических функций, 4 изд., М., 1978; [2] Ш а б а т Б. В.,
Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1, М., 1976.
Ε. Μ. Чирка.
РУНГЕ — КУТТА МЕТОД — одношаговый метод
численного решения задачи Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
u'=f(t, и). (1)
Основная идея Р.— К. м. была предложена К. Рунге
[1] и развита затем В. Кутта [2] и др. Первоначально
эта идея использовалась лишь для построения явных
схем Р.— К. м., к-рые разыскивались в виде
УJ + l = УJ+τΣ<ϊ=lΛikl· (2)
где
У] + а = и(*/+ат)' *ι = /('/> У/),
kn=f (*/+αητ, ^У+т231=1 Ρ»***) , л = 2, 3, ..·, д,
при этом значения постоянных А(, а„, $пт, i=l, 2,..., q;
п=2, 3, . . ., q\ m=l, 2, . . ., η—1, определялись из
требования, чтобы погрешность равенства (2) на
точном решении уравнения (1) имела возможно высокий
порядок малости в сравнении с шагом τ для любых
уравнений вида (1).
В отличие от Адамса метода и др. многошаговых
методов, Р.— К. м., как и всякий одношаговый метод, не
требует предварительного построения начала таблицы
значений приближенного решения и дает возможность
вести вычислительный процесс при естественных для
уравнения (1) начальных условиях, что позволяет
использовать его непосредственно и в случае
неравномерных сеток. Однако поскольку в этом методе не
используется информация о решении в предыдущих узлах
сетки, то он, вообще говоря, оказывается локально
менее экономичным, чем, напр., метод Адамса.
Наиболее широко известным (см., напр., [3]) среди
Р.— К. м. является метод
y/+i = yj+Y^(ki + 2k2+2k3 + h),
*ι = /(*/, ί/y), k2 = f (ty+~T, У/+ТткА,
k3 = f (tj+γτ, у/ + ~ткЛ, Λ4 = /(*/+τ, У/ + тк3),
принадлежащий зависящему от двух свободных
параметров семейству методов четвертого порядка точности
вида (2) с q=--A. Популярен и простейший явный Р.—
К. м. первого порядка точности, получающийся из
(2) при q=i. Этот метод известен под названием
метода Эйлера. При значениях q, равных 2 и 3, из (2)
могут быть найдены семейства Р.— К. м. второго и
третьего порядка точности, зависящие от одного и двух

1057
РУЧЕК ТЕОРИЯ
1058
свободных параметров соответственно. В случае q > 4
имевшее место ранее соответствие между значением q
и порядком точности метода уже нарушается. Р.— К. м.
вида (2) пятого порядка точности удается построить
лишь при д=6, шестого — при д=7, седьмого — при
q—9 и т. д. В этом случае с увеличением значения q
на единицу расширение множества подлежащих
выбору в (2) постоянных А{, α„, βη/η часто оказывается
уже недостаточным, чтобы удовлетворить условиям,
возникающим из требования повышения на единицу
порядка точности явного Р.— К. м. С целью
увеличения числа выбираемых в (2) параметров можно
рассмотреть, напр., следующее обобщение конструкции одно-
шаговых методов, основанных на идее К. Рунге:
*» = / (*/+αητ, У/+т^Ят=1 $nmbm) >
л о β)
Л = 1, 2, ..., q.
Методы вида (2), (3) в общем случае являются уже
неявными, что значительно осложняет их численную
реализацию: величины к„, п=1, 2, . . ., q, на каждом
шаге приходится находить из системы, вообще говоря,
нелинейных уравнений (3). Однако за счет достигнутого
здесь значительного увеличения числа подлежащих
выбору констант такие методы приобретают следующее
свойство (см. [4]): для каждого значения q существует
неявный Р.— К. м. порядка точности 2q. Кроме того,
при таком расширении класса Р.— К. м. появляются
методы, хорошо ориентированные на случай жестких
дифференциальных систем.
Имеется еще одно видоизменение (см., напр., [5])
идеи К. Рунге конструирования одношаговых методов
численного решения уравнений вида (1). Именно,
исходя из (1) записывается равенство
и (ty+T)—u (tj) = τ J o/ (fy+ατ, и (ty+ατ)) da.
Приближенное представление последнего интеграла
квадратурной формулой с q узлами дает
Μ(ί7+τ)^ι*(ί7)+τ23^,^ί/('/+α«τ, »(</+α/τ)). (4)
Если выбор узлов а,- и коэффициентов 4,·, i=l, 2, . . . ,
q, рассматриваемой квадратурной формулы подчинить
условиям
11 = 1, 2, ..., р-1,
то погрешность приближенного равенства (4) будет
величиной порядка τΡ + 1. При ρ < 2q система
уравнений (5) разрешима и приближенное равенство (4) может
быть построено. Аналогично можно записать
приближенные равенства для неизвестных величин u(tj+aft),
входящих в правую часть (4), при этом требования к их
точности могут быть понижены на порядок, и т. д.
В качестве примера так построенного одношагового
метода ниже приводится (см. [6]) метод третьего порядка
точности предсказывающе-исправляющего характера:
yi+i/A = yj+TTf^ y/)>
Уз + 1/2 = У/+ТТ*(*/+ТТ> yi + i/*)>
y/+i = y/+T/(<y+-f τ> ί// + ι/2).
+/(*; + τ, y/+i)) ·
Если положить в (4) одно из значений а,- равным
единице, на этом пути можно строить также и неявные
методы, напр. метод
У/ + 1 = У/+4"Т (/(*/> yj+i—Tf {tj+τ, y/ + i))+
+ /(*/+τ, у/+1))
второго порядка точности.
Рассмотренные выше на примере уравнений вида (1)
подходы к построению численных методов могут быть
распространены на обыкновенные дифференциальные
уравнения высших порядков (см. [6], [7]), а также
использованы при конструировании разностных схем в
случае дифференциальных уравнений с частными
производными.
Лит.. [11 Runge С, «Math. Ann », 1895, Bd 46, S. 167 —
178; [2] К u 11 a W., «Ζ. Math und Phys.», 1901, Bd 46, S.
435—53; [3] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд.,
М., 1975, [4] Butcher J. С-, «Math. Сотр.», 1964, v. 18, р.
50—64; [5] Бобков В. В., «Becui АН БССР. Сер. ф13.-мат.
навук», 1967, № 4, с. 27—35; [б] Крылов В. И.,
Бобков В. В., МонастырныйП. И., Вычислительные
методы, т. 2, Μ , 1977; [7] К о л л а т ц Л., Численные методы
решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953.
В. В. Бобков.
РУЧЕК ТЕОРИЯ—один из методов изучения тополо-
гич. многообразий, основанный на представлении
многообразия в виде объединения топологич. шаров с
непересекающимися внутренностями и специальным
образом пересекающимися краями.
Пусть Мп есть л-мерное многообразие, к — такое
целое число, что 0 < к <: п, и пусть топологич. шар Η
является образом гомеоморфного отображения
h : Bk X Bn~k ->· Mn, где Вт обозначает стандартный
яг-мерный шар с центром в точке О. Тогда пара (Я, h)
(или просто Н) наз. ручкой индекса к в
многообразии Мп. Гомеоморфизм h наз.
характеристическим отображением ручки Я,
диск /ι(5* хО)-срединным, а диск h(OX
ХВп~Ь) — секущим. Сфера h(dBkXO) наз.
приклеивающей (или подошвенной) сферой,
а сфера Н(ОХдВп~к) —секущей. Пространство
h(dBkXBn~k) наз. подошвой ручки Н.
Если многообразие Мп кусочно линейно, то имеет
смысл говорить о кусочно линейных ручках, имея в
виду кусочную линейность характеристич.
отображения. Точно также в случае гладкого многообразия
Мп можно говорить о гладких ручках.
Пусть (Я, h) — ручка индекса к в многообразии
Мп, Ρ — ее подошва и М" — такое подмногообразие
Мп, что Н[\М*1 =Р. Операция перехода от
многообразия Μι к многообразию M2 = Mi\JH наз.
операцией приклеивания ручки индекса к.
Вложение f = h к ыг-£ наз· приклеивающим
I дВ ΆΒ
отображением. С точностью до неподвижного
на М*1 гомеоморфизма многообразие М\ полностью
определяется приклеивающим отображением / и не
зависит от объемлющего многообразия М. Если / —
произвольное вложение dBk X Bn~k в дМ", то
результат приклеивания ручки по вложению / можно описать
так: M12=(Mrl\J(BkXBn~k))lcn, где отношение
эквивалентности оо порождено отождествлением точек
дВкХВп~к и дМ" по вложению /. Операция перехода
от дМ" к дМ% наз. сферической
перестройкой. По аналогии с этим приклеивание
ручек наз. иногда пристройками. Многообразия,
получающиеся приклеиванием ручки по изотопным
вложениям, гомеоморфны. На рис. 1 изображено
приклеивание трехмерных ручек индексов 1 и 2. Приклеивание
к М*[ ручки индекса 0 состоит в добавлении к М*1
отдельно взятого шара размерности п. Добавление
ручки индекса η заключается в заклеивании л-мерным
шаром одной из компонент дМ\.
& 34 Математическая энц., т. 4

1059
Рис
Если многообразие Μι и приклеивающее вложение
/ : dBkXBn~k ->· дМ" кусочно линейны, то
многообразие Af§, получающееся приклеиванием ручки по
вложению /, также кусочно линейно. В случае гладких
М\ и / многообразие М? обладает естественной гладкой
структурой во всех
точках, кроме «угловых»
точек, объединение к-рых
совпадает с краем
подошвы ручки. Эту структуру
можно единственным
образом продолжить до
гладкой структуры на
всем М%. Такое
продолжение наз.
сглаживанием углов. В
гладком случае операцию
сглаживания углов
включают в операцию
приклеивания ручки.
Приклеивание гладкой ручки полностью определяется
приклеивающей сферой вместе с тривиализацией ее
нормального расслоения.
Представление компактного многообразия Мп в
виде объединения конечного упорядоченного семейства
ручек в Мп наз. разложением Мп на ручки,
если каждая следующая ручка пересекается с
объединением предыдущих в точности по своей подошве.
Другими словами, Мп допускает разложение на ручки,
если его можно получить из шара (или из пустого
множества) последовательным приклеиванием ручек.
Аналогично, под разложением пары (Мп, ik/J), где Μ о —
подмногообразие многообразия Мп, понимается
представление Мп в виде результата последовательных
приклеиваний ручек к Λ/ο· В частности,
разложением бордизма (W, М0, Λ/χ) на ручки наз.
разложение пары (W, М0Х1), где M0Xl — воротник
М0. Разложение на ручки некомпактного многообразия
Мп состоит из бесконечного числа ручек. При этом
обычно требуется, чтобы разложение было локально
конечным, т. е. чтобы каждый компакт в Мп
пересекался только с конечным числом ручек.
Применяя приведение в общее положение секущих
сфер уже приклеенных ручек и подошвенной сферы
приклеиваемой ручки и
заменяя приклеивающие
отображения на изотопные,
можно добиться, чтобы
ручки одного индекса не
пересекались и чтобы
индексы последовательно
приклеиваемых ручек не
убывали. Такое
разложение на ручки наз.
правильным.
Каждое кусочно
линейное многообразие
раскладывается на кусочно
линейные ручки. Если Τ —
триангуляция Мп и Т" —
ее второе
барицентрическое подразделение, то в
качестве ручек индекса к можно взять замкнутые
звезды в Т" барицентров к -мерных симплексов Τ (см.
рис. 2; определение звезды дано в ст. Комплекс).
Существует тесная связь между разложениями
гладкого многообразия Мп на гладкие ручки и гладкими
функциями на Мп с невырожденными критич.
точками — Морса функциями. Эта связь заключается в
следующем. Пусть х0 — такая критич. точка индекса к
Рис. 2.
РУЧЕК ТЕОРИЯ 196°
функции Морса / : Мп ->· R, что для нек-рого ε > 0 в
прообразе отрезка [f(x0)—ε, f(x0)+e>] нет других
критич. точек, и пусть Мс= {х£Мп : f(x)<£c}. Тогда
многообразие Μ^Χο) + ε получается из многообразия
Mf,x ч ε приклеиванием гладкой ручки индекса к.
Таким образом, каждая функция Морса на компактном
многообразии Мп порождает разложение Мп на
гладкие ручки, причем число ручек индекса к в этом
разложении совпадает с числом критич. точек индекса к.
Этим доказывается существование разложения любого
гладкого многообразия на гладкие ручки. Обратно,
каждое разложение Мп на гладкие ручки порождено
нек-рой функцией Морса на Мп.
Сложнее обстоит дело с разложением на ручки топо-
логич. многообразий. Известно, что любое замкнутое
топологич. многообразие размерности η ^ 5
раскладывается на топологич. ручки. Многообразия
размерности η < 3 комбинаторно триангулируемы и поэтому
раскладываются на ручки. Доказано, что существует
многообразие размерности 4, не допускающее
разложения на ручки.
Если в правильном разложении на ручки
многообразия Мп последовательно стянуть все ручки на их
срединные диски, то получится клеточное пространство
К. Каждой ручке индекса к в разложении Мп отвечает
/с-мерная клетка в клеточном разбиении пространства
К. Пространство К имеет тот же гомотопический тип,
что и Мп. В случае замкнутого Мп пространство К
совпадает с Мп.
Из определения ручки следует, что каждая л-мерная
ручка Η индекса к является одновременно ручкой
индекса η—к. Если Pk — подошва Я как ручки индекса
/с, a Pn~k—подошва Η как ручки индекса η—/с, то
Pk\JPn-k=dH и Pk(]Pn_k=dPk=dPn-k. Каждое
разложение замкнутого многообразия Мп на ручки
порождает т. н. двойственное
разложение Мп на ручки. Двойственное разложение состоит
из взятых в обратном порядке ручек исходного
разложения, причем каждая ручка индекса к считается уже
ручкой индекса η—к. Этот факт служит геометрич.
основой Пуанкаре двойственности. Если многообразие
Мп имеет край, то двойственное разложение можно
рассматривать как разложение пары (Mn\J (дМпХ1),
дМпХ1).
Пусть #х, Η ζ — непересекающиеся ручки индекса /с,
приклеенные к многообразию Мп с односвязным краем
по вложениям ft /2 : dBkXBn~k -> дМп. Пусть к > 2
и п—к ^ 2, а [/] обозначает элемент группы Tik~i(dMn),
определяемый отображением /. Тогда вложение /2
изотопно в d(Mn\JH1) такому вложению /г : дВkX
ХВп~* -+дМп, что [/2] = [/il+[/2]. Это означает, что
многообразия Мп (J Нг \J Н2 и Мп (J Hx (J Н'2, где #2 —
ручка, приклеенная по вложению /г, гомеоморфны.
Операция перехода от многообразия Mn\JH1\JH2 к
многообразию A/n(J#iU#2 наз. сложением
ручек.
Пусть многообразие м\ получено из многообразия
Λ/" последовательным приклеиванием ручки Н1
индекса к и ручки Η2 индекса А+1 так, что подошвенная
сфера ручки Н2 трансверсально пересекает секущую
сферу ручки Н1 ровно в одной точке. Тогда эту пару
ручек можно устранить. Это означает, что существует
гомеоморфизм Λ/г на Л/?, неподвижный вне
окрестности Н1\}Н2. Операция устранения иногда наз.
сокращением дополнительных ручек.
Сложение ручек и сокращение ручек можно
производить, оставаясь в рамках кусочно линейной или гладкой
категории. С помощью сокращения ручек индексов 0
и 1 можно, напр., любое разложение на ручки связного

1061
РЭЛЕЯ
1062
компактного многообразия Мп заменить на разложение
с ровно одной ручкой индекса 0. Если Мп односвязно и
η > 5, то, складывая и сокращая ручки, можно любое
разложение на ручки свести к разложению с
минимальным числом ручек, совместимым с гомологич.
структурой Мп.
Пусть (Я, К) — топологич. ручка индекса к в
кусочно линейном многообразии М", причем характеристич.
отображение h кусочно линейно в окрестности дВkX
XBn~k. Существует ли неподвижная на окрестности
dBkXBn~k изотопия отображения Д, выпрямляющая
ручку Я, т. е. переводящая ее в кусочно линейную
ручку? Если бы ответ на этот вопрос был всегда
положительным, то на каждом топологич. многообразии можно
было бы ввести кусочно линейную структуру,
согласовывая структуры на координатных окрестностях с
помощью выпрямления кусочно линейных ручек одной
окрестности внутри другой. На самом деле ответ зависит
от индекса к и размерности η ручки Я. Если η < 3
или я > 5 и ^ 3, то любая ручка выпрямляема.
Известно, что при η ^ 5 существуют невыпрямляемые
ручки индекса 3, причем препятствие к выпрямлению
лежит в группе Ζ2· В размерности 4 ручки индексов 0
и 1 выпрямляемы, а индексов 2 и 3, вообще говоря,
нет. Препятствием к сглаживанию кусочно линейных
ручек служат т. н. группы Милнора Γ&.
Лит.: [1] Смей л С, «Математика», 1962, т. 6, №3,
с. 138—55; [2] е г о же, там же, 1964, т. 8, № 4, с. 95—108;
[3] е г о же, «Успехи матем. наук», 1964, т. 19, в. 1, с. 125—38;
[4] К i г b у R. С, Siebenmann L. С, «Ann. Math.
Stud.», 1977, № 88; [5] Ρ у ρ к К., С ан дер сон Б., Введение
в кусочно линейную топологию, пер. с англ., М., 1974; [6]
Рохлин В. Α., Φ у к с Д. В., Начальный курс топологии.
Геометрические Главы, М., 1977. С. В. Матвеев.
РУЧНОЕ ВЛОЖЕНИЕ — вложение топологич.
полиэдра Ρ в пространство IR" такое, что существует
гомеоморфизм Rn на себя, при к-ром Ρ переходит в
прямолинейный полиэдр. Тогда Ρ наз. ручным.
В противном случае Ρ наз. диким, а вложение —
диким вложением. М. И. Войцеховский.
РУШЕ ТЕОРЕМА: пусть f(z) и g(z) — регулярные
аналитич. функции комплексного переменного ζ в
области D, простая замкнутая кусочно гладкая кривая Г
вместе с ограничиваемой ею областью G принадлежит
D и всюду на Г выполняется неравенство \f(z) | > \g(z)\\
тогда в области G сумма f(z)-\-g(z) имеет столько же
нулей, сколько и f(z).
Эта теорема была получена Э. Руше [1]. Она является
следствием аргумента принципа, и из нее в свою
очередь получается основная теорема алгебры
многочленов.
Справедливо также обобщение Р.т. для
многомерных голоморфных отображений, напр. в следующем
виде. Пусть f(z)=(f1(z),. . ., fn(z)) и g(z)= (g1(z)1. . .,
gn(z)) — голоморфные отображения области D
комплексного пространства С" в Сп, η ^ 1, с
изолированными нулями, пусть гомеоморфная сфере гладкая
поверхность Г вместе с ограничиваемой ею областью G
принадлежит D и всюду на Г выполняется неравенство
I / (*)I = ^Ι/ι(ζ)Ι2+···+Ι/«(*)Ι2 > к (2)|.
Тогда отображение /(z) -f- g(z) имеет в G столько же
нулей, сколько и /(ζ).
Лит.: [1] Roue he Е., «J. Ecole polyt.», 1858, t. 21;
[2] Μ a p к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций,
2 изд., т. 1, М., 1967; [3] Ш а б а т Б. В., Введение в
комплексный анализ, 2 изд., ч. 1—2, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.
РЭЛЕЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — непрерывное
распределение вероятностей с плотностью
J±e-"<*«, *>0,
1о , я<0,
зависящей от масштабного параметра σ > 0. Р. р.
имеет положительную асимметрию, его единственная
мода находится в точке #=σ. Все моменты Р. р.
конечны, математич. ожидание и дисперсия равны
соответственно Т/ -—- σ и 2o2(i—j-J. Функция
распределения Р. р. имеет вид
F(x)
= 11-е-х>/*°\ х>0,
Р. р. является частным случаем распределения с
плотностью
2 „„-1,.-*'/2а»
2»/Vr
(*)
при п—2 и, следовательно, при σ=1 Р. р. совпадает с
распределением арифметического квадратного корня из
случайной величины, имеющей «хи-квадрат»
распределение с двумя степенями свободы. Иначе, Р. р. может
быть интерпретировано как распределение длины
вектора в прямоугольной системе координат на плоскости,
координаты к-рого независимы и имеют нормальное
распределение с параметрами 0 и σ2. Аналогом Р. р. в
3-мерном пространстве служит Максвелла
распределение.
Р. р. находит основное применение в теории стрельбы
и статистич. теории связи. Р. р. впервые рассмотрено
Рэлеем (Rayleigh, 1880), как распределение
результирующей амплитуды при сложении гармонич. колебаний.
Лит.: [1] С τ ρ е τ τ Д ж. В. (лорд Ρ э л е й), Волновая
теория света, пер. с англ., М.— Л., 1940. А. В. Прохоров.
РЭЛЕЯ УРАВНЕНИЕ — нелинейное обыкновенное
дифференциальное уравнение 2-го порядка
x-\-F (x)-\-x = 0, x = dx/dt, (*)
где функция F (и) удовлетворяет предположению:
uF (и) < 0 при малых | и |,
uF (и) > 0 при больших ]и \.
Р. у. описывает типичную нелинейную систему с
одной степенью свободы, в к-рой возможны
автоколебания. Названо по имени Рэлея (Rayleigh), изучавшего
уравнение такого типа в связи с задачами акустики [1].
Если уравнение (*) продифференцировать, а затем
положить у—х, то получится Льенара уравнение
U+f(u)y + y = 0; f(u) = F'(u).
Частным случаем Р. у. при
F(u) = — λίη—γλ , λ = οοη8ΐ,
является Ван дер Поля уравнение. Иногда Р. у. наз.
частный случай уравнения (*):
x — (a — bx2)x-{-x = 0, а>0, Ь > 0.
Имеется большое число работ, в к-рых выясняются
условия существования и единственности устойчивого
предельного цикла у Р. у., то есть условия
возникновения автоколебаний. Вопрос о периодич. решениях
изучался и для различных обобщений Р. у., напр.
для
x-\-F (x, x)x + g(x) = e{t),
где е (t) — периодич. функция.
Системой типа Рэлея часто наз.
уравнение
x+F (i) + G(x) = H(t, χ, i),
x£Rn, F:Rn—+Rn, G'R«—► R»,
34*

1063
причем обычно предполагается, что
F = grad/, f:Rn—+R, /gC1,
G^gvadg, g:Rn—^R, g£C\
a H — ограниченная и периодическая по
функция. Представляет интерес получение
ряд 1064
Обратное утверждение неверно: последовательность
членов \ — / гармонического ряда
t вектор-
достаточных условий существования периодич. решении таких
систем.
Лит.: [1] С τ ρ е τ τ Дж. В. (л о ρ д Ρ э л е й), Теория
звука, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М.— Л., 1955, [2] Ч е з а р и Л.,
Асимптотическое поведение и устойчивость решений
обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1964. См.
также лит. при ст. Лъенара уравнение. Н. X. Розов.
РЯД, бесконечная сумм а,—
последовательность элементов (наз. членами данного
ряда) нек-рого линейного топологич. пространства и
определенное бесконечное множество их конечных сумм
(наз. частичными суммами ряда), для
к-рых определено понятие предела. Простейшими
примерами Р. являются следующие.
Однократные числовые ряды. Пара
последовательностей комплексных чисел {ап} и {sn} таких, что
sn=ai + <i2+· · ·+αη, и = 1, 2, ..., (1)
(однократным) рядом и
наз. числовым
обозначается так:
*1 + β2+ ···+*/!+·
Σ 00
ИЛИ
Σαη· (2)
Элементы последовательности {ап} наз. членами
ряда, а элементы последовательности {sn} — его
частичными суммами, причем ап наз. п-м
членом Р. (2), a sn — его частичной суммой порядка п.
Р. (2) однозначно определяется каждой из двух
последовательностей {ап} и {sn}: члены последовательности
{sn} получаются из членов последовательности {ап} по
формуле (1), а последовательность {ап}
восстанавливается по последовательности {sn} согласно формулам
αϊ = «1, a<n + i = sn + i — sn, n = i, 2, ...
В этом смысле изучение Р. равносильно изучению
последовательностей: для каждого утверждения о Р.
можно сформулировать равносильное ему утверждение о
последовательностях.
Р. (2) наз. сходящимся, если последовательность
его частичных сумм {sn} имеет конечный предел
s= lim sn,
к-рый наз. суммой Р. (2), и пишут
5 = 2 α«·
Таким образом, обозначение (2) применяется как для
самого Р., так и для его суммы. Если
последовательность частичных сумм Р. (2) не имеет конечного предела,
то он наз. расходящимся.
Примером сходящегося Р. является сумма членов
бесконечной геометрич. прогрессии
•Ji
■„=!*"
(3)
что \q\ < 1. В этом случае ее сумма равна
"— 'ί/| > 1, то Р.
2„>=
Если же
при условии
1
-ι— » то естк, у_, ч — *
1— q ' **п=1* l— q
(3) дает пример расходящегося Р.
Если Ρ (2) сходится, то последовательность его чле
нов стремится к нулю:
lim ап = 0.
М->со
4+тН4+·
•·+τ+·
к нулю, однако
наз. остатком
этот Р. расходится
порядка η Р. (2).
стремится
Р. сходится, то каждый его остаток сходится,
не к-рый остаток Р. сходится, то и сам Р. сходится
остаток порядка η Р. (2) сходится и его сумма
. Ряд
Если
Если
Если
равна
то есть гп=
ΣΓ-ια»+*·το
*п = *п+гп-
■S
Если Р. (2) и ряд
ΣΒη (4)
сходятся, то сходится и ряд
Σ(α»+6»)·
наз. суммой рядов (2) и (3), причем его сумма равна
сумме этих Р.
Если Р. (2) сходится и λ — комплексное число, то ряд
2^λαη, наз. произведением Р. (2) на число λ,
также сходится и /Дд„=λ/Ίαη.
Условие сходимости Р., не использующее понятие
его суммы, дает Коши критерий сходимости Р.
Если все члены Р. (2) являются действительными
числами: απζ^, то Р. (2) наз. действительным.
Важную роль в теории Р. играют действительные Р. с
неотрицательными членами:
2*η· я«.^0, п = 1,2, ... . (5)
Для того чтобы Р. (5) сходился, необходимо и
достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм
была ограничена сверху. Если же он расходится, то его
частичные суммы стремятся к бесконечности:
lim s„= + oo,
поэтому в этом случае пишут
Для Р. с неотрицательными членами существует много
различных признаков сходимости. Основными являются
следующие.
Признак сравнения. Если для Р.
2*„,
= 0, и = 1, 2,
(5) и
(6)
с неотрицательными членами существует такая
постоянная с > 0, что 0 < ап < сЪп, то из сходимости Р.
(6) следует сходимость Р. (5), а из расходимости Р.
(5) — расходимость Р. (6).
При применении признака сравнения для
исследования сходимости заданного Р. с неотрицательными
членами часто оказывается целесообразным выделить
главную часть его η-το члена относительно — при η -»- оо в
виде — (а — нек-рая
постоянная), а в качестве
с к-рым сравнивается данный Р., взять ряд
V00 -L agR,
&n=l ηα ^*
сходящийся при а > 1 и расходящийся при α <
(7)
;1.

1065
РЯД
1066
Как следствие признака сравнения в случае, когда в
качестве Р. сравнения взят Ρ (7), получается
следующее правило: если
lim naan = b,
/ϊ-*αο
то при α>1 и 0 <: Ь < +ооР. (5) сходится, a при
а < 1 и 0 < Ь <: +оо Р. (5) расходится.
Следствиями признака сравнения являются также
Д'Аламбера признак и Коши признак сходимости
числовых рядов с положительными членами. Для таких
Р. имеются еще Бертрана признак, Гаусса признак,
Ермакова признак, Куммера признак, Раабе
признак.
Интегральный признак сходимос-
т и дает достаточные условия сходимости Р. (5) с
неотрицательными членами, образующими убывающую
последовательность: ап > ап+1 ^0, η = 1, 2,. . .
Пусть Р. (5) таков, что для него существует функция /
определенная и убывающая при χ > 1, у к-рой ее
значения в целочисленных точках совпадают с членами
данного ряда: f(n)=an, /ι=1, 2,. . . . Тогда если s„—
частичные суммы, а г„ — остатки ряда (5), то для них
имеют место следующие оценки:
J л-Γι /(*)^<Γη<$*β°/(*)^
и
s„=^+ f(x)dx+c + en, w = l, 2, ...,
где с — нек-рая постоянная, а
lim ε„ = 0.
AZ->"0D
Поэтому Р. (5) сходится тогда и только тогда, когда
сходится интеграл
Если же Р. (5) расходится, то его частичные суммы sn
растут так же, как интегралы
\ f (x) dx,
асимптотически
Гп+1
равны указанным интегралам:
f (x) dx, η —»-—|— οο.
Для Р. (5), члены к-рого образуют убывающую
последовательность, имеет место теорема Коши:
если члены Р. (5) убывают, то он сходится или
расходится одновременно с рядом
ΣΙ
242k.
Необходимым условием сходимости Р. (5) с
убывающей последовательностью членов является условие
-». (8)
a»=°(i)'
Пример расходящегося ряда
п-2 п1п?г
показывает, что условие (8) не является достаточным
для сходимости Р. (5) с убывающей последовательностью
членов.
Важный класс числовых Р. составляют абсолютно
сходящиеся ряды, т. е. такие Р. (2), для к-рых сходятся
ряды^[а„1. Если Р. абсолютно сходится, то он просто
сходится и его сумма не зависит от порядка следования
слагаемых. Сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся
Р. наз. условно сходящимися. Примером
условно сходящегося Р. является ряд
Σ00 (-1)"-1
п=\ п
Сумма условно сходящегося Р. зависит от порядка его
членов (см. Римана теорема о перестановке членов
ряда): каковы бы ни были α и β, принадлежащие
множеству действительных чисел, дополненному
бесконечностями + оо и —οο, α <: β, можно так
переставить члены любого условно сходящегося Р., членами
к-рого являются действительные числа, что для
частичных сумм sn полученного Р. будут иметь место
равенства
lim sn = a, lim s„= β.
Таким образом, для условно сходящихся Р. не имеет
места коммутативный закон сложения. Не для всех
Р. оказывается справедлив и ассоциативный закон
сложения: если Р. расходится, то Р., полученный из
данного последовательной группировкой его членов, может
сходиться, причем его сумма зависит от способа
группировки членов исходного Р. Напр., ряд
1—1+1—1 + ...+(—Ι)"-1-^...
расходится, а ряды (1—1)+(1—1)+. . . и 1—(1—1)—
(1—1) —. . ., полученные из него попарной
группировкой его членов, сходятся и имеют различные суммы.
Однако если Р. сходится, то, конечно, всякий Р.,
получающийся последовательной группировкой его
членов, сходится, и его суммой является сумма
данного Р., ибо последовательность частичных сумм
нового Р. есть подпоследовательность частичных сумм
исходного Р.
Среди Р. с членами разных знаков выделяют
знакочередующиеся Р., для к-рых имеется Лейбница признак
сходимости. Различные признаки сходимости для
произвольных числовых Р. могут быть получены с помощью
Абеля преобразования сумм попарных произведений,
напр. Абеля признак, Дедекинда признак, Дирихле
признак, Дюбуа-Реймона признак сходимости Р.
Умножение рядов. Для умножения Р.
существуют различные правила. Наиболее известно
правило Коши, согласно к-рому при перемножении рядов
(2) и (4) сначала суммируются по конечным
«диагоналям» попарные произведения атЪп, т. е. такие, у к-рых
сумма индексов т-\-п имеет одно и то же значение:
ЬР
= 2И
+п=р
ю
и ряд^С;?» членами к-рого являются полученные суммы,
наз. произведением данных Р. Это правило
умножения Р. подсказывается формулой умножения
степенных рядов:
^атх^^Ьпхп = ^СрхР.
Пусть Р. (2), (4), (9) сходятся и
Если Р. (2) и (4) абсолютно сходятся, то Р. (9) также
абсолютно сходится и ab=c. Если Р. (2) абсолютно
сходится, а Р. (4) сходится, то сходится Р. (9) и ab=c
(теорема Мертенса). Если же ряды (2) и (4)
условно сходятся, то Р. (9) может не сходиться; напр.,
ряд
Σ» (-1)"-*
л = 1 У η

1067
условно сходится, а ряд
'<у« (-1)п-
РЯД
1068
~Άη=ι\ L) Zuk=l VkVn-k+ί
расходится. Если все три Р.—(2), (4), (9)—сходятся,
то ab=c.
Примером другого правила умножения Р. является
суммирование сначала попарных произведений атЪп,
у к-рых произведение индексов тп имеет
фиксированное значение
и определение произведения рядов (2) и (4) как ряда
2е/?· Это правило умножения Р. подсказывается
формулой умножения Дирихле рядов:
Σ am V Ьл _ у _±
тх ju ηχ Δα ρχ
Встречаются также Рм члены к-рых ап занумерованы
всеми целыми числами /г=0, ±1, ±2,... . Они
обозначаются:
a:..·- (io)
Р. (10) наз. сходящимся, если сходятся ряды
ΣΓ=ια»-1 и 2Γ=ια-"'
и сумма этих Р. наз. суммой Р. (10).
Числовыми Р. более сложной структуры являются
кратные ряды, члены ап п к-рых снабжены
мультииндексами, где п^ — натуральные числа, /с=
= 1, 2, . . ., т, т=2, 3, . . . . В теории кратных Р.
рассматриваются различные типы частичных сумм:
треугольные
прямоугольные
сферические
*=2*
А2<гга*1 ft,
., г>0,
и др. В зависимости от выбора типа частичных сумм
определяется понятие суммы кратного Р. как
соответствующего их предела. В случае т=2 кратный Р. наз.
двойным рядом. Для кратных Р., в отличие от
однократных, члены Р. уже могут не определяться заданием
множества частичных сумм, т. е., вообще говоря, для
того чтобы кратный Р. был определен, необходимо
задать как кратную последовательность членов Р., так и
множество его частичных сумм.
В математич. анализе находят применение не только
сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних
разработаны разнообразные методы суммирования.
В виде сумм числовых Р. записываются многие
важные иррациональные постоянные, напр.:
•=s:..£. π2=6Σ;=1£·
а также значения определенных интегралов,
первообразные подинтегральных функций к-рых не выражаются
через элементарные функции:
pi arctgjc j„_ ^oo (-1)"-1
Jo * аХ~ Ζη=ι (2η-Ι)* >
х~х dx :
Σ СО J_
n=lntl
Функциональные ряды. Функциональным
(однократным) рядом
2*»(*), *€*> (")
наз. пара функциональных последовательностей {ап(х)}
и {sn(x)}, состоящих из числовых функций,
определенных на нек-ром множестве X и таких, что
sn(x)=a1(x)-\-a2{x)~r .. .+ап(х), /г = 1, 2,... .
Как и в случае числовых Р., элементы
последовательности {ап(х)} наз. членами Р. (11), а
последовательности {sn(χ)} — его частичными
суммами. Р. (11) наз. сходящимся на
множестве X, если при любом фиксированном х0£Х
сходится числовой ряд
Пример. Ряд
Σю j^_ z
сходится на всей комплексной плоскости, а ряд
2Г=оп|*,''€С,
только при z=0.
Сумма сходящегося Р. непрерывных, напр. на нек-
ром отрезке, функций не обязательно является
непрерывной функцией, напр. ряд
^+Ση=ιχη~1(χ~^
сходится на отрезке [0, 1], его члены непрерывны на
этом отрезке, а сумма
если О^я < 1,
если χ = 1
S(X):
■{!:
разрывна в точке х=1. Ряд условий, при к-рых на
функциональные Р. переносятся свойства
непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных
сумм соответственно непрерывных, дифференцируемых
или интегрируемых функций, формулируется в
терминах равномерной сходимости рядов (см. Равномерно
сходящийся ряд).
Ряды измеримых функций. Пусть X —
измеримое по Лебегу подмножество тг-мерного евклидова
пространства R", μ — мера Лебега и члены а^{х) ряда
2 **(*)> *€*cR», (12)
являются измеримыми почти всюду конечными на X
функциями, принимающими значения из
расширенной числовой прямой (т. е. наряду с действительными
числами они могут принимать значения +оо и — оо).
Если Р. (12) сходится почти всюду на множестве X,
то его сумма s(x) также является измеримой функцией
и, в силу Егорова теоремы, для любого ε > 0
существует такой компакт ЕаХ, что μ(Χ\Ε) < ε, а Р.,
членами к-рого являются сужения а^(х)\Е функций
α/г (х) на компакте Е, сходится на нем равномерно и
его суммой является s(x)\E— сужение суммы Р. (12)
на рассматриваемом компакте.
Пусть Lp(X), 1 <. ρ <:+00,—пространство
функций / : X ->· R соответственно с нормой
при 1 <: ρ < + оо и с нормой
/Р
|1 /\\ж = sup vrai [f(x)\
хех

1069 ρ
прир=оо. Р. (12) наз. сходящимся в
пространстве Lp(X), если последовательность его частичных
сумм {sn(x)} сходится в Lp(X) и ее предел s(x) наз.
суммой Р. (12) в этом пространстве:
*(*) = 2в*И BMZ)·
Если Р. (12) сходится в Lp(X) и s(x) — его сумма,
то существует подпоследовательность
последовательности его частичных сумм, к-рая сходится к s(x) почти
всюду на X.
Почленное интегрирование рядов.
Обобщением теоремы о почленном интегрировании
равномерно сходящихся Р. являются следующие теоремы.
Теорема 1. Если существует такая суммируемая
на множестве X функция /, что для всех т=1, 2,. . .
и всех χζΧ частичные суммы sn(x) P. (12)
удовлетворяют неравенству
I *·(*)!</(*),
Р. (12) сходится почти всюду на X и его сумма равна
s(x), то
^х s И άχ=\χΐΣί4(χ)] ** = Σ Ιχ ak (x) dx- (13)
Теорема 2. Если ak(x)£Lp(X), s(x)£Lp(X),
1 <р <+оо, μΧ <-f-oo, и последовательность
частичных сумм {sm(x)} P. (12) слабо сходится на
множестве X к функции s(x) (т.е. для любой функции
b = b(x)£Lg(x), l/p-\- 1/q — l, выполняется условие
lim (s—sm, 6)=lim Г [s (χ)—sm (χ)] b(x) dx=--0),
m->» m->ooj χ
то имеет место формула (13).
Можно почленно интегрировать и Р. (12), все члены
к-рых неотрицательны на множестве X. У таких Р.
последовательность их частичных сумм в каждой точке
χζΧ возрастает и потому имеет конечный или
бесконечный предел, к-рый наз. значением суммы s{x)
рассматриваемого Р. в этой точке.
Теорема 3. Если члены Р. (12) неотрицательны,
то имеет место формула (13).
В предположениях теоремы 3 обе части формулы (13)
могут обратиться в +оо. Достаточные условия их
конечности даются следующей теоремой.
Теорема 4. Если члены Р. (12) неотрицательны
и интегралы от его частичных сумм sm (x) ограничены в
совокупности:
\ sm(x)dx^c, где с—постоянная,
го = 1, 2,
то суммаs(х) Р. (12) является суммируемой функцией.
Почленное дифференцирование
рядов. Пусть К" есть л-мерное арифметическое
евклидово пространство точек х= (хг, х2,. . ., хп), #,·£ К,
G— открытое в R" множество, /:G->R. И пусть
Dx.f — обобщенная производная функции / по
переменной Х[, i=\, 2,. . ., п. Если ak(x)^Lp(G),
Dx. ak(x)£Lp(G) (^ — фиксировано), 1 <р <+оо,
Ч
и ряды^^И* 2^*г а*^» x£Gi сходятся в
LP(G): s(x) = ^ak(x), o(x) = ^Dx. ак(х),то функ-
ция s (х) имеет в G обобщенную производную по
переменной х. и DXm s(x) — o(x), то есть
lo Ч
[ 1070
Dx. Σ **(*) = Σ1**. <*k(x) bLp(G).
Среди функциональных Р. особо важную роль играют
степенные ряды, Фурье ряды, Дирихле ряды и вообще
Р., получающиеся при разложении функций по
собственным функциям того или иного оператора. Многие из
перечисленных свойств функциональных Р. обобщаются
на более общие Р., когда их членами являются
функции со значениями в линейных нормированных
пространствах или, более общо, в линейных топологич.
пространствах, а также на кратные функциональные
Р., то есть Р., члены к-рых снабжены мультииндексами:
Σ ani · . . пт (х).
Теория функциональных рядов дает удобные и весьма
общие методы для изучения функций, поскольку
функции весьма широкого класса могут быть представлены в
определенном смысле в виде суммы нек-рого ряда
элементарных функций. Напр., однозначная аналитич.
функция является в окрестности каждой внутренней
точки из множества своего определения суммой своего
Тейлора ряда', всякая непрерывная на отрезке
функция является суммой равномерно сходящегося на этом
отрезке ряда, членами к-рого являются алгебраич.
многочлены; наконец, для всякой измеримой и конечной
почти всюду на отрезке [—π, π] функции существует
тригонометрия. ряд.
■4"+2 -\ ancos nx~\-bnsin nx,
сумма к-рого почти всюду совпадает с заданной
функцией.
Разложение функций в Р. применяется в различных
разделах математики: в анализе для исследования
функций, при отыскании решений в виде Р. тех или иных
уравнений, содержащих неизвестные функции, напр.
неопределенных коэффициентов методом, в численных
методах для приближенного вычисления значений
функций и т. п.
Историческая справка. К понятию бесконечных сумм
подошли еще ученые Др. Греции, у них уже встречалась
сумма членов бесконечной геометрич. прогрессии с
положительным знаменателем, меньшим единицы. Как
самостоятельное понятие Р. вошел в математику в
17 в. И. Ньютон (J. Newton) и Г. Лейбниц (G. Leibniz)
систематически использовали Р. для решения как
алгебраических, так и дифференциальных уравнений.
Формальная теория Р. усиленно развивалась в 18—
19 вв. в работах Я. и И. Бернулли (Jakob und Johann
Bernoulli), Б. Тейлора (В. Taylor), К. Маклорена
(С. Maclaurin), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Д'Аламбера
(J. D'Alembert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange) и др.
В этот период использовались как сходящиеся, так и
расходящиеся Р., хотя не было полной ясности в
вопросе о законности действий над ними. Точная теория Р.
была создана в 19 в. на основе понятия предела в
трудах К. Гаусса (С. Gauss), Б. Больцано (В. Bolzano),
О. Коши (A. Gauchy), П. Дирихле (P. Dirichlet),
Η. Абеля (Ν. Abel), К. Вейерштрасса (К. Weierstrass),
Б. Римана (В. Riemann) и др.
Лит.: [1] Колмогорова. Η., Φ о м и н С. В.,
Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.,М.,
1981, [2] Лузин Η. Η., Теория функций действительного
переменного, 2 изд., М., 1948; [3] Никольский С. М.,
Приближение функций многих переменных и теоремы вложения,
2 изд., М., 1977; [4] X а р ди Г., Расходящиеся ряды, пер. с
англ., М., 1951; [5] Бахвалов Н. С, Численные методы,
2 изд., М., 1975; |6] Ильин В. Α., Π о з н я к Э. Г.,
Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971, 2 изд., ч. 2,
М., 1980; [7] К у д ρ я в ц е в Л. Д., Курс математического
анализа, т. 1—2, М., 1981; [8] Никольский С. М., Курс
математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975; [9] Η е м ы ц-
кийВ., Слудская М., Черкасов Α., Курс
математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М.— Л., 1944.
Л. Д. Кудрявцев.

с
САККЕРИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК —
четырехугольник А В CD, имеющий при вершинах А и В
прямые углы,и равные стороны AD и ВС.
Рассматривался Дж. Саккери (G. Saccheri, 1733) при попытках
доказать постулат Евклида о параллельных. Из трех
предположений о величинах углов при вершинах С и
D: либо углы прямые, либо углы тупые, либо острые,
первая гипотеза является утверждением,
эквивалентным постулату Евклида о параллельных; вторая
приводит к противоречию с др. аксиомами и постулатами
Евклида. Относительно третьей гипотезы Дж. Саккери
пришел к ошибочному выводу, что она противоречит
др. аксиомам и постулатам Евклида.
Лит.: [1] К а г а н В. Ф., Основания геометрии, ч. 1,
М.— Л., 1949; [2] Π о г о ρ е л о в А. В., Основания
геометрии, 3 изд., М., 1968. А. Б. Иванов.
САЛОННАЯ ИГРА — игра с несколькими
участниками, в к-рой исход определяется не только искусством
играющих, но и случайными факторами (раскладами
карт, выпадениями игральных костей и т. п.)
Исследование Си. (преимущественно карточных) занимает
значительное место в игр теории. С. и., с одной
стороны, являются неисчерпаемым источником интересных
с математич. точки зрения игровых моделей; а с
другой — сами являются моделями более серьезных
конфликтов — военных, экономических и т. п. Покер,
первая модель к-рого исследовалась Дж. Нейманом в
1928 (см. [1]), сыграл при возникновении теории игр
роль, аналогичную роли игры в кости в возникновении
теории вероятностей. Позднее были построены и
решены многие частные модели игр типа покера, а в сер.
50-х гг. С. Карлином (S. Karlin) и Р. Рестрепо (R. Rest-
геро) были заложены основы общей теории
антагонистических игр типа «покер». В их модели игрок I (II) знает
свою карту ξ (соответственно η) — реализацию
случайной величины, имеющей распределение F (ξ)
[соответственно 6г(т))]. Стратегии игроков I и II представляют
собой соответственно векторы φ (ξ) и ψ (η), а функция
выигрыша имеет вид
С. Карлин и Р. Рестрепо нашли достаточно
эффективные методы решения подобных игр (см. [2]).
Довольно много исследований было посвящено
бриджу. Ввиду того что в бридже два партнера
представляют собой фактически одного игрока, он является
примером игры без полной памяти.
Лит.: [1] Нейман Д ж-, в сб. Матричные игры, М.,
1961, с. 173—204; [2] Карлин С, Математические методы
в теории игр, программировании и экономике, пер. с англ., Μ.,
1964; [3] Τ h о m p s о n G. L., в кн.: Contributions to the
theory of games, v. 2, Princeton, 1953, ρ 267—77.
В. К. Доманский.
САМОИНЪЕКТИВНОЕ КОЛЬЦО левое —
кольцо, инъективное как левый модуль над собой.
Симметричным образом определяется правое С. к.
Классически полупростые кольца и все кольца вычетов
суть С. к. Если R — С. к. с радикалом Джекобсона
/, то факторкольцо R/J регулярно в смысле Неймана
(см. Регулярное кольцо). Регулярное С. к. непрерывно.
Всякое счетное С. к. квазифробениусово. Левое С. к.
может не быть правым С. к. Кольцо матриц над С. к.
и полное кольцо линейных преобразований векторного
пространства над телом самоинъективны. Кольца
эндоморфизмов всех свободных левых ^-модулей
являются С. к. тогда и только тогда, когда R квазифробе-
ниусово. Если Μ — кообразующий категории левых
R-модулей, то End#M есть С. к. Если сингулярный
идеал кольца R равен нулю, то его инъективная
оболочка естественным образом превращается в С. к.
Групповое кольцо RG самоинъективно слева тогда и
только тогда, когда R есть С. к., а группа G конечна.
Прямое произведение самоинъективных колец
самоинъективно. Кольцо R изоморфно прямому произведению
полных колец линейных преобразований над телами в
том и только в том случае, когда R — левое С. к. без
нильпотентных идеалов, каждый ненулевой левый идеал
к-рого содержит минимальный левый идеал.
Лит.: [1] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология.
Геометрия, т. 14, М., 1976, с. 57—190; [2] Φ ей с К., Алгебра:
кольца, модули и категории, пер с англ , т. 1—2, М., 1977—79;
[3] Lawrence J., «Proc. Amei Math. Soc», 1977, v. G5,
№ 2, p. 217—20. Л. А. Скорняков.
САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТОЧКА — одна из особых
точек кривой или поверхности. См., напр., Двойная
точка.
САМОПЕРИМЕТР — длина 2π$
центрально-симметричной замкнутой выпуклой кривой S на плоскости,
измеренная в той метрике Минковского, для к-рой
сама S играет роль единичной окружности. Всегда 3<
<π$ <4 (см. [1]). При обобщении на несимметричный
случай С. приписывается направленной кривой S и
зависит от выбора начала внутри S (см. [2], [3]).
Рассмотрен случай звездной S (см. [4]). Существуют различные
обобщения С. для единичной сферы S в нормированном
пространстве размерности, большей двух (см. [5], [6]).
Лит.: [1] Ρ е ш е τ н я к Ю. Г., «Успехи матем. наук»,
1953, т. 8, в. 6, с. 125—26; [2] Сорокин В. Α., «Уч. зап.
Моск. гос. пед. ин-та», 1965, № 243, с. 160—85; [3] С h a k е-
rian G. D., Та 1 ley W. К., «Arch, math.», 1969, v. 20,
№4, p. 431—43; [4] G о 1 a b S., «Colloq. math.», 1966, v. 15,
№ 1, p. 141—44; [5] Schaffer J. J., «Math. Ann.», 1971,
Bd 190, №3, S. 242—47; [6] Petty С. М., «Geom. dedic»,
1974, v. 3, № 1, p. 77—97. В. А. Залгаллер.
САМОПРИКОСНОВЕНИЯ ТОЧКА — одна из
особых точек кривой или поверхности. См., напр., Двойная
точка.
САМОСОПРЯЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение Z(j/)=0, совпадающее с
сопряженным дифференциальным уравнением I* (у)—0. Здесь
I (y)^a0 (t) у0»> + . . .+ak (t) y<»-*) + . . .+ап (t) у,
I* (у) s (-1)" (воу)0») + . . . + (-1)»"* (akyy«-» +
+ .. .+ад,
где
y(v) = dvy/dtv, y(.)£Cn(I), ^(Οζ^-Μ/)·
МО ^0, ίζ/;
Ст(1)—пространство т раз непрерывно
дифференцируемых комплекснозначных функций на ί— (α, β); черта
означает операцию комплексного сопряжения.
Левая часть всякого С. д. у. 1(у)=0 есть сумма
выражений вида
hm(y) = (pmy(m)){m),

1073 самосопряже
где pm{t), qm(t) — действительнозначные достаточно
гладкие функции, i2=— 1. С. д. у. с действительными
коэффициентами — обязательно четного порядка и
имеет вид
(РоУш))ш)+..-+(РкУ{т-*))^-*)+...+РтУ = 0
(см. Щ-[3]).
Линейная система дифференциальных уравнений
L(x) = 0, L(x)==x+A (t)x, ίζΐ,
с непрерывной комплекснозначной (/гХл)-матрицей
A (t) наз. самосопряженной, если A (t)=
= —А* (£), где A* (t)—эрмитово сопряженная
матрица к матрице A (t) (см. [1], [4]). Это определение не
согласовано с определением С. д. у. Напр., система
х1 —ж2 = 0, x2+p(t)xi = 0,
эквивалентная С. д. у.
У+Р(*)У = 0,
— самосопряженная только в том случае, если ρ (£)ξ=1.
Краевая задача
ИУ) = 0. t£A=[tQ, fj, (l)
Uk(y) = 0, ft = l, ..., η, (2)
где Uk : Cin) (Δ) -> IR1 — линейные и линейно
независимые функционалы, описывающие краевые условия,
наз. самосопряженной, если она совпадает со
своей сопряженной краевой задачей, то есть (1) —
С. д. у., a Uk(y)=U*k(y) для всех у(-)£Сп(А) и всех
А=1,. . ., η (см. [1] — [3], [5]). Если (1), (2) —
самосопряженная краевая задача, то справедливо равенство
(см. Грина формулы)
ll]b(y)dt = YtlT(l)ydt
для любой пары функций #(·), ξ(·)££"(Δ),
удовлетворяющей краевым условиям (2).
Все собственные значения самосопряженной задачи
Цу) = Ъ.У, Uk(y) = 0, А = 1, .... *,
действительны, а собственные функции φχ, φ2,
отвечающие различным собственным значениям λχ, λ2,
ортогональны
$£$i(*)<P2(*)d* = 0.
Линейная краевая задача
L(x)=zx + A(t)x = 0, ϋ(χ) = 0, ίζΔ, (3)
где A (t) — непрерывная комплекснозначная пХп
матрица, U есть л-вектор-функционал на пространстве
С'п (Δ) непрерывных комплекснозначных функций χ :
Δ -> R", наз. самосопряженной, если она
совпадает со своей сопряженной краевой задачей,
Lm(x) = 0, U*(x) = Q, ίζΔ,
т. е.
L (χ) = — L* (χ), U (χ) = U* (χ)
для всех χ (·) ζ CVi (Δ). Самосопряженная краевая задача
обладает свойствами, аналогичными свойствам задачи
(1), (2) (см. [4]).
Понятия С. д. у. и самосопряженной краевой задачи
тесно связаны с понятием самосопряженного оператора
[6]. С. д. у. и самосопряженная краевая задача
определяются также для линейного уравнения с частными
производными (см. [5], [7]).
Лит.: [1] Камке Э., Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М,, 1976; [2]
НаймаркМ. Α., Линейные дифференциальные операторы,
2 изд., М., 1969; [3] К о д д и н г τ о н Э. Α., Л е в и н с о н Η.,
1ЫЙ ОПЕРАТОР Ю74
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с
англ., М., 1958, [4] Владимиров В. С, Уравнения
математической физики, 4 изд., М., 1981; [5] Хартман Ф.,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970;
[6] Данфорд Н., Ш в а р ц Д ж. Т., Линейные операторы.
Спектральная теория. Самосопряженные операторы в
гильбертовом пространстве, пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [7] Μ и χ а й-
л о в В Π , Дифференциальные уравнения в частных
производных, М., 1976. Е. Л. Тонкое.
САМОСОПРЯЖЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное преобразование евклидова или
унитарного пространства, совпадающее со своим
сопряженным линейным преобразованием. В евклидовом
пространстве С. л. п. наз. также
симметрическим, а в унитарном пространстве — эрмитовым.
Необходимое и достаточное условие
самосопряженности линейного преобразования конечномерного
пространства состоит в том, что его матрица А в
произвольном ортонормированном базисе совпадает с
сопряженной матрицей Л*, т. е. является симметрич. матрицей
(в евклидовом случае) или эрмитовой матрицей (в
унитарном случае). Собственные значения С. л. п.
действительны (даже в унитарном случае), а собственные
векторы, отвечающие различным собственным
значениям, ортогональны. Линейное преобразование
конечномерного пространства L является самосопряженным
тогда и только тогда, когда в L существует ортонорми-
рованный базис, состоящий из собственных векторов,
и в этом базисе записывается действительной
диагональной матрицей.
С. л. п. А наз. неотрицательным (или π ο-
ложительно полуопределенным),
если (Arc, χ) > 0 для любого вектора х, иположи-
тельно определенным, если (Ах, х) > 0
для любого вектора χ Φ 0. Для неотрицательности
(положительной определенности) нек-рого С. л. п. в
конечномерном пространстве необходимо и достаточно,
чтобы все его собственные значения были
неотрицательны (соответственно положительны) или чтобы
соответствующая ему матрица была положительно
полуопределенной (соответственно положительно
определенной). В этом случае существует единственное
неотрицательное С. л. п. В, удовлетворяющее условию В2=
= А — квадратный корень из С. л. п. А.
САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР, эрмитов
оператор,— линейный оператор А, определенный
на линейном всюду плотном множестве D (А)
гильбертова пространства Η и совпадающий со своим
сопряженным оператором А, т.е. такой, что D (A)=D (А*) и
(Ах, у> = <х, Ау> (*)
для любых х, y£D(A). Всякий С. о. замкнут и не
допускает расширения с сохранением равенства (*) на
более широкое, чем D (А), линейное многообразие, в
силу чего С. о. наз. также
гипермаксимальным. Поэтому если А ограниченный С. о., то он
определен на всем пространстве Н.
Каждый Со. однозначно определяет разложение
единицы F%, —оо < λ< οο; имеет место интегральное
представление
Ах= \ XdFxx,
где интеграл понимается как сильный предел
интегральных сумм, для каждого x£D (А) и
Я (4)=/si [*^η№<Ελχ, х> < оо | .
Спектр Со. А не пуст и лежит на действительной
оси. Квадратичная форма К (А)=(Ах, х>,
порожденная С о. А, действительна, что позволяет ввести
понятие положительного оператора.

1075
СВЕРТКА
1076
С помощью Со. описываются многие краевые задачи
математич. физики.
Лит.: [1] Л ю с τ е ρ н и к Л. Α., С о б о л е в В. И.,
Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] А х и-
езерН. И., ГлазманИ. М., Теория линейных
операторов в гильбертовом пространстве, М., 1966; [3] Рисе Ф.,
Сёкефальв и-Н а д ь В., Лекции по функциональному
анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979. В. И. Соболев.
САРДА ТЕОРЕМА: пусть / : Λί-> Ν — отображение
класса Сг многообразий Μ и N размерности тип
соответственно; если г > max(0, m—д), то критические
значения / образуют множество меры нуль. Множество
же регулярных значений оказывается массивным и
всюду плотным. Установлена А. Сардам [1].
Лит.: [1] Sard Α., «Bull. Amer. Math. Soc», 1942, v. 48,
p. 883—90. M. И. Войцеховский.
СБАЛАНСИРОВАННОЕ КОЛЬЦО левое
(правое)— кольцо, над к-рым все левые (правые) модули
сбалансированы. Кольцо сбалансировано слева тогда
и только тогда, когда все его факторкольца суть QF-1-
кольца, т.е. все точные левые модули над ними
сбалансированы. В частности, кольцо сбалансировано,
если все эти факторкольца квазифробениусовы. Всякое
С. к. разлагается в прямую сумму однорядного кольца
и колец матриц над локальными кольцами специального
типа. Любое С. к. полусовершенно. Нётерово С. к.
оказывается артиновым.
Лит.: El] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология.
Геометрия, т. 19, М., 1981, с. 31—134; [2] Φ е й с К., Алгебра:
кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.
Л. А. Скорняков.
СБАЛАНСИРОВАННЫЙ МОДУЛЬ — модуль
Μ такой, что естественный кольцевой гомоморфизм
φ : R -> EndEnd MM, в случае правого модуля оп-
и.
ределяемый равенством (р(г)(т)—тг для любых r£R
и т£М, сюръективен. Модуль Ρ над кольцом R
оказывается образующим категории Я-модулей тогда и
только тогда, когда Ρ есть С. м. как Я-модуль, проек-
тивен и конечно порожден как End/^P-модуль.
Лит.\ [1] Φ е й с К., Алгебра: кольца, модули и категории,
пер. с англ., т. 1—2, М., 1977 — 79. Л. А. Скорняков.
СВЕРТКА функций/(х) и g(x),
принадлежащих L(—оо, оо),— функция h(x), определяемая
равенством
h(*)=\ ^a,f(x—y)s(y)dy=^_(x)f(y)g(x — y)dy
и обозначаемая символом (f*g)(x). Функция f*g
определена почти всюду и также принадлежит L(—оо, оо).
Свертка обладает основными свойствами операции
умножения, а именно: f*g=g*f,
(a1f1+a2f2)^.g = a1(f1^g) + a2(f2^g), аь a2£R,
(/*g)*/l = /*(g*/l)
для любых трех функций из L(—оо, оо). Поэтому
L(— оо, оо) с обычным сложением и умножением на
число, с операцией С. в качестве умножения элементов
из L(— оо, оо) и с нормой
1/1
= $"j/(*)|&r,
превращается в банахову алгебру (при такой норме
l|f*gll < 11/11 · \\g\\)- Если F If] — преобразование Фурье
функции /, то
F[f*g]=V*iF[f]F(g)
и это используется при решении ряда прикладных задач.
Так, если задача сведена к интегральному уравнению
вида
/(*):=* Μ+ί* K(x-y)f(y)dy, (*)
J - CD
где g(*)(zL<2(—ос,оо), К (х)ζЦ—οο,οο),
suV\F[K](x)\^^=,
то в предположении, что f(x)czL(—oo, оо), применяя к
уравнению (*) преобразование Фурье, получают
откуда
F[f] = Flg]+V2nFlf]F[Kl
Flf]= Ш
l/J \-V2nF [К]
'«=рЫ:
и обратное преобразование Фурье приводит к решению
F[g]g)e-^ ЙТ
\-V2^FlK](l)
уравнения (*).
Свойства С. функций находят важные приложения в
теории вероятностей. Если f(x) и g(x) являются
плотностями вероятности независимых случайных величин
X и У, то С. (f*g)x есть плотность вероятности
случайной величины Х+У.
Операция С. распространяется на обобщенные
функции. Если / и g — обобщенные функции, из к-рых по
крайней мере одна имеет компактный носитель, и φ (я)
принадлежит пространству основных функций, то /*g
определяется равенством
</*£, <Р> = </(*)Х£Ы, <ρ(*+ί/)λ
где f(x)Xg(y) — прямое произведение обобщенных
функций / и g, т. е. функционал в пространстве
основных функций двух независимых переменных такой,' что
def
</(*)Х£(*Ь и(х, #)> = </(*), <g(i/), и (χ, г/)»
для любой финитной бесконечно дифференцируемой
функции и(х, у).
С. обобщенных функций также обладает свойством
коммутативности, линейности по каждому аргументу,
а если по крайней мере две из трех обобщенных функций
имеют компактные носители, то и свойством
ассоциативности. Справедливы равенства:
D<*>(f*g) = Daf*g = f*Dag,
где D оператор дифференцирования и a — любой
мультииндекс, (ΐ>αδ)*/=ΐ)α/, в частности δ*/=/, где
6 — дельта-функция, и если/η, и=1, 2,. . .,—
обобщенные функции такие, что fn -*- /0 и существует компакт
#Z)supp/„, л = 1, 2, ...,
то >
fn*g -*/ο*£·
Наконец, если g — финитная обобщенная функция и
/ — обобщенная функция медленного роста, то к f*g
применимо преобразование Фурье и снова
F[f*g\=V~^F[f]F[g}.
С. обобщенных функций широко используется при
решении краевых задач для уравнений с частными
производными. Так, интеграл Пуассона, написанный в виде
U(x, η = μ(χ)*τ±=β-*η»,
дает решение уравнения теплопроводности для
бесконечного стержня, когда начальная температура μ(χ)
может быть не только обычной, но и обобщенной
функцией.
Понятие С. как обычных, так и обобщенных функций
естественным образом переносится на случай функций
многих независимых переменных: надо в предыдущем
считать х, у не действительными числами, а векторами
из R».
Лит.: [1] В л а д и м и ρ о в В. С, Уравнения
математической физики, 4 изд., М., 1981; [2] Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в
Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1958;
[3] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье,
пер. с англ., М.— Л., 1948. В. И. Соболев.

1077
СВЕРТКА ТЕНЗОРА
СВОБОДНАЯ АБЕЛЕВА ГРУППА
1078
операция тензорной алгебры,
ставящая в соответствие
q ^ 1, тензор
A+ah.
тензору а .
ιχ ...
τ
>1,
p --
■ iq-i
-a
/l
q-ix
■■ a
OLl2
·'/-.»
'i-1
I I '"2
+ ···+Λ/1.
.. ί
/> =
(здесь свертка производится по паре индексов ilt jq).
Аналогично определяется С. т. по любой паре верхнего
и нижнего индексов, р-кратная Ст., ρ раз ковариант-
ного и ρ раз^-контравариантного, является инвариантом.
Так, С. т. а) есть инвариант а\, называемый следом
тензора Sp(ay), или tr а). Сверткой произведения
двух тензоров наз. свертка их произведения по
верхнему индексу одного сомножителя и нижнему индексу
ДРУГОГО. А. Б. Иванов.
СВЕРТКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное
преобразование вида
,(„=5:.
G {x—t)f (t) at.
Функция G(x) наз. ядром С. п. Для определенных
типов ядер G после соответствующих замен
переменных С. п. переходит в одностороннее Лапласа
преобразование, Стилтьеса преобразование, Мейера
преобразование. Обращение С. п. осуществляется линейными
дифференциальными операторами бесконечного
порядка, инвариантными относительно сдвига.
С. п. введено также для нек-рых классов обобщенных
функций (см. [2]).
Лит.: [1] Хиршман И. И., Уиддер Д. В.,
Преобразования типа свертки, пер. с англ., М., 1958; [2] Б ρ ы ч-
ков Ю. Α., Прудников А. П., Интегральные
преобразования обобщенных функций, М., 1977.
Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.
СВЕРХРАЗРЕШИМАЯ ГРУППА — группа G,
обладающая конечным инвариантным рядом подгрупп
G = A0^A1^ ... Э Аг = 1,
в к-ром каждая факторгруппа Ai-jAi циклична.
Всякая С. г. является полициклической группой.
Подгруппы и факторгруппы С. г. также сверхразрешимы,
коммутант С. г. нильпотентен. Конечная группа
является С. г. тогда и только тогда, когда все ее
максимальные подгруппы имеют простые индексы (теорема
X у π π е ρ τ а). я. я. Вильяме.
СВЕРХРЕЛАКСАЦИИ МЕТОД,
последовательной верхнейрелаксации
метод,— метод решения систем алгебраич. уравнений.
См. Релаксации метод.
СВЕРХСХОДИМОСТЬ — сходимость нек-рой
подпоследовательности частных сумм ряда в области,
большей, чем область сходимости ряда. Имеют место
следующие теоремы о сверхсходимости:
1) если в степенном ряде
λη
'«•)=Г.У
с радиусом сходимости Л, 0 < R < оо, показатели
λη таковы, что для бесконечного множества значений
ην индекса η
λη,,+ι—λ„Λ, > θλ,
где θ
следовательность
Пу+1 '^Пу -^ υ/ν«ν'
фиксированное положительное число, то по-
частных сумм порядков ην
сходится равномерно в достаточно малой окрестности
каждой точки zQ окружности \z\ = R, в к-рой сумма
ряда f(z) регулярна;
2) если
λ„ν+ι — Κν> θνλ„ν, Ηπΐθν=+οο,
V->-oo
то последовательность {Snv (z)} сходится равномерно в
любой замкнутой ограниченной части области
существования функции f(z).
Имеет место и следующая теорема (обратная первой
теореме): если у степенного ряда
/(*)
Σ 00
/г=0
αηζη
с радиусом сходимости R, 0 < R < оо, имеется
подпоследовательность частных сумм, к-рая равномерно
сходится в нек-рой окрестности точки ζ0, \ζ0\ ^ Л,
то данный степенной ряд может быть представлен
суммой ряда с радиусом сходимости, большим R , и
лакунарного степенного ряда
К
λ^+ι — λ„β > θλ„^,
* = 1, 2,
θ >0.
Первые теоремы верны и для многих других рядов,
в частности для рядов Дирихле.
Лит.: [1] БибербахЛ., Аналитическое продолжение,
пер. с нем., М., 1967; [2] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая
теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966;
[3] Леонтьев А. Ф., Ряды экспонент, М., 1976.
А. Ф. Леонтьев.
СВЕРХЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА,
суперэффективная оценка, — общепринятое
сокращение термина «сверхэффективная (суперэффективная)
последовательность оценок», употребляемого по
отношению к состоятельной последовательности
асимптотически нормальных оценок неизвестного параметра, к-
рая является более эффективной, чем состоятельная
последовательность оценок максимального правдоподобия.
Пусть Хц Х2,. . ., Хп — независимые одинаково
распределенные случайные величины, принимающие
значения в выборочном пространстве (ЭЕ, 3d, Ρθ),
θ ζ θ, и пусть семейство распределений {Pq} таково,
что существует состоятельная последовательность
{§„} оценок Qn=Qn(Xll. . ., Хп) максимального
правдоподобия параметра Θ. Далее, пусть {Тп} —
последовательность асимптотически нормальных оценок Тп=
= Τη(Χχ. . ., Хп) параметра Θ. Если при всех θζθ
limEe[n(Tn-e)2]<7
(θ)'
где /(θ)—информационное количество Фишера,
и, кроме того, хотя бы в одной точке θ*, θ*ζθ,
выполняется строгое неравенство
НтЕеЛМГп-в·)] <т4п> (*)
Л->00
ι (Θ*)
то такая последовательность оценок {Т} наз.
сверхэффективной (суперэффективной)
относительно квадратичной функции потерь, а точки
Θ*, в к-рых выполняется (*), наз. точками
суперэффективности.
Лит.: [1] Ибрагимов И. Α., Хасьминский
Р. 3., Асимптотическая теория оценивания, М., 1979; [2]
Шметтерер Л., Введение в математическую статистику, пер.
с нем., М., 1976; [3] L e Gam L., «Univ. California . Publ.
Stat.», 1953, v. 1, p. 277—330. M. С. Никулин.
СВОБОДНАЯ АБЕЛЕВА ГРУППА — группа,
свободная в многообразии всех абелевых групп (см.
Свободная алгебра). Прямые суммы (в конечном или
бесконечном числе) бесконечных циклич. групп и только
они являются свободными группами в классе абелевых
групп. При этом совокупность образующих элементов
всех циклич. прямых слагаемых служит системой
свободных образующих (называемой также базой)
С. а. г. Не всякая максимальная линейно независимая
система элементов С. а. г. служит для нее базой. С. а. г.

1079
СВОБОДНАЯ
1080
изоморфны тогда и только тогда, когда их базы равно-
мощны. Мощность базы С. а. г. совпадает с рангом
Прюфера этой группы. Всякая подгруппа С. а. г.,
отличная от нулевой, сама свободна. Абелева группа
свободна тогда и только тогда, когда она обладает
возрастающим рядом подгрупп (см. Подгрупп ряд),
каждый фактор к-рого изоморфен бесконечной циклич.
группе.
Лит.: 11] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
12] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.,
Основы теории групп, 3 изд., М., 1982. О. А. Иванова.
СВОБОДНАЯ АЛГЕБРА к л а с с а Я
универсальных алгебр — алгебра F из класса $, обладающая
свободной порождающей системой
(или базой) X, т.е. таким множеством
порождающих X, что всякое отображение множества X в любую
алгебру А из й продолжается до гомоморфизма
алгебры F в А (ср. Свободная алгебраическая система). С. а.
обладает любой непустой класс алгебр, замкнутый
относительно подалгебр и прямых произведений и
содержащий неодноэлементные алгебры. В частности,
С. а. всегда существует в нетривиальных многообразиях
и квазимногообразиях универсальных алгебр (см.
Универсальных алгебр многообразие, Алгебраических
систем квазимногообразие). С. а. класса, состоящего из
всех алгебр данной сигнатуры Ω, наз. абсолютно
свободной. Алгебра А сигнатуры Ω является С. а.
нек-рого класса универсальных алгебр сигнатуры Ω
тогда и только тогда, когда Л внутренне
свобод н а, т. е. обладает таким порождающим
множеством X, что всякое отображение X в А продолжается
до эндоморфизма алгебры А. Если С. а. обладает
бесконечной базой, то все ее базы имеют одну и ту же
мощность (см. Свободная абелева группа, Свободная
алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом,
Свободная ассоциативная алгебра, Свободная булева
алгебра, Свободная группа, Свободная полугруппа,
Свободная решетка, Свободный группоид, Свободный модуль,
а также Свободное произведение). Ясно, что каждый
элемент С. а. с базой X записывается как слово в алфавите
X в сигнатуре рассматриваемого класса. Естествен
вопрос: когда различные слова равны как элементы С. а.?
В нек-рых случаях ответ почти тривиален (полугруппы,
кольца, группы, ассоциативные алгебры), в других —
достаточно сложен (алгебры Ли, решетки, булевы
алгебры), а иногда и не поддается решению
(альтернативные Кольца). Л. А. Скорняков.
СВОБОДНАЯ АЛГЕБРА над
ассоциативно-коммутативным кольцом Φ — свободная алгебра
многообразия алгебр над Φ (см. Кольца и алгебры). Элементами
такой С. а. со свободной порождающей системой X
служат линейные комбинации элементов свободного
группоида со свободной порождающей системой X с
коэффициентами из Ф. Другими словами, эта С. а.
является свободным модулем над Φ с вышеупомянутым
группоидом в качестве базы. Если Φ — кольцо целых
чисел, то С. а. над Φ наз. свободнымкольцом
(ср. Свободная ассоциативная алгебра). Ненулевая
подалгебра С. а. над полем Φ сама является С. а.
Л. А. Скорняков.
СВОБОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА -
свободный объект в нек-ром классе алгебраич. систем.
Пусть й — непустой класс алгебраич. систем (см.
Алгебраических систем класс). Система F наз.
свободной вклассе й, или й-с вободной, если она
принадлежит классу й и обладает таким множеством
X порождающих, что всякое отображение φ0:Χ—>Α
множества X в любую систему А из Й продолжаемо до
гомоморфизма φ : F ->- А . В этом случае говорят также,
что ^свободна над Хв классе,Ίι. Множество
порождающих X с таким свойством наз. й-с в о б о д -
н ы м базисом с и с τ е м ы F, а его мощность —
рангом системы/1, ^-свободные системы одного
и того же ранга изоморфны. Если класс й обладает
свободной системой ранга г, то всякая система из й,
допускающая порождающее множество мощности <г,
является ее гомоморфным образом, й-свободный базис
X й-свободной системы является и ее минимальным
порождающим множеством, поэтому если класс й
обладает изоморфными свободными системами F и F'
различных рангов г и г', то оба кардинала гиг' конечны.
Класс алгебраич. систем наз. тривиальным,
или вырожденным, если в каждой его системе
истинно тождество х=у, т. е. все его системы
одноэлементны. В противном случае класс наз.
нетривиальным, или невырожденным. Во всяком
невырожденном квазимногообразии (многообразии)
алгебраич. систем (см. Алгебраических систем
квазимногообразие, Алгебраических систем многообразие)
существует С. а. с. любого ранга. Всякий вырожденный
класс алгебраич. систем обладает только свободной
системой ранга 1.
Пусть класс й обладает свободными системами
Ft и Fk конечных рангов I и к соответственно и к < I.
Изоморфизм Ff^=Fi имеет место тогда и только тогда,
когда существуют такие термы
*/(*ί, ···> xk), i = l, ···, h
tj(xi, ..., xt), / = 1, .♦., к,
в сигнатуре класса й, что в классе й истинны
тождества
si(ti(xi, ..., χι), ..., th(xu ..., */))=*,·,
t/(si(xi, ..., xk), ..., */(*ь ...,xk))=*j,
где ΐ=1,. . ., I, j—1,. . ., к. Если же класс $ содержит
конечную систему А мощности >2, то Й-свободные
системы различных рангов не изоморфны. В частности,
во всех многообразиях групп, полугрупп, решеток,
ассоциативных колец свободные системы различных
рангов не изоморфны. С другой стороны, в нек-рых
многообразиях модулей (см. Свободный модуль) все
свободные модули конечного ранга изоморфны.
Существуют также многообразия алгебраич. систем
конечного типа (см. Алгебраическая система), в к-рых
все С. а. с. конечных рангов изоморфны между собой;
напр., многообразие $ti, 2 алгебр ζΑ, φχ, φ2, ω> типа
<1, 1, 2>, определяемое тождествами
φ^ω^ί, x2))==xh i = \, 2,
ω (φι (χ), φ2(χ))=χ·
Доказано (см. [З]), что в многообразиях Шт,п (1<
<tfi < п) алгебр <Л, φί,. . ., φη, ωχ,. . ., шт> с
w-арными операциями φ^. . ., φ„ и л-арными
операциями ωχ,. . ., (йт, определяемых тождествами
φί(ω1{χ1, ...,χη), ...,адт(х1, ...,xn))=xh
ω/(φι(*ι, .··, хт), ·., φη(χι, ···> xm)) = xj,
i—1, ..., η, y' = l, ..., m,
при фиксированных тип свободные алгебры конечных
рангов к Φ I изоморфны тогда и только тогда, когда
к ξ I (mod (η — т)), к^т, 1^т.
Существуют универсальные классы, не имеющие
свободных систем. Примером такого класса может служить
класс групп, определяемый универсальными формулами
(х2 = \) ν (я3 = 1), ху = ух
(кванторы опущены). Универсальный класс U,
обладающий свободной системой любого конечного ранга,
имеет свободные системы любых рангов.
Пусть Σ — совместное множество универсальных
формул G(xt,. . ., хп) вида
1<?1 V ,.. V"]Gp V Gp+1 V ... V Gq,

1081 свобод]
где Gx,. . ., Gq — атомные формулы сигнатуры Ω. Пусть
ngG = G1&... &Gp.
Говорят, что Σ обладает r-π одстановочным
свойством (г ^ 1), если для любой формулы G(xl4. . .,
хп) из Σ и любых термов
*ι(*ι. ···. *г). ···> Μ*ι. ·■·. хг)
от г переменных xXi. . ., хг верно утверждение:
Σ (- (ν«ι) ·. · (V*r) ^G (ίι, . ·., tn) =φ
=>(Э« >ρ)Σ|-(ν^ι) ... (Vxr)Gi(ti, ..., ί„).
В невырожденном универсальном классе [Σ],
определяемом множеством универсальных формул Σ ,
свободная система конечного ранга г ^ 1 существует тогда и
только тогда, когда Σ обладает r-подстановочным
свойством [4]. В частности, если все формулы из Σ
несократимы и Σ содержит позитивную формулу
(V*i) . · · (V*r) Gi V . ·. V Gq
с числом дизъюнктных членов q ^ 2, то универсальный
класс [Σ] не имеет свободных систем ранга п^ г.
Напр., класс линейно упорядоченных групп в сигнатуре
<<;, ·, _1> не имеет С. а. с. ранга г ^ 2.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970; [2] 3,6 n s s ο η В., Tarski Α., «Math. Scand.»,
1961, v. 9, p. 95—101; [3] S w i e г с ζ k о w s k i S., «Fund.
Math.», 1961, v. 50, № 1, p. 35—44; [4] Gratzer G., «Math.
Nachr.», 1968, Bd 36, H. 3/4, S. 135—40. Д. M. Смирнов.
СВОБОДНАЯ АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА —
алгебра к < X > многочленов (со свободными членами)
над полем к от некоммутирующих переменных X. С в о й-
ство универсальности определяет алгебру
к ζ Χ у единственным с точностью до изоморфизма
образом: существует отображение ί : X -> к < X >
такое, что любое отображение X в нек-рую
ассоциативную алгебру А с единицей над к можно единственным
образом пропустить через отображение ί. Основные
свойства алгебры к < X > :
1) алгебра к < X > вложима в тело (теорема
Мальцева — Неймана);
2) алгебра к < X > обладает слабым алгоритмом
деления, т. е. из соотношения
d (2"=1 <*Α·) < max; {d (a{) + d (Ь{)},
где α,·, b,g/c<Z>, все α,, l^ia^ji, не равны нулю,
d(ai) <· · .<.d(an), всегда следует, что существуют
целое число г, 1 < г < л, и элементы с1?. . .,сг_! такие,
что
d (ar —2iJi aici) <d(ar)
и d(ai)-\-d(ciXd(ar)i l<i<r —1
(здесь d(a) — обычная степень многочлена а£к(Х>,
d(0)= — oo);
3) алгебра к < Χ > является левым (правым) кольцом
свободных идеалов (т. е. любой левый (правый) идеал
алгебры к ζ Χ у является свободным модулем
однозначно определенного ранга);
4) централизатор любого нескалярного элемента
алгебры к < X > (т. е. множество элементов,
перестановочных с данным) изоморфен алгебре многочленов над к
от одного переменного (теорема Бергмана).
Лит.: [1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [2] его же, Свободные кольца и их связи, пер. с
англ., М., 1975. Л. А. Бокуть.
СВОБОДНАЯ БУЛЕВА АЛГЕБРА — булева
алгебра, обладающая такой системой образующих, что
всякое отображение этой системы в какую-либо булеву
алгебру допускает продолжение до гомоморфизма.
Любая булева алгебра изоморфна факторалгебре
некрой С. б. а.
ная Ю82
Для любого кардинального числа а существует
единственная с точностью до изоморфизма С. б. а. с α
образующими. Ее стоуновский бикомпакт есть топологич.
произведение а простых двоеточий — двоичный
дисконтинуум.
Конечная булева алгебра свободна тогда и только
тогда, когда число ее элементов имеет вид 22"; здесь
η — число образующих. Такая С. б. а. реализуется в
виде алгебры булевых функций от η переменных.
Счетная С. б. а. изоморфна алгебре открыто-замкнутых
подмножеств канторова множества. Всякое множество
попарно дизъюнктных элементов Сб. а. конечно или
счетно.
Бесконечная С. б. а. не может быть полной. В то же
время мощность любой бесконечной полной булевой
алгебры есть верхняя грань мощностей ее свободных
подалгебр (см. [5]).
Лит.: [1]Сикорский Р., Булевы алгебры, пер. с англ.,
М., 1969; [2] В л а д и м и ρ о в Д. Α., Булевы алгебры, М.,
1969; [3] Halmos P. R., Lectures on Boolean algebras,
Princeton — [а.о.], 1963; [4] Б и р к г о ф ф Г., Теория структур,
пер. с англ., М., 1952; [5] К и с л я к о в С. В., «Сиб. матем.
ж.», 1973, т. 14, № 3, с. 569—81. Д. А. Владимиров.
СВОБОДНАЯ ГРУППА — группа F с системой X
порождающих элементов такая, что любое отображение
множества X в любую группу G продолжается до
гомоморфизма F в G. Такая система X наз. системой
свободных порождающих; ее мощность
наз. рангом свободной группы F.
Множество X наз. также алфавитом. Элементы из F
представляют собой слова в алфавите X, т. е.
выражения вида
v = xfxf* ... xfn,
lt l2 In '
где х['£Х, Bj=±i при всех /, а также пустое слово.
Слово ν наз. несократимым, если χ\ί Φ Ч^1
при любом /=1, 2,. . ., η—1. Несократимые слова
являются разными элементами С. г. F, и каждое слово
равно единственному несократимому слову. Число η
наз. длиной слова у, если оно несократимо.
Преобразованиями Нильсена
конечного упорядоченного множества элементов а1? . . . , а^
группы называются: 1) перестановка двух элементов в
этом множестве, 2) замена одного из аг- на af1, 3)
замена одного из а/ на α^α/, где / Φ ί. Если С. г. F имеет
конечный ранг, то преобразования Нильсена над
системой свободных порождающих приводят к новым
системам свободных порождающих, причем любая система
свободных порождающих может быть получена из любой
другой последовательности применением этих
преобразований (теорема Нильсена, см. [2]).
Значение С. г. определяется тем, что всякая группа
изоморфна нек-рой факторгруппе подходящей С. г. Всякая
подгруппа С. г. также свободна (теорема
Нильсен а —Ш ρ а й е ρ а, см. [1], [2]).
С. г. групп многообразия 2$ определяется аналогично
С. г., но в пределах $. Ее наз. также $-с вободной
группой, или относительно свободной
(а также приведенно свободной). Если $
определяется системой тождеств ν=1, где у ζ F, то
С. г. многообразия $ с системой X свободных
порождающих изоморфна факторгруппе FjV(F) С. г. F с
системой X свободных порождающих по вербальной
подгруппе V (F) — подгруппе, порожденной всеми
значениями слов у ζ V в F. С. г. нек-рых многообразий
имеют специальные названия, напр.: свободная абелева,
свободная нильпотентная, свободная разрешимая,
свободная бернсайдова — С. г. многообразий 3Ϊ, ЭДС,
2F> ©я соответственно.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[2] Магнус В., КаррасА., СолитэрД.,
Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974; [3] Η е й м а н X.,
Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969.
А. Л. Шмелъкип.

1083 cbobi
СВОБОДНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ, свободное
вхождение переменной,— вхождение
переменной в языковое выражение, являющееся параметром
этого выражения. Строгое определение этого понятия
может быть дано только для формализованного языка.
Для каждого языка дается свое определение С. п.,
зависящее от правил образования выражений данного языка.
Семантич. критерием здесь служит следующее
требование: подстановка какого-либо объекта из
подразумеваемой интерпретации на место данного вхождения
переменной не должна приводить к бессмысленному
выражению. Напр., в выражении {(х, y)\x2+y2=z2},
обозначающем множество точек окружности радиуса ζ,
переменная ζ входит свободно, а переменные χ и у
нет (см. Связанная переменная). Если / обозначает
отображение вида ΧΧΥ -+ Ζ и переменные х, у
пробегают множества Χ, Υ соответственно, то в
выражении f(x, у) переменные χ и у свободны (так же, как и /,
если / рассматривать как переменную по функциям).
При фиксировании χ и варьировании у получается
функция вида Υ -+ Ζ. Она обозначается через hyf(x, у).
В этом выражении χ свободно, а у нет. В выражении
(kyf (x, у)) (у), обозначающем значение функции kyf (x, у)
в произвольной точке j/, последнее вхождение
переменной у будет свободным. Два других вхождения не
являются свободными. Первое наз. операторным
(находящимся под знаком оператора), второе —
связанным.
Для неформализованных языков, т. е. в реальных
математич. текстах, у отдельно взятого выражения не
всегда можно определенно выяснить какие
переменные у него свободны, а какие связанны. Напр., в
выражении 2· baik B зависимости от контекста
переменная ί может быть свободной, а к связанной или
наоборот, но обе свободными быть не могут. Указание на то,
какая переменная считается свободной, дается с
помощью дополнительных средств. Напр., если это
выражение встречается в контексте вида «пусть /(&)=
=^ji<fea/fe», то к свободна. Иногда принимают
соглашение, что по к суммирование производиться не будет;
тогда к — это параметр. Выражение {а/}, часто
используемое в математике, обозначает иногда
одноэлементное множество, и тогда переменная i входит свободно;
а иногда оно обозначает множество всех а/, когда
ί пробегает отведенную ему область предметов, и тогда
переменная ί входит связанно. в. я. Гришин.
СВОБОДНАЯ ПОЛУГРУППА над алфавитом
А — полугруппа, элементами к-рой являются
всевозможные конечные последовательности элементов из А
(букв), а операция состоит в приписывании одной
последовательности к другой. Элементы С. п. принято
называть словами, а операцию часто называют
конкатенацией. Ради удобства нередко рассматривают
также и пустое слово 1 (длина к-рого по определению
равна нулю), полагая wi = lw=w для любого слова w\
возникающая таким образом полугруппа с единицей наз.
свободным Моноидом над А. С. п.
(свободный моноид) над А часто обозначают А +
(соответственно А*). Для С. п. А+ алфавит А является
единственным неприводимым порождающим множеством; он
состоит в точности из элементов, неразложимых в
произведение. Буквы из А наз. свободными
образующими. С. п. определяется однозначно с
точностью до изоморфизма мощностью своего алфавита;
эта мощность наз. рангом свободной
полугруппы. С. п. ранга 2 имеет подполугруппы,
являющиеся С. п. счетного ранга.
С. п. являются свободными алгебрами в классе всех
полугрупп. Следующие условия для полугруппы F
эквивалентны: 1) F есть С. п.; 2) F имеет
порождаются 1084
щее множество А такое, что любой элемент из F
единственным образом представим в виде произведения
элементов из Л, 3) F удовлетворяет закону сокращения,
не содержит идемпотентов, каждый элемент из F имеет
конечное число делителей, и для любых и, ν, и'', υ £F
равенство uv—u'v' влечет, что и—и' или один из
элементов и, и' есть левый делитель другого.
Всякая подполугруппа Я в С. п. имеет единственное
неприводимое порождающее множество, состоящее из
элементов, неразложимых в Я в произведение; однако
не всякая подполугруппа С. п. сама свободна.
Следующие условия для подполугруппы Η в С. п. F
эквивалентны: 1) Η есть С. п.; 2) для любого w£F из того,
что wH[\H φ φ ж Ηιυ[)Η Φ φ, следует, что w£H;
3) для любого w£F из того, что ι»Η[\Ηι»ί\ΗΦφ,
следует, что w£H. Для произвольных различных слов и,
ν в С. п. F либо и и ν являются свободными
образующими порожденной ими подполугруппы, либо
существует w£F такое, что u—wk, υ—w1 для нек-рых
натуральных /с, I; вторая альтернатива выполняется тогда
и только тогда, когда uv=vu. Всякая подполугруппа с
тремя образующими в С. п. будет конечно
определенной полугруппой, но существуют подполугруппы с
четырьмя образующими, не являющиеся конечно
определенными.
С. п. естественно возникают в автоматов
алгебраической теории (см. также [5], [6]), теории
кодирования (см. Кодирование алфавитное, [4] — [6]), теории
формальных языков и формальных грамматик (см. [3],
[5], [6]). С указанными областями связана проблематика
решения уравнений в С. п. (см. [7] — [9]). Существует
алгоритм, распознающий разрешимость произвольных
уравнений в С. п.
Лит.: [1J Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1—2, М., 1972; [2] Л я-
п и н Е. С, Полугруппы, М., 1960; [3] Гросс М., Л а н-
тен Α., Теория формальных грамматик, пер. с франц., М.,
1971; [4] Марков Α. Α., Введение в теорию кодирования,
М., 1982; [5] Ε i lenberg S., Automata, languages and
machines, v. Α—Β, Ν. Ύ.—L., 1974—76; [6] L a 1 1 e m e η t G.,
Semigroups and combinatorial applications, N. Y.— [a. o.],
1979; [7] L en tin Α., Equations dans les monoi'des libres,
P., 1972; [8] Хмелевский ΙΟ. И., Уравнения в свободной
полугруппе, М., 1971 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 107);
[9] Μ а к а н и н Г. С, «Матем. сб.», 1977, т. 103, № 2, с. 147—
236. Л. Я. Шеврин.
СВОБОДНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА — частный случай
проективной резольвенты. Всякий модуль Μ над
ассоциативным кольцом R является фактормодулем F0/N0
свободного Л-модуля F0 по нек-рому его подмодулю
N0. Для подмодуля N0 существует аналогичное
представление F1/N1 и т. д. В результате получается точная
последовательность свободных модулей
F^F^F^ ...<-Fn+-,
называемая Ср. модуля М. Канонич. гомоморфизм
F0 -+■ Μ наз. пополняющим
гомоморфизмом. В. Е. Говоров.
СВОБОДНАЯ РЕШЕТКА — свободная алгебра
многообразия всех решеток. Решены [1] проблемы
тождества слов и канонич. представления слова в С. р.
Лит.: [1] Whitman Р. М., «Annals Math.», 1941, v. 42,
p. 325—30; 1942, v. 43, p. 104—15. Г. С. Фофанова.
СВОБОДНО СТАНОВЯЩАЯСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — см. Интуиционизм.
СВОБОДНОЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ —
синусоидальное колебание. Если механическая или фи-
зич. величина x(t), где t — время, меняется по закону
χ (t) = A cos (ωί+φ)» (Ι)
то говорят, что x(t) совершает С. г. к. Здесь Л, ω, φ —
действительные постоянные, А > 0, ω > 0. Величины
Α, ω, φ наз. соответственно амплитудой,
частотой, фазой С. г. к. Период С. г. к. равен

1085
7τ=2π/ω. Β физике и технике часто употребляется
такая терминология: С. г. к. наз.
гармоническим колебанием, или простым
гармоническим колебанием, функция вида (1)
наз. гармоникой, переменная величина ωί+φ наз.
мгновенной фазой, а постоянная φ —
начальной фазой. Величина ω наз. также
круговой, или циклической, частотой, а /= ω/2π—
частотой. С. г. к. (1) можно записать в виде
х (t) = a cos ωί+& sin ωί,
где α, b и Α, φ связаны соотношениями
A=Y^a2-{-b2, cos(p = .
СВОБОДНОЕ
х— Ту эта система
Уа* + Ъ*
, sin φ
Уа* + Ъ*
или в виде
я(*) = Не(Ле'<<»* + Ф>).
Часто фазой наз. не φ, а —φ.
Малые колебания механических или физич. систем
с одной степенью свободы вблизи устойчивого
невырожденного положения равновесия представляют собой
С. г. к. с большой степенью точности. Таковы, напр.,
малые колебания маятника; колебания груза,
подвешенного на пружинке; колебания камертона; изменение
напряжения и силы тока в электрическом
колебательном контуре; качка корабля и т. д. Система,
совершающая С. г. к., наз. линейным гармоническим
осциллятором, и ее колебания описываются
уравнением
χ-{-ω2χ = 0.
Для математич. маятника длины I и массы т : ω2=
= g/l, для груза массы т на пружинке с коэффициентом
упругости к : ю2=к/т; для электрического
колебательного контура, состоящего из емкости С и индуктивности
L : (u2=1/CL. На фазовой плоскости (х, х) положение
равновесия х=0, х=0 для С. г. к. есть центр, а фазовые
где xj(t) = AjC08(<ujt+q>j), / = 1, 2,
с соизмеримыми частотами ωχ, со2 есть С. г. к. Если же
частоты ωχ, ω2 несоизмеримы, то хг (t)+x2 (t) есть почти
периодическая функция и
sup (хг (t)+x2 (f)) = А1 + А2= — inf (хг (t) + x2 (f)).
te R teiR.
траектории — окружности.
Сумма двух С. г. к. χχ{ί)-\-χ
Сумма η С. г. к. с частотами ωχ
СО;
л, к-рые
рационально независимы, также есть почти периодич.
функция. Для суммы двух С. г. к. величина Ω^Ιωχ —ω2|
наз. расстройкой. Если расстройка мала:
Ω/ω1 <|j 1, а ωχ, ω2 — одного порядка, то
хг (t)+x2(t) = A (t) cos(cV4-<P(0b
А2 (t) = Al + A*+2A1At cos (ψ (0-cfi),
ψ(ί) = Ωί + φ2·
«Амплитуда» A (t) — медленно меняющаяся функция,
имеющая период 2π/Ω, и A2 (t) меняется в пределах от
(А1—А2)2 до (Ах + А2)2. Колебание хг (t)+x2 (t) наз.
биением: «амплитуда» A (t) поочередно
увеличивается и уменьшается. Этот случай важен для анализа
приемных устройств.
Пусть имеется система из
Мх + Кх = 0,
ι уравнении:
x£Rn,
симметрические положи-
где Μ, К — действительные
тельно определенные матрицы с постоянными
элементами. С помощью ортогонального преобразования
1086
приводится к распадающейся
системе:
У/+ю/у/ = 0, / = 1»
Координаты у±, . . ., уп наз. нормальными.
В нормальных координатах x(t) есть векторная сумма
С. г. к. вдоль координатных осей.
Лит.: [1] А н д ρ о н о в Α. Α., В и τ τ Α. Α., Хайкин
С. Э., Теория колебаний, 2 изд., Μ., 1981; [2] Гор е л и к Г. С,
Колебания и волны, М., 1959; [3J Л а н д а у Л. Д., Л и ф-
ш и ц Е. М., Механика, 3 изд., τ 1, Μ., 1973.
Μ. В. Федорюк.
СВОБОДНОЕ МНОЖЕСТВО в векторном
пространстве Ζ над полем К — то же,
что линейно независимая система векторов из X, т. е.
множество элементов A— {af}czX, ίζ Τ, такое, что
соотношение 2£^=0, где £*=0 для всех кроме конечного
числа индексов £, влечет £*=0 для всех t. Несвободное
множество наз. также зависимым.
Свободное множество в топологическом
векторном пространстве X над полем К
(топологически свободное множество) —
множество A = {at}c:X такое, что для любого s£ T замкнутое
подпространство, порожденное точками αχ, t?=s, не
содержит as. Топологически См. является С. м.
векторного пространства; обратное неверно. Напр., в
нормированном пространстве С непрерывных функций на [0,
1] функции e2knix, k£Z, образуют топологически
С. м. в отличие от функций xk (поскольку χ содержится в
замкнутом подпространстве, порожденном {х2*}).
Совокупность всех (топологически) С, м. в X, вообще
говоря, не индуктивна относительно включения; кроме
того, она не обязательно содержит максимальное
топологически С. м. Напр., пусть X — пространство
над IR, образованное непрерывными функциями и
наделенное отделимой топологией: соответствующая
фундаментальная система окрестностей нуля в X состоит
из уравновешенных поглощающих множеств VSf ε=
= {χ : \f(x) I < δ всюду вне (зависящего от /) открытого
множества меры <ε, 0<ε<1, δ >0}. Тогда каждый
непрерывный линейный функционал равен нулю и в Ζ
не существует максимального С. м.
Для того чтобы А было (топологически) С. м. в
ослабленной топологии σ(Χ, Χ*) в X, необходимо и
достаточно, чтобы для каждого t существовал элемент bf£X*
такой, что <aj, bf> Φ 0 и <α„ bf>=0 для всех εφί.
Для локально выпуклого пространства С. м. в
ослабленной топологии является С. м. и в исходной топологии.
М. И. Войцеховский.
СВОБОДНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ — операция в нек-ром
классе универсальных алгебр, сопоставляющая
заданной совокупности алгебр из этого класса в нек-ром
смысле «самую свободную» алгебру этого же класса,
содержащую подалгебры, изоморфные заданным, и
порождаемую ими. Термин в настоящее время вытеснен
термином свободное произведение. О. А. Иванова.
СВОБОДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ в классе $
универсальных алгебр Α α, αζΩ, из класса R — алгебра А
из класса fi, содержащая все Аа в качестве подалгебр и
такая, что любой набор гомоморфизмов алгебр А а в
любую алгебру 5 из S продолжается до гомоморфизма
алгебры А в В. С. п. заведомо существует, если Я —
многообразие универсальных алгебр. Каждая
свободная алгебра является С. п. однопорожденных свободных
алгебр. В классе всех абелевых групп С. п. совпадает
с прямой суммой. В нек-рых случаях поддаются
описанию подалгебры С. п.; напр., в группах (см. Свободное
произведение групп), неассоциативных алгебрах,
алгебрах Ли.
С. п. в категориях универсальных алгебр совпадает
с копроизведением в этих категориях, л. А. Скорняков.
СВОБОДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ групп Gh
ΐζ/,— группа £?, порожденная группами G(, причем

1087 свобо
любые гомоморфизмы φ; : G( -+- Η групп G{ в любую
группу Η продолжаются до гомоморфизма φ : G -> Η.
Для обозначения С. п. используется знак *, напр.:
G = n*UIGi и G = G1*G2*...*Gk
в случае конечного множества /. Каждый не равный
единице элемент С. п. G единственным образом
выражается в виде несократимого слова v=giigi2· · -gin,
где gi]GGif, gif£ 1, и при любом /=1,2, . . ., я—1,
ij¥=ij + i- Конструкция С. п. является важной в
изучении групп, заданных множеством порождающих
элементов и определяющих соотношений. В этих
терминах оно может быть определено следующим образом.
Пусть каждая группа G/ задана множествами X/
порождающих и Φ ι определяющих соотношений, причем
Х{Г\Х/=ф, если i Φ j. Тогда группа G, заданная
множеством Х(= \JieIXi порождающих и множеством Ф=
— Uiei^i определяющих соотношений, будет С. п.
групп Gt, i£I.
Всякая подгруппа С. п. G сама разлагается в С. п.
своих подгрупп, из к-рых нек-рые являются
бесконечными циклическими, а каждая из других сопряжена с
нек-рой подгруппой какой-либо группы G/, входящей в
свободное разложение группы G (теорема Ку-
р о ш а).
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[2] Магнус В., КаррасА., СолитэрД.,
Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974.
А. Л. Шмелъкин.
СВОБОДНЫЙ ВЕКТОР — см. Вектор.
СВОБОДНЫЙ ГРУППОИД — свободная алгебра
многообразия всех группоидов. С. г. с множеством X
свободных образующих совпадает с группоидом слов,
если под словом понимать любую упорядоченную
систему элементов из X с любыми повторениями, причем в
этой системе задано распределение скобок (каждый
символ считается взятым в скобки, а затем скобки
расставлены так, что каждый раз перемножаются лишь
две скобки). Произведением слов (а) и (Ь) считается
слово ((а) (&)). О. А. Иванова.
СВОБОДНЫЙ МОДУЛЬ — свободный объект
(свободная алгебра) в многообразии модулей над
фиксированным кольцом R. Если R — ассоциативное кольцо с
единицей, то С. м.— это модуль, обладающий базисом,
т. е. линейно независимой системой порождающих.
Мощность базиса С. м. наз. его рангом. Ранг не всегда
определен однозначно, т. е. существуют кольца, над
к-рыми См. может обладать двумя базисами,
состоящими из различного числа элементов. Это равносильно
существованию над кольцом R двух прямоугольных
матриц А и В, для к-рых
AB — Im, BA = Ini тфп,
где Iт и 1п — единичные матрицы порядков тип
соответственно. Неоднозначность, однако, имеет место
лишь для конечных базисов, если же ранг См.
бесконечен, то все базисы С м. равномощны. Кроме того,
над кольцами, допускающими гомоморфизм в тело (в
частности, над коммутативными кольцами), ранг См.
определен всегда однозначно.
Кольцо i?, рассматриваемое как левый модуль над
самим собой, является См. ранга один. Всякий левый
С м. является прямой суммой С м. ранга один.
Любой модуль Μ представим как фактормодуль /У#0
нек-рого С м. F0. Подмодуль #0 в свою очередь
представим как фактормодуль F1/H1 С м. Fx. Продолжая
этот процесс, получают точную последовательность:
... ^F2~^FX -> F0 -> Μ ~+ 0,
к-рая наз. свободной резольвентой
модуля М. Тела могут быть охарактеризованы как кольца,
[Ый Ю88
над к-рыми все модули свободны. Над областью
главных идеалов подмодуль С м. свободен. Близкими к
С. м. являются проективные модули и плоские модули.
Лит.: [1] Кон П., Свободные кольца и их связи, пер. с
англ., М., 1975; [2] Μ а к л е й н С, Гомология, пер. с англ.,
М., 1966. В. Е. Говоров.
СВОДИМОСТИ АКСИОМА — аксиома, добавленная
Б. Расселом (В. Russell) к его разветвленной теории
типов с целью избежать расслоения понятий (см. Не
предикативное определение). В разветвленной теории типов
множества данного типа разделяются на порядки.
Так, вместо понятия множества натуральных чисел
появляется понятие множества натуральных чисел
данного порядка. При этом множество натуральных чисел,
определяемое формулами без использования каких-либо
множеств, принадлежит первому порядку. Если в
определении используется совокупность множеств первого
порядка, а совокупности множеств высшего порядка
не используются, то определяемое множество
принадлежит второму порядку, и т. д. Напр., если S —
семейство множеств, состоящее из множеств одного и
того же порядка, то множество
M = {x\3y(y£S лх£у)}
должно принадлежать следующему порядку, т. к. в его
определении содержится квантор по множествам
данного порядка. С. а. утверждает, что для каждого
множества существует равнообъемное ему (т. е. состоящее
из тех же самых элементов) множество первого порядка.
Таким образом, С. а. фактически сводит разветвленную
теорию типов к простой теории типов.
Лит.: [1] Гильберт Д., АккерманВ., Основы
теоретической логики, пер. с нем., М., 1947.
В. Н. Гришин.
СВЯЗАННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ, связанное
вхождение переменной,— тип вхождения
переменной в языковое выражение. Точное
определение для каждого формализованного языка — свое и
зависит от правил образования этого языка. Вместо
С п. нельзя подставлять объекты. Такая подстановка
приводит к бессмысленным выражениям. Но замена
С п. всюду, где она встречается, на новую для данного
выражения переменную приводит к выражению с тем
же самым смыслом. Напр., в выражениях
J f(x, y)dx, {x\f (x, y)=--0)
переменная х является связанной. Подстановка вместо
χ какого-нибудь числа приводит к бессмысленным
выражениям В то же время, написав всюду вместо х,
например ζ, получают выражения, обозначающие те
же самые сущности.
С п. всегда возникают при применении к нек-рому
выражению е со свободными вхождениями переменной
х какого-нибудь оператора с операторной переменной
х (см. Свободная переменная). В получившемся
выражении все вхождения переменной χ в е, бывшие
свободными, становятся связанными. Ниже указаны нек-рые
наиболее употребительные операторы (помимо уже
использованных операторов \. . .dx и {х\. . »}), в к-рых
х является операторной переменной:
V#(. . .), Зх(. . .) — кванторы общности и
существования;
. . . dx — определенный интеграл по х\
Σχ. . . — сумма по х;
λχ(. . .) — функция от х, значение к-рой в точке χ
равно .. . ·
Вместо многоточий можно подставлять определенные
языковые выражения.
В реальных (не формализованных) математич. текстах
возможно неоднозначное употребление одних и тех же
выражений, в связи с чем выделение С п. в данном

1089 cbj
выражении зависит от контекста и смысла выражения.
В формализованных языках имеется формальная
процедура выделения свободных и связанных вхождений
переменных. в. Н. Гришин.
СВЯЗАННЫЙ ВЕКТОР - см. Вектор.
СВЯЗКА — двупараметрическое семейство линий на
плоскости или поверхностей в пространстве, линейно
зависящее от параметров. Пусть Fl9 F2, Fs — функции
двух переменных, из к-рых ни одна не является
линейной комбинацией двух других. Семейство линий на
плоскости, определяемых уравнением
kiF1 -\- X2F2+λ3^3 = 0
при всевозможных значениях параметров λχ, λ2, λ3
(кроме λ1=0, λ2=0, λ3=0), представляет собой С.
(фактически зависит от двух отношений λχ : λ2 : λ3).
Аналогично записывается уравнение С. поверхностей в
Рис. 1.
пространстве. Три уравнения /^=0, F2=0, F3=Q
дают три элемента С. (три линии или три поверхности),
к-рые определяют всю С.
Связка прямых — множество всех прямых,
каждая пара из к-рых лежит в одной плоскости. В
евклидовой геометрии С. прямых — множество всех
прямых, проходящих через одну точку. Если эта точка
конечная, то С. прямых наз. эллиптической,
если бесконечно удаленная, — параболической.
Связка плоскостей — множество всех
плоскостей, проходящих через одну точку
(собственная С.) или параллельных нек-рой прямой
(несобственная С.).
Связка окружностей — двупараметрич.
семейство окружностей, линейно зависящее от
параметров. Собственной С. окружностей является
множество тех окружностей, относительно к-рых данная
Рис. 2. рис. 3.
точка (центр С.) имеет данную степень точки. Η е-
собственной С. окружностей наз. множество
всех окружностей, центры к-рых принадлежат нек-рой
фиксированной прямой (т. н.
фундаментальной прямой) (см. рис. 1). Если (0,0) — центр
собственной связки, то ее уравнение
я2 + г/2—2ах — 2by-)rp = 0, a'2 + b2 > р,
где а и Ь — параметры, определяющие окружность,
1090
ρ — степень центра С. относительно окружностей С.
(степень несобственной С. считается бесконечной).
Имеются три типа собственных С. окружностей:
1) гиперболическая С. (р >0), состоящая
из всех окружностей, ортогональных нек-рой данной
окружности
(фундаментальной окружи о- -+ ■■. -^А^
с τ и) (см. рис. 2); jr .^ТЧ~
2) параболическая /^,^/ЧчД
С. (р=0), состоящая из всех I /\^£-~--4^^//
окружностей, проходящих '^Sx/^jf /J^ftv
через нек-рую данную точку ^Й^^У / ^J-^У J у4
(центрС.) (см. рис. 3); /\\^\ΙΖΖΣ/·*^J
3) эллиптическая \А[ У У
С. (р < 0), состоящая из J^t»- ^x^
окружностей, пересекающих К
нек-рую данную окружность Рис 4
в двух диаметрально
противоположных точках последней (см. рис. 4).
Пересечение двух С. окружностей является пучком
окружностей. Эллиптическая С. содержит только эллип-
тич. пучки, параболическая С— только эллиптич. и
параболич. пучки, гиперболическая С.— три типа
собственных пучков. Несобственная С. содержит как
несобственные пучки, так и собственные пучки всех трех
типов.
Пересечение двух С, из к-рых одна эллиптическая,
может быть только эллиптич. пучком. Пересечения
двух С, из к-рых одна параболич., может быть только
эллиптическим или параболич. пучком. Пересечение
двух С, из к-рых одна собственная, может быть только
собственным пучком.
Связка сфер — двупараметрич. семейство сфер,
линейно зависящее от параметров. С. сфер состоит из
множества сфер, относительно к-рых точки нек-рой
прямой (радикальной оси) имеют одинаковую
степень (различную, для разных точек). Радикальная
ось пересекает все сферы С. в двух точках. В
зависимости от того, являются ли эти точки действительными
(различными), комплексно сопряженными или
совпадающими, С. сфер наз. эллиптической С, к-рая
состоит из всех сфер, проходящих через две общие
точки; гиперболической С, к-рая состоит из
всех сфер, ортогональных двум нек-рым
пересекающимся сферам; параболической С, к-рая
состоит из всех сфер, касающихся нек-рой данной
прямой в данной точке. Центры всех сфер С. лежат в одной
плоскости, перпендикулярной к радикальной оси.
С. является пересечением всех общих сфер двух сетей
сфер.
В проективной геометрии С— множество всех
прямых и плоскостей, проходящих через данную точку.
Лит.: [1] Постников Μ. Μ., Аналитическая
геометрия, М., 1973; [2] Моденов П. С, Аналитическая
геометрия, М., 1969. А. Б. Иванов.
СВЯЗКА ПОЛУГРУПП данного семейства
{Sa} — полугруппа S, обладающая разбиением на
подполугруппы, классы к-рого суть в точности полугруппы
Sa, и для любых £а, £β существует Sy такая, что £α£β9=
с=£.у . В этом случае говорят также, что S
разложима в связку полугрупп Sa- Другими словами, S
есть С. п. Sa, если все Sa— подполугруппы в S и
существует конгруэнция ρ на S такая, что р-классы суть в
точности Sa- Полугруппы Sa наз. компонентами
данной связки. Термин «С. п.» согласуется с
использованием нередко слова «связка» как синонима термина
«полугруппа идемпонентов», так как конгруэнция ρ
на полугруппе S определяет разложение S в связку
тогда и только тогда, когда факторпол у группа S/p —
полугруппа идемпотентов.
Многие полугруппы разложимы в связку полугрупп
с теми или иными «более хорошими» свойствами; таким
ЗКА
£г 35 Математическая энц., т. 4

1091 связная
образом, изучение их строения в известной мере
сводится к рассмотрению типов, к к-рым принадлежат
компоненты связки, и к рассмотрению полугрупп идемпотен-
тов (см., напр., Архимедова полугруппа, Вполне простая
полугруппа, Клиффордова полугруппа, Периодическая
полугруппа, Сепаративная полугруппа).
С. п. £аназ. коммутативной, если для
соответствующей конгруэнции ρ факторполугруппа Sip
коммутативна; тогда S/p — полурешетка (в этом случае
часто говорят, что S есть полурешетка полугрупп
£а, в частности, если S/p — цепь, то говорят, что S
есть цепь полугрупп Sa). С. п. наз.
прямоугольной (иногда — матричной), если S/p —
прямоугольная полугруппа (см. Идемпотентов полугруппа).
Это эквивалентно тому, что компоненты связки могут
быть индексированы парами индексов Six, где i и λ
пробегают нек-рые множества / и Λ соответственно,
причем для любых Six, S/μ выполняется включение
SixSj^czSm. Любая С. п. есть полурешетка
прямоугольных связок, т. е. ее компоненты могут быть
распределены на подсемейства так, что объединение
компонент каждого подсемейства есть прямоугольная
связка этих компонент, а исходная полугруппа
разложима в пол у решетку указанных объединений
(теорема Клиффорда [1]). Поскольку свойства быть
полугруппой идемпотентов,
полурешеткой,прямоугольной полугруппой характеризуются тождествами, на
любой полугруппе S для каждого из перечисленных свойств
θ существует наименьшая конгруэнция, для к-рой
соответствующая факторполугруппа обладает
свойством Θ, т. е. существуют наибольшие (или
наиболее дробные) разложения S в С. п.,
в коммутативную С. п., в прямоугольную С. п.
К специальным типам С. п. относится сильная
связка [4]: для любых элементов а и Ь из разных
компонент произведение аЬ равно степени одного из
этих элементов. Важным частным случаем сильной
связки и одновременно частным случаем цепи
полугрупп является ординальная сумма (или π ο-
следовательно аннулирующая связка):
множество ее компонент {Sa} линейно упорядочено
и для любых Sa, S$ таких, что Sa< S$ , и любых a£S&,
b£S$ имеет место равенство аЬ=Ьа—а. Заданием
компонент и способа их упорядочения ординальная
сумма определяется однозначно с точностью до
изоморфизма.
Лит.: Ll] Clifford Α., «Ргос. Amer. Math Soc », 1954,
v. 5, p. 499—504; [2] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972;
[3]Л я π и н Е. С, Полугруппы, М., 1960; [4] Ш е в ρ и н Л. Н.,
«Изв. вузов. Матем.», 19G5, № 6, с. 156—65. Л. Я. Шеврин,
СВЯЗНАЯ КОМПОНЕНТА ЕДИНИЦЫ группы
G — наибольшее связное подмножество G°
топологической (или алгебраической) группы G, содержащее
единицу этой группы. С. к. е. G° является замкнутой
нормальной подгруппой в G; смежные классы по этой
подгруппе совпадают со связными компонентами
группы G. Факторгруппа G/G° вполне несвязна и хаусдорфо-
ва, причем G° — наименьшая из таких нормальных
подгрупп HczG, что G/H вполне несвязна. Если G
локально связна (напр., G — группа Ли), то G° открыта
в G и G/G° дискретна.
В произвольной алгебраич. группе G С к. е. G°
также открыта и имеет конечный индекс, причем G°
является минимальной замкнутой подгруппой
конечного индекса в G. Связные компоненты алгебраич.
группы G совпадают с неприводимыми компонентами. Для
любого регулярного гомоморфизма φ : G ->- G'
алгебраич. групп справедливо равенство φ (G°)=(p (G)°. Если
G определена над нек-рым полем к, то и G° определена
над к.
Если G — алгебраич. группа над полем С, то ее С. к.е.
G° совпадает со С. к. е. группы G, рассматриваемой как
1092
комплексная группа Ли. Если G определена над IR,
то группа G° (R) вещественных точек в G° не обязательно
связна в топологии группы Ли G(R), но число ее
связных компонент конечно и имеет вид 21, где I ^ 0. Напр.,
группа GL„ (С) распадается на две компоненты, хотя
GL„(R) связна. Псевдоортогональная унимодулярная
группа SO(p, q), к-рая может рассматриваться как
группа вещественных точек связной комплексной
алгебраич. группы SOp+q{C), связна при р=0 или q=0
и распадается на две компоненты при jo, q > 0.
Лит.: [1] Борель Α., Линейные алгебраические
группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Π о н τ ρ я г и н Л. С,
Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] X е л г а с о н С,
Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер.
с англ., М., 1964; [4] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы
алгебраической геометрии, М., 1972. А. Л. Онищип.
СВЯЗНАЯ СУММА семейства множеств —
объединение этих множеств в единое связное множество.
Само понятие С. с. возникло из необходимости отличить
такого рода объединение от понятия несвязной или
открыто-замкнутой суммы, т. е. такого объединения
множеств, когда они не пересекаются и связными
подмножествами в этом объединении могут быть только
подмножества-слагаемые. В. И. Малыхин.
СВЯЗНОЕ МНОЖЕСТВО — подмножество
объемлющего множества, в к-ром определено понятие связности
и в смысле к-рого само подмножество связно. Напр.
См. пространства действительных чисел являются
выпуклые множества и только они; С. м. графа
является такое множество, в к-ром любые две точки
соединены путем, целиком лежащим в этом множестве.
В. И. Малыхин.
СВЯЗНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое
пространство, к-рое нельзя представить в виде суммы двух
отделенных друг от друга частей или, более строго,
непустых непересекающихся открыто-замкнутых
подмножеств. Пространство связно тогда и только тогда,
когда каждая непрерывная числовая функция
принимает на нем все промежуточные значения. Непрерывный
образ С. п., произведение С. п., пространство
замкнутых подмножеств в топологии Вьеториса С. п. суть С. п.
Каждое связное вполне регулярное пространство имеет
мощность не менее континуума, хотя существуют и
счетные связные хаусдорфовы пространства.
В. И. Малыхин.
СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ —
дифференциально-геометрические структуры на гладком
многообразии М, являющиеся связностями в приклеенных к
Μ гладких расслоенных пространствах Ε с
однородными типовыми слоями G/H размерности dim Μ. В
зависимости от выбора однородного пространства G/H
получаются, напр., аффинные связности, проективные
связности, конформные связности и др. на многообразии
Μ. Общее понятие С. на м. ввел Э. Картан [1]; он назвал
многообразие Μ с заданной на нем связностью «неголо-
номным пространством с фундаментальной группой».
Современное определение С. на м. опирается на
понятие гладкого расслоенного пространства,
приклеенного к многообразию М. Пусть F=G/H является
однородным пространством размерности dim M (напр.,
аффинным пространством, проективным пространством
и т. п.). Пусть ρ : Ε ->- Μ является гладким локально
тривиальным расслоением с типовым слоем F и пусть в
этом расслоении существует и фиксировано гладкое
сечение s, т. е. такое гладкое отображение s : Μ ->- Ε,
что p(s(x))=x для любого χζΜ. Последнее условие
гарантирует, что s является диффеоморфизмом Μ на
s(M), и поэтому Μ и s(M) можно при желании
отождествлять. Другими словами, к каждой точке х£М
присоединен экземпляр Fx однородного пространства F
размерности dimM — слой расслоения ρ : Ε ->- Μ над
χ—с фиксированной в ней точкой s(x), отождествляе-
I мой с х.

1093
связности
1094
С. на м. является частным случаем общего понятия
связности; самостоятельно она может быть определена
следующим образом. Пусть для каждой кусочно
гладкой кривой L(x0, χι) многообразия Μ определен
изоморфизм TL : FXi ->- FXo касательных однородных
пространств в концах кривой (напр., если F является
аффинным, проективным и т. д. пространством, то TL —
соответственно аффинное, проективное и т. д.
отображение). Пусть, кроме того:
1) при L(x0, хг), U (хх, я2), L~1(x1, х0) и LV (х0, x2)
справедливы ТЬ-г= (TL)-1, T(LL')= (TL)(TL');
2) для каждой точки χζΜ и касательного вектора
χχζ Τχ {Μ) изоморфизм TLt: FXf ->- Fx, где Lt — образ
отрезка [0, t] при параметризации λ : [0, \]-+L(x, xx)
кривой L с касательным вектором X, стремится при
ί->0 к тождественному изоморфизму, и его
отклонение от последнего зависит в своей главной части только
от χ и X, причем гладко.
В этом случае говорят, что на многообразии Μ дана
связность Г типа F; изоморфизм TL наз. параллельным
перенесением вдоль L. Для каждой кривой L(x, хг)£М
определяется ее развертка: кривая в F х, состоящая
из образов точек xf кривой L при параллельном
перенесении вдоль Lf. Из 2) следует, что кривые с общим
касательным X в точке χ дают развертки с общим
касательным вектором У, гладко зависящим от χ и X,
вследствие чего для каждой точки χ возникает
отображение
fx:Tx(M)->Ts(X) (Fx).
Наиболее изучены линейные С. на м., к-рые
обладают следующим дополнительным свойством:
3) элемент ω(Χ) в алгебре Ли g структурной группы
G, к-рый определяет главную часть отклонения
изоморфизма TLf от тождественного изоморфизма при t ->-0
относительно нек-рого поля реперов, зависит от X
линейно.
В этом случае отображение fx является линейным.
Если fx оказывается изоморфизмом для любой точки
х, то говорят о невырожденной С. на м. или о
связности К а р τ а н а; в этом случае изоморфизм f~l
трактуется также как приклеивание расслоения р:
Ε -*· Μ к базе Μ (вдоль заданного сечения S).
Связность Картана на Μ наз. полной, если для
каждой точки χ всякая гладкая кривая в Fx с началом в χ
является разверткой нек-рой кривой в М.
С точки зрения общей теории связностей, где линейная
связность в расслоении ρ : Е-+М задается с помощью
горизонтального распределения Δ на £, отображение
]х является композицией изоморфизма s*,
отображающего X в соответствующий касательный к s(M) вектор,
и последующей проекции пространства Ts(x)(E)=
= &s(x)(BTsix)(Fx) Ha второе прямое слагаемое.
Отсюда следует, что связность невырождена тогда и только
тогда, когда Δ5(Χ)Γ) Τ six) (s(M))= {0} для любой точки
χζΜ. На Μ применимы все понятия и результаты
общей теории связностей, напр. такие, как голономии
группа, кривизны форма, теорема о голономии и др.
Дополнительная структура расслоения, приклеенного
к многообразию Μ, позволяет, однако, ввести нек-рые
более специальные понятия. Кроме развертки наиболее
важным из них является понятие кручения формы
связности на Μ в точке х.
Особое место в теории С. на м. занимают связности
Картана в случае, когда F=GlH является однородным
редуктивным пространством, т. е. когда существует
прямое разложение g=h-\-m со свойством [hm]czm.
В этом случае происходит расщепление формы кривизны
Ω на два самостоятельных объекта: ее компонента в т
порождает форму кручения, а компонента в h порождает
форму кривизны. Здесь наиболее известным примером
является аффинная связность на Μ, у к-рой F является
аффинным пространством размерности dim M.
Редуктивное пространство F обладает инвариантной
аффинной связностью. Вообще, если на F существует
инвариантная аффинная или проективная связность, то
определяются геодезические линии связности типа F
на Μ как такие линии в М, развертки к-рых являются
геодезич. линиями указанной инвариантной связности.
Лит.: [1] С а г t а η Ε., «Acta math.», 1926, t. 48, p. 1—42
(в рус. пер. — Картан Э., Группы голономии обобщенных
пространств, пер. с франц., Казань, 1933); [2]
Лаптев Г. Ф., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1953, т. 2, с. 275—382;
[3] EhresmannC, Coll. de Topologie (Bruxells, 1950),
P., 1951, p. 29—55; [4] Kobayashi S., «Canad. J. Math.»,
1956, v. 8, N 2, p. 145—156; [5 j С 1 i f t ο η Υ. Η., «J. Math,
and Mech.», 1966, v. 16, № 6, p. 569—76. Ю. Г. Лумисте.
СВЯЗНОСТИ ОБЪЕКТ —
дифференциально-геометрический объект на гладком главном расслоенном
пространстве Р, с помощью к-рого задается
горизонтальное распределение Δ связности в Р. Пусть R0(P)
является расслоением всех таких реперов в касательных к
Ρ пространствах, что первые г векторов е1ч . . ., ег ка-
сательны к слою и порождаются определенными г
базисными элементами в алгебре Ли структурной
группы G пространства Р, r=dimG. С. о. составляют
тогда функции Гр на R0(P) такие, что подпространство
распределения Δ натянуто на векторы et+rfep (p,
σ=1,. . ., г; ι, /,. . .=r+l,. . ., г+n). Условия, к-рым
должны удовлетворить функции Гр на R0 (P), чтобы они
составили Co., следующие:
ίίΓ?-Γ?ωί+ΓΚ+ω? = Γ?/ω/. (1)
Они выражены с помощью 1-форм на R0 (P), входящие
в структурные уравнения для форм ω1', ωΡ ,
составляющих дуальный кобазис к {ег·, eQ }:
όωί = ω/ Λ ω), Ί
άωΡ = — 4" Сох®0 Λ ωτ + ω'' Λ ω?, Ι (2)
cog = -CgTcot. j
Со. определяет также связности форму θ согласно
формуле θρ=ωΡ—Γρω*' и кривизны форму Ω согласно
формулам
ΩΡ = -~ п№ Α ω/,
Напр., пусть Ρ является пространством аффинных
реперов в касательных пространствах л-мерного
гладкого многообразия М. Тогда вторые из уравнений (2)
имеют вид
άω)= — cufe Λ ω/+ω* λ ω/fe
и (1) сводятся к
dri-rUI-rW+rW+io^rjfe/wi.
При параллельном перенесении должно быть ω/ —
— Tjk(ok=0. Если на М выбрана локальная карта и в ее
области сделан переход к натуральному реперу карты,
то <dk=dxk и параллельное перенесение определяется с
помощью <u}=Tljkdxk. Классич. определение С о.
аффинной связности на Μ как совокупности функций Г/ь
заданных на области каждой карты и
преобразующихся при переходе к координатам другой карты по
формулам
ri' _дх*' dxJ dxk n i , д*х1 дх*'
ι /' k' : ——- 1 jk i г ,
дх1 дх1 дхп dxJ дхк' dxl
следует из условия инвариантности перенесения.
Ю. Г. Лумисте*
35*

1095
связности
1096
СВЯЗНОСТИ ФОРМА — линейная
дифференциальная форма θ на главном расслоенном пространстве Р,
к-рая принимает значения в алгебре g структурной
группы G пространства Р, определяется нек-рой
линейной связностью Г в Ρ и сама определяет эту
связность однозначно. По связности Г значение С. φ. θ^ (У),
где #£Р, У ζ Ту (Р), определяется как тот элемент в g,
к-рый в действии G на Ρ порождает вторую
компоненту вектора У относительно прямого расслоения
Ту(Р)=/±уО)Ту(Су), где Gy — слой, содержащий у,
а Δ — горизонтальное распределение связности Г.
По С. φ. θ горизонтальное распределение Δ, а тем
самым и связность Г, восстанавливается следующим
образом.
Теорема Картана — Лаптева. Чтобы
нек-рая форма θ на Ρ со значениями в g была С. ф.,
необходимо и достаточно следующее: 1) при У ζ Ty(Gy)
значением By (Y) является тот элемент в g, к-рый в
действии G на Ρ порождает У, 2) g-значная 2-форма
Ω = <*θ+4-[θ, θ],
составленная из Θ, является полубазовой, или
горизонтальной, т.е. Ω^(Υ, У')=0, если хотя бы один из
векторов У и У принадлежит Ty(Gy). 2-форма Ω
наз. кривизны формой связности. Если в g задан базис
{в1?. . ., ег}, то условие 2) выражается локально в
виде равенств:
dtf +^_ C%XQ° л θτ =± Rfri Λ ω/ (*)
(ρ, σ, τ = 1, ..., γ; ι, ; = г + 1, ···, r+n = dimP),
где ω1,. . ., ωη — нек-рые линейно независимые
полубазовые 1-формы. В такой форме необходимость условия
2) установил Э. Картан [1]; его достаточность при
выполнении условия 1) доказал Г. Ф. Лаптев [2].
Уравнения (*) на компоненты С. ф. наз.
структурными уравнениями связности в Р, в них /?£/
составляют объект кривизны.
Пусть Р, в качестве примера, является
пространством аффинных реперов в касательных пространствах
л-мерного гладкого многообразиям. Тогда G и g
являются соответственно группой и алгеброй Ли матриц
вида
II ι of || Ί , i
0 лф det|4-|*0,
и
В силу теоремы Картана — Лаптева g-значная 1-форма
на Ρ является С. ф. нек-рой аффинной связности на Μ
тогда и только тогда, когда
dto'+ω/ Λ ω*=γ TJkto·* Λ ω*,
dta>/+G>fc Λ tokj = ±-Rijki<i>k Λ ω*.
Здесь T)k и Я)ы составляют соответственно тензор
кручения и тензор кривизны аффинной связности на Μ.
Последние два уравнения на компоненты С. ф. наз.
структурными уравнениями полученной на Μ аффинной
связности.
Лит [1] С а г t а η Ε., «Acta math.», 1926, v. 48, p.1—42;
[2] Л a π τ e в Г. Ф., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1953, т. 2, с.
275—382; [3] К о б а я си Ш., НомидзуК., Основы
дифференциальной геометрии, т. 2, пер. с англ., М., 1981.
Ю. Г. Лумисте.
СВЯЗНОСТИ ЧИСЛО — мощность семейства
компонент связности топологич. пространства. Напр.,
если из числовой прямой выбросить η точек а1? . . .,
а„, то компонентами остатка являются множества
]—оо, ах[, ]αχ, а2[, ..., ]ап, оо[
и, таким образом, С. ч. остатка равно п-\-1.
Термин «С. ч.» используется и в следующем смысле:
область евклидова пространства наз. п-с в я з н о й,
если ее граница состоит из η непересекающихся
связных подмножеств. Напр., внутренность круга — одно-
связная область, внутренность кольца — двусвязная.
В. И. Малыхин.
СВЯЗНОСТЬ — свойство топологич. пространства,
состоящее в том, что пространство нельзя представить
в виде суммы двух отделенных друг от друга частей,
или, более строго, непустых непересекающихся
открыто-замкнутых подмножеств. Пространство, не
являющееся связным, наз. несвязным. Напр., обычная
евклидова плоскость — связное пространство; если
удалить из нее точку, то остаток связен; если удалить
какую-нибудь окружность, не сводящуюся к точке, то
остаток уже несвязен.
Абстрактное свойство С. выражает интуитивное
представление о С. пространства в единое целое, об
отсутствии в нем каких-либо изолированных
«островков». С. топологич. пространства сохраняется при
гомеоморфизмах и является одним из важнейших свойств
топологич. пространства.
Подмножество топологич. пространства наз.
связным, если оно — связное подпространство. После
введения этого понятия можно утверждать, что
пространство связно, если любые его две точки лежат в нек-
ром связном подмножестве, т. е. их можно соединить
нек-рым связным множеством. С этой точки зрения
абстрактное свойство С. можно рассматривать как
обобщение линейной связности, т. е. свойства
пространства, заключающегося в возможности
связать любые его две точки нек-рым путем —
непрерывным образом отрезка. Открытое связное подмножество
наз. областью. Области и выпуклые подмножества
в евклидовых пространствах являются линейно
связными и, тем более, связными.
Если семейство связных подмножеств имеет непустое
пересечение, то объединение этого семейства —
связное множество. Для всякой точки топологич.
пространства объединение всех связных подмножеств, ее
содержащих, есть наибольшее связное подмножество,
ее содержащее, оно наз. компонентой этой
точки. Компоненты — замкнутые множества,
различные компоненты не пересекаются.
Квазикомпонентой точки наз.
пересечение всех содержащих ее открыто-замкнутых
подмножеств. Компонента точки содержится в ее
квазикомпоненте. В бикомпактных пространствах компоненты
и квазикомпоненты совпадают.
Пространство наз. наследственно
несвязным (дисперсным), если все его компоненты
одноточечны, т. е. все его связные подмножества только
одноточечны. Пространство наз. вполне
несвязным (нигде не связным), если все его квазикомпоненты
одноточечны. Пространство наз. экстремально
несвязным, если замыкание любого открытого
множества открыто. Хаусдорфово экстремально
несвязное пространство вполне несвязно, а всякое вполне
несвязное пространство наследственно несвязно.
Существует связное пространство, содержащее точку
дисперсии, по удалении к-рой остаток есть вполне
несвязное пространство. Пример — Куратовского —
Кнастера веер.
Связное бикомпактное пространство наз. к о н т и-
н у у м о м. Пересечение убывающего семейства не-

1097 связ
пустых континуумов есть непустой континуум. Однако
никакой континуум нельзя разложить в объединение
счетного семейства непустых непересекающихся
замкнутых подмножеств (теорема Серпиньс-
к о г о).
Пространство наз. неприводимым между
нек-рыми своими двумя точками, если оно связно и
эти две точки нельзя соединить никаким связным
множеством, отличным от всего пространства. Всякий
континуум для любых своих двух точек содержит
неприводимый между ними подконтинуум (теорема
Мазуркевича — Янишевского).
Пространство наз. локально связным в
точке, если всякая окрестность этой точки содержит
нек-рую связную ее окрестность.
Пространство наз. связным в размерности п,
если каждое непрерывное отображение /г-мерной сферы
в него продолжается до непрерывного отображения
/г-мерного шара. С. в размерности 1 эквивалентна
тривиальности фундаментальной группы пространства.
Непрерывное отображение одного топологич.
пространства в другое наз. монотонным, если
прообраз каждой точки — связное подмножество. Для
замкнутых отображений монотонность эквивалентна
связности прообраза каждого связного подмножества.
Лит.: [1] А л е к с а н д ρ о в П. С, Введение в теорию
множеств и общую топологию, М., 1977; [2] К у ρ а т о в-
с к и й К., Топология, пер. с англ., т. 2, М., 1969.
В. И. Малыхин.
СВЯЗНОСТЬ на расслоенном
пространстве — дифференциально-геометрическая
структура на гладком расслоенном пространстве со
структурной группой Ли, обобщающая связности на
многообразии^ в частности, напр., Леви-Чивита связность
в римановой геометрии. Пусть ρ : Ε -> В является
гладким локально тривиальным расслоением, на
типовом слое F к-рого эффективно и гладко действует
группа Ли G. С. в этом расслоении — это отображение
категории кусочно гладких кривых базы В в
категорию диффеоморфизмов слоя на слой, к-рое кривой
L=L(x0, Xi) с началом х0 и концом хг сопоставляет
диффеоморфизм TL : р~г (х^-*-р-1 (х0) и
удовлетворяет следующим аксиомам:
1) при L(x0, хг), //(#!, х2), L'1 (хг, xQ) и LV (х0, хг)
справедливы
Γ£-ι = (ΓΖ,)-ι,
T(LL') = (TL)(TL');
2) при произвольном тривиализующем
диффеоморфизме φ : UXF ->ρ'1 (U) и при L(x0, χ^ζϋ
диффеоморфизм φ"1 (TL)q>Xl : (хг, F) -> (х0, F), где φχ=φ|(ΛΓ, f>,
определяется действием нек-рого элемента g^^G\
3) для нек-рой кусочно гладкой параметризации
λ : [0,1] -> L(x0, x^czU отображение t ь» g^1, где
Lf — образ отрезка [0, t] при λ, определяет кусочно
гладкую кривую в G, начинающуюся в единице е—
= gq°, причем λ и λ' : [0, 1] -> V (х0, хг)£и с общим
ненулевым касательным вектором Χ ζ Τχ В
определяют пути в Gc общим касательным вектором θφ (х0,
X)£Te(G)=g, гладко зависящим от х0 и X.
Диффеоморфизм TL наз. параллельным перенесением
вдоль L. Параллельные перенесения вдоль
всевозможных замкнутых кривых L(x0, x0) составляют
голономии группу связности Г в точке х0, изоморфную
нек-рой подгруппе Ли в G, не зависящей от х0. Кривая
Λ (г/о* Уг) в Ε наз. горизонтальной для связности Г,
если Τ (pAf)yt=y0 для любого ίξ[0, 1] при нек-рой ее
кусочно гладкой параметризации. Если заданы L (х0,
χι) и г/обР-1 (яо)> то всегда существует единственная
горизонтальная А(у0, уг), наз. горизонталь-
>сть 1098
ным поднятием кривой L, такая, что
pA~L\ она состоит из ТЬТгу0. Множество
горизонтальных поднятий всех L в В определяет связность Г
однозначно: TL отображает концы всех поднятий
кривой L в их начала.
С. наз. линейной, если θφ (χ, Χ) при произвольных
φ и χ зависит от X линейно или, что равносильно, если
для любой у ζ Ε касательные векторы горизонтальных
кривых с началом у образуют в Ту(Е) векторное
подпространство Лу, наз. горизонтальным
подпространством. При этом Τ у (Е)= ку^Т у (F у), где Fy — слой,
проходящий через у, то есть Fy=p~1(p(y)). Гладкое
распределение Δ: у Ь» Ду наз. горизонтальным
распределением линейной связности Г. Оно определяет Г
однозначно: горизонтальными поднятиями являются
его интегральные кривые.
Расслоенное пространство Ε наз. главным
(соответственно пространством однородного типа) и
обозначается Ρ (соответственно (?), если G действует на F просто
транзитивно (соответственно транзитивно), т. е. если
для произвольных z, z'£F существует точно один
(соответственно существует) элемент g^G, к-рый
переводит z в z'. Пусть G действует на F слева; тогда на Ρ
определяется ее естественное правостороннее
действие, в к-ром g определяет Rg : z ь» zog. При этом Q
отождествимо с фактормногообразием Р/Н,
составленном из орбит уоН, где Η — стационарная
подгруппа нек-рой точки из F=GlH. Общее Ε
отождествимо с фактормногообразием (PXF)/G орбит (у, z)°G
относительно действия, определяемого формулой
(г/, z)°g=(y°gi g~loz)·
Гладкое распределение Δ на Ρ является
горизонтальным распределением нек-рой линейной С. (к-рую
оно определяет однозначно) тогда и только тогда, когда
Ty(P) = &y®Ty(Fy), R*gby = byOg
для произвольных у £ Ρ и g£G. Все горизонтальные
распределения на Q (соответственно Е) являются
образами таких Δ при канонич. проекции Ρ -> Q—PlH
(соответственно естественных поднятий таких Δ на
PXF при канонич. проекции PXF -+E=(PXF)/G).
Часто линейная С. определяется прямо как
распределение с указанными выше свойствами. Известно, что
в каждом Р, а вместе с тем и в каждом Q и Е,
существует нек-рая линейная С.
Исследование линейной С. в Ρ проводится обычно
с помощью связности формы, к-рая определяет С.
однозначно и может быть положена в основу еще
одного ее определения. Важной ее характеристикой
является кривизны форма, с помощью к-рой можно
вычислить алгебру Ли группы голономии.
Впервые понятие С. возникло в 1917 в работе Т.
Леви-Чивита [1] о параллельном перенесении вектора
в римановой геометрии. Уже в 1918 Г. Вейль [2] дал
понятие аффинной связности. В 20-е гг. Э. Картан
(см. [3] — [5]) перешел к исследованию проективной
связности и конформной связности, в 1926 дал общую
концепцию «неголономного пространства с
фундаментальной группой» (см. Связности на многообразии), где
эти пространства освещены с точки зрения общей
теории С. В 40-е гг. В. В. Вагнер развивал еще более
общую концепцию, близкую по духу (но не по методу)
к современному понятию С. Решающим был 1950,
когда появились сводное изложение В. В. Вагнера [6],
первые заметки Г. Ф. Лаптева, открывающие новые
подходы, особенно в части аналитич. аппарата, и
работа Ш. Эресмана [7], положившая начало
современной глобальной теории С. См. также Вейля связность,
Линейная связность, Риманова связность, Симплекти-
ческая связность, Эрмитова связность.
Лит.: [1] L e v i-C i v i t а Т., «Rend. circ. mat. Palermo»,
1917, t. 2, p. 173—205; [2] Weyl H., Raum, Zeit, Materie,

1099 сгущен]
5 Aufl., В., 1923; [3] Carta n E., «Ann. Soc. pol. math.»,
1923, t. 2. p. 171—221; [4] e г о же, «Bull. Soc. math, de
France», 1924 t. 52, p. 205—41; [5] e г о же, «Acta math.», 1926,
t. 48, p. 1—42; [6] Вагнер В. В., «Тр. Семин, по вект. и
тенз. анализу», 1950, в. 8, с 11—72; [7] Ε h г е s m а η η С,
в кн.: Coll. de Topologie. Bruxelles, 1950, P., 1951, p. 29—55;
[8] Лаптев Г. Ф., «Тр. Моек матем об-ва», 1953, т. 2, с.
275—382; [9] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная
геометрия, пер. с англ., М., 1960; [10] Лихнерович Α.,
Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц.,
М., 1960; [И] Л у ми с τ е Ю. Г., в кн.: Итоги науки. Сер.
Математика, в. 21 — Алгебра. Топология. Геометрия. 1969,
М., 1971, с. 123—68. Ю. Г. Лумисте.
СГУЩЕНИЯ ТОЧКА, накопления точк а,—
то же, что предельная точка. м. И. Войцеховский
СДВИГ — аффинное преобразование плоскости, при
к-ром каждая точка смещается по направлению оси Ох
на расстояние, пропорциональное ее ординате. В
декартовой системе координат С. задается соотношениями
х'=х-\-ку, у' = у, кфО.
При С. сохраняются площади и ориентация.
С. пространства по направлению оси Ох задается
соотношениями
х'— x-{-kz, у' = у, z' = z, кфО.
При С. пространства сохраняются объемы и
ориентация. А. Б. Иванов.
СДВИГА ОПЕРАТОР — оператор Ти зависящий от
параметра t и действующий на нек-ром множестве Φ
отображений φ : А -> Ε (где А — абелева полугруппа,
Ε — множество) по формуле
IVp(-) = <p(- + 0
(говорят также, что Т\ — оператор сдвига
на t). В качестве А часто фигурируют R, R + (тогда
Τχ — сдвиг в том или ином пространстве функций
действительного переменного), % или N (тогда Τ χ —
сдвиг в том или ином пространстве
последовательностей). Множество Е, а соответственно этому и
множество Ф, обычно наделено нек-рой структурой
(векторного, векторного топологического, нормированного,
метрического, вероятностного пространства).
С. о. используется, в частности, в теории динамич.
систем (см. Сдвигов динамическая система, Бернулли
автоморфизм). Употребляется также термин «С. о. по
траекториям дифференциальных уравнений» (см. Коши
оператор). В. М. Миллионщиков.
СДВИГА ПАРАМЕТР - параметр θ, θζθ(=#*,
семейства функций {φθ(·)}> заданных на Rk по
следующему правилу:
Φθ (·)=φ(· -θ) для любого θζθ,
где φ(·) — нек-рая заданная функция на Rk.
Лит.: [1] Ибрагимов И Α., Χ а с ь м и н с к и й
Р. 3., Асимптотическая теория оценивания, М., 1979.
М. С. Никулин.
СДВИГИ ПОЛУГРУПП —преобразования полугрупп,
удовлетворяющие специальным условиям: правым
сдвигом полугруппы S наз. преобразование ρ
такое, что для любых х, y£S имеет место (ху)р=х(ур)',
левый сдвиг определяется симметричным образом, при
этом ради удобства левые сдвиги чаще записывают как
левые операторы. Таким образом, левый сдвиг
полугруппы S — такое ее преобразование λ, что для
любых х, y£S имеет место Х(ху)=(кх)у. Соответственно
последовательность выполнения двух левых сдвигов
в произведении (см. Преобразований полугруппа)
осуществляется справа налево. Произведение двух
левых (правых) С. п. само будет левым (правым) С. п.,
так что множество A(S) (соответственно Ρ (S)) всех
левых (правых) С. п. S будет подполугруппой симметрич.
полугруппы (£Г$· Для произвольного элемента a£S
преобразование λα(ρα), заданное формулой λαχ = αχ (хра=
— ха) является левым (правым) сдвигом,
соответствующим элементу а. Он наз. внутренним левым
[я точка 1100
I (правым) сдвигом. Множество A0(S)
(соответственно P0(S)) всех внутренних левых (правых)
С. п. S есть левый идеал в Λ (S) (правый идеал в Ρ (S)).
Левый сдвиг λ и правый сдвиг ρ полугруппы S наз.
связанными, если х(Ку) = (хр)у для любых х,
у ζ S; в этом случае пару (λ, ρ) наз. бисдвигом S.
Для любого a£S пара (λα, ра) есть бисдвиг; он наз.
внутренним бисдвигом, соответствующим
элементу а. В полугруппах с единицей и только в них
всякий бисдвиг внутренний. Множество Τ (S) всех
бисдвигов полугруппы S есть подполугруппа
декартова произведения Λ (S)XP(S); она наз.
сдвиговой оболочкой полугруппы S. Множество
T0(S) всех внутренних бисдвигов есть идеал в Τ(£);
он наз. внутренней частью Т(£).
Отображение τ : S ->- T0(S), заданное формулой τ(α)=(λα,
ρα), есть гомоморфизм S на Т0(£), называемый
каноническим. Полугруппа S наз. слабо ρ е-
дуктивной, если для любых a, b£S из того, что
αχ—bx и xa~xb для всех x£S, следует а— Ь; т. е. ка-
нонич. гомоморфизм полугруппы S есть изоморфизм.
Если S слабо редуктивна, то Τ (S) совпадает с идеали-
затором Т0(£) в A(S)XP(S), т. е. с наибольшей
подполугруппой из A(S)XP(S), содержащей Т0(£) в
качестве идеала.
С. п. и, в частности, сдвиговые оболочки играют
существенную роль при изучении идеальных
расширений полугрупп. Роль сдвиговой оболочки при этом
в известной степени аналогична роли голоморфа
группы в теории групп.
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972; [2] Pet-
rich M., Introduction to semigroups. Columbus, Ohio, 1973;
[3] e г о же, «Semigroup Forum», 1970, v. 1, p. 283—360.
Л. Н. Шеврин.
СДВИГОВ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА —
динамическая система /* (или, в иных обозначениях, /(£, ·))
на пространстве непрерывных функций φ : R -> S (S —
метрич. пространство), наделенном компактно
открытой топологией (т. е. топологией
равномерной сходимости на отрезках), заданная
формулой
где Tf — сдвига оператор на ί, то есть
Γ*φ(·)=φ(·+*)·
Таким образом, траектория точки φ в С. д. с. есть
множество всех сдвигов функции φ, т. е. всех функций
вида φ(ί+τ) переменного τξΚ, а замыкание этой
траектории — множество всех функций вида
φ(τ) = Ηπιφ(ίΛ+τ),
/г->со
где предел равномерен на каждом отрезке. С. д. с.
наделяется нормированными инвариантными мерами,
существующими в силу теоремы Боголюбова —
Крылова (инвариантные меры Боголюбова — Крылова
сосредоточены на компактах).
С. д. с. используется в теории динамич. систем,
главным образом — для построения примеров (при этом
в качестве S обычно берут R; пример Маркова
не строго эргодич. системы на компакте, каждая
траектория к-рой всюду плотна, и др.), а также в теории
неавтономных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений, где в качестве S берется обычно R" или
нек-рое пространство отображений Rn ->· R" (в теории
линейных однородных неавтономных систем обычно
берется S=Hom(R", R»)).
См. также Особые показатели, Центральные
показатели. В. м. Миллионщиков.
СЕГМЕНТ — 1) С. на плоскости — плоская
| фигура, заключенная между кривой и ее хордой. Пло-

1101
СЕДЛО
щадь С. круга (кругового сегмента) S==-
= 2]/*2/&γ—/ι2, где г — радиус круга, h — высота С.
2) С. в пространстве — часть тела,
ограниченная плоскостью и отсекаемой ею частью
поверхности. Объем С. шара (шарового сегмента):
V=1/3nh2 (3i?— h), где R — радиус шара, h — высота
С. шара. Площадь кривой поверхности С. шара: £=
= 2nRh. А. Б. Иванов.
СЕГМЕНТ — см. Интервал и сегмент.
СЕГРЕ ВЛОЖЕНИЕ — вложение φ : РпХРт -*■
-*-ΡΝ произведения проективных пространств РпХРт
в проективное пространство ΡΝ, где М=пт+п+т.
Если х=(и0 . . . ип)£Рп, y=(v0 . . . vm)£Pm, а ι^,;·,
έ=0, . . ., η, / = 0, . . ., т, — однородные координаты
в PN, то отображение определяется формулами
<Р(*Ху) = (ы>,\/)€^,
где W{j=UiVj. Отображение φ корректно определено и
является замкнутым вложением. Образ С. Β.φ^ΧΡ^)
наз. многообразием Сегре. Случай п=т=1
имеет простой геометрич. смысл: Ц)(Р1ХР1)— это
невырожденная квадрика вЯс уравнением wnw00=w01w10.
Образы φ(χΧΡλ) и (р(РгХу) дают два семейства
прямолинейных образующих на квадрике.
Названо в честь Б. Сегре (В. Segre).
Лит.: [1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972. Вал. С. Нуликов.
СЕДЛО — тип расположения траекторий автономной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
2-го порядка:
1102
λ2/λι
* = /(*), ζζ^2, /:Gc=R2
(»)
f£C(G), G — область единственности, в окрестности
особой точки (равновесия положения) х0. Этот тип
характеризуется следующим образом. Существует
окрестность U точки х0 такая, что для всех траекторий
системы, начинающихся в £/\{rc0}, как положительные,
так и отрицательные полутраектории являются
уходящими (с течением времени покидают любой компакт
VczU). Исключение составляют лишь четыре
траектории (сепаратрисы седла). Для двух из них
отрицательные полутраектории являются уходящими,
а положительные полутраектории примыкают к точке
#0, для двух других — наоборот. Первые две
сепаратрисы наз. устойчивыми, две вторые —
неустойчивыми. Устойчивые сепаратрисы, будучи
дополнены точкой х0, образуют проходящую через т0
гладкую кривую — устойчивое м ногооб-
разие седла. Неустойчивые сепаратрисы вместе
с точкой х0 образуют гладкое неустойчивое
многообразие седла.
С. при этом наз. и сама точ-
Седло х0 неустойчиво по
Ляпунову. Его индекс
Пуанкаре равен —1. Для системы
(*) класса ^(/^С1^)) с
ненулевой матрицей А — /' (х0) точка
покоя х0 является С. в случае,
когда собственные значения λ1?
λ2 матрицы А удовлетворяют
условию λχλ2<0(простое С, рис. 1,
где х0 = 0), но может быть Сив тех случаях,
когда λ1=0τ=λ2 или λ1=λ2=0. В любом из этих случаев
сепаратрисы С. касаются в точке х0 направлений,
определяемых собственными векторами матрицы А.
Если система (#) линейна (f(x)=A(x—х0), А —
постоянная матрица с собственными значениями λ1,λ2)»
то для нее точка х0 является С. лишь при условии
λ1λ2<0. Сепаратрисы седла х0 в этом случае
прямолинейны, а все остальные траектории (отличные от точки
Рис. 1.
Рис.
х0) суть аффинные образы гипербол вида х2—с\хх
cGR\{0} (рис. 2).
Термин «С.» применяют и для наименования любого
расположения траекторий системы (*) в окрестности
U изолированной
точки покоя х0, при
к-ром из Z7\ {x0} к
точке х0 примыкает
лишь конечное
число т О 2)
траекторий, и каждая из
них, будучи
дополнена точкой х0, касается в ней определенного
направления (т-с епаратрисное С). С. наз. и нек-рые
типы точек покоя автономных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений порядка л>3.
Лит. см. при ст. Особая точка дифференциального
уравнение А. Ф. Андреев.
СЕДЛО В БЕСКОНЕЧНОСТИ, несобственная
седловая точка,— тип расположения
траекторий динамич. системы. Говорят, что динамич. система
Ρ (или, иначе, /(,/>), см. [1]), заданная на R», имеет
С. в б., если найдутся точки xk и числа τ&<0, ΘΛ>0,
к ζ Ν, такие, что последовательности
— сходящиеся, а |#fe|-> оо при к-*· оо. Это
определение В. В. Немыцкого было обобщено М. В. Бебутовым
на динамич. системы, заданные на произвольном мет-
рич. пространстве; при этом требование а\х^\ -> оо при
&->оо» заменяется требованием: «последовательность
{xk} не содержит ни одной сходящейся подпосле-
довате льности».
Отсутствие С. в б.— необходимое условие
глобальной выпрямляемости динамич. системы (см. Полная
неустойчивость). Для того чтобы вполне неустойчивая
динамич. система, заданная на метрич. пространстве,
не имела С. в б., необходимо и достаточно, чтобы фак-
торпространство динамич. системы было хаусдорфовым.
Лит.: [1] Η ем ы цк и й В. В., Степанов В. В.,
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд.,
М., 1949. В. М. Миллионщиков.
СЕДЛОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — обобщение
поверхности отрицательной кривизны. Пусть Μ —
поверхность в трехмерном евклидовом пространстве,
определяемая погружением / : W -+ Е3 двумерного
многообразия W в Ег. Плоскость α отсекает от Μ горбушку,
если среди компонент прообраза множества М\а в W
имеется компонента с компактным замыканием. Часть
поверхности М, соответствующая этой компоненте,
наз. горбушкой (см. рис.). Поверхность Μ наз.
С. п., если от нее нельзя отсечь горбушки никакой
плоскостью. Примерами С. п. являются однополост-
ный гиперболоид, гиперболич. параболоид,
линейчатые поверхности. Для того чтобы дважды непрерывно
дифференцируемая поверхность была С. п.,
необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке поверхности
ее гауссова кривизна была неположительна.
Поверхность, все точки к-рой седловые точки, является С. п.
С. п., ограниченная спрямляемым контуром, по своей
внутренней метрике, индуцированной метрикой
пространства, является двумерным многообразием
неположительной кривизны. На класс С. п. можно обобщить

1103
ряд свойств поверхностей отрицательной кривизны,
однако эти поверхности не образуют, по-видимому,
столь же естественного класса поверхностей, как
выпуклые поверхности.
Лит.: [1] Бакельман И. Я., Берне ρ А. Л.,
Кантор Б. Е., Введение в дифференциальную геометрию
«в целом», М., 1973; [2] Ш е φ е л ь С. 3., Исследования по
геометрии седловых поверхностей, Новосиб., 1963.
Д. Д. Соколов.
СЕДЛОВАЯ ТОЧКА — точка гладкой поверхности,
вблизи к-рой поверхность лежит по разные стороны от
своей касательной плоскости. Если Ст. является
точкой двукратно непрерывно дифференцируемой
поверхности, то ее гауссова кривизна в этой точке
неположительна. Ст. является обобщением гипербо-
лич. точки. д. д. Соколов.
СЕДЛОВАЯ ТОЧКА (в теории игр) функции
F, заданной на декартовом произведении двух множеств
ΧΧΥ,— точка (х*у y*)£XxY, для к-рой
F(x*, у*) = тахР(х, y*) = minF(x*, у),
хех г/еу
Наличие С т. у функции F равносильно существованию
оптимальных стратегий у игроков в антагонистической
игре Г=(Х, У, F). В. Л. Крепе.
СЕДЛО-УЗЕЛ — тип расположения траекторий
автономной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений 2-го порядка:
x = f(x), x£R\ /:G->R», (*)
/gC(G), G — область единственности, в окрестности
особой точки х0. Этот тип характеризуется следующим
образом: нек-рая окрестность U точки х0 разбивается
примыкающими к х0 полутраекториями
(сепаратрисами С-у.) на т криволинейных секторов
(3<т<+оо), из к-рых h, 2<&<m, являются седловы-
ми, а остальные — открытыми узловыми; каждая
примыкающая к х0 полутраектория, будучи
дополнена точкой х0, касается в ней определенного луча.
С.-у. наз. при этом и сама точка х0.
С.-у. неустойчив по Ляпунову. Его индекс Пуанкаре
равен 1—(/г/2). Если /gC1^), а матрица A=f (х0)фО,
то особая точка х0 может быть для системы (*) С.-у.
лишь в случаях, когда собственные значения λχ, λ2
матрицы А удовлетворяют одному из следующих
условий:
а) λι = 0 Φ λ2; б) λί = λ2 = 0.
В любом из этих случаев точка х0 может быть для
системы (*) также седлом или узлом, а в случае б) и
точкой иного типа. Если же она является С.-у., то для
СЕДЛОВАЯ ТОЧКА Н04
Лит.: [1] Б а у τ и н Н. Н., Л е о н τ о в и ч Ε. Α.,
Методы и приемы качественного исследования динамических
систем на плоскости, М., 1976. А. Ф. Андреев.
СЕКАНС — одна из тригонометрических функций:
Рис. 1.
Рис. 2.
нее w=3, /г=2, а все примыкающие к х0
полутраектории системы касаются в этой точке направлений,
определяемых собственными векторами матрицы А (см.
рис. 1 и 2, где жирными линиями изображены
сепаратрисы С-у. х0 = 0, а стрелки указывают налравление
движения по траекториям системы с возрастанием t;
оно может быть и противоположным).
у = sec χ =
cos χ '
другое обозначение sc x. Область определения — вся
числовая прямая за исключением точек, абсциссы
к-рых
*=i(2n+l), n = 0, ±1, ±2, ...
С— неограниченная четная периодическая (с периодом
2π) функция. Производная С:
(sec χ)' = ii^L = tg x sec χ.
v ' cos2 χ ь
Интеграл от С:
\ seer eta = In tg (χ+·γ J + £·
С разлагается в ряд
sec а: =■
3π
5π
(τ)2-- (¥)·--(¥)'-"
Ю. А. Горькое.
СЕКВЕНЦИАЛЬНО КОМПАКТНОЕ
ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство (условие
Больцано — Вейерштрасса), любая
бесконечная последовательность точек к-рого содержит
сходящуюся подпоследовательность. В классе Тх-
пространств С. к. п. является счетно компактным
пространством. Если к тому же пространство
удовлетворяет первой аксиоме с четности, то из его
счетной компактности следует секвенциальная
компактность. С. к. п. не обязательно является бикомпактным
пространством: таково, напр., множество всех
порядковых чисел, меньших первого несчетного числа,
наделенное топологией, база к-рой — всевозможные
интервалы. М. И. Войцеховский.
СЕКВЕНЦИАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО —
топологическое пространство X такое, что из АаХ и Л?=1Л]
(т. е. множество А незамкнуто) следует существование
последовательности xk, А=1, 2, . . ., точек из А,
сходящихся к нек-рой точке [Л]\Л. Если из х£[А]аХ
всегда следует, что существует последовательность х^
точек из А, сходящаяся к х, то X наз.
пространством Ф'реше — Урысона. М. И. Войцеховский.
СЕКВЕНЦИЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — одна из
формулировок предикатов исчисления. Благодаря удобной
форме вывода Си. находит широкое применение в
доказательств теории, основаниях математики, при ав-
томатич. поиске вывода. С. и. было предложено Г.
Генценом в 1934 (см. [1]). Ниже приводится один из
вариантов классич. исчисления предикатов в форме
Си.
Набором формул наз. конечное множество
формул нек-рого логико-математического языка Ω,
причем в этом множестве допускаются повторения
формул. Порядок формул в наборе Г несуществен, но для
каждой формулы указано, в скольких экземплярах
она присутствует в Г. Набор формул может быть и
пустым. Набор φ Γ получается из Г присоединением
одного экземпляра формулы φ. Секвенцией наз.
фигура вида Γ->Δ, где Г и Δ —наборы формул,
Г наз. антецедентом секвенции, а Δ—ее
сукцедентом.
Аксиомы Си. имеют вид φ Г -> Δφ, где Г, Δ —
произвольные наборы формул, а φ — произвольная
атомарная (элементарная) формула. Правила вывода
исчисления устроены очень симметрично и вводят ло-

1105
СЕКТОР
1106
гич связки в антецедент или сукцедент секвенции:
φψΓ -> Δ ./νΛ\ Γ -> Δφ, Γ -> Δ*ψ
(Л ->)
(φ Λ Ψ) Γ -* Δ
; (->л)
Г -* Δ (φ Λ Ψ)
φΓ -> Δ; ψΓ -
(φ V Ψ) Γ-> Δ
Δ. (^ν) Γ->Δφ^
Γ -> Δ (φ V Ψ)
Γ -* Δφ; ι|)Γ -
(φ Э ψ) Γ -> Δ
Δ ;(-=)-^
Δψ
Γ-> Δ(φ3 ψ) '
Π-*)
Δφ
ΠφΓ-
f_* -η ч φΓ -» Δ
ν Ι) Γ _► Δ-|φ
(V->)
(3-*)
γχφ φ (χ | 0 Γ -> Δ
γχφΓ -
φΓ-> ί
(-ν)
- Δφ
3χφ (у | χ) Γ -> Δ
; (-Э)
Γ -> Δγχφ (у|х)
Γ ->· Δφ (χ | t) 3χφ
Γ ->■ Δ3^φ
Здесь в правилах (->■ ν) и (з ->) предполагается, что
переменная у не есть параметр Г и Δ, а χ не есть
параметр φ.
Си. эквивалентно обычной форме исчисления
предикатов в том смысле, что формула φ выводима в
исчислении предикатов тогда и только тогда, когда
секвенция ->■ φ выводима в Си. Для доказательства этого
утверждения существенна основная
теорема Генцена (или теорема о
нормализации), к-рая для Си. может быть сформулирована
следующим образом: если в С и. выводимы секвенции
Г -> Δφ и φΓ -> Δ, то выводима и секвенция Г ->■ Δ.
π Γ -> Δφ; φΓ -+ Δ
Правило вывода γ^Γδ наз· правилом
сечения, и теорема о нормализации утверждает,
таким образом, что правило сечения допустимо в
Си. или что добавление правила сечения не
изменяет объема выводимых секвенций. Ввиду этого
теорему Генцена наз. также теоремой об
устранении сечения.
Симметричное устройство Си. в значительной мере
облегчает изучение его свойств, поэтому в теории
доказательств важное место занимает поиск
секвенциальных вариантов прикладных исчислений: арифметики,
анализа, теории типов и доказательство для таких
исчислений теоремы об устранении сечения в той или
иной форме (см. [2], [3]). Найдены секвенциальные
варианты и для многих исчислений, основанных на
неклассич. логиках — интуиционистской, модальных
и релевантных логиках и др. (см. [3], [4]).
Лит.: [1] Математическая теория логического вывода. Сб.
переводов, М., 1967; [2] Τ а к е у τ и Г., Теория доказательств,
пер. с англ., М., 1978; [3] Д ρ а г а л и н А. Г., Математический
интуиционизм. Введение в теорию доказательств, М., 1979;
[4] Φ е й с Р., Модальная логика, пер. [с англ ], М., 1974.
А. Г Драгалин.
СЕКВЕНЦИЯ — выражение вида
Αχ, ..., Ап~* Βχ, ..., Вт,
где А1у . . ., Ап, Βχ, . . ., Вт— формулы. Читается:
«при допущениях Αχ, . . ., Ап имеет место В χ или В2,
или . . ., или Вт». Часть С, стоящая слева от стрелки,
наз. антецедентом; часть С, стоящая справа
от стрелки, наз. сукцедентом (консеквен-
т ом). Формула (Αχ& . . . &Αη)=)(Βχ V . . . VBm)
(пустая конъюнкция обозначает ложь, пустая
дизъюнкция — истину) наз. формульным
образом С Г. Е. Минц.
СЕКТОР — 1) С на плоскости — плоская
фигура, ограниченная двумя полупрямыми,
исходящими из внутренней точки фигуры, и дугой контура.
С круга (круговой сектор) — фигура,
ограниченная двумя радиусами и дугой, на к-рую они
опираются. Площадь С круга: S=lr/2, где г —
радиус круга, I — длина дуги.
2) С. в пространстве — часть тела,
ограниченная конич. поверхностью, вершина к-рой
находится внутри тела, и вырезаемой частью поверхности
тела. Шаровой сектор — тело, возникающее
при вращении сектора большого круга вокруг одного
из радиусов (шаровой С 1-го рода) или вокруг
диаметра, не пересекающего его дуги (шаровой С. 2-го
рода). Объем шарового сектора: V=1/3nR2h, где R —
радиус сферы, h — проекция хорды, стягивающей дугу
С на ось вращения. БСЭ-з.
СЕКТОР в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. 1)
С—открытый криволинейный сектор S с вершиной в
изолированной особой точке О автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка:
χ=ί(χ), *ςκ2, (*)
/gC(G), G — область единственности,
удовлетворяющая следующим четырем условиям. 1) Каждая из
боковых стенок S является ТО-к ρ и в о й системы (*)
(полутраекторией, примыкающей при | 11->+ оок точке
О, касаясь в ней определенного направления). 2)
Задней стенкой S является простая параметрич. дуга
(гомеоморфный образ отрезка). 3) В £\ {0} нет особых
точек системы (*). Четвертым условием является
Рис. 1.
одно из трех следующих. 4а) Все траектории системы
(*), начинающиеся в S, покидают этот сектор как
с возрастанием, так и с убыванием t; такой С наз.
гиперболическим, или се длов ым (рис. 1).
46) Все траектории системы (*), начинающиеся в S
в достаточной близости от О, с возрастанием t, не
выходя из S, примыкают к точке О, а с убыванием t
покидают S (или наоборот); такой С наз.
параболическим, или открытым узловым
(рис. 2). 4в) Все траектории системы (*),
начинающиеся в S в достаточной близости от О, как с
возрастанием, так и с убыванием t, не выходя из S,
примыкают к точке О, образуя вместе с О замкнутые кривые
(петли), причем из любых двух петель одна
охватывает другую; такой С наз. эллиптическим,
или замкнутым узловым (рис. 3).
Для аналитич. системы (*), имеющей ГО-кривые,
круг Q достаточно малого радиуса с центром в
точке О всегда может быть разбит на конечное число С.
описанного вида: h гиперболических, ρ
параболических и е эллиптических (см. [1], [2]). Выявить все
эти С, определить тип каждого из них и установить
для них закон следования друг за другом при обходе
точки О по границе круга Q (и тем самым выяснить
топологич. структуру расположения траекторий
системы (*) в окрестности точки О) можно, напр., с
помощью Фроммера метода. Для чисел Л, ρ и е имеются
априорные оценки сверху через порядок малости
нормы ||/(.г)|| при х-+0 (см. [1], [4], [5]).
Иногда (см., напр., [3]) понятие «С» определяется
свободнее: в гиперболич. и параболич. С. допускается
наличие петель, покрывающих множество, не имеющее
предельных точек на задней стенке С, а в эллиптич.
С — наличие петель, не охватывающих друг друга.

1107
При этом первая фраза предыдущего абзаца
сохраняет силу и для систем (*) общего вида, а индекс
Пуанкаре особой точки О системы (*) выражается
формулой Бендиксона:
i= i+(e —Л)/2.
Лит.: [1] Bendixson I., «Acta math.», 1901, v. 24,
p. 1—88; [2] А н д ρ о н о в Α. Α., Л е о н τ о в и ч Ε. Α.,
Гордон И. И.,Майер А. Г., Качественная теория
динамических систем второго порядка, М., 1966;[3] Хартман Ф.,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ.,
М., 1970; [4] Б е ρ л и н с к и й А. Н., «Докл. АН СССР»,
1969, т. 187, № 3, с. 502—05; [5] С а г а л о в и ч Μ. Ε.,
«Дифферент уравнения», 1979, т. 15, №2, с. 360—62.
2) Сектор Фроммера, нормальная
область Фроммера,— круговой С.
N = {(r, φ) Ι 0 < г<6, |φ —φο|<ε}
с вершиной в изолированной особой точке О(х=х0)
системы (*) (см. п. 1), боковыми стенками ОА и ОБ,
Ψλ^Φο-ε» φβ^φο+ε» и задней стенкой АВ (здесь
г, φ — полярные координаты на я-плоскости с
полюсом в точке О, δ, ε, φ06^), удовлетворяющий
следующим условиям:
(1) φ=φ0 — исключительное
направление системы (*) в точке О, т.е.
существует последовательность £fe=£0~Krfe cos ф/г> rk si*1 ф/г)>
А=1, 2, . . ., rk ->■ 0, ф/г-^ Фо при к-*-\-оо, такая,
что если a(x)=(f(x)/>x—x0), то tga(;zfc)-*0 при
А-»-+оо, и такое направление единственно в N,
(2) tga(x)=£0 для любого x£OA\JOB,
(3) а(х)Фл12 для любого χζΝ.
сектор 1108
примыкают к точке О по направлению φ=φ0, а с
убыванием (возрастанием) t покидают область N] все
остальные траектории покидают область N как с
возрастанием, так и с убыванием t. Задачи различения
случаев (а) и (б) для областей N2 и N3 наз.
соответственно 1-й и 2-й проблемами
различения Фроммера.
Если система (*) имеет в точке О конечное число
(>0) исключительных направлений, каждое из них
в
Рис. 4.
Пусть угол а(х) отсчитывается от вектора х—х0 и
имеет знак направления отсчета. Сектор N называется:
нормальной областью Фроммера
1-го типа (обозначение N±), если tg a(#)<0 при
χζΟΑ, tga(x)>0nipn χζΟΒ;
нормальной областью 2-го типа
(Ν2), если tga(x)>0 на О А, tga(z)<0 на 0В\
нормальной областью 3-го типа
(iV3), если tg а (х) на О А и на ОВ имеет один и тот же
знак. Эти области были
введены М. Фроммером [1].
Траектории системы (*)
в нормальных областях
Фроммера ведут себя
следующим образом.
Область Ν± покрыта О-кри-
выми системы (рис. 4).
Они образуют открытый
пучок — семейство
одноименных О-кривых,
непрерывно зависящее от
параметра, пробегающего
открытый промежуток. В области N2 существует
либо (а) единственная О-кривая (рис. 5), либо (б)
бесконечно много О-кривых (замкнутый пучок, рис. 6).
В области N3 либо (а) существует бесконечно много
О-кривых (полуоткрытый пучок, рис. 7), либо (б) не
существует О-кривых (рис. 8). В нормальной области
N любого типа О-кривые при £->- + оо (пли t-*■ — со)
Рис. 6.
Рис. 7.
Рис. 8.
можно заключить в нормальную область N, и для всех
областей N2 и N3 будут решены проблемы различения
Фроммера, то топологич. структура расположения
траекторий системы в окрестности точки О будет
выяснена полностью, ибо секторы с вершиной в О,
расположенные между нормальными областями, в
достаточной близости от точки О полностью пересекаются
траекториями системы (как на рис. 8). Такая ситуация
имеет место, напр., в случае, когда
f(x) = P(x)+p{x), P = (PU Р*),
Pi* P^ — формы степени п^\ от компонент хъ х2
вектора х,
р(х)=о(\\х\\п) при Н|-*0,
причем выполняются следующие условия: форма
χίΡ2(χ) — χ2Ρ1(χ) имеет действительные линейные
множители; формы Рг, Р2 не имеют общих действительных
линейных множителей; ρζΟη+1. При этом в
каждой из областей Ν2, Ν3 будет иметь место
расположение (а).
Аналоги нормальных областей Фроммера введены и
для систем вида (*) порядка >3.
Лит.: Ш FrommerM., «Math. Ann.», 1928, Bd 99, S.
222—72; [2] НемыцкийВ. В., С т е п а н о в В. В.,
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд.,
М.—Л., 1949; [31 Андреев А. Ф., в сб.: Тр. Четвертого
Всесоюзного матем. съезда, т. 2, Л., 1964, с. 394—402.
А. Ф. Андреев.
СЕКУНДА — единица измерения плоских углов,
равная 1/звоо части градуса или 1/60 части минуты;
обозначается знаком ". Метрическая С—-1/106
часть прямого угла; обозначается знаком сс.
СЕКУЩИХ МЕТОД — метод вычисления нулей
непрерывных функций. Пусть в [а, Ь] содержится нуль α
непрерывной функции f(x); x0, х± — различные точки
этого отрезка. Итерационная формула См.:
f (xk) ζ» 4 о /л.
* = 1, 2,
Xk + l *k (/(χΛ_1)_/(χΛ))/(χΛ_1_χΛ)
Если последовательность {χ к} сходится, то
обязательно к нулю функции f(x). При наличии у / непрерывной
производной на [а, Ъ) локальная сходимость С. м.
к простому корню будет сверхлинейной. Если усилить
требования к гладкости /, можно указать точный
порядок (локальной) сходимости [1]. Именно, для /ζ
ζ£2[α, b] и α такого, что /(α)=0, /' (α)=^0, /"(α)^0,
lim '**+'-"' = fe.
&->οο I xk-a \Ρ
Здесь /> = (У^5+1)/2«1,618, Α=|/"(α)/2/'(α)|.
Сверхлинейная сходимость См. для гладких
функций — очень важное обстоятельство, поскольку вы-

1109
СЕМАНТИКА
1110
числения производных не требуется и на каждом шаге
вычисляется лишь одно новое значение функции. Так,
для сравнения, в методе Ньютона, порядок
(локальной) сходимости к-рого равен 2, на каждом шаге
требуется вычисление значения функции и ее
производной, что, как правило, не менее трудоемко, чем
вычисление двух значений функции.
Поскольку сходимость С. м. зависит от гладкости
функции и выбора начальных приближений, в
стандартных машинных подпрограммах вычисления нулей
непрерывных функций этот метод комбинируется с
каким-либо методом, обладающим гарантированной
сходимостью, напр. методом деления отрезка пополам.
На каждом шаге такого Комбинированного метода
корень α локализован в отрезке [а& Ь&], на концах
к-рого функция меняет знак (предполагается, что это
условие выполнено для исходного отрезка [а, Ь]).
В соответствии с нек-рым тестом очередное
приближение выбирается либо по формуле (1), либо по формуле
деления пополам. При этом если / (х) — гладкая
функция, то итерации, начиная с нек-рого номера /с0,
автоматически идут по См. Возможна еще более
сложная комбинация методов, напр. алгоритм ZEROIN
(см. [2]), в к-ром, кроме упомянутых выше,
используется еще метод обратной квадратичной
интерполяции. Иногда С. м. называют метод с итерационной
формулой
xk + i = xk~
f (xk)
k = l, 2, ... (2)
(/ (*/e) -/ (*o)) / (Xk-Xo)
Другое название метода (2)—метод ложного
положения, или regula falsi. Такой метод
сходится лишь линейно.
При обобщении См. на случай системы уравнений
возможен двоякий взгляд на итерационную формулу
(1). Можно считать, что она получена из формулы
метода Ньютона дискретной аппроксимацией
производной. Другая возможность — считать, что для f(x)
произведена линейная интерполяция по точкам
{xk-i, f(xk-i))n (хь f(xk)) и zaxk + i взят нуль линейной
интерполянты. Обе интерпретации позволяют получить
большое количество многомерных аналогов С. м.;
нек-рые из них (но далеко не все) имеют тот же
порядок (локальной) сходимости р = (1+ уТГ)/2 (см. [3]).
Лит.: [1] Brent R. P., Algorithms for minimization
without derivatives, Englewood cliffs (N. J.). 1973; [2] Φ ο p-
сайт Дж., Малькольм М,, Моулер К., Машинные
методы математических вычислений, пер. с англ., М., 1980;
[3] Ортега Дж., РейнболдтВ., Итерационные методы
решения нелинейных систем уравнений со многими
неизвестными, пер. с англ., М., 1975. X. Д. Икрамов.
СЕКЦИОННАЯ КРИВИЗНА — риманова
кривизна дифференцируемого риманова многообразия Μ
в точке ρ в направлении двумерной плоскости α (в
направлении бивектора, определяющего плоскость ее
В ТОЧКе ρ Многообразия М). Л. А. Сидоров
СЕЛЬБЕРГА РЕШЕТО, Сельберга метод,-
специальный и в то же время достаточно
универсальный решета метод, созданный А. Сельбергом [1].
Ср. позволяет хорошо оценивать сверху
просеивающую функцию S (Α; Ρ, ζ), обозначающую количество
элементов конечного множества А целых чисел, к-рые
не делятся на простые числа ρ <ζ и принадлежат нек-
рому множеству Ρ простых чисел.
Пусть />(ζ)=ΤΤ η. Метод Сельберга основан
А1-р<2; ре Ρ
на очевидном неравенстве
~~ " (*)
к-рое верно при λ1=1 для произвольных
действительных чисел λ^ (d>2). Идея Сельберга состоит в том,
чтобы, положив Kd=0 для d>z, минимизировать
правую часть неравенства (*) путем надлежащего
выбора оставшихся чисел \d (2 <d <z).
s(A'p>*)^aiAVdla.,d\P(zM'
В комбинации с другими методами решета Ср.
позволяет получать оценки снизу, особенно сильные
при использовании весовых функций.
Лит.: [1] Selberg A., «Norske Vid. Selsk. Forh.», 1947,
Bd 19, № 18, p. 64—67; [2] Π ρ a x a p К., Распределение
простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [3] Halberstam Η.,
Richert H., Sieve methods, L.— [a. o.], 1974.
Б. М. Бредихин.
СЕМАНТИКА в математической
логике — исследование интерпретаций логического
исчисления, формальной аксиоматич. теории; изучение смысла
и значения конструкций формализованного языка
теории, способа понимания его логич. связок и
формул. С. уделяет внимание возможности точного
описания и определения таких понятий, как «истина»,
«определимость», «обозначение», по крайней мере
применительно к точно описанным языкам. В несколько
более узком смысле под С. формализованного языка
понимают систему соглашений, определяющих
понимание формул языка, задающих условия истинности
этих формул.
С. логич. связок в классической и интуиционистской
логике носит экстенсиональный
характер, т. е. истинность сложного высказывания
определяется только характером истинности составляющих
его высказываний. В иных классич. логиках, напр.
релевантных, может учитываться и смысловое
содержание понятий (такие логики наз.
интенсиональными). В такого рода логиках, напр., не
обязательно, чтобы все истинные высказывания были
эквивалентны.
Построение четкой С. достаточно сложных
формализованных языков типа языков аксиоматической
теории множеств является трудной проблемой. Это
связано по существу с тем, что процесс
абстрагирования в математике является весьма сложным и
многоступенчатым с привлечением таких глубоких, и
неочевидных абстракций, как абстракция актуальной
бесконечности или абстракция потенциальной
осуществимости. В результате объем объектов исследования
в математике, способы обращения с этими объектами
и способы доказательства утверждений относительно
таких объектов* как множества произвольной
природы, становятся весьма неопределенными. При
неосторожном обращении с принципами доказательства
в рамках теории возникают антцномии, напр.
парадокс Рассела в теории множеств. В такой ситуации
приходится отказываться от построения
исчерпывающей и интуитивно убедительной С. языка и
ограничиваться формулировкой нек-рых семантич. соглашений.
При формализации теории при этом стремятся, чтобы
правила вывода полученного исчисления были
корректны по отношению к этим соглашениям, т. е. при
применении к верным формулам вновь давали верные
формулы. Полученная формальная система может
уже изучаться в рамках нек-рой метатеории с более
ясной С.
Часто семантич. понятия для нек-рого языка могут
быть точно сформулированы в рамках более богатого
языка, играющего для первого роль метаязыка. Напр.,
средствами теории множеств можно дать строгое мате-
матич. определение (классической) истинности
формулы данного языка 1-го порядка на алгебраич.
системе. Это понятие является основным в моделей теории.
С другой стороны, как показал А. Тарский (A. Tarski,
1936), для достаточно богатых теорий их истинность
не может быть выражена на языке самой теории.
Широко изучаются С неклассич. теорий, напр. ма-
тематич. теорий, развиваемых в рамках
интуиционизма. Роль моделей в таких исследованиях играют
алгебраич. структуры, учитывающие неклассич. характер
понимания логич. связок. Таковы, напр., Крипке мо~

1111
СЕМИИНВАРИАНТ
1112
дели, реализуемость по Клини, ступенчатая
семантическая система А. А. Маркова.
Лит.: [1] К а р н а п Р., Значение и необходимость пер.
с англ., М., 1959; [2] Ч ё ρ ч Α., Введение в математическую
логику, пер. с англ., М., 1960; [3] К л и н и С. К., Введение в
метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [4] Д ρ а г а л и н А. Г.,
Математический интуиционизм. Введение в теорию
доказательств, М., 1979; [5] Фейс Р., Модальная логика, пер. с
англ. , М., 1974. А. Г. Драгалин.
СЕМИИНВАРИАНТ — 1) С— то же, что
полуинвариант. 2) С.— одна из числовых характеристик
случайных величин, родственная понятию момента
старшего порядка. Если |=(ξ1, . . ., ξ^) — случайный
вектор, φξ (t)=Eei<f> & _ его характеристич.
функция, f=(*i» · · ·» **)» *i€-R,
и для нек-рого л>1 моменты Е[£г|ге<оо, i=l, . . ., fc,
то существуют (смешанные) моменты
mi*
.vft) = cgV! tv/j
»1 ' * *bft
для всех неотрицательных целочисленных vx,
таких, что V!+. · .+Vfc<:7i. Тогда
Vfe
φ6(ί)=Σνι+...+
.Vt+...+v/е
,fv».
. V/г)
χ
-Vt+...+v/е^.^ Vl!...v/e! 6
Xf?...*2* + o(|*|»),
где U| = Uil + . . .+Ufcl и для достаточно малых \t\
главное значение 1η φ* (t) представимо по формуле
Тейлора в виде
.v,+ . . . +v/e
In
^
w=2Vl+...+
v/e< n'
o(Vir · ..,v/e)
X
vx!. . .v/j! s
хг^...<^+0(|*|п),
где коэффициенты syu ···» v^ наз. (смешанными)
семиинвариантами, или
кумулянтами, порядка v=(v1? . . ., ν^) вектора ξ=(ξχ, . . .,ξ*).
Для независимых случайных векторов ξ= (Sx,...
. . ., lk) и η=(ηι, . . ., Щ)
e(Vi. · · ·, v/e) _ (vlf . . ., v/e) ι (vls . . ., vfc)
то есть С. суммы независимых случайных векторов
есть сумма С. Именно это и послужило причиной
термина «семиинвариант», отражающего свойство
аддитивности для случая независимых величин (но это
свойство уже, вообще говоря, не верно для зависимых
величин).
Между моментами и С. справедливы следующие
формулы связи:
,* I
ν!
(ν) _ ν — VI TF
ml ~Zl q\ λί1)!...^)! 11.
ч ■
Σ*-
1)4-
v!
Q
p= 1 4
Q
,(λ(/»)
"Πρ = 1>
,(λ
рь
q λί1)!. . Л(Я)\ J~*.p = l"t'i
где 2* означает суммирование по всем
упорядоченным наборам целых неотрицательных векторов λ(ρ\
\λ(ρ) I >0, дающих в сумме вектор v. В частности, если
ξ — случайная величина (fc=l), mn=m%l}=£%nf sn—
=4"'. то
m1 = s1,
7W2=:S2 + S1'
т3 = S3 + 35ι52 + sl»
W4 —54 + 3S2 + ^5l53 + 65ls2+5l»
И
*1='»ΐ( = Εξ),
s2=m2—ml( = Dl·),
s3=m3—3m1m2-\-2ml,
s4 = 7тг4—3m2 —4w1m8 + 12m\m2 — 6mJ.
Лит.: [1] Л е о н о в В. П., Ширяев А. Н., «Теория
вероятн. и ее примен.», 1959, т. 4, в. 3, с. 342—55.
А. Н. Ширяев.
СЕМИМАРТИНГАЛ — стохастический процесс, пред-
ставимый в виде суммы локального мартингала и
процесса локально ограниченной вариации. При
формальном определении С. исходят из допущения, что
все рассмотрения ведутся на стохастич. базисе (Ω,
JF, F, Р), где F=(^)^0. Стохастич. процесс Х=
= (Хи dFi)f>o наз· семимартингалом, если
его траектории непрерывны справа и имеют пределы
слева и он представим в виде Xt=Mf-\-Vti где М—
= (Aff, (Ft) — локальный мартингал, a V=(Vtl $Ft) —
процесс локально ограниченной вариации, т. е.
Y0\dVs(u>)\< со, t >0, ωζΩ.
Такое представление, вообще говоря, неоднозначно.
Однако в классе разложений с предсказуемыми
процессами V рассматриваемое представление единственно
(с точностью до стохастич. эквивалентности). К классу
С. относятся (помимо локальных мартингалов и
процессов с локально ограниченными вариациями)
локальные супермартингалы и субмартингалы, процессы
X с независимыми приращениями, для к-рых
функция f(t)=£ei^Xt является функцией локально
ограниченной вариации для любого λ ζ R. (и значит — все
процессы со стационарными независимыми
приращениями), процессы Ито, процессы диффузионного
типа и др. Класс С. инвариантен относительно
эквивалентной замены меры. Если X есть С, a f=f(x) —
дважды непрерывно дифференцируемая функция, то /(Х)=
= (/(Xf), <F|) также С. При этом (формула Ито)
/ (Xt)=f (xo)+^{xs_)dxs+^y> (*,__) d [X, xfs+
+ Σο < s < ( I/ lX')-t (Х*-)-Г (Xs~) ΔΧ,]
или, что эквивалентно,
/ (Xt) = f (Xo)+^/(Xs-) dXs+±^Qr (Xs-)dIX, X]s+
+ Σο < s < t [f(Xs)-f(Xs-)-f'(Xs-)bXs-
-τΓ(^,-)№)2].
где [X, X]=([X, X]*, Wi) — квадратич. вариация
семимартингала X, то есть
[X, X]t=Xl+2YoXs-dXs,
[Χ, *« = [*. *]*-Σ0<.<ί(ΔΧ,)·
— непрерывная часть квадратич. вариации [X, X],
ΔΧ5=Χ^—Xs-, а рассматриваемые интегралы
понимаются как стохастич. интегралы по С.
Если X есть С, то процесс Х(<1)=(Х<<1}, %ft) с
Х<< '^Xt-Σο <s<t ΔΧ*7 <Ι ΔΧ* I > *>
имеет ограниченные скачки, ΙΔΧ^^Ι^Ι, и в силу
этого он допускает единственное представление вида
X[<V = X0 + Bt+Mu
где B—(Bt, g^f) — предсказуемый процесс локально
ограниченной вариации, a M = (Mt, ψχ) —
локальный мартингал. Этот мартингал однозначным образом
представим как M = Mc-\-Md, где Mc = (Mct%Ft) —
непрерывный локальный мартингал (непрерывная мар-
тингальная составляющая семимартингала X), а

1113
СЕПАРАБЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС
1114
Md=(Mt, §Ί) — чисто разрывный локальный
тингал, к-рый может быть записан в виде
мар-
J"HloSi.|<i*,('l-v)·
где άμ—μ (ω, dt, dx) — случайная мера скачков семи-
мартингала X, то есть
μ (ω, (0, t], Τ)=Σ0 < s< t / (ΔΖ,ζΓ), Γζ^3(Κ\{0}),
a dv=v(co, dt, dx) — ее компенсатор. Поскольку
Vft \XsI(\t±Xs\ >1)=Л* [ , ζάμ,
^0<s<* 5 Vl SX } JOJ|oc|>l r
то всякий семимартингал X допускает представление
Ъ-*.+в*+мп+11 $|ίψς1*ι (μ-ν)+$'0 $„, > ,*ϊμ,
к-рое наз. каноническим
представлением (разложением).
Набор (предсказуемых) характеристик (В, <МС>, ν),
где <МС> — квадратич. характеристика Мс, т. е.
такой предсказуемый возрастающий процесс, что
(Мс)2—<МС> является локальным мартингалом, наз.
триплетом локальных (предсказуемых)
характеристик X,
Лит.: [U Jacod J., Calcul stochastique et problemes de
mar-tingales, В., 1979 (Lecture notes in mathematics, № 714).
A. H, Ширяев.
СЕПАРАБЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА — конечномерная
полупростая ассоциативная алгебра А над полем /с,
остающаяся полупростой при любом расширении К
поля к (т. е. алгебра Л®£# полупроста для любого
поля К^к), Алгебра А сепарабельна тогда и только
тогда, когда центры простых компонент этой алгебры
(см. Ассоциативные кольца и алгебры) являются сепа-
рабельными расширениями поля к.
Лит.: [1] Ван дер ВарденБ. Л., Алгебра, пер. с
нем., 2 изд., М., 1979; [2] К э ρ τ и с Ч., Ρ а й н е ρ И., Теория
представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер.
с англ., М., 1969. Л, А. Бокуть.
СЕПАРАБЕЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — доминантный
морфизм / неприводимых алгебраич. многообразий X
и У, / : X ->■ У, для к-рого поле К (X) является сепа-
рабельным расширением подполя f*K(Y)
(изоморфного К (У) ввиду доминантности). Несепарабельные
отображения существуют только тогда, когда
характеристика ρ основного поля больше нуля. Если / —
конечный морфизм и его степень не делится на р, то он
сепарабелен. При Со. для точек в нек-ром открытом
подмножестве UdX дифференциал (df)x отображения /
сюръективно отображает касательное пространство
Τχ,χ в Τγ,/(χ) и наоборот: если точки χ и f(x)
неособые и (df)x — сюръективен, то / есть Со.
Термин «сепарабельность» употребляется для мор-
физмов и в ином смысле. Морфизм / : X -> У схем X
и У наз. сепарабельным, или (чаще)
отделимым, если диагональ в ΧΧγΧ замкнута.
Композиция отделимых морфизмов отделима; / : X -> У
отделим тогда и только тогда, когда для любой точки
2/ζ У существует такая окрестность V^y, что морфизм
f:f~1(V)-+V отделим. Морфизм аффинных схем
всегда отделим. Существует критерий отделимости
ДЛЯ Нётеровых схем. а. Н. Рудаков.
СЕПАРАБЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО —
топологическое пространство, обладающее счетной базой. Про
такие пространства иногда говорят, что они
удовлетворяют второй аксиоме счетности. м. И. Войцеховский.
СЕПАРАБЕЛЬНОЕ РАСШИРЕНИЕ π о л я —
расширение Κ/k такое, что для нек-рого натурального η
поля К и кр линейно разделены над к (см. Линейно
разделенные расширения). Расширение, не являющееся
сепарабельным, наз. несепарабельным.
В дальнейшем рассматриваются только алгебраич.
расширения (о трансцендентных сепарабельных
расширениях см. Трансцендентное расширение).
Конечное расширение сепарабельно тогда и только тогда,
когда отображение следа Sp : К -*-к является
ненулевой функцией. Алгебраич. расширение сепарабельно,
если любое конечное его подрасширение сепарабельно.
В характеристике 0 все расширения сепарабельны.
С. р. образуют отмеченный класс
расширений, т. е. в башне полей L^K^k
расширение Llk сепарабельно тогда и только тогда, когда
сепарабельны и L/K и К/к. Если Кг/к и К21к суть
С. р., то и К±К2/к сепарабельно; для Ср. К Ik и
произвольного расширения Llk расширение KL/L снова
сепарабельно. Расширение К/к сепарабельно тогда и
только тогда, когда оно допускает погружение в
некрое расширение Галуа Llk, При этом для конечного
расширения К/к число различных /с-изоморфизмов
поля К в L совпадает со степенью [К : к]. Любое
конечное Ср. является простым.
Многочлен f(x)£k[X] наз. сепарабельным
над к, если его неприводимые множители не имеют
кратных корней. Алгебраич. элемент α наз.
сепарабельным (над /с), если он является корнем
сепарабельного над к многочлена. В противном
случае α наз. несепарабельным. Элемент α
наз. чисто несепарабельным над &, если
<хрп£к для нек-рого п. Неприводимый многочлен f(x)
несепарабелен тогда и только тогда, когда
производная /' (х) тождественно равна 0 (это возможно только
в случае, когда к имеет характеристику ρ и f(x)—
=fi(xp). Произвольный многочлен f(x) однозначно
представим в виде f(x)=g(xPe), где g(x) — сепарабель-
ный многочлен. Степень многочлена g(x) и число е
наз. соответственно редуцированной
степенью и индексом многочлена /(χ),
Пусть Llk — произвольное алгебраич. расширение.
Все элементы поля L, сепарабельные над /с, образуют
поле К, к-рое является максимальным Ср. поля &,
содержащимся в L, Поле К наз.
сепарабельным замыканием поля к в L, Степень [К : к]
наз. сепарабельной степенью
расширения Llk, а степень [L : К] — несепарабель-
ной степенью, или степенью
несепарабельности. Несепарабельная степень равна
нек-рой степени числа ρ=char к. Если К=к, то поле к
наз. сепарабельно замкнутым в L,
В этом случае расширение Llk наз. чисто
несепарабельным. Расширение К Ik чисто несепара-
бельно тогда и только тогда, когда
-00 — П
Как? =\Jnkp ,
т. е. когда любой элемент поля К чисто несепарабелен
над к. Чисто несепарабельные расширения поля к
образуют отмеченный класс расширений. Если
расширение К/к одновременно сепарабельно и чисто не-
сепарабельно, то К=к.
Лит, см. при ст. Расширение поля. Л, В, Кузьмин.
СЕПАРАБЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС — случайный
процесс, поведение траекторий к-рого по существу
определяется их поведением на нек-ром счетном
пространстве. Именно, определенный на полном
вероятностном пространстве {Ω, ψ, Ρ} действительный
случайный процесс {Xf, t£ Τ7}, где Τ — подмножество
действительной прямой R, сепарабелен
относительно класса А подмножеств R, если
существует счетное множество ΤχαΤ (сепаранта)
и множество iVc^, P(JV)=0, такое, что для любого
Аа<Л и любого открытого интервала 1а&
П«бГТ1№€^}\П«61т№€^}с:ЛГ.

1115 СЕПАРАТИВНАЯ
Наиболее важны понятия сепарабельности
относительно класса замкнутых множеств и относительно
класса замкнутых интервалов (в последнем случае
процесс называется просто сепарабельным).
Если процесс {Xf, t£T) сепарабелен, то для любого
ω(£Ν и любого открытого интервала IcR
inf Xf((u)= inf ΧΠω)> SUP ^(ω) = sup Ζ/(ω), (1)
teiTt teiT teiTt teiT
inf 14((о)<^(й))< sup Xt((u), tfIT, (2)
teiTx teiTt
ПОЛУГРУППА
1116
lim inf Χα(ω)~ lim inf Χα(ω),
u^i.iteTt w->t, ueT
lim sup Χα{ω)= lim sup Χα(ω), ίζΤ,
Λ
w->i, ue Tt
u->f, ue τ
)
(3)
lim inf Xu (ω) ^ Xt (ω) s
u-*t, иетг
; lim sup Ζβ(ω), igr. (4)
Каждое из свойств (1) — (4) равносильно
сепарабельности. Если t — левая предельная точка множества Т,
то существует последовательность tn\t точек из Τ
такая, что
lim iniXt — lim inf Xu, lim sup Xt = lim sup Xu
η η u->t + 0 η η u-±t + 0
с вероятностью 1 (аналогично для пределов справа).
Если Xf — сепарабельный случайный процесс,
непрерывный по вероятности, то любое всюду плотное в Τ
счетное множество ТгаТ является сепарантой; кроме
того, для любого открытого интервала /, 1(]ТФф
и любой последовательности sn= {s„fe, &<&„}
конечных подмножеств IT, удовлетворяющей условию
sup inf \t—snk\-+Q,
teiT h
inf Xs
h nh
inf Xf, sup I,
teiT и nh
- sup Χχ
teiT
(5)
по вероятности. Сходимость в (5) можно заменить
сходимостью с вероятностью 1, если Xf непрерывен с
вероятностью 1.
Для всякого случайного процесса Xf, ίζΤ,
существует на том же вероятностном пространстве
сепарабельный относительно класса замкнутых множеств
процесс Xt, t£T, принимающий значения из
расширенной числовой прямой, и такой, что P{Xf— Xf}=
= 1, t£T. Понятие сепарабельности и его свойства
обобщаются на процессы, у к-рых Τ и область значений
суть различные общие топологич. пространства.
Переход к С. п. позволяет утверждать применимость ряда
важных функционалов и множеств, связанных с
процессом. Альтернативный подход состоит не в
изменении случайных величин, образующих процесс, а в
расширении σ-алгебры, на к-рой он определен (напр.,
в случае функционального пространства —
произведения хаусдорфовых компактов меру с обычной
σ-алгебры, порожденной цилиндрич. множествами,
можно однозначно продолжить на весьма богатую σ-ал-
гебру борелевских множеств).
Лит.: [1] Д у б Д ж. Л., Вероятностные процессы, пер.
с англ., М., 1956; [2] Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с
англ., М., 1962; [3] ГихманИ. И, Скороход А. В.,
Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971; [4] D о о b Т. L.,
«Bull. Amer. Math. Soc», 1947, v. 53, № ι, p. 15—30; [5]
Nelson E., «Ann. Math.», 1959, v. 69, № 3, p. 630—43.
В. В. Сазонов.
СЕПАРАТИВНАЯ ПОЛУГРУППА - полугруппа, в
к-рой для любых элементов х, у из х2=ху=у2 следует
х—у. Если полугруппа S обладает разбиением на
подполугруппы, удовлетворяющие закону
сокращения, то S будет С. п. Для коммутативных полугрупп
верно и обратное; более того, всякая коммутативная
С. п. разложима в связку полугрупп (автоматически
в полурешетку) с законом сокращения.
Коммутативная полугруппа будет С. п. тогда и только тогда,
когда она вложима в клиффордову полугруппу. Пе-
риодич. полугруппа будет С. п. тогда и только тогда,
когда она клиффордова. Коммутативная полугруппа S
будет С. п. тогда и только тогда, когда ее характеры
отделяют элементы S.
Лит.: [1] Клиффорд Α., Престон Г.,
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т.1,М.,1972. Л. Η Шеврип.
СЕПАРАТРИСА — термин качественной теории
дифференциальных уравнений.
1) С. в первоначальном смысле слова — траектория
{Sfp} потока {Sf} на плоскости, стремящаяся (при
£->-(-оо или при t -> — оо) к нек-рому равновесия
положению р0, причем сколь угодно близко к ней имеются
траектории, к-рые вначале приближаются к р0, как бы
«идя вдоль траектории {Sfp }», а затем отходят от него
на нек-рое конечное расстояние. Формально
последнее означает существование таких окрестности U
точки р0, последовательности точек рп-+ ρ и
последовательностей чисел sn, tn, что sn -> оо (соответственно
s„^-oo),
SsnPn~+Po, stnPn£ U, tn > sn (tn < sn).
Основной пример — С. невырожденного (или
простого) седла. Для последнего под С. может пониматься
также его устойчивое (соответственно неустойчивое)
многообразие, т. е. (в данном случае) линия,
включающая седло и обе траектории, стремящиеся к нему при
*->+оо (соответственно при t ->-—оо).
Название «С.» связано с наблюдением, что С. наряду
с замкнутыми траекториями делят фазовую плоскость
на области с одинаковым поведением траекторий. Это
наблюдение может быть строго формализовано (см. [1],
[3]). С. могут входить в состав предельных множеств
траекторий. Так, траектория может навиваться на
«петлю С.» — замкнутую кривую, образованную
траекторией, стремящейся к одному и тому же седлу как
при t ->- — оо, так и при t ->- оо, или на «сепаратрисный
контур (цикл)» — замкнутую кривую, состоящую из
нескольких С, соединяющих седла. При малом
возмущении из петли С. может возникнуть предельный
цикл (это один из основных типов бифуркаций для
потоков на плоскости; см. [2], [3]).
2) В многомерном случае под С. (или с е π а р а т-
рисными многообразиями) чаще всего
понимают устойчивое и неустойчивое многообразия
гиперболич. положения равновесия или периодич.
траектории.
Имеются попытки выделить под названием «С.» класс
траекторий, входящих в множества, которые в
некотором смысле «разделяют» траектории с различным
поведением. Непосредственное обобщение случая
плоскости имело бы ограниченную применимость,
поскольку в многомерном случае фазовое пространство,
вообще говоря, не разбивается на области,
заполненные траекториями с одинаковыми предельными
множествами (тогда как На плоскости такая ситуация
«типична»). Предложенные формулировки являются
довольно сложными (см. [4]), и не приходится ожидать
полного описания различных типов С. и составленных
из них множеств.
Лит.: [1] Андронов Α. Α., ЛеонтовичЕ. Α.,
Гордон И. И., Μ а й е ρ А. Г., Качественная теория
динамических систем второго порядка, М., 1966;L2] и χ ж е, Теория
бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 1967; [3]
Баутин Н. Н., Леонтович Ε. Α., Методы и приемы
качественного исследования динамических систем на плоскости,
М., 1976; [4j Hart z man С. S., «Aequationes math.», 1980,
v. 20, № 4, p. 59—72. Д. В. Аносов.
СЕРВАНТНАЯ ПОДГРУППА, чистая
подгруппа,— такая подгруппа С абелевой группы G, что
для любого элемента eg С из разрешимости в G
уравнения пх=с следует его разрешимость в подгруппе С.
Примерами С. п. служат нулевая подгруппа, сама

1117
СЕРПИНЬСКОГО КРИВАЯ
1118
группа G, периодич. часть данной группы и прямые
слагаемые. Даже для примарной группы не всякая
С. п. должна быть ее прямым слагаемым Однако если
С — периодическая С. п. абелевой группы G, причем
порядки ее элементов ограничены в совокупности, то
С — прямое слагаемое в G. Имеется (см. [1]) полное
описание абелевых групп, в к-рых каждая С. п.
служит прямым слагаемым. Полностью исследован также
вопрос о мощности множества С. п. абелевой группы.
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.
О. А. Иванова.
СЕРИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ -
статистика, к-рая служит оценкой автокорреляции
(автокорреляционной функции) временного ряда.
Именно, пусть хх, х2, . . ., χΝ — временной ряд. С. к. к.
порядка к наз. статистика г^, задаваемая формулой
Гк^
СЕРИЙ СХЕМА, последовательность
серий,— двойная последовательность случайных
величин lnk, 1 <&<&„, кп-+ оо, и^1, в к-рой случайные
величины {-„г, ξ„2, . . ·, 6nfc„» образующие и-ю серию,
взаимно независимы при любом п. Простейшая С. с.
соответствует случаю кп—п. Класс случайных
величин, образующих С. с, играет в предельных теоремах
теории вероятностей особую роль, к-рая определяется
предельным поведением при η ->- оо распределений
сумм случайных величин:
4»=Σ£,*»*· (1)
При определенных условиях класс предельных
распределений для таких последовательностей совпадает
с классом безгранично делимых распределений.
Именно, пусть С. с. 1пк
удовлетворяет условию
бесконечной малости (условию
асимптотической пренебре-
гаемости), то есть при
η —>- оо
В качестве С. к. к. используются статистики, близкие
к (*) несколько упрощенного вида. Совокупность
С. к. к. наз. коррелограммой; этот термин
употребляется также для обозначения графика г^ как
функции к.
При различных предположениях относительно
распределений х( имеются точные и приближенные
выражения для распределения С. к. к. и их моментов. С. к. к.
используются в статистич. задачах для обнаружения
зависимости членов временного ряда.
Наряду с термином «С. к. к.» используется термин
«выборочная автокорреляци я».
Лит.: [1] Андерсон Т., Статистический анализ
временных рядов, пер. с англ., М., 1976; [2] К е н д а л л М., Стью-
а ρ τ Α., Многомерный статистический анализ и временные ряды,
пер. с англ., М., 1976; [3] X е н н а н Э., Анализ временных
рядов, пер. с англ., Μ., 19Θ4. В. Г. Ушаков.
СЕРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ — семейства
(непрерывных неприводимых унитарных) представлений
локально компактной группы (точнее, неприводимые
множества классов унитарной эквивалентности таких
представлений), обладающие общими свойствами по
отношению к регулярному представлению этой группы.
Так, семейство неприводимых унитарных
представлений группы, матричные элементы к-рых являются
равномерными на компактах пределами матричных
элементов регулярного представления, образуют о с-
новную серию представлений;
остальные неприводимые унитарные представления (если
они существуют) образуют дополнительную
серию представлений; семейство (классов
эквивалентности) неприводимых прямых слагаемых
регулярного представления образует
дискретную серию представлений данной
группы. Для редуктивных групп Ли или групп Ше-
валле понятие С. п. имеет смысл также для
подмножеств множества классов эквивалентности
представлений этой группы, элементы к-рых обладают теми
или иными свойствами по отношению к регулярному
представлению редуктивных факторгрупп параболич.
подгрупп этой группы. Так, семейство представлений
редуктивной группы, индуцированных
конечномерными представлениями ее параболич. подгруппы,
образует связанную с этой параболич. подгруппой часть
пространства представлений, называемую
соответствующей основной (основной вырожденной, если
параболич. подгруппа не является борелевской) С. п.
Лит.: [1] Кириллов Α. Α., Элементы теории
представлений, 2 изд., М., 1978; [2] N g u e n Huu Ann., «Ann. Inst.
Fourier», 1980, v. 30, fasc. 1, p. 152—92, [3] G a 1 1 e ζ J., Les
sous-groups paraboliques de SU (p, q) et Sp (n, R) et applications,
P., 1979. А. И. Штерн.
max Ρ {|ξ„*|^β}->0.
К ft < ft»
(2)
Говорят, что ξ„£ образуют нулевую схему
серий. Тогда множество распределений,
предельных в смысле слабой сходимости для распределений
(1), где Ιη^ — нулевая С. с, удовлетворяющая
условию бесконечной малости, совпадает с множеством
безгранично делимых распределений.
Известны условия сходимости распределений г\п
к заданному безгранично делимому распределению
(см. [1]). В частности, условие сходимости к
нормальному распределению имеет следующий вид.
Пусть 1пк есть С. с, Fnk — функция распределения
Ink- Для того чтобы 'ink удовлетворяла условию (2)
и распределение сумм (1) слабо сходилось к
нормальному распределению с параметрами а и Ь, необходимо
и достаточно, чтобы для любого фиксированного ε>0
выполнялись условия:
з> ς:-=1 $,
|ί|<β*Μ^(*)-α.
Изучение предельных распределений для
нормированных частичных сумм последовательности
независимых случайных величин сводится к С. с.
По поводу С. с. см. также Безгранично делимое
распределение, Больших чисел закон, Предельные
теоремы. Так, напр., в классич. вариантах центральной
предельной теоремы и закона больших чисел
рассматриваются частные случаи С. с, образованные
случайными величинами
lnk = ~
tk-4k
/
У 2J"=iD^
lnk =
lk~4k
где |fe — независимые случайные величины.
Лит.: [1] Г н е д е н к о Б. В., Колмогоров А. Н.,
Предельные распределения для сумм независимых случайных
величин, М.—Л., 1949; [2] Π ρ ο χ ο ρ о в Ю. В.,
Розанов Ю. Α., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [3] Π е т-
?о в В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972;
4] Φ е л л е ρ В., Введение в теорию вероятностей и ее
приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967. Я. Г. Ушаков.
СЕРПИНЬСКОГО КРИВАЯ, ковер Серпинь-
с к о г о,— пример канторовой кривой, содержащей
подмножество, гомеоморфное любой наперед заданной

1119
CEPPA
1120
канторовой кривой. Построена В. Серпиньским [1],
конструкцию см. в ст. Линия. Эта кривая в каждой
точке имеет континуальный индекс ветвления.
Лит.: [1] S i е г ρ i ή s k i W., «Gompt. Rend. Acad, sci.»,
1915, v. 160, p. 302; 1916, v. 162, p. 629; [2] Александров
П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М.,
1977; [3] Куратовский К., Топология, пер. с англ.,
т. 2, М., 1969. М. И. Войцеховский.
СЕРРА ПОДКАТЕГОРИЯ — ненулевая полная
локально малая подкатегория @ абелевой категории 9Ϊ
такая, что для каждой точной последовательности
в 5Ϊ верно, что В£<& эквивалентно Л£@ и £ζ@·
Локальная малость категории есть условие:
совокупность представителей классов эквивалентных
подобъектов любого объекта составляет множество.
С. п. можно охарактеризовать как ядро точного
функтора в категории Щ..
С. п. позволяет определить факторкатегорию Я/€>,
объектами к-рой являются объекты категории 3t, а
морфизмы определяются равенством
Μστβ/β(Χ, Y) = limy.f X/Jr6βMore(X', Υ/Υ')-
Факторкатегория %Ι& является абелевой.
С. п. наз. локализующей, если канонич.
функтор Τ : 5ί -> ЭДУ© имеет правый сопряженный
функтор S : W<& -> 5ί, наз. функтором
сечений. Если Ж — Гротендика категория,
обладающая копроизведениями, то локализующий функтор
существует. Таким образом получается обобщение
классич. теории локализации модулей над
коммутативным кольцом. Этот метод охватывает
многочисленные конструкции колец частных и теории кручений
(радикалов) модулей над ассоциативными кольцами.
Понятие «С. п.» было введено Ж. П. Серром [1] и
названо им классом. Используя это понятие, он
получил далеко идущее обобщение теоремы Гуревича (см.
Гомотопическая группа).
Лит.: [1] Serre J.-P., «Ann. Math.», 1953, v. 58, №2,
p. 258—94 (рус. пер., в сб.: Расслоенные пространства и их
приложения, М., 1958, с. 124—59); [2] Φ е й с К., Алгебры:
кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977; [3] Ρ о-
р е s с о N.. Gabriel Р., «С. г. Acad, sci.», 1964, t. 258,
№ 17, p. 4188—90. В. Ε. Говоров.
СЕРРА РАССЛОЕНИЕ — тройка (X, р, У), где
Χ, Υ — топологич. пространства, ρ : X -> Υ —
непрерывное отображение, обладающее следующим
свойством (наз. свойством существования накрывающей
гомотопии для полиэдров). Для любых конечного
полиэдра К и отображений
f:Kx[0, 1]-+У, F0:K = Kx{0}-+Y
с f\(KX{0}) = poF0
существует отображение
F:(KX[0, 1])~»X
такое, что F\(KX {0})=F0, poF=f. С. р. было
определено Ж. П. Серром (J.-P. Serre) в 1951 (см. [1]).
Лит.: [1] Расслоенные пространства и их приложения. Сб.
пер., М., 1958, с. 9—114. А. Ф. Харшиладзе.
СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ — интерпретация программы
(плана) реализации нек-рого комплекса
взаимосвязанных работ в виде графа ориентированного без
контуров, отражающего естественный порядок
выполнения работ во времени с нек-рыми дополнительными
данными комплекса (стоимость, ресурсы,
продолжительность и т. д.). Обычно С. м. изображают
графически на плоскости и в этом случае ее наз. сетевым
графиком. См. лежит в основе метода сетевого
планирования и управления и календарного
планирования. В зависимости от условий при обработке
информации См. может иметь и другие формы
представления — табличную, цифровую и т. п. Все формы
представления С м. равносильны.
Основой С. м. является ее структура, т. е. граф
комплекса работ, к-рый, как правило, определяется
следующим образом. Пусть ult u2i . . ., vn — комплекс
работ (напр., возведение многоэтажного здания), для
к-рого определены стадии xlt х2, . . ., хт: начало хг,
конец хт и, в зависимости от логики частичного порядка,
обусловленной взаимосвязью работ, каждая
промежуточная стадия χι (напр., нельзя закончить монтаж
каркаса десятого этажа, не выполнив
соответствующие работы по девятому этажу). Промежуточные
стадии, равно как и их число, являются в достаточной
мере условными и во многом определяются
ответственными за реализацию комплекса. Пусть V= {v{} —
комплекс работ, а Х= {χι} — множество стадий.
Если теперь определить граф G, для к-рого X является
множеством вершин, а работа vj, /=1, 2, . . ., и,
имеющая началом стадию хг и концом стадию xs, является
его дугой, то полученный ориентированный граф G=
= {Х, V) без контуров и есть искомая структура См.
рассматриваемого комплекса работ. На языке См.
работы vlt v2, . . ., vn, наз. операциями, а стадии
хг, х2, . . ., хт — событиями.
С м. строится на основе своей структуры в
зависимости от целей, к-рые ставятся при этом относительно
комплекса работ. Напр., в случае, когда относительно
комплекса ставится задача выполнить его в
минимальный срок при заданных ресурсах, то См. включает
в себя и данные о времени, необходимом для
выполнения каждой работы vj, и в этом случае говорят,
что С м. построена по критерию времени.
С м. может быть построена и по другому критерию
или одновременно по нескольким критериям. В
зависимости от этого С м. наз. одномерной или
многомерной. Различают См.
канонические и альтернативные (см. [1], [3]).
Первые определяются при помощи фиксированной
структуры и условия, что любая операция Vj—(xr, xs)
не может быть начата, пока не выполнены все операции
с концом в хг. Вторые имеют переменную структуру и
допускают начало нек-рой операции vj=(xr, xs) после
выполнения какой-либо одной операции с концом в
хг. С м. бывают также
детерминированными и вероятностными в зависимости от
того, точны критерии или прогнозированы с какой-
либо вероятностью.
Лит.: [1] Основные положения по разработке и применению
систем сетевого планирования и управления, 3 изд., М., 1974;
[2] Энциклопедия кибернетики, К., 1974; [3] Л о π а т н и к о в
Л. И., Краткий экономико-математический словарь, М., 1979.
П. С. Солтан.
СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ, сетевой метод
планирования и управления,— метод
управления при реализации нек-рого комплекса работ
(проекта, программы, темы и т. п.) на основе сетевой
модели комплекса, известной также под названием
ПЕРТ (см. [2]). С. п. позволяет существенно поднять
качество планирования и управления при реализации
комплекса работ, в частности оно дает возможность
четко координировать деятельность всех сторон
(организаций), участвующих в реализации комплекса,
выделить наиболее важные задачи, судить о наиболее
целесообразных сроках реализации проекта,
своевременно корректировать планы реализации и т. д.
С п. может быть условно разбито на два этапа: 1)
построение сетевой модели (см.) комплекса работ,
2) использование с. м. для планирования и управления
при реализации комплекса работ (см. [1]—[3]).
Построение см. комплекса сводится к отображению в виде
специально ориентированного графа множества
стадий (событий) и естественного порядка (вообще
говоря, частичного) самих работ (операций) комплекса, а

1121
СЕТЬ
1122
также и нек-рой числовой информации, необходимой
при этом (время выполнения каждой операции,
ресурсы и др.)· В зависимости от сформулированных целей,
после составления е. м. приступают к ее анализу для
лучшей подготовки плана их достижения. Напр., если
см. построена по критерию времени, т. е. когда
необходимо добиться минимальной продолжительности
всего комплекса работ при заданных ресурсах, то этот
анализ сводится к нахождению критич. пути и
выяснению того времени, меньше к-рого делает задачу
реализации комплекса неразрешимой. Это означает
следующее. Пусть G=(X, V) — структура см.
комплекса, где
Х = {Х!, Х2, ..., Хт) И 7={У1, V2, ..., Vn}
— соответственно множества событий и операций, а
t (vj) — время выполнения операции vj£V.
Рассматривается множество Ρ всех путей графа G,
максимальных по включению. Таких путей в G, вообще говоря,
много, и для более простой ситуации, когда имеется
одно начальное событие ^и одно конечное событие хт,
все эти пути начинаются в хг и кончаются в хт. Среди
всех путей множества Ρ ищется тот, к-рый обладает
наибольшей длиной (под длиной пути р—
= {vjii vj2i . .., vjk} понимается число t(p)=t(vjl)-\-
+t(vy2)+. . .+t(v/k))· Путь р£Р, обладающий этим
свойством, наз. критическим путем см.,
и его длина выражает, что реализация комплекса
работ за меньшее время, чем £(р), невозможна. Поэтому
метод С. п. наз. также методом
критического пути (см. [1] — [4]).
С. п. на период самой реализации комплекса работ
играет роль механизма в управлении, помогающего
обрабатывать информацию о фактич. состоянии работ
для данного момента времени и о .прогнозируемых
изменениях и необходимой корректировке планов для
выполнения оставшихся работ.
Лит.: [1] Основные положения по разработке и применению
систем сетевого планирования и управления, 3 изд.,М., 1974;
[2] Кофман Α., Дебазей Г., Сетевые методы
планирования. Применение системы ПЕРТ и ее разновидностей при
управлении производственными и научно-исследовательскими
проектами, пер. с франц., М., 1968; [3] Сетевое планирование и
управление, М., 1967; [4] Абрамов С. Α., Мариничев
М. И., Поляков П. Д., Сетевые методы планирования
и управления, М., 1965; [5] Энциклопедия кибернетики, К.,
1974; [6] Л о π а т н и к о в Л. И., Краткий
экономико-математический словарь, М., 1979. П. С. Солтан.
СЕТЕВОЙ ГРАФИК — сетевая модель,
изображенная графически на ПЛОСКОСТИ. П. С. Солтан.
СЕТОК МЕТОД — собирательное название группы
приближенных методов решения дифференциальных,
интегральных и интегро-дифференциальных
уравнений. Применительно к дифференциальным уравнениям
с частными производными термин «С. м.» используется
в качестве синонима терминов «метод конечных
разностей» и «разностный метод». См.— один из наиболее
распространенных приближенных методов решения
задач, связанных с дифференциальными уравнениями.
Широкое применение С. м. объясняется его большой
универсальностью и сравнительной простотой
реализации на ЭВМ.
См. Разностных схем теория.
По материалам одноименной статьи в БСЭ-3.
СЕТЬ — обобщение понятия графа. С. задается
парой вида (F, £), в к-рой V — нек-рое множество,
§=(Eq, Еъ Е2, . . .) — семейство наборов элементов
из V. В наборах Ε{ζ$ элементы могут, вообще
говоря, повторяться. Элементы множества V наз.
вершинами С, элементы набора Е0 — π о л ю с а-
м и С, наборы £/, i=l, 2, . . .,— ребрами С.
В случае, когда множество полюсов пусто и каждый
из наборов Ε( является множеством, С. представляет
собой гиперграф. Если каждый из наборов Eh i=
= 1, 2, . . ., содержит ровно два элемента, С. есть
граф с выделенными полюсами.
Часто под С. понимается граф (с полюсами или без них),
элементам к-рого приписаны символы из нек-рого
множества. Напр., граф с полюсами, ребрам к-рого
приписаны неотрицательные числа, называемые
пропускными способностями, представляет собой
транспортную сеть.
Понятие С. используется в определении и описании
управляющей системы и специальных классов
управляющих систем (контактные схемы, схемы из
функциональных элементов), диаграмм переходов автоматов,
коммуникационных сетей и др.
Лит.: [1] Я б л о н с к и й С. В., «Проблемы кибернетики»,
1959, в. 2, с. 7—38; [2] Φ о ρ д Л., Φ а л к е ρ с о н Д.,
Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966; [3] К u n t z m a n η J.,
Theorie des reseaux Graphes, P., 1972. А. А. Сапоженко.
СЕТЬ — система Σ„={σ1, σ2, . . ., σ"} η семейств
(η^2) достаточно гладких линий, определенных в
области G л-мерного дифференцируемого многообразия Μ
так, что 1) через каждую точку x£G проходит точно
по одной линии каждого семейства σ*; 2) векторы,
касательные к этим кривым в точке я, образуют базис
пространства Тх — касательного пространства к
многообразию Μ в точке х. Векторы, касательные к
линиям одного семейства σ1', принадлежат одномерному
распределению Δί, определенному в области G.
Условия того, что семейства линий составляют С. в
некрой окрестности точки, могут не выполняться при
продолжении линий. Линии семейства σ* являются
интегральными кривыми распределения Δ£. Сеть
%naG определяется заданием η одномерных
распределений Δί таких, что в каждой точке x£G касательное
пространство Тх является прямой суммой
подпространств Δ/, i=l, 2, . . ., п. Сеть 2„cG определяет
в области G {п—1)-мерные распределения Δ„_ι такие,
что в каждой точке x£G подпространство Αη-ι(χ)<^Τχ
является прямой суммой η—1 одномерных
подпространств Δ[(χ), ίφι. Различают следующие типы С:
голономные С, для к-рых каждое из
распределений Δ^_ι интегрируемо (при п=2 всякая С. голо-
номна); частично голономные С, для
к-рых нек-рые из распределений Δ^_! интегрируемы,
а остальные неинтегрируемы (такие С. подразделяются
по числу неинтегрируемых распределений); не
голономные С, для к-рых все распределения Δπι_ι
неинтегрируемы.
Если распределение Δ„_ι, л>2, интегрируемо и
γ1' — интегральная кривая распределения Δί, то через
каждую точку x^yi проходит интегральное
многообразие распределения Δ^-ι, несущее сеть Ση^1(χ) из
кривых, принадлежащих семействам aJ\ ]φι.
Сеть 2nczG можно задать также одним из следующих
способов: а) системой векторных полей X^ciAi, б)
системой дифференциальных 1-форм ω* таких, чтош* (Xj) =
=^δ/, в) полем аффинора Φ такого, что Фп=Е (Е —
единичный аффинор).
При изучении С. рассматриваются три основные
проблемы: внутренние свойства С, внешние свойства
С. и исследование диффеоморфизмов С.
Внутренние свойства С. индуцируются структурой
многообразия, несущего С. Напр., сеть Ση в
пространстве Μ аффинной связности V наз.
геодезической сетью, если все ее линии геодезические.
Если риманово многообразие Μ со связностью без
кручения, в к-рой метрич. тензор ковариантно
постоянен, несет ортогональную чебышевскую сеть 1-го рода,
то Μ — локально евклидово. Связь таких С. с
параллельным перенесением векторов на поверхности была
установлена Л. Бьянки (L. Bianchi, 1922). Эта связь
&36 Математическая энц., т. 4

1123
СЕТЬ
1124
была положена А. П. Норденом в основу определения
чебышевской С. 1-го рода в пространство аффинной
связности.
Внешние свойства С. индуцируются структурой
объемлющего пространства Е. Так, напр., пусть сеть
Ση, заданная в нек-рой области G на гладкой
поверхности Vn проективного (тг+&)-мерного пространства
(fel), —сопряженная С, то есть в каждой
точке x£G сопряжены направления Δ{(#), Δ{(χ)
касательных к любым двум линиям С, проходящим
через точку χ (два направления сопряжены, если
каждое из них принадлежит характеристике касательной
плоскости Тх при ее смещении в другом направлении).
Если Vn не вмещается в проективное пространство
размерности, меньшей д+/с, то при к—\ поверхность
Vn несет бесконечное множество сопряженных С;
при к—2 поверхность несет в общем случае
единственную сопряженную С, но существуют и такие п-
мерные поверхности, на к-рых нет ни одной
сопряженной С; при &>2 только л-мерные поверхности
специального строения несут сопряженную С. При п>2
сопряженная С. может и не быть голономной (см. [3]).
Частным случаем голономной сопряженной С.
является η-сопряженная система: сеть Σ η,
обладающая тем свойством, что касательные к линиям
каждого семейства, взятые вдоль любой линии любого
другого -семейства, образуют развертывающуюся
поверхность. Сопряженные системы существуют в
проективном пространстве любой размерности п+к при
/г>2, /с>0. Поверхности Vn, несущие л-сопряженную
систему в проективном (тг+/с)-мерном пространстве,
когда к^п, и в каждой точке x£Vn соприкасающееся
к Vn пространство (пространство вторых
дифференциалов точки х) размерности 2д, впервые рассматривал
Э. Картан [4] под названием «многообразия особого
проективного типа» (поверхности Картан а).
На такие С. было распространено понятие Лапласа
преобразования (см. [5], [6]).
При изучении диффеоморфизмов С. по известным
свойствам сети ΣηαΜ описываются свойства сети
φ(Ση)αΝ при заданном диффеоморфизме φ : Μ ->- Ν
(напр., при изгибании или при конформном
отображении поверхности, несущей С.) или ищется
диффеоморфизм φ, сохраняющий нек-рые из свойств сети Ση.
Так, напр., сеть Σ2 на поверхности евклидова
пространства наз. ромбической сетью (конформно-чебышев-
ской), если она допускает конформное отображение
на чебышевскую С. На всякой поверхности вращения
асимптотическая сеть является ромбической.
Лит.: [1] Норден А. П., Пространства аффинной
связности, 2 изд., М., 1976; [2] Д у б н о в Я. С, Φ у к с С. Α.,
«Докл. АН СССР», 1940, т. 28, № 2, с. 102—04; [3] Б а з ы л е в
В. Т., в кн.: Итоги науки. Геометрия, 1963, М., 1965; [4] С
агΓι а п Ε., «Bull. Soc. math, de France», 1919, t. 47, p. 125—60; [5]
GliernS. S., «Proc. Nat. Acad. Sci. USA», 1944, v. 30, p. 95—
97; [6] С μ и ρ η о в Р. В., «Докл. АН СССР», 1950, т. 71, № 3,
с. 437—439. В. Т. Базылев.
СЕТЬ — отображение направленного множества в
(тоПОЛОГИЧеСКОе) пространство. М. И. Войцеховспий.
СЕТЬ сфер — совокупность всех сфер, относительно
к-рых данная точка (центр С, или
радикальный центр) имеет данную степень ρ —
степень С. Существуют три типа С. сфер:
1) гиперболическая С. (р >0), состоящая
из всех сфер, ортогональных нек-рой данной сфере;
2) эллиптическая С. (р<0), состоящая из
всех сфер, пересекающих нек-рую данную сферу по
какому-либо большому кругу последней;
3) параболическая С. (р = 0), состоящая
из всех сфер, проходящих через нек-рую данную
точку. Совокупность всех общих сфер двух С. наз.
связкой сфер. Совокупность всех общих сфер, центры
к-рых не лежат на одной прямой, наз. пучком сфер.
А. Б. Иванов.
СЕТЬ топологического
пространства X — семейство 5s подмножеств этого иространства
такое, что для каждой точки χζΧ и каждой ее
окрестности Ох найдется элемент Μ семейства $* такой, что
χζΜαΟχ.
Семейство всех одноточечных подмножеств
пространства и каждая его база всегда является его С.
Отличие С. от базы в том, что элементы С. не обязаны
быть открытыми множествами. С. появляются при
непрерывных отображениях: если / — непрерывное
отображение топологич. пространства X на топология,
пространство У и S3 — база пространства X, то
образы элементов базы S3 при / составляют сеть 5*=
= {fU : U£S3} пространства Υ. Далее, если
пространство X покрыто каким-либо семейством {Χα:αξ
ζ А } своих подпространств, то, фиксируя при каждом
α ζ А какую-либо 33а пространства Ха и соединяя все
эти базы вместе, получают сеть !P=U{S3a'· αζΑ}
пространства X. Пространства со счетной С.
характеризуются как образы сепарабельных метрич.
пространств при непрерывных отображениях.
Минимум мощностей всевозможных С. пространства
X наз. сетевым весом этого пространства и
обозначается nw(X). Сетевой вес пространства всегда
не превосходит его веса, но, как показывают примеры
счетных пространств без счетной базы, сетевой вес
может отличаться от веса. Для всех бикомпактных
хаусдорфовых пространств сетевой вес совпадает с
весом. Это утверждение распространяется на локально
бикомпактные пространства, пространства, полные по
Чеху, и на перистые пространства. Отсюда, в
частности, следует, что вес не увеличивается при
отображениях на такие пространства. Другое следствие:
если перистое пространство X (в частности,
бикомпакт) представлено в виде объединения семейства
мощности <τ своих подпространств, вес каждого из к-рых
не превосходит кардинала τ, предполагаемого
бесконечным, то и вес всего пространства X не больше,
чем τ.
Лит.: [1] Архангельский А. В., II о н о м а-
р е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
М., 1974; [2] Архангельский Α., «Докл. АН СССР»,
1959, т. 126, № 2, с. 239—41. А. В. Архангельский.
СЕЧЕНИЕ, секущая поверхность,
расслоения ρ : X -> Υ — непрерывное отображение
s : Υ -* X такое, что ρο8=ίάγ. Если (Χ, ρ, Υ) —
расслоение Серра, обладающее С, то
пп(Х) = Пп(р-1№))®*п(У).
Для главного расслоения из существования С.
следует его тривиальность. Векторное расслоение всегда
обладает т. н. нулевым сечением.
А. Ф. Харшиладзе.
СЕЧЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ρ : X -> У -
отображение s:Y-+-X, для к-рого pos=idy. В более
широком смысле Со. любого морфизма в
произвольной категории — обратный справа морфизм.
А. Ф. Харшиладзе.
СЖАТИЕ — аффинное преобразование плоскости,
при к-ром каждая точка смещается к оси Ох по
направлению оси Оу на расстояние, пропорциональное
ее ординате. В декартовой системе координат С.
задается соотношениями
х' —х, у' = ку, к > 0.
С. пространства к плоскости Оху по направлению
оси Oz задается соотношениями
х =х у'—у z' = kz, к > 0. „
' J у' ' Н. В. Ревсрук.
СЖАТИЕ, сжимающий оператор,—
ограниченное линейное отображение Τ гильбертова
пространства Η в гильбертово пространство Н' с
||Г||<1. При#=#' сжатие Τ наз. вполне неуни-

1125
СЖАТИЕ
1126
тарным, если оно не является унитарным операто- |
ром ни при каком отличном от {0} приводящем Τ .
подпространстве. Таковы, напр., односторонние сдвиги
(в отличие от двусторонних сдвигов, являющихся
унитарными С). Всякому С. в Я отвечает
единственное ортогональное разложение #=#о0#1 на
приводящие Τ подпространства такое, Что Т0—Т\Но
унитарен, а Т1^=Т\Нг вполне неунитарен. Т=Т0фТ1 наз.
каноническим разложением сжатия Т.
Дилатаци ей, или растяжением,
данного сжатия Г, действующего в Я, наз. ограниченный |
оператор В, действующий в нек-ром объемлющем
гильбертовом пространстве ΚΖ)Η и такой, что Тп=
= РВп, /1=1, 2, . . ., где Ρ — ортопроектор из К на |
Н. Всякое С. в гильбертовом пространстве Я обладает I
унитарной дилатацией U в пространстве KzdH и
притом минимальной в том смысле, что К=з. л. о.
{UnH}п2~<х> (теорема Сёкефальви-Надя).
Минимальные унитарные дилатации и определенные на
основе спектральной теории функции от них
позволяют построить функциональное исчисление для С,
развитое в основном для ограниченных аналитич.
функций в открытом единичном круге D (класс Харди
Я°°). Вполне неунитарное сжатие Τ принадлежит, по
определению, классу С0, если существует функция
и£Н°°, u(k)^kQ, такая, что и(Т)=0. Класс С0
содержится в классе С00 сжатий Т, для к-рых Тп ->- 0, Т*п -*
-> 0 при η -> оо. Для всякого сжатия Τ класса С0
существует т. н. минимальная функция
тт(К) (т.е. внутренняя функция и£#°°, |^(λ)|<1 в
D, | гх (ег'*),| = 1 почти всюду на границе D) такая, что
и(Т)=0 и и (к) является делителем всех прочих
внутренних функций, обладающих тем же свойством.
Множество нулей минимальной функции ?ητ(λ) сжатия Τ
в D вместе с дополнением до единичной окружности
к объединению тех дуг, через к-рые тт(к) допускает
аналитич. продолжение, совпадает со спектром σ(Τ).
Понятие минимальной функции сжатия Τ класса С0
позволяет распространить для этого класса С.
функциональное исчисление на нек-рые мероморфные в D
функции.
Теоремы об унитарных дилатациях получены не
только для индивидуальных С, но и для дискретных
{Тп}, /г=0, 1, . . ., и непрерывных {Т(s)}, 0<s<oo,
полугрупп С.
Как и для диссипативных операторов, для С.
построена теория их характеристич. оператор-функций
и на ее основе — функциональная модель,
позволяющая изучать структуру С. и соотношения между
спектром, минимальной функцией и характеристич.
функцией (см. [1]). Преобразованием Кэли !
A = (I+T)(I~T)-\ i£op(T),
сжатие Τ связано с максимальным аккретивным
оператором Л, т. е. таким, что iA — максимальный дис-
сипативный оператор. На этой основе строится тео- |
рия диссипативных расширений В0 симметрич.
операторов А0 (соответственно диссипативных по Филлип-
су расширений Ш0 консервативных операторов iA0).
Для С. разработана теория подобия, квазиподобия
и одноклеточности. Теория С. тесно связана с теорией
прогнозирования стационарных случайных процессов
и теорией рассеяния. В частности, схему Лакса —Фил-
липса [2] можно рассматривать как континуальный
аналог теории Сёкефальви-Надя—Фояша С. класса С00.
Лит.: [1] Секефальв и-Н а д ь Б., Φ о я ш Ч.,
Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве,
пер. с франц., М., 1970; [2] Л а к с П. Д., Φ и л л и π с Р. С,
Теория рассеяния, пер. с англ., М., 1971. И. С. Иохвидов.
СЖАТИЕ алгебры Ли, стягивание
алгебры Ли,— операция, противоположная
деформации алгебры Ли. Пусть Q — конечномерная
вещественная алгебра Ли, {сif) — набор ее структур- j
ных констант в фиксированном базисе е1ч . . ., еп и
A (t), 0<ί<1,— кривая в группе невырожденных
линейных преобразований пространства g такая, что
А (1)=Е. Пусть ei(t) = A (t)ei и cq(t) — структурные
константы алгебры g в базисе {*,·(*)}· Если cq(t) при
£_->- 0 стремятся к нек-рому пределу ct/(0), то алгебра
£, определяемая этими константами в исходном
базисе, наз. сжатием исходной алгебры д. Сжатие
Я также является алгеброй Ли, причем д можно
получить путем деформации алгебры д. Если $ —
алгебра Ли группы Ли G, то группу Ли G,
соответствующую д, также наз. сжатием группы G.
Хотя dim g=dim^, эти алгебры, вообще говоря,
не изоморфны: налр., если A (t)=tE, то cij(t)=tcij->0,
так что при таком С. предельная алгебра всегда
коммутативна. Естественное обобщение этого примера
состоит в следующем: пусть α — подалгебра в д, Ь —
дополнительное к α подпространство, причем [а, Ъ]<^
^Ь, и A(t)v=v для νζα, A(t)v=tv для ι;ζβ. Тогда
в пределе Ь становится коммутативным идеалом
алгебры д, в то время как умножение в α и
присоединенное действие алгебры α на Ь остаются
неизменными.
В частности, пусть G — группа Лоренца, g — ее
алгебра Ли, α — подалгебра, соответствующая
подгруппе вращений 3-мерного пространства. Тогда
описанное С. алгебры g дает алгебру Ли группы
Галилея G (см. Галилея преобразование, Лоренца
преобразование). Соответственно алгебра Лоренца является
деформацией алгебры Галилея и можно показать, что
комплексификация алгебры Галилея других
деформаций не имеет; в вещественном случае алгебру
Галилея можно получить также С. ортогональной
алгебры Ли so (4). Эквивалентный способ получения
алгебры Галилея из алгебры Лоренца состоит в том,
чтобы определить алгебру Лоренца как алгебру,
сохраняющую форму Минковского x2Jry2-\-z2—c2t2, и
затем устремить скорость света с к оо. Пока с<оо,
возникающие алгебры изоморфны д. Аналогично,
деформируя алгебру Пуанкаре (неоднородную алгебру
Лоренца), можно получить алгебры де Ситтера so (4,1) и
so (3,2) движений пространства постоянной кривизны.
Соответственно, устремляя кривизну к 0, получают
группу Пуанкаре как С. групп де Ситтера.
Связь между этими алгебрами продолжается на
представления. Если, как в описанных примерах,
существует матрица A (0)=lim A (t), то каждое
предав _
ставление S алгебры g порождает представление S
сжатой алгебры по формуле
S(x) = S(A(0)x)
для любого χ ζ g. Обратная операция (деформация
представлений), вообще говоря, невозможна.
Лит.: [1] Б а р у τ Α., Ρ о н ч к а Р., Теория
представлений групп и ее приложения, пер. с англ., т. 1, М., 1980; [2]
InonuE., Wigner Ε. P., «Proc. Nat. Acad. Sci. USA»,
1953, v. 39, p. 510—24; [3] S a 1 e t a n E. J., «J. Math. Phys.»,
1961, v. 2, p. 1—22. A. H. Толпыго.
СЖАТИЙ ПОЛУГРУППА — однопараметрически
сильно непрерывная полугруппа T(t), 0<ί<οο,
Г(0)=/, линейных операторов в банаховом
пространстве Е, для к-рых ||Γ(ί)||<1. Плотно определенный
в Ε оператор А будет производящим
оператором (генератором) С. п. тогда и только
тогда, когда выполнено условие Хилле — Иосиды
Ι)μ-λ/)-3|Κγ
36*

1127 сжатых отображений принцип
при всех λ>0. В других терминах: плотно
определенный оператор А — генератор С. п. тогда и только
тогда, когда он является максимальным диссипатив-
ным оператором.
Детально изучены С. п. в гильбертовом пространстве
Н. Частными видами С. п. являются полугруппы
изометрий (||7\г||= ||я||), унитарные
полугруппы (Τ* (ή^Τ-1^)),
самосопряженные полугруппы (Т* (t)=T(t)),
нормальные полугруппы (T*(t)T(t)= T(t)T*(t)).
Вместо генератора А иногда удобно рассматривать его
преобразование Кэли: В=(А+1) (А — Л-1
(когенератор). Оказывается, что полугруппа
будет полугруппой изометрий, унитарной,
самосопряженной, нормальной полугруппой тогда и только
тогда, когда когенератор соответственно будет
изометрическим, унитарным, самосопряженным,
нормальным оператором.
С. п. наз. вполне неунитарной, если ее
сужение на любое инвариантное подпространство не
является унитарным. Для вполне неунитарной
полугруппы (T(t)x, у) -> 0 при *->■ оо и любых я, у ζ Η.
Для того чтобы С. п. была вполне неунитарной,
достаточно, чтобы она была устойчивой, т. е. чтобы
\\T(t)x\\-+0 при ί->οο и х£Н.
Для всякой G. п. Τ (t) существует такое
ортогональное разложение Н—Н1^Н2 на инвариантные относи-
тельт) Τ (t) подпространства, что на Н1 полугруппа
унитарна, а на Н2 вполне неунитарна.
Если Τ (t) есть С. п. в гильбертовом пространстве Я,
то существует более широкое гильбертово
пространство Н, содержащее Η как подпространство, и в нем
такая унитарная группа U(t), — оо<£<оо, что Τ (t)=
= PU(t) при ί>0, где Р — ортогональный проектор
из И на Η. Группа U (t) наз. унитарной дила-
тацией полугруппы Τ (t). Дилатация
определяется однозначно с точностью до изоморфизма, если
потребовать, чтобы Η совпадало с замкнутой линейной
оболочкой множества \JU(t)H ( —оо<£<оо)
(минимальная дилатация).
Пусть N — гильбертово пространство и L2 (К, N) —
гильбертово пространство всех измеримых TV-значных
функций /(s), s£R, с интегрируемым квадратом
нормы. В этом пространстве определена унитарная группа
двустороннего сдвига (U (t)f)(s)=f(s—t). Аналогично,
1128
у отображения / полного метрич. пространства (X, р)
(или замкнутого подмножества такого пространства)
в себя, если для любых χ , χ" выполняется неравенство
Ρ (/(*'), /(*"))< <7Р(*', *"), (1)
где 0<#<1. Этот принцип широко используется для
доказательства существования и единственности
решения не только уравнения вида f(x)=x, но и
уравнений f(x)—y путем замены такого уравнения на
эквивалентное: ](х)=х, где f(x)=x±(f(x)—y)>
Схема применения С. о. п. обычно такова: исходя
из свойств отображением / находят сначала замкнутое
множество МаХ, обычно замкнутый шар, такое, что
f(M)czM, а затем доказывают, что на этом множестве /
является отображением сжатия. После этого,
отправляясь от произвольного элемента х0£М, строят
последовательность {sn}, xn—f(xn-T.)-> w=l, 2, . . .,
принадлежащую Af, к-рая сходится к нек-рому
элементу χζΜ. Это и будет единственное решение
уравнения f(x)=x, а хп будут последовательными
приближениями решения.
В общем случае условие (1) нельзя заменить условием
ρ (/(*'), /(**))< Ρ (*', **), (2)
однако если это условие выполняется на компактном
множестве К, к-рое / отображает в себя, то условие (2)
обеспечивает у / существование единственной
неподвижной точки χζΚ.
Имеет место следующее обобщение С. о. п. Пусть
снова / отображает полное метрич. пространство X
в себя и
ρ (/(*'), /ΜΧ?(α, β)Ρ(*', *")
в пространстве L2(R + , N), R + = (0, oo) определена
полугруппа одностороннего сдвига
(U (t) f) (s) = f (s—t) при 0<К«иО при t > s.
Всякая вполне неунитарная полугруппа изометрий
изоморфна одностороннему сдвигу в L2(R + , N), при
нек-ром вспомогательном пространстве JV".
Если Τ (t) — вполне неунитарная С. п. и U (t) —
ее минимальная унитарная дилатация, то на нек-ром
инвариантном подпространстве Η (а если Τ (t)
устойчива, то и на всем Н) группа изоморфна
двустороннему сдвигу. О полугруппах сжатия с нелинейными
операторами см. Полугруппа нелинейных операторов.
Лит.: [1] Davies Е., One-parameter semigroups, L.—
[а.о.J, 1980; [2] С е к е φ а л ь в и-Н а д ь В., ФояшЧ,,
Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве,
пер. с франц., М., 1970. С. Г. Нрейн.
СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП — одно из
основных положений теории метрич. пространств о
существовании и единственности неподвижной точки
множества при нек-ром специальном («сжимающем»)
отображении его в себя. См. Сжимающих отображений
принцип.
СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП,
сжатых отображений принцип,— теорема, утверждающая
существование и единственность неподвижной точки
при а<р(ж', ζ")<β, где 0<ςτ(α, β)<1 для 0<α<β<οο.
Тогда отображение / имеет на X единственную
неподвижную точку.
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В.,
Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М.,
1981; [2] Красносельский М. А. [и др.],
Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [3] Л ю с τ е р-
н и к Л. Α., С о б о л е в В. И., Элементы функционального
анализа, 2 изд., М., 1965; [4] Τ ρ е н о г и н В. Α.,
Функциональный анализ, М., 1980. В. И. Соболев.
СИГНАТУРА — 1) С. алгебраической
системы — совокупность отношений и операций,
действующих на основном множестве данной алгебраич.
системы, вместе с указанием их арностей. Алгебраич.
система (универсальная алгебра) с сигнатурой Ω наз.
также Ω-c и с τ е м о й (соответственно Ω-a лгеб-
р о й).
2) С. квадратичной или
симметрической билинейной формы над
упорядоченным полем — пара целых неотрицательных чисел
(р, q), где ρ — положительный, ад — отрицательный
индекс инерции данной формы (см. Инерции закон,
Квадратичная форма). Иногда С. формы наз. число
ρ—q. О. А. Иванова.
3) С. многообразия Мп— сигнатура
квадратичной формы
Qm(x) = (x\Jx, О),
где U — внутреннее когомологическое умножение,
ΟζΗη (Μ; %) — фундаментальный класс.
Многообразие предполагается компактным и ориентируемым.
С. обозначается σ(Μ).
Если п^0 mod 4, то полагают σ(Μ)=0. С. обладает
свойствами:
1) σ (Μ + Μ') = σ (Μ) + σ (М');
2) σ (ΜχΜ') = σ (Μ) σ (Μ');
3) o(dN) = Q.
С. многообразия может быть представлена как
линейная функция от его Понтрягина классов (см. [2]).

1129
СИЛЬНО НЕПРЕРЫВНАЯ ПОЛУГРУППА
ИЗО
О представлении С. как индекса нек-рого дифферен- I
циального оператора см. Индекса формулы.
Лит.: [1] Д о л ь д Α., Лекции по алгебраической
топологии, пер. с англ., М., 1976; [2] Милнор Дж., Сташеф
Д т., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979.
М. И. Войцеховский.
СИГНУМ — функция действительного переменного
я, равная 1, если χ положительно, равная 0, если χ
равно нулю, и равная —1, если χ отрицательно.
Обозначение: sgn χ или sign χ. Таким образом,
1, если χ > О,
sgn.z = < 0, если х = 0,
I —1, если χ < 0.
Ю. А. Горькое. |
СИЗИГИЯ — астрономический термин, означающий
расположение трех небесных тел на одной прямой.
В алгебре употребляется в значении соотношения.
Пусть Μ — левый 4-модуль, (mi)iej — семейство
элементов из М\ соотношением, или сизигией, между
(mi) наз. набор (a;)iGj элементов кольца А такой,
что 2,-о£-/У1/=0. Так возникает модуль сизигий, цещ,
сизигий и т. д. См. Гильберта теорема о сизигиях.
В. И. Данилов.
СИЛОВА ПОДГРУППА, с и лове к ая
подгруппа,— максимальная π-подгруппа группы, где π —
нек-рое множество простых чисел, т. е. периодич.
подгруппа, порядки элементов к-рой делятся только
на простые числа из π, и не содержащаяся ни в какой
большей подгруппе с таким свойством (силовская
π-подгрупп а). Основное значение для теории
групп имеют силовские р-подгруппы, то есть
С. п., множество π у к-рых состоит из единственного
простого числа р. Название дано в честь Л. Силова
(L. Sylow), доказавшего ряд теорем о таких
подгруппах в конечной группе (см. Силова теоремы).
С. п. играют важную роль в теории конечных групп.
Так, вопрос о дополняемости нормальной абелевой
подгруппы сводится к такому же вопросу для силов-
ских подгрупп; существование нетривиальной
ρ-факторгруппы связано с существованием нетривиальной
р-факторгруппы у нормализатора силовской р-подгруп-
пы; строение конечной простой группы во многом
определяется строением ее силовской 2-подгруппы. В
теории бесконечных групп, исключая теорию локально
конечных групп, роль С. п. меньше, поскольку уже
основной вопрос о сопряженности силовских р-под-
групп решается положительно только в отдельных
классах бесконечных групп.
Лит.: [1] КаргаполовМ. И., Мерзляков Ю. И.,
Основы теории групп, 3 изд., М., 1982; [2] Ш е м е τ к о в Л. Α.,
«Успехи матем. наук», 1975, т. 30, № 2, с. 179—98; [3] Итоги
науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967, с. 45—
61; [4] Η up pert В., Endliche Gruppen, [Bd] 1, В., 1974.
В. Д. Мазуров.
СИЛОВА ТЕОРЕМЫ — три теоремы о максимальных
ρ-подгруппах конечной группы, доказанные Л.
Силовым [1] и играющие большую роль в теории
конечных групп. Иногда объединение всех трех теорем наз.
теоремой Силова.
Пусть G — конечная группа порядка pms, где ρ —
простое число, не делящее число s. Тогда имеют место
следующие теоремы.
Первая теорема Силова: группа G
содержит подгруппы порядков рг для всех i== 1, 2,
. . ., m,, причем каждая подгруппа порядка рг_1
является нормальной подгруппой по крайней мере в
одной подгруппе порядка ρί. Из этой теоремы, в
частности, следуют такие важные утверждения: в группе G
существует Силова подгруппа порядка рт\ любая
р-подгруппа группы G содержится в нек-рой
силовской р-подгруппе порядка рт, индекс силовской р-
подгруппы не делится на р; если G=P есть группа
порядка рт, то любая ее собственная подгруппа
содержится в нек-рой максимальной подгруппе порядка
рт~г и все максимальные подгруппы группы Ρ
нормальны.
Вторая теорема Силова: все
силовские р-подгруппы конечной группы сопряжены между
собой. Для бесконечных групп аналогичное
утверждение, вообще говоря, неверно.
Третья теорема Силова: число
силовских р-подгрупп конечной группы делит порядок
группы и сравнимо с единицей по модулю р.
Для произвольных множеств π простых чисел
аналогичные теоремы о силовских π-подгруппах получены
лишь в классе конечных разрешимых групп (см. Холла
подгруппа). В неразрешимых группах ситуация иная.
Напр., в знакопеременной группе Аъ степени 5 для
π ={2, 3} есть силовская π-подгруппа S порядка 6,
индекс к-рой делится на число из π. Кроме того, в Аь
есть силовская π-подгруппа, изоморфная Л4 и
несопряженная с S. Число силовских зх-подгрупп в Аь не
делит порядок группы Аь.
Лит.: [1] S у 1 о w L., «Math. Ann.», 1872, Bd 5, S. 584—94;
[2] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962.
В. Д. Мазуров,
СИЛЬНАЯ ГОМОЛОГИЯ — см. Слабая гомология.
СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — то же, что Фреше
производная.
СИЛЬНО НЕПРЕРЫВНАЯ ПОЛУГРУППА —
семейство линейных ограниченных операторов T(t),
£>0, в банаховом пространстве X, обладающее
свойствами:
1) Τ (ί+τ)χ = Τ (t)T (τ)χ, t, τ > 0, χζΧ\
2) функции Τ (t)x непрерывны на (0, оо) при любом
х£Х.
При выполнении 1) из измеримости всех функций
Τ (t)x, re ζ X, и, в частности, из односторонней (справа
или слева) слабой непрерывности следует сильная
непрерывность T(t). Для С. н. п. конечное число
ω= inf *-4η||Γ(0||= Hm *-Чп|| 7(011
t > 0 t -> со
наз. типом полугруппы. Таким образом,
нормы всех функций Τ (t)x растут на оо не быстрее
экспоненты βωί. Классификация С. н. п. основана на
их поведении при t-+ 0. Если существует такой
ограниченный оператор /, что \\Т (t)— J\\ -»· 0 при t ->■ 0,
то / — проекционный оператор и T(t)—JetA, где
А — ограниченный линейный оператор,
коммутирующий с /. В этом случае Τ (t) непрерывна по норме
операторов. Если /=/, то T(t)=etA, — оо<£<оо,—
равномерно непрерывная группа операторов.
Если T(t)x-+Jx при каждом х£Х, то /—также
проекционный оператор, проектирующий X на
подпространство Х0 — замыкание объединения всех
значений T(t)x, ί>0, χζΧ.
Для того чтобы / существовал и равнялся /,
необходимо и достаточно, чтобы ||Γ(ί)|| была ограничена
на (0,1) и чтобы Х0—Х. В этом случае полугруппа
T(t), доопределенная равенством f(0)=/, сильно
непрерывна при £>0 (удовлетворяет С0-у с л о в и ю).
Для более широких классов полугрупп предельное
соотношение Τ (t) -+1 выполняется в обобщенном
смысле:
1 С*
lim— \ Τ (τ) χ dx = x, x£X
(суммируемость по Чезаро, Сх-у с л о в и е), или
Ηπιλ [™ е-^Т (τ)χάτ = χ, χζΧ
(суммируемость по Абелю, А -условие). При этом
предполагается, что функции ||Г(*)я||, х£Х, интегри-

1131
СИЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
1132
руемы на [0,1] (а значит, и на любом конечном
отрезке) .
Поведение С. н. п. при t -> 0 может быть совсем
нерегулярным. Напр., функции ||Г(фг|| могут иметь
при t=0 степенную особенность.
Для плотного в Х0 множества элементов χ функции
Τ (t)x дифференцируемы на [0, оо). Важную роль
играют С. н. п., для к-рых функции Τ (t)x
дифференцируемы при всех χ для £>0. В этом случае оператор
Т' (t) ограничен при каждом t и его поведение при
t ->- 0 дает новые возможности для классификации
полугрупп. Выделены классы С. н. п., для к-рых Τ(t)
допускает голоморфное продолжение в сектор
комплексной плоскости, содержащий полуось (0, оо).
См. Полугруппа операторов, Производящий оператор
полугруппы.
Лит.: [1] ХиллеЭ., ФиллипсР., Функциональный
анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962. С. Г. Нреин.
СИЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
неопределенного интеграла — нахождение сильной производной
неопределенного интеграла
F(I)=^lf(x)dx
действительнозначной функции /, суммируемой на
открытом подмножестве G я-мерного евклидова
пространства, рассматриваемого как функция сегмента.Если
|/| (In (1 + |/| J)""1
суммируема на G (в частности, если f£Lp(G), р>1),
то интеграл F от / сильно дифференцирует почти всюду
на G. Для любой ψ (и), и^О, положительной,
неубывающей и такой, что
φ (и)=о (wln"-^)
при и ->■ оо, существует такая суммируемая на G
функция /^0, что φ (/(£)) также суммируема и отношение
F(I)I\I\ неограниченно в каждой точке x£G при /,
стремящемся к х, то есть F не является С. д.
Лит.: [1] Jessen В., Marcinki ewicz J., Zyg-
mund Α.. «Fund. Math.», 1935, v. 25, p. 217—34; [2] S a k s S.,
«Fund. Math.», 1935, v. 25, p. 235—52; [3] С а к с С, Теория
интеграла, пер. с англ., М., 1949; [4] 3 и г м у н д Α.,
Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 2, М., 1965.
Т. П. Лукашенко.
СИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ дифференциального
уравнения
в области D — это локально интегрируемая функция и,
к-рая имеет локально интегрируемые обобщенные
производные всех порядков <лг и удовлетворяет
уравнению (*) почти всюду в области D.
Понятие «С. р.» может быть введено и таким
образом. Функция и наз. Ср. уравнения (*), если
существуют такие последовательности гладких (напр.,
класса С°°) функций {ип}, {/„}, что ип -> и, fn -> / и
Lun=fn при каждом п, где сходимость понимается
в LX{K) для любого компакта K^D. В этих
определениях Li можно заменить классом Lp локально
интегрируемых со степенью р^1 функций. Наиболее
употребительным является класс L2.
В случае эллиптич. уравнения (*) оба понятия
С. р. Совпадают. А. П. Солдатов.
СИЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл лебеговского
типа от функций со значениями в линейном топологич.
пространстве по скалярной мере или от скалярной
функции по мере со значениями в векторном
пространстве. При этом предельные процессы, с помощью
к-рых определяется интеграл, понимаются в смысле
сильной топологии. Примерами Си. являются:
1) Бохнера интеграл от векторнозначной функции;
2) Даниеля интеграл, если значения подинтеграль-
ной функции принадлежат σ-полной векторной
решетке;
С °°
3) интеграл \ \dFx, дающий спектральное
разложение самосопряженного оператора, действующего
в гильбертовом пространстве.
В Си. от скалярных функций по векторной мере
значения меры во многих случаях предполагаются
принадлежащими векторному полуупорядоченному
пространству.
Лит.: [1] Данфорд Н., ШварцД ж.-Т., Линейные
операторы, пер. с англ., т. 1—2, М., 1962—66; [2] Η i l d e b-
га η d t Т. Η., «Bull. Amer. Math. Soc», 1953, v. 59, p. Ill —
1 39. В. И. Соболев.
СИЛЬНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ —
минимальное значение J (у), достигаемое функционалом
J (у) на кривой у(х), χλ<.χ<.χ2, такое, что
для всех кривых сравнения у(х), удовлетворяющих
условию ε-близости нулевого порядка:
U (*)-?(*) 1<в (2)
на всем промежутке [хг, х2]. Предполагается, что
кривые у(х), у(х) удовлетворяют заданным граничным
условиям.
Если, помимо условия (2), требующего ε-близости
по ординате, добавить условие ε-близости по
производной:
\у'(х)-у'(х)\<в (3)
на всем промежутке [х1чх2], то говорят об условии ε-
близости первого порядка.
Значение, достигаемое функционалом J (у) на
кривой г/(я), для к-рого неравенство (1) выполняется для
всех кривых сравнения у(х), удовлетворяющих
условию ε-близости первого порядка, наз. слабым
относительным минимумом.
Поскольку условие ε-близости нулевого порядка
(2) выделяет более широкий класс кривых по
сравнению с условием ε-близости первого порядка (2),
(3), то всякий сильный минимум является
одновременно слабым минимумом, но не всякий слабый
минимум является сильным. В связи с указанным
различием необходимые, а также достаточные условия
оптимальности для сильного и слабого относительного
минимума имеют неодинаковый вид.
Наряду с понятием С. о. м. можно ввести понятие
абсолютного минимума. Абсолютный
минимум — это минимальное значение J (у), достигаемое
функционалом J (у) на всем множестве кривых, на
к-рых функционал J (у) имеет смысл. Абсолютный
минимум является глобальным, а сильный и слабый
относительные минимумы— локальными минимумами.
Абсолютный минимум является одновременно и
С. о. м., но не всякий С. о. м. является абсолютным
минимумом.
Вариационную задачу, имеющую более одного Со.
м., наз. многоэкстремальной задачей. При решении
практических вариационных задач С. о. м. находят
приближенно, используя численные методы
вариационного исчисления (см. Вариационное исчисление',
численные методы).
Для задач, в к-рых С. о. м. единственный,
необходимые условия оптимальности С о. м. являются
одновременно достаточными условиями абсолютного
минимума. Такая ситуация имеет место, напр., в теории
оптимального управления для линейных задач
оптимального быстродействия (см. Оптимального
быстродействия задача), а также для нек-рых других классов
задач вариационного исчисления.

1133
СИМВОЛ ОПЕРАТОРА
1134
Лит.: [1] Лаврентьев Μ. Α., Люстерник Л. Α.,
Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.—Л., 1950; [2]
С м и ρ н о в В. II., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М.,
1957. И. Б. Вапнярский.
СИЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ — минимальное или
максимальное значение J (у), достигаемое функционалом
J (у) на кривой у(х), х1^.х<^х2, для к-рого
выполняется одно из неравенств
J(y)<J (у) или J(y)^J (у)
для всех кривых сравнения у(х), находящихся в ε-
окрестности кривой у(х). Кривые у(х), у (х) должны
удовлетворять заданным граничным условиям.
Поскольку максимизация функционала J (у)
эквивалентна минимизации функционала — J (у), то
часто вместо сильного экстремума говорят о сильном
минимуме. Термин «сильный» подчеркивает, что на
кривые сравнения у (х) наложено условие ε-близости
только по у (х):
\у (*)—у(*)|<в
на всем промежутке [хъ х2], тогда как по производной
кривые у (х) и у (х) могут отличаться как угодно
«сильно».
По самому своему определению С. э. является
сильным относительным экстремумом, поскольку дает
экстремум не абсолютный, т. е. не на всем классе
допустимых кривых сравнения у(х), на к-рых
функционал J (у) имеет смысл, а локальный, относительный,
соответствующий подмножеству всех допустимых
кривых сравнения, находящихся в ε-окрестности кривой
у(х). Однако для краткости термин «относительный»
часто опускают и говорят о С. э., имея в виду сильный
относительный экстремум (см. Сильный
относительный минимум).
Лит.: [1] Лаврентьев Μ. Α., Люстерник Л. Α.,
Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.—Л., 1950; [2]
Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4,
М., 1957. #. Б. Вапнярский.
СИМВОЛ ОПЕРАТОРА — скалярная или матричная
функция, ассоциированная с оператором и обладающая
свойствами, в той или иной форме отражающими
свойства этого оператора. Обычно считается, что Со.
заданы для операторов, принадлежащих нек-рой
алгебре. Тогда, как правило, при сложении операторов
их символы складываются, а при умножении —
перемножаются с точностью до членов, в нек-ром смысле
являющихся младшими, но иногда и точно. Бывает,
что Со.— это функция со значениями в нек-рой
алгебре (в частности, операторной алгебре), более
простой, чем исходная.
Обычно символы ассоциируются с операторами,
действующими в функциональных пространствах. Тогда
одна из типичных ситуаций состоит в том, что если
оператор действует на функции от η переменных (или,
более общо, на функции на л-мерном многообразии),
то его символ — функция от 2п переменных (или на
2я-мерном многообразии). На основе использования
таких С о. строится теория псевдодифференциальных
операторов. Соответствие между символами и
операторами является основой квантования, при к-ром символ
является классич, величиной, а сам оператор —
соответствующей квантовой величиной.
Символы операторов в R.n. Пусть дан
полином
где q, pglR", q=(q11 . . ., qn), P = (j>i, · · ·» Ρ η) — муль-
тииндексы (т. е., напр., ы={р*х, . . ., а„), ау^О, ау —
целые, lal^a^· . .+а„, 0αβζ€). Тогда по нему
несколькими различными способами можно
построить оператор А, действующий на функциях на R."'
подставляя вместо qj оператор qj умножения на одну
из координат xj в R", а вместо pj — оператор ρ у =
= — —. , где i= V—1, /г-—произвольная постоянная
(играющая роль постоянной Планка). Если при этом
менять порядок букв q и р, то получатся разные
операторы. Если положить
A = a{q, Ρ/=Σ,α + β|<Τηααβ5αΡβ?
то a(q, p) наз. qp- с им в о л ом, или левым
символом оператора А. Получаемое таким образом
соответствие между левыми символами и операторами
является взаимно однозначным соответствием между
полиномами и дифференциальными операторами с
полиномиальными коэффициентами и может быть
распространено на значительно более широкие классы
операторов и символов, если воспользоваться
формулой
{Au)(x) = (2nh)-n^e
-г- (x-v) I
а(х, l)u(y)dydl,
где ζξ=ζ1ξ1+. . . + ζηΙη для и-мерных векторов ζ =
= (zlt . . ., zn) и |=(ξι, . . ., In), dy=dyl9 . . ., dyn,
d\=d\i . . . dt,n.
Оператор А с pq-c и м в о л о м, или правым
символом a(q, p) определяется формулой
A = a\q, PJ=lj{a + fi{<maa,ppVqa
или для более общих символов
(Au)(x) = (2nh)-n^
?h a{y,l)u(y)dydl.
Более симметричный способ построения оператора
по полиному a(g, р) получается, если ввести для не-
коммутирующих операторов #, С симметризованное
произведение (BkCl) формулой
а затем положить
*=S,e+il<«MW0-..(W5·)·
Тогда a(q, p) наз. символом Вейля
оператора А. Оператор А может быть записан через символ
Вейля по формуле
η -г (х—У) 1
(Аи) (x) = (2nh)-«\eh α (* + * , Щ и (у) dy d\.
Вторичное квантование приводит к появлению еще
двух видов символов операторов на R" — виковского
и антивиковского. А именно, если ввести операторы
рождения aj=qj — ipj и операторы уничтожения a~j —
=qj-\-ipj и записать дифференциальный оператор с
полиномиальными коэффициентами в виде
или в виде
то его виковский символ с (q, p) и анти-
виковский символ a(q, p) задаются
соответственно формулами
*(Я, Р) = У]„ acafi(Q — ip)a(9 + ip)t,

1135
СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
1136
О формулах, связывающих разные виды символов
одного и того же оператора, см. в [1]—[4].
Символы операторов на
многообразии. Если символы описанных выше типов на IR"
взаимно однозначно соответствуют операторам нек-
рых достаточно широких классов, то на многообразии,
как правило, нет естественных символов, для к-рых
существовало бы такое взаимно однозначное
соответствие. На многообразии важную роль играет т. н.
главный символ, к-рый определяется для
нек-рых псевдодифференциальных операторов и
является однородной функцией на
Т*Х\0—кокасательном расслоении многообразия X без нулевого
сечения. Его обратимость означает, что рассматриваемый
оператор А является эллиптическим и гарантирует
выполнение теоремы регулярности, т. е. гладкости
решений уравнения Au=f с гладкой правой частью /,
а также фредгольмовость оператора А (в случае
компактного X) в подходящих пространствах Соболева.
При сложении и умножении операторов их главные
символы соответственно складываются и
перемножаются. Главный символ не меняется при
добавлении к оператору членов меньшего порядка.
Символы операторов на
многообразии с краем. На многообразии с краем X
псевдодифференциальный оператор имеет вид
матрицы (см. [5]):
\\Л+В К\\ Г (£0 Г(£2)
Я= : Θ -θ ,
\\ Τ Ql r(d) Г(С2)
где Ei, Ε2 — векторные расслоения на X, Glt G2 —
векторные расслоения на У, А —
псевдодифференциальный оператор на X, удовлетворяющий трансмиссии
условию, Τ — граничный оператор, т. е. оператор
взятия каких-то граничных условий (вообще говоря,
псевдодифференциальных), К — кограничный
оператор, или оператор типа потенциала, В —
сингулярный оператор Грина (так называются композиции
граничных и кограничных операторов и нек-рые более
общие операторы аналогичной структуры), Q—
псевдодифференциальный оператор на У. Оператор 5Ϊ имеет
символы двух типов: внутренний и граничный.
Внутренний символ σ°(St) — это обычный символ
оператора Л, являющийся функцией на Т*Х\0,
точнее, сечением расслоения Йот (π*Εг, п*Е2), где
π : Т*Х\0 -> X — канонич. проекция.
Граничный символ Оу(Щ — это функция на Τ*Υ\0,
значения к-рой — операторы на полуоси [0, оо),
получающиеся из W. замораживанием коэффициентов
главной части в точке границы (в координатах, в к-рых
граница является гиперплоскостью) и последующим
преобразованием Фурье по касательным переменным.
Обратимость о°(Ш) — это обычная эллиптичность
оператора А. Если предположить эту эллиптичность, то
обратимость σγ (5ί) в классах убывающих функций на
полуоси — это фактически условие эллиптичности
граничной задачи, определяемой оператором 5ί, или
т. н. условие Шапир о—Л опатинского.
Таким образом, символом 5ί ^ естественно называть
пару {σ°(3ί), Оу(й)}. Если обратимы оба символа
σ° Щ) и ογ (5Ϊ), то щ наз. эллиптическим, и
в этом случае для него верны обычные теоремы о
регулярности и фредгольмовости (последняя — когда X
компактно).
Лит.: [1] Б е ρ е з и н Φ. Α., Метод вторичного
квантования, М., 1965; [2] Μ а с л о в В П., Операторные методы, М.,
1973; [3] Ш у б и н Μ. Α., Псев до дифференциальные операторы
и спектральная теория, М., 1978; [4] Б е ρ е з и н Φ. Α., «Ма-
тем. сб.», 1971, т. 86, № 4, с. 578—610; [5] В о u t e t de Μ ο η-
vel L., «Acta math.», 1971 v. 126, p. 11 — 51. M. А. Шубин.
СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА — 1) С. д. в уз
ком смысле слова — исследование определяемого ниже
топологич. автоморфизма Бернулли σ — его
инвариантных замкнутых подмножеств, инвариантных мер
и т. д. Топологический автоморфизм
Бернулли σ действует в пространстве Ω
бесконечных двусторонних последовательностей символов
из нек-рого алфавита А (обычно конечного), снабженном
топологией прямого произведения бесконечного числа
экземпляров А (в каждом из к-рых обычно берется
дискретная топология). А именно, σ переводит
последовательность со={(0;} в ω'={ω[·}, где ω;=ω,·+ι
(«сдвиг последовательности на один шаг налево»).
Очевидное обобщение — действие группы (или
полугруппы) G в пространстве А°.
Пусть нек-рые пары (а, Ъ) символов из А объявлены
«допустимыми». Всевозможные последовательности
{ω£·}, для к-рых при всех i пары (ω,·, ωί + ι) допустимы,
образуют нек-рое замкнутое инвариантное
(относительно σ) подмножество ΩχΟΐΩ. Это — важнейший
пример инвариантного подмножества топологич.
автоморфизма Бернулли. Динамич. система в Ωχ,
порожденная сдвигом а|Ох, наз. топологической
цепью Маркова.
2) С. д. в широком смысле слова — применение С. д.
в узком смысле слова к исследованию динамич. систем,
к-рые сами по себе определяются совершенно
независимо от Ω и а.
Лит.: [1] Алексеев В. М., Символическая динамика,
К., 1976 (Одиннадцатая [летняя] математическая школа, ч. 1);
[2] Б о у э н Р., Методы символической динамики, пер. с англ.,
М., 1979 (Новое в зарубежной науке. Математика, в. 13).
Д. В. Аносов.
СИММЕТРИЗАЦИИ МЕТОД (в теории функций) —
один из методов решения экстремальных задач геомет-
рич. теории функций. В основе метода лежит понятие
симметризации замкнутых и открытых множеств п-
мерного евклидова пространства. Впервые С. м. в
теории функций был применен к изучению свойств
трансфинитного диаметра (см. [1]), несколько
позднее — к решению проблемы Карлемана — Миллу (см.
[2]), а затем использовался достаточно широко (см.
[3] - [6], [9]).
Использование С. м. в теории функций основано на
монотонном характере изменения емкости
конденсатора и внутреннего радиуса области при различных
видах симметризации. Возможность применения С. м.
при решении экстремальных задач геометрич. теории
функций обусловливается определенной симметрией
экстремальных отображений. Опираясь на свойство
неубывания внутреннего радиуса области при ее
симметризации относительно прямой или луча, с помощью
теоремы об изменении внутреннего радиуса области
при отображении ее посредством регулярной функции
был получен следующий принцип
симметризации (см. [4]): если функция w=f(z), f(0)=wQ,
f (0)=a1, регулярна в круге Ε: \ζ\ <1, Ef — множество
значений функции w=f(z) в Е, Ef— результат
симметризации Ef относительно луча или прямой,
проходящих через w—w0, a r(Ef, w0) — внутренний радиус
области Ef относительно точки w=w0, то
r(E*f, m>o)^|*i|. (*)
Равенство в (*) имеет место тогда и только тогда, когда
функция w=f(z) однолистна в Е, а область Ef
совпадает с Ef (при симметризации Штейнера) или
получается из Ef в результате поворота вокруг w=wQ
(при симметризации Пойа). Аналогичный результат
имеет место и для других видов симметризации, для
к-рых справедливо свойство неубывания внутреннего
радиуса. Дополнительное исследование обычно
необходимо для выяснения условий достижимости в (*)
равенства.

1137
СИММЕТРИИ
1138
Имеются обобщения принципа симметризации на
случай кольца и областей произвольной связности
(см. [6]). Плодотворным оказывается сочетание С. м.
с другими методами решения экстремальных задач
геометрич. теории функций (экстремальной метрики
методом, теорией квадратичных дифференциалов и
др.). Таким путем был получен ряд теорем покрытия
и искажения для различных классов регулярных в
данной области функций (однолистных, однолистных
в среднем, слабо /?-листных в круге или в кольце и
др., см. [4] - [6]).
См. применяется также при изучении свойств
пространственных квазиконформных отображений. Это
обстоятельство особенно существенно в связи с
ограниченными возможностями исследования таких
отображений. С. м. позволяет находить среди двусвязных
пространственных областей, обладающих
определенными геометрич. свойствами, область с наибольшим
конформным модулем. Определение такой области в
свою очередь позволяет установить нек-рое
экстремальное свойство квазиконформного отображения. В
частности, с помощью С. м. установлены нек-рые теоремы
искажения для квазиконформных отображений в
трехмерном евклидовом пространстве (см. [7], [8]).
Лит.: [1] Paber G., «Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss.
Math.-naturwiss. Kl.», 1920, Bd 20, S. 49—64; [2] В e u г 1 i η g
Α., Etudes sur un probleme de majoration, Uppsala, 1933;[3] Π o-
лиаГ., Сегё Г., Изопериметрические неравенства в
математической физике, пер. [с англ.], М., 1962; [4] Хейман
B. К., Многолистные функции, пер. с англ., М., 1960; [5]
Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные
отображения, пер. с англ., М., 1962; [б] Г о л у з и н Г. М.,
Геометрическая теория функций комплексного переменного,
2 изд., М., 1966; [7] Шабат Б. В., «Докл. АН СССР»,
1960, т. 132, № 5, с. 1045—48; [8] Gehring F. W., «Trans.
Amer. Math. Soc», 1961, v. 101, № 3, p. 499—519; [9]
Baernstein Α., «Acta math.», 1974, v. 133, p. 139—69.
И. П. Митюк.
СИММЕТРИЗАЦИЯ — сопоставление каждому
объекту F объекта F* (того же класса), обладающего
нек-рой симметрией. Обычно С. подвергают замкнутые
множества F в евклидовом пространстве Еп (или в
пространстве постоянной кривизны), а также
отображения, причем С. строится так, что F* непрерывно
зависит от F. С. сохраняют одни и монотонно
изменяют другие характеристики объекта. С.
используются в геометрии, математич. физике, теории функций
при решении экстремальных задач. Впервые С.
введена Я. Штейнером (J. Steiner) в 1836 для
доказательства изопериметрического неравенства.
С. относительно плоскости En~k в
Еп: для каждого непустого сечения множества F
плоскостью Ек\_Еп~к в Ек строят шар с центром Ek[)En~k
и тем же /с-мерным объемом, что F[)Ek; заполняемое
шарами множество F* есть результат симметризации.
C. относительно плоскости сохраняет объем,
выпуклость, не увеличивает площадь границы и интегралы
поперечных мер (см. [2]). При к— 1 эта С. есть
симметризация Штейнера, при к—п—1 —
симметризация Шварца.
С. относительно полуплоскости
цп-k в βη: дЛЯ каждого непустого сечения F сферой
Sk, имеющей центр на границе дНп~к и лежащей в
Ek + 1±dHn-k, строят сферич. шапочку Sk[\Dn (Рп —
шар с центром Hn~k[\Sk) того же к -мерного объема,
что Fr\Sk; заполняемое шапочками множество F*
есть результат С. При к~ η—1 это — сферическая
С, если п=2 — круговая С.
С. смешением: для выпуклого множества
FdEn строят симметричное ему относительно
плоскости Е* множество F'\ результатом С. является
множество F*= (F-\--F')/2, где сложение множеств
понимается как векторная сумма.
С. окатыванием: для выпуклого тела FaEn
его опорная функция усредняется на параллельных
сечениях единичной сферы; результатом С. считается
тело F*, восстановленное по получившейся опорной
функции.
В Е3 симметризация Штейнера не увеличивает
емкость; симметризация Шварца сохраняет непрерывность
гауссовой кривизны границы и не уменьшает ее
минимум; С. относительно полуплоскости не увеличивает
основную частоту области и площадь границы;
сферическая С. не увеличивает емкость; С. смешением
сохраняет интеграл средней кривизны границы и не
уменьшает площадь последней; С. окатыванием
сохраняет ширину (см. [1], [3]).
В Е2 симметризация Штейнера не увеличивает
полярный момент инерции, внешний радиус, емкость,
основную частоту; не уменьшает жесткость кручения,
максимальный внутренний конформный радиус (см.
[3]).
В связи с многократным применением С.
рассматриваются вопросы сходимости С. Определения аналогов
С. для незамкнутых множеств допускают ветвления.
О применении С. в теории функций €М.
Симметризации метод.
Лит.: [1] Бляшке В., Круг и шар, пер. с нем., М., 1967;
[2] X а д в и г е ρ Г., Лекции об объеме, площади поверхности
и изопериметрии, пер. с нем., М., 1966; [3] Π о л и а Г.,
Сегё Г., Изопериметрические неравенства в математической
физике, пер. с англ., М., 1962; [4j Leichtweiss К., Konvexe
Mengen, В., 1980. С. Л. Печерский.
СИММЕТРИИ КРИТЕРИЙ — статистический
критерий для проверки гипотезы Я0, согласно к-рой
одномерная плотность вероятности симметрична
относительно нуля.
Пусть проверяется гипотеза симметрии Я0, согласно
к-рой плотность вероятности ρ (χ) вероятностного
закона, к-рому подчиняются независимые случайные
величины Χι, . . ., Хп, симметрична относительно
нуля, то есть ρ (χ)=ρ (—#) для любого χ из области
определения плотности ρ (χ). Любой статистич.
критерий, предназначенный для проверки Я0, наз. к ρ и τ е-
μπβΜ симметрии.
Наиболее часто в качестве альтернативы к Н0
рассматривается гипотеза Н1ч согласно к-рой все
рассматриваемые случайные величины Хг, . . ., Хп имеют
плотность вероятности ρ (χ—Δ), Δ^Ο. Иначе говоря,
согласно гипотезе Η χ плотность вероятности случайной
величины Χι получается в результате сдвига плотности
ρ (χ) вдоль оси Ох на расстояние |Δ| вправо или влево,
в зависимости от знака Δ. Если знак смещения Δ
известен, то конкурирующая гипотеза Нг наз.
односторонней^ противном случае —
двусторонней. Простой пример С. к. дает знаков критерий.
С. к. является частным случаем рандомизации
критерия
Лит [1] Гаек Я., ШидакЗ., Теория ранговых
критериев, пер. с англ., М., 1971; [2] К е н д а л л М., Стьюарт
Α., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.
М. С. Никулин.
СИММЕТРИИ ПРИНЦИП, принцип
симметрии Шварца,принцип симметрии Ри-
мана — Шварца для аналитических функций:
пусть область G расширенной комплексной плоскости С
ограничена замкнутой жордановой кривой Г, в
состав к-рой входит дуга I окружности L расширенной
комплексной плоскости С. Пусть, далее, функция
f(z) определена и непрерывна на G[)l, аналитична в G,
а на I принимает значения, принадлежащие нек-рой
окружности С расширенной комплексной плоскости С.
Тогда f(z) продолжается через дугу I в область G*,
симметричную с G относительно L, до функции,
аналитической в области G\Jl\JG*. Такое продолжение
(через I) единственно и определяется следующим
свойством продолженной функции f(z): если точки z£G
и ζ* ζ G* симметричны (инверсны) относительно L, то

1139 ciimmi
точки w—f(z) и w*—f(z*) симметричны относительно С.
В частности, если L и С совпадают с действительной
осью плоскости С, то f(z)—f(z) при z£G\Jl\JG*. Под
окружностями расширенной комплексной плоскости
понимаются как собственно окружности, так и
прямые. Непрерывность также может пониматься как в
обычном, так и в обобщенном смысле, т. е. когда f(z)
наз. непрерывной в точке z0, если / (ζ) ->· / (ζ0) при ζ ->ζ0,
независимо от конечности или бесконечности величины
/(ζ0). Кривая Г, равно как и Ζ, может проходить через
точку оо. По условию, f(l)aC, но не обязательно
f(l)=C. Кроме того, если G и G* имеют общие
внутренние точки, то продолженная функция в этих точках
может быть неоднозначной.
С. п. для гармонических φ у н к ц и й при
тех же G, L, I и G* формулируется так: если функция
и(х, у) гармонична в £?, непрерывна на G[)l и равна
нулю на Z, то и продолжается через I в G* до функции,
гармонической в G (J I (J G*. При этом если точки (я, у) ζ G
и (χ*, y*)£G* симметричны относительно L, то
u(x*, y*)= — u(x, у).
Обобщением С. п. на случай аналитич. дуг I (и С)
является принцип Шварца аналитич. продолжения
аналитических и гармонич. функций (см. [1], [2])^.
Обобщение С. п. для гармонич. функций на случай
функции любого числа переменных наз. отражения
принципом. С. п. широко используется в приложениях
теории аналитических и гармонич. функций (при
конформных отображениях областей с одной или
несколькими осями симметрии, в теории упругости,
гидромеханике, электростатике и т. д.).
Лит.: [1] Schwarz H., Gesammelte mathematische Ab-
handlungen, Bd 2, В., 1890; [2] Π ρ и в а л о в И. И., Введение
в теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977,
с. 350—60; [3] Л а в ρ е н τ ь е в М. A.f Ш а б а т Б. В.,
Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М.,
1973, с. 158—97, 214—15. Е. П. Долженко.
СИММЕТРИКА на множестве X —
неотрицательная действительная функция d, определенная
на множестве пар всех элементов множества X и
удовлетворяющая следующим аксиомам:
1) d(x, у)—0 в том и только в том случае, если х—у\
2) d(x, y)=d(y, χ) при любых χ, у£Х.
В отличие от метрики и псевдометрики С. может
не удовлетворять аксиоме треугольника. По симмет-
рике d на множестве X определяется топология на X:
множество Α α Χ замкнуто (относительно симметрики
d) в том и только в том случае, если d(x, Л)>0 для
каждого х£Х\А. При этом
d(x, A) = ini{d(x, у):у£А).
Замыкание множества А в так определенном топологич.
пространстве содержит множество всех тех точек х£Х,
для к-рых d(x, A)—0, но может этим множеством не
исчерпываться. Соответственно, ε-шары вокруг точек
множества X могут иметь пустую внутренность.
Топологич. пространство наз. симметризуемым,
если топология его порождается по указанному
правилу нек-рой С. Класс симметризуемых пространств
гораздо шире класса метризуемых пространств: сим-
метризуемое пространство может не быть ни параком-
пактным, ни нормальным, ни хаусдорфовым. Кроме
того, симметризуемое пространство может не
удовлетворять первой аксиоме счетности.
Но каждое симметризуемое пространство X
секвенциально, т. е. его топология определяется
сходящимися последовательностями по правилу:
множество А замкнуто в том и только в том случае, если
предел каждой сходящейся в X последовательности
точек множества А принадлежит А. Для бикомпактных
хаусдорфовых пространств симметризуемость
равносильна метризуемости.
рика 1140
Лит.: [1] Архангельский А. В.,
Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и
упражнениях, М., 1974; [2] Не дев С. Й., «Тр. Моск. матем. об-ва»,
1971, т. 24, с. 201 — 36. А. В. Архангельский.
СИММЕТРИРОВАНИЕ, симметризация,—
одна из операций тензорной алгебры, при помощи к-рой
по данному тензору строится симметричный (по группе
индексов) тензор. С. всегда производится над
несколькими верхними или нижними индексами. Тензор S
с координатами {s\t"'lPi 1<ΐν» /μ<^} является ре-
3ι···3η
зультатом С. тензора Τ с координатами {tl}'"\P,
]\·- -3q
1<*ν» /μ<τι}πο т верхним индексам, напр. по группе
индексов /= ($!, ί2, . . ., im), если
Ji· . . гр 1 \i tat. . .pLmim + i- · -ip (*\
Здесь суммирование производится по всем т\
перестановкам а— (а1? а2, . . ., сит) группы индексов /. С.
по группе нижних индексов определяется аналогично.
С. по группе индексов обозначается взятием этих
индексов в круглые скобки ( ). Посторонние индексы
(не участвующие в С.) отделяются вертикальными
черточками. Напр.,
^4|5|17)= 1 ^4517_^1574_|_г7541_^4571_|_г75:14_|_ ^1547]#
Последовательное С. по группам индексов 1г и /2,
ΙχαΙ^, совпадает с С. по группе индексов /2. Другими
^oBaim,ecOTeii>>Ji=i(il„e(^.J|)i>Ji)^oiii...ig=i(il...ii)
(внутренние скобки снимаются).
Тензор, не изменяющийся при С. по нек-рой группе
индексов, наз. симметрическим тензором.
С. по нек-рой группе индексов тензора,
альтернированного (см. Альтернирование) по этой группе, дает
нулевой тензор.
Умножение двух и более тензоров с последующим С.
их произведения по всем индексам наз.
симметрическим умножением. С. тензоров, наряду с
операцией альтернирования, применяется для
разложения тензора на тензоры более простого строения.
С. применяется также для образования сумм вида (*)
с многоиндексными слагаемыми. Напр., если
элементы матрицы
Λι а%. · · ап
J1 J1 г.п\
\ о>\ #2 · · · &η II
коммутируют при умножении, то выражение
п\ а{\а\...а^ = п\ ( а(\ а\. .·<))== п\ а<} а|. .. а^>
наз. перманентом матрицы.
Лит.: [1] ΠΙ и ρ о к о в П. Α., Тензорное исчисление, 2 изд.,
Казань, 1961; [2] Б е к л е м и ш е в Д. В., Курс
аналитической геометрии и линейной алгебры, М., 1971; [3] С χ о у τ е н
Я. Α., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965.
Л. П. Купцов.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА — обобщение
алгебры многочленов. Если Μ — унитарный модуль над
коммутативно-ассоциативным кольцом А с единицей,
то С. а. модуля Μ наз. алгебра S (М)= Τ (M)ll, где
Τ (Μ) — тензорная алгебра модуля Μ, / — ее идеал,
порожденный элементами вида х@у — у®х (х, у£М).
С. а.— коммутативно-ассоциативная Л-алгебра с
единицей; она градуирована:
где SP(M)=Tp(M)fI{]Tp(M), причем S°(M) = A,
S1 (М) = М. Модуль SP (М) наз. ρ-и с и м м е τ ρ и ч с-
ской степенью модуля Μ. Если Μ —

1141 симмет]
свободный модуль с конечным базисом χλ, . . ., хп,
то соответствие χι -> Х{ (t= 1, . . ., η) продолжается
до изоморфизма алгебры S (М) на алгебру многочленов
А [Х1ч . . ., Хп] (см. Многочленов кольцо).
Для любого гомоморфизма А -модулей /: Μ -+■ N
ρ-я тензорная степень TP(f): Τ ρ (Μ) -> Τ Ρ (Ν)
индуцирует гомоморфизм SP(f): SP(M) -> SP(N) (р-я
симметрическая степень
гомоморфизма/). Получается гомоморфизм Л-алгебр S (/): S (М) ->
-> £ (N). Соответствия /_>£/>(/) и / ->- £ (/) являются
соответственно ковариантными функторами из
категории Л-модулей в себя и в категорию Л-алгебр. Для
любых двух Л-модулей Μ и N имеет место
естественный изоморфизм S(M®N)^S(M)®S(N).
Если Μ — векторное пространство над полем
характеристики 0, то симметрирование с: Τ (Μ) -> Τ (Μ)
определяет изоморфизм С. a. S (М) на алгебру S (М)а
аТ(М) симметрических контравариантных тензоров
на Μ относительно симметрич. умножения:
и νι> = σ(ι*®ι>), u£Sp (Μ), υζβ9(Μ).
Лит.: [1] Бур баки Н., Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] К о с т-
р и к и н А. И., Μ а н и н Ю. И., Линейная алгебра и
геометрия, М., 1980. А. Л. Опищип.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА - группа всех
подстановок (биекций) нек-рого множества X с операцией
суперпозиции (см. Подстановок группа). С. г.
подстановок множества X обозначается S(X). Для равномощ-
ных X и X' группы S (X) и S (X') подобны. В случае
конечного множества Х={1, 2, . . ., п) С. г.
обозначается Sn. Всякая абстрактная группа изоморфна
подходящей подгруппе симметрич. группы S (X) нек-рого
множества X (теорема Кэли).
Пусть множество X конечно. Всякая подстановка π
на X однозначно записывается в виде произведения
независимых или взаимно простых циклов
(цикловая запись подстановки); числовой
вектор
ζ (η) = (α1, а2, ..., а„),
где αι — число циклов длины i в цикловой записи
подстановки π, наз. цикловым типом
подстановки я. Две подстановки π и π' сопряжены в группе
Sn тогда и только тогда, когда они имеют один и тот
же цикловой тип. Подстановки с цикловым типом
{п — 2, 2, 0, ..., 0}
наз. транспозициями; их совокупность
является системой образующих группы Sn. Множество
транспозиций Σ={(έ, i+l)|i=l, . . ., η—1} является
минимальной системой образующих (базой) для Sn.
Вообще, множество Δ={(ΐ&, jk)\i^jk} образует базу
для Sn, если граф с X в качестве множества вершин и с
парами (ί&, /ft) в качестве ребер является деревом [2].
Число таких баз равно пп~2.
Знакопеременная группа Ап — нормальный
делитель в группе Sni причем если пфк, то i„ —
единственный нетривиальный собственный нормальный
делитель, а £4 содержит еще один нетривиальный
нормальный делитель — четверную группу
Клейна :Я4={1,(1 2), (3 4), (1 3), (2 4), (1 4), (2 3)}.
При л<4 группа Sn разрешима, а при п^Ъ
неразрешима ж Ап — простая неабелева группа. Теорема
Гёльдера: при пФ2,6 группа Sn совершенна
(см. Совершенная группа). Группа S2 коммутативна, а
группа S6 обладает внешним автоморфизмом порядка 2.
Известны все максимальные интранзитивные и им-
примитивные подгруппы в Sn. Для всякого разбиения
п=т1+т2, тхФт2, максимальными интранзитивными
в Sn будут все подгруппы Smi + Sm2 и только они.
Транзитивными импримитивными максимальными
подгруппами в Sn будут сплетения SMl с Sm2 (для всякого
гческая И42
разложения п=т1т2) и только они. Примитивные
максимальные подгруппы в Sn не описаны (1983), но
известны нек-рые их бесконечные серии. Напр., группа
Sn естественным образом действует на множестве В™
всех подмножеств мощности т множества конечной
мощности п; при пф2т тем самым определяется
примитивная группа подстановок множества В%. Она
максимальна в S(Bn), если (т, п)Ф(2,Ъ), (2,8), (3,10),
4,12), (т, 2т), (т, 2m+i) (см. [1]). Другая серия (см.
6]) получается при рассмотрении группы TLn(GF(q))
полулинейных преобразований пространств G(F(q))
над конечным полем из q элементов. Эта группа
определяет примитивную группу подстановок Грассмана
многообразия Gn,m(GF(q)), l<ni<n—1, к-рая
максимальна в S (G„,m(GF(q)) при л>3.
Пусть X — бесконечное множество. Группа всех
подстановок множества X, перемещающих лишь
конечное число элементов из X, наз. финитной, или
ограниченной симметрической,
группой множества X и обозначается SF(X), а ее
подгруппа, состоящая из всех четных подстановок, наз.
финитной, или ограниченной
знакопеременной, группой множества X и
обозначается AF (X). Подгруппы SF(X) и AF (X) —
нормальные делители в S (Х). Более общо, пусть α —
мощность множества X и р<а — нек-рое бесконечное
кардинальное число; совокупность всех подстановок
множества X, перемещающих не более чем β элементов
множества X, является подгруппой в S (X),
обозначаемой £β (X). Наряду с SF(X) nAF(X) группы £β (Χ) —
нормальные делители в S (X) для всех β<α, и других
нетривиальных нормальных делителей у S (X) нет (т е о-
рема Шрейера — Улама — Бэра, см. [3]).
Лит.: [1] К а л у ж н и н Л. Д., К л и н М. X., «Матем.
сб », 1972, т. 87, № 1, с. 91—121. [2] О ρ е О., Теория графов,
пер. с англ., 2 изд., М., 1980; [3] Π л о τ к и н Б. И., Группы
автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966; [4] У с τ и-
м е н к о-Б акумовский В. Α., «Докл. АН СССР», 1978,
т. 240, № 6, с. 1305—08. См. также лит. при ст. Подстановок
группа. Л. А. Налужнин.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА — квадратная
матрица, в к-рой любые два элемента, расположенные
симметрично относительно главной диагонали, равны
между собой, т. е. матрица A = \\aik\\i, совпадающая
со своей транспонированной матрицей
aik = aki, *» * = 1, ..., п.
Действительная См. порядка η имеет ровно η
действительных собственных значений (с учетом
кратности). Если А есть С. м., то i"J и Ар суть См., если
А и В суть См. одного порядка, то А -\-В есть См.,
а произведение А В есть С м. тогда и только тогда,
Когда АВ = ВА. Т. С. Пиголкина.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ — комплексное
многообразие D, изоморфное ограниченной области в
С", для каждой точки ρ к-рого существует инволютив-
ное голоморфное преобразование σρ: D ->/), имеющее ρ
единственной неподвижной точкой. С о. является
эрмитовым симметрич. пространством отрицательной
кривизны относительно метрики Бергмана. Группа ее
автоморфизмов как комплексного многообразия
содержится в группе движений и имеет ту же связную
компоненту 6(D), к-рая является некомпактной
вещественной полупростой группой Ли без центра.
Стационарная подгруппа Η(D) точки p£D в группе G(D)
есть связная компактная группа Ли с одномерным
центром. Как вещественное многообразие Со. диффео-
морфна R2n.
Всякая С. о. единственным образом разлагается в
прямое произведение неприводимых С. о.,
перечисленных в следующей таблице (где MPt q обозначает
пространство комплексных матриц размера pXq).

1143
Тип по I
Э. Кар-
тану
1
п
III
IV
V
VI
Тип
G(D)
AP+Q-1
dp
°Р
■°р/2 + 1
Б(р+1)/2
Ее
Е7
Тип
H(D)
Af-i +
+ AV-i
(P>q)
АР~г
АР~1
■°р/2-1
В(р-1)/2
D5
Ε*
dim D
pq
p(p-l)
2
ρ (ρ+1)
2
1
Γ
16
27
Модель D
{ZeMpq:Z*Z<E}
{ZeMp p:Zi=-Z,
Z*Z<E)
{ZeMpp:zt = z,
Z*Z<E}
СИММЕТРИЧЕСКАЯ П44
ную D2rf(x) или D2r + 1f(x), то она имеет производную
DHf(x). Обратное утверждение справедливо при
условии существования всех производных Dnf(x)
меньшего порядка той же четности.
Лит.: [1] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М.,
1949; [2] JamesR. D., «Trans. Amer. Math. Soc», 1954,
v. 76, № 1, p. 149—76. Т. П. Лукашенко.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ множеств —
одна из операций над множествами. Пусть имеются два
множества А и В. Тогда их симметрическая
разность обозначается ΑΔΒ и определяется
равенствами
AAB = (A\B)\J(B\A) = (Af)B')[J(B'nA),
где символы (J , Π »\» ' означают соответственно
операции объединения, пересечения, разности и
дополнения надлежащих множеств. м. и. Войцеховский.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ порядка η в
точке χ функции действительного переменного f(x) —
выражение
Со. типа III может быть представлена как верхняя
полуплоскость Зигеля:
{Ζ£Μρ§ρ:Ζ* = Ζ, ImZ > 0}.
Ее точки параметризуют главно поляризованные абе-
левы многообразия. Остальные Со. также могут быть
представлены как Зигеля области первого или второго
рода (см. [2]).
Лит.: [1] 3 и г е л ь К., Автоморфные функции нескольких
комплексных переменных, пер. с англ., М., 1954; [2] Π я τ е ц-
к и й-Ш а п и ρ о И. И., Геометрия классических областей
и теория автоморфных функций, М., 1961; [3] С art а η Ε.,
«Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg», 1935, Bd 1, S. 116—62;
14] Drucker D., Exceptional Lie algebras and the structure
of hermitian symmetric spaces, Providence, 1978 (Mem. Amer.
Math. Soc, v. 16, № 208). Э. Б. Винберг.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ —
обобщение понятия производной на случай функций
множества Φ в л-мерном евклидовом пространстве. С п. в
точке χ есть предел
Φ (S (зс; г))
lim
г->+0
I S(x; r)\ = Я8утФ (я),
где S (х; г) — замкнутый шар с центром в точке χ и
радиусом г. С п. порядка η в точке χ функции
действительного переменного f(x) наз. предел
lim ·
h -* о
ЬР-
= lim ·
h -> о
2Г=ос«(-1)/г/(х+
п— 2k ,
№
:Dnf(x).
Функция действительного переменного / (х) имеет
С п. в точке χ порядка 2г:
если
порядка 2г+1:
Ζ)^+ι/(*) = β2Γ+1,
если
± (/ (*+*)-/ (*-*»- XL 0Ь*+1 (жиг..=° (fe2r+1)·
Если в точке χ существует п-я производная /("> (ж),
то в этой точке существует (в обоих смыслах) С. п. и
она равна f(n) (χ). Если f (χ) имеет в точке χ производ-
δ?/(*. ν=Σΐ=ο€η(-ί)*ί(χ+
n-2k
■h
Часто также симметрич. разностью называют
выражение
К=оС"(~1)А/!(*+(»-2*) fe)·
получающееся из вышеприведенного заменой h на 2h.
Если функция / (х) имеет в точке χ производную fn (x)
порядка л, то
Δ?/(ж, λ) = /<»>(3)Λ» + ο(λ»).
Т. П. Лукашенко.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, не
изменяющаяся при любой перестановке своих
аргументов. С ф. ЯВЛЯЮТСЯ, Напр., X1JrX2Jr- · ·~\~χη·> Х\Хч* · 'Χη·>
^1<ί<Ι<ηΧίΧ'' max(*l» *2, ···, χη),
χι~\- · · · -\~хп (mod m),
цифры в десятичной записи суммы произвольного
количества одноразрядных чисел, «функция
голосования», к-рая характеризуется тем, что ее аргументы
принимают лишь два значения: 1 («за») и 0 («против»),
а сама функция равна 1, если больше половины ее
аргументов равны 1, и 0 в противном случае.
Тривиальными примерами С ф. являются константы и
функция одной переменной.
Любая С ф., отличная от константы, существенно
зависит от всех своих переменных. Поэтому при
добавлении несущественных переменных отличная от
константы функция становится несимметрической, а
при их изъятии может стать С ф. Таким образом,
понятие С ф. связано с точным указанием всех ее
переменных. Простой критерий симметричности
функции /(#1, . . ., хп) состоит в одновременном выполнении
двух равенств:
/ (#1, Х2, #з> . · · , Хп) = / (#2? χ1ι Χ3ι · · · » χη)ι
J (#!, X2, £3, · . · , xn) — f \xm Xli X2i · · · ι Xn-l)
или п равенств вида
f [Χι, . .., X(, Xi+i, . . . , Xn) = / (#ι, . . . , X[ +i, X(, ,,.,Xn).
К С ф. относятся симметрические многочлены.
Всякая рациональная С. ф. (над полем характеристики 0)
является отношением двух симметрич. многочленов.
Любая булева С. ф. на наборах значений аргументов,
содержащих одинаковое число единиц, принимает
одинаковые значения. Эти функции играют важную роль
в математич. кибернетике и ее приложениях, в
частности они встречаются при схемной реализации
арифметических и нек-рых других операций.

1145 СИММЕТРИЧЕСКОЕ
Лит.: [1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с
нем., 2 изд., М., 1979; [2] Яблонский С. В., Введение в
дискретную математику, М., 1979. В. М. Храпченко.
СИММЕТРИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен /
с коэффициентами из нек-рого поля или ассоциативно-
коммутативного кольца К с единицей, являющийся
симметрической функцией от своих переменных, т. е.
инвариантный при любых подстановках переменных:
/(жь ..., xn)=f{n(x1), ..., л (χ п)). (*)
С. м. образуют алгебру S (хг, . . ., хп) над К.
Важнейшие примеры С. м.—элементарные
симметрические многочлены
.π*, •••.*Β)=Σ1<ίι</ι<...<ί.<„-
и степенные суммы, т. е. многочлены
pk(xi, ..., χη)=χ*+χξ+...+χ*.
Для выражения степенных сумм Pk(x\, · · ., хп) в
виде многочленов от элементарных симметрич.
многочленов имеются рекуррентные формулы, называемые
формулами Ньютона:
Pk — Pk-lsl+Pk-2s2+ · · ·
...+(—l)*"1Pisfe-i + (—l)ftfe5fc = 0 при 1</с<и;
Pk~Pk-lsl+Pk-2s2+ · · ·
... + (—l)n-1Pk-n+isn-i + (—l)nPk-nsn = 0 пРи Ь>п.
Элементарные С. м. от корней произвольного
многочлена одной переменной со старшим коэффициентом
1 с точностью до знака совпадают с остальными
коэффициентами этого многочлена (см. Виета теорема).
Основная теорема о
симметрических многочленах: каждый С. м. является
многочленом от элементарных См., причем представим
в этом виде единственным образом. Другими словами,
элементарные С. м. являются свободной системой
образующих алгебры S (хг, . . ., хп). Если поле имеет
характеристику 0, то многочлены рх, . . ., рп также
являются системой свободных образующих алгебры
S (х1, . . ., хп).
Кососимметрическим, или
знакопеременным, многочленом наз. многочлен
/(#!, . . ., хп), удовлетворяющий соотношению (*),
если подстановка π четная, и соотношению
/(*ι, ..., хп) = — / (π(*ι), ..., π (*„)),
если π нечетная. Любой кососимметрич. многочлен
представим в виде A„g, где g есть С. м., а
Д»=П«/(*'-*/·
Это представление не однозначно, поскольку имеется
соотношение Δη — Dis(s1? . . ., sn).
Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд.,
М., 1975; [2] К о с τ ρ и к и н А. И., Введение в алгебру, М.,
1977; [3] Μ и ш и н а А. П., Π ρ о с к у ρ я к о в И. В.,
Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965. О. А. Иванова.
СИММЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР — отображение
А множества DA гильбертова пространства Η (в общем
случае комплексного) в себя такое, что <Ах, #>=<;£, А у)
для любых х, y£DA. Если DA — линейное
многообразие, всюду плотное в Η (что предполагается в
дальнейшем), то Л — линейный оператор. Если DA = H,
то А ограничен и, следовательно, непрерывен на Н.
С. о. Л порождает на DA билинейную эрмитову форму
В(х, у)=<Ах, j/>, т. е. такую, что В (я, у)=В(у, х).
Соответствующая квадратичная форма (Ах, ху
действительна. Обратно, действительная на DA форма
<Ая, х> влечет симметричность А. Сумма А-\-В С. о.
А и В с общей областью определения DA = DR есть
снова С. о., и если λ действительно, то λ А также сим-
ПРОСТРАНСТВО 1146
метричен. Для всякого С. о. А существует однозначно
определенное замыкание А и сопряженный оператор
Α*·Ζ)Α. В общем случае Л* не является С. о. и А*ФА-
Если А*=А, то С. о. наз.
самосопряженным оператором. Таким будет, в частности,
С. о., определенный на всем Н. С. о., ограниченный на
DA, допускает продолжение на все Η с сохранением
симметричности и ограниченности.
Примеры. 1) Пусть бесконечная матрица ||ягу||,
i, / = 1, 2, . . ., такова, что л1у=а//, и
j-r
Σ.
;i./=i|e"p<"·
Тогда система равенств
П/ = Д=1 а'7£/. ϊ = 1» 2'
ставящая в соответствие элементу £={ξ;}ζ£2 элемент
2/=={τ1ί}» определяет ограниченный С.· о., причем он
оказывается самосопряженным в комплексном
пространстве 12-
2) В комплексном пространстве L2(0, 1) оператор
А = i -rr , определенный на множестве DA абсолютно
непрерывных на [0, 1] функций, имеющих суммируемую
с квадратом производную и удовлетворяющих условию
х(0)—х (1)=0, есть С. о., не являющийся
самосопряженным.
Лит.: [1] ЛюстерникЛ. Α., Соболев В. И.,
Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Ρ и с с
Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному
анализу, пер. с франц., М., 1954. В. И. Соболев.
СИММЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР,
симметричный тензор, по паре индексов — тензор, к-рый
не меняется при перестановке данной пары индексов.
Результат альтернирования С. т. по этой паре
индексов равен нулю. Тензор симметричен по
группе индексов, если он симметричен по любым
ДВУМ индексам ИЗ ЭТОЙ Группы. А. Б. Иванов.
СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПРОИЗВОДНОЕ ЧИСЛО в τ о ч-
к е χ — обобщение понятия производного числа на
случай функций множества Φ в л-мерном евклидовом
пространстве. С. п. ч. в точке χ есть предел
Ф(5(х;г.»
lim , с , .—~-,
где S (x, rfe) — нек-рая последовательность замкнутых
шаров с центрами в точке χ и радиусами г^, г&—► 0.
ft-* 00
С. п. ч. порядка η в точке χ функции
действительного переменного f(x) наз. предел
ос, hk)
lim
fe-»· оо
= lim
ς:β,°? <-'>■'(*+-
2ιΐη ι
где hk —>■ 0 при к —>■ оо , Δ5/(,ζ, h^) —симметрическая
разность f.
Лит.: [1] С а к с С, Теория интеграла, пер. с англ., М.,
1949. Т. П. Лукашенко.
СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — общее
название нескольких видов пространств, встречающихся
в дифференциальной геометрии.
1) Многообразие с аффинной связностью наз. а ф-
финным локально симметрическим
пространством, если тождественно равны нулю
тензор кручения и ковариантная производная тензора
кривизны.
2) (Псевдо) риманово многообразие наз. (п с е в д о)
римановым локально симметрич е-

1147 симметрия
с к им пространством, если ковариантная
производная тензора его кривизны тождественно равна
нулю.
3) Псевдориманово многообразие (соответственно
многообразие с аффинной связностью) Μ наз. псев-
доримановым (аффинным) глобально
симметрическим пространством,
если с каждой точкой χ ζ Μ связана изометрия (аффинное
преобразование) Sx многообразия Μ такая, что £*=ίά
и χ есть изолированная неподвижная точка
преобразования Sx.
4) Пусть G — связная группа Ли, Φ — ее инволю-
тивный автоморфизм (<D2=id), 6?ф— замкнутая под"
группа всех Ф-неподвижных точек, Gf — компонента
единицы группы G^ и Я — замкнутая подгруппа в G,
удовлетворяющая условию
GfczHc 6Ф.
Тогда однородное пространство G/H наз.
симметрическим однородным
пространством.
5) Симметрическим пространством
в · с м ы с л е Лоса наз. многообразие М, на к-ром
задано умножение
ΜχΜ—>М, (х, у)*-*>х-у,
удовлетворяющее следующим четырем условиям:
а) х-х=х\
6) х-(х-у) = у;
в) x-(yz) = (x-y)-(x-z);
г) для каждой точки χ ζ Μ существует такая
окрестность С/, что х*у=у=$>у=х для Vj/ζ U.
Каждое аффинное (псевдориманово) глобально сим-
метрич. пространство является аффинным (псевдори-
мановым) локально симметрич. пространством и
однородным С. п. Любое однородное С. п. есть аффинное
глобально симметрич. пространство и симметрич.
пространство в смысле Лоса. Всякое связное С. п.
Лоса есть однородное С. п.
Пусть Μ — связное С. п. Лоса, а значит и
однородное пространство: M=G/H. Пространство GlH можно
снабдить инвариантной аффинной связностью без
кручения, обладающей следующими свойствами: 1)
ковариантная производная тензора кривизны равна
нулю, 2) каждая геодезическая у есть траектория
нек-рой однопараметрич. подгруппы ψ группы G, и
параллельный перенос векторов вдоль γ совпадает с
их трансляцией с помощью ψ; 3) геодезические
замкнуты относительно умножения и наз. одномерными
подпространствами. Аналогично вводится понятие
произвольного подпространства Μ как такого
подмногообразия N в М, к-рое замкнуто относительно
умножения и с индуцированным умножением является
С. п. Замкнутое подмножество N в М, устойчивое
относительно умножения, является подпространством.
Аналог алгебры Ли для С. п. GlH вводится следующим
образом. Пусть g и h — алгебры Ли групп G и Я, а
у—с1Фе (дифференциал в единице), где Φ — инволю-
тивный автоморфизм, определяющий симметрическое
однородное пространство GlH. Собственные векторы
эндоморфизма пространства φ, соответствующие
собственному значению —1, образуют подпространство т
такое, что g есть прямая сумма подпространств т и А,
а т можно отождествить с касательным пространством
к пространству GlH в точке о=Н. Если ввести в
векторном пространстве т трилинейную композицию
тхтхт—+т, (JT, У, Ζ)η->Λ(Χ, Y)Z,
где R — тензор кривизны, то т станет Ли тройной
системой. Если N — подпространство пространства Μ,
1Я АЛГЕБРА 1148
проходящее через точку о, то касательное пространство
к N в точке о есть подсистема в т и обратно.
Если Μ есть С. п. Лоса, то произведение Μ ХМ
также является С. п. Лоса. Пусть R есть
подпространство в MX Μ и отношение эквивалентности в М.
Тогда R наз. конгруэнцией. Это понятие
используется для построения теории накрывающих для
С. п. Две точки х, у£М наз. коммутирующими, если
х-(а-(у-Ъ)) = у.(а-(х-Ь)), \/а, Ъ£М.
Центром Ζ (Μ) пространства Μ относительно
точки οζΜ наз. множество всех точек из М, к-рые
коммутируют с точкой о. Центр Ζ (Μ) есть замкнутое
подпространство в М, к-рое можно снабдить
структурой абелевой группы. Пусть Μ — односвязное С. п.
Тогда разыскание С. п., для к-рых Μ является
накрывающим пространством, сводится к классификации
дискретных подгрупп группы Ζ(Μ).
Большое внимание при построении теории С. п.
уделяется вопросам классификации (см. [2]). Пусть
Μ — локально симметрическое риманово пространство;
оно наз. приводимым, если в нек-рой системе
координат его основная квадратичная форма может
быть представлена в виде
ds2 = gif (χ1, ..., χ*) dxi dxJ + gap {х* + г, ...,хп) dxadx^>
i, / = 1, ..., к; α, β = Λ-τ-1, ..., η.
В противном случае пространство наз.
неприводимым. Э. Картан (Е. Cartan) показал, что
разыскание всех неприводимых локально симметрических
римановых пространств сводится к классификации
инволютивных автоморфизмов вещественных
компактных алгебр Ли, и проделал эту классификацию. Вместе
с тем была решена задача локальной классификации
симметрических однородных пространств с простыми
компактными основными группами. Получена
классификация симметрических однородных пространств с
простыми некомпактными основными группами (см.
[2], [3], [5]).
Лит.: [1J Широков П. Α., Избранные работы по
геометрии, Казань, 1966; [2] Картан Э., Геометрия групп Ли
и симметрические пространства, пер. с франц., М., 1949; [3]
Berger Μ., «Ann. Sci. Ecole norm, super.», 1957, v. 74, p. 85—
177; [4] Loos O., Symmetric spaces, t. 1—2, N. Y.— Amst.,
1969; [5] ХелгасонС, Дифференциальная геометрия и
симметрические пространства, пер. с англ., М.,1964.
А. С (&вдвнко
СИММЕТРИЧНАЯ АЛГЕБРА - алгебра Έ над
полем комплексных чисел, снабженная инволюцией
#->£*, х£Е. Примерами С. а. являются: алгебра
непрерывных функций на компакте, в к-рой инволюция
определяется как переход к комплексно-сопряженной
функции; алгебра ограниченных линейных операторов
в гильбертовом пространстве, в к-рой инволюция
определяется как переход к сопряженному оператору;
групповая алгебра локально компактной группы;
алгебра мер на локально компактной группе. Элемент
х* алгебры Ε наз. сопряженным к элементу х;
элемент х£Е наз. самосопряженным, или
эрмитовым, если х*=х, и нормальным,
если х*х=хх*\ если алгебра Ε содержит единичный
элемент 1, то элемент х£Е, удовлетворяющий условию
x*x—xx*~i, наз. унитарным. Множество Eh
эрмитовых элементов алгебры есть действительное
векторное подпространство в Е, и любой элемент χ ζ Ε
однозначно представляется в виде χ=χ1^-ίχ2, где х1ч
x2£Eh; элемент χζΕ нормален тогда и только тогда,
когда элементы хъ х2 перестановочны. Всякий элемент
вида х*х эрмитов; единичный элемент эрмитов. Если χ
обратим, то х* также обратим и (χ*)~λ= (χ-1)*. Спектр
каждого эрмитова элемента симметричен относительно
действительной оси. С. а. Е наз. вполне с и м м е т-
р и ч н о й алгеброй, если спектр любого
элемента вида х*х, х£Е, содержится в множестве неотри-

1149
СИММЕТРИЯ
1150
цательных действительных чисел. Примерами вполне
симметричных алгебр являются: С. а. непрерывных
функций на компакте; С. а. ограниченных линейных
операторов в гильбертовом пространстве; групповые
алгебры компактных и коммутативных локально
компактных групп. Групповые алгебры некомпактных
полупростых групп Ли не являются вполне
симметричными. Коммутативная С. а. Е тогда и только тогда
вполне симметрична, когда все максимальные идеалы
в Ε симметричны, или тогда и только тогда, когда
всякий характер коммутативной алгебры Ε эрмитов.
Любая С*-алгебра вполне симметрична.
Подмножество Μ С. а. Е наз. симметричным,
если χ* ζ Μ для всех χζΜ. Отображение φ С. а. Е в
С. a. F наз. симметричным, если φ (χ)* = φ (χ*)
для всех χ ζ Ε. Ядро симметричного гомоморфизма С. а.
Ε в С. a. F есть симметричный двусторонний идеал;
всякий симметричный односторонний идеал является
двусторонним, и факторалгебра С. а. по симметричному
идеалу естественно снабжается структурой С. а.
Радикал С. а. симметричен. Симметричная подалгебра F
в С. а. Е является С. а. Пусть Ε — прямая сумма
С. а. Е и поля С, в к-рой линейные операции и
инволюция определяются покомпонентно, а умножение
определяется формулой
{х, Ц{у, μ} = {χυ+λν+μχ, λμ}
для всех λ, μζβ, χ, у ζ Ε; тогда Е есть С. а. с
единичным элементом.
Линейный функционал / на С. а. наз.
эрмитовым, если f(x*)=f(x) для всех х£Е, и
положительным, если f(x*, x)^0 для всех χζΕ. Множество
Eh эрмитовых линейных функционалов на Ε есть
действительное векторное подпространство пространства
Е', сопряженного Е, и Е' есть прямая сумма
подпространств Е'ь и iE'h. Если Ε содержит единицу 1, то
всякий положительный функционал / на Ε эрмитов
и lf(x)\2<if(l)f(x*x) для всех χζΕ. Если / —
положительный функционал на С. а. Е, то f(y*x)=f(x*y) и
\f (y*x)\2<f (y*y)f(х*х) для всех х, у£Е.
Пусть С. а. Е снабжена нормой, превращающей Ε
в нормированную алгебру и удовлетворяющей условию
Ik* 11= IWI Для всех х£Е; тогда Ε наз.
нормированной С. а. Если Ε полна относительно рассматриваемой
нормы, то Ε наз. банаховой С. а. Всякая
нормированная С. а. Е может быть вложена в нек-рую
банахову С. а. Е, содержащую Ε как плотную
симметричную подалгебру; Ε определена однозначно с
точностью до изометрического симметричного
изоморфизма: Ε наз. пополнением Е. Если Ε —
банахова С. а., причем Ε имеет аппроксимативную единицу,
то всякий положительный функционал /на£
непрерывен и допускает продолжение до положительного
линейного функционала на Ё. Если Ε содержит
единичный элемент 1 и ||1||=1, то для любого положительного
линейного функционала / на Ε выполняются
соотношения ||/||=/(1) и f(x*x)^f(i)r(x*x), где г(х*х) —
спектральный радиус элемента х*г (см. Банахова
алгебра).
Эрмитов элемент вполне С. а. имеет действительный
спектр, для любого максимального замкнутого левого
идеала / во вполне С. a. E с единичным элементом
существует такой положительный линейный функционал
/на£, что /= {χζΕ: / (х*х)—0 }, и элемент χ ζ Ε обратим
слева в Ε тогда и только тогда, когда f(x*x)>0 для
всех ненулевых положительных функционалов / на Е.
Радикал вполне С. а. Е совпадает с множеством таких
элементов χζΕ, что f(x*x)~0 для всех положительных
линейных функционалов / на Е. Банахова С. а. Е
с единичным элементом 1 тогда и только тогда вполне
симметрична, когда r(x*x)=suip f(x*x), где верхняя
грань берется по множеству таких положительных
линейных функционалов / на Е, что /(1)=1.
Лит.: [1] НаймаркМ. Α., Нормированные кольца,
2 изд., М., 1968; [2] Д и к с м ь е Ж.,С *-алгебры и их
представления, пер. с франц., М., 1974; [3] Ρ t й k V., «Manuscripta
Math.», 1972, v. 6, №3, p. 245—90; [4] Хьюитт Э.,
Ρ о ее К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ.,
т. 2, М., 1975. А. И. Штерн.
СИММЕТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ —
представление π симметричной алгебры А непрерывными
линейными операторами в гильбертовом пространстве
такое, что л(х)*=л(х*) для всех х£А (здесь х* —
образ X при ИНВОЛЮЦИИ А). А. И. Штерн.
СИММЕТРИЧНОСТЬ — одно из свойств бинарных
отношений. Отношение R на множестве А наз.
симметричным, если для любой пары элементов а,
Ь£А из aRb следует, что bRa, т. е. если R~1c^R.
Примером симметричного отношения является
эквивалентность. Т. С. Фофанова.
СИММЕТРИЧНЫЙ ОПЕРАТОР — см.
Симметрический оператор.
СИММЕТРИЯ — 1) С— инволютивное
ортогональное преобразование, изменяющее ориентацию; инво-
лютивность преобразования означает, что двукратное
применение его дает тождественное преобразование.
Напр., отражение
относительно плоскости а в пространстве
(относительно прямой а на плоскости)
есть С, при к-рой каждая точка Μ
переходит в точку Μ' такую, что
отрезок ММ' перпендикулярен
плоскости α (прямой а) и делится ею
пополам. Плоскость α (прямая а) наз.
плоскостью (осью) С. (рис. 1).
Любое ортогональное преобразование
можно осуществить последовательным
конечного числа отражений.
2) С— свойство геометрич. фигуры Φ совмещаться
с собой при действии нек-рой группы G ортогональных
преобразований, наз. группой симметрии Ф;
таким образом, С. отражает нек-рую
правильность формы фигуры,
инвариантность ее при действии
преобразований из G. Напр., если на плоскости
фигура Φ такова, что повороты
относительно какой-либо точки О на угол 3607и,
η — целое, переводят ее в себя, то Φ
обладает С. n-το порядка, а О наз.
центром С. η-το порядка (рис. 2);
здесь G — циклическая группа η-το
порядка. Окружность обладает С. бесконечного
порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на
любой угол).
Простейшими видами пространственной С, помимо
С, порожденной отражениями, являются:
а) С. относительно прямой η-το порядка;
в этом случае фигура накладывается на себя вращением
вокруг нек-рой прямой (оси С.) на угол 3607л. Напр.,
плоская фигура, симметричная относительно
А В, имеет в пространстве эту прямую осью
выполнением
JAi
Рис. 2.
прямой
С. 2-го
Рис. 3.

1151
СИМПЛЕКС
порядка (рис. 3). Куб имеет прямую АВ осью С. 3-го
порядка, а прямую CD — осью С. 4-го порядка (рис. 4);
вообще, правильные и полуправильные многогранники
симметричны относительно ряда прямых.
Расположение, количество и порядок осей С. играют основную
роль в кристаллографии.
б) С. переноса; в этом случае фигура
накладывается на себя переносом вдоль нек-рой прямой (оси
переноса) на
какой-либо отрезок.
Напр., фигура с
единственной осью
переноса обладает
бесконечным множеством
плоскостей С.
(поскольку любой
перенос можно
осуществить двумя
последовательными
отражениями),
перпендикулярных оси
переноса (рис. 5). Фигуры, имеющие несколько осей
переноса, играют важную роль при исследовании кри-
сталлич. решеток.
Комбинации С, порожденные отражениями и
вращениями (исчерпывающие простейшие виды С. конечных
фигур), а также переносами,
представляют интерес и
являются предметом
исследования в различных об-
Рис. 5.
Рис. 7.
Рис. 8.
ластях естествознания, искусства и т. д. Напр.,
винтовая С, осуществляемая поворотом на нек-рый угол
вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси,
наблюдается в расположении листьев у растений
(рис. 6). С. широко распространена как один из
приемов построения бордюров и орнаментов (плоских
фигур, обладающих одной или несколькими С.
переноса в сочетании с отражениями) (рис. 7, 8).
Лит.: [1] Шубников А. В., Симметрия. (Законы
симметрии и их применение в науке, технике и прикладном
искусстве), М.— Л., 1940,[2] К о к с τ е ρ Г. С. М., Введение в
геометрию, пер. с англ., М., 1966; [3] В е й л ь Г., Симметрия, пер.
с англ., М., 1968. М. И. Войцеховспий.
СИМПЛЕКС — л-мерный многогранник,
являющийся выпуклой оболочкой п-\-\ точек (вершин С),
к-рые не лежат в (п—1)-мерной плоскости. При п=0,
1, 2, 3 С.— точка, отрезок, треугольник, тетраэдр.
Грани С. суть С. меньшей размерности. Два С.
одинаковой размерности аффинно эквивалентны. Каждой
точке С. соответствует единственный способ
распределения единичной массы между вершинами С. так,
чтобы центр тяжести был в данной точке С. Это
используется при введении в С. барицентрич. координат,
а также служит источником обобщения понятия С.
для бесконечномерного случая (см. Шоке симплекс).
С. может приписываться одна из двух ориентации,
что индуцирует определенную ориентацию его (п—1)-
мернЫХ граней. В. А. Залгаллер.
СИМПЛЕКС — топологическое пространство \А\,
точками к-рого служат неотрицательные функции
φ:А ->■ R, определенные на конечном множестве А и
1152
удовлетворяющие условию V φ(α)=1. Топология
в \А\ полагается индуцированной из RA—
пространства всех функций из Л в R. Действительное число
φ (а) наз. α-ϊι барицентрической
координатой точки φ, размерностью симплекса
\А\ наз. число саг dA— 1. В случае, когда А является
линейно независимым подмножеством евклидова
пространства, симплекс \А\ гомеоморфен выпуклой
оболочке множества А (гомеоморфизм задается
соответствием φ ->- V φ (α) -а). В связи с этим выпуклая
оболочка линейно независимого подмножества
евклидова пространства наз. евклидовым С.
Для любого отображения /: А -»· В конечных
множеств формула (|/|φ) (ь)=2/(а>=ь(') ^' Ъ€В' опРеДеляет
непрерывное отображение |/|:|4|->|2?|, являющееся
для евклидовых С. аффинным (неоднородным линейным)
отображением, продолжающим отображение /. Этим
задается функтор из категории конечных множеств в
категорию топологич. пространств. Если В а А и
i\B ->- А — соответствующее вложение, то \i\ —
гомеоморфизм на замкнутое подмножество, наз. гранью
симплекса \А\ и обычно отождествляемое с \В\.
Нульмерные грани наз. вершинами (как правило,
вершины отождествляются с элементами множества А).
Топологическим упорядоченным С.
наз. топологич. пространство X, для к-рого задан
гомеоморфизм h: Δ" ->- X, где Δ" — стандартный
симплекс. Образ граней Δ" при гомеоморфизме h наз.
гранью топологического упорядоченного
симплекса X. Отображение X ->- Υ топологических
упорядоченных симплексов X и Υ наз. линейным, если
оно имеет вид koFoh-1, где к и h — заданные
гомеоморфизмы, F — произвольное отображение Δ" ->■ Δ"
вида |/|.
Топологическим С. (размерности п) наз.
топологич. пространство X, наделенное (л+1)!
гомеоморфизмами Δ"-*Χ (то есть (п+1)! структурами
топологического упорядоченного С), отличающимися
на гомеоморфизмы Δ" -*» Δ" вида |/|, где / —
произвольная перестановка вершин. Аналогично,
отображение топологического С. наз. линейным, если
оно является линейным отображением соответствующих
топологических упорядоченных С.
С. наз. также элементы симплициалъных множеств
и отмеченные подмножества симплициалъных схем.
А. В. Хохлов.
СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД, симплекс-метод,
метод последовательного
улучшения плана,— метод решения общей задачи
линейного программирования:
27-
fjj,j
<:V
^
!. = 1 AjXj = A0; xj^zO, / = 1, ..., /г,
где Aj= К/, . . ., amjy, /=0, . . ., п.
С. м.— наиболее распространенный метод
линейного программирования (л. п.). Он состоит в движении
по соседним вершинам многогранного множества
задачи л. п., определяемого ее ограничениями, и
реализуется в виде конечной последовательности итераций.
Базисом вершины х= (хг, . . ., хп)
многогранного множества задачи наз. такая система т
линейно независимых векторов А8, . . ., ASm(sa^l, a=l,
. . ., т), что xj=0, если /ξΕ{5ι» · · ·» sm)· Исходная
информация для каждой итерации С. м. складывается
из базиса Ах= (As , . . ., As ) вершины χ, параметров
χ{·/, определяемых из соотношений
xijAs
7=0, 1,

1153
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА
1154
(в частности, #{-0=ж^— базисные компоненты
вершины х), и параметров
ν=ΣΓ=
xcsxij-cj, / = 1,
., п.
Если Ду>0, V; (1), то χ — искомое решение задачи
л. п. В противном случае выбирается отрицательный
параметр Δ^. Отсутствие среди х^, i=l, . . ., т,
положительных величин (2) указывает на
неразрешимость задачи л. п., обусловленную
неограниченностью целевой функции задачи на ее многогранном
множестве. В случае положительности нек-рых я//г(3)
вершина χ заменяется вершиной x'=x-\-Bxk, где
х* = (х*, ..., sg), x\=—xik, ϊ = 1, ..., m, a£ = l,
остальные компоненты хк
нули,
θ= min -** =
i:xik>0 Xik
_I2
Вершина χ' имеет базис Ах*, отличающийся οτ Ах
тем, что А$г заменен на А^. Параметры х'.. и Δ'.,
связанные с Ах>, определяются по простым
рекуррентным формулам, исходя из хц и Ау.
Случай (1) означает, что вдоль каждого ребра
многогранного множества задачи, выходящего из вершины
х, целевая функция задачи не возрастает. Случаи (2)
и (3) соответствуют наличию ребра, вдоль к-рого
целевая функция возрастает, причем в случае (2) это
ребро — луч, а в случае (3) — отрезок, другой конец
к-рого — вершина χ . Итерации проводятся до
получения оптимальной вершины либо до выяснения
неразрешимости задачи л. п.
Программная реализация См., рассчитанная на
задачи достаточно большого размера, обычно основывается
на иной его алгоритмич. реализации, в к-рой основой
исходной информации для каждой итерации служит
обратная матрица А~г базиса Ах (метод
обратной матрицы). Она предназначена для задач
л. п., матрица условий А— (Л^з. . .Ап) к-рых
обладает свойством слабой
заполненности (число ненулевых α/у мало по сравнению с тп).
Слабо заполненные матрицы хранятся в запоминающих
устройствах ЭВМ в компактном виде, когда
фиксированы лишь ненулевые элементы и их позиции.
Разработаны специальные приемы хранения обратного
базиса, направленные на сокращение информации,
необходимой для восстановления А*1. Они основаны на
представлении А~х в виде произведения матричных
множителей (мультипликаторов), отличающихся от
единичной матрицы лишь одним столбцом.
Заполненность нетривиальных столбцов мультипликаторов
зависит от порядка введения векторов в базис. Поэтому
после накопления нек-рого числа мультипликаторов
организуется т. н. повторение, в результате к-рого
образуется более экономное мультипликативное
представление А'1.
Важная часть алгоритма С. м.— стратегия выбора
вектора А^ для включения в базис. С одной стороны,
она должна способствовать сокращению информации,
необходимой для хранения А -1; с другой стороны —
препятствовать попаданию в плохо обусловленный
базис.
Существуют программные реализации С. м.,
позволяющие решать на ЭВМ задачи л. п. с мало заполненной
матрицей условий при т порядка тысяч и μ порядка
десятков тысяч. Разработаны многочисленные
варианты С. м., учитывающие особенности различных
специальных классов задач л. п. (блочные задачи,
задачи транспортного типа и др.)·
Несмотря на то, что См. теоретически не достаточно
эффективен (он имеет экспоненциальную оценку
трудоемкости на всем классе задач л. п., хотя алгоритмич.
сложность этого класса всего лишь полиномиальна),
опыт его применения и сравнения с другими методами
позволяет сделать вывод, что для него пока (1983)
нет серьезного конкурента.
Лит.: [1] Юдин Д. В., Гольштейн Е. Г.,
Линейное программирование, М., 1963; [2] Данциг Д ж.,
Линейное программирование, его применения и обобщения, пер. с
англ., М., 1966; [3] Ашманов С. Α., Линейное
программирование, М., 1981. Е. Г. Гольштейн.
СИМПЛЕКСНЫЙ ПОИСК — один из методов
максимизации и минимизации функций многих
переменных, при к-ром выбор направления спуска (подъема)
производится упорядоченным перебором вершин
допустимого многогранного множества (см.
Симплексный метод). А. Б. Иванов.
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА — одна из
классических групп, определяемая как группа
автоморфизмов знакопеременной билинейной формы Φ на левом
^-модуле Е, где К — коммутативное кольцо. В
случае, когда Е=К2т и матрица формы Φ в канонич.
базисе {е;} модуля Ε имеет вид
о U
-1т О
где 1т— единичная матрица порядка /л,
соответствующая С. г. называется С. г. от 2т переменных над
кольцом К и обозначается Sp(m, К) или Sp2m(^)·
Матрица любого автоморфизма из Sp2m (К) в базисе
{е/} наз. симплектической матрицей.
Пусть К — поле и Φ — невырожденная
знакопеременная билинейная форма в л-мерном векторном
пространстве Ε над К. Тогда η четно, ассоциированная с
формой Φ С. г., изоморфная группе Sipn(K),
порождается всевозможными линейными преобразованиями
пространства Ε вида σ<?, α»
х\—>ое, α (я) = #+аФ (е, х) е,
где е£Е, αζΚ. Линейные преобразования вида ое, а
наз. симплектическими трансвекция-
м и, или сдвигами, в направлении прямой Ке.
Центр Ζ группы Spn(A") состоит из матриц 1п и — /„,
если char #=£2; если же char Z=2, то Z={In}.
Факторгруппа Spn(K)/Z наз. проективной
симплектической группой и обозначается
PSpn(uT). Все проективные С. г. просты за исключением
PSp2(F2) = Sp2(F2), PSp4(F2) = Sp4(F2) и PSp2(F3),
к-рые изоморфны соответственно симметрич. группам
S3 и S6 и знакопеременной группе 44 (через Fq
обозначено поле из q элементов). Порядок С. г. Sp2m (Fq)
равен
(g2m_l) q2m-l (^-2_!) g2m-3. . .(g2_-l) q.
С. г. Sp2(u0 совпадает со специальной линейной
группой SL2 (К); если char Кф2, то группа PSp4 (К)
изоморфна факторгруппе группы Ω5(#, /) по ее центру (где
Ω5(#, /) — коммутант ортогональной группы
симметрической билинейной формы / от пяти переменных
индекса 2).
За исключением случая m=2, char #=2, всякий
автоморфизм φ группы Sp2m(K) может быть
представлен в виде
<p(g)=h1h2gT:h-ih-i1
I где τ — автоморфизм поля К, h1^Sp2m(^) и ^2 ~ ли~
&37 Математическая энц., т. 4

1155
СИМПЛВКТИЧЕСКАЯ
1156
нейное преобразование пространства Е,
представляющееся в базисе {е[} матрицей вида
Ι ο β/Л
(β — ненулевой элемент поля К).
С. г. Sp2OT (К) совпадает с группой Z-точек линейной
алгебраич. группы Sp2^, задаваемой уравнением
A±JmA = Jm. Эта алгебраич. группа, тоже
называемая С. г., является простой односвязной линейной
алгебраич. группой типа Ст, ее размерность равна
2т2+т.
В случае, когда К=€ или R, С. г. Sp2OT (К) есть
связная односвязная простая комплексная
(соответственно вещественная) группа Ли. Группа Sp2OT(^)
является одной из вещественных форм комплексной
С. г. Sp2w(C). Остальные вещественные формы этой
группы тоже иногда называют С. г. Это — подгруппы
Sp(p, q), ρ, £>0, p-{-q=m, выделяемые из группы
Sp2m (С) условием сохранения эрмитовой формы вида
где ε/=1 при 1<ί<ρ и m+l<i<m+/> и 6,·=—1
при остальных i. Группа Sp(0, m) — компактная
вещественная форма комплексной С. г. Sp2OT(C). С. г.
Sp(p, я) изоморфна группе всех линейных
преобразований правого векторного пространства НИ
над телом кватернионов π размерности m—p-\-q,
к-рые сохраняют кватернионную эрмитову форму
индекса min(p, q), то есть форму вида
где
Х= («χ, Х2, . . ., Хт), У= (уг, у2, . . ., Ут) ζΗ^,
а черта означает переход к сопряженному
кватерниону.
Лит.: [1] Α ρ τ и н Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ.,
М., 1969; [2] Б у ρ б а к и Н., Алгебра. Модули, кольца,
формы, пер. с франц., М., 1966; [3]Дьёдонне Ж., Геометрия
классических групп, пер. с франц., М., 1974; [4] X е л г а с о н С,
Дифференциальная геометрия и симметрические пространства,
пер. с англ., М., 1964; [5] Ш е в а л л е К., Теоргия групп Ли,
пер. с англ., т. 1, М., 1948. В.Л.Попов.
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СВЯЗНОСТЬ — аффинная
связность на гладком многообразии Μ размерности 2/г,
обладающая ковариантно постоянной относительно нее
невырожденной 2-формой Ф. Если аффинная связность
на Μ задана с помощью локальных форм связности
ωί = Τ^ά^, det||r£||^0,
] ικ
и
Φ—dijω* Λ ω·/, а/у = —ay/,
то условие ковариантного постоянства Φ выражается
в виде
dau = akj(ub+aik(ub.
2-форма Φ определяет на Μ сямплектич. структуру
(или почти гамильтонову структуру), превращая
каждое касательное пространство Тх (М) в симплектич.
пространство с кососимметрич. скалярным
произведением Φ (Χ, У). С. с. можно определить так же,
как аффинную связность на М, сохраняющую при
параллельном перенесении векторов это произведение.
Репер в каждом Тх (М) может быть выбран так, что
Ф=2У;П л ωαΛω*+α.
Все такие реперы образуют главное расслоенное
пространство над Μ, структурной группой к-рого является
симплектич. группа. С. с—это связность в этом
главном расслоенном пространстве. Существуют
многообразия Μ четной размерности, на к-рых нет
невырожденной глобально определенной2-формы Фи,
следовательно, нет С. с. Однако если Φ существует, то С. с,
относительно к-рой Φ ковариантно постоянно,
определяется неоднозначно.
Лит.: [1] С τ е ρ н б е ρ г С, Лекции по дифференциальной
геометрии, пер. с англ., М., 1970. Ю. Г. Лумисте.
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА — инфини-
тезимальная структура 1-го порядка на четномерном
гладком ориентируемом многообразии М2п, к-рая
определяется заданием на М2п невырожденной
2-формы Ф. В каждом касательном пространстве Тх(М2п)
возникает структура симплектич. пространства с ко-
сосимметрическим скалярным произведением Φ (Χ, Υ).
Все касательные к М2п реперы, адаптированные к
С. с. (т. е. реперы, относительно к-рых Φ имеет кано-
нич. вид
Ф=2^П А ωα Λ ω"+«),
*-* α=1
образуют главное расслоенное пространство над М2п,
структурной группой к-рого является симплектич.
группа Sp(rc). Вообще, задание С. с. на М2п
равносильно заданию Sp (л)-структуры на М2п, как нек-рой
G-структуры.
На М2п со С. с. существует изоморфизм между
модулями векторных полей и 1-форм на М2п, к-рый
векторному полю X ставит в соответствие 1-форму
ωχ: У->Ф(Х, Υ). Образ скобки Ли [Χ, Υ] наз. при
этом скобкой Пуассона [ωχ, ω γ]; в частности, когда
ωχ и ω γ полные дифференциалы, получается понятие
скобки Пуассона двух функций на М2п, к-рое обобщает
соответствующее классич. понятие.
С. с, наз. почти гамильтоновой
структурой^ если Φ замкнута, т. е. <2Ф=0, то г а м и л ь-
тоновой структурой; впрочем, иногда
условие с£Ф=0 включают в определение С. с. Эти
структуры, находящие применения в глобальной аналитич.
механике, основаны на том факте, что на касательном
расслоенном пространстве Τ* (Μ) любого гладкого
многообразия Μ существует каноническая гамильто-
нова структура. Она определяется формой Ф=сШ,
где 1-форма θ на Τ* (М), наз. формой Л и у-
вилля, задается следующим образом: Qa(Xu)=
— и(п#Ха) для любого касательного вектора Хи в
точке и£Т*(М), где π — проекция Т* (М)-*~М. Если
на Μ выбраны локальные координаты х1, . . ., хп и
u=yi(u)dxniu)^ т0 ^=г//^\ вследствие чего Ф= dy( a dx^
В классич. механике Μ интерпретируется как
конфигурационное пространство, а Т* (М) как фазовое
пространство.
Векторное поле X на М2п с гамильтоновой структурой
наз. гамильтоновым (или
гамильтоновой системой), если 1-форма ωχ замкнута.
Если она, кроме того, точна, т. е. ωχ=—άΗ, то
функция Η на М2п наз. гамильтонианом и
является обобщением соответствующего классического
понятия.
Лит.: [ЦСтернберг С, Лекции по дифференциальной
геометрии, пер. с англ., М., 1970; [2] Г о д б и й о н К.,
Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с
франц., М., 1973. Ю. Г. Лумисте.
СИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ —
многообразие, снабженное симплектической структурой,
СИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — нечет-
номерное проективное пространство Р2П+1 над полем /с
с заданной в нем инволюционной корреляцией — нуль-
системой; обозначается Эргл+ь
Пусть характеристика поля к не равна 2.
Абсолютная нуль-система в Sp2«+i всегда может быть записана
в виде Uj=aijxJ\ где ||агу|| — кососимметрич. матрица

1157
СИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ
1158
(αί/= —я//)· В векторной форме абсолютная
нуль-система может быть записана в виде и—Аы, где А -— ко-
сосимметрич. оператор, матрица к-рого надлежащим
выбором базиса приводится к виду
О +1
-1 О
+1
О +1
-1 О
нуль-система принимает
тН.
гМ χβί +1 x2i + ly2i).
В этом случае абсолютная
канонич. вид:
Абсолютная нуль-система порождает билинейную
форму, к-рая записывается в канонич. виде:
Коллинеации пространства Sp2«+i, перестановочные
с его нуль-системой, наз. симплектическими
преобразованиями; операторы,
определяющие эти коллинеации,— симплектически-
м и. Для указанной выше канонич. формы матрицы
\[А || определяется (2/г+2)-матрица симплектич.
оператора С/, элементы к-рой удовлетворяют условиям
Σι №У+1-"/'+1^0 = ву, п-г-bj, k + 1,
где oCt ь — символ Кронекера, а матрица такого
оператора U наз. симплектической; ее
определитель равен единице. Симплектич. преобразования
образуют группу, являющуюся группой Ли.
Всякая точка пространства Sp2«+i лежит в (2/г—1)
плоскости, соответствующей ей в абсолютной нуль-
системе. Можно определить также и нулевые
га-плоскости в Sp2n+i- Многообразие нулевых прямых
пространства Sp2rc+i наз. его абсолютным
линейным комплексом. В связи с этим симплектич.
группа наз. также группой линейного
комплекса, или комплекс-группой.
Всякая пара прямых и соответствующих в нуль-
системе двух (2п—1)-плоскостей определяют
единственный в пространстве Sp2/i+i симплектич. инвариант
относительно группы симплектич. преобразований этого
пространства. Через каждую точку обеих прямых
проходит трансверсаль этих прямых и
(2п—^-плоскостей так, что определяет проективные четверки точек.
Это составляет геометрический смысл симплекти-
ческого инварианта, который утверждает
равенство двойных отношений получаемых четверок
точек.
Симплектич. 3-пространство допускает
интерпретацию в гиперболич. пространстве, что указывает, в
частности, на связь симплектич. пространств с
гиперболическими. Так, группа симплектич. преобразований
пространства Sp3 изоморфна группе движений
гиперболич. пространства 2£4. В этой интерпретации
симплектич. инвариант связан с расстоянием между
точками гиперболич. пространства.
Лит.: [1] Ρ о з е н φ е л ь д Б. Α., Неевклидовы
пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.
СИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
ОДНОРОДНОЕ — симплектическое многообразие (Μ, ω)
вместе с транзитивной группой Ли G его
автоморфизмов. Элементы алгебры Ли g группы G можно
рассматривать как симплектические векторные поля на Αί,
т. е.поля X, сохраняющие симплектическую 2-форму ω:
Χ-ω — άίχω = 0,
где точкой обозначена производная Ли, ίχ— оператор
внутреннего умножения на X, d — внешний
дифференциал. С. п. о. наз. строго симплектич е-
с к и м, если все поля Х£д гамильтоновы, то есть
ίχ(ύ=άΗχ, где Ηχ функция на Μ (гамильтониан поля
X), причем гамильтониан Η χ можно выбрать так,
чтобы отображение X н-> Η χ было гомоморфизмом
алгебры Ли g в алгебру Ли функций на Μ относительно
скобки Пуассона. Примером строго С. п. о. является
орбита Μ(χ= (Ad*G)a группы Ли G относительно ко-
присоединенного представления Ad*G группы G в
пространстве д* линейных форм на д, проходящая
через произвольную точку agg*. Инвариантная сим-
плектическая 2-форма ω на Ма задается формулой
<И*Э. У^) = ^(Х, У)^Р([Х, У]),
где Χβ, У β —значения векторных полей X, У£д в
точке βζΛία. Поле Х£д имеет гамильтониан Ηχ(β)=^
= β(Χ).
Для произвольного строго С. п. о. (Μ, ω, G)
определено 6г-эквивариантное отображение момента
μ : Μ
■β*,
•μ*, μ*(Х) = нх(х),
к-рое отображает Μ на орбиту μ (Μ) группы G в g*
и является локальным изоморфизмом симплектич.
многообразий. Таким образом, любое строго С. п. о.
группы G является накрытием над орбитой группы G
в коприсоединенном представлении.
Односвязные С. п. о. с односвязной, но не
обязательно эффективно действующей группой автоморфизмов G
находятся во взаимно однозначном соответствии с
орбитами естественного действия группы G в
пространстве Z2 (g) замкнутых 2-форм на ее алгебре Лид.
Соответствие определяется следующим образом: ядро
§9любой 2-формы o£Z2(g) является подалгеброй
алгебры Ли д. Соответствующая $t? связная
подгруппа К° группы Ли G замкнута и определяет одно-
связное однородное пространство М° = о/К°. Форма σ
задает невырожденную 2-форму в касательном
пространстве Τ0Μσ^$Ι$ο точки о=еК° многообразия
Μσ, к-рая продолжается до G-инвариантной
симплектич. формы ωσ на М°. Таким образом, форме σ
отвечает односвязное С. п. о. (М°, ωσ). Если $σ не
содержит идеалов алгебры Ли д, то действие G на М°
локально эффективно. С. п. о. М° и М°' изоморфны
тогда и только тогда, когда формы σ, о' принадлежат
одной орбите группы G в Z2(g). Для точной 2-формы
σ—da С. п. о. М° отождествляется с универсальной
накрывающей С. п. о. Ма, являющегося орбитой
точки а в коприсоединенном представлении. Если
[(Ь 8]=8» то орбита Go любой точки a£Z2(g)
канонически снабжается структурой С. п. о. и любое
С. п. о. односвязлой группы G изоморфно накрытию
над одной из таких орбит. В частности, М° есть
универсальная накрывающая орбиты Go.
Пусть (Μ, ω) — компактное С. п. о.
односвязной связной группы £?, действующей локально
эффективно. Тогда G есть прямое произведение пол у
простой компактной группы S и разрешимой группы i?,
разлагающейся в полупрямое произведение абеле-
вой подгруппы и абелева нормального делителя, а
С. п. о. (Μ, ω) разлагается в прямое произведение
С. п. о. с группами автоморфизмов S и R
соответственно.
Частным случаем С. п. о. является симплектическое
групповое пространство — группа Ли вместе с лево-
инвариантной симплектич. формой ω. Известно, что
из редуктивности группы Ли, допускающей левоин-
вариантную симметрич. форму, следует ее
коммутативность, а из унимодулярности — разрешимость. Все
такие группы размерности <4 разрешимы, но начиная
37*

1159 симплицид
с размерности 6 существуют неразрешимые симплек-
тические групповые пространства [3].
Лит.: [1] К и ρ и л л о в Α. Α., Элементы теории
представлений, 2 изд., М., 1978; [2] Г и й е м и н В, Стернберг С,
Геометрические асимптотики, пер. с англ., М., 1981; [3] С h u
B.-Y., «Trans. Amer. Math. Soc», 1974, v. 197, p. 145—59;
[4] Ζ w а г t Ρ h. В., В о о t h b у W. Μ., «Ann. Inst.
Fourier», 1980, t. 30, № 1, p. 129—57. Д. В. Алексеевский.
СИМПЛИЦИАЛЬНАЯ СХЕМА (прежние названия —
симплициальный комплекс,
абстрактный симплициальный комплекс) —
множество, элементы к-рого наз. вершинами и в к-ром
выделены такие конечные непустые подмножества, наз.
симплексами, что каждое непустое
подмножество симплекса s является симплексом, наз. гранью
симплекса s, и каждое одноэлементное подмножество
является симплексом.
Симплекс наз. q-м е ρ н ы м, если он состоит из д+1
вершин. Размерностью dim А" симплициальной
схемы К наз. максимальная размерность ее симплексов
(она может быть и бесконечной). С. с. наз.
локально конечной, если каждая ее вершина
принадлежит лишь конечному числу симплексов. С. с. наз.
упорядоченной, если на ней задано частичное
упорядочение, линейное на каждом симплексе.
Пример С. с. Пусть X — множество и U=
— {Ua\a£A} — нек-рое семейство его непустых
подмножеств. Непустое конечное подмножество α ζ А наз.
симплексом, если множество Πα€Α^α непусто.
Получающаяся С. с. А наз. нервом семейства U.
Симплициальный отображением
С. с. Кг в симплициальную схему К2 наз. такое
отображение / : Кг ->- К2, что для каждого симплекса s
в С. с. Кг его образ f(s) является симплексом в С. с.
К2. С. с. и их симплициальные отображения
составляют категорию.
Если симплициальное отображение / : L ->- К
является вложением, то С. с. L наз.
симплициальной подсхемой С. с. К. Все симплексы С. с.
К размерности, меньшей или равной п, составляют
симплициальную подсхему С. с. К, к-рая обозначается
Кп и наз. п-м е ρ н ы м (или п-м) остовом С. с.
К. Симплициальная подсхема L С. с. К наз. полной,
если каждый симплекс в К, все вершины к-рого
принадлежат L, сам лежит в L.
Каждой С. с. К канонически сопоставляется
симплициальное множество О (К), симплексами
размерности η к-рого являются (л+1)-членные
последовательности (я0, . . ., хп) вершин С. с. К, обладающие тем
свойством, что в К существует такой симплекс s, что
Xi£s для любого i=0, 1, . . ., п. Операторы граней d[
и вырождения s,· этого симплициального множества
определяются формулами
d'i \х0ч ···» χη) = \χθι · · · ? xii ···» χη)ι
si \x0i ···» χη)==\χ0ι ···» xii xii xi + li ···? xn)i
где знак л означает, что символ, стоящий под ним,
опускается. Для упорядоченной С. с. К определено
симплициальное подмножество 0+ (К)аО(К),
состоящее из тех симплексов (х0, . . ., хп), для к-рых χ0<ζ.χχ<ζ.
<. . .<.хп. Группы (ко)гомологии симплициального
множества О (К) изоморфны группам (ко)гомологий
симплициального множества 0+ (К) и наз. группами
(ко)гомологии С. с.
Каждому симплициальному разбиению (симплици-
альному пространству) X отвечает С. с.
симплициального разбиения, вершинами к-рой являются вершины
разбиения X, а симплексами — те непустые конечные
множества вершин, на к-рые в X натянут симплекс.
Для каждой С. с. К существует однозначно
определенное с точностью до изоморфизма симплициальное
разбиение, С. с. к-рого является К. Оно наз. гео-
ЬНАЯ СХЕМА 1160
метрической реализацией (или телом)
С. с. К и обозначается \К\. Им является геометрич.
реализация в смысле Дживера — Ху (см. Симплици*
альное множество) \\0 (К)\\ симплициального
множества О (К), а если С. с. К упорядочена — геометрич.
реализация в смысле Милнора | О + (К) |
симплициального множества 0+(К). Соответствие К-+\\0 (Щ\
является ковариантным функтором из категории С. с.
в категорию клеточных разбиений (клеточных
пространств). Топологич. пространство X, гомеоморфное
телу \К\ нек-рой С. с. К, наз. полиэдром (а
также триангулируемым
пространством), а пара (К, /), где }:\К\-*-Х— гомеоморфизм,
наз. триангуляцией пространства X.
Точки топологич. пространства \К\ можно
отождествить с функциями α : К ->■ [0, 1], для к-рых
множество {χ ζ К\α (х)ф0) является симплексом в К я
Σ*6κα(*)=1·
Число α (χ) наз. х-й барицентрической
координатой точки а. Формула
определяет на множестве \К] метрику, но
соответствующая метрич. топология, вообще говоря, сильнее
топологии пространства \К\. Множество \К\,
снабженное метрич. топологией, обозначается \K\d.
С. с. К изоморфна нерву семейства звезд вершин
пространства \К\, т. е. открытых подмножеств Skz=
= {а£\К\\*{х)фЪ}, где х£К.
Следующие утверждения равносильны: 1) С. с. К
локально конечна; 2) пространство \К\ локально
компактно; 3) \K\=\K\d; 4) пространство \К\ метризуемо;
5) пространство \К\ удовлетворяет первой аксиоме
счетности. Пространство \К\ сепарабельно (компактно)
тогда и только тогда, когда С. с. К ше более чем счетна
(конечна).
Клетки клеточного разбиения \К\ находятся в
биективном соответствии с симплексами С. с. \К\, и
замыкание \s\ клетки, соответствующей симплексу s,
определяется формулой
|*|={αζ \Κ\\α(χ)ϊ0=$>χζ8}.
Оно гомеоморфно g-мерному (g=dims) замкнутому
шару (так что клеточное разбиение \К\ регулярно).
Более того, на каждом множестве \s\ имеется канонич.
линейная (аффинная) структура, по отношению к
к-рой оно изоморфно стандартному симплексу Δ^.
Отсюда и из того, что иП$'1 = ЫШЛ для Л1°бых
симплексов s, sdK, вытекает, что пространство \К\
может быть гомеоморфно отображено (вложено) в
пространство Rn (возможно, с трансфинитным п) так,
чтобы все замкнутые клетки |s| оказались
(прямолинейными) симплексами. Это означает, что образ \К\
в R" является симплициалъным пространством
(полиэдром), т. е. объединением замкнутых симплексов,
пересекающихся только по целым граням. Это
симплициальное пространство наз. реализацией
С. с. К в R".
С. с. К тогда и только тогда реализуется в
пространстве R" с конечным л, когда С. с. К локально
конечна, не более чем счетна и ее размерность
конечна. При этом, если dim Х<д, то К реализуется в R2«+i.
С. с, состоящая из 2п+3 вершин, каждое (и+1)-
элементное подмножество к-рой является симплексом,
в R2n не реализуется.
По любой С. с. А" можно построить новую С. с. Bdi£,
вершинами к-рой являются симплексы С. с. К, а
симплексами — такие семейства (s0, . . ., sq) симплексов
из К, что SqCIsjC:. . .Clsq. С. с. ΒάΚ наз. б арицент-
р и ч е с к и м измельчением (или и о д ρ а з-

И61 симплициальное множество
д е л е н и е м) С. с. К. Клеточные пространства |BduT|
и \К\ естественно гомеоморфны (но не изоморфны).
При этом гомеоморфизме каждая вершина \s\ из \ΒάΚ\
(т. е. нульмерная клетка, отвечающая вершине sζ ВАК)
переходит в центр тяжести (барицентр) замкнутого
симплекса |s|cz|А"|.
С. с. ВАК естественным образом упорядочена. Если
С. с. К упорядочена, то соответствие s-> (первая
вершина s) определяет симплициальное отображение
ΒάΚ ->- К, сохраняющее упорядоченность. Оно наз.
каноническим сдвигом. Его геометрич.
реализация (являющаяся непрерывным отображением
|BduT| —>-|/£|) гомотопна естественному гомеоморфизму
\вш->\к\.
Симплициальное отображение φ : К ->- L (или его
геометрич. реализация |φ|: \К\ -> |L|) наз. с и м π л и-
циальной аппроксимацией
непрерывного отображения /: \К\ ->- |L|, если для каждой точки
αζ\Κ\ точка |φ| (α) принадлежит минимальному
замкнутому симплексу, содержащему точку /(а), т. е.,
что равносильно, если для каждой вершины χζΚ имеет
место вложение f(Stx)c:St(p(x). При этом отображения
/ и |φ| гомотопны.
Теорема о симплициальной
аппроксимации утверждает, что если С. с. К конечна,
то для каждого непрерывного отображения f:\K\ ->· \L\
найдется такое число N, что для всех n^N существует
симплициальная аппроксимация ΒάηΚ ->- L
отображения / (рассматриваемого как отображение |Βα"ΑΊ ->
-И£|).
Лит.: [1] С π е н ь е ρ Э., Алгебраическая топология, пер.
с англ., М., 1971; [2] X и л τ о н П. Д ж., У а й л и С, Теория
гомологии. Введение в алгебраическую топологию, пер. с англ.,
М., 1966; [3] Whitehead J. Н. С, «Proc. London Math.
Soc», 1939, v. 45, p. 243—327.
С. Η. Малыгин, Μ. Μ. Постников.
СИМПЛИЦИАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО (прежние
названия — полусимплициальный
комплекс, полный полусимплициальный
комплекс) — симплициалъный объект категории
множеств Ens, т. е. система множеств (п-х слоев)
Кп, л>0, связанных отображениями а(:Кп-^Кп_ъ
0<£<тг (операторами граней), и S[iKn
-> Кп+1, 0<έ<τι (операторами
вырождения), удовлетворяющих соотношениям
didj = dj^1dh
sisj = SJ + is/>
если
если
ι < 7,
disj = {
s/-idi, если ί < /,
id, если i — j или i = / —|— 1,
Sjd(_1, если i > / + 1.
(■*)
Точки слоя Кп наз. д-м ерными симплексами
С. м. К. Если заданы только операторы d[,
удовлетворяющие соотношениям didj—dj^xd^ i</, то система
{Кп, dn} наз. полусимплициальный
множеством.
Симплициальным отображением
/ : К ->- К' С. м. К в С. м. К' наз. морфизм функторов,
т. е. последовательность отображений fn:Kn-*Kn,
ft^O, удовлетворяющих соотношениям
difn + i^fndi, 0<ί<τι + 1; Sifn = fn + 1sh 0<i<rc.
С. м. и их симплициальные отображения образуют
категорию A°Ens. Если все отображения fn являются
вложениями, то С. м. К наз. симпл ициальным
подмножеством См. К'. При этом
операторы граней и вырождения в См. К
представляют собой ограничения соответствующих операторов в
С. м. К'.
1162
Для любого топологич. пространства X определено
С. м. S (X), наз. сингулярным См. пространства
X, симплексами к-рого являются сингулярные
симплексы пространства X (см. Сингулярные гомологии),
т. е. непрерывные отображения σ : Δ"->- X, где Δ" —
д-мерный геометрический стандартный симплекс
о ' f
*п)Ю«
вырождения si этого
С
Δ» = {(ί0,
Операторы граней d/ и вырождения s,- этого (J. м.
определяются формулами
№σ) (ί0, ..., ί„_ι)=σ(*0, ..., ί/_ι, 0, th ..., ί„-ι),
(5/σ) (ί0, ···, *η + ι) =
= Ο" (*0> · · · » *!-1» *1+*! + 1» *ί + 2, · · · , *η + ΐ)·
Соответствие Χ н-> S (Χ) является функтором (наз.
сингулярным функтором) из категории
топологич. пространств Тор в категорию С. м. A°Ens.
Произвольная симплициальная схема К определяет
С. м. О (К), симплексами размерности η к-рого
являются (д+1)-членные последовательности (х0, . . ., хп)
вершин схемы К, обладающие тем свойством, что в К
существует такой симплекса, что,Х[ζs для любого i=0,
1,
С.
. . ., п. Операторы граней di
м. определяются формулами
хп) — (^0» * ·
й вырождения S[ этого
di {%o,
хп),
! (Х0 »
хп) — (χ0ι
ci + i»
*«)>
где знак Λ означает, что символ, стоящий под ним,
опускается. Если симплициальная схема К
упорядочена, то симплексы (х0, . . ., хп), для к-рых я0<. . .<.хп,
образуют симплициальное подмножество 0+ (К) С. м.
О (К). Соответствие К н^ О (К) (и К ■—> О + (К))
является функтором из категории симплициальных схем
(упорядоченных симплициальных схем) в категорию A°Ens.
Для произвольной группы π определено С. м. К (π),
симплексами размерности η к-рого являются классы
пропорциональных (л+1)-членных
последовательностей (х0, . . ., хп), я; ζ π (по определению (х0, . . ., хп)
~(хо, . . ., χ'η), если существует такой элемент г/ζ π,
= 0,
С. м.
. . ., п). Операторы гра-
К (π) определяются фор-
:(Х0
. . . \Х( — \ '.Χι + ι· . . . 'Хп)·,
'.Xi — l'.X{'Xi'.Xi + l'. . · · '·£η)'
самом деле симплициальной
что Xi—yxi для всех
ней di и вырождения sl
мулами
di (#o: · · · :хп)
Si(x0:...:xn) = (x0:..
С. м. К (π) является на
группой.
Для произвольной абелевой группы π и любого
целого л>1 определено С. м. (на самом деле,
симплициальная абелева группа) Ε (π, η), симплексами
размерности q к-рого являются л-мерные коцепи д-мер-
ного геометрического стандартного симплекса Δ# с
коэффициентами в группе π (таким образом, Ε (π, n)Q=
— Сп(№', π)). Обозначая вершины симплекса №
символами е^, /=0,
ные отображения δ
мулами
( еЧ, если / < i,
Δ?"1-
определяют симплициаль-
>Δ^ и σ/: Δ^Δ?-1 фор-
/41'
если / $> i;
ί еЯ-1
ai(eR)=l '
(,) \ήζΐ
если / <: ι
если / > i
Индуцированные
гомоморфизмы групп коцепей
Ся(Д9;я)—►С»(А«-1; π),
^"(Δί-^π)—►Ch(A«; π)
являются, по определению, операторами граней и

1163
СИМПЛИЦИАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
1164
вырождения С. м. Ε (π, η). Симплексы, являющиеся
коциклами, образуют симплициальное подмножество
С. м. Ε (π, η), к-рое наз. С. м. Эйленберга —
Маклейна и обозначается К (π, η). Пограничный
оператор на группах С* (Δ^; π) определяет
каноническое симплициальное отображение Ε (π, η) ->·
->Κ(π, Ai+1), к-рое обозначается 6. Поскольку
понятие одномерного коцикла имеет смысл и для неабеле-
вой группы π (см. Неабелевы когомологии), С. м. К (π, 1)
определено и без предположения, что группа π абелева.
Это С. м.изоморфно С. м. К (π) (следует каждому
симплексу ζζΚ(π, i)q=Z1(/^g, π) сопоставить значения
нульмерной коцепи, кограницей к-рой является
коцикл ζ, на вершинах е\).
Сопоставив каждому слою Кп С. м. К свободную
абелеву группу, им порожденную, получают симпли-
циальную абелеву группу и, следовательно, цепной
комплекс. Этот комплекс обозначается С (К) и наз.
комплексом ц е п е й С. м. К. Группы (ко)го-
мологий комплекса С (К) (с коэффициентами в группе
G) наз. группами (к о)г о м о л о г и й Н*(К\ G)
и Н* (К; G) С. м. К. Группы (ко)гомологий
сингулярного С. м. S (X) являются сингулярными группами
(ко)гомологий топологич. пространства X. Группы
(ко)гомологий С. м. О (К) и 0+ (К) изоморфны и наз.
группами (к о)г омологий симплици-
альной схемы К. Группы (ко)гомологий С. м.
К (π) суть группы (к о)г о м о л о г и й
группы π.
Симплекс х£Кп С м. К наз. вырожденным,
если существует такой симплекс y£Kn-.i и такой
оператор вырождения S{, что x=siy. Лемма
Эйленберга — Зильбера утверждает, что любой
симплекс х£Кп С. м. i£ единственным образом
представляется в виде x=K(s)y, где s — нек-рый эпиморфизм
s{: In] ->- [т], m^in, a у£Кт— невырожденный
симплекс. Наименьшее симплициальное подмножество С. м.
К, содержащее все его невырожденные симплексы
размерности, меньшей или равной п, обозначается Кп
или SknK и наз. п-м ерным остовом С. м. К.
Геометрические стандартные симплексы
составляют косимплициальное топологич. пространство
относительно операторов кограней 6,- и ковырождения
σ£·, определенных формулами
М*о» ·*·' *η-ι) = (*ο* ···, *Ь-ь 0, th ..., f„_i),
Ol (*(Ъ · · · » *rc + l) = (*0» · · · » *ί-1» *ί + *ί + 1» ^* + 2ί · · · » *n + l)*
В дизъюнктном объединении Un=oKnX Δη, где все
Кп рассматриваются как дискретные множества,
формулы
(d{X, и) ~ (χ, δ,α), χ ζ Кп, и ζ Δ"-1;
(stx, и) ~ (χ, σΖ·α), χ ζ Κη, и ζ Δη + 1,
определяют отношение эквивалентности, факторпро-
странство по к-рому является клеточным разбиением
(клеточным пространством), клетки к-рого находятся
в биективном соответствии с невырожденными
симплексами С. м. К. Это клеточное разбиение обозначается
\К\ или RK и наз. геометрической
реализацией в смысле Μ и л н о ρ а С. м. К.
Каждое симплициальное отображение / : К -> L
индуцирует по формуле
Rfl*, и] = [/(*), и]
непрерывное отображение Rf : RK -+ RL, и
соответствия К ь—> RK, f \—■> Rf представляют собой функтор R:
Д°Еп5 ->- Тор. Этот функтор сопряжен слева к
сингулярному функтору S : Тор -> A°Ens. Соответствующие
изоморфизмы функторов
φ : Δ» Ens (К, S (X)) —* Top (RK, Χ),
ψ : Top (RK, X) —► Δ° Ens (Κ, S (X))
определяются формулами
<Р (/)[*, u] = f(x)(u),
(*(r)(*))M = g[*, и],
где
x£Kn, и ζ Δ", / ζ Δ° Ens (Κ, S (Χ)), g £ Top (RK, X).
Морфизм сопряжения Φ (Χ) : RS (X) -> Χ является
для любого топологич. пространства X слабой гомото-
пич. эквивалентностью (это, в частности, доказывает,
что произвольное топологич. пространство слабо го-
мотопически эквивалентно клеточному разбиению).
Конструкция геометрич. реализации \К\ обобщается
на симплициальные топологич. пространства К. Можно
также определить геометрическую
реализацию в смысле Дживера — Ху \\К\\,
учитывающую только операторы граней d( (в этой
реализации имеются клетки для всех симплексов из К,
а не только невырожденных). Если каждый оператор
вырождения si является замкнутым корасслоением
(условие, автоматически выполненное для С. м.),
то естественное отображение ρ : ||ΛΊ|-»»|ΛΊ является
гомотопич. эквивалентностью.
Категория A°Ens допускает произведения, при этом
для любых С. м. К= {Кп, df, sf } и L={Ln, d\, ц)
их произведением будет С. м. KXL, для к-рого
(KxL)n = KnxLn,
dfxL = dKxdL,
5/CxL_ SK X 5^.
В частности, для каждого С. м. К определено его
произведение на симплициальный отрезок Δ1.
Проекции π1: KXL -> К и π2: KXL -*■ L определяют
биективное отображение
RnxxRn2 : R (KXL) —* RKxRL,
к-рое является гомеоморфизмом, когда произведение
RK X RL представляет собой клеточное разбиение
(напр., если оба С. м. К и L счетны или же если одно
из клеточных разбиений RK или RL локально
конечно). Отсюда, в частности, следует, что геометрич.
реализация любого счетного симплициального моноида
(группы, абелевой группы) является топологич.
моноидом (группой, абелевой группой).
Симплициальные отображения /, g : К -^ L наз.
гомотопными, если существует такое
симплициальное отображение (гомотопия)/1: К Χ Δ1 ->-
-> L, что
F(x, sdQi1) = f(x),
F (x, sd1i1)=g(x)
для любого симплекса χ ζ Κη и для любой композиции s
(длины п) операторов вырождения. Это определение
(моделирующее обычное определение гомотопии
непрерывных отображений) равносильно (для случая
С. м.) общему определению гомотопности симплици-
альных отображений любых симплициальных
объектов.
Имея понятие гомотопии, можно развивать теорию
гомотопии См. аналогично теории гомотопии
полиэдров. Оказывается, что эти две теории полностью
параллельны; это находит свое выражение в том, что
соответствующие категории эквивалентны
(эквивалентность осуществляется функтором геометрич.
реализации). В частности, геометрич. реализации гомотоп-

1165 симплициаль
ных симплициальных отображений гомотопны, и,
напр., геометрия, реализация С. м. К (л, п) будет Эй-
ленберга — Маклейна пространством К (л, п).
Однако фактич. построение теории гомотопий для С. м.
в деталях несколько отличается от построения теории
гомотопий для топологич. пространств. Основное
отличие состоит в том, что отношение гомотопности
симплициальных отображений не является, вообще говоря,
отношением эквивалентности. Эта трудность
преодолевается следующим образом.
Симплициальное отображение А%-+К стандартного
фунтика (см. Стандартный симплекс) в С. м. К наз.
фунтиком в К. Каждый фунтик однозначно
задается (я+1)-членной последовательностью я-мерных
СИМПЛеКСОВ Х0, Хг, . . ., £fe_i, Zfc + Ъ · · ·» хп + 1-> ДЛЯ
к-рых diXj=dj-i X[ при любых έ</, гфк. Говорят, что
фунтик заполняется, если он распространяется
на все С. м. Δη + 1, τ. е. найдется такой (я+1)-мерный
симплекс х, что d[X—xi для каждого гфк. С. м. К наз.
полным (или удовлетворяющим
условию Кана), если каждый его фунтик заполняется.
Сингулярное С. м. S (X) произвольного топологич.
пространства X всегда полно. Любая симплициальная
группа полна, в частности полны С. м. Эйленберга —
Маклейна К (π) и К (л, п). Значение полных С. м.
состоит в том, что отношение гомотопности
симплициальных отображений произвольного С. м. в полное С. м.
является отношением эквивалентности. Поэтому на
подкатегории полных С. м. построение теории
гомотопий принципиальных трудностей не вызывает.
Вместе с тем существует [4] функтор Ex°°:A°Ens-v A°Ens,
сопоставляющий каждому С. м. К полное С. м. Ех°°#,
геометрич. реализация к-рого гомотопически
эквивалентна геометрич. реализации С. м. К и к-рое поэтому
вполне заменяет См. К во всех гомотопических
вопросах.
Два д-мерных симплекса χ и χ С. м. К наз.
сравнимыми, если dix=d[x'1 ΰ^:ί<£η. Сравнимые
симплексы наз. гомотопными, если существует
такой (я+1)-мерный симплекс j/, что dny=x, dn+1y—x'
и diy=sn-idix—sn^idix', 0<:ί<:?ι. Для полных С. м.
это отношение является отношением эквивалентности,
причем симплексы тогда и только тогда гомотопны,
когда их характеристические симплициальные
отображения гомотопны relSkn-1An.
С. м. К наз. пунктированным, если в нем
отмечен нек-рый нульмерный симплекс θ (тем же
символом θ обозначаются все вырождения этого
симплекса, а также порожденное им симплициальное
подмножество, к-рое обычно наз. отмеченной точкой
в К). Для полного пунктированного С. м. К множество
лп(К) классов гомотопных и-мерных симплексов,
сравнимых с симплексом Θ, является при тг^1 группой.
Эта группа наз. п-ш ерной гомотопической
группой пунктированного полного С. м. К\ эта
терминология оправдывается тем, что пп(К)=лп(\К\),
и в частности лп (К (л, п))=π и π/(ϋΓ(π, η)) = 0 при ιφη.
С. м. К, для к-рого Л((К) = 0 при всех ΐ<;τι, наз. п-связ-
н ы м; при этом 0-связное С. м. наз. связным, а
1-связное С. м.— односвязным. Сложение в
группе пп(К), п^\, индуцируется операцией,
сопоставляющей симплексам χ ж у (сравнимым с Θ)
симплекс dnz, где ζ — симплекс размерности /г+1,
заполняющий фунтик χϊ=Θ, i^.n—2, xn-!=x, xn + i=y.
Если С. м. К является симплициальным моноидом с
единицей Θ, то сложение индуцируется также
умножением в этом моноиде (произведение двух симплексов,
сравнимых с Θ, сравнимо с Θ).
Поскольку любой симплекс х, сравнимый с Θ,
является циклом (ценного комплекса С (К),
определяемого С. м. Z), то возникает естественный г о м о м о р-
ОВ МНОЖЕСТВО И66
физм Гуревича h : лп (К) -> Нп (К), при п= 1
индуцирующий изоморфизм
ЯЛЯШМЯ), Л! (*)]-—*! (Я)
(теорема Пуанкаре), а при тг>1 являющийся
изоморфизмом, когда С. м. К (п—1)-связно (теорема
Гуревича). Для полных С. м. справедлива также
и теорема Уайтхеда в обоих ее вариантах, т. е.
симплициальное отображение / : К ->- L полных С. м. тогда
и только тогда является гомотопич. эквивалентностью,
когда оно индуцирует изоморфизм гомотопич. групп,
причем для односвязных С. м. это условие равносильно
тому, что индуцированные гомоморфизмы групп
гомологии являются изоморфизмами.
В случае, когда К является симплициальной
группой, гомотопич. группа пп(К) изоморфна группе
гомологии Нп(К) цепного (не обязательно абелева)
комплекса К, для к-рого
Г„ = Я„ПКегй0П...ПКеге*п_1, _
а граничный оператор является ограничением на Кп
оператора (—i)ndn. Если симплициальная группа К
абелева, то комплекс К является подкомплексом этой
группы, рассматриваемой как цепной комплекс, и,
более того, ее цепным деформационным ретрактом, и,
в частности, ее прямым слагаемым. Оказывается, что
дополнительным прямым слагаемым служит
подкомплекс, порожденный вырожденными симплексами.
Поэтому соответствующий факторкомплекс комплекса К
ему цепно эквивалентен. Напр., для групп когомоло-
гий произвольного С. м. К отсюда следует (теорема
о нормализации), что они изоморфны
нормализованным группам когомологий, т. е. группам,
получающимся, если ограничиться коцепями, равными
нулю на всех вырожденных симплексах. Кроме того,
π„ (С (£))=#„ (ЯЬ_
Функтор К ь-> К осуществляет эквивалентность
теории гомотопий симплициальных абелевых групп
с теорией гомологии цепных комплексов. Отсюда,
в частности, следует, что любая связная
симплициальная абелева группа К гомотопически
эквивалентна произведению С. м. Эйленберга — Маклейна
К(пп(К), п).
Полное С. м. К наз. минимальным, если
сравнимые симплексы тогда и только тогда гомотопны,
когда они совпадают. С. м. К (л, п) минимально.
Всякая гомотопич. эквивалентность минимальных С. м.
является изоморфизмом. Каждое полное См. К
обладает минимальным симплициальным подмножеством.
Оно является его деформационным ретрактом, и
поэтому с точностью до изоморфизма определено
однозначно.
Симплициальное отображение ρ : Ε ->- В наз.
расслоением в смысле Кана, если в Ε
заполняется любой фунтик /:Л£->£, для к-рого фунтик
pof:Ak-*-B заполнен, причем для любого заполнения
g:kn + 1-+B фунтика pof существует такое
заполнение /:Δη + 1-> Ε фунтика /, что p°]=g. Расслоение в
смысле Кана является симплициальным аналогом
расслоения в смысле Серра и для него имеет место
теорема о накрывающей гомотопий
в следующей форме: если для симплициальных
отображений J:K -> Ε и Φ:ϋΓχΔ1->5 имеет место
равенство Фо (idХб1)=р о/7 то существует такое
симплициальное отображение Φ^ΧΔ1-^^, что φο(ΐάΧδ1)=/
и роф=ф. Если расслоение ρ является сюръективным
отображением, то С. м. £ полно тогда и только тогда,
когда полно С. м. В. Слоем расслоения р:Е -> В
наз. (автоматически полное) С. м. Е=р~г(д), где θ —
отмеченная точка в В. Для любого расслоения в смысле

1167
СИМПЛИЦИАЛЬНОЕ
1168
Серра ρ : Ε -> В симплициальное отображение S (р):
S (Е) -»· S (В) является расслоением в смысле Кана,
и для любого расслоения в смысле Кана ρ : Ε -> Β
отображение Rp : RE -> RB является расслоением в
смысле Серра (см. [5]).
Пусть К — полное пунктированное С. м. и п^О.
Положим хп у, где х, у£Кц, если ар—ац; для всех
£<:л, т. е. если
(см. Стандартный симплекс). Это отношение является
эквивалентностью, и фактормножества (CosknK)q—
= Kg/n составляют (по отношению к индуцированным
операторам граней и вырождения) С. м. Coskn/f, к-рое
наз. 71-м к о о с τ о в о м С. м. А'. По определению,
полагается CosknK=K. Для любого л>0 С. м. CosknA
полно и nq(CosknK) = 0 при q>n. Кроме того, для
любого т^.п естественное сюръективное
симплициальное отображение
р1^ : Cosk" К —► Gosk« К
является расслоением, индуцирующим в размерностях,
меньших или равных т, изоморфизм гомотопич. групп.
В частности, слой расслоения ρη-ι гомотопически
эквивалентен С. м. Эйленберга —Маклейна Κ(πη(Κ), η).
Последовательность расслоений
К —►...—> Gosk»*1 К —> Cosk" К — > Cosk"-1 А' —►. . .
наз. Постникова системой полного С. м. К. Если
С. м. К минимально, то эта последовательность
является его резольвентой (см. Гомотопический тип).
Конструкция системы Постникова непосредственно
обобщается на произвольное расслоение р:Е -> В
полного С. м. Ε над полным G. м. В. Пусть Gosk"p
есть С. м., слоями (Cosknp)q к-рого являются фактор-
п
множества слоев Eq по отношению х~у, к-рое имеет
место тогда и только тогда, когда ρ (х)=р (у) и d[x=diy
при всех i<.n. По определению, полагается Gosk00p=A1.
При этом Gosk°p — В. При т^.п<оо естественное
сюръективное симплициальное отображение
р^г : Cosk" ρ —> Coskm p
является расслоением, индуцирующим в
размерностях, меньших или равных т и больших тг+1,
изоморфизм гомотопич. групп. В частности, слой
расслоения ρη-ι гомотопически эквивалентен С. м.
Эйленберга — Маклейна Κ(πη(Ε), η). Слоем расслоения
po:Cosk"p -> В является С. м. Cosk"F, где F — слой
расслоения р:Е -> В. Последовательность расслоений
Ε —>.. .—>Cosk" + 1 ρ—*Cosk" ρ —^Cosk"-1 ρ—>.. .—+B
наз. системой Мура — Постникова
расслоения р'.Е^-В.
На языке С. м. удобно определять спектры. С и м-
илициальным спектром наз.
последовательность {Х(д)} пунктированных множеств (его
элементы наз. симплексами, отмеченный симплекс
обозначается Θ), определенных для произвольного целого
числа q, снабженная отображениями с?г-:Х(^)-> Xiq_lh
i^O (операторами граней), и s['.X{q)->-
-> Z(^_D, t>0 (операторами вырождения),
к-рые удовлетворяют соотношениям (*) и следующему
условию: для каждого симплекса х£Х существует
такое целое д, что d{x=Q при ί>η. Каждому спектру X
и произвольному целому η можно сопоставить С. м.
Хп, определив его формулой
(Xn)q = {* ζ X{q-n)\ diX=Q
при i > q, dQ, ..., dqx = d].
Для так определенных С. м. Хп имеют место вложения
SXnaXn+ii где S — надстройка. По
последовательности С. м. Хп и вложений SXndXn+i симплициаль-
ный спектр X, в свою очередь, восстанавливается
однозначно. Если все С. м. X полны, то Χη=ΩΧη+ί,
где Ω — функтор петель. Функтор геометрич.
реализации осуществляет эквивалентность категории сим-
нлициальных спектров с категорией топология,
спектров. Симплициальные спектры могут быть определены
для произвольной категории. Категория абелевых
групповых спектров изоморфна категории (абелевых)
цепных комплексов.
Лит.: [1] Габриель П., ЦисманМ., Категории
частных и теория гомотопий, пер. с англ., М., 1971; [2] May
J. P., Simplicial objects in algebraic topology, Princeton, 1967;
[3] LamotkeK., Semisimpliziale algebraische Topologie,
В.— [u. a.], 1968; [4] К a n D., «Amer. J. Math.», 1957, v. 79,
p. 449—76; [5] Q u i 1 1 e η D., «Proc. Amer. Math. Soc», 1968,
v. 19, p. 1499—500; [б] БраунЭ. Х., «Математика», 1958,
т. 2, № 2, с. 3—24; [7] Кан Д., там же, 1962, т. 6, № 1,
с. 3—32; [8] е г о же, там же, 1966, т. 10, № 3, с. 12—28.
С. Н. Малыгин, Μ. Μ. Постников.
СИМПЛИЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — морфизм
либо категории симплициалъных пространств, либо
категории симплициалъных схем. А- в- Хохлов.
СИМПЛИЦИАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО —
топологическое пространство X, снабженное таким
покрытием топологическими симплексами (наз.
триангуляцией), что грани любого симплекса
триангуляции принадлежат триангуляции, пересечение любых
двух симплексов триангуляции является гранью
каждого из них (возможно, пустой); множество FaX тогда
и только тогда замкнуто, когда замкнуто его
пересечение с любым симплексом триангуляции. Каждое
С. п. является клеточным пространством. Задание
триангуляции равносильно заданию гомеоморфизма
|&|->Х, где \S\ —геометрич. реализация нек-рой
симплициальной схемы. С. п. наз. также симплици-
альными комплексам и, симплициа
льны ми разбиениями. С. п. являются
объектами категории, морфизмами к-рой X -> Υ служат
отображения такие, что каждый симплекс триангуляции
пространства X линейно отображается на нек-рый
симплекс триангуляции пространства Υ. Морфизмы наз.
также симплициальными
отображениями. А. В. Хохлов.
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС — то же, что
симплициальное пространство.
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ категории
% — произвольный контравариантный функтор X:
Δ -> % (или, что то же самое, ковариантный функтор
X : Δ°Ρ -> %) из категории Δ, объектами к-рой
являются упорядоченные множества [тг]= {0, 1, . . ., тг},
п^О, а морфизмами — неубывающие отображения μ:
\п]->[т]. Ковариантный функтор ΧΛ -> % (или,
что то же самое, контравариантный функтор Χ: Δορ ->
-> %) наз. косим инициальным
объектом категории %.
Морфизмы
б/ = б5* : [и —1]—►[«], 0<i<rc,
а; = а£ : [и + 1] —> [и], 0<t<rc,
категории Δ, определенные формулами
1 \ / + 1, если j^i,
{/, если /^ i,
7 — 1, если j^zi,
порождают любой морфизм категории Δ, так что Со.
X полностью определен, если для любого /г>0 задан
объект X ([п]) = Хп (наз. п-м слоем, или тг-й к о м-
п о н е н τ о й, С. о. X) и морфизмы
di = X (δ£·):Хп —> Χη-ι и s( - Χ (σ,·):Хп —> Х/г_х

1169
(наз. соответственно операторами г ρ а н е й и
операторами вырождения). В случае,
когда % является категорией структуризованных
множеств, точки множества Хп наз. обычно тг-м е р-
ными симплексами С. о. X. Отображения
6/ и 0[ удовлетворяют соотношениям
буб/ = б/бу_1, если i < /, Л
OjOi = σ,·σ7· + 1, если ί</; ι
ί δ/σ/_ι, если £ < /, V (*)
σ/δ/= < id, если i = j или i = / + l, I
ν δζ-ιΟ/, если i > /+1; J
причем любое соотношение между этими
отображениями является следствием соотношений (*). Это
означает, что С. о. X можно отождествить с системой
{Хп, d{, s/}, состоящей из объектов Хп, тг^О,
категории # и морфизмов df. Хп-*~ Χη-ι, 0<:1<?г, и
s/: Z„->Z„ + 1, 0<г<:7г, удовлетворяющих
соотношениям
didj = dj_1dj, если г < /;
SfSj = sy + iS/, если i <; /;
f sy-irft·, если ί < /,
^isj— { id, если z = / или i —/-|-1,
I sjdi-i, если г > j-\-\.
Аналогично, косимплициальный объект X можно
рассматривать как систему {Хп, d1', sl}, состоящую из
объектов Хп, тг^гО (п-х кослоев), и морфизмов d}\
Хп~} -> Хп, 0<1<?г (операторов кограней),
и s!: Xn + 1 ->- Хп, 0<:i<:ra (операторов ко-
вырождения), удовлетворяющих соотношениям
(*) (в к-рых положено 6г=<#, а;=$г').
Симплициальным отображением /:
X -> F С. о. X в С. о. Υ (одной и той же категории %)
наз. произвольное преобразование (морфизм)
функтора Χ: Δ ->- % в функтор Υ: Δ ->- %, т. е. такая
система морфизмов fn: Хп ->- Yn, ?г>0, критерии %,
что
difn + 1 = fndi, 0< i<n + l,
s'ifn = fn + isi> 0< £<тг.
Симплициальные объекты категории % и их симпли-
циальные отображения образуют категорию A°g\
Симплициальной г о м о τ ο π и е и А: /^=£5
связывающей симплициальные отображения /, g: X ->У
симплициальных объектов категории С, наз. такое
семейство морфизов h(: Хп ->- Υη+ι, 0<:£<д,
категории Й\ что
d0h0 = fn;
симула 1170
Каждая симплициальная абелева группа является
цепным комплексом с граничным оператором d= Σ (—1)%·.
Лит.: [1] Габриель П., Ц и с м а н М., Категории
частных и теории гомотопий, пер. с англ., М., 1971; [2] Μ а у J. Р.,
Simplicial objects in algebraic topology, Princeton, 1967; [3] L a-
motkeK., Semisimpliziale algebraische Topologie, B.—
iu. a.], 1968. С Η. Малыгин, Μ. Μ. Постников.
СИМПСОНА ФОРМУЛА — частный случай
Ньютона — Котеса квадратурной формулы, в к-рой берутся
три узла:
А,
dfij
( h- -
V hjdi-i,
если i < /,
если i = j > 0,
если i > /" —f— 1;
если ί <;/,
если i > /.
На основе этого определения в категории Δ°^ над
произвольной категорией % можно воспроизвести по
существу всю обычную теорию гомотопий. В случае
категории множеств или топологич. пространств
функтор геометрич. реализации (см. Симплициальное
множество) переводит эту «симплициальную» теорию в
обычную.
Примеры С. о.: симплициальное множество,
симплициальное топологич. пространство,
симплициальное алгебраич. многообразие, симплициальная
группа, симплициальная абелева группа, симплициальная
алгебра Ли, симплициальное гладкое многообразие
и т. д.
[;/Μώ^α[/(α)+4/(α-ί-5) + /(&)].
(1)
Пусть промежуток [а, Ъ] разбит на η частичных
промежутков [х(, Xi+χ], i=0, 1, 2, . . ., тг—1, длины h=
— (b—a)/n, при этом η считается четным числом, и
для вычисления интеграла по промежутку [x2k, #2fc + 2]'
использована квадратурная формула (1):
№fk+*f(*) dx~\[1 (*2fe)+4/ (*a* + i) + / (*2* + β)].
Суммирование по к от 0 до п/2—1 левой и правой
частей этого равенства приводит к составной С. ф.:
γα / (χ) dxg*±{f (a) + f (b) + 2 [/ (x2)+f (*4) +...
• · · +/ (*n-*)]+* [/ (*i)+/ (*з) + · · · +/ (*„-i)]}, (2)
где xj=a-\-jh, / = 0, 1, 2, . . ., п. Квадратурную формулу
(2) также называют С. φ. (без добавления слова
составная). Алгебраич. степень точности квадратурной
формулы (2), как и формулы (1), равна 3.
Если подинтегральная функция f(x) имеет
непрерывную производную 4-го порядка на [а, Ь], то
погрешность R (/) квадратурной формулы (2) — разность
между левой и правой частями приближенного
равенства (2) — имеет представление
д(/)=-шл4/(^(й,
где ξ — нек-рая точка из промежутка [а, Ъ].
С. ф. названа по имени Т. Симпсона (Th. Simpson),
получившего ее в 1743, хотя эта формула была
известна ранее, напр. Дж. Грегори (J. Gregory, 1668).
И. П. Мысовских.
СИМСОНА ПРЯМАЯ — прямая, на к-рой лежат
основания перпендикуляров, опущенных из
произвольной точки Ρ окружности, описанной вокруг
треугольника, на его стороны. С. п. делит на две равные части
отрезок, соединяющий точку Ρ с точкой пересечения
высот треугольника. С. п. названа по имени Р.
Симеона (R. Simson), хотя она впервые была указана ранее.
А. Б. Иванов.
СИМУ Л А (от англ. «SIMUlation LAnguage», т. е.
«язык моделирования») — название двух алгоритмич.
языков, разработанных на основе алгола в Норвежском
вычислительном центре и неофициально различаемых
как симула 1 и симула-67.
Сим ул al — проблемно-ориентированный язык для
моделирования систем с дискретными событиями
(напр., систем массового обслуживания), разработан
в 1964. Спецификация модели сопоставляет
компонентам системы (клиентам, станкам, материалам и т. п.)
процессы. Процесс имеет атрибуты (структуру
данных) и программу действий (алгоритм). Модель
работает по принципу квазипараллелизма:
в каждый момент активен только один процесс;
исполняя свою программу, он может использовать свои
и чужие атрибуты, порождать новые процессы,
планировать себе и другим процессам события —
новые фазы активности (применяя встроенное в язык
понятие дискретного времени), приостановить себя.
Реализация С.1 привела к разработке алгоритмич.

1171 сингулярн.
средств большой общности, позволяющих выразить
также иные подходы к моделированию (и не только
дискретному). Включение их в язык привело к
созданию С.-67.
Симула-67 определена как база для
построения проблемно-ориентированных языков. Ее
элементарные средства включают весь алгол-60 (с небольшими
изменениями), а механизм расширения основан на
концепции класса объектов.
Понятие объекта возникло из понятия процесса G.1
путем абстрагирования от сравнительно частной
организации квазипараллельного исполнения в терминах
дискретного времени. Оригинальные средства задания
программы и атрибутов объектов через описания
классов составляют главное достижение С.-67. Особенно
важен принцип префиксации классом,
позволяющий включить в описание нового класса
объектов (напр., класса «студент») атрибуты и действия
более общего класса (напр., «человек»). Префиксация
применима и к блокам в смысле алгола; такой блок
с префиксом получает «пролог» и «эпилог» из
программы своего префикса, а также все его атрибуты
(переменные и процедуры). Это позволяет оформить
разработку проблемно-ориентированного языка как
описание класса. В частности, поставив префиксом
стандартный класс SIMULATION, пользователь
получает доступ к средствам, эквивалентным средствам С. 1
(и описанным через базу).
Идеи С.-67 оказали большое влияние на позднейшие
языки программирования. Понятие объекта как
сочетания действий и данных привело к концепции а к-
т о ρ а во многих языках программирования задач
искусственного интеллекта и повлияло на развитие
концепции абстрактных типов данных.
Непосредственно средствами С.-67, помимо языков моделирования,
описаны языки работы с базами данных, машинной
графики и т. д.
С.-67 реализована на БЭСМ-6 и ЕС ЭВМ.
Лит.: [1] Д а л О. И., Η и г а р д К., СИМУЛА — язык
для программирования и описания систем с дискретными
событиями, пер. с англ., «Алгоритмы и алгоритмические языки»,
1967, в. 2, с. 3—72; [2] Д а л У. И., Μ ю ρ χ а у г Б., Η ю г о ρ д
К., СИМУЛА-67 универсальный язык программирования, пер.
с англ., М., 1969. В. В. Околънишников, С. Б. Покровский.
СИНГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ — отличная от
постоянной непрерывная ограниченной вариации функция,
производная к-рой почти всюду на рассматриваемом
отрезке равна нулю. С. ф. входят в качестве слагаемых
в Лебега разложение функций ограниченной вариации.
Напр., всякая непрерывная функция ограниченной
вариации f(x) на отрезке [а, Ъ] единственным образом
представима в виде суммы f(x)=cp (х)-\-г (х), где φ (я) —
абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая
условию φ (a)=f(a), a r (x) есть С. ф. или тождественный
нуль.
Π ρ им ер. Пусть Х=[0, 1]. Любое χζΧ может быть
представлено в виде
*=2Ι·=ι7^==0'αι' α*' ■■■■
где at=0, 1 или 2, i=l, 2, ... При этом если х ζ С,
где С — канторово множество, то а,= 0 или 2, ί=1, 2,
.... Пусть п=п(х)—первый индекс, при к-ром аи=1;
если таких индексов нет, то полагают п(х)=со.
Функция
является монотонной С. ф.
Лит.: [1] Л е б е г Α., Интегрирование и отыскание
примитивных функций, пер. с франц., М.—Л., 1934; [2] Натансон
И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М.,
1974; [3] X а л м о ш П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.
Б. И. Голубое.
ι функция 1172
СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ —
уравнение, содержащее искомую функцию под знаком
несобственного интеграла в смысле главного значения
по Коши. В зависимости от размерности
многообразия, по к-рому распространены интегралы,
различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению
с теорией уравнений Фредгольма теория С. и. у.
является более сложной. Так, напр., теории одномерных
и многомерных С. и. у. как в смысле формулировок
окончательных результатов, так и применяемых для
их установления методов значительно отличаются
друг от друга. Теория одномерных С. и. у. разработана
более полно, причем ее результаты формулируются
проще, чем аналогичные результаты в многомерном
случае. Ниже в основном будет рассмотрен одномерный
случай.
Важным классом одномерных С. и. у. являются
уравнения с ядром Коши:
а^Ф(0+^г5гтТТ^+ Sr*C' τ)ψ(τ)<*τ = /(ί),
* € г, (1)
где а, Ъ, k, f — известные функции, из к-рых к — ядро
Фредгольма (см. Интегральный оператор), φ —
искомая функция, Г — плоская линия, а несобственный
интеграл понимается в смысле главного
значения по Коши, т. е.
Sr^ = "» $!■.£?*' «€Г.
где Γε=Γ\Ζε , Ιε обозначает дугу t'tt" линии Г такую,
что длины дуг tt' и tt" равны ε.
Оператор К, определяемый левой частью равенства
(1), наз. сингулярным оператором
(иногда его наз. общим сингулярным
оператором):
K = aI+bS + V, (2)
где / — тождественный оператор, S —
сингулярный интегральный оператор (иногда
его наз. сингулярным интегральным
оператором с ядром Коши), т. е.
V — интегральный оператор с ядром k(t, τ).
Оператор K0=aI-\-bS наз.
характеристической частью сингулярного
оператора К, или характеристическим
сингулярным оператором, а
уравнение
β(ί)φ(ί)+-^$ρ-^Λ = /(ί), *€Г, (3)
— характеристическим С. и. у., функции а, Ь —
коэффициентами соответствующего оператора или
уравнения.
Уравнение
+ $Γ*(τ, t)V(T)dT = g(t), t£V,
наз. союзным с уравнением (1), а оператор
К'=а1-\-$Ы-\-У (V — интегральный оператор с
ядром к (τ, t)) — с о ю з н ы м с оператором К.
В частности, K'0=aI-\-SbI является союзным с К0.
Операторы К, К0, К', К'0 или соответствующие им
уравнения наз. нормального типа, если
функции
А = а+Ь, В^а — Ъ

1173
СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕ ТРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
1174
не обращаются в нуль нигде на Г. В этом случае
говорят также, что коэффициенты оператора или
уравнения удовлетворяют условию нормально-
с τ и.
Пусть #а(Г), 0<а<1,— класс функций {/},
определенных на Г и удовлетворяющих условию
V (/ι, *а€П I / (*i)-/ (t2) I < const J ίχ—*я |*.
Когда предполагается, что функция / принадлежит
классу На (Г) при нек-ром допустимом значении α
и не требуется знания численного значения а, то будет
употребляться обозначение/ζЯ (Г) или /ζ Я, если из
контекста ясно, о какой линии Г идет речь.
Множество Я наз. функциональным
классом Гёльдера; если /£Я, то говорят, что /
удовлетворяет условию Гёльдера или что / является
Я-ф у н к ц и е й.
Пусть G — комплекснозначная непрерывная
функция, не обращающаяся в нуль на ориентированной
замкнутой простой гладкой линии Г, и
* = ^[argG(*)]r, (4)
где [ ]г обозначает приращение функции,
заключенной в скобках, при однократном обходе линии Г в
положительном направлении. Целое число κ наз.
индексом функции G: x=indfi!.
Решение характеристического и союзного с ним
С. и. у. Пусть Г — простая замкнутая,
ориентированная гладкая линия, на к-рой положительное
направление выбрано так, что оно оставляет конечную область
с границей Г слева, начало координат лежит в этой
области и а, Ь, /ζЯ (Г), причем а, Ь удовлетворяют
условию нормальности. Пусть, далее κ определено
равенством (4), в к-ром
Тогда справедливы следующие утверждения.
1) Если κ>0, то уравнение (3) разрешимо в классе
Я (Г) при любой правой части /ζЯ (Г) и все его Я-
решения представляются (см. [1], [2]) формулой
+*.(*)ω(ί)Ρχ-ι(*)· (6)
где
а , Ь
а* ~ а*-Ъг ' * ~~ а2-Ъ* '
ρκ-ι—произвольный многочлен степени κ—1 (ρ-ι=
= 0). Если κ<0, то уравнение (3) разрешимо в классе
Я (Г) тогда и только тогда, когда правая часть /
удовлетворяет условиям
5г-!г5г'(')Л = 0, * = 0, 1, ...,-κ-1.
При соблюдении этих условий уравнение (3) имеет
единственное Я-решение, определяемое формулой (6),
в к-рой ρκ-ι=0.
2) Союзное с (3) С. и. у.
«C)*W-^Sr^r^ix=ffw, «€Г, (7)
разрешимо в классе Я при любой правой части g£H (Г),
если κ<0, и все его Я-решения представляются
формулой
*(*) = *·(')*(') +
Л_ 1 С ω (τ) b¥ (τ) g (τ) , , Ρ-χ-ι (*> ,R
"•"jiie&iiiJr τ-ί τ_1~ ω(ί) * ^>
Если же κ>0, то уравнение (7) разрешимо тогда и
только тогда, когда правая часть g удовлетворяет κ
условиям:
$г f*b.(f)<D(f)*(0<ft = 0, л = 0, 1, ..., κ-1,
при соблюдении к-рых решение дается формулой (8),
где нужно положить ρ_κ_ι=0.
Теоремы Нётера. Пусть ν и ν' — числа линейно
независимых решений однородных уравнений Κοψ~0
и ϋΓ0ψ=0 соответственно. Тогда разность ν—ν' наз.
индексом оператора К0 или уравнения
К0у=0:
ίηάΚ0 = ν — ν'.
Теорема1. Однородные С. и. у. Κ0φ=0 и ΛΓάψ=0
имеют конечное число линейно независимых решений.
Теорема 2. Необходимые и: достаточные условия
разрешимости неоднородного уравнения (3)
заключаются в том, что
Sr / (0*/(') ** = <>./ = *· 2, ..., ν',
где ψχ, . . ., ψγ'— полная система линейно
независимых решений союзного однородного уравнения KOty—0.
Теорема 3. Индекс оператора К0 равен индексу
функции G, определяемой равенством (5), т. е.
ind*0 = 1L[arg^]r. (9)
Эти теоремы остаются в силе и в случае общего
С. и. у. (1), то есть в сформулированных теоремах
операторы К0, К'0 можно заменить операторами К, К'.
Надо только иметь в виду, что в случае общих С. и. у.
числа ν и ν', вообще говоря, оба отличны от нуля, в
отличие от характеристических С. и. у., когда одно
из этих чисел обязательно равно нулю.
Теоремы 1—3 наз. теоремами Нётера, в
честь Ф. Нётера (F. Noether), впервые доказавшего их
[9] в случае одномерного С. и. у. с Гильберта ядром:
а (в) φ (s) + *$- J " я φ (t) ctg ψ dt +
+ \П_п k(s, t)<p(t)dt = f(s), — Jt<s<jt. (10)
Эти теоремы аналогичны теоремам Фредгольма (см.
Фредголъма уравнение) и отличаются от них только тем,
что числа линейно независимых решений однородного
уравнения и союзного с ним уравнения, вообще
говоря, различны, т. е. тогда как индекс уравнения
Фредгольма всегда равен нулю, С. и. у. может иметь
отличный от нуля индекс.
Формулы (6), (8) так же, как теоремы Нётера,
остаются в силе и в случае, когда Г= U Г^ состоит из
конечного числа гладких взаимонепересекающихся
замкнутых линий. В этом случае в равенстве (4) символ
[ ]г обозначает сумму приращений выражения,
заключенного в скобках при обходе отдельных линий Г&.
Случай же, когда Г— конечная совокупность гладких
разомкнутых взаимонепересекающихся линий (Г=
— UTft), требует специального рассмотрения.
Если функция φ является Я-функцией внутри
каждой из закрытой части линий Г^, не содержащей концов
этой линии, вблизи же любого конца с представима в
виде φ(ί)=φ*(01*—с|~а, 0<a=const<l, где φ*
является Я-функцией в окрестности с, включая с, то
говорят, что φ принадлежит классу Я*.
Если а, Ь£Н, /, g£H* и решения уравнений (3), (7)
разыскиваются в классе Я*, то можно так определить
число κ и функцию ω, что и в этом случае остаются
в силе формулы (6), (8). Далее, если соответствующим

1175
СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
1176
образом определить подклассы класса Я*, в к-рых
разыскиваются решения данного и союзного с ним
С. и. у., то остаются в силе и теоремы Нётера (см. [1]).
Указанные выше результаты обобщены в различных
направлениях. Показано (см. [1]), что при нек-рых
условиях они остаются справедливыми и в случае
кусочно гладкой линии Г (т. е. когда Г-объединение
конечного числа гладких разомкнутых дуг, к-рые
могут попарно пересекаться только по своим концам).
С. и. у. исследованы также в функциональных
пространствах Лебега Lp(T) и Lp(T, ρ), где р>1, а р —
нек-рый вес (см. [4] — [7]). В работах [4] — [6]
приведены результаты, к-рые непосредственно обобщают
выше сформулированные утверждения.
Пусть уравнение простой спрямляемой линии Г
есть t=t(s), 0<s<7, где s — дуга этой линии,
отсчитываемая от нек-рой фиксированной точки на ней,
у — длина Г. Говорят, что функция /, определенная
на Г, почти всюду конечна, измерима, интегрируема
и т. д., если функция / (t (s)) на сегменте [0, у] обладает
соответствующим свойством. Интеграл Лебега от /
на Г определяют равенством
Через Ер(Т) обозначается множество измеримых
на Г функций таких, что \f\p интегрируема на Г.
Функциональный класс Lp(T), ρ>1, превращается в
банахово пространство, если норму элемента / определить
равенством
l/!=(Srl/l'*)1/P·
Если в уравнениях (3), (7), в к-рых равенства
соблюдаются почти всюду, коэффициенты а, Ъ непрерывны
и удовлетворяют условию нормальности, /, g£Lp(T),
р>1, то остаются в силе утверждения 1) и 2), если в
них класс Я заменить классом Lp(T), р>\. Далее,
если решения уравнения Kq>=f, где оператор К имеет
вид (2), разыскиваются в банаховом пространстве
£/>(Г)» р>1, а решения союзного однородного с ним
уравнения K'ty—0 — в пространстве LP'(T), где р'=
—р/(р—1), то остаются в силе и теоремы Нётера,
причем V может быть любым вполне непрерывным
оператором в Lp(T).
Когда Г является конечной совокупностью
разомкнутых линий или Г замкнута, но коэффициенты С. и. у.
терпят разрывы, то решения уравнений часто
разыскиваются в весовых функциональных пространствах
МГ> Р).Р>* (/€МГ> Р)Ф=>Р/€МГ))· пРи
определенных условиях относительно весовой функции ρ
остаются справедливыми результаты, аналогичные
вышеприведенным.
Задача регуляризации. Одной из основных задач,
возникающих при построении теории С. и. у.,
является задача регуляризации, т. е. задача приведения
С. и. у. к уравнению Фредгольма.
Пусть Ε и Ег — банаховы пространства, к-рые могут
и совпадать, А — линейный ограниченный оператор
А: Е -* Ег. Ограниченный оператор В наз. левым
регуляризатором оператора Л, если
BA=I-\-V, где /, V — тождественный и вполне
непрерывный операторы в Е. Если уравнения Aq>=f и ВАср=
— Bf эквивалентны, каков бы ни был элемент /ζ^Ί,
то В наз. левым эквивалентным
регуляризатором оператора А.
Ограниченный оператор В наз. правым
регуляризатором оператора Л, если AB=I1-\-Vx, где
/χ, Vx — тождественный и вполне непрерывный
операторы в Ег соответственно. Если при любом f^E1
уравнения A(p=f и ABty—/ одновременно разрешимы
или неразрешимы, причем в случае разрешимости
между их решениями существует связь φ=#ψ, то В
наз. правым эквивалентным
регуляризатором оператора Л. Если В является
одновременно левым и правым регуляризатором
оператора А, то его наз. двусторонним
регуляризатором, или просто
регуляризатором, оператора Л. Говорят, что оператор А
допускает регуляризацию левую,
правую, двустороннюю,
эквивалентную, если существует его регуляризатор
(соответственно левый, правый, двусторонний,
эквивалентный) .
Пусть К — оператор, определяемый равенством (2),
где Г— замкнутая простая гладкая линия, а, Ь суть
Я-функции (или непрерывные функции),
удовлетворяющие условию нормальности, V — вполне
непрерывный оператор в пространстве Lp(T), р>1. Тогда в
этом последнем пространстве оператор К имеет
бесчисленное множество регуляризаторов, среди к-рых
находится, напр., оператор
Для того чтобы оператор К допускал левую
эквивалентную регуляризацию, необходимо и достаточно,
чтобы индекс κ оператора К был неотрицательным [7].
В качестве эквивалентного левого регуляризатора
можно взять оператор М. Если κ<0, то оператор #
допускает правую эквивалентную регуляризацию, к-рую
можно осуществить с помощью оператора Μ (см. [1]).
Системы С. и. у. Если в (1) а, 6, к — квадратные
матрицы д-го порядка, рассматриваемые как матрицы
линейных преобразований искомого вектора φ= (φχ,
. . ., φ„), а /= (/l5 . . ., fn) — известный вектор, то (1)
наз. системой С. и. у. Система (1) наз. нормального
типа, если матрицы А — а-\-Ь и В = а—Ъ неособенные
на Г, то есть ν(ίζΓ) άβίΑφΟ, detB^O.
Теоремы Нётера остаются в силе для системы С. и. у.
в классе Я (см. [1], [3]) и обобщаются на случай
функциональных пространств Лебега (см. [4], [5]). В
отличие от одного уравнения характеристич. системы С.
и. у. в общем случае не решаются в квадратурах, но
для вычисления индекса и в этом случаен айдена (см.
[1]) формула, аналогичная формуле (9):
ind К = — [arg det А-1 В]т .
В случае системы С. и. у. задачи регуляризации (см.
[3]) аналогичны задачам регуляризации для одного
С. и. у.
В различных постановках исследованы как одно
С. и. у., так и их системы, когда нарушаются условия
нормальности (см. [И] и указанную там
библиографию).
Многомерные С. и. у. Так называются уравнения вида
a (t) φ (ί) + Jr 9-^φ (τ) <*τ + (7φ) (ί) = / (ί), «€Γ,
(11)
где Γ — область евклидова пространства Em, m>l;
Г может быть конечной или бесконечной, в частности
может совпасть с Εm\ t, τ — точки пространства Еrn,
r=\t—τ], ϋ= (τ—t)/r, άτ — элемент объема в
пространстве Εm, V — вполне непрерывный оператор в
банаховом функциональном пространстве, в к-ром
ищется решение φ; α, g — заданные функции;
несобственный сингулярный интеграл понимается в смысле
главного значения, т. е.
Sr Φ Μ ^ <* = Шп JrMr < ε} Φ (τ) ^ *: (12)
точка t наз. полюсом, функция g (t, ϋ)
—характеристикой, функция φ — плотностью син-

H77 сингулярнь
гулярного интеграла (12). Предел в равенстве (И),
как правило, не существует, если не выполняется
условие
$σ*(*, θ)<*σ = 0, (13)
где σ — единичная сфера с центром в начале
координат. Поэтому условие (13) всегда предполагается
выполненным.
В теории многомерных С. и. у. важную роль играет
понятие символа сингулярного оператора А, к-рый
строится с помощью функций a, g, причем по
данному символу сингулярный оператор
восстанавливается с точностью до вполне непрерывного
слагаемого. Композиции сингулярных операторов
соответствует произведение их символов. Доказано [7], что при
нек-рых ограничениях уравнение (И) допускает
регуляризацию в пространстве Lp, р>1, тогда и
только тогда, когда модуль его символа имеет
положительную нижнюю грань и в этом случае
справедливы теоремы Фредгольма.
Историческая справка. Исследование одномерных
С. и. у. было начато почти одновременно с построением
теории Фредгольма уравнения в работах Д. Гильберта
(D. Hubert) и А. Пуанкаре (A. Poincare). В одном
частном случае С. и. у. с ядром Коши было
рассмотрено гораздо раньше в докторской диссертации
Ю. В. Сохоцкого, опубликованной в Петербурге в
1873; однако это исследование осталось незамеченным.
Основополагающие результаты по построению
общей теории уравнения (1), (10) были получены в нач.
20-х гг. 20 в. Ф. Нётером [9] и Т. Карлеманом [10].
Ф. Нётер впервые ввел понятие индекса и доказал
сформулированные выше теоремы 1—3 с помощью
применения способа левой регуляризации. Этот
способ впервые был указан (в различных частных случаях)
А. Пуанкаре и Д. Гильбертом, но в общем виде он
появляется именно у Ф. Нётера. Основным моментом в
реализации упомянутого способа является применение
формулы перестановки (композиции) в повторных
сингулярных интервалах в смысле главного значения
по Коши (Пуанкаре — Бертрана формула). Т. Кар-
леман для нек-рых частных классов уравнения (3)
дал основную идею метода редукции этого
уравнения к следующей граничной задаче теории
аналитических функций (задача линейного
сопряжения, см. [1]):
<b+(t) = G(t)0>-(t) + g(t), ίζΓ,
и указал путь построения явного решения. Т. Кар-
леману и И. Н. Векуа принадлежит способ
регуляризации уравнения (1) с привлечением решения характе-
ристич. уравнения (3).
Большое теоретическое и прикладное значение Си. у.
особенно проявилось с кон. 30-х гг. в связи с решением
нек-рых весьма важных задач механики сплошной
среды (теории упругости, гидро- и аэромеханики и
др.) и теоретич. физики. Теория одномерных С. и. у.
была значительно продвинута в 40-х гг. и получила в
определенном смысле законченный вид в трудах
советских математиков. Изложение такой теории
одномерных С. л. у. в гёльдеровых классах функций дано
в монографии одного из создателей этой теории
Н. И. Мусхелишвили (см. [1]). Эта монография
стимулировала научные исследования и в нек-рых других
направлениях, напр. в теории С. и. у., не
удовлетворяющих условию нормальности по Хаусдорфу, С. и. у. с
не диагональными особенностями (со смещениями),
уравнений Винера — Хопфа, многомерных С. и. у. и т. д.
Первые исследования по многомерным С. и. у.
принадлежат Ф. Трикоми (F. Tricomi, 1928), к-рый
установил формулу перестановки двумерных сингулярных
1178
интегралов и применил ее к решению одного класса
С. и. у. В этом направлении фундаментальное
исследование принадлежит Ж. Жиро (G. Giraud, 1934),
доказавшему справедливость теорем Фредгольма для нек-
рых классов многомерных С. и. у. на ляпуновских
многообразиях.
Лит.: [1] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные
интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [2] Гахов Ф. Д.,
Краевые задачи, 3 изд., М., 1977; [3] В е к у а Н. П., Системы
сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные
задачи, 2 изд., М., 1970; [4] X в е д е л и д з е Б. В., «Тр.
Тбилисск. матем. ин-та АН Груз. ССР», 1956, т. 23, с. 3—158;
[5] Д а н и л ю к И. И., Нерегулярные граничные задачи на
плоскости, М., 1975; [6] Г о χ б е ρ г И. Ц., Крупник Н.,
Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных
операторов, Киш., 1973; [7] Михлин С. Г., Многомерные
сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М., 1962; [8]
Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических
уравнений второго порядка, Μ , 1966* [9] N о е t h е г F., «Math. Ann.»,
1921, Bd 82, S. 42—63; [10] С а г 1 e m a n Т., «Arkiv mat.,
astron. och fys.», 1922, Bd 16, № 26, S. 1 — 19; [11] Пресдорф
3., Некоторые классы сингулярных уравнений, пер. с нем.,
М., 1979. А. В. Бицадзе, Б. В. Хведелидзе.
СИНГУЛЯРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ —
распределение вероятностей в R", сосредоточенное на множестве
нулевой меры Лебега и приписывающее каждому
одноточечному множеству нулевую вероятность.
На прямой R1 определение С. р. эквивалентно
следующему: распределение сингулярно, если
соответствующая функция распределения непрерывна,
а ее множество точек роста имеет нулевую меру
Лебега.
Примером С. р. на прямой может служить
распределение, сосредоточенное на канторовом множестве,
т. н. канторово распределение, к-рое
можно описать следующим образом. Пусть Х±, Х2, ···
. . .— последовательность независимых случайных
величин, каждая из к-рых принимает значения 0 и 1 с
вероятностями V2. Тогда случайная величина
Σ со 1
имеет канторово распределение, и его характеристич.
функция равна
f(t) = eii/2]T cos-ί..
Пример С. р. в Rn (п^2) — равномерное
распределение на сфере положительного радиуса.
Свертка двух С. р. может быть либо сингулярной,
либо абсолютно непрерывной, либо представлять
собой смесь сингулярного и абсолютно непрерывного
распределений.
Любое вероятностное распределение Ρ может быть
единственным образом представлено в виде
Р^ъРа+^Ра+азРз,
где Ρд — дискретное, Ρα — абсолютно непрерывное,
а Рs — С. р., α;>0, αχ-{-α2+α3=1 (разложение
Лебега).
Иногда сингулярность понимается в более широком
смысле: вероятностное распределение F является С. р.
по отношению к мере Р, если оно сосредоточено на
множестве N таком, что Ρ{Ν}=0. При таком
определении каждое дискретное распределение является Ср.
по отношению к мере Лебега.
По поводу сингулярных функций множеств см.
также Абсолютная непрерывность функции множества.
Лит.: [1] Π ρ ο χ ο ρ о в Ю. В., Розанов Ю. Α.,
Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Φ е л л е ρ В., Введение
в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд.,
т. 2, М., 1967. В. Г. Ушаков.
СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ — гомологии,
определяемые исходя из сингулярных симплексов
топология, пространства X таким же образом, как обычные
(симплициальные) гомологии (и когомологии)
полиэдра — исходя из линейных симплексов. Под с и н г у-
гомологии

1179
лярным симплексом σ" понимается
непрерывное отображение д-мерного стандартного
симплекса Δ" в X, причем образ σ" обычно наз.
носителем ση и обозначается |σ"|. Сингулярные
цепи — это формальные линейные комбинации
сингулярных симплексов коэффициентами в абелевой
группе G. Они образуют группу Sn(X\ G), изоморфную
прямой сумме групп GQn—G (по всем σ"). Группы
цепей объединяются в сингулярный цепной комплекс
S#(X; G) с граничным гомоморфизмом д: Sn(X; G) ->
-> Sn-i(X; G), определяемым соотношением
don = y2ii(-i)ioni-\
где Gi~ — композиция с оп стандартного наложения
Δ"-1 на i-ю грань Δ". Как обычно, циклами считаются
цепи, принадлежащие ядру, а границами — цепи,
содержащиеся в образе дп. Группа д-мерных
сингулярных гомологии Η η (Χ; G) определяется как
факторгруппа группы л-мерных циклов по подгруппе
границ.
Если АаХ, то группы Η η (A; G) определяются
подкомплексом в S*(X; G), состоящим из всех цепей
с носителями в А, а группы пары Нп(Х, A; G) —
соответствующим факторкомплексом. Имеет место точная
гомологич. последовательность
...—+Ηξ(Α; G)—+H%(X; G)—>#£(*, A; G) Λ
—* #л-1 (A; G) —» ... ,
являющаяся ковариантным функтором на категории
пар (X, А) топологич. пространств и их непрерывных
отображений.
Гомоморфизм δ определяется границей в X цикла
пары (X, А), представляющего соответствующий
элемент из Η η (X, A; G). С. г.— гомологии с
компактными носителями в том смысле, что группы X равны
прямому пределу гомологии компактных CdX.
Сингулярные когомологии
определяются дуальным образом. Комплекс коцепей S* (X; G)
определяется как комплекс гомоморфизмов в G
комплекса целочисленных сингулярных цепей S*(X; %).
Менее формально, коцепи — это функции ξ,
определенные на сингулярных симплексах и принимающие
значения вб, а кограничный гомоморфизм d
определяется формулой
Сингулярные когомологии Hs(X', G) — это
факторгруппы групп л-мерных коциклов (ядер d) по
подгруппам кограниц (образов d). Когомологии
подпространства А совпадают с когомологиями
ограничения S* (X; G) на А, в то время как когомологии
пары Hs(X, Л; G) — с подкомплексом в S* (X; G),
состоящим из всех коцепей, обращающихся в нуль на
сингулярных симплексах из А. Имеет место точная
последовательность
... —Я§(Х, Л; £)-*#£ (X; G) —
-+Hns(A; £)Ля£+1(Х, A; G) —>...,
являющаяся контравариантным функтором (X, А).
Отображение δ определяется кограницей в X коцикла
из А, представляющего нужный элемент Η%(Α\ G).
Гомологии и когомологии с коэффициентами в
произвольной группе G могут быть выражены через
целочисленные гомологии с помощью формул
универсальных коэффициентов. Когомологии с коэффициентами в
группе G связаны с целочисленными когомологиями
формулами универсальных коэффициентов только для
конечно порожденных групп G.
й интеграл И80
В категории полиэдров сингулярная теория
эквивалентна симилициальной (а также клеточной). Этим
обычно устанавливается топологич. инвариантность
последних. Однако значение групп С. г. этим не
исчерпывается. Имея простое описание, они применимы
в достаточно широких категориях топологич.
пространств, гомотопически инвариантны. Естественные
связи с теорией гомотопий делают сигнулярную теорию
незаменимой в гомотопич. топологии.
1 Однако, хотя группы С. г. определены для любых
топологич. пространств без каких-либо ограничений,
их применение оправдано лишь при существенных
ограничениях типа локальной стягиваемости или
I гомологической локальной связности. Сингулярные
I цепи, будучи по своей природе «слишком» линейно
связными, не несут в себе информацию о «непрерывных»
циклах, если они не являются «достаточно» линейно
связными. Возможны и другие «аномалии» (напр.,
гомологии компактных подпространств евклидова
пространства могут отличаться от нуля в сколь угодно
высоких размерностях, гомологии и когомологии пары
(X, А) могут неизоморфно отображаться при
отображении X на факторпространство XIА , отвечающее
замкнутому подмножеству АаХ, и т. п.). Поэтому в общих
категориях топологич. пространств вместо
сингулярных обычно используются когомологии Александро-
| ва — Чеха и ассоциированные с ними гомологии. Эти
теории свободны от указанных недостатков и
совпадают с сингулярной всякий раз, когда ее применение
не вызывает сомнений.
Лит.: [1] Д о л ь д Α., Лекции по алгебраической
топологии, пер. с англ., М., 1976; [2] Μ а с с и У., Теория гомологии
и когомологии, пер. с англ., М., 1981, гл. 8—9; [3] С к л я ρ ен-
к о Е. Г., «Успехи матем. наук», 1979, т. 34, в. 6, с. 90—118;
[4] Μ a s s е у W., Singular homology theory, N. Υ., 1980.
Ε. Г. Скляренко.
СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл
In (f, x) = Yaf(t)Q>n(t, x)dt
с особенностью в точке х, определенный для
интегрируемой на [а, Ь] функции f(x), ядро к-рого On(t, x)
удовлетворяет условиям: для любого б>0 и
произвольного интервала [а, р]с[а, Ь]
ЛтЛ|*Чп1—.х+«]Ф-(''*)Л = 1· (1)
I ЛтЛ«.№б-+аЛ(<'*)(" = 0 (2)
II
vrai max | Фп (t, χ) | < Φλ. (δ), (3)
te[a, χ-δ] U [χ + δ, b]
причем Фд. (δ) зависит только от б и ж и не зависит от п.
Если условия (1), (2) и (3) выполняются равномерно
на ^-множестве Еа[а, Ъ], то интеграл /„(/, х) наз.
равномерно сингулярным на Е.
Наиболее изучены свойства т. н. положительных ядер
(Φ„(£, #)>0), Дирихле ядер
. 2n+l .. .
sin—5—(ί-Λ:)
2 sin——
ядер Фейера
sin*^~-(i-x)
ядер Пуассона — Абеля
^«,*)"2[1_2Д;;.>)+г.го<г<1,
СИНГУЛЯРНЫ

1181 синтаксичес*
ядер, порожденных различными методами
суммирования ортогональных разложений по ортонормирован-
ным полиномам.
Понятие «С. и.» введено А. Лебегом [1], указавшим
на его важность при исследовании вопросов
сходимости. Так, к исследованию сходимости Си. приводят
вопросы сходимости и суммируемости тригонометрия,
рядов Фурье, рядов по ортогональным многочленам,
а также разложений по общим ортогональным
системам.
А. Лебегом был установлен критерий сходимости
С. и. для непрерывных функций f(x) с ограниченной
вариацией. Д. К. Фаддеев [2] установил необходимые
и достаточные условия для сходимости Си в точках
Лебега суммируемой функции f(x). Так как данные
А Лебегом и Д. К. Фаддеевым условия сходимости
С и. трудно проверяемы для конкретных С и., то
целый ряд работ был посвящен отысканию
эффективных достаточных условий сходимости С и. как в
отдельных точках, так и для равномерной сходимости.
Для сходимости С. и. в точках непрерывности
достаточна ограниченность нормы оператора /и(/, ж),
т. е. ограниченность интеграла
Ya\®n(t, *)\dt,
а для сходимости в точках Лебега необходимо
существование т. н. «горбатой мажоранты» для ядра Φ„(ί, х),
т. е. такой интегрируемой функции ΨΛ(ί, я»0, к-рая
монотонно возрастает на [а, я), монотонно убывает
на (х, Ь] и для почти всех ίζ[α, b]
|Ф„(*, *)|<Ψ„(*. *),
причем
$*Ψ„(ί, x)dt = 0{i).
Лит.: [l]Lebesque Η., «Ann. Fac. sci. Univ.
Toulouse», 1909, v. 1, p. 25—117; [2] Φ а д д е е в Д. К., «Матем. сб.»,
1936, т. 1, с. 351—68; [3] К о ρ о в к и н П. П., Линейные
операторы и теория приближений, М., 1959; [4] Натансон
И П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М.,
1974; [5] А л е к с и ч Г., Проблемы сходимости ортогональных
рядов, пер. с англ., М., 1963; [6] Ефимов А. В., «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1960, т. 24, в. 5, с. 743—56;[7] Теляко-
в с к и й С. Α., там же, 1964, т. 28, в. 6, с. 1209—36.
А. В. Ефимов.
СИНТАКСИС в математической
логике — описание и изучение формальной аксиоматич.
теории как чисто знаковой системы (в отличие от
семантики, исследующей смысл и содержание
объектов формальной теории). Различие между С. и
семантикой особенно существенно в основаниях математики,
когда изучаются формальные теории, семантика к-рых
интуитивно недостаточно ясна. В этом случае описание
и исследование С. формальной теории часто может
быть осуществлено гораздо более надежными и
интуитивно убедительными средствами в рамках нек-рой
метатеории и, таким образом, может служить
обоснованием и косвенным разъяснением существенных
черт сложной семантики изучаемой теории. Напр., в
аксиоматической теории множеств известный
результат К. Гёделя (К. Godel) о совместности аксиомы
выбора можно трактовать как синтаксическое и финитно
доказываемое утверждение о том, что если формальная
теория Цермело — Френкеля непротиворечива, то она
остается таковой и после присоединения аксиомы
выбора.
Вне рамок оснований математики в доказательств
теории различие между С. и семантикой не столь
существенно. Употребляются
т.н.полуформальные системы, понятие вывода в к-рых зависит
от тех или иных семантич. соглашений. Формальные
языки могут определяться существенно теоретико-
множественно, с привлечением бесконечно длинных
я структура 1182
формул и т. п. С другой стороны, для формальных
языков с ограниченными выразительными
возможностями типа языков комбинаторной логики или
алгоритмических языков семантика может быть точно
сформулирована в чисто синтаксических терминах самого
языка.
Лит.: [1] С а г η а р R., Logische Syntax der Sprache, Wien,
1934; [2] Чёрч А., Введение в математическую логику, пер.
с англ., М., 1960; [3] К л и н и С. К., Введение в
метаматематику, пер. с англ., М., 1957. А. Г. Драгалин.
СИНТАКСИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА —
математическая конструкция, используемая в математической
лингвистике для описания строения предложений
естественного языка. Наиболее широко употребляются
два типа С. с.— системы составляющих
и отношения синтаксического
подчинения. Понятие системы составляющих можно
определить следующим образом. Пусть χ — непустая
цепочка (слово) в алфавите V; вхождения символов
(букв) в цепочку в дальнейшем наз. ее точками;
множество точек цепочки, имеющее вид {rc|a<:rc<b},
где а, Ъ — фиксированные точки, наз. отрезком
цепочки. Множество С отрезков цепочки χ наз.
системой составляющих этой цепочки, если 1) С содержит
отрезок, состоящий из всех точек х, и все одноточечные
отрезки х; 2) любые два отрезка из С либо не
пересекаются, либо один из них содержится в другом.
Элементы С наз. составляющими. Если алфавит
V интерпретируется как множество слов естественного
языка и χ — как предложение, то при подходящем
выборе системы составляющих для χ нетривиальные
составляющие (т. е. отличные от входящих в С по п. 1)
представляют собой словосочетания, т. е.
группы слов, к-рые интуитивно ощущаются носителем
языка как «синтаксически связные» куски
предложения. Напр., предложение
„Объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое множество"
допускает следующую «естественную» систему
составляющих (границы нетривиальных составляющих
отмечены скобками):
(Объединение (двух (замкнутых множеств))) (есть (замкнутое множество)).
Если на системе составляющих С введено отношение
непосредственного включения, то С представляет
собой по этому отношению дерево с корнем (корнем
служит составляющая, состоящая из всех точек х) —
дерево составляющих, к-рое для
приведенного примера имеет следующий вид
Объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое множество
У \
объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое множество
/ι / \
объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое множество
/ \ / \
двух замкнутых множеств замкнутое множество
/ \
замкнутых множеств
Обычно составляющие снабжаются метками,
к-рые представляют собой «синтаксические
характеристики» словосочетаний (составляющая может иметь
более одной метки). В приведенном примере
составляющую, совпадающую со всем предложением,
естественно пометить символом ПРЕДЛ, означающим

1183
СИНТАКСИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
1184
«предложение», составляющую «объединение двух
замкнутых множеств» — символом 5ср>ед,им» означающим
«группа существительного среднего рода в
единственном числе и именительном падеже», и т. д. Получаемый
при этом объект — дерево с помеченными
вершинами — наз. размеченным деревом
составляющих.
Другой способ описания строения предложения
получается, если определить на множестве X точек
цепочки χ бинарное отношение ->- таким образом, чтобы
граф (X; ->) был (ориентированным) деревом с корнем.
Всякое такое отношение наз. отношением
(синтаксического) подчинения, а
соответствующее дерево — деревом
(синтаксического) подчинения. Понятие отношения
подчинений является формализацией обычного в
«школьной» грамматике, в частности русского языка,
представления о подчинении одних слов в предложении
другим. При графич. изображении дерева подчинения
обычно располагают точки цепочки на горизонтальной
прямой и проводят стрелки сверху от нее. Приведенное
выше предложение допускает следующее «естественное»
дерево подчинения:
(корнем дерева подчинения принято считать
сказуемое, т. к. оно представляет собой организующий
элемент предложения).
Дуги дерева подчинения часто снабжаются метками,
указывающими типы представляемых этими дугами
синтаксич. связей. В рассмотренном примере связь
между «есть» и «объединение» естественным образом
получает «предикативный» тип, связь между «множеств»
и «замкнутых» — «определительный» тип и т. д.
Деревья подчинения предложений, встречающихся
в деловых и научных текстах, удовлетворяют, как
правило, т. н. условию проективности,
к-рое при указанном выше способе графич.
изображения формулируется так: во всякую точку, лежащую
под нек-рой стрелкой, идет путь из начала этой
стрелки; отсюда следует, в частности, что никакие две
стрелки не пересекаются (последнее условие иногда
называют условием слабой
проективности). В художественной литературе это условие
часто нарушается, но такие нарушения обычно
значимы, т. е. служат цели создания определенного
художественного эффекта.
Одно предложение может допускать несколько
различных «естественных» систем составляющих
(деревьев подчинения). Чаще всего это бывает в тех случаях,
когда смысл предложения можно понимать
по-разному, и разные системы составляющих (деревья
подчинения) отвечают разным толкованиям смысла (с и н-
таксическая омонимия). Напр.,
предложение «Гости из Москвы уехали» может означать, что
либо «московские гости уехали (откуда-то)», либо
«(какие-то) гости уехали из Москвы»; первому смыслу
отвечают система составляющих «(Гости (из Москвы))
уехали» и дерево подчинения
второму — соответственно «Гости ((из Москвы)
уехали)» и
Если на цепочке задано дерево подчинения и α —
точка цепочки, то множество точек цепочки, в к-рые
идут пути из α (включая саму точку а), наз.
группой зависимости точки а. Всякое множество,
получающееся из группы зависимости точки α
выбрасыванием групп зависимости нек-рых (или всех) точек,
подчиненных α (т. е. таких, в к-рые из α идут дуги),
наз. усеченной группой зависимости
точки а.
Система составляющих С цепочки χ и заданное на χ
дерево подчинения наз. согласованными, если
группы зависимости всех точек χ являются
составляющими и каждая составляющая есть группа
зависимости или усеченная группа зависимости нек-рой
точки цепочки х. «Естественные» система составляющих
и дерево подчинения, построенные для одного и того
же предложения и отвечающие одному и тому же его
смыслу, обычно согласованы (см. приведенные выше
примеры). Дерево подчинения, согласованное с
системой составляющих, проективно. Для данной
системы составляющих может существовать больше
одного согласованного с ним дерева подчинения; однако,
если дополнительно задать нек-рое отношение
«главенствования» между составляющими, можно добиться,
чтобы «естественное» дерево подчинения определялось
однозначно. Именно, если в системе составляющих С
цепочки χ для каждой неточечной составляющей
выделить в множестве всех непосредственно
вложенных в нее составляющих одну, называемую
главно й, то упорядоченная пара (С, С"), где С —
множество всех главных составляющих, наз. иерархи-
зованной системой составляющих;
иерархизованная система составляющих связана
с деревом подчинения, если система С согласована с
этим деревом и для каждой неточечной составляющей
А корень отвечающего ей поддерева дерева подчинения
совпадает с корнем поддерева, отвечающего главной
из непосредственно вложенных в А составляющих.
«Естественная» система составляющих предложения
при «естественной» иерархизации, как правило,
связана с «естественным» деревом подчинения. Так, если
в рассмотренном выше примере иерархизовать систему
составляющих следующим образом: ([Объединение]
(двух [замкнутых [множеств]])) [[есть] (замкнутое
[множество])] (главные составляющие выделены
квадратными скобками), то полученная иерархизованная
система составляющих будет связана с указанным
выше для данного предложения деревом подчинения.
Не все типы предложений допускают достаточно
адекватное описание с помощью систем составляющих
и деревьев подчинения. В частности, затруднения
возникают при описании предложений, содержащих
словосочетания с «особо тесными» внутренними связями
(напр., сложные формы глагола), а также сочиненные
конструкции. Кроме того, при описании строения
предложений и иных отрезков речи на более
«глубоких» уровнях возникает необходимость использовать
графы более сложного вида, чем деревья. Для
большей адекватности описания языка нужно учитывать
наряду с синтаксическими еще т. н.
анафорические связи — связи между вхождениями слов,
«называющими одно и то же»; напр.:
^Если f есть отображение £ на f
м существует обратное отображение
/*"V"to последнее есть отображение F на Л"·
Поэтому разрабатываются и другие, более сложные
концепции С. с.
Лит.: [l]TesniereL, Elements de syntaxe structurale, 2
изд., P., 1965; L2] Π а д у ч е в а Е. В., «Вопросы языкознания»,
1964, № 2, с. 99—113; [3] Гладкий А. В., «Научно-техни-

1185
СИНТЕЗА
ЗАДАЧИ
1186
ческая информация. Сер. 2», 1971, № 9, с. 35—38, [4] е г о I
же, Формальные грамматики и языки, М., 1973; [5] его
же, «Slavica», 1981, v. XVII, XVIIΙ Α. В. Гладкий.
СИНТАКСИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА — теорема
синтаксического языка, т. е. теорема о формализованной
теории. Примеры С. т.: теорема дедукции для исчисления
предикатов, теорема Гёделя о неполноте арифметики.
Эти теоремы относятся к элементарному синтаксису.
Примером неэлементарной С. т., то есть теоремы,
доказательство к-рой существенно использует бесконечные
совокупности, может служить теорема о
непротиворечивости элементарной арифметики. в. я. Гришин,
СИНТАКСИЧЕСКИЙ ЯЗЫК — язык, предназна
ченный для изучения формализованного языка в
отвлечении от его главной интерпретации. Понятие о
С. я. возникло в математич. логике в связи с вопросами
формализации и исследования содержательных
математич. теорий. Результатом формализации какой-
либо содержательной теории является формальная
система, к-рую можно рассматривать как
самостоятельный объект исследования, забыв о ее
происхождении. Для исследования формальных систем в таком
плане служит С. я. I
В С. я. дается описание языка формальной системы,
т. е. его исходных символов, термов, формул и пр.,
определяется понятие вывода в формальной системе,
формулируются и доказываются теоремы о формальной
системе. Таким образом, с формальной системой
связываются два языка: один — исследуемый язык самой
формальной системы (объектный, или
предметный, язык), другой — язык, на к-ром ведется
исследование формальной системы (С. я.).
С. я. должен содержать имена для символов и формул
языка-объекта, а также переменные, значениями к-рых
являются сами символы и формулы. При этом символы
и формулы языка-объекта выступают в С. я. в
качестве своих собственных имен (т. е. в качестве имен,
обозначающих сами эти символы и формулы). С. я.,
как правило, не должен содержать языковых средств
для рассуждения о бесконечных совокупностях как
самостоятельных объектах. Чтобы подчеркнуть это
обстоятельство, говорят об элементарном
синтаксисе для данной формальной системы, в
противоположность синтаксису
теоретическом у, в к-ром допускается рассмотрение
произвольных образований. Язык теоретич. синтаксиса наз. также
метаязыком. Достаточно четко очерченный С. я. может
быть формализован и стать объектным языком. Многие
достаточно сильные формальные системы могут служить
формализациями своего собственного элементарного
С. я. На этом факте основано доказательство Гёделя
теоремы о неполноте формальных систем.
В языках теоретич. синтаксиса можно рассматривать
модели данной формальной системы и говорить об
истинности формул формальной системы в моделях.
В качестве примера формализованного языка теоретич.
синтаксиса элементарной арифметики можно указать
на язык арифметики 2-го порядка.
Лит.: [1] Ч ё ρ ч Α., Введение в математическую логику
пер. с англ., М., 1960. В. Я. Гришин'.
СИНТЕЗА ЗАДАЧИ — совокупность задач,
концентрирующихся вокруг проблемы построения
управляющей системы (у. с), имеющей предписанное
функционирование. У. с. строится из элементов, к-рые обычно
сами являются простыми у. с. При синтезе заранее
заданы состав элементов, правила их соединения между
собой и способ определения по структуре у. с.
функции, к-рую она реализует.
С каждым классом у. с. естественным образом
связан определенный класс функций. Задача
синтеза в ее исходной постановке состоит в том, чтобы
по заданной функции из этого класса построить
реализующую ее у. с. Напр.: 1) задана булева функция —
требуется построить формулу, к-рая ее реализует;
2) задана система булевых функций — требуется
построить многополюсную контактную схему,
реализующую эту систему; 3) имеется точное описание
поведения автомата — требуется построить такой
автомат; 4) задана вычислимая функция — требуется
найти алгоритм, к-рый ее вычисляет, либо составить
соответствующую программу.
Приведенные примеры относятся к дискретной ветви
математики. Однако аналогичные примеры
характерны и для непрерывной ветви математики: 1) задана
логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика системы автоматич. регулирования (или, в более
общем случае, условия ее работы, т. е. возмущающие
и управляющие воздействия, помехи, ограничения по
времени работы и т. д.) — требуется синтезировать
систему автоматич. регулирования, обладающую
заданной характеристикой; 2) задана система линейных
уравнений и неравенств, а также нек-рая линейная
функция — требуется построить схему вычисления,
к-рая максимизирует заданную линейную функцию
на множестве решений заданной системы; 3) задана
система дифференциальных уравнений и указана
необходимая точность ее решения — требуется найти
алгоритм численного решения этой системы с
указанной точностью.
Имеется определенная условность в том, что
последние три примера отнесены к непрерывной математике,
ибо поиск приближенного численного решения уже
предполагает аппроксимацию непрерывных функций
дискретными, а значит, в этих задачах непрерывная
ветвь математики тесно переплетается с дискретной.
Математическая постановка С. з. предполагает
точное указание языка, на к-ром задается функция. От
этого языка зависит, какие трудности могут
возникнуть при решении С. з. В большинстве случаев
существует сравнительно простой метод построения у, с.
канонич. вида.
Однако (если только класс у. с. не слишком беден)
задача имеет и много других решений; естественно
возникает задача выбора среди них в каком-то смысле
наилучшего. При таком подходе вводится параметр,
характеризующий качество у. с. Это может быть число
элементов у. с, ее стоимость, занимаемый ею объем,
максимальное число ее элементов, находящихся в
активном состоянии (т. е. мощность), время ее работы,
вероятность выхода ее из строя и т. д. Важно, чтобы
этот параметр, обычно наз. сложностью,
правильно отражал требующееся свойство у. с. и по
возможности просто по ней вычислялся. В уточненной
постановке С. з. состоит в том, чтобы по заданной
функции построить такую реализующую ее у. с, на
к-рой достигается минимум сложности.
На самом деле столь определенная постановка за-
| дачи возможна лишь для конечных моделей у. с. Как
следствие, для них и вся синтезная проблематика
оказывается очерченной лучше. Поэтому ниже
основное внимание уделено конечным моделям.
Для конечных моделей у. с. типична ситуация, когца
существует тривиальное решение поставленной
задачи. Напр., если минимизируется число элементов в
схеме, то тривиальный метод решения состоит в
переборе сначала всех схем, содержащих один элемент, с
проверкой того, есть ли среди них схема, реализующая
заданную функцию, затем в переборе всех схем,
содержащих два элемента, и т. д. до тех пор, пока не
встретится схема, реализующая заданную функцию. На
этой схеме и достигается минимум числа элементов.
Однако из-за большого числа требующихся шагов
тривиальный метод малоэффективен. Более того, если
сложность реализуемой функции превышает нек-рый
' сравнительно невысокий порог, то тривиальный метод
£· 38 Математическая энц., т. 4

1187
СИНТЕЗА ЗАДАЧИ
1188
становится практически неосуществимым, причем
использование самых быстрых вычислительных машин
лишь несущественно расширяет границы его
применимости. Это означает, что требуется дальнейшее
уточнение постановки С. з.
Сложившиеся здесь тенденции продемонстрированы
ниже на примере одного из классов у. с— схем из
функциональных элементов для одного частного
случая, когда сложность понимается как число элементов
в схеме. Функции, реализуемые этим классом у. с,—
это функции алгебры логики (булевы функции).
Прежде всего следует отметить, что неприемлемость
решения, к-рое дает тривиальный метод,— это лишь
одна из причин, ведущих к пересмотру постановки С. з.
Существует гипотеза, что любой алгоритм, к-рый для
каждой булевой функции строит схему с минимальным
числом элементов, неизбежно содержит в себе в
каком-то смысле перебор всех булевых функций. В пользу
этой гипотезы говорит теорема о том, что если
рассмотреть бесконечное множество булевых функций,
содержащее при каждом числе переменных по одной
самой сложной функции, и замкнуть это множество
относительно операций переименования переменных
(без отождествления) и подстановки констант, то
получится множество, состоящее из всех вообще булевых
функций (с точностью до несущественных переменных
функции) Эта гипотеза получила много других
косвенных подтверждений, причем нек-рые из них
свидетельствуют о том, что если даже ослабить требование
по числу элементов, допуская построение схем,
близких к оптимальным, но сохранить требование
применимости алгоритма к каждой булевой функции, то
перебор не должен существенно уменьшиться. Идея
о принципиальной неизбежности перебора и является
основной причиной видоизменения постановки С. з.
Здесь имеется несколько возможностей.
Шенноновский подход (по имени К. Э. Шеннона,
к-рый впервые предложил его для контактных схем)
связан с рассмотрением функции
L (n) = ma.xL (/),
где L (/) — минимально возможное число элементов
в схеме, реализующей функцию /, а максимум берется
по всем булевым функциям / от /г переменных. При
этом L(f) и L (п) зависят от базиса, т. е. от множества
функциональных элементов, к-рые можно
использовать при построении схем. С. з. состоит в том, чтобы
найти эффективный метод построения для каждой
булевой функции от η переменных схем с числом
элементов, существенно не превосходящим L(n).
При более общей постановке задачи каждому
функциональному элементу Ε сопоставляется
положительное число L (Е)— сложность этого элемента, к-рая
зависит только от функции, реализуемой элементом Е,
а каждой схеме S приписывается сложность
где суммирование производится по всем элементам
схемы S. Для каждой булевой функции / определяется
сложность ее реализации (в заданном базисе):
L(/)=minL(5),
где минимум берется по всем схемам S, реализующим
функцию /. Затем, как и раньше, вводится L(n)~
=maxL(f) и требуется для произвольной булевой
функции от η переменных построить схему, имеющую
сложность не выше (или не на много выше), чем L(n).
При таком подходе нужно уметь вычислять или
хорошо оценивать хотя бы снизу величину L(n).
Оказывается, что неплохую нижнюю оценку для L(n)
дает уже мощностной метод, основанный на
следующем соображении: число всевозможных схем,
реализующих булевы функции от η переменных и
имеющих сложность не более L(n), должно быть не
меньше числа всех булевых функций от η переменных.
В мощностном методе требуется только получить
удовлетворительную верхнюю оценку для числа
рассматриваемых схем.
После этого о качестве любого универсального
метода синтеза (т. е. метода, пригодного для
произвольной булевой функции) можно в значительной мере
судить по тому, во сколько раз сложность построенных
им схем при соответствующем η отличается от нижней
оценки для L(n). Одновременно сложность этих схем
служит конструктивной верхней оценкой для L(n).
Основным достижением в этом направлении является
создание эффективного универсального метода синтеза,
к-рый дает схемы со сложностью, мало отличающейся
от нижней оценки для L(n), а при η ->- оо
асимптотически совпадающей с ней. Таким образом, это
асимптотически наилучший метод синтеза, позволяющий к
тому же установить асимптотич. поведение функции
L(n). Пусть
p = minL(E)/(i — 1),
где i — число входов элемента Е, а минимум берется
по всем элементам, имеющим не менее двух входов.
Тогда
Для других классов у. с. сложность L(S), а с ней
и сложности L (/) и L (п) вводятся аналогичным
образом. Обычно L (S) для контактной схемы S есть число
контактов в ней, а для формулы S — это число
символов переменных в ней. Для автоматов и машин
Тьюринга L (S) иногда вводится как число состояний
автомата S или машины Тьюринга S. Соответствующее
асимптотическое поведение величины L (п) для этих
классов показано в таблице 1.
Таблица 1
Классы управляющих
систем
Схемы из
функциональных элементов
Контактные схемы
Формулы
Автоматы
Машины Тьюринга
Цп)
9/2
Р п
2п
η
9П
log2
~α (η) -
η
in
η
2"
η (k-
1)
Примечание
. L(E)
г- 1
1< α (η)< 2
ft—число букв во
внешнем алфавите
машины Тьюринга
Если понятие сложности вводится иначе, напр. как
вероятность ошибки, или если рассматривается другой
класс у. с, напр. автоматы, то соответствующее
асимптотич. соотношение может содержать не один, а два
и более параметров, причем в общем случае задача
о получении асимптотики, напр. для автоматов,
алгоритмически неразрешима.
Анализ нижней оценки для L (п) показывает, что
на самом деле для почти всех булевых функций от η
переменных сложность реализации асимптотически
не меньше L(n). Это означает, что данный метод
синтеза для почти всех булевых функций дает почти самые
простые схемы.

1*89 синус
Однако, во-первых, при достаточно большом η ни
одну из функций этого класса, несмотря на то, что
он содержит почти вое булевы функции, не удается
явно указать, а во-вторых, этот класс состоит из
наиболее сложно реализуемых функций, к-рые,
по-видимому, не встречаются в задачах прикладного
характера. Поэтому такие функции не представляют
большого интереса. И снова появляется необходимость в
видоизменении постановки С. з.
При этом следует иметь в виду, что функции, для
к-рых С. з. актуальна, составляют ничтожную долю
всех булевых функций, и что любой эффективный
универсальный метод синтеза (если гипотеза о
необходимости перебора верна в полном объеме) для нек-рых
из них заведомо даст далеко не самые простые схемы.
Описать множество таких функций невозможно, но
проблема классификации булевых функций для целей
синтеза возникает. Такой подход к постановке С. з.
связан с выделением важных классов функций,
созданием для них специальных методов синтеза, каждый
из к-рых ориентирован на функции определенного
класса, а также с оценкой качества получающихся при
этом схем.
Эффективно решать такие задачи позволяет
принцип локального кодирования. Этот
принцип предполагает такое кодирование функций из
рассматриваемого класса, при к-ром значение функции
можно вычислять по сравнительно небольшой части
кода. Если при этом удается достаточно просто
реализовать нек-рые вспомогательные операторы, то
принцип локального кодирования дает
асимптотически наилучший метод синтеза для рассматриваемого
класса, причем вдоволь-
Таблица 2
Число точек,
в к-рых
функция
равна 1
(\og2n)c, с>1
пс, с> 0
2пС, 0 <с< 1
2™, 0 <с < 1
2«
пс
L(Nn)
~n (log^n)0-1
п^н-1
(с+1) log2n
„n\-c<inc
с
2п \og2n
С nc + i
но широких пределах
справедливо
соотношение
log2 I Nn I ,
Μ*») ~Ρ-
log2 log2 I Nn I
где Nn — подмножество
тех функций из
рассматриваемого класса, к-рые
зависят от заданных η
переменных, а
L(AT„) = maxZ,(/),
где максимум берется по
всем булевым функциям
/ из Nn. (здесь р=1).
Конкретный вид,
который может иметь это
асимптотическое
соотношение, удобнее всего
проиллюстрировать на классах булевых функций,
принимающих значение 1 в заданном числе точек.
Наиболее характерные примеры приведены в таблице 2.
На основе принципа локального кодирования были
получены хорошие методы синтеза и для весьма узких
классов функций (напр., для симметрич. функций),
т. е. для тех функций, к-рые с практической точки
зрения наиболее интересны. Однако в данном случае
нижняя оценка, получающаяся мощностным методом,
оказывается слишком слабой, для того чтобы по ней
судить о качестве схем. По мере сужения класса
рассматриваемых функций в какой-то момент это
неизбежно должно было произойти, поскольку предельным
случаем узкого класса является класс, содержащий
не более чем по одной функции от каждого числа
переменных. Фактически это означает, что
рассматриваются отдельные конкретные функции.
Здесь возникают две проблемы: 1) построить для
заданной конкретной функции / схему с возможно
1190
меньшим числом элементов и тем самым получить
верхнюю оценку для £(/); 2) получить возможно
лучшую нижнюю оценку для L (/). Среди этих задач первая
обычно бывает легче, так как для ее решения
достаточно, в конечном счете, построить одну схему, а вторая
требует в каком-то смысле просмотра всех схем,
реализующих функцию /. По этой причине возникло целое
направление, связанное с поиском методов получения
нижних оценок для конкретных функций.
Получение нижних оценок, линейных относительно
η — числа аргументов функции (или в общем случае
относительно объема входной информации), обычно
все-таки не вызывает больших трудностей. Получение
более сильных нижних оценок — значительно более
сложная задача. Первыми примерами в этом
направлении были нижняя оценка порядка тг1»5 для формул
в базисе {&, V, ~}, реализующих линейную
функцию (сумму по модулю 2) η аргументов, и нижняя
оценка порядка n2/log2n для нормальных алгорифмов
Маркова, к-рые обращают слова длины п. Наиболее
высокие нижние оценки, к-рые к настоящему времени
(1984) удалось получить, имеют порядок п2, если не
считать оценок, получающихся при очень сильных
ограничениях на класс у. с. (напр., неполнота системы
элементов) либо при использовании столь мощных средств
для задания функции, что они фактически содержат в
себе перебор всех функций.
О нетривиальности исследования сложности
реализации конкретных функций говорит и то, что многие
задачи, такие, как умножение целых чисел,
умножение матриц, распознавание симметрии слова на
многоленточных машинах Тьюринга, для к-рых ожидались
сравнительно высокие нижние оценки, оказались на
самом деле проще, чем предполагалось раньше.
При минимизации других параметров схем —
задержек, вероятности сбоя и т. д.— возникают
примерно такие же задачи. При этом удается установить
определенную связь между различными параметрами,
причем благодаря моделированию одних объектов на
других такую связь часто удается установить между
различными параметрами у. с. из разных классов.
Таким образом, полученные в С. з. результаты не
являются изолированными, а тесно переплетаются друг
с другом и часто переносятся из одной области в другую.
Многое из сказанного выше относится и к
бесконечным моделям у. с. Однако с постановкой задачи
синтеза, а тем более с ее решением дело обстоит
значительно сложнее.
Лит.: [1] Л у панов О. Б., «Проблемы кибернетики»,
1965, в. 14, с. 31 —110; [2] Я б л о н с к и й С. В., там же,
1959, в. 2, с. 75—121. в. М. Храпченко.
СИНУС — одна из тригонометрич. функций:
y = s\nx.
Область определения — вся числовая прямая, область
значений — отрезок [—1; 1]; С— функция нечетная,
периодическая с периодом 2π. С. и косинус связаны
формулой
sin2 χ -f-cos2 χ = 1,
С. и косеканс связаны формулой
1
Производная С:
Интеграл от С:
(sin χ)' = cos.x.
\ sin x dx — — cos x-j-C.
С. разлагается в степенной ряд:
3!
5!
-оо < χ < оо.
38*

1191
СИНУС
1192
Функция, обратная С, наз. арксинусом.
С. и косинус комплексного аргумента ζ связаны с
показательной функцией формулами Эйлера
e^ = cosz-|-i sin ζ,
eiz-e~iz
sin 2 = _ ,
если z=ix (чисто мнимое число), то
sin ix = — sh J·,
где shz — гиперболич. синус.
Ю. А. Горькое.
СИНУС АМПЛИТУДЫ, эллиптический с и-
н у с,— одна из трех основных Якоби эллиптических
функций, обозначаемая
snw = sn(M, /c) = sinami*.
Синус амплитуды определяется через тета-
функции или при помощи рядов следующим образом:
Оз (0) ®ι(ν) _
sn и =sn (и, /с) =
fl'(0) ®o(v)
= и_(1+А2)^.+ (1+14Л2 + А4)|1_вв.>(
где к — модуль С. а. (чаще всего 0</с<1), v=u/2(u,
2ω=πϋί(0). При /с=0, 1 соответственно sn(u, 0)=
= sin и, sn(u, l)=th и.
Лит.: [1] Гурвиц Α., Курант Р., Теория функций,
пер. с нем., М., 1968, ч. 2, гл. 3. Е. Д. Соломенцев.
СИНУС ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ — см.
Гиперболические функции.
СИНУС ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ, Sine-Gordon
уравнение,— релятивистски инвариантное
уравнение, в пространственно-временных переменных
имеющее вид
д2и д2и , 2 · л
-7-г2 т-г· + т2 sin и = 0;
dt2 дх2 ' '
— оо < х, t < оо, wgR1, т>0. (A)
Название предложено М. Крускалом по аналогии с
линейным Клейна — Гордона уравнением (где вместо
sin и стоит и). В характеристических (светоподобных)
переменных С. Г. у. выглядит так:
-^7 + m2smu = Q, σ, τ, wgR1, m > 0. (В)
Как в случае (А), так и в случае (В) С. Г. у. допускает
представление Л а к с а
с линейными операторами L и М, что позволяет
применить к нему метод обратной задачи рассеяния ([L,
M] = LM—ML).
Задача Коши для С. Г. у. формулируется следующим
образом.
Случай (А):
I ди I
4^, u2GS (R1); lim ι*χ (ж) = о (mod 2π).
Случай (В):
и |τ=0 = 7Λ0;
du0
do
£S (R1
lim
u0 (σ) = 0 (mod 2ji).
Здесь 5 (R1) — пространство Шварца быстроубыва-
ющих функций. Задачи Коши (А) и (В) при нек-рых
дополнительных ограничениях на начальные данные
однозначно разрешимы в указанных классах, и
множества их решений совпадают. Эволюция данных
рассеяния соответствующих L-операторов дается
явными формулами, а решения и(х, t) и ^(σ, τ) находятся
с помощью интегральных уравнений типа Гельфанда —
Левитана — Марченко.
Периодич. задача для С. Г. у. может быть
исследована с помощью алгебро-геометрич. метода (подобно
тому, как это делается для Кортевега — де Φ риса
уравнения); в частности, получены явные выражения для
конечнозонных решений С. Г. у. через θ-функции на
соответствующих абелевых многообразиях.
Гамильтонова формулировка С. Г. у. заключается в
том, что, напр., в случае (А) оно представляет собой
гамильтонову систему с гамильтонианом
γ>0,
и симплектич. формой
т2 (1—cos и) ) dx,
Ω
ι Γ + °°
= — \ _ dn {χ) Λ du (x) dx, π =
ди
ΊΓΓ
Эта система является вполне интегрируемой, и
переход от переменных и и π к данным рассеяния
соответствующего оператора L является канонич.
преобразованием к переменным типа действие-угол. Фазовое
пространство параметризуется канонически
сопряженными переменными трех типов:
1) 0<р(р) < оо, 0<φ(ρ) < 2π, p^R1;
2) Pa, 9e€R1. a = ^ ···. #i. #ι^ο, λγι€^;
3) η&, bgR1, 0<аь<-^,0<рь<2л;,Ь = 1, ..., Λ'2ϊ
N2^0, ΛΓ2ζΖ·
Полная энергия Р0 и полный импульс
ди
у J -оо "" v' дх
1 Г +оо
dx
поля и в новых переменных выглядят следующим
образом:
+ 2]f-\ Vr\l+{2M8mW
-$::
Ъ=1
РР (ρ) dp -
М=^-
r\hw2
θ
16
В случае (В) также получается вполне
интегрируемая гамильтонова система.
Одно из приложений к квантовой
теории поля. Пусть и (х, t) — скалярное поле
с лагранжианом
^iS::(te)2-te)2-^d-cos «о*
(здесь у — константа связи). С. Г. у. является
уравнением Эйлера — Лагранжа для этого лагранжиана.
При квазиклассич. квантовании поля и основную
роль играют приведенные выше выражения для Р0
и Ρλ. Первые члены в правых частях указанных формул
отвечают частицам с массой m — частицам основного
поля. Переменным второго и третьего типов
соответствуют локализованные решения С. Г. у.— солитоны
и двойные солитоны с массами Μ и 2М sin θ. Система
обладает законом сохранения (топологич. заряд):
Частицы первого и третьего типов имеют заряд,
равный 0, а у частиц второго типа заряд равен ±1.
Частицы с одинаковыми зарядами отталкиваются, а с
разными зарядами — притягиваются. Наличие бес-

1193
конечного числа законов сохранения означает, что при
рассеянии сохраняются количества частиц каждого
типа; л-частичная S-матрица сводится к парным
£-матрицам. С помощью интеграла по траекториям
можно вычислить квантовые поправки к массам и к
квазиклассической £-матрице солитонов. Одним из
нетривиальных свойств указанной модели является
появление целого спектра частиц (солитонов), в то
время как лагранжиан теории содержит только одно
поле. Кроме того, в приближении слабого
взаимодействия (т е когда γ мало) солитоны — тяжелые
частицы и сильно взаимодействуют.
Лит.: [1] A b 1 о w i t ζ Μ. [и др.], «Phys. Rev. Lett.»,
1973, v. 30, p. 1262—64; [2] Τ a χ τ а д ж я н Л. Α., Φ а д д е-
е в Л. Д., «Теоретич. и матем. физика», 1974, т. 21, № 2, с. 160—
174; [3] их же, «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1976, т. 142,
с. 254—66; [4] К о з е л В. Α., К о τ л я ρ о в В. П., «Докл.
АН УССР, сер. Α.», 1976, № ю, с. 878—81; [5] К о ρ е-
п и н В. Е., Фаддеев Л. Д., «Теоретич. и матем. физика»
1975, т. 25, № 2, с. 147—63; [6] В ianchi L., Lezioni di geo-
metria differenziale, v. 2, pt 1—2, Pisa, 1923—24; [7]Ι Φ и н и-
к о в С. П., Изгибание на главном основании..., М.—Л., 1937;
L9] Π е л и н о в с к и й Ε. Η., «Изв. вузов. Радиофизика», 1976'
т. 19, № 5—6, с. 883—901. Л. А. Тахтаджян]
СИНУСОВ ТЕОРЕМА: для произвольного
треугольника со сторонами а, Ъ, с и противолежащими им
углами А, В, С имеют место соотношения
А -СИСТЕМА 1194
принимать сколь угодно большие значения и не
проходит через полюс. С. с. симметрична относительно
полярной оси, при рациональном m—plq (где ρ и q
взаимно простые числа)
имеет ρ осей симметрии,
проходящих через полюс. При
целом положительном т
радиус-вектор С. с.
является периодич. функцией с
периодом 2л/т. При
изменении φ от 0 до 2π кривая'
состоит из т лепестков,
каждый из которых
располагается внутри угла, равного
л/т. Полюс в этом случае —
кратная точка (см. рис.).
При дробном положительном
m=p/q кривая состоит из ρ
sin A sin В
sin С
:2Д,
ГДе В — радиус ОПИСаННОГО Круга. Ю. А. Горькое.
СИНУСОИДА — график функции j/=sin x (см. рис.).
С.— непрерывная кривая с периодом Т=2л.
Пересечения с осью Ох — точки, (к л, 0); они же — точки
перегиба с углом ijt/4 наклона к оси Ох; экстремумы
((H-Va)Ji, (-1)*).
График функции j/=cos rc=sin (х+л/2) —
косинусоида— представляет собой С, сдвинутую влево
на π/2. Пересечения косинусоиды с осью Ох — точки
((к+г/2)л, О); экстремумы (кл, (—1)^).
Многие колебательные процессы описываются
периодич. функцией вида у=а sin(&z+c), где а, Ъ и с —
постоянные. График этой функции (т. н. общая
синусоида, по сравнению с графиком
функции г/=sin χ (обыкновенная синусоида)
вытянут вдоль оси Оу в \а\ раз, сжат вдоль оси Ох
в Ъ раз, сдвинут влево на отрезок с/Ъ и при а<0
зеркально отражен относительно оси Ох; период Т=2л/Ь,
пересечения с осью Ох — точки ( π~с , 0); экст-
/(ft + νθπ—с / A\k \
ремумы ( ^ ^ , ( — 1 \ а \. Ю. А. Горькое.
СИНУСОИДАЛЬНАЯ СПИРАЛЬ — плоская кривая,
уравнение к-рой в полярных координатах имеет вид
рТП —аТП C0S /щр.
При рациональном тС.с. является алгебраич. кривой.
В частности, при т— 1 — окружность, при т= — 1 —
равносторонняя гипербола, при т=1/2 — кардиоида,
при т=—1/2 —парабола.
В общем случае для w> 0 С. с. проходит через полюс
и полностью помещается внутри круга радиуса а.
При отрицательном т радиус-вектор кривой может
г у л я ρ н о и,
довательность А
пересекающихся
лепестков. При целом отрицательном т С. с. состоит из \т\
бесконечных ветвей, к-рые могут быть получены
инверсией спирали с т'=—т.
Лит [1] С а в е л о в Α. Α., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ - см. Фурье
преобразование.
Л-СИСТЕМА — счетно ветвящаяся система множеств,
т. е. семейство {Ащ...пк} подмножеств множества X,
занумерованных всеми конечными
последовательностями натуральных чисел. А-С. {Ап пА наз. ρ е-
если Ani...nknk + iClAni...nk· ПоСЛе"
rv ··" Anx...nv ··· элементов А-С,
занумерованных всеми отрезками одной и той же
бесконечной последовательности натуральных чисел, наз.
цепью этой А-С Пересечение всех элементов цепи
наз. ее я д ρ о м, а объединение ядер всех цепей А-С.—
ядром этой А-С, или результатом Л-опера-
ц и и, примененной к этой А-С, или i-множест-
в о м, порожденным этой А-С Всякая А-С может
быть регуляризована без изменения ядра (достаточно
положить Α'ηι .ш,Пк=АП1Г\..'Г\Ащ. t.nk). Если о£ —
нек-рая система множеств, то ядра А-С, составленных
из элементов системы q$, наз. Л-множествами,
порожденными системой ©#. Л-множества,
порожденные замкнутыми множествами топологич. пространства,
наз. Л-множествами этого пространства.
Лит.: [1] Александров П. С, Введение в теорию
множеств и общую топологию, М., 1977; [2]Куратовский
К., Топология, пер. с франц., т. 1, М., 1966. А. Г. Ельпин.
АГ-СИСТЕМА {Г*} — такой измеримый поток (К-
поток) или каскад (К-к а с к а д) в Лебега
пространстве, что существует измеримое разбиение ξ фазового
пространства со следующими свойствами: а) оно
возрастающее (в более старой терминологии —
инвариантное) относительно \Т*}, то есть Т%
мельче ξ mod 0 при £>0; б) оно является
двусторонним образующим для {Т*}, т. е.
единственным mod 0 измеримым разбиением, к-рое мельче
mod 0 всех Γ*ξ, является разбиение на точки; в)
единственным mod 0 измеримым разбиением, к-рое крупнее
mod 0 всех Γ*ξ, является тривиальное разбиение,
единственный элемент к-рого — все фазовое
пространство.
Автоморфизм пространства с мерой, итерации к-рого
образуют ϋΤ-каскад, наз. Κ-a втоморфизмом.
Если {Tf} — К-С, то все Т* с ί=£θ являются ϋΤ-авто-
морфизмами; обратно, если для измеримого потока
или каскада {Т1} хоть одно Т* является ϋΤ-автоморфиз-
мом, то {7*} — К-С 1£-система обладает сильными
эргодич. свойствами: положительная энтропия,
эргодичность, перемешивание всех степеней, счетнократ-

11% j-СИ
ный лебеговский спектр (см. Спектр динамической
системы, а также [2]).
Эндоморфизм пространства Лебега имеет вполне
положительную энтропию, если любой
его нетривиальный факторэндоморфизм имеет
положительную энтропию. Среди таких эндоморфизмов
содержатся как Z-автоморфизмы (именно последние
суть в точности автоморфизмы с вполне
положительной энтропией), так и другие интересные объекты
(точные эндоморфизмы). Имеются обобщения К-С. в других
направлениях: на случай бесконечной инвариантной
меры (см. [6], [7], [И]) и для действия группы, отличной
от R и Ъ (см. [8] - [10], [12]).
К-С. наз. также системами (потоками
и т. д.) Колмогорова, к-рый впервые ввел их
(см. [1]) под названием «квазирегулярных». Последнее
подчеркивает аналогию с регулярными случайными
процессами (см. [4]). Если случайный процесс {Xf},
стационарный в узком смысле слова,
интерпретировать как динамич. систему, то значения процесса «в
прошлом» определяют нек-рое измеримое возрастающее
разбиение ξ — наименьшее, относительно к-рого
измеримы все Xf с £<0. Если ξ обладает свойствами б)
и в) (закон «все или ничего»), то процесс наз.
регулярным. В частности, вероятностное
происхождение имеет простейший пример ϋΓ-автоморфизма —
Бернулли автоморфизм.
Если у измеримого потока или каскада в
пространстве Лебега одно из преобразований Tf изоморфно
автоморфизму Бернулли, то и все они (при ίφΟ)
изоморфны автоморфизмам Бернулли; в этом случае
динамич. система наз. бернуллиевской (см. [5]).
Существуют К-С, не являющиеся бернуллиевскими.
К-С. (даже бернуллиевские) естественно возникают не
только в теории вероятностей, но и в других вопросах
(алгебраической, геометрической и даже физич.
природы; см. [2], [3], [5]).
Лит.: [1] К о л м о г о ρ о в А. Н., «Докл. АН СССР», 1958,
т. 119, № 5, с. 861—64; 1959, т. 124, № 4, с. 754—55; [2]
Корнфельд И. П., Синай Я. Г., ФоминС. В.,
Эргодическая теория, М., 1980; [3] Итоги науки и техники.
Математический анализ, т. 13, М., 1975, с. 129—262; [4]
Розанов Ю. Α., Стационарные случайные процессы, М.,
1963; [5] О ρ н с τ е й н Д., Эргодическая теория,
случайность и динамические системы, пер. с англ., М., 1978; [6]
Parry W., «Ргос. Amer. Math. Soc», 1965, v. 16, №5,
p. 960—66; [7] D u g d a 1 e J. К., «Publ. math.», (Debrecen),
1967, t. 14, № 1/4, p. 79—81; [8] С ο η ζ e J. P., «Ζ. Wahrs-
cheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete», 1972, Bd 25, H. 1,
S. 11 — 30; [9] В u г t ο η R. Μ., там же, 1979, Bd 47, Η. 2,
S. 207—12; [l0] D a n i S., «Amer. J. Math », 1976, v. 98, № 1,
p. 119—63; [11] KrengelU., SuchestonL., «Ann.
Math. Statistics», 1969, v. 40, № 2, p. 694—96; [12] К a m i ή s k i
В., «Bull. Acad, polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phvs.»,
1978, v. 26, № 2, p. 95—97. Д. В. Аносов.
У-СЙСТЕМА — гладкая динамич. система (поток
или каскад) с компактным фазовым многообразием,
к-рое все является гиперболическим множеством.
Диффеоморфизм, порождающий У-каскад, наз. У-д и ф-
феоморфизмом. У-С. были введены Д. В.
Аносовым (см. [1], [2]), поэтому иногда их наз.
системами Аносова.
У-С. являются грубыми системами, причем при
малом (в смысле С1) возмущении У-С. снова
получается У-С; число периодич. траекторий У-С. периода
не больше Τ экспоненциально растет с ростом Т. У-С.
обладают сильными эргодич. свойствами по отношению
к широкому классу т. н. «гиббсовских» инвариантных
мер (см. [4]—[6]). [В частности, если У-С. имеет
конечную инвариантную меру, «совместимую с
гладкостью», т. е. задаваемую в терминах локальных
координат положительной плотностью (в первых работах
только такие меры и рассматривались, см. [1] — [3]),
то эта мера — гиббсовская.] Так, если у У-диффео-
морфизма нет блуждающих точек, то он метрически
изоморфен Бернулли автоморфизму; сходимость
временных средних к пространственному среднему в
ЕМ А 1196
широких предположениях подчиняется центральной
предельной теореме, а скорость перемешивания —
экспоненциальная («экспоненциальное убывание
корреляций»).
При исследовании У-С. нередко используется
символическая динамика, что стало возможным благодаря
введенным в [7], [8] (окончательный вариант в [5])
марковским разбиениям. Ряд результатов об У-С.
оказался справедливым и для нек-рых других типов
гиперболич. множеств; имеются и менее
непосредственные обобщения, при к-рых несколько ослабляются
условия гиперболичности (см. [6], [14]).
У-С. являются гиперболич. автоморфизмы торов и
геодезические потоки на замкнутых многообразиях
отрицательной кривизны; имеются и другие примеры
родственной алгебро-геометрич. природы. В этих
примерах У-С. имеет инвариантную меру, совместимую
с гладкостью. При малом возмущении такая мера
может исчезнуть, но ввиду грубости все точки остаются
неблуждающими. Принципиально иной характер имеют
примеры У-С. с блуждающими точками (см. [9]).
Существование У-С. на многообразии налагает
ограничения на его топологич. свойства. В общем случае
об этом известно немногое (см. [10], [И]); хорошо
изучен тот случай, когда устойчивое или неустойчивое
подпространство (см. Гиперболическое множество)
одномерно (см. [9], [12], [13]).
Лит.: [1] А н о с о в Д. В., «Докл. АН СССР», 1962, т. 145,
№ 4, с. 707—09; 1963, т. 151, № 6,с. 1250—52; [2] е г о же,
Геодезические потоки на замкнутых римановых
многообразиях отрицательной кривизны, М., 1967; [3] Аносов
Д. В., С и н а й Я. Г., «Успехи матем. наук», 1967, т. 22, в. 5,
с. 107—72; [4] С и н а й Я. Г., там же, 1972, т. 27, в. 4, с. 21 —
64; [5] Б о у э н Р., Методы символической динамики, пер. с
англ., М., 1979; [6] Итоги науки и техники. Математический
анализ, т. 13, М., 1975, с. 129—262; [7] A d 1 е г R. L., Weiss
В., «Ргос. Nat. Acad. Sci. USA», 1967, v. 57, № 6, p. 1573—76;
[8] С и н а й Я. Г., «Функциональный анализ и его
приложения», 1968, т. 2, № 1, с. 64—89; [9] F г a n k s J. M.,
Williams В., в кн.: Global theory of dynamical systems, B.—
[и. a.], 1980, p. 158—74 (Lecture notes in math., № 819); [10]
HirschM.W., «Topology», 1971, v. 10, № 3, p. 177—83; [11]
S h i г a i w a K., «Nagoya Math. J.», 1973, v. 49, p. 111—15;
[12] Гладкие динамические системы, пер. с англ., М., 1977;
[13] Υ е г j о ν s k ν Α., «Bolet. Soc. Matem. Mexicana», 1974,
v. 19, № 2, p. 49—77; [14] F at h i Α., LaudenbachF.,
Ρ ο 6 na πι V., «Asterisque», 1979, t. 66—67, p. 71—79, 139—
58, 225—42. Д. В. Аносов.
СИСТЕМНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — 1)
Инженерная дисциплина, разрабатывающая методы
построения системных π ρ о г ρ а м м, т. е. программ,
входящих в состав больших программных комплексов
(программных систем), придающих вычислительным
средствам постоянные функции нек-рой специальной
системы юбработки информации.
2) Процесс составления системных программ — в
этом качестве все больше становится синонимом
профессионального программирования, т. е. составления
программ (иначе называемых программным
продуктом), отчуждаемых от их автора и применяемых
впоследствии многократно.
В начальный период применения ЭВМ, главным
образом для математич. расчетов, основной сферой
приложения С. п. была разработка базового
математич. обеспечения: операционных систем, систем
программирования, библиотек стандартных подпрограмм.
В связи с расширением и усложнением применения
ЭВМ в методах С. п. все больше начинает нуждаться
разработка прикладного математич. обеспечения —
пакетов прикладных программ, автоматизированных
систем управления и банков данных.
С. п. в своем развитии встречается с рядом
трудностей. Главными источниками их являются большой
объем программных систем (до 1 млн. машинных
команд), сугубо нелинейная зависимость сложности от
объема, слабая устойчивость системных программ к
ошибкам программиста и отказам оборудования.

1197
СКАЛЯР
1198
В методах С. п. различается программирование «в
малом», т. е. методы разработки системной программы
одним человеком, и «в большом», т. е. методы
объединения индивидуального программного продукта в
большую систему.
В С. п. «в малом» на первый план выступают мате-
матич. методы программирования, описание и
свойства математич. модели программируемой задачи,
методы систематич. преобразования исходной
формулировки задачи в программный текст, методы
доказательства правильности (верификации) программы. С. п.
«в большом» сближается с теорией больших систем,
общей системотехникой, методами организации
коллективной работы и даже с вопросами эволюции ди-
йамич. систем.
Лит.: [1] Брукс Ф., Как проектируются и создаются
программные комплексы. Мифический человеко-месяц, пер. с
англ., М., 1979; [2] Создание качественного программного
обеспечения. Тр. Рабочей конференции Междунар. федерации по
обработке информации, пер. с англ., т. 1—2, Новосиб., 1978.
А. П. Ершов.
СКАЛЯР — величина, каждое значение к-рой может
быть выражено одним (действительным) числом (см.
Величина). В общем случае G.— элемент нек-рого поля.
СКАЛ Я РНАЯ КРИВИЗНА риманова
многообразия в точке ρ — след Риччи тензора
по отношению к метрич. тензору g. Скалярная кривизна
s(p) связана с Риччи кривизной г и секционной кривизной
к формулами
s (p)==2Lir (βί)=Σ" /=1 *(«.·· еуь
где ег, ... , еп — ортонормированный базис
касательного пространства. В эквивалентной индексной форме
эти равенства имеют вид
s(p)^gORi/ = gU'gkiRk..h
где R{j и Rkiji — координаты тензора Риччи и тензора
кривизны соответственно, g*J — контравариантные
координаты метрич. тензора.
Лит.: [1]ГромолД.,КлингенбергВ.,МейерВ.,
Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Ρ а ш е в-
с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд.,
Μ., 19Θ7. Л. А. Сидоров.
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ — скалярная функция точки
области нек-рого пространства. Примеры С. п.: поле
температуры внутри тела, поле плотности.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, внутреннее
произведение (а, Ъ) ненулевых векторов а и
Ь, — произведение их модулей на косинус угла φ между
ними:
(а, Ь) — \ а 11 Ь \ cos φ.
За φ принимается угол между векторами, не
превосходящий π. Если а—§ и δ=0, то С. п. полагают равным
нулю. С. п. (а ,а) = а2^ \ а |2 наз. скалярным
квадратом вектора а. См. Векторная алгебра.
С. и. двух /г-мерных векторов α = (αχ, а2, . . . ап) и
Ь= (&х, Ь2, . . . Ьп) в случае действительных координат
наз. число
(a, b) = a1b1 + a2b2+ ... +апЬп,
в случае комплексных координат — число
Бесконечномерное векторное пространство, в к-ром
определено С. п. и выполнена аксиома полноты, наз.
гильбертовым пространством. а. Б. Иванов.
СКАНИРОВАНИЯ МЕТОД — метод максимизации и
минимизации функции путем последовательного
перебора и сравнения значений функции во всех точках
нек-рого подмножества допустимого множества. В
отличие от перебора методом Монте-Карло указанные точки
в С. м. лежат на заранее детерминированной траектории.
Название «С. м.» пришло из техники, где часть задач
обзора и обнаружения целей эквивалентна
максимизации или минимизации функции яркости и решается с
помощью аналоговых или цифровых разновидностей
С. м. В дальнейшем С. м. привлек внимание в качестве
удобного средства оптимизации на ЭВМ в диалоговом
режиме.
Траектория сканирования, в частности, может
образовывать всюду плотное множество в допустимом
множестве аргумента.
Достоинствами С. м. являются отсутствие
ограничений на способ задания функции и функциональные
классы, к к-рым она может принадлежать. Последнее
(наряду с большой трудоемкостью перебора) является в то
же время и главным недостатком С. м.: не используется
для сокращения вычислений дополнительная
информация, имеющаяся у вычислителя. Поэтому в
вычислительной практике С. м. редко применяется без комбинации
с другими методами оптимизации. Например, для
функций, удовлетворяющих условию Липшица, поиск
глобального экстремума эффективнее производить
вместо С. м методом «перебора на неравномерной сетке»
(см. [2], [3]).
Лит.: [1]Растригин Л. Α., Системы экстремального
управления, М., 1974: [2] Евтушенко Ю. Г., Методы
решения экстремальных задач и их применение в системах
оптимизации, М., 1982; [3] Towards Global Optimisation,
v. 1—2, Amst.— N. Υ., 1975—78.
Ю.П. Иванилов, В. В. Охрименпо.
СКАЧКОВ ФУНКЦИЯ — одна из трех компонент
в Лебега разложении функции ограниченной вариации.
Пусть f(x) — ограниченной вариации функция на
отрезке [а, 6]. Пусть άΛ(χ)=ί(χ)— f(x—0) при a<x<£b
и dn(x)==f(x-\-0)—f(x) при а<я<&. Число ал(х) наз.
скачком функции / в точке χ слева,
а число dn(x) — скачком функции / в
точке χ справа. Если а<я<&, то число
d (x) = f (x + 0)-f (х~0) = ал (x) + dn (x)
наз. скачком функции / в точке х. Пусть
{х{} — последовательность всех точек разрыва
функции / на отрезке [а, Ь] и
Функция s(x) наз. функцией скачков для
функции f(x). При этом разность f(x) — s(x) = y(x)
является непрерывной функцией ограниченной
вариации на отрезке [а, Ъ], причем Vb(f)=V^((p)+Vb(s),
где Vb(F) — вариация функции F на отрезке [а, Ь].
При этом
Лит.: [1] Л е б е г А., Интегрирование и отыскание
примитивных функций, пер. с франц., М.—Л., 1934; [2] Ната н со н И. П.,
Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974.
Б. И. Голубое.
СКАЧКООБРАЗНЫЙ ПРОЦЕСС — случайный
процесс, к-рый изменяет свое состояние только в случайные
моменты времени, образующие возрастающую
последовательность. Иногда термин «С. п.» относят к любому
процессу с кусочно постоянными траекториями.
Важный класс С. п. образуют марковские С. п.
Марковский процесс является С. п., если его переходная
функция P(s, χ, ί, В) такова, что
lim|7>(«, χ, ί, B)-IB(x)]/(t-s) = q(s, χ, Β), (1)
где 1ь {х) — индикатор множества В в фазовом
пространстве (Е,$), и выполнены условия регулярности,
заключающиеся в том, что сходимость в (1) равномерна
и ядро q(s, χ, В) удовлетворяет нек-рым требованиям
ограниченности и непрерывности.

1199
СКАЧКООБРАЗНЫЙ ПРОЦЕСС
1200
Пусть
a(t, s) — —q(t, я, {χ}), α(£, χ, B)—q(t, χ, Β\{χ}),
Π (ί, χ, Β) = α (ί, χ, Β)/α (ί, χ), если a (t, χ) > 0,
и Π(ί, χ, Β) = 0
— в противном случае. Введенные величины допускают
следующую интерпретацию: с точностью до ο(Δί) (при
Δί->0) a(t, χ)Δί есть вероятность того, что в промежуток
времени (ί, i-f-Δί) процесс покинет состояние х\ H(t,
ху В), когда a(t, я)>0, есть условная вероятность
попадания процесса во множество В при условии, что в
момент t он покидает состояние х.
При выполнении условий регулярности переходная
функция С. п. дифференцируема по t при t>s, no s
при s<t и удовлетворяет прямому и обратному
уравнениям Колмогорова с соответствующими
граничными условиями:
дР (s, х, t, В) (* ,, ч п . . , ν ,
— а*—=—)ва(*' ^)р(*> ·*» *» d^)+
+ ί α(ί, ι/, Β) Ρ (s, ж, f, dy),
limP(s, ж, ί, Β)=ΙΒ(χ);
t φ s
ар (s, χ, t, В)
Os
= Л (&', ГС)
P(s, χ, t, B) —
Ρ (s, y, t, B)U(s, x, dy)
HmP(s, χ, ί, B) = IB (x).
Пусть X=(Xf) > — непрерывный справа строго
марковский С. п., Гп — момент п-то скачка процесса,
Г0=0, Yn=XT , Sn — время пребывания в /г-м
состоянии, Тж=НтТп — момент обрыва, Хт =6, где δ —
точка вне Е. Тогда последовательность (Тп, Υη)
образует однородную цепь Маркова. При этом если X —
однородный марковский процесс, то распределение Sn
при заданном Yn=x—показательное с параметром λ (χ).
Естественным обобщением марковских С. п.
являются полумарковские С. п., для к-рых последовательность
(Υη) является цепью Маркова, однако время
пребывания в п-м состоянии зависит от Υη и Υη+ι и имеет
произвольное распределение.
При исследовании общих С. п. оказался
плодотворным т. н. мартингальный подход. В рамках этого
подхода удается получить содержательные результаты без
дополнительных предположений о вероятностной
структуре С. п. При мартингальном подходе предполагается,
что на вероятностном пространстве (Ω, ψ, Ρ), где
задан С. п. X, фиксировано неубывающее непрерывное
справа семейство σ-алгебр F= (^"f)t > о* <Fi^¥<> причем
для каждого t случайная величина Xf является Jpt-
измеримой и, значит, моменты Тп— марковскими.
Пусть φ — предсказуемая σ-алгебра на ΩΧ R + , fi=
=^Χ<£· Случайная мера η на (R + Χ Ε,$}(& + )($<§) наз.
предсказуемой, если для любой
неотрицательной ^-измеримой функции / процесс (Mif) > , гДе
/*ηί=5
(О, t]XE
f (t, х)ц (dt, dx),
является предсказуемым.
Пусть μ=μ(ίίί, dx) —мера скачков процесса X, т. е.
целочисленная случайная мера на (R+ X Е, ЭЗ{^ + )®<§),
определенная равенством
μ([0,ί]χΖ?) = 2я>1 /[0, цхв(тп> Yn),t£*+, B£g.
При весьма широких предположениях на (Еу $)
(выполненных, в частности, когда Ε — полное сепара-
бельное метрич. пространство с борелевской σ-алгеброй
<§) существует предсказуемая случайная мера v=v(di,
dx) такая, что имеет место любое из следующих двух
эквивалентных условий:
1) Ε/*μΰΟ=Ε/*ν0Ο для любой неотрицательной
^-измеримой функции /;
2) при любых и>1 и5^ процесс
(μ([0, t ΛΓΒ]χΒ)-ν([0, t ATn]xB))t>0
является мартингалом, выходящим из нуля.
Предсказуемая случайная мера ν определена
однозначно с точностью до множества Ρ-меры нуль и наз.
компенсатором (или дуальной
предсказуемой проекцией) μ. Можно выбрать
такой вариант ν, что
ν((7Όο, οο)χ£)=0, ν({ί))Χ£)<1, Vt. (2)
Пусть Ω — пространство траекторий С. п. X,
принимающих значения в (Е,$), §rt—o(Xs1s^.t)1gr= U<Ft»
t > о
Р0 — вероятностная мера, для к-рой выполнено (2).
Тогда на (Ω, *f) найдется и притом единственная
вероятностная мера Ρ такая, что ν является компенсатором
μ относительно Ρ и сужение Ρ на ψ0 совпадает с Р0.
Доказательство этого утверждения опирается на явную
формулу, связывающую условные распределения
величин (Тп, Υη) и компенсатор, к-рый в ряде случаев
оказывается более удобным средством для описания С. п.
С. п. является процессом с независимыми
приращениями тогда и только тогда, когда ему отвечает
детерминированный компенсатор.
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «Успехи матем. наук»,
1938, т. 5, с. 5—41, [2] Гихман И. И., Скороход А. В.,
Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; [3] J a cod J.,
Calcul stochastique et problemes de martingales, B.— [a.o.],
1979. Ю. M. Кабанов.
СКЕЛЕТ КАТЕГОРИИ — минимальная полная
подкатегория категории, эквивалентная самой категории.
В произвольной категории $ существует, вообще
говоря, много скелетов. Любой скелет можно построить
следующим образом. В каждом классе изоморфных
объектов категории Ш выбирается по одному
представителю. Тогда полная подкатегория категории $,
порожденная выбранным подклассом объектов, является
С. к. Я.
Две категории эквивалентны тогда и только тогда,
когда их скелеты изоморфны. С. к. наследует многие
свойства самой категории: локальную малость, наличие
бикатегорных структур, различные виды полноты и
Т. д. М. Ш. Цаленко.
СКЛЕИВАНИЯ МЕТОД в теории
поверхностей — метод построения поверхностей, изомет-
ричных данной. См. имеет приложения к
доказательствам реализуемости абстрактно заданных выпуклых
метрик, к вопросам изгибания выпуклых поверхностей
и к количественным оценкам изгибаемости; сила его
в том, что он работает там, где дифференциальные
уравнения бессильны.
Теорема Александрова: пусть Gu . . . ,
Gn — замкнутые области в многообразиях с внутренней
метрикой и положительной кривизной, ограниченные
конечным числом кривых с ограниченной вариацией
поворота. Пусть G — многообразие, составленное из
областей Gt· путем отождествления точек их границ
таким образом, что 1) отождествленные отрезки границ
областей G( и Gj имеют равные длины; 2) сумма
поворотов отождествленных отрезков границ областей G[ и
Gj со стороны этих областей неотрицательна; 3) сумма
углов секторов в отождествленных точках областей Gk
со стороны этих областей не превосходит 2л;. Тогда
многообразие G имеет внутреннюю метрику положи-

1201 ско
тельной кривизны, совпадающую с метриками областей
в окрестностях соответствующих точек.
Лит.: [1] Александров А. Д., 3 а л г а л л е ρ В. Α.,
Двумерные многообразия ограниченной кривизны, М.—Л.,
1962; [2] Π о г о ρ е л о в А. В., Изгибание выпуклых
поверхностей, М.—Л., 1951. М. И. Войцеховский.
СКЛЕИВАНИЯ ТЕОРЕМЫ — теоремы, к-рые
устанавливают существование аналитич. функций,
подчиненных определенным соотношениям на границе
области.
Теорема склеивания Лаврентьева
|1]: какова бы ни была аналитич. функция χΊ = ψ(χ),
определенная на сегменте [ — 1,1], φ( ±1)= ±1, φ' (я)>0,
можно построить две аналитич. функции /х (z, h) и
/2(z, h), z=x-\-iy, &=const, отображающие однолистно
и конформно прямоугольник |ж|<1, —/i<j/<0 и
прямоугольник \x\<l,0<y<h соответственно на области Dt
и D2 без общих точек так, что /χ (χ, h) — f2((p(x), h).
Эта С. т. была использована (см. [6]) для
доказательства теоремы о существовании функции w--f(z), /(0) = 0,
/(1)=1, осуществляющей квазиконформное
отображение круга |ζ|<1 на круг |м;|<:1 и обладающей почти
всюду заданной характеристикой h (z), где
h (z) = w-z/wz, \h(z)\^h0 < 1,
h (z) — измеримая функция, определенная почти для
всех z=x-\~iy, |ζ|<1. С. т., являющаяся
видоизменением С. т. Лаврентьева, была также использована при
решении вопроса о конформном отображении односвяз-
ной римановой поверхности на однолистный круг [5].
Были получены и другие С. т. (см. [2]), сыгравшие
важную роль в теории римановых поверхностей (при
этом брались более слабые ограничения на функцию
типа xi=q>(x)). Имеет место следующая С. т. (см. [3],
[5]): пусть на окружности |z|=l дана дуга γι с
концами а и Ъ, афЪ, и на γχ задана функция g(z),
обладающая свойствами: 1) она регулярна во всех внутренних
точках дуги γχ и в них g' (ζ)Φθ; 2) функция z1=g(z)
устанавливает взаимно однозначное отображение дуги
У! на дополнительную дугу у2 на |z|=l с сохранением
концов а и Ь\ тогда существует функция
w=^F(z) = -j + a1z+... ,
регулярная в |ζ|<1, за исключением точек 0, а и &,
и во внутренних точках дуги^ удовлетворяющая
соотношению F(z)=F(g(z)).
Доказано также существование функции F(z),
однолистной в |ζ|<1 (см. [4], гл. 2).
Лит.: [ИЛаврентьевМ. Α., «Матем. сб.», 1935, т. 42,
№ 4, с. 407—24; [2] В о л к о в ы с к и й Л. И., там же, 1946,
т. 18, Хо 2, с. 185—212; [3] S с h a e f f е г А. С, S ρ е η с е г D. С,
«Duke Math. J.», 1947, v. 14, №4, p. 949—66; [4] их ж е, «Amer.
Math. Soc. Golloq. Publ.», 1950, v. 35: [5] Г о л у з и н Г. М.,
Геометрическая теория функций комплексного переменного,
2 изд., М., 1966, гл. И, § 1—2; [6] Б е л и н с к и й П. П.,
Общие свойства квазиконформных отображений, Новосиб., 1974,
гл. 2, § 1. Е. Г. Голузина.
СКОЛЕМА ПАРАДОКС — следствие теоремы Лёвен-
хейма—Сколема (см. Гёделя теорема о полноте),
состоящее в том, что всякая непротиворечивая
формальная аксиоматич. теория, заданная счетным семейством
аксиом, выполнима в счетной области. В частности,
если предположить непротиворечивость аксиоматич.
системы теории множеств Цермело — Френкеля или
простой теории типов (см. Аксиоматическая теория
множеств), то существует интерпретация этих теорий
на счетной области. И это несмотря на то, что сами эти
теории предназначены для описания весьма обширных
фрагментов наивной теории множеств и в рамках этих
теорий можно доказать существование множеств весьма
большой несчетной мощности, так что в любой
интерпретации этой теории должны существовать несчетные
множества.
ша 1202
Следует подчеркнуть, что С. п. не является
парадоксом в строгом смысле этого слова, т. е. отнюдь не
свидетельствует о противоречивости теории, в рамках к-рой
он установлен (см. также Антиномия). Кажущаяся
парадоксальность С. п. может быть прояснена тем, что
счетно-бесконечная интерпретация теории множеств
является в нек-ром роде нестандартной. Элемент
интерпретации может оказаться счетным в широком
интуитивном смысле π несчетным внутри самой теории.
Последнее означает, что среди элементов интерпретации
отсутствует функция, задающая взаимно однозначное
соответствие между элементами данного множества и
элементами множества натуральных чисел, в то время как
с теоретико-множественной точки зрения
существование такой функции можно доказать.
Лит.: fl] К лини С. К., Введение в метаматематику, пер.
с англ., М., 1957. А. Г. Драгалин.
СКОЛЕМА ФУНКЦИЯ, функция Скуле-
ма, сколемовская функция, — понятие
логики предикатов. Если А (хъ . . . , хп, у) —
предикатная формула от индивидных переменных Χχ, ... ,
■*7ι» У, области изменения к-рых суть множества Х\,
. . . , Χη, Υ соответственно, то функция / : ХгХ . . .χ
Χ Χη-*Υ наз. функцией Сколема, или
разрешающей функцией, для формулы gj/
А (хх, . . . , хп, у), если для всех хг£Хг, . . . , хп£Хп
имеет место импликация
ЗуА (а?!, . .., хп, у)=$А (.ϊι, ..., хп, f (хи .. ., хп)).
С. ф. были введены Т. Сколемом (Т. Skolem) в 20-х гг.
20 в. Понятие С. ф. широко применяется в работах по
математич. логике. Объясняется это тем, что с помощью
С. ф. можно исключить чередование кванторов у и 3·
Так, напр., для всякой формулы А языка узкого
исчисления предикатов можно построить формулу вида
3 #!, . . . , χη ν г/i, · . ., ут £·> называемую сколемов-
ской нормальной формой формулы
А, где С не содержит кванторов, но содержит новые
(т. е. не встречающиеся в А) предикатные символы, и
такую, что в исчислении предикатов формула А
выводима тогда и только тогда, когда выводима ее
сколемовская нормальная форма.
Идея С. ф. используется в таких фундаментальных
теоремах математич. логики, как теорема Эрбрана,
сводящая вопрос о выводимости в исчислении предикатов
предикатной формулы к исследованию вопроса о
выводимости в исчислении высказываний бесконечной
последовательности пропозициональных формул,
теорема Лёвенхейма — Сколема и др.
В тех случаях, когда предметная область, на к-рой
рассматриваются формулы, обладает дополнительной
структурой, можно потребовать от С. ф. определенной
связи с этой структурой. Напр., если рассматриваемая
предметная область принадлежит иерархии
конструктивных по Гёделю множеств, то можно потребовать,
чтобы С. ф. также принадлежали определенному
уровню в конструктивной иерархии. Существование С. ф.,
удовлетворяющих дополнительным свойствам, не всегда
гарантировано, но эффект от их использования в
случае, когда они существуют, оказывается более
значительным.
В качестве примера можно указать на результат
Йенсена о выводимости гипотезы Чэна о
двух кардиналах (см. [6]) и отрицания Сус-
лина гипотезы (см. [5]) из аксиомы конструктивности
Гёделя. Теорема Новикова — Кондо об униформиза-
ции Π 1-отношений из дескриптивной теории множеств
утверждает существование определенного рода С. ф.
(см. [21, с. 280).
Лит.: [1] Новиков П. С, Элементы математической
логики, 2 изд., М., 1973; [2] Ш с н ф и л д Дж. Р.,
Математическая логика, пер. с англ., М., 1975; [3]К ейслер Г., ЧэнЧ.Ч.,
Теория моделей, пер. с англ., TVL, 1977; [4] Ершов Ю. Л.»

1203
Палютин Ε. Α., Математическая логика М., 1979; [5]
Handbook of mathematical logic, Amst., 1977; [6] D e ν 1 i η Κ. J.,
Aspects of constructibiiity, В.— [a. o.], 1973. В. H. Гришин.
СКОЛЬЖЕНИЙ ГРУППА регулярного
накрытия ρ: Χ-+Υ — группа Г (ρ) таких
гомеоморфизмов у пространства X на себя, что ур=р (X и Υ —
связные локально линейно связные хаусдорфовы
топология, пространства). Так, С. г. накрытия окружности
действительной прямой R, определяемого формулой
t и* (cos *, sin /), будет группа сдвигов t и· t-\-2nn, п£%.
Группа Г (ρ) является дискретной группой
преобразований пространства Хч действующей свободно (т. е.
у(х) = х г=> у= 1), и пространство Υ естественно
изоморфно факторпространству Х/Т(р). С. г. Г(р) изоморфна
факторгруппе фундаментальной группы л^ (У, */о)> гДе
1/0^У, но образу группы πχ (Ζ, х0), где ρ {х0) = у0, при
гомоморфизме, индуцированном отображением р.
В частности, для универсального накрытия ρ С. г.
изоморфна фундаментальной группе пространства У.
Лит.: X у С ы-ц з я н, Теория гомотопий, пер. с англ., М.,
1964. Э. Б. ВинОерг.
СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО ПРОЦЕСС —
стационарный в широком смысле случайный процесс, к-рый может
быть получен с помощью применения нек-рого
линейного преобразования к процессу с некоррелированными
значениями (т. е. к процессу белого шума). Часто С.
с. и. наз. также более частный процесс X (t) с
дискретным временем / — 0, ±1, . . . , представимый в виде
СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО ПРОЦЕСС 1204
имеющих спектральную плотность /(λ) такую,
X (t)--
+
bqY{t-
■я), (1)
г (A) = CT»Sjlo" ' ьУ6/ + 1 *
:Г(/) + Ь!У(*-1) +
где ЕУ (0 = 0, ЕУ (I) У (s) = o26^, δ^ — символ Кронеке-
ра (так что У (t) — процесс белого шума со
спектральной плотностью σ2/2π), q — нек-рое целое
положительное число, а Ьх, . . . , bq — постоянные коэффициенты.
Спектральная плотность / (λ) такого С. с. п.
определяется формулой
/(λ) = (σ2/2π)|ψ(βίλ)|2,
а его корреляционная функция r(k) = EX (t)X (t—k)
имеет вид
= 0 bJbJ + \k /ПРИ |Α|<ί/,
r (k) = 0 при \k\ > q.
Обратно, если корреляционная функция г (к)
стационарного процесса X (t) с дискретным временем t
обладает тем свойством, что г(к)=0 при \k\>q для какого-то
целого положительного д, то X (t) — это С. с. п.
порядка </, т. е. он допускает представление вида (1), где
У(0 — белый шум (см., напр., [1], § 5.7).
Наряду со С. с. п. конечного порядка q, представимы-
ми в виде (1), существуют также два типа С. с. п. с
дискретным временем бесконечного порядка, а именно:
односторонние С. с. п., допускающие представление
вида
белый шум, а ряд в правой части (2) схо-
где У(0
дится в среднем квадратичном (и, значит, V. |Ьу|2
<оо), и более общие двусторонние С. с. п., представи
мые в виде
■^™ ] — — оо
где У (0 — белый шум, а ^Г \b/\2 <°°
белый шум, а 2 ·_
<
(3)
Класс
двусторонних С. с. п. совпадает с классом стационарных
процессов Х(0» имеющих спектральную плотность
/(λ), а класс односторонних С. с. п.— с классом
процессов,
что
5"η1οβ/(λ)Λ>-
(см. [2], [1], [3]).
Односторонним или соответственно двусторонним
С. с. п. с непрерывным временем наз. стационарный
процесс Х(0,— оо <t < оо, представимый в виде
X(t)
X(t) = ^b(s)dY(t-s), ^™ ]b(s)l*ds< оо,
ihho в виде
V00 b(s)dY(t — s), С°° lb (s)\*ds < оо,
J — со ^ — со
или соответственно в виде
где E[dY (t)]2=o2dt, т. е. У (0— обобщенный процесс
белого шума. Класс двусторонних С. с. п. с
непрерывным временем совпадает с классом стационарных
процессов X (0, имеющих спектральную плотность /(λ),
а класс односторонних С. с. п. с непрерывным
временем— с классом процессов, имеющих такую
спектральную плотность / (λ), что
$!оо 1о^ / (λ) (1+λ2)"1 άλ > -оо
(см. [4], [ЗЬ [5]).
Лит.: [1] Андерсон Т., Статистический анализ
временных рядов, пер. с англ., М., 1976; [2] К о л м о г о ρ о в А. Н.,
«Бюлл. Моск. гос. ун-та», 1941, т. 2, в. 6, с. 1—40; [3J Дуб Дж.,
Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [4] К а г h u-
пеп К., «Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math.-Phys.», 1947,
№ 37, p. 3—79; [5] Розанов Ю. Α., Стационарные
случайные процессы, Μ., 1963. Α. Μ. Яглом*
СКОЛЬЗЯЩИЙ ВЕКТОР - см. Вектор.
СКРЕЩЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ группы G и
кольца К — ассоциативное кольцо, определяемое
следующей конструкцией. Пусть заданы однозначное
отображение σ группы G в группу автоморфизмов
ассоциативного кольца К с единицей и семейство
обратимых элементов кольца К,
условиям
удовлетворяющее
. £t. £з rg2t g.
= ft
'gt g2, £з μ£ι> Sa»
£l> £2
v(gig2) σ .
^βι.βι
для всех α ζ Κ и glt g2l #з € @· Семейство р наз.
системой факторов. Элементами С. п. группы G и
кольца К при системе факторов ρ и отображении σ будут
всевозможные формальные конечные суммы вида
^geG
g*g'
g£G, ag£K
(tg — символ,
элементу g ζ
однозначно сопоставляемый каждому
G), а операции определяются формулами
Σ
%gtg~
(2,
-JLheG^.
lguG
ΡΛ=Σ,€β<α*+Ρ*>'*:
Jg£G
g*g
)(y-
Zjg,G^e
)'
. 4f€G
Ы?Рх. у)) *Η·
*xy-h,
Это кольцо обозначается К (G, ρ, σ); элементы tg
образуют #-базис С. п. K(G, ρ, σ).
Если σ отображает G в единичный автоморфизм
кольца К, то С. п. К (G, р) наз. скрещенным
групповым кольцом, а если, кроме того, p^t Λ^=1
для всех g, h ζ G, то К (G, ρ, σ) — групповое к ό л ь-
ц о группы G над кольцом К (см. Групповая алгебра).
Пусть К — поле и σ — мономорфизм. Тогда С. п.
K(G, ρ, σ) — простое кольцо, являющееся С. п. поля
с его группой Галуа.
Лит.: [1] Sehgal S. К., Topics in group rings, N. Υ.,
1978; [2] Б о в д и Α. Α., «Сиб. матем. ж.», 1963, т. 4, с. 481 —
500; [3] Итоги науки и техники. Современные проблемы
математики, т. 2, М., 1973, с. 5—118. А. А. Бовди.

i205 СЛАБАЯ
СКРЕЩЕННЫЕ МОДУЛИ — понятие, родственное
понятию G-моДулей (см. Модуль). Группа Μ (не
обязательно коммутативная) с группой операторов G,
снабженная гомоморфизмом / : M-+G таким, что для
любого g£G и любых х, у£М имеют место соотношения
/ (gx) = g (fx) g-1, (fx)y = xux-i
1206
-xyx~
наз. скрещенным (G, /)-м о д у л е м. Тогда и
только тогда Μ является G-модулем (то есть Μ — абеле-
ва группа), когда / = const (==e£G). Μ. и. Войцёховский.
СКРЕЩЕННЫЙ ГОМОМОРФИЗМ группы G в
операторную группу Г над G — отображение φ : G-+T,
удовлетворяющее условию φ (α6) = φ (ο) (οφ(6)). Если
G действует на Г тождественно, то С. г. —это обычный
гомоморфизм. С. г. наз. также 1-коциклами
группы G со значениями в Г (см. Неабелевы когомологии).
Каждый элемент γ ζ Γ определяет С. г. φ (а) == γ~l (ay)
(αζ6), наз. главным С. г., или коциклом, кого-
мологичным е. Отображение φ : G-+T является С. г*
тогда и только тогда, когда отображение ρ группы G в
голоморф группы Г, заданное формулой ρ(α) = (φ(α), σ(α)),
где σ : Γ-^Aut Г — гомоморфизм, определяющий
на Г структуру операторной группы, является
гомоморфизмом. Напр., если σ — линейное представление
группы G в векторном пространстве V, то С. г. φ : G—rY
определяет представление ρ группы G аффинными
преобразованиями пространства V. Ядром С. г. φ наз.
множество (p-1(e)ciG\ оно всегда является подгруппой
в "· А. Л. Онишик.
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ - прямые в
пространстве, не лежащие в одной плоскости.
Углом между С. п. наз. любой из углов между
двумя параллельными им прямыми, проходящими через
произвольную точку пространства. Если а и Ъ —
направляющие векторы С. п., то косинус угла между
С. п. выражается формулой
С08^2^±т^гтЬ·
Общим перпендикуляром двух С. п.
наз. прямая, пересекающая каждую из прямых и им
перпендикулярная. Для любых двух С. п. существует
единственный общий перпендикуляр. Уравнения (как
линии пересечения двух нек-рых плоскостей) общего
перпендикуляра к двум С. п. r=r1+at1 и г=г2+Ы2
имеют вид
((/• — /•χ), а, [а, 6]) = 0,
((г-Г2), 6, la, Ь])=0.
Расстоянием между С. и. наз. длина отрезка
общего перпендикуляра к этим двум прямым, концы
к-рого лежат на этих прямых (или расстояние между
параллельными плоскостями, в к-рых лежат С. п.).
Расстояние d между С. п. выражается формулой
,_ | ((*»-*,). «,b)f
1[«.Ь]|
А. Б. Иванов.
СЛАБАЯ ГОМОЛОГИЯ — отношение
эквивалентности между циклами, приводящее к определению групп
спектральных гомологии Нр(С; G). Известно, что
гомологии Стинрода — Ситникова компактного
пространства Нр(С; G) отображаются на Η ρ (С; G) эпиморф-
но, причем ядро К этого отображения изоморфно
первому производному функтору lim1 от обратного предела
гомологии Нр(<х; G) нервов открытых покрытий α
пространства С. Первоначально группы Ηρ определялись
в терминах циклов Вьеториса, причем циклы, задающие
элементы подгруппы КаНр(С; G), наз. слабо
гомологичными пулю. Наоборот, циклы
Вьеториса, гомологичные нулю в указанном выше
определении групп Ηр, иногда наз. сильно
гомологичными нулю (а соответствующее отношение
эквивалентности между ними — сильной
гомологией). В случае, когда G — компактная группа или
поле, ядро К равно нулю, и понятия сильной и слабой
гомологии оказываются эквивалентными.
Лит.: [1] Александров П. С, «Тр. Матем. ин-та АН
СССР», 1959, т. 54, с. 3—136; [2] Μ а с с и У., Теория гомологии
и когомологии, пер. с англ., М., 1981. Е. Г. Скляренко.
СЛАБАЯ ОСОБЕННОСТЬ, полярная
особенность,— неограниченность ядра
интегрального оператора К(х, s) при ограниченном произведении
\х— s\aK(x, s), (χ, 5)ζΩχΩ, где Ω — множество
пространства R", \x—s\ — расстояние между точками х, s и
0 <а=const <n. Интегральный оператор, к-рый
порождается таким ядром
JM (xt s)
наз. интегральным оператором со
слабой особенностью (или сполярной
особенностью). Пусть Ω — компактное
подмножество пространства R". Тогда если Μ (χ, s)
непрерывна на Ωχ Ω, то оператор (1) вполне непрерывен в
пространстве непрерывных функций С (Ω), а если Μ —
ограниченная функция, то — в пространстве L2(Q).
Ядро
(2)
(Кг * К2) (х, s) = ^Кг (х, t) К2 (<, *) dt
наз. сверткой ядер
имеют Co., причем
const
I Ki (*, s) I
α,
тогда
С. о.,
их
а
свертка
именно:
1х-
(2)
•П
ограничена
| (К,. * К%) (χ, β)|<< e\\n\x—s
1<Ф
Кг и К2. Пусть эти ядра
а/== const < и, ί = 1, 2,
или будет ядром со
если αχ+α2 < η·>
если а1-\-а2 = п,
если <Ζι-|-α2 > η,
ι«-αι-α2
где с — нек-рая постоянная.
Если ядро имеет С. о., то все его итерированные ядра,
начиная с нек-рого, ограничены.
Лит.: [\\ Смирно в В. И., Курс высшей математики, т. 5, М.,
1959; [2] Владимиров В. С, Уравнения математической
физики, 3 изд., М., 1976; [3] Красносельский М. А.
[и др.], Интегральные операторы в пространствах
суммируемых функций, М.,1966. Б. В. Хведелидзе.
СЛАБАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — то же, что Гато
производная.
СЛАБАЯ ТОПОЛОГИЯ — локально выпуклая
топология на векторном пространстве X, порожденная
семейством полунорм ρ (х)= \f(x)\t где / пробегает нек-рое
подмножество F сопряженного пространства X'.
Лит.: [1]ЛюстерникЛ. А Соболев В. И.,
Краткий курс функционального анализа, М-, 1982; [2] Ш е ф е ρ Χ.,
Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971.
М. И. Войцеховспий.
СЛАБО БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО —
топологическое пространство X, для любой бесконечной
системы пар множеств к-рого
(AhBi), А{()В{=0, i = l, 2, ... ,
найдутся перегородки Сх (между Α ι и В ι) такие, что
(}Ci=0. Пространство, не являющееся слабо
бесконечномерным, наз сильно
бесконечномерным. С. б. п. наз также А-с лабо
бесконечномерным. Если в определении С. б. п. еще
потребовать, чтобы пары множеств были дизъюнктны, то
получится понятие S-c лабо
бесконечномерного пространства.
Лит.: [1] Александров]!. С, Пасынков В. А:,
Введение в теорию размерности, М., 1973. М. И. Войцеховскии.
СЛАБО БЛУЖДАЮЩЕЕ МНОЖЕСТВО для
обратимого измеримого преобразования Τ измеримого
пространства (X, 33) — измеримое подмножество АсХ, для

1207
СЛАБЫЙ
1208
к-рого существует такая бесконечная последователь-
п.
ность целых чисел и/, что множества Τ ιΑ попарно не
пересекаются (здесь обратимость Τ подразумевает
измеримость Г-1). Если Τ имеет σ-конечную
квазиинвариантную меру μ (определенную на 33), то необходимое и
достаточное условие существования у Τ конечной
инвариантной меры, эквивалентной μ, состоит в том, чтобы
для любого С. б. м. А было μ^4 = 0.
Лит.: [1] Haj ianA. В., Kakutani Sh., «Trans Amer·
Math. Soc», 1964, v. 110, №1, p. 136—51; [2] Hajian A.»
1 to Y., «J. math, and mech.», 1969, v. 18, № 12, p. 1203—16·
Д. В. Аносов^
СЛАБОЕ РЕШЕНИЕ дифференциального
уравн ения
~~ aa(x)Dau = t
*«*-Σ
Ι α Ι < m
(*)
в области D — локально интегрируемая функция
и, удовлетворяющая равенству
\ и L*q>dx = \ /φώτ
для любой гладкой (напр., класса С°°) функция φ с
компактным носителем в D. Здесь коэффициенты аа{х)
уравнения (*) предполагаются достаточно гладкими и
L* означает формально сопряженный по Лагранжу
с L дифференциальный оператор
^=Σ(«ι<η,(-1),βΙββ(β-φ)·
Напр., обобщенную производную f=Dau можно
определить как такую локально интегрируемую функцию /,
что и есть Ср. уравнения Dau=f.
При рассмотрении С. р. уравнения (*) возникает
задача: при каких условиях они являются сильными
решениями. Напр., для эллиптич. уравнений всякое Ср.
является сильным.
Лит.: [1] Бицадзе А. В., Некоторые классы уравнений
в частных производных,JM., 1981. Α. Π Солдатов.
СЛАБЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ —
минимальное значение J (у), достигаемое функционалом
J (у) на кривой у{х), x1<ix^x2, такое, что J (y)<^J (у)
для всех кривых сравнения у{х), удовлетворяющих
условию ε-близости 1-го порядка
| у (х)-у(х) |<ε, | у' (х)-Т/ (х)\ < ε (1)
на всем промежутке [хг, х2]. Предполагается, что
кривые у(х), у(х) удовлетворяют заданным граничным
условиям.
Если в (1) отбросить условие ε-близости по
производной, то это приведет к условию ε-близости нулевого
порядка. Минимальное значение функционала J (у) в
ε-окрестности нулевого порядка наз. сильным
относительным минимумом.
Поскольку условие ε-близости нулевого порядка
выделяет более широкий класс кривых по сравнению с
условием ε-близости 1-го порядка, всякий сильный
относительный минимум является одновременно С о. м.,
но не всякий С о. м. является сильным относительным
минимумом.
Для того чтобы экстремаль у(х) доставляла С о. м.,
необходимо, чтобы на ней выполнялось Лежандра
условие. Для сильного относительного минимума вместо
условия Лежандра необходимо выполнение более
общего Вейерштрасса условия. В терминах теории
оптимального управления это различие в формулировках
необходимых условий означает следующее: для С. о. м.
необходимо, чтобы Гамильтона функция в точках
экстремали достигала локального максимума, а для
сильного минимума — абсолютного максимума по
управлению (в соответствии с принципом максимума Понтря-
гина).
Достаточные условия С. о. м. налагают нек-рые
требования только на экстремаль у{х), тогда как в
случае сильного минимума требуется выполнение сходных
по смыслу условий не только на экстремали у (г), но и
в нек-рой ее ε-окрестности нулевого порядка.
Экстремаль доставляет С. о. м., если вдоль нее выполняется
усиленное условие Лежандра и усиленное условие Яко-
би. Экстремаль доставляет сильный относительный
минимум, если она может быть окружена полем
экстремалей и для всех точек этого поля функция
Вейерштрасса неотрицательна.
Лит.: [1] Л а в ρ е н τ ь е в Μ. Α., Л ю с τ е ρ н и к Л. Α.,
Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.—Л., 1950; [2]
Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4,
М., 1957. И. Б. Вапнярский.
СЛАБЫЙ ЭКСТРЕМУМ —минимальное или
максимальное значение J (у), достигаемое функционалом J (у)
на кривой у(х), х1^.х^.х2, для к-рого выполняется одно
из неравенств
J(v)<J (У) или J(y)^J (у)
для всех кривых сравнения у(х), находящихся в ε-
близости от кривой у (х) как по ординате, так и по
производной:
\у(х) — у (*)]<ε, \у'(х)— V(*))<e.
Кривые у(х), у(х) должны удовлетворять заданным
граничным условиям.
Поскольку максимизация функционала J (у)
эквивалентна минимизации функционала—J (у), то часто
вместо С э. говорят о слабом минимуме. Термин «слабый»
подчеркивает, что на кривые сравнения у(х)
наложено условие ε-близости не только по ординате, но и по
производной (в отличие от сильного экстремума, где от
у(х) требуется ε-близость к у(х) только по ординате).
По определению, С. э. является слабым
относительным экстремумом, поскольку дает экстремум не
абсолютный, т. е. не на всем классе допустимых кривых
сравнения у(х), на к-рых функционал J (у) имеет смысл,
а локальный, относительный, соответствующий нек-
рому подмножеству всех допустимых кривых
сравнения. Однако для краткости употребляют термин «Сэ.».
Лит.: [1] Лаврентьевы. Α., ЛюстерникЛ. Α.,
Курс вариационного исчисления, 2 изд.,М.—Л., 1950; [2]
Смирно в В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957.
И. Б. Вапнярский.
СЛАВЯНСКИЕ ЦИФРЫ — цифры древнерусского
счета, в к-ром каждое из целых чисел от 1 до 9, а также
десятки и сотни обозначались буквами славянского
алфавита с надписанным над ними знаком (титло). Целые
числа до 999 составлялись с помощью рядом стоящих
С. ц. Тысячи обозначались с помощью приставки нек-
рого знака к цифре, выражающей число тысяч.
СЛЕД — отображение Sp#y k поля К в поле к (где
К — расширение /с), являющееся гомоморфизмом
аддитивных групп и ставящее в соответствие элементу α ζ Κ
след матрицы к -линейного отображения К-*К,
переводящего В из К в αβ.
Если К/к — сепарабельное расширение, то
δΡ/<//ι(α) = 2σ/(α),
где σι пробегают все /с-изоморфизмы поля К в алгебраич.
замыкание к поля к. Отображение следа обладает
свойством транзитивности: если Li К и К/к — конечные
расширения, то для любого <x£L
sPL/fe (α) = sVK/k (sPl//< (α)).
Л. В. Кузьмин.
СЛЕД квадратной матрицы — сумма
элементов этой матрицы, стоящих на главной диагонали.
С матрицы Л = ||а1-у|| обозначается tr А или Sp A:
*гЛ=2"=1а"·

1209
СЛЕД
1210
Пусть А — квадратная матрица порядка η над полем
К. С. матрицы А совпадает с суммой корней
характеристик, многочлена матрицы А. Если К — поле
характеристики 0, то η следов: tr Л, . . . , tr An однозначно
определяют характеристич. многочлен матрицы А; в
частности, матрица А нилыютентна тогда и только
тогда, когда tr Ak = 0 для всех /с = 1, . . . , п.
Если А и В—квадратные матрицы одного порядка
над полем К, a a, (Jgi£, то
tr (aA + $B) = a tr Л+β tr Я,
tr AB = tT ΒΑ
и при det ВфО
tv(BAB-1) = iv Α.
С. тензорного произведения квадратных матриц над
полем равен произведению следов сомножителей.
Д. А. Супруненко.
СЛЕД н а С*-а лгебре А — функция / на
множестве А + положительных элементов алгебры А,
принимающая значения в [0, + оо], аддитивная, однородная
относительно умножения на положительные числа и
удовлетворяющая условию f(xx*)=f(x*x) для всех
χζΑ. След / наз. конечным, если /(#)<+оо
для всех х£А+; полуконечным, если f(x) =
= sup{/(j/) : у£А, у<х, /Ы<+оо }для всех χξ-Α + .
Конечные следы на А суть ограничения на А + таких
положительных линейных функционалов φ на А, что
(р(ху)=у(ух) для всех х, у£А. Пусть/ — след на А,
9Ϊ^—множество таких элементов χ ζ А, что f(xx*)<
< + оо, ОЛ/—множество линейных комбинаций
попарных произведений элементов из 9fy; тогда 9Ϊ/ и ЭДЬ—
самосопряженные двусторонние идеалы в Л и на UR/
существует однозначно определенный линейный
функционал φ, совпадающий с/на 9Л/ГМ + · Пусть / —
полунепрерывный снизу полуконечный след на С*-алгебре
А; формула s(x, y) = q>(y*x) определяет на 31/ эрмитову
форму, и для любого χζΑ отображение λ/(χ) : у-^ху
пространства 9R/ в себя непрерывно относительно этой
формы. Пусть Nf= {ζζϊϊ/, s(x, ζ)=Ό}, Hf — пополнение
факторпространства $(f/Nf относительно скалярного
произведения, определенного формой s. Операторы
'kf(x) определяют при переходе к факторпространству
и пополнению нек-рые операторы π^(χ) в гильбертовом
пространстве Я/, и отображение х-^л^(х) есть
представление С*-алгебры А в Hf. Соответствие f->nf есть
взаимнооднозначное соответствие между множеством
полунепрерывных снизу полуконечных следов на С*-
алгебре А и множеством представлений С*-алгебры
А со следом, определенных с точностью до
квазиэквивалентности.
Лит.: [1] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления,
пер. с франц., М., 1974. А. И. Штерн-
СЛОВО — горизонтальный ряд буке нек-рого
алфавита. Напр., ряд знаков «слововалфавите» является
С. в алфавите, состоящем из букв е, т, и, в, а, ф, л, о, с.
Для удобства к рассмотрению допускается и пустое
слово, т. е. С, не содержащее ни одной буквы. Оно
является С. в любом алфавите.
Возможно, несколько более точной является и н-
дуктивная характер и зация С,
согласно к-рой С. в алфавите А определяются как объекты,
получающиеся в результате развертывания
порождающего процесса, определяемого следующими правилами:
а) пустое С. считается С. в алфавите А; б) если объект Ρ
оказался С. в алфавите А, а ξ является буквой этого
алфавита, то объект Р\ также считается С. в алфавите
А. Индуктивная характеризация С. делает
оправданным применение правила индукции для доказательства
утверждений типа всеобщности о С. в данном алфавите.
С. представляет собой достаточно общий тип
конструктивного объекта, и в силу этого обстоятельства
понятие С. играет важную роль в конструктивной
математике. Понятие С. широко используется также в
алгебраич. исследованиях, работах по математич.
лингвистике и т. п.
Лит.: [1] Марков Α. Α., Теория алгорифмов, Μ.—Л., 1954
(«Тр. матем. ин-та АН СССР», т. 42, с. 12—25). Н. М. Нагорный.
СЛОЕНИЕ на /г-мерном
многообразии Мп — такое разбиение Мп на линейно связные
подмножества, именуемые слоями, что Мп можно
покрыть координатными окрестностями С/а с
локальными координатами х^, ... , х£, в терминах к-рых
локальные слои — компоненты связности
пересечения слоев с Uа, задаются уравнениями я£+1=
= const, . . . , ;z"=const. С. в этом смысле наз.
топологическим С.; требуя же, чтобы Мп имело
кусочно линейную, дифференцируемую или аналитич.
структуру и чтобы локальные координаты были кусочно
линейными, дифференцируемыми (класса Сг) или
аналитическими, получают определение кусочно
линейного, дифференцируемого
(класса Сг) или аналитического С. Определение
дифференцируемого С. класса Сг формально годится
и при г= 0, совпадая в этом случае с определением топо-
логич. С. Обычно, говоря о дифференцируемом С,
подразумевают, что г^1. Слои естественно снабжаются
структурой и-мерных многообразий (топологических,
кусочно линейных, дифференцируемых или
аналитических) и тем самым оказываются подмногообразиями
(в широком смысле слова) многообразия Мп. Число
ρ (размерность слоев) наз. размерностью С*
a q = η—ρ — его коразмерностью.
Рассматривая С. на многообразии с краем, обычно требуют
либо трансверсальности слоев к краю, либо же того,
чтобы слой, пересекающийся с краем, целиком в нем
содержался. Очевидным образом определяются
комплексно-аналитические С. Основным в
теории С. является дифференцируемый случай (ниже С. и
отображения, как правило, подразумеваются
дифференцируемыми) .
Отображение
является субмерсией. Локальные слои суть ΦΖ1^)»
cgR#. Система локальных субмерсий {(Ua, Φα)}
является согласованной в том смысле, что если и ζ Ua[) £/β,
то возле и можно перейти от φα(^) κ φβ(ν) с помощью
нек-рого локального диффеоморфизма Φβα, и
(класса С) пространства R?, т. е. для всех ν, достаточно
близких к и, имеет место φβ (ι^Φβα, и фа(у)· Обратно,
если Мп покрыто областями Ua и заданы субмерсий
φα: Ua-+R9, согласованные в том же смысле, что и
выше, то путем подходящего «склеивания» φ-1 (с) между
собой получается такое С., что каждое Ф~ЧС) содержится
в нек-ром слое.
Сопоставление каждой точке и£Мп касательного
пространства к проходящему через эту точку слою,
приводит к нек-рому полю р-мерных касательных
подпространств (по другой терминологии, р-мерному
расслоению), к-рое наз. касательным
полем С. При р=1 любое поле р-мерных касательных
подпространств, при самых минимальных требованиях
дифференцируемости, является касательным полем нек-
рого однозначно определенного С. При р>1 это не
так. Данный вопрос имеет локальный характер (см.
Фробениуса теорема). Непосредственное применение
теоремы Фробениуса к инволютивному распределению
показывает, что при выполнении соответствующих
условий имеется система согласованных локальных суб-

1211 слс
мерсий, для к-рых заданное поле касается, переход к
С. осуществляется путем надлежащих «склеиваний»
(В других терминах это описано в [3]).
Формирование понятия С. произошло в 40-х гг. 20 в.
в цикле работ Ж. Риба (G. Reeb) и Ш. Эресмана (Gh.
Ehresmann), завершившемся книгой [1] (в связи с
историей см. [2]), и было связано с переходом к глобальной
точке зрения. Этому отчасти способствовала теория
гладких динамических систем, где разбиение фазового
многообразия (с выкинутыми равновесия положениями)
на траектории потока является одномерным С. Особое
положение, к-рое в этой теории занимают потоки на
поверхностях (Пуанкаре — Бендиксона теория,
Дифференциальные уравнения на торе, Кнезера теорема).
Особое положение, где траектории локально разбивают
пространство, способствовало привлечению внимания
к С. коразмерности 1. Другой пример С,
проанализированный в 40-х гг.,— разбиение группы Ли на
смежные классы по аналитич. подгруппе (не обязательно
замкнутой) (см. [3]). Наконец, в комплексной области
решения дифференциального уравнения dw/dz=f(z, w)
с аналитической правой частью образуют (с
вещественной точки зрения) двумерное С.
После первых работ наступил перерыв в развитии
теории С, к-рая тогда была еще бедна значительными
результатами. Интенсивное развитие началось с работ
А. Хефлигера [4] и С. П. Новикова [7], наиболее
известные результаты к-рых таковы (см. [17]): С.
коразмерности 1 на трехмерной сфере имеет компактный слой
[7] и не может быть аналитическим [4], хотя еще Ж. Риб
построил С. класса С°°. Тогда же при изучении нек-рых
динамич. систем (У-системы и родственные им)
возникли нек-рые вспомогательные С. (уже не одномерные,
что тоже стимулировало исследование С. (см. [7], [8]).
Все эти работы и ряд последующих можно отнести к
«геометрическому» или «качественному» направлению
[16]. В нем большое внимание уделяется С.
коразмерности 1, существованию компактных слоев, теоремам
устойчивости (устанавливающим, что при определенных
условиях С. с компактным слоем устроено в его
окрестности и глобально как расслоение; первые такие
теоремы доказал еще Ж. Риб, см. [17]), характеристике
«роста» слоев (т. е. зависимости р-мерного объема геодезич.
шара радиуса г па слое от г) или их фундаментальных
групп. Отметим также недавнее решение вопроса: если
на замкнутом Мп имеется р-мерное С, все слои к-рого
компактны, то обязательно ли ограничен р-мерный
объем слоев? Д. Эпстейн (D. Epstein), Д. Сулливан (D.
Sullivan) и др. выяснили, что ответ положительный
только при д<:2 (см. [9]).
Позднее возникло «гомотопическое» направление,
прообразом к-рого послужила гомотопич. теория
расслоений. Отличия, возникающие для С, отчасти
связаны с тем, что для С, вообще говоря, нет аналога
индуцированному расслоению. Это вынуждает перейти
от С. к более общим объектам — Хефлигера структурам
(нечто вроде С. с особенностями), для к-рых такой
аналог имеется.
Слоения F0 и Fi на Μ наз. конкордантны-
м и, если на «цилиндре» МХ[0, 1] существует такое С.
(той же коразмерности), слои к-рого трансверсальны
ко «дну» и «крышке» цилиндра и «высекают» на них
слоения F0 и F1. Сходным образом определяется конкор-
дантность структур Хефлигера. Всякая структура
Хефлигера конкордантна такой, к-рая вне множества
«особых точек» на Μ соответствует нек-рому С, причем
выполняются определенные условия о поведении слоев
последнего возле этих точек. В этом смысле структуру
Хефлигера можно представить себе как С. с
особенностями. Имеется естественное биективное соответствие
между классами конкордантных структур Хефлигера
и гомотопич. классами непрерывных отображений Μ
ire 1212
в т. н. классифицирующее
пространство BTr (q указывает коразмерность, г — класс
гладкости структуры Хефлигера).
Гомотопич. теория устанавливает, какие гомотопич.
объекты определяют конкордантность С: два С. конкор-
дантны тогда и только тогда, когда они конкордантны
как структуры Хефлигера, а их касательные поля
гомотопны (см. [6], [10], [И]). Родственный результат —
доказательство существования р-мерных С. на любых
открытых Μ (см. [6]) и на таких замкнутых М, на к-рых
существует непрерывное поле р-мерных касательных
подпространств (что является очевидным необходимым
условием существования С, см. [10], [11]), ранее
различными учеными было доказано существование С.
на ряде многообразий путем непосредственных
построений [12]. Идея (см. [10], [И]) состоит в том, чтобы,
начав со С. с особенностями, ликвидировать их путем
нек-рых модификаций С. Случай д>1 оказывается
более простым (см. [10], [13]) и ликвидация особенностей
может быть проведена в духе «геометрической» теории
[14]; случай q={ сложнее [11].
Отображение / : Мп-*ВТГ порождает отображение
когомологий, что приводит к характеристическим
классам С. В возникающую здесь «гомологическую» или
«количественную» теорию С. (см. [13], [15], [16])
включаются и нек-рые результаты, полученные ранее без
обращения к ВТГ, напр. инвариант Годбийона—Вея; для
и=3 (см. [17]) или указанные P. Bottom (R. Bott(
условия, необходимые для того, чтобы непрерывное
поле касательных подпространств было гомотопно
касательному полю С.
Лит.: [1] Reeb G., в кн.: Actualites Sci. Ind., № И83, P.,
1952; [2] R e e b G., S с h w e i t ζ e г Р. А., в кн.: Differential
topology..., В., 1978; [3] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер.
с англ., т. 1, М., 1948; [4] Η а е f 1 i g е г Α., «Ann. Scuola norm.
Sup. Pisa», ser. 3, 1962, t. 16, p. 367—97; [5] e г о ж е, в кн.:
Manifolds, Amst., 1970, В., 1971; [6] его же, «Topology», 1970,
v. 9, № 2, p. 183—94; [7J Новиков С. П., «Тр. Моск. матем.
об-ва», 1965, т. 14, с. 248—78; [8] Гладкие динамические
системы, [пер.], М., 1977; [9] Б е с се Α., Многообразия с
замкнутыми геодезическими, пер. с англ., М., 1981; [10] Thurston W.,
«Gomm. math. Helv.», 1974, v. 49, p. 214—31; [И] его же,
«Ann. Math.», 1976, v. 104, № 2, p. 249—68; [12] L a w s ο η Η.,
«Bull. Amer. Math. Soc», 1974, v. 80, p. 369—418; [13] его же,
The quantitative theory of foliations, Providence, 1977; [14] Μ и-
шачев Η. Μ., Элиашберг Я. М., «Функц. анализ и его
прил.», 1977, т. И, № 3, с. 43—53; [15] Φ у к с Д. В., в кн.:
Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем., М., 1978, т. 10, с.
179—285; [16] его же, в кн.: Итоги науки и техн. Сер. Алгебра.
Топология. Геометрия, М., 1981, т. 18, с. 151—213; [17] Τ а м у-
р а И., Топология слоений, пер. с япон., М., 1979. Д. В. Аносов.
СЛОЖЕНИЕ — одна из основных арифметич.
операций. Результат С наз. суммой. Сумма чисел
а и Ь обозначается а-{-Ъ, при этом а и Ь наз.
слагаемыми. С. чисел коммутативно: a-\-b — b-\-a, и
ассоциативно: (а+Ь)+с=я+ (b-\-c). Операция, обратная С,
наз. вычитанием.
Обычно С. называют также операцию в абелевой
группе (аддитивная запись) и ту бинарную операцию
в кольце, относительно к-рой элементы кольца
образуют абелеву группу. Здесь также С. ассоциативно и
коммутативно. Иногда сложением наз. и
некоммутативная операция в группе, напр. операция в мулътиопера-
торной группе. О. А. Иванова.
СЛОЖЕНИЕ множеств — векторное сложение
и нек-рые другие (ассоциативные и коммутативные)
действия над множествами А(. С. рассматривается чаще
всего для выпуклых множеств A t- в евклидовом
пространстве Rn.
Векторная сумма (с коэффициентами λ,·)
определяется в линейном пространстве правилом
где λ ι — действительные числа (см. [1]). В пространстве
R" векторная сумма наз. также суммой Мин-

1213
СЛОЖНАЯ
1214
ковского. С зависимостью объема S от λΓ· связана
смешанных объемов теория. Для выпуклых A t· С.
сохраняет выпуклость и сводится к С. опорных функций,
а для £2-гладких строго выпуклых Л,с:^"
характеризуется С. средних значений радиусов кривизны в
точках с общей нормалью.
Рассматриваются также: С. множеств с точностью
до сдвига; С. замкнутых множеств, сопровождаемое
замыканием результата (см. Выпуклых множеств
пространство); интегрирование континуального семейства
множеств; С. в коммутативных полугруппах (см. [4]).
р-с ум мы Файри определены в классе
выпуклых тел i4j-cRra, содержащих нуль. При р^\ опорная
функция р-суммы определяется как (It^f)1/P, где
Hi — опорные функции слагаемых. При р<—1
выполняют (—р)-сложение полярных для Л; тел и берут
поляру результата (см. [2]). р-сумма Файри непрерывна
по Α ι и р. Проекция р-суммы на подпространство есть
р-сумма проекций. При р=1 сумма совпадает с
векторной, при р = —1 наз. инверсной суммой
(см. [1], с. 38), при р= + оо дает выпуклую оболочку
слагаемых, при р= — оо — их пересечение. При этих
четырех значениях р-сумма многогранников есть
многогранник; при р=±2 сумма эллипсоидов есть
эллипсоид (см. [2]).
Сумма Бляшке определена для выпуклых
тел AiczRn, рассматриваемых с точностью до сдвига.
Определяется сложением поверхностных функций [3].
Сумма вдоль подпространства
определена в векторном пространстве X, разложенном в
прямую сумму подпространств У и Z. Сумма Α ι вдоль
У определяется как
где Yz — так сдвинутое У, что Υ2[)Ζ= {ζ} (см. [1]).
Лит.: [1] Рокафеллар Р., Выпуклый анализ, пер. с
англ., М., 1973; 12] F i г е у W. J., «Pacif. J. Math.», 1964, v. 14,
p. 53—60; [3] e г о ж е, «Ргос. Golloq. on Gonv.», Copenhagen,
1965, Kbh., 1967, p. 94—101; [4] D i η g h a s Α., Minkowskische
Summen und Integrate. Superadditive mengen-funktionale. Isope-
rimetrische Ungleichungen, P., 1961. В. П. Федотов.
СЛОЖНАЯ ГИПОТЕЗА — утверждение
(предположение) о принадлежности функции распределения
(плотности вероятности) случайной величины нек-рому
множеству функций распределения, содержащему более
одного элемента. См. Статистических гипотез проверка,
Простая гипотеза.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы статистики,
пер. с англ., 2 изд., М., 1975. М. С. Никулин.
СЛОЖНАЯ СИСТЕМА — собирательное название
систем, состоящих из большого числа взаимосвязанных
элементов. Следует подчеркнуть неформальность этого
понятия, поскольку на современном этапе развития
науки нет строгого математич. определения С. с,
охватывающего все интуитивные представления о реальных
С. с. Типичными примерами С. с. являются: нервная
система, мозг, ЭВМ, система управления в человеческом
обществе и т. д.
В 20 в. в связи с необходимостью изучения все более
сложных объектов к понятию С. с. подошли многие
науки: биология, техника, экономика, социология и
др. Особо следует отметить рождение кибернетики как
самостоятельной науки, основным предметом к-рой
являются сложные управляющие системы. В результате
этого процесса появился также ряд специальных
дисциплин, имеющих в своем названии слово «система»:
системный анализ, системотехника, общая теория
систем и др.
Существуют различные подходы к математич.
описанию и изучению Сев зависимости от используемого
математич. аппарата. Можно выделить два типа
математич. моделей С. с: дискретные и непрерывные.
Первые изучаются преимущественно в математич.
кибернетике (теория управляющих систем) и опираются на
аппарат дискретной математики, а вторые — в теории
динамических систем и теории автоматич. управления,
математич. основой к-рых является теория
дифференциальных уравнений. Широко применяются также при
изучении С. с. вероятностно-статистические методы —
теория массового обслуживания, методы стохастич.
программирования и стохастич. моделирования.
Несмотря на различие форм и математич. аппарата, все
эти подходы к описанию С. с. объединяет общая
методология и общий предмет изучения.
Одним из наиболее трудных моментов при всех
попытках математич. описания С. с. является
формализация понятия сложности. Реальным С. с.
присущи многие характерные черты «сложности»: большое
число элементов, из к-рых состоит система;
многообразие возможных форм связи элементов системы между
собой; сложное функционирование; иерархичность
структуры и т. д. Необходимо отметить, что понятия
С с. и «большая система» не являются синонимами, т. к.
последний термин охватывает системы, обладающие
лишь одной чертой сложности — большим числом
элементов.
К настоящему времени (1983) основные продвижения
в формализации понятия сложности в математич.
изучении С. с. получены для достаточно простых (модельных)
классов управляющих систем — Тьюринга машин, схем
из функциональных элементов, автоматов конечных
и т. п. Дальнейшее изучение С. с. идет по пути
рассмотрения все более сложных математич. моделей,
позволяющих полнее отразить структуру и функционирование
реальных С. с. При этом многие закономерности,
установленные для более простых моделей, часто
переносятся на более сложные.
Лит.: HJJI япунов Α. Α., Яблонский С. В.,
«Проблемы кибернетики», 1963, в. 9, с. 5—22; [2] Б у с л е н к о Н. П.,
Калашников В. В., Коваленко И. Н., Лекции по
теории сложных систем, М., 1973; [3] Энциклопедия
кибернетики, т. 2, К., 1975, с. 373—75. Я. Н. Нузюрин.
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, представленная
как композиция нескольких функций. Если множество
значений Υ ι функции /,· содержится во множестве
определения Xi + i функции // + 1, т. е.
fi:Xi—»Yic:Xi + 1, ΐ = 1, 2, ..., η-ί,
то функция
fn°fn-i° ··· °/ь п^2,
определяемая равенством
(fto /»-1 ° ■ · · °/l) (*) = /«(/«-! (■ · · (/l И) · · 0), *€*ί.
наз. сложной функцией или (/г —
^-кратной композицией (суперпозицией)
функций /х, /2, . . ., fn- Напр., всякая рациональная
функция любого числа переменных является
композицией четырех арифметич. действий, т. е. композицией
функций х+у, х—у, ху, ос/у.
С. ф. сохраняет многие свойства функций,
композицией к-рых она является. Так, композиция непрерывных
функций непрерывна. Это означает, что если функция
/х : X-*Y непрерывна в точке х0 £Х, а функция /2 : У->
-*Ζ непрерывна в точке fi(x0)£Y, то С. φ. f2°fi также
непрерывна в точке х0 (здесь Χ, Υ ιι Ζ являются, напр.,
топологич. пространствами). Подобным образом,
композиция η раз (непрерывно) дифференцируемых
функций представляет собой также η раз (непрерывно)
дифференцируемую функцию, п=\, 2, ... Композиция
возрастающих (убывающих) функций есть
возрастающая (соответственно убывающая) функция. При
композиции функций иногда меняются количественные
характеристики свойств функций: композиция
функций /х и /2, удовлетворяющих условию Гёльдера нек-
рых степеней, есть функция, удовлетворяющая
условию Гёльдера степени, равной произведению степеней

1215
СЛОЖНАЯ
ФУНКЦИЯ
1216
условий Гёльдера, к-рым удовлетворяют функции
/г и /2. Нек-рые характеристики функций не
сохраняются при композиции. Так, композиция функций,
интегрируемых по Риману или по Лебегу, не является,
вообще говоря, функцией, интегрируемой по Риману
или, соответственно, по Лебегу; композиция абсолютно
непрерывных функций может оказаться не абсолютно
непрерывной функцией. Вместе с тем, согласно
результатам Н. К. Бари и Д. Е. Меньшова [1], композиция
трех абсолютно непрерывных на отрезке функций не
приводит к новому классу функций по сравнению с
композицией двух абсолютно непрерывных функций.
Н. К. Бари [2] доказала, что любая непрерывная на
отрезке функция может быть представлена в виде
суммы трех композиций абсолютно непрерывных функций,
и есть такие непрерывные функции, к-рые не могут
быть представлены в виде суммы двух таких
композиций. Вместе с тем, всякая непрерывная на отрезке
функция является суммой двух композиций функций
с ограниченным изменением; однако η -кратные
композиции функций с ограниченным изменением для
каждого /7=1, 2, ... приводят к существенно новым
классам функций и существуют однократные композиции
функций с ограниченным изменением, не являющиеся
непрерывными функциями [3].
Понятие композиции функций представляет собой
наиболее широкое понимание термина «представление
функции формулой». Задача о представлении функций
в виде композиций возникла в связи с отысканием
формул для решений алгебраич. уравнений. Всякий
корень уравнения степени не выше четвертой может^быть
представлен формулой, выражающей его через
коэффициенты уравнения и представляющей собой
композицию четырех арифметич. действий и радикалов.
Всякое уравнение степени /?^5 может быть с помощью
подстановки (наз. преобразованием Чпрнгаузена)
приведено к виду
хп-1[-а1хп-*+...+ап_4х + 1=0.
Таким образом, каждый корень уравнения степени
/?^5 представляет собой функцию /7—4 параметров.
Задача состоит в выяснении: можно ли эти функции
представить в виде композиции алгебраич. функций
меньшего числа переменных. Одна из 23 проблем
Д. Гильберта (D. Hubert), поставленных им на
Международном конгрессе математиков в Париже в 1900,
относилась к этой задаче. Именно, 13-я проблема
состояла в следующем (см. [4]): представляется ли
корень / уравнения
/7+*/3+г//2+*/+1--=о (»)
через коэффициенты л-, у и ζ этого уравнения
посредством композиций каких-либо непрерывных функций
двух переменных (следует отметить, что всякая
функция конечного числа переменных является
композицией разрывных функций двух переменных). Д.
Гильбертом была показана невозможность получения всех
аналитич. функций трех переменных в виде
композиций аналитич. функций двух переменных. Он же для
уравнения 9-й степени доказал [5], что решение
уравнения 9-й степени можно представить в виде
композиции алгебраич. функций четырех переменных
(вместо пяти, как это сразу следует из применения
преобразования Чирнгаузена). Эти исследования были
продолжены многими математиками (см. [6] — [19]).
А. Г. Витушкин в 1954 доказал [10], что если
натуральные числа /г?, 7?, т1 и пх удовлетворяют
неравенству — >—*-, то можно указать η раз
дифференцируемую функцию т переменных, непредставимую в виде
композиции 7?ι раз дифференцируемых функций от
/7?ι переменных. В частности, при всяком η можно
указать функцию η переменных наперед заданной
гладкости, непредставимую композицией функций
меньшего числа переменных той же гладкости. В этом
смысле среди гладких функций любого числа
переменных существуют функции, существенно зависящие
от всех своих аргументов.
В 1956 А. Н. Колмогоров показал [И], что всякая
определенная на т?-мерном (тг^4) кубе непрерывная
функция является композицией непрерывных функций
трех переменных. Затем В. И. Арнольд уменьшил
число переменных с трех до двух. Именно, он доказал
[12], что любую непрерывную на кубе функцию трех
переменных можно представить в виде композиции
непрерывных функций двух переменных (и даже, более
точно, в виде суммы 9 функций, каждая из к-рых
является однократной композицией непрерывных
функций двух переменных). Тем самым было показано, что
каждая непрерывная на /?-мерном (тг>3) кубе функция
иредставима в виде композиции непрерывных функций
двух переменных. Это явилось последним слоёом ио
опровержению гипотезы Гильберта о невозможности
представления корней уравнения (*) в виде
композиций непрерывных функций двух переменных. Работы
А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда дали, в частности,
положительный ответ на вопрос о представимости
корней алгебраич. уравнений любой степени в виде
композиции непрерывных функций не более чем двух
переменных. Для композиций аналитич. и алгебраич.
функций аналогичный вопрос не решен. До сих пор
(1983) неизвестно, являются ли корни уравнения (*)
композицией аналитич. функций или нет.
Этот цикл работ завершает следующая теорема
Колмогорова [13]: любая непрерывная
функция η переменных может быть получена с помощью
композиций непрерывных функций одного
переменного и единственной функции двух переменных
g(.r, у) = х-{-у; именно, он доказал, что любая функция
/, непрерывная на 7г-мерном кубе, может быть
представлена в виде
где функции h[ и φ/у— непрерывны, а функции φ/у,
кроме того, стандартны, т. е. не зависят от выбора
функции /.
А. Г. Витушкин показал [14], что для любых
конечных наборов непрерывных функций pk и
непрерывно дифференцируемых функций qk, зависящих от η
переменных, А:=1, 2, ..., т, п=1, 2, ..., существуют
даже аналитич. функции η переменных, не представи-
мые композицией вида
2r=iPfeo(^o9fe)'
где fk — произвольные непрерывные функции
одного переменного.
Лит.: [1] Б а р и Η. Κ., Μ е н ь ш о в Д. Е., «Ann. di Mat.»,
1927, v. 5, p. 19—54; [2] Б а р и Η. Κ., «Math. Ann.», 1930, Bd 10.3,
S. 185—248, pt 2, S. 598—653; [3] e e ж с, «Матем. сб.», 1933, т. 40,
с. 326-72; [4] Проблемы Гильберта, М., 1969; [5J Η i 1 b e г t D.,
«Math. Ann.», 1927, Bd 97, S. 243—51; [6] В i e b e г b а с h L.,
«J. reine u. angew. Math.», 1931, Bd 165, S. 89—92; f7] Ч е б o-
тарев Η. Г., Собр. соч., т. 1, Μ.-Л , 1949, с. 253—340; [8]
Чеботарев Г. Н., «Уч. зап. Казанск. ун-та», 1954, т. 114, кн. 2,
с. 189—93; [9] Μ ο ρ о з о в В. В., там же, 1954, т. 114, кн. 2,
с. 173—87; [10] Витушкин А. Г., О многомерных
вариациях, М., 1955; [11] Колмогоров А. Н., «Докл. АН СССР»,
1956, т. 108, № 2, с. 179—82; [12] А р н о л ь д В. И., там же,
1957, т. 114, № 4, с. 679—81; [13] Колмогорова. Н., там
же, 1957, т. 114, № 5, с. 953—56; [14] Витушкин А. Г., там
же, 1964, т. 156, №6, с. 1258—61; [15] Lore nt z G. G.,
Approximation of functions, N. Y.,—[a.o.], 1966; [16] Sp recherD. Α.,
«J. Approxim. Theory», 1972, v. 6, № 2, p. 123—34; [17] Kaha-
η e J. P., там же, 1975, v. 13, p. 229—34; [18] Лин В. Я.,«Функц.
анализ и его прилож.», 1976, т. 10, № 1, с. 37—45; [19] В и τ у ш-
к ин А. Г., «Enseign. math.», 1977, t. 23, p. 255—320.
Л. Д. Кудрявцев.