РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
РЯДЫ
Издание второе, переработанное и дополненное
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
студента(-ки)курса факультета
группы №
специальности_______________________________________________
Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому и техническому об-
разованию в качестве рабочей тетради для студентов высших учебных заведений
Ставрополь
«АГРУС»
2010
УДК 517.52
ББК 22.193
Р98
Авторский коллектив:
Роман Викторович Крон;
Светлана Викторовна Попова;
Екатерина Владимировна Долгих;
Нина Борисовна Смирнова;
Анна Федоровна Долгополова',
Нина Николаевна Тынянко
Ряды : рабочая тетрадь / Р. В. Крон, С. В. Попова,
Р98 Е. В. Долгих и др. - 2-е изд., перераб. и доп. - Ставро-
поль: АГРУ С, 2010.-72 с.
Рабочая тетрадь входит в серию методических разработок,
способствующих овладению студентами теоретическими осно-
вами материала и появлению у них навыков решения задач
по основным разделам курса математики.
Предназначена для использования во время практических
занятий и в качестве задачника для самостоятельной работы
и контроля знаний студентов.
УДК 517.52
ББК 22.193

© Авторский коллектив, 2010
© ФГОУ ВПО Ставропольский государственный
аграрный университет, 2010
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1. Основные понятия
Рядом называется выражение вида а{ + а2 + ... + ап + ..., где числа
ах, а2, ап, ... называются членами ряда. Величина ап - общий или и-й
член ряда.
Члены ряда образуют бесконечную последовательность.
Члены ряда могут обозначать числа, функции, векторы, матрицы и т.п.
Очень часто ряд записывается в сокращенной форме:
а}+а2+... + ап+... = ^ап.	(1)
П=1
Многоточие в конце записи указывает на то, что в выражении (1) нет по-
следнего слагаемого. Таким образом, ряд есть «бесконечная» сумма.
Ряд, все члены которого являются числами, называется числовым.
Примеры числовых рядов'.
а) 1 + 2 + 4 + 8 + ... = £2'”1,
П=1
Ряд считается заданным, если известен его общий член ап = f(ri)
п = 1, 2, ..., т. е. задана функция /(«) натурального аргумента.
(-1Г1
Пример 1. Ряд с общим членом ап = - -7—- имеет вид
п (л + 1)
J______1____1__	(-1Г1
12-2 22-3 32-4 " л2(п + 1)+""
Более сложной является задача: по нескольким первым членам ряда со-
ставить общий член ряда.
Пример 2. Наити общий член ряда: — + — + — + ....
Решение. Заметим закономерности для числителей и знаменателей дро-
бей. Числа 2, 4, 6, ... отличаются друг от друга на величину d = 2, т. е. эти чис-
ла образуют арифметическую прогрессию с ах = 2, d = 2. Тогда величину ап
определим как общий член арифметической прогрессии ап =ах +d{n-Y). По-
лучим ап= 2 + 2(п -1) = 2п. Аналогично, числа 5,9, 13, ... образуют арифмети-
ческую прогрессию со значениями а} = 5, d = 4. Получим
ап= 5 + 4(и -1) = 4п +1.
п	2 4	6	_	„	2п
В результате для ряда — + — + — +... общий член ряда а =--.
5 9 13	4л+ 1
Сумма конечного числа п первых членов ряда (1) Sn = ах +а2 +...+
+ап =^ak называется п -и частичной суммой данного ряда.
*=1
з
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных
сумм Sx=a}, S2=a}+a2, S3=a}+a2+a3, ...» Sn =а} + а2 +... +ап при неогра-
ниченном возрастании п имеет конечный предел:
limS„=S.	(2)
П->00
Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если предел не суще-
ствует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 1 2 3
Решение. Представим общий член ряда в
1_____
3-4 (и + 1)(и + 2)
1
виде: и =------------------
” (и+ !)(« +2)
1
1_____1_
п + 1 п+2
Тогда частичная сумма Sn будет выглядеть так:
о 111111 1 1 1
2 3 3 4 4 5	п + 1 п + 2 2 п + 2
Тогда lim Sn - lim(—--—) = —.
»->«> " „^2 п + 2	2
„ 1
Следовательно, ряд сходится, и его сумма равна -.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд 1+1+1+...+1+... .
Решение. Ряд расходится, так как lim Sn = lim п = <х>.
П~+<П	и->со
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд 1-1+1-1+...+(-1)и+1+... .
Решение. Ряд тоже расходится, так как последовательность его частичных
сумм имеет вид: Si = 1, Si - 0, S3 = 1, S4 = 0 и т.д., а такая последовательность
предела не имеет.
ТТ	Г ТТ -	1111
Пример 6. Наити сумму ряда +	+	+
1	114
Решение. Составим частичные суммы Sx~-, *$2 = — + = ’
о 1	1	1	13 о 1	1	1	1	40
5,=- + — + — = —, Sd=- + —+— + — = — и т.д. Заметим, что все частич-
3 3 9 27 27	4 3 9 27 81 81
с-	1
ные суммы при увеличении числа п приближаются к —, поэтому можно счи-
тать S = —, тогда ряд сходящийся.
2
Пример 7. Найти сумму ряда 1-1 + 1-1 + ...
Решение. Составим частичные суммы = 1, S, = 0,	= 1, ..., т. е. сумма
не определена, следовательно, ряд расходится.
4
Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со значениями
и q: bx+bxq + bxq2 + ... + bxqn~x + ... = ''£jbxqn~x называется геометрическим ря-
дом, где q * 0, |<у| Ф1.
Геометрический ряд сходится при величине |<?| < 1 и расходится при вели-
чине |<?| > 1.
Свойства сходящихся рядов
1.	Если ряд ах +а2 + ... + ап +... сходится и имеет сумму S, то и ряд
kax +ka2 + ... + Л.ап + ... (полученный умножением данного ряда на число X) так-
же сходится и имеет сумму XS.
2.	Если ряды аг + а2 + ... + ап +... и Ьх + Ь2 + ... + Ьп +... сходятся и имеют
суммы соответственно Sa и Sb, то ряды:
+^) + (а2+Z>2) + ... +(tzn+Z>n) + ...	(3)
иряд (al-bl) + (a2-b2)+...+(an-bn)+...	(4)
также сходятся, а их сумма и разность равна соответственно Sa+Sb и Sa - Sb.
3.	Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем
отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.
4.	Если ряд ах+а2 +... + ап+... сходится, то сходится и ряд ап+х + ап+2 4-...»
полученный отбрасыванием п первых членов ряда. Верно и обратное.
Ряд гп = ап+х +ап+2 +... называется п-м остатком ряда
а. + а, +... + <7 +....
12	П
5.	Если ряд (1) сходится, то lim г = 0.
Л->00
6.	Над сходящимися рядами можно выполнять арифметические действия:
сложение, вычитание, умножение, деление. Они выполняются как действия над
многочленами.
Задания для решения в аудитории 1
1. Написать общий член ряда.
1.
5
2 4	6	8
- + - + — + — +
2.
3 9 27 81
2 .'_- 2‘4'—8 +... г /	Г.. .	/г/
12^	' ]
у	1 •
г у •
.^2. Найти сумму ряда.
,*) Г	111
Е Ь4 + 4^7 +’" + (Зл-2)(Зл + 1)1 + ‘"‘
4^.	-
л -»w	П ^р'

6
2.---1----1---1---Ь
1-3 3-5 5-7 7-9 ТМЧ/&Й)
2/1-1
±
L.
in + <
2. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда
Необходимый признак сходимости ряда (теорема). Если ряд ^ап схо-
П=1
дится, то его общий член ап при неограниченном увеличении номера п стре-
мится к нулю:
Пт<яп=0.	(5)
п—>00
Замечание. Это условий является необходимым, но не достаточным при-
знаком сходимости, то есть из стремления общего члена ряда к нулю не обяза-
тельно следует сходимость ряда.
Достаточный признак расходимости ряда. Если lima^O, то ряд
И—>00
расходится.
Пример 1. Дан ряд 1 + — + - + - + ...+
+ .... Установить сходимость ря-
да.
Решение. Ряд 1 + — + — + - + ...+ —- +... сходится, т. к. составлен из чле-
2 4 8	2
нов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со значениями
b} = 1, q = —, у которой сумма S = —Ц- = 2
2 1--
2
существует.
7
Найдем предел общего члена ряда при значении п —> оо : lim —— = 0.
п->ао 2п 1
я
Пример 2. Дан ряд > -----• Доказать, что он расходится.
«=1 Зи + 1
Решение. Для доказательства найдем предел общего члена ряда при зна-
.. п 1 Л
чении п —> со: hm----= - Ф 0.
«->«> Зп +1 3
Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно,
данный ряд расходится.
Выявление сходимости рядов необходимо для того, чтобы выполнять
действия над рядами. Только над сходящимися рядами можно выполнять опре-
деленные действия. Т. к. нахождение предела частичных сумм достаточно
сложно, то сходимость рядов определяют другими методами.
3.	Знакоположительные ряды
Ряд называется знакоположительным, если все его члены положитель-
ны, т. е. at > 0.
Критерий сходимости. Знакоположительный ряд сходится тогда и толь-
ко тогда, когда его частичные суммы ограничены сверху.
Для таких рядов существуют следующие достаточные условия сходимо-
сти ряда, т. е. признаки сходимости.
4.	Признаки сходимости знакоположительных рядов
4.1.	Признаки сравнения
Первый признак сравнения. Даны два ряда с положительными членами:
W] +и2 + ... + ип +...	(6)
и
Wj + Wj ••• +	+ ”•	(7)
так, что ип < vn, т. е. каждый член (6)-го ряда не превосходит соответствующего
члена (7)-го ряда. Тогда, если сходится ряд (6), то сходится ряд (7); если расхо-
дится ряд (6), то расходится и ряд (7).
Следствие. Условие и„ < v„ может выполняться начиная не обязательно с
п п
п=1. Утверждение теоремы справедливо, если это условие выполняется для
всех п, больших некоторого N.
Замечания.
1. На остальные случаи признак сравнения ответа о сходимости ряда не даёт.
2. Этим признаком пользуются, сравнивая данный ряд с рядом сравнения,
сходимость которого известна.
Рядами для сравнения являются:
а)	V—, peR - обобщенный гармонический ряд;
8
СО |
-	при значении p = 1 получаем ------гармонический ряд, расходится;
Л-1 п
00	|
-	при значении р > 0 ряд V— называется рядом Дирихле. Этот ряд схо-
^\ПР
дится при значении р > 1 и расходится при значении 0 < р < 1;
-	при значении р < 0 ряд расходится^
б)	£6,9”- - геометрический ряд;
-	при значении 0 < |^| < 1 ряд сходится, при этом его сумма S = ——;
1“^
-	при значении |g| > 1 ряд расходится.
Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что
надо не только подобрать соответствующий «эталонный ряд», но и доказать
неравенство ип < vn, для чего часто требуется преобразование рядов (например,
отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на опре-
деленные числа и т. п.). В ряде случаев более простым оказывается предельный
признак сравнения.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
1
п-2"
Решение. Исследуем на сходимость ряд
1
п-2п
сравнив его с рядом
Этот ряд сходится, так как последовательность его членов представляет
собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
q =—, сумма которой равна —. При любом п>\ п-2п>2п, следовательно,
1 1
----- < —, поэтому по 1-му признаку сравнения исследуемый ряд сходится.
п • 2" 2”
Второй признак сравнения (предельный признак). Если и
И=1	Л=1
- ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения
и
их общих членов lim — = к Ф 0, то ряды одновременно сходятся либо расходят-
П->00 у
П
ся.
Следствие. При применении 2-го признака сравнения удобно брать в ка-
00 1
честве ряда, с которым сравнивается данный ряд, ряд вида .
Л=1 и
9
При использовании 1-го или 2-го признака сравнения, как правило, срав-
нивают исходный ряд с соответствующим рядом Дирихле. В этом случае часто
применяют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательно-
„ . 1	1	.1	1	, (,	L	1
стен: sin--tg----arcsin — ~ arctg-ln(l + —)---.
n	n	n	n	n	n
00 In1 + 5
Пример 2. Исследовать сходимость ряда У-------— с помощью признака
Z? п
сравнения.
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом (выбор такого ря-
r	г 2л2+5 2.
да для сравнения может подсказать то, что при больших п дробь------).
п п
Поэтому по признаку сравнения данный ряд, как и гармонический, является
расходящимся.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда, применяя 1-й признак сравне-
СО 1
ния: У----т=г.
йзп7й
Решение. Рассмотрим геометрический ряд, составленный из членов гео-
11	00 1
метрической прогрессии, где Ьх = -, q = -, т. е. ряд .
зз	И=13
Так как |^| < 1, то ряд сходится.
л=13
Сравним соответствующие члены данного и геометрического рядов:
f=<—, т. е. выполняется условие ап <Ьп 1-го признака сравнения. Члены
п 3
00
1
3\
исследуемого ряда, начиная с п = 2, меньше соответствующих членов сходяще-
00 1
гося ряда, следовательно, ряд У—
«=13
— сходится.
п
Пример 4. Исследовать сходимость ряда, применяя 2-й признак сравне-
°° |
ния: V sin — .
„=1 «
" 1
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом —.
Л=1 п
Найдём предел отношения общего члена ип данного ряда ип =sin— к об-
п
1
щему члену vn гармонического ряда vn = — при значении п —> оо.
п
ю
Этот предел
. 1
sin —
lim—~~ =
П^><Х>	1
п
1
— = а
п
а -> О
.. sma « Л тт	*
= lim----= 1^0. Ha основании 2-го
а-»0 а
признака сравнения исследуемый ряд расходится, так как расходится гармони-
ческий ряд.
Задание для решения в аудитории
Исследовать на сходимость с помощью признаков сравнения.
2. - + —Ц- + —+ —/л) - 4/kWz/z
4 2-42 3-43 4-44	\Ч
f ft'?' 7Т I   ('/)
tiff	/У
№. tike	н/У/Ь
I I , Д, г #> <
4.2.	Признак Далам&ера
Пусть для ряда их + и2 +... + ип +... существует предел lim —— = М.
и
UJL
Тогда этот ряд сходится при значении М < 1 и расходится при значении
М>1. При значении М = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым, по-
этому необходим другой признак.
И
Ill 1
Пример 1. Исследовать сходимость ряда: - +-у +-? +... +--
3 2-32 З-З3	п-З"
Решение. ап = ——; ап+1 =	, поэтому по признаку Даламбера:
а ,	п-3”	1,. п 1,1,
lim—= hm-------------- = -lim----= - • 1 = - < 1, следовательно, ряд сходится.
и-*» ап + 1)3	3 п + 13	3
1 1-2 1-2-3
Пример 2. Исследовать сходимость ряда: - +	+ —р— +....
1-2-3-...-п	1-2-3-...-п-(п + 1)
Решение. ап =-----------; ап+] =-------поэтому по признаку
5	б
Даламбера:
а+1	1-2-3-...-n(n + l)5"	1,. / ,ч
lim-^- = lim-----------------— = —hm(n + l) = co, следовательно, ряд расходя-
а 5 -l-2-З-...-п	5"^“
щийся.
оо
Пример 3. Исследовать сходимость ряда: У — ,
п!
п=1
2n+1
Решение. а = —, а. = ---------
" п! 1 (п + 1
По признаку Даламбера: 11т^- =
Л->0° Q
п
вательно, ряд сходится.
2"+1-п!
hm7-----г—
'-“(п +1)1-2”
= lim -----
п-*“\п +1/
= 0 <1, следо-
Задание для решения в аудитории
Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера.
^<7	/
12
2-
I1 M
1 з _ -U # 3^
(l/t+'ljl '	-/	~
00	>>n 2
3. у 2 ”
^(« + 1
1 Zn V1
1 rty ^nl
. 4
4.
S' 10"
n2
13
4.3.	Радикальный признак Коши
Если для ряда их +и2 + ... + ип + ... существует предел limWw^ = L, то при
Л->00 V
значении L < 1 ряд сходится, при значении L > 1 - расходится.
Замечание 1. Так же, как в признаке Даламбера, / = 1 не дает ответа на
вопрос о сходимости ряда.
Замечание 2. Если для одного и того же ряда существуют пределы по Да-
ламберу и по Коши, то они равны друг другу.
® < Зи + 1 Y
Пример 1. Исследовать ряд на сходимость: У ------ •
Решение. Применим радикальный признак
.. Зи + 1 3 ,
lim---------= — < 1, следовательно, ряд сходится.
',->со 5п + 2 5
Задание для решения в аудитории
Исследовать на сходимость с помощью радикального признака Коши.
10” и”
1 \п
Коши,
lim г/а,
Л->ОО V
/.Л
к4= !£_Ц_
1(1 ±
1- X
И=1
• Л
т к . д'1
ръТУ^
10. К
14
3' §1п"(и + 1)‘ И « ' 1л*(лН)
4.4.	Интегральный признак Коши
Если функция у = /(х) непрерывна, монотонно убывающая при значении
х>1 и такая, что /(«) = «„ при значении neN, где ап - члены ряда
dfj + а2 + ... + ап + ..., то данный ряд сходится или расходится, в зависимости от
00
сходимости несобственного интеграла j/(x)tZr.
1
_	. __	1 2 3 п
Пример 1. Исследовать ряд на сходимость — н-1--+... + —=-F....
6 9 14 п + 5
Решение. Общий член данного ряда ап = ——. Применим интегральный
п +5
признак сходимости. Рассмотрим члены ряда как значения функции
X
/(х) = —-- при значениях п = 1, 2, .... Эта функция непрерывна и монотонно
х
У
1 2 3
убывает при значении х > 1, т. к. — > - > —
ь
г xdx (1
—------= hm l -
iл тj - - 1 х +5 ь-х»у2
венный интеграл расходится, следовательно, данный ряд расходится.
Пример 2. Исследовать ряд на сходимость У-----------у.
И=1 (Зи - 2)
xdx
2 ь-*°°
оо - несобст-
Решение. Функция f (х) =----—~ непрерывная и убывающая при зна-
(Зх - 2)
чениях х > 1.
15
r dx
’ (Зх-2)2
lr f 1
= -hm -7----г
3M\ (3x-2)J
1г
= -lim
3
1,. 1 11
—lim 7--------- + — = —
3 *-*со (35 - 2) 3 3
- несобственный инте-
грал
сходится, следовательно, данный ряд также сходится.
Задание для решения в аудитории
Исследовать на сходимость с помощью интегрального признака Коши.
00	1
2. У----------Г---.
£г(2и + 1) -1
16
с°	1
3.= У—-г—.
S2n2+1
5. Знакочередующиеся ряды
Если два стоящих рядом члена ряда имеют разные знаки, то ряд называ-
ется знакочередующимся. Его вид: ах - а2 + а3 -... + (-1)”-1 ап +....
Вопрос о сходимости знакочередующегося ряда решается с помощью
следующего признака.
Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда
ах - а2 + а3 -... + (-1)""1 ап +... удовлетворяют условиям:
1) ап ><2^, VneN, т. е. члены ряда не возрастают (убывают) по абсо-
лютной величине;
2) lim ап = 0, то данный ряд сходится, а его сумма не превосходит перво-
л—юо
го члена ряда, т. е. S<ax.
Замечание. Если хотя бы одно условие признака Лейбница не выполняет-
ся, то ряд расходится.
Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано
на замене суммы ряда суммой его нескольких первых членов. Допускаемая при
этом погрешность оценивается для знакочередующегося ряда по признаку
Лейбница.
Следствие. Погрешность суммы сходящегося знакочередующегося ряда
при приближенном вычислении по абсолютной величине меньше абсолютного
значения первого из отброшенных членов ряда: 5 < |ая+1|.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:
—-...ч-Ю"*1—
4 9 16	(л + 1)2
Решение. Ряд знакочередующийся. Проверим выполнимость условий:
14 1	1	1
!)—> — > — >...- члены ряда убывают по абсолютной величине;
2) lim
1
(л + 1)2
= 0.
17
Оба условия выполняются, следовательно, ряд сходится по признаку
Лейбница.
Пример 2. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
,111	/ , \л—1 1
1	— +----+ ... + (-1) — +... суммой четырех первых членов.
2	3 4	п
Решение. Данный ряд сходится. Ошибка S4, получающаяся при замене
суммой этого ряда суммой четырех первых членов, меньше абсолютной вели-
чины пятого члена, т. е. 84 < 0,2.
« (-Й-1
Пример 3. Какое число членов ряда — надо взять, чтобы вычис-
ли п
лить его с точностью до 0,001?
Решение. По условию |8„|< 0,001. Учитывая следствие теоремы Лейб-
ница, запишем более строгое неравенство |мп+1|< 0,001 или —-—-<0,001,
(и + 1)
откуда (п +1)2 > 1000 и «>71000-1 или и>30,6, т. е. необходимо взять не
менее 31 члена ряда.
Следствие. Если знакочередующийся ряд сходится, то остаток этого ряда
гп =(-1)"ал+1 + (-1)"+1 ая+2 +... также сходится и удовлетворяет неравенству:
Задание для решения в аудитории
Вычислить сумму ряда с точностью а .
1. tM-. а = 0.01.
z? з«
со (—1)"
XV-, а = 0,001.
£л2+1
18
6.	Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
Если члены числового ряда имеют различные знаки, то ряд называется
знакопеременным.
Рассмотрим сходящийся знакопеременный ряд
а\ + а2 + ... + ап +...,	(8)
у которого члены а, различных знаков.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (8) вида
|а1| + |а2| + ... + |ая| + ....	(9)
Знакопеременный ряд ах + а2 + ... + ап + ... называется абсолютно сходя-
щимся, если сходится ряд |а1| + |а2| + ... + |яп| + ..., составленный из абсолютных
величин членов ряда.
Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если
ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами
заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в силу того,
что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся - в результате того, что
положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды обладают различными свойствами.
Свойства абсолютно сходящихся рядов
1.	Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не нарушает его
сходимости.
2.	Если ах+а2 +... + ап +... и Ьх+Ь2+... + Ъп +... - абсолютно сходящиеся
ряды с суммами Sa и Sb соответственно, то ряд:
(«! ±Z>,) + (a2 ±Z>2) + ...(an ±Z>n) + ... также абсолютно сходящийся, а сумма его
равна Sa ± Sb.
3.	Если ах+а2+... + ап +... и Ьх + Ь2 +... + Ъп +... - абсолютно сходящиеся
ряды с суммами Sa и Sh соответственно, то ряд
(а, +а2+... + ап+...) • (bx + Ь2 +... + Ъп +...) также абсолютно сходящийся с сум-
мой S  Sh.
а о
Свойства условно сходящихся рядов
Перестановка членов условно сходящегося ряда может изменить сумму
ряда и даже сделать его расходящимся.
Теорема Римана. При перестановке членов условно сходящегося ряда
можно получить ряд, имеющий заранее заданную сумму, и даже расходящийся
ряд.
Пример 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
19
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов
,11	1
данного ряда, 1 + —ь — +... + —ь....
2! 3!	п\
По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как:
1-	М„+1 V	V 1 Л 1	S
hm-2±L = lim-----= hm-----= 0<1, таким образом, исследуемый ряд
ип п-*° (п +1)! л->с0 п +1
является абсолютно сходящимся.
Пример 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
i——+———
2 3 4
Решение. Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки
чередуются, а общий член с возрастанием номера стремится к нулю. Поэтому,
согласно признаку Лейбница, ряд сходится.
Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда,
,1111
1 + — + - + — + ... + — + ...- гармонический ряд, являющийся расходящимся.
2 3 4 п
Следовательно, данный ряд сходится условно.
|И-1 1
п
Задание для решения в аудитории
Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакочередующиеся ряды.
1- Ё(-0"
и=0
2и + 1
2"
20
3- S(-1)"
n=l
1
In»
21
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Ряд вида И] (х) + и2 (х) +... + ип (х) +... = ип (х), членами которого являют-
П=1
ся функции w„(x), называется функциональным.
Функции мДх), w2(x),..., ип(х), ... определены на некотором множестве
Каждому значению х0 е X соответствует числовой ряд w»(xo)» который
Л=1
может быть сходящимся или расходящимся.
Если ряд £М„(х) сходится, то х0 называется точкой сходимости функ-
И=1
ционального ряда.
Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его
областью сходимости D.
Если функциональный ряд сходится в области D, то он имеет сумму
S(x) в этой области.
Рассмотрим один из функциональных рядов.
Ряд вида а0 +a,(x-x0) + a2(x-x0)2 +... + а„(х-х0)” +... = £ап(х-х0)",
п=0
где ап, х, х0 - действительные числа, называется степенным рядом по степе-
ням (х-х0).
Числа а0, а,, а2,..., ап,... называются коэффициентами степенного ряда.
При значении х0 = 0 получим степенной ряд
ап +а.х+а7х2 +...+а хп +... = Уа х"	(1)
0	12	П	п	V '
п=0
по степеням х.
Далее будем рассматривать ряды вида (1), т. к. любой другой степенной
ряд можно свести к ряду (1) подстановкой х - х0 = х'.
Теорема (Абеля).
Если степенной ряд (1) сходится в точке х = х0 =£ 0, то он сходится абсо-
лютно в интервале, соответствующем неравенству: |х| < х0.
Следствие. Если в точке х} Ф 0 степенной ряд (1) расходится, то он рас-
ходится во всех точках х таких, что |х| > х.
Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что если степенной ряд (1)
сходится хотя бы в одной точке х ф 0, то всегда существует число R > 0 такое,
что степенной ряд сходится абсолютно для всех х е (- R; R) и расходится для
всех х е (-оо; - R) и (Я;+оо).
Величина R называется радиусом сходимости, а интервал (-2?; 2?) -
интервалом сходимости ряда (1), х = 0 - середина интервала.
22
Частные случаи:
-	если ряд сходится в точке х = 0, то R = 0; х = 0 - точка сходимости;
-	если ряд сходится при всех хе А, то R = оо; (-оо;оо) - интервал сходи-
мости ряда.
На концах интервала ряд может либо сходиться (абсолютно или условно),
либо расходиться. Сходимость ряда при значениях x = +R надо исследовать по
соответствующему признаку сходимости.
Для нахождения радиуса и интервала сходимости используют признак
Даламбера, в редких случаях, радикальный признак Коши.
1 „
— - R - радиус сходимости.
М
1
,— - интервал сходимости ряда (1).
ММ)
R = Iim
Л-ХЮ
формула для нахождения радиуса сходимости ряда.
Для определения сходимости ряда на концах интервала в степенной ряд (1)
вместо значения х подставляются числа R и - R. Получаем два числовых ря-
да, которые исследуются по известным признакам сходимости.
Пример 1. Определить область сходимости ряда
х х2 х3 х4 . 1ЧП_]Х”
1 2 З2 4	п2
хп
Решение. ип = (-1)”’’ —; ип+х
п
п2	.
v”+1
1И+1 Л
(и + 1)2‘
\ 2
хл+1
(и + 1)2-хл
п—>00
значениях |х| < 1, т. е. -1 < х < 1, R = 1.
Исследуем ряд на концах интервала.
1)	Пусть х = 1. Подставим это значение в данный ряд:
• 1 1 1 1 , 1ЧЯЧ 1
- - -у + — —- + ... + (-1)	знакочередующийся ряд.
1 2	3" 4	и
Исследуем его по признаку Лейбница:
м 1	1
а)	1 > — > — >...- члены ряда убывают.
б)	1пп-Д- = 0.
Л—>00
Ряд сходится по признаку Лейбница, значит, х = 1 входит в область схо-
димости.
lim = lim
Л->ОО
ряд сходится при
п
п + 1
2) Пусть х = -1. Получим ряд j- +	+ -i- +... + Д- +..., который яв-
ляется сходящимся обобщённым гармоническим рядом с величиной р = 2 > 1.
Значит, значение х = -1 входит в область сходимости.
23
Окончательно, при всех х е [-1; 1] ряд сходится.
Замечание. При исследовании на концах интервала сходимости для полу-
чающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не
w
имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать lim —— -1 с нере-
п->»
шенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматри-
вать другие признаки сходимости.
Степенной ряд общего вида
д0+tz1(x-x0) + tz2(x-x0)1 2 + ... + а„(х-х0)" + ... = ^ал(х-х0)"
и=0
сводился к ряду (1) подстановкой х - х0 = х'. Получали ряд ^я„х'".
л=0
Если R - радиус сходимости этого ряда, то ряд сходится абсолютно при
значениях |х| < R и расходится при значениях |х| > R .
Тогда степенной ряд общего вида сходится абсолютно при значениях
|х - х01 < R и расходится при значениях |х - х01 > R, где R - радиус сходимости,
(х0 - R; х0 + R) - интервал сходимости, х0 - середина интервала.
Свойства степенных рядов
Рассмотрим свойства на примере ряда aQ + арс + арс2 +... + апхп +....
1.	Если радиус сходимости степенного ряда (1) отличен от нуля, то его
сумма 5(х) непрерывна на интервале сходимости (-R; R).
2.	Если радиус сходимости ряда отличен от нуля, то степенной ряд можно
почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз внутри интерва-
ла сходимости. При этом интервал сходимости не изменяется.
3.	Внутри интервала сходимости ряды можно складывать, вычитать, ум-
ножать, делить, умножать на число. Интервал сходимости должен быть общим
для этих рядов.
Задание для решения в аудитории
Найти область сходимости ряда и исследовать его на концах интервала.
1- Е(-4)"х".
п—\
24
00
2- X
И = 1
п
П
25
CO
3- L(-0
Л=1
л-1 X^_
П
26
ГЛАВА 3. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
Если функция /(х) в некоторой окрестности точки х0 допускает разло-
жение в степенной ряд по степеням (х - х0), то этот ряд называется рядом Тей-
лора функции /(х) в точке х0 и имеет вид:
/(х) = /(х„) + /'(*»)(* - х0) +	-х,)! +... +	- х0)" +....	(1)
2!	п\
При значении х0 = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.
В этом случае /(х) = f (0) + /'(0)х +	х1 * +... + ———х” +...	(2)
2!	п\
Но не всегда ряд Тейлора сходится к функции /(х), для которой он
составлен.
Если 5(х) = /(х) в интервале сходимости (х0 -R; х0 + /?), где 5(х) -
сумма ряда Тейлора, то говорят, что функция /(х) разложена в ряд Тейлора в
окрестности точки х0.
Так как определять сумму ряда достаточно сложно, то можно использо-
вать следующий признак.
Признак разложимости функции в ряд Тейлора.
Чтобы ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции /(х) схо-
дился к этой функции, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член фор-
мулы Тейлора Rn стремился к нулю при значении п -> оо, т. е. lim/? (х) = 0 для
п->»	”
всех значений х из интервала сходимости ряда.
RXx) = 7 ~	’где £ G (хо>
(п +1)!
х) - остаточный член в форме Ла-
гранжа.
Rn (х) = о((х - х0)"), х -> х0 - остаточный член в форме Пеано.
Аналогично работает признак для ряда Маклорена. Но на практике чаще
используется более удобный признак.
Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.
Если для любых х е (х0 - R-, х0 + R) все производные функции /(х) огра-
ничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции
f (х) в интервале |х - х01 < R.
1. Разложение элементарных функций в ряд
При представлении элементарной функции в виде ряда обычно поступа-
ют следующим образом:
- вычисляют последовательно производные данной функции в точке
х = а;
- составляют ряд и определяют область сходимости полученного ряда.
27
В этой области ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей его функ-
ции /(х), если только все значения f(a), f'(a), ..., /(ч)(а) получаются непо-
средственной подстановкой значения х = а в выражения f (х), /'(х),..., /(л)(х).
Получим разложение некоторых функций в ряд Маклорена
2!	п\
1) Функция вида f (х) = ех
х	X2 х3
е =1 + х + — + — + ...
2! 3!
1 г
— = lim
Определим радиус сходимости полученного ряда по признаку Даламбера:
ип
«п+1
= lim
«-><»
,я+1
(п +1)! п\
= lim
= 0, значит, R = оо. Тогда
п +1 lim(w +1)
«->00
х
интервал сходимости полученного ряда (-оо, + оо).
Пусть А - сколь угодно большое положительное число, такое, что
/(л) (х) = ех < еА при значении х < А, тогда по достаточному признаку разложе-
ния функции в ряд, функция ех разложима в ряд Маклорена при любом х е R.
2) Функция вида f (х) = sinx
х х3
sinx =-------
1! 3!
+ (-1Г
х2""1
(2« -1)!+
Определим радиус сходимости:
(2(« + 1)-1)! ,. (2« + 1)! .. (2п-1)-2«-(2« + 1)
К = lim----------= lim-------= пт------------------= оо.
”->® (2«-1)!	л^”(2«-1)!	(2«-1)
Тогда (-оо, + оо) - интервал сходимости полученного ряда.
Замечание. Так как интервал сходимости ряда совпадает с областью оп-
ределения функции, то разложение в ряд может «заменять» функцию при ин-
тегрировании и дифференцировании с учетом ограничений, накладываемых
этими операциями (например, область интегрирования должна лежать внутри
интервала сходимости).
3) Функция вида f (х) = cosx
X2	X4 * X6	X2"
COSX = 1------F---------F... + (-l) -----
2!	4!	6!	(2л)!
Так же как и в случае с функцией sinx, интервал сходимости ряда -
(-СО, +со).
Кроме того, данное разложение можно получить из разложения функции
sinx почленным дифференцированием.
28
4) Функция вида f (х) = 1п(1 + х)
r2 r3	yn+1	оо	„и+1
1п(1 + х) = х - i- + i- -... + (-1)" ~ +... = £(-1)”	на (-1;
23	п + 1	„-о п + 1
5) Функция вида f (х) = (1 + х)т
Биноминальный ряд сходится внутри интервала -1<х<1 и расходится
вне этого интервала. Сходимость для значений х = 1 и х = -1 исследуется для
каждого случая отдельно.
(1 + х)” = 1 + их + ———х2 +... + х” = ^С*х*.
2	*=о
6)	Функция вида /(х) = arctgx
X3 X5 X7
arctgx = х-ч--------+ ... на (-1; 1).
Для разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена) можно использовать
известные разложения в ряд. При этом возможно использование следующих
действий над степенными рядами внутри их промежутков сходимости:
-	два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по прави-
лу умножения многочленов);
-	степенной ряд можно почленно умножать на общий множитель;
-	степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать
любое число раз.
Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то полученное
в результате указанных действий разложение будет искомым.
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию /(х) = — при значении
х
х = -2.
Решение. Вычисляем значения функции, а также ее производных при зна-
чении х = -2: У(х) = х’1, /'(х) = -х“2, /”(х) = 1-2х’3, /7х) =-1  2-Зх“4,
/(4)(x) = l-2-3-4x"s,..., /(п)(х) = (-1)"и!х"(”+1);
1	1’	2’	3'
/(-2) = --, /’(-2) = --, /”(-2) = -±-, Г(_2) = _2_} /<4>(-2) =
«w	£	Л*
•••• Г(-2) = -^г.
Подставив эти данные в ряд Тейлора для произвольной функции, полу-
ним: 1 = _1_ JL(x + 2)_2Mt _3!(х + 2)^ п!(х + 2)-
х 2 22-1!	2-2!	24-3!	2п+1-п!
х + 2 (х + 2)2	(х + 2)п	"
2 + 22 +‘"+ 2" +‘“/
2
29
Далее исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера:
и
и = (х + 2)  и = (х + 2.
л+1
. Тогда lim-211 = lim
Л->00
Л->оО
Un
2”+1
Г1 2”
2
------ < 1. Решая это неравенство, находим интервал - 4 < х < 0.
Границы этого интервала исследуем особо. Подставляя в ряд х = -4, а за-
тем х = 0, получим числовые ряды 1-1 + 1-1 + ... и 1 +1 + 1 + 1 + ..., которые
расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости ря-
да liml^O.
«->»
Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для дан-
ной функции есть (- 4; 0). Исследуя остаточный член формулы Тейлора для
данной функции, можно убедиться, что в указанном интервале полученный ряд
сходится именно к данной функции.
Пример 2. Разложить по степеням х (т. е. в ряд Маклорена) функцию
/(x) = cos2x.
Решение, /(х) = cos2 х = i(l + cos2x), поэтому достаточно разложить в
—(l + cos2x), поэтому достаточно разложить в
2
ряд функцию cos2x. Чтобы получить разложение для функции cos2x, в из-
вестном разложении заменим величину х величиной 2х:
l2 2	<л4 4 г\Ь 6	г\2п 2п
А	Хг Лг	А* Лг	А*	X — X и А* Л
cos2x = 1------+-------------+... + (-1) ------+ ..., - оо < х < со.
2!	4!	6!	(2«)!
Это разложение справедливо, как и в случае cosx, для всех значений х.
„	2 if, , 2!х! 24х* 2‘х‘	, ,..2!’х2’ 'l
'	~ л*	(2«)! J
1
2
22х2	24х4	26х6
= 1|2
2
2!	4!	6!
2х2 23х4 25хб
----+--------------+ .
2!	4!	6!
„22"х2л
)------+ ... =
(2«)! J
22п-1х2”
„ /---------+... при любом X .
2!	4!	6!	(2«)!
Пример 3. Разложить по степеням х (т. е. в ряд Маклорена) функцию
/(х) = е’х sinx.
Решение. Ряд для функции е~х получается из ряда для функции ех заме-
ной величины х величиной -хи абсолютно сходится на всей числовой пря-
мой. Ряд для функции sinx также абсолютно сходится на всей числовой пря-
мой. Поэтому, чтобы получить разложение функции /(x) = e'xsinx в ряд, дос-
таточно перемножить абсолютно сходящиеся ряды для функций /(х) = е~х и
/2(x) = sinx.
,2	„3
+ ..
e-xsinx = 1 —+------------
I 1! 2! 3!
X3 X5
х------+—
3! 5!
1	3
2	1 3 J 5
 +-х-----X
6	40
30
Полученный ряд по теореме умножения абсолютно сходящихся рядов аб-
солютно сходится на всей числовой оси к функции f (х) = е~х sinx.
Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию f (х) = —1—.
1 + х
Решение. В этом примере тоже можно избежать вычисления производных
и нахождения их значения при величине х = 0, действительно, /(х) = —4—тт.
1 - (- х )
Эту функцию можно рассматривать как сумму геометрической прогрессии,
первый член которой равен единице, а знаменатель q = -х2, поэтому при вели-
чине |— х21 < 1, т. е. при значении |х| < 1.
/(х) = —-1-х2 + х4 * -х6 +... + (—1)ях2я + ....
1 + х
Пример 5. Разложить в ряд по степеням х функцию f (х) = —-.
х -Зх + 2
Решение. Разложим дробь на простейшие. Корни знаменателя соответст-
1 п гт	2х-1	2х-1 А В
венно равны 1 и 2. Поэтому —---=	-г =--+------. Вычисляем
х -Зх + 2 (х-1Хх-2) х-1 х-2
2х -1	2х — 1	-1	3
А и В: А = -1, В = 3. Следовательно -----	=	1 =_2_ + _2_ =
х -Зх + 2 (х- 1дх-2) х-1 х-2
J 3
1-х 2-х
Снова воспользуемся формулой бесконечно убывающей прогрессии:
------= 1 + х + х2 + х3 +... + хя +..., 1x1 < 1,
1-х---’II’
3	3	1 ЗЛ	х	х2	х3	х"
-----— —   — — 1ч 1—— ч—— +... ч 
2-х--2	2^	2	2	2	2я
2
При величине |х| < 1 оба вспомогательных ряда будут сходиться и их
можно сложить. В итоге получим:
2х-1
х2 - Зх + 2
Задание для решения в аудитории
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х.
1.
V4-5x
31
2. ln(l-x —6x2j.
3. 2xcos2
32
6.
7
12 + х-х2 '
V27-2x'
зз
ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
1.	Приближённое вычисление значений функции
Задача. Найти приближенное значение функции f (х) в точке х0 с задан-
ной степенью точности 8.
Решение. Разложим функцию f (х) в ряд по степеням (х - ) с интерва-
лом сходимости, содержащим точку х0, где Xj - точка, в которой значения
функции, а также её производных легко вычисляются, давая точные значения.
Переменной х даем значение х0 и в числовом ряду ^ал(х0 -хх)п оста-
77=0
вим только те члены, которые гарантируют заданную точность.
Число таких членов определяется по правилу:
-	если ряд знакоположительный, то с помощью остаточного члена Rn (х0)
формулы Тейлора Я„(х0) = —--Q € (х0, х)
(п + 1)!
-	если ряд знакочередующийся, то с помощью остатка гл(х0) ряда Тейло-
Пример 1. Вычислить sin 20° с точностью 8 = 0,0001.
180° л	“	x2n+1
Решение. Имеем 20°=--------= — и sinx = Y(-l)"-------- - знакочере-
9	9	to (2/7 + 1)!
дующийся ряд, значит, применим остаток ряда Маклорена.
\2л+3
ТС
тс
7Г
9’
тс
п
-------< 0,0001,	---< 0,0001.
(2(и + 1)+1)!	(2/7 + 3)!
Подбором, при значении п = \ получим 0,00004 < 0,0001 - условие вы-
ТС	7Г \ 9	тс тс
полняется. Тогда, sin — =----------«-----------« 0,34181.
9	9	3!	9 729-6
Пример 2. Вычислить In 0,8 с точностью 8 = 0,0001.
X2 X3
Решение. Для вычисления In 0,8 запишем ряд 1п(1+х)=х--------1----...+
2	3
х”+1
+(-1)"----+.... При х = -0,2, входящем в область сходимости ряда (-1; 1]:
77 + 1
по2 О ?3	0 7”
1п0,8 = -0,2- ———... = -(0,2 + 0,02 + 0,00266 + 0,0004 + ...).
2	3	77
34
Если в качестве In 0,8 взять первые четыре члена, мы допустим погрешность
। . 0,25 0,26	0,2”	0,25 0,26	0,2”	0,25	1
15	6 п 56	5	5 (1-0,2)
= 0,00008 <0,0001.
Итак, In0,8 « -(0,2 + 0,02 + 0,00266 + 0,0004) = -0,22306 « -0,2231.
Пример 3. Вычислить V36 с точностью е = 0,0001.
Решение. Представим л/36
в виде
. Так как
х = - входит в область сходимости степенного ряда (-1; 1), то при значениях
11	, т т(т-1) 2 гп(т-1)(т-2) 3
х = -, т = -, учитывая, что (1 + х) = 1 +—х + — -- х + — --—------х +
8	5	1!	2!	3!
получим:
т(т- l)(w - 2)...(w - п +1)
п\
\	7
= 2 + 0,05 - 0,0025 + 0,000188-0,000016 +...» 2,0477.
Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так
как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося
ряда погрешность |г | < 0,000016 < 0,0001.
Задания для решения в аудитории
зГ
1.	Вычислить с точностью до 0,01.
35
2.	Вычислить sin 12° с точностью до 0,001.
3.	Вычислить ^0,98 с точностью д0 0,001.
4.	Вычислить с точностью до 0,001.
2. Приближённое вычисление определённых интегралов
Многие определенные интегралы, не выражающиеся в элементарных
функциях, могут быть вычислены с помощью рядов. Отрезок интегрирования
должен находиться внутри интервала сходимости ряда.
Пример 1. Вычислить интеграл j—— dx с точностью е = 0,001.
о X
_	. х3 х5 х1	_ sinx , х2 х4 хб
Решение, sinx = х-----+----------ь..., хек,-----= 1----+---------+ ...,
3! 5! 7!	х 3! 5! 7!
отсюда
1 /____1_.£+ f
120 5 5040 7
J__J_ 1	1	1
~2 18 8 600 32
Вычисляя члены этого ряда с точностью £ = 0,001, замечаем, что третий
член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, для решения
36
этой задачи, согласно признаку Лейбница, надо взять сумму первых двух чле-
нов, что обеспечит требуемую точность [---dx = 0,5 - 0,0069 « 0,4931.
о X
Задание для решения в аудитории
Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,1
1.	\e^dx.
о
0,1
2.	J sin^lOOx2 }dx.
о
37
0,5
dx
о л/1 + x4
3.	Приближённое решение дифференциальных уравнений
Если решение дифференциального уравнения не удаётся найти в элемен-
тарных функциях, то для их решения можно применять степенные ряды.
Пример 1. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд
Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального
уравнения у'= х + х2 - у2 + cosx, если у(0) = 1.
Решение. Положим, что у(х) является решением данного дифференци-
ального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает
разложение в ряд Маклорена,
1!	2!	3!
то имеем
Свободный член разложения, т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти
значения у'(0), У'(0), yw(0)..., можно данное уравнение последовательно диф-
ференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при
величине х = 0.
Значение У(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравне-
ние: У(0) = 0 +0-1 + 1 = 0,т. е. У(0) = 0.
У'= 1 + 2х - 2 дУ-sinx,
У'(0) = 1 +2-0-2-1-0-0 = 1, т. е. У'(0) = 1.
у" = 0 + 2 - 2(у)2 - 2уу"~ cos х,
у*(0) = 0 + 2-2-0-2-1-1-1 = -1,т. е. У*(0) = -1,...
38
Подставив найденные значения производных при значении х = 0 в ряд
у'(0)	у"ГО) , yw(0) ,
j?(x) = y(0) + <~ х+ -' ' х +— -х +..., получим разложение искомого част-
1!	2.	3!
z х , О	1 2 "I 3
ного решения уравнения вряд: у\х) = 1+-х+—х 4-—х + ....
1!	2!	3!
Окончательно, у(х) = 1 + — х2 - —х3 +....
2	6
Пример 2. Проинтегрировать уравнение у"- х2у = 0.
Решение. Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
у = Сп + С.х + С,х2 + С,х3 +... + С_х" +....
У и 1	Z	j	п
Найдем вторую производную от этого ряда:
у1 = С] + 2С2х + ЗС3х2 +... + пСпхп 1 +...;
у" = 2С2 + 6С3х + ...+и(и-1)С„х"~2 + ....
Подставим значения у и у" в исходное уравнение, получим:
(2С2 +... +	— 1)Спхп 2 +...) — х2 (Со + Qx + С2х2 +... + Спх +...) = 0.
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями х:
2С2 + 6С,х + (12С„ + Со ) х1 + X[(и + 4)(и + 3) С„, - С,]х’*г = 0.
и=0
Приравнивая нулю все коэффициенты полученного ряда (чтобы уравне-
ние обратилось в тождество), находим:
С
С2 = С3 = 0, следовательно, СЛ+4 = --—у--— (п = 0, 1, 2, ...).
(и + 3)(и + 4) v
Последнее соотношение позволяет найти последовательно все коэффициенты
искомого разложения.
Со, С, - произвольные постоянные, С2 = С3 = 0
» = о,с4=^;
п = 1,С5=^-;
5 20
С
л = 2’Сб = зо = Ои т,д’Причем С4п+2 = С4л+3 = ° 
с с с
Таким образом, у = Со +Схх +—х4 +—х5 +... + 7—и:^—хп + ....
12	20	(п-1)п
Задания для решения в аудитории
С помощью разложения в ряд по степеням х проинтегрировать следую-
щие уравнения.
1.	у'+лу = 0.
39
2.	у"+ху'+у = О.
40
ГЛАВА 5. РЯДЫ ФУРЬЕ
Функция /(х), определенная на всей числовой оси называется периоди-
ческой, если существует такое число Т (Т Ф 0), что при любом значении х вы-
полняется равенство f(x + T) = f(x). Число Т называется периодом функции.
Свойства периодической функции
1)	Сумма, разность, произведение и частное периодических функций пе-
риода Т есть периодическая функция периода Т.
Т
2)	Если функция /(х) период Т, то функция f(ax) имеет период —.
а
3)	Если /(х) - периодическая функция периода Т, то равны любые два
интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл
а+Т	Ь+Т
существует), т. е. при любых а и b справедливо равенство J f (x)dx - \ f (x)dx.
a	b
Ряды Фурье (Фурье - французский математик и физик 1768-1830) исполь-
зуются для описания периодических процессов, решения дифференциальных
уравнений, приближения периодических и непериодических функций. В этих
случаях функцию, описывающую периодический процесс, представляют как сум-
му простых периодических функций A sin(wx + ср0), А - амплитуда, wx + (p0 -
фаза колебаний, ф0 - начальная фаза.
Полагая A sin ф0 = a, A cos ф0 = b, можно записать
sin(MX + ф0) = Лзт(м’х)со8ф0 + Jcos(vvx)sir^0 = acos(wx) + Z>sin(wx).
Сложные процессы описываются функциями вида
cos(w„x) + bn sin( w„x)).
Л=1
Выражение вида софо(х) + с1ф1(х) + ... + спфя(х) + ..., где ф„(х) - основная
тригонометрическая система функций, называется тригонометрическим ря-
дом Фурье.
, определена на от-
Основная тригонометрическая система функций:
\	7tx	. лх	2лх	. 2лх	ллх	. лих
1, cos—, sin—, cos---, sin-,..., cos-, sm--,...
V	Z Z Z Z Z Z
резке [-Z, Z], где T = 21 - период функции. Числа c0, с,,..., cn,... называются
коэффициентами Фурье функции /(х).
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка х0 разрыва функции f (х) называют точкой разрыва первого рода,
если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.
Теорема Дирихле. Если на отрезке [-Z, Z] функция /(х) имеет конечное
число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек
41
экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т. е. имеет сумму
5(х), во всех точках этого отрезка. При этом:
1)	в точках непрерывности функции /(х) он сходится к самой функции
S(x) = /(x);
2)	в каждой точке разрыва х0 функции сходится к полусумме односто-
ронних пределов функции справа и слева 5(х0) = — lim /(х) + lim /(х) ;
2 чг—»хо-О	х—>Xq+0
3)	в обеих граничных точках отрезка [-Z, Z] сходится при стремлении
величины х к этим точкам изнутри отрезка к полусумме односторонних преде-
лов функции S(-l) = S(Z) = — [lim /(х) + lim/(х)].
1.	Ряд Фурье для периодической функции с периодом Т = 21
Тригонометрический ряд
ппх
ап cos
+ bn sin
ппх
(1)
n=l
называется тригонометрическим рядом Фурье для периодической
функции /(х) е [-Z, Z], если коэффициенты его определяются по формулам:
I /
а0 =-J/(x)6Zr,
* -/
1 /	/___\
лих
dx, где п е N,
-/
^=yj/(x)sm
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию Дх) с перио-
дом Т= 21, которая на отрезке [-Z, Z] задана равенством /(х) = |х|.
Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье:
.2
ппх
dx, где neN.
° v2
•Л»
+ —
Ь 2
i t
а" _/J
1 -/
ппх
г ППХ
XCOS-----
о
о/
, ппх
dv = cos---
du-dx
I . ппх
v = —sin--
пп I
i
о
i
-/
-/
о
2
и = X
2 2
2 xl . ппх I
— —sin-------
Z пп I пп 0
г . ппх .
sin----dx
2 Z . ппх I ппх
----xsin + —cos 
I пп у I пп I
42
= — Z sin ли
nn V
I I } 2 I (	21 /, 1V ,
+-—cos ли------=--------(cosnn-l) =  I(-1) -1
Tin	Tin ) Tin Tin	Tl n '
если n - четное, то an = 0
4Z k
если n - нечетное, то a = —т—г
l	Л n J
1 f| . . Т1ПХ
b =- x sin-------dx = 0.
n Z_V 1 Z
ап cos
мет вид |*| = т~- + X
2 П=1
Z 4Z тис
-----cos—
2 л2	I
вид: |х| =
ЛЛХ
ап cos
ппх
Z>„sin
Т1ПХ
, т. к.
, следовательно.
4Z	ЗЛХ
—г cos------
л232 Z
4Z
bn=0, то разложение при-
искомое разложение имеет
л(2и + 1)х
-cos---------—
Т12(Т1П + 1)2	I
Z И=1
2. Ряд Фурье для периодической функции с периодом [-л, л]
Ряд Фурье для такой функции получается из ряда 1 при значении Z = л.
/(*) = -у+X (апcos +bnsin пх) ’ гДе
2 П=1
1 я
= -f/(x)^
1 71
ап = — J/(x)cos«xtZr, ne.N
1 я
bn = — j f(x)sinnxdx, neN
ао
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке
[-л, л] уравнением /(х) = л + х.
Решение. Графиком этой функции является отрезок, соединяющий точки
(-л, 0) и (л, 2л). На рисунке показан график функции /(х) = л + х.
Эта функция является периодической с периодом Т = 2л.
43
1
Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим
•| Л	7С	71	j ТС
а. =— Г f(x)dx = — I (n + x)dx = | dx + — | xdx.
° л< л V	< л<
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый
по интервалу, симметричному относительно начала координат.
Л
Таким образом, а0 = J dx = х|"я = тс + л = 2л.
-л
Далее находим коэффициенты ап:
ап =— Г f(x)cosnxdx = — | (л + х)cosnxdx = | cosnxd5c + — | xcosrazfr.
л \	лJ	л <
Оба интеграла равны нулю, т. к. подынтегральная функция второго инте-
грала является нечетной как произведение четной и нечетной функций. Итак,
ап = 0, т. е. а, = аг = а3 =... = 0.
Определяем теперь коэффициенты Ьп:
| л	। л	л	। п
Ъп = — | /(x)sinwxtZx: = — Г(л + х)8тта& = | sinmz& + — | xsmnxdx.
л <	л <	J	лJ
-я	-л	-л	—л
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго инте-
грала - четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,
,	2 г .	,
bn = — xsmrcxdx.
л *
я о
Решим данный интеграл, интегрированием по частям:
и = х
du = dx
dv = sin nxdx
.	2
, т. e. bn =--xcosnx
ПП
1
V =----COS ИХ
n
л 2 Я
-I--I cos nxdx =
0 ^Jo
2
= —cos ил
n
2.	2	2 / \n 2 z .\«+i
-----Sinzrx =	COSWU =	(-1) =—(-1) .
Tin n n--------------------------n n
00 (—п”+1	Г
/(х) = л + х = л + 2Х------sinпх - л + 2 sinx
Следовательно, разложение функции /(x) = л + x в ряд Фурье имеет вид:
sin 2х sin Зх sin 4х А
--------------------------------------------+--------------+ ... .
2	3	4 J
3. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций
Если функция /(х) четная на [-Z, /], т. е. /(-х) = /(х), то график сим-
метричен относительно оси Оу, определенный интеграл рассматривается как
I	I
площадь криволинейной трапеции J f (x)dx = 2 j f (x)dx.
-i	о
44
Если /(х) нечетная функция на [-I, 7], т. е./(-х) =-/(х), то график
симметричен	относительно	начала координат. Получим
10	11
j f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx = J (-/(x) + /(*)) = 0 •
-l	-l	о	0
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть четная
функция. Произведение четной и нечетной есть нечетная функция.
Тогда:
- если /(х) - четная функция на отрезке [-7, 7], то а0 =
|j/(x)t&,
* о
I
лих ,
----dx, bn = 0,при этом функция разлагается в ряд Фурье толь-
о
,то а. =ап=ь,
\ V	Ttnx
ко по косинусам f (x) = — + 7 , an cos-;
2 n=i	7
-если /(x) - нечетная функция на [-7, 7]
21	ппх
bn = —j/(x)sin-----dx, при этом функция раскладывается в ряд Фурье только
7 о	7
г( х	. лих
по синусам / (х) = 2^ bn sin-;
Л=1	»
- если f (х) ни четная, ни нечетная функция, то ее тригонометрический
ряд Фурье содержит и синусы, и косинусы.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке [-1; 1]
уравнением /(х) = х2.
Решение.
1
jx2 cos mix.
о
I
Ш1Х
Рассматриваемая функция является четной, т. к. Д-х)=(-х)2 =х2 = /(х). Ее
график - дуга параболы, заключенная между точками (-1; 1) и (1; 1). Здесь 7 = 1,
поэтому:
а0 =yj/(x)tfr = 2jx2tfr = p at
7 о	о 3	. 0	»
Здесь следует дважды интегрировать по частям:
1) и = х2, dv = cos mtxdx, du = 2xdx, v = — sin mix,
mt
n
45
2х2
ап =----sin mix
ил
4 f • d 4
------xsinnTcxar =
о
1
| xsin mtxdx;
mrJ0
2) и = x, dv = sinmtxdx, du = dx, v = —— cosmtx,
mt
1______4
о n2it2
f Л 4
cos mtxdx = -----
Jo	« 71
4x
an = —t-vCOswtix
n Tt
Так как рассматриваемая функция - четная, то Ьп = 0. Следовательно,
_	/ -в\Л	-	. Z	\
-1)	1	4
—t—coswtr =-------
n2	3 7C2
cos2hx cos3kx	COS471X
cos лх-------— +------------------—
22	32	42
/(Х)=Г7^
4 Л п=1
и
4.	Ряд Фурье для непериодических функций
Ранее было показано, что в ряд Фурье разлагаются только периодические
функции с периодом Т = 21 или Т = 2л, т. к. функции sin-у- и cos—у- перио-
дические.
Если функция /(х) не является периодической, то, чтобы разложить ее в
ряд Фурье, строят некоторую периодическую функцию /*(х), которая в об-
ласти определения функции совпадает с функцией /(х). В этом случае говорят,
что функцию /(х) периодически продолжают на всю числовую ось.
Возможны следующие случаи:
1.	Если функция /(х) задана на [-7, 7], то строят функцию /*(х) с
периодом Т = 21. Она на отрезке [-7, 7] совпадает с функцией /(х), а на ос-
тальной части числовой оси является ее периодическим продолжением.
2.	Если функция /(х) задана на [а, а + 27], то строят /*(х) с перио-
дом Т = 21, которая на отрезке [а, а + 27] совпадает с функцией /(х) и т.д. Ко-
эффициенты Фурье будут находиться по известным формулам 1, только преде-
лами интегрирования являются а и а + 27.
3.	Если функция /(х) задана на отрезке [0,7], то для разложения в
ряд Фурье достаточно ее доопределить на отрезке [-7, 0] произвольным спосо-
бом. Затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на отрезке [-7, 7]. Наи-
более целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках
отрезка [-7, 0] находились из условия f (-х) = f (х) или f (-х) = -f (х). В пер-
вом случае функция /(х) на отрезке [-7, 7] будет четной, а во втором - нечет-
ной. При этом коэффициенты разложения такой функции (ап в первом случае,
Ьп - во втором) можно определить по вышеперечисленным формулам для ко-
эффициентов четных и нечетных функций.
46
5.	Элементы гармонического анализа
Разложение периодической функции в ряд Фурье называется гармониче-
ским анализом.
Рассмотрим слагаемые ряда Фурье.
Значение <я0 равно среднему значению функции f (х) на всей оси.
Первое непостоянное слагаемое называется основной гармонической,
оно имеет период Т = 2/.
Остальные слагаемые называются верхними гармониками, их наимень-
2/ 21 21
шие периоды равны —; —; —; ...
Z 3 4
Если независимая переменная рассматривается как время, то ряд Фурье
описывает произвольное периодическое колебание в виде суммы гармониче-
ских колебаний с кратными частотами.
Например, в акустике: основное слагаемое определяет высоту звука, т. е.
основной тон; остальные слагаемые описывают обертоны, от которых зависит
тембр звука.
Ряды Фурье используются в решении задач математической физики, а
также их применяют при изучении различных зависимостей в электрических
цепях с несинусоидальными токами.
Задания для решения в аудитории
1.	Разложить в ряд Фурье в промежутке [-л, л] функцию /(х) -	.
47
2.	Разложить в ряд Фурье в промежутке [-л, л] функцию
при -7С<Х<0,
при 0 < х < я.
3.	Разложить в ряд Фурье в промежутке [0, ти] функцию f (х) = х в ряд по
косинусам.
48
4.	Разложить в ряд Фурье в промежутке [0, л] функцию
гч	Я
х, при 0<х<—,
л
7С - X, При — < X < 7Г
в ряд по синусам.
5.	Разложить в ряд Фурье в промежутке [-2, 2] функцию f (х) = Зх.
49
6.	Разложить в ряд Фурье функцию f (х) =
О, при - 4 < х < О,
х, при 0 < х < 4.
50
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА «РЯДЫ»
Вариант № 1
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: > —-———
77? 9п + 12п - 5
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — + — + — +
2 2	23
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
“	1
и=1 П X +
оо
п=2
(п + 1)х"
2” (п-1)’’
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = —
Vl-x4
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = cos2 х по степеням
1
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 J cos>/xdx.
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х + у2, у(0) = 1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) =
-2, - л < х < О,
2,	0 < х < и.
Вариант № 2
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда:
у 24
“?9н2-12н-5
1 4 9
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: —+ —+ —
3 9 27
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
2п-п\
Ь (2»)1Х
ОО
6)Z
и=2
(х-2У
2"(Зи + 1)
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
1п(1 + х)
х
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = ~ по степеням (х +1).
х
1 2
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 v dx.
о
51
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х2 -у2 -ех,
у(0) = 0.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f(x) = х, - тс < х < тс.
Вариант № 3
00'	6
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V —--
2 +6л-8
„ „ - 111
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: —F —h —h....
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
<®	у,2 Vя
б)^^-
Л=1 п	п=1упт±у.
4. а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = ё
б) Разложить в ряд Тейлора: f (х) =
5. Вычислить заданный интеграл
2
4
COSX
—:-------по степеням (х + 4).
х2+3x4-2	v 7
с заданной точностью а = 0,001
О
6. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: У' = х2 +у, у(0) = 1.
7. Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) = х2, - тс < х < тс.
Вариант № 4
“	9
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: д —-
„=1 9т? +21W-8
2! 3!	4!
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — + —+....
10 102 103
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
^(3л-2)(х-3)”
^2 2"+1(и + 1)2
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = хе 2х.
б) Разложить в ряд Тейлора: f (х) = cosx по степеням
1 х2
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001	4 dx.
о
52
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = ху + ех,
у(0) = 0.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f(x) = x\ -1<х<1.
со	2
Вариант № 5
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: У
4н + 8/7 + 3
„ „ - 111
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — + — + — +....
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
оо |	ОО 72”х”
а)Х- 1
Л = 1 И
б)Х
П=1
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
X
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = х3 In х по степеням (х -1).
_ „	w	„	Л гsinx .
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 -ах.
о х
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = 2х-0,1у2,
у(о)=1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) =
х3,
14
Вариант № 6
оо
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда:	2	45 ’
о тл	-	2	4	6
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — + — + — + ....
3 З2 З3
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
- / л2
б)Х
л=2
п
a)Z
Л=1
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
х2
б) Разложить в ряд Тейлора: /(х) = cos— по степеням (х - л).
53
1
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001	.
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: У" = х2у, у(0) = 1,
/(0) = 1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = -
- л < х < 0,
0 < х < л.
Вариант № 7
0°
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда:	-2 ’
А „ 111
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость:-— +-— +--7—+....
21п22 31п23 41п24
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
00 и3
а) 1 + 2!х + 3!х2+...,	б) У-------------.
л=1 3 ^х — 2 J
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = In cos х.
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = —— по степеням (х + 2).
х2
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001
2
2
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с
До)=о,1.
2	2
помощью рядов: у* = х +у ,
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) =
[1,
Вариант № 8
00	<7
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: Х^~2—?---
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость:--+-------н----+....
21п2 31п3 41п4
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
п=0	п-2 " “
54
х
, „2 *
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = cos(x -1) по степеням (х -1).
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 J yfx2 cos xdx.
о
У" = -*У, у(0) = 1,
6. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:
х2
7. Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) = —
2’
Вариант № 9
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена
14
49л2 -14л-48
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость:
1 1 1
VT2 л/Гз ЛД
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
да п
а)£~,
Z1 Л
6)Z
П=1
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: / (х) =-
х
7. Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = <
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) =-- по степеням (х - 2).
2
2
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 j* In (1 + х3) dx.
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х2-ху,
у(о)=о,1.
,	0 < х < 1,
- х, 1 < х < 2.
Вариант № 10
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V-г-----.
Zf36« -24л-5
4	9
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: 1 +-4------+....
1-2 1-2-3
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
55
<» и
а) S1+ 2„ ’
л=1 1 + Х
со
б)Х
Л=1
(х-5)”Зл
Зи + 8
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = cos2 х
б)	Разложить в ряд Тейлора: f(x) = yx по степеням (х - 2).
1
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 [ cos tfxdx.
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х + х2+у2,
у(0) = 1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = <
- 5 < х < 0,
0<х<5.
14
Вариант № 11
ОО
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V-=
7^ 49л -84л-13
„ „ - 111
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — - — +—-....
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
_	„ .и/	»\2л
6)Z
И=1
4. а) Разложить функцию в ряд Маклорена: /(х) =
б) Разложить в ряд Тейлора: f (х) = >/х по степеням (х -1).
х”,
л=1
1-COSX
п
2
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а
0
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = 2х-у2
у(0) = 0.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) =
3 ’
Вариант № 12
®	4
1. Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: \—5-.
7^ 4 л + 4л-3
2. Исследовать числовой ряд на сходимость:---1----г-н---г+....
1-2 2-22 3-23
56
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
« у"	00	и2
а) & б) Z
п=1 п	П=1
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = In ^х + ех j.
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = sinx по степеням
п
7С ]
X------.
6 )
£
4
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: У' = У3~х, у(0) = 1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: / (х) = 2 - х, - 2 < х < 2.
7
Л=1
Вариант № 13
00
1. Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V
49лг + 35/7-6
2. Исследовать числовой ряд на сходимость: 1 - Д- + Д- -...
З3 53
3. Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
, vx”	я>+"2(х“3
а) 2“Г>	б> L -Т-.
П=\\!п	77 и +1
п
п=1
10х
4. а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х)
X
б) Разложить в ряд Тейлора: f (х) = In х по степеням (х - 4).
2
5. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 J
о
sinx2 ,
--г—«X.
X
6. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х2-2у,
у(о)=1.	.
7. Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) = 2 - х,	0 < х < 2.
9
Вариант № 14
00
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V	.
^9п + 3/7-20
„ „ ~ 1111
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость:	+	+ — •
57
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
а) У—,	б) У (х+2)
Й1 + Х”	'£(2» + 1)-3"
т
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = —.
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = cos2 х по степеням
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:
у' = х2у2 ~ех,
?(о)=о.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) =
10, -10<х<0,
10-х, 0<х< 10.
Вариант №15
®	14
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: У-:--------.
Zf 49л - 42 л - 40
2	4	6
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: ---1- —;— + -т-1-.....
12 +1 22 + 1 32 +1
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
\	1 п	r\ V1 \/л + 1
а) > In х,	б) у --------.
£f(x+3)-3n
9
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =------у.
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = Inх по степеням (х -1).
1
} л/х3"dx
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001	. .
JoVl + X3
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = 0,2х + у2,
у(0) = 1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: / (х) = 4 - х,	- 4 < х < 4.
Вариант № 16
00	14
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V-т---
75* 49л -56л-33
58
2	4	6
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость:  + —=— + —=---+....
I2 +1 Т +1 3 +1
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
00 „	со ПЛ п
+ x	„=1 п +1
7
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =-----•
12 * -х-х
б)	Разложить в ряд Тейлора: /(х) = 1п(х + 2) по степеням (х - 5).
°/ dx
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001	.   •.
о V1 + X4
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = 5х + у2,
у(0) = 1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = х + 2,	-2<х<2.
14
Вариант № 17
00
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: У 2
Т^49и -21и-10
2	2-3	2-3-4
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость:-+------ +-----+—
1 * * 2 2. - 2	3. - 2
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
Л=1 П
4. а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
п
00
б) У—
£з"л!
х2
>/4-5х
б) Разложить в ряд Тейлора: /(х) = — по степеням (х - 3).
£
4
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 j xcos Jxdx.
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х2 +0,2у2,
До)=0,1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) = |
-2х.
Зх,
59
Вариант № 18
00	5
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V-т------.
+ 5и-6
„ „	„	, 1 + 2	1 + 3
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: 1 + -—— + -—+....
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
а) L—	б>
П=1	«	И=1
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = (х -1) sin 5х.
б)	Разложить в ряд Тейлора: /(х) = In
2п
----у по степеням (х +1).
х + х
1
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:
До) = о,1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = 2|х|,	-п<х<Т1.
У' = х2-у2
ИБ ---
Вариант № 19
00	у
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V--.
-35и-6
„ „ - -'111
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: 1 + -+-^- +	+...
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
со „я
п=1 п
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
6
8 + 2х - х2
б) Разложить в ряд Тейлора: f (х) =
1
1 + Зх
по степеням (х +1).
2
Г 3
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 I е х dx.
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = ху + у2,
у(о) = 0,1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) = Зх, - л < х < п.
60
п
Вариант № 20
о°	|2
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: У-т---—.
7^ 36л + 12л-35
123
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: -—— + -—— + -—+....
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
а)£»!х",	б)£
л=1	п-2
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = In (1 - х - 12х2 j.
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = . по степеням (х + 2).
у/3 + х
9
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 ^yjxexdx.
7	0	2	2 х
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х + у +ех,
Яо)=1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) =
-4,
4,
Вариант № 21
00
1. Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: У 2 21	| о
1
7
„ „ - 11
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость:-1-
1п2 1пЗ 1п4
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
00 И
а)£^,
±7 п\
2л
б) У——
п + \
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: /(х) =---у.
6 + х-х
б) Разложить в ряд Тейлора: /(х) = л/х по степеням (х - 4).
1 sinx
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 J —y=-dx.
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х1уг+ех ,
Яо)=о.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = 3 - х, -3 <х<3.
61
Вариант № 22
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V—г-.
9п -Зп-2
„ - 111
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — + — + — +
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
>	»> s
+ 1)х”
Л=1	«=1 3”я!
4. а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
б) Разложить в ряд Тейлора: /(х) = l[x по степеням (х -1).
3
2 - х - х2
£
2-arctgx ,
------— ах.
о х
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 J
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: Зу'+ 2sinx • у3 = ех,
Яо)=1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = Зх, 0 < х < тс по косинусам кратных
Дуг.
Л=1
Вариант № 23
00	5
1. Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V-------.
25и -5л-6
1	2	3
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — + —г + — +....
2	2	2
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
00
a)Z
Л=1
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: /(х) = 1п(1 + х - 12х2).
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = е3х по степеням (х -1).
1
Г1 х"
п
п
6)Х
л=2
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а
О
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = 2х2 -ycosx2,
у(0) = 0.
2 С тс Л
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = —---х , 0<х<тс.
2[ тс
тс I 2
62
Вариант № 24
„	<7	2
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: > —=--•
4л + 8л + 3
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — + — + — +
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
6)Z
Л=1
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
00	1	00 '-tin п
a)Z-^	''^7Х
л=1 Л Х +
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =  у--
а/1 + х
б)	Разложить в ряд Тейлора: /(х) = х3 In х по степеням (х -1).
1
_ ... Гsinx .
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 --ах.
о л
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов:
У=2х-0,1/	у(0) = 1
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = х3, - л < х < л.
Вариант № 25
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена
12
РЯДа‘ 5 36л2-12л-35
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: -1 + —= —= +....
<2 V3
п
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
>
л=1	п=2	*
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = 2х по степеням (х - 3).
arcsinx
п
Л fCOSX
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 J--ах.
о х
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = ху + еху,
у(0) = 2.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) = -х, 0 < х < л по синусам кратных
дуг.
63
Вариант № 26
00	у
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: У-,-------.
+7и-12
„ „	-	2 4	8
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: у + — + — +....
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
оо .2л—1	оо
а)	У------,	б) У
£f2n-l	2л + 3
4. а) Разложить функцию в ряд Маклорена: /(х) = In(1 + 2х - 8х2).
2
п
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) =-по степеням (х - 3).
1
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 J arctgx3c&.
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = 2у-х2,
Д0) = 0.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = 1-х, 0<х<1.
Вариант № 27
«	14
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда:	---— •
3	9	2
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: — + у—у +	+....
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
о©	СО
а) £х”,	б) X
п=1	п=2
П (
и
х2
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: /(х) =----.
1 + х
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = arctgx по степеням (х-1).
2
4
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х3-у,
у(о)=1.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = х2, 0 < х < л.
64
Вариант № 28
5^	6
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда:	•
1	2	3
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость:----=- + —г -....
2 2	2
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
ОО	п	оо
Л=1 п Z	Л=1
п
sin3x _
-------cos3x.
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) =
б) Разложить в ряд Тейлора: f (х) = е5х по степеням (х +1).
5. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 |
2-sinx3 ,
—-—ах.
о х
6. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = х-4у,
у(о) = 1.
7L JC
7. Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) =-----, 0 < х < л.
Вариант № 29
0°	|
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: V-r-----.
102 103
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: 10 +---+ — +....
2!	3.
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
СО И	00 „И 'УП
л=1	л=1 VX
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х) = sinxcosx
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = по степеням (х +1).
X
1
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 jcosVx
о
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у' = ху'-у + ех,
у(0) = 1, у’(0) = 0.
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: /(х) = 17х, 0 < х < л.
65
Вариант № 30
1.	Найти сумму ряда и написать 3 первых члена ряда: У —=——.
Tt” +3п
23 З3
2.	Исследовать числовой ряд на сходимость: 1 н-+ — +.
2! 3!
3.	Найти интервал сходимости функционального ряда, исследовать на сходи-
мость на концах интервала, записать пример расходящегося ряда:
00 „п	со 1
a)L-
4.	а) Разложить функцию в ряд Маклорена: f (х)
б)	Разложить в ряд Тейлора: f (х) = 1пх по степеням (х -1).
б) У
2
1-х2
£
2
5.	Вычислить заданный интеграл с заданной точностью а = 0,001 —=====.
JoVl + x4
6.	Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: у" = ху, у(0) = 0,
7.	Разложить функцию в ряд Фурье: f (х) =
2
РЕШЕНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант № 
66
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.......................................3
1.	Основные понятия..........................................3
Задания для решения в аудитории.......................5
2.	Необходимый и достаточный признак сходимости ряда.........7
3.	Знакоположительные ряды...................................8
4.	Признаки сходимости знакоположительных рядов..............8
4.1.	Признаки сравнения..................................9
Задание для решения в аудитории......................11
4.2.	Признак Даламбера..................................11
Задание для решения в аудитории......................12
4.3.	Радикальный признак Коши.......................... 14
Задание для решения в аудитории......................14
4.4.	Интегральный признак Коши......................... 15
Задание для решения в аудитории......................16
5.	Знакочередующиеся ряды...................................17
Задание для решения в аудитории......................18
6.	Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда...19
Задание для решения в аудитории......................20
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ................22
Задание для решения в аудитории......................24
ГЛАВА 3. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА...........................27
1.	Разложение элементарных функций в ряд..................  27
Задание для решения в аудитории......................31
ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ........................ 34
1.	Приближённое вычисление значений функции.................34
Задания для решения в аудитории......................35
2.	Приближённое вычисление определённых интегралов..........36
Задание для решения в аудитории..................... 37
3.	Приближённое решение дифференциальных уравнений..........38
Задание для решения в аудитории......................39
ГЛАВА 5. РЯДЫ ФУРЬЕ.........................................41
1.	Ряд Фурье для периодической функции с периодом Т = 21....42
2.	Ряд Фурье для периодической функции с периодом [-л, л]...43
3.	Ряд Фурье для чётных и нечётных функций..................44
4.	Ряд Фурье для непериодических функций....................46
5.	Элементы гармонического анализа..........................47
Задания для решения в аудитории......................47
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА «РЯДЫ»......................... 51
71
Учебное издание
Крон Роман Викторович,
Попова Светлана Викторовна,
Долгих Екатерина Владимировна и др
РЯДЫ
Рабочая тетрадь
Публикуется в авторской редакции
Главный редактор И. А. Погорелова
Заведующий издательским отделом А. В. Андреев
Корректор И. Н. Олейникова
Подписано в печать 18.11.2010. Формат набора 60x84 ‘/8.
Усл. печ. л 8,37- Гарнитура «Таймс».
Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 500. Заказ К» 457.
Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000
Издательство Ставропольского государственного
аграрного университета «АГРУС»,
355017, г. Ставрополь, пер. Зоотехнический, 12.
Тел./факс (8652) 35-06-94. E-mail: agrus@stgau.ru; http://agrus.stgau.ru
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательско-полиграфического комплекса
СтГАУ «АГРУС», г. Ставрополь, ул. Мира, 302.