GRAPH THEORY
In
Frank Haiarv
PROFESSOR OF MATH К MAT Г CS
OF MICHIGAN
Л1) T) ISO N - Vi i:, S Г.РЛ P U П Ы SH ING COM V> А л Л
RF4D1NO MASSACHUSETTS MR NT.О IURIC, CALITOHXIA
DON MILL8, ONTARIO

Ф. Харари
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Перевод с английского
В П Козырева
Под редакцией
Г. П. Гаврн юва
ИЗДХТЕЛЬСТВО «МИР» ¦ АГОСК1М 1073

УДК 519.1
В последнее время" теория графов привлекает нес более присталь-
пристальное пмимниие специалистов различных оо.частей зияния. Наряду с
традиционными применениями ее в таких науках, как физика, элек-
электротехника химии, она проникла и в науки считавшиеся раньше
далекими от нее,—экономику, социологию лингвистику а др
Давно известны тесные контакты теории графов с топологией, тео
рией групп и теорией вероятностей. Особенно важная взаимосвязь
сущостпуст между теорией графоп и теоретической кибернетикой
(особенно теорией автоматов исследованием операций, теорией коди-
кодировании, теорией я гр) Широко используется теория графов при ре-
решек ни различных згдач на вычислительных !\sau/Hhrax.
За последние годы тематика теории графов стала значитетьпо
разнообразней; резко увеличилось количество публикаций.
Предлагаемая книга и я писана одним из вид пых специалистов
по дискретной штематихе Несмотря на небольшой объем и ко.четтех
тивиый характер изложения, книга достаточно полно освещает со-
современное состояние теории графов. Она, безусловно, б улет полезна
студентам университетов и технических пузов и, несомненно, заин
тсресует широкие круги научныл работников, занимающихся прило
жекиямк дискретной математики
Редакция лиггературы по математическим наукам
0223-021
¦ 'ё Перевод на русский язык, «Мир». 1973
041(О1}-73

Kaaiunipy К у pa то некому,
открывшему К и K.v, для тех,
кти думал, что планарность
от поется лнии. к гопоюгин.
¦^3,3

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
I freheve if you once made tip your
mind l о do a thing, you would doit,
no matter hu>w hard it was vvouidnt
— Well I d — J d make tiling hum
I guess he admitted
F Norn's, Tile Pit ch L / l)
Co времени выхода русского перевода книги К Бержа «Теория
графов ir ее применения» — первой книги я о теории графов на
русском языке— прошло около десяти тет. Это был период бурно-
бурного развития дискретной математики период ее дальнейшего про-
проникновения в самые разнообразные области знания, характерный
мощным, все возрастающим потоком информации, различные сто-
стороны которого особенно ярко проявились в теории графой — одном
из разделов дискретной математики Многообразие направлений и
обилие новых работ затрудняют широким кругам математиков и
специалистов в смежных областях знания постоянно следить за
развитием этой теории и чувствовать ее пульс, быть и курсе совре-
современной проблематики и методов Даже специалисту, занишюще
муся другим разделом дискретной математики, по проявляющему
интерес к теории графов, бывает необычайно сложно систематически
следить за литературой в этой области, в основном из за труднос-
трудностей чисто технического характера статьи по теории графов и ее
приложениям в последнее время можно встретить в самых разных
изданиях, которые к тому же не всегда доступны.
Новые веяния и сдвиги в теории графов нашли mражение в
ряде достаточно интересных работ (отечественных и переводных),
выпущенных за последние годы Среди них следует отметить моно-
монографии Оре [41 м Зыкова |21 сборник статей «Прикладная комби-
комбинаторная математика» (изд во «Мир», Ч , 1968} и статью Харари
B31
Предлагаемая в и и манию читателя книга естественно вписыва-
вписывается в этот ряд Она принадлежит tiepx маститого американского
математика, профессора Мичиганского университета, видного спс
циалиста по дискретной математике Обладая поистине изумитеть-
1) — Я думаю, раз вы редш in сделать что чибо то и сделаете как бы трудно
ни было, не так ли?
— Да как ixi.M сказать мне кужгтчя что я н фин ииш i не ) дарил бы,—
признакi:я он.
Ф Hopptk Омут над во «M.i>jcib* 1925

ПРЕДЖЛОВИР Р1ДАКТОРА nFPFBOTA
ной работоспособностью, он на писал огромное чнс ю статей топо то-
тоги ческого, алгебраического и теоретик о-графового характера,
несколько монографий по комбинаторной математике и ее приложе-
приложениям в физике, социологии и экономике Харари активно участвует
во многих конференциях по теории графов и смежным с ней наукам
к неизменно явтяется редактором трудов таких конференций
Несколько лет подряд он читал курс теории графов и комбинатор-
комбинаторного анализа в Мичиганском университете Одна из целей (и при-
притом весьма нелегкая), которая, как можно судить по характеру
книги, поставлена Харари, состоит в попытке унифицировать
обозначения и \порядочить терминологию теории графов. Однако,
как признает сам автор, эта попытка, возможно, не будет очень
\дачной из-за большого разнобоя в терминологии и обозначениях
в современной литературе в этой области Следует отметить, что
книга очень популярна среди зарубежных (особенно американских)
специалистов, связанных по своей работе с дискретной математи-
математикой, п большинство ссылок в статьях и кратких сообщениях по
теории графов приходится на долю этой книги
К несомненным достоинствам книги следует отнести широту и
полноту охвата методов и задач теории графов Существенно огра-
ограниченный объем книги и большая насыщенность ее разнообразными
фактами естественно привели к тому, что мнение утверждения
в ней сообщаются без доказательства. Однако это, наверное, наи-
наиболее приемлемый способ, позволяющий создать удобочитаемый и
достаточно полный тр\д по теории графов в целом. По крайней
мере известные до сих пор попытки дать полное и подробное, со
всеми доказатетьствами, изложение основных результатов теории
графов нельзя признать удачными Кроме того, как правильно
замечает автор, такая книга очень полезна для думающего читате-
читателя, который может самостоятельно анатизировать предлагаемые
доказательства, методы и идеи Такое изложение поможет читателю
глубоко освоить теорию графов и свободно ориентироваться в
потоке новых публикаций Этой же цели служат упражнения,
предлагаемые после каждой павы, за исключением первой. Среди
них есть и очень простые, и чрезвычайно трудные Для последних
даются ссыпки на литератур}, связанную с \i\ решением
Наиболее важные теоремы, содержащие характерные для теории
графов подходы и методы, доказываются автором очень подробно,
остальные чибо не доказываются чибо дтя них приводятся татько
наброски доказатетьетв, в этих случаях автор дает соответствую-
соответствующие ссылки.
Книга удачно допопняет переведенные на русский язык моно-
монографии Бержа 12] и О ре [4]. В отличие от монографии Бержа изло-
изложение здесь не является чрезмерно аксиоматизированным. Особый
интерес представляют главы, посвященные вопросам связности,
план арности, раскраски графов, матрицам, группам, реберным гра-

ПРР.ДИСЛОЬИГ:. РЕД\К'ЮР\ ГШРЕВОД\
фам и перечислениям графов (гл 5, 8, 11—15). Большинство ре-
результатов, включенных в эти павы, ранее в монографиях на рус-
русском языке не встречалось
С гех пор как вышло американское издание книги, прошло
бочее трех лег, и за эго время опубликовано немало интересных
работ в теории графов Они достаточно полно отражены о обзоре
переводчика (Козырев И)) Стоит специально отметить монсл рафии
Вагнера [41 и Бе ржа [31 Они появились в 1970—1971 гг и, не
сильно пересекаясь с книгои Ф Харари, существенно дополняют
ipyi друга Обратим внимание также на обзор работ советских
авторов, данный Тернером и Кауцем [1], и котором приводится
около 250 наименовании Наиболее важные из работ последних
двух-трех лет добавлены в список литераторы и отмечены кружоч-
кружочком. Некоторые новые результаты отражены в дополнительных
упражнениях, добавленных при переводе Они также отмечены
кружочком.
Ряд несущественных неточностей в изложении нами устранен
без специальных оговорок, другие же снабжены подстрочными при-
примечаниями, так как в противном ел>чае это привело бы к наруше
пню цельности или затруднило бы понимание соответствующего
материала Существенно пришлось исправить только доказатель-
доказательство теоремы 9.4, в котором содержалось много неясностей.
К недостаткам книги, на наш взгляд, можно отнести отсутствие
алгоритмов решения конкретных задач, а также отсутствие указа-
указаний о приложениях различных результатов теории графов. Их вне-
внесение в книгу не привело бы к существенному увеличению ее объе-
объема, однако привлекло бы значительно более широкий кр\г чита-
читателей
Непринужденный, динамичный, занимательный стиль изложе-
изложения и насыщенность книги юмором создавали дополнительные
трудности при работе над переводом Переводчик и редактор при-
чожили немало усилий, чтобы сохранить и передать (тиль автора
в русском переводе. В книге много эпиграфов, что в пот не соответ-
соответствует духу изложения основного материала Автор считает нуж-
нужным снабдить эпиграфами даже предметный указатель, список
литератх ры и оглавление! Это вынудило нас обратиться за помощью
к специалистам-филологам, которую нам и оказати сотрудница
ВГБИЛ В Г Тор шина и поэтесса О С Астафьева За эт> по
мощь мы им весьма признательны
Остается отметить, что книга б"\дет полезной студентам универ-
университетов, педагогических, экономических и технических институтов
Она, несомненно, заинтересует научных работников, занимающихся
исследованиями в тех областях знания, которые соприкасаются
с теоретической и технической кибернетикой
Г П Гаарилое

ВВЕДЕНИЕ
Когда мне было 14 лет, мой отец
был так глуп, что я едва выносил его
Когда же мне с гукнуло 21, я пора-
поразился увидев, как поумнел старик за
эти 7 лет
Твеи
Сдщеетвует несколько причин нарастания интереса к теории
графов Неоспорим тот фаю что теория графов применяется в
таких областях, как физика, химия, теория связи, проектирование
вычислительных машин, электротехника, машиностроение, архи-
архитектура, исследование операции, генетика, психология социоло-
социология, экономика, антропологии и тингвистика Эта теория тесно
связана также со многими разделами математики, среди кошрых —
теория групп, теория матриц, численный анализ, теория вероят-
вероятностей, топология и комбинаторный анализ Достоверно и то, что
теория i рафов служит математической моделью для всякой системы,
содержащей бинарное отношение Графы действуют притягательно
и обладают эстетической привлекатетьностью благодаря их пред-
представлению в виде- диаграмм. Хотя в теории графов много результа-
результатов, элементарных по своей природе, в ней также громадное изоби-
изобилие весьма тонких комбинаторных проблем, достойных внимания
самых искушенных математиков
Ранние варианты этой книги появились в 1956 г , когда на
кафедре математики Мичиганского университета началось рег\-
лярное чтение курсов по теории графов и комбинаторному анализу
Было замечено, что с методической точки зрения нецелесообразно
приводить доказательства всех формулируемых утверждений Это
позволило включить в курс .значительно больше известных резуль
татов чем было бы возможно в ином случае Таким образом, книг)
можно использовль как пособие, написанное в традиционной мане-
манере «метода Мора» когда студент умножает свои познания в матема-
математике, стремясь доказать все теоремы, сформулированные без
доказательств Заметим однако, что некоторые из опушенных до-
доказательств и трудны и длинны Тот кто овладеет содержанием
этой книги, сможет продолжать изучение специальных тем и приме-
применять теорию графов в других областях.
В предлагаемой читателю книге предпринята попытка предста-
представить различные направления исследований в теории графов в их

логической последов<пельности, дать исторический экскурс и по
яснить изложение при помощи рисунков, иллюстрирующих понятия
и результаты Кроме того, привидятся три приложения с диаграм-
диаграммами графов, ориентированных графов и деревьев. Основное внима-
внимание в книге уделяется теоремам, хотя иногда упоминаются и
апгоритмы, и приложения
Предлагаамые в конце каждой павы (кроме первой) упражнения
существенно отличаются друг от друга по своей трудности Номера
тех упражнений, которые не являются простыми и ие следуют
непосредственно из приводимых ранее результатов, набраны жир
иым шрифтом. Особенно трудные упражнения кроме того помече
ны звездочкой Для усвоения излагаемого в книге материала чита
гелю рекомендуется ознакомиться с каждым упражнением Многие
из «более легких» упражнений могут показаться читателю очень
трудными, если он не изучил материал ссютветств\ юти\ i чав
Советуем читателю не увязать в гл. 2 и ее многочисленных
упражнениях, которая сама по себе может быть использована как
сокращенный курс по теории графов для студентов первого курса
или старшеклассников Преподаватель найдет в этой кнше матери-
материал для односеместрового курса по теории графов В то же время
вся книга может служить основой для годового курса Некоторые
из последних глав можно рекомендовать как темы для семинаров
повышенного типа Так как единственным условием для чтения
^той книги и действительности является неуловимое свойство, лазы
ваемое «математической зрелостью», то ее можно использовать в
качестве пособия для дипломников и аспиранток Для понимания
последних четырех глав полезно знакомство с элементарной теорией
групп и теорией матриц.
Считаю своим долгом выразить благодарность многим моим
знакомым за их неоценимую помощь и советы в подготовке этой
книги. Ловелл Байнеке и Гари Чартрэнд оказывали наибольшую
помощь на протяжении многих лет!
В течение последнего года мои ученики Деннис Геллер, Б ем нет
Манвел и Поль Штокмейер с особым энтузиазмом делились своими
замечаниями и предложениями Большая помощь была также ока-
оказана мне Стефаном Хедетниеми, Эдгаром Палмером и Майклом
Пламмером В самое последнее время Бранко Грюнбаум и Доминик
Уэлш оказали любезность, тщательно прочитав всю книгу Я лично
отвечаю за все ошибки и за большинство сомнительных мест в
изложении
За последние более чем двадцать ле1, посвященных нсследова
ни ям в теории графов, я получал поддержку при публикация со
стороны Научно исследовательскою управления Военно-воздушных
сил США., Национальных институтов здоровья, Национального на
учкою фонда, Управления научных разработок Военно-морского
флота и фонда Рокфеллера В течение этого времени я был рад

11
воспользоваться гостеприимством не только Мичшанскою \нивер-
ситста, но также и других \чебных заведений, которые я имел
возможность посетить. Среди них — Институт повышения квалифн-
кации, Прикстонский университет, Тавистокский институт социоло-
социологии в Лондоне, Университетский колледж в Лондоне и Лондонская
экономически школа Квалифицированно и быстро перепе-
перепечатали рукопись Алиса .Миллер и Анна Дженн из Научно исследо
вательского центра групповой динамики Наконец, я особенно
благодарен издательству Аддисои-Уэсти за проявленное терпение
в ожидании этой рукописи в течение всех десяти лет с момента
заключения контракта, а также за всестороннюю помощь в издании
книги.
Фрэнк Харари

Глава 1
ОТКРЫТИЕ!
Эврлка'
Архимед
Не случайно теория графов «открывайась» независимо много рая
ее с полным основанием можно считать разделом прикладной ма
тематики1) В c^jmom деле, наиболее раннее известное упоминание
этой теории встречается в работах Эйлера, и хогя проблему, кото-
которой он занимался, можно рассматривать как обычную гшовоюмку,
все же она возникла из практики
Последующие переоткрытия теории графов Кирхгофом и К эли
1акже уходят еыоимп корнями в реальную действительность Из\
чение Кирхгофом электрических цепей привело к разработке им
основных понятий и получению ряда теорем, касающихся деревьев
в графах В свою очередь Кэли подошел к иссчедованию деревьев,
решая задачи перечисления органических изомеров. Другой под-
подход к графам, связанный с рассмотрением юловоломок, был пред-
предложен Гамильтоном. После этого появитась знаменитая гипотеза
четырех красок которая до сих пор пользуется широкой извест-
известностью В наше столетие также было чрезвычайно много переоткры-
переоткрытий теории графов Упомянем кратко некоторые т них, придержи-
придерживаясь хронологического порядка
Задача о кёнигсбергских мостах
Отцом теории графов (так же как и топспогии) является
Эйчер A707—1782) решивший в Ш6 i широко известную в то
время задачу называвшуюся проблемой кёпигсбергскнх мостов
В городе Кенигсберге было два острова, соединенных семью моста-
мостами с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на
рис 11 Задача состояла в следующем: найти маршрут прохожде-
прохождения всех четырех частей суши, который начинался бы с тюбой ич
*) Комбинаторная сущность теории графов и ключ к пониманию ее широкой
применимости .хорошо выражены s следующих слонах Сильвестра: «Теория отроет
ков (ramification) — одна из теорий чистого обобщения, для нее не существенны
пи размеры, пи положение объекта, в ней используются геометрические линии, но
они относятся к делу не больше, чем такие же линии )i генеалогических таблицах
помогают объяснить законы вое произведен и я

14
ГЛ\ВА !
ни.\, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по
каждому мосту. Легко, конечно, попытаться решить эгу яадач\
эмпирически, производя перебор всех маршрлтов но все попытки
в
Рис i 1 ГИрк. н юроде Кёншсберге 173о г
окончатся неудачей. Исключительный вклад Эйлера [1] в решение
этой задачи заключается в том, что он доказал невозможность та
кого маршрута.
Для доказательства тю, что задача не имеет решения, Эйлер
обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост —
линией (ребром), соединяющей соответ-
соответствующие точки Получился «граф» Этот
граф 1) показан на рис 1 2, где точки
отмечены теми же буквами, что и четыре
части суши на рис 1.1.
Утверждение о несуществовании «по-
«положительного» решения у этой задачи
эквивалентно утверждению о невоз-
невозможности обойти специальным образом
граф, представленный па рис 12
Отправтяясь от зпого частного слу-
случая Эйлер обобщил постановку задачи
и нашел критерии существования обхода ^специального мар-
маршрута) у данного iрафа, л именно граф должен быть связным и
каждая его вершина должна быть инцидентна четному числ\ ре-
ребер. Граф, показанный на рис 12, связный, но не каждая его вер
шина инцидентна четному числу ребер
Электрические цепи
В 1847 г Кирхгоф [И разработал теорию деревьев для решения
совместной системы линейных алгебраических уравнений, позволя-
позволяющую найти значение си ш тока в каждом проводнике (дуге) и в
1) В действительноеTi! это «мультиграф» как мы \видим bit 2
Рис. 1.2. Граф к зада {с о
к'ёнмгебергских мостах

ОТКРЫТИЕ!
каждом контуре рассматриваемой электрической цепи. Будучи
физиком по образованию, он подходил к решению задач как ма-
математик Абстрагируясь от электрических схем и цепей, которые
содержат сопротивления, конденсаторы, индуктивности и т д ,
он рассматривал соответствующие комбинаторные структуры, со-
содержащие только вершины и связи (ребра или дуги), причем дчя
связей не нужно \ казывать, каким типам электрических элементов
они соответствуют Таким образом, в действительности Кирхгоф
заменил каждую электрическую цепь соответствующим ей графом
Рис 13 Сеть \ соответигв)юииш tft граф Q л остов 7
и показал, что для решения системы уравнений необязательно рас-
рассматривать в отдельности каждый цикл графа электрической цепи
Вместо этого он предложил простую, но эффективную методику
(ставшую позднее стандартной процедурой), в соответствии с кото-
которой достаточно ограничиться только независимыми простыми цик-
лами графа определяемыми любым из ею «остовных деревьев»
На рис 13 дан пример электрической цепи N, соответствующего
ей графа G и остовного дерева Т
Химические изомеры
Занимаясь чисто практическими задачами органической химии,
Кэли [Ив 1857 г открыл важный класс графов, называемых деревь -
ями Он стремился перечислить изомеры предельных (насыщенных)
углеводородов СйНа„+.> с данным числом п атомов углерода, не
которые из таких углеводородов показаны на рис. 14
Конечно, Кэли прежде всего сформулировал задачу абстрактно
найти число всех деревьев с р вершинами, каждое из которых имеет

16
]ЛАВА \
вершины со степенями 1 и 4 Ему не удалось сразу решить эту зада-
ч\, и он С1ал изменять ее формулировку таким образом, чтобы можно
было решись новую зала чу о перечислении а) корневых деревьев
(в которых выделена одна из вершин) б) всех деревьев, в) деревьев,
i
А.
i
Ш i
1
i
Ш 1
i
>
1
н
н—с—н
н
Метан Этан Пропан Бутан
Рис J 4 Наименьшие насыщенные углеводороды
> которых степени вершин не превышают 4, и, наконец, г) деревьев,
> которых степени вершин равны I и 4 (постановка задачи «из хи-
химии») (см Кэли [21).
Позже Жордан A869 г) независимо от Кэчи ввел и изучат де-
деревья как чисто математические объекты, и, как писал Сильвестр
в 1882 г , он сделал это, «со
20 вершенно не подозревая о зна-
значении своею открытия для
современной химической нау-
науки» (см Кёнкг [2, стр 48!)
«Вокруг света»
В игре, придуманной сэром
Вильямом I амильтоном ') в
1859 г , используется доде-
додекаэдр, каждой из 20 вершин
которого приписано название
известного юрода Играю-
Играющий должен обойти «вокруг
света», найдя такой замкну-
«Вокр\f свстл* 1ЫЙ путь, идущий по ребрам
многогранника, который про-
проходит бы через кажд\ю вершину ровно один раз. Гамильтон продал
свою идею одному мастеру игрушек за 25 тиней; iто был жестокий
постмюк ибо описанная игрл не сулит никакой финансовой удачи.
1) Белее novirioe описание см \ bona к К«К1_етера [I, сгр 262].

ОТКРЫТЦГ
На языке теории i рафов задача формулируется так нлити остов-
ный цит в графе додекаэдра Граф показа к па рис. I 5 Верши-
Вершины графа пронумерованы числами 1,2, ,20 (вместо названий
городов скажем Амстердам, 4нн-Арбор Бор чин, Будапешт, Дуб
лин, Эдинбург, Иерусалим, Лондон, Мельбурн, Москва, Новоси-
Новосибирск, Нью-Йорк, Париж Пекин, Прага, Рио-де-Жанейро, Рим,
Сан-Франциско, Токио и Варшава) Существование основного цикла
очевидно.
Гипотеза четырех красок
Наиболее известная нерешенная задача в теории графов и, воз-
возможно, во всей математике — знаменитая проблема четырех красок
Эту замечательную задачу каждый математик в течение пяти ми-
минут может объяснить любом} прохожему на улице В конце объяс
нения оба будут хорошо понимать проблему, но не будут способны
ее решить
В следующей цитате из исторической статьи Мея [1[ форму тиру-
тируется гипотеза четырех красок и поясняется ее роль
«(Предполагается, что] тюбую к л рту на плоскости или по-
поверхности шара можно раскрасить только четырьмя крас-
красками таким образом, чтобы никакие две смежные страны не
были одного и того же цвета. Каждая страна дочжна состо
ять из одной связной области, а смежными называются стра
ны которые имеют общую границу в виде линии (а не просто
одной общей точки) Эта гипотеза тесно связана с наиболее
модными направлениями теории графов, а в разделе матема
тики называемом комбинаторной тополо!ией, она действо-
действовала подобно катализатору На протяжении более чем по-
половины столетия многие математики (кое-кто говорит,
что вес) предпринимали попытки решить эту проблему, по
смогли доказать справедливость гипотезы только для отдель
ных случаев... Единодушно признается, что гипотеза спрз-
ведлива, но маювероятно, что она будет доказана в общем
случае. Кажется, что ей на некоторое время предназначено
сохранить отличительную черту быть одновременно и на-
наиболее простой, и наиботее заманчивой нерешенной пробле-
проблемой математики»
Гипотеза четырех красок имеет интересную исюрию, но в ее
поя в пении остается много непонятного Имеются сообщения, что
Мёби\е был знаком с этой проблемой в 1840 г , но точно известно
только, чюо данной проблеме Гутри сообщал де Моргану примерно
в 1850 \ Первое из многих ошибочных «доказательств» было дано
Кем не [1] в 1879 г Ошибку обнаружил в 1890 г Хивуд [И который
тогда же показаi чю гипотеза становится верной, если «четыре»

18 глав \ }
заменить на «пять» Контрпример, если его нандут, обязательно
будет чрезвычайно большим и сложным, поскольку совсем недавно
Оре и Стемпл П) доказали справедливость гипотезы для всех карт,
содержащих меньше 40 стран
Гипотеза четырех красок является проблемой теории графов,
потому что каждая карта порождает граф, в котором страны (вклю
чая внешнюю область) — это вершины к две вершины соединяются
ребром, если соответствующие им страны смежны Ясно, что такой
граф» можно нарисовать на плоскости без пересечения ребер (в точ-
точках, отличных от вершин графа) Таким образом, если удалось бы
показать, что вершины любого планерного графа можно раскра-
раскрасить четырьмя или меньшим числом красок так, чтобы смежные
вершины имели разные цвета, ю гипотеза четырех красок была бы
обоснована
Теория графов в двадцатом веке
В 1936 j психолог Левин [1] высказал предположение, что
«жизненное пространство» индивидуума можно представить с по-
помощью танарной карты 1). На такой карте области представляют
различные типы деятельности человека, например, то, что он де
тает на работе» дома, или же его хобби
ц
1
1
J ;
г
i
Рис I 6 Карта и соответствующий: ел граф
Подчеркнем, что Левин фактически имел дело с графами, как
это следует из рис 1.6 Эта точка зрения привела психологов На-
Научно-исследовательскою центра групповой динамики к другой пси-
психологической интерпретации графа, в которой люди представля-
представляются вершинами, а их отношения — ребрами Такими отношениями
являются, например, любовь, ненависть, общение, подчинение.
}) Предположение Левина о j носите и только к ллалармыч картам, поскольку
он всегда рисовал свои рисунки на плоскости

ОТКРЫТИЕ |9
Именно этот подход привел авюра настоящей книги к собственно
¦My открытию теории графов, благодаря помощи и содействию пси
хологов Фестипгера и Карт раита
Физики-теоретики для «внутренних» пужд своеи пауки «откры-
«открывали» теорию 1рафов не один раз. Занимаясь статистической меха-
механикой, Уленбек [1] обозначат точками (вершинами) молекулы, а
сложность вершин толковал как взаимодействие наибольшей бли-
близости (соседства) некоторого физического типа например магнитное
притяжение ичи отталкивание В подобной интерпретации, пред-
южеиной Ли и Янгом [J], вершинами служат малые к^бы лежащие
в евклидовом пространстве, каждый куб люжет быть занят ити нет
молекулой Две вершины считаются смежными, ест и оба соответ-
соответствующих куба заняты ,мочекулами Другой аспект использования
теории графов в физике — как изобразительное средство Фейи-
манн fll предложил диаграмму, в которой вершины представляют
физические частицы, а ребра — пути частиц после столкновении
Учение о цепях Маркова в теории вероятностей (см., например,
Феллер Ш) связано с ориентированными графами в том смысле,
что события представтяются вершинами, а ориентированное ребро
(дуга), идущее из одной вершины в Другую, указывает на то, что
вероятность прямого перехода от одного события к другому поло-
положительна Этот подход подробно изложен в книге Харари, Нормана,
Картрайта II стр 371 [, где цепь Маркова определяется как сеть,
у которой сумма весов всех ориентированных ребер, выходящих
из каждой вершины, равна 1 Подобная интерпретация ориенти-
ориентированных графов возникает в раздетах численного анализа, посвя-
посвященных обращению матриц и вычислению собственных значений
Соответствующие примеры можно найти в книге Варги [1,стр 481
Квадратной матрице, предпочтительно редкой (с небольшим коли-
количеством ненулевых элементов в каждой строке) ставится в соответ-
соответствие следующим образом ориентированный граф Вершины соот-
соответствуют номерам строк и столбцов матрицы, и дуга идет от
вершины i к вершине у тогда и только тогда, когда (i, /)-й элемент
матрицы не равен нулю, Близость двух приведенных интерпрета-
интерпретаций очевидна
Теоретико-графовый подход используется также в быстро разви-
развивающихся разделах линейного программирования и исследования
операций при изучении потоков в сетях Применение теории гра-
графов дтя таких целей показано в книгах Форда и Фаткерсона [2],
Вайды 111, Бержа и Гуйя-Ури [1] Вершинам графа соответствуют
пункты размещения (или выгрузки) товара, ориентированное ребро,
идущее из одной вершины в другую, указывает на возможность
транспортировки товара из пункта, соответствующего первой вер-
вершине, в пункт, соответствующий второй вершине Каждому ребру
приписывается некоторое почожителыгое число — максимальная
пропускная способность ребра Она показывает, какое максилгаль-

20 гл.\в\ i
пое количество товара может быть выгрхжено в единиц) времени в
соответствующем пункте.
Внутри чистой математики теория графов впервые изучалась
Вебленом П, стр 1 —35] п fro классической книге по топологии
По определению симплициальныи комплекс (или, короче, комплекс)
состоит и^5 множества 1 «точек» и некоторого (заданного) семейства
i непустыч подмножеств множества V, называемых «симплексами»,
V и S должны удовлетворять следующим двум усювиям*
1) каждая точка есть симплекс,
2) каждое непустое подмножество симплекса есть симплекс
Размерность симплекса равна уменьшенному на единицу числу
его вершин, размерность комплекса равна максимальной из раз-
размерностей симщексов, содержащихся в данном комплексе В эшх
терминах граф можно определить как комплекс размерности 1
или 0 Назовем 1-мерный симплекс ребром Заметим, что комплекс
0-мерен тогда и только тог та, когда он содержит некоторое множе-
множество точек но не имеет ни ребер, ни симплексов более высокой раз-
размерности За исключением этих «вполне несвязных» графов, осталь-
остальные графы являются одномерными комплексами Именно поэтому
первая книга по теории 1рафов (Кениг [2]) имела подзагочовок
Kombinatorische Topologie der Streckenkomplexe ')
В дальнейшем мы предпочитаем использовать слова point (точ-
(точка) и line (линия), учитывая сложившуюся традицию употреблять
их как неопределяемые понятия в аксиоматических системах для
геометрических структур Всякий раз, когда мы говорим о «геоме-
«геометрических» симплшшальиых комплексах как о подмножествах ев-
евклидова пространства, противопоставляя их абстрактным комплек-
комплексам, определенным выше мы применяем слова vertex (вершина)
и edge (ребро) 2) Терминологические вопросы будут обсуждаться
в гл 2 вместе с некоторыми основными понятия ми и эпементарными
теоремами теория графов
т) Комби наторил я топология лиггейкых комплексов (ном) — Прим. перее
-) В предлагаемом переводе, чтобы уменьшить расхождение с терминологией,
принятой и отечественной „'nnvpaiype ът поступаем как рлз па оборот' слова
квершцна» и «¦ребро» употребляем лрн рассмотрении «абстрактных комплексов»
а «точка» и «линия» — при рассмотрении «геометрических комплексов»— Ярим
д

}\шва 2
ГР\ФЫ
Что значит имя? Роза пахнет розой
Хоть розой назови ее, хоть нет.
Ви.икнм Шекспир Ре иге it
Большинство специалистов по теории графов употребляют в кни-
книгах статьях п лекция к свою собственщю терминологию. На комфе
ренциял по теории графов каждый выступающий! чтобы избежал,
неправильного понимания, считает необходимым определи!ь прежде
всего язык, коюрым он будет пользоваться. Даже само слово «граф>
не является священным. Некоторые авторы действительно опреде-
пяюг «граф» как граф *), другие же имею! в виду такие понятия,
как мультиграф, псевдограф, ориентированный гиаф или сеть Нам
кажется, что единообразие в терминологии теории графов никогда
не будет достигнуто, но, может быть, оно и не к чему.
Увы, необходимо сформулировать ряд определений, чтобы в дать-
нейшем иметь возможность использовать основные понятия и тер-
терминологию теории графов После ^гого мы дадим краткое введение
в учение о полных подграфах, в теорию экстремальных графов
(которая изучает графы с запрещенными подграфами), в исследова-
исследование свойств графов пересечений ( в которых вершинами являются
множества, а непустые пересечения представляют смежность),
буд\г определены также потезные операции на график
Типы графов
Прежде чем дать определение графа мы покажем на рис 2 1
все 11 графов с четырьмя вершинами. Позже мы \витим, что
1) любой граф l четырьмя вершинами изоморфен одному из [1И\
2) пять графов, которые на рисунке распоюжекы c.ieua от штри
\овой линии не связны,
3) шесть графов, расположенные справа от штриховой линии,
связны;
4) последний граф — полный,
1) Перевод Ь Пастернака акт 2 сцена 2 т\ но «Ичосство* 19о1 стр V
— При.ч. перея
3) ^Чаще всего это cpaav провозглашается стандартным предложением
«В этой статье мг.г расслитгришклг только конечные неориентированные графы без
петель и кратных ребер»

22 гяав\ i
5) первый граф— пустой или вполне несвязный,
6) первый граф с четырьмя ребрами — цикл;
7) первый граф с тремя ребрами — простая цепь
Вместо того чтобы продолжать повествование на инг\итивном
уровне, вводя время от времени различные понятия теории !рафов,
• •
Рис 2 1 Графы с четырьмя вершинами
мы переидем к систематическому, хотя и ) томитечьному, введению
этих понятий одного за другим. Граф О состоит из конечного непу-
непустого множества V, содержащего р вершин 1), и заданного множе-
множества X, содержащего q неупорядоченных пар различных вершин из
V. Каждою пару х={и, и} вершин в X называют ребром графа G
и говорят что х соединяет unv Мы
будем писать x=uv и говорить, что и
и v — смежные вершины (иногда это
обозначается aadjy), вершина и и
ребро А' инцидентны, так же как v к
с: \ ^\ у?* I х Если два различных ребра хну
инцидентны одной и той же вершине,
то они называются смежными. Граф с
р вершинами и q ребрами называется
(р, д)-графом A,О)-граф называется
Рис 22 Граф. иллюстрирую тривиальным
щнй понятие смежности Обычно граф представляется диаг-
диаграммой, и ее-то часто называют гра-
графом Таким образом, \ графа G на рис 2 2 вершины и и v смеж-
смежные, а вершины « и ^ нет, ребра х и у смежные а г и г нет
Хотя на диаграмме ребра х и 2 пересекаются, их точка пересечения
не является вершиной графа
1) Приведем перечень синонимов, которые используются в литераторе по
теории графов, л о не всегда в указанных ниже парах:
точка (point) вершина (vertex) узет (node)
линия (line) ребро (edge) дуга (arc)
соединение (junction) 0 симплекс @-simplex) элемент (element)
ветвь (branch) l-симплеке A-simplex) элемент (element)

ГРАФЫ 23
Имеется нес кол ь ко типов графов, которые целесообразно при-
привести Отметим, что из определения вытекает, что в графе не может
быть петель, т е ребер, соединяющих вершины сами с собой
В мультиграфе не допускаются петли, но пары вершин могут сое-
соединяться более чем одним ребром; эти ребра называются кратными
Если допускаются петли и кратные ребра, потучаем псевдограф
Рис 2 S Мультиграф и гкещограф
На рис. 2 3 приведены мультиграф и псевдограф, в основе которых
«лежит» один и тот же граф — треугольник Ясно, что граф в зада-
задаче о кённгсбергских мостах (рис 12) является на самом деле мул fa-
тигр афом
Ориентированный граф, или орграф D состоит из конечного
непустого множества V вершин и заданного набора X упорядочен-
упорядоченных пар различных вершин Элементы из X называются ориенти-
рованнылш ребрами или дугами По определению в орграфе кет
Рис 2 4 Орграфы с тремя вершинами и тремя дугами
петель и кратных дуг Направленный граф — это орграф, не имею-
имеющий симметричных 1) пар ориентированных ребер На рис 2 4
приведены все орграфы с тремя вершинами и тремя дугами, два по-
последних из них — направленные графы Орграфам посвящена по-
последняя, 16 глава, но время от времени к ним мы будем обращаться
и в других главах
Граф называется помеченными (или перенумерованными), если его
вершины отличаются одна от другой какими-либо пометками, на-
например vlt v2f , vp Графы d и G2 на рис. 2 5 помеченные, а граф
Oj нет
Го е<ль д}г вила (и, о) и (ь, и) — При и иерее.

24
П \В А. о
Два графа G и Я изоморфны (записываем С^Я или иногда
G = H), если между их множествами вершин с\ществ\ет взаимно
однозначное соответствие, сохраняющее смежность Например
Gi и G, на рис 2 5 изоморфны при соответствии vl^ui и чисто слу-
случайно оказалось, чю граф G* изоморфен каждому т них. Совершен-
Совершенно очевидно, что изоморфизм есть отношение эквивалентности на
графах
Рис 2 5 Помненные и hlпомеченный графы
Инвариант графа G — это число связанное с G, которое при
нимает одно и го же значение на любом графе изоморфном G Так,
числа р и q являются инвариантами графа Полный набор инвариан-
инвариантов определяет граф с. точностью до изоморфизма Например, числа
р и q об раз \ ют полный набор инвариантов для всех графов с числом
вершин, меньшим четырех. В настоящее время мы не знаем ни очной,
нетривиальной полной системы инвариантов дгтя графов
G:
т
Рис 2 6 Граф и два его подграфа
Подграфом графа G называется граф, } которого все вершины и
ребра принадлежат G Если G,— подграф графа G, то О называется
подграфом (supergraph) графа G} Остовный подграф — это под-
подграф 1) графа G, содержащий все его вершины. Для любого подмно-
подмножества 5 вершин графа G порожденным подграфом <5> называется
максимальный подграф графа G, множеством вершин которого яв-
является 5. Таким образом, две вершины из S смежны в <S> тогда и
только тогда когда они смежны в G На рис. 2 6 G2— остовный под-
подграф графа G, a Gi пет; Gi— порожденный под! раф a G2 нет.
1) В ряде- монографии используется термин «члеги 1ныи i раф см. на! ример
BJ.— Прим. перев

ГРАОЫ
25
Удагение вершины о, \п графа G приводит к подграф\ G — v-,
содержащему все вершины графа G, за исключением у-, и все ребра
графа Gf не инцидентные V;. Другими словами, G — vt есть макси-
максимальный подграф графа G, не содержащий vr Удаление ребра Xj ич G
приводит к остовном) подграфу, содержащем) все ребра графа G,
за исключением Xj т е G — \j есть максима и.ный подграф 1рафа 6,
V,
С и.
Рис 2 7 Графы содержащие и не содержащие вьпеленн\ю вершин\ или
выделенное ребро.
не содержащий л;. Удаление произвольного множества вершин или
ребер из G определяется как последовательное \да!ение всед эле-
элементов этого множества С другой стороны, если у, и v} не смежны
в G, то добавление ребра v-Vj образует наименьший над граф графа G,
содержащий ребро vp} Эти понятия илтюстрир^ются на рис 2 7.
С- у:
G-xi
С+х
Phi 2 3 Графы, <. сдержи щи с и не
перши л\ или ребро
С\ществ>1от графы, для которых результат \даления вершины
или ребра или же добавления ребра ле зависит от выбора вершины
или ребра. Для графа G, облагающего этим свойством, обозначим
соответствующие графы через G — v G — г и G^x; см. рис 2 8
Улам [1] высказал предположение, что набор подграфов G—vL
несет полною информацию о всем графе О

26 ГЛАВА 2
Гипотеза ^ т a \i aJ). Пусть граф G и чеет р вершин vi, граф Н
имеет р вершин иг и р^ 3. Если для каждого г подграфы Gj—G—vz
и И;--Н—и1 изоморфны то и графы G и Н изоморфны
Известна др\-1ая ин[српре]ация этой гипотезы (Харари I20J)
Нарисуем каждый из р непомеченных графов G—v, на карточке
размером 3.5 В гипотезе говорится что любой 1раф с р верши-
вершинами, из которого, удаляя каждый раз тишь по одной вершине,
можно получить данные подграфы и только их, изоморфен G
Таким образом, в гипотезе У лама утверждается, что любые два
1рафа о одним и тем же набором карточек изоморфны Кажется
более естественным пытаться доказать (или опровергнуть), что по
любому допустимому -) набору карточек восстанавтивается готько
один граф
.Маршруты и связность
Одно из наиболее простых свойств, коюрым может обладать
граф это свойство быть связным. В данном разделе рассматривают я
основные структурные свойства связных н несвязных графов.
Маршрутом в графе G называется чередующаяся посчедователь-
пость вершин и ребер ?\», xl} у,, , vn-u xn, vfi; эта последователь-
последовательность начинается и кончается вер
шиной, и каждое ребро последова-
последовательности инцидентно двум верши-
вершинам, одна из которых "непосред-
"непосредственно предшествует ему, а другая
непосредственно следует за ним
Указанный маршрут соединяет
вершины V(, и vnt и его можно обоз
Рис 2 9 Граф для ипликтратиш «ачить yft ^ У2 Vn (наличие ре-
маршрутов бер подразумевается) Эта послед о
вателыюсть иногда назыБается
(Уо-^л.)-маршрутом Маршрут замкнут, если vo-vn> и открыт в
противном случае Маршрут называется цепью (bail) если все
его ребра различны, и простой цепью (path), если все вершины
(а следовательно, и ребра) различны. Замкнутая цепь называется
циклом Замкнутый маршрут называется простым циклом если
все его п вершин различны ил^З
Б помеченном j рафе G на рис 2 9 y,t'2u.^^3—маршрут, который
не является цепью, а у^ь^о^— цепь, но не простая цепь, vxv2v>v±—
простая цепь и v^v^v^— простой цикл
1) Не со rot у ем читателю заниматься ^той шютезон поскоикч and представ
ляегся лам очень трудной.
-) То есть набору, который моано получить из некоторого графа Др\гая
трудная задача: как выяснить является ли данный набор допустимым?

ГР \ФЫ
Обозначим чере^ Сп граф состоящий из одного простого цикча
с п вершинами, и через Рп простую цепь с п вершинами, С} часто
называют треугольником.
Граф G называется связным, если любая пара его вершин сое ти-
тине на простой цепью. Максимальный связный подграф графа G
называется компонентой связности ити просто компонентой гра
фа G Таким образом несвязный граф имеет по крайней мере две
компоненты. Граф на рис. 2.10 имеет 10 компонент
Длина маршрута v v-,. . ,vn равна п, т е количеств) ребер в нем 1).
Обхват графа G — обозначается g(G) — это длина кратчайшего про-
простого цикпа графа G (если он есть), окружение графа G— обозна-
обозначается c(G) — длина самого длинного простого цикла графа G.
Эти понятия не определены в случае, когда в G нет циклов
Рис 2 10 I раф с ГО компонентами
Расстоянием d(ti, о) между цвумя вершинами и и v графа G
называется дпиыа кратчайшей простой цепи, соединяющей их,
если «о не соединены, то полагаем d(u, v) = oo В связном графе
рассюяние явпяется метрикой, т е удовлстворяет следующим ак-
аксиомам (аксиомы метрики), для любых трех вершин и, и и к
1) d(u%v)^0 и d(uy v)=0 тогда и только тогда, когда u = vy
2) d(u, v)=d{v, u)\
3) d(u, v)~rd(v, w)^d(u h,).
Кратчайшая простая (м-и)-цепь часто называется геодезической
Диаметр d[G) связного графл G — это длина самой дпинной геоде-
геодезической Граф G на рис 2 9 имеет обхват g=^3 окружение с=4
и диаметр d — 2
Квадрат G- графа G имеет то же множество вершин, что н i раф G,
г е V(Gy)-~ V{C), и две вершины и и о в G* смежны тогда и топь ко
тогда. когда d{u,u)^2 nG Степени G:KG\ графа G определяются
аналогично Например, Q —/Со и Р\ — К\—х
Степени
Степенью ¦) вершины ог в графе G — обозначается d; или deg v,—
называется число ребер, инцидентных ь(. Поскольку каждое ребро
инцидентно двум вершинам, в сумму степеней вершин графа каждое
1) Каждое ребро с штается сготько
маршруте.— Прим. ряд.
-) Иногда ислотьууютсл (ермипы «валеитиос.[Ь>
ичочько оно встречается в данном
и «юклльная

28 ГЛА.В* 2
ребро вносит чвоику Таким образом, мы приход км к \ гверждению,
которое установлено Эйлером B1 и является исторически первой
теоремой теории iрафов
Теорема 2.1. Сумма степеней вершин графа G равна удвоен-
удвоенному числу его ребер-
S B 1)
Следствие 2 I (а) В тбом y?a(j\ число вершин с нечетными
степенями четно 1)
В (Р- Я) графе 0^ deg v^p— 1 для любой вершины и. Мишшаль
ная степень вершин графа G обозначается через mmdeg G или
6@), максимальная— через шах deg G^A(G) Есчи AG)
Рнс 2 11 Кубические графы с б вершинами
то все вершины имеют одинаковую степень я такой граф G назы-
называется регу.гярным (ити однородным) степени г В этом счучае го-
говорят о степени графа и пишут deg G г.
Регулярный граф степени 0 совсем не имеет ребер. Если G — ре-
регулярный граф степени 1, то каждая его компонента содержит точно
одно ребро; в регулярном i рафе степени 2 каждая компонента —
цикп и, конечно, обратно. Первые интересные 2) регулярные ipa
фы имеют степень 3, такие графы называются кубическими. На
рис 2.П показаны два регулярных графа с 6вершинами. Второй из
них изоморфен каждому из трех графов, изображенных на рис 2 5
Спедствие 2 1 (б) Каждый кубический граф имеет четное
чисю вершин
Полезно дать названия вершинам с малыми степенями. Вершина
v называется изолированной, если (leg v—0, и концевой (или висячей),
если deg v—[
Задача Рамсея
Широко известна счед\ющая головоломка
Доказать, что среди ъюбых шести человек на иду пи. ч либо
трос попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых
1) Нжюужяаем «ипагсто (см вводите) что в тексте \t ни георемы доказп-
н лютея.
z) По ^вол\ структурным свойствам — Прим пеоеь

I РА.ФЫ
Указанного сит>аиию можно описать графом G с шестью вер-
вершинами, представляющими людей; смежность двух вершин соответ-
соответствует знакомству Требуется показать, что в G найдутся либо гри
попарно смежные, либо три попарно несмежные вершины Доппл
неиие G графа G имеет в качестве множества вершин множество
Г'((?), две вершины в G емс/кны тогда и юлько тогда, когда они
Рис 2 12 Граф и гто пополнение
не смежны в G На рис 2 12 в 1рафс G hoi |ре\голышков а в графе
G v\ ровно два 1) Самодополнительныи граф — это граф, изоморф-
изоморфный своему дополнению. Примеры таких графов приведены и а
рис 2 13
Р]1С 2\i
НСТр;1ВEЭЧЫ1Ь1С dМ0Д.ОПОIIIИTCUt НЫ( \\ШЬЪ1
В полном <.рафс Кр каждая пара ею р вершин ¦) смежна Гакнм
образом граф Кр имеет (?) ребер и является регулярным степени
/7—1. Граф /Сг—треугольник Графы Кг—то та несвязные (или
регулярные степени 0)
В этих терминах головоломку можно сформулировать так
Георема 2 2 Если G — граф с шестью вершинами, то гибо
G гибо G содержит треугогьния
Доказательство П\С1ь v — произвольная вершила графа
G, имеющего шесть вершин Так как вершина v с любой из осталь<
я, ГрафО на рис. 2 12 являющейся объединением двух треугольников ня -
эывается графо^г ;1с1видя.
2; Поскольку V — непустое лишжеггво, то р:-^[. Некоторые аыоры допускают
с у I цее тно к a j i п е « п у сто го г р афа » (к оп > р ы п \: ы обоз н а ч и л 11 6 и т ie р с з Kt ¦,, v. с. ч и бы бы .ч и
cojviaciibr с его с.ущеспитпштем). 1т ре^ультат^ им ирих-одитгя изучать снойстяя
пустого графа, а некоторые теорем.и формулировать юлько для негустых графов.
Поэтому мы не видим необходимости вводить это понятие.

^0 1ЛЛБЛ 2
ных пяти вершин смежна или в G или в О, то, не теряя общности,
можно предположить, что вершины иь ц^ щ смежны с v в G Если
какие-либо две из вершин их, iu_, u:i смежны в G, то вместе с о они
образуют треугольник Если никакие т,ве из ня\ не смежны в G,
то в графе G вершины ttx u2> iu образуют 1рс>гольник
Обобщая теорему 2 2, естественно поставить вопрос: каково
наименьшее целое число г{т /?), дтя которого каждый граф с
г(т, п) вершинами содержит Кт или АГД?
Числа г (т, п) называются числа ни Рамсея 1) Ясно, что г (ту п) —
—г(пу т). Задача, связанная с нахождением чисел Рамсея, остается
нерешенной, хотя известна простая верхняя оценка, полученная
Эрдешем н Секерешел1 (If
г{т>п)^\ т_] • B 2)
Постановка этой задачи вытекает из 1еоремы Рамсея Беско-
Бесконечный граф2) имеет бесконечное множество вершин и не содержит
кратных ребер и петель Рамс ей И) доказал (на языке теории мно-
жестз), что каждый бесконечный граф содержит tf0 попарно смеж-
смежных вершин ити К9 попарно несмежных вершин
Табшца 2 t
Числа Рамсея
^\
2
6
4
\
О
2
¦5
4
6
9
4
4
9
18
5
14
6
b
18
7
7
Все известные числа Рамсея приведены в табл 2 1 (взята m
обзорной статьи Гравера и Якетя ill)
Экстремальные графы
Среди первых рез\льтаюв в одном из направлении теории гра-
графов — теории экстремальных графов (см. Эрдёш [2]) — можно ог-
метить следующу ю известную теорему Ту рана [ I j Как обычно, пусть
[г] — наибольшее целое чисто, не превьютющес действительного
чиста г а {/¦}——[—г] есть наименьшее целое число, не меньшее г
1) Доказательство существования чисеп r{m п) о.тя 'noOi.rx натуралъчых m
w п см., например \ М Xojli{j [l].
-) Отметим, что по нашему определению бесконечный граф но является
фо\] \\\уестся обзорная статья и бесконечных графах" Нэш-Врпьяус [4]

ГРАФЫ
Теорема 23 Наибольшее число ребер у графов, имеющих р
вершин и не содержащих треугольников, равно ]/?2'4]
Доказательство Утверждение очевидно для малых зна-
значений р Доказательство по индукции можно дать отдельно для не-
нечетных и дтя четных р, здесь будет рассмотрен только случай четных
значений р Предпочожим, что утверждение справедливо для всех
четных значений р^.2п Докажем его для р~2п-\ 2 Итак, пусть
G— граф с р — 2п^-2 вершинами, не содержащий треугольников
Поскольку граф G не является вполне несвязным, то в нем сущест-
существую! две смежные вершины «иу В подграфе Gr=G — {и, v} име-
имеется 2п вершин и нет треугольников, так что по предположению
индукции в графе G' самое большее [4п^/4\ — п2 ребер Сколько еще
ребер может быть в графе G> В графе G нет такой вершины w, что
вершины и и о одновременно смежны с лг, т е вершины и, v и &
образуют в «рафе G треугольник Таким образом, если вершина и
смежна с к вершинами графа G', то вершина v может быть смежна
самое большее с 2а—k вер яги на ми Поэтому в графе G не больше чем
п -г
*- Bn—k)- 1-п* + 2п—Ыр*14 —
ребер
Для завершения доказательства осталось установить, что для
каждого четного р существует {ру /?*/4)-граф, не содержащий тре-
\гольникоа. Такой граф можно образовать следующим образом
возьмем два множества Ул и V2, каждое из которых имеет р '2 вершин,
и соединим каждую вершин) из Vx с каждой вершиной из Г2.
Для р~6 соответств\ющнй граф G] приведен на рис 2 5
а
Рис I 14 Дн\дочышй 1раф
Двудольный граф (или диграф ')) G — это граф, множество вер-
вершин V которого можно разбть на два подмножества К и V2 та-
таким образом, что каждое ребро графа G соединяет вершины из разных
множеств (будем говорить, что ребра графа (/соединяют множества
I7! и Г2) Например, граф представленный на рис 2 |4 а можно
1) В литерату ре встречаются и другие термины для .этого понятия, nanpnutp
бихроматический граф, простой граф, четный граф граф паросочетаник.

32 ПАВЛ 2
нарисовать так, как показано на рис 2 14, б, чтобы подчеркнуть,
что этот граф — двудольный
Ёсти граф G содержит все ребра, соединяющие множества \\ и
Кг, то этот фаф называется полным двудольным. Ести при этом в
множестве V\ имеется т вершин, а в V2 имее!ся п вершин, то будем
писать G — Кт 7, - К (т, п) Звездой1) называется полный двудоль-
двудольный граф Kltn. Понятно, что в графе Л\„,п имеется тп ребер По
зтому, если р четно, то граф К(р!2, р.. 2) содержит/?-/4 ребер если
р нечетно то граф К{\р2], {р*2}) содержит \р!2\ {р!2} — [р'ЧА\ ре-
ребер В каждом из таких графов не г i ре угольников, что счедует из
георемы Кен ига [2, cip 170]
Теорема 2.4 Граф является двудольным тогда и только тог-
тогда , когда все его простые ацкгы четны
Доказательство Если G — двудольный граф, то множество
его вершин V можно разбить на два подмножества \\ и К2 таким
образом, что любое ребро этого графа соединяет некоторую вершину
из множества \\ с некоторой вершиной из V2 Поэтому каждый про*
стой цикл Viv2.. vnvL графа G содержит вершиньг из Vu скажем, с
нечетными номерами и вершины из V2 с четными, так что длина п
этого цикла является четным числом
Чтобы доказать обратное, предположим, не теряя общности, что
О — связный граф (поскотьку каждою компоненту графа G можно
рассматривать оiдельно) Возьмем произвольную вершину v} ? V
и обозначим через V'i множество состоящее из vl и всех вершин, на-
находящихся в графе G на четном расстоянии от vu пусть К=~ V—V\
Так как все простые цик 1ы графа G четны, то каждое его ребро сое-
соединяет множества \ х и V2. В самом деле, если с^ ществует ребро
uv, соединяющее две вершины из множества Viy то объединение
]еодезическнх, идущих из вершины v{ к вершине v а также из
вершины v2 к вершине «, вместе с ребром uv образует цикт нечетной
длины, мы пришли к противоречию
Теорема 2.3 является первым примером решения одной из задач
«теории экстремальных графов»: для данного графа Н найти
ех(р, И) — наибольшее число ребер, которое может быть в графе,
имеющем р вершин и не содержащем запрещенный подграф И Та-
Таким образом, в теореме 2.3 утверждается, что ех (/?, /Q —[р2/4]
Приведем некоторые другие подобные результаты (Эрдёш 13])
-l+ei^il, B3)
4 —а) ^
B 4)
B 5)
1) В случае п—3 Гоффман \\\ называет К1П «тапои» (Иа\\) а Эрлсш я Рсньи
|1] — «гроздью» (cherry)

ГРАФЫ
Туран [i) обобщил доказанную им теорем\ 2 3, определив зьа-
чения функции ex(jo, К„) дтя всех
(Р, Кп) -= ^^ (г)' BG)
где p=^r mod(rc— 1) и Q^.r< n—l Другое доказательство этою
результата см. у Моцкипа и Штрауса 11]
Известно также, что каждый B/г, п2~\-\) граф содержит п тре-
треугольников, каждый {р, Зр—5) граф содержит два простых цикла
не имеющих общих ребер (для р^ 6) и каждый C/7, 3/г'2-^ 1)-граф
содержит и2 простых циклов длины 4
Графы пересечений
Пусть 5 — множество, a F~{Slf , Sp} — семейство его раз-
различных непустых подмножеств, объединение которых дает 5 Граф
пересечений семейства h — обозначается Q (F) — определяется мно-
множеством V(Q(F))-=F и условием «5{ и 5; смежны тогда и только
тогда, когда i-ф} и Sff) S,^0». Граф G называется графой пересе-
пересечений на множестве S, если существует семейство F подмножеств
из 5, для которого G^Q(F). Сформулируем теперь один из первых
результатов о графах пересечений (Марчевский [1])
Теорема 2 5 Любой граф есть граф пересечений
Доказательство Для каждой вершины v, графа G —обоз-
—обозначим через St объединение {vt} и множества ребер инцидентных с,
Тогча ясно что G изоморфен графу Q (F) где F {Sr}
Определенное выше представление графа приводит еще к одному
инварианту Числом пересечения <a(G) данного графа G называется
минимальная из мощностей таких множеств S, что О есть граф
пересечений на S
Следствие 2 5 (а) Гсш G q— связный граф и р^ 3, то
Доказатетьство В этом с 1>чае из множеств St> которые
используются в доказательстве теоремы, можно удалить вершины
так что S^X(G).
С л еде т в ие 2 5 (б) EcmGp q имеет р0 изолированных вершин, то
о) (G) <^q p0
В следующей теореме приводятся условия, при которых дости-
достигается эта верхняя оценка
Теорема 26 ЕсшСр^—связный граф и р> 3, то o>(G^iCr) = <7
тогда и только тогда, когда в Gp^q нет треугольников
2 Л 41

34 f тлв w
Доказательство Докажем сначала достаточность Так
как io(Gp Ч)^Я (следствие 2.5 (а)), го остается показать, чю
со {Gp^^ q для пюбого связного графа без треугольников, имею-
имеющего по крайней мере четыре вершины Из определения числа пе-
пересечения получаем, что G изоморфен графу пересечении Q (F) на
jVU-j ож ест ве S, в котором \ S \ — со (О) элементов Для к а ж до и вершины
сг графа G обозначим через Ss соответствующее ей множество Так
как в 6 не г треугольников, ю ни один элемент из S не может ветре
чаться более чем и двух множествах S,. и S; П Sj=^=0 тогда и только
тогда, когда UiVj— ребро графа G Таким образом, мы получаем
взаимно однозначное соответствие между ребрами графа G и теми
элементами из S, которые принадлежат ровно двум множествам
5, Следовател ьно, со (G) — \S \ ^ q
Для доказательства необходимости предположим что G имеет
треугольник Обозначим через d максимальный осговиый граф
графа G, ие имеющий треугольников Используя доказанную только
чю достаточность, почучаем, чю ш {Gx)=q^~- \Х (Gx)\ Предположим,
что G,— H(F)> где F — семейство подмножеств некоторого множе-
множества 5, содержащего q^ элементов Пусть х — ребро графа 6, не
принадлежащее Gx рассмотрим граф G.2=G1-\-x. Поскольку Gx—
максимальный остовный граф без треугольников ю в G2 должен
быть по крайней мере один треугольник, скажем uxu^h, где x^uxu^
Обозначим через Su S2, S$ подмножества в 5 соответствующие
«!, и2} 1Ц. Если вершина и_ смежна только с«, и и,, в GT, то за
меним Sz на произвольный элемент из 5Х П S2 и добавим этот эле-
мен! к 53 Если tL2 смежна ещё с какой-то вершиной, то заменим
S3 па объединение S^ и тгобого элемента из SiflS*- В каждом из
возможных случаев приходим к такому семейс7ву F' различных
подмножеств множества S, что G^—Q (Ff) Та к и.м образом, <d(G2)~
=qi> в то время как \Х (G*)\ -q^-\-\ Если G^G то доказатетьст-
во закончено
Остался случаи G2^G Обозначим \Х (G)\ — \X{G2)\^q) Из пре-
предыдущего вытекает, что в этом случае G — граф пересечений на не-
некотором множестве с q^ \ q0 элементами Однако ql — q^q—I
Следовательно, ш (G)< q, и теорема доказана
Число пересечения графа ранее изучалось Эрдешем, Гудманом
и Поша ]\] Они получит и наилучшую верхнюю опенку числа пере-
пересечения для графов с заданным числом вершин
Теорема 27 Дъч нового графа G с /^4 вершинами. с
Доказательс1во этою утверждения проводится так же, как и
теоремы 2.3
Для произвольного графа G существует граф пересечений, опре-
определяемый только полными подграфами графа G Клика графа —
это его любой максимальный полный подграф Графом к гик дан

гр \фы 35
ного i рафа 6 называется j раф пересечений семейства всех клик гра
фа О Например, граф О на рис. 2.15 имеет КА в качестве своего графа
клик Однако неверно, что каждый граф есть граф клик некоторого
графа; так, Xамелинк [] I показал, что графG па рис 2 15 пеявляется
графом клик никакого графа Роберте и Спенсер [1] дали полное
описание графов клик
Теорема 2 8 Граф О является графом клик тогда и только
тогда, когда он содержит семейство F полных подграфов, объеди-
объединение которых дает. G, таких, что если любая пара этих полных
подграфа некоторого подсемейства ?' имеет непустое пересечение,
то пересечение веек множеств из Г' также не пусто
Рдс 2 15 Граф и его граф к.шк
Замечание Частный класс графов пересечений был выделен
Бепзером П| при решении задач генетики Он высказал предполо
жение, что ишь генов, представляющую бактериальную хромосому,
можно рассматривать как замкнутый интервал на действительной
оси Хайош [II независимо предположил, что с каждым конечным
семейством/^ интервалов Si можносвязатыраф, который в терминах
графов пересечений есть Q (F) Под графом интервалов понимается
граф, изоморфный некоторому графу Q (F), где F — семейство ин
] ер валов Графы интервалов изучались Ботандом и Леккеркерке-
ром [II, а 1акже Г ил мором и I оффманом [1]
Операции над графами
Естественно стремиться представить структуру рассматривае-
рассматриваемого графа с помощью графов меньшего размера и более простой
структуры Полезно дать краткие обозначения для тел графов,
которые при зтом часто встречаются ^же были введены обозначе-
обозначения дтя полною графа /С и его дополнения KF, простого цикла С„ и
простой цепи Р7 а также полного двудольного графа Кт>ц
В этом разделе графы CL и С. имеют непересекающиеся множс
ыва вер и ш н \\ и 1/2и непересекающиеся множества ребер Хг и Х2

J ГТЛВЛ _>
Объединениеч G, IJ G, 1аки\ графов1) называется граф, множеством
вершин которого является У~-17, IJ 1'2, а множество ребер есть
X-'XiU X.t Соединение графов, введенное Зыковым 11! — обозна-
обозначаем Gi G?,—состоит из d [jG2 и всех ребер, соединяющих V} и
V,. В частности, /Ст , Л ,t —/С,,, ^ти операции И1люс1рир\югея на
рис Й 16, где 0,-Д> Р, и G.^-KUi = P)
Рис > 1о Объединение i соединение двух графов
Если G— связный граф, то через nG обозначается i раф с п
онентами, каждая из которых изоморфнаG Каждый граф мож
но записать в виде IJ n-fj-ti где Gt отличается от Gj д.ля 1-ф\ (Харари
и Па л.мер [ ИI) Например несвязный граф представленный на
рис 2Л0 \ ожао записать в виде 4Kl U ЗД'2 [) 2K-t U A'i i
2 ]7
графов
Имеется ьесколько операций над графами GL и G2, которые об-
образуют i раф G с множеством вершин равным декартов\ произве-
произведению 1/,XV2- Среди них произведение (или декартово произведе-
произведение, см. Сабидусси [51), композиция (Харари A21) (или лексикогра-
лексикографическое произведение, см Саб"ид\сси 161) Другие операции -)
этого типа приводятся в работе Харари и Вилкокса [1!
Чтобы о преде пить произведение Gc<Giy рассмотрим любые <ве
вершины и — (ил, Hi) и v~(vu u2) из V~VtxV-2. Вершины и и v
смежны в G^xGs тогда и только тогда копа h/t —^ и и2 adj v,]
или \u^~v* и ^т adj vL] Произведение графов Gx — Pz, и G^- = P9 по
казаио па рис 2 17
лвух «иерссскаю1Ц[1хся> 1рпфоь огредоляется ааа
J) Разумеется, обт
Г1огиннь;\] образом.
-) Например, тецлорисс проm:jгоде;ли (Вен ice,i |1|, /Мак-Л|дрю I I], pp
л Тряут fll, Бруальди Ml) vr друп--е тиггы ироизиедоний, определенные в работах
Бе ржа J2] Opel 4] тсха я Яга Л)

ГР^ФЫ
37
Композиция G^Gj[Oi\ также имеет V~-ViXV2 в качестве мно
жества вершин и вершина а—(аи и2) смежна с v= (vi4v?) тогда
и только тогда, когда [wT «ddj ул\ ити [ат=и, и и2 adj v2] Для графов
Gl и G2> предсч а пленных на рис 2 17 две композиции CJGJ и
0>16',| которые, очевидно, но изоморфны показаны на рис 2 18
Рис 2
Дие К(лшо^ндии графой
Ест и CL и G — 5то (/?,, ^,) и (/?2 с72)графы соответственно, то
для каждой из определенных выше операций можно найти чисчо
вершин и число ребер в получающемся графе (см таблин\ 2 2)
Таблица 2 2
Бинарные операции над графами
(.к т
Число
Чис ю
Объединение 6I[JCi
Сдедизгешгс G; — О,
0С
Композиция Gl [G2\
Р\ i Pi
P\Vz
Полный *х дольный граф K{Pi> Pa, , рп) определяется как
посчедовательное соединение /<_ -j /( — f-/С Ясно, что в этом
графе 1^ вершин и Д, ^?р; ребер
'• < ¦
Важный ил асе графов называемых к>бами наиболее естествен-
естественно описьшается с помощью произведений Рекурсивно определяется
и мерный куб Qn Q1 — K4 и Qn — К? Q» ^ Таким образом, Qn
имеет 2" всри}ин, которые можно представлять наборами а^з. а ,
где а, равно 0 или 1 Две вершины (или точки) куба Q}b смежны,
епи их двоичные представления отличаются готько в одной

38
)}\ВЛ
позиции (в очном разряде) На рис 2 19 представлены 2-мерный
и 3-мерный к\бы
Если графы G n h таковы что отождествление любой вершшгы
1рафа G с произвольной рершиной графа // приводна к одном) и то-
м> же графу (с точностью до изоморфизма) то граф получаемый с
Phi 2 19
помощью описанного отождествления вершин, обозначим через
G Я Например, на рис. 2 \6С^-К2 Л , а на рис 2 7 6—1/3^= Лг^С2.
Упражнения х)
2 1. Нарисовать Fee графы с пятью вер шиш чи (Зате\( сравнить с
мам и данными в приложении 1 }
2 2 Восстйновить граф G по с,\о под;рафам Gt—G- tc где Gx
2.3. Замкнутый маршр\т тгечетнои дщшы сояерлит простои цикч
2 4 Доказать или опровергнуть
а) объединение чюбых дкух различных цепей соединяющие две верши-
ны содержит простой цикл;
б) объединение тюбых двух различимх просты* цепей со^тлвятощнх
две вершины содержит простой цикл.
2.5 Граф G связен тогда и только тогда, когда длл любого разбиения мно-
множества V на два подмножества V7, и V> существует ребро графа G соедпляющее
некоторую перши ну из V1 с некоторой вершиной из V2-
2 6 Сели d (и, v)^~- т в графе О\ го чему равно d (и, v) в гряфе Gn?
2 7. Граф Я называется квадратным корнем графа G, если И'1—-0 Грзф 6 l p
вершинами имеет кпадрятный корель тогда и только тогда, когда о к содержит р
таккх полных годграфов О/ что
1) ZG
Z) Vi?Gj- тогда и только тогда, когда :!y?w,
1) каждое ребро графа G принадлежит некоторому подграфу С?,-.
(Мукхопддхая
J) Если б упражлечгии не сказано явно, что требу стел долать то его падо л о
к^зать. Жирный шряфтоу набраны ;!о*!ера батее трудных задач а самые трудны
от.м е че н ы звез до ч к о и.

I P v
2.8 Конечное метрическое пространство (S, d) изоморфно пространств рас
стояний некоторою графа топи) и только тогда, когда
1) расстояние между любьши дяумя нершниами из S есть целое число,
2) l'wih d (» v)l-?2 то найдется такая третья зсфтуша ъ\ 47od(u. u>)-\-d (u\v\—
¦=d\u. ь).
(Кей и Чартр^ид fl|)
2.9. В связном е рафе любые лве .ymHf-u йшне простые цепи имеют of тую
Bt-pLLJMHY.
2J0 Неверно, что л каждом связном графе все тлиннейшне простые цепи
1?меют общую мер шип у. Показать, что
граф на рис 2 20 подтверждает это
{Вальтер \\\)
2.11. Каждый граф с диа.метром d
п об v в атом 2tf M регулярен
2.12. Пуст], 0 будет (р ^-гра-
^-графом, степени вершин которого равны
k или ft—1, Если О имеет рк> 0 вер-
вершин степени k \iPk\ першин степени
ft+1 то pk-(k-\-\) p --2q
2.13. Построить кубический граф
i 2п вершинами (^3) че имеющий
треугольников.
2.14. Если граф G имеет р вери(иц
Ий^(р-])/2, то он связен. Рис 2 20 п к ^пражнр11ИЮ 2 Ю
2.Г: Если 6 — несвязный граф
ю G — связный.
2 16 Каждый самодопотнительный граф имеет 4/г щи 4«—1 вершин
2 17 Нзрис'онать 4 езмодочолнательных графа <. 8 верлшнамк.
2 18 Каждый нетривиа тьпыи ся\юдополнительный i раф имеет диаметр 2 нлиЗ
(Ркнгсль [2J Закс J1J)
2 19 Ч^лл Ра\1сея \довпетворяют рекуррентному соотношению
г (т п)^г{т—I п)-\-г{т и—П
(Эрдёш |3])
2.20, Найти наибольшее тело ребер в 1рафе с р вершинами, не имеющем |ет-
ных просты.х циклов.
2 21 Найти экстремальные 1рафы, не содержащие К±
{[ vpdn HI)
2.22. Каждый (р p-L4) граф содержит два npocmx miKja не имеющих об-
общих ребер
(Эрдеш \2])
2.23. Единственным (р, fpa/4]) графом не содержащим треугольников яв
ляется К(\р/'21 {/з/2}).
2.24. Доказать или опровергнуть: единстве!тым груфкж с р вершинами н
наибольшим числом пересечения является /({[д/2] (р/2)).
2.25. Наименьший граф в котором каждое ребро принадлежит по крайней
мере двум треугольникам и пи одно ребро ие принадлежит /С4, имеет 8 вершин \\
19 ребер Построить его
(Камерон и Митхэм)
2.2Ь Найти Q(Kp), <д (С„-:-Ki). (>НС„- Сп) и ш (С„)
2 27 Доказать или опровергнуть:
а) число к ,п к к графа G не больше (о (О)]
б) число клик графа G не меньше («"> F*)

40 Г\лан\ 2
2.28 Докапать, что наибольшее число кллк в графе с /> вершинами разно
(Myи и Моэер 11))
2.29. Простой никл длтты 4 не может бьиь ]горожденным нодтряфо;?.] графа
интервалов
2.30. Пусть s(n) — наибольшее число точек «-мерного куба которые пора
ж дают простои цикл. Проверить следующую таблицу
_г 3 1Л
+ h '8 14
(Данцер и К ли [\])
2.31. Локазать пти отфовергн\ть если Gt и G — регутнртп/е ]р.чфы то та
ковы же графы
2 32 Доказать и tit опровергнуть' ее in Gt и 60— двудо'п пые ]рафы тс та
ковы *р графы
a) Gi-L G<> 6i Gi \ Gj jO ^т]^л>1
2 33. Доказать или опровертнхть
п
я) Gr\-G,-Gx\ 6*2> б) GjXGV^^X"^ и) GJCJ-G', fG42)
2 34 а) Подсчи1ать число простых пиктов я графах С„ L/(t Kp Kl7lin
(Хярари и MdHtitvi [I])
б) Каково наибольшее чйс jo не имеющих общих ребер простых циклов в
\казанных выше грэфя\?
(Чартрэнд Гелчер и Хедетниши [2J)
2.35 Конъюнкцией GxaG2 наяыпяется граф с множеством вершин 17аX 1/.2,
а вершлны а={и1, ut) и v=(vi, j2) в нем смежш»1 тогда л только тогда, когда
ui <*d] v-l и u2 adj v2< Соотношение G1XG2t^Gi/\G<1 выполняется тогда к только тогда
когда G1^G^Cnm^r-i
(Миллер Ц|^
2 36 Конъюнкция GjA02 двух связных графов ^вязнй то fid я только тогда
koi т.а Gt ичи G2 имеет нечетный простой никл,
*2.37. Регулярный граф стелен?! г имеющий гг-\ 1 вершин и ала метр 2 с>-
ществуст для/'—2, 3, 7 и, возможно, 57
(Гоффман и Синглтон [1])
* 2.3 8 Г р ^ ф G с р—2 п ве р ш и пд м и ибл а д а ит с л ед у ющ и nj св о пет ком: д л я ка л с д oiо
множества Sen вершинами порожденные подграфы<?> и K.V—S> изоморфны тогда
и только тогда, когда G совпадает с одним из графов Кгп, КпХК Жп, 2С4 или
сна дополненкями.
(Келли П и Мерриел |1]}
°2.39. Последовательность tl, с'2. . сст wpTOHii единичного «-мерного Kyfid
Qn лазынается цепью, если р (г,-, и/иI -! (i~-], 2 , w —¦ J). p(y/. i.^0 > 1 при
\i'-'t\>[ где р (:', u.?) - расстояние Хэмминга между вершинами v и w в Qn.
Показать, что длина I (п) максимальной цепи больше С 2П, где С — константа.
Ь 11])

Г шш d
БЛОКИ
h!c i;pociu копия отца г сам жиьоц
отец 1).
Здхунд Верк г)
Некоторые связные графы можно сделать несвязными, удалив
одну вершину, которая называется точкой сочленения Выделение
таких вершин сильно помогает в изучении структуры связного [ра-
фа. Ребра с аналогичным свойством называются мостами. Части
рассматриваемого графа вместе с его точками сочленения —
это его блоки. После определения утих грех понятии будут введены
и изучешл два новы* графа, связанных с данным графом — граф
его Стоков и граф ого точек сочтенения
Точки сочленения, мосты и блоки
7очкой сочленения графа называется вершина, удаление которой
увеличивает число компонент' ребро с таким же свойством назы-
называется мостом. Таким образом если v — г очка сочленения связного
графа 6, то граф G—и не связен. Неразделимым графом называется
связный, непустой, не имеющий точек сочленения граф Блок гра-
графа— это его максимальный неразделимый потхраф. Есчи G —
неразделимый граф, то часто он сам называется б током
На рис. 3.1 v — точка сочленения, а а, нет, х - molt, а ц нет
отдельно приведены четыре баока 1рафа G Каждое ребро графа
принадлежит точно одному из его блоков, tjk же как и каждая
вершина, не являющаяся ни изолированной ни точкой сочленения
Далее ребра любого простого цикла графа G также принадлежат
только одному блоку Отсюда, в частности, счедует, чго блоки графа
разбивают его ребра и простые циклы на множества, которые можно
рассматривать как множества ребер. В первых трех теоремах тгои
главы устанавливаются несколько эквивалентных условий, обес-
испивающих существование у графа точки сочленения и моста и
не разделимость графа
т) В оригинале идиома ' i chip of the old block — кесъ в отца — Прим
пере в.
2) ^д\{унд Верк A729—1797) лпгтшйскии государственный деятель и
шеатепь — Прим пере.в.

42 1 Л Mi л „
Теорема J.I. Пусть и — верит на связного графа G С годующие
утверждения же и еалент ны
A) v — точка соч мнения графа G
B) существуют такие вершины и и ^, от шчные от о, что v
/гранадлежит любой простой {и-и)-цепи\
C) существует разбиение множества вершин \ — {v} на такие два
подмножества U и W. что для любых вершин и? U и w? W7
мршина l1 принадлежит любой простой (и wj-qenu
вЛ
Рис. .3 1 Граф и его б токи
Доказатстьство A) влечет C) Г,}к как v — точка сочле-
нсния графа G, то граф G — v не связен и имеет по крайней мерс две
компоненты Образуем разбиение V—{i}, отиеся к С вершины одной
из этих компонент, а к W - вершины всех остальньгх компонент
Тогда любые две вершины и? U и w ? W лежат в разных компонен
rax графа G—и Следовательно, любая простая (и &>) цепь графа G
содержит о.
!;3) влечет B). Это немедленно с1едуе-1 hj того что B) — частный
случмГт утверждения C)
B) влечет A) Если о принадлежит тюбон простои цени в G,
соединяют,!1 и и и <jd, то в G нет простой цепи, соединяющей эти вер
шили в G — v Поскольку G - v не связен то i — топка сочленения
графа G
J еорема 3 2 Пусть \ —ребро связного графа G Сгедующие
i/твсрждения эквивалентны
\\) \ — мост графа О;
<2) х не принадлежит нц одному простому циклу графа G,
C) в G существуют такие вершины и и v, что ребро л принад п~
жшп любой простой цепи, соединяющей и иг,
D) существует разбиение множества V на такие подмножества
V и W, что для любых вершин и ? 0 и w ? W ребро х принад-
принадлежит любой простои (и-

ьлок и 43
1 еорема 3.3. Пусть 6 — связный граф с не .менее чей тремя
вершинами Следующие утверждения эквивалентны'
A) G — блок:'
B) любые две sept пины графа d принадлежат некоторому общем ц
п р ост ом у ци кл ц;
[3] любая вершина и любое ребро графа G принадлежат некото
рому общему простому циклу;
D) -новые два ребра графа G принадлежат некоторому общему
простому циклу;
(Ь) для любых двух вершин и любого ребра ^рафа 6 существует
простая цепь соединяющая эти вершины и вк гючаю-цлч дан-
данное ребро:
(б) для любых трех, различных вершин графа G существует
простая цепь, соединяющая две из них и проходчщан через
третью
{7) для каждых трех различных вершин графа G существует про-
простая цепь соединяющая две из них и не проходящая через
третью
Цоказатечьство A) влечет B) П\сть и, и — рапич
ные вершины графа G, л U — множество вершин, отличных от и,
которые лежат па простом цик!е содержащем и Поскольку в G
по крайней мере три вершины и nei точек сочленения, то в G нет
также мостов Значит, каждая вершина смежная с и, принадле-
принадлежит U у т о U не пусто
р
• v
а б
Phi. 3.!2 Мрипьн пени в f то к ах.
Предположим что и не принадлежи! О Пусть w — вершина в
L, для которой расстояние diw v) минимально Пусть Р, — крат-
кратчайшая простая (ам^-цепь, а Р^ и Р2 — две простые (ы-&у)-цепи
цикла, содержащего и и ъ* (рис. 32,^) Так как <х' не является
точкой сочленения, то существует простая (ы-у)-цепь Р не содер-
содержащая V) (рис 3.2, б). Обозначим через w' ближайш\ю к и вершину,
принадлсжащ\ю Р\ которая также принадлежит Р^, и через и
последнюю вершину («-к,'')-полиепи и Р' которая принадлежит
нш Я1т или Р2 fie теряя общности, пресно южим, чю и' принад-
принадлежит Pi
Пусть Qx — простая (w-кО-цепь, содержащая (и иг) подцепь цепи
Pt и (и'-а/)-подцепь цепи Р', a Q* — простая («-а?')-подцепь, содер-
содержащая Р2 вслед за (w~w')-подцепью цепи Р<> Ясно, что ft и Q» —

44 nun ч
непересекающиеся простые (u-wf)-iiLun Вместе они образую! про-
простой цикл, так что w' принадлежит с/. Поскольк\ w' принадлежит
кратчайшей цепи, d(w', v)<Ld{w v) Это противоречит выбору w и,
следовательно доказывает что и и v лежат на одном простом цик к
B) влечет C) Пусть и — вершина, vw -- ребро графа 6, a Z —
простой цикч содержащий и и v Простой цикл Z\ содержащий и и
vw, .можно образовать следующим образом Нел и w лежит на 7 ю
Z' содержит vw и (у-ьу)-подцепь в / содержащую и Нел и w не ле-
лежит на /, то существует (&'-«)-цепь Р, не содержащая и, поскольку
иначе по теореме 3 I v — точка сочленения Пусть и - первая
вергтгипа цели Р в Z. Тогда Z' содержит van вслед ча (&>-,/)-под-
(&>-,/)-подцепью цепи Р и (u'-v)-цепью в Z, включаю^цей и.
C) влечет D) Доказательство как в предыдущем случае.
D) влечет E) Каждая из двух вершин графа G инцичентна не
которому ребру; соответствующие ребра в силу утверждения D)
лежат па одном простом цикле Следовательно, любые две вершины
графа 6 принадлежат одр ом \ простому циклу, а отсюда следует B)
и значИ! C) Пусть и и и — различные вершины, а — ребро гра-
графа G Из утверждения C) получаем, что существуют простой цикл
Zb содержащий и и а, и простой цикл Z,, содержащий ^ ил. Та-
Таким образом, н\жио рассмотреть только случай когда о не .лежил
на /,, а и не лежит на 2.2. Начнем идти из и по 7, до тех пор, пока
ке достигнем первой веригшгы w цикла Z2, затем пойдем по не пи на
22, которая соединяет w и ь и содержит л' Такой обход образует
простую цепь, соединяющую и и ь и содержащую >..
E) влечет F) Пусть и i и <2> — различные нершины графа G, а
а — произвольное ребро, инцидентное w Из \тверждемия (о) выче-
кает что существует простая цепь, соединяющая и и v которая
содержит л и, следовательно, должна содержать w.
F) влечет G) Пусть и v и w — различные вершины графа G
Из утверждения F) вытекает, что существует простая <«-и')-цепь Р,
содержащая v Ясно, что (u-v)-подцепь цепи Р не содержит ы.\
G) в чечет A) Используя G), получаем, что для любых двух
вершин и и ь пи одна нн остальных вершин не \к>жсг принад
чежать каждой (и-у)-иепи Следоватсчьно, G должен быть блоком
Теорема J 4 В любом нетривиальном связном графе, паи
дутся по крайней мере де< вершины не явткщиеся точками сочле
неныч
Доказательство Пусть и и v — вершины графа G
максимально удаленные друг от друга, т е такие, что diu, v) =
—d(G) Предположим, чго d — точка сочленения Тогда существует
вершика w ттриная.7:ежащая той компоненте графа G — v, которая ve
содержит вершину «. Значит, v лежит па любой цепи, соединяющей
и и ozj, и поэтому d(u, w)>d(u, v) что невозможно. Следовате \ьпо
ь, а гакже и не являются точками сочченсния гр^фа G

БЛОКИ
Графы блоков и графы точек сочленения
Известны несколько графов пересечении, получаемых i-n графе!
О которые представляют его структуру Возьмем блоки графа (}
в качестве множеств семейства /¦' Тогда граф пересечений И{Г)
[Газываетс я графом блоков г рифа G и обозначается чере:-; В (С) Б токи
графа G соответствуют вершинам графа Я (<?'), и ibc вершины графа
B{G) смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им блокм
графа G имеют общую точку сочленении. Для получения графа, иер-
шины которого соответствуют точкам сочленения графа G гюзьмем
в качестве множества 5, (из семейства/7) объединение всех, блоков
содержащих данную точку сочленения ,.»,. Полученный с иегтользо
ванном этого семействт f граф пересечений il (F) называется графам
точек сочленения и обозначается C(G). Две вершинм графа С (G)
смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им точки
сочленения графа G принадлежат одному блоку. Заметим, что С(G)
определяется только пя графов Q имеющих' хоти бы оч.н\ точку
СОЧ7СНСНЦЯ
Определенные выше попятил введены в работе Хчрари [1()]
Они шлюстрируются па рис 3 3
B(G)
C(G). •
Phl 6 6 Гра4- его граф блоков и его граф ю тек со
Теорема 3.5. Граф И является графом блоков некоторого
графа тогда и только тогда когда каждый блок графа Н — полный
граф
Д о к а з a i с. л ь с т ь о. Пусть И В (G), пред пол ож им, что в Н
есть бток И, не явпяющийся потным графом. Тогда в //<• найдется
пара несмежных вершин лежащая на одном простом цикле Z,
длина которого не меньше 4 Отсюда ел еду ел что объединение блоков
графа G, соответствующих тем вершинам из //>, которые лежа!
на 2 является связным графом, не имеющим точек сочленения
т. е dTO объединение содержится в некотором блоке, то противоре-
противоречит свойству максимальности блока графа
Обратно, пусть И — граф, п котором каждый бток — потный
граф Образуем граф В (И), а яатем новый 1раф G, добавляя к каж-

4fi ГЛАВА 4
чон вершине И, графа В (И) некоторое кспичество концевых ребер,
равное числу rex вершин блока H(i которые не являются iочками
сочленения графа И Пегко видеть, что граф В (О) изоморфен Н
Ясно, что подобный критерий справедлив дчя графов точек со-
сочленения
Упражнения
3.1 Каково наибольшее чисто точек сочленения в jpa<f)e с р вершинами?
3.2 Кубический граф имеет точку сочленения тогда и 'ючько тогда тогда
он имеет мост.
3.3 Наименьшее чи<ло вершин в кубическом тряфе имеющем мигт равьо К)
3.4. Если l. — точка сочленения графа G то w не является течкоп еочлеислия
грлфа 6
(Харлри [6]}
3.5. Вершина :> графа G является тонкой сочленения тогда я только тогда,
да найдутся такие с%межпт>ге с v вершины и и и.\ что с лежит и а любой простой
)
3.6. Доказать или опровергнуть: снязныи граф О с р.^3 вершинами янчяется
блоком тогда и только тогда, когда ял я любых двух вершин и любого ребра суще-
существует простая цепь соединяющая эти вершины и не проходящая через данное
ребро
3 7. Связный граф с не менее чем дву.лн ребрами является блоком тогдл и
только тогда, когда любые два емс-жпых ребра лежат на некотором простом цикле.
3.8. Пусть G — связный граф, имеющий iio крайней vepe три bl ршины Сле
дующие ут пер ждет? я эквивалентны:
A) к G нет мостом;
B) любые час. вершины графа 0 лежат на некотором общем цикле;
C) любя я вершина и любое ребро графа G лежат на некоторо т общем
цикле:
D) любые два ребр.т i р а фа О л еж ai на некотором общем цикле;
E) для любой пары вершин и любого ребра графя G существует цепь
соединяющая эти нершины и содержащая данное ребро;
F) для «любой пары вершин к любого ребра графа G существует простая
цепь, соединяющая епи игр шипы и ж содержащая данное ребро;
G) для любых трех вершин существует цель сие•игняюш.ая любые две из
лях и содержащая третью.
3.9. D графе G являющемся блоком с о^-.З, существует, так^я вершина v
чх) граф G - v также является блоком.
3.10 К кадра г каждого нетривиального связното графа есть блок.
3 II Если G — связный граф имеющий .\отя бы ь\н\ точку сочт^ттеилх то
граф В (В {G)) изоморфен С (G).
3 12 Пусть b (v) — число блокон, которым принадлежит nepuiHHd >, (.пязного
графа G Тогда число блоков графа G определяется .'.ю ф
(Харари [13])
3 IS. Пусть с (ft) — число точек сочленения связного графа G принадлежа
щих блоку В. Тогда число точек сочленения графа G опретечяетсн но формуле
c(G)—\ - Цс{В)—1J.
(Галлаи

I-Л Ок И
3.14 Бюк C называется ребер но-критическим. если каждый подграф G~ x
ие является блоком. Диагональ блока G — это ребро, сочленяющее, две вершины
цикла л не принадлежащее этому цшт Пчсть О — ребертю- критически и бюк с
р^4. Тогда
a)
б)
в)
в
Б.
G
G
¦-¦^
нет диа]%оналей;
нет треугольников
•^2/7—4;
г) удаление нее .к вершин степени 2 триьюдит к иеизязном\ грйф\
при условии что О не является циклом.

Глава 4:
ДЕРЕВЬЯ
ечк>д-иот глулцы как » и
Но дерево создать нот силу лишь
Килмер Длсопс,
Существ) ет один простои и важны и тип графов» которому разные
авторы дали одинаковое ка^шанш , это — деревья Деревья важны
ни только потому, что он в находят приложения в различных об-
областях знания, но и в силу особого положения их в самой теории
графов Последнее вызвано и редел ьной простотой строения дере-
деревьев Часто при решении какой-либо задачи о графах ее сначала
исследуют на деревьях Примером стджит г и поте 3d Улама приве-
приведенная в гл 2
Ниже дано несколько определении дерева. Сначала в геометри-
геометрических терминах, изучается политые центральности дерева Зчтем
рассматриваются деревья, естественным образом связанные с про-
извочьным связным графом именно деревья блоков и точек сочле
пения Наконец, будет показано как каждый остоп графа 6 приво-
приводит к набору его независимых циклов и обратно, для каждого ко-
остова можно построить набор независимых коциклов
Описание деревьев
I раф называется ациклическим, если в нем нет циклов Дерево —
это соязный ациклический граф Каждый граф не содержащий цик-
циклов, называется лесом. Таким образом, компонентами леса являются
деревья. Существуют 23 различных дерева -) с восемью вершинами,
они показаны на рис. 4 1 Известны и другие определения дерева
В теореме 4 1 отражены некоторые из пил
Теорема 41 Дач графа G аедующш утверждение эквива-
эквивалентны
A) G — дерево:
B) любые две вершины в G соединены единственной простой цепью,
C) G — связный граф и p—q1 Г
D) 0 — ациклический граф и р q—\
г) Джойс Кклмер AЬъб—i)\8) — американский ио^т.— Прим первв.
2) Можно предложить читателю к я рисовать деревья с восемью вершинами.
К,т правили, одни деревья забывают рисовать, d другие рисуют несколько раз

E) G — ациклический граф и если любую пару несмежных вершин
соединить ребром к, то в графе G-, х будет точно один про-
простой цикл;
F) G — связный граф, отличный от Кр для р^З и если любую
пару несмежных вершин соединить ребром t, то в графе
0-\-х будет точно один простой цикъ,
G) G — граф, отличный orn A^U/Ci и K:i U /G, p=q^l и если
гюбую fiapу несмежных вершин соединить ребром ку то в
графе G-\-x будет точно один простой цикг
• 1 1 • 1 » • ••
е ¦
¦ •——» ¦ » » •— 4 » « • • • -« v к ¦• •- —ш—¦» ^ • • ¦ ¦•
t
«—•• » ¦•— ¦¦—• »-¦—¦ ¦-—¦ -•— • • •¦—» —•— • ¦ ¦ t • "* • —f-—
i « • 4 • 11
»—-¦ » • • * •— ¦- ¦—" ¦ »•¦¦•¦
I -
• *-—• •—-¦
Рис 4 I 23 дерева с восемью
Дока^атетытво A) влечет B). Посколы<у G — связный
граф, то любые две eix) вершины соединены простои цепью Пусть Рг
и Pi — две различные1 простые цепи, соединяющие вершины и и v,
и 1^сть w — первая вершина, принадлсжа]];ая Рг (яри переходе
по Рг из и в о), такая, что т принадлежит и Р{_ и Piy но вершина
предшествующая ей в Ри не принадлежит Р> Если w' — следую-
следующая за w верюина ъ Р,у принадлежащая :акже Р2, то сегменты (час
ти) цепей Рг и Р2, находящиеся между вершинами w и w' > образуют
простой цикл в графе G Поэтому, если G — ациклический граф, то
между любыми двумя ею вершинами существует самое большее
одна простая цепь
B) влечет C). Ясно, что граф G — связный Соотношение р^
=--q-T-i докажем по индукции. Утверждение очевидно дли спязных
графов с одной и 1вумя вершинами Предположим, что оно верно
для графов, имеющих меньше р вершин. Если же- граф G имеет р
вершин, то удаление из него любого ребра делает граф G несвязным
в сил^ единственности простых целей, более того, получаемый
граф будет иметь в точности чве компоненты. По предположе-
предположению индукции в каждой компоненте число вершин на единицу
больше числа ребер Таким образом, общее чисю ребер в графе G
должно равня!ься р — 1.

50 гл л r \ \
(Л) втечет D). Предположим, чго в графе О сиь простои цикл
дпины п. Этот никл содержит п верпгин и я ребер, а для любой in
/? — я вершин не принадлежащих циклу» существует инцидентное
ей ребро, которое лежит н а геодезической, идущей от некоторой
вершины: цккта Все такие ребра попарно различны отсюда q^p
т е пришли к противоречию
D) влечет E). Так как G — ациклический граф, то каждая его
компонента является деревом. Если псе го к компонент то, по-
поскольку в каждой из них число вершин на единицу больше числа
ребер, имеем p—q-k В нашем стучае должно быть k=\, так
"то 0 —- саязный граф Таким образом, G—дерево г любые
две его вершины соединяет единственная простая пепь Если к
дереву 6 добавить ребро uvy то ребро вместе с единственной простой
цепью, соединяющей верти кы who, образует простои цикп, кото
рый также единствен в силу единственности простой цепи.
E) влечет F). Поскольку каждый полный граф Кр д 1я /?Г> 3
содержит простой цикл, граф 0 не может быль одним из этих гра-
графов Граф G должен быть связным, гак как в ином случае можно
было бы добавить ребро х соединяющее две вершины из разным
компонент графа G, к граф G+x был бы ациклическим
F) в-течет G) Докажем, что любые две вершины графа G сое-
соединены единственной простой цепью, а тогда, поскольку B) влечет
C), получим р- q г\ Ясно что в графе G пюбые две вершины соеди-
соединены простой цеппю Если какая-то пара вершин графа G соединена
двумя простыми цепями, то из доказательства того, что A) влечет
B), следует наличие у графа G простого цикла Z В Z не может
быть более трех вершин так как иначе соединив ребром х две
несмежные вершины в Z, получим i раф G—х, имеющий бот ее одно-
ю простого цикла (если же в Z лет несмежны* вершин, то и j рафе
О более одного цикла). Таким образом, цикт Z есть Кл, и ол дол-
должен быть собственным подграфом графа G, поскольку по предпо-
южениго G не является полным графом Кр с р^ 3 Так как G —
связный граф, то можно предположить что в G есть другая верши
на, смежная с некоторой вершиной подграфа /G Тогда ясно что
если к графу G добавлять ребро, то его можно добавить так, чтобы
в графе G—x образовались по крайней мере два простыл цикла
Если больше нельзя добавить новых ребер, не нарушая для графа
G второю условия из F), то 6 есть КР с р^> 3 вопреки предполо
жению
G} ваече/п A). Если граф G имеет простои никл, го ^toi iutkt
должен бьпь треугольником являющимся компонентой графа G,
что было показано в предыдущем абзаце В зггой компоненте соот-
соответственно три вершины и три ребра. Все остальные компоненты
:рафа G должны быть деревьями, но для тою чтобы выполнялось
соотношение p — q \ 1, должно быть ле более одной компоненты, от-
отличной от указанного треу гол и пика Если iro дерево содержит

простлю цепь длины 2 то к графу 6 можно гак добавить ребро л,
чтобы образовать в графе G х два простых цикла Следовательно
^Т[ш деревом уожет быть или Ки или К>. Значит, i раф G -••¦ или
K^ttKj или Кл\аК>> а эти графы мы исключили из рассмотрении
Таким образом 0— ациклический граф. Но если С— ациклический
граф и p—q-\-\ то С связен, поскольку D) влечет (о), а E) влечет
F). Итак, G — дерево и теорема доказана
Так как для не i р ивиа л ьн о го дерева Ldj—2q—2(p—1) то в де-
дереве должно бы[ь по крайней мере две иершины со степенями мень-
меньшими 2
Следс[вие 4 1 (а). В ъюбом нетривиальном дереве имеется
по крайней мер< две висячи» вершины
Этот результат также след\ет м° теоремы 3 4.
Центры и центроиды
Эксцентриситет e(v) вершины о в связном графе G определяется
как max d(u, v) no всем вершинам и п G Радиусом r[G) называется
наименьший из эксцентриситетов вершин. Заметим, чю наибольший
из эксцентриситетов равен диаметру графа. Вершина v называется
центральной веришний графа G, ест и e(v)~-r{(iy центр 1рафа G —
это множество всех центральных вершин
5
и
7
4 •
#-
ь
Pin. 4.2. Зксцентрисктет^г вершин ас рева
Па рис 4.2 лредегавлепо дерево, у которою ьоказаи эксцент-
ргтеитет каждой вершины. Это дерево имеет диаметр 7, радиус 4, а
его центр соеiопт из двух вершин и и и с эксцентриситетом 4
Смежность вершин и и v в этом стунае была обнаружена Жор-
даном Ч и независимо Ситьвестром" см монографию Кенига
[2, стр 641
J) Известная, георема, о жорданотзои кривой

^2 ГЛАВ \ 4
Теорема 4 2 Каждое дерево имеет центр, состоящий или из
одной вершины у или из двух смежных вершин.
"Хоказатедьслро Утверждение очевидно для деревьев Кл
и К2 Покажем что у любого ip\ того дерева У те же центральные
вершины, чго и v дерева 7", полученного из 7 удалением всех ет о
висячих вершин. Ясно, что расстояние отданной вершитгы и дерева
Т до любой другой вершины v может достигать наибольшего зна
чения только тогда, когда v — висячая вершина
Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева Т'
точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве
Т Отсюда вытекает чго вершины дерева /, имеющие наименьший
эксцентриситет в 7, совпадают с вершинами имеющими наимень
шин эксцентриситет в Г', т е центры 'деревьев Т и V совпадают.
Рпо. 1 i Веса вершин:
Пели процесс удаления висячих вершин продолжить, то мы полу-
получим последовательность деревьев с тем же центром, что и у Т В силу
конечности Т мы обязательно придем пли к/(-,, или к К В любом
ел\чае все вершины дерева, полученного таким способом образуют
центр дерева 7\ который, таким образом, состоит итн из единствен
ной вершины и./зи из;'в>х смежных вершин
Ветвь к вершине и дерева Т - это максимальное поддерево,
содержащее мв качестве висячей вершины. Таким образом, число
ветвей к и равно deg и. Вес вершины и дерева Т определяется как
наибольшее число ребер по всем ветвям к и. На рис. 4.3 указаны
веса невисячих вершин одного дерева Понятно, что вес каждой
висячей вершины равен 14, т е числу ребер.
Вершина v называется центроидной вершиной дерева Ту ест и о
имеет наименьший вес; центроид дерева Т состоит и;-1, всех таких
вершин Жордан [1] доказал также теорем) о центроиде дерева,
напоминающую его результат о центрах.
Теорема 4.3 Каждое дерево имеет центроид, состоящий :пи
li ооной вершины и ш из двух смежных вершин

ДЕРЕВЬЯ
Наименьшие ') деревья с одной и двумя центратьньши и цеч
роидньши. вершинами показаны на рис 4 4
1 Центр 2
Центроид
- . /*
Рп 4 1 Деревья, пмеюти-1 одну и л в- :;i:>]i траль
иые плч [[е>:';'у.х.)и;:пые
Деревья блоков и точек сочленения
Связный 1раф с ботьшим числом точек соч1еиепия похож на
дерево. Эту черту 1рафа можно оттенить четче, если сопоставить с
каждым связным графом соответствующее дерево
Для связного графа G с множеством блоков {В,} и лшожество\г
точек сочленения {cj} граф блоков и точек сочленения bc{G) опреде-
тяелч я как граф, у которого множеством вершин служит {В;} и
U {Cj} и две вершины смежны, если одна соответствует бюку В,,
Ьс{С)
Г
J' U0
И
ЧИЯ
а другая — точке co4jjchc.huя с3, причем t} принадлежит В, Таким
образом, be [0) — двудольный граф. Это понятие было введено в
работе Харари и Принса 1-Л, а также в статье Галлаи |31. (См.
рис 4 5 )
1 По iucj]\ ребер — Прим ред

54
[ 1 из \
Теорема 44 G — граф б-гаков и точек сочленения некоторого
графа И тогда и только тогда, когда он является деревом, в котором
расстояние между любыми двумя висячими вершинами четно.
Имея в вид\ этл теорему мы будем говорить о дереве блоков
и точек сочленения графа
Независимые циклы и коциклы
Опишем тва веьторныч пространства связанных с графою G
пространство циклов и пространство коциклов. Для простоты из-
изложения оба зти пространства задаются на; двухэлементным полем
F2 {0 1}, в котором 1 |-1~-() (лотя после-
последующую теорию можло п|шспособить для
произвольного поля) Так числогь которое
часто встречается в приводимых ниже
определениях, равно 0 ити 1
Пусть, как обычно, О — граф с верши-
вершинами 0\ v}, и ребрами аь. , \д 0-цепь
графа 6 форма л г, но определяется как ли
неиная комбинация 2е^ вершин а
1-цепь— как линейная комбинация Se^z
ребер. Граничный опера/пор д относит 1-це
пям 0-цепи в соответствии со счедующими
правилами
а) д — "шпейньш оператор,
б) ести x—iiv, ю dx—u-\-v.
С другой стороны пограничный оператор Ь относит О-цепям
1-цепи и соответствии с правилами
а) 5 — линейный оператор,
4,6. Граф для иллю-
страцил граничного и ко-
граничного опера-оро.*
б) 6с
На рис
^г}хи
1де v.-i — l если
4 6 1 цепь с, -х1 -хг
да -(С, ^U2)-~|j,-t-Уз)
только
(V*
ребро
n.vteei
xt инцндеппю v
«границу»
rV
а О-цель
c4
имеет «кограницу»
\г,-!-х7) (\i \9) -
му- )(
-\-{хь-\ а(
—х2 l Xs-rti-rXr,
1-цепь с границей 0 называется циклическим вектором 1) графа
G Циклический вектор можно рассматривать как множество про-
1) Ьочьшипство тополог он I-] некоторые специалисты но геор ни графов н азы
вают это «циклом». В свою очередь вместо нашего понятия простого цикла они
иснотьз^-ют терминм «контуры» йэп1%мснтариые цш<'|Ы» «полигоны».

ДЕГЕЬЬЯ 55
стыл циклов, не имеющих поп dp но общих ребер. Множество всех
циклических векторов образует над t2 векторное прострапс1во,
называемое пространством циклов графа G. Ьазис циклов графа О
определяется как базис пространства циклов 1рафа G, состоящий
только ш простых циклов Будем говорить что циклический вектор
Z зависит от простых цикюв Zly г?г Z, ест его можно предгга-
бить в виде ^[?,Z, Га ким образом мож-ю сказатЕ ч^о базис цикюв
_ 1
графа 6 является максимальным набором пезаписимых простых
циклов i рафа G или миниматышм набором простых циклов, от ко
торыч зависят псе циклы
Разрез связного графа ~эю множество ребер, удаление которых
приводит к несвязному :рафу. Коциклом называется минимальный
разрез. Кограницей графа 6 называется кограница некоторой его
О цепи. Кограница набора Ь вершин есть не что иное, как множе-
множество всех ребер, соединяющих вершины из L с вершинами, не при-
принадлежащими Ь Очевидно что каждая кограница является раз
резом. Поскольку коцикл определяется как минимальный разрез
1рафа G, d любой минимальный разрез есть кограница, то всякий
•шцикч является минимальной ненулевой кограницей Множество
всех кограниц графа G называется пространством коциклов графа
G а базис этого пространства, состоящий только из коциклов на
бываете я базисом коциклов графа G
Перейдем теперь к построению для пространства шгклов графа G
базиса, который соответствует остову ') 7 В связном графе G хор-
хордой остова Т называется ребро /рафа, не припал лежащее / Ясно,
что подграф графа 6, содержащий остов Т и его произвольную
хорду, имеет только один (простой) цикл. Множество Z(T) всех
таких циклов (каждая хорда «порождает» один цикл) независимо,
так как каждый из пил содержит ребро rje принадлежащее ни оц-
ном\ из остальных: циклов Более того, любой цикл Z зависит от
множества Z(T), причем Z есть симметрическая разность циклов,
которые определяются хордами остова 7\ vринадлежащими Z.
Поэтому, определяя циклическии ранг m(G) как число простых
циклов базиса пространства цик юв графа G можно сформулировать
след у ющ и й р ез ул ьтат.
Георема 4.5. Циклический ранг (вязпого ^рафа G ровен числу
хорд 1юбого остова в G
Следствие 4 5 (а) Ест G — связны п {р ^)-граф то w{G)--
-q-p-H
Следствие 4 о {б) Если G — это (р ф-графс к комгюненпгаии,
то т F1 ц— р t k
1) Оскшом называется остовныи подграф, являющийся деревом — При)

56 Г Л АР А *
Подобные хтверждепия справедтивы также для пространства
коциклов Кодерево Г* остова Т в связном графе G — это остовный
подграф в G содержащий только те ребра графа G, которые не при-
принадлежат Г Под ко дерев ом графа G понимается кодерево некоторого
остова Т На рис 4.7 показаны остов 7 и его кодерево Т* для
1рафа G, представленмюго также на рис 4 6 Ребра i рафа G, не
Put 4 7 Граф, дерево и ксаерсво
принадлежащие Т*, назовем ветвями графа G (относительно 7*.—
Персе). Подграф графа G состоящий из Т* и любой одной ьетви,
содержит ровно один коцикл. Мпожестио всех таких коцикле;в (каж-
(каждая ветвь «порождает» один коцикл) является базисом пространства
коцнкпов 1рафа G
.П ,V J
Рис 4 8 Бозис коццкяон для ц;мфа 6, приведенного на рис А 7
На рис 4.8 для графа G и ею кодерева ГЛ (рис 4 7) изображены
коциклы, образующие пространство коциклов,— они отмечены
жирными пиниями. Коцикшческий ранг m* (G) равен числ\ коцнк-
тов в базисе пространства коциклов графа 6
Теорема4.б. К ациклический ранг сз чзного граф г G равен, час iy
ребер любого его остова.
Как и в случае цимов, немедтонно получаем два следствия
Следствие 4 6 (a) Fern G — связный [р, ф граф, то nf (G) —
-р— I
Следствие46(б) Если G — это (р, о)~граф с к компонента \ш,
то m* (G)—p—k
Замечание Из теоремы 4 5 можно пол) чигь мастное у i вержде-
ние (для одномерного случая) одною важного общею результата о

дырьиья Ь7
симплициальных коми те кс а а Для каждого симплициального ком-
комплекса имеет место у равнение Эйлера — Пуанкаре
где р,, — числа Бетти a 0Ln — количества симплексов соответсг-
вукнцих размерностей. По определению рп является рангом век-
юрного пространства я-мерных циклов Напомним (гл. 1), что любой
граф есть симплициальный комплекс, вершины соответствуют 0-
с.нмплексам, а ребра соответствуют 1-симплексам. Для графа G имеем
р - к (число его компонент связности) и pt=m(G) (число его неза-
независимы к циклов). Поскольку графы не содержа! п симплексов при
//> 1, то «;, = р„=--0 для всех п> 1 Поэтому &>—al=^)—рх так что
р q--k—m{G) и следствие 4 5 (б) дает уравнение Эйлера — Пуан-
Пуанкаре дтя графов
Матроиды
Матроиды первым ввел в рассмотрение Уитнк Г6] В этдй клас
сической работе дан ряд ^квиватентных определений матроидов и
изложены их основные свойства
Матроид состоит из конечного множества \\ элементов и се-
семейства #=^{Cj, С2, .{непустых подмножеств множества М назы-
Баемых циклами, которые удовлетворяют С1елующим аксиомам.
1) пи одно co6ciвенное подмножество цикча не есть цикл,
2) если x^dflCt, ю С, [}Сг—{к} содержит цикл
С каждым графом G можно связать матронд, если в качестве
множества М взять множество X ребер 1рафа G, л в качестве циклов
матроида ~ простые циклы графа О Легко видеть, ^то обе аксиомы
выполняююя Несколько менее очевидно xito граф G определяет и
другой матрон 1, если а качестве циклов матроида взять коциклы
графа G Эти матроиды называются соответственно матроидоч
циклов и матроидон коциклов графа G
Дадим другое определение матроида, эквиваleFjThoe первому
Матроид состоит из конечного множества М элементов и семейства
п од м н о жест в м и о же с т в а М, н а з ы в а е мы х незав и си чым и ч н ож естваца,
которые удовлетворяют спедующим аксиомам-
]) л>стсе множество независимо;
2} каждое подмножество независимого множества независимо,
3) для любого подмножества А множества М все максимальные
независимые множества, содержащиеся в А, имеют одинако-
одинаковое чисчо лементов
Для ] рафа 0 получим магроид в указанном смысле если в ка-
качестве множества М возьмем совокупность всех ребер графа G,
а в качестве независимых множеств — ациклические подграфы
1 рафа G

58 ГЛ IB \ 4
Тройственность (характеризуемая переходом or простых циклов
к коциктам, а от деревьев к кодеревьям), рассмотренная в преды-
предыдущем разделе, тесно связана с двойственноегью матроидов Минти
И [построил самодвойственную систему аксиом для «графо ядов»,
демонстрирующую в четкой форме двойстве}rnociь матроидов
Графоид состой! из множества М элегчентов и двух семейств
f и й> непустых подмножеств множества Лт\ называемых соответ-
соответственно циклами п коциклами, которые удовлетворяют следующим
аксиомам-
1) \Сг\О\ф\ для тюбых €?% и О
2) пи один из циклов не является собственной чаегью дрчгого
цикла, и ни од и и коцикл не является собственное частью
другого коцикла,
3) если раскрасить элементы множества М так, что точно один
элемент будет зеленого цвета а остачьные — красного ити
синего, го найдется либо
а) цикл С, содержащий зеленый элемент и не содержащий
ни одного красного, либо
б) коцикт D содержащий зеленый этемент и не содержащий
ни одного синего
Простые циклы тюбого графа образ\ ют матроид однако, как мы
увидим о гл 14, не каждый матроид можно получить из графа. Два
достаточно полных обзора по теории матроидов представлены в
статьях Минтн [Пи Татта [141
Замечание Гипотеза Улама для произвольных графов оста-
остается еще не решенной Но П Колли [1] доказал ее справедливое! ь для
деревьев. Мы уже знакомы с интерпретацией этой гипотезы, данной
в работе Харари [20] если >раф G имеет р^ Л вершин и представ
лен р непомеченными подграфами G} = G-—Vi то сам граф G можно
единств ей лым образом восстановить по Gt Результат Келли для
деревьев был обобщен в работе Харари, Пал мера [61, где показано,
что каждое нетривиальное дерево Т можно восстановить по тем
его подграфам Ti~T—-Oi, которые сами являются деревьями, т е
когда vt — висячие вершины В свою очередь этот результат был
улучшен Бонди [I] доказавшим, что дерево Т можно восстановить
по его подграфам Т—о1у где ot — периферические вершины, т е
вершины, эксцентриситет которых равен диаметру дерева Т Позже
хИанвел [1] показал, что почти 1) все деревья Т можно восстановить,
если использовать только не изоморфные поддеревья Т—vt. Манвел
12] доказал восстанавливаемость еще в одном классе графов — од-
ноциктческих графов, т е связных 1рафов имеющих точно один
цикл
1) За лекчюченне! лишь двум пар деревьев

ТЬРЕБЬЯ 59
Упражнения
4.1. Нарисуйте г>ее деревья», девятью вершина ih -JdiPM сравни ie их <: дереьь
ям и приведенными в приложении П.
4.2. Каждое дерено двудои m.iit i раф Какие деревья явтяюгея потными
1В у д о л ь j f ым j i графами?
4.3. Ок -г д у ют и v. четьф*. \тв<ржденлн эквпвалеЕ-тны
A) G — лес;
B) любое ребро графа 0 — мост;
C) любой блок графа G есть /С2;
D) любое непустое пересечение двух связных ткшрацов графа d смязно
4 1 Следующие четыре утвержден и я эквивалентны
A) G — одноцлкаичеекпй граф;
B) G связен и p~-q'
C) для некоторого ребра х грлф^ G граф G—х является деревом,
D) G связен и множество его ребер которые пе являются мостами пб
разует простой цикл
(Анч,среон Хар^ри [l]i
4.5. г{G)^_d{</)<Ъ(G) для кажто:о сняяною графа G
4.6. Построить дерево с непересекающимися центром и центрощо^ каждыц
из которых состоит из двух вершин
4 7 Центр тюбого связного графа тежит в бюке
(Харари. Hop^iaн \2})
4.8. Пусть дано дерево блоков и точек сочленения be (G) связного графа 6,
определить граф блоков В (G) и граф точек сочленения C(G).
-1.9. Определить циклические ранги для а)Кг, б) КttlUi, и) связного кубпчеоко
го графа с р вершинами.
4.10 Пересеченые простого никла и коцикла lодержит четное число ребер.
1 II Граф является двудольным тогда и тотько тогда когда каждый пропой
цикл в некотором базисе циклов четный.
4 \1 В каждом связном графе имеется остов
4.1.3. Показать как граф блоков п точек сочггсж.пия ироизнольяого гр^фа
можно определить те рез граф пересечений
4.14. Кодер с во связного графа является максимальным иод!рафо\1 не со
держащим коциклов
4.15. Диаметр дереву 1 рлвен 2 тогцл и только тг>гдл, когча Т—звезда
4.16. Доказать или опровергнуть
а) если диаметр графа рав*.н 2 ю в нем наждется остов явчяющийся
звездой"
б) если в граф< G есть остов ястяющийся звездок то тиаметр графн G
равен 2
4.17 Описать все стзязпые. графы 6 д<]н которых G~bc{G).
*4 18. Максимальное чисчо ребер и графе, имеющем р вершин и ратине г,
равно
(?) если г— I;
[/:•'(/•'—2)/2] если г~2ш
? эр-*-Агг- Ьг) ее чи г:;и 3.
(Впзиттг [2])
4.19. G блоь тиг'дл i. только югда. когд^ лобье ет.с дьа ребра i p;iнадлежит
некоторому о бщо.м у коциклу.

О
СВЯЗНОСТЬ
Л и г.епрсмснно должны держаться
и месте — иначе каждому т нас
придется висеть поодиночке.
Шинам и и Франклин'1)
Связность графов — понятие в теории графов довольно интуитив-
интуитивное, обобщающее такие ранее введенные понятия, как точка сочле-
сочленения, мост и блок Прр исследовании вопроса о го\\ какой из
двух 1рафов «более связен», полезны два инварианта называе-
называемые связностью и реберной связностью
Относительно связности попучено довочьно много результатов
Некоторые из них являются вариезнтами классической теоремы Мен
гера в которой говорится о числе непересекающихся цепей, соеди-
соединяющих данную пару вершин графа Мы покажем, что подобные
\тверадения справедливы и в других областях математики, оттич
ных от теории графой
Связность и реберная связность
Связностью y—y(G) графа G называется наименьшее чисто вер-
вершин, Удаление которых приводит к несвязному или тривиальному
графу. Из определения следует что связность несвязного графа
равна 0, а связность связного графа, имеющего точку сочленения,
равна 1 Полный граф Kv нельзя сделать несвязным, сколько бы
вершил из него ни удалять, d тривиальный j раф поп у чается из
К;, после удаления р~-\ вершин, поэтому у.{1{})--р—\ Иногда л
называют вершинной связностью
Аналогично ребернач связность ?=л(C) графа 6 определяется
как наименьшее количество ребер, удаление которых приводит к
несвязному или тривиальному графу. Ясно, что k(Ki)—Q и вообще
реберлая связность несвязного графа равна 0, а реберная связ-
связность связного графа, имеющего мосг равна 1 Связность, реберная
связность и наименыпая степень графа связаны неравенством, паи-
B!
Теорема 5 i Дач любого графе G
б
) Вениамин Фр<*иклил A7С0—!790) — американский
—Прим. нерве

связность 61
Чо ка j атсл ы i со. Проверим сначала второе неравенство
Если в графе G нет ребер то X 0. Если ребра есть, то несвязный
граф получаем и:ч данного удаляя все ребра, инцидентное вершине
с наименьшей степенью В любом случае X,s^'6
Чтобы получить первое неравенство нужно paccuoipe-гь нес-
несколько случаев Если G—несвязный или тривиальный граф то
х--л--0. Если G связен н чмеет мост \ то к 1. 13 последнем случае
у. 1 поскольку или графС имеет точку сочленения, инцидентную
ребру v или же G—К*. Наконец предположим, что i раф G содер-
содержит множество из л^ 2 ребер удаление которых делает его не
связным Ясно, что удаляя /—1 ребер из этого множеств а иолу
чаем граф имеющий vioct г но Для каждого ич :*ти\ / -1 ребер
5 1 Граф. для котогюго у—2 '/¦<— 3 и г—4
выберем как\ю либо инцидентную с ним вершин), отли ш\ю oi и
и v Удаление выбранных (выделенных) вершин приводит к удале-
удалению )—Л (а возможно, и большего числа) ребер Сели получаемый
после такого удаления |р<тф не связен, то к<л; если же он связен
го в нем есть мост* и поэтому удаление вершины и или v приводит
тибо к несвязному, либо к тривиатьному граф\ В чюбом случае
v(</. (см рис 1 1)
Чартрэнд ь Харари !2] построили семейство графов с заданными
связностями, а также с данной на и меньшой степенью. Полученный
ими результат показывает, что ограничения, налагаемые на л, / и
6 теоремой 5 1, нельзя улучшить
Теорема 5 2 Для любых целых чисел a h, с (
существует граф G ц которого х(О) — а. }.{О) — Ь и 6@)—-с
Чартрэич fl] установит, то если б чост )точно велико го л тор ос
неравенство теоремы ¦> 1 етатювигся равенством
Теорема 5 3 Если граф G имгет р вершин и 6@)^ \р2\,
то 7 (G) б (С)
Например, если G — регулярный граф cieneim r^p<2, то л(С)--
— г В частности, 'к(КР) -р—1

C2 Г.Л Л Б \ Ч
?у гверждсние дтя связности, а натопи мое утверждению теоремы
5.3 но справедливо Задача определения наибольшей связности
возможной для графа с данным числом вершин и данным числом ре-
ребер, была поставлена Берже.м [21 и решена Харари [171
I еорема iA Среди всех графов i p вершинами и q ребрами на и
большая связность равна 0, если q<ip—\ и равна [2q'p\, если q^
Набросок доказательства. Поскольк\ сумма степеней
любого (р, q)-графа G равна 2qy средняя степень равна 2q/p По-
Поэтому 6(O)s^l2qpl так что n{G)^.[2q?p\ в сил\ теоремы 5 1 Дтя
того чтобы показать, что средняя величина может действительно
достигаться, достаточно \[{встроить соответствующее семейство гра-
графов То же самое построение дает также (р q)-графы с наибольшей
реберной связностью
Следствие 54 (а). Наибольшая реберная связность (ру q)-
графа равна его наибольшей связности
Только совсем иедапно стала изучаться задача о разделении
графа с помощью удаления смешанного множества вершин и ребер.
Парой связностей графа G называется упорядоченная пара (а, Ь)
таких целых неотрицательных чисел, что найдется множество, со-
содержащее а вершин и b ребер, удаление которых детает граф не-
несвязным, и не найдется множества с а—1 вершинами и Ь ребрами
или а вершинами и b—1 ребрами, обладающего тем же свойством.
В частности, упорядоченные пары (х, 0) и @, )¦) являются парами
связностей графа G, так что понятие пары связностеп обобщает оба
понятия вершинной связности и реберной связности графа Легко
видеть что для каждого значения а О^й^у существует един-
единственная пара связностей (а, Ьа), таким образом, граф G имеет в
точности х-f-l пар связностей
Пары сБЯзностей графа G определяют ф\ нкциюД отображают.) ю
множество {0, 1,. , х} в множество неотрицательных целых чисел
и так>ю, чю f(x)=O (cp с теоремой 5 1) Эта функция называется
функцией связности графа G Она строго убывает, поскольку, если
(а, Ь) — пара связностей и ?>(), го очевидно, что существует мно-
множество, содержащее а~г\ вершин и b—1 ребер, удаление которых
делает граф несвязным или оставляет только одну вершин\ Сле-
Следующая теорема, которая доказывается с использованием конст-
конструкции, предложенной Байнеке и Харарн [Ы, показывает, что при-
приведенные выше условия являются единственными условиями, ко-
которым должна удовлетворять функция связности
Теорема 55 Любая убывающая функция. /, отображающая
множество {0, 1 , х} в множество неотрицательных целых чисел
и такая, что f (у) ~0 является функцией связности некоторого
графа

1 раф С называется п-связным, если /. (Q^> n и п-реберно-связ
ним, если a(G)^ n Заметим что нетривиальный граф 1 связен
го г да и только тогда когда он связен, и 2-священ тогда и только
тогда, когда он является блоком, имеющим более одного ребра
Таким образом, i раф К-> — единственный блок, не являющийся
2-связпым. Из теоремы З.'З поэтому следует, что граф 2-связеп тогда
и только тогда, когда каждые две его вершины принадлежат не ко
то рому простому циклу. Дирак J4I распространи •] что замечание на
п связные графы
Теорема 5 б Если граф G п-евчзен, п"^- 2, то ъюбое множество,
содержащее п вершин графа 0 принадлежит простому ииклу
Если в качестве 1рафа G взять сам простои цик \ Сг \о в и ^но что
обратное утверждение не верно для и>2
Существует также характеризация J-связпых графов хотя соот-
соответствующую формул и ров к\ не так lei ко тать Чтобы привести
здесь лот результат, нам н\жно
определить понятие «колеса», введен-
введенное замечательным специалистом по
теории графов Гапом. Для л^ 4 ко
лесо W-'n определяется как граф К[~
-| С„_, (см рис 5 2) н;=
Теперь можпо сформулировать
теорему Татта, в которой дается ха-
характеризация ^-связных графов
Теорема 5.7. Iраф 3 связен тогда и тогько тогда когда он
или совпадает с колесом, или получается из колеса с помощью после-
последовательности операций следующих двух типов
1) добав гение нового ребра
2) замена вершины v, имеющей степень по крайней мере 4, на
такие две смежные вершины vr, v'\ что каждая вершина, которая
раньше была смежна с v, соединяется точно i одной из вершин v',
v так, чтобы в получаемом графе было cleg v'^z 3 и degv ^-3
Граф G, изображенный на рис. 5.3, трехсвязеп, так как ею можно
получить из колеса Wь описанным в теореме 5 7 способом
Максимальный 1) я-связный подграф графа G называется его п~
компонентой В частности 1-компоненты графа G — это его не-
нетривиальные компоненты, а 2 компоненты — его блоки, содержащие
по крайней мере 3 вершины Легко видеть, что две различные I-
компоненты tie имеют общих вершин, а две разтичные 2-компоненты
По включению — Прим персе

в г
с 3 Ооос-юьанне 3 связности 1рафа
Рис. с>Л. Граф с. двумя J ком
ионентами. которые встречаются
в двух вершинах
пересекаю 1ся самое ботьшее по одной
вершине. Эти простые утверждения
были обобщены X ар ар и и Кода мой
[1] (ем рис 1 4)
Теорема 5.8 Две различные
п-компоненты графа G имеют не более
п — 1 общих вершин
Графические варианты георемы Менгера
В 1927 г Мешер [1! показал, что связность графа имеет отноше-
отношение к числу непересекающихся простыл цепей соединяющих раз-
различные вершины графа. С тех гор появилось много вариантов и
обобщений результата Менгера, носящих графический характер,
здесь мы рассмотрим некоторые из них. Уделив достаточна внимания
форме записи этих теорем, мы сможем представить их и классифи-
классифицировать лап я шьгм образом.
Пусть и и v— две различные вершины связного графа G Две
простые цепи, соединяющие и и i\ называются непересекающимися
(иногда вер шин но непересекающимися), если у них нет общих
вершин, отличных от и и v (и, следовательно, не: общих ребер),
и реберно-непересекающимцея, если v них нет общих ребер Множе-
Множество 5 вершин, ребер или вершин и ребер разделяет а и и, если и и v
принадлежат различным компонентам графа G—5 Ясно, что нет
множества вершин, разделяющего две смежные вершины Теорема
Менгера первоначально была сформулировала в «вершинной форме»
Теорема 5.9. И аи меньшее число вершин, разделяющих две не-
несмежные вершины s и t, раано наибольшему чисгу непересекающихся
простых (S'f) цепей.

связность
Доказательство. Мы приведем здесь изящное доказательство
Дирака [71 Ясно, что если r вершин разделяют s и t то существует
не более k непересекающихся простых цепей соединяющих я и. /
Осталось показать, чго если к вершин графа О разделяют s и /
то в 0 существую i к непересекающихся ts-f)-цепей Т.тя к ¦ - \ =»ти
очевидно. Предположим, что для некоторого чис ja &>1 это не
верно Пусть к — наименьшее среди таких ?, a F — граф с наймет,
шим числом вершин, для которого при указанном h теорема не
верна Будем удалять из / ребра до тех пор, пока не получим такой
граф G, что для разделения вершин s и t в G требуется h верш и я а
для разделения s и t в G—х, где л — произвольное ребро графа G,
достаточно Л—1 вершин. Прежде чем заканчивав доказатечьство
теоремы, изучим некоторые свойства графа G
Из определения графа G следует что для всякого его ребра \
существует множество Six), содержащее h—\ вершин, которые в
О—х пазделякм s и t Далее, граф G—S (х) содержит по крайней
мере одну (s-/)-uem>, так как i раф G км ее г h вершин разделяющих
<. и t в G. Каждая такая (s-i) пепь чозжна содержать ребро x:~-uv,
ттоскольку она не является цепью в G—х. Поэтому u,v ^S(x)
и ее пи и=?ь, 1У то 5 (х) lj {u} разделяет 5 и i ъ G
Рсти в G есть вершина wy смежная как с 5, так и с t, то п графе
G—tvr для разделения $ и t требуется h— \ вершин, и поэтом\ в нс\т
к^-\ непересекающихся (s-/)-цепей /Добавляя &, получаем в графе
G h непересекающихся (s-t) -цепей, что противоречит пред по тоже кию
о графе F Итак, мы показали, что
(I) в графе G пет вершин, смежных одновременно с s и t
Пусть W — произвольный ггабор к вершин, разделяющих s и t
в G Цепь, соединяющую ь с некоторой вершинок u>; ? W и не содер-
содержащую других вершин из \Х, назовем E-Ш')-цепью 4нато]ично
(^7-/)-цепью будет называться цепь, соединяющая / с и>г ? № и не
содержащая других вершин из W Обозначим наборы всех (s W)
цепей и всех (W-t) цепей через Ps и Pt соответственно Тогда каждая
(s-^)-uenij начинается с алеме]гта т Ps, а кончается элементом из
Рь поскольку любая такая цепь содержит вершину из W Общие
вершины цепей из Рс и Pt принадлежат набору W, так как по край-
крайней мере одна цепь из каждого набора Ps и Pt содержит (любую)
вершинv bdiy н если бы существовала некоторая вершина, не при-
принадлежащая набор\ W, но содержащаяся сраз\ ив {s-W)-y и в
(W-t) цепи, ю нашлась бы E-г)-цепь не имеющая вершин из W
Наконец выполняется либо равенство PS^W={$}, тибо равенство
Pt—W {t}, поскольку в противном случае шбо Ps вместе с реб-
ребрами {wit, к.1^,. }, чибо Pf вместе с ребрами {sul\ s~lv.2>. } обра-
образуют связные графы с меньшим числом вершин, чем л G в которых
s и t не смежны, и, следовательно, в каждом из них имеется h пепе
рееекающи\ся (ь /) цепей. Объединяя (s W)- a (IF /)-части этих
3 № hi

ГЛ4РА. i
цепей, образ\ем в графе G k непересекающихся (s-1)-цепей \\ы
пришли к противоречию. Таким образом, доказано, что
(II) любой набор W, содержащий Л вершин и раздетяющии s и /,
является смежным х) ити с s, или l I
Теперь можно закончить доказательство теоремы Пусть Р=-
— {s, ии и2}. , /}— кратчайшая (s-tj-neuh в О и ила-2 — х. Заметим,
что в силу (I) и,офг Образуем, как и раньше, множество Six) —
= {vi, t's, . t'/i-i.}, разделяющее в G—х вершины s и t. Из (I) следует
чю tiittffi, Использ>я (II) и беря f'^SU)U{«i}, получаем .so/^ 6
для всех i Таким образом, оп^ть же в силу (I) vJ^G для всех i
Оцнако, если выбрать 1^ — S{x) U {«2} то в сипу (II) получаем su2?G
что противоречит выбору Р как кратчайшей (s-0-иепи Итак ыы
показали, что графа G, удовлетворяющего указанным ныше гре
бованиям, не существует. Следовательно че пшествует и графа /\
для которого теореиа не верна
Риг 5 ~> Граф для иллюстрации теоремы Чскгсрл
На рис.5.5 показан граф, \ которош тпе несмежные веришни sat
можно разделить, удалив три пер шины, но не .меньше Из теоремы
вытекает что наибольшее чисто непересекающиеся is-t)-непей
равно 3
Хроноюгически второй BapnaifT TCopeMF.i Мснгсра быт or in б ти-
кован Уитни в его статье [2], содержащей критерии л-связности
графа
Теорем а 5 Щ. Граф п-связен тогда и только тогда, когда любая
пара его вершин соединена по крайней мере п вершинно-непересекаю-
вершинно-непересекающимися цепчми
Связь межд\ теоремами 5.9 и 5.10 легко заметить если внести
понятие локальной связности. Локальной связностью у {и, о) двух
несмежных вершин и и и графа G называется наименьшее число
вершин, уда пение, которых, рлздепяет и и v Испотьз\я введенное
1) Набор W назыьяотся смеусным с аерш-инон s если каждая верши:;;*
\1 смежна с s — Ирин пере в

с кязность
ы
понятие, теорему Менгера можно сформулировать так дчя любых
двух выделенных несмежных вершин и и и справедливо равенство
х(и, v)—\A(t(uy v), 1де jb{, («, v) — наибольшее число вершипно
непересекающихся цепей, соединяющих и и v Очевидно, что для
полных графов выполняются обе теоремы Дтя неполных графов G
соотношение связывающее георемы 5 9 и 5 10, имеет вид x,(G) =
- minxfw, о)у гг;е минимум берется по всем парам несмежных, вер-
вершин и и v
Допел ьно странно, что \ гверждение, подобное теореме 5.9 о
парс вершин, разделяемых некоторым множеством ребер, не было
найдено значительно раньше Результаты такого типа появились
почти одновременно статья Форда и Фаткерсона [.II (как частный
случай их теоремы о «максимальном потоке — минимальном раз-
разрезе»), работа Элиаса, Файнстейна и Шенпона [If и неопублико-
неопубликованная работа Коцига
Теорема 5.11 Для любых двих вершин графа наибольшее число
реберно-непересекающихся цепей, соединяющих их, равно наимень-
наименьшему числу ребер, разделяющих: эти две вершины
Возвращаясь к рис. 5 5, мы видим, что s и t можно разделись,
удалив 5 ребер и не меньше и что паиботьшее число непересекаю-
непересекающихся по ребрам (s-0-цепей равно 5
Даже зная только эти три теоремы, можно понять основу схемы
их классификации Различие между теоремами 5 9 и 5 10 заклю-
заключается в том, что в теореме 5 9 рассматриваются две выделенные вер-
вершины, а в теореме 5 10 всевозможные пары несмежных: вершин Это
различие, так же как и очевидное различие между теоремами 5 9 и
5 11, представлено в табл 5 1
Табшца 5 1
T?op
5
5
5
on
9
10
\l
Раздетой мые оба
Выделенные и
Произвольные
Выделенные и
скгы
и
U о
L
Наибо if- шее ни то
непересекающихся
ыепеи
не пересек с1ющн хс я
цспеГ(
pL6epHO-nenepece-
каюо^ихся цемтсп
Ннимеиьшсс шепо
всригин,
и v
вершин,
и, v
ребер
и о
разделяющих
разделяющих
|К13ДС1ЯЮН[ИХ
1аким образом, сформулировав результат > итни и реберной
форме, мы, не :шрачпвая дополнигетьных усилии, поручаем другой
вариант теоремы Менгера

ГЛАВА
Теорема 5 12. Граф п-реберно-связен тогда и только тогда,
когда любая пара его вершин соединена по крайней мере п ребер
но-непересекающимися цепями
В первой статье Меигера посвященной ^тому вопрос) чайте, я
[акже следующий вариант основной теоремы r котором вместо
отдельных вершин рассматриваются множеств*! вершин
Теорема 5 13. Для пюбых двух непересекающихся непусты <
множеств вершин 1\ и У.2 наибольшее число непересекающихся цепей
соединяющих 1'т и V-2 равно наименьшему числу вершин, разделяю-
разделяющих V'i U Уг
Конечно, нужно указать, что ни одна из вершин множества \х
не должна быть смежной с вершинами множества У.2 (по той же
причине, что и в теореме 5.9). При этом две простые цепи соеди
някщие Vi и 1'2, называются непересекающимися, если они не имеют
общих вершин, отличных oi их концевых вершин. Доказательст-
Доказательство эквивалентности теорем 5.9 и 5.13 предельно просто — нужно
только заменить множества \\ и V2 на отдельные вершины
С ле чующий вариант (теорему 5 14) рассмотрел Дирак [61 Так
как при доказательстве эквивалентности этих вариантов привте-
к а юте я типичные методы, мы приведем его здесь полностью
Теорема 5 14 Граф, имеющий не менее 2п вершин, п-связен
тогда и только тогда, когда для любых двух непересекающихся мно-
множеств \ i и У2 в каждом из которых по п вершин существует п сое
динчющт и* непересекающихся цепей.
Заметим, что в ^той теореме указанные п непересекающихся
цепей совсем не имеют общих вершин, в том числе и общих конце-
концевых вершин!
Дока за те.! ьст по Мл я доказа1ельетва необходимости сформу
лированного условия построим из графа G граф 0' добавив две
новые вершины гг>, и xl2 и соединив w-t ребрами с вершинами множе
ства yt i — l, 2 (рис 5 6)
Рие 5 Ь Построен ire графа 6

вязност!
Поскольку граф G п-связен, граф G также а;-связен и, следова-
следовательно но теореме 5 9 существует п непересекающихся цепей сое-
соединяющих uii и х*. Ясно, какие н\жно наложить ограничения nd
зги uenи в 6. взять п непересекающихся (IVI7*) цепей
Дчя доказательства второй «потовины» т е тостаточпоаи
всььмем множество S, содержащее не менее п—1 вершин и разде-
разделяющее граф G на подграфы 6\ и G2 с множествами вершин V, и Y'z
соответственно Тогда, поскольку {V[\^ I (KJ^l и ]V'If-!-[K[-:
\S\- :\V\^ 2п, существует такое разбиение множества S па два
непересекающихся подмножества St и S.2 (одно из них может бьпь
пустым), что \V[ 1J5, |^/г и \V, [J SiY^>- n Выбирая любые п -под .мно-
.множества 1Л и Ул из V'[ U 5т и Kj U 5, соответственно, мы получаем два
непересекающихся множества, в каждом из которых п вершин
Каждая лепь, соединяющая \\ и У?, должна содержать вершину из
множества S, а так как существует п непересекающихся (I'l-iV)
цепей то \S\^n, и граф G ^-связен Теорема доказана
Мы определи пи для графа G два понятия связное 1и? и значит,
G характеризуется «парой связпоетей». Аналогично можно ввести
«пару связное гей» для двух выделенных вершин и и v. Естественно
попытаться найти смепгаикыи вариант -еоремы Мепгера, используя
оба ли понятия Один из таких вариантов — icopervia 5 15 полу
чонная Байпеке и Харари [6!; ее можно доказать так же, как и тео
рему 5 Ч
Теорема 5.15 Упорядоченная пара (а, Ь) является па рои связ-
ностей для вершин и и v графа G тогда и только тогда, когда суще
шву ют а вершин но непересекающихся (и-v)-цепей и Ь реберно-непе-
ресекающихся (ti-v) -цепей, не имеющих общих ребер с а предыдущими
цепями, и, кроме того, наибольшие возможные числа таких цепей
равны именно а и Ь.
Вообще все приведенные здесь теоремы имеют соответствующие
«ориентированные» формулировки, и, действительно, Дирак указы
вает, что его доказательство теоремы Менгера пригодно для ориен-
ориентированных графов Можно было бы добавить в табл 5 I еще II тео
рем» а именно теоремы с номерами от 5 12 до 5 15 и «ориентирован
ные» варианты георем от 5.9 до 5.15 Однако ^ю было бы бесполез-
бесполезным занятием, поскольку совершенно ясно что таблица вес равно
осталась бы далеко не полной. Для того чтобы подсчитать все ва-
варианты которые могли бы здесь возникнуть, заметим, что можно
рассматривать или граф G, или ориентированный г}лф (орграф) D,
в котором разделяются
1) выделенные вершины иу ь
2) произвольные вершины и, г,
3) два множества вершин \\ Vt (как в теореме 5 13).
Это разделение можно произвести, )даляя
1) вершины,

70 гт\вл г)
2) ребра,
3) вершины и ребра (как в теореме 5 15)
Составляя всевозможные комбинации зтпх альтернатив нетруд
по сформулировать 2хЗч 3- 18 теорем Проверить справедлн
Bocib всех этих теорем можно было бы предложить читателю (од-
(однако это скучная работа!).
Наконец, Фалкерсон 12J доказал следующею теорем\, в которой
пместо непересекающихся цепей говорится о непересекающихся
разрезах
Теоре\га5 16 В каждом графе наибольшее число реберно-непе-
реберно-непересекающихся реберных разрезов, разделяющих две вершины и и v,
равно наименьшему числу ребер простой цепи, соединяющей и и v
т е равно d(и, v).
Хотя это утверждение пша 1еоремы Менгера, доказав ею зна-
значительно пропое, чем теорему .Ченгера.
Рассматривая всевозможные варианты згой теоремы, как в случае
теорем о цепях, можно было бы опять уселичить чисю утвержде-
утверждений типа теоремы Менгера
Другие варианты теоремы Менгера
В iTOx\i разделе мы сформулируем еще несколько вариантов гео
ремы Менгера; все они найдены независимо друг от друга, и только
позднее была выявчена их взаимосвязь и тана теорети ко -графовая
формулировка.
Сеть Л можно определить как граф или орграф, рассматривае-
рассматриваемый вместе с функцией, приписывающей каждому ребр\ некоторое
положительное действительное число. Точные определения «мак-
«максимального потока» и «раяреза с минимальной пропускной способ-
способностью» можно найти г) в книге Форда и Фалкерсона [2]
Теорема 5.17. Если в сети N существует цепь, идущая uj и в и,
то максимальный поток из и в v равен чини калькой пропускной
способности разрезов, раздегяющих веримны и и v
Непосредственно, но не совсем прост и ровер яется что макси-
максимальный поток иъ и в v для сети, представленной на рис 5 7, ранен
7 и минимальная пропускная способность разреза также равна 7
В случае когда все пропускные способности являются положи-
положительными целыми числами как в приведенном только что примере,
сразу получаем эквивалентность теоремы о максимальном потоке
варианту теоремы Менгера, в котором рассматривается ориентиро-
ориентированный мультиграф D и выделены две вершины {/ и v Преобразо-
Преобразование выявляющее этл эквпвачептность, привехеио на рис о S,
1) С ] пкже Авоню Бот.про 11J — Прич

связность
71
гле ориентированное ребро из и в v} (ел;, рис 5,/) с пропускной спо-
способностью 3 преобразуется в три ориентированных ребра, пропуск-
пропускные способности которых не указаны
Сеть с целочисленными пропускными
способностями
Назовем линией матрицы или ее строку, пли ее столбец. Будем
говорить что в бинарной (двоичной) .матрице М набор линий покры-
покрывает все ее единичные элементы, если каждая единица принадле-
принадлежит хотя бы одной линии набора Две единицы матрицы М назы-
6 D
Рис ^ Я Перевод от сети к мул ьт и графу
в а юте я независимыми, если они принадлежат разным строкам и
разным столицам В этих терминах Кениг [Ц потучит следующий
вариант теоремы Меи г ера (ср с теоремой 10 2)
Теорема 5 18. В новой бинарной матрице наибольшее число
мечаеисимых единичных: элементов равно наименьшемi/ числу линии,
покрывающих все единицы,
Л рощ iiocrpiipyev теоре^п 5 18 на бинарной матрице
М =
Все единичные элементы матрицы ,\\ покрываются строками 2
ш 4 и столбцами 3 и б, но наборов из трех линии, покрывающих все
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1

ГЛАВА. 5
единицы в матрице Д1, нет В матрице
М
'001 О О О
10 0 0 О О
0 0 0 0 0 1
и i о о о и
0 0 0 0 0 0
выделены четыре независимых единичных элемента матрицы М;
в И нет множеств из пяти независимых единиц.
Если матрицу М рассматривать как матрицу ияциденпий мно-
множеств и элементов, го окажется, что теорема 5 18 тесно сия за i га со
знаменитой теоремой Ф. Холла [1], дающей критерии того, что се-
семейство конечных множеств 5], 52> • >Sm обладает системой раз-
различных представителей. Последнее означает такое множество {е{>
es ет} различных элементов, что дчя каждого i элемент et при-
принадлежит Si ПриведехМ доказательство теоремы Холла, принадле-
принадлежащее Радо A3
Теорема 5 19 Семейство конечных множеств Slf $z, , Sm
объедает системой различных представителей тогда и только тогда,
когда д ш всех k -1, . . у т объединение любых k множеств -нпого се-
семейства содержит по крайней мере k элементов
Доказательство Необходимость очевидна Дл я дока за-
1ельства достаточности покажем сначала, что если семейство {S,}
удовлетворяет с формулированным выше условиям и |5та|^?2 ю в
Sm существует такой эчемент е, что набор множеств Sly 5г,
,Srrt_i, Sm—{^} также удовлетворяет этим условиям Предполо-
Предположим, что это не так Тогда найдутся такие элементы е f?Smii такие
подмножества J и К множества {1/2, , т—1), что
Но тог та
\J[)K\-
\K\,
т е пришли к противоречию.
Достаточность доказывается индукцией по наибольшему ю чксеч
\Si\. Если каждое множество состоит из одною элемента, то дока-
доказывать нечего Шаг индукции осуществляется применением (если
необходимо, то неоднократным) полученного выше результата к
множествам S,, содержащим наибольшее чисчо элементов

связность 73
На рис 5 9 показан двудольный 1раф В, в котором вершины
соответствую! или множествам Sif или элементам а3 Две вершины
графа В смежны юг да и только тогда, когда одна из них соответ-
соответствует множеству, а другая — элементу, причем этот элемент при-
принадлежит множеству. Связь теоремы 5.19 с теоремой Менгера ста
новится понятной, если в граф, например, такой, как на рис 5 9,
Put, 5.9 Дв} чотьпьш ] р »ф, 1тллк)стрирующ"[1! теорем} Холла.
ввести две новые вершины Обозначим $w вершины через и и v и
соединим и i каждой вершиной, соответствующей множеству Ьм а
v — со всеми вершинами, соответствующими элементам а3 Тогда
теорем) 5.19 можно доказать применив к полученному графу ити
теорему о максимальном потоке, или соответствующий реберный
вариант георемы Менгера
Следующая теорема, принадлежащая Дилворту [11, была сфор-
сформулирована для решеток1), но позже (Мирский и Перфект [11)
было установлено, что этот результат эквивалентен теореме Холла.
Два элемента решетки (см монографию Биркгофа [1J) называются
несравнимыми, если ни один из них не домииир\ет над другим
Под цепью в решетке понимается путь идущий в «диаграмме Хаосе»
решетки из более верхнего элемента в более нижний
Теорема 5.20 В любой конечной решетке наибольшее число
несравнимых элементов роено наименьшему числу цепей, содержащих
все элементы решетки
Например, в решетке трехмерного куба C-куба) самое большее
три несравнимых элемента Легко покрыть вес элементы 3-куба
тремя целями, но двумя цепями этого сделать нельзя.
В настоящем разделе мы привели несколько результатов типа
теоремы Менгера, не имею'цил теоретики-графовой формулировки
Более широкая трактовка подобных результатов содержится в
статье X ар ар и [241 Хороший обзор обширной литературы но ре-
результатам типа георемы о системе различных представителей см. в
статье Мирского и Перфекта Ш
чешюго
) Boofime аналоги птыи ренультмт справедлив дли побито части то \тюряю

74 г т\вл 5
Упражнения
1.!. Соязпость. октаэдро /Cj-bC{ рлкча 4 связ юсгь квадрата
С,., п~-?.Ь также равна 4
5.2. Каждый ??-свнзный. граф кмсст по крайней мере рп::2 pi бор
5.3. Построить граф с х,—3 А--4, 6—5.
3 4 Теорема 5.3 не нерия, если л@) заменить на / (G)
5.5 Не существует трехсвязпых графов с семью ребрами
Г).б. В каждом кубическом графе связность и реберная (вязноеть р^вны
о.Т. Определить какая кара епгзностей может быть в регулярные графах
степени 4,
5.8. Если 6 — регулярный граф степени г и х —1 ~oA^|/-/2j
5.9, Пусть G - полный «-дольный граф отличный от С:1. Тогда ктжтый ми.
игральный разрез по ребрйм есть кограница некоторой пер шипы
(П там.мер)
5.10 Найти функцию связности чля кершпн s я t а графе чредставлепном
Hd рис 5 5
5 И Построить граф с, вер шип имя ? й / для которого фупьипя связност
равна @,5). A.3). B,2), C.0).
5.12. Используя теорему Таты 5 7 показать что ]раф являющийся кубом
другого графа, трех^вязеи.
5.13. Каждый блок связного [рзфз япляетея колесом то1Д<1 и только югла,
когда с?—2р—2 и х (u, v) равно I млн 3 дли любых двух несмежных вершин гг, v
(Б [J
о.14 Каждый куинчеекни грехсвязпып граф можно построить из Кл следую-
следующим образом: заменяем два различных ребра U\U2 и v{i\, (uL—v^ допускается)
подграфом с двумя новыми вершинами и\, и\г и новыми ребрами
5.15. Пусть да]{ьт две разлитые простые цепи PD и Р2, соедит^яющпе две вер-
вершины и и v трехевязного графа G. Всегда ли можно найтк третью простую цепь,
соединяющую и и v, которая пе пересекается пи с Pj. ни с К?
5.16. Сформулировать результат аналогичный теореме 5.9, для наибольшего
числа различных непересекающихся простых цепей, соединяющих две смежные
вершины графа
*5J7. Если trip) — тйкое наименьшее число, что для q'.'-s?.fг(р) каждый
(р, с/)-граф имеет две вершины, соединенные г кепересекающимигя простыми це
пяхзи то '2{р)^-р> h(.P)-l{3p— lj/2)t fA(p)--^2p—1.
(Ботпобаш [1])
5 18 Если гна )етр графа G р^ьен d n к.> 1 ю p^v.{d ¦¦!)—2
(^0ГI<ннe [ lj)
5.19. Пусть ? т.]кое жтиб^ыиее число, что каждое множество t нершнн ь О
принадлежит некоторому простому диклу. lie ли граф G трехсеязен, то у.—С
тогда и тать ко тогда, когда к G имеется такое множество i содержа ui.ee ч вер
шин, по у,[О—.Sfe>x-|-i
(Уоткапс [I])
5 20^ Если 6 — скязныи !раф то
5.21. В любом F|!^]x> наибольшее, чтло кепересекагощихся вергпшгныч
резов, разделяющих лул: вершины и и и. райно d (и с)—1

Г I ЯСНОСТЬ
0.22. /.-минимальным iрпфо\{ насыпается такой граф О что х@—x)<y.(G\
дтя каждого ребра х.
л) I раф 0 ч-минимален тогда и только топа когда v (iv <.-)--v ((?) для
каждой пары смежных вершил « л с
6) Пели гряф ("j х-мнкимален, то $--«л.
(Галин Ц(>
5.23. Доказать э«й1!й^1ентность теорем Г5 18 и S. 19 (с\г иапрпмер М \оп
[7 стр. 72. 73])
о.24. Бел;: граф 6 я-связен. п^2 и ^@')^{3/г—l) 2 то в G найдется такая
вершина (,. что граф G- v также /мвязег?,
f^IafjTp^H;!., Когарг Ъ ! [!])
5.25. В каждом каимепыпе\ « ребер по и вяз ном 1рафе G иаЛдотси [^¦ршинт
стегсии п{п^'2).
(Лик [11)

Г шеи О
РЛЛБИГЛШЯ
г и mxfo свш-ii совокупности
разделяется на три част.
Гаи Юлии Utiapb ')
Степени ri!r , dr вел шин графа образуют последовательное^
целых неотрицательных чисел, сумма которых равна 2ц В теории
чисел разбиение цстого положительного числа п обычно определя-
определяется как перечень (или. неупорядоченный набор) целых положи-
положительных чисел, сумма которых равна п По этом\ определению
число 4 имеет пять разбиений
4, Л 1, 2 2, 2 4- 1, 1 ! 1 1 Г1
Порядок слагаемых в разбиении не существен. Такое разбиение
числа clq образуют степени вершин графа, не имеющего изолиро
ванных вершин Для того чтобы включить в рассмотрение нее графы,
обобщим определение рлзбиения, принятое в теории чисел, допуская
существование неотрицательных счагаемых.
Разбиением неотрицательного целого числа п называется конеч-
конечный набор неотрицательных целых имеет., сумма которых равна п.
В этом смысле разбиение числа
4 может содержать произволь-
произвольное конечное число пулевых сла-
слагаемых. Разбиение графа — это
представление числа 2q з виде
суммы степеней вершин \ рафа
2<7—-2^< (см ^орему 2 1). Толь-
Только два из пяти разбиений числа
Рис 6 I Гр,]ф]«1^мю ра^Зжмшь "и- 4 на положительные сла^емые
реализуются графами, они при-
приведены на рис 6 1
Разбиение 2^? числа п на р частей (слагаемых) называется гра-
графическим , если существуе! граф, степени вершин которого равныdt
Ясно что в любом графическом разбиекии d(^p—1 и п четно. Но
этих двух условий недостаточно, чтобы разбиение было графичес-
графическим: примером служит разбиение 10 — 3 3-3—1 Возникают
J) Г а и К) :i и и Ц f з а р Ък Записки о войне с галлами, киша 1 комм и
С. И Соболевского ИЛ М., 1S146 стр. 87.— Прим. перев.

вопроса Как определиib, явтяек-я ли данное разбиение графиче
екнм? Как построить траф, реализующий дашпе разбиение?
Ответ на первый вопрос (о существовании) был дан. Эрдёшем и Гал-
лаи [II Независимо п п ином аспекте, а именно с конструктивной
точки зрения эпп же вопрос рассматривался Гавелом 13] и Хакими
JII Заметим, что второй вопрос — чисто конструктивный Приве-
Приведем (.начата следующий результат
Теорема 6 1 Разбиение И-(//,, dt dfl) четного чиаа на р
частей, р— i^> d,'.?* d.,~^> . .'^d;, является графическим тогда и
только тогда когда графическим чвляется модифицированное реп
Стен не
IT (</,— 1, dt- 1, , d.,^, — 1, diL-i> , d}l)
Д о к^ за 1 ел ьс тво. Если If —[рафичоское разбиение то и
П — графическое, поскольку можно построить графе разбиением If
добавив к П' одну новую вершину, смежную с вершинами, имею
(ними степени cl±—\, cU—I, , d,j, + i---\.
Пусть теперь G— граф с разбиением ff Рели вершина степени
dl смежна с вершинами имеющими степени dt для i от 2 до d [-\
то удаление згой вершины приводи! к граф^ с разбиением ff' Сле
^овательно, осталось показать, что т 0 можно получить граф с та
кой вершиной Предположим, что в G мет такой вершины. Пусть в
графе 0, в котором вершины v, имеют степени dn вершина и} со
степенью dx имеет наибольшую сумму степеней смежных с йен вер
шин. Тогда существуют такие вершины v и vj со степенями d,~>dj
что ViVj является ребром в G, a vvvi пет. Поэто.му найдется вершина
vky смежная с ut и не смежная с v3 Удаление ребер vkVj и vhVj и
одновременное добавление ребер и,и, и vkVf приводят к новому гра
фу, имеющему разбиение 1J и отличному от О в котором сумма сте
пеней вершин, смежных с. oJ} больше чем и i рафе G. Повторяя зт\
процедуру, приходим к графу, в котором вершина i\ обладает нуж-
нужным свойством
Доказанная теорема позволяет iaib эффективный атгоритм
построения графа с. заданным разбиением если такой существует
Если 1акои граф не существует, ш на не ко юром шаге алгоритм
нельзя применить
(_ л с д с т вис 61 (а л i о р fп ы) Данное разбиен не 11 — (dl d2,
., , dj)y где
р— i>^>t/2> >^„
является графическим тогда и только тогда, когда следующая про-
иедура приводит к разбиению в котором каждое слагаемое равно
нулю
1 Найти модифицированное разбиение \\ } определенное в форму-
формулировке теоремы б 1

I ЛАВЛ G
2 Р асполож ить э цементы разбиения 11 в пор ядке невозрасгшния
и обозначить новое разбив hup *ьгрез П,.
3 Для И] найти модифицированное разбиение Я так же, как и
на шаге 1, /* получить упорядоченное разбиение П».
4 Продолжать эту процедуру до появления хотя бы одного отри
цательного слагаемого или до получении разбиения, состоя-
состоящего из ну левы к слагаемых
Если на некотором шаге разбиение оказывается графическим,
то нужно остановиться, поскольку это значит, что разбиение П
гакже графическое Проиллюстрируем этот атгоритм на примере
разбиения
П = E, 5, 3, 3, 2, 2, 2)
Имеем
П =D, 2, 2, 1, 1 2),
П. = D, 2, 2, 2, 1, I)
1Г-0, 1, 1, 0, 1)
51сно, что П" — графическое разбиение, ttojtomy П — также
графическое. Соответствующий траф показал па рис 6 2
Теорема Эрдёша и Г ал таи 111 есть по своей природе теорема с\
ществования, но в ее доказательстве испочьзуется тот же
подход, что при доказатетьсгве
теоремы 6 1
Георема 62 Разбшние
П"(^!, с!2, . , dj) чисга 2q на р
частей, di^d>^t .. ^ dp, яв-
является графическим тогда и
только тогда, когда для любого
целого числа г, 1 ^г^р— 1 v
F
Рис в.2. Грлф тля иллюстрации ра-
боть атгоритма нахождения графиче-
графических разбиений
Д о к а з a i с л ь с т в о Необходимость условий F 1) проверяв i <_ я
непосредственно. В самом деле, если И — разбиение числа 2ц для
графа G, то сумму г наибольших степеней можно разделить на две
части одна соответствует вкладу в эту сумму ребер, которые сое-
соединяю! соответствующие г вершин между собой, другая получается
от ребер, соединяющих jth г вершин с остальными р~~г вершинами
Части не превышают соответственно г {г—1) и
2
l-r+f
{г,
Доказательство достаточности проводится индмщиеи по числу
р Я^ио, чго теорема верна [ля наборов с одной или двумя частями

79
Предпопожим, что она верна дан наборов с р частями, и пусть du
di>. dp + i — набор, удовлетворяющий условиям F 1) Обозна-
Обозначим через т и п наил!еньшее и наибольшее детые числа, дш кото-
которых
rf«n" dj^\— =d!! + i
Образуем новый набор юр элементов, по южив
С di + i —1 Для i or n—dj-r 1 До л, если m —0,1, и
#,¦-- < дая г от 1 до т—\ и от «— (dx —т) до п, естн м^2,
I rf{+] в противном сivчае
Если новыи набор et, , с„ \довтегворяет условиям F.1), ю по
предположению индукции существует граф, степени вершин кото-
которого равны е} Граф с заданным набором степеней dx можно постро-
построить, добавляя новую вершину степени dl7 смежную вер и i имам со
степенями, соответствующими тем е^ которые получаются вычита-
вычитанием 1 из rf/+1 (см. выше).
Ясно что ps>e{^e{^ ^ер Предпотожнм чю усювие
F 1) не выполнено, и пусть h — наименьшее из чисет г, hdh кото-
котором оно нарушается (очевидно, что h^\) То1да
h p
2^>/7(/г~1)| 2 тт{/1?>г} F2)
В ю же время справедливы неравекства
/ -г I Р-Ч
1) Z imaik-Ud,}, F 3)
ih2
? ^(ft-llMl-Sni'nlA-l.fiJ, F 4)
; - 1 г — h
(A — 3) H 2 min{A—2, ?,} F 5)
Обозначим через s число значении i^/j, дтя которых eL =di+1^
1 То1да неравенства F 3) — F 5) вместе с F.2) дают
I ^ <2Л f Z (min{/i-hl,rf .J-m'n{/if ^}Ь F6)
2 (/г— 1)—min {ft— 1, eh] —
p
- 2 (mm {A et}— mm {fr—i, <?,}), F 7)
j - л -1
+^> 4ft —G —min j/i —2 ^ _,} — mm \h -2 fA} ]
- X Umn{ftf ej —minj/i —2 c,.}) F 8)
1

?0 ГЛАВА Ь
Отметим, чю e^h, поскольку в противном случае неравенство
F 7) приводит к противоречию Пусть а Ь и с обозначают «нем
значений i^>h для которых <?,->Л, e^-li и е-,<Цг соответственно,
числа таких значений \ дая которых, кроме тою, ct— d/._,—1,
обозначим через а', Ь и ( Тогда
d1 — s -| а \ Ь l F 9)
Неравенства F Ь)—F 8) иринимакп вид
dl\b<Zh-\a Ь' с', F 10)
tj^h ] «-[¦•/?, F
U
F 1
Здесь возникает неско и.ко случаев
Случш \ t 0 Так кач il^ cf, ю из F 11) получаем
/i -г а -г b<idx
Но неравенство F.10) с учетом F 9) даег 2^<2/f — я4 «' ^2^ , мы
пришчи к противоречию
Случай 2 d >>0 и rf/,_, >>/i Это означает, что d, , егт1 всякий
ра-? когда ^^ , >>л Поэтому & /г и ft-й
Теперь {6.10) и F.9) дают dl-h<2h а -Ь -с -dt h, мы
опять пришли к противоречию
Случаи 3. с >1 л flf.,.., /i При этт^ \сювия.\ с, -Н и й-^--0,
га 1С что d,-¦-<?--< Далее так как ^Л- dh..u то е,-- /г—1 по крайнем
мере для с! значений i>h Следовательно, неравенство F 12) чаег
е т ^ /г— I с > /г,
что е/,,,!---^,-,—1 Поэтом} s-~A— 1 и d^-k — I :-t:'^i*/t y
\ibi пришли к противоречию
Случай А ? = 1 fi с/л, ,- А. Опять C;,----h,a b~~\) и ^r^5-j-r Так
как 5^'/г—1 то d\--h. Отсюда s--0 \\d\- I так чю ^;- 1 для всех i
Гакнм образом F 1) выполняется вопреки предположению.
Поскольку eu^-h и dh + ^e,,, ясно, чю dh + } не. может быть
меньше чем h. Итак все возможные случаи рассмотрены и дока-
:-",ате тьстио закончено
Иногда можно быстро определить является ти .чанное разбие-
разбиение графическим и если да. то можно представить структуру гра-
графов имекжшх это разбиение. Например, легко привести критерии
тою что разбиение реализуется графом, который явтяется

РАЗБИЕНИЯ
деревом Следующая теорема дает огвег на «опрос, поставленный
О ре [41, этот результач независимо доклзывался много раз
Георема 6 3 Разбиение
d, реашзуепия деревом тогда и
i ¦-}
тогько тогда, когда каждое dt —положительное число и q -р—1
Г,:
7*,:
Рис 6 3 Два дерева с одинаковым разбиением
В качестве примера рассмотрим разбиение 16--¦ 5-г- 3-^2-•[-1 f
1 1! -1-f-l—1 — 1. Здесь di >0 дтя любою i и q 8 Поскольку р — 9,
по теореме 6 3 ^то разбиение реализуется деревом На рис 6.3
приведены два дерева с данным разбиением
Упражнения
6 I К.акие из следующих разбиений являются i p афи че^ ними?
а) 4 ^3 !-.3+3-г2+2—2—1-
6} 8-h7-b6+5-j-44-3-j- 2-2^1
и) ^1 Я 5-1 3-| 3-:-3: 3-3
г) 5— 4^3— 2— Н i-H—I- I-I I 1 I
6.2 Нарисовать вес графы кх-ею^нче разAнс-:тие'. 5-г5^ 3-г-3----2|-2
6.3 Разбиение 16= 5--3-1-2-'- 1-г-14-1--1— 1— I реализуется каждым из
в. изображенных на рлс 6 3 Существуют ли другие деревья с этим
разбиением?
6.4. Построит», все регулярные графы с шестью ъершинамм.
6.5. Построить все 5 связных кубических графов с 8 нершимами и blc 20—
с 10 вершинами
(Батаиан [IJ)
6 6 Не существуют графические разбиения, п которых все слагаемые раз-
различны. Для любого рг^2 с\г1адствуют точно два графа с /; neptunгтами в которых
только дна слагаемых разбиения равны и эти графы являются дополнительными.
(Ьсхзад Чаргрэнд 121)
6.7. Графи lecKoe разбиение называется простым, если существует только
один граф с. этим разбиением. Каждое графическое разбиение с четырьмя слагав
\(Ы\Ц[ является простым, и накмемьикч' число слагнечтт^х в графическом ра:чби<
us!i: Hi чкляю1цемс1 просты?..!, рявно о.
6 8 Разбиение idt d.2 .... dp) реализует я j 1ег!логрл(]юм (отм* тлм. что мет/п;
р
вкосг!т 2 п степень своем (вершины) югда и ю ;ько тог.ъ» когда чис. ш 7^ четно
i=]
(X а ким и [11)

82 г..-т ab \ г
Ь.9. Ее л к разбиение четного числа 2q имеет вид T]~:(db d». .. dp), где d^-it
T-yid.^ .. .ic±d. то П p e а л из у ore ч м v л ьти г р афоь i т а г д а и то i ь к о то i • л a. когда q~^dl
(Какими [1 \)
^6.10. Разбиение. П, руализуемае ьекоторш: мул ьти графой (см- пРу
упражнение), реализуется единственным мультиграфом тогда я только тогда,
когда выполняется хотя бы одно из следующих условий'
3) р
>) d
3) dr\ 2^d2^ .-\~dj, я rf,-4J dp>
4) p^--A is i
5) <i2— • —
is i^> di~ 1;
(Сеньор [П. Хакимп [I])
6.П Доказать или опровертя^ть разбиение д^ре^н реализуется более чем
одним дере пом тогда и только тогда, когда хотя бы одно слагаемое, больше 2, а
три слагаемых бочьше 1 причем в случае трех лершкн не все сча^е^ме равны
между собой.
6.12 Пусть [I—(rfi rf2. dp) d{^.d.{?> .^do и р'^-3 — графическое раз
биение Тогда
а) Vi реачизуетсл связным рафом то)дт и точько тогда когда
и 2 45*2 IP-П
= 1
б) И рей11тзуется б1оком тогла н только тогда, когда ^> J и
6.13 Графическое разбиение П ввгдеипое в предыдущем упражнении, реа-
реализуется л-реберпо-спязпым графом с n>-t2 тогда л только тогда, когда df^n
для вср\г L
(Эдмо^дс \\\)
6.14. Для любого нетривиального графа G и любого разбиения р~Р{—рг
суи;е4'т»ует такое разбиение l^-V^U^a» что |К/| /?,• и A (<V',>) i Д (<V\»^:A (G)
(Ловац [ 1 [)
6.15. Мощностью т (с) вершины j связною i рафа 0 называется чисю ком
и О) лент гряфа G—v.
а) Набор чисел /я3 ть w; реали^\ется мощное г ям if шершни (.
графя тот и к то4i ко тогд i когда выполняется неравенство ^] mt <; 2 (jt !)
ki случае равенства нолучасм
6} Для реализации этого набора связные графом G cju вершинами и q ребрами
р
необходимо и юстачочно iruGn ^ riit <2 {р—[) ц q^i! ~~ )-\-p—k~2 гдеk-~
Рпо Рю [I])

Г к tea 7
ОБХОДЫ ГРЕФОВ
,jlt»KMO снег пройдешь да назад не
вернешься.
П
из особенностей теории графов, которая способствовала
ее популяризации, является te использование в решении i олово-
юмок и игр Часто головоломку можно сформулировать как графо
вую задачу: определить, существует ли в графе «эйлерова цепь»
или «гамичътопов цикл». Как уже упоминалось в гл. 1, понятие
эйлерова графа появилось когда Эйлер решал задачу о кённгсбер1
скнх мостах В настоящей главе даны две характеризации эйлеро
вых графов Затем рассматриваются имильтоновы графы, дчя
которых приведены некоторые необходимые и некоторые достаточ-
достаточные условия их существования Однако остается еще нерешенной
задача нахождения простого и эффективного описания гамильто-
новых графов, которое бы обличаюсь от завуалированной перефра-
перефразировки определения
Эйлеровы графы
мы \же видели в гл. 1, отрица1ельное решение Эйлером
задачи о кеннгсбергскич мостах привело к первой on уши кованной
работе по теории графов Задач\ об обходе мостов можно обобщить
и получить следующую задачу теории графов: можно ли найти
в данном i рафс G цикл, содержащий все вершины и все ребра?
Граф, в котором это возможно, называется эйлеровым Таким обра-
обрати, эйлеров граф и.меет эйлеров цикл — замкнутую цепь содер-
содержав^ ю все пер шины и все ребра Ясно что эйлеров граф должен
быть связным
I еорема 7 1 Для связного графа ') G следующие 1}П№.ржд°нич
эьвивсьгентны
A) G — эйлеров граф,
B) каждая вершина графа G имеет четную степень.
C) множество ребер графа G молено разбить на простые циклы
J) 5kно что эта теорема сграиепипа таки е и ч,ля м\ тьтитр^фов

Si TVIABY '
Доказатетытво. A) влечет B) Пусть Т ~ эйлеров цикл
в G Каждое прохождение данной вершины в 7 вносит 2 в степень
этой вершины ц7 поскольку каждое ребро графа G появляется точно
один рач в Т тюбая вершина должна иметь ipthvio степень
B) влечет <3) Так как G — связный к не1ривиальиыи граф
ю степень каждой вершины равна по крайней мере 2Т так что О
содержит простои цикл Z Удаление ребер цикта Z приводит к ос
товном> подграфу 6Ь в котором также каждая вершина имеет чет
н\ю степень Если в Gt nei ребер, то C) уже доказано; в противном
случае применим высказанные вьпье соображения к 6[ и получим
граф 6г, в котором опять степени всех вершин четны, и т д. Одно-
Одновременно с. пустым графом Gti получаем разбиение ребер графа G
на а простых циклов
C) влечет A) Пусть Zx — один из простых циклов этого раябяе
ния Если 6 состоит только из этого цикла, то очевидно, что G —
эйлеров граф В противном случае другой простой цикл Z* в О
имеет вершину и, общую с Z,, Маршрут, начинающийся сии со-
состоящий из никла 7,1 и следующего непосредственно за ним цикла
72, является замкнутой цепью, которая содержит ребра этих двух
циклов Продолжая вт\ процедуру, мы можем построить замкнутую
цепь, содержащую все ребра графа G сае^пватетьно, G — эйлеров
1раф
Например, связный граф, представленный на рис 7.1, л котором
вершина имеет четную степень, обладает эйлеровым циь-
юм, а множество ребер мож-
можно разбить л а простые цик-
циклы
Из теоремы 7 1 следит,
что если в связном i рафе G
nei вершин с нечетными сте-
степенями, ю з G есть замк-
Рие 7 1 эГиеров [раф п>тая цепь, содержащая все
вершины и все ребра графа
G. Аналогичный результа! справедлив тля связных графов, имею
гцих некоторое чисю вершин с нечетными степенями
Следствие 7 1 (а) Пусть G — связный граф, а котором 2н
вершин имеют нечетные степени, п ^ \ Тогда множество ребер
графа G можно разбить ни п открытых цепей
Следствие 7 1 (б). Пусть G — связный граф, в котором две
вершины имеют нечетные степени. Тогда в G есть открытая цепь
содержащая все вершины и все ребра графа G (и начинающаяся в
одной из вершин с нечетной степенью, а кончающаяся в другой)

Of.ХОДЫ ГРАФОВ 85
Гамильтоновы 1рафы
Сэр Вильям Fd милы он, строя простые циклы, содержащие каж
дую вершину чодеказдра, определил класс i рафов носящих ге-
перь его ими Если в G имеется простой остовлый цикл 2, то Опазы
ваштея гамилыпоновым графом, a Z — гамильтоновым циклом. В на-
настоящее время не известно эффективных описаний гймильтонобых
графов, по известно несколько необходимых и несколько юстаточ
ных условий существования гамильтоновых никлой
Тэта-графом называется б ток, содержащий гол *ь ко вершины
степени 2 и две несмежные вершины степени Ч Таким образом,
Т5»та-граф состоит из двух вершин степени 1 и трех непересекаю-
непересекающихся просты к цепей, соединяющих эти вершины, тричем длина
каждой m зтп\ цепей не меньше 2
Теорема 72. Каждый гамилыпонов граф двусвязен. Каждый
не га ми гьп юное двуевчшып граф содержит тэта-подграф
> lei ко пай] и тзта-подграф в не гам ил ьто новом бю>ье, приведен-
приведенном на рис. 7 2
Следующая теорема, доказанная Поша []], даен достаточное
условие того, что граф гамильтогюв Она обобщает результаты, по
лученные ранее Оре и Дираком, кото-
которые приводятся здесь в виде следствий
Теорема 7.3 Пусть G имсепг р^ 3
вершин Если для всякого п, \^п<Ц
<;</?—1)<2, число вершин, со степенями,
не превосходящими п, меньше чем п., и
для нечетного р число вершин степени
{р—\)?2 не превосходит (р—\) 2, то
О — галшльлгонов граф „ _ , u
н ч Рис 7 2 Негамилъто,юв
Д о к a i а 1 е п l г в о Пред по т ожимт
что теорема неверна, и пусть (; — мак-
сИхмальный негамильтонов граф с р вершинами,
один условиям теоремы. Летко видеть, что добавление любого ребра
в граф, обладающий указанными в теореме свойствами!, приводит к
графу, который также обладает этими свойствами Таким образом,
поскольку добавление к G произвольного ребра приводит к га-
\1:ильтопов\ граф\, любые две несмежные вершины соединимы про-
простой остовной цепью.
Покажем сначала, что всякая вершина, сгепешь которой не
меньше (р—1)/2, смежна с каждой вершиной со стеганью> большей
ч?м (/?—1) 2. Допустим (не 1еряя общности), что degь\^- (р—\) 2
и deg6"r^p2, по вершины и} и vf не смежны Топда существует
простая остовная депь vLi.2 .ts> соединяющая^ и -vJt. Обозначим
вершииы,смежные сt'i,через уч, ,у,
,п

Г-ПАРЛ
<f?I. Ясно, что вершина vp не *\юже1 быть смежной пи с одной
вершиной из G в ma t1;. , поскочьку тогда в 0 быт бы гамгпьтопов
пикч
Да л ее, так ка к п ^ (/?— 1) /2, то р/2 <^ dog t>/( < /? — 1—л < р'2, ч то
невозможно Поэтому у, и а„ должны быть с.межпы
Отсюда счедует, что ости degi>^ р/2 дли всех вершин и, то G —
гамильтонов граф. (Ниже это сформулировано в виде следствия
7.3 (б).) В сил\ изложенного выше каждая пара вершин графа О
смежна, т е G — полный граф Мы пришли к противоречию, ни
скольку Кр — гамильтонов граф для всех р^ 3.
Таким образом, в G есть вершина и с degu </?/2 Обозначим черея
т наибольшую среди степеней всех таких вершин Выберем такую
вершину v1} что degv^m По принятому предположению число
вершин со степенями, не превосходящими т, не больше чем т<Ср/2
поэтому должно быть более чем т вершин со степенями, превос
ходящими т, и, счедовательно, не меньшими чем р;2. В результате
найдется некоторая вершина, скаже.м vp, степени по кранной мере
р/2 не смежная с vt Так как vt и ир не смежны, то существуei ост013-
пая простая цечь vy иТ Как и выше, обозначим через uh, ,vtm
вершины графа G, смежные с vl} и заметим, что вершина vv
не может быть смежной пи с одной из т вершин vt._? дтя 1 ^ \ ^ т.
Но пocкoльк^ vx и vp не смежны, а гр имеет степень не меньше pi2
10, как было показано в первой части доказатетьства, т тотжтю
быть меньше чем {'/?—1 )/2 Так как по предположению число вер-
вершин со степенями, не превосходящими т, меньше чем т, то хотя
бы одна из т вершин e,i;._i> скажем v\ должна иметь степень не
меньше р/2. Итак, мы установили, что степени двух несмежных
вершин lp и vf не меньше р/2 Полученное противоречие завершает
доказательство теоремы
Приведенное достаточное условие не является необходимым.
Кубический граф GЬ изображенный на рис 7.3, гамильгонов, хотя
ясно, что он не удовлетворяет условиям теоремы Однако условия
теоремы неулучишемы, поскольку' при их ослаблении новое условие
уже не будет достаточным для гамильтоновости графа Например,
выберем р^ 3 и 1 ^п<(р—1) 2 и образуем граф Gz с одной точкой
сочленения и двумя блоками Кп м и KIt-n Этот граф пе гамильто-
гамильтонов' для него нарушается только одно условие теоремы граф (J
содержит ючiro n вершин степени п. Это иллюстрируется на рис
7.3, где р = 8 и п—3> Ести выбрать р----2п-г 1, л !> 1 и образовать граф
G ~Кп, н.1-1, го он не будет гамильтоновым; для него нарушается
только одно условие гсоремьг в нем (р—1)-у2-1 вершин имеют
степень (?>—1)<2. Граф G> = Ki ,j, приведенный на рис 73, ил л юса
pnp\ei это для случая р-=Ь.

ОБХОДЫ гР\4>ОЗ
87
Ограничивая лсловия теоремы Поша поручаем бочее простые,
по менее сильные достаточные условия, наиденные Орс B] и Дира-
Дираком [2] соответственно
Следствие 7. 3(а) Если р^ 3 и degti rdegt^p для любой
пары и v v несмежных вершин графа G, то G — нами шпонов граф
Рис 7 3 И "люстрации к теорем.е Поша
С л еде т в и с 7 3F) Ест р>1 и deg i ^ /?. 2 д т гюбой вершины
i графа G} то G — г.алшльтонов граф
Кубический гамильтонов граф 6,, показанный на рис. 7.3, имеет
четыре остовны\ простых цикла Наименьший кубический гамиль-
гамильтонов граф Ki имеет три остовпых
простых цикла. Эти замечания иллю-
иллюстрируют георему Смита (см. Татт! 1 ])
1еорема74 В каждом кубиче-
кубическом гамильтоновом графе сущест
дуст по крайней мере три оставных,
простых цикж
Тейт II] высказал предшиоже
иие, что каждый треивязный пло-
плоский граф 1) содержит остовыый про-
простой цикл Татт 111 показал, что это
не верно приведя пример трех связно-
связного плоского графа с 46 вершинами не
являющегося гамиЛЬТОН0ВЫмAЖС 7 4) Рис. 7 1 Граф Татга
1) Плоские графы рассматриваются u ivj. 11 Спрянсдливскп. гипотезы
означала бы справедливость шпотечы чегьф ч

88
ПЛБ \
Наименьший известный в настоящее время нргамильтонов трех-
связный плоский граф, имеющий 38 вершин, был построен незави-
независимо Ледербергом Б оса ком и Б ар не пом, эти результаты можко
найти в монографии Грюнбаума [2 стр 3591
Кажущееся отсутствие взаимосвязи между ^Гиероьышт и га
м и 1 ьто н о вы м и 1 р афа м и иллюстрируется рис 75; :чд ее ь к аж д ы й
Гамильтонод
Негамидьтаной
Эйлеров
Незилрров
7 3 Эйлероиы и гамнтыоновы трафы
граф — это блок с 8 вершинами Однако в следующей ктаве мы
свяжем эйлеровы и гамильтоновы графы с помощью гак называемых
«реберных графов»
Кстати Птаммер высь а за л предположение что кьадра! 1юбого
двусвязного ipa<|>a еегь гамитьтонов граф1)
Упражнения
и
7 1 т такжо
ь гроф G эИлор
и
7 1 Наитк :^йлероп цикл п 1рифс G, приведенном
ние ребер грлфа G на npocT[,ie rukjiiu
7.2. Есрн каждый блок связного гр«фа 6 эйлеров
обратно
7.3 В следствии 7 I (а) нельзя найти разбиение, содержащее меньше чем п
цепей, Сформулировать и доказать утверждение, обратное следствию 7Л (fi).
7.} Г р у ф называется произвольно вычерчише.мым ил wp шины i • 0, с ел; т следую
щая процедура всегда приводит к эйлеропу циклу: начиная с: прои/толыюи ^ер
шины ц, идем по любому инцидентному с ней ребру; достигнув вершки и и. iue.\:
по любому шшидептпому с пей ребру, по которому enic не ходили, и продолжаем
этот процесс до тех пор пока пе останется нейрспленных pe6q>.
з) Эйлерогс граф является прон^по.тьио вычерчикаечгилз \\з т^мипнп с0 тогда
и только тогда когда тюбон v.ro простой щкт содс]^кпт с(
(Оре (П)
Ч Kapdrain-iL И] о jeiiL просто показат чти куб любою (.низкого графа явля
етея гямильтонобым грасром (докячятс.льство проводится для произвольного остова
данного граф^)). П<]конец, vv.noi<>:ia Пчартера была дс-;1стилто;:ьчс годтзет/ждена
(сы. Фле.йшнер llj) — Прим. иерее,

оьходы графов 89
б) Если G ¦ - пропл.ю.'и.но вычерчиваемым »раф из вершины i\ то i-, имеет
максимальную степень.
{Tisfvup [1])
в) El л и О — кршэволыю начерчиваемы к граф из вершины i\j, тп ити с0—
н^?; точка сочленения, или н G лет точек сочленения.
7.5. Доказать или омровг,ргн\ть если ]}таф G содержит порожден ныл tjtj
по"граф, го G )?е гамильтешов
7.6. а) В каждом нетривиальном связном графе G люб*ээт пара Rep нити его
куба G:< соединена остов ной простой цепью. Следовательно, каждое ребро и (Г
принадлежит некоторому гамллыоиову киклу
К [Ц)
б) Если любая пмр;-] ьершнн iрпфа G соединена остовпон простои пенью и
/->5^4, то б? — трохсвязный граф
7.7. Припееттг пример негамильтонова трафа с 10 вер нити а\ш \ которого
dog, u-\-deg vC:?-p—l для любой лары несмежных вершин и н V.
7.8 Ckoilko ocTORPbi\ простых циклов имеется в лонных диудельных :рафах
7.9. Г р аф G н а з ы в а етс я /1 ро изво л ьнп пр о ход им им (произвольно гамильтоноеым ),
если оетовная цоль (гампльтопов цикл) всегда получается с помощью следующей
процедуры: начиняем с произвольно» вершины в G. последовательно переходим
r любую смежную вершин) еще не пройденную и продолжаем до тех пор пока
не исчерпаем все вер: ми ни.
а) Граф G с р^$3 вершинами произвольно гролодвд тогда и тотько тогда
1 D! да он произвольно гамильтонов
б) 1 раф О с и'.-Г-З пер шина л-ти произвольно проходим тогда и точько Т01да koi
аа о и совпадает с одним нз графов Ср, Кр илк при р=2п с Кп<ТГ
^Чартрэнд, Крои к \\\)
7J0. .Можно (.чнтснь. чго теорема 7.3 дает достаточное условие двусвязносги
графа Сх. Его \южмо обобщить на n-снязные графы. Пусть G — нетрнвиульнми
iраф и i< п<р Следующие условии являются достаточными ;\пя того, чтобы
граф G бил «-связным:
1. Для каждого k, для которого n—l^k<(p-\-n—3)/2, число вер-
вершин со степенями, не превосходящими k, не больше чем &-.- 1- -п.
2 Число вершин со степенями, не превосходящими (р-*-п—3) 2 не
больше чем р -и
{Чартрэнд Кялур? Кро^к [1])
7 11 Теорему Поп:а можчо обобщить следующим обр;по^: Пусть G имеет
р5-3 вершин и ()^':.k*?p—2. Если для любого целого i, для которого k-\¦ I<;
•<r.i< (p-J. k).:. число вершин со степенями, не превосходящими г, меньше чем
i — к. то каждая простая цепь дчипы к. содержится в некотором гамильтоновом
цикле.
(Кротгк [I])
7 12, Напомним, чго дна помеченных графа называются изоморфными, если
между ними существует изоморфизм, сохраняющие! пометки. Под е-графом пони-
понимается граф, в котором каждая дерлшна имеет четную степень.
а) Число помеченных гряфон ср нершинамн ран но 2^'^п/-.
6} Чисчо помоченных t> графов с р вершинами рчвно 4jicTiv помеченных гра
фон с р—[ верши ним и.
(Робшкоп)
7. U. Бичи G tLTb {p q) траф у которого р'-^З и q^{p — Зр 6)/2. то G
грмильтонон
(Ope CJ)

90 Г Л •% В А
7.14. Пело de^ n-l-decju^/з 1 для любых двух несмел пи\ всришн и ц :,
графа <7, то в G существует ос тонная простая цепь, соединяющая каждую пиру
разтнчныч ьепитнгт
7.13 Речи 6 — такой граф с р^аЗ верши]гамк, что удаление множеств, со-
kaui^ro }'с более п кершил, ирлкоднт к га\1илью)?ову графу, то G (п—2)^:ты\и
(Чйртрэня, Капур, Кронк |l)i
7.16 Рассмотрим такие когампльтоновы графы G. что кождыГг граф G—<.
гамкльтолоп. Среди них существует единственный граф с 10 верш якам и и нет гра>
фов с Mei[b;uif\: г!исло\г верш пи
Г Г ери: Рос с: к [1])
7.17 Существуют тн j[er<i>ri!.'ibT(iHOH[T графы ее »оть угодко оо
П остью?
1 18 Квадрат каждого дн^связкого графа :а:,%пльтипол
(Фле1[Шлер (If}

I'лава S
РЕБЕРНЫЕ ГРАФЫ
Прямая есть кратчайшее расстояние
между двумн точками
1'аклид
Понятие реберного графа для данного графа настолько естест-
естественно, что независимо было введено многими авторами Конечно,
каждый из них давал свое названиеJ) Ope !5] назвал згоi
граф «смежпостным графом», Сябидусси 121 — «графом производ-
производной», Байнеке [4f — «производным графом», Сеш> и Рид П) — «ре-
берно вершшшо-двойственным», Костелейн II] — «накрывающим
гр афом», MeHoi i f 11 — « j i р исоединенны м» («со 11 р яже и н ым»). Б ыл и
даны различные описания реберных графов В этой главе иводичеи
также тотальный граф, который изучался впервые Бехзадом [II и
поскольку (это очень удивительно!) он был обнаружен единожды,
он не имеет других названий. Мы исследуем связь между реберными
и тотальными графами, удетяя особое внимание эйлеровым и га-
мнльтоновым графам
Некоторые свойства реберных графов
Рассмотрим множество X всех ребер графа G как семейство двух-
двухвершинных подмножеств множества V (G) Реберным графом графа
О — обозначается L(G) — называется граф пересечении Q (X)
Таким образом, вершинами графа L{G) являются ребра графа G
и две вершины графа / (G) смежны югда и только тогда, копы
смежны соответствующие им ребра графа G Если х=ии — ребро
графа G, то ясно, что степень вершины х в графе L (G) равна de? u~\
n-degy—2 Два примера графов и их реберных графов приведены
на рис 8 1 Заметим, что на этом рисунке 0г=Ь (G^), так что L {G^ —
=.--L(L FJ). Запишем LJ(G) = L (С), L{{G)= /, (L F)) и в общем случае
опредетим итерированный реберный граф рекуррентным соотноше-
соотношением Ln(G) = L(Lf>~l(G))y n^2
Непосредственно из определении 1рафа L(G) вьпеьаег, что каж-
каждая точка сочленения графа L(G) есть мост графа G, не являющийся
концевым ребром, и обратно.
1) Гоффман [4| моюльпонал термин line graph (реберный граф), однако при
jio\f ребро графа он называл edge, а не line Уитни BJ первым обнаружу]л эти
графы но названия ам не дал.

ГЛАВА В
Если определен некоторый класс графов, то полезно знать оиепкл
числа вершин и ребер и каждом графе данного класса Это легко
сшлать для реберных графов.
Ь 1 J'pafJbJ п i\ реберпые
ы
Теорема 8 1 Если О — это (/?, ф-граф t вершинами, имею-
имеющими степени di7 то L{G) имеет х/ вершин и qL ребер где
Доказатетьство По определению реберного ] рафа граф
L Ю) имеет i/ вершин Каждые A{ ребер, инцидеи;ныч вершине ult
дают вклад ^2') в число ребер i рафа I(G), *ак что
Следующий результат пы можете \становись многими разными
сгособами в зависимости от вашего жетяния
Теорема 8.2 Связный граф О изоморфен своему реберному
графу L(G) тогда и тошео тогда, когда G — простой цикл
Таким образом, для графа G (не обязательно связного) G^ L(G)
тогда и только тогда когда С— регулярный граф степени 2
Ести графы <ji и Go изоморфны, то очевидно, что графы L(G\) и
L (Gi) также изоморфны. Уйти и 12] установит, что обратное справед-
справедливо почти всегда, и указал при этом единственнхю пару различ-
различных графов имеющих один и тот же реберный граф Доказательство,
данное здесь, принадлежит Юнгу [11.

РЕБЕРНЫЕ- ГРА.ФЫ 93
Теорема 8.3 Пусть G и 0'— связные графы, у которых ре-
реберные графы изоморфны Графы d и G' изоморфны всегда, кроме
случая, когда один из них есть К.и о, другой К us
Доказатечьство Заме!им сначала, что среди связных
графов с не более чем четырьмя вершинами единственной парой
различных 1рафов с изоморфными реберными графами являются
К и и /d •*. Кроме юго, нетрудно видеть, что изоморфизм ф графа О
па граф G индуцирует изоморфизм ц\ гпафа L (G) па граф L(G)
Докажем более ситьный результат, из которого будет следовать
наша георема
Если в графах: G и G более четырех вершин, то любой
изоморфизм <fi графа I (G) на граф L (G) индуцируется, точно
одним изоморфизмеч графа G на граф G'.
Прежде всего докажем, что грт индуцируется не более чем одним
изоморфизмом. Предположим противное, т. е что имеются два та-
таких изоморфизма, скажем <р и ф, и покажем, что (г (v) - -ф (v) для тюбои
вершины v графа G В самом челе, в i рафе G существуют два ребра
х -uv и y—vw или два ребра x=uv п у- и а Если у- vw то обе
вершины ср(и) и \f)(c) принадлежат каждому из ребер ух (х) и %i(y)
Но поскольку у этил ребер только одна общая вершина, то (р (с) =¦¦-
=ty(v) Аналогично рассматривается случай t/---uw так как ребро
Ф, (х) содержит две вершины <f(o) и ф(«)=ф(«), то опять имеем
Ф(с»)—ip(i') С.1едовате1ыю, срт индуцируется самое большее одним
изоморфизмом графа G на граф G'
Докажем теперь существование изоморфизма ф, индуцирующего
Ф, Сначала покажем, что ребра Xi = uvlt Xi — uv2 и x^ — uvt подграфа
Kit* графа G должны переходить при отображении <\\ в ребра под
графа Id 5 i рафа G'. Пусть у — другое ребро, смежное по крайней
мере с одним из ребер xt и такое, что оно смежно или с одним, или
с тремя ребрами xt. 1 акое ребро у существует в тюбом графе с
5 вершинами, а для р<Ъ теорема тривиальна Если три ребра
образуют не /d,*, & треугольник, то ребро срт (у) доч!жко быть
смежно точно с двумя из них Свдователыю, любой подграф КЛ (
Ю1жен переходить в К\,л
Обозначим через S (v) множество ребер, инцидентных v Покажем,
что для каждой вершины v графа G существует точно одна такая
вершина иг графа G , что S(v) при отображении ф! переходит в
S (v ) Если degi'^ 2, обозначим через у^ и у2 ребра, инцидентные с,
и пусть v' — общая вершина ребер ф, (#,) и 4i(y°). Тогда для каж-
юго ребра v, инцидентного ь\ вершина v' инцидента ф, (х)у и для
каждого ребра к , инцидентного v вершина v инцидентна грт;1 (х )
Если deg i -1, то пусть л' — uv — ребро инцидентное и. Тогда (leg u^
^>2, и следовательно множество S (и) переходит и множество S(u')
и (^ (х)-^и'v' Поскольку для каждого ребра xf, инцидентного &',

ГЛАВ \ Я
ребра ф, 1(х ) и х должны иметь общую вершину, то вершина и
принадлежит ребру Ч'ГЧ-О а вершина и — ребру .г', т. е д:' ---
—ц>1(х) и degt>' —1 Итак S{u) = S(v) только тогда, когда u--v Сле-
Следовательно, отображение q> множества V в множество V взаимно
о позначно
Далее, для данной вершины v из V существует инцидентное ей
ребро х' Обозначим ф^1 (*') через uv Тогда и пи (р (a)^v , или <j> (v) •--
— у', так что <f — отображение «на».
Наконец, заметим, что ifiW=f («)(p(f) дтя каждого ребрл
v—wy графа G n qpj (х')— ц)~1 (^')ф 1(&') для каждого ребра х'--
= «'и графа С, так что ц. — изоморфизм, пнд>цкр> ющий изоморфизм
ср 1 Теорема доказана
Характеризация реберных графов
Граф G называется реберным графом, если он изоморфен ребер-
реберному граф) L(H) некоторого графа И Например, К*—* есть ре-
реберный граф (см. рис. 8.1)
1р<зфы с ч^ыръмп |кбра\[н
8 2,
Покажем, что звезда Кип н^ является реберным графом. Пред-
Предположим, что Ki у !-¦--¦ L (И) Тогда граф И имеет 4 ребра, поскольку в
Киз четыре вершины, и, кроме того, t раф И дочжеп быть связным
Все связные графы с четырьмя ребрами приведены на рис 8.2
Так как!(С4)^С4 (но теореме 8 3) и L(Ku^A~Kx—x[zu. рис 8 1),
то И может быть только однИхМ из трех деревьев Но реберными гра-
графами этих деревьев являются соответственно простая цепь Р4, i раф
Кгг К* и граф Ki- Таким образом Ki и не есть реберный граф. Вдаль
неишем мы увидим, что граф Ki,.>> играет важную роль при установ-
установлении основных свойств реберных графов Первый результат о ре-
реберных графах — утверждение B) приведенной ниже теоремы —
полученный Крауцем Ц] довольно близок к самому определению
реберного графа Существенный сдвиг в изучении свойств реберкмх
1рафов был еде тан ван Роои и Витфом [И которым удалось noiv-

РЕБГРНЫП ГР\ФЬ[
чить (утверждение C)) стр)кт\рпьш критерий того, что данный
граф является реберным. Наконец, Вайпеке [4J и Робертсон (не
опубликовано) нашли псе подграфы, которые не могут встречаться
в реберных графах. Напомним, что порожденным под1рафом назы-
называется подграф, максимальный на данном множестве вершин Тре-
\ го л ь н и к Т графа G называется нечетным ее т и в G имеется вер-
шшга, смежная с нечетным чистом вершин в Т. и четный в прошв-
ном случае.
Теорема 84 Следующие утверждения эквивалентны
A) G — реберный граф
B) ребра графа G можно разбить на полные подграфы таким
образом, чтобы ни одна из вершин не принадлежат бола.
чем двум подграфам,
C) граф G не содержит звезду К из в качестве порожденного под
графаУ и если два нечетных треугольника имеют общее ребро,
то подграф, порожденный их вершинами, есть AV
(\) ни один из девяти графов, приведенных на рис 8 3 не яв гн-
гнется порожденным подграфом графа G
Доказательство A) в чечет B) Пусть G — реберный граф
некоторого графа Н Не теряя общности, предположим, что в Н
нет изолированных вершин Тогда ребра звезды каждой вершины
графа Н порождают потный подграф графа G и любое ребро графа G
принадлежит голько одному такому подграфу. Поскотьк\ каждое
ребро графа Я принадлежит звездам ровно двух верыии графа И
то ни одна из вершин графа G не содержится более чем в .даух таких
подграфах.
B) влечет A) Пусть дано разбиение множества всех ребер графа
G на полные подграфы 5Ь 52, .., Sn удовлетворяющее утвержде-
утверждению B) Пoкaжevf, как построить граф Я, для которого реберным
j рафом будет граф G Вершины графа п соответствуют объединению
множества S всех подграфов S]} S<>: , Sn и множества U
вершин графа G, причем каждую вершину из U мы относим
только к одному из подмножеств 5,.. Таким образом, объеди-
объединение S \J U является множеством вершин графа И и две вершины
смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им множества
имеют непустое пересечение, т е И — граф пересечений Q (S U V)
\2) в чечет D) Легко проверить, что ни один из девяти графов,
приведенных на рис 8 3, не допускает разбиение множества ребер
на полные подграфы удовлетворяющее укачанному выше условию
Окончательный результат вытекает из того, что каждый порожден
ный подграф реберного графа сам должен быть реберным графом
D) влечет C) Покажем, что если граф G не удовлетворяет ут-
утверждению C), то в G найдется порожденный подграф, изоморфный
одному из девяти запрещенных графов Предположим что О со
держит нечетные треуготьники аЬс и abdy причем с nd не смежны

1 ЧАВЛ. 5
В зависимости от того, существ) ет ил и нет в графе G вершина г\ смеж
ная с нечетным чистом вершин обоих тре\гольников, возможны два
случая.
С ч у ч а и 1 Л\сть вершина v смежна с нечетным числом вер шип
треугольников abi и abd Тогда имеются дне возможности или о
смежна точно с одной вершиной в каж;ом треугольнике, и;ш v
С-.:
Рис 8 3 Девять запрещу мша подграфов для ребер них графов
смежна с более чем одной аерцшной в каждом треугочьнике Ести
выполняется последнее, то вершина v должна быть смежной со
всеми четырьмя вершинами двух треугольников, и, следовательно,
граф G содержит G4 (см рис 8.3) как порожденный подграф При
осуществлении первой возможности либо вершила v смежна только
с одной из вершин а или Ь — и тогда получается граф Gu либо v

ргырныь графl.i
смежна и с вершиной с и с вершинок d -- л тогда получается
граф 02-
Случай 2 Нет вершины, смежной с нечетным числом вершин
каждого из Э]як двух треугольников Пусть в этом случае вершины
и и. v смежны с нечетным числом вершин треугольников аЬс и abd
соответственно Здесь могут быть три по телу чая*
Слу чаи 2 1 Каждая вершина п и j смежна ючно t одной
вершиной соответствующего треугольника
С 1 у ч а и' 2 2 Одна из вершин и и и смежна со всеми тремя
вершинами «своего» треугольника, а другая только с одной
Случай 2 1. Каждая вершина // и v смежна со всеми тремя
вершинами соответствующего трсуготьника
Прежде чем рассматривать эти подслучаи, отметим чва факта
Если вершина и или v смежна с вершиной а или /л то она смежна так-
также с вершиной с или d, так как иначе в графе О 6f>ui бы порожденный
подграф 0{ Далее, ни а, ни v не могут быть смежны одновременно
с с и d, гак как иначе в графе G был бы порожденный подграф 62
или Gj
Случаи 2 1 Пусть пс, vd^G В зависимости m юю, принадле-
принадлежит или пет ребро uv граф} G получаем G, или G7 в качестве поро-
порожденного подграфа Если ub vd ? 6, то из предыдущих замечаний
следует, что ud?G, vc$G\ если uv$Gy то вершины {я, rf, u, у} поро-
порождают Gif если же Mt^(}j то вершины {а Ь, г, d, ^, v) порождают G8
Пусть ub, va?G, тоиа обязательно ud, vc?G Поэтому, если ui^G,
то порождается граф Gs, а если uv?Gy го граф G2 Наконец, если
wfr, vb?G то опять ud, vt G G, o-iкуда следует что в зависимости от
того, принадлежит или нет ребро uv графу G, порожденным под-
подграфом графа G будет G» итк Gx
С л у чан 2.2 Пусть иа, tih ul ^ G. Ясно, что если Ы ? 6, то Gs—
порожденный подграф графа G, таким образом, ud^G Далее, вер-
вершина v может быть смежной или с d, или с Ь Если щ ? G, то в зави-
зависимости от того, принадлежит лли нет ребро uv граф\ G, порожден-
порожденным по (графом графа G будет G? или G, Если ub ? G то порожденным
подграфом графа G будет Gc, или G} в зависимости ог того, смежна
или не; вершина и с. обеими вершинами с и */.
Случай 2.3 Если ud, vt или uv принадлежит G то G3—по-
G3—порожденный подграф Оставшаяся сдинсiвенная возможность при-
приводит к порожденному подграфу Gc
C) влечет A). Пусть для графа G справедливо \ гверждение C)
Можно считать граф G слязиым. Далее, должно выполняться точно
одно из следующих двух условий:
1 Граф G содержит два четных i ре\ гтьчпке имею ци\ общее
ребро
2 Если два треугольника графа G имеют общ^е ребро, то одни
из них нечетный
4 Л", м 1

98
ГЧА.ВЛ
Можно показать, что если граф G удовчетворяет первому \ г-
човшо, то он совпадает с одним ;в графов //т ~Л(/A,а-'-л;) /*Л>~
— L(Hi) и ы H't--L(Ki) изображен лык на рис. 8 4 Поэтому пред-
предположим, что G удовлетворяет второму условию Приведем метод
построения jaKoro графа Я, что (?--/!(//)
Н,
Рис 8 1 Три реберш.тх 1 рафя
Пусть Гг— семейство всех клик графа G не являющихся четными
треугольниками, причем каждая такая клика рассматривается как
множество вершки, и 12— семейство в ер шик графа Q (которые бе-
берутся как огдетьные эчементы), принадлежащих некоторой клике
E 7> (б,7>
Рис 8 " Ребертм граф и граф ему соотпететв-ую.гшй
К семейства Fx и не смежныл лис одной вергпинои графа G — К
Наконец пусть F&—семейство ребер графа 0 (каждое ребро в^ято
как множество, состоящее из двух вершин), принадлежащих одному
п том\ же четному треугольнику. Не трудна проверить что граф G
изоморфен реберном\ графу графа пересечений H — il iF{ U Г U 1\)
Теорема доказана
Последнее1 построение иллюстрируется па рис. 8,5, где семейст
ьамн данного графа 0 опрсдулякмцими i раф пересечении Я, яв-
чяются Л- {{I 2 3, 4}, {4 5, 6}} f~ {{!}, {2} {3}} и 1\ =
= {{5, 7}, {6,7}}, таким образом G—L(H)

РГБРРНЫЕ I Р \ФЫ 99
Специальные реберные графы
р этом разделе описываются реберные графы теревьев, полных
графов и полных двудольных iраф^в
Следующий результат, полуденный Чартрэндом, аае; позмож-
ность опретелить когда граф является реберным графом дерева
Теорема 8.5 Граф есть реберный граф дерева тогда и только
тогда, когда он является связным гоафом блоков, каждая точка
сочленения которого принадлежит в точности двум блокам.
Д о к а з a i е л ь с т в о Предположим, ч го G — L (Т) и Т — дерево
Тогда 6— граф блоков В(Т), поскольку ребра и б токи в дереве
совпадаю!. Каждая точка сочленения х графа G соответствует
мосту аи дерева Т и принадлежит тем двум блокам графа G которые
соответствуют звездам вершин а и v. Необходимость доказана
Установим достаточность Пусть G — граф бтоков, у которого
каждая точка сочленения принадлежит ровно двум блокам. Так
как любой блок графа бюков есп полный граф, то по теореме 8 2
сущесиует такой граф И что L(H) = G Если G—Ли, то можно
взять H--K]!:i. Покажем, что для любого другою графа бюков 6
i раф Н должен быть деревом. Доказываем от противного Пред-
Предположим, что И не является деревом т е содержит простой цикл
Если граф // сам есть простой цикл, то по теореме 8 3 L(H) — H, но
единственный простой никл, являющийся также графом блоков, есть
Кя, а этот случай уже рассматривался Следовательно, граф И
должен содержать как собственную часть простой цикл, другими
словами граф И содержит простой цикл Z и ребро х, смежное с двумя
ребрами цикла / л не смежное с некоторым ребром у ? Z Вершины х
и у графа L(H) лежат па простом цикле графа L(H) u не смежны.
Это противоречит тому, чго L(H) — граф блоков (см теорему 3 5).
Итак, /7 — дерево Теорема доказана
На рис. 8 6 показан граф б юкои G, у которого каждая точка
сочленения принадлежит точно двум блокам Дерепо Т, для коюрого
О — реберный граф строится следующим образом Сначала обра-
.•^ется граф бюков В (С) а затем добавляются, новые вертиш в ка-
качестве вершин, не являющихся точка мл сочленения графа 6 и
ребра, соединяющие каждый блок с новыми вершинами.
Реберные графы полных н полных двудольных графов почти
всегда характеризуются с помощью довольно простых утвержде
пни, в которых говорится о смежности ребер в К7> и /Cm,п. Случаи
полных графов быт независимо рассмотрен Чангом A1 и I оффма-
anv IIj [21
По^еч! 8 6 Если p-^-S no G — реберный граф графа Kv
тогда i пюлько тогда, когда
1) G имеет (¦';[) вершин,
2) G — регулярный граф степени 2(^—

100
ГГ1ЛВ\
3) любые две несмежные вершины одновременно с мелены точно
с четырьмя вершинами.
4) тбыс две смежные вершины одновременно смежны точно с
р—2 ееришнами.
Очсшлпо что / (/<;¦) o6,/iataei этими свойствами Мо совсем nt
очевидно что при р -8 существует ровно три графа, удовлетворяю
укачанным условиям и пе являющихся L(KP).
ч, в, вл ь
Рис ^6 Реберный граф 0 дорси;^ Т
Для полных двудольных графов сосутветсгв\ющгш ^езулыат
был потучец М\ном [1] и Гоффшном !4|
Теорема 87. Если т-/^\ и п^~4, mo G — реберный граф >рафа
Km у и тогда и только тогда, когда
1) G имеет пт вершин,
2) G — регулярный граф е те пени т -а -2,
3) гюбые две несмежные вершины одновременно смежны то1'но
с двумя вершинами
4) среди смежных пор леришн точно /?([;'') пор одновременно
смежны ровно с т — 2 вершинами, а другие т B) пар —
ровно ( /1—2 вершинами
При т-п—4 существует точько один граф, удовлетворяющий
этим условиям и не являющийся Lift,,.). Он имеет 1Ь верглии и был
найден Шрихапдоч UJ при доказательстве илг теоремы 8 7 в счучае
ы—п

РЕБЕРНЫЕ ГРАФ:»!
101
Реберные графы и обчоды
Исследуем теперь ст;зь эмлеро^ыл и га in ил'оиовчх графов l
реберными графами
Пусть x--uv — ребро графе! О а d? не является вершиной n d
Говорят, что ребро л подразбшпо, еел;\ оно заменено на ребра aw и
wv. Нел и каждое ребро графа G под па зол го, то такой граф называ-
называется графом подразбиений графа G и обозначается S(G); c\i рис 8 7
.*
V'V.L 8./
("рс1ф S 1O I [Улф [ О.Ipn^fil!(.¦!:]¦)II
Если обозначить через S,,(G) i раф, получаемый из (; ввеленнем /<
новых лершпл степени 2 па каждом ребро графа 6, гак что S(G)-
-¦¦¦ S i (G), то м ожно oii р еде л ит; н or ы :т граф L ,г (G) L (S,,.. L (G)).
Otmc[mi\u чю в обще.м случае LV(O)^L"(G) Зчесь L (G) — итери-
итерированный реберный граф графа G.
Т ю р е м а 8 8 Пели G — эйлеров граф, то граф L\G) эйяероа
и гамильтонов Если G - гамилыпонов граф то / (G) —• также
гоми гыпонов граф
Легко привести контрпримеры к обратным утверждениям. Нл
пример, граф L(G) изображенный ил рис 8.8, эйлеров и гамиль
тонок, п то время как граф G но эйлеров граф L(G) на рис 8 с)
гамильтонов а граф 0 пет
L(G)
Г'IK' Ь 8
Второе предложение ]еоромы 8.8 можно усилить Это доеттг
г ается бл а год а р я с чел у ющем у результату X а р а р и и 11 эт- В и л ь я мса
М], который легко вытекает из предыдущей теоремы и равенства

102
ГЛЛВД 8
Теорема 8.9. Для того чтобы граф L2(G) бы г галшльтоновым,
достаточно, чтобы граф G был гамильтоно&ым, и необходимо, чтобы
граф L (G) был галшльтоновым
С KG) L/C)
Рис 8 9 Др\гой контрпример
Графы на рис 8.10 и 8 9 показывают чю первое из условий не
является необходимым, а второе не является достаточным для того,
чтобы L2(G) был гамильтоновым 1рафом Отметим также (см
С:
Рис В 10 Еще один контрпример
рис. 8 И) что L (G)=Ll (G) и LJfi) мог\т быть гамильтоновыми гра-
графами, даже если граф G не будет эйлеровым Однако граф L3 (G)
связь ваег эти два гсиятия
UG)
1/G)
Рис 8 1] Поел етотте тьмой ь )рафов Lf7 (G)
Теорема 8 10. Граф G эйлеров тогда и только тогда когда
граф LS{G) галшльтонов.

I РАФ LI
Для почти каждого связного графа 6 почти все 1рафы L" (G)t
как показаt Чартрэнд \2\ гаыильтоновы
Теорема 8 11 Если. G — нетривиальный связный граф с р
дернинами, не являющийся гростой цепью, то граф Ln(G) гам иль-
пюное для всех n'^z р — 3
G KG) L2(G) L3(G)
v, H \2 ГЬслолоьгтелькопь итсриоопап[«ых реберных графов
Hi рис 8 12 приведен в качестве лрпмера граф G с 6 верш и ка ми,
а также графы I(G) L-{0) и гамильтонов граф L*(G)
Тотальные графы
Вершины и ребра графп называются его элементами Два эле-
элемента графа называются соседними, если они смежны или инцидент
ны Тотальным графом Т (G) называется граф, у которого множест-
множеством вершин является V (G)[}X(G) и две вершины смежны тогда и
ТШ:
3 Образование тотального гр^фа
только тогда, когда они соседние в графе G На рис 8 П показано
образование тотальною графа Т(К:.). .Легко видеть что 7@) со
держит в качестве порожденных подграфов как 0, тлк и L (G)
Другую характерюацию тогатьных графов тал Бехзад [1]

104 г.ллвч ^
Теорем л 8.12. Тотальный граф Т @) изоморфен квадрат (j гра-
графа подразбиений Sid).
Следствие 8 12 (а). Если i. —вершина графа G то спи пень
вершины v в Т{О) равна 2do? u Если х -ии —ребро ,.рафо 0 то
степень вершины х в Т (G) равна с!ед и ' deg ь
Следствие 8.12 (б) Пиапь G — это {р, q) граф, вершины ко-
которого имеют степени dt, тогда тотальный граф Г (G) имеет
pr ~p-\-q вершин и qf - 2q (^^Idf ребер
В п 2 были определены числа Рамсе я г (т, п) и было отмечено,
что их вычисление в общем случае остается нерешенной задачей
Бехзад и Раджави [1] сформулировали и решили аналогичную про
б л ему относительно реберных графов Реберным числом Рамсея
г, (га, п) называется такое наименьшее положительное целое число
р, что Ldia^ibJH связный граф с р вершинами содержит или /? попарно
несмежных ребер, или звезду Abm. Другими словами, гх{тм) —
такое наименьшее натуральное число р, что для любого графа G
с р вершинами / (G) содержит Л"^ или L (G) содержит К,
Теорема 8 13 Для п> 1 всегда справедливо равенство г\ B, п) -
^= 3 Для всех других значении т и п
гх{туп) (т— 1) (/7—1) -2
Отметим, что равенство r^im, n) ¦-rl(ntm) верно не всегда. К тому
же в противоположность числам Рамсея чист гх (т, и) определены
голь ко для связных графов
Упражнения
8.1 При каких условиях ребра реберного графа можно разбить нл полные
подграфы таким образом, чтобы каждая вершина принадлежала в точност:; .шум
из подграфой?
8.2. Вьфазить число треугольников п гп-зф( I (G\ тер^т число трсую.ичи
ков гряфа G и :габор его сгс'ЕК'^^й
8.3. Иактн уелопи f рг' пмпо.игешш которого евя^;1]лй гр^ф имеет регул яр
f-TbiVf реберный граф.
8 1 Грпф G ^ЮЖFFO восстанови \ь по ]и)бор> < оетш',ш>:х то 1гр;:)фон О— Xj
тогда п только тел Д2 когда cm рооерпый граф / {С) удоиле;воряет кготезс л'лллга
(сл- стр 26).
(Хомм
8 3 El л и G есть /?-ребер1(О-с^язкьш граф. то
П гр^ф L{G) /i-епя^он;
2) t-раф L (G) ('2п—:2)• реборпо-епч^еи;
3) граф 1У{0) {Ьг— 2)-снязен
ГЧлртр.эттп
8 6 сЗ) Построять евязньп! граф О с ;'Г^4 першпнамк ля кото] ого грзф
L{0) не эйлеров, d граф L*(G) эйлеров

6) h.c су щ^твует снязтюго графа О с р'^.о вершинами тля ко'го|.ого граф
/2 (G) по эйлеров, а граф L*' (G) эйлеров.
8.7, Наименьшие блоком с нсг.; i ми л ltohohliv реберным графом является
1 эти-граф о 8 кершинами, в котором иасстоянье межд\г любой nanoii вершин сте-
степени 3 равго трем.
(М\ и)
S.8 Граф / \Ci) 1алшлътонов тогда и только гогда. когда гряф G содерж. и г зам-
замкнутую цепь, имеющую по крайней мере одн\ серихину. инцид^пиую каждому
ребру графя G
8.9. Граф L- {G) гамклт.топс^ toi т.а и ^отько ^огла i О(Д1 гр.1ф G еот^р^чт
за%гкнуту» остовную цепь
(\apap 1 H?uf Вильяме [ 11)
8 Н) Следующие отверждения
(I) /. F) — эйлеров граф;
() степени псех вершип графч G имени одинаковую
(S) 7' (G) — эйлеров граф
8 II Граф Т(К^ изоморфен 1рафу L(K _ 0
(Бехзад
8.12 Н?йти ссмеистно Г таких иоям1!ОЖ(?ст(? ^лол^нто'; (рафя О (ю 7(G)
8.13. а) Сечи 6 — га \тнлы оно к граф то и i раф / {(}) i пми.чьтелгав Е^лп
С — эйлергш гра<|), то г[>аф Т (G) эйлеров и гямильтонов.
б) Тотальный гр^ф Г(О) любого н^трявиальрого ci язкого графт G
еодер кцг остонкый эйлеров подграф.
в) Если нетривиальный граф G содержи i осчтовлы1 эйлероп подграф
то граф T(G) глмилыогоя.
г) Если G — нетривиальный связный граф то граф T1(G) гямильтоиок.
(Бехнад. Чартрэнд [1J)
5.14. Для каждого мулы и графи М ом р< делим реберный грс1ф L(M) как
1 раф с •'лпожеством вершин V (L(M))- X (Ml. в к от op ее: х ас; j и тогда и. только тог-
тогда, когдз х ц у — различные ребра, встречающиеся в о.шон или двух !адр1мимах
Граф (} як/!«ечси реберным граерс;^ лекаторого мультип^афу тогда м только тогдя,
когда б н^м нет норожде.рныч. t одьрафов ппда 6\ <7S и 6/Ll, тпк^^анмт.тх m рис, Ь.З.
(Геллер)
С8.15. Граф 7F} 2лч'кнзе>.1. ес\г;л rpirJ) G ,'?-енн :-;•;•• н (/r-^2V i TfG) 2/я ребер иг
1.ПЯЗСИ если граф G m ребер по свезен (/л.;а-1).
(X а.ма д/j Нои а да EimiM у р а [ 11)

Глаьа 9
ФХКТОРПЗЛЦИЯ
Целое равно г>мме своих
Евклид
Целое больше с\м^ы своих частей
Макс Вортха им ер1)
Одна из проблем, возникающая в разных постановках, заклю-
заключается в следующем" выяснить, можно ли данный граф разложить
на остовные подграфы, не имеющие общих ребер и обладающие за
данным свойством. Чаще всего 1аким свойством является регуляр-
регулярность определенной степени В частности, Татт получил критерий
существования в i рафе основного регулярного подграфа степени I
В этой главе приводятся некоторые результаты о разложении пот-
потных графов на остовные регулярные подграфы степеней 1 и 2
Изучается разбиение ребер данного графа на остовные леса
что позволяет ввести некоторый инвариант, известный как «дре
веси ость». Формулу дчя вычисления древес ности графа с исполь-
использованием его подграфов получил Нэш-Ви.пьяме Были предложены
эффективные методы построения наименьшего "числа остовных ле-
лесов в полных и полных двудольных графах
Ьфакторизацня
Фактором графа G называется остовныи подграф графа G не
являющийся вполне несвязным Будем говорить что граф G есть
сумма) факторов GZ) если графы G; не имеют попарно общих ре
бер, a G — их объединение Такое разложение называется факто-
факторизацией графа G, Далее п-фактор — это регулярный остов и ый
поД1 раф степени п. Если граф G представляет собой сумму «--факто-
«--факторов, то их объединение называется п факторизацией, а сам граф
G называется п-факторизуемьт Если но оговаривается противное,
то результаты этой главы или содержатся, пли легко вытекают
ил теорем, представленных а монографии Кснига [2 стр 155—195],
где данная тематика продвинута достаточно далеко
Если в G есть 1-фактор, скажем G,, то ясно что р меню и ребра
графа 6{ независимы (взаимно не смежны). В маетности, в Д\.,> . t
ист 1 фа к юра d в Кчя <
1) Мал Wertlicimer, PiuJuciive ^
-) Некоторое авторы называют это прон.зпеде:шем, lpynic - грямоп суммой

<Р.\л iOf5ИЗ.MilIЯ
Теорема (М Потыи граф /<\t 1 факторизуем
Доказательство Нам нужно только указать разбиение
множества Лг ребер графа К2,-> на Bп—1) 1-фа кто ров Для этого
обозначим вершины графа G через ц j2, vif, и определим мно-
множества ребер
.;_7L-, L/, ;-l 2 , И —1},
t—1, 2. ,2/?—1, пе кажчып из индексов i—/ и i -Ь/ явтяется
одним из чисел 1,2, . 2/г—1; здесь сумма и разность берутся по
модулю 2п—1 Легьо нидеть, что набор {Xf} тает необходимое раз-
разбиение множества X а сумма подграфов G,, порожденных множс
Y, является I факторизацией графа Кш
Например, рассмотрим граф /\.;, показанный на рис 0 1 Опи-
Описанная в ходе доказательства 1 факторизация дает пять 1-факто
ров Gt
О,-
с
Рг'с 9 I 1 -факторt-шцня гряфз
Хотя потные двудольные графы К пи и при т=^п не имеют 1-фак-
1-факторов, графы Кг> -, 1 фалторизуемы как витно hj следующею \г
верждения
Теорема 9 2 Кпждып р^гугчрный двудольный сраф \-факта
ризу ем
Нелегко выяснить, 1- |)акторцз\ем ли данный граф, или хотя
бы уста и оиить существование какого нибудь 1-фактора. Б аи пеке
¦J Пламмер 111 показали, однако, что многие i рафы либо вообще
не имеют 1 факторов шбо \ ник число 1 факторов не меньше двух

lVb
f.lAlLA l
Теорема 9.3. Если двусвязный граф имшп \ фактор то он
имеет ?п крайней мере два различных \-фактера
Граф G на рис. У 2 представляет собой блок, у которою ^ то1
ности тва 1-фактора, причем спи имеют о,шо об]лее ребро.
Наиболее важный результат о фмктошпацки 1то7учен Т ittom
B1 Он характеризует графы, обладающие 1-фактором. Про via гае-
мы и при этом способ нахождения 1-фактора совершенно не удобен
дтя применения Данное 3;гееь ю казательс'180 ос пои а не на работе
Рис 9 2 Дна 1 фак^орт блока.
Га паи fll Напомнив, что множество попарно несмежных ребер ка-
бываете я независимый. Под нечетной компонентой графа A пот и
мается компонент i с нечетным числом вершин
Теорема 9.4. Граф О имеет 1 фактор тогда t т:иь\о mod')ay
когда р четно и н с сущ ест eiieni такого м'-южест з ;t .S г, 'рш> / н гр с (ф i,
что число нечетш-ях компонент граф'1 G—S пргвы'ижт \S:
Доказан е ьстио Чегче доказать необходимость. П\еть
5 — произвол! чое множество BepiiniH графа G, а И — компонента
графа G — S В любом 1-факторе гпафа G каждая вершина i pa фа //
должна быт! смежной или с некоторой другой вершиной из Я, итк
с некоторой вершиной in множества 5 Если в И нечетное число вер
шип, то по крайней мере одна вершина ipacjja // смежна (в 1-факторе)
е какой-то вершиной множества S Пусть &0— число нечетных ком-
п )Hein 1рафа G—^.S Если G имеет 1-фактор то IS'^.- kn, поскольку
в 1 факторе каждая вер! ни на v множества S может быть смежной
самое большее с одной вершиной графа G — S и поэтому v смежна
(в 1 факторе) не более чем с одной нечетной компонентой.
Докажем lotтаточьость. Предположим что у графа G четное
число ьершин и >гет 1-фактора. Пусть л - произвольпое ланболь
нее независимое множество ребер графа G Ребра из множества 4

ФАКТОРИЗАЦИЯ 109
будем называть Л-ребрами. Обозначим через В множество всех
ребер графа G, не принадлежащих множеству Л. Ребра из множеет
ив В будем называть fl-ребрамк Простая цепь называется альтер-
альтернирующей (чередующейся) если любые два смежных ребра в ней
принадлежат разным множествам Л и В. По определению всякая
цепь длины i альтернирующая. 'Гак как граф G не имеет 1-фактора,
то существует вершима //,-,, инцидентная только б-ребрам
A (v)-цепью (соответственно В(у)-ц»пмо) назовем такую аль ер
пирующую (//0-а)-цепь, в которой ребро инцидентное вершине о,
есть 1-ребро (соответственно Б-рсбро)
Вершина у. оппчная от и, называется 0-вершиной, если не с\
ществус'1 альтернирующей (ил-и)-цепп. Если любая атьтернируго-
атьтерниругощая (Wrt-^)-ueiib является Л (е)-цепью (соответственно В (v) цепью),
то вершина v называется Л-вершиной (соответственно В вершиной).
Наконец v называется ЛВ-всришной если существую! и Л (и)-
цепь, и Л f«и)-цепь.
Очевидны следующие \тверж1ения
A) гсякая вершшга смежная с и}, является ити В , ити Л5-вер-
шиной;
B) не якая вершина, смежная с 0 вершиной, является ити
В-} или О-вертпиной,
C) всякая вершина, смежная с /I-вершиной, явтяется или В-,
и пи А В вершиной;
D) если -4-ребро инцидентно Лб-вершине, то дррая вершиты
этого ребра также есть 1В-всршина,
E) если одна из вершин Л-ребра якляск.я Л-вершиной (б-вер
шиной) то другая 5i кинется В -вершиной (Л-вершиной)
Кроме того, еправедчиво \тверж!епие-
F) всякая В вершина ипци ieirn:a какому-нибудь 4 ребру
В самом деле, если бы не ко sop? я В -вер шина t0 была инцидента
ю,и ко /J-рсбрам, то в B(v{i)-\whm можно было заменить все Л-рсбра
на В ребра и обратно и получить Л-ребер в графе О больше, чем
было раньше, что противоречит выбору множества Л
Учитывая утверждения E) и F), заключаем, что
G) Тчэждон /?-псршннс соответствует единственная Л вершина,
соединенная с ней Л -ребром (грилем равным Zi-вершипам соответ
ltbvk)t разные А вершина)
Обозначи\1 множество всех В вершин через 5 и рассмотрим граф
О—S В силу утверждения \2) любая компонента граф-i G—S, со-
содержащая 0 вершину, состоит только из 0-всршин
Покажем, что любая другая компонента графа G—S нечетна и
удовлетворяет только одному из следующих условий:
а) компонента сочержит вершину и> и ен^с быть может, А В вор
шипы

НО 1ллв ч
0) компонены содержит в точпост одн\ Л-вершину и еще бьи»
может, /1В вершины.
Если Р — некоторая простая цепь ю ее (//-¦сО-ноцкпь мы
будем, как обычно, обозначать [и, г|
Пусть Я — компонента графа G—S. содержащая А В вери'ин \ v
и не содержащая вершину и» В А (о)-цени рассмотрим подцепь
[и0, г] где^о^Я, но Iiv и\ —t\> содержит только вершины, принад
i ежащие компоненте Я Очевидно что v0 есть Л-вер шин а и ребро
к1о1ц цепи [г\>, и] есть Л-ребро. Поэтомч (на основании утверждения
E)) &\> является Л-першшкм.
Далее in утверждений A) и C) вытекает, что если с\ шествуй
компонента Я. п которой содержадся либо две /1-вершины, либо
вершина ы,, и Л-вершина, то в Я найдется по крайней мере одты
Л S-вершин а. Гак как каждая 45-всршина инцидентна какому-
либо (одному) /1-ребру, то в силу утверждения D) п каждой такой
компоненте Я содержится че1ное число ЛВ вершин (которые можно
разбить на пары, инцидентные одному и том\ же Л-ребру). Пусто
uL есть Л вершина компоненты Я, содержащей еще либо вершину и,,
ч ибо другую Л-вершину ТС Я рассмотрим А В вершину vL, смежну п
с Wi Так как uLVi есть Л-ребро и А{Ъ|)-цепь Р{ проходит через и
(в противном случае существовала бы бО^цеиь, содержащая
Б-ребро «jt']), то любую вершину v подцепи [ии V\\ пени Р1л отлич-
н\ю от uti можно соединить с вершиной иг альтернирующей цепью
чежащей в Я и оканчивающейся Л-ребром (Л-ребро инцидентно
вершине и) Если и Я существуют 4 В- вер шины, не принадлежащие
[и и t\], то среди них найдется верш и [{a v-2, смежная с некоторой
вершиной v подцепи [w,, t\ I, причем v2v' есть В ребро Рассматривая
4 (и.у) цепь Р-> (она проходит через вершинч и{) и беря подцепь
[г/,, и*], снова заключаем, что 1юбую из «новых» вершин можно
соединить с вершиной и{ альтернирующей цепью, .иожлтцей в Я
и оканчивающейся А -ребром. Продолжая описанный процесс,
мы (через конечное число шагов) получим альтернирующую цепь
[tt[, ол], в которой Л В- вершина uj инцидентна Л-ребру п смежна чибо
с вершиной t/n, либо с Л вершиной «2t отличной от их. Нсли к. смеж-
смежна <. и», то цепь UnW-l-lw, и}\ является В (г^-цепыо. Это противоре
чкт тому, что tii ecTi> Л-FiepnjRHa Пусть теперь w смежна с Л-вер-
шиной и2. Рассмотрим некоторую Л («,) цепь. Выберем ica ней вер-
вершину w' так, чтобы т ^ [«.,, w\—n>u*-\uL, и*} и в подцепи [и„, w \
не было других вершин, обладающих этИхМ свойством. Тогда либо
[«о, х'1 — f!?.'', ttj, тнбо [«„, ^"'j + lty', ?/2] есть В (tii)-\i,eub Это про-
противоречит тому, что ut и м» являются 4 вершинами
Итак, если компонента Я графа 0—S не содержит 0 першин, то
она нечетная и содержит (кроме, быть может А В вершин) или толь
ко одн\ 4-вершин\, или тотько вершину ил. Таким образом число
нечетных компонент графа GS превосходит по меньшей мере на
единицу число Л-вершин Но тогда, учитывая утверждение G),

ФАКТОРИЗАЦИЯ
заключаем, что JS|, г е число В вершин меньше числа нечетных
компонент графа G—S Теорема доказана
Граф G, представленный на рис 9.3, имеет чежос чисто вершин,
но не содержит 1 факторов; в самом деле если из G удалить мно-
множество ?-:{уь Vi}, ю остаются четыре изо тированные вершены
(и, следовательно, четыре нечетные ком-
компоненты).
Установив критерий с>шествования
1 фактора в данном графе, Татт 15] смог
охарактеризовать графы, имеющие ост ов-
овны й подграф с заданными степенями
вершин л затем (Татч [61) доказал, что „ п , ~ .
' v f Рис 9 3 Граф, не имеющий
этот результат следует непосредственно 1 фактора
из теоремы 9.4.
Перенумеруем вершины графа G и рассмотрим на множестве
V вершин графа G функцию /, принимающую неотрицательные
целые значении П\сть Л и Т — непересекающиеся подмножества
множества К, Я — компонента графа G — (SuT), а д(И,Т) —
число ребер графа G, соединяющих вершины компоненты И с вер-
вершинами из Т Обозначим через k,(S, T) число таких компонент И
графа 6—(S U Т), что сумма q{H, Т) У / (и) нечетна.
I еирема 9.5. Пусть G — данный граф a f — функция, опре-
определенная на множестве V вершин графа G и принимающая неотри-
неотрицательные целые знамения. Граф G имеет остовный подграф, степени
ее рикш которого описываются с помощью функции f} тогда и только
тогда, когда существуют такие несвязные множества вершин S и Т,
что
/(«)< kb[S, 7V ^ If M -do-
2-факторичация
Если граф 2-факторизуем то каждый его фактор должен быть
объединением непересекающиеся (но верпшнам) циклов. Если
2-фактор связен, то он является остовным циклом 1), Мы виде ш, что
полный граф 1-фак1оризусм тогда и шлько тогда, когда \ него
четное число вершин Поскольку в 2-фактор из у емом графе все
вершины должны и.меть четные степени, полный граф К%п ие яв-
является 2-факторизусмым. Нечетные полные графы 2 факторияуемы,
бочес того, справедлива
Теорем i 9.6 Греф К2ч^-1 можно представить в виде суммы п
ост овны х циклов.
гпмятьтопопым циклом.— Прим fie пев

112
Г. JAP,
Доказательство Для toi о чтобы в графе К..,п f. пост роить и
остовных циклов, непересекающихся по ребрам, перенумеруем
сьачала его вершины v}, v,?, . . . . v,n^ 1ш На множестве верипт
и(, с-'а, 127i зададим л непересекающихся простых цепей
Рг—v( v 1 v 4-1 Vi...» и^
_n
следующим образом: / и вершиной iiv.uu Р( является вершина vh,
г ie k -1 ,- (— 1V+1 [ / ;2 ] все и нле кеы п р! т ходите я к числам 1, 2,
2/i по модулю 2/z.. Остоиный ц]п<л Z, .можно поручить соединив
вершину У3»-гт с концевыми вершинами цели Я7
9 4 2 ф^кторизтия 1рафа К,
Эта конструкция иллюстрируется на графе К?, приведенном на
рис 9.4 Ребра цепей Р( указаны сплошной линией, два дополни-
теиьшлх ребра — штриховой
Существует разложение графа К.ц как бы дополняющее содер
жание теоремы 9 1
1 е о р е м а 9 7 Полный граф /С_, можно представить в виде суммы
некоторого J фактора и п—\ остонных циклов.
Конечно, каждый регулярный граф ^тепени 1 есть уже )~фак
тор, а каждый регулярным граф степени 2 — это 2-фактор. Если
любая компонента регулярного графа G степени 2 является четным
простым циклом, то G также 1 факгоризуем, поскольку его можно
представить в виде суммы двух 1 факторов Если кубический граф

ФЛКТОРИЗШНЯ
кмеет 1-фактор то в нем обязательно есть 2-фактор, чо существует
много кубических графов не имеющих 1-факторов.
Граф на рис 9.5 имеет три моста. Петереен [11 доказал, ито лю-
любой кубический граф не содержащий 1-факторов должен иметз мост
Теорема 9.8. Любой кубический граф, не содержащий мостов,
можно представить в виде суммы 1 фактора и 2-фактор а
Петер сен показал также, что этот результат нельзя \силшь,
приведя кубический граф без мостов, который не ннлясгся суммой
трех 1 факторов Это г хорошо известный граф приведенный на
P ic 9 6 Граф Петер'
Рис. 9.5. Кубический граф
не имеющий 1-фактора.
рис. 9 б, называется графом Петерсена По теореме 9 8 он представ
тяст собой сумму 1-фактора и 2-фактора. Пятиугольник и пента-
пентаграмм (пятиконечная звезда) образуют вместе 2-фактор, а пять ре-
ребер, соединяющих пятиугольник с пентаграммою, дают ] фактор
Критерий разложимости графа на 2-факторы также бьп полу-
получен Петер сеном [1]
Теорема 99. Связный граф 2-фактор и зуем тогда и только
тогда, когда он регулярный граф четной степени.
Древесное гь
Л1ы рассмотрели пока только один inn факторизации, а я моим о
когда каждый фактор является я-фактором. Исследовались и дру-
другие типы факторизации, один из них мы приведем сейчас, а. осталь-
остальные в гл. 11. Любой фактор G можно представить г» виде суммы остов
ных тес об, просто положив, что каждый фактор содержит только
одно из ц ребер графа (/. Естественно во5никает задача: определить
наименьшее число непересекающихся но ребрам оечовных лесов
на которые можно разложить граф G. Это число называется древес
костью v обол на ч а етс » У @). И а п р и мер 1' (К J - 2 11 У (К:>) - 3,
на рис. 9.7 показаны мшшматыше р;.тожения этих графов на
остовные теса

114
ГЛАП\
Формулх для Oii род ел они я древесности произвольного графа
получил Нш! Вичьямс [21
Рис 9 7 Миниматьные разложения па остовнью леся
Теорема 9 10 Пусть G— нетривиальный (руд)-граф, а д1г—
наибольшее число ребер в подграфа* графа Gen вершинами Тогда
Неравенство Г((?)>шах {qjin—1)} можно установить стед\ю-
п
щим образом Посколькх G имеет р вершин, наибольшее число ре-
ребер в остовны\ лесах графа G равно
р—1 Отсюда наименьшее возможное
число остовных лесов, необходимое
для заполнения графа G, которое тго
определению есть Г(G), не меньше
чем q!(p—1) Но древесноегь графа
О—целое число, так что У (G)^
/(р—1)} Доказываемое неравен
вытекает из того, что Г (G)^ Г (//)
для любого подграфа И графа G.
Среди всех подграфов И с и </?
вершинами max У(Н) достигается на
тех из них, которые порождаются под-
подграфами содержа!ними наибольшее
число ребер. Таким обратм, если Н —
подграф графа G, то I (H) может быть больше {</{/" ~Ш Это рас
Рг'с 9.8. Граф. имеющии пол
ный подграф Н
сужденяе иллюстрир\ ет граф с /? ^ 10, q=l5, приведеыный на рис
9 8 Положив п — Ъ и qn — \0 {дтя Я—/<,) получим

фактонплци i
Ясно, что дли К-,, напбо тьшее значение */.. достигаете, л при п ~ру
стк уда i' (' К}.) ¦- {/; 2}. А н ;о .л огп чн< дл н j i o.:i н ого д в у ло л ы i oi о 1 р афа
Л' н а i1 бол ьш ее ¦; н а че a i j с iqi: (>; - !)} . к х:т и г а етс я ирп а ¦¦- р -- /- ¦¦ s.
С ieдел вис 0 10 id). Древесноапи полных и полных овудольных
г рифт оавны Г (/(,) ^{/?/2}к Г (Л';. ,.)"¦¦ {rs/(r , s— 1)} соответственно.
Хотя формула Н.^Ш'Вильямсл даег наименьшее число остов пых
лесов, на которые можно фактор и зов ать произвольный граф, при-
приводимое им доказательство не содержит метода позволяющего по-
тучать соответствующее разложение Бапнекс [II ликвнднрова i
Рис 9 9 Минимальное ртзложенке графа д;| на асговные лес
этот пробел для сл\чаеп полных и почньл двудольных графов Опи-
Опишем предложенный им мето! разложения пол ныл графов. Тля
р — 2п грЕ-'ф Л'}. разлагается на я остовны\ цепей: j сренумеровав
ьерппшы и, v.-, . v.2n рассмотрим те же п цепей
которые испочь^оватнсь при доказательстве теоремы 9 6 Для
р — 2п i-l дрепесмость графа У\? равна /;-+-1 в силу следствия 9 К) (а)
Мы поручим нужное разюжение если к каждой из цепей Pt до-
добавим новую вершину и.2!1 , и построим еще звезду, соединяя У2„ *г
С(, ве.емм 2л вершинами tv Случаи р= 9 показан на рис 4.9. Легко
видеть, что это разложение состоит из звезды одной in вершин
графа Кч и осговных подлесок соответствующих приведенным выше
четырем остов кым простым цепям графа Д'а

I ) b [\1ЛЗ\ Q __^_
Упражнения
9.1 Граф Кц имссг гдлистертую ]-факторизацию Пантп итсло 1-факторн'
наций графов Д':(,й и А',,.
9.2 Указать i-фа ктор и.-s и u.s.k") i рафа Л..
9.3 Число 1-факторов гр^фа K.in раки о {2n)\.'C2'4i':).
9.4 Граф Kqu-<> имеет 3-фякторизяцию
4.5 При п:-;<¦[ граф К4п_-\ 4-факторюуем
9.Ь. Используя теорему 9 4 (Тлт) показать что «рчф изображенный на
рг< !).5 не: имеет 1 фактора
9.7. Ее: ли п- связны и граф G с четным чистом вер лип явтяется регулярным
графом стслетггг я, то он vv.ee i I-фа к тор. сТ^тт B1)
9 8. Пусть (/-—граф с 1-ф;ж горой /"¦. Ребро [рафа 6 содержится пе менее
Г1ем в двух 1-факторах ruj-да и только то г д и, когдт оно аринадлежнт простому
циклу, у которого ребра альтернативны в F (т. е попеременно принадлежат и не
принадлежат F)
(Байнеке и Пламмер III)
9 9 Представить граф /С,, is имде cvvimi.i 1ет:>греч octobi ых простых ькклов.
9.10 Является in граф Лет^реепа гамп li топовым?
*У. 11. Для любых iitibfY d.r^-3 i ^.-^3 с> титл у ft ipacj) G обладающий еле-
т\ ю ш и м и оно и с т н a vi и
l)G— регулярный граф степени d
2) обхват графа О равен g;
3) граф G п)мильтор{об;
4} циклм длины g не имеют общих peGtp и образуют 2-фактор грлф1 A\
5) <7 можно представить в виде суммы указанного выше 2-фактора н id—2)
1 факторов
9.12. Привести \ цкн^йлыю( рт^ложеиие грйфа Л', 1 на остонные теса
9.1о Найти iidHMenumnK ссязпыл [р q) f ряф 6 для которого
"¦ им I р—1 Г
/.— наибольшее чкето peOi р в шлбо\[ ето порожденном подграфе с / ьер

Г шел 10
ПОКРЫТИЯ
Д?»(лс;Ч прямой, rip;?\o/uiT только
однс гтр?< и;ш, не имеюп чя аб1Ц)«х
TU4LK С /ulFUffU lipPMUK.
/: <<к ли и
.iiot>,\K) точку, н лежащую на
.ijj!m г •¦!•*. прямом. j-si1 прл\с:д|:т ля
точек >: данной прямой.
лкMуц> топ к. у, не лежащую и а
u;iiirm«< прямой, проводит более (»дк;>й
iijLMo/?r н<? имеющей <'шщ.нх
с данной прямой.
Б
Гстественно сказать, что ребро л —по грс1фа 0 покрывает вершины
и ь v. AwiiAOYvmtio можно рассматривать каждую вершину как по-
крытье всех инииде]ггных с ней ребер. С этой точки зрения опреде
1 я юте я два инварианта графа 6': минимальное число верш к я (ребер)
которые покрывают все ребра (вершины). Два других инварианта —
это наибольшее число несмежных ребер и наибольшее число не
смежных вершин Эти четыре числа, связанные с произвольным гра
фом, >дов'1етпоряют некоторым соотношениям, и и\ рассмотрение
приводит к изучению особых вершин y ребер, называемых крити-
критическими В свою очередь последние позволяют Евести естественным
образом 1ва специальных подграфа графа 6\ называемых реберным
ядром и вершинным ядром. Критерии существования таких пол-
графов фор.мулируются в терминах cboi-jctb покрытий графа.
Покрытия и независимость
Б уде м говорить чт о ребр о и в е р ш и и а покрывают друг др у га. сел и
они инцидентны Множество вершин, пежрынающее все ребра гра-
графа G. называется вершинным покрытием графа (?v а множество ребер,
покрывающих все вершины, называется реберным покрытиел1 гра
фа О Наименьшее число вершин в вершшшцх покрытиях графа 6
} j а з ы в а ет е я его числом вершинного покрытия и обозначается а 0 (G)
ит о0. Аналогично наименьшее число а, F), или alf ребер в ребер-
реберных покрытиях графа G панЕ.шаетси числом реберного покрытия.
Например ао(Кр)--р—1 и а1 (А"?,)--((/? '- 1);2J Bepuuimiocпокрытие
(реберное покрытие) называется наименьшим, ест оно одержит

Г Л АН Л [О
ci0 (соответственно а,) элементов Заметим, чю вершинное по крыше
может быть минимальным, не будучи наименьшим; на рис 10.1
приведено такое множество, состоящее из 6 вершин, не являющихся
точкам л сочленения То же самое справедливо для реберных покры-
покрытий; примером служит множество из шести ребер, инцидентных точке
сочленения
Множество вершин графа G называемся независимым, если пи
ьакис две из них не смежны Наибольшее число верпщн в таких
множествах называется вершинным числом незави
симости графа G и обозначается P0(G) или ро Аи а
логично в независимом множестве ребер х) i рафа G
никакая пара ребер не смежна, а наибольшее число
ребер в таких множествах называется реберным
числом независимости и обозначается р F) или р(.
Для почного графа §<,{Кр)--\ и Pi (/Ср) ~ip 2] Оче-
Очевидно, что fiy{G)-=r-p/2 тогда и только тогда, копа
G имеет 1-фактор Для графа G показанного на
рис. 10.1, Po(G)-2 и р, (G) - 3
Для отого графа, а также для графа Кр легко
>бедиться, что а,--$> =cf.l—р,=р Галлаи 121 дока-
зач, что это справедливо всегда.
Теорема 10 1 Дгя гюбоео нетривиального связного графа G
Put WA. Граф
Доказательство Пусть .Мо— произвольное наибольшее не-
независимое множество вершин так чю \М J— Р„. Поскольку никакая
пара вершин множества -'Ио ребром не соединена, то оставшееся
множество р —ри вершин образует чакое вершипное покрытие графа
G. что я<)^.р—рУ С другой стороны, если Л„— наименьшее вер-
вершин iioe покрытие графа G. то никакою пар> остальных р—а0 вер
шин графа G нельзя соединигъ ребром постом) множество V—Л 0 не-
независимо. Отсюда р0 ^ р—а(Л, и первое равенство доказано
Дли доказательства второго равенства рассмотрим независимое
множество Mi, содержащее р, ребер. Тугда реберное пежрытие У' по
стучим, если возьмем объединение множества /Wj и множества тех
ребер графа G, которые шшпдентны вершинам, не покрытым ребра
ми множества VI, Tjk как |Д/,1 г \) \--р и \Y\^atf то сс} — рт^/?
Дли доказательства противоположного неравенства рассмотрим на-
наименьшее реберное покрытие /V( графа G. Ясно что Л;г не .может
содержать ребро, оба конца которого инцидентны другим ребрам из
Л7Т. Отсюда следует что Л', есть сумма звезд графа G (рассматривае-
(рассматриваемых как множества ребер) Если в каждой из этих звезд выбрать по
одному ребру, то получится независимое .множество W ребер. Так
^} В книге Б ер ж a i2| н^закисимис многое г но hepunni (соответст[1ен[ю
ни бываете я внутренне (соответственно внешне) устойчивым.— Прим. пере.п

как [ V1 ] -1- i W1 ¦ р и | W j -С я 1, то с i |3j ^ р, и доказате т ъство i e
оремы закончено
Хедетнмеми flf заметил, что метод доказательства первого ра
вепства, о:0-гР,-,— р можно распространить на более общие утвер-
утверждения. Свойство Р графа 6 называется наследственным ос:л и каж-
каждый подграф графа G также обладает этим свойством. Примерами
наследственных свойств служат такие свойства графа, как вполне
несвязность ацикличность, дну дельность. Множество S вершин
графа G называется Р-множеством, сети порожденный подграф
NS/ обладает свойством Р и Р-множеством, если каждый подграф
графа G, не обладающий свойством Р, содержи! вершину из S
Пусть ра(Р) — намботьшее чисто Р-множесте графа G и а{ (Р) —
наименьшее число вершин в Р-множествах графа G Непосредствен
по аз доказательства теоремы К) 1 вытекает
С тедствие 10 1 (а) Если Р — наследственное свойство графа G,
то aft(/>) + P (P)-p
Набор независимы л ребер графа G иногда называют паросоче-
танием графа G поскольку такой набор определяет разбиение
множества верiпни графа па пары вершин, инцидентных ребрам на
бора По этой же причине множество, имеющее pj независимых ре-
ребер из 6, называется наибольшим паросочетанигм графа G. Дтя я^у
юльпых графов можно сказать больше. Следующая теорема, пол\ -
ченная Кёпигом f 11, тесло связана с его теоремой 5.18 о системах раз
личных представителей, которая была сформулирована в матричной
форме; на самом дете это от,иц и гот же результат
Теорема 10 2 Для двудольного графа G число ребер в наиболь-
наибольшем паросонетании равно числи вершинного покрытия, т е рх -%
Задача о нахождении наибольшего паросочетания (так назы-
называемая задача о паросочетаниях) гестю связана с -задачей о нахожде
нии наименьшего вершинного покрытии
Пусть МсА F) — паросочетанче графл G. В альтернирующем
М-маршруте точно одно из двух последовательных ребер принад-
принадлежи т Л1 Совершенным Л1 -мdри.spvтом назьшаетея альтернирующий
М-маршрут, концевые вершины которого не инцидентны шг одному
ребру из М Такой маршрут должен быть простой цепью, поскольку
VJ — паросочетанне. Если в С нег совершенных VJ-маршрутов, то
паросочеталпе /V! называется несовершенным Ясно что каждое на-
наибольшее ларосочетамне — несовершенное обратное утверждение
было установлено Бержем [II, а приведенное \\\\ж^ доказатетьство
принадлежит Норману и Рабин\ III
Теорема 10 3 Каждое несовершенное паросочетание челяетсн
наибольшим.

120 г т \ и л 1 и
Доказательство. Пусть Л-1 — несовершенное паросочетание;
выберем наибольшее щ-фосочетапнеЛ'Г, для которого число \М—ЛГ \
ребер принадлежащих М и не принадлежащих ЛГ', минимально.
Бели это число равно нулю, ю М ~МГ В противном случае на-
настроим маршрут V/ нанбочыпеи длины, ребра которого попеременно
принадлежат то VI—М'у то М . Поскольку Л-'Г— несовершенное
паросочетанне маршрут W не может начинаться и кончаться реб-
ребрами из М—-М и поэтому имеет одинаковое количество ребер из
М—VI' и М' Образуем теперь наибольшее паросочетание Л' из
VI , заменив ребра из W, при надлежащие АГ, ребрами н?> W, при
на длежащи мн М—М Тогда JМ —N |< \М — II' J что иротнворечиi
выбору гтаросочетапия №' Теорема докатана
Норман и Рабкн 111 разработали па основе приведенной ниже
теоремы 10 4 алгоритм нахождения иеех наименьших реберных по-
покрытий данпого графа. Пусть Y — реберное покрытие графа О.
Альтернирующий У-маршрут называется Y-сводимым, сели его
концевые ребра принадлежат Y л концевые вершины инцидентны
тем ребрам из Y. которые не являются концевыми ребрами этого
маршрута Очевидно, что любое наименьшее реберное покрытие не
содерж ит с б о ;i им ы х ма р ш р утов
1 с ор ема 10.4. Если Y — реберное покрытие графа G не имею
wee Y-сводимых маршрутов, rnoY — наименьшее реберное покрытие
Инварианты покрытий «0 (G) и at(G) /рафа 6 опредетяюг coo'i
ветственно число вершин и число ребер, необходимых для покрытия
всех ребер и всех вершин соответственно Мы можем также рассма
грииать любую верп? и и у как покрывающую себя, а две иергтгины —
как покрывающие друг другу, если они смежны; аналогично для рс
бер Тогда сами собой возникают несколько новых инвариантов
Пусть ат— наименьшее число 1) вершрн, необходилгых для по
крытпя множества V и а'т- наименьшее число независимых вер-
вершин, покрывающих I . Оба этих чиста определены для произволь-
произвольного графа. Аналогично определяются числа сси и а1Л для покрытий
ребрами Гупта [1! исслечорач взаимосвязи этих инвариантов
Теорема 105 Для любого грифа avil <^ а'(_,0? о п —
Критические вершины и ребра
Очевидно, что если Я - подграф графи О то rzn (И) -^ сс0 (G)
В частности, ^ю иеравспстьо справедливо, когда И 0—и для лю
бон вершины t, илii IJ—-G—v д \ц любого ребра \ Ести v0 [G—и
f-'f
fll>
nu j f> - аггелом risv-
УСТОЙ ЧИ1ЮС7М.

ПОКРЫТМЯ J2[
то о называется критической вершиной1), сслна0 F—
0 (G), ю v называется критическим ребром графа 6 Ясно что
если с и v критические, то «0 (G—ф-о^ (G—л')^-с^ — I Легко оха-
охарактеризовать критические вершины.
Теорема 10.6 Вершина г является критической в графе G
тогОа и только тогда, когда некоторое наименьшее, вершинное по
к р ыт и е содерж шп и
Доказательство Ьсли М - наименьшее вершинное иокры-
]\\0: 0, содержащее у, то М — {v} покрывает 6 —и: отсюда
пу) (С- -L1) ^_" | М — {v} I ¦ \М \—1 --- г/! (С) — 1 так что i, — кр и г и ч е -
екая вершина в G
Обратно, пусть v — критическая вершина графа О Рассмотрим
наименьшее верши]шое покрытие М' для G - г. Множество М' U {^'}
есть вершинное покрытие для G. и поско !ьку этемептоь в нем на 1
больше, чем в М , оно наименьшее
Ьсли удаление ребра л"- мс и^ графа G уменьшает число вершин-
вершинного покрытия, то удаление вершины и или у должно приводить к
г pad) у с меньшИхМ числом вершинного покрытия Таким образом,
если ребро критическое, то оба его конца критические. Если в гра-
графе есть критические вершины, то это еще не значит, что он должен
иметь крщическис ребра; например, каждая вершина графа С4
критическая, а критических ребер в Сх нет
Pnl П.). 2. Ребер ко критические грчфы
Граф в каюром каждая вершит критический, называется
вершанно-критическим. Аналогично ребер но критическим графом
называется граф каждое ребро которого критическое Таким об-
образом, граф G вершинно-критический тогда и только тогда, когда
каждая его вершина принадлежит некоторому его наименьшему
вершинному покрытию Из предыдущих замечании следует что
каждый ребер ло-критичсский граф является вершит ю- критиче-
критическим. Примерами реберпо-крптнческих 1ртфоисл\жат полные графы
простые циклы нечетной тдпны и графы, показанные hi рис 10 2
-1) Б .этой глгж. термин «критический» относится к покрытию, в гл. 12 этот
крчин вводится для раскраски. Смысловое значение ясно из контекста.

Vll
В настоящее время нет конетр\ктивно! о критерия, позво шю-
тего определять является ли грзф ребер но-критическим; од
на ко два следствии из теоремы 10.7 принадлежащей Байпеке,
Харари ь Пламмер\ [11 дают некоторые необходимые ус-ювия Д'1Я
таких графов
с АО
10.3 l раф и его реберное я
Теорема 10.7. Любые два смежных критических ребра графа
принадлежат нечет нош/ простому ци клу
Следствие 10.7 (aj Каж ды й ребер но кри т и чес кий гр аф яв -
ляется блоком, в котором яюбьи два смежных ребра принадлежат
нечетно/ty простому цикяц
Теорема 10 7 была получена как обобщение счед^ющего резуль-
результата Да-1ме-^ж«а и Мепдетьсопа 41
Следствие 10 7 (б) Любые два критических ребра двудомного
графа независимы
Реберное ядро
Реберное ядро г) Ct (С?) графа О есть подграф графа G порожден
ныи объединением таких независимых множеств У ребер (если они
есть), что |У |—сх0 (G). Это понятие было введено Далмеджем и Мен-
Мендельсоном II), которые посвятили ему целую часть разработанной
ими теории разложения двудольных графов Граф необязателььс
имеет реберное ядро Однако в силу теоремы 10.2 всякий двудоль-
двудольный граф, отличный от вполне несвязного, имеет ядро. Пример
графа, не имеющего реберного ядра, дает нечетный простой цикл
Ср. Для него ин(СГ)^(р—1)?2, a f>, (Ср) = {/?—}) 2, гак что в С,, не г
ребер но tx) ядра
Харари и Птаммер J2] нашли критерии, позвотяющий выяс-
выяснить, имеет ли граф реберное ядро Наименьшее вершинное покры-
покрытие М графа G с множеством вершин V насыпается внешним,
если для любою подмножества уИ'г.^М выполняется неравенств
\М' J^ \U (М')\, г;;е U(M) — множество вершин из V — М смеж-
смежных l вершинами и^ М'
1) Н а ты з а ег«. ¦ оо Д з п м е;ч .чс^ w и
сто «ядром».
;; ,гче л ьс^с к ом 11'! ¦: X г р а р л и Пл л \т iv ер о м f i \ - ро

покрытия
123
Теорема 10.8 Дгя произвольного графа G следующие утвержде-
нич же и валешп ны.
{]") О имеет реберное ядро
B) G имеет внешнее наименьшее вершинное покрытие;
(,'J) каждое наименьшее вершинное покрытие для G является внеш-
внешним
В качестве примера рассмотрим граф, изображенный на
рис 10.3 Этот i раф имеет два наименьших вершинных покрытия
Mi = {v-if v*, vH} и М2- {v?. y5, v7} Исследуем М2 Если Mt—-Л'1Ь
то U(М;) - {v, Vi, Vi, v7) Далее, U(MI)¦- {v:i>г>г, v-} где М\ =
- {v*, и e} Мы вид и м f g то |Л1; |< [ О (М ;)\ и | М \\^\U (M Э L и
это верно для пюбого подмножества из Mi. Таким образом, по опре-
определению Мх— спешнее покрыто Очевидно, что И2— также внеш-
внешнее покрытие
С другой стороны, существуют графы, которые совпадают со сво
ими реберными ядрами Семейство таких графов характеризуется
приведенной ниже теоремой, доказанной в работе Харари и Птам-
мера [21. Следуя терминологии Далмеджа и Мендельсона [1|, рас
смотр им двудольный графС, v которого множество вершин V есть
объединение непересекающихся подмножеств S пТ. Будем говорить,
что G — полу несводимый граф, если G имеет точно одно наименьшее
вершинное покрытие М, причем или М П 5, или М(]Т п\сто
Далее, С— несводимый i раф, если он имеет точно два наименьших
вершинных покрытия МЛ, Мъ причем или Mt П 5 и М2 П Т пусты,
или Mi П /' и \45nS пусты. Наконец G —сводимый граф, сечи он
не явтястся ни поiyнесводимым пи несводимым.
Теорема 10.9. Граф G и его реберное ядро d (G) совпадают тогда
и только тогда, когда G чвгчется двудольным и не чегнется своди-
сводимым
V
С О'
Pjil 10 4 Лолу несводим w >a и несводимый графы
Рассмотрим двудольные графи G, и G.2, изображенные на рис 10.4.
D графе Gr пусть S^ -- {о.^ vi;) и 7\--- {vu uiy vlt v*, v7). Этот граф имеет
наименьшее вершинное покрытие A'h—{v^,o,-} и,

[24 ГЛЛ1И IU
поскольку .\11 [) I \ -0, он пол\ пе.сводтллГ!; следовательно он
совпадает со своим |'еберпим яд^^ом. 3 гр;-;фе (I, пусть 52 {и-i, и4. и:,\
и Г«— {и*, и-.-., iu}. В лем два наименьших вершшшьть покрытия,
именно Д1 L> ¦ - {и i, /< 4, г/ ' к ЛГ - {гг.. ^ .<, </,; \. Так is а к /И $ П 7 ^ - 0
и Л% f] 6'.. — 0, то 6..— несводимы li ipatjj и, чначпт сов г гадает со
своим реберным ядром
Упражнения
10.1. Доказать или еггров, pi -}\у-гъ. глждос иогмгшмюс ?!окрьп:г графа содор-
•кнг канмекьгкое вершинное* пок^ыпю.
10.2. Доказать или опровергнуть, каждое- nc'iii[) ген мое \ \ и о: vcjv.q ргбер ео-
держнтся и jj^jiOo.ii.iiii'm иез:)гяк'имо\т M;u),kec:iie реП(ч->.
П'»..';. ;1ля лю^О1и графе! С cnpMiir."."iiiDbj j;L'p:>:>L:Ji': ;бл t/,¦ {dY-•: ^ {6 i a-, Kr'i ¦
)Г'.4 Найти [,^об.\о„пмгх ч до^нгочнос х^ло^л^ iu;o. !T<i а; (f/'i— :|', @)
10..5. Если г.1. графе G нмоек'я ~;п; к пугая ц?\\ь со,(.ер,к;;:цаи r^-pta.icnoi: иокрь
тле, то ;;;:ub L @) ггзмнльтондк
10,0. Для любого графа О спрлксилпno hrj);-ii.H'.HxT|K> ii4(G\:;::±fr{Gi
10.7. Если с? — дкулады.ьш гр:!ф, Ti о^v u f> h j paiu'i-K'-'jsu лос: iirjeycv
то 1ько цля палш-тх дпудолт>лы\ i р;>фов.
10 8 Если 6' — по тигли / до iLrrL>ni граф, го
a) <jf|,---:6— у,—X,
6i fi — гамтгльтолов граф тпгди i. толь;.о тогда, когда /?^2ctM,
i'j> ссл|1 граф (/ не га>[ильтоки[к то суп окружение с равно ~2и.ц и он п\г«чч
i. динотг!е;1т:ое наименьшее нуршинное
(Чартпэид. Гол,]ер Хгдетитк'мл [2\]
10.9. а j Пусть Р;л — наибольшее число ]>epi:i[iH в лчюжествах Sal {С),
для которых граф!»; <.V; не езязльг. Тогда ла р— \\у,
о} LvVitr алалоглчло определить (>>¦ tcj /.— / -|"^
(X
10 !() ЦйГгпт
10.11. «Граф шахматного ферзя» kycot 64 кл^ткл ша\м<1тн<ж догьи в качеств!.
мно>1чества верши]!, п две его п.ершнпы смежны тогда и только тогда, когда клетка
еоот^угавуготля однай вершпно, достигается фергк'М яя один ход ii:j ьлотки, соо.-
вст с тну ю щс и д р у 1 -at \ в с р т 1; г. i е; а н а. i о г г i ч к о о j: р е. а: л я i а тс ч г [»а ф ы д ] v, г \ i \ т р с х ф 111 ¦ v p •
коня слона н пдьп Bj>i4ncjiHb «<|П для этггх чегирех графов."
(Pt:iikjiiMH можно uniiiTi в KiifiiL Бержп [21)
10 12 Числа мп ft,n к а. 0
Г) для г:окоторых тра||/ш ц(| < а'Г|Ь
и'! для некоторых графой <г'(„, < и,;
г) Д.'1Я некоторых графов а )<и'п.,
10.13. Доказать ii.tj: о'тронергнуть: к графо О ров'лп х кратнческоо тогда г
только тогдл, когдо еутеегп\ччг jsaii^.ioisbinee р-'пер)к>г- •'окрыпго. содсг>/'-:а-пес v
10.14. Доказать пли опровергнуть1 каждь:й чвусья^ный реберко-критпческин
] р 1ф гз\:лльт

покрьпия 125
JO. 15. Утверждение, обратное следствию 10 7 (a}, не и:раводлнпо. Построй!ь
блок, ке являющийся ре.берао-крмтическпм, в котором любые два смежных ребра
принадлежат простому циклу нечеткой длины.
10.16. Дерегю Г рашго своему реберному я ipy т<~>гда и ютько тог ^ когда
Т — черево OiOKQii. п точек сочленения.
(Хлрарн Пламмер [2])
10 17 Для любого графа G следующие мп^рждения 0K^>ina teJ-iTtibj-
A) граф G имеет реб^рко ят,ро-
B) ^@)^:^@):
C) a^Gy-^iG)
(Харарм, Пллммер \2})
10 18 Если О — li я^пыи граф, имеющий реберное ядро С: (G) то
а) С\ <G) — остовлый подграф сраф^ G,
б) CL((?, {G))--Ll{G):
в) компоненты ^дра Сг@) — двудольные подграфы граф! G m ян
{Карарп, Пл;щмер |2]}
10Л9 Если граф G имеет реберное ядро 01@), а й — двудольный подграф
ьЭ <?. содержащий Ci (С) как собственную часть, то В — сводимый сраф.
(Харнри, Пла\:мер 12])
10.20. Вершинным яаром C${G) называется подграф графа G, порожденный
объе.т.и(теня^м псе-к 11егтшс:,\у\ых :.лгожестп S, имеющих a, (G) вергнин. Граф G
содерчшт верт'пмш^ ялр(з тогда п только тогда когда он ммест реберное ядро.
(Харари, Пламл!ер [Lji
10 21 Если О—С,(О) то граф 6 имеет 1 фактор
(Харарл П л ал: мер [I])
10.22 Если 0 — регулярней граф степени п, то елтцестпует разбиение %:но
ж^ства его перш л к, содержащее не более 1 \-in:'2] таких подмколчеств, что каждая
вершггма гмс/кна самое больпsec с от,ной отли^пюй от кг:с вершиной того -<к^ под-
подмножества.

I'.iaea 11
ПЛЛНАРНОСТЬ
Вернемся на ррсмя вместе со мной к
равнинам Флатляпдии, и я покажу
вам тп, (I чс>1 вы часто говорили,
о чем д\м;$лн
Топологические аспекты теории графов были впервые выяв-
выявлены в 1736 г Леонардом Эйлером (V—1\- /;- 2) и затем к ним
не возвращались в течение 191 года Интерес к это»! теме возобно-
возобновился после того, как Куратовский нашет критерий, позволяющий
определить является ли граф пленарным 2) Другим пионером в ис
следовании топологических проблем теории графов был Уйти и. по-
получивший некоторые важные признаки ук тадки графов на тоско-
тоскости
В этой главе приведены все известные критерии план арности
В их число входят теоремы Понтрягииа — Куратовского и Вагнера
в которых планарные графы характеризуются в терминах запрещен
ных подграфов, результат Уитни о связи план арности графа с су-
существованием комбинаторно двойственього графа, данное Мак-
Лей ном описание плапарпости, в котором используется цикличе-
циклическая структура графа.
Бкодятся также несколько топологических инвариантов графя.
Для полных графов и полных двудольных графов определяется рот
графа, для «большинства» из з>ти,х графов — тслщииа, и только %1я
некоторых графов — чисто скрещивании
Плоские и планарные графы
Будем говорить что i раф укладывается на поверхности 5 ест и
его можно так нарисовать на 5 что никакие два его ребра не пере-
пересекаются Как уже отмечалось в гл. 1, мы будем использовать те])
мины") «вершины» и «ребра» дтя абстрактных графов и «точки-
л) hdwin A. AbboU, FUllana
-\ Л. С. Лонтрягин доказал (мо не опубликовял) к ритор nit планарносш сшо
в 1927 г. Кураторский Ml (незлвис:тмо от 11о;пряг;гнл) получил ^тот резул'.гнт i;
1930 г. Поэтому указавши критерпк мы ]unr>iii5(-v»r тсс^рсмои ПоктрягЕша - - Куря
то вс ко го, — Прим черев.
3) У антора — касГюрот. Мм п;геслн пзмсргсенгя. чтобы не возникло путплмцы.
Кроме1: того, если и я контекста ясно, о каких объектах идет рот. т> мы приточи
таем использовать термины «нс:ршина» и «ребро».— Прим. перев.

)l:au.\) ность
127
и «линии» — тля геомефичееких графов (уложенных на некоторой
поверхности) Граф называется планарным, если его можно уложит»-
11 а п. 1 о с кос т и, плоский граф — это граф, уже уложенный па m о с ко -
с г и Например, кубический граф. показанный на рис, 11.1. а, ила
парный, поскольку он изоморфен плоскому граф\, 1иображенном\
на рис. 11 1, б
Рис
11 2. Плоский
граф
а 5
Ргк, II 1 Шаяарши граф и его \ кладка.
Облает, определяемые плоским графом назовем его гранями
(или внутренними гранями): неограниченную область будем и азы
вать внешней гранью Если границей грачи плоского графа явтяется
простой цикл, то иногда под гранью будем понимать этот цикт
Плоский граф, представленный па рис. 11 2,
имеет две внутренние грани /,, f2 и одну внеш-
внешнюю/3. Из этих граней только/\. ограничена
простым циклом
Изучение плапарпых графов было начато
Эйлером в ею исследованиях полиэдров С
каждым полиэдром связан граф состоящий
из точек и линий полиэдра; этот граф на-
называется \-скелетом. Например граф Q есть
I-скелет куба, а /С2,2,2— это 1-скелет октаэдра Формула Эйчера
Д1Я полиэдров — один из классических результатов в математике.
Теорема 11.1 (формула Эйлера для полиэдров). Дт нового
полиэдра, расположенного на сфере и имеющего V точекt E гиний
и F граней,
V—Г F-2 (И 1)
Для 3-куба имеем V — 8, Е~\2 и F~=6 так что рагенство A1 Л)
выполняется; для тетраэдра 1' = /' —4 и Е~ 6 Прежде чем чоказы
вать равенство A1 1) в общем случае, переформулируем его в тсоре-
г и ко-графовых терминах Плоской картой называется связный пло-
плоский граф имеете со всеми его гранями Уравнение (И. 1} дли плоской
карты (с р вершинами, ц ребрами и г гранями) будет иметь вид
p~q-\-r=2 (ИЛ )
Лет ко доказать ^ту теорему по индукции Однако eooi ношение
A1 Г) было уже доказано в \\:\, 4, когда мы установили, чтоциктн-
ч ее кии раж т связного графа G определяется по формуле
m=q—р- 1

Будем считан,, чю i р^зф G дв\связен, поскольку, кал jcr^o пн-
деть, если соотношение A1 Г) выполняется отдельно для блоков
графа (?, то оно выполняется также и для графа G Таким образов
каждая гракъ плоской укладки графа G есть простой цикл.
дМы только что отметили, чю для плоской карты р-~\ и q--E
Осталось только связать т с /•. Покажем, что внутренние грани
пюского графа G образуют базис просты\ циклов для графа С,
число этих циклов, следовательно, равно т. Ребра каждого простого
цикла 7 графа G можно рассматривать как симметрическую раз-
разность граней графа G, содержащихся в Z Поскотьку внешняя грань
есть, таким образом, сумма по модулю 2 всех внутренних граней
(рассматриваемых как множества ребер), ясно, что m--F—I Сле-
Следовательно соотношение m — q^p—l переходит и ? — 1— E—V- 1
Из формулы Эи iepa вытекает много следствий
Следствие 11 1 (а) Если G— плоская (р, q)-карта. е которой
каждая грань является п циклом, то
<,-"-?_-¦?¦ (Н2.
Чо каяатс i ьство Посколы<\ каждая грань графа G оегь
«-цикл, любое ребро в 0 принадлежит двум граням ц каждая грань
имеет п ребер Тогда nr—2q Подставив это в A1 Г), получим иско-
искомый результат
Чаксама гьным п тнарныч графом называется граф который при
цобав ленин любого ребра перестает быть пин арным Подстановка
в A12) п-=3 и п^А чае-
Следствие 11.1 (б) Если G— максимальный плоский (р,ф
граф то каждая его грань является треугольником и q Зр—6
Если G — плоский граф у которого любая грань есть 4 uuki то
Так как наибольшим числом ребер в m ос ком графе облат-in
граф, у которого каждая грань есть треугольник, го получаем н -
обходимое условие план арности графа в терминах числа ребер
Следствие 11.1 (а). Если G — произвольный планарный (р, q)-
граф и p^S, то с/^'Зр— б Ест граф G двусвязен и не содержит
треугольников, то д^2р~4
С leiciBf-re 11 1 (i) Графы К и К. :.:< не являются танар<ньшч
Доказате чьей по 1 раф К., ^^тг, (оЛО)-граф и не может бьп i
илаиарным, так как ^=10> 9^3^— 6; для /C 3 имеем ^/=с)и2</—4=
= 8

ГПЛН\РП0СТ1 129
Как мы вскоре увидим, графы Ко и /С;м играюi ис ключ тельную
роль при характеризацип пл а парности графов I [рнведепш.гс выше
следствия очепь полезны в исследован л и пла парных графов в осо
беипости максимальных шанариых графов.
Следе тв и с 11 1 (д). Каждый п.тнарный гриф G с р^ i &риш
нами имеет по крайней мере четыре вершины со степенями, не ipe
вышающими Ъ
Ясно, ню 1раф пленарный тогда и только тогда, кот да клждая
ею компонента — иланарпын граф. Уигни [3] показал, то при ис-
счедоаании шанарногти юетаточно рассматривать двуевязпые гра-
графы
Теорема 112 Граф планарен тогда и только тогда, когда
каждый его блок планарен
Интуитивно очевидно, что любой планарныи граф можно уло-
уложить на сфере, и обратно. Это замечание позволяет попять, что пла-
иарный, грасЬ можно viожить на п чоскости многими разчичиыми спо-
способами
Теорема 113 Для гюбой выделенной грани / двусвязного пло-
плоского графа G найдется на плоскости изоморфный ели/ плоский граф,
у которого грань, соответствующая грани / будет внешней
Доказательство Пусть / — невнешняя грань плоского блока
G Уложим G па сфере и выделим некоторую внутреннюю относ.к-
тетьцо { точку (назовем ее «северньш гюлюсекм»). Проведем ка-
касательную плоскость к сфере через «южный полюс» и спроектируем
G на плоскость из «северного полюса» В результате получим то-
ский граф, изоморфный графу G, в котором / — внешняя грань г)
Слрдствие 113 (а). Для любого выделенного ребра планарного
графа найдется такая укладка этого графа на плоскости, что вы-
выделенное ребро будет принадлежать внешней грани.
Уитни также узка^ал, что каждый максимальный man арный
граф является б по ком Бочсе того, справедлива
Теорема 11 4 (Уитни) Каждый максимальный п тнарный граф,
имеющий ^^4 вершин, трехсвязен
Сущеегсуел пять способов укладки фехсиязною колеса XVг,
на плоскости один из них изображен на рис. 11.3, G, осталь-
остальные четыре — на рис 11.3, б. Однако на сфере граф tt^ можно ул¦:-
жить лишь единствсннЫхМ способом Э] о относится и ко всем трех-
связным графам (Ултни [41)
х) Обычно результатописаичого проектирования называют стерло рафическои
проекцией.
S Ля 141

[30
ГЛ.А[}А ]]
Теорема 11.5 Любой трехсвязныи а чанарный граф единствен-
единственным образом укладывается на сфере
IV5:
or 5
11 3 П тоски* ко чеса
Дчя того чтобы доказать необходимость тречевязмости, рассмо-
рассмотрим изоморфные двусвязные графы G7 и G2, представленные на
рис 11 4 Граф Gi укладывается на сфере так что пи одна из его
областей не ограничена пятью ребрами, в то время как G* имеет
две области, ограниченные пятью ребрами
Рис II 4 Две v кладки дв\связного графи к а плоскости
Полиэдр называется выпуклым, если отрезок прямой, соединяю-
соединяющий две произвольные точки полиэдра, лежи г целиком внутри
полиэдра Следующая теорема принадлежит Штейницу и Радема-
херу A1
Теорема 116 Граф является 1 скелетом выпуклого трехмер-
трехмерного полиэдра тогда и только тогда, когда он планарен и трехсвя-
зен
Одна из наиболее увлекательных областей исследований в те-
теории пленарных графов посвящена взаимосвязи между графом
как комбинаторным объектом и графом как геометрической фигу-
фигурой. Очень часто возникает вопрос о существовании специальной
укладки графа (при тех или иных геометрических ограничениях)
Например, Вагнер Ml, фари [1] и Штейн [1| независимо показали,
что каждый план арный граф можно уложить на плоскости так, что
каждое его ребро будет отрезком прямой
Теорема 11.7 Любой планарныи граф изоморфен плоскому
графу, у которого все ребра чагчютсн отрезками прямых

ПЛАНАРНОСТЬ
131
Внешне пленарные графы
Пленарный граф называется внешнепланарным, если его можно
уложить па плоскости так, чтобы все его вершины принадлежали
одной грани Обычно в качестве такой грани мы будем брать внеш-
внешнюю грань На рис II 5 показан внешнегтланарный i раф (а) и
две — (б) и {в) — его внешнеплоские укладки В случае (в) все вер-
вершины графа принадлежат внешней грани
а б в
Рис 11 5 Вкешнепчанарныи граф и две его пнсшнетпоские укладки
В этом разделе приводятся результаты для внешнепланарпых
графов, аналогичные результатам для п пан арных графов Аналог
теоремы 11 2 получаем немедленно
Теорема 11.8 Граф внешнепланарен тогда и тотько тогда,
когда каждый его бгок внешней ганарен
Внешнещанарныи граф G называется максимальным внешне-
планарным, есчи к нему нельзя добавить ни одного ребра, не тер я я
свойства внешней л ан арности Ясно, что каждый максимальный
внешиеплоский граф есть триангуляция много у го пышка а каждый
.максимальный плоский граф — триангуляция сферы Три мак-
максимальных внешней л оских графа с 6 вершинами показаны на
рис 11 6
а 5 в
Рис 11 6 Три максима 1ъных внешнетоскцт графа
Теорема 11 9 Пусть G— максимальный внешнеплоский граф
ср^Звершинами, которые все принадлежат внешней грани Тогда
G имеет р—2 внутренних граней
Доказательство Очевидно, что утверждение справедливо
для /?=3 Предположим, чго оно верно для р = п, и пусть G Ихмеет
р—п— 1 вершин и т внутренних граней. Ясно, что граф G должен

132
Г1\ВА 11
содержать вершннх о степени 2, принадлежащую внешней грани
Взяв граф G — и, мы уменьшим число внутреяьих граней на 1 так
что >п—\ и—2 В результате чисто внутренних: граней графа G
будет т — п—\ -р—2
Из этой теоремы вытекает нескотько следствий
Следствие 11 9 (а). Любой максима гьный внешне п тнарньш
граф G с р вершина ни имеет
а) 2р — S ребер
б) по крайней мере i\pu вершины со степенями, не превышающи
и и 3;
в) по крайней мер*, две вершины степени 2,
г) х(С)-2
Все плоские укладки графов К\ и A%,t выглядят так, как пока-
показано на рис. II 7: в каждой из них имеется вершина внутренняя
Р'/.с П 7 Запрещенные 1рафы для
ней п
относительно внешнего цикла Следовательно, ни К и ни 7B>з не
янляется и^езннеиланарным Заметим что они оба базисные (см.
Ч артрэ нд, X а р ар и [ 1J).
Два графа ]га::шнаются гомеоморфными, если их можно полу-
полупить из одного графа с помощью последовательности подразбиений
ребер Например, два простых цикла гомео-
морфны, на рис 11 8 показан граф, гомео
морфпый граф\ Кл
Теорема 11.10. Граф от п^чныи от
Ki- *\ енешнепшнарен тогда и только тогда
когда он не содержи?!, подграфов, гомеоморф-
ных К\ и ш К1 м
Часто бывает необходимо и важно изучить
Рис. P.S. Граф, ю дополнение графа обладающего заданным
иеоморфмый графу А, свойством Баттл\, Харари и Кодаме [1]
принадлежит счедующая ниже теорема о
пленарных графах, дающая достаточное условие того, что юполне
нко пленарного графа плаяарпо Более эффективно этот результат
был доказан Таттом illJ

mлнарность j 33
Теорема 11 11 Каждый п ханарный граф, у которого не меньше
девяти вершин, имеет неплана рное дополнение, причем 9 — на-
наименьшее число, обеспечивающее данное свойство
Эта теорема был.] доказана с помощью метода исчерпывания
Изящного или хотя бы достаточно приемлемого доказательства
этого факта пока не известно
Аналогичное исследование внешнешанарных 1рафов было вы-
выполнено Геллером [U
Теорема 11 12 Каждый внешнейланарный граф, у которого
не меньше семи вершин, имеет невнешнепланарное дополнение^
причем 7 — наименьшее число, обеспечивающее данное свойство
Доказательство Для доказательелва первой части доста-
достаточно установить, что дополнение любого максимального внешне-
пчанарного графа с 7 вершинами не является внешнепланарным
1J Ч Четыре \ш си\!альмы\ внеишеп.мачзрш )\ г^афз с 7 вершинам!
графом Это следует из того что существ} ют точно четыре мак-
максимальных внешнепланарных 1рафа с р~1 (см. рис 11 9) и допол-
дополнение каждого из них. как легко видеть, не явлжпся внешнепла-
iiарным. Минимальность вытекает из того, что (максимальный)
внешней л ан арный граф с 6 вершинами, изображенный на рис 11 6, б,
имеет внешнеплсшаргтое дополнение
Теорема Понтрягина - К>ратовского
До появления статьи Куратовского Ш х) характеризапия пла-
парных графов была труднейшей нерешенной проблемой. Приво
димое нами доказательство основано на работе Дирака и Щустера A ]
Теорема 11.13. Граф планарен тогда и только тогда, когда
он не содержит подграфа, гомеоморфного /С, или Kiyy.
Доказательство Графы К., и KUi кепланарны (следствие
И 1 (г)) Поэтому, если граф содержит подграф, гомсоморфный лю-
бом> из них, он также непланареп.
Доказательство обратного \тверждеття (достаточности) значи-
значительно труднее Предположим, что достаточность не имеет места,
1) См. примечание на стр 126 — Прим персе

134 ГЛАВА И
т. е существуют непланариые графы, но содержащие подграфов,
гомеоморфных К* млн /Сэ,:< Пусть G — такой графе наименьшим чис
лом ребер Тогда G должен быть блоком, у которого <5 (G)^ 3. Пусть
Xer—UfPfi— произвольное ребро графа G Граф/^G — хС1 обязательно
планарен
Нам понадобятся две леммы
Лемма 11 13 (а) В графе Г существует простои цикг, содер-
содержащий вершины и0 и v»
Доказательство леммы Предположим, чго в F нет про-
простых циклов, содержащих н0 и оо Тогда по теореме 3 Л вершины ц()
и ус принадлежат различным блокам графа F Следователь по, в F
существует точка сочленения о,, принадлежащая каждой простой
(ио-ио)-цегш Образуем граф Ffu добавляя к F ребра wu0 и wv$t
если их еще нет в F Вершины uh и у0 в графе F9 также принадлежат
различным блокам, скажем В1 и В2, \ которых общей вершиной
является именно вершина w. Понятно, чго блоки В^ и В2 имеют
меньше ребер, чем граф (?, поэтому Bt или планареи, или содержит
подграф, гомеоморфа ый Къ или /С3>3 Если, однако, добавление реб-
ребра wua приводит к образованию подграфа Я графа Ви гомеоморфного
/Сл или /G,*, то подграф графа (?, который получается заменой ребра
гли0 на прост\ю цепь, идущую из «0 в w и начинающуюся ребром
*о, обязательно гомеоморфен граф> И и, значит, гомеоморфеи Kh
ичи К$,г\ мь( пришли к противоречию Поэтому Bf и аналогично
В2— планарные графы В силу следствия II 3 (а) оба графа Вх и
В2 можно уложить на плоскости так, что ребра гш0 и &и0 будут при-
принадлежать внешней области Следовательно, граф Fa можно уло-
уложить на плоскости так, что wu0 и wv0 будут лежать во внешней об-
области Добавление ребра х0 не нарушает план арности графа f0.
Поскольку G — подграф графа Fq-^Xu, он план а реп полученное
противоречие показывает, что в F есть простой цикл, содержащий
«о и v0
Пусть граф F уложен на плоскости так, что простой цикт 2,
содержащий и(, и у0, имеет наибольшее число внутренних (относи
тельно 2) областей Ориентируем ребра никла Z в одном из направ-
направлений по циклу. Обозначим через Z[u, v] ориентированную простую
цепь, идущую из вершины и в вершину у по циклу Z Если v не
следует непосредственно за и по 2, то подцепь цепи Z\u, Ы, пол\-
чаем>ю в резу!ьтате удаления вершин и и v, будем обозначать через
Z(w, v)
Под внешностью простого цикла 2 б\дем понимать подграф в F7
порожденный вершинами, лежащими вне 2, компоненты этого под-
подграфа называются внешними компонентами цикла Z Внешняя часть
цикла Z — это подграф в Ь, порожденный или всеми ребрами, ин-
инцидентными по крайней мере одной вершине некоторой внешней

П'!АНАРНОС1Ь
13т
\
компоненты, или ребром (если (акое есть), внешним к Z и соединяю-
соединяющим две вершины in /. Аналогично определяются внутренность
простого цикла Z, внутренняя компонента и внутренняя часть.
Внешняя (или внутренняя) часть называется (u-v)-разделяющей,
если она встречает обе цепи Z(u, v) и Z(v, и) Ясно, что внешняя
(или внутренняя) часть не может быть (^-^-рачдетяющеи, если и
и v смежны по циклу 2 (г е uv принадчежит Z)
Поскольку F соязен, 1юбая внешняя часть должна встречать Z,
а так как в / нет точек сочленения, чюбая внешняя часть должна
иметь не менее двух вершин общих с Z Внешние части не мог>т
встречать ни Z(u0, v0), ни Z(v0, wy), так как иначе существовал бы
простой цикл, содержащий щ> и и0, в котором внутренних областей
было бы больше, чем в2 По _. ^
той же самой причине ни одна
из внешних частей не может
встретить ни и(у ни V) Следо-
ватетьно, каждая внешняя
часть встречает Z точно в
двух вершинах и является
(мо-и„) разделяющей Отсюда,
поскотьку л*0 нельзя добавить
к F не нарушив планарно
сти, потачаем, что сущест-
существует по крайней мере одна
(ип-va)-разделяющая внутрен-
внутренняя часть
Лемма 11 33 (б) Сущест-
Существует такая (и{>-и0)-разделяю-
щач внешняя часть, встре-
встречающая Z (и о, Ро), скале ем в иу,
и Z(^,, wo)i скажем в vu что
найдется внутренняя яасп\ь,
являющаяся одновременно и
(Uq-v»)-разделяющей, и (^i-i>i)-
разделяющец
Доказательство тем-
м ы. П р е Д110 л ож им, что л ем -
ма не верна Дтя лонима
ния приведенного ниже доказательства б>дет полезен рис 11 10
Упорядочим (uQ-v<>)-разделяющие вн>тренние части, чтобы раз-
разместить их на плоскости. Рассмотрим (u0-v0)-разделяющею внутрен
нюю часть /,, ближайшую к вершине u(i в смысле порядка прохож-
прохождения вершин внутренних частей при движении по Z из и<> По
этму же принципу мы можем упорядочить относитечъно и^ ос-
остальные (Uii-Uo)-разделяющие внутренние части /2, h и т д
Рис 11.10 Разделяющие части и простои
ии к л Z иллюстрирующие пемму

П
Пусть и2, и «з — первая и последняя вершины в /ь встречающие
Z(u0, Up), a t>2 и у3— первая и последняя вершины в /, встречающие
Z(V(f, ufi) У каждой внешней части обе ее вершины, общие с 7,
должны принадлежать ити 2[у3, и.?], или 2lw:,, c'2l, так как иначе
существовали бы внешняя часть, встречающая Z{uQ) v(]) в и} и
Z(vv> ы0) в t»«, и внутренняя часть, которая является и (wn^0)-pai-
деляющей, и («|-с,)-разделяющей Это противоречит предполо
жению о том, что лемма не верна Поэтому кривую С соединяющую
v:i и «о , можно провести во внешней области так, что она пе ветре
гит ребер графа Г (см. рис. И 10) Таким образом, не нарушая ила-
нарности, можно перевести !г во внешнюю относительно Z область
Аналогично оставшиеся (ц,-^,)-разделяющие внутренние части мож-
можно перевести во внешнюю относительно Z область, причем так, чго
получающийся граф будет плоским. По тогда ребро дт, можно до
бавить, не нарушая план арности графа F; мы пришли к противо-
противоречию Лемма доказана
Доказательство теоремы. Пусть И — внутренняя часть,
которая в силу леммы 11.13 (б) является и {и0 v0)-разделяющей, и
{Uz-v^yразделяющей. Далее, пусть w», wQy wt и w1 — вершины, в ко
торых Я встречает Z(u0, v0), 1{ь\у и0), Z(uu tL) и Z(v[y щ) соответ-
соответственно Рассмотрим теперь четыре случаи в зависимости от вза-
взаимного распо южепия на Z этих четырех вершин.
Случаи 1 Одна и?> вершин wx и^ лежит на Z(u0, у0), а другая —
на Z(b0, г/0) Тогда можно положить т>0 — т\ и w'()—ts}[', в этом случае
G содержит подграф, гомеоморфнык /С3,5 (рис. 1111 а, два множест-
множества вершин отмечены жирными точками п кружочками)
Случай 2 Обе вершины ^ и w[ лежат или на Z(uOy u0), или па
Z(v0, u,>). Не теряя общности, предположим для определенности,
что к,1!, 'jl\€Z(u0, l0) Возникает две возможности* или v^xs.\y
или Vi — w0 Если ъ\ф'а}'Оу то G содержит подграф гоысоморфный
Кз,з> расположенный, как на рис. 11.1], бит 11.11, в, в зависимо-
зависимости от того, принадлежит вершина w'o цепи Z(uu vt) ими Z(iu uL)
Если t\=w'o (рис 11 П г), то И содержит вершину /-, из которой
ид^т непересекающиеся простые цели к wy, w[ и vz, причем все
вершины этих цепей (за исключением самих концов wlt щ и г\)
принадлежат Я В этом случае G также содержит подграф гомеомор
фный /Сз,.
Случаи 3. vji—Vq и хахфи^ Не теряя общности, будем сжигать,
что w[ лежит на Z(/v0, v(l). Тогда снова граф G содержит подграф,
гомеоморфный Кд,ъ. Если w^ 1ежпт на Z(vl} i^), то G содержит под-
подграф Кзул, показанный на рис. 11.11, д. Ести же w'u лежит на
Z(viy и,}), то также найдется подграф Кл< (рис 11 11, с) — irv
будет подграф, поп\ченнык в результате отождествления вершин
Z*'o И 1\

ПП
\РНОС'ГЬ
137
Случаи 4 iii^—Vo и w[ = u0 Здесь мы потагаем Wo—iil и ^=?^
(вес другие сит\ации уже встречались в предыд\щнх случаях)
Выделим два подслучая Пусчь Pt и Ps — кратчайшие простые цепи в
Я, идущие соответственно из и( в i\ и из /^ в cjj Цепи Ро и Ях долж-
должны пересекаться Если Pti и Р{ имеют бочее чем одп\ общ>ю вер-
вершину, то G содержит подграф, гомеоморфиый /С.3,5 (рис. 11 II, ж),
в противном ciynae G содержит потграф, гомеоморфный Ко
(рис ЦП у
Итак, псе возможные случаи разобраны. Георема доказана.
Воя\-юж1ты(. варианты для несла курных подграфов
В статье Татта [121 приводится алгоритм, позволяющий \кла
дывать данный граф на плоскости до тех пор, пока это возможно
(без пересечений ребер), и показывается, что если этот процесс не
охватывает весь i раф, то он должен содержать подграф, гомеоморф-
гомеоморфный К¦> или /<"<» -) Таким образом, алгоритм Татта представ чяет собой
независимое доказательство теоремы 11 И.
Элементарное стягивание в графе G получается отождествлением
пзух смежных вершин а и v, т с удалением и н v и добавлением
повой вершины w, смежной с теми вершинами графа, которые были
смежны ш*и с Ну или с v. Граф О называется стягиваемым к граф\
И, если И можно получить из G с помощью некоторой последов а
тельности элементарных стягиваний Например, как показано на
рис 11 12. а и б. граф Петерсема стягивается к К., в результате стя-
стягивания в новую вершину да, любого из пяти ребер иго7, соединяю-
соединяющих пятиугольник с пентаграммой
Двойственная форма теоремы Поитрягина — Куратовского (в
смысле двойственности теории матроидов) была найдена независимо
Вагнером 121 и Харарн и. Таттом [2]

[38
I ЛАВА П
Теорема 11 [4 Граф плана рем тогда и тогько тогда, когда
у него нет подграфов, стягивавчых к $Л и к /(я,я
сг 5 б
Рис II 12 Нетлнарность графа Петер^ена
Мы только что видели, что граф Петерсеиа стягиваем к К-, По-
скочьку каждая его вершина имеет степень 3, > него нет подгра-
подграфов, гомеоморфных К-,; на рис. 11 12, б показан один из его подгра-
подграфов, гомеоморфных /(-,,,
Другие характеризации планарных графов
Вслед за классическим результатом Поитрягина и Куратовского
были предложены другие критерии лланарности Мы уже указали
«двойственную форму» критерия Понтрягина — Куратовского, и с
почьзующ^ю понятие стягивания (теорема
11.14). Алгоритм Татта укладки графа на пло-
плоскости можно также рассматривать как не-
некоторую характеризацию планарных графов
Уитни [3,51 связал планарпость графов с
существованием двойственных графов Для
данного плоского графа G его геометрически
двойственный граф G* строится следующим
образом поместим в каждую область G (вклю-
(включая внешнюю) по одной вершине графа G* и,
если две области имеют общее ребро х, сое-
соединим помещенные в них вершины ребром
х*, пересекающим только х В результате
всегда получится плоский псевдограф, как, например, на рис 11 13,
где ребра графа G указаны сплошными линиями, а ребра двойствен-
двойственного графа G*— штриховыми Ясно, что (?* имеет петлю тогда н
точько тогда, когда в G есть концевая вершина; G* имеет кратные
ребра тогда и только тогда, когда две области графа G содержат по
крайней мере два общих ребра Таким образом, двусвязный плоский
граф имеет всегда в качестве двойственного или граф, или мульти-
граф, в то время как двойственный граф трехсвязною л юского гра-
Рис П 13. Плоский
iраф и геометрически
двойственный к нсм\

П ЦНАРНОСТЬ
фа всегда представляет собой граф Другими примерами геометри-
геометрически двойственных графов являются Платоновы графы: тетраэдр ~
самодвойственный граф, куб а октаэдр — двойственные, так же как
додекаэдр и икосаэдр
Как след>ет из определения, геометрически двойственный граф
плоского графа G также плоский, а двойственный к двойственному
графу графа G — это первоначальный граф G Однако абстрактный
граф, допускающий более чем одну укладку на сфере, может дать
более чем один двойственный граф Это иллюстрируется на
О"
И
Рис 11 14 Различные геометрически двойственные цэафы к одному и toviv же
абстрактному г р а фу
рис 11 14, где графы G и Я абстрактно изоморфны, а после \ к падки
на сфере имеют различные двойственные графы G* и Я* Однако
поскольку трехсвязныи граф допускает только одну укладку на
сфере, как отмечено в теореме 11.5, то у него должен быть единст-
единственный геометрически двойственный граф
Уитпя дал комбинаторное определение двойственного графа,
которое является абстрактной формулировкой геометрически двой-
двойственного графа. Напомним сначала (гл. 4), что для графа G с k ком-
компонентами циклический ранг есть чисто tn{G)—q—p — k, а коцикли-
ческий ранг — число m* (G)—p~k
Относительным дополнением G — И подграфа И в графе G
назовем подграф, получающийся из графа G при удалении ребер
графа Я Граф G* называется комбинаторно двойственным к графу
G если существует взаимно о д н о з н а ч н ое с оответст в и е м еж д у их мно-
множествами ребер, при котором для любых соответствующих подмпо-

140
ГЛЛ13 V
жеств ребер У н У
(G)—m
(И 3)
4* — подграф графа 0* с л тожеством ребер У*. Это огтределе
ние иллюстрируется на рис И 15, где соответствие задается прави
лом Xiir^tft Здесь У{к5, х9, л4, л:в}, т* {О—У) -4, ш* (G) —5 и
т(<У*>) —1, равенство A1.3) очевидно выполняется Конечно, ис-
используя A1 3) , очень труд но определить, двойственны ти данные два
графа, поскольку н>жж> проверять выполнение равенства A1 3)
для каждого подмножества ребер графа G.
С*:
C-Y:
I 15 Ко 1бинаторпо двойственна
В отличие от геометрически двойственных графов комбинатор-
комбинаторно двойственные графы планарных графов определяются не обя-
обязательно однозначно Однако если два графа комбинаторно двойст-
двойственны к изоморфным i рафам. то существует взаимно однозначное
соответствие между множествами их ребер, сохраняющее простые
циклы, рассматриваемые как множества ребер (т е их матроиды
циклов изоморфны) Соответствие Xj<->yt для графов GA и Я*, пред-
представленных па рис 11.14 поясняет это утверждение
Уитнр доказал, что комбинаторная двойственчость эквивалеш-
на геометрической двойственности и дач другой критерий планар
ности
Теорема П 15 Граф пшпарен тогда и тогько тогда, когда
он имеет комбинаторно двойственный
Еще один критерий тана р ности предложенный Мак-Леи ном
[II, основан на рассмотрении циктической стр\ктуры графа
Теорема II 15 Граф G планарен тогда и только тогда, когда
каждый его блок, имеющий по крайней мере три вершины, обладает
таким базисом циклов Zlt Z2, , Zm и таким дополнительный

ПЛЛПЛРПОСГЬ HI
циклом Zi/y что любое рсбр) блоке "ринадмясип /гимн; dei/.u из этих
т-\ 1 циклов
Мы только наметим доказательство ботео простои части .-этою
\твержденин, а именно необходимости. Как указывалось в доказа-
доказательстве теоремы 11.1, все внутренние i ранк чвусвязпою плоского
графа 0 образуют базис циклов 7,, Z.,, . . /т, где т — цикличе-
циклический ранг графа G Пусть 7< — внешний простой цикл графа G
Понятно, что любое ребро графа G принадлежит точно двум из т ;-1
циклов Zi
Для доказательства достаточности н\л\ио построить плоскую
укладку данного графа G, обладающую определенными свойствами
Все указанные критерии плапарпости графа G приведены в с те
д)ющем списке эквивалентных условий'
A) G — танарпыи граф,
B) в G нет подграфов, гомео.морфных К и Лг:{>3,
C) в G пет подграфов, иягиваемых к К., \\ Кз<*\
D) G имеет комбинаторно двойственный граф-
E) каждый нстривиачьнып блок графа G обладает таки.м бази-
базисом циклов Zu Z-г, ., Zm vi таким допотнительным циклом Zb
что ^юбое ребро принадлежит точно двум из этих т^Л цнкюв
Род, толщина, крупность» число скрещивании
В этО-м разделе рассматриваемся четыре то полог и чес к и л ин-
инварианта графа О род—• наименьшее число ручек, которые н\жно
добавить к сфере, чтобы уложить G; толщина — наименьшее число
нтанариых графов объединение которых есть G- крупность1) —
наибольшее число непланарных подграфов в G, не пересекающихся
по ребрам; число скрещивании — число пересечений ребер, кок>-
рое должно быть при расположении G на плоскости 2) Здесь мы
сосредоточим внимание на трех ктассах графов — на классе пол-
полных графов, полных двудольных |рж|юв и кубов — и укажем для
и [IX изпеотные значения названных вьпие инвар и зги on
Как заметил Ксниг, любой граф можно уложить на некоторой
ориентируемой поверхности ^то пегко понять, если нарисовать
произволь}{ый граф О на плоскости, прьчем некоторые ребра могут
пересекаться, н для каждою (двоинаго) пересечения добавить к пло-
плоскости ручку; затем провести одно ребро по ручке, а другое — под
ней. Например, на рис. 11.16 показана уктадка графа /G на пло-
плоскости, к которой добавлена одна ручка Конечно, при таком стго-
1) Встречаются также термины «шероховатость», «зеь уша остi »¦ — Поил1
персе.
2) Обзор резул[,тяггж io толщине [рафол можно найти в стсн.ье ХоПбга [1], а
пи» числам скрещиваний— в статьях Комана [1J и Гая 12J — Прим. перед

142
ГЛЛБ \ il
собе уктадки используется, как правило, ботыпе ручек, чем на
самом деле требуется. Кёниг также показал, что при тюбой укладке
графа ил ориентируемой поверхности с наименьшим числом ручек
вес его грани будут связными областями
Риг 11 16. Укладка графа
A'j Hei ориентируемой по
верхйости.
Рис 11 17 ^кчадка графа /С7 на
торе
Уже отмечалось, что танарные графы можно уложить на сфере
Тороидальным графом называется граф, который можно уюжить
па торе. Графы /Со и /C ч тороидатьные На рис. 11.17 ь II 18 по-
показаны укладки графов К7 и J^i}i на торе, представленном здесь
хорошо известным способом с помощью прямоугольника, в котором
отождествлены обе пары противо
иоложных сторон Пока еще не
найдено ни одной характер изации
тороидальных графов, аналогич-
аналогичной теореме Понтрягина — К\ра-
товского Однако Волмерхауз [1]
подтвердил одну гипотезу Эрдёша
доказав, что для гора и любой
другой ориентируемой поверхности
существует лишь конечное число
запрещенных подграфов
Род у (G) графа G определяется
как наименьшее число ручек, кото
рые нужно добавить к сфере, что
бы граф G можно было уложить
на полечившейся поверхности
Конечно, y(G)=0 тогда и только
тогда, когда G — план арный граф,
гомеоморфпые графы имеют одинаковый род
Первая теорема этой главы дает характеристическое уравнение
Эйлера Г—b—F — 2 для сферических полиэдров Более общо,
определим род полиэдра 1) как числи ручек, которые нужно до-
J) Комбинаторною трактовку ги>рии по шэд [job cvt а работе Грюнба^ма [2]
и
Рис 1) 18
Укладка графч /С4
торс
па

\РНОГТЬ
бавить к сфере, чтобы получившаяся поверхность содержала этот
полиэдр Обобщение теоремы 111 на полиэдры произвольного
рода также принадлежит Эйлеру, Доказательства можно найти
в работе Куранта и Робби не а [11
Теорема И 17 Для no-msdpa рода у, имеющего I вершин, Е
ребер и F граней у
V— ?-\-Г-2—2у A14)
Это равенство особенно полезно при доказательстве простых
результатов о роде и толщине конкретных графов. Для этого обыч-
обычно удобнее использовать даже не само равенство, а его следствия.
Следствие 11 17 (а) Если G — свайный граф рода у в которой
каждая грань чвлчегтч треугольником, то
q^3(p-2^2y)y A15)
если же каждая грань — четырехугольник то
q=2{p-2^) A16)
Как указывается в работе Байпеке иХарари[2},с помощью этих
дв\х соотношений легко проверить, что род графа имеет счедую-
щие нижние оценки
Следствие 11 17 (б) Если G — связный граф рода у, то
У>^-у(Р~2), A17)
если е G нет трсугогшиков, то
^B) (И 8)
Формула для вычисления рода полных графов была устам о в
лена в результате долгой, интересной, трудной и успешной борь-
борьбы В своей двойственной форме это известная гипотеза Хивуда,
которая оставалась нерешенной с 1890 по 1967 г Мы вернемся к
этому в следующей главе Многие исследователи внести свой вклад
в решение указанной проблемы, и, наконец, coup de grace, гипо-
гипотеза бьпа подтверждена Рингелем и Янгсом [1]
Теорема II 18 Дач любого положи тельного целого числа р
род погного графа равен.
[(р*\1р"} (И9)
Пег ко ктановть неравенство в одну CTOponv, что и еде id л Хгг
вуд [И Оно получается подстановкой а(К}1) п неравенство A17)
( р р 2 (р :\)(р I)

144 глав4 и
По поскольку ро i любого графа — цетое число, го
Доказательство юю, то правая часть явтяется также верхней
оценкой для у(Ку,), можно осуществить только, произведя \кладк\
графа Кр па ориентируемой поверхности указанного рода Сформу-
Сформулировав в 1690 г гипотез), Хпвуд тогда же доказал, что у(/С-) = 1,
это подтверждает и укладка, показанная па рис 11 17, которая
триангулирует тор
Хеффтер доказал равенство A1.9) в 1891 г для р от8 до 12 И толь-
только в 1952 г Рингель доказал, что A1 9) верно и для р-~ЛЗ На этом
этапе было обнаружено, что в соответствии с природой проводимых
доказательств естественно пытаться решать проблему сразу для
всех чисел рч образующих один класс вычетов по модулю 12 На-
Напишем р— 12s | г Рим гель A] в 1954 г. доказал равенство A1.9)
для всех полных графой КР с г-5 В течение 1961 —1965 г г он рас-
распространил решение на случаи г— 7, 10, 3 и одновременно Япгс
fll со своими кол тегами Густином, Терри и Уэлчем исстедова г
случаи г=4, 0 1 9, 6
В 1967—1968 гг Рингель и Яше [1, 2], работая вместе, построй
та еоответств\ющдю \ткладк\ графа Кр для л—2, 8 11 Оставались
случаи р —18, 20 и 23. для которых применяемые ранее методы бьпи
непригодны. Доказательство завершил профессор кафедры фран
цузской литературы университета Монпелье >Кан Мейер [1], по-
построивший укладк) графа К7 дтя этих трех значении р
II л я гт о л н ы х ль у д о я ь н ы х г р а (\) о а со о i в с rci • в у ю и t, \ т р с л у л ьт а т,
менее трудоемкий, получил Рингеть Применение неравенства
A18) к i-рафу K
У (A i fi) ^ 4 2 ~ 4
Противопотожпое неравенство устанавливается (Рингеть [3]) с
помощью построения соответетв\ющей укладки графа Km n-
Теорелга 11 19 Род полного двудомного графа равен
\ (НЮ)
m,?-
.^ тп т-^-п 2 (т 2)(п 2)
Род куба был найден Рингелем 14J. а также Байнскс и Харарн [31
Для графа Qr, имеем /.? —2" и q~n 2", гак что ь силу A1 8) нера
пенсию ii одну сторону получается тегко"
)>1 1 (п—4) 2';-{
Теорема И 20. Род куба рае *н
Y(G)-1 I (n-4) 2 ~\ A1 11)

ПЛАН\РНОСТЬ 145
Отметим теперь некоторые бочее общие и ее те top aim я рода
графов Баттл, Харари Ко дама и Янгс [1] показали, чтэ род графа
зависит только от родов ею 6 юков как это }же выявилось в icope
ме 112
Теорема 11 21 Если граф G имеет блоки Bit В>, , В , то
(И 12)
Этот результат бьп несколько обобщен в статье Харари и
дамы A1 Напомним (теорема 5 8), что две п компоненты графа име-
имеют не более п общих вершин
Теорема 11 22 Пусть п-сеязный граф G представляет собой
объединение двих (пЛ 1)-компонент В и С Пусть vu . . . , vn— мно-
множество вершин в В П С Обозначим через G,7- граф полученный до-
добавлением ребра o,Vf к G Ееш у @^) —-у {G)-\-l д-гч. гюбых 1 ^ i<z }^
^ п, то
y(G)-=y{B)\-y(C)-rn-l A1 13)
Мы уже видети в теореме 1111, что тюбой планарный граф с 9
вершинами имеет неплан арное дополнение. Определим толщину
д@) графа G как наименьшее чисчо его пленарных подграфов, объе-
объединение которых равно G. Тогда теорему 11.11 можно сформулиро-
сформулировать так 0(А%);> 2 Действительно, толщина графа Ко рзвна 3 и
граф Ко — критический относительно толщины, поскольку
0(Кч—v) —2 Поэтому 8(/Ср) —2 дть р 01 5 чо8 Естественно, 6(G)^
= 1 тогда тг только тогда, когда граф G планарш. Гак как в макси-
максимальном планарном графе q=^3p—6 ребер, го толщина 6 любого
(р q) графа удовiciворяет неравепств\
и *¦ Зр-b [ L }
замечание полезно при форматировании гипотез о голошне
и доказательстве нижних оценок
Толщина полных графов изучатась Бамнеке и Харари 151 и
Баинске [2| Применяя A1 14) к /Q, находим
В (К )> ^r-]^Z
некоторые атгебраическяе преобразования, пол)чаем
/>(p-l)/2-, 3(p- 2)-
3(>-2)
P
6
I с ор ем а 11 23 Если рФ\ (mod 6) и рф9, то толщина о того
графа равна
рН-71
(Кг
ill 15)

146
ПАВ \ 1]
Если p^4(mod 6), то равенство A1 15) не всегда выполняется
Так, В(Д"то)—^3=^= f 17 61Т но Хоббс и Гроссман [II построили разло-
разложение графа Ki-г на 4 - 129 61 планарных подграфа, а Баинеке [21
доказал, что (К2Ь) — Ь^[ЗБ/6\ Чуть позже Жан Мей ер (снова он!)
нашел построения, показывающие, что 0{К^)=6 и 0(^4») = 7.
Единственное значение р^4Ь, для которого 0 {К,) еще не известно,
это р= 16 Предполагается что 0 (Kl(i)^4 и что для всех р-=А (mod 6)
и р^ 46 равенство A1.15) справедливо
Толщина полных двудольных графов изучалась Баинеке Ха-
papi* и Муцом II] и Баинеке [3]
Теорема 11 24 Толщина по того двудо 1ъного графа равна
х
за иаогючением, возможно, тех аучаев, когда т<^ п, тп нечетно и
существует такое цеюе час го /г, что п=\2к(т—2)/(м—2k)]
Следствие 11 24 (а) Толщина графа Кп,п равна [(^4-5)^41
Соответствующая проблема для к>ба решена Клаинертом [1].
Теорема 11 25. Толщина куба равна
}^1}. (НП)
Некоторых успехов добился Эрдёш (устное сообщение), когда
он пытался описать понятие толщины. Говоря о наибольшем числе
237 964 564 I
Рис 11 19 Четыре непчанарных подграфе! графа Кго
непланарных подграфов, не пересекающихся по ребрам и содержа-
содержащихся в данном графе G, он сначала определил крупность Е (О)
Таким образом, как тачщина, так и крупность требуют построений,
разбивающих граф на остов ные подграфы (птанарные и непланарные
соответственно) в смысле гл. 9 Формулы дтя крупности полного
графа не такие простые, как для других топологических инвариан-

ПЛАН АРНОСТЬ
147
тов Причина кроется в том, что /С3,а или граф, ему гомеоморфный,
наиболее удобен для конструкций, используемых в изучении круп-
ноет и Это подсказывает вид следующего результата, полученного
Гаем и Байнеке {11 На рис 11.19 показаны четыре графа, юмео
морфных /(з,з, не пересекающихся по ребрам и содержащихся в
Кю
Теорема 1126 Крупность пошых графов опреде гнется по
фор чу гам
I \ 2
п
т
п
р —
р-
15,
19.
A1 18)
—1
Все значения Е (AV>) И1И вычисляются по форм) там A1 18), или
приведены в табт И 1, или на 1 больше табличных значений,
см Гай, Байнеке [1]
Таблица 111
Предполагаемые значения для \
р
[3
7
18
15
21
21
24
28
27
36
(Яп2 [ Пп j 2) 2
Для крупности полных двудольных графов результаты Гая и
Байнеке [21 не полны; они включают много случаев.
Теорема 11 27 крупность по того двудольного графа К
удовлетворяет соотношения ч
m>n
l(K
sr
}-mm
^ , -j- ) длч d -0 иш 1 и e=
S lAjr-2, 35-1 l
yj при
rs - ram
rs-j-max
3
s4-2
1 Г8г-|-1Ь$
. mm -
{
-
2s
i ^ ,
i
2. s>7,

Г'ПВА Ц
Ь
.'.)
2s'
39
r
3
Числом скрещивании v (G) графа G называется наименьшее число
попарных пересечений его ребер при расположении графа G на
гпоскости. Очевидно, чю v(G) = Q тогча и только тогда когда граф
G планареи. Точное значение числа скрещиваний не известно ни
для одною ия рассматриваемых трех классов графов, установлены
только верхние оценки Преобладает мнение, что оценки A1.19) и
A1 20) точны Некоторым авторам удалось убедить себя, что они
доказали эти равенства Подробности см. \ Гая [II.
Теорема 11 28 Час ю скрещивании полного графа удовлетворяет
неравенству
Теорема 11.29 Число скрещиваний полного двудогьного графа
удовлетворяет неравенству
т
т- X
2
/!¦
П
~ J"
A1 20)
Саати показал, что в A1.19) выполняется равенство дтя р<. 10, а
Клейтман доказал равенство в A1.20) для т^б Таковы извест-
известнее результаты для v(Kp) и у (Km ?0- Лля кУ^а нет даже предпою-
жений о том, каково л (Q )
Упражнения
11 1 EciH (px qL) граф и (и2
гомео юрфны то
11.2. Каждый тпоскии энчеров граф со-ер^ит эйлерова цель но имеюш\ю
с ам g пер есечо и к й.
1J 3. Трех'связкый граф с jP-.^O вороги на ми птаыареи тог^а и toilko тогла
КО1Д1 в нем лет подграфов, j омсолюрфттых гряфу /Сз-з-
^11,4 Любой 1 связмлй п<лзнтрцый 1 раф 1амлльтонов
«Татт []])
П .5. Любок 5-спязньти планерный граф имеет ло крапясй мер с 12 вершин
Построен, один ю них,
Л.6 Не существует 6 связных пленарных графов
*П.7. Если G — максимальный плоский граф, в котором каждый треуголь
ник ограничивает некоторую область, не с о дер жатую ребер, то граф О тамил ь
тонов
(>ИТ1Ч1 }}])
И 6 Не всякий максимальный гианзриый храф гамяаьтонон
{I ИТНК [3])

149
11.9. Если к изображении г-рлфа G на тоскости каждые два несмежы.гх ребра
пересекаются чстяое число раз, то граф G гамкльтопов.
(Брукс, Смит Стоугг, Татт!
11.10 Доказать или опровергнуть каждый связный непланарцый граф стя
г икается к графу К. или K^,s.
Н.11. Доказать паи опровергнута: граф планпрек тогда и только тогда, когда
любой его подграф, имеюгций самое большее шесть кершин со степенями не меньше
3, гомеоморфа, [юдграфу графа К$-\ Р^.
11,12, Показать или опровергнуть, базис циклов плоского графа, состоящий
из границ внутренних областей, всегда получается из дерева. (Ср. l п 4 )
*11.13 Каждый трехсвязнып планарнын граф имеет остов v которого па
ибоштля степень равна 3
(барнг.тт {!])
11.11. Плоский граф дпл с пязс н тогда и только тогда когда геометрически
двойственный к нему граф днуекязен.
11.15 Все колеса самодвойственны.
11.16. Квадратеия-шого графа G внешноплачар^тт топ,а i тол1 kj югдя ксп-да
G есть или Кц или простая пепь.
11 17 Следуюшре утверждения эквивалентны
A) реберн[.!Й граф L (G) ннешнепланарен;
B} наибольшая степень A (G) не превосходит 1 и любая нср_пич1 сте-
степени 3 есть точка -сочлен он и. я
C) тотальны» граф Т (G) плоский.
(Чартр.эггд Геттер \ ¦; дет пи ем и [2]t Бохзат, [1])
11 18 Граф G имеет щат?ярный квадрат тогда и только тогда когда
а) 4<С)=^-3;
б) каждая вершина степени 3 япляется точкой сочленения;
в) вес блоки графа G. содержащие более 3 вершин, являются Ч1.тры\ш
простыми циклами
(Харари К^рп Tair [1])
II 19 Граф G имее.г шааарный реберный граф toi 12 и тот^ко voria когда
а) G плана рен
б) A(G)<4;
в) каждая Б^рииьа степени 4 е^.ть точка сочленения
(Седлачек [1|)
11.20 Найти род и »;исло скретдиваний графа Петерсеьа
11.21. Доказать или опровергнуть: пенлакарпьш граф О имеет v~l 1огдС1
и только тогда, когда для некоторого ребра к граф G—л' планарен
11.22. Лреьеепость л! обо го плана рного графа не превосходит 3 Привести
пример планарного графа с дрсвусностыо 3
11.23. К^ждыд граф гомеоморфе и граф\ имеющему древескость 1 ити 2 и
потому толщину 1 или 2
11.24. Искаженноетыо (skewnes-s) графа G называется наименьшее число ре
Сер удатение которых приводит к ял ан арном у графу. Най.'и искаженноств графов
«О КР Ь) К,л п в) Qn
(Кодиг)
11.25. Ее41] G — ннешпептэнлрныи 1раф не имеющий греугочьнпков то
342
11.26. Если } 1рафа G дли .лкюых л^ х нершр и ^шествует не более двух сое
днияющих их простых цепей длины больше 1, не имеющих общих вершин, то

150
ГЛАВА П
то он содержит едикс гвеяиый
(Ганг
а) 6 — пла^арный граф
б) ^ ^ 2/7—3,
в) если G — неразделимый граф и
гамильтоков цикл.
П 27 Сложить Kjб Q4 на поверхности гора
11 28 Род у любого графа G е обхватом g лдовлетворяет неравенств;
И(')
(Ба^неке, Харари \2\)
Ml 29.
ИЗО Если Gt и 0^— гомеоморфные графы, то l(Gi)—&(б2) и v (G^—v(G2).
11 31 Наибо1ьшее число непересекающихся по ребрам подграфов К$ s графа
mm
т
V
п
т
Т
Таким образом, для любого п
{Гай, Баинеке [2])

Глава 12
РАСКРАСКИ
Предстаньте себе коричневого течен-
ка, большого коричиевого пса и ху-
художника лотпрыи рисует их .. Он
должен изобразить их так чтобы вы,
взглянул па картину, могли сразу
отличить их друг от друга не так
ли° Конечно Может, вы хотте
чтобы они оба были у него коричне-
коричневые? Конечно нет. Тогда художник
сделает одного из них голубым, к
тут уж не ошибешься То же с я мое с
картами Вот почему каждый штат
закрашивают другим цветим.
Сэмюел Клеменл. (Марк Твен)
Гипотезу четырех красок можно с полным основанием назвать
еще «болезнью четырех красок», так как она во многом похожа
на заболевание Она в высшей степени заразна. Иногда она проте-
протекает сравнительно легко, но в некоторых случаях приобретает за-
затяжной или даже угрожающий характер. Никаких прививок про-
против нее не существует, правда, люди с достаточно здоровым орга-
организмом после короткой вспышки приобретают пожизненный имму-
иммунитет Этой болезнью человек может болеть нескапько раз, и она
подчас сопровождается острой болью, но ни одного летального
исхода зарегистрировано не было Известен по крайней мере один
случай передачи болезни от отца к сыну, так что, может быть, она
наследственна
Тем ие менее именно попытки обосновать эту гипотез; стимули-
стимулировали получение ряда результатов по раскраске графов, которые
в свою очередь привет и к исследованиям некоторых других разде-
юв теории графов
В этой главе после определения раскраски графа и его хромати-
хроматического числа излагается доказательство теоре,мы о пяти красках,
а затем обсуждается гипотеза четырех красок Далее вводятся одно-
однозначно раскрашиваемые графы, т е графы, которые можно раскра-
раскрасить единственным образом, а также критические графы (мини-
(минимальные относительно раскраски) Исследуется тесная взаимосвязь
между гомоморфизмами и раскрасками Глава завершается описа-
описанием свойств хроматического многочлена

152
ГЛАВ\ \2
Хроматическое число
Раскраской графа называется такое приписывание цветов его
вершинам, что никакие две смежные вершины не пепучают одина-
одинакового цвета. Множество всех вершин одного цвета явчяется неза
висимым и называется одноцветным классом. В п~раскраске графа О
используется п цветов, и, таким образом, эта раскраска разбивает
V на п одноцветых классов Хроматическое число %(G) графа О
определяется как наименьшее п, для которого граф G имеет п рас
краску. Граф G называется п-раскрашиваемым, если /J,G)^n, и
п -хр омат и чески и, если у4 (G) — я
б в
12 1 Tpi: раскраски графа
Поскольк\ граф G, очевидно, имеет р-раскраск\ и /(С)-раскрас
к\, он должен имегь также п раскраску для любого а, удовлетворя-
удовлетворяющего неравенствам %{G)<in<ip. Граф на рис 12.1 ятяется
2-хроматическим. На этом же рисунке приведены я-р ас краски чтя
п^2, 3, 4 положительные целые числа указывают цвета
Легко найти хроматические числа некоторых известных графов
X(C27T+i)=3 и /G)^2 для любого нетривиального дерева Т.
Очевидно, что граф является 1-хроматическим тогда и только
тогда, когда он вполне несвязен Описание двуцветных B-рас-
B-раскрашиваемых) графов дано Кёпитом [2, стр 170! и отражено в
теореме 12 1 (см также теорему 2 4)
Теорема 12 1. Граф двуцветен тогда и тоъько тогда, когда
он не содержит нечетных простых циклов
Похоже, что проблема характеризащш я-цвешых графов для
3 все еще не решена, поскольку такой критерий даже для п--3
бы решить гипотезу четырех красок. Не найдены также эф
фектипные методы определения хроматического числа произволь-
произвольного графа Однако известно несколько оценок для % {Q в которых
используются различные другие инварианты. Одна очевидная ниж-
нижняя оценка — это число вершин в наибольшем полном подграфе
графа G Мы рассмотрим сейчас верхние оценки; первая такая
оценка была получена Секерешем и Вклфом 11].

Р\.СКн"ЧМГ
Теоремd 122 Для гюбого графа G
/(G)< I max 6(G). {12 ij
где максы \ ум версии ч по всем порожденным подграфа и О >рафо. 6
Л о к а з а т е г ы: i а о Утвержден не очевидно д.] я впол не не-
несвязных графов. Пусть G — произпольный п-хроматический граф
/'^2 а // - любой наименьший порожденный подграф, для кого
рого /(Я)---л. Таким образом, yjji—v)—n—1 для нсек вершин ь
графа И Следовательно, deg t'> u—1, 1ак что 6(tf)^ п—1 и по-
потому
n—l<6(tf)<ma\ б (Я )<~тах 6 (С)
где первый максимум берегся по всем порожденным поД1 рафам И
графа И, а второй — по всем порожденным подграфам СУ графа G
Отсюда вытекает, что
/ F) п<-: 1 —max b(G )
Следствие 12 2 (а). Для гюбого графа G хроматическое число
не Сю шаг чем на 1 превышает максима гьш/ю степень
Х<НД A2 2)
Брукс [I ] показа 1, однако что часто эп оценку можно \л\ чшить
Теорема 12.3. Если А ^6) —а, то граф 6 всегда п поспрашиваем,
за исключением следующих, двух случаев-
1) 11 — 2 и G имеет компоненту являющуюся нечетным цикюм:
2) п> 2 и Kn j-j— компонента графа О
Нижняя оценка, приводимая в монографиях Бержа 12] п О ре
[4], и верхняя оценка данная в статье Харарн и Хелетниемп Hi,
содержат верит пи ос число независимости $ц графа G
Теорема 124 Для любого графа G
Доказательство Если y(G) = n, то множество К можно раз-
разбить на п одноцветных классов \\, Vi} Vn каждый из которых,
как отмечалось выше явтяется независимым множеством вершин
Если \У:\=р, и) /?j<Po Для всех t. так что /7™Ер/<;ф0
Для проверки верхней оценки рассмотрим максимальное неза
вис им ос множество 5 содержащее рп вершин Ясно, что х (О— S) >
^>y(G)—1. Так как G — 5 имеет р—Р„ вершин, то yv (G—5) -^р—Р
Отсюда / (С7) < х {°~s) т I < Р
Преде та в лепные здесь оценки не так уж хороши в том смысле,
что дтя каждой оценки и |юбого почожитетьного целою чиста п

154 ГЛАВ* 15
существ\ет такой граф С/, что у (G) отличается от оценки более чем
на п
Исследуя приведенные выше рассуждения, легко проникнуться
верой в то, что все графы с большим хроматическим числом имеют
большие клики и, следовательно, содержат треугольники. И вот
Дирак [3J поставил вопрос, существует ли граф без треугольников,
но с произвольно большим хроматическим числом Положительно
на этот вопрос ответили независимо друг от друга Бланш Декарт й)
[11, Зыков flj и Мыцельский [П. Затем их результат обобщили
Дж и Л. Келли [И, доказав, что утя любого п^ 2 существует
п-хроматический граф, обхват которого превосходи! 5 Они пред
положили, что справедливо следующее утверждение, которое пер
вым доказал Эрдёщ [И, используя вероятностные соображения
Позже Ловац 12] дал конструктивное доказательство этой теоремы
Теорема 12 5 Для любых двух положительных цегых чисел т
и п сушествует п-хроматический граф обхват которого превосходит
т.
Величина % = %(G) = yi{G) представляет собой наименьшее чи
ело подмножеств, на которые можно разбить множество вершин
графа G так, чтобы каждое подмножество порождало полный под
граф графа G Ясно, что x(G)^poF) Оценки для суммы и про-
произведения хроматических чисел графа и его дополнения бычи по-
получены Нордхаузом и Гадцумом [1]
Теорема 120 Для любого графа G сумма и произведение нисе г
X и X удовлетворяют неравенствам
K?-l, A2 4)
Доказатечьство Пусть G будет «-хроматическим графом,
а Vi, V%, , Vn его одноцветными классами, |К, [---/>,. Гогда, ра-
разумеется, Zpi=p и max p^ pi п. Так как каждый ктасс V-t поро-
порождает полный подграф в G, то х^тах Р^Р'п, и поэтому ух^Р
Но поскольку среднее геометрическое двух положительных чисел
не превосходит их среднего арифметического, ю х+Х^2^ р
Обе нижние оценки доказаны
Неравенство у„--%^р-^\ будем доказывать индукцией по р,
заметив, что равенство достигается при р-=\ Итак, предположим,
что х {G)Jry^(G)<^p для всех графов 6 с р — 1 вершинами Пусть И
и Я — взаимодополнительные графы (граф и его дополнение) с р
х) Дама с этим именем есть на самом деле непустое подмножество множества
{Брукс, Смит Стоун Татт}1 в данном случае {Татт}

раскраски 155
вершинами и v — вершина графа Я Тогда G—H—v и G—H—v
будут взаимодополнительными графами с р—I вершинами П>сть
степень вершины v в И равна d> так чго ее степень в Я равна р—d— 1.
Очевидно, что
X (Я) <*<(?) 1 и х(Я)^Х(Ф + 1
Если
X (Я)< х (О - I или х №< х (G) +1,
то х (Я) 4-уу (Я) ^/7-^1 Предположим теперь, что х (Я) = / @) — 1 и
'/(Я) —x(G)-(-1 Тогда удаление вершины v из Я, приводящее к
образованию графа G, >меньшает хроматическое число, так что
d^ (G) Аналогично
Таким образом, y_(G)~rX(G)^p—1 Следовательно, всегда
Наконец, используя неравенсгво 4/х ^(х^хJ* получаем
Теорема о пяти красках
Хотя не известно, все ли планаряые графы 4-раскрашиваемы,
все они, несомненно, 5-раскрашиваемы Мы приведем доказатель-
доказательство этого известного утверждения принадчежащее Хивуду [I].
Теорема 127 Каждый пшнарный граф 5-раскрашиваем.
Доказательство Б>дем доказывать индукцией по числу р
керш ни Для любого пла1 (арного графа с/)^5 вершинами резуть-
тат тривиален, поскольку такой граф р-раскрашиваем
Допустим, что все планарные графыср вершинами (р^ 5) 5 рас-
раскрашиваемы. Пусть G—плоский графе p-rl вершинами В силу
следствия 11 1 (д) в графе G найдется вершина v степени 5 или ме-
менее По предположению индукции пюский граф G — и 5 раскра-
раскрашиваем.
Рассмотрим приписывание цветов вершинам графа G — и,
при котором получается 5-рас краска, цвета будем обозначать через
clf l^i^o. Ясно что если некоторый цвет, скажем cJy не исполь-
используется в раскраске вершин» смежных с i\ то, приписав цвел с} вер-
вершине v получим 5-раскраску графа G
Осталось рассмотреть случаи, когда (lego-^5 и для вер in и и
графа G смежных с v, используются все пять цветов. Переставим
номера цветов, если это необходимо, так, чтобы вершины, смежные с

156 ГЛ\В\ \2
v н окрашенные в цвета сь с2> с-ь <?4> С были циклически упорядо-
упорядочены относительно v Пометим теперь вершину, смежную с v и ок-
окрашенную цветом ст буквой vu \^1<^.Ъ (рис 12.2)
Обозначим через Gv, подграф графа G — t, порожденный всеми
вершинами, окрашенными в один из цветов iL и сн. Если вершины
Vi и i'3 принадлежат различным компонентам графа G\:u то 5 рас-
краск\' графа G — о можно получить, поменяв друг с другом (су на
с^ и обратно) цвета вершин той компоненты
графа GViy которая содержит v{ В этой
5-раскраске уже нет воршин, смежных с и
и окрашенных б цвет с\] поэтому, окрасив
v в цвет clf образуем 5-раскраску графа О
Если же вершины их и ил принадлежат
одной и той же компоненте графа Gtn, то в
G между vx и v-i существует простая цепь
все вершины которой окрашены в цвета сх
Рис. 12,2 Шаг в доказа- и с*- ^тацепь вместе с цепью vxvv:i образует
тсльстпе теорел:Е,( о пяти ПрОСТОЙ ЦИКЛ, КОТОрЫЙ обяЗЯТСЛЬНО OKpJ
красках жаст или вершину v2 или вершины Vi и
V-,. В тюбом из этих случаев v2 и vx нель-
нельзя соединить простой цепью, все вершины которой окрашены в
цвета с?, и с4. Следовательно, рассматривая подграф G24 графа G — vt
порожденный всеми вершинами, окрашенными в цвета с2 и сл, за-
заключаем, что вершины v2 и tr4 принадлежат различным его компо-
компонентам Таким образом, если поменять между собой цвета вершин в
компоненте подграфа GIU содержащей tu, получим 5 pacKpaCKv
графа G — и, и в ней ни одна из вершин, смежных с v, не будет ок-
окрашена в цвет с2 Поэтому, окрасив вершин} v в цвет с2, образуем
5-раскрасг<> всего графа G
Гипотеза четырех красок
В гл. 1 ^же упомипатось, что гипотеза четырех красок, благо-
благодаря попыткам решить ее. служила катализатором для теории гра-
графов Мы здесь представим теоретико-графовое обсуждение этой бес-
бесславной проблемы Раскраской плоской карты G называется такое
приписывание цвеюв областям в G, что никакие две смежные об-
области не получают одинакового цвета Карта G называется п-рас
крашиваемой, если существует ее раскраска, использующая п
или менее цветов. Первоначальная формулировка гипотезы, }иомя-
нутой в гч 1 выглядит так' каждая плоская карта 4-раскрашиваема
Гипотеза четырех красок Каждый пюнарный граф
4-раскраш иеаем
Еще раз подчеркиваем, что под раскраской графа всегда пони-
понимаете*» раскраска его вершин, в то время как раскраска карты озпа-

РЛСКР\СКИ 157
чает, что раскрашиваются именно ее области Таким образом,
предположение, что каждая плоская карта 4 раскрашиваема, на
самом деле эквпватентно приведенной тотько что формулирозке
гипотезы четырех красок Чтобы убедиться в этом, предположим
что гипотеза четырех красок справедлива, и возьмем произвольную
плоскую карту 6. Пусть G*— граф являющийся осровой карты, ie-
ометрически двойственной к карте G Так как две области карты G
смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им вершены
графа G* смежны, то карта G 4-раскрашиваема, поскольку граф G*
4 раскрашиваем
Рис 12 3 Два 4 хроматических гианарьыч графа
Обратно, предположим, что каждая плоская карта 4-раскрашп
в а ем а Пусть Н — любой плапарный граф, а //*— граф, двойствен-
двойственный к граф \ Ни нарнсованныи так что каждая ci о область содержит
точно одну вершину графа Н Связный плоский псевдограф Я*
можно перевести в л чоский граф Н , добавляя две новые вершины
па каждую петлю графа Н* к одн} новую вершину на каж (ос ребро
из множества кратных ребер Теперь 4-раскрашиваемость графа Н
означает 4-раскрашиваемость графа // Таким образом эквивалент
ность обеих формулировок доказана
Если будет доказана гипотеза четырех красок, то результат
будет неулучпыем, поскольку легко привести примеры планарных
4-хроматичсских графов. Таковы графы К* и W^, изображенные на
рис 12.3. В каждом из этих графов не .менее четырех треугольников,
что является в силу теоремы Грюпбаума Ш необходимым условием
4-хромэтичности
Теорема 12.8 Каждый планарныи граф имеющий меньше
четырех треугольников, 3 раскрашиваем
Отсюда немедленно вытекает следующее утверждение, перпо
начально доказанное Грётшем [1]
С л едет в ие 12.8 {а). Каждый тан арный граф, не содержащий
т ре у го ъьников 3 -раскрашиваем
Тюба я п тоска я карта, которая для своей раскраски потребует
5 красок, яолжна обязательно содержать много областей г). Так
1) Финк j-i За к с |1| доказали, что побои тоскии граф содержащий не битее
21 треугольника 4-раскрапшваем.

158 ГЛАВА 12
Ope и Стемпл [1] показали, что все плоские карты, имеющие не
более 39 областей, 4-раскрашиваеыы, и тем самым увеличили на
4 число областей в более раннем результате такого типа *) Все
эти примеры подтверждают гипотезу четырех красок Как мы сей-
сейчас увидим, эту гипотезу в ее формулировке для плоских карт мож-
можно попробовать доказывать для специального класса плоских карт
Теорема 12.9. Гипотеза четырех красок справедлива тогда и
только тогда, когда каждая кубическая плоская карта, не имеющая
мостов, 4-раскрашивав ча
Доказательство Мы уже видели, что любая плоская карта
4-раскрашиваема тогда и только тогда, когда справедлива гипотеза
четырех красок В свою очередь это эквивалентно предложению,
что каждая плоская карта, не содержащая мостов, 4-раскрашиваема,
так как элементарное стягивание с помощью отождествления ви-
висячих верши и моста не изменяет числа областей карты и не нарушает
смежности нобых ее областей
Ясно, что если 4-раскрашиваема всякая плоская карта, не со-
содержащая мостов, то и всякая кубическая плоская карта, не со-
содержащая мостов, также 4-раскрашиваема Чтобы проверить об-
обратное, предположим, что G — плоская карта без мостов и что все
кубические плоские карты без мостов 4-раскрашиваемы Так как
G не содержит мостов, то в ней нет висячих вершин Рели в G су-
существует вершина v степени 2, инцидентная ребрам */и г, то произве-
произведем подразбиение ребер у и г, обозначая дополнительные вершины
через unw соответственно. Удалим теперь v, отождествляя вершину
и с одной из вершин степени 2 в некоторой копии графа Ка— xf a
вершину w — с другой вершиной степени 2 в /С4— х Очевидно, что
каждая из новых вершин имеет степень 3 (рис 12 4) Если G со-
содержит вершину 1>о степени п^4, инцидентную ребрам хх, х2, .
7 хТ, упорядоченным циклически относительно vib то, добавляя
новую вершину v(, подразобьем каждое ребро xt Затем удалим у0 и
добавим новые ребра v{v.u v^vif , vn xvn, vrtvx Опять каждая
из дополнительных вершин имеет степень 3
Обозначим полученную кубическую нлоск\ю карту, которая,
очевидно, не содержит мостов, через G' Эта карта по предположению
4-раскрашиваема Рассмотрим в карте G произвольную вершину v,
у которой degt^=3 Если в G' отождествить между собой все до-
добавленные при построении карты G вершины, соответствующие
вершине v (причем сделать это для всех вершин v карты G, степень
которых отлична от 3), то получим карту G. Поэтому, имея неко-
некоторую 4-р ас краску карты G и осуществляя указанное выще стя-
стягивание карты G" в карту G, получаем m-раскраску карты G, где
т<14 Теорема доказана
*) Результат Орс и Сгемпла также бъп улучшен Донец [1J довел чисто об
лас гей до 41 — Прим перев

РАСКРАСКИ
159
Другую интересную эквивалентную форму гипотезы четырех
красок предложил Уитни (.7)
Теорема 12 Ю Гипотеза четырех красок справедлива тогда
и только тогда когда любой гамигьпюнов планаршй граф А-рас-
А-раскрашиваем
Нар яд \ с эквива тентами гипотезы четырех красок, в которых
говорится о раскраске областей, существует также эквивалент, в
котором рассматривается раскраска ребер1)
После
deg v
Mo
Рис 12 4 Переход от графа к илбическоч\г графу
Раскраской ребер графа G называется такое приписывание цветов
его ребрам, что никакие два смежных ребра не получают одикако-
одикакового цвета. Реберной п-раскраской графа G называется раскраска
его ребер, использующая точно п цветов Хроматическим классом2)
у/ (G) называется такое наименьшее число я, что для графа G су-
существует реберная я-раскраска. Очевидно, что для любого графа,
не являющегося вполне несвязным, %' [G)^x(L(G)} Нижнюю к
верхнюю оценки хроматического класса, мало отличающиеся друг
от друга, получил Визинг Ш 3)
1) Наиболее полный обзор различных эквивалентных формулировок (а имен
но 13) проблемы четырех красок дел Саата [!).— Прим. перев,
2) В отечественной литературе принят этот термин Автор использует другое
название — «реберно-хроматическое число» указывая что иногда применяется
термин «хроч<атический индекс»- — Прим- перее
и) Доказательство можно найти у Оре 16, стр 248]

160
ГЛАВА ]2
Теорема 12 II Дъя каждого графа G хроматический к та
удов гепхворчет неравенства и
Д</'<А -1 A26)
На ряс 12.5 показаны два возможных значения у (G) В об-
общем случае не известно, для каких графов /'--А
х =
Рис 12.5 Ды значения хрома ni геского класса
Теорема 12.12 Гипотеза четырех красок справедлива тогда
а только тогда, когда у'(G)—3 для ?юбого кубического пшнарного
графа G, не содержащего мостов
Доказательство В теореме 12 9 л же доказана эквивалент-
эквивалентность гипотезы четырех красок утверждению о том, чю любая куби-
кубическая плоская карта без мостов 4-раскрашиваема Мы покажем
теперь, что чюбая кубическая плоская карта без мостов 4-раскра-
4-раскрашиваема тогда и готько тогда, когча t {G)^'Z
Сначала предположим что G — кубическая птоская карта без
мостов, имеющая 4-раскраску. Без ограпичелия общности можно
считать, что G — связная плоская карта В качестве множества цве-
цветов выберем элементы четверной группы Клейна F, в которой сло-
сложение определяется по правилам &,¦—&*—&,) и kL-\-k2 ~k-if где k^—
ц\левой элемент группы F
Пусть задана 4 раскраска кар1ы G Определим цвет ребра как
сумму цветов дв)х различных областей, инцидентных этому ребр>.
Тогда ясно, что ребра раскрашиваются элементами множества
{ki, k2, ki} и что ни одной паре смежных ребер не приписывается
один и тот же цвет Следовательно, % (G)-=3.
Обратно, пусть G — кубический плоский граф без мостов, \
которого у' (G) — 3, раскрасим его ребра с помощью трех ненулевых
элементов группы F Выберем некоторую облааь Roh припишем ей
цвет /е0. Цвет любой другой области/? графа Gопределим следующим
образом Пусть С — произвольная кривая на плоскости, соединяю-
соединяющая некоторую внутретшюю точк> области Ro с какой-нибудь вну-
внутренней точкой области R так, что С не проходит через вершины
графа G Цвет области 7? определяется как сумма цветов ребер, пере-
пересекающих кривую С Определение цвета области не зависит от вы-
выбора кривой С, так как сумма цветов ребер, пересекающих люб\ю

РАСКРАСКИ
простио замкнутую крив\ю, не проходящую через вершены графа
G, равна kn. Пусть S — такая кривая a cit cit ... сг,— иве га ребер,
пересекающих 5 Пусть также */, d2, , Jm—цвета ребер, находя
щихся внутри ^ Заметим, что если обозначить через r{v) сумму
цветов трех ребер, инцидентных вершине и го r(u)--kit Следова-
Следовательно, для всех вершин и, находящихся внутри S выполняется
равенство ^Vfc1)--/? С другой сторолы,
с (v) ¦-¦ cL -7 с-> -I Н ¦cl-r2(di i t/:. ! .\-dlty) =
так как каждый этемен': группы F является обр^тним самому себе
TriEaiM образом, сх '-сг-\- . А-с, ~~-ku Теперь уже несложно прове-
проверить, что определенная нам к раскраска карты G действительно яв-
тяется 4-рлекраской Георема доказана
Поскольку каждый одноцветный класс ребер, определяемым ре-
реберной //-раскраской регулярного графа G степени п, явлжт:я
1-фактором графа О, из теоремы 12 12 по чу чаем еще о ди\ экзлва
лецтную форму гипотезы четырех красок
Слечствие 12 12 (а) Гипотеза четырех красок травед.ишс
тогда и только тогда, когда каждый кубический планарный граф
не содержащий мостов, I-фактори-{уем
В терминах факторизации теорема 12 12 доп\скаст обобщение
(Ope |bf стр 1071)
Теорема 12.13. Дгч того чтобы связная планарная карта G
была 4 раскрашиваема, необходимо и достаточно, чтобы граф G
можно било представить в виде суммы таких трех подграфов С1Л
G> G'i, что для любой вершины и числа ребер из каждого подграфа
Gi, инцидентных i, быт либо все четные\ шбо все нечетные
Существует несколько других гипотез о раскрасках, по именно
гипотеза четырех красок получила наибольшую известность
Одн\ из н а ибо 1 ее интересных гипотез о раскрасках сформдушровач
Хадвигер [1]; в пей рассматриваются сгягиваляя
Гипотеза Хадвигера Каждый связный п кроматическии
граф cm чгиваем к К,г
Неудивительно, то эта гипотеза связана с гипотезой четыреч
красок Гипотеза Хадвигера верна для п^.4, этот результат при-
принадлежит Дирак\ [1| Для п—5 гипотеза Хадвигера утверждает
что каждый 5 хроматический грзф G стягиваем к /( Но по теореме
II 14 любой такой граф G обязательно нетанареп. Таким образом,
из гипотезы Хадвигера для /z--5 следует гипотеза четырех кра-
красок Обратное было установлено Вагнером [31,
6 JSg HI

16^ ' 1ABA 1i> ^
ТеорСхма 12 14 Гипотеза Хидвигера для п—5 ллшшлешпна
г и пот езе чет ырех кр а со к
Теорема Хиву да о раскраске карт
П\сть 5„— ориентируемая поверхность рода п, значит, Sn
топологически эквивалентна сфере l n ручками. Хроматическим
'/игжш поверхности Sv —обозначается хE„) — называется наиболь-
наибольшее хроматическое число среди хроматических чисел всех графов
которые можно уложить на Sn Поверхность 5, является просто
сферой, и с проблемой определения числа х (S ) ми уже сталкипа
лись 1 ипотеза четырех красок утверждает что yv(S0)--4, хотя
известно, что (теорема 12.7) %(S0) равно 4 или 5.
Хивудл [li удалось доказать, что ил я тора % Eт)—-7 Первенство
XlSt)^7 вытекает из возможности уложить /G на торе. Эта ук-
укладка приведена па рис 11 17 Равенство yJ$i)—7 следует из ут-
утверждения доказанного также X ив удом (см. доказательство те
оремы 12 15) Его резулыат Дает верхнюю оценку для хроматиче-
хроматического числа ориентируемой поверхности положительною рода гг
/?>0 A2 7)
При ti=l имеем /JS{)^ 7, гак что yjS^^T
Хивуд, обнаруживший ошибк\ в «доказательстве» Кемпе гипо-
гипотезы чсшрех красок, сам оказался небезгрешным Он считал, что
Чоказат равенство в приведенной выше формуле но уже через год
Хсффтер Ml указал неточности в доказательстве Хивуда, так что
осталось голько неравенство A2.7) Сам Хеффтер доказал равенство
для 0< п-^Ь. В итоге утверждение о том. что в формуле Хивуда
выполняется равенство, стало называться гипотезой Хивуда о рас
краске карт Покажем, что из истнипосш формулы y(Kv)-
=-{(р— 3) (р—4)/12} (теорема 11 18) можно вывести (как это сде-
сделали Рипгель и Янгс) справедливость гипотезы Хивуда
Теорема 12 15 (теорема Хив\да о раскраске карт).
Для любого положительного целого числа п хроматическое число
ориентируемой поверхности рода п определяется формулой
„..О A28,
Доказательство Сначала докажем неравенстве^ A2 7) Пусть
G будет ip, q)-графом, \ложепньтм на Sn. Можно считать, 'no G —
триангуляция так как, добавляя ребра, любой граф можно чопот
нить до триангуляции того же рода, при этом / не уменьшится
Если d— средняя цепень вершин в G, то р, q и г ^число областей)

РЛСЮ-'ЛСКН
103
}довклворяют coot ношениям
dp~2q-3r A2 9)
Вы ражая >] и г через /? к ислопь:п р формул \ Эй»1! ер а A1 4) юл уча ел
р
}
Гак как
-1, то
Решая относительно р и выбирая положительный корень, находим
Обозначим чере.* Я (л) прав\ю часть формулы A2 8) Н}жно по-
показать, что Н \п) цветов достаточно для раскраски вершин графа G
Если р—Ж.л) то, очевидно цветов достаточно Если же р>И(п),
то подставим ^/(/0 вместо р и A2 10) и произведем алгебраические
преобразования Тогда
12 in—:
~"'И{п)
— 6 = //(/!)— 1
A2 13)
Таким образом, если р>Н(п), то с\щеетв\ет вершина и, степень
ко юрой не превосходит Я (л)— 2 Отождествляя и и люб\ю смеж-
смежную с ней вершину (с помощью элементарного стягивания), полу-
получаем новый граф G' Если р =р—\=Н(п)) ш G' можно раскрасить
И (п) цветами Если р'> И(п), указанный прием повторяем снова
В конце концов придем к Н (я)-раскрашиваемому графу Легко ви
деть что раскраска этого графа порождает раскраску графа, полу-
полученного на предыдущем этапе Я (л) цветами ит д Таким образом,
сам граф G также И(п)-раскрашиваем.
Неравенство в обратную сторону доказать очень трудно Для
преодоления этой трудности Ринге ль и Янгс разработали специаль-
специальные методы Если потный граф Кр можно уложить па Sn> то в еил\
ярапнения A19)
Так как ф\нкцня, заключенная в фигурные скобки, монотонно
возрастает при /; 2^4, то дли всякою и найдется наибольшее зна-
значение р, удовлетворяющее неравенству A2.14) Разрешая соотно-
соотношение A2 14) относитетьно р находив что
7—1
¦ 4Sn
A2 15)

Поскольку yJKp) /?. граф АГ;б\дет иметь род п и хроматическое
число Я (п) Это показывает, что Я (п) — иеулучшае-.мая нижняя
оценка для /jSn). Доказательство закончено
Заметим, что формула A2 8) при я---0 прнвошг к гипоизе че-
шрех красок
Одиозначно раскрашиваемые 1рафы
П\сть G — помечен чпи граф. Каждая его х(<7) расьраска но
рождает разбиение множества его вершин на / (G) однолистных клас-
классов Если ym(G)~-n п каждая п раскраска графа G порождает одно
п то же разбиение множества 1Лто G называется однозначно п-рас
крашивас.шм или просто однозначно раскрашиваемым. Граф пред
ставленный на рис 12 6 однозначно
^-раскрашиваем так как каждая его
3-раскраска аает разбиение {^}, {и2, #/}
{ия, и:>] Пятиугольник не однозначно
^-раскрашиваем: возможны пять различ
ных разбиений множества его вершин.
Начнем с 5лсл1елтарных замечаний,
касающихся однозначно раскрашивае-
раскрашиваемых графою Прежде всего, в тюбок
„ , . .. ,ч «-p^Lкраске однозначно «-раскрашивае-
D я li.o. ()дно".и:ач:но рас » /-
краигл1*асмы1: грйф мого гРаФа G каждая вершина I- смежна
по крайней мере с одной вершиной каж-
каждого ивота, отличного г л цвета, приписанного v Иначе можно
были бы получить другую л-раекраску графа G перекрасив аер
шин} i. Отс юда evi ед у ст, что 6 F) ;> и — 1. II еобход и мое ус л ов и е
однозначной раскрашиваемое™ графа найдено Картрайтом и
Харари 12]
Теорема 12.16. В а-раскраске однпзначно п-раскрашиваемого
графа подграф, порожденный объединением гюбых двух, одноцвет
ных классов, евчзен
Доказатель ство Ргссмстр1.м л-раскраск\ одноаиачьо п
раскрашиваемого графа 6" и предположим, что существуют такие
два одноцветных класса графа G скажем Г] к С>, что подграф 5
порожденный объединением С, и Са, не связен. Пуст!» SL и 5а—
две колпкмтелты подгра([>а Л Из приведенных ранее замечаний сле-
следует, что каждая компонента S,: {i — 1, 2) должна содержать вершины
как чз, С,г Taj\ н ж С2. Теперь можно получить л-раскраску, отлкч
ц\ю от д;дшом иомс'пя;; нг.ета litpiiinvi. и?, множества С, Г)-S'i С п.ве-
т алп; ь е ] .• [ i i j i н и :•; м и 0Ж1л-тв;) С, () <S' -,. О г сюда след у ст что G не я в л h
стся однозначно /г-раекрашивуем^м графом, что нр(шшорсчлт ус-
условию.

РЛСКРЛСПШ
1G3
Рт„. 12.7
пример х ут^ерж-
делшо, обратись.: у
те;> роме 12.} 6.
Утверждение, обратное теореме 12 16 не верно. В этом можно
убедиться на примере 3-хроматического i рафа 6 изображенною на
рис 12.7 В каждой 3-оаскраске этого графа подграф порожденный
объединением любых двух одноцветных классов связен отнако
6 не есть однозначно 3-раскрашиваемый граф
Из теоремы 12 16 следует что каждый одно-
однозначно «-раскрашиваемый граф (>ь5?2) связей.
Чартрэпд и Гечлер [11 получили более сильный
результат:
Теорема 12 17 Каждый однозначн) п-ра-
п-раскрашиваемый граф (п—\)-связен рш_ 12,7 клггтр-
Доказательство Пусть дана а раскра-
раскраска однозначно ^-раскрашиваемого графа (}
Если 6— полный 1раф, то он обязательно Кп
(т. е содержит п вершин) и поэтому (п—П-свя.^еп. Пред но
чожим что G неполон и не (п—1)-свя^еп Yorva существует мно-
множество 6\ содержащее п—2 вермшны удаление которых делает
G несвязным Имеется по крайней море два различных цвета ска-
скажем С, и С± не приписанные ни одной верпшяе множества Ь. По
теореме 12Л6 ве^ш:ина т;пета d соединена с люГ>эй вершиной цвета
С2 простой цепью все вершины которой имеют цв?та С, или С2
(Следовательно, все вершины графа G, окрашенные в цнгга Гг п:\\]
С-2, принадлежат одной компоненте графа G—L, екгжем Gx По
^тому другую д-р ас краску графа G можно получать, взнь любую
вершину графа G — V не принадлежащую (iu и перекрасив ее или
в цвет Си или в цвет С2 Л это противоречит тому, что G - одло-
шачно л-раскрашиваемый граф Таким образом, он (п—\) связен
Поскольку объединение любых k одноцветных классов одно-
однозначно я-раскрашиваемого графа, 2^.k<^n порождает однозначно
/^-раскрашиваемый граф, то из теоремы 12 17 лытекает
Следствие 12 17 (а) В каждой п-раскраске однозначно п-рас -
нрашиваемого графа подграф, порожденный объединением гюбых k
одноцветных классов 2-^k^n , (k — 1) -связен
Легко привести примеры 3-хроматическнх графов, не содержа-
содержащих треугольников. Действ яте чьи о, в теореме 12.5 говорится что
для любого п существуют ^-хроматические графы, не содержащие
треугольников и, следовательно не имеющие подграфов, изоморфных
Klt- Харари Хедетпиеми и Робинсон [li потучичи ботее стьныи
результат:
1еорема 12.18 Для каждого /С;>3 существует однозначно и
раскрашиваемый граф не содержащий чодграфов, изоморфных Кп

16b
12
Граф 6, приведенный на рис 12 8 иллюстрирует теорем\ для
стучая /г=3
Естественно, граф однозначно 1-раскрашиваем тогда и только
тогда, копа он 1-раскрашиваем, т о. вполне несвязен Хорошо
известно что граф G однозначно 2-рискрашиваем тогда и го ilko
тогда, когда он 2-х рематический и связ-
связный Как и можно было ожидать, об
однозначно «-раскрашиваемых графах,
п^З известно мало Для планарных
графов сведений больше, но в силу тео-
теоремы о пяти красках достаточно рас
сматривать только значения 3^я^5
Результаты в это.м направлении принад-
принадлежат Чартрэнчу и Геллеру [II
Теорема 12 19 Пусть G есть
3-х рематический плоский граф Ettu G
содержит такой треугольник Т, что
для любой вершины v графа G сущест
Рис. 12.8. Однозначно 3 ра-
раскрашиваемый граф, ire иче
ющий треугольников.
вует последовательность Т, Тл Т2
, Тт треугольников, в которой соседние
два имеют общее ребро и v?Tm, то
G — однозначно 3-раскрашиваемый граф.
Из этой теоремы немедченно вытекает
Следствие 1219 (а) Если дву связный 3 хроматический пло-
плоский граф G имеет не более одной области, не являющейся треуголь-
треугольником то G — однозначно 3-раскрашиваемый граф
Предложение, обратное следствию 12 19 (а), не верно'
однозначно 3-раскрашиваемый планарныи граф может иметь более
одной области, не явпяющейся тре
угольником (рис 12.9) Однако каж
дый однозначно 3 раскрашиваемый
пленарный i раф должен содержать
треугольники
Теорема 12.20. Однозначно 3-рас-
3-раскрашиваемый та парный граф, имею-
имеющий не менее 4 вершин, содержит по
крайней чере два треугольника
В случае однозначно 4-раскрашиваемы\ п тан арных графов ситу-
ситуация особенно ироста
Теорема 12.21. Каждый однозначно 4- рас крашивае мы и п га-
нариы\1 граф является максимальным плапарным графоч
Доказательство. Пусть задана 4-раекраскс1 однозначно
4 раскрашиваемою плапарного графа G, обозначим его одноцветные
12.9. Одиозна1 ию 3 р^скра-
ыиваемый пленарный гриф.

1-'\СКРЛСЫ'
к 1 ас сы че рез 1; 1 < i ^ 4, [ V f \ --- р t Т а к к а к п од гр аф, поружде н ньш
объединением Уг U Г„ 1ф] связен, ю в G должно быть по крайней
мере 2 (р;-}¦/?;— 1) ребер, 1^л<;<4 Однако очевидно, что эта
с\мма равна 3/?—б- Поэтому <?> Зр—6, и в сил} следстния II 1 (в)
О — максимальный пчанарный граф
Хотя вопрос существования 5-раскрашиваемых планарных гра-
графов остается все еще открытым результат Хсдетниемп, приведенный
в работе Чартрэнда п Геллера [II, разрешает проблему одиознач
но 5-раскрашиваемостн Доказатетьство похоже на докаяатель
ство теоремы 12 21
Теорема 12.22 И и один из та парных графов не чвтчетсч
однозначно Ь-раскртииваемыv
Критические графы
Ест гипотеза четырех красоь не нерпа, то должен существовать
наименьший 5-хроматнческий планаряьш граф Такой граф G
обладал бы тем свойством, что дчл лео6ой его вершштьг и подграф
G — v был бы 4-хроматическим. Таким образом, v нас есть естест
венный подход к возможному доказательств) i илотсзы четырех
красок в ее обратно}! постановке. Отсюда возникает ос нов на я задача
изучения таких 5 хроматических графов и ш, более общо ^-хро-
^-хроматических графов G, что y(G—v) = n—l дтя чюбой вершины v
графа G
След\ и Дирак\ fl.l. граф G Ha3OBeNr критическим1), если
^yG—vX /(G) v'H тюбой его вершины v если при этом /tt(G)--a1
то граф G называется л-критическим. Очевидно, если G — крити-
критический граф, то %(G—v) — /JG)—\ для каждой его вершины о.
Ястю что 1 критических графов нет. Единственный 2 крити-
критический граф — это Кг все 3 критические графы исчерпываются
простыми циклами нечетной дчиньг л-критические графы дтя п^> 4
еще не описаны
Как правило, определить, является ли данный граф критическим,
чрезвычайно трудно Однако каждый п-хроматический rpacb, п^ 2
содержит п критический подграф Действительно, если И — такой
наименьший порожденный подграф графа G, что х(#)—/(б), то
Н — критический граф
Ясно, что каждый критический граф 0 связен. Далее, посколькл
/JG) — max /JB)y где максимум берется по всем блокам В графа G,
то G должен быть б током. Это одно из свойств, которыми обчадают
критические графы
Следующее утверждение уже встречалось при доказатетьстве
теоремы 12 2
J) Если рассматриваются также и другие типы критических урафоь то граф
критический в указанном емькпе будем яазиват! критическим по паскраске

108
ГЛЛВ\ 12
Георема 12 2} Если G есть п критический граф то
Приведем теперь результаты, связанные с удатеипем вершин
Теорема 12 24 Критический граф нельзя разделить полным
подграфом
Следствие 12.24 (а). Каждый разрез по вершина ч критического
графа содержит две несмежные вершины.
Каждый полный граф критический. Действительно, учя
U с V (К2) с 11 р а вед л и в о р a bi нетво %(Kp—U)t=d—\UI Для любого
другого критического графа всегда, однако, можно удалить не
менее 2 вершин не уменьшай при этом хроматическое число более
чем на 1 В самом деле, если S — произвольное независимое мно-
множество вершин «-критического графа, то %(G^S)—n—\ Отсюда
в свою очередь вытекает что если и и о ~~ любые две нершины
/7-критического неполного графа G, то существуют такая его п-рас-
краска, что и и v принадаежат одному и тому же одноцвет ому
классу, и такая его /?-раекраека, что и и v принадлежат разным од-
одноцветным массам.
В одном из направлений исстедованин свойства критических гра-
графов связывают с длинами циклов, в частности, окружения и обхвата
Нсли G есть /i-критнчсский граф с /7-верщинами и р^2п— 1 го в
сиtv теоремы 12.23 и следствия 7.3 (б) граф G гамнльтонов Дирак
[2] по а учит более общий результат
Теорема 1225 Если G есть п-критический граф п^г. 3, пю
иш G гамигьтонов, иги его окружение т меньше 2н—2
Дирак \2\ предполага! что каждый 4-критический граф гамить-
тонов Однако Дж и 1 Келли [1] показали, что эта гипотеза не
верна 1лрак [21 также предпо-
предполагал, что для любых т и пу
я5* 3 сущестпует достаточно
большое значение р при кото
ром у всех и-критических гра-
графов, имеющих по крайней мере
/7 вершин, окружение превосхо-
превосходит т Дж и Л Келли подтвер-
подтвердили это Из теоремы 12 5 выте
каст, что для любых т к ч су-
ществует /^-критический i раф, обхват которого превосходит т
Критический i раф G может обладать еще одним свойством
/(<j—x) — yJG)—1 для любого ребра л: графа G В этом случае граф
G называется рсберно-кршпическим; если х(О) — п, ю G называется
п ребер но-критическим Хотя каждый ребер но-критический граф
обязатетьно является критическим, обратное не верно Например,
Pic. 12. Ю. Критический граф. ire яп
лнгашийся реберно-критическим.

РАСКРАСКИ
граф G, представленный на рис. 12 10, ятзляется 4 критическим но
не ребернокрнтическим, поскольку x(G—*)—4
Таким образом, ребер но-критическис графы об та даю г всеми
свойствами критических графов но в некоторых случаях о первых
графах можно сказать ботьше, чем о вторых
Теорема 12.26 Ест G — связный и-хроматический граф, ю-
держащий точно одну вершину степени больше п—¦] mo G че гнется
п-реберно-критически и
Доказательство Пусть х— произвольное ребро графа G,
рассмотрим граф G— х Ясно, что 6 (G—Л'Х п—2 и, более того,
6Gn,— 2 для любого порожденного подграфа G графа <7 — л,
в силу теоремы 12.2 % (G—х)^п—\, откуда /F—v) -
=п—1 т е G—это /г-реберно-критнчоский 1раф
В си,.ч\ теоремы 12.2,3, ес..ш G есть /ькрмтический граф, ю 2tf^
^(п—1) р. !Х<:'\ я р ебе р н о- кр ити чес к и \ г р афоп Д и р а к [31 у т у ч ш мл
это соотношение:
Теорема 12 27 Eciu G — непо.тпп п реберно-кршппчакай
граф, и^ 4, то
2q"^ in~\) p /i—J.
Гомоморфизмы
В этом разделе мы для удобства будем рассматривать только
спязные графы. Элементарным, гомоморфизмом графа G называется
отождествление двух его несмежных вершин Гомоморфизм графа
G — это последовательность его элементарных гомоморфизмов
Fju 12 11 1 омоморфно!е образы просто к цепа Рх
П\сть <7'— граф, который получается из i рафа G при гомоморфизме
ij.. Toj да ф .можно рсК'Сматрипать как функцию отображающую V
на V и такую что если а и и смежны в G то ци и ц-v смежны в
G Заметим что каждое ребро графа G юлжно получаться из не-
некоторого ребра графа G, т е если и' и v смежны в G , то в G най
дутся такие вершины и и v что цчг—и' и <( v---vr. Будем говорi[ть
что ф — гомоморфизм графа О на граф G , а граф d — гомоморфный
образ графа G, к писать G —фб Так, в частности, каждый изомор-
изоморфизм явчяеген гомоморфизмом Простая цепь РА имеет четыре го
моморфных образа, которые изображены на рис 12.11
Гомоморфизм ф графа G называется полным порядка п, если (j 6
А,,,. Отметим, что каждый гомоморфизм <р графа G на кошый граф

70
Г 1 \IJ \ \>
К,., соответствует /j-раскраске графа О, поскольку вершины графа
K7i можно рассматривать как цвета и по определению гомоморфизма
ни одна л ара вершин графа G с одинаковым цветом не смежна. Лю-
Любая раскраска, определенная полным гомоморфизмом, обладает тем
свойством что 1ля любых двух цветов в графе G найдутся смежные
вершины и и v} окрашенные в эти цвета В данном случае мы полу-
получаем полную раскраску На рис. 12 12 показан граф с полными рас-
раскрасками, пор ял ков 3 и 4, цвета указаны здесь положительными цс
лымн числами Очевидно что наименьший порядок всех полны\ го-
гомоморфизмов графа G должен быть равным / (G)
3 2 4 4
Ру,с. \1 \2 Дв< иотные раскраски графа
Георема 12 28 (Х%х>д\)\1, Хелешиемп, Прнпс П1) обобщав! более
ранний результат Хаиоша J2J, который б уде! приведен какое след-
С1ВИС
Теорема 12 28 Для любого графа G u гюбого его эхе мент арного
гомоморфе зма е
<\2 16)
Д оьаз а \ ел ьс г в о. Пус:ь ь, — э leAieni арный юмоморфпзм гра
фа G, отождествляющий несмежные вершины и и v Тогда чюбан
раскраска графа еб порождает раскраску графа G, если и и v о к
рашены в одни и тот же цвет; поэтому %(GMQ%(eG) С другой сто-
стороны, раскраска графа tG пол\чается из раскраски трафа G когда
новой вершине приписывается цвет отличный от всех цветов, ис-
по 1ьзм'мых R раскраске G, гак что /(fG)<"l /F)
С i е д с т в и о 12 28 (а) Дгч. гюбого гомоморфизма ф графа G
теперь рассмотреть наибольший порядок всех
полных гомоморфизмов графа G Этот инвариант называется ахро
мат и чески а числом и о боз н а ч а етс я i J (G). П ос к о л ь к у G м ож н о р ас
красить р цветами, очевидно, что % (G) ^ \\: (G) <^ р Ни одно и? атих
неравенств но тает хорошей опенки агтя \\.

ГАСКРЛСКН
171
Теорема 12 29 Для любого графа С и любого его элементарного
гомоморфизма t
Пример на рис 12.П показывает что нижняя опенка досми
гаегея и следовательно, ома иеулучшаема Ле] ко проверить чю
4-(С) — 5 в то время как \[>(К7) —3
Рис 12.13 Гомеоморфизм \'\гспьипют];ии i|" in 2
Теорема 12 30, названная в работе Харари, X едет н нем и и
п Прмнса 11] теоремой об интерполяции гомоморфизмов, сильно за-
вист от опенок A2 16)
Теорем л 12.30 Для любого графа G и любого целого числа п
заключенного между у (С) и ф (СУ), существует полный гомоморфизм
(и, сledoeameъьно, полная раскраска) порядка п
Доказательство. Пусть ф (С) =-1 и ф — гомоморфизм графа
6 на Д,. Если \\ — изоморфизм, го G есть Kf и y{(j)-\\*(G). Если же
ц не является изоморфизмом, то ^—гпъ >2в1? где 8; для всех i есть
элементарный гомоморфизм Положим Ci,— z{G, G2 — e.^Gj, ...,/(,=
—Gm =--emGm _! Из A2.16) имеем уд<j, + О ^i х (G/) ; 1 дл я любого f
Так как 7(G,rl) = iJ)(G), то для любого числа п, удовлетворяющего
нер аве л сгв ам л/ (С) ^ л s^ z - ij- (G), в пс^сл ед ов ател ы юст и {G;} на и -
дется граф, скажем Gs, с хроматическим числом п Но тогда Gs имеет
полный гомоморфизм {[' порядка п Итак, (г\„ e2f,— гомомор
ф»зм графа G па /()(
Многие верхние оценки для х F) служат также оценками для
\|. (G). В качестве примера распространим на -i|* (u) (Харари и Хе
детниеми Ш) верхние оценки из A2 3) и A2.4)
I е о р е м а 12 31 Для гюбого графа G
A2 Щ
Отсюда я из «epdnencTBd /^ P вытекает
Стедствие 12 31 (а) Для гюбого графа G
Неравенство A2.19) можно доказать непосредственно
доказательство более тонкого соотношения A2 3).

|72 ГЛАНД Г
Хроматический многочлен
Ароматический мноючлен 1раф;1 введен Ънркгофом и Чыоисом
111, когда они предпринимали попытки решить гипотезу четырех
красок Пусть G — помеченный граф Раскраской графа G i цветами
называется раскраска графа 0, иеттользлющая t или меньше цветов
Две раскраски трафа G 1 цветами будем считать различными, если
по крайней .мере одной помеченной вершине приписываются раз
1НЧ1гые цвета.
Обозначим через f{G, l) число различных раскрасок помеченною
графа G t цветами. Fcvm t<^r/v(G), то, естественно /(С, /)-О
Наименьшее из чисел i, дтя которых /(<7, 1)уЛ), есть, очевидно, хро-
хроматическое число графа G Следовательно, в гипотезе четырех кра-
красок утверждается, что /'F, 4)> 0 дчя каждою in а парного графа G
Например, любую данную вершину полного графа К* можно
окрасить i способами. Для второй вершины можно взять любой н°,
г—1 цветов, и, наконец третьи вершина окрашивается t—2 спо-
способами В
--ЛЛ формул\ мол но обобщ!1ть па любой потный граф [)
[iKj, t)^t(l~l) (J-2) (t-p+[)^(t), A2 20)
Особенно Г1егкс^> тип и соответствующий многочлен для впотпе
несвязного 1'рафа КГ>7 так как каждую из его/з вершин можчс> ежра-
ешь независимо / способами
ft^ A2 21)
Цсн1ральную всршин\ v} графа /СЬ4, показан
иого на рис. 12.14, можно окрасить / способами, а
любую из висячих вершин /—1 способами. Поэтому
р ^ I* тт Во всех приведенных примерах /((?, /) есть много-
ме чёл на я коптит члсн (УТ "Ор сме иной t Это всегда так, в чем мы
граф-) а:, , сейчас лбедимея
ieope.Ma \2.Л2. Если и и v — неслижные вершины графа G
а ь — элементарный гомоморфизм, отождествляющий u.\t то
f(Gj)-f(O-l uv,t) -/(t<7, f). A2 22)
Доказательство Это равенство следует нейосредсл вен но из
ух замечании Первое — число способов раскраски графа G t
л) Анчор, 1лод)и Рмордаиу [2| л укгкчынля нп ^>то испилbdyei для \быкаю
runx фа к тория лог! (точнее, у 5т .тающих р-факторлалоь от I) обилия четю 1{р)
Прусском мереиоде книги Р норда i га \'2 сгр 11 п 1ё) вместо / р) употребляется
обозначение (г)п. — Приw ред.

' ЛСК РАС.К И
цветами, когда вершины и и и окрашиваются в разные цвеы, равно
числу способов раскраски графа О ' ио i цветами. Второе — число
способов раскраски графа бМизетами, когда вершины и и с окраши-
окрашиваются в очнм цвет павпо числу способов раскраски юмоморфпоп)
образа ь'Х] t цветами, где г отождествляет и и с.
Из зтой теоремы вытекает, что если 6* ¦ неполный (р, ^)-граф
то существуют такой граф С, с q 1 ребрами и такой граф О. с р—\
вершинами, что f(G /)= /(Gb Г) -f((h2, l) Соотношение A2.22)
можно применить к G, и 0L, м г. ;i. до тех пор, пока не по.чучатея
только полные 1рафы. Следовательно /F 0 можно представить
п виде суммы чиееч/(Л^ /) Но/(/(,,/) (/)» ивчяется многойчешш
относительно /
Слои4! в по 12.32 (?.) 1@ п
i для любого <рафа G
s погон лен ()!п перелиннои
Назовем / (G t) хроматическим многочленом графа G Для иллю-
иллюстрации теоремы воспользуемся приемом, предложенным Зыковым
I1J В соогветствгн с .угпм приемом х'роматпчеекпй многочлен графа,
f@ О
+ 2
Рмс. 12
\р
\пюг
тавпеящпн от / оГюзн,^чается е помощью Диаграммы графи. На каж
дом плате ^тою процесса выбираем лт: несмежные яерптшг.1 ч, i1 и
да7ьте представляем граф так Kaiv (ке^агаег Р;г' [41

174 I ЛАПА i
Так, для графа G, показан кого на рис 12 15, получаем мною
член
В частности, граф G можно раскрасить тремя цветами f(G 3)= 6
способами.
Перечнечи.м некоторые свойства хроматических многочленов,
в ьп екающие непосредствен я о из теоремы 12.32
Теорема 12.33. Пуаиь G — гриф с р вершинами, д ребра/4и и
k компонентами Gu Giy , Gk Тогда
1) \(G, t) имеет степень р,
2) коэффициент при ip в f(G, l) равен 1
3) коэффициент при ip~x в f(G, t) равен — qf
4) свободный член тогочгена /(G, /) равен О
5) f(Gtt)^Uf(Glt I);
6) наименьший показатель у степеней переменной i, входящих в
f(G,i) с ненулевыми коэффициентами, есть k
Совсем т очевиден следующий результат, полученный Уитни
111 и обобщенный Рота 111 использовавшим свои мощные методы,
б которых привлекается обратное преобразование Мёбиуса
Теорема 12 34 Коэффициенты любого хроматического много-
чина меняются по знаку г)
Ясно, что каждые два изоморфных графа имеют один и тот же
хроматический многочлен Однако часто несколько неизоморфны\
графоз также имеют один ц гот же хроматический многочлен. На-
Например, } всех деревьев с р вершинами один хроматический мно
гочлеи
Теорема 12.35. Граф G с р вершинами являете я деревом тогда
и только тогда, когда
До к ат ai ел ьс гио Снача-ы мокнем, что Ароматический мно
гочлен чгобого помеченного дерева Тер вершинами есть t(t— ])J'~i
Проведем доказательство индукцией по числу р Для р—1 п р—2
результат очевиден Предположим, что хроматический многочтен
всех деревьев с /?—1 вершинами имеет вид t{t—\)p~z Пусть v —
висячая вершина дерева Г a x—uv — его ребро, инцидентное v.
По предположению индукции хроматический многочлен дерева
Т T—v есть t{t—\y~- Вершине i можно приписать любой цвет,
') 1 оч лес, если/(G i)—cisr—а -1Г~1- A-Q41—-Q\t, то поеледопателт.ггогть
Ui a* as л vb I — знакочередующаяся — Прим. ;?вд

p\СКРАСКИ 1 75
отличный <>г цвеча вершины w, ык мо с» можно окрасить 1—\ спо-
способами Таким образом,
Обратно плеть 6 — граф, \ которого /F /) —Ш—1}^ х Так
как коэффициент при / в f(G, /) ненулевой, то но теореме 12.33
(утверждение 6) граф G связен Далее, коэффициент при 1р~х равен
— (р~~\) гак что по теореме 12 33 (утверждение 3), граф G имеет
о—\ ребер Испо (ьчуя теперь теорему 4 1, заключаем, что G — де-
дерево
Остается нерешенной задача описания графов имеющих один
и нут же хроматический мноючлен Более общая нерешенная за-
задача состоит в нахождении необходимого и достаточного условия
для того чтобы многочлен был хроматическим. Например, много-
ччеи /}—3/;Ч-3/2 обладает всеми известными свойствами хромати-
хроматического многочлена но не является хроматическим Если бы су-
существовал граф G с таким хроматическим многочленом го он должен
был бы иметь 4 вершины, 3 ребра и 2 компоненты, так что G=Kz U К\
Однако хроматический многом пен последнего графа равен
Рид [4J предположил. тгто абсолютные значения коэффициентов
нобого хроматического мно) очлена сначала строго возрастают,
затем строго убывают и, наконец, не меняются
Упражнения
12 1 PaccMoipmi соединение двух графов
6) G^ и G2— критические графы тогда и только toe да, когда ч\ соедР'
пение G^G., является критическим графом
12.2 Ei.iJ! длина ллшш^йшего нечетного простого циьп h графе G paiiua n
/Гг-3, то у @)^п-\-\.
(^рдёш Хлипал [1])
12.3. Если вершины граф^ 6 перенумерованы г,г u ^ так что d^.d.^
j^z ~--d} то / (G)^]v.ax mill (г' (i/M)
(^ элщ Пнуэлл I ]|)
12.4. Если гамнлыо1!оп\ циклу граф^1 принадлежат не псе его pi бри. то
X
12.5. Хроматическое число конъюнкции f/tA.^j т,в\ х графов 6Г и 62
восходит хроматических чисел утих гряфои
(\сде
12.6. Граф Л w + i явтн тея единственным регулярньл! in-.-l) хро.матлческн.^г
i р и <|юл j степени п :;-: -. 3.
12 7 Иорхиио оценки в {\2Л) и A2.о) достиг] юте я гп с [ед\юших i
^ 'к'\''?—р-:- 1 только для К}/.. К{, м Сь;
и* Z7.—= ëР— 1>/2)в] только для К{ А'2 К-> и С^
(Фпкк [1])

170 Г1ЛЕП 12
V2 8 с)) Если р= р (G) — гростое число, то '/у- п только для Л ^ и /Су,.
A) у^' у~—р2-- I тогда п тол j, ко то: да, koi :\л G—K} или К у \\ противном
случае у- i-x,-<(^— U2 -4
(Фпнк \\\\
12.9 Каждая шгсчштеттюсктя ктртя 3 раскрашиваема
12.10 Каждая 1 енкзная тоска я картл 1 раскрашивала.
12.1 1. В любой раскраске ребс-рпого графа каждая вершина смежна не более
чем l двумя вершинами одного к того же цвета.
12.12. Рассмотрим спязныи граф G не являющийся простым циклом нечетной
длит bi He in вес его i ростпе циклы имеют одинаковую четность то % @)-- A(G).
(Боидн, Уэлш)
12.13 Нзитн хроматические классы графов Кр it Кт п>
(Ьсхзад; Чартр^нд, Кугк.р
12.14. Для графа Н, полученного из графа G, если положить Г (И)—Х (G)
и считать ,Tiif? его вершины смежными, гели они обе вс принадлежат одному пот
;io\:y подграфу графа 0, yv (Я) есть наименьшее число полных подграфов, объеди-
гг1 не которых piRiro VijX
1 '.15 Д1Я 7Ю^ого графи, допускающего укллдкх ил торе fr^ZG л ното.м\
12.lh С\ш.еству(л 5 Kpnivi ie< кип ]раф с 9 пе.ршмпалт
12.17 Каков 1апмелыи!!Й опичныи от полною однозначно 3 раскрашнвае
12.18. Каков., namieitbi ret. число р<.6Чр водночнтчно а раскрашиваемом гра{х
вер mill тамг?
(Картрацт Хярар)г [2])
12.1У Хрг;мдтнчрско«. чисто графа G че менее fr=po((?) Дтя тюбого
нечегного простого jriiKJia С._,;..г ^'/Cv--^) (i^- 2 и '/=3. Построить граф, не имею
ninii гр<уго bifiSKOB ср„ JK/-4 (Это можно сделать только при р~^>И )
12.20. Если / (ГЛ--/О;-5, гп i раф О (.одержит л такм.х н< риштг, -но каждые две
из плх соединены по к ран не ii мерс четырьмя н с иериее кающимися (ни верилша.м)
гтрпстьтм1г цепями
(Дирак [51)
12.21. Для любых цгты\ 4i:cci d и п 1<с^п. существует п крнтп iceKiu'i
rpa<}5 v i.oi opt-го Р ,-" ч/.
(Хауз |1])
12.22. a j 1\ а/К д ы \\ Л- л [>ом а пгкч к ri ti nt а к с и \: ал и ]; ы и г i ,;i;) 11 a p и ы it i p аф »> i н оз>: а ч
6} Нне1:]н<ч1.:1й>1арныи граф. имеющий \ю :sp;Hinei! л(С])е Л «
с днозначноЗ-раскр'Лнивагм тогда и только тогч^ koj да е»н инляотск максимальным
в t:ci т: неп л а ил рттых:.
(Чартрэпд, I ел.'к р [1J)
12.2Л. ,i-i-,]>[\ imi U\[ii'[ ] ра(|) нельзя рлздолгт, l tiomouii к> мни кестка псех пер
шип однозначно (.';-- I ьраскраптнае.юго подграфа.
(Харнргт, Хедетннемл Робинсон |1|)
12.24. ;1.чя .1-оГюго iuvs;n4Hi'iiMoro множества ^ гершиц критического г[^афа G
с.iфакел.чипо рг;ненетв<- '/(()'—S\-y [G) — 1

PAtKPVMT
12.25. Для любого лтемснтгфпого с гя in на и и я )/ г р (ф i G выполняете! iepa
BCilCTBO :% (С/)- -/v 0)^1^ i •
(Харари Хсдстниош Приис i 11)
12.ЭД Определить ахромат<гескоо число графов Рп, СГ1 \Г„ и ЛГ,Л ,..
12.27. п-хроматическим чис.юм л/,п{0) графл О называется наименьшее число
т цнегок>, необходимое для такой раскраски графа 0, ирм которой не нес вершины
лежанию h'i простой цепи длины /I, окрашены в один цвет.
а) Для любого /z существует такой Бцешнепл^партш iparp 6
(C13
С) Для любого /г существует такой плапарпьш граф Су, что /чЯ()
(Чартрэпд Геллер. Ходетниомл
12^ Если ( —дллца самиц пи иной простои исгШ в гр*1фе G ^о у
(Ггплан [1])
12 29 Для хромятп iecKOjo iiic ia любого гр1^ф1Т G справедлива нижняя ощ-нкэ
р'2
- p -2q
1112.30. Если r плана ртгом г рзфе О с р вершинами существует г перш и и, сумма
*й готовых ботьпи; 2р—12— Аг к /"^.14, го граф G 4-раскранагвасм.
(Б pay и, Zbkoircoi
° 12.31. Числом Лпдвигера)){0) графа 0 называется такое наибольшее целое
число г], что граф 6 стяптдем к полному грлфу А'у. Для (/>, </)-гргк|юп с числом
Хадпигерт ,<:4 справсдтив] точная оценка ?<Ц11—1) р — (^)
(Зыков f 5J)
12.32. КяжД1>пг 7-„хроматические граф гомоморфен граф\ пот\чсн|Ю.му из
Р- удр.,:юни<ч\' npOHiRO'ihum's [талы иосмежньгч реб< р
E1коПсет1 | 11)
°12 33 Пчаларньк графы с /j^.4i tcpiHHHavjii ч

1\шьа 13
МАТРИЦЫ
В порядке* беспорядочном они
Мертвы и холодны п колонках прозаичных
Поэт! Ты душу в них стихом вдохни,
Заставь ил заиграть в рисунке мозаичн i\| i)
Граф полностью определяется или его смежностями или ею
шщиденпнямн. Указанную информацию о графе удобно представ
тять в матричной форме. Действительно, сданным графом, помечен-
помеченным соответствующим образом, связаны несколько матриц, в том
числе матрица смежностей, матрица шщиденций матрица циклов
и матрица коциклов Часто ^ти матрицы удастся использовать при
выявлении определенных свойств графа. Классическим результатом
о графах и матрицах является матричная теорема о деревьях, в ко-
которой дается число остовов любого помеченного графа В данной
главе рассматриваются также матроиды, связанные с матрицами
циклов и матрицами коциклов
Матрица смежностей
Матрицей смежностей -) А
помеченного графа G с р
вершина м и ) I азываетс я (р X р) - м атр ица, и кото р ой а и --¦ 1, ее л и вер -
шипа иг смежна с Vj, и а^-- 0 в противном случае. Таким образом
1-
0 1 1 О I [
1 0 1 0 0 !
110 1 1 !
0 0 10 1
10 1 10 =
13 1 Помеченный
л ио матрица сможкостей.
существует взаимно однозначное соо}ветстоне межд\ помеченными
графами с р вершинами и симметрическими бинарными (р:<р)-
матрицамп с нулями на диагонали
-1) Перевод < английского О, Аст,,ф1.,епои. - ¦ Прим. ред
-) В ллтграгуре широко используется термин «матрица сме-кности»: нлм
кажется более удачным термин «мглрши] смежтгостеи» но аналогии с
иниидетшй» и т г — Прим. i)

Л1ЛТ1 1ШЫ \"<)
На рис 13.1 показаны помеченный граф О и его матрица смсж-
нистей А. Легко заметить что суммы элементов матрицы А по стро
кам равны степеням вершин графа G Вообще в силу соответст-
соответствия, существующего между графами и матрицами, с любым теоре
т и ко графовым понятием можно сопоставить некоторый ana,ioi
связанный с ыафпней смежностей Например, в гл. 2 было введено
понятие связного графа; граф G называется связным, если не су-
существует такого разбиения V-^\\\}V} множества вершин графа
G что ребра граф^ G не соединяют вершины из \, с вершинами гп
V<2- В матричных терминах это можно сказать так граф G связен,
если не существует такой нумерации вершин графа G, чю его мат
рица смежностей имеет приведенную форм}
A -
1Л О
!
;0 A
где.1и и А22— квадратные матрицы. Если Л] и А2— матрицы смеж-
постей, соответствующие различным нумерациям о того и того
же графа G, то Л, — Р~ХА 2Р для некоторой матрицы перестановки Р
Иногда выбор конкретной нумерации вершин графа не существен,
как, например, в следующих результатах, в которых дастся интер-
интерпретация элсменгов степеней матрицы смежностей
Теорема 13.1 Пусть G — помеченный граф с матрицей смеж-
смежностей А Тогда [I, })-п эгемент г) матрицы А1 равен числу царшру-
тов длины п азу, в о}
Следствие 1.3.1 (а) Для гф] {i, j)-u элемент матрицы Л-
равен числу простых (иго^-це.пей длины 2. Далее, (i /) й элемент
в матрице А2 равен степени вершины vt в матрице А '— удвоенному
числу треугольников, содержащих vt
Следствие 1-5 1 (б) Если G — связный граф, то раитоянис
между Vf и Oj для 1ф\ равно наименьшему из целых чисег п} din кото-
которых (i, ()-й э-1 емент матрицы А'1 отличен от О
Матрица смежностей помеченного орграфа D определяется
dfiалогично: А— 4 (D)—\\аи\\, где а^—\ если дуга vtv} принад!ежтп
D, и Я;/=0 в противном случае Таким образом, матрица A (D)
не обязательно симметрична Некоторые результаты для орграфов
и которых используется Л (D), будут даны в гл. 16 Из определения
матрицы А {О) стедует, что матрицу смежностей данного графа
можно также рассматривать как матрицу смежностей симметриче-
симметрического орграфа. Воспользуемся этим замечанием и исспедуем онре
целитель матрицы смежностей графа, как в работе Харари [181
1) Элемент стоящий в i-u строке и / м столбце матрицы - Прим п°рев

\ п
Линейным подграфом орграфа D называется остовиыи подграф
в котором v каждой вершины иол у степень исхода и пол устелен ь
захода равны 1. Таким образом, такой подграф содержит непере
се кающийся остов ни и набор простых контуров
1еорема 132 Если D — орграф с гинейньши подграфами
D,, i = l, 2, , п, и каждый подграфD, имеет е( простых контуров
п
четной дшны, то dct A (D) ^ (—1)
Любому граф) G поставим в соответствие орграф D, в котором
вершилы vz и V; соединены дугахми vtvj и vfot только в том случае,
если эти вершины смежны в 0 При этом соответствии каждый ли-
линейный подграф графа D определяет остовный подграф графа О,
состоящий из непересекающихся по вершинам ребер и простых цнк
чов. Этот подграф называется гинейным подграфом графа О. Ком-
Компоненты ,.-шлейного подграфа графа G, являющиеся отдельными реб-
ребрами, взаимно однозначно соответствуют 2-коптурам линейного под
графа орграфа D, а компоненты, являющиеся простыми цнкчами
графа G, соответствуют двул! простым контурам орграфа D. По-
Поскольку A (G)- Л (D) где G и D свизаны указанным выше образом,
нетрудно вычистить определитель матрицы A {G)
Следствие Н2 (а). Если G — граф с линейными подграфами
G( i=\, 2 . , п причем Ог им fern е- четны к компонент и ('i npo-
стых циклов, то det 1 (б)^^1 (—
Матрица инциденции
Другой матрицей, связанной с графом G, в котором помечены и
вершины и ребра 'шляется матрица инциденции В \"bij\{. R этон
(/?;<^-матрице /^;=1, если vt и Х; инцидентны, и Ь^^-О в противном
случае Как и матрица смежи остей, матрица ипцидепций опреде-
определяет граф G с точностью до изоморфизма На самом деле уже любые
р—\ строки матрицы В определяют G, поскольку каждая строка
равна сумме по модулю 2 всех остальных строк.
Следующая :еорема связывает матриц} смежностей реберного
графа графа G и матриц} ннкидетшй граф*-1 6 Оболтчнм через
В1 матрицу, транспонированную к матрице В
Теорема 133 Для нового (/?t q)-графа G с матрицей инциден-
инциденВ
где 1 — единичная матрица порядки q
Пусть М — матрица, пол\ченная ю матрицы— А заменой
i ю элемента главной диагона-ш на cleg Vj В классической работе
Кирхгофа [1J приведена

I e о р е м a 114 (м a i p и ч п л я теорема о деревьях)
Пусть G — связный помеченный граф с матрицей сжжностеи 4.
Тогда все алгебраические дополнения патрицы М равны между собой
и и\ (бщее значение есть чис ю (ятовов графа О
До к id а 1 еа ьс j во Начнем доказательство с изменения одной
из ;щ-\ единил и а —1 в каждом столбце матрицы инцидешшй В
графа G, образ} я гаким образом новую матрицу Е (В гл 16 мы
утвдим, что это преобразование задает некоторую ориентацию ребер
графа G, и югда матрицу Е можно рассматривать как .матрицу ик-
цндеиций получаемого направленного графа.)
U, /)-й элемент матрицы ЕЕ1 имеет вид ец?.п~~ ~eiqeiq
Эта сумма равна deg v2> если i- j, равна —1 еслг вершины и< и
иу смежны, и равна 0 во всех остатьны\ ст\чаях С1едовательно
ЕЕТ-М.
Рассмотрим любую подматриц\ матрицы Е, содержащую р—1
стол бцов. Эта {р . •-' \р— 1)) - мат р и ца с оответств у ет остов ном у п од гра-
графу // графа G в котором р—I ребер. Удалив произвольную строку,
скажем &-ю, m этой матрицы, получим квадратную матрпцд F
порядка р—1 Покажем, что число jdet b \ равно 1 или 0 в записи
гости от тоге, является Н деревом или нет. Пусть сначала И - -
не дерево Тогда поеколы^ граф Н имеет р вершин и р—I ребер,
он не связен и, значит, существует компонента, не содержащая
vk. Так как строки, соответствующие вершинам этой компоненты,
зависимы, то Jet F—-0
Предположим теперь, что Н — дерево В этом случае его вер-
вершины, отличные от vhy и все ребра можно заново пометить следующим
образом. Пусть ax^=vk и иг— висячая вершина 1рафа И (се существо
вание гарантирует следствие 4 1 (а)). Обозначим через t/{ ребро ин-
инцидентное вершиEje Hi. Далее, возьмем в дереве Н — ut любую вися-
висячую вершину и.2Фь\ и ребро у*, инцидентное и„ и j. д Такая нуме-
нумерация вершин и ребер графа И определяет новую матрицу /<",
которою также можно получить перестановкой соответствующих
строк и столбцов в матрице F Гаким образом, |det b \=[dct F\
Но F — нижняя треугольная матрица 1), \ которой на главной ди-
с-п онали стоят элементы, равные +1 пли —1 поэтому |detF|--l
Нам понадобится следующее алгебраическое предложение, извест-
известное как теорема Б и не — Кош и
Л емма П.4 (а). Если Р и Q — соответственно (т \rfi-матрица
и {акт)-матрица (m^ji), то определитель матрицы PQ равен
сумме произведений соответствующих главных определителей via
три и Р и Q
1) В нс-н на ^лемоиш, расположен hi ie иыш^. i члшюи дпагонеЛ!] р^пип О
— При и п»реи

182
Г TAB Л 13
(Главный определитель матрицы Р (или Q) имеет порядок т, а
выражение «соответствующие павпые определители» означает, что
столбцы матрицы Р, входящие в рассматриваемый определитеть,
имеют такие же нот/ера и такой же порядок, как строки матрицы Q
входящие п другой определитесь )
Применим эту лемму к вычислению алгебраического дополнения
элемента ап матрицы М Пусть Ех будет ((/?—1) X^-подматрицей,
полученной из Е вычеркиванием первой строки Полагая Р- Ех и
т
Q^EX и используя лемму, получаем, что алгебраическое дополне-
дополнение элемента аи матрицы М равно сумме произведений соответ
ствующик главных определителей матриц Ег и Е{ Очевидно, что
соответствующие главные определители равны между собой Мы
"
С- х
х2 иг
13 2 Граф Ki—v и его остогя
\же видели, что их произведение равно 1 если столбцы .матрицы tL
соответствуют остову графа G, и 0 в противном случае. Таким об
разом, сумма с>тих произведений есть в точности число остовов
В матрице, в которой вес суммы по строкам и все суммы по
столбцам равны нучю, все атгебраические дололнения рав*ы
Теорема доказала
Чтобы проиллюстрировать матричную теорему о деревьнл рас
смотрим какой-нибудь помеченный граф скажем KL—\ Этот граф
изображенный на рис 13.2, имеет восемь остовов носкотьку,
например, алгебраическое дополнение элемента аг% матрицы
равно
— 1
1
— 1
1 з -
_ I _
— I
1
2 —
i
0 —
1 -
\ —
0
1
1
1
1
]
2
— 1
0
— 1
2
-8
Число помеченных деревьев с р вершинами легко найти, при-
применяя ту же теорему 13 4 к графу Л'; Алгебраическое допотнение

МАТРИЦЫ
тюбого диагонально! о элемента есть оирекештеть порядка р— 1
р—\ — 1 —1
-1 р-\ -1
-1 -1
р~\
Вычитая первую строку из всех остальных и прибавляя затем
последние р—2 столбцов к первому, получаем верхнюю треугочь-
ную матриц>, определитель которой равен рр~'2
Следстиие 134 (а) Число помеченных деревьев с р вершинами
равно рг~-
Эта формула была доказана столькими разными способами, скоть-
ко раз ее независимо «открывали». Интересное собрание таких до-
доказательств представлено б статье Мука [3]
Мафица циклов
Пусть G — rpacb, \ которого помечены ребра и простые ииклы.
Матрицей циклов С-—^\сиЦ графа О называется матрица, в которой
дтя кажтого простого цикла графа О сеть строка и дтя каждого
13.3 Два графа с одной и той чатрииой
ребра — стотбен, причем Cij^=ly если i-l\ цикл содержит ребро х,,
с и Об противном случае В отличие от матриц с меж ноете! i и ин-
инденций матрица циклов не определяет граф с точностью до изо-
изоморфизма. Очевидно, что если ребро не принадлежит ни одном\
циклу то по матрице циклов нельзя узнать, принадлежит оно
графу и 1 и нек Даже если исключить такие ребра, то все равно ил
грица С по определяет однозначно граф 0 как показано на при-
примере i,B} \ графов, изображенных па рис 13 3 Оба графа имею!
ЦИК 1Ы
/« {Л,, V,, Л:<}, /4 {\i А, ХА, Хь, Х<;
Z {.V, Г, Хг>. X } Z,v~ {l,, Г,, Х-,. Л
, A A8}, Z6

184
ГЛЛ1.П И
и, следовательно, одну ил\ же матрпц\
А
X,
Л- X*
I
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
I
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
п
1
0
1
1
п
0
1
0
1
1
Z,
Z,
Z»
Z
Z,
Z,
В теореме 13.5 устанавливается связь между матрицей, циклов
и матрицей ннциденций. В комбинаторной топологии этот резуль
гат можно выразить так «граница границы тюбой цепи является
лучевой»
Теорема 13.5 Если граф G имеет матрицу акциденции В
и матрицу ииклов С, то
CBJ=0 (mod 2)
Доказатетьстоо Рассмотрим i-io строку матрицы С и /-и
столбец матрицы В1, который является также /-и строкой матрицы
В Оба r-х элемент этих двух строк не рлвны нулю тогда и топько
гогда, когда ребро хг принадлежит t-му циклу Zt л инцидентно вер-
вершине Vj. Если цикл Zj содержит хг, то он содержит и вершину vy.
следовательно, в Zt найдутся два ребра, инцидентные vj так что
, /)-й элемент кгатрмцы СВТ рапе и If 1=0 (mod 2)
Аналогично матрице циклов определяется матраца коциклов
С* (С) Если G — двусвязный граф, то каж шя его вершина соответ-
соответствует коциклу (минимальному разрезу), содержащему инцидент
ные ей ребра Поэтому матрица инциденпий б тока содержится в его
матрице коциклов
Поскочьку пюбая строка матрицы тшцидеиции В равна сумме
по мо чу л ю 2 остальных строк, ясно, что ранг матрицы В не п реп ос
ходит /7—1 С другой стороны, если ранг матрицы В меньше р—1,
то найдется некоторое множество, содержащее не более р строк, сум-
сумма которых по модулю 2 равна нулю Но тогда в графе G нет ребра.
которое соединяло бы какую-нибудь вершину, определяемую .мно-
.множеством этих строк, с перш и ной, определяемой строками, не при-
принадлежащими этому множеству, так что граф 6 не может бьпь связ-
связным. Итак, мы доказали одну часть при вело иной ниже теоремы.
Остальные следуют непосредственно из результатов г,т 1. касаю-
касающихся размерностей пространства циклов п пространства коциклов
графа G
Теорема 13.6. Для связного графа О ранги матриц циклоп, ин
циденций а коциклов соответственно равны г\С) ~ц—р \ и г (В) —
(С*I

МАТРИЦЫ
185
Принимая во внимание теорему K.6, можно для любых т —
¦-q—p\ 1 строк, образующих базис циклов, определить важную
подматрицу матрицы циклов С связного графа. Каждая jaxaa при
веденная матрица Сь{0) есть (m.<q) подматрица матрицы С Ана-
Аналогично приведенная матрица коциклов СЦО) является (/?/* хс/)-
матрицей, где т*--р—1 Тогда но теореме 13 5 СС*Т=() (mod 2)
и, следовательно С:.СJ7 =__0 (mod 2) Приведенная матрица инци-
денцнй Ву иол> чается из матрицы В удалением последней строки.
В силу сделанного ранее замечания переход к приведенной матрице
В г не ведет к потере информации о графе 6
V,
u^
Х-
I v-
Phi 1И Граф и ого пето и
Если циклы и коцикчы выбирать специачьним образом, то при-
приведенные магрицы ницидеиций, циклов и коциклол будут иметь
очень удобную форму. Напомним (гл. 4) что любой остов Т опре-
определяет базис циклов и баше коциклов графа G В частности сети
X1—{xlix2i , vr; _j} — множество ветвей (ребер) дерева Ту а
x
, xq) ~ множество его хорд, то в G—
pi 1, , xq
, существует единственный цикл Zl7 а в C—X^—Xj,
7—1,— единственный коцикл Z), и эти наборы циклов и
коциклов образуют базисы в соответствующих пространствах На-
Например, v графа G представленного на рис 13 4, циклами и коцик-
коциклами, которые определяются указанным иа рислпке остовом 7\
являются
Прнредениье матрицы, которр^е on редел яю!ся как графом G, так
и выбором остова Т, имеют вид
Ат
А.
\'r Xi
1 I (» 0 (if
B9(GT)--vA 1 0 0 1 l!|f С (О Г)-
0 111 0
1 0 1 О1
zh lioi

I «6
глм\ \ :з
Y Y
с; (о ry..--z$o io 11
Уф 0 1 0 !и
Нетрудно заметиib что эти соотношения представляют собой част-
частный случай следующих равенств (все по модулю 2), справедливых
для тюбого связного графа G и любого остова Т:
X, X,
в0- Bt (G л-ifei й,!,
с глот) \с~ Си
X, X,
где d ~ Вх lB2- Cl и Сц-- В~[В,у- /,»,« С[ 11:-; этих равенств сле-
д\ет, что Д1Я данных G и Т каждая из матриц В, С и Q опре-
определяет две другие
Обзор дополнительных свойств матроидов
Матрица циклов и матрица коциклов служат одним из способов
представления матроида циклов и матроида коциклов данного гра-
графа, омредечелных в гл 4 Матроид называется графическим, если
он является матроидом циклов некоторого графа и кографическим,
если он является матроидом коциклов некоторого графа Татт [71
л dine ч условия, позволяющие вынешпь, является ли данный ма-
троид графическим или кографическим, тем самый он нечаянно
решит одну из проб нем теории электрических цепей
Phi
Нокые никль ъ
ви\ре колеса W-
Пр остей! л и й пример Mai рои да, не являющегося ни графическим
ни кографическим, дается с а мо двойстве иным матроидом, который
определяется множеством М--{1,2 3 4} и циклами всех 3-элемснт
пых подмножеств множества М.
Пример неграфического матроида, связанного с колесом Wnj.z =
= К\ L Ch, дан Таттом 1141 fro матроид иикчов сотержит п —п -|-1

МАТРИЦЫ IS 7
циклов, i e столько, сколько их в колесе W _,. Удалив ц< набора
циклоп ^того матроща цикл Спу образующий обод колеса, и доба-
вигг к матроид у вес «сцепленные ободы» (множества ребер подгра-
подграфов, приведенных и а рис 13.5) по.чучи\г новый матроид, не являю-
являющийся ни графическим, пи кографпческим. Этот матроид называется
вихрем (whirl) порядка л, on порождается иг циклами
Даже если матроид графический, on необязательно кографп-
ч ее кий Например, матроид циклов полного графа /G, не кографн-
ческий. Ма самом деле матроид одновременно графический и к о гра-
графический тогда и только тогда, когда он является матрондом цик-
циклов некоторого планарного графа.
Упражнения
IJ 1 а) Охарактеризовать матрицу омежлюстеи двудольного графа.
(>) Граф G двудольный тогда и только тогда, когда для любого нечетного
числа п псе диагональные -*лемепти матрицы Ап равны О
13 2 Пусть G — связный граф 4 — его матрица смежмостея'т Что можно
сказать о матрице -1. если
а) ?•';— точка сочленения^
б) l-'/C- ,•— МОСТ?
U 3. Если cfI-(Ci) — чисто простых п циклон j рафа О, \ которою Л — ма
триад (.межностей то
б) с,{О) 1 Ui{A*)—2q-2
• j- i 4 i > I, \- 4 ^ / /Л i. . .. "Ж.1 ^_ ' / .„ t 1 ,-. _' '* '
в) ,(O- 1
J U L t ="Г f"^"i
(Xapapu хМаттол | Л)
13 4- i) Если G—несня^нын помеченный гряф го каждое аагебр^ическое
дополнение матрицы М ранно кулю
б) Если граф 0 связен то число его остовов рашю прогтзшмениЕО числа
остовов его блоков
(Бр\кс. Смит Стом TanjlJ)
13.0. Пусть G—помеченный граф с ребрами \L x_
Г) /^-матрицу Mx—\\mij
[О если l'j и Oj не смежны 3>
m „
.'!--/¦ I
Под словом остои-1 графа 6 понимается последовательность (как-то у]юря-
lO'ieinian) всех символов, приписанных ребрам остова. Многочлен деревьев графа
G о г[ р е д ел ?. е i с я к а к су м м а елок cio ос то но в.
Матричная теорема о деревьях утверждает, что значение любого атiебр^и ie
скоро долоапекия матрицы Мх есть многочлен ;ie]ieiii,eri графа О

1S8 ГЛДЬА, П
13 б Существуют ли два различных графа с одной и топ же матрицей циклов
содержащие меньше вершин, чем графы показанные на рис 13.3?
13.7 Матрица циклов и матрица коцикл он действительно \довт(творяют
парному определению матроида, данному к гл. 4.
]?>.& Два графа G-^ и GL> натыкаются коспектра льны ми если >. тюгоч,г!^ hl>i
dot {AL—//) и ckt (A-2— /7) равны. Существуют только ;улп различных коспектраль-
е±г тv графа с пятью вершинам:-* 1)
(\арари Кинг Ртп)
13.9- Если все собственные з и а чеки я матрицы .4 (G) ра^личиь ю каждый
нетождественный автоморфизм графа G ю:еет порядок 2
(MOhMlUB-Kl 11])
13.10. Пуеп / (t) — многочлен иаихк'яыией стспсми ^сли гакзк? roo^lju1 су-
существуют), дл я ко то р о г о I-j юбо и к с wdxj > [ i u 1111 н т у: н о г (>' г л с i • а / (/1) | > а г-:е \ \ 1. vie A —
\iaipima смежностои графа 0. Граф имеч-т такой ^"Жлочтгн тогда гт только тогд1
когда аи связан ц регулярен.
(Гоффмаи (,^1)
КЗ. И Эй герое иатроид донускае! р пвиснио мможе-стка S сю элемеитон т
циклы.
а) Графи (рекии ..[йгроид М эйлеров тогдя л тилы i luij) млдл М
матроид простых ценчлов эйлерова гра(!зй.
б) Эплерон мнгропд не яклястся графическим.
IS. 12. В бинарном матропде ];ерессчеи}1е любого никла с оюбы.ч коциклом
содержит чотпосз число эле\:с!ггав. Любот; кощгкл ^vj^apt-oio riiaopoiui м<':тропда
также со:иф;к!1Т четноо число элементов. Др\ч ими слонами. \гатрот:д. лпс-Гготr>v^jз>(гai:'{
би и ар пол? у эйлорову матроиду, шзлиется «двудольиым л:атролдом>
естественным б
[) Полный o6:ui]i |К'зу.1ь:а';(т. , rvrv четлтпх ч свя.<?т ^ гмуч^г'игм с\и
свойств грифов, соД1 pihKTuii б статье СасткоБлча [1].— Прим. персе.

Глава 14
ГРУППЫ
Тигр. » тм1 р, светло г »рищий
В глубине полночной чащи
Ком :*олуман огневой
Соразмерный обр an твои.-1
Нильям /з тих. х)
С момента своего появления теория гр\г.ш предоставила инте-
интересный н мощный абстрактный .метод изучения симметрии раялич
пых конфигураций. Не удивительно, чго теория групп необычайно
плодотворно взаимодействует с теорией графов. Для изложения
этой темы нам понадобятся некоторые элементарные сведения из
теории групп. В частности, мы определим несколько операций ча
группах подстановок Эти операции hi pa ют важную роль в теории
графов, поскольку они тесно связаны с операциями над графами,
особенно велико и\ значение при решении чадач перечисления гра-
графов
Любая модеть данной аксиоматической системы имеет групп\
автоморфизмов, и графы не являются исключением. Ьыло замечено,
что при определенных условиях группу графа композиции можно
охарактеризовать с помощью групп составляющих графов В на
стоящей паве представлены результаты о существовании графа с
заданной группой и данными структурными свойствами Глапа
^авершаечея рассмотрением графов, симметричных относите ть но
вершин и ребер
Группа автоморфизмов графа
Сначала напомним обычное определение гр\ппы Непустое мно-
множество А вместе с заданной на нем бинарной операцией, результат
применения которой к элементам ссг и ее из Л обозначается через
GLtOLz, обрая\ет группа, ест и выполняются следующие четыре ак-
аксиомы
4 к с и о м а 1 (замыкания) Дш любых двух элементов at
и а2, принадлежащих множеству 4, элемент а,ал также принадле-
принадлежит Л
у) В л л ь л .\= Ь j с i"r к. MjGp«iHj:;n\ перевод С, Я. Mdpumwi, пзд-no «Худож,
лиг-ра», А\., 19(M. Из «Песен опытл: Тигр». Ло^'гопкы;; поранил н тор о Л фразы:
«Чья йессмортпая руки или чей глаз создал трон облик, полный симметрии?»
¦— Прим. перси.

190 гллв\ u
Аксиома 2 (ассоциативности) Для нобы к трех элементов
аХ} а2, а3 принадиежшцих множеству А, справедливо равенство
Аксиома 3 (т ож д е ст в с н н о с j и ) В множестве 4 суще-
существует такой элемент i, что ia-=-ai = a dtu всех элементов а из 1
Аксиома 4 (обращения). Если выполняется аксиома 3,
то для, моб ого элемента «, принадлежащего множеству А суще-
существует элемент, обозначаемый а, такой, что acc~L rx.~irx. — i.
Взаимно однозначное отображение конечного множества па
себя называется подстановкой Обычная композиция отображений
определяет бинарную операцию для подстановок на одном и том
же множестве Далее, если некоторая совокупность подстановок
замкнута относительно этой композиции, то аксиомы 2, 3 н 4 ав-
автомути чески выполняются и эта совокупное) ь называется группой
подстановок. Если группа подстановок А действует на множестве
объектов X, то число \А\ называется порядком группы, а число
\Х\ — ее степенью
Пусть 4 и В — группы подстановок действующих на множест-
множествах Л и У соответственно. Будем писать Л^В для обозначения того ,
что Л и В — изоморфные группы Запись Л = В означает не только
изоморфизм, но и то, что Л и В — идентичные группы подстановок
Более точно, группы Л и В изоморфны (Л^В), если между подста
новкамн групп Л и В существует такое взаимно однозначное соот-
соответствие h\ A<r->B, что для любых элементов аь ос2, принадлежащих
А, выполняется равенство h («?«.»)—А(сц) Н(гл2) Чтобы точно опре-
определить соотношение А—В, введем еще одно взаимно однозначное
соответствие f' X^Y между объектами множеств X и Y, при к то-
тором для любого v из X и тюбого ос ю А выполняется равенство
f(ax)=h(a) f(x).
Автоморфизмом графа G называется изоморфизм графа G на
себя Таким образом, каждый автоморфизм а. графа G есть подста
ловка множества вершин V, сохраняющая смежность Конечно,
подстановка а переводит любую вершину графа в вершину той же
степени. Очевидно, что последовательное выполнение двух авто-
автоморфизмов есть также автоморфизм; поэтому автоморфизмы графа
G образуют группу подстановок Г (G), действующую на множестве
вершин V(О), Эту группу называют группой или иногда вершинной
группой графа 0 Группа Г (D) ориентированного графа D опреде
лнется аналогичным образом.
Тождественное отображение из V на F, разумеется, всегда есть
автоморфизм графа G Для некоторых графов это единственный ав-
автоморфизм; такие графы называются асимметрически ни 1) Наи-
]) У автора такие грлфы н ив-1ны тождественными (\ckn\\iy).— Ирам не рев

I РУПШД
191
меньшее н^лрпвла Jbnue асимметрическое дерево имеет семь вер-
вершин а наименьший асимметрический граф имеет шесть вершин
(см рис 14 1)
Рис М 1 Ik;:i 1пшме"ртпрских 1рафа
Вершинная группа графа 0 индуцирует другую группу подста-
подстановок \\ @), называемую реберной группой графа 0 она действует
па множестве ребер Е(С). Для иллюстрации различил грули Г и Г,
рассмотрим граф К\—.v, показанный на рис. 14,2; его вершины по-
помечены и,, Vz, и-,, у.,, а ребра .v,, x2 x-t, \u *>,. Вершинная грушы
Г (/С,—д) состоит из четырех под-
подстановок
(У д
Тождесгиенлая подстановка
верижнной группы индуцирует
тождественную подстановку на
множестве ребер, в то время как
подстановка (v})(v:t)(v2Vi) индуци
Рис U.2.
е помеченными
и ребрами
рует подстановку на множестве ребер в которой ребро хг> остает
ся на месте хх меняется с л4. а ,г, с т, 1аким образом, реберная
группа Г](ЛГ]—к) coeioMi из следующих подстановок, индуцируе-
индуцируемых указанными выше элементами вершинной группы
Понято, чю реберная и вершинная группы графа Кл—х изо-
изоморфны. По они конечно, не могут быть идентичными, гак как сте
цель группы Т[ {К4—v) равна 5, а степень группы Г (AV х) равна 4
Заметим, что ребро х0 остается л а месте в каждом элементе ребер
ной группы. Даже группа подстановок полученная in группы
Г, (/С4—х) сужением ее множества объектов до множества хи х.,,
х3, xi} не идеюнчна гр\ппе 1 (/\4—х) поскотькл эти две изоморфные
группы подстановок одинаковой степени имею) различные цикли
чес к не структуры Более того можно показать, что даже если две
группы подстановок ИхМеюг одинаковую степень и одинаковую цик-
циклическую структуру, то они все еще не обязательно идентичны,
ем Пой а [1 стр 176]

192 гллв\ и
Следующая icopGMa (Харари и Пал мер [15J) дае1 oibci на во-
вопрос: когда группы Г (G) и 1\ F) изоморфны? Сабидуеси [1] доказал
достаточность приводимого ниже утверждения с помощью теорети-
теоретико-групповых методов
Теорема 14 1 Реберная и вершинная грцппы графа G изоморфны
тогда и только тогда, когда граф С имеет не более одной изолиро-
изолированной вершины а граф К2 не явгяется его компонентой
Доказательство Пусть подстановка гл7 группы Г , F) ип
д\цируется подстановкой а группы Г (G) Из определения операции
умножения в группе I\ (G) вытекаа, ч\о
ар'--(ар)'
для чюбых аир, принадлежащих Г (G) Поэтому отображение
«->¦ а' является групповым гомоморфизмом группы Г (G) на Г, @).
Следовательно, Г (G)^r3 (О) тогда и только тогда, когда ядро угого
отображения тривиально
Для доказательства необходимости предположим, что Г (G)^
=ГХ (G) Тогда из неравенства a=?i (i — тождественная подстановка)
следует, что а Фь Если в графе G существуют две разтичные изо-
изолированные вершины V] и v2, то можно определить подстановку
с/?Г(С), потожив а(с\)=о.2, сс^г) — их na(v)~v для всех ифиг, и.2.
Тоггш <хфь, ноа'^1 Если /С2—компонента графа G, то, записав
ребро 1рафа /Са в виде x=vlu2 и определив подстановку с?1 (G)
точно гак же, как выше, получим ol=?i, но a —i
Чтобы доказать достаточность, предпочожнм, что граф G имеет
не больше одной изо тированной вершины и /Са не явтяется его ком
понентой Если группа Г (G) тривиальна, то очевидно что группа
1\ (G) оставляет на месте каждое ребро и, следовательно, Т\ (G) —
)ривиальная группа Поэтому предположим, что существует подста-
подстановка a ? Г (G), для которой a(ti) = v^u. Тогда степени вершин и и и
равны Поскольку вершины и и v не изолированы, их степени не
равны нулю Здесь возникает два случая
Случаи 1 Вершины и и v смежны Пусть х—uv Так как А
не является компонентой графа G, то степени обеих вершин и и i
больше единицы Следовательно, существует такое ребро уфх,
инцидентное вершине и7 что ребро а7 (у) инцидентно вершине ь
Отсюда а' (у)Фу, и тогда а
Случай 2 Вершины и и v не смежны Пусть \;— произвольное
ребро, инцидентное вершине и Тогда а' {х)фх и, следовательно,
сс'ф[
Доказательство теоремы закончено.

Операции на группах подстановок
Известно несколько важных операции на грулпах подстановок.
с помощью которых можно образовать новые группы подстановок
Огшшем четыре бинарные операции па группах, которые будем
паивать сложением, умножением, композицией и возведен и ем в
степень Результаты этих операций назовем соответственно суммой,
произведен if ем, композицией (двух) групп и степенной группой.
Пусть А — ipyjina подстановок порядка т—\А\ и степени d
действующая на множестве Х — {х1х2, , ха}> aS — другая груп-
группа подстановок порядка п=--[В\ и степени еу действующая на мно-
множестве У {уу у-2 , у,,}. Hdпример, пусть А — С%г— цикличе
екая гр\ппа порядка 3, действующая на множестве Х--{\, 2. 3}
Эта группа состоит из трех подстановок A)B)C), A23) и A32)
Если взять в качестве В симметрическую группу S2 порядка 2,
действуюгд>ю на множестве У--{а, Ь}, то получим две подстановки
(а)(Ь) п {ah). Проиллюстрируем на зтн\ двух группах подстановок
действие названных выще 4 бинарных операций.
Сумма г) А В — это группа подстановок, действующая па объе
динении Х[)У непересекающихся множеств X яУ, элементы кото
рой записываются в виде rz-rP и иредстап;[яют собой упорядоченные
пары подстановок а из 4 и р из В. Каждый элемент гу принадтс-
жащий множеств} X\jY преобразуется подстановкой ои Р по
правил)
Таким образом, группа С:! + 52 содержиi 6 подстановок, каждую
из которых можно записать в виде суммы подстановок а ? 6\ и
Р?^ч как, например, A23)(а6)=A23) + («6)
Произведение 2) А / В групп А и В — это грлппа подстановок,
действующая на множестве Л\У, эчементы которой записываются
в виде а\($ и представляют собой упорядоченные пары подстано-
подстановок а из А и р из В Элемент (х, у) .множества ХхУ преобразуется
потстановкои а \Р естественным образом
{ах$)(хуу)^(ах,$у) A4 2)
Произведение C3^<S2 имеет порядок и степень, равные 6, в то
время как степень суммы С5 Ь 5« равна о Подстановкой в гр>ппе
С\х52, которая соответствует подстановке {V23)-\-(ab), будет
(la 2b За lb 2а ЗЬ), где для краткости симвот A, а) заменен на \а
') Иногда называется также произведениеч или прчш,щ произведением (при
попользуется обозначение произведения).
') Изрестпое также как декартово произведение см Харлри [9]
д

I \ti \ I
Композиция1) Л\В\ группы А отпоситеты-ю группы В также
действует на множестве X У\ Дтя .побои подстановки я. из А и
любой последовательное!и (pi, p.. f>d)t содержащей d (не обя-
обязательно различных) подстановок ns В существует единственная
подстановка из А \В], которая записывается в виде (а, р,, |32, . . ., prf),
такая, что для всякой пары (th г/;) из Л'хУ выполняется равенство
(«, Pb Pa, , Prf) (Vz> l)})^{<ZXiy fiiljj) (I4 3)
Композиция C^1S21 имеет степень б и порядок 24. Любую под
становку из C\[S21 можно записать в таком виде как она действует
на множестве X ХУ Вводя опять обозначение 1а для упорядочен-
упорядоченной пары A,а) и использля формулу A4.3), можно представить
подстановку (A23); (d)(b), [аЬ) (а)(Ь))'в виде (\а 2а ЗЬ \Ь 2Ь За)
Заметим, что группа SatCJ имеет порядок 18 и поэтому не изоморф
на rpvnne C,I^ J.
Степенная группа 2) (обозначается В ^) действует на множестве
Vх всех функций, отображающих X в У Будем всегда гтредпота-
гать, что степенная группа действует на множестве, состоящем бо-
более чем из одной ф\нкцин. Для каждой пары подстановок ее из Л и
Р из В существует единственная подстановка из Вл (записываете я
), которая действует на любую функцию f из Уv в соответствии со
следующим соотношением, определяющим образ каждого элемента
х?Х при отображении р*/:
(PV) {х) = М(ах) A4 4)
Степенная гр\ппа S<2* имеет порядок б и степень 8. Легко видеть,
применяя A4 4), что подстановка ^той группы, полученная из под-
подстановок с*— A23) и р--(дЬ), имеет о чип цикл длины 2 и один никл
длины 6
В табт 14 1 собраны сведении о порядке и степени каждой из
четырех опредетенных выше групп
Таблица 14 1
Операции на группах подстановок
Группа
Объекты
Порядок
Степень
А
X
т
d
В
У
п
е
С>мма
А-*~В
Х[}\
тп
d---e
Проиэкедс-
НИ6
Л> В
XxY
тп
dp
цв\
XyY
тп
dt
Степенна я
группа
В^
уХ
mnd
ed
1) Пойа [2] называет 3iy операцию «венком гр^пп/> (Grupper Rranz) Литтлв\д
[1] л другие— сф.снолиым т;роп^велеписм» (wreath produetK
2) Других названий не йзвеетно

ГРУППЫ
195
Мы сейчас )видим, что три из \казанных операций не являются
различными
Теорема 142 Группы А —В, А В и ВА изоморфны
Легко показать, что Л -В^4лВ. Для того чтобы убедиться
что Л-, В^ВЛ, достаточно определить отображение /¦ ВА-+ А- В
равенством /(а; р)--^-1 р и проверить, что f— изоморфизм.
Заметим, что все три операции комм\тативны Действительно,
4- В В~Л, 4^В=-В,\А, ВА<*АВ
В табл. 14.2 приведены обозначения пяти широко известных
групп подстановок степени р С их помощью можно описать группы
двух хорошо знакомых графов с р вершинами
Табища 14 2
Группы подстановок степени р
Порядо
Определение
Симметри ic cxi г
Знакопеременная
Циклическая
Диэдралъная
Тождестве и нл я
1
Dp
Lp
Р}
pi/а
V
2р
1
Все подстановки на множестве
{J, 2 , р\
Вес четные подстановки на множестве
{1 2, .... р\
Порождается иодстяттовкои A2 р)
Порождается подстановками A2 р)
и A р)B р-[)...
A) B) (р) — единственная подста-
подстановка
Теорема 143 а) Группа Г (G) есть Sp тогда и то гько тогда}
когда G — Kp ила G^KP
б) Если G — простой цикл д шны р, то Г (G) -DfJ
Таким образом, две специальные группы подстановок именно
Slt и Dn, являются группами графов с р вершинами. ;\ля любою
р^>. Ь существус! асимметрический граф с р верш я нам и, а дтя
р^1 существует асимметрическое дерево
Группа графа-композиции
Теперь мы ьюжем приступит^ к изучсьию группы, связанной с
графом, образованным из других i рафов с помощью различных опе-
операций Поскольку любой автоморфизм графа сохраняет и смеж-
смежность, и несмок и ость, то сразу же получаем след\ющий очевидный,
но важный результат

19b ГЛЛВ\ 14
Теорема 144 Граф и его допогнение имеют одну и ту же
групш/
¦Г(С)~Г(б) И4 5)
Граф-композиция получается как результат применения одной
\\ли нескольких операций над непересекающимися графами (не
имеющими общих вершин). Группу графа-ком позиции можно ча
сто выразить через группы соетаплкющих графов. Фрухт [4J они
сал группу графа nGy состоящего из п непересекающихся копий
связного графа G
Теорема 14 5 Если 0 — ien-шыи граф. то
Y (n G) SjY {G)\ A4 6)
¦'.¦>
Для иллюстрации э\оп теоремы рассмотрим граф G — 5/Ca
группа коюрого есть SJSJ. Автоморфизм графа G можно получить,
шлполияя сначала произвольный аотоморфизм на каждом из пяти
треугольников, а затем сояершая любую перестановку лих гре
уготьпнков между собой
Теорема 14.6. Ьсш G} и G2— непересекающиеся связные нсизо
иорфные графы то
Г^иО-ПСО-ПО,) A4 7)
Любой граф 0 можно представить в виде G— /ijGj I.J [j nrGr
где п{ — чисао компонент графа G ияол1ор([;1[ых графу GL Применяя
последние две теоремы получаем
Г F>.5rtlfr (Ci)l-Sna IГ F,)l-h ^S; ДГ iG,)] A4 H)
Следствие 14 6 (a) fpt/'um объединения, двух графов идсн
тична сумме их групп, т е
^l (G,)-! (GO, U4 9)
тоеда и только тогда, когда в графе G{ нет hомроненты изоморфной
компоненте графа G,
Из теоремы 14 4 следствия 14.6 U) и того факта, чю дополнение
соединения двух гр?фов равно объединению п\ допо i не ни ft т е
Gj-OrGiUG,, A4 10)
вытекает
Стедствие 14 6F) Группа соединения двух графов идентична
их групп у т е.
bl @.), A4 11)
тогОа и только тогда, когда е рифе Gt нет компоненты, изоморфной
компоненте графа 0,.

ГРУППЫ
197
Тиб ища 14 3
Группы ск$пных графов с небольшим
числом вершин
I p iiti J pyrm
Граф
J pyirr
Ei
Нетривиальный граф G
называется простым, если
разложение G—GtvG-> воз-
возможно лишь тогда, когда
или G, или G2—• тривиаль
ный граф, граф G называ-
называется составным, если он не
является простым. Сабидус-
си J5] заметил, чю дек ар
юно произведение графов
коммутативно и ассоциа-
1ивно Он также наше i
критерий идентичности
группы произведении тух
графов и произведения их
групп Так как он доказал
чго каждый нетривиальный
граф единственным образом
можно представить в виде
произведения простых гра-
графов, то ясно, что такое
взаимно простые графы
Теорема 14 7. Группа произведения двух графа идентична
произведению их групп, т с
Г (О, ¦, 6\)^Г (GL) х Г ((?,), П4 VI)
тогда и только тогда когда 6, и О — взаимно простые грасры
Сабидусси [41 дат также огв^т на вопрос постав чей и ым в раооте
X ар ар и [121, указав, при каких условиях группа лексикографиче-
лексикографического произведения (композиции) двух графов идентична композиции
их групп Окрестностью л е р ш и п ы и 11 а з ы в а ет с я множество /V (и),
состоящее из всех вершин t, смежных (. и Замкнутая окрестность —
это 'V [и] — N (и) U {и}
Теорема 14 8 Если граф G{ не 1вляется впоте hlсвязным то
группа композиции двух <рафов Gx и G, идентична композиции их
групп, т (
(GjGJ)^r @^ 1Г {G )|, A4 13)
тогда и только тогда когда выполняются следующие два условии
1) если е графе Gx найдутся две вершины с одной и той же окре
cmноетью, то граф 02 связен.
2) если в графе Gl найдутся две вер тины ( одной и той же за мк
ну той окрестностью то граф G евнзен
С помощью эгпх результатов можно записать символически
группы всех графов, имеющих не более 4 вершин (см, табл. 14.3).

198
1ЛАВ\ И
Группа графа K.i— v уже приводилась в качестве примера. В
табл 14 3 не приведены группы несвязных графов но их можно
иоа\чить, используя iсорему 14.4
Более етожны условия идентичное!и группы 1ексико1рафи-
ч ее ко! о произведения дпух графов и комжхшцеи их групп
Это наводит на мысль, что для реализации с точностью до труп
повою изоморфизма композиции групп можно испотьзовагь другую
операцию (на графах)
Phv. 14 } Дв-i графа и их две короны
Короной Gi G двух графов Gx и G2 (см. Фрухт и Харари fll)
называется граф G, который получается следующим образом: возь-
возьмем одну копию графа (ju имекжего р1 веришь, н pL коп rut графа
С? к последовате»1Ь1Ю соединим t-ю вершину графа О, с каждой вср-
иинои i и копии графа 0,. На рис 14 3 показаны две \) аз личные ко-
короны Gi Gi и G2 (J^ графов 6^ = /С« и G2 = Kl a Из опредечения ко-
короны следует, что От G,. имеет /7: A4-/?г) вершин и <?i PiQz—PiPi
ребер
Теорема 14 9 Группу нороны двух графов G1 и G? можно
«явно выразить» nepej композицию ил групп, о именно
—r(G,)
A4 14)
тогда и только тогда, когда в графе О] иш G9 пет изощрованшях
вершин
Применяя следствие Ч Ь (а) к слагаемому А в формуле A1 14),
получаем
Следствие 14.9 (а). Группа короны С,_ *. G.2 двух графов G^ и G2
изоморфна композиции Г (G]) [Г (G.2)l w.v с?/?//я/г тогда и тогько тогда,
когда в графе Gj или G2 ист то гированных вершин
Графы с данной группой
Кениг [2, стр 5| поставил в on рек. ^ Когда чакн^я абсграктЕ1ая
группа изоморфна ipynne некоторого графа?» Конструктивное ре
шение этой задачи бы-то д^но Фруктом 111, доказавшим, что кажчая

[Руппы
rpvnna есть группа автоморфизмов некоторого графа Для ю-
мазательства он использовал понятие «цветного графа гр\ппы)>,
введенное Кэлн C) Определим это понятие. Пусть F--{fihfu . .
• •» /n^i}— конечная группа порядка п с. единичным элементом/,,.
Пусть различным элементам Д из /\ отличным от единичного при-
приписаны различные цвета
Цветной граф группы Г — обозначается D (/*) — эю полный
симметрический ориентирован и ы к граф, множество вершин кото-
которого совпадает с множество:,! элемсн
тов группы Г Далее, каждой ду1е
ор!рафа D (F), скажем идущей из пер
шины ft в вершину fJr приписывается
цвет, связанный с элементом /~Y/
группы F Конечно, на самом деле
мы просто отмечаем как вершины,
так и дуги орграфа D (F) элемента
мн группы F
В качестве примера рассмотрим
циклическую группу порядка 3 С,~
--{0 1,2} Цвстной'графЯ(С,)пока-
^ '7^ Pi-''4 14.4. Ibsonioi; irjfidj цикли
зан на рис 14 4. чсск0^ rpvn[.^ cl
Фрухт получил также следую-
следующий простой, но очень полезный резутьтат
Лемма 14.10 (а) Каждая конечная группа F изоморфна группе
тек автоморфизмов орграфа D (F), которые сохраняют цвета дуг
Чтобы построить граф G, гр\ ппа (автоморфизмов) Г (G) которого
изоморфна F Фрухт заменяет каждую дугу fffj ср!рафа D (F) ле
v которым графом с двумя
• «корнями». При атом дуги
и ! одною цвета замен тюте я
• ft одним и тем же rpaqjorvi. На
i I рис. 14 5 приведен граф,
| которым заменяется дуга
¦ , ; -* fit) Обозначим f-lff in и
'^ ^ L введем новые BepiiJHiibi {w.aj
r, i, - r 4 п {Vm)так! чтобы простые
Р'.'.'г }4.о. Граф с двумя корнями, заменяю i "и » г
щий дугу///"•, цепи, соединяющие и-{ с и} н
1 ! V; с vf-u содержали соот-
гетственно 2/г—2 и 2/.'—1 першим В сущности, в конструкции
Фрухта с каждой д\той ffjj сопоставляется цветной неориентпро
ванный отросток Получаемый в результате граф G имеет
п'2Bп— 1) вершин и Y{Ci)^F.
Теорема 14.10 Для каждой конечной абстрактной группы F
существует пшкой граф G, что группы Г(С7) и F изоморфны.

A N
Граф полученный указа иным выше способом дли циклической
группы С , изображен на рис. 14.6, а На примере этого графа долж-
должно быть ясно что число вершин в любом построенном таким обра-
образом графе избыточно. 1 рафы с данной группой, имеющие меньшее
количество вершин, легко получить если известно, что эта группа
имеет т<: п образующих Гогда и цветном графе преобразуются
Рис 14 6 Граф Фрукта с гр\ппои С3 и меньший граф с топ лт трмтоп
только те ориентированные ребра, которые соогветствлют т об
разующим. Таким образом для данной группы можно построить
граф, содержащий n(m—Y) Bm I 1) вершин. Поскольку группа С*
порождается одним цементом, то для С-А существует граф с 18 вер-
вершинами Он показан на рис 14.6, б
Неэффективность и этого способа по-
построения демонстрируется па графе,
представленном на рис. 14 7 Этот граф
является одним из двух графов, имею
цих наименьшее число вершин и цик-
циклическую групп\ автоморфизмов пор яд
ка 3. Они состоят из 9 вершин л 15 ре
бер (Харари и Палмср 13])
Позже Фрухт [2) показал, ч\о можно
\силить этот результат, а именно что
существует кубический граф G, удовлст
воряющий теореме 14.10 Становится
понятным, что требование наличия > графа G данной абстракт-
лой группы автоморфизмов не налагает лсесткич ограничений на
структуру j рафа Действительно, Сабидусси [21 показал, что
существует много графов с данной абстрактной группой, имеющих.
одно ич нескольких характерных свойств таких, как сбушюсть,
хроматическое чисто, степень регулярности и др
Рис
14 ~ Наименьший граф
с группой С3

ГР\ППЫ 20!
Г е о р е м а 14 11 Пусть даны прои мольная конечная абстрактная
нетривиальней группа F и целое число / A ^ /^ 4) Тогда существу-
существует бесконечно много негомеоморфных связных графов G, которые не
имеют вершин, неподвижных при действии любого автоморфизма
Г (G)==/", // которые обладают свойствами Рл определяемыми сле-
следующим образом'
Л xiG)^n, О- 1,
Р,\ l{G)-n, rtj>2,
Рц\ G — регулярный граф степени п п^гЗ,
Я4% граф G имеет остовный подграф, гомеоморфныи данному графу
После опубликования ^той теоремы Избицьии [II рассмотрел
задачу построения графа с данной группой, когда граф обладает
одновременно несколькими (более одного) из перечисленных в тео-
теореме свойств Используя результаты Сабидусси [21 о произведении
дв\х графов и найдя некоторые новые конструкции пи получил
соответствующий резупътат для регулярных графов произвольной
степени и с произвольным хроматическим чистом
Следствие 14 11 (а) Дн данных произвоюной конечной груп
пы F и целых чисел п и т (/^3, 2*?т^п) существует бесконечное
число таких графов G, что T(G)^Fy "L(G)--m и G — регулярные
степени п
Симметрические 1рлфы
Изучение симметрии 1рафов было начато Фостером [Ц, соста-
составившим таблицы симметрических кубических графов Две вер-
вершили и и и гряфа G называются подобными, если дтя некоторого
Рпс 14 8 Вершилпо-симлнгЧрииескин л р
н о - си м м етр и ч е с к и f[ графы
автоморфизма к этого графа а(и) — ь Неподвижная вершина не
подобна ни одной другой вершине Два ребра .^—-и^ и д'а —м2и>
называются подобными если существует такой автоморфюч а
графа 0, что «( {«,., 1'{})^{и.2, v2}.
Будем рассматривать сейчас только графы, не имеющие изоли-
изолированных вершин Граф называется еершинно-симметрическим
если любая пара его вершин подобна, и реберно-симметрическим,
если любая пара его ребер подобна. Граф называется симметри-
симметрический если он вершинно- л реберно-симметричс-п На рис 14 ?

202 г п \ п \ I
приведены графы с наименьшим числом вершин, один и> коюрых
вершннно симметричен, но не ребер но-симметричен (треугольная
призма К;\ХК*)> & другой ьаоборот (звезда /Ci,-s)
Заметим, что ее пи ее — автоморфизм графа G, то графы G — и
к 6— а (и) изоморфны Поэтому, если вершины и и i подобны, го
G—и= G — v> Удивительно, но утверждение, обратное этому, не
верно г) Примером тому служит граф, изображенный vd рис 14 9
Рис 119 Контрпример к гипемезе
Он имеет наименьшее число вершин из всех графов, \ которых су-
существуют такие неподобные вершины и a v, что G—^ ^= G — о (см
X ар ар и и Пал мер [51)
Степенью ребра \ — иь называемся не} поря юченная пара (dly rf2),
где di = dQg и и <i, —deg с Граф называется ребер но-рееул.нрным,
если все его ребра имеют одну
и ту же степень На рис 14.10
показан полный двудольный
грасЬ Л а, а, он реберно-симметри
чен, реберно-регулярен степени
B,3), по не является вершинно-
снмметрическим
Ркс 14.10. Ребер но ре суля ^ьт ребер Теперь сформулируем гсоре-
В следствиях из этой теоремы
описываются свойства реберно-симметрических графов. Сделаем
очевидное, но важное замечание- любой рсберпо симметрический
граф ребер по-per у л ярен
Теорема 14.12 Ребер но симметрический граф без изолирован-
изолированных вершин является или ее'ршинно-¦симметрическим, иш двудоль-
двудольным.
Доказатс ibCTiio Рассмотрит реберно-симметрическии граф
G без изолированных вершин, имеющий q ребер. Тогда для любого
ребра \ существует по крайней мере q автоморфизмов а,, а2, , af
графа G, отсбражающнх ребром на множество ребер графа G Пусть
\^г\ь\2, IV-lctxOj, . . , ^(t1,)} n Vi--{aj(v2). ..>aq(vi)} По-
скольк\ в G нет изотнрованны.х вершин объединение лшожеств
г) Одпо из прсдлагйБопглтя доказательств гипотез и Улкма в сильной степени
з^ пи село от этого обратного утнержденнн.
f

группы 20-J
\\ и V2дает I Рассмотрим отдельно два случая множества [ х и У',>
не пересекаются и множества Vx и К2 пересекаются
Случаи 1 Если |/t и /2 не пересекаются, то G — двудольный граф.
Пусть uL н Wi—любая пара вершин из \х Если они смежны,
обозначим через у ребро, соединяющее их. Тогда аг(\)—у для не
которого автоморфизма at Отсюда следует, что одна из этих верный
принадлежит Vu а другая V» вопреки пречпотожению. Стсдова-
телыю, подмножества \\ и Уг образуют такое разбиение множества
V, что в каждом из них нет смежных вершин, т е. О — двудольный
граф
Случаи 2 Если \\ и У2 пересекаются, что О — вершишю-сим
метрический граф
Пусть а и di — любетя пара вершин графа G . Hjm н>жно Етока-
зать, что и и w подобны Если и и w принадлежат одновременно
или V'i., «in 179,то рассмотрим два автоморфных отображения' отоб-
отображение а ребра v на ребро, инцидентное и и отображение Р ребра
г на ребро, инцидентное w. Тогда pa-1(w) -[?', так что чюбые две
вершины и и w, принадлежащие одному множеству, подобны. Если
же и принадлежит V\ a w принадлежит V*, обозначим через i
вершину, прш-шдлежащ\ю \1 и V 1ш Так как и подобна и и, и &?,
то и и w также подобны
Следствие 14.12 (а) Если G — ребврно-симметрическии граф
и степень каждого ребра равна (с1х d*), с!ЛфйЛ то граф G двудольный,
Следствие 14.12F) Если G—• реберяо-симметрический граф
с нечетным числом вершин и степень каждого ребра равна (du <i,),
d]—d2 то граф G вершинно-симметрический
Следствие 14 12 (в) Если реберно-симметрический граф G
имеет четное число вершин и регулярен степени d^ p 2, то он вер
шинно-симметр и ческий
Сравнивая эти следствия, можно заметить, что из всех реберпо-
симметрически х графов не описаны лишь ге, которые имеют четное
число вершин и рег^ аярны степени d< p/2. Примером реберно-
симметр и веского графа который также верши нно-сим метр ичеп и
двудолен, служит многоугольник с шестью вершинами. Икосаэдр
додекаэдр и граф Петер сен а дают примеры ребер но-сим метрических
графов, которые яв i я юте я вершинно-симметрическимн но не дву-
двудольными. Наконец, как показаi Фолкман [1\, не see регулярные
ребер но симметрические графы верши нно-симметрпчны
Теорема 14 13 Для гюбого числа р^20у делящегося на 4,
существует регулярный граф G с р вершинами, являющийся реберно-
симметрическим, но не вершинно-симметрическим

204
14 11 Граф Хипуда.
Графы с более сильной симметрией
Следуя Г any 115! определим и-путь как маршрут длины п
с выделенной начальной вершиной, в котором нет повторяющихся
ребер. Граф0 называется п-транзитивным, я^> I, если в нем имеется
/{-путь и для любых двух ami утей всегда найдется автоморфизм,
отображающий один из этих путей па другой Очеви пно, что угя
любого п простой цикл глины я л-транзитивен и простая цепь длины
п /г-транзитивна. Заметим, что не каждый
ребер 110-е им метрический граф 1 транзит
пен Например, в ребер но симметрическом
графе К\,>, представленном на рис 14 8, нет
автоморфизма, переводящего l-путь ии на
l-j[VTb VW
Если W есть я-плть vuVi c7 и и —
любая вершина, отличная от vn _: и смеж-
смежная с v1it то п-\\уть Vi vnti называется
последователем «-пути W Если IF оканчи-
оканчивается висячей вершиной графа G то оче-
очевидно, что W не имеет последователей
Поэтому в следующих дв\х теоремах юво
ршея о ! р^фах без висячих вершил Сформулируем теперь доста
точное лстовие (Тзтт [15, cip 60J) я транзитивности
Теорема 14.14 Пусть 0 — связный граф без висячих вершин
Если W — такой п путь, что существуют автоморфизмы графа
О, отображающие W на любой из его последователей, то граф G
и-транзит mm
Имеется тесная свячь межд\ п транзитивностью графа л его об-
обхватом i 1атт 1M crp blj)
Т е о р с.м а 14. ] 5. t, ли связный п-транзитивный граф, не содер-
содержащий висячих вершин к от-шчный от простого цикга имеет об-
обхват g то п -^ I -^~g:!2
С «юмогцью георемы 14 14 можно показать что граф X ив уда
изображенный на рис 14 11, 4-трапзитивен. Более гого. как чегко
видно из теоремы 14 15 этот граф не является 5-траизктивным.
Существуют регулярные графы, называемые клетками, обла-
обладающие в некотором смысле еще более сильной симметрией, чем
п-транзитивные графы. Граф G называется п-унитранзитивным г)
если он связный, кубический и п транзитивный и если для любых
дв> х я-путей W-! и W2 существует точно один такой автоморфизм а
графа G что су W j — W2. Кубический граф, имеющий обхват п и на
и мены лее возможное число вершим, называется п-клеткои, п^ 3
Информацию о клетках (см Татт A5, стр. 71—831) содержит
1) 6 монографии Тахта [15, стр 62] такой граф называется п регулярным

"РУГШЫ
Теорема 14.16 Для любого п^ 3 существует п-клетка. Для
любого п, удовлетворяющего неравенствам 3^/2^8, существует
единственная п-клетка. Каждая из этих п-клеток для некоторых
t—t(n) является 1-унигпранлт\ивны.м графом: /C)-2, /D) = f E) —3,
/(б) tG)--4 ц ((8)^Ъ
1енерь описаны все и-тесттгъге клсхки (см ыбт 14 4)
Таблииа 14 4
3
4
о
Известные
Т-КЛС1Т 1
К1 (показан i нч
рис 2 1)
ЛГМ {рис 2 5)
Граф Петер се на
(рис 9 б)
клеткл
п
1
8
Граф
14.1
Гоаф
14.1
Граф
7-КЧСТК1
Хивуд-1
1)
Мак Л. ж и
2)
Лени (рис
(рис
(рн°
14.1 3}
Для гс>5 «-транзитивные кубические графы не существуют
следовательно, не существуют и лг-унтранзитивные гр<1фы (см
Tarr [3]) Однако, кроме указанных выше клеток для п^5 суще-
существ уют и др у ги е «- у н итр а н з 11т и в и ые гр афы В частности Ь} н игр а м ¦
зитлвный граф, имеющий 432 вершины vj об\ват 12, построен Фрух-
V,
Рис 14 12 7 кротка ряпная объединению указанных wmre подграфов с
с: о о тве tltkу ю щей н у м е р a j lh с и
том [41, куб Qi и додекаэдр (рис. 1 5) 2-унитранзигивпы, а 3-унп
гранзитивные графы, отличные от 4- ц 5-клеток, найдены Коксетс
ром [!] От.ии из них показан на рис 14 14

и
и.
Рис 14 13 8 клетка равная обт^елннению указанные выше тодгпафо^ с еоотвег-
стиу jouu1 и и у ,мо р а аи ей
Этот граф принадлежит классу графов, введенных ь статье
Чартрэнда и Харари flj. Д^я любой подстановки а из Sp назовем
с-перестановочным графом для помеченного графа G объединение
двух непересекающихся копий G1 и 6?
графа C, между которыми проведены
ребра, соединяющие веошины vt гра-
графа Gl с вершинами uaii) графа С2. Так,
на рис 14.14 показан перестановоч-
перестановочный граф дтя простого цикла С1м На
облешке ^той книги приведены все
четыре перестановочных графа для
С,
Упражнения
14.1 ТТайги группы следующих графов
Рис 14 14 Другой 3 vimrpan а) ЭД^ б)/С5тС, и) К,п t г) Д^Г/СгЬ
зитивный граф ") аДИм-
14.2. Если П1рафе <j есть вершина не
принадлежащая простоv\ циклу дтикн четыре то G — простой гр^ф.
(Сабидусси [2])
14 3 Если G — связный граф с р> 6 вер) л и нам и, то сю реберный граф
L (G) простой тогда и точько TorV, когда «р?ф 6' не есть Д/л „при т, п';^2
(Палмер [1])
14.4. Построить граф с 9 вершинами и 1о ребрами (отли тип от 1|)афа, изоб-
изображенного на рис. 14.7) у которого группой автоморфизмов является цикличе-
циклическая группа порядка 3
(Хгтари и П-з.пмрр [31)
14 5 Построить связный rpaiji с Ц ырктпами, у которого группой автомор-
автоморфизмов является циклическая группа порядка 6

группы 20/
14.6 Построить граф с 14 ьер шипами > которого группой автоморфизмов
является шшлviческа.я rpvnn \ порядки 7
(Сабмдуссн [ Ц)
* 14.7. Обозначим черен с (т) наименьшее число перт'ши л графах, у которых
группа нитом орфизмов изоморфна группе Ст Тогда значения с {т.) при т и1'
и п простом равны:
а) с B)=-2 и с B0=24 6 при г > 1,
б) с (п>')— п:'-:г2а при /г.—3 5,
Б) С{Пг)=Г/-гП При /^7.
(Замечи m-je: с (т) можно также вычислить и тогда когда т не pan по степени
простого TuKVia, но соответствующее выражение будет очень сложным.)
(Мер и в (.тер.)
14.8 Hi. существует нетривиальных асимметрических. графов имеющих
ьккьше 6 вершин.
14.9. Не сущееттет кубических асимметрических графов имеющих меньше
12 вершин
НЛО. Построить кубический граф, v которого 1р>июи автоморфизмов явчя
етсп циклическая группа порядка 3.
14 П Группа (автоморфизмов) графа Петер се к а идеи ги им реберной группе
1 рафа К«,
14.12. Существует граф G, у которого группой автоморфизмов является ди
эчральпая группа D/;. т.пичом граф 0 отличен от простого цикла и его дополнения
Каково наименьшее значение р для которою это утверждение, справедливо?
14.13 Для р"-г^3 не существует таких графов С. что Г (G)~Ap или F(G)=
=С р Д т я p%:-i- \ лс существует та к и \ op i р афов D что Г (D)=^A {}.
(КаиьоМ], Харари к Па л мер 1101)
14 14 Едипотг^еиный спя^нын граф 6 v кото] ою группа авгоморфи-змов изо
морфия группе S" t я^З, — jTO
13) К, ?L\ntt G имеет h вершин;
6) К\>п* ^с;]и G имеет nv\ вершин
м) Ki vK\tH ?Qjn) G имеет п—2 вершин
(Гевирц и Кв^нтас 11П
14.15 Пусть дани конечная группа F и граф G(F), полученный по теореме
Фрулта. Тогда каждый нетождественный аитоморфизм графа G(F) не имеет по
подвижных вершин.
14 16. Каково н з и меньшее дерево Т (с наименьшим чиспом вершин), со дер
кaiii.ee тякис неподобные оеошняы и и j что T—u^T—v'i'
(Харари и Ппмер \2})
14.17 Пюбон связ?1ьц! вершнпип симметрический iраф G является блоком.
14.!8. Ззездньзм Nntoгоугольником называется такой граф G, содержащий ос-
тоштып цт<,ч v: vt . . . Vy,v-[, что если и графе G имеется ребро v-f vn) то в нем имеются
также вое ребра VjV/, 1.1.о /—/ — ;t—I (mod ;;). Связный граф G с простым числом п
вершин вершишю-сн.чметричс-н тогда и только тогда, котда G —звездный мнот
\гольн;ак
(Тернер [Ц)
14.19. Доказать или опровергнуть следующие посемь утверждений: если
два графа вершпппо-енммефпчкьг (реберно-симметричны) то таковы же их сое-
дкlies;не» нроизведст^н;', ксл^юзи^пя v. корова
14.20 Кажды11 сиго;мстрлческ]1й связный граф печетноп CTin^Hii 1 транзит
вен
(TdTr [15 стр 59])

208 ^_ глль\ И
14.21. Каждый симметрический связный к\б.и чес кий граф п
для некоторого п
(Татт 115 стр 631)
14 22 Найти необходимые и достаточные условия того что вершинная ii pc
группы (автоморфизмов) графу идентичны
{Харари и Шлмер [)э])
14.23 Если G — связтгыи граф то Г (гл)=Г (/ @)) toi да л toil, ко тО1Да когда
19
(Уитпи [2])
14.24. Если граф G вершинно симметричен то его группа Г (G) имеет вид
(Мак Эндрю B1)
14.25 Единствен).<тя 2-транзитшшая ip^nna подстановок стегсшг р которая
яб1ястся группой автоморфизмов некоторого графа, есть Sp.
14.26 Пусть А и В — две группы подстановок, действу тощие соответственно
па множествах Х^-{х1,х2 ха} и Y Экспоненцирование {В\л действует ил
функции из множества Vх. Для любой подстановки а из А и любой и осле до пате ль
л ости р\ р\?, , p\f уз ? существу*:1 г такая едчигт^ннйя годстановка [а' ^
^2, $d[ из 1В]Л что для х-1 т А и / из V у
[а- Pi, P2 , М?М-МШ
Ер\ппой xvfia Qn является [S21Sjl a реберной группой i pa фа Кп п является [5„]5г
(Харари (91)
*14.27 Существует единственный наименьший регулярный граф степени 4
имеющий обхват 5. В нем 19 вершин и его группа (автоморфизмов) изоморфна
диэдра.1ьной группе Drz
(Робертсон [1])
14.28 П^сть G — трехсвязный пла^арныи (/; у)-граф, у которого груптта
(автоморфизмов) имеет порядок $. Число 4^;'^ целое, и s—iq тогда и только тогда,
когда О совпадает с одним из гтят:; правильных многогранников {или Платоновых
графов).
(Вайиберг |2] Харари и Татт [3])
14.29. Группу автоморфизмов любого дерева можно получить из симметрии
ских групп с помощью операций сложения и композиции
(Поиа \] ар. 209])
14.30. Набор р—1 транспозиции (Mi ^i). ( ^2) •- п о^1,ектов порождает
симметрическую группу Sp тогда и только тогда, когда граф имеющий р вершин и
р—1 ребер вида ti[V[, яптяется деревом
(Пой! [}))
14 31. а- перестановочны и граф помеченного двусвязного графя G иланарел
югда и готько toi-да, когда G - вмешпспланариый граф и с помощью чиклическон
нумерации; его вершин можно нарисовать его на плоскости так, чтобы (х была
подстановкой из длэдрачьной групп и D^
(Чартрэыд и Харлри [31)
* 14.32 Эндоморфизмом i ряфа О называется io^i ом орфизм графа G в себя.
Полугруппой графа называется множество и сох его эндоморфизмов Каждая ко-
конечная по чу грум г га с единицей изоморфна полугруппе некоторого графа
(Хедрлпи и Пу..чь~р [)\)
*Н.ЗЗ Наименьший нетривиальный граф имеющий только тождественные
*i дом орфизм содержит 8 пери)ии
(Хедрлпп и ПК тьтр [2))
4.34. Для каждого пС:-:-.2 существует единеттгопныл iраф с т \ 2 вершинами
группа автоморфизмов которого изоморфна гммметрической группе $т степени т.
(Гевирц. Кьинтас 12])

Глаьа
ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
Как я люблю тебя? Позволь мне
Элизабет Б ар рет Браунинг1)
Имеются основания \твержд;п ъ, что методы перечисления в ком
б и 11 ато р н ом анализе можно р асе: м а т р и в а т ь с к ор со к а к и с к уест в о а
не как наук>. Будем надеяться, что с появлением и развитием более
общих и более мощных концепций и методик эта ситуация коренш^гм
образом изменится Первые работы по теории перечисления графоз
принадлежат Кэли, Редфипду и Пой а. На самеш деле (см Харари
и Палмер [111) все известные в настоящее время методы перечисле
пия графов предвосхищены в уникальной работе Редфилда flK
которая была опубтикована в 1927 г , но пе была оценена по достоин-
ств\.
Мы начнем с самых простых задач перечне те! г и я, а именно с пе
речисления помечешшх графов Затем приоедем классическую те
орему перечисления, принадлежащею Пой а, и применим ее к на-
нахождению перечисляющих рядов для деревьев и других видов гра-
графов Будет дано также обобщение георемы Пойа (так называемая
теорема перечисления степенной группы), полезное при исследова-
исследовании проблем перечисления, в которых эквивалентные классы зада
юте я с помощью двух гр)пп подстановок. Ради полноты мы закон-
закончим изложение списками решенных и нерешенных проблем в теории
перечисления графов
Помеченные графы
Все помеченные графы с i рем я вершинами показаны на рис 15 1
Мы видим, что 4 различных графа с 3 вершинами приводят к 8 о аз
личным помеченным графам. Цлн нахождения чиста помеченных
графов с р вершинами нужно тотько заметить, что каждое из (?,)
возможных ребер либо принадлежит графу, либо нет
Теорема 15 1 Число помеченных графов с р вершинами равно
J) 'Этизябст Ьтррет Бра\нпнг A806—18ЬП — 1Н|'лнйск.г-)я поэтесса. - Ирич
пер ев

210
ПАП \
Стелете и е 15 1 (л) Чнею помеченных (р q)-г рифов равно
Я I
Кэли [51 первым установит сосяветств\ющий результат для де-
деревьев: чисю помеченных деревьев с р вер шипами равно рр~
•У.
и2
Рис 15 1 Поме генные графы с 3 вер л и нам и
С 1889 г., когда появилась работа Кэли, было найдено много раз-
различных доказатечьств этой формулы Наброски их приведены My пом
[3] один из нил дан в следствии 13.4 (а).
15 2 Помоченные деревья с 4 верлинами.
На рис. 15 2 показаны все 16 помеченных деревьев с 4 вершинами
Пометки на этих деревьях следует понимать так как это показано
на первом и последнем деревьях Заметим, что среди этих 16 по-
помеченных деревьев 12 изоморфны цепи Pv и 4 изоморфны граф\ /Сьл.
Порядок группы Т(Р4) равен 2, а порядок группы Г(/С,т3) ранен 6
Так как здесь /?=4, то имеем 12-4';;|Г (Р,)\ и 4 4!/|Г(/A, )| Ее-

Т1ЕРГЧИ1
тестленное обобщение этих двух равенств справедливо не юлько
дтя деревьев, ко также для графов орграфов, отношений и т д ,
см Харари, Рид 11] и Харари, Палмер, Рид [1]
1еорема 152 Данный граф 0 можно пометить р\:\Т (О)\
способ а ми
Набросок доказатеiьства Пусть Л — группа иодетано
вок действующая на множестве X Для всякого элемента х из X
орбитой (\(х) элемента д: называется подмножество множества X,
состоящее из всех таких элементов у ич X, что ах--у для некоторой
подстановки а из Л Стабилизатором Л (х) элемента v называется
подгруппа группы Л, состоящая из всех подстановок из Л, остав
ляющих элемент х неподвижным. Теорема следует из хорошо извест-
известной формулы |0 (а') | [Л (v) J — |Л | и ее интерпретации в настоящем кон
тексте
Теорема перечисления Пойа
Многие проблемы перечисления формулируются так, чю ответ
можно дать, найдя формулу для числа орбит (систем транзитивно-
транзитивности) определяемых группой подстановок Часто орбитам припи-
приписываются веса; Пойа [1] показал, как получить формулу, перечис-
1яющ\ю орбиты в соответствии с весами и зависящую от цикличе
с кой структуры подстановок данной группы Обращение георемы
Попа связано с обобщением хорошо известной перечислительной
формулы, принадлежащей Бернсайду [1, стр 191J
Теорема 153. Пусть Л — группа подстановок действующая
на множестве X с орбитами 01f 92, , 0„., и w — функция при
писывающая веса каждой орбите (весовая функция) Более того,
и определяется на X так, что ы{х) -1л^г),еслих^ 0i Тогда сумма
весов орбит равна
Доказательство Мы \же сидеть, что поря юк |/lf гр\гшы
Л равен | 4 (х)\- |0 {х)\ для любого х из X, где А (х) — стабилизатор
элемента х Кроме того, поскотьку ьееовая ф\нкция постоянна па
элементах данной орбаты, ю
для каждой орбиты 0t Сопоставляя эти факты паход?^?, что

2 i 2 Г Л л В А. 1
Суммируя л о всем орбитам, имеем
И (г)la-(О,
откуда сразу следует A5 1)
Традиционную форму леммы Берпсаида гслерь можно \ стаи о
вить как следствие этой теоремы Пусть для подстановки а, пред-
представленной в виде произведения непересекающихся пиктов, /й(с)
обозначает чисто циклов д~шггы k
обозначает чисто циклов д~шггы k
Следствие 15.3 (а) (лемма Б е р и с а и д а) Число К (А)
бит группы подстановок А равно
ор-
орП
Пусть 1 — группа подстановок порядка т и степени с/. Цикла
вым индексом Z{А) называется многочтеп от d переменных at, а2, »
.., ad, задаваемый формулой
РП А ^а) A52)
Так как для любой подстановки а числа !к = 1ь(у) \довлетворя-
ют
}jx 1-2/, 4 I djd^d,
они составляют разбиение целою положительного числа d. Обычно
дчя описания а применяют векторное обозначение (]) -{]и /2>
, jd) Заметим, что этот метод выражения разбиений отличается or
использованного в гл 6. например, разбиение 5 = 3^1^1 соответ-
соответствует вектору (j) = B. О, 1, 0, 0)
Все классические проблемы перечнечепия к которым применя-
применяется теорема Пойа имеют одну и ту же общую форму. Пусть дана
область определения D, множество значений R и весовая функция
т\ определенная на R В качестве примера можно взять весовую
функцию w, приписывающую каждому r?R упорядоченною пару
w'(r)—(yi^r, m>.2r) неотрицатель}1ых целых чнеет Объекты, подле-
подлежащие счету, — это функции, действующие из D в R Дтя заверше
ния постановки проблемы надо условиться о том, когда две функ-
функции из RD рассматриваются как неразличимые (эквивалентные)
Это достигается указанием группы А, действующей па Dy при этом
две функции считаются эквивачентныын, когда они принадлежат
одной \\ той же орбите из ЕЛ, где Е — тождественная группа сте
пени \R\
Задержимся намип\т> и проиллюстрпр\емэти идеи на «проблеме
ожерелья» Рассмотрим ожерелья, скажем, с 4 бусинками, в кото
рых одни бусинки красные, а др\гие синие Два таких ожерег1ья

ТТГГЬЧИПЕНИЯ 213
считаются эквивалентными, если их можно сделать «конгруэнтны
ми» с сохранением цветов бусинок. Здесь D — множество ячеек
(мест), в которых могут находиться бусинки, R — множество {крас-
{красная бусинка, синяя бусинка}, а функция / ?RD — приписывание бу
с^нок каждому месту (каждый ячейке) на ожерелье В этом при-
примере группа А—диэдральная гр\ппа D4, весовую функцию w
можно определить равенствами ц^краеная бусинка) -A, 0) и
^(сипям бусинка) = @,1)
Следуя интуитивной терминологии Пой а, элементы области оп-
определения D будем называть пестами, элементы множества зна
ченин — фигурами, функции — конфигурациями, а групп> подста-
подстановок А — группой конфигурации Припишем вес W (/) каждой
функции kf
х ''«> *-•'<¦" л 5 3)
Легко видеть, что все ф)нкции из данной орбиты множества R°,
определяемой труппой Е \ имеют один и тот же вес так что вес ор
биты можно определить как вес любой функции из нее
Предположим, имеются стп фигур с весом (га, г) в /? и Стп ор
бит (эквивалентные кчассы конфигураций) с весом хтуп и RD Пере-
чисгяющий ряд дгч фигур
с{<,У) %стп v'Y A5 4)
пумер\ет элементы из R, приписывай и\г веса а перечнеляющий ряд
для конфигурации
%Сп, a'Yj A5 5)
является производящей функцией для ьчассов эквивалетности
функций / ^ RD Теорема Пойа [1] даст возможность выразить
С(х, у) через г (л, //).
Если в A5 2) написать 7 (A)--Z(A, ах а_, , ad), ro для любой
функции Н(к, у)
h(x tj),h(x* у*-)у >h(x*,if» A5 6)
Г е о р е м а 15 4 (i е о р е м а перечислении Пойа). Перечис-
Перечисляющий рчд для конфигураций получается подстановкой перечисля-
перечисляющего ряда для фигуре цикловой индекс группы конфигурации, т е
С (к y)-ZDtc(ity)) A5 7)
Доказательство П\еть а — подстановка в группе А и
а — соответствующая подстановка в степенной гр\ппе ЕА Пред-
Предположим сначала, что /— конфигурации, остающаяся неподвижной
при действии &, и С; — цикл длины k в разложен11и а на непересе-
непересекающиеся циклы Тогда f{d)- f{yd) Для каждого элемента d в

2{4 ПАВА. IS
представлении %, гак что все элементы, переставляемые при помо-
помощи I., должны иметь один и тот же образ при / Обратно, если эте-
менты каждого цикла подстановки а имеют один и тот же образ
при конфигурации /, то а оставляет / неподвижной Таким образом,
все конфигурации, остающиеся неподвижными при действии ау
получаются с помощью независимого выбора элемента г из R для
каждого цикла ? подстановки а и проверки равенства f(d) = r для
всех элементов d, переставляемых циклом ? Тогда если w(r) =
— (т, п) где т=<ллг и n—wirT и ? имеет длин) к, то цикл J вносит
множитель У (\тУ'1)к в произведение задающее сумму весов
rfR
У W ([) Следовательно, так как
то дчя каждого а из Л
Суммируя оСе части этого соотношения по всем подстановкам а
из /1 (ичи, что то же самое, по всем « hj ? ') и деля обе части на \А\^
], лол) чаем
Правая часть этого равенства есть Z(Ay c(x, у)) Чтобы пока -
зать, что левая часть есть С (\ у), применим тот вариант леммы
Ьернсайда, коюрый даегся георемой 15.3 Сначала заметим, что
для аепеннои группы ЕА сумма весов орбит равна
|>(fli)- jCnnXV-Ctx, у) A5 9)
Но, как следует из формулы A5 1), левые части в A5 9) и A5 8)
совпадают, так что ZD, c(x у))?--С(х, у)\ теорема доказана
Возвращаясь к упомянутой выше проблеме ожерелья с четырьмя
бусинками, заметим, что цикловой индекс диэдр ал ыюй группы
D4 равен
Z (D4) - i (at + 2а\а, -\ № - 2а<), A5 10)
а перечисляющий ряд для фигур имеет вид с (л, у)—хху<>- х°уу
—х- у Подставтяя х—у в A5 10) и учитывая A5 6), находим
A5 И)

ПГРГЧПСЛЕТШЯ
215
Коэффициент при х'"уп в A5.11) равен числ\ различных ожерелий
с четырьмя бусинками из которых т красные и п синие Эти 6 раз-
чичных ожерелий показаны на рис 15.3.
Случайно оказывается, что ожерелья можно также перечислить
используя б качестве перечисляющего ряда дтя фигур )-'т х вместо
х—у При этом красная бусинка имеет нес 1, а синяя бусинка —
вес 0 Тогда в многочлене KD^ \--\) х1-\-х'Ч, 2л:*Н х-\-\ коэффи-
коэффициент при хт равен числу ожерелий с т красными бусинками и,
следоватетьно, с 4—т синими бусинками ср с A5 11) Как мы
Все красные
Все синие
Рис 15 3
увидим в следующем разделе, перечисляющий ряд для фиг\р, име-
имеющий вид 1+^, играет важною роль в проб!емах перечисления, так
как г° означает отсутствие фигуры, a v;1 — ее наличие Причина та-
такой важности перечисляющего ряда \-г\ вскрывается в приводимом
ниже следствии (см. Харари [221) георемы Пока Б у чем называть
п-подмножеством множества X подмножество, содержащее ровно
п элементов
Следствие 15 4 (а). Есш А —группа подстановок, действую-
действующая на X, то число индуцир ова нных группой Л орбит п-подчи ож ее те
множества X равно коэффициенту при хп в Z(A, i-\-x)
В приложениях теоремы перечисления Пой а часто встречаются
определенные группы подстановок Приведем формулы для цикло-
цикловых индексов пяти важных групп подстановок, указанных в табл
14.2 В формулах A5 12) п A5 13) суммирование ведется по всем
разбиениям (j) числа р В A5 14) ф (к) есть ф-функция Эйлера, ее
значение при k^2 равно числу положительных целых чисел, мень
шнх k н взаимно простых с к причем по определению ер A) — 1 Итак
Z($p)
-IV
р
И

210 Г TAB A 15
!s . A5
Z {Dy) ~ у
¦ytf^/p-1)'', p нечетно,
, /9 четно,
A5
p A5 1b)
Существует несколько очень полезных формул, позволяющих
л о цикловым индексам Z (Л) и Z(B) rpvnn Л г1 Я вычислять цикловые
индексы суммы А + В, произведения ЛхВ композиции Л [В1 и
степенной группы В1 Эчи формулы указаны ниже (см. A5 17) —
A5.22)) и приводятся в работе Харарн [22J Под Z{A)\Z(B)\ мы
понимаем многочлен полученный заменой каждой переменной
л?, в 7D) многочленом, который строится hi многочлена Z(B) с
помощью умножения всех индексов переменных из ZiB) на число к
-B) = Z(A)Z(B), A5 17)
^I ITa^Ji1^^ , A5 18)
где с? (г, s) и m(/, s) обозначают соответственно наибольший общий
делитель и наименьшее общее кратное чисел г и s,
ZD№)-ZD)[Z(B)], A5 19)
Z (В*) = ^-^ ?<#**> A3 20)
где («,Р)-р« и
П
}4 — известная теоретико чнепооая функция Ме6и\са 1)
Перечисление графов
Опишем, как нолучить мпогочтетт g3 (л), перечисляющий графы
с данным числом вершин /?. Пусть цро— число {р q) i рафов и
5 23;
ч
J) По ощк'деЛ1.кию j.i(/i)--Q, tic.TJi п не является аротведонием различных прсс
ты\ чисел jPj. рш и t-i ('?•)-'(—1}/дт если ^ -р, р/л где все р,- — рагчличнье
е числа.

2\7
Перебрав все 1рафп с 4 нер-гшнами тегко пооверить, что
Lx(! <15.24)
ГКсть У- {1,2, . ,,р} и /?-{0, 1}. Обозначим черет D = Fi2>
набор подмножеств {$, /) различных элементов .множеств,-] !<, i p
2-подмножеств множества V. Тогда каждая функция f из D в #
представляет граф, р верш л н которого принадлежат множеству V
и в котором вершина i смежна с вершиной / если /{( /f — 1 Следо-
Следовательно, образ подмножества {/ /} при отображений / есть 1 или
0 в зависимости от тою. существует игш нет ребро, соединяющее
1 и /. Весовая функция а1 на R определяется соотношениями гу(О) — О
и w A) - 1, т'а к что это тожд еств е j i пая функция. П оэ том у перечне л я -
югдим рядом дчя фигур будет с(х)-¦=!-{¦ v. Применяя A5 3) в случае
одной переменной, получаем вес функции /:
где суммирование ведется но всем парам {*, /} в V[2t Таким обра-
образом, вес ф\нкции I есть чисто ребер в графе, соответствующем функ-
функции f
Далее, пусть ??—тождественная ip\nua, дейегк^ютая па R,
и пусть группа Sf, действует на V Обозначим через 5^'' парную
группу, действующую на множестве У{~\ у кезторой подстановки ин-
индуцируются группой Sp, т е кля каждой подстановки ct н Sp
существует такая подстановка а' в Sp'\ что rx' {i, /}-¦¦-¦{at a/}.
Применял теорему Пой а к группе копфиг\р<шин S^'2), получаем
следующий peavihidT, также принадлежащий Пойа (см XdjupH
[21) "
1еорема 15 ^ Перечнегчющий мноючлен дгя графов с р вер-
вершинами имеет вид
gp(x) = Z(S(il), 1+х), A5 2G)
где
l
ш
/0=1
x H
|>21
t II
ГГ
I < 4
eii(,'; 1/г"
27)
Вывод формулы A5.27) также приведен л работе Харарн [22,
стр 38]. 3 приложении 1 дана таблица, в которой указывается чисмо
(р, q)-графов для р<9-
Аналогичные формулы были получены для перечисления rpa{j)oo
с корнем п связных графов. С помощью модификаций ьлчло метода
были перечислены различные классы графов Среди лих классы

218 ГЛАВА 1Г>
ориентированных графов, псевдографогз ч м\льтиграфов Проил-
Проиллюстрируем некоторые из этих перечислительных формул, показы-
показывая как они непосредственно получаются из предыдущей теоре-
теоремы Для того чтобы перечислить графы с корном, необходимо
зафиксировать корпевчю вершину и до построения парной группы
считать остачьные р—1 вершин неразличимыми
Следствие 15.5 (а} Перечисляющий много1 Lien din графов с
корнем и с р вершинами t меет evd
-^+O^, 1-г-а) A5 28)
Когда существует не более дпух ребер, соединяющих каждою
пару вершин, третатоино заменить перечнечяющпи ряд для фигур
с (а') — 1 — л (тдя графов) на 1J ¦ v ,-х-
Следствие 155 (б) Перечисляющий многочлен для л у л ьти -
графов, у которых каждая пара вершин соединяется не более чем
двумя ребрами, имеет вид
A5 29)
В случае перечисления произвотьных мультиграфов, перечис-
перечисляющий ряд для фигур есль
\ — х-\-х—х1*— =тг~
Следствие 15.5 (в) Перечне i чющ и и многочлен дл ч му чыпигра-
фов с р вершинами имеет вид
A5 30)
Перечисление орграфов (Харари [2]) было завершено так же,
как для графов: была найдена формула для циклового индекса при
соответствующей группе конфигураций и затем была применена
теорема Пой а Для орграфои нужно иснотьз окать редуцированную
упорядоченную парную группу S^ Как и прежде, S}, действует на
множестве V'={1, 2, ...,/?}. Множество V'f2J loctoht из упорядочен-
упорядоченных пар различных элементов множества V, По определению группа
Sp"] действует на множестве l/r*J как индуцироаанная группой Sj-
каждая подстановка а мз 5; т г иду пирует такую подстановку а
из 5p2f? что a' (t, /)- (ал, щ) для (i, /) из У'№ Применяя теорем)
Пойа к цикловому индексу группы S^ получаем многочтен dp(x),
в котором коэффициент при х(< равен числу орграфов с ц ориенти-
ориентированными ребрами
2) В оригинале interchangeable Ииогда мы будем \потребчять термин «од-
«однородные» или «взаимозаменяемые» — Прим. пгрев

219
Теорема 15 6 Перечисляющий многочлен дгч орграфов с р
верши нами имеет вид
dF{x)-Z{S[p\ \-\~x), A5 ЗП
где
Lv
а)
X
«-i
V
05 32)
Разумеется, сюдствия из этои теоремы апаюгичнп следствия\1
из теоремы 15.5
В приложении II приведена табтица дчя чиста орграфов с р^8
вершинами.
Хотя корневые деревья и деревья были перечислены гораздо
раньше, чем графы, мы рассмотрели сначала перечисление трафов,
поскольку их перечисляющий ряд для фигур имеет очень простой
вид, а именно 1 + v Мы увидим, что для перечислении деревьев са-
самый полезный перечисляющий ряд дтя фигур — это производя
щая функция д^я корневых деревьев
Перечисление деревьев
Для нахождения числа деревьеп необходимо начать с перечне
леькя корневых деревьев Корневое дерево имеет одну першипу (его
корень), выдетепную из остатышх. ГК'сть Т7— число корневых
0
. 15 4 Корневые деревья с 4 вершинами
деревьев, имеющих р вершин. Из рис 15 4, где корень каждого де-
дерева четко отличается от остальных вершин видно что ГА — 4
Перечисляющий ряд для корневых деревьев обозначим
-2) ТрхР
;^1
A5 33)
Аналогично онределяютст tJL и 1(х) дтя деревьев без корня

220
ГЛАВА Ь
Рек>ррентную формул} дтя перечне пени я деревьев с корнем
нашел Кэти J11
Теорема 15 7 Перечне тющий ряд для корневые деревьев имеет
вид
7 {х\-
г-]
A5 34)
Можно привести A5.34^ к виду, где Т(а) Отражается сама через
Для згого надо юягь логарифм от обеих чается и затем про
извести соответствующие преобразования степенного ряда Это
приведет к формуле A5.35) — результату, впервые потуженному
Пойа [11 с помощью его теоремы перечислении
Теорема 158 Перечисляющий ряд для корневых деревьев удов-
удовлетворяет функциональному уравнению
A5 35)
г=\
Д оказ <-] I ел ьс i во Пусть T{i" (х) — производящая ф\нкцня
для корневых деревьев с корнями степени п так что
-2
я = 0
"'" (х)
A5 36)
Так например, Т'Л)] (л) —a nepc4HLJ«(.i хривиальныс графы с кор
нем, а деревья с висячими корнчми (т. е. деревья, корни которых на
ходятся в висячих вершинах) перечисляются с помощью функции
Pik
o 5
©
Корньвгс дерево Т и его комлокеыь nj l»
Г@(а)—у -Г (л). R общем случае корневое дерепо с кор [[ем степени
а можно рассматривать как конфигурацию, фигурами которой ел у
жат п корневых деревьев полученных «расщеплением» первона-
первоначальною корпя Рис 15.5. иллюстрирует это для я=3
Так как эти п корневых деревьев можно переставляв друг с
др>гоы баз изменения класса изомор(^изма данного корневого де-

ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ 221
рева, то перечисляющий ряддтя фиг\р есть Т(х), а группа конфи-
конфигурации есть Sn, откуда
Ttr)(x)^\/(SniT(\)) A5 J7)
Множитель л добавляется при удалении корня данного дерева
так как вес дерева равен числу его вершин.
К счастью, существует хорошо известное и тег к о дифференци-
дифференцируемое тождество, которым можно сейчас воспользоваться (где
/(So) по определению равно I)'
( опостав тня соотношения A5.36) — A5.38), по чу чаем A5.35).
Кэли [41 был первым, кто дал выражение для i} через числа
Тп с я< р Он сделал это, подсчитав отдельно число деревьев с 1 и 2
центрами Пойа Ш получил другое выражение для tTn рассмотрев
отдельно деревья с ] и 2 центроидными вершинами Оттер [II вы-
вывел с помощью произподящих функций наиболее изящную из всех
известных формул, выражающих число деревьев через чисто кор-
корневых деревьев. Действительно как юказапо п работе Харари
[3], действуя мно1 ократно в соответствии с изречением: «Если ви-
видишь два последовательных знака суммирования, поменяй их по-
порядок», можно непосредственно вывести равенство Оттер а A5 41)
из выражений для tt полученных Кэли и Пойа Сам Оттер вывел
соотношение A5 41) us след\ющего соотношения, представляющего
и самостоятельный интерес; его иногда называют «уравнением ха-
характеристики неподобии для деревьев*. Симметричным ребром
называется ребро, соединяющее две подобные вершины
Теорема 15.9. Пусть /Г ид* для любого дерева Т обозначают
соответственно число классов подобия вершин и число классов подо
бия ребер, а ь — число симметричных ребер Тогда s равно О
илч \ и
p*—(q*—b)_l A5 39)
Набросок доказательства Если дерево Т имеет одну
центральную вершину или две неподобные центральные вершины
то в нем нет симметричного ребра, так что s—0. В этом случае най-
найдется поддерево дерева Г, содержащее ровно по о иной вершине
из каждого класса подобия вершин в 7 и ровно по одному ребру и а
каждого класса подобия ребер. Так как это потдерегю имеет /з*
перш и и и ц* ребер, то р'"—q*-~A
При цругон, возможности дерево Т имеет две подобные центра ib-
i ibte вершины, и поэтом у s—A В этом ел v чае па и лете я поддерево,
содержащее ровно по одной вершине ии каждого класса подобия
вершин в Г и по одному ребр> из каждого класса подобия ребер,

222 rjARA 15
кроме снмметричиого ребра Следовательно, ^то поддерево имеет
р* вершин и q*— 1 ребер и потому р*—(<?* —1) —1 Таким образом
в обоих случаях {\*> 39) выполняется
Нам также потребуется специальная теорема Пойа [1], пред
назначенная дчя подсчета взаимно однозначных отображений Для
удобства будем употреблять Z{AV— 5,0 как сокращение для
Z(/\lt)-Z{Sn)
Теорема 15.10. Перечисляющий рчд С(х) дт взаимно одноз-
однозначных отображений, действующих из множества п взаимозаменяе-
взаимозаменяемых элементов в множество фигур, перечисляемых рядом с(х), по
лучается подстановкой с (к) в Z(An—St}'
C{\)=Z(An-Stl,c(x)) A5 40)
Хотя мы б^дем использовать соотношение A5 40) лишь в слу-
случае гс-~2, оно снабдит нас полезным перечислительным механизмом,
пригодным и в другкх контекстах (Харари и Принс !.!!). Это
соотношение позволяет дать очень краткое доказательство формулы
Оттера дчя перечисления деревьев
Теорема 15 11 Перечисляющий ряд для деревьев можно
представить с помощью перечисляющего ряда дгя корневых деревьев
Доказательство П\сть р*, q*— числа классов подо
бия для вершин и ребер, a s-t— число симметричных ребер дли
i го дерева с п вершинами, * = 1, 2, .. , /а Так как в силу A5 39)
р*—(^—s^)—1 для всех {, то суммированием по г получаем
Да чес, Е (q$ — s,)—это число деревьев, имеющих п. вершин,
корни которых лежат на ребре, не являющемся симметричным
Рассмотрим дерево Т и возьмем любое его несимметричное ребро
у. Тогда Т — у МО/к но рассматривать как два корневых дерева
которые должны быть нспзоморфными Таким образом, каждое
несимметричное ребро дерева соответствует неупорядоченной паре
различных корневых деревьев Перечисление этих пар деревьев
равносильно перечислению взаимно однозначных отображений,
действующих из множества двух взаимозаменяемых элементов в
множество корнеиых деревьев. Поэтому, применяя теорему 15,10 с
Т{\) в качестве перечисляющего ря^а для с{шг\р, находим, что
г
-S2, T[\)) A5 43)

223
Так как Z(^2)—al и ZiS^ — iai i-tf?)/2, то
Z(,12-S2, 7 (г))-1[ГЧл)-7 (л-)] A5.44)
Теперь формула A5 41) слечует in ссотипшснии A5 42) — A5 44)
С помощью формул A5.35) и {15 41) получим чиста корневых и
некорневых деревьев для р -lt 2л . , 12'
Т (л-) i ,гэ '-2\! 4л4 9г5-! 20л6 L 48 v4 115 vH +
^- . A5 45)
23л°п-
A5 4G)
Диаграммы для деревьев, перечисляемых первыми 10 слагаемыми в
A5 4б)? приведены в приложении III' там же приведена таи чип, а
значений t}l и Т}1 для р^26.
Методы, используемые для юказательства теоремы 15 11 можно
применить для перечисления различных видов деревьев Проил-
Проиллюстрируем это на двух видах деревьев: па гомеоморфно несводи-
несводимых деревьях и на асимметрических деревьях (Харари и Ирине
[1]), остальные виды рассматриваются аналогично, например рас-
раскрашиваемые деревья (Риордан [11), деревья с заданным разбиением
(Харарл и Принс [И) и т д Пусть h(,v), H(х) и ~Н(х) — пере-
перечисляющие ряды гомеоморфно несводимых деревьев, корневых че-
реньев и деревьев с висячими корнями соответственно
Теорема 15.12 Все три типа гомеоморфно несводимых деревьев
перечисляются соотношениями
^ 47)
A5.48)
h(x) -tf(v)—i|/74v) -H(x2)\ (lo 49)
Чиста гомеоморфно несводилшх деревьев, имеющих не более
12 верни н можно нййш из соотношения
1? | . . {15 50)
Пусть и(х) и L (х)— перечисляющие ряды для асимметрических
деревьев и корневых деревьев, для коюрых группой автоморфизмов
является тождественная группа.

224 п\в} ь
1 еор е \i а 15 I у> {симметрические деревья, ncptчисляютсч соот
ношениями
I (i)-iexp ? JJp
^ | С/(а-2)] A3 52)
Числа асимметрических деревьев, ишкяцих не бон ее 12 вершин,
можно найти из соотношения
29x1J- A5 53)
Теорема перечисления степенной группы
Существует класс задач перечне чепия, которые можно решить
с использованием степенной группы в качестве группы конфигура-
конфигураций. Рассмотрим степенную групп\ ВА, действующую на RD
Число конфигураций (классов эквивалентности функций, опредечя
емых группой ВА) можно найти из теоремы Л ой а (е\г. X ар ар и и
Палмер J83), это было сделано дс Брей ном Ш и [2] в иной формул и
ровке. Формул\ A5.54) можно легко приспособить д 1Я перечисления
функций в соответствии с их весами
Теорема 15 14 (теорема перечне 1ения степенной
группы). Число классов эквивалентности функции в RD, опреде-
определяемых степенной группой ВА равно
54)
где
2Р 5 55)
S | k
Для примера рассмотрим еще раз проблему ожерелья, проиллю-
проиллюстрированную на рис 15 3, но здесь мы допускаем, что два цвета
а. Ъ бусинок (скажем, красный и синий) взаимозаменяемы Ясно,
что число ожерелий с 4 бусинками двух взаимозаменяемых цветов
равно чист) Л EaJ*) орбит степенной группы «S^1 Т/ш тождествен-
тождественной подстановки (а)(Ь) из S2 в силу A5 55) имеем
mk((a)(b))-2
для всех k Для транспозиции (ab) в 52 число тк((аЬ)) равно О
для четного к \л 2 для нечетного к Применяя < 15.54), видим, что чпе-
ю ожере тип с взаимозаменяемыми цветами равно
\А 2, 2, 2, 2) Z(D,O, 2, 0, 2)]

ПЕР I-ЧИСЛЕНИЯ 225
Подстановкой а формулу A5 10) для Z(D ) находим, что зго число
равно 4 Этот результат легко проверить, заметив, что последние
два ожерелья на рис. 15.3 эквивалентны первым двум кем да крас-
красные и синие бусинки взаимозаменяемы
Самодополмительпие графы с 4 и о вер нишами показаны на
рис 2 13 Результат Рида [31 для чиста *,, самодополнителыплх гра
фов с р вершинами можно вывести из теоремы перечисления сте
ценной группы. Дтя этого определим новое отношение эквивачент-
ности ~ для графов с р вершинами GL~G2, если G]^G2 или ОХ^О2
Пусть c.j.— число определяемых отношением — классов эквивалент
пост и для графов с р вершинами. Так как мы рассматриваем графы,
\ которых р вершин, то возьмем Л—S^p в качестве группы, дей-
действующей ма Dl-} Так как граф к его дополнение эквивалентны
будем (.читать, чго гр>ппа B---S2 ^ейств\е^ на # — {0,1} Тогда дзе
функции /i н fi из Rd{1) эквивалентны относительно степенной
группы В\ если они обе представтяют один п тот же граф или одна
из них представляет граф, являющийся дополнением другого Мы
уже видели результат применения формулы A5.55) к подстановкам
из 5о Таким образом имеем
ср -\\Z(S\T\ 2 2 2 2 ) -Z(S{,P- 0, 2 0, 2, I A5 56)
Но так как ьР = 2с{ —gP> потлчаем стедхющ^ю формул), найденн\ю
Ридом:
Теорема 15 15. Число az саиодопогнитегьны\ш графов с р вер-
вершинами равно
srr-Z(Sf,0y 2, 0,2, ) A5 57)
Конечные автоматы также были перечислены с помощью теоре-
теоремы перечнечения степенной группы (Харрнсоп [1], Харари и Пал-
мер П21) Группы для этой задачи являются подгруппами произ-
произведения дв\гх степенных групп.
Решенные и нерешенные задачи перечисления графов
В литературе \же приводились три списка нерешенных задач
перечисления гоафов Харари 1151, [21J и [23, стр 2061 Время* от
времени эти списки необходимо обновлять Благодаря тому что
возникают новые задачи и решаются старые, общее количество не-
нерешенных задач остается примерно постоянным — около 27 задач
Стоит заметить, что крайне невероятно чтобы все эти задачи были
решены в ближайшее время Для обоснования этого замечания до-
достаточно сказать, что среди таких решений в результате сравнения
числа танариыл графов с числом 4-раскрашииаемых графов было
8 \а 141

Таблица 1 у [
Нерешенные задачи перечисления графов, IV
; oj ня
Орграфы Сильные о pi рафы
Односторонние оргрлф| i
Орграфы с: источником
Транзитиппые орграфа
Слмодополиите.'п^ные самообррт* ые
орграфы
Ouxo;ibi Глмил[;топокы графы
Г-н мил монеты и^ик^ы а данном i р^фе
Эйлерот.1 цени в данном графе
Топологпя Симилициальиые комп.аексп
^-раскрашиваемые графы
Шлнарные Л-р;1скрашиь;юл1Ь}е j рафы
Корневые плана pi ше гр.чфы
Зке карты с корневым ребром
С.имметр и ноские графы
Лея ммот р 11 чс:с к и с: г р лфы
Графы с данным автоморфизмом
Приложения Четны», подграфы пимечилю;': 3 ре
шетки
Четные подграфы помеченной 2 ре-
решетки с данной площадью
Четные подграфы данного помечен
кого графа
Замощения 2-решетки
Задача о росте клеток
Реое.риые графы
Латинские кпадраттд
Грлфы с данным рядиусом ити дна-
.метро\[
Графы с данным обхп ттом ити окр\-
жс 11 ием
Гряс^ы с данной связностью
Графы с данным родом, толщиной,
.хроматическим числом и т д.

ПЕРЕЧИСЛИВ И Я 297
бы полученп достаточно информации для того, чтобы решшь во-
вопрос о справедливости гипотезы четырех красок
В табл 15.1 приведен четвертый список нерешенных задач не
речисленил графов, который гак и озаглавлен Вес эти задачи можно,
конечно, сформулировать и для помеченных графов. ГфИЧем неко-
некоторые из них для помеченных графов уже решены.Чтобы понять эти
задачи, в каждой из которых требуется выразить число конфигу-
конфигураций через подходящие параметры необходимо ввести дополни-
дополнительные определения Определения связанные с орграфами, можно
найти в следующей главе
Татт [10] изучал задачи перечисления плоских ксф 11 цтюдя ко-
корень таким образом, чтобы «разрушить» все симмефи^ в каждой
карте Плоская карта с корневым, ребро и получается из плоской
карты с помощью ориентации произвольного ребра с Последующим
выделением одной из двух граней инцндентны\ jtomv ребру; эта
грань объявляемся внешней гранью карты
2-решеткой (двумерной решеткой) на:швае1ся граф вершинами
которого явтяются все упорядоченные пары (/, /) целых чисел, где
/ - 0, 1, , т и / 0,1, , п, две вершины считаются смежными
тогда и только тогда, когда евклидово расстояние меж^у ними рав
но I Аналогично определяется 3-решетка Четный подграф Н
графа G — это подграф в G, каждая вершина кою рою Имеет четную
степень Таким образом, каждый четный подграф 2-решетки имеет
определенную площадь — число квахратов, содержащихся в его
простых циклах
Замощением 2-решетки называется покрытие квадратов этой
решетки заданным числом единичных и сдвоенных (как в домино)
квадратиков. Конечно, можно предложить и более сложные задачи
о замощении решеток большей размерности
Известны три типа задач о росте клеток, а именно для тре\го ib
ника, квадрата и шестиугольника, т е для тех единственных пра-
правильных многоугольников, которыми можно покрыть плоскость
Связная конфигурация, содержащая данное число треугольников,
квадратов ичи шестиугольников, называется животном (см Ха-
рарн 123, сгр 208-212]).
Приведем сейчас довочьно большой список решенных задач
{который неизбежно будет неполным) в надежде на то, что нежела-
нежелательные повторные .затраты усилий но их решению будут минимизи-
минимизированы. В списке даются ссылки на статьи, где получены решения
неопубликованные решения отмечаются только именем (возможного)
автора. Эти решенные задачи (табл. 15 2) разбиты па четыре группы:
деревья, графы, орграфы и разное

/5 7
Решенные зал ли перечисления графов
;!<•] е i я
Деревья
11омечелиыо д
Корневые деревья
Корневые деревья с данной высо
той
Бесконечные помеченные
Плоские деревья
Плоские деревья с данным р
ением
Гомеаморфно нескодимьк. дерегч я
Асимметрические деревья
Деревья с данным разбиением
Деревья с данной труп под
Деревья с данным диаметром
Ориентированные деревья
Направленные дерскья
Деревья снабженные знакалш
Деревья данной мощности
Це.ревьи данного типа
Деревья блоков к точек сочленения
Раскрашиваемые деревья
Леса
Пойа Ш Оттер \\\
Юли |л]. My и [3J
Пой;: [1/
Риордяп [ I]
Харари Чоицювии Рнор
ДЛ1Т [11
Харлри Приле, Татт Jl|
Тлтт A3) Хярарк. Тспт [ij
Хпрари Прнлс |1]
Харари Ирине [1J
Харари Ирине jij
Ирине A1
Харари, Приг-е [1J
Харари. Ирине [1|
Хпраря Принс |1|
Харнри Ирине jij
Х<фарн При не 11J
Xapapi-f. Пркнс [I]
Харарн Пртю j 11
Рпорд;;[] | I j
X ар при Пплмер J10|
Графы
Графы
Корпеныс графы
Реберные корневые i рафы
Корневые грлфы с ориоггирован-
iilim корневым ребром
Гпязньте графы
Мультиграфы
Графы дачной мощности
Гр^<фы длин от о типа
Оетовные тюдграфы и 1ыдграф| i
Само дополните л ьнус графы
Гра<])ы, снабженные знаками
Гр 1фь[ с од| и\ч '|ро<ль:.\1 циклом
Э;1 леропьт графь
Графы с. данным ра5бне[|пем
Псендографы с данным ра^пиоппем
ПоГ,й (Х^;
Харари |2[
Харари \22\
Харари Па
Риддел, ^ il
ри [2j
Харари |2|
Хлряри }2J
Харари |2]
Харарн [4|
Рид [3|
Харлрп jlj
мер 1J 31
Остин, Фаге
дан [11
(Роб и и со:))
Па pi ас а рати
Рид [!]
ри [^Л.Дэнпе [1]
л мер [IJ
^нбек \\[ Xipa
X ipapn T\di
н Пси'ш Рпор
И)

Продп i-чсение
Составленные i рафы
Составленной* графы с 1*з;ш
и немым и цистами
Кубические графы
Неразделимые графы
/г-раскрашиваемые грлфы
Бихроматические графы
Триангулированные карты
рр
К iKTycnt (деревья Х^сими)
Графы с данными бюками
Графы Спокон
кор
Рид 111
Па л мер Робинсон |1[
(Робинсон)
(Робинсон)
Робинсон ] IJ
X арап и, П|м<[11 [2)
Татт [9J
Харпри, Норман [1\ \ipi-
рп, Улеlioeк f 11
Форд. Нормап, У.чеибек \[]
Хара;ж, Принс [3]
О;>гр<к|
Орграфы
Слабо связные opt р;;фы
Са.модо полните л шые. оргр и
>ы
Самообратные орграфы
На np<i пленные графы
Ориентации данного граф i
Турниры
Сильные турниры
Помеченные тткшзш нпяьк. пргргп'Ьм
Орграфы с данных; разбиением
Орграфы, у которых полуетешли!.!
игчода каждой вершины равн? 2
Opt рпфы без контуров
Ф ун кцио н а л ьп 1 ле ор г f j афы
Э;1лсромы пути в дшком орг]К[фе
ы
Хар<!ри {2}
Рид |31
Харпрн, \1»
Харари Г
Харлрк. 11}
1,эьнс [2\
Муп f4j
Эваис Хщ><
д Tl---
(Лозе)
(Робинсон)
Харари J!4]
де Б|>ё:{Н, п
фсст[1| С
Т.\11 ]i
чмо 14]
Р г!, Л Л [ | ]¦»
тмер [7
, Рид [2|
ан А а рдея
^!ПТ ТЛТТ
Ml
•Эрен
Ml
\ в то мяты
Задачи об ожерельях
Алгебры различных типов
Булевы функции
Помеченные поеледива ieib.no-па
ралле.чьные сети
Периодические последовательности
\цикллческн1' oi-'мп "и-'шн^лi iwaq
комплексы
Харрисон [l| Xa
мер \\2\
Х-фари |22|
Харрисон |2]
1 loi'ra [1] (-леиян [If
К Риордпн [1]
1 ильберт Рлордям |
Харари Г1ал\й'р [17 , ISaii-
некс, jMvh [I] Блйискс
Пштсрт [I j

230 i i \[ \ )¦>
Упражнения
15 1 Сколькими способами можно пометить 1рафп
а) Кг-Къ б)К,<Кг в) К,,2\К^
15 2 Написать выражения для никтовыч индексов групп
a) S^S2 6) S3aS,, n) S,\S,} }) Sf, д) Sf«.
15.3. Су ществ у ет та ко е пел ое ч исл о /г, что равенство У- (С , T\ — Z(DV 2) вы
почняется для всех /г^? и не выполняется для n>k. Найти k
15.4. Число разбиений числа п на но 6oiec m С1агаемыч piuiio
при V" в разложении
1о.э. Вычислпто /(^5J>) '{?3W Проверить полу тенпыи результат
приложение 1.
15 6 Найти перечисляющий рн^ для 1рафов, имеющих о^пн iipocrois дикл.
(Остин, Фа ген OciiLM-i. Pi-горда л \1\)
15 7 П\сп ^(а, у)— 2* ##{х)ч^—производящая функция: дтя 1рафов
si -1
с (ж у) ^ производящая функция для lвидных г})афов Тогда
1
г г)
2 у
Отметим, чю это уравнение похоже на \равнение (IV38).)
15 Ь. Пайтн числа помеченных деревьев с р верштжами.1
а) с висячим корнем, 0) с корнем.
15.9. Пусть G — помеченный граф, получающийся из полного гр,^фа Кр в
та удалени г независимых ребер Число осто ф G
рф
результате удаления г независимых ребер Число остовов графа G
(ВаГшбс pi 111)
15 10 Чиспо корневых деревьев ^довтетворяет неравенству Тп ,<
п
TtTtl-i.. 1 Отсюда к.ледуе1 гго
J_;2ft-2^
1 -^ 1 у
^ tl
(Опер |1])
15 11. Определим числа R%] с помощью рекуррентного соотношения R{n --
-= Rr?L1J- 7 w + i-i Чисто корневых деревьев можно найти исисиьзуя соотношение
(Отrep [lj)
15 12 Определить число sp сам о дополнительных i рафов дтяр S и 9" а) с по
v^oщьf<*) формулы A5.57), 6) неоосрелствекно cipon их.
15.И Потуппь nep<Jinfc.nnTc'jhM\Kj формулу дтя самотополннгольны^ ор-
1рафои
(^|«1 13J)

FFPE4H< ПЕНИЯ 231
13.14 Пусть 5,; и s.;— цела елмодотклиптел: 1ы\ тра<].ов ii орграф*т<потвсг
ответ го f'or;u) <;ut"'~s->>c
(Рид М])
15.15. Для любой группы подстановок А с цикловым индексом Z\A) опре-
определяемым по формуле A5.2). число орбит группы .4 р,ав;ю
число классов годобия вершив данного графа 0 (у которого [р\ппа I @)
имеет переменные ui n иредетаплепии циклового индекса) равна
тс*. .уг=!
15.16. Пусть О — (.вязнык граф. имею^пн п кллечов подобия блоков. Если
р*:— число неподобных вер;п([н графа G a nfe — тело неподобны к верили и й бло-
Kdx /г-ro класса подобия, то
г i-v (,„;-])
л— 1
Как следствие получить leopiMj- 15 9
(Хярарл, Норман [2J)

Глава 10
ОРГРАФЫ
Из лук i въыи» язриляск стрела.
Не знаю где она легла.
Л о неф? л ло l т;
В теории ориентированных графов сделано так много, что на
эт\ тему можно написать целую книгу -) В настоящей главе мы
уделяем особое внимание тем свойствам ор] рафов, которые отличают
мх от графов. Поэтому мы начнем с введения трех различных типов
соединимости: сильной, односторонней и слабой. Сформулировав
принцип ориентированной двойственности, мы перейдем к изуче-
изучению матриц, связанных с орграфами, и jaTew приведем а на л о*
матричной теоремы о деревьях в графах Глава заканчивается
кратким описанием турниров и их свойств
Орграфы и соединимость
Чы \же видели на рис 24 все ориентированные графы с 3 вср-
"I и памп и 3 дугами Все /ке для полноты изложения мы начнем
с определений, включая и те, что уже были приведены в п. 2
Орграф О состоит из конечного множества V вершин и набора упоря-
упорядоченных пар различных вершин Любая такая пара (и, v) называ-
называется дугой, или ориентированным ребром, и обычно обозначается uv.
[\та tw идет ич вершины и в вершинv v и называется инцидентной
и и v. Будем также говорить, что и смежна к v, a v смежна из и
JhuycmeneHbH) исхода od(i') вершины v называется число вершин
смежных из v, а по гщ те пенью за кода к\{оУ) —число вершин, смеж
ных к v
R орграфе {ориентировочным) маршрутом называется чередую-
чередующаяся последовательность вершин и дуг v,t,xiyi\, , хУ], vtl n
которой каждая дуга гг есть v,-ivt. Длина такого маршрута равна
чг;елу п входящих в него д\г В зачкнутоп маршруте первая и по
') Лон, ф( л,ц) Г., И.^бр^ниос» пзд-М) «.Худож [иг-ра». М., 19о8. «Строля
¦ п^спя». перс-вод Б. Томатевскиго, ^-Тр 6L Автор ошибочно приписывает эту
шгглту С in пен сон у.— Прим. перге.
2) II Д01и:тикп\1ь1Н), :^го было сделано (см. Хпрари, Нормнк и КартраГк \1\).
Ч 3voi\ книге приведены дока.^ательстпа 6Ovii.uien части теорем данной
К|)<-)ме тоге, Мук [4] мптшал люног'рафмю о турнирах.
у) Сокращения от out degree и inde^ree — При ч перее

оi гi' \фы 2'Л']
следуя я вершины совпадают; ос /поены и маршрут содержи! в ..с
вершины Путь— эго маршрут в котором все вершины различны,
контур—нетривиальный замкнутый маршрут у которого вес
вершины различны (за исключением первой и последней) El\i.i
существует путь из вершины и в вершину и то будем говорить, чт:>
t достижима из и расстоянием d(u v) от и до v называется viuh i
такого кратчайшего пути.
Каждый маршрут ориентирован or первой вершины vt к послед-
последней о}). Нам также понадобится понятие, которое не обладает эт.ш
свойством ориентации и аналогично маршруту в графе. Полума.7
шрут *—эта опять-таки чередующаяся последовательность v,, х ,
vt, ..,xntoti вершин и дуг но чу^ой хг 1^1^. я, гложет быть
как vt. Hi, так и у^ L. Полу путь по >гу контур и другие понят л я
определяются аналогично.
Поскольку граф может быть гшбо связным, либо нет то еущ^сг-
вчют три различных способа определения связности орграфа и
каждый из них имеет свою собственную идиосинкразию Е) Орграф
называется сильно связным, или сильным, если чюбые две его вер
шипи взаимно достижимы; односторонне связным, или односторон
ним, если для чюбых двух вершин по крайней мере одна дости
жима из другой слабо связным, if л и сгабьш, если люЗые две вер
шины соединены полупутем Ясно, что каждый сичьпый орграф —
односторонний а каждый односторонний орграф — стабый, но
обратные- утверждения не верны Орграф называется несвязным
если он даже не слабый. Заметим, что тривиальный орграф состоя-
состоящий только из одной вершины, является (по опредетению) силь-
сильным поскольку п нем пег двух различных вершин
Сформулируем тепер?» необходимые и достаточные условия,
обеспечивающие орграфу одну из этих трех гииов соединимое г ji.
Теорема 16.1 Орграф сильный тогда и только тогда, когда
он имеет ос таены и замкнутый маршрут; односторонний тогда и
только тогда, когда он имеет остоаный маршрут; слабый тогда и
тогько тогда, когда он имеет остовный полу путь
Для орграфа определены три ткпа ком по н оп (связности).
Сильной компонентой орграфа называется максимальный сильны'j
подграф односторонней компонентой — максимальный одно сто
рониий подграф и слабой компонентой — максимальный слабый
подграф. Легко проверить, что тюбая вершина и любая дуга оргра ра
D принадлежат гон но одной слабой компоненте и но крайней ме,зе
oiHOH односторонней компоненте. Более того, каждая вершшт пи
ходите я точно в одной сильной компоненте а дуга либо лежит и
одной сильной компоненте либо не лежит ни в одной, п зависимо-
зависимости от того, принадлежат эта -;\та или нет некоторому контуру.
терминология ilpu.\ ,'а'-/-ччл

234 L2i!ii__
Сильные компонещы орграфа D наиболее важны Это, в част-
частности, демонстрирует способ построения по сильным компонентам
орграфа D новою орграфа, который хотя и проще/), но сохраняет
некоторые его структурные свойства Пусть 53 S». ,Sn— силь-
сильные компоненты орграфа D Конденсацией l) D* орграфа D назы-
называется орграф, множеством вершин которого слу/кнт множество
{S,, 52, ,5,} всех сильных компоиет ор1рафа D, <\ дуга идег
из 5i kS}. если в орграфе/) имеется по крайней мере от,на дуга, иду
щая из некоторой вершины компоненты St к вершине кштпненты
Sj (см. рис. 16.1)
D.
Рис 1Ь 1 Opj раф ]i его кон
И-* максимальности сильных компонент елед\ет. что в конден-
конденсации D* любого орграфа D нет кош>ров. Очевидно, что конден-
конденсация каждого ситьного орграфа есть тривиальный орграф Можно
показать, что орграф является односторонним тогда и только тогда,
когда его конденсация имеет единственный остовный путь
Ориентированная двойственность и бесконгурные орграфы
Орграф D , обратный к данном\ орграф\ D, имеет те же вер-
вершины что и D г дута uv принадлежит D' тогда и только тогда
когда дуга iи принадлежит D. Другими словами орграф, обратный
к орграфу D, получается изменением ориентации каждой дуги ор-
орграфа D Мы уже сгалкиватнсь с другими «обратными» понятиями,
такими, как молустепень захода и полустепень исхода Относитель-
Относительно ориентации все эти понятия связаны между собой довольно мощ-
мощным принципом. 9тот принцип представляет собой кпеепческий ре-
результат в теории бинарных отношений
Принцип ориентированной двойстве к ноет и. Дт
гюбои теоремы об орграфах можно сформулировать coomsetnetneyto-
i) В отечество к Hofi жгературе испотьзуечхя тср.\;ин «ф<]кюр| раф» — Прим
re рев

О\ ГРАФЫ
щую двойственную теорему заменив каждое понятие на обратное
к не чу
Проилчюстрируем теперь как этот пришь'п порождает новьч
результаты. Ьесконтурным орграфом называется орграф не содер-
содержащий конт\ров
Теорема 162 Бесконтурный орграф содержит по крайней мере
одну вершину с нулевой полуспхепенью исхода
Доказательство Рассмотрим последнюю вершику некото
рого максимального пути орграфа D. Для этой вершины нет вершин
с меж н ел х из нее, поскольку иначе ичн нашелся бы контур, ичн путь
не был бы максимальным
Применяя принцип ориентирован пой двойственности, сразу по-
получаем двойственную теорему В соответствии с обозначением D
орграфа, обратного кО, будем также отмечать штрихами двойствен-
двойственные результаты
Теорема 16.2 Ьесконтурнып орграф D содержит по крайней
мере одну вершину с нулевой по tyстепенью захода
Ранее было указано, что конденсация любого орграфа есть бес-
контурный орграф, а приведенные выше утверждения дают неко-
некоторую информацию о бесконтурных орграфа\ Дадим теперь не-
несколько характер*паций орграфов
Теорема 163 Сбедующие свойства орграфа D эквивалентны
A) D — бесконтурный орграф
B) D* изоморфен D'
C) каждый маршрут орграфа D есть путь,
D) вершины орграфа D можно упорядочить таким образом., что
матрица сложностей AiD) будет верхней треугольной ма-
матрицей
Особый интерес представляют два двойственных типа бее кон-
контурных орграфов Источником в оографеЛ называется вершина, из
которой можно достичь все другие вершины орграфа; сток опреде-
1 я ется toiler в е н ны м обр аз ом. Выходящее дерево 1)— это орграф
с источником не имеющий полу контуров' входящее дерево — двой-
двойственный ему орграф (см. рис 16 2)
Теорема 164 Слабый орграф является выходящим деревом
тогда и только тогда, когда точно одна его вершина имеет нулевую
погустепень захода, а у всех остальных еершан по iyстепень захода
равна 1
Н В скип. Ьсрж;! !2j ouo назыв?о^я «корггевкт ирсяо\г»

Г ЛАП A 11>
Г е о р е м d 164 . Слабый орграф является входящим деревом тогда
я только тогда, когда точно одна его вершина имеет нулевую полу-
степень исходи сг ц всех остальных вершин по.гусиujne.Ht> исхода равна \
Pin. [$,12. Выхогяшл'С дерню if о6р<лнол к кеч е*ходяецо<* дерепо
Рассмотрим теперь некоторые орграфы, lecno связанные с опре
деленными выше. Б функциональном орграфе каждая вершина имеет
полустепень исхода, равнмо 1; двойственный к не.м\ орграф назы-
называется контрпфункциональным орграфом (рис 16 3) В стедующей
те орел re и двойственной к пей дается характеризация структуры
этих орграфов
Put It^.'i. Oiz/oufi фукк][[
1и оргр?ф
Т е о р е м й 16.5. Для елового орграфа D еж дующие утверждение
эквивалентны
{\) D —функциональный орграф
B) в D точно один такой контур, что удаление его дуг приво
дит к орграфу в которой каждая с too а я компонента яв1Я-
рте я входящим деревин;
C) вО точно один такой контур, что удаж.нш 1юбоп его дуги
гриве-дат к образованию входящего дерева

ОРГРАФ! [
Минимальный набор вершин, из которого достижимы все верши-
вершины opi рафа D, называется вершинной базой орграфа. Таким об-
образом, множество S вершин орграфа D является вершинной базой
тогда к только тогда когда каждая вершина орграфа D достижима
п некоторой вершины множества S и ни одна из вершин множеетпа
S }ie достижима ич чюОои другой вершины этого множестве!
Теорема 1G 6 Каждый бесконтурньш орграф имеет единствен-
единственную вершинную базц состоящую из всех вершин i нулевыми, полу-
степей чми захода
Следствие 16.6 (л) Любая вершинном база орграфа D содер-
содержит точно одну вершину из каждой сильной компоненты орграфа
D, принадлежащей вершинной базе конденсации D* орграфа D
[¦базой называется минимальный набор S таких попарно не-
несмежных верш 1-й |, что любая верит на орграфа D или принадлежит
5 или смежна из некоторой вершины множества S. Каждый орграф
имеет вершинную ба:п но не каждый имеет 1 базу Например,
ни один m контуров нечетной длины не имеет 1 базы Критерий су-
щегпюпания 1-базы \ произвольного орграфа еще не найден В те-
теореме Ричардсона [|| обобщается следствие 16 7 (а) полученное фон
Нейманом к Моргент терном [1[ при исследовании ими теории игр
Теорема 167 Каждый орсрафу
не содержащий конпицюв нечетной
длины, имеет 1-бизу,
С л е д с т и и е 16.7 (а) К а ж дыа 1
бесконтурный ирераф имеет I базу
Орграфы и матрицы
Матрицей смежшютеи A (D) ор-
орграфа D называется (/; ://Л-матрица
||#;;||, \ которой а 1, I если ViVj^
дуга орфафч D и а,}—0 в про
тнвном случае. На рис 16 4 изображен ор!раф, матрица
ностей которого имеет ви[
Сумма по строке
О
орграфа
о,
A(D)
по столби\
10
1
I
О
2
О
О
О
о
о
о
о
1
о
1
и
2
о
1
о
о
о
1
о
0:
{)!
. i
П !
0
1
-Легко проверить, что суммы элементов но строкам матрицы A [D)
равны пол у степей ям исхода вершин орграфа Г) а суммы этемептов
по столбцам — полустсгтсчям s

TVIARA \b
Как и в счучае i рафов степени ма'фикы с меж нос геи А орграфа
дают полную информацию о числе маршрутов идущих из одной
верш и ни в другую
Теорем 1 16 8 О, j)-и элемент а)') матрицы А7 равен числу мар-
маршрутов длины !, идущих из вер тины v в ее pi uuhij o}
Упомянем здесь вкратце еще о трех матрицах, связанных с оргра-
орграфом D — о матрице достижимостей, матрице расстоянии и матрице
обходов В матрице достижимостей R элем em r^ равен 1 если
вершина i*i достижима из v}, и равен 0 а противном случае В мат
рице расстояний (/,/)-й элемент равен расстоянию из вершины vt в
вершину vf, если же из vf в vj пег путей, то соотиетствующии
элемент полагаем равным бесконечности В матрице обходов (t. /)-й
элемент равен длине наиболее длинного пути из Vj в vjy а если таких
путей пет то опять таки пола! аем этот племен! равным бесконеч-
бесконечности Дли орграфу] D, показанного па рис 16 4 эти три матрицы
имеют вид
Матриц..]
дост и? к и моет ей
10 0 0 0
[1110
1 () I 0 О
10 110
0 0 0 0 1 I
Матрица
расстояний
0
1
2
сооо
оо оо оо оо
0 1 loo
oo 0
со 1
оо оо
0 оо
OO OO
0
о
3
Матрица
обходов
оо оо оо оо
0 2 loo
1 оо
2 оо
о
оо оо
0 <х>
оооо оо оо 0
Си еде i But 16.8 (d). Элементы матриц достижимостей и рас-
сто.чний связаны со степенями матрицы 4 следующими соотноше
ничхш
1) Гц—\ ч dn- П для всех i
2) г;! I тогда и только тогда, когда л:-"}> 0 для некоторого п,
']) diVj, jj) равно наименьшему in чисел а для которых a)f> Q
и оо ест таких чисел нет
Эффективных методов 1ля нахождения элементов матрицы об-
.ходов пс существует. Эта проблема тесно связана с некоторыми дру-
другими давно поставленными алгоритмическими проблемами теории
графов такими, как нахождение остовиых циклов н контуров, а
также решение задачи о коммивояжере1)
Л) l^ice^-iOTpiiM сеть Д;, полученную из С]гльного орграфа D приписыванием
каждой луге a D некоторого положительного целого числа (стоимости). В задаче
о коммивояжере требуется построить алгоритм для нахождения в сети Л' мар-
маршрута, дштгтясь по которому к ом ми во я /KG p может посетит!» каждую вершину и
вернуться п иериопачальпую, потратив па прохождение луг минимум суммарной
стоимости.

ОРП'ЛФЫ
239
Поэлементное произведение1) В,\С матриц B--}\bij[\ и С -
имеет се о им (I /)-м элементом bl}cu. Матрицу достижимостей ор-
ipafjna можно использовать для нахождения его сичьных компонент
Следствие 168F) Пусть i\— вершина орграфа D Сильные
компоненты орграфа D, содержащие vf, определяются единичны ни-)
элементами i-й строки (или i-го столбца) матрицы R J R1
Формула для числа сстовных входящих деревьев данною ор
графа была найдена Боттом и Мейбсрри 11] а доказана Татто.м |4].
Чтобы сформулировать этот результат известный как матричная
теорема о деревьях для орграфов, введем еще матрицы, связанные с
D Обозначим через /VIod матрицу, полученную из —А заменой {-го
элемента главной диагонали на od (uj Двойственным образом опрс-
тетим матрицу \\{]
Теорем а 16 9 Для каждого помеченного орграфа D алгебраиче-
алгебраическое дополнение любого элемента 1-й строки матрицы A10i равно
числу остовных вкодчщих деревьев, у которых вершина и-, явгнется
стоком
Теорема 16.9'. Для каждого помеченного орграфа D алгеб'раине
cKOt дополнение любого элемента j-го столбца матрицы М]Л равно
числу остовных выходящих деревьев, ij которых вершина vj чел чет с ч
источником.
и
v.
i i— а
— \ 3-1 —
0—1 2—
0 0 0 0!
1—1
0—1
0 0
0
-1
1
0
-1
-1
> *
Рис lb > Осгоьньк пходящие и ныходяпик ^cpeiLH
В соответствии с теоремой 1Ъ.9 у матрицы Мпй орграфу, пред-
представ ленногез на рис 16 5, все алгебр я и чес к не дополнения элемен-
элементов четвертой строки равны 3. На этом же рисунке показаны
три остовных вхотящих дерева орграфа D у которых
Двойственная теорема 16 9' шкпюстрмруегся вторым
i1,— стеж
столбцом
М Иногда с но ла^ывастся <* фогзз-едением
2) Равными 1. — Прим пгрес.

240
П\В\
матрицы Mld и двумя остовпыми выходящими арельими i l ii
качестве источника
Эйлеров контур в орграфе D — ло замкнутый остовныи мар-
маршрут, в котором каждая дута орграфа D встречается по одному
разу Орграф называется эйлеровым, если в нем есть эйлеров кон-
Tvp. Точно так же, как в теореме 7.1 для графов, можно легко ио
казап>, что слабый орграф D эйлеров тогда и только тогда когда
v каждой его вершины пол у степень захода равна пол у степени исхо-
исхода. Сформулируем теперь теорему, в которой дается формула для
числа эйлеровых контуров р эйлеровых орграфах. Этот результа i
иногда называют теоремой BEST1) по первым буквам фамилий \i
Брей на ван Лардена-Эренфеста, Смита и Татта; первые два автора
(см. де Брёйн, ван Ларден Эрснфест 11]) и два последние (см. Слип
Татт 111) получи/iл результат независимо. Эту теорему можно дока-
докатать очень изящно с помощью матричной теоремы о деревьях для
орграфов, см Каетеленп [2, стр 1Ь\
Следствие 16.9 (а) В эйлеровом (р графе число эйлеровых кон
туров равно с 7 Г (d(— I)', где dr ' jd <t'<), о с — общее значение
всех алгебраических дополнении элементов матрицы \\о<1
Заметим, что для эйлерова орграфа Мо,| М-х:\ н etc суммы и по
с i рок а м, и и о стол б j i ам р а р н ы н \,лю, та к ч то rlc. ал гсбр а и ч ее кие
дополнения равны между собой. Для орграфа, показанного на
рис. 16 6 6-^7; в этом орграфе 14
эйлеровых контуров 1ва из пил
такие: ulv,V:ivlv.2viv^viviz<l и
11 с'аirivIv./Uii'iV,v-.tVy Матр11ца Мо \
для этого орграфа равнз
^nri=4_! О 2-1
Vii^ Ib Ь J 1с речи еле i: lit. -тлогк.
вь'\ путей IlidK, .мы дали некоторые ука
зания 1ч использованию матриц ч
изучении орграфов С другой стороны, можно использовать оргра-
фт>1 в исследовании матриц Тюба я квадратная матрица М — '^Пц],
порождает орграф D в котором дуга VjVj существует тогда, когда
?ПцфО< в D мог\т быть петли Следующий алгоритм (Харарн J16I)
иногда \npoinacj вычисление собственных значении матрицы Д4,
а также нахождение .мат|)ицы обратной к М (если опа существует)
l) IIrs) i слои: best — !|;-шлу:1!1:ш -Ирам, персе

ОРГР\ФЫ 241
1 Образовать орграф D связанный с М
2 Определить ситьные компоненты орграфа D
3 Образовать конденсацию D*.
4 Упорядочи 1Ь сильные компоненты так, чтобы матрица смеж-
ностей орграфа D* стала верхней треугольной
*5 Используя си 1ьныс компоненты, переупорядочить вершины
орграфа D так, чтобы привести его матрицу смежностеи Л
к верхнему треугольному виду.
б Заменить каждый единичный элемент матрицы А соответству-
соответствующим ему эпелтентом матрицы М
Собственные значения матрицы М являются собственными зна-
значениями диагональных блоков новой матрицы, а матрицу, обратную
к И, можно найти, обращая эти диагональные блоки.
Если М — разреженная матрица1) (ити, скорее, матрица с таким
расположением нулевых элементов, что в графе имеется несколь-
несколько сильных компонент), ю указанный алгоритм может быть весьма
эффективным Вариант этого алгоритма (иногда более эффектив
нып, но также и более сложный) дтя двудольных графов бьп дан
Чалме гжем и Мендельсоном 121
Турниры
Турнир — bio направленный полный граф Все турниры с дву-
двумя, тремя п четырьмя вершинами показаны на рис 16.7 Первый
орграф с тремя вершинами называется транзитивной тройкой,
второй — циклической тройкой.
В турнире состязаний данный состав игроков или команд ведет
такую игру, правилами которой запрещен ничейный исход Каж-
Каждый игрок встречается с каждым другим игроком по одному раз\
и точно один из них одерживает победу. Игроки изображаются вер
шинами, и для каждой пары вершин дута идет от победителя к по-
побежденному; так строится турнир
Ич всех полученных когда-либо теорем о турнирах первая при-
н а дл ежит Реле и 111; дл я турниров с малым кол ичеством верш и 11 ее
можно проверить с помощью рис. 16.7
1еорема Jb 10 Каждый турнир имеет остовныи ш/ть
^ока^атетьство Утверждение доказывается индукцией по
числу вершин. В каждом турнире с 2,3 или 4 вершинами есть остов-
иый путь в чем \беждаемся, просматривая на рис 16 7 все такие
турниры.
Предположим, чю ieope;ua верпа для всех прниров с п верши-
вершинами и рассмотрим турнир Т е /г-1-1 вершинами Пусть и,— про-
произвольная вершина турнира Т Тогда турнир Т — vt) имеет д вер-
вершин и в нем есть остониьш имь Р, скажем с, v« vu. OiHa из д^1
х) Paitpeau'jmou Нсвывают матрицу с ботьшпм ijil ^o^I uyviuiux ^л

242
ГЛАВА 16
или
Vn обязательно принадлежит Т Если vi)vl^T, то путь
vPvtv2 vn в Г является остовным Если же vvvQ? Г, то обозна-
обозначим через и^ первую вершину пути Р для которой дуга ь{оь принад-
принадлежит Т (если такая вершина есть) Топа в Т существует дута
й
и, следовательно, <д i'.>
vt _i t,
vn— остовный путь
Если такой вершины vt нет, то остов ным путем будет иг v2 . vn и:
Итак, в любом случае в турнире существует остовный путь Теоре-
Теорема доказана
Рис 16 7 Т\рниры с небольшим числом вериши
Селе [И обобщил этот результат, доказав, что каждый турнир
имеет нечетное число остовных путей. Другое обобщение теоремы
Редей да ти Галл а и и Мильгрэм [ 1 [, доказавшие что в любо.м направ-
леннам графе D существует набор из не более чем р(){^) непересе
кающихся по вершинам п>тей, покрывающих множество V(D) его
вершин.
Следующая теор ем а п р и и лдл еж m М озер у (см \ ар а р и, Мозер [ 11),
ее следствие, полученное Фолксом [1] и Камионом fl], аналогично
нредыдулцей теореме (о произвольцыл турнирах) для случая силь-
сильных турниров
Теорема 16 11. Каждый си чьныи турнир с р вершинами и мест
контур длины п дан я^З 4 , р
Доказательство Это доказательство ыкже проводим с по-
помощью индукции, но по длине конт\ров Если турнир 7 сильный
ю в нем обязательно есть циклическая тройка Предположим, что
Т имеет контур Z^vt v.2 v vx длины п<р Покажем, что Т
имеет также контур длины п-\-\ Возникают два случая. 1) сущест
вует вершина и, не принадлежащая контуру Z и такая, что найдутся
вершины v и w, принадлежащие контуру 2, первая ия которых смея;-
на из и, а вторая смежна к и, 2) такой вершины нет
Случай 1 Предположим, чго существует вершина и не при-
на.члежащая контуру Z, и вершины v и w, принадлежащие Z и
такие, что дуги uv и wu содержатся в Т Не теряя общности, можно

считать, чго туга i\u также содержится в Т Пусть v-t— первая вер
шина при облоде контура Z из vt, для которой дуга uv[ принадле
жит Т Тогда дута Vi-^u также содержится в Г, а поэтом} ъц>2
Vi^iUVy . J,,l',— КОНТ>р ДЛИНЫ П -\
Случай 2 Пусть такой вершины и, как в ел> чае 1, нет Тогда все
вершины, не принадлежащие 2, можно разбить на два подмножества
U и W, где U — множество вершин смежных к каждой вершине
контура Z, a W — множество вершин, смежных из каждой вершины
контура Z. Ясно, что эти множества не пересекаются и ни одно из
них не пусто, так как иначе Т не быт бы сильным турниром.
Далее, существуют такая вершина «? U и такая вершина w? W,
что дуга di>u принадлежит Т Поэтом} uv^v2 v, ^}wu — кон-
контор длины я—1 в турнире Т
Таким образом, существование конпра дчины п-\ I доказано
Следствие 16.11 (а) Турнир является сильны и тогда и только
тогда когда он имеет оспювный контур
Используя терминологию турниров состязаний, назовем коли-
количеством очков вершины ее потустепень исхода Следующая теорема,
доказанная Ландач A), появилась в результате эмпирического изу-
изучения специальных турниров (так называемых «pecking orders»),
в которых вершины представ 1яют кур, а дуги — ктевкн
Теорема 16 12 Расстояние от вершины с напбогьишн количе-
количество у очное до любой другой равно 1 иш 2
Число транзитивных троек можно выразить через котичества
очков вершин; см Харари ц Мозер [1] Как следствие отсюда не-
немедленно получается хорошо известная формула Кендал л а и Смита
[1] имеющая "большое значение в статистическом анализе Она была
также получена Байиеке и Харари [4] с помощью перехода от цикти-
ческих троек к сильным подтурпирам большего размера
Теорема 1613 Чисю транзитивных троек в турнире с набо-
набором количеств очков {ьи ь*, , sJt) равно
Следствие 16.13 (а). Наибольшее чис го цикгических троек
среди всех турниров с р вершинами равно
ест р нечетно,
--^-~ если р четно

ГЛ\НА. \Ь
Обзор по проблеме восстановления турниров
Для турниров было та но час шч лор обоснование специального
ел \ ча я г и потез ы Ул ама К<*жды й т у р \ г и р 7 с р в е р ш и и а м и о j 1 р ел ел я ет
/? иодтурпироп 7^ Г-— f,- Ьыло доказано1), что можно восстановить
любой несильный т\рнир, имеющий по крайней мере пять вершин
Однако тля сичьных турниров с р- 5 и /?=¦-•¦ 6 гипотеза не верпа Это
а
Рис 16 8
5
Две ruipu
в
евосстатшвливаемых елчьшлх
^cтaIIoви^II Байнеке и Паркер, показав, что две пары турниров,
изображенные на рис. 16 8, а, б и в, гу противоречат гипотезе Улана
Но подобных контрпримеров для турниров с большим числом вер
шин пока не известно, так чго .мы предполагаем что ич нет1
Упражнения
ЮЛ, Орграф называется строг.о слабым, ости он ел лбы л п но однопорошпш;
строго односторонним, селя он односторонний и не сильный. Пусть Си—- класс
ik'ux !?есняз:чых орграфон, С\— к^йсс всех строго слабых орграфов, С2— класс
нсех строго односторонних орграфов и С;г- класс всех сильных орграфов. Тогда
максимум и минимум числа q дуг среди псех орграфов с р вершинами, относящихся
по соединимости к категории С? г--0 1 2 3 можно найти в следующей
К.'it I Op:;я
чнслэ д\-г
II а ибо Ti /ее чисто д\гг
0
i
2
3
0
P —
P -
P
i
1
(p—
[p —
P
n
V)
(p
ip
(p —
n
2)
•2)
^К<;ртрапт л Хярйрг [I])
16.2. Орграф, нпляюштгйся лсклртопь'Л: пронзвсдоннем D{"' D2 двух ерграфоп
имеет 1\. Ко в качестве множества неришп, it вершина (г/1% ^2) смежна к ис-рпи
(l'j i1,) тогда и только тогда когда inu \ul—-vi н и-> adj v.,\ или J:-^"""^ и ^i adj ^
!) \npapis и Пал мер [\$\

оргр\фы 245
(В тя. 2 такое же определение дано для графов, только здесь у мае ориентирован-
ориентированная смежность.) Велп орграф D относительно соединимости находится в катего-
рии Си, то будем писать с(О) ;i. Тогда c{D1\D.2\-'?,']\n{c{Di). r (Do)}, м\ ис-
исключением случаи с (D\) с {/).,)-—2. когда <;(?>! 4'D2V 1
(X а р а р и Т р о i 11J)
16.3. Ни один ciporo слабый орграф itc содержиi wptuniry, удаление которой
прииотпт к сильному орграфу
{Хлрари Роге [\})
* 16.4. Орграф с данными последовательностями пол\ степеней исхода (s1>s2, .
Sj})l где р — l:->^T::"---i'or>- ¦ .'^sf!t и полустепеней згходй (/1л B i;j). где
ij-^p—1. существует тогда и точько тогда когда 2s,-—2/1/ и для любого'це того
1 гнела k < р
к k p
Ш 2 k -{ М L 2 rinn
(Райзср [1], Фгткерсон Ml)
*1fi.5. Сильный орграф {. данными гюследовательностямк гюлусгс^енеч^ за
хода к исходя, удоплетгюряющими условиям упражнения 16.4, существует тогда и
только то^да когда Z1?/ -V([ S'>0 /,->0 для всех г п тия аюбого иелого А;<р
A k р
,--1 ; = 1 / — Аг 1
(Daiiupj е X tpapi-r {[})
Зв.б Реберный орграф I (D) ииеет множестни ясех дуг данного орграфа/) в
качестве множсстря вершин, и две его вершины хну смежны тогда и только тогда,
когда дуги х и (/ порождают маршрут в орграфе 1>. Выразить число вершин и число
луг орграфа L(D) через соответстнующке величины орграфа D.
(Хлрари НорА{ан [J])
16.~. Реберный орграф L(D) слабого орфафа/) изоморфен ca^o\rv орграфу ])
тогда 1! только тогда, когда D или ?>' — функциональный орграф.
(Харяри, IIopNF3J[ 13j)
16.8. Если D — несвя^ныи орграф то \твержденне содержащееся в предыду-
предыдущем упражнении ие верею
^16.9. Пусть 5 и Т — непересекающиеся множества перший орграфа D
j Л (S, Г) — мпожее.тво пеех дуг. идущих из S н Т. Орграф D реберный тогда я
только тогда, когда не существу!^ множеств 6" и Т н\ююших по уД.ве вершины и та-
таких что [X IS T)\---3
(Геллер Xapapir I.1J Хечои flj)
1G. 10. ЧиСг'Ю ^йлероиых путей орграфа!) равно числу ымилыоноьмл конт\
п реберного орграфа L (D).
К |П)
lfi. 1! П\сгь орграф Г, состоит уз одной перши;и i с двумя ориентированным])
потлями. Пусть 7'2 L(T-i) — реборкый орграф (:чдесь. если быть более.1 точным,
нужно использовать термин «пеевдоорграф») орграфа ТХУ определенный естест-
естественным обра.юм; рекуреннио определяется Тп'— L \Тп-х). (Такие орграфы Тп из-
н^ст]|м под и ал ионием «телетайгных диаграмм»') Тогда часю эйлеровых путей i;
oprpacjv т 2 ранчо 2'J" '-1
\'jx Bpe.iin кип \;ip;ici Зре^феп \]\\
* 16.12 К л ж д ъп i о р г р аф \ которого к! {S) .^ р: 2. о d {v)~::+p 2 д л я . л ;о 6о ti н е р -
пни ы с [-ал'ильточон
(Гуня ^ри [1])

24b ГЛлЪ\ In
16.13. Рассмотрим орграфы, у которых лл я л юбои" вершины и сумма ^
расстояний от этой ье-ркгины до всех остальных постоя и па. Найти среди этих ор
графов орграф не являющийся вер шин но-сим метр и чес к им.
(Харари | Ш)
16.14. Орграф Л, его дол о тение Ъ п обрат иыи к нему D имеют одну i« ту же
1 р\ пггу (автоморфизмов).
16.E. Пусть А—матрица см еж ноете й реберного орграфа полного сим> е
трического орграфа Тогда все элементы матрицы Л2 А равны 1
(Гоффман [.3])
16.16. Два ор|рафа называются коспектральными, если их матрицы смежно-
стей имеют один и тот же характеристический многочлен Существуют в точности
три различных коспектральных сильных орграфа с четырьмя вершинами.
(Харари, Кинг Рид)
16.17 Ор)раф, называемый конъюнкцией D—DyAD2 двух орграфов Dl и
Д>, имеет в качестве множеству вершин V~ V^AV^ и вершина и — (щ, и2) см еж
га к вершине v:-(vi,v2) тогда к только тотла когда и^дб] vt в орграфе Ог и
и-, adj v.2 в орграфе D2 Матрица смежностек А конъюнкции D—D^/\D^ есть
тензорное произведение матриц смежностек орграфов D, и D2.
Трот fl|)
I0.I8. Пусть D, я D2— два орграфя, a d,— наибольший общий де
всех простых контуров орграфа D; t —1.2 Конъюнкция D{/\D^ является силь-
сильным орграфом тогда и только тогда, когда Dl м. D2 — сильные орграфы a df и
й2 взаимно просты
(Мак Эндрю [11)
16 19. Орграф называется примитивным, ест какая-нибудь степень его ма
1рицы см еж постен целиком состоит из положительных чисел. Орграф примитивен
тогда и только тогда, когда длины его простых контуров имеют наибольший общий
делите ть равный 1
(Cnt Далмедж и Мендельсон П. <.тр 204!)
* 16.20. Пусть D — примитивный орграф
а) Ее in п— наименьшее из цсшч чисел, ътя коюрых/4л>0 топ^(р—IJ- 1
(В ma hit
б) Если п принимает наибольшее значение (р—1J-'-1 то существует гака;
матрица перестановки Р. что РАР-1 имеет вид |'й//;1. где a if— 1 еечн j-i-i
«„ i~ 1 и пц~ 0 в остальных случаях.
(Дйлмсдж н Мендельсон [} с гр 209] 1
16.21 Ориентацией графа G называется приписывание ориентации каждому
ею ребру, Граф имеет сильно связную ориентацию тогда и тотько тогда когда
он связен и т:е содержит м о стоп.
{Роббинс [Ц)
16 22 Пусть В — матрица инциденций размера рУ д произвольной ориен
тации D данного помеченного графа О, так что ее элемент blf равен — 1, если орнен
тированное ребро Х{ инцидеггтно к pep шине ty, равен —I, если л,- HHii.HyxeFiTKO из
вершины и, и ранен 0 и остальных случаях. Тогда del BBT равен числу остовов
графа О (Сравните матрицу ВВТ с матрицей М из гл. 13 )
(Кирхгоф [1])
16.23 Нэпом»им (гл. 5) что Х(и t) — наименьшее число ребео графа О
удаление которых разделяет першшгы и и?, Аналогично для вершин и и г1 орграфа
D пусть / (и, г) — наименьшее число д\т удаление которых разрывает ьсе пути

оргр \фы 247
из «ко Дти ьаждои ориентации D эйлерова графа G и каждой лары его вершин
и и и
Т (a, v)=) {ь и)-7М« у)
(Замечание. Гораздо более трудно доказывается обобщение этого утверждения на
произвольный граф G граф G имеет так\гю ориентацию D что Л (D)^=n тогда и
тотько тогда когда \(G)^±2n.)
{Нэш Вить ямс [1])
16 24 Любая ориентация п хроматического графа G содержит простои nyib
длины /г— 1
(Галлаи И])
16 25 Набор всех почустсиенеи истода s{ т>рнира \ до в летворяет равенству
16.26. Все турниры за исключением двух, имеют остовиый путь v^ ¦.. ор
зам кнуты it дугой ViVy Исключения представляют циклическая тройка if турнир,
показанный на рис 16 8 а
(Грюнбаум)
16.27.а) Число контуров длины 4 п любом конторе с р вершинами равго числу
его сильных подтурнироь с 4 вернтнами.
6} Наибольшее число сильных подтурниров с 4 вершинами в любом турнире с р
вершинами равно t(p 4)=(V2) {P—3)/ (р 3); см стедствис 16.13 (а).
(Байнекс, Харари [4])
16.28. Гр\лпа ияоморфна вершинной ipyijne некоторого турнира тогта и
только тогда, когда ока имеет нечетный порядок.
№л [2])
16 29 Плеть Г^ вершинная группа, а 1\ — «дуговая» группа турнира Т
Группа V) трашитивна тогда и только тогда, ко]%да парная rpvnna группы Г
транзптпвна.
16 JO ПуСТЬ f(.x) V s(a) — ПРОИЗВОДЯЩИЕ фуНКЦИЦ ДЛЯ TVphHpOB И СИЛЬНЫХ
тлрниров соответственна Тогда
t (v
'(Х) 1 -И (л)
16 31 Рассмотрим последовагельяос.|ь неотрнцатетьных целых чисп ^
p
а) Эта после т.овательн ость является набором г юл \ степеней исхода не кото
pojo -i\pnnjM Т [пгд^ я то 1Ь*о тогда, когда ^^i':p{p—1)/2 и ^.^5*^ (Дг—Г|/!2
д751 Екех p
[1])
б) 1урнир Т сильпын тогда и только тома, когда ^^(->/г(^—J)/2 для
к<р
(X ар ар и, Aloiep [Ц)

Приложетк I
ДИАГРАММЫ ГРАФОВ
Л\чшс один раз увидеть,
чем по раз услышать
Для накопления фактов, позволяющих выдвигать различные
гипотезы о свойствах 1рафов, очень полезно иметь диаграммы гра-
графов. Легко изобразить все графы, содержащие менее 6 вершин.
Диаграммы графов с 6 вершинами, представленные здесь, были
выполнены Кроуэм Он же, по-видимому, был первым, кто изобра-
изобразил все графы с 7 вершинами. При составлении диаграмм никто еще
не пытался решить задачу канонического упорядочения различных
графов с р вершинами и q ребрами Тем не менее каждому графу G
приписывается индекс п и тот же индекс приписывается дополни-
дополнительном} граф\ G Таким образом, граф Gp ^„ есть п-н (ру ^-граф
и он отождествляется с диаграммой, имеющей (в естественном по-
порядке слева напраЕо) номер /г кроме того, Gp a n—G iP ,
Исключение составляю] D 3) граф и E,5) i pаф
В качестве дополнения к таблицам подобного типа Хпп напи-
написал программу для электронно вычислительной машины Нацио-
Национальной физической лаборатории в Чидлсексе. Эта программа печа-
печатает каждый граф с 7 вершинами на отдельной карте Сейчас за
капчиваетсч работа над программой, выдающей на печать графы с
8 вершинами В ходе работы было установлено, что наиболее удобно
задавать графы их матрицами с меж ноетей В преимуществе такого
задания уже убедились исследователи, ж пользующие вычисли-
вычислительные методы.
Для удобства мы приводим здесь таблицу тля числа графою
с /;^9 вершинами и <7^ 18 ребрами (ср Риордап 12 стр J7JI)
Указанные в таблице числа были найдены по формуле Пой а A5 47)

ДИАГРАММЫ ГРАФОВ
249
0
3
4
П
7
8
Ч
to
13
14
Г)
16
17
18
Числи графов с
1 1
2
1
1
вершинами и
Таблиц г /II
ребрами
4
О
\,
Ь
4
1
1
1
)
9
15
21
24
24
-1
, *¦
9
2
1
1
>
10
21
4[
65
97
Ml
148
[48
131
97
(«5
41
21
10
5
ц
24
56
115
221
4(>2
668
980
1312
1557
IG46
1557
1312
980
663
У
11
25
6Л
148
345
771
1637
М252
5995
10 120
15 015
21 933
27 987
82 408
34 040
п
J5C» 3044 12 344

¦t
If
• *

i u

р-S (продолжение}
7-6
/ \
~A
<] = ¦
/\
,.
(]¦-¦¦¦ 10

» 1
i \ 4
Ч
. 5
—\
Ч .

(продолжение^
JO
• з
11
14
12
\
15
tf-б
10
и
12

15
17
\
19
14
\
16
IS
\
'0
?=
N
13
10
\
14
11
\
15
12

р~б (продолжение)
.7-7
/
/_.... У:,
Л
Л
К
=-8
11
16
А
14

> = 6 (продолжение)
21
21
23
24
13
14
20
15
10
11
IS
9 a 141

б (продолжение)
/-10
\
ю
14
li
J5
12

прода!т>нени&\
ti - J 5

Приложение 17
ДИАГРАММЫ ОРГРАФОВ
он вскочил на кпня и бешеным
галопом помчался ко все стороны
Л,ток (. 1)
Здесь представлены ориентированные 1рафы, имеющие не более
4 вершин. Эти 1рафы расположены в соответствии с числом вершин
н числом л) г, п каждом} из них приписываете я индекс так, чтобы
граф, явтяющнйся его дополнением, получил тот же индекс. Исклю
чение составляют C,3)-орграф и D,6)-орграф Цнаграммы даются
только для орграфов, имеющих не более 4 вершин, потому что вклю-
включение орграфов с 5 вершинами потребовало бы почти столько же
бумаги, сколько пошло на всю книгу. В табл П2 состав 1енной
Обершельпом [1], приведены числа орграфов ср вершинами, р^8
Эти числа вычислены с помощью соотношения A5.30)
Таошиа П2
Число орграфов с р<8 вершинами
p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 540
882 033
I 74 J> 3i9 W
I
1
16
218
608
944
440
848
М Стивен Ликок A8Ь9—1944) — канадский neaaroi v юморист — Прич
перев

4
я 4 <o
-4
A
It1
L_

1
4
. i
• ¦—•
is
1 10
11
12
13

= 4 (продолжение?)
-^ 2
«г
15
1 16
Л Г
[7
I .1
V 5
31
10
n
a
13
19
: ч :i
I \
\
23
4 24
^ ч
10
li
12
\l
19
20
21
22
25
35
37
38

q-1
— -i ">
4J
111
I ^V12
15
\ :
16
17
 П
20
21
22
25
41
29
44
33 t4—^ 46
Г;
35
J 3
23 ]/. Л 36
— ^. 10
37
v a
14
15
t A
\t
-^ 18
?
21

= '\ i при волжан иел,
i — ¦
4
i'»
v.V. 1л
Г
10
X
17
,
12
14
? 19
21
iV2
/ i I
к -¦•:i
q-->
Щ
4 V &
I ^ LW
i !
i' 12

Приложение III
ДИАГРАММЫ ДЕРЕВЬЕВ
деревьев леча не видно
Пословица
Диаграммы всех деревьев с р^ 12 вершинам к были составлены
Принсом и on полинованы как приложение к его докторской диссер
тации (Принс 111) Мы приводим здесь только диаграммы чля
р^ 10; они опубликованы также в работе Харари и Принса [2]
Порядок следования деревьев с данным числом вершин довольно
произволен, но в целом деревья перечисляются в соответствии
с увеличением числа вер ига н имеющих степень больше 2. В табл. ПЗ
приведены числа деревьев п корневых деревьев с р вер юл нам и дли
/?^С26 [см. Риордаи [2j), а гакже числа асимметрических деревьев
и гомеоморфно несводимых деревьев для р^ 12 (см Харари Припс
[ 1)). Все эт н числа п ол учены с п омощью фор мул A5.41) A5.35),
A5 51), A5 52), A5 47) — A5.49)
Табшца Hi
Число деревьев, корнезых деревьев асимметрических деревьев
и гомеоморфио несводимых деревьев с р вершинами
р
1
2
)
4
6
7
8
9
10
] i
U
ч
\
1
1
}
$
G
11
23
47
105
235
551
1
1
1
9
20
48
II j
7\Я
]S42
4706
i
0
0
0
и
0
{
}
3
' f>
15
1
1
О
1
1
j
4
5
1U
-6
p
14
15
If
I7
IS
19
20
21
•y>
24
25
26
i ЗШ
3 159
7 7-11
19 320
48 629
123 867
317 055
823 065
2 144 505
5 623 75fi
14 828 074
39 299 897
104 636^10
279 793 450
J2 486
32 973
87 811
2:jo:j8i
634 8<Г
1 721 J59
4 688 676
12826 228
35 221 832
97 055 181
268 282 855
743 724 984
2 067 174 643
5 759 636 510

p-1
» ¦ ¦*
•—¦—•—•-¦
I 1
T
•—•—•—•—•—i—•
-»—¦—• «—•—»—•-
» ¦
' ~7 r т
»¦ »-¦ » <^
• • • • t
•—•—» » • «^ •-
• ¦»¦*¦
^-«—• t *—•—• ¦ » • ¦ ¦
> ¦¦»
-*
-/
>f
V
ж

»•»¦ ******
« » ~ь—щ^~
>
—< V—с
н
¦ ¦ ¦¦
» * * *
¦•
т.
V<
s^r s\~~
• ¦ * 1 • ¦ > t' •
А X1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ¦>
Они спешат они ползут
Одна вослед другой,
За Плотником и за
Веселою гурьбой
Льюис Кs>p рол а2)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Приведенный ниже список литературы содержит такие работы (и только
), на которые имеются ссылки в тексте книги Нужно, однако, отметить,
что этот перечень значительно белее выборочный, чем обширная библиография
по теории графов и ее применениям, состав пенная Тернером [2]
\вондо Бодино Л/К
°1. Применение в экономике теории графов, нчд во «Прогресс», М 1966.
Андерсон, Харари (Anderson S S Harary г.)
1. Trees and uriicyclic graphs, Math. Teacher 60 A967) 345—348
Байнеке (Beine.ke L. W.I
1. Decompositions of complete graphs into forests Magyar 1 ud Akad Mat
Kuiaio (nt Kozi., 9 A964), 589—594
2 The decomposition of complete graphs into planar ь ibsraphs, iji 4 в c<5
Graph Theory and Theoretical Physics (под ред Hararv F ) Academic
Press, London 1967 pp. 139—154'
3 Complete bipartite graphs: decomposition into planar subgraphs, гч 7
n сб. Seminar in Graph Theory (под ред Harary F) New York. 19G7, pp
42-53.
4 Derived graphs and digraphs, в сб. Bcitxage zui Gr<jphentheone (под
ред. Sachs H t Voss И Waither H.) Leipzig, J968 pp. 17—33
baft пеке My и (Beineke L. W.. Moon J W.)
1 The number of labelled k-trees, в сб. Proof Techniques in Graph Theory
(под ред. Harary V.), Academic Press, New York, 1969.
Ьаимеко Пилперт (Beineke L. W., Pip pert R. E.)
1 The enumeration of labelled k dimensional trees / Comb mo tonal Theory
(в печати).
Бэйнеке П лам мор (Beineke L. U'., Pluniirier M D)
} On the 1-Jactors of a nonseparable graph J Combinatorial /heory 2 A967),
285—289
Б аи пеке Харари (Beineke L. W.. Harary F.)
1 Local restrictions for various classes of directed graphs, J London Wuth
Soc 40 A965), 87—95
') .'1ит( p-^rvpa отхкчемнтя крхжочком:, 1обавчена при перевод*. —
Прим персе,
г) .Льюис Кэрролл, кп 1 «Алиса в счране ч\лес», ю\. 2 «Сквозь
зеркало и что там увитела Алис^, Изд-во литературы на иностранных язь:
к ах, София, [9C7, стр. 156, перевод Д- Орловской. Дословный перевод по
l л о д п е ii строки'. <'Их становилось vec бо л ь ие, б о.п ь u j е и бол ьше ». — Прим. перев

2 список питкратут
2 Inequalities involving the germs of a graph iml its trnckne^. Proc.
MoMi. Asstjc 7 A965). 19—2 L
3 The <?cnus oi the л-cube, Ccmod. J. Math., 17 A965). 494- 4%.
4 The maximum number of strongly connected -ub tournaments Canmi. Maih
Bull.. 8 A965), 491—4-98-
5. The thickness of the complete giaph, Canad. J. Math., 17 A96.1). 850—859.
6. The connectivity function of a Ljraph, Mathctnatika, 14 A967), 197—202.
Ба инеке. Харарн. Myn (Beinekt L. W. На гэгу F., Moon J W.)
1. On the thicknrss of the complete bipartite ^raph. Proc. Cambridge Phitos.
Sot., 60 A964), 1—5
Байпеке, Харарн, Шаммор (Beiпеке 1 №.. Harary F Phtmnier M. D.)
1. On the critical lines of a graph Pacific J Math 22 AM7) 20o—212
Ьалабап (Balaban A. T.)
I Valence-isomeristn of cyelopolyenes Re>. Rninmint Ckim II A966)
1097—1116.
Барнетт {[iarnett D.)
1. Trees in polyhedral graphs tanad J. Math., 18 A96b) 731—736
Бгггтл, Хлрар», Кодама (Battle J., Harary К Kodamd Y.)
1. Kvery planar tfraph with nine points has а поп planar complement Bull
Amer. Maik. Soc. 68 A962). 569—571
Б и ттл, Харари, Колыма, Ян] с (Battle J Harary F Kodama \ \oungsj. \\ T)
1. Additivity of the gcnu« of a graph Bull' Ar>ur Math ^oc G8 A962)
Бснзер (Bcnzcr S.)
1 On the topology of tbt guictic fine struct Lire Proc \'at /had Sci I SA
45 A959), 1607-1620
Берк К (Bergo С.)
j Two theorems in graph theory, Pwc.Nat.Acad.Sci I SA 43A957). 8^2—
2. Теория графов и ее применение, ИЛ, М 1962
°3 Gran lies et hypergraph.es, Paris, 1970.
Берж, Гуйи-Урн (Berge С., Ghouila-Houri A.)
1. Programming, games anrf trn л sport at ion nelworkb London 196">
Бсрнсайд (Burnside W.)
I. Theory of groups a) finite oicier Bfid edition) Cdnibnd^L Uni\
Cambri<!^e/ 1011
Bex^ai (Behzacf M.)
1 A criterion for the pldnarit) o[ a total ^raph Proc Cambridge Philo^ Soc
63 (I9fi7). 679—681.
Бехзад, Раджа пи (Behzad M.. Radjavi H )
1. Tlie line analog of Ramsey numbers. Israel J Math о A967) 93—96
Бсх^ад. Чяртрэпд (Behzad \\., Chartrand G.)
1. Total graphs and tiaversabilitv, Proc. Edinburgh. Math Soc 15 (Iе-Nb)
117—120.
2. No graphs is perfect, Atmt. Math. Monthly 74 A967). 962—963
Бехзад. Чаргрэнд, Kyti^P {Behzad M, Chartrand G , (..ooper J.)
1. The colour nnmbers of complete graphs, ./ London Math Soc 42 A%7)
226—228.
Бехнад, Чартрнжд, Г1орлхау.^ (Behzad M., Chartrand G., \ordhaus. L . A )
1. Triangles in line-graphs and total graphs, Indian J Math (r печати)
Биркгоф (Birkhoff G.)
I. Lattice theory, Amer. Math. Soc. Colloti. Pub I., vo] 25 3d editioi Provi-
Providence, 1967. (Русский мерено т. и ер no го 1-ш.ания Биркгоф I Теория
структур, ИЛ, М.. 1952.)
Бнркюф, Льюис (Birkhoff G. D., Lewis D.)
1 Chromatic polynomials, Trans. Amer. Math. Soc 60 A940) 355—451
Бсманд, Леккерксркср {Roland J., Lekkerkerker C.)
1. Representation of a finite eraph by a set of intervals on th^ leal hue Fund
Math 51 A962) 45—64

СПИСОК JHThPATvpbl 2~\
Ьилл Коксстер (Ball №. \\. R., Coxcter I]. S. М.}
1. Mathematical recreation^ arc! s^says New York 1947
Ьоллоблт (Bollabas B.)
1 On graphs with at most three independent paths connecting an\ two \ cr
ticcs, 5/«dfa Sa\ Mam. Hungar. 1 A966), 137—140.
^ snail (Виж!у J. Л0
1 On Kelly's congruence theorem for trees Proc Cambridge Philo? boc ,
65 A969), 1 — 11
Dorr МоГгберри (Bott R , Ma у berry J P.)
1 Matrices and trees, n сб Economic Activity Analysis ( юд рем Morcjen-
siern 0.). K'ew York pp 391—400
Ьраук, Джонсон (Brown L., Johnson L.)
°1. Л class of planar; four colorable graphs, Israel J Math , 11 A972) 53—56
де БрёГтн (dcBruijn N G )
1 Generalization of Polya's fundamental theorem in enumeration eombina
lorial analysis. Indagationes Math 21 A959), o9--69
2 Теория перечисления Пойа. в сб Прикладная комбинатор?! а я математика
(¦^од ред. Беккенбаха Э.}, и^д-бо «Мир». М., 1968, стр. 61 — 106.
л? Б рейт г, лая Лардсн-Эренфест (deBruijn N". G , van Aardenne-Ehrenfesl T )
1 Circuits and tre^s in oriented graphs Simon Sfevin 28 A951). 203-217
Бруааьди (Brualdi R. A.)
i KroneektT products of fuliy indecomposable matrices and oi uHrastrong
digraphs, J Combinatorial Theory, 2 A967), 135—139.
b|j\;hc (Brooks R. L.I
1 On colouring the nodc^ of a network Proc Cambridge Phitos Sue 37A041)
194—] 97.
L3py-KL Смит. Стоун, Татт (Brooks R. L , Smith С А. В , Stone Л II., Tutie W. T )
1 The dissection of rectangles into squares. Duke Math, J , 7 A940), 312—340
Ьзбтер /,Вabler F.)
) Uber eine spezieile Kl^sse Liiler ^cher Qnpben Comment Walk Ilelv.. 27
A953), 81—100.
Bai пер (Wagner К )
1 Bcmcrkun^en zinri Vicnarbctipioblom Iber Deutwh Math -Verein 46
(.1.936), 2G—32.
2 Ubereir.e Fj'^cnschaft dcr ebenen Kompkxe Math Ann 114 A^7) S70—
590.
3 Be we is eincr Abschwiichung der Had wiger- Verm utung, Math Ann 153
A964), 139—141
 Graphenthoorie Matinheirn— Wien — Zurich 1970
В^йда (Vajda S )
1. Mathematical programming, Add-on Wesley Reading 1961
Baihi6epr (Weinber^ L.)
1. Number of Lree^ in a graph Proc. JRF, 46 A958): I9M—1955.
2 On the maximum order of the automorphism qroup of a planar triply con-
connected graph, SLAM J 14 A966), 729—738^
В<иь ер (Waitiler H.)
I On intersections oi piths in я graph / Comb material Theory (в np-mii)
H;jpra (Varga R. S.)
I. Matrix iterative analysis Prentice Hall Ln^lcwood Cliffs 1962
Веблсн (Vobkn О.)
1. Analysis situs. Amor. Math. Sol Co! lot, Pub I Vol о Cambridge 1922;
2nd edition Mew York 1931
Некчесл (Wfcichsel P. ,M.)
1 The Kronceker product of ^r^p'n^ Proc Amer Vuith.Soc 13(]У63) 47—52,
В Г
1 Об опелке аромат и |еекоги KTacia р графа Дискретный анашз 3 A964)
25-30

272 список литераторы
2 О числе ребер в графе с данным рацпсоч, А оклады АИ СССР, 173 A967),
1245—1246.
Вгтандт (Wielandt H.)
i tlnzerlegbarc nieht negative Matnzeii Math 7 52 A950) 612 -648
Воччерхауз {Vollmerhaus H.)
1. Uber die Einbc.tt.ung von Graphen m zweidtmensionale oriemierbare Man
mgfaltiRkoiten Kleins ten Gesehl edits, в сб. Beilni^c ziir Graphentheoric?
(иод ред. Sachs H.. Ws H., Walther H.) Leipzig, 1968 pp 163—168
Гавст (llavel V.)
1 Замечание по нопрос\ существования конечных 1}^фов (на венгерском
Я1ыке), Casopis РЫ Mat., 80 A955), 477—480
2 On the completeness-number of a finite graph, в v.6. Beitrage zur Graphen-
theorie (пол ред. Sachs H.,Voss H., Walt her H.) Leipzig. 1968, pp 71—74
Гау (Guy R. K.)
1 The decline and fall o\ Zarankiewicz ь (heorem в сб. Proof Techniques iij
Graph Theory (под ред Harary F.), Academic Press, Mew York 1969
r2 Latest results on crossing numbers, Recent Trends in Graph Theory, x 186
(Lecture Notes in Mathematics) 1971.
Гаи Башгеке (Guy R K-, Beineke L. W.)
1 The coarseness «f the complete graph, Canad J. Math. 20 (J966| 888 -894
2 The coarseness of Kfa n Canad. J Math, (в печати).
Галун (Hai:n R.)
1 A theoiem on n connected graphs / Combinatorial theory 7 A969) Ь0—
154
Галла и (Gallai Т.)
1 On factorisation of gripb Ada Math Arad S^i Ilungar 1 A950) 133—
153.
2 Uber extreme Punk t- und Kan ten men gen Ann Univ 4c i Budapest Eoivos
Sect. Math. 2 (J959) 133—138.
3 ElernenLare Relationen bezij^lieh der Glieder игк. trennenden Punktc von
Graph en, Magyar Tud Akad. Mat Kutato hit Kozl..9 A964), 235—236
4 On directed paths and circuits, в сб. Theory oF Graphs (Лод ред. Erdos P.
Katona G.), Akadc.miai Kiado Budapest, 1968 См. также Academic Press
New Логк, 1968, pp 115—119
Га.паи Мильгрэмм (Gallai T , Mi)gram A N.)
I Verall^emeinerun^ eines graphen thcoretisclicn Sarzei- von. Redei Ac fa
Sclent. Math., 21 A960), 181 —18b
Гевирц К^ннтйс (Gewirtz A , Quotas L V.)
I Connected extremal edge graphs having symmetric dutomorphisni group
в сб. Recent Progress in Combinatorics (под ред. Tutte \V T) Acadoraic
Press, Now York, 1969.
'2. The uniqueness of a certain ^raph, J Combinatorial Theory 11A971) 45—53
Геллер (Geller D. P.)
I Outer planar graphs (в печати).
Геллер Харари (Geller D. P.. Ilarary F )
1 Arrow diagr&tr.s arp line digraphs / SI AM AppL Math. J6 A968) 1141 —
1145.
I еренсер (Gerene.ser L )
1 О проблемах ра<.краеки (на bpiij ер<.ьом языке), Wat Lapok 16 A965),
274—277.
Ги1серт, Риордяи (Gilbert E. N., Riordan J.)
1 Symmetry types of periodic sequences Illinois I. Math 5A960 657—065
Гилмор, Гоффман (Gilmore P., Hoffman A. J.)
1 A charactcrizatio:: of comparabilitv graphs snd nterva' graphs, dnad
J. Math., 16 A964), 539—548.
Годин Герц. Росси (Gaudin Т.. Herz J C, Ros&i P.)
1 Soluticn (iu probleme № 29, Rev, franc. Red:. Goer 8 A964). 214—218

СГ'ИСОЬ IFTEPAIiPbl 271
Гоффман (Hoffman Л. J.)
1 On the uniqueness oi the triangular association scheme, A in Ma Hi 'statist
31 E960). 492—497.
2 On tho exceptional case ш ~л characterization of the aro of complete graphs,
IBM ./. Ri-ч. ПгЫор. 4 (I960), 487—496.
1 On the polynomial оГ н graph, Amer. Math. Monthly, 70 A.963), 30 -3b
4 On I he sine-^raph о I the complete bipartite graph. Ann. Math, Statist. 3o
A964), 883—885.
1оффмант Сингл тон (Hoffman A. J.. Singleton R R )
1 On Moore graph" wilh diameters 2 and 3 IBM J Res Deulop , 4 A060j,
497—504.
I pя вер. Якель (Gravci J. E., Yackel J.)
1. Some ^raph theoretic results assotiali d. with Ramsey's theorem J Cum
bmaterial ThPon/ 3 A968). 1—51
I ptrmi (Grotzsch H.)
1 Ein Dreifarbensatz fiir dretkreistrek* Netze fiui ckr K^^'i. Wvi.?s. Z. Alaz-fi^j
Z,w/7^r 6'пй.'. Halle-Wittenberg. Math Katurviw. Reihe, 8 A058), 109—
120.
Г рюпбяум (Gmnbaimi В.)
1 'Grotzsch's theorem or. 3 colorings, Michigan A1aih. У , 10 A963) 303 4J0
2. Convex poly topes. Wiley (Inter science). New York, Ц167
Гуйя-Ури (Ghouila-! louri Л.)
1 IJn result at relatif a la notion de diametre С R Acad Sci Pans 250A960)
4254- 425b
Г>пта (Gupta R. P )
1 Independence and covering nun,hers of 'me graphs and total graphs, вш
Prool Techniques in Graph Theory (под ред. Ilarary F i. Acadoini*: Press
New York, 1969.
C2 Bounds on the chromatic and achromatic numbers oi com pi emeu tar у graphs,
б си. Recent Progress in CombinaLories (под pei futte \V Г ) 4cr<demic
Press, 1969. pp. 229—235.
Далмеяж, Meisiie.abcoij (Oulniagc A. I. ., Mendelsohn NT. S )
1. Coverings of bipartite graphs, Canad. J. Math., 10 A958), о 17—534
2 On the inversion of sparse matrices, Maih. Сотр., lf> A962), 494—196.
6 Graphs and liuHrice-N гл. 6 в сб. Graph Theory and Theoretical Physics,
(пол ред. Harary F-). Л endemic Press, London 1967 pn 167—229
Чамцер Кли (Da nzer L., К Ice V.)
1. Lengths of snakes in Ьокс? I Combinatorial Thtory, 2 A957), 25S— 2ЬЪ
Дскйрт (Descartes H.)
1. Sol ii t ion to a d vancL d p rob I cm N 4526. Amir. Ma ih. Mon *h ly, 61 (\ 954) 352.
T,i:Jt\opc (Dilworth R. P )
1 Л riecomposuioti theonun fo partial 1) ordered sets, Ann \]ath 51 AЭ50)
161—16S.
[,[jpiK (Dirac G. A )
1. Л property of 4-chrcun3i.ie graphs and voni^ гст;згк^ oi crittea? ^гао*"ь
/. London Math.. Soc, 27 M952) 85—92.
2. Some theorem^ on abstract graphs, Proc London \1а*Н Sot , Sei )y 2 v1052>,
3 The structure oi i-chromatic graphs, Fund. Math., 40 (I9o3) «12—n5.
4 4-chrome G rap hen und vollstiindigc 4-Graphen. Math Machr. 22 A960),
51—60.
Ъ In abstraktcn Graphcn verhandeno vollstandige 4 Graphtfi i::id ilire 1,'лЦт-
toiluTi^en, Math. Xachr., 21?. П960), 6\—85~.
6 Generalis.itLorb du theucenu1 de Mender, С R Acad Sci. Рапь 250 (I960")
4252—4253.
7 Short proof of Mender s L'raph. th cor err:, Mathemaiika, 13 A966) -Yl- 44.
^. On th(> structure of k chromat:c graphs Proc Cambridge Pkilos Soc 63
A967). 683—691.

274 СПИСОК ЛИТЕР \ТУРП
Дпр<эк Шустер (Dirac G. A., Schibtcr S.)
1 Л theorem of KuxatcAvski, Mederl. Л had Weiensdi Proc Ser \ 57 A954)
343—348
Донец 1 A.
cl О нижней ipainjuc 1исла вершин плоских критически а графов Кибер-
Кибернетика, 4 A971) 76—#5
Дсжис (Davis R L~.)
1 The number of structmes of finite relations Proc \tncr Math Soc 4
A953), 486—495.
2. Structures of dominance rclatto is Bull Math Bwpliys , 16(\9ГЛ) Ul—140
Евдокимов А. А
° 1 (!) m a kc им а л ь н о и д ,т и не i u. л п в с д и и и ч н о м п - м о р ко м к \ бе Матем. заметки
6 A969), 309-319
Ждк (Jean M.)
j Edge-similar tournaments, в сб. Recent Progn^s in CoIлblnatoгic^ (iio^ pej
Tut to W T.j, Academic Prcs^ New York, 1969 pn 265—272
Жор дан (Jordan С.)
1 Sur les assemblages ck lignfs / Я me 4/г#«у. Ala^i 70 A659) 18o—190
Закс (Sachs- H.)
1 Uber ceib^rkoinpkfrintare Graph en Publ Math Dibrean 9 A962) 210-
288.
2 Regular graphs with given girth and lesincted circuits J London Math
Soc'., 3,8 A9G3) 423-'429
Зыков \ A.
1 О некоторых свойствах щнейиыч комплексов Матея сборник 21
№2 A949), 163—188.
2. Теоркя конечных графов, т 1, и яд-во «Наука», Новосибирск. 1969.
°3 О количестве ребер графа с числом Хадвпгера не более 4 в сб. Прикладная
математика и программирование, вып. 7 Кишинев, 1972, стр. 52—55.
Избинкий (lzbieki 1I.)
1. Unendliche Graphen encllichen GratJes m\t vorgegebencn Eigcnsch^ftci
Monaisfi. Math fi3 A359) 298—301
Катион (Camion P.)
1 Cheniie cl circuits hannltomens des grapbes complete С R Acad Sci.
Paris, 249 A959), 2151—2152
Капьо (Ka^no 1. N.)
1 Linear graphs of degrees=i6 and (heir groups, Amer J Math Ь8 A940)
,505—520; 6D A947)! Я72; 77 (}955) 392-
Каржанис (Кагала л is J. J.)
I. On the cube of agrapfc, Camul Maih Bud , П AЭ68) 295-29G
Карлиц, Рпордап (Carlitz L-.. RJordan J.}
1. The number of labelled Uvo-terminal serics-pai ailel network Duke Math
J... 23 A955), 435—445.
рйт, Харари (Cartwriglit Г) Harary I'.)
1. The number of lines in a digraph of ecnth connect ednes c«:te^cr> SI AM
Reviezi, 3 A961). 309—314.
2, On colorings of signed graphs, Clem. Math 23 ^ I968}: 83—89
I\aстеленн (Kaste^yrj P. W.)
1. A soluble Vell-avniiiir^ walk problem, Phyaica, 29 П363), 1329—1337.
I Graph theory and crystal physics, ivi. 2 в сб. Graph Theory and Tbeoic-
iicai Physic? (под рад. Harary F.) Acidomic Press, 1 otidon 196", pp. 14
110.
1\ей Чартрэид (Кяу D. С, Chartrand G.)
1 A charMcterization of certain ploierrusic graphs Co nod J Mat i 17 A96Я),
342—346.
л» Дж., Колли Л. (KylW J. В., Ke.ilv I M)
I Paili md cireuils in criiicai graphs, bner J Maih 76 A954), 786—792

( КИСОК П1ГЕРАТУРЫ 275
Клали П (Ivllv P, .1.)
1 \ con^riKTice theorem for trees, Pacific J Math.. 7 A957) %l--968
Кел ш 11 Me Ь p и с л (Kelly P. J ., Morn el 1 D)
I A class of graphs," TVrais. Лшг-л Math. S«\. 46 (i960), 188-492.
Кем j io (К em pc A. R.)
I On the sjeographk ]1 problcn rf four colours. Amer I Math 2 AЯ79) 193 -
204.
Кендал л Смит (Kendall \\. Ci., SniUli В В )
1 On the. method of paired comparison Biometnka 31 A940) 324—315
Кёпяг (Konie D.)
1. Graphtm und Matrizen, Mat. Fiz. Lapok 38 (l<b[), 116—119
2. Thcorie der endlichen mid unendlichen Graphen. Leipzig. 1936 nepene
чата но в Chelsea, New York 1950
Кит>хго-.Ь (Kirchhoff G.)
1 Uber cie Aiifiorsun^ der Gleichim^n. auf wclchc man b^i dor Unitrsuchung
d^r Пneuron Vrrteiiung g^ivariL^cher Sfronie ^efuhrt wird, Ann. Pliys.
Chan.. 12 A847), 497—5Q8
Кчайпорт (I\lei:iori M.)
1 13ie Dk'ke des/z--di?nen5 to rial in Vvi'jrfcl-Graphs n / to/hbinattrial TJtCi.ru 3
A967). 10—15.
Ьозырси В. П.
1. ' Г е о р и я г р афо в, Итоги лауки t технимк серп v ' Г -^ о р 11 г Кф о яп i. \ i л те м,
статист., теарет, кибернетика, 10 A972) 25—74.
Коксстер (Coxeter II. S. М.)
1 Self-dual configurations did legulai gr^pli^ Bull Amor Walk Soc 56
A950), 413—455
Кома i (Koman .M.)
°J On the crossing mimber^ nf graphs, Actn I niv. Carol Math el Pht/s 10
A969), 9—46."
Копиг (Kotzitr A.)
1 О s-?e кото рем ра^ло;ке!|иц гряфа (Kd с noii.i цкем гзике\, Met Fyz Casopis,
5 A955^, Ж—15}
Кра\ц dvrausz J.)
1 Demonstration nouvelk d'unp theorene со Whitne\ ^ it le^ rcscanx, Mat
Г-iz. Lapok, 50 A943), 75—89.
Крон к (Krovik H. V.i
]. Gencrrtlizatioi! of i l!ie(iren Posa Pric Amer Maih boc (в пе ыти)
P., Робби не Г.
1. Что такое математика? изд-во <,Прсon^mei ие» М 19G7
Kvратовсюги (Kurytowski К.)
1. Sur lc probleme des courses gauche^ ei topolo^ic. Fund Walk 15 A930),
271 — 283.
К-^ли (Caylev A )
1 On Uic theory of the analytical farms called trees, Pkilos Mag 13 A857)
19—30; Mathematical Papers, Cambridge;, 3 A891), 242—246.
2. Go the* mathematical theory of teomers^Philoa. Mag., 67 A874) 444—446,
Mathematical Papers, Cambridge. 9 A895), 202•—204,
3 The theory of groups, graphical represеиШion, Mathematical Paper* Cirri
bridge. Ш A89Г>), 26—28.
4 On Uie analyticai forms called trees. Amer. Ma'.h, J , 4 A881) 266—268
Mathematical Papers Cambridge. 11 A896), 365—3G7.
5. Л theorem on trees, Quart. J. Math. 23 A889). 376—378, Mathematical
Papers, Cambridge, 13 A897) 26—28
Ланда\ (Landau H. <_i.)
1 On clornki.ap.ee relations snd structure o! animal societies. Ill; :he
lor a score structure Bull Math Biophys 15 A955) 143--148

276 СПИСОК. lHTFPAlVPbl
Левин (Lew in К )
1 Principles ol topolo^ical psychology. New ^ ork U39
Л] 4m (Lee Г. D.; Yang С N.)
1. Many-body problems in quantum statistical medianics, Phys Rev. 113
A959), 1165—1177
Jiik (Lick D. R.)
1 Mtfiimally «-line ton meted graphs / Reine uhd Angew. Mi (h 252 A972),
176—182.
Литтлпул (Littiewood J. С )
1. The theory Of group characters Oxford 1940
Логшц (Lovasz L.)
1 On decomposition oi graphs, Stadia Sci. Math Hungar , 1 A966), 237—238
2 On di ro m a t i e n и rn b ег о i f i n i 1 e * e t ¦ * у s t e rn s Ada Math A cad Sci Hangar
19 A968), 59—67.
Чак-Ленн (MacLane S.)
1 A structural characterization of planar combinatorial graphs Duke Walk J
3 A937), 340—472.
Ma к Эj i д р ю (Me A n ii rew M. H.)
1 On the product of directed graphs, Prac Amer Math. Soc, 14A963j, GOO--606
2 The polynomitil of a directed graph, Proc. Amer. Mark. Soc.y 1b A965)
303—309.
Манвол (Manvel B.)
1 Reconstruction of trees. Canad. J. Math., 22, NT- 1 A970), 55 -CO.
1 Reconstruction of unicyclir. graphs, и сб. Proof Techniques in Graph Theor)
(под рея. Harary t .)y Academic Press New \ork 196^
Мтрчсвски!! (Marcze\vski E.)
1 Sur deux proprieteh des classes J'ensembles. Fund Math 33 A945). 303—
307.
Mcii (May K. O.)
1. The origin ol tlie four-colo" conjecture- his 56 A965) 346—348
Mdiep (Mayer J.)
I Le problems des legions voi sines sur les surlac s closc-s or i en tab 1^ / Com
binaivnal Theory, 6, K» 2A^69) 177—195
Menrep (xMonger K-)
1 Zur ailgemeinenKirventheonc Fjnd Math 10A927) 96—Ho
Метiон (Menuvi V.)
1. О n re p e a t ef 1 111 i er с h ant; e у г a d li s. 1 rn&r. M a Ih Monthly t & A96 h), 98 6— 98 0
Миллер (.Miller D J.)
1. The categorical produ t ol graphs, Caiuid J Math 20 A9bS) 13} 1 -1521
Мынти (Mintу Q.)
1 On the axiomatic foundation of Hit: theories ol d?:c:ot<>d linear graphs, ele-
electrical networks л (id lie twoi'k-progr air niing. J Math. Mech 15 A966)
485--520.
Минский. Перфект (Mirsky L., Perfect H.)
1. Sy>Tcr.:s of repre?.(=-iitaii\os. J. Math Anal Apphc 15 A956) 520—068
Mo в il о г и т ц (Mo ws li o\\ i 17, Л Л
1. The group of я graph whose adjacency matrix has all distinct eigenvalues,
в сб. Proof Technique in G-'iph Thwry (иод ред. Harary F.) Acadrmic
Press, New York, 1969.
Моцк^н, Штраус (Motzkin T S., Straus С G )
1. Maxima for graphs and a new proof oi a theorem of Turan Canad J Math
1 7 A965). 533—540.
My к xo ri а л ха я {М и k 11 о p a d h у у у Л.)
1. The square root ol a ijraph / Combine. : ricl Theoru 2 i]%7) ^90—293
M^ii (Moon J.)
1 On tiie lire graph of 'he complete bigraph, Am Mot! Statist. 34 A3G3)
664-667

С ШКОК ЛИТЕРА! 1 РЫ 27
2 Дп extension of Landau i. the.oroin on tonraainevits Pacific J Math И
A963), 144;)—13_45.
3 Various proofs of Cay ley's tornuila юг counting trees, гл. 11 n об. A. Se
ш]]1яг on Graph Theory (пол р«;д. Наготу t:.j. New York. 19G7. pp. 70—78.
4. To pies on tounwnenb, New \vn<, \%8
Aknep (Moon J., Akis-er L.)
1. On cliques it: graphs, /чюе1 J. Ma'h 4 A465), 23^28
Мыиельский (Mycict.ski J.)
{. Sur ie colorize des graphs, Colioq. With 3 A955). 161 — 162
фок Нейман Дж., Моргенnrrrpл О.
1. Теории игр и экономическое j введение, изд-во <Па\ка» № 1970
Норд хауз, Гаддум (Nordhaus E. A.. Gaddum J. W.)
I. Он coinрlenient2ry graphs Л/wr. Л1а/Л Monthly 63 A956) J75—Р7
Нор.ман, Pa6w]i (Morman R, Z., Rybin M.)
1 Algorithm for a minimal cover of a graph Proc Amer Main Sol 10A^59),
315—319
Нэш-Вильямс (\"aill-Willмгль С S-. J. A.)
1. On oriontauons. connectivity ;ind odd-\rLrtox pnirings ш finite graphs
Can ad. J. Math., 12 A960) / 555—567.
2 Edge-disjoint spanning (.rccs of finite ^raplb / I ondon Math Soc 36
A961), 445—450
3 Infinite graphs — c\ survey, /. Combinatorial Theory, 3 A9G7). 286—301.
4- Hamiltonian line? in infinite graphs with few vertices of small valency,
Aeaial. Math., 7 A971). 59—81.
Обершельп (Obersdielp W.)
1 KombinatorLsc'be Anzahlbcsiimmungen m Relat onen Walk Ann 174
A967), 53—78
O^ О (Ore.'О.)
1 A. prcjblen regarding the tracing (A ttiaplb Lltmaite Her Math G A951)
19—53.
2. Note on Hamilton circuits Amer. Math Monthly. 67 (I960), 55.
3. Arc coverings of graphs. Ann. Mat. Рига AppL,5 A961), 315—322
4 Тесрия графой, язл-во «Наука»- \\ 1968.
-> Hamilton am netted graphs, J Math Pares Ap,?l , 42 A963),
2J- -27
6 The four color problem, Ac idemic. Prcts New ^crk 1967
Ope Стемпл (Ore O., Stempie G. J.)
i. Numerical indhuds in tho four coljr problorn. в сб. Recent Progress in Com
Ыпаlories (пол рел. Tutte W. Tj, Academic Press. New York, 1969.
Ости i г Фа ген, Пен к к. Риирдлн (Austin T L. Fa^eti R. Н., Pcnnev U;. Y. R tor-
dan J.)
1 The number d componentь i i ramlorr linear graphs, An* Math Statist »
30 {1959}. 747 -754
Оттер (Oiter R.)
i The number oi trees. Ami of Ma h 49A948 o83—599
Пал:-:ер (Рлhner F. M.)
1. Prinie line-graphs, EUim. Math, (w jre-глти).
fid л мер. Роб и neon (Ра1т7)ег Ii. M., Robinson R W.)
1. The matrix «roup of two permutation groups Bull Amer Math ?ot , 73
A967). 204—207.
Партасарати (Parthasarathy K- R.)
f Enumeration of ordinary graph*- with «iven partition Canad J Math
20 A968), 40—47
ГК те роен (Pet о r sen J )
1. Die Theoric dor rcgnlarer Graph en, Acio. Math 15 A8<)J) 103—220»
П лам мер (Pi и miner Л1. I).)
1. On ime-cntical blocks, Trans. Amer Math Soc {в лечатл)

2:Я СцИГОК 1ИТЕг> МУРЫ
Пойа (Polya G.)
1 Kombmatorisch^ Anzahlbftsiimnuin^en fur Gruppen Graphen urn' chemischt
Verbindungea, Ada Math., 68 A937). 145—2o4.
2. Sur ics types des propositions composed, ./. Si/mb. I ogic n A940) ^b—103
Пота (Rosa L.)
1. A theorem concerning Hamilton 11 ties, Magyar Tmi A lad Mgj Kutato
Int. Kozl 7(I%2). 225—Ш.
Пр/нс (Prins Си)
j The automorphism group of ti tree Doctor il dissert it ion University of
Michigan, 1957.
Радо (Rarlo R.)
1. Note on the transjiniteca.se of Hall1^ theo em on representstivcb / Lot don
Math. Soc. 42 (l%7)f 321—321
Ряйэер (Ryscr H J )
1. Matrices of zeros ar.d ones, Bull. Amcr. Math. Soc 66 A960) 142—464
Рямачандра Pao, Pao (Ramachanclra Rao A . Ran S. B.)
°\. On the power sequence of л ^raph, Israel i Math Г5 A070) э2- 71
Рам сей {Ramsey F. P.)
1 On a problem oi ioim?l logic Pro:: London Math S<c 30A930) 'Jfi4—JSb
(\ien (Redei L.)
1 Ein komhinatorischei bi\7 Ada I itt Szeged 7 A934), 39--4 5
Реяфял! (Rediield J H.)
I The theory ol group reduced dfst. ibntior> Anur J Math 49 A927), 43J—
455.
Phi (Read R. C.)
I The enumeration oi locally restricted graphs, I and. II J London. Math
Soc, 34 A959), 417-436; 35 (I960), 344—351.
2. Д note on the number oi functional digraphs. Math Ann 143A901) 109—
110
3 On the lliimber of self-com piemen t ягу gnph* a fid digraphs. J London Math
Soc, 38 A963} 99- 104.
4 An introduction to chromat.t polynomials, J Combinatorial Theory 4
A968), 52—71.
Риддел, Уленбек (Riddel 1 R. J.. Lhlenbeek G E )
1 On the theory of tbt? viriiii development of the equation oi Мак of mono-
atomic gases, J Che.in. Physics, 21 A953), 2056—2064.
Рингель (Ringcl G.)
1 Farbnngsproblerne auf Г lichen ufH1 Grjiphefi Deatscher Vcrlii^; der Wis
ben?cliaiten, Brr I in, 1962.
2. Selbstkomplementarc Graphen, Arch. Malh., 14 A963). 354—358
3 Das GesehleelH des volIs-tamper paaren Graphen. Abh. Math. Sem. 1!пк
Jlamburg. 28 A965), 139--150.
4 Uber drei komhinalorLsehe Probleme am «-dnnensionaleu WiJrfei nnd Wiir-
i el fitter, Abh. Math. Sam. Univ. Hamburg 20 A955) 10—19
Риигель, Ян re (Ringet O., Young*;, J. \V. T.)
1, Soiiition of the Heawood map-colouring problem. Proc \af AcaJ Set
USA, Ы) A968), 438—4-45.
2 Remarks on (lie Hoawood conjecture, в сб Proof Techniques in Gniph T(ieor\
(под ред. Hararv F ) Academic Press New York 1%9
Pнордан (Riordan J.)
1 The number of labelled coloured and chromatic trees 4<~ta Math 97 A957)
211-225.
2 Введение r комбинаторпый пиялтп, ИЛ. М., 196^.
3 The enuTTiefation o\ trees by hei у lit and diameter, IBM i Res Develop
4 (I960), 473-478,
Ричардсон (Richardson M.)
1 On weakly ordered systems, Bull Amer. Math Soc , 52 A946) 113-— 11G

ПШГ OK АЛ i ЕР \1>РЫ 2.9
Роббияс (Robbing H Ь )
1 \ theorem on graphs with an application to л probler nf traffic ctnrrl
Amer. Math. Monthly, 46 AU39), 281—283.
Роберте, Спенсер (Roberts F , SpertCor J )
cl Characterization of clique-graph^ J Combinatorial Theory 10 A97П
102--108.
Робсртсоп (Robertson К \
1 The smallest ^raph of girth "> and \a1enc\ 4 Bull Amer Math Soc. 70
(]'J64). 624—825.
Робинсон (Robinson R W.)
I. E numeration of coloured graphs / Combinatorial Theory 4C968} 181 — 15H
паи Роои, Вклф (van Rooij A., Wilf H.)
1 I lie interchange graphs of a finite ^raph \da Math Acad Sci flan^ar
16 A965). 263—269
Рога (Rota G.-C.)
1 On the foundations of combine tor ial theory, I: Theory ol Mobius limit ion
2. Wahrscheiniichekeitsiheorie and Vena1 Gebiete 2 A961) 340—366
Саати (Saaty T L.)
*L Thirteen colorful variation on Gutbrie ^ four color conjecture- Amer. Math
Monthly, 72 A972) 2—43
Сабидусси (Sabidussi G.)
\. Loewy-groupokb related to 1 near ^гаркь Amer J Math , 76 (ino4),
477^487.
2 Graphs with given youp dud ^iveti granb theoretical propcitios» Cunad
J Math,, 9 A057), 515—525.
3 On the mini mum order of #"aphs with given automorphism group Mo.'iatsn
Maih., 63 A959). 124—127.
4. The composition ot graphs. Duke Muth. J., 2b A959). 693—696
5. Graph multiplication, Math Z.. 72 (I960), 44C—457.
6 The lexicographic product of graphs. Duke Math. J 28 A961), 573—578
7 Graph derivatives, Math. I... 76 A961) 385--401
Светкович (Svetkovic DragoS M.)
C;1 Gr.iph?, and their spectra. Publ. hkkirolehn Fak Vniv Belqrada Sir п\Л
i tiz: 354 — 356 A971К i —50
Седла чек (SeH lacck J )
1 Some properties of interchange graphs, в сб. Theory of Graphs and ib Л p.
pMctitions (поя ред. Fiedler M.), Prague 1962 перепечатано в Acaueink'
Press, New York, 1962. pp. 145—Г.50.
Сеьереш. Ви.иф (Seekere^> G Will Jl. S.)
1. An inequality for Ше chroma tie number of a graph J Combinatorial Jheo/y,
4 A968), 1-3
Село (Szele T.)
1. K^Tiibina-nrischc Lntet^uch'in^on iihrr dcii ^eric.htLteii vollstiuitiigen ъгч
phen, Mat. Fiz. Lapok. 50 ('1943), 223—256."
р (Senior J. K.)
1 Partitions and iIkmi reuresentat've ^rypib Amur J Wat a 73 A931) 663—
G89.
Сешу C.f Рил М.
1. ЛяпсГшые гряфьм! 3,neKTpiiMec4jiL i;enn нзд-вс «Высшая школа> Ч 1971
Спшлтоп (Siviglclon R R.)
1. There is no irregula1" ^U ore gr<?ph A mar. Math Monthly 75 (!%8) 42—48.
Слеп я к (SI cp i an D.)
1 On the t)umber of symmetry lypes of Boolean functions of n v^irirsbles
Canad. J. Matii., у П953|. 'ibf)—J93.
Гл.цт Тэтr (Smith С. А. В.. Tuiie W. Т.)
1 От uriicursai paths in a network ol degree 4 Amer. Matlt Monthly 48
A941) 233—237

230 СПИСОК II-llIiPATiPbl
1анг (Tijng D. Т.)
I Hi-path networks ond тиНкощшос1Ц\. Пот»* IEEE Trans. Circuit Theory
11 A964). 408-471.
Татт (ftitte W. T.)
1 On Hamilton circuits. J. London Moth. Soc 2! A946), 98—101
2. The factorizations of linear graphs. J. London Math. Soc, 22 A947), 107— 111.
1. A family of cubiсй 1 graph?, Proc. Cambridge PhHas.Soc, 43 A94 7) < 459- 474.
4. The dissection of equilateral mangles into equilateral triangles, Proc.
Cambridge Philos. Sec, 44 A948), 463—482.
5 The factors of graphs, Canad. J. Math., 4 A9o2), 314
6 A short proof oS the factor theorem юг fimte graphs Canad !. Math 6
A954). 347--352
7 An algorithm foi determining whether a ^iven binary niaiioid is graphic,
Proc A mer. M a th. Soc.. 11A9f>0), 905 —917.
8 A theory of 3-conneetcrl graphs. Indag. Math. 23 \l%l), 441—455.
9 Л census of planar triangiiUiiiom, Canad. I Math. 14 A962). 21 38.
10 \ new branch of cnumerativc ^raph theory Bvli A mer. Math. Soc 68
A962), 500—504.
11 On tho поп-biplanar character t f the eomp:ek 9-graph Canad. Mafft Bull
6 A963b 319-330.
12. How to draw a ^raph. Proc. London Muih. Soc 13 [\9ьб) 743—767.
13. The numbor of planted plane trees with a t>iven partition Amtr. Math
Monthly, 71A961), 272—277.
П Lectures on rnatroids, J Res. Nal Bur Stand Sett В 69 A965) I-
—47.
15. The connectivity of graphs. Toiorto Uiiiv Pre^s, lor out о 1967.
Тейт (TaiiP.G.)
3 R em arks on the со louring of гплр$. P roi Roual Soc Edinburgh 10A850O29
lex Яп (Teh H. H., Yap H D.)
1 Some construct ion problems of homogeneous graphs Bull Math Soc,
Kanyang Univ. A064) 164—19b
Тёр КС: р (Turner J.)
1 Point-symmetric eraphb with a prime numbu ot points, J Combinatorial
Theory.' X A967). 136—115.
2 A. bibliography of graph theory, и со". Г-':oof. Techniques in Gwpli Theory
(и о д p e д. 11 а г а г у I-'.}, Л e a <i e. m i e P r ess, New York, 1969.
Тернер» Kayu (Turner .!., Kautz \V. 11.)
°3 \ survey of progress Ir¦ graph theor\ in iln Soviet Union S/AM Rev 12
A970), Suppl.. 1—68
Ту pan (Tu ran P.)
1 Eine Extremalauf^abe uv.s der Grap; cnt^eorie \hu Piz, Lapok 48 A94i)
430—452.
Уитп i (Whitney II.)
1 The colouring of graphs. Ann. Math, B). 33 A932), 688-718.
2 Congruent graphs and the cormeo.tiviiv rf graphs. Atmr ! Math 54
A932). 150—168.
3 Non-separable* ?nd planar ^japlb, Tnv s Am?r. Math So< 34 A032)
339—362.
4 A set ot topologies! in v an an b tor ^Пф1| Am?r. J Mai к 5^ (UK3i. 231 —
235.
5 Planar graphs, i:und. Math., 21A933), 73—84
6 On the abstract properties of linear dependence. Ames. J Math , 57 (ШП),
509-533.
7. A theorem on tfrKphs. Ann. Mat!'., o2 A031) 378—^90
Улам С
1 Псрошонньо математические ^,и\чи., изд-ио «Наука», \\

Г niiCOК ЛИТЕ Р \ Т^ Р II 281
Улениек {U 111 en bock О Е.)
1 Successive approximation гИЬосЬ in classical statistical mechanics, Phy
sha. 26 (I960), 17—27
Уоткинс (Watkins M. П.)
[. Л lower bound Kt ', n t4 number of vertices of g г a p h Atner Walk, Monih.hj
74 A9G7), 297.
Уэлш (Wcbh D. J. A )
I Baler 2t)d bbarti'e matroids, У CombmahrlcA [heart 6, № 4 11969)
375 — 377.
Уэлш: Пауэл/j (Wclhti D I A., Powell M. B,>
i. An upper bound for the chromatic, number of a graph am1 ib a p oh tat ion
to timetabling problems, Computer J., 10 A967), "85—87.
Фалкерссхч iFulkerson D. R.)
1. Zero-one matrices with zero trace, Pacific ./. Math., 10 (I960), 831—83f>
2. Networks, frames and blocking systems, и en. MaiherruHicN of the Decision
Sciences, vol. II, Lectures in Aspik'd Matl'.ernalie.s (код ре;;. Dar.^ig G. В
Scott Л. Г.). рр 303—334.
Фарм (Far\ I.)
1 On straight lino represcniaiiou oi p'anar graphs Acta Scj. Math Szeged
U A948), 229—233.
Фе/шмаии (Геупгияпп R P.)
1 Space-it mo approaches to quantum el ec trod у n arnica, Physical Rpviw 76
A949), 760—789.
Фе^лер В.
J Внедетше. в теорию вероятностей и ее приложения т 1 изд во г
М.. 1964
Фипк (Finck H J.)
1 ПЬсг die chrojTiatischen Zahicn ei.nes Graphui und Seiner
I and 11. Wiss. Z. Т. И Iltmnau, 12 A966) 243—251.
Фиьк Заkc (Finck II. J Sacks II.)
I (Jber einc von H. b. Wilf ringegebene Schranke fur tfie ch omatische Zahl
endlicher (jraphent Math. Nadir. 39 A969). 373- 3S6.
Фчейшиер ('Fleischner H.)
4. The square of every nonsr parable ^rapli is H innltonian Hull A mar Math
Soc.. 77 A971) 1052—1054
Фо ik\iih (Folknirin J.)
3 Regular line-symnetML graphs / Combinatorial Theory 3, Л° \ A967),
215-232.
Фочкс (Foulkes j. D.)
1 Directed graphs and assc?r,bly sehedu»^, ProL Syap Apf I Main. Amer
Moth. Soc, 10 A9Ш) 281—289.
Форд Норма», y.-iemicK (Ford O. W., Norman R. Z., Uhlenbeck (j. L )
1 Combinatorial problems in the theory of ^riiph^ II Proc \:a( Aa d Sci
(JSA. 42 (J956), 529—535.
Форд Л. Р.. Фэлке.рсеж Д. P. (Ford L R Pulkeison D R )
1 Maxima! flow through a network, Canad. J. Math , 8 A956) 399 -101
2 Потоки и сетях ичд-ло «Мир», М 1%6
Фо^Л'р (Foster R. M.)
1 Geometrical circuits of electrical networks. Trwis А пег Insl Elu Lngrs
51 A932). 309—317
Фр\\т (Frucht R.)
1 HersLellun^ von Grapheti mit \or^egebener abstrakten Gruppe Composiiio
Maih., 6 A938), 239-250.
2 Graphs of degree three with p\ given albtjact group Canad J Math ,
1 A949), 365-378.
3 On ihe groups of repeated graphs, Bull. Amer M ith. Sec, 55 A949)
4 \ one-regular graph of degree three Canad J Math , 4 A952), 240—247

282 СНРГОК 1И1ЬР Л
Фру.хт, Л арари (Fiucht R.. Ilarary Г.)
1. On the corona of two uTaphs, Aequaiiones Math 4, jV 3 (J970).322 — 325
Xanni-irep..(Had\vi^er II.)
1 U ber. fine Кbissifiktu iотi der St!cckепкотпрIexe, \ terleljscfir . \-alurwrsch
Ues. Zurich. 88 A043), 133—142.
Хапош (Hajos Cj )
1 Uber eirio Art von Craphen, Internal. Math. iVachr,, 2 (HJ57), bo.
2 С ber d fie Kanstrukiion nicht /г-farbbarer Graphen, Wiss. Z. Martin
Univ. Halle-Wittenberg Math.-N alar Reihe, 10 <1%!) 116—117.
X ж им и (Litfkmji S.)
j. On the realizebiliiy oi a -.et of integers as decrees of the vertices of <-)
J SI A M AppL M и Ш. 10 {1962),' 49G— 506.
X я мл да, Нои й да, Ёшимура (Hamad^ 'Г.. Monad я Т , Yoshim^ra I.)
°1. On Hie connectivity at total enphs, Ма/h Ачп 1% П^72) JO—38
Хамсл1!кк (Hair.elink R. С.)
1 A partial characterization of diqtie ^r-iphs, J Combinatorial Theory. 7
A969).
pi: (Harar> h.)
1. On the notion ot Mdixe of i signed ^гярЬ. Mick Math J 2 119531 143 —
146.
2 The number or linear, directed, rooted and connected graphs I rar s Amer
Math. Sot. 78 A955), 445—463.
3. Koto on {he Polya and Otter formulas foi enumerdtin^ trees. Mich Math J
3 A956) 109-112.
4 On the number of dissimilar line-subgraphs оГ a given ^raph Pacific J Math.,
b A956), 57—64,
5 The number oi dissimilar <u per graphs of a linear graph Pacific J Math ,
7 A957), 903—913.
6. Structural duality. Behavioral $n.t 2 A957) 2э5—26л.
7 The number of oriented graphs, Midy Math. У., 4 A957), 221—224.
S On arbitrarily traceable graphs and directed graphs Script a Mu'k 23 A957),
37—4-1
9. On the number of bicolored graphs, Pacific J. Math., Ь A958), 7'13—755
10 On the number ot dissimilar graphs between a ^ven grjph-subgraph pair
Canad. J. Math.. 10 A958), 513—516.
11. Status and contrastslus, Sociomtry, 22 A959), 23—43.
12. On the ^roup of the composition o\ two graphs Duke Math J 2(> П959)
29—34
13 An elementary theorem on giaphs, Atn&r. Math. Monthly. ЬЬ A9э9), 4u5— lU/
14. The number of functional digraphs, Math. Arm., 138 A959), 203—210.
15. Unsolved problems in the enumeration of graphs. Pabl. Math Inst. Il
Acad. Set., 5 (I960), 63—95.
If> A graph theoretic approach to matrix inversion b> pcirtitionin^ Nurrwr
Math.. 4 A962). 128—135.
17 The maximum eonnetJiviK of i ^raph Proc \at Acad Sci LSI, 48
A962), 1142—IM-6.
18 The determinant of the adjacency matrix of a grayh ЫАМ Review, A
A962), 202—210.
19. A characterization oi block-graphs, Conad. Math. Bull., b A96J), 1—6.
20, On (he reconstruction of a graph from a collection of subgraphs, в сб. Theory
ot Graphs and Hs Applications (поя ред. Fiedler M.), Prague, 1964 pp 47 -
52; перепечатано в Academic Press, New York. 1964.
21 Комбинаторные задачи перечисления графов в сб. Прикладная комбина-
комбинаторная математика (под ред. Бекке.нбаха Э) in/ию «Мир». -М., 1966,
ьтр 107—140
22 Applications oi Polya's theorem to permutation groups ivi. 5 в сб. A Semi-
Seminar on Graph Theory (под ред. Hararv F ) Nevv York 1967 pp 25—33

список л и • j с р л ; \ р ы 283
23. Задачи перечисления графов. УМ Я 24 >.» 5 A969).
24. \'';1гЫюпя он з theorem by Monger. J SI AM Appl Math (8 пеыти)
Хараря, Нил ко kc (Штагу Г., Wilecx G.)
I Boolean operations on ifraphs. Math. Scond., 20 A967) 41—51
X^papii. K^pis. Tan (Harary F., K^rp R. M.. Tiute \V. T.I
I -\ criterion for planaritv of t'ic square of a graph J ttmbinawrial Theory,
2 (»967). 39Г>--405.
Харари, Кодам a (llarary F Kodarna \ .)
1 On the i,rcnLs of an a -connected graph Fund Math 54 A964"), 7—13
\«нрари М ян нет (ILirnrv F.. Manvel \1Л
1. On the number of cycles in s ^raph. Math. Casoph, 21, № I A971) 55—63
Харари. Мовшовип, Р пар лап {На га г у Р., iHow-show it г Д.. R iorda ri J.)
1 Labeled tree^ with unlaiK'led end point ./ Combinatorial Г henry Ь A969),
60-64.
X lpaprr. .Мозср (Harary T., Moser L )
1. The I. hear у oi round robin tournaiTtents Amer 4aih Monthly 73 A966),
231—246 '
X a pap ii. Норм а к (Harary I-.. Norman R Z.)
1 The dissinularity charicteristic от Husimi trees, Ann o/ War/i 58 A9^3}
134—141.
2 Dissimilarity characteristic theorem^ for ^raph^ P/vr Atnsr Math Soc
II A960), 332—334.
3 Some properties of lino digraphs, Rend C\rc Mat Palermo 9 A961) 161 —
168
Харари, Нормам Картряиг (Harar> F , Norman R. Z., Си г tw right D.)
1 Structural models: an introduction to the theory of directed graphs, Neu
York, 1905.
Харари, Пэ:л-Вилг»ял1С, (Harary Г,, Nash Williams C. St. J. A )
1. On Eulerian and llamiHonian graphs and line-graphs, Canad Math Bull,
8 A965). 701-709
Харари Па л мер (Harary F., Palmer E. M.)
1 The number, of graphs: rooted at an oriented line, ICC Bull , 4 A965), 91—98.
2 A note on similar point?, and similar lines of a graph Rev. Roam. Math.
Pares et Appl., 10 A065). 1489^1492.
3 fhe smallest graph whose group is cyclic. Czech. Math. J 16 A966). 70—71.
4 On the number of orientations of a given graph, Ball. Acad Polon bci
Ser. Sci. Math. Asironom. Phys., 14 (I960) 125—128.
5 On simiiar points of я ^raph. J. Math. Mech., 15 A966), t>23—630.
6 The reconstruction of в tree from its mdximai proper subtrees, Canad
J. Math.. }H A966), 803—810
7 Enumeration of IocaUv restricted digraphs Canad J Math , 18 A966),
853—860.
8 The power i^roiip cnurr.eration theorem / Combinatorial Theory 1 A966)
157—173,
9. Enumeration of self-convert digraphs, Matke/nahko, 13 AQ66), 151—157.
10. The groups of A:с*5тпаП digraphs, ,/. Indian Statist. Assoc, 4 A966), 155—169.
11 The enumeration methods of Rediield, Amer. J. Math., 89 A967), 373—384
12 Enumeration of finite automata. Information and Control, 10 A967) 499—
50».
13 On the number of balanced signed graphs, Bull Math Biophysics. 29 A967)
759—765.
14 On the group of a composite ?rapli Studta Sci. Math. Hun gar,, 3 (в печати*)
15 On the point-group and line-turnip of i graph ']cta Math Acad Sci Hung ,
19 A9G8), 203—269.
16 СИ Urn mimbei of forests. Mai Casopis 19. Ar9 2 A909), 110—112.
17 On acyclic 6tmplicial complexes, Mathemaiikay 15 A968), 119—122.

284 список ]ИТРРагуръ1
18 On the problem ol reconstructing a tounnrnrnt Г mm < Lib tournament*,
Monatshefte fur Math.. 71 A967), 4*-23
Xapiptr. Шдмср, Рид (Haniry / •: Palmer F. M., Read R. Cj
1. Tnc number of whys to label a structure Psychotnein'ku 32 A967) Io5—Io6
Хлрарк, ГЬямме.р (Наглгу t.. Plummer M. D )
1. On the point-core of a gra;ih, Maih. 7 , 94 A966), 382—386.
2. On ihe core of a graph, Proc. London Math. $oc.y 17 П967). 3lb- 314
Хлрарн, При не (Нагагу F., Prin.^ О.)
1 The number of KomeomorphiCrdh irtiducib'e hee?.. «unc1 othir specie^
Леш Мш/к, 101 A959). 141—16:2.
2. EnujTicratfon of b]colourable graphs. Canad, ./. Math., !5 <41963). 237—248
3, The Ыоск-cutpoint-tree ol a t^raph, Publ. Math. Debrecen^13 A966). 103—
107.
ри, Прилс. Татт (Ilarary F.. Pi ins G., iufte W. 'I 1
1. The number of plane trees, Indagaliones Moth... 26 A9041 310—329
"Чарари, Рид (Barary P., Read R. C.)
1 The probability ot a given 1 choice ^inxmre Psychonutnka, 31 A966),
271—27S.
Харарк, Росс (Ьлгаг\ Г.. Ross 1. С/
1. Л description of strong her, in ? ami werikenin^ ftom njcrnbors Sociomefry
22 Ц9Щ, 139—147.
Харари. Татт (Harary F., Tut to \V. Г.)
1 The number of planu trees with a given partition Maihematlka 11 A964)
99-101.
2 A dual f<ji n ot Kmatcwski's Uieonin Canad Math Bull 8 A9G5) Г—20
373.
J On I h border of the gruup <¦ f a f b.m\i n?p J Ccmlina+ofiG1 Vieory 1 A966}
594 -305.
Харари, Трот (Harar} [ ., Iiautli С. Д., Jr.)
i. Connectedness of products of two directed graphs. J Ъ/ЛМ Appl Maih.
14 A966). 250—254
Xp Уле.чбех (Harary F., Lhlenbeck G h.)
1 On the number of Huslmi treps. I Pro,:. Mat Acad Set. USA 30 A953)
315-322.
Xdj.apjf, ХедетинеА(и (Haiar\ Г lledetniem! S)
I. The achromatic питЫж of n grapli. J Combinatorial Thwry 8 A9701
154—161.
Харарн, Хедетннемрг, При не (Нап г у F Mecctnicmi Ь Prir.s G.)
1 An. interpolation theorem fni graphical bomoniorphisin^. Port Math ,
26 C967), 453—462.
Хтрарп, Хедетнисмтт, Робинзон (library F-, Hedetuiemi S. T Robinson R, W.}
1 I'nkpiely colorable graphs, /. 'Combinatorial Theory 6 (I960), 264-—270
Харрисон (Harrison M. A.)
1. A census of finite automata, Canad J. Math., 17 A9fb), 100 -113.
2 Кotc on the nuniber of finite algebras, / Combinatorial Theory 1 ACNB) 394
Хауз (House L. C.)
1 V h-critical grapli nt given dcn^ih Am*r. Math Monthly 74 A967) 8Я-
831.
Хедстииеми (Hede.truenn S.)
}. On here<iitary proportion of graphs, Stadia Sci. Math Hunger (в печати)
лкн, Пз'льтр (Hcclrlin Z.. Pultr A )
1. Symmetric relations (undirected ^rapj-,sj witli qiwn son;i^roup, Monatbh
Math.. № A965). 318—322.
2. On rigid undirected graphs. Canau J Math 18 (H66) 1237—1242
Хеммтшджср (Hemmin^er R L.)
J On reconstructing a ffnipli, Proc Amir Math Soc 20 A069) 18^- 187
\сфк.|ггср (Ilcfftcr L.)
1. Cber das Problem dcr NdchbargLbi«-te Ann Math 38 A891) 477-508

список люfp\t\pij 285
Хече1! (Неиспеni;e С.)
i Sur unc cert a i nc corre^penchrue uitre graphes, Bull Soc Roy Sci Liege,
33 (ЦН>4). 743- -7^3
Хилуд (II pa wood P J.)
1 Map colour theoreirs Qiart I Mai It 24A890) 332—338
Хоббс (Hobbri А. AU
cl Л survey of tliickne.si Recent Progr С otnbmator New York London
1969, pp 255-264.
Хоббс Гроссман (Hobbs Л. M., Grossman J. W.i
I Thickness and connectivity in graphs, /. Res. Nat Bur Stand, B-72t
Л2 3 A968) 239-244
Хотт Д. (Hall D. W.)
i A note on prirrmtiu skew curve* Bull Amer Math Soc 49A943) [)Ъ—
937.
Xmi M.
1 Комбинаторика изд-во «Mnp> М 1970
Холп Ф (Hall Ph.)
I On representations ot subset-; / Londo i Math Snc 10 A435) 26—30
Чанг (Chttng L C.)
1 The uniqueness anil rionuniqupness of ibe tiiangular ossoctslion scheme,
Sci. Record, 3 <I959) 604—61,^5
Чартрэнд (Char I rand G.)
1 A ^raph-theoreiio iipproach lo ?. com nniTications problcni / 4} A VI Appl
Math., 14 A966), 778-781
2 On Haniitonian Hue graphs, Truns Amer Main S<x Ы4 № 3 1.19G8),
559—566.
Чартрэлд, Геллер {C.hartrand G.. Culler D.I
1 Uniauely colorable planar L'raphs. ./. Catibinatoricl Theory 6 №3(l9b9),
271-278.
Чаотроил, Геллор, Хедетниеми (Chartrand G , Geller D . Ibderp.iemi S.)
1 A generalization of tlri chromatic numbor Ptoc Cambridge Philos Soc ,
64 'A968), 265—271.
2 Graphs with forbidden bubcry|jhs J Crynbuiawriai Тпгогц В-10 \г 1
A971), 12—41.
Чартпэнд, Кяпур, Крон к (Clbtrtrand G К ^ poor S Ь Kronk H \ )
1. The H ami lion i an bicrarcliy (в печати).
Чартрэнд, Kyr^pt. Лик (Chartrand G. Kau^ars A., Lick D R )
1. Critical!у fi-c.onnec.ted graphs, Proc. Amer. Math Soc &2 ~k* 1A972),
63—68.'
Чартрэкд, Крон к (Chartratid G-. Kronk H V.)
1. Randomly traceable graphs, J. SI AM Appt Mctih (в петти)
Чтртрэпд, Стюарт (Chartrand G.. Slewarl .M. J )
1. The connectivity of line-graphs, Math Ann 182 A%П) 170 -174
ру1тд, Xiipapn, (Chartratid G.r Harary F.)
1 Planar permutation griiphs Ann hist Hem Poincar? Se^ В 3 A9d7),
433 -488.
2 Graphs with prescribed connectivities, r сб. Theory of Graphs (под род
Rrdos P., K.atona G.), Akademiai Kiado, Вadapost, 19C8 pp. 61—G3.
Шрихаьд (Slirikhaniie S. S.>
1. On a djaracUfirization of the tnuigular associahon bihenu1 Ann Math
Statist., 3i) A959), 39—47,
Штейн (Stein S. K->
I. Convex maps, Proc. Amer. Math. Soc., 2 tl9olj 464—466
Шгсйниtu Радсмахер (Skinitz E., K<ickrnK.cher H.)
1 Vorle.^ungen iibor die Thcorie der Polycdcr, Berlin, 1934
Эвл1С Харари, Лини (Evan?. J. W-. Мзгагу F., Lynn M. S )
1 On the computer cnuTtieration oj finite topologies, Lonim Assol Comp
MaeH-, 10 A967), 295—298.

СШК OK JHi Lf'ATW Ы
1 1,мондс (Edrr.onds J )
1. Existence 01 /'-et.l^e connected ordinary graphs with prescribed denies,
/. Res. Nat Bur Stand Seel В 68 ^64) 73—74
Эйлер (EuJer L.)
1 Solijtio problematic ad ^еотсЧпат situs pertinent is. Comment. Academlae
Sci. 1 PetropolilariGc 8 A736). 128—140; Open; Omni я Series 1-7 A766)
1--I0
2 Tk Колig>berg bridges, Sci. Atwr IS A053) W>- 70
Эчнас П , ФлкаотеГш Л. Шсшюи К.
I О максимальном потоке через сеть, в t.6. К, Шеннон, Работы по теории
информзпии к кибернетике ИЛ, М. 1963 стр. 729—734.
d
Эрдёш {Erdos P.)
1 Graph theory" and probability IL Canad J. Math.., 13 A961), 346- ,352.
2 Extremal problems in graph theory, гл. 8 в сб. A Seminar on Graph Theory
(под ред. На гагу Р.), New York, 1967. pp. 54—50.
3 Applications of probabilistic methods to yraph theory, ivj. 9 в сб Л Seminar
on Graph Theory (под ред. liar яг у F.), Xcw York, 1967 pp 60—G4.
Эрдёш Галл аи (Erdos P., Gallai T.)
I Графы с заданными crejнекими e^paind (на венгерском ^зькс ), Mat
Lapok, \Y A960). 264—274
Эрдёш Гудман. Поша (Erdos P., Goodman A., Posa L.)
1 The representation of a graph by set intersections, Canad f Math 18
A963) 106—112.
Эрдёш, Репьи (Erdos P., Rcn>] A.)
I. Asymmetric graphs Ada Math Acad Sci Hangar , 14 A963), 295— Л5
Эрдёш Окереш (Erdos P Szekeres G )
1 A combinatorial problem in ge.ometn Compositio Math 2 A935) 463—470
Эрдёш Хайпал (Erdos P., Hajnal Л.)
1 On chromatic immbers of graph* and set-systems Ac la Math Acad Sci
Hungar., 17 A966) 61—99
Юн1 (Jung IL A )
1 Zueinera Isomorphiesatz \on Whitncv fщ Graphen Math Ann , 164 A966)
270—271
Яюбсен (Jakobscn I. T.)
"I. A hornornorpliisiTi. tlicoren with an apphestior to thf conjcciLire of Had
wi^er, Stud. Sci Math Ни fig 6 A971) 151—160
Япп_ (Youngs J. W. T.)
1 The rieawood map colouring conjecture, г л 12 в сб. Graph Theor\ and The
orctical Physics (под ред. Ilararv p.). Academic Press, London, 1967,
pp 313—354,
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
il Аарден Эр^нфест (van А
Elirenlcsl T | 229, 240, 245
Лвондо-Бодиил (Avondo-Boditio G ) 70
Аидереол (Anderson S S.) 59
е (Bcinckc L W.) 10, Q2 69,
91, 95, 107, 115, 116 122, 143—147,
150, 229, 243 --245 247
Б ал а бак (Balaban A. T ) 8J
Барнетт (Bamott D.) №, 149
Баттл CBattlo. J ) 132. 145
Бензер (Ben?er S ) 35
(B^rgc C.) 6—8 19, 24, 36 G2,
1 18—120 124, ЮЗ, 235
Ьернсайд (Burnside \V ) 211
Бехзад (Behzad M) 81 9i 103—10o,
149, 176
Биркгоф (Birkboii G.) 73, 172
Б0..1ЯНД, (Boiand J.) '^5
li(\:i;r (Ball W. W. R ) 16, 205
Боллобаш (Bollob^s В ) 74
Бонд я (Bandy J. A.) 58, 176
Боса к (Brxsfik J.) 88
Пс?тт (Воit R.) 239
Браун (Brown E ) 177

MME JIHOfi У KA'S Ь I t 1ъ
2S7
л?. Ьрёйн (ск Bruijn \ Ь ) 224 229
240. 24 о
Ьруальди (.Brualdi R. A ) 36
Брукс (Brooks R. L ) 1-19 153 Io4 187
Б*блер (Бabler Г ) 89
Длрак (Dirac G. A.) 63. 65, otf,
85, 8V Ш. 154. 161, 167—169
Добор (D<i Liber K.) 202
Донец Г. Л. \т, 177
Дэвис (Davis К L ) 22^ 229
70
Вагнер (Wagner К) 8 130 137 161
Ванда (Vajda S.) 19
Ваинберг (Weinberg L.) 20Ь 230
Вальтгр {WaJther H ) 39
Bapra (Varga R. S ) 19
Веблеп (Veblcn O.) 20
Вей ч сел fWefchsel P M ) 36
Визинг В. Г. 59 159
Виландт (Wioiandt H ) 246
В ил ко кс (Wilcox Q.) 36
Вилф (Wilf H. S.) 94, 152
Волмер\а\з {Vollmedians H ) i42
Евдокимов А. А. 40
Ёши.мура (Yoshimuja I ) 105
Жэп {Joan M ) 247
До п да и (Jordan С.) 1Ь, 51 52
За кс (Sadis П ) 39, По \Гн
Зыков \ \ ь, 36, 154, 173, 177
Из(жцкли Aг1>1скт Н ) 201
Гавел (На\е1 V.) 77, 176
Гаддум (Gaddum I W.) 1^4
Гзл (Guy R К) 141 147, 148 150
Галин (НлМ'п R.) 75
Галл аи (Gallai Y.) 46, оЗ, 77, 78, 108,
118. 177, 242, 247
Гамильтон (Hamilton W.) 13, Ib, 85
Гевирц (GeAv-irt7 \ ) 207 208
Геллер {Gdler D P ) \Q 40, 105, 124
133, 149, 165-167 17E. 177, 243
Геренсср (Gcroncser L ) 125
Герц (Herг J. С ) %
Гилберт (Gilbert E K.) 229
Гилмор (Gilmorc P) 35
Годин {Gaudin T.) 90
Гоффмаи (Hoffman A J ) 32 35 40
91, 99, 100, 188, 246
Гравер (Graver J. F.J 30
Грётш (Grotzsch II.) 157
Гроссман (Grossman J \V.) 146
Грюнбаум (Grunbaum В ) Ю 88 142
157. 247
Гудман (Goodman A.) 34
Гуйя-Урл (Ghouila-Houri A) 19, 245
Гупта (Gupta R P.) 120
Густин (Gustin) 144
Г утри (Guthrie) 17
Да л «ел ж (Dul mage A, L } 122, 123,
241, 24Ь
Да Hue p (Danzer I ) 40
Декарт (Descartes В ) 154
Джонсон (Johnson L) 177
Дилуорс- (Dilworth R V ) 73
Камерон (Cameron J ) 39
Камион (Cisinion P.) 242
KaEibo (Ka«no I N.) 207
Капур (Кароог S, Г.) 89 90
Караганде (Kavaganis J. J ) 88 89
Кар.жд (CarliU L.) 229
Карп (Karp R. M.) 149
КартраЛт (Cariwright D) 19 164, 17G
232, 244
Кастелепн (Kasteleyn P W ) 91 240,
245
Kayu (Kanlz W. M.) 8
Квиптас (Qui л las L V) 207, 208
Кен (Kay О. С.) 39
Келли Дж (Kelly J. B.) 151 168
Келли Jl. (Kelly I M.) 154, 168
Келли II. (Kelly P J ) 40 58
Кемле (Kotiipe А. В ) 17 162
Кендалл (Kendall M. O) 243
Кениг (Konig D.) 1G 20, 32, 51, 71
106 119, Hi, 142, 152. 198
Кинг (King C.) 188 246
Киркгоф (Kirchhoii О) П—15, 180
246
Клайнерт (K^inert M.) 14b
Клейтмян (Kleitnwn D.) 148
Кли (Klee V.) 10
Koi^pc (Kaugars A.) 46 75
Кодами (KodairKi Y ) Ы 132 145
Козырев В. П. 8
Коксстер (Coxeter H S M ) 16 205
Кома'1 (Коman M ) 141
Кои.иг (Kotzig A ) 67 149
Крауц (Krai.is7. J.) 94
f (Kronk H \ .) 89. 90
(С row* D W.) 248

288
HMFHHOli УКАЗАТЕЛЬ
курант (Courant R.) 143
Кура говский (Kuratowski К ) г> 126,
Ъз
Купер (Cooper J.) 176
Кэлн (Cayley A) 13, 15 16 199 20е»
210/220, 221, 228, 229
Ландау (Landau H G ) 243 247
Левин (Lew in К.) 18
Ледерберг (Lederberg J.) Ь8
Леккеркеркср (Lekkerkerkei С ) 35
Ли (Lee Т. D } 19
Лик (Lick D R) 75
Линн (Lytm M S.) 229
Литтлвуд (Littlewood J E ) 194
Ловац (Loviisz L ) 82, 1j4
Лоэс (Lowes P ) 229
Ъюис (Lewis D ) 172
Ma к-Лей и (UacLane S.) 126 140
Мак-Эндрю (McAndrew Ч П ) 36
208 246
Манвел (Manvcl В.) 10, 40, 58 18?
Марче веки й (Marczewski E ) 33
Мей (May К С) 17
Мейберри (May be г о J P ) 239
Меиер (М.ауег J ) 144, 146
хМепгср (Monger К.) 64 Ь$
Мендельсон (Mendelshon N S ) 122
123, 241, 246
Менон (Мепоп V.) 91
Дкриветер (Men wet her R L) 207
Мерриел (Metric 11 D.) 40
Мёбиус (Mob ius) 17
Миллер (Miller D. J ) 10
Мильгрэм (Milgram 4 К ) 242
Милти (Minly О.) 58
Мирский (Mirsky L ) 73
Митхэм (Mcetham A R) 39
Мовшониц. (Mowshowitz A.) 188, 228
Мозер (Mozer L.) 40, 242, 243, 247
л с Морган (de Morgan) 17
Моргенштерн (Morgcnstorn О ) 237
.Модкин (Motzkin T S.) 33
Мукхопадхая (Mukhopadhya> A ) 38
Мун (Moon J W.) 40, 100, 105 ]46,
83, 210, 228, 229, 232, 247
Мыцечьский (Mycielsk^ J ) 151
фон Ней млн (von Neumann J ) 237
Нонада (Ко па da T ) 105
Нордхауз (Nordh^us E Л.) 105 154
Норман (Norman R Z.) 19 59, 119
120, 229, 231 262 245
Нэш Вильяме (Nash-Williams С St
J \ ) 30 101 105 10G, 114, 247
Обершельи {Oberschelp W.) 200
Opo (On? О) 6, 7, 18 36,81,85 87—Я1
153 158, 159 161
Остин (Austin 1 L.) 228 230
Оттер (OUer R ) 221, 228 230
Пал мер (Palmer E 4.) 10 36, 58, 192
200, 202, 206—209, 2И, 224 225
228 229, 244
Паркер (Parker E. M.) 244
Партасарати (Parthasarathy К R ) 228
Пауалл (Powell M. B.) 175
Пенни (Penny W. F.j 228 230
Перфект (Perfect 11.) 73
Петер сен (Petersen J.) 113
Пипперт (Plppctt К. П.) 229
Пламмер (Plummcr M. D ) 10, 4? 74
88, 107, 116, 122—125
Пойа (PoIyaG.) 191, 194, 208, 209, 211
213, 217, 220—222. 228, 229
Псжтрягкн Л. С 126
Поша (Posa L.) 34 85
Принс (Prins G.) 53. 17A 171 177, 222
223, 228, 229. 266
(Pultr A ) 208
(!<abin M.) 119 120
ep (Rariernacl)Lr 11 ) 130
Радж2ви (Radjavi H.) 104
Радо (Rado R.) 72
Райзер (Ryscr H J ) 245
Рамачандра Pao (Ramachandra R ю \ )
82
Рам сей (Ramse> F P ) 30
Pao (Rao S. В ) 82
Редей (Retiei L.) 241 24 <>
Редфилд (Redfield J H ) 209
Реш.я (Renyi A.) 62
Рид М. (Reed M.) 91
Рил P. (Read R C.) 173 175 Ifcb ill
225, 228—231 246
Риддел (Riddel R. .1 ) 228
Pniireib (Rirgel G) 39 143—145 \Jd
Ш2, 163
Риордан (R юг dan I ) 172, 223 228—
230, 248, Ш
Ричардсон (Richardson M.) 237
Роббинс {Rabbins \\ H.) 143, 246
Робертс^ (Roberts Г.) 35
Робертсш! fRobertson \ ) 95 208

ИМЕННО!! УКАЗАТЕЛЬ
2Ь9
Робинсон (Robinson R tt ) 89 1Ь5,
176 228, 229
вал Роси (van Rooij A.) 94
Росс (Ross I С ) 245
Росси (Rossi P ) 90
Рота (Rota G G > 174
Саати (Saaty T ) 148, 159
Сабидусси (Sabidussi G.) 36 91, 192,
197,' 200, 201, 20G, 207
Светкович (Svetkovie D ) 188
Седлачек (Sedlacek J ) 149
Секереш (Szekeres G) 30, 152
Селе (Szele T ) 242
Сеньор (Senior I К) 82
Сешу (Seshu S.) 91
Сии'!ьвестр (Sylvester ) j ) 13, 16 51
Симглтон (Singleton R R ) 40
Слспяп (Slepian D ) 229
Смит Б (Smith В В ) 243
Смит К (Smith С \ В ) 149 154
187, 229, 240
Спенсер (Spencer J ) 35
Стемпл (Stemple G J.) 18 158
Стоун {Stone A H) 149 154 187
Стюарт (Stewart M J ) 104
Танг (Tang D T) 150
Татт (Tutie W T.) 58, 63 87 106,
108, Ml, 116, 132, 137, US 149,
154, 186, 187, 204 205, 207 208
227—229, 239, 240
Тейт (Tait P G ) 87
Терри (Terry) 144
Tex (Teh H' H ) 36
Тернер (Turner J ) 8, 207 269
Трот (Trauth С A Jr.) 3b, 245 246
TvpaH (Turan P.} 30 33, 39
Уитии (Whitney H ) 57, 60, 66,91 92,
126, 129, 138, 139, 140, 148, 159, 174,
208
Улам (Uam S M.) 25
Уленбек (Uhlenbeck G E ) 19, 228 229
Уоткинс (Walkins M E ) 74
Уэлч (Welch) 144
Уздш (Welsh D J A ) 10, 175, 176,
188
Фа ген (Fagen R. E ) 228 230
Файнстейн (Feinstein A ) 67
Фалкерсон (Fulkerson D R ) 19, 67,
70, 245
Фари (Far) I ) 130
Фейнманп (Feynmann R P) 19
Феллер (Feller \V.) 19
Фестингер (Festin^er L) 19
Финк (Finck H. ~J.) 157, 175, 176
Флейшпер (Fleisdmer H.) 88, 90
Фолкман (Folkman J ) 203
Фолkc (Foulkes J D ) 242
Форд Г (Ford G W) 229
Форд Л (Ford L R ) 19, 67, 70
Фостер (Foster R M) 201
Фруxt (Frucht R ) 196 198—200, 205
Хадвигер (Hadwiger H ) 161
Хайнал (Hajnal A.) 175
Хайош (Hajos G) 33, 170
Хакими {Hakimi S) 77, 81, 82
Хамада (Hamada T ) 105
Хамелинк (Hamelink R С) 35
Хлрари (Harare F.) G—8, 19, 26 16,
40, 45, 46, 53 58, 59 61, 62, 64 69
73, 89 101, 105, 122, 123, 125 132,
137, 143—146 149, 150, 153 164, 165.
170, 171, 176, 177, 179, 187, 188 192,
193, 197, 198, 200, 202, 206—209,
211, 215—218, 221—225 227—229
231, 232, 240, 242—247, 266
Харрисон (Harrison M 4 ) 225 229
Хауз (House L С ) 176
Хедетниеми (Hedetniemi S ) 10, 40
119, 124, 149, 153, 165, 167, 170,
171, 175—177
Хедрлин (Hedrlm Z.) 208
Хемминджер (Hemminger R L ) 104
Хеффтер (Heffter L ) 144 162
Чечен (Heuchenne С ) 245
Хивуд (Heawood P J ) 17, 143, 144,
155 162
Хип (Heap В R ) 248
Хоббс (Hobbs A M.) 141 146
Холл Д (Hall D W.) 148
Холл М (Hall M) 30 75
Холл Ф (Hall Ph ) 72
Чанг (Chang L C) 99
Чартрэяд (Chartrand G ) 10, 39 40,
61, 75, 81, 89, 90. 99 103—105 124
132, 149, 165—167 176 177,206,208
Шеннон (Shannon С Е ) 57
Шрикханд (Shnkhande S S ) 100
Штейн (Stein S. К) П0
Штейниц (Steinitz E ) ] 30
Штокмейер (Stockrneyer P ) 10
Штраус (Straus E G) 33
Шупер (Schuster S ) 133
10 j\° 141

290 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эванс (Evans J W ) 229 Якель (Jackel J ) 30
Эдмондс (Edmonds J.) 82 Якобсен (Jakobsen I T ) 177
Эйлер (Euler L ) 13, 14, 28, 83, 126, Янг (Yang C. N.) 19
127, ИЗ Янгс (Youngs J W T) 143—145, 162,
Элиас (Elias P ) 67 163
Эрдёш (Erdos P ) 30, 32, 34, 39, 77, Яп (Ydp II D ) 36
7Я. 146 154 175
Юнг (Jung H A) 02

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Греки это как то называли. .
Эйкинс *
В этой книге использована в качестве симаоюв и обозначений большая
часть букв латинского и греческого алфавитов. Здесь приведены наиболее
часто встречающиеся из них Обозначения разделены на три категории: латин
ские буквы, греческие буквы и символы для представления операций над гра-
графами и группами
A
В
С
С*
Сп
СР
C(G)
CX(G)
D
D*
D'
dp
D(F)
G
G-u
G—x
G+x
G2
G*
матрица смежностси 1.7b,
237
знакопеременная гр\ппа
195
матрица инцидонции I85
граф блоков графа G 45
матрица циклов 183
матрица коциклов 184
цикл длины п 2G
циклическая rpyrmd 195
граф точек сочленения
графа G 45
реберное ядро графа G
122
орграф 232
конденсация графа D 234
граф, обратный к D 234
диэдральная группа 105
цветной граф группы F
199
тождественная гр>пца 195
граф 22
граф с удалешюй верши
ной и 25
граф с удаленным
ром * 25
граф с добавленным рсб
ром г 25
квадрат графа С? 27
граф, двойственный
138, 139
К
1 п
R
реб
к G
полный граф 29
вполне несвязный граф 29
К1Пгп полный двудольный граф
' 32
K(pltp,,.. ,рп)и(Ш1ый д-дольный. граф
37
/ (D) реберный орграф оргра-
орграфа D 246
L(G) реберный граф графа G 91
Л сеть 70
цепь 26
матрица достижимостей
238
Qn а-мерный к\б 37
S[G) граф подразбиений графа
G 101
Sp симметрическая группа
195
Sj,2) паркая группа 217
редуцированная упорядо
ченная парная группа 218
дерево 52
турнир 241
кодерево дерева Т 56
T{G) тотальный граф графа G
103
V множество вершин 22
Wn колесо 63
X множество ребер 22
Z(A) цикловой индекс группы
Л 2K
т
т
т*
!) Зеа Эйкинс A886—1958) —американская поэтесса и драматург —
Прим перге
10-

292
5/КАЗЛТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
hc{G)
c(G)
dl
d(G)
d {u, v)
Ф)
№, 0
g(G)
k{G)
m(G)
m*(G^
o6[v)
P
iPQ)
Ц
T
r{G)
r{m,n)
rt(m n)
«, v, w
X у 2
дерево блоков ц точек
сочленения ipatjw G 53
окружение графа G 11
степень вершины ut 27
диаметр графа G 27
расстояние между верши
ними и и v 27
эксцентриситет вершины
v 51
хроматический многочлен
172
обхват графа G 21
по л у степень захода вер
шины v 232
число циклов длины ? 212
число компонент графа G
55
циклический paHi [рафа
G 55
коциклический р^нг гра
фа G 56
полустепень исхода вер
шины v 232
число перши н 22
р вершин q ребер 22
число ребер 22
число гранен 127
радиус графа G 51
число Рамеся 30
реберное число Рамсея
104
вершины 22
ребра 22
Y
Г(С)
б
Л
8
V
U(G)
МО)
У
0)
число вершинного гтокры
тия П7
число реберного гсокры
ти я 117
аершинное число иезави
симости 118
реберное число пезавяси
мости 118
род 142
группа графа G 190
реберная группа графа G
191
минимальная степень 28
максимальная степень 28
элементарный гомомор-
гомоморфизм 169
число Хадвигера 177
толщина 145
связность 60
локальная связность 66
ребернчя связность 60
число скрещиваний 148
крупность 14G
разбиение графа G 77
дреиеспость графа G 113
гомоморфизм 169
функция Эйлерл 215
хроматическое число 152
хроматический класс 159
ахроматическое число 170
число пересечений 33
i раф пересечений 33
А -{-В
подграф, порожденный
подмножеством 5 24
объединение графой 36
соединение графов 36
сумма групп 193
проичнедение 1рафов 36
Ах В произведение групп 193
G^G.,1 композиция графов 37
Д\Н] композиция групп 194
fr, AG2 конъюнкция графов 40
8А степенная группа 194
G, о (j> корона графов 198

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
В словах кик в молях, властвует закон
К се хорошо лишь дли своих времен.
Не будь вульгарным модпшшм в науке
Но бойся также рутинерства скуки 1).
А Поп ^)
графа 190
кодиклов
— циклов 55
бюк 41
55
валентность вершины Т7
вершина графа 22, 126
— изолированная 28
— инцидентная ребр\
— концевая 28
— критическая 121
— неподвижная 201
— орграфа 232
— периферическая 51
— центральная 51
центроидкая 52
вершинная база 237
вершины подобные 201
— смежные 22 213
вес вершины 52
вес функции 213
ветвь 56
— к вершине о 2
вихрь 187
внешность цикла 134
выпуклый полиэдр J30
22
lob—IG2
гипотеза Улама 25, 26 48 58 202 244 —
— Хадпигера 161, 162
— четырех красок 151,
164, 167, 172
гомоморфизм графа 169
— полный, порядка п 159
— элементарный 169
гомоморфный образ графа 196
граничный опера юр 54
грань 127
— внешняя 127
— внутренняя 127
граф асимметрический 190
- ациклический 48
— базисный 132
— бесконечный 36
— блоков 45
— — и точек сочленения 53
— вершинно-критический J1
— вершишю-симметрический 201
— внешнепланарный 131
максимальный 131
— вполне несвязный 2$
— гамильтопов 85
— геометрически двоиственнцй 138
— Давида 29
— двудольный 31
— дополнительный 29
— интервалов 35
— клик 34
— комбинаторно двойственный 139
— критический 167
— кубический 28
— Леви 205, 206
— Мак-Джи 205
— направленный 23
— неразделимый 41
— несводимый 123
— однозначно раскрашишемыи 164
олноцикличе^кии 58
— пересечений 33
— Г1стерсена ИЗ
— планарный 127
— — максимальный 128
— плоский 127
— подразбиении I01
— полный 29
*) Перевод с английского О. Астафьевой — При « реЗ
l) \ Pope Essay on Criticism.

294
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
граф полный дв> дольный 32
л-дольный 37
— пол у несводимый 123
— помеченный 23
— произвольно гамильтонов 89
проходимый 89
— простой 197
— реберно-критический 121
— реберно-регулярный 202
— ребер но симметрический 201
— реберный 91, 94
— — итерированный 91
— регулярный 28
— самодополнитечьный 29
— сводимый 123
— симметрический 201
— составной 197
— тороидальный 142
— тотальный 103
— точек сочленения 45
— тривиальный 22
— Хиву да 204
— эйлеров 83
— п-раскрашиваемый 152
— п транзитивный 204
— л-уннтранзитивный 204
— п-хроматический 152
— а-перестанопочный 206
граф-композиция 196
графоид 58
графы гомеоморфные И2
— изоморфные 24 190
— коспектр ал ьпые 168
группа 189
— графа 190
— вершинная 190
— диэдра л ъ.ная 195
— знакопеременная 195
— конфигураций 213
— парная 217
— — редуцирован iid я 218
— подстановок 190
— реберная 191
— симметрическая 195
— степенная 194
— тождественная |95
— циклическая 195
rpvппьт идентичные ISO
— изоморфные 190
дерево 4S
— бжжон и точек соччеиення 54
— корисroc 219
— с киенчим корнем 220
— входящее 235
— выходящее 235
диагональ блока 47
«диаграмма Хассе» 73
диаметр 27
длина маршрута 31
добавление вершины 25
— ребра 25
дополнение графа 29
достижимость 133
древесность графа 113
дуга 23, 232
животное 227
замощение 2-решетки 227
звезда (лапа, гроздь) 32
изоморфизм 24
инвариант 24
инцидентность ребра и вершины 22
искаженность графа 149
источник 235
карта п юская 127
с корневым ребром 227
квадрат графа 27
кьадратпьш корень графа 38
клетка 204
количество очкоь 243
клика графа 34
кограница 55
ко граничный оператор 54
кодерево 56
колесо 63
комплекс 20
композиция графов 37, 196
— групп 194
компонента 27
— нечетная 108
— односторонняя 233
— сильная 233
— слабая 233
конденсация 234
контур 233
— эйлеров 240
конфигурация 2|3
конъюнкция 40, 243
корона графов 198
коцикл 55
кр у п еюсть (зер нястост ь, шероховатость)
14G
лемма Всрисайда 212 214
лес 48

ПРЬДМЕТИЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
295
линия матрицы 71
линейный подграф графа 180
орграфа 179
маршрут 26
— замкнутый 26
— несовершенный 119
— открытый 26
— совершенный 119
— К'сводимый 120
матрица достижимостей 238
— инциденций 180
— коциклов 184
— обходов 238
— по чу степеней захода 239
— — исхода 239
— разреженная 241
— смежностей графа 179
орграфа 237
— циклов 183
матричная теорема о деревьях 178,
181 239
\1<этроиц 57
— бинарный 188
— графический 180
— ко графический 180
— коциклов графа. 57
— циклов графа 57
— эйлеров 188
многочлен деревьев графа 187
множество вершин 22
— висшне устойчивое 118
— внутренне устойчивое 118
— независимое 57, 108, 118
— разделяющее 64
— ребер 22
мост 41
мультиграф 23
наследственное свойство 119
надграф 24
независимые единицы матрицы 71
обхват 27
объединение графов 36
одноцветный ктасс 152
ожерелье 212—215, 224 225
окрестность вершины 197
— замкнутая ]97
окружение 27
орбита 211
орграф 232
— бесконтурный 235
— контрафункциональныи 236
орграф несвязный 233
— обратный 234
— односторонний 233
— примитивный 246
— реберный 245
— сильный 233
— слабый 233
— строго односторонний 244
слабый 244
— функциональный 23G
— эйлеров 240
ориентация графа 246
остов 55
пара связностей 62
паросочетаиие 119
— наибольшее 119
перечисляющий ряд для конфигураций
213
— — — фиг\р 213
петля 23
подграф 24
— линейный 180
— остшиый 24
— порожденный 24
— четный 227
покрытие лершинное 117
— реберное 117
полиэдр ]27
полная раскраска 170
помтный набор инвариантов 24
полугруппа графа 208
полуконтур 233
полумаршрут 233
полупуть 233
пол устелень захода 232
— исхода 232
порядок группы 190
последователь «-пути 204
принцип ориентированной двойгпии
ности 234, 235
произведение графов 36
— групп 190
— поэлементное 239
пространство коциклов 55
— циклов 55
исевдограф 23
путь 233
разбиение графа 76
— графическое 76
— числа 7G
разрез 55
ранг кони «отчески и
— цикчический 55

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
размерность симплекса 20
расстояние в графе 27
— — орграфе ^33
раскраска граф<1 152
— плоской карты 156
— полная 170
— ребер 159
— / цветами 17*2
ребра кратные 23
— независимые 108
— подобные 201
— смежные 22
ребро графа 22
— инцидентное вершине 22
— критическое 121
— подразбитое 101
— симметричное 221
род графа 142
— полиэдра 142
связность 60
— локальная 66
— односторонняя 233
— реберная 60
— сильная 233
— слабая 233
сеть 70
система различных представшей ей 12
стабилизатор 211
степень вершины 21
— графа 27
— группы 190
— ребра 202
сток 235
стягивание 137
— элементарное 1^7
с\'мма графок 'М
— групп 193
теорема Бине — Кош и \Ь\
— об интерполяции гомоморфизмов
171
— о пяти красках 151, 155, 156
— перечисления Попа 211—215 217
218
- степенной rpvmibi 224
— Хиву да о раскраске карт 162— Ifi4
— BEST 240
толщина графа 145
точка сочленении 41
транзитивная тройка 241
треугольник 26
— нечет ш! 9о
— четный 95
турнир 24J
турнир сосгязании
тэта граф 85
245
уда 1ение вершины 2о
— ребра 25
укладка 1рафа I26
уравнение характеристики неподобия
для деревьев 221
— Эйлера — Пуанкаре 57
фактор графа 10G
факторизация графа 106
фигура 213
формула Оттер а 222
— Эйлера для полиэдрon 127
функция связности 62
хорда 55
хроматический класс
— лшогоччен 173
.о9
цпетнои граф группы |ЭД
центр графа 51
центроид дерева 52
цепи непересекающиеся 64
— рсберпо непересекающиеся 64
цепь 2G
— альтернирующая 109
— геодезическая 27
— простая 26
II 4кл 26
— гамильтонин 85
— графоида 58
— м а троила 57
— простои 26
— эйлеров 83
циклическая тройка 241
циклический нектор графа 54
цикловой индекс грл'шзы 212
41 >ело ахроматическое |70
— незанисирлости нершцнное 1
реберное 118
— пересечения 33
— покрытия иерщинпого 117
— — реберного 117
— Рамсе я 30
— — реберное 104
— скрещиваний 148
— Хадвнгера 177
— хроматическое 152
— л-хроматнческое 177
8

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 297
экспоненцирование 20Й I цепь 54
эксцентриситет 51 2 решетка 227
элемент графл 1 (Н 3 решетка 22?
цементы соседние 103 п клетка 204
эндоморфизм графа 208 «-компонента 66
я-куб 37
пнуть 204
ядро вершинное 125 «-раскраска 152
— реберное 122 — реберная 159
п связность 63
п-фактор 106
0 цель 54 я-факторнзация 10Ь
1-база 237 Р множество ПУ
1 скелет 127

ОГЛАВЛЕНИЕ
Я не люблю цитат Скажи, что знаешь сам
Р Эмерсон1)
Предисловие редактора переводл . . 6
Введение 9
Глана 1 Открытие! .... 13
Задача о кёпигсбергских мостах . , ... .... 13
Электрические цепи , ... 14
Химические изомеры . . 15
«Вокруг света» . . 16
Гипотеза четырех красок . 17
Теория графов в двадцатом веке . .18
2 Графы . .21
Типы графов ... . . . . , , 21
Маршруты и связность 26
Степени ... 27
Задача Рамсея , , 28
Экстремальные графы 30
Графы пересечений .... 33
Операции над графами . , 35
Упражнения 38
3 Блоки , .... 41
Точки сочленения, мосты и блоки . 41
Графы блоков и графы точек сочленения , , ... 45
Упражнения 4Ь
Главл 4 Деревья . . , 48
Описание дерекьеп . . , . 48
Центры и центроиды , , . . . 5|
Деревья блоков и точек сочленения . , 53
Независимые циклы и коциклы , , 54
Матроилы 57
Упражнения . 59
Глава 5 Связность . . . 60
Связность и реберная связность .... ... 60
Графические варианты теоремы Ментера 64
l) P Эмерсон A903—1ЬЬ2)— американский пшмтель и фи тософ —
Прим перед.

ОГЛЛВЛЕНИЬ 299
Другие варианты теоремы Менгера 70
Упражнения . . . 74
Глава 6 Разбиения 76
Упражнения , 81
Глава 7. Обходы графов . 83
Эйлеровы графы 83
Гамильтоновы графы . 86
Упражнения . . 88
Глава 8 Реберные графы . ... 91
Некоторые свойства реберных графов , 91
Характеризация реберных графов 94
Специальные реберные графы 99
Реберные графы и обходы 101
Тотальные графы ... 103
Упражнения 104
Глава 9 Факторизация . , 106
1 факторизации 106
2 факторизация Ш
Дрепестюсть 1 13
Упражнения . 116
Гтава 10 Покрытия ... 117
Покрытияипезависимосгь , 117
Критические першины и ребря 120
Реберное ядро ... 122
Упражнения ... . 124
Глава II Пллнарность . . 126
Плоские и планарные графы . 126
Впешпепланарные графы 131
Георема Понтрягина — Куратовского . . 133
Другие характеризяцки план ар пых графов . . 138
Род, толщина, крупность число скрещиваний 141
Упражнения . ... 148
12 Раскраски 151
Хроматическое тисло 152
Теорема о пяти красках 15э
Гипотеза четырех красок ... 156
Теорема Хиеуда о раскраске карт . 162
Однозначно раскрашиваемые графы 164
Критические графы 167
Гомо мо рф и з м ы ] 6 9
Хроматический мноючлен 172
Упражнения ... 175
13. Матрицы . 178
Матрипа смежпостей , . 178
Матрица ишшдеший . . 180

300 ОГЛАВЛЕНИЕ
Матрица циклов |83
Обзор дополнительных свойств матронлов 186
Упражнения . . .187
ва 14 Группы I8У
Групп s автоморфизмов г рифа . 193
Операции на группах подстановок 194
Группа графа-композиции 195
Графы с данной группой 198
Симметрические графы . 201
Графы с более сильной симметрией 204
Упражнения 206
15 Перечисления 20°
Помеченные графы . . 209
Теорема перечисления Пой а 211
Перечисление графов . . 216
Перечисление деревьев . . . 219
Теорема перечисления степенной группы , , . 224
Решенные к нерешенные задачи перечисления графов 225
^ пражнеиия 230
<] 16 Орграфы . . . 232
Орграфы и соединимость . . . 2°-2
Ориентированная двойственность и бесконтлрные орграфы . 234
Орграфы и матрицы 237
Обзор по проблеме восстановления турниров 244
Упражнения . 244
Приложение I Диаграммы графов 248
Причожепие II Диаграммы орграфом 200
Притом сние III Диаграммы деревьев 26G
Список литературы и именной указатель 2Ь8
Указатель обозначений 291
Предметный указатель „ 293

Ф X а р ар я
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Редактор 7 Б Штейнпресс
Художник К П Сиротоа
Художественный редактор В И. Шаповалов
Технический редактор И Д. Толстяком
Корректор Л Л Панооа
Сдано и набор 9/11 1У73 г
Подписано к печати 21/VI 1973 г
Ьум тип. Ян 1 60K90Vi«=^,50 бум. л. 19 гтеч л
Уч.-изд. л 18,95 Изд № 1/6962
Цена 1 р 5С к Заказ № 141
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Москпа 1 й Рижский пер
Ордена Трудоиого Красного Знамени
Перпая Образцовая типография
имени \ А. ЖданОБа Союэполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговля
Москва, iM 54, В ал спая 28