Автор: Пратусевич М.Я. Столбов К.М. Головин А.Н. Соломин В.Н.
Теги: воспитание обучение образование анализ методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе алгебра школьная алгебра дидактические материалы
ISBN: 978-5-09-018640-7
Год: 2012
Похожие
Текст
ЕБРА
3^ И НАЧАЛА
АТЕМАТИЧЕСКОГО
р! АНАЛИЗА
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
УДК 372.8:[512+517]
ББК 74.262.21
А45
Авторы: В. Н.Соломин, К. М.Столбов, М. Я. Пратусевич,
А. Н. Головин
Алгебра и начала математического анализа. Дидактиче-
А45 ские материалы. 11 класс : профил. уровень / [В. Н. Соломин,
К. М. Столбов, М. Я. Пратусевич, А. Н. Головин]. —М.: Про-
свещение, 2012. —96с. — ISBN 978-5-09-018640-7.
Дидактические материалы предназначены для классов с углу-
блённым изучением математики и составлены по учебнику авторов
М. Я. Пратусевича, К. М. Столбова и А. Н. Головина «Алгебра и начала
математического анализа. 11 класс». Дидактические материалы содер-
жат самостоятельные и контрольные работы, а также ответы к ним.
Возможно использование дидактических материалов и в классах
базового уровня с целью повышения уровня предметной компетенции
учащихся по алгебре и началам математического анализа, а также при
подготовке к экзаменам.
УДК 372.8:[512+517]
ББК 74.262.21
Учебное издание
Соломин Вадим Николаевич, Столбов Константин Михайлович,
Пратусевич Максим Яковлевич, Головин Алексей Николаевич
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Дидактические материалы
11 класс
Профильный уровень
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор П. А. Бессарабова. Художник
О. П. Богомолова. Художественный редактор О. П. Богомолова. Техниче-
ский редактор и верстальщик И. М. Капранова. Корректоры Т. А. Лебедева,
М. А. Терентьева
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-
93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать
с оригинал-макета 15.08.11. Формат 60 х 90 l/ie- Бумага офсетная. Гар-
нитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,76. Тираж 2 000 экз.
Заказ № 681.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521,
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Ивановская областная типография». 153008, г. Ивано-
во, ул. Типографская, 6. E-mail: 091-018@rambler.ru
ISBN 978-5-09-018640-7
© Издательство «Просвещение», 2012
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2012
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие разрабатывалось для работы с учебни-
ком «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс»
авторов М. Я. Пратусевича, К. М. Столбова и А. Н. Голови-
на. Дидактические материалы содержат самостоятельные
и контрольные работы к каждой главе учебника, а также
ответы к большинству из них. В таблице использования
самостоятельных и контрольных работ (с. 4) приведены па-
раграфы и пункты учебника, после которых рекомендуется
давать предложенные работы.
Каждая самостоятельная работа обозначена буквой С
и двойным номером, обозначающим соответственно номер
главы, к которой относится эта самостоятельная работа,
и её порядковый номер. Самостоятельные работы ко всем
главам, кроме 11-й, даны в двух вариантах. К главе 11
предлагается четыре варианта. Авторы полагают, что тема
«Комплексные числа» по глубине является уникальной в
курсе и достойна весьма подробного изучения, тем более
актуального, что в технических вузах свойствам самих
комплексных чисел не уделяют должного внимания, прак-
тически сразу переходя к функциям комплексной перемен-
ной. Вместе с тем в условиях нехватки учебного времени
эту тему можно изучать в различном объёме, поскольку
она не фигурирует в заданиях ЕГЭ, вступительных экзаме-
нов и олимпиад. Поэтому естественно, что в ряде профиль-
ных школ и классов тему «Комплексные числа» изучают
не столь тщательно, как того хотелось бы. Для таких школ
и классов и предназначены первые два варианта работ. Тре-
тий и четвёртый варианты предназначены для тех школ,
учебный план которых предоставляет достаточно времени
для неспешной, углублённой работы с комплексными чис-
лами.
Задания самостоятельных работ в достаточной мере обе-
спечивают проверку усвоения программы по математике в
физико-математических классах. Каждой теме отдельной
главы соответствуют несколько самостоятельных работ,
которые, как правило, избыточны. Это сделано для того,
чтобы учитель сам смог, ориентируясь на уровень подго-
3
товки учащихся, разгружать самостоятельные работы или
их комбинировать.
Кроме того, авторы рекомендуют часть самостоятель-
ных работ давать учащимся в качестве домашнего задания
с дальнейшей его проверкой и обсуждением.
Каждая самостоятельная работа рассчитана на один
урок.
Дидактические материалы содержат контрольные ра-
боты к каждой главе учебника. Контрольные работы обо-
значены буквой К и соответствующим работе номером.
Контрольные работы представлены в двух вариантах.
В каждом варианте задачи расположены по уровню слож-
ности. Так же как и самостоятельные работы, контрольные
работы могут быть предложены учащимся не полностью, в
зависимости от уровня подготовки класса.
Контрольные работы рассчитаны на два урока.
Большая часть заданий взята из опыта преподавания
авторами курса математики в физико-математическом ли-
цее №239 и лицее «Физико-техническая школа» Санкт-
Петербурга в течение ряда лет.
Многие из предложенных задач требуют глубокого и не-
формального понимания пройденного материала. Зачастую
даже в «технических» задачах можно найти более простое
решение. Наиболее трудные задачи отмечены звёздочкой.
Авторы будут благодарны за все замечания, прислан-
ные либо в издательство, либо на электронный адрес:
nimolos@mail. г и.
Таблица использования самостоятельных
и контрольных работ
Номер работы Тема самостоятельной работы Параграф, пункт учебника
С—8.1. Понятие предела функции § 44, п. 1
С—8.2. Предел функции на беско- нечности § 44, п. 2
С—8.3. Вычисление предела функ- ции на бесконечности §44, п.2
С—8.4. Вычисление предела функ- ции в точке §46, пп. 1, 2
41
Продолжение
Номер работы Тема самостоятельной работы Параграф, пункт учебника
С—8.5. Первый замечательный предел §46, п.З
С—8.6. Второй замечательный предел и его следствия §46, п.З
С—8.7. Вычисление пределов §46, п.З
С—8.8. Сравнение бесконечно ма- лых и бесконечно больших функций §47
К—1 §44—47
С—8.9. Непрерывность функций §48, п. 1
С—8.10. Разрывы функции §48, п. 2
С—8.11. Корни непрерывной функ- ции. Промежуточные зна- чения §50, п.1
С—8.12. Свойства функций, непре- рывных на отрезке §50, п. 2
С—8.13. Односторонние пределы. Асимптоты графика функ- ции §441, п. 2, §52
К—2 Глава VIII
С—9.1. Вычисление производной по определению §53, пп. 1, 2
С—9.2. Производные некоторых элементарных функций §54
С—9.3. Уравнение касательной §55, п. 2
С—9.4*. Дифференцируемые функ- ции и дифференциал §56
С—9.5. Производная произведе- ния, частного, композиции функций §57
Продолжение
Номер работы Тема самостоятельной работы Параграф, пункт учебника
С—9.6. Первообразная. Элемен- тарные свойства первооб- разных. Таблица первооб- разных § 58, пп. 2, 3, 4
С—9.7. Неопределённый интеграл §59
С—9.8. «Французские» теоремы §60
С—9.9. Исследование функции на монотонность с помощью производной §61, п. 1
С—9.10. Исследование функции на экстремумы с помощью производной §61, п.2
С—9.11. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке §61, п.З
С—9.12. Решение текстовых задач с использованием производ- ной § 61, п. 4
С—9.13. Производные высших по- рядков. Выпуклые функ- ции §62
С—9.14. Построение эскизов графи- ков с помощью производ- ной § 63, п. 1
С—9.15. Доказательство неравенств с помощью производной §63, п. 2
К—3 Глава IX
С—10.1. Площадь криволинейной трапеции §64
С—10.2. С—10.3. Определённый интеграл §65, п. 1
С—10.4. Расширение понятия опре- делённого интеграла §65, п.2
б]
Продолжение
Номер работы Тема самостоятельной работы Параграф, пункт учебника
С—10.5. Интеграл с переменным верхним пределом §65, п.4
С—10.6. Свойства определённого интеграла § 66, пп. 1, 2
С—10.7. Применение подстановки при интегрировании §66, п.З
С—10.8. Вычисление площадей §67, п. 1
К—4 Глава X
С—11.1. Алгебраическая форма за- писи комплексного числа г § 68, пп. 2, 3, 5
С—11.2. Решение квадратных урав- нений. Комплексные числа и многочлены §68, п. 6
С—11.3. Геометрическое представле- ние комплексных чисел § 70, п. 1
С—11.4. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел § 70, пп.2, 3
К—5 Глава XI
С—12.1. Классическое определение вероятности §74, п. 5
С—12.2. Условная вероятность. Схема Бернулли. Формула полной вероятности. Фор- мула Байеса §74, 75
С—12.3. Геометрическая вероятность §76
К—6 Глава XII
С—13.1. Уравнения высших степе- ней §77
С—13.2. Рациональные уравнения и неравенства §78
1Z
Продолжение
Номер работы Тема самостоятельной работы Параграф, пункт учебника
С—13.3. Системы алгебраических уравнений. Однородные и симметрические системы § 79, пп. 2, 3
С—13.4. Уравнения и неравенства с параметром. Аналитическое исследование §80
С—13.5. Графический метод ре- шения уравнений и не- равенств с параметром в плоскости (х; а) §82
С—13.6. Иррациональные уравнения §84
С—13.7. Иррациональные неравен- ства §85
С—13.8. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром §86
С—13.9. Показательные уравнения §87, п. 1
С—13.10. Показательные неравенства §87, п.2
С—13.11. Логарифмические уравне- ния §88, п. 1
С—13.12. Логарифмические неравен- ства §88, п. 2
С—13.13. Логарифмические неравен- ства с параметром §88, п. 2
С—13.14. Тригонометрические урав- нения §89, пп. 1, 2
С—13.15. Тригонометрические нера- венства §89, п. 5
С—13.16. Отбор корней в тригономе- трических уравнениях §89, п. 6
К—7 Глава XIII
0-8.1.__________________________________________
Понятие предела функции
Вариант 1
1. Дана функция f(x) = 2x + l. Докажите, что limf (х) = 3.
X —1
2. Постройте график функции f, которая в точке а не име-
ет предела, но в этой же точке принимает своё наиболь-
шее значение, причём Df=R.
3. Дана функция Л(з) = -. Докажите, что lim A (z) 5*1.
Z 2 “* 2
Вар и ант 2 *
1. Дана функция f (х) = | х - 2. Докажите, что lira f (х) = 1.
2. Постройте график функции f, которая в точке а не име-
ет предела, но в этой же точке принимает своё наимень-
шее значение, причём Df=R.
3. Дана функция Л(з) = --. Докажите, что Нш/г(г)*2.
Z 2 2
0-8.2.
Предел функции на бесконечности
Вариант 1
Зх
1. Докажите, что функция f (х) = ---1,5 бесконечно ма-
ZtX JL
лая при х—>оо.
2. Найдите луч (М;+оо), на котором выполняется неравен-
ство | х2-4х + 3 |> 104.
3. Постройте график функции г/ = /(х), для которой одно-
временно выполняются условия:
1) lim/(x) = 5,/(2) = 5; 2) lim f (х) = -1, Д-3) = 1;
х—* 2 х—♦—3
3) lim / (х) = -2, функция возрастает на (-оо; 2].
9
4. Приведите пример функции f, такой, что lim f(x)-+oo
и выполнено условие (если привести пример невозмож-
но, объясните почему):
а) для любого М>0 найдётся число k, такое, что для
всех x<k выполнено неравенство f(x)<M\
б) для всех чисел k>0 найдётся число x>k, такое, что
/(«)<2;
в) можно выбрать такую последовательность хь х2, ...,
хп, что lim хп -+оо и lim (f (х„)) = 2.
Вариант 2
1. Докажите, что функция ф (х) = -^х + 5 бесконечно боль-
-----------------------------------4
х-4
шая при х—> оо.
2. Найдите луч (М;+<х>), на котором выполняется неравен-
ство
х +1
х2+3х
<0,001.
3. Постройте график функции y = f(x), для которой одно-
временно выполняются условия:
1) lim /(х) = -3, /(-1) = 2;
х -*-1
2) lim/(x) = -2, f(0)=-2;
х-*0
3) lim /(х) = 3, Я(/) = (-3;5].
X —► оо
4. Приведите пример функции f, такой, что lim f(x)--oo
Х->+оо
и выполнено условие (если привести пример невозмож-
но, объясните почему):
а) для любого М>0 найдётся число k, такое, что для
всех x<k выполнено неравенство /(х)>-М;
б) для всех чисел k>0 найдётся число x>k, такое, что
/(х)>-2;
в) можно выбрать такую последовательность хь х2,
хп, что lim х„ =+оо и lim (/(х„)) = -2.
10
Вычисление предела функции
на бесконечности
Вариант 1
1. Найдите предел:
f 3 7 А
a) lim — +--57= +1 ;
х-Ц2х З-Vx )
в) lim sin 2лх *
X — оо X2 + 1
(у+ 1)50(</ +2)60
’ у-*°° (2у + 3)110
г) lim (х - Jx2 + Зх - 4
X —*+оо \
2. Исходя из определения предела, докажите, что
1-х3
lim —— = -оо.
X —♦+оо X2
3*. Приведите пример такой функции f, что lim f(x) = l, а
х —* оо
lim /(/(х)) = 0.
X —* ОО
Вариант 2
1. Найдите предел:
. ( 2 3 j
a) hm . +----2 ;
Х^-°О^75-Х х ?
, л 1
в) lim cos — х • ——;
х-оо 2 х4+1
б)
lim (у ~ 1)5°(у ~ 2)60 •
P-со (21/-1)110 ’
г) lim (Jx2 + х -1 - Jx2 - х +1
X -* +ОО х
Д) lim У*3 х + х
«-+=» ^х2+1 -л/х
2. Исходя из определения
предела, докажите, что
1 -- уЗ
lim
с—►-co
3*. Приведите пример такой функции f, что lim f (х) = -1,
х-»оо
a lim f (f (х)) = 0.
X -* ОО
11
Вычисление предела функции в точке
Вариант 1
1. Найдите предел:
. х4-4х + 3
a) lim —-----;
х—1 2х3 - Зх2 +1
ч .. J1 + 2X-3
в) lim —j=--;
*-4 ух-2
б) lim
х--3
6 \
х2 -9)’
г) lim ---=•
’ X—1 1 + ^/х
1
х + 3
2. Приведите пример функций f и g, таких, что выполнено
условие (если привести пример невозможно, объясните
почему):
а) не существуют lim f (х) и lim g (х), но существует
х —► 1 х —♦ 1
lim f (х) • g (х);
х —♦ 1
f (Л-)
б) существуют lim g (х) и lim —-—, но не существует
х-1 х-1£(х)
lim f (х).
X —► 1
Вариант 2
Найдите предел:
. .. Зх4-4х3 + 1
a) lim-------;
х-1 Зх - х3 - 2
. х2-25
в) lim--.
1.
б)
1-х3 Г
г)
lim —-=
1-Vx
1
lim.
х —1 I 1-х
3
2.
Приведите пример функций f и g, таких, что выполнено
условие (если привести пример невозможно, объясните
почему):
а) не существуют lim f (х) и lim g (х), но существует
х->1 х —♦ 1
lim (f (х) + g (х));
х —»1
б) существуют lim (f (х) + g (х)) и lim (f (х) - g (х)), но не
существуют lim f (х) и lim g (х).
(Э-8.5
Первый замечательный предел
Вариант 1
Вычислите предел:
. ,. sin Зх2
1. lim-----.
x —♦ 0 1-cosx
. 1 - COS3 X
2. lim---------
x—о xsin2x
3. lim х
х-*0
1
cos —
, Злх
1 + cos--
2
4. lim . —.
* — 2 ^x2 -1 - ^4x-5
_ ,. 2 cos2 x - 3 cos x +1
5. hm------------------
, * Зх-л
з
_ sinx + sin3x + ... + sin(2n-l)x A7
6. hm-------------------------— при ne^.
z—о arcsinx
Вариант 2
Вычислите предел:
„ ,. cos Зх — 1
1. lim
о sin x2
2. lim—
z —0 X
1 4. )
--------ctg X .
sin x---J
3. lim х •
х —О
. 1
sin — .
X
itx
cos--
4. lim----!=
1-Vx
c . 2 sin2 x - 3 sin x +1
5. lim--------------------
6
6х —л
„ sin2x + sm4x + ... + sin2nx _r
6. hm-----------------------при neN.
z—о arcsinx
13
0-8.6.
Второй замечательный предел
и его следствия
Вариант 1
Вычислите предел:
1. lim f 4x-lY
х-*оо ^4x4-1 J
3. lim In (1 + kx)
х->0 X
5. lim gSin X _ 1
х —0 3x
при
k&R.
1
Пт Z \2 ~
2. lim (cos х) 2.
х -> О
. .. 1-3/ЗХ + 1
4. lim---------.
х-0 X
Вариант 2
Вычислите предел:
1. lim
X—>оо
2х + зУ
2х-1J '
3. lim ------при keR\O.
in (1 + kx)
2. lim (1 + sin x)ctg5.
x —* 0
. l-5/2x + l
4. hm------*-----.
x —о X
5. lim
х-»0
e‘gx_i
Зх ’
0-8.7,____________________________________
Вычисление пределов
Вариант 1
1. Вычислите предел:
а) Ит 6) limarctg(,= -4) ln (l + tg2x)
Vx2+1-1 Х-.2 х3-Зх-2 х^о ln(l + sin3x)
2. Приведите пример такой функции /, что не существует
lim f (х) и выполнено условие (если привести пример не-
возможно, объясните почему):
а) существует lim | f (х) |; б) существует lim ( f2 (х) + 1);
х —а х-*а
в) существует lim (f2 (х) + 2f (х) + 3);
х—
г) существует lim sin f (х).
х-*а
14
Вариант 2
1. Вычислите предел:
х ,. sin 4х + sin х
a) lim —г -------;
]im arctg(xB-l)
7 х—-i х2 -х-2
. ,. Ln (1 + arcsin 2х)
в) lim—---------------
х—о ln(l + tg5x)
2. Приведите пример такой функции f, что не существует
lim f (х) и выполнено условие (если привести пример не-
х->а
возможно, объясните почему):
а) существует lim f* 1 2 (х);
х -» а
б) существует lim (| f (х) | -1);
х-*а
в) существует lim (f2 (х) + 2f (х) + 4);
х —* а
г) существует lim cos f (х).
х-*а
@-8.8.
Сравнение бесконечно малых
и бесконечно больших функций
Вариант 1
1. Найдите вещественное число а, такое, что функции а“ и
Р будут одного порядка малости при х—>1, если
а (х) = -Jl - Vx и Р (х)=х -1.
2. Найдите вещественное число а, такое, что функции а" и
Р будут бесконечно большими одного порядка при х—► оо,
если а(х) = 1п (2 + е3 4 **2) и Р(х) = х.
3. Вычислите предел, пользуясь теоремой о замене беско-
нечно малых функций эквивалентными:
. ,. arcsin2 5х
a) lim----------
х —О l-cos2x
. In (х2 - Зх + 3)
б) lim —----------
х—1 х2-7х + 6
X + €пх
4. Постройте график функции /(х)= lim --------------
п -* +ОО 1 -f- grtx
15
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
Найдите вещественное число а, такое, что функции
а° и р будут одного порядка малости при х -> 1, если
а(х) = 1п(х2 + 2х-2) и Р(х) = х-1.
Найдите вещественное число а, такое, что функции аа и
Р будут бесконечно большими одного порядка при х—» оо,
если а (х) = ^/з + >/х и Р(х) = х.
Вычислите предел, пользуясь теоремой о замене беско-
нечно малых функций эквивалентными:
. arctg 6х .. ?/х3 + 7х4
a) hm——=----; б) lim ---------.
’ х — о е2*-1 х — о 1п(1 + 4х)
Постройте график функции f (х) = lim (х +1) arctg ——-—-.
X ~*+оо Хг"+1
е-8.9.
Непрерывность функций
Вариант 1
1.
Дана функция f (х) =
2.
3.
2х + 1
при х < -1,
при -К х < 2,
2-х2
-3 при х >2.
а) Исследуйте функцию на непрерывность и постройте
её график.
б) Найдите lim f (х), lim/(x), limf(x).
х-»-2 х->0 х->5
Исходя из определения непрерывности (в терминах
х ч- 3
Е — 5), докажите непрерывность функции у —----в точ-
2 — Зх
1
ке х - -.
2
Найдите все значения параметра а, при которых функ-
х2 - 4
--------------- при х > а,
х-а------------непрерывна.
х3 + 4 при х С а
ция f (х) =
16
Вариант 2
3 при х < -2,
1. Дана функция f (х) =
х2 +1 при -2 < х < 2,
5
--- при х 2.
х-1
а) Исследуйте функцию на непрерывность и постройте
её график.
б) Найдите lim f (х), lim f (х), lim f (x).
x-»7 x -* 1 x->-3
2. Исходя из определения непрерывности (в терминах
е — 5), докажите непрерывность функции у = Jx + 4 в
точке х = 5.
3. Найдите все значения параметра а, при которых функ-
х2 - 9
ция f (х) = х-а
при х > а,
непрерывна.
х3+ 21 при х < а
(Э-8.10.
Разрывы функции
Вариант 1
_ ... In (1 - Зх) „
1. Функция т (х) =---- не определена в точке х = 0.
х
Найдите значение /(О), при котором функция f стала бы
непрерывной при х = 0.
2. Найдите все значения k, при которых функция
9 . - kx при х < -1,
Нх) = ' kx -2 при -1 х =% 2, непрерывна на R. /?2х2-4/?х-2 прих>2
3. Функции f и g таковы, что fg и f-g непрерывны на R.
Будет ли функция f+g непрерывна на R?
2-681
1л
Вариант 2
1.
Функция f (х) =
23х —1
Зх
не определена в точке х = 0. Най-
дите значение /(0), при котором функция f стала бы не-
прерывной при х=0.
2. Найдите все значения k, при которых функция
f(x) =
— k* 1 2x при х < -1,
kx2 при -К х < 2,
kx— 4 при х > 2
непрерывна на R.
3. Функции f и g таковы, что fg и f + g непрерывны на R.
Будет ли функция f-g непрерывна на jR?
Корни непрерывной функции.
Промежуточные значения
Вариант 1
1. Докажите, что уравнение х3 —5х + 3 = 0 на промежутке
[—3; —2] имеет корень, и найдите значение этого корня с
точностью до 0,1.
2. Функция f непрерывна на отрезке [2; 5] и принимает на
нём только рациональные значения. Найдите /(е) и /(л),
7
если f (4) =
3. Пусть f непрерывная на отрезке [0; 2] функция, причём
/(0) = 0 и /(2) = 2. Докажите, что уравнение /(х) = 2-х
имеет хотя бы один корень на интервале (0; 2).
4*. Выясните, существует ли непрерывная на R не имею-
щая корней функция /, такая, что при всех значениях
хе/? выполняется условие
Их)
/(х-1)
= -2.
18
Вариант 2
1. Докажите, что уравнение х3 + х-11 = 0 на промежутке
[2; 3] имеет корень, и найдите значение этого корня с
точностью до 0,1.
2. Функция f непрерывна на отрезке [1; 2] и принимает на
нём только иррациональные значения. Найдите /(1), ес-
3. Пусть f и gнепрерывные на отрезке [а; &] функции, при-
чём g(a)>f(a) и §(&)</(&). Докажите, что уравнение
f (x)-g(x) имеет хотя бы один корень на интервале (а; Ь).
4*. Выясните, существует ли непрерывная на R не имеющая
корней функция f, такая, что при всех значениях х е R
выполняется условие f(x) + f(x + 1) • f (2х) • f(2x+ 1) = 0.
(Э-8.12,
Свойства функций, непрерывных
на отрезке
Вариант 1
1. Приведите пример функции f, определённой на отрезке
[-1; 1] и не обращающейся на этом отрезке в нуль, та-
кой, что /(-1)<0, /(1)>0.
2. Функция f непрерывна на луче [0;+оо) и lim /(х) = 3.
X -* 4-00
Докажите, что функция f ограничена на интервале
[0; +оо).
3.
Известно, что для некоторого числа а и произвольного
хей выполнено равенство f (х + а) =
1 + / (х)
1-/(х)’
а) Докажите, что функция f периодическая.
б*) Может ли функция f быть непрерывной на 7??
4. Сколько существует различных непрерывных на R
функций, графики которых лежат на объединении пря-
мых г/= 1, у = х, у=-х, г/ = 2х-2?
19
Вариант 2
1. Приведите пример функции f, непрерывной в точке х0,
и функции g, разрывной в этой точке, произведение ко-
торых fg есть функция, непрерывная в точке х0.
2. Функция f непрерывна на промежутке (1; 3] и lim f (х) = 2.
х—> 1
Докажите, что функция f ограничена на промежутке
(1;3].
3. Известно, что для некоторого числа а и произвольного
2
хеR выполнено равенство / (х + а) = 2 - - .
а) Докажите, что функция f периодическая.
б*) Может ли функция f быть непрерывной на 7??
4. Сколько существует различных непрерывных на R
функций, графики которых лежат на объединении пря-
мых у — 1, у = х, у=—х, у = 2х + 1?
Q-8.13.___________________________________________
Односторонние пределы.
Асимптоты графика функции
Вариант 1
1. Определите односторонние пределы функции:
a) f (х) = 7 при х 3;
(х - З)3
ч cos х _
б) =-------— при х->0.
3 — 2sin *
2. Найдите асимптоты графика функции:
a) f (х) = +5; б) /(x) = xsin—.
Зх + 1 х
3. Приведите примеры функций, графики которых имеют:
а) две различные горизонтальные асимптоты;
б) наклонную и горизонтальную асимптоты.
20
л
Вариант 2
1. Определите односторонние пределы функции:
a) f(x)=, , 1ЧЗ ПРИ х-»-1;
(х + I)3
б) f (х) = при х — 0.
х3 -Зх
2. Найдите асимптоты графика функции:
a) f (х) = + 3 ; б) /(х) = х • arctgx.
5х-1
3. Приведите примеры функций, графики которых имеют:
а) две различные наклонные асимптоты;
б) наклонную и вертикальную асимптоты.
@—9.1.__________________________________
Вычисление производной по определению
Вариант 1
1. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции f(x) = x2-x в точке х0=2.
2. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции f (х) = ——- в каждой точке области опреде-
ления.
3.
Дана функция f (х) = •
Л (2).
1 при X < 1,
х2 при X > 1.
Вычислите /'(1),
4. Верно ли, что если для двух функций f и g, заданных
на R, в каждой точке области определения выполняется
неравенство f (x)<g(x), то неравенство f (x)<g'(х) верно
и для производных?
5. Приведите пример функции, которая непрерывна в
каждой точке вещественной оси и не имеет производной
ровно в трёх точках.
6. Существует ли производная функции у = х | sin х | в точке 0?
21
Вариант 2
1. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции f(x)-x2jrx в точке х0= 1.
2.
Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции f{x) =——
в каждой точке области опреде-
3.
ления.
Дана функция f (х) =
Г(1), Л(2).
-1 при X < 1,
—х2 прих>1.
Вычислите /'(0),
4. Функции f и g определены на R, имеют производные
в каждой точке их области определения. Верно ли, что
если в каждой точке области определения выполняется
неравенство f (x)<g'(х), то неравенство f(x)<g(x) верно
и для исходных функций?
5. Приведите пример функции, которая непрерывна в
каждой точке вещественной оси и не имеет производной
только в точках 1 и 2.
6. Существует ли производная функции у — х | cos х | в точке 0?
@-9.2.__________________________________________
Производные некоторых
элементарных функций
Вариант 1
1. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции f(x) = e~*.
2. Вычислите производную функции, пользуясь известны-
ми производными:
а) /(х) = Зх2-4х12 + 2; б) /(x)=sinx-x-2;
в) f (х) = 2х -31og2 х + 2-Ух.
3. Вычислите производную функции /(х) = 4х • 6X+1 -log3x3.
4. Решите неравенство /'(х)>0, если f (х) = cos х +
V2
5. Укажите две функции, производные которых равны
функции /(x) = cosx + x2.
6. При каких значениях параметра а производная функ-
ции f (х) = 3х + а sin х принимает значения одного знака
на всей области определения?
22
Вариант 2
1. Пользуясь определением производной, найдите производ-
ную функции /(х) = 1п(х + 2).
2. Вычислите производную функции, пользуясь известны-
ми производными:
а) /(х)=2х8-х15 + 1; б) f (x) = cosx + 2x-l;
в) f (х) = 5 • 3х + log3 х + 0,5>/х.
3. Вычислите производную функции /(х) = Зх+2 5x-log2x5.
4. Решите неравенство f'(x)>0, если f (х) = sin х +
5. Укажите две функции, производные которых равны
функции /(x)=-sin х + х3.
6. При каких значениях параметра а производная функ-
ции /(x) = 3x + acosx принимает значения одного знака
на всей области определения?
@-9.3.__________________________________________
Уравнение касательной
Вариант 1
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = Зх2-2х + 1 в точке с абсциссой х0 = 2.
2. Напишите уравнения всех касательных к графику функ-
ции г/ = х2-2х, проходящих через точку (1;-10).
3. В каких точках касательная к графику функции у = 2 sin х
параллельна прямой у = х - — + >/з?
3
4. При каком значении параметра а прямая у=ах-2 каса-
ется графика функции г/ = -2\/х?
5. Изобразите множество точек на координатной плоско-
сти, через каждую из которых можно провести две ка-
сательные к графику функции z/ = x2-4x + 3.
23
Вариант 2
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = 2x* 1 2 + 3x-1 в точке с абсциссой х0=-2.
2. Напишите уравнения всех касательных к графику функ-
ции у-х2 + 2х, проходящих через точку (—1; —10).
3. В каких точках касательная к графику функции
у = 2 sin х параллельна прямой у - >/Зх — —= +1?
4. При каком значении параметра а прямая у = ах + 2 каса-
ется графика функции у - 2л/х ?
5. Изобразите множество точек на координатной плоско-
сти, через каждую из которых можно провести две ка-
сательные к графику функции г/ = х2 + 4х + 3.
0-9.4*.
Дифференцируемые функции
и дифференциал
Вариант 1
1. Сравните значения приращения и дифференциала функ-
ции /(х) = 2х3 в точке х0 = 1, если приращение аргумента
равно:
а) Дх = 0,1; б) Дх = 0,01; в) Дх = 0,001.
.. Af-df(x0)
Покажите, что hm-------------= 0.
Ах-* 0 Дх
2. Найдите дифференциал функции г/ = х4 в точке хо = 1О и
с его помощью вычислите приближённо значение функ-
ции при х = 9,998.
3. Найдите дифференциал функции y = 32'l[x в точке
х0 = 256 и с его помощью вычислите приближённо зна-
чение функции при х = 255.
4. Функции f+g и fg дифференцируемы на R. Верно ли,
что функция f-g тоже будет дифференцируемой на 7??
24
Вариант 2
1. Сравните значения приращения и дифференциала функ-
ции f(x) = x3 в точке х0 = 2, если приращение аргумента
равно:
а) Дх = 0,1; б) Дх = 0,01; в) Дх = 0,001.
Покажите, что lim ——= 0.
Дх-»0 Дх
2. Найдите дифференциал функции у = х5 в точке хо = 1О и
с его помощью вычислите приближённо значение функ-
ции при х= 10,002.
3. Найдите дифференциал функции у = 27 Vx в точке
х0 = 729 и с его помощью вычислите приближённо зна-
чение функции при х = 728.
4. Функции f-g и fg дифференцируемы на R. Верно ли,
что функция f+g тоже будет дифференцируемой на Я?
@-9.5.___________________________________
Производная произведения, частного,
композиции функций
Вариант 1
1. Найдите производную функции:
а) /(x) = arcsin х • log2x; б) f (х) = sinJ*x ;
Vx
в) f(x) = sin3x2; г) /(x) = ln arctg 2х.
2. Найдите производную функции f в точке х0, если:
а) /(х) = (х2-2)100, х0=1;
б) /(x) = log3x • sin х • arctgx • (х-1) • >/х, х0 = 1;
в) f (х) =
3sin3 х - 2 sin2 х + sin x - 4
2 sin2 x + sin x — 4
7C
Xo= —.
° 2
При каких значениях параметров а и b функция
х2+ах + Ь прих>0,
sin х • еах при х<0
f (х) = •
дифференцируема в каждой
точке области определения?
25
Вариант 2
1. Найдите производную функции:
a) f(x) = arccosx • log3x; б) f (х) = со^х;
л/х
в) /(x) = cos2x3 4 5; г) f (x) = log2arcctge*.
2. Найдите производную функции f в точке х0, если:
а) /(х) = (х3 + 2)100, х0=-1;
б) f (x) = log2x • cos х • arcsin (x-1) • Vx, x0 = 1;
в) /(x) =
cos3 x - 2 cos2 x + 3 cos x - 7
2 cos2 x + cos x + 6
x0 = 7t.
3. При каких значениях параметров а и b функция
х2 +(2а + 1)х + Ь прих^О,
/ (х) - , . _ дифференцируема в
a arctg х• е~Ьх прих<0 н
каждой точке области определения?
0-9.6.____________________________________
Первообразная.
Элементарные свойства первообразных.
Таблица первообразных
Вариант 1
1. Найдите какую-либо первообразную функции
, . . 2х2 - х -1 _
Т (х) =------ при х>0.
X
2. Докажите, что функция G (х) = arctg (Зх + 1) + 5 является
з
первообразной функции g(x) —----------.
9х2 + 6х + 2
3. Найдите первообразную функции h (х) = | х - 21 +1, гра-
фик которой проходит через точку М (-1; 0).
4. Верно ли, что если первообразная периодической функ-
ции существует, то обязательно является периодической?
5. Докажите, что функции f(x) = 2x-l и g(x) = x2 + 3x-3
имеют первообразные, графики которых касаются в точ-
ке с абсциссой 1.
26
Вариант 2
1. Найдите какую-либо первообразную функции
, . , 2х* 1 2 + Зх + 8 _
Т (х) =-------при х> 0.
X
2. Докажите, что функция G (х) = arctg (2х-1)-3 является
первообразной функции g(x) =----------.
2х2 - 2х +1
3. Найдите первообразную функции h (х) = | х + 21-1, гра-
фик которой проходит через точку М (1;0).
4. Верно ли, что первообразная функции, ограниченной на
промежутке, если существует, то обязательно является
ограниченной функцией?
5. Докажите, что функции f(x)-2x + l и g(x) = x2 + x-l
имеют первообразные, графики которых касаются в точ-
ке с абсциссой -1.
0-9.7.
Неопределённый интеграл
Вариант 1
1. Найдите ( ,
J V16-25x2
2. Найдите все первообразные функции f(x)~—— на
COS X
графики которых проходят через точку
3. Найдите J tg3 xdx при < х <
4.
Найдите первообразную функции f (х) =----,
заданной
на промежутке (0,5;+оо), график которой касается пря-
мой у = 4х-4.
5. Найдите Jx2xdx.
27
Вариант 2
Г НаЙДИТеЬ25-Х16^'
2. Найдите все первообразные функции f (х) =ctg Х на
sin х
графики которых проходят через точку
м(—; -11
I4 5 J
3. Найдите jtg4 xdx.
4.
Найдите первообразную функции f (х) =
6
Зх-2’
заданной
на промежутке
мой у = 2х-2.
2 )
—; +оо , график которой касается пря-
О /
5. Найдите Jx3*dx.
(Э-9.8.__________________________________________
«Французские» теоремы
Вариант 1
1. Вычислите значение с в теореме Лагранжа для функции
f на отрезке:
a) f{x)=x4, [2; 4]; б) /r(x) = arcsin х, [0; 1].
2. Докажите, что производная многочлена /(х) = (х + 1)х
х(х2-9)(х-2) имеет три корня.
3. Используя теорему Лагранжа, докажите справедливость
неравенства при а, &б[0;+<х>).
4. Найдите точку графика функции f (х)=х2 + 4х-2, в ко-
торой касательная параллельна хорде, соединяющей
точки (0;-2) и (1; 3).
2х
5. Докажите тождество ^ + х2 -2 arctgх при -1<х<1.
28
Вариант 2
1. Вычислите значение с в теореме Лагранжа для функции
f на отрезке:
a) f(x) = x3 4 *, [1; 5]; б) f(х) = arctgх, [0; 1].
2. Докажите, что производная многочлена f(x) = (x + l)x
х(х-9)(х2-4) имеет три корня.
3. Используя теорему Лагранжа, докажите справедливость
неравенства |е“-е6|^|а-б| при а, Ье(-оо;0].
4. Найдите точку графика функции f (х) = х2-2х + 3, в ко-
торой касательная параллельна хорде, соединяющей
точки (-2; 11) и (1; 2).
5. Докажите тождество arcctg х + arcctg -—— = — при х < -1.
1 + х 4
Q-9.9.
Исследование функции
на монотонность с помощью
производной
Вариант 1
1. Найдите промежутки монотонности функции:
a) f(x) = x3 + x2-5x + 6; б) /(х) = х~—;
х
в) f(x) = x-e~; г) у = <2 + *)2.
(х -1)3
х^ 5
2. Сколько корней имеет уравнение-----х2ч---= 0?
4 3 12
3. При каких значениях параметра k уравнение x + cosx = fe
имеет единственный корень?
4. При каких значениях параметра а функция f (x) = cosax
убывает на отрезке [0;1] и возрастает на отрезке
[-1;0]?
29
Вариант 2
1. Найдите промежутки монотонности функции:
a) f (х) = х3 —2х2 + х + 5; б) f(x) = -x + —;
(1 4" Х^
в) /(х) = х2-1пх; г) у = --—.
(X — о)
х^ 8
2. Сколько корней имеет уравнение — н----х2 + — = О?
4 3 3
3. При каких значениях параметра k уравнение x + sinx = &
имеет единственный корень?
4. При каких значениях параметра а функция f(x)=-cosax
возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на отрезке
[-1;0]?
0-9.10.________________________________________
Исследование функции на экстремумы
с помощью производной
Вариант 1
1. Найдите критические точки и точки экстремума функ-
ции:
a) f(x) = sinx-|; 6) /(х)-(х-1)-(х + 2)«;
в) /(х) = |х2 + 2х-3|.
2. Найдите критические точки и точки экстремума функ-
ции f (х) = ^2 - х | х |.
3. При каких значениях параметра а функция f (х) = sin —
х
имеет ровно 2 экстремума на промежутке [а; +оо)?
4. Существует ли значение а, при котором функция f(x)~
-а sin х + 0,5 sin 2х + 3х имеет экстремум при х=я?
зо I
Вариант 2
1. Найдите критические точки и точки экстремума функ-
ции:
a) /'(x) = cosx-|; б) f (х) = (х + 1)4(х-2)5;
в) f (х) = |х2-4х + 3 |.
2. Найдите критические точки и точки экстремума функ-
ции / (х) = ^1-х|х|.
Я
3. При каких значениях параметра а функция f (х) - cos —
имеет ровно 2 экстремума на промежутке [а; +оо)?
4. Существует ли значение а, при котором функция f(x) =
It
=а cos х-0,5 sin 2х + 3х имеет экстремум при х = —?
Ci
@-9.11._________________________________
Нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции на промежутке
Вариант 1
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на множестве:
а) / (x) = msmx при-=Сх^—;
4 6
б) f (х) = ^- + ^--х2-2х + 3 при хе Д;
в) f(х) = (х3-32)|х| при -1<х^3.
2. Найдите множество значений функции f(x) = e*-sinx на
промежутке
п
2
я
3. Найдите на параболе у = х2 точку, ближайшую к точке с
координатами (3; 0).
4. При каких значениях параметра а наименьшее значе-
ние функции f (х) = х - — достигается на одном из концов
X
отрезка [1; 9]?
31
1.
2.
3.
4.
Вариант 2
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на множестве: л л
a) f(x) = lncosx при—^х< —;
4 3
Х&
б) f(x) = —-—-х2 +2х + 3 при хе/?;
в) f (х) = (-Xs - 32) | х | при -3 < х < 1.
Найдите множество значений функции f(x) = ex-cosx на
л
промежутке 0; — .
Найдите на параболе у=-х2 точку, ближайшую к точке
с координатами (-3; 0).
При каких значениях параметра а наибольшее значение
функции f (х) = -х + — достигается на одном из концов
X
отрезка [2; 7]?
0-9.12._________________________________________
Решение текстовых задач
с использованием производной
Вариант 1
1. Из всех равнобедренных треугольников с периметром 2
найдите тот, площадь которого наибольшая.
2. Какую наименьшую площадь поверхности имеет пря-
мой круговой цилиндр с объёмом 1?
3. Число 4 представьте в виде суммы двух слагаемых так,
чтобы произведение первого слагаемого и куба второго
было наибольшим.
Вар и ант 2
1. Из всех прямоугольных треугольников с гипотенузой 2
найдите тот, площадь которого наибольшая.
2. Какой наибольший объём имеет прямой круговой ци-
линдр с площадью поверхности 2л?
3. Число 4 представьте в виде разности двух чисел так,
чтобы произведение второго (вычитаемого) и куба перво-
го (уменьшаемого) было бы наименьшим.
321
Производные высших порядков.
Выпуклые функции
Вариант 1
1. Найдите f(566)(x), если:
а) /(х) = х239;
б) /?(х) = (х239 + х30 + 1)2(х8 + 5х)11;
в) /(x) = cos2x.
2. Исследуйте на выпуклость функцию:
a) /(х)=х • «г*2; б) /(x)=sin2x.
3. Пользуясь вогнутостью логарифма на отрезке [1; е], до-
кажите, что In 2 > —1—.
е-1
4. Исследуйте на выпуклость функцию /(x) = xlnx. Дока-
жите, что если 0,1>х>у>0, то выполняется неравенство
In f х + > х In х + у in у
I 2 ) х + у
Вариант 2
1. Найдите f(239)(x), если:
а) /(х) = х201;
б) /(х) = (х95 + х30 + 1)2(х4 * * 7 + 5х)7;
в) /(x) = sin3x.
2. Исследуйте на выпуклость функцию:
а) /(х) = х2 • е-*; б) f(x) = cos2x.
3. Пользуясь вогнутостью функции f (х) - arctg х на отрез-
ке [0; 1], докажите, что arctg
5
4. Исследуйте на выпуклость функцию f(x) = xlnx. Дока-
жите, что если х>у>1, то выполняется неравенство
In ( * + < xlnx + ylny
2 J" х + у
3-681
133
Построение эскизов графиков
с помощью производной
1.
В ар и ан т 1
Постройте эскиз графика функции у =----------
(х +1)3
2. При каких значениях вещественного параметра а урав-
х%
нение ——+ — + х2-а = О имеет единственный положи-
тельный корень?
3.
Сколько корней
имеет уравнение f(x) = a,
если
f (х) =
* + 1 ?
+1
4*. Постройте график функции g, определённой следую-
щим образом: g(x) равно наибольшему значению функ-
ции f (t)=-t3 + 3t на отрезке [х-3;х].
Вариант 2
1. Постройте эскиз графика функции у =
х4
(х-1)3’
2. При каких значениях вещественного параметра а урав-
Х^ х$
нение —-----— + х2 - а = 0 имеет единственный отрица-
4 о
тельный корень?
3. Сколько корней
имеет уравнение f(x) = a,
если
~x + 1 ?
Vx2 +1 '
f(x) =
4*. Постройте график функции g, определённой следую-
щим образом: g(x) равно наибольшему значению функ-
ции /(#) = #3 —3^ на отрезке [х;х + 3].
34
(Э-9.15.
Доказательство неравенств
с помощью производной
Вариант 1
1. Докажите, что
х2-1 >2 In х.
2. Докажите, что
ех + е~х^2 + х2.
при х>1 выполняется неравенство
при х^О выполняется неравенство
3. Докажите, что при 0<х<у<п выполняется неравенство
i/sinx<xsin у.
4. Докажите, что при х, г/^0 выполняется неравенство
2х3 + 3х2у- 12xz/2 + 7у3^0.
Вариант 2
1. Докажите, что при х>1 выполняется неравенство
2. Докажите, что при х>0 выполняется неравенство
х2 х4
COSXS1-- + -.
3. Докажите, что при 0<и<п<л выполняется неравенство
и sin и<и sin V.
4. Докажите, что при х, i/^О выполняется неравенство
x3 + 3x2y-9xy2 + 5z/3^0.
35
Площадь криволинейной трапеции
Вариант 1
1. Пользуясь определением площади криволинейной
трапеции, найдите площадь под графиком функции
f(x) = 2x-l на отрезке [1; 2].
2. Пользуясь определением площади криволинейной тра-
пеции, найдите площадь под графиком функции f(x) = 3x
на отрезке [0; 1] (разбейте отрезок интегрирования на от-
н
резки точками хк =Зл, /? = 0, 1, 2, ..., п и воспользуйтесь
ах — 1
пределом lim-----= In а).
х-»0 X
3. Задайте неотрицательную ограниченную функцию,
принимающую значения 3 и 5 (но не только их), на от-
резке [—1; 2], под графиком которой не существует пло-
щади.
Вариант 2
1. Пользуясь определением площади криволинейной
трапеции, найдите площадь под графиком функции
f(x)-2x +1 на отрезке [1; 2].
2. Пользуясь определением площади криволинейной тра-
пеции, найдите площадь под графиком функции f(x) = 2x
на отрезке [0; 1] (разбейте отрезок интегрирования на от-
*
резки точками хк — 2п, k = 0, 1, 2, ..., п и воспользуйтесь
пределом lim -—- = In а).
х — о X
3. Задайте неотрицательную ограниченную функцию,
принимающую значения 4 и 6 (но не только их), на от-
резке [-2; 1], под графиком которой не существует пло-
щади.
36
@-10.2.
Определённый интеграл
Вариант 1
Вычислите интеграл:
2
1. j(3x2 -x-l)dx;
1
1
3. J yj3x + Idx;
о
п
3
5. J(cosxcos3x)dx;
Л
6
Вариант 2
Вычислите интеграл:
-1
1. J (Зх2 + х -1) dx;
-2
О
3. | yj$x 4- 4dx;
л
4
5. [(sinхcos5x)dx;
2 г dx
Д(х + 4)2
1
4. j х^/Зх 4- Idx;
о
«k=-
J \J СлА A
2
2 f dx
J/x-6)2
0
4. j XyjSx + 4dx;
-i
6. f , dx
a ^3 + 4x — 4x2
137
0-10.3,
Определённый интеграл
Вариант 1
1. Вычислите интеграл, не прибегая к поискам первообраз-
ной:
4
a) j(|x + 2| + |x-5|)dx;
-3
о
б) J у13-2х- x2dx.
-1
2. Найдите все значения параметра а, для которых выполня-
г dx 1
ется -----= —.
J3x + 4 3
3*. Используя понятие определённого интеграла, найдите
л . 2л .лп
sin — + sin-1- ... + sin-
предел lim-------------------—.
x —oo n
Вариант 2
1. Вычислите интеграл, не прибегая к поискам первообраз-
ной:
1
a) j(|x + 4| + |x-2|)dx;
-5
-1
б) | yj-x2 - 6х - 5 dx.
-2
2. Найдите все значения параметра а, для которых выпол-
e
г dx 1
няется -------= -.
J5x-1 5
а
3*. Используя понятие определённого интеграла, найдите
а 2о па
(>п q п + в п
предел lim--------------при а>0.
П -»оо п
38
Расширение понятия определённого
интеграла
Вариант 1
1. Найдите ошибку в рассуждениях:
г dx _ f 1 1 А _ 1 (1 А _ J
J (2х-1)2 — \ 2 2х —1J 0~~2l ^1J~
2. Определите все значения р, при которых существует ин-
r dx
теграл J—.
а +1
3. Для каждого значения а найдите интеграл J f(x)dx,
4.
если
f (х) =
2х при х < О,
х2 прих>0.
При
каких значениях а выполнено
xdx
(х2-1)2
= 0?
Вариант 2
1. Найдите ошибку в рассуждениях:
г dx fl 1 А _ 1
^(2х + 1)2 ~ ^ 2 2x + lJ “ 2\
2. Определите все значения р, при которых существует ин-
г dx
теграл -----—.
Jx + 2p
3. Для каждого значения а найдите интеграл j f(x)dx,
а -1
(2х при х 0,
если f (х) =
[х2 прих>0.
. гт f xdx no
4. При каких значениях а выполнено —--------т = 0-
J (х2 -1)4
39
Интеграл с переменным
верхним пределом
Вариант 1
1. Найдите производную функции F (х):
2х .
х г, / \ f sin tat
a) F (х) = I --
' 2 +cost
о
2x .
sl\ -n i \ Г sin tat
6) F(x)= I ---------
2 + cos t
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
„ , ч f 2 + cos nt ,, .. _
г (х)= --------—at в точках ее пересечения с осью абс-
з 1
цисс.
Вариант 2
1. Найдите производную функции F(x), если
a) F (х) = J cos t2 dt = 0;
о
>/х
б) F (х) = J cos t2 dt при х> 0.
i
х
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
„ , . г 3 - sin nt _
г ух> ~ ; 5— аг = О в точках ее пересечения с осью
1 + tz
абсцисс.
40
(Э-10.6.__________________________________
Свойства определённого интеграла
Вариант 1
1. Положителен или отрицателен определённый интеграл:
п . 1
a) j dx; б) J х2 In xdxl
Зл х 1
2 2
2. Вычислите интеграл:
ч f /1 + cos 2х Г dx
a) J--------dx; 6х) , , ,
’ 2 J (ех + 1)(х2 +1)
О -1
3. Сравните по величине:
1 1
а) sin xdx и Je-x2 sin xdx;
о о
б)
J0Vx2+2
dx
n
и
Вариант 2
1. Положителен или отрицателен определённый интеграл:
2п . О
a)j^dx; б) jx32zdx?
it % -2
2. Вычислите интеграл: t
п ____________________ 2 .
а) [ Jl - cos 2xdx; б*) f------Х, —.
Jo < (ех +
2
3. Сравните по величине:
1 1
a) jx2 sin2 xdx и jx sin2 xdx;
о 0
i
r COSX , 1 f-
6) и -V2.
’ Дх2 + 1 3
|41
Q-10.7.________________________________
Применение подстановки
при интегрировании
Вариант 1
1. Вычислите интеграл:
ч г ах а) 1 1 ; J xlnx е 2 . 1 n sin— 6) J —f-dx; J -y-Z 1 It
в) j - f* ; Jo 1 + V2x + 1 It 3 r) J cos3 x sin 2 xdx. 0
3 2. Зная, что jf(x)dx = 2 8, найдите:
-0,4 a) j f (1 - 5x) dx ; -0,2 Я 2 6) | sin xf (2 + cos x) dx. 0
Вариант 2
1. Вычислите интеграл:
ч г ex dx Г x^ 6) J 1 8 dX' Jo 1 + x8
Я
4 3
в) [ ,Хб^Х ; г) [sin2x sin 2xdx.
6
3
2. Зная, что j/(х)dx = 8, найдите:
2
1
3 О
a) J/(l-3x)dx; б) J cos xf (2 - sin х) dx.
2 _я
3 2
Вычисление площадей
Вариант 1
1. Изобразите на координатной плоскости фигуру, ограни-
ченную линиями z/ = 6-O,5x3, у = 2х-2 и прямой х-0, и
найдите площадь этой фигуры.
2. Докажите, что при всех /г > О площадь фигуры, ограни-
ченной графиком функции y = k2x5-kx2 и осью абсцисс,
не зависит от k.
Вариант 2
1. Изобразите на координатной плоскости фигуру, ограни-
ченную линиями у=х2 — 4, у = 2 - 5х и прямой х = 0, и най-
дите площадь этой фигуры.
2. Докажите, что при всех /г > О площадь фигуры, ограни-
ченной графиком функции у = -^ х4 - — х9 и осью аб-
R R
сцисс, не зависит от k.
Алгебраическая форма записи
комплексного числа
Вариант 1
1. Запишите в алгебраической форме число:
о; _ к ;28 + ;22
a) (3i-l)(3i + l)-10i(i-2); б) —в)
i -1 г56
2. При каких значениях вещественных параметров х и у
сопряжены числа z^x2 + (y + 3)i и z2—x (у + l)-x2i?
3. Даны комплексные числа z, u = z+i-l nv-u(z + i). Най-
дите все такие числа z, что о = 0.
4. Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие ус-
ловиям г2 —5 + 121 и Imz>0.
5. Найдите комплексное число г, такое, что (z-2f)(3-i) +
+ (z(i-l) + 5 + 2i)(2-i) = 3i + 12.
z2 + z z + z2
6. Докажите, что число z2 _z ~ 2_2г вещественное при лю-
бом комплексном z.
43
Вариант 2
1. Запишите в алгебраической форме число:
31 + 5 ;зо _ #22
a) (4i-l)(4i+l)-17i(i-2); б)-г-; в) 1—1—.
2. При каких значениях вещественных параметров х и у
числа Zi=y2 + (x + 3)i и г2 = у (х +1)-y2i равны?
3. Даны комплексные числа z, u=z-i-l и v-u(z-i). Най-
дите все такие числа z, что р = 0.
4. Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие ус-
ловиям з2=15 + 8г и Rez<0.
5. Найдите комплексное число z, такое, что (z + 2i)(3 + i) +
+ (г (-i-l) + 5-2i)(2 + i)=-3i + 12.
23 +2 2 +23
6. Докажите, что число "3 —- ~ ~ -з вещественное при лю-
бом комплексном 2.
Вариант 3
1. Запишите в алгебраической форме число:
»566 1 ;239
б) —is—;
а) (1-04 +
(3- 2Q239 (-3 - 2г)239
В) (3i-2)239(2 + 3i)239 ’
2.
При каких значениях
вещественных параметров х и у
числа Zi = y2 + (y- 1)хг и z2 = 3i(y-l-x2) + ix2(3-i) равны?
3. Найдите пару комплексных чисел пир, для которых
одновременно выполняются равенства 3u + vi = 2 + 5i и
й i-2y = 3i-3.
4. Найдите все комплексные числа г, удовлетворяющие ус-
ловию z2 + 4iz + 11-0.
5. Найдите все натуральные числа и, для которых (1 —i)"=
=(1+0".
6. Найдите все вещественные числа а, такие, что число
ai + 1
“j является вещественным.
44
Вариант 4
1. Запишите в алгебраической форме число:
/ч 4-6
а) <1-0*+—;
р5 + /2008
/1001 ’
(1 - 6i)30 (1 + 6i)30
В) (6-i)30(-6-i)30 ‘
2. При каких значениях вещественных параметров х и у
числа Zi = x(i + yi) + i(j/-x-x2i) и z2=y2 + 4(x + l)i являют-
ся сопряжёнными?
3. Найдите пару комплексных чисел z и w, для которых
одновременно выполняются равенства 2z — iw — 5 + 3i и
3z +2w = 4- 5i.
4. Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие ус-
ловию iz2 + (l -i)z +5 + 6t = 0.
5. Найдите все натуральные числа п, для которых (1—i)"=
=-(l + i)n.
6. Найдите все вещественные числа а, такие, что число
ai + 1
----является вещественным.
1 + 2
(Э-11.2._______________________________________
Решение квадратных уравнений.
Комплексные числа и многочлены
Вариант 1
1. Решите квадратное уравнение:
а) х2 + 15 = 0; б) х2 — 4х + 5 = 0; в) х2 + 3х +10 = 0.
2. Приведите пример многочлена третьей степени с веществен-
ными коэффициентами, у которого есть корни 5 и 3 + i.
3. Число 1 + i является корнем уравнения х3 4 - ах2 + 2bx - Ъ = 0,
где а и Ь — вещественные числа. Найдите а, b и осталь-
ные корни этого уравнения.
4. При каких значениях параметра а многочлен z3 + az2 +
+ iz + i-l делится на z + i-1?
45
Вариант 2
1. Решите квадратное уравнение:
а) х2 + 17=0; б) х2 + 6х + 10 = 0; в) х2-5х + 11 = 0.
2. Приведите пример многочлена третьей степени с веществен-
ными коэффициентами, у которого есть корни 2 и 7-1.
3. Число 1 - i является корнем уравнения х3- ах2 + 2Ьх -Ь = 0,
где а и b — вещественные числа. Найдите а, Ь и осталь-
ные корни этого уравнения.
4. При каких значениях параметра а многочлен z3 + az2 +
+ iz-i+l делится на z-i + 1?
Вариант 3
1. Решите уравнение:
а) х2 + 2х + 5 = 0; б) х4 5 * + 6х2-7 = 0.
2. Пусть Р (г) — многочлен с вещественными коэффициен-
тами, причём Р (i-3)-2 + i и P(2i + l)=l + 2i. Найдите
Р(-3-р
Р(1 - 21)'
3. Вычислите z3-z2, если zx и z2 — корни уравнения
z2 + z +1 =0.
4. Разложите многочлен z4 + 4 на линейные множители.
5. Найдите сумму и произведение всех таких чисел z, что
z8=-l-i.
Вариант 4
1. Решите уравнение:
а) х2-2х + 5 = 0; б) х4-4х2-5 = 0.
2. Пусть Р (z) — многочлен с вещественными коэффициен-
тами, причём Р (2i + 3) = 2-3i и P(i-l) = 2 + i. Найдите
P(-l-i)
Р(3 - 2i)'
3. Вычислите zf-zi, если гх и z2— корни уравнения
z2-z +1 = 0.
4. Разложите многочлен г4+ 64 на линейные множители.
5. Найдите сумму и произведение всех таких чисел г, что
z8=l+i.
461
Геометрическое представление
комплексных чисел
Вариант 1
1. Отметьте на комплексной плоскости число, укажите его
модуль и аргумент:
7з 1
a) u=-2i; б) и = ~^—
2. Изобразите множество чисел на комплексной плоско-
сти, таких, что:
a) Imz=—1; б) Rez + Im2z = 2;
в) |z- 11 + |z-i|=л/2.
3. Найдите числа с наименьшим и наибольшим модулем
среди всех чисел, удовлетворяющих соотношению:
a) |z-l-2i| = l; б) |z-i| = |z + 2 + i|.
4. Точки 1 + i и 4 + 2i — концы гипотенузы равнобедрен-
ного прямоугольного треугольника. В каких точках
может находиться вершина прямого угла этого тре-
угольника?
Вариант 2
1. Отметьте на комплексной плоскости число, укажите его
модуль и аргумент:
7з 1
а) и=-2; б) и =—в)
2. Изобразите множество чисел на комплексной плоско-
сти, таких, что:
a) Rez=-1; б) Re2z + Imz = 2;
в) | z +1 | + |z + i|=V2.
3. Найдите числа с наименьшим и наибольшим модулем
среди всех чисел, удовлетворяющих соотношению:
a) |z-3-2i| = l; б) |z + i| = |z + 2-i|.
4. Точки 1-г и 4-2г — концы гипотенузы равнобедренно-
го прямоугольного треугольника. В каких точках мо-
жет находиться вершина прямого угла этого треуголь-
ника?
47
Вариант 3
1. Отметьте на комплексной плоскости число, укажите его
модуль и аргумент:
ч 7з 1.
а) и =----h-г;
2 2
б) u-—i-2.
2. Изобразите множество чисел на комплексной плоско-
| Z -1| _
сти, таких, что j-г <2.
|z + 2|
3. Пусть М — множество всех точек комплексной плоско-
сти, удовлетворяющих уравнению \z-2|=1. Найдите
наименьшее значение \ z-r| + |z-4 + r| для геМ.
4. При каких значениях вещественного параметра а система
| г -11 < а,
имеет единственное решение?
| г - \l5ai | 2
Вариант 4
1. Отметьте на комплексной плоскости число, укажите его
модуль и аргумент:
б) u — i-2.
2. Изобразите множество чисел на комплексной плоско-
|z-i| п
сти, таких, что г----4 < 2.
|z + 2i|
3. Пусть М — множество всех точек комплексной плоско-
сти, удовлетворяющих уравнению |z-2r| = l. Найдите
наименьшее значение |z + l| + |z-4r-l| для 2 е М.
4. При каких значениях вещественного параметра а система
12 - г | < а,
- _ имеет единственное решение?
\г-у[5а\^2
48
Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Вариант 1
1. Представьте в тригонометрической форме число:
а) —i; б) -1-ь/З;
в) 5-12г.
2. Пусть х = 0,5 (-1 — г>/3) и у = 0,5(-1 + г>/3). Вычислите
хЗл + 2_уЗп + 1, где
3. Вычислите (г + 73)1002.
4. Изобразите множество точек г на плоскости, для кото-
рых O^arg (zi)<^.
5. Решите уравнение г3 + 27г = 0. Изобразите множество его
корней на комплексной плоскости. Чему равна сумма
этих корней?
Вариант 2
1. Представьте в тригонометрической форме число:
а) -4; б) -г —л/З;
в) -7 +24г.
2. Пусть х = 0,5(-1 + г\/3) и у = 0,5 (-1 - г73). Вычислите
x3n + 2_y3n + l> Где nGJV.
3. Вычислите (г - 73)1302.
4. Изобразите множество точек г на плоскости, для кото-
с\ ( 2 А
рых о «S arg - «г -.
г) 4
5. Решите уравнение г3 — 8г = 0. Изобразите множество кор-
ней на комплексной плоскости. Чему равна сумма этих
корней?
49
Вариант 3
1. Изобразите множество точек г на плоскости, для кото-
рых О arg ---- < —.
\1 + i7 * 4
2. Представьте в тригонометрической форме число:
а) 1-г; б) -6-81.
3. Представьте в тригонометрической форме число
(sin 35° +1 cos 35°) (cos 35° - i sin 35°)
-cos 70° + i sin 70°
4. Пусть и — sin 1 + i cos 1 и у = cos 1 - i sin 1. Чему равен угол
AOB, где О — начало координат, А и В — точки, изобра-
жающие данные комплексные числа?
5. Изобразите множество точек z на комплексной плоско-
сти, таких, что число z° является чисто мнимым.
6. Докажите, что xn+1 sin а-х sin (п +1) а + sin па делится на
x2-2cosa+l при neN.
Вариант 4
1. Изобразите множество точек z на плоскости, для кото-
„ . ( г \ п
рых 0 arg --- < —.
4
2. Представьте в тригонометрической форме число:
а) -1+г; б) -7-241.
3. Представьте в тригонометрической форме число
(-cos 11° + i sin 11°) (cos 11° — i sin 11°)
sin 22° +1 cos 22°
4. Пусть u = sin2 + icos2 и v=-cos 2 + i sin 2. Чему равен
угол AOB, где О — начало координат, А и В — точки,
изображающие данные комплексные числа?
5. Изобразите множество точек z на комплексной плоско-
сти, таких, что число z5 6 является вещественным отри-
цательным.
6. Докажите, что х2п sin a-x sin 2na + sin (2n -1) а делится
на xz-2cosa+1 при n^2, neN.
50
Классическое определение вероятности
Вариант 1
1. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того,
что выпадет не более 3 очков?
2. В ящике 5 синих, 3 красных и 6 жёлтых шаров. Из
ящика вынимают два шара. Какова вероятность того,
что они одного цвета, если все шары разные?
3. Из колоды в 36 карт вытаскивают две карты. Какова
вероятность того, что это карты одного достоинства (на-
пример, две шестёрки или два короля)?
4. В классе 25 детей. Для дежурства наугад выбирают дво-
их. Вероятность того, что оба дежурных окажутся маль-
чиками, равна 0,12. Сколько девочек в классе?
5. В лотерее 1000 билетов. Когда вероятней выигрыш хотя бы
на один билет: когда выигрышных билетов 100 и куплено
38 или когда выигрышных билетов 38 и куплено 100?
6. В теннисном турнире, который проводится по олимпий-
ской системе, участвуют 8 игроков, случайным образом
расположенных в турнирной сетке. Все игроки распреде-
лены по силе от 1 до 8, при этом игрок с меньшим номером
всегда выигрывает у игрока с большим номером. Проигры-
вающий в финале занимает второе место. Какова вероят-
ность того, что второе место займёт игрок под номером 2?
Вариант 2
1. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того,
что выпадет не менее 11 очков?
2. В ящике 5 ручек, 3 карандаша и 4 линейки. Из ящика
вынимают два предмета. Какова вероятность того, что
вытащили два одинаковых предмета (две ручки, две ли-
нейки или два карандаша), если все ручки, линейки и
карандаши разные?
3. Из колоды в 36 карт вытаскивают две карты. Какова ве-
роятность того, что это карты одной масти?
4. В классе 25 детей. Для дежурства наугад выбирают дво-
их. Вероятность того, что оба дежурных окажутся де-
вочками, равна 0,12. Сколько девочек в классе?
51
5. В лотерее 1000 билетов. Когда вероятней выигрыш хотя бы
на один билет: когда выигрышных билетов 200 и куплено
27 или когда выигрышных билетов 27 и куплено 200?
6. В футбольном турнире, который проводится по олим-
пийской системе, участвуют 16 команд, случайным об-
разом расположенных в турнирной сетке. Все команды
распределены по силе от 1 до 16, при этом команда с
большим номером всегда выигрывает у команды с мень-
шим номером. Проигрывающая в финале команда зани-
мает второе место. Какова вероятность того, что второе
место займёт команда под номером 2?
(Э-12.2._________________________________________
Условная вероятность. Схема Бернулли.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса
Вариант 1
1. Какова вероятность того, что при девятикратном броса-
нии монеты герб выпадет 5 раз?
2. Три баскетболиста бросают мяч в корзину. При этом
первый попадает с вероятностью 0,1, второй — с вероят-
ностью 0,2, третий — с вероятностью 0,5. С какой веро-
ятностью в корзину попадут ровно два баскетболиста?
3. Известно, что из лампочек трёх видов лампочка перво-
го вида перегорает в течение месяца с вероятностью 0,1,
второго — с вероятностью 0,2, а третьего — с вероят-
ностью 0,4. Лампочек первого вида вдвое больше, чем
лампочек каждого из оставшихся двух видов. Какова ве-
роятность того, что наугад взятая лампочка перегорит?
4. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до
первого попадания. Какова вероятность выигрыша первого
баскетболиста, если вероятность его попадания равна 0,2,
а вероятность попадания второго баскетболиста равна 0,3?
5. В 11 «А» классе 10 отличников из 24 учеников, а в
11 «Б» 5 отличников из 20 учеников. Наугад выбрали
одного ученика из двух классов, и он оказался отлични-
ком. Какова вероятность того, что он из 11 «А» класса?
52
Вариант 2
1. Какова вероятность того, что при восьмикратном броса-
нии монеты герб выпадет 4 раза?
2. Известно, что из трёх лампочек первая перегорает в тече-
ние месяца с вероятностью 0,1, вторая — с вероятностью
0,2, а третья — с вероятностью 0,3. Какова вероятность
того, что в конце месяца перегорит ровно две лампочки?
3. Четыре баскетболиста тренируются в спортзале. При
этом первый попадает в корзину с вероятностью 0,1,
второй — с вероятностью 0,2, а третий и четвёртый — с
вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что наугад
взятый баскетболист, бросив мяч один раз, попадёт в
корзину?
4. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до
первого попадания. Какова вероятность того, что выиг-
рает первый баскетболист, если его вероятность попада-
ния равна 0,3, а вероятность попадания второго баскет-
болиста равна 0,2?
5. В первом ящике лежит 10 синих и 11 красных шаров, а
во втором — 2 синих и 10 красных шаров. Наугад выта-
щили шар из ящика. Он оказался синим. Какова вероят-
ность того, что он из первого ящика?
(Э-12.3.______________________________________
Геометрическая вероятность
Вариант 1
1. В равносторонний треугольник вписан круг. Какова ве-
роятность того, что наудачу брошенная в треугольник
точка попадёт в круг?
2. Наудачу выбирают два числа от 0 до 1. Какова вероят-
ность того, что их произведение меньше 0,5?
3. На отрезке АВ отметили точки К и М. Найдите вероят-
ность того, что точка К будет ближе к точке М, чем к
точке А.
153
Вариант 2
1. Вокруг равностороннего треугольника описана окруж-
ность. Какова вероятность того, что наудачу брошенная
в круг точка попадёт в треугольник?
2. Наудачу выбирают два числа от 0 до 1. Какова вероят-
ность того, что их произведение больше 0,3?
3. На отрезке АВ отметили точки К и М. Найдите вероят-
ность того, что точка К будет ближе к точке А, чем к
точке М.
Q-13.1.__________________________________________
Уравнения высших степеней
Вариант 1
1. Дана функция f (х) = х4 + 2х3-4х2-5х-6.
а) Решите уравнение /(х) = 0.
f (х) >
б) Решите неравенство . < О
72х + 1
2. Дана функция f (х) = 2х3-7х2-14х-5.
а) Решите уравнение /(х) = 0.
б) Выясните, при каких вещественных а уравнение
f(х) = (х + 1)(х + а) имеет единственное решение.
3*. Решите уравнение х4 + 2х3- 14х2-Их-2 = 0, предста-
вив его левую часть в виде произведения квадратных
трёхчленов.
.. о х4-Их2-18х-8 „
4*. Решите неравенство — — - г^О.
у]х3 - 2х2 - 9х +18
Вариант 2
1. Дана функция /(х) = х4-6х3 + 12х2-11х + 6.
а) Решите уравнение /(х) = 0.
f (^)
б) Решите неравенство - £<0.
2. Дана функция f(x) = 3x3+llx2-19x + 5.
а) Решите уравнение f(x) = 0.
б) Выясните, при каких вещественных а уравнение
f(x) = (x + 5) (х-а) имеет единственное решение.
3*. Решите уравнение х4 + 2х3-13х2-х + 2 = 0, представив
его левую часть в виде произведения квадратных трёх-
членов.
+ х& — 7 х2 — 13х — 6
4*. Решите неравенство —, ----- 0.
н 7х3-2х2-11х + 12
Q-13.2._________________________________
Рациональные уравнения и неравенства
Вариант 1
1. а) Решите уравнение (х-1)(х + 2)(х-3)(х-6) + 56 = 0.
б) Решите неравенство (х-1)(х + 2)(х-3)(х-6)>-56.
fx + lV 2(х-2) „Гх-гУ
2. а) Решите уравнение ---------—:— = о - .
\ X 1 J X 1 \ X 4~ J. 1
fx + lV 2(х-2) ofx-2f
б) Решите неравенство ----------—:—.
1 X 1 J X 1 \ X + 1 J
3. а) Решите уравнение 4х4-Зх3-8х2 + Зх + 4 = 0.
б) Решите неравенство 4х4 — Зх3 — 8х2 + Зх + 4<0.
х^ + 4 х 11
4. а) Решите уравнение —+ х2 + Зх + 4 = "у •
х2 + 4 х .11
б) Решите неравенство---ь—— -------ч——.
' х х2 + Зх + 4 2
Вариант 2
1. а) Решите уравнение (х+1)(х + 3)(х + 5)(х+7) = -15.
б) Решите неравенство (х+1)(х + 3)(х + 5)(х + 7)<-15.
fx-lV 3(х-1) Ух + зУ
2. а) Решите уравнение —- - = 4 —— .
\ X о J лт 6 \лт а I
fx-l? 3(х-п .Гх + зУ
б) Решите неравенство ——--------— .
^x+3J х+2 \х+2)
3. а) Решите уравнение 2х4-5х3-х2 + 5х + 2 = 0.
б) Решите неравенство 2х4-5х3-х2 + 5х + 2>0.
2х 7х
4. а) Решите уравнение Зх2 _ х + 2 “ Зх2 + 5х + 2 “
2х 7х л
б) Решите неравенство Зх2 _ х + 2 " Зх2 + 5х^
55
Системы алгебраических уравнений.
Однородные и симметрические системы
Вариант 1
Решите систему уравнений:
1 1 1
- + - =
1. У 4
[х + у = 18.
Гх у 10
- + - = —,
<У х 3
X2 _ у2 — 8.
х2 + ху + у2 - 28,
х + ху + у = 14.
х2 + ху + х = 10,
у2 + ху + у = 20.
5.
X3 - х2у — 1,
у3 - ху2 = -4.
Вариант 2
Решите систему уравнений:
1 11 х + у , х-у _5
1. X V oi Гз 1 Х-У х + у 2’
У - х = 6. X2 + у2 = 20.
х2 -ху + у2 —7,
х + у=5.
{ху + х - у = 3,
х2у - ху2 = 2.
х3 - х2у = 9,
у3 - ху2 = -1.
Q-13.4.___________________________________
Уравнения и неравенства с параметром.
Аналитическое исследование
Вариант 1
а + 3 2 5
1. Решите уравнение д + ^ = — ~ х^д + 2) с параметром a&R.
2. Решите неравенство - * • > 2дс - а с параметром a&R.
2x1
3. Решите неравенство------<--- с параметром
х +а х2 -а2 а-х
aeR.
4. При каких значениях параметра а неравенство (а2 + 2а-
-3)х + 3а2-а —14<0 выполнено для всех х<0?
56
Вариант 2
х-4 2 1
1. Решите уравнение---- + —= , с параметром аеК.
х +1 а а (х +1)
X
2. Решите неравенство -—->3х — 2а с параметром aeR.
1 9 1
3. Решите неравенство----1- — < — с параметром аеЯ.
4. При каких значениях параметра а неравенство (а-2)х +
+2а-16<0 выполнено для всех х, таких, что | х |> 5?
ф-13.5.__________________________________________
Графический метод
решения уравнений и неравенств
с параметром в плоскости (х; а)
Вариант 1
1. Решите неравенство 5|х|>|х — а| с параметром aeR.
2. Выясните, сколько корней имеет уравнение х3-3х + 1 = а
в зависимости от значений параметра aeR.
3. Дано неравенство 3-\х-а\>х2 с параметром aeR.
а) Выясните, при каких значениях параметра а нера-
венство имеет решение.
б) Выясните, при каких значениях параметра а все ре-
шения этого неравенства положительны.
Вариант 2
1. Решите неравенство 2 | х | < | х + а | с параметром aeR.
2. Выясните, сколько корней имеет уравнение х3-6х2 +
+ 9х = а в зависимости от значений параметра aeR.
3. Дано неравенство х2 + |х + а|<2 с параметром aeR.
а) Выясните, при каких значениях параметра а нера-
венство имеет решение.
б) Выясните, при каких значениях параметра а все ре-
шения этого неравенства отрицательны.
117
(Э-13.6._________________________________
Иррациональные уравнения
Вариант 1
Решите уравнение:
1. ^/15 - Зх -1 = х. 2. ^/13 - 4х + 71 - х = 3.
3. ^5х + 7 - 7* + 3 = 73х +1. 4. yj2x2 - 5х +12 + 2х2 = 5х.
_ 1 х - 3Jx-2 + 2
5. I-----г= =-----------•
7х + 1 + 7х-2 9
в. 7* х+1 + 7х _ 1 ~ 7. 7х ~ 1=7^_ 2х-
Вариант 2
Решите уравнение:
1. 77-х-2х = 1. 2. 73х-2 + 72х + 5 = 5.
3. yJx + 4: + 2yjx + l = 7х + 2О . 4. 73х2 - 6х + 7 + х2 = 2х + 7.
„ 1 _ х + з7х-1 + 2
7х + 2 -yjx-l 9
в. 7х+i+73x+i = 7х-1- 7. 7х-2 = 7ю-х2 •
@—13.7.
Иррациональные неравенства
Вариант 1
1.
Дана функция /(х) = 6 + 4х-х2.
а) Решите уравнение 7/ (х) = 4 - х.
У (х) - 4 + х
х2-2х
б) Решите неравенство
2. Решите неравенство:
а) 7х2 + 5х - 6 > х + 2;
б) 72 - х > 77 - х - 7“3 - 2х;
в) -^-^71^;
’ х + 1 v
г) 72х2 - 2х + 5 - 72х2 - 2х > 1.
58
Вариант 2
1. Дана функция f(x) = 9-2x-x2.
а) Решите уравнение (х) = х + 3.
б) Решите неравенство
7/(х)-х-3 <
1-х2
2. Решите неравенство:
а) Vх2 - 7х - 8 > х - 6;
в) т--71 + х;
1-х
б) 7х + 2 < Vх + 12 - yj2x -10;
г) yjx2 + х +10 - у]х2 + х + 3 1.
@—13.8.__________________________________________
Иррациональные уравнения
и неравенства с параметром
Вариант 1
1. Решите аналитически уравнение 7 х2 _ ах + 2 = х -1.
2. а) Найдите количество корней уравнения 7х2 + 5х + 4 =
-у/а-2х в зависимости от значений параметра аей.
б) Решите уравнение 7х2 + 5х + 4 = 7<* - 2х.
в) Выясните, при каких значениях параметра aeR
решение неравенства yjx2 + 5х + 4 у]а-2х является лу-
чом. .-------- .----
г) Решите неравенство 7х2 + 5х + 4 < 7« ~ 2х.
3. Найдите все значения параметра а е R, при которых урав-
нение ах + 710 - 6х = 0 имеет корень на отрезке [-1; 1].
4. Решите неравенство yja2 - х2 > х +1 при всех неотрица-
тельных значениях параметра aeR.
159
Вариант 2
1. Решите аналитически уравнение у/х1 2 - ах + За = 2- х.
2. а) Найдите количество корней уравнения Jx2 - 4х + 3 =
= у]3х + а в зависимости от параметра aeR.
б) Решите уравнение yjx2 - 4х + 3 = у]3х + а.
в) Выясните, при каких значениях параметра aeR ре-
шение неравенства ^х2 - 4х + 3 > ^Зх + а является лучом.
г) Решите неравенство 7 х2 ~ 4х + 3 < ^Зх + а,
3. Найдите все значения параметра aeR, при которых
уравнение ах + 710 + Зх = 0 имеет корень на отрезке
[-2; 2].
4. Решите неравенство у]а2 - х2 >2- х при всех неотрица-
тельных значениях параметра aeR.
0-13.9.___________________________________
Показательные уравнения
Вариант I
Решите уравнение:
1. З2х2+4>5х-3 4 = 9-727*.
з. =4.
4. 2 • 4Х+25x+1 = 15 • 10х.
6. б-9*2 • cos 6х = 1.
Вариант 2
Решите уравнение:
1. (0,5)-2*г + 0'6х = 2-74х .
3. (7з-V8) +(7з + 78|Х =6.
4. 22х-г + 2 • 32ж-1 = 7 • 6х"1.
6. 2-*2 • cos 4х = 1.
2. 9^х2-3х - 27 = 6 • 3^х2*3х.
5. 9 • 2х + 4 • Зх=2 6х.
7. 3х-2 *=3.
2. 17 • 2^~Ях -8 = 2- 4^х2-8х.
5. 8 • Зх + 9 • 2Х = 3 • 6х.
2+2
7. 3 х -4 < = 3.
60
@-13.10._________________________________________
Показательные неравенства
Вариант 1
1. Решите неравенство:
а) ^0,0082х-1 < 5 • (0,2)7"; б) 3 • 2^ + 23~^ > 25;
в) 5 • 4х + 2 • 25х<7 • 10х; г) 16х4 + 9х+2^ 16х4 • 9х + 81;
д) х-Зх<18.
2. Решите неравенство:
а) (73 - V2)x < 5 - 2^6; б) (л/з + V2)x < 5 - 2^6.
3. При каких значениях параметра aeR уравнение а • 2~х=
= а2-9 не имеет решений?
Вариант 2
1. Решите неравенство:
а) 25-(0,4)5'ж<1,6-(2,5)8х-х’-1; б) 2-7^® >71''/2ГГ® + 13;
в) 32х-1 + 4 • 21х-1<72х-1; г) 4х+2-16>16х4 • 4х-16х4;
д) х-4х>32.
2. Решите неравенство:
a) (З-Тв)* >17-6^8; б) (з + Т8)х>17-6>/8.
3. При каких значениях параметра aeR уравнение
(0,2)х = + не имеет решений?
5 — а
@-13.11._______________________________
Логарифмические уравнения
Вариант 1
Решите уравнение:
1. 1g (3 - х) + 21g уГх = 1.
3. log4(9x2) + log2(3x) = 2.
2
5. xlog2x=8x2.
7. log2 (х + 3) = -1 + 4.
2. log4(log2x-21og3x-l) = i
4. log3x x3 = log9x x5.
6. logx(x-6)2 + log6_xx4 = 6.
61
Вариант 2
Решите уравнение:
1. 1g (3 + х) + 21g Vx =1.
2. logj (log2 x - log5 x + 7) = -2.
3. log4 x2 - 2 log2 (—x) = -1.
2
4. log2xX'1 = log4xX2.
5. xlog3<3x> = 9.
6. logx(4-3x)2-2 = log4_3xx4.
7. log2(x-2) = l->/x-5 .
@-13.12._______________________________
Логарифмические неравенства
Вариант 1
Решите неравенство:
1. log2 (1 + logi х)<1.
з
3. logi_x(3x2-x)^2.
5 3-log2(4x +8) >
1-x
7. -xilog3J43?,O63x.
3
Вариант 2
Решите неравенство:
1. logj log3 х>1.
3. logx+1(5x2-x)^2.
5 2-log3(2-3^+9)>1
1-x
7. lx7l0‘’*>7710'^
7
2. log2(x-l) + log2x^l.
4. log^ x - log8x2 4 -2.
6. log6xx • log3xx>0.
2. log3(x + 2) + log3xO
4- log3x2 9-log%/§ x^2.
6. log7xx • log5xx<0.
Логарифмические неравенства
с параметром
Вариант 1
1. а) Изобразите множество точек, задаваемое неравен-
ством logx (-у) > 1.
б) При каких значениях параметра a&R неравенство
logx(-a)>l имеет решения?
в) При каких значениях параметра aeR решение не-
равенства logx(-a)>l содержит отрезок длиной боль-
ше 1?
г) Решите неравенство logx (-а) =% 1.
2. а) Найдите, при каких значениях параметра a&R нера-
венство logt2 (2а-2х)^1 не имеет решений.
б) Решите неравенство logx2 (2а - 2х) 1 для всех значе-
ний параметра aeR.
Вариант 2
1. а) Изобразите множество точек, задаваемое неравен-
ством log_x(y)^l.
б) При каких значениях параметра а ей неравенство
log_x(a)^l имеет решения?
в) При каких значениях параметра а ей решение нера-
венства log_x(a)>l содержит отрезок длиной больше 2?
г) Решите неравенство log_x(a)^l.
2. а) Найдите, при каких значениях параметра a&R нера-
венство l°gx2 (х-2а)>1 не имеет решений.
Т
б) Решите неравенство logx2 (х-2а)>1 для всех значе-
4
ний параметра а ей.
63
Тригонометрические уравнения
Вариант 1
1. а) Решите уравнение х/з sin Зх - cos Зх = 1.
б) Выясните, при каком значении параметра aeR урав-
нение х/з sin Зх - cos Зх = а имеет решение.
2. Решите уравнение:
a) sin 5x = sin x + sin 2х;
в) tg(3-4x)=ctg(5-x);
v 1 1 1
д) ----+------+-------= 0;
sin х sin 2х sin Зх
б) cos х cos 3x = cos 2x;
г) cos2x + cos22x + cos23x = l;
e) yja cos 2x + sin2 x = a, aeR.
Вариант 2
1. а) Решите уравнение 3sin
x г: x n
— + x/3 cos — — 3.
2 2
б) Выясните, при каком значении параметра a&R урав-
нение 3 sin — + \/з cos = а имеет решение.
Zu L1
2. Решите уравнение:
a) cosx + cos Зх + cos 5x + cos 7х = 0;
б) sinxsin3x + sin4xsin8x = 0;
в) ctg (х + 5) = tg (4х + 3); г) sin2 — + sin2 — + sin2 2х - 2;
& z
д) 1-----. \ = —\ ; e) Jacos2x + cos2 x = a,aeR.
sin x sin 2x sm 4x v
Ф-13.15.________________________________
Тригонометрические неравенства
Вариант 1
Решите неравенство:
1. 1~4sin2x
cos 2x + cos x
3. sin xsin 2x-cos xcos 2x>sin 6x.
2. sin2x + cos2x>l.
cos----x - sin (n + 2x)
4. ---12 • A. --------^o.
Г 1
Jsinx + —
V 2
64
Вариант 2
Решите неравенство:
2 + V2 - 4 cos2 х > g
sin х - cos 2х
2. sin 2x + sin2x = l.
3. cosx + cos3x>cos2x + cos4x.
4.
2 sin2 x + 7 cos x + 2 >
(1 - cos x) ^/-ctg x
@-13.16. _______________________________________
Отбор корней в тригонометрических
уравнениях
Вариант 1
Решите уравнение:
1. 4 cos х = Vl + Ctg2 X.
2. log2(9 + 8 sin2x - 3sin 2x) = 3 - logj (sin4x +1).
2
3.4™' + 16“-(H) = H
4. logcos 2x-sin 2x (1 - COS x - sin x) = 1.
Вариант 2
Решите уравнение:
1. 4 sin x + - 6 tg2 x = 0.
2. log2 (9 + cos 2x) + log! (sin2 x cos2x +1) - 3.
4. log 3x x (sin 2x - sin x -1) = 1.
-2 cos — cos —
2 2
65
0=1
Вариант 1
1. Найдите предел:
ч ( 1 3 А
a) lim----------- •
7 х-1 уХ —1 X3 -1J
б) lim
X —1
V2-X-1
х2-|х-2|*
~ тт „ .. (ах + 3 )
2. Найдите предел lim I —-—I при а>0.
3. Для каждого а найдите предел lim —-—---
х —a xz - Зх + а
4.
Найдите предел
lim
f sin 4х - 2 cos 2х '
/
( Л „ 1
---2x1 cos 2х
И2 ) J
5. В равнобедренном треугольнике АВС длины сторон АВ
и ВС равны 1. Пусть г—радиус вписанной в этот тре-
угольник окружности, a R— радиус описанной около
треугольника окружности. Найдите lim rR, где h — вы-
Л-.0
сота, проведённая к основанию.
( 2х2 + 3 А
6. При каких а и b lim -------+ ax + b =8?
X — +ool Х+1 }
Вариант 2
1. Найдите предел:
f 9 6 А х2 -12х — 31
а) 11П1 ч—I+Н б) lim I •
х-.1Ц-х3 х2-1/ х-i 75-Х-2
Л тт „ ах-2 }
2. Найдите предел lim —— при а>0.
х-*+оо^ Зх )
х^ — 4х ~ь а
3. Для каждого а найдите предел lim------.
х —а х—а
( 1 1 А
sin Зх • sin 2х — cos х — cos2 5х
4. Найдите предел lim ----------2—-----2----- .
5(x-n)2cosx ,
5. В равнобедренном треугольнике АВС стороны АВ и ВС
равны, а АС = 2. Пусть г — радиус вписанной в этот тре-
угольник окружности, a R — радиус описанной около
треугольника окружности. Вычислите lim rR, где h — вы-
л-»о
сота, проведённая к основанию.
( ах^ +7 А
6. При каких а и b lim —----н6(х-1) =2?
х—+оо13х2-4 )
66
0=2
Вариант 1
1. Постройте график функции
[|kx + 21 прих>0,
/ W =
х2 + kx + k2 +1 при х < О,
если известно, что она непрерывна.
.. . .1
2. Найдите асимптоты графика функции f (х) = х - arcsin —.
Постройте эскиз этого графика.
3. Известно, что функция f непрерывна на R. Докажите,
что функция у = \ f(x) | непрерывна на R.
4. Обязательно ли функция, заданная на отрезке, является
непрерывной на нём, если областью значений функции
является отрезок?
5. Пусть х (а) — наименьший положительный корень уравне-
ния |х-3| = а для каждого а^О. Постройте график функ-
ции х = х(а). Имеет ли функция х(а) точки разрыва?
6. Исследуйте функцию на асимптоты:
1
а) у - arcsin —;
. . ч -2х3 + х2 -1
б) /(*)=---пд—•
' X2 + 1
7. Докажите, что достаточным условием того, что уравне-
ние ах4 + bx3 + ex2 + dx + е = О при а*0 имеет хотя бы один
действительный корень, является выполнение неравен-
ства |a + c + e|<|b + d|.
8. Пусть функция f непрерывна на отрезке [0; 1], при-
чём f(f(x)) = x2 для любого хе[0;1]. Докажите, что
х2 <f (х)<х для любого хе(0; 1).
Вариант 2
1. Постройте график функции
/(*) =
| kx + 21 при х О,
х2 + kx + k2 +1 при х < О,
если известно, что она непрерывна.
.. . 1
2. Найдите асимптоты графика функции / (х) = arccos — + х.
Постройте эскиз этого графика.
3. Известно, что функция f непрерывна на R. Докажите,
что функция y = f(\ х |) непрерывна на R.
4. Является ли функция, заданная на отрезке, непрерыв-
ной на этом отрезке, если она имеет на нём наибольшее
и наименьшее значения?
5. Пусть х(а)— наименьший положительный корень уравне-
ния (х-2)2 = а для каждого а^О. Постройте график функ-
ции х = х(а). Имеет ли функция х(а) точки разрыва?
6. Исследуйте функцию на асимптоты:
ч 1
а) у = arccos —;
б) /(х) =
-2х3 - Зх2 + 5
х2 +1
7. Докажите, что если уравнение ax2 + (c-b) x + e-d = O
имеет действительный корень, больший единицы, то
уравнение ах4 + bx3 + сх2 + dx + е = 0 имеет хотя бы один
действительный корень.
8. Докажите, что не существует непрерывной на R функ-
ции Л такой, что число f(x) рационально тогда и только
тогда, когда число f(x + l) иррационально.
68
О-з________________________________________________
Вариант 1
1. Дана функция f(x) = 2>Jx-x.
а) Найдите наибольшее значение функции.
б) При каких значениях параметра b уравнение f(x) = b
имеет два корня?
в) Найдите промежутки выпуклости функции.
г) Найдите уравнения всех касательных к графику
функции, которые проходят через точку (-0,5; 0).
д) Докажите, что через точки с координатами (Ь; 0), где
5е(0;4), не проходит ни одной касательной к графику
функции f.
g
2. Найдите множество значений функции f (х) = — sin3x -
О
- 4 sin2x - 6 sin х +1.
3. Найдите первообразную функции f (х) = х2 Vx - cos 5х -
—. * ..., график которой проходит через точку М (0; 1).
71 - 5х2
4. Найдите j(2x + | х —11) dx.
5. Сколько корней имеет уравнение аех = х3 в зависимости
от параметра а?
6. а) Исследуйте на возрастание и убывание функцию
,. . In х
f (х) =-•
х
г-43 r-j2
б) Сравните V 2 и <3 .
7. При каких значениях параметра а уравнение f(x) = f(a)
имеет единственное решение, если f(x) = log2x + logx4?
69
Вариант 2
1. Дана функция /(х) = х-2>/х.
а) Найдите наименьшее значение функции.
б) При каких значениях параметра b уравнение f(x) = b
имеет два корня?
в) Найдите промежутки выпуклости функции.
г) Найдите уравнения всех касательных к графику
функции, которые проходят через точку (-0,5; 0).
д) Докажите, что через точки с координатами (Ь; 0), где
Ье(0;4) не проходит ни одной касательной к графику
функции f.
8
2. Найдите множество значений функции f(x) — — cos3x-
3
— 4 cos2x - 6 cos x +1.
3. Найдите первообразную функции f (х) = х2 • V* - sin Зх +
1___
71-зх2
график которой проходит через точку W (0; -1).
4. Найдите J(|x — 2|-l)dx.
5. Сколько корней имеет уравнение ае3* = х3 в зависимости
от параметра а?
6. а) Исследуйте на возрастание и убывание функцию
.. . 1пх
/(х) =-----.
X
б) Сравните (sin 0,1)СО901 и (cos 0,l)sin01.
7. При каких значениях параметра а уравнение f(x) = /(a)
имеет единственное решение, если f (x) = log3 x + logx4?
70
0=4
Вариант 1
1. Вычислите:
d 4
a) J з/* *2; б) j(|x + 2| + |x + 5|)dx;
IVх -3
2 .
f sin X ,
в) I ~mdx-
J X1 + 1
-2
2. Решите неравенство j(9f - 3'+1) dt 0.
о
3. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = j (sin t - sin 2t) dt в точке x0 — -.
о
4. Найдите все такие точки М графика функции у = х2-2х,
что площадь фигуры, ограниченной этим графиком, ка-
сательной к графику, проходящей через точку М, и осью
ординат, равна 72.
ГС
2
5. Найдите все такие а, что jf(x)dx = O при f(x) = cos6x +
о
+ sin6 х + 2а sin х cos х.
6. Дана функция f(x) = Vx.
а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной
графиком функции f, осью абсцисс и прямой х — т,
2 ,Z X
равна
О
б) Пусть y=g(x)— непрерывная неотрицательная функ-
ция, определённая на промежутке [0; +оо), такая, что
g-(4) = 2 и при любом тп^О площадь фигуры, ограничен-
ной графиком функции f, осями координат и прямой
х = т, равна -mg(m). Докажите, что g(x) = Vx.
О
2гс
7*. Вычислите j cos х • cos Зх •... • cos З2012 xdx.
о
Вариант 2
1. Вычислите:
f x2dx
а J ^9-х3’
1
б) j(|x + 4| + |x-2|)dx;
-5
в> j
-1
tgX
yjx2 + 4
dx.
2. Решите уравнение
In 2
j (e2a + 2x -ea~x)dx = 1.
0
3. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = j(sin t - sin 2t) dt,
0
где
Зтс.
7п
4
параллельной
оси абсцисс.
4.
Найдите все такие точки М графика функции у = 6х-х2,
что площадь фигуры, ограниченной графиком этой
функции, касательной к графику, проходящей через
2
точку М, и осью ординат, равна 41—.
О
л
4
5. Найдите все такие а, что j f(x)dx = O при f (х) = cos6 х +
Л
4
+ sin6 х + 2а cos2 х.
6. Дана функция f(x) = x2.
а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной
графиком функции f, осью абсцисс и прямой х = т,
1 X
равна — mf (т).
О
б) Пусть y = g’(x) — непрерывная неотрицательная функ-
ция, определённая на [0;+оо), такая, что £(2) = 4 и при
любом тп^О площадь фигуры, ограниченной графиком
функции g, осями координат и прямой х = т, равна
~mg(m). Докажите, что g(x) = x2.
О
2л
7*. Вычислите | sin х • sin 5х -...-sin 52011 xdx.
О
72
0-5_____________________________________________
Вариант 1
Рассмотрим множество А всех чисел z, удовлетворяющих
условию | z - 2>/311 = | z + 21.
1. Изобразите множество А на комплексной плоскости.
2. Может ли число, принадлежащее множеству А, иметь
„ 5л
аргумент, равный —г
6
3. Найдите множество аргументов всех чисел z, принад-
лежащих множеству А.
4. Найдите числа, принадлежащие множеству А, для
которых выражение |z| + |z-4i| принимает наименьшее
значение.
5. Изобразите множество чисел и, таких, что и —
= (z-2i (7з -1)) (1 + iy/з), где z е А.
6. Найдите число z с наименьшим модулем, принадле-
жащее множеству А.
7. Сколько существует чисел z, принадлежащих множе-
ству А, таких, что z6 является вещественным отрица-
тельным числом?
Вариант 2
Рассмотрим множество А всех чисел z, удовлетворяющих
условию | z + 2 V3i | = | z - 21.
1. Изобразите множество А на комплексной плоскости.
2. Может ли число, принадлежащее множеству А, иметь
„ 5л
аргумент, равный —I
о
3. Найдите множество аргументов всех чисел z, принад-
лежащих множеству А.
4. Найдите числа, принадлежащие множеству А, для
которых выражение | z | +1 z + 4i | принимает наименьшее
значение.
5. Изобразите множество чисел и, таких, что и =
= (z + 2i(V3-l))(l + iV3), где zeA.
6. Найдите число z с наименьшим модулем, принадле-
жащее множеству А.
7. Сколько существует чисел z, принадлежащих множе-
ству А, таких, что z6 является вещественным отрица-
тельным числом?
73
Вариант 1
1. Какова вероятность того, что, взяв случайным образом
на окружности радиуса 1 три точки, получим треуголь-
ник, один из углов которого больше 100°?
2. Двое играют в игру без ничьих. Для выигрыша нужно
выиграть 2 партии подряд. Вероятность выигрыша пер-
вого игрока равна i. Какова вероятность выигрыша пер-
О
вого игрока?
3. В одной урне 10 белых и 1 чёрный шар, а в другой — 4 бе-
лых и 5 чёрных шаров. Найдите вероятность того, что
наугад вынутый из наугад выбранной урны шар окажет-
ся чёрным.
4. Волейбольная команда может с вероятностью 0,7 по-
дать, а с вероятностью 0,3 потерять подачу. Какое наи-
вероятнейшее число подач из 15 она может сделать?
5. Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд не вы-
падет одна и та же сторона. Вероятность каждого события,
требующего п бросаний, положим равной —. Найдите ве-
роятность того, что опыт закончится до шестого бросания.
Вариант 2
1. Какова вероятность того, что, взяв случайным образом
на окружности радиуса 1 три точки, получим треуголь-
ник, все углы которого меньше 80°?
2. Двое играют в игру без ничьих. Для выигрыша нужно
выиграть 2 партии подряд. Вероятность выигрыша пер-
вого игрока равна —. Какова вероятность выигрыша вто-
О
рого игрока?
3. В одной урне 8 белых и 2 чёрных шара, а в другой — 6 бе-
лых и 3 чёрных шара. Найдите вероятность того, что наугад
вынутый из наугад выбранной урны шар окажется белым.
4. Волейбольная команда может с вероятностью 0,6 по-
дать, а с вероятностью 0,4 потерять подачу. Какое наи-
вероятнейшее число подач из 25 она может сделать?
5. Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд не выпа-
дет одна и та же сторона. Вероятность каждого события,
1
требующего п бросаний, положим равной Найдите веро-
ятность того, что опыт не закончится до восьмого бросания.
0=7
|Зх2+5х + 1|
| х2 — Зх -11
Вариант 1
1. Решите неравенство
2. Решите неравенство ^2хг - 2х + 5 - ^2х2 - 2х 1.
3. Решите уравнение 7^cos х -6 sin х = ^2-3 tg х . Для
каждого значения параметра aeR укажите количество
корней этого уравнения на отрезке [а; а + 2л].
4.
5.
Решите уравнение logCOSx(sin 2х) = 2 logC()SX(cosx-sinx).
1 Ilog, х -Ilog2 х
Решите неравенство - х2 3 .
6. а) Решите неравенство logx+2(2x —5) < 1.
б) Выясните, при каком значении параметра а неравен-
ство logx+2(2x + a)<l не имеет решений.
в) Решите неравенство logx+2 (2х + а)< 1 при всех значе-
ниях параметра aeR.
Вариант 2
- | х2 - х - 31
1. Решите неравенство г-—;——-----т^1.
|Зх2 + 11х + 9|
2. Решите неравенство у]х2 + х +10 - у]х2 + х + 3 > 1.
3. Решите уравнение х - 6 cos х = -^2 - 3 ctg х . Для
каждого значения параметра a&R укажите количество
корней этого уравнения на отрезке [а; а + 2л].
4. Решите уравнение logsinx(sin 2х) = 2 logsinx(sin x-cos х).
1, 1.2
- Т, _ rlog.x _-log“x
5. Решите неравенство 5x5 ^51 5 .
6. а) Решите неравенство log2x_5(x +2) >1.
б) Выясните, при каком значении параметра a&R нера-
венство log2x+a(x + 2)> 1 не имеет решений.
в) Решите неравенство log2x+a(x + 2)> 1 при всех значе-
ниях параметра a&R.
75
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
С-8.3.
Bap.l. 1. а) 1; б) -Ь в) 0; г) -1,5; д) -1.
Zu
Вар. 2. 1. а) -2; б) в) 0; г) 1; д) 1.
Zu
С—8.4.
14 5
Bap.l. 1. а) 2; б) в) г)
о 3 3
9
Вар. 2. 1. а) -2; б) -1; в) -40; г) 1-.
3
С-8.5.
Bap.l. 1. 6. 2. j. 3. 0. 4. 5 _J_ 6
4 4 2>/3
9 1 ч/з
Вар.2. 1. 2. -. 3. 0. 4. л. 5. . 6. п(га + 1).
С—8.6.
11 1
Bap.l. 1. -р. 2. -. 3. k. 4. -1. 5. -.
\/е е 3
Вар. 2. 1. е2. 2. еб. 3. —. 4. -0,4. 5. -.
k 3
С—8.7.
4 2
Bap.l. 1. а) -48; б) -; в) -.
9 3
2
Вар.2. 1. а) 12; б) -; в) 0,4.
3
С—8.8.
Bap.l. 1. 2. 2. 2. 3. а) 12,5; б) 0,2.
Вар. 2. 1. 1. 2. 0,25. 3. а) 3; б) 0,25.
76
С—8.9.
q
Bap.l. 1. б) lim f(x) = —, lim f (x) = 2, lim/(x) = -3. 3. a=-2.
x —2 2 x — 0 x —* 5
5
Bap. 2. 1. 6) lim/(x) = —, limf(x) = 2, lim f(x) = -3. 3. a=-3.
x — 7 6 x — 1 x —» -3
C—8.10,
Bap.l. 1. f(0)=-3. 2. k = 2,5. 3. He обязательно.
Bap.2. 1. f(0) = ln2. 2. fe=-2. 3. He обязательно.
C—8.11.
Bap. 1.1. Возможны различные ответы, например -2,5 или -2,375.
7
2. /(е)=/(л) = -. 4. Нет.
Вар. 2. 1. Возможны различные ответы, например 2. 2. / (1) = >/2 .
4. Нет.
С—8.12.
Вар. 1. 2. 32. 4. б) Не может.
Вар. 2. 2. 32. 4. б) Не может.
С—8.13.
Bap.l. 1. a) lim /(х) = -оо,
х 3-
lim f(x) = +oo;
б) lim /(х) = |,
х-*0- 3
1
lim /(х) = 0. 2. а) Вертикальная асимптота х = --, горизонталь-
х-*0+ 3
ные асимптоты У = “ при х=+оо и </ = -— при х—>—оо; б) горизон-
О о
тальная асимптота у = п.
Вар.2. 1. a) lim f(x) = -oo, lim /(х) = +оо; б) lim f(x) = 0,4,
х—»—1— х->-1+ х-»0-
1
lim /(х) = 0. 2. а) Вертикальная асимптота х = —, горизонталь-
х-»о+ 5
ные асимптоты У = ~ при х—>+оо и У = -~ при х—>-оо; б) наклон-
5 5
л , л
ные асимптоты у = — х — 1 при х —* +оо и у = —- х — 1 при х —> —оо.
Л
77
С—9.1.
Bap.l. 1. 3. 2. f(x) = —--—. 3. f'(0) = 0, /'(1) не существует,
(X -1)2
/'(2) = 4. 4. Нет, например f(x)=x+1, g(x) = x. 5. f(x) = |x| + |x-11 +
+ |x-2|. 6. Да.
Bap.2. 1. 3. 2. /(x) = — -—. 3. /'(0) = 0, /'(1) не существует,
(x +1)
/'(2)=-4. 4. Нет, например /(x) = x, #(x) = 2x. 5. /(x) = |x-l | +
+|x-21. 6. Да.
C—9.2.
Bap.l. 1. -ex. 2. a) 6x-48xu; 6) cosx-1; в) In2-2х--— + -£=.
In2-x Vx
Зя „ , 9л „ ,
. 4. хе — + 2лЛ; — + 2л/г , keZ. 5. /(х) =
.4 4 J
3. 6 In 24-24х---—
In 3 • х
х&
= sin х + —, g(x) = sin х + — + 3. 6. ае(-3; 3).
3 3
1 I
Вар. 2. 1. ——2. а) 6х-15х14; б) -sinx + 2; в) 51пЗ-Зхн-----
х + л 1пЗ-х
1
+ —у=. 3. 9 In 15 15х----—
4>/х 1п2-х
х^ хл
5. f (х) = cosх + —, g(х) = cosх +-ь 3. 6. ае(-3; 3).
4 4
. Зл „ , Зл „ ,
. 4. хе-----+ 2л/г; — + 2лА ,
14 4 J
keZ.
С-9.3.
Вар. 1. 1. у=10х-11. 2. i/ = 6x—16 и (/=—6х —4. 3. х = ±- + 2лЛ,
3
л
keZ. 4. —0,5. 5. Множество точек под графиком, не вклю-
О
чая сам график.
Вар. 2. 1. у=-5х-9. 2. у=-6х-16 и у = 6х-4. 3. х = ±—+ 2лй,
6
л
х*—, keZ. 4. 0,5. 5. Множество точек под графиком, не включая
6
сам график.
С—9.4.
Вар.1. 2. 9992. 3. 127,875. 4. Нет, например функция Дирихле
D(x) и функция 1-jD(x).
Вар. 2. 2. 100100. 3. 242|. 4. Нет.
78
С—9.5.
5 cos 5х•Vx - sin 5x ,—
Bap.l. 1. a) bg2X +arcsinx. g) f^=----------- -----------4Vx\
Jl — x2 ln2-x V*
в) /Чх) = 3 sin2x2 • cos x2 • 2x; r) /(x) =-------In 2-2х.
arctg 2х 1 + 4х
2. a) -200; 6) 0; в) 0. 3. a=l, & = 0.
-5 sin 5x • Vx - cos 5x •
Bap.2. 1. а) -!£ЬХ + 5£^;б)№) =--------------------------*£-,
jl-x2 ln3-x x
в) f (x)=-2 cos x3 • sin x3 • Зх2; r) f (x) =---——---ex.
In 2 • arcctg 2х 1 + e2x
2. a) 300; 6) 0; в) 0. 3. a=-l и b = 0.
C—9.6.
Bap.l. 1. F(x)=x2-x-lnx.
4. Неверно.
3.
F(x) =
x2-2x + 15
2
-x2 + 6x + 7
2
при x 5* 2,
прих<2.
Bap.2. 1. F(x) = x2 + 3x + 81nx.
4. Неверно.
3. F(x) =
x2 +2x-3
2
при x>-2,
-x2 -6x —11
2
прих<—2.
C—9.7.
Bap.l. 1. -arcsinf—1 + C, CeR. 2. —L- + 1-V2. 3. +
5 I 4 J cosx 2
2х 2х
+ ln(-cosx) + C,Cel?. 4. F(x) = 2ln(2x-1). 5. —----±— + c,CeR.
In 2 In2 2
1 f 1 1— X
Bap.2. 1. — arcsin — +C, CeR. 2. ——-----------1 + V2 . 3.-------
4 5 ) sinx 3
„qx qx
-tgx + x + C , CeR. 4. F(x) = 21n(3x-2). 5. —------— + c, CeR.
In 3 In2 3
79
С-9.8. ,
,r- L4
Bap.l. 1. а) с = Ш; б) с = . 1- —. 4. (0,5; 0,25).
V тс
31 4 ,
Вар. 2. 1.
(-0,5; 4,25).
С—9,9,
Bap.l. 1. а) Возрастает на -оо;
и [1;+оо), убывает на
б) возрастает на (—оо; 0) и (0; +оо) (но не на объединении!); в) воз-
растает на [—1; 1], убывает на (—оо;—1] и [1;+оо); г) убывает на
(-оо;-8], [-2; 1) и (1;+оо) (но не на объединении!), возрастает на
(-8;-2]. 2. Три корня. 3. k&R. 4. -л^а^л.
Вар. 2. 1. а) Возрастает на
1'
—оо; —
3
и [1;+оо), убывает на
1
3’
1
; г) убывает на (-оо;-9],
б) убывает на (-оо; 0) и (0; +оо) (но не на объединении!); в) возрас-
тает на
°; -U
Ve
1 1 «
-=; +оо , убывает на
Ve )
[—1; 3) и (3;+оо) (но не на объединении!), возрастает на [-9;-1].
2. Один корень. 3. fee/?. 4. -л^а^л.
С—9.10.
Bap.l. 1. а) Критические точки: ±^ + 2тсА, feeZ, они же точки
О
экстремума; б) критические точки: —2, — — и 1, точки экстремума:
О
1
и 1; в) критические точки: -3, -1 и 1, они же точки экстрему-
О
3 3
ма. 2. Критические точки: 0, — и 2, точки экстремума: 0 и —.
2 2^
3. ае —; — . 4. Нет.
5 3 I
экстремума:
экстремума.
7С 5 т~
Вар.2. 1. а) Критические точки: —+ 2nfe, feeZ и —+ 2nfe, feeZ,
они же точки экстремума; б) критические точки: -1, — и 2, точки
3
1
-1 и —; в) критические точки: 1, 2 и 3, они же точки
О
3
2. Критические точки: 0, — и 1, точки экстремума:
3
0 и —. 3. а 6
4
1 1 * I
3; 2} 4- НеТ‘
80
С-9.11,
Bap.l. 1. а) Наибольшее значение 0, наименьшее значение -1;
7
б) наибольшего значения нет, наименьшее значение —; в) наиболь-
J. Zu
шее значение 0, наименьшее значение -38. 2. Е (/) = 0; —-е 4 .
_ Zu _
3. (1; 1). 4. а^-1 или а^-81.
Вар. 2. 1. а) Наибольшее значение 0, наименьшее значение -1;
7
б) наибольшего значения нет, наименьшее значение —; в) наиболь-
шее значение 0, наименьшее значение —38.
3. (—1;—1). 4. а^-4 или а>-49.
V2 -
0; —е4 .
2 .
2. E(f) =
С-9.12.
Bap.l. 1. Равносторонний треугольник со стороной
3. 4 = 1 + 3.
Вар. 2. 1. Равнобедренный треугольник с катетами
3. 4 = 3-(-1).
2
-. 2. Зл/2л.
С—9.13.
Bap.l. 1. а) 0; б) 566!; в) -2566cos2x. 2.
а) Выпукла
на
0
вогнута
б) выпукла на
Зл
л
4
4
-— + nk; — + nk , keZ, вогнута на ~ + nk; — + nk , keZ.
. 4 4 J L 4 4 J
Bap. 2. 1. a) 0; 6) 239!; в) -3239cos3x. 2. а) Выпукла на
(—оо; 2 - V2], [2 + V2; +oo), вогнута на [2 - >/2; 2 + V2]; б) выпукла
л 3л
U“ 14 ...’ 4
Л , Зл Л , л , , „
на — + ля; — + ля , keZ, вогнута на —- + ля; — + лЯ , keZ.
.4 4 J L 4 4
С—9.14.
8 г
Вар.1.2. —. 3. Если а<-1 или а> V2 , то корней нет; если -1 <а< 1
или а = V2 , то один корень; если 1 < а < V2 , то два корня.
8 г~
Вар. 2.2. —. 3. Если а < -1 или а > V2 , то корней нет; если -1 < а < 1
или а = V2 , то один корень; если 1 < а < V2 , то два корня.
81
С—10.1.
2
Вар. 1. 1. 2. 2. 7—п-
In о
1
Вар. 2. 1. 4. 2. ;—
r In 2
С—10.2.
6 14 116 7з я
Bap.l. 1. 4,5. 2. -. 3. —. 4. —. 5. 6. -.
7 9 135 8 6
4 14 94 7 Я
Вар. 2.1. 4,5. 2. ~ 3. -.4. . 5. ~. 6. -.
C-L0.3.
Bap.l. 1. а) 50; б) - + —. 2. а = ^^-. 3. -.
3 2 Зя
2я у/з е±5 еа - 1
Вар. 2. 1. а) 37; б) —2. а =------. 3. ---
3 2 5е а
C—10.4.
Bap.l. 2. pe(-oo; 0)U(0,5;+oo).
2a+ 1 приа^-1,
а3 + За +1 ,
--------- при-1<а^0,
За1 2 + За +1 .
---------- приа>0.
Вар. 2. 2. pe(-oo;-0,5)U(0;+oo).
2а-1 при а 0,
а3 - За2 + 6а - 3
при0<а^1, 4, ае(-1;1).
3. j f(x)dx =
а
4. ае(-1; 1).
3. j f (х) dx =
С—10.5.
Вар. 1.
3
За2 - За +1
при а > 1.
3
, 2sin2x
1. a) F (х) =--------;
2 + cos 2х
2 sin 2х 2х sin х2
б) F (х) =-----------------------
2 + cos 2х 2 + cos х2
2. р = 0,1х-0,3.
1. a) F' (х) =—-t=cosx;
Вар. 2.
1
cos----
г»/ / \ COS X y-2
о
2. р= —(х-4).
82
с-10.6.
Л
Bap.l. 1. а) Положителен; б) отрицателен. 2. а) 2; б) ~.
1 1 я .
3. a) fe~x sin xdx< fe~*2 sin xdx; 6) [ sinx
Jo i J0^T2 V2
Bap. 2. 1. а) Отрицателен; б) отрицателен. 2. a) 2^2; 6)
Z
1 1 1 OS X 1
3. a) [x2 sin2 xdx < fx sin2 xdx; 6) f ——-dx>— V2.
I I -Jix2 + 1 3
C—10.7.
Bap.l. 1. a) In 2; 6) 1; в) 2-ln2; r) 2. a) -1,6; 6) 8.
80
Bap.2. 1. a) arctg e-y; 6) —; в) г) 0,25. 2. a) -; б) 8.
4 16 J 2 3
С—10.8.
Bap.l. 1. 14-—^-.
In z
23 4
Bap. 2.1. 4 ln5.
C—11.1.
Bap.l. 1. a) 20i; 6) 4 + i; в) 0. 2.
z = l + i. 4. 3 + 2i. 5. 3 + 2i.
Bap. 2. 1. a) 34i; 6) 4 —i; в) 0.
4. -4-i. 5. 3 —2i.
Bap.3. 1. a) -3-5i; 6) i—1; в)
v = 2 — i. 4. [+415; 2); (О; 2± V15).
(0; -3), (2; 1), (-1; -2). 3. z=-i;
2. x=-3; y = 0. 3. z = i; z=l-i.
1. 2. (±1; 1), (3;±3). 3. u=l + i;
5. n = 0(mod4). 6. a=-l.
Bap. 4. 1. a) -5 + 5i; 6) -i-1; в) 1. 2. (-1; 1), (-4; 4). 3. z=2 + i;
w=-l-i. 4. (-2±V15)i; l + 2i;
11 22 .
-------1. 5.
3 3
n = 2(mod4). 6. a = 0,5.
C—11.2,
r— -3 ± t4si
Bap.l. 1. a)±V15i; 6) 2±i; в) -------. 2. x3-llx2 + 40x-50.
z
3. a = 3; b = 2, остальные корни 1; 1-i. 4. a = i.
5 + i419
Bap.2. 1. a) ±417 i; 6) -3±i; в) ----. 2. x3-16x2+78x-100.
z
3. a = 3; b = 2, остальные корни 1; 1 + i. 4. a=-i.
I 83
г- + ai
Bap.3.1. a) -l±2i;6) +1, ±V7i. 2. —-—. 3. 0.4. (z-i-l)(z-l + i)x
5
x(z + l+i)(z+l—i). 5. 0; 1 + i.
r- 1 —8i
Bap. 4.1. a) l±2i;6) ±i, ±V5.2. —— .3. 0.4. (z-2i-2)(z-2 + 2i)x
It)
x(z + 2 + 2i)(z + 2-2i). 5. 0; -1-i.
C-11.3,
Bap.l. 1. a) |u| = 2; argu = -—; 6) |u| = l; argu = -—; в) |u| = V2;
2 6
3л _ . x/5-lz1 V5 + 1,,
argu = ~——. 3. a) zmin=—^(l + 2i); zmax = —(1 + 2i); 6) zmln =
4 V5 y/5
=---------i; zmax не существует. 4. 2 +Si; 3.
2 2
5тС г~
Bap.2. 1. a) Iu| = 2; argu = n; 6) |u| = l; argu =--; в) |u| = V2;
6
arg и = ~. 3. a) zmin = 1 (3 + 2i); zmax = - (3 + 2i); 6) zmin =
=----+ — i; zmax не существует. 4. 2-3Z; 3.
2 2
Вар.З. 1. a) |u|=l; argu = —; 6) |u| = >/5; arg и = arctg -- л. 3. 2^5.
/—6 2
4. 0; —.
_______________________________________________
Bap. 4. 1. a) |u| = l; argu = ——; 6) |u|=V5; arg u = л - arctg
Г 6 2
3. 2^5. 4. 0;
2
C—11.4.
Bap. 1. 1. a) cos
( 12
в) 13 cos -arctg —
Il 5
. 2. 0. 3. -21002. 5. 0.
Bap. 2. 1. a) 4 (cos (л) + i sin (л));
_( ( 5л.
6) 2 cos-+isin
I I 6 J
5л
т
в) 25 cos — + arctg — + i sin
I 2 24 )
(л 7
|j + arCtgS
. 2. 0. 3. -21302. 5. 0.
84
Bap. 3.
4 1
л-arctg— +
3
+ isin
. ( ,4
in л - arctg —
I 3
. 3. cosx + isinx. 4,
л
2
Зл . . Зл)
— +1 sin — ;
4 4 Г
Bap. 4.
. ( ,24
x sin л - arctg —
n„( ( , 24 Л .
6) 25 cos л-arctg— +ix
„ . . . 71
3. cosTt + tsinn. 4. —
2
С-12.1,
1 4
Bap.l. 1. 77. 2. —. 3.
lo
ковы. 6. 0,5.
1 19
Вар. 2. 1. —. 2. —. 3.
12 66
вы. 6. 0,5.
3
—. 4. 16 девочек. 5. Вероятности одина-
35
g
—. 4. 9 девочек. 5. Вероятности одинако-
3 5
С—12.2.
С4 63 7 5
Ban.l. 1. — =--. 2. 0,14. 3. —. 4. —. 5. Ответ будет зависеть
F 29 256 40 11
от трактовки задачи. Если сначала выбирается наугад класс, а по-
5 „
том в нём ученик, то ответ —. Если же ученик выбирается из со-
8
2
вокупности учащихся обоих классов, то ответ —.
О
35 7 15 20
В^21П8-2- °-092' 3' 40* 4' 22* 3* 27*
С-12.3.
Вар. 1. 1.
Вар. 2. 1.
Ц=. 2. - + —. 3. 0,75.
3V3 2 2
2. 0,3 + 0,31п—. 3. -
4л 3 4
С—13.1.
Вар.1.1. а) {—3; 2}; б) 2 |.2. а) -1; б) aef-oo; -17||и
I 2 I [2 ] 2 j
U{7}. 3. J~5±^; 3±^l. 4. (-3;-2]U{-l}U[4;+oo).
I 2 2 J
85
Bap.2. 1. a) {2; 3}; 6) 2 |U(3; +oo). 2. a)
\ Cl )
6) ael l^;+o° ju{-101}. 3.
5±V33 /-]
—----; l±V2k 4. (-3;-2]U{-l}U
U [4; +oo).
C—13.2,
Bap.l. 1. a) {-1; 5; 2±2>/2}; 6) (-oo; 2 + 2V2)U(5; +oo). 2. a) 5 ;
L 2 J
(-1; |]u<l; 5]. 3. a) U 6) [-1; .
\ l о J \ О / X о /
4. a) {—4;—1}; 6) (-00;-4] U[-l; 0).
Bap.2. 1. a) {-6; -2; -4±>/б}; б) (-4-г/б; -4 + Тб).
„ [-23±л/731 Г -23-V73\,f-23 + V73 'l
2- a) i--------f; б) -oo; ------- U ----------; +00 I
I О J x о 7 \ о 7
з- •> {-?* »> +“>•
ч J-11±V971 Г-11-л/97 -11 + V97
4- a) I---r----I’ 6) ---r----; ----r---- •
L 6 J L 6 6 J
c-13.3.
Bap.l. 1. {(6; 12); (12; 6)}. 2. {(3; 1); (-3;-1)}. 3. {(2; 4); (4; 2)}.
Bap. 2. 1. {(6; 12); (-12;-6)}. 2. {(3>/2; V2); (3>/2; -V2); (-3^2; >/2);
(-3^2; -V2)}. 3. {(2; 3); (3; 2)}. 4. {(2; 1); (-1; -2); (1 + 72; -1 + ^2);
(1-72; -1-V2)}. 5. {(3; -1); (3^2; ^2)}.
C—13.4.
Bap.l. 1. Если a^—3, a^—2, аф—, тох = ——i; если a=—3, a=—2,
2 a + 3
a = —, то решений нет; если a=—2, то уравнение не имеет смыс-
Ci
п ъ , см,Г 3 А ( а2 + 2а\
ла. 2. Если ае(-оо; -2)1) —; +00 , то хе -оо; ---------- если
I 2 ) ( 2а + 3 Г
ае[_2;-®\
I 21
(а2 + 2а 3
то х е —-----—•; +оо ; если а = ——, а=-2, то решений
\ CiCL + о I с
86
нет. 3. Если а<0, то хе(-оо; a)U —; -а ; если а = 0, то хе(-оо; 0);
\ 2 )
если а>0, то хе (-со; -a)U
1
3
1 4а -1 „ 1
Вар.2. 1. Если а*-2, аУ=—, а*0, тох =-------; если а=-2, а = —
5 а + 2 5
а = 0, то решений нет. 2. Если ael 4; 4- 1, то хе
2а2 - 8а ]
-------; +оо ; ес-
3а-13 I
ли ае(-оо; 4)14 4-; +оо|, то хе
13 J
2а2 - 8а
—со; -------
За-13
; если а = 4, а = 4—,
3
(2 1 А
то решений нет. 3. Если а<0, то хе(-оо; a)U —a; —a U(0; +оо); ес-
у 3 3 J
1
f 1 А (2 А
ли а>0, то хе 0; -a U -а; а ; если а = 0, то решений нет. 4. а = 2.
I 3 I 13 )
’ 3
С—13.5.
(а । ( а । гч
—oo; — U —; +оо ; если а = 0, то
6/ к 4 )
хе(— oo; 0)U(0;+oo); если а>0, то хе|—oo; —— IUI —; +оо . 2. Если
I 4)16 )
а<-1 или а>3, то один корень; если а=—1 или а = 3, то два корня;
если ае(-1; 3), то три корня. 3. а) ае| —3—; 3—1; б) ael 3; 3—
144) I 4
Вар.2. 1. Если а<0, то xela; ~1; если а = 0, то решений нет;
если а>0, то хе ; а . 2. Если а<0 или а>4, то один корень;
I 3 J
если а = 0 или а = 3, то два корня; если ае(0;4), то три корня.
3. а) ае(-2~; 2-|; б) ael 2; 2^|.
144) V 4)
С—13.6. г
[11 L 31 J5 + 3V51 I ^751
Bap.l. 1. {2}. 2. {1}. 3. ]. 4. (1; 5. [• 6. |0; ±—
7. {2}.
[31 [51 J3 + 3V51
Вар.2. 1. Т .2. {2}. 3. ту . 4. {-1;3}. 5. —у—Г. 6. {-1}. 7. {3}.
14 J HiJ l^J
87
С—13.7.
Bap.l. 2. a) (—оо;—6]U(10;+oo); б) (-со;-2); в) (-оо; 1)11 0;
>/5-1
2
г) [—1; 0] U [1; 2].
( 4
Вар. 2. 2. а) (-оо; -1] U 8-;
I 5
+о° ; б) [5; 6); в)
1 _ J'S
——; 0 и(1; +оо);
г) [-3; 2].
С—13.8.
Вар. 1.1. Если ае(2; 3], то х = ———; если а е (—оо; 2] или а е (3; +оо),
а — ct
то решений нет. 2. а) Если а<-8, то корней нет; если -8Са<-2,
то один корень; если а>-2, то два корня; б) если а<-8, то корней
о о — 7^о + 83
нет; если -8Са<-2, то х =--------------; если а>-2, то
2
-7-740 + 33 -7 +74а+ 33
xi -‘ у , х2 -----------------; в) аС-2; г) если аС-8, то ре-
шений нет; если -8<а<-2, то хе
-7-740 + 33
2
если а>-2,
а
2
( —7 —74а + 33 -7 + 740 + 33^
то хе-----------------; ------х-------- . 3. а е (-оо;-2] U [4;+оо)
\ Ct )
4. Если 0 < а С —, то решений нет;
если
f-l-72a2-l -1 + ^2а2-1} , Г -1 + J2a2-1}
х е ---------;-----2----- ; если а > 1, то х е -а; -2-- .
к 2 2 ) 2
Вар. 2. 1. Если а е [-4; 4), то х = — За; если ае(-оо;-4) или
4-а
ае[4;+оо), то решений нет. 2. а) Если а<-9, то корней нет; если
—9Са<—4, то один корень; если а~>— 4, то два корня; б) если а<—9,
7+ 74а + 35
то корней нет; если -9Са<-4, то х =-----2-^----; если а>-2, то
2
7-74а + 35 7 + 74а + 35 . . . .
Xj =--2------> х2 =--------> в) а С-4; г) если а С-9, то реше-
ний
то
нет;
хе
если —9<а<—4, то хе
7-74Q + 35. 7 + 74а + 35
2 ’ 2
а 7 + \14а + 35
—; ----2------- ; если а ^-4,
3 2 J
3. а е(—оо; —2] U [1;+оо).
88 |
4. Если 0 а х/2 , то решений нет;
то
; если а>2, то хе
-1; а .
С—13.9.
Bap.l. 1.
7. {l;-log34}.
. 2. {-1; 4}. 3. {±2}. 4. 1-1; loga 51.
I 5 J
5. {2}. 6.
{0}.
Вар. 2. 1.
7. {-l;log316}.
. 2. {-1; 9}. 3. {±2}. 4.
5. {2}. 6.
{0}.
С—13.10.
Bap.l. 1. а) | 0; -1U(3; +оо); б) (10;+оо); в) (0; 1);
\ 2)
г) -оо;
и!»; *1
L 2j
д) (—оо; 2). 2. а) (2;+оо);б) (-оо;-2). 3. а е (-оо; -3] U [0; 3].
Вар.2. 1. a) (1-V2; 1 + V2); б) (3;+оо); в) (1;+оо); г) (-oo;-l]U
U [0; 1J; д) (2;+оо). 2. а) (-оо; 2); б) (-2;+оо). 3. ае
3
—оо; —
2
U [5; +оо].
С—13.11.
Bap.l. 1. {-2}. 2.
7. {!}•
. 6. {3;2}.
Вар. 2. 1. {2}. 2.
7. {5}.
С—13.12.
Bap.l. 1. з\ 2. (1; 2]. 3. [-1; 0)U 11. 4. [0; | U
\ 3 ) Z / I 4
5.
. 6.
Вар.2.1. (1; 73). 2. (0; 1]. 3. 0jU[1; +00). 4. (о;
5. (1; 2]. 6.
3
2
U
U
1
1
1 1
3
2
1
и
; 1 •
89
С—13.13.
Вар. 1. 1. б) ае(—oo;-l)U(—1; 0); в) а<—2; в) если а<—1, то
хе(1; -а]; если -1<а<0, то хе[-а; 1); если а=-1 или а^О, то ре-
шений нет. 2. а) а^-1; б) если -1<аС-~, то хе(-1;а); если
-l<aC-i
2
< а < 0
2
то х е (-1; -а);
если
или 0<а<1, то
« 3
если а = 0 или а = —,
2
, то хе
если а > —. то х е
2
Вар. 2. 1. б) ae(0; l)U(l;+oo); в) а>2; г) если а^О или а = 1, то
решений нет; если 0<а<1, то хе(-1;-а]; если а>1, то хе[-а;-1).
з
2. а) а>1; б) если а<-—, то хе
3
если а = — или а
; если -1<а<0 или 0<а<—, то
2
; если — ^а<1, то хе (а; 1).
если —<а$-1, то
2
С—13.14.
г, , .. ч [л 2лл л 2лп1 „ г /- /-1
Вар. 1. 1. а) - + —, neZ; б) а е -2V3; 2V3 .
IУ 8 8 8 J L
о 2лп] „ ,л 1 [8 л тт
2. а) , neZ; б) лп;±- + лл , neZ; в)
I У о J I 3 J lolua.
{л пп л лл] (2лл1
+ ], neZ; д) V ?, n*7k, k, neZ-, е) если
ae{0}U
ae(-oo; 0)U 0;
Bap. 2.
в)
12 4 2’
л 8 nn
10 - 5 ~5
1 2a2-1
x = ±— arccos----
2 2a-1
U(l; +oo), то решений нет.
2
x f TC . I
) < — + 4nn; 7t + 47cnf,
18
пп Л nn ]
8+T]
, neZ; r)
neZ;
neZ;
л 2лга. л
5+-5-’ 4
neZ; если
6) ae[-2;2].
nn I
~7j’
лп1
—j, neZ-, Д)
neZ;
2
; 1 , to
6) Ir
90
n*7k + 3, k, n eZ; e) если a e 0;
,1 2а2-1
то х = ±— arccos----+ лп.
2 2а +1
neZ; если ae(—оо; 0)U
то решений нет.
C—13.15.
Bap. 1. 1.
2л
+ 2лп; — + 2лп |и — + 2лп; л + 2лп U
3 3 3
( 4л
U л + 2лп; — + 2лп
I 3
neZ. 2. (лп; arctg 2+лп), neZ.
3.
2лп 7л 2лп
л
6 3 ’ 18 3
л 2лп 11л 2лп{ ~
— + —;-----1—т— , п g Z.
2 3 18 3
л
’ 3
U
2
2
3
7л
4. 2лп; — + 2лп U л + 2лп;-^ + 2лп |, neZ.
3 J 6 )
6
Вар. 2.1. [ —+ 2лп; - + 2лп U —+ 2лп;—+ 2лп
F 1 ° л л 6
2л _ Y
кб
1
neZ.
_ х 1 л
2. arctg—+лп; —+ лп
2 2
n g Z. 3. | 2лп; —+2лп |u I —+2лп; —+2лп iu
5 2 5
,6л _ 3л „
U — + 2лп;---F 2лп
5 2
+ 2лп; 2л + 2лп
neZ.
2л
4. [—+ 2лп; — + 2лп U — + 2лп; 2л + 2лп
2 3 2
neZ.
С—13.16.
±— + 2лп; ± — + 2лп L n g Z. 2.
. 12 12 1
i л „ 7л „ 1
nGZ. 3. (— + 2лп; — + 2лп1
16 6 J
[ л „ 7л _
Bap. 2. 1. i — + 2лп; — + 2лп
16 6
3. {лп}, neZ. 4. {—— + 2лп; —— + 2лп
16 4
Вар. 1. 1.
neZ. 4.
Л Л Л
— + лп;----f- лп; — + лп
4 12 12
, neZ.
л , л
neZ. 2. {- + яп; ±- + лп>,
I Ct О J
n eZ.
л
л
4
4
2
5
л
2
3
n gZ.
K—1
Bap.l. 1.
a) 1; 6) -i. 2. Если 0<а<2, то lim
6 x^+o
ах + 3
2х
= 0; если
_ (ах + З'} - о v (ах + З)
а = 2, то hm ---------- =е2; если а>2, то пт —---------------- =+оо.
x-»+ool 2х J x-»+ool 2х )
91
3. Если а${0;2}, то
lim—Х~^—
х-а X2 -Зх + а
1
; если
х — Q,
lim—-------= 0; если а = 0, то
х — а X2 - Зх + а
„ х-а , 1
а = 2, то lim —----= 1. 4. -1. 5. —.
х —а х2-Зх + а 4
6. а = -2, 5=10.
(пх — ? А
Вар.2. 1. а) 1,5; б) —16. 2. Если 0<а<3, то lim ------ =0; если
х-+юо| Зх I
а = 3, то
3. Если
(ах-ЗУ (ax-2Y
lim —----- =е 3; если а>3, то hm --------- =+оо.
х —+оо^ Зх J. х —+оо^ Зх )
х% — 4х 4- а
ай{0;3}, то lim------------= оо; если а = 0, то
х-а х-а
.. х2-4х + а л „ х2-4х + а „ . . _ 1
hm---------= -4; если а = 3, то hm---= 2. 4. -1,25. 5. 7.
х —а х-а х —а х — а 4
6. а = 6, Ь=—2.
К—2
Bap.l. 2. Наклонная асимптота y = x. 4. Нет. 6. а) Горизонталь-
ная асимптота г/=0; б) наклонная асимптота г/=-2х+1.
п
—. 4. Нет. 6. а) Горизон-
наклонная асимптота у=-2х-3.
Вар. 2. 2. Наклонная асимптота у =
п
тальная асимптота у = —; б)
в) вогнута на [0;-оо); г) г/ = х + 0,5.
2—1 1
3. Е (х) = - х2 — sin 5х —7= arcsin (V5x) +1.
75 V5 v 1
4. F(x) =
К—3
Bap.l. 1. a) 1; 6) be[O; 1);
2. Е(/) = |-б|; | .
О о _
Зх2-2х + С
--------- прих>1,
2---------27
„ CeR. 5. Если a^0 или a = —,
x2 + 2x + C - 2 „ e3
при X < 1,
2
п 27 27
то один корень; если 0 < а < —, то два корня; если —— < а < +оо, то кор-
е3 е3
ней нет. 6. а) Возрастает на (0; е), убывает на [е; +оо); б) V2 7з 2.
7. 0,25<а<1.
Вар. 2. 1. а) -1; б) b е(-1; 0]; в) выпукла на [0;+оо); г) у=-х —0,5.
2. E(J) = -6—; — . 3. F(x) = — х3 + - cos3x + -iarcsin (х/Зх)-—.
L 3 3j 10 3 7з ' ' 3
х2-6х + С
4. F(x) =
при х > 2,
-х2 + 2х + С - 8
при х < 2,
CeR. 5. Если а^0 или а = —,
е3
2
92
п 1
то один корень; если 0<а<—,
ел
1
то два корня; если — <а<+оо, то
ел
корней нет. 6. а) Возрастает на (0; е), убывает на [е; +оо);
б) (sinO>l)coa0'1<(cosO,l)8ln0’1. 7. 0,25<а<1.
К—4
Bap.l. 1. а) 2,25; 6)57; в) 0. 2. xe[0; log35]. 3. у = х-^-.
5л
4. М(6;24). 5. а = ~—. 7. 0.
16
Вар.2. 1. а) 1,5; б) 37; в) 0. 2. а = 0. 3. у = -0,25. 4. М(5;5).
К-5 г- /—
( п 5л 2<3 . 1 .v3 „ „
Bap.l. 2. Нет. 3. ; — . 4. —— i. 6. - + f—. 7. 2 числа.
6 6 ) 3 2 2
(5л 11л А 2>/3 . „ 1 .>/3 „ „
Вар. 2. 2. Нет. 3. —; —— . 4. —— I. 6. ---i—. 7. 2 числа,
о 6 ) 3 2 2
К—6
16 5 32 15
Bap.l. 1. —. 2. —. 3. —. 4. 11. 5. —.
к 27 21 99 16
1 37 11 1
Вар. 2. 1. -. 2. ——. 3. —. 4. 15. 5. —.
к 9 388 15 64
2 л
arctg —+ л/г;----н2л/г
3 3
keZ. Если а 6
arctg - + nk;----1- 2nk
3 3
2
а £ jarctg —
л
+ nk; —- + 2лй>, keZ, то 3 корня,
о J
ksZ, то на отрезке [а;а + 2л] будет 4 корня; если
4. х = — + 2nk, keZ.
12
5. (О; 3-2'^)и(32 3^; +оо). 6. а) (2,5; 7); б) а = 3; в) если а^2, то
а
-—<х<2-а; если 2<а<3, то -1<х<2-а; если а = 3, то решений
нет; если 3<а^4, то 2-а<х<-1; если а>4, то -2<х<-1.
Вар.2. 1. (-оо;
О
-3-V3)U -3 + 7з U[l; +оо). 2. [-3; 2].
3. l—+2nk; arctg - + л/г к
16 2 J
{л 3
— + 2л/г; arctg - + л/г
AeZ, то на отрезке [а;а + 2л] будет 4 корня; если
{тс 3 1 5 л
—+ 2л/г; arctg- + л/гk feeZ, то 3 корня. 4. х = — + 2л/г, keZ.
6 2 J 12
5. (О; 5-2'^)и(52'^; +оо). 6. а) (2,5; 3); б) а = 3 или а>5; в) если
1 а
а<3, то—--<х<2-а; если а = 3, то решений нет; если 3<а^4,
2 2
q Л О __
то 2-а<х<----; если 4<а<5, то -2<х<--; если а^5, то ре-
2 2 2 2 Р
шений нет.
Содержание
Предисловие...................................3
С—8.1. Понятие предела функции.......................9
С—8.2. Предел функции на бесконечности...............—
С—8.3. Вычисление предела функции на бесконечности ... 11
С—8.4. Вычисление предела функции в точке...........12
С—8.5. Первый замечательный предел..................13
С—8.6. Второй замечательный предел и его следствия..14
С—8.7. Вычисление пределов...........................—
С—8.8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций..............................15
С—8.9. Непрерывность функций........................16
С—8.10. Разрывы функции..............................17
С—8.11. Корни непрерывной функции. Промежуточные
значения.....................................18
С—8.12. Свойства функций, непрерывных на отрезке.....19
С—8.13. Односторонние пределы. Асимптоты графика
функции......................................20
С—9.1. Вычисление производной по определению........21
С—9.2. Производные некоторых элементарных функций 22
С—9.3. Уравнение касательной........................23
С—9.4*. Дифференцируемые функции и дифференциал .... 24
С—9.5. Производная произведения, частного,
композиции функций...........................25
С—9.6. Первообразная. Элементарные свойства
первообразных. Таблица первообразных.........26
С—9.7. Неопределённый интеграл......................27
С—9.8. «Французские» теоремы........................28
С—9.9. Исследование функции на монотонность
с помощью производной........................29
С—9.10. Исследование функции на экстремумы
с помощью производной........................30
С—9.11. Нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции на промежутке...............31
С—9.12. Решение текстовых задач с использованием
производной..................................32
С—9.13. Производные высших порядков. Выпуклые
функции......................................33
С—9.14. Построение эскизов графиков с помощью
производной..................................34
С—9.15. Доказательство неравенств с помощью
производной..................................35
С—10.1. Площадь криволинейной трапеции...............36
С—10.2. Определённый интеграл........................37
195
С—10.3. Определённый интеграл......................38
С—10.4. Расширение понятия определённого интеграла .... 39
С—10.5. Интеграл с переменным верхним пределом......40
С—10.6. Свойства определённого интеграла...........41
С—10.7. Применение подстановки при интегрировании...42
С—10.8. Вычисление площадей........................43
С—11.1. Алгебраическая форма записи комплексного
числа........................................—
С—11.2. Решение квадратных уравнений. Комплексные
числа и многочлены..........................45
С—11.3. Геометрическое представление комплексных
чисел.......................................47
С—11.4. Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел...........................49
С—12.1. Классическое определение вероятности.......51
С—12.2. Условная вероятность. Схема Бернулли.
Формула полной вероятности. Формула Байеса .... 52
С—12.3. Геометрическая вероятность.................53
С—13.1. Уравнения высших степеней..................54
С—13.2. Рациональные уравнения и неравенства.......55
С—13.3. Системы алгебраических уравнений.
Однородные и симметрические системы.........56
С—13.4. Уравнения и неравенства с параметром.
Аналитическое исследование.................. —
С—13.5. Графический метод решения уравнений
и неравенств с параметром в плоскости (х; а).57
С—13.6. Иррациональные уравнения...................58
С—13.7. Иррациональные неравенства..................—
С—13.8. Иррациональные уравнения и неравенства
с параметром................................59
С—13.9. Показательные уравнения....................60
С—13.10. Показательные неравенства..................61
С—13.11. Логарифмические уравнения..................62
С—13.12. Логарифмические неравенства.................—
С—13.13. Логарифмические неравенства с параметром....63
С—13.14. Тригонометрические уравнения...............64
С—13.15. Тригонометрические неравенства..............—
С—13.16. Отбор корней в тригонометрических
уравнениях............................................65
К—1 .................................................66
К—2 .................................................67
К—3 .................................................69
К—4 .................................................71
К—5 .................................................73
К—6 .................................................74
К—7 .................................................75
Ответы и указания...........................76