Текст
Г* ТРОФИМОВА
З.Г. ПАВЛОВА
СБОРНИК ЗАДАЧ
с решениями
ВЫСШАЯ ШКОЛА
Т.Н. ТРОФИМОВА
З.Г. ПАВЛОВА
СБОРНИКЗАДАЧ
ПО КУРСУ ФИЗИКИ
с решениями
Издание четвертое, стереотипное
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов вузов
Москва
"Высшая школа"
2003
УДК 53
ББК 22.3
Т70
Рецензент: проф. кафедры физики им. В.А. Фабриканта
Московского энергетического института (технического университета)
В.А. Касьянов
Трофимова, Т.И.
Т 70 Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб, пособие для
вузов/Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова. — 4-е изд., стер. — М.: Высш,
шк., 2003.— 591 с.: ил.
ISBN 5-06-004164-6
Предлагаемый задачник с решениями составляет единый методический комп-
лект с «Курсом физики» и «Сборником задач по курсу физики» Т.И. Трофимовой (М.,
Высш. шк.). Он состоит из семи разделов, полностью соответствующих программе
курса физики для вузов.
Основное иазиачение пособия—научить студентов решать задачи, показать им
рациональную запись условия, решения, расчета, ответа. Решение задач дается без
каких-либо пояснений, что потребует отфгудёнта, в случае необходимости, обратить-
ся к теоретическому материалу, вникнуть в суть рассматриваемых явлений и процес-
сов.
Для студентов и преподавателей вузов и техникумов. Может быть полезен
абитуриентам, готовящимся к поступлению в технические институты.
УДК 53
ББК 22.3
ISBN 5-06-004164-6
© ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2003
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая
школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издатель-
ства запрещается.
Оглавление
Предисловие.....................................................5
Методические указания...........................................5
1. Физические основы механики
1.1. Элементы кинематики.....................................6
1.2. Динамика материальной точки и поступательного движения
твердого тела.............................................29
1.3. Работа и энергия.......................................48
1.4. Механика твердого тела.................................72
1.5. Тяготение. Элементы теории поля........................94
1.6. Элементы механики жидкостей...........................114
1.7. Элементы специальной (частной) теории относительности.131
2. Основы молекулярной физики и термодинамики
2.1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов.......145
2.2. Основы термодинамики..................................166
2.3. Реальные газы, жидкости и твердые тела................186
3. Электричество и магнетизм
3.1. Электростатика........................................199
3.2. Постоянный электрический ток..........................233
3.3. Электрический ток в металлах, в вакууме и газах.......247
3.4. Магнитное поле........................................251
3.5. Электромагнитная индукция.............................279
3.6. Магнитные свойства вещества...........................297
3.7. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля.... 303
4. Колебания и волны
4.1. Механические и электромагнитные колебания.............307
4.2. Упругие волны.........................................360
4.3. Электромагнитные волны................................377
5. Оптика. Квантовая природа излучения
5.1. Элементы геометрической и электронной оптики..........385
5.2. Интерференция света...................................401
5.3. Дифракция света.......................................413
5.4. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом......431
5.5. Поляризация света...........................,.........441
5.6. Квантовая природа излучения...........................452
<v>
6. Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел
6.1. Теория атома водорода по Бору........................475
6.2. Элементы квантовой механики.........................491
6.3. Элементы современной физики атомов и молекул........526
6.4. Элементы квантовой статистики.......................539
6.5. Элементы физики твердого тела.......................542
7. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
7.1. Элементы физики атомного ядра.......................547
7.2. Элементы физики элементарных частиц.................572
Важнейшие формулы, используемые в задачнике..................580
Периодическая система элементов Менделеева...................590
Предисловие
При изучении курса физики во втузе большое значение имеет практичес-
кое применение теоретических знаний, главное из которых — умение решать
задачи. Данное учебное пособие полностью соответствует “Курсу физики”
Т. И. Трофимовой (издательство “Высшая школа”, 5-е изд., 1998) и “Сборнику
задач по курсу физики” Т. И. Трофимовой (издательство “Высшая школа”, 1996),
образуя, таким образом, с ними единый методический комплект.
Для формирования навыков работы над задачами все решения оформле-
ны однотипно: запись условия, перевод данных в СИ, запись необходимых урав-
нений, их решение в общем виде, подстановка числовых значений в конечную
формулу, запись ответа. Решение задач приводится без каких-либо пояснений,
поскольку сначала следует тщательно изучить теоретический материал по дан-
ной теме, затем провести собственный анализ задачи, решить ее и только тогда
для сравнения результатов обратиться к готовому решению, которое, кстати, не
всегда является единственным.
Все задачи снабжены ответами, которые даны с точностью до трех знача-
щих цифр. Таким же числом значащих цифр выражены величины в условиях
задач и справочных таблицах, приведенных по мере представления материала.
Значащие цифры — нули, стоящие в конце чисел, — для упрощения записи
опускаются. В условиях задач и в ответах используются кратные и дольные
единицы, образованные от единиц СИ. В конце сборника приведен перечень
важнейших используемых формул.
Авторы
Методические указания
Решая задачи, целесообразно использовать следующие методические указания.
Щ Вникнув в условие задачи, сделать краткую запись условия, выразить все
данные в СИ и, где это только возможно, дать схематический чертеж, по-
ясняющий содержание задачи.
[2~|Выяснив, какие физические законы лежат в основе данной задачи, решить
ее в общем виде, т. е. выразить искомую физическую величину через за-
данные в задаче величины (в буквенных обозначениях, без подстановки
числовых значений в промежуточные формулы).
[З] Проверив правильность общего решения, подставить числа в окончатель-
ную формулу и указать единицу искомой физической величины, проверив
правильность ее размерности.
1. Физические основы механики
1.1. Элементы кинематики
Скорость течения реки v = 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды vx=6 км/ч. Определите, под каким углом от- носительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки. *
Дано Решение
v = 3 км/ч = 0,833 м/$ V] = 6 км/ч = 1,67 м/с а —1 v vi t - - — - cosa, ► t \ V ал a = arccos ( ' \ -n
Ответ а = (№.
Капля дождя при скорости ветра = 11 м/с падает под углом
а - 30° к вертикали. Определите, при какой скорости ветра и2
капля воды будет падать под углом ft = 45°.
вЯ|^ВЦ|М Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движут-
чНИЯУ ся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденно-
го ими пути задается уравнениями 5, = At + Bt2 и s2 = Ct + Dt2 + Ft3. Опреде-
лите относительную скорость автомобилей.
Дано Решение
S| = At + Bt2 s2 = Ct + Dt2 + Ft3 и — 2 d?i и = v, - v2, v, = = A + 2Bt, v2=^.= C + 2Dt+3Ft2, 2 d/ и = A + 2Bt - C-2Dt - 3Ft2 = A - C+ 2(B-D}t - 3Ft2.
Q Ответ u = a- -C + 2(B-D)t-3Ft2.
Велосипедист проехал первую половину времени своего движения
хДиНКтУ со скоростью tij = 16 км/ч, вторую половину времени — со ско-
ростью v2 = 12 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста.
Дано Решение
t t, = t2=- 1 2 2 (у) = -, 5 = 5,4-52, 5|=V|/|,
Vj = 16 км/ч = 4,44 м/с
v2 = 12 км/ч = 3,33 м/с 52 = V2'2, 6='2=-’ t t , t
(v)_? S = Vl-4-V2- = (W|4-V2)-,
(V| +V2)t _ Vj+V2
2t ~ 2
Ответ (v)=и км/ч.
Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью
п, = 16 км/ч, вторую половину пути — со скоростью v2 = 12 км/ч.
Определите среднюю скорость движения велосипедиста.
Ответ ) (п) = 13,7м/с.
Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью
и, = 16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоро-
стью v2 -12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью v3 = 5 км/ч.
Определите среднюю скорость движения студента на всем пути.
Дано
Решение
h - 1з
и, = 16 км/ч = 4,44 м/с
v2 = 12 км/ч = 3,33 м/с
v3 - 5 км/ч = 1,39 м/с
5] = ^2 4- $3
S1 . s2 . «3
Vi Л s V2 ^2 v3 G
s2 ~ v2{2 »
5| = ^2 4- ,
я, = и,/,,
я3 = п3/3,
*2 = h >
\ Sj + $2 4"
' /j 4- t2 4- t3 ’
2s, _ 2vl(v2 + v3)
$i 2s, 2vt +v2 + v3
vt v2 + v3
Ответ (v) = n,i км/ч.
В течение времени т скорость тела задается уравнением вида
v = А + Bt + Ct2 (0 < t < т ). Определите среднюю скорость за
промежуток времени т.
Ответ } > \ , Вт а2
J (и) = Л +— +-.
-------< ' ' 2 3
При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доно-
сится через / = 5 с. Принимая скорость звука v = 330 м/с, опре-
делите глубину колодца.
Дано Решение
1 = 5 с и = 330 м/с । и и . s: II s:
h — ? -ty), gt2+2vtt-2vl = 0,
-> 2v 2v /[+—/, 1 = 0, g g v |f vV 2vt 11— 1- -II — 1 H — 4,67 c, g vlgj g
2
h = = 107 м.
2
Ответ )Л=Ю7м.
Тело падает с высоты h = 1 км с нулевой начальной скорости^.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какой путь
пройдет тело: 1) за первую секунду падения; 2) за последнюю секунду падения.
Дано
h = \ км = 103 м
"о = О
/, =1 с
/п = 1 С
Решение
1) Л-| —?
2) s2 — 2
4-
h, = g(t t2)~, s-, = h-h2,
2
1) .v, = 4,9 м;
2) s2 = 132 м.
Тело падает с высоты h = 1 км с нулевой начальной скоростью.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какое вре-
мя понадобится телу для прохождения: 1) первых 10 м пути; 2) последних
10 м пути.
^Ответ
1)/,= 1,43 с; 2)/2=0,1с.
<®>
1.11 J Первое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
и0 = 5 м/с. В тот же момент времени вертикально вниз с той же
начальной скоростью из точки, соответствующей максимальной верхней точке
полета /^ первого тела, брошено второе тело. Определите: 1) в какой мо-
мент времени t тела встретятся; 2) на какой высоте h от поверхности Земли
произойдет эта встреча; 3) скорость V! первого тела в момент встречи; 4) ско-
рость v2 второго тела в момент встречи.
Дано Решение
u0 - 5 м/с / —? /7 — ? V, -? v2 — ? 0
h = -^- 2g’ Vy=v0~gt, hm v2=v0 + gt, ' *0 A . 1 Vo h
•*i=v0/——, *2=н0/ + —,
2 2 э э
Sl+S2 = /Ux7 vot-^— + vot + ^— = ^-, 2v0t = -^,
2 2 2g 2g
gVo = 7vp
16g2 2 32g
z = ^,
4g
и - v - v i - v _Ep__
2 -^o4g
1) / = 127 mc;
3) Vj = 3,75 м/с;
2) h = 56 cm;
v2 = 6,25 м/с.
11
цЯНнЗив Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максималь-
^••тгвии*- ная высота подъема h = s/4 (s—дальность полета). Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определите угол броска к горизонту.
(/ — время подъема, 2t — время полета),
gt
2
gt2
Л = 3 ’
gt2 - и0/sin ct,
v0 sin ct
g
----= vot since ,
2---0 2
h= g/2 = v2 sin2 ct
2 2g ’
,s , . „ „ 2vn cosct sinct
л - - (по условию), s = Vox . 2t = 2vor cos a = —й------------
4 g
9 . э />2
ug siir a _ 2vq cosasma
2g 4g
sin a
------= 1,
cosct
sinct = cosct,
a = arctgl,
tga = l,
ct = 45°.
a = 45°.
Тело брошено со скоростью v0 = 15 м/с под углом а = 30° к гори-
зонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) высо-
ту h подъема тела; 2) дальность полета (по горизонтали) s тела; 3) время его
движения.
1) й = 2,87 м;
2) s = 19,9 м; 3) Г = 1,53 с.
Тело брошено со скоростью v0 = 20 м/с под углом а - 30° к гори-
зонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момен-
та времени t = 1,5 с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) танген-
циальное ускорение.
Дано
Решение
v0 = 20 м/с
а = 30°
/ = 1,5 с
2)аг -?
vn sin а .
--------= 1,02 с.
g
= иОх = v0 cosa,
vy = vOy~gt\^
vOy = vo sina.
При ^max •
Vy = 0,
vosina = g/1,
t = 1,5 с > /| (спуск), /' = /-/[ = 1,5 c—1,02 c = 0,48 c,
Vy = gt',
= arctg-------, a = g,
v0 cosa
vy
— = tg(P>
»x
aT = gsinp,
a„ =g cos<p,
I g1’
an= g cos arctg---------
V v0 cosa.
I gt'
ar = g sml arctg---------
V v0 cosa.
1) an= 9,47 м/с2; 2) aT = 2,58 м/с2.
<j£>
Q 1.15J С башни высотой H = 40 м брошено тело со скоростью н0 = 20 м/с
под углом а. = 45° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воз-
духа, определите: 1) время/движения тела; 2) на каком расстоянии^' от основания
башни тело упадет на Землю; 3) скорость v падения тела на Землю; 4) угол <р,
который составит траектория тела с горизонтом в точке его падения.
1) t = 4,64 с; 2) 5 = 65,7 м;
3) v = 34,4 м/с; 4) <р = 65,7°.
Тело брошено горизонтально со скоростью и0 = 15 м/с. Пренеб-
регая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны тра-
ектории тела через / = 2 с после начала движения.
Дано
= 15 м/с
1 = 2 с
R — ?
Решение
’ । С башни высотой Л = 30 м в горизонтальном направлении бро-
шено тело с начальной скоростью v0 = 10 м/с. Определите: 1) урав-
нение траектории тела у(х); 2) скорость v тела в момент падения на Землю;
3) угол <р, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения.
Дано
Л = 30 м
п0 = 10 м/с
Решение
О X*) —?
2) v — ?
3) Р — ?
v = ^vl + 2gh,
<р - arctg
Ответ
О у = -г^х ;
2п0
2) v = 26,2 м/с; 3)^0 = 67,6°.
1~э э 2
V = vv6 +
Некоторые физические постоянные
Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с
Нормальное ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2
Гравитационная постоянная G = 6,67 • 1011 м3/(кг • с2)
15
Зависимость пройденного телом пути от времени задается урав-
нением 5 = А - Bt + Ct2 + Dt3 (А = 6 м; В = 3 м/с; С = 2 м/с2;
D = 1 м/с3). Определите для тела в интервале времени от z, = 1 с до /2 = 4 с:
1) среднюю скорость; 2) среднее ускорение.
Дано Решение
s = A-Bt + Ct2 + Dt3
А = 6 м
В = 3 м/с
С =2 м/с2 52=4=,2. 51=5Ц,
D = 1 м/с3
/( = 1 с ds > v = - = -B + 2Ct + 3Dr, dt
(, = 4 с
—
1) (<’)—? '2
2) («)-? v2 = 4=,2. i,i=4=,, •
(Ответ i) = 28 м/с; 2) (a) = 19 м/с2.
Зависимость пройденного телом пути от времени задается урав-
нением s = A + Bt + Ct2 + Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Опре-
делите: 1) через сколько времени после начала движения ускорение а тела бу-
дет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение {а) тела за этот промежуток времени.
1) / = 10 с;
2) (а) = 1,1 м/с2.
Объясните, может ли изменяться направление вектора скорости,
в то время как его ускорение по модулю остается постоянным.
(1.21Q Тело движется равноускоренно с начальной скоростью v0. Опре-
делите ускорение тела, если за время / = 2 с оно прошло путь
5 = 16 ми его скорость v = Зи0.
Дано
t = 2 c
5 = 16 M
u = 3u0
Решение
а = const,
v = v0 + at,
at'
з = и()/ +------,
° 2
и = 3ио,
3v0 = v0 +at,
2и0
а - ——
/
a —?
2u0Z" „
—— = 2vol,
Z-2 0
5
v^Tt
2s 5
a = —— = -t
2tt r
a = 4 м/с2.
(1.22 ) Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение
У линейно растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с2. Опре-
делите в конце десятой секунды; 1) скорость точки; 2) пройденный точкой путь.
Дано
Решение
a = kt
z, = 10 c
a, = 5 м/с2
1) v, -?
2)5, -?
r f kt2
v= jfl(Z)d/ = JAz dz =-------
о о
«1'1
и. = —- = —1
2 2.
'г kt2 kt2
----dz =— ,
J 2 6
a = kt,
к = - = ^
t
h
s
о
0
- kli - a'1'
□ I — —
1 6 6
1) и, = 25 м/с; 2) 5, = 83,3 м.
2 - 2741
17
Кинематические уравнения движения двух материальных точек
имеют вид х, = Att + B^t2 + Cxt3 и х2 = Л* + + С2/3> где
В) =4 м/с2, С, = -3 м/с3, В2 = -2 м/с2, С2 = 1 м/с3. Определите момент време-
ни, для которого ускорения этих точек будут равны.
t = 0,5 с.
L I 24^4 Кинематические уравнения движения двух материальных точек
имеют вид X] = л, + BJ + СХГ и х2 = А2 + B2t + C2t2, где В^ = В2,
С, = -2 м/с2, С2 = 1 м/с2. Определите: 1) момент времени, для которого ско-
рости этих точек будут равны; 2) ускорения а, и а2 для этого момента.
Дано Решение
х, = 4 +Bxt+cxt2 dx, „ и1 ~ ~7~ = ,
%2 ~ -^2 + ^2^ + ^2^ d/
в, = в2 dxs V2 — = ^2 + 2C?f 9 dt
С| = -2 м/с2 С2 = 1 м/с2 и, = v2, Bt=B2t
1) '1.,.., -? Bl+2Clt= B2+2C2t,
2) а, —? z _ ^2_ _ Q
3) а2 — 2 2(C2-C.) „ _^L_or _dv2_or, П] — — 2C|, a2—— — 2C2 • d/ d/
С Ответ ) i) t = o ; 2) П] = -4 м/с2, 3) a2 = 2 м/с2.
18
Q £ 25 J Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиу-
сом г = 4 м, задается уравнением ап = А + Bt + Сг ( А = 1 м/с2.
В = 6 м/с3, С = 9 м/с4). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь,
пройденный точкой за время t} =5 с после начала движения; 3) полное ускоре-
ние для момента времени /2 = 1 с.
Дано
г = 4 м
ап = А + Bt + Сг
А = 1 м/с2
В = 6 м/с3
С = 9 м/с4
/] = 5 с
/з = 1 с
1) о, — ?
2) 5, -?
3) «2 —?
Решение
, Ц2
ап = А + Bt + Сг , ап= —,
г
v = Д(А + Bt + Сг) = -^4(1 + 6/ + 9/2) =
du d
= 2(1 + 3/) = 2 +6/, ar= — = —(2 + 6/),
d/ d/
'i 'i
.v, = Ju d/ = j(2 + 6/) d/ = 2/| + 3/j2,
о о
2 _ I 2 (2 + 6/2)
°л2 - Var2 + 2
1) aT = 6 м/с2; 2) 5] = 85 m; 3) a2 = 17,1 м/с2.
Зависимость пройденного телом пути s от времени / выражается
уравнением s = At - ВГ + Ср (А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3).
Запишите выражения д ля скорости и ускорения. Определите д ля момента времени
/ = 2 с после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.
1.26 J
1) л = 24 м; 2) v = 38 м/с; 3) а = 42 м/с2.
19
Q 1 27 j Зависимость пройденного телом пути по окружности радиу-
сом г = 3 м задается уравнением 5 = At2 + Bt (А = 0,4 м/с2,
В = 0,1 м/с). Определите для момента времени t = 1 с после начала движе-
ния ускорение: 1) нормальное; 2) тангенциальное; 3) полное.
1) ап =0,27 м/с2;
3) а = 0,84 м/с2.
2) ат = 0,8 м/с2;
(1.28 J Точка движется в плоскости ху из положения с координатами
х, = >’| = 0 со скоростью v = ai + bxj {а, b — постоянные, i, j —
орты осей х и у). Определите: 1) уравнение траектории точки у(х); 2) форму
траектории.
Дано Решение
Л-, = у, = 0 v = ai + bxj,
v - ai + bxj vx=a, vy=bx,
tW-? dx = vxd/, dy = vvd/, dx = a d/, dy = bx d/, j bx j dy = — dx, a
(О^вёт ) 1))J = A^; 2)парабола.
1а
<2(Г>
( 1.29 J Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по
закону г = Z3i + 3/2 j, где i, j — орты осей хи у. Определите для
момента времени Z = 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.
Дано Решение
г = z3i + Зг2 j 1 = 1 с dr d 1 > -> v = 77 = 77(/i + = 3t '+ 6t J ’ о/ о/
1) V — ? 2) а — ? a=¥=6'i+6j’ v=y/v2x+v2y, vx = 3t2, vy=6t,
aA=6z, ау=6, u = 7(3/2)2 + (6r)2 , a = ^a2 + ay,
a = ^6f)2 + 62
Qotneem 1) V = 6,7 М/с; 2) а = 8,48 м/с2.
Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по
закону г = 4z2i + 3/j + 2k . Определите: 1) скорость v; 2) ускоре-
ние а; 3) модуль скорости в момент времени t = 2 с.
Дано Решение
r = 4/2i + 3/j + 2k z = 2c v = — = 8zi + 3 j, dz J
1) v —? 2) a — ? dv e- a = — = 8i, dz
3) ^1 — ? Vl=^t)2 + 32 .
1) v = 8zi + 3j; 2)a = 8i; 3) Vj = 16,3 м/с.
<^Г>
, Движение материальной точки в плоскости ху описывается зако
.... " ном х = At, у = At(l + Bt), где А и В — положительные постоян
ные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точкиу(х); 2) радиус
вектор г точки в зависимости от времени; 3) скорость v точки в зависимост!
от времени; 4) ускорение а точки в зависимости от времени.
Дано Решение
х- At . x x = At, t = —,
у = At(l + Bt) A
1 )>’«-? y=At(l+Bt)=A~l + B—]=x + —x2, A \ AJ A
2) r(0 —? 3) v(t) — 2 Bx2
4) a(r) — ? у = x + . A
r = xi + yj = Ati + At(l + Bt)j, v = — = Ai + (A + 2/4Br)j, v= -JA2 + (A + 2ABt)2 = A,]l + (1 + 2Bt)2 , dt
dv „ , а = — = 2ABj, a = 2 AB - const.
Q Ответ у = х + ^_. 2) r = Ati + At(l + Bt)j-,
А
3) v - Ay/l + (l + 2Bt)2 ; 4) а = 2АВ = const.
Некоторые математические формулы
sin(a ± р) = sin a cos Д ± cosa sin Д
cos(a ± Д) = cosa cos Д Т sina sin Д
Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом
г = 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением ат = 0,5 см/с2.
Определите: 1) момент времени, при котором вектор ускорения а образует с
вектором скорости v угол а = 45° ; 2) путь, пройденный за это время движу-
щейся точкой.
Дано
Решение
t t
s = Jv d/ = jatt d/
о о
2
1) t = 5 c; 2) 5 = 6,25 cm.
Линейная скорость точки, находящейся на ободе вращающе-
гося диска, в три раза больше, чем линейная скорость v2 точки,
находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус диска.
R = 9 см.
Колесо вращается с постоянным угловым ускорением е = 3 рад/с2.
Определите радиус колеса, если через t = 1 с после начала движе-
ния полное ускорение колеса а = 7,5 м/с2.
Дано Решение
е = 3 рад/с2 t = l с а = 7,5 м/с2 а = ^а2 + а2, aT=eR,
ап = — = (oR = EtR,
R —2 a2 = E2R2 + EYR^=E2^(l + E2t4),
R =
R = 19 см.
Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения п = 50 с*1,
после выключения тока, сделав N = 628 оборотов, остановился.
Определите угловое ускорение е якоря.
Дано
Решение
п = 50 с 1
# = 628
<р = a)ot---, <р = 2яЛ/,
2лп
t =---,
Е
а)0 = 2лп, 2jiN = 2лп1----,
2
(O = (O0-Et, 0 = 2лп - Et ,
_ .. _ 2лп е-4л2п2 2л2п2 лп2
2nN = 2лп-----------=— =-------, с =----------.
Е 2е2 е N
с = 12,5 рад/с2.
К/и.^ой|а Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время / = 2 мин
Xrritug^ оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин Определите:
1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за
это время.
Дано Решение
1 = 2 мин= 120 с и, = 240 мин-1 = 4 с'1 «2 = 60 мин-1 = 1 о-1 a)2=a)]-et, <о2 = = 2л«|, о "о , 2л(П| -и2) 2лп2 = 2ЛИХ -Et , Е = !,
1) £ —? 2) N — ? Ер 2nN = 2nnit-—, 2nN = 2лпх1-л(пх-п2)1, 1 2
1) е = 0,157 рад/с2; 2) N = 300.
Точка движется по окружности радиусом R =15 см с постоян-
’1 ным тангенциальным ускорением ат. К концу четвертого оборо-
та после начала движения линейная скорость точки i?j = 15 см/с. Определите
нормальное ускорение ап2 точки через t2 = 16 с после начала движения.
Дано Решение
R = 15 см = 0,15 м ат ~ const #,.= 4 i>! = 15 см/с = 0,15 м/с /2 = 16 с э Vi а„ =<dR-(Elf R, аТ = —L = eR = const, Г|= —, r, eR 2 2 '( 2 A2 2jiNx= — , e = —a„ = —R’ 1 2 4nNxR2 \4nNxR2 ) / 2 A2 4.2 a V' t R V'2
«„2 -.? ) \6n~N[R3
Ответ = 15 см/с2.
Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так,
что зависимость угла поворота диска от времени задается уравне-
нием <р = А + Bt + Ct2 + Dt3 ( В = 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Опреде-
лите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения:
1) тангенциальное ускорение аг; 2) нормальное ускорение ап; 3) полное уско-
рение а.
1) ат = 1,4 м/с2; 2) ап = 28,9 м/с2; 3) а = 28,9 м/с2.
Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла
поворота радиуса диска от времени задается уравнением <р = At2
(А - 0,5 рад/с2). Определите к концу второй секунды после начала движения:
1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находя-
щейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное ат, нормальное
ап и полное а ускорения.
Дано
<р = At2
А = 0,5 рад/с2
t = 2 с
г = 80 см = 0,8 м
Решение
<р = At2,
й> = —= 2ЛГ,
d/
dto
е = — = 2 А = const
dr
1) <о — ?
2) е — ?
3) ат —?
-?
а — ?
dv
ат = —
r dz
ат = 2Аг,
v = <or
„2
an = — = <o2r = 4A2rt2 ,
£ •
а
1) <о = 2 рад/с; 2) г = 1 рад/с2;
3) ат = 0,8 м/с2; а„ = 3,2 м/с2; а = 3,3 м/с2.
<26>
Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость
угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением
<р = At2 (А = 0,1 рад/с2). Определите полное ускорение а точки на ободе дис-
ка к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость
этой точки в этот момент равна 0,4 м/с.
Дано Решение
II II II II р м Р О 1—4 NJ ° <р = At2 , (о = 2At, £ = 2/4, i>| - o)R- 2At}R, „ v. V? v? 2At, „ л R = —ал1= —= — '- = 2Av,t., 2At ' R vt 1 1
*1-? v. aT} = eR = 2AR = — , 'i V (2/hv,)2 + 4 U1J 2
Ответ at = 0,256 м/с2.
• Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линей-
ной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается
уравнением v = At + Bt2 ( А = 0,3 м/с2, В = 0,1 м/с3). Определите угол а, ко-
торый образует вектор полного ускорения а с радиусом колеса через 2 с от
начала движения.
Дано Решение
R = 10 cm = 0,1 м v - At + Bt2 A = 0,3 м/с2 В = 0,1 м/с3 / = 2 c a — 2 tga = —, aT= — = A + 2Bt, dr v2 (At + Bt2)2 °n~ R~ R (A+2Bt)R tga = 5-7. (At + Bt2)2
Q Ответ a = 4°.
Диск радиусом Л = 10 см вращается так, что зависимость угла
поворота радиуса диска от времени задается уравнением
<р = А + Bt3 (А = 2 рад, В = 4 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса:
1) нормальное ускорение ап в момент времени t = 2 с; 2) тангенциальное ус-
корение для этого же момента; 3) угол поворота <р, при котором полное уско-
рение составляет с радиусом колеса угол а = 45°.
1 Дано Решение
R-10 см = 0,1 м
<р= А + Вг, (o = 3Bt2, a„=a)2R = (3Bt2)2R,
<р = А + Bt3
А = 2 рад е = 6Bt,
В = 4 рад/с3 aT=sR = 6BtR, tga = l,
t = 2 с
а = 45° Оу tga = —, ат ~~
ап
1) ап-? (3Bt2)2R=6BtR, 9BYR=6BtR,
2) аТ — ? з 2 , „ 2 2
3) <Р —2 г = —,
ЗВ W ЗВ 3
Q Ответ = 230 м/с2; 2) ат = 4,8 м/с2; 3) <р = 2,67 рад.
Десятичные приставки к названиям единиц
Т — тера (1012)
Г — гига(109)
М— мега (106)
к — кило (103)
д — деци (КГ1)
с — санти (10-2)
м — милли (103)
мк — микро (КГ6)
н — нано (КГ’)
п — пико (1(Г12)
ф — фемто (1(Г15)
а — атто(1018)
28;
1.2. Динамика материальной точки
и поступательного движения твердого тела
Тело массой т=2кг движется прямолинейно по закону
s = A-Bt + Ct2 - Dt3 (С = 2 м/с2, D = 0,4 м/с3). Определите силу,
действующую на тело в конце первой секунды движения.
Дано
Решение
in = 2 кг
s= A — Bt + Ct2 —Dt3
C = 2 м/с2
£) = 0,4 м/с3
t = 1 c
F — 2
du
r=ma = m—,
dt
ds э
v = — = -B+2Ct-3Dt2,
dt
dt>
a = - = 2C-6Dt,
dt
F = tn{2C — f>Dt).
F = 3,2 Н.
Тело массой т движется так, что зависимость пройденного пути
........от времени описывается уравнением s- A cos со/, где А и <о —
постоянные. Запишите закон изменения силы от времени.
F = -тАо)2 coscoZ.
К ии™ подвешен груз массой т = 500 г. Определите силу натя-
жения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2;
2) опускать с ускорением 2 м/с2.
1)7’ = 5,9H; 2) Г = 3,9 H.
ж
Два груза ( тх = 500 г и т2 = 700 г) связаны невесомой нитью и
лежат на гладкой горизон-
тальной поверхности. К грузу т1 прило-
жена горизонтально направленная сила
F = 6 Н. Пренебрегая трением, опреде-
лите: 1) ускорение грузов; 2) силу натя- //2^//У///^^
жения нити.
т2
1) о = 5 м/с2; 2)Г = 3,5Н.
( Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов
равноускоренного движения, представляет собой два груза с не
равными массами тх и т2 (например т1 > т2), которые подвешены на лег-
кой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесо-
мыми и пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов;
2) силу натяжения нити Г; 3) силу F, действующую на ось блока.
Дано
Решение
'«I
т->
тх > т2
Т}=Т2 = Т,
1) а — 2
2) Т — ?
3) F — ?
Т = mlg-mla,
mxa = mxg-T,
п^а-Т - m2g .
тха + пъа = mxg — mxa — rr^g,
a^(^-m2)g
mx + m2
w, - m2 2mxm2g
T = mxg- mx-------g =--------
tnx + m2 mx + m2
F = 2T.
mx +
2)r=2»-?; =
7И, + И12 Wj +
( 1 48 J РисУнке изображена система блоков, к которым подвешены
........грузы массами т, = 200 г и т2 = 500 г. Считая, что груз т} под-
нимается, а подвижный блок с т2 опускается, нить и блоки невесомы, силы
трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити Г; 2) ускорения, с
которыми движутся грузы.
Дано
т{ = 200 г = 0,2 кг
т2 = 500 г = 0,5 кг
1) Т — ?
2) Щ
«2 — ?
Л| = 2Л2,
at - 2й2 ,
• ^,<2, = Т - m}g ,
= m2g - 2Т ;
Решение
m2 _ mlS - 271
2/И] T - m}g
2m}O2 - Т - n^g ,
ГП2О2 = m2g - 2Т ;
m2T - m}m2g = 2m}m2g — 4m}T,
m2T + 4m}T = 2mlm2g + ,
T(m2 + 4W]) = 3wjm2g ,
T_ 3m}m2g
m2 + 4wj
_ T~m\g _ 2(^2
о, — — ,
w, m2 + 4zw,
_ m2g~2T _ (m2-2m])g
a2 ~ ~ .
m2 m2 + 4W]
1)7" = 2,26 H; 2) a, = 1,5 м/с1 2; a2 = 0,75 м/с2.
31
В установке (см. рис.) угол а наклонной плоскости с горизонтом
равен 20°, массы тел тх - 200 г и т2 = 150 г. Считая нить и блок
невесомыми и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым
будут двигаться тела, если тело т2 опускается.
Дано
Решение
а = 20°
от, = 200 г = 0,2 кг
т2 = 150 г = 0,15 кг
а — 2
т}а = Т - mxg sina,
т2а = m2g - Т
а = 2,29 м/с2.
Тело А массой М = 2 кг находится на горизонтальном столе и
соединено нитями посредством блоков с телами В ( тх = 0,5 кг) и
С (да2 = 0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами тре-
ния, определить: 1) ускорение, с которым будут двигаться эти тела; 2) разность
сил натяжения нитей.
Дано
М = 2 кг
от, = 0,5 кг
тп2 = 0,3 кг
1) а —?
2) {Тх-Т2) —2
пьа = Т2- m2g,
Решение
(от, -m2)g
M+mx+m2’ m'a
= m}g-Tx, Tx = mx(g-d)
Т2 = от2(а + g), 7j - T2 = OT,(g - a)-m2(g + п).
1) а = 0,7 м/с2;
2) Т\ - Т2 = 1,4 Н.
1.51 J В установке углы аир наклонных
- плоскостей с горизонтом соответ-
ственно равны 30 и 45°, массы тел = 0,45 кг и
т2 = 0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пре-
небрегая силами трения, определите: 1) ускорение,
с которым движутся тела; 2) силу натяжения нити.
1) а = 1,33 м/с2; 2)Г=2,8Н.
Q £,52 Тело массой т движется в плоскости ху по закону х = A coso>i.
у = 5 sin wt, где А, В и w — некоторые постоянные. Определите
модуль силы, действующей на это тело.
Дано Решение
т х - A cosat F-ma, r = A cosait i + Bsina)/ j, dr
у = В sin cut А = const v = — = -Aa> sin tor i + Bco cos ад • i dr
В = const dv Л -> . D > . a = — = -A(d coswt-i-Bw sinwt t
(D = Const dt
F — ? a = ^(-Aco2 cosw/)2 + (-Bw2 sin co/)2 = co2yjx2 + y2 , F = ma>2 x2 + y2
(Ответ F=m^+/'.
Некоторые математические формулы
sin 2а = 2 sin а cos а
cos 2а = cos2 а - sin2 а
Частица массой т движется под действием силы F = Fo coswz,
где Fo и ш — некоторые постоянные. Определите положение
частицы, т. е. выразите ее радиус-вектор г как функцию времени, если в на-
чальный момент времени t = 0, г(0) = 0 и v(0) = 0.
Дано Решение
т F = Fo cos<y/ t=0 r(0)=0 v(0) = 0 dv F = Fflcos<y/, F = wa = w—, 0 dz m— =FncoswZ, dv = —coswzd/, dz m F V F r F v(z)-v(0) = — |coswzdz = —— sinwz =—— sinwz,
r(Z)-? m * ma> 0 ты
v(0)=0, v(z) = p —^-sinco/, dr = v(r)d/, mu)
F г F 1 F
I*(Z) - r(0) = —— | sin (Dt dt -----Г COS (Dt - (cos (Dt - 1) =
m(D ' тш 0 mw
F F
= —~ (1 - costof), r(0) = 0, r(/) = —~ (1 - coswr).
ma) ma>~
F
r(z) =--(1 - COS (Dt) .
тш~
На тело массой m = 10 кг, лежащее на наклон-
ной плоскости (угол а равен 20°), действует
горизонтально направленная сила F = 8 Н. Пренебрегая
трением, определите: 1) ускорение тела; 2) силу, с которой
тело давит на плоскость.
1) а = 4,11 м/с2; 2)ЛГ = 89,4Н.
Гд5§Г)
Тело массой т = 2 кг падает вертикально с ускорением а = 5 м/с2.
Определите силу сопротивления при движении этого тела.
Fconp = 9,62 Н.
с 1.56 ) С вершины клина, длина которого / = 2 м и высота h -1 м, начинает
скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и кли-
ном f = 0,15. Определите: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время про-
хождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина.
Ответ
1) а = 3,63 м/с2;
3) с = 3,81 м/с.
2) t = 1,05 с;
По наклонной плоскости с углом а наклона к горизонту, равным
30°, скользит тело. Определите скорость тела в конце второй се-
кунды от начала скольжения, если коэффициент трения f = 0,15.
v = 7,26 м/с.
Вагон массой т = 1 т спускается по канатной железной дороге с
уклоном а = 15° к горизонту. При-
нимая коэффициент трения f = 0,05, определи-
те силу натяжения каната при торможении ваго-
на в конце спуска, если скорость вагона перед
торможением и0 = 2,5 м/с, а время торможения
t = 6 с.
Ответ
Г = 2,48 кН.
35
3’
Грузы одинаковой массы (т1 = т2 = 0,5 кг) соединены нитью и
перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце сто-
ла. Коэффициент трения груза т2 о стол f = 0,15. Пренебрегая трением в
блоке, определите: 1) ускорение, с которым движутся грузы; 2) силу натя-
жения нити.
Дано
тх=т2 = 0,5 кг
/ = 0,15
1) а — 2
2) Т — 2 '
mla = mlg-T,
т2а = Т~ fn^g;
f m^g
+ т2
Решение
mla + т2а = mlg - f n^g,
7 =
\ mx+m2 J
mxm2(\ + f)g
m{ + m2
1) a = 4,17 м/с2; 2) T = 2,82 H.
Некоторые математические формулы
i 1
sin a = — (1-cos 2a)
2 1
cos a = — (1 + cos 2a)
Q 1.60 J Система грузов массами m, = 0,5 кг и т2 = 0,6 кг находится в
лифте, движущемся вверх с ускорением а - 4,9 м/с2. Определите
силу натяжения нити, если коэффициент трения между грузом массы тх и опо-
рой f = 0,1.
Дано
т} = 0,5 кг
т, = 0,6 кг
а = 4,9 м/с2
/ = 0,1
т — ?
Решение
nyi = N - m}g,
т2(а' -a) ~m2g-T,
т}а' = Т - f N
(а' — ускорение грузов относительно стола),
N = mia + mlg,
Т
mxa' = Т - f(mxa + m}g), а'=----f(a+g),
( Т
w?-----f(a + g)-a = m2g — T,
\m} )
m2T - mxm2f a - mxm2f g - mxm2a = m}m2g - m\T,
+ m2) = mxm2{fa + fg + a+g),
T_mim2(l + f)(a + g)
+ m2
Ответ
T = 4,41 H.
37
( 1 61 ) гладк°й горизонтальной поверхности находится доска массой
........т2 э на которой лежит брусок массой т1. Коэффициент трения
бруска о поверхность доски равен f. К доске приложена горизонтальная сила F,
зависящая от времени по закону F - At, где А — некоторая постоянная. Опре-
делите: 1) момент времени t0, когда доска начнет выскальзывать из-под брус-
ка; 2) ускорения бруска at и доски а2 в процессе движения.
Дано
т2
f
F = At
А = const
Решение
«2fl2 = F-FTp,
^rp.max — f ^hS •>
1) 'о-?
2) О| -?
«2—?
At ~ Р
тр max
а, =------------
т2
a\=fg,
At~f”hg
т2
fg-
(m}+m2)fg .
5
_ At- f mlg
Ch _---------
т2
Ответ
_ (w, +m2)fg
1 > ‘о - .
А
At-fm}g
2) при t z0 = fg = const; a2 =
m2
В установке угол а наклона плоскости с горизонтом равен 30'
массы тел одинаковы (т = 1 кг). Считая нить
п блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока,
определите силу давления на ось, если коэффициент тре-
пня между наклонной плоскостью и лежащим на ней те-
лом /' = 0,1.
(Ответ ) , ч (л сЛ , „. „
у г - mg(l + j cos а + sin а) cos^— ~ = 13,5 Н.
Q 1,63 у На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту а - 35°
v положена доска массой т2 = 2 кг, а на доску — брусок массой
и», = 1 кт. Коэффициент трения между бруском и доской / = 0,1, а между дос-
кой и плоскостью /2 = 0,2. Определите: 1) ускорение бруска; 2) ускорение дос-
ки; 3) коэффициент трения /2, при котором доска не будет двигаться.
1) ai = g(sina-/j cos а) = 4,82 м/с2;
I г т\ (ш. + от,) I
2) а-> - g sina + /] —L cosa - f, —!-— cosa = 3,62 м/с-;
\ m2 ~ m2 )
m2 sina + cosa
(w, + w2)cosa
Некоторые внесистемные единицы
1 сут = 86400 с 1" = 4,85 Ю"6 рад
1 год = 365,25 сут = 3,16 107 с 1 рад = 57,3°
1° = 1,75 • 10 2 рад 1 мм рт. ст. = 133,3 Па
Г = 2,91 • 10 4 рад
1 эВ = 1,6- 10-|9Дж
<JT>
( 1.64 ) Снаряд массой т = 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке
V, лЛЛЯХ -траектории имеет скорость v = 300 м/с. В этой точке он разорвал-
ся на два осколка, причем больший осколок массой тх = 3 кг полетел в обрат-
ном направлении со скоростью i>] =100 м/с. Определите скорость v2 второго,
меньшего, осколка.
Дано
от = 5 кг
v = 300 м/с
т} = 3 кг
г>] =100 м/с
Решение
mN = W]V] + w2v2 ’
mv = -mfV] + m2v2,
m2 = m - ,
mv + OTjH]
lb =-------.
m2
v2 = 900 м/с.
Лодка массой M = 150 кг и длиной I = 2,8 м стоит неподвижно в
стоячей воде. Рыбак массой т = 90 кг в лодке переходит с носа на
корму. Пренебрегая сопротивлением воды, определите, на какое расстояние 5
при этом сдвинется лодка.
5 = 1,05 м.
Г1Ж 4 Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью v0, разрывается на
' два одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоя-
нии I (по горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со
скоростью движения снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением возду-
ха, определите, на каком расстоянии (по горизонтали) от орудия упадет второй
осколок.
5 = 4/.
Платформа с песком общей массой М - 2 т стоит на рельсах
на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд мас-
сой т = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой
скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость
снаряда v = 450 м/с, а ее направление — сверху вниз под углом а - 30° к
горизонту.
v = 1,55 м/с.
Cl 68 Л железнодоРожн°й платформе, движущейся по инерции со ско-
' --Х ростью v0 = 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с ору-
дием М = 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Сна-
ряд массой т = 10 кг вылетает из ствола под утлом а = 60° к горизонту. Опре-
делите скорость v снаряда (относительно Земли), если после выстрела ско-
рость платформы уменьшилась в п = 2 раза.
Дано Решение
и0 = 3 км/ч = 0,833 м/с
М = 10 т = 104 кг т = 10 кг (т + M)v0 - mv coscr + , п-2, п Mv0
с = 60° и, = — п п = 2 v — 2 mv cosa - mv0 + Mv0 —, Mv0 mv cosa = mvn + , 0 2 1 w+ — A/|un I 2 J 0 V = .
т cosa
v = 835 м/с.
41
( 1.69 ) Две легкие тележки (массы соответственно От) и т2 = 2^) со-
единены между собой сжатой, связанной нитью пружиной. Пере-
жигая нить, пружина распрямляется и тележки разъезжаются в разные сторо-
ны. Считая коэффициент трения для обеих тележек одинаковым, определите:
1) vjv2 —отношение скоростей движения тележек; 2) tx/t2 —отношение
времени, в течение которого тележки движутся; 3) sx/s2 —отношение путей,
пройденных тележками.
Дано
wi
т2 - 2т1
f
О v\/v2
2) i}/t2 -?
3)s,/s2 -?
Решение
= m2v2,
v2 ТП\
= "W , ^,1=/^,
Лр2?2 = ^2, FTp2 = f "hg,
ti _ mxvx F^2 _ mxvxm2 _ _t>|_
h F^ m2v2 mxm2v2 v2 ’
s2 = {v2}t2=^-
*1
52 V2t2
^Oineein 1) v1/i>2=2; 2) Г]//2 = 2; 3)5]/52=4.
C l 70 "J Д®е одинаковые тележки массой М каждая движутся по инерции
=2®Z (без трения) друг за другом с одинаковой скоростью v0. В какой-
то момент времени человек массой т, находящийся на задней тележке, прыг-
нул на переднюю тележку со скоростью и относительно своей тележки. Опре-
делите скорость Vj передней тележки.
Ответ j тМ
J ^=¥0 + —-—JU.
(w+ Му
42
I 1,71 ) Определите положение центра масс системы, состоящей из че-
X;—•..1.111 тырех шаров, массы которых равны соответственно т, 2т, Зт
и 4т, в следующих случаях: а) шары расположены на одной прямой; б) шары
расположены по вершинам квадрата; в) шары расположены по четырем смеж-
ным вершинам куба. Во всех случаях расстояние между соседними шарами
равно 15 см. Направление координатных осей показано на рисунке.
а) хс = 30 см;
б) хс = 7,5 см, ус = 4,5 см;
в) хс = 1,5 см, ус = 4,5 см, zc = 3 см.
Определите положение центра масс половины круглого диска ра-
диусом R, считая его однородным.
4R
хс = — от центра.
Зя
КжИ|ш1 Определите координаты центра
масс системы, состоящей из че-
тырех шаров массами 2т, Зт, 4т и т, ко-
торые расположены в вершинах и в центре
равностороннего треугольника со стороной
а = 20 см. Направление координатных осей
показано на рисунке.
хс = 12 см; ус — 5,77 см.
Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной
ЪЯЯР массой т§ начинает движение из состояния покоя под воздействи-
ем постоянной силы тяги F. Через отверстие в дне платформы высыпается пе-
сок с постоянной скоростью Д (кг/с). Определите v(z), т. е. зависимость ско-
рости платформы от времени.
Дано Решение
ma = F + Fp,
F
m= rrig-fit, F₽ = 0,
F dv
Що-^’ a — —, dr
v(0) = 0,
v(/)= [a d/ = [—-—d/= — In———.
3 3mo-Ht ц гпд-Щ
, . F , pt,
v(Z) = — In--5—
A m^-fit
44
На катеРе массой /и — 4,5 т находится водомет, выбрасывающий
со скоростью и = 6 м/с относительно катера назад ц = 25 кг/с
воды. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определите: 1) скорость
катера через t = 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную ско-
рость катера.
1) v = 3,8 м/с; 2) г>тах = 6 м/с.
Ракета, масса которой в начальный момент времени М-2 кг,
запущена вертикально вверх. Относительная скорость выхода про-
дуктов сгорания и = 150 м/с, расход горючего // = 0,2 кг/с. Пренебрегая со-
противлением воздуха, определите ускорение а ракеты через t = 3 с после нача-
ла ее движения. Поле силы тяжести считать однородным.
Решение
Дано
М = 2 кг
и = 150 м/с
// = 0,2 кг/с
t = 3 с
g = 9,81 м/с2
а — ?
ma = Fp-mg,
Fp=/zn,
т= М - fit,
Fv Fu
a = --g = —---
m M-fU
a = 11,6 м/с2.
Некоторые математические формулы
sin2a = 2 sina cosa cos2a = cos2 a-sin2 a
2 1 2 1
sin a = —(l-cos2a) cos a = —(l + cos2a)
<45>
С 1.77 ) Ракета, масса Мкоторой в начальный момент времени равна 300 г,
1 - —начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной ско-
ростью и = 200 м/с. Расход горючего // = 100 г/с. Пренебрегая сопротивлени-
ем воздуха и внешним силовым полем, определите: 1) за какой промежуток
времени скорость ракеты станет равной Vj = 50 м/с; 2) скорость v2, которой
достигнет ракета, если масса заряда т0 - 0,2 кг.
Дано Решение
М = 300 г = 0,3 кг и = 200 м/с // = 100 г/с = 0,1 кг/с ma=Fp. т=М-ц1, к dl' F = /гн , а = — ,
V] = 50 м/с н а/
тс0 = 0,2 кг du (M-pt)— = /ли, dt
1) -? 'r dt , M
2) v2-? - uu = и In , 0
М V, - и In , 1 М-/г/, |П^_=Д, M -/dt} U M — /Atl
6=-(1-е-П А ' , M v2 = и In . M — mG
Ответ J j) = 0,бб м/с; 2) н, = 220 м/с.
( 1.78 J Ракета с начальной массой от0, начиная движение из состояния
........покоя, к некоторому моменту времени I израсходовав топливо
массой т, развивает скорость v. Пренебрегая сопротивлением воздуха и вне-
шним силовым полем, определите зависимость и от тс, если скорость истече-
ния топлива относительно ракеты равна и.
Ответ у = и 1п(тс0/(тс0 - тс)).
С 1 79 J Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально
.j вверх. Начальная масса ракеты т0, скорость истечения газа отно-
сительно ракеты постоянна и равна и. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
выразите скорость ракеты v в зависимости от т и t (т — масса ракеты; / —
время ее подъема). Поле силы тяжести считайте однородным.
V = и ln(zn0/zn) — gt.
Ракета с начальной массой т0 = 1,5 кг, начиная движение из со-
стояния покоя вертикально вверх, выбрасывает непрерывную
струю газов с постоянной относительно нее скоростью и = 600 м/с. Расход газа
ft = 0,3 кг/с. Определите, какую скорость приобретет ракета через 1 с после
начала движения, если она движется: 1) при отсутствии внешних сил; 2) в одно-
родном поле силы тяжести. Оцените относительную погрешность, сделанную
для данных условий задачи при пренебрежении внешним силовым полем.
Дано Решение
mq = 1,5 кг dv l)n?a = F +F, m=w0-/zZ, a =—, F = fiu,
и - 600 м/с ' dz
fi - 0,3 кг/с du uii
F=0, (m^-fit)— = fiu, du = dz,
Zj = 1 c dz m0- fit
1) -? u(Z) - 1 dz - и In , Jm0-fit m0-fit
2) u2 -?
3) £ —? 2) U] = и In———, F’ = fin, F = mg,
ти0 - flt}
(m0-fit)— = fiu — {т0 — fit)g , — =---dz-g, u(Z) = wln--y---gt,
dZ dZ m0 -fit m0- fit
, mo v2 = «In gZ,; V1~V2 g'l vi dn^' nlQ-flty
Ответ ) 1) u, = 134 м/с; 2) v2 = 124 м/с; 3) £ = 7,3 %.
<7T>
1.3. Работа и энергия
Тело массой т = 5 кг поднимают с ускорением а - 2 м/с2. Опре-
делите работу силы в течение первых пяти секунд.
Дано Решение
да = 5 кг a = 2 м/с2 t = 5 с та = F — mg , F = ma + mg = m(a + g), al2 / A = Fh, h = —' A = m(a+g)—. 2 2
A —?
Q Ответ a = 1,48 кДж.
(1.82) Автомашина массой т = 1,8 т движется в гору, уклон которой со-
....... ставляет 3 м на каждые 100 м пути. Определите: 1) работу, совер-
шаемую двигателем автомашины на пути 5 км, если коэффициент трения ра-
вен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь
был преодолен за 5 мин.
Дано
т = 1,8 т= 1,8 103 кг
Л = 3 м
/ = 100 м
Решение
А - F\S + F.lps , Ft= mg sina ,
FTp = fN = f mg cosc,
48
( 1.83 ) Определите работу, совершаемую при подъеме груза массой
т = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона a = 30° к го-
ризонту на расстояние s = 4 м, если время подъема t = 2 с, а коэффициент
трения f = 0,06.
A = 1,48 кДж.
( 1,84 ) Тело скользит с наклонной плоскости высотой Л и углом наклона а
к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. При-
нимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным f, определите
расстояние s , пройденное телом на горизонтальном участке, до полной оста-
новки.
Дано
Решение
h
а
5 —?
mgh = F^l + F^s,
Api = >g cosa,
Лр2 = fmZ ,
sina
wgn = j mg cosa-----+ j mgs,
sina
h.
s = — (l-/ctga).
h,
s = —(y-f&ga).
4 - 2741
49
( 1.85 ) Насос мощностью N используют для откачки нефти с глубины h.
''' Определите массу жидкости, поднятой за время t, если КПД на-
соса равен г).
Дано Решение
N h _ ^полезн _ Nt
t
r] nNt m- .
m — ? gh
С Ответ Л т = й^
\/ gh
Поезд массой т - 600 т движется под гору с уклоном а - 0,3° и
за время / = 1 мин развивает скорость г> = 18 км/ч. Коэффициент
трения f = 0,01. Определите среднюю мощность (N) локомотива.
Дано
те = 600 т = 6 Ю’кг
а = 0,3°
t = 1 мин = 60 с
v -18 км/ч = 5 м/с
/ = 0,01
W-?
Решение
—+fg cosa - g sina
F
* тяги
- т— + /mg cosa - mg sina,
(L87J Автомобиль массой т = 1,8 т спускается при выключенном дви-
гателе с постоянной скоростью v = 54 км/ч по уклону дороги (угол
к горизонту а = 3°). Определите, какой должна быть мощность двигателя ав-
томобиля, чтобы он смог подниматься на такой же подъем с той же скоростью.
N= 27,7 кВт.
^1.88^ Материальная точка массой т = \ кг двигалась под действием неко-
торой силы согласно уравнению s = А - Bt + С/" - D/3 ( В = 3 м/с,
С = 5 м/с2, D -1 м/с3). Определите мощность N, затрачиваемую на движение
точки за время, равное 1 с.
Дано Решение
т = 1 кг s = A - Bt + Ct2 — Dt3 В = 3 м/с С = 5 м/с2 D = 1 м/с3 /, = 1 с N —2 е > н и 1 Со + ю £ ё * & "м II II & Q. О- z—। Ю % II
- = 2C-6Dt,
d/
N = m(-B + 2Ct- 3Dt2)(2C -6Dt).
A = 16 Вт.
Некоторые математические формулы
sin 2а = 2 sin a cos а
2 2
cos2a = cos a-sin а
51
4*
1.89 Ветер действует на парус площадью S с силой F - ASp(v0 - w)2/?,
где А — некоторая постоянная; р — плотность воздуха; v0 —
скорость ветра; v — скорость лодки. Определите скорость лодки при макси-
мальной мгновенной мощности ветра.
Решение
Дано
F = ASp(v0 - и)2/2
v — ?
N = Fv, F- ASp(v0 - v)2/2 ,
ASp j _ 2 3.
N = ~^~(vov ~ 2vou + v ),
cLV „
---= 0,
dr
<LV ASp 2 2
— = - 4u0v + 3v2) = 0 ,
dr 2
t>o - 4v0u + 3v2 = 0, 3i? - 4v0v + i?o = 0,
_ 4v0 ±J16v2-12Vq _4r0±2r0
Vi э — — ,
6 6
г, = v0 (не удовл.),
^Ответ
( 1.90 J Тело массой m поднимается без начальной скорости с поверхно-
сти Земли под действием силы F, изменяющейся с высотой подъе-
ма^ по закону F = -2/ng(l - Ay) (где А — некоторая положительная постоян-
ная), и силы тяжести wg . Определите: 1) весь путь подъема; 2) работу силы F
на первой трети пути подъема. Поле силы тяжести считать однородным.
2) AF = 5mg/(9A).
52
[j 9 J ) Тело массой tn начинает двигаться под действием силы
F = 2/ i + ЗГ j, где i и j — соответственно единичные векторы ко-
ординатных осей хи у. Определите мощность 7V(z), развиваемую силой в мо-
мент времени t.
Дано Решение
т F = 2/i + 3/2j Л'(0 — ? N = Fv, F = 2/i + 3/2j= ma , a=— (2/i + 3/2j) = -y-, m at v = fa d/ = - [(2/ i + 3/2j) dt = — (ri + Pj), J m m 0
N(t) = (2/ i + З/2 j) — (/2i + P j) = — (2/3 + 3/5).
m m
Ответ }М/) = 1(2/3 + з/5).
m
Тело массой m = 5 кг падает с высоты h = 20 м. Определите сум-
му потенциальной и кинетической энергий тела в точке, находя-
щейся от поверхности Земли на высоте = 5 м. Трением тела о воздух пре-
небречь. Сравните эту энергию с первоначальной энергией тела.
Дано Решение
in = 5 кг h = 20 м Л, = 5 M E = П = mgh , £, = П, + 7], LIj = mghl. T^, v^^h-h,),
-? Ef-mgh^ g ? 1 — mgh, E} = E = mgh.
Ответ )^ = 981Дж.
53
1.93
Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Зем-
лей обладает импульсом р = 100 кгм/с и кинетической энергией
Т = 500 Дж. Определите: 1) с какой начальной высоты тело падало; 2) массу тела.
1) h = 5,1 м;2) m = 10 кг.
Q1.94 С башни высотой Я = 20 м горизонтально со скоростью г>0 = 10 м/с
брошен камень массой m = 400 г. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите для момента времени / = 1 с после начала движения:
1) кинетическую энергию; 2) потенциальную энергию.
Дано
И = 20 м
ru = 10 м/с
in = 400 г = 0,4 кг
/ = 1 с
1) Г—?
2) П —?
Решение
v0 = const,
Vi э m i i >
I>o + (g0 , 7' = —(Vo+g^ ),
gt2
h=H-lb,
11 = mg H-
g/2
2 J
1)Т = 39,2Дж; 2) П = 59,2 Дж.
<ЗГ>
Автомашина массой т = 2000 кг останавливается за / = 6 с, прой-
дя расстояние s = 30 м. Определите: 1) начальную скорость авто-
машины; 2) силу торможения.
Дано
т= 2000 кг
t = 6 с
5 = 30 м
Решение
1) и0 — ?
2) F — ?
2s
v0 = at,
^=Fs,
2
2s
m-4s~
Г 2s
2ms
г
1) v0 = 10 м/с;
2) F = 3,33 кН.
( 1.96 ) Материальная точка массой да = 20 г движется по окружности
радиусом /? = 10 см с постоянным тангенциальным ускорени-
ем. К концу пятого оборота после начала движения кинетическая энергия
материальной точки оказалась равной 6,3 мДж. Определите тангенциаль-
ное ускорение.
Дано Решение
да = 20 г = 2 • 10 2 кг R = 10 см = 0,1 м А = 5 Т = 6,3 мДж = = 6,3 10 ’Дж -? т тг т=—. х=, 2 v ~ , vt2 Е- — , 2jtN = l2R У да - = eR, t _ vt 4jiNR t = ,
v v2 Т
а = — =----=-------.
/ 4nNR 2nmNR
Ответ
аТ = 0,1 м/с2.
1.97
/ = 2/(,
Ядро массой т = 5 кг бросают под углом а - 60° к горизонту,
совершая при этом работу 500 Дж. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите: 1) через какое время ядро упадет на землю; 2) какое рас-
стояние по горизонтали оно пролетит.
v0 sina
A = ^~
2
„ I2A sina
' = 2J-------,
V m g
nosina Un . „
s = v0 cosa 2—--= — sin 2а,
g g
2Л . Q
5 = — sin 2a.
mg
l)f = 2,5c; 2) 5 = 17,6 m.
Тело массой m = 0,5 кг бросают со скоростью v0 = 10 м/с под
углом a = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением возду-
ха, определите кинетическую Т, потенциальную П и полную Е энергии тела:
1) через t = 0,4 с после начала движения; 2) в высшей точке траектории.
Ответ
1) Т = 19 Дж; П = 5,9 Дж; Е = 24,9 Дж;
2) Т = 18,7 Дж; П = 6,2 Дж; Е = 24,9 Дж.
56
(1М 1 Тележка проходит расстояние s = 300 м под гору с уклоном а = 5°
S и продолжает двигаться в гору с тем же уклоном. Принимая коэф-
фициент трения f постоянным и равным 0,05, определите расстояние х, на ко-
торое поднимается тележка.
Дано
s = 300 м
а = 5°
/=0,05
х —?
Решение
nigh- FTp(s + x)=mghf,
h = s sin a, /?j=xsina,
FTp = / mg cosa , mgs sina - f mg cosa(s + x) = mgx sin a,
s(sina - / cosa)
sina + / cosa
x = 81,8 m.
К нижнему концу пружины жесткостью к} присоединена другая
пружина жесткостью к2, к концу которой прикреплена гиря. Пренеб-
регая массой пружины, определите отношение потенциальных энергий пружин.
Дано Решение
AjXj = к2х2,
Л, wg Л'| _ ^2 П = ^,Х< П - х2 к, ’ 1 2 2 2
С С li г‘Де*|гАг II Г4 Uri ГЧ И И II
Ответ ) п. =
-------' П2 к.
57
( 1.101 ) Тело массой w = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высо-
той h = 10 см и длиной 1 = 1 м. Коэффициент трения тела на
всем пути f = 0,04- Определите: 1) кинетическую энергию тела у основа-
ния плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке до
остановки.
1)7 = 0,24 Дж; 2) $ = 1,53 м.
Тело брошено вертикально вверх со скоростью и0 — 20 м/с.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на какой высо-
те h кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии.
h -10,2 м.
Q1.103 J Тело массой т = 70 кг движется под действием постоянной силы
...... F = 63 Н. Определите, на каком пути s скорость этого тела воз-
растает в п = 3 раза по сравнению с моментом времени, когда скорость тела
была равна и0 = 1,5 м/с.
Дано Решение
т = 70 кг Г=63 н WP2 тг^ rs = , 2 2
и0 = 1,5 м/с и = 3 1’ = /7Р0,
5 — ? 2
m, > ,
s =--~(п~ - 1).
2F
s = 10 м.
58
Подвешенный на нити шарик массой т = 200 г отклоняют на угол
а = 45° . Определите силу натяжения нити в момент прохождения
шариком положения равновесия.
Ответ
Гиат = wg(3 - 2 cosa) = 3,11 Н.
При абсолютно упругом ударе шаров одинаковой массы всегда
отскакивает столько шаров, сколько налетает. Докажите этот ре-
зультат.
Дано
n2 — ?
= N2mv2,
'2 - 2
и; Л^| ’
/V,=/V2.
Тело брошено под углом a = 45° к горизонту со скоростью
и0 = 15 м/с. Используя закон сохранения энергии, определите ско-
рость v тела в высшей точке его траектории.
v = v0 cosa = 10,6 м/с.
(1.107 J Шайба массой tn скользит без трения с высоты h по желобу, пере-
' ходящему в петлю радиусом R. Определите: 1) силу давления F
шайбы на опору в точке, определяемой углом а (см. рис.); 2) угол а, при
котором произойдет отрыв шайбы.
Дано
Решение
m
h
R
1) F —?
2) a — ?
hx = /?(l + sina),
mv* 2
mgh = + mgR(\ + sin a),
mv2 = 2mgh - 2mgR(l + sin a),
„ mv2
F -—-—/ng sin a,
2(Л-7?(l + sina))
' -----------------sin a ,
„ 2mgh - 2mgR(l + sin a )
г =-----------------------mg sin a = mg
R
R
F = 0
2Л , .
----2-3sina = 0,
R
sina -
2( h
a - arcsin —-------1
3\R
2(/г-7?(1+ sina))
r —--------------^--sina ;
1) F= mg
R
. 2f h
2) a = arcsin — —
3 It?
60
1.108
Пренебрегая трением, определите наименьшую высоту h, с которой
должна скатываться тележка с человеком по желобу, переходяще-
му в петлю радиусом R = 6 м, и не оторваться от него в верхней точке петли.
Дано
/?= 6 м
Решение
h — 2
R 5
h = — + 2R = — R.
2 2
2 2
. mv J mv
mgh = ~~+mghx> h}=2R- =
2 R
mv2 = mgR , mgh = + mg 2R ,
h = 15 m.
(1-109)
Спортсмен с высоты h = 12 м падает на упругую сетку. Пренебре-
гая массой сетки, определите, во сколько раз наибольшая сила
давления спортсмена на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под
действием только силы тяжести спортсмена х0 = 15 см.
Дано Решение
h = 12 м х0 = 15 см = 0,15 м П = — , |F| = Ax, |wg| = Ax0, |Лпах| = Ах.пах, mg
п — ? ДПупр = ДПТЯГ (в точках, где ДГ = 0), ЛПупр = , ДПтаг = mg(h + хп1ах),
kx2 =«Ig/7+«IgXnlax, х2 = 2^Л + 2^х к к к
*max — 2*0^max 2Xq/1 — 0, хтах = х0 + 7Х0+2*0Л ’
2xc.h
и =13,7.
1.110
С вершины идеально гладкой сферы радиусом R = 1,2 м соскаль-
зывает небольшое тело. Определите высоту h (от вершины сфе-
ры), с которой тело со сферы сорвется.
mvg = mgR cosa, 2mgh = mgR cosa, cosa =--
R
2h= R cosa - R——— = R-h , 3h = R , h- — -
R 3
( Ответ ) h = 0,4 M.
Q.11Q Два цилиндра массами ml = 150 г и = 300 г, соединенные сжа-
1 той пружиной, разошлись при внезапном освобождении пружины
в разные стороны. Пренебрегая силами сопротивления и учитывая, что кинети-
ческая энергия Т упругой деформации пружины составляет 1,8 Дж, определите:
1) скорость О] движения первого цилиндра; ___==—
◄— | т, т2
2) скорость v2 движения второго цилиндра.
^Ответ i) у1 = 4 м/с; 2) v2 — 2 м/с.
<(бГ>
1.112
Гиря массой т-10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку,
скрепленную с пружиной жесткостью к = 30 Н/см. Определите
при этом смещение х пружины.
Дано
т = 10 кг
/? = 0,5 м
* = 30 Н/см = 3 • 103Н/м
v — ?
л.2_2^л._2^л = о,
к к
Решение
кх2
mg(h + x)= —
кх1
— mgx - mgh = 0,
Ответ J х = 21,6 см.
( 1.113 | Пуля массой /я = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью
х»..' .. i; = 0,5 км/с, попадает в баллистический маятник М = 6 кг и за-
стревает в нем. Определите высоту И, на которую поднимется маятник, откач-
нувшись после удара.
Дано
т = 15 г= 15 • 10“3 кг
i> = 0,5 км/с = 500 м/с
М = 6 кг
h — ?
Решение
ти = (т+ М)и,
mv
и =----,
т+ М
(т+ М)и2
-------= (т + M)gh,
Ответ Л Л = 7,9 см.
и2 _ (ти«)2
2g 2g(m + М)2
63
1.114
Пуля массой /я = 15 г, летящая
горизонтально, попадает в балли-
стический маятник длиной / = 1 м и массой
М = 1,5 кг и застревает в нем. Маятник в ре- т
зультате этого отклонился на угол <р = 30° .
h
Определите скорость пули.
о = 164 м/с.
Q.iijQ
Пуля массой /и=15 г, летящая горизонтально со скоростью
v = 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной / = 1 ми
массой М = 1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения <р маятника.
Дано Решение
m-15 г = 15 • 10-3 кг о = 200 м/с / = 1 м М = 1,5 кг — ? mv — (т + М)и , mv и-- , /и + М («2+ M)U2 , . , - = («2 + M)gh,
, iC (mv)2
h — — =---------=,
2g 2g(m+M)2
l-h h
cos<p = —-— = 1 - —
(«20)-
cos Ф = 1--------------= ,
2g/(«2 + M)
tp = arccos
(™)2
2g/(«2+M)2
<бГ>
1.116
Пуля массой /я = 12 г, летящая с горизонтальной скоростью
о = 0,6 км/с, попадает в мешок с песком массой М =10 кг, вися-
щий на длинной нити, и застревает в нем. Определите: 1) высоту, на которую
поднимется мешок, отклонившись после удара; 2) долю кинетической энер-
гии, израсходованной на пробивание песка.
1) й = 2,64 см;
\Т
2)---= 99,9%.
Т
(1117) Зависимость потенциальной энергии П тела в центральном сило-
• вом поле от расстояния г до центра поля задается функцией
А А В
П(г) - —----(Л = 6 мкДж • м2, В = 0,3 мДж • м). Определите, при каких зна-
г~ г
чениях г максимальное значение принимают: 1) потенциальная энергия тела;
2) сила, действующая на тело.
Дано
А - 6 мкДж • м* 2
= 6 10 6 Дж • м2
В = 0,3 мДж м
= 3 • 10"4 Дж • м
1) п = птах
2) ^ = Лпах
г —2
Решение
dr
dn _ d р В") 2А В
dr drlr2 г / г3 г2 ’
-у(-2Л + Br)= 0s 2А = Вг,
dF
— =0, F = - -
dr ar г г
2А
г =--
В ’
2А В
dF d (A B>
— = — 2^T—7
dr drk r3 r2/
6A 2B
~-----7
= 4(-ЗЛ + Вг) = 0,
ЗА = Br,
Ответ ) 0 ,. = Zd=4 CM; 2) r=—= 6 cm.
------/ в в
5-2741
65
На рисунке представлена каче-
ственная зависимость потен-
циальной энергии П взаимодействия двух
частиц от расстояния г между ними. Объяс-
ните, какому расстоянию между частицами
соответствует равновесие, при каком рас-
стоянии оно является устойчивым и при ка-
ком — неустойчивым.
равн =г2 —устойчивое равновесие,
'раин. - гл — неустойчивое равновесие.
Сила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил,
описывается законом F = A(yi + xj), где А — некоторая постоян-
ная; i и j — соответственно единичные векторы координатных осей х и у. Оп-
ределите потенциальную энергию П(х, у) тела в этом поле.
Q Ответ П(х, у) = -Аху + С, где С — аддитивная постоянная.
1 120^ Металлический шарик падает вертикально на мраморный пол с V ’/Л: V высоты А 1=80 см и отскакивает от него на высоту й2=72 см. Определите коэффициент восстановления материала шарика.
Дано Решение
h j= 80 см = 0,8 м hi = 72 см = 0,72 м Е — ? S* 1 S- - |м II II е|е е |е “ Iм — bJ[bJ NJ II •“ 4 >1 П) 1 "^2 wg^2= —,
Q Omeem £=0,95.
66
(l.uy Шарик из некоторого материала, падая вертикально с высоты 0,9 м,
несколько раз отскакивает от пола. Определите коэффициент вос-
становления материала шарика при ударе о пол, если с момента падения до
второго удара прошло время / = 1 с.
Дано
Решение
h} = 0,9 м
/ = 1 с
£ — ?
I = /, + 2t2,
mghx= —
h2= e2hi,
, "^2
e = 0,67.
Десятичные приставки к названиям единиц
Т —тера(10'2) д — деци (10"1) н — нано (10-9)
Г — гига (109) с— санти (10-2) п — пико(10“12)
М — мега (106) м — милли (10"3) ф — фемто (10’15)
к — кило (103) мк — микро (1 О’6) а — атто(10“18)
67
5*
Q 12^ При центральном упругом ударе движущееся тело массой mt уда-
ряется в покоящееся тело массой т2, в результате чего скорость
первого тела уменьшается в 2 раза. Определите: 1) во сколько раз масса перво-
го тела больше массы второго тела; 2) кинетическую энергию Т2 второго тела
непосредственно после удара, если первоначальная кинетическая энергия Т
первого тела равна 800 Дж.
Дано Решение
2 m}v} - m}v\ + m2v2, 2 ,2 /2
Т} = 800 Дж WjVj w2r2 2 “ 2 ' 2
1) п — ? n = ^-, m' v, '”2
2) 77 — ? И U' 1 1 1 1 s' II
V| nv} = п—+ V-,. 2 nv2 _ nv2 v'2 2 +
, vi V-> = п—, 2 b?- II -U 1 Ш
"> иГ 3 7 /Г =—т)х , 4 4 1 n = 3,
2 т
Л = 7]-7^, Tl’=mlv{2=^ = ^,
2 4 4
Т 3
77 = 7]—L = —7].
' 1 4 4 1
1)и = 3; 2) Tj'= 600 Дж.
68
Определите, во сколько раз уменьшится скорость шара, движу-
........ щегося со скоростью Vj, при его соударении с покоящимся ша-
ром, масса которого в п раз больше массы налетающего шара. Удар считать
центральным абсолютно упругим.
Дано
т->
п-—-
т\
Решение
mtvt = mtVi + m2v2,
2 ,2 ,2
_ WjVj ГП2^2
2 + 2 ’
т2 = пп\ ,
I?! = v'j + nv2 ,
и? = v'2 + nv2 ,
(Pl-uf)2 G^-VjXVi + Vi') ui ~ ui 1 - и, + о;
n n n
X- 1
.V = —, v; = x + l, n nx + n-x-1,
nx - x = -n-1, x(n — 1) = -(n + 1),
И + 1 1 + И
v =-----=-----,
n-1 1 -n
I?! _ 1 + П
v[ 1- и
<бГ>
Тело массой = 3 кг движется со скоростью к, = 2 м/с и ударя-
ется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар централь-
ным и неупругим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе.
Q = 3 Дж.
Два шара массами = 9 кг и т2 = 12 кг подвешены на нитях
длиной I = 1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между со-
бой, затем меньший шар отклонили на угол а = 30° и отпустили. Считая удар
неупругим, определите высоту Л, на которую поднимутся оба шара после удара.
Дано Решение
Ш|= 9 кг m\gh\- ' ' > wi t/2#Ai >
m2 = 12 кг 2
I -1,5 м Л,= I -I cosa = 7(1 -cosa), i>, =A/2g7(l-cosa);
a = 30° = (гп\+ m2)v,
h mivi
v = —,
ml + m2
<ШЛ7М
m ij2g/(I-cosa)
u ----------------.
Wj+ m2
V2
(.ml+m2)— = (ml+m2)gh,
v2
h = — =----~—г- • 2g/(l - cosa) • — =
2g (W1+™2)2 K 2g
///////////////
7(1 - cosa).
/И|+ m2 t
h = 3,7 cm.
70
(1.126 J Два шара массами т\ = 3 кг и т2 = 2 кг подвешены на нитях дли-
ной I = 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой,
затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол а = 60° и от-
пустили. Считая удар упругим, определите скорость второго шара после удара.
Дано Решение
/«I = 3 кг , Will? 1 m\Sh= - , Vi-yl2gh,
т2 = 2 кг / = 1 м h = I -1 cosa = /(1 - cosa), i>( = y]2gl(l - cosa);
« = 60° 3 3 3
р; — ? . . WiVi Wiiii m-,v-> m,v, - m,v,+ m->v7 , ——- = —s-1-ч ‘ 2 2 2 2
ч-v;)(U| -v[) = m2v‘: W|(ii| -w[)= m2v2, W|(v2 -v[2) = m2v'2, 2, V| + = Vj, m^V\ = тх(у'2-у^) + т2у'2,
, 2т, 2т, i— ---------
1’2 =----wi --------\l2gKl - cosa). ------------
w‘+ ™2 m' + ™2 Q Ответ = 3,76 м/с.
Два шара массами ml = 200 г и т2 = 400 г подвешены на нитях
длиной I = 67,5 см. Первоначально шары соприкасаются между
собой, затем первый шар отклонили от положения равновесия на угол а = 60°
и отпустили. Считая удар упругим, определите, на какую высоту Л поднимет-
ся второй шар после удара.
4wj2/(l-cosa)
п =-----------z— = 15 см.
(W| +nh)
Шар сталкивается с другим покоящимся шаром такой же массы.
Докажите, что в случае упругого, но не центрального удара угол
между направлениями скоростей после удара составляет л/2.
71
1.4. Механика твердого тела
Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиу-
сом R и массой т относительно оси симметрии.
J=mR2-
Выведите формулу для момента инерции тонкого стержня мас-
сой т и длиной I относительно оси, проходящей через центр масс
перпендикулярно его длине.
Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиу-
сом R и массой т относительно оси, проходящей через центр масс
шара.
Решение
1 132;
Выведите формулу для момента инерции полого шара относитель-
но оси, проходящей через его центр. Масса шара равна т, внут-
ренний радиус г, внешний R.
Дано
т
г
R
Решение
Т 2 . 2 2 4 ,
J = —, т^--—ЛрК ,
ти2=—лрг3, W-ТИ]-ти2 =—лр(№-г3),
2 4 , 2 2 4 32 24 5 2 4 5
J =-npFc R2-лргг =-лрк----лрг =
5 3 5 3 5 3 5 3
(Я5-г5) = -|
, 2 R5
J-—т—г
5 Я3
2 4
Выведите формулу для момента инерции цилиндрической муфты
относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса
муфты равна т, внутренний радиус г, внешний R.
Дано
Решение
dJ = г2 dm,
dm = р dK = р • 2jtrh dr,
73
( 1.134 ) Определите момент инерции сплошного однородного диска ра-
диусом R = 40 см и массой т = 1 кг относительно оси, проходя-
щей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
/=0,12 кг - м2.
( 1.135l) Определите момент инерции/тонкого однородного стержня дли-
.......ной / = 50 см и массой т = 360 г относительно оси, перпендику-
лярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от
конца стержня на % его длины.
Дано
Решение
/ = 50 см = 0,5 м
т = 360 г - - 0,36 кг
/
АВ = ~
6
J =JC + та2,
I 1 /2
= —ml
С 12
►I 76
1) J A
2) JB-1
= —ml2 + w|
A 12 1
= -ml2
3
, 1 /2 1 1
J о = —ml + ml----
B 12 12 6.
2
36
2
I
А В
1) JA = 3 • IO 2 кг • m2; 2) JB = 1,75 • 10~2 кг • м2.
Момент инерции тел правильной геометрической формы
Тело Положение оси вращения Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R Ось симметрии mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R То же —mR2 2
(1.136 ) Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же
' материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинако-
вой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара мень-
ше кинетической энергии сплошного цилиндра.
Дано Решение
Ш]= m2 — w _ mv2 Jw2 v Т = + , (D = — ,
0, = и, = U 2 2 R
2 j = —mR , J2 - —mR' ,
^г-? 1 5 2 2
nW 2 , v‘
Т, =--1- —mR~--z- = —
2 5 2R2 10
= -mv2
mv2 ! 2 V 3 э
Т2 =--- + —mR---r = -mv
2 2 2 2R2 4
1,07.
7|
Т2/Т\ = 1,07.
Q1.137J Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонталь-
.ной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энер-
гию 7] поступательного и Т2 вращательного движения диска.
7] =16 Дж; T2 =8 Дж.
Прямой тонкий стержень длиной / Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину 1 ,2 — ml 12
Тоже Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец 1 .2 —ml 3
Ш ар радиусом R Ось проходит через центр шара 2 , — mR~ 5
75
Полый тонкостенный цилиндр массой т = 0,5 кг, катящийся без
скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость
цилиндра до удара о стену и, = 1,4 м/с, после удара. v\ = 1 м/с. Определите
выделившееся при ударе количество теплоты.
Дано
т = 0,5 кг
t>i = 1,4 м/с
и, = 1 м/с
0-?
Решение
mv2 Ja>2 mu'2 Jw’2
1 2 2 2 2 2
ш = — , J = mR2 , Q = 7i - Г, ,
R
2 2 2 2
WV| Jci)| mv{ Ja>\
mv2 Ja>2 mv Joj m 2 ,2X J , 2 ,24
Q =—L + —1------------1-------— = — (vf -v )+— (ш7 -oj, ) =
2 2 2 2 2 1 1 2 1 1
7И 2 2 1 2 271 Vi 2 2.
= -Z(V|-v't ) +—mR -L-—Jj- =w(v2-v[2),
£ £ \K К J
Ответ j g = o,48 Дж.
0 = w(V| + v[)(f1 -f[).
К ободу однородного сплошного диска массой т = 10 кг, насажен-
ного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Оп-
ределите кинетическую энергию через время t = 4 с после начала действия силы.
Дано
Решение
т = 10 кг
F = 30 Н
I = 4 с
Т ____о
вр
7ip=-^-. M = FR=Je,
FR 2F 2F
Е = = , O) = Et = /,
J mR mR
mR2(2F X1 1 F2t2
вр~ 2 2" m
mR~
2
Tip = 1,44 кДж.
(л140) Шар радиусом 7? =10 см и массой т = 5 кг вращается вокруг оси
симметрии согласно уравнению р = А + Bt2 + Ct2 {В =2 рад/с2,
С - -0,5 рад/с3). Определите момент сил М для t = 3 с.
Дано Решение
R= 10 см = 0,1 м т-5 кг <р= А + Bt2 + Ct3 В =2 рад/с2 С -0,5 рад/с3 t-З с М — ? М = Je , J = —mR2 , 5 dp dw co = — > e = —, dt dt w = 2Bt+3Ct2, e = 2B + 6Ct, M = ^mR2(2B+6Ct).
М = -0,1 Н • м.
1.141
Вентилятор вращается с частотой п = 600 об/мин. После вык-
лючения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав
N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Оп-
ределите: 1) момент сил Мторможения; 2) момент инерции /вентилятора.
Дано Решение
n = 600 об/мин = 10 об/с A - Mtp, p = 2tiN , w0 = 2ттп,
W = 50 A = 31,4 Дж A A M = — = , M = Je,
1) M — ? p 2tiN 2тт Et2 O)0t
2) J — ? £ = —=, t t p = <l)at = —— , W ° 2 2
2р 2-2л7'/ 2N , М MN
t = — =——— =-------, J =— = —Т
<о0 2тгп п е лп
Ответ M = Q X н.м. 2) j = i,59-io~2 кг-м2.
(1.142) Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого
т' ' ' J = 150 кг • м2, вращается с частотой и = 240 об/мин. Через t = 1 мин
после начала действия сил торможения он остановился. Определите: 1) мо-
мент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до
полной остановки.
1) М=62,8 Н м; 2)7V = 120.
(1Ц43)
Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклон-
ной плоскости, образующей угол а с горизонтом. Определите
линейное ускорение а центра диска.
Дано
Решение
та = mg sina - ,
mR2
2
Je mR2 а та та
/,'ip=~R=^2^~ = ~T’ = — ,
3 2
СОтвет \ =
--------' 3
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости
без скольжения
Т 1 2 1 , 2
1 =—mvr+—Jro)
2 с 2 с ’
где т — масса тела; vc — скорость центра масс тела; Jc — момент инерции
тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ш — угловая ско-
рость тела.
78
( 1 144 7 ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м при-
ложена постоянная касательная сила F=100 Н. При вращении
диска на него действует момент сил трения = 2 Н • м. Определите массу т
диска, если известно, что его угловое ускорение г постоянно и равно 16 рад/с2.
Дано Решение
R-0,5 м М = FR- , М = Je,
F = 100 Н
/1/^ = 2 Н м J = ^~, Je = FR-M 2
е = 16 рад/с2
т —? mR2 ы м 2(FR-AAp) —e-FR-M^, т=
Q Ответ ™=24 КГ.
Частота вращения и0 маховика, момент инерции J которого ра-
вен 120 кг • м2, составляет 240 об/мин. После прекращения дей-
ствия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в под-
шипниках остановился за время / = я мин. Считая трение в подшипниках по-
стоянным, определите момент М сил трения.
Дано Решение
и0 = 240 об/мин = 4 об/с J(L>n . , JWn
J = 120 кг • м2 —-=М<р, М = —^, 2 2<р
/ = я мин = 60л с
— <р = , ы0 = 2Л77О ,
м — ?
М=- - -° •
Г
QOmeem^м=16 н• м.
Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого
J = 1,5 кг • м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за
время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с и0 = 240 об/мин до
«I = 120 об/мин. Определите: 1) угловое ускорение £ маховика; 2) момент М
силы торможения; 3) работу торможения А.
Дано
Решение
J -1,5 кг • м2
а) = а>0 - £/, а)0 = 2ли0,
со = 2ли,
/ = 1 мин = 60 с
п0 = 240 об/мин = 4 об/с
со0 - со 2л
£ =----= —(«о - и) ,
М = Je ,
и, = 120 об/мин = 2 об/с
1) £ —?
2) М — ?
3) А — ?
JcOp Jco* J 2 2 ч о„2 2 2 ч
—^- = ^<"0-" ) = 2я )•
1) £ = 0,21 рад/с2;
2) М= 0,315 Н • м; 3) Л = 355 Дж.
Колесо радиусом R = 30 см и массой т = 3 кг скатывается без
трения по наклонной плоскости длиной / = 5 ми углом наклона
а = 25° . Определите момент инерции колеса, если его скорость и в конце дви-
жения составляла 4,6 м/с.
80
{ 1.148 ) С наклонной плоскости, составляющей угол а = 30° с горизон-
том. скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением,
определите время движения шарика по наклонной плоскости, если известно,
что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.
I = 0,585 с.
1.149)
Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального
участка дороги со скоростью v = 1,5 м/с. Определите путь, кото-
рый он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м
на каждые 100 м пути
На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см
намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой
т = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с2. Опре-
делите: 1) момент инерции J вала; 2) массу т1 вала.
Дано
Решение
R = 50 см = 0,5 м
т = 6,4 кг
а = 2 м/с2
та = mg - Т ,
Т = w(g-a),
М =TR = m(g- a)R,
2) /и, = 50 кг.
1) J = 6,25 кг • м2;
На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см
и массой М = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой при-
креплен груз массой т = 1 кг. Определите: 1) зависимость ,$(/), согласно кото-
рой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость ^>(/), согласно
которой вращается вал; 4) угловую скорость со вала через t = 1 с после начала
движения; 5) тангенциальное (ат) и нормальное (ап ) ускорения точек, находя-
щихся на поверхности вала.
^Omeem 1)5 = 0,82/2; 2)7’ = 8,2Н; 3) <р = 16,4Г2; 4) со = 32,8 рад/с; 5) ат = 1,64 м/с2, ап = 53,8 м/с2.
82
На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см,
4 |Пмомент инерции которого J = 0,15 кг • м2, намотана легкая нить, к
концу которой прикреплен груз массой т = 0,5 кг. До начала вращения бараба-
на высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опуска-
ния груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в
момент удара о пол.
Дано
/? = 20 см = 0,2 м
J = 0,15 кг • м2
/п=0,5 кг
Л = 2,3 м
1) t —?
2) Т_?
WK-?
Решение
, mv2 Л2
mgh^ — + —
at2
v- at,
Ответ j p / = 2 c; 2) T = 4,31 H; 3) и; =1,32 Дж.
Некоторые математические формулы
sin(a ± р) = sina cos/? ± cosa sinД
cos(a ± /?) = cosa cos/? + sina sin/?
(1.153 ) Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилинд-
S ра массой т = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам кото-
рой прикреплены тела массами т1 = 0,35 кг и ш2 = 0,55 кг. Пренебрегая тре-
нием в оси блока, определите: 1) ускорение груза; 2) отношение Т2/Тх сил на-
тяжения нити.
Дано Решение
т = 0,2 кг
/и, = 0,35 кг
т2 = 0,55 кг
1) а —?
2) Т2/Т} — ?
"V'l =т\
• пьа = m2g - Т2,
(Д -TX)R = Ji.
Т2—1
2. К
Т2 - 7j = m2g - m2a - mxa - mxg,
ma + 2m2a + 2mxa = 2m2g - 2mxg,
(w2-'»i)g
m ’
mx + m2 + —
T2 = W2(g-«).
Д =w,(g+«),
T2 = - fl)
7; W|(g+a)’
Qomeem^ I) a = l,96 м/с2; 2) T2/Tx =1,05.
Некоторые внесистемные единицы
1 сут = 86400 с 1" = 4,85 • 10 6 рад
1 год = 365,25 сут = 3,16-107 с 1 рад =57,3°
1° = 1,75 • 10"2 рад 1 мм рт. ст. = 133,3 Па
Г = 2,91 • 10’4 рад 1 эВ = 1,6 • 10 19 Дж
84
Тело массой тх— 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посред-
ством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом мас-
сой т2 = 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока
т= 0,15 кг. Коэффициент трения f тела о поверхность равен 0,2. Пренебре-
гая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение а, с которым будут дви-
гаться эти тела; 2) силы натяжения 7j и Т2 нити по обе стороны блока.
Дано
///,= 0,25 кг
/п, = 0,2 кг
т= 0,15 кг
/ = 0,2
1) а — Ч
2) 7\
Т2—‘>.
Решение
m]a=Tl-FTp,
ni2a= m2g — T2i
(T2-T[)R = Je,
fN = fm{g,
у
(т2-т;)л=^-^,
J = mR2,
a
n^g ~T2 = ,
g(m2-fmx)
m{+ m2 + m
Tl-fmlg^mla,
T2-T}- ma,
<£>
Citi55м Д™ Демонстрации законов сохранения применяется маятник Мак-
S свелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и
массой т, туго насаженный на ось радиусом г, которая подвешивается на двух
предварительно намотанных на нее нитях. Когда маятник отпускают, то он со-
вершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при
одновременном движении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления
и момент инерции оси, определите: 1) ускорение поступательного движения
маятника; 2) силу натяжения нити.
Дано Решение
, mv2
mgh = — +
mR2v2
2-2r2
h - ---, v = at,
2
l + /?2/(2r2)’
2Tr = Je,
mR2 g
2Tr =----------------
2r (l+7?2/(2r2))’
T _ mgR2
2(2r2 + R2)
1) a =----f-.—j-; 2) T = —mfR
l + R2/(2r2) 2(2r2 + R2)
Десятичные приставки к названиям единиц
Т — тера(1012)
Г — гига (109)
М — мега (106)
к — кило (10э)
д — деци (10-1)
с — санти (НУ2)
м — милли (10-3)
мк — микро (ПУ6)
н — нано (10“9)
п — пико (ПУ12)
ф — фемто (1015)
а — атто (НУ18)
86
(L156) Однородный шар радиусом г-20 см скатывается без скольже-
ния с вершины сферы радиусом R = 50 см. Определите угловую
скорость (D шара после отрыва от поверхности сферы.
Дано
г = 20 см = 0,2 м
R = 50 см = 0,5 м
mgh =
mv2 Jar
~ н----,
2 2
h = (R + г) - (R + г) cosa,
mg(R + r)(l - cosa) =
мо2г2 2 mr2a)2
---------1----------
2 5 2
g(R + r)\ 1-——
I g(K + r).
7 2 2
=----О) Г
10
g(R + r) - co2r2 = —co2r2,
17
g(R+r) =—co2r2,
1 10 4
" = -J—g(R+r) •
г V 17
a» = 10 рад/с.
Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным
угловым ускорением е = 0,4 рад/с2. Определите кинетическую
энергию маховика через время 12 = 25 с после начала движения, если через
/, =10 с после начала движения момент импульса Ц маховика составлял
60 кг • м2/с.
Ответ
Г =750 Дж.
<^Г>
(1158) Горизонтальная платформа массой т = 25 кг и радиусом R = 0,8 м
вращается с частотой и 18 мин 1. В центре стоит человек и дер-
жит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите часто-
ту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент
инерции от = 3,5 кг м2 до J2 = l кг • м2.
Дано
т = 25 кг
R - 0,8 м
И|= 18 мин-1 = 0,3 с-1
Jj = 3,5 кг м2
J2 =1 кг • м2
«2 — ?
Решение
«2 =
2 J, + mR2
2 J2 + mR2
Ответ j и2 = 23 мин *.
(1.159)
Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень
длиной I = 2,5 м и массой т = 8 кг, расположенный вертикально
вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает мо-
ментом инерции J = 10 кг • м2 и вращается с частотой = 12 мин '. Опреде-1
лите частоту п2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонталь-
ное положение.
п2 = 8,5 мин *.
<^88>
(1.160) Человек массой т = 60 кг, сто-
ящий на краю горизонтальной
платформы массой М = 120 кг,
вращающейся по инерции вокруг неподвиж-
ной вертикальной оси с частотой ^=10 мюг',
переходит к ее центру. Считая платформу круг-
лым однородным диском, а человека — точеч-
ной массой, определите, с какой частотой и2
будет тогда вращаться платформа.
С Ответ j (м+2т)
----- П-~ М
Q1.161J Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, мо-
1 жет вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси.
На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы плат-
формы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость враще-
ния платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное
половине радиуса платформы.
89
Человек массой tn = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной плат-
' формы радиусом 7? = 1 м и массой М = 120 кг, вращающейся по
инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой =10 мин ч, пере-
ходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а чело-
века — точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при пе-
реходе от края платформы к ее центру.
Дано Решение
т = 60 кг М = 120 кг д _ ^2^2
R = 1 м 2 2
п}= 10 мин 1 = 0,17 с MR2 , r MR2 J\= + mR , J2= ,
2 2 2
A —2 a)t = 2trnt, Jjatf = ,
+ от/?2
2 М+2т
2пп,=-------------4 лги.
1 М 1
MR2
MR2( (М+2т)2
2 [ М2
12
:—нот/?2 (2лп{?
(Л/ + 2от)2
2М
А = 65,8 Дж.
1Л63К
Дайте определение и объяснение гироскопического эффекта.
(1.164 ) проволоке из углеродистой стали длиной I = 1,5 ми диаметром
4 1 1 j = 2,1 мм подвешен груз массой т = 110 кг. Принимая для ста-
ли модуль Юнга £ = 216 ГПа и предел пропорциональности стп = 330 МПа,
определите: 1) какую долю первоначальной длины составляет удлинение про-
волоки при этом грузе; 2) превышает приложенное напряжение или нет предел
пропорциональности.
Дано Решение
/ = 1,5 м г/— 2,1 мм = 2,1 10'3м т = 110 кг £ = 216 ГПа = 216-109Па оп = 330 МПа=33 • 107Па Д/ .)Т-? 2) <7 — ? 1 ~ е s’ F=mg, _ F _ 4/ng S лт/2 S = -nd2, 4 А/ _ 4n?g / ~ nd2 е'
Г Ответ ? 1) — = 0,14 %; I 2) ст = 312 МПа, ст<стп.
—
(1.165 ) Медная проволока сечением 5 = 8 мм2 под действием растягиваю-
.......щей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при на-
гревании на 30 К. Принимая для меди модуль Юнга £ = 118 ГПа и коэффициент
линейного расширения а = 1,7 • 10-5 К-1, определите числовое значение этой силы.
Дано Решение
5 = 8 мм2 = 8 - 10-«м2 ДТ = 30 К £=118 ГПа=118- Ю’Па с =1,7-10’5 К’1 F — ? F Ы а _ F 1 ° = ~S’ Т-£-У£’ FI М = — , M = al\T, F = aES Д.Т. ES
(Ответ'') г=481 н.
<jr>
Резиновый шнур дайной 40 см и внутренним диаметром 8 мм на-
тянут так, что удлинился на 8 см. Принимая коэффициент Пуассо-
на для резины равным 0,5, определите внутренний диаметр натянутого шнура.
Дано
Решение
Z = 40 см = 0,4 м
d = 8 мм = 8 • 10“3 м
AZ = 8 см = 8 • 10“2 м
А =0,5
AZ
£ =—,
I
Ad AZ
— = А—,
d I '
d\
dx=d-bd = d{\-^-
1 k I ,
, ^d
e = —
d
е' = /ге,
I
Ответ ) dx - 7,2 мм.
(1.167) Определите работу, которую необходимо затратить, чтобы сжать
пружину на 15 см, если известно, что сила пропорциональна де-
формации и под действием силы 20 Н пружина сжимается на 1 см.
А = 22,5 Дж.
(1.168} Определите относительное удлинение алюминиевого стержня,
Vatfjxifty если ПрИ ег0 растяжении затрачена работа А = 6,9 Дж. Длина стер-
жня I = 1 м, площадь поперечного сечения 5 = 1 мм2, модуль Юнга для алю-
(1.169) Определите объемную плотность потенциальной энергии упруго-
',| 11 растянутого медного стержня, если относительное изменение дли-
ны стержня е = 0,01 и для меди модуль Юнга £ = 118 ГПа.
w = 5,9 МДж/м3.
(1.17р) Два вагона (масса каждого т = 15 т) движутся навстречу друг
другу со скоростью v = 3 м/с и сталкиваются между собой. Оп-
ределите сжатие пружины буферов вагонов, если известно, что сила про-
порциональна деформации, и под действием силы F = 50 кН пружина сжи-
мается на А/ = 1 см.
Дано Решение
т = 15 т= 15 103 кг t> = 3 м/с Г = 50 кН = 5 • 104Н Д/ = 1 см = 10 2 м 1 —? mv2 2kl2 F = , Л = . 2 2 А/ , mv2 Al Im Al I - v ' ]/ 2F \ 2F
{Ответ") / = ц,бСм.
Рекомендуемая литература
Трофимова Т. И. Курс физики, М., 2001.
Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики, М., 1996.
Трофимова Т. И. Физика. 500 основных законов и формул. Справочник, М., 2000.
Трофимова Т. И. Оптика и атомная физика: законы, проблемы, задачи (спра-
вочник для студентов вузов), М., 1998.
93
1.5. Тяготение. Элементы теории поля
Определите период обращения вокруг Солнца искусственной
планеты, если известно, что большая полуось ее эллиптической
орбиты больше на 107 км большой полуоси земной орбиты.
Дано
Решение
R |— /?2 +
R2 =1,49-10" м
R = Ю7 км= 10‘°м
Т-, = 12 мес
т? R3’
Вычисления:
т{ = т2
7j — ?
7] =12 мес-
= 13,2 мес.
7] = 13,2 мес.
Период обращения кометы Галлея вокруг Солнца Т = 76 лет.
Минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца,
составляет 180 Гм. Определите максимальное расстояние, на которое комета
Галлея удаляется от Солнца. Радиус орбиты Земли принять равным Rq = 150 Гм.
Дано
Решение
Т = 76 лет
7^1П =180 Гм=1,8 10"м
= 150 Гм =1,5-10" м
Т2 А3
А ~~ + ^max
2
^пах 2Л ,
т
То
То
2/3
*тах-?
2 / '
_ of Т
_ Лэ ~
Т
О
2/3
— -^min •
QOmeem
|ах - 5,2 • 109 км.
94
Считая орбиту Земли круговой, определите линейную скорость v
движения Земли вокруг Солнца.
Дано Решение
М = 1,98-1030 кг mv2 „ тМ IGM
/?=1,49-10" м 6 = 6,67-10"" м7(кг-с2) = G U = , • R R2 \ R
V-? С Ответ Л v = 29,8 км/с.
Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 ч.
Считая его орбиту круговой, определите, на какой высоте от по-
верхности Земли находится спутник.
Дано
Т = 3 4 = 1,08- 104 с
/?= 6,37-106 м
М = 5,98-1024 кг
6 = 6,67-10"" м3/(кг-с2)
Й-?
Решение
mu2 mM
---= G^~’
г г
V = (J)r ,
Jgmt2
Г = 1 -Г" ’
V 4л2
r-R+h,
2л
, Jgmt2
й = ? Г"
V 4л2
й = 4,19 Мм.
Некоторые астрономические величины
Радиус Земли 6,37 -106 м
Масса Земли 5,98 1024 кг
Радиус Солнца 6,95 -108 м
Масса Солнца 1,98 -1030 кг
Планета массой М движется по окружности вокруг Солнца со ско-
ростью v (относительно гелиоцентрической системы отсчета),
Определите период обращения этой планеты вокруг Солнца.
Дано Решение
M „ 2nR Mv* „ MMr
M T = , = G
( V R R~
V
T ? rA, V" _ 2tt.GMc v3
2nGMc
(J.176) Определите, во сколько раз сила притяжения на Земле больше силы
........притяжения на Марсе, если радиус Марса составляет 0,53 радиу-
са Земли, а масса Марса — 0,11 массы Земли.
п=2,55.
(i.vi'') Определите среднюю плотность Земли, считая известными гра-
....... витационную постоянную, радиус Земли и ускорение свободного
падения на Земле.
Дано Решение
G^bl-WT" м’/(кг с2) 7? = 6,37-106 м g = 9,81 м/с2 „ mM -s=c-i?- M = pV, y = -JtR3,
P — ? > у Г-.2 3
Л/ g/?2 3 3g
V ~ G 4xR3 ’ P ~ 4nGR '
p = 5,51 г/см3.
96
[ 1 178 ) ДВе матеРиальнь1е точки массами т1 и т2 расположены друг от
4 друга на расстоянии R. Определите угловую скорость вращения,
с которой они должны вращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстоя-
ние между ними осталось постоянным.
Дано
Решение
mivi -ст,т2
т,
R - const
m2v22 ^т}т2 „ _ _
-------= Сг-----z— , — (jjr । 9
r2 R
v2 = шг2 ’
rx+r2 = R,
W—?
7
(ur2 = G—4-,
R2
Q
"2(''i+r2) = —2(т}+т2),
К
(1) =
, 2 г,т2
(1) r,= G—Y
R-
G
'~-^(т}+т2).
К
I G
« = Jp-('«l+w2).
W7O Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, со-
прикасаясь друг с другом, притягиваются. Определите, как изме-
нится сила притяжения, если массу шаров увеличить в п = 3 раза за счет уве-
личения их размеров.
Дано
Решение
W] = т2 - т
Rt = R2 = R
F = r = 2R, F =
Gm2 г/ 4 рЗ
m=pF = -xR>p,
Р>=Р2 = Р
М = пт
п = 3
R=l—
\ 4лр
г, „М2
F3-G^-’
гз
r3 - ’ ^3 - V
Gn2m2
F
Зпт
2
^ = п*'3
F
7-2741
4-3 .
у14лр.
= п4/3 = 4,33.
97
1.180 Определите высоту, на которой ускорение свободного падения
> -у составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности
Земли.
h= R, R — радиус Земли.
( 1.18JW Считая плотность Земли постоянной, определите глубину, на ко-
|'11"1'1'' торой ускорение свободного падения составляет 25% от ускоре-
ния свободного падения на поверхности Земли.
^ОтвеШ^^ h = Q,15R, R —радиус Земли.
[ 1,182 ) высоте h ускорение свободного падения вдвое меньше его значения на поверхности Земли.
Дано Решение
7" so 1 и и •о О' (К) ю о О' 2 тМ , тМ mg=G , , mg' = G , R2 (R+h)2 g AR+h^ g._, g'~ R2 ’ g' ’
(Я+Й)2 = 2Я2, h2 + 2Rh-R2=0,
h=R(j2-Y).
h = 2,64 Мм.
Некоторые астрономические величины
Радиус Луны 1,74-106 м
Масса Луны 7,33-1022 кг
Расстояние от центра Земли до центра Солнца 1,49 • 1011 м
Расстояние от центра Земли до центра Луны 3,84 108 м
98
J.183J
Стационарным искусственным спутником Земли называется спут-
ник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора.
Определите расстояние такого спутника до центра Земли.
Дано
Zj = Г = 24 ч = 86400 с
Я=6,37-106 м
г -?
Решение
тМ
тМ
™g\ = G^-,
о v2 Z12 2л (2п\2 gR2 Jg^2
gi= — = шг, w = —, — ,г=ь__^ r = V--Т~ •
Г Т \Т) г2 I 4л
^Omeem^ г = 4,22-ю4 км.
(1.18%) На экваторе некоторой планеты (плотность планеты р = 3 г/см’)
4,1." тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Определите период
обращения планеты вокруг собственной оси.
Дано Решение
р = 3 г/см’ = 3 108 кг/м’ Л = -л „ „ mv2 тМ Pn = mg, P3 = mg mg=G—r, lx К
э 2 л 4 3 GM 4 2л/? Л/ = -лр/? , g = —T = -xpGR, v =———, J IX J 1
mg =2
mv2
mg~^J
1 mu2 2v2 2• 4тг2 R2 8 л2/?
— mg- , 2 R 8 = ~T’ s T2R T2
4 8л2/? злрС/?= ’ т2 = 8л2/?-3 = 6л т= Гбл~ 4npGR pG у pG
( О/яве/и ) Т = 2,1 ч.
1.185
Принимая, что радиус Земли известен, определите, на какой вы-
соте h над поверхностью Земли напряженность поля тяготения
равна 4,9 Н/кг.
Дано Решение
g1 = 4,9 Н/кг F} GM GM g {R+h)1
g = 9,81 Н/кг g' m~ {R+h)2 ’ 8 R2 ’ g, ~ Z?2
/?=6.37 106 м ।— л I— \
— = h=R £-1 .
h — ? >3 —=! x— op *—
QOmeem = 2,64 Mm.
(П8бУОпределите, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяю-
1 щей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна
нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз
больше массы Луны.
Дано
М = 81т
R
х — ?
М
g\ = G~
Решение
= 81(/?-х)‘,
x = 9{R-x),
10х = 9/?,
л = 0,9/?.
Ответ
х = 0,97?.
<500>
Имеется тонкий однородный стержень массой т и длиной I. Для
точки, находящейся на одной прямой со стержнем на расстоянии а
отего ближайшего конца, определите: 1) потенциал гравитационного поля стер-
жня; 2) напряженность его гравитационного поля.
Дано
1)Р—?
2)g — ?
Решение
т
I
а
н
т
vzzzzzzzz^zzzzzza-----
dm
< 1 Н а
/и dm mdx
am- — ox, d<p = -G—--G----,
I x I x
dx ^m, I + a , dtp.
(P=-G— — = -G—In-----, g = -grad^ = -—i,
I J x I a da
a
d ( ^m, l + a\. m .
------ Q-Jn-- h — Q--j .
da V I a J (I + d)a
Ответ")
У I a
2) g-G
m
(I + a)a
Связь между потенциалом поля тяготения
и его напряженностью
, (dtp. dtp . dtp, |
g = -grad^, или g = - —! + — ! +—k ,
V dx dy dz )
где i, j, k— единичные векторы координатных осей.
<мГ>
Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу т. Опреде-
лите в точке А, расположенной на оси диска на расстоянии h от
него: 1) потенциал гравитационного поля; 2) напряженность гравитационного
поля.
( 1.189Я Для тела массой т, находящегося в гравитационном поле Земли
1 над ее поверхностью, выведите зависимость потенциальной энер-
гии тела от расстояния до центра Земли. Считать известными радиус Земли Rp и
ускорение свободного падения g на поверхности Земли.
Дано Решение
т g R n=j>dr, F=G^-, ОО
R , , R
П (/?) — ? YI=GmM^ = -GmM- =-G—, У Я, «
„тМ GmM=mgR^, п = R
Ответ ) mgig
(1.190} Как известно, искусственный спутник Земли движется вокруг нее
й** по круговой орбите. Определите, во сколько раз гравитационная
потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии.
Дано Решение
R mv2 тМ m mv2
- =G—г-, Т = ,
|п| „ R R2 2
— —9 . . тМ
Т II И *1 я| >3 i >3 II
-1 = 2.
Т
<@>
Два алюминиевых шарика ( р = 2,7 г/см3) радиусами г, = 3 см и
г2 = 5 см соприкасаются друг с другом. Определите потенциаль-
ную энергию их гравитационного взаимодействия.
Дано
Решение
р = 2,7 г/см3 =
= 2,7 103 кг/м3
г, = 3 см = 3 1О2 м
г-, = 5 см = 5 • 10~2 м
n=-Gavn
R
4 з
mi =PV\ =Р~ ЯД ,
4 з
т-> = р-—лг->
3 ~
п —?
3 3
П = -С-л2р2^
9 г, + г-
П = - 0,36 нДж.
Два одинаковых однородных шара из одинакового материала со-
' прикасаются друг с другом. Определите, как изменится потенци-
альная энергия их гравитационного взаимодействия, если массу шаров увели-
чить в 3 раза.
Дано
Решение
/и, = т2 = т
г\ =г2= г
Р\= Р1=Р
М = пт
п-3
n,=-G-^- = -G—,
г,+г7 2г
М = птп,
4 з
т-р- —пг
3
/г3 м
П2 М2г
П! “ m2R
= и2 —j= - п
\п
,5/3
П, = -G—,
2R
М = p —jtR3,
3
г т
Я = з
п ,
п.
1
П2
^=6’24’
<104>
1.193 ) Принимая, что атмосфера на Луне отсутствует, определите ско-
*- рость падения метеорита на ее поверхность. Скорость метеорита
вдали от Луны считать малой.
v = 2,37 км/с.
(1.194) Спутник поднимают на высоту h = 6370 км и запускают его по
v круговой орбите на той же высоте. Определите отношение работ
на поднятие (А{) и на запуск ( А2) спутника.
Дано
Решение
/г = 6370 км = 6,37 106м
/?3 = 6.37-106 м
7?=7?3 + А
. „ „ тМ
А, = АП = — G-
1 R3+h
тМ
— G-——
*3 -
GmMh
А
А,
Г. J 1 1
= GmM\----------1 ---------,
R3+h) R3(R3 + h)
, mv~
А2= — ,
GmM GmM
2R ~ 2{R3 + h) ’
А2 + /?)
mv~ тМ
R R2
А{ _ h-2(R3 + h) 2h
Определите числовое значение первой космической скорости, т. е.
горизонтально направленной минимальной скорости, которую
надо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала круговой
(тело могло превратиться в искусственный спутник Земли).
1?! = 7,9 км/с.
105
(1.196j Определите числовое значение второй космической скорости, т. е.
наименьшей скорости, которую надо сообщить телу, чтобы его
орбита в поле тяготения Земли стала параболической (тело могло превратить-
ся в спутник Солнца).
v2 = i]2gR3 = 11,2 км/с.
Определите числовое значение второй космической скорости для
Луны.
v2 = 2,37 км/с.
Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на
высоте h = 500 км. Определите скорость его движения.
Дано Решение
h = 500 км = 5 105 м 7?=6,37106 м М = 5,98-1024 кг V — ? mv2 тМ ~ & 2 ’ Г Г r= R+h, п = GM г А GM R + h ’
QOmeem v = 7,62 км/с.
(1 199 > Д®3 спутникас одинаковой массой движутся вокруг Земли по круго-
~ Г., imi вым орбитам разных радиусов Rx и /?2 (R2> Rx). Определите:
1) отношение кинетической энергии второго спутника к первому; 2) как зави-
сят от радиуса орбиты потенциальная и полная энергия спутников.
7] _ Rx
1) -г -"п-’ 2)Пи£ возрастают с удалением от Земли.
/2 “2
( 1.200 ) Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы тело
.......массой т = 1000 кг, находящееся на Земле, смогло превратиться
в спутник Солнца (при отсутствии сопротивления среды).
A = 62,6 ГДж.
106
(1.201 J К потолку вагона, движущегося в горизонтальном направлении с
...... ускорением а = 9,81 м/с2, подвешен на нити шарик массой
т = 200 г. Определите для установившегося движения: 1) силу натяжения нити Т;
2) угол <р отклонения нити от вертикали.
Дано
я = 9,81 м/с2
g = 9,81 м/с2
т = 200 г = 0,2 кг
Dr-?
2) <Р — ?
Решение
F„ = -ma , Fu + wg = F, T = -F,
|Fu| = wa, F^fmgf+frna)2, H = |FI>
T = тД2 + a2 ,
ma a
tg0 = = “.
mg g
a
<p - arctg—.
g
1) 7=2,77 H; 2)0 = 45°.
Силы инерции
F = F + F + Fir
жин * н * ц К >
где F„ — силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении сис-
темы отсчета с ускорением а0: FH= -та0; Fu — центробежные силы инер-
ции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела,
удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): Fu = -mw2R; FK —
кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся
со скоростью v' во вращающейся системе отсчета): FK = 2m[v' го].
Q1.202J Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, состав-
ЛЯЮщей угол а = 30° с горизонтом. Сила трения составляет
т] = 10% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой
т = 15 г. Определите: 1) силу F, действующую на нить; 2) угол <Р отклонения
нити от вертикали.
Дано
а = 30°
г] = 10%
«г = 15 г= 15 • 10“3 кг
1) F —
2) <Р —?
Решение
Ma = Mg sina - 7\р,
FTp = r]Mg, Ma = Mg sin a - r]Mg,
a = g(sma-]). F = F„+wg, F„=-wa,
F = ^F2 + (mg)2 - 2Fumg cos(90°-«),
F = y/[mg(sin a - ??)]2 + (mg)2 - 2(mg)2(sina- r]) cos(90°-a) =
= mg^(sma-tf)2 +1- 2(sina -if) sina ,
F F . F. sin(90°-a)
—— =-------------, sin tp = —---------,
sin 99 sin(90°-a) F
. mg(sin a-n) cosa
<p = arcsin---------------.
F 1
1) F = 0,128 H; 2) p = 23,5°.
(1.203J Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, состав-
4 ляющей с горизонтом угол а = 30°, а затем переходящей в гори-
зонтальный участок. Силы трения на обоих участках составляют 10% от веса
вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой т = 15 г. Определи-
те силу F, действующую на нить, и угол <р отклонения нити от вертикали на:
1) наклонном; 2) горизонтальном участках дороги.
1) F = 0,128 Н; </>=23,5°;
2) F = 0,148 Н; ^ = 5,7°.
( 1.204 ) На наклонной плоскости с углом наклона а = 30° лежит тело.
1 Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью
/ = 0,2. Определите наименьшее горизонтально направленное ускорение а,
с которым должна двигаться наклонная плоскость, чтобы тело, лежащее на ней,
поднималось по наклонной плоскости.
Дано Решение
« = 30° |fJ = та,
f -Q2
’ aimin’ mgsma + FTp-Fu cosa = 0,
a — ? F^=fN = f(mgcoso: + Fu sina),
mg sina + f(mg cosa + ma sina)- ma cosa = 0,
ma cosa — fma sin a = mg sin a + fmg cosa,
g(sina + f cosa)
a =--------------
cosa-/sina
a = 8,62 м/с2.
QL2Q5p Самолет, летящий со скоростью v = 360 км/ч, описывает верти-
кальную петлю Нестерова радиусом R = 360 м. Определите силу,
прижимающую летчика (т = 80 кг) к сиденью: 1) в нижней точке этой петли;
2) в верхней точке этой петли.
Дано
v = 360 км/ч = 100 м/с
R = 360 м
т - 80 кг
1) -?
2) F, — ?
1) =3 кН;
Решение
2
mv
F\ =—^-+mg,
2
mv
F2=——mg.
К
2) F2 = 1,44 кН.
Модель центробежного регулятора враща-
ется с частотой п = 2 с-1. Учитывая только
массу шаров, определите угол отклонения стержней,
несущих шары. Длина стержней I = 15 см.
Ответ
а = 65,5°.
Некоторые внесистемные единицы
1 сут = 86400 с
1" = 4,85 10-6 рад
1 год = 365,25 сут = 3,16 • 107 с 1 рад = 57,3°
1°= 1,75 102рад
1 мм рт. ст. = 133,3 Па
1' = 2,91 • Ю^рад
1 эВ = 1,6- 10,9Дж
<П0>
1.207 j
Определите, во сколько раз ускорение а}, обусловленное центро-
бежной силой на экваторе Земли, меньше ускорения а2, вызыва-
емого силой тяготения на поверхности Земли.
Дано
Решение
Т = 24 ч = 86400 с
G = 6,67-10’" м3/(кг с2)
/?3 = 6,37-106 м
М = 5,98 1024 кг
«1
«2 _ -^тяг F _стМ
«. Л, ’ *з2
Fll = mO2R3, <д = —,
Т
а2 _ GmMT2 GMT2
а, 7?зет-4я27?3 4я27?з
(1.208) Мотоциклист в цирке едет вдоль внутренней поверхности верти-
кального цилиндра радиусом г = 15 м. Центр масс мотоцикла с
человеком отстоит на h = 1 м от места соприкосновения колес со стенкой. Ко-
эффициент трения шин о стенки f = 0,5 . Определите: 1) минимальную ско-
рость vmjn , с которой должен ехать мотоциклист; 2) угол а наклона мотоцик-
листа к горизонтальной поверхности при данной минимальной скорости.
1) i>mjn =17,1 м/с; 2) « = 26,6°.
Некоторые математические формулы
d „
—(х") = их‘
dx
d Ж __J_
dxkxJ х2
dp)
dxlx"J
п
7^
Q1.209J Тело массой т = 1 кг, падая свободно в течение t = 4 с, попадает
на Землю в точку с географической широтой <р = 45° . Учитывая
вращение Земли, определите и нарисуйте все силы, действующие на тело в
момент его падения на Землю.
Дано
т = 1 кг
/ = 4 с
<р = 45°
G = 6,67-10“11 м7(кгс2)
/?3 = 6,37-106 м
М = 5,98-1024 кг
Решение
1. Сила тяготения
FT=G^R3.
т 7?з3 3
F — ?
2. Центробежная сила инерции
F1( = -»«o2r, F[( = пт2г ,
2 л
w = —-, г = 7?3 cos</>,
/и -4я27?з cos^>
3. Сила Кориолиса
FK = 2»i[v' (1)], FK = 2mv'a> sin(v', (0),
2л
v' = gF a> = ^T’
sin(v', (0)= cos<p,
t2 л Amngt cos<p
Ответ J 1) F = 9,83 H; 2)Fu = 23,8mH; 3) = 4,04 mH.
<TT|>
Тело массой т = 1 кг, падая свободно в течение т = 6 с, попадает
х>> 1 ***' на Землю в точку с географической широтой <р = 30° . Учитывая
вращение Земли, определите отклонение тела при его падении от вертикали.
Дано Решение
m=\ кг l - 6 c (P = 30° T = 24 ч = 86400 c FK = 2w[v' co], FK = 2mv'a) sin(v', co) = 2nw'w cos^>,
s —? 2л v' = gt, Ш =
2я
«к =— = 2g/— cos<p,
т 1
I Л 1^2
„к , d, = J, Л=
о ' < *
2jtg'cos<p V 2 _ 2ngr3 cos<p
i t=~^
s = JuK dt = т
о
s = 4,45 см.
Некоторые математические формулы
—(e'r)=e'r —(1пх) = — —(sinx) = cosx
dx dx х dx
—(cosx) = -sinx ~(^х) = Г-
dx dx cos x
8-2741
<нз>
1.6. Элементы механики жидкостей
Полый медный шар (р = 8,93 г/см3) весит в воздухе 3 Н, а в воде
(р' =? 1 г/см3) — 2Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха,
определите объем внутренней полости шара.
Ответ
1 [ р-р'
gl р'
Р-
= 68 см3.
На столе стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой до уров-
ня Н = 20 см от дна. Если в воду (р = 1 г/см3) опустить плавать
тонкостенный никелевый стакан (р' = 8,8 г/см3), то уровень воды подымается
на h - 2,2 см. Определите уровень Нх воды в сосуде, если стакан утопить.
Дано Решение
Я = 20 см = 0,2 м h - 2,2 см = 2,2 • 10 2 м h X г
р = 1 г/см3 = 103 кг/м3 р' = 8,8 г/см3 = = 8,8-103 кг/м3 Я, -? к н т_ S £ ▲ ▲ У я, / Д S
HS = H'S-V^,
P'g^i = fa ,
fa = Pgs\x ’
p'gENi = pgS^x, (H + h)S = HS + S.x, S.x = hS ,
S p'
= Pghs>
Hx = 20,2 cm.
114
По трубе радиусом г = 1,5 см течет углекислыйгаз (р = 7,5 кг/м’).
Определите скорость его течения, если за t - 20 мин через попе-
речное сечение трубы протекает т = 950 г газа.
v = 0,15 м/с.
Q1.214/) В бочку заливается вода со скоростью 200 см’/с. На дне бочки
v 11 "Г образовалось отверстие площадью поперечного сечения 0,8 см2.
Пренебрегая вязкостью воды, определите уровень воды в бочке.
Дано Решение
Г = 200 см3 = 2- Ю^м3 / = 1 с S = 0,8 см2 = 0,8 Ю^1 м2 v=^2gh, 2g
„ V V
Л-? vS = —, t v = —, St Й- , , . 2g52/-
h — 31,9 см.
Ответ
(11Й15 7 В сосуд заливается вода со скоростью 0,5 л/с. Пренебрегая вязко-
и, стью воды, определите диаметр отверстия в сосуде, при котором
вода поддерживалась бы в нем на постоянном уровне h - 20 см.
d = 1,8 см.
Формула Торричелли
v = -yjlgh,
где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидко-
сти в сосуде.
8*
<П5>
( 1.216 ) Бак цилиндрической формы площадью основания 10 м2 и объе-
.....S мом 100 м3 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, опреде-
лите время, необходимое для полного опустошения бака, если на дне бака об-
разовалось круглое отверстие площадью 8 см2.
Дано
Решение
5 = 10 м2
И = 100 м3
5, =8 см2 = 8 104 м3
dV = -S}v dt
v = y]2gh
л, dC
ah =-----
S
j S
dr = —
H = -
s
т —?
(1.217 J Сосуд в виде полусферы радиусом
7? = 10 см до краев наполнен водой.
На дне сосуда имеется отверстие площадью по-
перечного сечения 5 = 4 мм2. Определите время,
за которое через это отверстие выльется столько
воды, чтобы ее уровень в сосуде понизился на 5 см.
t =10 мин.
116
1.218
Определите работу, которая затрачивается на преодоление трения
при перемещении воды объемом И = 1,5 м3 в горизонтальной трубе
от сечения с давлением рх = 40 кПа до сечения с давлением р2 = 20 кПа.
Дано Решение
К = 1,5 м3 Pi = 40 кПа = 4 • 104 Па р-, = 20 кПа = 2 104 Па ^ = (Рх~Р2)У-
А — ?
В дне сосуда имеется отверстие диаметром dt. В сосуде вода под-
держивается на постоянном уровне, равном h. Считая, что струя
не разбрызгивается, и пренебрегая силами трения в жидкости, определите ди-
аметр струи, вытекающей из сосуда на расстоянии h\= 2h от его дна.
Дано Решение
dx h h}= 2h d2—? *^2 dx $! v2 figfji + h SjTJj = S2v2, V] = y]2gh , гз2=72#(Л+Л1)’ _ nd2 _ Jh 1 ) з/зЛ з/Г
d2=Jd^
d2 — 0,76d|.
117/
Площадь поршня, вставленного в горизонтально расположенный на-
литый водой цилиндр, 5] = 1,5 см2, а площадь отверстия S2 = 0,8 мм2.
Пренебрегая трением и вязкостью, определите время t, за которое вытечет вода из
цилиндра, если на поршень действовать постоянной силой F = 5 Н, а ход пор-
шня 1 = 5 см. Плотность воды р = 1000 кг/м3.
Дано
Решение
5, = 1,5 см2 = 1,5 10 4м2
S2 = 0,8 мм2 = 0,8 10-6 м2
F = 5 Н
I = 5 см = 5 • 10~2 м
р = 1000 кг/м3
t
5*|V| — S2v2 ,
ру2\
2
2 ’
। f = р(vi5i
2 S, 2l S2
IF_
57?
Ответ
/ = 1,15 с.
С1.221 } Для измерения статического дав-
V । ления р используется зонд, для
измерения динамического давления ри2/2 ис-
пользуется трубка Пито. Нарисуйте, как дол-
жен выглядеть прибор, который измеряет гид-
ростатическое давление.
Зонд
1 руока пито
1.222
Объясните, почему легкий шарик, помещенный в
струю воздуха, выходящую с большой скоростью из
трубы с узким отверстием, свободно парит в этой струе.
Объясните, почему бумажный конус А втягивается в
воронку, а не выталкивается из нее при продувании
через воронку воздуха в направлении, указанном стрелкой.
(1224)
Для точного измерения малых разностей давле-
ния служат U-образные манометры, которые за-
полнены двумя различными жидкостями. В одном из них при
использовании нитробензола {р-1,203 г/см3) и воды
(р' = 1,000 г/см3) получили разность уровней АЛ = 26 мм.
Определите разность давлений.
Др = 51,8 Па.
(1.225) По горизонтальной трубе в направлении, указанном на рисунке
стрелкой, течет жидкость. Разность уровней АЛ жидкости в мано-
метрических трубках 1 и 2 одинакового диаметра составляет 8 см. Определите
скорость течения жидкости по трубе.
Дано Решение
^1 = ^2 АЛ = 8 см = 8 10‘2 м pv2 м — = pg Ml, / Д/г ▼ 2
V — ? ▲
v = ^2g Д/г. - —~ — ►
v = 1,25 м/с.
1.226
По горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. Пло-
щади поперечных сечений трубы на разных ее участках соответ-
ственно равны S, -10 см2 и S2 = 20 см2. Разность уровней Дй воды в верти-
кальных трубках одинакового сечения составляет 20 см. Определите объем воды,
проходящей за 1 с через сечение трубы.
Дано
Решение
5) = 10 см2= 10“3м2
S2 = 20 см2 = 2 • 10“3 м2
Дй = 20 см = 0,2 м
/ = 1 с
V — ?
Р2~Р\= Р& >
PV\ п _PV2
~^ + Pi +
Si
v2 = v,—
*S2’
S2>l
=pg^h’
pvi
2
— ^2^2
Г = .yS, = • Qomeem^ K = 2,29 IO3 cm3.
^1,227) Определите, на какую высоту й поднимется вода в вертикальной
.......трубке, впаянной в узкую часть горизонтальной трубы диаметром
d2 = 3 см, если в широкой части трубы диаметром dt = 9 см скорость газа
г, = 25 см/с.
Дано Решение
d\=9 см = 9 • 1 О’2 м d2 = 3 см = 3 • 10"2 м i>i =25 см/с = 0,25 м/с й - ? Р\ Pi-Pgh> h=P' Pi ,, ,, „ nd? „ nd? d? Vj — S2V2 ’ 5i — , S3 = ——— t V-) — 7 Vj, 1 4 4 ' d2 Pvl Pv2 pv? (df -Y+P^^+Pi, Pi-P2=V 4--’ ’ 2 2 i \d2 J — = — -^--1 . С Ответ Л й = 25,5 cm. ? 2g U,4 J V J
<120>
Определите разность давлений в широком и узком ( с/, = 9 см,
d2 = 6 см) коленах горизонтальной трубы, если в широком колене
воздух (р -1,29 кг/м3) продувается со скоростью Vj = 6 м/с.
Ар = 94,3 Па.
^1.229J Вдоль оси горизонтальной трубки диаметром 3 см, по которой
течет углекислый газ ( р = 7,5 кг/м3), установлена трубка Пито.
Пренебрегая вязкостью, определите объем газа, проходящего за 1 с через сечение
трубы, если разность уровней в жидкостном манометре составляет Ай = 0,5 см.
Плотность жидкости принять равной р' -1000 кг/м3.
Дано
р = 7,5 кг/м3
р' -1000 кг/м3
d= 3 см = 3 • 10~2 м
Ай = 0,5 см = 5 • 10-3 м
/ = 1 с
V — 2
v= 2g &h—,
V Р
nd2
О — ~~~ •>
4
Решение
V = Svt,
V = —t • j2g Ай^-.
4 V P
К = 2,55-103 см3.
(1 230^4 Через тРубку сечением
. ✓ jS'j =100 см2 продувается
воздух со скоростью 2 м’/мин. В трубке
имеется короткий участок с меньшим по-
перечным сечением S2 = 20 см2. Опре-
делите: 1) скорость г?! воздуха в широ-
кой части трубки; 2) разность уровней
АЛ воды, используемой в подсоединен-
ном к данной системе манометре. Плотность воздуха р = 1,3 кг/м3, воды
р' = 1000 кг/м3.
1) v,=3,33 м/с; 2) АЛ = 1,8 см.
Пренебрегая вязкостью жидкости, определите скорость истечения
жидкости из малого отверстия в стенке сосуда, если высота Л уров-
ня жидкости над отверстием составляет 1,5 м.
Дано
Л = 1,5 м
Решение
2 2
рг, рп,
-^- + pgh^~ + pgh2,
’2»
р^_ « РН1
2 2 ’
PV~! n
Pghx=^- + Pgh2, v^lg^-h^lgh,
Q Ответ v2 =5,42 м/с.
<j22>
(1.232 ) В боковой поверхности цилиндрического сосуда, стоящего на го-
S ризонтальной поверхности, имеется отверстие, поперечное сече-
ние которого значительно меньше поперечного сечения самого сосуда. Отвер-
стие расположено на расстоянии = 49 см от уровня воды в сосуде, который
поддерживается постоянным, и на расстоянии /^ = 25 см от дна сосуда. Пре-
небрегая вязкостью воды, определите расстояние по горизонтали от отверстия
до места, куда попадает струя воды.
Ответ ) л = 70 см.
Q1.233J На столе стоит наполненный водой широкий цилиндрический сосуд
высотой h = 40 см. Пренебрегая вязкостью, определите, на какой
высоте от дна сосуда должно располагаться небольшое отверстие, чтобы расстоя-
ние по горизонтали от отверстия до места, куда попадает струя воды, было макси-
мальным.
h = 20 см.
Для вытекания струи жидкости из сосуда с постоянной скорос-
тью применяют устройство, приведенное на рисунке (сосуд Ма-
риотта). Определите скорость истечения струи.
<Ш>
1.235.
Площадь соприкосновения слоев текущей жидкости ,$’ = 10 см2, ко-
эффициент динамической вязкости жидкости = 10 3 Па • с, а воз-
никающая сила трения между слоями F = 0,1 мН. Определите градиент скорости.
Дано Решение
S = 10 см2 = 10”3 m2 r/ = 10 3 Па • c Л = 0,1 mH= 10 4H , dv dv gradv = —i, F = t] — S, dr dr
dr r]S ’
gradv —?
Ответ j gradv = 100 с-1.
Q1.236J Шарик всплываете постоянной скоростью в жидкости, плотность
которой в три раза больше плотности материала шарика. Опреде-
лите отношение силы трения, действующей на всплывающий шарик, к его весу.
Дано
Решение
V = const
р' = 3р
F/4=/ng + Fip,
P=/ng,
PA=P'gV,
P = PgV,
FTP FA-mg p'gV-pgV P'~P Др-P 2
P mg pgV p p
= 2.
(1.237?) Смесь свинцовых дробинок (плотность р = 11,3 г/см3) диамет-
v..." " ром 4 мм и 2 мм одновременно опускают в широкий сосуд глуби-
ной h -1,5 м с глицерином (плотность р = 1,26 г/см3, динамическая вязкость
т] = 1,48 Па • с). Определите, на сколько больше времени потребуется дробин-
кам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.
Дано Решение
р = 11,3 г/см3 =
= 11,3 • 103 кг/м3
б/| = 4 мм = 4 • 10-3 м
d2 = 2 мм = 2 • 10~3 м
h = 1,5 м
р' = 1,26 г/см3 =
= 1,26 • 103 кг/м3
9 = 1,48 Па - с
ДГ — ?
v _ gdjtp-p')
1 I89
h
v ~ const, t = —
V
mg = Fa+F ,
4 3
mg = PgV = ~P&tr
17 Л Г/ 4 3
Fa =PgV = ~p'gnr
F = 6лт]ги,
4 з 4 з /-
—pgitr =—pgnr + 6m]rv,
v 2gr2(p-p') _ gd2(p-p')
99 I89
„ _gdl{p-p’)
2 189
h
bt = t2-t}= —
Vl
1M>]
g(P~p')
txt = 76,1 c.
Некоторые математические формулы
xn &x-——(и*1)
п + 1
rdx
— = Inx
J X
В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность р = 1,26 г/см3,
динамическая вязкость т] = 1,48 Па • с), падает свинцовый шарик
(плотность р = 11,3 г/см3). Считая, что при числе Рейнольдса Re < 0,5 выпол-
няется закон Стокса (при вычислении Re в качестве характерного размера бе-
рется диаметр шарика), определите предельный диаметр шарика.
d = 5,41 мм.
Q1.239J Стальной шарик (плотность р = 9 г/см3) диаметром d = 0,8 см
'«Я®' падает с постоянной скоростью в касторовом масле (плотность
р' = 0,96 г/см3, динамическая вязкость т] = 0,99 Па • с). Учитывая, что крити-
ческое значение числа Рейнольдса Re^ = 0,5, определите характер движения
масла, обусловленный падением в нем шарика.
Дано
Решение
р = 9 г/см3 = 9 • 103 кг/м3
d = 0,8 см = 8 • 10 3 м
V = const
р' = 0,96 г/см3 = 960 кг/м3
7j = 0,99 Па • с
*4=0,5
mg = FA+F,
mg = Pgv = -jPgnr*,
4 з
fa = P'gV = ~P gnr ,
F = 6лт]п>,
F4
h
T«g.
Re — ?
4 з
6лт]ги = — gnr (р - р'),
y = 2(p-p')gr2 = (P-P')gt/2
9q 18?/
p'vd p'kp-p'ygd3
I\C — ---- — --------=---
т] 18?/2
Re = 2,2, Re > ReKp , движение жидкости турбулентное.
126
Г1.240Л Пробковый шарик (плотность р = 0,2 г/см3) диаметром d = 6 мм
всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом (плотность
р' = 0,96 г/ см3), с постоянной скоростью v = 1,5 см/с. Определите для касто-
рового масла: 1) динамическую вязкость т]; 2) кинематическую вязкость v.
Дано
Решение
р = 0,2 г/см3 = 2 • 102 кг/м3
d=6 мм = 6 • 10-3м
р' = 0,96 г/см3 = 960 кг/м3
v = 1,5 см/с = 1,5 • Ю-2 м/с
1)7/-?
2) v — ?
fa =mg + F,
4 з 4 з
—лр Г =—лрг +ЬЛТ]ГУ,
z2gr2(P~P') gd2(p-p')
9v 18v
т]
v = —
р'
1) т] = 0,99 Па-с; 2) v = 1,03-10 3 м2/с.
В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный капил-
дяр с внутренним диаметром d = 2 мм и длиной I = 1,2 см. Через
капилляр вытекает касторовое масло (плотность р = 0,96 г/см3, динамическая
вязкость т] = 0,99 Па • с), уровень которого в сосуде поддерживается постоян-
ным на высоте h - 30 см выше капилляра. Определите время, которое требует-
ся для протекания через капилляр 10 см3 масла.
Ответ Л ,= =ю7 с.
——nd^pgh
Некоторые математические формулы
sinx dr = -cosx
Jcosx dx = sinx
je* dx = e*
<@>
Q1.242J В боковую поверхность цилиндрического сосуда D вставлен ка-
X,-'- пилляр с внутренним диаметром d и длиной I. В сосуд налита
жидкость с динамической вязкостью т]. Определите зависимость скорости v
понижения уровня жидкости в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром.
Дано
D
d
I
V
h
Решение
п(й) — ?
яг4 kpt
8т]1
d
г = —
2 ’
5| = яг2,
V = Sxvyt = 7tr2vxt,
S = nR2,
яг4 pght
%r]l
= яг2их1,
,. .r2pgh
L/i — *
1 8?yZ
S ~ D2'
VjSj = vS,
d2pgh d2 _ pghd^
4-8t]l -D2~ 32tjID2 ’
(Omeem'y
4--------' 32r;lD2
Q1.243J В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного
11" ~ на столе, вставлен на высоте И । = 10 см от его дна капилляр с
внутренним диаметром d = 2 мм и длиной / = 1 см. В сосуде поддерживается
постоянный уровень машинного масла (плотность р = 0,9 г/см3, динамичес-
кая вязкость т] = 0,1 Па • с) на высоте h2 = 70 см выше капилляра. Определите
расстояние по горизонтали от конца капилляра до места, куда попадает струя
масла.
Ответ
5 = 11 СМ.
<®>
(1 244 j Определите наибольшую скорость, которую может приобрести
J свободно падающий в воздухе ( р = 1,29 кг/м3) свинцовый шарик
(р’ -11,3 г/ см3) массой от = 12 г. Коэффициент сопротивления Сх принять
равным 0,5.
Дано
р = 1,29 кг/м3
р' = 11,3 г/см3 =
= 11,3 • 103 кг/м3
т = 12 г= 12 • 10-3 кг
Сх = 0,5
Решение
, 4 з I Зот
mg = р gV = р g--m , г = з--,
3 у 4лр’
v = l>max, mg=Rx + FA ,
Fa « mg, P « p', mg=Rx, RX = CX^-S,
iax ? p'g-nr* = Cx P^Lnr2,
3 x 2
Ответ ) vmax = 53,9 м/с.
Zp'gr
V 3Cxp
Ql.245j Парашют (От) = 32 кг) пилота ( от2 - 65 кг) в раскрытом состоя-
нии имеет форму полусферы диаметром d = 12 м, обладая коэф-
фициентом сопротивления Сх = 1,3. Определите максимальную скорость, раз-
виваемую пилотом, при плотности воздуха 1,29 кг/м3.
Решение
Дано
от, = 32 кг
от2 = 65 кг
d = 12 м
Сх = 1,3
р = 1,29 кг/м3
(mx+m2)g = Rx+Fa, Rx = CxF—S,
FA«(mx + m2)g, Cx-^^--^- = (ml + fn2)g,
Is^ + m^g
vmax J „ ,2 ’
V Сх™ p
r Ответ ) vmax = 3,17 м/с.
9-2741
( i. W) Автомобиль с площадью миделя (наибольшая площадь сечения в
направлении, перпендикулярном скорости) 5 = 2,2 м2, коэффици-
ентом лобового сопротивления Сх - 0,4 и максимальной мощностью Р = 45 кВт
может на горизонтальных участках дороги развивать скорость до 140 км/ч. При
реконструкции автомобиля уменьшают площадь миделя до S, =2 м2, оставляя Сх
прежним. Принимая силу трения о поверхность дороги постоянной, определи-
те, какую максимальную мощность должен иметь автомобиль, чтобы он разви-
вал на горизонтальных участках дороги скорость до 160 км/ч. Плотность воз-
духа принять равной 1,29 кг/м3.
Дано
5 = 2,2 м2
С, = 0,4
Р = 45 кВт = 45 • 103Вт
v = 140 км/ч = 38,9 м/с
5, = 2 м2
Er? = const
и । =160 км/ч = 44,4 м/с
р = 1,29 кг/м3
Решение
P^C^S'+Ftp
\ 2 7
Z? -?
Pt = 58,5 кВт.
Q.24?)
Объясните, зависит ли разность давлений на нижнюю и верхнюю
поверхность крыла самолета от высоты его подъема.
Ответ ) , 1
j Кр —.
-------' н
1.7. Элементы специальной (частной) теории
относительности
(1.248 ) Покажите, что события, происходящие одновременно в различ-
.......ных точках в одной инерциальной системе отсчета, не одновре-
менны в другой инерциальной системе отсчета.
^1 249^ В лабораторной системе отсчета в точках с координатами х, и
х2 = xf + 10 одновременно происходят события 1 и 2, причем
/0 = 1,4 км. Определите: 1) расстояние Г, фиксируемое наблюдателем в систе-
ме отсчета, связанной с ракетой, которая движется со скоростью v = 0,6с в
отрицательном направлении оси х; 2) время между этими событиями, фикси-
руемое наблюдателем в системе отсчета, связанной с ракетой.
Дано Решение
*i исо, Х1, х2 = х, + /0, = t2 = t;
Х2 = X! + /0
/0 = 1,4 км = 1,4 • 103 м исо2 X]', х2, t{,t'2.
/,=/2 X! - Vt
v = -0,6с 11 7 -v2/c2 ’
1) Г — ? x2 -vt
2) М' — 9 \-v2/c2 ’
, Х2 - Vt - X, + Vt Х-> — X.
Г -х2-х{ = —---------!---=-----f1
,2
6'
t-vx2! с2
с2
^2-^1)
2Jl-v2/c2
vl'
с2 ’
1) Г = 1,75 км; 2) А/’ = 3,5 мкс.
с
131
( 1.250 ) Две нестабильные частицы движутся в системе отсчета К в од-
........ном направлении вдоль одной прямой с одинаковой скоростью
v = 0,6с . Расстояние между частицами в системе К равно 64 м. Обе частицы
распались одновременно в системе К', которая связана с ними. Определите
промежуток времени между распадом частиц в системе К .
Дано
Дг = 64 м
Д/ = 0
v = 0,6с
Д/' — ?
At' = 0,16 мкс.
Решение
(1.250
Докажите, что длительность события, происходящего в некото-
рой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, от-
носительно которой эта точка неподвижна.
1.252) Определите, во сколько раз увеличивается время жизни нестабиль-
.....ной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она на-
чинает двигаться со скоростью 0,9с.
Дано Решение
v = 0,9с
At — 9 Д/о Д/ = , = . - и2/ с2 Д/о J1 - ,?/с2
- = 2,29.
!о
<Тз2>
1.253
Собственное время жизни частицы отличается на 1% от времени
жизни по неподвижным часам. Определите = и/с.
Дано
к = 0,01
Решение
А/ - Д/о
А/
А^-.-^ , 0 = ^,
. 1 /.2 С’
к =
к = \-
1-/32 =(1-Аг)2,
0 = Д(2-к).
Космический корабль движется со скоростью v = 0,8с по направ-
лению к Земле. Определите расстояние, пройденное им в системе
отсчета, связанной с Землей (системе К), за /0 = 0,5с, отсчитанное по часам в
космическом корабле (системе К').
/ = 200 Мм.
( 1 255 j Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости
v = 0,995с пролетают до распада 1-6 км. Определите: 1) соб-
ственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для
наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона.
Дано Решение
v = 0,995с / = 6 км 1) /о-? ИСО, /0, А/о; ИСО2 Z, Аг; /0 = />/1-и* 2 3/с2 , А/ = —, А/о = —. * V V
А/ ’ ( Ответ } 1)/0 = 599 м; 2) А/ = 20,1 мкс;
3) Д/о — ? 4--------'
3) А/о = 2 мкс.
133
1.256
Докажите, что линейные размеры тела наибольшие в той инерци-
альной системе отсчета, относительно которой тело покоится.
£.257 ) Определите относительную скорость движения, при которой реля-
» 1 2 ' тивистское сокращение линейных размеров тела составляет 10%.
v = 1,31 • 105 км/с.
(1.258) В системе К' покоится стержень (собственная длина /0 = 1,5 м),
ориентированный под углом 9' = 30° к оси Ох'. Система К'
движется относительно системы К со скоростью v = 0,6с . Определите в сис-
теме К : 1) длину стержня /; 2) соответствующий угол 9.
Дано
—1,5 м
Я'= 30°
v = 0,6с
1) I — ?
2) 8 — ?
/Од. = /о cost!',
I = д//р (cos #')2(1 - и2/с2 ) + /р (sin г>' )2 >
(1^25$^ Определите собственную длину стержня, если в лабораторной
системе его скорость v = 0,6с, длина I = 1,5 м и угол между ним
и направлением движения & - 30° .
l0 = 1,79 м.
Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите релятивистский
закон сложения скоростей, если переход происходит от системы К
к системе К'.
Дано
Решение
x-vt
/l. ’
, dx'
w' = —.
x dz' ’
dx
d7’
w'(w) — ?
v
у' = У,
z' = z ,
. t - vx.
t'= ,—-
Uy dt ’
"z
dz
ck ’
, dy'
u'= —
dz' ’
, dz'
u, ------.
z dz' ’
с
, , dx - v dz
dx =—,
dy' - dy,
, , dt-vdxlc2
dt =---z
dx' dx-vdz
u' = — - —r -
-Jl -_ dx - v dz
dt-vdx/c2 dt-vdx/c2
' dz
dz
Ur - V
ux=--------T
1 — VWv/<
, _ dy' _ dy-Jl-f)2 _ Mj
w,.
dz' dt-vdx/c2 l-vu}
1 - VW,
135
Q1.261J Космический корабль удаляется от Земли с относительной скоро-
Хг'" " * '* стью U| = 0,8с, а затем с него стартует ракета (в направлении от
Земли) со скоростью w2 = 0,8с относительно корабля. Определите скорость и
ракеты относительно Земли.
и = 0,976с.
Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с,
'х.-гт пГт>к^ ИСпустил фотон в направлении своего движения. Определите ско-
рость фотона относительно ускорителя.
Дано
Решение
и' ~ 0,8с
и =
V = с,
и —?
0,8с + с
w =----------ру = с .
1 + 0,8с- с/ с*
и = с.
(1-263j Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно непод-
.....—вижного наблюдателя с одинаковой скоростью, равной 0,5с. Оп-
ределите скорость сближения ракет, исходя из закона сложения скоростей:
1) в классической механике; 2) в специальной теории относительности.
Дано
Решение
V]=v2 = 0,5с
икл = vl + V2 = 0,5с + 0,5с = с,
О “кл
2) ^рел
1Л + U, С
“пел =------ТУ ---------= 0,8с .
р l + u^/c2 1 + 0,25
1)wlul=c; 2) Ирел = 0,8с.
136
Релятивистская частица движется в системе К со скоростью и
под углом д к оси х. Определите соответствующий угол в систе-
ме К', движущейся со скоростью v относительно системы К в положитель-
ном направлении оси х, если оси х и х' обеих систем совпадают.
Решение
д' = arctg
sin д ^l-v2/c2
cosd — v/u
= arctg
sind -^l-^v^/c2
cosd - v/u
Докажите, что интервал между двумя событиями является вели-
чиной инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение во всех
инерциальных системах отсчета.
137
(1.266) Воспользовавшись тем, что интервал является инвариантной ве-
х личиной по отношению к преобразованиям координат, определи-
те расстояние, которое пролетел тг-мезон с момента рождения до распада, если
время его жизни в этой системе отсчета А/ ~ 4,4 мкс, а собственное время жизни
А/о = 2,2 мкс.
Дано
10 = о
А/ = 4,4 мкс = 4,4 • 10 6 с
Л/о = 2,2 мкс = 2,2 • 10 6 с
I
Решение
5|2 = С2/|22 — l\2 = >nv ’
с2 А/2 = с2 А/2 - I2 ,
/ = Сд/д/2 -АГо -
/ = 1,14 км.
(1.267)
Частица движется со скоростью v = 0,8с. Определите отношение
полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.
Определите, на сколько процентов полная энергия релятивистс-
кой элементарной частицы, вылетающей из ускорителя со скоро-
стью v = 0,75с, больше ее энергии покоя.
на 51,2%.
Определите скорость движения релятивистской частицы, если ее
полная энергия в два раза больше энергии покоя.
v = 0,866с.
<138>
1.270) Определите релятивистский импульс протона, если скорость его
движения v = 0,8с.
р = 6,69 10"19 Нс.
Определите скорость, при которой релятивистский импульс час-
тицы превышает ее ньютоновский импульс в 3 раза.
1—у = 0,943с.
п
Определите зависимость скорости частицы (масса частицы тп) от
времени, если движение одномерное, сила постоянна и уравне-
ние движения релятивистское.
Дано Решение
m F = const F = —, do = F d/, d/
mv p- \Fdt-Ft, P 1 -ту , oJ ^-v2lc2
. mV = Ft, mv = Ftyjl-v2jc2 ,
W2v2 = F2/2(1-v2/c2),
fW/c2 + oA? = F2/2,
w2v2 = f¥-fW/c2,
o2(f¥/c2 + w2) = f2<
2 _ V F2t2/c2 + m2 Ft Ft/m ’ v ~ ” / • J(Ft/c)2 + m2 y^Ft/mc)2 +1
Ответ ) / x Ft/m v(O= , -•
l + (F//znc)2
1.273
Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее
энергию покоя. Определите скорость этой частицы.
v = 298 Мм/с.
1/274 ) Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии по-
пни У коя. Определите скорость частицы.
Дано
Ео = тс2
Т = Е0
v —?
Решение
„ тс л
Г = £-£о, £~ / , Т = Е^ = тс2,
i]l-v /с
1 2/ 2 1
1-V /С = —
' 4
v = 260 Мм/с.
1.275 ) Определите релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т
.......✓ протона, движущегося со скоростью v = 0,75с.
Дано Решение
тр = 1,67 -10-27 кг ц = 0,75с mpv Р к-у1!'?’
Р — ? Т — ? Т= . трС- -т с2 Jl-v2/c2 Р ’
Ответ ) р = 5,6810-19 н с; Т = 7,69-10-11 Дж.
<140>
Определите кинетическую энергию электрона, если полная энер-
гия движущегося электрона втрое больше его энергии покоя. От-
вет выразите в электрон-вольтах.
Дано Решение
те = 9,11-10“31 кг Т = Е-Е0 = ЗЕ0-Е0 = 2Е0,
£ = 3£0 Ео = тес2 , Т = 2тес2.
Т ? Ответ т = 1,02 МэВ.
-277 ) Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен
пройти протон, чтобы его скорость составила 90% скорости света.
Дано
= 1,67-10"27 кг
е = 1,6 10“19 Кл
v = 0,9с
U — 2
Решение
1 278 1 Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен прой-
_ V ти электрон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза.
Дано Решение
we=9,ll-10’31 кг е= 1,6 -1019 Кл / = /о/2 . l = l^\-v2/c2, / = /0/2, Jl-v2/c2=|, С \ T = eU, Т = тес2 . —- 1 , U1 -v 2/с2 J
и=-
е
-^-(2-1) = ^
е е
Ответ
{/ = 512 кВ.
1.279 0 Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы уве-
». •/ личить скорость частицы от 0,5с до 0,7с.
Дано
ц = 0,5с
и, - 0,7с
А — ?
Решение
а = т2-тх,
QOmeem л = 0,245m?.
Выведите в общем виде зависимость между релятивистским им-
пульсом, кинетической энергией релятивистской частицы и ее
массой.
Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая
энергия которого Т = \ ГэВ.
Дано
/ие = 1,6-10"19 Кл
Г=1 ГэВ =
= 109' 1,6- 10"|9Дж
Р — ?
Решение
рс = ^Т(Т + 2тес2),
Jt(T+ 2тес2)
Р =-----------------
С
) р,5Д4 10 '»н с.
<®>
Докажите> чт0 выражение релятивистского импульса
р=
------- при v « с переходит в соответствующее вы-
с
ражение классической механики.
-1 +2тс2
V « с
p-mv.
<143>
(i-ж) Докажите, что для релятивистской частицы величина Е2 - р2с2
является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение во всех
инерциальных системах отсчета.
Дано
Ео = тс2
Решение
mv
Е2 - р2с2 = inv
_ тс т v с
1 - v2/с2 1 - V2/с2
_ от2с4 - m2v2c2 _ т2с2(с2 - v2) _ 2 4
l-v2/c2 ~ (c2-v2)/c2 ~тС
Р2с2 = т2с* = inv.
Определите энергию, которую необходимо затратить, чтобы раз-
делить ядро дейтрона на протон и нейтрон. Массу ядра дейтрона
принять равной 3,343 10 27 кг. Ответ выразите в электрон-вольтах.
Дано Решение
md = 3,343-10-27 кг ЕЕ = {тр + тп)с2 -mdc2,
тр = 1,672-10-27 кг т„ = 1,675-10’27 кг 1 эВ = 1,6- 10-|9Дж.
ЕЕ — ? Q Ответ л/-: = 2,25 МэВ.
1.285
Определите энергию связи ядра 14 N. Примите массу ядра азота
равной 2,325 • 10“26 кг. Ответ выразите в электрон-вольтах.
Есв =100 МэВ.
2. Основы молекулярной физики
и термодинамики
2.1. Молекулярно-кинетическая теория
идеальных газов
Начертите графики изотермического, изобарного и изохорною
процессов в координатах р и V, р и Т, Т и V.
Определите число 7V атомов в 1 кг водорода и массу одного атома
водорода.
Дано
те = 1 кг
М = 2 10-3 кг/моль
NA = 6,02 -1023 моль '
-?
те0 — ?
Решение
те
N = vNA = — А
л М ‘
N = 3,01 1026 ; /Ио = 3,32-10-27 кг.
Основные физические постоянные
Постоянная Авогадро = 6,02 1023 моль '
Молярная газовая постоянная 7? = 8,31 Дж/(К моль)
Постоянная Больцмана k = 1,38 10 23 Дж/К
10-2741
<W>
В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г
и гелий массой 12 г. Определите: 1) давление; 2) молярную массу
газовой смеси в сосуде, если температура смеси Т = 300 К.
Дано
V = 20 л = 2 • 10"2 м3
ml= 6 г = 6 • 10 3 кг
Мх =2-10-3 кг/моль
т2 =12 г= 12 10"3 кг
М-, = 4 • 10~3 кг/моль
Т = 300 к
R = 8,31 Дж/(К моль)
1) Р — ?
2) М — ?
Решение
Р-Рх+Р2,
гп, RT
Pl~ Мх V
m2 RT
P2 ~ M2 V
RT\ m, m->
р =------L + —^~
V Мх М2
/и2
V
RT
M = —(mx+m2).
Vp
1) p = 0,75 МПа;
2) M = 310-3 кг/моль.
Определите плотность смеси газов водорода массой тх= 8 г и
кислорода массой т2 = 64 г при температуре Т = 290 К и при
давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными.
Дано
шх= 8 г = 8 • 10“3 кг
М = 2 • 10-3 кг/моль
т2 =64 г= 64 10‘3 кг
М2 = 32 10-3 кг/моль
Т = 290 К
р = 0,1 МПа=105Па
R = 8,31 Дж/(К • моль)
Р
Решение
m
т=тх+т2,
' т, т2\ RT
^М\ М2) р
р = 0,498 кг/м3.
PV =
т\ пъ
—L+—=- \RT
Мх М2)
(тх+т2)р
(Мх М2)
<146>
В баллоне вместимостью 15л находится азот под давлением 100 кПа
при температуре = 27 °C. После того как из баллона выпустили
азот массой 14 г, температура газа стала равной /2 = 17 °C. Определите давле-
ние азота, оставшегося в баллоне.
(Ответ р = 163кПа.
( 2.6 7 Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота
при температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определите массу во-
дорода, если масса смеси равна 150 г.
Qomeem тщ = б,з Ё
------------------------------------------------
I 2**? чад Азот массой 7 г находится под давлением р - 0,1 МПа и темпера-
туре Тх = 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял
объем И2 = 10 л. Определите: 1) объем Vx газа до расширения; 2) темпера-
ТУРУ газа после расширения; 3) плотность газа до и после расширения.
Дано Решение
М = 28 10-3 кг/моль т=1 г = 7 10“3 кг р = 0,1 МПа = 105 Па 7j = 290 К Г, =10 л=10“2м3 R = 8,31 Дж/(К • моль) г/ m DT Г/ m DT r, mRT, pv'=~^RT'’ pv2=~TfRT2' M M Mp „ MpV2 „ m m T2=—^, p'=17, pi=77- 2 mR ' И ^2
1) И -? (^Omeetn i) r; = 6,02-1 o-3 m3;
2) Т2 — ? 3) Р\ Р2~? 2) T2 = 481 K; 3) P| = 1,16 кг/м3; p2 = 0,7 кг/м3.
10* <147>
2.8
В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1 г. Опре-
делите концентрацию молекул кислорода в сосуде.
Дано
Решение
V = 1 л = 10 3 м3
М = 32 10-3 кг/моль
т= 1 г= 10кг
п — ?
п = -Р-
кТ
pV = —RT,
М
n.R
п =---.
MkV
р _ m R
Т~ MV'
р = пкТ,
п = 1,88-1025 м3.
I В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится
азот. Определите: 1) количество вещества v ; 2) массу азота;
3) концентрацию п его молекул в сосуде.
1) v= 0,233 моль; 2) m = 6,24 г; 3) w=2,69 10*5 м 3.
Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных
условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?
Дано Решение
= 480 М/с , , hRT 3RT
Т = 273 К м ' М = Z-,
m= 1 г= 10‘3 кг R = 8,31 Дж/(моль • К) N^, м \ кв/ W^(uKB)2
N — ? 3RT
(Ответ n = 2,04 1022?
В сосуде вместимостью V = 0,3 л при температуре Т = 290 К на-
ходится некоторый газ. На сколько понизится давление газа в со-
суде, если из него из-за утечки выйдет N = 1019 молекул?
Дано
Решение
Г = 0,3 л = 3 • КГ'м3
7=290 К
/У = 1019
py = ^RT,
м
P,V=^RT
м
A (w.-w2) RT AmRT
^P=Pi~P2=—-тД =---------
M
V MV
Ьр-ч
Am N
NRT NkT
Ар =---=----
NaV V
Ар = \33 Па.
( 2.12 1 | Определите давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если
.......его плотность равна 0,01 кг/м3, а средняя квадратичная скорость
молекул газа составляет 480 м/с.
Дано
Решение
р- 0,01 кг/м3
("кв) = 480 м/с
3RT
M
m RT RT
р =-----= р----,
V М М ’
pV= — RT,
М
RT (икв)2
М 3 ’
m
Р~~М'
p("kb)‘
p=~r~
р = 768 Па.
р — ?
149
Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность
которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.
Дано Решение
о = 0,35 кг/м3 \2RT m m v=, , P = — , Pv = — ,
р = 40 кПа = 4- 104Па \ M V’ M
"в -? м p B N p
Ответ ) Vb=478 м/с
(2.14 ) Определите среднюю кинетическую энергию поступатель-
ного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па.
Концентрация молекул газа равна 1013 см-3.
Дано
Решение
р = 0,1 Па р
р-пкТ, Т = — ,
л = 1013 см 3= 1019м 3 пк
—
(е0) — ? 2 2 пк 2п
( ~)(ео) = 1,5.1о г« дж.
(Ж) Определите: 1) наиболее вероятную vB; 2) среднюю арифмети-
ческую (v); 3) среднюю квадратичную скорость молекул
азота (N2) при 27 °C.
1) i'B = 422 м/с;
2) (у) - 476 м/с;
3) (^кв) = 517 м/с-
<@>
2.16
При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул
кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с.
Дано
= 100 м/с
Л/ = 32-10 3 кг/моль
Т__7
Решение
Используя закон распределения молекул идеального газа по ско-
ростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости vв.
Дано
Решение
( хУг ~”У»2
f(v) = 4т V2 е 1кт
\2лкТ)
( хУг ~то,,г
f (у) = 4т v2 е 2кг .
\2лкТ)
f (v) = max
^-0
dr
d/ .( mo
— = 4m------
dr V 2лкТ J
~mov'
+ v2 e 2kT
151
Используя закон распределения молекул идеального газа по ско-
ростям, найдите закон, выражающий распределение молекул по
относительным скоростям и (и = v/vB).
Дано
Решение
f(v) = 4 л v2 е 2к7
\2лкТ)
v
и = —
v = vBu, dv = vBdu,
/(и) -?
f(u)=4m
J ’ \2nkT.
3/
/2
2 л kT
f(u) = -^u2 e "2.
ул
^- = /(v)du,
/(w) = /(v)— = f(v) vB,
-т01>ви2
vB •и2 e 2kT vB =
__Z_.y2.g 2kTm0
mo
Используя закон распределения молекул идеального газа по скоро-
стям, найдите среднюю арифметическую скорость (v) молекул.
Указание: средняя арифметическая скорость определяется по формуле
СО
(0 = /(v) dv.
О
Используя закон распределения молекул идеального газа по ско-
ростям, найдите среднюю квадратичную скорость (нкв).
Дано
/(и) = 4я[ | v2 е
\2nkTJ
Ю-?
Решение
= рг/(п) dr = 4л1
о 2пкТ
Табличный интеграл:
Используя функцию распределения молекул идеального газа по
энергиям, найдите среднюю кинетическую энергию (е) молекул.
Дано
Решение
°° 2 х
/(£) = 2 (Ar)_V2£i/2 e-t/(*r) (£) = j£ /(£) d£ = —(кту3/2 Je3/2 e-^r dr.
л/л о Л'7Г о
X = £
]
а = —,
кТ
3
Табличный интеграл: Jx3^2 е-<“ dx = —4ла~^2
у1л 4
-5/2 3
= -кТ.
2
-кТ.
2
2.22s
Используя функцию распределения молекул идеального газа по
энергиям, найдите наиболее вероятное значение энергии ев мо-
лекул.
Дано
Решение
д£) = 2=(кту3/1 2£'/2е-1/^
Jit
= о, Af 2= (*П’3/2е,/2 = 05
ds dsk-J^ J
~{kTY2'2 е-£А*г>Г-г’’/2 -—Ко,
4^ U кТ)
1 е|/2
-----------— = 0
2е’/2 кТ ’
1
£в -
в 2
1
eb=-W\
в 2
Используя функцию распределения молекул идеального газа по энер-
гиям, найдите для данной температуры отношение средней кинети-
ческой энергии (е) молекул к их наиболее вероятному значению энергии ев.
Дано Решение
Т = const £в (е) = ]е /(е) ds = 0 = 2 (Л7,гЗ/2 L3/2 е-в/(*7) ^ЛкТ. у!л 0J 2 Используя результат задачи 2.22, находим
1
£В=Т^,
в 2
Закон распределения молекул газа по скоростям в некотором мо-
лекулярном пучке имеет вид f(v) = Av3e~m°’' К2кг>. Определите:
1) наиболее вероятную скорость vB; 2) наиболее вероятное значение энергии
ев молекул в этом пучке.
Дано
Решение
f(v)~ Av3 е(2кГ)
dr
d
— Av3e 2кт
2) ев -?
dw
- A 3v2 е 2кг
-/исг
------ 2v-v е
2кТ
I кТ J
-mov
d/(£)
de
mgV2
2 ’
,/(e) = /(v)—= 0-
de
-^ = (2moe) 1/2
de
/ \3/2 -i -i
f(£) = A — • ekT (2m0e)-,/2 = ^4 e e«:
\w0; „/-
( 2.25 J На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления
44 на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде оди-
накова и равна 10 °C.
Дано
Решение
р = О,6/?о
/=10°С
Л/ = 29 10 3 кг/моль
h — ?
Mg(h-hv)
P = P0^ RT
Mgh
-P- = e RT
Po
Mgh ln P
RT p0 ’
Mg Po
^ = 0
, RT 1 P
h =---In—.
Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать,
что температура по всей высоте постоянная и равна 22 °C, а уско-
рение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверх-
ности Земли примите равным р0.
Дано
h~\ км = 103м
t = 22 °C; Т = 295 К
М = 29 -10'3 кг/моль
g - const
Po
Решение
р = р0 е~ц/(кТ}, n = -mogh,
p=poe~m^^poe-^m
p = l,12p0.
<И6>
( 2.27 ) Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давле-
1 нию на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли
находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.
Дано Решение
ht = 1 км = 103 м
h2 = -1 км = 1 О*3 м
Г=273 К
Mghx
Р\=Ро^ Rr >
Mg/i, < л/gM
Pl _ RT I RT )
Pl
Mgh 2
Pl=POe RT ’
PL = e^~^
Pl
Р1
( 2.2 8Л На какой высоте плотность воздуха в е раз (е — основание нату-
ральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на
уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считайте
не зависящими от высоты.
Ответ
h = 7,98 км.
Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле
п - п „ e-"‘ogh/(.l<T)
fl — flQ V — Г/q С
ИЛИ
n = noe~n^,
где и и и0 — концентрация молекул на высоте h и h - 0; П - niogh —
потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.
<157>
C, '.u\----------------------------------------------------------
2.299 Используя идею установки Перрена для определения постоянной
Авогадро и применив к частицам краски, взвешенным в воде, боль-
цмановское распределение, найдите объем частиц, если при расстоянии между
двумя слоями 80 мкм число взвешенных частиц в одном слое вдвое больше,
чем в другом. Плотность растворенной краски 1700 кг/м3, а температура окру-
жающей среды 300 К.
Дано Решение
Ah = 80 мкм = 8 10 5 м — =2 «2 р = 1700 кг/м3 /9] = 1000 кг/м3 Т = 300 К )gbh п = п^е кт , m Пу hy «2 ^2 3/?Г1п — N 4-1 m 'L ,- «1 - II tt; 1 1 m II
?/А = 6,02 1023 моль-1 А 4nr\p-py)g(h2- hy) Vg(P~P\)bh'
V — ? RT In— f V «2 V Ответ
NAg M(p-py) V = 5,22-10”21 m3.
С 2.3(b) Определите среднюю длину свободного пробега (/) молекул кисло-
рода, находящегося при температуре 0 °C, если среднее число (z)
столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7 • 10’.
Дано Решение
Л/ = 32-10-3 кг/моль Г = 273 К (z) = 3,7-109 с-1 (v) = J^, (z) V лМ U УлМ (z)'
(/)-?
= 115 нм.
(Я.31М При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул
4 водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 °C? Диа-
метр молекулы водорода примите равным 0,28 нм.
Дано
Решение
(/) = 2,5 см = 2,5 • 102 м
1 = 67 °C, 7 = 340 К
</ = 0,28 нм = 2,8- 10-'° м
р = пкТ,
1
^2 - Ttd2n ’
п =
1
Р~?
кТ
Р =
р = 0,539 Па.
Определите среднюю продолжительность (т) свободного пробе-
га молекул водорода при температуре 27 °C и давлении 0,5 кПа.
Диаметр молекулы водорода примите равным 0,28 нм.
Дано
Решение
М = 2-10 3 кг/моль
/ = 27 °C, 7 = 300 К
р = 0,5 кПа = 5 • 102Па
d = 0,28 нм = 2,8 IO’10 м
(z) = -^Лб/2п(п) ,
(г)-?
кТ ’
, , кТ-^лМ к^ТМ
Т 72лб/2рТ8Л7 " 4jnRd2p
= 13,3 нс.
<159>
( 2.33) Средняя длина свободного пробега (/,) молекул водорода при нор-
мальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю дли-
ну их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остает-
ся постоянной.
Дано Решение
{l\)~ 0,1 мкм = 10 7 м р2 - 0,1 мПа = 10 4 Па \2ла п р = пкТ,
р,= 1,01 Ю5 Па Т - const (Zl) = Р1 , Ру ’ Pl
2.34 При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свобод-
ного пробега молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно сред-
нее число (z) столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать
до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считайте постоянной.
Дано
Решение
Т = 300 к
(/) = 0,1 мкм = 10 ’ м
М = 32 • 10 ~3 кг/моль
Pi = 0,1 р
1р,
V лМ
4,45 1 08 с1.
<1б6>
Определите: 1) плотность р воздуха в сосуде; 2) концентрацию п
его молекул; 3) среднюю длину свободного пробега (/) молекул.
если сосуд откачан до давления 0,13 Па. Диаметр молекул воздуха примите
равным 0,27 нм. Температура воздуха 300 К.
Дано Решение
р = Ъ,\?> Па rf = 0,27 нм = 2,7- 10"’°м 7 = 300 К М = 29 10-3 кг/моль 1)Р—? 2) и — ? 3)(/)-? m г/ w от р =—, pV =— RT, Р V М _ рм_ RT кТ ' ' у12лс12п
[ Ответ 1) р = 1,51-10-6 кг/м3; 2) и = 3,141019 м-3; 3)(/} = 0,1м.
Определите коэффициент теплопроводности Я азота, находяще-
гося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный
диаметр молекул азота примите равным 0,38 нм.
Дано Решение
М = 28-10-3 кг/моль 7 = 280 К <7 = 0,38 нм = 3,8- 10“’°м А —? A = -cvp(l)(y), cv=——, i = 5 р = — , 3 /x ' ' 2 M H V fvi рМ , » 1 ’•V-HRT-P- RT’ ^^P="tT-
кТ ’
\ i R рМ кТ I8RT i к рТ
3 2 М RT 4ind2p\ лМ ~ 3 л</2 V лМ
Я = 8,25 мВт/(м • К).
П -2741
<ТёГ>
Q Кислород находится при нормальных условиях. Определите ко-
эффициент теплопроводности Л кислорода, если эффективный
диаметр его молекул равен 0,36 нм.
X = 8,49 мВт/(м • К).
( у Пространство между двумя параллельными пластинами площа-
Х-1 дью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от
друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температу-
ре 17 °C, другая — при температуре 27 °C. Определите количество теплоты,
прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к дру-
гой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр
молекул кислорода считать равным 0,36 нм.
Дано
Решение
М = 32 10 3 кг/моль
5 = 150 см2= 15 • 10"’м2
Дх = 5 мм = 5 • 10“3 м
/j =17 °C
/, = 27 °C
t = 5 мин = 300 с
Т = 273 К
d = 0,36 нм = 3,6- 10-,ом
ДГ-/2 -/1 ,
л=-
. задачу 2.36),
'—St.
Q = ~
Q-l
Q = K>,4 Дж.
Зависимость между коэффициентами теплопроводности,
диффузии и внутреннего трения
r] = pD, Х/г]Су = 1.
<Тб2>
2.39 1
те равным 0.36 нм.
Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормаль-
ных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода прими-
Дано
М = 32 10-3 кг/моль
7 = 273 К
р=1,013 105 Па
d = 0,36 нм = 3,6 • IO’10 м
Решение
р = пкТ,
1
Jl:rtd2n
1 I8RT кТ
D = - J------,=--у.
3 V лМ Ллр(1~
D — 2
£> = 9,1810~6 м2/с.
( 2.40 ) Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии че-
рез площадку 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в направле-
нии, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура азота 290 К, а
средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм.
Дано
S = 50 см2 = 5 • 10"3 м2
1 = 20 с
М= 28Ю~3 кг/моль
— = 1 кг/м4
dx
Т = 290 К
(/) = 1 мкм = 10-6 м
Решение
m= D—St
dx
кТ ’
т = 15,6 мг.
( 2.41 л) Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динами-
54 S ческой вязкости т] углекислого газа и азота, если оба газа нахо-
дятся при одинаковой температуре и одном и том же давлении. Эффективные
диаметры молекул этих газов равны.
Дано
Решение
М\ =44-10 3 кг/моль
М-, = 28 10-3 кг/моль
8RT
лМ
Т\=Т2
Р}=Р2
t/| = d2
1___
^лсРп
р = пкТ
V2
pV = — RT
М
m рМ
Р~ — ---,
V RT
__ 1 р,Мх |8КТ,
™ 3 RTt
лМ}
1_____
2ле/|2и1
1
1 р2М2 I8RT2
2/2 "з rt2
. ,, ’ Pi - Р2 > ^1 - ^2 > ~ <^2 » И1 - п2 ’
лМ2 у]2л(12п2
( -2143^ Определите коэффициент теплопроводности А азота, если коэф-
"" ' S фициент динамической вязкости Т] для него при тех же условиях
равен 10 мкПа • с.
Дано Решение
r] = \G мкПа-с=10“5Па-с 1 1
Л=3СиР<^)(/), А = сут],
М = 28-10 3 кг/моль
i R , i R
А — ? Су } 2 М А = т], 2 М ' / = 5.
QOmeem я = 7,42 мВт/(м • К).
<164>
I 2.43 ) Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К.
Определите коэффициенты диффузии D и внутреннего трения т].
Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.
D = 9,74-10-6 м7с;
эу = 1,13-10 5 кг/(м • с).
(Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенка-
Х.7У7У ми сосуда Дьюара, если расстояние между стенками сосуда рав-
но 8 мм, а температура 17 °C? Эффективный диаметр молекул воздуха при-
нять равным 0,27 нм.
Дано Решение
1 = 8 мм = 8 • 10 3 м 1
/ = 17 °C, 7 = 290 К ^~^d2n р = пкТ,
<7 = 0,27 нм = 2,7- 10"'°м кТ < кТ
Рвак ? р Рвак ' jbtd2l ’
Ответ К < i,54na.
( ; 2.45 ) Давление разреженного газа в рентгеновской трубке при температуре
........17 °C равно 130 мкПа. Можно ли вести разговор о высоком вакууме,
если характерный размер /0 (расстояние между катодом и анодом трубки) составля-
ет 50 мм? Эффективный диаметр молекул воздуха примите равным 0,27 нм.
Дано
р = 130 мкПа=13- 10"5Па
/о = 5О мм = 5 • 10“2м
d = 0,21 нм = 2,7- 10-,ом
/ = 17 °C, Т = 290 К
0-?
Решение
Вакуум высокий.
<П55>
2.2. Основы термодинамики
Азот массой т = 10 г находится при температуре Т = 290 К. Оп-
ределите: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы
азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех моле-
кул азота. Газ считайте идеальным.
Дано
т = 10 г= 10“2 кг
7=290 К
Л/ = 28 10~3 кг/моль
Решение
' ' 2
(^вр) = (£вр)^ ,
А7 mNA
N =---
М
i = 5,
'Е \ = /
L ВР/ ВР 2 М ’
1) <£> = 1О~20 Дж;
2) (£вр) = 860 Дж.
Кислород массой т = 1 кг находится при температуре Т = 320 К.
Определите: 1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) сред-
нюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ
считайте идеальным.
Дано Решение
т-1 кг 7 = 320 К М = 32-10-3 кг/моль 1)1/-? 2) fa,)-? и^КТ- /=5, W’W»- /£ \ = ( \ вр/ вр 2 ’ Л/ /г \ = / кт mN* i -7 \Евр) гвр 2 м , гвр-2.
1) U = 208 кДж; 2) (явр) = 83,1 кДж.
В закрытом сосуде находится смесь азота массой /и, = 56 г и кис-
лорода массой т2 = 64 г. Определите изменение внутренней энер-
гии этой смеси, если ее охладили на 20 °C.
R АТ = 1,66 кДж.
(2.4^
Считая азот идеальным газом, определите его удельную теплоем-
кость: 1) для изохорного процесса; 2) для изобарного процесса.
1) С(/ = 742 Дж/(кг • К); 2) ср = 1,04 кДж/(кг К).
Определите удельные теплоемкости cv и ср, если известно, что
некоторый газ при нормальных условиях имеет удельный объем
v = 0,7 м’/кг. Что это за газ?
Дано Решение
п = 0,7 м’/кг V TZ ™ Р'Г v =— , pV — —RT 9
Г=273 К m M
р= 1,013 105 Па M=™, /=5, Р»
сг -? i R i+2 R
ср-? C,/ “ 2 M ’ Cp~ 2 M'
Ответ кислород; cv = 649 Дж/(кг • К); ср = 909 Дж/(кг К).
Связь между молярной Ст и удельной с теплоемкостями газа
Ст=сМ,
где М— молярная масса газа.
<W>
Определите удельные теплоемкости cv и ср смеси углекислого
газа массой т1 = 3 г и азота массой т2 = 4 г.
Дано
Решение
mt- 3 г = 3 • 10“3 кг
Л/] =44-10-3 кг/моль
т-, = 4 г = 4 10“3 кг
М, =28-10 3 кг/моль
Д£> = Сут АТ,
AQ = AQi+AQ2,
AQ2 = Су2т2 АТ,
Сут АТ = Су^ АТ + Су2т2 АТ,
т — mt+ т2,
AQ = Су^ ЛГ,
Ср
_Cyimi + Cy2m2
С(/ -
т1 + /и2
ср
с
И 2 A/j ’
с
V2 2 Л/, ’
Rf i,m,
с., = — -—1
' 21
‘2т2
М} М2
'1 = 6
1
mt+ т2
ср
i2 = 5
Ср\т\+Ср2т2
т{+ т2
Zi+ 2 7?
Ср1 -
/2 + 2 R
Ср2 2 Л/2 ’
2 ’
с,
_ /?[ (/1+2)/л1 (i2 + 2)w2
М}
м2
1
/И]+
Су = 667 Дж/(кг - К); Ср = 917 Дж/(кг • К).
Молярная теплоемкость
при постоянном объеме и постоянном давлении
Cv=-R,
v 2
ср=—
168
2.52^
Определите показатель адиабаты у для смеси газов, содержащей
гелий массой ту = 8 г и водород массой т2 = 2 г.
Дано
Решение
ту- 8 г = 8 • 10 3 кг
= 410~3 кг/моль
т2 = 2 г = 2 • IO'3 кг
М2 = 2 • 10-3 кг/моль
У-?
г -
Cv
_ ср\т\+ср2т2
Ср
Шу+т2
_cv]m]+cv2m2
сг -
т}+ т2
(см. задачу 2.51)
с
и 2 М} ’
/2 = 5
(i,+ 2)-~ + (/2 + 2)-^-
Л/1 Л12
w. . т2
i.—L+'2“^“
1 Му 2 М2
У =1,55.
Применяя первое начало термодинамики и уравнение состояния
идеального газа, покажите, что разность удельных теплоемкостей
cp~cv = R/M.
cp-cv = R]M.
<Тб9>
( 2.54 ) Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлени-
V....,..,;,.,,. ем о, 1 МПа при температуре 290 К. После нагревания давление е
сосуде повысилось в 4 раза. Определите: 1) объем сосуда; 2) температуру, до
которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газом.
1) И = 2,4110’2 м3; 2)Г = 1,16кК; 3)0 = 18,1 кДж.
Определите количество теплоты, сообщенное газу, если в процес-
се изохорного нагревания кислорода объемом V = 20 л его давле-
ние изменилось на Др = 100 кПа.
Дано Решение
И = 20 л = 2 • 10"2 м3 Др = 100 кПа = 105 Па Q=AU+A, A = pAV\., =0, ’ г IK=const ’
т I
Q-? О = Д[/, ДС/= 7?Д7\ М2
р,И = — RTt, 1 М *’ p2V = ^-RT2, м
т т
p2V - pxV = —RT2-—RTlt
м м
ApV = —RAT
м
Q = ——RAT = —VAp-
М2 2
Q = 5 кДж.
Двухатомный идеальный газ (v = 2 моль) нагревают при постоян-
ном объеме до температуры 289 К. Определите количество теплоты,
которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в п = 3 раза.
Q = -vR(n-\)T\ =24 кДж.
( 2.57Л При изобарном нагревании некоторого идеального газа ( v = 2 моль)
на ДГ = 90 К ему было сообщено количество теплоты 5,25 кДж.
Определите: 1) работу, совершаемую газом; 2) изменение внутренней энергии
газа; 3) величину у = cp!cv .
1) /1 = 1,5 кДж; 2) Д[/ - 0,6 кДж; 3)у = 1,4.
Азот массой т = 280 г расширяется в результате изобарного про-
х цесса при давлении р = 1 МПа. Определите: 1) работу расшире-
ния; 2) конечны^обьем газа, если на расширение затрачена теплота Q = 5 кДж,
а начальная температура азота 7] = 290 К.
Дано Решение
т = 280 г = 0,28 кг М = 28 10-3 кг/моль р = const р = \ МПа= 106Па 2 = 5 кДж=5- 103Дж = 290 К 1) А — 2 2) V2 — ? (01 и и 1 о|+ ^1* Ч5 | К) “ Я So - 1 'w' C = ^Cp(T2-7]),
i = 5
л~ QR-2 2Q (i + 2)7? i + 2
Л = р(И2-И1),
pvl=~^RT'
м
г, =4
р
1
Р
1) А = 1,43 кДж; 2) Г, = 0,026 м3.
171
(лз>) Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Опреде-
лите, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, что-
бы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увели-
чить его давление вдвое в результате изохорного процесса.
Дано Решение
У = 1 л = 10~3 м3 т
М = 32 -10 3 кг/моль Pi = const й = — Ср Д Т,
Р] = 1 МПа= 106Па Г/ т DT 17 П1 DT plPl= — RTl, Р^=~ RT2 , м м
1) р, - const
И2=2И, PibV = —RbT, ДГ = К,-И, м
2) И] = const
Р2 = 2р, р^У р,ЛУ (/ + 2)2? (i + 2) СА = '^п- - Р\ Аг , 1 R р R 2 2 1
i = 5
О Qi —1
2) &-? И = const Q-> = ДГ, ~ м
P2Vl=^RT2,
м
^Р = Р2~ Pl’
py}=~RT},
м
Vxbp = ^-RbT,
м
R ' Я 2 2
i = 5
1) Q} = 3,5 кДж; 2) Q2 - 2,5 кДж.
Некоторый газ массой т = 5 г расширяется изотермически от
объема И] до объема У2 ~ 2К]. Работа расширения А -1 кДж.
Определите среднюю квадратичную скорость молекул газа.
С 2 611 Азот массой w=14 г сжимают изотермически при температуре
j- _ goo к от давления = юо кПа до давления р2 = 500 кПа.
Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) коли-
чество выделившейся теплоты.
Ответ р &ц = р~ 2) л = -2,01 кДж; з) £> = 2,01 кДж.
( 2 62 / Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре Т = 300 К и
v под д авлением рх = 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия дав-
ление газа увеличилось в два раза. Работа, затраченная на сжатие, А = -432 кДж.
Определите: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа.
Дано Решение
т= 1 кг m n
Г=300 К dA = pdV, pV =—RT,
M
р} = 0,5 МПа = 5 • 105 Па , . mRT V-
л }mRT dV mRT, V,
dA = dK MV
Р2 = 2Р1 /1—1 — In , J M V M V
Я = -432 кДж =
= -4,32- 105Дж P\v\ = P2V2 > mRT , p.
A = In—,
M p-,
1) газ — ? 2) v, -? M=aSLbPL,
A p2 m
тК1 КТ Z ~ ri = „ , щ , ( Ответ Мр\ Мрх у ) 1) гелий; 2) v, = 1,25 м3/кг.
(2.6М Азот массой w = 50 г находится при температуре 7] =280 К.
В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось
в и = 2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа
в конечном состоянии стала равной первоначальной. Определите: 1) работу,
совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа.
1) А = 2,08 кДж; 2) ДС/ = О.
<173>
w*) Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа со-
ставляет /1 = 2 кДж. Определите количество подведенной к газу
теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.
Дано
А = 2 кДж = 2 - 103 Дж
/ = 5
1) Т - const
2) р = const
1) й -?
2) Й2 -?
Решение р
Qt=AU+A,
Т = const,
ДС7 = 0, Q} = А,
р = const, А = р AV,
m
рAV = — RAT
М
m MA A = —RAT, ДГ = , M mR . w > „ MA iA — Ci/ i\i — R — — M М2 mR 2
Q-, = AU+ A = -A + A = A\-+1] 2 \2 J С Ответ 0 Й = 2 кДж; 2) Q2 = 7 кДж.
При адиабатном расширении кислорода ( v = 2 моль), находящегося
при нормальных условиях, его объем увеличился в п = 3 раза. Опре-
делите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения газа.
Дано
v - 2 моль
7] = 273 К
п = 3
1) AU — ?
2) А
Решение
Q=AU+A, Q=0, AU = -A,
AU = vCvAT, Cv=-R, i = 5,
2
т^-1 2=т2УГ\ =|> г2 = т;М
C|Z I 3 I *7 >
* * I I'
AU = v-R(T,-T.) = v-RT. P- -1
2 * 1 2 1
A = -AU-
Ответ
1) AU = -4,03 кДж;
2) A - 4,03 кДж.
^2.66) Азот массой т -1 кг занимает при температуре 7] = 300 К объем
rj = 0,5 м3. В результате адиабатного сжатия давление газа увели-
чилось в 3 раза. Определите: 1) конечный объем газа; 2) его конечную темпера-
туру; 3) изменение внутренней энергии газа.
Ответ j А
О уг =ri| — Г =0,228 м3;
1л )
—
2) Тг =Л|^-|Т =411 К;
\Рг)
3) Д{/ = —• —7?(Г,-7]) = 82,4 кДж.
М 2
( 2.67 ) Азот, находившийся при температуре 400 К, подверти адиабатно-
му расширению, в результате которого его объем увеличился в п = 5
раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определите массу азота.
Дано
М = 28 • 10-3 кг/моль
/ = 5
7j = 400 К
Г2 = лИ]
/7=5
АС7 = -4 кДж =
= -4- Ю’Дж
т — 1
Решение
т RTX
Му-1
Yl
v2
RT, Г < 1Y
-дс/=— - 1-
м y-i[
е = о
A = -MJ,
£
п ’
2:б8>
Двухатомный идеальный газ занимает объем PJ -1 л и находится пол
давлением рх = 0,1 МПа. После адиабатного сжатия газ характеризу-
ется объемом И2'и давлением р2. В результате последующего изохорного процесса
газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление р3 = 0,2 МПа. Оп-
ределите: 1) объем V2; 2) давление р2. Начертите график этих процессов.
Дано
К] = 1 л = 10 3 м3
f = 5
Р] = 0,1 МПа= 105Па
р3 = 0,2 МПа = 2- 105Па
1) V, — ?
2) р2 — ?
И2=^—
Рз
Решение
1) V2 = 0,5 л; 2) р2 = 264 кПа.
Работа в случае адиабатного процесса
А = ^-С,[Тх-Т2)
или
А-
RT\ ™ ЛЛГ'
у-1м InJ у-i IrJ
где 7], Т2 и И], V2 — соответственно начальные и конечные температура п
объем газа.
Кислород, занимающий при давлении рх = 1 МПа объем Vx = 5 л.
расширяется в п = 3 раза. Определите конечное давление и рабо-
ту, совершенную газом-. Рассмотрите следующие процессы: 1) изобарный;
2) изотермический; 3) адиабатный.
Дано
Л/ = 32-10-3 кг/моль
< = 5
д = 1 МПа = 106 Па
К] = 5 л =^5 • 10-3м3
V = nVx
п = 3
1) р = const
2) Т = const
3)6 = 0
Решение
А = рЛУ,
p = const
P=P\
Q=AU+A,
A = p^V = px(y-Vx)=p^n-\),
P — ?
A -?
T = const
pVx = pV,
n . P\v\
Р V ’
A =
’"rd И V
JpdK = p1K1 J— = рхРх1п —,
г, Ц у 1
Q = 0
A = -MJ,
pVY = const,
(
р=р\7.
Р = Р\И
у - —— = 1’4,
д{/=-^сг(г-т;),
м
A=^~~R(TX-T),
М 2
т
PM=^RTi
м
pV = —RT,
М
А=-^(рУ1-рУ).
1)
2)
3)
p = 1 МПа, A -10 кДж;
p = 0,33 МПа, A = 5,5 кДж;
p = 0,21 МПа, /1 = 4,63 кДж.
12-2741
177
Кислород массой 10 г, находящийся при температуре 370 К, под-
вергли адиабатному расширению, в результате которого его дав-
ление уменьшилось в и = 4 раза. В результате последующего изотермического
процесса газ сжимается до первоначального давления. Определите: 1) темпе-
ратуру газа в конце процесса; 2) количество теплоты, отданное газом; 3) прира-
щение внутренней энергии газа; 4) работу, совершенную газом.
Дано
т-10 г = 10-2 кг
М = 32-10"3 кг/моль
/ = 5
= 370 К
А=и
Р2
п~ 4
023 - ^23 _ , ^2 1П —
Л/ Р]
1) т2 —?
3) Д£/ — ?
2) 2-?
4) А -?
е=-аз = -^*г21п-, ДС/ = Д1/12 + Д1/,3, дц,=^дт;-7]),
Мп ~ М 2
ДС/23 = 0
Д U —-----/?(~ )» А — Лр + Л23, Лр — — Д t/р — — Д t/j3,
М 2 . _______________________________
Л - “ДЦз + 0гз ~ ~АЦз + 0з-
11) Г2 = 249 К; 2) 0 = 896 Дж;
3) MJ = -786 Дж; 4) А = -110 Дж.
Идеальный двухатомный газ, занимающий объем Ц = 2 л, под-
вергли адиабатному расширению. При этом его объем возрос в 5
раз. Затем газ подвергли изобарному сжатию до начального объема. В резуль-
тате изохорного нагревания он был возвращен в первоначальное состояние.
Постройте график цикла и определите термический КПД цикла.
т) = 34,1%.
Идеальный двухатомный газ (v = 3 моль), занимающий объем
Г} = 5 ли находящийся под давлением pt -1 МПа, подверти
изохорному нагреванию до Т2 = 500 К. После этого газ подверти изотерми-
ческому расширению до начального давления, а затем он в результате изобар-
ного сжатия возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла
и определите термический КПД цикла.
2.72'
Дано
v = 3 моль
i = 5
И, =5 л = 5- 10“3м3
р, = 1 МПа = 106 Па
Т2 = 500 К
t) — ?
ДЦ2 = з^7?(Г2-7]),
т Plrl
1 vR ’
Решение
Т-> = const
дс/23 = о
Qu - Аз
И,
Ат, = vRT, In—,
" И,
V2 = Vi - ft ~ Pl .
ftK3=W?P3, K3=^- = ^., Q,3 = vRT-,ln^-
Ръ Pi П
3 -> 1 Pi = const
n=
Qi-Qi
Qi
Qi - |(?12 + 02з| >
&=laj.
?; = 13,3%.
12*
<Г79>
( 2.73, J Рабочее тело — идеальный газ — теплового двигателя совершает
цикл, состоящий из последовательных процессов: изобарного,
адиабатного и изотермического. В результате изобарного процесса газ нагре-
вается от 7] = 300 К до Т2 = 600 К. Определите термический КПД теплового
двигателя.
Дано
Решение
7] = 300 К
Т2 = 600 К
т] — 1
Q ~ Ог _ С12 ~ Qu
Q\ Q\i
р = const
dQ = 0
Ki 7] ’
T2Vp' = T3Vf~' «
7>Гз
17 у T
Q3i = vRT, In— = vRT, In-^- = vRT, In
Pj k2t; 1
T\
= vRTi Inf1 = vRTt Inf2 = vRTx — кД
17]J 1 1 2 7] ’
(72-7])-7]ln^
’? =------------L
t^-t;
77 = 30,7%.
f 2 *7Д j Азот массой 500 г, находящийся под давлением р} = 1 МПа при
v' ’1|'^ температуре =127 °C, подвергли изотермическому расширению,
в результате которого давление газа уменьшилось в п = 3 раза. После этого газ
подвергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он был изо-
барно сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите рабо-
ту. совершенную газом за цикл.
А = -11,5 кДж.
Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70% количества теп-
лоты, полученного от нагревателя, отдает холодильнику. Количе-
ство теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определите: 1) терми-
ческий КПД цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле.
Дано Решение
Q] = 5 кДж = 5 • 103 Дж 6' । <55 <55 и ^|<55 II
1) Л — 2 2) А —? а =
Ответ J1) ^ = зо%; 2) а = 1,5 кДж.
Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревате-
ля количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Опре-
делите: 1) термический КПД цикла; 2) отношение температур нагревателя и
холодильника.
1)? = 20%; 2)—= 125.
Тг
Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которо-
го равен 0,4. Определите работу изотермического сжатия газа, если
работа изотермического расширения составляет 400 Дж.
Л34 = -240 Дж.
(Ответ
Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя
7] = 500 К, холодильника Т2 = 300 К. Работа изотермического
расширения газа составляет 2 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла;
2) количество теплоты, отданное газом при изотермической сжатии холодильнику.
Дано
Решение
Т\ = 500 К
Т2 = 300 к
?112 = 2 кДж = 2 103 Дж
1) Ч —?
2) &-?
1)? = 40%; 2)22=1,2 кДж.
<Ш>
2^)
Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в
процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в
п = 4 раза. Определите термический КПД цикла.
Решение
( 2.80 ) Во сколько раз необходимо увеличить объем (v = 5 моль) идеаль-
ного газа прИ изотермическом расширении, если его энтропия
увеличилась на AS = 57,6 Дж/К?
AS
n = evR =4 .
<183>
(2,81 J При нагревании двухатомного идеального газа (v = 2 моль) его
термодинамическая температура увеличилась в п = 2 раза. Опре-
делите изменение энтррпии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изо-
барно.
Дано
Решение
i = 5
v = 2 моль
1) V = const
2) р = const
AS, — ?
AS2 — ?
р = const
dQ = vCy dT, Cy = — R,
V = const
AS, = v—R\n— = v—R\nn,
* 2 2
dQ=vCpdT, Cp=^R,
i + 2 T2 i + 2
AS2 = r------7? In— = v-------7? Inn.
2 2 7j 2
1) AS, =28,8 Дж/К;
2) AS2 = 40,3 Дж/К.
Идеальный газ (v = 2 моль) сначала изобарно нагрели, так что
......объем газа увеличился в и, = 2 раза, а затем изохорно охладили,
так что давление его уменьшилось в п = 2 раза. Определите приращение энт-
ропии в ходе указанных процессов.
AS = 11,5 Дж/К.
<@>
Азот массой 28 г адиабатно расширили в п = 2 раза, а затем изо-
барно сжали до начального объема. Определите изменение энт-
ропии газа в ходе указанных процессов.
з
Д52з = J
2
т Ср дТ
м т
р - const
Ц=А=1
r2 v2 п’
„ ' + 2„
Ср ~ 2 К’
, „ „ m i + 2 ,1
AS = A5„ =-------R In-.
23 M 2 n
&S = -20,2 Дж/К.
Изменение энтропии при равновесном переходе
из состояния 1 в состояние 2
2 2
1 1 1
2.3. Реальные газы, жидкости
и твердые тела
Кислород (v = 10 моль) находится в сосуде объемом V = 5 л. Оп-
ределите: 1) внутреннее давление газа; 2) собственный объем мо-
лекул. Поправки а и b принять равными соответственно 0,136 Н • м4/моль2 и
3,17 • 10“5 м3/моль.
Дано
v = 10 моль
V = 5 л = 5 • 10“3 м3
а = 0,136 Н • м4/моль2
Ь = 3,17-10-5 м3/моль
Решение
v а
р'=—^- vb = W'
К2
1) Р'
2) К' — ?
1) р' = 544 кПа; 2) V' = 79,3 см3.
Углекислый газ массой 6,6 кг при давлении 0,1 МПа занимает объем
3,75 м3. Определите температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ
идеальный. Поправки а и b примите равными соответственно 0,361 Н • м4/моль2
и 4,28 10“5 м3/моль.
Дано
М = 44 10-3 кг/моль
т = 6,6 кг
р = 0,1 МПа = 105 Па
V = 3,75 м3
а = 0,361 Н • м4/моль2
b = 4,28 • 10-5 м3/моль
1) 7] -?
2) Т2 — ?
Решение
v2a
Р + ~Т
V 2,
= RT,
( 2 1
М Р+---
I M2r2J
7]=—---------
mR
Т _ Mpv
2 mR
pv = ^-rt2,
м
1)7] =302 К; 2) 7], =301 К.
т
v = —
М
<®>
( £8$>) Углекислый газ массой 2,2 кг находится при температуре 290 К в
т-у сосуде вместимостью 30 л. Определите давление газа, если: 1) газ
реальный; 2) газ идеальный. Поправки а и b примите равными соответственно
0,361 Н • мУмоль2 и 4,28 10 5 м3/моль.
1) р, = 3,32 МПа; 2) р2 = 4,02 МПа.
(2.87:) Плотность азота р = 140 кг/м3, его давление р = 10 МПа. Определи-
те температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Поправ-
ки а и Ь примите равными соответственно 0,135 Н • мУмоль2 и 3,86 • 10“5 м3/моль.
Qomeetn^ !) 7] =260 К; 2) Т2 = 241 К.
( 2.88 ) Анализируя уравнение состояния реальных газов, определите ве-
......**^ личины поправок а и b для азота. Критические давление и темпе-
ратура азота соответственно равны 3,39 МПа и 126 К.
Дано Решение
7^ = 126 к pK = 3,39 МПа = = 3,39- 106Па a — ? b — ? ( v2a\ P+-p-](y~vb) = vRT, pV2- (vRT + pvb)V2 + v2aV - v2ab = 0, Kp V2, V3 — корни уравнения.
P = PK, r = rK, VX=V2 = V3 = VK л(г-ик)3 = о,
рУ3 - W2+- РЛ3 = 0 >
ркК3 - (vRTK + pKvb)V2 + v2aV - v2ab = 0, ЗркКк = vRTK + pKvb,
З/гИ3 - v2a ’ PkVk = p3ab’ = vb » 3pK-(3vb)2 = v2a, fl = 27pKZr,
?>рк 3vb = vRTK + pKvb, 8pKvb = vRTK, , RTK T1R2T2 b = —-, a = . SPk 64pK
Г Ответ Л « = о,13б н мУмоль2; fe = 3,86 10-5 м3/моль.
<187>
( 2.89 ) Кислород массой 100 г расширяется от объема 5 л до объема 10 л.
Определите работу межмолекулярных сил притяжения при этом
расширении. Поправку а примите равной 0,136 Н • мУмоль2.
Дано Решение
М = 32 10-3 кг/моль ( v2a\(V Л „„ т v2 а
p-i—=- b\ = RJ, v =—, dA =—5-dr,
т = 100 г = 0,1 кг 1/ И2Дг ) M V2
Pj = 5 л = 5 • 10 3м3
Г2 = 10 л = 10 2 м3 r m2 dK m2 fl 1
о = 0,136 Н мУмоль2 Jm2 V2 M2 v2)
А — ? ( Ответ л = 1зздж.
(2.90) Некоторый газ (v = 0,25 кмоль) занимает объем Vx = 1 м3. При
расширении газа до объема V2 = 1,2 м3 была совершена работа
против сил межмолекулярного притяжения, равная 1,42 кДж. Определите по-
правку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
(Ответ а = 0,136 Н • мУмоль2.
( 2.91 ) Азот (v = 3 моль) расширяется в вакуум, в результате чего объем
газа увеличивается от Vx -1 л до V2 = 5 л. Какое количество теп-
лоты Q необходимо сообщить газу, чтобы его температура осталась неизмен-
ной? Поправку а примите равной 0,135 Н • мУмоль2.
Дано Решение
v = 3 моль К, =1 л = 103м3 К2=5 л = 5- 1О3м3 а = 0,135 Н • мУмоль2 dQ = dU + dA, V}v2a dC7 = 0 dA = n' dK = dV r V2 <2—1'1. kJ
е-? (Ответ £ = 972 Дж.
<188>
Углекислый газ массой 88 г занимает при температуре 290 К объем
1 000 см3. Определите внутреннюю энергию газа, если: 1) газ иде-
альный; 2) газ реальный. Поправку а примите равной 0,361 Н м4/моль2.
Дано
Решение
m = 88 г = 88 • 10 3 кг
M = 44 • 1О'3 кг/моль
Г=290 К
К = 1000 см3 = 10-3 м3
a = 0,361 H • м4/моль2
/=6
Ux=—CyT,
1 M v ’
U2=— \CyT- —
2 M'
Кт
Cv=-R,
v 2
1)Ц -?
2) CZ2 — ?
и2 = их--^-.
2 1 M2 V
а
v m
1) Ц = 14,5 кДж; 2) U2 = 13 кДж.
Кислород (v-2 моль) занимает объем К, = 1 л. Определите изме-
.......нение температуры кислорода, если он адиабатно расширяется в
вакуум до объема V2 = 10 л. Поправку а примите равной 0,136 Н • мУмоль2.
Дано
Решение
/=5
v = 2 моль
Fj -1 л = 10“3 м3
К2=10 л=10“2м3
2 = 0
а = 0,136 Н • мУмоль2
Q=bU+A,
U2=UX
2 = 0, Л = 0 АС7 = С72 —С7, = 0,
I av I I av
Ux=v\CyTx-----, U2=v\CvT)--------
k rj 2 l и2,
av
Ki
„„av_______av av
CVTX--= CyT2---, T2-Tx =---
Vx V 2 V2 21 Cv
J_________1^
Т2-Тх—?
™ 2av\ 1
Т2~Т\=----—
21 iR IK
7^-7] =-11,8 К.
1
189
0*0
Азот (v = 2 моль) адиабатно расширяется в вакуум. Температура
газа при этом уменьшается на 1 К. Определите работу, совершае-
мую газом против межмолекулярных сил притяжения.
Дано
Решение
v = 2 моль
i = 5
ДТ = -1 К
Q=MJ + A,
Д[/ = С/2-Ц =0,
4-?
av
ьт = т2-т{=-—
I av I
Ux=vОД----,
I yj
I av i
О = v CVT2 - — >
k v2J
11 CVM v2a
------= —-----, dT = p'dK, p' = —
Vx V2 va r r r2
1
1
2
eV а э
A' = f'?2'dIZ = V 1 a\
J___£
k,“k2
vi V V
= -рД7Гг =-----RAT.
2 Al = 83,1 Дж.
Кислород (v = 1 моль) (реальный газ), занимавший при 7J = 400 К
объем FJ = 1 л, расширяется изотермически до И2 = 2Pj. Опреде-
лите: 1) работу при расширении; 2) изменение внутренней энергии газа. Поправ-
ки а и b примите равными соответственно 0,136 Н м4/моль2 и 3,17 10“5 м3/моль.
Дано
Решение
V = 1 моль
T = 400 К = const
Fj =1 л= 10~3m3
r2 = 2K!
a = 0,136 H м4/моль2
£>=3,17 -10 5 м3/моль
( v2a
I V >
A= fpdP =v/?T’lnp2~Vfc
\ Vy-vb
Ux=v[cvT-^\t
k V\)
[(И - vb) = vRT,
vRT v2 a
P~ Р-уЬ~~Д’
2 1 1
+ v a —--
^2 K,
I av
U2 = v \CyT- —
k r2>
1) A — ?
2) MJ — ?
^ = U2-Ux = av2\
_1_1
kJ-
1) A = 2,29 кДж; 2) Д17 = 68 Дж.
Покажите, что эффект Джоуля — Томсона будет всегда отрица-
тельным, если дросселируется газ, для которого силами притяже-
ния молекул можно пренебречь.
Дано
а = 0
Решение
Ц + Pl^l ~^2 + Р2^2 >
(7’2-7J)>0 — ?
a v2
U^vCyT.- — ,
a = 0 I
а V2
U2=vCvT,-------,
2 v 2 V2
U2 = vCvT2,
P + ^T (ri-vfe) = v7?7i,
< И /
v a / \
Р + 17Г (V2-vb) = vRT2.
V2 >
G = 0
PjK] = vRT\ + p}vb,
p2V2 = vRT2 + p2vb,
vCvTx + vRT\ + pxvb = vCvT2 + vRT2 + p2vb,
vT}(Cv + R)+ pxvb=vT2{CV2 + R)+ p2vb,
(T2 ~ T\ + R)= vb(px -p2),
T _T __ b(p}-p2)
2 ‘ Cv + R ’
Pi » P2
(T2-7])>0.
(T2 - 7]) > 0, эффект Джоуля — Томсона отрицательный.
(2^Покажите, что эффект Джоуля — Томсона будет всегда положи-
'Ч1 ... тельным, если дросселируется газ, для которого можно пренеб-
речь собственным объемом молекул.
( 2.98 J При определении силы поверхностного натяжения капельным
методом число капель глицерина, вытекающего из капилляра, со-
ставляет п = 50. Общая масса глицерина m = 1 г, а диаметр шейки капли в мо-
мент отрыва d = 1 мм. Определите поверхностное натяжение о глицерина.
Дано
Решение
п = 50
m-1 г= 10“3 кг
d = 1 мм = 10 3
F те
Г’ F = -g,
I n
l-7td,
о = 62,5 мН/м.
2.99
Определите радиус./? капли спирта, вытекающей из узкой вертикаль-
ной трубки радиусом г = 1 мм. Считайте, что в момент отрыва капля
сферическая. Поверхностное натяжение спирта о = 22 мН/м, а его плотность
р = 0,8 г/см3.
Л = 1,61 мм.
Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим,
определите работу А , которую надо совершить, чтобы увеличить
его размер с dx = 6 мм до d2 - 60 мм. Поверхностное натяжение мыльного
раствора примите равным 40 мН/м.
Дано
Решение
Т - const
dx = 6 мм = 6 10~3 м
d2 = 60 мм = 6 • 10 2 м
о = 40 мН/м = 4- 10“2Н/м
AE
AS ’
S2 = nd2,
Т = const
AE-A, AS = 2S2-2S,
Sj = nd^
о = const, А - о • 2n(d2 -d^).
А — 2
А = 896 мкДж.
192
(2.101) Две капли воды радиусом г = 1 мм каждая слились в одну боль-
шую каплю. Считая процесс изотермическим, определите умень-
шение поверхностной энергии при этом слиянии, если поверхностное натяже-
ние воды о = 73 мН/м.
Дано Решение
г = 1 мм= 10“3 м Т - const а = const,
о = 73 мН/м = = 73 • 10“3Н/м Т = const ДЕ —? Г = 2К,=-лг3, 3 ДЕ = 2S, - S = 8лг2 - 4л\ Гд S,=4nr2, V,=^r3, 8 з 4 , 2К,=-лг3, И = -лЕ3, 1 3 3 S = V2-r, S = 4яЕ2 = 4л^4 г2, г2 = 4лг2(2-^4),
ДЕ = о AS = о • 4лг2(2 - V?).
ДЕ = 378 нДж.
Давление воздуха внутри мыльного пузыря на Др = 200 Па боль-
ше атмосферного. Определите диаметр d пузыря. Поверхност-
ное натяжение мыльного раствора о = 40 мН/м.
Дано Решение
Ар = 200 Па о = 40 мН/м = 4 • 10"2 Н/м к „2а 8а Др = 2 = —. г d , 8а
d — 1 d =— Ар
Ответ ) j = i,6 мм.
13-2741
<193>
(2.103) Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глуби-
не h = 25 см под поверхностью воды. Определите давление воз-
духа в этом пузырьке. Атмосферное давление примите нормальным. Поверх-
ностное натяжение воды о = 73 мН/м, а ее плотность р = 1 г/см3.
Дано Решение
d - 0,02 мм = 2 10 5 м h = 25 см = 0,25 м р0 = 1,01 105 Па о = 73 мН/м = = 73 10 3 Н/м р = 1 г/см3 = 103 кг/м3 Р= Ро + Р\+Ьр> P\=pgh, А 4а ДР = — = -Г, г d 4а Р = Ро+ Pgh + —. а
( Ответ ) Р = п8кПа.
р — ? к У
( 2.104) Ртуть массой 3 г помещена между двумя параллельными стеклян-
ными пластинками. Определите силу, которую необходимо прило-
жить, чтобы расплющить каплю до толщины d - 0,1 мм. Ртуть стекло не смачи-
вает. Плотность ртути р = 13,6 г/см3, а ее поверхностное натяжение о = 0,5 Н/м.
Ответ
F=2,2 Н.
2.105) Вертикальный стеклянный капилляр погружен в воду. Определи-
те радиус кривизны мениска, если высота столба воды в трубке
h = 20 мм. Плотность воды р = 1 г/см3, поверхностное натяжение о = 73 мН/м.
Дано
h—20 мм = 2 • 10~2 м
р = 1 г/см3 = 103 кг/м3
о - 73 мН/м =
= 73 • 10 3 Н/м
R — ?
Решение
, 2о cosd
А =-------,
pgR
d = 0 cosd -1
R = 744 мкм.
2о
pgh
Q2.10gJ Капилляр, внутренний радиус которого 0,5 мм, опущен в жидкость,
х Определите массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее
поверхностное натяжение равно 60 мН/м.
Дано Решение
г = 0,5 мм = 5 • 10 4 м о = 60 мН/м = 6 10’2 Н/м т —7 Р= F, Р = mg, F = al, 1 = 2лг, 2лго т = . g
( Ответ Л 1О91П-5
J т -1,92 10 кг.
( 2.107 j В стеклянном капилляре диаметром d -100 мкм вода поднима-
ется на высоту h = 30 см. Определите поверхностное натяжение о
воды, если ее плотность р -1 г/см3.
Дано Решение
</=100 мкм = 10"4 м И = 30 см = 0,3 м р = 1 г/см3 = 103 кг/м3 о — ? , 2а cos # —, РФ 2 ° Л и cos# =1, о __ pghd 4
[Ответ о - 73,6 мН/м.
Поверхностное натяжение
о - F/1 или о = &E/AS,
где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур I, ограничи-
вающий поверхность жидкости; АЕ — поверхностная энергия, связанная с
площадью AS поверхности плёнки.
13*
<J95>
<2.108 ) Широкое колено U-образного манометра имеет диаметр dx = 2 мм,
узкое— d2 =1 мм. Определите разность ДА уровней ртути в обо-
их коленах, если поверхностное натяжение ртути с = 0,5 Н/м, плотность ртути
р = 13,6 г/см’, а краевой угол = 138°.
Дано
Решение
dx=1 мм = 2 • 10 ’ м
d2 = 1 мм = 10 ’ м
о = 0,5 Н/м
р = 13,6 г/см’ =
= 13,6 • 10’ кг/м’
# = 138°
ДА — ?
, 2ст cos 5
,
Pgr\
, 2(7 cos #
й2=----------,
pgr2
ДЛ = |й2|-|Л,|,
4(7 COS# [ 1 1
pg <d2 dl
QOmeem \h-5,6 мм.
Изобразите элементарную ячейку ионной кубической объемноцен-
трированной решетки хлористого цезия (CsCl) и определите соот-
ветствующее этой решетке координационное число.
Ответ
Координационное число равно 8.
Изобразите элементарную ячейку ионной кубической решетки
поваренной соли (NaCl) и определите соответствующее этой ре-
шетке координационное число.
Координационное число равно 6.
<196>
Определите наименьшее расстояние между центрами ионов на-
трия и хлора в кристаллах NaCl (две одинаковые гранецентриро-
ванные кубические решетки, вложенные одна в другую). Плотность поварен-
ной соли р = 2,2 г/см3.
Дано Решение
р = 2,2 г/см3 = = 2,2 • 103 кг/м3 М = 58,5 10-3 кг/моль о —? Г,„ = 2NaV} , Г1П = И]=а3, п = з М Р | м 1щр
(Ответ а = 0,28 нм.
Ь Используя закон Дюлонга и Пти, определите удельную теплоем-
кость: 1) натрия; 2) алюминия.
Дано Решение
1) A/Na = 23-10-3 кг/моль 2) Мм —27-10-3 кг/моль 1) cKNa ? 2)<гА| -? cv Ъ=~^, Cy=3R, м 37? cv = —. М
(ОтвСШ^ 1) crNa = 1,08 кДж/(кг К); 2) cvА1 = 0,924 кДж/(кг• К).
Пользуясь законом Дюлонга и Пти, определите, во сколько раз
удельная теплоемкость железа больше удельной теплоемкости
золота.
и = 3,52.
<(197>
Для нагревания металлического шарика массой 10 г от 20 до 50 °C
затратили количество теплоты, равное 62,8 Дж. Пользуясь зако-
ном Дюлонга и Пти, определите материал шарика.
Дано Решение
т = 10 г = 10 2 кг /, = 20 °C C,=3R, с.= —, м
/2 = 50 °C 0=62,8 Дж R - 8,31 Дж/(моль К) Q = t2-tx = At, п 3R м 3Rm(i2-tx) Q- m At, M = M Q
М — ?
М = 0,119 кг/моль, олово.
(ш) Изменение энтропии при плавлении 1 моль льда составило 25 Дж/К.
ХйЫжС' Определите, на сколько изменится температура плавления льда
при увеличении внешнего давления на 1 МПа? Плотность льда р, = 0,9 г/см’,
плотность воды р2 = 1 г/см3.
Дано Решение
V = 1 моль ьр _ L ло г де
М = 18 • 10-3 кг/моль AT Т(У2-1\)’ * ’ Т
AS = 25 Дж/К Ар = 1 МПа = 101’ Па рх = 0,9 г/см3 = 1/ т ™ У\ = —, ш = vM , Pi " р2
= 9 • 102 кг/м3 р2 = 1 г/см3 = 103 кг/м3 лт Т н/ г/чл &p(vM vM} L AS к Рг Pi )
АТ — ? „ vM Ар ( 1 1 A AT = . AS VP2 P\J
Ответ ат = - 0,08 K.
<198>
3. Электричество и магнетизм
3.1. Электростатика
Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заря-
женных капель радиусами 0,1 мм уравновешивается кулоновской
силой отталкивания. Определите заряд капель. Плотность воды равна 1 г/см3.
Q = 0.36 аКл.
Г 3.2 ) Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой дли-
ны, опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см3. Какой должна быть
плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в
керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина £ = 2.
Дано
pK = 0,8 г/см3 = 8 102 кг/м3
a
e = 2
Решение
F = mg tga/2.
FK = ,
4лее0г~
mg = pVg,
F F*
mg mg-FA
F=-V—
г Л 2
4лТ0Г
F4=Pj/g^
P = ^
£-1
P — ?
p = 1,6 г/см3.
( 3.3 J ® вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые
s положительные заряды Q = 2 нКл. Какой отрицательный заряд Q
необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения с его сто-
роны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов?
Дано
Решение
Q = 2 нКл = 2- 10~9Кл
F] + F-, + Fj — О
f} = f2 = -^—^
4ле0 r~
— = cosa,
2R
в,-ч
а = 30°,
F - 2Ft cosa = cosa , Р =
4лт0г"
^v-4cos-a, F = -F3,
4^e07? 4яе0г"
F = -F„ Qy=-^—
2 cosa
= 1,15 нКл.
Свинцовый шарик (p = 11,3 г/см3) диаметром 0,5 см помещен в гли-
церин (р = 1,26 г/см3). Определите заряд шарика, если в однородном
электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Элекгростати-
ческое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность Е = 4 кВ/см.
Дано
Решение
р = 1 1,3 г/см3 =
= 11,3 • 103 кг/м3
d = 0,5 см = 5 10 3 м
р, = 1,26 г/см3 =
= 1,26 103 кг/м3
Е = 4 кВ/см = 4 105 В/м
Q ? Z----------------
С Ответ ) q= 16,1 иКл.
F + Fj = mg , F = QE,
4
mg = p-n\^-j g,
ngd\p-pQ
<^00>
Два точечных заряда Q =4 нКли Q2 = -2 нКл находятся друг от
друга на расстоянии 60 см. Определите напряженность Е поля в
точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если
второй заряд положительный?
Дано
0 = 4 нКл
0, = -2 нКл
/ = 60 см
Е,-?
Е,-?
£-=+|а|) ’ Ег=Е+ ~ Е-=|а|) •
^Ответ £| = 06 = 0,2
СМИНк Определите напряженность поля, создаваемого диполем с элект-
рическим моментом р -1 нКл • м на расстоянии г - 25 см от цен-
тра диполя в направлении, перпендикулярном оси диполя.
Определите напряженность электростатического поля в точке А,
расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды 0 = 10 нКл
и Q2 = -8 нКл и находящейся на расстоянии г = 8 см от отрицательного заря-
да. Расстояние между зарядами 1 = 20 см.
Дано
Решение
0 =10 нКл= 10“8Кл
02=-8 нКл = -8 • 10-’Кл
г = 8 см = 8 • 10“2 м
/ = 20 см = 0,2 м
1) Е = Е.+Е2,
1)
е=е2-ех,
Qi
2) Е = Е] +Е2,
£.. |й|
1 4л£0(/ + г)2 2)
Е
2 4л£0Г2
Е = Ех + Е2, Ех =
1а|
4ж0(/-г)2 ’
Qi
£2=-^2-.
4л£ог
£ /
2- ,
Е —?
А Е
Е А
1) £ = 10,1 кВ/м; 2) £ = 17,5 кВ/м.
На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряжен-
ной плоскости с поверхностной плотностью о = 0,1 нКл/см2 рас-
положена круглая пластинка. Нормаль к плоскости пластинки составляет с ли-
ниями напряженности угол 30°. Определите поток ФЕ вектора напряженности
через эту пластинку, если ее радиус г равен 15 см.
Дано
Решение
о = 0,1 нКл/см2
£ = 30°
г = 0,15 м
£ = 1
Ф£ —-?
Ответ
Ф£ = 3,46 кВ • м.
Фр=Е5со$а, Е = -^~,
2£0
. ° 2
Фр =------яг cosa
2г0
S = лг2,
Ж
3.9 - Определите поток ФЕ вектора напряженности электростатичес-
кого поля через сферическую поверхность, охватывающую точеч-
ные заряды Q = 5 нКл и Q2 = -2 нКл.
Ф£ = 339 В • м.
Расстояние I между зарядами Q - ±2 нКл равно 20 см. Опреде-
лите напряженность Е поля, созданного этими зарядами в точке.
находящейся на расстоянии г, = 15 см от первого и г = 10 см от второго заряда.
^Ответ
£ = 2,14 кВ/м.
В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые поло-
жительные заряды Q = 2 нКл. Определите напряженность элект-
ростатического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон квадрата.
Дано
а = 5 см = 5 • 10“2м
Q = 2 нКл = 2- 10"В 9Кл
Решение
1) -?
2) Е2 — ?
1) ^ = 0;
2) Е2 = 2Е cosa ,
Q
5лЕ0а2 ’
( 3.12 ) Кольцо радиусом г = 5 см из тонкой проволоки равномерно заря-
жено с линейной плотностью т - 14 нКл/м. Определите напря-
женность поля на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на
расстоянии о = 10 см от центра кольца.
Дано
Решение
г = 5 см = 5 10"2 м
г = 14 нКл/м =
= 1,4 • IO’8 Кл/м
а = 10 см = 0,1 м
d£2 - dEsina, У,бЕ2 = О,
£.4-?
Q ~ - г' 2л:г,
а
cosa = —
R
г a dQ _ 2л гаг
' 4я£0(о2 + г2)3у/2 4лг£0(о2 + г2)^2
Еа = 2,83 кВ/м.
Определите поверхностную плотность заряда, создающего вбли-
зи поверхности Земли напряженность Е = 200 В/м.
Дано
Е = 200 В/м
£ = 1
Решение
88й
О = 88оЕ .
О — 2
о = 1,77 нКл/м2.
C j Ц j П°Д действием электростатического поля равномерно заряженной
' ‘"Х бесконечной плоскости точечный заряд Q = 1 нКл переместился
вдоль силовой линии на расстояние г = 1 см; при этом совершена работа 5 мкДж.
Определите поверхностную плотность заряда на плоскости.
Ответ <7 = 8,85 мкКл/м2.
(3.15J Электростатическое поле создается двумя бесконечными парал-
S дельными плоскостями, заряженными равномерно одноименны-
ми зарядами с поверхностной плотностью соответственно о}=2 нКл/м2 и
о2 - 4 нКл/м2. Определите напряженность электростатического поля: 1) меж-
ду плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения
напряженности вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.
(Ответ 1) из в/м; 2) 339 в/м.
Основные физические постоянные
Элементарный заряд е = 1,6-10-19 Кл
Масса покоя электрона те = 9,11 • 10-31 кг
Удельный заряд электрона ejme = 1,76-1011 Кл/кг
Электрическая постоянная с0 = 8,85-10-12 Ф/м
1/(4лг£0) = 9-Ю9 м/Ф
Магнитная постоянная д0 = 4л:-КГ7 Гн/м
<205>
f ЗД& Л Электростатическое поле создается двумя бесконечными парал-
х""" " ' дельными плоскостями, заряженными равномерно разноименны-
ми зарядами с поверхностной плотностью а, = 1 нКл/м2 и а2 = 2 нКл/м2. Оп-
ределите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями;
2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности поля
вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.
1) Ех = 169 В/м; 2) Е2 = 56,5 В/м.
(з.17\) На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд Q-2 нКл.
Определите напряженность Е электростатического поля: 1) на
расстоянии Г] = 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на рассто-
янии г2 = 20 см от центра сферы. Постройте график зависимости £(г).
Ех = 0 , Е2 = 800 В/м, Е3 = 450 В/м.
<206>
3.18
Поле создано двумя равномерно заряженными концентрически-
ми сферами радиусами /?, = 5 см и R2 = 8 см. Заряды сфер соот-
ветственно равны 0, =2 нКли 02 -_1 нКл. Определите напряженность элект-
ростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях:
1) г, = 3 см; 2) г2 = 6 см; 3) r3 = 10 см. Постройте график зависимости £(г).
Дано
Решение
Л, =5 см = 5 • 10“2 м
R2 - 8 см = 8 • 10~2 м
0=2 нКл = 2- Ю-’Кл
0, = -1 нКл = -10~9Кл
г, =3 см = 3 10‘ 2 м
6=6 см = 6 • 10'2 м
г3 = 10 см = 0,1 м
£,, £3-?
£(г)-?
Ej = 0, Е2 = 5 кВ/м, £3 = 0,9 кВ/м.
( 3.1" ) Шар радиусом R = 10 см заря-
....... '' жен равномерно с объемной
плотностью р = 10 нКл/м3. Определите на-
пряженность электростатического поля: 1) на
расстоянии Г] = 5 см от центра шара; 2) на рас-
стоянии r2 = 15 см от центра шара. Построй-
те зависимость £(г).
Д =18,8 В/м, £2 = 16,7 В/м.
( Фарфоровый шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно с
' объемной плотностью р = 15 нКл/м3. Определите напряженность
электростатического поля: 1) на расстоянии г\=5 см от центра шара; 2) на
поверхности шара; 3) на расстоянии г2 = 15 см от центра шара. Постройте гра-
фик зависимости £(г). Диэлектрическая проницаемость фарфора г = 5.
Дано
Решение
R= 10 см = 0,1 м
р = 15 нКл/м3 =
= 1,5 • 10 8Кл/м3
Е = 5
гх = 5 см = 5 • 10 2 3 м
fondS = — fpdK,
2 4 ч
D ] 4лТ| = р—т\
г2 -15 см = 0,15 м
D, = CoeEi ,
Д1 _ Рг\
Е qE 3fg£
1) Ех -?
2) £д-?
----П О 4 1 /ж
г=7?| DR-4nR2 =p-nR\ DR = ~,
1) Е, =5,65 В/м;
2) Er = 11,3 В/м (для г < /?); ER = 56,5 В/м (для г R);
3) Е2 = 25,1 В/м; 4) см. рисунок.
<208>
(3.21 ) Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд,
S равномерно распределенный по всей длине провода с линейной
плотностью 2 нКл/м. Определите напряженность Е электростатического поля
на расстоянии г = 1 м от провода.
£ = —^— = 36 В/м.
2лтг0
Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолиней-
ного коаксиального провода радиусом Rx -1,5 мм заряжен с линей-
ной плотностью г, =0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого про-
вода радиусом R2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью г2 = -0,15 нКл/м.
Пространство между проводниками заполнено резиной ( е = 3 ). Определите
напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на
расстояниях: 1) rx = 1 мм; 2) г2 = 2 мм; 3) г3 = 5 мм.
Дано
Rx = 1,5 мм = 1,5 • 10-3 м
R2 = 3 мм = 3 • 101 2 3 м
Т| = 0,2 нКл/м =
= 2 • 10|0Кл/м
г2 = -0,15 нКл/м =
= - 1,5 10~|0Кл/м
£ = 3
rx = 1 мм = 10 3 м
г2 = 2 мм = 2 • 10"3 м
г3 =5 мм = 5 • 10“3 м
1) Ех -?
2) Е2-?
3) £3-?
Решение
£, = 0,
Е2=—^—,
2Л£О£Г2
тх+т2 _ТХ+Т2
ZLj — —
2Л£О£Г3 2л£0Г3
1) Д = 0;
2) Е2 = 800 В/м;
3) £3 = 180 В/м.
14-2741
209
Электростатическое поле создается положительно заряженной с
постоянной поверхностной плотностью а = 10 нКл/м2 бесконеч-
ной плоскостью. Какую работу надо совершить д ля того, чтобы перенести элек-
трон вдоль линии напряженности с расстояния q = 2 см до r2 = 1 см?
Дано
Решение
а = 10 нКл/м2= 1О"8Кл/м2
q = 2 см = 2 ; 10 '2 м
r2 = 1 см = 10-2 м
е = 1,610"19 Кл
<14 = Fdr,
F = -еЕ,
Электростатическое поле создается положительно заряженной
бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью г = 1 нКл/см.
Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием
внешних сил вдоль линии напряженности с расстояния r} = 1,5 см до r2 = I см?
Дано Решение
т = 1 нКл/см = 10“7 Кл/м е = 1,610'19 Кл , Г "W2 г- Г А = Т = , v = J—, £ = , 2 V m 2тге0г
w = 9,11 10-31 кг ex
q = 1,5 см = 1,5 • 10"2 м F = —еЕ = , dA = F dr, 2xeor
г2 = 1 см = 102 м Г1 _ Ч. _
, г„ . er rdr ex , г,
А = Fdr = ---- —=------In—>
V — ? ; 2тге0 J г 2ле0 г2 ч ч
Q 3.25 J Одинаковые заряды £> = 100 нКл расположены в вершинах квад-
рата со стороной а = 10 см. Определите потенциальную энергию
этой системы.
Дано
Решение
2=100 нКл= Ю’Кл <7 = Ц2 + Ц3 + Ц4 + <723 + <724 + ,
4тге0 а 4тге0 ау/2 4тге0 а
Ответ ) и = 4,87 мДж.
В боровской модели атома водорода электрон движется по круго-
вой орбите радиусом г = 52,8 пм, в центре которой находится
протон. Определите: 1) скорость электрона на орбите; 2) потенциальную энер-
гию электрона в поле ядра, выразив ее в электрон-вольтах.
Дано Решение
г = 52,8 пм = 5,28- 10 11 м е = 1,6-10-19 Кл м = 9,1110-31 кг V — ? и —? mv2 1 е2 Г 4л£0 г2 ' | е2 1 е2 v = U = у 4т0тг ’ 4тге0 г
QOmeem^ г = 2,19 Мм/с, и =-27,3 эВ. 14* <2Н>
Сз.27 л Кольцо радиусом г = 5 см из тонкой проволоки несет равномер-
......—ihX но распределенный заряд 0 = 10 нКл. Определите потенциал <р
электростатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси, проходящей через центр
кольца, в точке, удаленной на расстояние а = 10 см от центра кольца.
Дано
г = 5 см = 5 • 10~2 м
0=10 нКл=10-8Кл
а=10 см = U, 1 м
<Ро — ?
•Ра—?
Решение
1 d2
а<р =------— ,
4тгеп г
. ° dQ Q
<р0 = |т—’
' 4тге0г 4тге0г
Л——dg
<Рл~зл П 2
о 4тге0з/г + а
ро = 18ООВ, рл=805 В.
На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1м равно-
мерно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре
кольца.
</>=100 В.
(3r29j Металлический шар радиусом 5 см несет заряд 0=10 нКл. Оп-
ределите потенциал <р электростатического поля: 1) на поверхно-
сти шара; 2) на расстоянии а = 2 см от его поверхности. Постройте график
зависимости <р(г).
1) <р1 = 1,8 кВ;
2) <р2 = 1,29 кВ.
( 3.30 j Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Оп-
S ределите радиус шара, если потенциал в центре шара равен
= 200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии г = 50 см, <р2 - 40 В.
Дано Решение
( 3.31 ) Электростатическое поле создается положительным точечным
зарядом. Определите числовое значение и направление градиента
потенциала этого поля, если на расстоянии г = 10 см от заряда потенциал ра-
вен tp = 100 В.
Дано
г = 10 см = 0,1 м
р = 100 В
Решение
grady? — ?
Е = -grad^>,
|grad^)| = Е,
4тг£0г
Q
4л£0Г~
Е = — , |grad^| = —•
grad</) = 1 кВ/м, направлен к заряду.
Г 3 32 I Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, за-
ряженной равномерно с поверхностной плотностью сг = 5 нКл/м2.
Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля.
Дано Решение
и = 5 нКл/м2 = = 5 • 10-9 Кл/м2 Е = - grad р, |grad^| = ^-. 2е0 2е0
grad^J — ? Ответ grad$p -282 В/м, направлен к плоскости.
(з.зз) Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью,
заряженной равномерно с линейной плотностью т = 50 пКл/см.
Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на
расстоянии г = 0,5 м от нити.
Ответ j gradp = 180 В/м, направлен к нити.
f 3 34 J Определите линейную плотность бесконечно длинной заряженной
1 нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с
расстояния ц = 5 см до г2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, рав-
на 50 мкДж.
Дано
Решение
Q = 1 нКл= 10~9Кл
г. = 5 см = 5 • 10“2 м
= 2 см = 2 • 1О2 м
dA = Q dp,
Е = ——,
2тге0г
dp = -Е dr , А = — Q Je dr ,
А = 50 мкДж = 5 • 10 5 Дж
У т dr
т — ?
г = 3,03 мкКл/м.
2яепЛ
т =---—
О1п—
In—,
2я£0 r2
2лт0г 2яе0
I 3;352) Электростатическое поле создается положительно заряженной
V X бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля
вдоль линии напряженности с расстояния г, = 1 см до г2 = 5 см, изменил свою
скорость от 1 до 10 Мм/с. Определите линейную плотность заряда нити.
т = 17,8 мкКл/м.
(336) Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, рав-
• номерно заряженной с поверхностной плотностью о = 1 нКл/м2.
Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащи-
ми на расстоянии Xj =20 см и х, = 50 см от плоскости.
Дано
Решение
о = 1 нКл/м2 = 10-9 Кл/м2
х1 =20 см = 0,2 м
х2 = 50 см = 0,5 м
(Р\~'Р2= dx >
£ = —,
2с0
<Pl-<P2 =
~<Р2 — ?
f f ° °
= J£dx = tdx = 4r(x2-X1)-
-iCo ze0
*Pi ~*Р2 =16,9 В.
( 3.37 ) Определите поверхностную плотность зарядов на пластинах плос-
' кого слюдяного (с = 7) конденсатора, заряженного до разности по-
тенциалов U = 200 В, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм.
Дано
Решение
U = 200 В
d = 0,5 мм = 0,5 • 10"’ м
U
D = еоеЕ , D = а, Е = —,
d
_ еоеС/
d
и — ?
о = 24,8 мкКл/м2.
<|ii>
^3j>38 ) Электростатическое поле создается равномерно заряженной сфе-
рической поверхностью радиусом R =10 см с общим зарядом
Q = 15 нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля.
лежащими на расстояниях г, = 5 см и r2 = 15 см от поверхности сферы.
/\<р = 360 В.
Электростатическое поле создается сферой радиусом R = 5 см,
равномерно заряженной с поверхностной плотностью о = 1 нКл/м2.
Определите разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на
расстояниях г, = 10 см и г2 = 15 см от центра сферы.
Дано
Решение
R=5 см = 5 • 10“2 м
о = 1 нКл/м2 = 10-9 Кл/м2
г, =10 см = 0,1 м
г2 = 15 см = 0,15 м
• Pi “ Р-> = dr, Е = —^— Д, Q = о • 4л R~,
; 4яе0 г
roR2 dr aRV 1V aR2f 1 1
•-------------Pl~p2 = I----— =--=-- —----
; V eo k rJ r £o vn r2
• Pi - <p2 = 0,94 B.
(,3-40) Электростатическое поле создается равномерно заряженным ша-
ром радиусом R = 1 м с общим зарядом Q = 50 нКл. Определите
разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях:
1) г, = 1,5 ми г2 = 2 м; 2) г{= 0,3 м и г2 = 0,8 м.
1) Др, =75 В; 2)Др2=124В.
•Pi ~Р2 — ?
3.41 j Электростатическое поле создается шаром радиусом R = 8 см,
......равномерно заряженным с объемной плотностью р = 10 нКл/м3.
Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащи-
ми на расстоянии q = 10 см и г2 - 15 см от центра шара.
Д<р = 0,64 В.
( 3.42 j Электростатическое поле создается шаром радиусом R =10 см,
равномерно заряженным с объемной плотностью р = 20 нКл/м3.
Определите разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на
расстояниях q = 2 см и г2 = 8 см от его центра.
Дано
R= 10 см = 0,1 м
р = 20 нКл/м3 =
= 2- 1О"8Кл/м3
= 2 см = 2 • 10"2 м
г> = 8 см = 8 • 10 2 м
Решение
^,-^2 — ?
-<р2 = ]£ ,
Сг I 2 2 ч
„ . _{РГ А (^Г1 ~г1 ) Р , 2 2ч
<Р1 Зс0-2 ~6£о(Г2"Г1)-
{P\~{Pi = 2,26 В.
<2Г7>
Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром ра-
диусом 8 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью
т = 10 нКл/м. Определите разность потенциалов между двумя точками этого
поля, лежащими на расстоянии q — 2 мм и г2 = 7 мм от поверхности этого
цилиндра.
Дано
Решение
R = 8 мм = 8 • 10 3 м
г = 10 нКл/м = 10 8 Кл/м
г, = 2 мм = 2 • 10-3 м
г2 = 7 мм = 7 • 10-3 м
1Р1 ~<Р2 —
1 г
2я£0 г
R+r2
<Pi~<p2= j£dr
R+r,
R+r2
t rdr t R + r-,
------ I — = In--------- ,
2лто г 2тсег R+r,
и я+г( u-1
T
2Я£О
R + r2
R+r{
<Pl ~<P2 =
<P\ - IP2 = 73 B.
В однородное электростатическое поле напряженностью
£0 = 700 В/м перпендикулярно полю помещается бесконечная
плоскопараллельная стеклянная пластина (е = 7). Определите: 1) напряжен-
ность электростатического поля внутри пластины; 2) электрическое смеще-
ние внутри пластины; 3) поляризованность стекла; 4) поверхностную плот-
ность связанных зарядов на стекле.
Дано Решение
Ео = 700 В/м £ = 7 Е = ^~, £ D = ее0Е ,
Е —? D —7 Р-? D - е0Е + Р, а' = Р. Р = D-е0Е,
о' —2 С Ответ 1) £ = 100 В/м; 2) £>=6,19 нКл/м2;
3) Р = 5,31 нКл/м2; 4) о' = 5,31 нКл/м2.
<218>
С 3.45 j Пространство между пластинами плоского конденсатора заполне-
но парафином ( е = 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм.
Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверх-
ностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см2?
( 3.46 ) Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет
'*——*-*' d = 5 мм. После зарядки конденсатора до разности потенциалов
U = 500 В между пластинами конденсатора вдвинули стеклянную пластинку
(е = 7). Определите: 1) диэлектрическую восприимчивость стекла; 2) поверх-
ностную плотность связанных зарядов на стеклянной пластинке.
Дано Решение
d = 5 мм = 510 3 м U = 500 В е=7 1) X —? 2) о' — ? \ см X II II II -1^ 7 II V * * о- 2.1^ сч и а. II si. | С!
2) а’ = 759 нКл/м2.
ВаЗЕдЯВ Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слю-
дяной пластинке ( е - 7 ) толщиной d = 1 мм, служащей изолято-
ром плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами кон-
денсатора и = 300 в.
Ответ
<т'=15,9 мкКл/м2.
<219>
^3»48^ Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя
...... ", диэлектрика — слюдяная пластинка (Е] = 7) толщиной d] -1 мм
и парафин ( е2 = 2) толщиной d2 = 0,5 мм. Определите: 1) напряженность элек-
тростатических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если
разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 500 В.
Дано Решение
J, = 1 мм = 10"’ м £|=7 d2 = 0,5 мм = 0,5 10 3 м е2=2 U = 500 В 1) £,, Е2 -2 2) D — ? El Е-, D = EqExE}= £qE2E2, —= , £2 «! и = E.d, + Е2d2, Е, = 1122 1 е2^+£^2 £2= —, П = еое1£1. «2
Г Ответ 1) £] -182 кВ/м, £2 = 637 кВ/м; 2) £) = 11,3 мкКл/м2.
(3.49) Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет
' d = 1 см, разность потенциалов U = 200 В. Определите поверх-
ностную плотность о' связанных зарядов эбонитовой пластинки (£ = 3 ), по-
мещенной на нижнюю пластину конденсатора. Толщина пластины d2 - 8 мм.
Дано
Решение
d = 1 см
[/ = 200 В
d2 = 8 мм
е = 3
о' — 2
а' = Р=ие0Е2 =
dl=d-d2,
([/ = Eld] + E2d2, A Jk 1 k + 0
\E2 = EJe, d J di и Er
и * t. -o'
E(d-d2) + d2 ’
(€-1)е0Ц
e(d-d2)+d2
Ответ
о' = 253 нКл/м2.
<Цо>
i3-5t>; Свободные заряды равномерно распределены с объемной плот-
ностью р = 5 нКл/м3 по шару радиусом R = 10 см из однородно-
го изотропного диэлектрика с проницаемостью г = 5 . Определите напряжен-
ность электростатического поля на расстояниях г, = 5 см и г2 = 15 см от цент-
ра шара.
D2 = е0£2 ,
£ =
2 Зеог22
£, = 1,88 В/м; Е2 = 8,37 В/м.
3.51 ) Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм,
разность потенциалов U = 1,2 кВ. Определите: 1) поверхностную
плотность заряда на пластинах конденсатора; 2) поверхностную плотность свя-
занных зарядов на диэлектрике, если известно, что диэлектрическая воспри-
имчивость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, х = 1.
Ответ
1) а = 4,24 мкКл/м2;
2) о' = 2,12 мкКл/м2.
<@>
Пространство между пластинами плоского конденсатора запол-
нено стеклом ( е = 7). Расстояние между пластинами d = 5 мм,
разность потенциалов V = 1 кВ. Определите: 1) напряженность поля в стекле;
2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхнос-
тную плотность связанных зарядов на стекле.
Дано Решение
е = 7 d = 5 мм = 5 101 м £7 = 1 кВ = 103В 1) Е —? 2) о — ? 3) о’ — ? U = Ed, Е = — , d F- ° г & ~, о = еепЕ , ЕЕ0 o' = P=D-е0Е = ее0Е-е0Е = (е - 1)е0£ .
1) £ = 200 кВ/м; 2) о = 12,4 мкКл/м2;
3) о' = 10,6 мкКл/м2.
(з.5з) Определите расстояние между пластинами плоского конденсатора,
если между ними приложена разность потенциалов V = 150 В,
причем площадь каждой пластины S = 100 см2, ее заряд Q = 10 нКл. Диэлект-
риком служит слюда (£ = 7).
Дано Решение
С/= 150 В S = 100 см2 = 10“2 м2 С =10 нКл= 10~8Кл £qeS ___ Q ~ d ' и’
£=7 eoeS Q EqeSU
d U Q
d —?
Ответ ) d = 9,29 мм.
( 3.54 J пластинам плоского воздушного конденсатора приложена раз-
" ность потенциалов 17, = 500 В. Площадь пластин S = 200 см2,
расстояние между ними <7 = 1,5 мм. После отключения конденсатора от источ-
ника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин ( е = 2).
Определите разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэ-
лектрика. Определите также емкости конденсатора С, и С2 до и после внесе-
ния диэлектрика.
Дано
Ut = 500 В
S = 200 см2 = 2 10 2 м2
d - 1,5 мм = 1,5 • 10-3 м
£ = 2
Решение
Q =g2 = 0= const, о = — = const, £1- —,
о fc0
£2= —, и}=Е^, U2 = E2d, и2=—,
е0£ е
С2 = 236 пФ.
Решите предыдущую задачу для случая, когда парафин вносится
в пространство между пластинами при включенном источнике
питания.
Дано
Ц = 500 В
5 = 200 см2 = 2 • 10 2 м2
d = 1,5 мм =1,5- 10 3 м
е = 2
Решение
UX-U2 = U = const,
U2 = 500 В. С, = 118 пФ, С2 = 236 пФ.
<223>
Определите емкость коаксиального кабеля длиной 10 м, если ра-
диус его центральной жилы z, = 1 см, радиус оболочки г2 = 1,5 см,
а изоляционным материалом служит резина (г = 2,5).
Дано
/ = 10 м
Г] = 1 см = 10-2 м
г2 = 1,5 см = 1,5 • 10-2 м
е = 2,5
С —?
С = 3,43 нФ.
Решение
Определите напряженность электростатического поля на рассто-
янии d -1 см от оси коаксиального кабеля, если радиус его цент-
ральной жилы Г] = 0,5 см, а радиус оболочки г2 = 1,5 см. Разность потенциа-
лов между центральной жилой и оболочкой U = 1 кВ.
Дано
d = 1 см = 10-2 м
Г] = 0,5 см = 0,5 10~2 м
г2 = 1,5 см = 1,5 10-2 м
U = 1 кВ= 103В
Е — ?
Решение
Е =--------
2ле0Е6/
Q _rl _ 2ле0е1
2jieqeU
2tte0eU
In — 2m0Ed
И J
и
£ = 91 кВ/м.
<224>
Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер
радиусами = 5 см и г2 = 5,5 см. Пространство между обкладка-
ми конденсатора заполнено маслом (в = 2,2). Определите: 1) емкость этого
конденсатора; 2) шар какого радиуса, помещенный в масло, обладает такой же
емкостью.
1) С = 135 пФ; 2) г = 0,55 м.
Q3.59J Определите напряженность электростатического поля на рассто-
х*"— янии х = 2 см от центра воздушного сферического конденсатора,
образованного двумя шарами (внутренний радиус r( = 1 см, внешний— г2 = 3 см),
между которыми приложена разность потенциалов U = 1 кВ.
Решение
Дано
х = 2 см = 2 • 10-2м
q = 1 см = 10 2 м
>2 = 3 см = 3 10 2 м
С7 = 1 кВ = 103В
Е —?
Е = —-—Д, Q = CU,
4Л£О£ X
С = 4л:е0е Г]Г2 ,
Г2~Г\
„ 1 дт, ,, 1 U г,г7
Е =-----4л£0£—= -у • —.
4Д£0£ >2-rl х X Г2-Ц
Е = 37,5 кВ/м.
Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкости соеди-
нены параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 300 В.
Определите разность потенциалов этой системы, если пространство между
пластинами одного из конденсаторов заполнено слюдой (£ = 7).
Ц = 75 В.
15-2741
225
3.61
Разность потенциалов между точками А и В U = 9 В. Емкость
конденсаторов соответственно равна С, = 3 мкФ и С2 - 6 мкФ.
Определите: 1) заряды Q и Qz! 2) разность потенциалов Ц и U2 на обкладках
каждого конденсатора.
Дано Решение
U = 9 В С, =3 мкФ = 3 10^ Ф С-> = 6 мкФ = 6 10^ Ф и = 1\+и2, С1 Q1 = Q2 = Q = const, А- 1|—1^-_?
Qi, Q2~? и и с
ц, t/2—? с. ОД=С2С/2, C/2 = Qt/',
[/_ц+ ц, U2=U-Ut, Qi = Q2 = C^.
Q Ответ и^вв, и2=з в, Q} = Q2 = 18 мкКл.
( 3.62 ) Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последова-
тельно соединенными конденсаторами, С = 100 пФ, а заряд
Q = 20 нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность по-
тенциалов на обкладках каждого конденсатора, если Q = 200 пФ.
Дано Решение
С = 100 пФ = 10 |ОФ 2 = 20 нКл = 2- 10“8Кл С] =200 пФ = 2- 10-'°Ф с2 -? Ц-? Ц-? Q = e2 = e=const, i=K+7“’ V V] С^2 сс, г, Q Q 2 С] - С с, 2 с2 Ответ с2 = 200 пФ, с/, = ioo в, и2 = 100 в.
3.63R
Определите емкость С батареи конденсаторов, изображенной на
рисунке. Емкость каждого конденсатора С, = 1 мкФ.
Дано
Решение
$$$ Уединенная металлическая сфера электроемкостью С = 4 пФ за-
•....ряжена до потенциала <р = 1 кВ. Определите энергию поля, зак-
люченную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сфери-
ческой поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной
сферы.
J J 2 { (4л)2£цг4 2 8лг0 {г2 8ле0 \ гJ
К v v к
С2<р2 Г 1 И С2у>2 Г 1 П _ с2у>2 3-4ле0 _ 3Q>2
8лг0 V R R] J 8ле0 \ R 4R/ 8ле0 4С 8
[ Ответ ) w = 1,5 мкДж.
15*
<227>
Две концентрические проводящие сферы радиусами R ,= 20 см и
R2 = 50 см заряжены соответственно одинаковыми зарядами
Q = 100 нКл. Определите энергию электростатического поля, заключенного
между этими сферами.
с0С?2 4л г2 dr _ Q2 1 1
2 • (4яг0 )2 г4 8 ле0 [ R । R2
Дано
R\= 20 см = 0,2 м
R2 =50 см = 0,5 м
Q = 100 нКл = 10-7 Кл
W — ?
«2
ИГ = 4яг2 dr, W = J
к.
W -135 мкДж.
Сплошной эбонитовый шар ( « = 3 ) радиусом R = 5 см заряжен
равномерно с объемной плотностью р = 10 нКл/м3. Определите
энергию электростатического поля, заключенную внутри шара.
Дано Решение
£ = 3 /?=5 см р= 10 нКл/м3 = 10"8Кл/м3 dJV-wd^, w - Е°£^ , Е = -^~, d7 = 4?rr2dr, 2 EEq
W — ? <15 = JpdK, /)-4лг2 = p—яг3, D = —, s v 3 3
D2 р2г2 w = = , 2г0г 18гог R 2 . R W = [ w d V = [ w- 4m-2 dr = — — f r4 dr = J Jo I
n г R -у
2лр1 г5 _ 2лр
9с0£ 5 о 45еог
17 = 0,164 пДж.
<228>
3.67- J Сплошной шар из диэлектрика радиусом R = 5 см заряжен рав-
номерно с объемной плотностью р = 10 нКл/м3. Определите энер-
гию электростатического поля, заключенную в окружающем шар пространстве.
^Ответw = 2,46 пДж.
^3.68 j Шар, погруженный в масло ( е = 2,2 ), имеет поверхностную плот-
ность заряда о = 1 мкКл/м* 2 и потенциал <р = 500 В. Определите:
1) радиус шара; 2) заряд шара; 3) емкость шара; 4) энергию шара.
Дано Решение
г = 2,2 0 = 1 мкКл/м2 = 106 Кл/м2 у; = 500 В 1)/?— ? 2) С—? Э 1 Q OR Q-oS -о-4nR2, <р= = , 4лг0£ R еое R=WP C=431EqeR, w = — . о 2
з)с-? ( W—? 4 Ответ Л 1) R = 9,14 мм; 2) Q = 1,19 нКл; ‘ 3) С = 2,38 пФ; 4) W = 0,3 мкДж.
Л 2 фр А В однородное электростатическое поле напряженностью Ео =100 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пла- станку (£ = 7 ) толщиной d = 1,5 мм и площадью 200 см2. Определите: 1) по- верхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электроста- тического поля, сосредоточенную в пластине.
Решение
Дано
Eq = 700 В/м
е = 7
d= 1,5 мм = 1,5 10’3 м
5 = 200 см2 = 2- 10~2м2
о’ — ?
W —?
Е = ^, D = EqEE, В = е0Е + Р,
Е
о' = р=£0(г -1 )Е = £°(£ , Г Ответ
г
IP _ еоеЕ2 _ EqEq o'= 5,31 нКл/м2;
2 2e Д'= 9,29 пДж.
(3.70 ) Плоский воздушный конденсатор емкостью С -10 пФ заряжен
до разности потенциалов Ц = 500 В. После отключения конден-
сатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора
было увеличено в 3 раза. Определите: 1) разность потенциалов на обкладках
конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению
пластин.
^Ответ 1) Ц =1,5 кВ; 2) Л = 2,5 мкДж.
К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена раз-
ность потенциалов U, = 500 В. Площадь пластин 5 = 200 см2,
расстояние между ними d, -1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния
d2 = 15 мм. Найдите энергию W, и W2 конденсатора до и после раздвижения
пластин, если источник напряжения перед раздвижением: 1) отключался; 2) не
отключался.
Дано Решение
U, = 500 В 5 = 200 см2 = 2- 10“2м2 d, = 1,5 мм = 1,5 • 10 3 м d2 = 15 мм — 1,5 • 10“2 м 1) Q = const 2) U = const 1) W,, W2 —? 2) f?,, W2 —? c. £0S c2 - , «2
i) Q = const C,u, = c2u2,
w. _С1Ц2 t 'qSU|2
2 _ ... 2 2J, ’ e0Sd2U^ d2
2d2d? 1 d, ’
2) U = const Q, = C,U„ Q2 = C2U„
Crf^SU]_ 1 2 2d, _ Q^|2 _ ^SUfd, _ d, 2 2d2d, 1 d2
Q Ответ ^i) w, =1 4,8 мкДж, W2 =148 мкДж; 4,8 мкДж, W2 = 1,48 мкДж.
2) ^=1
<2зо>
(3.72J Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора
' U = 100 В. Площадь каждой пластины 5 = 200 см2, расстояние
между пластинами d = 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафи-
ном ( е = 2 ). Определите силу притяжения пластин друг к другу.
Дано
[/ = 100 в
5 = 200 см2 = 2 • 10 2 м2
d = 0,5 мм = 0,5 • 10"3 м
е = 2
Решение
( EqeSU у 1 _ e0eSU2
"I d ) 2e0eS~ 2d2
Q = CU,
F — 2
F=7,08 mH.
(3.73) Пространство между пластинами плоского конденсатора запол-
’ ' нено слюдой (£ = 7). Площадь пластин конденсатора составляет
50 см2. Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если
пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1 мН.
Дано Решение
£ = 7 5 = 50 см2 = 5- 10 3 м2 F=l мН= 10 3Н Q=°s, |F| = -^- = f^-, 2£0£d 2еое I2e0sF 0 1 2F
О' — ? <t = J—У—, E = = , \ S £q£ V £oeS
<т' = е0(е-1)Е = (£-1),
sS
Ответ
о' = 4,27 мкКл/м2.
СУ ПРостРанство между пластинами плоского конденсатора запол-
нено стеклом (е - 7 ). Когда конденсатор присоединили к источ-
нику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Опреде-
лите: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) элект-
рическое смещение; 3) напряженность электростатического поля в стекле;
4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плот-
ность энергии электростатического поля в стекле.
Дано Решение
£ = 7 р — 1 Н/м2 р=И=-<,
2f0f£ 2f0f £ 2f0f
1) о —?
2) D 1) О = ^1£0£р ,
3) Е
4) а' -? 2) D-о,
5) w — 2 D 3) £ = ,
£0£
4) o' = х f0£ = f0(f -1)£,
5)»=^. 2
QOmeem 1) а = 11,1 мкКл/м2;
2) D = 11,1 мкКл/м2;
3) £ = 179 кВ/м;
4) о' = 9,5 мкКл/м2;
5) w = 0,992 Дж/м3.
Сила притяжения между двумя разноименно заряженными
обкладками конденсатора
_ Q _ о S _ £qc£ £
1 1 ~ 2£o£S ~ 2£0£ - 2
3.2. Постоянный электрический ток
Сила тока в проводнике равномерно нарастает от 70 = 0 до 1 = 2 А
в течение времени г = 5 с. Определите заряд, прошедший по про-
воднику.
Дано Решение
/О = о /=2 А г = 5 с dg= I d/, l = kt, k = LzJ$- = L^ dQ = ktdt, r r
Определите плотность тока, если за 2 с через проводник сечением
1,6 мм2 прошло 2 • 1019 электронов.
Дано Решение
t = 2 c 5 = 1,6 мм2 = 1,6- Ю^м2 W = 21019 j -? S’ t Ne Q-Ne, j = ~T- v St
Q Ответ ; = ia/mm2.
Плотность тока в проводнике
j - ne(v),
где (v) — скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; п — кон-
центрация зарядов.
<233>
(. • 'ч-------------------------------------------------------
3.77 J По медному проводнику сечением 0,8 мм2 течет ток 80 мА. Най-
'* дите среднюю скорость упорядоченного движения электронов
вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один сво-
бодный электрон. Плотность меди р = 8,9 г/см3.
Дано
S = 0,8 мм2 = 0,8- IO^m2
7 = 80 мА = 8- 102 A
n = n’
p = 8,9 г/см3 =
= 8,9 103 кг/м3
M = 63,5 • 10-3 кг/моль
e = l,6 10-19 Кл
TVA = 6,02 - IO23 моль-1
Решение
j = ne{v),
= NKp
MI
NKpeS ’
п = п
) (v) = 7,4 мкм/с.
Определите суммарный импульс электронов в прямом проводе длиной / = 500 м, по которому течет ток 7 = 20 А.
Дано Решение
1 = 500 м 1 = 20 А р = Nm(y), j = ne(y), n = 15;
/л = 9,1110’31 кг е = 1,6 Ю’19 Кл . I J~ S' V = Sl, _7 _ s” N / \ SI '
Р — ? ' ' Ne. p = Nm(y\ = mil e
(Ответ ) <-,n in-8 ,
J p = 5,69 • 10 кг • м/с.
<234>
3.79
Определите общее сопротивление между точками А и В цепи,
представленной на рисунке, если 7^=1 Ом, Л2=3 Ом,
/?3 = /?4 = 7^ = 2 Ом, Т?5 = 4 Ом.
Дано
R\ = 1 Ом
R2 = 3 Ом
R3 = R4 = 7^ = 2 Ом
R5 = 4 Ом
R —1
Решение
Рисунок б) — эквивалентная схема.
*3*6
/?з + 7^ ’
Определите сопротивление проволочного каркаса, имеющего фор-
му куба, если он включен в цепь между точками А и В. Сопротив-
ление каждого ребра каркаса г = 3 Ом.
Дано
Решение
г = 3 Ом
Л-?
Рисунок б) — эквивалентная схема.
„ г г г 5г
R=—+—+———.
3 6 3 6
R = 2,5 Ом.
[3i8F»z) Вольтметр, включенный в сеть последовательно с сопротивлени-
ч*' ....ем /?|, показал напряжение Ц = 198 В, а при включении после-
довательно с сопротивлением R2 - 2RX показал С72 = 180 В. Определите со-
противление Rx и напряжение в сети, если сопротивление вольтметра г = 900 Ом.
Дано
Решение
Ц =198 В
Ц, =180 В
г = 900 Ом
R, = 2RX
V = const
Ux(Rx+r) = U2(R2 + r), Ui(Ri+r) = U2(2Ri+r),
R _(UX—U2)r
1 2U2-UX
Rx= 100 Ом, (7 = 220 B.
r \ r
В цепи на рисунке амперметр показывает силу тока I = 1,5 А. Сила
тока через сопротивление R! равна 1Х = 0,5 А. Сопротивление
R2 = 2 Ом, R3 = 6 Ом. Определите сопротивление R!, а также силу токов 12
и /3, протекающих через сопротивление R2 и R3.
Дано Решение r2
7 = 1,5 А 1х = 0,5 А R2 = 2 Ом R3 = 6 Ом Л.-? ° * 1 1 1 ’ L/M ° Ry I = Ix + I2 +13, U — const, 1 1 D D /12 । /yj R (j—ix)r2r3 z = ! =Л*1 1 Ix(R2 + R3) ’ 2 R2 R2 ’ J R3 '
( Ответ А-? V ) R, = 3 Ом, 12 = 0,75 A, I3 = 0,25 A.
<236>
( 3.83 ) Через лампу накаливания течет ток, равный 0,6 А. Температура воль-
х. — .X фрамовой нити диаметром 0,1 мм равна 2200 °C. Ток подводится
медным проводом сечением 6 мм2. Определите напряженность электрического поля:
1) в вольфраме (удельное сопротивление при 0 °C р0 = 55 нОм • м, температур-
ный коэффициент сопротивления а = 0,0045 °C"1); 2) в меди (р = 17 нОм • м).
Дано Решение
1 = 0,6 А d = 0,1 мм = 104 м и’ и Ъ 1 Гч
/ = 2200 °C 5 = 6 мм2 р0 = 55 нОм м = 1) j\ = УЕ\ = —, Р\ Pt = р0(1 +at),
= 5,5 • 10 8 Ом • м а = 0,0045 °C-1 I I 4/ =/iPi=—3-Po(J+«0- nd
J' ~ 5, " nd2/4 '
р = 17 нОм • м = = 1,7 • 10 8 Ом • м 2)j2= — , Р и и fa? II
1) Ех — ? 2) Е2 — ? QOtneem^ 1) E, = 45,8 В/м; 2) E2 = 1,7 мВ/м.
^3.84 По алюминиевому проводу сечением 5 = 0,2 мм2 течет ток
I = 0,2 А. Определите силу, действующую на отдельные свобод-
ные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление алю-
миния р = 26 нОм • м.
Дано Решение
5 = 0,2 мм2 = 0,2- Ю^м2 7 = 0,2 A p = 26 нОм • м = = 2,6 • 10 8 Ом • м e = l,6-10-19 Кл и " hq bj| Q. II II t*. “X | CO - -9-1^ I CO V 4 | Q. ^-|co
F — ? ^Otneem E = 4,1610-21 H.
<237>
Электрическая плитка мощностью 1 кВт с нихромовой спиралью
предназначена для включения в сеть с напряжением 220 В. Сколь-
ко метров проволоки диаметром 0,5 мм надо взять для изготовления спирали,
если температура нити равна 900 °C? Удельное сопротивление нихрома при 0 °C
р0 = 1 мкОм • м, а температурный коэффициент сопротивления а = 0,4 • 10 3 К-1.
Дано
Р = \ кВт= 103Вт
V = 220 В
d = 0,5 мм = 0,5 • 10-3 м
t = 900 °C
р0 =1 мкОм м =
— 106Ом•м
а = 0,4 10-3 К’1
I —?
Решение
и I I
P = ~Z’ р = Р-^ = Ро^ + ^-,
1\ о о
nd2 i^u2s _
4 ’ Рр 4Pp0(\ + at)
1 = 6,99 м.
3.86J Два цилиндрических проводника одинаковой длины и одинаково-
го сечения, один из меди, а другой из железа, соединены парал-
лельно. Определить отношение мощностей токов для этих проводников. Удель-
ные сопротивления меди и железа равны соответственно 17 и 98 нОм • м.
Дано
h = h = i
S' = s2 = s
P\=V1 нОм • м =
= 1,7 • 10 8 Ом • м
р2 = 98 нОм • м =
= 9,8 • КГ8 Ом • м
Решение
V - const
п U2 D I
R'~Prs’
К । о
p_U2S Р1_Р2
P\l Pl1 Р2 Р\
Сила тока в проводнике сопротивлением R = 120 Ом равномерно
возрастает от /0 = 0 до /тах = 5 А за время т = 15 с. Определите
выделившееся за это время в проводнике количество теплоты.
Дано Решение
Л = 120 Ом /О = о Апах — А г = 15 с dQ = l2Rdt, l = kt, к = , т Q = jdg= fk2Rt2 dt = —k2Rr3. о 3
е-? {Ответ 2 = 15 кДж.
С 3 88 у Сила тока в проводнике сопротивлением Л =100 Ом равномерно убывает от 70 -10 А до I - 0 за время т - 30 с. Определите вы-
делившееся за это время в проводнике количество теплоты.
£> = Ю0 кДж.
( 3 J Определите напряженность электрического поля в алюминиевом
К» ’, проводнике объемом V = 10 см3, если при прохождении по нему
постоянного тока за время t = 5 мин выделилось количество теплоты Q = 2,3 кДж.
Удельное сопротивление алюминия р = 26 нОм • м.
Дано Решение
Г = 10 см3= 10-’м3 t = 5 мин = 300 с 2 = 2,3 кДж = 2,3 • 103 Дж Q е2 г. 1— [ёо Vt’ p ’ У \ Vt
р = 26 нОм • м =
= 2,6 10-8 Ом • м
E Q Ответ e=o,141 b/m.
<239>
( 3Ж Плотность электрического тока в медном проводе равна 10 А/см2
Определите удельную тепловую мощность тока, если удельное
сопротивление меди р = \1 нОм • м.
w = 170 Дж/(м3 • с).
Определите ток короткого замыкания источника ЭДС, если при
внешнем сопротивлении R j = 50 Ом ток в цепи 7j = 0,2 А, а при
Я2=110 Ом — 12 = 0,1 А.
Дано
R! = 50 Ом
1Х = 0,2 А
Т?2 = 1Ю Ом
А = 0,1 А
Решение
71(/?1+г)=72(/?2 + г),
R2 + г
4*1, =;,(/?,+г),
Л “У2
z2/?2-V?,
JK1 = 1,2 А.
Q3.92J В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением R = 8 Ом,
включают вольтметр, сопротивление которого /?г=800 Ом, один
раз последовательно резистору, другой раз — параллельно. Определите внут-
реннее сопротивление батареи, если показания вольтметра в обоих случаях
одинаковы.
г = 0,08 Ом.
240
3#
На рисунке R^= R2 = R3 = 100 Ом. Вольтметр показывает
Uy = 200 В, сопротивление вольтметра Ry- 800 Ом. Определи-
те ЭДС батареи, пренебрегая ее сопротивлением.
Дано
Rx= R2 = R2 = 100 Ом
Uy= 200 В
Лг=800 Ом
? -?
Решение
_Uy_ Uy
V Ry’ 2 R2 + R3’
lx = Iy + I2,
R [ Rv(R2 + R1)
R y+ R2 + R3
k ' ) * = 325 B-
На рисунке сопротивление потенциометра R = 2000 Ом, внутрен-
нее сопротивление вольтметра Rv= 5000 Ом, (70 -- 220 В. Опре-
делите показание вольтметра, если подвижный контакт находится посередине
потенциометра.
Дано Решение
R=2000 Ом rx=r2^^,
Kr=5000 Ом 2
Uo = 220 В R/2_ ly
/, = /2 = Z/2 Rv Л)-
— J R/2-i0
Uy — ? V R/2+Ry’
ие
_____
R/2+ W-Rv
R/2 + Ry
Uy — lyRy—
R/2-U0Ry
R/2+ Rl'2 Rv l(/?/2+/?r)
1 R/2+Ryf 1
R?uQ
R/2+2Ry
Uy = \W в.
16-2741
Определите ЭДС и внутреннее сопротивление г источника
тока, если во внешней цепи при силе тока 4 А развивается мощ-
ность 10 Вт, а при силе тока 2 А мощность 8 Вт.
Дано Решение
7, =4 А P = PI, t=I(R + r),
/]=10 Вт
Рх=Р1х-12г, г = -^-, P2=PI2-fy,
/2=2А
Р2 = 8 Вт ^0 II ч 1 3* 1 io и । ч + io j |
7f Ix Ix
( /( il\ p px
г — 2 I ly) V h) h ly
г = 0,75 Ом.
(3.96 J Даны четыре элемента с ЭДС &= 1,5 В и внутренним сопротивле-
нием г = 0,2 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы по-
лучить от собранной батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имею-
щей сопротивление R = 0,2 Ом? Определите максимальную силу тока.
Дано Решение
k = 4 P—nP I — I2—г [пит— соответственно число
P=l,5 В m
r = 0,2 Ом последовательно и параллельно соединенных элемен-
Я =0,2 Ом Тов]> /=/тах, д7 = И<?~2/£Г = 0’
/ —? max 1 = ———, п^-/(р + — г!
п п R+ г
IR+ I—r-2I—r = 0, w
у На рисунке /?,=/?2=50 Ом, /?3= 100 Ом, С = 50 нФ. Определи-
’ те ЭДС источника, пренебрегая его внутренним сопротивлением,
если заряд на конденсаторе Q = 2,2 мкКл.
Дано
Rl=R2= 50 Ом
/?3= 100 Ом
С=50 нФ = 5 • 10~8Ф
Q = 2,2 мкКл =
= 2,2- 10“6Кл
-?
Решение
и = и,с = — ,
с с
R\ + R2
Q(R\ + R2) у =JR = Q(Rl + R2)R3
CRxR2 ’ 3 3 CR'R2
л = с/+^/3 = -^Г1+^-^з у Г Ответ Л л = 22о в.
3.98^) На рисунке Rf=R, R2-2R, R3=3R, 1?4= 41?. Определите за-
ряд на конденсаторе.
Решение
70 - 21 “ y2 +
h = h >
1?2з = 1?2 + 1^3 — 51?
IF
/?i
Ri
r4
_ R23Rt _20R -------------
234 R23 + R4 9
„ „ „ „20/? 29/?
Rq - /?,+ /?234 - /?+—— ,
5 9
/2 + /4 = A +—/2 4,
I 9U0
0 Rq 29R ’
9 , _ 9 Uo
Дано
RX = R
R,=2R
R3 = 3R
R4=4R
Q-2
hR23 = = T
ис = 1^ + 1Л=^и0, Q=CUc = ^U0C.
( Ответ ^q^—u.c
X_______Zv 29 0 ’
16*
<ЙЗ>
Q 3«99 J В плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого
х.",.........d = 5 мм, вдвигают стеклянную пластину ( е = 7) с постоянной ско-
ростью v = 50 мм/с. Ширина пластины b - 4,5 мм, ЭДС батареи F = 220 В. Оп-
ределите силу тока в цепи батареи, подключенной к конденсатору.
Дано Решение
<7 = 5 мм = 5 10"3 м е = 7 v = 50 мм/с = 5 • 10"2 м/с b = 4,5 мм = 4,5 • 10 3 м Л = 220 В I — ? dt dQ = o'vb dt, o' = £0 x E, X=£-l, £ = -7, a AQ^eo(e-
&
l = E0(E-l)—vb.
а
/ = 526 пА.
Два источника тока с ЭДС <^ = 2 Ви #> = 1,5 Ви внутренними
сопротивлениями г( = 0,5 Ом и г2 = 0,4 Ом включены параллель-
но сопротивлению R = 2 Ом. Определите силу тока через это сопротивление.
Дано
Л] =2 В
<*2 = 1,5 В
г} = 0,5 Ом
г2 - 0,4 Ом
R = 2 Ом
Решение
IR + ,
77? + 1^2 ~ >
у __ ^Г2 + &2Г\
7&1 + ГуГ2 + Rr2
7=0,775 А.
^3 101J РисУнке = ~ - 48 Ом,
4 R2 = 24 Ом, падение напряжения U2 на
сопротивлении R2 равно 12 В. Пренебрегая внутрен-
ним сопротивлением элементов, определите: 1) силу
тока во всех участках цепи; 2) сопротивление R3.
1) 7, = 0,25 А, 12 = 0,5 А, 73 = 0,75 А; 2) R3 = 16 Ом.
На рисунке ^ = 2 В, Ri = 60 Ом, R2 = 40 Ом, R3 - R4 - 20 Ом и
Rq = 100 Ом. Определите силу тока /с через гальванометр.
Дано Решение а) Rx —। 1 /?2 1 1—
т с и о <ч ч ? _ s о о . 2 2 ° О II II < „ ° ° II о < С CQ О о л? ° »• — сз 40 Т 7 1 + + + и и и II 11 ' < а?‘ о? ,чо сч чс « 7=71 + 7з, 7, = 72 + 7g, 72 + 74 = Л /3+4?=Л; -а! La-
о + 'оч Ь? О>' -7" “7 "rZ £ Q +*++ + + О чэ' О' + + ' + II II bJ с> *| *11 II 1 р р р II bJJ k> ьэ Чк, сз ' -• о» II о —>4
1~1 О Ч 0,2 107,-47(5=0,2 _> 7,= — 2 -> 74 = «— 7 0,2 + 27g 4
67, + 10/G + 274 = 0,2,
/0,2+47g
t 10
+107g + 2
0,2+ 27G
4
= 0,2,
1,2 +247G + 1007c + l + 107c = 2, 1347G=-0,2, 7C =-l,49-10-3 A.
[ Ответ } h; = 1’49 мА, направлен в сторону, противоположную пер-
S воначально выбранной.
<ж>
На рисунке ^ = 10 В, #>=20 В, #, = 40 В, а сопротивления
/?1 = /?2 = /?3 = /?=10 Ом. Определите силу токов, протекающих
через сопротивления (7) и через источники ЭДС (Г). Внутреннее сопротивле-
/3 = 2 А, Л, = 3 А, 7, = 1 А;
Д = 3 А, /£ = 0, = -2 А,
направлен в сторону, противоположную первоначально выбранной.
7, = 1 А,
Л' = 2 А,
/2=ЗА, /3 = 2 А,
/2 = 0,
Д=3 А.
3.3. Электрический ток в металлах,
в вакууме и газах
3.104?
Определите минимальную скорость электрона, необходимую для
ионизации атома водорода, если потенциал ионизации атома во-
дорода (7, = 13,6 В.
Дано Решение
Ц = 13,6 в е = 1,6-10’19 Кл и = 9,1110-31 кг eU v, = 1^1 i ’ min 11 2 V т
"min — ? Q Ответ vmin = 2,19 Мм/с.
Отношение работ выхода электронов из платины и цезия
ylpt/Jcs -1,58 . Определите отношение минимальных скоростей
теплового движения электронов, вылетающих из этих металлов.
^Pt/^Cs 1,26.
( ЗдШгЛ Ра®ота выхода электрона из металла А = 2,5 эВ. Определите ско-
✓ рость вылетающего из металла электрона, если он обладает энер-
гией JV = 10-18 Дж.
Дано Решение
А = 2,5 эВ = 4- 10‘19Дж W = 10-18 Дж ти1 1 — — = W-A, v — ^2(W-A)/m.
V —? С Ответ } v = i,i5 Мм/с.
.107) Термопара железо — константан, постоянная которой
..... ' “Г а = 5,3-10-5 В/К и сопротивление R = 15 Ом, замкнута на галь-
ванометр Один спай термопары находится в сосуде с тающим льдом, а второй
помещен в среду, температура которой не известна. Определите эту температу-
ру, если ток, протекающий через гальванометр, I = 0,2 мА, а внутреннее со-
противление гальванометра г = 150 Ом.
Q Ответ ^/ 896~ic
(ЗЛОЗ) Термопара РТ железо—константан и соединенный с нею после-
довательно гальванометр включены, как показано на рисунке, где
А — батарея с ЭДС, равной 1,5 В. Полное сопротивление потенциометра равно
15 кОм. Холодный спай термопары находится в сосуде с тающим льдом. По-
стоянная термопары а = 5,3 -10-5 В/К. Определите температуру горячего спая
термопары, если при сопротивлении RAB = 150 Ом сила тока в цепи гальвано-
метра равна нулю. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Дано
Р = 1,5 В
R1С = 15 кОм =
= 1,5 • Ю4Ом
а = 5,3-1О-5 В/К
То = 273 К
Rab = 150 Ом
Решение
Ig _ 0 ~ Рав ~ IR.ab
(I - сила тока в потенциометре),
I = ^Rac,
Rab ^ас
Рт = а(Т-Т0),
Т - R 4- т
Rac а
Т —?
Ответ
7 = 556 К.
31 09 J Определите работу выхода электронов из металла, если плотность
‘У тока насыщения двухэлектродной лампы при температуре Тх рав-
на j\, а при температуре Т2 равна J2
Решение
71
Т2
7*2
у, = СТ2еАКкТ},
Jjj2=(.T}/T2)2ek^ 71
kVT2 TtJ [j2T2)
i - CT2e-A^k7">
j2-ci2e
kTJ2 ln[^, |
T\~T2
Выведите зависимость скорости изменения плотности термоэлек-
тронного тока насыщения от температуры.
(Ответ"') Фнас _ дТ ~ 1 \2Т + — < * J е-л/(И)
Ток насыщения при несамостоятельном разряде /нас - 6,4 пА. Най-
дите число пар ионов, создаваемых за 1 с внешним ионизатором.
Дано Решение
/нас=6,4 пА=6,4 -1042 А t = l с N — ?. Q=2Ne, I — , ТУ - 2е
QOtneem а = 2 ю7.
3.112
Потенциал ионизации атома водорода U, -13,6 В. Определите
температуру, при которой атомы имеют среднюю кинетическую
энергию поступательного движения, достаточную для ионизации.
Дано Решение
Uj = 13,6 в eUi = -kT, Т = ^-.
Т — ? 2 Зк
(Ответ Г = Ю5 кК.
Q3.113J Определите температуру, соответствующую средней кинетичес-
• кой энергии поступательного движения электронов, равной рабо-
те выхода из вольфрама, если поверхностный скачок потенциала для вольфра-
ма 4,5 В.
Дано Решение
(£) = а у> = 4,5 В Т — 2 W I № 11 " to 1 w 1'6 - "Ч Ю | w X- II KJ I' II -6
Q Ответ г = 348 кК.
Основные физические постоянные
Постоянная Больцмана к = 1,38 10 23 Дж/К
Элементарный заряд е = 1,6 10-19 Кл
Масса покоя электрона те = 9,11 10’31 кг
3.4. Магнитное поле
^3.1у4-р ® однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл помещена
квадратная рамка площадью S = 25 см2. Нормаль к плоскости
рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60°. Определите вра-
щающий момент, действующий на рамку, если по ней течет ток I = 1 А.
Дано Решение
В =0,1 Тл м = [рт,в], ; *
5 = 25 см2 = 25 • IO 4 м2 М - ртВ sina , ********* *
а = 60°
/=1 А Pm = is, — *В * * * М = ISBsina. ц
М — ? ►
Ответ ) м = 217 мкН • м.
В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл находится
прямоугольная рамка длиной а - 8 см и шириной b = 5 см, со-
держащая N = 100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке I = 1 А, а плоскость
рамки параллельна линиям магнитной индукции. Определите: 1) магнитный
момент рамки; 2) вращающий момент, действующий на рамку.
Ответ
1) рт = 0,4 А • м2;
2) М = 0,2 Н • м.
Основные физические постоянные
Электрическая постоянная е0 = 8,85 • 10”12 Ф/м
Магнитная постоянная ,по = 47Г-10“7 Гн/м
Масса покоя протона тр = 1,627 • 10-27 кг
<25?>
(3.116J В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл находится
квадратная рамка со стороной а = 10 см, по которой течет ток
1 = 4 А. Плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Оп-
ределите работу А, которую необходимо затратить для поворота рамки относи-
тельно оси, проходящей через середину ее противоположных сторон: 1) на 90°;
2) на 180°; 3) на 360°.
1)4= 0,04 Дж; 2) А, = 0,08 Дж; 3) А3 = 0.
Тонкое кольцо массой 10 г и радиусом R = 8 см несет заряд, рав-
номерно распределенный с линейной плотностью т = 10 нКл/м.
Кольцо равномерно вращается с частотой п = 15 с 1 относительно оси, пер-
пендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определите:
1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отноше-
ние магнитного момента к моменту импульса кольца.
Дано Решение
т = 10 г = 10 2 кг R = 8 см = 0,08 м т = 10 нКл/м , Q r -2xR . р = IS, 1 =— =2mrtR, 4 Т Т S = TtR2, T-l/n, 1 Pm
pm = 2лптВ • nR2 = 2л2 mfP,
1) Ап -? 2) PJL-1 L = mvR, v = wR = 2nnR, pm/L = 2л2птВ?Дп-2лпВ1')= nrR/m. '"'*7
1) рт = 1,52 нА • м2; 2) pm/L = 251 нКл/кг.
Принимая, что электрон в атоме водорода движется по круговой
...... орбите, определите отношение магнитного момента рт эквивален-
тного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона.
Ответ Л ^ = 87,8 гкл/кг.
У L
252
3.1W
Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого отрез-
ком бесконечно длинного провода, в точке, равноудаленной от
концов отрезка и находящейся на расстоянии R = 4 см от его середины. Длина
отрезка провода 1 = 20 см, а сила тока в проводе I = 10 А.
Дано
R= 4 см = 4 • 10-2 м
/ = 20 см = 0,2 м
/=10 А
Решение
В = -^^(cosa. - cosa,).
4лД 1
//2
cosa! = —,
г
а2 = 180°-а!.
В = 46,4 мкТл.
3.12Ш
Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной
квадратной рамки со стороной а = 15 см, если по рамке течет ток
1=5 А.
Дано Решение
а = 15 см = 0,15 м
1=5 А
В—? a2 = 180°-aI
В = 4ВИ
a0 I z
B,=------—(cosa. - cosa,),
4л (a/2)
В = 4 •——• 2 • cosa.
4л (a/2) 1
В = 37,7 мкТл.
В — ?
<§>
13.121J По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам,
находящимся на расстоянии R = 10 см друг от друга в вакууме,
текут токи 1Х = 20 А и /2 = 30 А одинакового направления. Определите маг-
нитную индукцию В поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой,
соединяющей оба провода, если: 1) точка С лежит на расстоянии q = 2 см ле-
вее левого провода; 2) точка D лежит на расстоянии г2 = 3 см правее правого
провода; 3) точка G лежит на расстоянии г3 = 4 см правее левого провода.
Дано
1Х = 20 А
/2 = 30 А
R= 10 см = 0,1 м
г{ = 2 см = 0,02 м
г2 - 3 см = 0,03 м
г3 = 4 см = 0,04 м
1) В, -?
2) В,-?
3) В, —?
Решение
в=^—,
4л г
о _ ^0 j. ^/2
4л i\ 4n(R + rx)
fia 2It fi0 2/2
в 2 =----------1-------,
4л(В + г2) 4л r2
Q _ ^^2
2 4л r3 4л(7?-г3)
1) Bt= 0,25 мТл; 2) Вг = 0,23 мТл; 3) В, = 0.
По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводни-
кам, расстояние между которыми d = 20 см, текут токи 1Х = 40 А
и /2 = 80 А в одном направлении. Определите магнитную индукцию В в точке Л,
удаленной от первого проводника на t\ = 12 см и от второго — на г2 = 16 см.
В = 120 мкТл.
<25?>
По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам,
расстояние между которыми d = 15 см, текут токи 1Х = 70 А и
/, = 50 А в противоположных направлениях. Определите магнитную индукцию В
в точке Л, удаленной на t\ = 20 см от первого и г2 = 30 см от второго проводника.
Дано
Решение
d = 15 см = 0,15 м
I, = 70 А
/, = 50 А
гх= 20 см = 0,2 м
г2 = 30 см = 0,3 м
В — ?
/? = 180°-а, d2 = г2+г%+2гхг2 cosa , cosa = Г' + Гз——
^rxr2
В = ^В2+B2-2BxB2cosa = ^J^ + ^--^(rf+r2-d2) .
2лИ1 r2 '•ir2
В = 42,8 мкТл.
/ддрУДк Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка с
т магнитным моментом рт =1,5 А м2 равна 150 А/м. Определите:
1) радиус витка; 2) силу тока в витке.
Дано Решение
Я = 150 А/м рт = 1,5 А • м2 1) R —2 2) / —? н=— 2R pm = is S = nR2 Л = з/.Ап_ I-2RH. \2лН
Q Ответ 1) 7? = 11,7 см; 2)/ = 35,1 А.
Определите магнитную индукцию в центре кругового проволоч-
ного витка радиусом R = 10 см, по которому течет ток I = 1 А.
В = 6,28 мкТл.
(3.126 ) Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного
хй,аХК,;„„Х кольца радиусом R = 5 см, по которому течет ток I = 10 А, в точ-
ке А, расположенной на расстоянии d = 10 см от центра кольца.
Дано
R = 5 см = 0,05 м
/=10 А
d = 10 см = 0,1 м
Решение
= Во = Во
4л г2 4л (R2 + d2)'
dB । = dB sin <p,
В — ?
R
Sin<0 = —,
jR2 + d2
n _2?RBo ^d/ _ I-2xR2
' J 4л (R2 + d2f2 4n(R2 + d2f2
B2 = ]TdB2=0, B=B,
Qpmeem^ в=112 мкТл
(3.127) Определите магнитную индукцию ВА на оси тонкого проволоч-
ного кольца радиусом R = 10 см, в точке, расположенной на рас-
стоянии d = 20 см от центра кольца, если при протекании тока по кольцу в
центре кольца В = 50 мкТл.
ВА = 4,47 мкТл.
<256>
нЛЯПиЯВ Круговой виток радиусом R = 15 см расположен относительно
бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна
проводу. Перпендикуляр, восставленный на провод из центра витка, является
нормалью к плоскости витка. Сила тока в проводе Ix = 1 А, сила тока в витке
/2 = 5 А. Расстояние от центра витка до провода d = 20 см. Определите маг-
нитную индукцию в центре витка.
Дано
Решение
7? = 15 см = 0,15 м
/, = 1 А
/2 = 5 А
d = 20 см = 0,2 м
#2 =
-2 '"о 27?
(м)
Д - Во 0 ,,
2яа
в — ?
В = 21,2 мкТл.
В однородном магнитном поле с индукцией В - 0,2 Тл находится
прямой проводник длиной 7 = 15 см, по которому течет ток 1=5 А.
На проводник действует сила F = 0,13 Н. Определите угол а между направле-
ниями тока и вектором магнитной индукции.
Дано Решение
В =0,2 Тл 7 = 15 см = 0,15 м F=/[dl, В], F = IlBsina,
7=5 А F sma = —, . F a = arcsin— .
F = 0,13 Н а — ? ИВ’ IlB
а = 60°.
257
17-2741
f - 3 130 I ПРЯМОМУ горизонтально расположенному проводу пропускают ток
““” /] = 10 А. Под ним на расстоянии R = 1,5 см находится параллель-
ный ему алюминиевый провод, по которому пропускают ток /2 = 1,5 А. Опреде-
лите, какой должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого провода,
чтобы он удерживался незакрепленным. Плотность алюминия р = 2,7 г/см3.
Дано Решение
7, =10 А /?= 1,5 см = 1,5 • 10 2 м 72=1,5 А р = 2,7 г/см3 = = 2,7 103 кг/м3 5 — ? Р = ДоД/.А = Pohh , T8 = PYL = pSg' I 2л R /1=1 2л R II с, АоАЛ „с. P-mg, =pSg, 2лR с _ ДоЛЛ 2л7^О£
С Ответ I S = 7,55-10 9 м2.
Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с оди-
наковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от
друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 27?, на каждый санти-
метр длины проводника затрачивается работа А = 138 нДж. Определите силу тока в
проводниках.
Дано
7?
27?
А = 138 нДж =
= 1,38- 10’7Дж
7 = 1 см = 10-2 м
Решение
&A = FAx, F- ,
2лх ! 2лх
2R r2j 2R , _
Л = Гг(к = ^- f jj=^o//ln2
j 2л J X 2л
7 —?
7 = 10 А.
i 3.13 2 f Контур из провода, изогнутого в форме квадрата со стороной
а = 0,5 м, расположен в одной плоскости с бесконечным прямо-
линейным проводом с током I - 5 А так, что две его стороны параллельны
проводу. Сила тока в контуре Ix = 1 А. Определите силу, действующую на контур,
если ближайшая к проводу сторона контура находится на расстоянии b = 10 см.
Направления токов указаны на рисунке.
Дано
Решение
а = 0,5 м
1=5 А
=1 А
6 = 10 см = 0,1 м
F — 2
F — F| + F2 + Fj + F4,
F2 — — Fj, F — F] + Fj,
F=FX-F3, д = 1,
2лЬ 2n(b + a)
r- fl 1 рД1\'а
г —----a j-------—----------.
2 л \b b + a ) 2л(а + b)b
Ответ
F = 4,17 мкН.
Десятичные приставки к названиям единиц
Т — тера (1012)
Г — гига (109)
М — мега (106)
к— кило (103)
д — деци (10"')
с — санти (10 2)
м — милли (10 3)
мк — микро (10"6)
н — нано (10 9)
п —пико (10 12)
ф — фемто (10 |5)
а — атто (10 |8)
259
17*
Прямоугольная рамка со сторонами а - 40 см и Ъ = 30 см распо-
ложена в одной плоскости с бесконечным прямолинейным прово-
дом с током I - 6 А так, что длинные стороны рамки параллельны проводу.
Сила тока в рамке Ц = 1 А. Определите силы, действующие на каждую из сто-
рон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии
с = 10 см, а ток в ней сонаправлен току I.
Дано
а = 40 см = 0,4 м
b = 30 см = 0,3 м
1 = 6 А
/, = 1 А
с = 10 см = 0,1 м
Л -?
F2 — ?
F3-?
F4-?
Решение
dF = /[dl, В],
В = ^~,
2лг
М-р
F = jdF = J/BdZ,
F1 = j/1B1d/ = j/1^-
c+b
F,=
J 1 2л1 2л c
F} = 4,8 мкН,
F3=l,2 мкН,
F »0П\а
3 2л{с+Ь)’
F2 = 1,66 мкН,
Fa = 1,66 мкН.
Закон Ампера
dF = z[dl,B],
где dF — сила, действующая на элемент dl проводника с током I, помещен-
ный в магнитное поле с индукцией В.
<5ёо>
По тонкому проволочному полукольцу радиусом R - 50 см течет
ток I = 1 А. Перпендикулярно плоскости полукольца возбуждено
однородное магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл. Найдите силу, растяги-
вающую полукольцо. Действие на полукольцо магнитного поля подводящих
проводов и взаимодействие отдельных элементов полукольца не учитывать.
Дано
Решение
В = 50 см = 0,5 м
1=1 А
В =0,01 Тл
F — 2
AF=IBRda,
AFx = dF cosa , dFy = dF sina,
dF = 7[dl,B],
(dl?B) = л/2,
dF = IBdl,
dl= R da,
Fx = JIBR cosa da - 7B/?(sina)|p = 0,
о
Fy = J IBR sina da - ZSZ?(-cosa)|p = 2IBR,
о
F = Fy = 2IBR.
Ответ
F = 0,01 H.
Применяя закон Ампера для силы взаимодействия двух параллель-
ных токов, выведите числовое значение магнитной постоянной Во.
dF = ^--^-dl, I{ = I2=1A, R=1m, — =210-7Н/м,
4л: R dl
dF .
---4 л
В = 1, Во = 2 = 4л • 10’7 Н/А2= 4л • 10’7 Гн/м.
<261>
( ЗДЗН Электрон движется прямолинейно с постоянной скоростью
v = 0,2 Мм/с. Определите магнитную индукцию В поля, созда-
ваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии г = 2 нм от электрона
и лежащей на прямой, проходящей через мгновенное положение электрона и
составляющей угол а = 45° со скоростью движения электрона.
Дано
Решение
v = 0,2 Мм/с = 0,2 • 106 м/с
г = 2 нм = 2 • 10 “9 м
а = 45°
в=ВоВ6[у г]
4лг3
Q = e,
B = »sin«.
4лг1 2
В = 566 мкТл.
B = l,
В —?
Определите напряженность Н поля, создаваемого прямолиней-
но равномерно движущимся со скоростью v = 5000 км/с элект-
роном, в точке, находящейся от него на расстоянии г = 10 нм и лежащей на
перпендикуляре к v, проходящем через мгновенное положение электрона.
27 = 637 А/м.
3.13
Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода движется вокруг
ядра по круговой орбите радиусом г = 52,8 пм. Определите маг-
нитную индукцию В поля, создаваемого электроном в центре круговой орбите.
Дано
Решение
г = 52,8 пм = 5,28- 10-"м
г
в =---------5—'
4 л г3
(v,r)=y, b=i, |s|=e,
1 е2
------v =
4де0 г
В — ?
Вое2 -
$лг2Ллеогт
Bo_ev
4л г2 ’
В = 1,25 Тл.
е2
4лг0гт
Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В — 0,1 Тл по окружности. Определите угловую скорость враще-
ния электрона.
Дано Решение
5=0,1 Тл ₽л = фВ], II
ш —? mv2 - evB, г „ 2лг 2лт Т = = , v еВ егВ v = , т 2л еВ (U —— =—. Т т
Ответ ш = 1,76 1010 рад/с.
Электрон, обладая скоростью v = 10 Мм/с, влетел в однородное
магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Индукция магнитного поля В = 0,1 мТл. Определите нормальное и тангенци-
альное ускорения электрона.
ап = const = 1,76 1014 м/с2; ат = 0.
f 3.141/-7 В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнит-
ной индукции движется прямой проводник длиной 40 см. Опре-
делите силу Лоренца, действующую на свободный электрон проводника, если
возникающая на его концах разность потенциалов составляет 10 мкВ.
Ответ
Гл=4-10’24 Н.
Модуль силы Ампера
dF - IB d/ sin а,
где а — угол между векторами dl и В.
<263>
Г3.142
Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, дви-
жется параллельно прямолинейному длинному проводнику на
расстоянии г = 1 см от него. Определите силу, действующую на электрон, если
через проводник пропускать ток 7 = 10 А.
Дано
U = 0,5 кВ = 500 В
г = 1 см = 102 м
7 = 10 А
F — ?
Решение
eU =---
2
2et7 ц01
---- ч & ~ --•>
т---2 л г
лгу12т
F = 4,24 10'16 Н.
Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетая в
однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 2 мТл,
движется по окружности. Определите радиус этой окружности.
Дано Решение
U = 0,5 кВ = 500 В
Q = 1,6 10'19 Кл QU - , v-J 2 \т
т = 1,67 10’27 кг В = 2 мТл = 2 10 3 Тл „ mv2 „ mv -j2mQU V R QB QB
R —2
Ответ
7? =1,61 м.
<264>
^3.144 J Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индук-
х 1 цией В = 2 мТл, движется по круговой орбите радиусом R = 15 см.
Определите магнитный момент рт эквивалентного кругового тока.
Дано
Решение
В = 2 мТл = 2- 10 3 Тл
R-15 см = 0,15 м
pm = is,
S = nR~
Pm
mv2
e2BR2
P,
2m
evB =---
R
eBR
v =---
m
pm = 0,632 nA • м2.
„ btR
T =---
v
I = -
Т
Электрон, обладая скоростью v = 1 Мм/с, влетает в однородное
магнитное поле под углом а = 60° к направлению поля и начина-
ет двигаться по спирали. Напряженность магнитного поля /7 = 1,5 кА/м. Опре-
делите: 1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали.
Дано
Решение
2) R = 2,62 мм.
Ответ
1) Л = 9,49 мм;
(3.146J Электрон движется в однородном магнитном поле с магнитной
индукцией В = 0,2 мТл по винтовой линии. Определите скорость v
электрона, если радиус винтовой линии R = 3 см, а шаг h = 9 см.
v = \,Yl Мм/с.
Определите, при какой скорости пучок заряженных частиц, дви-
гаясь перпендикулярно скрещенным под прямым углом однород-
ным электрическому (£ = 100 кВ/м) и магнитному ( В - 50 мТл) полям, не от-
клоняется.
Дано Решение
Е = 100 кВ/м = 105 В/м В = 50 мТл = 5 • 10-2 Тл V — ? Ге = бЕ, QE = QvB, BQ Fe = Fn,
v = 2 Мм/с.
(3.148J В однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,2 Тл пер-
......'ЯУ пендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной скорос-
тью влетает заряженная частица. В течение 5 мкс включается электрическое
поле напряженностью 0,5 кВ/м в направлении, параллельном магнитному полю.
Определите шаг винтовой траектории заряженной частицы.
Дано Решение
В = 0,2 Тл 1 = 5 мкс = 5 10 ‘ с „ „ wi>2 2ив=—, Т = 2nR V 2птп = ~QB' Fe = QE,
£ = 0,5 кВ/м = 500 В/м
FJ OEt 2nEt
h — ? Fet - mv}, m m h - v,T - . В
h = 7,85 см.
266
Ионы двух изотопов с массами т ] = 6,5 10 26 кг и = 6,8 10 26 кг,
ускоренные разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетают в одно-
родное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл перпендикулярно линиям ин-
дукции. Принимая заряд каждого иона равным элементарному электрическо-
му заряду, определите, на сколько будут отличаться радиусы траекторий ионов
изотопов в магнитном поле.
Дано Решение
т, =6,510’26 кг т2 =6,8-10-26 кг U = 0,5 кВ В =0,5 Тл mv2 „ mv evB , R = , R eB mv2 2eU eU - , v = J , 2 V m
—? 1 l2ml7 1 /2С7 / /— I—\ B\ e ’ 2 1 = BV e U™2
( Ответ R1_R = 0,917 мм.
С3»150<Й Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий 20 МэВ. V У Определите радиус дуантов циклотрона, если магнитная индук- ция В = 2 Тл.
Дано Решение
7’=20 МэВ = = 3,2- 10-12Дж от = 1,67-10-27 кг В = 2 Тл „ mv2 [2Т Т = , V:=-J—, 2 V от 2 2 _ mv „ mv evB = , R = = — R evB ^2Тт еВ
R —?
(Ответ >32,зсм.
<267>
3.151)
Определите удельный заряд частиц, ускоренных в циклотроне в
однородном магнитном поле с индукцией В = 1,7 Тл при частоте
ускоряющего напряжения v - 25,9 МГц.
Дано
Решение
В = 1,7 Тл
г = 25,9 МГц =
= 2,59 - 107 Гц
т
2nR 1 , ,
----= — (условие синхронизма),
v v
mv2 ~ -
—— = QvB, v = 2nvR,
Q _ v _ ^vR _ 2m>
m~ RB~ RB ~ В
— = 9,57 IO7 Кл/кг.
m
Протоны ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле
с индукцией В = 1,2 Тл. Максимальный радиус кривизны траек-
тории протонов составляет R = 40 см. Определите: 1) кинетическую энергию
протонов в конце ускорения; 2) минимальную частоту ускоряющего напряже-
ния, при которой протоны ускоряются до энергий Т = 20 МэВ.
Дано Решение
В = 1,2 Тл R = 40 см = 0,4 м Ту = 20 МэВ = = 3,2- 10"12 Дж mv2 eBR evB = , v = , R m „ mv2 e2B2R2 [2T T = = , Vi=J—1, 2 2m N m
Т —? г.-? 1 v,=2nv,R, Vi= J—. 1 1 ’ 1 2tt/?V m
Ответ J т,=п МэВ, г, = 24,бмг'ц.
<268>
В случае эффекта Холла для натриевого проводника при плотнос-
ти тока j = 150 А/см2 и магнитной индукции В = 2 Тл напряжен-
ность поперечного электрического поля Ев = 0,75 мВ/м. Определите концент-
рацию электронов проводимости, а также ее отношение к концентрации ато-
мов в этом проводнике. Плотность натрия р = 0,97 г/см3.
Дано Решение
j = 150 А/см2 = = 1,5 • 106А/м2 В=2 Тл Ев = 0,75 мВ/м = = 0,75 10 3 В/м р = 0,97 г/см3 = 970 кг/м3 Ев eER = evB, v = —, w ’ В j № j = nev , n = — = ——, ev eEB _NKp
М = 23 -1О’3 кг/моль M/p M
п _ jBM
n — n' еЕвУл P
n — 9 ri QOmeem „ = 2,5 i о28 м \ n/n' = o,984.
( 3.1$ I Определите постоянную Холла для натрия, если для него отноше-
V» л-u HHg концентрации электронов проводимости к концентрации ато-
мов составляет 0,984. Плотность натрия р = 0,97 г/см3.
Дано Решение
n/n' = 0,984 R= — , = Aa
p = 0,97 г/см3 = 970 кг/м3 en Ит M/p M
M = 23 10-3 кг/моль n = 0,984и', „ 1 M
R -? 0,984en' 0,984e/VA p
(Ответ Л=25 •IO-10 m3/(A• c).
V Определите, во сколько раз постоянная Холла у меди больше, чем
1 у алюминия, если известно, что в алюминии на один атом в сред-
нем приходится два свободных электрона, а в меди — 0,8 свободных электро-
нов. Плотности меди и алюминия соответственно равны 8,93 и 2,7 г/см3.
Дано Решение
рСи = 8,93 г/см3 = = 8,93 • 103 кг/м3 *си= — > е"си ^А1 - ’ е«А1
рА| = 2,7 г/см3 = = 2,7 • 103 кг/м3 Л/Си = 63,5 Ю“3 кг/моль «Си = 0,84и, , . ^aPCu «Си “ . , МСи «А1 = °’8«ai, . Ь'аРм «А1 “ НА Мм
Мм =27-10-3 кг/моль ^Си «ai
И =о,8 ЛА1 «Си 0>8«Си ’
'Си ^Си _ ^Рм^Си
СМ II ^Ai 0,8рСиЛ1А|
^Си
^А1
— = 1,78.
*А1
Холловская поперечная разность потенциалов
IB
где В — магнитная индукция; / — сила тока; d — толщина пластинки;
R = — — постоянная Холла (п — концентрация электронов).
еп
13.156J Через сечение медной пластинки толщиной d = 0,2 мм пропус-
кается ток 1 = 6 А. Пластинка помещается в однородное магнит-
ное поле с индукцией В = 1 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направ-
лению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концент-
рации атомов, определите возникающую в пластинке поперечную (холловс-
кую) разность потенциалов. Плотность меди р = 8,93 г/см3.
Дано
Решение
d=0,2 мм = 2 • 10" м
1=6 А
В = 1 Тл
р = 8,93 г/см3 =
= 8930 кг/м3
п = п'
М = 63,5 10-3 кг/моль
Ар
еЕв = е—=evB
а
А<р = vBa,
1 = jS = nev ad ,
S = ad,
A IBa 1 IB
Др =----7 =---T’
nead en d
Ар — ?
, NK pNK д M1B
vm м v epN^d
Ответ
Ap = 2,21 мкВ.
Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окруж-
ности, через центр которой перпендикулярно ее плоскости прохо-
дит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток 1 = 5 А.
Дано Решение
1=5 А (fBdl — ? L <£в dl = j>B, dl = p0I. L L
( Ответ > „ = 6,28 мкТл • м.
у фв di
1
Определите циркуляцию векто-
ра магнитной индукции для
замкнутых контуров, изобра-
женных на рисуйке, е.сли сила тока в обоих
проводниках 1 = 2 А.
Ответ
1) j)B dl = 2,51 мкТл • м;
L
2) £в dl
L
= 5,02 мкТл • м;
3) ^Bdl
L
= 0.
X ... "к------------------------------------------------------------
(3.159) По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I = 10 А.
Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, маг-
нитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии г = 10 см от про-
водника.
Дано
7=10 А
г = 10 см = 0,1 м
Решение
d/-^0^Z, ,
L >
В-2лг = р,01,
В — ?
В = 20 мкТл.
Используя теорему о циркуляции вектора В, рассчитайте магнит-
ную индукцию поля внутри соленоида (в вакууме), если число
витков соленоида равно N и длина соленоида равна I.
<272>
(3.16Q Соленоид длиной 1 = 0.5 м содержит А = 1000 витков. Опреде-
лите магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если со-
противление его обмотки R = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В.
Дано Решение
/ = 0,5 м 7V = 1000 R = 120 Ом [/ = 60 В ^В,й1 = р0^,, Bl = pGIN, L i U B=^UN R' Rl ’
В — ? ( Ответ Л в = i,26 мТл.
В соленоиде длиной I = 0,4 ми диаметром D = 5 см создается
магнитное поле, напряженность которого Н = 1,5 кА/м. Опреде-
лите: 1) магнитодвижущую силу Fm ; 2) разность потенциалов U на концах
обмотки, если для нее используется алюминиевая проволока (р = 26 нОм • м)
диаметром d = 1 мм.
Дано Решение
1 = 0,4 м D = 5 cm = 5 • 10-2 м // = 1,5 kA/m=1,5-103A/m =^Hdi = f//zd/= £/,., ^т = я/. L L '
p = 26 нОм • м = = 26 • 109 Ом • м $>H, dl = IN N=~, R = ^- i d S
d = 1 мм = 10 3 м L =2л--N = itD—, S = ^~,
2 d' 4 ’
1) „ nDl-4 ApDl r I
2) U — ? R = p z- = -^-, I = UR, Hl=l—, dnd2 d3 d
, rr 4pDHl
I=Hd, 6/ = -
d2
1)7^=600 A; 2)t/ = 3,12B.
18-2741
<273>
(3.163 j Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индук-
цию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сер-
дечника, по обмотке которого, содержащей 200 витков, протекает ток 2 А. Вне-
шний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см.
Дано
А = 200
7=2 А
D{ =60 см = 0,6 м
£>2 = 40 см = 0,4 м
В — ?
Н — ?
Решение
В -1л г = [i0NI,
n NI
1ЛГ
До
L '
В =0,32 мТл; /7 = 255 А/м.
(3.164) Определите магнитный поток сквозь площадь поперечного сече-
ния катушки (без сердечника), имеющей на каждом сантиметре
длины п = 8 витков. Радиус соленоида г = 2 см, сила тока в нем 7 = 2 А.
Дано Решение
и = 8 см-1 = 800 м*1 Ф, = BS, S = лг2,
г = 2 см = 2 • 10-2 м В - цоп1, Ф, = цйп!лг2 .
7 = 2 А
Ф, — ?
Ф| = 2,53 мкВб.
Ответ
<274>
(3.165J Внутри соленоида с числом витков N = 200 с никелевым сердеч-
X. н.-гъ.тХ ником (ц = 200) напряженность однородного магнитного поля
//=10 кА/м. Площадь поперечного сечения сердечника 5 = 10 см2. Опреде-
лите: 1) магнитную индукцию поля внутри соленоида; 2) потокосцепление.
Дано Решение
, = 200 В = Ы,Н.
!! -]<) кА/м- 101 А/м ф = вда-
5 = 10 см2 = 10-3 м2
1) В — ?
2) Ф — ?
(Ответ 1) /^ 2,51 Тл; 2) Ф = 0,502 Вб.
( В однородное магнитное поле напряженностью // = 100 кА/м
помещена квадратная рамка со стороной а = 10 см. Плоскость
рамки составляет с направлением магнитного поля угол а = 60°. Определите
магнитный поток, пронизывающий рамку.
Дано
// = 100 кА/м
п = 10 см = 0,1 м
а = 60°
Решение
Ф = BS cosa,
5 = ДоДя|/(=1 = Доя,
S = a-,
ф _?
Ф = цоа~Н cosa.
Ф = 628 мкВб.
18*
<275>
3.167J
Поток магнитной индукции через площадь поперечного сечения
соленоида (без сердечника) равен Ф = 1 мкВб. Длина соленоида
/ = 12,5 см. Определите магнитный момент рт этого соленоида.
Дано Решение
Ф = 1 мкВб = 1О6 Вб / = 12,5 см =0,125 м в=р01~, N Ф = BS = pQI—S,
рт -1 ЯД ф/ pm=ISN= —. До
Ответ J Pm = 0,iA м2.
В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с
током I = 20 А расположена квадратная рамка со стороной, дли-
на которой а = 10 см, причем две стороны рамки параллельны проводу, а рас-
стояние d от провода до ближайшей стороны рамки равно 5 см. Определите
магнитный поток Ф , пронизывающий рамку.
Дано
1=20 А
а = 10 см = 0,1 м
d = 5 см = 0,05 м
Решение
в^,
2лг
Ф —?
Ф= (Bd5 = 7Mndr = ^7- = ^ln^^.
J 2лг 2л J г 2л а
а а
ф = 0,44 мкВб.
<276>
ж
Прямой провод длиной I = 20 см с током 1 = 5 А, находящийся в
однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, расположен
перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите работу сил поля,
под действием которых проводник переместился на 2 см.
(Ответ ) л,2мДж.
(3.170 ) Квадратный проводящий контур со стороной I = 20 см и током
V...ад..У 7=10 А свободно подвешен в однородном магнитном поле с маг-
нитной индукцией В - 0,2 Тл. Определите работу, которую необходимо совер-
шить, чтобы повернуть контур на 180° вокруг оси, перпендикулярной направ-
лению магнитного поля.
Дано Решение
1 = 20 см = 0,2 м 1 = 10 А В = 0,2 Тл ЛА=М6а, М = [рт,В], Al=pmBsina, рт = 112,
а =180° л л
А -? А = J М da = JIBl2 sina da = -IBl2 cosa| = 2IB12. 0 0
Ответ ) а = одб Дж.
г В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл
....“..находится квадратный проводящий контур со стороной I = 20 см
и током 7 = 10 А. Плоскость квадрата составляет с направлением поля угол в
30°. Определите работу удаления контура за пределы поля.
Ответ
А = 0,04 Дж.
<277>
^3.172 j Круговой проводящий контур радиусом г = 5 см и током 1 = 1 А
' находится в магнитном поле, причем плоскость контура перпен-
дикулярна направлению поля. Напряженность поля равна 10 кА/м. Определите
работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 90° вокруг
оси, совпадающей с диаметром контура.
Дано Решение
г = 5 см = 5 • 10 2 м 7 = 1 А Н = 10 кА/м = 104 А/м л а = — 2 А -1 &А=М&а, M=pmBsina, pm=IS, В= HoPH\fl=i = Рон ’ S = лг2, nfl л/2 А = J М da = 1лг2р0Н Jsina da = p.tftIr2H. 0 0
A = 98,1 мкДж.
В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 1 Тл
находится плоская катушка из 100 витков радиусом г = 10 см,
плоскость которой с направлением поля составляет угол (i = 60°. По катушке
течет ток I = 10 А. Определите: 1) вращающий момент, действующий на ка-
тушку; 2) работу для удаления этой катушки из магнитного поля.
1) Л/ = 15,7 Н м; 2)/1 = 27,2 Дж.
(3.174 ) Круглая рамка с током (5 = 15 см2) закреплена параллельно маг-
х.ШУГ'ЛУ нитному полю (В = 0,1 Тл), и на нее действует вращающий мо-
мент М = 0,45 мН • м. Определите силу тока, текущего по рамке.
1 = 3 A.
278
3.5. Электромагнитная индукция
Соленоид диаметром d = 4 см, имеющий N = 500 витков, поме-
щен в магнитное поле, индукция которого изменяется со скорос-
тью 1 мТл/c. Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол
а - 45° Определите ЭДС индукции, возникающую в соленоиде.
Дано Решение
d = 4 см = 4 • 10-2 м W = 500 dO £ = , Ф = NBS cos а , S = ,
— = 1 мТл/c = 103 Тл/с dr 4
d/ а =45° = d/cosa) = TV—— — cosa.
Г Ответ Л =444мкв
В магнитное поле, изменяющееся по закону В =В0 coscot
(Во = 0,1 Тл, со = 4 с '), помещена квадратная рамка со стороной
а = 50 см, причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол а = 45°.
Определите ЭДС индукции, возникающую в рамке в момент времени t = 5 с.
Дано Решение
В = Во coscot dO = ——, Ф = BS cosa,
Во = 0,1 Тл
io = 4 с 1 а = 50 см = 0,5 м с 2 d > о - а , (2?о£/- cosa)/ cosa) =
а =45° t = 5 с -> d 2 = -Воа~ cosa—(cosart) = Воа со cosa sin art .
— ?
К = 64 мВ.
<279>
(3.177j Кольцо из алюминиевого провода (р = 26 нОм м) помещено в
магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Диаметр кольца D = 30 см, диаметр провода d = 2 мм. Определите скорость
изменения магнитного поля, если ток в кольце 1 = 1 А.
Дано Решение
р = 26 нОм м = = 2,6- 10 8 Ом м D = 30 см = 0,3 м d = 2 мм = 2 • 10 3 м 7=1 А 1 л- R = p—, l = nD, S = — , *,=IR, S 4 kl йф_ d „dB ^D2dB 4 d/'
dB 4/* 4IR 167р
dB 9 dt dt nD2 TtD2 nd2D' (Ответ Л dB V ) — =0,11 Tn/c. v' d/
(3.178 J Плоскость проволочного витка площадью 5 = 100 см2 и сопро-
' - тивлением 7? = 5 Ом, находящегося в однородном магнитном поле
напряженностью /7 = 10 кА/м, перпендикулярна линиям магнитной индукции.
При повороте витка в магнитном поле отсчет гальванометра, замкнутого на
виток, составляет 12,6 мкКл. Определите угол поворота витка.
Дано Решение
S = 100 cm2 = 10 2 m2 R= 5 Ом /7=10 кА/м =10“ А/м d£) = 12,6 мкКл = = 1,26- 10 5Кл a — Ч dO dp K = , £=£, ?=//?=/?—, dz dz „dp dO dr 17’ 7?d^ = -dO’ ^dp = -(O2-O,), O2 = p0HS cosa, O] = p0HS , RdQ RdQ= p0HS(l - cosa), cosa = 1 . Po^5
QOmeem « = 60 D
<280>
V • - В °ДноР°Дное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл помещена
х прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина которой
/ = 15 см. Определите ЭДС индукции, возникающей в рамке, если ее подвиж-
ная сторона перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со
скоростью и = 10 м/с.
Дано
В =0,3 Тл
/ = 15 см = 0,15 м
и = 10 м/с
Решение
6Ф
<b = BS = Blx,
& = -—(Blx) = -Bl— = -Blv k| = s/u.
d/ d/ 11
Ц = 0,45 В.
Две гладкие замкнутые металлические шины, расстояние между
которыми равно 30 см, со скользящей перемычкой, которая мо-
жет двигаться без трения, находятся в однородном магнитном поле с индукци-
ей В = 0,1 Тл, перпендикулярном плоскости контура. Перемычка массой т = 5 г
скользит вниз с постоянной скоростью и = 0,5 м/с. Определите сопротивление
перемычки, пренебрегая самоиндукцией контура и сопротивлением остальной
части контура.
Q3.J|81^ В катушке длиной / = 0,5 м, диаметром d = 5 см и числом витков
N = 1500 ток равномерно увеличивается на 0,2 А за одну секунду.
На катушку надето кольцо из медной проволоки (р = 17 нОм • м) площадью
сечения 5К = 3 мм2. Определите силу тока в кольце.
Дано
1 = 0,5 м
d = 5 |CM = 0,05 м
N = 1500
Решение
dl
dt
dl
— = 0,2 А/с
di
р = \1 нОм • м =
= 1,7- Ю 8Ом/м
5=3 мм2 = 3 • 10-6 м2
N2nd2 dl
Nnd2 dl
N ~ 41 dt'
rK=M R = ^-, lK = jtd, 7K=W^,
R SK npd
, NSKd dl
—
L _ PoPN2S
I
к
1 —?
к
1K = 1,66 мА.
(3.182 ) Катушка диаметром d = 2 см, содержащая один слой плотно при-
....... летающих друг к другу А = 500 витков алюминиевого провода
сечением 5 = 1 мм2, помещена в магнитное поле. Ось катушки параллельна
линиям индукции. Магнитная индукция поля равномерно изменяется со скоро-
стью 1 мТл/c. Определите тепловую мощность, выделяющуюся в катушке, если
ее концы замкнуты накоротко. Удельное сопротивление алюминия р = 26 нОм/м.
Решение
Дано
d = 2 см = 2 10 2 м
А = 500
5 = 1 мм2 = 10 6 м2
dB
— = 1 мТл/c = 10 3 Тл/с
dt
р=26 нОм м =
= 26 • 10 9 Ом • м
Р — ?
И = —, Ф = АВ5, 5 = — , R=p-~-,
1,1 d/ 4 5,’
f dsV
/ лл/ p ' Mrd\(dB\2
I = ndN , P = — =------=------4 — .
R pTtdN 16p \dt J
P = 0,302 мкВт.
(3.183р В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) вращается с постоян-
4 ной угловой скоростью а? = 50 с-1 вокруг вертикальной оси стер-
жень длиной I — 0,4 м. Определите ЭДС индукции, возникающей в стержне,
если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнит-
ной индукции.
$ = 0,4 В.
( 3.184 ) ® однородном магнитном поле с индукцией 5= 0,02 Тл равно-
мерно вращается вокруг вертикальной оси горизонтальный стер-
жень длиной I = 0,5 м. Ось вращения проходит через конец стержня парал-
лельно линиям магнитной индукции. Определите число оборотов в секунду,
при котором на концах стержня возникает разность потенциалов U = 0,1 В.
Дано Решение
5=0,02 Тл dO X X X X
I - 0,5 м ft = , ' dt ’ ✓ Ф/'s в
(7 = 0,1 В Ф = BS cosa, X / X /х \ X
«—? a = 0, X 1 X о n r X X
I I ио
|^| = В—, d^ = a?d/,
л/2 . . . 2л
dS.. . . d<p
dS = — d<z> = —ft? dt,
2 2
d(/2
dS „ . .
U = B— = £—
dt dA2
I2
= B—(D,
2
2U
(j) = 2л n = —v
Bl2 ’
и
Л.В12 '
и =6,37 c
283
3.185f
В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно с часто-
той п = 600 мин -1 вращается рамка, содержащая N = 1200 вит-
ков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см2. Ось вра-
щения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индук-
ции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.
Дано
Решение
В =0,2 Тл
п = 600 мин-1 = 10 с'1
7V = 1200
S = 100 см2 = 10 2 м2
ёФ
& =----,
' d/
Ф = NBS cosa ,
— ?
а = (ut = 2nnt,
d
= -NBS—(cos 2nnt) = NBS 2лп sin 2jint,
£ = 2nnNBS.
1tcox.
§ = 151 B.
‘max
Магнитная индукция В поля между полюсами двухполюсного
генератора равна 1 Тл. Ротор имеет 140 витков (площадь каждого
витка S = 500 см2). Определите частоту вращения якоря, если максимальное
значение ЭДС индукции равно 220 В.
п = 5 с"1.
сто В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно вращает-
ся прямоугольная рамка, содержащая N = 200 витков, плотно
прилегающих друг к другу. Площадь рамки 5 = 100 см2. Определите частоту
вращения рамки, если максимальная ЭДС, индуцируемая в ней, &/max =12,6 В.
Ответ
п = 5 с'.
<284>
(3.188) В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоуголь-
"S ная рамка с частотой п = 600 мин-1. Амплитуда индуцируемой ЭДС
Ко = 3 В. Определите максимальный магнитный поток через рамку.
(Ответ Фтах = 47,7 мВб.
^3,189 j Катушка длиной I = 50 см и диаметром <7 = 5 см содержит
N - 200 витков. По катушке течет ток 1 = 1 А. Определите:
1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее
поперечного сечения.
Дано Решение
1 = 50 см = 0,5 м d = 5 см = 0,05 м N = 200 7 = 1 А Д = 1 Т N2S „ nd2 L = $ = —, r N2 nd2 . LI L- им , Ф =—. / 4 N
L * С Ответ Л 1) /. = 197 мкГн; 2)Ф=985нВб. 2) ф — 1 V У
(3.19(f) Длинный соленоид индуктивностью 7, = 4 мГн содержит
N =600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида
S = 20 см2. Определите магнитную индукцию поля внутри соленоида, если
сила тока, протекающего по его обмотке, равна 6 А.
Дано Решение
L = 4 мГн = 4 10 3Гн A = 600 S = 20 cm2 = 2 • 103 m2 7=6 A. Ф = Ы, <H = NBS, в = — = — . NS NS
В —? QOmeem в=0,02 тл. <ж>
Решение
Дано
N\
N
Z] = 0,64 Гн
Гг = 0,04 Гн
Две длинные катушки намотаны на общий сердечник, причем ин-
дуктивности этих катушек Ц = 0,64 Гн и = 0,04 Гн. Опреде-
лите, во сколько раз число витков первой катушки больше, чем второй.
r n2s
L = H0H——,
L, N
Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих
друг к другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной тол-
щины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D -1,5 см, чтобы по-
лучить однослойную катушку индуктивностью L = 100 мкГн?
Дано
Решение
d = 0,5 мм = 5 • 10" м
Z> = 1,5 см = 1,5 • 10-2 м
L = 100 мкГн= 10" Гн
Д = 1
т N2S
„xD2
О —•
4
l-Nd,
_ n^fiNjiD2
4d~
N
W = 225.
286
Определите индуктивность соленоида длиной / и сопротивлени-
ем R, если обмоткой соленоида является проволока массой т
(принять плотность проволоки и ее удельное сопротивление соответственно за
Р И р').
Дано
Решение
I
R
Р
Р'
т
г n2s n2s
L = PoP-j- =/^о—у-’
Я=1
/' = 2я^1 ^1'У 7? = ^1 ££
S = 7tr2 (2nN)2 ,,Q, R
v 7 m = pl S
ImR г- я(^’)2 _ mR
У pp' ’ I (2nN)2 4nl pp'
L_ fip mR
4nl pp'
Сверхпроводящий соленоид длиной I = 10 см и площадью попе-
речного сечения 5 = 3 см2, содержащий N = 1000 витков, может
быть подключен к источнику ЭДС If = 12 В. Определите силу тока через 0,01 с
после замыкания ключа.
Дано Решение
I о 11 II 11 - 2 о о ° нн О S n о и о z II II uj о о Z Z bJ r n2s n2s L^PpP z =p0 z , ff+ffs = lR, Я=1 d/ d/ 7? = 0, ffs = -ff = -L—, , dr dr , Pit
L
PpN2S
— d/ = — t
oJi L
7 = 31,8 А.
<ж>
Через катушку, индуктивность L которой равна 200 мГн, проте-
кает ток, изменяющийся по закону I = 2cos3/. Определите: 1) за-
кон изменения ЭДС самоиндукции; 2) максимальное значение ЭДС самоин-
дукции
Ответ
= l,2sin3f, В;
5 шах
= 1,2 В.
В соленоиде без сердечника, содержащем N = 1000 витков, при
увеличении силы тока магнитный поток увеличился на 1 мВб.
Определите среднюю ЭДС самоиндукции , возникающую в соленоиде, если
изменение силы тока произошло за 1 с.
Дано Решение
W = 1000 ДФ = 1 мВб= Ю’Вб Д/ = 1 с 1 \ .,ДФ V0=W—. ' ' д/
00-? QOmeem = j в
Имеется катушка индуктивностью L = 0,1 Гн и сопротивлением
R = 0,8 Ом. Определите, во сколько раз уменьшится сила тока в
катушке через t = 30 мс, если источник тока отключить и катушку замкнуть
накоротко.
Дано Решение
L = 0,1 Гн R =0,8 Ом / = 30 мс = 30- 10’с R г R к = е!.‘ 1
^—9 7 ^Ответ^ у = 1,27.
зж
Определите, через сколько времени сила тока замыкания достиг-
нет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на
катушку сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью 0,5 Гн.
t = 125 мс.
✓м ----------------------------------------------------------
(3J99) Катушку индуктивностью / = 0,6 Гн подключают к источнику
тока. Определите сопротивление катушки, если за время t = 3 с
сила тока через катушку достигает 80% предельного значения.
Дано
L-0,6 Гн
t = 3 c
/=80%70
Решение
(
1 = 10 1-е
к 7
R
0,8 = 1-е’1'>
- — t = In 0,2,
L
R
0,2 = e L',
D L In 0,2
A =---------—
t
R — 2
7? = 322 мОм.
(^3.200J Бесконечно длинный соленоид длиной I = 0,8 м имеет од-
нослойную обмотку из алюминиевого провода массой
т = 400 г. Определите время релаксации т для этого соленоида. Плотность
и удельное сопротивление алюминия равны соответственно р = 2,7 г/см3 и
р' = 26 нОм - м.
т- 712 мкс.
19-2741
Соленоид диаметром d = 3 см имеет однослойную обмотку из
плотно прилегающих друг к другу витков алюминиевого провода
(р = 26 нОм м) диаметром dx = 0,3 мм. По соленоиду течет ток /0 = 0,5 А.
Определите количество электричества Q, протекающее по соленоиду, если его
концы закоротить.
Дано
Решение
d = 3 cm = 3 • 10’2 м
p = 26 нОм м =
= 2,6 108 Ом м
dx =0,3 мм = 3 • IO"4 м
70 = 0,5 A
_R
I = IQe L>,
Q = J/d/ = Z0J
о о
-- т
e~L' dt =—I0,
R °
Q—ч
T n2s
Я=1
l=Nd,
nd2
О — --- ,
4
_ p0N2nd2 _ p0Nnd2
4Ndx
_t^s
i
4J,
R = p—,
Sx
lx = 3tdN,
_ ndf
4dN
q = p0Nnd2d2I0 p.otjtddx
L
4dxp-4dN 16p c
о.
Q = 42,7 мкКл.
Ток при размыкании и замыкании цепи
/=/ое-"г;
/=/0(1-е-"г),
где t = L/ R — время релаксации (L — индуктивность, R —сопротивление).
290
3,202*) Катушка индуктивностью L = 1,5 Гн и сопротивлением R , -15 Ом
J УМйЭу
и резистор сопротивлением R2 = 150 Ом соединены параллельно
и подключены к источнику, электродвижущая сила которого Р = 60 В, через
ключ К. Определите напряжение на зажимах катушки через = 0,01 с и /2 = 0,1 с
после размыкания цепи.
Дано Решение
L -1,5 Гн /?, = 15 Ом Т?2 = 150 Ом Л = 60 в /, = 0,01 с 12 = 0,1 с Ц-? 1/,—? £ и и и и ° | ы ,5° . * п 1
QOmeem 1/, = 200 В, и2 = 0,01 В.
Две катушки намотаны на один общий сердечник. Определите их
взаимную индуктивность, если при скорости изменения силы тока
в первой катушке /d/ = 3 А/с во второй катушке индуцируется ЭДС Д,2 = 0,3 В.
Дано Решение
dljdt = 3 А/с Аз - ^21 > ®21 = AziA >
<? , = 0,3 В д2-? _ <1Ф21 dZj _^2_ *i2~ dt - ^'dt ’
dt
Д2 = о,1
Гн.
Ответ
<W>
19*
QL2O4^ Два соленоида (£; =0,64 Гн, 7^ = 1 Гн) одинаковой длины и прак-
тически равных сечений вставлены один в другой. Определите
взаимную индуктивность соленоидов.
Дано Решение
Д = 0,64 Гн L, = 1 Гн ^=/,=7 /| /2 \ /xofiS{
кг _ ^2 r N{N2S ГГГ
S, = S, = S z\iwS2’
д2 -? QOmeem L =Q^ Гн
Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность первой
катушки Д = 0,12 Гн, второй — /< = 3 Гн. Сопротивление второй
катушки R2 = 300 Ом. Определите силу тока 72 во второй катушке, если за вре-
мя Д/ = 0,01 с силу тока в первой катушке уменьшить от 7, = 0,5 А до нуля.
/2 = 0,1 А.
Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,15 понижает
напряжение с 220 В до 6 В. При этом сила тока во вторичной об-
мотке равна 6 А. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, опреде-
лите сопротивление вторичной обмотки трансформатора.
Дано Решение
N2/N}=0,\5 U} = 220 В ^=ult % = ^., ^2=^, ^ = i2r.+u2, % Nt М *
и2 = 6 В 7, =6 А ₽ Ъ-Уг R - 1\л — , Кл — ‘ . 2 А А
Т?2 -? Qomeetn ")r2^4,5 Ом
,292
3.207
Автотрансформатор, понижающий напряжение с Ц = 6 кВ до
U2 = 220 В, содержит в первичной обмотке А] = 2000 витков. Со-
противление вторичной обмотки R2 = 1 Ом. Сопротивление внешней цепи (в сети
пониженного напряжения) R = 12 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной
обмотки, определите число витков во вторичной обмотке трансформатора.
Дано Решение
Ц=6 кВ = 6- 103В и2 = 220 В IV, = 2000 Т?2 = 1 Ом R= 12 Ом N2 их=^, ^2 = "* ^2 ’ (U-, 2V,= — R,+U, ~ 1 R - > -ч " 11 " >31^ 4- 3= II 1 *4
Q Ответ N2 = 79.
Трансформатор, понижающий напряжение с 220 В до 12 В, со-
держит в первичной обмотке А, = 2000 витков. Сопротивление
вторичной обмотки R2 = 0,15 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной
обмотки, определите число витков во вторичной обмотке, если во внешнюю
цепь (в сети пониженного напряжения) передают мощность Р = 20 Вт.
Дано
[/, = 220 В
Щ = 12 В
А] = 2000
R2 = 0,15 Ом
Р=20 Вт
Решение
Сила тока I в обмотке соленоида, содержащего N = 1500 вит-
ков, равна 5 А. Магнитный поток Ф через поперечное сечение
соленоида составляет 200 мкВб. Определите энергию магнитного поля в соле-
ноиде.
Дано Решение
1 = 5 А LI2
А = 1500 Ф = 200 мкВб = W--, Ф = АФ{=Ы,
= 2 Ю^Вб г ^Ф1 АФ./
£ = W = —.
W — ? / 2
(Ответ"') w = o,75 Дж.
Г 3.210 ) Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжени-
* S ем, имеет сопротивление R = 15 Ом и индуктивность £ = 0,3 Гн.
Определите время, за которое в обмотке выделится количество теплоты, рав-
ное энергии магнитного поля в сердечнике.
Дано Решение
Я=15 Ом £ = 0,3 Гн Q = W, Q=I2Rt,
Q=W U = const, w-^. 2
t —7 2 £ t = — 2R
(Ответz = o,oi с.
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля
длинного соленоида
в2 доцн2 _ вн
2ЛоЛ 2 2
3.211
Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки
диаметром d = 0,5 мм имеет длину I = 0,4 ми поперечное сече-
ние 5 = 50 см2. Какой ток течет по обмотке при напряжении U = 10 В, если за
время t = 0,5 мс в обмотке выделяется количество теплоты, равное энергии
поля внутри соленоида? Поле считайте однородным.
Дано
Решение
d = 0,5 мм = 5 • 10" м
I = 0,4 м
5 = 50 см2 = 5- 10-’м2
и = 10 в
I = 0,5 мс = 5 10" с
Q = W
Q = W, Q=IUt
V = SI, I = Nd,
I —1
N1 I
I d
poi2si
2d2
fj.20I2Sl fi0I2Sl
d2-2p.0~ 2d2 ’
2Utd2
/ = 995 mA.
[ 3.212 J Индуктивность соленоида при длине 1 м и площади поперечного
* ' сечения 20 см2 равна 0,4 мГн. Определите силу тока в соленоиде,
при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида
равна 0,1 Дж/м3.
Дано Решение
1 = 1 м 5 = 20 см2 = 2- 103 м2 L = 0,4 мГн = 4 • 10" Гн w = 0,1 Дж/м3 / —? W='-LI2 W=*, 2 V 1 LI2 V = SI, w = , 2 SI /= 2wS[ С Ответ ^1 ;_1A V L К J / — 1 A.
Объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида
длиной 50 см и малого диаметра равна 0,7 Дж/м3. Определите
магнитодвижущую силу этого соленоида.
Дано
и’ = 0,7 Дж/м3
/ = 50 см = 0,5 м
F _ 9
111
Решение
_ АоА#2
W — ---— ,
2
Лп-f^/d/,
Тороид с воздушным сердечником содержит 20 витков на 1 см.
Определите объемную плотность энергии в тороиде, если по его
обмотке протекает ток 3 А.
Дано Решение
N — = 20 см 1 = 2 • 103 м'1 1 1 = 3 А и В2 w= /<=1 _ в2 2Ао ’
w — 2 dl = /u0Nl, BI = /XqNI,
N
b = b0-i.
/22Ао 2 Ш
w = 22,6 Дж/м3.
<296>
3.6. Магнитные свойства вещества
Докажите, что отношение числового значения орбитального маг-
нитного момента рт электрона к числовому значению его орби-
тального механического момента L/ (гиромагнитное отношение орбитальных
моментов) одинаково для любой орбиты, по которой движется электрон.
е
g = —
2т
3.216) Принимая, что электрон в невозбужденном атоме водорода движет-
чВвНйй*' ся по круговой орбите радиусом г = 52,8 пм, определите: 1) магнит-
ный момент рт эквивалентного кругового тока; 2) орбитальный механичес-
кий момент Lt электрона; 3) исходя из полученных числовых значений, гиро-
магнитное отношение орбитальных моментов, доказав, что оно совпадает со
значением, определяемым универсальными постоянными.
Дано
Решение
И=1
е = 1,610-19 Кл
г = 52,8 пм = 52,8-10" м
w = 9,1110-31 кг
2 2
mv _ е
Г 4тГ£0Г2
pm = IS,
е
v= .
у]4ле0тг
1) Ап -?
2) А-?
3) g — ?
evr _ е2 Iг
2 4 уЛЕот
Li = mvr =
g = ^ = ~
Le 2т
(Ответ i) ^9,25-10 24 а-м2 3;
2) Le = 1,05-10-34 кг-м2/с;
3) g = 87,8 ГКл/кг.
<297>
Q3.217J В пространство между полюсами электромагнита подвешивают-
's' ся поочередно висмутовый и алюминиевый стержни. Оказалось,
что при включении электромагнита алюминиевый стержень располагается вдоль
магнитного поля, а висмутовый — поперек магнитного поля. Объясните разли-
чие в их поведении.
СЗ 218 ) В однородное магнитное поле вносится длинный вольфрамовый
стержень (магнитная проницаемость вольфрама р. = 1,0176). Оп-
ределите, какая доля суммарного магнитного поля в этом стержне определяет-
ся молекулярными токами.
Дано Решение
д = 1,0176 Ч Со II II =5 X to 3= — ч
to | to В' = Д0(Д - > В' _ в Д0Д# д-1 д
( Ответ s в = 0,0173.
Напряженность однородного магнитного поля в платине равна
5 А/м. Определите магнитную индукцию поля, создаваемого мо-
лекулярными токами, если магнитная восприимчивость платины равна 3,6 • 10Л
Дано Решение
Н = 5 А/м B' = fi0J, J=xH,
Х=3,6-10“4 В' = До/W -
В' -?
Ответ ^в’2,26 нТл.
(3.220J По круговому контуру радиусом г = 40 см, погруженному в жид-
кий кислород, течет ток 1 = 1 А. Определите намагниченность в
центре этого контура. Магнитная восприимчивость жидкого кислорода
у = 3,4 10~3.
Дано
Решение
г = 40 см = 0,4 м
1 = \ А
Х = 3,4-10-3
J-?
J = 4,25 мА/м.
3.221) По обмотке соленоида индуктивностью L = 3 мГн, находящегося
в диамагнитной среде, течет ток I = 0,4 А. Соленоид имеет длину
I = 45 см, площадь поперечного сечения 5 = 10 см2 и число витков N = 1000.
Определите внутри соленоида: 1) магнитную индукцию; 2) намагниченность.
Дано
L = 3 мГн = 3 • Ю’Гн
7=0,4 А
I = 45 см = 0,45 м
5 = 10 см2 = 10"’ м2
W = 1000
Решение
I '
„ LI NI LI
В = —5----=---
N-S I NS ’
LI
b = ——
B= иоцН,
, n2s
В — ?
J — ?
NI
T
В = 1,2 мТл, J = 66 А/м.
<299>
3.222
Соленоид, находящийся в диамагнитной среде, имеет длину
I = 30 см, площадь поперечного сечения 5 = 15 см2 и число вит-
ков /V = 500. Индуктивность соленоида L = 1,5 мГн, а сила тока, протекающе-
го по нему, I = 1 А. Определите: 1) магнитную индукцию внутри соленоида;
2) намагниченность внутри соленоида.
Ответ
1)5=2мТл; 2) 7=75 А/м.
Индукция магнитного поля в железном стержне В = 1,2 Тл. Опре-
делите для него намагниченность, если зависимость В(Н) для
данного сорта ферромагнетика представлена на рисунке.
Дано
Решение
5=1,2 Тл
В(Я)
5=1,2 Тл,
Н = 800 А/м (см. рисунок),
J = XH = (jt-VH =
—-—1 ]н.
Вон J
7 = 954 кА/м.
Железный сердечник длиной I = 0,5 м малого сечения (7« Г) со-
держит 400 витков. Определите магнитную проницаемость желе-
за при силе тока I = 1 А. Используйте график из задачи 3.223.
ц = 1,19-Ю3.
(3.225 ) По обмотке соленоида, в который вставлен железный сердечник
1 '"S (график зависимости индукции магнитного поля от напряженно-
сти представлен в задаче 3.223), течет ток I = 4 А. Соленоид имеет длину I -1 м,
площадь поперечного сечения 5 = 20 см2 и число витков N = 400. Определи-
те энергию магнитного поля соленоида.
Дано
Решение
/ = 4 А
/ = 1 м
S = 20 см2 = 2- 10“3м2
Д'= 400
W = ^, W = wV=™Sl.
2 ’ 2
Н = —,
I ’
w —ч
W = 2,24 Дж.
(3.226 } Обмотка тороида с железным сердечником имеет N = 151 виток.
........Средний радиус г тороида составляет 3 см. Сила тока I через
обмотку равна 1 А. Определите для этих условий: 1) индукцию магнитного
поля внутри тороида; 2) намагниченность сердечника; 3) магнитную проница-
емость сердечника. Используйте график зависимости В от Н, приведенный
в задаче 3.223.
1) В = 1,2 Тл; 2) 7 = 954 кА/м; 3) ц = 1,19-Ю3.
Q3.227J На железном сердечнике в виде тора со средним диаметром
v '~' d = 70 мм намотана обмотка с общим числом витков N = 600. В
сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной b -1,5 мм (рисунок к
задаче 3.228). При силе тока через обмотку I = 4 А магнитная индукция в про-
рези Во -1,5 Тл. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, определите
магнитную проницаемость железа для данных условий.
ц = 428.
301
V*3i228 J На железном сердечнике в виде тора со средним диаметром
Х.1,*;7тт-, j _ 7Q мм намотана обмотка с общим числом витков /V = 600.
В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной Ъ = 1,5 мм. Магнит-
ная проницаемость железа для данных условий ц = 500. Определите при силе
тока через обмотку 7 = 4 А: 1) напряженность Н магнитного поля в железе;
2) напряженность Но магнитного поля в прорези.
Дано
Решение
d-1Q мм = 7 • 10 2 м
ТУ = 600
Ь—1,5 мм = 1,5 10“3 м
д = 500
7 = 4 А
1) 77 —?
2) 77О—?
H(7td-b)+HQb = NI,
(ltd-Ь)Н+ЬцН = NI,
во = М-онО’ = Н0 = цН,
77 = - , (ytd—b)+nb (nd -Ь)+цЬ
Ответ ) 1) 77 = 2,48 кА/м; 2) Но = 1,24 МА/м.
13 ^229 J На РисУнке качествен-
у.»- г/ н0 представлены гис-
терезисные петли для
двух ферромагнетиков. Объясните,
какой из приведенных ферромагне-
тиков применяется для изготовле-
ния сердечников трансформаторов
и какой — для изготовления посто-
янных магнитов.
3.7. Основы теории Максвелла
для электромагнитного поля
0.23(0 Длинный цилиндрический конденсатор заряжается от источника
ЭДС. Пренебрегая краевыми эффектами, докажите, что ток сме-
щения в диэлектрике, заполняющем пространство между обкладками конден-
сатора, равен току в цепи источника ЭДС.
0.230
, =f_L^ds=_L^f
см J 2лг1 dt 2лг1 dt J 2лг1 dt ’
s=2.ri, /с
dt d/ см 2лг1 d/ d/
[ Ответ j / = j
Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной
и дифференциальной формах и объясните физический смысл каж-
дого из уравнений. Зачем вообще необходима дифференциальная форма урав-
нений?
<зоз>
(3.232J Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационар-
них полей (Е = const и В = const ) в интегральной и дифферен-
циальной формах и объясните физический смысл каждого из уравнений.
3:233-) Запишите уравнения Максвелла через поток вектора электричес-
кого смещения Фо, поток вектора магнитной индукции Фв, за-
ряд Q и силу тока I.
(3.234)
Докажите с помощью одного из уравнений Максвелла, что пере-
менное во времени магнитное поле не может существовать без
электрического поля.
Дано Решение
В = В(/) В = В(г), —^0, rotE = ~ — ^0, rotE^O. dt dt
rotE — ?
Qomeem ) Есть вихревое электрическое поле.
(З.2З5) Докажите, что уравнения Максвелла rotE =-йВ/с)/ и divB = 0
v'"‘ "S совместимы, т. е. первое из них не противоречит второму.
Дано Решение
dB 1) rotE = - — 7 dt 2) divB = 0 Совместимы 1) и 2) — ? 1) rotE = — —, dt ( с)В) с) div rotE = div = (divВ), V dt J dt div rot E = 0; div В = const, 2)divB = 0; 1) divB = const.
^Ответ ) 1) и 2) совместимы.
1’ХШ» Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида радиу-
сом R, изменяют так, что магнитное поле внутри соленоида рас-
тет со временем по закону В = At2, где А — некоторая постоянная. Определи-
те плотность тока смещения как функцию расстояния г от оси соленоида.
Постройте график зависимости JCM(r).
Дано
Решение
B=At
А = const
JcM ~ at
Ам(Н-?
dB
— aS
dt
dB „ ,
— = 2At;
dt
B=At2,
r<R, 2rtrE = nr2 • 2At, E — Atr, Am = -£0Ar ;
r>R, 2nrE = mR2 2At, t, R2At £0AR2
r Jcm ~ 1 r
r=R, E=AtR, Am = M^-
R
L
S
20-2741
<305>
( 3.237 J В физике известно так называемое уравнение непрерывности
К «
-) т')
Ф j dS -----, выражающее закон сохранения заряда. Докажите,
1 д/
что уравнения Максвелла содержат это уравнение. Выведите дифференциаль-
ную форму уравнения непрерывности.
Дано Решение
J " Вывести из уравнений Максвелла, записать дифференциальную фор- му уравнения непрерыв- ности. ФН/ dl = | j + — 1 cLS ( S — любая поверх- L S /n ность, опирающаяся на замкнутый контур L ), г г г dD I jn dS = Ф И/ dl - I — dS . Рассмотрим бесконеч- s t s но малый контур, стянув его в точку, а поверхность
оставим конечной. Тогда у dl = 0.
L
Поверхность замкнута, поэтому можем записать: ф dS = -Ф -
— dS.
5 U
Используем III уравнение Максвелла и продифференцируем его по времени:
s
i *
— [pdK ,
dt J
fpdV .
dt '
O'
5
f dQ
Ф j оз =---—уравнение непрерывности в интегральной форме
s dt
lira -------= - lim d------------
r->o V r->o V
.. . dp
div j =-----
а/
(3.238) Определите силу тока смещения между квадратными пластинами
........конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электричес-
кого поля изменяется со скоростью 4,52 МВ/(м • с).
1СМ = 0,1 мкА.
4. Колебания и волны
4.1. Механические и электромагнитные колебания
(4.1 Jp Гармонические колебания величины s описываются уравнением
( я 'I
5 = 0,02 cos I €>nt + — I, м. Определите: 1) амплитуду колебаний;
2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.
Дано Решение
s = 0,02 cos 6л t ч— , м 1 3) 1) А — ? 2) со0-? 3) v — ? 4) Г — ? s = A cos(a>0/ + , А = 0,02 м, (1>0 = 6л С”', v = —= 3 Гц, 2ТГ Т = - = 0,33 С. V
Q Ответ 1) Л = 0,02 м; 2) со0 = 6я с4; 3) г = 3 Гц; 4) Г = 0,33 с.
4.^7 j Запишите уравнение гармонического колебательного движения
точки, совершающей колебания с амплитудой А - 8 см, если за
t = 1 мин совершается п = 120 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°.
Дано Решение
А = 8 см = 8 10 2 м t = 1 мин = 60 с и = 120 а = 45° t 2л Т = —, = ’ п 1 х = A cos(co0/ + <р).
х(/) _? ( Ответ ) V 1 х — о cos 1 + 1 см 1 4 Г
20*
<5о?>
[ 4.3k й
Материальная точка совершает гармонические колебания с амп-
литудой А - 4 см и периодом Т = 2 с. Напишите уравнение дви-
жения точки, если ее движение начинается из положения х0 = 2 см.
Дано
Решение
А-4 см = 4 • 10"2 м
Т = 2 с
л'у = 2 см 1
х = A cos(a>0/ + <р), / = о ,
х0 = A cos<p
Хп Я
vos^> = — = 0,5, tp = —,
А 3
х = 0,04 cos рг/ ч— , м.
I 3
х = 0,04 cos л/ ч— , м.
Точка совершает гармонические колебания с периодом Т = 6 с и
начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, счи-
тая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на полови-
ну амплитуды.
/ = 1 с.
, Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его
амплитуда А = 15 см, максимальная скорость колеблющейся точ-
ки t»max = 30 см/с, начальная фаза <р -10°.
Дано Решение
А = 15 см = 0,15 м птах = 30 см/с = 0,3 м/с р = 10° х = A cos(w0/ + <р), v = -Аа>0 sin(a>0/ ч- <р), ”тах=|Лшо|, Шо=-^. А
х(/) — ? С Ответ ) Л,с С л А у У х = 0,15 cos 2/ + — , м. ( 18 J
<308>
W 3 Точка совершает гармонические колебания по закону
[л Л \
— / + — , м. Определите: 1) период Тколебаний: 2) мак-
2 8 )
симальную скорость vmax точки; 3) максимальное ускорение атах точки.
Ответj)T = 4c-, 2) итах =4,71 м/с; 3) «тах = 7,4 м/с2.
Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см
и периодом Т = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную ско
рость; 2) максимальное ускорение.
Дано Решение
S НН 2 3 — 1 1 о 1 1 2 •о -О II р 2 х = A cos(a>0Z + <р), и = -Аа>0 sin(to0Z + <р), -> 2л |<| а = -Awq cos(w0Z + >р), су0 = — , i’m,x = ,
«п,ах =Н QOmeem^\} „,гах = 12,6 см.с,-
2) “max = 15,8 СМ/С1,
Скорость материальной точки, совершающей гармонические ко
лебания, задастся уравнением v (z) = -6 sin 2nz, м/с. Запишите зави-
симость смещения этой точки от времени.
3
х(/) = — cos2zrz, м.
Материальная точка совершает колебания согласно уравнению
х = A sin a>t. В какой-то момент времени смещение точки х, =15 см.
При возрастании фазы колебания в два раза смещение л2 оказалось равным 24 см.
Определите амплитуду' А колебания.
Q Ответ а = 25 см.
309
Материальная точка совершает гармонические колебания соглас-
но уравнению х - 0,02 cos I nt + — I, м. Определите: 1) амплитуду
колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максималь-
ную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько време-
ни после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия.
Дано Решение
( л А х - 0,02 cos л/ + — , м к 2 J х = A cos(a>0/ + <р), А = 0,02 м, „ 2л Т = —, ш0-л.
«о
1) А 2) т —? 3) <Р — ? л Т = 2 с, <р = - ,
4) vmax -? v = -0,02л sin^/ + у) , |,тач = о,О2л м/с.
5) “max — ? 6) / — ? а = -0,02л2 соз(л/ + у), итах = 0,02л2 м/с2.
При х = 0 0,02 соз^л/ + —J ~ 0, я/+ —= (2/w+1)— =
тл
t----= т.
л
Qomeem"') 1) А = 2 см; 2) Т = 2 с; 3)у> = у
4) "шах = 6-28 см/с:
5) = 19,7 см/с2; 6) t -тс, где т = 0, 1, 2, 3,...
' IllaA z
Определите максимальные значения скорости и ускорения точки,
совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 3 см
и периодом Т = 4 с.
vmax = 4,71 см/с;
2) “max = 7’4 СМ/с2.
<ЗЙ)>
Материальная точка, совершающая гармонические колебания с
частотой г = 1 Гц, в момент времени / = 0 проходит положение,
определяемое координатой х0 = 5 см, со скоростью v0 = -15 см/с. Определите
амплитуду колебаний.
Л = 5,54 см.
t Тело массой те = 10 г совершает гармонические колебания по за-
кону х - 0,1 соз(4л/ + л/4), м. Определите максимальные значе-
ния: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.
Дано Решение
те= 10 г= 10“2 кг х = 0,1 соз(4л/ + л/4) м 1 7Г | х = A cos(w0/ + <р), х = 0,1 cos 4л/ + — , \. 4/ А = 0,1 м, ш = 4л с’1,
1) |Лпах| -?
v - -Aw0 sin(w/ + <р), а = -Aw^ cos(w0/ + <р),
2) 4ах -? атах = ~Ашо, F = ma,
^гпах “ ^Шщах ~ , т_гт}2 т _
2 ’ шах 2 2
) 1) |Fmax = 0,158 Н; 2)Гтах = 7,89мДж.
( 4.14 1 Материальная точка массой те = 50 г совершает гармонические
Зл
колебания согласно уравнению х = 0,1 cos—/, м. Определите:
1) возвращающую силу F для момента времени / = 0,5 с; 2) полную энергию Е
точки.
1) F = 78,5 мН; 2) Е = 5,55 мДж.
.311
Материальная точка массой т = 20 г совершает гармонические
колебания по закону х = 0.1 cos(4tz7 + л/4). м. Определите полную
энергию Е этой точки.
Дано Решение
те = 20 r = 2 • 10-2 кг x = 0,1 соз(4л/ + л/4), м с -r rr -г пп>2 тА2Ш2 . Э Е - Т + П , Т = —— = ——- sin (<д0/ + <р),
E — ? кх2 тА2Шц 2 w/l2w5 П~ 2 = 2 cos + Е~ 2 •
Ответ ) е = 15,8 мДж.
Q4J6J Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна
10 мкДж, а максимальная сила Fmax , действующая на точку, рав-
на -0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период Т колеба-
ний равен 4 с, а начальная фаза у = л/6.
Дано
Решение
Е = 10 мкДж = 10“5 Дж
Fmax=-0,5 мН
Г = 4 с
|Лпах| = ’
E _ mA2a)Q _ A
l^maxl 2/пА(Х>д 2
А=™-
F
max
2л
o>o= —
о т
х = A cos(w0t + <р).
zS =----------
2
х(0 -?
Вычисления:
. 2ЮЮ~6Дж nn/) 2л л ,
A =------5--= 0,04 m, = — = — c
0,510"3H 4 c 2
х = 0,04 cos — t + — , м.
I 2 6 J
x = 0,04 cos —/ 4— , m.
12 6
(417 J Определите отношение кинетической энергии Т точки, соверша-
✓ ющей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии П.
если известна фаза колебания.
Дано Решение
ш0/ + <р х- A cos(w0/ + <р),
— v = -Аш0 sin(w0/ + <р),
а = -Ао)(} cos(co0/ + (р) = -о)$х .
п э /> э
mv2 mA2aK. . ->
Т = — = —-— sin"(ш0/ + <р),
f „ , Г . rnw^x ihA-(Dq >,
11 = -1 г с!х= тшох dx ------------=---------cos“(w0/ + <р),
0 0 2 2
Т _ sin2(w0/ + <р)
П cos2(<o0/ + ^?)
= tg2 (ш0/ + <р)
(Ответ ) т 2
у — = tg («М + <р).
п
д j Определите полную энергию материальной точки массой т, ко-
S леблющейся по закону х - A cos(w0/ + <р).
Дано Решение
х = A cos(w0/ + <р) Е Е = Т+Х\, mv2 mA2w2Q . > 2 = 2 Sln’(t°o' + <Р) > кх2 тА2Шц э 11 = —— = cos"(&)0/ + (р) , ь — 2
QOmeem mA ш0 Е . 7
313
Q 4.19 J Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертика-
ли с амплитудой А = 8 см. Определите жесткость к пружины; если
известно, что максимальная кинетическая энергия Ттях груза составляет 0,8 Дж.
Дано Решение
A = 8 см = 8 • IO-2 м Ттях =0,8 Дж р - П = Т ЖАтах Хтах ’ П=—, 2
к —2 кА2 ААтах — > ...24ах А2
QOmeem^ л = 25он/м.
4 Материальная точка колеблется согласно уравнению х = A coswz,
х“"....где А = 5 см и ы- л/12 с Когда возвращающая сила F в пер-
вый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия П точки оказыва-
ется равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени /; 2) соответствую-
щую этому моменту фазу (Dt.
Дано
Решение
х = A cos «И
А = 5 см = 5 • 102 м
ш = л/12 с-1
F - —кх = —Ак cosa)/,
л кх2 кА2 ?
11 =----=----cos wt
2 2
F = -12 мН = -1,2 • 10-2Н
П = 0,15 мДж =
= 1,5 1(Г Дж
1) t —?
П А
— :-----COS (Dt.
F 2
1 Г 2П
t-— arccosl-------
(D AF
2) (Dt — 2
( 2П
a>t = arccos---
I AF
(Ответ j я
У 1) t = 4 c; 2) (Dt=— рад.
Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по верти-
кали с амплитудой А = 6 см. Определите полную энергию Е ко-
лебаний груза, если жесткость к пружины составляет 500 Н/м.
кА2
Е — —— = 0,9 Дж.
Спиральная пружина обладает жесткостью к - 25 Н/м. Опреде-
лите, тело какой массой т должно быть подвешено к пружине,
чтобы за / = 1 мин совершалось 25 колебаний.
Дано
Решение
к = 25 Н/м
t = 1 мин = 60 с
^ = 25
т — ?
г _ [т
Т = 2лл — ,
V к
кг
4tt2N2 ’
т = 3,65 кг.
Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружи-
не, на 600 г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Опре-
делите массу первоначально подвешенного груза.
Дано Решение
Ет = 600 г = 0,6 кг Т □ [/и \к ’ V т+ Ет
Т2 = 27\ к '
т —2 7] т + Ет =, = 2, 4те - т + Дте 1
Ет т = 3
(Ответ ' ) те = 200 г.
<315>
При подвешивании грузов массами т1 = 600 ги т2 = 400 г к сво-
бодным пружинам последние удлинились одинаково (7 = 10 см).
Пренебрегая массой пружин, определите: 1) периоды колебаний грузов; 2) ка-
кой из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколь-
ко раз.
Ответ
1,2) 7] = Т2 =0,63 с;3) ^- = -^- = 1,5.
Е2 т2
На горизонтальной пружине жесткостью к = 900 Н/м укреплен
шар массой М = 4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он
может скользить без трения. Пуля массой ш= 10 г, летящая с горизонтальной
скоростью ь’о = 600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную
вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пру-
жины и сопротивлением воздуха, определите: 1) амплитуду колебаний шара;
2) период колебаний шара.
Дано
к = 900 Н/м
М = 4 кг
т = 10 г= 10-2 кг
f0 = 600 м/с
Решение
1) А — ?
2) Т — ?
mv0 =(M+m)v,
п = ^^,
М +т ’
(М + m)v* 2 1 кА2
2 2
9 9
пГОц _ mvG
(М+т)к yl(M + m)k ’
(М+т)А2а>2 кА2
2 ~ 2 ’
М + т
М + т ’
1) /1=10 см; 2) Г = 0,419 с.
<316>
На чашку весов массой М, подвешенную на пружине жесткос-
тью к, с высоты h падает небольшой груз массой т. Удар груза
о дно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза
начинает совершать колебания. Определите амплитуду А этих колебаний.
Дано Решение
м к h т А —2 При ненагруженной чашк -у- = mgh, vl=y]2^h, т & f I mVj =(т+ M)v, , v- М т+ М г:
Mg - kl,
, Mg 1 7 Г
l = ——, -(m+M)v2+(M+m)g(x0-l)=\kxdx,
к 2 *
-(w+ M)-—m -2gh + (m + M)g{xQ — l) = —k{xl — l2)
2 (m + M)~ 2
Решаем уравнение относительно х0:
т + М m~g~ 2m~gh
Ч) =---g ± J—т- +-----— •
к \ к" (т + М)к
При нагруженной чашке:
„ (т+М)
(m+M)g = kl', 1=~,—-S,
к
л 1. lm2S2 . 2w2gh
А — Хг\ — / — -I—5—ь-
у к~ (т+ М)к
Q Ответ ^)А lm2g2 । 2т2gh
\ к2 (т+ М)к
<И7>
Физический маятник представляет собой тонкий однородный стер-
жень длиной 35 см. Определите, на каком расстоянии от центра
масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.
Дано
I = 35 см = 0,35 м
ш = "max
X —?
. ml" ,
J ------н тх~ ,
12
j3g(/2-12x2)_0
d* ^/x(Z2 + 12х2)3
Г Ответ Л х = юл см.
Z2 - 12х2 = 0,
Однородный диск радиусом R = 20 см колеблется около горизон-
тальной оси, проходящей на расстоянии 7 = 15 см от центра диска.
Определите период Т колебаний диска относительно этой оси.
Дано
R=20 см = 0,2 м
7 = 15 см = 0,15 м
Т___9
Решение
= 2л.
mR2 2
J =-----h ml ,
2
R2 + 272
2g7
Г = 1,07 c.
<ЗГ8>
Тонкий обруч радиусом R = 50 см подвешен на вбитый в стену
гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Определи-
те период Т колебаний обруча.
Т = 2 с.
Тонкий однородный стержень длиной 7 = 60 см может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верх-
ний конец стержня. Стержень отклонили на угол а0 = 0,01 рад и в момент
времени /0 = 0 отпустили. Считая колебания малыми, определите период ко-
лебаний стержня и запишите функцию a(t).
Г = 1,27 с;
a(t) = 0,01 cos 1,57л/ рад.
Тонкий однородный стержень длиной I - 60 см может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии
х = 15 см от его середины. Определите период колебаний стержня, если он
совершает малые колебания.
Дано
/ = 60 см = 0,6 м
х = 15 см = 0,15 м
Решение
Т — ?
ml
----+
12
J ml" 2
-----1- mx
12
-L=------—
mgx
Il2 + I2x2
] 12gx
Г = 1,19 c.
Маятник состоит из стержня (I - 30 см, т = 50 г), на верхнем
конце которого укреплен маленький шарик (материальная точка
массой т' = 40 г), на нижнем — шарик ( R - 5 см, М -100 г). Определите
период колебания этого маятника около горизонтальной оси, проходящей че-
рез точку О в центре стержня.
Дано
Решение
I = 30 см = 0,3 м
т = 50 г = 0,05 кг
т' = 40 г = 0,04 кг
R = 5 см = 0,05 м
М = 100 г = 0,1 кг
Математический маятник, состоящий из нити длиной / = 1 м и
свинцового шарика радиусом г = 2 см, совершает гармоничес-
кие колебания с амплитудой А = 6 см. Определите: 1) скорость шарика при
прохождении им положения равновесия; 2) максимальное значение возвраща-
ющей силы. Плотность свинца р = 11,3 г/см3.
(Ответ ) I я
J 1) umax = А — = 0,186 м/с;
V 1 + г
2) =218 мН.
ах 3 1 + г
<320>
( 4.34 J Два математических маятника имеют одинаковую массу, длину,
✓ отличающиеся в и -1,5 раза, и колеблются с одинаковой угловой
амплитудой. Определите, какой маятник обладает большей энергией и во сколько
раз.
Дано
тх = т2 — т
ах~а2 = а
/,=1.5/2
Решение
£ = Птах> Птах = "'g^max > /?тах = / -/COSO =/(1 - COSCZ),
Е. I,
Е{ =wg/|(l-cosa), Е2 =z»g/2(l-cos«), — = —.
е2 ь
Два математических маятника, длины которых отличаются на
А/ = 16 см, совершают за одно и то же время один «| = 10 колеба-
ний, другой — и2 = 6 колебаний. Определите длины маятников lt и 12.
/] = 9 см ;
/, = 25 см.
Математический маятник длиной / = 50 см подвешен в кабине
самолета. Определите период Т колебаний маятника, если само-
лет движется: 1) равномерно; 2) горизонтально с ускорением а = 2,5 м/с2.
1) 1,42 с; 2) 1,4 с.
212741
<32?>
-------------------------------------------------------
4.37 ) Математический маятник длиной I = 1 м подвешен к потолку ка-
бины, которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорени-
ем О] = g/4. Спустя время = 3 с после начала движения кабина начинает
двигаться равномерно, а затем в течение 3 с тормозится до осгановки. Опреде-
лите: 1) периоды Т\, Т2, Т3 гармонических колебаний маятника на каждом из
участников пути; 2) период Т4 гармонических колебаний маятника при движе-
нии точки подвеса в горизонтальном направлении с ускорением с4 = g/4.
Дано
Решение
/ = 1 м
«I = g/4
/, = 3 с
и2 - const
t2=3 с
v3 = О
«4 = g/4
1) Т{, Т2, Т3-?
2) Т4 -?
1)7; =2,32 с, 72 = 2,010, 7} = 1,79 с; 2) Г4 = 1,97 с.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн
и конденсатора емкостью С = 2 нФ. Пренебрегая сопротивлени-
ем контура, определите, на какую длину волны этот контур настроен.
Дано Решение
L ~ 1 мГн = 10 3 Гн С = 2 нФ = 2 10 9 Ф /?=0 Х = сТ, Л = 2л Д LC Т = 2л4ьс ,
Л —? ^Omeem^ Л = 2,67 км.
322
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью
" L = 0,2 мГн и конденсатора площадью пластин S = 155 см2, рас-
стояние между которыми d = 1,5 мм. Зная, что контур резонирует на длину
волны Л = 630 м, определите диэлектрическую проницаемость среды, запол-
няющей пространство между пластинами конденсатора.
Дано
Решение
L = 0,2 мГн = 2 • 10 4 Гн
5 = 155 см2= 1,55 • 10“2м2
d = 1,5 мм = 1,5 • 10"3 м
Л = 630 м
£ —?
т=ъг4ьс,
А = с7’ = 2лс.1^-
V d
Л У rf
'ХЛС/ EqL/S
£ = 6,11.
Колебательный контур содержит соленоид (длина I — 5 см, пло-
щадь поперечного сечения = 1,5 см2, число витков N = 500) и
плоский конденсатор (расстояние между пластинами d -1,5 мм, площадь пла-
стин S2 =100 см2). Определите частоту со0 собственных колебании контура.
Дано Решение
1 = 5 см = 0,05 м 5] =1,5 см2 = 1,5 • Ю^м2 N = 500 d = 1,5 мм = 1,5 • 10~3 м S2 = 100 см2 = 10^* м2 соо — ? 1 Т n2s, n2s, % = /777- L = IW =Цо , я=1
S2 £oS2 CD-I ld
4/ £=i d SXS2 1 c , Id
/ > Wf) — - " - •
С Ответ Л , , V. Д % = 4,24 ’1 ° РаД/С-
21*
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью
L = 0,1 Гн и конденсатора емкостью С = 39,5 мкФ. Заряд конден-
сатора Qm= 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, запишите уравне-
ние: 1) изменения силы тока в цепи в зависимости от времени; 2) изменения
напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.
Дано
L = 0,1 Гн
С = 39,5 мкФ=3,95-10~5Ф
Qm= 3 мкКл = 3 • 10-6 Кл
7?=0
1) Д/)-?
2)<7С(/)-?
Решение
Q=Qm cosco0/,
dO
1 - — - “Sm% Sin Шо/ - Qm COo COS
at
Uc=c = ^~Cosa)(>(-
1) I = 1,5 cosl 160тг/ + —
2) Uc = 76 cos(160tz7) , мВ.
Сила тока в колебательном контуре, содержащем катушку индук-
тивностью L = 0,1 Гн и конденсатор, со временем изменяется
согласно уравнению I = -0,1 sin 200л/, А. Определите: 1) период колебаний;
2) емкость конденсатора; 3) максимальное напряжение на обкладках конденса-
тора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию
электрического поля.
Ответ ) Tz
С = —5—= 25,3 мкФ;
LI1 2
^“=-^- = 0,5 мДж;
1)7 = — = 10 мс; 2)
3) Рт =-^=6,29 В; 4)
си2
5) К=—- = 0,5 мДж.
<324>
Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в
колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раз-
двигании пластин конденсатора частота колебаний увеличилась в п = 2 раза.
Определите работу, совершенную против сил электрического поля.
Дано Решение
^ = 0,2 мДж = 2 - 10-^Дж v = —, T = 2n4l£, Т
п = 2
А * 1^ II 3 -= I. II 3
q , q
— = п~, С2 С2 = -у, Q =* = С2<р2 = const, п
q 2 Ч>2 = ~<Р\ ~П <Р\, С2 w=^=n2W 1 2 2 2 '
A=W2-Wl=n2Wl—Wl =
Q Ответ а = о,б мДж.
111 1 ——|^—————
f 4-44 j Конденсатор емкостью С зарядили до напряжения Um и замкнули
на катушку индуктивностью L. Пренебрегая сопротивлением кон-
тура, определите амплитудное значение силы тока в данном колебательном контуре.
Дано Решение
с 1
ит Q-Qm cos(Wo/ + ^), ш0- ,
L 2m = CUm , I = -a)0Qm sin(ov + ,
I —9 1 . fc
'т=“Ое„=у=си„=и,Д-.
I =ит
m m
<325>
4:45 ) Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков
™“™,г N = ЮО индуктивностью L = 10 мкГн и конденсатор емкостью
С = 1 нФ. Максимальное напряжение Um на обкладках конденсатора состав-
ляет 100 В. Определите максимальный магнитный поток, пронизывающий ка-
тушку.
Дано Решение
2V = 100 L = 10 мкГн = 10-5 Гн С = 1 нФ= Ю-’Ф ит =100 в фт -? ( Ответ Л ф 1=0 J т v Q = Qm cos(co0/ + </>), О)О= . , v LC 1 = ~<"о£?т sin(coo/ + p), 4 = cooem , Qm=UmC, ^ = ^Фт, ф = _ L^oQm _ _ Цп т N N N ~ N ,1 мкВб.
Два одинаково направленных гармонических колебания одинако-
вого периода с амплитудами А । = 4 см и А2 = 8 см имеют раз-
ность фаз <р = 45° . Определите амплитуду результирующего колебания.
Дано Решение
А । = 4 см = 4 • 10“2 м А2 - 8 см = 8 • 10-2 м 99 = 45° Х| = А । cos(co/ + <Pf), х2 - ^2 C0s(cor + ip2 ) , ^2-^1
А -2 л2 = А 2 + А2 + 2А хА2 cosp , А - у/A j + А2 + 2А ,А2 cosp
9 -
Ответ ) л = п,2 см.
<326>
С4Ш Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сло-
жении двух одинаково направленных гармонических колебаний
одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60°, равна А = 6 см. Опреде-
лите амплитуду А 2 второго колебания, если Л,= 5 см.
Л 2= 1,65 см.
Определите разность фаз двух одинаково направленных гармони-
ческих колебаний одинаковой частоты и амплитуды, если амплиту-
да их результирующего колебания равна амплитудам складываемых колебаний.
р = 120°.
Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колеба-
||1-' ний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = 5 см
составляет л/4. Напишите уравнение движения, получающегося в результате
сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.
Дано Решение
S о МП II 2 о мп II . о- » Ч* о 1 II II II Н-Q. ь, < £ V X, = А ! COSCO/ , х2 = А2 соя(со/ + <р2), Л . 2л &Р = — -> Ч>2 = &Р’ Ш = ~т'
A = ^Aj+A2+2AtA2 cos<p = А , ^2(1 + cosA^>), Л, sin^p, + Я2 sin^2 л tg^> = = 0,414, <р - —, А । cos^>! + А2 cos^>2 8 х = A cos(co/ + <р).
(Ответ Л о_. । у J х = 9,24 соя (Ttt я"! 1 2 8) , см.
<327>
Складываются два гармонических колебания одного направ-
ления, описываемых уравнениями X|=3cos2ft7, см и
х2 = 3 соб(2л7 + л/4), см. Определите для результирующего колебания: 1) ам-
плитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания
и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.
Дано
Решение
Х| = 3 cos 2л/ , см
х2 = 3 соз(2л/ + л/4), см
1) А —?
2) Р —?
3) х(/) -?
л
Щ> = р2 — ’
Х| = Ау cos((l)t + Pl ) ,
х2 = А2 COS(OJt + р2),
_ Aj sin pt + А2 sin р2 sin pt + sin p2
At cospi + A2 cos^>2 cos^>| + cos^>2
A = -J Ai + A2 + 2AiA2 cos Ay? = Ax -^2(1 + cosAp),
sinO + sin— л
tgp =----------4-= 0,414,
cos 0 + cos—
4
Л — 3 • .21 1 + cos— I = 5 54 CM x = 5 54 cosl 2л t + — I, cm.
V I 4) V 8 J
(Ответ Л n . л
J 1) A - 5,54 cm; 2) p = — ;
8
3) x = 5,54 cos 2л/ + — , см.
I 8J
<328>
Q 4«51 у Точка одновременно участвует в п одинаково направленных гар-
1.......монических колебаниях одинаковой частоты: At cos(wf + <р{),
А2 cos(a)t + <р2),cos(wr + <рп). Используя метод вращающегося вектора
амплитуды, определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) на-
чальную фазу.
р £4sin^
л = V*2 + / =, Е 4 A C0S(P/ - <Рк), tgp = --------
Vi,*=l х v л
ЪА‘СО5(Р>
1=1
Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов на-
строены на 560 и 560,5 Гц. Определите период биений.
Дано
Решение
v, = 560 Гц
v2 = 560,5 Гц
2л
гб= —,
Леи
Дсо = 2 л Аг,
Гб -?
Аг = v2 - г.
т__!_
уб -
Г2-Г!
(Ответ
Т5^2 с.
<329>
( 4.53 ) В результате сложения двух колебаний, период одного из которых
х-- " 7] = 0,02 с, получают биения с периодом Т& = 0,2 с. Определите
период Т"2 второго складываемого колебания.
Т2 = 18,2 мс.
( 4.54 ) Складываются два гармонических колебания одного направления,
имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы,
с периодами 7] = 2 си Т2 = 2,05 с. Определите: 1) период результирующего
колебания; 2) период биения.
1) Т = 2,02 с; 2) 7g = 82 с.
( 4.55 ) Результирующее колебание, получающееся при сложении двух
' т*^ гармонических колебаний одного направления, описывается урав-
нением вида х = A cost cos45/ (t — в секундах). Определите: 1) циклические
частоты складываемых колебаний; 2) период биений результирующего колебания.
Дано
Решение
х = A cost cos 45/
1) «I ----? «2 -----?
2) Г6 —?
_ „ «. -«2
х = 2А cos—!--/ cos
<U| +
2
2
t + ф ,
2
2«| = 92,
wl -бу2“ 2,
ai] = 46 c ',
2
ш2 = 44 с-1,
a>] +oi2=90,
_ 2л- 2л
3,14 c.
1)«|=46с|, «2=44с'; 2) Т6 = 3,14 с.
330
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и опи-
сываемых уравнениями х = 3 cos coz, см и у = 4 cos соZ, см. Определите урав-
нение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
4х
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и опи-
сываемых уравнениями х = 3 cos2coz, см и у = 4 cos(2coz + л), см. Определите
уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
Дано
Решение
х = 3 cos2coz, см
у = 4 cos(2coz + л), см
у = 4 cos(2coz + л) = -4 cos2coZ,
у
cos2coZ =----.
4 ’
cos2coz = —
3 ’
х у
- + —=0,
3 4
4
т = -Г.
х = 3 см, у = -4
см;
т
t=—
4
х = -3 см, у “ 4
см;
х = 3 см, у = -4
см;
х — 0 см, у - О см.
z = 0
Т
1 = —
2
Т
t = —
8
4х
У = ~~.
.33 Г
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и опи-
сываемых уравнениями х = A sin со/ и у = В cosco/, где А, В и со — положи-
тельные постоянные. Определите уравнение траектории точки, вычертите ее с
нанесением масштаба, указав направление ее движения по этой траектории.
Дано
Решение
X
— -sinait,
А
х~ A sin со/
у = В COSCO/
— - COSCO/ ,
В
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях
одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях и описываемых уравнениями х = A sin(со/ + я/2) и у = / sin со/.
Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масшта-
ба, указав направление ее движения по этой траектории.
Дано
Решение
х = A sin(co/ + л/2)
у = A sin со/
<332>
<4,
Точка участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих
во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых урав-
нениями х = cos2ft7 и у = cos я/. Определите уравнение траектории точки и
вычертите ее с нанесением масштаба.
2у2 —х = 1.
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и опи-
сываемых уравнениями х = Л sin су/ и у = A sin2су/. Определите уравнение
траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.
Дано
Решение
х = A sin су/
у = Asin 2a)t
х = A sinwt,
у = A sin 2<z>/ = 2 A sin «я coscy/,
— = sin cot, coscy/ =
А
у{х)—2
у 2 cos су/
А-
( х2'
y’4x\'-s.
1
333
Период затухающих колебаний Т = 1 с, логарифмический декре-
мент затухания 0 = 0,3, начальная фаза равна нулю. Смещение точ-
ки при / = 2Т составляет 5 см. Запишите уравнение движения этого колебания.
Дано
Т = 1 с
0 = 0,3
<р = о
1 = 2Т
Х| = 5 см = 0,05 м
х(Г) -?
Решение
х = А^е 6' coscot, со = —, ® = дТ,
Т
<5 = ^, *i = Л е*Й 2Г С0$~^Г IT = Ао е"20,
0 п
. 2© л т'
Л0=х1е , х = Аое ‘ cos—/.
(Ответ ) о. с.з, п .
J x = 9,le cos2л/, см.
(В
Докажите, что для затухающих колебаний, описываемых уравнени-
ем х(/) = Ао e~6r cosco/, выполняется условие х(/ + Г) = х(/)е"д7 .
Амплитуда затухающих колебаний маятника за / = 2 мин умень-
шилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания д.
Дано Решение
1 = 2 мин = 120 с ^- = 2 Л 5 —? х = Ио e"d'cos(co/ + ^), 1пЛк = (5/, ^2 ^2 1 А\ -у д = СОтвет J 5 = 5,78-Ю"3 с1.
----------------Z--------------------------------------
Логарифмический декремент колебаний © маятника равен 0,01.
Определите число N полных колебаний маятника до уменьше-
ния его амплитуды в 3 раза.
^ = 110•
334
4.66,
уменьшится за 4 мин.
Амплитуда затухающих колебаний математического маятника
за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз она
Г8'-
Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника Ао = 3 см.
По истечении = 10 с А |= 1 см. Определите, через сколько вре-
мени амплитуда колебаний станет равной А2 = 0,3 см.
/ = 21 с.
^4.6^ Тело массой т = 0,6 кг, подвешенное к спиральной пружине же-
.......сткостью к = 30 Н/м, совершает в некоторой среде упругие коле-
бания. Логарифмический декремент колебаний 0 = 0,01. Определите: 1) вре-
мя, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза; 2) число полных ко-
лебаний, которые должна совершить гиря, чтобы произошло подобное умень-
шение амплитуды.
Дано
Решение
от = 0,6 кг
к = 30 Н/м
0 = 0,01
х = 4; е <v cos(coz + <р),
In— = д/,
^2
1) -?
2) #, -?
<5=°
т
2л „
Т = — = 2л.
из
'i =
NЛ = 11п±.
1 Т © А,
4
— = 3
Л
•1п^-,
Л
Л
1 1
/, = — In—L,
1 д А2
•1)/,= 97,6 с; 2) #,=110.
<33?>
СШДокажите, что выражения для коэффициента затухания d = r/{2m) и
1------ j f г V
циклической частоты со = Jojq -d2 = J-— > 0 следуют из решения диф-
Ут \2т J
ференциального уравнения для затухающих колебаний тх + rx + кх = 0 (т —,
масса тела, г —коэффициент сопротивления, к —коэффициент упругости).
Дано Решение
mx + rx + kx = 0 1) x = Aq e~6' cos((ot + <p),
1)5 = ^ 2m x = -A^d e~6r cos(wr + <p)- Aq sin(<y/ + <p),
2) (o = -^CDQ~d2 = x = A^d2 e~6r cos(w/ + <p)+ Aq e-d'<y sin(wr + ^>)+
= I1_(2lY>0 у m \2mJ + A^d e~6' sm(a)t + <p)-A0 e'd,<y2 cos(<y/ + <p),
wJq е [d2 cos(<y/ + <р) + 2da) sin(<yt + <p)-(i)2 cos(<y/ + <p)j -
-Mo e~6' [d cos(co/ + <p)+(o sin(w/ + ^)] + Mq e 6' cos(cul + <p) = 0,
(md2 - mu>2 -rd + к) cos(co/ + <p) + (2md - r)a) sin(a)t + <p) = 0,
2md - r = 0 d = —— .
2m
2) znd2 - ты2 — rd + k = 0, ma)2 = md2 - rd + к ,
Гк rd [к ( г У Гк 77
a) = ±J----+ d =±J--------- =±J-----d .
V m m V m \2mJ \m
( 4.70 J При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух
последовательных колебаний амплитуда второго меньше ампли-
туды первого на 60%. Период затухающих колебаний Т - 0,5 с. Определите:
1) коэффициент затухания д; 2) для тех же условий частоту v0 незатухающих
колебаний.
Дано
Решение
А2 = 0,4/4,
Г = 0,5 с
1) д — 2
А2 = 0,4А,,
® = дТ,
1
2лТ
( /4 Y
(2л)2 + In—-
к А2)
1) <5 = 1,83 с ';
2) v0 = 2,02 Гц.
Тело массой m = 100 г, совершая затухающие колебания, за т = 1 мин
потеряло 40% своей энергии. Определите коэффициент сопротив-
ления г.
Дано Решение
т-100 г = 0,1 кг г тА2о)2
т = 1 мин = 60 с д = , г - 2тд, Е - , 2т
Е(/ + т) = 0,6Е(/)
6, e~2d' 26г
г —? А = А°* ’ Е(/ + г) = е-^>=С ’
_ 1 е2йг _ ,_L. d=±i„J_,
E(t + г) 0,6 0,6 2т 0,6 2т 0,6 г 0,6
Q Ответ г = 8 51.10-4 кг/с
<337>
22 - 2741
Дифференциальное уравнение для заряда в электрическом колеба-
...... d20 dQ Q л
тельном контуре задается в виде L—5- + R-+ — = 0. Найдите решение это-
dr dr С
го уравнения. Определите: 1) собственную частоту контура; 2) циклическую ча-
стоту ш; 3) коэффициент затухания д.
Дано Решение
l^Q+r^Q + Q=q dr2 dr С d2Q RdQ О , —y- + - + —= 0, Q+2dQ+w2Q = 0, dr2 L dr LC * v
QW) -? <5 = — , 2 = е“д'н, где i/= w(r). 2£
1) «о-? После нахождения производных и подстановки:
2) а) — ? н+(а»о-д2)н = О, а>2 = а)20-д2,
3) <5 — ? й + со2и = 0, и - 2m cos(a»r + <р),
2= 2m e-d' cos(or + p).
= ; 3)<5 = ^.
За время, в течение которого система совершает N = 50 полных
колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определите доброт-
ность Q системы.
Дано
W = 50
Л)/~ 2
Решение
Q = ^, ® = дт,
AN=A0^'=A0e6N^A0^,
2-?
-у- = е0Л,=2, ®л =1п2, ® = -^р Q=~C Ответ Л 2 = 227.
<338>
Частота свободных затухающих колебаний некоторой системы
со = 65 рад/с, а ее добротность Q = 2. Определите собственную
частоту соо колебаний этой системы.
Дано
(о - 65 рад/с
6 = 2
Решение
® = дт, Q = — >
0
. ® ТС (1)
о = — =--= —,
Т QT 2Q
W0 — ?
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью
£ = 10 мГн, конденсатора емкостью С = 0,1 мкФ и резистора со-
противлением R = 20 Ом. Определите, через сколько полных колебаний амп-
литуда тока в контуре уменьшится в е раз.
Дано
Решение
£ = 10 мГн= 10 2 Гн
С =0,1 мкФ = 10 7 Ф
R = 20 Ом
АпО _ е
^тЛ’
АпЛ’
АпО _ е>
АпЛ’
dt = 1,
2тс
i /?2 ’
LC 4£2
/,=i=aI_l_4.
Т TCR\LC 4£2
22*
<339>
Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
L = 25 мГн, конденсатор емкостью С = 10 мкФ и резистор со-
противлением R = 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества
Qm = 1 мКл. Определите: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический
декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напря-
жения на обкладках конденсатора от времени.
Дано
Решение
L = 25 мГн = 2,5 • 10 * 2 Гн
С =10 мкФ= 105Ф
/?=1 Ом
Qm =1 мКл = 10~3Кл
<5 = — ,
2L
1
wo = ~~/=
О)
<52,
1) Т — ?
2) 0 —?
3) U(t) — ?
2л: 2л:
Г =— = .
1 r2
\LC~ 4L2
= cosait.
® = дТ,
1)7’ = 3,14мс; 2) 0 = 0,063;
3) {/(/) = 100 е-20' соз637лТ, В.
Определите логарифмический декремент затухания при котором
энергия колебательного контура за N = 5 полных колебаний
уменьшается в н = 8 раз.
Дано
^=„ = 8
WN
Решение
N = 5
1Г = —,
2
/ =
п
0 -?
®=&т,
In—= <5ДТ,
In
1пл/и = N®,
0 = —
N
Ответ
0 = 0,21.
340
С4^7Я^8п Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
'"S L = 6 мкГн, конденсатор емкостью С = 10 нФ и резистор сопро-
тивлением R -10 Ом. Определите для случая максимума тока отношение энер-
гии магнитного поля катушки к энергии электрического поля.
(Ответ ) ^- = 6
--------' ^эл
Определите добротность Q колебательного контура, состоящего
из катушки индуктивностью L = 2 мГн, конденсатора емкостью
С = 0,2 мкФ и резистора сопротивлением R = 1 Ом.
Q Ответ е=100
Частота v затухающих колебаний в колебательном контуре с доб-
ротностью Q = 2500 равна 550 кГц. Определите время, за кото-
рое амплитуда силы тока в этом контуре уменьшится в 4 раза.
Дано Решение
v = 550 кГц = 5,5 • 105 Гц Q = 2500 -- 4 AiW t —? “5 No ’ и о с «1® 5* « О) " <5 * п о J 1 и и 1
Q Ответ /^2 мс. Определите закон убывания заряда конденсатора со временем при его разряде в апериодическом режиме, т. е. когда <5 = а)0.
Ответ
е=еье-Шо'.
<341>
Г 4.82 ) Определите минимальное активное сопротивление при разрядке
лейденской банки, при котором разряд будет апериодическим.
Емкость С лейденской банки равна 1,2 нФ, а индуктивность проводов состав-
ляет 3 мкГн.
Дано
Решение
С =1,2 нФ = 1,2 • 10 9 Ф
£ = 3 мкГн = 3 • 10 6 Гн
R = 100 Ом.
Объясните, в чем заключается различие автоколебаний и вынуж-
денных колебаний.
Определите резонансную частоту колебательной системы, если
собственная частота колебаний г0 = 300 Гц, а логарифмический
декремент ® = 0,2.
Дано
v0 = 300 Гц
® = 0,2
Решение
V — 9
*рез
О
Т~ 1л ’
V
рез
"рез 0)0 [. ®^ L
—— = Л 1---------у =V0, 1----7 .
2л 2л V 2л2 V 2л2
QOmeetn^ Урез = 299,7 Гц.
<342>
Собственная частота v0 колебаний некоторой системы составля-
* "**^ ет 500 Гц. Определите частоту v затухающих колебаний этой си-
стемы, если резонансная частота v = 499 Гц.
Дано Решение
г0 - 500 Гц г'рез = 499 Гц а> = ’ «0 = О)2 + д2,
^рез ~ ~ , <"о ="рез +2Й2,
v — ? ш2+<52 =Шрез +2<52, <52=ш2-ш2рез,
<uq = w2 + <52 = (о2 + а)2 — а 2 о 2 2 ^рез — ^рез ’ v2 = 2v2-v2pe3,
2 2
^0 *" ^рез
2
V- 499,5 Гц.
Период затухающих колебаний системы составляет 0,2 с, а отно-
шение амплитуд первого и шестого колебаний равно 13. Опреде-
лите резонансную частоту данной колебательной системы.
<343>
Гиря массой т = 0,5 кг, подвешенная на спиральной пружине
жесткостью к = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с
коэффициентом сопротивления г = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины дей-
ствует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,1 cos wt, Н. Опреде-
лите для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания <5; 2) резо-
нансную амплитуду Лрез.
Дано
т = 0,5 кг
к = 50 Н/м
г = 0,5 кг/с
F = 0,1 coscj/, Н
Решение
mx - -кх -rx + Fo cosait,
„ , . 2
х + 2ох + <о0х = — cos о/,
т
<5 = —,
2т ’
1) <5 —?
2) Лрез -?
2dmy]a)Q — d2
к
«6 = — , Г0 = 0,1 Н,
т и
2
л
рез
т 4т2
т
Л)
А__±
т 4т2
1) <5 = 0,5 с4; 2)Лрез = 2см.
Гиря массой т = 400 г, подвешенная на спиральной пружине же-
сткостью к = 40 Н/м, опущена в Масло. Коэффициент сопротив-
ления г для этой системы составляет 0,5 кг/с. На верхний конец пружины дей-
ствует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = coscj/, Н. Определи-
те: 1) амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы
вдвое меньше собственной частоты колебаний; 2) частоту вынуждающей силы,
при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 3) резонансную
амплитуду.
1) А = 3,3 см; 2) <дрез =9,96с-'; 3) Л =20 см.
344
Гиря массой т = 200 г, подвешенная на спиральной пружине же-
сткостью к - 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэф-
фициентом сопротивления г = 0,2 кг/с. На верхний конец пружины действует
вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,2 cosot, Н. Определите:
1) частоту v0 собственных колебаний; 2) резонансную частоту грез; 3) резо-
нансную амплитуду Арез; 4) статическое отклонение.
Ответ
1) ^0 = 7,96 Гц; 2) Грез = 7,88 Гц; 3)Лрез=2см; 4)4 мм.
( 4.90 ) Амплитуды двух вынужденных колебаний системы с одинаковы-
ми собственными частотами при всех значениях частоты вынуж-
дающей силы различаются вдвое. Определите, какой одной (и только одной) из
величин (массой, коэффициентом сопротивления среды, коэффициентом упру-
гости, амплитудой вынуждающей силы) отличаются эти системы.
Дано
Решение
«01 -€°02
А=2
А2
т, г, к, Fo — ?
/<^рез1 — 2^4рез2 >
А- Г _ Г*
2т ’ рез у т 2т2
— = 2 для всех о, значит, и для о„„ :
А2 р
Л г ° г- F°
2dm-^a)Q-d2 г2
V т 4т2
Должна меняться только одна из величин: ни к, ни т (<и01 =
ни г (г входит в Лрез дважды в знаменателе), изменяется /^.причем F0l = 2F02 .
Ответ
Ли _ 2Г02.
В цепь колебательного контура, содержащего последовательно
соединенные резистор сопротивлением R = 40 Ом, катушку ин-
дуктивностью L - 0,36 Гн и конденсатор емкостью С = 28 мкФ, подключено
внешнее переменное напряжение с амплитудным значением Um = 180 Ви ча-
стотой со = 314 рад/с. Определите: 1) амплитудное значение силы тока 1т в
цепи; 2) сдвиг <р по фазе между током и внешним напряжением.
Дано
Решение
R= 40 Ом
L = 0,36 Гн
С=28 мкФ =28- Ю^Ф
=180 В
со = 314 рад/с
О 4 -?
2) <Р —1
ит = 1тг,
, 1
COL-----
tg^ =-----~~
К
Вычисления:
180 В
= 4,5А ;
1
tgy> =
402 Ом2 + 314рад/с-0,36Гн-------------,
I 314рад/с-28Ю~б Ф/
314 рад / с 0,36 Гн--------------т—
______________314 рад/с 28 10~бФ
40 Ом
= -0,0175.
р — -Г. Ток опережает напряжение.
1)4 =4,5 А;
2) у> = -1°.
<346>
4.92 J
В цепь колебательного контура, содержащего катушку индуктив-
ностью £ = 0,2 Гн и активным сопротивлением R=9,1 Ом, а так-
же конденсатор емкостью С = 40 мкФ, подключено внешнее переменное на-
пряжение с амплитудным значением Um =180 Ви частотой о = 314 рад/с.
Определите: 1) амплитудное значение силы тока /т в цепи; 2) разность фаз <р
между током и внешним напряжением; 3) амплитудное значение напряжения
U L на катушке; 4) амплитудное значение Uc на конденсаторе.
Дано Решение
L = 0,2 Гн R = 9,7 Ом С = 40 мкФ = 4- 10~5Ф Um =180 В i - „ 1 (i)L - (оС
т I Z х 2 ’ “ , f 1г . R2+ (1)L у V (oCJ R
со = 314 рад/с При С->со uL =1т^+{шЬ)2
1) 4 -? 2) — ? 4) UCm
При £ —> 0, 7?—> 0 Ur = 1т, (—— ) (t)C
Q Ответ 0 4, = 9,27 А; 2) <р = -60° , ток опережает напряжение;
Lm - 589 В; 4) Uc = 738 В. m
( 4.93 ) Последовательно соединенные резистор с сопротивлением
хЯьа.д'у 7? = 110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменно-
му напряжению с амплитудным значением Um = 110 В. Оказалось, что ампли-
тудное значение установившегося тока в цепи /т =0,5 А. Определите разность
фаз между током и внешним напряжением.
<р - -60°, ток опережает напряжение.
В колебательный контур, содержащий последовательно соединен-
ные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, под-
ключено внешнее переменное напряжение, частоту которого можно менять,
не меняя его амплитуды. При частотах внешнего напряжения щ = 400 рад/с
и а)2 = 600 рад/с амплитуды силы тока в цепи оказались одинаковыми. Опре-
делите резонансную частоту тока.
Дано
««j = 400 рад/с
а>2 = 600 рад/с
Um - const
Anl — Лп2
"рез
Г
m2 I "
Jt?2+ \w2L- —
] I (о2С,
, r 1
= Im2 при (0}L------------
(DjC
Решение
1
/=/т при Шрез = -у=^,
, 1
a>->L------
2 w2C
1
(jjxLC
1
w2--------
oj2LC
"рез
"1--------
"1
"рез
"2-------
"2
"рез = V"l"2 •
Ответ
"рез = 490 рад/с.
<348>
Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
L = 0,1 мГн, резистор сопротивлением R = 3 Ом, а также конден-
сатор емкостью С =10 нФ. Определите среднюю мощность, потребляемую
контуром, необходимую для поддержания в нем незатухающих колебаний с ам-
плитудным значением напряжения на конденсаторе Um = 2 В.
Дано Решение
L = 0,1 мГн = 10 4 Гн R = 3 Ом С=10 нФ = 10 8Ф (р} = - p1 27?dr, 'о P=gm coswr,
t/m=2 В (Р)-? с=йп. ит ' 1 а) = , Vzc рт = сит, т ’
dO
I-— = ~(oQm smcot,
dr
(,.)= гл,а=гп1 м л== =1 cui*
' ' Г J 2 2ZC 2 Z
о о
(Ответ Л /рХ D
J (Р) = 0,6 мВт.
( J В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц пос-
ледовательно включены резистор сопротивлением R = 100 Ом, ка-
тушка индуктивностью Z = 0,5 Гн и конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Опре-
делите амплитудное значение: 1) силы тока в цепи; 2) падения напряжения на
активном сопротивлении; 3) падения напряжения на конденсаторе; 4) падения
напряжения на катушке.
Ответ
1) /т =1,16 А;
3) Uc =369 В;
2) UR =116 В;
4) ULm =182 В.
<349>
(В Цепь переменного тока частотой v - 50 Гц включена катушка
длиной I = 20 см и диаметром d = 5 см, содержащая N = 500
витков медного провода площадью поперечного сечения S = 0,6 мм2. Опреде-
лите, какая доля полного сопротивления катушки приходится на реактивное
сопротивление. Удельное сопротивление меди р = 17 нОм м.
Дано
Решение
v = 50 Гц
/ = 20 см = 0,2 м
d - 5 см = 0,05 м
N = 500
S = 0,6 мм2 = 6 1(Г7 м2
р = 17 нОм • м =
= 1,7 • IO 8 Ом м
г=>11? + х2,
7^ = 0,
X = Rc + Rl,
Rl=o>L ,
pnNd
R —----
ш - 2т>,
Г - nNd >
у nd2 UrJt2vN2d2
X=RL = 2nvp0N2------= -----------= 0,97 Ом; R = 2,22 Ом;
L 41 21
X _ X
z Jr2 + x2
= 0,401.
= 0,401.
Полное сопротивление Z цепи переменного тока,
содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку
индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается пе-
ременное напряжение U = Um cosa?/,
+{Rl-RcY
<350>
В цепь пеРеменного тока частотой v = 50 Гц включена катушка
длиной / = 30 см и площадью поперечного сечения S = 10 см2,
содержащая N = 1000 витков. Определите активное сопротивление катушки,
если известно, что сдвиг фаз <Р между напряжением и током составляет 30°.
Дано
Решение
v = 50 Гц I = 30 см = 0,3 м S = 10 см2 = 10 1 м2 А = 1000 (Р = 30° T 1 (DL
tgp- 4 coC a)C , R = 0, a) = 2лт, Rl=oL ,
R f X a)L T n2s
wL 2nvn^N2S tgp I tgp R ’ p
^0N2S
I
7? =2,28 Ом.
геИИдМ| К зажимам генератора присоединен конденсатор емкостью
С = 0,15 мкФ. Определите амплитудное значение напряжения на
зажимах, если амплитудное значение силы тока равно 3,3 А, а частота тока со-
ставляет 5 кГц.
Um = 0,7 кВ.
Определите в случае переменного тока (v = 50 Гц) полное сопро-
тивление участка цепи, состоящего из параллельно включенного
конденсатора емкостью С =10 мкФ и резистора сопротивлением R = 50 Ом.
Z = -* =49,4 Ом.
V1 + 4jt2v27?2C2
351
Q4.101J Цепь переменного тока состоит из последовательно соединенных
х, катушки, конденсатора и резистора. Амплитудное значение сум-
марного напряжения на катушке и конденсаторе Ulc„ = 173 В, а амплитудное
значение напряжения на резисторе ир =100 В. Определите сдвиг фаз между
током и внешним напряжением.
Дано Решение
ULCm = 173 В =100 в Т 1 (DL ,СТ= RC- w f/tCm Ulim
р _? ULm = , U1 с = 1 | j < <оС) ULC =UL -ис , иг = —
Ст (1)С ’ ULcJm ULCm
QOmeem ^ = 60 О
—
В цепь переменного тока частотой т = 50 Гц последовательно
включены резистор сопротивлением R = 100 Ом и конденсатор
емкостью С = 22 мкФ. Определите, какая доля напряжения, приложенного к
этой цепи, приходится на падение напряжения на конденсаторе.
Дано
Решение
v = 50 Гц
R = 100 Ом
С = 22 мкФ = 2,2- 10~5Ф
z JR2 + (l/2nvC)2
Ответ
= 0,823.
<352>
(4Д03) В цепь переменного тока с частотой v = 50 Гц и действующим
S значением напряжения U = 300 В последовательно включены
конденсатор, резистор сопротивлением R = 50 Ом и катушка индуктивностью
L = 0,1 Гн. Падения напряжения Ц :U2 = 1:2. Определите: 1) емкость конден-
сатора; 2) действующее значение силы тока.
Дано
v = 50 Гц
L/ = 300 В
R= 50 Ом
Г = 0,1 Гн
ЦМ=1/2
Решение
1) С-2
2) / — ?
^- = 1
U2 2 ’
2
4Я2 + 4(coZ)2 = R2 +
1
(оС.
С = —;--------, а> = Inv ,
oj^R2 + 4(W)2 ’
/= , ^
( ( i V
,R2 + \a)L-JR2 +I 2W,-------
\ \ aiCJ \ k 2nvC)
Q Omeem^ j) c=29,8 мкФ; 2) / = 3,32 A.
23-2741
Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное зна-
чение напряжения 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость
которой С = 1 нФ. Определите амплитудное значение напряжения на конден-
саторе, если активное сопротивление цепи R = 5 Ом.
Дано Решение
v = 32 кГц= 3, 2 • 10” Гц
i/m=120 В Um Z- R (в случае резонанса), /т = —— = ,
е L и е % cv я о ! II II J и OS (d = 2tiv Uc ——-— Ст 2лгС R
Uc =119 кВ.
В цепи переменного тока с частотой со = 314 рад/с вольтметр по-
казывает нуль при L = 0,2 Гн. Определите емкость конденсатора.
Дано Решение
щ = 314 рад/с L = 0,2 Гн С7К =0 с —у = ~7, ’ ^1. = а)С Uy=0, UL + Uc^0, Uy = IZy , Z), = ylR^ + /?£ , dL , L C r rr^4Hr<=>n —® o~ о
ZP =0,
—= (i)L
(dC
С =50 мкФ.
354
В цепи переменного тока (см. рисунок к задаче 4.105) с частотой
v = 50 Гц вольтметр показывает нуль при значении С = 20 мкФ.
Определите индуктивность катушки.
1 = 0,51 Гн.
( 4.107 ) ® приведенной на рисунке цепи переменного тока с частотой
v = 50 Гц сила тока внешней (неразветвленной) цепи равна нулю.
Определите емкость С конденсатора, если индуктивность L катушки равна 1 Гн.
Дано
v = 50 Гц
/=0
L = 1 Гн
Решение
/ = о, IL = IC,
ULm=Uc^Um,
С — ?
Rl = Кс ’
о - 2лт,
1 1
<d2L 4ttVz
С= 10 мкФ.
Активное сопротивление колебательного контура R = 0,4 Ом.
Определите среднюю мощность (Р), потребляемую колебатель-
ным контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колеба-
ний с амплитудным значением силы тока 1т = 30 мА.
(Ответ ^Р) = 18мВг
23*
<355>
V Как и какими индуктивностью L и емкостью С надо подключи гь
....... катушку и конденсатор к резистору сопротивлением R = 10 кОм,
чтобы ток через катушку и конденсатор был в 10 раз больше общего тока? Ча-
стота переменного напряжения и = 50 Гц.
Дано Решение
R = 10 кОм = 104 Ом v = 50 Гц IL = IC=WI L —? С 1 il = ic = \oi. Резонанс токов. Параллельное включение: UL=UC=UR, IC=±L R Рс Г U 1 1 1 „ 1 4= — > — = — =10—, Rc= —, Rl Rl Rc R wC 0 R
Rl = (oL , С = —-, L , со - 2лг , coR Юбо
С 2^7?’ £~20ли’ QOmeem ) 1 = 3,18 Гн; С = 3,18 мкФ.
Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 5 нФ
и катушку индуктивностью L = 5 мкГн и активным сопротивлени-
ем R = 0,1 Ом. Определите среднюю мощность (Р), потребляемую колеба-
тельным контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических ко-
лебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе Um =10 В.
Дано Решение
C=5 нФ = 5 109Ф Z = 5 мкГн = 5 10-6 Гн R = 0,1 Ом 2 Kq d)C
в I=Um coC, бУ = (о0=-4=, (p) = -U2 co2C2R, гл ш£- 7 и ' 2 е
(P)-? , 1 RCU2 s \ {p) = 2 L ' С Ответ J (p) - 5 мВт.
Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
L = 6 мкГн и конденсатор емкостью С = 1,2 нФ. Для поддержа-
ния в колебательном контуре незатухающих гармонических колебаний с амп-
литудным значением напряжения на конденсаторе Umc = 2 В необходимо под-
водить среднюю мощность (Р) = 0,2 мВт. Считая затухание в контуре доста-
точно малым, определите добротность данного контура.
Дано
Решение
L = 6 мкГн = 6 IO-6 Гн
C=l,2 нФ = 1,2- Ю-’Ф
U=2 В
(Р) = 0,2 мВт = 2- Ю^Вт
Q-2
2 = 141.
4 = -U
2{Р) _ 2{P)L
CU2
д = —,
2L
imc=vcu,
cu2m
mc
G) = COq
•2
итс
4 ’
В сеть переменного тока с действующим значением напряжения
120 В последовательно включены проводник с активным сопро-
10 Ом и катушка индуктивностью 0,1 Гн. Определите частоту v
тивлением
тока, если амплитудное значение силы тока в цепи равно 5 А.
Q = — ,
V 2d
m
1
Дано
Решение
U = 120 В
Ом
Гн
R= 10
Z = 0,l
4=5
Um=Uy[2, Z^fe + ^Lf
, tv = 2m,
J2.U 1 IAI „2 ,-r
=, v =-----J—x— R2 = 51,6Гц.
+ (2mL)2 ’
2U2
A
m
m
m
V — ?
v = 51,6 Гц.
357
Диэлектрик, диэлектрическая проницаемость которого равна 2,8,
используется в конденсаторе в качестве изолятора. Конденсатор, нахо-
дясь под напряжением, поглощает некоторую мощность, причем при v = 50 Гц
коэффициент мощности cos 99 = 0,1. Определите удельное сопротивление ди-
электрика.
р --------. = -12,9 МОм м.
2лгее0д/1 — cos2 <р
Q4.114j В Цепь переменного тока напряжением Um = 220 В и частотой
50 Гц включена катушка с активным сопротивлением. Сдвиг фаз
между напряжением и током составляет л/6. Определите индуктивность ка-
тушки, если известно, что она поглощает мощность 445 Вт.
Дано Решение
Um =220 В v = 50 Гц Р=445 Вт р = 30° L — ? 2 -/^рг2 2;
о з Y э- + - ов О ft: £ 2 L25 ГЧ Е II II 11 N а, о. К - г (N N о 1 ~ ' И 3 п о э. а 7 и 2 = S- II Ю 2Р ft;
Um ~ , 2 1 О) L “>L Ug <Р
J/2 = Ptg^-27rvL —5—+ 1
Vg <р .
Р tgi/> 2 лvL\ —5— +1
Mg ,
0,15 Гн.
358
(4.1 W Цепь, состоящая из последовательно соединенных безындукци-
х онного резистора сопротивлением Л = 100 Ом и катушки с ак-
тивным сопротивлением, включена в сеть с действующим напряжением
U = 300 В. Воспользовавшись векторной диаграммой, определите тепловую
мощность, выделяемую на катушке, если действующее значение напряжения
на сопротивлении и катушке соответственно равно UR -150 Ви UL = 250 В.
Дано
R= 100 Ом
и = 300 в
UR = 150 В
UL =250 В
Решение
PL = IUL cos<pL,
U2 = UR + u}-2URULcos<pL,
cos <pL =
u2-u2R-u2L
2UrUl
Десятичные приставки к названиям единиц
Т — тера (1012) д — деци (10ч) н — нано (10-9)
Г — гига (109) с — сайта (Ю'2) п ПИКО (10-12)
М — мега (106) м — милли (10“3) ф — фемто (10-15)
к — кило (103) мк — микро (1 О*6) а — атто(1018)
<359>
4.2. Упругие волны
4.116J Определите разность фаз Ду> колебаний двух точек, лежащих на
*' ' ~~ луче и друг от друга на расстоянии Д/ = 1 м, если длина волны
Л = 0,5 м.
Решение
Д/ = 1 м
Л = 0,5 м
Д^р — ?
Zty>=—д/.
Вычисления:
Д<д =------1 м = 4л .
0,5 м
Ду> = 4л, точки колеблются в фазе.
Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на
расстоянии х1 = 4 м и х2 = 7 м. Период колебаний Т = 20 мс и
скорость v распространения волны равна 300 м/с. Определите разность фаз
колебаний этих точек.
Дано Решение
х1 = 4 м 2л .,
х2 = 7 м Т = 20 мс = 2 • 10 2 с и = 300 м/с Д<р = — Д/, Д/ = х2-х1, Л 2л k = vT, &Р = — (хг-xj). vT
Д<р -?
Ду> = л , точки колеблются в противофазе.
<360>
Волна распространяется в упругой среде со скоростью v = 150 м/с.
Определите частоту v колебаний, если минимальное расстояние Ах
между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 0,75 м.
v = 100 Гц.
4.119J Определите длину волны А, если числовое значение волнового
вектора к равно 0,02512 см
Л = 2,5 м.
(4.120 J Звуковые колебания с частотой г = 450 Гц и амплитудой А = 0,3 мм
распространяются в упругой среде Длина волны А = 80 см. Оп-
ределите: 1) скорость распространения волн; 2) максимальную скорость час-
тиц среды.
Дано
v = 450 Гц
А = 0,3 мм = 3 10 4 м
А = 80 см = 0,8 м
Решение
(X
t--
V
1
Т = -,
V
v = Av,
си = 2m,
d£ . . I х
— = -Aw sin«) /-------
d/ I v
Ответ
1) и = 360 м/с;
= 0,848 м/с.
<збТ>
(4,12^1 Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой,
совпадающей с положительным направлением оси х в среде, не
поглощающей энергию, со скоростью v = 10 м/с. Две точки, находящиеся на
этой прямой на расстоянии х}= 7 м и х2 =10 м от источника колебаний, ко-
леблются с разностью фаз А <р - Зл/5. Амплитуда волны А = 5 см. Определи-
те: 1) длину волны А; 2) уравнение волны; 3) смещение §2 второй точки в
момент времени t2 = 2 с.
Дано
Решение
v = 10 м/с
г, = 7 м
х2 - 10 м
tx>p- Зл/5
А = 5 см = 0,05 м
/2 = 2 с
А = -|^-(х2-х1),
£(х, f)= A cos to I t---
I v
2л
/о =—,
Т
2лг
/о =---,
Л
2л, ч
Л
Т = -
v
1) А — ?
2) §(х,/)-?
3) §2~?
Л2
1) Л = 10 м;
^2= A cos ш t
2) §(х, /) = 0,05 cos I 2л/ ~~х I > м;
3) §2 = 5 см.
Уравнение плоской волны,
распространяющейся вдоль положительного направления оси х,
£(x,t) = A cos(to/ - kx + <р0),
где §(х,/) — смещение точек среды с координатой х в момент времени /; А —
амплитуда волны; а) — циклическая частота; к - 2л/А = 2л/(иГ) = w/v — вол-
новое число (А — длина волны; v — фазовая скорость; Т — период колеба-
ний); <р0 — начальная фаза колебаний.
<362>
Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со ско-
ростью v = 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А = 5 см, а
период колебаний Т = 1 с. Запишите уравнение волны и определите: 1) длину
волны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположен-
ной на расстоянии X] = 9 м от источника колебаний в момент времени /[ = 2,5 с.
Решение
Дано
v = 10 м/с
А = 5 см = 0,05 м
Т = 1 с
х, = 9 м
/, = 2,5 с
t = Л COS СУ /-, ш = —,
( v) Т
. t 2п( х 'I
Е = A cos— t---,
Т ( v)
A = vT,
?(*,/)-?
1) А —?
2) </>,. ?, -?
Ml -?
Ответ
$(х, ()- 5 cosl 2л/ ——х I, см;
1) А = 10 м;
2) = 3,2л , = -4 см, = 18,5 см/с, = -160 см/с* 1 2.
.... д2? 1 д2?
Убедитесь, что волновому уравнению —= ——— удовлетворя-
ет2 v2 дГ
ет плоская волна ?(х,/)= A cos[cy(/ -х/и) + ^>0].
<5бз>
Выведите связь между групповой и фазовой скоростями.
Дано Решение
и to do? , In
V V =—, и- — , л = , к йк к
и = /(f) II 1 * 1 У К>| Я II 1 Л- 1 S-
Докажите, что в недиспергирующей среде групповая и фазовая
скорости равны.
Определите групповую скорость для частоты v = 800 Гц, если
фазовая скорость задается выражением v - aG/-\!v + b , где
а0 = 24 м • с ~3/2, b = 100 Гц.
Дано
Решение
г =800 Гц
v = a^J-Jv + b
а0 = 24 м • с -V2
£> = 100 Гц
dv _ dv a0-Jv + b _ a0-Jv + b ____________
/О (l,5v + fe)dv l,5v + fe (Ответ ) и-0,55 м/с.
uJ — у
0.127J Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с ча-
стотой v = 400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде
v = 1 км/с. Определите, при какой наименьшей разности хода, не равной нулю,
будет наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2) максимальное ос-
лабление колебаний.
Дано Решение
v = 400 Гц V = 1 км/с Л V A = vT = —, V
Amax -? Л Amax = 2m—, m = 1, Л _ V ^max ’ V
Am,n -? Amin=(2m + l)|, m = 0, _ A v Amin-y = —•
Amax = 2,5 м, Amin = 1,25 M.
С4.128 I Д®3 когеРентных источника посылают поперечные волны в одина-
ковых фазах. Периоды колебаний Т = 0,2 с, скорость распростране-
ния волн в среде v - 800 м/с. Определите, при какой разности хода в случае нало-
жения волн будет наблюдаться: 1) ослабление колебаний; 2) усиление колебаний.
1) A = ±80(2w+l),м (w = 0,1,2,...);
2)А = ±160от,м (те = 0, 1,2,...).
По поверхности воды распространяются две волны, возбуждае-
....... мые двумя точечными когерентными источниками. Какую форму
имеют линии, на которых лежат точки, имеющие одну и ту же постоянную
разность хода?
Уравнение сферической волны
Л
£(х, I) = — cos(ojI — kr + ipQ),
где г — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.
365
(4.130 ) Два динамика расположены на расстоянии d = 0,5 м друг от дру-
га и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте
v = 1500 Гц. Приемник находится на расстоянии / = 4 м от центра динамиков.
Принимая скорость звука v = 340 м/с, определите, на какое расстояние от цен-
тральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он
зафиксировал первый интерференционный минимум.
Ответ
х = 90,7 см.
(4.131 J Два динамика расположены на расстоянии d = 2,5 м друг от дру-
га и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определен-
ной частоте, который регистрируется приемником, находящимся на расстоя-
нии / = 3,5 м от центра динамиков. Если приемник передвинуть от централь-
ной линии параллельно динамикам на расстояние х = 1,55 м, то он фиксирует
первый интерференционный минимум. Скорость звука v = 340 м/с. Определи-
те частоту звука.
Дано
Решение
</ = 2,5 м / = 3,5 м Дш.п=^2--У1=(2'«+1)-,
х = 1,55 м v = 340 м/с '« = °> Дт,п=р
<®>
Q4.132ff Образование стоячих волн обычно наблюдают при интерферен-
цил бегущей и отраженной волны. Объясните, когда и почему на
границе отражения получается узел или пучность.
Объясните, где человек слышит более громкий звук: в пучности
или в узле стоячей волны.
Определите длину бегущей волны X, если расстояние Д/ между
первым и четвертым узлами стоячей волны равно 30 см.
Дано Решение
Д/4, = 30 см = 0,3 м 3 2Д/41 д/41=-л, л=-— 4,1 2 3
—
А —?
(Ответ л = 20 см.
СВЧ-генератор излучает в положительном направлении оси х
плоские электромагнитные волны, которые затем отражаются об-
ратно. Точки Мх и М2 соответствуют положениям двух соседних минимумов
интенсивности и отстоят друг от друга на расстоянии 1 = 5 см. Определите
частоту микроволнового генератора.
Дано Решение
1 = 5 см = 5 • 10 2 м с = 3108 м/с и К) 1 >- е II >-1 II кН
v — ?
(4.136 ) Один конец упругого стержня соединен с источником гармони-
V У _ „ „ ,
ческих колебании, подчиняющихся закону £ = A coscot, а другой
его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стер-
жня происходит от менее плотной среды, определите характер колебаний в
любой точке стержня.
сох . (ОХ (ОХ . . (ОХ
COS(Ot cos— + Sin(Ot sin— + COS(Ot cos—- - Sin(Ot sin —
V V V V
= 2A cos-----costa/,
V
2л
(ox 2л T 2л
----=---ГХ = -—X
V T A A
£(x, /) = 2A cos—— x • costa/
— уравнение стоячей волны.
При х = ±т—
(т = 0,1,2,...) — пучности.
„ ( ’V
При х = ± т + — —
F I 2J 2
(т = 0,1,2,...) — узлы.
Уравнение стоячей волны
2л
!;(х, t)=2A cos——х costa/ = 2Л cosAx cosaot.
Л
<ш>
Один конец упругого стержня соединен с источником гармони-
ческих колебаний, подчиняющихся закону £ = A cosait, а другой
его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стер-
жня происходит от более плотной среды, определите характер колебаний в
любой точке стержня.
Дано
$ = A coswt
Среда более плотная
Решение
£,= A cosa)
£2= A cos w / + — + л =-Ясояш / + — ,
' v J
v
§(Х, /) = §]+ g2 = A cos wt----------- A cos wt + —
\ V J \ V ,
WX . . WX (OX . . (OX
coswt • cos—+ sin w/ - sin---coswt cos— + sin wt sin—
V V V V
= 2 A sin----sin wt,
V
2n
wx 2л T 2л
v T A* A
A = vT,
£(x, t) = 2A sin—x sinwt — уравнение стоячей волны.
A
При x = ±m— (/и = О, 1,2,...) — узлы.
2
При х = ±[ т + — | — (т = 0, 1, 2,...) — пучности.
(4.13£)
24-2741
Выведите условие для координат пучностей и узлов стоячей волны.
<369>
Для определения скорости звука в воздухе методом акустическо-
го резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембра-
ной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между соседними положени-
ями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте v - 2500 Гц, со-
ставляет / = 6,8 см. Определите скорость звука в воздухе.
Дано Решение
v = 2500 Гц / = 6,8 см = 6,8 • 10~2 м V — ? A = vT = -, Л = 21 , V 21 = — , v = 2lv. V
Ответ v — 340 м/с
Г4Дд(® Стержень с закрепленными концами имеет длину I = 70 см. При
........трении стержень издает звук, основная частота (наименьшая час-
тота, при которой может возникать стоячая волна) которого v0 = 1 кГц. Опре-
делите: 1) скорость звука v в стержне; 2) какие обертоны (волны с кратными
основным частотами) может иметь звук, издаваемый стержнем.
QOmeem t, = 14 2)vi = kv0 (А=2,з,4,...).
(4.141/) Труба, длина которой I = 1 м, заполнена воздухом и открыта с
w одного конца. Принимая скорость звука v = 340 м/с, определите,
при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна.
Дано Решение
и = 340 м/с / = 1 м v0 — ? С Ответ ) „ “ °-5 1 = -, Л = 4/, k=vT = —, 4 v0 v v 41 =— ’ vo= —• v0 4/ Гц.
<370>
(Ж Человеческое ухо может воспринимать звуки, соответствующие гра-
Ничным частотам Г] = 16 Гц и v2 = 20 кГц. Принимая скорость
звука в воздухе равной 343 м/с, определите область слышимости звуковых волн.
Ответ
17 м ч- 21,4 м.
Определите интенсивность звука (Вт/м2), уровень интенсивности
L которого составляет 67 дБ. Интенсивность звука на пороге слы-
шимости /0 = 10 12 Вт/м2.
Дано Решение
L = 67 дБ = 6,7Б 10 = 10”12 Вт/м2 L = \^, ^- = 10£, уо /о
I=In-lOL.
I — ? U - •
7 = 5,01 мкВт/м2.
Определите отношение интенсивностей звуков, если они отлича-
ются по уровню громкости на 2 фон.
Дано Решение
Г = 2 фон Г = 1 фон — единица уровня громкости.
Л v = 1000 Гц Г = 1 фон, если L = 1 дБ. Г = 2 фон L = 2 дБ = 0,2 Б.
Ц =lgy-, 7о i2 = lgy-, /V, = = lg-y--Igy-= lgyy-= Igy-, J0 1Q 4) A? 2 J2
AZ, = lg—= 0,2 Б. h — = 1O0,2 = 1,58. С Ответ ) 2l=1,58.
24*
<зтГ>
(4ЖЗ Разговор в соседней комнате громкостью 40 фон слышен так,
-.у как шепот громкостью 20 фон. Определите отношение интен-
сивностей этих звуков.
Дано
Решение
Г] = 40 фон
Г2 = 20 фон
^ = ‘gy,
7о
|г, = 40 Фон I
Г2 =20 фон
ДА = IgA,
«2
I, = 40 дБ = 4 Б:
^2 - 20 дБ = 2 Б.
А=ю^
Л
А/, = 2 Б,
А=ю2 = юо.
Л
-^- = 100.
Г2
(4.146 J Определите, на сколько фонов увеличился уровень громкости
>.!!!'п иЛп!^ звука, если интенсивность звука увеличилась: 1) в 1000 раз;
2) в 10 000 раз.
1) на 30 фон; 2) на 40 фон.
Скорость распространения звуковой волны в газе с молярной массой
М = 2,9 • 10-2 кг/моль при t = 20 °C составляет 343 м/с. Определи-
те отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме.
Средняя квадратичная скорость (укв) молекул двухатомного газа
при некоторых условиях составляет 480 м/с. Определите скорость v
распространения звука в газе при тех же условиях.
Дано
Решение
(пкв) = 480 м/с
/ = 5
v — ?
и = 328 м/с.
fyRT (vm) _ 13
N М ’ v \ у
~Т+2 {укв}
Vi Л
Докажите, что формула у =
мгг
, выражающая скорость звука
в газе, может быть представлена в виде v ~ , где У — отношение моляр-
ных теплоемкостей при постоянных давлении и объеме; р — давление газа;
р — его плотность.
Дано Решение
1’ . yRT М V = У lyRT ПТ’ т = рУ, м
v = , pV ^-RT, ^L=pL=p, М М т р
р — , что и требовалось доказать. Р
<373>
Плотность р некоторого двухатомного газа при нормальном дав-
лении равна 1,78 кг/м3. Определите скорость распространения
звука в газе при этих условиях.
Дано Решение
р = 1,78 кг/м3 г = 5 р = 1,0Г105 Па Ivrt v =, , V м » = №-. / т pV = —RT, М - . 1' + 2 т - р V , у = , i
^Ответ
V — ? V Р \ v = 282 м/с.
(4.151)
Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой г0 = 400 Гц.
Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка час-
тотой v = 395 Гц. Принимая скорость звука и = 340 м/с, определите скорость
движения теплохода. Приближается или удаляется теплоход?
Дано Решение
v0 = 400 Гц v = 395 Гц и = 340 м/с >0 v = , верхний знак — сближение; ниж- и + иист ний знак — удаление. „ , wo
V — ? 17 ИСТ пр ~ , i vHCT — v . F V
vист = 4,3 м/с, теплоход удаляется.
Л 4.1'52 | В реке, скорость течения которой равна v, установлен неподвижный
источник колебаний, создающий в воде колебания частотой v0 . По
разные стороны на равных расстояниях от источника установлены неподвиж-
ные приемники колебаний П! и П2. Определите частоты, регистрируемые
этими приемниками.
<374>
^4.153 j Наблюдатель, стоящий на станции, слышит гудок проходящего
......'*.электровоза. Когда электровоз приближается, частота звуковых
колебаний гудка равна , а когда удаляется — v2 Принимая, что скорость и
звука известна, определите: 1) скорость пист. электровоза; 2) собственную час-
тоту v0 колебаний гудка.
Дано Решение
*i (u±unp)v0 , ^пр = 0 , V- VV°
V, V — и + ^исг и + пист’
V v, -v,
9 V,— и-иист u + uHCT 17 ИСТ , 17 ’ V1+V2
ист V - VV° VO(V1 + V2) _ 2v1V2
г0 1 v *\~*2 V 2v2 *'0 V1+V2
Vi+V2
и Ответ ^ист V, -v2 V, v0 v,+v2 2*1*2 *l+*2 '
Электропоезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижно-
го приемника и дает гудок, частота которого 300 Гц. Принимая
скорость звука равной 340 м/с, определите скачок частоты, воспринимаемый
приемником.
Дано Решение
vlfCT = 72 км/ч = 20 м/с иЛр = о, uv0 V = , v, = -.-W°-,
v0 = 300 Гц u + u„CT u-uHCT
n = 340 м/с v - vv° 2UncTWo
Av — ? u + uHCT (и-иист)(и+иист)
Av = 35,4 Гц.
<37?>
4.155 j
Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного при-
емника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает ска-
чок частотой Av = 53 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определите
частоту тона звукового сигнала гудка поезда.
Дано
Решение
vист - 54 км/ч = Av = 53 Гц v = 340 м/с 15 м/с л VV0 VV0 ^пр = 0, V= _ и , V]- —, V + ^ист ^ист v - wo Av = v v - 2ГистГГ°
v0 — ? и + иист ‘ (^-^иСТ)(« + ^ист) _ (у-уист)(у+пист)Ау v0- _ 21’исти
QOmeem v0 = 599 Гц.
Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, дви-
жущегося со скоростью г>| = 10 м/с, посылается ультразвуковой
сигнал частотой vi =50 кГц, который распространяется в воде. После отраже-
ния от второго катера сигнал принят первым катером с частотой v2 = 52 кГц. При-
нимая скорость распространения звуковых колебаний в воде равной 1,54 км/с, оп-
ределите скорость движения второго катера.
Дано Решение
U] = 10 м/с П + Ц, n + n.
v, =50 кГц = 5 104Гц V1 - * V, , V - Ц, v2~ Vj , V-V2
v2 = 52 кГц= 5,2 104 Гц V + V] V + 1>2 V + v2 V - u, v2
v = 1,54 км/с = 1540 м/с Р2 - - - - у}, V - v2 v-vl V - v2 V + V] V,
v2-? v~v' V1-b V + Vj Vj 6-1 V-. = V . 2 6+1
Q Ответ т2 = 20,2 м/с. \
<376>
4.3. Электромагнитные волны
Скорость распространения электромагнитных волн в некоторой
среде составляет и = 250 Мм/с. Определите длину волны элект-
ромагнитных волн в этой среде, если их частота в вакууме v0 = 1 МГц.
Дано Решение
v = 250 Мм/с=2,5 • 108м/с г0 = 1 МГц = 106 Гц v = vG, , „ V V X = vT = —= —. V VQ
Л — ? ( Ответ ? Л = 250 м.
Для демонстрации преломления электромагнитных волн Герц при-
менял призму, изготовленную из парафина. Определите показа-
тель преломления парафина, если его диэлектрическая проницаемость г = 2 и
магнитная проницаемость ц = 1.
и = 1,41.
Электромагнитная волна с частотой v = 5 МГц переходит из не-
магнитной среды с диэлектрической проницаемостью е = 2 в ва-
куум. Определите приращение ее длины волны.
Дано Решение
v = 5 МГц = 5 106Гц е = 2 Д = 1 ДЛ —? £ и и * 1« с - 1 II v 11 > т! | е II ? Н II R | п i
Д Л = 17,6 •. м-
Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженный
сигнал от которой дошел до него за t = 36 мкс. Учитывая, что
диэлектрическая проницаемость воды е = 81, определите расстояние от лока-
тора до подводной лодки.
Дано
t = 36 мкс = 3,6 • 10 5 с
е = 81
А = 1
А —?
Решение
2s = vt,
s = 600 м.
Q4J61 3 После того как между внутренним и внешним проводниками ка-
беля поместили диэлектрик, скорость распространения электро-
магнитных волн в кабеле уменьшилась на 63%. Определите диэлектрическую
восприимчивость вещества прослойки.
Дано Решение
C—V = 0,63 с X —? V с с с 1 = 0,63, v = -j= =-f=, V=~T' с Jeu Je Je * /4=1 X=E-1, £= X+l, 1 1 = 0,63 , Vx + 1 x =f—-—1 -i. С Ответ Л х = б,з. (i - о,бз J v У
Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 0,5 нФ
и катушку индуктивностью L- 0,4 мГн. Определите длину вол-
ны излучения, генерируемого контуром.
Ответ
А = 843 м.
<378>
( 4.163 j Определите длину электромагнитной волны в вакууме, на кото-
V, и,1 pyjQ настроен колебательный контур, если максимальный заряд
на обкладках конденсатора Qm = 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре
1т = 1,5 А. Активным сопротивлением контура пренебречь.
Дано Решение
Qm = 50 нКл = 5 4=1,5 А л -? • 10"8Кл dO P = Pmcoswr, Z = —= -w£>m sinwr, d/ 4="Cm, w = 2m>, _ 2ncQm vw Im
^Ответ Л = 62,8 м.
( 4.164 ) Длина Л электромагнитной волны в вакууме, на которую настро-
.......*ен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным со-
противлением контура, определите максимальный заряд Qm на обкладках кон-
денсатора, если максимальная сила тока в контуре /т = 1 А.
Дано Решение
Л = 12 м 4 = 1 a Г)~ J f- k = cT, T = 2njLC,
Qm LC = ^-, Т = 2л^-, X^c-2ti^l,
J2 I I lm 'm ™
Л4
о =—EL Vm « 2л c
QOmeem^ Qm = 6, n нКл.
Два тонких изолированных стержня погружены в трансформатор-
ное масло и индуктивно соединены с генератором электромагнит-
ных колебаний. При частоте колебаний 505 МГц в системе возникают стоячие
волны, расстояние между соседними пучностями которых равно 20 см. Прини-
мая магнитную проницаемость масла равной единице, определите его диэлек-
трическую проницаемость.
Дано
Решение
v = 505 МГц
ц = \
I = 20 см = 0,2 м
£ —?
Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, а
✓ вторые индуктивно соединены с генератором электромагнитных
колебаний, погружены в спирт. При соответствующем подборе частоты коле-
баний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя узлами
стоячих волн на проводах равно 40 см. Принимая диэлектрическую проницае-
мость спирта е = 26, а его магнитную проницаемость Д = 1, определите час-
тоту колебаний генератора.
Ответ
v= 73,5 МГц.
Q4.167J Покажите, что плоская монохроматическая волнаЕу= EoyCos(wt- кх+ <р)
д2Е 1 д2Е
удовлетворяет волновому уравнению —, где v — фазовая ско-
дх V dt~
оость электромагнитных волн.
X4 ’^>1 тх В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит- ная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 10 В/м. Определите амплитуду напряженности магнитного поля волны.
Дано Решение
Е = 1 Д = 1 £0 = 10 В/м ДДе = ДДсН, Е = Ео cos(a)t - кх), Н = Но cos(a)t - кх). При Е = 1 и /т = 1 yl^o^-o = , Яо= £-£0. Vo
/70-?
(Ответ н0 = 26,5 мА/м.
( 4Д В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит-
........ная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны рав-
на 1 мА/м. Определите амплитуду напряженности электрического поля волны.
Ответ
Ет = 0,377 В/м.
В вакууме вдоль оси х распространяется плоская монохромати-
ческая электромагнитная волна, описываемая уравнениями
Е = Ео cos(w/ - кх) и Н - Но cos(w/ - кх). Эта волна отражается от плоско-
сти, перпендикулярной осих. Запишите уравнения, описывающие отраженную
волну, а также объясните их физический смысл.
Уравнение плоской электромагнитной волны
Е = Ео cos(to/ - kx + <р); Н - Но cos(w/ - кх + <р),
где Ео и Но — соответственно амплитуды напряженностей электрического и
магнитного полей волны; со — круговая частота; к = w/v — волновое число;
<р — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0 .
Рассмотрите суперпозицию двух плоских монохроматических
электромагнитных волн с одинаковыми амплитудами Ео и Но,
распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях. Началь-
ную фазу прямой и обратной волн примите равной нулю Определите коорди-
наты пучностей и узлов для: 1) электрического вектора Е; 2) магнитного век-
тора Н стоячей волны.
1) Б, = Ео cos(w/ - Ах) — прямая волна
Е2 = Ео cos(wz + Ах) — отраженная волна
X — х -------9
Е= Е, +Е2= E0[cos(wZ - Ax)+cos(w/ + Ах)] = 2Е0 cos-coswZ.
Пучности
2лх
—— = ±т
Узлы -----= ±( т + 1)л .
А
х„ - +т—
п 2
т = 0,1,2,...
2) Я, = Но cos(<d/ - Ах) — прямая волна
Н2 = Но cos(w/ + Ах + л) — отраженная волна
Н = И, +Н2= H0[cos(wZ - Ax) + cos(w/ + Ах +я)] =
= H0[cos(w/-Ax)-cos(w/+Ах)] = 2Н0
. 2лх .
sin-----sin и/
Пучности = +(т + 1)л
———— Л
Узлы
2лх
----= +тл.
А
А
Ху = ±Щу
т = 0,1,2,...
Пучности Е совпадают с узлами Н и наоборот.
J 1V
п ( 2)2
382
^4.172J В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная
411 1 ..волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью ее по-
глощающего. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна 0,15 А/м.
Определите давление, оказываемое волной на тело. Воспользуйтесь результа-
том выводов теории Максвелла о том, что если тело полностью поглощает па-
дающую на него энергию, то давление равно среднему значению объемной
плотности энергии в падающей электромагнитной волне.
Дано Решение
г = 1 Д = 1 Но = 0,15 А/м Д£^Е = у]рр.0Н, Е- Ео cos(/j/ - кх), Н = Но cos(w/ - кх), еое£2 wnw//2 э 2 м 2
Р — ?
= и’м >
tv - и'э + И’м = 2и'э = 2им ,
и' = 2и'м = рорН2 = cos2(w/ - кх),
cos'
До^о'
2
p-14,1 нПа.
f 4.1/3 ) В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит-
.......ная волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью ее
поглощающего. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна
2 В/м. Определите давление, оказываемое волной на тело. .
p = 17,7 пПа.
<383>
Плоская монохроматическая электромагнитная волна распрост-
раняется вдоль оси х. Амплитуда напряженности электрического
поля волны Ео = 5 мВ/м, амплитуда напряженности магнитного поля волны
Но = 1 мА/м. Определите энергию, перенесенную волной за время / = 10 мин
через площадку, расположенную перпендикулярно осих, площадью поверхно-
сти 5 = 15 см2. Период волны Т « t.
Ответ j w = 1 EoHost = 2,25 мкДж.
В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит-
ная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны
составляет 50 мВ/м. Определите интенсивность волны I, т. е. среднюю энер-
гию, проходящую через единицу поверхности в единицу времени.
Дано
£= 1
Ц = 1
Ео = 50 мВ/м = 5 • 10"2В/м
Решение
I = (S), S = ЕН =Е0Н0 cos2(wt-kx),
(5) = -£,0Я0, (cos2(wt-кх)^ = ^,
I -?
£2.
1-3,32 мкВт/м2.
В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнит-
ная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля составля-
ет 5 мА/м. Определите интенсивность волны.
1 = 4,71 мВт/м2.
<384>
5. Оптика. Квантовая природа излучения
5.1. Элементы геометрической
и электронной оптики
На горизонтальном дне бассейна глубиной h = 1,5 м лежит плоское
зеркало. Луч света входит в воду под углом ij = 45°. Определите
расстояние s от места вхождения луча в воду до места выхода его на поверх-
ность воды после отражения от зеркала. Показатель преломления воды п = 1,33.
Дано
h=\,S м
и =1,33
/, = 45°
Решение
s = AB=2hXgi2,
sin 11
----= n,
sinz2
S
5 =
sin I
sin/2 =-----
n
2hsin i t
ч2 - sin21
Sin h Sin I,
tg*2=------ = ' '
cos,2 . sin2i
n2
s = 1,88 m.
n, 1-
Луч света падает на плоскую границу раздела двух сред, частично
отражается и частично преломляется. Определите угол падения, при
котором отраженный луч перпендикулярен преломленному лучу.
sin 'i /* л А
—- = tg»1 = «21, 'i = arctgn21. г Ответ J I, = arctg л21.
25 — 2741
На плоскопараллельную стеклянную (п = 1,5) пластинку толщи-
ной d = 5 см падает под углом 1 = 30° луч света. Определите бо-
ковое смещение луча, прошедшего сквозь эту пластинку.
Между двумя стеклянными пластинками с показателями прелом-
ления и, и п2 находится тонкий слой жидкости. Луч света, рас-
пространяющийся в первой пластинке под углом /, (меньше предельного),
выходя из слоя жидкости, входит во вторую пластинку под углом i2. Докажите,
что в данном случае выполняется закон преломления sini]/sini2 = n2/n} неза-
висимо от присутствия слоя жидкости между пластинами.
<386>
Человек с лодки рассматривает предмет, лежащий на дне водо-
ема (п -1,33). Определите его глубину, если при определении “на
глаз” по вертикальному направлению глубина водоема кажется равной 1,5 м.
Дано Решение
h = },5 м h tg сг, = Н tg сг2, Да.
77=1,33 г
Н -? Л1 „ с а £ 2 1 1 !
и 1 «2 — —
sinaj tg«l ~ „ Н =hn. ~ -
- 11, sin «2 ~ п, tg«2
Ответ я 2 м.
Человек с лодки рассматривает предмет, лежащий на дне. Глуби-
на водоема везде одинакова и равна Н, показатель преломления
воды равен «.Определите зависимость кажущейся глубины h предмета от угла i,
образуемого лучом зрения с нормалью к поверхности воды.
( Ответ ) Нп2 cos3/
4-----------У (/72-Sin2/)3/2 ’
Предельный угол полного отражения на границе стекло—жид-
кость /пр = 65°. Определите показатель преломления жидкости,
если показатель преломления стекла п - 1,5.
Дано Решение
4 = 65° 77= 1,5 . . пж Sim = —, 77Ж = 775Ш/ п
77ж ? QOmeem^ „ж = 1,3б.
gjg Л Луч света выходит из стекла в вакуум. Предельный угол /пр - 42°
Определите скорость света в стекле.
Дано
i = 42°
пр
Решение
1
sm»np=-
п
с
v = - = csmi
п k
и = 201 Мм/с.
V -?
На дне сосуда, наполненного водой (п = 1,33) до высоты h = 25 см,
находится точечный источник света. На поверхности воды плава-
ет непрозрачная пластинка так, что центр пластинки находится над источни-
ком света. Определите минимальный диаметр пластинки, при котором свет не
пройдет сквозь поверхность воды.
Дано
Решение
5.10
Длинное тонкое волокно, выполненное из прозрачного материа-
ла с показателем преломления п = 1,35, образует световод. Опре-
делите максимальный угол а к оси световода, под которым световой луч еще
может падать на торец, чтобы пройти световод с минимальным ослаблением.
Дано Решение
sina . „ sina . 1
= п, sinp = cosy, = п, siny = —,
sin fl---------------------------------------------------cosy-п
а = arcsin Vn2 -1 .
а = 65
Расстояние а от предмета до вогнутого сферического зеркала
равно двум радиусам кривизны. Определите положение изобра-
жения предмета и постройте это изображение.
Дано
a = 2R
Решение
Ь — 2
1 ^2 1_1
2R b~ R’ b~ R
1 ’-2-1
a = 27?,
I 2J 2R
5.12
На рисунке показаны поло-
жения главной оптической
оси MN сферического зеркала, светя- д/
щейся точки 5 и ее изображения S'.
Определите построением положение цен-
тра сферического зеркала и его фокуса.
Укажите вид использованного зеркала.
Дано
MN
S
S'
Решение
с
F—r>
SK II MN , KS' -> F .
С, F, зеркало вогнутое.
На рисунке показаны поло-
жения главной оптической
оси MN сферического зеркала, светя-
щейся точки S нее изображения S'. М
Определите построением положение цен-
тра сферического зеркала и его фокуса.
Укажите вид использованного зеркала.
N
Вогнутое сферическое зеркало дает действительное изображение,
которое в три раза больше предмета. Определите фокусное рассто-
яние зеркала, если расстояние между предметом и изображением равно 20 см.
Ответ
f = 7,5 см.
390
Выпуклое сферическое зеркало имеет радиус кривизны 60 см. На
расстоянии 10 см от зеркала поставлен предмет высотой 2 см.
Определите: 1) положение изображения; 2) высоту изображения. Постройте
чертеж.
Дано
R=60 см = 0,6 м
а = 10 см = 0,1 м
h = 2 см = 0,02 м
1) b —?
2) Н — ?
h R+ а
Н~ R-b ’
1) 6 = 7,5 см; 2) Я = 1,5 см.
Постройте изображение произ-
.......вольной точки S, которая ле-
жит на главной оптической оси собираю-
щей линзы.
Постройте изображение про-
х.' извольной точки S , которая
лежит на главной оптической оси рассеи-
вающей линзы.
Фокальная
<391)
( 5.18 ) Определите построением ход луча после преломления его собираю-
'' S щей (рис. а) и рассеивающей (рис. б) линзами. На рисунках MN —
положение главной оптической оси; О— оптический центр линзы; F— фоку-
сы линзы. Среды по обе стороны линзы одинаковы.
На рисунке показаны положение главной оптической оси MN
тонкой собирающей линзы и ход одного луча АВС через эту лин-
зу. Постройте ход произвольного луча DE. Среды по обе стороны линзы оди-
наковы.
( 5.20 3 На рисунке показаны положение главной оптической оси MN
TOHKOg рассеивающей линзы, ход луча 1, падающего на линзу, и
преломленного луча 2. Определите построением оптический центр и фокус-
ное расстояние линзы. Среды по обе стороны линзы одинаковы.
фокальная
На рисунке показаны положения главной оптической оси MN
TOHKOg ЛИНзЫ5 светящейся точки 5 и ее изображения S'. Опре-
делите построением оптический центр линзы и ее фокусы. Укажите вид линзы.
Среды по обе стороны линзы одинаковы.
5.22 ) На рисунке показаны положения •
.. .... 5 S'
главной оптической оси MN
#-
тонкой линзы, светящейся точки 5 и ее изоб-
ражения S'. Определите построением поло- —------------------------—
жения оптического центра линзы и ее фокусов. Укажите вид линзы. Среды по
обе стороны линзы одинаковы.
На рисунке показаны положения
главной оптической оси MN
5
*
тонкой линзы, светящейся точки S и ее изоб-
ражения S'. Определите построением поло- М N
жения оптического центра линзы и ее фоку-
сов. Укажите вид линзы. Среды по обе стороны линзы одинаковы.
Двояковыпуклая тонкая линза (показатель преломления п) с ради-
усами кривизны 7?! и R> находится в однородной среде с показа ге-
лем преломления . Выведите формулу этой линзы, используя принцип Ферма.
393
Выпукло-вогнутая тонкая линза (показатель преломления и) с
радиусами кривизны (передняя поверхность) и /?2 (задняя
поверхность) находится в однородной среде с показателем преломления .
Выведите формулу этой линзы, рассматривая последовательное преломление
света на двух сферических поверхностях.
, где У = п/п} .
Необходимо изготовить плосковыпуклую линзу с оптической си-
лой Ф = 4 дптр Определите радиус кривизны выпуклой поверх-
ности линзы, если показатель преломления материала линзы равен 1,6.
Дано Решение
Ф - 4 дптр и = 1,6 — -(N-1)| — — I, где N = —, f Vi М
R —? п} = 1, N = и ,
— = Ф, 7?.=оо, R, = R, ф = (и-1)—, r = !LA.
f 1 2 R Ф
QOmeem^) R=i5 см.
Тонкая линза с показателем прелом-
ления и и радиусами кривизны R\
и R2 находится на границе раздела двух сред с
показателями преломления и, и п2. Пусть а и
b — соответственно расстояния от предмета до
линзы и от изображения до линзы; f и f2 —
соответствующие фокусные расстояния. Докажи-
те справедливость соотношения — + = 1.
Определите расстояние а от'двояковыпуклой линзы до предме-
та, при котором расстояние от предмета до действительного изоб-
ражения будет минимальным.
Дано
Решение
1=1™ 1 = a + b, 1 1-_1 a b f
а — ?
а+Ь 1 b-1-a , lf = al-a2
ab
d/ 2a(a- /)- a2
da (a-/)2
— = 0 (условие min):
da
2a(a-/)-a2 = 0, a = 2f.
( 5.29 J Двояковыпуклая линза с показателем преломления п = 1,5 имеет
........одинаковые радиусы кривизны поверхностей, равные 10 см. Изоб-
ражение предмета с помощью этой линзы оказывается в 5 раз больше предме-
та. Определите расстояние от предмета до изображения.
Дано
Решение
п = 1,5
R= 10 см = 0,1 м
?; = 5
(а + Ъ) —1
2
а(1 + Т])= а21](п -1)—,
(а + Ь) = 0,72 м.
( 5.30 ) Из тонкой плоскопараллельной стеклянной пластинки изготовле-
" 1 ны три линзы. Фокусное расстояние линз 1 и 2, сложенных вмес-
те, равно -/', фокусное расстояние линз 2 и 3 равно -f” . Определите фокус-
ное расстояние каждой из линз.
Решение
Дано
= о,
Двояковыпуклая линза из стекла (и = 1,5) обладает оптической
силой Ф = 4 дптр. При ее погружении в жидкость (-1,7 ) линза
действует как рассеивающая. Определите: 1) оптическую силу линзы в жидко-
сти; 2) фокусное расстояние линзы в жидкости; 3) положение изображения точ-
ки, находящейся на главной оптической оси на расстоянии трех фокусов от
линзы (а = 3/ ) для собирающей линзы и рассеивающей линзы. Постройте
изображение точки для обоих случаев.
Дано
и = 1,5
Ф = 4 дптр
и, = 1,7
a = ai=3f
Решение
Ф = 1 = (и-1)А, «Л”1)
/ R
I п ) 2 f 1
= Л = Ф1
Л|
111,
— + — = — , Ь =
a b f
ф
1
Ф ’
п
1) ф, -?
2) А
3) ь-7
bl=2LL
/1 + 3/
_L_±=__L, аЛ
а, b, /’ 1 а. + ,
зет J 1) Ф1 =-0,94 дптр;
2) /) = -1,06 м;
3) 6 = 37,5 см, Ь1= 44 см.
396
( 5.32 ) Докажите, что освещенность, создаваемая изотропным (сила све-
Vn'-., та источника не зависит от направления) точечным источником
света I на бесконечно малой площадке, удаленной на расстояние г от источ-
I
ника, равна Е - — cos г, где г — угол падения луча на площадку.
Дано
Е = -^ cos; — ?
Е = — cos i.
r~
На какую высоту над чертежной доской необходимо повесить лам-
почку мощностью Р = 300 Вт, чтобы освещенность доски под
лампочкой была равна Е = 60 лк. Наклон доски составляет 30°, а световая от-
дача лампочки равна 15 лм/Вт. Примите, что полный световой поток, испуска-
емый изотропным точечным источником света, Фо = 4л 1.
Дано
Р-300 Вт
Е = 60 лк
/ = 30°
L = 15 лм/Вт
Фо = 4л1
h
Решение
Ф0 = ЬР, Ф0=4л1,
LP v 1 LP
1---, Е- — COSZ =-5-COSZ,
4л h~ 4nh~
, I LP cos i
n = J-----
V 4лЕ
h = 2,27 m.
<397>
Линза позволяет при последовательном применении получить два
изображения одного и того же предмета, причем увеличения ока-
зываются равными г]} - 5 и т]2 = 2. Определите, как при этом изменяется ос-
вещенность изображений.
Светильник в виде равномерно светящегося шара радиусом
г = 10 см имеет силу света I = 100 кд. Определите для этого све-
тильника: 1) полный световой поток Фо; 2) светимость R.
Дано
г -10 см = 0,1 м
7 = 100 кд
Решение
Фо = 4л/, R = , 5 = 4лг2,
5
1) Фо—?
2) R — ?
1) Фо = 1,26 клм;
2) R =10 клм/м2.
<398>
536)
Отверстие в корпусе фонаря закрыто идеально матовым стеклом
(т. е. яркость источника не зависит от направления) размером
7.5 X10 см. Сила света I фонаря в направлении, составляющем угол у> = 30°,
равна 12 кд. Определите яркость В стекла.
В ----------= 1,85 ккд/м2.
S cosy>
Докажите, что в том случае, когда яркость источника не зави-
сит от направления, светимость R и яркость В связаны соот-
ношением R-лВ.
Дано
В*В(а)
Решение
R = jtB
&Ф = ВаS cosa da>,
do = sina da dy,,
y, — азимутальный угол,
<p -> 0 до 2я, a -> 0 до л/2,
2л л/2 л/2
Ф = Jd<D = sJdy> sina cosa da = 2л5 JBu sina cosa da =
oo о
Л/2 j
= 2nBS [sina cosa da = 2nBS — = nBS,
oJ 2
Ф -- nBS,
Ф= RS,
R= л В.
R = nB.
399
Cg j На лист белой бумаги размером 10 X 25 см нормально к поверхно-
сти падает световой поток Ф = 50 лм. Принимая коэффициент
рассеяния бумажного листа р = 0,7 , определите для него: 1) освещенность;
2) светимость; 3) яркость.
Дано Решение
5 = 250 см2 = 2,5- 10 4м2 ф Ф
Ф = 50 лм р = 0,7 ' | С/Э II Ч R = p—, S R
К = лВ, в=—. л
1) £ —? 2) R — ? 3) В — ?
2) 7? = 1,4 клк/м2; 3) В = 446 кд/м2.
(g j Объясните, чем отличаются просвечивающие и отражательные
электронные микроскопы.
Объясните, почему в электронно-оптических преобразователях
можно получить увеличенное изображение предмета большей
интенсивности, чем интенсивность самого предмета.
Некоторые математические формулы
[х3 е 0x2 dx = — а 2
{ 2
J и du = uv - J v du
5.41 f
5.2. Интерференция света
Определите длину отрезка , на котором укладывается столько
же длин волн монохроматического света в вакууме, сколько их
укладывается на отрезке 12 = 5 мм в стекле. Показатель преломления стекла
Дано
Решение
"1=1
«2 = 1,5
/2 = 5 мм - 5 10-3 м
Л| Л2
L? s 1 s «1 s । и _ и S> <rl’^ - и и и
/| = 7,5 мм.
п = 1,5.
Два параллельных световых пучка, отстоящих друг от друга на
расстоянии d = 5 см, падают на кварцевую призму (п = 1,49) с
преломляющим углом а = 25°. Определите оптическую разность хода Д этих
пучков на выходе их из призмы.
В опыте Юнга расстояние между щелями d -1 мм, а расстояние /
от щелей до экрана равно 3 м. Определите: 1) положение первой
светлой полосы; 2) положение третьей темной полосы, если щели освещать
монохроматическим светом с длиной волны Л = 0,5 мкм.
””1 xd I
minJy = ±(2w + l)A, xmin=±|
*3min
П I , 7Л
— —А = ±—
2) d 2d
1) *1тах = ±1,5 мм; 2) х3т1П = ±5,25 мм.
В опыте с зеркалами Френеля расстояние d между мнимыми изоб-
ражениями источника света равно 0,5 мм, расстояние / от них до
экрана равно 5 м. В желтом свете ширина интерференционных полос равна 6 мм.
Определите длину волны желтого света.
Дано Решение
d - 0,5 мм = 5 10^* м max A = ±mA (m = 0,1,2,...),
/ = 5 м xd xd , l ,
Ax = 6 мм = 6 • 10~3 м A = , — = ±mA, xmax — ±w A, I I d
A — ? Л 1 1 Q Ax = ~A , Z = .
/
A = 0,6 мкм.
<402>
5.45$
Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга d = 0,5 мм
(Л = 0,6 мкм). Определите расстояние I от щелей до экрана, если
ширина Дх интерференционных полос равна 1,2 мм.
м.
В опыте Юнга расстояние / от щелей до экрана равно 3 м. Опре-
делите угловое расстояние между соседними светлыми полоса-
ми, если третья световая полоса на экране отстоит от центра интерференцион-
ной картины на 4,5 мм.
x тЛ
a ~ tga = — = —
/ d
тХ (те-1)Л Л х
Да = ------------= — = —
d d d ml
Да = 5-10 4 рад.
26*
( 5.47 ) Если в опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей
поместить перпендикулярно этому лучу тонкую стеклянную пла-
стинку (п = 1,5), то центральная светлая полоса смещается в положение, пер-
воначально занимаемое пятой светлой полосой. Длина волны А = 0,5 мкм.
Определите толщину пластинки.
Дано Решение
n = 1,5 Д = nd — d = d(n -11 - A = mA
m= 5 mA
A - 0,5 мкм = 5 • 10“7 м = d = n-1
d —1
d=5 мкм.
( 5.48 ) Определите, во сколько раз изменится ширина интерференцион-
ных полос на экране в опыте с зеркалом Френеля, если фиолето-
вый светофильтр (0,4 мкм) заменить красным (0,7 мкм).
Дано
Решение
Л, = 0,4 мкм
А2 = 0,7 мкм
_?
| max | Д = ±шА
xd
Д =—,
I
ml ,
x = ±—A,
d
(w = 0, 1,2,...),
xd
— = ±тА
I
mlA (m — l)lA IA
~d d ~~d
= 1,75.
А.
404
5.49
Расстояние от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана соот-
ветственно равно а = 30 см и Ь = 1,5 м. Бипризма стеклянная
(п = 1,5) с преломляющим углом fl = 20'. Определите длину волны света, если
ширина интерференционных полос Ах = 0,65 мм.
Дано
Решение
а = 30 см = 0,3 м
Ь= 1,5 м
п = 1,5
fl = 20'
Ах = 0,65 мм = 6,5 • 10^* м
А —?
tp = (и — !)&,
Ах = — А,
d ’
_ tsxd
Л — 1
I
I = a + b,
d = la sin tp ~ 2а<р = 2а(п - l)fl,
2a(«-l)fl Дх
Л —
a + b
Вычисления:
fl = 20' = 20 2,91 10“4 рад = 5,82 10“3 рад;
, 2-30-10-2 м-0,5-5,82-10’3 рад -0,65-Ю-3 м
А =------------------------------------= 6,3 • 10 м.
(1,5+0,3) м
(Ответ ) Л = о,63 мкм.
( 5.50j) Расстояние от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана соот-
ветственно равно а = 48 см и b = 6 м. Бипризма стеклянная
(и = 1,5) с преломляющим углом fl = 10'. Определите максимальное число
полос, наблюдаемых на экране, если А = 600 нм.
Ответ
4аЬ(п — 1)2^2
(а + Ь)А
<405>
5.51^ На плоскопараллельную пленку с показателем преломления
и = 1,33 под углом i = 45° падает параллельный пучок белого све-
та. Определите, при какой наименьшей толщине пленки зеркально отражен-
ный свет наиболее сильно окрасится в желтый цвет (А = 0,6 мкм).
Дано
n = 1,33
i = 45°
A = 0,6 мкм - 6 • 10"7 м
Решение
AD = d tg r
max
A = /nA, w = 0, 1,2,
AE = 2d tgr sini
2dn . A
—-----2d tgr sini + —
A =
cosr
Sin I
-----= n
sinr
sinr
tgr =-----
cosr
d
A = (AB + BC)n -
AB=BC =
cosr
2^ ( . .
----1 и-sinr Sim)
cosr
(W = l)
2d
COST
. sin i
n - sin" r-----
sinr-
d —?
A
2
A
2
A
2dn i . 2 '
-----11 - sin"r
cosr'
2dn
-----cos" r = —
cosr
,2
2
, J A
2dn cosr = — ,
2
d =-------
4n cosr
cosr = V1 -sin2r =— Vn2 -sin2i,
n
d =
4^
o . о .
- sin“ I
d= 133 нм.
406
Q5.52На стеклянный клин (п = 1,5) нормально падает монохроматичес-
кий свет (Л = 698 нм). Определите угол между поверхностями
клина, если расстояние между двумя соседними интерференционными мини-
мумами в отраженном свете равно 2 мм.
Дано
Решение
и =1,5
Л = 698 нм = 6,98 10-7 м
Ах = 2 мм = 2 • 10-3 м
А = 2 уп ,
w+1
у
а «tga = —
а —?
Л
2
Л
2
(m = 0,1,2,...),
2уп = Л,
Л
у=^г
2п
Л
а =------
2п Ьх
а = 24".
(5.53) На стеклянный клин (п = 1,5) нормально падает монохроматичес-
кий свет. Угол клина равен 4'. Определите длину световой вол-
ны, если расстояние между двумя соседними интерференционными максиму-
мами в отраженном свете равно 0,2 мм.
Л = 698 нм.
Q5.54 J На тонкую мыльную пленку (п = 1,33) под углом i = 30° падает
монохроматический свет с длиной волны Л = 0,6 мкм. Определи-
те угол между поверхностями пленки, если расстояние b между интерферен-
ционными полосами в отраженном свете равно 4 мм.
а = 12,5".
407
(5.55 ) Монохроматический свет падает нормально на поверхность воз-
S душного клина, причем расстояние между интерференционными
полосами АХ] = 0,4 мм. Определите расстояние Дх2 между интерференцион-
ными полосами, если пространство между пластинками, образующими клин,
заполнить прозрачной жидкостью с показателем преломления и = 1,33.
Дано Решение
Дх, = 0,4 мм = 4 • 10^* м п,=1 п2 -1,33 Дх, — ? а - (см. задачу 5.52), а( = а,, 2и (sx Л1=Л2, = Дх2= —Axj. Дх, И, «2
(Ответ дх2 = о,з мм
( 5.56 j Плосковыпуклая линза радиусом кривизны 4 м выпуклой сторо- ной лежит на стеклянной пластинке. Определите длину волны падающего монохроматического света, если радиус пятого светлого кольца в отраженном свете равен 3 мм.
Л —?
Дано
R = 4 м
т = 5
гп] = 3 мм = 3 • 10~3 м
(5.57 J Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохро-
матическим светом с длиной волны Л = 0,55 мкм, падающим нор-
мально. Определите толщину воздушного зазора, образованного плоскопарал-
лельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой в том
месте, где в отраженном свете наблюдается четвертое темное кольцо.
Ответ
d -1,1 мкм.
5.58)
Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохро-
матическим светом с длиной волны Л = 0,6 мкм, падающим нор-
мально. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жид-
костью, и наблюдение ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы
R = 4 м. Определите показатель преломления жидкости, если радиус второго
светлого кольца г = 1,8 мм.
Дано
Решение
Плосковыпуклая линза с показателем преломления п = 1,6 выпук-
лой стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус третьего
светлого кольца в отраженном свете (Л = 0,6 мкм) равен 0,9 мм. Определите
фокусное расстояние линзы.
f = 0,9 м.
Г5.60 3 Плосковыпуклая линза с радиусом сферической поверхности
R — 12,5 см прижата к стеклянной пластинке. Диаметр десятого
темного кольца Ньютона в отраженном свете равен 1 мм. Определите длину
волны света.
Л - В™ = 0,2 мкм.
4mR
.409
сжМ Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохро-
V,,' матическим светом, падающим нормально. При заполнении про-
странства между линзой и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью ра-
диусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,21 раза. Определите
показатель преломления жидкости.
Дано Решение
— =1,21 1 А А rm»v2/W, A = 2dn + — , Д = (2т+1)—, „ , А A mA 2dn + — = (2т +1)—, d = —, 2 2 2п 1—г— 1тЛЛ [~ (Г]') r.=VwA/f, г2-л , — = >/и, и =— V п r2 {r2J
г2 п ? l2RmA ImAR — А/ о — \ ’ V 2п \ п
Q Ответ И = 1,46
Для Уменьшения потеРь света из-за отражения от поверхностей
стекла осуществляют “просветление оптики”: на свободную по-
верхность линз наносят тонкую пленку с показателем преломления п = . В
этом случае амплитуда отраженных волн от обеих поверхностей такой пленки
одинакова. Определите толщину слоя, при которой отражение для света с дли-
ной волны Л от стекла в направлении нормали равно нулю.
На линзу с показателем преломления п -1,58 нормально падает
монохроматический свет с длиной волны Л = 0,55 мкм. Для уст-
ранения потерь света в результате отражения на линзу наносится тонкая плен-
ка. Определите: 1) оптимальный показатель преломления для пленки; 2) ми-
нимальную толщину пленки.
^Ошвеш^^ 1) = 1 26 ; 2) с/= 109 нм.
Определите длину волны света в опыте с интерферометром Май-
кельсона, если для смещения интерференционной картины на 112
полос зеркало пришлось переместить на расстояние / = 33 мкм.
(Ответ л = 589
Л'-’ ’ "X
Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плеч
- интерферометра Майкельсона помещена закрытая с обеих сторон
откачанная до высокого вакуума стеклянная трубка длиной / = 15 см. При за-
полнении трубки аммиаком интерференционная картина для длины волны
Л = 589 нм сместилась на 192 полосы. Определите показатель преломления
аммиака.
Дано Решение
/= 15 см = 0,15 м Л = 589 нм = 5,89 • 10-7 м т= 192 и—? Д = 2(/и-/и0) = 2/(и-1), (и0 = 1), Д = лД, 2/(и-1) = /лЛ, тХ г = rl. 21
Вычисления:
192-58910^ м
П ---------z----+ 1 =
2 -15 -10-2 м
1,000377.
п = 1,000377.
.411
Г 5.66 J На рисунке показана схема интерференционного рефрактометра,
применяемого для измерения показателя преломления прозрач-
ных веществ. S — узкая щель, освещаемая монохроматическим светом с дли-
ной волны Л = 589 нм; 1 и 2 — кюветы длиной / = 10 см, которые заполнены
воздухом ( п0 = 1,000277 ). При замене в одной из кювет воздуха на аммиак ин-
терференционная картина на экране сместилась на т — 17 полос. Определите
показатель преломления аммиака.
Дано
Решение
п --1
А = In -ln0 = l(n-n0),
Л = 589 нм = 5,89 10 7 м
7 = 10 см = 0,1 м
п0 = 1,000277
/л =17
Вычисления:
17-589 10’9 м
п =---------------+1,000277 = 1,000377.
0,1 м
п = 1,000377.
На пути лучей интерференционного рефрактометра помещаются
трубки длиной 7 = 2 см с плоскопараллельными стеклянными ос-
нованиями, наполненные воздухом (п0 - 1,000277). Одну трубку заполнили
хлором, и при этом интерференционная картина сместилась на т = 20 полос.
Определите показатель преломления хлора, если наблюдения производятся с
монохроматическим светом с длиной волны Л = 589 нм.
п = 1,000866.
.412
5.3. Дифракция света
(5.68) Точечный источник света (Л = 0,5 мкм) расположен на расстоя-
нии а = 1 м перед диафрагмой с круглым отверстием диаметра
d = 2 мм. Определите расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения, если
отверстие открывает три зоны Френеля.
Ъ1
Дано
2= 0,5 мкм = 5 10*7 м
а = 1 м
d = 2 мм = 2 • 10-3 м
w = 3
ab ,
-----тл----------=- т'
а + Ь 4(а + Ъ)2
ab аг~
-----тЛ, Ь = у,
а + Ь атХ - г
-2Л
° 212 £-
—----~^т —пренебрежимо мало,
d ъ ad2
2 ’ 4tmd-<72
b — ?
Определите радиус третьей зоны Френеля, если расстояние от
точечного источника света (Л = 0,6 мкм) до волновой поверхнос-
ти и от волновой поверхности до точки наблюдения равно 1,5 м.
г3 = 1,16 мм.
(5;70j На диафрагму с круглым отверстием диаметром d - 5 мм падает
нормально параллельный пучок света с длиной волны Л - 0,6 мкм.
Определите расстояние от точки наблюдения до отверстия, если отверстие от-
крывает: 1) две зоны Френеля; 2) три зоны Френеля.
1)5,21 м;
2) 3,47 м.
<4В>
f 5.71 j Определите радиус третьей зоны Френеля для случая плоской вол-
' ны. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения
равно 1,5 м. Длина волны X = 0,6 мкм.
Определите радиус четвертой зоны Френеля, если радиус второй
зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 2 мм.
Дано
тх=2
т2 = 4
q = 2 мм = 2 • 10-3 м
Решение
г = ДтХ (см. задачу 5.71),
г2 = 2,83 мм.
||- 1 ------------------------------------------------------------
Определите радиус первой зоны Френеля, если расстояние от то-
чечного источника света (X = 0,5 мкм) до зонной пластинки и от
пластинки до места наблюдения а = b = 1 м.
На зонную пластинку падает плоская монохроматическая волна
(Л = 0,5 мкм). Определите радиус первой зоны Френеля, если рас-
стояние от зонной пластинки до места наблюдения b = 1 м.
= 707 мкм.
( 5.75 ) Зонная пластинка дает изображение источника, удаленного от нее
1на 2 м, на расстоянии 1 м от своей поверхности. Где получится
изображение источника, если его удалить в бесконечность?
я, = СО
Дано
Решение
п ab ,
% =—
а + Ъ
я = 2 м
b = 1 м
(см. задачу 5.68),
= тЬ\^
(см. задачу 5.71),
й, -?
ь'-—ъ
Ъх = 6.67 см.
Q5.76J Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источни-
хаии“ка монохроматического света (Л = 0,5 мкм). Посередине между
источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Оп-
ределите радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экра-
не является наиболее темным.
Дано Решение
а+Ь=\ м а=Ъ Л = 0,5 мкм = 5 • 10 7 м г2 = т). (см. задачу 5.68). а+Ъ Центр наиболее темный при т = 2. ab 1 2аЬ
г — 2 г = . ГПА - Л . \ а + b ]/ а + b
г = 0,5 мм.
415
I »W7V1 Сферическая волна, распространяющаяся из точечного монохро-
1 матического источника света (2 = 0,6 мкм), встречает на своем
пути экран с круглым отверстием радиусом г = 0,4 мм. Расстояние а от ис-
точника до экрана равно 1 м. Определите расстояние от отверстия до точки
экрана, лежащей на линии, соединяющей источник с центром отверстия, где
наблюдается максимум освещенности.
Q Ответ /, = зб,зсм.
( 5.78 J На экРан с круглым отверстием радиусом г = 1,5 мм нормально
ХвтцаамУ падает параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны Л = 0,5 мкм. Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоя-
нии Ь = 1,5 м от него. Определите: 1) число зон Френеля, укладывающихся в
отверстии; 2) темное или светлое кольцо наблюдается в центре дифракцион-
ной картины, если в месте наблюдения помещен экран.
Дано Решение
г = 1,5 мм = 1,5 • 10 1 м 2 = 0,5 мкм = 5 • 10 7 м Ъ = 1,5 м 2 г - (см. рисунок к задаче 5.71), т = — , Ы.
Если т — четное — min. Если т — нечетное — max.
1) т -? 2) min, max — ? Вычисления: (1,5 IO 3)2 м2 1) т= Л =3; 1,5 м 0,5-Ю-6 м 2) т — нечетное, светлое кольцо.
Г Ответ ) 1) /и = 3; 2) светлое кольцо.
5.79 .1 На экран с круглым отверстием радиусом г = 1,2 мм нормально
'''" 1 X падает параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны Л = 0,6 мкм. Определите максимальное расстояние от отверстия на его
оси, где еще можно наблюдать наиболее темное пятно.
7 = 1,2 м.
<^416>
ИИшЯВ Покажите, что за круглым экраном С в точке В,
лежащей на линии, соединяющей точечный источ-
ник с центром экрана, будет наблюдаться светлое пятно. Разме-
ры экрана примите достаточно малыми.
s
на расстоянии I от то-
В
г 5 JM. . Дифракция наблюдается
MMSZ чечного источника монохроматического света
(X = 0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном
находится непрозрачный круглый диск диаметром 5 мм. Определите расстоя-
ние /, если диск закрывает только центральную зону Френеля.
Дано
Решение
Ъ+2
ъ
м
Л - 0,5 мкм = 5 10 7
d= 5 мм = 5 • 10“3
т = \
/ —?
а2 = {а-х)2 + г2,
f Л?
Ib+m— I =(Ь+х)2 + г2;
а2 = а2 - 2ах + х2 + г2,
,2 д ] w2^2
b +ЬтХ +------
4
= b2+ 2Ьх +х2 + г2',
.2 ли2Л2
, —------пренебрежимо малы
2
d_
2 ’
,2
d2
2а 41 ’
ЬтХ = 2Ьх + г2,
2
ЬтХ = 2Ь----Hr2
2а
ЬтХ = 2г2,
/ , d2
тл. — 2 э
2 4
/=—,
тХ
т = 1,
х
I = 50 м.
27-2741
417
На узкую щель шириной а = 0,05 мм падает нормально монохро-
матический свет с длиной волны Л = 694 нм. Определите направ-
ление света на вторую дифракционную полосу (по отношению к первоначаль-
ному направлению света).
На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Его
направление на четвертую темную дифракционную полосу состав-
ляет 2°12'. Определите, сколько длин волн укладывается на ширине щели.
Дано Решение
сч Il II .£ 1 S. £ Е о | 'Ч asin^ = ±wA (т = 0, 1, 2,...), а _ т A siny> Вычисления: 99 = 2°12' = 2,2°; £=_J_ = 104. A sin 2,2°
^Ответ^ - = 104.
5.84 J
На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохроматичес-
кий свет (А = 0,6 мкм). Экран, на котором наблюдается дифрак-
ционная картина, расположен параллельно щели на расстоянии I = 1 м. Опре-
делите расстояние b между первыми дифракционными минимумами, распо-
ложенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
Дано
А = 0,6 мкм = 6 10“7 м
/= 1 м
т—1
а = 0,1 мм = 1О-4 м
Решение
См. рисунок к задаче 5.85,
min a sin^Q - +тА, т = 1,
sin^ = —, sin^ = tg^,
а
Ъ —1
b -21 tg<p ~ 21 siny> = 21—.
а
Ъ = 1,2 см.
На щель шириной а — 0,1 мм падает нормально монохроматичес-
кий свет с длиной волны А = 0,5 мкм. Дифракционная картина
наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определите рас-
стояние / от щели до экрана, если ширина центрального дифракционного мак-
симума b = 1 см.
Дано
а = 0,1 мм = 10-4 м
А = 0,5 мкм = 5 • IO’7 м
b = 1 см = 10-2 м
/ -?
b — 21 tg^,
I = 1 M.
min
Решение
m=l,
2tg^ ’
asin^ = ±z«A,
А
sin у? = —,
а
. A
ip = arcsin—.
a
27*
<419>
Монохроматический свет с длиной волны Л = 0,6 мкм падает на
длинную прямоугольную щель шириной <з = 12 мкм под углом
а0 = 45° к ее нормали. Определите угловое положение первых минимумов,
расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
Дано
Решение
Л = 0,6 мкм = 6 • 10-7 м
a = 12 мкм — 12 • Ю^м
a0 = 45°
& = AB-CD,
min
Д = «sina - a sin а0 = «(sin a- sin a0),
Д = +тХ (от = 1, 2, 3,...).
от = 4-1:
«(sina+l -sina0) = l,
Л
sina+] =sina0 + —,
a
• Г •
a+l - arcsm sina0 + — .
V a)
ot = -1:
a(sintz_l -sina0) = -l,
Л
sine., = sina0----
a
. ( . Г
a_} - arcsin sina0 —
v «>
Вычисления:
. . , п 0,6-1 О’® м
= arcsin sin 45 +-----?—
I, 12-Ю-6 mJ
= 49,2°= 49°12';
. . 0,610"6м
= arcsm sin 45------т—
I 12-10’бм
= 41,1°= 41°6'.
а+|=49°12', а_,=4Г6'.
Монохроматический свет падает на длинную прямоугольную щель
шириной <з = 12 мкм под углом а = 30° к ее нормали. Определи-
те длину волны Л света, если направление <р на первый минимум (т = 1) от
центрального фраунгоферова максимума составляет 33°.
Л = a(siny>-sina) = 536 нм.
На дифракционную решетку нормально падает монохроматический
свет с длиной волны Л = 600 нм. Определите наибольший порядок
спектра, полученный с помощью этой решетки, если ее постоянная d = 2 мкм.
Дано
Л = 600 нм = 6 • 10-7 м
d = 2 мкм = 2 • Ю^м
Решение
dsm<p = mX,
rfsinpmax = ™maxA,
На дифракционную решетку длиной I = 15 мм, содержащую
N = 3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет с
длиной волны Л = 550 нм. Определите: 1) число максимумов, наблюдаемых в спек-
тре дифракционной решетки; 2) угол, соответствующий последнему максимуму.
Дано Решение
1 = 15 мм = 1,5 • 10“2 м N = 3000 Л - 550 нм = 5,5 • 10“7 м 1) п — ? 2) Ртах -? , 1 dsm<p = ±mX (т = 0, 1,2,...), «= —, d 1 тетах = J при sm^=l, "’тах=^, и = 2wmax, d sin у>тах = /итахЛ ,
ГП-.А m^.AN . ^тахЛЛ7
Sln^max = --- Ртах = aTCSin—-
al I
I
1)и = 18; 2) ртах = 81°54'.
421
V 1 Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если
ЧсЯНвиУ углу <р = 30° соответствует максимум четвертого порядка для
монохроматического света с длиной волны Л = 0,5 мкм.
Дано Решение
<р = 30° |шах | Jsin^> = +ml (т = 0, 1, 2,...),
т=4 Л = 0,5 мкм = 5 • 10 7 м , пй. , 1 N 1 sin<p а= . , d-— п = — = — = — sm<p ДГ ’ 1 d ml
п — 1
Ответ ) 250 мкг1.
На дифракционную решетку нормально падает монохроматичес-
кий свет с длиной волны Л = 0,5 мкм. На экран, находящийся от
решетки на расстоянии L = 1 м, с помощью линзы, расположенной вблизи ре-
шетки, проецируется дифракционная картина, причем первый главный макси-
мум наблюдается на расстоянии I = 15 см от центрального. Определите число
штрихов на 1 см дифракционной решетки.
Дано
Л = 0,5 мкм = 5 • 10-7 м
L = \ м
I = 15 см = 0,15 м
п — ?
Решение
и=ЗЮ3 см-1.
f 5М 4 Монохроматический свет нормально падает на дифракционную
Мйирг решетку. Определите угол дифракции, соответствующий макси-
муму четвертого порядка, если максимум третьего порядка отклонен на <р\ =18°.
Дано Решение
»1| = 3 —г-п - . - sincp. тх min d sin<рх = тхЛ, d sin^2 - ~,
^,=18° sin <р2 т2
т2 = 4 т7 . . । . |
sin^>2 =— smtf’i, Ч>2 ~ arcsm —sin^, .
W] mx j
<р2 —? Q Ответ <p2 = 24°20'.
5.93НВ На дифракционную решетку нормально падает монохромагичес-
кий свет. Определите угол дифракции для линии 0,55 мкм в четвер-
том порядке, если этот угол для линии 0,6 мкм в третьем порядке составляет 30°.
Q Ответ <р = з7°4т'.
(5;94 ) На дифракционную решетку нормально падает монохроматичес-
кий свет. В спектре, полученном с помощью этой дифракционной
решетки, некоторая спектральная линия наблюдается в первом порядке под
углом </> = 11°. Определите наивысший порядок спектра, в котором может на-
блюдаться эта линия.
Дано Решение
S S -S g II II X — i d sin <p = mX, m = 0, 1, 2,. sin <p m d sin^pmax — wmaxZ, — , ®ln<Pmax wmax sin^ax < 1, rn = \, . . sin^>
Ответ Wmax •
<423>
^95 J Определите длину волны монохроматического света, падающего
нормально на дифракционную решетку, имеющую 300 штрихов
на 1 мм, если угол между направлениями на максимумы первого и второго
порядка составляет 12°.
Дано
Решение
« = 300 мм 1 = 3 • 105 м 1
A^ = 12°
my = 1
m2 = 2
Л —?
, 1 d sin<£>. = 1
d = -, 1 ’ L = 1, m.
и d sin- w2Z;J
Л . 2Л
Sin^j = — , Sin ^>2 =---’
d d
sin= 2sin^>|,
^2 = tf’i + ’ sin(^>| + (up) = 2sin^>|,
sin py cos (up + cos py sin (up - 2sin ,
sin py (2 - cos (up) - cospx sin (up,
sin p. sin (up
tg^!=-------— = ~-----T-,
cos^>| 2 -cos (up
( sin (up 'i , ,
py - arctg ---------— , Л = d
\2- cos (up J
Л = 664 нм.
Какой должна была бы быть толщина плоскопараллельной стек-
лянной пластинки (п — 1,55), чтобы в отраженном свете макси-
мум второго порядка для Л = 0,65 мкм наблюдался под тем же углом, что и у
дифракционной решетки с постоянной d = 1 мкм.
х = 577 нм.
С 5.97 J На дифракционную решетку с постоянной d = 5 мкм под углом
$ = зо° падает монохроматический свет с длиной волны к - 0,5 мкм.
Определите угол <Р дифракции для главного максимума третьего порядка.
Дано
Решение
d = 5 мкм = 5•10 6 м
# = 30°
к = 0,5 мкм = 5 • 10“7 м
м = 3
<Р — ?
А = AB-CD= <7 sin ^р-<7 sin# ,
d sin <p - d sin # = nik,
p = 53°8'.
На дифракционную решетку под углом # падает монохрома-
тический свет с длиной волны к. Найдите условие, определя-
ющее направления на главные максимумы, если d » тк (т — порядок
спектра).
d cos# (</>-#) = mk.
Узкий параллельный пучок рентгеновского излучения с длиной вол-
ны к = 245 пм падает на естественную грань монокристалла ка-
менной соли. Определите расстояние d между атомными плоскостями моно-
кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается при
падении излучения к поверхности монокристалла под углом скольжения # = 61 °.
d = 0,28 нм.
425
(5.100) Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского
1 излучения падает на грань кристалла с расстоянием между его
атомными плоскостями d - 0,3 нм. Определите длину волны рентгеновского
излучения, если под углом 9 - 30° к плоскости грани наблюдается дифракци-
онный максимум первого порядка.
Дано Решение
d = 0,3 нм = 3 • 10 10 м # = 30° ш = 1 2 d sin & = mA, 2d sin г) Л — m
Л —? QOmeem A = 300 пм.
^5.101 J Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны Л = 245 пм
падает под некоторым углом скольжения на естественную грань
монокристалла NaCl (М = 58,5 • 1 (Г3 кг/моль), плотность которого р = 2,16 г/см3.
Определите угол скольжения, если при зеркальном отражении от этой грани
наблюдается максимум второго порядка.
Дано Решение
A = 245 пм = 2,45 • 10_|Ом М = 58,5 10 3 кг/моль р = 2,16 г/см3 = = 2,16 • 103 кг/м3 т = 2 г) —? 2d sin & = mA, д = arcsin 2d В ячейке NaCl 4 Na’ и 4 СГ. Каждый ион входит в 8 ячеек. Число ячеек равно числу ионов. В 1 моль — 2Nд ячеек. d = W, v = -^, vm= — , 2N„ m p
( 5 102 J Узк™ пучок монохроматического рентгеновского излучения па-
дает ПОд углом скольжения д = 60° на естественную грань моно-
кристалла NaCl ( М= 58,5-10-3 кг/моль), плотность которого р = 2,16 г/см3.
Определите длину волны излучения, если при зеркальном отражении от этой
грани наблюдается максимум третьего порядка.
Л = 163 пм.
(5.103^ Диаметр D объектива телескопа равен 10 см. Определите наи-
' ' меньшее угловое расстояние <р между двумя звездами, при кото-
ром в фокальной плоскости объектива получатся их разрешимые дифракцион-
ные изображения. Считайте, что длина волны света Л = 0,55 мкм.
Дано Решение
D= 10 см = 0,1 м Л = 0,55 мкм = 5,5 • 10"7 м (Р—? , А <р = 1,22— . F D
QOmeem ^ = 1,4".
( 5» 104 ) Определите наименьшее угловое разрешение радиоинтерферомет- v ра, установленного на Земле, при работе на длине волны Л -10 м.
Дано Решение
Л = 10 м R3 = 6,37 106 м dp — ? л Я dip = . 27?3 = — Юм = } 0_6 = 2-6,3710бм
{Ответ dp = o,2".
427
мОДцЛВчМ На дифракционную решетку нормально падает монохроматичес-
...... кий свет с длиной волны Л = 0,6 мкм. Угол дифракции для пятого
максимума равен 30°, а минимальная разрешаемая решеткой разность длин
волн составляет <5А = 0,2 нм. Определите: 1) постоянную дифракционной ре-
шетки; 2) длину дифракционной решетки.
Дано Решение
А = 0,6 мкм = 6 • 10 7 м т = 5 р = 30° <5Л = О,2 нм = 2- 10“'°м 1) d — 1 2) 1 — ? . , , тХ Я dsin<p-mA, d= , R- — -mN, sm^ <5A A , mA A A2 N = , I = dN = = — . <5Am sin^ oA m <5A sin y?
QOmeem i) </ = 6 мкм; 2) / = з,б мм.
Сравните наибольшую разрешающую способность для красной линии кадмия (А = 644 нм) двух дифракционных решеток одина- ковой длины (1 = 5 мм), но разных периодов (dt = 4 мкм, d2 = 8 мкм).
Дано Решение
А = 644 нм = 6,44 • 10“7 м 1 = 5 мм = 5 • 10 3 м </] = 4 мкм = 4 • 10-6 м d2 = 8 мкм = 8 • 10"6 м max —? ^2 max — ? dlsm<p = miX, </2sin^=m2A, sin</>max=l, <7j d2 nh=~, m2~~T, m2 — целые числа. Л Л 7?1тах = '«1ЛГ|> d\ d2 4-IO^m , = /И-, . ZWi — o — 6 ZW-j — 12 2max W2/V2 ‘ 644-10'’ M ’ 2
= 4 10-бм = 1250 ’ ЛГ2 = 625; Л1тах=6 1250 = 7500, Я2тах=7500.
(Ответ ) ₽ _ R _ 7s00
J *4 max - к2 max “ •
Покажите, что для данной Л максимальная разрешающая спо-
собность дифракционных решеток, имеющих разные периоды, но
одинаковую длину, имеет одно и то же значение.
к =L
Гтпах -
Л
Определите постоянную дифракционной решетки, если она в пер-
вом порядке разрешает две спектральные линии калия ( Aj = 578 нм
и Л2 = 580 нм). Длина решетки I = 1 см.
Дано
Решение
т=1
Л, =578 нм = 5,78- КГ7 м
Л2 = 580 нм = 5,8 • 10~7 м
1= 1 см = 10“2 м
R=^-=mN, N =
дЛ оЛ т
I I дХт
а = — =-----
N Aj
d — Ч
d = 34,6 мкм.
dA = A2-A,
Постоянная d дифракционной решетки длиной I = 2,5 см равна
5 мкм. Определите разность длин волн, разрешаемую этой ре-
шеткой, для света с длиной волны Л = 0,5 мкм в спектре второго порядка.
Дифракционная решетка имеет N = 1000 штрихов и постоянную
d = 10 мкм. Определите угловую дисперсию для угла дифракции
<р = 30° в спектре третьего порядка. Найдите разрешающую способность диф-
ракционной решетки в спектре пятого порядка.
Дано
У = 1000
d = 10 мкм = 10*5 м
<р = 30°
/П] = 3
т2 = 5
? Л—?
Решение
*’ 5Х d cos 9?
<5Л
= m2N.
Dv = 3,46 • 105 рад/м;
R = 5000.
Определите длину волны, для которой дифракционная решетка с
постоянной d = 3 мкм в спектре второго порядка имеет угловую
дисперсию D^= 7-105 рад/м.
Л = 457 нм.
Угловая дисперсия дифракционной решетки для Л = 500 нм в спек-
тре второго порядка равна 4,08 • 105 рад/м. Определите постоян-
ную дифракционной решетки.
Дано
Решение
Л = 500 нм = 0,5 • Ю^м
т = 2
= 4,08 • 105 рад/м
d — ?
D _дЧ> т
1/1 дЛ d cos<p ’
тХ
sm<p = -j-,
cos 9? = , dsin<p = nd,
sin 99 rrAD d
tg^p =-----= y = Ж,
cos^) dm *
^-arctgfw ) d= С Ответ Л d = 5 мкм.
' 7 sin^> V
<®>
5.4. Взаимодействие электромагнитных волн
с веществом
Докажите, что если монохроматический пучок света падает на
грань призмы с показателем преломления п под малым углом, то
при малом преломляющем угле А призмы угол отклонения <р лучей не зави-
сит от угла падения и равен А(и -1).
Дано
Решение
п
А
С] —мал
<р= A(n-V) — ?
sina] _ sin/?2 _ 1
sinjSj ’ sina2 n ’
а2 = п@2 = п(А-^)=пА--пА-а\,
<р = а{+а2- А = а}+ пА-щ- А = А(п-1).
<р= Ди-1).
На стеклянную призму с преломляющим углом А = 55° падает
луч света под углом at = 30°. Определите угол отклонения луча
призмой, если показатель преломления п стекла равен 1,5.
» На грань стеклянной призмы (п = 1,5 ) нормально падает луч све-
та. Определите угол отклонения <р луча призмой, если ее прелом-
ляющий угол А = 30°.
На рисунке представлен симметрич-
ный ход луча в равнобедренной при-
зме с преломляющим углом А = 40° (внутри при-
змы луч распространяется параллельно основа-
нию). Определите угол отклонения <р луча при-
змой, если показатель преломления п материла
линзы равен 1,75.
<р = 33°32'.
•5Г-117’..
Луч света выходит из стеклянной призмы (п = 1,5) под тем же
углом, что и входит в нее. Определите угол отклонения <р луча
призмой, если ее преломляющий угол А = 60° .
Дано Решение
и = 1,5 Л
а, =а2 = а /W2 = /J—•
/1 = 60° sina
<Р — ? = А7, sin Р
в А
sina = nsinp = и sin —
<2,
. ( А
а = arcsin п sin —
I <2,
Г А)
<р = 2a - А - 2 arcsin^ и s’n’yj ~ А
у> = 37°1Г .
432
(s.iisВ Определите максимальную скорость вынужденных колебаний сво-
бодного электрона, если в точке его нахождения радиопередат-
чик, работающий на частоте 500 кГц, создает поле электромагнитного излуче-
ния Ео = 10 мВ/см.
Дано Решение
е = 1,6 -10"19 Кл , F X + OqX = —COSOt , o-2nv, Oq-0,
и = 9,11-Ю-31 кг m
v = 500 кГц = 5 • 105 Гц „ eEn еЕ0 . F.,.„ = eEn, x = —- cosot, x = v = smot,
Eq = 10 мВ/см = 1 В/м m mo
еЕ0 еЕ0
V —? max v — —— = — max ~ ma) ZmJtv
Ответ j vmax = 55 9 км/с_
Электромагнитная волна с частотой о распространяется в разре-
.........женной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме
равна п0. Определите зависимость диэлектрической проницаемости г плаз-
мы от частоты о. Взаимодействием волны с ионами плазмы пренебречь.
Дано Решение
O) e(o) —? , . P „ . «OCX E = 1 + X =1-1 , P = Hq€X , E = 1 + , f0E EqE eE^q E-Eq cosot, x = Acosot, A — z m(o%-o2)
2 еЕ0
X + OqX - --COSOt ,
т
О)
О0 - 0 , £ = 1-----7 .
Е0то
Ответ
Е- 1-
28 -2741
W2
Е0то2
<®>
5.120) Определите концентрацию свободных электронов ионосферы,
если для радиоволн с частотой v = 97 МГц ее показатель прелом-
ления п= 0,91.
Дано
Решение
v = 97 МГц = 97 106Гц
п = 0,91
е = 1,6 10-19 Кл
/72 = 9,11 10’31 кг
а) = 2лт, х = A costo?,
еЕ0
Л max 9 ’
та)
£ = 1 + X,
П2 = £ = 1
и2
Р=Х£0£0, Р = И0^тах>
Р
£о^о
”ое х
г Лтах ’
С^тах
А- ... с£о__________
zi — 2 2 »
тл(б00 -ш)
2 е£0
X + Шох =-----COS(l>/ ,
т
<о0 = 0,
у — Л
лтах ’
,2 ^рЕот(р2 = _ ^2 )4л2г2Е0т
е2
«о =(!-«'2 2
е Ео
ио = 2 1О7 см“3.
(5Л21) При прохождении в некотором веществе пути х интенсивность
света уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз умень-
шится интенсивность света при прохождении пути 2х.
Дано
Решение
= /oe-ttX
А=3
л
-2- - 1 е~ах
3 _ 7о е
е~“х= —,
3
2х
1 э 7—7 _-2«х _ т -21пЗ ^0 _ _21пЗ
ах = 1пЗ, J2 = l0e = 70 е , — = е
Л
И = yJE/и ,
«о — ?
X
4
— = 9.
2
434
Коэффициент поглощения некоторого вещества для монохрома-
тического света определенной длины волны а = 0,1 см’.Опреде-
лите толщину слоя вещества, которая необходима для ослабления света в 2 раза
и в 5 раз. Потери на отражение света не учитывать.
С Ответ j = 6,93 см; d2 = 16,1 см.
Плоская монохроматическая световая волна распространяется в
некоторой среде. Коэффициент поглощения среды для данной
длины волны а = 1,2 м-1. Определите, на сколько процентов уменьшится ин-
тенсивность света при прохождении данной волной пути: 1)10 мм; 2) 1 м.
Дано Решение
а = 1,2 м 1 1) х = 10 мм= 10 2 м 2) х = 1 м 1=10 е-“ 7°— = 7о ~ 7о е аХ = I - е~ах .
4 Q Ответ 1) 1,2%; 2)70%
Свет падает нормально поочередно на две пластинки, изготовлен-
. ——ные из одного и того же вещества, имеющие соответственно тол-
щины Х| =5 мм и х2 = 10 мм. Определите коэффициент поглощения этого
вещества, если интенсивность прошедшего света через первую пластинку со-
ставляет 82%, а через вторую — 67% от начальной интенсивности.
Дано Решение
X] = 5 мм = 5 10“3 м х2 = 10 мм= 10 2 м 7, = 0,8270 12 = О,677о а — ? А = /0 е , А= ей(*2-*1) л 11 = A) , д.__ 1п(7,/72) Х2 -X]
С Ответ ? а = 0,404 см1.
28*
(5»25) Источник монохроматического света с длиной волны Ло = 0,5 мку
движется по направлению к наблюдателю со скоростью 0,15с (с —
скорость света в вакууме). Определите длину волны, которую зарегистрирует
приемник наблюдателя.
Дано
Ло = 0,5 мкм = 5 10"7 м
п = 0,15с
$ = л
Л —?
Решение
(cosл 1QOmeem"') л = 430 нм.
5.126 ) При какой скорости красный свет (690 нм) будет казаться зеле-
чЯМВг ным (530 нм)?
v - 77,4 Мм/с.
В спектральных линиях, излучаемых астрономическими объекта-
ми — квазарами, наблюдалось красное смещение, отвечающее
трехкратному уменьшению частоты. Определите, с какой скоростью при этом
должен был бы удаляться квазар.
Дано
Решение
, а
1 + — COSV
fl = 0,
v
10—= 8,
с
v = 0,8с.
Известно, что при удалении от нас некоторой туманности линия
излучения водорода (Л = 656,3 нм) в ее спектре смещена в крас-
ную сторону на ЛА = 2,5 нм. Определите скорость удаления туманности.
v = 1,14 Мм/с.
Выведите выражение для уширения ЛА/А спектральных линий в
случае продольного эффекта Доплера при v « с.
Исходя из общей формулы, описывающей эффект Доплера для
электромагнитных волн в вакууме, выведите формулу для попе-
речного эффекта Доплера. Почему поперечный эффект Доплера является чис-
то релятивистским эффектом?
ЦЩ Выведите выражение для уширения ЛА/А спектральных линий в
случае поперечного эффекта Доплера.
Дано Решение
г) = я/2 v'_v ’ cos^-cos^-O А-С
ЛА —9 А , V 2 v 1 + — COSV с
£
А
v’ А
Л
1 Г v2
3 гГ
sU4
Иг/
А' = А + ДА,
ЛА _ v2
А ~ 2с2'
v2
2?’
437
Определите доплеровское смещение ДА для спектральной линии
атомарного водорода (А = 486,1 нм), если ее наблюдать под пря-
мым углом к пучку атомов водорода с кинетической энергией Т = 100 кэВ.
Дано
Решение
А = 486,1 нм=486,1 • 1(Г9м
£ = -
2
Т = 100 кэВ =
= 1,6- 1014Дж
т = 1,67 10-27 кг
с = 3108 м/с
ДА —?
v'-v—-----—, cos£ = 0, v’ = v
, v ч V c2
1 + — COSV '
c
ДА v2 _ mv2 2 2Г
— = —=, T =----, v = —,
A 2c2 2 m
T
ДА = А—
me
Q Ответ да = 51,7 пм.
ZyryK-------------------------------------------------
(5.133) Определите скорость электронов, при которой черенковское из-
лучение происходит в среде с показателем преломления п = 1,54
под углом 9 = 30° к направлению их движения. Скорость выразите в долях
скорости света.
Дано
п = 1,54
£ = 30°
v — ?
Решение
cos£ = —
nv
с
и cos#
v = 0,75с.
<438>
Q 9 Определите кинетическую энергию протонов, которые в среде с
показателем преломления п = 1,6 излучают свет под углом 9 = 20°
к направлению своего движения. Ответ выразите в электрон-вольтах.
Дано
Решение
т = 1,67 -10-27 кг
л =1,6
# = 20°
cos# = —
nv
v_1
с п cos# ’
Г(эВ) — ?
Т = 0,319 ГэВ.
Определите минимальный импульс, которым должен обладать
электрон, чтобы эффект Вавилова—Черенкова наблюдался в сре-
де с показателем преломления п = 1,5.
Дано Решение
и = 9,1110-31 кг и = 1,5 Pmin ? тс Prnin it 1 (V л 1- у \ С 7 2 cos#=—, v =—— nv п cosV ^min ~ ( COS fl — 1 ), п тс _ тс i-± Vn -1 V и2
(Ответ J = 2,44-ю-22 кг• м/с.
Определите минимальную кинетическую энергию, которой дол-
жен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления
п = 1,5 возникло черенковское излучение. Ответ выразите в МэВ.
= -1 =0,175 МэВ.
-1
Определите минимальную ускоряющую разность потенциалов
C7min, которую должен пройти электрон, чтобы в среде с показа-
телем преломления п = 1,5 возникло черенковское излучение.
Дано
Решение
w = 9,1110-31 кг
п= 1,5
cos# = —
nv
С
v =------- (
и cos#
U ------
min
с
^min —
( cos# = 1),
'т' 2
Li = тс
,2
-1
Т
min
= тс2
’2-l .
t/m.n
тс'
и2-1
-1 .
4m=Ht7mm,
1
т 2
Тып = тс
п
п
п
C7min =175 кВ.
5.5. Поляризация света
5.130 / Опишите поведение светового вектора Е в данной точке простран-
ства в случае эллиптически поляризованного света.
(5.139 ) Определите степень поляризации частично поляризованного све-
та> если амПлитуда светового вектора, соответствующая макси-
мальной интенсивности света, в 3 раза больше амплитуды, соответствующей
его минимальной интенсивности.
Дано
Ео IEg =3
п\ах / vnun
Решение
р _ max л min
Апах + Anin
£о -£о
wmax__^min
Ео +£о.
wmax пип
-1
Р = 0,8.
5*140 ) Степень поляризации частично поляризованного света составля-
ет 0,75. Определите отношение максимальной интенсивности све-
та, пропускаемого анализатором, к минимальной.
Дано Решение
Р=0,75 J
1 max _ ।
I -I I
р _ max min р _ тт
Anax q Алах + Anin Апах ।
I . I
'mm
<44?>
Определите степень поляризации Р света, который представляет
собой смесь естественного света с плоскополяризованным, если
интенсивность поляризованного света равна интенсивности естественного.
Решение
An ах ~ Anin
Anax + Anin
Алах
— Д ч— Дет “ Д +—Д — — Д,
•I 2 ct-i п 2 п 2 nt
— I - - I
? п ? n I
Р = 2---7— = — = 0,5.
-I +~I
2 п 2 п
Р = 0,5.
Определите степень поляризации Р света, который представляет
собой смесь естественного света с плоскополяризованным, если
интенсивность поляризованного света в 5 раз больше интенсивности естествен-
ного.
Р= 0,833.
Угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора
составляет 30°. Определите изменение интенсивности прошедшего
через них света, если угол между главными плоскостями равен 45°.
Дано Решение
а{ = 30° А ~ Д COS CZ| , Д — Д COS С?2 ч
а2 = 45° Ix _ COS2 Ct,
A_? I2 cos2 a2 С Ответ ) A _ j 5 4 / ’
5.144
Интенсивность естественного света, прошедшего через два нико-
ля, уменьшилась в 8 раз. Пренебрегая поглощением света, опре-
делите угол между главными плоскостями николей.
a = 60° •
(5.145J Определите, во сколько раз ослабится интенсивность света, про-
Vi ,• шедшего через два николя, расположенные так, что угол между
их главными плоскостями а = 60°, а в каждом из николей теряется 8% интен-
сивности падающего на него света.
Дано
а = 60°
к = 0,08
Решение
I2 = I\ (1 - к} cos* a,
4
~г~-
^2 ~ ~ А)0 к) COS а’ j z, ix2 2
2 /2 О-*) cos а
-5- = 9,45.
h
h=\l^~k),
2
I 5.140 1 Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность естествен-
• ного света, прошедшего через два николя, главные плоскости ко-
торых образуют угол в 60°, если каждый из николей как поглощает, так и отра-
жает 5% падающего на них света.
Решение
Дано
а = 60°
к{ = к2 = 0,05
7o
А =|(1-(М + ММ) =| 0,9 /0,
Z2 = У,-0,9 cos2 a = | /o O,92 cos2a,
— = 9,88.
4^ 2
12 0,92 cos2 а
443
Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, угол
между главными плоскостями которых равен а . Поляризатор и
анализатор как поглотают, так и отражают 10% падающего на них света. Оп-
ределите угол а, если интенсивность света, вышедшего из анализатора, равна
12% интенсивности света, падающего на поляризатор.
Дано
Решение
к\= к2 — 0,1
72 =0,1270
а — ?
А=|(1-(^ + ^2))/о=~О,8-7о,
72 = 1\ • 0,8 cos2 а ,
1 2 7
72 = — • 70 0,82 cos2 а ,
cosa =
27z
7о0,8
2-0,127о
7о0,8
а = arccos0,612 = 52,24°= 52°14'.
а = 52°14'
Естественный свет интенсивностью 70 проходит через поляриза-
тор и анализатор, угол между главными плоскостями которых со-
ставляет а. После прохождения света через эту систему он падает на зеркало
и, отразившись, проходит вновь через нее. Пренебрегая поглощением света,
определите интенсивность I света после его обратного прохождения.
ГТ 2 I г 4
7=73cos а = — 70 cos а.
Ответ
7 = —/0 cos4 а .
2 0
(5 .1W) Докажите, что при падении света на границу раздела двух сред
S под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно
перпендикулярны.
(5.150 Известно, что при падении света на прозрачный диэлектрик под
X *углом Брюстера отраженный свет является плоскополяризован-
ным. Чем необходимо воспользоваться, чтобы получить преломленный свет
практически полностью поляризованным?
15.151J Пучок естественного света падает на стеклянную призму с углом
......а = 30°. Определите показатель преломления стекла, если отра-
женный луч является плоскополяризованным.
Определите показатель преломления стекла, если при отражении
от него света отраженный луч полностью поляризован при угле
преломления 35°.
Дано Решение
у = 35° sina . =л, a = iB, sin у /в = 90°-у, H=sin(90O-y). sin у
я —?
п =1,43.
.445
Определите, под каким углом к горизонту должно находиться Сол-
нце, чтобы лучи, отраженные от поверхности озера (и=1,33),
были максимально поляризованы.
Дано Решение
л =1,33 *ё'в = и21=«’ 'B = arctgn,
<Р —? 6 II | S 1 □Г’
(Ответ <р = 3&>5&.
Предельный угол полного отражения для пучка света на границе
кристалла каменной соли с воздухом равен 40,5°. Определите угол
Брюстера при падении света из воздуха на поверхность этого кристалла.
Дано
Решение
'пр = 40,5*
sin'np = л,
sin(yr/2) п2
n2 _ 1
«1 sin'np ’
«1 Sin'np ’
1
'в = arctg -----
lsm'np J
Свет, проходя через жидкость, налитую в стеклянный сосуд
( п = 1,5), отражается от дна, причем отраженный свет плоскопо-
ляризован при падении его на дно сосуда под углом 41 °. Определите: 1) показа-
тель преломления жидкости; 2) угол падения света на дно сосуда, чтобы на-
блюдалось полное отражение.
Ответ
1) л = 1,73; 2)/ = 60°7'.
Параллельный пучок света падает нормально на пластинку из ис-
ландского шпата толщиной 50 мкм, вырезанную параллельно оп-
тической оси. Принимая показатели преломления исландского шпата для обык-
новенного и необыкновенного лучей соответственно по -1,66 и пе -1,49, оп-
ределите разность хода этих лучей, прошедших через пластинку.
Дано Решение
d= 50 мкм = 5 • 10-5 м * j j л \
Д-dno—dne-d{no — ne).
п0 = 1,66
пе = 1,49
Д -?
(Ответ д = 8,5 мкм.
(5.157)
Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме
Л = 589 нм, падает на пластинку исландского шпата перпендику-
лярно его оптической оси. Принимая показатели преломления исландского
шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно по -1,66
и пе = 1,49, определите длины волн этих лучей в кристалле.
Дано Решение
Л = 589 нм = 5,89 • 10-7 м Л = сТ, Ло = гоТ, Ле = veT,
ио = 1,66 С с , л
пе = 1,49 »о = — , Ve= — , - >
По Ие «0
Ао-? Ле = — (См. рисунок к задаче 5.156).
Ле-1
Ответ j ло- 355 нм, ле - 395 нм.
<447>
-..J t . К
; 5,158) Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме
Л = 530 нм, падает на пластинку из кварца перпендикулярно ее
оптической оси. Определите показатели преломления кварца для обыкновен-
ного ( по) и необыкновенного ( пе ) лучей, если длины волн этих лучей в крис-
талле соответственно равны Ло = 344 нм и Ле = 341 нм.
no = 1,54, ие=1,55.
Определите наименьшую толщину кристаллической пластинки в
четверть волны для Л = 530 нм, если разность показателей пре-
ломления обыкновенного и необыкновенного лучей для данной длины волны
пе - по = 0,01. Пластинкой в четверть волны называется кристаллическая пла-
стинка, вырезанная параллельно оптической оси, при прохождении через кото-
рую в направлении, перпендикулярном оптической оси, обыкновенный и нео-
быкновенный лучи, не изменяя своего направления, приобретают разность хода,
равную 2/4.
Дано
Решение
2 = 530 нм = 5,3 • 10 7 м
пе -по = 0,01
А = 2/4
& = d(ne-no),
д=А.
4
d =
4(ие-ио)‘
Л
d — ?
d - 13,3 мкм.
Кристаллическая пластинка из исландского шпата с наименьшей
толщиной d = 0,86 мкм служит пластинкой в четверть волны (см.
задачу 5.159) для 2 = 0,59 мкм. Определите разность Ал показателей прелом-
ления обыкновенного и необыкновенного лучей.
Аи = 0,171.
<448)
Используя задачу 5.159, дайте определение кристаллической пла-
стинки в полволны и определите ее наименьшую толщина' для
Л - 530 нм, если разность показателей преломления необыкновенного и обык-
новенного лучей для данной длины волны пе - пп - 0,01.
Jmin = 26.5 мкм.
( 5.1 6Z J Используя задачу 5.159, дайте определение кристаллической пла-
стинки “в целую волну" и определите ее наименьшую толщину
для Л = 530 нм, если разность показателей преломления необыкновенного и
обыкновенного лучей для данной длины волны пе - по = 0,01.
Дано Решение
Л = 530 нм =5,3 10 7 м Д - Л (при т = 0).
пе~по = 0-01
Д = 2 ^тт(.г’е-по) = Л, л А
“min - - по
4» = 53 мкм.
(5дез) Объясните, изменится ли наблюдаемая оптическая картина в слу-
чае эффекта Керра, если направление напряженности электричес-
кого поля изменить на противоположное.
Определите толщин}' кварцевой пластинки, для которой угол по-
ВОрОта плоскости поляризации монохроматического света опре-
деленной длины волны <р = 180°. Удельное вращение в кварце для данной дли-
ны волны а - 0,52 рад/мм.
d = 6,04 мм.
29- 2741
449
(5.165J Пластинка кварца толщиной d{ = 2 мм, вырезанная перпендику-
лярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поля-
ризации монохроматического света определенной длины волны на угол
<Р\ = 30°. Определите толщину d2 кварцевой пластинки, помещенной между
параллельными никелями, чтобы данный монохроматический свет гасился
полностью.
Дано Решение
J, = 2 мм = 2 • 10 3 м <pt = adt, <p2 = ad2,
^>1=30°
<р2 = 90° <Рг d2 <P\
-? Q Ответ ) d2 = 6 мм.
С5166) Определите массовую концентрацию С сахарного раствора, если
X—X ПрИ прохождении света через трубку длиной I = 20 см с этим ра-
створом плоскость поляризации света поворачивается на угол <р = 10°. Удель-
ное вращение [а] сахара равно 1,17 • 10 2 рад • м2/кг.
Дано Решение
I = 20 cm = 0,2 м ^ = 10° с=нГ
[«] = 1,17 • 10 2 рад м2/кг 1°=1,75 10"2 рад.
С —? С Ответ У c=ia$ кг/м3.
Некоторые внесистемные величины
1 сут = 86400 с 1°= 1,75-10’2 рад
1 год = 3,16 • 107 с Г = 2,91 10-4 рад 1" = 4,85 10'6 рад
Q5.167J Раствор глюкозы с массовой концентрацией Ct = 0,21 г/см3, на-
холящийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляри-
зации монохроматического света, проходящего через раствор, на угол - 24°.
Определите массовую концентрацию С2 глюкозы в другом растворе в трубке
такой же длины, если он поворачивает плоскость поляризации на угол <р2 = 18°.
С, = 0,157 г/см3.
(•5.168) Плоскополяризованный монохроматический свет, прошедший че-
.....' рез поляроид, оказывается полностью погашенным. Если же на пути
света поместить кварцевую пластинку, то интенсивность прошедшего через поля-
роид света уменьшается в 3 раза (по сравнению с интенсивностью света, падаю-
щего на поляроид). Принимая удельное вращение в кварце [сг] = 0,52 рад/мм и
пренебрегая потерями света, определите минимальную толщину кварцевой
пластинки.
5.6. Квантовая природа излучения
5.169 ) Объясните, почему в неотапливаемом помещении температура
- всех тел одинакова.
(5.170 ) Объясните, почему открытые окна домов со стороны улиц кажут-
ся черными.
15.1711 Чайная фарфоровая чашка на светлом фоне имеет темный рису-
нок. Если эту чашку быстро вынуть из печи, где она нагревалась
до высокой температуры, и рассматривать в темноте, то наблюдается светлый
рисунок на темном фоне. Объясните почему.
^5.172J Имеются два одинаковых алюминиевых чайника, в которых до
одной и той же температуры нагрето одинаковое количество воды.
Один чайник закопчен, а другой чистый. Объясните, какой из чайников осты-
нет быстрее и почему.
(5.173 ) Определите, во сколько раз необходимо уменьшить термодина-
' '"‘S мическую температуру черного тела, чтобы его энергетическая
светимость Re ослабилась в 16 раз.
Дано Решение
^- = 16 Re\=<jl\\ Re2=0Ti,
Rel А-Ль
7 Ъ R2
= 2.
452
0.174^ Температура внутренней поверхности муфельной печи при откры-
том отверстии площадью 30 см2 равна 1,3 кК. Принимая, что от-
верстие печи излучает как черное тело, определите, какая часть мощности рас-
сеивается стенками, если потребляемая печью мощность составляет 1,5 кВт.
Дано Решение
S = 30 см2 = 3 • 10“’ м2 Г = 1,3 кК= 1,3 • 103К Р=1,5 кВт = 1,5 • 103Вт Ртл = ReS ~ aT^S, Pvx = P-Pmn = P-(jTiS, ^раС1 oT^S
Р Р
Р 9 Р С Ответ ) рРас _ Ж Я — (J f) jfj х х р
Энергетическая светимость черного тела Re =10 кВт/м2. Опреде-
лите длину волны, соответствующую максимуму спектральной
плотности энергетической светимости этого тела.
Ответ
Л = 4,47 мкм.
(5.17б)
Определите, как и во сколько раз изменится мощность излучения
черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его
спектральной плотности энергетической светимости, сместилась с Л, = 720 нм
до Л2 = 400 нм.
Дано Решение
Л! = 720 нм = 7,2- 10 7м Л, =4, Л, = —, Pi = RaS = (jT'S,
Л2 = 400 нм = 4 • 10 7 м А-Ч Т\ 2 т2 р 'Г4 54 Р, -R-,S = oTtS, LL = l^=h_. ~ е- ~ Pt Т4 4
Ру С Ответ ) А = 10 5 х / р.
<453>
(5.177) Черное тело находится при температуре 7j - 3 кК. При остыва-
нии тела ддИНа волны, соответствующая максимуму спектраль-
ной плотности энергетической светимости, изменилась на АЛ = 8 мкм. Опре-
делите температуру Т2, до которой тело охладилось.
(Ответ Ti=323 к.
(5.178) Черное тело нагрели от температуры 7] = 600 К до Т2 = 2400 К.
Определите: 1) во сколько раз увеличилась его энергетическая
светимость; 2) как изменилась длина волны, соответствующая максимуму спек-
тральной плотности энергетической светимости.
(Ответ 1) л = 256; 2) уменьшилась на 3,62 мкм.
(5.179) Площадь, ограниченная графиком спектральной плотности энер-
гетической светимости г2г черного тела, при переходе от термо-
динамической температуры 7j к температуре Т2 увеличилась в 5 раз. Опреде-
лите, как изменится при этом длина волны Лтах, соответствующая максимуму
спектральной плотности энергетической светимости черного тела.
^2=оТ24,
Лтах2
Лтах1
Л-maxl _
Л ,
'’’max 2
тах| -1,49,
max 2
уменьшится в 1,49 раза.
В результате нагревания черного тела длина волны, соответству-
ющая максимуму спектральной плотности энергетической свети-
мости, сместилась с Л] = 2,7 мкм до Л2 = 0,9 мкм. Определите, во сколько раз
увеличилась: 1) энергетическая светимость тела; 2) максимальная спектраль-
ная плотность энергетической светимости тела. Максимальная спектральная
плотность энергетической светимости черного тела возрастает по закону
(о,т)тах = ст5, где С = 1,3 1О-5 Вт/(м’ • К5).
Дано
Решение
А, = 2,7 мкм = 2,7 • 10-6 м
А2 = 0,9 мкм = 0,9 • 10-6 м
О = СТ5
V /max
С = 1,3-10-5 Вт/(м3 к5).
Ке = оТ4, Л = -,
Т
^2 К 4’
(Ал! А
- т5 - ,5 •
(Ответ
'max
= 243.
max
Основные физические постоянные
Постоянная Стефана—Больцмана о = 5,67 • 10“8 Вт/(м2 • К4)
Постоянная Вина b - 2,90 • 10-3 м • К
Постоянная Планка h = 6,63 • 10-34 Дж с
Постоянная в законе, связывающем
максимальную спектральную
плотность энергетической светимости
черного тела с термодинамической
температурой С = 1,3 • 10-5 Вт/(м’ • К5)
<455>
Определите, какая длина волны соответствует максимальной спек-
тральной плотности энергетической светимости (гл.т)т , равной
1,3-10" Вт/м’.
Дано
Решение
(а?) = 1,з • ю" вт/м3
X ' /max ’
С = 1,3-105 Вт/(м3 • К5)
(Ответ лтах = 183 мкм.
Считая никель черным телом, определите мощность, необходи-
мую для поддержания температуры расплавленного никеля
1453 °C неизменной, если площадь его поверхности равна 0,5 см* 2. Потерями
энергии пренебречь.
Дано
/ = 1453 °C; Г = 1726 К
5 = 0,5 см2 = 5 - 10“5м2
Решение
Р = ReS = aT4S.
Р — ?
Р=25,2 Вт.
Металлическая поверхность площадью 5 = 15 см2, нагретая до
температуры Т = 3 кК, излучает в одну минуту 100 кДж. Опреде-
лите: 1) энергию, излучаемую этой поверхностью, считая ее черной; 2) отно-
шение энергетических светимостей этой поверхности и черного тела при дан-
ной температуре.
Ответ
1) W - 413 кДж;
О
2) — = 0,242.
<456)
хсЕГТ-м "Ч--------------------------------------------------------
(5.184) Принимая Солйце за черное тело и учитывая, что его максималь-
X...U!, X ной спектральной плотности энергетической светимости соот-
ветствует длина волны 500 нм, определите: 1) температуру поверхности Солнца;
2) энергию, излучаемую Солнцем в виде электромагнитных волн за 10 мин;
3) массу, теряемую Солнцем за это время за счет излучения.
Дано Решение
Лтах = 500 нм = 5 • 10 7 м Т.-^-
t = 10 мин = 600 с zvmax гр ’ ^тах
Rc =6,95 108 м •> IV
w = ReSt = оТ4 4nR£t, т = —
тс = 1,98 1 030 кг С
— Г Ответ ) 1) Г = 5,8 кК;
1) Т — ? 2) W — ? 2) W = 2,34 1029 Дж;
3) т — ? 3) »/ = 2,6 1012 кг.
5 185 ) Определите температуру тела, при которой оно при температуре
....' S окружающей среды /0 = 27 °C излучало энергии в 10 раз больше,
чемтюглощало.
Дано Решение
t0 = 27 °C; Ти = 300 К IV„,., AraT4St Т4 1W
W —Щ2- = 10 W погл Wnorn А, оТ4 St Т4' ° Жоп, ’
т — ? QOmeem 7=533 к.
Некоторые астрономические величины
Радиус Земли 6,37 10' м Радиус Солнца 6,95 • 108 м
Масса Земли 5,98 • 10м кг Масса Солнца 1,98 • 10’° кг
(5.186) Считая, что тепловые потери обусловлены только излучением,
определите, какую мощность необходимо подводить к медному
шарику диаметром d = 2 см, чтобы при температуре окружающей среды
/0 = -13 °C поддерживать его температуру равной / = 17 °C. Примите погло-
щательную способность меди Ат - 0,6.
Дано
Решение
d = 2 см = 2 • 10 2 м
/0 = -13 °C; То = 260
t = 17 °C; Г = 290 К
Ат = 0,6
P^A^S,
Ttd э
S = 4-----= nd~ ,
4
погл - S,
Р = - /’погл = ATundXr - Т4).
к
р — ?
Р= 0,107 Вт.
Определите силу тока, протекающего по вольфрамовой проволо-
ке диаметром d = 0,8 мм, температура которой в вакууме поддер-
живается постоянной и равной t = 2800 °C. Поверхность проволоки считать
серой с поглощательной способностью Ат = 0,343. Удельное сопротивление
проволоки при данной температуре р = 0,92 -10-4 Ом • см. Температура окру-
жающей проволоку среды /0 = 17 °C.
Дано
Решение
d = 0,8 мм = 8 • 10~* м
/ = 2800 °C; Т = 3073 К
Ат = 0,343
р - 0,92-Ю-4 Ом • см =
= 9,2 • 10’’ Ом • м
/0 = 17 °C; То =290 К
P=I2R, Р = Ато(Т4 - То4 )S (см. задачу 5.186),
S = ndl, R = p~, S
Sce ™ 4
T_ [P_ lAra(T4-T4)n2S
V7? V 4p
<458>
5.188
Преобразуйте формулу Планка для спектральной плотности энер-
гетической светимости черного тела от переменной v к перемен-
ной Л.
(5.189)
Пользуясь формулой Планка т =
2nv2 hv
С1 ^>КкТ)_х
докажите, что
в области малых частот (hv « кТ) она совпадает с формулой Рэлея—Джинса.
5.190 ) ..... ж_____« п 2nv~ hv
*___J Пользуясь формулой Планка rv т = —=-hv/(kT}—, выведите из
* с е' - 1
нее закон Стефана — Больцмана.
(5 191)
Пользуясь формулой Планка rvT =
2nv2 hv
с2 e^-l
выведите из
нее закон смещения Вина.
Используя формулу Планка, определите спектральную плотность
потока излучения единицы поверхности черного тела, приходя-
щегося на узкий интервал длин волн А Л = 5 нм около максимума спектраль-
ной плотности энергетической светимости, если температура черного тела
Т = 2500 К.
Дано Решение
Т=2500 К АЛ = 5 нм = 5 10 ’ м (гл,г ’ ’ _ 2nhc2 1 Ь Г*-Т~ Л5 еАс/(ШЗ-Г Л~Т’ / й_2яЛ?7’5 1 .. (гА7- АЛ)- ehc/(kb)_x АА-
(^ Ответ ) = 6Д6 кВт/м2.
5.193 ) Объясните: 1) происхождение радиационной, цветовой и ярко-
стной температур; 2) может ли радиационная температура быть
больше истинной.
(5.194J Для вольфрамовой нити при температуре Т = 3500 К поглощатель-
ная способность Ат - 0,35. Определите радиационную темпера-
туру нити.
Дано Решение
Г = 3500 К RT = АтиТ*, RT=^,
Ат = 0,35 т 9 Р АгаТ* = оТр, Тр = ^-Т. К = АтТ\
Гр = 2,69 кК.
5.195} Отношение энергетической светимости Rj серого тела к энерге-
тической светимости R* черного тела равно Ат . Выведите связь
между истинной и радиационной температурами.
Определите максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых
с поверхности металла, если фототок прекращается при приложе-
нии задерживающего напряжения Uo = 3,7 В.
Дано
Решение
t/0 = 3,7 В
е = 1,6 10 19 Кл
w = 9,1110“31 кг
1)
стах
wumax = eU0, ^max 2et/0
2 m
итах = 1,14 Мм/с.
(5.197) Освещая поочередно фотока-
тод двумя разными монохрома-
тическими источниками, находящимися на
одинаковых расстояниях от катода, получи-
ли две зависимости (/ и 2) фототока от на-
пряжения между катодом и анодом. Объяс-
ните, в чем отличие этих источников.
(5.198) Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна
.......500 нм. Определите минимальное значение энергии фотона, вы-
зывающего фотоэффект.
Дано Решение
Ло = 500 нм = 5 • 10“7 м е —? mm £mm ~ ^0 ’ v0 = * ^0 he £ = . Lmin j Л0
(Ответ') £min = 2,49 эВ.
На рисунке схематически пред-
ставлены вольт-амперные ха-
рактеристики (кривые 1,2 и 5) фотоэффекта
для одного и того же металла. Объясните
причину отличия этих кривых.
461
Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла, полностью
задерживаются при приложении обратного напряжения Uo = 3 В.
Фотоэффект для этого металла начинается при частоте падающего монохрома-
тического света v0 = 6-1014 с Определите: 1) работу выхода электронов из
этого металла; 2) частоту применяемого излучения.
QOmeetn^ j) j = 2,48 эВ; 2) v = l,32-1015 сЛ
Определите работу выхода А электронов из вольфрама, если “крас-
ная граница” фотоэффекта для него Ло = 275 нм.
Дано Решение
Ло - 275 нм = = 2,75 • 10 7м A = hv0, = Л
А А Ло Qomeem^а = 4,52эВ.
Калий освещается монохроматическим светом с длиной волны
400 нм. Определите наименьшее задерживающее напряжение, при
котором фототок прекратится. Работа выхода электронов из калия равна 2,2 эВ.
Дано Решение
Л = 400 нм = 4 • 10 7 м А = 2,2 эВ = = 3,52- 10-|9Дж е = 1,6-10“19 Кл Л С /VI О + и й II г* Е гч v е-* с v = — , Л
Л=6,63-10-34 Дж с С/о-? he — =A + eU0, Л и0=^ . е
Ответ ^и(1 о,9гв.
<Яб2>
Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна
500 нм. Определите: 1) работу выхода электронов из этого метал-
ла; 2) максимальную скорость электронов, вырываемых из этого металла све-
том с длиной волны 400 нм.
Дано
Ло - 500 нм — 5 • 1 О*7 м
Л = 400 нм = 4 • 10-7 м
Решение
1) А —?
2) ^max-?
A = hv0 = — ,
Ло
Ис _ Ис
Л г0 + 2
2Ис( 1___
т Л Ло J
, . mVmax
Hv=A + ——,
2
1) /1 = 2,49 эВ; 2) vmax=468 км/с.
Выбиваемые светом при фотоэффекте электроны при облучении
фотокатода видимым светом полностью задерживаются обратным
напряжением Uo = 1,2 В. Специальные измерения показали, что длина волны
падающего света Л = 400 нм. Определите красную границу фотоэффекта.
Ло = 652 нм.
Задерживающее напряжение для платиновой пластинки (работа
выхода 6,3 эВ) составляет 3,7 В. При тех же условиях для другой
пластинки задерживающее напряжение равно 5,3 В. Определите работу выхо-
да электронов из этой пластинки.
Дано Решение
А != 63 эВ hv = А,+ eUt, Иу = А2 + eU2,
Ц = 3,7 В и2 = 5,3 В А,+ eU{ - А2+ eU2, Л2 - At+eU{ -eU2 .
Я2-? QOmeem'') а2 = 4,7 эВ.
<463>
5.206
Определите, до какого потенциала зарядится уединенный сереб-
ряный шарик при облучении его ультрафиолетовым светом дли-
ной волны Л = 208 нм. Работа выхода электронов из серебра А = 4,7 эВ.
Дано
А = 4,7 эВ =
= 7,52- 10-'9Дж
Л = 208 нм = 2,08 10~7м
Ч> —1
Решение
hv = А+ е<р,
<р = 1,28 В.
(5.207)
При освещении вакуумного фотоэлемента монохроматическим све-
том с длиной волны Л, = 0,4 мкм он заряжается до разности потен-
циалов </>, = 2 В. Определите, до какой разности потенциалов зарядится фотоэле-
мент при освещении его монохроматическим светом с длиной волны Л2 =0,3 мкм.
= 3,04 В.
Плоский серебряный электрод освещается монохроматическим
излучением с длиной волны Л = 83 нм. Определите, на какое мак-
симальное расстояние от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон,
если вне электрода имеется задерживающее электрическое поле напряженнос-
тью Е = 10 В/см. Красная граница фотоэффекта для серебра Ло = 264 нм.
5.208
Дано Решение
Л = 83 нм = 8,3 • 10 8 м Ло = 264 нм = 2,64 • 10 7 м Е = 10 В/см = 10’ В/м е = 1,6 10-19 Кл he he hc( 1 1 'I — = — + eEs . 5 = Л Ло еЕ Л Ло )
5 = 1,03 см.
5 —?
Q5.209J Фотоны с энергией £ = 5 эВ вырывают фотоэлектроны из метал-
ла с работой выхода А = 4,7 эВ. Определите максимальный им-
пульс, передаваемый поверхности этого металла при вылете электрона.
Дано
Решение
£ = 5 эВ = 8 10 19 Дж
А = 4,7 эВ =
= 7,52- 10 19 Дж
е = а+ mVmK
2
V
max
Ртъ\
'-(г-А),
т
Ртах = 42п^~А)
Ртах 77777 max ’
ртах = 2,96-10 кг - м/с.
(5.210J При освещении катода вакуумного фотоэлемента монохромати-
ческим светом с длиной волны Л = 310 нм фототок прекращается
при некотором задерживающем напряжении. При увеличении длины волны па
25% задерживающее напряжение оказывается меньше на 0,8 В. Определите по
этим экспериментальным данным постоянную Планка.
Дано
Решение
Л1 =310 нм = 3,1 • 10 7 м
Л2 = 1,25Л,
— = A + eUi
А,
= А + eU-,,
Лэ
£/2=Ц-Дб/
Д[/ = 0,8 В
Лс| кеСЦ -t/2),
у Л] Л 2 )
h-t
, 1 1
hc\ -----------г
Л, 1,25Л;
= eAU,
30 - 2741
/? = 6,61-1034 Дж - с.
_ 5еЛ, AU
465
Определите максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вы-
рываемых с поверхности цинка (работа выхода А = 4 эВ), при
облучении У -излучением с длиной волны Л = 2,47 пм.
Дано
А = 4 эВ =
= 4-1,6- 10-,9Дж
Л = 2,47 пм =
= 2,47- 10-|2м
Решение
' 6,63-10~34-ЗЮ8
х 2,47-10-12
= 0,503 106 эВ = 0,503 МэВ.
е » А = 4 эВ.
2
е . е + тс
2 +1 - 2 ’
тс тс
v2 3mJc2=\-
т2с*
(е + тес2)2 ’
^тах
2 4
т с
= С- 1-----------т-у
У (с + тес2)
итах = 259 Мм/с.
Определите для фотона с длиной волны Л = 0,5 мкм: 1) его энер-
..гию; 2) импульс; 3)массу.
1) е = 2,48 эВ;
2) р = 1,33 10-27 кг • м/с;
3) те = 4,43 10-36 кг.
5.213 ) Определите энергию фотона, при которой его эквивалентная масса
равна массе покоя электрона. Ответ выразите в электрон-вольтах.
Дано Решение
е = тес2 Е (Дж) £ = »,с, С (эВ)- w io_„ .
е (эВ) — ?
Qomeetn^ е =512 кэВ.
^5.214^ Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, что-
v |И' ' бы ei о импульс был равен импульсу фшона, длина волны которо- го Л = 0,5 мкм.
Дано Решение
Ре ~ Р Л = 0,5 мкм = 5 • 10~7 м -С | -< II а. и £? II
пе-? Л Ve~7^'
ve = 1,46 км/с.
Определите длину волны фотона, импульс которого равен импуль-
су электрона, прошедшего разность потенциалов U = 9,8 В.
Дано
е = 1,610’19 Кл
U = 9,8 В
Решение
ре = mev = ^2meeU ,
meeU
Л = 392 пм.
<W>
( 5.216 j Определите температуру, при которой средняя энергия молекул
трехатомного газа равна энергии фотонов, соответствующих из-
лучению Л = 600 нм.
кК.
(5.217) Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, что-
1 бы его кинетическая энергия была равна энергии фотона, длина
волны которого Л = 0,5 мкм.
у = 935 км/с.
I 5.218 J Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, что-
.........S бы его импульс был равен импульсу фотона, длина волны ко-
торого Л = 2 пм.
Дано
Ре = Р
Л = 2 пм = 2 10“12 м
Решение
he
е = —,
Л
Ео = тс~.
V
6,63 10"34
е =-----------
2-10~12 м
ДЖ'-310'"/‘:=ад.10-»Дж-0,в2МэВ;
Ео = 9,11 10"31 кг(3108
м/с)2 = 8,2-10’14 Дж = 0,51 МэВ;
<468>
5.219
Докажите, что световое давление, оказываемое на поверхность
тела потоком монохроматического излучения, падающего перпен-
дикулярно поверхности, в случае идеального зеркала равно 2w, а в случае
полностью поглощающей поверхности равно w, где w — объемная плот-
ность энергии излучения.
(5.220) Давление монохроматического света с длиной волны Л = 500 нм
на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно
падающим лучам, равно 0,12 мкПа. Определите число фотонов, падающих
ежесекундно на 1 м2 поверхности.
Дано Решение
А = 500 нм = 5 • 10-7 м р = 0 р = 0,12 мкПа = = 1,2- 107Па / = 1 с 5 = 1 м2 Р = —О + Р), Ее=-, с St с Nhc JV = Nhv = Nh—, Р = . „ (1 + р), Л(1 + р)
N —2 (5.221) На идеально время t = 3 м (Ответ ) отражающую поверхность площадью 5 = 5 см2 за ин нормально падает монохроматический свет, энер-
гия которого W = 9 Дж. Определите: 1) облученность поверхности; 2) свето-
вое давление, оказываемое на поверхность.
Дано Решение
5 = 5 см2 = 5 • 10" м2 Р= 1 t = 3 мин = 180 с IV = 9 Дж Ее= — , St Ее п э 2Ее р = -Ч1+р) =— С р=1 С
1) Ее-2 2) Р —2 QOmeem 1) £с = 100 Вт/м?; 2) р = 667 нПа.
(5.222J Определите давление света на стенки электрической 150-ваттной
S лампочки, принимая, что вся потребляемая мощность идет на из-
лучение и стенки лампочки отражают 15% падающего на них света. Считайте
лампочку сферическим сосудом радиуса 4 см.
Дано Решение
Р-150 Вт Р = Фе р = 0,15 R = 4 см = 0,04 м Е W Ф Р Р=-*-(\ + р), = И с St S S S = 4nR2, р= л п2 (1 + р). 4л R с
Р
QOmeem ) р = 286 мкПа
( 5’223 ) Давление монохроматического света с длиной волны Л = 500 нм
S на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно
падающему излучению, равно 0,15 мкПа. Определите число фотонов, падаю-
щих на поверхность площадью 40 см2 за одну секунду.
Дано Решение
Л = 500 нм = 5 • 10'7м р = 0,15 мкПа = = 1,5 - 10 7 Па р = 0 5 = 40 см2 = 4 • 10~3 м2 р = ^(1 + р), Ее=^ W р = 0 + Р), д = о, Л I с
/ = 1 с N — ? he W = pStc, w = EN = —N, А „ fPA pStA N = — = ——. he h
N = 4,52-1017.
<470>
Давление Р монохроматического света с длиной волны Л = 600 нм
на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно
падающему излучению, составляет 0,1 мкПа. Определите: 1) концентрацию п
фотонов в световом пучке; 2) число N фотонов, падающих ежесекундно на 1 м2
поверхности.
Дано Решение
р = 0,1 мкПа = 10~7 Па Л = 600 нм = 6 10-7 м Р = 0 / = 1 с 5 = 1 м2 1) п — ? 2) N — ? Р = е (1+ P)=w(l + p), п= , w = С £ 1 + р he кр he г-hv- — , ' W-ESt--—N, Л Лс(1 + р) е Л Е - рс ~ EeSt ~ pcSt^ - pSt^ е (1 + p) he (1 + p)hc Л(1 + р) N = ncSt.
( Ответ „=3>о2 ю11 м-3; 2) w = 9,O6 io19.
| На идеально отражающую плоскую поверхность нормально падает монохроматический свет с длиной волны X=0,55 мкм. Поток излучения Фе составляет 0,45 Вт. Определите: 1) число фотонов N, падающих на поверх- ность за время t - 3 с; 2) силу давления, испытываемую этой поверхностью.
Дано Решение
Л = 0,55 мкм = 5,5 • 10~7 м р = 1 Фе = 0,45 Вт / = 3 с 1) N — ? 2) F —— ? , he W he W = eN=—N, ф = — = —N Л t kt Ф kt Е S Ф N = F = pS = -Ml + p) = -^(l + p). he с с QOmeem^ i) N = 3,73-ю18; 2) f = 3 нН.
<@>
Q5.226J Плоская световая волна интенсивностью / = 0,1 Вт/см2 падает под
углом а = 30° на плоскую отражающую поверхность с коэффи-
циентом отражения р = 0,7 . Используя квантовые представления, определите
нормальное давление, оказываемое светом на эту поверхность.
С Ответ У Pn = cos2 а = 4,25 мкПа.
I I I. ✓____С
Рассматривая особенности механизма комптоновского рассеяния,
объясните: 1)почему длина волны рассеянного излучения боль-
ше, чем длина волны падающего излучения; 2) наличие в составе рассеянного
излучения “несмещенной” линии.
(5.228^
Определите длину волны рентгеновского излучения, если при ком-
птоновском рассеянии этого излучения под углом д = 60° длина
волны рассеянного излучения оказалась равной 57 пм.
Л = 55,8 пм.
(5.229 ) Фотон с энергией £ = 1,025 МэВ рассеялся на первоначально по-
X.,,,.а®,коившемся свободном электроне. Определите угол рассеяния фо-
тона, если длина волны рассеянного фотона оказалась равной комптоновской
длине волны Лс = 2,43 пм.
Дано
с = 1,О25 МэВ =
= 1,64 10 11 Дж
Л' = ЛС
Лс = 2,43 пм =
= 2,43 10 12 м
# —?
Решение
, he , he
e = hv = —, х = —,
Л £
he
Лс = — + Лс(1 - cos#),
# = arccos
Л' = Л + Лс(1 - cos#).
he
cos # =----, ,
Л^£
# = 60°.
<472)
(5.230) Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения па-
V < ' ✓ дает на рассеивающее вещество. Оказывается, что длины волн
рассеянного под углами #, =60° и #2 =120° излучения отличаются в 1,5 раза.
Определите длину волны падающего излучения, предполагая, что рассеяние
происходит на свободных электронах.
Дано Решение
ft, = 60° Л[ = Л + Лс(1 - cos#,), Л, = Л + Лс(1 -cos#2).
#2 = 120° Л, _ Л + Лс(1 -cos#2) _ j 5
- = 1,5 Л{ Л+Лс(1-cos#|)
Л'1 Л + Лс - Лс cos#, = 1.5Л + 1.5ЛС -1,5ЛС cos#!,
Л = ЛС(ЗСО5#! -2 cos#2 -1).
Л — ? f
( Ответ ) Л = 3,64 пм.
(5.231)
Фотон с длиной волны Л = 5 пм испытал комптоновское рассея-
ние под углом ft = 90° на первоначально покоившемся свобод-
ном электроне. Определите: 1) изменение длины волны при рассеянии; 2) энер-
гию электрона отдачи; 3) импульс электрона отдачи.
Дано
Решение
Л = 5 пм = 5 10 12 м
# = 90°
1) АЛ —?
2) Wc — ?
3) Ре -?
АЛ = Л'-Л = Лс(1 -cos#) = Лс (cos# = 0),
И; = £ - £' =
Р = Рс + Р' ,
1) АЛ - 2,43 пм; 2) We = 81,3 кэВ; 3) ре = 1,6 -10 22 кг • м/с.
<473>
(5.232) Фотон с энергией £ = 0,25 МэВ рассеялся на первоначально поко-
ившемся свободном электроне. Определите кинетическую энергию
электрона отдачи, если длина волны рассеянного фотона изменилась на 20%.
Дано
Решение
£ = 0,25 МэВ =
= 4- 10_|4Дж
Л' = 1,2Л
Те=£-£',
he
£ =—,
X
he he
£ = — =----= —,
Л' 1,2Л 1,2
-г е
е £ 1,2
£
Т __1
Те = 41,7 кэВ.
Фотон с энергией 0,3 МэВ рассеялся под углом & = 180° на сво-
бодном электроне. Определите долю энергии фотона, приходя-
щуюся на рассеянный фотон.
= 0,461-
в Фотон с энергией 100 кэВ в результате комптоновского эффекта
рассеялся при соударении со свободным электроном на угол
# = тг/2. Определите энергию фотона после рассеяния.
Ответ
£' = 83,7 кэВ.
Фотон с энергией £ = 0,25 МэВ рассеялся под углом $ = 120° на
первоначально покоившемся электроне. Определите кинетичес-
кую энергию электрона отдачи.
Г = 106 кэВ.
6. Элементы квантовой физики
атомов, молекул и твердых тел
6.1. Теория атома водорода по Бору
5 J ) Определите энергию фотона, испускаемого при переходе электро-
У на в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.
Дано
Решение
z = 1
т = 2
п = 3
1 1
£3i2 - 2 ,
v32 = Л ’
//Г АГ
1 1
R = 3,29 1015 г1
> = hR -
тгГ п~
£3 2 = hR\ —
1
2/-?
^3,2
£3 2 = 1,89 эВ.
Определите максимальную и минимальную энергии фотона в ви-
димой серии спектра водорода (серии Бальмера).
Дано
Решение
Z= 1
т = 2
р
^тах
г=7г[р—А
(2 п
и = 3,4,5,...,
Е __ч
ьтт
= —hR, £
’ П1«Л
30
= АЛ| Д--
I 22
п
00
4
3
2
= -hR.
4
^тт — ^2
1
£тах = 3,41 эВ,
Emin = 1,89 эВ.
475
Определите длину волны Я. соответствующую второй спектраль-
ной линии в серии Пашена.
Л = 1,28 мкм.
( М ) Максимальная длина волны спектральной водородной линии се-
рии Лаймана равна 0,12 мкм. Предполагая, что постоянная Ридбер-
га неизвестна, определите максимальную длину волны линии серии Бальмера.
Дано
Решение
ЛБ = 0,648 мкм.
f - 6.5 ] Определите длину волны спектральной линии, соответствующей
......переходу электрона в атоме водорода с шестой боровской орбиты
на вторую. К какой серии относится эта линия и какая она по счету?
Дано Решен И ие °°
т = 2 п — 6 X —? v = R v=R Д „2 2~ < т п Ч 1_> 5
Г 9
, л=~. " V
( Ответ ) Л = 0,41 мкм, четвертая линия серии Бальмера. 1
( Определите длины волн, соответствующие: 1) границе серии Лай-
х мана; 2) границе серии Бальмера; 3) границе серии Пашена. Про-
анализируйте результаты.
Дано
Решение
1) серия Лаймана
2) серия Бальмера
3) серия Пашена
т = 1, п = 2, 3,..., оо
1) я, -?
2) Я2 —?
3) я3-?
R' = Ц107 м*1,
1 г., ,
— = R 1, п = оо,
Я]
, =_L=___________
1 R' 1,1-107 м’1
= 91 нм.
±=Я'-1
Л2 '.
£
4’
£
9’
±- = R,^
С
1
1) Л| = 91 нм, область ультрафиолета;
2) Л2 - 364 нм, вблизи видимого фиолетового излучения;
3) А3 = 820 нм, область инфракрасного излучения.
Обобщенная формула Бальмера
( 1 11
V ~ 2 2 | ’
\т п )
где v — частота спектральных линий в спектре атома водорода; R — постоян-
ная Ридберга; т определяет серию (т = 1, 2, 3, ...); п определяет отдельные
линии соответствующей серии (п = т + 1, т + 2,...): т = 1 (серия Лаймана),
т = 2 (серия Бальмера), т = 3 (серия Пашена), т = 4 (серия Брэкета), т = 5
(серия Пфунда), т = 6 (серия Хэмфри).
477
С 6.7 -J Атом водорода находится в возбужденном состоянии, характери-
зуемом главным квантовым числом п = 4. Определите возмож-
ные спектральные линии в спектре водорода, появляющиеся при переходе ато-
ма из возбужденного состояния в основное.
= 1,21 -10-7 м; Л2 = 1,02 • 10-7 м; Л3 = 0,97 10’7 м;
Л4 =6,5410’7 м; Л5 =4,8510’7 м; Л6 =18,710’7 м.
Основные физические постоянные
Постоянная Ридберга
Постоянная Планка
R = 3,29 1015 с'1
К = 1,10 107 м~'
Л = 6,63 10’34 Дж с
Й = 1,05-10-34 Дж с
<478>
В инфракрасной области спектра излучения водорода обнаруже-
но четыре серии —• Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри. Запиши-
те спектральные формулы для них и определите самую длинноволновую ли-
нию: 1) в серии Пашена; 2) в серии Хэмфри.
Дано
z = i
ти = 3, 4,5,6
R' = 1,1107 м-'
1) ^3,тах -?
2) Л-6,max — ?
Решение
Серия Пашена
2) Л6,тах=123 МКМ.
О *3,тах=1.87 мкм;
Определите число спектральных линий, испускаемых атомарным
водородом, возбужденным на п-й энергетический уровень.
Ответ
N = n(n — l)/2.
<@>
На дифракционную решетку с периодом d нормально падает пу-
чок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водоро-
дом. Оказалось, что в спектре дифракционный максимум к -го порядка, на-
блюдаемый под углом <Р, соответствовал одной из линий серии Лаймана. Оп-
ределите главное квантовое число, соответствующее энергетическому уровню,
с которого произошел переход.
Дано
Ответ
Решение
Z = 1
d
к
<Р
т = 1
d siny> - кЛ,
'-V.
ск
Rd sin у? ’
с
v = —,
к
кс
d sin <р = —-
н
п — ?
|, ск
п = II------------
у Rd sin <р.
2
I, ск
п = II------------
у Rd sin/р
2
(да Используя теорию Бора для атома водорода, определите: 1) ради-
V " X уС ближайшей к ядру орбиты (первый боровский радиус); 2) ско-
рость движения электрона по этой орбите.
Дано Решение
Z = 1 n = 1 mv2 Ze2 * - , mVr = nh г 4ле0г2
1) r, —? Z = 1, n = 1, h = h/ln .
2) v, -? mv2 _ e2 r\ mvtrt= ft 4я£0Й2 П rl~ 2 ’ h С Ответ j i) r}= 52,8 пм; mrt 2) U] =2,19 Mm/c.
<480>
Определите, на сколько изменилась энергия электрона в атоме во-
У дорода при излучении атомом фотона с длиной волны
Л = 4,86-10-7 м.
Дано Решение
Z=1 Л = 4,8610-7 м \Е — ? ^=En-Em = hv, с he г~л’
Q Ответ Д£ = 2,56 эВ.
Определите длину волны Л спектральной линии, излучаемой при
переходе электрона с более высокого уровня энергии на более
низкий уровень, если при этом энергия атома уменьшилась на Д£ = 10 эВ.
(ртвепГ') а = 124 нм
Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный мо-
мент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода.
рт =2,8 10-23 А • м2.
31 -2741
<®>
(бЛ5 J Определите изменение орбитального механического момента элек-
трона при переходе его из возбужденного состояния в основное с
испусканием фотона с длиной волны Л = 1,02 • 10-7
м.
Дано
Л = 1,02 10-7 м
w = l
R’ = 1,1 107 м-’
Решение
mevr = nh , L = nh, (sL- nh - mh = (n- m)h ,
п —
Л£ =
1____1_
w2 n2
п2 т2 A.R' ’
m2XR’
kR'-m2 ’
m2XR'
kR’-m2
-т h
I2 1,02 10~7 м-1,I IP7 m4 1
1,02-Ю-7 м-1,1-107 m"1 -I2
6,63 10"34 ДЖ С -эд
----------=2,1-10 34 Дж-с = 2Й.
2л
Л£ = 2А = 2,110'34 Дж-с.
&16 S
Позитроний — атомоподобная система, состоящая из позитрона
и электрона, вращающегося относительно общего центра масс.
Применяя теорию Бора, определите минимальные размеры подобной системы.
Дано
Решение
е
е
dmm
4wVr2 = и2й2,
h2E0
ле2т
(mvr)+ + (mvr)_ = nh>
2mvr - nh
mv2 е2
г 4яе0(2г)2
4яе07ип2 -4г = е2,
п = 1,
^min
2е0Л2
пте2
=106 пм.
482
( 6 X7 ) Предполагая, что в опыте Франка и Герца вакуумная трубка на-
—ьлХ полнена не парами ртути, а разреженным атомарным водородом,
определите, через какие интервалы ускоряющего потенциала возникнут
максимумы на графике зависимости силы анодного тока от ускоряющего по-
тенциала.
^ = 10,2 В.
Используя постоянную Планка Й, электрическую постоянную е0 ,
массу т и заряд е электрона, составьте формулу для величины,
характеризующей атом водорода по Бору и имеющей размерность длины. Ука-
жите, что это за величина.
Докажите, что энергетические уровни атома водорода могут быть
„ 2яй
описаны выражением Еп =----=- R, где R — постоянная Ридберга.
п
Дано
Решение
z=i
mevr - nh,
mev2 _ е2
Г 47ГЕоГ2
п
4
2 й • 4леп
г — п -------—
'п '* 7
тее
е2 _ 1 тее4
4ле0г„ п2 8h2Eo ’
т е
R= ——
8й’е2
тее
h-8h2E20
в.
n~
v=R
m2
n2
2яй 2лй отее4
и2 и2 8й3Ео и2 8й2Ео
1 тее4
й
21th
Е„ =-----R.
п“
483
Определите скорость v электрона на третьей орбите атома во-
дорода.
Дано
Решение
Z = 1
и = 3
2 2
mv _ е
г 4ле0г2
е2
4nE0mv2 ’
н3-?
1 е2
V —---------
п 4ле0й
mvr = nh,
1 е2
и3 =--------
3 4ле0Й
mve2
------T=nh,
4лЕ0ти
и3 = 0,731 Мм/с.
Электрон находится на первой боровской орбите атома водорода.
Определите для электрона: 1) потенциальную энергию £п; 2) ки-
нетическую энергию Ек; 3) полную энергию Е .
Qomeem^ 1) £п =-27,2 эВ; 2) £к = 13,6 эВ; 3) £ = -13,6 эВ.
Определите частоту f вращения электрона по третьей орбите
атома водорода в теории Бора.
Дано Решение
Z = 1 mv 1 е mvr - nh,
п = 3 г 4ле0 г2 ’
f -Ч 2 4Л£0Й .. . 1
те2 ’ " п 4ле0Л ’
4 4
v„ _ те _ те
2лгп 32л3ЕоЙ3и3 4eqA3«3
/ = 2,42-1014 Гц.
<W>
Определите: 1) частоту / вращения электрона, находящегося на
первой боровской орбите; 2) эквивалентный ток.
Дано Решение
п = 1 г{ = 52,8 пм 1) f —Ч 2) 7 — ? Л mvr = nJi, n = l i vt = , mrl T = ^-, f = ~, f^V]- * Vi T 2лТ] 2nmr2 I = -=ef. T
Q Ответ 1)/ = 6,58 1015 Гц; 2) 1 = 1,05 мА.
( 6.24 ) Определите частоту света, излучаемого атомом водорода, при пе-
реходе электрона на уровень с главным квантовым числом и = 2,
если радиус орбиты электрона изменился в к = 9 раз.
Дано Решение
II II O K) f=4' ’i, i=t, ь=4. 1 л m } Гп Г„ n
v —2 n1 1 R(, П m1 к n2\ k)
Ответ ) v = o,73i-io15 гц.
6 2f Пользуясь теорией Бора, найдите числовое значение постоянной
Ридберга.
Ответ ) с_,
6.26 ) Определите потенциал ионизации атома водорода.
Дано Решение
Z = 1 R = 3,29 1015 с’1 Ei = e<Pi., Е,= hv, = hR\1 = hR , ' Ц2 со2 J
hR
V. <Р1 =— е
Q Ответ <Pi 13,6 в.
Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода
£, = 13,6 эВ, определите первый потенциал возбуждения это-
го атома.
Дано
Решение
Е, = \3,6 эВ
£, = = hR, е<рх = hvl 2
, (1 1
- hR -у —у
к I2 22
Vi — ?
г, ЗЕ‘
Pi = 7— •
4 е
Вычисления:
99, = 10,2 В .
313,61,6-lQ-19 I
4 1,6 10-19 Кл
= 10,2 В.
Определите первый потенциал возбуждения атома водорода.
Ответ
=10,2 В.
Первый потенциал возбуждения
Первый потенциал возбуждения — это ускоряющее напряжение, соответ-
ствующее переходу невозбужденного атома в первое возбужденное состояние.
<486>
Й Основываясь на том’ что энеРгия ионизации атома водорода
Е, = 13,6 эВ, определите в электрон-вольтах энергию фотона, со-
ответствующую самой длинноволновой линии серии Бальмера.
Дано
Решение
1 1
Е, =13,6 эВ
Е, = hv} ~ = ЙЕ| ту---7 | = hR,
I2 2
I оо
Еб д
D’Amax
Er 1
Ь-Лтах
=444
V22 З2
= Е32 = hv31 =
п
= — Е .
36 '
Е . =1,89 эВ.
ь.Лт.х ’
Основываясь на том, что первый потенциал возбуждения атома
водорода = 10,2 В, определите в электрон-вольтах энергию
фотона, соответствующую второй линии серии Бальмера.
Дано
Решение
=10,2 В
e^ = hvl2,
^4,2
ЛУ1.2
= Ле[4-“ 1
и
3 3
—= I = —hR, е<й. = —hR,
22) 4 ^4
4
/?Е = —е^(, Ei
=ле(4-4
к 22 42
3 1
16 4
п
5
/
^4.2
V1.2
1
Е4 2 = 2,55 эВ.
487
Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы уда-
лить электрон со второй воровской орбиты атома водорода за пре-
делы притяжения его ядром.
Л = 5,45 1049 Дж.
Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном со-
стоянии, фотоном, энергия которого е = 17,7 эВ. Определите ско-
рость у электрона за пределами атома.
Дано
Z = 1
и = 1
е = 17,7 эВ =
= 28,3 • КГ19 Дж
Решение
mv1
e = Et +-,
‘ 2
Е,=13,6 эВ = 21,8- 10“|9Дж,
2д-£,)
т
и =
v —?
у = 1,2 Мм/с.
Фотон с энергией £ = 12,12 эВ, поглощенный атомом водорода,
находящимся в основном состоянии, переводит атом в возбужден-
ное состояние. Определите главное квантовое число этого состояния.
Дано
£=12,12 эВ
Решение
п — 2
£ — Е2 — Е, (см. рисунок к задаче 6.34),
£] =-13,6 эВ,
£ -£'
E2~V’
_А_
Е] + е '
п = 3.
488
6.345
Определите, какие спектральные линии появятся в видимой обла-
сти спектра излучения атомарного водорода под действием ульт-
рафиолетового излучения с длиной волны Л = 95 нм.
Дано Решение
Z=1 Л = 95 нм = 9,5 • 10 8 м he „ „ £ = , Е-) =£,+£, Л 2 '
-? £j=-13,6 эВ, E2=^El9
п = п , п-1,3.
Вычисления:
6,63-10~34-3108
Е~ 95 10-9 1,6 10-19
эВ = 13,1 эВ;
Е2 = -13,6 эВ + 13,1 эВ = -0,5 эВ;
310* м/с
Л5 “ ( 1
3,29-1015 с-1
Ег
ЗЮ8 м/с
4 - \
3,29 1015 с-1
З-Ю8 м/с
Лз - ( 1
3,29 1015 с-' -у
V22
(Ответ
= 0,434 мкм; 0,486 мкм; 0,656 мкм.
Е
( 6.35 J В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, дли-
ны волн которого в 9 раз меньше, чем у атомарного водорода.
Определите элемент, которому принадлежит данный спектр.
Ответ ) Z = 3 , литий.
Применяя теорию Бора к мезоатому водорода (в мезоатоме водо-
рода электрон заменен мюоном, заряд которого равен заряду элек-
трона, а масса в 207 раз больше массы электрона), определите: 1) радиус пер-
вой орбиты мезоатома; 2) энергию ионизации мезоатома.
Дано Решение
Z=1 п = 1 Q = e =1,6- 10|9Кл т = 207те 1) г, -? 2) £,-? mv2 ZQ2 t = ——- , тиг - пп, г 4т0г~ 1 Й24я£о г = п 7 , и-1,2,..., znZg2 n = \,Z=\ г. = -5-, mQ-
II 8* 1 _t4 „ Z 2тО4 mQ4 Е\= Z=l,£ =0, £,=—fy. 8Л2£о 8й2£о
( Ответ Л 1) г = 0,254 пм; 2) £, = 2,8 кэВ.
С 6.37) Определите, какая энергия требуется для полного отрыва элект-
рОна от ядра однократно ионизованного атома гелия, если: 1) элек-
трон находится в основном состоянии; 2) электрон находится в состоянии, со-
ответствующем главному квантовому числу п = 3.
Ответ
1) = 54,2 эВ; 2) Е12 = 6,02 эВ.
6.2. Элементы квантовой механики
Л ^38 4 ОпРеДелите импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона; 2) элек- трона, если длина волны того и другого равна 10“10 м.
Дано Решение
л >- Ъ Ъ 1 Л - ч. О\ О i о *< О II S 2 •о о ь 23 -J5 и и >*15" >*| »• и и и -J5 3 1* м п
(Ответ 1) ру = 6,63• 10 24 кг • м/с, £у = 12,4 кэВ; 2) ре - 6,63-10-24 кг • м/с, Ее = 151 эВ.
6.-Ж) Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося
- ' в атоме водорода на третьей боровской орбите.
Дано Решение
е= 1,6-10-19 Кл п = 3 , h h = , mvr — rih, р mv 2 2 , 2
Л —? mv e 1 e = 2 ’ v~ ’ г 4ле0г n 2e0h
1 . 2Л2и£0
Л 2
те
Л = 1 нм.
<49?>
640 л Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося
'и.йи/ со средней квадратичной скоростью при Т — 290 К.
Дано
Решение
т-1,675-10 27 кг
Т = 290 К
к = 1,38-10-23 Дж/К
_______ И
m{vKB) у/ЗктТ
. _ h h
A —
р
Л — ?
Л = 148 пм.
Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией
В= 15 мТл по окружности радиусом R= 1,4 м. Определите дли-
ну волны де Бройля для протона.
А =0,197 пм.
Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен
v——х пройти протон, чтобы длина волны де Бройля Л для него была
равна 1 нм.
Дано
Решение
Л = 1 нм = 109 м
m = 1,675 1О"27 м
et7 = ^-,
2m
p = ^2meU ,
р
и —•?
Л h
\l2meU
U = -^.
2тел
U = 0,822 мВ.
492
Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В,
имеет длину волны де Бройля Л = 1,282 пм. Принимая заряд этой
частицы равным заряду электрона, определите ее массу.
Дано
U = 500 В
А = 1,282 пм =
= 1,282- 10ч2м
е = 1,6-10’19 Кл
Решение
eU = -£
2т
р = 41тей,
X- — -
р -j2meU
h2
т~----
2e?U
т —2
т -1,672 • 10 27 кг.
Выведите зависимость между длиной волны де Бройля А реляти-
вистской частицы и ее кинетической энергией.
Дано
к,Т
Решение
А(Г) -?
Р =
иЛ,
р
Выведите зависимость между длиной волны де Бройля А реляти-
вистского электрона и ускоряющим потенциалом U.
Ответ ) л=^----______
y]eU(2mc2 + eU)
6.46 ) Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину
• - волны де Бройля.
Дано Решение
Т = \ кэВ =1,6- 10-|6Дж w = 9,1110"31 кг Л —? h h „ mv2 [2Т л = — = , Т = —~, v= —, р mv 2 \ m , V2z"7’ Г Ответ J л = 38,8 пм.
Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определите дли-
ну волны де Бройля.
Решение
Дано
Т = 0,6 МэВ =
= 9,6- 10 14 Дж
л/? = 9,11 • 1031 кг
Л —?
р2с2 = Т(Т + 2тс2),
jT(T + 2mc2) „ he
Р =------------, А = ,
с \Т(Т + 2тс~)
Л = 1,26 пм.
Определите, при каком числовом значении скорости длина волны
де Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны.
и=2,12108 м/с.
Определите, при каком числовом значении кинетической энергии
Т длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской дли-
не волны.
Г = 0,212 МэВ.
6.50
Выведите связь между длиной круговой электронной орбиты и
длиной волны де Бройля.
2лг = гА
Определите, как изменится длина волны де Бройля электрона в
атоме водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты
на вторую.
Решение
Дано
т = 2
и=4
2лг = гА , 2лг4 - 4Л4, 2яг2 — 2л2 , г4 = ,
„2 Л4 2лг4-2 г4 42Г]
2 Л2 4-2тгг2 2г2 2-22п
Ответ j ^i = 2
Лэ
( 6.52 JI В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную кар-
х*""1 тину при отражении пучка электронов от естественной дифракцион-
ной решетки — монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляю-
щем угол а = 55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум
отражения четвертого порядка при кинетической энергии электронов Т = 180 эВ.
Определите расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.
Дано Решение
w = 9,1110~31 кг а = 55° к=4 Г = 180 эВ = = 2,88- 10“17 Дж d — ? 2d sin# = АЛ, # = 90°-—, Л = —, 2 Р Т = —, p = ^2mT , sinGx)0-—1 = cos—, 2m V 2/ 2 2d cos—= A:—2k= d = kh ... ... 2 2^a^f
QOmeem^ d = o,2O6 нм.
<495>
£ 6 53 ) Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в результате
Хдйй.'МУ ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d = 0,15 нм.
Определите скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка
наблюдается, когда угол скольжения д = 30° .
Дано Решение
</ = 0,15 нм= 1,5 • 10 ,ом 2d sin д = кл, Л = ,
т-1,675 -10-27 кг к = 1 5 = 30° mv h kh v = —-, v = . mA 2dm sin г!
V — 1 С Ответ J у = 2,64 км/с.
( 6.54 ) Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен
нормально на узкую щель шириной а = 1 мкм. Определите скорость
этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянии / = 20 см от щели,
ширина центрального дифракционного максимума составляет Ах = 48 мкм.
v = 6,06 Мм/с.
($.55^) Параллельный пучок электронов, ускоренный разностью потен-
- циалов U = 50 В. направлен нормально на две параллельные, ле-
жащие в одной плоскости шели, расстояние d между которыми равно 10 мкм.
Определите расстояние между центральным и первым максимумом дифракци-
онной картины на экране, который расположен от щелей на расстоянии I = 0,6 м.
(Ответ ) . hl
J Ах =—. =10,4 мкм.
' dyllmeU
Q 6.56 Исходя из общей формулы для фазовой скорости ( n,|iat = ш/к ),
определите фазовую скорость волны де Бройля свободно движу-
щейся с постоянной скоростью v частицы в нерелятивистском и релятивист-
ском случаях.
Дано Решение
= ш/к 1) V « С _ , 2л а) - 2лг, к = —, Л ^фаз! fiw Л?- Е_ Р '
2) v ~ с 2 и << с, Е = ——, 17. . 2т фаз1 Р' р mv v
^фаз1 ? 2тр 2т 2т 2
^фаз2 ? v я с, Е = тс~, ^фаз2 ~ Е__ Р э э тс“ _ с~ mv v
(Ответ )П1, 2)«
у и "фаз| - 2 ’ Ц
Можно вывести, что для релятивистского случая фазовая скорость
гфаз = cVv (см задачу 6.56), т.е. фазовая скорость волн де Бройля
больше скорости света в вакууме. Объясните правомерность этого результата.
Объясните, почему представление о боровских орбитах не совме-
стимо с принципом неопределенности.
32 - 2741
f 6.59 ) Докажите, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости
1 свободно движущейся частицы. Рассмотрите нерелятивистский и
релятивистский случаи.
и= V-
Докажите, что для свободно движущейся с постоянной скорое-
2
тью v частицы выполняется соотношение Цфазп = с (и —груп-
повая скорость).
Ответ
(6.61 ) Выведите закон дисперсии волн де Бройля, т.е. зависимость фазо-
вой скорости волн де Бройля от их длины волны. Рассмотрите
нерелятивистский и релятивистский случаи.
2т). ; 2) U*al
с2 Л2
С 6.62 ) Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией
.....•“““' Т —1,5 кэВ) на фотопластинке, полученного с помощью камеры
Вильсона, составляет Ах = 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу об-
наружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.
Дано Решение
т = 9,111031 кг Г = 1,5 кэВ = 2,4-10 16 Дж Ах = 1 мкм = 10 *' м 2 2 т-mv - Рх 2 2m Ах Apv = h , px = -j2mT , Ax Apx h, д =h_ &PX h Ax Px Ax-j2mT
м _? Ответ &Px — «1. Px
<498)
Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке раз-
ностью потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределенность
скорости составляет 0,1% от ее числового значения. Определите неопределен-
ность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях кван-
товой или классической частицей?
Дано
w = 9,1110‘31 кг
е = 1,6 10"19 Кл
U = \ кВ= 103В
— = 0,001
v
Дх —?
Решение
гг
Т =----=eU,
2
Др Ди
р v
Ар m Av 0,001y/2meU '
Дх — 38,8 нм.
( 6.64 ) Определите отношение неопределенностей скорости электрона,
S если его координата установлена с точностью до 10 5 м, и пылин-
ки массой w = 10-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.
Дано Решение
те = 9,1110"31 кг Дх Арх h, Ахете Ave = h,
£ =2 £ Я п» и Л и О °1 О w « 2 х 2 Av hm Дхп m mn Avn Ax„ = h, —- = —5 = —-. Дгп hme Axe me
Дг
--- —9
^- = 1,11018.
Дц„
32*
Q 6.65 ) Электронный пучок выходит из электронной пушки под действи-
ем разности потенциалов U = 200 В. Определите, можно ли од-
новременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 пм (с точнос-
тью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10%.
Дано Решение
U = 200 В тд>2 l2eU
Дх = 100 пм = 10 |ом —-—-eU, 2 V ~ л ’ V те
Дц = 0,1 v = 0,1 • , V те
Дх оте Д п — ? &хте = 0,l-j2meeU Дх .
Дх те Ди = 7,64 • 10 35
( 6.66 ) Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите.
........Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составля-
ет 10% от ее числового значения, определите неопределенность координаты элек-
трона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории?
Дано Решение
от = 9,1110"31 кг mvr -nh, п = 1, mvr} = fi,
и = 1 Дп = 0,1и ft о . h v - , Ди, = 0,1 , = 52,8 пм, й = —, отГ| от/j 2л
Дх — ? Ax Ap, h, Axm Av=h, Дх = —-— . от Ди,.
Дх - 3,34 нм » г\
( 6.67 ) Применяя соотношение неопределенностей, покажите, что для
S движущейся частицы, неопределенность координаты которой рав-
на длине волны де Бройля, неопределенность скорости равна по порядку вели-
чины самой скорости частицы.
(5^0 Используя соотношение неопределенностей в форме Ах &рх h ,
оцените минимально возможную полную энергию электрона в
атоме водорода. Примите неопределенность координаты равной радиусу ато-
ма. Сравните полученный результат с теорией Бора.
Дано
Решение
ДхДЛ>Й, -^-«1,
Рх
2т 4тге0г,
h Й
Ах г
г Й2 е2
Е -----у--------,
2тг 4ле0г
4тге0Й“
те2
if 2 *2\
1 I е п
г2\4ле0 тГ;
4
те
^< = -13,6
8й2Ео
dE h2 е2
—---- ~ Ч------1
dr тг 4тгеог*
Е . »2________________________________,
2mr2in 4лг0г^ 2(4яе0)2Й2 ’
те4
8й2Ер ’
эВ.
Лх = г
н = 1
Объясните физический смысл соотношения неопределенности для
энергии Е и времени t : АЕ Az > h.
Основные физические постоянные
Постоянная Планка h = 6,63 10 34 Дж • с
Л = 1,05 10"34 Дж с
Электрическая постоянная е0 = 8,85 10”12 Ф/м
<501>
Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оцените раз-
мытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основно-
го состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10"8 с).
Решение
АЕ AZ > л, АЕ Az = A
А/= 00, h АЕ = 0;
п>1 АЕ = — . AZ
Дано
1) п = 1
2) п>1
AZ = 1O“8 с
1) АЕ —?
2) АЕ —?
Qpmeem^ i)ae=o- 2) ае = 414 нэв.
6 <5.71 Л Длина волны Л излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм.
Принимая время жизни возбужденного состояния А/ = 10 с,
определите отношение естественной ширины энергетического уровня, на ко-
торый был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.
Дано Решение
АЛ = 0,6 мкм = 6 10"7 м AZ = 10~8 с АЕ 9 Е АЕ At h, ^Е AEAt = h, , „ h „ , he AE =—, E=hv =—, Az A АЕ _ AAA E AZ he c Ai ' 1 J4 t4 3
(Ответ ) = 2 ю~7
------/ Е
6i72*J Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм,
' 1 определите (в электрон-вольтах) неопределенность энергии дан-
ного электрона.
(Ответ ) ЛГ л2
J Ь£ =-------= = 16,7 эВ.
- 2т(Ах)
<502>
6.73 )। Объясните, почему физический смысл имеет не сама -функ-
ция, а квадрат ее модуля |*Р|2 ?
( 6.74 ) Объясните, почему волновая функция должна быть конечной, од-
Т».-. - позначной и непрерывной.
Запишите выражение для вероятности IV обнаружения частицы
в конечном объеме V , если известна координатная пси-функция
частицы ty(x,y,z).
Волновая функция, описывающая некоторую частицу, может быть
-'а
представлена в виде ^(х, /) = ^’(х)е Л . Покажите, что плотность вероятно-
сти нахождения частицы определяется только координатной ip -функцией.
Дано Решение
--Et 'V{x,t) = ip(x)e n w —? w=|т(х, z)|2 , |т(х, o|2 = т(х, 0 t’(x, t), ——Et „ — Et ф I i2 и^=^(х) е Л -ip (x) = \ip(x)\ .
QOmeem ^ = |у(х)|2.
Некоторые математические формулы
sin(a ± (V) = sin a cosjS + cosa sin j>
cos(a±/?) = cosa cos/? +sina sin/?
sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos" a - sin2 a
, 1 2 1
sin"a = — (l-cos2a) cos a = —(l + cos2a)
V -Функция некоторой частицы имеет вид чр = — е г^а
г
где г —
расстояние этой частицы до силового центра; а — некоторая постоянная.
Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный
коэффициент А.
Используя условие нормировки вероятностей, определите норми-
ровочный коэффициент А волновой функции ip = А е~г^а , опи-
сывающей основное состояние электрона в атоме водорода, где г — расстоя-
ние электрона от ядра, а — первый боровский радиус.
Дано
Решение
ip(r)=Aer/a J|^|2dr=l, dV = 4nr2dr, \ip(r)f = A2 e~2r/" ,
--------------- v
А ' j/12 е^2г/о-Дяг2 dr = 4л/12 jr2 e-2r/o dr = 1,
о о
(67fr J Используя условие нормировки вероятностей, определите норми-
ровочный коэффициент волновой функции ^<(г)= Л е"г^(2п2),
описывающей поведение некоторой частицы, где г — расстояние частицы от
силового центра; а — некоторая постоянная.
Волновая функция чр - A sin(2?rx//) определена только в области
О х < I. Используя условие нормировки, определите норми-
ровочный множитель А .
Дано
Решение
, , , . 2тгх
^(х) = A sin——
/
J |v(*)|2 dx = l,
о
. э 2ттх
sin"-----
/
J [V4A)]2 dx = J A2 sin2 dx = Л2 j sin2 -
о о ' о '
/P_/_
2 4тт
. 4лх
sin----
/
о
2
J
V -Функция некоторой частицы имеет вид ip = — е г'а, где г —
расстояние этой частицы до силового центра; а — некоторая постоянная. Оп-
ределите среднее расстояние (г) частицы до силового центра.
Дано
. А -г/а
ip-— е '
г
а = const
0-?
Решение
(г) = |г|^|2 = pW** dK,
о о
dV = 4л г2 dr ,
(см. задачу 6.77),
Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид
________д /г)
ip — А е м ’, где г — расстояние этой частицы до силового
центра; а — некоторая постоянная. Определите среднее расстояние (г) час-
тицы до силового центра.
Дано Решение
ip = Ae-r2^ а = const 0 — ? А = (см. задачу 6.79), dV = 4лг2 dr, yl^2a3 (г) - Jr\i/f dV — JrA2 e~r /а 4лг2 dr — 0 0
Волновая функция, описывающая основное состояние электрона
в атоме водорода, имеет вид ip = А , где г — расстояние элек-
трона от ядра, а — первый боровский радиус. Определите среднее значение
квадрата расстояния (г2 \ электрона до ядра в основном состоянии.
Дано
ip=Ae~r/a
а - const
Решение
dK = 4лт2 dr ,
(см. задачу 6.78),
Q6.84 j Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид
1р{г) = — ег , где А — нормировочный множитель, равный । - ; г —
г у] л а у! 2л
расстояние частицы от силового центра; а — некоторая постоянная. Опреде-
лите среднее значение квадрата расстояния (г2) частицы до силового центра.
6.85
Волновая функция, описывающая основное состояние электрона
в атоме водорода, имеет вид гр = А е~г/а, где г —расстояние элек-
трона от ядра, а — первый боровский радиус. Определите наиболее вероят-
ное расстояние гв электрона до ядра.
Дано
ip= А е~г/“
а = const
Решение
гв-?
d», = |V'(r)|2dr.
dW = 4nA2r2 e~2r/a dr,
dV = 4лг2 dr,
dW
dr
. P ’ -2r!a
= 4лA re ,
w =
— = 8л A2 г e~2rla + 4лА2г2 e"2^ • f--1 .
dr \ a)
8лА2г e~2r/ofl--| =0,
V a)
^ = 0
dr
l-b. = 0, rB^a.
a
Q Ответ rB = a~
Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид
-г2 /(2а2)
tp = А е м , где г — расстояние частицы от силового цент-
ра; а — некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние гв
частицы до силового центра.
Ответ
Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний
электрона, находящегося в атоме водорода.
6 gg j Запишите одномерное уравнение Шредингера (для стационарных
* у состояний) для частицы, движущейся под действием квазиупру-
гой силы.
gp А Запишите общее уравнение Шредингера для свободной частицы,
J движущейся вдоль оси х, и решите это уравнение.
( 6.90 ) Исходя из принципа классического детерминизма и причинности
...... в квантовой механике, объясните толкование причинности в клас-
сической и квантовой теориях.
( 6.91 ) Известно, что свободная квантовая частица описывается плоской
........монохроматической волной де Бройля. Плотность вероятности
(вероятность, отнесенная к единице объема) обнаружения свободной частицы
|Ч/|* = ТТ* = |л|" = const. Объясните, что означает постоянство этой величины.
( 6.92. ) Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний для
......" свободной частицы, движущейся вдоль оси х, а также определите
посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать
об энергетическом спектре свободной частицы?
Ответ
г r,2k2
Е ------, спектр непрерывный.
2т
(б.93) Волновая функция, описывающая частицу в момент времени t = 0,
имеет вид Т(х, 0) = А еЛ +,кл, где анк — некоторые поло-
жительные постоянные. Определите: 1) нормировочный коэффициент А ;
2) область, в которой частица локализована.
(Ответ ) ЬЛ?
У 1) а =. ~ ; 2) о<
V а-утг
509.
Частица находится в одномерной прямоугольной “потенциальной
яме” шириной / с бесконечно высокими “стенками”. Запишите
уравнение Шредингера в пределах “ямы" (0 < х <= Г) и решите его.
Дано Решение
£. X X ° J ~ V л /Л - ~~ о W । - - х /л 8 8 С! II о Qj 1 Qj 5 Qj I Qj /Л + X + j »• I !? /А »• I t? К>| 3 /Л 3 ° II с: о -€ II о I ? ' и=о U-*<x
к й2 ’ ^(х) = A sin кх + В cosAx , —у + k-ip = U , о / " л дх~ ^(0) = 0, В = 0 , ^(х) = A sin кх ,
= A sin kl - 0 , к1=пл,
. . , . пл
ip(x)= A sin~j—х.
Q Ответ ^(х)
= A sin-^-x
( 05 ) Частица находится в одномерной “потенциальной яме” шириной /
VaaUBe*" с бесконечно высокими “стенками”. Выведите выражение для соб-
ственных значений энергии Еп.
Дано Решение
V/ х о V/ " о дх2 Й2
Еп-7 п2л2 2тЕ I2 ~ Й2 пл к = — (см. задачу 6.94), „ 2 ini Е„ = п2 т, « = 1,2,3,... 2ml2
( От«ет Е =j)2 л2^2 * , п = 1,2, 3,... 2ml2
<5П)>
Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномер-
ной прямоугольной “потенциальной яме” с бесконечно высокими
“стенками”, имеет вид ip(x) = A sin кх . Определите: 1) вид собственной волно-
вой функции ip„(x) 5 2) коэффициент А , исходя из условия нормировки веро-
ятностей.
Дано Решение
ip(x) = A sin foe W*)-? 2) А — ? = 0 , ip(J) = A sin kl = 0 , kl = rm, k = sin—x, J |V>„(x)|2 dx = 1, Jv42 sin2— x dx = — A2l = 1. 0
^Ответ !) V„(x)=Asiny-x; 2)A = ^j.
Г 6.97 Ь Известно, что нормированная собственная волновая функция, описы-
вающая состояние электрона в одномерной прямоугольной “потенци-
альной яме” с бесконечно высокими “стенками”, имеет вид
ip„(x) = sin-y-x, где I — ширина “ямы”. Определите среднее значение
координаты (x) электрона.
Дано Решение
. ч [2 . mn (x)-? (x) = Jx|^„(x)|2 dx, (x) = |jxsin2^xdx = 0 Z 0 Z 2 Г 1 (, 2mn A I = — x • — 1 - cos x dx = — l{ 2( 1)2
QOmeem (x)=-
<5Н>
(6.90 Докажите, что собственные волновые функции, описывающие со-
X X стояние частицы в одномерной “потенциальной яме” с бесконечно
высокими “стенками”, являются ортогональными, т. е. удовлетворяют условию
dx = 0, если п * т. Здесь I - ширина “ямы”; п и т — целые
числа.
I 6 99 J Частица в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” шири-
Х^ДЭВУ ной / с бесконечно высокими “стенками” находится в основном
состоянии. Определите вероятность обнаружения частицы в левой трети “ямы”.
Дано
, . /2 . пл
= jy sin—X
И = 1
Решение
2 . л
x)='V7sm7x’
1/3 1/3 Э
W = J |^,|2 dx - J —sin2—х dx -
о о Z Z
1 I . 2л
——sin—X
12л I
— —— sin— = 0,195.
3 2л 3
W = 0,195.
Частица в одномерной прямоугольной “ потенциальной яме” ши-
риной / с бесконечно высокими “стенками” находится в возбуж-
денном состоянии (п = 2). Определите вероятность обнаружения частицы в
области <= х <= .
Ответ
W = 0,091.
(6.101) Электрон находится в одномерной прямоугольной “потенциаль-
ной яме” шириной / с бесконечно высокими “стенками”. Опре-
делите вероятность W обнаружения электрона в средней трети “ямы”, если
электрон находится в возбужденном состоянии (п = 3 ). Поясните физический
смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности
обнаружения электрона в данном состоянии.
Дано Решение
21/3
1/3
1 / . 6л
----sin—X
16л I
1 ( . 6л 21 . 6л Г\ 1 1 / . „ . „ \ 1
— sin------sin----=--------(sin4jT-sin2jr) = — •
6л I /3 I 3J 3 6л v ' 3
Ответ
Частица в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” ши-
риной I с бесконечно высокими “стенками” находится в возбуж-
денном состоянии (п - 3 ). Определите, в каких точках “ямы” (0 < х I)
плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минималь-
на. Поясните полученный результат графически.
I I 51
1) w - max при х - —, —, —;
6 2 6
I 21
2) w = min при х - — , —.
33 - 2741
513
Q6.103J Определите, при какой ширине одномерной прямоугольной “по-
• • тенниальной ямы" с бесконечно высокими “стенками" дискрет-
ность энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетичес-
кой энергией при температуре Т.
Решение
Дано
Мп = Ек
Т
Д£„=(2и + 1)^-,
2тг
3 ,
Ек = —кТ,
к 2
(2« + 1)у^
= -кТ
2
l = tm
2п+\
ЗткТ
I = 1m
2и+1
УЗткТ ’
^6.104^ Докажите, что энергия свободных электронов в металле не кванту-
ется. Примите, что ширина 1 прямоугольной “потенциальной ямы'1
с бесконечно высокими “ стенками" для электрона в металле составляет 10 см.
Дано Решение
т = 9,11 • 10’31 кг 1 = 10 см = 0,1 м 2 n2h2 Еп~п Т , 2ml2
Д£„ -? Д£„ = Е„+1-Е„=[(и+1)2 -и2]^- = 1 J 2тГ
= (2и+1)
Л2
2ml2
л2й2
П---У
ml2
ДЕ„*0,75пЮ~16 эВ.
<514>
Частица находится в одномерной прямоугольной “потенциальной
- яме” с бесконечно высокими “стенками”. Определите, во сколько
раз изменяется отношение разности соседних энергетических уровней
ДЕ„+1„/Е,, частицы при переходе от n -Зк п' = 8 . Объясните физическую
сущность полученного результата
Дано Решение
п = 3 п’ = 8 — ! П Еп w2fc2 ~2Ъ2 2 JT П JT п Еп=" ,2’ ^Еп+\.п = Еп+\ Еп=(2п + \) , 2ml 2ml &Еп+\п _ 2и + 1 ЛЕ„Ч1„- _ 2и'+1 Еп Еп- (и')2
Вычисления:
и = 3
п' = 8
—^- = — = 0,78.
9
^ = - = 0,26.
Е8 64
Уменьшается в 3 раза.
6,1063 Частица с энергией Е движется в положительном направлении
оси х и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный
барьер высотой U и конечной шириной I , причем E<U. Запишите уравне-
ние Шредингера для областей 1, 2 и 3.
д2^. , -> 1) —^+^1=0, дх~ к2 = 2т Vе-
д2^Р-> > 2) 2" + q~ip-> = 0 , дх я2 = 2т п
, > 3) 3 2 +^з = 0, 2т ~^Е-
-и).
зз*
515
6.107
Для условия задачи 6.106 запишите решения уравнений Шредин-
гера для областей 1. 2 и 3. V -Функция обычно нормируется так.
что А । - 1. Представьте графически качественный вид </' -функций.
1) ^^е'^ + Де"'^.
2) ^2 = Л е + В2
3)
/ti=k3= 1~Е, р=л12п*и-Е\
V fi fi
Л,=1, Bj = O.
( 6.108 ) Электрон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направ-
II""*' лении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциаль-
ный барьер высотой (7 = 10 эВ и шириной / = 0,1 нм. Определите коэффици-
ент D прозрачности потенциального барьера.
Дано
Решение
т = 9,11 • 10~34 кг
Е = 5 эВ = 8 • 10 19 Дж
U = 10 эВ = 1,6- 10 18 Дж
I = 0,1 нм = 10_,с м
D = exp -Е) .
fi
D —?
D = 0,1.
6.109 ) Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину Z = 0,1 нм.
Определите в электрон-вольтах разность энергий U - Е , при ко-
торой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5.
(U-E)= 0,454 эВ.
<Я6>
(6.110 J Протон с энергией E = 5 эВ движется в положительном направ-
....... лении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциаль-
ный барьер высотой £7 = 10 эВ и шириной I = 0,1 нм. Определите вероятность
прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, что-
бы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона
при вышеприведенных условиях.
Дано
Решение
тр = 1,67-10"27 кг
Е = 5 эВ = 8- 10 ,9Дж
U = 10 эВ = 1,6- 10~,8Дж
Z = 0,1 нм = Ю"10м
те = 9,11 • 10~31 кг
Wp = D = exP - ,
We = exp -^-y]2me(U- E) ,
n
^ = FKe
= exp ~^J2m (U-E) ,
n *
Wp-2
I
— — f
Г
2Z1 2/
- ——J2m(U-E) = ---j2me(U-E) ,
Wp = 1,67-10'
— = 42,8.
( 6.111) Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину I = 0,1 нм.
Разность между высотой потенциального барьера и энергией дви-
жущегося в положительном направлении оси х электрона U - Е = 5 эВ. Опре-
делите, во сколько раз изменится коэффициент прозрачности D потенциаль-
ного барьера для электрона, если разность U - Е возрастает в 4 раза.
х = 10.
>2
517
6.112
Частица с энергией Е движется в положительном направлении
оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоуголь-
ный потенциальный барьер высотой U, причем E>U. Запишите уравнение
Шредингера для областей 7 и 2.
э2^>. , >
1) —=°,
дх
2) ^- + 1^2 = 0
дх~
э 2т
ki = ~2(E-U).
п
7 2т
Л
6.113 ) Для условия задачи 6.112 запишите решение уравнений Шредин-
✓ гера для областей 1 и 2. V -Функция обычно нормируется так,
что А} = 1. Представьте графически качественный вид ip -функций.
Ответ
1) ^(х) = е'* *'х + Д е"Л'я,
, ' -j2mE
к'=—г—’
2) 1р2(х)=А2екгХ, Дг-О,
_j2m(E-U)
*2 - ;
V», <Рг
1 2
6.114
Частица с энергией Е = ГО эВ движется в положительном направ-
лении оси х, встречая на своем пути бесконечно широкий прямо-
угольный потенциальный барьер высотой L' = 5 эВ. Определите коэффициент
преломления п волн де Бройля на границе потенциального барьера.
Дано Решение
£ = 10 эВ U = 5 эВ п , JlmE I) V;'+^V'1=O, л, - ; dx ii
п — 2 d>, r n J2m(E-U) 2)-^ + fcVb=0, k,=*—
1 Ч II 4'| н II к dx" " h Ответ j « 0.707.
(6Л15) Электрон с длиной волны де Бройля А, = 100 пм, двигаясь в поло-
жительном направлении оси х, встречает на своем пути бесконеч-
но широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 100 эВ. Оп-
ределите длину волны де Бройля после прохождения барьера.
Ответ ) д = ^3—....= 172 пм.
--------' - J(E-U)/E
(6.116 ) Частица с энергией £=50 эВ, двигаясь в положительном направ-
* ......S лении оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямо-
угольный потенциальный барьер высотой U = 20 эВ. Определите вероятность
отражения частицы от этого барьера.
Дано Решение
£ = 50 эВ U = 20 эВ IV — ? И'= £ = E>U. к} ~ ^2 , V2^£ , y/2m(E-U) , к} - , к-, - 1 fi Й >к2.
Aj + ^1
„ (jE-ylE-Uy \
и =—/=—f----, ( Ответ )гг = 0.01б.
(jE+ylE-U)- К J
(6.117) Частица массой w = 10 19 кг, двигаясь в положительном направ-
лении оси х со скоростью и = 20 м/с, встречает на своем пути
бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 100 эВ.
Определите коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенци-
ального барьера
Дано
Решение
т = 10 19 кг
V = 20 м/с
U = 100 эВ
, V2w£
*•=—
_yl2m(E-U)
к2 -
к\ ~ ^2
/j + *2
'Ё-у/Е-Ц 2
Ё+^Е-и ’
£ = £ = —
2
R — 2
R =
h
Вычисления:
10 19 (20 м/с)2 17
£ =-----—----— = 2 10 17 Дж =125 эВ.
125-V25
= 0,146.
R = 0,146.
(6.118) Частица с энергией Е движется в положительном направлении
w оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоуголь-
ный потенциальный барьер высотой U, причем E<U. Запишите уравнение
Шредингера для областей 1 и 2
I) -^-+^’1 = 0,
дх~
, a/2w£
к^=—Г
2) —е + к2^2= °,
дх~
к. =
к2 = i/3,
R =
А
72>л(6/-£)
Р А
520
(б.Ир)
Для условия задачи 6.118 запишите решение уравнений Шредин-
гера для областей 1 и 2. Ц’ -Функция обычно нормируется так.
что А\ = 1. Представьте графически качественный вид V’ -функций.
1) V'i = еЛ,А + В, е~'*,А' ,
, yl2mE
к'= —
Д,=0
2) 1р2 = А2 е~^Х,
^Ц-Е)
Р Й
Электрон с длиной волны Л де Бройля, равной 120 пм, движется в
положительном направлении оси х и встречает на своем пути бес-
конечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 200 эВ.
Определите коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенци-
ального барьера.
Дано
Решение
т = 9,1110 31 кг
Л = 120 пм = 1,2 • 10 10 м
^1____^2
k\ + к2
U =200 эВ
R — 2
, -^2тЕ
2т 2т&
_j2m(E-U)
к2 ~ ~ ,
(см. рисунок к задаче 6.118),
к\__к2
к\+к2
Je-Je-u
Je+Je-u
Вычисления:
(6,63 10~34 Дж с)2
2 9,11 10 31 кг (1,2 10 10 м)2
= 1,67 10’17
Дж - 100 эВ -
E<U
R =
Vioo-Vi 00-200
Vioo + Vioo-200
Д=1.
1 + /
<®>
Частица с энергией Е движется в положительном направлении
XTоси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоуголь-
ный барьер высотой U, причем Е <U. Принимая А} = 1 (как это обычно де-
лается) и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой
производной на границе областей 1 и 2, определите плотность вероятности
|^2 (0)|" обнаружения частицы в точке х = 0 области 2.
Дано
Решение
А,=1
ipt(x) = е '*+ В| е
, ^2тЕ
к\
п
V>i(0)= vsC0)
V'i(O) = V'H0)
1р2(х)=А2 е‘
_ j2m(E-U)
k2~~~h
ip'ifx) = е'*,А + )е
ip'2(x) = A2(ik2) е'к-х ,
ф1(0) = 1 + В1,
V4(0)= ik\ -ikyBy,
l + Bl = A2,
b, = a2-i,
у2(0) = А2,
^з(0)= ik2A2,
к^ ^|^1 ’— к‘)Л')
к] — к')/!')
2£
2к\ =(кх+к2 )А2, А2 = -—:
2kt
2у[Ё
rE+>lE-U
2у[Ё
+ i-J U - Е
____4£_ ___________________4£____________ 4£
(4Ё + iylU-ЕХ^Ё- i-Ju - Е) ~ Е + i-JU-E - iy/U-E +U-E U '
Q Omeem )>2(0)|2=^
<m>
Частица с энергией Е движется в положительном направлении
оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоуголь-
ный потенциальный барьер высотой U, причем Е< U. Принимая А,= 1 (как
это обычно делается) и используя условия непрерывности волновой функ-
ции и ее первой производной на границе областей 7 и 2, определите плот-
ность вероятности обнаружения частицы на расстоянии х от потенциально-
го барьера.
Дано
E<U
^,(0) = ^2(0)
v4(0) = v^(0)
Решение
д21р, 2т „ Л д21р-> 2т
+ —2+~Г (.E~U)ip2=0,
дх~ п дх Л
^l(x) = eft,*+Д е-Л|Х, к.=^^,
|^2 OOP — ?
У>1(0) = ^2(0)
^[(0) = ^2(°)
1 + By— Лэ ,
~ В । к |— ^2^2
|^2(х)|2 = р2е^х|2
2к}
к\+к2
^2(х) = А2е*1Х,
к2 - i{5,
J2m(U-E)
Р h
|^2(*)Г =
е2^х
у12тЕ о -j2m(U - Е)
где *!=——, р =---------------
п п
(6.123)
v Докажите, что волновая функция ^(х) = Ах е 2Й может быть
решением уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, масса ко-
торого т и постоянная квазиупругой силы к. Определите собственное значе-
ние полной энергии осциллятора.
Дано Решение
•Jmk 2 ip(x) = Ах е 2Л гг т, к, со0 = J— V т Е —2 —5- = -2аЛхе-пг —4аАх< дх2 п2 , п ( 2 2 Л 1 Э 2w тшох ^тк дх2 Й 1 2 ) 2Й Мх^Ахе-™2, ^-=Ае-ах2-2аАх2е-ах1, дх Гах2+ 4а2Ах2 е-“2 = -6аАх е^1 + 4а2Ах2 ,
„ , > , з 2тЕАх m2w7.Ax2
- 6аАх + 4а* Ах +--z-------------= 0,
h2 к2
з4тк 2тк 2 т2к 2 тЕ Зу[тк
--------1---V % —э----------т % - 0, —z— =------.
2й 4Й* й* m-2h~ fr- 2Й
3h4mk 3 Гк 3. х ---------------------
Е~ п ~ ~ i Отлат г 3
2т 2 v т 2 I итоет 1 Е =
\_________________________Z 2 °’
Частица массой т движется в одномерном потенциальном поле
U(x) = кх2/2 (гармонический осциллятор). Волновая функция,
описывающая поведение частицы в основном состоянии, имеет вид
-ах2
ip(x) - Ае , где А — нормировочный коэффициент; а — положительная
постоянная. Используя уравнение Шредингера, определите: 1) постоянную а;
2) энергию частицы в этом состоянии.
QOmeem^l)a = !^. 2) £=А,ГДе ш0 =
Объясните физический смысл существования энергии нулевых
колебаний для квантового гармонического осциллятора. Зависит
ли наличие нулевых колебаний от формы “потенциальной ямы”?
( 6.126 ) Математический маятник можно рассматривать в качестве гармо-
нического осциллятора. Определите в электрон-вольтах энергию
нулевых колебаний для маятника длиной I -1 м, находящегося в поле тяготе-
ния Земли.
Дано
I = 1 м
g = 9,81 м/с2
Решение
„ 1 *
E0=-to0,
2л:
Ео -?
Т = 2л.
со0 =
£о-2Й'
Ео = 1,03-10"15 эВ.
Рассматривая математический маятник массой m = 100 г и дли-
ной 1 = 0,5 мв виде гармонического осциллятора, определите
классическую амплитуду А маятника, соответствующую энергии нулевых ко-
лебаний этого маятника.
6.3. Элементы современной физики
атомов и молекул
Представьте: 1) уравнение Шредингера для стационарных состо-
яний электрона, находящегося в атоме водорода; 2) собственные
значения энергии, удовлетворяющие уравнению; 3) график потенциальной энер-
гии взаимодействия электрона с ядром; 4) возможные дискретные значения
энергии на этом графике.
Как известно, уравнению Шредингера, описывающему атом во-
дорода, удовлетворяют собственные функции ip„Imi (г, <р), оп-
ределяемые тремя квантовыми числами: главным и, орбитальным I и маг-
нитным т1. Объясните физический смысл указанных квантовых чисел и запи-
шите их возможные значения.
(6.130 J Волновая функция ip„imi(r, ф), описывающая атом водорода,
определяется главным квантовым числом п, орбитальным кван-
товым числом I и магнитным квантовым числом . Определите, чему равно
число различных состояний, соответствующих данному п.
Запишите возможные значения орбитального квантового числа 7 и
магнитного квантового числа mt для главного квантового числа п = 4.
Ответу n = 4,l = 0,mt=0. 1 = 1, т,= 0, ±1 .
7 = 2, от, =0, ±1, ±2. 7 = 3, т, =0, ±1, ±2, ±3.
Определите, сколько различных волновых функций соответству-
ет главному квантовому числу и = 3 .
п = 3 ; 9 различных волновых функций (без учета спина).
С 6.133 J Учитывая число возможных состояний, соответствующих данно-
г—Му главноМу квантовому числу п, а также правила отбора, пред-
ставьте на энергетической диаграмме спектральные линии атома водорода,
образующие серии Лаймана и Бальмера.
Покажите возможные энергетические уровни атома с электроном
в состоянии с главным квантовым числом п = 6, если атом поме-
щен во внешнее магнитное поле.
Ж
Постройте и объясните диаграмму, иллюстрирующую расщепле-
ние энергетических уровней и спектральных линий (с учетом пра-
вил отбора) при переходах между состояниями с 1-2 и 7 = 1.
р -состояние
d -состояние
Д/ = ±1.
Дот/ = 0, ±1.
Z = l, mt = 0, ±1 .
7 = 2, гп/ = 0, ±1, ±2.
7=2
+.2
+ 1
0
-1
—э
527
(6.136 ) Постройте и объясните диаграмму, иллюстрирующую расщепле-
.......ние энергетических уровней и спектральных линий при перехо-
дах между состояниями с 7 = 1 и 7 = 0.
(6Л37) Волновая функция, описывающая l.s-состояние электрона в атоме
водорода, имеет вид ^(г) = С е~г'1а, где г — расстояние электро-
на от ядра, а — первый боровский радиус. Определите нормированную вол-
новую функцию, отвечающую этому состоянию. *
Дано Решение
iptr)=Ce~r/a а = const J |^|2 dr = 1, Г
V’iooO) — ? dK = 4 л г2 dr,
J |^’|' dr = Jo2 е~2',/я - 4zrr2 dr = 4zrC2 Jr2 е-2^я dr = 4zrC2—
oo о | 2 |
I a I
^\т(г) =
(6.138 ) Предполагая, что нормированная волновая функция, описываю-
....йй..щая l.s-состояние электрона в атоме водорода, известна (см. зада-
чу 6.137), определите среднее значение функции 1/г, принимая
6 139) Нормированная волновая функция, описывающая ls-состояние
4lf 1 -га
i==f е , где
лег
электрона в атоме водорода, имеет вид ^юо(г) -
a —первый боровский радиус. Определите: 1) вероятность dll’ обнаружения
электрона на расстоянии от г до r + dr от ядра; 2) расстояния от ядра, на
которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью.
1) dW = ^r2e2r'a dr;
а
электрона в атоме водорода, имеет вид ф|00(г)=
Нормированная волновая функция, описывающая ls-состояние
е‘' " . где
ла3
а — первый боровский радиус. Определите среднюю потенциальную энер-
гию электрона в поле ядра.
Дано
Решение
VW(r) =
^ег'а
ла3
U =--—
4'W
а = const
(L7) = dl',
dr = 4лгг" dr,
(0-?
0
e"
1
1—5-е
4л£ог )ла
•Г2г/“-4лг2 dr = -— Л ।
4л£0 a3 Jo
r/a dr =
4
е~ 1
е2 4 J]
2^
а)
4тге0 д3
е2 4 а2________________
4лге0 а3 4 4лг£0 а
{и) = —--
4л£ 0 а
34-2741
529
Нормированная волновая функция, описывающая к -состояние в
атоме водорода, имеет вид V'iooO')= i-е , где а — первый
у ла
боровский радиус. Определите среднее значение модуля кулоновской силы,
действующей на электрон.
Электрон в атоме находится в /^состоянии. Определите возмож-
ные значения (в единицах й) проекции момента импульса Llz
орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнит-
ного поля.
Ответ
Ltz =0, ±й , ±2й , ±3й .
(б.14з)
Электрон в атоме находится в (/-состоянии. Определите: 1) мо-
мент импульса (орбитальный) Lt электрона; 2) максимальное зна-
чение проекции момента импульса (^/z) на направление внешнего магнит-
ного поля.
Дано Решение
d-состояние 1 = 2 1,=^ 1(1 + 1), 1 = 2,
— Lt = й-Уб, = 0, +1, ±2,
1) А/ -? W/max=2, Llz=fimt,
2) Lkmax — ? i/zmax ~ 2ft .
Qomeem 2,45ft; 2) /,гП1ах = 2Й
530
6.144
Определите, во сколько раз орбитальный момент импульса Lt
электрона, находящегося в /^состоянии, больше, чем для элект-
рона в р-состоянии.
Дано Решение
f, 1 = 3 = 1^1(1 +1), Ц = Й^3(3 +1) = йV12 ,
р> i=i ^=й71(1+1)=йЛ,
L{
L' . С Ответ ) _ 2 45
(б.145)
к электрон атома водорода, поглотив фотон с энергией £ = 12,1 эВ,
перешел в возбужденное состояние с максимально возможным ор-
битальным квантовым числом. Определите изменение момента импульса Д£/
орбитального движения электрона.
Дано Решение
15 , 1}=0 £ = 12,1 эВ = = 1,94 10-|8Дж ^тах ДГ/ — ? Q Ответ ) д/, = 2, k] /,=0, Li=tiy]+ Ln=0, ( 1 1 А _ | hR 2 ’ П yhR-E’ 1 = 0,1,2,..., (п-1), /,= /тах =и-1, Г, =^(п-\)п, ^L/= Lt - Ll} = hy](n-\)n . 57-10’34 Дж-с.
(6146) Объясните, почему в опыте Штерна и Герлаха по обнаружению соб-
ственного механического момента импульса (спина) электрона ис-
пользовался пучок атомов водорода, заведомо находящихся в 15-состоянии.
34*
<53?>
Объясните, почему в опыте Штерна и Герлаха по обнаружению
собственного механического момента импульса (спина) электро-
на использовалось неоднородное магнитное поле.
С6 148 ) ОпРеДелите числовое значение: 1) собственного механического
—|.|п..|11»Х момента импульса (спина) Ls; 2) проекции спина Lsz на направ-
ление внешнего магнитного поля.
1) Ls = tiy[s(s+1), s = p
= 9,09-10-35 Дж - с;
2) Lsz = hms,
£я=±й-- = ±5,25-10~35 Дж-с.
2 2
( 6.149 ) Объясните, что лежит в основе классификации частиц на фермио-
...... ны и бозоны, а также которые из них описываются симметричны-
ми волновыми функциями.
(6.150 J Исходя из принципа неразличимости тождественных частиц, дай-
....... те определение симметричной и антисимметричной волновой
функций. Объясните, почему изменение знака волновой функции не влечет за
собой изменение состояния.
6.151) Учитывая принцип Паули, определите максимальное число элек-
......тронов, находящихся в состояниях, определяемых данным глав-
ным квантовым числом.
Ответ Л / = о, 1,2,3,...,(л-1),
------------' т,=0, ±1, +2, ±3,..., +/,
1
т = ±—,
5 2
п-1
W = £2(2/ + l) = 2n2 .
1=0
<532>
6.152
Заполненной электронной оболочке соответствует главное кван-
товое число п = 3. Определите число электронов на этой оболоч-
ке, которые имеют одинаковые квантовые числа: 1) ms = -1/2 ; 2) т, = 0;
3) mt = -1, ms = 1/2.
Дано
п = 3
Решение
1) ms--\/2, N — 2
2) от, =0, N — ?
3) Ш/=-1, ms = l/2,
N —2
1-0,т,-0, ms=±—\
2
7 = 1, т, =0, ±1, от5 = ±-;
7 = 2, т, = 0, ±1, ±2, т= ±—.
2
QOmeem 0 Отд=_1, n = 9-,
2) mt = 0, N = 6;
3) т, = -1, ms=±, N = 2.
Q6.153J Заполненной электронной оболочке соответствует главное кван-
........товое число п = 4. Определите число электронов на этой оболоч-
ке, которые имеют одинаковые квантовые числа: 1) mt =-3; 2) ms = 1/2,
I = 2 ; 3) ms = -1/2 , mt = 1.
2; 2) 5; 3) 3.
Определите суммарное максимальное число s~, р-, d~, f -и g-
элекгронов, которые могут находиться на N- и О-оболочках атома.
<533>
6.155
Запишите квантовые числа, определяющие внешний, или валент-
ный, электрон в основном состоянии атома натрия.
11 Na| Is2 2s2 2p63s.
Валентный электрон: п = 3, 1 = 0, mt = 0, ms = +— .
Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева,
запишите символически электронную конфигурацию следующих
агомов в основном состоянии: 1) неон; 2) аргон; 3) криптон.
Ответ |iONe
18 Аг
36 Кг
ls2 2s2 2р6.
1? 2? 2/3? Зр6.
Is2 2s1 2рб 3s2 Зр6 3d'° 4s2 4рб.
Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева,
запишите символически электронную конфигурацию атома меди
в основном состоянии.
6 158 ) Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева,
X запишите символически электронную конфигурацию атома цезия
в основном состоянии.
&)
Электронная конфигурация некоторого элемента
Is" 2s" 2р6 3s" Зр . Определите, что это за элемент.
6.160
Электронная конфигурация некоторого элемента
Is2 2s2 2р6 3s2 Зр6 3d}0 4s. Определите, что это за элемент.
6.161 ) Определите в периодической системе элементов Д. И. Менделее-
< Hilling ва порядковый номер, у которого заполнены К, L , М -оболоч-
ки, а также 4х-подоболочка.
<534>
Объясните: 1) почему тормозной рентгеновский спектр является
сплошным; 2) почему сплошной рентгеновский спектр имеет рез-
кую границу со стороны коротких волн и чем определяется ее положение.
(6.163 ) Определите наименьшую длину волны рентгеновского излучения,
если рентгеновская трубка работает при напряжении U = 150 кВ.
Дано
0 = 150 кВ = 1,5- 105В
Решение
®тах ^тах ’ ^тт ,,
*тах
Ответ лт|п = 8,29 пм.
Минимальная длина волны рентгеновских лучей, полученных от
трубки, работающей при напряжении U = 60 кВ, равна 20,7 пм.
Определите по этим данным постоянную Планка.
(Ответ") Л=6>62.ю-34 дж-с.
Определите длину волны коротковолновой границы сплошного
рентгеновского спектра, если скорость v электронов, бомбарди-
рующих анод рентгеновской трубки, составляет 0,8с.
Дано Решение
v = 0,8с eU = T,
/и = 9,11 10 31 кг
Л —? zumm he ell = , ^rnin
(6.166J Определите длину волны коротковолновой границы сплошного
V !-?• рентгеновского спектра, если при увеличении напряжения на рен-
тгеновской трубке в два раза она изменилась на 50 пм.
Дано
U2 = 2Ъ\
ДЛ = 50 пм = 5 • 10 " м
А. -?
Решение
Л2 = Л, - ЛА.,
и2 = 217,,
he 2hc
Л|-ЛЛ Л|
2(Л, - АЛ) = Л,,
Л, = 2 ДЛ .
Л, = 100 пм.
6.167
Определите порядковый номер элемента в периодической систе-
ме элементов Д. И. Менделеева, если граничная частота А-серии
характеристического рентгеновского излучения составляет 5,55 • 1018 Гц.
Дано Решение
= 5,55-1018 Гц А-серия V = 7?(Z-a)2| Д— Д-] , 17 — OO, /и = 1, \пГ п'
и = 1 Z — ? ^ = A(Z-1)2^ = *(Z-1)2. Z = J^ + 1- m=l Q Ответ Z = 42, молибден.
(6.168 J Определите длину волны самой длинноволновой линии А-серии
характеристического рентгеновского спектра, если анод рентге-
новской трубки изготовлен из платины. Постоянную экранирова-
ния принять равной единице.
Л = 20,4 пм.
(6.169j Определите порядковый номер элемента в периодической систе-
v"'.....S ме элементов Д. И. Менделеева, если длина волны Л линии Ktl
характеристического рентгеновского излучения составляет 72 пм.
Дано
Решение
Ка-линия
о = 1
Л = 72 пм =7,2- 10 " м
Z — ?
| = R'(Z — Ог)2Г-Ь--Ц ,
Л \пГ ns
т= 1, п-2,
| = 7?'(Z-l)2f4
Л \ 1
м1,
(Z-1)2
4
ЗЯ'Л’
Z = 42, молибден.
Определите постоянную экранирования о для Z-серии рентгено-
\дд11Й.|11ййУ вского излучения, если при переходе электрона в атоме вольфра-
ма с Л/-оболочки на Z-оболочку длина волны Л испущенного фотона составля-
ет 140 пм.
Дано
Решение
Z = 14
L.
Л = 140 пм = 1,4 • 10“|Ом
L,, -линия
L„ -линия:
т = 2, п = 3
о — 2
^6.171 J В атоме вольфрама электрон перешел с Л/-оболочки на Z-оболоч-
ку. Принимая постоянную экранирования о = 5,63, определите
энергию испущенного фотона.
Е = 8,88 кэВ.
( 6.172 ) Известно, что в спектре комбинационного рассеяния помимо не-
смещенной спектральной линии возникают стоксовы (или крас-
ные) и антистоксовы (или фиолетовые) спутники. Объясните механизм их воз-
никновения и их свойства.
Объясните механизм возникновения, свойства и особенности вы-
нужденного (индуцированного) излучения.
Объясните, почему для создания состояний с инверсией населен-
ностей необходима накачка.
(6.175 ) Объясните, почему активные среды, используемые в оптических
квантовых генераторах, рассматриваются в качестве сред с отри-
цательным коэффициентом поглощения.
Объясните, какие три компонента обязательно содержит оптичес-
кий квантовый генератор (лазер) и каково их назначение.
Перечислите и прокомментируйте основные свойства лазерного
излучения.
6.4. Элементы квантовой статистики
6.178 j Объясните отличие бозе-газа от ферми-газа, а также обоих этих
.......✓ газов от классического газа.
(6.179)
Покажите, что при очень малом параметре вырождения распре-
деления Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака переходят в распре-
деление Максвелла—Больцмана.
1
1
1
А = е!
= е(£,-д)/(«-)±1 ~ е£,/(*Г).е-^/(*Г)±1 = еЕ /(кТ} 1
А
А
ef'/(*n± А
(б.18О)
Пользуясь распределениями Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дира-
ка, получите распределение Максвелла—Больцмана.
Объясните, при каких условиях к электронам в металле примени-
ма: 1) классическая статистика; 2) квантовая статистика.
Объясните, при каких условиях можно применять статистику
Максвелла—Больцмана к электронам в металле. Пользуясь рас-
пределением Ферми—Дирака, получите распределение Максвелла—Больцмана.
Ответ
кТ
^Е-цУЦкТ) » 1,
Ov. \=---------!-------~ —!—
' е(£,-/<)/(^Г)+1 е(£,-д)/(А:Г)
_ е-(Е,-цУ(кТ) _ ^1(кТ) ^-Е,1(кТ) _ . р-Е,/(кТ)
~ V — V Ш — Z1 V
<539>
0831
Определите функцию распределения для электронов, находящих-
ся на энергетическом уровне Е для случая Е — Ег « кТ, пользу-
ясь: 1) статистикой Ферми—Дирака; 2) статистикой Максвелла — Больцмана.
Дано
Решение
Е-Е1 « кТ
Статистика Ферми—Дирака
(М£)) -?
(2V(£)) е£-£р/(А7-)+1
(Е-Ет)«кТ
£
2
Статистика Максвелла—Больцмана
Ет Е
(N(E'f) = А е кт = ект е кт
(E-ET) (Е-Ет)
е ет — е кт
(Е-Ет)«кТ
(6Ж) Определите функцию распределения Ферми—Дирака при Г* О К
X,- • X для электронов, находящихся на уровне Ферми. Объясните полу-
ченный результат.
Ответ ) , ill
----——Z £ = £F , {N(£)) = (£_£f)/(A7-) = = 2 ‘
6.185) Объясните физический смысл энергии Ферми.
Объясните, почему работа выхода электрона из металла следует
отсчитывать от уровня Ферми, а не от дна “потенциальной ямы”,
как это делается в классической теории.
Определите число свободных электронов, занимающих в среднем
уровень энергии, равной энергии Ферми.
Ответ
п = 1 .
<§40>
Объясните на основе квантовой теории отсутствие заметного от-
личия в теплоемкостях металлов и диэлектриков.
Объясните целесообразность введения фононов, а также перечис-
лите их свойства.
Какая статистика описывает фононный газ? Почему?
Определите в электрон-вольтах максимальную энергию Е фоно-
на, который может возбуждаться в кристалле NaCl, характеризуе-
мом температурой Дебая 7^ = 320 К. Фотон какой длины волны Л обладал
бы такой энергией?
Дано Решение
NaCl rD = 320 К Е = кТ0, , he Е- hv = — ,
Е — ? Л ’
Л —? he Л — — Е
Ответ ) е = 0,028 эВ, Л = 45 мкм.
Сравните выражения для удельной электрической проводимости
металла по классической и квантовой теории и объясните, чем
отличаются они по физическому содержанию.
Объясните причину электрического сопротивления металлов с
точки зрения квантовой теории электропроводности металлов.
<541)
6.5. Элементы физики твердого тела
(&*94)
Объясните различие энергетических состояний электронов в кри-
сталле и в изолированном атоме.
Объясните образование зонного энергетического спектра в крис-
талле, показав, что этот эффект — квантово-механический и вы-
текает из соотношения неопределенности Гейзенберга.
Объясните, как изменится энергетический спектр валентных элек-
тронов, если число образующих кристалл атомов увеличить в 3 раза.
Q6.197J Объясните различие в электрических свойствах металлов, ди-
электриков и полупроводников с точки зрения зонной теории
твердого тела.
Объясните различие между диэлектриками и полупроводниками
с точки зрения зонной теории твердого тела.
(б»19$0
Объясните различие между металлами и диэлектриками с точки
зрения зонной теории твердого тела.
Объясните механизм дырочной проводимости собственных по-
лупроводников.
Объясните электрические свойства полупроводников с точки зре-
ния зонной теории твердого тела. Как меняется с температурой
сопротивление полупроводника — увеличивается или уменьшается? Почему?
<542>
[002
Докажите, что уровень Ферми в собственном полупроводнике дей-
ствительно расположен в середине запрещенной зоны.
Ответ J _ Л/:
ч------Z F 2
(6.203) Германиевый образец нагревают от 0 до 17 °C. Принимая ширину
запрещенной зоны германия Л/? = 0,72 эВ, определите, во сколь-
ко раз возрастает его удельная проводимость.
QOmeem Ii = 245.
Определите ширину запрещенной зоны собственного полупровод-
ника, если при температуре 7] и Т2 (Т2>Т1) его сопротивление
соответственно равно R} и R2
Дано
Решение
т2>т,
Лр r2
£ = 1,38-10"23 Дж/К
ДЕ —?
Уг = А
71 ^2 ’
у2 _ ехр[-ДЕ/(2АТ2)] _ ДЕ/" 1 1 'j _ R}
у, " ехр[- ДЕ/(2Л7])] “ вХР 2Ц 7] ~ Г2 J ” Т?2
ЬЕ=2к^1п±
т2-ту r2
^Е = 2к^п^.
Тг-Т} r2
6.205?
Нарисуйте зонные схемы полупроводников и-типа и p-типа и
объясните механизм их проводимости.
(б.20б)
В чистый германий введена небольшая примесь мышьяка. Пользу-
ясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева, опре-
делите и объясните тип проводимости примесного германия.
В чистый кремний введена небольшая примесь бора. Пользуясь
периодической системой элементов Д. И. Менделеева, определи-
те и объясните тип проводимости примесного кремния.
Объясните и нарисуйте на зонной схеме положение уровня Фер-
ми для электронного и дырочного полупроводников: 1) при О К;
2) при повышении температуры.
^6.209 J Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева,
......'."Г объясните, какой проводимостью будет обладать германий, если
в него ввести небольшую примесь: 1) алюминий; 2) фосфор.
Объясните с помощью зонной теории механизмы собственной и
примесной фотопроводимости.
Объясните, каким образом удалось установить, что люминесцен-
тное излучение не является тепловым.
Объясните, по какому признаку удалось установить, что излуче-
ние Вавилова—Черенкова не является люминесценцией.
Какие признаки лежат в основе деления люминесцентного излу-
чения на разные его виды?
Объясните с помощью зонной теории механизм возникновения
флуоресценции и фосфоресценции.
Объясните на основе зонной теории контакт двух металлов с раз-
личными работами выхода.
(6.216) Чем объясняется при контакте двух металлов: 1) возникнове-
ние внешней контактной разности потенциалов? 2) возникнове-
ние внутренней контактной разности потенциалов?
(6.217) Используя зонную схему, объясните механизм физических про-
’ “ цессов, происходящих при контакте металла с полупроводником
и-типа для случаев: 1) Ам > А; 2) Лм < А (Ам — работа выхода из металла;
А — работа выхода из полупроводника).
( 6.218 ) Используя зонную схему, объясните механизм физических про-
........цессов, происходящих при контакте металла с полупроводником
p-типа для случаев: 1) Ам > А; 2) Ам < А (Ам — работа выхода из металла;
А — работа выхода из полупроводника).
^6.219J Объясните, почему возникает запирающий контактный слой при
\г7,,г;й/ контакте: 1) донорного полупроводника с металлом, если А < Аы ;
2) акцепторного полупроводника с металлом, если А > Ам (Ам — работа вы-
хода из металла; А — работа выхода из полупроводника).
Объясните механизм возникновения для контакта металл—полу-
проводник пропускного и запорного направлений (для тока).
35-2741
545
Какое направление (и почему) при контакте металл—полупровод-
ник является для тока пропускным, если: 1) внешнее и контактное
поля по направлению совпадают; 2) внешнее и контактное поля по направле-
нию противоположны?
Используя зонную схему, объясните механизм физических про-
цессов, происходящих в р-и-переходе.
Какое направление (и почему) в р-и-переходе является для тока про-
пускным, если: 1) внешнее и контактное поля противоположны по
направлению; 2) внешнее и контактное поля по направлению совпадают?
Объясните, в каком направлении не могут проходить через запи-
рающий слой контакта полупроводников и- и р-типа: 1) свобод-
ные электроны; 2) дырки.
Объясните механизм односторонней (вентильной) проводимости
р-и-перехода.
Объясните принцип устройства и действия полупроводниково-
го триода (транзистора). Сравните работу транзистора и лам-
пового триода.
7. Элементы физики атомного ядра
и элементарных частиц
7.1. Элементы физики атомного ядра
Д Определите массу нейтрального атома ^Сг.
Ответ
т = 8,64 10 26 кг.
Объясните отличие изотопов и изобаров.
Определите, какую часть массы нейтрального атома '^С
(т = 19,9272 • 10 27 кг) составляет масса его электронной оболочки.
Дано
т = 19,9272 10-27 кг
те = 9,11 -10~31 кг
Решение
Z=6,
Zme _ 6 9,11 10~31 кг
т ~ 19,9272-10’27 кг
- = 2,74-10’4
т
Г] 4 J Определите число протонов и нейтронов, входящих в состав ядер
трех изотопов бора 1) ’В; 2) 1 ° В ; 3) '^В.
Определите число протонов и нейтронов, входящих в состав ядер
трех изотопов кислорода: 1) 1 gО ; 2) 1 gО ; 3) 110 -
35*
<547>
Определите, пользуясь таблицей Менделеева, число нейтронов и
протонов в атомах платины и урана.
Дано
pt
и
Решение
195 pt 78 “ Z=78, JV= Z-Z = 117 .
2381J 92 U Z = 92, // = 146.
Z —?
N — 2
Г 7 7 J Определите зарядовые числа ядер, массовые числа и символы ядер,
которые получатся, если в ядрах дВе, |3N, ^Na нейтроны заме-
нить протонами, а протоны — нейтронами.
Определите плотность ядерного вещества, выражаемую числом
нуклонов в 1 см3, если в ядре с массовым числом А все нуклоны
плотно упакованы в пределах его радиуса.
Дано
Решение
A V = 1 cm3 = 1O’6 m3 Ro = 1,4 10“15 м N = — , V
— R=R{)A'li,
N — ?
Ответ J n = s,i io37 cm-’.
х'ЧГ'Х--------------------------------------------------
( 7.9 ) Объясните, почему плотность ядерного вещества примерно оди-
накова для всех ядер.
7.10 ) Определите, что больше — масса атомного ядра или масса сво-
<—...бедных нуклонов (протонов и нейтронов), входящих в его состав.
<548>
С 7.11 А Определите, какая энергия в электрон-вольтах соответствует де-
ч.плг и фекту массы Aw = 3-10-20 мг.
£ = 16,9 ГэВ.
Определите энергию связи ядра атома гелия 2Не. Масса нейт-
рального атома гелия равна 6,6467 • 10"27 кг.
Дано Решение
2 Не Есв = [ZmH +(А~ Z)mn - т]с2 ,
тИе = 6,6467 10-27 кг N II ьэ II Ьк N II ьэ
тн =1,6736 10-27 кг
тп =1,675-10’27 кг
Е —? ^св QOmeem = 284 МэВ
(7.13 ) Определите удельную энергию связи д£св (энергию связи, отнесен-
ную к одному нуклону) дня ядер: 1) \ Не; 2)1 \ С. Массы нейтральных
атомов гелия и углерода соответственно равны 6,6467 • 10”27 и 19,9272 • 10”27 кг.
Дано Решение
1) эНе £св = Awe2,
2) '26С £св = [ZwH + (А - Z)w„ - w]c2,
д£св-? 6Е _ [ZwH+(/l-Z)w„-w]c2 “ А
W4He = 6,6467 • 10~27 кг. тп = 1,675-10-27 кг. wt2 = 19,9272-10-27 кг. 61- wH =1,6736-10-27 КГ.
Ответ J 1) d£CB =7,1 МэВ/нуклон; 2) d£CB =7,7 МэВ/нуклон.
7.14 J Используя данные задачи 7.13, определите, какая необходима энер-
гия, чтобы разделить ядро '^С на три альфа-частицы.
Е = 7,26 МэВ.
С71© Определите массу изотопа , если изменение массы при обра-
зованииядра '?N составляет 0,2058 • 10“27кг.
Дано Решение
'^N Aw = 0,2058-1О’27 кг w — ? Aw = ZwH + (А — Z)mn — w, w = ZwH + (A — Z)mn — Aw, w„ =1,675-IO’27 кг, wH =1,6736-IO’27 кг, Z=7, Z = 15.
(Ответ'') т = 2,4909 1 о-26 кг.
(7.16 ) При отрыве нейтрона от ядра гелия \ Не образуется ядро Не. Оп-
~ 111 ределите энергию связи, которую необходимо для этого затратить.
Масса нейтральных атомов \ Не и I Не соответственно равна 6,6467 • 1027 кг и
5,0084 1027 кг.
Дано Решение
2 He w4 , = 6,6467 • 1О’27 кг 2 не w3u = 5,0084-10’27 КГ 2 He E — CB Есв = Emc2 = W3He + %-W4He c2.
(Ответ £CB = 0,3303 • 10’" Дж = 20,64 МэВ.
<550>
Энергия связи Есв ядра, состоящего из трех протонов и четырех
нейтронов, равна 39,3 МэВ. Определите массу т нейтрального
атома, обладающего этим ядром.
Дано Решение
ECB = 39,3 МэВ = = 6,288- КГ’2 Дж Z = 3 A,r = 4 m„ - 1,675-Ю-27 кг ? g^ II 1» ® N II И + i~ ? X i 1 Ik lx N 1 1 3 N N) ai 3s X > | tS 1 1 T ? %
wH= 1,6736-10 27 кг
т = 1,165 -10-26 кг.
Определите, какую долю кинетической энергии теряет нейтрон
при упругом столкновении с покоящимся ядром углерода *^С, если
после столкновения частицы движутся вдоль одной прямой. Массу нейтраль-
ного атома углерода принять равной 19,9272 • 10“27 кг.
Дано
п
'ас
тп = 1,675-10-27 кг
тс =19,9272 10-27 кг
\Т
--- --ч
Т
Решение
mnvn = m„v'„ + mcv'c ,
mnv2n _ wn(^)2 [ wc(^c)2
2 2 2
удар упругий
w„ + wc
2mnVn
vc -
mn+mc
mnvn
2
Определите число нуклонов, которые могут находиться в ядре на
низшем квантовом уровне.
W = 4.
ного момента ядра).
Определите, во сколько раз магнетон Бора (единица магнитного
момента электрона) больше ядерного магнетона (единица магнит-
Дано
Решение
eft eh
2те Ля 2тр ’ ця те
Ответ ) 18„
_х — ~ 1 ° j •
А я
Охарактеризуйте свойства и особенности сил, действующих меж-
ду составляющими ядро нуклонами.
Объясните принципы построения капельной и оболочечной мо-
делей ядра.
Объясните, почему радиоактивные свойства элементов обуслов-
лены только структурой их ядер.
Считая постоянную Л радиоактивного распада известной и ис-
пользуя закон радиоактивного распада, выведите выражение:
1) для периода полураспада 7]^2 радиоактивного ядра; 2) для среднего времени
жизни т радиоактивного ядра.
--- ---9
<^52>
Определите постоянную радиоактивного распада Л для изотопов:
1) тория 2адТЬ; 2) урана ; 3) иода . Период полураспада
этих изотопов соответственно равен: 1)7- 103 лет; 2) 4,5 • 10’ лет; 3) 8 сут.
^Ответ р 3J3 • 10 12 с ' 2) 4,87 • 10 18 с '; 3) 10 6 с
МЦВь Определите, что (и во сколько раз) продолжительнее — три пери-
ИМу ода полураспада или два средних времени жизни радиоактивного
ядра.
Дано Решение
ЗТ„-> 1п2 1 31п2 „ 2
2т л ’ Г = Г зг« = я 2т=я’
3 In 2 > 2, следовательно, ЗТу2 > 2т.
Определите, во сколько раз начальное количество ядер радиоак-
тивного изотопа уменьшится за три года, если за один год оно
уменьшилось в 4 раза.
Дано Решение
ti = 1 год t2 = 3 год N = Noe~Xl, = tf0 е’*'1, N2 = N0e~\
^ = 4 No 5 1п4 -У- = е ' = 4 , А = —, М 6 1п4г2 2Уо=ел'2=е '• =е31п4
No —У- 9 n2 n2
553
( 7.28 J1 Определите, какая часть (%) начального количества ядер радио-
ViniiMiiiiiimiiiX активного изотопа останется нераспавшейся по истечении време-
ни t , равного двум средним временам жизни т радиоактивного ядра.
Дано
Решение
t = 2т
2
А’
Г = 2г = 2.1 = ^
А А
N
—(%)-?
No
? N
N = Noe л =Noe , = е
г yV0
Г2 = 0,135
- = 13,5%.
о
( 7.29 ) Определите, какая часть начального количества ядер радиоактив-
V. ного изотопа распадется за время t, равное двум периодам полу-
распада Ту 2 •
= 0,75.
Q 7.30 J Определите период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8
начального количества ядер этого изотопа распалось за время
t = 849 с.
Дано
Решение
AN _ 5
No “8
t = 849 с
^1/2 ----?
N = No е-Л'
-А/ = 1п—,
8
ДУ _ Л0-7У
~N^~ No
ш8
А = -3
t
= 1-е“Л'= —, е Л'=-
8 8
1п2 1п2/
3
N = Nv е л'
7jy2 = 10 мин.
554
Период полураспада радиоактивного изотопа актиния ^Ас со-
ставляет 10 сут. Определите время, за которое распадется 1/3 на-
чального количества ядер актиния.
t = 5,85 сут.
Постоянная радиоактивного распада изотопа 2^РЬ равна 10 9 с
Определите время, в течение которого распадется 2/5 начального
количества ядер этого радиоактивного изотопа.
Решение
Дано
Л = 10"9 с’‘
210 Ph
АА _ 2
а7~5
t — 2
,, АА N.-N , 2
N = Nое’Л', ------= —2----= 1-еЛ'=-,
° М) No 5
, 5
In
- Л/ - In—, kt = In—, t - —
5 3 к
Q Ответ / = i6,2roii
Выведите формулу для скорости (активности) радиоактивного
распада через период полураспада Ту2 И начальное число Ао
радиоактивных атомов.
Дано Решение
М) ^/2 А — 2 dA = -kN dt, А = к=™, А = Г1/2 dA d/ In 2 ^/2 = kN , A = Ao е-Л', In2z Aoe .
Q Ответ 1 (In 2)t ' '< ТЧ2
555
Первоначальная масса радиоактивного изотопа иода (период
полураспада 7]/2 = 8 сут) равна 1 г. Определите: 1) начальную ак-
тивность изотопа; 2) его активность через 3 сут.
Дано Решение
М = 131 -1О’3 кг/моль т = 1 г = 10-3 кг Тх/2 = 8 сут = 6,91 105 с t = 3 сут = 2,59 • 105с I) Л) — ? 2) А — ? = Л = —, 71/2 Л„ = ^. 1п2™^ ° М ч т1/2 м h . 1и2 mN, Л = Хе"Л', А = —е Л' ’ тх/2 М
2) л = 3,55 1015 Бк.
( 7.35 > Активность некоторого радиоактивного изотопа в начальный мо-
..... мент времени составляла 100 Бк. Определите активность этого
изотопа по истечении промежутка времени, равного половине периода полу-
распада.
Дано Решение
Aq -100 Бк А = Аое~л', Л = —,
1п2г . . ~ TV1 t 1 А = А е v , —,
А -Ч Ti/2 2 _!n2 A = A^q - .
Ответ
А = 70,7 Бк.
<556>
у 36 Начальная активность 1 г изотопа радия 2^ Ra равна 1 Ки. Опре-
делите период полураспада этого изотопа.
Дано
Решение
М = 226 10 3 кг/моль
m = 1 г= 10“3 кг
4 = 1 Ки = 3,7- 10|0Бк
4 = М,
mN,
7V0 =---~
° М
Л — ——
71/2
1п2 mNK
Т]/2 М
Т]/2 ----?
_ mNк In 2
1/2 МА^
Ту2 =1582 год.
\^1 ДДД Принимая, что все атомы изотопа иода l3jl (Ту2 = 8 сут) массой
т = 1 мкг радиоактивны, определите: 1) начальную активность
4 этого изотопа; 2) его активность А через 3 сут.
1)4 = 4,61 ТБк; 2) А = 3,55 ТБк.
Определите период полураспада Ту2 некоторого радиоактивного
изотопа, если его активность за 5 суток уменьшилась в 2,2 раза.
Дано
Решение
— = 2,2
А
1 = 5 сут
1п2
1п2
71/2- Л >
Я = 4 е-Л',
71/2 -?
_ 1п2
71/2 = --------.
1/2 In 2,2
Л = — In—,
t А
7]/2 = 4,4 сут.
557
'7;39: j Определите удельную активность а (число распадов в 1 с на 1 кг
вещества) изотопа ^U, если период его полураспада
Т[/2 =4,5 109 лет.
Уа 1п.2 = 12,з мбк/кг.
Л/Т1/2
Объясните, как изменится положение химического элемента в таб-
лице Менделеева после а - и 0 -распадов ядер его атомов.
7 41^ Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, опреде-
лите, в какой элемент превращается после трех а - и двух
0 -распадов.
Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, опреде-
лите, в какой элемент превращается после шести а - и трех
0 -распадов.
Ядра радиоактивного изотопа тория 2Q2Th претерпевают после-
довательно а -распад, два /3~ -распада и а -распад. Определите
конечный продукт деления.
“88 Ra.
Определите, сколько fl - и а -частиц выбрасывается при превра-
щении ядра таллия 21g°1Tl в ядро свинца 2^РЬ.
Ответ
На = \,
Np.=3.
Радиоактивный изотоп радия 288Ra претерпевает четыре «-рас-
пада и два fl" - распада. Определите для конечного ядра: 1) заря-
довое число Z; 2) массовое число А .
1) Z = 82; 2)Л = 209.
Запишите а- распад радия ^Ра-
спределите высоту кулоновского потенциального барьера для
а - частицы в ядре свинца ^РЬ •
Дано Решение
™РЬ 2 Не Ro = 1,4-10“15 м j, __J_6pbCz_ . . I. КуЛ 4тГ£0 R ’ £?Pb = ZPblel’ S/-Zale|’ R = Лрь + Ra, /?РЬ = Rq41, Rg^RpA^, „ _ 1 ад И2 (Ответ')
U —9 кул куЛ 4тг£0 Rg(Ap^ + Л,1/3) ’ и = 22 5 МэВ. кул ’
С 7-48^) Покоившееся ядро радона ^Rn испускает а-частицу, имеющую
скорость 16 Мм/с. Зная, что масса дочернего ядра составляет
3,62 1О"25 кг, определите: 1) импульс а-частицы; 2) кинетическую энергию
а -частицы; 3) импульс отдачи дочернего ядра; 4) кинетическую энергию от-
дачи дочернего ядра.
(Ответ Л 1) 1,07-10” кг-м/с;2) 5,35 МэВ;
----—-----' 3) 1,07 • 10” кг • м/с; 4) 9,89 кэВ.
(7^) Покоившееся ядро полония жцусиег о насдин , с кине-
тической энергией Та = 5,77 МэВ. Определите. 1) скорость отда-
чи дочернего ядра; 2) какую долю кинетической энергии а -частицы составля-
ет энергия отдачи дочернего ядра.
Дано Решение
2“Ро^ ’^РЬ+ > „ m„v2 т v = ni у Т — а —
Та = 5,77 МэВ = 2
= 9,23 • 10 15 Дж „ _ mava _ yl2maTa т mav2a muTu
mn ma 2
1) -?
Tn ma
Т 2) — — ? Та Ta ’
С Ответ i T
339 км/с; 2)—=0,02. T
Правила смещения
для a - распада zX^ 1-42y+ 2Не;
для Д" - распада zX^ z*iV+>;
для Д+ - распада ^х^ z-.Y+>-
Q7.50J Определите энергию, выделяющуюся в результате реакции
22Mg —> 23Na + °е + qV . Массы нейтральных атомов магния и на-
трия соответственно равны 3,8184 10“26 кг и 3,8177 • 10м кг.
Дано
Решение
223Mg^23Na+°e+«v
wMg = 3,8184-10-26 кг
wNa= 3,8177-10“26 кг
me- 9,11 -IO"3’ кг
wMg = wMg
4gc2
-12we_, z^a = wNa-llw ,
- mNac2 + ^Na + me- + ?e' + ’
Q-1
Q = ZNa + Тг + ^ = (™Mg ~ - OT , )C2 ,
Q = (wMg - 12we - wNa +1 \me - me)c2 ,
C=("’Mg-wNa-2we)c2.
т + = т _ = т.
= 2,91 МэВ.
Запишите р - распад магния 22Mg.
Р
22Mg^22Al+0_ie+fo.
Известно, что p - активные ядра обладают до распада и после
него вполне определенными энергиями, в то же время энергети-
ческий спектр р~ - частиц является непрерывным. Объясните непрерывность
энергетического спектра испускаемых электронов.
36-2741
Объясните, почему существование антинейтрино полностью по-
зволяет объяснить все особенности р~ - распада.
<5бГ>
Запишите превращение нейтрона в протон с указанием частиц,
которые при этом испускаются. Объясните, почему этот процесс
является энергетически возможным.
Объясните, почему при а - распаде одинаковых ядер энергии
а - частиц одинаковы, а при - распаде одинаковых ядер энер-
гии электронов различны.
Применяя понятия квантовой статистики, объясните, почему не-
возможно принципиально создать “нейтринный лазер”.
Опишите основные процессы, происходящие при взаимодействии
У - излучения с веществом.
7.58
Свободное покоившееся ядро 19Jlr ( т = 317,10953 10 27 кг) с
энергией возбуждения Е = 129 кэВ перешло в основное состоя-
ние, испустив У - квант. Определите изменение энергии У - кванта, возникаю-
щее в результате отдачи ядра.
Дано
Решение
1911г
77 1Г
w = 317,10953-10-27 кг
Е = 129 кэВ=2,06- 10 '4Дж
mv = тус,
Ес Е
р= гт> = ^- =—
Ле —1
2 2
mv р
Ле =----= —
Е
2 2т 2тс2
Ле = 0,047 эВ.
Назовите два важных механизма, которыми можно объяснить ос-
лабление потока фотонов с энергией Е - 500 кэВ при его про-
хождении через вещество.
562
7.6(1 J Объясните, почему треки а - частиц представляют сплошную тол-
стую линию, а треки рГ - частиц — тонкую пунктирную линию
( 7.61 ) Объясните, где и почему лучше использовать длинные цепи рож-
1 ' дений и распадов частиц высоких энергий — в камере Вильсона
или в пузырьковой камере.
^7,62^ Определите, является ли реакция 73Li+ [Н -> дВе+ экзотерми-
ческой или эндотермической. Определите энергию ядерной реакции.
Дано Решение
wL1 =11.65079 10-27 кг шн =1.6736-10'27 кг wBc = 11,65231-Ю"27 кг тп = 1,675-10--7 кг 3Li + 1Н-> ;Ве + ДЕ = (,ии +тян - 0«.
ХЕ —? Ответ ДЕ = -1,64 МэВ, реакция эндотермическая.
7.63 Определите, поглощается или выделяется энергия при ядерной
реакции "JH+ ,Н —> 3Не + \п . Определите эту энергию.
ДЕ = 17,6 МэВ.
Определите, выделяется или поглощается энергия при ядерной
реакции Са+ 1Н —> К + 2Не . Массы ядер, участвующих в ре-
акции: ты = 7,2992 10 26 кг, ni, =1,6736 10 27 кг, =6,8021-10 27 кг,
20 I ‘ ‘ -о К
= 6,6467 10 кг.
Определите, выделяется или поглощается энергия при ядерной
реакции '?N + о Не —> jH + 'gO . Массы ядер, участвующих в ре-
акции: ю|4 = 2,3253-10-26 кг, w4u =6,6467-Ю-27 кг, ?и, = 1,6736-10 27 кг,
7I* 2 I**
/д,7 = 2,8229 10-27 кг.
8й
Определите зарядовое число Z и массовое число А части-
цы, обозначенной буквой х, в символической записи реакции:
1) ‘^N+ эНе^ 'gO + x;2) *Ве + 7Не^ ’^С + х;3) ®Li + x^ ^Н+ ?Не.
Ответ
1) “N+?He->,7O + х; z = l, А = 1, \р‘,
2) *Ве+ ^Не—> ,2С + х; z = 0, A = l, Jn;
3) ®Li + x—> |Н+ jHe; Z = 0, А = 1, о»-
Запишите недостающие обозначения х в следующих ядерных ре-
акциях: 1)'jB(n, <7 )х; 2) ^Аг(<7, п)х ; 3) х(р, n)fgAr;
4) 2Не(х, р)3Н ; 5) х(и, а)]Н.
Символическая запись ядернойреакции
zX + <7-> f.Y+fe,
или
%X(a,b)Az',Y,
где ZX и 2-Y - исходное и конечное ядра с зарядовыми числами Z и Z' и
массовыми числами А нАа и b— соответственно бомбардирующая и испус-
каемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.
<®>
^7.()8^у В ядерной реакции 2Н + 2Н —» ^Неч- qH выделяется энергия
ДЕ = 3,27 МэВ. Определите массу атома Не, если масса атома 2Н
равна 3,34461 10“27 кг.
Дано Решение
]Н+ ]Н-> ?Не+ 'оп ДЕ = 3,27 МэВ = = 1,0032 • 10-|8Дж т = 3,34461 -10"27 кг 1н ^Н+ 2Н-> jHe+ оИ + ДЕ, _ Д£ т1не = 2т]н-тп—
'"’Не -? С Ответ ) т =5,00841-ю~27 кг.
Первая в истории искусственная ядерная реакция осуществлена
Резерфордом. Запишите эту реакцию и объясните ее огромное
значение для развития ядерной физики.
’^N+ *Не-> ,7Оч- ]р.
( 7.70 ) Жолио-Кюри облучали алюминий ^Al а- частицами, в резуль-
.........тате чего испускался нейтрон и образовывалось искусственно-
радиоактивное ядро, испытывающее /Г - распад. Запишите эту реакцию.
Ответ
jjAl ч-^Не-ч “Рч- In,
30т> . 30С; , 0„ , О,,
15Р-> 14S1 + +le + <Уе-
0.71 Жолио-Кюри облучали магний Mg а - частицами, в результате
чего испускался нейтрон и образовывалось искусственно-радио-
активное ядро, испытывающее /3+ - распад. Запишите эту реакцию.
<565>
(7/72) Запишите превращение протона в нейтрон с указанием частиц,
V... ГЛХ которые при этом испускаются. Объясните, почему это превраще-
ние энергетически возможно только для протона, связанного в ядре
В процессе осуществления реакции у —> + +®е энергия Ео фо-
тона составляла 2,02 МэВ. Определите полную кинетическую
энергию позитрона и электрона в момент их возникновения.
Дано
Решение
0„ , о
Ео = 2,02 МэВ =
= 3,23 • 10 ,9эВ
Eq = 2mc2 + Т,
Т = Eq - 2mc2
т___?
Т= \ МэВ.
7.74
При столкновении позитрона и электрона происходит их анниги-
ляция, в процессе которой электронно-позитронная пара превра-
щается в два У - кванта, а энергия пары переходит в энергию фотонов. Опреде-
лите энергию каждого из возникших фотонов, принимая, что кинетическая
энергия электрона и позитрона до их столкновения пренебрежимо мала.
Дано Решение
т=о У1е+°е = 2у, 2тс2 + Т = 2Е0,
т = 9,11-10 31 кг
Т = 0, Е0=тс~.
ЕЬ-?
Ео =0,51 МэВ.
566,
7.75J Запишите схему электронного захвата (е-захвата) и объясните его
отличия от - распадов. Приведите пример электронного захвата.
^ОтввШ^ е-захват: ?Х + -?е~> z-^ + рУе,вылетает °уе.
При - распаде вылетают две частицы: (+ qV )Ш1И ( +?е + ov )•
(7 76 J Дополните недостающие обозначения х в следующих ядерных
реакциях:
1) 23XU + (J« -> '57 La + .г + 4о‘п;
235 т т , 1И . 99-у । 135-р . _ 1 .
2) KU+0H-> xZr + хТе + .гои,
3) 232xTh + ,Jn -> .г + |4хХе + 3>;
4) хРц + 0*л —> 8xSe + 15xNd + Зо'/г.
7 77 7 Под действием каких частиц — нейтронов или а - частиц — ядер-
- -1 -у ные реакции осуществляются более эффективно? Объясните ответ.
(7.78 j Объясните, почему на медленных нейтронах в основном идут ре-
акции типа (и, и) и (п, у ), а на быстрых нейтронах — реакции
типа ( п, р) и ( п, а ).
(7.79J Для обнаружения нейтрона используются реакции захвата тепло-
вых нейтронов легкими ядрами (2 Не, *5 Be), в результате кото-
рых испускаются заряженные частицы. Запишите возможные реакции.
3Не + о‘и 3Н + ^.
*^В + 0‘п-> jLi+ jHe.
При энергии нейтронов «10 МэВ становится возможной на ядре
урана ядерная реакция типа (п, 2п), в результате чего обра-
зуется искусственно-радиоактивное ядро, испытывающее р~ - распад. Запи-
шите эту реакцию.
Q Ответ + +2'п,
^U^Np+^+gv'.
(7.80 Ядро урана , захватывая быстрый нейтрон, превращается в
радиоактивный изотоп урана, который претерпевает (Е -распад,
и превращается в трансурановый элемент, который в свою очередь также пре-
терпевает (Г -распад, в результате чего образуется плутоний. Запишите все эти
процессы в виде ядерной реакции.
( Ответ + 239и 239Np + ?е ,
7.82В Определите кинетическую энергию £ и скорость v теплового ней-
- трона при температуре окружающей среды, равной 17 °C.
Дано Решение
тп = 1,675-1 О*27 кг t = 17 °C; £ = 290 К Е —? V —? Q Ответ £ = 6 1 Е = —кТ, Е = ^~, 2 2 V % О’21 Дж; v = 2,68 км/с.
<568>
Ядро урана , захватывая тепловой нейтрон, делится на изо-
топы стронция и ксенона с массовыми числами 95 и 139, второй
из которых, являясь радиоактивным, претерпевает три (5 - распада. Запишите
реакцию деления, а также цепочку fl - распадов.
(Ответ и + *”хе + gsr +20'и,
'SXe-5. -gCs '»Ва '»Ы-
При захвате теплового нейтрона ядром урана U образуются
два осколка деления и два нейтрона. Определите порядковый но-
мер Z и массовое число А одного из осколков, если другим осколком являет-
ся Ядро СТрОНЦИЯ jg Sr.
Объясните, почему деление ядер должно сопровождаться выде-
лением большого количества энергии.
Определите энергию (в электрон-вольтах), которую можно полу-
чить при расщеплении 1 г урана , если при расщеплении каж-
дого ядра урана выделяется энергия 200 МэВ.
Ответ
ДЕ = 5,12-1023 МэВ.
Скорость нарастания цепной реакции
dN
dt
—у;—-, откуда N - No е(*
где No — число нейтронов в начальный момент времени; N— число нейтро-
нов в момент времени /; Т — среднее время жизни одного поколения; к—коэф-
фициент размножения нейтронов.
<569>
( 7.87 ) Определите суточный расход чистого урана 2^3 U атомной элект-
ростанцией тепловой мощностью Р = 300 МВт, если энергия £,
выделяющаяся при одном акте деления, составляет 200 МэВ.
Дано
Решение
235II
92 U
Р = 300 МВт = 3 • 108 Вт
Е = 200 МэВ =
= 3,2 10”" Дж
/ = 24 ч = 86400 с
М - 235 10-3 кг/моль
N = —
Е
NM PtM
т =-----=-----
/Уд EN.
т — ?
т = 316 г.
Определите, во сколько раз увеличится число нейтронов в цепной ядер-
ной реакции за время t - 10 с, если среднее время жизни Т одного
поколения составляет 80 мс, а коэффициент размножения нейтронов к = 1,002.
Дано Решение
/ = 10 с Г = 80 мс = 8- 10 2 с к = 1,002 cLV 2V(*-1) (А;,)' = —- , N = N,} е ' dt Т N (k~V — = е т М)
С Ответ ) 2L = ] 284 \ / 7У0 ’
Объясните, какой характер носит цепная реакция деления, если
коэффициент размножения: 1) к > 1; 2) £ = 1; 3) к < \.
174/VI В ядерном реакторе на тепловых нейтронах среднее время жизни Т
х'——одного поколения нейтронов составляет 90 мс. Принимая коэф-
фициент размножения нейтронов к -1,002, определите период т реактора,
т.е. время, в течение которого поток тепловых нейтронов в реакторе возрастает
в е раз.
т = 45 с.
( 7.91 ) Определите число нейтронов, возникающих за 1 с в ядерном ре-
акторе тепловой мощностью Р = 200 МВт, если известно, что при
одном акте деления выделяется энергия Е = 200 МэВ, а среднее число нейтро-
нов на один акт деления составляет 2,5.
и = 1,56 1019 с4.
(S)
Объясните особенности реактора-размножителя и запишите ядер-
ные реакции, за счет которых может в них идти процесс воспро-
изводства ядерного горючего.
(7.93
В водородной бомбе вместо реакции —> jHe + ис-
пользуется реакция + ]Н —> ^Не + . Объясните почему.
Объясните, почему реакция синтеза атомных ядер — образование
из легких ядер более тяжелых — является колоссальным источ-
ником энергии.
7.95 ) Объясните, почему для протекания термоядерной реакции необ-
S ходима очень высокая температура.
571
7.2. Элементы физики элементарных частиц
f 7.96 ) Известно, что в углеродно-азотном, или углеродном, цикле число
X.. ядер углерода остается неизменным. В результате этого цикла че-
тыре ядра водорода [н (протона) превращаются в ядро гелия э11е. а также
образуются три У -кванта, два позитрона и два нейтрино. Записав эту реакцию,
определите выделяющуюся в этом процессе энергию.
Дано
Решение
>п,= 1,6736-КГ27 кг
1Н
Не = 6,6467 • 1О
КГ
т. = 9,11-1031 кг
е ’
4{Н -э ^Не + 2> + 2°ге + Зу + Q,
ДОТ = 4ОТ|н-(7».Не + 2^),
Q = ктс1.
е-?
Q = 25,8 МэВ.
Дайте определение и объясните происхождение первичного и вто-
ричного космического излучения.
Объясните происхождение мягкого и жесткого компонентов вто-
ричного космического излучения.
Представьте схематически и объясните происхождение электрон-
но-позитронно-фотонного, или каскадного, ливня.
Запишите схемы распада положительного и отрицательного мюо-
нов.
Ответ
f & + gve + ,
-> °е + gve + gv/4.
При соударении высокоэнергетического положительного мюона
и электрона образуются два нейтрино. Запишите эту реакцию и
объясните, какой тип нейтрино образуется.
(Ответ ) . о о о
у Г + -Iе О’ е + 0*я •
(7 102 ) При захвате протоном отрицательного мюона образуется нейтрон
У и еще одна частица. Запишите эту реакцию и определите, что это
за частица.
(Ответ ) , iп . i„ , о
у Р + \Р 0п + О1 * * ц •
(7 103^) Принимая, что энергия релятивистских мюонов в космическом
. У излучении составляет 3 ГэВ, определите расстояние, проходимое
мюонами за время их жизни, если собственное время жизни мюона
/0 = 2,2 мкс, а энергия покоя Ео = 100 МэВ.
Дано
Решение
Е = 3 ГэВ = 3 • Ю’эВ
/0 = 2,2 мкс = 2,2 • 10~6 с
£0 = 100 МэВ = 108эВ
С7104) Известно, что продукты распада заряженных пионов испытыва-
ют дальнейший распад. Запишите цепочку реакций для я+ - и л~ -
мезонов.
л+ -> /z+ + + or, + ooV/l.
л° - мезон распадается в состоянии покоя на два У - кванта. При-
нимая массу покоя пиона равной 264,1тие, определите энергию
каждого из возникших у -квантов.
Дано Решение
тл = 264,1те те =9,11-1031 кг £у-? л°^2у, Ел = тлс2, гЕл тпСг Е'~ 2 2 '
QOmeem еу = 67,7 МэВ.
Известно, что распад нейтрального короткоживущего каона про-
исходит по схеме К® —> л+ + л~. Принимая, что до момента рас-
пада каон покоился и его масса покоя составляет 974тие, определите массу
покоя образовавшихся заряженных л - мезонов, если известно, что масса каж-
дого образовавшегося пиона в 1,783 раза больше его массы покоя.
тл = 273,\те .
г 7^ j07 у Е+ ‘мезон распадается (в состоянии покоя) на два пиона. Прини-
мая массу покоя каона равной 966,2тие и пренебрегая разностью
•
масс заряженного и нейтрального пионов, определите энергию каждого из воз-
никших пионов.
Л = 247,5 МэВ.
Назовите и охарактеризуйте четыре типа фундаментальных взаи-
модействий, а также сравните радиусы их действия. Какое из вза-
имодействий является универсальным.
<574>
Что называется изотопическим мультиплетом и изотопическим
спином?
Возможно ли вынужденное излучение, если фотоны были бы фер-
мионами? Дайте объяснение.
Объясните, в чем заключается принцип зарядового сопряжения.
Запишите продукты распада антинейтрона.
оп _}р + +°е + ^ve.
При столкновении нейтрона и антинейтрона происходит их анни-
гиляция, в результате чего возникают два у - кванта, а энергия
частиц переходит в энергию у - квантов. Определите энергию каждого из воз-
никших у-квантов, принимая, что кинетическая энергия нейтрона и антиней-
трона до их столкновения пренебрежимо мала.
Дано Решение
т„ = 1,675-10’27 кг дп + дП~—> 2у, Е - 2тпс2 ,
Е
Е7 = тпс
Ответ J £у=942 МэВ.
Перечислите основные свойства нейтрино и антинейтрино и
объясните, чем они отличаются по современным представлени-
ям друг от друга.
Выбрав из четырех типов нейтрино (ve, ve,vfl, v^) правильное,
напишите недостающие обозначения (х) в каждой из приведен-
ных реакций:
1) х + о’л -> }р + _°{е ;
2) х +0'л -> ;
3) х + -> о‘л + +°е
2) o’'/i+o«~> iP + V ;
3) оЧ,+ аи+ °,е.
7.11 (gM Назовите элементарную частицу, обладающую наименьшей мас-
сой покоя. Чему равен электрический заряд этой частицы?
Элементарным частицам приписывают квантово-механическую
величину — четность. Что она характеризует? В чем заключается
закон сохранения четности и при каких взаимодействиях он выполняется?
7.118 П Объясните, какая характеристика элементарных частиц положена
в основу деления адронов на мезоны и барионы.
Ответ
Барионное число В:
мезоны: В = 0;
барионы: В = 1.
7.119 ^ Объясните, к какой группе элементарных частиц и почему отно-
сится: 1) Л° - гиперон; 2) протон; 3) тау-лептон; 4) л0-мезон.
<576>
7.120
Объясните, к какой группе элементарных частиц и почему отно-
сится: 1) мюонное нейтрино; 2) нейтрон; 3) фотон; 4) К° -мезон.
Перечислите, какие величины сохраняются для процессов взаи-
мопревращаемости элементарных частиц, обусловленных слабым
и сильным взаимодействиями.
( Ответ ) 1. Энергия.
2. Импульс.
3. Момент импульса.
4. Зарядовое число.
5. Массовое число.
6. Спин.
7. Лептонное число.
8. Барионное число.
9. Изотопический спин (только сильное взаимодействие).
10. Странность (только сильное взаимодействие).
11. Четность (только сильное взаимодействие).
12. Очарование (только сильное взаимодействие).
7 122 J Определите, какие из приведенных ниже процессов разреше-
ны законом сохранения лептонного числа: 1) р^> п + е+ +ге;
2) К -> р + vp ; 3) л+ -> р+ + е + е+; 4) К+ е+ +л° + ve.
Ответ
1) р -> п + е+ + ve;
(0) = (0) + (-1) + (+1) разрешен;
2) К-^^~ + ур.
(0) = (+1) + (-1) разрешен;
3) л+ -> р+ + е~ + е+;
(0) Ф (-1) + (+1) + (-1) запрещен;
4) К+ -> е+ + тг° + ve;
(0) = (-1) + (0) + (+1) разрешен.
37 - 2741
Определите, какие из приведенных ниже процессов запре-
щены законом сохранения странности: 1) р + л~ —> А° + №;
2) р + л -> + К ;3) р + и-> Л° + S+; 4) р + л -+ К + К+ + п.
Q Ответ 1) р+я~->л0 + £0;
(0) + (0) = (-1) + (+1), разрешен;
2) р + л~ -> S+ + К~;
(0) + (0) * (-1) + (-1), запрещен;
3) р + п -+ Atf+Е+;
(0) + (0) Ф (-1) + (-1), запрещен;
4) р+л~ ->К~ + К+ + п,
(0)+(0) = (-1) + (+1) + (0), разрешен.
(7.124) Ниже приведены запрещенные способы распада. Перечислите для
X»каждого из них законы сохранения, которые он нарушает:
1) ; 2) К~ + п -> О- + К+ + К°; 3) р + и-> Л° + S+.
Ответ
1)я -> р 4-v^; лептонное число: (0)^(+1)+(+1);
2) К~ + п -> О- + К+ + К°; зарядовое число: (-1)+(0)* (-1) + (+1) + (0);
3) р + и -> Л° + Е+; странность: (0) + (0)* (-!) + (-!).
СтЖ Ниже приведены запрещенные способы распада. Перечисли-
те для каждого из них законы сохранения, которые в нем на-
рушаются: 1) р + р-> р + л+ ; 2) я“ + р->А^- + Е+; 3) л~ + и-> Л° +К~;
4) л~ -> р~ + е+ + ё~.
(7.126 ) Исследование взаимопревращаемости элементарных частиц при-
Xt'ii вел0 к 0ТКрЫТИЮ нового свойства симметрии — операции зарядо-
вого сопряжения, заключающееся в том, что при замене частицы на античасти-
цу в уравнении данной реакции получается новая реакция. Примените опе-
рацию зарядового сопряжения к следующим процессам: 1) Е+ —>р + тг° ;
2) р + р^Т.~+/^ + К° + К~.
J.127J Примените операцию зарядового сопряжения (см. задачу 7.126) к
следующим процессам: 1) я0 -> 2у; 2) р + К~ -> + л+ + л" .
Ответ
1) л°^2у;
2) р + К+ —> + л~ + л+.
Охарактеризуйте основные свойства кварков (антикварков) — за-
рядовые числа (электронное и барионное), спин, странность, цвет,
очарование, прелесть.
Объясните, почему понадобилось введение внутренних характе-
ристик кварков — цвета и очарования.
Запишите, какие комбинации известных в настоящее время квар-
ков воспроизводят свойства: 1) нейтрона; 2) протона; 3) л+ - ме-
зона; 4) л - мезона; 5) S° - гиперона.
Ответ
1) и - нейтрон (udd);
2) р - протон ( uud );
3) я+ - мезон (ud );
4) л - мезон (wJ);
5) - гиперон (uds).
37*
<579>
Важнейшие формулы, используемые в задачнике
1. Физические основы
механики
Средняя скорость и среднее ускоре-
ние
Мгновенная скорость и мгновенное
ускорение
Дг Ду
v = —; а =—.
Д/ Д/
Тангенциальная и нормальная состав-
ляющая ускорения
dv v2
°г=77; °и= —•
dr г
Полное ускорение
a = ar + a„; a = Ja2 + a2.
Кинематические уравнения равнопе-
ременного поступательного движения
v = v0 ± at,
at2
s = vot±—.
Угловая скорость и угловое ускорение
dip ~ da)
о) = —; е = —.
dt dt
Кинематические уравнения равнопе-
ременного вращательного движения
О) = О)0 ± Et,
Связь между линейными и угловыми
величинами при вращательном дви-
жении
s = R<p; v = Ro);
aT = R£\ ап = a)2 R.
Импульс (количество движения)
р= ту.
Второй закон Ньютона
„ dp
F = ma = —.
dt
Сила трения скольжения
F^ = fN.
Закон сохранения импульса (для замк-
нутой системы)
п
р = = const
1=1
Работа переменной силы на участке
траектории 1—2
2
А = Jf cosa ds
1
Мгновенная мощность
W =----= Fv.
dt
Кинетическая энергия
Т =----.
2
Потенциальная энергия тела, подня-
того над поверхностью Земли
П = mgh.
<\58g>
Потенциальная энергия упругодефор-
мированного тела
п=^.
2
Полная механическая энергия системы
Е=Г+П.
Закон сохранения механической энер-
гии (для консервативной системы)
Т + П = Е = const.
Скорость шаров массами mt и
после абсолютно упругого централь-
ного удара
, (ти ]- m2 )i>( + 2m2V2
i>i — ;
m\+m2
, (jn2-mx)v2 + 2mxvx
г?2 - ; -
т |+ ти2
Скорость шаров после абсолютно
неупругого удара
v= W1V1+W2V2
mim2
Момент инерции системы (тела)
J =
1=1
Моменты инерции полого и сплош-
ного цилиндров (или диска) относи-
тельно оси симметрии
7 1 1
J — mR2J =—mR2.
2
Момент инерции шара относительно
оси, проходящей через центр шара
J = -mR2.
5
Момент инерции тонкого стержня
относительно оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через его
середину
Момент инерции тонкого стержня
относительно оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через его
конец
J = -ml2.
3
Теорема Штейнера
J = Jc + та2.
Кинетическая энергия вращающегося
тела относительно неподвижной оси
J
Т =——
вр 2
Момент силы относительно непод-
вижной точки
М = [rF].
Момент силы относительно непод-
вижной оси
M = [rF]z.
Момент импульса материальной
точки относительно неподвижной
точки
L = [гр] = [г, wv].
Момент импульса твердого тела от-
носительно неподвижной оси
Zz = = JzU)
i=i
Уравнение динамики вращательного
движения твердого тела
.. dL
AZv — Jj М —
г г dt
Закон сохранения момента импульса L = const. Закон всемирного тяготения г~ Сила тяжести P = mg. Напряженность поля тяготения g = F/ro. Потенциал поля тяготения п <р = — = -G—. т R Взаимосвязь между потенциалом ноля тяготения и его напряженно- стью g=-grad<p. Уравнение неразрывности Sv = const. Уравнение Бернулли > pv~ , ——г pgn+ р- const. Релятивистское замедление хода часов т /1-(п/С)2 ’ Релятивистское (лоренцово) сокра- щение длины стержня Vl-(v/c)2 Релятивистский закон сложения ско- ростей и +v u-v 11 ~ ,/ 2 ’ и = / -> l + vu/c \-vuc~ Релятивистский импульс т Р= / -V. Закон взаимосвязи массы и энергии тс2 Е- ^1-(п/с)2 Связь между полной энергией и им- пульсом релятивистской частицы Е = ти2с4 + р2 с2 . 2. Основы молекулярной физики и термодинамики Закон Бойля—Мариотта pV = const при Т,т = const. Законы Гей-Люссака V - Ко(1 + at) при р, т = const, Р = РоО + а0 ПРИ т ~ const Закон Дальтона Р=Р\ + Р2 + Рз+-+Рп- Уравнение Клапейрона — Менде- леева для произвольной массы газа pV = —RT = vRT. М Основное уравнение молекулярно- кинетической теории Средняя квадратичная скорость мо- лекулы , > ЩГ \3RT
Средняя арифметическая скорость молекулы , . 18кТ I8RT М = = . . у лт0 V л.М Наиболее вероятная скорость молекулы \2кТ I2RT Vb~ у m0 V М Барометрическая формула „ _ „ p-MghHRT) Р ~ Рое Средняя длина свободного побега молекул (Л = & = L (z) -J2nd2n Среднее число столкновений моле- кулы за 1 с (z) = 41nd2n{v). Закон теплопроводности Фурье 7(£)" ’ 1=|C^UXZ>- Закон диффузии Фика Л",="°д7; Закон Ньютона для внутреннего тре- ния (вязкости) л₽)=-^; ?= Средняя энергия молекулы (Е) = ±кТ. \ / 2 Внутренняя энергия произвольной массы газа U = v—RT = — -RT. 2 М2 Первое начало термодинамики dQ=dU + dA. Молярная теплоемкость газа при посто- янном объеме и постоянном давлении Сг=-Л; C= — R. v 2 р 2 Работа газа при изменении его объема дА = pdV. Работа газа при изобарном расширении А = p(V2-VJ = -^R(T2-Tx). М Работа газа при изотермическом расширении и=е=-ет1п^=-яг|пА. М Vx М р2 Уравнения адиабатного процесса (уравнение Пуассона) pVy — const; 7’И’'-1 = const; Typx~y = const. Работа газа при адиабатном расши- рении A = ~CV(TX-T2). м Термический КПД для кругового процесса 0 Термический КПД цикла Карно тх-т> Г]= ' Тх Уравнение Ван-дер-Ваальса для мо- ля реального газа Л \ \Р + ^2 ^n,~b)=RT.
3. Электричество
и электромагнетизм
Закон Кулона
Г —-------9--.
4ле0 г
Напряженность электростатического
поля
E=F/a-
Поток вектора напряженности элек-
тростатического поля сквозь замкну-
тую поверхность £
Ф£ = dS = dS .
S S
Принцип суперпозиции
<=1
Электрический момент диполя
p=|el'-
Напряженность поля, создаваемого
двумя бесконечными параллельными
разноименно заряженными плоско-
стями,
Е = —.
Е0
Напряженность поля, создаваемого
равномерно заряженной сфериче-
ской поверхностью,
^=—4
4ле0 г
(г > Я);
Е = 0
(г<Я).
Потенциал электростатического поля
<Р =
U_=A~
Оо Оо
Связь между потенциалом электро-
статического поля и его напряжен-
ностью
E = -grad^.
Связь между векторами Р и Е
Теорема Гаусса для электростатиче-
Р = хе0Е
ского поля в вакууме
^Eds = jE„ds=—
s s £° <=1
^EdS = ^EndS = — JpdK.
s s £° V
Объемная, поверхностная и линейная
плотности заряда
dQ dQ dQ
а =---; т =---.
н dK dS dl
Напряженность поля, создаваемого
равномерно заряженной бесконечной
плоскостью, C = 4jieoeR
Связь между £ и х
в = 1 + х.
Связь между векторами электриче-
ского смещения и напряженностью
электростатического поля
D = еоеЕ .
Электрическая емкость уединенного
проводника
С = —.
<Р
Электрическая емкость шара
Электрическая емкость плоского кон-
денсатора
с__ SqS-S1
d
Электрическая емкость цилиндриче-
ского конденсатора
с__ 2л£0/
1п(г2/п)
Электрическая емкость сферическо-
го конденсатора
С-4л£0£ Г2Г* .
Г2-Г1
Электрическая емкость параллельно
и последовательно соединенных
конденсаторов
и 1 п I
Энергия заряженного уединенного
проводника
w=c£=q# = &_
2 2 2С
Энергия заряженного конденсатора
2 2 2С
Объемная плотность энергии элек-
тростатического поля
W £0£Е2 ED
со = — = —--=-----.
К 2 2
Сила тока
1=*°.
dt
Плотность тока
j = i/s.
Электродвижущая сила, действую-
щая в цепи
е=^/еь; e=^ECTdl.
Закон Ома для однородного участка
цепи
I = U/R.
Закон Ома в дифференциальной форме
j = yE.
Мощность тока
Р = — = UI = I2 R = U2/R.
d/ '
Закон Джоуля — Ленца
dQ = IUdt = I2Rdt = — dt.
R
Закон Джоуля—Ленца в дифферен-
циальной форме
со = jE = уЕ2.
Закон Ома для неоднородного участ-
ка цепи (обобщенный закон Ома)
j_ <Р1 ~<Рг + ^2
R
Магнитный момент рамки с током
Pm = /5п•
Связь между индукцией и напряжен-
ностью магнитного поля
В = додН.
Закон Био — Савара — Лапласа для
элемента проводника с током
4л г3
Магнитная индукция поля прямого тока
ДоД 21
4л R
Магнитная индукция поля в центре круглого проводника с током b=^tr- Закон Ампера dF = /[dl,B]' Магнитное поле свободно движущего- ся заряда в_лол еИ 4л г3 Сила Лоренца F = £[vB]. Холловская поперечная разность потенциалов 1 /В £ир = = R—. еп d d Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуля- ции вектора В) <fBdl = <fB; d/ = . L L *=1 Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков, ^=До—• Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь произ- вольную поверхность Фв = <£в dS = <£/?„ dS. s s Закон Фарадея 6Ф Е'~“ dr ’ ЭДС самоиндукции г dJ £, = -L—. dr Индуктивность бесконечно длинного соленоида, имеющего N витков, N2S Ток при размыкании цепи /=/ое-'/г- Ток при замыкании цепи 7 = 70(1-е-"г). Энергия магнитного поля, связанно- го с контуром, W = LI2l2. Объемная плотность энергии маг- нитного поля W uQuH2 ВН w = — — = . К 2 2 Намагниченность j_Ep< V Связь между векторами J и Н J = ZH. Связь между ц и % Д = 1 + Х- Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуля- ции вектора В) <£в dl = <р; d/ = д0(7+Г). L L Теорема о циркуляции вектора Н ^Hdl = 7. L
4. Колебания и волны
Фазовая и групповая скорости
Уравнение гармонического колебания
5 = A cos(w0t + <р);
ш0— 2п/Т = 2тгг .
Период колебаний физического ма-
ятника
Т = 2ny]j/(tngl) = In-JE/g .
Период колебаний математического
маятника
Формула Томсона
Т=2л4ьС .
0}
v = —
к
dai
и =---
dk
Уравнение стоячей волны
. „ , 2лх
I; = 2Acos—-cosw/
Л
Эффект Доплера в акустике
(v+v >0
v =--------------к.
^ист
Скорость распространения электро-
магнитных волн в среде
с
v= -------------------
Логарифмический декремент затухания
е=\п-^— = дТ.
Afj + T)
Индуктивное сопротивление
Rl = aiL.
Емкостное сопротивление
^=JF-
соС
Полное сопротивление цепи
ГГ7 TV
R2 + aiL ч--
( aiC)
5. Оптика. Квантовая
природа излучения
Закон отражения света
'7 - h
Закон преломления света
sini.
-^- = «21-
sini2
Формула тонкой линзы
Z =
Длина волны
1 = ц7’.
Уравнение плоской волны
£(x,r) = Acos(a)t-кх+<р0).
Уравнение сферической волны
Ал
= — cos(wt - кх + <Pq) .
Показатель преломления света
v
п = — .
с
Оптическая длина пути
L = ns.
Оптическая разность хода
Д = ^2
Условия интерференционных мак-
симумов и минимумов
Д = ±тиЯ0 (т = 0,1, 2,...);
Д = ±(2ти+1)^ (т = 0,1,2,...).
Оптическая разность хода в тонких
пленках в отраженном свете
Д = 2d>]n2 -sin2i ± —.
2
Условия дифракционных максиму-
мов и минимумов от одной щели
2
asin^> = ±(2ти + 1)у (т = 1, 2,3,...);
о sin ^9 = ±2ти-^ (т = 1,2,3,...).
Условие главных максимумов ди-
фракционной решетки
Jsin#> = ±znl (т = 0,1,2,...).
Условие дополнительных миниму-
мов дифракционной решетки
<7sin^) = ±-^^ ( т' Ф 0, N, 2N,...).
Формула Вульфа — Брэггов
2</sin# = znl (т = 1, 2, 3,...).
Разрешающая способность спек-
трального прибора и дифракционной
решетки
R = —; R=mN.
<51
Продольный эффект Доплера
Поперечный эффект Доплера
и = v0-Jl-(v/c)2 .
Степень поляризации
Лпах Anin
Закон Малюса
I = Io cos2 а.
Закон Брюстера
tg'B = «21‘
Угол вращения плоскости поляриза-
ции в кристаллах и растворах
<р = ad; <р = [а]С</.
Закон Стефана — Больцмана
Re=oT\
Закон смещения Вина
^ = Ь/Т.
Формула Планка
_ 2nv hv
rv’r~ с2 е/п'/(*Г)-Г
Уравнение Эйнштейна для внешнего
фотоэффекта
. , mv2
hv—A +——.
2
Энергия и импульс фотона
, he £ hv
t = hv = — -, р = - = —.
Л с с
Давление света при нормальном па-
дении на поверхность
Г
р = — (l + p)=w(l + p).
с
Изменение длины волны при эффек-
те Комптона
•, h 2h . эв
ДА =----(1 - cosp) =--sin' —.
тп$с тос 2
6. Элементы квантовой
физики атомов, молекул
и твердых тел
Закон Мозли
v = R(Z-a)2
•>
и" )
Обобщенная формула Бальмера
Энергия электрона
добном атоме
= __1_ zW
” и2 ’ 8й2е2
в водородопо-
(и= 1,2,3,...).
Длина волны де Бройля
р
Соотношение неопределенностей
ДхДрх > Л,
• ЛхЛру > Л, ЛЕЛ1 > Л.
&xkpz И,
Общее уравнение Шредингера
Л д'?
----ДТ + U(x, y,z)^ = ih-.
2т У dt
Уравнение Шредингера для стацио-
нарных состояний
Лар + ~^г(Е ~ - 0 -
Коэффициент прозрачности прямо-
угольного потенциального барьера
D - Doexp -—^2m(U -Е)1 .
й
7. Элементы физики
атомного ядра
и элементарных частиц
Энергия связи нуклонов в ядре
£св = [ZmP + (Л~ z)mn - w,]с'.
Дефект массы ядра
Лт - [Zmp + (А -Z)mn] - тя .
Закон радиоактивного распада
W = Woe’2'.
Период полураспада
Ь2
7]/2“^-
Среднее время жизни радиоактивно-
го ядра
1
г = —.
Л
Правило смещения для а -распада
^Х-^^Не.
Правило смещения для /Г -распада
Правило смещения для Д+ -распада
Энергия квантового осциллятора
Еп
'о
<5^>
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
ПЕРИОДЫ РЯДЫ ГРУ п п ы
I II III IV V
1 I Н 1 1,00794 , 1? ВОДОРОД 1
2 II Li з 6,94, 2з' । ЛИТИЙ 2 Be 4 9,01218 , 2,2 2 БЕРИЛЛИЙ 2 5 В . 10.81 3 2р‘ 2 БОР 6 С , 12.011 4 2р’ 2 УГЛЕРОД 7 N , 14,0067 5 2,’ 2 АЗОТ
3 ш Na ч 22,98977 , ” 8 НАТРИЙ 2 Mg 12 24,305 2 8 МАГНИИ 2 13 А1 . 26,98154 8 2 АЛЮМИНИЙ и Si 28.085, 8 J₽I 2 КРЕМНИЙ 15 р , 30,97376 1 2 ФОСФОР
4 IV К 19 39,098. ' 8 КАЛИЙ 2 Са 20 40,08 2 4J 8 КАЛЬЦИЙ 2 SC 21 44,9559 2 34'4,2 9 СКАНДИЙ 2 Ti 22 47,90 2 34’4,2 10 ТИТАН 2 V 23 50,9415 2 34J4,’ 'J ВАНАДИЙ 2
V 29 CU « ю ,63’54б 8 34,1’4,' 2 МЕЛЬ 30 Zn 18 , «3« 8 41 2 ЦИНК 31 Ga 18 Д1 «-72 8 4р' 2 ГАЛЛИЙ 32 Ge 18 4,2 72’59 2 ГЕРМАНИЙ 33 As ,3 74,9216 8 4р3 2 МЫШЬЯК
5 VI Rb 37 ( 85-4б7« 5, >5 JS 8 РУБИДИЙ 2 Sr 38 2 87-Ы , 18 51 8 СТРОНЦИЙ 2 Y 39 2 88,9059 ’ 44'5,2 g ИТТРИЙ 2 Zr 40 2 91,22 10 44’5,’ '* ЦИРКОНИЙ 2 Nb 41 , 92.9064 12 44*5,' ’J НИОБИЙ 2
VII , 47 Ag 18 107,8682 18 5,1 2 СЕРЕБРО 248 Cd 18 112,41 8 5,2 2 КАДМИЙ 349 In 18 114,82 8 5₽* 2 ИНДИЙ 4 50 Sn 18 S,8 118’6’ 8 2 ОЛОВО $51 Sb “ Sp’ 121'7’ 2 СУРЬМА
6 VIII CS 55 , 132,9054 ,8 6,' 18 ЦЕЗИЙ 2 Ва 56 2 13733 ,« 6,2 18 8 БАРИЙ 2 57La—Lu71 « Hf 72 2 178,4, 10 5«ГбР 18 ГАФНИЙ 2 Та 7з 2 180,947, “ 54*6,’ [j ТАНТАЛ 2
IX । 79 Аи # 196,9665 '• sA,' 2 ЗОЛОТО 2 80 Hg И 200,59 18 6j2 В 2 РТУТЬ З81 Т1 1* 204383 18 6,' 8 л 2 ТАЛЛИЙ 4 82 РЬ !? 207,2 2 ГВИНЕЦ , 83 Bi J5 208,9804 18 6р’ 1 ВИСМУТ
7 X Fr , 223,0197 J , 1 32 11 18 8 ФРАНЦИЙ 2 Ra 88 2 226.0254 iJ , 2 М 15 18 8 РАДИЙ 2 89Ас-(Ьг)>оз ♦ ♦ Ки мм 2 Р61] J? 64’7,’ 32 8 КУРЧАТОВИЙ 2 Ns к» 2 [262] ‘j 64’7,’ 32 8 НИЛЬСБОРИЙ 2
•ЛАНТАН
La 572 138,9055 j Sd}6s2 IB 8 ЛАНТАН 2 Се 58 140-12 2§ 4/’б,’ 18 В ЦЕРИЙ 2 РГ 59 140,9077 8 7 2> 4/36rJ 18 8 ПРАЗЕОДИМ 2 Nd 60 2 144’2< 2 22 4/Чг2 18 8 НЕОДИМ 2 Рт 61 1М5], 7 » V56,’ 18 8 ПРОМЕТИЙ 2 Sm 62 2 150,4 J 4/* 6,’ 18 САМАРИЙ 2 Ей 63 2 151,96 28 4/’б,’ 18 8 ЕВРОПИЙ 2 Gd 64 2 157,2s 2? 4/’54'б,’ >! ГАДОЛИНИЙ 1
АКТИН
Ас 89 2 Th 9< 2 Ра 91 2 и 92 2 Np 93 2 Ри 94 2 Am 95 2 Ст 96 7
227,0278 32 232,0381 10 18 32 231,0359 9 20 32 238,02л 2? * 32 237,0482 у 244,0642 25 32 243,0614 J 247,0703 2? 32
64’7,’ I» 64’7,’ 18 8 5/’б4'7,’ 18 § S/’64'7,’ Ч Sf*6d}ls2 НЕПТУНИЙ 5/7,’ ч 5/’7,’ 1| 5/’б4'7,’ 18 8
АКТИНИЙ ТОРИЙ 2 ПРОТАКТИНИЙ УРАН ПЛУТОНИЙ АМЕРИЦИЙ КЮРИЙ
ЭЛЕМЕНТОВ Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА
ЭЛЕМЕНТОВ
VI VII VIII
н 2 Не 4.00260 1? 2 ГЕЛИЙ
8 О 15.9994 6 2 КИСЛОРОД 9 F 18,998403 7 2(’ 2 ФТОР Ю Ne 20.17, 8 2р‘ 2 НЕОН
16 S . . 32-06 2 СЕРА 1’ С1 , , 35,453 8 3" 2 ХЛОР ’8 Аг , « 39,94. 1 3' 2 АРГОН
Сг 24 51.996 ХРОМ Мп 25 54.9380 2 1434,2 8 МАРГАНЕЦ 2 Fe 26 55-М 7 ,1 3.‘4,2 ЖЕЛЕЗО 2 Со 27 58.9332 2 34’4,1 lg КОБАЛЬТ 2 Ni 28 58.70 2 34*4,1 16 НИКЕЛЬ 2
* Se >« 4 , 78’6 8 4Г 2 СЕЛЕН 35 ВГ ’ 79,904 8 4’’ 2 БРОМ 36 Кг 18 4, И’8° 8 4р 2 КРИПТОН
Мо 42 95.94 1. 4rfSb‘ 1 МОЛИБДЕН Тс 43 2 98.9062 » 4^5? « ТЕХНЕЦИЙ 2 Ru 44 , 10М)’ 4.4,1 » 4.'5,' 8 РУТЕНИЙ 2 Rh « , 102.9055 “ 4?3,i ‘J РОДИЙ 2 Pd « 0 W 4.1’5 • “ 44 5, 8 Палладий 2
. 52 Те !| >„• 127'6° 2 ТЕЛЛУР 7 53 1 '« 5,> ,26'9045 2 ИОД 8 54 Хе » 5,4 ,31-29 2 КСЕНОН
W 74 183.8S 5J46j2 11 ВОЛЬФРАМ Re 75 2 186.207 ]] 5.!6,! 18 РЕНИЙ 2 Os 76 j 190.2 j4 5d66s2 18 ОСМИЙ 2 1г 77 2 192.22 , £ 54 б,' 18 ИРИДИЙ 2 Pt 78 , 195,08 j'J 5.’б,* '« ПЛАТИНА 2
6 «4 Ро ]8 208,9824 1 6Р‘ 2 ПОЛОНИЙ , 85 At 18 209,9871 18 6/>5 8 2 АСТАТ 8 86 Rn j8 222,0176 18 бр6 8 2 РАДОН
Атомная масса Распределение ялГктронов. по метрам веющимся и > последующим настроенным подуровням и 927 '238,0289 $ "SfHd'h1 18 В УРАН 2 Атомные массы приведены по Международной -Атомный номер таблице 1983 г Точность последней значащем цифры ±1 или ±3. •-Распределение если она выделена мелким шрифтом, электронов ц квадратных скобках приведены массовые числа по уровням наиболее устойчивых изотопов. Названия и символы элементов, приведенные в круглых скобках, не являются общепринятыми.
о иды
ТЬ 65 ; 158.9254 2? 47’6? 1 ТЕРБИЙ 2 Dy 66 2 162,5л 28 4/1’6? ‘I ДИСПРОЗИЙ Н° 67 7 164.9304 29 4/“б,1 1 гольмий 2 Ег 68 2 167,2„ 4/W 8 ЭРБИЙ 2 Тш 69 2 168.9342 31 ,1 7 1* 4/46? 8 ТУЛИЙ 2 Yb то 2 173,04 32 4/М6? 8 ИТТЕРБИЙ 2 Lu 71 2 174,967 32 j 18 5^’6? 8 ЛЮТЕЦИЙ 2
о иды
Вк J 247,0703 26 5/864’7j2 ’J БЕРКЛИЙ 2 Cf 98 i 251,0796 g б/'’?,2 'j КАЛИФОРНИЙ Es 99 , 252,0828 g 5/i‘7,’ 1 эйнштейний Fm 100 J 257,0951 30 5/11 7,1 “ л 2 ФЕРМИЙ Md ioi 2 258,097 31 5/H 7,’ 18 .2 МЕНДЕЛЕВИИ (No) 102 2 259,1009 з! 32 5/» 7,1 18 (НОБЕЛИИ) 2 (Lr) юз 2 260,1054 3? 5/M6.'7,i 1J (ЛОУРЕНСИЙ)2
Учебное издание
Трофимова Таисия Ивановна
Павлова Зоя Григорьевна
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ФИЗИКИ
С РЕШЕНИЯМИ
Редактор Г.Н. Чернышова
Художественный редактор Ю.Э. Иванова
Корректор Г.Н. Петрова
Компьютерная верстка С Ч. Соколовский
Лицензия ИД № 06236 от 09.11.01.
Изд. № ФМ-238. Подп. в печать 05.03.03. Формат 60х88’/|6.
Бум. газетная. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная.
Объем: 36,26 усл. печ. л., 36,51 усл. кр.-отг., 23,49 уч.-изд. л.
Тираж 12000 экз. Заказ № 2741.
ФГУП «Издательство «Высшая школа», 127994, Москва, ГСП-4,
Неглинная ул., 29/14.
Тел.: (095) 200-04-56
E-mail: info@v-shkola.ru http://www.v-shkola.ru
Отдел реализации: (095) 200-07-69, 200-59-39, факс: (095) 200-03-01.
E-mail: sales@v-shkola.ru
Отдел «книга-почтой»: (095) 200-33-36. E-mail: bookpost@v-shkola.ru
Набрано на персональных компьютерах издательства
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП ордена «Знак Почета»
Смоленской областной типографии им. В. И. Смирнова.
214000, г. Смоленск, пр-т им. Ю. Гагарина, 2.