Д ■<

■

'

j

.

J

Культурно-просветительское общество «Лосевские беседы»
Библиотека истории русской философии и культуры
«Дом А.Ф. Лосева»

Алексей Федорович
ЛОСЕВ

ДИАЛЕКТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИКИ

МОСКВА
2013

УДК 140
ББК87. 22
Л 79
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского гуманитарного научного фонда (РГНФ),
проект № 12-03-1б087д
Научная подготовка издания осуществлена
при финансовой поддержке РГНФ, проект №11 -03-00408 а
А. Тахо-Годи

Публикациях

Подготовка текста, послесловие, примечания, комментарии
В. П. Троицкого

Лосев А. Ф.
Диалектические

Л 79

Academia, 2013

—

основы

математики

/

А. Ф. Лосев.

—

М.:

800 с.

ISBN 978-5-87444-397-9
Книга «Диалектические
ственного

философа

основы математики» выдающегося отече¬

А Ф. Лосева (1893—1988) представляет своего

рода единственную в истории

философской мысли попытку формули¬
ровки «первых» (внематематических) оснований для математической
науки. В основу своей «метаматематики» А. Ф. Лосев положил универ¬
сальную диалектику «одного» и «сущего», развивая тем самым неоплато¬
ническую технику Плотина и Прокла в соединении с феноменологией

Гуссерля. Все основные объекты современной математики (в геометрии,
функциональном анализе, теории множеств, теории вероятностей) вы¬
водятся в системе Лосева из единых логических

принципов. Интерес¬
нейшей особенностью предложенного здесь рассмотрения математи¬
ческих учений является вскрытие их интуитивных оснований, что по¬
зволяет погрузиться в подлинно творческие глубины математической
деятельности и, шире, любых форм точного знания.
«Диалектические основы математики» создавались А Ф. Лосевым

при жизни автора

в

публиковались. Отдельные части
этого произведения, по мере их выявления в архиве мыслителя,
публи¬
ковались в различных философских журналах и книжных изданиях
1930-х годах

в

и

не

1990-х годах. В результате многолетней архивной работы удалось

выявить и

ного

подготовить к изданию весь сохранившийся корпус дан¬
фундаментального исследования. Первое полное издание книги и

предлагается

ISBN

заинтересованному

читателю.

978-5-87444-397-9
УДК 140
ББК87. 22

© А А Тахо-Годи, 2013.
© В. П. Троицкий. Послесловие, примечания, комментарии, 2013© Издательство «Academia», оформление, 2013-

В. М. Лосева

ПРЕДИСЛОВИЕ

Выход

в свет сочинения А.

Ф. Лосева «Диалектические основы

математики» представляет собою настолько необычное явление
в

нашей

научно-философской литературе,

нелишним сделать

нении
к

тому

и к

Лосев
и

ратуры

этом

что

будет совершенно

авторе

и

об этом сочи¬

особенности со стороны лица, ближе других стоявшего

в

—

ряд замечаний об

и

другому
—

это одно из наиболее одиозных имен советской лите¬

философии.

Около 1930 г.

в

литературе была предприня¬

расшифрования и разоблаче¬
физиономии
философа, имевшего к тому
времени большое количество разнообразных философских сочи¬

та целая специальная кампания для

политической

ния

и

нений

исследований. Эта

результаты: Лосев
ского

кампания дала

Тем

отрицательные

покачал головой:

рус¬

«Профессор

умереть...»**.

не менее политическое

научно-философской

и осталась

ровался

самые

оказался «небезызвестным вождем истинно

идеализма»*. А. М. Горький даже

не успел

саться

этого

разоблачение

совсем не хотело ка¬

стороны сочинений Лосева;

без раскрытия. Это видно из того, что Лосев

и она так

квалифици¬

и как платоник, и как гегелианец, и как шеллингианец, и как

•

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась (ред).
В рукописи сноска к этому месту не сохранилась. А. М. Горький
в своей статье «О борьбе с природой» (Правда. 1931- 12 дек.) относил
”

А Ф. Лосева к «людям, которые опоздали умереть»

5

(ред.).

В. М. Лосева

гуссерлианец, и

[как] бергсонианец,

[и]

и как мистик,

как схоластик,

и даже как эклектик.

нужно преувеличивать легкости этого

Вместе с тем не
Лосев

—

это одна из самых сложных

Западе. В

нем всегда

методов,

что

жает его

подлинную философскую

ничтожные

уживалось

написанное

им

фигур

столько

только

в

не только у нас, но и на

разных тенденций, идей
ничтожной

степени

аккорды огромной философской симфонии, да

философски.

и

отра¬

жизнь. Можно сказать, что это

Лосев ощущает себя так, что он по-настоящему

и сам

и не начинал писать

Вместе с тем это один из завершительных, резюми¬

рующих умов. Такие

философы

всегда появлялись в конце великих

эпох для того, чтобы привести в систему вековую
создать

анализа.

работу

инвентарь умирающей культуры, чтобы передать

культуре, только еще

мысли и

его новой

строящейся. Отсюда давнишняя любовь Лосева

к античному неоплатонизму, к Николаю

Кузанскому

и к

немецкому

идеализму, та любовь, которую его враги всегда объясняли его мисти¬
цизмом, но
к

которая

инвентарю,

к

по

существу была наполовину любовь

архитектонике,

к подведению итогов.

к системе,

Стоит просмот¬

реть хотя бы только оглавления его основных сочинений: тут
везде на первом плане широчайшая система при невероятном раз¬
витии отдельных деталей. Даже

боте Лосев

бразную

в

своей

историко-философской ра¬

часто только подводит итоги. Свою

античного

концепцию

совершенно

платонизма,

своео¬

производящую

на

многих какое-то дикое впечатление, он сам выводит не больше как
почти только результат и сводку вековой

над платонизмом

работы

вообще.
Все эти наклонности

тяжелой,
тошном

невыносимо

философии,

гирлянды мыслей,

горий,

его

—

и

работу громоздкой,
это

при

самом до¬

конструировании мельчайших деталей. Нужно быть

большим любителем
мые

философа делают
грузной, увесистой

в этот, как

чтобы вникать

выражается

сам

во все эти тончайшие извивы логических

этого «патентованного

мракобеса»

очень

в эти нескончае¬

Лосев, балет

кате¬

тенденций духа. У

всегда была самая напряженная

логическая мысль; и никто у нас так не обнажал мыслительный остов

философии,

никто так не был влюблен в

чистую мысль,

течение многих лет у него не было иной

радости,

другой, разлагая
глубокое, самое невыразимое.

нагромождать одну категорию
сложное, самое

за

6

как он. И в

как бесконечно

на них все самое

Предисловие
Две тенденции характерны для философии Лосева еще
дых лет

это

—

иррационализм

тивопоставлять эти

самой

сферы,

ставления. Но делать нечего,

самого

с моло¬

Можно как угодно про¬

можно негодовать и восставать

(не говоря уже

возможности

советской

и диалектика.

о

нужности)

этого

против

противопо¬

факт остается фактом. Будущий историк

философии с удивлением отметит: у самого алогичного, у
если

угодно, мистического фи¬

сухая,

самая отвлеченная, самая

иррационального, у самого,

лософа 20—30-х годов была
логическая

самая

был какой-то экстаз схематизма

философия,

и система¬

тики.

Свой алогизм Лосев всегда проводил решительно во всем; и,
кажется, никто, как он, не имеет у нас такого развитого ощущения
всего*

бесформенного

в жизни,

всего невыявленного,

только еще зачинающегося, сокровенного. Его
«становление»

ее

худо

нужно

изображал

мифологию.
ское,

в

как

раз

1930 г.,

Так прямо

в таком

духе. К концу 20-х годов

многочисленные

Сюда

и

много лет

бытие,

утверждается:

примеры
и всю

странные мифы; сюда

и

ир¬

«Диалектике мифа»,

весь

мир превращены

в

эмпириче¬
читать его

в

и

этой книге, чтобы понять
этих выводов для Лосева.

древняя мифология,

любовно всматривался

и не

нужно было

мифа;

и анализы

раз

этот

все телесное, все

необходимость

вошла и вся многоголосая

самые

степени. В

вся жизнь, все

все повседневное есть стихия

всю естественность

любимую категорию

понимать именно так, и он сам много

рационализм достиг самой крайней

напечатанной

затаенного,

вслушивался

вошла и вся

из

которой

он

в самые дикие и в

история, где

он вынюхива¬

общепонят¬
мифические корни
формах жизни. Даже европейский либерализм и наш советский
марксизм он безбоязненно «разъяснял» в упомянутой книге как ти¬
пично мифологические теории.
Но вот эта мифология переплетается с рационализмом. И что
же? Из отвлеченной философии берется у него самое логическое, са¬
ет затаенные

в самых позитивных и

ных

мое дотошно-рациональное, самое утонченное смакование чистой
мысли. Тогда оказывается, что Прокл, Николай Кузанский, Фихте,
Шеллинг

и

Гегель, притом

остове, начинают

руководить Лосевым

образцы. Напечатанные

*

взятые в самом последнем логическом

В рукописи: всегда

и давать

ему философские

тома его сочинений достаточно свидетель¬

(ред).
7

В. М. Лосева

ствуют об этой стихийной жизни

категорий

философском

в

созна¬

нии Лосева.
К

числу этих сочинений, гипертрофированных

и диалектики, и относятся издаваемые ныне

в смысле логики

«Диалектические

осно¬

вы математики».
Кто знаком со

глубоко

старыми трудами Лосева, тому ясно,

обоснована у него

тематики. Можно сказать,
эта тема не

философии

в сознании самая тема

у

как

предмете

логики» ей по¬

философии

священо несколько глав. Была напечатана целая книга о

этой мысли, как не

Да

и где же

в математике,

чистая мысль? Лосев много

ма¬

него нет ни одного сочинения, где бы

затрагивалась. В «Музыке

числа у неоплатоников.

насколько

было больше всего разгуляться

которая ведь уже

работал

сама по себе есть

над диалектическим обоснова¬

нием истории. Однако исторические материалы часто расплывча¬
ты и слишком доступны

различной интерпретации.

создать диалектическую систему,

и для

ком много находится критиков и
ло

—

математика.

Здесь всегда

вильности взятого

дошла к его осознанию.

Лосева. Не

будь

близко

Отсюда

философом,

он

просто недовольных. Другое де¬

можно точно

насколько

Однако только теперь, когда

математика

философ уже

основы

не

математики»

нельзя взять нашармака, мимоходом.

Лосева,

найдутся еще

и свои

—

пра¬
уже

мысль

по¬

давнишняя любовь

первой

—

молодости, он

философски

понять

жизни.
—

здание. Это какое-то перегруженное, могучее

и в

предметом,

в

то

он, конечно, был бы математиком.

математику. Это, несомненно, подвиг целой

тателям

удостовериться

диалектическая

сумел осуществить мечту своей молодости

«Диалектические

На них труднее

системы всегда слиш¬

и если владеть этим

предмета;

нетрудно замечать,

каждой

тяжелое, громоздкое

барокко. Эту крепость

Тут придется потрудиться

чи¬

особенности математикам, хотя для последних

специфические трудности. Прежде

всего, автор

довольно часто нападает на математиков, доказывает, что они не
умеют мыслить, и разносит их за схоластику,
тематики должны

тературе

ему

это

простить. Ведь

нет и намека на такое

тор. Все до

сих

пор

лись только самым

Канта, Гегеля;

формализм

всем же известно, что в ли¬

произведение, которое создал тут

философствовавшие

в математике

Наторпа, Кассирера. Все

ав¬

ограничива¬

общим, самым отвлеченным подходом.

возьмите

и т. д. Ма¬

Возьмите

Конта, Вундта, Зигварта, Гуссерля, Когена,
это

рассуждения,
«

главным

образом,

только

Предисловие
о числе
мы

вообще,

обратимся

к

о

пространстве вообще,

философствующим

о счете

вообще

находим здесь только эскизы, только проекты, только

Правда,

часто это

Писать так
так

—

глубоко

прекрасные

—

ных вагонов.

ность

того,

француз, мудрый

так писать Лосев не может. Лосев

паровоз, который пыхтит,

Лосеву

Пуанкаре,
как это

прорицательно-художественно,

может делать только гениальный

одновременно,

манифесты.

эскизы и весьма ценные проекты.

и изящно по математике, как писал А.

скептично и

утонченно

и
—

порхающий
это тяжелый

и шипит, и тащит сотню тяжело

как не

Если

и т. д.

математикам, то до сих пор мы

нагружен¬

математику недоступна проницатель¬

Вейля, широта Гильберта, изворотливость Броуэра*. Больше

он запинается в

интеграциях

и

забывает ставить С при неопре¬

деленном интегрировании; он не сразу скажет о различии цикличе¬
ских точек с бесконечно удаленными, путается
имеет навыка в

тут-то

и не

проявлена справедливость.

Уже зрелым философом Лосев
университетские учебники

стесняются

рядах Фурье

интегрировании дифференциальных уравнений. Но

и должна быть

разъяснить те

в

или

и

не

стеснялся

за

бегать за математиками с просьбой

другие вопросы. Пусть

затратить время

засаживаться

на

изучение

же и математики не по¬
его

философии

на время расстанутся со своей горделивой уверенностью

рекаемости своей науки. Самая большая трудность для

и

в

пусть

непре¬

математиков

будет заключаться в том, чтобы признать право кого бы то ни было
из непрофессионалов-математиков говорить об этой науке. Тем не
менее профессионалы-математики достаточно скандалятся в своих
кажется,
суждениях о философии математики. Я должна сказать,
в обиду для математиков,
что философские методы Гильберта
—

—

для Лосева слишком наивны, чтобы он на них учился. Я не нахожу
нужным скрывать также и то, что, например,

борьба так называемых
формалистов часто вызывала у
до того эти методы мыс¬
снисходительную улыбку,

интуиционистов
Лосева только

и так называемых

—

ли кажутся ему детскими и наивными. Еще не скоро наступит то
время, когда все признают, что

профессия
о

и что

рядовых) совершенно

тоже есть некая

том

не дано

право философствовать
что он

научная

только

писал

какую-то эмпирическую наивную чушь

основании,

В современной русской транскрипции

9

—

о своей

математик. Лобачевский

науке

’

на

философия

никакому гениальному математику (не говоря уже

о своем новом гени-

Брауэра (Е. Brower) (ред.).

В. М. Лосева

альном пространстве. Г.

было

Кантор думал,

что его

теория

множеств обо¬

католическую схоластику. Пуанкаре думает, что если бы

сновывает

твердых тел,

то не было бы и

геометрии. Он

не

же «не знает», что

континуума. Н. Н. Лузину, хотя он и стал академиком,
30-летней математической работы все еще «трудно судить об

такое мощность
после

Гйльберта», почтенному академику до сих пор
еще не ясно, «реальный» или «формальный» предмет у математики.
После всего этого брезговать философами едва ли целесообразно.
Уже давно чувствуется в науке потребность продумать математику
истинности взглядов

всю целиком с точки
что только

зрения одного философского метода, потому

применение последнего

дать для него

настоящую проверку

менен только на отдельных

тат получился бы
тех

от

материале

и может

критику. Покамест метод при¬

проблемах и еще не видно, какой резуль¬

соответствующего построения всей науки, до

пор невозможно судить

ний

на цельном

и

о

подлинной ценности метода. Послед¬

может быть хорош в одних

случаях

и

совершенно

не годиться в

других.
Метод Лосева
органичен
ем

и что он

инструменте,

признал,

это

строго диалектический. Что

играет

на нем так, как

этот метод для него

виртуоз-пианист

на сво¬

признают даже его враги. Не только С. Л. Франк

времени “Феноменологии духа” Гегеля почти

что «со

появлялось

имени»

—

трудов

Лосева”»*,

не

глубокой диалектикой, как “Философия
Деборин согласен, что это действительно

с такой

но и А

диалектика, хотя и не

материалистическая**. И

вот этот метод приме¬

нен для конструирования математики в целом. Только теперь, после

работы Лосева, возникает вопрос о том, что такое диалектика в мате¬
матике и как она

реально

вместо ничего не
математическое

Суждения

рекламы

и

декларации,

говорящих манифестов Лосев бросается прямо

море;

ли диалектик в этом

самом

возможна. Вместо

и

море

об этом

в

теперь можно уже реально судить, плавает
и как плавает.

плавании

могут быть разные. Однако даже при

отрицательном суждении

все же надо сказать, что

большего

’

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась. См.: Франк С. Новая
русская философская система («Путь» (Париж). 1928. № 9. С. 89): «...после “Фе¬
номенологии духа” Гегеля едва ли найдется много примеров философских
построений, подобных системе Лосева» (ред.).
“

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась. См.: Деборин А Со¬

временные

проблемы философии марксизма // Вестник Коммунистической
32(2) (ред).

академии. 1929. №

10

Предисловие
никто не смог сделать.

Сделайте же хорошо, если Лосев сделал

плохо.

Если позволено мне высказывать свои мнения, то я отнюдь не

эту работу безукоризненной. Ряд проблем получил у Лосева

считаю

не то чтобы

неправильную,

а

какую-то внутренно

разработку. Так, например, учение
ственно

усилий, разработаны у

законченную

переменного, хотя, вообще

комплексного

это любимая тема Лосева и он

говоря,
ни и

теория функций

не

о мнимых величинах и соответ¬

потратил

на нее

массу време¬

него, на мой вкус, недостаточно.

Правда,

здесь были затрачены колоссальные усилия, чтобы добиться

софской

об этом можно было говорить

концов то,
го

фило¬

ясности, но, вероятно, просто еще не пришло время, чтобы

что дает

тут Лосев,

философски

ясно и

почти не выходит из

просто. В конце

пределов обычно¬

гауссовского представления мнимостей.
Далее,

мне кажется, тяжеловато

тов и матриц.

ного,

Тут

так как и сам

ческое

понятие. В

группы,

разработана теория детерминан¬

хочется чего-то более

прозрачного

детерминант слишком уже

не

и

элементар¬

хитрое математи¬

теории групп интересна дедукция самого

но детали вызывают сомнения.

Кроме

понятия

того, с точки зрения

самого же автора, было бы выгоднее больше осветить непрерывные
группы, которых он почти не касается. Непонятно мне положение
гиперкомплексного числа в системе Лосева: почему он говорит о
них после трансцендентных чисел, в то время как уже задолго до
этого прошла категория мнимых, куда и было бы естественнее все¬
го вставить и

гиперкомплексы?

В аксиоматике чувствуется пристра¬

стие автора к множествам и к различным геометрическим простран¬
ствам и чувствуется нелюбовь к теории

Некоторые отделы

и статистике.

прямо производят впечатление схоластики, хотя

я тут многого просто не понимаю.
в

вероятностей

Например, учение о части

§ [48], вероятно, было бы очень трудно опровергать, но

оно

производит более

солидное, впечатление.

веселое и

прыгающее,

Лосеву вообще

и целом

в таком виде

чем основательное и

свойственно жонглирование

категориями; и я всегда думала, что это доставляет ему удовольствие
независимо от истинности самих категорий. Что ж?

Эквилибристи¬
фило¬

что есть в

худшее,
акробатика,
софии. По крайней мере умно и весело.
С другой стороны, однако, в «Диалектических основах
ка и

в конце концов, не самое

матема¬

тики» есть вещи, которые имеют неоспоримо серьезное значение;
и ради них необходимо простить автору изъяны и недостатки в

11

В. М. Лосева

других отношениях. К числу этих

безусловно удачных пунктов я

от¬

ношу, прежде всего, анализ самого понятия числа. Пусть другие это
изложат проще, понятнее, доступнее; пусть даже меняют терминоло¬
гию. Но,

безусловно,

это один из

шедевров

в

философской литера¬

занимавшейся числом. Мне кажется, тут впервые дано в четкой

туре,
форме

и в железной системе все

пожелала бы
и

словно, заслуживает
я не

(и,

этот отдел сочинения Лосева.

внимания и

в частности, в его

требляемые им,

аксиоматики и, в

предупредить, что,

не

вчитавшись

то,

в Лосева

прежние сочинения), трудно рассчитывать

мир идей. Каждое понятие

настолько переживаются им

обыденным представлением

что с

особенности,

«выразительной формой».

я должна

вхождение в его

Далее, безу¬

представляет огромный интерес (о

говорю) построение

что Лосев называет

Вообще

что есть в числе; и я

каждому философу, каждому математику найти время

средства, чтобы усвоить

деталях

существенное,

на

каждый термин, упо¬

и

своеобразно и глубоко,

их никак нельзя осилить.

Таковы

термины «эйдос», «инобытие», «становление», «ставшее», «энергия»,
«эманация»

и сюда же

—

«выражение». Когда Лосев говорит об эй-

досе, ему всегда представляется какая-то умственная фигура, белая
или

разноцветная,

нарики
темного

с

и

обязательно

ассоциируется

что-то

ежесекундно

твердое

так как классические типы

этого понятия и оно

засасывает. Со «ставшим» ему

мрачное:

—

что

философии

не

свернешь,

говорится

о «вы¬

почти не касаются

всецело достояние новейшей

философии.
Гус¬

до революции Лосев развивал это понятие под влиянием

Кроче. В дальнейшем он углубил его под влиянием новей¬
искусствоведческой литературы. Безусловно, многое он взял

серля
шей

какое-то

и холодное, не то стена, не то камень,

объедешь. Но особенно надо учитывать то,

Еще

на

тело или вязкая глина; он едва вытаскивает ноги из

этом обязательно холодное и даже что-то

ражении»,

фо¬
фоне

это как бы

сумеречного неба. «Инобытие» для Лосева всегда

бесформенное

не

фоне;

разноцветными крашеными стеклами, висящие

этой трясины, и она его

при

на темном

и

из неоплатонического и шеллингианского учения о символе и из
последних неокантианских

исследований «выразительных форм».

Однако

материалы, которые Лосев поглощал

все это были только

неимоверном количестве. Свое
нии» он

же собственное

строит вполне оригинально,

каждой своей строки

учение

о

«выраже¬

хотя если бы он захотел, то для

он мог бы дать десятки ссылок на всю

12

в

мировую

Предисловие
искусствоведческую литературу об

и

философскую

От неоплатоников лосевское

«выражение»

этом предмете.

отличается отсутствием

панлогизма и, я бы сказала, каким-то акосмизмом, так что
же к

современным феноменологам

напряженной диалектикой

чается

тельности всей

скими истечениями.

и

Я, конечно,

необходимым

зительных»
самая

острейшим чувством

бли¬

не

так что

самостоя¬

иному его

какими-то

впрямь покажутся

источников для системы Лосева
считаю

и

выразительно-смысловой сферы,

выразительные «эманации»

тут он

и языковедам. Но от них он отли¬

физиче¬

могу производить анализа

всех

(это не мешает сделать другим), но я

острейшее ощущение «выра¬

сказать одно: тут

форм действительности, и это «выражение», может быть,

яркая категория философии Лосева, синтезирующая у него

наиболее зрелой

форме

в

логическое и алогическое.

«выразительные» отделы «Основ», я думаю, надо ценить

И вот эти

больше всего

—

и по их новизне, и по их

оригинальности,

и по

бо¬

гатству философских идей, затраченных тут автором. Кроме упомя¬
нутой аксиоматики выразительных форм (§ [ ]), сюда относятся «вы¬
разительные» моменты в общей теории числа (§ [ ]), в натуральном
ряде (§ [ ]), в типах числа (§ [ ]), в учении о композициях (§ [ ]) и пр. В
лосевском

теля

и

«выражении» всегда

слушателя,

что-то выходящее из

лящее, проникающее. Он
жения,

и это

есть что-то активное,

все

глубины

идущее

и почти

на

зри¬

остросвер¬

время твердит об «энергийности» выра¬
только

недаром. Нужно

вещественно, а чисто смысловым

эту «энергию»

образом. Тут

—

понять не

грубо

одна из тайн этой

философии, я бы сказала, что тут нечто психологи¬
биографическое. Представьте себе, что есть люди, которые

многосложной

ческое,

двигают

дом. Представьте себе,

руку убийцы,
жизнь,

что одним

выражением

воскресить холодный

казалось

бы,

ни к

и

ная и жизненная сила

энергий

прошлую

мертвый труп души,

не спо¬

какой жизни. Вот эта-то не вещественная,

а смысловая сила выражения, которая

вых

глаз можно отвести

можно заставить человека каяться за всю его

можно

собной,

повергают ниц одним взгля¬

и повелевают, поднимают и

среди

живых

и есть подлинно веществен¬

людей,

вот эта стихия смысло¬

и есть один из самых основных

предметов

лосевского

философствования. Углубляясь в стихию числа, он и здесь нашел эти
выразительные
почему это,

силы

на мое

(соответственно специфике этой сферы); и вот

ощущение,

есть самое

его системе.

13

яркое

и

интересное

во всей

В. М. Лосева

Наконец,

интереснейшим способом рассмотрения

учений
учений. Лосев
ских

является у Лосева

матика

вскрытие интуитивной

полагает, что раньше всяких

образуется

и очень ясные,

раздельные формы,

интуиция бесконечно богаче
подлинное

везде)

но всегда

обладающая непосред¬

формулировок, и она-то и есть
1ут Лосеву тоже придется стол¬

всяких

непонимания. Так как

очень немного, остальные же

ко усваивают чужие

у мате¬

недискурсивным характером. Эта

математика.

творчество

кнуться со стеной

формулировок

интуиция, принимающая иногда

некая смутная

ственно наглядным и совершенно

математиче¬
основы этих

истины и

творцов

в математике

(как и

представители этой науки толь¬

передают

гласится с Лосевым относительно этой

их

другим,

то мало кто со¬

интуиции. Не имеющие

этих

интуиций, конечно, должны будут возражать, а когда им Лосев на это
ответит, что они не

многие намеки на
делает в

щих

§ []

творцы истин,

а только их

передатчики другим,

обидно. Тут, однако, невозможно примирение. Те не¬

то это, конечно,

и для

глубины математического творчества, которые он

которых

он мог бы

привести десятки подкрепляю¬

мест из классиков математики, конечно,

будут квалифициро¬

ваны как мистицизм. Но Лосев никогда не сможет согласиться, что
математическое

схема,

творчество

лишенная

есть само по себе

и

рациональная

внутреннего пафоса, летающей интуиции,

же того поднимающего и

волнующего восторга ума, когда

созерцает числовую идею. Но
большой

сухая

или малой

я знаю, что это

форме. Для

а так¬

этот

ум

бывает именно так,

в

этой творческой интуиции, реаль¬

ной так же, как таблица умножения, должна быть найдена своя ло¬
гическая категория

укорять Лосева

в

общей

системе

за то, что он хочет

ровать принципиально

и

философии

числа. И не нужно

эту реальнейшую вещь зафикси¬

терминологически.

Изучая то, что содержится

в математических

руководствах, Ло¬

обрывки истины, на кото¬
философской теории. Чтобы

сев естественно находит только какие-то

рых невозможно построить никакой

понять философский смысл теоремы, ему приходится привлекать
и многое такое, что вовсе не

требуется

для обычного

употребления

этих теорем; и он в конце концов наталкивается на то основное, пер¬
воначальное и чисто
сама теорема.

Тогда

интуитивное, рационализацией

он

подвергает эту найденную

философской рационализации,

и вот в

им

чего явилась

интуицию уже

результате получается фило¬

софский дублет для математической теоремы. Такой способ изуче¬
14

Предисловие
ния математики никак нельзя назвать

можно

поучиться. Достаточно указать

непрерывности

Кантор

в своем

ного целого,

ром

имеет под

на то, что

учение Дедекинда

континууме

незаметно

например, непрерывность

лежит «эстетическая идея»

цендентности

числа у

вых потенциях, что

под влиянием

переходит

и цельность

Лиувилля

Канта,

что под

букета,

нимали

а Коши

чистую фугу
с

симфонию, Гильберт

кривой

Пеано

—

и

сонату,

учение

о

миро¬

что

и Ньютон

—

как

изобре¬
воспри¬

программную

вроде неархимедовой геометрии

вещами

Гйльберта

в кото¬

интегралами

импрессионистического физиономизма,

как

что

множества воспитаны

современные теоретики

Лейбниц

или

другой,

в

признаком транс¬

шеллингианское

—

татели исчисления бесконечно малых

мир

о

имеет в виду непрерывность раздель¬

много цветов соединены в одно целое, что под

Эйлера

тут многому

собой, по учению Лосева, интуицию цвет¬

котором один цвет

ного поля, в

и

неинтересным,

—

как

футуристическую

патологию,

и т. д. и т. д.
Во всем этом много условного и, может быть, произвольного, но
невозможно отрицать самого метода. Вместо

об «интуиционизме»
зано, где

После

реально

этого

и

«формализме» тут

в математике

интуиция

абстрактных споров
образом пока¬

яснейшим

и где

упомянутые споры теряют всякое

будет спорить иначе об этих вещах.
Интуиция, иррациональное, внутренний

рациональная форма.
значение. После Лосе¬

ва надо

символ и

миф

гой стороны, рационализация, систематика, диалектика
какими

пределами движется философия Лосева. Я

детельницей того,
длительных

как эта

интуиция

с

вещественных и мнимых

кривых второго порядка при последовательном переходе
другую. В другой раз Лосев забил себе

пределами. И когда

происходит
со

сви¬

буквальном
усилий напали на

в

голову какую-то

совершенно непонятную картину интегрирования между
ми

между

раз была

раз не в переносном, а в

интуитивную картину взаимного движения

их одна в

вот

восторгом обреталась после

смысле затанцевал, когда мы после мучительных

фокусов

и, с дру¬

поисков и как она вновь отменялась после новых со¬

ображений. Так, философ один

в

не

—

и

в

я

скромно

напомнила

ему,

криволинейных интегралах,

стороны философа было классическое,

то

мнимы¬

что то же явление

первой реакцией

но ничего не

говорящее:

«Тем хуже для криволинейных интегралов!» Однако недоразумение
обнаружилось

тотчас же, и

философу пришлось
15

кое-что изменить в

В. М. Лосева

«интуитивной» картине интегралов

Одну общую

с комплексными переменными.

идею из этой области я сама подала ему еще в 1924 г.,

занимаясь в тот период аналитическими

функциями.

Но впослед¬

ствии я и сама была этому не рада, так как мне же и приходилось
вносить

постоянно

формул
лась

и

теорем

в

расхолаживающую

струю

математических

эту неистовую философию, когда

чересчур интуитивной

или

она станови¬

чересчур диалектичной.

Не нужно преувеличивать достижения этой многолетней рабо¬
ты

Лосева,

но не

диалектика, или что это

нуждается,

ее и

нужно

—

приуменьшать. Если скажут,

что это не

метафизика, или что математика в этом не
мракобесный идеализм, что в нем

или что это настолько

и поучиться нечему, то все это, конечно,

аппарат, пущенный тут автором

будет вздор. Что логический
работает одинако¬

в ход, не везде

во хорошо, что местами он, может

быть,

и совсем не годится,

—

это

вполне возможно. Но важно, что начато большое дело и начато силь¬
но,

глубоко, уверенно,

пятствовать
везде

со

вкусом. И

начинать его еще

никто не сможет

по-новому,

если этот

никому воспре¬

первый почин

не

удовлетворителен.

29.11936 г.

16

ДИАЛЕКТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

ВВЕДЕНИЕ
(ОБЩЕЕ РАЗДЕЛЕНИЕ НАУК О ЧИСЛЕ)
§

1.

Первая противоположность:

чистая

математика

и

математи¬

ческое естествознание

§

§
§
§
§

2. Число как

факт духовной культуры
3. Психо-биология и социология числа
4. Философия числа
5. История наук о числе
6. Общая схема диалектического разделения

основных наук

о

числе

§ 7. Разделение философии

§ 8. Диалектические основы
§ 9. Разделение их

числа

математики

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЛА

§10. Вступление
I. ОТГРАНИЧЕНИЯ
(УСТАНОВКА ЧИСЛОВОГО ПЕРВО-ПРИНЦИПА)
§ 11. Число

не есть ни

что-нибудь

вообще объективное

17

вещественно-качественное, ни

Диалектические

основы математики

§12. Число не есть что-нибудь субъективное

§13. Число относится к чисто смысловой сфере
§14. Число и понятие
§15. Число есть самый акт смыслового полагания,

а не содержание

этого полагания

§16. Число, количество и величина
II.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛА
(ЧИСЛО КАК ПОНЯТИЕ)

§17. Первая установка

§18. «Нечто» и переход его в «это»
§19. «Иное этого»; различие, тождество, движение, покой
§ 20. «Ничто» и абсолютно-самотождественная неразличимость
актов полагания

§21.

—

числа

перво-принцип

Основная диалектика понятия числа:
I.

Супра-акт.

II. Ин-акт

(акт полагания)

акт).

V.

III.

Контр-акт (акт

от¬

Инфра-акт (становящий¬
Интра-экстра-акт (ставший акт). VI. Энергийный акт,

рицания) (едино-раздельный акт).
ся

и

IV.

или полное число

§ 22. Аналогии
диалектическая жизнь и развитие перво-акта
§23. Основа всего
на
24.
§
Проверка
функциях натурального ряда
—

§ 25. Проверка

на отдельном числе

§ 26. Диалектика различия, тождества, движения и покоя в числе
§ 27. Формула понятия числа
§ 28. Сущность числовой модификации общесмыслового эйдоса
§ 29. Отграничение понятия числа сверху
§ 30. Отграничение
§31. Итог

понятия числа

снизу

фундаментального анализа

III. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ЧИСЛА

(ЧИСЛО

КАК

СУЖДЕНИЕ)

А) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 32. Обычные предрассудки
§33. Сущность математической аксиоматики
§ 34. Разделение всей общей теории числа и
ней

18

место аксиоматики в

Диалектические

§35. Общая основа
В) СИСТЕМА

основы математики

всех аксиом

а) Аксиома числового перво-принципа
§ 36. Неразличимость

§ 37. Неразличимость как принцип различимости
§ 38. Неразличимость как принцип конкретной числовой индивиду¬
альности

§ 39. Самосозидание
§ 40. Везде и нигде
§41. Число и
§42.

Число

время

и

музыка

§ 43. Формула перво-принципа
Ь) Аксиомы

едино-раздельности числа (или его идеальной
структуры)
§ 44. Необходимые предварительные установки
I. Самотождественное различие

§ 45.
§ 46. Аксиома

Аксиома самотождественного различия

в

арифметике

самотождественного различия

в

геометрии

§ 47. Аксиома самотождественного различия

в

теории

§ 48. Формулировка

множеств

выведенных трех аксиом при помощи понятий

элемента и части

§ 49. Аксиома

самотождественного различия в теории

вероятностей

II. Подвижной покой

§ 50. Аксиома

§51.

подвижного покоя в

Аксиома подвижного покоя

в

арифметике
геометрии

§52. Аксиома подвижного покоя

в

теории

§53. Аксиома

в

теории вероятностей

подвижного покоя

множеств

III. Определенное бытие
§ 54. Аксиома определенности (бытия)

в

арифметике

§55. Аксиома определенности (бытия)

в

геометрии

§ 56. Аксиома определенности (бытия)

в

теории

§ 57. Аксиома определенности (бытия)

в

теории вероятностей

множеств

§ 58. Общий результат аксиом идеальной едино-раздельности

с) Аксиома становления числа

(или

§ 59. Принцип

принцип непрерывности

становления как

его

числа

непрерывности)

§ 60. Аксиоматическая диалектика непрерывности
§ 61. Аксиома непрерывности
§ 62. Взаимодействие

аксиом

в отдельных математических

едино-раздельности
19

науках

и становления

Диалектические

основы математики

§ 63. Продолжение
d) Аксиома ставшего числа (или конгруэнтности)
§ 64. Принцип ставшего числового бытия как принцип конгруэнт¬
ности

§ 65. Аксиома
§ 66. Аксиома
§ 67. Аксиома

ставшего числового бытия в

ставшего числового бытия

в

теории

§ 68. Аксиома

ставшего числового бытия

в

теории вероятностей

арифметике

ставшего числового бытия в геометрии
множеств

е) Аксиома выражения (или выразительной измеримости)
§ 69. Общий принцип выразительной измеримости
§70. Аксиома выражения

в

§71. Аксиома

выражения

в

геометрии

§72. Аксиома выражения

в

теории

Аксиома выражения

в

теории вероятностей

§73.

f) Общее

§ 74.

арифметике
множеств

заключение

Итог аксиоматики

IV. ФУНКЦИЯ И СОСЕДНИЕ КАТЕГОРИИ

(ЧИСЛО

КАК СУЖДЕНИЕ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ВЫРАЖЕНИЕ)

§75. [Определение и суждение]
§ 76. Понятие функции
§77. Функционал и алгоритм
§78. Общность полученных результатов

V. ПЕРЕХОД К

СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЛА

§ 79. Перевод математики на язык логики
§ 80. Общая схема
I. ЧИСЛО ИНТЕНСИВНОЕ
§81. Разделение
§ 82.
1.

Терминологические замечания

СУЩНОСТЬ (АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ)
§ 83. Разделение
А. Арифметика (сущность числа в ее бытии)

§ 84. Разделение
20

Диалектические

основы математики

I.

Натуральный ряд (бытие сущности числа)
§85. Единица и соседние категории
§ 86. а) Безграничное дискретное

множество.

Ь) Равенство (неравенство)
§ 87. с) Порядковость
§

88. Резюме

и

дедукция натурального ряда

§ 89. Диалектическая формула натурального ряда
§ 90. Переход
II. Типы числа

к типам числа

(инобытие сущности числа)

1. Внешнее инобытие

§ 91. а) Положительное число
§ 92. Ь) Отрицательное число
§ 93. с) Нуль
2. Внутреннее инобытие

§ 94. а) Целое число
§ 95. Ь) Дробное число
§ 96. с) Бесконечность
§ 97. Продолжение
§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)
3. Внешне-внутреннее инобытие
§ 99. а) Рациональное число
§ 100. Ь) Иррациональное число
§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

прерывная

вели¬

чина

§ 102. Предел
§ 103. Продолжение
§ 104. Переход к мнимости
§ 105. с) Мнимая (комплексная) величина. Общее
§ 106. Гауссовское представление
§ 107. Некоторые детали

понятие

§ 108. Обозрение предыдущего
4- Энергийно-эманативное выражение
§ 109- Алгебраическое число

§110. Трансцедентное

число

(диалектическая категория)

§111. Трансцедентное

число

(математическая конструкция)

§112. Трансцедентное

число

(в

связи с

ми)
§113. Гйпер-комплексное

число

21

трансцедентными функция¬

Диалектические

основы математики

§114. Дополнительные замечания к учению о типах числа
Арифметические действия (становление сущности числа)
§115. Основная дедукция

III.

§116. Сложение и вычитание
§117. Умножение и деление
§118. Возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование
§119- Заключение
IV. Комбинаторно-матричное

исчисление

(ставшая сущность

чис¬

ла)
§ 120. Отношение, пропорция, ряд
§ 121. Делимость чисел. Комбинаторика. Детерминанты

§122. Матрицы
V. Учение о композициях

(выраженная сущность числа)
123.
Общая
§
ориентация
§ 124. Группы и сравнения
§125. Геометрия

§ 126. Кольца

чисел

и поля

VI. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР ДИАЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

АРИФМЕТИКИ И ПЕРЕХОД К АЛГЕБРЕ

§ 127. Обзор
§ 128. Переход

22

ВВЕДЕНИЕ
(ОБЩЕЕ РАЗДЕЛЕНИЕ НАУК О ЧИСЛЕ)

§ 1. Первая противоположность:

чистая математика и математи¬

ческое естествознание

Всякая вещь

всякий предмет мысли есть прежде всего нечто

и

само по себе сущее, а затем он есть нечто существующее в мысли и в
отношении с прочим бытием.

вещи

не та,

Разумеется,

которая свойственна ей

в ее

полная

действительность

абстрактно-изолированном

состоянии, но та, которая принадлежит ей в ее всестороннем взаи¬
моотношении со всем прочим. Однако в целях уразумения действи¬
тельности мы разделяем ее на отдельные, более или менее
ные моменты и

изучаем

первых, объединить
а воссоздать

ту

их

их

изолированно,

их в целое, а,

во-вторых,

общую жизненную

абстракт¬

с тем чтобы потом, воне

связь, из

просто объединить,

которой

они

были из¬

влечены первоначально.
Отсюда, как бы

мы ни

страктное существование,

думали,
и как

ни

лишь аб¬

в то, что только ма¬

действительность той

или

идеи, мы все же с самого начала поставлены перед абсолют¬

ной необходимостью понять число в его

первоначальном
идея

принадлежит

верили

есть полная

териальное существование

другой

что идее

бы

смысловом

претворяется

в

же такое само-то число по

себе,

существа

в его

сущности,

Потом мы

узнаем,

в его

как эта

что сначала надо знать, что

в чем его

сущность

и чем оно

суще¬

прочего. Так возникает

основная анти¬

числа и его явления, его

осуществления,

ственно отличается от всего
теза идеи, смысла,

содержании.

действительность,

идее,

числа как отвлеченного понятия и числа как

23

предметного

явле-

Введение (общее разделение наук

ния,

о

числе)

антитеза чистой математики и математического естество¬

знания.

§ 2. Число

как

факт духовной культуры

Диалектическая философия знает, однако, ту сферу,
области совмещаются, с точки зрения
только

которой обе

где обе эти

они являются

абстракцией. Обычно думают, что чистая идея числа абстрак¬

тна, а вот число в природе, например т. н. законы природы,
не есть
точки

абстракция,

зрения такой взгляд

на

действительность, однако,

может быть защищаем. Это для нас очень

ствительность.

действительность

Наша

бедная,
—

Поэтому

альность. Это

«число в

природе» для

условная, нетвердая

гораздо менее «реальная» для нас,
часть

природы,

а

природа

и

совсем не

очень плоская

последней конкретно¬

чем т. н.

кретнее, реальнее,
в человеке, идея и

природа

природа. Не

природы. И

человек есть

богаче,

только в

становится

—

необходимое завершение учения

ле его чистой идеи, и

учения

осуществленное™.
Однако достагнуть
зя

сразу,

имея только

ствознание.

материал

История

еще ряд дисциплин,
можно начинать

в

—

и

учения

на чис¬
о смыс¬

природно-материальной

исторического исследования

нель¬

логики числа и математическое есте¬

числа включает в себя и

и только

при условии

рассмотрено вообще

преодолевает собою

наличия этих дисциплин

строить подлинную историю

должно быть сначала

туры. Конечно,

полноты

тут,

конкретно ощутимой,

о числе

о смысле его

кон¬

истории,

сливаются в живое единое; только

творимой, жизненной. Поэтому историческая точка зрения
ло

ре¬

глубоко временная реальность,

есть часть человека. Человек

действительность

дей¬

нас никак не есть последняя

живее и жизненнее

человечестве,

это

только историческая, и

только в истории всякая идея достигает своей
сти.

—

действительность. С современной

это есть сама

как

числа.

Именно,

число

факт духовной куль¬

в логике числа и в математическом естествознании

факт духовной культуры. Но в этах науках число в
факта берется как непосредственная данность. Тут еще

число есть тоже

виде такого

неизвестно, кто же и как создал такую науку о числе. Давая логиче¬
скую структуру, например, интегрального уравнения, мы этим са¬
мым пока еще ровно ничего не говорим об интегральном уравнении

факте духовной культуры, хотя, несомненно, само по себе оно и
есть этот факт. Мы его берем тут не исторически, но логически, так
как

24

§ з. Психо-биология
же как в

другом случае

(как, например,
взяли

в

бы его

мы взяли

применении

и социология числа

физически

к математической

и

материально

физике)

и опять не

бы исторически.

Но что же значит взять число

исторически?

$ з. Психо-биология и социология числа
Ддя большинства
действуют люди,

яснее всего то

нюдь еще не есть история и даже

история,
что в

обстоятельство,

что в

личности. Хотя отдельные личности и

субъекты от¬

объединение субъектов не есть еще

тем не менее сам по себе

истории действуют

истории

факт совершенно несомненный,

субъекты.

личности и

Возьмем эту несо¬

мненную сторону духовно-исторической деятельности человека

зафиксируем
быть

ее под названием

отнесены все

гические,

психо-биологии

и

Сюда должны

числа.

биологические, физиологические, рефлексоло¬

психологические и пр. рассуждения, связанные с поняти¬

ем отдельного, изолированного

субъекта.

Можно только подивиться, как это люди, претендующие на на¬

учный объективизм, ограничиваются
явления

в

духовной культуры, например,
Под

или психологическим подходом.

листическая

изучении

одним

того или

иного

рефлексологическим

этим лежит чисто

индивидуа¬

абстрактная метафизика, закрывающая глаза
на подлинную действительность изучаемого явления как факта ду¬
ховной культуры. При полной законченности и самостоятельности
всех этих

чего

и весьма

психо-биологических наук

они

совершенно

общего с конкретно-историческим подходом

только одним из многих

абстрактных

и

не имеют ни¬

могут считаться

моментов, входящих в общее

конкретное знание о числе.
Этой

субъективно-человеческой действительности

тивостоит объективно-человеческая,

или

про¬

социологическая, действи¬

тельность числа. В математическом естествознании
ем

числа

мы тоже име¬

объективность числа. Но там это была природная, естественная,

физически-материальная действительность числа, противостоящая
чистой идее числа, которая уже
ибо одинаково присуща

объективная

и

и

не

всякому объекту,

не-субъективная,

пространственно-временное
сравнению с

чистой

и

и

всего в

не

субъективна,

всякому субъекту. Не¬

чистая идея числа,

инобытие, превращается прежде
По

объективна

переходя

в свое

физически-материальное,

число.

идеей это есть, конечно, гораздо большая
25

Введение (общее разделение наук

реальность

и

конкретность

бессознательная,

Однако реальность здесь

поскольку

структура, создаваемая

субъектом.

или числовым

оно есть только

категориально

тура, где

сознание

определенная

кем-то извне, не самим числом

В логической структуре числа не содер¬

жится ровно никаких непосредственных
ных

вполне

слепая. Собственно говоря, бессознательно и сле¬

по также и чистое число,
логическая

числа.

числе)

о

относительно того,

работало

указаний, зафиксирован¬

откуда получилась

эта

струк¬

над ее созданием и какая историческая

действительность ее породила. В этом смысле и логика числа, и ма¬
тематическое естествознание совершенно бессознательны и слепы.
Здесь

дух человеческий создает самое число, но еще не рефлектиру¬

ет над своим

творчеством, еще

су своего творчества. Он

не относится сознательно к процес¬

рефлектирует пока

предметной структурой,

некоей

дания этой

еще над числом как над

но отнюдь не над самим актом соз¬

предметной структуры,

не над собственным сознанием,

которое эту структуру создавало.
В психо-биологии,
емся

уже

а также в социологии мы

с подлинным человеческим

самим сознанием человека,

творчеством,

творящим

число и

гая

—

зрения

на число, одна

объективная, безличная

смысле

надо

и

—

сталкиваемся с

размышляющим над
чисто чело¬

субъективная,

личная, дру¬

Социологию

внеличная.

резко противополагать

сталкива¬

суть две уже

ним. Психо-биология и социология числа

веческие точки

впервые

всем

в

этом

психо-биологическим

дисциплинам и всячески изгонять из нее малейшие

индивидуали¬

стические подходы. Социология

общество

и отличается от

индивидуума,

индивидуально, совершенно
шает свой

дуумов,

путь

есть социология, а

что оно

—

тем

вне-индивидуально, над¬

не считается с

индивидуумом

и

совер¬

не только помимо воли и знания отдельных индиви¬

но часто и

совершенно вопреки этой

Социальная действительность

воле и

этому

знанию.

меняется независимо от отдельных

Отдельные субъекты могут говорить и делать что угодно,
но все же общий результат и самый смысл этих слов и действий будет

личностей.

только тот,

который продиктован очередной социальной категори¬
и действуют в соот¬

ей. Люди ставят себе свои сознательные цели
ветствии с теми или

другими

своими личными

крайней мере, настроениями,
что им и не приходило в

но

получается

голову. Ибо

или, по

от этого нечто такое,

таково веление

альной действительности. Можно, например,
26

убеждениями

данной соци¬

лично очень любить

§ 4. Философия
или ненавидеть

данный режим,

большинство его ненавидит;
но он может

разрушаться,
лоссальных

числа

и возможно, что даже подавляющее

и все же он не только может от этого не

этом

при

размеров. Также

крепчать

и склонность

этого типа.

ству своему не зависит от

вне-индивидуальная,

воли, знания,

Целое ведь нигде

т. е. по

настроения

живой организм,

данному

вопросе

о

не делится механически на отдельные изо¬

а не механизм.

действительно

Социальная действительность

не делится на отдельных

быть может,

в

самому суще¬

пр. психологи¬

и

части и не возникает из них, если оно

лированные

них, хотя,

решает

к

в

субъектах, даже если брать все субъекты

ческих явлений в отдельных

тому тоже

не

ко¬

Социальная действительность, повторяю, потому

и есть социальная, что она

вместе.

усиливаться до

большинства

культурно-социальному типу ровно ничего

судьбе

и

ней

и нет ничего,

Это обычное отношение целого

кроме

по¬

и не возникает из

индивидуумов

этих

индивидуумов.

и частей.

§ 4. Философия числа

Противостояние

субъективно-человеческой

объективно¬

и

человеческой действительности числа, психо-биологии
гии числа не может, однако, остаться

оставить эти две
никакого их

сферы

в их

примирения, у

совершенно нетерпимый

в

голой противоположности

нас

и социоло¬

без всякого преодоления. Если
и не искать

получится метафизический дуализм,

науке

и диалектике.

Надо

искать их при¬

мирения.
1. Психо-биология рассматривает условия
и числовых

представлений

в

условия появления числовых
мы можем задаваться

являются числовые

осуществления

сфере субъекта. Социология
представлений

тут вопросом

в

обществе. Например,

о том, когда и в какой

представления у ребенка

числа

выявляет

форме

по¬

или какая связь антич¬

геометрической математики с тогдашним рабовладельческим
обществом. Но можно ли считать такие проблемы последними,
ной

окончательными по своей конкретности и нет ли дисциплин или, по

крайней мере,
кретнее, еще,

точек

числа далека от

Объективная

зрения, которые подошли бы

так сказать, интимнее?

конкретности

вне-сознательной, безличной
Нельзя ли

и

числу еще

кон¬

Субъективная действительность

своим

действительность

к

изолированным

числа далека от

какой-то

положением.

конкретности своей

фаталистической

стихией.

как-нибудь объединить социально-объективную действи27

Введение (общее разделение наук
тельность числа с ее сознательной и

о

числе)

субъективной стороной,

так

собою, перестал быть фатализмом,
оставаясь
собою, перестал быть изолированным?
субъективизм,
объективизм,

чтобы

Несомненно,

оставаясь

такая

наука

она и может спасти от того

мы

и от

пришли

щения

которого

существовать,

метафизического дуализма,

можно отделаться только

его в диалектическое

диалектика, как известно,

о числе должна

и

противоречие

требует

к

а

и только

которому

путем превра¬

противоположность,

а

синтеза и совпадения противопо¬

ложностей.

Следовательно,

ставится

задание:

рассмотреть

ективно-социальную действительность,
все логические, сознательные и

получили

продукт

число

(а

значит, и

мышления и не как

Когда

строим

предметный
физический продукт природы, но как
как

не как

факт духовной культуры.

самое число, мы смотрим на него как на
не

мысленную картину,

рефлектируя

это было выполнимо,

математику)

продукт саморефлектирования духа,
мы

как объ¬

вообще смысловые скрепы этой объ¬

ективной действительности. Если бы задание
мы бы

число

но так, чтобы видны были

фиксируя затраченных усилий

некоторую

мысли и не

над теми методами и категориями, которые мы пусти¬

ли в ход, чтобы создать наше числовое построение. То же и в матема¬
тическом естествознании. Можно, например, очень хорошо решать
математические задачи и в то же время совершенно не отдавать себе
отчета в логической значимости

Нет

употребляемых

здесь

категорий.

ничего смешного в том, что человек в пожилом возрасте вдруг

узна ет,

что он всю жизнь

Ибо «проза» (в
категория,

в

которой

в то же время и

дело

—

говорил прозой,

отличие от

«поэзии»)

и весьма

можно и не отдавать себе никакого отчета, хотя

говорить

в течение всей жизни именно

мыслить и создавать объекты мыслей и совсем

мыслить о своей мысли и создавать, осознавать

категории мысли. В первом случае

вполне слепой и

бессознательной,

прозой. Одно

другое дело

структуры

—

и самые

всякая мысль, даже самая созна¬

тельная и самая законченная с точки

второй

этому удивится.

есть очень сложная логическая

зрения

если

своего

объекта, является

применить сюда оценку

со

точки зрения.

Поэтому
числа этой

введение в

объективно-социальную действительность

социально-мыслительной методологии, этой методоло¬

гии самосознающего

духа,

этого

рассмотрения

лектирующего сознания, осознающего
28

и

с точки

зрения реф¬

потому конструирующего

§ 4. Философия
всю ее

логическую

и

смысловую структуру,

ческой стихийности и превратит наш

далеко выходит
ся смысловой

за

—

такое

нашу действительность

и лишит

ективизма, явно,

числа

усложнение объ¬

слепо

субъективизм

пределы изолированного субъекта

структурой уже

фаталисти¬

в то, что

самой объективности. Несомненно,

здесь преодоление обеих односторонних точек зрения

высшему принципу, тому, где субъект

ние их

действительности сливаются
ние. Человек действует

субъективности

в

творить
не

уже

субъективно.

субъект

волю этой самой

просто субъект

и

социальная

данный

объективная

Но когда он нашел место своей
ког¬

со всеми своими отличиями призван

действительности,

то с этого момента он

субъективная воля и знание уже не про¬
говорит и действует уже сама объективная

действительность;

ли

обстоя-

обширнейшее

и его

сто субъективность. Тут

зать,

в некое новое,

и подчине¬

объект человеческой

и

объективно-социальной действительности,

да он нашел, что его

уже

и что являет¬

субъект говорит

и

и

тут даже уже

действует

невозможно ска¬

или данная социально¬

действительность. Тут диалектический

синтез того и

другого, совпадение противоположностей.
Эту науку
2.

о числе назовем

философией числа.

Две особенности этой науки обеспечивают ей конкретность

и

интимную жизненность.
Во-первых, философия числа
познание

в этом понимании есть не

или сознание, но и самосознание

духа. Это значит,

видит здесь сущность своей собственной деятельности. В
как сама математика есть

философия превращает

совокупность чисто

эти числовые

принципиально логические.
как бы

числовых

операции

то

дух

время

операций,

понятийные,

в

Математика в этом смысле есть знание

одномерное, одноплановое; философия же

вает этот математический

в

просто
что

план,

превращает его

из

заново

перестраи¬

структуры-в себе

в

структуру-для себя, понимая числа как понятия и тем перекрывая чис¬
ловую структуру структурой логической. Вот почему многое, столь
понятное

математику, совершенно

непонятно

философу; и иной раз

приходится очень и очень много размышлять над тем, что с матема¬
тической точки зрения является

чем-нибудь

очень

простым,

почти

пустяком. Нечего

и

говорить о таких операциях,

или

в

ряд; достаточно взять простой математический

разложение

факт: 2
жения

х

2

=

как

интегрирование

4. В этой простейшей операции арифметического умно¬

функционирует целый ряд логических категорий,
29

о

которых

Введение (общее разделение наук о числе)

умножающий
шо и

быстро

не имеет

он ни

ровно

никакого

умножал. Если

я

представления,

скажу, например,

как бы

что

хоро¬

умножение

так же отличается от возведения в степень, как понятие механизма от
понятия

организма,

что возведение в степень и извлечение

логическом смысле есть аналогия

ку без предварительного разъяснения
А тем не менее логический

(а

не

по меньшей

мере

именно к

определение никогда

не

непонятно.

анализ

просто числовой)

арифметических действий приводит

значимости

в

сопряжения), то это будет всякому математи¬

внешнемеханического

И никакое числовое

корня

органического роста (в отличие от

такому

простых

заключению.

вскроет этой интимной

формально-математических построений.

Оно

в этом

смысле слепо и

бессознательно. И только философско-логический

анализ, возводя

числовое

сферу

в

определение

самосознания, уста¬

навливает подлинно смысловую, содержательно-логическую и по¬
тому сознательно-интимную связь числовых моментов,

эту

связь как

осмысленно-понятийную. Можно

личать цвета и

совершенно ничего

и

не

совершенно

так же можно быть великим

иметь

никакого

аппарате логических категорий, который

том

ся в ход во

время собственных

фиксируя

хорошо раз¬

не знать из анатомии глаза и из

физиологии процессов зрения. Точно
математиком

очень

представления

им же самим

математических выкладок и

о

пускает¬
построе¬

ний.
Вторая особенность философии

числа в нашем ее понимании

заключается в том, что она доводит свои выводы до сознательного
и

исторического завершения. Философия

только

логическую картину

понять также и
как

числа должна знать не

математики как науки, но она должна

историческую природу этой науки,

т. е. понять ее

определенный ряд некоторых историко-культурных

типов, так

чтобы на самих этих типах математики была видна печать породив¬
шей их эпохи и стиль данного исторического типа.
числа

построении философия
тимностью,

неведомой

в

обладает

прочих науках

При таком своем

не только смысловой ин¬

и

подсматривающей

затаенные логические связи, но этой интимностью
сама социальная

действительность,

ей самые тайные, самые
или

другие

числовые

субъективного

проникнута тут

благодаря
глубокие корни культуры, порождающей те
и делаются видными

представления.

Такова философия числа, синтезирующая
ние и

самые

и

самое ценное достоя¬

объективного хода духовной культуры.
30

§ 5. История наук о числе

$ 5. История наук о числе
Но

наук, изучающих мате¬

и этим не кончается цикл основных

матику. Остается еще один шаг

и мы можем закончить

—

мысли.

продвижение принципиально-математической
что

философия

числа, хотя она и

вбирает

в

дальнейшее

Дело

в том,

себя весь исторический

материал математики, отнюдь еще не есть сама история математики.

Философия числа все же есть пока еще только теоретическая наука.
Она теоретична
синтезом

в той же

которых

мере,

в

какой теоретичны

Вся эта основная

триада: 1)

естествознание и

чистая математика,

3) философия

ческий синтез двух только что

материале,

вся эта

последней

области,

2)

математическое

(возникающая

как диалекти¬

в значительной части на

суть об¬

—

историче¬

историей. Нужно, чтобы
инобытие, чтобы она была вовлечена

но сама отнюдь не является

триада перешла

в инобытийный

числа

упомянутых дисциплин)

щая теория числа, построенная
ском

и те две

она является, т. е. психо-биологии и социологии.

в свое

процесс становления;

и окончательной

и только тогда мы достигнем

конкретности

истории. В истории

—

ведь никакая идея не дается сразу. Если взять хотя бы математиче¬
ский анализ, то его теперешняя

построений

форма слишком резко отличается от

Ньютона и Лейбница, чтобы можно было не говорить

об истории в математике. А только тогда, когда математика взята не
вообще, а именно так, как она есть, реально у данного математика в
таком-то его сочинении, только тогда математика достигает своей
последней конкретности.

Поэтому вся построенная
во

гружается

временной

нами математическая

триада наук

по¬

поток, в инобытие, в становление, как бы

отчуждается от своей законченности и завершенности и воплощает¬
ся в то, что эмпирически кажется таким

случайным, разорванным

клочковатым. Бояться этого, однако, не стоит,

ность эта была чисто
чем-то

абсолютно законченным,

рождающая
лов

теоретическая,

у Гегеля

солютным

и
—

чества, а
может

теория

потому

не может быть никогда

пока не закончилась сама

определяющая эту теорию. Один
то, что свою

завершением

философию

и свою

своего Абсолюта. Наше

до скромнее. Мы претендуем
осмыслила

а

история,

из основных

эпоху

решаться

в

или не

самочувствие гораз¬

только на то, чтобы

последний

философии.
31

это

прова¬

он считал аб¬

теория адекватно

современный результат исторического развития

последний

и

что закончен¬

результат, вопрос

челове¬
этот не

Введение (общее разделение наук

§ 6. Общая

о

числе)

схема диалектического разделения основных наук о

числе

Таким
ние

наук

образом,

следующее диалектическое разделе¬

возникает

о числе:

I. Чистая математика.
II. Математическое естествознание.
III. Число как

факт духовной культуры:

психо-биология числа,

а)

Ь) социология числа,
с)
IV.

философия числа.
История всех предыдущих дисциплин.

§ 7. Разделение философии

Настоящее

числа

сочинение посвящено

философии

числа. В

преддве¬

рии этого огромного задания необходимо ориентироваться

в самых

общих проблемах этой науки, так как только строжайшая системати¬
ка и логическая методология
этой

необозримой

основные вехи

Эти
вая

вехи

эту схему,

женное

массе

могут

спасти нас от

научного материала. Попробуем

диктуются
мы

уже

только что

философией числа. Предло¬

числа с вышеописанным изменением
на чисто

всего,

и в

области самой

каждой отдельной

логическую. Таким образом, должны

возникнуть следующие отделы философии

Прежде

наметить

выведенной схемой. Устанавли¬

начали заниматься

научной методологии

I.

в

предстоящего исследования.

разделение наук должно быть проведено

философии

головокружения

философия

числа.

чистой математики, или логиче¬

ское конструирование науки о числе, взамен ее чисто числовых кон¬

струкций.
II.

Философия математического естествознания, обследова¬
форм физически-математической значимости числовых кате¬
горий и операций.
III. Философия числа как факта духовной культуры с подразде¬
лением на философскую психо-биологию и социологию и, наконец,
на теорию философии числа, или методологию. Философия фило¬
софии числа есть теория философии числа, т. е. ее методология, т. е.
ние

теория диалектического метода.
IV.

Философия истории

наук

о числе,

32

практически сводящих-

§ 8. Диалектические основы
ся на диалектическое

математики

построение истории

всех относящихся сюда

дисциплин.
В

сущности говоря, философия

матики как

таковой,

социальной науки

всех этих дисциплин

математического естествознания и

о числе

—

—

мате¬

культурно¬

должна бы сливаться с самими этими

дисциплинами, поскольку она есть только более интимное, более
связное логически и более понятийное построение тех же самых
предметов. И в некоторых областях уже невозможно обойтись без

философского метода. Тем не менее необходимо давать полную
свободу развитию отдельных наук, предоставляя последним право
рассматривать свой предмет своими специфическими методами. Из
того, что математик, хорошо интегрирующий дифференциальные
уравнения, не владеет логикой своего метода и не отдает себе отчета
в

диалектической природе

ет, что

своего

интегрирования,

совсем не следу¬

ему во что бы то ни стало нужно заниматься диалектикой

и что

без этой диалектики он вообще не ученый. Математика есть матема¬
тика,
же

и

предмет ее,

хотя и вполне

совершенно своеобразен

абстрактный

и может

и

формальный,

все

быть построяем как таковой.

Хорошо, конечно, если математик станет диалектиком; диалектика
подскажет ему то, что

он не мог

проследить

так что помимо самой логики числа он
в чисто математической области.

чисто математически,

получит еще

Хорошо

нечто новое и

также, если бы эти две об¬

ласти, математика как таковая и ее логика, или диалектика, слились
бы вместе до полного синтеза. Однако до известного и притом очень
далекого предела эти две области могут строиться и развиваться со¬
вершенно отдельно. И поэтому теоретическое разделение их вполне

целесообразно.
$ 8. Диалектические основы математики
Настоящее сочинение есть философия
софию

числа в том ее

едва ли посильная
невыполнимая

в

развитии,

одному мыслителю,

одном

или

числа.

как это сейчас

Создать фило¬

указано,

есть задача

и если посильная, то совсем

двух томах. Поэтому

целесообразно

необходимо
первых и
задачу,
ограничить
элементарнейших построений, то достаточно поставить себе цель
дать только первую часть философии числа, а именно логику чистой
свою

и так как

начинать с

математики, дать диалектические основания математики как тако¬
вой, оставляя пока в стороне естествознание, психологию, социоло33

Введение (общее разделение наук о числе)

гию, теорию самой диалектики

обширное

составить весьма
его

и так должно

усвоения философское исследование. Предлагаемое исследова¬

ние
как

историю. Это

числа и

и очень нелегкое для его создания и для

поэтому диалектическое основание

есть

таковой, или,

если

угодно, чистой,

или

только

математики

теоретической,

матема¬

тики.

$ 9. Разделение их

Туг же наметим
Само собою
ставлено

и основные области нашего исследования.

разумеется,

исследование

что в самом начале должно быть по¬

первичной сущности

числа, должна быть

вскрыта сама категория числа, чистая идея числа, число как общее
понятие. Что такое число само по себе
должен быть решен в

торый
гих

вот основной

—

философии

числа

вопрос,
всех

раньше

ко¬

дру¬

числа есть то, с чего мы и

вопросов. Поэтому общая теория

начнем.
Число как таковое, голое понятие числа, имеет, далее, свою очень

сложную диалектическую судьбу. Эта судьба должна
держащиеся
вить это

общее

понятие числа, дать вместо него детально

танную систему математики
С этой

выявить все со¬

в числе логические возможности и должна как

точки

как некоего диалектического

зрения общая теория числа,

бы

выя¬

разрабо¬

процесса.

фундаменталь¬
философию числа,

как она ни

на для всего исследования, есть только введение в

как бы только зерно, которое почти забывается, когда вырастает из
него целое растение, имеющее для

вполне

оригинальный интерес.
от числа вообще, от

Переход
рии,

к

числу

в частности

ния полученного

общего

философии

числа как

самостоятельный и

общей

и чистой катего¬

совершается, очевидно, путем
понятия в виде новой

утвержде¬

реальности. Как учит

диалектика, каждая предыдущая категория должна быть положена,
чтобы совершилось вообще дальнейшее логическое развитие. По¬
нятие числа, положенное как таковое, взятое как тезис, есть,

говоря,

интенсивное число,

арифметика, алгебра
Этому утверждению числа

сится

стоит

его

как мы

куда,

увидим

ниже

вообще

([§ 80]),

отно¬

и анализ.

отрицание

в виде

тинуума,

числа в виде

в

виде

раздельного

раздельного акта,

особой числовой слитности
—

на

основании

и

акта

т. е.

неразличимости

которой могут возникнуть
34

противо¬

утверждение
—

свои

кон¬
соб¬

§ 9. Разделение

их

ственные, уже не чисто числовые, но как бы в некотором роде

оформления, т.

материально-континуальные
эта

н.

геометрические. Вся

континуально-геометрическая сфера составляет прямую диалек¬

тическую противоположность интенсивному числу

и может

быть с

полным правом названа экстенсивным числом.
Наконец, мысль
альных
в

себе

и

объединения

построений. Должно быть

и

которая

не

жество вполне

ту разную «расставленность»
в счетном числе как тако¬

материальной континуальной

только

это не

геометрия;

зрения упорядоченности,

моменты поставлены здесь в

и тем не менее оно

т. е. отдельные счетные

ту или иную определенную фигурацию,

почти, я бы сказал, оптически данную

ски)

контину¬

которое совмещает

что называется в математике множествам. Мно¬

арифметично,

мыслится с точки

и

содержится

которая привносится

средой. Это есть то,

числовых и

такое число,

числовую различенность,

числовых актов,
вом, но

требует

(конечно,

мысленно оптиче¬

связь. Это и значит, что множество есть синтез интенсивного и

экстенсивного числа.

Так

как

«эйдос»

есть

термин, указывающий

такую «сущность», которая дана оптически-фигурно (мысленно

физически),

то

целесообразно

употреблял здесь именно
числа».
«эйдетические
ei&iTiKoi,
циплины,

Интенсивное

число

теория

этим

Кантор, создатель этой дис¬

греческое обозначение

переводит

числа. По

континуально-геометрическая система,

надо понимать,

и не иметь

то

сравнению

с

или число экстенсив¬

представления

представление

что такое число

крайней мере до

вообще,

бы материально сделанное. Чтобы счи¬

тать, напр., до четырех, можно
но чтобы иметь

числа

нас в область самой мате¬

сущность уже математического

ное, есть нечто внешнее, как

хугольнике;

’apiOpoi

вскрывает первую математическую сущ¬

общая теория дает сущность

интенсивности числа

матики, давая

или

это синтетическое число назвать эй¬

детическим числом, тем более что и сам

ность числа. Если

на

«четыре»,

о

о

четыре¬

четырехугольнике, уже

и надо

уметь

считать по

четырех. Это значит, что число «четыре» есть нечто

более первоначальное

(в логическом смысле), более внутреннее, то,

что лежит в глубине идеи четырехугольника. Четырехугольник внеш¬
ними

ре»,

средствами

и выявляет ее

выявляет

средствами. Это дает
сущностью

числа

арифметическую сущность числа

«четы¬

инобытийными, континуально-геометрическими
нам

право

называть экстенсивное число не

(как интенсивное число),
35

а его явлением.

Введение (общее разделение наук о числе)

Сущность

и

явление,

опять-таки

необходимости

по железной

диалектического процесса, должны неминуемо объединиться
сте, слиться в нечто

третье,

с точки

стракция. В диалектике сущность
ствительность. Ибо то

и

и явление

—

другое

зрения

чего они

только

—

синтезируются

абстрактно

вме¬

только аб¬
в

дей¬

выделенные

моменты из того, что реально существует. Нет ни сущности без яв¬
ления, ни явления без сущности.

Сущность должна

как-то являться, а

явление должно быть проявлением сущности. Избежать кантовского
дуализма «вещи в себе» и «явления» можно только путем диалектики,
которая умеет синтезировать обе эти

абстрактные сферы

в

некую

реальную, конкретно данную действительность. Эйдетическое
ло и есть

действительность числа.

Этим, однако, все еще

ществует

чис¬

не заканчивается

модификация

еще одна

общая сфера

числа.

Су¬

числа, которая еще ближе к кон¬

кретному бытию, ближе всего, что нами сейчас переименовано. И
диалектическое место ее рисуется с
стью.

Именно, три

сферы

основных

неумолимой требовательно¬

числа, число интенсивное, экс¬

тенсивное и эйдетическое, суть выявление перво-принципа числа,
явленная идея чистого числа. Но уже помимо того что вся эта трие¬
диная область противостоит перво-началу, остается вместе с ним на
степени некоего дуализма, помимо этого идея все же остается идеей,
и она продолжает противостоять

фактам так же,

противостоит ей самой. Это, разумеется,
есть часть естествознания. Такое
пониманием
кажения

вместила в

т. е. чистым

учением

существует. Для

ность в отношении

числовой

ность)

и вмещение

стихии

о чистом числе. И такая область

тике.

и

сферы (интенсивность,

синтетич¬

—

противостоящей ему трие¬
экстенсивность и

числовое же, конечно,

—

текучей

и

эйдетич-

случайной

действительности.

Первое обстоятельство,
тарно

действительно

важны два обстоятельства

перво-принципа

—

такую сферу,

себя факты, оставаясь, однако, самой собой,

дедукции

диной

полным не¬

математики. Вместо такого ис¬

в самой математике подыскать

которая бы

ее

перво-принцип

утверждение было бы

конкретной сущности

мы должны

как

не значит, что математика

по

ясно для всякой самой

крайней мере

примитивной

точки

Интенсивно-экстенсивно-эйдетическое

или иначе положенное

началом;

оно есть

—

в

сравнении

раздельность, и

с

как задание, элемен¬

зрения

число есть число так

сверхполагаемым перво¬

в этом смысле оно есть

36

в диалек¬

инобытие

§ 9. Разделение
первоначала. В чем же
ние» и «ставшее»

Какую форму примет тут «становле¬

их синтез?

категории, всегда,

—

строении являющиеся

их

во всяком диалектическом по¬

синтезом бытия и

небытия? Перво-принцип

есть вечное творчество, вечное возникновение, поток для всего
никающего; это

базированность

от чего, т. е. полная

щая

в

и

себе

числового

бытия,

есть всегдашняя связан¬

взаимообусловленность, координированность. Синтезом того

другого должно

явиться нечто такое, что тоже дано в связанном и

законченном виде, но так, чтобы это не мешало полной

вольность

и в этом смысле как

кания.

Разумеется,

ность,

и даже не

решительно

все

если взять

и

мы видим

социальной

за

а

Однако

наук,

и

и

проте¬

то ведь

совершенно свободно,

связанность его с

в то

биологии с социологией,

мы и имеем в т. н.

такую

теории вероятностей, где как раз

числа такова, что она

учитывает

и

случайность протекания процессов действительности.
Второе обстоятельство, важное для выяснения формулируемой

математической области,
дим

но и
та

физи¬

и самой матема¬

и самостоятельностью его возникновения и

теоретическая оформленность
всю

ни

бы совместила смысловую раздельность

модификацию, которая

протекания. Это

или

биологию,

без уничтожения настоящей

тики. Мы должны, оставаясь на почве чистого же числа, дать

явления с произволом

тут

время

общей животной

мы не можем считать ни

социологию частью математики

ономии всех этих

просто общеживотную,

себя

полную

жизнью.

и

события именно таковы. Всякий животный

индивидуум действует сам
как тут же

бы случайность появления

реальную человеческую действитель¬

человеческую,

факты

свободе про¬

ему была свойственна самопроиз¬

текания данного явления, чтобы

его

воз¬

и независимость ни

свобода. С другой стороны, раздельность, царя¬

триединой области

ность,

на самом

диалектический

—

синтез

снизу данная область

это то, что не только

перво-принципа

есть именно та,

сверху

числа и его

мы

нахо¬

принципа,

которая создана для уче¬

самопроизвольно протекающих процессов действительности. Мы

видели,

что

интенсивно-экстенсивно-эйдетическое

ществляется
анализ и

в

теория

множеств

суть науки,

пустотах рассудочного воображения,
иначе,
как-то

в том

число тоже

осу¬

действительности. Арифметика, алгебра, геометрия,

или

не

просто витающие где-то

но они обязательно так или

другом виде воплощаются

обусловливают

в

в

действительности,

ее, вносят в нее раздельность и осмысленность,

т. е. делают ее ею же самой. Но в чем же

37

разница?

Что заставляет нас

Введение (общее разделение наук о числе)

отделять

от всех этих

наук еще особую науку

совершенно специфические
начнет

Вопрос

отношения к

разрешаться,

и ставить ее в какие-то

действительности?

как только мы вспомним, что един¬

сфера бытия, где числовые конструкции триединой иде¬
сферы находят для себя полное, адекватное и совершенно
буквальное осуществление, это есть сфера природного бытия, при¬
роды. Ведь только там, где материя молчит, где она есть только абсо¬

ственная

альной

лютный послушный выполнитель велений

чистого числа, только там

интенсивно-экстенсивно-эйдетическая сфера проявит себя цели¬
ком.

Действительно,

напоминать нам

матики; и только
механически и

только математическое естествознание может

действительность

и

общезначимость чистой

тут, где дана молчащая,

беспрекословно

неживая

сфера.

безгласную

и

равнодушный

к

которой говорит

и

материю нашу

пустую схему. Материя для

саморазвивающееся,
себе

и

настоящая

особой,

идеаль¬

и ко

всему другому

просто

не

пустой

Потому-то

механизм.
с

не

нас есть нечто живое,

действительность

говорим тут об особой синтезированности
об

она

Но ведь сейчас мы хотим трактовать нашу дей¬

ствительность не просто как механизм
как

природа, где

подчинена числу, где она механизм,

только тут место той действительности, о
ная триединая

мате¬

и

мы и

перво-принципом,

т. е.

а именно максимальной, его явленности, что тут мыслит¬

ся живое движение,

вичнейшим

саморазвивающаяся

и чистейшим

способом

жизнь

в самом

(как

это и дано

пер¬

перво-принципе).

Но

тогда, очевидно, вся триединая идеальная числовая область является
для такой действительности слишком отвлеченной. Она, конечно,

обусловливает, ибо вся математика базируется на арифмети¬
на простом счете, а не умеет считать только тот, у
арифметика

тоже ее
ке,

—

кого еще или уже не

действует разум. Все это, конечно, осуществлено

не только в природе, но и в жизни, и в истории. Однако это все еще
слишком отвлеченная структура для настоящей действительности.
Настоящая действительность вмещает в себе самопроизвольность
своего протекания, и потому ей всегда свойственна стихия
ности.

Случайность же, данная

ятность. И

и

но

не

и статистика есть то в

природы только,

социальной. Это уже будет

история числа,

случай¬
сфере, есть как раз веро¬

близко отражает на себе действитель¬

притом действительность

животной и

числа,

смысловой

потому теория вероятностей

математике, что максимально

ность,

в

не

но и жизни,

просто действительность

понимая под этим как животное

38

развитие

§ 9. Разделение
и всю

трика
ди

и

пр. виды

всех наук

что возможна статистика и в

скому миру. В особенности
склонность

статировать

областях,

человеческую, социальную. Биоме¬

статистики имеют достаточно

прочное

место

сре¬

вообще.

Заметим,

в

и

органическую жизнь, так

их

где раньше

ческие законы.

к

в

применении

к механиче¬

современной науке приходится

кон¬

применению статистических методов

безраздельно царили

Это, однако, свидетельствует

только одни механи¬

не о

принципиальной

тождественности тех или других методов, но о том, что и т. н. меха¬
ническая действительность не всегда так уж механистична или что
она отнюдь не всегда дает себя механизировать.
важные

добавления

Итак,
А.

вот

к

проблеме вероятности

общее разделение

Перво-принцип

числа

—

В. Число в своем идеальном

I. Сущность числа,

мы

Некоторые

весьма

укажем ниже,

§ 49-

в

всего нашего исследования:

общая теория числа.
завершении.

или интенсивное число

(арифметика,

алге¬

бра, анализ).
II. Явление числа, экстенсивное число (теория континуума и гео¬
метрия).
III. Действительность числа, эйдетическое число (теория мно¬
жеств).
С. Реальное число, или число историческое (теория вероятностей
и

статистика).
Заметим,

что эта диалектическая

действительность
матической
разделение
и

—

—

сущность, явление,

проводима решительно везде,

и логической

на

триада

в

любой мате¬

области. Так, уже указанное выше общее

чистую математику,

культурно-социальную историю

математическое естествознание
числа есть именно это

разделе¬

ние, только проводимое здесь в более широком масштабе. В области,
например, арифметики

разделением,

хотя

тут

или анализа мы также столкнемся с этим же

возможны и иные

ния и детализация.

39

термины,

и

разные добавле¬

ОБЩАЯ
ТЕОРИЯ ЧИСЛА

I. ОТГРАНИЧЕНИЯ

(УСТАНОВКА ЧИСЛОВОГО
ПЕРВО-ПРИНЦИПА)

§ 10. Вступление
Число является настолько
тия и сознания, что для его

брать

только самые

того и

ричное

определения

глубокой категорией
и

характеристики

бы¬

можно

первоначальные, самые отвлеченные моменты

другого. Математика
по

основной и

сравнению

—

наука

о числе

есть

—

с самим числом. Если дана

уже

определенная диа¬

лектика числа, отсюда можно получить руководящие
лектического анализа и самой

математики как

нечто вто¬

нити для диа¬

науки. Математика

образом скомбинированная теория и наука,
наука предполагает, что уже есть определенный пред¬

есть уже определенным
а эта

теория

мет для

и

теоретизирования. И

средствами, уже

предмет надо вскрыть

этот

не просто математическими.

определенное усмотрение предмета
мы, на

которой будет разыгрываться

—

платформой

может быть только

Должно существовать

той смысловой

математическая

вскрытие

какими-то

платфор¬

наука. И этой

самого понятия числа,

философия его необходимых моментов установок,
без которых оно немыслимо. Этой до-теоретической задачей мы и

определение

и

—

должны заняться. Установивши

прочно искомую платформу,

т. е. по¬

лучивши путем до-теоретического анализа то, что такое есть число
своем последнем

ки о числе,

существе,

именуемой

основания этой

§ 11. Число

мы можем

перейти

к

построению

и

в

нау¬

как «математика», и выяснить диалектические

последней

не есть ни

как

определенной

что-нибудь

системы.

вещественно-качественное, ни

вообще объективное
Что такое число в своем последнем

Уже самая

формулировка

ние всех вторичных и

существе?

этого вопроса предполагает исключе¬

подсобных

жем ли мы сказать, что число есть

точек зрения.

Прежде

всего, мо¬

что-нибудь объективное?

41

I. Отграничения (установка числового перво-принципа)

Всякому

ясно, что число не есть

мом деле, число «пять»
пять

орехов

совершенно

или пять копеек.

что-нибудь

Определяя

са¬

число «пять», мы не только

рассуждение об орехах

можем исключить всякое

объективное. В

не зависит от того, имеется ли

или деньгах, но мы

обязательно должны это сделать, если не хотим затемнить предмет
нашего определения

и не хотим совсем

лее мы должны отвлечься от всякой

если хотим говорить о числе

потерять

его из вида.

Тем бо¬

вещественной качественности,

вообще. Итак,

вот

первая

наша

установ¬

ка, наиболее

ясная и четкая: число не есть

щественной

качественности. Число относится к любой качествен¬

ности и

оформляет любую

в смысле ве¬

вещественность; и потому совершенно

нет никакой нужды привлекать сюда

что-нибудь

что-нибудь

что-нибудь

вещественное или

качественное.

Но может

быть,

число есть все-таки нечто объективное?

Веще¬

ственная качественность есть только один из видов объективного
бытия. Может

ности?

—

быть,

число есть

какой-нибудь другой

вид объектив¬

И на этот вопрос приходится ответить отрицательно. Вся¬

кому ясно, что число относится также и ко всему

И в

субъективном

мы

можем

мире (например,

ориентироваться

другого,

субъективному.
субъективных переживаниях)

в

только тогда, когда здесь одно отлично от

т. е. когда можно считать.

тать число

Почему же вдруг

обязательно чем-то объективным, а не

мы должны счи¬

субъективным или

субъективным, а не объективным? Вполне очевидно и достоверно
то, что число гораздо глубже самого разделения на субъект и объ¬
ект, что оно применяется (и не может не быть применяемо) в обла¬
стях бытия, в которых еще нет разделения на субъект или объект или
уже нет. Рассматривая число «пять» в его существе, мы совершенно
не замечаем в нем

тивно,

чем все

специально-объективного. Оно

другое. И потому вывод

не более

объек¬

о том, что число не есть не

что-нибудь вещественно-качественное, но не есть и вообще
что-нибудь объективное, должен быть элементарно очевиден и са-

только

модостоверен.

§ 12. Число не есть

что-нибудь субъективное

Субъективистических теорий числа очень много, но все они
обладают характером вполне второсте¬
правильные они или нет
—

—

пенным и

третьестепенным. Все

стических теорий

они

разделяют

в том отношении, что дают

42

судьбу

объективи¬

определение предмета

§ 12. Число не есть что-нибудь субъективное

при помощи

самого же предмета. Как там нельзя

при помощи вещественно-качественных

моментов,

т. е. таких моментов,

функционирования числа,
ла

при помощи того,

которые

функционирование

в нем числа. А

ации представлений,
тому,

что

то каждое

вестного же.

представление

теория определяет

Необходимо

теория гласит, напри¬

трактуется

уже было затрачено понятие

психологическая

тем

обобщения отдельных

объединения отдельных

понятие числа

числа.

эмпи¬

психических

результат ассоци¬

как

возможно только по¬

Следовательно,

всякая

неизвестное при помощи неиз¬

сказать даже больше того. Сама

(психологическая) возможна

тео¬

одну вещь, уже необходимо

между

что понятие числа возникает из

переживаний. Когда

чис¬

апперцепционные теории. Дия

хотя бы

воспринял

рических наблюдений

результате

сущности

теории. Возьмем, например,

или

того чтобы человек

или из

число

существует благодаря числовому бы¬

что само

старого ассоциационизма

мер,

сами возникли в

так и здесь нельзя искать

тию. Таковы все психологические

рии

определить

вообще объективных

или

только тогда, когда

теория-то

уже известно,

что

такое число.

Тут полное совпадение с объективистическими теориями. Всякое
вещественное качество уже само по себе есть нечто, т. е.
ет счет, число, а

теория утверждает,

предполага¬

что число есть вещественное ка¬

чество. И в психике отдельные

ощущения, восприятия, образы, пред¬

ставления

себе уже

и т. д. и т. д. сами по

числа, потому что все они

разделены друг
Стало

с

другом,

быть, сказать,

чем-нибудь

сформированы при

отличаются

т. е. считаемы, т. е.

что число возникает в

ни было психического процесса,

—

друг

содержат

результате

это значит

от

в

помощи

друга,

себе

т. е.

число.

какого бы то

определять idem per

idem*.
Более тонкой формой субъективизма
лизм,

является

трансцедента-

если он не вполне четко отмежевывается от психологических

наблюдений. Черты такого психологизма можно найти, например, у
Канта. Кант тоже занят проблемой, которая не является существен¬
ной для

анализа числа, а только

пустим,

что число

хочет Кант

—

чисто

(независимо

суждает здесь Кант). Что

подготовительной. В

самом деле, до¬

субъективного происхождения, как этого

от того,

правильно

нам дает такое

•

то же самое через то же самое

(лат).
43

или

неправильно рас¬

учение для вскрытия сущно¬

I.

Отграничения (установка

числового

перво-принципа)

сти числа? Ровно ничего. Ибо Кант вскрывает здесь не то, чтб такое
число в своем

существе,

уже знает, чтб такое

но

это

известное

ла.

ровно

ему

происходит

или

его

опреде¬

субъективно это
объективно,

число. И если бы он доказал, что оно

также ничего не вскрыло бы нам из

не

это число. Он

затрудняется

узнать, объективно ли

Объективных предметов

Итак,

и как

число, и нисколько не

лением. Он только хочет

уже

откуда

сущности

самого чис¬

очень много.

происхождение

числа нас

интересует,

но само число и

функционирования
(субъект или объект), но число само по себе
независимо от того, где оно мыслится функционирующим или как
оно модифицируется в зависимости от места функционирования.
Все эти проблемы не только второстепенны, но и вторичны, т. е. са¬
и зависимости от той или иной

не способ его

среды, где оно находится

мая возможность их возникает только тогда, когда уже известно, чтб
такое число в своем последнем существе.

§ 13. Число относится

Итак,

к чисто смысловой

в каком ни

общем,

сфере

бытие,

субъективное,
и субъекта. Что

ни

раз формулировалась сфера, которая

не

число не есть ни объективное

ни частном значении

ни

объекта

же

оно тогда есть?
В

философии

есть ни

объект,

ние объекта и

много

субъект. Нужно

ни

субъекта,

в

сказать, что самое противостоя¬

особенности с такой болезненностью

напряженностью, характерно отнюдь не для всех
а

характерно

образом

главным

для

эпох

европейского

философии,

типа, кульмини¬

рующего к тому же в XIX и начале XX в. Уже теперь, в начале

четверти

софы
более

важными и

проблемами, которые

принципиальными. В
в

пулярностью пользуется теперь
не

субъективна

или

и не

бесполезно,

весьма

обширна

ся один от

или
и

другого

также не есть ни

фило¬

гораздо

философии

та

область, которая

которой

это разделение

несущественно. Нужно сказать,

что эта область

содержит

в

себе

субъект

в

несколько

резко отличающих¬

построения. Так, Единое

типов своего

неразличимой

даже не положена.

они считают

связи с этим большой по¬

объективна, область,

Плотина есть то, в чем

лютно

второй

XX в., это противостояние значительно поблекло; и

заняты сейчас

и

и

объект содержатся

в

точке и где их антитеза еще не

Затем, то,

субъект,

ни

в смысле

одной, абсо¬
развернута

и

«душой»,
объект, потому что предшествует этой
что неоплатоники называют

44

§ 13. Число относится
антитезе. К какой же области

к чисто смысловой

сфере

субъектно-объектного безразличия

относится число?
Число есть, несомненно, смысл, относится к смысловой сфере.
Здесь не место вскрывать подробно существо этой сферы. Но основ¬

ное качество ее вполне очевидно и даже примитивно. Это основное
качество есть качество значимости. Смысл не есть, но значит.

Для грубо натуралистического ума это, конечно,
сразу

понятным.

мыслить себе

эту смысловую сферу. Смысл нигде

находится как

собою

все

Однако необходимо научиться

определенное «когда»,

не может быть

полно и

раздельно

не находится и не

и тем не менее он

определяет

пространственно-временные свойства вещи. Смысл этой,

напр., вещи,

на

которой

сейчас пишу,

я

том, что это есть одно из средств для

—

бумаги

—

осуществления

заключается в
письменности.

бумаге, отнюдь не находится в
каком-нибудь определенном пространственном месте ни этого ли¬
ста бумаги, ни всех листов, какие только были, есть и будут на свете.
Но эта значимость, находясь во всей

Если мы

что эта значимость, или смысл,

представим себе,

объективно-вещественно

обыкновенном смысле,

в

существует

мы впадем в ме¬

тафизический идеализм, не выдерживающий критики, как и всякая
грубая натурализация. Если же мы скажем, что эта значимость вооб¬
ще никак не существует, то тогда окажется, что данный лист
вовсе не означает листа
есть лист

бумаги

и что, следовательно, лист

бумаги
бумаги не

Это было бы нелепо. Следовательно, смысл (зна¬

бумаги.

чимость) как-то существует, но существует не как вещь, а лишь как
значимость вещи, которая сразу

уже нельзя говорить, что

Об этом смысле

и везде, и нигде.

объективен, но только
субъективен
то, что он есть значимость. Это особая форма бытия, возникшего на
почве субъективно-объективного безразличия.
или

он

Оно станет сразу понятным, как только

непредубежденно
нятнее,

наивнее

что-нибудь

и

значит?

а только самое

поймем,

серьезно. В

проще

Тут

того

ровно

самом деле,

отнесемся

что

простого факта,

нет никакой

обычное, повседневное,
только

трение. Нужно
и мы

и

мы

нему

может быть по¬
что

каждая

вещь

теории, никакой науки,

чисто человеческое

чуть-чуть абстрагироваться

что такое ее значимость.

к

Конечно,

усмо¬

от самой вещи,

значение вещи в

реально-повседневном употреблении совершенно неотделимо
самой вещи. Но никто не может

запретить анализировать вещи

угодно абстрактно, при условии

что

45

получаемые при

от
как

таком анализе

I. Отграничения (установка числового перво-принципа)

абстрактные

будут овеществляться в своей изолирован¬
натуралистической метафизики. Смысл,
абстрактный момент в цельном бытии, но каждая аб¬

моменты не

ности и не возникнет тут
—

значимость,

стракция должна обсуждаться отдельно,

моменты и

так как

разложение целого

возникает, если есть

изучение каждого

наука

только тогда и

на отдельные

абстрактные

из этих моментов в отдельности.

Субъект-объектное безразличие смысла можно усвоить и на ряде
других общепонятных явлений. Пусть мы имеем какой-нибудь закон
или

норму, пусть

хотя бы из области

есть ни законодатель, его

ни

бумага,

на

которой

преступление. И вообще

никакая ни

не

он на¬

преступник, попавший под действие

писан или напечатан, ни

закона, ни его

создавший,

права. Всякий такой закон

этого

субъективная,

ни

объективная качественность никак не характерна для этого закона.

Сущность данного закона заключается только в его значимости,
его определенной смысловой установленное™, и больше ничего.
К этой-то чисто смысловой области
своем

в

и относится число, взятое в

существе.

$ 14. Число

и понятие

Однако, разумеется,

сфера

и

чистого смысла слишком

обширна,

чтобы указанием на нее ограничиться при разыскании того, что та¬
кое число. Смысл весьма

разнообразен

функционирования,

также нужны четкие

и

1. Прежде всего,

тут

по

способу

своего бытия и

отграничения.

число не есть понятие, хотя последнее также

имеет чисто смысловое
самое название, есть

происхождение. Понятие,

структура, получившаяся

в

как показывает

результате по-ятия,

понимания. Понятие вещи есть понятая вещь, понятность вещи. По¬
нятие, стало

быть, привносит

понимается вещь.

в вещь нечто из того, чем по-имается,

Понятие есть способ

пребывания

отвлеченного

смысла в его инобытии. Обычно считается, что понятие есть спо¬

пребывания
лировка совсем
соб

отвлеченного смысла в сознании. Но такая
не обязательна. Понятие вещи есть

вещи, взятый не сам по
что видно,

что

себе,

привносит

в

но в своем
вещь

окружающее

инобытие может быть дано на степени
без всякого

понятие

в

перехода

в

научное понятие,

первого

в

инобытие,

котором всегда
46

так

своего полагания,

смысле этого слова.
можно

смысл

ее инобытие. Это

дальнейшее инобытие. Тогда

обычном, абстрактном
в

переходе

форму¬

просто

мы

получаем

Напр.,

перечислить

все

всякое

суще¬

§14.

Число и понятие

ственные признаки, очевидно, есть не только смысл вещи, данный
в

инобытии,

в

последующее

но это инобытие еще не пошло дальше, не
становление и не

риалов этого становления.

Тут

конструировалось

слово, выражающее данное понятие,

вполне тождественно с самим понятием, и оно не
как

что-нибудь

вне-научное

инобытие,

по

слово

природе своей
уже

не

рассыпалось

заново из мате¬

функционирует

отличное от него. Всякое

будет тождественно с

модусе которого дан смысл, будет выпирать

в

и больше на

первый

план. Наше обычное

другое,

понятием; в нем это
все больше

разговорное слово, давая

нам понятие вещи, всегда дает еще то или иное освещение вещи.

если

принять

«печь», а «тоска»

—

со значением «тиски», «тискать» и т. д, то ясно, ка¬

кой оттенок вносится каждым словом в одно
понятие

учном

слове. И наконец, можно взять уже

ность, чистое становление,
мы

и отвлеченное

чем в на¬

(термине). Еще ббльшая роль указанного инобытия в ху¬

дожественном

Тогда

общее

страдания. Тут гораздо больше выразительности,

слове

Так,

во внимание, что слово «печаль» связано со значением

и

рассматривать его

чистую инобытий-

как

перво-принцип.

получаем различные алогические виды инобытия,

к

числу

которых принадлежит, напр., музыка.
Вся

эта

сфера чистого смысла, от отвлеченного понятия до худо¬

жественной формы, есть сфера выразительного смысла,
где помимо

первоначального

роль способ пребывания

чистого смысла

этого смысла в

оказывается здесь по меньшей
смысловой

структуры
—

перекрытие
смысловых
пр.

[2].

играет ту

инобытии,

или

иную

так что смысл

мере двухмерным. Здесь два

плана

отвлеченный смысл и его инобытийное

даны как одна и единственная структура. Это область

форм,

Будем кратко

тельными

—

т. е. такого,

смысловых

выражений,

смысловых символов и

называть это выразительным смыслом или вырази¬

формами.

Есть ли число выразительная

форма?

На этот вопрос необхо¬

димо дать четкий ответ, чтобы сразу же стать на

твердый путь

и не

сбиться с толку. Чтобы его разрешить, достаточно решить другой,
гораздо более легкий вопрос: что предшествует чему, число выраже¬
нию или

выражение числу? Может ли быть число, которое никак не

выражено,
чего

и может ли

существовать выражение,

в

котором нет

ни¬

числового? На этот вопрос приходится вполне твердо ответить:

число возможно без выражения, т. е. оно возможно как выразитель¬
ная

форма, а выразительная форма
47

никак невозможна без числа. Без

I.

числа

Отграничения (установка

числового

вообще ничто невозможно, ни

бытия. И

потому число

—

формы. Следовательно,

уже

потом можно задавать

вне-выразительно

и

малейшее движение мысли или

раньше всего, раньше

ной

Однако здесь надо

сначала

вопрос

иметь в

о том, как оно

виду,

что число,

выбор

только

их

наука

и о

категорий

формы

своей

мы

уви¬

выступают

и что математика

выразительных формах. Но разумеется,

специфические выразительные формы,

не всякие, и

того первоначального от¬

которого существуют

эти

вырази¬

в математике.

Между прочим,

как

раз этой своей принципиальной выразитель¬

ности математика обязана своей

то

в основе

и т. д. весьма часто

строго определен характером

единственная

выражено.

обычных понятий

влеченного смысла, в отношении
тельные

что такое число, а

будучи

анализе математических

в математике под видом самых

—

всякой выразитель¬

нужно знать,

дим, что двухмерность, трехмерность

в этом смысле есть

и

до-выразительно, дорастает до выразительных

форм. В специальном

здесь

перво-принципа)

обстоятельство,

что

это не

достоверностью. Конечно,

причина математической достоверности. Но

бытие, которым

все-таки

занята математика, не

ет понимания, а только мышления, что математика

требует

требу¬

чистой

мыслимости, а не выразительности, это обстоятельство не могло не
упростить ее предмета в смысле адекватности уразумения, и оно не

требовало
нимания,

от человека

кроме

мышления еще и

способности, разная

степень

выразительного

которой

по¬

очень и очень ска¬

зывается на кругозоре человеческого сознания и часто заставляет
его создавать весьма

нуждается только

уродливые

противоположность

с

филологией, которая,

красному определению А. Бека,

3. Не надо извращать
ную идею. Мышление
сферы

сознания. Это

или иначе

и искаженные

формы.

и доводить до

и понимание

старинному

как-нибудь

этих

и

пре¬

абсурда только что высказан¬

—

принципиально различные

различие, конечно,

объединиться,

по

есть всегда «понимание понятого».

не только не мешает им так

но можно сказать и так, что

жизненность сознания только и возникает на почве

синтезирования

Математика

в мышлении, а не в понимании; и в этом ее полная

форм. Чтобы что-нибудь

конкретная

объединения

и

помыслить, надо это

понять; и чтобы нечто понять, надо его и как-то помыс¬

лить. Однако никакая целостность и жизненность не может воспре¬

философу производить свои абстракции. С возникно¬
абстракций только ведь и начинается наука. И вот одно из

пятствовать

вением

48

§ 14. Число
основных

различений

в

сфере

и понятие

сознания

—

это

различение мышле¬

ния и понимания. Мышление есть как бы некий механизм,

щающий неоформленное сырье

превра¬

оформленные

в данные технически

вещи. Понимание же заново перекраивает и переделывает эти вещи,
придавая им новый стиль и новое единство, какого там, в первона¬
чальном их появлении, совсем не было.
Мышление создает смысловой скелет вещи; понимание исходит
из вещи, которая на своем скелете несет также и живое тело. Мыш¬
ление вещи остается внутри самой вещи или объединяет ряд вещей
в одно целое; понимание же
том или другом

вещь в ее осуществленное™ в

инобытии, берет, следовательно,

бытием, причем выбор
не зависит от

берет

этого

инобытия

вместе с этим ино¬
и

произволен

нисколько

собственной значимое™ вещи. Поэтому понимание

вовсе даже не есть процесс чисто интеллектуальный, каковым, не¬
сомненно, является мышление. Это процесс гораздо более общий,
процесс вообще

некоего отождествления мыслимой вещи с тем или

другим инобытием, напр.,

эмоциональным,
в

угодно. Поэтому понимание,

ким

всегда «субъективно»,
что

с

хотя этот

аффективным

структура

как объективный

не менее

субъективизм

вовсе не есть

мышление

тут

не¬

а только

мира, структура

коррелят субъективного понимания,

объективный,

Поэтому

все того же объективного

чем все

ка¬

протавоположность мышлению,

противоположное объективистической оценке бытия,

более сложная

и

сам по себе

прочее.

математика растет и падает вместе с мышлением. Если

функционирует,

кращается, прекращается
ление, тогда она

—

математика создается; и если оно

пре¬

и математика. В математаке или есть мыш¬

математика; или его нет, тогда падает и математа-

ка. Ошибка в вычислении или доказательстве есть результат частич¬
ного отсутствия мышления в той или
гое дело в
назвать

филологии,

наукой

в той

о понимании

другой областа.

важна

не важен самый

ражения

с полным

(или

что одно и то

о словах

—

предмет выражения

жение и понимание
от

выразительность, выраженность

не имеет ничего

абстрактной,

и понимания.

общего с прекращением

могут быть хорошими

мысли в отношении

49

же). Здесь

непрерывной

сама по

себе,

и

Ущербность
Выра¬
вы¬

мышления.

или плохими независимо

смысловой структуры выражаемого

Движение чистой

правом надо

науке, которую

мышление совсем не обязательно в такой точной и

форме. Здесь

И совсем дру¬

данной вещи

и понимаемого.

может кончить¬

I.

ся

Отграничения (установка

совершенно,

и сама эта вещь может

шенно статическое; и

развиваться,

при

всем том ее

иные аксиомы и

строить,

ке заходит

ка, это
ских

логии

мание,

речь

напр.,

формы

понима¬

о том, как понимать те или

в

уже

не есть чистая математи¬

математику совершенно нематематиче¬
—

точек

истории,

в

зрения. В предметах

искусстве

—

важно как

же

фило¬

раз

пони¬

интерпретация. Поэтому доказательство, скажем, равенства
в

суммы углов
одно

совер¬

и доказывать; и если в математи¬

о понимании, то это

в языке, в

в нечто

выразительные формы могут

спора

формулировать

напр., философских

—

превратиться

но только о том, как их мыслить, т. е. как

теоремы,

как их

уже привнесение

—

перво-принципа)

и она может иметь весьма динамичные

ния. В математике не может быть

их

числового

треугольнике двум прямым углам

(из параллельности линий);

беспьер

или

возможно только

пониманий же того, что такое Ро¬

крестовые походы, может быть

очень много.

Даже

случаях, когда теорема доказывается разными способами,
мание этим нисколько не затрагивается; и смысл этих

зательств,

Итак,

в
в

зительные
чистого

общем, абсолютно один

смысла,

выразительным
тельных

ее пони¬

разных дока¬

и тот же.

области смысла надо различать отвлеченные

и

Число есть прежде всего отвлеченная

формы.
а

не

выразительная. Хотя

математическим

(ярким образцом

в тех

это

не

выра¬

сфера

мешает

вне-

структурам дорастать до вырази¬

такой математической выразительно¬

сти являются, напр., вектор и тензор или вся теория поля). Число
есть принцип самого первого различения, и тут еще нет никакой
выразительности, хотя ничто и не мешает ей возникнуть впослед¬
ствии.

§ 15. Число

есть самый акт смыслового полагания, а не содержа¬

ние этого полагания

Однако

сфера

и

чистого, вне-выразительного смысла все еще

очень широка, чтобы этим ограничиться. Чем отличается число от

Существуют вещи, и существует их
Спрашивается: если я сосчитаю не¬

других видов смыслового бытия?
смысл.

Существует

сколько
эта

вещей

операция

смысл вещи.

или в

будет

одной

и той же вещи

отличаться от

пересчитаем

ее части, чем

фиксирования смысла этих вещей

как такового?

Тут перед

нами

возникает

одно

из

самых

фундаментальных

свойств всякого числа, всякого математического бытия. А именно

50

§ 15. Число есть самый

акт смыслового полагания...

есть, как выразился Гегель, «равнодушная к себе самой опреде¬

число

ленность». Что это значит?
Это значит то, что число есть такой смысл вещей,
касается их

содержания,

не входит в

индивидуальное

который

не

описание и

фиксацию тех вещей, которые он представительствует. Уже мы гово¬
рили,
в

что

виду

не

орехов,

вообще

будет ли

не зависит от того,

пять копеек или пять

грубые чувственные

меваем
виду

пятерка совершенно

пять

груш. Но

качества и вещи.

там мы

Здесь

иметься

подразу¬

же мы имеем в

всякие качества, в том числе и чисто смысловые. Число

содержит в себе ровно никакой качественности, ни веществен¬
чувственной, ни смысловой. Правда, и здесь надо сказать,

ной или

что это не только не мешает появлению

качественности, но,

наоборот,

своей, уже

диалектически

появление этой, только уже не вещественной

специфически

чисто числовой

обусловливает

и не

собою

общесмысловой,

а

числовой качественности. И все типы этой числовой

качественности должны быть обследованы нами с полной тщатель¬
ностью. Однако, вообще говоря, число есть бескачественная, вне-

содержательная

смысловая

от всякого смысла

вещей,

структура,

взятых в их

Число в этом смысле абсолютно

и в этом ее

резкое

отличие

конкретной существенности.

формально.

Эту фундаментальную особенность всего числового мира можно
фиксировать
и более

и

более строго. Как

общих выражений? Это

себе взятое, нисколько не

которым

заинтересовано

оно может считаться числом.

(напр., при

мышлении

тут действует

Число,

само по

в вещах, по отношению к

Когда

мыслится чистое число
мы замечаем, что

натурального ряда чисел),

не то, что мы своей мыслью полагаем, но самые акты

мыслительного полагания.
может

это сделать, избегая описательных
можно сделать так.

быть чем угодно

То,

и кем

что мы полагаем актом своей мысли,

угодно; это

как

раз

не важно. А важно

самое полагание, акты самого полагания.

При
и

этом, помня наше отграничение числа от всяких

субъективных процессов,

необходимы

вашей,

или

думать,

именно наши полагания, полагания именно

и только

что

числу

моей,

или

вредит рассмотрению существенного.

имеется в виду мысленное, смысловое понимание

лагает

субъектов

вообще чьей бы то ни было мысли. Для числа это тоже со¬

вершенно не нужно

Тут

мы отнюдь не должны

и что именно полагается,

—

на этот

вопрос

вообще.

Кто по¬

число не отвечает.

Но число отвечает на вопрос о самих полаганиях, об актах самого

51

I. Отграничения (установка числового перво-принципа)

полагания. Хотя и это еще не полный

числа, но без этих

спецификум

актов полагания числа не существует. Число есть определенная

ма, или тип, чистого смыслового полагания,

форма

фор¬

смысловой по-

ложенности.
Полагание

—

это одна из тех

первоначальных

установок, которые возникают

тивных

пояснения очевидности и

в

и вполне

результате

самодостоверности

прочих построений. Полагание, утверждение

не

прими¬

требующей

и лежат в основе всех

—

это то, что мы не

бу¬

дем пояснять и что невозможно пояснить, раз это самое примитив¬
ное и до-теоретическое усмотрение. По этому поводу

заметить,

что задача

одном сведении сложного и неясного на
Не в том задача

необходимо

философии вообще часто заключается только в
и очевидное.

примитивное

философии, чтобы разъяснять очевидное;

все равно,

рано или поздно, мы упираемся в ряд некоторых основных катего¬

рий

и аксиом, каковые

дошли до этого, так

скую задачу,

(во

уже неразложимы дальше. И
многих

случаях)

уже

дальнейших разъяснений уже

и

сложное и неясное объясняется из

не

и

как только мы

решили философ¬

требуется. Поэтому

примитивного

и очевидное, если оно таково,

примитивное
каких

мы

уже

и очевидного; но

не

нуждается

дальнейших разъяснениях.

Такова
носится к

же и

Сфера

самодостоверная природа

сфере этих

§ 16. Число,

акта полагания. Число от¬

актов чистого смыслового полагания.

количество и величина

актов

ключены все

чистого

полагания,

содержательные

из

которой совершенно

и качественные

установки

в подлинном смысле состоит только из актов полагания и

уже довольно точно рисует нам природу числа,

из чего,

все еще не достигаем полной точности. В

лагания мы находим еще
но не

ни в

суть

хотя и

тут

ни
мы

актов чистого по¬

другие структуры, которые близки

В чем разница между тем и

всяких

которая

больше

к

числу,

всего, необходимо отграничить число от количества.

то, что количество

Когда

личество

ис¬

само число.

Прежде

числом.

сфере

и

мы

другим? Наиболее

ясным является здесь

обладает вторичным характером

говорим

в

сравнении

с

о количестве, то всегда имеем в виду ко¬

чего-нибудь, в то время как число мыслится как таковое без

дальнейших добавлений. Когда говорится

то «пять» в данном

случае

является количеством.

52

о пяти

копейках,

Или, говоря

о пяти

§16. Число, количество и величина
орехах,

мы также имеем в

виду количество

говорить (и всегда говорят),

орехов

или

орехи

«пять»

орехов. Правильно

что мы имеем то или иное количество

в количестве пяти, но,

собственно говоря, проти¬

воречит языковому чувству употреблять выражения: «У меня такое-то
число

Выражаясь точнее,
предполагает переход числа в инобытие и применение

орехов»

количество

или «У меня

числа для осознания

по

орехи

числу

(пересчета) этого инобытия.

по себе и является самостоятельным
о нем не возникает никаких
да же

речь идет

перестаем

пять».

мысли

предметом мысли; при

других подсобных методов
уже покидаем

о количестве, мы

созерцать его

Число дано само

мысли. Ког¬

число как таковое и

в его полной самостоятельности.

Мы тут

берем не само число, но его функции в инобытийной области. Мы
берем тут какое-нибудь инобытие (орехи, деньги, карандаши и т. д.),
к нему применяем то или иное число и оформляем его при помощи
числа,

т. е.,

попросту говоря,

считаем его, исчисляем,

ем. Количество есть не число, но
в инобытии.

уже есть

Поэтому

можно

говорить

образом оперировать
в данном

проявленность,

оно

о количестве

числа

предполагает,

орехах, копейках

единиц

понятием количества без

случае совершенно ясно,

на себя само числовое

ла на

вторично;

пересчитыва¬

что

число, в то время как число еще не предполагает количества.

Разумеется,
тие. Но

функция,

количество

или

содержание;

и т. д., мы

что

перехода

в

инобы¬

роль инобытия берет

и вместо того

говорим

в числе и таким

чтобы говорить об

о единицах. Роль

инобытия

взя¬

себя совокупность единиц, составляющих содержание данного

числа. Таким

образом, логически здесь осталось то же самое понятие

количества.

Далее,
структура,

число надо отличать от величины. Величина также есть
возникшая

из

актов

чистого

но

полагания,

она

резко

отличается и от числа, и от количества. Если количество есть чис¬
ло,

функционирующее

тие,

в

осмысленное числом

смысл

инобытия,

инобытии,

то величина есть само

при помощи

когда последнее осмыслено через чистое число.

Величина есть не смысл инобытия, но само

через чистое

Другими

и

инобытие,

осмысленное

число.

словами, величина является диалектическим синте¬

зом числа и количества. Число

утверждения

инобы¬

количества. Количество есть

и

созерцания

—

оно не

это тезис,

нуждается

подсобных средствах. Количество
53

потому

что для своего

ни в каких

явно дает

переход

добавлениях
числа в ино¬

I.

Отграничения (установка

числового

перво-принципа)

бытие, так как предполагает вещи, которые оно
взять и то самое, что исчислено числом

да

будет

исчисляет. Но можно

при помощи

количества. Тог¬

взято и чистое число, и количество. Чистое число

образуется

здесь потому, что величина есть такая же самостоятельная структура,
как и чистое число, в смысле самостоятельности и в смысле полной
ненужности прочих добавлений и подсобных средств. Количество
же

образуется

здесь потому, что величина всегда есть нечто исчис¬

ленное. В то же время величина не есть ни число
не исчисляется

бою,

ла),

другим,

величина же есть нечто исчисленное

ни количество

(ибо

а только исчисляется само в

(ибо

число ничем

себе

и самим со¬

при помощи другого

последнее является

абстрактным

исчисленного, а величина есть та самая вещь,

чис¬

смыслом

которая содержит

в

себе этот смысл исчисленности).
Разумеется, величина

числа,

но только та

исчисление.
в

высоту

не есть вся вещь, исчисленная

пять

метров,

общее,

но только

Итак,

в ней

через

Так, величина «пять метров» не есть все дерево, имеющее
но только тот момент в этом

является исчисленностью его
имеет то

при помощи

сторона этой вещи, которая получена

размеров. С деревом

что она есть тоже некая готовая

осуществленность

вот диалектическая

дереве, который
величина

дерева

осуществленность,

не вещественная, а числовая.

триада

в

области актов чистого смыс¬

лового полагания:
I. Число.
II. Количество.
III. Величина.
Указанное значение термина «величина» вполне согласно с

обыденно-измерительным словоупотреблением.

Величина всегда

есть нечто измеренное. Измеренное же предполагает как измерение,
так

и

меру Роль меры играет

в данном

случае число, измерение

вершается здесь при помощи количества,
величина.

54

а

со¬

измеренным оказывается

II.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛА
(ЧИСЛО

КАК ЧИСТОЕ

ПОНЯТИЕ)

§ 17. Первая установка
Теперь
ла,

мы

вплотную подошли

расчистивши себе путь

к

фундаментальному анализу чис¬
случайных привне¬

от всяких внешних и

сений. Единственным положительным достижением предыдущих

рассуждений

является

Число есть

следующий тезис.

результат

актов чистого смыслового полагания.

анализ самого понятия числа, исходя из

Попробуем теперь дать
этой основной установки.

Естественнее всего этот анализ провести как анализ

счета, потому

что всякое число есть

ность единиц, т. е.

прежде

этом анализе нами

ражения, которые

речь

совокуп¬

всего некая счетность, сосчитанность. В

местоимение «мы» и

глаголы

в зависимости от этого «мы» и

это как описание психологических

если идет

процесса

будут употребляться различные обыденные вы¬
случае не нужно понимать буквально.

«утверждать», «переходить»

корне

всего некая

ни в каком

Так, будут употребляться

значит в

прежде

исказить все

процессов

«полагать»,

пр. Понять

в сознании

автора

—

построение. Запомним раз навсегда:

о смысле и значении, то этот смысл и значение

ровно

совершенно
принадлежит
субъекту (чьему-нибудь или ничьему), ни к объекту
(если, конечно, это не есть смысл какого-нибудь субъекта или объ¬
екта, но и в этом случае смысл какой-нибудь объективной вещи или
субъективного переживания сам по себе опять-таки не есть ни нечто
субъективное, ни нечто объективное). В порядке обыденно чело¬

никому

и

ничему

никакого

и в нем нет

не

отношения ни к

веческой речи можно говорить: «возьмем», «допустим», «полагаем»,
«мы полагаем», «мысль полагает»,

«требует», «существует»

и т. д.

Все

эти выражения нисколько не говорят о том, что я, автор этой книги,
или вы, ее читатель, или вообще кто бы то ни был на свете высказыва¬
ет здесь

что-нибудь о своих

переживаниях. Это

56

все есть бытие само¬

§ 18. «Нечто»
го

переход его

и

смысла, которое не объективно и не
что одинаково

тому,

§ 18. «Нечто»

и

определяет собою

переход его

натуральный ряд

турального ряда будет,

равно

операция над

ряду. Тут надо

только

турального ряда
отдельных

Итак,
но,
ного

чисел.

одному

сущности, разгадка

уметь объяснить,
случае

является,

Диалектическая разгадка
и всякого

на¬

вообще числа,

что всякое число

в чем состоит

натуральному

усложнение

на¬

появления отдельных типов числа и

над ним.

операций

натуральный ряд

чисел или,

нужно для того, чтобы осуществилось

ряда чисел? Или:

какие

вопрос, который

говоря более

мышление

точ¬

натураль¬

категории должна затратить мысль,

бы появился натуральный ряд чисел? Или
ственный

по

операций

и числовых

ним в конце концов сводятся к

чисел в

что такое

что

—

уже

другое.

операции над числами, потому

как и всякой

и всякая

в

субъективно

и то и

в «это»

Самой простой формой числа
конечно, т. н.

в «это»

мы

будем

—

причем

что¬

это и есть един¬
—

здесь решать,

в чем смысл

натурального ряда чисел?
Уже было установлено,

что

сфера

чисел есть

Натуральный ряд

смыслового полагания.

сфера чистых

актов

чисел есть нечто, относя¬

щееся к чистым актам смыслового полагания.

Итак,

что же мы по¬

лучим?
Вот мы имеем одно такое мысленное полагание. Что это значит?
На первый взгляд кажется, что больше ничего

рования
ческой
этого

понятия числа.

и не надо для

сформи¬

Однако уже первое прикосновение крити¬

мысли показывает всю недостаточность и

противоречивость

утверждения.

Прежде всего, одно такое
как момент в

притом даже

полагание не может

определении числа, потому
вполне

определенное число,

приниматься

нами

что «одно» есть число, и

а именно

единица.

Мы же

совсем не знаем ни того, что такое число вообще, ни того, что та¬
кое единица.
еще

ровно

даже не

Поэтому,

имея «одно мысленное полагание», мы этим

ничего не вносим в искомое нами

приступаем

к

недостаточно даже для

определение

такому определению. Это «одно
определения единицы, потому

что единица

отнюдь не есть только «одно полагание» и она не есть даже

«полагание».
ние, не

Единица есть, прежде всего, положенное,

говоря уже

о том, что и положенное, и полагание

57

числа и

полагание»

просто

а не полага¬

требуют для

II.

Фундаментальный

себя полагаемого, того,

1)

полагаемое,

2)

анализ числа

(число

как чистое

что именно полагается.

полагающее,

Итак,

понятие)
в единице есть

положенное, и между этими тремя

3)

моментами существует вполне определенное взаимоотношение. На¬
конец, полагая «одно», мы тем самым делаем ряд

рые

ложить «одно» можно только тогда, когда есть
и это «место» не выведено, а

логическая

операция

быть определением

определяется

по меньшей

чего бы то ни

на, ибо совершенно неизвестно,
к

предложений, кото¬
факт. Так, по¬

не выведены логически, а взяты как голый и слепой

где,

в чем его полагать;

наивно и без логики. Такая

мере недостаточно полна, чтобы

было;

по

существу же

она и

как от нее можно было бы

невер¬

перейти

искомому определению.
Следовательно, делая «одно мысленное полагание», необходимое

для того, чтобы впоследствии образовался натуральный ряд чисел,
мы должны в этой

операции

многое

лее ясным. И, прежде всего, не
«одно»

среди

уточнить

и многое заменить

будем употреблять слово

бо¬

«одно». Хотя

своих многочисленных значений имеет также значе¬

ние, не имеющее ничего
каким числом

вообще,

потому что обычно

общего

ни с какой

понимается,

в таком понимании наше

определение

и даже ни с

избежим этого выражения,

мы все-таки пока

оно

единицей

конечно,

арифметически,

а

понятия числа оказывается

тавтологией.
Что важно в этом «одном»,

которое

мы

что». Что именно полагается, это, как мы
ляется

совершенно

полагаем?

тологии в

случае

Итак, мысль

нечисловых

не

происходит

ни¬

арифметическое,

а избежать тав¬

при условии упо¬

категорий. Таким образом,

«нечто» является в

числе тем, что полагается,

—

полагаемым. Это полагаемое в

употреблять тут

«единичность», «бытие»,

ровать значение той

вообще

числа мы только и можем

се полагания становится положенным и
в «это». Можно

что-нибудь, а если пола¬

полагает нечто. Нечто есть понятие

не числовое, не

определении

требления

яв¬

неважным. Но что полагается именно нечто, это

гается ничто, то это значит только то, что

во всяком

важно «не¬

уже давно установили,

очень важно, так как полагать можно только

какого полагания.

Тут

—

превращается

также и

процес¬

из «нечто»

другие термины, «одно»,

это не так важно. Важно точно

зафикси¬

категории, которая единственно здесь имеется

ввиду.

Итак,

«нечто» в

становится «этим»,

результате

своего полагания, или самополагания,

превращается

в «это».

58

§ 19. «Иное

этого»; различие, тождество, движение, покой

§ 19. «Иное этого»; различие, тождество, движение,

покой

клубок категорий, который необходи¬
формулировать.

Уже здесь запутан целый
мо

распутать

Прежде
когда «это»

и точно

всего, «нечто» только тогда может превратиться в «это»,

будет

сматривается

как-то

вполне

содержать

в

изолированно,

себе

«нечто», то в нем обязательно должно
иначе мы и не догадаемся, что «это»

«нечто». Если «это» не

но именно как

рас¬

происшедшее

из

содержаться «нечто»,

так как

из «нечто».

Значит,

получилось

«это» и «нечто» должны быть в каком-то отношении тождествен¬
ны

между собою, равно

раздельное употребление здесь

как и самое

слов и понятий возможно только

потому,

рияразличия. Точно так же «превращение»
но

требует для

себя категории

движения-,

от «нечто» в «это», то как же можно

одного

в

другое

что

тут действует

катего¬

«нечто» в «это» обязатель¬

если мы не

говорить

или о становлении одного

о

передвинулись

превращении здесь

другим?

Но и движения

мало, так как совершенно ясно, что это движение должно здесь
остановиться,

Оно должно двигаться

превращения

и

развиваться до стадии «этого», до момента

в «это», а не

оно остановилось. Таким

нирует категория

больше того. Как только оно стало «этим»,

образом, здесь вполне явственно функцио¬

покоя.

Но выяснить все

числа, лучше

категории, необходимые для осуществления

не на одиночном полаганий, а на множественном по-

лагании, т. е. на многих полаганиях, из

ка, тройка, четверка
этих

и

потому что «нечто» не может двигаться бесконечно.

и все

прочие

категорий будет гораздо

нее взаимосвязь этих

которых

числа.

и

получаются двой¬

Здесь диалектическая игра

виднее, и через этот анализ станет яс¬

категорий

и в

сфере единичного полагания.

Мы имеем «нечто». Мы его полагаем и тем превращаем в «это».
Но тут, как сказано, еще не возникает числа и не возникает даже
единицы, если ограничиться только простым

констатированием

этой операции полагания. Чтобы продвинуться дальше, всмотримся
в процесс счета, как он ежедневно совершается в нашем сознании.

Пробегая по линии натурального ряда чисел,
«первой» единицы «вторую» единицу, получаем

мы

находим

после

число «два». Как это

происходит, если у нас есть только «нечто», превращенное в «это»?
Чтобы произошло зарождение числа «два» или понятия «второ¬
го», очевидно, кроме «этого»

ход

требуется

еще «иное», необходим

из «этого» в «иное». Если нет ничего «иного»,

59

пере¬

кроме «этого»,

то

II. Фундаментальный анализ числа (число как чистое понятие)

никогда не может быть и ничего «второго», т. е. никогда не может
быть «двух». «Иное» есть только более

сфера,

та

ли «иного» для

в

«второго»? Конечно,

«второго». Это

«второе» есть

нет. Все

если я имею один орех, то

«первого». Так,

сравнении с орехом,

быть здесь только

«второе»

понятие

с «первым», но не всякое «иное» есть

сравнении
нии

общее

где мы должны искать понятие «второго». Но достаточно

по

будет

но оно не

с садом, если

разом, счет,

переход

по линии

«иным»

так же и дом не есть

считать «первым»,

сравнении

с садом. Таким об¬

натурального ряда чисел,

жен только тогда, когда имеется в виду

может

«вторым». «Вторым»

последний

хотя, несомненно, он есть нечто иное в
т. е.

перо уже будет

орех же, другой орех. Точно

сравнению

«второе»

иное в

в отноше¬

возмо¬

тождество считае¬

родовое

мых предметов. Можно иметь несколько орехов; тогда один из

будет «первым», другой
нельзя в один

—

«вторым», еще иной

но тогда счет

и

реку

будет предполагать

и сказать: вот пять

вот пять

вещей. Тут

тождеством,

метности»

вполне

нет пока
что-то

кроме

«вещей»

пусты

ство,
ется

и

«предметов». И

к

«иному»,

«вторым»

орехов

или

мы

необ¬

совершен¬
груш; у нас

вот мы должны все-таки найти

узнаем

в нем

родовое

старое «это»,

и толь¬

положению дела и возможно «иное» считать

между

«этим» и «иным»

потому «иное», являясь

Общим

и

«пред¬

мы сочли

«этим» и «иным», найти их тождество,

благодаря такому

«вторым». Итак,

которые

т. е. в «этом» и «ином»? У нас пока нет

или

тождество. Переходя
ко

«предметами»

в смысле всякой

«этого» и «иного». У нас пять

общее между

окажется родовым

Поэтому возникает вопрос: что же

есть самотождественного в тех моментах,

но ничего,

тож¬

собою счет.

или «вещественности».

ходимыми для числа,

разнород¬

я сейчас мыслю, или

что ведь мы занимаемся не

которые

Разумеется,

на их

перо, карандаш, орех, дом

предмета (или вещи)

обусловливающим

Однако вспомним,
«вещами», но числами,

взять

них

и т. д., но

более высокое родовое

предметов, которые

понятие

и т. д.

предметы, невзирая

напр., понятие вещи. Я могу

дество,

«третьим»

ряд ставить орехи, стулья, перья, дома

можно считать и эти последние

ность,

—

устанавливается тожде¬

тем же самым, что и «это», и оказыва¬

в отношении «этого».

и самым тождественным может явиться здесь только «не¬

что», т. е. такое «это»,

которое еще

не положено, неположенное «это».

И «это» есть нечто, и «иное» есть нечто. «Это» и «иное» тождественны

между собою

в моменте «нечто».

«Нечто»

60

—

то

родовое единство

и

§ 20. «Ничто»

и абсолютно самотождественная

неразличимость актов...

тождество, которое существует между «этим» и «иным». Неположен¬
ная значимость самотождественна в утвержденном, положенном
бытии и в отрицаемом бытии. Ясно, кроме того, и без дальнейших
заключений, что «это» и «иное» должны быть еще и различны между
собою. Если «иное» ничем не отличается от «этого», то оно не мо¬
жет быть и иным.
это, что оно

Потому

отлично только самым
по

оно и иное, что оно не есть одно, не есть

«не-это». И чем же отлично «иное» от «этого»? Оно

—

фактом

основному значению

своего инобытия. По

смыслу своему,

(то

«это» и «иное» вполне тождественны

«нечто»),
фактическому своему существованию,
факту (чисто нумерически), они вполне различны.

другое

есть

Так

но по

или иначе, но мы до сих

лагания;

2)

смысл до по¬

«это», смысл в полаганий, положенный смысл;

«этого», выход за

иного» с

пор имеем: 1) «нечто»,

пределы

прежним

5) тождество

положенного смысла;

«этим» в смысле

«этого иного» с

фактической

прежним «этим»;

него «этого» к новому «этому иному»

3)

«иное»

4) различие

«этого

внеположенности;

6)

движение

—

и

по

переход

от

преж¬

7) остановку дви¬

и

жения и изменение «этого» на стадии «этого иного» и прекращение
движения в этой точке

покой. Последние две категории настоль¬

—

ко ясны и необходимы, что доказательство их
в

чисел

конструкции натурального ряда

ментов

только еще

нужно

не

этому списку необходимых для

ни в каких пояснениях. К

исключительно

функционирования

совершенно

прибавить,

что здесь все

нуждается
числа мо¬

время идет речь

только о смысловых актах полагания, что все эти

наименования «нечто», «это», «иное» и т. д. относятся только к актам
полагания смысла, к самим актам, к актам как таковым, и ни к

другому. «Нечто»,

стало

быть,

качестве акта; «это» есть
область за

пределами

§ 20. «Ничто»
актов полагания
Что же мы

и
—

чему

есть здесь акт до его осуществления в

осуществленный

акт полагания; «иное» есть

актов же полагания и т. д.

абсолютно самотождественная неразличимость
перво-принцип числа

получили?

Как выразить наш анализ

формуле?
Выразить более сжато и более кратко

в

более сжатой

и

интенсивной

симальной ясности и

мета.

Поэтому

проникнуть

вникнем

—

подробнее

нами моментов в понятии числа.

61

и

значит

достигнуть

и мак¬

глубокое
пред¬
глубже в анализ найденных

в самое

основание

II.

Фундаментальный

Прежде

анализ числа

всего загадочным является

что», которое тождественно

образом

как чистое

первый

самому себе

момент. Он есть «не¬

в «этом» и в «ином».

отсутствие

(«иному»),

что «нечто» есть,

Каким

полаганию

(«этому»)

Итак, до-

и ино-полаганию

одинаково присутствует и в том и в другом. Но если «не¬

что» еще не положено, то тут возникает весьма

обстояние, требующее

полного

глубокое

диалекти¬

разъяснения. Если

«нечто»

не положено, то оно есть чистое «нечто», т. е. лишено всякого
на

все¬

прежде

всякого полагания. Оно есть до-полагание.

полагание, предшествующее

ческое

понятие)

оно может быть самотождественно и что значит эта са-

мотождественность? Мы уже знаем,
го,

(число

котором

оно

было бы положено. Если

что-нибудь

фона,

положено, оно

тем самым окружается инобытием, полагается в том, что не есть оно
само, т. е. в инобытии. Такое же «нечто», которое никак не положено,
не имеет никакого инобытия, не окружено никаким инобытийным

фоном.

Но то, что не имеет вокруг себя никакого инобытийного

окружения, то ничем и не отличается ни от чего. И вот это-то неотличие

То,

и

требует ясного представления.
вообще

что ничем ни от чего не отличается, может ли быть

чем-нибудь? Что-нибудь,

действительно что-нибудь,

если оно

да отличается от всего иного именно этим самым

нибудь.

Раз нет

признаком

всег¬
чего-

«чего-нибудь», нет
из самых фундамен¬

ни от чего отличия, нет и самого

этого самого «нечто», а есть «ничто». Это один
тальных и в то же

время

вполне примитивных тезисов

общей диа¬

будучи положено, не имеет никакого ино¬
бытия, от которого оно чем-нибудь отличалось бы, и, следовательно,
не есть что-нибудь, т. е. оно ничто. Или: одно, если оно ни от чего не
отличается (т. е. если нет никакого иного, другого), есть ничто.

лектики.

Нечто,

никак не

Это ничто, однако, не есть полное и абсолютное
кого бытия. Это есть абсолютное
мыслить

—

значит

нет мысли. По

отсутствие

прежде

бытию же

всякого

столько полное его

(«это»),

и

бытия,

всего

различать,

а,

наоборот,

присутствие,

ствительности, равно

что

различения,

там

полное его

присутствие,

на¬

что оно охватывает собою и бытие

и даже не остается ни

в него не входила и от

Отсюда ясно,

а где нет

и настолько охватывает их, что

держит у себя все, все полностью;

лось бы.

вся¬

это ничто не только не есть абсолютное

инобытие («иное»),

которая бы

отсутствие

отсутствие бытия для мысли, так как

которой

оно

уже

со¬

одной точки,

чем-нибудь

отлича¬

бытие не есть последнее основание дей¬

как и знание не есть это основание, ибо то и

62

§ 20.

«Ничто» и абсолютно самотождественная неразличимость актов...

другое предполагает различение. Различение же не изначально, оно
предполагает инобытие. То же, откуда происходит и

бытие,

выше и

выше всяких

бытия,

и

инобытия;

различений

и ино¬

бытие, которое

и оно есть такое

и выше самой

бытие,

противоположности

знания

и бытия.

Однако

эти

вопросы далеко выходят

за рамки настоящего ис¬

общей диалектике. Здесь

следования и должны иметь свое место в
же нас

только

интересует

вопрос

о

неразличенности

«нечто» и о тождестве его с «ничто».

Отсюда вытекает,

мое нами «ничто-нечто», охватывая все, есть

дество,
во всех

что

изучае¬

уже абсолютное

тож¬

не тождество в каком-то одном отношении, но тождество

решительно отношениях, тождество абсолютное. Выше

нашли, что «это» и «иное» тождественны
что» и

изначального

различны

получается,

по

что «это» и «иное», с

Спрашивается:

абсолютное тождество

и

одной стороны, суть

другой

же

—

вместе некое

оно некое

абсолютное

как совмещается между собою то и

другое,

абсолютное различие?

В «этом» есть некое бытие, носящее смысл «нечто»;
есть некое

мы

в смысле «не¬

своему нумерическому бытию. Следовательно,

единое абсолютное тождество, с

различие.

между собою

бытие, носящее

смысл «нечто».

Тут два

и в «ином»

различных

факта,

носящих один и тот же, самотождественный смысл, смысл «нечто».
Мы и говорим, что по

факту

«это» и «иное»

разное,

а по

смыслу

—

одно и то же. Однако при более близком исследовании этот вопрос
приходится решать совсем иначе. Если в каждой из этих областей
есть

факт (бытие)

смысл

—

и смысл

(«нечто»)

и если

факты

отдельной области эти ее подчиненные моменты,

пустим, что между

чится, что «это»
личные в

эти

—

разные,

а

один и тот же, то как же общаются между собою в каждой

ними

факт и

смысл? До¬

абсолютно нет ничего общего. Тогда полу¬

и «иное», тождественные в одном отношении и

другом,

имеющие ничего

тем самым

расслояются

общего. Одна

на две

раз¬

разные области,

часть «этого» тождественна с

не

одной

[часть] «этого», абсолютно оторванная от
различна с соответствующей частью «иного». По¬

частью «иного», а другая

первой

его части,

лучается,

что для

объяснения диалектического

«этого» и «иного» мы

природу

но,

«этого» и

если «это»

взаимоотношения

принуждены были рассечь единую

совершенно утерять

действительно есть,

быть абсолютно различны. В

его единство.

и

цельную

Следователь¬

то бытие и смысл в нем не

могут

каком-то отношении они должны быть

63

II.

Фундаментальный

анализ числа

(число

как чистое

понятие)

Если мы теперь опять повторим то же рассужде¬

и тождественны.

ние относительно различных
и смысле «этого»,

бытии

и тождественных моментов в

то, что в них различно, и оставляя то,

отбрасывая

в чем они тождественны, то трудность повторится снова: надо

бу¬

дет признать, что или «это» рассыпается на еще большее количество
абсолютно взаимно дискретных частей, или же между ними суще¬
ствует тождество не в

каком-нибудь

одном отношении, но во всех

отношениях, какие только возможны, абсолютное тождество. Стало

быть,

или

уже

с самого начала «это» и «иное» тождественны во всех

(а

отношениях, тождественны абсолютно

отношении),

или то и

ство абсолютно

рассыпается

в

другое рассыпаются

дискретных друг
пыль

алогическую

не в
на

каком-нибудь

в отношении
—

одном

бесчисленное множе¬

друга частиц. «Это»

неизвестно чего.

Итак, диалек¬

тика показывает, что «это» и «иное» не только тождественны

собою

в одном отношении

отношении

(в

отношении

(в

смысле

«нечто»)

и

различны

нумерического факта, бытия),

также еще и тождественны

в

между

другом

но что они

между собою абсолютно, тождественны

не в каком-то одном отношении, но во всех отношениях,

которые

только возможны.
Это понятно
в

себе «нечто»,

просто еще

что «это» и «иное»

потому,

т. е. не-полагаемый смысл, а этот

шему исследованию,
собою абсолютно все
по

и

как ни от чего не
и есть

одному такому условию

содержат

последний,

отличающийся,

по на¬

охватывает

абсолютное тождество. Стало быть, уже

«это» и «иное» оказываются

абсолютным

тождеством.
Вот каково диалектическое значение
меченного нами в

сфере

понятия числа.

этого

Тут

рый

процессу счета,

какую величину данного
как и единица;
ничность;

тройка

четверка

Словом, единица,

числе,

кото¬

сейчас анализировали. В самом деле, все числа натурального

ряда являются некими единицами, единичностями, невзирая

д.

от¬

совсем нет ничего уди¬

вительного, если мы внимательно отнесемся к
мы

первого момента,

числа.

Двойка

ни на

есть такая же единичность,

также есть нечто и, значит, нечто одно, еди¬

опять есть нечто, нечто одно, единичность и т.

фигурирует решительно во всяком
целом, дробном, рациональном, иррациональном и пр.; и, как

таковая, она везде

единичность

совершенно одна

мотождественна. И только
единичности и

и та же, везде она

абсолютно са-

такой самотождественной

благодаря
держится натуральный ряд
64

чисел. Без нее он

рас¬

§21. Основная диалектика
сыпался бы

вдребезги

и нельзя

понятия числа

было бы сконструировать

ни одного

числа.

Конечно,
собой,

это еще не все. Числа не только тождественны

между

различны между собой. Однако диалектическое

но еще и

ис¬

следование показывает, что эта самотождественность так же необ¬
ходима, как и

саморазличие.

§ 21. Основная диалектика

понятия числа

Обследуя три первые момента, установленные нами в понятии
(§ 19), мы, следовательно, находим такое положение дела. Чис¬
ло есть полагание, акт смыслового полагания («это», «одно», «бытие»),
требующий для себя инобытия («иное»), в сфере которого и совер¬
числа

шается это полагание, и все эти полагания

объединены

лагаемым актом в одно абсолютное тождество
далеко еще не может считаться

формулой

одним непо-

(«нечто»). Однако это

числа

—

уже

по

одному

«объединения»

и «одного», яв¬

ляющиеся числовыми понятиями, так что опять-таки

получается ча¬

тому,

что здесь

употреблены

понятия

стичная тавтология. Эта

формула должна быть уточнена. «Объедине¬

ние» само должно быть

разъяснено диалектически. Следовательно,

до

сих

мы

пор

установили

только одно: число есть акт смыслового

для себя

инобытия,

сфере которого

полагания,

требующий

вершаются

эти акты. Как же описать это до-полагаемое

ние»,

в

котором совпадают все отдельные

Что это

объединение

в

акты полагания?

вытекает из абсолютной самотождествен-

Однако

ности до-полагания, это мы

уже

есть, собственно говоря,

объединение многого,

единичность,

в

которой

не

принимая

ее. Такое

буем объединить
что

их

бытие

есть

стало

быть,

не

объединение

но

абсолютная

вообще

это абсолютное самотожде¬

приближение получается
(бытие) и «иное» (небытие)

«это»

синтез. Из

небытие синтезируются

(поскольку

чем оно было в

и не

тогда, когда мы попро¬

диалектический
и

уничтожая этой природы, конечно,

и то, что именно становится, и

новится

такое

абсолютную единичность, как-нибудь приблизить к реаль¬

ному натуральному ряду,

ру, дать

знаем.

нет ничего не только многого, но и

раздельного. Необходимо,
ство, или

и со¬

«объедине¬

в

новую структу¬

в становлении.

мы знаем,

В становлении

принцип небытия того,

каждый новый

момент становление

предыдущий момент).

вящееся объединение «этого»

в

общей диалектики

что ста¬

уже

не то,

Но становление дает стано¬

и «иного», т. е. дает некое постоянно

65

II.

Фундаментальный анализ числа (число как чистое понятие)

нарастающее осуществление упомянутой абсолютной единичности.
В этом процессе, в процессе становления, абсолютное самотождество

(абсолютная единичность)

не остается недвижным, но беско¬

нечно повторяется, и тут мы уже вплотную подходим к логической

конструкции натурального ряда
небытия совершается

в числе

ной самотождественности

Итак, объединение бытия

чисел.

и

через введение 1) принципа абсолют¬
смыслового полагания и

2) принципа

становления этой абсолютной самотождественности. Но и это еще
не все.
Если

формулировать наблюдаемый

здесь нами диалектический

процесс во всей логической последовательности, то мы получим та¬
кую схему:

I
СУПРА-АКТ

(число

на стадии тождественности всех чисел,

различенное полагание,

акт

первополагание,

вообще')
III

II
ИН-АКТ

не

(акт полагания)

(дифференцированное

КОНТР-АКТ (акт отрицания)

полагание, число на стадии внешней отли-

ченности; первое проведение границ, отделяющих одни полагания
от других,

—

внешне

раздельный акт полагания)
IV
ИНФРА-АКТ

(становление раздельных
деленного пробегания

актов полагания: число на стадии

по отдельным

актам

отдельным точкам, «единицам»; становящиеся

купность

внешне

раздельных

актов

неопре¬

полагания, как бы

границы чисел;

по

сово¬

полагания)

V
ИНТРА-ЭКСТРА-АКТ, СТАВШИЙ АКТ
(остановившееся расширение границы

числа, впервые дающее воз¬

можность пересчитать «единицы» в данных пределах; внутренняя

раздельная, внутренно опреде¬
раздельных актов полагания)

расчлененность числа; внутренно
ленная

совокупность

внешне

VI
ЭНЕРГИЙНЫЙ АКТ, или ПОЛНОЕ ЧИСЛО

(разрешившаяся
го

смысловая

заряженность

и

получающаяся

от это¬

внутренне-внешняя насыщенность определенной совокупности
66

§ 21. Основная диалектика

понятия числа

актов этими самыми актами полагания;

определенная совокупность

Здесь
актом),

внутренно раздельная

раздельных

и вовне, как такая же

проявляющаяся
купность,

внешне

и

актов полагания,

внутренно раздельная

сово¬

конкретно-индивидуальное число).

или

мы имеем

I)

до-полагание

т. е. такое «нечто»,

которое

(которое

можно назвать

супра¬

не положено, не предполагает

никакого инобытия и, следовательно, ни от чего не отличается, не

содержит

в

отрицания)

себе
и

самом

антитезы

объединяет

в

жится). Этот супра-акт, переходя

как из этого же

кроме

супра-акт

(ибо

в самополагание,

во всем

вступает

содер¬

во взаи¬

инобытием, которому неоткуда, конечно, взяться,

моотношение с

сам

бытия-небытия (утверждения-

себе все раздельное

супра-акта,

и

потому необходимо считать,

что

из себя порождает свое инобытие.

Получается II—III)

антитеза «этого»

—

«иного», полагания и не-

полагания, или, иначе, акта полагания и акта отрицания. Эти два акта
уже связаны взаимно и взаимно предполагаются. Это не супра-акт,

который ничему
не

не

противоположен

предполагает. Взятые
но

числа,

они

входят

в

в

и

потому ничего, кроме себя,

отдельности,

него

с

такой

эти

же

акты

не

составляют

необходимостью,

как и

супра-акт.
Супра-акт осуществляет

в

натуральном ряду

чисел его как бы об¬

которой

щую

субстанцию, ту единую

этот

ряд развертывается. Супра-акт есть скрепа всего натурального

ряда

и

нераздельную плоскость,

на

скрепа каждого отдельного числа, держа входящие

ло единицы в

одной связке,

Супра-акт связывает

как

в это чис¬

одну идеальную индивидуальность.

и отдельные единицы, входящие в число, в одно

число и связывает все числа

индивидуальное
один

и

натурального ряда

в

индивидуальный, определенным образом построенный ряд

чисел. Число «десять» состоит из десяти единиц, но нельзя это «со¬
стоит» понимать внешне механически.

единиц, и

четвертая

другая единица

появилось нечто

число

—

совершенно

и в

присутствуя

в

вдруг

небывалое, совершенно

новое

«десять» есть некая

пределах десяти единиц

все десять отдельных единиц,

третья,

как же из нескольких единиц

новое и

«десять»? Ясно, что это

дивидуальность

не есть десять

тоже не есть десять единиц, так же

Спрашивается:

и т. д.

Одна единица

равномерно

каждой такой единице
67

и

она

определенная

ин¬

определяет собою

абсолютно одинаково

и тем самым

объединяя

их в не¬

II.

что

Фундаментальный

анализ числа

совершенно неделимое

«десять».

(число

как чистое

понятие)

абсолютно индивидуальное

и

—

в число

Точно так же абсолютное самотождество супра-акта смыс¬

лового полагания делает впервые возможным существование
гих таких отдельных

го
в

ряда

натуральный ряд,

ни с каким

вой

т. е.

существование натурально¬
ни одно число, входящее

перво-принципа

было бы соизмеримо

ни в каком отношении не

числом этого ряда. Без этой абсолютной число¬

другим

единичности

числа,

единичностей,

чисел. Без такого

и мно¬

натуральный ряд рассыпался бы

несравниваемые одно

с

другим,

а числа

другой несравниваемые

ницы, также одна с

на

отдельные

на отдельные еди¬

—

абсолютно взаимно

и

дискретные.
Противоположность утверждения
лоне

дает ему разумность
в

реальный

примиряется
оказывается

в

IV)

рицание,

новом синтезе,

мы

имеем

который

супра-актом. Она

в отношении

супра-акта

можно назвать также

инфра-актом,

ослабленное полагание, полагание не

размытое, безразличное,

полагание). В процессе

становления

«это» и «иное», бытие и небытие

взаимоотношение.

всяко¬

как мы видели,

и четких актов, но

чисто ста¬

утверждение

вступают

и от¬

во взаимосвязь и

Само становление обеспечивает собою рождае¬

мость бесконечного натурального ряда чисел
эта взаимосвязь

ясно и то, что такая

абсолютной, без

который,

синтезом и

(его

становлением

раздельных

Однако

может оставаться

уже развернутым

поскольку здесь

новящееся

не

на

из потенциального

раздельность, превращает

и воссоединения с изначальным

примирения

именуется

и

отрицания, вырастающая

супра-акт, конкретизирует его,

акт смыслового полагания.

противоположность
го

этот

супра-акта, развертывает

и

утверждения

и

из

недр супра-акта,

отрицания определяется вполне спе¬

циальной системой категорий, из каковой вытекает характер
дого отдельного члена

а

натурального ряда

чисел.

член ряда, т. е. каждое отдельное число, есть

и каж¬

Каждый отдельный

уже

остановившееся

становление, или то, что в диалектике называется ставшим. Это то,
что не

раньше

с актом

акта полагания, а позже его, когда он

отрицания

и сам в

Этот пятый момент
ет возможным

момент ставшего в числе

оформленное

отрицания,

нам ни о какой

V)

впервые дела¬

превратить неопределенную совокупность

лагания в нечто
гания и

—

синтезировался

себе определился.

ин-акта и

совокупности

и

определенное. Наличие

контр-акта, ровно
актов. Это была

68

ничего не

пустая

и

актов по¬

акта пола¬

говорило

неопределен¬

§21. Основная диалектика
ная возможность различать акты
ние, в

в

инфра-акт,

мы

уже

ко,

не

просто

как ни

вообще. С переходом

превратили эту неопределенную
т. е.

некую реальность,

понятия числа

перешли

ряду раздельных полаганий. Тут

к

они и как ни отличаются они

становление этих

внешне взаимно

ничего не

о них как об

говорит

отличны один от

и их

другого,

совокупность

ленной ограниченности,

разделяют

отграничена

купности. Ставшее

одну совокупность
мы

остановились,

всего

четкие

другой,

границу

прежде

числа как некоей сово¬

в

ли число

без этого? Конечно,

диалектическая

дающим,
в

себе

и

эманирует

из

себя

не¬

эволюция

«ставшем»

содержится

числа в целом. Стати¬

ческий момент в нем есть только один из моментов.

рождающим,

лоном является для числа

впервые пре¬

замкнутая совокупность.

характерна для

ментом, и даже не моментом, а

вдруг

станов¬

цельную, определенную

расчленимого, перво-сущего супра-акта. В
не

отграничивающий

нашим полаганиям и

кончается

статика, которая отнюдь

другой совокуп¬

определенная совокуп¬

запретили себе дальнейшее

всего некая

не

опреде¬

акты полагания, а потом

замкнутую совокупность. Возможно

На этом, однако,

тут

ибо оно есть остановившееся ста¬

не пошли дальше,

и есть

актов. Акты

границы. Но ряд

от всякой

конструкцию

вратило неопределенный ряд полаганий

нет. Число

совершенно

логическую конструкцию числа,

совершали различные

ление. И это положило

и

ряда

становление и есть принцип,
от

самое

друга,

этих актов, здесь еще не имеет

не

ность единиц; и если мы хотим дать

прежде

актов

различных

ности. А ведь число есть прежде всего некая

мы должны дать

друг

от

определенной совокупности, совер¬

шенно не полагает никакой границы для целого

новление:

Одна¬

возможность реальных актов, но и самые акты.

реальны

таких актов,

в становле¬

возможность

и

Исходным

мо¬

притом вечно рож¬

супра-акт, который объединяет

всю бесконечность

разных

чисел и даже

бесконечность этих бесконечностей. Таковым же должно явиться и
каждое отдельное число, если оно

чать своего

происхождения

ведет чисто логическая
синтезом
вящаяся

утверждения

граница,

—

и

действительно

из такого

первоисточника. К этому

диалектическая

отрицания

а эта становящаяся

несет на себе пе¬

—

явилось

же

необходимость. Если
становление,

граница предполагает

не-становящееся, т. е. ставшее, то ставшее, чтобы

стано¬
нечто

получить для себя

необходимое диалектическое оформление, также должно противо¬
поставить себя тому,

что его

отрицает,
69

с тем чтобы потом

вступить

с

II.

Фундаментальный

анализ числа

этим последним в живой

ставшему

(число

диалектический

как чистое

синтез.

понятие)

Противоположно

неставшее, но такое не-ставшее, которое не просто сво¬

бодно от всякого становления и ставшего
для гораздо более ранних

категорий),

но

(это было бы характерно

свободно только от самого

факта становления, не от его смысла. Должна быть такая категория,
которая содержит в себе и становление и ставшее, но

—

идейно,

в

форме чистого смысла, так что отданного бытия как бы распростра¬
няется смысловая атмосфера его становления, оно как бы разрисо¬
вывается текучими, но сущностными формами бытия, превращаясь
в некую текучую сущность. Это и есть то, что мы называем энергией,
тем

внутренним содержанием

смысла

бытия, которое,

стым смыслом, изливается вовне, являя внешне

оставаясь чи¬

таинственную жизнь

внутренних недр бытия.
В применении

к

числу этот

VI)

момент,

энергийный

момент, ска¬

зывается очень ярко. Число есть совокупность единиц, четко раз¬
деленная внутри себя и четко разделенная со всякой

купностью. Но

мы

тут

не только что-то

построенном. Мы еще

пределы для

и

построили

другой

и потом

сово¬

забыли о

пользуемся этой постройкой. Мало указать

актов полагания и тем

изнутри. Число

ограничить полученную сово¬

купность

извне и

пределах,

жизнь, совершающаяся в этом организме. До сих пор мы

построили только скелет числа.

есть то, что

совершается

в этих

Замкнутая совокупность раздель¬

ных единиц, являющаяся данным числом, есть только скелет числа,
смысловой

контур

числа. Число есть конкретная индивидуальность

актов полагания, в то время как самые акты, в их становлении и в их
ставшести, есть только
числа,

субстанция,

голая и

материальная сделанность числа,

а не его живой лик и не его

функции.
функционировать

как таковое,

настоящее число. Мы не только тут находимся
глины

какой-нибудь статуи,

место, отошли несколько в
тогда

телесность

Ставшее становление акта полагания

живые и жизненные

должно начать

бездушная

в

чтобы получилось

процессе

лепки из

но мы уже ее вылепили, поставили на

сторону, чтобы обозреть

статуя действительно становится для

нас

ее в целом, и вот

статуей.

В синтезиро¬

ванной совокупности десяти актов полагания мы должны найти вну¬
треннюю и внешнюю жизнь, не только одну сконструированность
как таковую.
ство

Внутри

раз пробегаемы

эти единицы
нашим

того, этих единиц должно

могут быть бесконечное

умственным взором вперед

количе¬

и назад; мало

быть не десять, а сколько угодно, вполне
70

§ 22. Аналогии
неисчислимое количество, и они могут, кроме того, до бесконечно¬

приближаться одна к другой. Вовне эти единицы должны быть
способны к бесконечному увеличению в своем количестве и к беско¬
нечным вариациям и комбинациям по форме своего объединения.
это то, что можно превратить и в
Иначе не будет и десятки. Десятка
сти

—

9,

и в

11,

и в

любое число, любого вида

и значит, что число есть смысловая

Супра-акт
как и

энергия

Но, вступая

объединенное™

осуществляется,
инобытия,

—

от своего

потому

цию жизни,

что только в их всеце¬

себя, окружаясь инобытием,

тут еще

отрицания,

и здесь

Супра-акт

от

которого

нет числа. Но вот, отличивши себя от
он отождествляется с ним,

в единое и цельное самотождество как в
—

равно

в диалектическое взаимоотношение, все

заключается настоящая жизнь числа.

полагает

себя отличает,

он

акта полагания.

также не создает числа; то же и становление,

эти моменты создают именно число,

лой

любой величины. Вот это-то

сам по себе не создает числа; полагание акта,

отрицание его,

как и ставшее.

и

вступает

некую смысловую

зарождается наконец

эмана¬

число.

§ 22. Аналогии
Всегда

полезны аналогии, если

стей, которые рассматриваются

Пусть

учитывается различие

тех обла¬

как аналогичные.

бумаги.

мы имеем чистый лист

Пока на нем ничего не «по¬

ложено», т. е. ничего не начерчено, нет на нем и вообще ничего. Есть
только ничем не обозначенное белое поле.

что-нибудь чертить

ем

ру

—

мы

это значит

на этом листе.

провеста

ее

Пусть теперь мы

начина¬

Начертить какую-нибудь фигу¬

границы. Проведя границы, напр., круга,

получаем нечто, имеющее уже определенную величину. Покамест

нет точных границ круга, круг вообще не существует, не говоря уже
об его размерах. Но как только начерчена окружность, появляется
и сам

круг,

и появляется он как некая величина.

Другими

словами,

с появлением границы впервые появляется возможность деления,

дробления.

Если теперь мы отвлечемся от той

нарисовали,
и

а возьмем только

существование

внутри этой ограниченности

саму

дробность, делимость,

мы

получим

фигуры, которую

ее
не

мы

ограниченное™,

то

дробящийся круг,

а

количественную ее характеристаку. Од¬

нако, анализируя чистое число, мы не рисуем никакой
лом листе

бумаги.

Если

мы там

оперировали

с

фигуры на бе¬
фигурами или их ча¬

стями, то здесь имеем дело только с актами смыслового полагания; и

71

II.

Фундаментальный

если там

(число

анализ числа

понятие)

как чистое

дробность фигуры требовала для себя проведения границ,
дробности акта полагания тре¬

точной ограниченности, то здесь для

буется определенность

и

ограниченность первоначального

лагания. Если акт полагания есть, если он
то это значит и то, что он

внутри

действительно положен,

дробим, делим,

получить любое (и притом бесконечное)

т. е. что мы можем

количество таких же актов

полагания. Но что

нужно для проведения границы

граница? Граница,

как доказывается в

тез

и как возникает

общей диалектике,

того, что внутри границы, и того, что вне границы,

словами, бытия
треннему

и

(ибо, напр., круг,

то он не имел бы

границы,

каком-нибудь фоне,

граница

первый

т. е. когда она есть часть

инобытие, получаем

фона,

становление

ший

синтез

этого синтеза и

еще новый, уже

граница дает

реально осуществляет

—

вну¬

начертили

или

переводя

упоминавшийся

дробление,

ставшее в своей смысловой

к

на

инобытия),

ни к

тому,

только возможность
это

и к

внешнему (ибо

небытия; переходя

синтез бытия и

му диалектическому развитию

становление. Если

и к

только тогда, когда мы ее

точно так же как одинаково не относится ни к
—

другими

не явилась бы его частью,

бы кругом),

т. е. не был

окружность круга появляется

Граница

и есть син¬
—

небытия. Граница одинаково относится
если

акта по¬

другому.

дальнейше¬
его в новое

выше синтез,

дробления,

а еще

то

дальней¬

выразительности

—

дает

каждое отдельное число как таковое.
Акты полагания в целях облегчения и конкретизации мысли

удобно представлять себе
логии,

туру

мы можем еще

Ставши на почву такой ана¬

следующим образом представить себе струк¬

числа.

Если такие точки

прежде всего,

существуют

что есть точка

дельного ряда точек,
существуют точки
чит, что

существует

а так, как она

точка

точка пока еще не в виде

существует везде

вообще. И

она в себе уже

и заставляет нас в

если всякое

и их много или несколько, то ясно

вообще,

и всегда.

раз¬
Если

в частности, т. е. такие или иные точки, то это зна¬

уже везде одинакова,
Это

в виде точек.

вообще», очевидно,

неразличима, самотождественна.

применении

конкретное

эта «точка

к

числу говорить

о

супра-акге,

число есть всегда то или иное

собрание

отдельных актов полагания, или отдельных единиц. Итак, момент
супра-акта в данной совокупности точек очевиден.
Далее, чтобы была именно совокупность точек, необходимо, гру¬
бо говоря, иметь некий общий

фон,
72

или поле,

—

напр., чистый

лист

§22.

бумаги,

—

куда

мы могли

Аналогии

бы наносить эти точки. Что это значит? Это

значит, что кроме «точки вообще» должно быть нечто отличное от
этой точки. Точка есть абсолютная

денность;

и

самоутверж-

действительно

от¬

не-самособранным, самораспределенным,

са-

«отличное» же от этой точки, если оно

лично, должно быть

мораспространенным. Это

бумаги»,

самособранность

то

«пространство»,

то «место», тот «лист

где мы могли бы ставить разные точки. Однако, имея в виду

строгость логической

формулировки,

многозначные и неясные, а к

употреблять эти

мы не можем

же еще и бесчисленные по

тому

количеству термины. Единственно,

что тут важно,

—

что должно быть нечто иное, не-точка, инобытие точки, и

ничего. Все же прочее есть только описания
тельно, чтобы

образовалась совокупность

и

своему

это только то,

больше

—

метафоры. Следова¬

точек, должна существо¬

вать «точка вообще», супра-точка, супра-акт, и должно существовать
инобытие этой точки и акта, этот

производиться. Ясно,

что

тут

мы

«неположенной» точки, к точке
шении

которой

тельная,

всякое

фон, на котором она могла бы
переходим

ее инобытие есть точка

получаем

имели

го инобытия

новление, в

точек.
она

превратилась

«точку вообще»

действительно

и ее

в

реальность,

инобытие,

стали появляться

самовоспроизведение

«точки

притом многократное повторение, одной

Заметим,
принципом,

т. е. чтобы мы не

но чтобы на

разные

с

направлении

ничего не

вообще»,

в

повторение,

и

и той же точки.

а именно единство

перво-

нет никакого

как бы

размывание

направления. Если
есть

вернее, единичности,

принцип

же сюда

и в

одно

73

и

есть только

и таяние

бытия,

и

присоединить пер¬

именно абсолютного единства

то становление тогда

одного и того же

направле¬

говорит, да

говорит. Чистое становление

неустойчивость бытия,

новление

Инобы¬

в наполненное ста¬

супра-актом, определяет собою одну очень важную

вый принцип, который
или,

фоне это¬

точки.

ния. Само по себе становление ни о каком единстве не

тут еще

точка.

впервые

что этот принцип становления в соединении с

особенность числовой совокупности,

некая

мы

вообще несколько точек, т. е. иметь во¬
Одной этой возможности, однако, мало.

тие из пустого отрицания должно превратиться

о

отрица¬

возможность иметь

обще совокупность
Необходимо, чтобы
просто

принципа

от

в отно¬

утвержденная, реально отрицаемая

Только с введением этого инобытийного

вос¬

вообще»,

положенной, утвержденной,

окружающее

точка реально не

от «точки

превращается

в ста¬

и то же становление. Становле¬

II.

ние

Фундаментальный

анализ числа

(число

понятие)

А для числа это имеет колос¬

единообразия.

получает характер

как чистое

сальное значение. Число, как совокупность актов полагания, имеет
их не в каком попало и абсолютно
некоего
вать

определенного следования. Нужно уметь

внимание на то, как

что то же,

бросается

и

не меньше

Когда

я мыслю

пятерку,

я

предпола¬

совершенно рав¬

абсолютно одинаково. Каждая единица тут не больше

другой,

и

«расстояние» между этими

но одинаково. Если иметь в

число

Раньше всего

в данном числе.

пять единиц, входящих в нее, входят в нее

ноправно

форме
фиксиро¬

абсолютная равномерность взаимного распреде¬

ления этих чисел и этих единиц.

гаю, что

точно

строится натуральный ряд чисел,

совокупность единиц

в глаза

виде, но в

следования. В чем она заключается?

структуру этого

Обратим
или,

бесформенном

и

единицами абсолют¬

виду аналогию с точками, определенное

будет состоять из определенного количества точек, абсолют¬

но равномерно

расположенных, точек, находящихся на абсолютно
одна от другой. Это совсем не обязательно

одинаковом расстоянии

для всякой числовой структуры. Взявши

т. н.

ство, мы ясно видим,

раз

ные. Если

напр.,

эти

множе¬

«расстояния»

—

раз¬

множеству свойственна идея порядка, то это значит только

то, что множество есть

гичная

что здесь как

упорядоченное

определенная

геометрической фигурности,

средствами

не

протяжения,

числовая
но только

но чистого числа.

фигурность,

анало¬

конструированная

«Упорядоченность»

здесь создает эту как бы разную расставленность и разную взаимораспределенность актов полагания.

Говоря, однако, об упорядоченных
арифме¬

множествах, нельзя забывать о том, что уже самое простое
тическое число, самое обыкновенное число
сомненно, есть некое

уметь

описать

упорядоченное множество;

разницу между

Натуральный ряд, или,
ло,

«упорядочен» так,

натурального ряда,

что

этими

и

нужно

арифметическое

«расстояния» между отдельными

такой степени, что уже пропадает тут самая

«расстояниях». Присматриваясь ближе,

основную роль
рется тут

в том

обстоятельстве,

в своем чистом,

только

двумя формами упорядочения.

что то же, всякое

(«точками») абсолютно равномерны. Эта равномерность
о

не¬

чис¬

актами

достигает

необходимость говорить
мы

начинаем видеть

что акт полагания, «точка»,

беспримесно

тут
бе¬

логическом виде, вне всякого

возможного инобытия. Акт полагания есть он сам именно акт пола¬
гания, в таком виде он и
меняться или

вступать

действует тут. Вместо того чтобы как-нибудь

в связь с

другими структурами,
74

он

действует

§22. Аналогии
тут

таковой,

только как

тегория,
нута тут

логическая

только как

категория,

и

определенная, неподвижная

больше никак. В становление

«точка» в своей абсолютной

му и не поднимается здесь никакого

категориальной
вопроса

«точками». Точки взяты здесь как таковые.
здесь так, что в нее
стой точки как

совершенно

таковой,

тегории

числа

данный

Это

на

котором

этих точек и актов.

таковой,

кроме

чи¬

мыслится

повторение

Для сформирования самой

и

ка¬

числа

вообще) требуется

акт полагания,

вне всякого возможного своего

модифициро¬

варьирования.
и есть

рядоченности
и

не входит ничего иного,

во всей своей смысловой чистоте и отвлеченности, акт по¬

лагания как

вания и

Совокупность точек взята

(не его специальных видов, а именно самого понятия

сформирования

числа, для

чистоте. Пото¬

«расстояниях» между

или чистого полагания как такового, и того

общего безразличного фона,
воспроизведение

о

ка¬
втя¬

принцип

чисто числовой последовательности и

упо¬

актов полагания в отличие от тех видов следования

порядка, которые свойственны специальным

или

более сложным

структурам числа. «Упорядоченное множество» есть тоже некая упо¬
рядоченность, но она тут специфична; она не есть тут чисто катего¬
риальная упорядоченность, не есть упорядоченность
что

тут действует

фицированный

только голый

никаким

принцип

в том смысле,

акта полагания, не моди¬

инобытийным привнесением. 1ут

упорядоченность, которая

есть

упорядоченность

также и

—

такая

инобы¬

фона становления актов полагания. Раз имеется в виду не¬
смысловая
которая
фигурность, значит, «множество» есть некоторая

тийного

определенная расставленность и взаимораспространенность актов
полагания. А это значит, что между точками, или актами полагания,
из которых состоит данное «множество», мыслятся разные расстоя¬
ния и эти точки находятся друг в отношении друга в разных направ¬
лениях. А это значит, что здесь активно участвует не только акт в сво¬
ей чистой категориальности и принципности, но и самое это ино¬
бытие, на

фоне которого разыгрывается

становление этих актов. И

потому «множество» есть гораздо более сложная
чем

упорядоченность,

просто арифметическая. Упорядоченность арифметического

числа есть

просто определенность следования

званная только чистой

участии фона,

на

категорией

котором происходит

ность же «множества» есть

при безразличном

это следование.

упорядоченность
75

актов полагания, вы¬

самого акта,

Упорядочен¬

также и самого этого

II.

Фундаментальный

анализ числа

(число

как чистое

понятие)

фона, раз оно входит во «множе¬
пассивно-безразличном, но в весьма разнообразном виде,
конструируя различия «расстояний» и «направлений» актов пола¬
гания. Направление следования актов в чистом арифметическом
инобытия,

этого инобытийного

ство» не в

числе есть

направление

берутся сразу

и вместе,

актов полагания, взятых

напр.,

все

признаки

сразу вместе,

понятия.

как

Направление,

следовательно, признаков понятия есть только чистая совокупность
этих признаков. Это направление нулевое.

которому движется нечто,
предметов

в

в

котором

Это, однако,

ние.

этих

они

и

определенная

и не

обращая

предметов,

объединяются,

зрения

притом

нулевое направление

путь,

по

никакого внимания на

мы можем сказать, что на¬

не значит, что о таком

нечего сказать с точки

не

а само это нечто. Взявши несколько таких

одну совокупность

порядок объединения

правление,

Тут действует

есть

нулевое направле¬

направлении совершенно

логики. Так же как и

очень сложная логическая

нуль

есть некая
так и

категория,

актов полагания в каждом числе

натурального

ряда требует для себя точной логической фиксации. Это нулевое

на¬

функционирование акта как голого
принципа,
беспримесной категориальности,
вне всяких инобытийных привнесений.
Так, мы имеем «точку вообще», мы имеем дифференцированные
правление

есть не что иное, как

как самостоятельной и

взаимоотличные точки, мы имеем
точек

сти

(следование, при котором

пути,

по

деленность

определенное следование

этих

оставлены без внимания особенно¬

которому совершается следование). На очереди опре¬

и

ограниченность

самого этого следования. Оно может

быть большим и малым, конечным и бесконечным и пр. Становление
должно мыслиться

где-нибудь

остановившимся, чтобы была полная

определенность этого становления. Оно может быть и бесконеч¬
ным, но мы тогда должны так и

продолжающееся
определенная

зафиксировать

это.

Беспредельно

становление и следование есть тоже некая вполне

совокупность,

И она так же отличается

от

вполне аналогичная с конечным

пустого принципа становления,

рядом.

как и вся¬

кая конечность. Чистое становление ни конечно, ни бесконечно. И
если мы его начинаем мыслить как конечное или как
то в обоих

случаях

мы начинаем мыслить его как

гическую определенность
лого

и

категорию, резко отличающуюся

принципа становления. Эта определенность

прекращение становления,

бесконечное,

некую новую

и эта

категория

76

ло¬

от го¬

есть логическое

есть ставшее. Нанося

§22.
ряд точек на листе
ваемся и

перестаем

необходимо,
Число

и

мы

если мы хотим

утверждение

отрицаний,

и

стало

первую точку,
ния

первой

полагая

но и становление этих

сих

имели ли мы в

ровно

первую точку,

акта полагания.
есть именно

мы знаем, что мы

проставили

Когда

мы ставили

виду число «пять»? Самый

акт полага¬

и ничего

ничего не

мы ничего

Строго говоря,

первый

больше.

акт. Мы

будет

другого

пятерке

ниоткуда

данной линии,

Откуда угодно,

но

точки. Акт нанесения на

точки есть только он сам, и больше ничего. Ни о какой

он ничего не

получится. И

говорит. И

сколько бы мы ни ставили точек, ни

все-таки мы

ровно никакого представления

почему-то знаем,

лась пятая точка, что вот поставлено пять, а не
чек.

кроме самого

вторую точку. Откуда

поставлено пять точек?

второй

пятерке. А

не знаем, что это

ставили точки на

о пяти, ни о каком другом числе у нас
не

и не имели,

мы поставили

только не из самого акта полагания

бумагу черной

ни о какой

говорит

мы даже

просто

Теперь пусть

мы знаем, что нами

утверж¬

пор? Мы получили до сих пор, скажем,
Пусть, напр., мы проставим пять точек

Спрашивается: откуда

точки

совершенно

быть, необходимейшим образом

именно пять точек, а не больше и не меньше?

тут

месте останавли¬

точки. Это

получить законченную совокупность.

отрицание,

просто ряд точек на линии.
и остановимся.

определенном

и не только их становление, но и ставшее.

получили до

Что мы

на

дальнейшие

наносить

совокупность есть,

как

не только

дений

бумаги,

Аналогии

что вот у нас

четыре

получи¬

и не шесть то¬

Откуда это?
Если бы мы поставили одну точку, а потом, совершенно забывши

о ней, поставили вторую; если бы, далее, мы совершенно забыли о
второй

и поставили

и никакого счета

лучается число,
ски

—

третью

и считаем мы

мы помним все

сравниваем

как

слепо

между собою,

наносим

на

ставшим не только в

что-то еще

себе,

что

—

говоря

общей

их

совокупностью. Сле¬

прибавить

к точкам,

Необходимо, чтобы

но и для

психологиче¬

точки. Мы их помним, и мы их

так и с

линии.

ления была продиктована

себя,

т. е.

которые

ставшее было

чтобы граница станов¬

не извне, неизвестно кем и неизвестно

как, чисто слепо, но чтобы она

Необходимо, чтобы

потому,

предыдущие

довательно, необходимо
мы

и т. д. и т. д., то ясно, что никакого числа

у нас никогда совершенно не получилось бы. По¬

была определена самим

акты полагания

уходили

все новые и новые точки, но на то, чтобы положить

77

же ставшим.

не на то, чтобы ставить

самую границу

II. Фундаментальный анализ числа (число как чистое понятие)

полагания этих точек. Если мы ограничиваемся в своих актах по¬
лагания нанесением на нашей линии все новых и новых точек, то,
как бы твердо и решительно мы ни остановились и как бы резко ни
прекратили процесса дальнейшего нанесения этих точек, все равно
граница и окончание этого нанесения возникают при таком усло¬
вии совершенно неожиданно и слепо, неизвестно откуда. Мы на¬
талкиваемся на нее, как в темной комнате наталкиваемся лбом на

Этого, однако,

стену.

было известно, где эта стена,
предел, до которого
этого

конструкции числа. Надо, чтобы

мало для

мы

и надо,

будем

нам

чтобы мы сами поставили себе

наносить наши точки на линии. А для

необходимо, чтобы новый

акт полагания мы

создание еще новой точки, но на создание

потратили

не на

границы уже полученных

будет создание новых точек, но оно будет как бы
обегание взором всех точек, которые уже нанесены. Это будет пере¬
смотр, обзор, мысленное оформление полученных точек, осознание
нами точек. Это не

того, что мы до сих

пор делали.

Не нужно, однако, увлекаться
нами. Мы

гией,

уже сказали,

чисел,

но на их

Поэтому необходимы

не на психологические

смотр», «обзор», «осознание», «память»,

ности.
что

иллюстрация,

ко¬

процессы переживания
на

«пере¬

пр.

есть

существенной предмет¬

Надо употребить термин, который бы свидетельствовал о том,

полученная структура,

не сама в

себе,

оставаясь сама

в каких-то своих

открыто, расчлененно,
и для человеческого

понимания). Тут-то

и

—

в

притом функционирует

неопределенных глубинах,

«смысловая

«выразительная форма»,

энергия»

(в

мы и

или еще и

но вовне,

том числе

употребля¬

«выражение»,

термины, строго противопоставляемые

нами отвлеченно-логической
только еще

целое,

собой, функционирует

и

явленно для всякого инобытия

субъекта

термины «энергия»,

мой,

термины,

«воспоминания» и

а не анализ

смысловом отношении как нечто

ем

такие

предметную структуру. И поэтому указания

только аналогия и

терми¬

что здесь мы занимаемся совсем не психоло¬

но только логикой.

торые бы указывали

этими психологическими

конструируемой,

структуре сущности,

но не

т.

е.

сущности,

понимаемой, структуре

мысли¬

но еще не понимаемой.

Только когда наши точки прекратили свое
ние и вся слепо

полученная

их

сама собой и стала понимаемой
только в

себе,

но и для

дальнейшее увеличе¬

совокупность еще раз перекрылась
совокупностью, совокупностью

себя, совокупностью
78

как именно

не

совокупно-

§ 23- Основа
—

стью,

всего

—

диалектическая жизнь перво-акта

вот тогда только она,

энергийно выраженная совокупность,

стала законченным целым и все акты полагания смысла,
ши сами
ным и

сформированным

$ 23. Основа всего

Итак, супра-акт,

—

числом.

диалектическая жизнь перво-акта

полагая

утверждение, причем
или акта

себя, переходит

это есть

одновременно

отрицания, окружающего

границу, полученный
ограниченности
полагание самой

и

это

акт полагания

определенности,

в

т. е.

различие (а значит,

все того же

супра-акта

супра-акта

(акта бытия),

и

и

в

ему

своей

появляется

и само

и полагание

фикса¬

как абсолютное тож¬
и если это

инобытие)
супра-акта

творческая энергия',

созидание, порождение им

и

второй акты должны

и

себе никакого различия;

его самополагание, но и его
дание

первый,

в

инобытия,

происходит утверждение

результате самопоглощения супра-акта,

мо сказать, что

полагания,

и дающего

утверждение

другой стороны. Супра-акт,

содержит

появляется в

акт

границы, причем обыкновенно

быть описаны и с
дество, не

в

появление

рассматривается теперь

ция того, что внутри этой границы. И

недр

перекрыв¬

себя как некую энергийную совокупность, стали закончен¬

из

то

различие

необходи¬

появляется из
не только есть

это есть самосози¬

себя

и

утверждения

отрицания (инобытия). Итак, супра-акт

есть воз¬

самосозидание первополагающего акта,

переходящего
одновременно с этим самосозиданием в антитезу бытия-небытия,
никающее

или

утверждения-отрицания («этого»

Точно так же

и

второй

и

«иного»).

акт, акт полагания самой антитезы бытия-

небытия, отнюдь не обладает тем статическим характером, которым
отличается вообще понятие границы.
нечно, нечто абсолютно

устойчивое

Граница

сама по себе есть, ко¬

и неподвижное;

без этого она

не была бы границей. Но полагание границы выдвигает фиксацию
того, что содержится внутри границы, превращая это содержание
в

обозримую

и, следовательно,

дробимую

ких

в смысле

частей, образуется

равно

и

бесконечное движение
все более и более мел¬

здесь

становление

как и становление

делимую величину. С

образования

возникновением дробимости возникает
внутри содержания

и

внутри очерченной границы,

данной структуры

какой-нибудь определенный

в целом.

все, какие только возможны, моменты становления

ры

в целом, мы

Взявши там или

момент этого становления или

данной структу¬

получаем уже ставшее, где налицо остановившееся
79

II.

Фундаментальный

становление,
акт

или

анализ числа

и свое

понятие)

как чистое

становления. Таким

результат

творчески создает себя

(число

инобытие,

образом,

так

отдельных моментов становления

Супра-акт
энергия
их

щая

есть

и свое ино¬

ставшую определенность

и всех вместе.

сверх-число,

самосозидающаяся,

вообще, присутствующая

числа

и

супра¬

граница (результат

супра-актного самополагания) творчески создает себя

бытие, образуя становящуюся границу

как

и

идеальную, первоскрепляющую субстанцию

внутреннюю энергию числа, счета

творческая

во всех числах, составляю¬
создающая

операций.

и всех числовых

Ан¬

титеза полагания и отрицания впервые ориентирует супра-актную
энергию как нечто раздельное на
наконец,

необозримом

поле инобытия. И

самой этой антитезы приводит эту раздельность

фиксация

в определенную систему полаганий, являющуюся тем, что мы и на¬
зываем числом, поскольку последнее есть и подвижная, и
система

полаганий,

точно

ориентированная

на

устойчивая
фоне окружающего

инобытия.
Этим определяется форма

дой

из выведенных нами

обще говоря,

есть

ного единства

вообще. Все,

него

принцип единичности, принцип творчески

(самотождества)

что

существует

и есть

вообще

субстанция

ничего не

существует. Он,

модификация

принципа. Во

порождается

им самим,

второй

ибо

и помимо

быть, содержится ре¬

стало

и он не только

содержится,

категории; всякая категория

но он

—

есть только

этого единого и первоначального перво-

стадии диалектического процесса, когда вме¬

сто сверх-логического супра-акта появляется

акт, супра-акт

актов полагания

абсолютная единичность, что без него

и основа всякой

та или иная

всех возможных

после него,

каждой категории;

шительно в

по¬

единичности. В голом виде это есть принцип абсолют¬

рождающей

потому он

функционирования супраакта в каж¬
диалектических категорий. Супра-акт, во¬

функционирует как принцип

раздельный реальный

координированной раз¬

дельности. В третьей стадии супра-акт, создавая становление, функ¬
ционирует

как

принцип единства направления. Сам

принцип единства вообще

по себе он есть

на стадии становления, он есть

принцип

единства направления. На дальнейшей стадии, превращаясь
шее,

супра-акт оказывается принципом единства того,

то в

результате движения

направление пройдено

в известном

и мысль

что

в став¬

достигну¬

направлении. И когда данное

фиксирует пройденный путь, созер¬

цая также перспективу и возможного дальнейшего продвижения,

80

—

§ 24. Проверка
только

на

функциях натурального ряда

теперь наконец супра-акт достигает своей полной разверну¬
просто принцип единства

и еди¬

просто принцип любого самотождества

и всех

тости и явленности, и он
ничное I и

вообще

вообще,

не

тут уже

не

возможных его видов, но

принцип развернутой

и явленной

координированной раздельности, творчески выступающей из своих
собственных

и

недр

принципиально требующей

своего признания

и своего понимания.

Необходимо
тельство.

отметить тут еще

Энергия

весьма важное обстоя¬

следующее

еще потому есть особая диалектическая катего¬

рия, что она вовсе не есть простое механическое повторение

прой¬

денных пунктов, но она выставляет их в совершенно общем и уже
по-своему, по-новому
виде.

Когда

мы

оформленном

говорим «тысяча»,

тысячу пройденных точек именно

лимая целостность.

именно в понимаемом

мы вовсе не

тысячу отдельных актов полагания,

тысяча отнюдь не делится на

—

виде,

перебираем

в

уме

всю

но мы обязательно понимаем

как

тысячу,

тысячу частей,

и

уже

эта понимаемая

но есть абсолютно неде¬

Перво-акт уже дает эту неделимость,

но энергия

дает ее в развернутом и демонстрированном виде. Это не принцип
цельности, но сама развернутая цельность. И эта цельность и целост¬
ность имеет структуру уже не механической совокупности слепо
возникших актов полагания, но

ности, для которой совсем

—

структуру понимаемой совокуп¬

не обязательно

изолированное представ¬

ление отдельных входящих в нее актов, но в

которой

все они тем не

менее мыслятся со всей ясностью и четкостью.
Таков

диалектический смысл того основного логического содер¬

жания понятия числа,

которое

варительно наметили

в виде

«иное

мы выше, в

§ 3,

описательно и

пред¬

первых трех установок («нечто», «это»,

этого»).

§ 24. Проверка на функциях натурального ряда
Чтобы убедиться в правильности приведенного рассуждения,
вдумаемся еще раз, что, собственно говоря,
ном

мы имеем в т. н.

натураль¬

ряде чисел.

Возьмем первый момент,
гих он вызовет сомнение.
т. е. некая

момент

Однако

супра-акта. Вероятно, у

всякое число есть именно число,

определенная единичность, индивидуальность. При

такая единичность

—

мно¬

этом

абсолютно одна и та же во всех числах, по¬

скольку каждое отдельное число есть именно число. Эта, если можно
81

II.

так

Фундаментальный

анализ числа

(число

«числовость» и есть это

выразиться,

понятие)

как чистое

перво-число, которое

охва¬

тывает все числа и есть их абсолютное тождество. Если нет такого

первого числа, то, значит,
ется: можно ли считать

не все числа

натуральный ряд

бы нелепо, и, значит, логически

чисел

и тогда

спрашива¬

натуральным рядом,

суть числа? Ясно,

если не все члены, в него входящие,

тождественное

суть числа,

что это было

необходимо признать

такое само¬

перво-число.

перво-число?
каким-нибудь отдельным числом, входящим в
натуральный ряд? Конечно, на этот вопрос приходится ответить
Теперь спрашивается:

чем же должно быть такое

Может ли оно быть

вполне

отрицательно, потому

что если

всех чисел, то оно не может быть ни

перво-число

единицей,

ни

есть тождество

двойкой,

ни

трой¬

кой и т. д., поскольку все числа при этом условии оказались бы еди¬
ницами, или все

—

двойками,

или все

—

тройками, т. е. уничтожилась

бы индивидуальность каждого числа, все

неразличимыми

и

существование. Итак, перво-число
сти,

числа стали бы абсолютно

натуральный ряд совершенно прекратил бы

хотя оно и есть их

не есть каждое число в

всеобщее

и

абсолютное тождество. В этом

смысле оно есть не только перво-число, но

и

сверх-число.

С другой стороны, поскольку перво-число
дество всех чисел, оно как-то должно

видуальность

чисел

или все числа

суть

число

вообще, которое

но тогда это же самое
тельно

—

тогда должно существовать сверх-число,

их вполне

конкретных чисел,

перво-число должно содержать

всякую числовую индивидуальность,

щения в нем как

всю инди¬

только две возможности:

не есть ни одно из этих

или же нет никакого

сти;

есть абсолютное тож¬

содержать в себе и

натурального ряда. Тут

числа

свое

отдельно¬

перво-числа,

или

сверх-индивидуальной

в

себе

все числовые

сверх-числа,

и

реши¬

размерно¬

и нет совме¬

числовости всех чисел, так и

индивидуальных размерностей

—

тогда, попросту говоря,

не всякое число есть число и не существует никакого натурального
ряда чисел, что нелепо и противоречит

элементарной жизненной

и

научной установке. Итак, если число есть число, то существует сверхчисло, которое содержит
и не есть ни одно из них.

в

себе все, какие только существуют, числа

Спрашивается,

что же это такое за

перво-

число?
На

этот

вопрос

может быть только один ответ:

есть

что-нибудь оформленное

акт

созидания чисел, перво-потенция

перво-число

не

и статическое, оно есть постоянный

82

всякого числа, и так как все

§ 24. Проверка

функциях натурального ряда

на

эти числа и есть оно само, то со всей

стью

счисления вообще,
ей

диалектической необходимо¬

получается вывод: перво-число есть самосозидающая энергия
т. е. все

последней общности

вообще

возможные числа, взятые в сво¬

или самотождественности и взятые в своей

взаимопорождаемости.
Не нужно пугаться

Тут

сти.

этого самосозидания и

имеется в виду опять-таки

взаимопорождаемо¬

элементарная

и

простейшая,

не¬

обходимейшая особенность натурального ряда, проявляющая себя
предполагает для себя

то или иное сосед¬

нее. Если мы сказали «пять», то этим самым мы

уже предположили,

в том, что каждое число

что есть,

себя «шесть», «шесть»

нужно

или «шесть». «Пять»

напр., «четыре»

порождает собою

порождает, созидает

из

«Порождение»

«семь» и т. д.

понимать, конечно, не в гинекологическом смысле слова и

вообще не в натуралистическом, а только в чисто смысловом отно¬
шении, как и вообще все операции, рассматриваемые нами в настоя¬
щем исследовании.

Порождать,

требовать, постулировать,
связаны

созидать

—

здесь значит то же, что

логически предполагать.

Итак,

между собою энергией взаимопорождения. Вся

чисто смысловая

энергия

возможных, необходимых

всех абсолютно чисел
—

и есть

изучаемое

—

все числа

эта

общая

действительных,

нами

сверх-число,

перво-число, перво-полагание, супра-акт. Отрицать функции

перво-акта
заны

—

значит отрицать тот

между собой

и взаимно

простейший факт,

этого

что числа свя¬

предполагают друг друга. Отрицать

невозможно, а тем не менее этот

или

простейший факт требует для

это

себя

такого непростого принципа, как супра-акт.

Далее, раз всякое число есть число, то натуральный ряд представ¬
ляет собою одно и то же

перво-число, по-разному полагающее себя

разных местах. Вернее, одно
раз повторяет само себя,
ная
ло

и из этого

перво-число бесконечное

повторения

индивидуальность каждого отдельного

—

везде, это мы уже установили.

простейший факт:
перво-числа

полагание

(и

перво-числа

перво-чис¬

Теперь устанавливается другой
раз)
вдуматься

есть его самополагание, так как по

в этот

факт,

как

это полага¬

смыслу своему

предполагает для своего полагания

и сози¬

само полагает себя целиком в каждом из чисел,

Перво-число
входящих в натуральный ряд. Во-вторых же,

дания.

появляется и отдель¬

числа. Что

сразу два обстоятельства. Во-первых,

оно никого и ничего не

в

число

полагание бесконечное число

как такового. Стоит немного

становятся ясными
ние

и то же

83

это полагание, или са-

II.

Фундаментальный

анализ числа

(число

как чистое

понятие)

мополагание, предполагает кроме перво-числа еще область, где

оно

себя и полагает. Эта область не есть оно само; следовательно, она есть

Значит, натуральный ряд требует кроме перво-числа

его инобытие.

еще и инобытие этого перво-числа. Однако нами уже установлено,
что в числах

(и, значит, в натуральном ряде чисел)

чего не было бы в

нет ничего такого,

не всякое число было бы чис¬

перво-числе (иначе

лом). Значит, упомянутое инобытие, необходимое для бесконечного
самоповторения перво-числа, порождается опятъ-таки самим же
перво-числом. И это порождение опять-таки вытекает из простейше¬
го

факта, что число есть число. Если число есть число (а только так
быть), то такое определение (или пусть хотя бы тождество)

и может

требует, чтобы

число было отлично от

себя самого. А это значит, что

число должно быть по крайней мере повторено, чтобы была воз¬
можность противопоставить число ему же самому

дение

«число есть число»

(а

не

знать, что число есть число,

получить его

самому, повторяет себя, порождая
пространяясь

получить суж¬

обладать им,

и не

невозможно). Следовательно,

ло есть число, это значит, что число

по

и

т. е. не

если чис¬

противопоставляет себя себе

тем самым свое инобытие и

этому инобытию путем бесконечного

же

рас¬

самоповто¬

рения.
Есть ли

что-нибудь

ральный ряд
ством:

чисел

иное в

обладает

натуральном ряде чисел? Нет, нату¬

именно этим самым основным свой¬

перво-число, перво-полагание, супра-акт

и это самополагание

турального ряда. Что
лагания; потом

—

перво-числа
такое

и создает все

полагает сам

реальные

натуральный ряд чисел? Это

себя,

числа на¬

есть акт по¬

новый акт полагания, полагание того же или то

же самое полагание; затем

—

еще новый акт, и притом акт все того

же или все тот же акт, и т. д. Это значит, что в натуральном ряде чи¬
сел одновременно с новым полаганием создается и новое инобытие
перво-числа, или инобытие перво-полагания, и на

фоне

этого не¬

прерывно возникающего инобытия утверждаются все новые и но¬
вые акты полагания.

Совершенно

отчетливо видно также и то, что

отдельное конкретное число, т. е. самая

индивидуальность отдель¬

ных чисел, возникает как синтез этих актов полагания и

Пусть

рой акт полагания возникает только
акт,

отрицания.

мы имеем один акт полагания и еще один акт полагания.

будучи

в

результате того,

положен, оказывается в окружении некоего

с ним, очевидно,

четкую пограничную линию,

84

что

первый

фона,

и затем в

Вто¬

имея

результате

§25. Проверка

на отдельном числе

того, что наличие этой четкой положенности первого акта и его
инобытия

образует

возможность

другого

акта полагания.

Перво-акт,

следовательно, внутренно здесь раздвоился на два акта, являющиеся
друг в отношении друга инобытием и взаимным отрицанием, хотя
сам по себе каждый из них есть утверждение.
числа зависит, стало
е. сколько

быть,

от того, сколько

—

это и значит

самополагание или

самоутверждение. Пока было

себе,

предполагало

то

оно ничего не

тут

т.

было утверждений перво-акта со своим инобытием, ибо

отождествиться со своим инобытием

никакого

Индивидуальность

было актов полагания,

разговора. Но

полагание само по

и ни о каких числах не возникало

как только

инобытие,

же возникает

перейти в новое

перво-полагание себя положило,

т. е. возможность или иных актов по¬

лагания, или, что то же, возможность

дальнейшего дробления перво-

полагания.

§ 25. Проверка на отдельном числе
Возьмем число «десять». Как нужно описать логическую струк¬
туру числа «десять», если стоять на точке зрения приведенных рас-

суждений?
Во-первых,

число «десять» состоит из десяти единиц, из

ни одна не есть десять, а только единица и

которых

больше ничего. Стало

быть, 10 есть некая собственная индивидуальность, сама по себе уже
неделимая
И

и

недробимая,

—

иначе она

перестала бы

и

быть десяткой.

в этом смысле она даже не состоит из десяти единиц.

вещь, состоя

фактически

частей,

из этих

из

ряда частей,

по

смыслу

Как любая

вовсе не состоит

а есть некая неделимая цельность, не

определимая

этими отдельными частями, так и число «десять» в известном смысле
тоже не состоит ни из каких отдельных единиц.

ная

структура вещи,

индивидуальность,

и она-то и есть

число «десять», хотя оно
но по

существу своему

смысле

уже

Ведь

неповторимая

существо вещи. Точно

фактически

так же и

и состоит из десяти единиц,

есть подлинная

индивидуальность

и в этом

не состоит из десяти единиц и не делима на них.

всякая вещь и всякий предмет мысли есть нечто, т. е. нечто

отличное от всего

ленной

Эйдос вещи, целост¬

есть ее неделимая целостность и

прочего и, значит, обладающее некоей опреде¬

качественностью.

есть данная вещь в своей

Еще мы, возможно,

не знаем, чтб такое

внутренней детальности, еще, возможно, не

проанализировали и просто еще не рассмотрели ее

85

подробно,

а

уже

II.

анализ числа

Фундаментальный

говорим:

это

—

дом, это

лес, это

—

(число как чистое понятие)

—

дерево. Тут

ную вещь просто как таковую, не вникая
даже, может

быть,

еще не

Прежде

число «десять».

него входящих, и

обращая

мы отличаем дан¬

внутреннее строение

перечислить все десять единиц,

просто даже обратить

чем

внимание, мы пока еще только

просто фиксируем

ло, отличая его от шкапа, комода,

и

на него никакого внимания. Так и

чем точно

прежде

в ее

кровати

и

в

на это должное
самое это чис¬

пр. вещей окружающей

жизни.

Следовательно, при смысловом
киваемся

прежде

всего на его

ную индивидуальность
ную единичность. Это

и

—

Уже здесь видна роль
абсолютной

анализе числа «десять» мы натал¬

эйдос,

структуру,

т. е. на его

рая уже

абсолют¬

первое.
числового перво-принципа, перво-акта как

неразличенности, слитности, абсолютной единично¬

сти всякого числа. Число «десять» есть

полагания,

существо, существен¬

на его, можно сказать,

прежде всего

последней целостности

т. е. такой

этот акт

не состоит из каких-то частей и является некоей

ностью в

одну точку всего

Число 10 есть,

собранность

стало

ее

быть,

и внешнего

внутреннего

перво-

и единичности, кото¬

собран¬

содержания.

такая неделимая точка, такая неделимая

и единичность,

первоначальная

отличенность от всего

прочего.

Во-вторых, найдя этот перво-принцип
жем не заметить, что такой же точно
и всякого
ни

другого

числа «десять», мы не мо¬

первопринцип

лежит в основе

числа. И тем не менее 10 не есть ни

9,

ни

8,

ни

11,

12. Значит, общечисловой перво-принцип, или общечисловое

первополагание, супра-акт,

будучи

везде одним и тем же, в то же са¬

мое время проявляет себя везде по-разному.

проявляет себя

в числе

Перво-число потому
ет всякое

Спрашивается, как же он

«десять»?
и есть

перво-число,

что из него

выраста¬

другое число. Следовательно, что-то должно случиться

перво-числом,

т. е. с

перво-полаганием, чтобы

с

из него создались чис¬

ла, и в частности число «десять». Что же с ним должно

случиться? Оно

должно прежде всего быть самим собою, т. е. получить определение.
Перво-полагание, поскольку оно

берется

как таковое, еще не есть

перво-полагание. Возьмем какое-нибудь «одно» как таковое
новим его как именно его
окажется вне

ни

В, ибо

—

оно

—

уже

не Л, ни

уста¬

потеряет решительно все свойства

определения. Одно, напр., Л, взятое как таковое,

это В

и

С, ибо
86

это С

—

не

Л,

ни D

—

и

не есть

по той же

§25. Проверка
и т. д.

причине

вообще

Это А не есть

оно не есть

на отдельном числе

ни то, ни то, ни то и ни это, и, значит,

И только когда мы говорим, что А

что-нибудь.

есть, т. е. рассматриваем его самого не в его абсолютной единично¬
сти и неделимости, но в его бытии, только тогда возникает вопрос о
том, чтб оно такое есть по существу и каково его настоящее опреде¬
ление. Но бытие предмета есть его полагание, утверждение. Следова¬
тельно, наше перво-полагание должно перестать быть абсолютной
единичностью и самотождеством, оно должно

полагание,

и тогда мы

не в абсолютной
лимом виде.
лить

получаем

определение, его

его

но в его

самозамкнутости,

Однако

перейти

его

уже

опреде¬

кроме

него само¬

него самого и сказать:

через

перво-полагание (перво-число, супра-акт)

и

признаками опреде¬

если у нас нет ничего пока,

определить

го? Остается только

реальное

как его, но

развернутом

какими же свойствами и

перво-полагание,

в

есть

перво-полагаемое,

или число есть число.

Итак, перво-принцип проявляет себя тем,
ся

через

самого же себя.

Проявить себя

—

это и значит

делить себя через себя
или

число есть

реальных

Да

число.

же.

чисел. Сказавши:

есть, мы тем самым

Перво-полагание
и

вательно, надо

только

возникновения

перво-полагание,

короче, перво-полагание

есть и число

акт полагания,

получаем реальный

всех чисел,

перво-полагание,

путь

есть

перво-полагание

к

определяет¬

«проявление».

прежде всего опре¬

есть

начинается

самому существу своему уже гораздо ближе

одинаковый для

и

определить себя,

Отсюда

или число есть число, т. е.,

что он

иначе и нельзя понимать

который

реальным числам,

по

чем

общечисловой перво-акт. Теперь, следо¬

узнать,

как из этого

реального

акта полагания

получается число «десять». Что число «десять» «состоит» из десяти
реальных актов полагания, это мы знаем с самого начала. Мы только
сказали, что этого недостаточно, что нужно еще

Теперь

мы

от него к

признали перво-полагание

реальному полаганию;

и

этот способ есть

перво-полагания. Спрашивается теперь:
сять» из

перво-полагания через

перехода

Тут

—

в

как же

самоопределение

получить

число «де¬

самоопределение при помощи

реальное полагание?

в-третьих. Подобно тому

мополагания
так

его

перво-полагание.

изучили способ перехода

как

перво-полагание путем

(самоопределения) перешло

в

са-

реальное полагание,

реальное полагание путем дальнейшего самополагания (само¬

определения) переходит

в новое полагание.

87

Каждое

новое полага-

II.

Фундаментальный

ние, следовательно,

анализ числа

(число

понятие)

как чистое

определения старого полагания.

возникает из

новое полагание, возникая как такое, начинает отличаться

Каждое
от всего

от всякого инобытия и тем самым

прочего,

тенции это самое

лаганий.

инобытие,

Определяя

т. е.

зарождает

зарождает возможность

в по¬

новых по¬

далее полагание, очерчивая его границу, мы тем

самым превращаем его в величину, в размерность, а это значит, что
возникает возможность

дробления

и его самого, и его

инобытия

—

в

отношении его самого, т. е. возникает возможность новых полага¬
ний. В числе «десять» мы находим целых десять таких

самоопреде¬

лений перво-полагания. Стало быть, перво-полагание должно об¬
ладать соответствующей силой самоопределения, соответствующей
способностью самосозидания себя

Перво-акт должен
ствующей

к самополаганию,
—

реальных

актов полагания.

зарядом,

соответ¬

смысловой возможностью, принципом, методом, каким-

то перво-становлением,

сять»

в виде

быть как бы целым смысловым

творчески-непрерывной заряженностью
энергией самосозидания. В числе «де¬

смысловой

десять таких полаганий: надо, значит, чтобы перво-принцип,

лежащий в основе числа «десять», был заряжен именно на эти десять
полаганий, чтобы не было никакой возможности преодолеть эту
энергию самоопределения, чтобы если дана единица, то тем самым

требовалась бы

и

двойка, если

—

двойка, то

и

тройка

и т. д.

Возможно

ли число «десять» без этого? Конечно, нет. Итак, число «десять» есть
творческая смысловая энергия перво-акта к

самоопределению,

к самополаганию, к самосозиданию. Это есть

непрерывное

т. е.

станов¬

ление самосозидающегося акта.

Теперь,

наконец, спросим: да откуда же само-то число «десять»?

Нужен перво-акт, нужно его полагание (отрицание), нужно его твор¬
ческое становление.

Спрашивается:

где же тут само-то число «де¬

сять»? И то, и другое, и третье необходимо ведь опять-таки для всех
чисел решительно, не только для 10.

Тут

—

в-четвертых. Явно,
вечно

введение момента становления

характеризует

способность перво-принципа

самоосуществлению. Число

сять» есть не просто эта
хотя бы и

нибудь
и

мало.

же «де¬

но ее

остановилось, натолкнулось на свою

вернее, реально

нарастающую

результат. Становления,
чтобы
это становление гдеНадо,

способность,

творческого, тут

уже дальше никуда

или,

к

что

собственную границу

не двигалось, не создавало нового инобытия
не

переходило бы

в него.

Чтобы число было

чем-то определенным (и всякое число таково), необходимо, чтобы
88

§25. Проверка

на отдельном числе

творческая энергия самосозидающегося перво-акта
дальше

никуда

не шла.

Следовательно,

остановилась и

сюда необходимо ввести по¬

нятие ставшего. Как перво-акт, определяя

себя, перешел

реальный

в

акт полагания; как

реальный

акт полагания,

в

выявивши

необходимость существования инобы¬

самоотрицание,

определяя себя, перешел

инобытие, определяя себя, переходит

тия;

как это

ние

(отрицание отрицания),

деляя (или отрицая) себя, переходит
результатом становления,

в новое

утвержде¬

в становление, так становление,

опре¬

в ставшее, в то, что является

а не самим становлением. Число «десять»

есть, следовательно, то, чем стал

перво-принцип

в

результате своего

творчески становящегося самоосуществления.
Ставшее уже

перво-акта
ет

все

не движется дальше, а так как

равно

действовать уже

творческая энергия

не может нигде остановиться, то она начина¬

только в

пределах, отведенных ей ставшим,

пе¬

созданные раньше его реальные акты самополагания.

ребегая уже

И вот тут-то мы и получаем конкретное число натурального ряда.

берегах его са¬
моосуществления и тем самым дает нам картину этих бегущих одна
за другою десяти единиц, десяти полаганий, в пределах полученной

Творческая

энергия перво-акта плещется

в ставших

десятки. Десятка вся внутри движется, и число есть всегда смысловое
движение. Это потому, что неустанная энергия перво-акта здесь за¬
ключена в твердые рамки и проявлять себя она может только в виде
этого взаимодействия десяти актов полагания в пределах индиви¬
дуально законченной и неделимо-единичной структуры числа «де¬
сять».

Впрочем, творческая перво-энергия
плещется в

твердых контурах

переливается

также и

числа

самого числа.

не только бьётся

Она, конечно, бьётся

наружу, требуя перехода этого

числам, требуя возможности

и

числа к

и
и

другим

права функционирования этого числа

вообще числовой области. Простой факт, что если есть число
необходимо должно быть и число N+ 1, этот простейший факт

во всей

N,

то

возможен только

ствующая

потому,

что число есть смысловая

как таковая не только

внутри,

энергия, дей¬

но и вне самого числа.

вовне несет все то, чем она обладает внутри. И если, напр.,
нии число N

Она

дробле¬
функционирует именно как/V, потому что, деля его на Л,

мы делим именно его, это

его увеличения,

N,

а не иное число, то так же и в

помножая его на

Л,

мы все же

в

процессе

получаем результат

в

теснейшей зависимости от того, чем являлось это N с самого начала.
89

II.

Фундаментальный

Смысловая энергия

(число

анализ числа

числа потому и

как чистое

его как живую и

конструирует

конкретно функционирующую индивидуальность

понятие)

смысла.

Это и все, что может сказать логика по поводу числа «десять».

Разумеется,

этим не

определена

категории, без которых
дача логики:

вскрыть

сама десятка, а

она не может

все

осуществиться. Но

категории, без которых

предмет. Как только это сделано, ее функции

лишь те

определены

такова за¬

немыслим

кончаются.

данный

Определить

абсолютную единичность не
какая-нибудь другая наука, оперирую¬

же десять как десять, как именно эту

может ни логика, ни вообще

щая логическими категориями. Эта абсолютная индивидуальность
вещи совершенно неопределима по самому своему существу, по¬
скольку она, как сказано, не состоит ни из каких частей и признаков,
которые бы ее характеризовали. Этот перво-акт,

полаганий,

числе «десять» в виде десяти

определим

вопросом
жде

он и сам по

о

существе

себе,

неопределим,

вне всяких своих полаганий.

единиц-полаганий,

стоит», мы ведь задаемся, в сущности,
он сам по себе

из

вопросом

в

как не¬

Задаваясь

«частей», т.
которых

е.

пре¬

оно «со¬

о том, что такое сам

неопределим, ибо неопределимость

сверх-оформленность, неразличенность
самый

проявивший себя

числа «десять» вне всяких его

всего вне этих десяти

перво-акт. Но

так же

и

числа в числах и есть этот

перво-акт, перво-полагание. Поэтому определять перво-акт,

сам ли по

себе,

в его ли

функциях

в отдельных числах,

—

это значит

задачей. Нельзя определить красный свет путем
комбинаций определенных категорий. Но мы должны решить дру¬

задаваться нелепой

гой вопрос:

что нужно для того, чтобы в нашей мысли

лось число «десять» или тот же

разрешим,

осуществи¬

красный цвет? Этот вопрос

но он-то и является основным

не только

вопросом всякой фило¬

софии.
Эти категории, необходимые для мыслимости,
вого
что

осуществления,

числа

10,

мы и нашли в

т. е. для смысло¬

предложенном

только

рассуждении.

§ 26. Диалектика различия, тождества, движения

и

покоя

в

числе

Можно так

формулировать полученный

до сих пор результат:

число есть ставшее становление акта смыслового перво-полагания.
Момент «ставшего» можно

тической ясности)

(не без

заменить через

90

опасности

нарушения диалек¬

«результат»,

а становление мож-

§ 26. Диалектика различия, тождества, движения
но

взять с той

насыщенностью,

которая

действия здесь перво-полагания,

и покоя в числе

свойственна ему ввиду

заменяя моменты становления и

перво-полагания через «самоопределяющуюся энергию». Тогда

мож¬

но сказать так: число есть ставший результат

ся

энергии

(а

не

акта смыслового полагания.

самоопределяющей¬
Или, подчеркивая актный

числа, можно сказать: число

содержательный) характер

[есть]

ставший результат энергии самосозидания акта смыслового по¬
лагания.
В таком виде можно было бы представить то, что выше, в

§ 19,

мы

обозначили тремя первыми пунктами. Разумеется, «нечто» для числа
есть не что иное, как перво-полагание, а «это» для числа есть реаль¬
ный акт полагания, «иное» же

инобытие, которое перво-акт созда¬

—

ет для своего осуществления. Но там мы нашли еще четыре момента
в числе, и их надлежит сейчас привести в полную диалектическую
ясность. Что же это за моменты и какое их подлинное место в по¬
следней диалектической

формуле числа?

Место категорий различия, тождества, покоя
видно, не в

мость,

первом моменте, который,

есть полная

при

их

их

их во

смысл, так как первый момент
есть

и

неразличи¬

третьем моменте,

развивается

только

втором диалектическом

мо¬

происходит первое различение между полаганием

отрицанием, где впервые, собственно,

тий

и не в

предполагает

условии. Очевидно, место

менте, там, где

как абсолютная

над-категориальность,

потому что становление уже

и движения, оче¬

переход

этого

—

и

зарождается оформленный

выше всякого

оформления

и

оформления,

еще в новую стадию.

а

тре¬

Поэтому

то, что можно сказать об указанных категориях, нужно отнести к ха¬
рактеристике смысловой области,

веденной

выше

В самом деле,

лишь

впервые

участвующей

более

будет
формуле слова

ми словами, это

в числе; или,

подробное выражение,

други¬

чем в вы¬

«смысловое полагание».

с полаганием

перво-акта

возникает от¬

личие полагаемого от всего иного. Полагаемое «это» или «одно», т. е.
полагаемый акт, вступает в сложное взаимоотношение с
со своим собственным

отрицанием. И

ответствующее выражение
мы

если бы мы

инобытием,

сумели найти

со¬

этого взаимоотношения, то этим самым

получили бы обстоятельную картину смысла,

как он

действует

в

логической конструкции числа.
«Это», если оно положено, утверждено, оно, конечно, должно
быть тождественно с самим собою. Если полагаемый акт не есть он

91

II.

Фундаментальный

сам, то, значит,

(число как чистое понятие)

анализ числа

другой стороны,

он еще не положен. С

также ясно,

что положенный акт должен быть отличен со всяким своим инобы¬

условие для существования акта,

тием. Это тоже такое очевидное
что оно не

Итак,

ни в каких

нуждается

положенное «одно»

прежде

расчленениях

и доказательствах.

всего тождественно с собою и от¬

лично от иного. Но диалектика показывает, что это же самое «одно» в
то же самое время еще и различно с самим
иным. Можно

собою

тождественно

и

по-разному формулировать доказательство

общей диалектике. Но

последних тезисов, что

и делается в

ведем здесь лишь

необходимые соображения.

самые

Почему «одно» различно

этих

собою,

с самим

мы

с

двух

при¬

отличается от само¬

го себя? Мы говорили: «число есть число», «акт есть акт», «одно есть
одно», «это есть это» и
ся от одного же.

смысленно и в
менее

Тогда суждение «одно

крайнем случае

суждение

что одно ничем не отличает¬

пр. Допустим,

совершенно бес¬

есть одно»

является только тавтологией. Тем не

это полно для нас смысла, так как

с возникновением этого

суждения образуется

впервые

только

возможность самоо¬

пределения для одного. Это суждение действительно определяет
как таковое, не-положенный и

одно
и

до-полагаемый

без него перво-акт остается лишенным

акт как

таковой;

какого бы то ни было

при¬

знака. Итак, суждение «одно

есть одно» есть

одного. Следовательно, одно

отлично от одного, т. е. от самого себя.

Одно

как

одно

отлично от самого себя

мим

субъект

отлично от одного как

собою. Произнося «одно

признаем

потому,

предмета. Другими словами,

что оно тождественно с са¬

есть одно», мы

сразу

и то, что одно тождественно с самим

ла самого этого суждения),
силу фактической

понимается в

бою по смыслу

и

своему,

одновременно

различно

по

суждения).

себя (в

Можно тут возра¬

различие чего-нибудь

разных смыслах,
а

и

собою (в силу смыс¬

и то, что одно отлично от самого

возможности такого

жать, указывая на то, что тождество

собою

реальное определение

с самим

что одно тождественно с со¬

фактическому полаганию,

как

если бы мы, напр., утверждали: «Это одно как одно есть одно вообще,
а это одно кжэто одно отлично от одного вообще». Однако мы уже
отвергли

(§ 3)

возможность такого

одно тождественно и
мим

собою)

одного

в

различно

чем-нибудь (а

разных отношениях,

на бесконечно

известно чего,

с

возражения. Если признать,

то это

приводит

к

расслоению

мелкую, абсолютно неразличимую

приводит

к

утере

самого

92

что

в том числе и с са¬

пыль не¬

предмета определения. Поэ-

§ 26. Диалектика различия, тождества, движения
тому с точки зрения диалектики
акт был и
же

тождествен,

отношении.

и

Правда,

и покоя в числе

необходимо, чтобы утверждаемый

различен

собою

с самим

в одном и том

диалектически это предполагает, что он

тождествен и различен с самим собою еще и в разных отношениях.

формально-логические

Однако

последнее понятным без всяких

навыки человеческого ума делают

разъяснений,

а

первое требует для

себя особых доказательств.
Различие
та,

акта с самим собою

что акт, как и

явствует еще

вообще всякий предмет

вещь, всегда есть прежде всего нечто

Это дерево есть, во-первых, дерево
дерево. Различие

из того

мысли или

вообще

вообще,

а

простого фак¬

вообще

во-вторых,

именно это

дерева с самим собою обеспечивает ему конкретное

содержание. Конкретное содержание данного предмета,

его

но, отлично от того, чем
по его

предмета

данный предмет

является

конкретному содержанию,

т. е.

цессе его выявления и становления, и есть
этого

противоречия: «одно тождественно

от себя».

Диалектический

за бытийными

Точно

так же

конеч¬

вообще. Вскрытие

вскрытие

его в про¬

диалектический

синтез

с собою» и «одно отлично

синтез этой антитезы гласит: «одно есть

становящееся одно». Ибо становление

тегория

всякая

и нечто в частности.

—

это

вообще дальнейшая

ка¬

(смысловыми) категориями.

необходимо признать,

что одно не только

различ¬

но с иным, но и тождественно с иным. Акт полагания не только от¬
личен от не-полагания, от

отрицания полагания,

ним, т. е. акт полагания есть акт
полагания.

Почему? Одно

оно

акт

отрицания

есть акт

тождественно с одним, но иное тоже есть

некое одно. Если иное не есть
—

отрицания,

но и тождествен с

что-нибудь, оно

—

ничто.

Однако если

ничто, тогда одно ни от чего не отличается и, следовательно,

никакого одного нет. Итак, иное есть и, значит, оно есть нечто, т. е.
некое одно. Но одно тождественно с одним же. Следовательно, одно
тождественно с иным. Можно сказать еще и так. Одно отлично от
иного, иное же отлично от одного. Момент взаиморазличия одина¬
ково присущ одному и иному, в этом они тождественны. Но момент
этого взаиморазличия впервые только и создает и само одно, и само
иное, ибо только с проведением границы между ними возникают
они сами. Следовательно, одно и иное вообще тождественны между
собою.

Поэтому если одно различно с собою потому, что оно тожде¬

ственно с

собою, то с

различно. И тут

иным оно тождественно

также

существует

потому,

что оно с ним

свое синтетическое

93

примирение

II.

Фундаментальный

этой кричащей

анализ числа

антиномии: «одно

(число

как чистое

различно

понятие)

с иным» и «одно тожде¬

ственно с иным». Этот синтез гласит, что «одно есть становящееся
иное». Только в

прошлом случае, когда

чии одного с самим

держание одного,

собою,

шла

становление

речь

о тождестве и

жанием, внутренним инобытием одного; здесь же,

вскрывается

огибание по внешней границе,
го.

Другими

со¬

было бы назвать внутренним содер¬

и его можно

и тождества одного с иным,

разли¬

вскрывало внутреннее

в

случае различия

внешнее инобытие одного,

протекание инобытия вокруг одно¬

словами, если объединить оба эти синтеза, внутреннее

и внешнее становление, то мы получаем необходимость границы
между одним и иным, в

одного

которой

и сливаются тождество и

различие

и иного.

Итак,
с самим

акт полагания, или акт

собою,

но и

различен

с

утверждения,

собою,

не только тождествен

отсюда вытекает возмож¬

—

ность его внутреннего дробления и, следовательно, появления новых

полаганий; и он, кроме того, не только отличен от акта отрицания,
но и тождествен с ним,

—

отсюда вытекает его выхождение за свои

границы и, следовательно, тоже возможность новых полаганий.
Точно так же, как в категории тождества и различия, оказывается
необходимым для конструкции акта полагания движение и покой.
Чтобы после первого акта положить

второй акт, нужно движение; тут

мало одного отвлеченного различия. Но даже и для первого полага¬
ния необходимо движение, так как одной отвлеченной значимости
акта полагания мало для того, чтобы этот акт реально осуществился.
Итак, необходимо движение, которое не есть ни различие, ни тож¬
дество, но совершенно особая,
—

к

покой. Число

другой,

специфическая категория.

Так же

и

требует не только ряда переходов от одной единицы
Представим себе,

но и остановок этого движения, покоя.

что все в числе движется. Это значило

одной устойчивой

бы,

точки и число совсем не

чего-нибудь определенного. Движение
число не может и

что в числе не было бы ни

представляло бы собою

и покой

—

это то, без чего

осуществиться. Относительно движения

диалектика также выдвигает

и покоя

ряд антиномий, абсолютно необходи¬

мых как в своих тезисах, так и в своих антитезисах.

Одно

покоится в себе. Это не

требует

пояснений. Раз одно на¬

ходится там, где оно находится, и акт полагания осуществляется там
именно, где он осуществляется, то ясно, что одно покоится в себе и
акт полагания покоится сам в себе. Но положенный акт есть нечто

94

§ 27. Формула
ограниченное, так

как положить

и потом он есть нечто целое.

понятия числа

значит

—

Целое

же

прежде

всего ограничить,

присутствует

не в

одной толь¬

ко своей части, но во всех своих частях, обнимает все свои части;
и, значит, чтобы

судить

блюдать, переходя
только покоится в

при помощи

о нем

себе,

частей, надо

его

Следовательно,

от части к части.

но и движется в себе. С

его на¬

акт полагания не

другой стороны, ясно,

что акт утверждается в том, что не есть он; для него нужно, как мы уже
много раз видели, инобытие, в
гание акта.

Итак,

ния также и

акт полагает

движется

покоится в ином; но

сфере которого

себя,

и

совершается

пола¬

покоится в ином. Но акт полага¬

в ином. В самом деле, акт находится в ином,

чтобы обойти все части этого акта, т. е. чтобы

взять акт как целое, надо двигаться

в ином.

Итак,

акт полагания дви¬

жется и покоится и в себе самом, и в ином.

Нетрудно

видеть и синтез,

мирение происходит,
категории

менно

эти антиномии.

как и для всех бытийных

становления.

новременно движется
есть нечто

примиряющий

в

То,

категорий,

что акт полагания покоится в

себе, примиряется

При¬

на почве

себе

и од¬

в том, что акт полагания

целое, ибо для целого как раз надо, чтобы оно одновре¬

и находилось в самом

себе,

и двигалось по

самому себе. То,

что полагание покоится в ином и одновременно движется в ином,

синтезируется
с внешней

стороны,

тождества и

зультате

также в то, что акт есть целое, но целое,
т. е. цельность

как синтез

различия, предполагают границу, появляющуюся

в

ре¬

полагания акта.

Таково диалектическое значение четырех
нами в

обозреваемое

границы. Оба синтеза,

§ 3 настоящей

категорий, указанных

главы.

$ 27. Формула понятия числа

Предыдущее

изложение, равно как и учение общей диалектики,

достаточно ясно показывает, что категории тождества и различия,
равно как и категории покоя и движения, являются самыми необхо¬
димыми категориями, сопровождающими

реальный

Полагание возможно только в

этих

и

без

них немыслимо.

окружении

акт полагания.

четырех категорий

Если нет акта полагания, то нет

и этих катего¬

рий, а как только возникает этот акт, так тут же одновременно вместе
с ним появляются и эти
полной

абсолютности

и

четыре категории, тождественные
различные

ности. Акт полагания вместе с этими

95

с ним до

с ним также до полной абсолют¬

категориями тождества, разли-

II.

Фундаментальный

анализ числа

покоя и движения и есть та

чия,

конструируется
можны без этих

Можно

к

суть тождество

ной взаимозаменимости. С
различие
и

различие
по

различны

смысла, где

понятие)

зарождается

конструкция

и

невоз¬

категорий.

прибегнуть

и

сфера

как чистое

число. Смысл числа, смысловая

удобства формулы общего
мы видим,

(число

тому

некоторому словоупотреблению
понятия числа.
и

различие

Тождество

ради

различие,

как

абсолют¬

в смысле полной и

зрения диалектики тождество есть

точки

есть тождество. А так как они,

же

и

кроме того, еще
то можно

абсолютному закону диалектики,

эти две категории объединить в одну, наименовавши ее самотождественным различием или саморазличным тождеством. Точно так
же и диалектическое движение совершенно тождественно с покоем,
а покой

—

с движением. И

горию подвижным
эти

назвать эту

потому удобно

общую

кате¬

покоем или покойным движением. Вместе же все

четыре категории

можно назвать

мотождественного различия

или

сразу подвижным

покоем са¬

самотождественным различием

подвижного покоя. Вместе с полаганием, с актом полагания общая
смысловая сфера числа может быть, следовательно, охарактеризова¬
на как акт подвижного покоя самотождественного различия.
стало

тут,

быть,

имеется в виду мысленный акт полагания

как мы знаем, от

содержания того,

тость этого акта четырьмя

что

Тут,

(независимый

полагается)

и

проникну-

категориями, проникнутость до послед¬

него основания, так что они-то и есть его подлинное значение.

Пользуясь

этими

рассуждениями,

мулу числа, выведенную

нами.

можно

распространить фор¬

Эта формула гласит: число есть став¬

ший результат энергии самосозидания акта смыслового полагания.

Теперь, расшифровавши
дать

значение термина

«смысловой»,

такую, более пространную диалектическую формулу

Число есть ставший

результат энергии самосозидания

полагания подвижного покоя самотождественного

короче:

мы можем

числа.

число есть ставший

результат

акта

различия. Или

акта подвижного покоя са¬

мотождественного различия.

§ 28. Сущность числовой модификации общесмыслового эйдоса
Для лиц,

знакомых с

общей диалектикой, необходимо

формулы
первым ступеням всякого

отношение этой

числа к

к

четырем)

процесса. Мы

знаем из

трем (или, подробнее,

диалектического

общей диалектики эту триаду смысла, осуществленную
96

отметить

в

четвертом

§ 28. Сущность числовой модификации общесмыслового эйдоса
начале, так что в результате оказывается
да

—

четвертая, несущая

смысл.

Триада

различия

ложившая

себя

оформление
переход

следующая: 1) неразличимое единство

и

и

раздельного полагания; 2)

и тем

перешедшая

в

и

перво-

смысловое

этого смысла

становление

в алогическое изменение, в новое

отличие от

это единичность, по¬

бытие, получившая

эйдосом-, 3)

ставшее

дом моменте становления уже содержится

кого

приро¬

всякого полагания, абсолютная единичность, где нет ни¬

принцип
какого

эта

одна и единственная

себе предшествующий ей триадный

на

безразличие,
оформленный эйдос (в

неразличенности первого принципа, где еще

эйдоса). Как

и

где в каж¬

доказывается в общей диалектике, этот

нет ника¬

триадный

смысл, переходя в дальнейшее инобытие, уже осуществляется в виде

факта, субстанции, тела, что и является четвертым прин¬
ципом. Четвертый принцип есть факт, несущий на себе упомяну¬
тый триадный смысл и оформленный, осмысленный через него. В
ставшего

общей же диалектике еще выводится
все того же

и пятая

категория
и

самоутверждения (самоотрицания)

перехода

нейшее инобытие. А именно, эта четвертая природа,

рованной

и

в даль¬

будучи сформи¬

осмысленной вещью, может сама действовать как первое

начало, как второе и как третье, т. е. как единичная

конкретно-качественная форма вещи
вещи

на основе

—

субстанция,

и как смысловое становление

(или выражение энергии вещи). Под энергией

вой, конечно, энергией),

или

как

выражением вещи,

вещи

(смысло¬

мы понимаем тот же

внутренний смысл (эйдос), который выявлен вовне (через четвертое
начало), оставаясь чисто смысловой же конструкцией.
Все эти категории мы находим и в числе, не только в эйдосе или
в вещах,

несущих

на себе

эйдос. Число также требует для

себя перво-

единство, свой эйдос, свое становление, свое ставшее и свою выра¬
зительную энергию. Все эти моменты, однако,
одном отношении: они все относятся не к

есть смысловая качественная
ганиям

и качественность положены

самые акты полагания, самый

процесс

Первый

момент мы

перво-единым, потому

индивиду¬

для числа не важно. Важны

полагания. Эта числовая

дукция эйдоса коренным образом реформирует
моменты последовательно

но только к пола-

какая смысловая

—

в

цельному эйдосу, который

индивидуальность,

эйдоса (смысла). Какой эйдос,

альность

модифицированы

ре¬

все диалектические

нарастающего эйдоса.

уже

не

будем

именовать

сверхсущим,

что число хотя и относится,

97

в

или

сформиро¬

II.

Фундаментальный анализ числа (число как чистое понятие)

ванном виде, к

принцип

но

сущему,

заполненную никакой
в числе

представляет

качественностью

лучше именовать
что

супра-акт, подчеркивая этим,
процесс бытия,

как

лишь его

не

структуру. Поэтому перво-

перво-акт, перво-полагание,

число

есть

только

смысловой

а не само бытие и даже не смысловой процесс, а

только основные вехи этого

процесса. Также менее целесообразно

именовать числовой принцип перво-единым,
не только

формальную,

потому,

и

перво-единством,

что здесь возможны словесные

недоразумения,

способные заменить определение тавтологией. Перво-единством
не стоит именовать числовой

эйдоса, действительно,

перво-принцип потому,

важно всеми

ную единичность чувственного
есть

и

умного мира, поскольку

всего положенность, акт,

прежде

характер структуры,

случае

мерами подчеркнуть абсолют¬

уже раздельность, раздельная структура,

важна

что в

в то

время

сам

эйдос

как в числе

процессуально-акцентный

индивидуальная единичность.

а не полновесно

Поэтому правильно было употреблять такие выражения,

как

«супра¬

акт», «перво-акт», «перво-полагание».
Равным образом модифицируется

принцип
эйдос,

—

эйдос, сформированный

и

второй принцип. Второй

смысл.

Для

числа важен не весь

но только, опять-таки, его положенность, актность.

Поэтому

нецелесообразно употреблять здесь такие термины, как «бытие»,
щее», «эйдос» и пр. Тот эйдос,

который

«су¬

свойствен числу, эйдос числа,

или число как эйдос, является только смысловым актом, чистым по¬
лаганием, при исключении всякой качественности, эйдетической
тем

и

более вещественно-чувственной. Потому если говорить о един¬

стве, то здесь лучше подчеркивать момент
Число ведь

—

процесс,

и

порождающего

функции, объединяющие

единства.

этот процесс,

по неизбежности оказываются как бы подвижными, а

принимая

во

единичность перво-принципа, оказываются

абсолютную
функциями рождающими, породительными.
Далее, бытие и небытие в общей диалектике объединяются
внимание

становлении.

в

В случае числа акт полагания и акт отрицания также

объединяются в становление. Здесь этот термин из диалектики эй¬
доса можно оставить в этом же виде, так как становление по смыслу
своему близко к процессуальное™ вообще и, следовательно, к числу.

Термины

«ставшее» и

дого из этих

«энергия»,

за неимением

Нужно
принципов в сфере

оставить за числом.

только

хорошо

лучших, также

помнить

можно

функции

каж¬

числа. Если полагание, или система

98

§ 28. Сущность числовой модификации общесмыслового эйдоса
полаганий (эйдос числа), создает
становление,

первично двигая

ческим инобытием

ницами, что в

«количество» «единиц» в числе, то

этими единицами, заполняет алоги¬

(содержанием)

дальнейшем,

с

и

этими еди¬

промежутки между

применением категории ставшего, дает

возможность между двумя соседними числами
мыслить еще любое количество всяких

в

делений,

натуральном ряду
частичных в отно¬

целой единицы. Без возможности такого заполнения «проме¬

шении

натуральный
тройке только три единицы. Если невозможно эту трой¬

жутков» между отдельными

ряд. Пусть

в

ку разделить

или

единиц, то такая

числами немыслим и сам

умножить путем внедрения

тройка уже

не есть

тройка.

в нее

более

дробных

И если первичное по¬

лагание, переводящее супра-акт в реальное полагание, в оправе че¬
тырех

категорий

чисел как

смыслового бытия

систему целых полаганий,

конструирует натуральный ряд
то становление и ставшее

обе¬

спечивают собою существование между числами натурального ряда
и всяких

других делений

и

дроблений, без чего понятие числа еще не

является понятием именно числа.
При условии такого точного понимания терминов «становле¬
ние»

и «ставшее»

употребление их в применении

к

числу будет

впол¬

не безопасно.
Что

бразно

касается

термина «энергия»,

оставить в смысловой

то

и

его,

характеристике

термин этот хорош своей безличностью. Число
всякого

жалуй,

содержания

и

безлично;

и

пожалуй,

числа.
—

Прежде

пусто

термин «энергия»

к

даже больше применим, чем к понятию эйдоса.

сих пор мы

всего,

в смысле

числу,

по¬

Во-вторых

же, термин этот хорош для восполнения характеристики

перво-принципа. До

целесоо¬

функции

охарактеризовали числовой перво-

принцип как супра-акт, как перво-полагание. Можно, конечно, вне¬
сти перво-принцип
и в этом виде, если

формулы

в

формулу

числа именно в этом виде. Но даже

преследовать цели

возможно большей ясности

числа, перво-принцип не вполне ясен. Конечно, такая тер¬

минология введена нами после соответствующего анализа и разъ¬
яснений и потому претендует на полную ясность. Но в целях чисто
внешних, в целях ясности

формулы числа вполне целесообразно или

более

подробное выражение, или даже разъяснение. Дело в том, что
первый принцип, объединяющий собой все раздельное и нераздель¬
ное,

не имеет над собой никакого

исходил, а, наоборот, порождает

другого начала, откуда бы

и сам

99

себя,

и все иное.

он

про¬

Эту функцию

II.

Фундаментальный

самосозидания

мы

Но

как

не

употреблять
в

рить

ее и в

(число

как чистое

характеристике перво-принципа.

формуле? Сделать

приставкой «перво-»

слов с

это можно так. Можно
или

числа,

просто

о том, что

«перво-акт» переходит путем

полагания в

акт», а просто ограничиться введением термина «акт» или

первичность перво-акта
но и на его

невыраженной

вместе с моментом порождающих

распространяя последнее

таковой,

а

«сверх-»,

«акт полагания». Далее, остающуюся в таком случае

в нем,

понятие)

«акте» «полаганий» или «акте полагания», т. с. не гово¬

формуле

«реальный

в

подчеркивали

подчеркнуть

говорить об

анализ числа

действие

не только на

во всех

в становлении, в ставшем и в

функций

перво-принцип как

прочих категориях (в эйдосе

выразительных формах),

мы и

обозначим словом «энергия». В диалектических системах классиче¬
ской

философии энергия

эманация,

собою себя

и понимается как

наиболее насыщенная

которой перво-единое действует, порождая

в

и все

прочее. При

таком понимании

и созидая

выражения «энер¬

гия», «самосозидающаяся энергия», «энергия самосозидания»

числа и в конце

предыдущего параграфа.

Можно сделать еще
скими

явля¬

целесообразными. Так мы и поступили в своей формуле

ются вполне

замечание для лиц, знакомых с диалектиче¬

формулами числа, которые автор давал в других своих сочине¬

ниях. Раньше, в условиях иного научного контекста и иных заданий,
автор находил

целесообразным определять

число как

единичность

подвижного покоя самотождественногоразличия, данную как под¬
вижной покой. Это определение
в большинстве

что

имело там больший смысл

случаев предметом исследования

потому,

являлось

не

само число во всех своих диалектических деталях, но число в от¬
личие от

эйдоса

и топоса.

Поэтому

в целях возможно

более резкого

противопоставления этих категорий с подчеркиванием
мя зависимости этого

смысловой

эйдос
топос

чие,

—

—

противопоставления

вре¬

сферы как таковой в прежних сочинениях и определялся
упомянутой единичности, данной как единичность,

в виде

в виде единичности,

и число

—

[в виде]

данной

как самотождественное

разли¬

единичности, данной как подвижной покой.

Здесь у нас другие цели и другие интересы, и потому
кое-что изменить в этой терминологии

щества

в то же

от внутренних свойств

целесообразно

(не затрагивая,

конечно, су¬

дела).

Прежде
ности в

всего о том, что лучше избегать

упоминания

о единич¬

определении числа, уже говорилось. Далее, добавка
100

в

старых

§ 29. Отграничение

понятия числа

сверху

определениях «данная как подвижной покой» в настоящих услови¬
ях звучит довольно отвлеченно.
о ставшем, ни о

Тут не сказано ни о становлении, ни
выразительной энергии, а только сказано вообще

характере числа, причем

о подвижном

отвлеченному эйдосу

взяты

эйдетические категории,
ка для наших
менить

такие

же

в

как движение и покой. Такая

целей, конечно, очень отвлеченна,

чем-нибудь

к

применении

более конкретным, что

и ее

от такой замены. Она все также

необходимо за¬

мы и сделали.

не меняется

и целым

эйдосом

как с

—

по своей

оформленности,

перво-принципом

него,

так и с

эйдосом

—

—

но в то же

по абсолютной

в

той про¬

(эйдосом), которая

тождественна с перво-принципом по своим единящим
с

первично¬

продолжает существовать

межуточной сфере между первоединым

и

характеристи¬

существе конструкция числа, однако, нисколько

В

чистому

и

отвлеченные

функциям
и

время

и

различна

неразличенности послед¬

ввиду смысловой содержательности (а

не

последнего. В общей диалектике доказывается, что

формальности)

к любой категории могут и должны быть применены все другие ка¬
тегории. Основная линия первых

категорий

нами признается, может быть представлена
новление, ставшее,

выражение. В каждой

быть представлены все они.
одно,

Другими

в

той системе, которая

в виде: одно,

из этих

эйдос,

категорий

ста¬

должны

словами: в одном должно быть

эйдос, становление, ставшее, выражение;

в

эйдосе

дос, становление, ставшее, выражение; в становлении

—

—

одно, эй¬

одно, эйдос,

становление, ставшее, выражение и т. д. Так вот, категория одно¬
го

(перво-принцип), которая сконструирована

только голого

принципа одного,

«это», становления, ставшего
и есть число.

и

Разумеется,

с точки

зрения

не

зрения одного, эйдоса

выражения (энергии),

Отсюда становится

системе диалектических

но и с точки

эта

категория

понятным положение числа во всей

категорий.

для понимания всех этих

рассуждений необходимо

владение основами общей диалектики. Излагать все это здесь и вы¬
яснять в подробностях каждую категорию было бы, конечно, неце¬
лесообразно. Нуждающихся в получении этих разъяснений необхо¬
димо отослать к курсу

общей диалектики.

§ 29. Отграничение понятия числа сверху
Мы начали наше исследование с

них логических

структур. Но

отграничения

числа от сосед¬

там мы это делали чисто описательно

101

II.

Фундаментальный

анализ числа

предварительно, для

и только

пройдя диалектический путь,

очистки

системе

Прежде всего,

прочнее закрепить

возникает вопрос: что есть

—

категория

ношении к

Раньше

следующая

она

числу

от¬

место числа в

вообще раньше

числа

этому находится число? Далее,

за числом, и в каком ближайшем от¬

находится?

числа есть только голое полагание. Число есть опреде¬

образом сформированное

ленным

отграничениям

вообще.

и если есть, то в каком отношении к

какая

пути исследования. Теперь же,

мы можем и к этим

нестись диалектически и тем еще

диалектической

(число как чистое понятие)

полагание.

Ему предшествует

полагание, которое никак не

оформлено, чистое полагание,
которое
берется вне того категори¬
ального оформления, которым является число. Мы будем вполне

простое

хотя и есть полагание, но пока

правы,

если это до-числовое,

бытием. Разные системы диалектики

вем

разному;
ля

до-категориальное оформление

и самое название

тут,

диалектический процесс

имеющего у него

называют этот момент по-

как и везде, конечно,

начинается с

назо¬

первого

условно. У Геге¬

полагания

бытия,

название качества. Это качество переходит, далее,

в количество и синтезируется с качеством в

меру. Все три категории

вместе называются у Гегеля бытием.
Такая
вильна

терминология

не вполне

здесь сама диалектическая

ством самое

удобна,

хотя и

система.

Гегель

безусловно пра¬
называет каче¬

первое, никак не оформленное бытие. Слово «качество»,

по основному чувству языка, скорее предполагает вещь, которая
имеет качество,

т. е. качество есть всегда качество

чего-нибудь. Пер¬

воначальное же бытие пока еще ничего не предполагает и ни к чему
не относится. Его лучше называть не качеством, а бытием просто. С

другой стороны,

«количество», по нашему чувству языка, опять-таки

чего-нибудь-, и в отношении такой
первоначальной категории лучше употребить термин, указывающий
всегда есть скорее количество

на

самостоятельную значимость данной структуры,

ется «число».
называть

Наконец, то,

что Гегель называет

каковым и явля¬

мерой, гораздо

яснее

размеренностью или размеренным, исчисленным бытием.

У неоплатоников

диалектический момент, предшествующий числу,

называется Одним. Во многих отношениях этот термин весьма

бен,

но в

применении

удо¬

к математике опасен тавтологическими ассо¬

циациями.

Так

или иначе, но

числу только

102

и

предшествует одно,

это

бытие,

§ 29. Отграничение

оформленное,

никак не

только
нюю

пустое

никак не исчисленное.

полагание

ко такое

Именно, оказывается,

рисует верх¬
что

числу

не

Числу предшествует толь¬

собой ровно никаких категорий,

не несет с

оформления. Число и есть принцип всякого различе¬

ния и разделения.

Ему

другой

ничего логического не

первый принцип

что само число и есть

личалась от

Числу предшествует

чистое бытие. Это вполне

ничего логического.

бытие, которое

ровно никакого

—

числа.

границу категории

предшествует ровно

понятия числа сверху

вещи и вообще от

предшествует, потому

логического. Чтобы вещь от¬

чего-нибудь

иного, уже необ¬

ходимо действие чисел «одного» и «двух», ибо всякая такая вещь есть
некая одна вещь и отличается она именно от другой вещи. Числовые

функции,

следовательно, предшествуют всяким иным логическим

функциям.

Не имея понятия числа, мы вообще бы не могли отличать

одну вещь от

другой,

личимый туман
логическое

и

Поэтому

нераз¬

только до¬

оформленное и не различенное бытие.
будет ошибкой, если мы скажем, не гоняясь за аб¬
терминологии (последняя

что число и есть

зать, что число есть

не

в один

никак не

солютной точностью

условна),

бы для нас

алогическую тьму. Числу предшествует

бытие,
не

и все вещи слились

бытие

принцип различения
ошибкой сказать

будет, повторяем,

и

тому

же всегда

нужно

оформления

бытие

него только то, к

мыслью и что выше и

ска¬

бытия. Но

и то, что число и есть

Глубже

самое. Это основание всякого бытия.

уже нельзя прикоснуться

к

самое. Вполне точно

глубже самой

чему

мысли,

самого смысла.
Итак, бытие
число
но

—

—

чистая, голая положенность, утвержденность;

осмысленная,

оформленная

оформленная

внутренно-раздельный

положенность, категориаль¬

логически-систематический

положенность,

акт полагания; соединение того и

чистого бытия и чистого числа,

исчисленное

—

бытие,

Все это

—

и то, и

другое,

и

третье

—

с полным

правом

другого,

или

ственно осуществленное число (то, что Гегель называет

и

бытий-

«мерой»).

можно назвать

бытием, самой первой, самой основной, самой необходимой ка¬
тегорией всякой возможной мыслимости вообще и всякого друго¬
го бытия

вообще. В недрах

центральной категорией;

глубочайшей

стихии

этого бытия число, как видим, является

оно

тут

—

бытия, которая

как бы смысл той
по

последней

мысленна, сверх-смысленна, до-бытийственна. Вообще
ке мы

конструируем основную триаду
103

—

и

самому существу своему дов диалекти¬

бытие, смысл, осмысленное

II.

Фундаментальный

бытие. Но

анализ числа

в каждом из членов

(число

как чистое

понятие)

этой триады можно провести всю эту

же триаду еще раз, с целью более детального логического анализа.
В бытии есть, таким

образом,

свое

бытие, свой

смысл и свое осмыс¬

до-структурная, до-

ленное бытие. Так вот: бытие бытия есть чистая,

категориальная, сверх-бытийственная положенность;
есть число

бытия);

(т.

е. смысл чистого,

и осмысленное

тия есть исчисленное

первоначального,

бытие этого чистого

и

смысл бытия

самого

первого

первоначального бы¬

бытие, исчисленность, измеренность

—

в этом

оформленность.
Этим можно охарактеризовать то, что предшествует числу.

смысле

но сказать, что

числу

не

предшествует

ни одна

категория,

Мож¬

так как

бытие, перво-единое, сверх-бытийственное бытие, предшествую¬
щее числу, собственно говоря, ни в каком случае не может считаться

категорией. Категория есть нечто прежде всего логическое. Первобытие, супра-акт не есть что-нибудь логическое. Логическое есть
всегда

раздельное,

логическим,
лу не

а

нераздельное

не может

предшествует

и

быть, значит,

неразличенное не может быть
и

категориальным. Но раз

ничто категориальное, то число есть

своей категориальности, самой различенное™,

чис¬

принцип

самого логического.

Числу предшествует только до-логическое, сверх-смысловое, сверхбытийственное, абсолютаая неразличенность.

§ 30. Отграничение

понятия числа снизу

Теперь охарактеризуем нижний диалектический предел

понятая

числа. Что следует непосредственно за числом и какое отношение
существует между ним и числом? Конечно, имеется в виду не «исчис¬
ленное бытие», которое непосредственно следует за чистым числом,
но то, что следует вообще за «бытием», как оно конструируется всеми
этими тремя ступенями

(перво-начало, число, исчисленность).
Далее следует категория, которая должна по общему правилу ди¬

алектики противостоять так понимаемому бытию.
Бытие в трех рассмотренных видах понимается как бытие пола¬
ганий, как бытие только актов, т. е. внутренно не заполненное, пу¬
стое бытие. Здесь неизвестно, чего же это акты, что тут именно пола¬
гается. Если мы переходим к его антитезе, то у нас должна появиться
внутренно наполненная категория, такое

нодушно
точки

к

бытие, которое уже нерав¬

своему собственному содержанию,

зрения

своего

но взятое именно с

внутреннего содержания. Такое бытие
104

назовем

§ 30. Отграничение
сущностью. Можно

смыслом, или

следним понимать не

значении этот

внутренно

понятия числа снизу

просто

назвать его и

тоже может

термин

употребляться),

осмысленное. Если бытием

такая

которых еще

характеристика,

сится),

то

сущностью,

предназначенность
есть та идея,

графита (из

к

к

чему,

какому

диалектически
смыслом

определенного орудия

а именно

снизу

числу,

определенности

и

и

и

которая впер¬

карандашом. Таким образом,
или

сущностью,

есть диалектическая

противо¬

противоположность равнодушной к себе
внутренно наполненной и осмысленной, содер¬
как

жательной определенности.
Тем более резко отличие числа

субъективного.

письма. Это

не осмысленный ма¬

ограничено эйдосом,

число

она отно¬

считать его

материал дерева

карандаш)

себе пока еще

категорией, которая

положность

предмету

вложена в бытийственный

вые только и делает этот сам по

—

именно

чего бытийственно состоит

—

приве¬

материальных* харак¬

карандаша необходимо

смыслом

териал осмысленной вещью,

по

не известно, чего именно оказывается

в качестве

которая

(в

под по¬

каковом

но именно как

карандаша нужно,

денной схематике, считать совокупность его

теристик (при

эйдосом, если

плоское «численное бытие»

Уже

в

от бытия объективного и бытия

предварительных

замечаниях это

чение имело вполне очевидное значение, так как и

отграни¬

без всяких до¬

казательств ясно, что число совершенно одинаково относится как
ко

всякому объекту,

во всем

так и ко

всякому субъекту. Оно

производит различение

ких свойств относящихся сюда

сто

простого описания

формулировать
субъективному.
Бытие, как мы его описали
предполагает субъект,

оно

ничего не

предполагает

*

и для

на позицию
не только

объективному

субъекта.

антитезу,

субъективна,

В

но и

и

объект, ибо объ¬

совершенно самостоятельно

в смысле

как свою

ни от ка¬

ставши вме¬

объяснительно,

вначале, не есть еще

ее только что описали, тоже не

ность;

отграничения

отношение к бытию

а то бытие

предполагает сущность

му бытию. И

предметов. Но теперь,

и четко

можем

описательно,

ровно

разделение, независимо

и описательного

чистой диалектики, мы

ект

и

все счисляет и

и

крайнем случае

сущность,

как мы

но относится ко всяко¬

субъект,

и

объект одинаково имеют каждый свою сущ¬

суждения

о

сущности

В рукописи: математических

как таковой нет ровно никакой не¬

(ред.).
105

II.

Фундаментальный

обходимости заговаривать о
ни

не есть ни

«сущность»

сущность,
же

время

просто

ностью
же

и

понятие)

субъекте или объекте. Итак, ни «бытие»,
ни субъект. Объект и субъект впер¬
бытия

сущности. Когда

и

этот каран¬

неосмысленное бытие и не просто отвлеченная

но именно

карандаш

как

реально-бытийственная

и в то

вещь? Тогда, очевидно, когда объединены

осмысленная

слиты воедино и

как чистое

объект,

вые возникают из соединения

даш есть не

(число

анализ числа

бытие,

и

сущность дана

сущность, когда бытие дано

в своем

со своей

и

сущ¬

реальном осуществлении. Но тогда

субъект, ибо последний также предполагает объеди¬
сущности. В чем же разница?

и

получается

нение бытия и

Дело в том, что всякий диалектический синтез может (и должен)
рассматриваться не только вообще, как таковой, но и

в свете своих

антитетических элементов, т. е. в свете тезиса и в свете антитези¬
са.

Возьмем объединение бытия

синтез,
И

т. е. как

будем

это

наша

и

бытие),

диалектический

как некую цельную вещь.

вновь как бытие. Бытие есть акт пола¬

и есть

объект. Объект, следовательно, есть

сущности, положенное

стороны, тождество бытия
не как

как

бытийственная сущность окажется положен¬

ной, утвержденной. Это
тождество бытия

(а

сущности

неразличимое тождество,

рассматривать

Значит,

гания.

и

и

сущности,

как

бытие. С другой

положенное как

дает то, что обычно называется

сущность

субъектом,

так

как здесь дано бытие не в своей чистой положенности, но в сво¬
ей осмысленности, которую, однако, несет на себе

определенная

вещь.
Дия нефилософов более
ски менее понятное

будет следующее, философ¬

рассуждение. Пусть

ку, которая лежит у меня
в этом положении я

понятным

в комнате на

субъект,

—

а

я

сейчас смотрю на скрип¬

фортепиано. Грубо рассуждая,

скрипка

—

объект. Но почему же

это так? Что нужно для того, чтобы скрипка была объектом? Самое
слово «объект», по-русски точно переводимое как «предмет», ука¬
зывает на то, что скрипка находится
моим

взором,

кто-то

«метнул»

ее

перед

передо мною, брошена
моими глазами,

—

перед

оттого она

пред-мет. Следовательно, есть скрипка сама по себе и есть момент
«предброшенности» вещи перед моими глазами. Это вполне аб¬
страктные моменты, но они совершенно различны. Скрипка может
и не находиться передо мною, а предброшенным может явиться и
и

другой предмет,
личны

не только

между собою,

в

скрипка. Однако,

данной скрипке
106

как эти моменты ни раз¬

они даны абсолютно

нераз¬

§ 30. Отграничение
рывно. И поэтому
делать ее

ку

как

еще раз

рассказать, чтб такое скрипка вообще,

можно

пред-метом,

предмет, мы,

понятия числа снизу

а можно и делать.

стало

быть,

понимаем ее как бытие. Она

бытие, поскольку

мы

Когда

ее «полагаем»,

представляем

уже
ее

мы понимаем

скрип¬

«утверждаем» еще раз,

без того содержит

и

сначала мысленно

—

и не

в

себе

—

как

материальную осуществленность некоей отвлеченной идеи. Но эту
бытийственную (материальную) осуществленность надо еще раз

утвердить
глазами.

—

Тогда

на этот

раз уже

вообще,

не

а вот здесь,

просто вещью

она станет не

или

перед

бытием,

нашими

но и объек¬

том, объектным бытием.

Точно также обстоит дело
няет

в

себе бытие, или

субъектом. Покамест вещь объеди¬
бытийственную положенность, вместе с тем
и с

или другим отвлеченным смыслом, или идеей, до тех пор еще нет
никакого
эта

субъекта,

так как ведь и все вещи таковы. Но надо, чтобы

объединенность идеи

и

бытия еще раз воплотилась, но на этот

раз так, чтобы здесь уже не было ничего вещественного, а чтобы эта
объединенность осуществлялась

в

сфере

идеи, смысла. Тогда мы по¬

лучим смысл, но уже не отвлеченный, не сам по себе данный, но со¬

держащий

в

себе

единяя бытие

и всю свою соотнесенность с

бытием. Раньше, объ¬

и его смысл в нечто целое, мы сами соотносили эти

теперь это

категории,

а

категорий,

а именно

—

соотношение

продуцируется одной

смыслом, идеей.

Получается

из этих

смысл, сам само¬

стоятельно соотносящий себя с бытием, которое его окружает. Это
и есть принцип сознания или

Итак,
как

субъекта.

тождество бытия и сущности

бытие,

есть

объект,

как сущность, есть

(смысла, идеи),

положенное

тождество бытия и сущности, положенное

субъект.

Возможно

и такое тождество

бытия и

сущности, которое положено не как бытие и не как сущность, но
именно как тождество бытия и сущности.
чайно важная категория,
ект и

субъект,

—

синтезирующая

возникает чрезвы¬

объ¬

то, что нужно назвать личностью. Личность ведь и

есть то, что сразу и одновременно является и

(Гегель,

Тут

и отождествляющая

с нашей точки

зрения,

не вполне

объектом,

и

субъектом

удачно называет эту кате¬

горию Абсолютной Идеей). Еще дальнейшая диалектика привела бы
нас к

природе

бытию,

—

становящемуся

а потом и к

эволютивно

обществу, которое,

данному личностному

несомненно, есть диалекти¬

ческий синтез личности и природы, поскольку личность здесь дана
природно-внелично (и даже часто
107

безлично),

а

природа дана

как

II.

Фундаментальный

анализ числа

живое человеческое сознание

общая диалектика,

Возвращаясь
ними

к

категорий

следует обратиться всем,

и

категориям субъекта

категорию числа, мы,

не

говоря уже

вполне осязательно замечаем все
лом и этими
сказать,

уже

объекта

и

о

и

сравнивая

с

дальнейших категориях,

различие, залегающее между

категориями. В то время как число

чис¬

плоскостно и, можно

неглубинно, категории субъекта и объекта (о дальнейшем
говорим) по крайней мере четырехмерны. Субъект и объ¬
1) бытие, носящее на себе 2) сущность, 3) вступающее с нею

не

ект суть

в тождество и
ния

животности до высшего

т. д. Анализом всех этих

которой

к

понятие)

они неясны.

кому

мы

как чистое

(от смутной

разумного проявления гения). И
занимается

(число

4) рассмотренное, сконструированное

бытия (в случае

Разумеется,

«объекта»)

взятое само по

рельеф, перспективу
конструкции

или

себе,

и даже

с точки

число имеет в себе и

глубинность,

выразительные формы. Однако

относятся к числу как к таковому и ничего не

положении числа

среди

всех

других категорий. В

вполне плоскостно и не таит в себе никакого

дело с «объектом» и

зре¬

сущности (в случае «субъекта»).

«субъектом». Здесь

все эти

говорят о

этом смысле число

рельефа. Совсем другое

сама категория многочлен

-

на, многомерна, перспективна. И указанная комбинация
из

которых

состоят «объект» и

ет смысл этой

«субъект»,

категорий,
обнаружива¬

перспективы. Этим исчерпывается диалектическое

взаимоотношение числа с категориями

независимость числа от бытия

время

вполне ясно

как само число

субъекта

субъективного

объекта. Тут ясна

объективного,

и

продолжает участвовать

и

в

ном и объективном теми актами полагания, из

бытии

в то

субъектив¬

которых

оно само

«состоит».

Еще дальше

от числа отстоят

выразительные формы, представ¬

ляющие собою дальнейшую диалектическую эволюцию
и

субъект-объектных категорий.
Бытие, Сущность (Эйдос), Субъект,

Выражение (Энергия)

—

смысловых

Объект (усложнение эйдоса),

основные большие этапы

общего диалек¬

тического процесса. В каждом из них, как сказано, заключены более
мелкие, т. е. эти же самые категории с колоритом в зависимости от
местного положения. Число

разделения,
стема

т. е.

—

исток и начало всякого

различения

принцип самой категориальности. Поэтому

категорий порождается

стихия появления и движения

и

держится

категорий,
108

числом. Число

—

и

вся си¬

главная

так как всякая новая кате-

§31. Итог фундаментального анализа
гория есть прежде

всего нечто положенное и нечто отличенное от

предыдущей категории, г е.
§ 31.

Итог

нечто

прежде

всего числовое.

фундаментального анализа

В заключение этой главы, подводя итог всему исследованию
сущности числа,
в

в

особенности принимая

предыдущих двух параграфах (§ 29—30),

во внимание сказанное

можно дать

следующую

резюмирующую схему.
I. а) Определение
да, когда он четко

всякого

всякого определения есть
тие, от

которого

что 3) между

1)

он сам и

бы

определяемый предмет,
также и к инобытию

со своей границей

фону,

потому,

и к

самому предмету (в противном

ограничен и, следовательно, отсутствовал

он не был бы никак

му

свое инобы¬

инобытием проведена граница. Граница со¬

случае

граница

2) предполагает

он четко отличается. Возможно это только

ним и его

вершенно одинаково относится

как

мысли возможно только тог¬

предмета

отграничен от всего иного. Это значит, что предмет

как

и относится эта

предмет мысли),

предмета (в противном случае предмет

не имел бы никакого отношения к

инобытийно¬

инобытие его не окружало бы, т. е. он от него не отличался

бы и, следовательно, опять отсутствовал бы как определяемый пред¬
мет, как предмет мысли).

Ь) Отсюда

—

неизбежность

и

абсолютная логическая необхо¬

димость основной диалектической триады: бытие, утверждение
(тезис), инобытие, отрицание (антитезис), определенное, ограни¬
ченное бытие, отрицание отрицания (синтез). Это
ная и самая

Или

эта

триада осуществлена

или она не

—

самая основ¬

элементарная форма всякого определения предмета.

осуществлена, тогда

в

мысли, тогда

есть

и

сама

мысль;

нет и самой мысли о данном

пред¬

в

зави¬

мете.

с) Эту основную триаду
симости

от

желаемой

подвергнуть такому
тем

продолжить

и

же

позволительно

степени

точности

расширять

определения.

определению последний

детализировать

всю

—

член

с любым

количеством

триады

и

систему определений. Тогда

может получиться тетрактида, пентада, гексада, гебдомада

определение

Можно

категорий.

и

вообще

Если осуществить

только одну новую триаду над синтезом первой триады,то мы получим

примерно такую триаду:
бытие,

определенное

или становление, и синтез того и

109

бытие,

другого

неопределенное
—

определение

в

II.

Фундаментальный анализ числа (число как чистое понятие)

пределах самого становления,

или ставшее бытие

Так первая триада превращается

субстанции).

в

(бытие факта, тела,

пентаду.

целесообразно
ограничиться введением только одной новой категории.
Целесообразно не погружать всю пентаду в поток нового инобытия,
d) Можно,

но ввести
свете

как сказано, идти и еще дальше, но

такую категорию, которая

дальнейших

предстает

ставшее

в

судеб, без реального перевода в
(факт) получает новое определение,

в свете нового становления, но

уже не переходящего

реальное распадение и, следовательно, факта
таким

превращающего,

рисовала пентаду

инобытийных

и

инобытие. Тогда

это

только бы

образом,

всю

чисто

в

смыслового,

предыдущую

пентаду

в

некую индивидуально-смысловую текучую сущность. Эта степень
детализации
логического

может

вполне

удовлетворить первые потребности

определения.

е) Наконец, чтобы
диалектическую

внести последнюю ясность в

гексаду,

необходимо

точно

первых двух категорий. «Бытие»,

значение

конструируемую

знать

если

его

логическое

понимать

в

абсолютном виде, т. е. вне всякого инобытия и, следовательно, вне
всякого

определения,

называют бытием,

то это бытие

и выше всякого

будет уже выше того, что обычно
инобытия; оно будет тем, в чем

совпадает бытие с инобытием, та абсолютная и еще не развернутая
точка, в

которой

ничто не

полное совпадение всяких

различимо

ни

от чего

и

которая есть

противоположностей.

Если так понимать «бытие» (а чистота диалектической теории
только так

требует), тогда лучше его именовать не «бытием», а
каким-нибудь термином, указывающим на возвышение его над вся¬
ким оформлением, напр., «сверх-бытие», «перво-начало», «первопринцип», «первоединое» и пр., а последующее за так понимаемым
и

бытием инобытие именовать не

здесь
или
же

лежит начало всякого

именовать его

сущностным, смысловым, внутри-смысловым инобытием

просто бытием,

ченное бытие

—

или смыслом.

окажется

как бы чем-то мысленно
Можно назвать это
во

просто инобытием, но, поскольку

оформляемого бытия,

указывает

как

на

и

так как

или

ограни¬

оформленным смыслом,

сформированным,

эйдосом,

раз

Тогда третья категория

ограниченным

—

мысленно

видимым.

соответствующее греческое

сло¬

сформированный, оптически определенный

смысл; и, кроме того, тогда можно объединить эту третью категорию
с

первой

в

одну

общую категорию смысла.
ПО

§ 31.

Итог

фундаментального анализа

f) Следовательно, вся диалектическая система примет тогда такой
вид пентады (термины здесь, конечно,

все

условные

и

их

можно

другими):
Перво-начало (перво-принцип смысла).
II. Смысл (эйдос, самый смысл, или смысловая сущность).

заменить

I.

III. Становление

(смысла).
IV. Ставшее (ставший смысл, факт и событие смысла).
V. Выражение (понимаемый смысл, энергийно-выразительная
форма смысла).
II. а) Если ограничиться этой диалектической пентадой, то даль¬
нейшая

диалектики может продвигаться уже в области

разработка

каждой из этих пяти

Ь) Каждая
гории,

и

категорий.
категорий повторяет

из этих

проведение

их в

пределах каждой

следующей, более высокой

в

себе все

из пяти и

и детально

эти же кате¬

конструирует

разработанной

пентаду

на

ступени.

Такая детализация не везде нужна. Иной раз полезно огра¬

ничиться

в той или

основной

триады.

другой

из пяти

с) Проведя триаду, напр.,

категорий проведением

области второй категории, смысла,

в

получаем: 1) субъект, 2) объект, 3) личность,

мы

только

а

конструируя

триаду при помощи категории личности, получаем: 1) личность,
2) природа, 3) общество. Можно
конструированием

за

пределы

1) сущее (чистая

оптическая

материальный)

момент

сформированная

и не выходить с таким

и

смысловая

чистого

эйдоса

—

триадическим

тогда получим:

форма), 2) гилетический (сущностно¬
3) самый эйдос как осмысленно
материя,

или смысловая

фигурность

и

т. д. и т. д.

d) Проведение триадического (или пентадического) конструи¬
в сфере перво-принципа создает числовую область.
III. а) Перво-принцип есть, как сказано выше, не бытие в его

рования

осмысленности и

всякого
ния.

оформлении,

но самое

бытие, бытие, превысшее

противоположения и, следовательно,

всякого

оформле¬

Покамест не проведена диалектическая детализация перво-

принципа, он остается только

фактом

чистого, чистейшего бытия,

т. е. любого, всякого, какого бы то ни было бытия

оформленного,
и
бы¬
становления
инобытия,
небытия,
пр. и пр.,
неоформленного,
—

—

тия в самом последнем своем основании,

общего бытия.
111

перво-бытия,

абсолютно

II.

Фундаментальный

(число

анализ числа

Ь) Введение различенности

в это

чистейшее и абсолютно-общее

бытие без перехода в смысловую, специально

превращает перво-принцип

в

понятие)

как чистое

эйдетическую сферу

различенное, раздельное принципии-

рование, вто, что не есть сама различенность (это было бы переходом

сферу эйдоса и, следовательно, понятия), но принцип самого
различения, или число. Число, помещаясь в сфере перво-принципа,
в

уже

есть

—

всякого

перво-принцип

бытия,

прежде всего эйдоса; но,

и

щаясь в ней как различенное, оно оказывается не

ще

всякого

бытия,

но специально

бытия, перво-принципом
только как
есть

самого

различные (тогда

принцип

их

с) Различие

различия
и

принципом вооб¬

перво-принципом различенного

различения. Ибо вещи существуют

они и

и их

поме¬

суть различенные вещи),

и число

различенности.
есть

различенность

результат положенности,

утвержденности. Перво-принцип, вообще говоря, есть акт полагания.

Потому он и перво-принцип смысла, что смысл, прежде чем он будет
смыслом, должен просто как-то быть, т. е. быть положенным, и это
бытие,

первейший

и

чистейший, абсолютно чистый

смысла, и есть

перво-принцип

все

чем значить, и все

—

прежде

оно

уже

есть

смысл.

Как смысловая

смысла.

Полагается, действительно,

сначала

—

Перво-принцип

акт полагания

есть

просто есть,

чистое

(эйдетическая) сфера различна

в

бытие

потом

смысла.

себе по смыслу,

так перво-принцип и, следовательно, число неразличны в себе по
смыслу, равнодушны

к

собственному

смысловому содержанию. Но

перво-принцип не различен никак вообще,

различенность
еще

по

смысловая,

бытию,

есть

число же в нем есть

по актам полагания. Это не есть

эйдетическая, понятийная различенность,

различенность содержания,

бытию,

т. е.

но это вполне есть

по актам полагания этого

первейшей, первоначальнейшей

различенность

содержания. Потому-то

принцип самой различенности,

т. е.

его

первого

т.

е.

по

число и

полагания смысла,

утвержденности,

акт

первого

счета того, что дано и мыслится.

фоне общего перво-принципа, как на
фоне абсолютной неразличенности и абсолютного совпадения всех
и всяких, всяческих противоположностей,
выделяется в виде пер¬
Итак,

число выделяется на

—

вичного акта полагания смысла, первичного акта смыслового по¬
лагания.

d) Проводя пентаду
сферы,

мы

в

области намеченной только что числовой

получаем:
112

§ 31.

Итог

фундаментального анализа

I. Чистый акт полагания (акт сам по себе, совпадение противопо¬
ложностей в

сфере актов полагания).

II. Едино-раздельный
III.

Становящийся

акт полагания.

акт полагания.

IV. Ставший акт полагания.

Выразительный
е) Относительно

V.

в

начале

есть

этой

акт полагания.

схемы,

что

смысловые
все

акты

построения обобщаются
в

полагания

обобщаются

в один

решительно

во

в

в

ради

как

все

необходимости

акт полагания, абсолютно

раздельных актах,

что

не

полагания, так

акте своего

какие

совсем

только

том,

силу чистой логической

общий

всех

это

фикция, формулированная

отвлеченной архитектоники категорий. Дело

нами

введенного

полагания,

необходимо заметить,

логическая

пустая

акта

чистого

одинаковый

только

возможны.

Кроме того, опасность субъективизма заставляет трактовать число не
как

только человеческим

построенное

самого

бытия,

и

потому

в

числе

субъектом,

должен

но как выявление

быть самостоятельный

субъект всех видов числового функционирования. Этот
чисто числовой субъект и должен сам от себя конструировать все
детали и все судьбы своего развития и жизни. И потому в числе
носитель

логически

и

и

необходима

эта

самосозидания. Чистый

категория

числового

акт полагания нами и

как самосозидающееся полагание, как

счет, напр.,

считаем

ществуют числа;

а

рубли,

трактуется поэтому

самодвижный

И это есть не больше как описание самой

вседневной действительности

перво-творчества

всякого счета.

обыденной, самой
Когда

мы

то делать это мы можем

существует

число

акт полагания.
по¬

производим

потому,

потому, что, скажем,

в

что

су¬

пятерке

я

двойке, двойку
тройке
содержание пятерки таково, что независимо от
меня, счисляющего, единица требует перехода к двойке, а двойка
не субъ¬
требует перехода к тройке и т. д. Когда в числе есть это
не заставляю

единицу двигаться

к

а

—

и т. д.,

к

но само смысловое

—

ективная, а чисто числовая же энергия самосозидания, тогда могу я,
применяя данное число, переходить от единицы к двойке и т. д. Если
же этого перехода не происходит в самом числе чисто смысловым,
чисто числовым
и счет

образом, то тогда невозможен

и самый мой счет, как

вообще.

f) Если,

таким

образом, употреблять термины

не

в

общем

повседневном смысле, но в таком чисто диалектическом и

113

и

строго

II.

Фундаментальный

фиксированном понимании,
можно дать такое

(число

анализ числа

как

понятие)

конструировано выше,

это

определение числа,

как чистое

и это

то

определение совершенно

ТОЧНО:
число есть
Это

выразительный

определение

все вместе

говорим

о

акт смыслового самополагания.

легко детализировать, вводя те или иные или

категории, входящие

в

числовую пентаду. Поскольку

мы

выражении (или об энергийном выражении), постольку

тут уже содержатся

все

но может быть только то, что есть
то, что имеет смысл

(хотя бы

не

абстрактно-мертвый,

че

выражение

и, наконец,

что выраже¬
лишь
бы
для мысли), только
(хотя

предыдущие категории, потому

ничем не

но

и смысл

небытия), только то, что имеет

подвижной

будет

и

становящийся смысл (ина¬

отличаться от

предмета выражения),

только то, что в своем становлении

пришло

к

какому-

нибудь осмысленному результату.
IV. К общему резюмирующему
анализа числа

заключению

фундаментального

необходимо сделать еще два добавления.

а) Во-первых, данное диалектическое построение
случае
бая

ни в каком

Подобно тому как лю¬
быть, даже бесконечно

не может считаться единственным.

наука допускает

очень многие

—

может

формы построения и изложения (в том числе и
такая точная наука, как математика), подобно этому и диалектика по¬
разнообразные

—

нятия числа, как и
жена самыми

что сам

может быть

построена

и изло¬

разнообразными способами. Достаточно указать на то,

автор

иначе в своих

стоит,

вообще диалектика,

этого сочинения излагал

диалектику

числа несколько

других трудах. В данном месте настоящего

пожалуй, указать

сочинения

еще один, более педантический, но имею¬

щий также и свои преимущества способ.
Именно, можно взять основную триаду и в каждый из ее чле¬
нов вставлять снова триаду же. В таком положении

основную триаду

не в виде

удобнее

взять

«бытие, инобытие, определенное бы¬

тие», но в виде «бытие, инобытие, становление». Тогда

первый

член,

бытие, с проведением внутри него новой триады превратится в
перво-принцип и на его

фоне

—

число, точнее, перво-принцип и

исходящая из его

глубины триада, которую мы уже формулировали
«число, количество, величина». Второй член, инобытие, в
§ 16,
этих условиях будет состоять из триады «смысл (бытие), гилетичев

—

ское
—

инобытие, эйдос». Третий член, становление, будет содержать

«становление, ставшее, энергия

(выражение)». Таким образом

114

по¬

§ 31. Итог фундаментального

неразличимости

—

присоединением сверху абсолютной

а с

лучится девятка, эннеада,

анализа

декада; и в каждом из членов такой эннеады мож¬

но проводить всю эннеаду снова, а в каждом члене малой эннеады
еще новую эннеаду и т. д. В дальнейшем мы не раз

будем применять

введение триадического принципа в области уже выведенной триа¬
дической конструкции.

Ь) Во-вторых, предложенная выше диалектическая пентада
(которую легко превратить в эннеаду и декаду) должна явиться для
нас тем, что уже реально вскрывает самую идею числа и конструирует
все

его

основные

конститутивные

моменты.

этих

Выведение

конститутивных моментов числа вплотную подводит нас к анализу
первичных основоположений

числа,

составляющих

к анализу отдельных видов и типов числа.
сих

пор,

построяется идея

владея

категорий,

есть анализ основных

таким

числа.

Это

результатом,

и

есть

То,
из

переход уже

что мы сделали до

которых

логически

в числе самое основное.

мы можем задаться

вопросом

Но,

о том, как

функционируют эти категории на фоне общей идеи числа.
До сих пор

структуру числа,

сколь¬

ко самое число, продуцируя категории, как они появляются в

общем

мы

диалектическом процессе,
—

цели

не столько

дедуцировали

независимо даже от поставленной нами

дать диалектику данного числа. Можно сказать, что до сих

пор наше исследование велось так, что мы как бы
кое число, и

просто

лектическом

которую

мы

процессе

и вывели

наряду

вдруг перекинулись
с

мы

на

в

имея

что та¬

общем диа¬

категорию числа,

прочими категориями. Теперь

предстоит другая задача. Уже

ванную идею числа,

забывали,

общей диалектикой. И

занимались

диалектически

же нам

сконструиро¬

должны рассмотреть внутри этой идеи

функционирование каждой из

выведенных нами категорий, понять

каждую такую категорию как реальное определение идеи числа. Это
приводит нас
ны

дедукции ряда

основных

суждений, которые

демонстрировать впервые зарождающуюся здесь науку

ибо
без

к

наука невозможна

не только без

суждений. Суждения (а также

и

и долж¬

о числе,

категорий, но она невозможна и

необходимо вытекающие

из них

реальное приложение функ¬
ционирование самих же категорий. А основные, конститутивные ка¬

умозаключения)

есть не что иное, как

и

тегории числа должны привести к дедукции также и основных, кон¬
ститутивных

суждений

о числе. И если бы мы это сделали, мы тем

самым наметили бы и дали бы в

некотором предварительном,
115

но тем

II.

Фундаментальный

анализ числа

не менее систематическом

ном и самом

щенные принципами

голую идею числа,

Это

очерке науку

первоначальном виде. И

конкретизировало бы

на

(число

все наши

сразу

же математически

предыдущие дедукции,
и

весьма отяго¬

ориентированные только

логически-математическую структуру

и значит, что мы должны

аксиоматике, к

понятие)

о числе в ее самом основ¬

это

общей диалектики
а не на

как чистое

перейти сейчас

диалектической дедукции

вообще.

116

к математической

основных аксиом числа

III. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ЧИСЛА

(ЧИСЛО

КАК

СУЖДЕНИЕ)

А) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

$ 32. Обычные предрассудки

Приступая
нуть

к

анализу

о главнейших

тельная критика

чинение

не

их заняла

преследует

ни

и мало-мальски

терные

обстоя¬

бы слишком много места. Но наше со¬

исторических,

ни полемических

потому соответствующие указания могут быть

образом бросаются

кими. Главным

упомя¬

предрассудках, до последнего времени господ¬

области. Их очень много,

в этой

ствующих

основных аксиом числа, нельзя не

в глаза два

целей,

только самыми

и

крат¬

обстоятельства, харак¬

почти для всех систем математической аксиоматики.

Во-первых,

аксиоматика чаще всего

преследует цели

не чисто

математические и даже не чисто логические. С аксиоматикой часто
связывают,

цели

напр., гносеологические,

и точки

если не

прямо метафизические,

зрения. Одни стараются доказать,

чисто опытного

что наши аксиомы

происхождения; другие уверяют, что их наличие,

оборот, указывает

на

априорное происхождение. Одни говорят,

аксиомам

соответствует какая-то реальная предметность; другие,

оборот,

что это чистейшие

—

и ставить

вопрос

и

и

меньше всего

тику

субъективные. Ясно,

что
на¬

нечего

как словесные знаки,

что все

подобные суж¬

к целям совсем не математическим и совсем не к

чисто логическим. Эти

определенное (а

реальности которых

которые функционируют

совершенно условные

дения направлены

фикции,

о

на¬

рассуждения

часто и совсем

стараются

с такой точки

хотят

протащить

то или иное

неопределенное) мировоззрение

и

изъяснить смысл самих аксиом. Аксиома¬

зрения рассматривают,

пример для подтверждения

и

в

сущности,

только как

иллюстрации более общих, уже

мировоззрительных убеждений.

чисто

Так можно рассматривать не только

118

§32. Обычные предрассудки
математическую аксиоматику,

но все, что

бое знание, любое представление

Наша

точка

ума.

области математической аксиоматики

в

зрения

и лю¬

угодно, любую науку

или идею человеческого

должна быть совершенно иная. Нас интересует сама аксиоматика,
аксиомы сами по себе.

Философию

здесь мы понимаем как смыс¬

ловое уяснение и разъяснение самого же исследуемого предмета.
Сначала нужно ведь понять, что такое математические аксиомы, и
уяснить

себе,

просами об

как мы к ним

их

функционировании

сказано было выше,
стве занимается

напр.,

время

то и

на то и

другое,

другое,

разносторонним. Это

понимание,

ной

Такое
чале не

весьма

условно

не задается

простран¬

вопросом

о

и очень

откуда

априорных
и

пространства

не является так

узкое

как

и не теми, кото¬

опыта или из

которое отсутствовало раньше

которое

точки

очень

времени

и

ставит вопрос о том,

то понимание

которым оперирует Кант, отнюдь

зрения Кант,

пространство. Он, уже обладая

чувственного

форм субъекта. А между тем,

летий и

учении

принципиальными

или что такое

из

другой области (напр.,
точки

о

существо вопроса. Кант

определенным взглядом

происходит

не

потом заниматься во¬

уже

в той или

в своем

вопросами

составляли бы

том, что такое

и

а

развивающегося человека). С этой

в психике

рые

приходим,

времени,

уже безупречным

бедное

ньютонианское

в течение целых тысяче¬

и сомнительно и с нашей

современ¬

зрения.

положение дела оказывается возможным

подвергается никакому анализу

самое-то

потому,

что вна¬

пространство

время, а ставятся вопросы, уже предполагающие определенное
понимание и

бытийной,

в

указывающие

сравнении

и

их

судьбу уже в какой-нибудь ино¬
самими, сфере. Можно иметь какие

на их

с ними

угодно интуиции времени и пространства, и можно как угодно ре¬
шать вопрос об их реальности: это два совершенно разные вопроса.
Решивши один из них, мы еще ничего не сказали для решения дру¬
гого вопроса. А гносеологи и

априоризм уже

метафизики думают, что эмпиризм или

сами по себе способны

решить вопрос

о

существе

[дела].
Мы

не

будем решать и даже ставить вопроса о том, опытного или

априорного происхождения
они и

произвольны

ли они

реальности

или

математические аксиомы, условны ли

безусловны

и

абсолютно необходимы, суть

или только явления нашей психики, нашей

физи¬

ологии, нашего словесного аппарата. Таких вопросов очень много;
119

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

и разрешать их здесь
ся от

—

это значит писать большой том и

существа вопроса. Нас интересуют

вообще

матика, ее логическое и

уклонить¬

сами аксиомы, сама аксио¬

смысловое

содержание.

Нам нужно

знать, каковы эти аксиомы и сколько их и почему их столько, а не
больше и не меньше. И, только зная, что они такое по существу, мы
могли бы ставить вопросы гносеологические или

В противном случае мы

что такое логарифмы, приступил бы

логарифмов

себе,

в

а потом

метафизические.

уподобились бы инженеру, который, не зная,
к своим

руках. Сначала нужно знать,
уже говорить

расчетам

что такое

с

таблицей

предмет сам

по

функционировании (в субъекте,

о его

в

объекте или где угодно).

Во-вторых, общей особенностью современной
аксиоматики является ее

формалистический

ский характер. Выставляется ряд аксиом;

и

антидиалектиче¬

и

—

математической

неизвестно, почему,

собственно, взяты эти аксиомы, а не другие и откуда можно почерп¬
нуть гарантию полноты этого списка аксиом. Такая беспомощность
вполне характерна, напр., для знаменитого
математики

Гйльберта, которого

почему-то особенно превозносят

именно в этом

ношении. Мы читаем его перечисление аксиом и

знаем, откуда он

их

получил,

ствительно ли все аксиомы

тут перечислены. Ведь

действительно

завершенность. У Гйльберта

от¬

совершенно не

как он к ним логически

должна быть такова, чтобы была
логическая

—

пришел

и

дей¬

система аксиом

ясна ее полнота и

же мы можем в

крайнем слу¬

чае сказать только то, что каждая из данных аксиом имеет в матема¬
тике

действительное значение,

исчерпана

но совсем не можем сказать, что

вся аксиоматика, и не знаем, где

гарантия

тут

ее логической

законченности.

Аксиоматика,

стало

быть,

должна

ясно

показать логическое,

смысловое происхождение всех аксиом, чтобы мы были уверены в ее
полноте и обоснованности.

Тут

не может быть

описания аксиом, какое мы находим

кая

их диалектическая

дедукция,

простого

и наивного

у Гйльберта. Должна быть чет¬

обоснованная как на

общенаучной

диалектике, так и на смысловом содержании самого понятия числа.

Тут

не может быть никакой

тельства.

Существо

случайности,

никакого наивного описа¬

математической аксиоматики должно быть вы¬

явлено со всей логической последовательностью и

строгой система¬

тикой.
Такой

диалектической

систематики

120

общих

аксиом числа невоз¬

§ 33. Сущность математической
найти в

можно

современной философии

аксиоматики

числа. И построение ее

—

очередная задача современной науки.

§ 33. Сущность математической

аксиоматики

Важно прежде всего точно знать положение самой аксиоматики
в системе математического знания

содержание

До

сих

категорий,

вообще,

а потом

уже

аксиом.

пор

тутивны для

мы занимались анализом всех тех

которых складывается самое

из

понятия те его моменты, без

ществовать. Если

наш анализ был

конститутивных

понятие числа. Консти¬

которых

оно не может

включая и

ничего уже не скажет нам нового о понятии числа.
числа

раскроют логику отдельных

тику числовых операций

су¬

правилен, то, собственно говоря,

никакой другой отдел философии числа,

философии

выяснится и

аксиоматику,

Другие

отделы

типов числа, диалек¬

и т. п. детали. Но самое понятие-то числа

уже достаточно вскрыто предыдущим

анализом

конститутивных

моментов понятия, и аксиоматика в этом смысле не вносит никакого

принципиально

нового

учения

общую философию

в

числа.

Тем не менее аксиоматика сама по себе имеет существенное зна¬

фундаментальных мест
От чего это зависит и как это происходит?

чение, и ей должно принадлежать одно из

общей теории

числа.

Число в своих числовых

До

сих

пор

мы

понятие, как

судьбах

может мыслиться

по-разному.

рассматривали число, собственно говоря,

категорию

мысли.

Над

в

только как

этим понятием возвышался

у

нас над-понятийный, над-категориальный перво-принцип числа.
Перво-принцип числа уже достаточно разъяснен нами,
важно

установить

только одно: числовой

перво-принцип

полагание, абсолютно неразличимое полагание,
числа есть положенное

женное)
раз

(в

интересует

сейчас

есть

сама же

сверх-

категория

смысловом отношении, конечно, поло¬

число. Эта антитеза осталась у нас

она-то и

и

нас сейчас.

неразрешенной,

Вдумаемся

и как

в ее диалектическое

значение.

Число есть нерасчлененное полагание. Полагание есть про¬
тивопоставление, проведение границы между полагаемым и неполагаемым. Полагаемое

и не-полагаемое,

отрицание вообще, коренятся
единичности,

—

в

равно

как и полагание и

неразличимом единстве,

перво-принципа. Перво-принцип

самосокращения порождает свое

собственное

121

—

вернее,

сам из себя

инобытие,

путем

свое отри-

III. Основные аксиомы числа (число как

цание, ибо потому
инобытие

что всякое возможное его

перво-принцип,

где-нибудь,
«где-нибудь» в сущности для

содержится

иного, никакого

Другими

он и

не

суждение)

но в нем же самом

(ничего ведь

него и не

существует).

словами, перво-принцип, супра-акт, полагает сам себя и

свое инобытие внутри себя же самого, полагает себя самого внутри
себя же самого. Еще иначе: перво-принцип сам же для себя является

субъектом

и

объектом, превращаясь

простого понятия,

из

простого полагания,

т. е. из

суждение. Супра¬

в положенное понятие, или в

акт, переходя в акт, полагает себя в себе, но, полагая себя не сразу,
а постепенно, он выделяет на

фоне

собственной неразличимости

один за другим различные моменты. Перво-принцип есть числовая
неразличимость. Но, переходя

в самополагание, он начинает то или

предицировать в себе, то

или иное высказывать о собственной

иное

неразличимости

и тем самым

постепенно

себя

выявлять и

разли¬

чать.
В этом процессе постепенного самовыявления для нас важно
сейчас то, что число
и не

просто

как

функционирует

категория,

не

просто

или понятие, но

как

как

уже

перво-принцип

суждение, как по¬

Супра-акт полагает себя как предикат для себя же
субъекта. И с каждым новым числом, с каждым после¬

ложенное понятие.
самого как для

дующим полаганием количество высказанных предикатов все уве¬
личивается, и перво-принцип становится все более и более богатым

субъектом,
и более

все более и более

расцветает

этого

моменты

растущего

точно

и выявляет

все

полученные

развивающегося понятия,
и

себя,

его смысловое содержание. Таким

не оставлять без внимания

ческие

раскрывает

в

образом,

если

прошлом диалекти¬

а локализовать на

расцветающего понятия, объединяя

фиксируемое конкретное

все более

в

фоне

каждый раз

единство, то это нарастание смыс¬

лового богатства понятия и эта его конкретизация происходят уже
при помощи суждения, при помощи ряда
щих получаемым категориям.

о

функционировании

дение

и

Туг

числа как

умозаключение,

суждений, соответствую¬

же, конечно, возникает вопрос и

умозаключения, ибо понятие, суж¬

как известно,

суть

основные

ческой мысли. Об этом, однако, после. Сейчас

суждении.
Итак, суждение,

формы

речь идет

логи¬

о числе как

несомненно, есть диалектический синтез смыс¬

лового перво-акта и самого акта, синтез первопринципа и самого
принципа,

над-категориальной

смысловой неразличимости

122

и

са-

§ 33. Сущность математической
мой категории, самого понятия.

предиката (или одного

акта как

субъекте,

т. е. синтез

аксиоматики

Суждение есть положение первопредикатов) в себе же самом как

из

перво-акта

с самим же

собою, но, разумеется,

уже развитой синтез (а не тот неразличимый, которым является сам
перво-акт). Числовые суждения потому тоже суть та сфера, которая
диалектически синтезирует числовой перво-принцип с самим чис¬
лом как принципом или как понятием.

Необходимо, впрочем, заметить,
можно было бы

что во всем этом

рассуждении

употреблять и более точный термин. Именно, аксио¬

ма есть не просто суждение, но такое суждение, которое выставляет
только существенные признаки своего

моменты

вообще говоря,

понятия и есть,

ки. Мало того, аксиома есть такое
пать все

субъекта,

существенные признаки

диалектической системы

его

а

конститутивные

существенные призна¬

суждеггие, которое

своего

хочет

исчер¬

субъекта. Правда, в порядке

это делается здесь не

сразу,

но последова¬

поскольку отдельные категории, конституирующие число,

тельно,

проходят перед

нами в своем последовательном отождествлении со

всем числом как с

цельной категорией. Такое суждение, которое дает

существенные признаки

своего

лучше именовать

субъекта,

и

притом дает

их все пол¬

определением. И аксиомы
в связи с этим надо трактовать как определение числа, как число на
диалектической стадии своего определения, число как определение.
Конечно, можно покамест на этом и не настаивать. Но в дальнейшем,
ностью,

не

когда придется переходить
шим

конструкциям,

это

суждением,

от аксиоматической области к

различение

Еще необходимо обратить
аксиомы

как

очевидного

тельств. Если

из этого

а

нам весьма

пригодится.

внимание на обычное

определение

принимаемого без доказа¬

положения,

определения

дальней¬

аффективный тон,
Аффектация же обычно слы¬

исключить

его можно считать достаточно точным.

шится то в желании все свести на аксиомы и принизить логический

аппарат математики,
ных,

по

поводу недоказуемости аксиом, то

мнимой
ка мало

то в эмоциях, положительных или

произвольности

приносит

отрицатель¬

в ажиотаже относительно

аксиом и пр. Вся эта

чувствительная лири¬

пользы как математике, так и диалектике.

исключить ее только полезно. Но тогда

Поэтому

указанное популярное «опре¬

деление» аксиомы неожиданно оказывается весьма пригодным

и

бо¬

лее точным, чем многие другие определения.
А именно,

будем брать это определение в буквальном смысле. Бу123

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

дем понимать аксиому как суждение, очевидность которого не нуж¬
дается в доказательствах, но возникает из самого же суждения. Мы
ведь так и определяли аксиому. Аксиома есть число как
е. она не есть ни число как понятие, ни число как

Если бы

она в своей очевидности

нельзя было бы сказать,

требует доказательств».

суждение.

по себе ничего не

утверждает;

Это-то

категориал ьногоугаяер;^^

уже

Однако

С другой стороны, для ак¬

аксиома же есть

рое утверждение. Поэтому очевидность

находим на

то

одной категориальной очевидности. Категория

и

т.

умозаключение.

нуждалась ^умозаключении,

что она «не

аксиома есть именно числовое

сиомы мало

суждение,

прежде

сама

всего некото¬

ее есть именно очевидность

и

подчеркивается тем,

первых страницах учебников, где

что мы

аксиома понимается

требующая доказательства».

как «истина, не

§ 34. Разделение всей общей теории числа и место аксиоматики
в ней
Все наши категории, которые мы вывели раньше в
рии числа, есть

категории конститутивные для

самые, без которых оно не может логически

точны для нее.

Значит,

и

суждения, возникающие

конститутивны,

т. е. они

тео¬

этого числа, т. е. те

существовать. Все

категории необходимы для смысловой конструкции

также для числа

общей

эти

числа и доста¬

на их основе,

будут необходимы

будут
бу¬

и их

дет достаточно для того, чтобы описать и диалектически построить
число как суждение. Но тогда становится ясным, что эти-то суждения
и есть числовые основоположения, основные аксиомы, те первичные
и

принципиальнейшие суждения,

начинается)

математика как

с

которых начинается (логически

наука. Следовательно,

если мы выделим

общесмыслового первопринципа перво-принцип числовой и со¬
средоточимся вообще только на одной числовой сфере, то возник¬
из

три области общей теории числа,

связанные

между собою

нут

такие

как

обычная диалектическая триада, как тезис, антитезис

и синтез:

I. Числовой перво-принцип.
II. Число как принцип (как категория, как понятие).
III. Основные аксиомы числа (число как
Нами обследованы две первые области.
ческое место для

аксиоматики,

третьей области

мы можем

перейти

суждение).
Теперь, найдя

и исследовавши

и к

детальному рассмотрению всей

этой математически-аксиоматической области.

124

диалекти¬

сущность самой

§35. Общая

основа всех аксиом

§ 35. Общая основа всех аксиом
и

принцип этот

суждения. Каждая

из диалектиче¬

Аксиоматика вытекает из единого принципа,
есть

функционирование

ских

категорий,

плоскости как

из

числа как

которых конструируется число, трактуется

в этой

субъекта. Отсюда

и воз¬

предикат общего

числового

никают эти основоположения о числе,

получаемой

аксиомами. Относительно так
мо заметить

больше,

аксиоматики

необходи¬

и очевидность этих аксиом

чем в тех положениях,

Вся математика, если ее

которые вырастают

строить так,

как она

строится

нии, т. е. чисто диалектически, одинаково состоит из

никших

называют

следующее.

Во-первых, доказательность
не

которые обычно

ничуть

на их основе.

в этом сочине¬

суждений,

благодаря реализации соответствующих категорий.

воз¬

Иного

ничего и не знает диалектика в этом своем состоянии, как только де¬
дукцию категорий. Дедукция
положения, с логической

же

потому

и есть

дедукция,

что она дает

необходимостью вытекающие

общих положений. Поэтому

какие бы математические

ни взяли, доказательность их с точки

из более

суждения

мы

зрения диалектики совершен¬

реализация данной категории

но одинаковая. Это все есть только

в

суждении.
Во-вторых, разница между
только

в том, что аксиомы

предшествуют теоремам.

аксиомами и

суть первые

теоремами заключается

логические

построения,

они

Аксиомы есть реализация именно самых

первых категорий, из которых вырастает число. И отсюда ясно, что
граница между аксиомами

по-разному понимать, где
наются

вторичные. Мы

снования,

—

уже вторичным

и

отодвинута

ом, чем

в

теоремами довольно зыбкая. Можно

довольно-таки условно, хотя и не без обо¬

остановились в

рии энергии, считая то,

быть

—

и

кончаются первичные категории и начи¬

предыдущем исследовании

на катего¬

что должно было бы быть выводимо дальше,

уже детализацией. Эта граница, конечно,
и дальше, и мы

могла бы

получили бы гораздо больше акси¬

теперешнем случае.

В-третьих,

не

мешает знать,

ради конструирования

почему

все-таки

целесообразно

числа как понятия остановиться именно на

энергийно-выразительной стороне

числа.

Первые три

диалектиче¬

ские момента числа, конечно, суть только весьма общая смысловая

сфера. Тут сказано только то, что число есть некий раздельный в себе
смысл, непрерывно становящийся. Этого мало

125

и для всякой диалек¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

тики.

ся,

Каждая вещь есть

Каждая вещь

чисто смысловое.

Разумеется,
оно

ведь не только смысл, хотя бы и

первая диалектическая триада

а

факт,

есть еще именно вещь,

тело.

число не может быть вещью в обычном смысле слова;

строго отграничено

это нисколько не мешает

осуществилась

бы

в

от всего вещественно-качественного. Но

тому, чтобы

недрах

категория вещи

эта

самого числа.

При

или

факта

всей его чисто смыс¬

ловой природе можно и необходимо различать
и

становящий¬

в нашем понимании есть нечто

в нем самом смысл

идею и носитель этой идеи. Так вот, становящаяся едино¬

факт,

раздельная совокупность должна еще осуществиться как таковая,
т. е. ее становление должно где-то иметь предел, оно должно оста¬
новиться и тем самым превратиться из неопределенно растекаю¬
щегося смысла в

устойчивый

факт. Поэтому ставшее

и

данный

в

определенных границах

в числе так же важно и

конститутивно,

и становление. Без становления мы не имели бы в числе

непрерывности,

прерывности.
сти

и

а без ставшего мы не имели бы в числе

прерывности? Конечно,

горией

(наряду

числа. Она

тегория

факта

подвижной

устойчивой

Можно ли мыслить число без моментов непрерывно¬
нет.

Следовательно, «ставшее», «факт», «вещь», или,
гель, Dasein

как

с

Sein),

является, несомненно,

первична

в той же

для того, чтобы при

мере,

в

как сказал бы Ге¬

первичной

кате¬

какой необходима ка¬

обсуждении вещей

мы не оста¬

лись только с чисто смысловыми и отвлеченно-идеальными

опера¬

циями.
Чего еще

не хватает таким способом

построенному числу? В

есть смысл, идея, и в нем есть свой числовой

факт,

нем

вещь. Сама собой

напрашивается мысль, что всякая вещь не есть ведь просто нечто на¬
сквозь вещественное и совершенно никак не осмысленное. Если бы
вещество было чистым веществом и не содержало бы в себе ровно
никакой идеи и никакого смысла, такое вещество было бы совер¬
шенно немыслимо; это была бы абсолютно немыслимая, абсолютно
неразличимая тьма иррациональности. Если бы мы высказали о нем
хотя бы один только звук, то это уже было бы каким-то осмыслением
вещества и это уже значило

ство,

вещи именно таковы,

что они

ное, а вовсе не сплошная

вещь

бы,

что вещество не есть

просто веще¬

но что ему свойственно нечто идеальное. И так как

суть

нечто

оформленное

иррациональность,

есть соединение смысла, или идеи, и

126

то ясно, что

факта,

реальные

и осмыслен¬

реальная

или вещи. Если мы

§ 35. Общая
в числе

увидим определенный числовой

факт,

ловой

того и

основа всех аксиом

то этим самым мы

другого, постулируем

факт,

осмысленный

энергии,

мы как

раз

или

постулируем

не

просто

смысл и не

осуществленный

В сущности говоря, на этом
вичных

смысл.

просто факт,

но

Вводя категорию

тут

самое

первичное

от

второстепенного

В этой общей

и самое

и

перво-принцип

числа

числа

инобытием. Становление

синтез бытия и

фактически

чистым смыслом. Если бы

инобытия как

к

в

именно

в это

(в

т. е.

инобытие,

данном

включает

бытия

и

оно в самом вы¬
тем самым

выражение

инобытием,

не пе¬

а оставаясь все

время

тут был реальный переход
что

энер-

инобытие,

в

тут выражено. Тут, однако,

нет ни

факта, ни распадения смысла, а есть только смысловое

распадение

вый

по

и

различение,

сравнению

всего

остановиться

категорий

смыслом, не только

т. е. новый смысловой

с отвлеченно

это-то обстоятельство и

лектических

всю

числа вместе с ее

сферу выражения,

инобытия,

распаду того,

же его

ственнее

раз¬

«выражает»

распадение)

включает в себя свою соотнесенность со своим

привело бы

но и его

в диалектике ведь и есть синтез

инобытия. Будучи перенесено

Вот

энергийно выра¬

момента становления. Становление

неподвижную едино-раздельную структуру

реходя, однако,

трех

числа особенно важна

случае пока чисто смысловое, без перехода в

ражении дает

ре¬

осуществлен¬

вообще,

эту выразительную область

гийной. Энергийно-выразительная сторона
этого

мы

из

включая и становление. А это больше всего и

смысловую триаду,

—

ее

и его становление. Числовое «ставшее»

дает право называть всю

в себя

области числа

но мыслим

ной целиком. Наша выразительная энергия

включением

основного и

осуществлении какой-нибудь

основных категорий первой триады,

жает не только самый

в числе

примитивное

периферического.

энергийно-выразительной

ально не останавливаемся на

дельность

дедукции пер¬

граница для определения

самая естественная

центрального

не-первичной.

мы и остановились в

числа. Есть все основания думать, что это есть не¬

категорий

действительно

это

объединение

виду всю эту область осмысленного

и имеем в

можность считать эту категорию

и что

определенный чис¬

в числе и

числа, или осуществленного смысла числа. Едва ли есть воз¬

факта

что

смысл и

числа.

фактом

в

рисунок,

но¬

данной первой триадой.

определяет собой то,

что тут есте¬

последовательной дедукции диа¬

Здесь

число оказывается

и не только осмысленным

127

не только

фактом,

но

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

этот осмысленный

иным,

в

факт дан

собственном

для иного, открыт для восприятия всем

смысле

выражен. Осмысленный факт

себе,
форма выражения. Когда

ведь и быть дан просто, сам по
и наименее полная

сам для себя. Это

—

может

начальная

же осмысленный

факт

оказывается данным и для иного, он в собственном смысле есть вы¬

ражение. Он еще
покамест
нако этот

не

фактов, но
фактом. Од¬

на множество отдельных

распался

пребывает единым, цельным и нераздельным
факт расписан извне, разрисован и различен

смыслу, он

—

по своему

картина для всего иного. И вот поэтому-то естествен¬

но остановиться именно здесь, полагая в этом месте

границу между

и

основными, первичными категориями (аксиомами)

дальнейшими,

вторичными категориями (теоремами).
В-четпвертых, установивши эту наиболее естественную границу
для аксиоматической

области,

мы можем

установить

для дедукции всех основных аксиом. Эта общая
ванная нами в

вленной

только что

субъекта

как основная

указаны нами),

(границы

является

в

суть осущест¬

мыслится

осущест¬

фоне общей сущности числа. Аксиома есть суждение,

данная категория, трактуемая

тегорий

в том, что аксиомы

категории, где каждая категория
на

общую базу

база, сформулиро¬

предыдущем параграфе, должна быть сейчас дана

развитом виде. Заключается она
вленные

и

где

основных ка¬

предикатом для обще¬

Поэтому шесть диалектических этапов числа,
в § 21, должны превратиться в суждения (ак¬
нами
рассмотренных
го

—

числа.

сиомы) следующего типа:
I. Число есть чистый акт полагания.
II. Число есть

едино-раздельный

III. Число есть

становящийся

акт полагания.

акт полагания.

IV. Число есть ставший акт полагания.
V. Число есть

акт полагания.

выразительный

Сюда необходимо присоединить,
в

§

что II

суждение соответствует

21II и III категориям, потому что установленные там утверждение

(II) и отрицание (III) оба вместе определяют собой именно едино¬

раздельный

акт

(или

акт как координированную

ответственно III аксиома из

тамошней категории, IV

указанных

аксиома

тегории. Эта схема аксиом, с

—

раздельность). Со¬

только что

соответствует IV

V категории, V аксиома

другой стороны, [есть]
в § 31, IHd.

точное

—

VI ка¬

воспро¬

изведение категориальной схемы

Наконец, в-пятых, эта общая основа всех основных аксиом, по¬
128

§ 35. Общая
лучая

основа всех аксиом

вид, звучит все еще весьма от¬

развитой

таким способом более

влеченно, пока мы не примем во внимание чисто числовых свойств
числа. Ведь «число», как оно

фигурирует в установленных нами

основоположениях, взято все еще как отвлеченная,

ческая

категория. Число

понятие числа, и в этом виде мы его
стеме диалектики. Чтобы его

общедиалектическом виде. Мы
изучаемого

лучили упомянутые

получили

Число

изолированном

случае

как

—

случае

и

фоне общего и
числа и по¬
субъекта
—

пять основоположений числа. После этого

в данном

си¬

их локализовали на

нами в данном

общедиалектических категорий

тической,

общей

—

мы не оставили все

в их чистом,

однако, для дальнейшей конкретизации перейти
из

а именно

в нашей

конкретизировать,

категории, предшествующие числу,

единого

общедиалекти¬

определенное понятие,

есть

пяти

к

от числа как

пора,

одной

числу как числовой, как матема¬

общематематической категории.

общедиалектической категории интересно до тех пор,

в виде

пока мы ищем

ориентировать ее

на

фоне общей диалектики, т. е. ког¬

да пытаемся существенно отличить категорию числа от всякой иной
категории. Но когда эта общедиалектическая категория числа найде¬
на, изучена и

формулирована, уже

общедиалектических свойствах; тут
уже чисто числовых,

этой

плоскости

а не

определениями

модификация

лектическая

вой момент числа. Этот

принадлежит термину

уже

полезно

в его

числа

прос:

перейти

к

числу

на ее
в его

категориальных свойствах. В

будет уже

не та или иная диа¬

актов полагания, но тот или иной число¬

общедиалектический язык, где

главное место

«акт полагания», должен быть заменен

чисто математическим языком; эта

быть переведена

ют

вообще

нужды останавливаться

нет

на язык чисел. Мы должны поставить и

какие математические

термины

другим,

общая диалектика должна

в точности

решить

во¬

соответству¬

формулированным нами модификациям акта полагания и, сле¬

довательно, какие числовые

нии указанных пяти
мы станем

Только

основоположений,

переводить
теперь

мы не знали

знали тайны

возникают при воплоще¬

если всю

нашу диалектику

с языка понятий на язык чисел?

мы можем ставить и

общедиалектического

решать

этот

нечего было и

области. В числовой области

только чисто числовыми же

операциями,
129

вопрос. Покамест

места числа и покамест мы не

общедиалектического сопряжения

конститутивных моментов,
в числовой

конструкции

его

категориально¬

думать философствовать
мы могли бы заниматься

т. е.

строить

не

филосо¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

фию,
себе,

а

числовая

саму математику, поскольку

есть чистая

формальность

содержания, и, оставаясь

только в ней

получить, кроме самих чисел,

область,

взятая сама по

и лишенность всякого понятийного

т. е.

одной,

мы ничего и не можем

кроме самой

математики.

Теперь

же, зная диалектический смысл числа вообще и диалектический
смысл его конститутивных моментов, мы можем с

приступить

к

числовому содержанию

числа и

твердой верой
убежденно искать в

нем соответствия тому, что мы получили относительно

гории

числа.

оперируя
твердое

и

Ведь общие

с ними в

общелогической области,

уверенное оперирование

сти. И это

будет уже

не

общей

законы логики везде одни и те же; и,

кате¬

твердо

мы можем надеяться на

с ними и в чисто числовой обла¬

просто построение самой числовой области,

т. е. не сама математика, но именно логика числа, или

философия ма¬

тематики, диалектические основы математики.

Так,

из

общей отвлеченной

основы математической аксиомати¬

ки возникает сама математическая аксиоматика, и
в

притом

диалектической выведенности (чем необходимо было

предварительно

и что мы сейчас и

выполняли),

не

просто

заниматься

но и в своей чисто

математической значимости.

В) СИСТЕМА
а) Аксиома

числового

перво-принципа

$ 36. Неразличимость
Не будем, однако, удивляться,
с того, что как раз

скольку сейчас

что аксиоматика начнется

у нас

имеет меньше всего математический смысл. По¬

нам

предстоит формулировать аксиому

именно

эта аксиома должна иметь максимально

wepeo-принципа, постольку
обобщенный вид и постольку

терминов конкретной

нам тут еще не придется

математики.

Больше того.

перво-принципа должно быть повторено
него

резюме

—

—

уже

употреблять

этой

аксиоме

в виде послед¬

то, что мы могли сказать о числе вообще наиболее

существенного. Что это число относится к

сфере актов чистого по¬

лагания, это есть самое последнее и самое
ния о числе.

но

В

Это

и должно

быть

в данном

общее резюме

всего

уче¬

случае математическим

перво-принципом. Из общесмыслового перво-принципа, который
является

перво-принципом

и всякого

130

содержания,

мы выделяем чи¬

§ 36. Неразличимость
числовой, математический перво-принцип, гласящий

сто

ционировании

кроме того, этот перво-принцип,

берется

выше,

о

функ¬

только актов полагания, а не самого полагаемого. И

своей тоже

в

много

раз формулированный

специфической функции.

нами

А именно, в

математической аксиоматике мы рассматриваем его не как чистое
действие, не как самый перво-принцип в его самостоятельной определяемости всех других числовых
как

суждение,

Поэтому мы

здесь не

но высказываем

Этим
того

первое

и основное

последней глубине

в

щее

как

построений, но

всех

суждение

акт

перво-полагания,

число есть чистый акт

перво-полагания.

отличается аксиоматическое

утверждение перво-принципа

категориального, которое исследовалось

Выставляемая нами аксиома числового

рых

встречали

в

перво-принципа облада¬
аналог кото¬

анализе. Остановимся

предыдущем

от

выше.

интересными свойствами, категориальный

ет многими
мы

перво-принцип

в математике, лежа¬

прочих математических суждений.

просто фиксируем самый

суждение:

—

вкратце

на

самом главном.
Число есть

прежде

всего некая

для простоты пусть находится три
ница» и

«нуль»

Спрашивается,
еще и

тоже есть

но всем. Но мысль
ставлю на листе

три

что они

точку

акта полагания

различны

требует, чтобы

бумаги

четыре полагания,

хотя «еди¬

некоторые специфические совокупности.

только ли эти

тождественны? То,

совокупность. В совокупности

или

и

различны

раздельны,

или они

это извест¬

они были и тождественны.

и потом

рядом

с нею

другую точку,

они, конечно, различны, различны по местоположению, по
сти

и

чернил

пр. Но

личаются друг от

Когда

я

то

жирно¬

возьмем две математические точки. Чем они от¬

друга? Ничем. Они, конечно, мыслятся как бы в двух
на прямой при определенном отстоянии

разных положениях, напр.,
одна от

другой.

Но ясно, что это отстояние, или расстояние, не имеет

ровно никакого отношения к самим точкам и каждая из них может

обсуждаться

независимо от своего абсолютного положения на ли¬

нии, на плоскости и т. д.

Итак,

дество, самотождество, и в
абсолютно

все точки

некое

абсолютное

тож¬

последней своей смысловой глубине

неразличимы. Это же

полагания, т. е. всякого числа

отдельные акта неразличимы,
ковое, тоже

суть

они

самое касается и актов мысленного

вообще. Но

если в числе «три» эти

три

то тогда и само «число», взятое как та¬

внутри себя неразличимо,

оно есть некое абсолютное

тождество. Более того. Если мы возьмем все возможные числа, то

131

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

поскольку каждое из них есть абсолютная неразличимость, то и все
числа, взятые вместе,

—

все возможные,

димые числа суть тоже некая общая

и

действительные

и

перво-принцип. Это

и

самотождество. И вот это-то и есть числовой
значит, что число есть

простой,

е. в себе

неразличимый, абсолютно

акт смыслового полагания.

Скажут:
вы

чистый, т.

но ведь это же не есть число; число есть

утверждаете полную неразличимость. На

нисколько не

утверждаем,

мость. Абсолютная
число, но

необхо¬

и

абсолютная неразличимость

раздельность,

что число есть эта абсолютная

неразличимость

перво-принцип числа,

а

это надо сказать, что мы

неразличи¬

и самотождество есть не самое

и аксиома

об абсолютном числовом

сшю-тождестве не есть суждение о самих математических числах,
но лишь

то

ваться

конкретно-математические суждения. Естественно,

и

чем-то

первое

и исходное положение, на

специфически

но. Мало того. Мысль

отличается от того, что на этой базе

требует,

§ 37. Неразличимость

и это мы сейчас

построе¬
и

разъясним.

как принцип различимости

есть данная вещь именно потому, что она не есть

что-нибудь иное. Это утверждение
и тавтологией.

что база

чтобы эта неразличимость как раз

была принципом различимости,

Каждая вещь

котором будут базиро¬

Однако тут

жение

философии,

нуться

ни к

на

взгляд кажется шуткой
фундаментальное поло¬

первый

высказывается

без признания которого невозможно

и

прикос¬

какой теории определения. Если вещь есть нечто отлич¬

ное от иного и, следовательно, есть она сама, то это возможно только
тогда, когда мы внутри нее не

Вещь

фиксируем ровно

есть именно она сама: в этом

утверждении

с абсолютной

никаких

простейшем

различий.

очевиднейшим

и

необходимостью требуется, чтобы

она

мыслилась вне всяких своих частей. Это делается до полной осяза¬
тельности ясным, если мы начнем

рассуждать

со

стороны

этих са¬

мых «частей».

Пусть данная вещь состоит из пяти частей.
ровать каждую часть отдельно, целой вещи
этом

есть

дереве, которое
дерево, потому

лист, который

я сейчас

что тогда

вижу

Если мы

будем фикси¬

мы никак не

в своем окне,

был бы деревом

получим. В

отдельный

и всякий

лист не

отдельный

валяется на земле, и вместо видимого мною в окне

одного, и единственного,

дерева было бы

ко я вижу на нем листьев. Ствол

дерева
132

столько же

деревьев,

тоже не есть

сколь¬

дерево, потому

§ 37. Неразличимость как принцип

различимости

бревна, лежащие тут же на дворе, тоже были бы деревьями.
Корень дерева тоже не есть дерево, ветки дерева тоже не есть дерево.
И т. д. и т. д. Спрашивается: где же само-то дерево? Совершенно оче¬

что тогда

видно, что из отдельных частей дерева нельзя
ва. Но отдельные части

дерева

различимой стороны дерева

из

дерево

есть

я

двора, которое

вижу

различимо. Значит,

получить самого дерева. Само

палось бы на тысячи

это

дерево
фоне
будь этой неразличимости
фиксировать дерево как дерево, оно рас¬
дерево

именно как

на

все¬

в своем окне. Не

внутри дерева, я не мог бы

не отличил

нельзя

самого дере¬

неразличимость, абсолютно самотождество. Только

и дает возможность выделить
го

получить

есть то, что в нем

частей, которые

сами не

суть дерево,

и я совсем

бы дерева от всего прочего. Ясно, что неразличимость

дерева оказалась необходимым принципом для его различения на
фоне прочих предметов и, следовательно, необходимым принци¬
пом

различений внутри

и для всяких

различимость вещи

есть

условие для

Внутренняя не¬
и
различимости
внутренней

него самого.

ее

раздельности.
Все

это относится и к

другая единица

надцать»;

единица
го число

—

то же самое.

числу. Одна единица

Спрашивается: откуда

же

получилось

что

само¬

практиче¬

из одиннадцати единиц. И если что

смешно и тавтологично, если что

утверждение,

третья

получилось

«одиннадцать»? Конечно, всякому известно,

ски «одиннадцать»

но

не есть число «один¬

тоже не есть число «одиннадцать»;

действительно глупо, так это имен¬

что вещь состоит из своих

частей,

надцать» состоит из одиннадцати единиц. Эта

а число «один¬

беспомощная

бес¬

и

сильная тавтология ровно ничего нам не говорит. «Одиннадцать»
есть совершенно отдельная, самостоятельная индивидуальность, не
делящаяся на одиннадцать частей. Единицы, «входящие»
«одиннадцать»,

надцать» ровно никаких частей

в

себе не содержит

делимо, ни из чего не составляемо. Оно

расчленимо. Неразличимость

нечно,

не

в число

даже не суть и части числа «одиннадцать». «Один¬

забудем:

есть

и ни на что не

внутри неразличимо,

не¬

принцип его различимости. Ко¬

«одиннадцать» не есть просто неразличимость, а

нужно только сказать, что неразличимость есть его перво-принцип,
не оно само в его

реальной структуре

и не его

принцип, но именно

его wepeo-принцип. И потому либо есть такой перво-принцип

и

вну¬

тренняя сверх-различимость, неразличимость числа «одиннадцать»,
супра-акт «одиннадцати»,

—

тогда есть и «одиннадцать» как именно

133

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

одиннадцатисложная структура; либо нет никакого перво-принци¬

тогда нет и числа «одиннадцать», а есть только отдельные еди¬

—

па,

ницы.

Впрочем,

и отдельных единиц тоже не

каждая единица тоже должна быть

некоторой

различимостью; и если неразличимости нет

будет

не

мелкие части, как

самостоятельной не¬

в «одиннадцати», то ее

распадается еще

и в «единице»; «единица» тоже

что

получится, потому

распалось «одиннадцать»

на более

на отдельные части, а

еще дальше. И так до бесконечности мы

будут распадаться
будем гнаться за числом и нигде его не найдем, а получим вместо
ясной и прозрачной едино-раздельной и разумной структуры числа
эти части

все

полную иррациональную тьму
ту,

в

и хаос,

которой уже действительно

которой

потонет все ясное, все

не

абсолютное безумие

найдешь

стройное,

ничего

все

и

пусто¬

различного

разумное

и в

и исчезнет

все человеческое.

Так, по неизбежной диалектической необходимости абсолютная
неразличимость есть принцип
и

раздельное

и основание

число

различимое

требует

различимости,

а

внутри-

абсолютной неразличимо¬

сти как своего перво-принципа.

§ 38. Неразличимость

как принцип

конкретной числовой

инди¬

видуальности
Стоит всячески подчеркивать момент,

бегло

в

сводимой индивидуальности. Мы

не

мысль

числа есть

условие

необходимо заострить

различение

есть ведь

перво-принципа

своеобразной

нам понимание числа как

неразличимость

эту

аксиома

предыдущем параграфе. Именно,

обеспечивает
другое

который мы уже затронули

все

и ни на что

что

время говорим,

различимости. Но сейчас

его

в том

направлении,

порождение одного

в отличие от

что всякое
что

другого,

возможно только тогда, когда это «одно» имеет какое-то свое соб¬
ственное

свойство, которого

отличалось бы ни от чего

есть

принцип живой

нет ни в чем ином, ибо иначе одно и не

прочего. Следовательно, неразличимость

индивидуальности

числа, принцип числа как

существа, как живого организма, имеющего свой лик, свою
номию, сьсмо личность.

Неразличимость

есть

физио¬

диалектический прин¬

цип числа как самостоятельной личности. Число есть личность. И эта
числовая личность, числовое
ны только

потому,

что

существо

и

индивидуальность

возмож¬

числу, этой абсолютной разделенности

члененности, всегда свойственно

и

134

и

рас¬

абсолютное самотождество

его

§ 39. Самосозидание

Это, во-первых,

составных моментов.

ибо она

вообще,
и

пр.,

тоже имеет

касается всей числовой

в отличие от всего не-числового, от

определенную живую индивидуальность. Это

ется, во-вторых, и каждого числа в отдельности

прочих чисел, поскольку оно

дуальность

и как

сферы

вещей, мыслей

—

каса¬

в его отличии от

есть своя особенная личность, индиви¬

бы живое существо.

§ 39. Самосозидание
Аксиома перво-принципа рисует неразличимое лоно всякого
числа

того,

действий. Тут, однако,

и его

глубине

что в

смысловой значимости,
ле. Уже наше

мы

числа

но весьма назойливый

его

наивный,

и наивное сознание ставит этот

вопрос: откуда число,

создание? Вопрос

сделал, чье это

первоисток всей

в пассивном, так сказать, смыс¬

первоисток

обыденное

просто неразличимость. Мало

не

находим этот

этот

кто его

автор,

затрудняется тем,

кто его

что всякий

субъективистический ответ исключен для нас раз навсегда. Да и объ¬
ективизм, как

применим без
ла, мы

мы его видели

всяких

но

не может быть в этом

оговорок. Вдумываясь

прекрасно видим,

держанию совершенно

Петр

раньше,

в

чис¬

собственному смысловому со¬
какой-нибудь Иван или

что к его

не относится то, что

мыслительно его создал или осязал или что оно количествен¬

определяет собою

всю

эту кучу орехов. Мы уже знаем (§

число в этом смысле является само своим собственным
оно само себя и полагает, и

утверждает,

продвигает вперед. К сущности числа,
относится то, что оно не
и

случае

природу любого

бытия,

но

определяет

нуждается

и

определяет,

к его

[23]),

что

автором,

и осмысленно

смысловому содержанию

ни в чьих

само себя. Оно есть

других

актах мысли

определенное числовое

самосозидание.
Стихия

этого самосозидания, однако, не

частичных моментов, входящих в его
лое, чем является число, не есть

смысле

потому сложное,

ни одним из

смысловой состав. Даже

подлинный субъект числового

созидания, ибо целость есть нечто
женное и

определена

сконструированное,

и це¬

само¬

нечто сло¬

т. е. она никак не есть нечто в подлинном

первоначальное. Первоначальным

и единственным подлин¬

ным субъектом числа в смысле его самосозидания является именно
формулируемый нами неразличимый числовой первоисток, без ко¬
торого всякое число распалось бы так же, как и без своей раздельной
структуры. Сама раздельная, координированно-раздельная структу¬

135

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ра в числе никак не может мыслиться в качестве активно-смысловой.
Всякая структура есть нечто уже полученное, изведенное, исшедшее,
нечто в смысловом отношении пассивное. А число есть сила, акт, на¬
пряжение; оно властно и неумолимо врывается в небытие и опреде¬
ляет его, не терпя никакого сопротивления или исключения. Оно и
внутри себя есть как бы самозамкнуто вращающаяся энергия, напря¬
женная и
в

глубине

щающий

бурлящая
своего

нас

смыслового

собственных пределах. Число содержит

в своих

организма некий тайный

и

внутренний пульс, изве¬

внимательном вслушивании о

при

скрытом центре

кровообращения, удостоверяющий

вого и вечного

его

наличие в нем жи¬

первоистока, манифестирующий таинственную

чис¬

субъектность (и потому субъективность)
изнурения и убыли радостно ликующее самосозидание.
и его счетное, количественное оформление были
числа
Структура
бы мертвы, если бы они не оживлялись этим неустанным потоком,
льющимся из числовых первоглубин. Числовая структура есть ске¬

ловую

без

как вечно юное и

и

всякого

лет числа. Это то, на чем оно держится. Но скелет сам по себе мертв,
сух,

безобразен.

ворной теплоты

В нем нет живого тела, живого пульса, нет живот¬
и дыхания, нет

крови,

свой скелет, эта вот счетная, всему

нет

свету

сердца. В

раздельно-структурная форма, без которой
ния. Но это
ним и в его
го

—

внешнее число,

глубине

перво-зачатия,

лоно числа,
ческая

бьется

теплое и

и

числе тоже есть

известная количественная,
нет числа, нет и счисле¬
число. За

мертвое число, вульгарное

трепещет неразличимая тайна числово¬

нервное, беспокойное

и вечно

творящее

самосозидающийся субъект числа, клокочущая

туманность

всесильная мгла,

и хаоти¬

утробная
оформления.
числовых судеб. Он

числовых солнечных систем, тайная и

рождающая бесконечные

Этот перво-принцип

числовые

и есть носитель всех

порождает из себя всякую числовую мысль, всякое числовое бытие.
Только тот, кто обладает этим перво-принципом, у кого

уме бьется

этот

ко тот и есть

внутренне-числовой импульс

подлинный математик,

ческую науку,

и

зачатий, когда

из

душе

первоисток,

только тот и

творит

только тот и знает математические

тайны математических

в

глубин

—

и в

толь¬

математи¬

страсти ума,
темных и

эти

бурля¬

щих интуиции рождается светлый и солнечный мир математиче¬

оформлений. Только так и творили Лейбниц и Ньютон, Эйлер
Гаусс, только это и привело к божественной числовой симфонии
Лагранжа, Лежандра, Коши, Римана, Вейерштрасса и Минковского.
ских
и

136

§ 40. Везде

и нигде

Число же как простую структуру и чистую схему знают только ре¬
месленники и вычислители. А настоящие математики, как известно,
весьма плохие вычислители.

§ 40. Везде

и нигде

Аксиома числового перво-принципа утверждает повсеместную
значимость числа как числа во всех

судьбах

числом, какие бы

прежде

формы

присутствует целиком
ло как число

—

удивительная истина,

проявлениях. Чис¬

всего число

прежде

вообще;

форма,

никакое математическое

неразличимое самотождество. Число

везде,

в

суждении,

как

перво-принцип

буквальном смысле слова на¬

и нигде в отдельных числах и числовых

и оно целиком и

и

присутствует,
отсутствует
каждой числовой структуре.

самая диалектика, что и в

операциях;

в каждом математиче¬

вопросе

о

различимости

различимости. Если отвергнуть абсолютно неразличимое
дество актов и признать в числе только
доказано выше,
измельчания и

приходим

к

одну раздельность, мы,

абсолютной тьме,

утверждать

как

к алогической пыли

тела.

одну неразличимость числа,

только

уже малейшее прикосновение диалектики

ло бы нас с

и не¬

самотож¬

расслоения, рассыпания раздельной структуры

Но если бы мы стали
то

если нет

нет и никакого его специального типа или вида. Но

в самом подлинном и в самом

Тут та же

наука. Но

не было бы возможно, если бы все числовое слилось в

утверждение

ском

оно всегда и везде есть

вот

нигде. Везде оно потому, что всякая

—

оно и нигде, ибо никакая числовая

ходится и

во всех

ни делалось с

необходимым образом самотождественно

и тип числа есть всегда

поэтому

—

во всех своих мельчайших

везде, и оно же

вообще, то

абсолютно

вообще,

ни в каком виде невозможна математика как

если это так, то число

числа

принимало,

всего число. Число есть число

без которой

форма

оно ни

числа

науки. Что бы

мельчайших деталях математической

к

этому вопросу приве¬

абсолютной очевидной необходимостью

к

признанию

в

числе именно

раздельной структуры, так как всякая неразличимость

есть нечто и

внутренно неразличимое

отличается от всего

прочего,

т. е. имеет

прочего

ни

е. чем-то

отграничено

от

т. е. оно есть некая величина,

внутренняя различимость,

доказать. Нельзя поэтому

различимостью,

чем-нибудь, т.

границу, очертание,

т. е. делимость, т. е.

число есть нечто, т. е. оно

пренебрегать

—

что и

в числе ни

требовалось

абсолютной не¬

абсолютной различимостью. Одно совершенно
137

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

предполагает другое, и даже больше того: одно и есть это другое,
хотя в то же время не есть. Так же судим мы и о вездеприсутствии
перво-числа. И это в одном и том же смысле и одновременно, сразу.

§ 41. Число

и время

Рисуя эту основную аксиому числового перво-принципа, невоз¬
можно обойти молчанием большую проблему об отношении числа
и

времени. Что обе

категории находятся

эти

близкой связи

в очень

между собою, это никто отрицать не станет. Описать же подлинное
сходство

их и

расхождение

—

дело весьма большой трудности.

Число как перво-принцип есть вечно творящая сила расчленения
и сочленения.

Врываясь

ные, изолированные
не

в

бытие,

эта сила

моменты и заново
но вполне

возможную только,

разрывает

объединяет

его на
их в

раздель¬

новую, уже

действительную координирован¬

ную раздельность. Первопринцип есть эта мощь числовых становле¬
ний. Можно ли то же самое сказать о времени? Тут ясно только одно:
время

есть некое становление, некое

и сплошное,

неразличимое

хотя и подвижное, становление. Но это не то становление, не чисто

Временное

числовое становление.

становление

числового, гораздо тяжелее, гораздо ближе

органической

к

гораздо «реальнее»

физической материи,

к

жизни, гораздо в этом смысле «конкретнее». Это есть

перенос числового становления в какую-то новую

рованное становление

—

сферу,

потенци¬

становление, возведенное в степень.

Далее, в самом числе перво-принцип не есть единственная

фор¬

ма становления. Собственно говоря, это совсем не есть становление.

Становление,

как мы помним из нашей диалектики, есть категория,

возникающая уже после того, когда

получено

то именно, что стано¬

вится. Если нет ничего до становления, невозможно

будет

и само

Становление всегда есть становление становящегося,

становление.

чего-то. А это «что-то» само позже перво-принципа. «Что-то», «не¬
что», «бытие»
го

—

бытия, при

может

все это выводится

наличии

быть, это

и

организмах,

наличии

первополагаемо-

неразличимого сверх-бытия. Спрашивается:

становление и есть

как синтез бытия
телах и

уже при

время?

Не есть ли становление,

небытия, время, реально текучее
в

природе

и

истории?

в

физических

И на этот вопрос надо от¬

ветить отрицательно. Это тоже слишком отвлеченное становление, и
временное становление опять-таки есть некое возведение в степень
этого отвлеченно данного становления. Позже мы увидим, что су-

138

§41. Число

и

время

ществует огромная научная область, изучающая как раз такое отвле¬
ченное становление, и она нисколько не есть наука о времени. Это
анализ бесконечно-малых.

Тут тоже

имеются в виду исключительно

становящиеся величины, тут это чистое становление как

Однако дифференциальное

ется.

о

наука

совершенно

функциях,

времени. Конечно,

о

возможно

применение

приложение анализа

интегральное

отвлеченных величинах и

мысленных величинах и

здесь

и

функциях,

и можно ни слова не

возможны всякие

чисел и

раз

функций

к

и

изуча¬

исчисление есть
о чисто

говорить

временные аналогии,

временным процессам,

к механике. Но это нисколько не значит, что

бесконечно-малое есть временной процесс. Это не временной, а
сто

числовой, т.

е.

вне-временной процесс, такой

как и неподвижная
и

таблица умножения. В

арифметике присуща

же

смысле

чи¬

вне-временной,

времени анализу

одна и та же степень подвижности, вернее,

одна и та же неподвижность, как бы текучее бесконечно-малое ни
отличалось от стабильного

внутри

арифметического

самого же числа. А число

—

числа. Это

вполне смысловая и

различия

умная струк¬

требующая для себя времени и потому вне-временная. Ин¬
финитезимальная текучесть, взятая сама по себе, вне своих приложе¬
ний, есть вне-временная [текучесть].
Числовое, вне-временное становление должно еще раз перейти

тура,

не

в свое

цип,

в

инобытие,
бытие,

как уже однажды

в смысл и как

в становление.

перво-принцип перешел

принцип тоже перешел

в свое

в

прин¬

инобытие,

Но ведь за становлением, если его понимать как диа¬

лектический синтез бытия и небытия, следует ставшее, или налич¬
ное, бытие,

следовательно, чтобы отвлеченное, чисто

факт. Нужно,

смысловое, идеальное становление перешло в

фактическим, реальным,
только тогда-то
вещи, но

время

и может подняться

есть некий смысл

вещей. Однако это уже

не

—

от

вопрос

щей

силы

вижное

о

времени. Время

прежний идеальный

не есть

смысл, это смысл, ко¬

и неотделимо от

времени. Время есть, следовательно,

трехплановая структура:

стало

вещей, а именно форма протекания

торый сам овеществился. Поэтому время
и вещи

сферу факта,

действительным становлением. И вот

по

вещей,

как

крайней мере

оно есть инобытийное воплощение

творя¬

перво-принципа (чистый смысл, арифметически непод¬

число);

оно есть инобытийное воплощение чистого смысла,

арифметически неподвижного и отвлеченного числа (инфинитези¬
мальное становление); и оно есть инобытийное воплощение этого
139

III. Основные аксиомы числа (число как

инфинитезимального

становления в

форму физически текучего

материально становящегося смысла вещей
только еще

примитивный

общий

и весьма

суждение)

—

и эти

и

плана есть

три

анализ категории време¬

ни, так как самостоятельному анализу времени

тут, конечно,

не мо¬

жет быть места.
Зато во всем

прочем время

но интимный аналог числа.

максимально

—

близкий,

Время так же «пусто»,

максималь¬

как и число, так же

грубой каче¬
фактического

имеет свое собственное содержание, независимое от
ственности внешнего мира. Оно так же первично для

бытия,

как число для смыслового

том полагания», но только

чистого смысла, но в

дает

уже

бытия, будучи

совсем в

себе вещи, так

из себя вещи, несет на

саморазличия

рождает все различия в смысловой

альную координацию
время

раньше

—

и

и

и

же есть

первичнее

и напряженность

и

сфере,

несет на

самого

бытия,

как число

себе всякую иде¬

определяет живую текучесть смысла. Число

бытия, ибо

лишенная всего внешнего и

обнаженное сердце бытия, откуда

и

обе стихии

это и есть то, что

творит ее индивидуацию. Число

вечно льются

и

—

порождает

время

—

мощь

случайного; это

животворные

шевляющие потоки мировой жизни, откуда творится

мира. Число

области

перво-принцип

самообъединения,

оба суть животрепещущий пульс бытия;

саму сферу бытия

не в

области физической материи. Оно так же рож¬

их жизни и движения,

и

точно таким же «ак¬

другой области,

и сама

и

оду¬

судьба

бытия

и

Время

ведь тоже есть, в конце концов, счетность или, вернее, некая

определенная

мя,

—

это

есть смысл

модификация

времени,

е. само

время

счетности. И то и

реальная, до последней

судьба бытия, т.

а

бытие

и

есть жизнь чисел.

другое,

число и

вре¬

интимнейшей степени явленная

в своих живых и

нервных

сплетениях

и сочленениях.

§ 42. Число

и музыка

Вот почему существует

глубочайшая, интимнейшая связь между
музыкой. Музыка ведь есть в обычном понимании
искусство времени. Подчеркнем, что музыка в своем специфически
музыкальном виде есть искусство именно чистого времени, т. е. нео¬
бязательны в музыке изобразительные моменты, достаточно только
самого времени, только этой взрывной и бурлящей процессуальности. Музыка живописует именно жизнь чисел вне всякой внешней
математикой и

случайности вещей, повествуя судьбу
140

и жизненное становление

бы¬

§ 43. Формула перво-принципа
мира. Однако об

тия и

надо

в настоящем месте.

слать к моей книге

отношении математики и

чтобы

слишком много,

Желающих углубиться

«Музыка

музыки говорить

мы могли отвлекаться этим

как

в этот

предметом

вопрос могу

ото¬

предмет логики»*.

§ 43. Формула перво-принципа
Наконец,

шей,

возникает

но в то же

время

тематическую аксиому, аксиому

предложить
только на

несколько
хотя

двух,

формулировать в кратчай¬
форме эту первую основную ма¬

как же

вопрос,

и полнейшей

формулировок,

вторая

перво-принципа. Можно

числового
из

которых

из них, несомненно,

мы остановимся

заслуживает пред¬

почтения.
А именно,

1)

можно

перво-принципа сводится

дыдущие рассуждения

что

просто сказать,
к

содержание аксиомы

«число есть число».

утверждению

Пре¬

должны показать, что это не есть тавтоло¬

гия, но это есть определенного рода логический принцип, а именно
перво-принцип. Когда мы утверждаем, что число есть число, мы этим

фиксируем как раз повсеместную числовую значимость, фиксируем,
собою,

что число всегда является самим

неразличимо с самим

принцип.
Однако

эта

уполномочивает
мы

трактовали

собою, всегда

формулировка
нас наш

не

общий

всегда самотождественно,

есть

цельный

в отличие от всего

у нас есть сфера

частичных и

только

специфична,

столь

содержанием полагаемо¬

актов полагания. Если отвлечься от всех

построений,

действительно

насколько

как то, что связано толь¬

прочего

специфических модификаций

отдельных числовых

оригинальный

анализ понятия числа. Число ведь

ко с актами полагания смысла и никак не с
го. Число

и

их голый

акта полагания, от всех

а взять только их голый

перво-принцип,

принцип,

то ничего

другого

сказать не придется, как то, что число есть просто-напросто акт пола¬
гания.

Тут только

вполне

нужно

определенной.

кое-что

подчеркнуть, чтобы аксиома

Из предыдущего мы знаем прежде всего, что

числовые акты в отличие ото всех прочих

странственных, физических,
смысловые.

Кроме того, мы

(напр., временных, про¬

психических и

Лосев А. Ф.

Музыка

как

пр.) суть

акты только

все время говорили о том, что в числовом

перво-принципе акт полагания мыслится как

*

вышла

предмет логики.

141

—

недифференцирован¬

М., 1927.

—

262

с.

(ред).

III. Основные аксиомы числа (число как

ный, безраздельный, неразличимый акт,
акт чистым или

абсолютным актом

как

суждение)

супра-жт. Назовем

полагания.

этот

Тогда, кажется, будет

достаточно выпукло представлено смысловое содержание этой ис¬

следуемой
ту

нами аксиомы

перво-принципа

предметность своей формулировки

и

и она совместит

с ясностью и

просто¬

достаточной

полнотой.
Аксиома

числового

перво-принципа:

число есть чистый акт

смыслового полагания.
В заключение заметим только

это замечание и вполне

следующих)

«вообще»,

внимательного читателя

формуле (как и во всех по¬
строгий специфический термин и

излишне):

каждое слово есть

его нельзя понимать

(хотя для
в этой

и

«как обычно». «Чистый»

недифференцированный, неразличимый, данный
самотождество не только сам в
чисел в

конечную сферу

ющейся
виду

не

процесс

всю бес¬

и ни от чего не отлича¬

не полагаемое, но положенность,

предметной или

Наконец, указание

на «смысловое»

отличает число от всякого реаль¬

резким образом

существующего бытия,

как абсолютное

обнимающий

полагания вне всякой

качественности.

полагание самым

это значит

это значит, что в числе имеется в

—

содержание полагаемого,

вещественной

но и как

одной неделимой

точке. «Акт полагания»

самый акт полагания,

но

себе,

—

от всего

объективного

видит в нем только мысленно и осмысленно

и

субъективного

зримую

и

и

понимаемую

значимость.

Ь)

Аксиомы едино-раздельности числа
(или его идеальной

структуры)

§ 44. Необходимые предварительные установки
Покидая

дельных

сферу перво-принципа

числовых

стоятельств, без

структур,

выяснения

мы

и

переходя

к аксиоматике

сталкиваемся с целым

которых

раз¬

рядом об¬

сама аксиоматика осталась бы

неясной и необоснованной.
1.

Прежде

всего, до сих пор в общей теории числа мы опери¬

ровали, в сущности говоря, исключительно только с одной общей

категорией

—

с актом полагания.

мостоятельной

науке,

термин, подыскавши,

мы

как

должны

Переходя

к математике как са¬

специализировать

этот

общий

уже говорилось выше, соответствующий

математический эквивалент. Логика должна специализироваться,
142

§ 44. Необходимые предварительные установки
и мы

обязаны теперь видеть, где

и в чем

происходит

соответствие

Одна¬

этих двух больших областей мысли, математики и логики.
ко

у нас будут здесь

очень большие

начала не станем на

предмета. Дело

затруднения,

если мы с самого

путь спецификации самого математического

в том, что к

этому

общему

понятию, на почве кото¬

рого строилось все наше здание, т. е. к понятию акта полагания, и
ко всем его изученным нами

никает
но о

модификациям

целый ряд соответствий. С

матике не одно, а

поэтому необходимость говорить

можно найти в мате¬

самого же начала воз¬

всего о числе интенсивном, экстенсивном,

рическом, первое

т. е.

прежде

эйдетическом

и исто¬

понятие о чем дано выше, в

совершенно разные

—

вообще,

не о математике

конкретных формах математического предмета,

§ 9. Аксиомы будут

в зависимости от того, о каком числе

будет

идти речь. Конечно,

можно

омы, но они едва ли

будут чем-нибудь существенно отличаться от
формулированных нами в § 35 при

установить

совершенно общие

и

акси¬

пяти основоположений числа,

помощи только одного понятия акта полагания и его диалектиче¬
ских

модификаций.

Прежде

чем

приступить

дедукции аксиом, необходимо, следо¬

к

вательно, произвести эту предварительную спецификацию, чтобы
аксиомы наши были достаточно конкретны и обоснованны.

Необходимо,

стало

быть,

математического предмета в

иметь в виду наше

§ 9.

ло как перво-принцип, число как супра-акт и

неутвержденный принцип полагается,
и

утверждается

общее разделение

Вспомним его. Число вообще, чис¬
в

себе неразличимый,

утверждается.

Полагается

оно сначала в полной своей чистоте, в абсолютной

своей различенности и отличенности от всего прочего, т. е. в своей
абсолютной

раздельности

чистой понятийности и
не

участвует. Судьба

и несвязанности ни с чем

прочим,

в своей

категориальности. Никакое инобытие

в нем

такого акта полагания всецело зависит только

от смыслового содержания его самого, и всякое инобытие может
играть тут только пассивную роль, роль той арены, тех подмостков,
на которых
отнесли

развертывается бесконечная

арифметику, алгебру

статочно

ясным из наших

числовая драма.

и анализ, что еще не может

мы

быть до¬

кратких предварительных замечаний

что должно стать ясной системой только в

ответствующих отделов философии
группа

Сюда

результате изложения

числа. Это одна область и одна

аксиом. Это аксиомы интенсивного числа.

143

и

со¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Вторая область,
цание первой,

т. е.

актов полагания.

отмеченная нами в

неразличимость, которая

ложенная

Здесь

инобытие, отри¬

есть

и

отрицание едино-раздельных

Единораздельности

нераздельность, неразличимость,
не та

§ 9,

может

изолированных

противостоять

только

слитость актов полагания. Но это

перво-принцип. Там была

есть

непо¬

неразличимость, неразличимость «как такая», «вообще».

же мы находимся в

сфере реальных актов полагания, и потому
утвержденная, распростертая.

здесь неразличимость положенная,

Там она была перво-принцип, рождающий всякое число

числовую операцию; здесь

же

и

всякую

геометрический континуум

это

геометрическая величина вообще. Таково

и

это экстенсивное число и

экстенсивная аксиоматика.
Интенсивное и экстенсивное число мы

эйдетическое число, которым занимается
определении множеству
деляют

настолько

общо

синтезировали

т. н.

и тавтологично

решительно

ко

д.),

развитие

ного, раз вопрос поднят

в

опре¬

опреде¬

реальному,

Откладывая деталь¬

все же самого

кбирает

геометрическом пространстве дан

самостоятельно

в

наше¬

существен¬

о систематической аксиоматике. И это су¬

щественное укажет нам, что множество

который

и т. д.

—

соответствующего отдела

будем коснуться

го сочинения, мы должны

что такое

всякому предмету

понятия множества до

§ 9

(«совокупность, объединен¬

нереальному, возможному, невозможному
ное

теория

совсем не повезло в математике. Его

ная в целое», «многое, мыслимое как одно» и т.
ление подошло бы

в

множеств. В

гипостазированная

числа. Эта совмещенность

в себя

континуум,

как овеществленная и

инаковость едино-раздельного

арифметического числа

с его инобытием

сказывается в том, что отдельные единицы, «входящие» в число, не
мыслятся здесь

абсолютно самостоятельно,

т. е. в зависимости толь¬

категориальной значимости, [ч]то они мыслятся так или
[ытче] расставленными. Вообще говоря, им свойственна здесь идея

ко от своей

порядка. Разумеется, натуральный
ность. Но это та

ряд

чисел тоже есть

упорядоченность, которая

упорядочен¬

зависит только от смыс¬

лового содержания самих «единиц», т. е. самих актов полагания, но не
от той «плоскости», не от той арены, где происходит их расстановка.
Во множестве же, если оно только
обычного

арифметического

вообще чем-нибудь

числа, мы находим взаимоотношение

элементов, продиктованное также и

ния,

т. е.

формой участия

отличается от

формой

в числе того

144

их

взаиморасположе¬

инобытия,

в

котором произ¬

§ 44. Необходимые предварительные установки
акты полагания, характерные для данного числа. Это

ведены

эйдетическая

будет

аксиоматика.

Наконец, существенно новую отрасль аксиоматики представляют
собой аксиомы теории вероятностей. Эта теория символизирует со¬
бой переход от идеального числа

действительности,
сти» и

и

сферу биолого-социологической

в

тут должен фигурировать учет той «случайно¬

самопроизвольности, которая так отличает жизнь

и

организм

от всякой механической области.
Эти

четыре ряда

аксиом вполне

специфичны. Вырастая на общем

логическом скелете и внутренно определяясь
ческой последовательностью и

шенно

системой,

специфичны, ибо специфичны

те

общесмысловой логи¬

они тем не менее

области,

призваны быть первыми основоположениями.

сберечь

мы и должны

2. Стоит также
го числа и еще

во что

бы

предпослать конкретной аксиоматике раздельно¬

одну установку. Так

схем, то, разумеется,

с

с нашим постоянным

все еще

Эту специфичность

то ни стало.

задачей

как

аксиоматики является

подыскание математического эквивалента для

треблять то,

совер¬

для которых они

первого

термином «акт

что ближе к

общедиалектических

же шага мы должны

будем расстаться

полагания» и вместо него

конкретной

упо¬

математике, хотя и соблюдая

необходимую для аксиоматики общность.
полагания? Покинув сферу неразличи¬

Что делалось у нас с актом
мого

перво-акта,

нии со всем

он стал

раздельным

прочим. Пусть

в «становление» и

формой. Всем

общем,

себе

он со всей своей

и

раздельным

в

сравне¬

раздельностью перешел

через «ставшее» стал некоторой «выразительной»

этим диалектическим моментам должна соответство¬

вать чисто математическая
мом

в

что

терминология. Если

тут происходит

зать, что акт полагания,

остановиться на са¬

с актом полагания, то можно ска¬

разделяясь

и

дробясь

в

себе,

отделяется и от

других актов, хотя и вступает с ними в ту или другую связь. Иначе
говоря, акт полагания начинает входить во взаимоотношение с са¬
мим собою и во взаимоотношение с другими актами. Но что значит
быть во взаимоотношении с самим собою? Это значит быть целым и
иметь части. И такое представление во многих отношениях и доста¬
точно. Нам же невозможно сейчас остановиться на этом, так как тут

фиксируются

только весьма частные

ность, необходимая
рисующими

факты

и не

для аксиоматики. Наиболее

взаимоотношение

соблюдается общ¬

общими терминами,

едино-раздельного
145

акта с самим со¬

III. Основные аксиомы числа (число как

бою, будут термины «совокупность»,
же мы увидим, что
и «часть»,

—

«элемент» и «отношение». Поз¬

равно как

и «целое»,

«совокупность»

суждение)

и «элемент»

пары терминов, самым резким образом отличающихся
также полезно на нашей

между собой;

термин «отношения», вводя

ступени общности

спецификацию уже при

оставить

анализе только

отдельных областей.

Итак,

самое

общее

своими элементами, к

вещей, с которыми

положение

тематическая аксиоматика,

взаимоотношение

—

чему,

имеет дело ма¬

совокупностей

со

собой разумеется, прибавляется

само

и

совокупностей. Отныне мы можем уже не
общелогический
термин «акт полагания», а можем за¬
употреблять
менить его рассуждением о взаимоотношении совокупностей с их
элементами и о взаимоотношении самих совокупностей. Правда,
там, где ясность изложения будет требовать, мы не станем брезго¬
взаимоотношение самих

вать и этой

общедиалектической терминологией.

Необходимо
вокупность»,

термины

всячески

подчеркивать,

«элемент» и «отношение»

что эти

—

суть

три термина

только самые

аксиоматики. Мы сейчас же увидим, как они

ются и по отдельным числовым

диалектического развития

областям,

понятия

—

«со¬

общие

специфициру¬

порядке собственного

и в

«совокупность».

I. САМОТОЖДЕСТВЕННОЕ РАЗЛИЧИЕ

§ 45. Аксиома самотождественного различия
полагает

Перво-акт

едино-раздельность,

общем

смысле.

в

и

себя

бытие,

переходит

из

в

арифметике

неразличимости

если понимать этот

термин

в

в самом

Кроме того, имея в виду, что дальше будет реализация

едино-раздельного бытия

в становление и ставшее, можно с

достаточной выразительностью

назвать его идеальным и соответ¬

этого

ствующие

аксиомы

—

идеальной структуры

аксиомами

перво-принцип уже не идеален; идея есть
он выше этого, т. е. выше,

общее

и

разумная раздельность,

послужит нам

путеводной

в

§ 26

нитью в

мы видели, что «акт полагания»

а

самой идеи.

1. В этой области, однако, где утвержден акт
раздельности, мы произвели

числа. Ибо

в

своей едино-

весьма важное членение, которое

установке

аксиом.

более конкретно

Именно,

может быть

в

§ 26

охарак¬

теризован при помощи категорий различия, тождества, движения

и

покоя. Акт полагания не только есть или не есть он сам и свое иное

146

§ 45. Аксиома
и

(«бытие»

самотождественного различия в

«инобытие»);

едино-раздельность,

различен

акт полагания, если он

или

арифметике

действительно

есть

также

координированная раздельность,

с собою самим и со своим инобытием и тождествен с са¬

инобытием; он, кроме того,

мим собою и со своим

покоится сам в

себе и в ином и движется сам в себе и в своем ином. Это разъяснено
в

§ 26. Удобнее

(в

всего, как мы приняли в

отличие от алогизма

бытие с

инобытием,

различие

и

§ 27,

эти чисто смысловые

становления) категории распределять

или

подвижный покой. Это подразделение

(или идеальной) сферы

так:

определенное бытие; самотождественное

акта полагания мы и

чисто смысловой

применим

к нашей ак¬

сиоматике.
2.

Начнем с категории самотождественного различия. Мы уже

знаем, что отныне число у нас есть не что иное, как определенно

оформленная совокупность
сивного числа, если в этом
выставить на

первый

чия? Заметим,

что

тальным

элементов. Что получится для интен¬

общем

понятии

проведение аксиоматики решительно

областям сейчас было бы

можно было бы считать

нецелесообразно,

аксиомой,

нам пришлось бы в этой главе об аксиоматике

чительную долю содержания

так как то, что

нуя алгебру

и

анализ),

пока аксиомами

в экстенсивном числе

—

числе

теорией

множественного

множеств

континуума

часто
зна¬

Поэтому
арифметики (ми¬

в интен¬

обыкновенной гео¬

метрией (минуя разные другие виды геометрии)
—

теорем;

предвосхищать

самых этих отделов.

ограничимся

по всем де¬

т. е. основоположением, во мно¬

гих отделах математики излагается в виде настоящих

сивном числе мы

элементов

совокупности

категорию самотождественного разли¬

план

и в

эйдетическом

(минуя развитую теорию теоретико¬
и

топологию).

Самотождественное различие арифметической совокупности
самой собой и с

мой

совокупностью
с

нею.

ла

другими совокупностями указывает

совокупности 1)

—

Туг

и

важна

2)

все элементы

в то же

время,

с

на то, что в са¬

различны между собою

и с самой

все вместе взятые, тождественны

специфическая особенность

интенсивного чис¬

быть зависимым только от своего самостоятельного, чисто

смыслового, т. е. в данном случае количественного, содержания и не
зависеть от своего инобытия. Если бы тут была зависимость от ино¬
бытия и элементы не только бы значили каждый согласно своему
смысловому содержанию
имной

расстановки, тогда

(количеству),
и сама

а еще зависели бы от вза¬

совокупность была бы

147

не

просто

III. Основные аксиомы числа (число как

количественной совокупностью,
ифическую,

но

суждение)

содержала бы

элемент, даже взятый

целости, а вся совокупность была бы
«множеством». В

не

арифметическим числом,

своим элементам только в том

взять все полностью. Взятые вместе, они и есть эта

и в

арифметике

своей инобытийности,

играет роль

и нигде не

число тоже не есть

Но мы помним: интенсивная

ная

случае,

если их

совокупность;

и

совокупности нет иного, кроме суммы этих элементов.

3. Строго говоря, целое никогда

стей,

но

арифметическом, т. е. чисто интенсивном, числе со¬

вокупность равняется

ничего в

себе еще спец¬

в

эйдетическую, цельность. И тогда отдельный
сам по себе, уже содержал бы в себе энергию

т. е. чисто

сумма

совокупность

в смысле

равняется сумме

ча¬

всех своих единиц.

есть

в смысле

нулевая

участия инобытия (поскольку тут

только само понятие элементов, т. е. их количествен¬

значимость). Примышлять нулевую инобытийность

продолжать рассматривать целое как простую сумму
только мы, взявши
это взятие есть

простую сумму всех частей, примыслим тут,

нулевое

в смысле

инобытийности,

мым уже перестали иметь дело с голой
тем самым отличили ее как
тили в целость.

не значит

его частей. Как

таковую

суммой

от всего

что

так мы тем са¬

всех частей. Мы

прочего,

т. е.

уже

превра¬

Целость эта, разумеется, инобытийно-нулевая,

а не

инобытийно-содержательная, которая во «множестве» является уже
источником для специфического упорядочивания множеств.
4. Итак, самотождественное различие элементов в арифмети¬
ческой совокупности определяет собой
ность этих элементов

абсолютную изолирован¬
друг от друга, так что арифметическое число

есть составленность из таких элементов,

которые

по

совершенно чужды один другому. Этот же результат
и иначе.

Именно, каждые

ных элемента

ность,

говоря,

будет

(т.

е. чисто

отличаться

мы еще не имеем

«сумма»;

(или несколько)

могут быть объединены

смысловое

ничем не

два

анализ ее

—

в

взаимно

выразить

изолирован¬

самостоятельную совокуп¬

количественное) содержание которой
от их простой суммы. Однако, строго

права

употреблять

такую категорию,

как

дело нашего дальнейшего исследования. Пото¬

му покамест и не стоит вводить этот термин в нашу

получаем такую формулу.
Аксиома самотождественного
тическое число есть

смыслу своему

можно

различия в

формулу. Тогда

арифметике: арифме¬

совокупность абсолютно изолированных эле¬

ментов.

148

§ 45. Аксиома

самотождественного различия в

К этому необходимо прибавить, что,
было бы

говорить здесь

о

себе

как

быть,

точнее и яснее

самотождественной совокупности; эле¬

менты совокупности различны

совокупности

может

арифметике

и взаимно

а в самой

изолированы,

они отождествляются, так что, хотя она дана сама по

единый

нераздельный

и

акт, она все же по смыслу своему

равна всем тем элементам, из которых она состоит. Это и есть само¬
тождественное различие. Однако мы не станем соблюдать здесь пе¬
дантизм в абсолютной мере.

Термин «совокупность» уже достаточно

говорит о том, что элементы как-то тождественны на лоне чего-то
общего и цельного; и,

пожалуй,

не стоит

желую терминологию разными
можно

без

них

и есть

состоящее из этих а и

Ь, то

по этой аксиоме должно

будем

а + b

говорим

то возможны и все
этой

не должна

разумеется, раз

вскрывать

мы знаем,

предустановка

рассматриваться

и вся

весьма

напр.,
ным

в

к

содержания

свете аксиомы

к

аксиомы к

«нулю», «единице»

и

науки должна

не все, что дается в самой на¬

и даже неожиданным. Такая

—

прибегать

содержание науки.

—

только

конкретном содержании науки

применении анализируемой

категориям

не

этого

на степени аксиомы. Аксиома

применение
сложным

наука. Поэтому

ее в

есть сложение,

примером. На точность

полностью

обобщенная форма. В

а

и некое с,

приведенная общая аксиома.

его максимально

уке, очевидно уже

быть

иметь

а считать ее только

только

Она есть только, как

новка,

тя¬

или менее

с.

другие действия. Поэтому лучше

рассчитывать

6. Аксиома

=

о «сложении». Но

буквенной формуле,

может

без того

Ь. Или, выражаясь конкретнее, но при помощи

не вполне ясных пока терминов,

мы

и

более

обойтись.

5. Если есть а

Тут

загромождать

тонкостями там, где

и

предуста¬

может быть

сложность заметна,

трем принципиаль¬

«бесконечности». Разумеет¬

ся, полное понимание этого вопроса может быть только после суще¬
ственного
и

и достаточно

будет дано

обстоятельного анализа этих

проблем,

что

нами в своем месте. Сейчас же мы ограничимся только

самыми общими установками, соответственно общности аксиома¬
тики.
Именно, приложима ли данная аксиома к нулю или нет?
ми словами, можно ли

тождественное

рассматривать нуль как

Други¬

некое числовое само¬

различие, как самотождественную совокупность аб¬

солютно изолированных моментов? На первый взгляд это, конечно,
149

III. Основные аксиомы числа (число как

невозможно.

торой

Однако нуль

не есть

уж такая абсолютная пустота,

ное. Если мыслится

—

это понятие относитель¬

не-пустое и даже прямо наполненное, но что оно в данном

случае отсутствует. А

так как нас

интересует

именно мыслимость, то

ясно, что момент наполненности как-то должен
в

нуле. Но

Нуль
А

о ко¬

«Пустота»
что-нибудь пустое, это значит, что возможно где-

и сказать ничего нельзя.

то и как-то

суждение)

наполненность? Это ведь

и

примышляться

и есть

совокупность.

мыслится только тогда, когда мыслится и некая

совокупность.

так как

отсюда

что такое

есть величина, стоящая в

нуль

необходимо делать вывод,

совокупность,
тов в

е. тождество

их чистой и

условиях

значимости.
нятия

т.

ряду натуральных чисел,

что это именно

самостоятельной,

Итак, идея нуля оформляется

и эта

оригинально,

своеобразием категории

арифметическая

изолированных элемен¬

абсолютно

а не инобытийной

только

арифметической совокупности. Правда,

ет в нуле

то

при помощи

понятие это

по¬

участву¬

оригинальность определяется всецело

самого нуля.

Тут дело не в арифметической

та же самая, что и вообще
принцип
совокупности, которая
но
во всяком арифметическом числе,
дело в своеобразии той сферы,
—

как

—

где этот принцип совокупности осуществлен.
множеств

собой. И
теории

нуль вообще

это

и

нуль-множество

Заметим,

различие совершенно правильное,

множеств

(как

и

большинство

что в

теории

тоже отличаются
хотя и

между

проведено

[других ее] проблем)

в

вполне

слепо и наивно.

нужно сказать

То же самое

понимать

и о «единице». Было

вокупность многих

элементов.

что-нибудь

ство. Мыслить

Единство

единым

возможна и множественность.

друг без друга;

они

тут занимаемся
ница»

грубо

тоже

значит

Единство

предполагает

множе¬

предполагать,

что

тут

и множество немыслимы

друг друга определяют. Конечно, определяют они

друг друга мысленно,

предмет не обязан

—

бы очень

элементов только как со¬

совокупность изолированных

смысловым

быть в то же

как

раз

образом,

время

смысловыми

так как по

факту единый

и множественным. Но ведь мы

определениями. Потому

необходимым образом содержит

в

и «еди¬

себе понятие множествен¬

ности, т. е. совокупности.
Наконец, своеобразно применение принципа самотождествен¬
ного различия
в отмене или

в

сфере

понятия

бесконечности. Тут тоже

ограничении аксиомы,

но в

все дело не

своеобразии сферы,

где

она применяется. Что бесконечность есть совокупность изолиро¬

150

§ 46. Аксиома

самотождественного различия в геометрии

ванных элементов, это едва ли вызовет сомнения.
бесконечность есть не только

Тут

важно то, что

совокупность изолированных

ментов. Бесконечность есть что-то и

другое,

эле¬

так как невозможно по¬

лучить бесконечность из конечного числа путем последовательного

прибавления
сторона

аддитивна,

единицы. Бесконечность не

и вот эта-то

и не схватывается вполне аксиомой самотождественного

различия. Однако эта аксиома
выражать

все

точно того, что она

выражает

это свойство бесконечности

элементов

не единственная, и она не обязана

решительно свойства арифметического

числа.

Доста¬

только одно несомненное свойство. А

—

быть совокупностью изолированных

вполне несомненно.

—

Переходим теперь

к

экстенсивному числу.

§ 46. Аксиома самотождественного различия

в

геометрии

1. Что даст категория самотождественного различия в экстен¬
сивном числе, т. е. прежде всего в
на

геометрии? Геометрия вырастает

отрицании чистого числа; она есть утвержденность отрицания

чистого числа, его

гипостазированная инаковость. То,

называется геометрическим «пространством»,

простертость

чего-то. Чего же?

Число здесь не есть та
с

которой

покинуло свою

категории

—

и как

и значит, что оно

которой

в

что

обычно

именнорас-

не чего иного, как числа.

внутренно раздельная структура,

арифметике.

отрицание тут утвердилось,

структура,

и

самособранность

распростерлось. Это
это

простая

мы имели дело в

Конечно,

есть ведь

Число тут вышло из себя,

бы расплылось, размылось,

перешло

в свое

отрицание,

и

оно положено как самостоятельная

находятся те же самые

общеарифметические

напр., самотождественное различие,

—

но находятся в

совершенно новой форме, форме той инобытийной модификации,
которую претерпевает здесь
дественное

различие

в этой

и все число.

Итак, что же такое самотож¬

инобытийно-числовой геометрической

области?
2. В интенсивном числе совокупность элементов
даны

просто,

сами по

которое свойственно
вокупность

не

себе,
в

и

элементы

различия, кроме того,

им самим. В этом смысле

содержит

ным содержанием

в них нет никакого

арифметическая

себе различия между своим количествен¬

и актами своего полагания.

Это различие тут не

положено, его нет. В геометрической величине число перешло

инобытие,

т. е.

со¬

произошел разрыв между
151

в свое

его количественной значи-

III. Основные аксиомы числа (число как

мостью и его

странство

бытием,

актами его полагания.

есть инобытие

суждение)

Геометрическое про¬

числа; это значит, что

арифметического

тут иное, противоположное взаимоотношение смысла
и

Арифметическое
которой
некое

число

есть такая

совокупность элементов,

сколько актов полагания, столь же велика и сама

ность. Вся

и]

(количества)

факта (актов полагания).

совокупность дана сразу, самотождественно,

определенное

количество

в

совокуп¬

но в ней

[есть

разных изолированных актов

по¬

лагания. И сколько оказалось таких актов полагания, такова и есть
количественная значимость этого единого и

общего

акта полагания

цельной совокупности. В геометрическом инобытии
иное отношение.

вокупности

—

Здесь

Перейти

себе, забыть о себе, стать

в

инобытие

превращена тут

вокупности

мы ясно

—

в нечто

геометрической

значимость совокупности;

неразличимое. В арифметической

различали отдельные элементы;

была так велика, что элементы такой совокупности

и все элементы слились в одно

погасла эта изо¬

неразличимое тожде¬

ство. Тем не менее акты полагания этих слившихся элементов

совершенно различны,
ство. В
ния
В

и их очень много, их

арифметической совокупности

(элементов),

столь велика была и

геометрической

же

совокупности

со¬

и эта ясность

мы назвали выше

изолированными. В геометрической совокупности
лированность

она

значит стать иным

не тем, что было раньше. В

совокупности забыта арифметическая
она

находим

идеей, когда

так же, как это бывает и со всякой

переходит в инобытие.

мы

замолкает количественная значимость со¬

тут

бесконечное количе¬

сколько было актов полага¬

совокупность

этих элементов.

вовсе не столько различимых

элементов, сколько актов полагания. Актов полагания тут бесконеч¬
ное количество, а различимых моментов нет ни одного.
Вот это-то и значит, что
ством или,

говоря вообще,

с

тут

мы имеем дело с

континуумом. Континуум

бесконечно большое количество актов полагания, но
мя

—

ство,

полная их взаимная
т.

неразличимость. Это-то

е.распростертосты

своему факту

смыслу

она есть

раз

и есть

в то же

и есть

вре¬

простран¬

актов полагания, или элементов, очень

много, а в смысловом отношении они

такая

простран¬

как

совершенно неразличимы;

совокупность бесконечно велика,

совершенный нуль,

полная

по

а по своему

неразличимость

и само-

тождество.

Такое

положение дела, очевидно, есть диалектическая

152

противо-

§ 46. Аксиома
положность

самотождественного различия в геометрии

арифметическому числу.

В последнем число элементов

определенно и соответственно определяется их совокупностью; в

геометрической
велико,

же

совокупности

число элементов

неопределенно

а на определенность самой совокупности это ровно никак

не влияет, так что она остается по

смыслу своему без

всякого

опреде¬

ления.

Отсюда

функция рассматриваемой

становится ясной и

тегории самотождественного

различия

в

ской совокупности. Эта категория, действуя здесь
видно,

различает

и отождествляет элементы

бытийном положении,
но их

т. е.

различает

нами ка¬

инобытийной геометриче¬
в

инобытии,

совокупности

и отождествляет не их самих,

инобытийные корреляты. Что тут значит

«различает»? Это зна¬

чит различает не их самих (сами они, как мы знаем, остаются
но только акты их полагания,

тинууме неразличимыми),

самый

акт полагания

необходимо инобытиен

именно полагается. А что значит, что эта

ет»? Это значит,

их

различны,

совокупности никогда

солютной точностью

поскольку

категория «отождествля¬

(самые

и отождествление их в единстве

не помешало бы этой

отражать

в кон¬

в отношении того, что

что она отождествляет не самые элементы

элементы были бы всегда

оче¬

в их ино¬

с аб¬

совокупности

себе все различие элементов); и,

на

отождествляя не самые элементы, категория самотождественного
различия отождествляет только
ждествляет

их только так, как

инобытийный коррелят, т. е. ото¬

их

способно инобытие; происходит не

столько отождествление, сколько объединение, так как инобытие по
самому существу своему не способно на абсолютное тождество.
3. Сейчас на примере это станет вполне ясным. Акту полагания
арифметической совокупности соответствуют «единицы»; акту по¬
лагания в геометрической совокупности соответствует «точка». Если
в

в настоящем месте нашего исследования не может еще стать

ясным,

что такое самотождественное

не вскрыта вся диалектика
это
что

то,

сразу должно

будет

с нею, если

что мы должны

точка может

в «точке»

к ней

другую

осуществится. Итак, уже

она дается в

та же самая точка, и наша

арифметическом
153

эта

дру¬

категория

категории различия видно,

области инобытия. В

случае,

спросим,

точку. Другой

быть, очевидно, реально тогда, когда
на

еще

категорию различия. Будет

помыслить еще

будет

и

сразу

(ибо

то на «линии», во всяком

Именно, пусть дана точка;

применить

будем

гом месте-, иначе это

всецело в

точки),

стать ясным.

различие

что

тут

не
мы

числе нет этого

III. Основные аксиомы числа (число как

«другого места»;

там есть только

«места» не мыслится.

Вернее,

в виде чисто смыслового же

бытия, ибо без

инобытия,

акт полагания дан отлично от

число как таковое,

перешло

в этой новой

—

различие
различие

«мест» в

действует

другого

инобытие

Отсюда

инобытийной

положенных актов

Но ведь у

смыслового ино¬

и

—

В геометрической

инобытием.

актами полагания,

своеобразие различия,
совокупности. Это

есть

целокупного числа, являющее себя

зываются

изучаемом инобытии

эта

инобытийные моменты, как

тут

различие. Как

категория тождества? Тож¬

вым, но

Итак,

«местами пространства». Что же значит отождествить

забудем:

есть,

что же значит

нами две

пространственным, отождествлением.

т. е.

пространственно отождествить две точки? Это

объединить,

таким

различенные

отождествление должно быть не чисто смысло¬

инобытийным,

значит их

мо¬

мы только что видели, ока¬

два таких «места»? Что значит отождествить
точки? Не

как

пространстве.

дество должно быть здесь, очевидно, тождеством инобытийных
ментов. Но

от¬

и хочет воплотиться

нас не различие, а самотождественное
в

Тут не

и «находится» «вне»

внутренними

в свое

вне себя самого.

осуществиться

царящего

внутри

неразличимый перво-принцип.

его, но все число, со всеми своими

же

т. е.

мы имеем дело с ewe-числовым

совокупности

и

акт полагания, а никакого

там тоже мыслится «место», но только

такого инобытия не было бы и самой раздельности

в числе, а был бы

дельный

другой

суждение)

образом,

т. е.

провести между

ними

прямую. Прямая

точка, данная как самотождественное разли¬

чие. Этим мы нисколько не определяем еще прямую. Как увидим в
своем месте, это определение, если гнаться за его диалектической
точностью,

будет гораздо

сложнее. Но мы сейчас и не хотим давать

определения отдельным геометрическим совокупностям. Тут совсем
не место. Но мы

понимать

привели

очень

хороший пример

функционирование самотождественного

того, как нужно
различия в ино¬

бытии и каковы подлинные инобытийные свойства совокупности,
когда она перестает быть

арифметическим числом и переходит в ге¬
ометрический континуум. Чистый континуум, конечно, не дает фи¬
гуры,

и

потому различные отдельные

вому содержанию просто совпадают;

точки его по

их

тождественно простому

их совпадению. В

объединение переходит

из

лучаем линии,

154

смысло¬

фигурах же инобытийное

нулевого состояния

плоскости и тела.

своему

инобытийное объединение

в

реальное,

и мы по¬

§ 46. Аксиома
4.

Теперь

мы

самотождественного различия в геометрии

формулировать

можем

и

обследуемую

нами ак¬

сиому.
Аксиома самотождественного различия
трическая

величина есть

совокупность элементов, абсолютно изолирован¬

ных по актам своего полагания и
по

геометрии: геоме¬

совокупность абсолютно изолирован¬

инобытии. Или подробнее: геометрическая

ных элементов в их

величина есть

в

тождественных, неразличимых

своему смысловому (чисто количественному) содержанию

различимых,

но

—

вне своих чисто смысловых

различий.

или

Или еще:

совокупность элементов, различающихся по актам своего внеш¬
него полагания и отождествленных в результате такого внеш¬
него полагания.
Аксиомы науки суть высшая и наибольшая общность всех суж¬
дений, из которых состоит данная наука.
читься

вперед

предложенной формулировкой

приближаясь

и

тики, мы можем дать

позднему

по

аксиоме,

употребили термины
же

и «телах»
но

позже.

—

аксиома¬

этого

к

своему логическому месту
тут

понятия и

придется употреблять

их

тер¬

гораздо более

придется употреблять

в том

сыром

перейдя

к более

«сложение» и

конкретному изложению,

«арифметическое действие»,

совершенно никакого диалектического

вкладывая в них пока

Здесь

ограни¬

Однако, забегая

они имеют в нашем повседневном сознании. Так же и в

предыдущей

ла.

аксиомы.

ряд основоположений, которые будут гораздо

изложению. И

виде, какой

можно и

обычному стилю геометрической

к

конкретнее. Правда, для
мины, относящиеся

Поэтому

придется заговорить

всех

решительно

раскрытию логической тайны

говорящей

смыс¬

мы дадим значитель¬

аксиоматиков дело обстоит

не иначе. Можно сказать, что никто еще не посмел

только ничего не

не

о «точках», «линиях», «плоскостях»

категориях, диалектику которых

Правда, у

мы

этих понятий и все

прикоснуться

к

ограничиваются

ссылкой на их общезначимость и об¬

щепонятность.
Именно, как мы видели, самотождественное различие точки,
вообще говоря, есть прямая. Точно так же можно сказать: самотож¬
дественное различие

различие
более

прямой

есть

плоскость;

самотождественное

плоскости есть тело. В соответствии с этим можно в таком

конкретном виде представить общую

самотождественного различия
1. Две различные

в

и

отвлеченную аксиому

геометрии.

точки вполне

определяют собою прямую.

155

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

2.

точки, не лежащие на одной

Три

собою

прямой,

вполне

определяют

плоскость.

3. Четыре точки,
ляют собою

Общая

одной плоскости,

не лежащие в

вполне

опреде¬

тело.

пространственное

аксиома у нас гласит: геометрическая

совокупность

—

та¬

которой абсолютно изолированные элементы
совокупность,
даны в своем инобытии. В приведенной конкретизации: абсолютно
в

кая

изолированные
быть сколько

элементы

угодно); совокупность

точек; инобытие

—

это

5. На

основании

две, три, четыре

их

переходят

отождествление то¬

трех указанных конкретных
и

Гильберт,

аксиом самотожде¬

другие основоположения,

конкретнее

реальное содержание геометрии

сиоматики, и в том числе

может

объединение.

чем дальше, тем становятся все
в

(их

это отождествление данных

различия должны возникнуть

ственного

которые,

—

—

общепространственное

общепространственное

чек,

точки

суть

как

и

конкретнее

науки. Многие

и

ак¬

помещают, однако, в число акси¬

ом и такие основоположения, которые отнюдь не являются самыми
первыми и легко выводимы из трех

Так,

в этой

формулированных

группе аксиом, которая у Гильберта

и

нами выше.

у других называет¬

ся «аксиомами сочетания» (очевидно, соответствует нашей группе
аксиом самотождественного различия), Гйльберт помещает кроме
аксиомы об определении прямой двумя точками еще следующие

ак¬

сиомы.

а) «Любые две различные точки прямой определяют эту прямую»
(I 2)*. Эта аксиома, очевидно, есть повторение или в крайнем случае
детализация первой, ибо когда говорится, что две точки определяют

какие-нибудь особенные точки,

прямую, то имеются в виду не

сто точки вообще, всякие точки,

прямой, лишь

бы они были

в том числе и лежащие на

различны,

а про¬

данной

т. е. лишь бы они находились в

разных местах. Таким образом, уже первая аксиома говорит о любых
двух точках,

Раз

мы

и

вторая

аксиома только словесно отличается от

уже постулировали,

ляют собою

что две

различные

прямую, то, поскольку здесь

ограничений, совершенно свободно
любые две различные точки,
ной

прямой. Поэтому

‘

Здесь

и ниже

с нем.

—

виду как вообще

различные

общности первой

и

точки дан¬

второй

аксиомы

кн. Д. Гильберта «Основания
Пг., 1923) (ред).

нумерация аксиом дана по

геометрии» (русский перевод

первой.
опреде¬

не высказывается никаких

можно иметь в

так и любые две

степень

точки вполне

156

§ 46. Аксиома
у

Гильберта

самотождественного различия в геометрии

случае неодинаковая: вторая аксиома

во всяком

вполне

случай первой.
Ь) «На прямой вообще существует по крайней мере две точки»
(I 3). Эта аксиома с логической точки зрения также есть не больше

определенно

как

сырой материал

сказано,
то

есть частный

уже

что две точки вполне

во всяком

Во-первых, если уже

и полезный.

определяют прямую,

случае должны

это возможно, чтобы
этих

быть,

может

—

прямой. Как же

прямая определялась двумя точками,

а самих

двух точек на ней не было бы? Это нелепость. Во-вторых, данная

аксиома могла бы получить определенный смысл
бы

то ясно, что они-

иметь место на этой

могла

прямая

быть

определена

не только

точками. Тогда аксиома I 1 говорила бы

определения прямой двумя точками,

постулат

двух

о двух точках на

если

двумя различными

точками

необходимости.

между прочим,

так

точек на ней и не оказалось бы. И тогда

прямой действительно был бы

Если это так, то как же еще можно

Гильберта

случае,

только о достаточности

а вовсе не о его

Мы тогда определяли бы прямую двумя
как возможно, что этих

в том

определять прямую,

—

новостью.

в аксиомах

ничего не сказано.

В-третьих, Гильберт

как бы

рассуждает

так: я ничего не знаю о

том, что такое точка, прямая, и плоскость, и
сто какие-то «системы

еще условливаюсь;

вещей»,

и если я

о смысле

постулирую,

прямой, определяется двумя

пр.; для

которых

я

меня это

про¬

впервые только

что некая вещь, называемая

точками, то это еще не значит, что две

точки обязательно в ней содержатся, подобно тому как, определяя

близорукость диоптриями,
в

вопросе

о том, что такое

средствами
ся весь

ее можно

я этим еще

ровно

ничего не

близорукость вообще

определить. По-видимому,

секрет гильбертовских

прямая; и, определивши

аксиом.

предрешаю

и какими

в этом и

вообще

скрывает¬

Гйльберт «не знает», что такое

ее двумя точками, он еще «не знает», имеют¬

ся ли эти две точки на ней

фактически

ко, для философа есть жалкие

или нет.

и наивные

Такая позиция, одна¬

потуги

на

критицизм

и на

логику.
В

самом деле,

что такое

Гйльберт действительно не знает,
«условился»: будем называть прямой то,

допустим,

прямая. Вот

он

что

что определяется двумя различными точками. Если он действитель¬
но «не знал» прямую, а знал только точки

прямой

—

тоже

неизвестно),

«определяется»? Нам

то мы

вправе

(почему

его

точка понятнее

спросить:

а что значит

известно только, что такое точка, и мы говорим:
157

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

«Прямая определяется двумя точками».

Но что же это такое «опреде¬

ляется»? Если одна точка не есть прямая и
же две точки «определили»

откуда

другая

не есть

прямая,

то

Если имеется два голод¬

прямую?
Гильберт утверждает, что два го¬

ных желудка, то на каком основании
лодных

желудка определяют один сытый желудок? Или

ление» употреблено у Гильберта

лизированном

смысле: тогда

ровно ничего не

говорит,

в

Гильберт

тоже

свое

«определение» прямой через две

это

пустые звуки,

«определение»

мы приставляем к двум точкам

постулат о

но тогда

наличии

определении прямой двумя
Как

образец

привести

«определяют» мы

«через» Л

и

употребляем

понимает в обычном
—

прямой;

—

правда,

смысле, когда

линейку и реально проводим прямую;

двух точек

на

Гйльберта

будем употреблять

прямой уже содержится

в

в

этом

отношении

можно

и

другое,

—

напр.,

а

«проходит»

а «соединяет» Л «и» В или а «соединяет» Л «с» В.

которая

также

Л и т. д. Если Л лежит на

то мы

наличие двух точек на

2 его «Оснований геометрии»: «Вместо термина

«через» В,

Если Л есть точка,
мы

§

точки

действительно

точками.

наивности

слова из

и тогда

но зато вполне ясном

совершенно наивном,

«опреде¬

совершенно неясном, непроана¬

надо еще отдельно постулировать
или

это

с

другою точкою определяет прямую а,

выражениям
прямой

говорим: «прямые»

а «и»

а и

[Ь]

«лежит на» а,

сверх

этого на

«имеют

«существует

то

точка»

другой прямой [Ь],

общую точку Л»

и т. д.». Эти

слова наивны потому, что они беспомощно открывают тайный ин¬

туитивный корень всего гильбертовского формализма. Оказывается,

«определение» это и есть не что иное, как обычное помещение двух
прямой. Но тогда уже в первой аксиоме содержатся все про¬
чие «аксиомы сочетания» о точках и прямой.
с) Гильберт
формалист; он хочет изгнать всякую интуицию из

точек на

—

математики и заменить ее логическими

определениями. Пуанкаре*

«Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в
форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не

пишет:
такой

понимало бы

прямой,

их смысла,

ни плоскости.

потому

что никогда не видело ни точки, ни

Рассуждения должны,

по его мнению, приво¬

диться к чисто механическим правилам; и для того чтобы строить

не зная, что они,

*

рабски прилагать

правила

к аксиомам,

собственно, выражают. Таким образом

можно было

геометрию, достаточно

эти

См.: Д.Птъберт. Основания геометрии. Пг., 1923. С. 109.
158

§ 46. Аксиома

самотождественного различия в геометрии

бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая,
потому что
по

будет понятно логическое
крайней мере ничего в ней не видя.

сиомы в

логическую машину, напр.,

Джевонса,

Таким

образом,

в изгнании всего

вся

тавтологии в аксиомах,

и в замене его

и можно

то все

d) Такая

повторения

выше и с

и

которыми

самая обыкновенная ин¬

«лежит на», «соединяет» и пр. Она не уни¬

Гильберт ставит в кавычках. Но я по¬

«определение» прямой двумя точками

прочие аксиомы уже

аксиомах.

что

ниже. Но вот оказывается, что в самое

чтожается оттого, что эти слова
если

те

оправдать

самую душу геометрии введена

туиция: «проходит через»,

Стенли

логикой, потому

которые были отмечены

придется встретиться

начало, в

вторяю:

Можно было бы вставить ак¬

в логическое пианино

геометрия».

интуитивного
зрения

но

предприятия Гильберта заключается

весь смысл

только с такой точки

нам еще

бы

и из нее вышла

предложений,

сцепление

в ней

же тавтология и

есть

интуиция,

содержатся.

путаница у Гильберта

и в плоскостных

О том, что любые три точки плоскости, не лежащие на

одной прямой, определяют эту плоскость (I 5), говорится уже

в

основной аксиоме об определении плоскости (I 4). Аксиома же
I 6: «Если две точкиАпВ

прямой

а лежат в плоскости а, то и всякая

прямой а лежит в плоскости

точка

я» есть не что иное, как следствие

аксиомы

11, потому что если линия вполне определена двумя любыми

точками,

то ясно тавтологически, что, какие бы две точки на этой

прямой

ни

были взяты, они

а если вся линия

—

будут относиться

именно к этой

на плоскости, то и любая точка ее

прямой,

необходимо

на той же плоскости. Аксиома I 7 о том, что «две плоскости имеют
по

крайней мере

также

есть

две общие точки, если имеется одна общая точка»,

только

из

следствие

точками, не лежащими на одной

Что же

касается

мере четыре точки,

почему-то

не

последней

определения

плоскости

тремя

прямой.

аксиомы 18:

не лежащие в

«Существует по

меньшей

одной плоскости», то, во-первых,

здесь то, что именно определяется

сформулировано

этими четырьмя точками, т. е. тело, в то время как в предыдущих акси¬
омах

формулировалось

Во-вторых же, самый

определяемое (линия

и

плоскость).

формулировки этой аксиомы произво¬
впечатление своей сугубой осторожностью

способ

дит несколько наивное
и

именно

трогательно-деловитым критицизмом. Если Гильберт считает,

признание четырех точек

не в

одной
159

что

плоскости есть ничем не до-

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

казанная предпосылка геометрии, вводимая нами на веру и потому

фиксируемая
но

проявить

можности

ности

в виде аксиомы, то ведь тот же самый

и к возможности

двух точек вообще. По-моему, также

одной какой-нибудь

в той же

точки
что и

мере сомнительно,

надо было бы ввести еще

три

«Существуют

одна точка»;

ществуют

трех

по

как и всякое

достоверность

вынести

суждать

возмож¬

мере достоверно

признание четырех

точки не на

и

точек И тогда

одной

линии».

Это,

ко¬

пусто. Все геометрические фигуры, равно
число или

достоверности

действие, совершенно оди¬

и очевидности; и

сразу раз навсегда

ся логической системой того, что остается

же о

признание

«Существует по крайней мере
крайней мере две разные точки»; «Су¬

по

арифметическое

наковы в смысле своей

и

в той же

мож¬

и к воз¬

аксиомы:

крайней мере три

нечно, было бы наивно и

ровно

критицизм

одной линии,

точек не на

достоверности

и

за скобки и

внутри

нужно эту

ограничить¬

этих скобок. Рас¬

реальности предметов

знания

вообще

не дело математиков.

е) Но попробуем стать на точку зрения самого Гильберта, который
не хотел

подчеркивать достоверность трехмерного пространства

(хотя даваемая

им

формулировка

и вводит в

«аксиомы

заблуждение),

возможно

короче выразить

аксиома 18

уже предполагает существование трех

а хотел

(потому

сочетания»

точек не на

что

одной

прямой, существование двух точек, различных между собой, и,
наконец, существование одной точки). Если подходить к аксиоме 18
именно так, то здесь получится некая невязка: предметную общность
аксиом Гильберт заменяет внешнею общностью, которая если
имеет

какой-нибудь

смысл, то только чисто

интуитивный.

и

Если

имеется трехмерное пространство, то всякий скажет, что тем самым
имеется и двухмерное, и одномерное; и для краткости речи, конечно,
можно сказать, что пространство по меньшей мере трехмерно. Но
эта краткость речи не имеет ничего общего с аксиоматической
общностью. Все равно смысл того, что
сиоме I

8,

заключается именно в

странства одного, двух, трех

двух
ка

—

измерений.

И если

Гильберт ска¬

существование двух

этом, по-видимому, смысл такой краткости

гически также и из одного
—

хочет сказать в ак¬

утверждении существования про¬

и т. д.

жет, что из 18логически вытекает

мерений (в

Гильберт

три (подобно тому

тройку

и т.

д.)

измерения

вытекает два

как единица

речи), то ло¬

измерения,

а из

предполагает двойку, двой¬

и логически с таким же

160

и одного из¬

успехом

можно было

§ 46. Аксиома

самотождественного различия в геометрии

бы вместо аксиомы I 8 сказать: существует по меньшей мере одна
точка.

Беда

ни

двойку,

мерное,

из

так как все эти

из наличия

переходы
не

четырех

одной прямой

определения прямой,
существовать,

заключается, что

нятий,

но

не

получить двух¬

логические. Из того,

что

и

существует

плоскости

что

ровно

существуют

и

прямая;

не

три

и

следует

точки не

Если идет дождь,

от этого полезно, хотя,

полезен. И из того, что точка полезна

прямая обязатель¬

вовсе не вытекает, что

если

существует

точка. Все дело в том-то и

просто формальная связь абстрактных

интуитивная очевидность

и

тут даже

по¬

вовсе не понятия, а

факты. Только интуитивно одно измерение пред¬
так как если мы фиксируем прямую, то тем самым

математические

полагает другое,
косвенно

тут

зре¬

получить

просто

посеянному хлебу

вообще говоря, хлебу дождь
но должна

нельзя

вообще различные точки.

или две

то это еще не значит, что

для

одной

следует),

не

не

следует,

точек не в

(формально-логически

стоять на точке

то ни из единицы нельзя

одномерного пространства

существует точка, ровно

что

на

действительно

только в том, что если

абсолютного формализма,

ния

фиксируем

и

плоскость,

на

которой

она находится. Но

Гйльберт изгоняет всякую интуицию.
Будем

понимать под логическим отношением то,

ное, что имеется каждым в

виду, когда заходит речь

простое

и яс¬

о логике. Логиче¬

что-нибудь это значит выводить его как частное из
чего-нибудь общего или как общее из чего-нибудь частного. В этом
смысле точка ни в каком смысле не есть ни что-нибудь общее для
ски определять

—

прямой, так как,

сколько бы мы ни

лучили бы прямую

прямая

не есть

дробили точку,

мы никогда не по¬

в качестве логического вида понятия точки, ни

что-нибудь общее

для точки, так как, сколько бы мы

дробили прямую, мы никогда не получили бы точку ни как вид
понятия прямой, ни даже просто как часть самой прямой. Точно так
ни

—

же никаким ни логическим, ни
жем

получить

из

мы ни

мерения

к

дробили

в этом же смысле

измерению,

заключение,

его как некое

некую большую вещь

дробили

мы не мо¬

трехмерного пространства двухмерную плоскость,

сколько бы мы ни
виды или как

материальным переходом

но чисто

мы

общее

понятие на частные

на меньшие части и сколько бы

самую

совершаем

интуитивное. И

плоскость.
не

Переходя

от из¬

силлогистическое

если в аксиоме

умо¬

Гильберта

I 8

прочие измерения содержатся геометрически, то это значит только
161

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

то, что геометрия вовсе не есть логика и что различные измерения

надо было бы с

связаны между собой совсем не логически.

Поэтому

точки зрения

выставлять бесконечное

гильбертовского формализма

количество аксиом о

существовании измерений (ибо измерений

количество).
Не
f)
нужно перевирать

—

тоже бесконечное

аксиоматики. Из того, что

существует вообще

возражения,
трактовать

когда
как

эту

гильбертовской

критику

критикуется формализм

права интуиции, совершенно
и

всю

не

следует,

в математике.

Это самый

защищаемое

вами

единственное

вами

и защищаются

что только одна

интуиция

бездарный способ

положение

допускаемое.

начинают

Читателю

не¬

безызвестно, что настоящее сочинение излагает диалектические
основы науки, а для диалектики и

формализм, и интуитивизм есть
противоположности, которые в конкретной науке слиты в
нерасторгаемое единство. Гильберт не дает никаких определений
понятиям
точки,
прямой и пр., хотя с точки зрения своего

только

формализма

он и обязан был сделать это в

наука должна

всякая

дефинициях,

основываться на
мы

которые

первую голову. И вообще

некоторых первоначальных

постулируем,

ни

несмотря

права интуитивных данных. Всякая интуиция должна

на

какие

иметь свой

поэтому никто не может упрекнуть автора
коррелят,
этой книги в абсолютизации данных интуиции. Но Гйльберт нетол ько

логический

—

не хочет давать этих
их дать,

потому

первоначальных определений. Он

что всякое логическое

определенной интуиции,
получается

он

элементы

Поэтому,

есть

начисто

коррелят

отрицает. И

почему рассматриваемые

образуют

отказавшись

определение

последнюю

основная неясность,

метрические
ния».

а

и не может

от

им гео¬

именно такие, а не иные «сочета¬

определений

вначале,

он

пыта¬

ется проводить их в дальнейшем, протаскивая интуицию испод¬
тишка.
Нечего и говорить о том, что никакая логика, даже самая пра¬
вильная, никогда не угонится за непосредственным опытом.

Посту¬

лируя, напр., что прямая имеет по крайней мере две точки, он должен
постулировать наличие трех, четырех и т. д. точек, потому что, как
хорошо знает с самого начала всякий интуитивно, любая прямая со¬
держит бесконечное количество точек. Но
ет». А тогда мало сказать, что

Гильберт

прямая содержит

по

этого «не зна¬

крайней мере две

точки, так как отсюда еще вовсе не вытекает, что прямая содержит

162

§ 46. Аксиома
три точки. Если для

вытекает из самого
выставлять особый

формально

трех

самотождественного различия в геометрии

Гйльберта наличие двух точек на прямой еще не
факта прямой и приходится по этой причине

постулат

о двух точках, то из наличия

тоже вовсе еще не вытекает наличие

не вытекает наличие

четырех

точек на

трех,

двух точек

а из наличия

прямой. Другими

слова¬

ми, опять-таки, только написавши бесконечное количество аксиом,
можно было бы
и самой

охарактеризовать прямую

как она есть.

Да, впрочем,

бесконечности тут не хватило бы, потому что никакая бес¬

конечность точек все равно не может составить одной

прямой.

Но

эта нелепость всегда была там, где рассудок садится на место интуи¬
ции.

Гильберта

Наконец, совершенно неудовлетворительно у
нимание всего этого

kniipfung).
плоскость

раздела

—

тремя

точками не на

одной прямой,

что тут имеются в виду

«сочетание» не есть

и

то

Гйльберт

заголовок этого

пространство

не

всерьез

говоря

назвать

о всех

прочих измерениях. И

1) столкнулись бы

везде абсолютно тождественна самой

Затем 2)

мы

увидели бы,

себе,

с тем

3)

—

различны. Наконец,

не может

ком

случае

тут браться

ли

бы только

могут быть разными

что точки все

в

разных местах»);

это самотождественное

различие

единицы и вместо

прямой

различие погрузить

ибо

возможным

пространству,

т. е.

в та¬

из двух точек мы име¬

в

инобытие,

это са¬

т. е. надо, чтобы

а самотождество стало постоянным

самопротивоположением. Тогда
гающееся безразличие,

точки

бы точки не как точки, но как отвлеченные

различие стало безразличием,

к

мы ее ни

отвлеченную арифметическую двойку. Надо

мотождественное

впервые

что точка

бы виде

во всей своей смысловой чистоте,

мы понимали

арифметические

фактом,

в каком

(или, обывательски говоря, могут «находиться
они

получим

если бы мы за¬

ту категорию, под которой существуют все

эти аксиомы, мы сначала

брали.

разряда

вовсе не есть сочета¬

ние точек. Как бы мы ни «сочетали» точки, мы никогда не

даже прямой,

на¬

сочетания элементов

просто

просто условный

аксиом). Прямая, плоскость

хотели

по¬

(Ver-

Если прямая определяется двумя различными точками,

прасно думает,

(если

и

аксиом как аксиом сочетания

мы

получаем самопротивопола-

т. е. алогическое становление, а это и делает

перейти

от

арифметики

впервые дает

геометрии,

от числа

возможность сплошным

образом

соединить две различающиеся точки.

Пусть у

к

нас имеются две

личные точки. Это еще не значит, что у нас есть

163

прямая,

раз¬

так как

тут

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

пока только чисто
тождественное
две точки

различие

в

каждый

отвлеченно-смысловое само¬

точек. Но вот мы

переходят одна

щейся (или
е. в

арифметическое,
в

другую

в

представили себе,

что эти

порядке самопротивополагаю-

момент все новой и

новой) неразличимости, т.

порядке инобытийной структуры самотождественного различия

Тогда

точек.

прямую,

это значит, что мы от одной точки к

другой проведем

впервые получим самую прямую, ибо между

т. е.

двумя точками появилась целая
не отличны одна от

бездна различных точек,

нашими

но все они

другой.

И вот этот сложнейший диалектический процесс конструиро¬
вания

прямой

Гильберт хочет

из точек

перепрыгнуть одним глупым

словечком «сочетание».

Общую установку для диалектического получения основных гео¬
метрических элементов читатель найдет ниже, в § 55.3,4.
§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств
1. Множество отличается от простого
инобытийным

арифметического

гипостазированием входящих

дальнейшей идее упорядоченности,

тождественны и

различны,

различны. Но

ново отличается от

в

модифицирует принцип
своеобразно, совсем не ариф-

геометрично. В арифметическом

единицы и тождественны, и

—

что и

самотождественного различия вполне
метично и совсем не

числа

в него единиц или

числе все

и во множестве все элементы

во множестве

другого элемента; тут

каждый

как бы

элемент еще за¬

различные

едини¬

цы. И понимать это надо не в том смысле, что эти единицы только
различны, а в том, что они,

будучи

одновременно положены

ми,

ное

различие

геометрии),

оказывается

хотя это

в

различными,

инобытии,

отличие от

образом. Каждая

и тождественны¬

так что самотождествен¬

здесь положенным

инобытие (в

здесь только числовым

и

в

инобытие

геометрии)

(как

в

мыслится

единица оказывается здесь

как бы меченой, откуда подобное инобытийное гипостазирование
и является зародышем идеи порядка, перво-принципом упорядочи¬
вания. Таким
нечто,

образом,

указующее

в

глубине

на то, что

жет быть мыслимо как

самого понятия множества лежит

принципиально

упорядоченное

всякое множество мо¬

и даже как вполне

упорядо¬

ченное.
Во множестве отдельные единицы различны', и

ся,

что не важно, чем они

при этом говорит¬

различны: значит, тут играет роль
164

сама ка-

§ 47. Аксиома

самотождественного различия в теории множеств

тегория различия. Но единицы
бою: значит, имеется

в

виду самотождественное различие. Наконец,

поскольку единицы самотождественно различны
метическом числе,

между со¬

эти также и тождественны

ариф¬

и во всяком

спецификум

искать

приходится

еще в другом. А

это и есть инобытийное полагание самотождественного различия,
но без
2.

геометрической пространственности

Однако необходимо

ду неясностей, царящих
ческой невязкой в этом

в самой

вопросе

определяют без помощи

ное множество» и даже «вполне
же

существует утверждение,

вить как вполне

существует термин «упорядочен¬

упорядоченное множество»,

имеет никакой логической школы

лировкам

и не словесным

и

шаг за

шагом

числовым

тут

предста¬

которых совершенно

ума. И она весьма затрудняет
заставляя

материала,

верить

не

по¬

форму¬

не

(главным образом буквенным

значковым) нагромождениям,

хотя

множество. Это обычная неясность

у математиков, подавляющее большинство

нимание математического

гипостазирования.

к словесной тавтологии: множе¬

что всякое множество можно

упорядоченное

вви¬

логи¬

является то, что обычно множество

понятия инобытийного

это множество. Мало того,

—

порядка

теории множеств. Основной

Эти «определения» обычно сводятся
ство

этого инобытия.

остановиться на самой идее

вообще

и

конкретному исследованию

но лишь

прослеживать способы манипуляции над данным

материалом.

а) В вопросе об упорядоченности
невязка: множество вполне

множеств и

определяется без

получается

такая

момента инобытийной

положенности числа, а тем не менее еще до введения этого момен¬
та уже
виях

пускаются

в ход такие методы,

упорядоченности. Именно, различаются

типа множества.

вивалентным

Мощность

подобие? Одно

одного

множества

другого

во

обще

тип есть то, что

они

другому,

обще

всем

если элементы

Подобно же одно множество

«могут быть

наложены

друг

же выставляется как возможное только в

взаимно однозначное соответствие

другого

всем эк¬

взаимно однозначное соответ¬

множества.

жеств связано с относительным

того и

усло¬

множествам. Что же такое эквивалентность

могут быть приведены

другому тогда, когда оба

смысл в

понятия мощности и

это то, что

множество эквивалентно

ствие с элементами

Наложение

—

между собою множествам;

подобным между собою
и

которые имеют

множества.

между

мы

165

друга».

случае, когда

элементами

обоих

порядком каждой пары

Отсюда

на

мно¬

элементов

вправе сделать вывод,

что эк¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

вивалентность, т. е. взаимно однозначное соответствие, мыслится
здесь вне принципа взаимоналожения и
па

упорядочивания. Спрашивается,

подобия,

в чем же,

т. е. вне

множества могут быть эквивалентными? Идеи порядка
нет; следовательно, остаются элементы,

принци¬

собственно говоря, два
элементов

абсолютно изолированные

друг от друга. Но что же тогда значит взаимно однозначное соответ¬
ствие? Это может значить только вот что: мы берем один элемент из
первого множества; потом
ства, забывая о

первом

берем другой

его элементе

элемент из

первого

множе¬

(ибо отсутствие порядка

есть от¬

сутствие фиксируемой последовательности и,

разрыв),

и сопоставляем с

стало

каким-нибудь другим

быть, полный ее

элементом из второ¬

го множества; так же поступаем с двумя третьими, четвертыми и т. д.

Когда

элементами вплоть до полного их исчерпания.
и одно множество оказалось

два

(и,

все

соответствующим другому,

множества эквивалентны.

Другими

исчерпано

мы

говорим:

словами, в эквивалентности

значит, в мощности), как эта категория устанавливается в теории

множеств, нет ровно никакого иного соответствия, кроме чисто
количественного, голого
ветствует

другому

арифметическое
ся

количеству

—

множество соот¬

это значит в таком понимании только то, что

количество элементов одного в точности равняет¬

элементов

сто количество.

арифметического. Одно

другого

множества и мощность есть

Правда, нередко тут же говорят,

про¬

что это в конечных

множествах мощность ничем не отличается от количества, а в беско¬
нечных множествах они

Но

такое

представляют собою

утверждение логически

совсем

разные вещи.

может иметь только тот смысл, что

всякое множество есть обязательно бесконечное множество,

что

конечное множество есть

просто

потому

самое обыкновенное число, и

нет никакой нужды вводить новые и неясные

термины

в

область,

из¬

вестную хорошо уже всякому школьнику.
Ь) Итак, теоретики
жество можно

множества

определить

вне

ошибаются, когда думают, что мно¬

категории инобытийно-числового

гипостазирования. Они ошибаются тут точно
когда

думают, что

возможно какое-то множество

всякое множество может

ки

другое.

существовать

вообще

и что не

быть мыслимо вполне упорядоченно. С точ¬

зрения беспристрастной логики,

может

так же, как и тогда,

вполне

т. е. для чистой мысли, только и

упорядоченное множество, и никакое
абстрактные моменты, которые, ко¬

Все прочее есть только

нечно, необходимо изучать каждый в отдельности, памятуя, однако,

166

§ 47. Аксиома

самотождественного различия в теории множеств

что всякий абсолютный отрыв этих моментов от цельного понятия
множества грозит провалом самого предмета, что и происходит,

сферу

когда, отрывая множество от идеи порядка, просто покидают

теории множеств и переходят в обычную, я бы сказал, пошлую ариф¬

метику.
с) С

мы

другой стороны,

тут

же

сомненно, есть полный смысл в том,
и

жеств

понятие

чисто

арифметических конструкций

мощности

должны

отметить,

чтобы вводить

эквивалентности,

в

отличая

количества и

что,

их

не¬

мно¬

теорию

как от
так и

равенства,

дальнейших построений в теории множеств относительно типов
подобия. Только вводить их надо не так, как это делается обычно.

от

и

Систематическое изложение всех этих вопросов мы проводим в
соответствующем отделе нашего исследования; здесь же скажем
только несколько слов

—

для того чтобы оправдать понимание вся¬

кого множества как потенциально упорядоченного множества, да
и то сделать это

целесообразно
(§ 52).

только

при разъяснении

аксиомы

подвижного покоя

Вопрос

сводится к разным диалектическим ступеням упорядо¬

чивания. Математики думают, что
ным только в смысле

зрения

«вполне

упорядоченным »

дая часть которого имеет
—

рядочивание

упорядочивание

различия частей множеств,

может быть

множеством называется

«первый

раз¬

с каковой точки

такое, каж¬

элемент». Но понимать так упо¬

это значит то же самое, как если в

различия вида кривых проводили бы

геометрии

вместо

различие

в их длинах.

С диалектической точки зрения существует несколько

форм более

только

глубокого упорядочивания, являющихся формами
но формами самой категории

не самих

доченных множеств,
вания

(§ 52.4).

К числу этих

ние, которое при

взаимном

картину эквивалентности

форм принадлежит

сравнении

и

их

и то

множеств

упоря¬

упорядочи¬

упорядочива¬

порождает

из

категорию мощности. В данном

себя

месте

мы только запомним, что всякое множество так или иначе связано

[с]
с

инобытийно-числовым гипостазированием,

идеей порядка. Интересует

чивание

(это

подвижного

т. е. потенциально

же нас здесь совсем не самое

упорядо¬

всецело относится к области проявления категории

покоя),

но, высказывая что бы то ни было о множестве,

нужно помнить, что множество
отличается от обыкновенного

(в особенности конечное)

арифметического

бытийно числового полагания.

167

числа

только и

идеей

ино-

III. Основные аксиомы числа (число как

3. Имея

все это в виду, как ответить на

гории самотождественного различия

в

суждение)

вопрос

о

проявлении

Множество есть число, возвратившееся из инобытия

себе. Арифметическое
никакого

число есть

различия между

своему смыслу

бытию,

в данном

фиксируем

каким-нибудь

и

друг

от

смысловое, т.
в полном

и даже нельзя сказать,

«соответствие». Соответствовать одно

другому

соответствующие предметы

друга. В арифметическом

различия между

своему
акт по¬

раз случился

и в числе. Его

бытийным содержанием;

может тогда, когда эти взаимно

мого

бытием

внешним в отношении него. Число по

случае количественное, содержание находится

тут происходит

отличны

самому

есть вследствие этого то же, что и число по

соответствии с его

что

к

число. В нем не положено

т. е. по актам своего полагания. Сколько

лагания, столько единиц мы

е.

просто

ним самим как

инобытием, которое было бы

кате¬

области множества?

его смыслом и его

как-то

же числе не положено са¬

фактом.

И это понятно, по¬

тому что различие между тем и другим предполагает переход чисто¬
го смысла в инобытие. А число
Что

теперь происходит

арифметическое есть чистый

в экстенсивном числе и в

ской совокупности? Здесь инобытие
и тождество тут

Инобытийное различие
актов, но

различие таких

ничего не
В

говорят

о

арифметическом

го

это значит

как и

не чисто смысловых

которые

различиях смысловых,
числе акт полагания

же

различие инобытийно.

различие

актов полагания,

различия. В геометрической

сами по себе еще

о смысловых полаганиях.

равносилен акту

совокупности

число

перешло

в свое

смыслово¬

акт полагания еще

ничего не значит как смысловое полагание. Это и есть

что

геометриче¬

чистого числа. Это значит, что

инобытийно, равно
—

смысл.

признак того,

инобытие. Оно расползается тут по актам

своего полагания, но это совершенно не касается его смысловой
разделенности, которая

обладает

или

или

прямо отсутствует (как

актами инобытийной связанности

в

континууме),

упомянутых

геометрической фигуре).
(как
Множество совмещает в себе все особенности

актов

во всякой

и интенсивного

фигурности*. Множество арифметично, ибо
судьба разыгрывается в чисто числовой сфе¬
помина о каком-нибудь пространстве. С другой сторо-

числа, и экстенсивной

вся его математическая

ре, и тут нет и
'

Клейн сообщает, что сам Кантор сказал ему однажды, что он, Кантор,
хотел достигнуть в теории множеств «истинного слияния арифметики и гео¬
метрии» («Элем, матем. с т. зр. высшей». 1933-1 397).
168

§ 47. Аксиома

самотождественного различия в теории множеств

ны, множество есть всегда инобытийное полагание, откуда
ется и

упорядоченность,

вспомнить
ном

о

образу¬

уже заставляет

а это

геометрии. Откуда получается фигурность

в экстенсив¬

числе? Она получается из того, что акты полагания различным

образом расставлены.

Но почему они различным

лены? Потому что имеется
их

фигурность,

т. е. некая

количество),

которое,

но и то поле, на

будучи измеренным,

межутки. Это

и значит, что

образом расстав¬

виду не просто самый акт полагания (и

в

котором совершается полагание,

и дает

различное расстояние

и

про¬

тут существенную роль играет инобытие,

ибо «поле», где совершаются

акты полагания, в точном диалектиче¬

Теперь спрашивает¬
будет разная «расставленность» актов в самом числе, то как
возможна такая конструкция? Ясно, что чистое экстенсивное бытие
будет здесь вобрано в сферу самого числа и произойдет синтез чи¬

ском смысле есть только иное, чем самые акты.
ся: а если

стого числа и чистой его инобытийности.

веден,

мы

вернуться

получаем

и от этого

получить

новое

никогда

приводит

утверждено. В

к

что

резко

синтезе тезис не

инобытие,

от

вся

числовая

уже

не есть ни

нечто

просто он,

которого он, взятый

третье,

4. В

природа,

и

возвращения

вся

уже было

но еще и свое

сам по

себе,

ни

так

раз прекрасный при¬

самому себе: тут дана

инобытийно-геометрическая,

арифметическая,

высшее и более

к

что

но дан в соответ¬

просто повторен,

отличался. Во множестве мы имеем как

этого диалектического

мер

отрицание отрицания

простому повторению того,

ственно новом плане; он здесь не только
иное, еще и все

произ¬

числу необходимо

утверждение.

В общей диалектике доказывается,
не

синтез

самому, пережить отрицание своего

из инобытия к себе

отрицания

Когда такой

понятие множества. Но тогда

и

но это

геометрическая совокупность,

а

общее.

связи с этим аксиома самотождественного

форму, аналогичную с геометрией,

но с

переходом

различия примет
к чисто числовой

интерпретации. В геометрической совокупности даны абсолютно
изолированные

по

они даны сами по

купности.

Здесь

акту

своего полагания элементы. Но в

себе, без

влияния на числовое

же смысловое

содержание

геометрии

содержание

множества

будет

сово¬

в точ¬

ности соответствовать инобытийным актам полагания. Соот¬
ветственно изменится и

формулировка

Аксиома самотождественного

жество есть

аксиомы.

различия

в

теории

множеств:мно¬

совокупность абсолютно изолированных элементов,
169

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

возвратившихся из инобытия
ство есть

к самим себе. Или

подробнее: множе¬

совокупность элементов, абсолютно изолированных

актам своего полагания, но отождествленных или

по

различенных

в

точном соответствии с этими актами, однако же в их чисто чис¬
ловом понимании.

5. Эту формулу выражают
матике иначе.

Дело

Даже, собственно говоря,

в том, что

чаться

теоретико-множественной

в

нельзя и сказать, что иначе.

обычная аксиоматика, с которой приходится встре¬

в изложении

слишком слепая и связанная;

теории множеств,

и никогда не знаешь,

почему авторы берут эти,

и почему дают им то, а не иное выражение.

рить

аксио¬

а не

другие

Поэтому

аксиомы

можно гово¬

только о более или менее отдаленном соответствии наивно¬

эмпирических обобщений конкретной теоретико-множественной
аксиоматики

с

нашими

аксиомами,

системе с сознательным

применением

философского

диалектического.

метода

Именно, нашей
множеств

которая

—

аксиоме самотождественного

соответствует, по-видимому, та

мере

Френкеля

различия

теории

хотя и т. н.

в значительной

объединения (Vereinigung)

так: «Если т есть множество,

в

Цермело и других,

объединения,

спаривания, по-видимому, говорит

том же самом. Аксиома
—

аксиома

известна под названием аксиомы

аксиома

ло

самого

в

строжайшей
глубокого и точного

выведенными

гласит у

содержащее

по

мере

Церме¬

крайней

один элемент, то существует объединенное множество, кото¬

рое содержит в качестве элементов все вместе элементы т и также
только эти». Аксиома

спаривания (Paarung)

гласит: «Если а и b

различных множества, то существует множество {а,

держит в себе множества а
таться

парой

и b

—

и только их

а и Ь». Взятые сами по

потому что очень важно отметить

вступают между собою
от

объединения
—

улицы

улицы;
рода,

о

элементы

самих множеств.

из домов, то дома

суть

себе,

фиксировать

и

Ь), которое

которое

два
со¬

может счи¬

если

город

которое

состоит из улиц, а

элементы вовсе не

могут

в

множеств в зависимости

разных

Так,

—

эти аксиомы весьма важны,

различие отношения,

если дома в каком-то смысле

то это надо

—

—

города,

а только

считаться элементами го¬

специально, что, по-видимому, и сде¬

лано в «аксиоме объединения». То же соответственно и в «аксиоме
спаривания».
Однако такая
точна.

Прежде

формулировка

весьма

формалистична и недоста¬
спецификум

всего, тут совершенно не подчеркнут

170

§ 48. Формулировка трех

выведенных аксиом...

сформулирована

множества; и аксиома

так, что она применима и к

любой совокупности, и прежде всего к чисто

аксиома говорит ведь только то, что если
она

будет содержать

мерки,

и только их.

совершенно

мы имеем

себе все единицы пятерки

в

арифметике,

не показано, зачем

а не в

диалектической

—

дедукции

да получается такая аксиома
в

теории

множеств.

теории

понадобилась

она связана с самим понятием множества.
сто

сумму 5

и

7,

то

множеств.

ин-

Далее,

такая аксиома и как

Между тем

в нашей

—

со всею ясностью показано,

и каково

Эта

и все единицы се¬

Такая безобидная вещь, конечно, тоже очень

но место ее в

тересна,

арифметической.

специфическое
каким образом

Именно, показано,

чи¬

отку¬

значение ее

множества,

инобытийные одно в отношении другого и, следовательно, являю¬
щиеся только частями какого-то другого, более общего множества,
могут слиться в новое множество, в котором и не узнаешь никаких
бывших самостоятельных «частей», но в котором все элементы всех
объединенных множеств сольются в новую цельность и подчинят¬
ся новой смысловой структуре.
можно

объединить

тике с любыми

в одно

числами),

лучается совершенно
имеющая весьма мало

Тут важно не то, что два множества
целое (это обычно делается и в арифме¬

а важно то, что из этого

новая смысловая

общего с

но заново освещающая и

объединения

по¬

новая цельность,

структура,
объединяемых множеств,

каждым из

переделывающая

чально данных множеств. Это и

элементы этих

зафиксировано

первона¬

в нашей основной

формулировке.
$ 48. Формулировка трех выведенных аксиом при помощи поня¬
тий элемента и части

1. Эта аксиома самотождественного различия может быть выра¬
жена иначе, и в связи с этим есть смысл в соответствующем видоиз¬
менении этой аксиомы и для интенсивного и экстенсивного числа. А
именно, поскольку в этих аксиомах идет речь об инобытии, полезно
ввести различие «элемента» и «части».

Говоря кратко

есть смысловой момент целого, а часть
лого.

Например,

прямой

есть то,

—

которое всегда дается

можно сказать: элементом

прямой

обще, элемент

если условно согласиться, что точное
в школах

чайшее расстояние между двумя точками»),

частью

и

инобытийный момент це¬

прямой

есть

крат¬

то на основании этого

является наличие двух точек и

является тот или иной ее

171

определение

(«прямая

отрезок. Это, однако,

отно¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

сится скорее к определению понятия

прямой,

ментов понятия
вести более

а не самой

яркий пример.

Если

реально

мелодию воспринимаю

прямой,

и к

и

можно

потому

при¬

разобью мелодию, разыгрываемую
то каждая такая нота будет частью

начинаю

играть

на

и всю

скрипке

как целое, то каждая нота

сфере целого, и тогда она

эле¬

определению

я

на скрипке, на отдельные ноты,
мелодии; когда же я

прямой

эту

уже оценивается

в

не часть целого, но элемент целого. Часть

есть инобытие элемента точно так же, как и все части, т. е. все есть
инобытие всех элементов, т. е. инобытие целого. Целое осуществле¬
но во всем, и элемент осуществлен в

объемлет

собою и не имели никакой связи ни

тысячу прямых,

Но достаточно
квадрата,

как

вдруг получается

и самый

вообще;

общего

иначе

сами по

себе,

Итак, целое

не имеют

друг

объединения

дественного

и

ни с целым. Ника¬

квадрат,

квадрата

и

не

привнести

квадрат. Идея
ни с самими

и мы мо¬

получится.

извне идею

же

четыреху¬

прямыми

ли¬

или

четырелинейна,

что

и все, т. е. элемент и часть, взятые

другу

никакого отношения; они взаим¬

только

вступая

оформлять друг друга.

начинают осмыслять и
этого

к

диспаратны. И

но инобытийны и

Целое

пришлось бы сказать, что сама

идея четырехугольника четыреугольна
было бы нелепостью.

не есть

четыре прямых

гольника тоже не имеет ничего
ниями, ни с линиями

себе,

и из них никакого

взять только

части.

чего они остались бы самими

между собою,

кая отдельная линия, взятая сама по
жем взять

соответствующей

одухотворяет их, без

части и

в

объединение,

В различиях

они

формы

аксиом самотож-

коренится расхождение трех

различия.

2. а) Во-первых,

часть может быть подчиненной

целое может в точности

элементу,

своих частей.

равняться сумме

т. е.

Другими

словами, здесь сначала даются различия смысловые, а потом меха¬
нически примыкают к ним различия

Вернее,

сначала

проводятся различия смысловые,

ся, что это же и есть
ское число.

фактические, инобытийные.

Здесь

по

смыслу дается

различий

и по

арифметиче¬

столько-то элементов

ниц); и тут же оказывается: столько имеется
имеется

потом оказывает¬

различия инобытийные. Таково

и

частей, т.

равняется сумме

частей. Это возможно только тогда, когда дан смысл без

абстрактный

еди¬

факту, по инобытию; иначе выражаясь, сум¬

ма частей и есть все целое, целое в точности

е.

(или

е. столько же

смысл.

Тут

своих

инобытия, т.

целое в полном смысле слова делимо на

свои части, но возможно это только в том случае, если первоначаль¬

172

§ 48. Формулировка трех

выведенных аксиом...

ные различия установлены как чисто смысловые, а инобытийные
только следуют за этими, не привнося ничего нового.

Ь) Во-вторых,
быть
лое

отношение

обратное, а

—

элементами

между

и

частью может

быть подчинен части и це¬

элемент мож

сумме своих частей. Это возможно, очевидно, когда вся система

переходит

в

инобытие.

Тут

забываем о смысловых различиях

мы

и

инобытийным различиям. Когда установилась та

сначала даем волю

или другая система инобытийных различий, т. е. та или иная система
частей, мы, не производя никаких специально смысловых различий,
только

фиксируем

смысловым

тате инобытийных

различий,

что получилось в резуль¬

ограничиваемся. Такова

систе¬

геометрической совокупности. Здесь, забывши

ма отношений в

том, что такое чистая и

двойка, тройка

образом то,

и этим

абстрактная

единица, чистая и

и т. д., мы отдаемся во власть

о

абстрактная

инобытийного раздро¬

бления, нагромождая путем бесконечного дробления одну часть на
другую, а потом,

выбравши
в

которое получилось
сируем

то или иное взаимоотношение

его как таковое, и

—

получается точка, линия,

пр. Здесь элементы (смысловые акты) следуют
элементы

следуют за

за своим

частями. Может ли здесь целое

Очевидно, нет,

ме своих частей?

целое, независимое от того

геометрии. Но

сумма

первоначального

арифметике

инобытием,

равняться сум¬

и

оно

свое

абстрактного
и в арифметике,

цело¬

—

равняется сумме

своих

частей,

и
и

эта всецело им определена. В геометрии же целое перешло в

инобытие,
им

в

плоскость и

сумма частей образует здесь

но

го, из которого мы исходили. Целое есть везде
в

частей,

результате инобытийного становления, фик¬

и

потому

инобытием,

т. е.

оно

уже

суммой

не зависит от

своих частей. В

себя,

но

определено

арифметике

сво¬

целое равно

сумме своих частей, а в геометрии сумма частей равна своему

(свое¬

му собственному) целому.
[с)] Наконец, в-третьих, между

частью и элементом может быть

полное равновесие, и целое может
чиненным

сумме своих частей,

ровно

му. Это происходит во множествах
бытие

и сумма частей

целому

и

—

значимость элементов

продолжает определять собою целое. Но

уже

не

чем-то

инобытийным

в той же

мере быть под¬

цело¬
обратно сумма частей
следующим образом. Здесь ино¬

продолжает определять смысловую

оказывается

ровно

в такой же

как и

мере

это целое

противоположным первоначальному

в отношении к

чисто смысловой

173

числу,

но оно оказывается

структурой,

как и само

ариф-

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

метическое число, лишаясь того противостояния смысла и

которым

инобытие как раз

стом смысле, мы знаем, нет положенности
и

факта,

и отличалось от чистого смысла. В чи¬

различия между бытием

инобытием; инобытие туг есть также бытие, оно определяет собою

различие внутри бытия же,

кая особенность

нисколько не мешая

—

это

разрыв между

эта

и снова восстановлена

и

простота

и

а

яр¬

существенных пунктах.

во множестве и оказывается снова снятой и

противоположность бытия

же самая

смысловым бытием и алогиче¬

ским инобытием и их несовпадение во всех

Так вот,

ему быть бытием,

внутренно раздельным. В инобытии

только делая его

уничтоженной

инобытия, уничтожен

это

разрыв

неинобытийность чистого числа.

Конечно, это с сохранением (теперь уже смысловым сохранением)
той инобытийной регулировки, которая была достигнута на стадии
примата частей над элементами, инобытия смысла над самим смыс¬
лом.

Тут,

но сама

стало

что она ничем не отличается от чисто

структуры целого. Целое окунулось

рассыпалось

на бесчисленные части, что

вобрало их

сумме частей,

мы находим подчинение целого

сумма здесь такова,

смысловой

а только

быть,

в

в

инобытие,

сулило ему

это

но не

инобытие,

себя смысловым образом, получило вместо аб¬

страктной значимости фигурную разрисовку, но не перестало быть
чистым смыслом.
3. Отсюда три
ственного

формулированные

выше

аксиомы

различия могут быть выражены еще

и таким

самотожде¬

образом.

Арифметическое число есть такая совокупность элементов,
в которой каждая часть подчинена соответствующему элементу
сумме своих частей.

и целое в точности равняется

Геометрическая величина есть такая совокупность элемен¬
которой каждый элемент подчинен соответствующей ча¬

тов, в
сти и

сумма частей

не

равняется целому,

но

сумма эта

сама

опре¬

деляет для себя самостоятельно свое целое.
Множество есть такая

каждый

элемент и

равновесии,
эта

совокупность элементов,

соответствующая

так что целое хотя и не

последняя

образует

из себя как

в

которой

часть находятся в полном

равняется сумме частей,

раз

то самое целое,

но

которое

перешло в сумму частей.
4. а) Относительно
положений,

с

множества также может быть выставлен

полной очевидностью вытекающих из этой

мы и являющихся, собственно

говоря,
174

лишь иным ее

ряд

аксио¬

выражением,

§ 48. Формулировка трех выведенных аксиом...
хотя для математиков здесь лежат неимоверные трудности и пара¬
доксы.
1. Множество как целое больше своей части и,

больше
стей,

частей, потому

всех своих

но

содержит

в

себе

следовательно,

что целое хотя и состоит из ча¬

и то, чего нет ни в

одной

части.

2. Множество как целое меньше всех своих частей и, следова¬
тельно, меньше и каждой

правильной

своей части, потому что це¬

лое вмещается в сумме своих частей и часть содержит в себе целое

3. Множество

как целое

частей, потому

всех своих
и

каждой части).

в

(целое помещается

больше не

равно

и

каждой своей части,

и

что целое состоит только из своих

сумме

частей,

из чего, и данные части составляют именно это целое, и

больше ничего.
Только диалектика может понять

и совместить эти взаимно

про¬

тиворечащие утверждения.
Хотя

Ь)

внимательный

положения

указанные
логическим

и

читатель

характером,

вполне

тем не менее во избежание

надо сказать, что в математике самый термин
частей» имеет совсем

понимает,

обладают

множеств

относительно

другой

что

чисто

недоразумений

«множество всех

смысл, а именно тут имеются в виду все

части независимо от их взаимного перекрытия, так что мощность
множества всех частей множества всегда больше мощности этого
последнего

мощность

(напр.,

множества есть даже мощность

теория множеств не

множества

всех

частей

континуума). Однако

и

счетного

без этого

брезгует выражениями, указывающими,

несом¬

ненно, на антиномию целого и части.
Множество т называется частью множества ф, если всякий эле¬
мент т

принадлежит

правильная

к ф.

часть ф; если же ф часть тит часть ф, то т

часть ф. Относительно
что такое

При этом если т часть ф, но ф не часть т, то т
правильной

«неправильная» часть? Ведь,

являются одно в отношении

ко в одном

когда ф

и т

случае,

суть разные

под «неправильной

неправильная

не возникает. Но

сущности говоря, когда ф

другого частями,

—

и т

то это возможно толь¬

попросту

названия для одного и того же множества, так

случае совершенно одинаковы. Но тогда

частью» множества можно понимать, очевидно,

совокупность

которых

в

вопроса

а именно когда они эквивалентны, т. е.

как все их элементы в этом

только

части

—

всех

неперекрывающих одна другую частей,

и состоит данное множество.

175

Утверждая,

из

что все элементы

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

т принадлежат ф, мы выделяем из ф некоторую определенную часть,
соответствующую элементам т, но когда мы к этому
также и все элементы ф

ленную

к т, то мы из т

принадлежат

вырезанные

что

вырезаем опреде¬

часть соответственно элементам ф, т. е. в

чинаем эти

прибавляем,

результате

мы на¬

из ф и т части считать всеми частями и ф, и

т, вполне соответственными входящим в это единое множество эле¬
ментам.

рассуждение тотчас

Все это

ческий смысл,

же

посредственно вытекающем

получает острейший диалекти¬

зафиксируем

как только мы его

из самого

жество есть часть самого себя по

этом

Тогда

и то, что всякое множество

суждении

«больше»,

и

переставлять

и

что всякий

необходи¬

себя самого,

больше себя самого, ибо

и «меньше» и

субъектом,

является одно и то же множество, и можно сколько
но их

всякое мно¬

появляется

и то, что всякое множество меньше

утверждать

как, правда,

рассуждения:

одному тому только,

его элемент есть именно его элемент.

мость

в таком тезисе, не¬

и

в

предикатом

угодно

взаим¬

получать каждый раз утверждение, обратное

предыдущему. Однако единственный здравый
мики заключается в выше

развитой

смысл этой антино-

антиномике целого и всего, или

целого и частей.

с) Но даже если брать термин «множество всех частей» в
специфическом теоретико-множественном значении, то и тут дело
не обойдется без антиномии, хотя формулировать ее можно иначе.
А именно,

«целое»

и

«часть»

могут находиться

только тогда, когда они

противоречии

чистых понятий

(как

это и сделано у нас

сами являются самостоятельным

судьбой,
лишь

или самостоятельным

выше),

субъектом

организмом,

инструментальным характером,

в

диалектическом
в качестве

рассматриваются

т. е. когда эти понятия

со своей собственной
а не

обладают

только

не оказываются только лишь

средством, которое употребляет какой-то другой субъект («человек»)
для целей

осмысления

чуждого инобытия. Как

чистое

смысла есть его становление, т. е. его бесконечное

чистый смысл есть восстановление

собранность.
движение

Так

«движение»

совершается

сразу находится

с

инобытия,

есть

бесконечной

во всех точках

распыление,

т. е. его

инобытие

то

Но

уже вместила

себе),

движущееся

то такое движение с бесконечной

176

если

и так как дальше

бесконечности уже нет никаких других точек (поскольку всех
в

так

бесконечная

«покоя».

скоростью,

бесконечности;

инобытие

их она

скоростью

§ 49. Аксиома

самотождественного различия в теории

вполне тождественно с покоем.

Поэтому

вероятностей

диалектика отличается от

прочих способов рассмотрения понятий тем, что она
нятия как бесконечные

сгустки бытия,

как

пределы.

берет эти

по¬

А в математике

только там воочию видна диалектика, где идет речь о бесконечности,
так как конечные величины хотя и подчинены диалектической антиномике, но последняя в них не выявлена непосредственно, а только с
необходимостью предполагается при достаточно систематическом
подходе.
Итак, «множество всех частей» множества должно с необходимо¬
стью и воочию выявить антиномику целого и частей в том случае,
если
но.

будем оперировать с бесконечным множеством. И действитель¬
Пусть мы имеем множество ср всех вещей. Поскольку множество т

всех частей этого множества своею мощностью выше этого послед¬
него, постольку множество ф эквивалентно только части множества
т. Но из чего состоит т? т состоит все из тех же

вещей,

всякий элемент т есть и элемент ф. А это значит, по

определению части,

что т эквивалентно

Ф и т эквивалентны частям

выше,

указанному

некоторой

друг друга, то,

из каких и ф, т. е.
выше

части ф. Но если

опять-таки по

указанному

и сами ф и т эквивалентны. Итак: ф и т и эквивалентны, и не¬

эквивалентны. т, как множество всех частей ф, не эквивалентно ф; но
так как ф есть множество всех

взойти, и, будучи

Поэтому,
и аксиома о

столь же

если

вещей,

то никакое т не может его

бесконечным,

среди аксиом учения

Potenzmenge,

частей и целого. Эта аксиома

держит

о множествах попадается

о множестве всех частей множества, то

mutatis mutandis* и она не бесполезна для

существует множество т,

пре¬

оно совпадает с ф.

то

иллюстрации

формулирована

существует

антиномики

у Френкеля так: «Если

и множество

U, которое

со¬

в качестве элементов все подмножества т, и только их».

§ 49. Аксиома самотождественного различия

в

теории вероятно¬

стей
1.

Прежде

чем

формулировать

аксиомы

теории вероятностей,

сделаем ряд замечаний, которые послужили бы

философскому
специфической обла¬
общей установке, намеченной в § 9. С поняти¬
к

уяснению своеобразия всей той совершенно
сти

в дополнение к

ем вероятности мы вступаем

•

с

в

область того, что

соответствующими изменениями (лат.).
177

в логике называет¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ся модальными категориями, среди которых обычно насчитывают
—

три

необходимость,

элементарное разъяснение

2. До

сих

пор

Это было потому,
смыслом

(с

как число,

мо,

мы не

этих

категорий.

встречались

с этими

категориями. Почему?

что мы имели дело исключительно только с самим

бытием). Беря

«идеальным»

смысл сам по себе

ни того, что оно возможно, ни того, наконец, что оно

три сферы нуждаются

ны, само же число не нуждается

в числе и

в них и

Число «пять» одинаково может быть и

от этих

сфер.

обсуждаемо

сферы

смысла мы должны

инобытию смысла, но не

действи¬

само по себе.
и возможным,

пятка нисколько не зависим

Что же получается при переходе в эти

ется то, что из

число

без него невозмож¬

необходимым,

действительным. Значит, самый смысл

—

необходи¬

мы не можем сказать о нем ни того, что оно

—

тельно. Ибо эти

и

действительность. Надо дать

возможность и

перейти

в

сферы? Получа¬
сферу факта, к
инобытие

в том смысле, как мы находим

внутри самого числа (и получали интенсивное, экстенсивное
детическое

число),

ношении всей

а в том смысле, что мы

вообще сферы

числа.

перешли

Теперь

мы

с моментами чистого смысла, но все время
можного их

осуществления,

сти, наблюдая

степень их

вления. В этой

как бы

общей области

подробнее

на

просто
воз¬

действительно¬
осущест¬

взаимоосвещения смысла и

и яснее, чем это

в от¬

сферу

степень возможного

зарождаются категории модальности. Их
тить

не

оперируем

их к

и эй¬

инобытию

смотрим

примеряем

реальности,

к

факта

и

мы должны, однако, наме¬

обычно делается

в логических ис¬

следованиях.

3. Возьмем

Вообразим
себе, что этот момент может предстать перед нами как осуществлен¬
ная, овеществленная, фактическая действительность. Но мы пока
не

будем

тот или

ничего

иной

момент чистого смысла.

предпринимать для осуществления

Мы только запомним, что это

осуществление должно потребовать

каких-то новых актов, каких-то

чтобы

стать

реальной

смысла должен

жизнью.

превратиться

усилий

Каждый
в

с той или

момент

осуществление. Имея

смысл.

Он,

это в

другой стороны,

фиксируемого

нами

или

под¬

какую-то реальную силу

вергнуться воздействию чьей-то силы; без
кое

этого смысла.

этого невозможно ника¬

виду, обратим

свои

взоры

на чистый

видим, есть полная этому противоположность. В нем все

вытекает само собою из целого и из отдельных моментов.
никаких

«вещей», которые надо было бы «двигать»; тут
178

Тут

нет

нет никаких

§ 49. Аксиома
сил, без

нет.

наличия

собою,

само

Даже

уметь

самотождественного различия в теории

мы

в

противопоставляем
и

Я, например, могу не

от этого нисколько не

логарифмировал

в частности,

и челове¬

природные процессы

логарифмов. Вот

смысл его

ведет к

сам по себе не есть
своего

неважна.

логарифм

или

так

себе эту функцию, как они осуществляют ее

нашем знании

факта,

тут

все ясно

кто-нибудь

это

бы об этом никакого представления, все равно лога¬

осуществляли бы

самого

осуществляет

но самый

был бы логарифмом и,

сейчас, при

осуществилось бы. Туг

если бы никто никогда не

чество не имело

рифм

ничего не

наша собственная мысль

логарифмировать,

страдает. Даже

же

которых

независимо от того,

вероятностей

факту

без

хотя в то же

время

зрения, когда

фиксирования,

установке необходимости

необходимость. Но когда

осуществления,

эта точка

смысл

и

однако,

смысла. Смысл

берется

само это

на

фоне

осуществление

фиксируется, а только присутствует отрицательно как принцип,
то так модифицированный смысл есть необходимый смысл, необхо¬
не

димость.
Смысл

факта

в освещении

обходимость. Факт

факта,

но без самого

факта

есть не¬

же смысла в освещении смысла, но без самого

случайность. Необходимость и случайность, следова¬
сфере взаимоосвещения смысла и факта, но в
отсутствия того члена, в сфере которого мыслится данный

смысла есть

тельно, возникают в

условии

Бытие-смысл,

член.

для того чтобы стать

бытием-необходимостью,

должен отличаться от своей противоположности, потому что мыс¬
лится как окруженное темным

фоном того, что не есть бытие-смысл.

Чтд это именно такое, можно и не знать. Знаем только, что кругом
нечто такое, что не есть и чистый смысл, не есть и чистое бытие.

При

желании мы можем

перевести

глаза с этого

го чистого бытия-смысла на смешанное и

тогда первое будет

мыслиться как

приступные границы,

зафиксированно¬

мутное бытие-факт. Но

окружающий фон, вернее,

и тогда чистое

как не¬

бытие-смысл станет неясным,

присутствующим только отрицательно, как принцип возможных
осуществлений. Получается бытие случайное. Когда
лить

бытие, алогическим фоном для

тическим

этого

(или,

как

мы хотим мыс¬

говорят, диалек¬

отрицанием этого) обязательно является инобытие, когда

мы мыслим смысл, обязательно в качестве возможного принципа
примышляется внесмысловая данность. Но когда мы мыслим необ¬

ходимость, требуется отрицательное примышление случайности.
Но это бытие исключает из себя всякую замутняющую его стихию,
179

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

всякую нелепость и недостоверность, т. е. попросту всякое его от¬

рицание, хотя последнее и должно быть положено вне самого бытия,
чтобы это бытие могло от него отличаться. Точно так же случайность
бытие,

есть
и

но это

закономерность,

лагание ведет к

бытие исключает

из

себя всякую достоверность

т. е. всякое свое полагание,
к

различению,

тождеству,

т. е. к

по¬

утверждение (ибо

фигуре

и т. д., т. е. к за¬

кономерности), хотя это полагание и должно мыслиться вне бытия
случайности, чтобы было от чего этой последней отличаться. Поэто¬
му более

или менее точно можно сказать так.

Необходимость есть бытие. Необходимость
полагает себя

рое

ренося

свое

себя,

самоотрицание

т. е.

полагает себя

4. Смысл

факт

взаимопредполагаемость. Это

свое

самоотрицание

пе¬

из¬

из ее членов

противоположность,

отобразил

есть

противоположность для

на себе свою

того и

т. е. хотя

но на них самих не отпечатлена

противоположностью для себя,

необходима перестройка
и

отрицания,

путем отрицания себя внутри

есть абсолютная

го. Чтобы она стала

дый

кото¬

себя.

и

предполагают одно другое,

они и

бытие,

пределы себя. Случайность же

из себя за

путем самоотрицания, перенося

вне на самого

эта

путем

бытие, которое

есть

есть

полагания вне себя своего

т. е.

чтобы

ино¬
каж¬

противоположность иному,

другого

члена. Уже

необходимость

случайность есть такие категории, которые демонстрируют собою

некое взаимное сближение обоих членов
ности.
т. е.

Именно,

факт

в то

не сам по

обходимость» уже

время

себе,

как «смысл»

но в чьем-то

изучаемой противополож¬

предполагает

свое явление,

постороннем сознании,

в самом своем логическом

«не¬

содержании предпола¬

«случайностью». Правда, смысл отображает
бытие
пока еще очень абстрактно; а именно он
фактическое

гает соотнесенность со

здесь

покамест только

требует,

чтобы оно просто присутствовало, чтобы

оно было вполне принципиально.

Тут Л

указывает на то, что где-то и

как-то есть еще и В, что этого В не может не быть принципиально,
в то время как раньше А существовало так, что по нему нельзя было

где-нибудь В (хотя мы-то и знали, что оно где-то
есть). Однако возможно, что по Л мы узнаем не только
о принципиальном наличии В, но еще и о содержании этого В, о его
свойствах, о его смысле, так же как и по В узнаем о свойствах А. Это

узнать, есть ли
обязательно

будет уже гораздо более интимное воссоединение смысла и явления,
и

тут будет недостаточно

—

с точки

180

зрения модальности

—

одной

§ 49. Аксиома самотождественного
пары категорий необходимости

факта

случайности,

но без самой

факт

есть

в свете

ре
в

случайности. Смысл

в свете

случайности

есть

факта,

же в свете

вероятность. Точно

без самого смысла есть случайность;

необходимости, но без самой необходимости

возможность.

реальная

Необходимость
смысла,

есть

в свете смысла, но

случайность же

вероятностей

необходимость. Необходимость

но без самого

так же:

и

различия в теории

равно

как

самого бытия.

есть тождество смысла и бытия в

случайность

сфере

самого

есть тождество смысла и бытия в

Вероятность также

сфе¬

есть тождество смысла и бытия

сфере самого смысла, равно как возможность есть тождество смыс¬
сфере самого бытия. Но необходимость привлекает для

ла и бытия в

своего синтеза бытие в качестве внутрисмыслового

ку самый

синтез этот

совершается

в

сфере

бытия,

посколь¬

смысла, оставляя прочее

бытие вне себя как бесполезное марево, нужное только как логиче¬
ский принцип для ограничения (т. е.
ность же, оставаясь
в

определения)

смысла.

Вероят¬

по-прежнему смысловой конструкцией, вбирает

себя смысловое содержание этого случайного инобытия,

вавшего во всей своей бесполезности и

пребы¬
раздробленности. Смысл сам

начинает тут перекрываться внешним себе инобытием, продолжая,
однако, подчинять его себе. Но раньше он подчинял его себе так, что
инобытие

в нем

растворялось без

внутри обоснованным,

стал

смысл не может

остатка

т. е. стал

просто растворить

в

(и чистый

смысл только

необходимостью). Теперь

же

себе инобытие, но инобытие

накладывается на него вторым слоем, так как однажды оно уже по¬
глотило его

в

себя

него инобытия.
инобытия?

и тем

перекрылось определенным

Однако

что же это значит

Первый слой,

—

слоем

внутрен¬

приятие второго

слоя

появившийся в результате приятия в себя

смыслом своего инобытия, ушел на внутреннее самообоснование са¬
мого смысла, на конструирование «необходимости».

смысл уже

в

не может выполнять

уже

Теперь

чистый

себе обоснован. Дальнейшее привлечение инобытия

функции внутреннего

самообоснования

чистого смысла. Внутренне самообоснованный смысл, приявший на
себя новую энергию инобытия, может оставить его при себе только
с его

собственными,

т. е.

уже

чисто внешними,

ведь только и свойственны ему в
инобытия.

не
мы

Однако

функциями, которые

первоначальной форме как именно

мы сказали, что

инобытие здесь понимается пока

своей абсолютной,

субстанциальной положенности. Покамест
говорим о таком смысле, который принял на себя только смысло¬

в

181

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

вое

содержание инобытия.

Но ведь смысл у нас теперь есть самообо-

снованный смысл, необходимость;

пусть

вание.

слой инобытия,

второй

этот

и что

в нем ни находилось

равно

—

есть некое обосно¬

Следовательно, получается внутренне обоснованный смысл,
как таковой обосновывает и внешнее

который

берется

принятое, но, поскольку последнее
вом

бы

он все

—

им на

себя

он и обосновывает это внешнее инобытие только

содержании,

смысловым же

инобытие,

только в своем смысло¬

образом.

А это и есть вероятность.

Вероятно

ведь

то, что имеет для себя основание; и так как всякое основание есть
основание в

сфере

смысла, то вероятно то, что обосновано в

сфере

смысла. Но обоснование может быть как чисто смысловым, так и чи¬
сто

фактическим. Фактически обосновать

В смысловом же отношении обосновать
ным.

Вероятность

значит, быть

причиной.

значит, сделать вероят¬

самообоснованный смысл, который,

и есть такой

кроме того, обосновывает еще

—

—

и внешнее для

себя инобытие, но обо¬

образом. Необходимость есть са¬
себя. Вероятность же есть самообо¬

сновывает его только смысловым
мообоснованный смысл, но для

снованный смысл для иного, или

Вероятность утверждает,
ничего не
С

утверждает

в

смысловое.

мы

имеем

вероятности тем,

сферу факта,

в то

смысла для иного.

раз

о том, есть ли само бытие.

другой стороны,

отличаем от

необходимость

что для бытия есть смысл, но она как

время

как

возможность.

что относим ее

вероятность

Как необходимость,

вбирая

в

Возможность

(как

и

мы

случайность)

мы понимаем как нечто

себя смысловое содержа¬

ние инобытия, становится вероятностью, так случайность,

вбирая

себя смысловое содержание смысла, становится

возмож¬

ностью.

Одно дело, когда вещи могут быть

другое, когда
гическая

(лучше

фактическая
вторую

они

же

—

могут быть

сказать

смысловая)

сила, потенция.

Первую

реально. Одно

смыслу,

дело

—

возможность, другое дело

мы и называем

и

ло¬
—

вероятностью,

возможностью.

5. Вероятность
смысла и

—

или не быть

реальной

или не быть по

в

факта,

и возможность

чем

суть еще более глубокий

необходимость

и

случайность. Можно,

синтез

однако,

этот синтез продолжить еще дальше. Можно говорить не о смысло¬
вом отождествлении смысла

факта (случайно¬
фактическом их отождествлении. Сначала смысл ни на
не указывал, но пребывал в уединении. Потом он стал указывать

сти),
что

(необходимости)

и

но о

на свое

инобытие, не входя при этом
182

в его содержание и тем более не

§ 49- Аксиома

самотождественного различия в теории

преследуя целей фактического

ходимость». Далее

смысл стал

с ним

объединения. Это была «необ¬

указывать

инобытия, так что, рассматривая смысл,
ем и смысловое

уже

все

равно,

смысла и

инобытия,

вероятность

на самый

Это

в свете

факта.

рассматрива¬

«вероятность».

факт своего инобытия, так что

фактическое субстанциальное тождество
факта, или смысла и явления, есть дей¬

встречаются

и сливаются вместе логическая

возможность, когда обе они начинают

фактическая
отображать.

одна другую на себе

лом

мы тем самым

факта,

но без самого

Вероятность

—

Необходимость была у нас смыс¬

факта

и

без осмысленности этого

это смысл в свете

факта

без самого факта,

но с его осмысленностью. Действительность есть смысл

факта,
этот

но так, что она есть и осмысленность этого

факт

в его

своего

смысла и

ствительность. В ней
и

содержание

иметь ли с ним дело как со смыслом, иметь ли дело

фактом.

с ним как с

на самое

его инобытия. Это была

содержание

Теперь смысл указывает нам

вероятностей

факта,

последней субстанции. Соответственно и

инобытия: инобытие

в свете смысла, но

в свете

и самый

со

стороны

без самого смысла

и его са-

мообоснованности есть случайность-, инобытие

в свете смысла

без

самообоснованности смысла, а только с его содержанием есть воз¬
можность-, инобытие
по его

содержанию,

в свете смысла, когда оно само есть смысл и

и по его

самообоснованности,

оказывается дей¬

ствительностью.

Бытие-факт

Бытие-смысл

Необходимость

Случайность
Возможность

Вероятность

—

Действительность

Выраженная (понятая) действительность
В

таком виде можно было бы

представить себе диалектическую

таблицу модальных категорий, причем

мы на

данной стадии

наше¬

го исследования не входим в анализ еще особого вида модально¬

выраженной, или понимаемой, действительности, о чем долж¬
быть особое и весьма углубленное рассуждение.

сти
но

—

183

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

6. После всех этих

разъяснений

тематической интерпретации

мы можем

категорий

вполне обладает аппаратом числовых

и к ма¬

приступить

модальности. Математика

конструкций

модальности, и

это в дальнейшем явится очень интересным предметом нашего спе¬
циального исследования. В настоящую минуту мы можем сказать
только то, что вся

и возможное

ность

—

получается

(напр.,

в т. н.

можно

горий,

теории вероятностей, действитель¬

в т. н.

выразительной дей¬

некоторых отделах

в

выследить

вариационной статистике). Однако

разрабатывать аксиоматику

бытие вероятное

что

в т. н. статистике и даже модальность

ствительности

сфера

интенсивно-экстенсивно-эйдетическая

сферой необходимости,

является, очевидно,

мы не

этих

будем

наук
здесь

для всех решительно модальных кате¬

мере предвосхитило бы специ¬

так как это в значительной

альные отделы нашего исследования, так же как и в области интен¬

арифметики.

сивного числа мы ограничиваемся только аксиомами

Однако мы все же не можем

миновать самого главного, это

теории вероятностей. Чтобы перейти

к ним,

аксиом

—

чис¬

произведем общую

ловую модификацию категории вероятности.
7. Вероятность

отличается от

в себе внешнее для себя

образом,

инобытие,

так что она тем самым

конструируя, однако,

его

необходимости тем,

фактов.

и

конструирует

смысл

бытие-смысл

на смысл

и видим, что оно

указывает

инобытия,

факта, т. е. указывает на его возможность.

ные примеры теории

вероятностей,

урне находится N шаров,

и

пусть М

ные белые. Обычно

говорится,

шара равняется —,

т. е. под

математике отношение

не

небытия. Мы смотрим на

и

его

инобытия,

Это значит, что вероятность всегда

есть некое смысловое отношение бытия

зывая

что вмещает

вмещает только смысловым

что

Если

то можно сказать так.

из этих

шаров черные,

вероятность

вынимания

вероятностью события А

не

ука¬

брать обыч¬
Пусть

в

а осталь¬

черного

понимается в

благоприятных для него случаев ко всем рав¬

но возможным и несовместимым случаям вообще. Это и значит, что

который обо¬
обосновывает его смысловым обра¬

вероятность есть такой обоснованный в себе смысл,

сновывает еще свое инобытие
зом. Если

вероятность

что бытие

себе,

но с

(представленное тут

указанием

3 черными шарами)
бытия не

и

появления

черного шара

всеми 10

=

-^,

шарами) берется не само по

на возможное здесь инобытие
и что эта величина

фактическое (так

то это значит,

есть

(представленное

обоснование

как неизвестно, когда и как

184

ино¬

наступят

со¬

§ 49. Аксиома

самотождественного различия в теории

вероятностей

но только смыс¬

ответствующие факты получения черных шаров),
ловое.

Тогда
когда

шаров
из

понятным делается и то,

она станет

какую форму примет вероятность,
действительностью. Действительностью бытие 10

станет в том

урны,

случае,

если мы все эти 10

шаров реально

вынем

т. е. когда число возможных выниманий совпадет с числом

урне шаров. В

наличных в

таком

случае

числитель и знаменатель

равной
Следовательно, действительность есть такая вероят¬
ность, которая равна единице. Это понятно еще и потому, что еди¬
примера будут равны

изучаемого

и

вероятность

окажется

единице.

ница есть полное полагание, а
есть полное полагание. С

вить,

что

действительность

другой стороны,

вероятность, равная нулю,

ностью. Это не

требует

вполне представима
в

вдуматься

и

не

это

прежде

всего

трудно себе предста¬

окажется

просто

невозмож¬

пояснений. Стоит только указать на то, что

вероятность, равная бесконечности. Если

формулу

то станет ясным, что,

поскольку здесьМдолжно быть тоже равно бес¬

будем иметь случай, благоприятный событию
[TV], когда бы и как бы ни происходил этот случай. Другими словами,
это необходимость. Это тоже понятно из более общих рассуждений.
Все смысловое вообще отличается от фактического, инобытийного
конечности,

мы всегда

тем, что оно есть в бесконечной степени то, чем инобытийное явля¬
ется только в конечной степени. Если мы

раз измерять углы эвклидовского треугольника
их оказывается

раз сумма
данная

ность,

ни возможность, но самая настоящая

[что]

и

равной двум прямым,

теорема [о сумме углов треугольника]

оказалось,

бесконечное число

будем

бесконечное число

то это и значит, что

не есть ни

действитель¬

необходимость. Если бы

два прямых угла получаются только для конечного

числа треугольников, то теорема имела бы только вероятное значе¬
ние. А если бы они получались для конечного числа треугольников,
но больше никаких других треугольников не существовало
это была бы действительность. Также если и были бы всякие

треугольники
ми,

с

но мы свое

суммой углов
суждение

в два

прямых

или еще с иными

относили бы только

[к] данному

му числу

фактически измеренных треугольников,

чае наша

теорема была бы

не

необходимостью
185

бы,

другие
сумма¬

конечно¬

то и в этом

и не

то

слу¬

вероятностью,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Итак, вероятность, равная бесконечности,

но действительностью.
есть необходимость.

Другими

словами, математическая вероятность в собственном

смысле, т. е. когда она не есть ни нуль, ни бесконечность, может по¬
мещаться только между нулем и единицей, т. е. может быть только

правильной дробью.
8. Теперь, наконец,

мы можем сказать специально и об аксиоме
в математической теории

самотождественного различия
ятностей.

Нетрудно сообразить

арифметике (§ 45),

что

вероятность

есть

прежде

купность изолированых моментов. Однако
вполне

специфична.

количества

Она есть, как

обще. Вот
числа

строятся так,

совокупность здесь

к

количеству

несовместимых и единственных

что они

случаев

во¬

рассматривается. В арифметике

сравнимы между собою

Ь,

так что если есть а и есть

сумма. Также

другого

всего некая сово¬

мы только что видели, отношение

это отношение здесь и

друг друга,

эта

случаев, благоприятствующих событию А,

всех равновозможных,

веро¬

по аналогии с этой же аксиомой в

то есть и с,

и

определяют

которое

есть их

если есть с, то в нем всегда можно отличить одно от

и найти такое а и такое

Ь, что их сумма

ся с. То же самое мы находим в теории

как

раз будет равнять¬

вероятностей.

Если мы знаем,

например, вероятность рождения детей вообще (в данной стране за
данный промежуток времени), то

рождения

мальчиков меньше

мы можем сказать, что

вероятность

вероятности рождения детей вообще

и

мы

прибавим еще

Аксиома самотождественного различия в теории

вероятностей:

что последняя

получится,

если к этой

вероятности

вероятность рождения девочек. Отсюда и аксиома.

вероятность события

математическая
ства
и

случаев, ему

благоприятствующих,

равновозможных,

частного

обще,

и

несовместимых

случая события меньше,

предполагает

9. Очень

укажу

в качестве

к

числу

всех

единственно

случаев, причем вероятность

чем

вероятность события

соответствующее дополнение до

во¬

нее.

важно отметить, что те, кто занимаются аксиоматикой

теории вероятностей,
ми. Я

есть отношение количе¬

также сталкиваются с

подобными постулата¬

нужным* ввести здесь
Бернштейна, который
н.
т.
аксиомы
первейшей
аксиому сравнения вероятнона С. Н.

счел

’

См. его «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей» в
«Сообщениях Харьковского математич. общества» за 1917 г. и в общем курсе
«Теории вероятностей». М.; Л., 1934. II.
186

§ 50. Аксиома

сшей. Он формулирует

подвижного покоя в

ее так: «Если а есть вид

узком смысле слова) события Л, то вер.
иЛ

вероятностями фактов а{
то оно означает, что

С. Н.

Бернштейн

берту,

а <

(частный случай

вер. Л; обратно,

в

если между

существует неравенство вер. а^ < вер. А,

вер. ах=а,

где а есть

называет это аксиомой

разнообразными

бы назвать самыми

арифметике

некоторый

вид события Л».

сравнения. Ее

словами

можно было

(например, по Гйльсочетания»). Мы

это была бы «аксиома связи» или «аксиома

же можем сказать только то, что единственное обстоятельство,
двигаемое здесь, есть

роятности большего

вероятность. Но

необходимость различения внутри данной
или меньшего и их складывания в

это есть только

вы¬

ве¬

одну данную

результат функционирования

кате¬

гории самотождественного различия.
Аксиома

требует

эта почти не

конечно, разумеется,

что

никаких пояснений. Само

вероятность рождения

вероятности рождения детей вообще. Это первая

Вторая
года

часть гласит о том, что если вероятность

больше,

чем

смерти

вероятность смерти

вается,

что

по

часть аксиомы.

смерти

в течение

в течение месяца, то мы можем вычислить

и для

для смерти 70-летнего

собою,

мальчиков меньше

более специфического случая, например

сравнению

со

смертью 20-летнего. Оказы¬

вероятность старику умереть

в течение

(примерно) трех

недель та же, что и вероятность молодому человеку умереть в те¬
чение года. Следовательно, чтобы из

вторую, надо ее соответственно
и.

первой вероятности получить

восполнить.

подвижной покой

§ 50. Аксиома подвижного покоя в арифметике

Переходим

ко

второй

большой составной категории

в

области

к подвижному покою. Применить эту
категорию к изученным нами областям математического предме¬
та будет теперь легче, поскольку мы более или менее освоились со
смысловым своеобразием каждой из этих областей и на большом

идеальной структуры числа,

примере уже
1.

могли

почувствовать

их диалектическое место.

Самотождественное различие давало

лу совокупность, которая складывалась
и

нам в

применении

из элементов.

к чис¬

Совокупность
Теперь, при¬

была самотождественным различием этих элементов.

меняя

категорию подвижного покоя,

совокупность элементов,

мы

получим, очевидно,

но не в их самотождественном

187

тоже

различии,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

а в их подвижном покое. Если числовая совокупность действительно
подчинена категории подвижного покоя, то это значит, что каждый
элемент ее движется к другому элементу и ко всему целому и успо¬
каивается на другом элементе и на всем целом. Раньше мы натол¬
кнулись на совокупность как на систему различных моментов, на¬
толкнулись на само различие моментов и на их тождество с целым.
Но мы не знали, можно ли
и

перейти от одного момента к другому,
брали многоразличность внутри совокупности как данную, как

мертвую,

как

утвержденную

что элементы не

от

Но что значит,
му? Это значит,

одного

к

другому

что элемент

расположены,

ющийЛ идти

именно

кВ,

порядка.

ло

быть, уже

элементов»,

но

и есть, с

что Л и В

перейти

определенным обра¬
заставля-

Совокупность элемен¬

категорию подвижного покоя, есть,

ста¬

совокупность изолированных

«совокупность определенно

взаимно

расположенных

расположение, определенным образом дан¬

одной стороны, движение, поскольку каждый элемент,

находящийся тут
бует перехода

роны,

упорядочен¬

я должен от Л

существует некий порядок,

не «самотождественная

элементов». Взаимное

ное,

что

Если

а не к Си не kD и т. п.

тов, воплощающая на себе

различии

элемент именно

требует перехода от себя к следующе¬

требует само Л, это значит,

зом взаимно

всем их

при

каждый

и что

что всем элементам свойственна некая

ная система, свойственна идея

кВ и этого

но что

просто различны,

перейти
требует такого перехода.

можно

неизвестно кем и как. Сейчас мы видим,

к

это есть и

нечто вполне

расположении, уже сам

во взаимном

покой,

так как

устойчивое и

тре¬

другой

сто¬

элементов есть

взаиморасположение

нисколько не

по себе

а с

соответствующему новому элементу,

текучее.

2. Укажем теперь результаты применения категории подвижно¬
го

покоя в отдельных областях. Что

ческого числа? После
числа
и с

вообще

данной

выше

тут получается для

характеристики

в отличие от экстенсивного мы

арифмети¬

интенсивного

теперь гораздо

легче

большей уверенностью можем высказать относящиеся сюда тер¬

мины и

конструкции.

Арифметическое
сти.

число чисто от всякой числовой инобытийно-

Оно, говорили мы, нулевым образом инобытийно, инобытийно¬

нулевое

число. Это значит, что в нем

ничем не
мость.

замутненная,

Единица

действует

его чистая и

ровно

именно его собственная смысловая значи¬

есть единица, и

двойка
188

есть

двойка

—

так это и оста-

§ 50. Аксиома

арифметическом

ется в

подвижного покоя в

арифметике

числе, в то время как, например, в геометрии

единица сама по себе совершенно ничего не дает в смысле геоме¬
трии, а надо, чтобы единица была еще раз положена, и положена
на другом, не на числовом, а на инобытийно-числовом, простран¬
ственном
чего

не

фоне,

подобного

переходят

т е. чтобы эта единица

арифметике. Там

нет в

ни во что

ни единица, ни

инобытийно-числовое,

чисто смысловой значимости.

Когда

мы

в

превратилась

точку. Ни¬

другое

число

а остаются в своей

говорим

о

порядке, то,

оче¬

видно, здесь тоже не должно быть иначе.

арифметическом числе порядок единиц должен быть
инобытийно-нулевым, т. е. он должен быть продиктован только са¬
мой же числовой значимостью чисел. Порядок и взаимное располо¬
В

жение чисел должны
того

«фона»,

ний»

и

на

тут

котором

вытекать из значения самих чисел, а не от
они даются, не от тех

ном».

—

просто перечисление единиц по

3,4...

и т. д.; и

определено

тут одно

количественному значению: 1,2,

их

только и есть

«направление»

значением самих чисел

арифметические

(в

Лучше

же сказать,

имеют

междуединичных расстояний

кое

различных «расстоя¬

«направлений», которые могут быть продиктованы этим «фо¬
это
Тут только одно и есть «расстояние» между единицами

направление

не

Отсюда

числа никаких

которое

возрастание).

совершенно

и этим единицам

ровно

и

не

ника¬

нулевые

на¬

т. е. чисто количественная, взаимо-

и чисто количественная

направленность.

и аксиома.

Аксиома подвижного покоя
число есть

это то,

данном случае

присуще. Это нулевые расстояния

правления. Это чисто смысловая,
распределенность

—

арифметике: арифметическое

в

совокупность определенным образом

взаимно

располо¬

женных элементов.

указания

моментов

то, следовательно, понимать такую

формули¬

Так как эта аксиома не
числового

ровку

инобытия,

можно только

содержит

неинобытийно,

личественной значимости.

никакого

т. е. только в смысле чисто ко¬

Можно, конечно,

и отметить

инобытийность. Тогда пришлось бы добавить
«при

их чисто смысловом

расположении»,

ловой значимости», или «когда это

эту нулевую

несколько слов

или

«при

вроде

их чисто смыс¬

расположение определено

толь¬

ко смыслом самих элементов» и т. п.

3. Из распространенных

аксиом

арифметики

189

подойдут,
брать не все

сюда

очевидно, «аксиомы порядка», из которых, однако, надо

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ввиду их

значимости, а только некоторые. Очевид¬

неравномерной

но, сюда целиком подойдет аксиома:

«Еслиaubсуть какие-либо два

различных числа, то всегда одно из них больше

Отсюда

а > Ъ и Ъ < а».

аксиоме)

и

(но

вытекают

т. е. всегда

отнюдь не равносильны

другие: «Если a>bub> с,

то а > с»; «Если

также а + с > b + с»; и наконец: «Если а> b и с >
ас > Ъс».

другого,

0,

а>Ъ,

первой

то всегда

то всегда также

Преследуя аксиоматическую общность изложения,

можно и

не касаться трех последних положений и ограничиться только пер¬
вым

—

оба>ЪиЪ<а.

§ 51. Аксиома подвижного
1. Без труда

скольку здесь
подвижного

покоя в геометрии

формулируется

покоя

будет

та же аксиома для

геометрии,

области инобытия числа,

мы находимся в

и

по¬

категория

дана в своем инобытии. Это значит, что

движение здесь мыслится не между отдельными единицами, из кото¬

инобытийными,

рых состоит чистое число, но между моментами
е.

пространственными,

числа, а среди
тов. Как в

и покой

будет

т.

мыслиться не в недрах самого

инобытийно-числовых, пространственных

предыдущей категории различие

момен¬

дало различие не про¬

сто актов полагания и не единиц, но точек, а тождество оказалось
не тождеством
е.

линией,

вообще,

но

пространственным тождеством точек,

плоскостью и телом, так и здесь мы должны

с точками, этим бытием чисто числовых единиц, и должны от
точки

переходить

к

другой, наблюдая,

что

получается

т.

оперировать

в

одной

результате

этого движения и этого покоя.

Пусть

мы двигаемся по линии от точки А к точке В.

что мы именно движемся от Л кВ и что,

зать,

остановились, для этого, очевидно,

сто голые

придя

нужно, чтобы

В,

в

Чтобы пока¬

В,

мы именно

мы имели не

про¬

себе,

но в

взятые сами по

и

изолированные

точки А и

каком-то их

специфическом

взаимоотношении.

Нужно, чтобы Л уже

сама по себе указывала бы на В, а В сама по себе указывала бы на
А.

Другими

идея
ком

словами, нужно, чтобы обеим точкам была свойственна

порядка, чтобы от Л

случае

и от В шли

трех точках, потому

бы

что

мы шли
к Л.

С,

одной прямой три
то

тут уже

точки

во всяком

это

при существовании

есть возможность двигаться в
на

бы действительно кВ

Легче, однако,

случае

нам

190

чтобы

в та¬

демонстрировать

на

только двух точек еще

обратную сторону.

Л, В, Си

и

Когда же

мы имеем

движемся от Л в направлении к

придется пройти через точку В.

§ 51. Аксиома

подвижного покоя в геометрии

Почему? Потому что точки Д В, С расположены в определенном по¬
рядке, связаны определенной последовательностью; и если вообще
двигаться в этом направлении, то нельзя не пройти точки В. Таков
системы. В момент прохождения через В мы как бы на

порядок этой

мгновение останавливаемся, а это и значит, что тут

гория подвижного
правления

и

действует

кате¬

определяет собою единство

покоя и что она

на¬

порядка.

Можно поэтому

в

следующем виде

Аксиома подвижного
личина есть

покоя

в

выставить нашу

аксиому.

геометрии: геометрическая

ве¬

совокупность определенным образом взаиморасполо¬

женных элементов в их инобытии. Или
величина есть

подробнее: геометрическая

совокупность определенным образом взаимораспо¬

находящихся

ложенных элементов,

в состоянии движения по ак¬

там своего внешнего полагания и в состоянии покоя, достигаемого
этим внешним движением.
2. Из обычных

мы

порядка.

формулировок аксиом сюда относятся т. н. аксио¬
Гйльберта,

Их я взял бы почти в том виде, как они даны у

хотя и в ином

порядке

ности мысли.

Именно,

берта

занимает

—

третье

1. «Из трех точек

ради большей стройности

на

первом месте

место

и последователь¬

бы поставил то, что у Гйль¬

я

(II 3):

прямой всегда одна,

и только одна, лежит между

двумя другими».
За этой аксиомой логически следует та, которая у

первом

(II 1), потому

месте

между двумя другими, а

другим, равно

2. «Если Л,

В

В лежит также

3. «Если Л

что сначала надо поместить

потом

уже говорить об

как только после этого

нии движения за
и

—

точки

С

—

точки

ка D такая, что С лежит

шей

—

одну точку

и В лежит

о

продолже¬

эти аксиомы:

междуЛ

и

С,

то

между С и Л».

и

одной прямой,

мере одна точка В, лежащая междуЛ

Это

следует говорить

одной прямой

на

отношении ее к этим

пределы этих двух точек (II 2). Таковы
С

Гйльберта

междуЛ

аксиомы линейные.

категории

и к плоскости.

и

С,

то

существует

и по меньшей

по меньшей

мере одна точ¬

и D».

Необходимо

также применение на¬

Здесь существует

аксиома

Паша*, даю¬

щая представление о продолжении и порядке плоскости. Ее можно

формулировать так:
*

M.Pascb.

Vorles[ungen] Ub[er]

neuere Geometric.

191

Lpz., 1882; 19262.

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

4. «Если в плоскости даны три отрезка

этой плоскости, имеющая
них, имеет также
не

Тут
что

АВ, ВС

и

СА,

что имеется в виду. Имеется же в

отрезок, соединяющий две точки, находящиеся

сторону

данной прямой,

последней,

в то

ся по

и

одну

прямая на

общую точку
каким-нибудь
общую точку с одним из обоих других».

сразу понятно,

от

то

по

одной общей

не имеет ни

время как отрезок, соединяющий две

ту же сторону

из

с одним

от

виду то,
и

одну

же

ту

точки с этой

не находящие¬

данной прямой [точки],

имеет с нею

одну общую точку.
Разумеется, должна быть «аксиома порядка»
странства (каковой почему-то совсем нет у

и в отношении

Гильберта).

про¬

Ее легко по¬

лучить по аналогии с аксиомой Паша на плоскости примерно так:
5. «Две плоскости, имеющие одну

общую точку,

имеют одну об¬

щую прямую».
Эта
и как за
ние о

пространство делится

аксиома показывает, как

одной

частью

пространства следует другая, ибо представле¬

прямой, общей двум

плоскостям, возможно только тогда, когда

есть представление о двугранном угле, и притом по

двух (если не
ление о
в

о

плоскостью

четырех)

сложных

разделении пространства

крайней мере

и о

переходе

из

о

т. е.

представ¬

одной

его части

двугранных углах,

другую.
Стоит заметить,

мулировка

что

предложенная

чисто математическая

аксиомы подвижного покоя в

единственно возможная.

геометрии отнюдь

Энриквес наряду

берта указывает и другие, которые

с

фор¬

не есть

предложениями Гйль-

вполне тождественны им.

Это,

по¬

жалуй,
привести*.
Одна формула:
стоит

«Каждая

точка А

(части), которые

«левая часть», таким

а)

прямой разлагает прямую

можно

на два класса точек

обозначить названиями «правая часть»

и

образом, что

каждая отличная от А точка принадлежит одной из обеих

частей;

Ь)
В,

если Л находится налево

то каждая точка налево

направо)
с)

от

(или направо)

(или направо)

от

какой-нибудь точки

от Л находится налево

(или

В;

если Л находится налево от

*

Энриквес.

Начала геометрии.

—

В,

то В находится

направо

от Л».

Нов. идеи в мат. СПб., 1914. № 9, 21.

192

§51. Аксиома

подвижного покоя в геометрии

Другая (относящаяся,
фигуре,

как

говорит Энриквес,

становящейся

к

но, собственно говоря, ни о каком становлении в настоящем

диалектическом смысле тут нет и

«Точки прямой

разбиты

помину) [формула]:
(естественных) порядка,

из ко¬

на два

торых один противоположен другому

таким

образом,

что

при рас¬

смотрении некоторого определенного порядка:
а)

если даны две точки

предшествует Вив

Л, В прямой,

то одна из них,

случае В следует

если даны три точки Л,

Ь)
ет

таком

например Л,

за Л ;

В, Си А предшествует/?

и В

предшеству¬

С, то Л предшествует С,
с) между двумя

точками Л и В

существуют промежуточные

точки

(предшествующие одной из них и следующие за другой);
d) не существует никакой первой (предшествующей всем) точки,
и не

существует также

Вышеприведенная
менена

последней

никакой

точки».

плоскостная аксиома Паша может быть за¬

другой (при условии Эвклидова постулата

о

параллельных

линиях):
«Если две исходящие
ются

О

одной

некоторой (не параллельной

кущей
для

из

в

точки О
ни

одной

двух раздельных парах точек,

пары прямых пересека¬
из

четырех прямых) се¬

то то же самое имеет место и

любой другой секущей, не проходящей через упомянутую точку

и не

параллельной

Чтобы

понять

необходимо
исходящих
некая

ни

одной

эту аксиому

из

четырех прямых».

и ее

своеобразную выразительность,

иметь в виду вот что. Если мы имеем две

в

упомянутом
линия

другая

пересекает обе

пары линий находятся

одну пару линий,

только что виде из

в

наша

одной

эти

пары,

то ясно, что

и той же плоскости.

во всяком

секущая

наши две точки той плоскости, в

которой

пары линий,

одной точки,

и если

обе эти

Ведь, пересекая

случае проходит через

даны эти две линии, т. е.

она всецело лежит на этой плоскости. То же самое и в отношении

другой пары

линий. Значит, обе пары линий в силу этого лежат на

одной плоскости. Но тогда, очевидно, на этой же плоскости мо¬
жет быть проведена и всякая другая линия. И эта другая обязатель¬
но пересечет эти же две пары линий и тоже окажется в плоскости,
общей обеим этим парам. Следовательно, если это возможно, то с
проведением

второй секущей

единственное, что

мы остаемся в той же плоскости и

тут происходит,

же плоскости.

193

это движение по

одной

и той

III. Основные аксиомы числа (число как

суждение)

Все различия геометрических формулировок анализируемой
сиомы

указывают

гаться на чисто
более

и

философском

Геометрические

ак¬

отношении нельзя пола¬

аксиомы. Их приходится заменять

геометрические

общими формулами, выводимыми

ваниях.

ром

на то, что в

на

общелогических

же положения должны быть только

осно¬

приме¬

Аксиома дает перспективу в

приблизительным выражением.

науке. И в свете этой перспективы должны появляться сначала более
общие, а потом

и

более частные теоремы.

§ 52. Аксиома подвижного

покоя в теории множеств

1. Во множествах подвижной покой

будет, как и везде, отражать
на себе своеобразие данной множественной сферы. Множество от¬
личается от арифметического числа тем, что элементы, из которых
оно состоит, находятся
количественном

метрическая

между собою

в

инобытийном,

а не в чисто

взаиморасположении. Тут, говорили мы,

система

взаиморасположения,

также гео¬

но только с одним от¬

фигур¬
Поэтому множество и есть синтез арифметического числа и
геометрической величины. Подвижной покой есть, как мы уже зна¬

личием от нее: это не

но чисто числовая

пространственная,

ность.

ем, идея

порядка. Во множестве,

стало

ственный порядок, упорядоченность,

быть, содержится свой соб¬

—

такая, что в ней участвуют

не просто счетно-числовые моменты и не только пространственное
расположение элементов, а и то и другое вместе, в их синтетической
воссоединенности.
Имея это в виду, можно было бы просто сказать, что множеству
свойственна упорядоченность, или, что то же, всякое множество
есть упорядоченное множество. Но тут не

специфически
все

—

будет подчеркнут

и числа, и

геометрические фигуры,

и множества, и даже кон¬

тинуум. Раз дается аксиома для множества,
и

спецификум

множествах.

имеется
иначе

в

момент

множественной упорядоченности. Ведь упорядочено

то должен

быть отмечен

множества. Он и отмечается у нас во всех аксиомах о

Однако

в аксиоме подвижного покоя

упорядоченность

виду специально. Она, конечно, захватывается так

решительно

во всех аксиомах,

поскольку упорядоченность

(и притом специфически множественная) находится
жествах. Но в аксиоме подвижного покоя

свое специальное
не что иное, как

во всех мно¬

упорядоченность находит

выражение, поскольку упорядоченность

результат проявления
194

или

и

есть

именно подвижного покоя.

§ 52. Аксиома

Аксиому поэтому

предыдущим

подвижного покоя в теории множеств

было бы так

можно

аксиомам

формулировать (аналогично

множества).

Аксиома подвижного покоя в теории мыэжесчк-.множество есть

определенным образом взаиморасположенных эле¬
ментов, возвратившихся из инобытия к самим себе. Или подробнее:
совокупность

множество есть

совокупность элементов, взаиморасположенных

так, что, будучи различными
они отождествляются в

по актам своего внешнего полагания,

результате этих актов в чисто числовую

совокупность.
2. Самое яркое,

что имеется

в

математической

темы этой аксиомы, это знаменитая
кое множество может

жеством*, вернее,
вполне

литературе

теорема Цермело

быть сделано вполне упорядоченным

всякое множество может

упорядоченное множество.

на

о том, что вся¬

мно¬

быть мыслимо как

Об этом стоит сказать несколько

слов.

Прежде всего эта теорема Цермело с философской точки зрения
философской точки зрения во¬

может считаться вполне излишней. С

обще множества
философская
матическими

не

существует без идеи упорядоченности. Только

нечеткость мысли в соединении с разного

вкусами

множества вне идеи
невозможность даже

и

предрассудками

может

требовать

упорядочения. В § 47. 1—2
простого

рода

мы

мате¬

какого-то

уже указали

на

отличения множества от обычного

арифметического числа, если не будет принята во внима¬
ние идея порядка. Последняя, таким образом, входит в самое опреде¬
ление множества. Поэтому и у нас она формулируется уже в числе ак¬
конечного

сиом

идеальной (т.

е. самой

ла. Можно и не доказывать

содержаться решительно

первой

и

существенной) структуры

теорему Цермело,

во всяких

строениях. Ей поэтому лучше

чис¬

и все-таки она должна

теоретико-множественных

и называться не

теоремой,

по¬

но именно

аксиомой.

мы

существо доказательства этой

Далее, входя

в

убеждаемся,

что основная идея этого доказательства вполне ин¬

туитивна

и

непосредственна

и что,

аксиомы у

Цермело,

собственно говоря, можно было

бы

и не давать его в этом

на

основную совершенно непосредственную очевидность самой

структуры
’

развитом виде

и

ограничиться указанием

всякого множества.

[Zermelo Е. Beweis, dap jede Menge wohlgeordnet werden Rann]. Mathem.
[ 1904. S. 514- 516].

Ann. 59 Bd.

195

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Именно, центральная идея доказательства сводится
Предполагая вначале,

берем
principii*, потому

что данное множество

его в виде всех его частей

личных

будем

частей,

что

элемент,

элементом этой части

что множество

вии,

будем

который

всякую

множества, такую, которая

вполне

—

простим

мент этой

и это

у-части,А

прегрешение),
—

не

при усло¬

упорядоченным,
самое

но

—

не

интересное. Цер¬

рассматриваемого общего

часть

помощи этого

упорядочена при

отмеченного элемента (тут опять указанное выше
но

раз¬
—

выбираем произ¬

возможная только

этом). Далее следует

настаивать и на

но

мы называем «отмеченным»

мыслится вполне

мело называет «у-частью»

упорядочено,

такой части

(опять операция,

уже

мы

неупорядоченно,

(уже тут, конечно, содержится реtitio

этом). В каждой

какой-нибудь

чему.

множество расчленимо на несколько

то это значит, что оно вполне

настаивать на

вольно

раз

вот к

petitio principii,

а именно: если а есть любой эле¬

определенный

им

отрезок,М

—

А

—

дополни¬

тельная часть к Л до данного общего множества, то для этой М

—

А

отмеченным элементом оказывается как раз а. Вот это и есть основа¬
ние всего доказательства.

Грубо говоря,

мы

берем произвольно

бой элемент из данного множества и на нем
отношении всего множества.
ваться в том, что

Ведь

как можно

неразличимо? Нужно

лю¬

строим ориентацию

в

вообще ориентиро¬

схватиться за

какую-нибудь

любую точку в этой неразличимости и в отношении этой точки ори¬
ентировать все прочие. Мы как бы чиркаем спичку
те и этим освещаем все, что
есть

что-нибудь одно,

Цермело

в

темной комна¬

в

ней находится. Платон бы сказал: если

то это значит, что есть все. Ничего

не высказывает в

употреблении

другого

и в самом понятии своей

«у-части». Уже только одного «отмеченного» элемента достаточно,
чтобы мы знали и весь отрезок (отрезком, который определен через
элемент а,

в

множеств называется множество всех элемен¬

теории

порядки которых

тов,
ном

отрезке

по

ниже

сравнению

порядка а),
со всем

и все, чего не хватает в дан¬

первоначальным множеством,

чтобы «у-часть» была вполне упорядочена. Мы

т. е.

берем,

следова¬

тельно, любой элемент из данного множества, становимся на нем
как на некоей
все

твердой

стороны, озирая

ходится. Это и есть

*

и

—

точке и с него смотрим

сравнивая все,
и

у Цермело,

предвосхищение основания (лат.).
196

вперед

и назад и во

что во множестве

и по

существу

—

вообще

на¬

единственный

§ 52. Аксиома

подвижного покоя в теории множеств

принцип упорядочения

вообще;

и конечно, во всяком множестве с

необходимостью мыслится такая

ориентация.

В дальнейшем Цермело берет две

(в

этом

случае одна

из них, конечно,

или несколько таких

любые вообще элементы данного множества, входящие
(их порядок, очевидно,

них элементы,

Остается
всех
по

будет,

«у-частей»,
же

тому

и

обнимающее

—

и

берет

«у-части»

все «у-части» и все входящие в

конечно, вполне упорядоченным

приравнять данное

только

в

будет тот же, что и порядок соответствующих

а множество,

«у-частей»,

«у-частей»

будет отрезком другой)

множество

множеством).

этому множеству

теорема доказана. Приравнивается

принципу Пусть

в М входят

же оно опять

какие-нибудь части,

которые

не суть «у-части». Тогда остается дополнительное множество до М, в
котором также

будет найден

«отмеченный» элемент, т. е. получится

новая «у-часть», которая охватит и полученное множество «у-частей»
с этим «отмеченным» элементом, и таким
жество окажется состоящим из

образом

«у-частей»,

все данное мно¬

т. е. вполне

упорядочен¬

ным множеством.

Всего этого можно бы
сказали: в

и не

упоминать. Тут

неразличимом берется одна точка,

ется вся остальная
точка этой

важно то, что мы
с

которой сравнива¬

неразличимость и, следовательно,

неразличимости. Больше

Цермело. Такой характер

уже

всякая

другая

ничего и нет в доказательстве

доказательства с полной очевидностью

удостоверяет, что множество, если его мыслить как твердое и закон¬
ченное понятие, вообще не может обойтись без идеи порядка и что
это является одной из самых основных аксиом теории множеств.
Можно сказать еще и так. Множество немыслимо без своих эле¬
ментов
и

(нуль-множество не есть исключение, так как нуль-множество

нуль просто

—

это

совершенно разные вещи);

множество и есть

не что иное, как множество именно злементов. Но если это так, то
элементы должны находиться
шении.

Ведь

«множество»

—

между

это только

собой

в

каком-нибудь

отно¬

неудачный термин; тут

надо

было бы говорить именно о единстве, а не о множестве. Единство же

чего-нибудь. В том, что математики называют множе¬
философской точки зрения содержится именно единство

есть единство

ством, с

взаимоотношений злементов. Раз есть элементы, то в силу самого
своего понятия они находятся в некоем

определенном

ношении, а это и значит, что они вполне

полной упорядоченности уже содержится
197

взаимоот¬

упорядочены.

Понятие

в понятии элемента

(т. е.,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

другими словами, в самом понятии

множества),

в понятии

протяженности содержится

так же как понятие

пространства.

3. Хотя подробная диалектика упорядоченного множества будет
нами изложена в специальном отделе о множествах,

необходимо

и

сейчас ради уяснения уже занятых позиций наметить перспективу
по вопросу об упорядоченности и показать, какие вообще возможны
виды упорядочения с диалектической точки зрения.
Итак, мы различаем чистое

арифметическое

инобытийно-нулевая упорядоченность)
тегорию подвижного покоя,
ваться и сама по

себе, без

—

число

может

которая, конечно,

всякого

(в котором

голую идею порядка

применения

к

числу

—

ка¬

рассматри¬

или к

чему бы

было. Разные виды (или, если угодно, ступени) упорядочения

то ни

возникнут

будем трактовать взаимо¬
инобытийно-нулевого числа и голого порядка

в зависимости от того, как мы

отношение голого

(точнее, голой идеи порядка). В
как

и

глубоко

число и

меняться и виды
диалектических

1) Прежде

зависимости от того, как близко и

порядок проникли друг

упорядоченности. Тут

категорий,

в

друга,

от этого

будут

та же последовательность

что и везде.

всего, порядок есть перво-принцип. Это значит, по¬

рядок есть некая неразличимость актов полагания вообще. Все акты
полагания слиты в одно, но не просто в один акт (актов тут именно
много, бесконечно много, и они все друг от друга

отличны),

а в одну

общую смысловую неразличимость. Акты полагания порядка различ¬
ны, но смысловой результат этих актов

Отсюда получается конструкция,
мая

—

ка и

неразличимость.

время неразличи¬

по смысловой взаимослитости всех актов полагания

различная

—

упорядоченное

по самим этим актам. Это есть

поряд¬

упорядоченность

как и всякое множество, впол¬

Тут идея порядка присутствует актом
субстанцией, так сказать, и этих актов мно¬

множество.

своего полагания, своей
жество, они
ловым

полная

в одно и то же

континуума. Континуум есть, конечно,
не

—

рассыпаны

в

полную необозримость,

но не своим смыс¬

содержанием.

2) Далее, идея порядка
внедряться

в

начинает более

инобытийно-нулевое

число.

глубоко

Именно,

и осмысленно

она

внедряется

образом,
субстанциального воплощения. Там вопло¬
щалась субстанция порядка без его смысловой структуры; тут же во¬
площается смысловая структура без ее субстанции. Там мы имеем
в

противоположность первому случаю

избегая,

однако, своего

198

вполне смысловым

§ 52. Аксиома

подвижного покоя в теории множеств

которой было

упорядоченность, в

дано очень много актов полага¬

ния, но ввиду отсутствия принципа структурности порядка все эти
акты полагания в смысловом отношении оказались слитыми в одну
здесь же воплощается сама структурность

общую неразличимость;

порядка, т. е. зависящая от него как от принципа

ду отсутствия

субстанциальности

и как

фигурность, но вви¬

бы овеществленности поряд¬

ка вся эта фигурность остается чисто идеальной,
не

принимается

же

«субстанциальный»

и

раньше. Тут

в

мы

расчет

в

—

и

как таковая, а только

абстрактной,

этой

континуальный учет

она

продолжается такой

фигурности,

что

области топологии.

Это уже не просто континуум, ничем не заполненный, но фигур¬
ность, рассматриваемая топологически. Топология занимается, как
известно, изучением свойств фигур

в

формы

с единственным

непрерывности деформации.

Фигура

не должна

условием

—

отвлечении

во всем же остальном она

разрываться,

быть деформирована как угодно. Это значит,

рассмотрении фигурность дана

ты,

которые входят

фигуры. Это так
и

в

в

топологии.

в

пология

зрения
рядка

структурности. Вместе

Здесь

множество тоже

порядка,

хотя в отличие от чистого

вне

конкретной

континуалогией

рассматривает упорядоченность множества

внешних актов полагания

—

с чистой

данной

analysis situs’; это так

упорядочено так, что еще не дается порядка во всей его
и законченной

что

а только те момен¬

отвлеченного понятия

геометрической топологии,

теоретико-множественной

в

абстрактно,

континуальном фоне так,

структура фигуры,

определение

может

что в топологическом

не целиком, но только

как понятие, и воплощается она на
важным оказывается не самая

конкретной

от

то¬

только с точки

структуры

самого по¬

континуума топологическое мно¬

жество уже воплощает на себе идею порядка,

пока в самом

абстракт¬

ном и только понятийном его смысле.

3) Обе установки—упорядоченность субстанциально-актуальная
и

упорядоченность абстрактно-смысловая

—

должны объединиться

вместе так, чтобы множество оказалось упорядоченным и в том и в

Другими словами, должны существовать множе¬
сохраняют свою фигурность и в своих преобразова¬

другом отношении.

ства, которые
ниях не

нарушают

ни

субстанциальной,

ни смысловой

упорядочен¬

ности. Как и везде в диалектике, здесь отвлеченная идея, соединяясь

’

Букв.:

анализ положения

(лат).
199

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

инобытием,

со своим

с алогическим

(в

отношении себя
в

териалом, порождает уже конкретный образ,

делить идею от инобытия и инобытие от идеи.
стая

самой)

котором

Здесь

ма¬

нельзя от¬

появляется чи¬

фигурность, в которую воплотилась идея порядка, и мы впервые
увидеть ее стройные контуры. Однако если прослеживать

можем

идей

этот ход

в

геометрии, то

с этой

фигурностью еще

обыкновенная элементарная геометрия. Это

проективная геометрия, отличающаяся

будет

не получится

так называемая

от обыкновенной тем, что

измерения, не свойственны метрические
установки, представляющие собою уже дальнейшее диалектическое
воплощение идей порядка. Аналогично с этим мы должны требовать
ей

не свойственна

идея

категорию проективного

множества в отвлечении от всякой идеи

размерности.
Одна

и та же диалектическая

упорядоченности

ной
мы

может быть

—

этого

тройного

вида

континуальной,
и зафиксирована разно. Во-первых,

выражена

уже указали одну категориальную схему: континуум может трак¬

товаться
ность

ного

как

перво-принцип,

и тогда топологическая множествен¬

будет определена через
порядка,

а

порядка

как

Можно сказать, во-вторых,
структура

и

положенность чистого и
множество

проективное

воплощенностью

будет

абстракт¬

положенностью и

структурно выработанного порядка.
иначе:

континуум

и

топологическая

есть воплощенность из идеи порядка его категории само¬

тождественного

различия (можно привести, например, Энриквеса,

который прямо говорит,
гия

конструкция

топологической и проектив¬

—

вырастают

соответствует,

что

учение

о

на аксиомах сочетания
как мы видели, нашей

континууме

и

вообще тополо¬

(взаимопринадлежности), что

категории самотождественного

различия); проективное же множество есть воплощенность вместе
самотождественного

это

различия,

будет «сфера действия

Можно

и подвижного покоя

(по Энриквесу,

аксиом сочетания» и «аксиом

порядка»).

диалектически понять то же самое еще и так: континуум

неоформленный
множество

и

внутри

не

расчлененный

и

—

тезис; топологическое

антитезис, ибо присоединение

фигурности пока толь¬
абстрактно
структурно безразличный акт полагания. Про¬
ективное множество
синтез, воплощенность в числовой сфере
ко

—

—

как

—

чистой

и

законченной, конкретной структуры (т.

Мы уже знаем, что диалектически возможны самые

е.

фигурности).

разнообразные
конструкции одного и того же смыслового обстояния; и поэтому на¬
200

§ 52. Аксиома
стаивать на

подвижного покоя в теории множеств

какой-нибудь одной из предложенных конструкций нет
Тут важна только нарастающая смысловая слож¬

никаких оснований.

ность

упорядочения: континуум,

топос и

проективное

множество.

нецелесообразно давать полную диалектику всех

В данном месте

видов упорядочения, так как это является предметом целого специ¬
ального отдела нашего исследования.
таких

построений,

Поэтому

мы не касаемся пока

как аналитическое множество или

множество, представляющих собою
ские этапы упорядочения.

измеримое

еще дальнейшие диалектиче¬

Предыдущие

замечания были только об¬

разцом исследования данного вопроса.
4. Стоит упомянуть еще
мы имеем попытки

туре

вообще

определения

дал

жество» и т. п. К

принадлежит

и

не

понятий,

числу

изучаемая

а) У Френкеля*

никак.

Кажется,

нами здесь

мы находим

никто еще не

как «точка», «линия», «сумма», «мно¬

определяемых только

этих

порядка. Это,

что большая часть основных понятий в

определяется

таких

математической литера¬

и самое понятие

определить

конечно, редкость, потому
математике

и о том, что в

вербально понятий

категория порядка.

следующее определение этой

кате¬

гории: «Множество R обладает следующими характеристическими
для

него свойствами: 1. если

жества М,

R}

и

R,

—

подмножество для

тря

тх

по

и

тому,

т,

—

тх

и т,

—

соответствующие

R{,

или

R{

появляется ли

два различных элемента мно¬

им остатки из

М,

т} раньше т,

или

два различных элемента М, то в R входит по

один остаток

то или

R, есть

R, (именно
т2 раньше т^, 2.

есть подмножество для

Rn, содержащий

смо¬
если

крайней мере

один из обоих элементов тх и т,

(а

именно элемент,

появляющийся вМ на более позднем месте; если тх

стоит раньше

то, например, соответствующий тх остаток Rn

и

содержит т„

но он не

содержит

каждого множества остатков от М

R)

есть в свою

очередь

mJ- 3. объединенное
(т.

остаток отМ

—

хотя

множество

е. каждого подмножества для

следовательно, элемент от/?».

Множество R с такими тремя свойствами и есть то множество, при
наличии которого упорядочивается множеством
Это определение упорядочивающего множества способно сна¬
чала поставить
ное

философствующего только в тупик. Однако тщатель¬

расследование

ность

*

этого

математической

определения вскрывает

мысли

поставить

как всю

беспомощ¬

философскую проблему,

FraenkelA. Einl[eitung] in d[ie] Mengenl[ehre. Berlin, 19232. S.] 213201

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

так и ее весьма поучительную слепоту, но все же в своей слепоте бес¬
сознательно правильно

рый тут пускается

логический аппарат, кото¬

нащупывающей

в ход человеческим сознанием.

Возьмем первое свойство множества R. Здесь указывается, что

Ь)

каждому эл ементуизТИсоответствует нс кий определенный остаток до
всего

ся

М, который

пока мыслится как

требование, чтобы эти

Но тут

с

в отношениях целого и части. Что такое

вполне естественно, в этом сомневаться не

первого

совершается обычная

же шага

рассуждениях petitio principii;
что

такое

порядок

множество. Но

(так

при

множества
этом

элементов в

порядок

и для какого

тх раньше

а

именно,

или

что

М,

упорядочивающее

что М

упорядочено

или

наоборот). Ведь только

будет

сказать, какой остаток

тх раньше mL
и можно

приходится.

в математических

требуется определить,

такое

уже предполагается,

как имеется в виду, что

зная

Выставляет¬

неупорядоченные куски множества М тоже

находились между собою

требование

неупорядоченный.

[элемента] окажется частью
это Френкель знает; и что

или подмножеством. Что

значит этот порядок, его

нисколько не смущает. Но для R он почему-то не знает, как понимать
порядок, и вдается тут в сложное рассуждение.
Однако не

будем

Закроем

на этом настаивать.

глаза на то, что в

определении порядка здесь уже фигурирует категория порядка
известное

определяется здесь через другое

ше? Зачем

понадобился

отношение к идее

этот

переход

и не¬

неизвестное. Что же даль¬

к «остаткам » и какое это имеет

порядка? Тут, однако,

необходимо указать, что ма¬

тематик пошел на ощупь вполне правильно. Хотя в смысле принци¬
пиальной мыслимости и не существует никакого неупорядоченного
множества, но мы можем условно занять такую позицию, что есть
некое множество, но что в нем все спутано и неразличимо и являет¬

бесформенной глиной или песком. Как при такой позиции
прийти к идее упорядоченности? Очевидно, необходимо прежде
всего отбирать из этой глины те или другие порции, для того что¬
бы потом их как-нибудь обделать, объединить и придать им ту или

ся как бы

иную форму. Первое свойство
выше,

множества

и есть, очевидно, не что иное, как

массы множества М на отдельные
чине

которых

можно

другого целым

судить

и

Rv

о

распределение алогической

взаиморазличимые куски,

которые

заключается в том, что

202

о вели¬

являются один в отношении

или частью. Но если это так, то

первого свойства

котором говорилось

тут

философский

смысл

элементы множества М

§52. Аксиома

подвижного покоя в теории множеств

перестают мыслиться в своей отвлеченности, но что они
в свое

инобытие

смотрим
еще
ни,

мы как

мы

берем

переходят

элемент

т}

и

вМ, то хотя этот остаток по условию

на то, что еще остается

и мыслится

Когда

и в нем воплощаются.

неупорядоченным,

но

уже гораздо

бы уже видим здесь, где он начинается

резавши все множественна такие куски

в

меньшей степе¬

и где кончается.

Из¬

(путем противопоставления
Л/), мы, очевидно, по¬

данного куска соответствующему элементу из

лучаем не что иное, как то же самоемножество М, но уже как отра¬
женное

HaR,w

само-то R оказывается не чем иным, как множеством

всевозможными способами полученных следов всех элементов

М,

множеством всевозможного воплощения всех отвлеченных элемен¬
тов этого последнего на его алогическом
так оно и должно быть:
идея и есть

реальный,

порядок предполагает,

но алогический

подчиняется. Так вот, кромсание
потом

превратятся

в

свое

что есть отвлеченная

материал, который этой идее

этого материала на куски, которые

упорядоченные элементы,

димый этап упорядочивания,
жества

материале. Действительно,

R, очевидно, сводится

и смысл этого

переходу

к

есть

первого свойства

факту элемента: элемент

субстанцию,

пока не целиком, а

получил для себя инобытийную

но она еще остается без воплощения подлинного смыс¬

ла элемента, остаётся

с) Перейдем
дается,

мно¬

отвлеченного элемента в

инобытие, причем переход тут совершается

только по

первый необхо¬

ко

грубым

и

необработанным куском.

второму свойству

множества R.

Здесь утверж¬

каких-нибудь элемента, из которых
(опять предполагается идея порядка!), то в R

что если имеется вМ два

один позже другого

содержащий

должен быть хотя бы один остаток,

в

себе один из этих

элементов. При этом если идея порядка здесь подлинно функциони¬
рует, то этот остаток должен содержать

в

себе именно позднейший

элемент из этих двух, так как остаток, соответствующий элементу mv
может содержать

в

себе элементы только высшие, чем mv а таковым

является только mz (раз соблюдается последовательность перехо¬
да от тх

к

т^). Другими

словами, это второе свойство множества R

связывает его с множеством М в том смысле, что до сих пор отдель¬
ные «части» R мыслились только в своем взаимном различии, но не
мыслились ни в каком взаимном порядке, теперь же они мыслятся
как

продолжение

тех или иных элементов из М.

множества R предполагает, что порядок

случае, если,

взявши

что-нибудь

из

М,

203

в R может

мы этого

Второе

свойство

быть только

уже

не

в том

встретим

в

R,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

а встретим только то, что выходит за его пределы.

устанавливается ориентация отдельных
элементов М.

Каждый

момент R отныне, оказывается, начинает не¬

сти на себе энергию целого
только

по

перешел

сти»
т. е.
что

R,

стало

быть, только подтвердить,

множество

вполне алогического

Это фиксируется

и окажется,

из

материала.
третьем свойстве

в

R,

множества

определение. В § 48.3
menge, т.

нечто целое,

действительно конструировано

Если теперь оглянуться на весь

делении

что все эти «ча¬

Тогда

некое самостоятельное множество.

упорядоченное

d)

т. е. отвлеченно взятый элемент М не

получившие смысл элементов, сами суть

отныне

образуют

М,

инобытие, bR, субстанциально, но он перешел

в свое

смыслу. Остается,

Здесь, очевидно,

моментов R в отношении

то

мы

множества R.

пройденный путь
так

очевидно,

можно,

уже столкнулись

в

объединение

это

с понятием т. н. Potenz-

е. множества всех подмножеств данного множества,

его мы понимали как

опре¬

понимать

всех частей

(а

причем

элементов)

не

данного множества.
что

говорили,
«все»

Употребляя философскую терминологию, мы
Potenzmenge в отношении самого множества есть

в отношении

всевозможными

поскольку
взаимное

«целого»,

способами

всех

множество

перекрытие

причем

все,

комбинирования
частей

которое дано

своих

множества

моментов,

предполагает

элементов последнего. Множество

служит для упорядочения множества
как именно это

это такое

Potenzmenge.

М, есть, очевидно,

R, которое

не что иное,

И тут заложена весьма важная идея. В

самом деле, что такое целое, из которого исключена идея

Что такое целое,

в

котором

и

нет никакой

конфигурации

порядка?

отдельных

моментов? Очевидно, что только очень отвлеченно понимаемое
целое

—

скорее принцип целого,

будет порядком

чем само целое. Но что же тогда

этого целого, что внесет в него

следовательность моментов и создаст в нем

Тут требуется, очевидно,
различий. Чтобы

нечто

определенную

четкую конфигурацию?

внесение в это целое каких-то

другого. Но

инобытие. Чтобы была

структура бытия, необходимо

инобытие,

тием. Оно заново

внутренних

получило структуру, необходимо внутри

него отличить одно от

так что оно

по¬

это значит внести в него некое
внести в него

уже само для себя оказывается своим инобы¬

осуществляется

ется целиком, так что инобытие

на этом

инобытии,

перестает быть

него, а становится им же самим, т. е. его

204

но

осуществля¬

чем-то внешним для

структурой, его упорядочен¬

§52. Аксиома
ностью. Это
по

себе

щали.

подвижного покоя в теории множеств

инобытие, однако,

Ведь можно же, например,

ве изготовить самый

мой идеи

и

будет,

иметь идею

которое

и на ее осно¬

карандаша

рассматривать карандаш просто

—

мы вопло¬

существовании

са¬

е. о том, что изготовленная вещь есть именно

тело, указывая, что вот это
вот это

и само

рассматриваемо

а потом забыть о

карандаш,

карандаша (т.

карандаш)
ска,

может быть

стоит только отвлечься от того целого,

—

—

дерево,

вот это

—

как некое

графит,

и т. д. Что это

цилиндрическая форма

физическое

вот это

—

кра¬

будет такое? Оно

конечно, тоже некоей цельностью и, следовательно, множе¬

ством, но, раз мы забыли об идее карандаша, оно уже не
нас самим карандашом, не

будет

ми частями, всем, из чего состоит

карандаша;

будет для
будет все¬
Potenzmenge

целым карандаша, но зато

карандаш. Это

есть

и это-то, как ясно, и есть то, что вносит в

отвлеченную

идею карандаша определенную последовательность

ее элементов.

Это наше множество R с

е)

Таким

этом виде

указанными тремя свойствами.

образом,

математическая

хотя

философски

правильно. Наша задача

философско-логическую
это ясно из

внести

и

в

но

слепо,

на

шла

ощупь

мысль

эту математическую

ясность, которая и

будет достигнута,

как таковая не может быть

исходной;

скольку она является

сфере

—

как

предыдущего, следующим образом.

1) Идея порядка

определяет,

ее

в

установившая

самую идею порядка (или упорядоченного множества),

действовала здесь

даже не

мысль,

а

и мы видели, что

предполагает готовой

применения. Но

можно часто

«определена»,

Френкель

и только

увидеть

в

рассуждает

покоя.

Второе

покоя

висимости от

перейти

может, однако,

сферы

в чем ином, как в

свойство только ведь о том

что от одного момента можно

подвижного

функ¬

Это зерно заключается (и это особенно видно

на втором свойстве множества R) не

подвижного

о

ней то последнее

зерно, которое остается неизменным при всех возможных ее

ционированиях. 2)

по¬

ее вовсе

своего

к

категории
и

говорит,

другому. 3) Эта категория

по-разному применяться

функционирования.

в

за¬

Мы можем ее по¬

нимать а)

отвлеченно-арифметически. По-видимому, это именно
понимание Френкель имеет в виду, когда он говорит о том, что
тх
раньше т, (или наоборот). В

таком виде идея

порядка

в

собствен¬

ном смысле еще не нарушается. Это скорее принцип порядка, чем
самый порядок

(«инобытийно-нулевая упорядоченность»).

Совсем

другое получится, если категория подвижного покоя Ь) перейдет
205

в

III. Основные аксиомы числа (число как

суждение)

свое инобытие и начнет в нем воплощаться. Это создаст тот мате¬

риал, без которого
рядок

есть всегда

не может быть и самого порядка

порядок чего-нибудь). Однако

(поскольку

в чисто

по¬

инобытий¬

ном смысле категория подвижного покоя дала бы геометрическую,
не

теоретико-множественную упорядоченность. Необходимо ей

инобытия

вернуться

к

себе,

ские «части» положить в

инобытия. Это и есть

Следовательно,

в

упорядочивающего
но

на основе

—

характер,

но

уже

с той

идеей расставлен-

распределенности, которая была характерна для

ности и

4)

сфере чисто числовой, отождествить
свою сферу. Тогда эти «части» получа¬

в

с чистым смыслом, поднять в

ют опять чисто числовой

инобытийные, геометриче¬

т. е. все эти

себе,

струирование

чистого

теоретико-множественная упорядоченность.
упомянутом

математическом

множества мы имеем не

определении

определение порядка,

уже имеющейся определенной идеи порядка

именно

а

из

—

кон¬

теоретико-множественной упорядоченно¬

сти, возникающей в отличие от
инобытийно-алогических

абстрактной идеи порядка на основе
модификаций. Все это, с одной стороны,

подтверждает правильность защищаемого в нашем исследовании
места как самой идеи порядка, так и всей теории множеств, с
же

—

другой
слепую
бессознательную целесообразность ма¬
мысли, идущей своими путями без философских ме¬

показывает

тематической

и

тодов и логической

выучки.

f) Существует еще
понятия

иное

—

определение порядка

при помощи

упорядоченной пары и однозначной функции*. Но чтобы не

затягивать изложения, мы не станем его

$ 53. Аксиома подвижного

1. Согласно

анализировать.

покоя в теории

вероятностей

аксиоме подвижного покоя, математическая

ность должна быть такова, чтобы было видно, как она

другую вероятность

и как ее движение на этом останавливается.

бы выявить свое движение, вероятность, очевидно, должна

себе таить свое изменение. Как это возможно?

событие Л,
оказалась
ся. Если

ния, то

•

и

пусть

и

его

вероятность равняется

в движении, надо

событиеЛ

вероят¬

переходит

мыслится

вероятность его а,

а.

Чтобы вероятность

некоторым образом

в

образом

менять¬

процессе измене¬

очевидно, тоже окажется

206

Что¬

в самой

Пусть мы имеем некое

событию Л некоторым

Hausdorff [4] Grundz[uge der Mengenlehre.

в

изменяющейся.

Leipzig, 1914. S.] 70.

§53- Аксиома

Но поскольку
ем, остается,

подвижного покоя в теории

никаких иных

и

событий, кроме Л,

мы не зна¬

чтобы самое осуществление этого А повлекло за со¬

бою появление новых
менить

причин

вероятностей

факторов и новых событий, способных из¬
Другими словами, если вероятность

нашего Л.

содержание

приходит в движение, то это значит, что она относится к событиям
взаимно зависимым, т. е. к совмещению событий. Действительно,
та вероятность, с

которой

самотождественного

симых одно от

вероятность

мы имели дело

различия (§ 49.8),

другого,

и это мы там

при изучении

касалась

другой

переходит

факту самой вероятности,

осуществлению

арифметике
сказать,

за а

незави¬

отождествлялась

и

с ней, но не было видно, как она
по ее

событий,

подчеркивали. Поэтому одна

там только отличалась от

деть, как она становится

аксиомы

в

другую. Теперь

мы начинаем ви¬

другой вероятностью, подобно тому как в

следует Ъ,

и если

уже

за а

следует Ъ,

то

необходимо

между этими

что b возникает после а, что, следовательно,

двумя числами существует строго определенный порядок. Но

рии вероятностей

мы

ми в зависимости от

оперируем

а не

то b < а. Это

мало

просто

с числами как

будет

порядка

в зависимости

события,

факта.

в тео¬

с числами, а с числа¬

выставить

структурами

утверждение,

утверждение было бы арифметическим,

теоретико-вероятностным. Значит, необходимо

от самого
ния

Ь,

не

случайных фактов,

бытия случайного. Поэтому тут
что если а >

же по

случайного бытия,

от

от голого алогического

т. е.

факта,

ввести идею

в зависимости

от

осуществле¬

Само это осуществление вероятности должно повлечь

за собою ее движение, ее определенную изменяемость. Это, однако,
есть учение о вероятности не просто событий, но совмещения со¬
бытий.
2. У С. Н. Бернштейна* имеется тезис,
сиомой

который у

совмещения событий. Удивительным образом это

что мы называем

аксиомой подвижного покоя

стей. Тут приходится еще
мысль, если она
самые тезисы,

и еще

раз удивляться,

в

и есть то,

теории вероятно¬

как математическая

правильная, бессознательно формулирует как раз

которые философ дедуцирует

ских оснований

из

к

себе,

в свое

Теория вероятностей \ 23.
207

я

могу переписать

философское

не внося в нее решительно никаких поправок.

те

общих диалектиче¬

разума. Тут редкий случай, когда

математическую аксиому

•

него назван ак¬

исследование,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Аксиома подвижного покоя в теории
частный

случай факта А,

вероятностей:

вероятность

а

вероятности, которую приобретает

а в

если а есть

при данных условиях

вероятности факта А при

зависит только от
от

то

тех же

условиях

и

случае осуществления

факта А

фактов

независимых

Примером

кидание игральной кости,

может

все шесть

ны, и вынимание шара из урны, в

служить одновременное

граней которой равновероят¬

которой

находится одинаковое ко¬

личество белых и черных шаров. Так как эти события независимы, то
вероятность каждого из 12 возможных их совмещений всегда

одна и та же, а именно равна

Другое

—

.

будет

дело, когда имеется в виду

опыт с зависимыми событиями. Если Иван покупает по одному биле¬

Петр покупает билет только

ту в двух лотереях, а
тем, чтобы

ша

в

купить билет

первой, то,

во

второй лотерее

хотя вероятность выигрыша в

второй

их одинакова, а во

—

ятность

ку

с

лотереях у Ивана

вероятностью

и

случае выигры¬

результате вероят¬

Петра одна и та же, по¬
во
Петра
второй лотерее будет
и

выигрыша для Ивана. Здесь веро¬
и та же, посколь¬

вероятности первого выигрыша (одинаковой для

она зависит от

обоих)

этого

в

обеих лотереях для обоих одна

в

выигрыша

с

у Ивана больше, чем у Петра (поскольку

тому что вероятность выигрыша для

одинаковой

первой лотерее

первой лотерее у обо¬

Петр во второй участвует необязательно), все же
ность выигрыша в обеих

в

только в

вероятности второго

после

осуществления первого (тоже

у обоих одинаковой).
Более просто

«аксиома совмещения»

примере. Существуют
10-летнего ребенка

такие

же

умереть

Наперед

ятности

смерть рассматривается

вероятность будет

в течение того же

в зависимости от

зависеть как от

срока

от

скар¬

третьей веро¬

скарлатины,

эта

вероятности скарлатины вообще,

вероятности смерти для заболевшего скарлатиной, причем

она не зависит от

однако,

вообще; 2) заболеть ему же скар¬

должно быть ясно, что, поскольку в

латины.

так и от

на таком

вероятности: 1) умереть для здорового

в течение года

латиной вообще; 3) ему

демонстрируется

вероятности смерти вообще для 10-летнего. Как,

вычислить

эту вероятность совмещения, будет рассматри¬

ваться в своем месте

(§[ ]).

208

§ 54. Аксиома

определенности (закона) бытия в

арифметике

III. ОПРЕДЕЛЕННОЕ БЫТИЕ
§ 54. Аксиома определенности (закона) бытия

1. В § 26, 27
(в

отличие от

и

45.1

арифметике

в

мы видели, что число как идеальная

реального становления) характеризуется

гориями: бытие, различие, тождество, движение
ласть представляет собою бытие
тие, включая и всю его

в

широком

и

структура

пятью кате¬

покой. Вся эта об¬

смысле слова, т. е. бы¬

внутреннюю структуру. Оно диалектически

противостоит инобытию,

или

небытию, объединяясь

с

которым

бытие, для

которого положена также и внешняя

граница, т. е. в ограниченное, в

определенное бытие, дальнейшая эво¬

в

превращается уже

которого приходит уже

люция

к становлению. В этом смысле ино¬

бытие может быть объединено с бытием так же тесно, как
единяли тождество
Если

мы

и

различие

с самотождественным

или закона

различием

построения бытия,

тогда

(онтической)

перейти

и

то вместе

рассмотрение всей

смысловой стороны числа,

категориям, связанным

и к

категории

и подвижным покоем это соста¬

вит достаточно полное и систематическое

бытийной

объ¬

мы

и движение.

значение этой составной

рассмотрим теперь

определенности бытия,

объединяли покой

и как

чисто

и мы сможем

с алогическим становле¬

нием.

арифметики. Определенность бытия арифметиче¬
ского числа есть закон тех операций, в результате которых оно полу¬
2. Начинаем с

чается.

Когда

мы заставляем

действовать инобытие,

отличаем бытие от инобытия
ем.

Проводя эту границу,

не

просто число,

мы

различия,
ной и

мы

нами бытийного

рассуждали

о

конкретной индивидуальности;

ментах и частях числа, т. е.

узрения

появления числа из

говорили

анализировали

других

закон

материала для полу¬

мы именно

числа целиком, от
чисел.

других чисел,

нам

категории самотождественного

или подвижного покоя, мы не

отвлекаясь от

всего

проведением границы, отграничени¬

но и закон его появления из

Когда

прежде

совершаем операцию, которая даст

объединения используемого
чения числа.

мы

его

о числе как пол¬

говорили об

эле¬

внутреннее инобытие,

фиксации

Ведь бытие

самого закона

со своей

внутренней

структурой, определяемой категориями самотождественного разли¬
чия и подвижного покоя, предстоит теперь как уже сформирован¬
ное, как отличенное от всех других видов бытия. Число, в котором мы
нашли различные и тождественные, подвижные и

209

устойчивые

эле-

III. Основные аксиомы числа (число как

менты, теперь уже внутренне сформировано,
иного числа; и мы как бы отходим от него на

чтобы обозреть
со всем

его целиком и,

пользуясь

бинации

с

другими числами,

операции. Вот

бытия

вступать

т. е.

некоторое расстояние,

его четко

установленными

другими

это число в

производим над

операций

закон этих

отличено от всякого

его со всеми

прочим границами, сравнить

Это и значит, что мы заставляем

суждение)

числами.

различные

ком¬

ним те или иные

и есть аксиома

определенности

числа.

Тут мы можем только повторить
раньше говорилось о своеобразии бытия арифметическо¬
бытие, как мы знаем, инобытийно-нулевое, т. е. оно зависит

В чем же этот закон заключается?

то,

что

го. Это

в своей значимости и структуре только от своей чисто смысловой
же значимости. Число вне себя
оно и

внутри себя,

т. е. как

действует ровно

действуют внутри

единицы. Эти единицы абсолютно
ними не мыслится никаких

отвлеченного

ще

которое

как только

царящем

и

не свойственно никакой иной

определенной

между разными

ду отдельными числами существует

разъясняя

что единицам, входящим в

же значением этих единиц, то точно так же мы
в отношении,

чисто числовым

теперь рассуждаем

числами. В

операциях

тот же закон, что и в

ния от

инобытия,

метические

т. е. от взаимного

действия

от сочетания,

ствиях.

говорит

результата

и

этих чи¬

этого сочета¬

расположения элементов. Ариф¬

нисколько не зависят от

перемещения

Отсюда

Аксиома

о независимости

и

меж¬

операциях

между единицами внутри каждого числа. Закон сочетания
сел точно так же

между

различия, которое всегда прису¬

и есть они сами. Если мы,

натуральному ряду чисел,

упорядоченности, кроме

и однозначны;

однородны

категорию подвижного покоя, говорили,
число, т. е.

действует

особых расстояний, кроме того чисто

и чисто смыслового

им как таковым и

так, как

его составляющие его

распределения

порядка действия,
элементов в этих

т. е.

дей¬

и аксиома.

определенности (закона) бытия

метическое число есть

в

арифметике: ариф¬

совокупность элементов, появляющаяся

результате операций над

в

другими совокупностями вне
специфического порядка элементов, над кото¬
рыми производится операция, т. е. независимо от их сочетания,
перемещения и распределения. Или: арифметическое число есть со¬
зависимости

теми или

от

вокупность элементов, появляющаяся
теми или

в

результате операций над

другими совокупностями при инобытийно-нулевой
210

зна-

§ 54. Аксиома определенности (закона) бытия
чимости их

результат

что

во внимание одно

чисто математически, не¬

обстоятельство. Дело

категория определенности бытия относится,

ко к
сто

чистому бытию,

арифметиче¬

счета.

3. Чтобы формулировать эту аксиому

обходимо принять

арифметике

Или еще короче:

взаимораспределения.

ское число есть

в

т. е. не к

и не к

становящемуся

ставшему,

идеальному, смысловому бытию. Мы ведь дальше

операций. Поэтому, строго говоря,

ской ступени, когда речь идет
мы должны

бытия,

вообще

говорить

и даже еще

арифмети¬

данной диалектиче¬

на

законоопределенности числового

о

только об

более обще

—

арифметических действиях

о счете, о законах счета. Закон

определенности арифметического бытия
мы не давали нашей

то

отнюдь не может обеспечить полно¬

себе,

стью математического предмета, и в частности полноты
ческих

а к чи¬

пока никогда

идеально-структурного бытия,

не шли. Что же касается чистого и
оно одно, взятое само по

в том,

как мы знаем, толь¬

расчлененной

есть закон счета. Если бы

диалектики математики, то уже

гут можно было бы вскрыть содержание этих законов счета, к кото¬
рым приходит исследовательская мысль. Именно, мы здесь могли
бы

зафиксировать

как

различные

так и законы счета в более

узком

циативный, коммутативный

и

типы

дистрибутивный. Однако расчленен¬

ность изложения заставляет отнести

утверждением,

ные из

ке,

эту детализацию «закона счета»

последующих категорий, здесь

на долю
голым

арифметических операций,

смысле слова, т. е. как законы ассо¬

других

же

—

ограничиться одним

что мы не только мыслим числа как составлен¬

чисел и как

расположенные

но что, когда отдельные числа

в

определенном поряд¬

уже сформированы,

мы можем их

комбинировать как угодно и от этой комбинации, от самого процес¬
комбинирования нисколько не страдают эти числа, продолжая

са

входить

в

операцию ровно

которое было свойственно
Итак

арифметическое

рирование
ментов,

с тем же количественным
им и самим по

число подчинено

содержанием,

всякой операции.

себе, до

закону счета,

т. е. опе¬

с ним не зависит ни от каких внеколичественных эле¬

которые бы содержались

различие говорит

в нем самом.

Самотождественное

о статической составленности,

ности отдельных элементов в

взаимоприложен-

некую цельную совокупность. Под¬

вижной покой говорит о порядке следования

этих элементов

полученной совокупности. Закон определенности
говорит уже

о

разных формах составления
211

и

внутри

числового бытия

упорядочения чисел,

т.

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

е. уже не об отдельном числе, но о разных числах.
когда мы

берем

и

разные числа,

то все

Оказывается,

равно операции

что

с ними не за¬

висят ни от какого вне-количественного их инобытия. Но это и зна¬

арифметический счет как раз и основан
чисто количественных
вне-инобытийных,
фиксации результатов

чит, что мы считаем. Ибо
на

операций с разными

числами.

$ 55. Аксиома определенности (закона) бытия
1. В геометрии

оторвано

действует

в геометрии

числовое инобытие.

Однако, будучи

и являясь его диалектическим

от такого числа

нием, геометрическое инобытие

отрица¬

слишком вещественно понимает

Все эти сочетания, перемещения

бытийственную определенность.
и распределения происходят тут

в отношении

пространственных

моментов. Закон определенности бытия в этой области есть закон

оформления геометрических фигур,

появляющихся как раз в ре¬

зультате определенных пространственных
ем идеи

ность, порядок
и

самого

с

применени¬

инобытия, отрицающего числовую энергию
как бы застывшего. В

потому статического,

геометрическая фигурность, застывшая

рой

операций

порядка. Это, конечно, всецело инобытийная упорядочен¬

основной закон

на основании идеи

—

построенность

и

результате получается

пространственная,

из инобытийного

материала

порядка.

Аксиома определенности (закона) бытия
трическая

в кото¬

величина есть

в

геометрии: геоме¬

совокупность элементов, появляющаяся

результате операций над

другими совокупностями в
специфически-инобытийного порядка элементов,
над которыми производится операция. Короче: геометрическая ве¬
в

теми или

зависимости от

личина есть результат

Если

построения.

чисто числовые

тия и закон

объединения

операции
чисел в

не зависят от числового инобы¬

результате

кон их абсолютной количественности, то

(пространства),

зависят от числового инобытия
ния

этих

инобытийных моментов есть тут закон

ски инобытийной
ного

скомбинированности,

построения. В арифметике

геометрии

же

—

построение

и

—

операций

геометрические

их

и закон

своей

или закон

счет и

есть за¬

величины

объедине¬

специфиче¬

пространствен¬

числовые

пространственные

операции,

фигуры,

в

или,

вообще говоря, величины. вот закон определенности бытия там и
здесь.

212

§ 55.

Аксиома определенности (закона) бытия в геометрии

2. Как в отношении
ла дает

перспективу

геометрии

она дает

арифметики аксиома определенности чис¬
арифметические операции, так в отношении

на

величин. Отсылая к

на

перспективу

т. е. на

широком смысле),

пространственные операции (в

диалектику образования геометрических

подробному освещению этой области

в соответ¬

ственном месте нашего исследования, мы позволим себе здесь только
очень кратко наметить указанную перспективу Последовательность

образования геометрических фигур

может

быть,

как и все на свете,

только диалектической последовательностью, т. е. последователь¬
ностью

категорий бытия, инобытия

и становления, возглавленной

при помощи соответствующего перво-принципа

ной

в этой взаимосвязи

движения

и

сконструирован¬

при помощи категорий различия, тождества,

Формулируем

это сначала кратко.
быть
какой-то перво-принцип всякой
а) Прежде всего, должен
и покоя.

геометрической фигурности, т. е. то совпадение всех геометрических
противоположностей, которое образует сплошную неразличимость,
в

действующую, однако,

несомненно,

качестве

Во всей математике, может

за,

бы так адекватно

который

всякого

перво-принципа

вообще. Обычно
же

время когда

пространстве,
как только к

быть,

нет ни одного еще такого

хотят

и всех математических

ориентироваться

то никогда не

фиксации

цип неразличимости,

обра¬

изображал диалектическую установку

все говорят, что «точка не имеет

перво-принципов

измерений»,

и в то

на линии, на плоскости и в

прибегают ни к какому иному средству,
образом, уже элементарное ис¬

точек. Таким

пользование этого понятия

и делает ее

принципа различимости. Это,

есть точка.

и

указывает

на то, что точка есть и

прин¬

принцип отличимости одновременно. Это

геометрическим перво-принципом подобно единице

в

арифметике; а ее наглядность и общепонятность превращают
мый ясный и безупречный образ математического перво-принципа

ее в са¬

вообще.
Ь) Далее, точка, подобная всякому перво-принципу, переходит
отрицание себя,

в свое

инобытие;

она

противопоставляет себя себе

же самой. Это значит, что она становится

линией,

так как две точки

уже определяют прямую (простейший вид линии) целиком. Но
линии нет никакого иного
в свое

отрицание,

ет своего

в свое

«оформления»;

пути

к

саморазвитию,

как только

213

посмотреть

и для

переход

инобытие. Линия, взятая как таковая,
на нее надо

в

требу¬

«извне». А это и вы¬

III. Основные аксиомы числа (число как

полняется здесь в

буквальном

смысле, как только мы выйдем за пре¬

делы самой линии и отметим хотя бы одну

данной

Ясно,

линии.

известно, вполне
лежат на

что мы

определена уже

только

измерению

точку

вне

которая,

как

тремя точками,

если они не

мы выходим за

преде¬

получаем трехмерное пространство. Точно

так же,

наконец, мы можем
и

же

какую-нибудь

к плоскости,

переходим

одной прямой. Точно таким

лы плоскости и

суждение)

переходить

можем даже

измерений.
Этот метод получения

и ко

путем

всякому другому следующему

получить пространство

с бесконечным

числом

столько ясен и

прост и,

можно только

тут

я

основных геометрических

категорий на¬
и избит, что

бы сказал, настолько банален

ради шутки возражать против диалектических

переходов.
Один

с)

необходимо

нибудь

в

момент

Именно,

отметить.

осязательного

этом

избитом

все

умозаключении

же

возникает вопрос: нет ли какогов

ограничения

этом

нагромождении беско¬

Нельзя ли здесь привести

какую-нибудь
измерений?
более выразительную диалектику? Несомненно, ограничения здесь
должны быть и теоретически, да и фактически мы почему-то по
нечного числа

преимуществу

имеем дело с

то с большой неохотой
к

переходим

этому вопросу вернемся

путем

прямотой

и невозможно его

нами

и

почемудальнейшим измерениям. Мы
укажем

только

с замечательной

примата трехмерности

вытекают из диалектики;

Теперь остановимся
ных

к

немного позднее, а сейчас

на то, что основания для
ясностью и

трехмерным пространством

и,

кажется, иным

обосновать.
на более

подробном рассмотрении получен¬

геометрических категорий

—

линии, плоскости и про¬

странства.
3.

а) Как

точка, этот наш исходный перво-принцип, переходит

в линию? Как мы хорошо знаем, дело может обстоять только так,
что точка начинает как бы

самой себе, переходить

вообще

как

дробиться,

—

прежде всего, себе

разыгрывается

же

ряда,

как то, что
пока

инобытием себя

между точкой

и точкой как данностью

не точка

самому (ибо

оказывается

возможно только тогда, когда

чальной данностью

противополагаться

но точка как начало

другого еще нет). Итак, точка

самой. Это

начинает

инобытие. Тогда получается уже

перво-принцип,

противопоставляется,
ничего

в

как

первона¬

противопоставленной

диалог при помощи указанных внутренних катего-

214

§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия

в

геометрии

рий, потому что обе эти точки должны различаться, должны двигать¬
ся и т. д.

Ь) Точка отличается сама от себя. Это значит, что существует уже
не одна, а две точки. Но так как у нас имелась только точка и больше
ничего

(потому-то она и была перво-принципом), то различие может
нее с нею же

наступить у
то, что

самой,

т. е.

различным должно

оказаться

между собою тождественно. Следовательно, две полученные

нами точки должны отождествляться. Но как же им отождествляться
чтобы

так,

различие между

исходной начальной
оставить только

точке

одну,

т. е.

ними

уничтожить две

—

это

соединить

ем

отрезок прямой,

от

другого,

их

не

не

вообще

не были бы двумя точками и

а только точкой.

Но,

есть нечто сплошное и

своих точек; и если

привело бы

ка,

т. е.

отрезок, утерявший
—

неразличимое

горию,

одной

Итак,

от

линия есть

независимо от числа

акт

так как весь

в смысле отдельных

полагания)

другой, и обеих от всего отрез¬

свое начало и конец, опять

пространства (под пространством

ный

собою,

конца на¬

бы конечные точки его были бы различны, то это

к их изоляции и

быть отрезком.

отрезок оказался

другой стороны, оба

с

шего отрезка, несомненно, тождественны между

отрезок

мы име¬

то оба ее конца, несомненно, отличаются один

так как иначе они

линией,

теряя различия

при помощи линии. Когда

начало нашей линии слилось бы с концом, т. е. весь

бы

к

точки и

уничтожить самую категорию различия.

Единственный способ отождествить две точки,
между ними,

Вернуться

все-таки осталось?

это значит

—

мы здесь понимаем

измерений). Точка

числового

перестал бы

самотождественное различие

есть

общую

кате¬

бытие (единич¬

инобытия (пространства),

линия

—

его самотождественное

различие. Но самотождественное различие

дано тут

в своем чистом виде,

бы то

в

ни

пространстве

инобытии
не

без привлечения каких

было инобытийных моментов. В общем геометрическом
оно дано чисто,

просто линию,

но

неинобытийно. Поэтому

прямую

линию.

мы

получили

Поскольку различающиеся

моменты являются здесь и абсолютно тождественными,

постольку

общая категория самотождественного различия должна обеспечить
здесь единство направления, призванного синтезировать различ¬
ное в самотождественное. Линия в
ления и есть

с) Далее,

себя себе

условиях единства

своего

направ¬

прямая.
точка должна еще и двигаться.

же

самой, должна двигаться
215

к

Точка, противопоставляя

себе самой

и покоиться в

III. Основные аксиомы числа (число как

себе самой. Что
мгновенных

это значит? В отличие от

смысловых

ударов

суждение)

резких переходов,

категории

моментом

различия, движение характеризуется

как бы

самотождественного
постепенности,

сплошности.
В
же

результате этой

точку,

из

которой

гаться по только что

постепенности движение должно

будет,

оно и вышло. Мало

полученной

нами

прийти

прямой

и

придем

чальной точки к ее

конечной, потому что здесь получится

ность, но именно

прерывность движения:

точке, и дальше идти

по

будет некуда,

в

ту

если мы станем дви¬

мы

от ее на¬

не сплош¬

к конечной

придем

а тем не менее покой не должен,

основному смыслу этой сложной категории, прекращать дви¬

жения,

он должен слиться с этим движением воедино.

прямой

и в

Так же ведь

тождество двух точек не просто уничтожает всякое их

различие, а вполне его сохраняет, но

так, чтобы тождество рас¬

—

творилось в различии, а различие в тождестве. Только так и может
и

полный

осуществляться

постоянный

синтез.

диалектический

В категории подвижного покоя, если применить к пространству,
точно так же движение и покой абсолютно поглощают друг друга,
так что между ними не оказывается ни одного мгновения, их разде¬
ляющего.

Поэтому прямой

линии

прямой недостаточно.

тут недостаточно,

Возвращаясь

все-таки на одно мгновенье

от конца

к

началу,

прекращаем движение вперед,

мгновение останавливаемся и

этой

и движение по

отрезка

уже потом двигаемся

назад.

мы

на одно

Настоящее

воплощение категории подвижного покоя будет только в том случае,
в

самого движения, т. е. в

если мы, двигаясь

вперед,

тате сплошного и

непрерывного движения, вернемся

точке, от

которой

результате

начинали двигаться, т. е. когда мы

резуль¬

к той же самой

будем двигаться

замкнутой. А так
кривой
каку нас берется чистая категория подвижного покоя, т. е. без всяких
линии, которая к тому же должна быть

по

инобытийных привнесений,

то должно быть

направления этой кривой (так же,
мой); единство

же

как и в

соблюдено единство

предыдущем случае

направления замкнутой кривой

рая,

образом,

пря¬

есть единство ее

кривизны. Другими словами, должна получиться окружность,
таким

с

кото¬

есть, попросту, подвижной покой пространства.

Сколько бы мы ни двигались по кругу, мы, в общем, всегда
ходиться на одном и том же месте; это и

будет

площается составная категория подвижного покоя.

216

будем

на¬

значить, что здесь во¬

§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия

d)

в

геометрии

Но к числу эйдетических, или едино-раздельных,

относится

самотождественного

кроме

покоя еще и

и

различия

подвижного

бытие (т. е. едино-раздельное бытие, «определенность»,

«закон» бытия). Ясно,

что

т. е. к

деформациям круга,

тут

мы должны

будем перейти

к

разным

кривым второго порядка. Но эту область

удобнее будет рассмотреть при другой планировке,
сейчас и

категорий

к

которой

мы

после еще одного замечания.

приступим

е) Итак, перво-принцип геометрической фигурности

Перво-принцип превращается

есть точка.

принцип, когда осуществляет себя

в

вообще»

в

реальной

едино-раздельной форме;
точкой, как началом ряда. Она, как и перво-принцип, переходит в свое
и

—

«точка

инобытие, самопротивопоставляется,
действовать

основные

некое бытие

(как

оно

различие

полагания)

акт

—

смысловые

оно

—

и в отношении нее начинают

категории.

как

«определенность»

вообще кривые второго порядка. Таким образом,
процесса

первого порядка,

или в

порядка. Все

это в

распространение
Заметим

одну

ограниченность

точка

прямую,

сначала

в

в

превращается

точки

как

оно

результате

а потом становится

результате перехода

по

и

кривая первого порядка),

окружность,

диалектического

как

Пространство

есть точка; как самотождественное

прямая (или

подвижной покой

становится

—

этого

кривую

кривой второго

в свое

инобытие

и

необозримому полю этого инобытия.

очень

важную вещь. Бытие

и конечность.

есть

раздельность,

Инобытие только потому

и является

инобытием, что оно безраздельно, неограниченно и бесконечно. Та¬
ково

и все

инобытие,

различимость,
бы мал он ни

если

такова и каждая его «часть». Это сплошная не¬

брать его в чистом виде; и любой отрезок его, как

был, всегда бесконечен, ибо никогда

в нем нельзя

одну

точку противопоставить другой (тогда была бы раздельность,

т. е.

какая-нибудь определенность и конечность). Но отсюда получается
вывод огромной важности. Всякая новая категория, зарождающаяся
па путях

рии

инобытия, будет

шиеся

своей инобытийной катего¬

и есть

бытие для этого инобытия) всегда бесконечно¬

только

сравнить две соседние категории, образовав¬

(которая

стью. Стоит

в отношении

путем диалектического перехода

по

путям инобытия,

как это

становится вполне очевидным. Что такое линия в отношении точки?
Это есть

прежде всего бесконечное количество

соединенных

между собою). Что

нии? Это есть

прежде

точек

(так

или иначе

такое плоскость в отношении ли¬

всего бесконечное количество

217

линий,

так или

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

иначе расположенных. Точно так же и трехмерное пространство

Аналогично

отношении плоскости.
шении

прямой? Прямая

диуса. В дальнейшем

есть

легко

—

что такое

окружность

—

в

в отно¬

окружность бесконечно большого ра¬

будет заметить,

что плоскость есть не что

иное, как шар бесконечно большого радиуса. Очевидность этого об¬
стоятельства
лять

себе,

обнаруживается

что в связи с

сама

собой,

если мы
и

увеличением радиуса

ности последняя становится все менее и менее
и

более

распрямленной. Значит,

будем представ¬

удлинением окруж¬

изогнутой,

все более

когда радиус станет бесконечно

велик, окружность тоже станет бесконечно великой и превратится
в прямую. Соответственно, и шар, все больше и больше

превратится

в

нечными переходами, которые используются
вых

разгибаясь,

бесконечно протяженную плоскость. Этими беско¬
в целях

получения

но¬

категорий, особенно богата проективная геометрия.
f) Наконец, в отношении линии вообще, взамен отвлеченной
можно

схематики,

формулу. Если,

форма

то ее

точку

в

нашу

стороне,

принципом

хотя в отношении

мы

перво-принципа
возьмем

линию

простейшая и абстрактнейшая
прямой, подобно тому как и

явится та

линии, которая называется

«бытие»,

общую пятиступенную

в качестве

области

геометрической

рассматриваемой

вообще,

и

провести

оставляя

перво-принципа

и является

уже

чем-то

оформленным и, следовательно, сложным, все же из всех других
категорий есть наиболее «простая», «чистая», «абстрактная» и
«идеальная».

Выше

мы

определили прямую

различие пространства. Сейчас
этого

же мы

как самотождественное

получаем

новое

выражение

определения (вполне тождественное со старым): прямая есть

идеальное бытие пространства.
По сравнению

с

прямой кривая

оказывается, несомненно, не¬

(пространства). Ведь чтобы образовалась
1) фиксирование прямой и
какая-нибудь кривая, необходимо
которым становлением

—

одновременно с этим

воздействия

на

—

2)

испытывание еще

прямолинейное

следнего.

Кривая

вая точка

прямой, которая образовалась бы

саморазвития,

от

она всегда

иного

отличается именно тем, что каждая но¬

постоянно сдвигается в

другим влиянием,
новлением

прямой

какого-нибудь

движение, отличного от этого по¬

—

в

условиях свободного

сторону под

тем или иным

иная и иная. Это и делает

кривую

ста¬

прямой.

Но тогда ставшим бытием линии оказывается замкнутая кри218

§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия

в

геометрии

вая, так как ставшее кладет границу для распространения станов¬
ления и возвращает его к себе же самому, превращая в

фактически

устойчивую подвижность.
Что же касается выразительной формы линий, то поскольку вы¬
ражение (§ [21]) есть смысловое вобрание в себя субстанциально¬
инобытийного окружения, деформирующего (ибо оно
субстан¬
т.
основание
е.
циальное) самую субстанцию,
выра¬
существенное
—

жаемого, то

здесь мы

получим

зависимости от степени их

выми

те или иные типы

деформации. Тут мы
выпали из

второго порядка, которые

замкнутых кривых
сталкиваемся с

рассмотрения

в

в

кри¬

прежнем

подходе.
Прежде всего

мы должны

никак не деформирована

получить замкнутую кривую, которая

в смысле

инобытия. Эта нулевая

ция, однако, не есть просто отсутствие всякой

тому

как в

просто. Но

теории

множеств мы

как мы должны

деформа¬

деформации, подобно

различаем нуль-множество

выразить

и

нуль

геометрически точно? Ясно,

это

кривой является круг, но как математически оформить эту
категорию? Здесь мы должны, к сожалению, затронуть некоторые

что такой

вопросы аналитической геометрии,

хотя

характеристики кривых второго порядка

(ради

последней у

дальнейшем специальный отдел. Именно,

егся в

примера, конечно,

можно

ления кривых второго порядка)

брать

и

мы

нас посвяща-

разных методов

из

изберем

фокусов

метод

любой другой метод опреде¬

и скажем так.

Всякая плоская кривая второго порядка характеризуется двумя
направлениями своей деформации, соответственно двум главным
координатам. Каждое направление характеризуется парой

фокусов.

У геометров невозможно добиться настоящего интуитивного пони¬
мания

фокуса, и понимание последнего почти всегда сводят на ана¬
литические абстракции. Тем не менее фокус есть просто указание на
деформацию. Это прямо выводится из толкования фокуса кривой
второго порядка как такой точки, расстояние которой от точек этой
линии
же

—

выражается рационально через

как и из толкования

фокуса

мнимых касательных к линии

циклические

(отсылая
чимся

к

точки. Но мы не

простым

фокуса

от

координаты,

точно так

пересечения четырех

второго порядка, проходящих через

будем

специальному отделу; ср.
и наивным

их

в виде точки

здесь излагать этого
также

§[105]),

подробно

а только

констатированием того,

что с

ограни¬

удалением

центра кривая определенным образом деформируется, а
219

с

III. Основные аксиомы числа (число как

его

приближением

к

центру

она

Из учения о мнимых величинах
положительные и

деформируется в обратном смысле.
(§[105]) мы увидим также, что если

отрицательные

налево по х-ам, то мнимые

суждение)

величины откладывать

пойдут вверх и

вниз

направо

noj^-кам. Кривая

рого порядка определяется двумя вещественными

и

двумя

и

вто¬

мнимыми

фокусами. Ясно, чтобы не было никакой инобытийной деформации
кривой, необходимо, чтобы кривизна ее была везде одной и той же,
а это значит, что все

Тут

мы имеем

фокуса

четыре фокуса должны совпадать

в

одной точке.

круг, кривую второго порядка, у которой

слились в

об определенном

одну точку (поскольку, конечно,
положении мнимых

все

можно

четыре

говорить

точек).

Если эта математически-диалектическая позиция усвоена, то
нетрудно

будет получить

и

прочие кривые второго порядка. Пусть

перво-принципом замкнутой кривой
понятие. Тогда ее бытием

парабола, у

несомненно,

конечное становление
конечное

будет круг.

будет

выведенное раньше ее

И тогда ее становлением

которой именно

и

происходит уход

второго вещественного фокуса,

будет,
в

бес¬

а также бес¬

и мнимых фокусов, или, точнее сказать, один
фокусов параболы здесь бесконечно удален, а оба

расхождение

из вещественных

мнимых совпадают с циклическими точками. Чтобы такое станов¬
ление остановить, надо снова ухватить его

второй

конец. Это слу¬

гиперболе, второй вещественный фокус которой, пройдя
бесконечность, вновь появляется на конечном расстоянии, но уже с
чается в

другой стороны (как
есть

это и должно

быть, поскольку бесконечность

отрицание конечного, вернее, отрицание самой категории

нечного);

и то же

случается тут

и с мнимыми

ко¬

фокусами, которые

в

гиперболе лежат на конечной мнимой оси.
Интереснее всего, однако, выразительная форма замкнутой
кривой. Из теории мнимостей (§[105]) мы узнаем, что мнимая вели¬
чина есть в диалектическом смысле
вещественная величина,
свое

перейдя

выразительная

величина и что

в мнимость, тем самым

получает

выражение, поскольку мнимость представляет собою наличие

в данном

измерении перехода

в

следующее измерение без наруше¬

ния, однако, прав первого измерения. В применении

к

кривым

вто¬

фокусы (а
деформации) должны стать мнимы¬
ми, а мнимые вещественными. Это произойдет, если мы будем все
больше и больше разгибать гиперболу, покамест не превратим ее в
рого порядка

с мнимыми

это значит, что их вещественные

[суть]

показатели

220

они вместе

§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия
две параллельные прямые и потом в эллипс,
окажется

расположенной

параболы

ложению оси

и

именно

оси эллипса, а

старые

щественные эллипса,

мнимые

геометрии

б[олыпая]

перпендикулярно

гиперболы,

фокусы гиперболы превратятся

в

и в нем

в мнимые,

к

ось

которого

прежнему

старые вещественные

расположенные

на малой

фокусы гиперболы превратятся

расположенные

по¬

в ве¬

на его большой оси. Этот эл¬

выразительная форма кривой второго порядка вообще.
Можно было бы получить эллипс и раньше, путем раздвижения

липс и есть

двух вещественных фокусов круга,
бесконечность. Это было бы
витом виде

представлено у

но

без удаления второго

моментом становления,

нас

параболой. Тут,

из них в

которое

вительного нет, так как становление мы относим и к чистому
и к

и там и здесь оно есть некое

энергии;

выражение,

же смысле слова диалектическим

рядка является упомянутый

раз¬

эйдосу

хотя и дано

разных ступенях диалектической зрелости. В

оно здесь на

в

однако, ничего уди¬

полном

выражением кривой второго

эллипс с

упомянутым

по¬

появлением его из

гиперболы.
4. Этим мы заканчиваем наши краткие указания, ориентирующие
нас

в диалектике линии.

диалектику плоскости

и

Далее,

мы должны

были бы рассматривать

пространства, категории которых

выведе¬

ны у нас выше.

а) Нас

не

плоскостного

угодно,

мы там

интуитивное

уже

то

смущать

должно

мы

в

коснулись

обстоятельство,
рассуждениях

коснулись также

и

представление

взаимоперехода

о

что

чего-то

кривых. Если

пространства, потому что

кривых

цельное

второго

порядка никак не обойдется без пространственных элементов. Тем

не

менее все это было только линиями, а не плоскостями; и мы должны
различать
плоскость.

потому,

окружность

круг, поскольку первая

Привлечение же второго

и

—

линия, а

второй

—

третьего измерения неизбежно

фиксировать выразительные формы линии.
знаем (§[21]), вообще всегда есть привлечение

что мы захотели

Выражение,

как мы

субстанциально
на

и

линии

нового инобытия

положительного

и

(т.

е., напр., не просто различение

отрицательного

направления,

что

было бы внутренним инобытием линии, но привлечение нового
измерения, т. е.
выражении, это
вещественно

плоскости). Однако, поскольку речь

субстанциальное

переходить

в него

инобытие

идет о чистом

не заставляет

(что привело бы просто

самой линии), а заставляет только смысловым
221

к

реально

и

забвению

образом отображать

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

его на себе. Всякая кривая вовсе не есть плоскость в реальном смысле
слова, но она

отражает

мая плоскость

(это

на

себе значимость плоскости,

она

—

мни¬

нам станет окончательно ясным после иссле¬

дования мнимых величин,

И это потому, что кривая так или

§[106]).

иначе несет с собою выразительную энергию линии вообще. Если
угодно найти

интуитивный образ для диалектической категории вы¬

ражения, которое есть переход отданного смысла в

реальный переход,
рого порядка

—

а только

круг, эллипс,

инобытие,
то

параболу

можно считать

и

гиперболу

—

одним из самых лучших способов представлять себе

Ь) Итак,

нам

предстояло бы говорить

пространства. Не
посвящен

но не

идеальный, смысловой,

стоит делать этого

вто¬

«выражение».

о диалектике плоскости и

подробно,

целый отдел. Но некоторые

кривые

так как

этому у

нас

вехи все же наметим.

Плоскость, чтобы получить диалектическое оформление, долж¬
на быть
ны

чем-нибудь заполнена, или по крайней мере внутри ее долж¬

быть осуществлены определенные условия ориентации. Чем мо¬

жет быть определена плоскость, если

содержание,

а не

всяких других
линию.

ции

ориентировать саму

плоскость как

Следовательно,

будет происходить

процесс ориента¬

ориентация? Диа¬

эта

смыслового

расширения

это переход в инобытие. Линия должна

т. е. ей должно

внутреннее

таковую среди

плоскости мы имеем

с линии должен начаться

на плоскость. Как же

—

сначала ее

геометрических построений? До

лектика знает только один способ
ния

брать

перейти

в

быть противопоставлено нечто такое, что

сама. Но что же есть такое,

содержа¬

инобытие,
не есть она

противостоящее линии? Очевидно,

таки точка, но не точка на самой

была бы отлична от самой

прямой (потому

прямой,

но,

опять-

что тогда она не

наоборот, абсолютно слилась

бы с ней), а точка вне самой прямой (тогда

—

очевидное противо¬

стояние точки и

прямой).
Но тут необходимо иметь в виду, что мы знаем

но и еще ее

как-то

привлечена плоскость,

помощи прямой

развернуть, надо

и ее диалектических

определением уже

с) Итак,

прямую,

хотя она и не была диалектически по¬

ложена. Чтобы ее диалектически

няя станет

не только

последующее диалектическое развитие. Там уже была

мы имеем

и

точку

вне этой

различие. Где же тождество данной прямой
в

при

и эта послед¬

прямой.
прямой. Это

плоскости. Начнем с

прямую

как получается тождество

ее заполнить

продуктов. Тогда

и

уже

точки? Мы уже знаем,

инобытийно-геометрической
222

—

области.

§55. Аксиома

определенности (закона) бытия в геометрии

Оно получается через пространственное

ющих

моментов.

объединение различеству¬

Другими словами, нужно соединить нашу прямую и

точку, т. е. из этой точки провести линию, которая бы пересекла нашу
прямую. Но так как здесь мы пока имеем чистые категории, в кото¬
рых нет ничего, кроме них самих, то и различие и тождество должны
быть только тем, что они сами собою говорят, т. е. по величине сво¬
ей только необходимо великими, не больше того.

Другими

словами,

тождество получится тогда, когда из данной точки

будет опущен
образуется угол, и притом пока
только еще прямой, или, иначе, [образуются] плоскостные коорди¬
наты, и притом пока только еще декартовы (т. е. прямоугольные).
Это и значит, что мы получили возможность ориентации на плоско¬
на

прямую перпендикуляр, т.

сти, т. е. тем самым

кнутой
вновь

определили внутреннее содержание всякой

плоскости. Стало

дественное

быть, прямой угол

зам¬

есть такое самотож-

различие (прямая), которое, перейдя

обнаружило

в свое

инобытие,

самотождественноеразличие. В
проективной геометрии мы убедимся, что

себя как именно

диалектическом анализе

это есть не что иное, как
на бесконечно

прямыми

е. когда

определение двумя перпендикулярными

удаленной прямой двух

соответственных

точек инволюции.

Должен быть дальше и подвижной покой. Это уже не будет, конеч¬
но, тот чистый

подвижной покой, который дал

нам

категорию круга.

Это будет такой подвижной покой, который осуществится

на почве

уже осуществившейся категории самотождественного различия. Мы
ведь уже
к этой

имеем угол, и

спрашивается:

получится дальше,

если

категории применить категорию подвижного покоя? Очевид¬

но, той чистой сплоченности
для подвижного

требует возвращения
основном

непрерывности, которая характерна

к

тут уже

к начальной точке, а

как

подвижной покой

осуществляется

угла без

получиться. Тут

подвижной покой

траектория движения

всяких инобытийных

и

в

т. е. как

прямой угол). Следова¬

полученный

опять-таки

на почве этой

обходимым образом

что

самотождественно-различная,

данной прямой (откуда

тельно, остается только замкнуть
и так как

не может

замкнутость, потому

уже предписана

перпендикуляр

и

покоя как такового,

может остаться только

и

что же

берется

нами

прямой угол;

нами в чистом виде

самотождественной различности

привнесений,

то движение наше не¬

должно быть ровно настолько же движением,

насколько и покоем, и покой ровно настолько же покоем, насколь-

223

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

соблюдено условие:

ко и движением, т. е. должно быть

удалились

от

прямой

насколько мы

до нашей точки, настолько же должна участво¬

вать в этом движении и вся покоящаяся прямая. А это значит, что

получающийся
должен быть

в

замыкания

результате

не только

прямоугольным,

моугольный равнобедренный
самотождественное
в свое

инобытие,

прямого угла треугольник
но и

треугольник,

различие

в

быть,

есть такое

пространстве, которое, переходя

обнаружило

не только вновь

дественное различие, но еще и

равнобедренным. Пря¬

стало

—

себя как самотож¬

на основе всего этого

—

как под¬

вижной покой.

d)

Пятиступенная формула,

пожалуй,

и

здесь

более

даст

прозрачные результаты. Если под перво-принципом считать тут
определенность плоскости вообще, то принципом, бытием ее явится

первое выхождение
т. е.

т. е.

угол,

пределы линии,

т. е. точка вне самой линии,

координаты. Становлением плоскостного определения

необходимо

координат

за

в

считать

другие

и

переход одной формы угла
саму

возможность этого

очевидно, окажется замкнутый угол,

или

в

другую

и одних

перехода. Ставшим,

треугольник,

а

выраже¬

разнообразные виды треугольников и прочих плоскостных
фигур, образованных из тех или других треугольников.
нием

—

Не будем

кривой.
сти, то

много

говорить

о плоскостном

Если прямая дала угол и

кривая даст дугу

В связи с

и

определении

прямолинейные фигуры

криволинейные фигуры

общей диалектикой

на основе

на плоско¬

на плоскости.

плоскости можно понять

способ

представления идеальной геометрической определенности,
попадается в

рый
Именно,

полная

старой философско-математической литературе.
форма идеальной определенности пространства

(в данном

случае пока еще только

(в

границ)

во

смысле

кото¬

и

плоскости),

внутренняя (в

смысле

т. е. полная внешняя

принципа ориентации

внутреннем содержании) определенность бытия плоскостного,

будет круг

с двумя взаимно

перпендикулярными диаметрами, у

торых соединены конечные точки,

ко¬

пер¬
двумя
квадратом и составля¬
четырьмя прямоугольными и равнобедренными треуголь¬

пендикулярными диаметрами,
ющими

т. е.

круг

с

взаимно

вписанным

никами.

е) Все
но не

эти

категории определяют

определяют

зрения

и

ее в ее

субстанции.

плоскость по ее

применить пятиступенную диалектику,
224

содержанию,

Если стать на последнюю точку
то мы

получим

—

§55.
плоскость,

Аксиома определенности (закона) бытия в геометрии

замкнутую

поверхность,

поверхностей.
f) Наконец, нетрудно представить себе
категорий
т. е.

и

фигуры, пространственные

геометрические

тела.

и

поверхность

разные

виды

в виде диалектических

в

узком

Ясно, что, поскольку

смысле

всякое

слова,

дальнейшее

определение происходит при помощи инобытия, необходимо
найти инобытие для плоскости, как в ее прямолинейном, так и в

криволинейном определении. Таким инобытием будет

точка, не

находящаяся на плоскости. Она и приведет нас к пространственным

фигурам,
приведет
к его

или

телам.

нас сначала к

Прямолинейное

—

—

многогранники. Криволинейное определение
нас к

шару

Таким

и

плоскости

модификациям, а потом
на выразительной стадии
правильные

телесномууглу

замкнутости, откуда

определение

и его

плоскости

приведет

прочим круглым телам.

образом,

шар, круглые

тела и

правильные многогранники

есть телесная выразительность геометрии. Здесь точка максимально
развила себя

и дала

наиболее зрелый плод. Интереснейшие диалек¬

тические тонкости этой телесности мы должны оставить до специ¬
ального места.

5. Дедукцией геометрических фигур
кон

определенности

бытия

ключается здесь в том, что

в

мы показали, что такое за¬

геометрии. Мы видим

бытие, переходя

вся

—

инобытие,

в

не

суть

за¬

расплы¬

безмерно вширь и вглубь (ибо тогда было бы уже не бытие,
а становление бытия), но пользуемся этим инобытием только лишь
для своего оформления. Получается определенное бытие. Однако эта
вается

определенность конструируется при помощи
смысловых

все тех же основных

категорий, заполняющих, так сказать, промежуток между

бытием и небытием и строящих тут определенное структурное взаи¬
моотношение.
6. Относительно этой дедукции очень многое
ния, что, однако, мы относим к
ходимо сделать только два
ченности этого

специальной

добавления. Первое

геометрического построения

честве возможных

измерений

в

требует

поясне¬

части. Сейчас же необ¬
—

о степени закон¬

и в связи с тем о коли¬

пространстве. Второе

—

о

формах

пространства, выходящего за пределы произведенной дедукции.
а) Что касается первого вопроса, то смысл и количество
измерений

всецело

конструкцией.

определяется

основной

диалектической

А именно, если чистая и абсолютная точка уже была
225

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

нами

как

интерпретирована

ясно, что

геометрический перво-принцип,

едино-раздельный принцип

то

должен тут дать линию. Если

точка есть диалектическое сверх-сущее, то само сущее, т. е. сам смысл,
но пока еще чистый смысл, идеальный смысл, без всякого перехода в
становление,это все естьлиния. Но идеальному смыслупротивостоит
реальное становление, которое в диалектическом смысле есть только
отрицание идеальности, т. е. его самопереход в свое инобытие.
Следовательно, второе измерение и категория становления есть
одно и то же, точнее, второе измерение есть осуществленность

пространственной области.

в общей

категории становления

если так, то отсюда получается сам собою тот вывод, что

общедиалектической категории,

факта,

или

т. е.

категории

Но

следующей

наличного

бытия,

ставшего, соответствует уже третье измерение, само

трехмерное тело, поскольку ставшее есть ставшее

себе

е. оно всегда несет на

все

чего-нибудь,

предыдущие категории,

т.

являясь их

осуществлением.
Ь) Не говоря
вся

пока о выражении, скажем, что отсюда выясняется

принципиальная

скольку

значимость

ставшее есть всегда

трехмерного пространства. По¬

фактическая осуществленность, трех¬
единственно осуществившийся факт,

мерное пространство, как
всегда и везде будет главной и основной идеально-смысловой харак¬
теристикой пространства. Сколько бы измерений мы ни примышля¬
ли,

в основе все

трехмерное тело. Тут

же выясняется

третьего измерения. Оно [есть]

телесное ста¬

равно

и значимость именно

остается

новление. вот его диалектическая

Впрочем, для полной
мерение»

сущность.

ясности

нужно сказать,

что и всякое «из¬

в диалектическом отношении есть только становление. И

так как само чистое становление вполне алогично, то свою смысло¬

вую значимость

оно

получает

в зависимости от

той уже смысловой

категории, становлением

которой

есть

тут получается линия; становление

есть

первое измерение,

второе измерение,

—

—

оно является. Становление точки
линии

получается двухмерное образование,

пло¬

скость. И становление плоскости есть тело. На этом замечательном

примере прекрасно видна сущность диалектического перехода

инобытие,

или в

отрицание,

алогично в отношении к
нет
в

ровно ничего,

ни

т. е.

тому,

одной

сущность

что

точки

намерено становиться,

(и

в

в

становления. Становление
т. е. в нем

переносном более общем,

и

конкретно-геометрическом смысле), которая принадлежала бы
226

§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия
становящемуся.

в

Поэтому, чтобы получить линию,

геометрии

мы должны выйти

за пределы точки; чтобы получить плоскость, мы должны выйти за
пределы линии; чтобы получить тело, мы должны выйти за пределы
плоскости. Каждый раз от данного

известную мглу инобытия, где до
ни одно

простиралось
с) Но

измерение

из

пор

то понятно и то,

ложно так же, как

в не¬

куда

не

сущность пространственных

их в основном

свое одномерное инобытие

двухмерную «идеальную»»
стать

удаляемся

три. Это непре¬

тверда диалектическая триада: внемерная

превращается через

рая, чтобы

почему

мы

ничего не было и

прежних.

если понятна диалектическая

измерений,

в

оформления

сих

точка

(или отрицание)

(первая триада), кото¬
вновь отрицать себя, т. е.

законченность

«реальной»,

должна

противополагаться«факту»и,каквсегдавдиалектике,отождествляться
с ним, что и означает переход

идеальной двухмерной

плоскости в

полное трехмерное тело.

Заметим,

что из математиков, кажется, только

сущность того, почему «пространство
но,

он

решает

этот

Пуанкаре

понял

три измерения». Имен¬

имеет

вопрос при помощи понятий «непрерывности»

и «сечения». Можно ли,

спрашивает он, деформировать плоскость

деформация непрерывна? Очевидно, нет. Нужна
тут прерывность. Значит, уже по одному этому проблема простран¬
ственных измерений глубочайше связана с категорией прерывности
и непрерывности. Когда на прямой некая точка признана таковой,
в

прямую,

пока эта

что ее нельзя

переходить, то, очевидно,

на. На плоскости одна

потому

ности будет, очевидно,
и

запретная

прерывным и,
—

будет

линия в этой точке

уже

не точка, а линия.

прерыв¬

прерывности,

Туг принципом

Когда

прерыв¬

же мы имеем тело, то

непрерывности

и только

признана непроходимой, способна сделать шар

таким

это такая

не создаст

обойти.

линия нисколько не помешает

плоскость, если она

чение»

запретная

что ее всегда можно

точка

образом, рассечь его. Ясно,

стало

быть,

что «се¬

категория, которая необходима для понимания

пространственного «измерения». Непрерывность

поэтому непрерывность, сводящаяся

на п

—

1

п

измерений

есть

измерений путем уста¬

новления в ней сечения*.
Это

простейшее рассуждение Пуанкаре

имеет только тот недо¬

статок, что оно слишком эмпирично и лишено всякой диалектики.
*

Пуанкаре А. Последние мысли. Пер. под ред. А. П. Афонасьева. Пг., 1923
(статья «Почему пространство имеет три измерения?»).
227

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Кроме

того, у него понятно, что такое измерение вообще, но непо¬

нятно, в сущности, почему

измерений обязательно три. Тем

Пуанкаре правильно почувствовал направление,
прос

может быть

непрерывности

не менее

котором

этот во¬

разрешен. С диалектической точки зрения антитеза

и сечения есть не

больше, как только противополож¬

ность алогического, т. е. в конце концов
или

в

небытия (инобытия)

отрицания,

и

—

утверждения,

бытия. Диалектика, однако, дает гораздо

и

больше: она учит еще, как нужно понимать эту противоположность
той ее

форме,

выигрывает
логической

когда она становится синтезом. Концепция

интуитивной конкретности,

в своей

конструктивности

7. а) Возникает

Пуанкаре

проигрывает

уже назревший у нас вопрос

и еще один давно

что такое

пространство боль¬

возможно? Равным

образом,
предыдущего выясняется, что если диалектика измерений есть
что иное, как повторение основных диалектических категорий,

ше,

чем в

должно быть

мы

приняли

как

выражению. Категории до

струируют

в

и

пространство, соответствующее

категорий, которые
именно

и как оно

три измерения,

—

же

а

конструирует тут

смысле

пространственном корреляте (в
—

эти два

единственный вопрос, потому что измерения
быть
трех могут
конструированы только при помощи уче¬

вопроса

ния о

то

из тех

о том, как возможны

«измерений») общедиалектической категории выражения,
выше

не

«ставшего» включительно кон¬

энергийное выражение? Эти два вопроса
и о

последней

из

первоначальные основные,

геометрии трехмерное тело. Что

w-мерные пространства,

в

и системе.

диалектикой пространства:

в связи с

но

в

и есть один и

выражении.

Ь) Выражение
смысле

не

«наличного

дает

бытия»,

ничего
или

нового

ставшего;

в

«факта»,

смысле

это

один

и

тот

в

же

факт—выраженный и невыраженный. Поэтомул'кстко5ь/«зл/ереш/й
мы ни имели, в основе все

трех измерений,

равно всегда

и неизменно остается тело

если стоять на чисто онтологической точке зрения.

выраженный смысл бытия, а не его последняя
субстанция. Выражение вносит инобытийную деформацию в тот
Меняется

смысл,

только

которым уже обладает трехмерное пространство. А именно,

ставится вопрос
этого

принципа

о

кривизне пространства. Подробное проведение
привело бы к диалектической

выраженности

дедукции разных геометрий, могущей дать,
триадическое деление,

а

потом

и

228

более

как

всегда,

детальное.

сначала

Относя

эту

§ 56. Аксиома определенности (закона) бытия
дедукцию в

аксиом

геометрический отдел

будем

должны

выразительности. Сейчас

же мы

можно

формулировать,

всех

разделение

этом

укажем

выразительная триада, которую
это

теории множеств

нашего исследования, мы, однако,

существенное об

сказать самое

—

в

уже

в

дедукции

на то, что основная

было

бы

геометрий

где мера кривизны положительна

1) эллиптическую,

всего

прежде

на

(геоме¬

трия Римана),
2) гиперболическую,
трия Лобачевского)

где мера кривизны

отрицательна (геоме¬

и

3) параболическую,

где мера кривизны

—

нуль (геометрия Эв¬

клида).
Диалектическое

взаимоотношение этих трех типов геометрии

есть взаимоотношение

утверждения, отрицания

и

нуля. Этим вполне

определяется выразительная сущность пространства. Детали же

—

в

своем месте.

$ 56. Аксиома определенности (закона) бытия

в

теории

мно¬

жеств

1. Закон бытия, или метод определенности, дает схему, по которой

объединяются

отдельные моменты в цельную совокупность.

Ариф¬

метический закон такой объединенное™ есть вне-инобытийная,
или, как мы говорим,

инобытийно-нулевая схема. Тут числа объеди¬
специфического порядка и размещения. В геоме¬
обратно. Геометрия изучает пространственные построения.

няются вне своего

трии

—

Как таковые, они

сти. Когда

мы

не

могут

не

содержать

говорим, например,

тие трех, взятое в своей

о

в

треугольнике,

арифметической

представления о треугольнике.

Тут

себе идеи упорядоченно¬
то никакое поня¬

чистоте, никогда не даст

входит принцип инобытийного

взаиморасположения трех отвлеченных единиц. В теории множеств
мы

возвращаемся

опять к

арифметической вне-инобытийности,
абстрактной изо¬

но эта вне-инобытийность не абсолютна в своей
ляции, а

содержит

в своем смысловом составе

доченность, заимствованную

из

разнородную упоря¬

геометрической инобытийности.

Можно противопоставлять, например, некую отвлеченную идею

реальную вещь,

(или
но

чистого

и они

бытия)

и

будут противоположностью чистого смысла
отрицания смысла (инобытия). Однако мож¬

сконструировать образ, который

неразличимость

и

того и

появится как полный синтез и

другого. Этот образ будет,

229

с

одной стороны,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

чистым смыслом, и никакой вещественности в нем не

гой стороны, он

будет.

С дру¬

так, что окажет¬

будет разрисован скомбинирован
буквальным повторением всей
и

той упоря¬

ся полной копией вещи,

доченности и взаиморазмещенности, которую дала вещественно¬
пространственная форма.

другое

—

план и

Одно дело

—

отвлеченная идея

конкретно-построенный дом,

проект дома, где

а третье

абстрактного

нет ни

—

постройки,

это технический

смысла, ни полной ве¬

щественности, но есть овеществленный смысл

и осмысленная веще¬

ственность.

Эта примитивная диалектическая установка, без которой нигде
в диалектике нельзя

обойтись,

является в нашем

принципом рассуждения. Определенность бытия
именно совмещенность
и

случае основой

и

во множестве есть

арифметической нулевой

инобытийности

геометрического пространственного упорядочения. Получается

особого рода упорядоченность, которую нужно

назвать теоретико¬
множественной и которая в одинаковой мере и совпадает с арифме¬

тической и геометрической, и отличается от них.
Аксиома определенности
множество

есть

(закона) бытия

в

теории

множеств:
в

совокупность элементов, появляющаяся

зультате операций над

ре¬

другими совокупностями при
инобытийно-нулевой значимости их взаимораспределения, после
теми или

—

их

возвращения, однако,

всегда
2.

жеств

содержит

в

из

инобытия

себе свой

Последний термин

к самим

себе. Или: множество

тип.

«тип»

математики

ввели

недаром. Правда, обычное употребление

чительно

в

теорию

мно¬

этого слова исклю¬

формально-логично. Когда говорят «два типа карандашей»,

и проч., то «тип» равносилен термину «вид» или
В
множеств,
однако, этот термин приобретает совсем
«род».
теории

«три типа построек»

другое содержание, возвращающее
к

греческому языку. «Тип»

«выбиваю»;
В теории

«тип»

—

—

от

нас к античности, и, в частности,

греческого

то, что выбито, высечено,

глагола толтсо
—

—

«бью»,

например барельеф.

фигурность числа,
специфически выраженная целостность числа. Хотя сами математи¬
множеств тип есть наглядно данная

ки большею частью и не отдают себе в этом отчета, но уже с самого
начала ясно, что именно такого рода интуиции были здесь направ¬
ляющим принципом.
Достаточно указать на то, как определяется «тип» в теории мно¬
жеств.

Тип, говорят,

есть то, что

обще множествам, подобным между
230

§ 57. Аксиома

определенности

(бытия)

в

теории вероятностей

Поскольку подобие выте¬

собою. Это определение очень характерно.

кает из возможности взаимоналожения, а взаимоналожение
лагает одинаковость

элементов данных множеств, то,

наково внутренне
ко сама же эта, в
в этих

множествами может быть толь¬

общих случаях тождественная, распределенность. Я

случаях говорю проще:

ческая,

разумеется, общее между двумя оди¬

распределенными

тип есть

просто какая-нибудь опреде¬

Элементы расположены так, что они,

фигурность.
образуют некую фигурность, хотя

ленная числовая

вместе взятые,

предпо¬

распределения, одинаковую упорядоченность

она и не

геометри¬

но чисто числовая же, и это-то и есть тип множества.

обязательно

гипостазировать идею порядка

чисто

Ведь не

пространствен¬

Абстрактно-числовые акты полагания тоже могут быть различ¬
ным образом взаимораспределенными. Эту чисто числовую взаимоно.

распределенность
учения

элементов и

изучает теория

множеств под видом

о типах.

Итак,

всякое множество

принципиально содержит

в

себе свой

тип. Всякое множество принципиально всегда есть результат не¬
коего
покоя

специфического упорядочения. Если аксиома подвижного
требовала, чтобы всякое множество мыслилось как вполне

упорядоченное множество, то аксиома определенности бытия тре¬

бует, чтобы
фигурность

результатом этого упорядочения была определенная
множества, которая и есть настоящий закон опреде¬

ленности множества, т. е. правило его конструирования из эле¬
ментов.

§ 57. Аксиома определенности (бытия)
Что касается теории

здесь аналогию
тия. Ясно

и

к

вероятностей,

предыдущим

в

аксиомам

теории вероятностей

трудно себе представить

то

определенности,

или

бы¬

без дальнейшего, что здесь должна идти речь об опреде¬

ленных операциях

и о

результате

этих

вероятность есть именно результат этих

операций.
операций.

Математическая
После вышеска¬

занного в этом не может быть сомнения. Весь вопрос, следовательно,
только
этом

быть

вопрос

не о

операции надо

разных видах

этих

иметь здесь в виду. И

операций (которые

при

должны

формулированы, как это мы указываем в § 62.1 d, только при по¬

мощи

прос

в том, какие именно

привлечения еще дальнейшей аксиомы становления),

касается

специфического

природы теории

типа этих

вероятностей.
231

операций,

но во¬

зависящего от

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

В отличие от предыдущих наук эта наука существенно связана с

факта, события,

понятием

или

случая. В то время

ность бытия достигается чисто смысловыми

ности. Раньше мы видели в аксиоме

Здесь

элементов.

определенности,

она

что определен¬

путем установления структуры

мы находим, что хотя

но относится она

структура,

определен¬

операциями, здесь

вне-смысловой, случайной действитель¬

принимает в себя стихию

ность достигается здесь

как там

уже

из числовых

устанавливается

и числовая

к вне-числовым моментам, к

бытию

случайному.
Аксиома определенности
матическая

другими

вероятность

вне-смысловыми

(бытия)

есть

в

теории вероятностей:мате¬

результат операций над

совокупностями,

тура бытия случайного.
Позже в аксиомах о непрерывности
ми

видами

только их

или

мы

—

теми или

числовая

встретимся

и с

струк¬

реальны¬

теоретико-вероятностных операций. Сейчас выведена

общая категория.

§ 58. Общий результат

аксиом

идеальной едино-раздельности

числа

1. В

§ 35 были сформулированы

аксиомы числа в наиболее об¬

как они вытекают из общей теории числа, без всякой
математической спецификации. Теперь, принявши во внимание уже

щей форме, так,

чисто математический

скую

форму

можно

материал,

мы поняли, в

какую математиче¬

воплощаются эти наиобщие аксиомы.

Следовательно,

сравнить наиобщую аксиому едино-раздельного бытия

с по¬

лученными математическими результатами.
Наиобщая аксиома гласила: число есть едино-раздельный
полагания. Что же мы

можно
что

фиксировать

в его

наиобщей форме. Примем

категория самотождественного различия

понятию

акт

получили теперь? Полученный результат тоже

совокупности

и

элемента.

в

во внимание,

общем приводит

к

Также категория подвижного

покоя определяет собою понятие порядка, упорядоченности. И на¬
конец, категория бытия

требует конструирования в числе его опре¬
фигурности. Объединяя все эти моменты вместе,
сказать, что число есть фигурно упорядоченная совокуп¬

деленности,
мы можем
ность

по

или

изолированных

разным отделам

элементов. Этот

результат модифицируется

математики. Его можно взять как отвлеченный

принцип; тогда получится арифметическое учение. Фигурную упо232

§ 58. Общий результат аксиом идеальной едино-раздельности
мы

рядоченность, несомненно,

арифметическом
без идеи

ни тем самым

порядка,

специфическая фигурность
быть

и

самом

обыкновенном

натуральный ряд

невозможен ни

находим

числе, ибо уже

числа

без идеи

в

фигуры,

хотя

теоретически). Фигурная упорядоченность,

тут, конечно,

это и должно

упорядоченность (как

далее, может быть

взята в своей инобытийности, равно как и в синтезе своего бытия
со своим инобытием; тогда получатся учения геометрические и
теоретико-множественные. Однако это уже развитие нашего резуль¬
тата, самый же результат в его наиобщей
число есть

форме гласит только то, что
фигурно упорядоченная совокупность изолированных

элементов.

Сравнивая

этот

результат

наиобщей аксиомой § 35,

с

сказать, что в нем для нас нет

ровно

мы можем

ничего неожиданного, что он

есть ближайшее и самое естественное следствие

Как возможен акт полагания, если его

брать

наиобщей

вне его

аксиомы.

простой

и не¬

развитой сущности, но в его едино-раздельной множественности?
То, что этот акт делается множественным и в то же время остается
самим

собою,

не

рассыпается

в

дискретную множественность,

обстоятельство возможно только как
т. е. в

гурность,

свое единство,

фигурность вообще.

переход

Если акт

речь должна идти уже

о

в

раздробился

разных актах,

взаимно не связанных полаганиях. Но если акт

жественность полагания и в то же

значит, что он

и множества.

сказать, на

превратился

время сохранился

как

и

во мно¬

такой,

это

взаимопроникновении категорий

Фигурность

во множество, не

именно там, где единство

потерявши собственного бытия,

множество целиком поддалось

жеством.

потерял

дискретных

образовавшуюся множественность, т. е.
фигурность. Диалектика фигуры строится на взаи¬

модействии, точнее же

вратилось

о

и

объединяет

превращает ее в

единства

это

упорядоченную фи¬

единству,

не

переставши быть

пре¬
и где

мно¬

Фигурность есть, таким образом, простейший диалектиче¬

ский синтез единства и множества.
Таким

образом, получение числа как фигурно упорядоченной
совокупности имманентно кроется уже в самом общем утверждении,
что число есть раздельный акт полагания, и здесь требуется только
самый элементарный диалектический шаг.
2. Может

быть,

важнее

тата. Яснее всего она на

другая сторона полученного

арифметике

и

резуль¬

геометрии. Спросим себя:

чего еще не хватает нам для того, чтобы иметь

233

нами

настоящую, действи-

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

тельную

арифметику и геометрию? Можем ли мы просто что-нибудь

вычислять или

решать

те задачи,

которые обыкновенно именуются

«арифметическими»? Собственно говоря, единственное,
лучили до

сих

определили

пор, можно

число как

назвать числом самим по себе. Мы

совокупность. Можно ли, например,

мы не имеем на это никакого

определили. Правда,

действия,
ла)

но оно

в очень

получено

действия

геометрическую

при

мы его

арифметического
(в учении об определенности чис¬

и мы еще не знаем, какие возможны

ариф¬

Точно так же, получивши

фигурность, мы на основании только одних аксиом
не можем знать, что же нам, собственно го¬

фигурами; и даже мы еще не знаем самих
получили их абстрактное понятие. То же самое от¬

воря, надо делать
а только

нами

и как они возможны.

единораздельности еще

носится и к

будет

не знаем, всегда ли,

себя вести так, как

уже коснулись понятия

мы

общей форме,

метические

фигур,

права. Мы еще

обстоятельствах это число

ли

просто

на этом

производить арифметические действия? Строго говоря,

основании

всех

что мы по¬

с этими

учению

о множествах.

Ясно, что полученный результат, гласящий,
фигурно-упорядоченная совокупность элементов,

что

число

есть

отличается чрез¬

вычайно общим характером, все еще очень далеким от

конкретной

математической действительности. Надо посмотреть, как осущест¬
вляется такая едино-раздельная структура числа. Надо определить

формы функционирования этого другого числа, уже отвлекаясь от
его чисто внутренней структуры и переходя в область его внешних
судеб и проявлений.
Но это значит, что число, изученное нами до сих пор, есть число
идеальное, смысловое, что ему еще предстоит стать реальным и что
для этой реализации
ново бы

требуется

и не больше того,

—

в

котором

да чисто идеальным

сих

пор

оно за¬

число есть идеальная значимость

с полной ясностью вытекает из его

фигурности. Фигурность,

принципа

вообще структура, обладает

как и

характером,

если ее

брать

как

этого дома,

мов таких, как этот

дерева

мой,

и

двора

фигура

есть нечто идеальное.

очень много, а

структура

всег¬

таковую. Как бы

был веществен этот дом, это дерево, этот двор, всегда

структура

—

инобытие,

перевоплотилось.

Что рассмотренное до

ни

новое

и

Ведь до¬

всех этих домов

одна и та же. Явно, что структура вещи не есть сама вещь, а только

ее идея, хотя бы пусть и неотделимая от нее. Значит, поскольку сама

234

§ 59. Принцип становления
действительность

как принцип непрерывности

не есть только идея, мы должны для ее охвата оста¬

вить чистое идеальное число и

перейти

к его

инобытию,

где бы это

идеальное число получило тело и плоть и стало реальным.
3. Но какое же теперь возможно для нас инобытие? С инобытием
мы, вообще говоря, уже имели дело. Инобытие только и сделало для
нас возможным противопоставление супра-акта ему самому. Единораздельность акта полагания только потому и была возможна, что в

сфере

самого полагания,

противоположение,
ключалось именно

внутри

его самого, оказалось некое само-

т. е. некое инобытие.

внутри

Однако

это инобытие за¬

было, другими

самого числа. Оно

слова¬

ми, самим числом. Число противопоставлялось себе же самому, т. е.
оно было инобытием для себя же самого. Оно было и своим

бытием,

Теперь у
очереди
другое инобы¬
вне
едино-раздельной структуры числа, т. е.
уже
вне самого числа. Число со всей своей фигурностью, со всей своей
едино-раздельной структурой (которая остается отныне неизмен¬
ной), переходит целиком в новое инобытие. Новое инобытие будет
и своим

инобытием.

совсем

нас на

тие. Это инобытие

вносить в число уже не

сущностные дифференции,

торые не затрагивают самой

судьбах этой
Другими

сущности,

а лишь

но такие, ко¬

говорят

о внешних

сущности.
словами, нам предстоит

формулировать аксиомы ста¬
структурой перешло в новое
стихию становления, iyr-то и

новления числа. Число со всей своей

инобытие, которое
должна начаться

и

уже

втянуло его

в

не идеальная, а

реальная

жизнь числа. Что же

это за аксиомы становления?

с) Аксиомы

(или

§

59. Принцип

Наиобщая
лагания».

становления числа

непрерывности)

становления как принцип непрерывности

аксиома

§ 35

Спрашивается:

матической

его

гласит: «Число есть

как

нужно

понимать

становящийся

эту аксиому

акт по¬

в ее мате¬

интерпретации?

1. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо принять во вни¬
мание, что с переходом в становление число погружается в чуждую
себе стихию и облекается в эту стихию, перекрывается ею. Число
застилается новым слоем и таким

образом делается

двухсоставным.

В нем меркнут прежние различия и застилаются новой уже неразли¬

235

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

чимой мглой. Если до сих пор число оказывалось

едино-раздельной

безразличным,
безраздельным, бесфигурным хаосом неизвестно каких элементов.
Вступивши в инобытие, оно уже лишается своих смысловых разли¬

фигурной упорядоченностью,

чий и в этом отношении

то теперь оно является

превращается

смысловом отношении здесь число
ственно. Но оно
только

тут

погружено

различия

отличается от

в

в

чистую неразличимость. В

неразличимо,

оно везде тожде¬

инобытие, в становление, и существуют

в этом становлении.

едино-раздельной

Однако

становление тем и

числовой структуры, что оно без¬

различно, внутренне неразличимо; и если мы теперь утверждаем,
что оно различается, то это различие является уже положенным раз¬
личием неразличимого.
2. Однако тут нельзя не вспомнить о той основной неразличи¬
мости, которую мы уже имели в виде супра-акта. Чем отличается эта
новая неразличимость от той,

первоначальной? Первоначальная

различимость дана до бытия, до раздельного
там была абсолютная

чимость после

здесь
но

—

акта полагания.

неразличимость. Здесь

раздельного

же мы имеем

не¬

Потому

неразли¬

Потому неразличимость
в определенной сфере, а имен¬

акта полагания.

берется не сама по себе, но уже
в сфере раздельных актов полагания. Следовательно, здесь

отвлекаемся не

просто

сначала полагаем

от всякого

бытие,

гружаем эту раздельность

бытия,

и полагаем его
в новое

какого бы то ни

раздельно,

мы

было,

а затем

уже

но
по¬

безразличие, заливаем раздельную

структуру числа безразличной мглой становления. Тогда уже полу¬
чится некая положенность

ствующих
ность. Эта

что

в

нем

последний дан до

этому

в

с

аннулированием различе¬

пунктов. Другими словами, получится непрерыв¬

непрерывность

непрерывность

различного

тем только и отличается от

перво-акта,

всякого полагания и, следовательно, различия;

же дана в

непрерывности

сфере полагания,

в

сфере раздельного.

мыслится как бы нечто

сама по себе она еще не есть только

протяженное,

протяженность,

По¬

хотя

но последняя

есть только один из ее видов.

3. В непрерывности
смысловых моментов. Вся

погасло

противоположение раздельно¬

едино-раздельная фигурная упорядочен¬

ность числа

потухает

рывным. Но

это касается только смысловых, т. е.

тов.

в тот момент, когда число становится

идеальных,

Идеальность здесь потухла. Однако непрерывность

только

потому,

что смысловое

безразличие
236

дано здесь

в

непре¬
момен¬

возможна

реальном

§ 60.

Аксиоматическая диалектика непрерывности

различии, неразличимость структуры делается различимой инобытийно, субстанциально, фактически, реально. Смысловые различия
в числе

но зато

потухли,

возросли различия

полагания. Акты полагания здесь

идеально-смысловой сфере

числа было так, что

вому различию сопутствовало
сказать, в идеально-смысловой
и

факта,

здесь

бытия

и по

инобытия;

и

факту;

и самое

ложение смысла ему же
Совсем

другая картина

шел в свое

инобытие,

уже

и

различение

сфере

что

раздельно

т. е.

по

по актам

смыслу. Это

всякому

факту;

или, лучше

различия

смыслу,

то

не что иное, как

идеальный

Здесь идеальный
смысл

перешел

в

смысло¬

смысла

раздельно

противопо¬

самопротивоположение

в становлении.

весь

по

нет самого

инобытие есть

самому,

факту,

его по

не подчинены

смысла.

смысл пере¬

в свое

инобы¬

тие. Потому новое инобытие уже не есть внутреннее инобытие само¬
го смысла, но оно

—

внешне ко всей смысловой

есть абсолютная алогичность, т. е. его

сфере. Потому оно

различения уже

не

идут вслед

за сущностными различиями, но остаются именно инобытийными
отношении их.

Существенные различия

а в алогическом становлении

в

здесь прямо уничтожаются,

образуются

новые, свои собственные

различия, уже не соответствующие сущностным различиям и несо¬
измеримые с ними.
4. Вот почему непрерывность есть совокупность таких моментов
(или

точек), которые абсолютно

отличимы как такие,

собственному смыслу,
ты здесь вполне

по

реальной

ности.

в

и

друг

различны

непрерывности

мы

щим образом:

от

друга,

и

эти момен¬

по актам своего полагания,

субстанциальной

существует

будем правы,

т. е. не¬

неотличимы по своему

идеальной сущности. Но

если нашу

случае интерпретируем

положен¬

некая как бы

хотя и неизвестно, чего именно это есть

мы в настоящем

точки

другими словами,

по своей

различимы

Следовательно,

§ 35

неотличимы

своей воплощенности, по

Поэтому

женность,

—

протя¬

протяженность.

общую аксиому

математически

число есть величина, так или иначе

из

следую¬

определенная

с

зрения непрерывности.

§ 60. Аксиоматическая диалектика непрерывности
1. Однако это не конец, а только еще начало математической ин¬

формулировать модификации этого
арифметике, геометрии, теории мно¬

терпретации. Нам предстоит
принципа
жеств и

непрерывности

в

теории вероятностей. Но еще раньше этого
237

мы должны всмо-

III. Основные аксиомы числа (число как

в самое понятие

третьей

формулировано

очень

непрерывности,

так как оно в математике

разносторонне, хотя,

поступают тут вполне слепо

матики

данные ими же самими несходные

суждение)

как всегда, сами мате¬

и не знают, как свести воедино

формулировки.

2. Дело в том, что понятие непрерывности математически (и

философски)
и

можно

конкретности. Но

кретизации,

ем,

формулировать

с

если мы

осуществить

хотим

что согласно с нашим

то у нас нет никакого иного

разной

степенью

общим диалектическим учени¬

пути,

как только

применить ту

нас везде.

мую пятисоставную схему, которая действует у

словами, непрерывность должна рассматриваться
как

едино-раздельный

общности

всю гамму кон¬

са¬

Другими

как супра-акт,

акт полагания, как становление, ставшее и

выразительно-эманативная энергия полагания. Не трудно форму¬
лировать супра-акт непрерывности, поскольку

в основе

лежит не что иное, как алогическое становление числа.

бы

или

последней

Тут мы могли

повторить соответствующую аксиому §35,

или сказать: всякое

величина. Этим самым и

формулируется то,

число есть

непрерывная

что мы в диалектике называем супра-актом.

Труднее

3.

подыскать математическое выражение для последую¬

щего диалектического развития понятия непрерывности.

Прежде

всего, что такое непрерывность как бытие, т. е. как положенность,
как едино-раздельная

бралась

структура?

в своем последнем

конкретном строении,

структуру,

сейчас,

с

и не

рассматривалась

переходом

в

в своем

едино-раздельную

различенное,

единораздельную структуру, поскольку

как то, что

она выраже¬

идеально-смысловой неразличимости. Такой различенной

структурой безразличного

наполнение, или,

если

Ведь перечисленные
другого, поскольку
пятерке

принципе

мы должны понять ее как нечто

выявляет свою

на в этой

то

Если в супра-акте непрерывность

может явиться здесь только

протяжение,

угодно, непроницаемость непрерывности.

моменты

мы там

проницаемы один для

абсолютно

говорили

о смысловом самотождестве. В

все единицы абсолютно тождественны и

другую. В непрерывности

же мы находим

проницают одна

глухую стену между

от¬

дельными ее моментами; и если они тут слиты по смыслу, то часто по
своему

факту они

ко и заключается

если

говорить

взаимонепроницаемы, ибо

в том толь¬

сущность протяженности, разрывающей бытийные

полагания сущего
о

абсолютно

в их

абсолютную

внеположность.

едино-раздельности
238

в

сфере

Следовательно,

самой непрерывности,

§ 60.
то это
или

будет

Аксиоматическая диалектика непрерывности

не что иное, как некая наполненность,

протяженность

непроницаемость.
4. Математически

это есть в точности то, что известно под име¬

Архимеда.

нем аксиомы

чески. И тогда она
если а > 0 и b >

Ее можно

формулировать

чисто

арифмети¬

примет такой вид:

0,

то всегда а + а + а +

...

+ а>Ь.

формулировать геометрически: если один и тот же
на прямой достаточное число раз, то об¬
щая сумма всех отрезков всегда выйдет за пределы любой точки на
этой же прямой.
Эту аксиому математики справедливо называют аксиомой не¬
и

Можно ее

отрезок откладывать

прерывности. Однако

очень мало сказать, что это есть аксиома не¬

прерывности. Ведь существует

рывности',

много других

выражений для непре¬

и если гнаться за логической точностью, то

указать ту категорию, под которой развита

необходимо

эта аксиома

Архимеда.

Размышление показывает, что тут имеется в виду не столько непре¬
рывность вообще, сколько один

непрерывность

ственно,

определенный

в аспекте ее полноты и

Архимеда?

хочет сказать аксиома

ее тип, а именно,

непроницаемости. Что, соб¬
Она хочет сказать, что

когда мы откладываем отрезок во второй раз, то его начало должно
совпасть с концом уже отложенного отрезка, а когда
ем его в

третий раз,

второго и т. д.

прямой

то начало

Другими

отложен

третьего должно

словами, мы хотим этим сказать, что если на

данный отрезок,

то во

помещать его на то же самое место, но
лы

первого отрезка,

в аксиоме

сти,

Архимеда

который

ность,

или

мы откладыва¬

совпасть с концом

и так же

—

во

второй раз

мы

уже

не можем

необходимо выйти

второй раз,

и т. д.

за

преде¬

Следовательно,

имеется в виду только тот аспект непрерывно¬

обозначили как непроницаемость, протяжен¬

мы выше

полноту.

5. За бытием следует инобытие,
ние. Что такое

непрерывность

и за смыслом

себе с самого начала есть становление. Но

этого становления различаем

зительную форму. Что
ления в этой

следует

теперь

мы в

бытие, становление,

же такое

становле¬

как становление? Она уже сама по

теперь

сфере самого

ставшее и

выра¬

становление самого станов¬

общей сфере непрерывности?

Становление
ский процесс.

есть

процесс,

Непрерывность,

и

процесс неразличимого,

алогиче¬

следовательно, должна теперь мыс¬

литься как алогический процесс, как наплывание и размыв неразли239

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Чем, однако, определяется здесь наплывающая неразличи¬
мость? Тем, что она не имеет в себе ни одной твердой, устойчивой

чимости.

точки,

в частности не имеет никакого

даны какие-нибудь две точки, то,

чиной,
было

мы сможем

мало

конечного
этой

и

в

имея дело с

ними вставить еще

непрерывной

одну точку,

вели¬

как бы ни

расстояние. Такое представление непрерывности

это

уже содержит

между

определенного конца. Если

себе идею процесса,

и

притом

явно

процесса бес¬

непрерывного. Поэтому аксиома непрерывности

на

диалектической стадии развития непрерывности может быть
в непрерывной величине различие каждых двух

формулирована так:

ее моментов может

личине

быть как угодно мало.

расстояние между любыми

ее

двумя

Или: в

ние

непроницаемость,

ве¬

точками может быть

сделано меньше любой заданной величины. Этим
полнота и не

непрерывной

выразится уже

не

но именно наплывание, становле¬

непрерывности.
6. За становлением следует ставшее.

Непрерывность должна быть

также и ставшим. Ее процессуальность где-то должна остановиться,
и ее становление должно натолкнуться на некую твердую границу,
которая уже не может быть чисто идеальной
е.

границей фигуры,

но должна быть

границей, как раньше, т.

границей неразличимой протя¬

Неразличимое протекание и расплывание где-то должно
остановиться. Однако, будучи подлинным становлением, оно ведь

женности.

не может реально остановиться. Ее

обще,

границей,

как и

может быть только идеально-смысловое. С

это идеально-смысловое не должно быть здесь
идеально-смыслового, так как в этом

случае

границей

во¬

другой стороны,

границей

мы совсем

такого же

покинули бы

сферу алогического, вне-смыслового становления. Следовательно,
непрерывная

величина

должна

быть

текуче-неразличимым,

вне-

смысловым становлением, т. е. оно никогда не должно кончаться, но
это становление должно иметь

перейти вообще
непрерывная

идеально-смысловую границу, чтобы

из становления в

величина имеет

сферу

ставшего. Это значит, что

предел. Предел

ведь не есть сама не¬

прерывная величина, которая потому и непрерывна, что не имеет
никаких ни начал, ни концов

(ибо

иначе она была бы

прерывна).

И

тем не менее предел как-то присутствует в этом непрерывном пото¬
ке, и не только присутствует, но даже направляет его, управляет им,
осмысливает его. Это и значит, что он присутствует здесь идеально¬
осмысленно,

поскольку

функции
240

всего

идеально-осмысленного

§ 60. Аксиоматическая диалектика

непрерывности

в реальном-вне-смысленном заключаются в осмысливании, в на¬
правлении алогического потока, в

оформлении.

Сам же этот непре¬

рывный алогический поток продолжает быть реально-алогичным,
неразличимым, наплывающим, уходящим

в

безраздельную мглу бес¬

конечности.

Вейерштрасс формулировал коренящуюся

здесь аксиому геоме¬

трически, но ее легко понять и чисто
имеется

резке

арифметически: если на от¬
неограниченныйряд следующих друг за другом точек,

(предельная) точка, что на любом расстоя¬
ряда. Это то, что мы могли бы назвать

то существует такая

нии от нее имеется точка

аксиомой непрерывности на той стадии диалектического развития
этой непрерывности, когда она превращается

в «наличное

бытие»,

в

ставшее.

7. а) Наконец, понятию непрерывности необходимо придать
еще более богатое и значительное содержание, когда оно выходит
уже за пределы и категории ставшего. Именно, после ставшего мы
констатировали новый переход

даны

не

в

смысловую сферу,

просто внутренние различия

но

смысла самого по

такую, где

себе,

но

куда

были

факту, которые
при[в]несены ста¬
новлением и ставшим. Это как бы расцветший смысл, почему мы и
именовали эту область как эманативную, энергийную и выразитель¬
ную. Наша непрерывность должна не просто быть внешним фактом,
вобраны

и все

по

различия

несущим на себе идеальный смысл, т. е. не просто неразличимым,
бесконечным процессом, содержащим

в

себе идею предела, но наша

непрерывность должна теперь растворить одно
должна быть

теперь уже преодолена

самая антитеза

другими словами,

и идеального смысла, или,

чимость предела должна раствориться
мой бездне

случае,

в

в

другом,

т. е. в ней

реального факта

законченность и

разли¬

хаотической и неразличи¬

фактического становления. И это возможно только в том

если

непрерывность перестанет быть

стью, исполненностью,
перестанет содержать

в

и голой

протяженно¬

голой, неохватной процессуальностью

и

и

себе идеальный смысл только как невыпол¬

нимое задание (предел). Но что же такое протяженность, содержа¬
щая
ния?

в

себе

и свое ставшее, и самый смысл этого ставшего становле¬

Это, несомненно, есть некий образ, некая выразительная форма,

где всякое различение
за собой и
до

факта,

снова

различение

а после

по

факта,

(как

факту,

в чисто

но

идеальной области)

тут различение происходит

после инобытийного

241

влечет

осуществления,

не

так

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

что различение

обладает здесь

не просто

идеальной бесплотностью

полагающей определенно сконструи¬
ума,
рованную сферу инобытийной действительностью. Прежний «пре¬
но еще и активно

чистого

дел»,

к

которому

мы

пришли

в связи с

категорией

ставшего, должен

перестать быть только идеальным заданием и должен быть констру¬
ирован как реальная выразительность каждой точки алогического
становления.

Предел должен

быть как бы окутан этим становлением

со всех сторон; и мы должны как нащупывать его в самом становле¬
нии, так и нащупывать, полагать становление при полагании самого
предела.
Такое понимание непрерывности лежит в основе постулатов Де¬
декинда и

Кантора.

Ь) Дедекинд формулирует аксиому непрерывности так:
«Если все точки
что каждая точка
то

рого класса,

водит

это

на два

куска».

прямой распадаются

первого

на два класса такого

класса лежит влево от

существует одна,

разделение прямой

и только одна точка,

на два класса, это

С первого взгляда совершенно

не видно,

рывности Дедекинда обладает указанными
это
на

уразуметь,

георгины,

которая произ¬

почему постулат непре¬

выше свойствами. Чтобы

темно-красные цветы

я

смотрю сейчас

хотя и составляют

нечто целое со всем садом, но это целое дано тут в прерывных
зах.

Когда

же я с

густая синева
ну ближе

голубой

когда
та в

я

к

в зените постепенно,

горизонту

и на самом

глаза на

небосклон,

смотрю просто
я

вообще

непрерывно переходит в голубиз¬

горизонте

в зенит, то никакого

не замечаю, и

однородному густо-синему

Аксиома

непрерывности,

предполагает переход

по

почти

уже теряет всякий

перехода

Тут

одному пустому

и

чистом

становлении,

равномерному про¬
количество актов

общее протяженное полагание, т.

бытия,

чистого

бытия,

е.

тут

вне всякой

имеются в виду только самые акты полагания и

совершенно игнорируется
гой стороны,

только по

полю.

основанная на

полагание есть полагание только
качественности.

Наконец,

из одного цве¬

переход происходит

странству. Тут просто происходит бесконечное
полагания, слившихся в одно

обра¬

то я вижу, что

оттенок и становится белесоватой и почти белой.

другой

вполне

георгин перевожу

рода,

точки вто¬

рассечение прямой

образов. Когда

начнем с житейских

то их пышные

каждой

аксиома

смысл того, что именно полагается. С

Архимеда,

основанная на четком

242

дру¬

различении

§ 60. Аксиоматическая диалектика

непрерывности

одного заполненного пространства от другого, вовсе не говорит о
чистом становлении в непрерывном потоке, но только говорит о тех
различиях, которые вносятся в этот поток

рой

единораздельной структу¬

относится к

Архимеда

числа. Аксиома

непрерывности

в аспекте

того, что вовлечено в поток непрерыв¬

едино-раздельной структуры

ности. Это есть непрерывность георгин, левкоев, роз, резеды и пр.
цветов на общем

фоне сада.

Ведь сад тоже есть нечто целое, и эта це¬

лость непрерывно разлита по всем отдельным цветкам и деревьям,
входящим в состав сада. Вот о такой-то непрерывности и говорит

Архимеда. Это непрерывность прерывных предметов.
Наконец, можно переходить и от одного предмета к другому,

аксиома

одного качества к

непрерывность

рывность,

как

другому и

все же

соблюдать непрерывность

но именно как

прерывного,

непрерывность

синего в

будут происходить

не

не как

становящуюся непре¬

чистого становления.

Дия

только постепенный переход от одного качества к

рывное изменение, скажем,

от

этого

нужен

другому, непре¬

голубой. Тут,

следовательно,

акты полагания неизвестно чего, но

просто

будет полагаться и определенная качествен¬
будет вместе полагаться и «наличное бытие», но то

вместе с этими актами

ность. С «бытием»
и

другое сольется

одну новую, уже энергийно-выразительную без¬

в

различность, так что
ность

будет

Вот это-то

и

бытие

будет

становиться, и сама качествен¬

мере непрерывно становиться.

в той же

качественное,

образное, или, как мы

выражаемся,

[эту]

энергийно-выразительную непрерывность, и имеет в виду Дедекинд.
А именно, для чего ему понадобилось делить прямую
точек?
этого.

Предыдущие

аксиомы

Понадобилось ему

это

непрерывности
потому,

что он

вполне

при

на два класса

обходятся без

всем бытийствен-

точек в

другие, при всей взаимной неразличи¬

мости все же хочет их как-то

различить, сохранить их качественное

ном

переходе одних

своеобразие. Точно так же,
ход

явления

ность,

от

все же

всего

непрерывности прежде

на

полную различимость

точек. Что бы

пере¬

совершенно определенно различаем
голубому,
голубого, точно так же и Дедекинд для демонстрации

от синего к

синий цвет

как и мы, хотя и видим постепенный

тут

ни

указывает

и даже

происходило,

но

на

своеобразие.

классов

требуется, чтобы было два раз¬

личимых класса точек, так как только этим путем
нить их качественное

полную прерыв¬

раздельность двух

и можно

сохра¬

Но что же оказывается дальше?

А дальше оказывается, что эти два класса разделены только одной и
243

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

единственной

точкой,

что конец

правой стороны линии, точка

раз¬

деления и начало левой стороны линии оказываются одной и той же
одной и единственной точкой. Это и значит, что синее переходит в

голубое постепенно, непрерывно*.
Таким образом, если под аксиомой Архимеда
раздельных тел, под аксиомой непрерывности
ного процесса лежит интуиция пустого
то под аксиомой

Дедекинда

лежит
в

пространства, расцветающего

и

лежит

интуиция

в аспекте

бесконеч¬

темного

интуиция поля,

пространства,
качественного

непрерывном разнообразии

своих

красок.
Интересным

является также и

сти, вызванный сходными

постулат Кантора

же интуициями.

прямолинейном отрезке ОМ

имеется два

резков ОА, ОВ, ОС, ОА', OB', ОС...

образом,

из

что

о

непрерывно¬

Кантор** говорит: если

неограниченных ряда

которых первые растут,
отрезки АА', ВВ', СС...

а

на

от¬

вторые

уменьшаются

таким

уменьшаются

и в конце концов становятся меньше всякого данного

отрезке ОМ существует

отрезка,

то на

чем все

отрезки первого ряда,

такая точка

X,

и меньше, чем все

постоянно

больше,

что ОХ

отрезки второго

ряда.
В

этом

кинда,

постулате Кантора

но в то

время

как

лежит тот же

принцип,

последний подчеркивает

что и

в одном

у Деде¬

энергий-

образе момент устойчивости, стабильности процесса нараста¬
ния, у Кантора, наоборот, подчеркивается момент подвижности это¬
ном

го нарастания. У Дедекинда

сразу тройным образом
последующего

—

каждая точка процесса квалифицируется
как конец

наоборот, каждая точка процесса
в этом

предыдущего периода,

и как точка, отделяющая одно от

тройном

мыслится как только достигаемая

смысле; она как бы еще только

цом одного, началом другого

и

начало

другого. У Кантора,

собирается быть кон¬

разделением. Обе картины

—

и

Деде¬

фоне синтетически-качественной,
энергийной выразительности. Постулат Дедекинда, другими сло¬
кинда,

и

Кантора

—

рисуются

диалектический

вами, есть

на

синтез

постулата Архимеда

и

постулата

становящейся непрерывности (синтеза) при посредстве постулата
Вейерштрасса.
*

Определение непрерывности у Р. Дедекинда: Непрерывность и
иррациональные] числа. Пер. С. Шатуновского. Од., 1909.
<...> 1871. V 128 [В рукописи сноска к этому месту сохранилась частично.
**

Возможно,

имеется в виду: Mathemathische Annalen.

244

Berlin, 1872. Bd. 5. S. 128.].

§ 61. Аксиома непрерывности
61. Аксиома

§

в отдельных математических

в отдельных

непрерывности

науках

математических

науках
1.

Формулировка аксиом непрерывности, развитая в предыдущем
параграфе, легко приобретает и чисто арифметическое, и чисто гео¬
метрическое значение,

стоит только «числа» заменить

«отрезками»

(или другими геометрическими понятиями). Поэтому

загромождать
прерывности

изложение
в

к

арифметике

и в

существует в математике более

не¬

геометрии.
на этой аксиоме в

вероятностей,

множеств и к теории

теории

нужды

отдельной формулировкой принципа

Стоит, может быть, только остановиться
менении

нет

при¬

так как здесь

своеобразная терминология.

2. Что касается теории множеств, то здесь учение о непре¬
рывности можно формулировать при помощи понятий полного
и

сцепленного множества, которые определяются следующим об¬

разом. Сцепленное множество есть то,

двумя элементами

в

нятие сцепления возникает на основе

нового элемента делает этот

непрерывности

(§ 59 4). В теории

и

(§ 59.6)

здесь

или

наибольшим,

некоторую

в аспекте ее полноты или

множеств

полным.

непрерывным

Следовательно,

аналогия

должна привести к понятию

предела.

нием здесь явится теорема Больцано
конечное

ограниченное

—

называется

присоединение каждого
или наи¬

аналогию с

учени¬

непроницаемости

множеством и называ¬

упорядоченное множество, которое

ют такое
ным,

последний

Нетрудно заметить и

что по¬

категории непрерывности

такое сцепленное множество, в котором

меньшим.

Ясно,

(аналогично § 59 5). Полным

в аспекте его становления

ем о

котором между каждыми

можно иметь еще один элемент.

с

является и сцеплен¬

моментом

ставшего

Самым общим положе¬

Вейерштрасса: «Всякое бес¬

множество имеет хоть одну

предельную

точку».
а)

учение,

Наконец,

на

непрерывности. Конечно,
и

множеств

теория

основанное

выработала

также

эманативно-выразительном
можно было

большое

понимании

бы, в сущности, ограничиться

вышеприведенными постулатами Кантора

и

Дедекинда. Однако

здесь они звучат достаточно отвлеченно, и теория множеств обладает
в этом отношении

более развитыми тезисами.

Именно, здесь прежде всего интересно определение континуу¬
ма, данное Кантором. По

Кантору, континуум

связное точечное множество. Чтобы понять

245

есть

совершенно¬

диалектику

этого по-

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

нятия, вспомним некоторые основные определения из теории мно¬
жеств.

Ь)

Точка множества, не являющаяся для него предельной точкой,

называется изолированной,

и состоящее только из таких точек мно¬

изолированное. Зато когда оно не содержит ни одной
такой изолированной точки, оно называется плотным в себе. Одна¬
жество есть

ко множество может

случае, когда

оно

содержать

содержит

в

свои

предельные

точки вне себя. В

себе все свои предельные точки, оно

называется замкнутым. Замкнутое множество, когда оно не может
быть представлено в виде суммы двух замкнутых множеств без общих

точек,

называется связным множеством.

Другими словами, связность

относится к предельным точкам множества так же, как сцепленность
—

просто

ко всем точкам множества. И наконец, множество,

является плотным в себе и
множеством.
такое,

Следовательно, совершенно-связное

которое состоит

только из одних

совершенным

множество есть

из них можно

ука¬

одну такую же предельную точку.

Отсюда

Именно,

которое

предельных точек, причем

между каждыми двумя

эти последние таковы, что
зать еще

замкнутым сразу,

является

выясняется и все диалектическое

строение континуума.

для того чтобы существовал континуум, необходимо пре¬

жде всего сцепленное и полное множество. Сцепленность и полно¬
та, вместе взятые, уже создают собою некоторую непрерывность. Од¬
нако что это за непрерывность в смысле диалектической
мой

непрерывности? Несомненно, сцепленность и

непрерывность только как

бытие,

как

едино-раздельную

упорядоченности. Сцепленность

упорядочения. Но раз

есть

упорядочение,

са¬

полнота создают

т. е. как нечто только смысловое, только идеальное.

есть вид

судьбы

структуру,

Ведь континуум

и полнота тоже

тем самым

суть виды

есть едино¬

уже

раздельная структура, последняя же, взятая как такая, всегда есть не¬
что идеальное для того, в отношении чего она является

Следовательно, непрерывность
множества есть

его

идеальный

структурой.

в смысле сцеиленности и полноты

момент

континуума, бытие континуума,

едино-раздельная идеальная структура.
Далее, бытие,

ность

знаем мы,

превращается

континууме,

как

держится. Уже

в

переходит

в становление и

становящуюся. Содержится

непрерыв¬

ли этот момент в

последний определен у Кантора? Несомненно,

понятие сцепления

содержит

в

объединения (что необходимо для едино-раздельной
246

со¬

себе не только момент

структуры),

§ 61. Аксиома непрерывности

в отдельных математических

специфического объединения,

но и момент

а именно такого, когда

ед и нораздельность мыслится как бесконечный

сцепленность

множества

быть, континуум

в смысле

в

содержит

себе

и

прерывность, лежащая

Кантора

покрывается
лированной,
рельеф и тем самым стремится

между каждыми

друга). Стало
бытие,

в отношении

есть не только идеальное

инобытие,

в становление, т. е. не¬

перестает быть плоской,

изо¬

углубляется, получает

новым слоем,

быть выразительным.

Однако, прежде чем перейти

перейти

друг

в его основе,

она

ходимо

в

переход

процесс (поскольку

нового элемента

как бы они близкими не были

двумя,

но он

требует

науках

в

сферу выразительности, еще необ¬

от становления к

него через отвлеченное задание,

ставшему,

т. е.

дано в определении континуума у

к

перейти

выражению внутрен¬

пределу. Последнее

к

Кантора при

помощи моментов

плотности в себе и замкнутости, входящих в понятие совершенного
множества.

Поскольку

но и о

ности,

в этих моментах

пределах,

речь

момент ставшего

не

уже

просто

о

непрерыв¬

оказывается включен¬

ным.

Однако

и этого мало. В

дельные точки,
ния,

поскольку

континууме Кантора даны

не только

пре¬

они сами тоже вовлечены в новый поток становле¬
в нем мыслится еще и точечная связность.

Но когда

мы говорили об энергийно-выразительном, или эманативном мо¬
менте числа, мы как раз и мыслили становление, но не то становле¬
ние, когда смысл впервые только еще вступает

в свое

инобытие

нем погасает, но такое становление, когда смысл снова нашел

инобытии, растворился
ление стало снова
ловой

в

расцвел

сущностным,

себя

в

в нем и на нем, когда станов¬

включивши в

себя, однако,

и смыс¬

субстанциональных положений. Момент
Канторовом континууме, заставляющий сливаться в не¬

результат

связности

в нем,

и в

всех своих

прерывность уже

не

просто отдельные

точки множества, но именно

предельные точки, и демонстрирует для нас эту энергийную
выразительность, которой не было в непрерывности на ступени ее
все его

идеально-бытийственной структуры.
с) Таким образом, в Канторовом континууме

мы

находим

по

крайней мере три различных диалектических слоя, совпадающих
триадой: идеальный слой едино-раздельной структуры

с обычной

(полнота и сцепленность), реальное становление ее, или переход

инобытие (сцепленность),

и

—

(плотность в себе и замкнутость)

через
—

синтез того и другого

247

в

ставшее как момент предела

(связность),

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

когда идеальная непрерывность снова находит себя в бесконечно¬
предельном процессе инобытия

d) Сравнивая

это

то

как у

время

(связное совершенное множество).

постулатом Дедекинда,

превосходства учения

заметить явного

В

учение

с

Дедекинда (и Кантора)

обрисованность,

имеется в виду ее

в

мы не можем не

Кантора над Дедекиндом.
постулате непрерывности

зрительно-мотивированный

ее

переход от одного качества к другому, в учении Кантора о континууме
подчеркнутмоментлюшмшишг выразительногослоя непрерывности.
Ведь здесь

эта

непрерывность

вся

перекрыта предельными

Это значит, что вся она состоит из точек,

точек-целей,

из точек-идеалов, из
из

исхождением

стихию и своим

из тех

сущности привлекают

привлечением

к

притягивающих
ней,

к

сущности

всего

чужого

Кантор, строя

свое

учение

(может быть, тайно

от себя

заставляют

энергиями исхождения.
лежит

интуиция

ту

или

о

то

континууме, несомненно, исходил

самого)

из

образа

полей,

таких же

иную фигурную предметность,

но

т. е. из

непрерывности, которая свойственна реальной комбинации

реальных

же

Когда

вещей.

мы

рассматриваем, напр., цветок,

то

что он есть нечто целое, он есть и нечто в себе

менее мы видим на нем несколько

пурпурном

и все вместе

разных оттенков одного

вещей

или

—

красок, для

отвлеклись от всякой
не

Кантора

о

обращая
в

к

бы

мы

не

желтое на

и мы видим

тут

много

просто фикси¬

нас достаточно было бы в смысле
аксиомы

другой,

Архимеда (§ 59 4).

раздельной предметности
внимания на

и

рассматривали

не

просто

сам по

себе, заставляющий фиксировать

момент

себе,

пр.,

Дедекинда

рассматри¬

но как

притяги¬

именно его, когда он

все прочее

и является целью

других моментов, другими словами, когда
248

и

зрения непрерывного перехода

нам достаточно было бы аксиомы

фиксируется

конструи¬

Если бы мы

стебель, листья, чашечку

целесообразно группирует вокруг себя
для всех

непрерывное. Тем

непрерывности. Но когда каждый

ваемого цветка

вающий

стебле,

и того же цвета. Если

а исключительно только бы с точки

одного цвета

одному тому,

разных красок, напр.,

на зеленом

рования непрерывности уже

бы цветок,

по

уже

разнообразие, как собрание взаимно-изолированных

все это

ровали

и

свою

непрерывно взаимопереливающихся полей,

скомбинированных в
той

себе,

своим

вовлекают в

Если под аксиомой непрерывности Дедекинда
но

к

эманаций, которые

исходить ее вовне, истаивать бесконечными

разноцветных,

точками.

вся эта непре¬

§ 61. Аксиома непрерывности

в отдельных математических

науках

рывность есть непрерывность пределов, тогда возникает континуум

Кантора;

и тогда

перед

нами начинает

та непрерывность в цветке, в
ветном небе

всю его

раздельность

быть,

и

Кантора. Это

по

—

прервись

—

вызвано тем или

другим

принципом. Есть

всему букету, несмотря

на

в него цветов. И

она хотя бы на одно мгно¬

бы на две или больше различных вещей.
—

уже фигурная

и в

разноц¬

позднего заката,

многоразличие входящих

так как,

букет уже распался

И вот эта-то

или

а не чисто же цветностным

непрерывность, разлитая

ее не может не

вение,

в человеческом лице, в

разнообразие цветностей

прерывно-смысловым,
какая-то

букете,

раннего солнечного восхода

словом, везде, где

ведь

расстилаться непрерывность

цветности, а не просто самой цветности; тогда перед нами

фигуры

непрерывность

и есть

диалектически-терминологическом,

континуум

и в житейски-

буквальном смысле выразительная, энергийная, эманативная, пони¬
маемая непрерывность*.
3. Что касается теории вероятностей, то категория непрерыв¬
ности

тут

имеет тоже богатое

дано столь

ярких формулировок, как

влеченным и самым
ниманием

применение, хотя, кажется, здесь
в

теории

множеств. Самым от¬

примитивным теоретико-вероятностным

непрерывности

и не

по¬

является то, что здесь называют геоме¬

трической вероятностью.
Основной интуицией для этой последней является линия или
плоскость

и составленность того или

вероятность такова,

что число возможных

можных положений точки на

положений прямой

в

прямой

пространстве

дет непрерывной. Если бы
вообще

мы стали

положения точки М на

данной прямой

вероятность

взять

из точек. Если наша

случаев равно числу

или на плоскости

и т.

п.),

то такая

спрашивать,

прямой АВ,

рывности данной прямой была бы
жем на

другого

воз¬

(или числу

вероятность бу¬

какова

вероятность

то эта задача ввиду

непре¬

вполне неопределенна. Но мы мо¬

какой-нибудь отрезок PQ и сравнивать
PQ с длиной / и /аЬ. Тогда задача

положения точки М на

получает определенность и мы сможем выставить такой принцип:

вероятность того, чтобы

точка М оказалась на

определенном от¬

резке PQ прямой АВ, пропорциональна длине этого отрезка. Отсюда
следствие: если М во что бы то ни стало находится на АВ, т. е. вероят’

Учение о континууме Г. Кантор

ния о

многообразиях». Рус. пер.

формулировал

§10.
249

общего уче¬
СПб., 1914. № 6.

в «Основах

в «Нов. идеях в математике».

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ность этого ее нахождения равна единице, то вероятность ее нахож¬
дения на CD равна I

/1лЬ.

Этот принцип непрерывной вероятности дает возможность ре¬
шать массу задач, например, хотя бы знаменитую задачу о попадании
иглы в

ту

или

плоскости

из

иную параллель

(задача

эта

задач подобного рода

горизонтальной

на

начерченных

была решена еще Бюффоном). Большинство

требует,

однако, применения методов инте¬

грального исчисления.

62.

$

Взаимодействие аксиом едино-раздельности

и

станов¬

ления

1.

Достигнутая

нами

чение не только сама по

ступень

себе,

числового становления имеет зна¬

но она

получает

Дело

новое

глубокое

предыдущей группой

чение и в смысле взаимоотношения с

зна¬

аксиом.

в том, что отвлеченно-диалектическое становление, математи¬

специфицируемое в категорию непрерывности, будучи при¬
предыдущей группы, впервые делает возможной
соответственно своей принци¬
разнообразную их модификацию
чески

ложено к аксиомам

—

пиальной алогичности, а предыдущие аксиомы едино-раздельности,

будучи приложены
лают возможным

чистому алогизму непрерывности, впервые де¬

получение различных

этого алогического

Остановимся

к

новых

сначала на

воздействии, получаемом

прерывности аксиомами едино-раздельности
2. а) Что касается

арифметических

ясняется тотчас же, как мы вникнем в

потому

из

в

от аксиом не¬

арифметике.

аксиом едино-раздельности,

то их видоизменение в зависимости от

бытийного,

оформлений уже

материала непрерывности.

становления вы¬

категории

сущность становления,

ино¬

как мы знаем, в отношении идеального. Становление

и есть становление, что оно есть выход смысла

моотчуждение
Алогичность

смысла. Его мы

наружу,

са-

поэтому называем еще алогическим.

в том и заключается, что она вносит вне-логический

принцип. Так, например, идеальная структура логически предпо¬
лагает

категории различия, тождества, движения

привходит алогический принцип, то он может

и

на

пр. вида. Когда

любом моменте

приостановить логическое следование категорий и, следовательно,
взять
С

их в какой

угодно комбинации,

другой стороны,

в какой

угодно

несвязанности.

только если целиком проводить принцип станов¬

ления, или непрерывности, можно

250

поручиться,

что все логически

§ 62. Взаимодействие
выведенные

аксиом едино-раздельности и становления

категории действительно имеют реальный смысл. Ибо

может оказаться, что логически-то

мы вывели их

но они осуществляются частично

и

прерывности, примененная
вые

ставит

к

правильно,

а

реаль¬

враздробь. Итак, категория

не¬

категориям единораздельности, впер¬

вопрос об их реальном

исследует формы осуществления

и

совокупном действии, впервые

всех

категорий,

из

которых диа¬

лектически выросло число.

Ь)

Имея это в виду, можно исследовать полученные нами до сих

пор аксиомы. Скажем вообще, что результатом этого исследования
должно явиться учение об

арифметических операциях,

действиях.

Больше всего это понятно на аксиоме самотождественного различия
(§ 25). Если эта аксиома гласит, что из всяких а
вполне определенное с, то

и

Ъ составляется некое

в этом смысле она еще не

была учением

об арифметической операции сложения. Эта аксиома, если ее брать
в

строгом

и

собственном

смысле слова, гласит только, что всякое

число есть некая составленность из

Тут

ставилось

результате,

на

ударение

на с, а не на а + Ъ.

составленное™,

а

на

каких-нибудь единиц-элементов.

самой

этой

составленное™,

Чтобы сосредоточиться не

самом

этого

процессе

мыслить себе некий алогический фон,

на

бы

эта

т. е.

на

первый

картана процесса составления,

на

и

ее

результате

составления,

котором

на

нужно

развертывалась

необходимо выдвижение

план момента становления. Поставивши акцент именно

на становлении с, на самый

процесс складывания а + b,

мы и

получаем

категорию арифметаческого сложения (и, стало быть, вычитания).
Также можно было бы показать, что раздельное применение ка¬
тегории подвижного покоя дает операции умножения

применение категории определенное™

—

операции возвышения

дем тут
нейшем

специальный отдел диалектики арифметики;

уже превращением

аксиоматаки в

и это

перспектаву

Однако уже

непрерывное™
очень

на

важное

к

науку,
тут

а не самое

мы

аксиомам

видим,

как мы гово¬

содержание науки.
что

приложение

едино-раздельности дает

орудие. Прежде всего

рассматривать полученные категории
лении. Мы

было бы

диалектаку уже реального состава

науки, чего следует избегать. Аксиоматака только дает,

с)

в

корня
логарифмирования. Однако мы не бу¬
производить этих дедукций, так как им посвящается в даль¬
и

степень, извлечения

рили,

и деления, а

мы
в их

получаем

принципа
нам

в

руки

возможность

процессуальном станов¬

получаем возможность осуществлять каждую получен¬
251

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ную категорию в ее изолированном виде, отвлекаясь от ее логиче¬
ской

с

связи

другими

(потому-то

категориями

принцип). Мы,

есть алогический

и

становление

наконец, впервые получаем воз¬

можность взять все их и вместе, в то время как раньше они только
логически предполагали одна другую. В частности, не что иное, как
именно принцип непрерывности и становления, дает возможность
распространить

законы

дистрибутивности

на

ассоциативности,

и

коммутативности

сферу арифметических

всю

чисел.

Раньше

речь

могла идти только о самих законах как таковых, теперь речь

идет

об

что

тут

d)

их

всеобщей приложимости, вытекающей

мы имеем дело

Впрочем,

вообще

если

предыдущей

—

арифметическим

гнаться

последовательностью, то, в

диалектической ступени
счета в полном объеме,

с

за

логической

сущности говоря,

мы еще не имеем

и

точностью

рассматриваемой

на

права говорить

уже выведены,

хотя они

из того только,

числом.

и

о законах

притом еще

на

едино-раздельной ступени. Дело в том, что вся едино¬

раздельная ступень есть ступень только идеального смысла, если под
реальным
Этим

понимать

действительно

мы

так и законы счета

или

непрерывное

(т.

е. законы

дистрибутивный). Однако,

прерывное ее осуществление.

арифметическое действие,

как

вывели

ассоциативный, коммутативный

согласно

общему

и

идеальному характеру

сферы едино-раздельности, нужно считать, что там выведена только
категория арифметического действия

и

категория

законов счета.

Теперь, когда мы стоим на базе непрерывности, мы можем превратить
эту отвлеченную категорию действия и закона счета в реальные дей¬
ствие и счет. Реальное действие предстает перед нами в виде много¬
численных
же в

арифметических операций. Однако представить себе тут

развитой форме

и законы счета как

не можем, так как здесь мало одного

последний

гласит только о

всеобще-значимые

принципа непрерывности. Ведь

непрерывном следовании и равномерном

развертывании идеальной, едино-раздельной структуры,
ничего не

говорит

о

мы еще

комбинирующих функциях

но

еще

этой непрерывно¬

сти. Для того чтобы складывать, умножать и пр., нужно только знать,
что счет как идеальная значимость, т. е. попросту счет как
гание по

натуральному ряду чисел,

ственных

заданий

привносит

и что самая эта

в эти последние.

перебе¬

зависит только от своих количе¬

операция ровно ничего

Это только

и

содержится

в

от себя не

арифметиче¬

ской аксиоме едино-раздельности, и это с привнесением принципа

252

§ 62. Взаимодействие

аксиом едино-раздельности и становления

непрерывности разветвляется

операций. Когда

коммутативности

социативности,

кроме

этого еще быть

привнесет

на отдельные типы

и

(в

смысле ас¬

дистрибутивности),

то тут надо

что не только самая

уверенным,

ничего нового в

сравнении

заданиями, но ничего нового не

по

и тот самый

которому вперед

осуществляем данную операцию. Позже (§
уверенность возникает только
и

которая только впервые
однако,

в виде

идеальной

65)

мы

на основе аксиомы

обеспечивает полное

и использование в

операция

не

со своими количественными

привнесет

ный ряд чисел, путем пробегания

ществление

арифметических

же ставится вопрос о законах счета

арифметике

и отвлеченной

и

натураль¬
и назад мы

увидим, что эта

конгруэнтности,

безразличное осу¬

законов счета,

которые,

структуры выведены уже

на

ступени едино-раздельности.
3. Далее,

в

геометрии мы получаем, очевидно, разные фигуры, об¬

разец выведения которых дан выше,
щая дедукция

фигуры,

в

§ 55.

необходимо говорить уже об

их

более специализируют у нас

наше

ифичны,

фигур, хотя,

в

и

пр.)

в

специфичны
сущности,

и

и

об¬

континуума

время

как

про¬

дальнейшем еще

геометрическое построение.

множеств соответственно мы находим

искомых операциях, которые,
как

в то

осуществлении,

чие категории (конгруэнтности, метрики

4. В теории

Если там была дана

то здесь ввиду наличия реального

быть,

как это и должно

учение об

вполне спец¬

способы построения геометрических

это есть только

разная комбинация на осно¬

ве непрерывности все также основных категорий идеальной единораздельности.
а) Так что понимается
такая

операция,

множества

(=

из

множеств

и

2)

принадлежит

в

в

множеств под сложением? Это

теории

результате которой 1) каждый

элемент из нового

суммы) принадлежит какому-нибудь
всякий

новому

вполне определенное

элемент любого

Сумма

множеству.

множество.

из слагаемых

слагаемого

тут

множества

есть единственное

Надо строго различать

множество

самих слагаемых и множество их элементов. Элемент слагаемого
есть элемент и

суммы,

только его часть

но само слагаемое не есть элемент

(потому

если все его элементы

что одно множество есть часть

принадлежат

к

суммы,

а

другого,

этому последнему). В

связи с

образом себе уяснить, что множество ни в коем
своих элементов. Представление о множестве

этим надо точнейшим

случае
как

не есть сумма

сумме

возникает только при

условии

253

наличия

слагаемых как

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

множеств, так что сумма есть всегда сумма множеств, а не сумма
элементов, или, иначе, множество есть сумма всех любых множеств

(особое множество то, которое состоит только из
одного элемента). При «нулевой инобытийности» арифметического
из его элементов

эти

числа

—

свойства

сложения

не

были

так

выражены

ярко

в

В теории же множеств, которая вся строится на идее

арифметике.
специфического порядка, различие между
обладает принципиальным

операции,

как сложение.

значением даже

и

элементом

в такой

частью

простейшей

Категория самотождественногоразличия

дана тут более выпукло потому, что она осуществлена на материале
континуума, хотя континуум тут и

отождествлен

(что

с ним

и

вобран

в само число и

породило собою,

внутренно

как мы знаем,

самую

категорию множества).
Ь) Еще яснее

можно видеть

го покоя, именно

дением
из

—

в т. н.

осуществление категории подвижно¬

умножении. В теории

множеств

произве¬

системы множеств называется множество таких элементов,

которых каждый принадлежит одному какому-нибудь множеству

данной системы,

а в каждом множестве

и только один, элемент,

образом,

время
тянуть

берется

системы есть один,

первое множество. Таким

множество тех элементов,

всех данных

общими ддя

(перемножаемых)

общей

которые

множеств. В то

как для сложения и вычитания достаточно было только
все элементы слагаемых в

одну,

так сказать, линию

что такое множество каждого из таких

слагаемых)

и

элементы как нечто целое и тем самым

полученные
вать

данной

в это

здесь мы имеем в виду, собственно говоря, взятие

части, потому что здесь
являются

входящий

рас¬

(забывши,

рассматривать

модифициро¬

категорию самотождественного различия с точки зрения

прерывности, здесь,

в

умножении,

мы должны сначала

перемножаемые множества, перебегая

от одного к

достигнуть успокоения, которое только тогда
но, если

мы в

результате

этого

мы ни

так сказать,

круге,

в одном и том же

с целью

быть получе¬

сравнения получим нечто общее, оди¬

наковое. И тогда, сколько бы

месте. Это-то и есть

сравнивать

другому,

и может

не¬

бегали,
т. е.

мы

будем,

в

будем

бегать только,

сущности,

теоретико-множественное

стоять на

понимание «умно¬

жения».

5. Теория вероятностей

также

обладает рядом операций,

кото¬

рые в смысле отвлеченного принципа ничем не отличаются от кате¬

горий идеальной едино-раздельности,
254

но

которые

по

своему видо-

§ 63. Продолжение
изменению в связи с принципом

непрерывности приобретают ряд

оригинальных черт, усиленных, конечно, кроме того, еще

бразием самой теории вероятностей. Тут мы
ния вероятностей: если событие [4] состоит
из

двух несовместимых фактов

вероятность b

=

Ь, причем вероятность

умножения вероятностей, касающуюся уже

В, когда

матического

ний

мы имеем

а

=

р{

и

теорему

произведению веро¬

вероятность, которую приобретает событие

становится известным

осложнением

сложе¬

совместимых событий:

вероятность совмещения событий А и В равна
ятности события А на

теорему

поступлении одного

вероятность Л =рх+ рг Тут

то

pv

а и

имеем

в

и своео¬

осуществление факта А. Некоторым

категорий является, например, понятие мате¬
ожидания, равного алгебраической сумме произведе¬
тех же

каждого возможного значения данной величины на его вероят¬

ность, причем для математических ожиданий существует также своя
теорема сложения. Имеет полную реальность и возведение вероят¬
ности в степень

определенного
числе

опытов).

(когда

числа из

исчисляется

вероятность осуществления

рассматриваемых событий при указанном

И т. д.

$ 63. Продолжение

Предыдущий параграф трактовал
рывности

о

воздействии

на аксиомы едино-раздельности.

Теперь

аксиом непре¬

сделаем краткие

замечания относительно воздействия последних аксиом на первые.
1.

Общим

отличием этой области аксиоматики является то, что

мы ставим здесь

ударение

на самой

непрерывности

тельно, оно только

отражает на себе те

раздельности. Уже

это одно

возможных здесь

или иные

и что, следова¬

категории едино-

устанавливает одну общую тему для

суждений,

а именно

всех

тему длительности, расстав-

ленности, некоей процессуальное™, которая устанавливается здесь
взамен отвлеченно-числовой сферы едино-раздельности.
а) В

арифметике

мы здесь

уже не можем оперировать

с отдельными числами, так как мы их

диалектической
идет об

системе.

инобытии

в

Поскольку

отношении

в

предыдущей
сфере непрерывности речь

получили уже

всего

числа

как такового,

можем здесь говорить только о некоей сплошной,

процессуальное™.
данной стадии

нашего исследования не сама по
аксиом

себе,

едино-раздельности,
255

мы

неразделимой

Но поскольку эта неразличимость

различимых установок

только

в

берется

на

а лишь в свете

то она

теряет

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

свою сплошность и заменяет ее разрывными моментами, в результате
чего

от

непрерывности

Непрерывность
Типы ее

остается

только

последовательность.

в свете едино-раздельности есть последовательность.

и должна установить аксиоматика,

конечно, только в

—

отвлеченно-принципиальном виде как мерило и исходную точку
зрения для ищущих конкретных анализов.

Ь) В арифметике мы имеем здесь дело, очевидно, с т. н. рядами, т. е.
последовательностями чисел, имеющими

определенную структуру.

арифметическая и гео¬
метрическая прогрессия, известная еще из элементарной алгебры. К
этим рядам применима структура в зависимости от тех операций,
которые мы установили выше. Если мы говорим, что в данном месте
Примитивным образцом

непрерывность
то

нами

что

очевидно,

этих

рядов является

рассматривается
и

структура

в свете

должна

едино-раздельности,

определяться этой едино-

раздельностью. А последняя свою наиболее зрелую форму получила
элементарно-математических операций. Так

мы

получаем ряд важнейших понятий высшей арифметики, которые

мы

у нас как раз

рассмотрим

в виде

в своем месте и для

которых сейчас производим

общеаксиоматическую принципиальную установку,
все

суть результат обработки

ния аксиом

аксиомы

непрерывности

едино-раздельности. Речь идет

определяемых

теми или

говорят

о

луче-,

если

—

целости»,

зре¬

омодуле-,

имеются в виду
если

—

умноже¬

сложение, вычитание и умно¬

жение, говорят о кольце (по примеру

«область

с точки

группах целых чисел,

другими операциями. Если

операции сложения и вычитания, говорят
ние и деление,

о

только

а именно: они

Гйльберта Кронекер говорил

Integritatsbereich); если, наконец, применяются
употребляют термины «тело», «кор¬

все четыре основные операции,

пус», «поле» (англичане), «область», «область рациональности» (Rationalitatsbereich

—

Кронекер).

Можно себе представить также

принципа непрерывности. Их
выми числами по аналогии с

и числа на основе

можно

геометрией,

химедов принцип непрерывности и о
в п.

отсутствия

было бы назвать неархимедо¬
в

которой отсутствует Ар¬

которой

мы

упомянем ниже,

2е.
2. Немного

подробнее,

а лишь намечая

скажем и о

ции.

но все же не входя в

специальный анализ,

аксиоматическую перспективу

этого анализа, мы

области рассматриваемой

геометрической
Тут тоже принцип становления
256

дает нам

модифика¬

впервые возможность

§ 63. Продолжение
как

осуществлять каждую категорию едино-раздельности изолиро¬

ванно от

хотя

прочих,

связь, так и

между

ними и

их во

осуществлять

логическая

всей их совокупности и цельности,

принимая во внимание ориентацию
ская

непосредственная

сферы становления. Историче¬

геометрия выработала здесь следующие формы.
всего мы можем оставить

а) Прежде

аксиом

группу

подвижного

аксиомы. Что это

будет

покоя

и

неприкосновенной
игнорировать

значить в смысле

все

только
прочие

оформления изучаемой

сферы становления? Это будет значить, что в наших геометрических
фигурах мы будем соблюдать только последовательность
элементов, и
к

—

притом

так как теперь

непрерывности принципа этой

мы

будем теперь соблюдать

в

различия

сможем здесь отличать,

здесь не соблюдаются
геометрии мы

и

изолированной категории

их элементов.

тут

Поскольку

соблюдаются,

не

мы

—

только

геометрических фигурах

непрерывную последовательность
самотождественного

речь идет о применении

аксиомы

уже

не

например, прямую от кривой. А поскольку

и аксиомы

вообще будем

определенности, постольку в такой

отвлекаться от точного вида

фигур.

Кто знает о дисциплинах геометрии, тот не может не догадаться, что
тут мы сталкиваемся с так называемой топологией, или

analysis situs.

Примером топологического учения является известная теорема

Эйлера

о

многогранниках. Оказывается,

кнутого многогранника сумма
числа его

ребер.

его

независимо от вида сом¬

граней

и

вершин

на два больше

Из этой теоремы получается много очень важных

выводов, например что во всяком многограннике должны нахо¬
диться или треугольные грани, или трехгранные углы, что не может
существовать многогранник, всеми гранями которого служат мно¬
гоугольники с числом сторон больше пяти; и др. Эта теорема, таким

образом, относится

к

любому виду многогранника, лишь бы это был

именно многогранник. Известны еще задача Кёнигсбергских мо¬
стов, игра с додекаэдром Гамильтона

и

пр. построения, которые

яв¬

ляются топологическими.

Ь) Далее

можно присоединить к аксиомам подвижного покоя

еще и аксиомы самотождественного различия.

Мы, следовательно,

оставляеминвариантнойнетольконепрерывнуюпоследовательность
фигуры,

но и

непрерывность, ненарушаемость ее вида, хотя все еще

жертвуем аксиомами определенности,

фигура

как бы вся целиком

т.

е.

наша

геометрическая

претерпевает разнообразные
257

изменения.

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Так,когдамывидимпредметвперспективе,тосампосебеоннисколько
не меняется ни по виду, ни в смысле
не менее мы видим его в той или

своих элементов, и тем

другой форме, несходной

таковому Этими свойствами фигур

как

присущим ему

порядка

с видом,

занимается

проективная геометрия. Принцип вариации геометрических фигур
тут именно в моменте определенности бытия фигуры, но

понимается

не

порядка элементов,

в моменте вида или

Эти свойства

фигур
их

противополагая
установили В.

называют

и

или

свойствам

проективными,

фигуры,

это

как

Ф. Клейн. Их можно назвать, если угодно,

свойствами

фигур

которые удобно аналогизировать
мы можем

с) Наконец,

она состоит.

которых

дескриптивными

математическим

Фидлер

и «оптическими»

из

с

в отличие от топологических,

мускульными ощущениями.

строить геометрию, исходя

групп аксиом едино-раздельности,

т.

е.

мы

из всех

трех

не только

можем

со¬

блюдать порядок элементов, ограничиваясь свойствами, инвари¬
антными к любым

непрерывным преобразованиям,

или

соблюдать

дескриптивный вид фигуры, ограничиваясь свойствами, инвари¬
антными к

группе коллинеаций,

соблюдалась

бралась

и

потребовать, чтобы
т. е. чтобы фигура
на фигуру была
чтобы
свойств,

но мы можем

категория определенности бытия,

в неизменности всех своих

бы уже раз навсегда установлена одна перспективная точка зрения, а
именно та, которая не зависит от точки проекции
но

фиксирует царящие

в ней отношения.

все же есть условность. Она предполагает ту

или

операцию, которая принимается за данную. Мы
собом
свои

измеряем

линию или

отрезок

фигуры. Непрерывность,

и вполне адекват¬

Такая «адеквация», однако,

иную метрическую
тем или

другим

и в соответствии с этим

рассмотренная

с точки

спо¬

строим

зрения прин¬

ципа определенности, есть не что иное, как принцип измеримости.
Однако
мест

тут

мы еще не знаем, что такое

общую базу

геометрия поэтому
ом

и

потому

пока¬

а только обсуждаем
Общая
метрическая
будущих принципов метрики.

мы еще не

для

непрерывность,

строим цельной геометрии,

есть то, что возникает на основе всех

едино-раздельности, рассмотренных совокупно

с

трех акси¬

принципом

непрерывности.
Однако

в своем настоящем виде она может

на основе принципов конгруэнтности
мы еще не вывели, и

щуюся

потому

и

быть развита только

параллельности, которые

невозможно назвать

здесь геометрию в собственном смысле.

258

метрикой получаю¬

Геометрия,

возника¬

§ 63- Продолжение
ющая

на основе всех

аксиом

трех групп

едино-раздельности, есть то,

что называется синтетической геометрией. Это

торой равномерно

фигурность

и адекватно

чтобы стать обыкновенной

Таким образом,

представлена

в ко¬

геометрия,

логически целостная

недостает только метрического уточнения,

которой

и

та

элементарной геометрией.

под синтетической

нимается не то, что назвал этим именем

геометрией здесь у нас по¬
Шаль, выпустивший под та¬

ким названием свой знаменитый труд по

проективной геометрии.

Во времена Шаля эта геометрия полемически противополагалась
аналитической геометрии, слишком

увлекавшейся

всякой наглядности. Аналитической геометрии

геометрию, основанную

симую

на чисто

ни от какого вычисления.

гически, то
ложность

противопоставляли

дескриптивном методе

Однако

если

так как последняя

и не зави¬

рассуждать строго

вовсе не есть полная

проективная геометрия

аналитической,

отвлечением от

ло¬

противопо¬

предполагает не только

то абстрактное понимание фигуры, какое свойственно проективной
геометрии,

и основывается

полагает именно
жает ее

и

полную

уравнениями

и

на

допущении коллинеаций,

пред¬

хотя и выра¬

конкретную фигурность,

функциями.

но

Аналитическая геометрия есть

противоположность синтетической, если последнюю понимать не
как проективную, а именно в нашем смысле. Таким

геометрически,
основательно,

хотя свое

реальное

если не

термина более

значение эта синтетическая гео¬

метрия получает только

с

ности и параллельности.

До этого присоединения

проективной

образом,

то логически наше понимание этого

присоединением принципов конгруэнт¬

только исключением всей

она отличается от

перспективной

точки

зре¬

фигуру и сосредоточением на последней как на таковой.
d) Необходимо заметить, что, в сущности, все три группы
аксиом едино-раздельности действуют всегда и везде и речь может
ния на

идти только о примате той или
связь,

раз

она

однажды

другой группы. Ведь

установлена, уже

не

может

логическая

исчезнуть

в

абсолютном смысле. Она может только отступать, она может быть
перекрыта и, стало быть, скрыта какими-нибудь внелогическими
связями. Но так или иначе, латентно, она всегда как-то

присутствует.

И вот, можно сказать,

первый

аксиомы

подвижного

самотождественного

что топология
покоя,

аксиомы определенности

на

проективная геометрия

различия
—

выдвигает

на

и

синтетическая

общем фоне.
259

—

план

аксиомы
—

геометрия

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

3.

Прежде

формулы

вышевыве-

мы внесем,

во-первых,

чем, однако, дать диалектические

денным типам

геометрического построения,

одно уточнение и, во-вторых, попробуем

сюда математический материал.
а) Яснее всего и проще всего

осознать

положение

относящийся

Тут

топологии.

невозможно сказать, что исключается коллинеация, т. е. исключаются
аксиомы
к

самотождественного

категории подвижного

различия.

Присоединяем теперь

категорию самотождественного

покоя

различия иоставляем неприсоединенной категориюопределенности.
Что

в этих целях мы

получим последовательность точек

вместе с со¬

это тоже ясно. Но нельзя ли

конкретнее

хранением коллинеации,

описать значение отсутствия категории

определенности? Это

лать можно и нужно, и тут-то и начинается подлинная

работа

сде¬
диа¬

лектики математической науки.
А именно, в чем, собственно говоря, заключается

проективной геометрии
ективная

в

сравнении

геометрия основана

фигуры;

спектива искажает

с обычной

перспективной

на

и вот

—

абстрактность

метрической? Про¬
точке

зрения. Пер¬

проективная геометрия

синте¬

зирует эти искажения. Она сохраняет коллинеацию как принцип, но
она всячески

требует коллинеарные

связи, занимаясь в то же время

только инвариантами в отношении всех этих деформаций. Что нуж¬

но для того, чтобы исключить эти
есть, то

учитывать

ских свойств? Математика

мание

учит,

и

что для этого надо

существование бесконечно удаленной

качестве

жутся

деформации

чтобы,

их как таковые, не отвлекаясь от их

центра проекции. При

если они

специфиче¬

принять

точки

во вни¬

(или прямой)

в

таком центре все лучи зрения ока¬

параллельными, и тем самым будет исключена

всякая перспек¬

деформация фигуры. Следовательно, введение бесконечно
удаленной точки внесет с собою определенность фигуры. Мы тут на¬
тивная

чинаем смотреть на

фигуру с бесконечности,

или, другими словами,

начинаем смотреть на нее вне зависимости от расстояния.
тивная

геометрия

от вносимых им
ся

зависит от этого

деформаций. Та

же

расстояния,

Проек¬

хотя и отвлекается

геометрия, которая построяет-

при помощи бесконечно удаленной точки, не зависит от этого,

потому изучаемые
ми словами,

ею

фигуры гораздо строже

категория определенности

проективности

и включение

и

и

конкретнее. Други¬

несет с собою исключение

бесконечно удаленной точки. Пока не

было определенности, пространственные расстояния вносили
260

в

фи¬

§ 63. Продолжение
гуру

свои

деформации,

а, чтобы отвлечься от них,

проективной

гео¬

метрии приходилось принимать во внимание только слишком аб¬
страктные моменты
ных

расстояний

фигуры. Теперь зависимость от

аналогом внесения бесконечно

гурности) бытия.
Ь) Но, как известно,

удаленной

включение

не в

аффинную. Аффинные преобразования
соблюдением параллельности,

удаленной

бесконечно

превращает проективную геометрию

как

точки является внесение

структурной определенности, фи¬

е.

категории определенности (т.

ных

пространствен¬

исключается, и при этом точным диалектическим

метрическую,

а только в

от

проектив¬

отличаются

соблюдением углов, в то время

т. е.

проективные преобразования соблюдают

только коллинеацию.

Аффинная геометрия поэтому гораздо конкретнее,
риантом аффинитета

является

точки

только

уточнение

но все же инва¬

параллельных

отрезков. Аффинное преобразование есть, следовательно, равно¬
мерное растяжение

или

сжатие

по

пространства

перпендикулярным направлениям. Поэтому геометрия,
у нас

метрической,

выше

единение

трех

основных

тождественного

или

категорий

различия

является пока только

синтетической,

и

—

взаимно

трем

вовсе

не

названная
есть объ¬

подвижного покоя, само¬

определенности

аффинная геометрия.

бытия.

Таковым

Что же такое настоящая

метрическая геометрия или, лучше сказать, настоящая синтетическая
геометрия, т. е. та, в которой

будут исключены даже те параллельные
деформации, на которых стоит аффинная геометрия?
с) Вопрос этот крайне важен, и должна быть [в нем] абсолютная
диалектическая точность и ясность. Если мы обратимся к математике,
то нас

поразит ответ, даваемый

геометрии

в

ею на

метрическую. Этот

о

вопрос

ответ полон

переходе аффинной

глубочайшей тайны;

и, по-моему, из математиков еще никто не проанализировал его

философски и логически, хотя Штаудт,

Клейн

и

др. достигли полной

ясности представления относительно математического значения
этого ответа.
Ответ этот таков. Известно, что всякий круг пересекается
конечно удаленной прямой
мых точках

(т.

в одних и тех же

н. циклических

точках)

ресекается с бесконечно удаленной

и,

—

кривой второго порядка явствует
261

бес¬

мни¬

соответственно, шар пе¬

плоскостью по

одному и тому же

мнимому коническому сечению, кругу. Необходимость двух
точек для всякой

с

двух постоянных

мнимых

аналитически из

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

того, что пересечение двух кривых второго порядка дает четыре
корня двух квадратных

уравнений,

кривые пересекаются только

геометрической

к

присоединить

ленную точку (или плоскость),
из

в то

как вещественно эти

время

двух точках. И вот оказывается: если

в

системе не только бесконечно

но и

уда¬

мнимый круг, то

упомянутый

проективной геометрии вместо аффинной мы подучаем метри¬

ческую. Этот
не дашь
ни

больше

гольник

ответ

и невозможно

потрясает;

ни меньше как о том,

различать ли

мого

квадрат
не

и

прямоу¬

различает

иметь возможность

ввести

раз¬

мни¬

существование

которому всякий вещественный шар пересекается

по

круга,

прямоугольник, надо

и

квадрат

нам

различать. Ведь аффинная геометрия

или не

этого. И вот оказывается: для того, чтобы
личать

успокоиться, покамест

ему достаточной философской интерпретации. Ведь речь

бесконечно удаленной

плоскостью. Это

щее мистическое впечатление,

с

учение производит настоя¬

себе,

как бы ясно мы ни представляли

что квадратное уравнение имеет два корня, а два квадратных урав¬
нения имеют четыре корня, что из них два корня мнимые, и т. д. и

Попробуем разобраться здесь философски и диалектически, и
это будет первая диалектика перехода от аффинности к метрике, пер¬

т. д.

вая

—

d)

за все время существования и

геометрии,

и диалектики.

Нам надо, чтобы квадрат отличался от прямоугольника

от эллипса.

Как связаны

Прямоугольник

есть

тельно, наш вопрос

между собой квадрат

параллельная

мы

есть отображение первообраза

должны

его

круг

квадрата.

сказать,

инобытие.

что

Что

Следова¬

Отвлекаясь

проекция
для

этого

1) нужно, чтобы кроме первообраза было и его
2) нужно, чтобы инобытие приняло на себя

этого

инобытие. Для

на

и

прямоугольник?

проекция?

стоит так: как возможна

от математических трюизмов,

нужно? Для

проекция

и

этого

первообраз. Для этого 3) нужно, чтобы принятие на себя первообраза
инобытием было не чисто образным (ибо тогда

сфере

самого

остались

бы

первообраза)

в

сфере

отобразительным
принять

на себя

Первообраз

и

вещественная,

более близкие

инобытие

к

только

образ,

но

Что же это значит

не вещественно, а

образно

инобытие встречаются, но эта встреча

чисто

образная,

математике,

пересекаются,

но

смысловая.

надо

сказать,

—

же?
не

—

Выбирая выражения,

что

пересекаются
262

мы

но чтобы оно было именно

отображением.

принять

мы остались бы в

инобытийным (ибо тогда

инобытия),

понятием,

его

а

и не чисто

первообраз

не

и

его

вещественно,

а

§ 63. Продолжение
мнимо.
о

(§ [105—107])

Позже

мнимых

величинах

частности, и

Итак,

как

выразительной (в

именно

отобразительной) структуры.

отличать квадрат от

проектирующее от
ствование

разовьем специальное учение

мы

величинах

прямоугольника

проектируемого,

значит отличать

—

а это значит

признавать суще¬

проекции. Признавать существование проекции

—

мнимых точках.

друга

в мнимых точках,

образующих особый

гольника возможна и, значит,
же этого мнимого

возможна и

пред

мнимый круг. Поэтому

квадрат отличен

круга нет,

поэтому, берем

нами в обоих

ли мы

то никакая

от

в виде

прямоу¬

прямоугольника.

проекция вообще
ли

квадрат, берем

не¬

прямоугольник,

случаях нечто совершенно тождественное.

Вот, следовательно,

сферического круга,
нию и

в

Все поверхности второго порядка пересекают друг

если есть такой мнимый круг, то проекция квадрата

Если

значит

фигур

признавать существование пересечения двух вещественных

в чем

удивительный секрет

дающего

превращающего

этого мнимого

устойчивость аффинному построе¬

его в построение

метрическое. Это

есть се¬

крет выразительных функций числового бытия. Но тут необходимо
еще одно разъяснение.
е) Для отражения первообраза должно быть инобытие. Если
роль первообраза

в нашей системе

играет

эйдос числа,

само число,

конструированный при помощи принципов едино-раздельности,

первообраза является, очевидно,
сфера принципа непрерывности. Следовательно, для

то инобытием этого

метрической геометрии

становление,
конструкции

мы выше использовали не только

категории

самотождественного различия, подвижного покоя и определенности
и

бытия,

но

потому

что становление

операции,

категорию

чем

Так

становления.

дескриптивные

едино-раздельности. Безусловно,

и

чисто

как

на

и

должно
к

категориями

становления в связи с

едино-раздельности.

становление явно

обусловливает

Но

и

раз данные

типы

всех

263

нашу

системы

этих

мы

на нем

геометриях
только

преобразований, которыми

геометрии

которых изучаются только

в

аффинной геометрии,

играет второстепенную роль. Оно здесь

собою протекание тех

как таковыми как

категории

входило

отражающимися

во

быть,

метрической

данной ступени нашей диалектической

обозреваем судьбы

отношении

и

смысловые

становление

конструкцию топологии, проективной
так

оно

гораздо ближе подходит

их

и не занимаются и в

инвариантами. Теперь

же

III. Основные аксиомы числа (число как

мы выдвигаем становление на

первый

суждение)

план, рассматривая его впол¬

не наравне с категориями едино-раздельности, т. е. все идеальные
категории единораздельности действительно оказываются здесь це¬
ликом воплощенными в стихии становления, и последнее действи¬
тельно рассматривается с точки зрения этих
целиком. Что же новое дает нам эта

Стихия

становления может

категорий

полностью и

позиция?

образовать

с числовым

первообра¬

зом абсолютное тождество. Это бывает тогда, когда оно как таковое,

субстанции, перестает существовать. В нашем случае
мы не имеем такого тождества. Становление (инобытие) остается су¬
в самой своей

ществовать само по

себе,

бражать первообраз.

функция
первообраза

и его единственная

Синтез числового

тия происходит здесь поэтому не

здесь
и его

—

ото¬

инобы¬

субстанциональном отношении,
первообраз только указы¬
а
инобытии, инобытие своим отобра¬
в

а только в смысловом отношении. Здесь

отображение в
жением указывает на первообраз. Геометрический смысл возможно¬
сти этого взаимоотображения (или взаимопроектирования) и есть
вает на свое

наличие

измерения фигур,

только здесь мы можем

занном смысле,

т. е. их

говорить

метрическая структура. И значит,

о синтетической

геометрии

в

ука¬

а то, что мы называли выше этим именем, есть, стало

быть, только база для настоящей синтетической геометрии.
f) Мы можем сказать еще и по-иному, и это может стать резюме
нашего исследования.
Покамест была у нас только
гласно той
только

категории, которая управляет этой последней,

различать

менты, т. е.

точку

и отождествлять

понимать как

как плоскость коллинеации,
ния.

го

Когда

точка зрения, мы

проективная

геометрические фигуры

точку, прямую

погружая

все

мы захотели внести сюда еще и

бытия, то, поскольку определенность

в

как

прямую,

прочее

—

—

со¬

могли

и их эле¬

плоскость

в хаос становле¬

критерий определенно¬
геометрии была для

нас

были заговорить о взаимных от¬

фигурностью (§ [55]),
ношениях фигур (и их элементов), а не просто только различать и
отождествлять их как таковые. Фиксировать же взаимное отношение
мы должны

фигур

—

значит оперировать с ними как с конечными величинами.

Чисто проективная точка зрения выше разделения на конечное и
бесконечное.

Аффинная же геометрия требует это разделение; отсю¬

да и введение бесконечно
нам

удаленных элементов. Следовательно, если

нужно рассмотреть становление
264

в свете

едино-раздельности,

то

§ 63- Продолжение
мы

погружаем

всю

отвлеченную фигурность, выведенную раньше

категорий,

качестве чистых

в стихию

категорий

бом получаем разные виды становления в свете

При

этом

и

—

едино-раздельности.

каждый раз берутся именно абстрактные категории едино-

раздельности, а не их наглядная воплощенность, как того и
сама

едино-раздельность, которая есть,

тегорию, имеем топологию, где все

покой как отвлеченную ка¬

деформируется, кроме

вательности элементов, а сама она понимается
—

как

деформации,

—

все

прочее

но

—

(прямая

лишь как отвлеченных понятий

вообще-,

и не важно, какая

будет прямая). Наконец, если мы вводим наличное бытие

категорию

и

смотрим,

что

получается при рассмотрении

ления в его свете, то мы замечаем, что

оформленность, конечность,
для

как отвлечен¬

в становлении, т. е. в сплошной

везде остается как прямая, т. е. как прямая
именно это

последо¬

в наглядном смыс¬

получаем проективную геометрию, где сохраняется

различие элементов,

как

—

угодно. Берем самотождественное различие

ную категорию, оставляя

требует

как мы знаем, начало отвле¬

Сохраняя подвижной

ченное, идеальное.

ле

в

таким спосо¬

аффинной геометрии

лишь ее конечная

тут образуется определенность,

но пока тоже как

важна не цельная и

определенность вообще. В

параллелизма, той,

в

станов¬

принцип, потому

что

конкретная фигура,

но

этом и состоит тайна

принципе, конечной определенности

фигуры,

когда она рассматривается не в виде отвлеченной категории просто,
но в виде непрерывного становления,

—

рассмотренного

с точки

зрения отвлеченной категории конечной определенности.
Таким
вается

же отвлеченным

принципом,

непрерывное становление,

в свете

которого рассматри¬

может явиться, наконец, и само

становление. Но последнее тут определяет собою уже не просто ко¬

фигурность, но и отличие одной конечной фигурности от
другой (как на стадии проективной геометрии было мало фигуры
вообще, а нужно было отличие одной фигуры от другой), потому что,
нечную

фигуру в свою стихию, оно тем самым меняет ее
на ряд других конечных фигур. Но как возможен этот бесконечный
ряд конечных фигур? Он возможен только как нечто единое. Этим

увлекая конечную

единым является, конечно, уже само становление. Однако такое еди¬
ное есть только порожденное единое, а не самая структура единого.

Структура

же как единое, т. е. та

структура, которая характеризует

каждую отдельную конечную фигурность
жет быть только

мыслимой,

а не

и есть нечто

общее,

и

мо¬

вещественной. «Чтойность» вещи,

265

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

общая индиви¬

взятая как принцип, может быть только мнимой. Та

дуальность, которая определяет собою

во всех

альность есть мнимое.

сферического круга,
Этот

о

Отсюда

шла

речь

удаленной

мнимого

выше.

круг образуется путем пересечения любого

с бесконечно

самое

эта индивиду¬

необходимость введения

—

котором

индивидуумах

общее,

конкретное в них и в то же время есть для них

плоскостью. Но является

конечного

шара

заблуждением ду¬

мать, что он, равно как и циклические точки, находится тоже на бес¬
конечном расстоянии. Тогда именно потонуло бы все различие ко¬
нечных кругов одного от другого. Так как этих конечных кругов бес¬
конечное количество, то они в самом

секаются
точки

в

разнообразном

смысле

пере¬

бесконечно удаленной плоскости. Поэтому циклические

и мнимый

сферический круг, чтобы обеспечить индивидуаль¬

фигуры, должны быть не на
расстоянии, а только на неопределенном. В самом деле,

ную конкретность каждой конкретной
бесконечном

находя уравнение круга в однородных координатах

(£
и находя, что

мой

т =

—

атУ + (т|

пересечение

—

этого

Ьт)2

г2^

=

0)

с бесконечно

круга

удаленной пря¬

0 определяется уравнением

^ + п2
мы

—

=

о,

определяем расстояние циклических

точек так:

0

а/У+П2

_

’

о

т

что и есть

неопределенность. Так

же

неопределенно

другой
обратил внимание Ф. Клейн.
g) Наконец, дадим кратчайшее резюме
циклических

типам

и

расстояние

конечной точки. На это тонко

точек и от всякой

всем

рассмотренным

геометрического построения. Именно, обратим

внимание

фигура,

а лишь ее

на то, что в топологии имеется в виду не сама

непрерывное становление,
становящегося, а еще

фигура тут еще

не

и

притом становление, которое
его

раньше

фиксируется).

(поскольку

никакая

не позже

определенная

Но становление принципа, взятое

до самого принципа, есть перво-принцип.

Поэтому

мы и можем сказать так.

странственном становлении,

группе преобразований)
тивная

геометрия

есть

в

котором

только

наука

о

Топология есть наука о про¬
не становится

фигура

как

(инвариантна

перво-принцип. Проек¬

пространственном становлении,
266

в ко¬

§ 63. Продолжение
тором

фигура

не становится только

как отвлеченный

общее понятие). Аффинная геометрия

—

принцип (как

то же, когда не становится

фигура как определенный принцип, т. е. как конечная фигур¬
то же, когда не становится
Общеметрическая геометрия
как
индивидуально-конечная фигурность. Все это есть, та¬
фигура
ким образом, разная степень диалектической зрелости становления,

только
ность.

—

зависящая оттого,

какие и в каких

размерах категории воплощаются

в этом становлении.

4. а) В

качестве

добавления

скажем еще, что,

становления вносит возможность

поскольку принцип

разнообразных комбинаций

ло¬

гически выведенных аксиом независимо от их чисто логической
взаимосвязи

(включая

и

саму непрерывность),
и

конструирование геометрии
сти. Гильберт построил
в

щую

т.

н.

вполне

мыслимо

без всякого принципа непрерывно¬

неархимедову геометрию, содержа¬

себе все аксиомы, как раз за исключением аксиомы непре¬

рывности*. И тем же самым занимался раньше его еще Веронезе**,
объединявший неархимедову арифметику и геометрию с теорией
трансфинитных

чисел

Хотя подобное построение по су¬

Кантора.

ществу своему еще более оригинально
тие Лобачевского
в

неархимедовой

формально

и

(так
же

—

все

совершенно обычно,

и

неархиме¬

являются только

принципом для

реального построения диалектики геометрии, которое

дальнейшем. Там

вырасти

в

все

эти

аксиоматические

зрелую систему. Здесь

воздерживаться,

же

только одна из многочисленных диалектических

георий вообще.
Ь) Все предыдущие установки
в

откры¬

метрика,

геометрии нарушен самый континуум), все

философски тут

дова геометрия

и неожиданно, чем

как у последнего изменена только

и может идти

юложение дела и можно

принципы

же от этого, конечно,

речь

только о самых

мы

даем

должны

необходимо

принципах. Это

зафиксировать следующим образом.

I. Становление конструируется

—

а) по типу подвижного покоя (т. е. порядка следования элементов),
остающегося

неизменным

в

условиях бесконечного становления

прочих категорий (топология', любые свойства геометрических
фигур инвариантны

в

отношении

с

любым непрерывным

разованием);
’

ГильбертД.
”

Veronese G.

Основ, геометр. 12.

Grundzuge der Geometric. Leipzig, 1894
267

преоб¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Ь)

типу подвижного

по

различия

тождественного

элементов), остающихся
становления категории

любые

свойства

покоя

(порядка следования)

(взаимопринадлежности,

неизменными в

и

само-

сопряжения

условиях неопределенного

определенности (проективная геометрия-.

фигуры

в

инвариантны

к

отношении

группе

коллинеаций);
по типу подвижного

с)
и

неопределенного
в

покоя,

самотождественного

определенности бытия, остающихся

условиях, когда категория

самостоятельная

инвариантны

к

становления

(аффинная геометрия-,
по

категорий едино-раздельности
как инобытийного и

принципа

различия

условиях

становления,
не

еще

т.

положена

любые свойства

е.

как

фигуры

параллельному проектированию).

II. Становление конструируется
ных

самого

функционирования

в

неизменными

типу трех указанных основ¬

сохранением собственного

с

потому

с

превращением

его в то, чем

измеряется фигура (метрическая геометрия-, любое свойство фигу¬

абсолютно-измерительным операциям). Следо¬
та,
фиксируется наиобщая и наиабстрактная метрика

ры инвариантно
вательно,

к

—

которая гипостазирует идеальную
сти,

фигурность

во всей ее целостно¬

минуя те ее искажения, которые возникают от неполного числа

категорий едино-раздельности. Эта метрика, однако, может быть
иной

(она

возникает уже в связи с

принципами конгруэнтности

и
и

параллельности).
III. Становление конструируется по типу трех указанных основ¬
ных категорий едино-раздельности, но без сохранения своего соб¬
ственного принципа
это становление,

новление

и как самостоятельного, и как подчиненного;

нарушающее самый принцип непрерывности,

непрерывности

ста¬

(неархимедова геометрия).

В таком виде можно было бы представить аксиоматическую диа¬
лектику основных типов геометрических построений, основанную
на едино-раздельности

и

непрерывности.

5. Систематический обзор геометрии
покажет нам, вообще,
нии, а также и в

формах развития

ничего не сказали о
покоя.

Однако

аксиомы

весьма большое

с точки

основных аксиом.

Мы, например,

геометрии без всякой категории подвижного

вполне возможна

геометрия,

в

которой отсутствуют

подвижного покоя. Таковой является

являющаяся

зрения диалектики

разнообразие в комбинирова¬

не чем иным, как

геометрия Римана,

сферической геометрией,
268

а на

сфере

§ 63. Продолжение
о

одной диаметральной

в

трех диаметрах

порядка здесь

не имеет смысла, как

(последние вообще

мым точкам

плоскости

между

нельзя сказать, какой из них находится

двумя другими. Идея

неприменима

не мыслятся

совершенно

она еще и к мни¬

размещенными

в

про¬

странстве).
Так же, развивая

бы, например,

лись

начала

проективной геометрии,

мы

попарно вершины двух треугольников, расположенных

скостях

общей вершины, сходятся

и не имеющих

соответственные

стороны

точках, расположенных

если

одной точке,

а именно на

конгруэнтности

конгруэнтности

но только

различия,

других

применяя

го, конечно,

простран¬

только одних

наших аксиом са¬

только плоскостных.

Для

это¬

необходимо соответствующим образом расширить

нятия точки,

прямой

и

ее

аксиом самотождественно¬

при помощи

различия, притом

различия

(категорию

их не к плоскости, а к

аксиом плоскости, т. е.

мотождественного

плоско¬

§66.4). Однако

ству. Гильберт же доказал теорему Дезарга при помощи
проективных

трех

Эту теорему

на плоскости

мы пока еще не вывели, см. ниже,

можно доказать и на основании
го

то

можно было бы сказать,

то они также и соответственны.

и из аксиомы

в

прямой пере¬

можно доказать, исходя из аксиомы самотождественного

плоскости

двух пло¬

треугольника, принадлежащие различным

два

перспективны,

стям,

в

в

треугольников пересекаются

одной прямой,

треугольников. Иначе

сечения плоскостей
что

на

этих

столкну¬

Если прямые, соединяющие

теоремой Дезарга.

с

плоскости*. Но тогда возможна

по¬

недезаргова

геометрия, наглядным примером которой Пуанкаре** приводит луч,
идущий

по

прямой через эллипс,

и выходящий из него тоже по

Так

или

иначе,

но

но изгибающийся внутри его в дугу

прямой.

Штаудт

доказал теорему

Дезарга

исключи¬

тельно лишь при помощи «аксиом сочетания», примененных к про¬

странству. А
тает

этот

прежде всего

Точный

ская

на

анализ

пределы простой

6. Что

факт

проективная геометрия вырас¬

категории самотождественного различия.

подобных конструкций уже далеко выходит

теории множеств,

то

предыдущая геометриче¬

типов становления с точки

зрения категорий едино-

раздельности, очевидно, должна дать руководящий принцип
•

Птьберт. Указ. соч.
”

за

аксиоматики.

касается

дедукция

и значит, что

§§ 22—30.
Отчет о работах Гильберта.

—

в той же книге

26»

Гйльберта, стр. 120.

и для

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

соответствующей дедукции
области.
а) Весьма

теоретико-множественной

моментов

наглядным делается, прежде всего, место теоретико¬

множественной топологии в системе аксиоматических установок
вообще.

Именно, под топологией понимается наука, изучающая

те свойства множеств, которые сохраняются в условиях взаимно¬
непрерывного соответствия. Что в центре внимания здесь стадия
непрерывности, это ясно; и что в условиях этой непрерывности
мы соблюдаем только последовательность элементов

(= категорий
подвижного покоя), отвлекаясь от всякой фигурности, это тоже ясно.

аффинных и проективных [множеств] (в смысле
проективной геометрией), то здесь также, по-видимому,

Что же касается

аналогии с

принципиально

возможны

Особо поговорим
меры

в

к

применении

соответствующие построения.

метрических множествах,

о

теории

т.

е. о понятии

множеств.

Ь) Мы уже знаем (§[]), что понятие меры возникает только в связи
с категорией становления, и ниже, в § 66.2, мы этот вопрос развернем
диалектически

по

поводу

аксиом

конгруэнтности. Сейчас

нам важен

тут только один принцип: становление структуры, если оно действует
как самостоятельный
слоем,
ее

застилает

самую структуру

новым

который, будучи сравниваем с самой структурой, является
или мерой. Математики поступают в определении

измерением,

меры

весьма

просто

можно только
не

принцип,

прибегая

к

и

наивно,

за

что,

впрочем,

похвалить. Можно было бы

в данном

говорить

и еще

случае
проще,

нагромождению ненужных обозначений (к тому

обязательно греческими

буквами) пр.
так. Мера

же

и

Математики рассуждают

множеств, лежащих на дан¬

ном сегменте, есть не что иное, как более общее понятие длины от¬
резков этого сегмента.

Пусть какое-нибудь

множество F входит в 5.

берется интервал [0,1 ], то мера множества F равняет¬
F),т. е. мераF + мера (5 F) мере5 1. Мера/7есть
нижняя грань множества всех мер (5
F), т. е. всех мер любой «об¬
ласти» (5
F) есть,
F), которая содержит F. Мера этой области (S
множества
всех
любого
F,
мер
замкнутого
наоборот, верхняя грань
Так как обычно
ся 1

—

мера (5

—

—

=

=

—

—

—

лежащего

в

этой области. Если взять произвольное множество Е, то

нижнюю грань множества всех неотрицательных чисел,
щих меру области

Е,

а

(5

верхнюю грань

—

F),

всех

можно назвать внешней

изображаю¬
мерой множества

неотрицательных чисел, дающих меру для
270

§ 63. Продолжение
FczE,

можно назвать его

внутренней мерой Е. Когда внутренняя мера

множества равняется его внешней мере, то множество измеримо, и
данное число его

внутренней

обще. Попросту говоря,
и его же извне и

если я

его

мера

во¬

объем изнутри

оба размера измерения совпадут, то это значит, что

данный объем действительно измерим

и

существует

ленная количественная величина, которая

меряет).

меры есть

или внешней

буду измерять данный

его

некая

опреде¬

изображает (или

из¬

Ясно видно, что измеримость множества связывается имен¬

но с возможностью его перекрытия, т. е. покрытия новым слоем, т. е.
с введением момента становления.

Отбросим

всякое становление и возьмем только голую

турность множества,

(признавая

лагания

т. е.

едино-раздельность

только такое становление,

имманентно самой отвлеченной
делено в

структуре

которое абсолютно

множества и еще не вы¬

особую категориальную положенность). Тогда

в качестве идеального

струк¬

актов числового по¬

мы

получим

образца просто натуральный ряд
(т. е. множество, эквивалент¬

чисел и то,

что называется счетным множеством
ное

всех

множеству

натуральных чисел). Какова будет мера

счетного множества? Его

мера

=

0;

и это ясно само

собой,

всякого

хотя мате¬

матики делают вид, что они это «доказывают». Это ясно так же, как
и то, что

мера

отрезок [0; 1]

ва мера этого множества?

говоря,

всякое

замкнутое

предельные точки)

щее
его

в

одной

множества из

Ясно,

что

и всякое

будет больше

прекрасна,

если

совсем

дается

и никаких

(т.

е.

других),

содержа¬

если

мера

будет несчетно.

и плотность ее дана

становящийся аналог,

как угодно. На то он и есть

которых

она всегда

которых раньше

ном смысле

слова), располагать

другой, располагать

их

гуще

мера. Ясно,

она не¬

раз навсегда. Когда

то этот аналог можно

инобытие,

речи (или

шла

на том или ином

или

что

структура,

становление.

состоит множество и о взаимном

не было

расстоянии

и есть

множество

есть просто идеальная

нерасширяема

И вот, я могу эти точки, из

деления

равна единице. Вообще

(т. е. содержащее в себе все свои

обывательскую терминологию (а

Когда

ее инобытийно

деформировать

Како¬

правильно отражает интуитивную картину жизни),

можно сказать так.

сжимаема и

эта

совершенное

нуля, всегда

равняется нулю. Возьмем

отрицательных чисел.

мера

множество

себе все свои предельные точки

Употребляя

от

точки

и на нем множество всех

реже. Вот

различия
271

речь

в

перенос¬

расстоянии одна

эта плотность

«плотности»

распре¬

предполага¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ют введение принципа инобытия в
если

есть некая

структуры

Следовательно,

с) Измеримость

континуум,

наличие малейшей

измеримом

Р,

0,

малое как

положения

его

теории

Лузину*, звучат так.

множестве М

множество

образом, результат

основные

по Н.

меры р,р> 0 содержится

та¬

что

mesP> р

где е >

есть

г. е. несчетное множе¬

меры, превышающей нуль,

множества есть, таким

измеримых множеств, которые,

совершенное

различенно-

неразличимость; неразличимость же

непрерывности. К этому сводятся

кое

(или,

несчетное множество.

уже предполагает

Во всяком

с абсолютной

сравнении

сплоченность, сплоченность есть
ство.

«плотность»

угодно, абсолютную разреженность) абстрактного, идеального

множества. Но инобытие в
стью

абсолютную

—

е,

угодно.

Всякое измеримое множество М меры, большей нуля, есть сумма
конечного,
имеющих

или счетного, числа

совершенных

попарно общих точек,

Измеримое

множество

множеств

нуль-множеств[а]

и

обладает

Pv Рр

...

не

N.

точками плотности и точками

сгущения. Точка а есть точка плотности множества, если отно¬
шение

М(8)
mes

где 6

—

мится к

интервал, содержащий
нулю. Та

ношение

стремится

0,

Обращаясь

внутри, стремится

же самая точка есть точка

Если mesM= 1,
если mesM=

а

6

к

1, когда 6 стре¬

разрежения, если

это от¬

нулю вместе с 5.

всякая точка области

всякая точка есть точка
к

к

геометрической

[0,1] есть точка плотности, и,

разрежения.

аналогии, мы находим, что ника¬

кое измеримое множество М меры 1 не может быть равномерно
расположенным на области

[0,1]. Тут всегда будет,

по

крайней мере,

одна точка плотности и одна точка разрежения, т. е. на этой области
имеются два интервала

равной длины

торых один насыщен точками

М,

а

другой, наоборот,

образом,
измеримое
равномерно покрывать область [0,1],
ким

*

Лузин Н.
Т.ХХХ, 12слл.

всякое

и неперекрывающиеся, из ко¬

множество
но

меры

ими

«будет лежать на

Интеграл и тригонометрии, ряд. Математич.

272

беден. Та¬

не 0 и не 1 не

будет

ней как бы

сборн. 1916.

§ 63. Продолжение
сгустками, будучи
ласти

и слишком

слишком

уплотненным

разреженным

в

в одних частях этой

об¬

других».

Соответственно надо говорить

и о последовательности

измери¬

функций (такова теорема Д. Ф. Егорова о наличии совершен¬
ного множества с равномерной сходимостью последовательности
мых

функций)
ция /(х),

и

вообще об измеримых функциях. Для того, чтобы функ¬
всюду на [0,

конечная почти

необходимо

и достаточно,

ное число е,

существовало

чтобы,

1],

была измеримой

функцией,

как бы мало ни было положитель¬

[0, 1] совершенное множество/5,

на

обла¬

дающее свойствами:
1.

f(x)

непрерывна

2.mesP> 1

—

на

Р,

е.

Совершенно ясно,

что во всех этих представлениях меры мы все

время имеем дело с непрерывностью, т. е. со становлением, но толь¬
ко это не просто становление

множественный континуум),
ки

(иначе у нас получился бы теоретико¬

но становление,

зрения едино-раздельности,

т. е.

рассмотренное

измеряемое

с точ¬

становление.

с) Необходимо также заметить, что здесь мы, как и соответственно
выше, в § 2с, в отношении геометрии пришли только к самому общему
понятию

меры. Собственно говоря,

если

строго придерживаться

рамок нашей общей категории становления, которую

изучаем,

мы

измеримость

можем

утверждать сейчас

множества

вообще

и

только то,

что

сейчас

существует

больше ничего. Представление

множества с точки зрения единораздельности, когда
честве

мы

мы имеем в ка¬

самой сложной категории только категорию типа, было со¬

вершенно лишено всякого элемента измеримости, или, иначе, мера
чистого и основного множества (счетного множества)

перь

же мы

и не только

что

приходим

к

нулевой,

только об этом и

—

тому выводу,

измеримость

говорит

новления. Если же мы захотели бы исследовать

римости,

то это было бы

становления, т. е.

рии

может быть

категория

разные

тут нужен был бы выход

за

пределы самой

мере совершится

ста¬

типы изме¬

равносильно исследованию разных

становления. Но это в полной

перехода

нам

нуль. Те¬

—

типов

катего¬

только после

нашего становления в ставшее и далее, наконец, в

вырази¬

тельную форму.
7. Наконец, бросим взгляд
того, как наличная в ней

действие

аксиом

сфера

на

теорию вероятностей

в смысле

становления испытывает на себе воз¬

едино-раздельности.
273

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Становление,
ность.

ствий,

Когда
мы

или

получали ту

построений

или

иную последовательность

с точки

тех или иных

зрения

Когда

мы

получали

вариаций пространства

или мно¬

мы тоже должны

теории вероятностей

следовательность,

чисел.

у нас при помощи геометрических

теоретико-множественных операций,

последовательность
жеств. В

процесс, последователь¬

есть

при помощи арифметических дей¬

его

оформление совершалось

это

себе,

взятое само по

оформляли

мы

получить такую

по¬

которая бы свидетельствовала о размеренности

тех или иных

ее

теоретико-вероятностных операций.

Процессуальность вероятностей должна свидетельствовать здесь
некоем постоянном законе, неизменном в

о

данной процессуально-

арифметической последовательности неизменно то или иное
арифметическое действие (напр., умножение на какое-нибудь число

сти. В

в

геометрической прогрессии);

сти

преобразований

в

геометрической

он имел также тот или иной

этот неизменный закон тех или иных
сти

вероятностной?
Здесь мы могли бы

ся и вся

аксиом

наличного

Этого расширения, однако,

бытия,

мы

ный

диалектический

которой

момент. С этой точки

мы еще не

будем

не

покроет¬
перешли.

производим,

зрения

бытия,

а

того,

его в его

процессуальностью. Таким отде¬
т. н. закон

больших

увеличением числа

которым связан данный факт, устанавливает¬

вероятность факта,
этот закон

так как в

момент индиви¬

будем брать

теории вероятностей является, прежде всего,

с

эту
не¬

мы еще не

чисел. Его основная идея заключается в том, что с

ся и

аксиом

выделять в самостоятельный пункт, как

максимальной слитности с самой

случайных событий,

и

есть свой вполне самостоятель¬

это случится в категории наличного

лом

к

же

что ею

широко,

намеренно

указанной сфере «взаимодействия»
дуальности

в том, что всю

едино-раздельности

можно понимать настолько

категория

инвариант. Где

в последовательно¬

говорить по-разному. Дело

сферу «взаимодействия
прерывности»

операций

последовательно¬

сколь

угодно близкая

к

достоверности. Более

формулируется
будем входить в этот вопрос, равно как и

с помощью понятия математиче¬

ского ожидания. Но мы не

в

анализ знаменитого неравенства Чебышева и его следствий.

Непосредственно

видно, что принцип закона больших чисел

иначе конструируется, чем выдвинутые выше математические факты
в

сфере «взаимодействия». Но остается самое общее
категория становления в ее сформированное™ при по¬

аналитической

сходство

—

274

§ 63. Продолжение
мощи категорий едино-раздельности. Едино-раздельная последова¬

случайных фактов

тельность массы
ческого

процесса,

достоверность. В

а именно становящегося

типах

2—4, инвариантность
она

в виде

—

ведет к установлению

геометрии, рассмотренных

—

только еще

менее и здесь поток самого становления

«случаев»);
ленность с

и

учением

в основе все же

тренное

сохраняет

с точки

Понятно

преобразованиях

на отда¬

геометрии,
рассмо¬

в связи со статистическими

дисперсией

и

вероятностями, средними

в последних

совсем

покинем

двух

замечание о всей

вели¬

рассматри¬

п[унктах] сфере «взаимодействия»,
становления.

категорию

в свете становления еще

едино-раздельность

по¬

пр.

8. а) Остается сделать одно общее
ваемой

впервые

реального измерения вероятностной области

вообще,

ление

и

с ним единство: это становление,

чинами,

ли это

несмотря

арифметике

также и то, что с законом больших чисел

раздельность

количества

(ростом

зрения нестановящегося.

является возможность

ления в свете

в

не

вероятности обусловлен

место закона больших чисел,
о

п[унктах]

устанавливается. Тем

системой

едино-раздельной

общее

выше в

в

дана в процессуальном ряду сразу, здесь же

достоверности

определенной

специфи¬

перехода вероятности

А именно,

если

пока только

рисует

и

—

мы

едино-

саму

же

или само становление, то относительно станов¬

едино-раздельности

может

возникнуть вопрос:

попросту ставшее? Ведь едино-раздельность
некоторую запруду

и лишает его

не есть

вносит в станов¬

характера абсолютной теку¬

чести. Не есть ли это само ставшее и не

перешли

ли мы здесь

уже

за

пределы аксиом становления?

Нет,

мы еще не

перешли

к

ставшему

в

собственном смысле, хотя

при более суммарном изложении эти тонкости

и не имело

бы смыс¬

ла проводить. Ставшее есть остановившееся становление, а у нас
становление еще не остановилось. Это значит, что
жем

сравнивать результаты процессов

но должны находиться

внутри

включаемые в становление
ся самого становления
только

содержания

между собою,

становления. Устойчивые моменты,

едино-раздельной сферой,

вообще,

самого

этого становления.

ствия, превращая их в те или иные

арифметике мы
комбинировать дей¬

Поэтому
и

но

в

преобразования,

сравнить результаты действий
275

не касают¬

принципа становления,

получили возможность модифицировать

стадии еще не смогли

мы еще не мо¬

становления

но мы на этой

с точки

зрения

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

действий как таковых, с точки зрения принципа действий.

еще

не знаем

мнения, что

коммутативность

сложения или

применение операции

значит только то, что одна

категория становления

арифметической операции

чить полноты идеи

привлечение дальнейшего. Также

еще

со¬

и

не может обеспе¬

и что

ограничение

мы и

построениям, которые

получаем

горией конгруэнтности. Конгруэнтность превратит
нами отвлеченные

элементов и

этого

вариирова-

его из становления в ставшее должно

превращение

к новым

но ясно, что

необходимо

нами типы геоме¬

полученные

предполагают бесконечное вариирование одних

инвариантность других,
ния и

умножения. Нет

с невыясненным законом ком¬

есть нечто весьма недостаточное и незрелое. Но это

мутативности

трии

Мы, напр.,

инвариантные

элементы в

привести

в связи с кате¬

и

полученные

структурные принци¬

фоне ста¬
новления (напр., как аффинность рассматривается на фоне парал¬
лельных преобразований), но он будет рассматриваться сам по себе
пы,

в

так что не этот

с

сравнении

зультате
их

инвариант будет рассматриваться

другими

такими же

конгруэнтности, подобии

и

в

геометрическими фактами,

чего мы сможем накладывать их один на

что геометрическая

на

другой

и

ре¬

судить об

пр. Все это возможно только потому,

фигура превратится тут у нас

в ставшее, в

бытие

наличное.
К этому

мы сейчас и

обратимся.

Ь) Дня цельности диалектической

картины, однако, мы приведем

в заключение ту нашу универсальную схематику в

области, которую
которую

не

мы должны

были бы привести

приводим ради избежания различных нагромождений,

заменивши ее
в отношении

сферой «взаимодействия
всей

сферы

становления

пять основных диалектических

изобразили

как

аксиоматики

аксиому

в

»

становления.

То,

есть

свете

принцип

двух рядов аксиом. Именно,

необходимо различать

ступеней. То,

непрерывность вообще,

едино-раздельности,

становления,

новление

рассматриваемой

с самого начала, но

что

(§ [59])
будет перво-принципом
мы формулировали как

это

выше

рассмотренную

аксиоматики

едино-раздельности

наши

что мы выше

в

свете

становления.

необходимо

аксиом

Само

ста¬

оказывается

становлением этой аксиоматики становления. В качестве ставшего,

брать арифметику, очевидно, мы должны выдвинуть разные
преобразования, равно как и под выразительной формой. Ведь
арифметическое становление вообще есть только арифметическая

если

276

§ 64. Принцип
операция,

ставшего числового бытия как принцип конгруэнтности

она есть именно принцип становления, и, если

принцип арифметического становления
т.

—

остальное,

е.

и

становление

выразительная форма

операций,

или

или

иная

как

как

перво-принципа
мы

принципа

и

геометрических структур. Становление,
форма

этих

и

только

для ставшего

его

—

все еще без

ставшее,

в

геометрии

геометрического

только

ставшее
нам

после

разные

типы

и

выразительная

в

этой

топологию, проективную и

развитой

аффинную

геометрию подобных преобразований
—

полную

метрическую

деталей, которые придут позже). Все эти

арифметики и есть не что иное,
последовательность преобразований. Наконец, ту же

геометрий

как та или иная

—

выразительной формы

для

геометрию (хотя
виды

и

его

последовательность

структурных построений дает

установке для становления

геометрию,

все

после

имеем

перво-

непрерывность,

преобразований. Соответственно,

непрерывности
построения

и

принципа,

та

есть

—

есть

в

переводе

последовательность

на язык

операций

теоретико-множественной,

и

мы должны были бы

в

проводить

и в

теоретико-вероятностной области.

Но мы избежали этих слишком
введя просто

[частных] для аксиоматики деталей,
аксиом едино-раздельности и
взаимодействия
сферу

становления и

тельности

ной

—

d)

приведя для теоретико-множественной последова¬

указание

указание

на

измеримость,

а для

теоретико-вероятност¬

на закон больших чисел.

Аксиома ставшего числа (или

$ 64. Принцип

конгруэнтности)

ставшего числового бытия как принцип конгру¬

энтности
Если мы вспомним, что выше

или,

что то же, о

категории

говорилось

о

«наличного бытия»

категории ставшего,

(§21), то применение

ее в области аксиоматики влечет за собою очень важное

которое

софии

построение,

тоже еще не нашло в математике и в математической

фило¬

настоящего расчленения.

1. Что становление

требует

ставшего, что эти категории одна

будем долго разговаривать. Все со¬
мнения, которые возможны в этом вопросе, рушатся уже от простей¬

другую предполагают, об этом не

шей установки: если есть становление, то есть и ставшее. Ибо стано¬
виться может только нечто. Но это нечто не то, которое было до ста¬
новления, и потому если мы становление противопоставим чисто
277

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

идеальной структуре, бывшей еще до становления, то тем самым мы
вернемся назад, и ни на шаг диалектический процесс от этого впе¬
ред не продвинется, хотя идеальное и противостоит становлению

Следовательно, дальней¬

как бытию вне-идеальному, алогическому.
шее движение мысли

получится

такое нечто,

противопоставим

только тогда, когда мы становлению

которое

хотя и не

новлением, но как-то его в себя вместит как

Должно возникнуть

такое нестановящееся,

всю стихию становления и

вижно,

Ставшее

оно

—

результата

неподвижно.

е.

эта

Однако

подчиненный

которое

момент.

вместило в себя

просто идеально непод¬
в смысле

становления. А это и есть ставшее.

что стало, т.

то,

не

самим ста¬

реальном, неподвижно

но неподвижно в смысле

становления, в смысле

—

которое уже

будет

остановилось; следовательно,
в

неподвижность

от

отличие

идеально-смысловой неподвижности есть неподвижность как ре¬
зультат становления.

неподвижности

и

Поэтому

ставшее

вне-идеального

есть

становления.

синтез

идеальной

Другими

словами,

в ставшем мы различаем то, что стало после становления, и то, что
было до становления, но оказалось втянутым в его алогический про¬
цесс. Эти два момента тут и отождествляются. Сначала мы имеем
просто идеальную структуру, взятую как такая. Потом она вовлека¬
ется в стихию становления. Мы не теряем ее из глаз; и, через какие
бы этапы становления она ни проходила, мы видим все ту же самую
идеальную структуру, узнаем ее, несмотря на ее самоотчуждение в
инобытийной алогичности.

дить
бы

тех или иных

пустой

ее в

и

Разумеется,

изменений, потому

незначащей категорией

с ней не может не

и не для чего

время

допустим,
же?

было бы

диалектику. Значит, идеальная структура, вовлеченная

становления и остающаяся самой собою
в то же

сплошь меняется,

она

остановилась,

Оказывается,

(ибо

перекрывается

ее

происхо¬

что иначе становление было

становление

и вводить
в

процесс

мы ее везде

узнаем),

новым слоем. И вот,

закончилось.

И

что

и в этом покойном состоянии мы все еще видим

не что иное, как именно ее же,

до становления; но

тут

узнаем ее, фиксируем

же мы видим и то новое, что

фиксируем результат пребывания

инобытие, которым

она

в становлении,

перекрылась

и с

ее так же, как и

наросло

на

ней,

рассматриваем

которым

она

теперь

то

ото¬

ждествилась.
И она обязательно отождествилась сама с
шим

инобытием. Если бы идеальное

278

собой, со своим нарос¬

не отождествлялось с

реальным

§ 64. Принцип
в

ставшего числового бытия как принцип конгруэнтности

процессе становления,

то в

пребывает

все не становится, а

становлении мы не узнали

реальном

бы становящегося идеального. И

получилось бы,

в

что идеальное во¬

своей идеальной

сфере

абсо¬

как

лютно изолированная неподвижность; о реальном же становящем¬
ся вовсе нельзя было бы сказать, что оно есть нечто (так как «нечто»
само по себе есть как раз нестановящийся идеальный предмет),

т. е. о

реальном становящемся совсем ничего нельзя было бы сказать. Все,
сказанное

реальном становлении, уже

о

новится, оно есть
в

процессе

же

процесс

просто

есть нечто, и нечто

ставшем мы находим

2) результат

не ста¬

Итак, идеальное

смысл и больше ничего.

реальным. Когда

своего становления отождествляется с
окончился и становление

—

превратилось

в ставшее, то и в

1) прежнее абсолютно тоже самое идеальное,

становящегося процесса в виде некоего инобытийного

перекрытия первоначального идеального и

отождествление того

3)

и другого в некую цельную и неделимую предметность.
2. Однако и эта картина отождествления еще не полна. Когда
строилась диалектика идеального, то идеальное и было самим быти¬
ем. Идеальное, рассматриваемое само по себе, не нуждалось ни в ка¬
ком носительстве, ни в какой
альное и есть само для
новлении, идеальное

иноприродной

к

себе

субстанции. Иде¬

себя субстанция. Но когда зашла речь

Оно ведь стало осуществляться и

о ста¬

собственную субстанцию.
воплощаться заново, и его субстан¬

уже потеряло

свою

цией оказалось не оно же само, но уже становящееся инобытие, сама
стихия становления.

Идеальное теперь

помощи реального; реальное
телом;

альное

ведущим
—

оказалось

только пассивно

оказывается

оказывается его новой

несомым

субстанцией

реальное, становящееся инобытие,
плывущим

по этим

при

неугомонным

и

а иде¬

волнам

становления.

Следовательно,

в ставшем мыслится два плана.

реальное, алогическое, инобытийное,
становления. Мы не

ем,

ошибемся,

не вкладывая в этот

жание.

термин

Ведь протяженность

Один

что и есть самая

если назовем этот план
только одно

—

это то

субстанция

протяжени¬

геометрическое содер¬

и есть алогически

(т.

е.

нерасчлененно)

ставшее, результат алогического становления. Еще неизвестно, что
именно стало, т. е. еще нет никакой идеальной структуры, которая
именно становилась, а есть только самая стихия становления, до¬
стигшая ступени ставшего, т. е. остановившаяся. Другой
го

—

это то идеальное, смысловое,

расчлененное,

279

что

план ставше¬

было вовлече¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

но в процесс становления и что, несмотря ни на какие инобытийностановящиеся

судьбы,

мы все же

узнали

в окончательном

становления. Это идеальное оказалось тем же самым,
и

до становления.

Оно
его

Новая

осталось тем же.

субстанция

ничего в

Становление, правда,

нем

много

с места на место, но оно везде и постоянно,

бытийную

результате

которое было
не

повредила.

раз переносило

несмотря

на ино¬

вовлеченность, оказывается самим собою, без всяких из¬

менений.
3. Эта отождествленность идеального самого по себе с идеаль¬
ным в разные моменты его инобытийного и реального становления,
или отождествление идеального с самим собою в разные моменты
его реального протяжения, и есть его конгруэнтность. Когда в гео¬
метрии утверждается, что при равенстве двух соответствующих сто¬
рон треугольников и угла между этими сторонами самые треуголь¬
ники конгруэнтны, то это значит только то, что треугольник везде
остается самим собою, что его структура совершенно не зависит от
того «места», где мы ее мыслили

какие-нибудь

осуществленной. Пусть

мы имеем

две пересекающиеся прямые и, следовательно, углы

между ними. Покамест не поднимался вопрос о ставшем, т. е. реаль¬
ном протяжении, мы могли оперировать с этим углом как угодно.

Неудивительно, что в чистой

мысли он,

пребывающий

ся

был просто самим собою

и

однако, если
мы

берем

строим

в

больше ничего. Совсем другое дело,

мы

произвольную дугу

какую-нибудь

реально протяженным. Пусть

произвольную прямую

первоначальный, никуда

на ней наш

альный угол. Вот

чине

и

мы захотим мыслить его

для этого

удаленный от всего реально¬

смысловой изоляции, ровно никак не меняет¬

го и

начертили

из

первоначального угла. Получит
с

и

пусть

двигавшийся, иде¬

какой-нибудь точки

и на ней откладываем

ку этого расстояния

не

этой

прямой

расстояние, равное

вели¬

ли линия, соединяющая отмет¬

центром нашей дуги, однозначное

значение и

образом угол, равный нашему первоначально¬
деформирует про¬
водимых на нем линий и вообще фигур и если самые фигуры таковы,
образуется
му углу? Если

ли таким

пространство везде одинаково и не

что ничего не теряют от своего пространственного передвижения,

будет абсолютно равен
первоначальному, т. е., говоря вообще, что обе фигуры, первоначаль¬

то мы можем поручиться, что новый угол

ная

(как первообраз)

и вновь

построенная

на новом

странства (как отображение), будут конгруэнтны.
280

участке про¬

§ 65. Аксиома

ставшего числового бытия в

Отсюда перво-принцип

формулировать

числового бытия

ставшего

так: всякое число так или иначе

зрения конгруэнтности. Оно, конечно,
момент

арифметике

конгруэнтности. Однако

известно, что такое

мы

определено

можем

с точки

может и совсем исключать

это возможно только тогда, когда

конгруэнтность. Если мы, например, строим

метрию без аксиомы

конгруэнтности,

энтности нет, но это значит, что

то это не значит, что

конгруэнтность

есть и она

гео¬

конгру¬
осуще¬

ствима и что только в данном случае мы от нее воздерживаемся.

§ 65. Аксиома ставшего числового бытия
к

Теперь перейдем

в

арифметике

явлений конгруэнтности с математи¬

обзору

ческой точки зрения.
1. Явление числовой конгруэнции легче всего демонстрируется
на т. н. коммутативном законе а + b

=

Ъ + а. Когда мы складываем два

числа, то оказывается, что сумма совершенно не зависит от порядка
слагаемых. Что это значит и почему это возможно? Это значит, что
для слагаемого совершенно не важно то место, где оно находится.
Место это ничего нового
мого не

в

количественную характеристику слагае¬

привносит. Однако

это не значит, что место само по себе

есть полное ничто и никакой

самый процесс

обще разных

фон,

на

ческого

роли

в сложении не

сложения возможен только в

играет. Наоборот,

силу наличности

во¬

«мест» для слагаемого. «Место» есть тот инобытийный

котором разыгрывается

действия. Без

вся

картина данного арифмети¬

него не было бы и самого сложения.

Однако

единственная функция этого инобытийного фона заключается толь¬
ко в

гипостазировании слагаемых,

всякие
на

функции
к

тут совершенно отсутствуют

какого бы то ни было количественного

гипостазированные

нейтрально

и

порядку

числа.

Кроме

воздействия

того, инобытие здесь вполне

этих слагаемых и

форме

жения. Это значит, что идеально-числовая

их

взаиморасполо¬

структура совершенно

не

зависит от своего инобытийного становления. Мы ее можем пола¬
гать

при любой форме этого последнего,

и она в идеальном смысле,

т. е. в смысле своего отвлеченного количества,

меняется. Она всегда тождественна сама с
с собою

совершенно

собою,

никак не

т. е. она всегда сама

конгруэнтна.

2. Однако здесь

мы

указали

только на

коммутативный

сложении. Этот «закон счета», как известно, далеко не

Существуют еще ассоциативный

и

281

дистрибутивный

закон в

единственный.
законы; и кро¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ме того, все эти законы применимы как к операциям сложения, так и
к операциям умножения.

а) Вот обычная

их

арифметическая формулировка.

I. КОММУТАТИВНЫЙ

а)

в сложении

Ь)

в

(ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ) ЗАКОН:

—

а + b

=

b + а,

—

умножении

а*Ъ

=

Ъ* а

II.

АССОЦИАТИВНЫЙ (СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ) ЗАКОН:

а)

в сложении

Ь)

в

—

а +

умножении

(Ь + с)

=

а

•

=

(Ъ с)
•

ДИСТРИБУТИВНЫЙ

III.

{а + Ь)

+ с

(а + с)

=

4-

Ь,

—

•

(а Ь)

•

с

=

(а с) Ь.
•

•

(РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ)

ЗАКОН

В

УМНОЖЕНИИ:
а) а

•

Ь) (а

(Ь 4- с)
4-

Ь)

•

с

=

=

а
а

•

•

b 4- а
с 4- b

•

•

с,
с

формулировки, как он дается в арифметике.
философских целей, он, конечно, и не может давать

Это обычный вид

Не преследуя

нам полной логической ясности и обоснованности, и нас при этом
заметно беспокоят вопросы: почему тут эти, а не другие законы, по¬
чему тут только сложение и умножение и

пр.? Это

заставляет, с логи¬

ческой точки зрения, взглянуть на них несколько иначе при всей их

непосредственной арифметической

очевидности.

Арифметически-

то они очевидны, но логически они совсем не очевидны.

Начнем

Ь)

частный
имеем

с

случай

конца.

Дистрибутивный

законов сложения

произведение

a

то само собой очевидно, что

хотя

в

законов самого сложения и
вполне

сложения

и

очевидно,

есть

умножения вообще. Если

мы

a(b

+

c)

=

сумма
ab + ac. Отсюда,

случае дистрибутивность умножения используется

совсем для других логических

она

закон,

d и если d есть не что иное, как некая

b 4- с,

нашем

—

доказуема

на

целей (не просто для иллюстрации

вычитания),

основании

все же, взятая сама по

себе,

категории только простого

умножения.

Дистрибутивный

закон

показывает,

что

совокупность

распределить между частями другой совокупности так,
как не повлияет на

общий результат операции

стями.

282

с такими

можно

что это ни¬

совокупно¬

§ 65. Аксиома

ставшего числового бытия в

арифметике

С другой стороны, ассоциативный закон, как легко заметить, есть
частный

закона. Если мы знаем, что а + b

случай коммутативного

b + а, то стоит только представить, что b равняется
с + а, как делается очевидным и

сумме

мом деле, если а + b
наковым

=

Ь + а, то, значит,

образом ведут

говорится Ь, не имеется

чего-нибудь
общность,
нашего

себя
в

какой-нибудь

ассоциативный

в смысле

закон. В са¬

объединения

и отдельные части этого

виду,

=

с а оди¬

Ъ. Ведь, когда

какое оно, большое или малое, часть

или само дано как целое. Если

ему свойственна

такая

то под этим b можно понимать и с, т. е. одно из слагаемых

общего Ь. А это и значит, что а и с могут свободно обменяться

общую сумму, т. е. обнаруживается действие
коммутативного закона. Равным образом и закон а (Ъ с) (а Ь) с
местами без влияния на

•

•

есть тоже лишь логическое следствие того же самого
го закона, стоит только в

коммутативном

=

•

•

коммутативно¬

законе один из сомножи¬

телей представить как произведение новых сомножителей. Точнее

будет

сказать, что если в коммутативном законе одна совокупность

может быть поставлена на место

кону одна совокупность

другой,

то по

ассоциативному

за¬

может быть поставлена на место элемента

другой совокупности.
Но тогда нетрудно уловить и

общую схему этих трех законов
счета: коммутативный закон требует независимости арифмети¬
ческой операции от перемены порядка различных совокупностей;
ассоциативный закон требует независимости от перемены одной
совокупности на любой элемент другой', и, наконец, дистрибутив¬
ный закон требует равноправия в общей операции двухраздельных
совокупностей с равномерным распределением одной из них по всем
элементам другой. Все же эти три арифметических закона порож¬
дены одной общеарифметической аксиомой: закон конгруэнтно¬
сти числа есть закон получения его из элементов, различающихся

между

собою исключительно только своей чисто количественной

значимостью и абсолютно тождественных в смысле какого бы
ни

было инобытия, какого бы то

ни

ложения. Итак, можно дать следующую
3. а) Чтобы дать

общую

и

формулу этой

аксиоме.

строгую логическую формулу

мы ставшего наличного бытия в

то

было своего инобытийного по¬

аксио¬

арифметике, будем рассуждать так.

Ставшее есть то, что остановилось. Покамест оно не остановилось,
оно было только становлением.

Становление,

по

самому существу

своему, неопределенно. Оно идет неизвестно откуда
283

и неизвестно

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

бытия,

куда. То есть чистый алогизм

пример, категорию тождества;
ли оно

в

котором,

как в таковом, невоз¬

расчленения. Невозможно применить

можны никакие

себе самому, ибо оно

каждый

в

к

нему,

на¬

и нельзя даже сказать, тождественно

момент все

разное

и

разное

и

его невозможно поймать ни в какой точке; в нем все плывет сплошно. Но вот оно остановилось, т. е. мы

собою,

к

ставшему. Это

что становление оказалось чем-то, и

прежде всего,
мим

перешли

прежде

значит

всего са¬

оно стало тождественным с самим собою. Ставшее есть

тождество становления с самим собою. Но что надо для того, чтобы

установить тождество

вернуться

становления с самим собою?

с конечной точки становления к

Для

этого надо

первоначальной;

и если

оба направления становления окажутся тождественными по своему
процессу

и по

новлено.

Итак,

своему результату,

то искомое тождество и

ставшее есть не что иное, как

ний становления

в смысле их

будет уста¬

тождество направле¬

общего результата.

К этому сводятся и указанные выше законы счета. Единственное,
что утверждает

коммутативный закон,

это тождество

—

направления

производства арифметической операции. О разных вариациях
го

направления

и

об

их тождестве в смысле

гие два закона. Следовательно,

в

характеристики

чисел

при любом инобытий¬

воспроизведении. Или: арифметический

законами

направлений своего

Другими словами, арифметический счет зависит толь¬

ко от количественной
ном

дру¬

арифметике: арифметиче¬

ский счет имеет своим основанием тождество
становления.

и

бы сказать так.

мы могли

Аксиома ставшего наличного бытия

результата говорят

это¬

коммутативным, ассоциативным

рациях сложения
Ь) Впрочем,

и

и

счет

характеризуется

дистрибутивным в опе¬

умножения.

можно дать в

кратчайшей

и тем не менее

превосход¬

ной формуле арифметическую интерпретацию конгруэнтности,
не прибегая даже
вообще. А именно,

формулы
а + b

=

этих

к самим законам счета, а только имея их в

что мы, собственно

трех

законов в п. 2а?

и Ъ. Мы сложили а и

формулировать
Ь) приравнять

на этом основании

должны были (а +
того и

(а

+

Ь)

Пусть, например,

виду

пишем

мы высказали

b + а. Что это значит? Это значит, что была некая величина

с, которая составлялась из а
Чтобы

говоря, делаем, когда

другого

с

третьей

к

(Ъ

величиной с.

+ с. Чтобы вывести этот

+

а}

Ъ, получилось

коммутативный
на основании

Пусть

284

равенства
(Ъ + с)

мы имеем: а +

ассоциативный закон,

с.

закон, мы

=

мы должны

§ 65. Аксиома

были

ставшего числового бытия в

сначала вычислить

искомую сумму, например,

их

нас

случаях у

ассоциативный

как

d\

получилось

равенства, определивши

затем мы должны были вычислить

сумму для правой

часть и найти

правую

часть этого

левую

что в

когда

части. Только

то же самое

d,

в обо¬

мы можем сказать, что

закон в сложении верен. Так же точно мы поступаем

и во всех законах счета, как сложения, так и

заметить,

арифметике

глубине

этих

умножения. Нетрудно

трех законов лежит одна

ности идея и она-то и есть настоящая идея

огромной

важ¬

арифметической конгру¬

энтности, если ее понимать в максимальной общности и отвлечен¬
ности, минуя все конкретные
Эта идея

две

формы,

в

которых

она может являться.

следующая:
равные порознь третьей величине,

или несколько величин,

равны между собою.

арифметического счета суть
только проявления этой общеарифметической идеи конгруэнции; и
они вырастают из нее как из своего глубокого и последнего основа¬
Три дедуцированных

ния.

Эта идея есть

и

наилучшая арифметическая интерпретация той

общедиалектической

дедуцирована

так как, будь
ставлять

что две величины,

крайней мере

они

равные порознь третьей

равны

по

внешне

что эти

внешнему своему ъущуразличные,

эти величины имеют пол¬

различными. Однако

они быть количественно

они стоять на любом месте?

принцип

что же это значит? Мо¬

различными? Конечно, нет. Могут ли

Да,

они

могут

стоять на любом месте,

нельзя понимать в абсолютном смысле. Если бы

тут был абсолютный принцип безразличия порядка действий,
да можно было бы в математическом
вместо знаменателя и
вания и
ма

обратно,

и т. д.

обратно,

выражении числитель

показатель степени

Конечно,

конгруэнтности. Но тогда

точно:

ве¬

с самого начала, не было бы смысла и вы¬

эту аксиому. Следовательно, обе

право быть

но этот

бытия, которая

равны между собою, то, очевидно, предполагается,

личине,

две величины по

гут ли

аксиомы ставшего числового

выше.

Когда говорится,

ное

нами закона

не

—

тог¬

писать

вместо осно¬

эту нелепость утверждает

что же остается? Сказано

аксио¬

совершенно

тождество направлений становления. Становление есть тут,

как известно,

действие, арифметическая операция,

количественной значимости вовлеченных в
не в смысле

но не в смысле

эту операцию

чисел и

порядка отдельных моментов операции. Поскольку ста¬

новление есть инобытийно алогическое, т. е.

285

сплошно-непрерывное,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

развертывание, под становлением в смысле
можно понимать только

рации

ях полной

сохранности

геометров

связывать

щения

и

вариирование операции

конгруэнцию

утверждать,

ры при перенесении

структуры. Это

ее смысловой

что

арифметической
в

конгруэнтность

услови¬

и заставляет

с понятием движения и

переме¬

есть неизменность

Тут

ее в любое место.

как

раз

опе¬

фигу¬

и имеется в

виду

алогическое становление фигуры (ее перемещение) при условии
сохранности

Две

ее

структуры. Точно

величины, равные порознь

третьей, могут обладать

направлениями своего становления (например,

ными

арифметике.

то же имеем мы и в

в этом и заключается то, что мы выше назвали

именно

раз¬

а + b и b +

разницей

внешнего

образом рассматриваемое арифметическое
с огромной точностью воспроизводит в
арифметических терминах общедиалектическую аксиому конгру¬
величин.

вида

положение

Таким

действительно

энтности.

4. Необходимо отдавать себе полный логический
лектической
ли в

последовательности

арифметике. Когда

арифметика созрела у
счета?

Для

внутри

этого

аксиомы

строили

нас до степени

и

отчет в диа¬

назревании числовой

мыс¬

едино-раздельности,

категории

нужно, чтобы каждое

себя самого

ных чисел

мы

и

счета. Что надо для

число было

чтобы ясно было отношение

сформировано
сформирован¬

между собою. Первое было определено категориями

мотождественного

различия

и подвижного покоя.

са-

Второе было дано

через закон определенности числового бытия. Но, получивши идею

арифметического

счета, мы, в сущности, получили не что иное, как

возможность бесконечно двигаться вперед и назад по натурально¬
му ряду чисел. Надо было внести

безразличное

какие-нибудь дифференции

в это

движение по натуральному ряду, т. е. надо было полу¬

чить возможность не просто выхватывать те или иные числа из это¬
го ряда, но надо было уметь пользоваться и разными комбинациями
этих чисел. Для этого надо было внести моменты становления в са¬
мую категорию счета.

действия. Последние

Получились разнообразные арифметические

и есть ведь не что иное, как самый

ный счет, но только с различными
т. е. в

обыкновен¬

дифференциациями внутри себя,

условиях различного комбинирования чисел. Но ведь числа

твердо держатся каждое
чисел. Если мы

вопрос:

не

на своем месте в

допускаем любое

прикованы

ли они к

их

общем натуральном ряду

комбинирование,

своему месту
286

то возникает

настолько крепко, что

§ 66. Аксиома

ставшего числового бытия в

геометрии

каждый отрыв их от данного места и приковывание к новому месту

собственную деформацию? Чтобы

влекут за собою их

этот

«отрыв»

и это новое полагание не мешали их чисто количественным отно¬
шениям,

требуется нейтральность инобытия, несущего

комбинации

чисел и заново

осуществляющего

числового протяжения. Но это значит, что

прерывность

чисел и

как чисел, так и

рией

действий над ними,

действий. А для

их на

требуется

но еще и

на себе эти

любом участке
не только не¬

конгруэнтность

этого надо воспользоваться катего¬

ставшего.

5. Только теперь,
наш счет,

с

присоединением

мы вывели в

который

отвлеченно, наполнился живым

альные законы

аксиомы

конгруэнтности,

сфере едино-раздельности
содержанием

арифметического
арифметика без

счета

и

только

превратился

вообще. Но

в

ре¬

это не значит,

аксиомы конгруэнтности. Наш

что невозможна

формулированный в § 64.3,
арифметическое число
всякое арифметическое чис¬

общий перво-принцип конгруэнтности,
гласит вовсе не то, что

конгруэнтно. Он

гласит только то, что

ло «так или иначе
вполне возможна

отрицательно,

решительно

всякое

определено

арифметика,

и мы

с точки

зрения конгруэнтности». А

где этот принцип

получим здесь числа,

груэнтности. Ниже (§

66.5)

мы

будет действовать

лишенные

принципа

укажем теорему Паскаля

как наиболее

яркую для характеристики геометрической конгруэнции. Если
можна непаскалева

геометрия,

которым применимы

кроме

закона

мы стали входить в

воз¬

то так же возможны и непаскалевы

числа. Это числа, к

коны счета,

кон¬

все

упомянутые

выше за¬

коммутативности умножения. Если бы

подробности,

то, между прочим, мы нашли бы,

что для неконгруэнтности в этом смысле необходимо нарушение
принципа непрерывности, так что не все неархимедовы числа суть
непаскалевы, но все непаскалевы обязательно суть в то же время и
неархимедовы. Это должно быть понятно a
лектической системе становление
ченно

говоря,

priori, потому

что в диа¬

предшествует ставшему и,

отвле¬

становление возможно без ставшего, но ставшее не¬

возможно без становления.

Нагляднее

это дело

будет обстоять в

гео¬

метрической области.
§ 66. Аксиома ставшего числового бытия в геометрии
1. а) О конгруэнтности в геометрии говорили больше всего,
это только

потому,

что там она видна

287

грубее и

и

показательнее, а вовсе

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

не потому, что роль ее тут больше по существу.
почти не выяснилось

конгруэнтности

общепонятном

смысле.

Даже

геометрами,

а

самое понятие

принималось

в

Гйльберт без дальнейших разъяснений гово¬

рит «конгруэнтный или равный», так что остается неизвестным, чем
же конгруэнтность отличается
чем

конгруэнтность

объединяет конгруэнтность
понятия «точки»,

от

равенства. Невозможно понять,

отличается от подобия. Большинство

«отрезка»

ним «движение» и отсюда

и «плоской

геометров

движения. Так, Пеано брал

с понятием

поверхности», присоединял

к

конструировал аксиому конгруэнтности.

Другие (Виери) брали «точку»

и «движение» и т. д.

Это «движение» в данном контексте или непонятно, или, когда
становится понятным, оказывается весьма наивным. В самом деле,
зачем

геометры привлекают эту категорию? По-видимому, тут

ется в виду очень

име¬

простая вещь: чтобы судить о конгруэнтности, надо
собою

две фигуры сравнить

или заставить

одну

и

ту же фи¬

гуру передвинуться на другое место с тем, чтобы потом посмотреть,
не изменилась

правильно,

ли она в своих

то можно только

Ь) Во-первых,

фигурам
о

вполне

и

движении,

категории (образец:
ки

по

—

к

тройке,

и т.

пространству

то

удивляться его

физическом

понимали

смысле.

под

это

представление

наивности.

абсурдно применять

понятие движения в

покое

очертаниях. Если

этим

к

геометрическим

Когда мы говорили
чисто

от единицы мы «движемся» к

смысловые

двойке,

от

двой¬

д.). Но говорить о том, что треугольник «движется»

—

это значит высказывать нелепость или

слишком

грубую манеру выражаться.

говорить

о

движениях

топологическому или

по

выбирать

В этом же смысле можно
проективному

пространству. В этом смысле «движение» играет первостепенную
роль и в аксиоме параллельности

перейдем),

так как, чтобы

параллельные

или

нет,

Движение

параллельным.
ную роль везде

в

судить

надо

числе,

в

(к которой

о том,

этом

начиная

встречаются
всего

прежде

смысле

с

мы

его

в

дальнейшем

ли

где-нибудь

«двигаться»

играет

по

этим

первостепен¬

первых категориальных

моментов.

Во-вторых,

под «движением» геометры имеют в виду здесь во¬

все не движение, а,

конгруэнтности
соответствия,
все

суть виды

наоборот,

если

есть во всяком

угодно, «покой»,

случае

понятие какого-то взаимо-

взаимосоотнесенности, какого-то
покоя или,

лучше, подвижного
288

так как понятие

совпадения,

покоя.

а

это

§ 66. Аксиома

ставшего числового бытия в геометрии

однако, дело тут, конечно, и не в покое. И движение,

В-третьих,

и покой суть слишком общие категории, приложимые в математи¬
ке решительно ко всему, и не ими можно вскрыть сложную катего¬
рию

геометрической конгруэнтности.

Чтобы ее усвоить, надо при¬

смотреться к ряду простейших геометрических
мы

от точки А до точки В. Мы

впервые пришли

нию

идет

—

о

пусть, например, прямую. Профану покажется,
получении прямой,

до В и достаточно, чтобы
все не так

то

пробежать

ли¬

речь

одной этой операции «движения»

получить прямую. На самом

линию

провести. Надо, после

по ней глазами,

этого становления не

что наша

что если

от Л

же деле это во¬

просто.

с) Мало

Если

операций. Пусть

получили некую

прямая

есть

ее

ее с

сравнивая

произведено,

проведения, еще раз
окружающим фоном.

мы не можем

действительно прямая. Чтобы

поручиться,

она

была,

надо,

чтобы она отличалась от всего иного. Когда же мы ее проводили,
мы действовали пока еще как бы слепо; и зрячими стали мы в
отношении
мы

будем

прямой

только тогда, когда,

пробегая

действительно

совершенно
от ее

нашу прямую

самой собою. Мы

но мы должны еще и отождествить ее с

сравнили

ее с иным, но мы также должны

Когда

знали, что она такая,

потому что весь смысл такой

первого

ее

мы ее

вообще что-нибудь

линии в

третий раз,

наша

прямая

провели

первый раз,

сравнить

мы еще не

прямой был только

Когда

мы

провели

ее во

ее

второй раз,

мы

возможность сказать, что наша линия а не есть ни

ни с, ни

мы

иное.

Когда

же мы

проходили

прямая

В, пробежать еще

а.

Дия

от В к А и

этого надо
—

Ь,

по нашей

получили впервые возможность сказать,

а есть именно

жавши от Л до

в

утверждения, гипостазирования, первого

бытийственного положения.

уже получили

и

содержанием. Мы отличили

ее с нею же самою.

смыслом

е.

и того еще мало.

полученной прямой

глазами по

с новым смысловым

фона,

(от своего фона), т.

прямая. Но

ли она есть замысленная

Надо еще третий раз пробежать
—

раз,

исследовать, действительно ли она во всех своих точках в

одинаковом смысле отличается от всего иного

опять

по ней еще

что

было, пробе¬

отождествить оба про¬

хождения.

Первый процесс проведения прямой был
раздельности, второй

процесс

—

ее становления

есть полагание ее

ем самое начало

полаганием ее едино-

(непрерывности), третий

конгруэнтности. Тут мы покаутвержда-

конгруэнтности,

а именно,

289

когда отрезок конгру¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

энтен самому

отсюда уже

себе,

но зато всякая иная

конгруэнтность вырастает

сама собой.

d) Таким образом, сущность конгруэнции заключается не в
движении (движение есть и в едино-раздельности, и в непрерывно¬
сти,

и в

фигуры

параллельности),
в

новление

но в самоотождествлении

как-то

Но

самой

в

предполагается уже

оно

геометрической
Конечно,

т. е. в ее ставшем.

процессе становления,

ста¬

едино-раздельной

только

структуре.
тут
предполагается (предполагается
тут, как и везде, вообще очень многое), а не вбирается в самую эту
черный

как

структуру (так же,

костюм

предполагает,

возможен белый костюм, но это еще не значит, что

костюм есть в то же

время

тут самоотождествления
становление в саму

в

и

черный)

результате

и тем

что есть или

данный белый

более не происходит

становления. Чтобы

себя, едино-раздельная структура

вобрать

должна быть

внутри перекрыта слоем непрерывности. Это мы как раз и получили,

пробежавши
ее с ее

становления, что и

было пробежать по
мы

в

прямой

по нашей

инобытием. Но

определили,

во

та ли эта

прямая до

ней в

второй раз
прямая

этого

с целью соотнесения

после включения в себя

включения? Для этого нужно

третий раз. И если после такого пробегания

что это та же самая линия, то значит, мы включили

едино-раздельную структуру прямой

не

становление без начала и конца, но как

то самое становление,

которое необходимо, чтобы

стала,

не

больше

отождествилась

и

не

с самой

А

меньше.

собой

в

это

не

просто становление,

вообще безразличное

значит,

наша

что

структура

наша

процессе становления,

раз

прямая

что она

—

ставшее, что она конгруэнтна с самой собой.
2. Не вносит большой ясности

в дело и

обычное у многих геоме¬

тров именование теорем, основанных обычно

энтности,

как

метрических. Это

часто встречается в

на

категории конгру¬

последнее обозначение настолько

геометрической терминологии, что, кажется, тут

и выяснять совершенно нечего. Мы, однако, уже много раз сталкива¬
лись с тем, что понятное математикам оказывается совсем не понят¬

философско-логической точки зрения. Так же требует разъ¬
геометрической метрики.
а) С понятием измерения мы уже встретились в § 54, где пробовали

ным с

яснения и понятие

конструировать трехмерное и вообще w-мерное пространство, и в
§ 63 2, где заговорили об «общей метрической геометрии». Уже в этих
двух случаях термин «измерение» обладает совершенно различным
290

§ 66. Аксиома
содержанием. Когда
странств,

себе

в

Ь)

ставшего числового бытия в геометрии

же

о

говорят

будет еще третий

это

метрике

в смысле

разных про¬

термина. Необходимо отдавать

смысл

этой путанице полный отчет.
У меня нет иного пути к

расшифрованию разных

значений

этого термина и к их взаимному расположению, кроме диалектики.
же

Диалектический

ход мысли

предуказан

заранее.

Но прежде

чем произвести здесь диалектическое исследование, необходимо

представление об измерении возникает
проблемой становления. Измерять можно только

утвердить самое главное:

впервые только с
тогда,

когда есть что

и

измерять

чем

измерять. Чтобы было

измерять, необходима какая-нибудь структура;
измерять, необходимо уметь

как-нибудь

а

что

чтобы было чем

заполнять

эту

структуру.

Структура впервые создается сферой едино-раздельности. Таким
образом, теоремы (а
по

тем более

себе, собственно говоря,

аксиомы) едино-раздельности

не нуждаются ни в каком понятии

сами

меры,

измерения. Но ведь сфера идеальной едино-раздельности

или

сфера идеальная, сфера эйдоса. Для
чистого понятия, чистой
быть представлено
возможное

и

нас она является также

категориальности. В категориях

вообще

все существующее и

невозможное.

В

категориях

геометрических фигурах. В сфере эйдоса
с самими

геометрическими фигурами,

этом смысле мы и нашли возможным

же

есть

сферой

же может

несуществующее,

мы

говорили

и

о

мы имеем дело не столько

сколько с их понятиями. В

дедуцировать геометрические

фигуры еще на стадии едино-раздельности, хотя подлинное их место,
конечно,

только

уже имеет[ся] принцип непрерывности

где

там,

(или прерывности). С вхождением

в

сферу непрерывности

впервые получаем геометрические фигуры
их

категориальную структуру и

Об измерении
ния, т. е. к

мы

как таковые

не только их

после

заговорили

сфере непрерывности.

(а

мы

не только

эйдос).

перехода

к

сфере становле¬

Но это было уже другое измерение.

Если раньше оно только впервые эйдетически конструировало са¬
мую

фигуру

—

—

пространств,
но

и

было потому измерением впервые появляющихся

то здесь мы

впервые созерцаем

уже

ее как

готовую. Раньше становление у нас было

внутри самой фигуры, будучи
что

«измерять» фигуру

и

конструируем фигуру из понятий,

не

ее

нераскрытым самотождеством,

впервые

ее

конструировать было одно

так

и то

Теперь же, поскольку фигура уже сконструирована, дальнейший
переход ее в становление влечет за собой разделение функций «кон¬

же.

291

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

струирования» и «измерения», и измерение оказывается

операцией

внешней в отношении конструирования. Но если так, то в чем же за¬
ключается отношение этих двух

операций?
фигуры перешли к самой фигуре,

Если мы от эйдоса
чит, что

теперь у

просто эйдос фигуры,

нас не

но сама

то это зна¬

фигура

и в

эйдос. Мы смотрим на фигуру и уже в ней видим ее эйдос,
отличный от нее самой. Но это значит, что мы при созерцании такой
ней

—

ее

фигуры сравниваем саму фигуру
нение же

ния.

это и есть более

—

Другими

рой (или,

эйдосом,

угодно, саму фигуру

утверждение, однако,

менее
к

применение

дальнейшими,

низшими

с ее

общая категория для

словами, здесь мы эйдос

если

понимается

с ее

—

удобно,

сущностью. Срав¬

всех видов измере¬

фигуры измеряем самой фигу¬

ее

эйдосом, хотя

так как под

это последнее

измерением обычно

измеряемому операции сравнения

сферами,

его с

напр., размеры конкретной земли

измеряются отвлеченными километрами).
с) Совсем новое понимание метрической операции мы находим

учении
в

о

инобытие, новый

от эйдоса

фигуры
от

в

геометрической конгруэнтности. Здесь еще новый переход
фигуры

даже по сравнению с тем, когда мы переходили
к

самой

становлением

фигуре. Естественно,

отодвигает

в становление

не чем иным, как гипостазированием эйдоса

саму фигуру

от ее

различия уже
сравнивали

в самой

с ее

фигуры,

нового инобытия должно не

эйдоса,

застилание

теперь измерение еще дальше

конструирования. Если здесь переход

очевидно, введение

что

но оно должно

был только
то

просто

теперь,

отличать

установить инобытийные

гипостазированной фигуре. Раньше фигуру мы

эйдосом, теперь же фигура получила для

самостоятельное значение; и если мы

нивать, т. е.

будем

ее с

нас вполне

чем-нибудь срав¬

уже
чем-нибудь высшим и
чем-нибудь измерять,
но
с
чем-нибудь последующим, вторичным
первоначальным,
или по крайней мере с самой собой.
Конгруэнтность и возникает на почве сравнения геометриче¬
то

не с

более

ской фигуры

с самой же

самой. Если мы

собой,

на почве

уже полученную фигуру

измерения фигуры

наложили на нее саму и

нашли, что она сама с собой совпадает, то это,
что мы

измерили фигуру при помощи

во-вторых,
Таким

что данная

фигура

ею же

нее же

во-первых, значит,

самой;

и это значит,

подчинена принципу конгруэнции.

образом, конгруэнтность фигуры гарантирует

альная, едино-раздельная ее сущность

292

нам, что иде¬

(эйдос, категория, понятие),

§ 66. Аксиома
гипостазированная
но

ставшего числового бытия в геометрии

(и тем превращенная в конкрет¬

в своей полноте

созерцаемый геометрический образ),
или

растянута
есть,

что

сужена,

существует,

есть

тут

геометрическая фигурность

не только

но что она всегда и везде адекватна самой

она неизменна в своих

формировать

не может быть как таковая

очертаниях

или менять.

Это

и ее нельзя

и значит, что

себе,

что

никакой силой де¬

геометрическая фигура

нечто ставшее, остановившееся, но это значение мы получи¬

ли только

потому,

что мы

произвели

акт

сравнения фигуры

с нею же

измерили ее при помощи ее же самой.

самою, что мы

d) Есть, наконец,

и еще один тип

метрической операции. Логиче¬

ски сам собою возникает из всего предыдущего рассуждения прин¬

геометрической фигуры

цип сравнения

не с нею же

принцип сравнения
инобытийным

собой,

материала,

дальнейшим инобытием,

а с тем, что ее

Если в процессе измерения

фоном.
убедиться,

самой мы могли
сама с

с

самой,

то

теперь

отрицает,

фигуры

с

ею же

что она или совпадает, или не совпадает

мы накладываем на нее

меры,

взятые из того

ей самой как таковой совершенно чужд. Но что

который

же окружает геометрическую фигуру? Окружает пространство. Что же
значит внести в

Это

фигуру инобытийно-пространственные моменты?

убедиться,

значит

можно

ли

из

алогически-инобытийного

материала пространства построить данную фигуру
значит

смотреть уже

значит

о том,

судить

деформации

самой

понимается вполне

разным

в

то

же

пространство

каково данное

или нет. Но это

относительно.

пространство,

другое,

не бывшее

оригинально. Ниже

пониманием аксиомы

е) Итак,
и

самое

вот максимально

раньше,
мы

и эта

увидим,

Это

на основании

геометрической фигурности. Ясно,

есть совсем

мерение

на

что это из¬

метрика здесь

что она связана с

параллельности.

философски

отчетливое

время диалектическая конструкция

расчленение

возможных

типов

метрической операциивгеометрии:1)метрикавсмысле модификации
аксиомы

параллельности

Лобачевского

и

Римана)

фигуры при помощи
аксиом

т.

е.

она

есть

е.

в

сама

есть
для

смысле

инобытия, 2) метрика

аксиом

в смысле

результат измерения геометрической
себя

является

измерение фигуры при помощи

смысле

пространства Эвклида,

результат измерения геометрической

ее внешнего

конгруэнтности

фигуры, когда

(т.

непрерывности

геометрической фигуры, когда

есть

ее же

инобытием,

самой, 3) метрика

результат

она сама

293

внешним

такого

в

измерения

квалифицируется как нечто

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

внешнее к чему-то более внутреннему
оказывается

(а именно к ее эйдосу), т. е. это
эйдоса
измерением
фигуры при помощи самой фигуры-,

и, наконец, метрика в смысле аксиом едино-раздельности есть не
что иное, как результат отождествления измерения эйдоса с его
первоначальным конструированием.
Сначала мы просто конструируем общее понятие

будет ли

неизвестно,

оно

зерцаний, построений
внешние

меры,

мысли, но и

и

—

и

начинаем видеть, что она

в смысле ее

касалась ее

первого гипостазирова-

структуры. Непрерывность фигуры

структуры и есть конгруэнтность. Далее, мы измеряем уже

непрерывность теперь

фигуры

фигуры),

в

начинает касаться не самой

гипостазирования

в смысле только

во внешности

эйдоса (что было бы

самую фигуру,

т. е.

только

уже

структуры,

но

таковой,

не

как

превращением эйдо¬

первым получением самой реальной

гипостазирования самой реальной фигуры,

но в смысле

так что здесь

непрерывность превращается

в

«однородность» про¬

«неединородность»). Можно сказать еще и
Геометрическая метрика основана или на идеально-смысловой

странства (и, значит,
так.

меряем эту реаль¬

она совпадает сама с собой или не совпа¬

же касается самой ее

возможного ее

са

мы

не только в

образом сформированную структуру тоже внешними мерами,

таким
т. е.

математических со¬

существует

«реально» (т. е. непрерывно). Потом

раньше непрерывность

ния, теперь

и еще

обследований, потом мы накладываем на нее

ную фигуру: оказывается,
дает, т. е.

реальным предметом

фигуры

в

внутренно-эйдетической непрерывности (непрерывность эйдоса
фигуры),

или

самой

на

реальной внешне-эйдетической (непрерывность

фигуры,
факта и непрерывность ее структуры), или на
выразительно-инобытийной эманативной непрерывности ([непре¬
рывность] чисто алогического пространства). Метрических опера¬
ций столько же, сколько основных диалектических моментов фигу¬
ры вообще. И после всего этого расчленения предмета вопрос о том,
ее

что именно называть

ростепенным,
3.
к

Теперь

и

геометрической метрикой,

является

уже

вто¬

тут возможны разные вкусы.

выясняется отношение

конгруэнтности

к

равенству

подобию. Если проводить четкую постановку вопроса

необходимо произвести расчленение

соответственно

и

и здесь, то

основному

Прежде всего, мы имели (в супра-акте) 1)
абсолютную единичность, или тождество, которое в смысловой
сфере превратилось в 2) относительное тождество. Когда ото-

диалектическому ряду.

294

§ 66. Аксиома

ставшего числового бытия в геометрии

ждествляемые моменты не

т. е. когда они

ства

—

суть

чисто смысловые, но становящиеся,

стремятся перейти

равенство. Равенство

смысловое тождество в

противостояния,

в то

в

факт,

мы

получаем

есть тождество

вместо тожде¬

осуществляемого,

условиях фактически-субстанционального

время

как в чистом тождестве это последнее

еще не намечено. Если становление останавливается и мы
возможность

или

обсуждать уже полученную структуру,

тождество трех структур, структурное тождество,
И наконец, когда структура сама переходит в новое

получаем

то наше

есть

общее

конгруэнция.

становление, то

мы получаем при условии тождества тождество структуры при нали¬
чии новых инобытийных ее свойств. Так получаются треугольники,
тождественные по структуре, но

—

различные

в смысле

абсолютных

размеров. Это есть подобие, которое оказывается, таким

образом,
выразительно-эманативной формой тождества. Итак, существует: 1)
абсолютное тождество (единичность), 2) относительное тождество
(в эйдосе), 3) становящееся тождество (равенство), 4) ставшее тож¬
дество (конгруэнция), 5) выразительное, энергийное, эманативное
тождество (подобие).
Так выясняется с предельной четкостью сущность и диалектиче¬
ское место

конгруэнции.

4. Теперь

трические

мы можем

сформулировать

и

соответствующие

геоме¬

аксиомы.

а) Аксиома конгруэнтности, следовательно, должна указывать на
постоянное самотождество ставшего. В
ние было

арифметической операцией,

арифметике,

а ставшее

этой операции, аксиома конгруэнтности свелась
тождестве

результата операции

становления, т. е. в

операций. Это

в

учение

о само-

условиях вариирования

самого

условиях перемены

на

формальной структуры самих

и дало «законы счета». В

со счетом, но с

где становле¬

было результатом

геометрии

мы имеем дело не

построением. Требуется, следовательно, утвердить

самотождество результата построения,

фигуры
(точнее, ее структуры, поскольку речь идет о ставшем в условиях из¬
менения формальной структуры самих построений). Имеется фи¬
гура, например, прямая. Мы ее построили определенным образом,
например соединили две разные точки. Переменим структуру этого
построения. Сделать

ского

образования,

цесса, соединения

т. е. самотождество

это в отношении столь

как

прямая,

можно только

не точки Л с точкой

295

В,

простого геометриче¬

путем обратного про¬

но В с Л. Если

при

этом

пря¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

мая не изменится, значит,

де тут фигура
ни вели

себя

как ставшее

в

сфере

действует

будет

аксиома

конгруэнтности. Вез¬

тождественна сама

себе,

как бы мы

становления, в результате которого появилось

наше ставшее.
Аксиома ставшего числового бытия в геометрии: геометриче¬
ское построение имеет своим основанием тождество
своего становления.

Другими

направлений

словами, геометрическое построение

зависит только от своей чисто пространственной структуры при
любом инобытийном воспроизведении ее элементов.

Ь)
ским
в

В свете этой общей аксиомы,

полученной

чисто диалектиче¬

понятным и многое из того, что

путем, будет

рассказывается

математической литературе об аксиомах конгруэнтности.

Нужно

сказать, что математика и здесь не выдерживает ясного принципа,
то объединяя конгруэнцию с предыдущими аксиомами, то ее им

Гйльберт, например, формулирует* аксиому ли¬
плоскостной конгруэнтности и не формулирует кон¬

противопоставляя.
нейной

и

груэнтности для пространства, выводя
плоскостной

конечно,
играют в

конгруэнтности

ее из сочетания линейно¬

с аксиомами сочетания и

в линейной и в плоскостной. Это можно было бы

бы
не

пространственная фигура вообще

содержала

основании аксиом

закрепления,

Поэтому

фигурах,

а

в

к одним

утверждать,

оригинального

из элементов,

закрепление необходимо

если

в себе

и плоскостью. Если

едино-раздельности, требует

то это

при¬

построенных

на

аксиоматического

и ко всем

другим

из

для начала лучше вообще не говорить об отдельных

нужно говорить

Самой общей

женной

ничего

бы по сравнению с линией

менение конгруэнтности

них.

порядка, что,

priori невозможно, так как аксиомы сочетания и порядка
пространственной конгруэнтности ровно ту же роль, что

a

о

фигуре вообще.

и отвлеченной аксиомой ставшего

геометрических терминах,

может

бытия, выра¬

служить такая.

1. Каждая геометрическая фигура конгруэнтна самой себе.
Обыкновенно говорят об отрезке, который равен самому себе,
где бы мы его ни откладывали. Но, снижая это суждение до наиболь¬

шей внутренней краткости,
ская

можно сказать, что каждая

фигура просто конгруэнтна

сама

конгруэнтности достаточно эту

ния

’

Осн. геом., § 5.
296

себе,

линию

геометриче¬

так как для

(как

установле¬

выяснялось выше,

§ 66. Аксиома ставшего
в п.

2с)

числового бытия в геометрии

отложить на ней же самой

сделать с ее

(для большей

ясности это можно

другого конца).

Этот общий геометрический принцип
как детализировали мы в

§ 65

можно

аксиомы счета.

менить рядом аксиоматических

утверждений,

детализировать,

Тогда
из

его можно за¬

которых наиболее

важны такие два.
2.

Две

или несколько

геометрических фигур конгруэнтны между

собою, если соответственно конгруэнтны

их элементы.

Эта аксиома, во-первых, может являться аналогией для коммута¬
тивного

и ассоциативного закона в

и на ней точка, делящая эту линию

безразлично,
новой

какую

арифметике. Если имеется линия
в том или

прямой; сумма

несколько

частей,

их все

равно будет конгруэнтна данной

можно в любом

от него не изменится

сумма

яснений и

геометрический
прямой

а без

резка на той же или на

имея линию,

порядке откладывать

дистрибутивного
Гильберта III 2: «Пусть АВ

эти части;

и ВС

общих точек; далее, пусть А'В' и В'С

другой прямой а' тоже
и

ВС,

на

по¬

закона. Эта же

аналог

при этом АВ конгруэнтна АВ'

ли¬

разделенную

(ассоциативный закон). Не требует

аксиома охватывает и аксиому

отрезка на

то

из этих обеих частей сначала откладывать на

(коммутативный закон). Также,

нии

другом отношении,

—

—

два

два от¬

без общих точек. Если

то всегда также АС

конгруэнт¬

на А'С».

3. Две фигуры, конгруэнтные третьей, конгруэнтны между

со¬

бою.
Нет

нужды

пояснять

полнейшую

аналогию этой аксиомы с об¬

щей идеей арифметической конгруэнтности, формулированной
выше,

в

§ 65.2а.

Ее считает нужным ввести в число своих аксиом кон¬

груэнтности и

Гильберт.
с) Наконец, эти общие аксиомы геометрической конгруэнтности
могут быть распространены и на отдельные фигуры, если иметь в виду

соответствующие
1.

едино-раздельности. Таковы

аксиомы:

Каждый отрезок может быть однозначно определенным обра¬

зом отложен по
2.

аксиомы

любую сторону на любой прямой

Каждый угод

может быть однозначно

от любой точки.

определенным образом

любую сторону при любом луче.
быть однозначно определенным образом

отложен в любой плоскости по

3. Каждое тело может

построено в любом пространстве при соответствующих координат¬
ных данных.

297

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

5. В заключение остается еще сказать несколько слов относи¬
тельно связи аксиом конгруэнтности с предыдущими аксиомами.
Если мы обозначим аксиомы едино-раздельности через

непрерывности через В,
полную систематику

наций (что

аксиомы

аксиомы

конгруэнтности через С, то, минуя

всех возможных здесь

мы делаем во

Л,

втором томе),

геометрических комби¬

можно покамест отметить

комбинации:

такие четыре

1)А,В,С,
2) А, не-В, С,
5) А, В, не-С,
4) А, не-В, не-С
Что

первой комбинации,

касается

нием аксиомы

параллельности, которую

есть наша обыкновенная

Но

странство, которое подчинено

аксиомам

но, такое построение невозможно.
наше

пространство

не

мы

вдруг убеждаемся,

следовательность его точек
дать, что весь

ли

что наши линии

отрезок

разломился

прервалась. Можно
на

на
и

какой-нибудь

внутренняя

отрезка при

взаимном наложении не

вательно, геометрия, в
иметь и идеи

Что

которой

нет идеи

прямой,

где ему

будут

третья комбинация? Возможна

конгруэнтность была бы пустым

и выясняется все

а в то же

именно

своеобразие

время

не может

ли

а не

словом без всякого смысла и

непрерывности. Тут-то

этой категории, когда

лишена идеи

этого

скалевой, поскольку

раз

выясняется

в отличие от кото¬

становящегося

факта

построения.

Такую геометрию, вообще говоря,
в ней

факта,

как

фигура непре¬

конгруэнтности. Тут

касается только

структуры

единораздельная

она была невозмож¬

структурный характер конгруэнтности,

рой непрерывность

построения,

что

конгруэнтности.

такое

она ничем не отличалась бы от самой

рывна,

будет

Ясно,

совпадать. Следо¬

непрерывности,

непрерывность без конгруэнтности? Если бы
на, то

по¬

ли после этого ожи¬

отведено такое же место, какое он занимает сам по себе?
эти два

пре¬

нам возможности его

гарантирует

отрезок целиком уложится

и кон¬

непрерывности? Очевид¬

Допустим,

что он

существовать про¬

едино-раздельности

заполнить и что, скажем, откладывая наш

прямой,

включе¬

рассматривали)

мы еще не

но не подчинено аксиомам

груэнтности,

(со

элементарная эвклидовская геометрия.

вторая комбинация? Может

что такое

рывны, что

то ясно, что она

можно было бы назвать непа-

отсутствует известная теорема Паскаля
298

о

§ 67. Аксиома

ставшего числового бытия в теории множеств

пересечении сторон угла параллельными
шестиугольнике,
двух прямых)
тивности

и

поскольку

эта

теорема

умножения. Однако для

связана с законом

о

форму

коммута¬

точности надо сказать, что в не-

геометрии соблюдаются

паскалевой

(или, что то же,

линиями

вписанном в коническое сечение, имеющее

как оба ассоциативных и оба

дистрибутивных закона, так и коммутативный

в сложности.

Если к этому присоединить аксиому непрерывности, то нетрудно
дедуцировать отсюда коммутативность умножения, т. е. тем самым
теорему Паскаля. Следовательно, хотя упомянутая комбинация А, В,
не-С

и

о

в

в чистом виде, но

геометрии архимедовой

дезарговой, ср. выше теорему Дезарга
проективности треугольника в § 63.5), делают невозможным объе¬

сутствует
лимо

и

их

может не

и

и

конгруэнтность,

из этих

категорий,

то если

то вполне

вообще

от¬

мыс¬

представимо

обеих. Можно даже сказать, что эта геометрия

и не

быть непаскалевой, раз она неархимедова (как это видно

предыдущего).
Вообще говоря,

построений

можно

§ 67. Аксиома

в

суждении

о всех этих типах

геометрических

руководствоваться следующей схемой.

ставшего числового бытия в теории множеств

1. Нам не нужно
вновь

непаскалевой

геометрий.
четвертой комбинации, в которой

непрерывность,

отсутствие одной

отсутствие

из

и

дезарговой, архимедовой

Что касается, наконец,

будет подвергать категорию конгруэнтности

принципиальному рассмотрению

предприняли ряд разграничений
и

категории

переплетение, которое наблюдается

непаскалевой (а также еще

динение

и

брать эти

и вполне возможна, если

то их

и

после того, как мы выше

установок для арифметической

геометрической областей. Перенесем

целиком в теорию множеств

основной принцип конгруэнтности в тождестве

направлений счетбудем только наблюдать,
какой эффект вызовет этот принцип в сфере самих множеств.
а) Прежде всего, что здесь является аналогом арифметического
счета и геометрического построения? Выше (§ 56.1) мы видели,
что
таковым
является
упорядочение, или, другими словами,
типизирование (установление и функционирование типа) мно¬
I юго, или

жества.

построительного,

становления и

Следовательно, вопрос

упорядочивания.

касается тождества

направлений

Если аксиома конгруэнтности верна в отношении

множеств, то, какие

бы направления в смысле упорядочивания
299

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

элемента мы

ни

брали,

дественный результат,
его

все

они

а именно

должны

прежнее

давать

абсолютно

тож¬

и основное множество с

собственным типом.
Будем при этом помнить: речь идет вовсе не о произвольности

комбинирования
было у нас даже в

жет быть

элементов

как

арифметике

в отношении

таковых.

и в

геометрии,

и тем

произвола

не

более его не мо¬

теории множеств, где такую первостепенную

роль играет идея порядка. Речь идет

правлений

Такового

о

произвольности выбора

на¬

становления чисел, а не о тождестве самих чисел. Ста¬

новление же,

будучи

само по себе алогическим, не способно ничего

менять в логическом, т. е. в данном
смысле количества, так и в смысле

различия только

в

случае,

порядка),

(как

в чисто числовом
и оно

в

способно вносить

условиях сохранения прежней количественной

и

качественной структуры. Следовательно, аксиома конгруэнтности

требует сохранения общей структуры данного множества (т. е. его
типа) при любом комбинировании его элементов, но это комбини¬
рование должно быть

не

абсолютным,

а, так сказать,

экземплифика-

ционным. Мы не сдвигаем этих элементов с места и не меняем их
порядка, а только мысленно объединяем их в разные подмножества.
И оказывается, при каждом таком

комбинировании образуется

вое множество, хотя в него входят элементы только из тех,

входили

ем, несет на

оно в

на

и так.

Элемент множества, как

мы зна¬

себе смысл целого, т. е. смысл всего множества.

объединим

жество,

которые

в данное основное множество.

Можно ясно сказать еще

мы

но¬

его с элементом

поскольку

оно

другое,

другого

множества. Это

есть совсем

другое

другая целость,

себе совсем другой смысл. Стало быть,

Теперь
мно¬

и несет

и элементы его

несут

себе совсем другой смысл, чем элементы первого множества. И

вот, оказывается, объединение этих двух элементов из разных мно¬
жеств создает еще новое множество, которое ничего общего не име¬
ет с первыми двумя. Элементы первых двух множеств вошли

третьего

множества

жанием, которое

решительно

они имели и в

границах

(смотря

по

тому, откуда

он

содер¬

своих множеств. Элемент

третьего множества конгруэнтен элементу первого
множества

в состав

с тем же самым смысловым

взят). Другими

или

второго

словами, к ка¬

кому бы новому множеству мы ни присоединяли данный элемент
данного множества, он все равно остается самим собою, и в пределах
этого нового множества он точно так же ориентирован на целое,

3()()

§ 67. Аксиома
как и в

ставшего числового бытия в теории множеств

пределах первого множества. Правда, поскольку сюда входят

другой ориентации, общая совокупность

элементы с

перенесенный

тов множества наложит на наш

всех элемен¬

элемент печать и его

нового местонахождения. Тем не менее стоит только отвлечься от
целого, как мы вновь узнаем наш элемент первого множества, как он
был до перенесения.

Наглядным

и

обывательским примером теоретико-множествен¬

ного действия этой аксиомы конгруэнтности может служить такая
вещь детского мира. Всем известны т.

ся, например, картинка
же

дровосек

вы

обращаете

нилось ли

все время

фигуру,
что-нибудь во

был,

случае, когда

всем

частями. А мы можем

рисунка, от этого

ровно

Ь)

конгруэнтны

из ко¬

тем же самым элемен¬

представления
с

на

и значит, что, какое

упорядочивания

изме¬

увидели здесь

картины,

о

прочими его

фоне

ничего не изменится ни в самом

Это

их в

штрихов,

Спрашивается:
что мы

общий рисунок наряду

вполне тождественны в смысле

элементов,

не выделяли

выбрать любые комбинации

ни в отдельных его частях.
в становлении

просто

они не дают нам никакого
в

Потом вдруг

объединяете

прочего фона. Оказывает¬

рисунке оттого,

вполне

просто входят

а

но мы

и

ничего не изменилось. Элементы

торых создан дровосек,

дровосеке,

а где

спрашивается:

штрихов

от всего

в отдельное множество.

его

человека? Ровно

там в том

и

и никак не можете найти человека.

специальную фигуру, отличную

рисующих

постройки,

внимание на несколько

ся, дровосек тут

картинки. Дает¬

н. загадочные

плотник? Вы долго рассматриваете этот про¬

или где же

стейший рисунок

леса или

нашего

рисунке,

бы направление

мы ни взяли, все эти

направления

общего результата упорядочивания

захваченных данным становлением.

Таким

образом, конгруэнтность

здесь

(как

и

раньше)

мы

понимаем двояко.

Во-первых, мыслится конгруэнтность множества с самим собою.
Здесь мы
и

видим: тип множества есть нечто до такой степени

определенное,

что он не меняется от того, с какой

твердое

стороны

мы к

нему подходим. В теории множеств прямо существует предположе¬
ние,

что конечное множество

дочивания сохраняет свой

другие типы, которые
совершенно
щего

типа.

не

при всяком

изменении способа

тип. Из этого типа мы могли

будут

с ним

конгруэнтны,

новых типов нисколько не мешает

Последний

упоря¬

вырезывать

и наличие этих

существованию об¬

остается сам собою при любых направлениях

301

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

его рассматривания. Это и есть тождество

направлений

становления

множества.

Во-вторых

же, мыслится конгруэнтность множества при любом

его «перенесении» и любой, так сказать, «среде», как и треугольник
мыслится конгруэнтным другому треугольнику, если для последнего
выполнены те же условия построения, что и для первого.

материал

Некоторый

для этого второго способа представления дает указывае¬

мая дальше «аксиома произвольного

выбора», хотя она формально и

не имеет никакого отношения к понятию

Аксиома ставшего

числового бытия в

конгруэнтности.

теории

множеств:р?орядо-

тождестве направлений

чивание множества основано на

его ста¬

новления.
2.

а) Просматривая литературу

по

теории

определения того, сумели ли математики

идею конгруэнтности в

сфере

множеств с

уловить

и

целью

зафиксировать

множеств, мы с огромным удовлетво¬

рением и полной неожиданностью наталкиваемся на одну очень по¬
пулярную аксиому, которая так и носит название «аксиомы
и

определяется

как «аксиома

ка ее, однако, сильно отличается от
не должно затемнять

этой

популярной

Сначала

и

перед

ее.

по

крайней мере

по

ее

обычно

так:

если

попарно содержат каждый
и

—

а именно

объединенного множества,

М

тоже

потому, попарно взятые,

по своим элементам, то

крайней мере одно множество,
стве некоего

аксиоме.

одному элементу,

совершенно различны

и сходство в основном

расхождений. Остановимся на

Формулируют

есть множество, все элементы

они

нашей,

нами всех

многоспорной

прочитаем

Цермело»

произвольного выбора». Формулиров¬

существует

подмножество

по

в каче¬

которое имеет как раз
один-единственный элемент, общий с каждым элементом из М, и не
имеет никакого

—

другого элемента.

Ь) Что сказать об этой «аксиоме выбора», создавшей целую
Прежде всего, если
литературу бесполезных словоизлияний?
ее брать в таком виде, как она формулируется обычно, она вполне
—

излишня
и

в

в

системе

теоретико-множественных

особенности у тех,

кто

не

упорядочения. Строго говоря,
«аксиомы
называем

полного

сопротивляется
«аксиома

упорядочения»

только

аксиом

вообще,

аксиоме

полного

выбора»

отличается

словесно.

Ведь

полнымупорядочением?Еслиупорядоченным

мы называем такое, в

котором

о

каждой паре

302

что

от
мы

множеством

его элементов а и Ъ

§ 67. Аксиома
мы

что или а >

утверждаем,

элементом, или
в

ставшего числового бытия в теории множеств

Ь),

котором каждая

часть

множество множеств.

быть,

или

b > а (т. е. или а является первым

упорядоченное

первый

имеет

элементы. Ясно,

элемент.

Каждое входящее сюда

что в

полученном

будет соблюдена тоже четкая

ность. Что же нового нам дало это
ство по

сравнению

с полной

тот может не

берем

из каждого

это были

последовательность,

такую

раз

четкую последователь¬

же

упорядоченностью первого

математики

разные

сами эле¬

«произвольно выбранное»

тратить времени

Особенно

с)

имеется

из этих элементов новом множе¬

Поэтому

множеств? Ровно ничего.

У нас

множество есть, стало

одному элементу так, чтобы

менты с самого начала составляли

ние,

множество есть такое,

четкая последовательность элементов. Мы

такого множества по

стве

Ь,

то вполне

кто

признает

и слова на

убиваются

полное

множе¬

множества

упорядоче¬

аксиому выбора.
над

что

тем,

часто,

несмотря на эту аксиому, невозможно действительно построить
реальное множество, отвечающее
с

серьезнейшим

дело

—

постулировать

множество как

требованиям

аксиомы.

Многие

видом делают замечательное открытие, что одно
возможность множеств и другое

—

дать само

математический индивидуум, утешая себя

реальный

и других, что-де хоть и невозможно конструировать здесь реальное
множество, но зато оно принципиально возможно. По этому поводу
обычно

высказывается

никогда

не

занимался

глубокомысленнейших суждений,
невообразимой новостью для тех, кто

ряд

являющихся действительно

философией.

появляется только потому, что
на

то,

что для

повторением

d)
и

нее

совсем

не

аксиомы полной

Вся эта словесность, однако,

в самой аксиоме
и

характерно

напирают обычно

что

только

Что же является тут самым главным, самым оригинальным

интересным? Таковым

нового множества, но то

является

здесь

не

самая

обстоятельство, что,

множества

отдельном

данного

множества.

Центр

индивидуальном множестве,

спорят математики,

о

возможность

если оно возможно,

оно составляется из тех же самых элементов, из
и

является

упорядоченности*.

которых состоят

тяжести

здесь

возможности

не

в

которого

но в том, что тип данного множества множеств

*

Относительно того, какие именно теоремы основаны на аксиоме Цер¬
мело и насколько она необходима в разных отделах теории множеств, дело¬
Аксиома Zermelo и ее роль в
вую сводку можно найти у В. К Серпинского.
теории множеств и в анализе // Математический сборник 1922. Т 31. Вып. 1.
—

303

III. Основные аксиомы числа (число как

совершенно

в

зависит от того,

не

элементы, входящие

в

эти

какие

множества.

суждение)

группы

мы

объединяем

Тип данного множества

множеств всегда можно заменить типом некоторой системы под¬
множеств данного множества,
мый тип.

Поэтому

и

это

будет совершенно тот же са¬
выбора таких

дело тут вовсе не в произвольности

которые окажутся упорядоченными ровно так,

подмножеств,

основное, исходное множество.

преобразовали

в целях

привлечения

бытия

сиомы ставшего

то

мы

бы так

иллюстрации нашей

ее для

теории множеств:

в

множество множеств,
можно составить

Значит, «аксиому выбора»

как

ак¬

какое-нибудь

если дано

из элементов этих последних всегда

такую систему подмножеств,

что ее тип

будет

конгруэнтен типу основного множества множеств.
Этой аксиомой определяется то, что

е)

множества мы можем как

в

пределах каждого

направления

в становлении

его элементов, т. е. выявлять в нем любые части,

упорядочивания
из

угодно

менять

которых каждая будет, очевидно, упорядочена специфическим

образом,

(если

мы

исчерпали

первоначальной
того

для

общий результат

и тем не менее

самого

все

множество) будет

упорядоченности.

направлений

всех этих
вполне

Здесь

равносилен его

намечаются

контуры

универсально-математического принципа, который

арифметики

равенство

постулировал

условии равенства каждой

из них

третьей

двух

величин

при

величине, если под этой

величиной понимать множество, упорядоченное первоначально,
и под

второй

—

множество, упорядоченное путем упорядочения

произвольно взятых частей этого множества. Такие два множества

будут различаться
своего

упорядочивания,

множество

Отсюда

ющими

и

переход

имеет

зируемой

направлениями

становления

поэтому будут конгруэнтны:

всякое

теоретико-множественных

опе¬

специфичны в сравнении с соответству¬
арифметики (так, например, дистрибутивный за¬

слева вовсе не возможен, в то время как тот же закон

место). Легче

аксиомой

ся множество

к законам

конечно,

законами

умножения

справа

и они

только

конгруэнтно самому себе.

раций, которые,
кон

между собою

трех

ны такие вполне

всего видеть связь этих законов с анали¬

в ассоциативном законе сложения.

множеств

—

А, В, С, где Л

> В и В > С.

упорядоченные системы частей:

\)А\эВ\эС
2) (ЛоВ)оС.
304

Пусть имеет¬

Тогда

возмож¬

§ 68. Аксиома

ставшего числового бытия в теории

Совершенно ясно, что, какую бы
данного множества

мы ни

вполне одинаковая. Это и

из этих

вероятностей

трех систем частей

брали, общая сумма трех множеств будет
будет значить, что мы тут вариируем на¬

правление становления упорядочения. Однако конгруэнтность сум¬
мы во всех трех случаях

бует

аксиоматической

выбора направления упорядочивания тре¬
фиксации.

$ 68. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей
1. Место

арифметического счета, геометрического построения и

теоретико-множественного полагания занимает в теории вероятно¬
стей исчисление вероятности. Ставшее бытие есть то, которое ста¬
новилось и потом стало, остановилось. Это значит, что оно есть по¬
следовательность, но стационарная.
ность, чтобы быть именно
—

структуры,

Стационарная

последователь¬

стационарной, требует

единства своей

точнее, самотождества этой структуры при различии

тех или иных ее инобытийных особенностей. «Движение», «перене¬
сение» и здесь является хотя и

иллюстрацией

наличия

ее смысловом

и

если мы имеем

«грубой»,

но, кажется, наиболее ясной

инобытийного становления структуры при

принципиальном самотождестве. Следовательно,

определенную последовательность вероятностей

одном «месте», мы

гарантированы,

роятностей будет и

в этом

другом

месте.

Аксиома ставшего числового бытия в теории
числение

вероятностей

в

что та же последовательность ве¬

вероятностей:

основано на тождестве

направлений

ис¬

их

становления.
2. С. Н.

Бернштейн и здесь проявил некоторую проницательность,

выставивши

чем, себе

«аксиому о

несовместимых

событиях», не отдавая, впро¬

отчета в том, что под этой аксиомой кроется идея

энции. С. Н. Бернштейн напирает

в

конгру¬

этой аксиоме на несовмести¬

мости событий. Ддя нас, однако, во-первых, эта несовместимость
важна только как указание на последовательность

структуры ставшего),

а

во-вторых, тут

следовательность, сколько независимость ее от

новления», данного здесь в виде
на

другие (вне этой

(без которой

нет

важна не столько и сама по¬

«перенесения»

«направления

ее ста¬

ее с одних событий

независимости не может быть самотождества

фигуры последовательности).

Если иметь это в виду, то «аксиому о

несовместимых событиях» можно повторить без изменения: «Если
305

III. Основные аксиомы числа (число как

известно,

что события Л и

стороны, события В

вер. А

=

вер. В

щегося в

факта
=

С,,

и

и

Вх

вер.Ах

=

А}

между собой и, с другой

несовместимы

также

суждение)

между собою несовместимы, причем

вер. Bv

то

наступлении события Л

вероятность факта С,

или

заключаю¬

события Л, равна вероятности

заключающегося в наступлении В или

Bv т. е. вер. (А

или Л

вер. (ВилиВ^».
Пусть

для

какой-нибудь категории

роятность овдоветь

трех

данной урны белого шара,

ния из

лет

в течение

равна вероятности

а

появления

лиц, вступающих в

лет

шара. Разумеется,

угодно и отношения
какие

после

трех

черного шара. Тогда вероятность
появления белого или

чер¬

несовместимость события может быть какая

между отдельными вероятностями могут быть

угодно. Всегда одна последовательность вероятностей будет

конгруэнтна другой последовательности при условии тождества
ответственных отдельных

е)

Аксиома выражения или понимания

измеримости)

§ 69- Общий принцип выразительной измеримости
1. В § 35 была формулирована общая установка для
ской аксиоматики в области выражения: число есть
акт полагания. Там же выяснялась и
мания.

Сейчас

Бытие

мы

кратко

это

чит быть чем-то. Смысл бытия отличен от самого

бытие,

но не есть само

это не мешает

выразительный
или пони¬

повторим.

есть нечто. Это значит: оно имеет смысл.

только не есть само

математиче¬

сущность выражения

имеет смысл, но еще не есть самый смысл.

нечто

со¬

вероятностей.

(или аксиома выразительной

ется,

ве¬

равна вероятности получе¬

вероятность овдоветь

овдоветь вообще равняется вероятности
ного

брак,

Ведь смысл

бытия, ибо бытие

Выражение

же бытия не

но не есть смысл бытия. Смысл

выражение. Смысл может

и зна¬

и не

выража¬

выражаться,

и

ему существовать. Выражение предполагает, что есть

выражаемое,

а «нечто» есть смысл.

Следовательно, выражение

в диалектическом смысле позже смысла, как и смысл диалектически
позже, чем

«бытие». В смысле,

как таковом, нет ничего

есть. В

или внешнего. Смысл

просто

позднейшее, но, когда

он появился, он стал

В выражении

сравнении

внутреннего

с бытием он есть

внутренним для бытия.

же всегда есть нечто внешнее. Но это внешнее

жает смысл, а это значит, что оно делает его из

306

внутреннего

выра¬
внеш-

§ 69- Общий принцип выразительной измеримости
ним.

Выражение

тренней

—

синтез

и внешнего, тождество

внутреннего

осмысленности и внешней явленности. Смысл

своему осмысленному бытию, выражение же
к

внешнему,

обращен

к

обращено к инобытию,

оно выносит тайный смысл бытия

ясным и видным

вну¬

наружу

и делает его

всюду.

Смысл бытия уже предполагает инобытие. Но
ком вошло в него. Смысл бытия еще не

вобрал

в

оно еще не цели¬

себя всего выражен¬

ного своего инобытия. А это необходимо, так как смысл бытия, раз
уж он появился, должен охватить все возможные

судьбы

этого бы¬

разные диалектические этапы «измерения»

Формулируя
66.2, ср. также рассуждение о диалектике перехода от аффинной
геометрии к метрической, § 63 3с), мы уже столкнулись с проблемой
выше

тия.

(§

выражения. Именно: эйдос сам по себе есть только вообразительно
данный смысл, но еще не есть выражение; выражение же начинает
диалектически жить только с момента появления абсолютно внеэйдетического бытия, абсолютно внесмыслового, инобытийно стано¬
вящегося. Как же нарастает эта выразительность по мере дальнейше¬
го диалектического продвижения и усложнения эйдоса?

Первые два этапа этой

выразительности, зародышевых этапа, мы

уже имели; это конгруэнция
энтности.

Первая

из этих

непрерывности

и

позиций (давшая

конгруэнция конгру¬
нам

первоначальную

теорию групп, наиобщую метрическую геометрию
общеизмеримое множество)
с

и

первое наи-

только еще начинает некое

общение

абсолютным инобытием. Идеальное число, числовой первообраз

(конструированный при помощи принципов едино-раздельности)
впервые здесь предполагает инобытие как некую самостоятельную
сферу. Туг еще далеко до полного синтезирования числа с его абсо¬
лютным инобытием. Но важно, что здесь число
этого

инобытия,

в то

время

ровал. Постулирование
этап

объединения

Вторая
зиция

из

как чистый

постулирует бытие

эйдос даже

его и не

постули¬

чего-то как отличного от себя есть

первый

с ним.

упомянутых позиций (как

конгруэнтности (давшая

нам

мы

разъясняем

в

§ 66.2),

правила счета, Паскалеву и

по¬

непа-

скалеву геометрию, и «аксиому выбора», и «аксиому о несовместимых

событиях»), синтезирует идеальное число, или числовой эйдос, с его
инобытием гораздо

рывности

ближе, глубже и интимнее. Если на стадии непре¬

внешнее инобытие входило в идеальное число только по

своему смыслу,

то сейчас оно входит

307

уже

и по

своей

субстанции, так

III. Основные аксиомы числа (число как

что

суждение)

эйдос уже перестал быть бесплотным смыслом,

сказать, свое тело, стал

только эйдосом,

фактам.

или смыслом, и всякое

себя только смысловым же
ждествляется с

Раньше он не был

инобытие

но

получил,

фактом.

так

Он был

он мог вмещать в

образом. Теперь он субстанциально ото¬

инобытием,

и так как

материал, тело, то смысл теперь

и

инобытие смысла есть именно

получает

от инобытия тело, кото¬

рое отныне становится его собственным телом, и тем самым превра¬
щается в самостоятельный

факт

есть

факт. Итак,

субстанциальное

тело как ставшее, число как

тождество становящегося смысла и его

инобытия. Но и тут мы сталкиваемся только с примитивными заро¬
дышами выразительности.
Дело в том, что на стадии наличного
ловой

эйдос

бытия,

или ставшего, чис¬

хотя и вместил в себя инобытие по его

он все же остался

замкнутым

в

субстанции,

но

себе. По существу, чистый смысл как

раньше был дан сам по себе, без всякой связи с внешним, так остал¬
ся он

и

теперь,

с тем единственным

различием,

что он

тело

получил

одно это немного

приблизило
фактом. Разумеется, уже
приближение
фактическое, а не оформленновыявленное. Если смысл стал фактам, то это и значит, что он стал

и стал

внешности, но это

ближе

к

—

действительности фактически. Но ведь

смысл; и если он стал
смыслом

(и,

его к

смысл и есть всегда

фактом, то не для того, чтобы перестать быть
обессмыслиться), но чтобы стать смыс¬

следовательно,

факта. Раньше он был смысл просто, смысл идеального
бытия. Теперь он стал фактом, т. е. стал смыслом своей фактической
судьбы. Но для этого мало одного факта, одной наличности бытия.

лом своего

Для

этого

нужно, чтобы ставшее, факт, )шс будучи таковым,

вместивши в себя инобытие

субстанциально,

т. е.

уже

начало вмещать в себя

еще новое инобытие.
Но что значит для

рает в себя свое
становится

инобытие,

вмещать инобытие? Когда смысл вби¬

он

внутренно разделяется, различается,

раздельным, превращается

в

координированную раз¬

себя свое инобытие, он вну¬

факт вбирает
раскалывается, дробится, множится,

дельность. Когда
тренно

факта

в

же

растягивается и сжи¬

мается, делается компактным или пористым и т. д., т. е. претерпева¬

Если чистый смысл превратился

ет некую свою жизненную

судьбу.

в смысл своего

существования,

эти

судьбы

факта,

своего

чит, что он стал

или

то он являет собою все

фактического деформирования.

выразительным

Это-то

и

зна¬

смыслом. Это же значит также и то,

308

§ 70. Аксиома выражения

в

арифметике

(как раньше),

что он стал не просто мыслимым смыслом

но и пони¬

маемым.
2. Как же

подойти теперь

к этой новой

категории

с точки

зрения

математической аксиоматики?
Инобытие потому
никакого смысла в

и есть

себе не содержит и

дество со смыслом, оно

ся по

инобытие смысла, что оно,
вполне алогично.

рассуждать об

рение

и

с

которого сделана мера,
этого

окажется не чем иным, как

измеряется мерой, инобытийной

предполагает,

ближенное)

выразиться матема¬

алогизме инобытия в отношении к

упомянутое отождествление

ванием числа. Число

в тож¬

сплошно заполняет ее. Это значит, что оно

переводится, так сказать, на язык смысла. Но если

то

Входя

распределяется, разливается, распластывает¬

структуре смысла,

тически, т. е.

как таковое,

к

числу,

измери-

себе. Изме¬

одной стороны, инобытийный материал,

другой

а с

—

(полное

совпадение

размеренного материала

или

из

при¬

с измеряемым предме¬

Некоторым измерением числа, минуя внутренно-эйдетическое
инобытие, было уже превращение его из чистого числа в становя¬

том.

щееся, что и заставило нас заговорить в

трии. Но там измерение
ного числа без
и на стадии

ным

привлечения

просто

всякого

измеряемой структуре. Теперь

о

метрической

геоме¬

гипостазированию идеаль¬

другого инобытия. «Меряли»

числа, о

мы

столкнулись лицом

инобытием, которое

адекватной мерой для числа,

факте

§ 66.2
к

мы

конгруэнтности, ограничившись измерением, адекват¬

новым абсолютным
быть

свелось

так как

может и

быть,

к

лицу

с

может и не

теперь речь идет

о самом

(когда
дроблении
содержания
дробным), но о дроблении самого факта
числа

не

оно, напри¬

мер, из целого становится

числа, т. е. о напряженности самой категории числа. Следователь¬
но, новое измерение числа и пространства покажет нам, насколько
сохраняется самое понятие числа, величины

фигуры и т. д. В отно¬
будем говорить не о различиях в
пространстве (отличие прямой от кривой, точки от линии, подобия
шении,

от

например, геометрии

перспективы

личиях в

и

пр.),

структуре

визне не в

но о

самого

пространстве,

значит, что мы

перешли

различиях

самого

пространства,

но о

к

мы

пространства,

так что

речь зайдет

о
о

раз¬
кри¬

кривизне самого пространства. Это

и

выразительной измеримости.

§ 70. Аксиома выражения в арифметике
В предыдущем выразительная измеримость уже назревала:
309

мы

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

арифметического действия (§ 62.2), последова¬
арифметических действий (§ 63.1) и внутреннего строе¬

получили категорию

тельности
ния этих

действий (§ 65.2). Внутреннее

внутренняя измеримость,

т.

е.

становление числа, т. е. его

арифметическое действие,
перестанет быть

вовне оно может только тогда, когда оно

рованным

и единичным

осмысливающее

выражение

арифметическим фактом

начало для

некоего

внешнего

образом

и есть смысловым

и

превратится

в

Ведь

становления.

наполненное становление.

простого и чистого становления была лишь системой

ний, теперь [приобретает]
деленного ряда

или

самодовлеющее значение

преобразова¬

—

и

рядов чисел, структура которых

каковых

строения

рядов

и

комбинаций будет

совокупность действий. Отсюда
Аксиома

выражения

ван на тождестве

опре¬

будет опреде¬

вообще арифметические комбинации чисел,

или

в виде

действиями. Мы получим арифметические

ляться теми или иными

или

изоли¬

словами, последовательность действий, которая на стадии

Другими

ряды

отныне

выражением. Но проявиться

должно выявиться вовне, чтобы стать

в

законом по¬

то или иное

действие

и аксиома.

арифметике: арифметический ряд

внутренно-внешних направлений

осно¬

самого ста¬

арифметического дей¬
ствия, которое основано на том, что ряды чисел подчиняются в
своей структуре тому или иному арифметическому действию или
новления. Или:

существует

то

усложнение

их системе.
2.

а) В

модули,

отделе

или

арифметики
—

вычитания, кольца

с

жения и поля, или тела,
ми

мы

увидим,

что сюда относятся т. н.

ряды чисел, подчиненные действиям

действиями сложения,
—

с

четырьмя

действиями. Особую область

основными

составляют т. н.

широким законом объединения элементов,
метические

действия. Все

это

—

сложения

вычитания и

или

умно¬

арифметически¬
группы

с

более

ариф¬
арифме¬

чем те или иные

выразительные формы

в

тике.
Но так как

выражение, как сказано,

ставит под

вопрос саму суб¬

станцию выраженного, так что выразительное пространство, напри¬
мер,

есть не только

модификация
аналогично

формы
ярким

в

модификация

самого

этому

элементов в

пространства,

мы можем

получить

и специально

арифметических совокупностях.

является здесь

пространстве,

т. е. та или иная его

кривизна,

то

выразительные

Самым простым

впервые примененный Клейном
310

но и

и

и самым

Ли метод вы¬

§71. Аксиома выражения

в

геометрии

ражения тех или иных пространств при помощи теории групп.

странство

совокупности
Подробно

и

превратилось,

Ь) Наконец, необходима
к

и еще

же

тому

ее

рассмотрению

предмета
До

что

сих

мы

с

в

или

ту

иную группу.

одна диалектическая

взять всю

сферу

всю

завершить

выражения. А именно, мы должны
и, забывая все,

образом,
не будем.

таким

излагать этого мы здесь

долженствующая

позиция,

числового

числовую сферу целиком

различили внутри

самой, подвергнуть

нее

зрения вне-числовой. Ведь выражение

точки

и есть его значимость для иного, когда он является

наше число являлось

пор

последнее

тогда, когда

как

(таковы модуль, группа

по своей
мы

сферу

или

та

и т.

иная

д.). Но

числовое

конкретности

всю

иному.

самому себе. Выразительная форма

получалась у нас, вообще говоря,
самих же чисел

Про¬

выраженным при помощи арифметической

оказалось

комбинация

постоянное и

уже

выражение получится

противопоставим вне-числовой

числа

сфере.
Однако эту позицию удобно будет провести
множеств, что мы и делаем ниже, в

вместе с

теорией

§ 72.

§ 71. Аксиома выражения в геометрии
Выражение геометрического пространства
самых

буем

глубоких

наметить

составляет один из

увлекательных отделов философии

некоторые

числа.

вехи в этой замечательной

требуется интересами аксиоматики.
Пространство, диалектически созревшее до

скольку
1.

и

Попро¬

области,

по¬

это

степени выраже¬

ния, есть пространство, поставленное в соотношение со своим аб¬
солютным инобытием. В общем случае оно

—

неэвклидовское, «не¬

однородное» пространство, в котором эвклидовское
из частных

никак нельзя осилить

аксиомами. Что нам давали аксиомы

(«порядка»,

только один

случаев.

Это неоднородное пространство
дущими

—

«сочетания» и

пр.)?

преды¬

едино-раздельности

Они нам только впервые давали гео¬

фигуру, да и то не столько ее саму, сколько ее отвлечен¬
ную категорию. Результат аксиом едино-раздельности, как это фор¬
мулировано в § 58.1, гласил нам только о фигурно-упорядоченной
метрическую

совокупности

элементов, и больше ничего. Конечно, и в эвклидовой

и во всякой неэвклидовой геометрии построение приводит к тем
или иным

фигурно-упорядоченным совокупностям. Однако по этой
311

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

линии невозможно провести различие между эвклидовой и неэвкли¬
довыми геометриями. Точно так же тут ничем не поможет и станов¬
ление, т. е. принцип непрерывности. Все эти пространства одинако¬
во непрерывны и прерывны, и совершенно не в этом их подлинное
различие.

Конгруэнтность

стоит уже значительно ближе к

ристике разных пространств,

формулирована у нас
шего, все

равно сюда

в

§ 64

но та

как

результат категории

числового став¬

не годится. Там имелась в виду

конгруэнтность

свойств того пространства

в

пространстве

обсуждались

ции самого пространства, нам важна конгруэнтность
в зависимости от

фигура

которая

получили до сих пор

что мы

как таковая, с той ее чисто

зависела или от ее

субстан¬
фигур именно

веденная нами

ствах

фигурной

которое положено

измеримостью,

или от ее внеш¬

пока только в виде

принципа, без всякой реальной развернутости. Ясно,

хотя она

уже

геометрическая фигура

значительно

которой

«реальнее» фигуры,

ничего неизвестно,

окончательном смысле

чивши в

себя

о

конгруэнтных свой¬

подобно тому

«реальной» фигура будет

и все свое

что вы¬

все еще слишком «идеальна»,

«реальнее» голой категории фигуры. В настоящем

она вместит в

зре¬

о

от наших аксиом,
же

внутреннего инобытия,

него, но от такого внешнего,

голого

и

пространства.

Самое большое,
это

с точки

конгруэнтности. Здесь же, поскольку ставится вопрос

ния

выше

конгруэнтность, которая

внутрифигурная, когда сравнивались две фигуры
независимо от

характе¬

как эта последняя
же смысле и

уже

в

только тогда, когда

абсолютновнешнее инобытие. Вклю¬

себя возможное инобытие, она уже

не сможет

больше

ни в

каком смысле изменяться.
Как

внешнее

же

включить

в

геометрическую фигуру

инобытие, чтобы

она стала

2. а) Чтобы решить этот вопрос,

ее

абсолютно¬

выразительней?

какую-нибудь
фигуру и рассмотреть ее отношение к ее абсолютно-внешнему ино¬
бытию. Возьмем фигуру простейшую
прямую линию, потому что
мы должны взять

—

еще более

простая «фигура», точка,

мотождественна

нечно, прямая
в

и

решительно
без

всяких

по

во всех

своему смыслу абсолютно

фигурах

и

пространствах. Ко¬

дальнейших добавлений уже содержит

себе свою соотнесенность со своим инобытием. Поскольку

мой

мы находили

(§[55])

в

пря¬

единство направления, мы тем самым уже,

несомненно, ориентировали ее на
инобытия.

са-

Однако сейчас

фоне

ее

абсолютно-внешнего

нам этого мало. Мы хотим как раз

312

эту-то

§71. Аксиома выражения

в

геометрии

соотнесенность и рассматривать специально, полагая и утверждая
ее в виде отдельной диалектической категории. Но для этого мало

будет одной прямой. Кроме того,
интересует, собственно говоря,
прямая соотнесена,
мы должны

Чтобы

мере две

судить

т. е. само

о

и в

указанной

соотнесенности нас

не сама она как таковая, а то, с чем

пространство. По этой

соотнесенности

пространстве.

этого достигнуть, мы, очевидно, должны взять по

таких

сенность с

прямых. Когда

мы

берем одну прямую,
если как-нибудь и

прочим пространством

крайней

то ее соотне¬
меняется, то

Другое дело, когда мы имеем две фигу¬
другой. Тогда если в этом мы найдем какое-

этого заметить невозможно.

ры, конгруэнтные одна
нибудь различие, то оно будет зависеть уже не от внутренних осо¬
бенностей самой фигуры, но от окружающего ее пространства, а это
как

раз

нам и важно.

Но что значит две взаимно

ность есть одинаковая

конгруэнтные прямые? Конгруэнт¬

ориентированность фигуры

внутренно-внешнего инобытия. Две прямые,
ся

применить

это понятие, есть не что иное, как две

ориентированы

бытия,
по

решаем¬

параллельные

параллельны, это значит, что они одинако¬

прямые. Когда две линии
во

относительно ее

если мы к ним

относительно своего абсолютно-внешнего ино¬

что они взаимно

«конгруэнтны»

и по

своему внутреннему,

и

своему внешнему инобытию.
Ь) И

вот если мы имеем две такие

параллельные прямые, а они

оказываются при своем продолжении непараллельными, то это зна¬
чит только то, что данная

как

прямых,

деформация

но именно того

ствуют. Если при одинаковой,
мых они

при

ориентацию,

мирует;

своем

деформация

пространства,
в

продолжении

в

пространстве вдруг
пространство

судить

о самом

они

прямых

они

суще¬

меняют свою

как-то их

деформируют

в

дефор¬

возмож¬

пространстве. И особенности

этого последнего, выводимые из нового вида

фигур;
всякие фигуры.

котором

не

новому виду мы, следовательно, получаем

ность вполне точно

от самих

в

принципе, ориентированности пря¬

то это значит, что само

и по их

есть

фигур, уже

определенном

не зависят

смысле

вообще

Но если так, то тут мы тоже получаем один из великолепных при¬
меров того, что диалектика называет выражением. Ибо выражение

«чего-нибудь»
«чем-нибудь» его
—

это как

раз

и есть смысловая вмещенность этим

внешнего инобытия без реального перехода в это

313

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

инобытие. Мы видим
влеченной

фигуру, деформированную по сравнению с от¬

геометрической фигурой,

характеру этой деформа¬

и по

нефигурном пространстве, которое и обу¬
словило собою эти деформации.
с) Что же оказывается? Оказывается, существует пространство,
ции судим

о том чистом,

в

не только возможна одна

котором

через данную точку,
быть сколько

В

чем же

но и такое, в
и такое, в

угодно,

само

котором

котором

этих

к

данной прямой

параллельных

их не может быть ни

может

одной.

дело?

Какой философский

лельной

параллельная

к

смысл возможности только одной

данной прямой

собой,

в

данной точке? Из предыдущего

что если возможна

реально

только одна

парал¬

вытекает

параллельная

к

данной, то это равносильно возможности только одинаковой ориен¬
тации прямой

относительно прочего пространства. А так как прямая

у нас с самого начала

берется

в чистом виде и

без всяких примесей,

то, значит, эта одинаковость есть всецело результат самого же про¬
чего пространства,
ково, или, как

т. е. это

пространство
его

говорят еще, кривизна

прямой через данную точку
пространство,

в

котором

новлению, если оно

равна нулю. Если

все это

происходит,

берется

есть голое и

в чистом виде.

—

просто

данной прямой через данную точку

только

параллельную.

ной

внутренно-

становление как

можно

Это

и

провести

эвклидовское, параболическое

противостоит бесконечность. Что значит, что к дан¬

прямой через данную точку

личество не

—

это

дифференций.

значит, что к

Это

ровное

Рассматривая простран¬

в выражении основное

таковое, не внося в него решительно никаких

пространство.
Но единице

данной

каким и полагается быть ста¬

внешнее становление, то сначала мы имеем

одну

к

возможна только одна параллельная, то

становление, абсолютно однородное,

ство как выражение, а

как таковое везде одина¬

встречающихся

можно

с ней

провести бесчисленное

ко¬

прямых? Это возможно только тог¬

да, когда условия самого пространства обеспечивают проводимой
линии ее непересекаемость с данной. Само пространство по своему
качеству должно быть таково, чтобы при бесконечном продолже¬

данной прямой

и постоян¬

встрече. Пространство здесь устроено так,

что оно все

нии линии оно толкало ее в
но мешало их

время
как и

как бы

расходится

в

сторону

от

разные стороны. Оно

предыдущее, эвклидовское пространство,
314

так же

бесконечно,

но оно в

сущности

§ 71. Аксиома выражения

в

геометрии

еще более бесконечно, если можно так выразиться, поскольку оно
обеспечивает не только уход
но обеспечивает и

поэтому-то

мы их ни

мы и

в этом

пространстве

пустым становлением,

конечности и в

«середина»

так,

и в

параллельная

конечном

т. н.

уже оперируем

не с чи¬

которое вернулось

из бес¬

гиперболическое

простран¬

конечно. Это

тическое,

все линии

пространство

ни

тут

замкнуты,
—

гонит каждые две
и не может
и

на

«параллель¬

быть никаких па¬

пространство обязательно

положительной кривизны, т. н. эллип¬

сформулированное Риманом.

3. а) Так вот в
сти и всей

котором невозможна

решительно прямые пересекаться уже

так что

соприкосновению,

Тут

в

данной прямой через данную точку, устроено

к

расстоянии. Оно насильно

раллельных.

чем смысл

судьбы

ковой, которая

этой старинной

знаменитого V

проблемы параллельно¬

постулата Эвклида. Это

в отличие от чистой

выражения пространства
Аксиома

данной,

с нею, как бы

мы знаем начало и знаем конец, хотя его

котором

бесконечности. Это

что оно заставляет все

ные» к

встречаются

мы

но с таким,

ной кривизны. Наконец, пространство,
одна

линии с

пространство Лобачевского, пространство отрицатель¬

или

ство,

невстрече проводимой
точки они не

бесконечность,

конечную область. Ведь

продолжали.

Следовательно,
стым и

о

узнаем

линии в

ее опять в

возвращение

стороны данной

что по обе

проводимой

есть смысл

фигурности

как та¬

никак не выражена, а только отвлеченно мыслится.

параллельности

жения в геометрии.

с ее

Закрепим

Аксиома выражения

в

модификациями
ее в

есть аксиома

выра¬

формуле.

геометрии: геометрическое построение

внутренно-внешних направлений

своего

непонятна только тем, кто не читал или не

проду¬

основано на тождестве

становления.
Эта
мывал

себе,
вии

формула

предыдущего

но в связи с тем

значит, что

фигура обсуждается

пространством, где

положенности его

она

как самостоятельной

фигуры

как чистой

фигуры

не сама в

осуществлена (в усло¬

категории),

построение одинаково принимает здесь

особенности
и

изложения. Если

вне всякого

то это и

во внимание и

пространства,

особенности пространства как чистого пространства вне всякой

фигурности. Это
становления

есть тождество

внутренно-внешних направлений

фигуры. Пусть данный угол деформируется

продолжением сторон,

из

которых
315

в связи с

он состоит. Это значит, что по

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

данной

деформации

в виду и что за

Ь)

сразу узнаем

пространство

выше

Но

мы

геометрической

были

и о том, что за

фигура

имеется

ее воплощает.

указаны

модификации этой
Они определяются

и

выразительности.

общей
тем,

в

каком виде входит в выражение необходимое для него внешнее
становление. Если

фигура

как

бесповоротно утверждена

таковая

аксиомами, то ее выражение есть перекрытие ее

предыдущими

новым слоем самостоятельно существующего пространства, и вот
оно-то и может входить в разных видах. В геометрии Эвклида, как
мы видели, пространство есть чистое и

беспримесное

становление,

лишенное всякой кривизны. Тут кривизна всегда есть кривизна самих

фигур,

но не чистого

бесформенного пространства.

В пространстве

Лобачевского оно есть не просто становление, но оно само перешло в
становление. Это становление становления, давшее нам возможность

обозреть
мы

становление
только

находим

(в

то

в

как

время

пространстве Эвклида

неопределенную длительность). Однако

это

становление все же остается становлением самого же становления,
что и дает возможность
дает возможности
надо, чтобы
мы

круговорот

видели его

не только
чтобы

перед собою

весь

нам его начала и концы, но не

его целиком.

становления

вернулось назад

отныне

больше в

обозревать

обозревать

этот

бесконечность и

возвратился

этого последнего
к

себе так, чтобы

Надо, чтобы

полностью.

из

Для

становление

неопределенной бесконечности,

круговорот

становления

оставался на наших глазах.

уже

но

не уходил

Таково

именно

пространство Римана.
Отсюда

и

специальные

аксиомы

геометрической выразитель¬

ности.
Аксиома

геометрии Эвклида. Геометрическое построение

вано на тождестве

внутренно-внешних направлений

осно¬

самого станов¬

ления, когда это внешнее становление дано в чистом и

беспримес¬

ном виде.
Аксиома

геометрии Лобачевского. То

же

—

когда это внешнее

становление перешло в свое собственное становление.
Аксиома

геометрии Римана. То

же

—

когда это внешнее станов¬

ление, возвращаясь к себе, совершает свой круговорот в конечной
области.
Можно эти аксиомы

порядке,

имея в

формулировать

несколько иначе и в ином

виду определения кривых 2-го порядка, данные
316

нами

§71. Аксиома выражения
в

в

геометрии

Но этого мы не станем делать, чтоб не загромождать изло¬

§ [ ].

жения.
4. Сказанного вполне достаточно, чтобы дать аксиоматическую
установку для

выразительной области геометрии.

Но поскольку по¬

добная теория проводится впервые, краткость всегда приведет к су¬

абстрактности и слишком большой общности. Поэтому по¬
пробуем войти глубже в диалектику эвклидова и обоих неэвклидо¬

хости,

вых

пространств, привлекая
Мы

а)

изучаем

выразительное

внутреннее вовне,

являя

Внутренним

на помощь также

измеряем

и о

внешнего.

геометрическая фигура,

т. е. тот ее

внутреннего

образ, который

не знаем,

котором

Выражение,
и

чисто мысленный и отвлеченный
ничем не

пространство.

есть тождество

является идеальная

индуктивные данные.

мы еще никак и

какую форму

он

реальном пространстве. Это реальное пространство

в

внешнее, с чем

внутреннее,

т. е. идеальная

фигура,

примет

и

есть

то

отождествляется.

Как же происходит это отождествление?

Будем
зе

покамест

говорить

точке. Та точка, с

—

о

простейшем геометрическом обра¬

которой

мы до сих

пор

имели дело, вполне

«идеальная». Она идеальная до того, что не имеет даже тех

измере¬

ний, которые свойственны вообще разным фигурам. Может
исключительная идеальность, доходящая до какой-то

ской

абстрактности,

оставаться такой до

уже потому, что реальные
иное

и

измерение. Это

или

конца? Этого

фантастиче¬

не может быть

точки нашего опыта всегда имеют то или

чернильное пятнышко,

пр. А ведь геометрия должна

осилить весь

превратить

в

живую

или

острие

чувственный

она хочет быть жизненной. Следовательно, эту
плотность точки надо

ли эта

иголки

опыт, если

фантастическую бес¬

плоть. И этим занимается

выразительная геометрия.
Ь) Именно, точка, будучи «внутренним», «идеальным»,
и т. д.

образом, погружается

во «внешнее»,

«реальное»

«чистым»

становление с

гем, чтобы отождествиться с ним. Но диалектическое отождествление

предполагает

отождествляемое

неизменным.

Поэтому,

идеальная точка воплотилась в реальном становлении,

чтобы

и

становление

становящимся.

Чтобы

стало

идеальным,

становление

стало

и

чтобы

необходимо,

идеальное

идеальным,

стало

надо

ему

перестать быть растянутым, грузным, тяжелым инобытием. Оно
должно стать легким

и

невесомым,

как

сама

точка.

Это значит,

что такая выразительная точка сразу должна находиться во всех
317

III. Основные аксиомы числа (число как

моментах своего становления.

другой стороны,

С

диалектика требует, чтобы
этом

новом

самим

себе

и

не

оно

может

просто уничтожиться;

оно в этом новом синтезе и тождестве, в

пространственно-выразительном

собой. Это значит,

что оно здесь

не занято никакой

чистому меону А

это

что
она

точке

безразлично

безразлично,

переходит

в

в

как и полагается

в

каком

становление;

случае остается самой собой,

всяком

при

символе оставалось

абсолютно

едино-раздельностью,

значил,

направлении двигаться, когда
всегда и

тут быть

Становление не должно

но оно должно быть таким же мгновенным, как и сама

процессом,
точка.

суждение)

она

т. е. всегда сама

тождественно находит себя в становлении, но уход в становление, т.
е. от

тождествен возвращению из становления, т. е. к себе. Это

себя,

значит, наконец, что она движется по

Итак,

замкнутой линии.

идеальность инобытия заставляет точку сразу быть во всех

моментах своего пути одновременно, а инобытийность идеального
заставляет точку иметь этот путь в виде

линии

(скажем,

точка, следовательно, есть окруж¬

окружности). Выразительная
ность, во всех моментах

замкнутой

которой

точка

пребывает одновременно

и

неизменно.

Этот совершенно понятный язык можно пояснить еще

Идеальное

—

ное, двигаясь
ся по

и

вневременно

ждествляться с

реальным. В

по

нему

своему пути

с

внепроцессуально. Но

таком

случае

с бесконечной

точка

так.

оно может ото¬

оно охватывает все

скоростью. Когда

реаль¬

точка движет¬

бесконечной скоростью, она сразу и одновремен¬

но находится во всех без исключения точках своего
чит, что она

и

сохранила

в

пути. Это

и зна¬

реальном свою идеальность. Выразительная

поэтому тождественна

которая, однако, пройдена

с бесконечно большой

вся

сразу

в одно

окружностью,

бесконечно малое мгно¬

вение.
с)

Но

и

этого

Но выбор
точки
и,

Наша

идеальная

направлении, чтобы

определенном
Скажем для

мало.

простоты,

что это было

совершается

например,

в

вертикальном,

горизонтальным. Так

в

условен. Становление

горизонтальном направлении,
и

притом

как идеальное

вполне

внепространственно,

направлений

совершенно

пространстве,

318

с

то оно не

в одинаковом смысле воплощается и становится

т. е. оно

но

одновременно

зависит и от

в

в

двигалась

становление.

горизонтальное направление.

этого направления, конечно, вполне
не только в

точка

воплотиться

одновременно

и

сразу

§ 71. Аксиома выражения

в

геометрии

во всех направлениях пространства. Следовательно, наша точка
сразу и одновременно описывает в одно мгновение бесконечно

большую окружность
промежуточных

и

вправо,

и влево, и

вверх,

различие

направлениях,

можно себе

направления пространства, которые только

мгновенно

во всех

всю бесконечность

возвращается

к

исчезающе

фонтан бытия, бегущий сразу

мало. Наша точка есть некий

Она сразу пробегает

и вниз, и во всех

которых

во все

представить.

направлениях

и

себе. Ей все равно, куда двигаться. Когда

она движется налево, это все равно, что ей двигаться направо. Удаляясь
от себя налево, она этим самым

приближается

двигаясь от себя вверх, она тем самым спешит

сокровенная
к

себе,

и

круга. Удаляться

мысль

стремиться

двигались, мы все

к

себе

от себя

значит

—

равно приходим

к

—

уходить

себе,

к

себе справа, и,

к

себе снизу. Такова

значит

от себя.

эта

приближаться
Куда бы мы ни

или, что то же, к иному. Но

и самый момент начала движения абсолютно совпадает с моментом
конца движения, так что не только

безразлично, куда двигаться,

но и

двигаться ли вообще.

безразлично,
В этом образе выразительной
рить неизбежность
ального:

точки лучше всего можно

всех основных диалектических

бытия, инобытия, различия, тождества,

прове¬

категорий

иде¬

движения и покоя.

Таково идеальное вообще, выраженное здесь геометрически.

d) Теперь не удивляйтесь, если я скажу, что этот бегло намеченный
образ выраженной точки и есть не что иное, как пространство

нами

Римана.
Когда стараешься вникнуть

в

эти

многочисленные

геометрии Римана, поражает одна яркая
строгость

всего вывода и

чудовищность,

получаемых результатов. Чтобы

антитеза

—

изложения

неумолимая

с обычной точки

зрения,

философскую сущность
пространства Римана, приходится разыскивать его зерно, его душу,

всех

его

перво-принцип,

а это-то и

понять

трудно уловить за

довищными нагромождениями. Сами
гают. Тончайший и

глубочайший вопрос

пространства Римана
матерым вопросом

они почти

о его

чем дело и что это за тайна

ство

тут,

Римана,

а

всегда подменяют

этому

чу¬

помо¬

содержании

вульгарным

неизвестно как

следует,

и
в

эллиптическо-сферическое простран¬

уже решается вопрос, реально ли

как всегда,

ним хочется,

о смысловом

«реальности». Еще
—

бесконечными и

математики мало

это

целый букет разнообразных вкусов

пространство. И
и

капризов. Од¬

чтобы оно было; другим хочется, чтобы его не было;
319

III. Основные аксиомы числа (число как

третьи

—

и нашим, и вашим; и т. д. Мы

любомудрия»

ние

пространства Римана
5. а) Дия

тические

и

отбрасываем

попробуем вникнуть

нет

нашего исследования очень

деление Кэли

—

Клейна,

ни

просто,

весь этот «каби¬

в самое смысловое

и неэвклидовых

рассуждения. Как

суждение)

содержа¬

пространств вообще.

малую роль играют

ясно и

анали¬

прекрасно мероопре¬

оно нам почти ничего не дает для

философ¬

пространств. Этот множитель Кв

ского истолкования неэвклидовых

определении расстояния, принимающий разное значение для про¬
странств Эвклида, Лобачевского

Римана

и

и

связанный с т. н. кривиз¬

ной пространства, уже предполагает некую интуицию, которую при¬
ходится заимствовать из каких-то других источников. Больше дает
нам выяснение отношения указанных трех пространств к простран¬
ству проективному. Уже

в

§ [63]

мы видели, как

разные

типы геоме¬

трии получаются при помощи усложнения проективной геометрии.
Виды геометрии, рассматриваемые у
труда выводимы

из

нас

сейчас,

проективной геометрии.

также без особого

Но и этот метод все еще

недостаточно интуитивен и все еще слишком сложен для того непо¬
средственного ощущения, которое должно лежать

в основе всякого

философского заключения.
Остается

один

способ

—

попробовать

это

использовать

обе

основные неэвклидовы геометрии эвклидовскими методами. Нельзя
ли в «нашем», «обычном» пространстве найти такие

бы

в

той или иной

форме символизировали

формы, которые

собою эти чудовищные

(на первый взгляд) нагромождения неэвклидовых пространств? Та¬
кие попытки были предприняты крупнейшими математиками, Пу¬
анкаре

и

Клейном,

а в

простейшей

и

наглядной форме

это изложено

у И. Вельштейна в его «Основаниях геометрии». И в этом
шего

философского

спасения. Не

—

якорь

на¬

этой эвклидовской интерпре¬

будь
философская сущность

тации неэвклидовых пространств,

послед¬

них была бы недостижима и теперь, через сто лет после открытия
неэвклидовой геометрии, как она была неясна и тогда*.
Дия уловления этого изначального символа эллиптического про¬
странства рассмотрим сначала понятие т. н. связки.
*

Poincare Н. Theorie des groupes fuchsiens.
Acta mathem. 1882.1; Он же.
Там же. 1893. Ill; Klein F. Nicht-Eukleidische
Memoire sur les groupes kleineens.
Geometric. [Gottingen, 1893]; Weber H. и WellsteinJ. Энциклопедия элементар¬
ной математики, т. II, кн. 1-я / Пер. под ред. В. Кагана. Одесса, 1909 (ценные
—

—

примечания редактора перевода);В.Каган. Основания геометрии. Т. II // Исто¬
рический очерк развития учения об основаниях геометрии. Одесса, 1907.
320

§71. Аксиома выражения

Ь) Формулируем

сначала

в

геометрии

ряд несложных геометрических

по¬

нятий.
Степенью точки относительно данной
ся

на ее внешний

отрезок. Это

ности и точки и

ности,

степень

величина постоянная для

равняется квадрату касательной

сти из этой точки. В

к

случае, когда

называет¬

О),

(будем

называть ее

сюда

первом случае

в

данной окруж¬

данной окружно¬

эта точка находится

ее с

внутри окруж¬

центром окружности. В первом случае

оба отрезка секущей всегда расположены

—

к

равняется квадрату полухорды, перпендикулярной

прямой, соединяющей

же

окружности

произведение всей секущей, проходящей (рис. 1) через эту точку,

отрицательной.

во

втором случае

степень считают

—

по
по

одну сторону

точки

разные стороны. От¬

положительной,

во

втором

Если точка О лежит на окружности, то ясно,

что степень ее равна нулю. Точки, обладающие одной и той же сте¬
пенью относительно нескольких

одной плоскости,
линии

центров

лежат на

окружностей, расположенных

одной прямой, перпендикулярной

и называемой

радикальной

осью данных

в

к их

окружно¬

стей. В различных

точках этой оси степень точки относительно дан¬

ных

конечно, разная. Точка пересечения этих осей на¬

окружностей,

зывается радикальным

центрам.
Окружности, расположенные в одной плоскости и имеющие об¬
щую радикальную ось, образуют пучок окружностей. Эти окружно¬
сти по числу общих точек образуют три типа пучков: 1) параболиче-

321

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ский пучок, в котором окружности имеют только одну

общую точку
их
и
когда
две
эллиптический,
(рис. 2), 2)
(рис. 3)
3) гиперболиче¬
ский, когда их ни одной (рис. 4). В первом случае радикальная ось (а)
проходит через
во
их

втором

(а*).

ского

общую точку,

она

—

т. е.

внутри окружностей

(Ах

Легко доказывается из рис. 4, что

пучка

есть радикальная ось

кальная ось эллиптического есть
и

касания всех

точку

и в

линия

окружностей,

третьем

центров

—

гиперболического пучка,

линия

она вне

эллиптиче¬
а

ради¬

центров гиперболического

окружности обоих пучков пересекаются ортогонально.
Совокупность окружностей на плоскости, относительно которых

какая-нибудь

точка О имеет одну и

окружностей.
ми, что

и

ту же

степень, называется связкой

Связки тоже бывают трех типов с теми же названия¬

у пучков,

в зависимости от того, имеет ли

ный центр положительную

или

отрицательную

322

общий радикаль¬
степень

относи-

§71. Аксиома выражения

тельно

ту

окружностей

связки или

в

окружности, проходя через одну

точку плоскости, определяют для

же

геометрии

нее и

одну

и

ту

же

и

нулевую

Связку можно определить и иначе. Имея в виду, например,
гиперболической связке значение степени есть (+р2) и что

степень.

что

в

окружность

с

центром О

окружности связки,
кая

и

радиусом р ортогонально пересекает все

можно сказать и так: связка

окружностей есть та¬

совокупность окружностей, которые пересекают данную окруж¬

ортогонально. Поскольку в эллиптической связке общий ради¬

ность

кальный центр имеет степень

(-р2)

относительно всех

окружностей

связки, диаметральная окружность эллиптической связки относится
к самой связке, в то время как в

пересечения
самой

всех

гиперболической она

окружностей

диаметральной окружности,

Наконец, необходимо иметь
ношения.

кальную

сфер,

т. е.

которых

паре

рис. 5.

пространственные

от¬

центров, об¬

линии

то

получается
ось.

связки

связка

вращаются каждая

сфер, совокупность сфер,
же сфер, относи¬

Совокупность

некая точка О имеет одну и

ту же

степень, называет¬

сфер.

В случае связки
точку

виду

окружности

имеющих общую радикальную

ся сетью

и

совокупность сфер, имеющих общую ради¬

плоскость. Если же

вокруг своего центра,

тельно

как это видно на

в

Пучок окружностей, вращаясь вокруг

разует пучок

вне ее. Точки

—

связки могут быть расположены и на

окружностей

каждая прямая, проходящая через

О, пересекает каждую окружность

точек связки. Соответственно и в

точек сети. Эти точки

ются одна из

—

другой путем

взаимо

связки в двух точках, в т. н.

сферической

сети

потому что

образные,
преобразования.

аналогичного

323

они

—

пара

получа¬

III. Основные аксиомы числа (число как

с) Все

установки дают

эти

нам в

руки

суждение)

весьма тонкий

инструмент

для уловления философской сущности неэвклидовой геометрии.
Попробуем представить себе, что в эллиптической связке пара точек в
сети является одной точкой.

инверсии

себе, что точки

сфер)

Qx

Qz (рис. 5)

и

Другими словами, представим

пересечения

окружностей (и

всех

может быть,

Представить это,

связки есть одна и та же точка.

и не так легко. Но вспомним, что мы говорили выше. Точка на данной
ступени диалектического развития геометрии должна мыслиться не

абстрактно,

но

е. свой

в

уход

выразительно:

антитезу,

т.

бесконечное инобытие, свою «бесконечно удаленную»

точку. Итак, точку

Но

она вмещает в себя и свою

берем

мы

вместе с ее

что же тогда мы назовем

крайней мере

диалектической антитезой.

прямой? Прямая

предполагает

по

две точки. Но, взглянувши на рис. 5 и помня сказан¬

ное выше о выразительности точки, мы сразу замечаем, что какая-то
прямая должна
в свое

образоваться, уже

бесконечное инобытие,

шла не что иное, как

саму

же

и что если она в этом последнем на¬

себя,

то это возможно только

ря замкнутости пути, проходимого

прямая
Уйти

в

в

ею для этого.

благода¬

Следовательно,

нашей новой геометрии есть не что иное, как окружность.

инобытие, отрицая себя, и

свое отрицание
ся по

абстрактная точка удалилась

когда

и тем заново

окружности. Да

мы и

найти в

инобытии себя же, отрицая

утверждая себя,

раньше, еще

в

—

это значит двигать¬

отвлеченных

конструкции

нашли, что выразительная линия есть определенным

фигур (§ [55]),
образом замкнутая
связки за

Теперь
геометрии

Итак,
сразу

линия.

Итак, будем

считать

окружности нашей

прямые.

потребует объяснения, что плоскостью в нашей новой
нужно считать сферу.

не

вот у нас новое пространство. В нем точка

это то, что

—

охватывает всю бесконечность в смысле совмещения с

точкой

и

той, которая

от нее бесконечно удалена

смысле о бесконечности может

тут идти речь

(хотя

в

только в отношении

предельного случая, когда окружность выпрямляется
остальных же

случаях

волически); прямая

о бесконечности можно

—

это

окружность,

данной

буквальном

в

прямую;

в

говорить только

сим¬

сфера,

что,

и плоскость

—

конечно, тоже является охватом бесконечности, но только в смысле
последующих

измерений (с указанным символическим пониманием

бесконечности, поскольку Риманово пространство вообще
рассматриваться

как конечный символ

324

может

бесконечного). Все прямые

и

все плоскости в нашем новом

ку,

пространстве проходят через эту

того, говорим о связке окружностей

и

точ¬

возвращаются. Но мы, кроме

т. е. все они выходят из нее и в нее

сфер. А это значит, что прямые,

выходя из этой точки и возвращаясь в нее, заполняют решительно
всю плоскость, двигаясь сразу во все стороны, которые только до¬
пускает плоскость; и плоскости, выходя из этой точки и возвращаясь
в нее, заполняют решительно все пространство, двигаясь во всех на¬
правлениях, которые только допускает пространство.
сеть есть именно символ того нового
ше мы называли
вол

d) В

самом деле, в этом

сочетания. Можно и

нужно говорить,

имеет

т. е.

различия,

случае

через две

что

три

много
покоя

здесь

точки

и

притом

точки дают нам целых шесть точек,

определения сферы. Однако

(Гйльбертовы

аксиомы

только одна,

и

аксиомы

подвижного

также в известном смысле

порядка)

«развитие двух пар точек»). Формально

конструированные у
непрерывности

пространства

и

нас

остаются

конгруэнтности. Единственная

заключается втом, что

на конечном

тут

расстоянии. И

ности накладывает свою
хотя

у

нет

формально, т. е.

фигуры,

в той

новость

этого

параллельных прямых,

все они

пересекают друг

эта новая аксиома

неизгладимую

как они были выведены

на понятие

нас и

помощи аксиом определенности,

прямые суть замкнутые кривые, что

друга уже

форме,

при

потому

которых даже слишком

соблюдаются (понятие «между» модифицируется

аксиомы,

тут всегда

«точки» здесь есть не

прямая) определяется уже только тремя точками. Через три

для

что все

наша

аксиомы

пары точек, т. е. четыре точки, а окружность (в нашем

тут всегда проходит плоскость,

точки
что

—

полную силу

Гйльбертовы

проходит прямая, и притом одна, потому что две
что иное, как две

сим¬

пространство Римана.

пространстве

аксиома самотождественного

анализировать этот

и

пространством Римана;

значит понимать и самое

—

Сферическая

пространства, которое рань¬

печать и на все

параллель¬

предыдущие

абстрактной, до-выразительной

раньше,

они и остаются в полной

силе.

Сферическая сеть является в полном смысле слова символом про¬
странства Римана, выражающим его структуру
кой
и

форме.

прежде

Она содержит

в

в максимально чет¬

себе все особенности символа вообще,

всего отождествление идеального и

реального. Уже

обыкновенная проективная геометрия, вводящая в свое
ние бесконечно

удаленные элементы,
325

самая

рассмотре¬

но не отличающая их от ко¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

нечных, снимает различие идеального и реального. Это остается и
в геометрии

Римана, которая есть, как, правда,

метрия, не больше чем

идеальном бытие
и

и

и всякая

другая

гео¬

специальный вид проективной геометрии. В

инобытие абсолютно тождественны, как, правда,

различны. В реальном же это самотождественное различие должно

быть пространственно
кого

положено. А это значит, что все

пространства замкнуты. Тайна

заключается в

и ее

параллельных,

и вот

ства положительная. В этом

почему кривизна

я ни двигался, я,

исходной

точке.

или вниз,

результат один

При

этом я

могу двигаться вперед

и тот же.

Наконец,

гаюсь, это не значит, что меня нет в

впрочем,

другом месте,

и

гие. Тайна пространства

притом

фигур

е) Этот

это

иллюстрирует

все

пространства. Именно, пусть точкой у

новой плоскостью

всю

—

мы поместим плоскость,

прямая связки

будет судить

о

нечно, на основании

венство углов, а

что

Будем

мыслить

будет

эллиптического

вся

прямая

связки.

будет

в этих

случаях отрез¬
то

будут связаны взаим¬
Спрашивается: на основании чего
точек такой плоскости? Ко¬

угла между соответствующими двумя прямыми
на эллиптической плоскости

е.

равенство отрезков

нужно

есть ра¬

прямая, неопределенно продолжен¬

есть не что иное, как

представить себе угол
этого

свойства

пересекающую нашу связку,

расстоянии двух

полупрямая, т.

одну сторону,

скольку для

символ

и точка этой плоскости

Следовательно, отрезок

захотели

подвижного

пространственный

нас

понимать как некий угол и, в частности,

ная в

проходя дру¬

понимать плоскость связки и под

связку. Но

но однозначным соответствием.

связки.

время

равно,

окружностей, а просто связку прямых. На этом символе

прекрасно

ком? Если

вверх

или, лучше, пространство как символ.

Тогда под новой прямой придется

можно

во всяком месте, как

символ можно несколько видоизменить.

себе не связку

каждая

в это же

Римана, повторяясь, есть тайна

вездеприсутствия идеальных форм,

Клейн

или назад,

если я совсем не дви¬

другом месте. Я
—

опять к той же

и двигаюсь по всем местам, достигая одни и

идеальных

в таком

такого простран¬

пространстве, куда бы

известную замкнутую линию, возвращаюсь

и в

пространства

пространственного

описавши

нахожусь

та¬

не различимо ни идеальное, ни реальное. Вот по¬

инобытия, где уже
нет

прямые

выразительном вездеприсутствии идеального,

идеально-отвлеченной фигуры

тождестве

чему тут

эллиптического

прямой угол. Если

же мы

на эллиптической плоскости, то, по¬

необходимо пересечение двух прямых,
326

а под

пря¬

§ 71. Аксиома выражения

в

геометрии

мой мы условились понимать плоскость связки, угол этот на плоско¬
сти есть, очевидно,
чае

—

окажется

А треугольник

двугранный угол.

—

На основании такого толкования эллиптической

сиом

тут

одним

планиметрии

категории геометрии предыдущих

понимаются в новом смысле и эта новизна везде

прежде

всего

встреча идеи

в

инобытие,

мая эллиптического

весь

обладает

инобытии с самой собой.

И вот: точка эллиптического пространства уходит
но все это

путь, пройденный ею,

пространства уходит

в свое

в свое

инобытие,

есть точка же;

но этот

угол

эвклидовской
в

около своей начальной точки, создает

мы считаем

пря¬

угол,

отрезком эллиптической плоскости; угол

на

плоскости таким же точно путем превращается у нас

двугранный угол,

но этот

ской плоскости и т. д.

двугранный угол

Везде тут один

и есть

выражением

угол

и тот же метод

идеальной фигуры при помощи инобытийного
если под

пря¬

инобытие, создавая

своим движением плоскость, но эта плоскость есть только та же

мая; отрезок, вращаясь

ак¬

выразительности. Выразитель¬

и тем же методом, методом

ность же есть

слу¬

связки.

трехгранным углом

мы должны сказать, что все

в таком

понимать не внешний

к ней

—

эллиптиче¬

выражение

пространства,

безразличный приве¬

сок, но самостоятельную смысловую категорию.
Усвоивши

себе этот

выразительный

символ

пространства, нетрудно уже дедуцировать
последнего, равно

фикации

всех

пополняются

предыдущих
указанием

секаются, равно
нельзя

Л,

как и видеть

эллиптического

прочие особенности

эллиптически-выразительные моди¬

аксиом. «Аксиомы сочетания», очевидно,

на то, что всякие

вообще две прямые пере¬

как и плоскости. В «аксиомах

просто утверждать,

так как на

и

что если Л

замкнутой кривой

расположения» уже

предшествует В,

то В

следует

за

две точки еще не дают представления

о направлении. Только четыре точки, или т. н. разделение двух пар
точек, обеспечивают здесь категорию следования и «порядка». Две
точки определяют тут не один отрезок, а два

сти

прямых).

(ввиду той же замкнуто¬

Но так как две прямые продолжают тут пересекаться в

одной точке, то получается, что прямая не делит эллиптической пло¬
скости на две раздельные части, а плоскость не делит пространства
на две равные части. Две пересекающиеся прямые

четыре угла, как у Эвклида,
как и полный

доказывается

образуют тут

а только два, и два смежных

не

угла, равно

угол, одинаково равняются двум прямым углам. Легко
и

существование

в

эллиптической плоскости треу-

327

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

гольника, у которого все углы прямые. Так как угол равен тут отрезку,
л. Можно сказать,
полупрямой
у а длина всей прямой
что прямая есть частный случай окружности, когда ее радиус равен
=

то длина

у

=

,

Сумма углов треугольника всегда меньше л. Этот факт, между про¬

.

чим, если его истолковать методом связки, есть не что иное, как то,
что сумма трех двугранных углов треугольника больше двух прямых
двугранных углов. Это обстоятельство так же ясно, как и то, что про¬
хождение через одну точку всех перпендикуляров к одной и той же

прямой соответствует прохождению через некоторую прямую
плоскостей связки,

перпендикулярных

Площадь всей плоскости

Если

2л

=

к

одной

и

всех

той же плоскости.

и т. д. и т. д.

эвклидовской сфериче¬
ской тригонометрии сферический треугольник есть не что иное, как
мы

обратим

трехгранный угол

с

внимание на то, что в

вершиной

дугам больших кругов, то
эллиптическая

в

центре шара

можно

будет

тригонометрия

и

сторонами, равными

сказать, что

прямолинейная

тождественна

вполне

Если

с

эвкли¬

наши отвлеченно¬

сферической тригонометрией.
фигуры будут воплощены на поверхности шара, но в то
время будут квалифицироваться не как явления на поверхно¬

довской

идеальные
же

сти,

а как явления на плоскости, то мы и

получим эллиптическую

геометрию. Этим фигурам будет свойственна любая выразитель¬
ная

не от них самих, но от

кривизна, зависящая

го отождествления их с чистым и

непосредственно¬

пустым, абсолютно

алогичным

инобытием-пространством.
f) Наконец, из основных геометрических свойств анализируемой
плоскости я бы

указал еще на одно,

что здесь имеется.

Именно,

может

быть, самое замечательное,

эллиптическая плоскость

одностороння.

И чтобы это понять, тут тоже необходимо полететь «вверх пятами»,
но только на этот раз уже в

представить,
и

буквальном

что плоскость не имеет двух

смысле.

Можно ли

себе

сторон, например верхней

нижней? Казалось бы, это есть уже какое-то умопомешательство.

А тем не менее это надо себе представить, так как настоящая
математика вообще есть ниспровержение «здравого рассудка», хотя
людская пошлость сумела

математику

именно как

и здесь поставить все

вверх дном

и понять

Но что же это

апофеоз здравого рассудка.
поверхность? Укажем сначала
потом приведем и геометрический образ.

такое, односторонняя плоскость, или

ее

философское

место и

Мы знаем: всякая прямая имеет только одну бесконечно удален-

328

§ 71. Аксиома выражения

в

геометрии

ную точку, что указывает на тождество положительного и отрица¬
тельного направления в смысле достижения этой точки. Мы знаем
также, что в эвклидовском пространстве две параллельные встреча¬
ются в бесконечно

навстречу.

удаленной

точке, как бы изгибаясь одна

Но представим себе некую

фигуру между

раллельными. Если верхняя параллельная
няя

кверху, то, очевидно, фигура,

этими

склоняется

заключенная

другой

двумя

книзу,

па¬

а ниж¬

между параллельны¬

ми, перевертывается, прохождение через бесконечно удаленную
область сопровождается перевертыванием. То,
ласти есть

верх,

то в бесконечности

—

что в конечной об¬

низ, а что низ, то

верх. По¬

—

верхность, проходящая через бесконечно удаленную область,

различить, где лицо

и

Таким образом, односторонность поверхности есть

в

ворачивается наизнанку,
где изнанка.

вы¬

философском

так что

уже

смысле не больше как

отрицает самого

себя,

ждествляется с собою.

но где оно

Одна

нельзя

уход

в

инобытие,

одновременно

и та же

где уходящее

и находит

философская

себя, ото¬

идея заключается

и в том, что прямая имеет только одну бесконечно удаленную точку,
т. е. что направления тождественны, и в том, что

через

фигура, проходящая

бесконечно удаленную точку, перевертывается,

липтическая плоскость

бесконечности,

и в том, что эл¬

одностороння. Ведь последняя

есть символ

т. е. она воплощает бесконечные отношения в ко¬

нечной и, следовательно,

выразительной форме. Поэтому

то, что у

Эвклида осуществляется только при условии предельного процесса,
в геометрии Римана происходит уже в конечной области.
Яснее всего односторонняя поверхность представима на поверх¬
ности

Мёбиуса (рис. 6).

Если

в

одной точке этой поверхности

местим и заведем часы, то, когда они
и

вернутся

к

исходной точке,

всю

эту поверхность

стрелка движется

в обратную сторону. Если по средней
поверхно¬
Мёбиуса пройдет река, то мы, двигаясь вдоль одного берега, рано

линии

теперь уже
сти

пройдут

мы заметим, что их

мы по¬

329

III. Основные аксиомы числа (число как

или поздно

очутимся

вания с одного
эллиптическом

на

берега

другом берегу,

на

другой

пространстве,

поверхности), философски

хотя и без всякого переплы¬

по воде. Эти

чудеса, творящиеся

в

математически объяснимы слишком

элементарно, чтобы можно было

вательно

суждение)

удивляться (идея односторонней

же это есть только логически последо¬

проведенная идея бесконечности.
вполне ясна

Однородность поверхности
Если эти прямые

образуют конус

и на связке прямых.

повернем на 180°, то

и его ось мы

образующая, которая раньше описывала коническую поверхность
в одном

есть

будет

направлении, теперь

описывать ее в

обратном,

что и

признак односторонности.

6. В настоящем

контексте мы не

будем подробно рассматривать

виды выразительного пространства и ограничимся лишь краткими
замечаниями.

а) Во-первых, пространство Римана
Когда мыслится,

тическим.

прямой

не в

Риманову,
сеть

одной,

но

сфер,

а в

точки. То же самое мы

сферического пространства
полных прямых). Тогда, по

получим,
возьмем

не

за

если в качестве

плоскостью

лучами, углом

—

вся

с

аналогии

на плоскости

связки

лучей

отрезком

связка,

эллиптическим

—

—

плоскость

угол между двумя

трехгранный угол и т. д. Если же мы из

—

опишем

пра-

связку лучей (вместо

пространством, точкой будет луч связки, прямой

центра

другой

теперь должны пару точек сети принимать

символа

связки,

с

как в эллиптическом пространстве, но за две взаимно

сопряженные
связки

прямая пересекается

точках, мы получаем не эллиптическую

двух
сферическую Риманову геометрию. Используя нашу

мы

одну точку,

что всякая

может быть только эллип¬

шаровую поверхность радиусом

=

1 и

установим взаимно однозначное соответствие между лучами связки
и точками поверхности, то полученная геометрия на поверхности

будет

шара
стоит

полным

только

под

пра-символом

точкой

сферической планиметрии

понимать

точку обязательно шаровой

поверхности, под взаимно сопряженными точками

противоположные, под прямой
плоскостью

—

—

—

что

диаметрально

—

дугу большого

угол между окружностями больших кругов

сферический треугольник При

эллиптической системой тут и

того,

—

окружность большого круга, под

поверхность шара, под отрезком

круга, под углом
треугольником

—

сферическая

большие различия

плоскость

—

—

330

—

и под

всем сходстве с

вроде, например,

двухсторонняя (она тут

как бы

§71. Аксиома выражения

в

геометрии

дважды выворачивается и потому остается в первоначальном
или что полный
Если

составляет

угол

тут

не два, а

четыре прямых

разница между обеими геометриями Римана
прямых и связки

геометрий связки

ке мы находим два

луча

другой

в

есть

скости

что

каждой

разница

лучей, то для прямой в одной связ¬
и, следовательно,

фигура

пространстве соответствует двум симметричным фигурам
пространстве,

виде)

и т. д.

в одном
в

другом

точке и двум прямым эллиптической пло¬
взаимно

различные,

соответствуют две

точки и две прямые с двумя

общими

точками

противоположные

сферической

плоско¬

вообще говоря, эллиптическая плоскость двойная.
Обеим
Римановым геометриям противостоит геометрия
Ь)
Лобачевского, «гиперболическая». Ее пра-символ
указанная выше
сти или что,

—

окружностей. Тут мы находим бесчисленное
окружностей и сфер, которые не пересекаются с дан¬

гиперболическая
количество
ной

связка

окружностью

или

сферой.

Можно сказать, что непересекающи-

еся окружности пересекаются здесь

в мнимых точках, а две

непере-

секающиеся сферы имеют общую мнимую окружность, которую
всякая прямая, проходящая через точку О
секает

в

двух взаимно обратных

этой плоскости, пере¬

в

мнимых точках.

Вместо того чтобы

всем прямым пересекаться уже на конечном расстоянии,
дим

тут целых три категории взаимоотношения прямых. Две прямые

определяют здесь
на, и у
или

мы нахо¬

Эвклида),

или

или

пучок сходящихся прямых (это

пучок параллельных прямых (как у Эвклида),

пучок расходящихся

плоскости

прямых. Последние и есть оригинальность

Лобачевского.

перпендикулярных к

Этот

направлении

есть

пучок

беспредельно убывает

прямых,

совокупность

общему перпендикуляру двух

Расстояние между двумя параллелями
и

есть и у Рима¬

данных прямых.

беспредельно растет
в

в одном

противоположном. Поэтому

происходит непрерывный переход от пересекающихся, сходящихся
прямых через параллели

к

вещественных бесконечно

раллельных прямых
ка, то у

удаленных точек,

а у

вовсе нет

Эвклида для

имеется только одна бесконечно

всех па¬

удаленная точ¬

Лобачевского, всилу наличия расходящихся прямых, имеется

целая область бесконечно

эту область,
за

расходящимся. Если у Римана

удаленных точек,

но все еще не пересекаются в

так что они

ней,

а

пересекают

пересекаются где-то

ней,мнимо.
Пуанкаре дал

истолкование

замечательное по наглядности и осязательности

пространства Лобачевского
331

в

эвклидовских

терми¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

нах. Оно сводится тоже к пра-символу

гиперболической

связки, но

формулировано по-своему, ярче
определеннее. Пусть
некую прямую, все точки которой (V, N\ LL.) являются бесконечно
удаленными точками. Пусть мы будем считать точкой обязательно
точку верхней полуплоскости, а прямой
полуокружность с цен¬
и

мы имеем

—

данной прямой

тром

на

(она,

как ясно,

или

полупрямую, перпендикулярную

будет предельным

случаем

этих

к ней

полуокружностей).

Новой плоскостью мы станем считать только верхнюю полупло¬
скость, и вообще нижней полуплоскости для нас не существует. Тог¬
да под параллельными прямыми придется считать полуокружности
и полупрямые, которые имеют общий конец. На рис. 7 полуокруж¬
ности UV и

не имеющие общих точек, суть непересекающиеся.

Полуокружности
лельны.

UPU и UV с общей точкой на данной линии парал¬

Пересекающимися прямыми

здесь окажутся, например, VPV

и UPU с точкой пересечения Р выше данной линии.

Вдумаемся

в

эту интерпретацию Пуанкаре. Мы видим,

что

про¬

странство устроено здесь также по закону некоторой кривизны, так
как мы

принуждены толковать прямые в виде полуокружностей.

Фик¬

сируя себя в конечной области, мы начинаем замечать, что оба конца
прямой, на которой

мы поместились,

это не та единая бесконечно

конца прямой

в

уходят в бесконечность,

удаленная точка, до которой доходят оба

Эвклидовом пространстве. Это разные

точки. Если

эвклидовская полупрямая, уходя в

бесконечность, получает

одну бесконечно удаленную точку,

как бы только касается,

вается до бесконечности,
нами

открывается

в

в

но что

только

дотраги¬

гиперболическом пространстве перед

этой бесконечности еще новая бесконечность,

т. е. мы тут не просто дотрагиваемся до нее, но входим

332

в ее

глубину

§71. Аксиома выражения
и, таким

в

геометрии

охватываем бесконечность самой бесконечности.

образом,

Сама бесконечность тут положена как таковая, ставши из мнимой

(в

пространстве) фактической, вещественной. На на¬
шем языке это значит, что параболическое становление перешло тут

эллиптическом

в

гиперболически

ставшее. В конечной же области это сказывается

расходящимися прямыми, тем,

бесконечно

что к

данной прямой

че¬

рез данную точку возможно бесконечное количество параллельных.
Если

в

пространстве Римана каждая точка, уходя

становления, тут же

и

возвращается

к

себе,

в

бесконечность

так что мы

уже

ной области созерцали этот диалектический круговорот, то

болическом пространстве
но уходит в
это, но

точка не только не

в

в

возвращается

реальную, вещественную бесконечность,

стремится

в конеч¬

и

гипер¬
к

себе,

не только

этой бесконечности утвердиться и осесть. Тогда

пересечение двух прямых, прошедших через бесконечность, может
быть только мнимым, т. е. оно попросту отсутствует вещественно
только идеально

представляется.

Но, пожалуй, интерпретация Кэли
(рис.

три

8). Представим

этого

и

—

Клейна еще более простая

себе шар. Точкой пусть

шара, прямой

—

его

хорда

будет точка

и плоскостью

—

только

вну¬

любое круговое

сечение шара. Все точки на поверхности шара исключаются. Тогда
пересекающимися прямыми окажутся только те, которые имеют

общую точку внутри шара. Если иметь
то пересекаться с АВ будут все прямые,
АМВ. Все
АВ

же

прямые

(вещественно,

Прямые МА

и МВ

пересекающихся
ле

за

пределами

этого

в

виду прямую АВ

исходящие из М

угла

не

и

точку М,

внутри угла

будут пересекаться

с

пределами круга).
будут пересекаться
будут отделять все пересекающиеся прямые от не
с прямой АВ, т. е. они будут параллельными в смыс¬
мнимо за

а

Лобачевского. Мы видим, что непересекающихся, расходящихся

прямых

в этих

условиях может быть сколько угодно, что бесконеч-

Рис. 8

333

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

но удаленные точки никогда не могут быть достигнуты
исключаются с самого

ные» углы
аксиомы

с

начала),

«перпендикуляром»

из М и АВ и т. д.

как они

образуют «рав¬
Тут выполняются все

за исключением аксиомы об

геометрии,

(так

что прямые МА и МВ

единственной

па¬

раллельной.
с)
довой

В данном месте нет надобности давать обоснование эвкли¬
геометрии; тем более

нет надобности

как-нибудь

иллю¬

стрировать относящиеся сюда области.
Заметим только ради единства изложения, что пра-символом
Эвклидового пространства также может быть связка окружностей

и

типа, т. е. когда все окружно¬

сфер, причем
параболического
сти и сферы имеют одну общую точку (см. выше, п. 5Ь). Пусть прямы¬
ми и плоскостями будут окружности и сферы сети, а точка останется
в обычном виде. Другими словами, всякая окружность окажется сим¬
волом бесконечно удаленной прямой, а параллельными прямыми
именно

окажутся
увидеть,

все

окружности, пересекающиеся

в

данной

что все до-выразительные аксиомы и

параллельности

вполне

найдут себе

тот же

Пуанкаре

точке. Легко

Эвклидова

аксиома

место в так понимаемом

про¬

странстве.
d) Наконец,

еще в одной

старой работе*

дал

простейшее и яснейшее представление об основных «квадратичных»
геометриях, под которыми он понимает геометрии, рассматриваемые
с точки зрения основной поверхности второго порядка. Если этой
основной поверхностью второго порядка является обыкновенный
шар, то эта

условии

сферическая геометрия

понимания

Геометрию Римана

гиперболоиде

в

больших

мы

часто

параболоиде,

мешают

и

а

при

в

геометрия Римана при

качестве

поставить

вопрос

если отказаться от

геометрам серьезно

При двуполом
мы

поверхности

эллиптическом

пространствам. Пуанкаре говорит,

прямых линий.

на эллипсоиде.

основной

геометрию Эвклида. Можно
однополом

кругов

получаем

качестве

геометрию Лобачевского,

и есть

параболоиде
о

геометрии

—

на

предрассудков, которые

отнестись

что для

и

имеем

к

тем

или

другим

геометрии однополого

гиперболоиданужнопризнать,что:1) расстояниедвухточек, лежащих
на

одной

и той же

прямой

на

производящей основной

’

поверхности,

Bulletin de la Societd mathdmatique de France. T. XV. № 7,203—216. Есть рус.
пер. Д М. Синцова: «Об основных гипотезах геометрии» в сб. «Об основаниях
геометрии». Каз., 1895.
334

§ 71. Аксиома выражения
равняется нулю;
эллиптические

что

2)

никаким

диаметральные

геометрии

движением

что

3)

Словом,

сколько

столько можно

себе представить

и

к

(как

180°).

трем видам выразительной
в п.

чистая

акси¬

3, дадим общую харак¬

внешнее

которому видно внутреннее. Внутренним,

пространство,

или идеальным,

про¬

фигурность как таковая, в той форме, как

она выведена на основании аксиом
ности и

совместить

из ее точек

квадратичных геометрий.

геометрии, формулированным

странством является

и

существует поверхностей второго порядка,

теристику выразительного пространства.
Выразительное пространство есть такое
по

одной

сама собой прямая при вращении на

7. В заключение, возвращаясь
оматики в

превратить

невозможно

прямую с самой собой путем вращения около

у Эвклида совмещается

нельзя

гиперболические (то

в

сечения

прямые);

за

другое принимается

в

едино-раздельности, непрерыв¬

конгруэнции. Внешним, реальным, инобытийным простран¬

абсолютно-внефигурное становление, противостоя¬
фигуре. Когда рождается выразительное пространство,

ством является

щее всякой

то тем самым

пространств

прекращается раздельное бытие обоих абстрактных

и возникает их

абсолютное тождество как символ. Этот

символ есть перво-принцип выразительного пространства.
Пространство как символ, как символическое пространство сна¬
чала понимаем непосредственно, как простую положенность, как
тезис. Это значит, что идеальная
площена на темном поле

Но воплотиться идее
мгновенно

образом,

опознание себя в

присутствовать ей везде,

всю длительность

словами, идея, уходя вовне, там
бывая, таким

в

и целиком во¬

инобытийно-бесконечного пространства.
значит целиком

—

охватывать

фигурность просто

же вовне и

пространства. Другими

встречает себя, вечно пре¬

нерушимом круговороте себя самой. Это

инобытии, эта встреча

с самой

собою, когда

всякая

точка сразу двигается от себя самой во всех возможных направле¬
ниях и тем самым отовсюду

пространство
и есть

приближается

сферическое пространство

себе самой,

она есть система

принцип

вот это

символа

безразличия,

а

собрана

выразительной кривизны, обозримая уже

масштабах. Да бесконечность

границ. Истинно бесконечное
смысле конечно.

—

Римана. Оно бесконечно, но его

бесконечность не расплывается до

нечных

к

как символ, как тезис символа, как

—

и не

нуждается

в

в

себе;

на ко¬

отсутствии

оформление, определенно и в этом

Или, выражаясь бессмертными
335

словами Римана в

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

его

общеизвестной вступительной

оно

—

безгранично,

но не

Но вот, символ переходит
в

Пространство,

он

отрицает себя.

котором каждая точка возвращалась

геометрической идеи

в

себе

что

к

себе

и кото¬

был обеспечен круговорот бытия
было этому бытию иметь

и невозможно

другие пути для перемещения

бездну

инобытие;

в свое

рое было сконструировано так,

сается в

лекции о гипотезах в геометрии,

бесконечно.

фигур,

—

это

пространство вдруг бро¬

бесконечной тьмы, забывает себя, отчуждается себя,

перестает быть собою. Раньше оно было вечным возвратом себя, те¬
перь же оно

—

антитезис этого

себя без возврата

к

себе,

не

возврата,

т. е.

теперь

а истечение в

круговорот,

оно

—

уход от

неведомую мглу.

Положительная кривизна сферического пространства распрямляет¬
ся и

превращается

в

прямизну. Пространство уже

не

обеспечивает

приводило
предметы]
Наоборот, пространство сконструировано здесь так, что если
вещь уходит от некоторой точки, то она уходит всерьез и уже никогда
такого движения, чтобы оно

их к самим же

себе.

не вернется к исходному месту. Таково пространство Эвклида.
Но всякая идея, даже уходя в абсолютное инобытие, даже забы¬
вая себя, все же остается самой собой. Если бы раз навсегда идея
перестала быть самой собой, то она никогда не смогла бы воскрес¬
нуть и вновь. Смысл не может перестать быть смыслом, хотя его и
можно забыть.

нет,

инобытии,

то нет и самого инобытия.

пространстве
рот

Пребывая в инобытии, она есть
пребывает в инобытии?

то что же тогда и

точки в

дово

этот

себе,

возврат

смысла к

из отрицания

пространство?

она, ибо если ее

Однако где

себе,

этот

уже

Если нет того, что
же в

в

Эвклидовом

идеальный кругово¬

которого родилось

и само

Эвкли¬

Мы утверждаем, что в инобытии идея теряет

себя, забывает себя, становится чем-то не в себе и не для себя, но
для иного. Что-то иное

фиксирует ее,

как ее, а она себя не

фиксиру¬

ет, как себя, она себя теряет, как себя. И действительно, точка, уходя
в

бесконечную точку инобытия,

уходит

сама вовсе не значит того, что она

именно в бесконечность. Сколько бы точка ни двигалась в

том или ином направлении, неизвестно, где же именно

здесь бесконечность. Как бы
клидовом пространстве

и как

ни

бы

наступает
в

Эв¬

уходила
фактически
обнаружит того, что

бес¬

удлинялась данная прямая

конечность, никакая точка ее никогда не

она ни

в

она

перестала быть конечной точкой отрезка и превратилась в точку
бесконечно удаленную. Вот это и значит, что геометрическая идея

336

§71. Аксиома

выражения в геометрии

бросилась здесь в бесконечность стремглав,

вслепую, что она вовсе

не знает того, где она находится, что она не может отличить конеч¬
ного от бесконечного.
Но об этом знает кто-то иной. Именно, оказывается, что на пря¬
мой Эвклида существует только одна бесконечно удаленная точка,
что на плоскости Эвклида существует только одна бесконечно уда¬
ленная прямая, что трехмерное пространство Эвклида достигает
только одной бесконечно
это значит, что

удаленной

безразлично, куда

плоскости. Что это значит? А

двигаться точке по данной пря¬

мой, направо или налево. Она все равно придет в одну и ту же бес¬
конечно удаленную точку. Wo знает ли об этом сама точка, т. е. несет
ли она с собою тот смысл, по которому можно было бы судить, на¬
ходится ли она в конечной области или в бесконечности?
нет. Точка знает, что в одном

другом

—

направлении путь положительный, а

отрицательный; для

направлений

Конечно,

нее существует

в

безусловное различие

движения. А того, что она придет в одну и ту же точку

независимо от направления движения,

—

этого она не знает; и это с

трудом усваивают даже те, кто учился геометрии. Точно так же она,
как сказано, не знает различия конечного и

вознамерилась двигаться
конечными

по конечной

интервалами,

можно никогда

прямой

возвращается

к

себе,

случае

Эвклидовом

бесконечности,

как

но она не знает ни того, что

ни того, что она

конечности (подобно тому как
она или

к себе из

в

она

невоз¬

отрезков

получить бесконечную прямую. Итак,

сферическом пространстве Римана,

она

или во всяком

а ни из каких конечных

пространстве точка тоже возвращается
и в

бесконечного, ибо

возвращается

к себе из

в топологии линия не знает,

кривая). Идеальная фигурность (точка, прямая

и

бес¬

прямая

пр.),

или,

короче, идея, перешла тут в инобытие, как и у Римана, но она, кроме
того, забыла себя, погрузилась в инобытие вслепую, без всякой на¬
дежды на возвращение к себе. И вот почему к данной

данную точку

возможна только одна

параллельных встречаются одна

с

другою

щественной бесконечно удаленной
чего не знают, ибо

Так

практически

с полной ясностью

параллельная;
в

прямой через

и вот

почему две

одной-единственной

ве¬

точке. Об этой встрече они ни¬

они никогда ее

рисуется перед

достигнуть

не

могут.

нашими глазами диалектика

параболического пространства: оно есть прямая, непосредственная,
в самом буквальном смысле диалектическая антитеза сферического
пространства Римана.
337

III. Основные аксиомы числа (число как

Но самозабвение
ление не всегда

ление,

и

—

не

в

суждение)

инобытии не абсолютно. Движение и станов¬

безразлично

получается

ет момент, одна капля

и слепо.

Очень долго длится станов¬

никакого нового результата. Но

дальнейшего

наступа¬

становления вдруг переносит

всю систему на новые рельсы, и начинается становление
всем новое, в неожиданном и небывалом смысле. Так

пространство, распрямляя
в

вдруг превращается
следнее,

больше

и

сферическое

больше свою кривизну,

пространство параболическое. И

этот

продолжая

все

процесс

шает скачок и становится

со¬

уже

все дальше и дальше,

так это по¬

вдруг совер¬

пространством Лобачевского, гиперболи¬

ческим.
Что же это за

гурность ушла

процесс

и что это за

от себя и забыла

себя,

скачок? Когда идеальная

фи¬

произойти

даль¬

ше? Дальше может быть только продолжение этого ухода от

себя,

ибо диалектический процесс

уйти

еще дальше от себя
и дальше, но

—

то что может

всегда идет только вперед. Но

это значит не

закрепить самый факт

просто вечно двигаться дальше
этого вечного движения, осесть

и окопаться в инобытии не в смысле простого становления, но в
смысле

субстанции.

А это возможно только тогда, когда в наших ру¬

ках находится вся бесконечность, когда она
а не

но,

просто точка движется по ней

слепота остается и здесь,

точки с
сти и

ко

после ее

пройдена

и здесь нет никакой

расстоянии (ибо это толь¬

бесконечного).

пройдена вся бесконечность, то, значит, пройдено

пройдено

ла, значит,

все

встречи

из бесконечно¬

возвращения

на конечном

и есть символ как тождество конечного и

а если

вся целиком,

неопределенную даль. Конеч¬

потому что

собой, самой собой,

встречи обозримой

в

Но раз

инобытие;
инобытие, значит, прекращено забвение смыс¬
и все

покинутый смысл вновь возвращается и вновь начинает
Правда, одной мысленности вечной встречи с самим со¬
Но ничего иного гиперболическое пространство обеспе¬

мыслиться.

бою мало.

чить не может. Оно
в

бесконечность,

пространстве

гарантирует мнимую встречу точки, уходящей

с самой

хотя эта

собой,

встреча

и

в то

время

как в

параболическом

была вещественной, но она была

вне смысла встречающихся элементов, она была для иного, о ней не
заявляли самые встречающиеся элементы. В

пространстве,

Пуанкаре

как это мы яснейшим

и Кэли

ми бесконечно

—

образом

гиперболическом

видели на толкованиях

Клейна, происходит встреча прямых

удаленной области
33«

вполне

же

ощутимо

за предела¬

и сознательно,

§ 71. Аксиома

Или, выражаясь точнее,

хотя и мнимо.

ся как необходимость. Эта
но для

себя;

выражения в геометрии

это

встреча,

она здесь начинает мыслить¬

есть

встреча

уже

не для иного, не вне

так сказать, в сознании; точка

тут

себя,

начинает

собою, обойдя

вспоминать, что она может и должна сойтись с

всю

бесконечность.

обозревая

Только
нать

вспоминать

о

всю бесконечность

бытии.

инобытия,

обозревание

Но

обеспечивает только

воспоминание, только мнимость. И вот почему

пространстве параллельных прямых
ную точку

последней

вне этой

можно начи¬

в

гиперболическом

данной прямой через дан¬

к

бесчисленное количество; вот по¬

—

чему здесь сколько угодно расходящихся прямых, которые нигде
никогда не

встречаются вещественно, несмотря

конечности целиком. Но даже по

встречаются

мнимо за

этому

же

на

обход всей бес¬

самому данные прямые

пределами бесконечно удаленной области.

Эти расходящиеся прямые искривляют здесь пространство

ную сторону

по

сравнению

с

и начало

загибаться

спечивает для точки ее

в

так как

перешло стадию параболической

другую сторону. Эта кривизна обе¬

собою в мнимом

встречу с

обрат¬

в

пространством сферическим,

последнее в своем распрямлении

прямизны

и

щественно она так же лишена этой

встречи,

пространстве,

как и в

а ве¬

параболическом

пространстве.
В смысле диалектики выразительного пространства

пространство обладает

ческое

становлением,
бытием

—

всеми

инобытием,

или

сферическое.

понимать

Оно есть

гиперболи¬

чертами ставшего,

факт,

если под

параболическое,

а

под

наличное бытие бесконеч¬

ности. Факт не есть сам смысл, но он несет на себе смысл; и этот
смысл

—

мнимый. Сам по себе смысл не есть ни

ственное, ни

что-нибудь

что-нибудь

веще¬

мнимое, так как эти моменты возникают

лишь при переходе чистого смысла в его инобытие. Однако если
смысл перешел в инобытие,

оброс

телом и стал

фактом, то прежний
факта, не

чистый смысл оказался мнимым смыслом. Пока не было
было и мнимости. Но

ко

раз

возник

факт,

возникла и мнимость.

тут залегает диалектическое противоречие. Факт есть

действительность,

вещественность, а его смысл есть только мни¬

мость. Факт сам по себе слеп, а
мнимый.

только

зрячий

смысл

—

невещественный

и

Это противоречие должно быть снято, а оно снимается, как

мы

ется, как

Одна¬

субстанция,

перестанем

мы знаем, в

отличать

вообще обе

эти

выражении. Следовательно,
339

сферы.
в

Оно снима¬

этой общей обла¬

III. Основные аксиомы числа (число как

сти

выразительного пространства

странство, которое было бы

по

мы должны

суждение)
конструировать про¬

преимуществу выразительным, было

бы выражением выражения пространства.
Но
случае

снять
—

различие

бесконечности
ственные. Но

Римана. Тут

и

тут

но

уже

и

в нашем

мнимого смысла

гиперболическое пространство
его мнимые коэффициенты

его слепой

превратить

мы сталкиваемся с эллиптическим

в веще¬

пространством

воспоминание стало реальностью; и точка, забывшая

себя в бесконечном

бою,

факта

слепого

значит лишить

инобытии,

не мнимо, а

вновь

обрела себя и встретилась с со¬

действительно. В

эллиптическом простран¬

стве нет того абсолютного самодовления, которое мы находили в

пространстве сферическом. Тут
себе из инобытия
держит

в

вообще

в каком

ное

пространство

себе симметричное удвоение

сферическим. Но
она

в том, что

остается явный след его

не

это

двойное,

сравнении

зато эллиптическая плоскость

ориентирована

инобытии для

инобытие

в

она

своего

в

пространстве;

существования,

уже вместила

в

с

возврата

к

что оно со¬

пространством

одностороння,

она не

т. е.

нуждается

ни

так как всякое возмож¬

себя, пройдя

бесконеч¬

всю его

ность насквозь.

Теперь
тельного

мы можем

пространства

лучили раньше

в

с теми видами

фигурного пространства

ния. Самой

геометрию вырази¬

геометрии, которые

до-выразительной области (§[55]). Там,

как были выведены самые категории
типы

связать

непосредственно

тивная, аффинная

и

фигур (§[63]),
модификациями

в связи с

общеметрическая. Теперь

ровать эту последнюю. Мы

после того

мы имели

общей геометрией была топология,

мы по¬

разные

становле¬

потом шли

мы можем

проек¬

расшиф¬

помним, что в диалектической эволюции

типов пространства играли основную роль бесконечно удаленные
и мнимые элементы. Чтобы от проективного пространства

перейти
аффинному, необходимо ввести бесконечно удаленную плоскость
(или поверхность), а для перехода от аффинного к метрическому
надо было ввести мнимый сферический круг. Поскольку вырази¬
к

тельная

сфера есть не что иное, как модификация до-выразительной

отвлеченной идеальности, постольку теперь для дальнейшего вы¬
ведения типов пространства мы должны только

употребление
удаленных

введенного

и мнимых

модифицировать
(как говорят) абсолюта (т. е. бесконечно

элементов).

А именно, когда абсолют мыслится мнимым, мы получаем, оче¬

340

§ 71. Аксиома

выражения в геометрии

видно, пространство Римана: если последнее есть непосредствен¬
но

обозримый

реального,

символ как

выразительное тождество идеального

то все остальное, т. е. всякая возможная

и

бесконечность,

для него просто не существует, так как оно уже включено. Это зна¬

Лобачевского,
вещественный. Абсолютная поверхность

чит, что абсолютная поверхность здесь мнимая. У

наоборот,
здесь

—

этот абсолют

действительная нелинейная поверхность второго порядка,

причем для метрики

имеют значение только ее

Так оно и должно быть по

конечность
эта

и в ней

бесконечность,

встреча.

предыдущему. Раз идея ушла здесь

а мнимой станет,

будет теперь
наоборот, прежняя конечная

мы тоже имеем

тут оставаться

бес¬

в

забыла себя, то вещественной

Наконец, у Эвклида

но он не может

точки.

внутренние

сама

вещественный абсолют,

в том полном и

развитом виде,

как

у

Лобачевского. Именно, абсолютная поверхность вырождается здесь
в мнимое коническое сечение, плоскость

конечно-удаленной

т. н.

которого играет роль

плоскости; абсолютное же коническое сечение

вырождается в мнимую пару точек, причем имеются в виду только
те точки, которые не находятся на вещественной
няющей

абсолютную пару

прямой,

соеди¬

точек, сама же эта прямая и есть то, что

обычно называется бесконечно

удаленной прямой. Такое вырожде¬

ние абсолюта вполне понятно: ведь эвклидовское

бесконечность только потенциальная;

пространство есть

оно не положено здесь как

самостоятельно-субстанциальная бесконечность; и в этом смысле
оно есть мнимость, хотя фактически бесконечность здесь все же на¬
лична

(раз

возможно

бесконечное деление). Потому

и

говорится

о

выродившемся абсолюте.
Следовательно, три

Лобачевского
кация
из

и

основные

Эвклида

—

метрические геометрии

—

проективной геометрии,

вполне

Римана,

модифи¬

есть не больше как та или иная

закономерно возникающая

определенного функционирования геометрического абсолюта.
На

точках

тематических

пространства,

может

быть, яснее,

чем на

других

образах, демонстрируется диалектическая
Кривые второго порядка,

числового выражения вообще.

сущность
явившись

пра-символом соответствующей структуры пространства, суть
лучшие образы выразительной

пребываем
каком

в

ровном

инобытии,

лически мы

и

силы числа

в спокойном

устремляемся

в

наи¬

вообще. Сферически

блаженном самодовлении,

не

ма¬

нуждаясь

мы

ни в

обладании бесконечностью; парабо¬

неведомую мглу бесконечности
341

и

теряем

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

память о себе и, значит, о всем ином;

гиперболически

ликую крепость
что и

нас к воспоминанию об

приводит

зрится здесь,

но не

осуществляется; и, наконец, эллиптически

потерянную бесконечность,

вновь завоевываем

мерно плещет перед

нами в

нужды доказывать,
присуща

и

что

мы

равно¬

в

геометрии

нет

выразительная измеримость должна быть

множеству. Метризация множеств, однако,
гораздо гибче

териал геометрии

ве¬

обозримо-конечных берегах.

и

твердых

и она отныне

§ 72. Аксиома выражения в теории множеств
1. После дедукции выразительной измеримости

ношениях

строим

утерянной власти над бес¬
бессильно, а власть эта только

конечностью, хотя оно тут пока еще
еще

мы

материалов самой инобытийной бесконечности,

из

ма¬

неповоротлив. Мы

все еще достаточно тяжел и

не станем здесь излагать

во многих от¬

пространственный

и тоньше, так как

исследование по метризации

подробное

увлекательной темой.
литературу*. Дальнейшее же

множеств, хотя это является весьма тонкой и

Я здесь ограничусь только ссылкой на

будет

посвящено, так сказать, эвклидовским построениям в области

теории множеств.
2.

а) Выше (§ 70) было указано,

что для

характеристики сферы

числового выражения имеет завершающее значение выразительная

проработка

всей числовой

внутри нее самой. Там

чия

сферы

таковой, минуя

как

же было

указано,

удобнее всего может быть проведена сразу
ческого числа и множества. К
и для

Разумеется,

прочих

этому

и

уже столкнулись

в отношении

различением

разли¬
зрения

арифмети¬

необходимо перейти сейчас.

математических

основоположное значение. В отношении
с

всякие

что такая точка

наук

это должно иметь

геометрии, например,

мы

конечных и бесконечных элемен¬

тов

(§ [71]); это различение было уже использовано нами, хотя самые

эти

категории

только теперь должны стать

ные в

непосредственным пред¬

Типы бесконечности, рассмотрен¬

философской рефлексии.
§ 71, также суть внутренно анализируемые структуры, но и там

метом

не ставился

Наконец,

в

вопрос

о самой

категории

предыдущем мы, конечно,

и

конечного и бесконечного.

вообще

вали этими понятиями без всякого их анализа,
не были полагаемы как таковые. Вся

*

сфера

опериро¬

поскольку

они еще

становления, например,

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась

342

много раз

(ред).

§ 72. Аксиома выражения

теории множеств

в

связана с
не

проблемой конечного и бесконечного. Но и она еще пока
требовала непосредственного анализа этой проблемы. Вот к этой

последней

и надлежит нам

нами

Итак,

Ь)

теперь перейти.
число

получено

во

всем

своем

логическом

завершении. Его едино-раздельная упорядоченная определенность
дала

числовым

для

оперировать с

нам возможность

структурой,
нас

а

его

становление
точные

операциям,

усточивой
разнообразным

ним как с абсолютно
нас

привело

законы

к

также

которых

получили

необходимое диалектическое обоснование. Теперь

забываем все внутренние различия числа, обозначая
по возможности

определенность

наиболее широким термином. Это для
числа

как

такового,

или,

иначе,

числовая определенность. Спросим себя: куда

дальше? Ведь дальше уже

нас

и

просто

выразительно¬

пойдет

же

начинается вне-числовая

мы

их одним

число

сфера,
сфера
какой-нибудь
т. е.

даже вообще не количества, а, например, качества или

другой категории, смотря

по

выбору

той или иной диалектической

системы. Но мы не можем переходить
покидая
в таком

исследуемой
случае

понятия числа

с) Способ

бы

и множества

в целях еще

привлечь

на вещь извне и таким

Итак,

бытие?

хорошо известен. Это способ

образом учитывать ее

внешний

время оно отнесено только к самой же вещи

и ни к

антураж,

но в

чему другому.

на числе и множестве должно почить вне-числовое качество.

равнодушная

ифическая

число есть

постольку необходимо думать,

качественность здесь

числу применима

ченная

Поскольку

внутренне

сама к себе определенность, исключающая всякое вне-

числовое качество,

что никакая спец¬

неприменима. Но тогда

качественность

вообще,

это значит,

качество как отвле¬

категория, другими словами, потенция качеств, принципи¬

альная возможность получить
вание. Иначе
но

вообще. Как же

как раз дает возможность смотреть

Но какое же именно это качество?

что к

не

большей конкретизации

и это вне-числовое

нам

привлечения

выразительных форм. Выражение

то же

эту вне-числовую сферу,

нами математической области

мы могли

такого

в

говоря, число,

осуществляется

то или иное вне-числовое

или множество, заново

во вне-числовой

среде.

существо¬

осуществляется,

А это и оказывается ис¬

точником ряда дальнейших весьма важных и даже основоположных
математических

категорий.
3. а) Рассмотрим способы

ния, числа во вне-числовой

этого

среде. До
343

осуществления,
сих

пор

или

полага¬

мы находили в числе

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

только

специфическую определенность, которую мы выше назвали
выразительно-числовой определенностью. Что теперь будет с нею

делаться, если мы ее заново станем полагать, но полагать
числовой

среде,

так как всякая иная

конструирования

для

Полагаем
к ней не

гаем

этого

таковую

нами использована

в чистом виде. Мы ничего

и ничего от нее не отнимаем. Мы

во внечисловом инобытии и

получается. Получается то,

—

просто пола¬

нужно для

наличия конеч¬

ного числа? Если оно конечно, оно имеет конец, т. е. свою
если оно имеет

сопротивляется всякому уходу

эту границу
вторых,
ния

есть

что из

смотрим,

что называется конечным числом и

конечным множеством. В самом деле, что

ленную границу. А

во вне-

самого числа?

числовую определенность

прибавляем

ее как

среда уже

уже

за

опреде¬

границу, оно, во-первых, твердо

эту границу,

так что всякий

уход

уже нарушение самого принципа конечности. А

наличие

внутри того,

границы неуклонно ведет
что

к возможности

дробле¬

обладает этой границей, ибо ограничить

диалектически и значит превратить в

дробимое. Другими

за

во-

—

это

словами,

конечность есть не что иное, как вне-числовая определенность, но
только определенность, взятая в чистом виде, т. е. в своем бытии, в
своем принципе. Это есть просто едино-раздельность, но не та иде¬
альная, при помощи
отличие

которой впервые

одной единицы

другой

от

едино-раздельность, которая перешла
она

пе,

и

осуществилась

так что число

как таковая, т. е.

«три»

или

«четыре»

просто результатом различения
порядке следуемых единиц,

гаться

твердо положено

т. е. не

(так

числовая

как все

область).

вне

дальнейшее

во

в своем

принци¬

отныне для нас оказывается не

определенном
но

ре¬

результатом того,

что

просто результатом счета,

числа извне,

себя

есть

но та

вне-числовую данность, где

осуществилась

и отождествления в

зультатом фиксирования данного
это число

только еще производилось

пределах данного числа,

в

и что

ему дальше некуда дви¬

уже вообще

не число, но

—

вне-

Все числа, обладающие таким свойством, являют¬

ся уже не просто едино-раздельными, но и конечными.

Ь)

Математики

Некоторые

много

рассуждают

о

конечных

величинах.

даже прикидываются, что они совершенно не знают,

что такое бесконечность, и утверждают, что им известны только
конечные величины. Однако еще, кажется, ни один математик не
дал определения того, что же такое конечность по своему существу.
Более или менее определенное понятие конечного может быть дано

344

§72. Аксиома

выражения в теории множеств

бесконечного,

только вместе с категориями

сейчас

же. Но здесь пока

область,

и к

этому

необходимо отметить,

где можно искать определение конечности,

вне-числового

даже

и,

шире,

вне-смыслового

мы

перейдем

что единственная
это область

—

бытия.

О

чистом

смысле нельзя сказать, конечен ли он или бесконечен. И о числах,

себе, совершенно

взятых самих по

нельзя сказать, конечны ли они

что это есть

Профану кажется,

или бесконечны. Возьмем число «два».

конечное число. Оно, конечно, может быть конечным числом и в
качестве такового обычно и принимается. Но тут у математиков
немного слабеет память, и
что

утверждение,

если

они

«два»

забывают свое же
как

рассматривать

собственное
некой

предел

переменнойвеличины(начиная,например,хотябыстойжеединицы),
то эта

переменная

может

приближаться

к

своему пределу

не сливаясь с ним целиком.

близко, никогда

как

угодно

словами, от

Другими

единицы до двойки залегает та же самая непроходимая бездна, что и
в тех предметах, которые обозначаются математическими значками
оо

и

со.

Скажут,

утверждаю,

уже другой подход

что это

что

суждение

зрения,

вне-числовую

чем

же

область,

я как

и что сама

двойка

область,

го. Но мы не можем в математике

это

физическое было

диалектически. Всмотримся,

Ясно,

что ни

белое,

зическое качество

ни

тут

двойки

сущность конечного? Только переход
в

так

сказать,

говорить

вещественную,
конечно¬

физическом просто.

о

сущность

ни мягкое, ни

не имеется в

этого

твердое

виду. Ясно,

физического.
фи¬

и никакое

что ни отдельная

зическая вещь и ни все вещи вместе тоже не имеются здесь в

Значит,

остается только самый

ального, вообще,

т. е.

щение числового

просто

принцип физического,

бытия, когда отброшено

как

матери¬

единиц),

вопло¬

двойку не

отвлеченно-идеальную едино-

смысловую определенность вообще (т.

ставленность из двух

фи¬

виду.

все остальное, т. е. все

этого воплощения. Важно понимать

как некий чистый смысл, как

раздельность,

или

просто факт, наличие, осуществление,

конкретные свойства

во

понято математически и, главное,

в чем же

черное,

и

по себе не

материальную, физическую, впервые создает категорию

Надо, чтобы

раз

бесконечное.

есть ни только конечное, ни только
в

двойке. Но

о конечности или бесконечности

зависит от подхода, от точки

с) Итак,

к

но именно как вещь,

—

е. как со-

и вот тогда она

становится для нас конечной величиной. А под вещью здесь понима¬
ется, как сказано, не вещь во всей своей

345

чувственной конкретности,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

но вещь в своем первичном

бытие, отбрасывая

всякие

бытии,

вещь как просто вне-числовое

вопросы

о том, какое именно это вне-

числовое бытие.

d)

Выше

вне смысла.

(§ [ ]) различалось инобытие внутри смысла и
инобытие смысла

Внутреннее

инобытие

и есть не что иное, как

принцип его раздельности. Внешнееже инобытие смысла есть полная
его
и

его

разрушение смысла, принцип случайности

И когда

мы

говорим

использовано

сферы

вопрос достаточно фиксировать

тут уже

тремя

ней

три единицы,

что в ней

нельзя ответить

то тогда
не

содержится

нечных» чисел только
никакое

другое

четверка

и т. д.

число? Конечна она

материальную вещь,

раз

полагания

Тройка

двойка,

есть конечное

на то, что

конечным числом,

что в

потому

из всех «ко¬
что

потому

есть

что она отличается от единицы,

тройка

есть конечное

что мы ее понимаем здесь как
ее

акта

тут три

потому,

вообще тогда

Но тогда почему же

отличая

есть

не четверка

не есть конечное число,
и

то для

тройка. Следовательно, тройка

потому,

потому,

три

чисел.

конечным числом

тройка будет

конечное число вовсе не

тройка,

почему тройка

три единицы;

число не есть

двойки, четверки

как

актами полагания, в ней

указанием

тройка оказывается

в ней

вообще

что она не нуль, не единица, не

содержащимися. Но если мы спросим,

полагания. Если

есть

спросим, почему тройка

и т. д.; она выделена из всех чисел

число, то

виду

первое инобытие уже было

что

и тем отличить от всех соседних и всех

тройка потому,

существования.

мы имеем в

проведения дифференций внутри самой

нами для

числа. Если мы

ответа на этот

бытии,

о конечном

второе инобытие, потому

это

раздробление

оно есть становление, т. е.

противоположность,

уже

не от

вещь,

как

идеально-абстрактных

единиц, двоек и четверок, но от других вещей материального мира,
от этого стола, стула и пр. Однако материальность тут нужна только
с одной
с точки

—

правда, самой существенной своей

—

стороны,

а именно

зрения принципа физического бытия, воплощения,

с точки

зрения принципа реальности. Идеальная едино-раздельная опреде¬
ленность,

сама по себе

конечности,

чуждая

становится

всяких

конечной

категорий

определенностью,

конечностью, как только начинает мыслиться
есть

определенность,

определенность была

ставшая

конечности и бес¬
или

просто

реально. Конечность

реальным фактом. Правда, идеальная

не чем иным, как именно

результатом

счисле¬

ния данного количества единиц, т. е. она есть не что иное, как

346

про¬

§72. Аксиома выражения
сто едино-раздельность.

определить

Поэтому

вне-числовой

в виде

теории множеств

в

конечность более точно можно

данной

определенности,

как едино-

раздельное бытие.
е) Все

эти

нужно

(как

и

в

все

диалектике)

Приведем житейскую аналогию. Может
цвета,

не

будучи

просто.
черного

пиджак

нет. Есть ли

черный

что-нибудь существенное? Конечно,
оформляет и определяет пиджак? Несомненно.

нет. Но ведь

Но тогда получается,

что пиджак имеет вне-пиджачное

Раз черный цвет есть

имеющий

пиджака

ничего

есть его

вполне самостоятельный

общего

сматривали

вне-числовых

иначе к

определениях

же

чему

Все эти

определения уже
Ее мы и

аксиомах. Сейчас же идет
по

определениях числа,

никакого отношения к

о

числа как конеч¬

что имеется законченная идея числа.

до-выразительных

чернота

«черный»?

самое мы имеем и в

бесконечного, трансфинитного и т. д.
в

существу

что такое пиджак, надо иметь

структурную идею, ибо

относиться прилагательное

предполагают,

по

определение. Чтобы говорить

черном цвете пиджака, надо уже знать,

будет
Точно то же

определение.

предмет,

с пиджаком, то, следовательно,

вне-пиджачное

его понятие, его смысл, его

ного,

быть

числа

цвет как-то

черный

не

ли

конечности

максимально

Конечно,

пиджаком вообще?

цвет для пиджака

о

рассуждения

диалектические

понимать

существу своему

самому числу, ибо

может быть и не только число, как все

рас¬

речь

о

не имеющих

конечным и бесконечным

равно

и

черный

цвет может

быть свойствен не только пиджаку.
4.

а) Но, выйдя

за

пределы

чисто числовой

ласть вне-числовых категорий,
все далеко не

категория,

с

исчерпывается

которой

мы

если есть

что-нибудь одно, то есть

числовая

определенность, данная

и

первая

сфере. Про¬

Если есть вне-

едино-раздельность,

множественно-безразличное,
хорошо знаем,

об¬

закон диалектики гласит, что

что-нибудь иное.

как

в

как

что здесь нас

то есть

безразличная

подстерегает

ка¬

становления.

все

различное

мость не дана
в

сразу видим,

совершенно неумолимый

множественность. Мы

Тут

перейдя

мы сталкиваемся во вне-числовой

но

тегория

и

что конечностью

и что конечность есть только

стейший,

она же, данная как

сферы

тут

слилось в

сама по себе

неразличимое,

(так

как в этом

неподвижную точку и, следовательно,

чимости, раздельности),

но дана она

347

но эта

случае

стала бы

неразличи¬

она слилась бы

принципом разли¬

действительно

как все иное и

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

иное, т. е. как процесс, как сплошное изменение. Вне-числовая опре¬
деленность перешла в сплошную и неразличимую изменчивость,
утерявши

устойчивость едино-раздельной структуры. Это

не значит,

что последняя исчезла совсем. Если бы она исчезла совсем, то сплош¬
ная

текучесть

оказалась бы таким

(так

сказать нельзя
полагает в нем
эта

ту

о

ничего

котором ровно

бытию, уже пред¬

иную едино-раздельную осмысленность). Но

или

структура дана здесь

не

как в конечном

непосредственно,

а дана как задание, как метод, как

это не значит, что

бытием,

как всякое слово, отнесенное к

бытии,

недостижимый идеал. Опять-таки
не дана никак.

едино-раздельная структура тут

Она дана лишь как закон этой сплошной

как метод этого

текучести,

алогического становления. Само становление нигде не кончается, и
оно нигде не может кончиться, так как это

противоречило бы самому

понятию становления; становление потому
оно является

и

инобытием

внутри себя. Но, нигде

или

иную структуру,

а

и

и есть становление, что

конкретное

т. е. в

каждый

Ь) То неизменное,
есть

конечность,

становление

конкрет¬

момент становления мы должны знать, что имен¬

но становится, чего оно достигает и чего

становлении,

ту

становление и должно ее иметь.

Конкретное же становление есть необходимо
ного,

и вовне,

отрицанием едино-раздельности

не кончаясь, становление может иметь

уже достигло.

что есть в сплошно меняющемся алогическом

его

предел.

В этот предел

и

та

превратилась

которая раньше была предметом непосредственной

рефлексии, а сейчас удалилась с нашего поля зрения, и только следы ее
мы замечаем в течение всего

процесса алогического

Возьмем этот новый тип
наивозможно
числа к

чистом

другому,

вне-числовой

Когда

виде.

мы

становления.

определенности

идем

то алогическое становление

от

одного

нуль, чтобы наблюдать

в качестве

будет фиксироваться

предела

осуществляется

которых

такого становления

это становление в самом его

его чистом виде, когда оно

его

конечного

нами вместе с теми конечными величинами, в отношении

оно осуществляется. Возьмем

в

зародыше,

в минимальной

в том

форме,

когда оно только еще начинается. Чем ближе мы станем подходить к
нулю в своем алогическом становлении, тем все более и более при¬
митивные

формы этого становления

мы станем

наблюдать. То же са¬

мое соответственно можно сказать и о бесконечности как

алогического становления

(хотя

покамест мы еще не

гории бесконечности).
348

пределе

получили

кате¬

§72. Аксиома выражения
что

Ясно,

здесь

мы

в

теории множеств

сталкиваемся

с

понятиями

бесконечно¬

малого и бесконечно-большого. В математике бесконечно-малым
и

называется

переменная

своим

имеющая

величина,

пределом

нуль. Но переменная величина х стремится к пределу и тогда, ког¬
да абсолютная величина разности х

—

а

будет меньше

ного числа е, как бы мало это последнее ни было.

бесконечно-малое

есть такая величина,

ся к

меньше любой

нулю, делаясь

в состоянии

когда-нибудь

бесконечно-большое
ная

заданной

слиться с этим

может быть

бесконечно-малому)
с) Бесконечно-малое

которая

есть

Следовательно,

все время

стремит¬

будучи

величины и не

нулем. (Соответственно

определено

новая

уже

положитель¬

обрат¬

как величина,

вне-числовой

форма

определенности, мало похожая на конечную определенность. В
смысле оно

диалектическом

есть

прямая

антитеза

конечности,

являясь не только инобытием ее вообще, но именно алогическим
ее становлением. Бесконечно-малое есть вне-числовая

определен¬

ность, данная как алогическое становление. Это и есть синтез ко¬
нечности и ее инобытия, но не синтез вообще, а очень
ский синтез, именно тот
во всей своей
ей

первейший

иррациональной текучести

субстанции

специфиче¬

синтез, когда инобытие взято
и когда ее

предел

по сво¬

находится на недостаточной высоте по сравнению с

нею.
Итак,

философская сущность

бесконечно-малых есть

не

что

иное, как чистое алогическое становление.

5. Не

мы виной того, что становление может мыслиться остано¬

вившимся.

Ведь

можно же, идя по

думаю, этой

остановиться. Я

улице,

в конце концов

возможности нельзя

где-нибудь
не бу¬

отрицать,

дучи психически больным. Но если остановиться можно, то сейчас
же бесконечно-малое

приз, которому

и

бесконечно-большое преподносят

многие математики не

нам

сюр¬

обрадуются.

а) Именно, когда остановилось бесконечно-большое, это значит,
что предел, бывший на необъятном отнего расстоянии, уже достигнут,
т.

е.

и

идеальной устойчивостью. Тут

само

инобытием,

алогическое

но

становление

синтез

и есть,

одновременно

конечности

второй,

с

ее

когда чистый

едино-раздельным идеальным

чистого алогизма, но в

раздельного. Это

синтез

уже дальнейший,

алогизм отождествился с

примата

оказывается

тоже

не в

порядке

порядке примата идеального едино¬

вообще говоря, трансфинитное число.
349

III. Основные аксиомы числа (число как

От бесконечно-большого

оно отличается

суждение)

устойчивостью,

иде¬

альной законченностью, которая в то же время нисколько не удер¬
живает реального потока становления. Когда мы обозначаем мощ¬
ность первого

нуль»

—

трансфинитного числа через «алеф-прим» («алефчисел), то этот алеф-прим есть синтез

мощность конечных

устойчивости, которая характерна

как раз той самой

го числа

(и

того постоянного становления,

бесконечно-большом).
же

алеф

разом

отличается от

для конечно¬

мы находили в

Все эти т. н. числа II класса имеют один

мощность счетного множества. Этот

—

ло имеет

которое

алефа-нуля, потому

и тот

алеф коренным об¬

что каждое конечное чис¬

непосредственно ему предшествующее (кроме нуля),

меньшее же из чисел II класса, со, хотя

угодно других (конечных) чисел,
предыдущего. В

этом отношении

добляется нулю

ему

и

предшествует

все же не имеет

первое трансфинитное

класса, отличные от со и не имеющие

сколько

непосредственно
число

области конечных чисел. Существуют

в

наи¬

упо¬

и числа II

первого предыдущего. С одной

другой стороны,

стороны, среди

чисел II класса нет наибольшего. С

существует Q

наименьшее число III класса, так что все числа, мень¬

шие

Q, суть

—

числа II класса. Это объясняется тем, что всякое число

II класса может быть
тельности

Ь)

возрастающих

Таким

как

так

между
время
как

как

не

имеет

—

числом

множество есть множество всех чисел

стороны,
всякое
к

трансфинитное

тому,

что

разрыв, прыжок,

двух
так

хотя в то

обладает конечной определенностью,

конечным

оно не имеет

число антиномично в

непосредственно предыдущего,

ним и конечным числом

оно само вполне

выразимо

предел некоей последова¬

чисел.

образом, трансфинитное

отношениях. Оно

же

рассматриваемо

слоев

(а

именно:

счетное

натурального ряда). С другой

наибольшего элемента,

хотя в то же

время

число II класса меньше Q. Все это сводится

первое трансфинитное

число

со,

с

одной стороны,

есть первое следующее за множеством всех конечных чисел, а с

другой стороны,

конечные числа не имеют наибольшего числа и,

следовательно, не может
Или еще

проще:

не

существует

всякое число можно

(когда берутся
числе

и

и

первого

за наибольшим.

никакого наибольшего числа

(ибо

существует наибольшее число
натурального ряда). В трансфинитном

увеличить)

все числа

сразу дана

существовать

идеальная

и

определенность,

и

устойчивость

числа, и его алогическая неисчерпаемость. Можно сколько угодно

350

§72. Аксиома выражения

прибавляя

увеличивать со,
нисколько

не

в

теории множеств

единицу за единицей,
что

увеличивается, потому

и

от этого

этому

она

свойственна

со

идеальная определенность, вполне тождественная с той, которая
была

формулирована у
—

определенность

бесконечности,
самые эти

стороны,

этот

едино-раздельности,

категорий

увеличивать

и ни

1

в

производим

уменьшать,

все

а эта

конечности

бессмысленны. Но

процесс прикладывания

со +

действие

всяких

в отношении ее

единиц, несомненно,
самое

вне

ее нельзя ни

операции
мы

нас в аксиомах

вполне

новых

и

и даже

с

другой

и

новых

что то же

реальности, потому

со, которое бессмысленно с точки зрения

=

первого слагаемого, со, вполне осмысленно отно-сительно второго

1, потому

слагаемого,
коей

бездне,

что как-никак, а это 1 исчезает в со как в не¬

каковое исчезновение

нужно

считать событием очень

большой важности.

Итак, трансфинитное

число

конечность, есть вне-числовая
ное

или т. н.

определенность,

актуальная бес¬

данная

как налич¬

бытие (как ставшее).
6. Переходим

к самой

интересной,

вне-числовая

общей сфере

определенность

числового

но в то же

и к самой

время

той,

числа и множества, это к

трудной выразительной форме
да

(II класса),

сама становится

выражения

выражением. В

мы нашли свое

ность), свое инобытие

ког¬

бытие (конеч¬

(бесконечно-большое бесконечно-малое) и
свое ставшее бытие (трансфинитное число). Теперь мы переходим к
выражению в сфере этого выражения. Из предыдущего можно при¬
помнить,

что на

ко сейчас

эту область

основных

уже натыкались не раз,

мы

наступило время для

первое трансфинитное

(§ 52.4е)

и

ее

непосредственного

анализа. Это

Q, которое

число III класса, или

хотя толь¬

в

дедукции

категорий теоретико-множественного упорядочивания

и становления

нуум. Раньше

(§ 61.3) предстало перед

мы наталкивались на это понятие

нами как конти¬

потому, что всякую

до-выразительную теоретико-множественную категорию
рались представить
до
мы

максимально

выразительной формы,
рассматриваем

выражения

мы

само числовое

перебрали

и

конкретно

а тем самым и до

ста¬

потому доводили

континуума. Теперь

выражение-,

все более

мы

и если в

ее
же

области этого

абстрактные категории, дойдя

до выражения самого числового выражения, то это значит, что кон¬
тинуум только сейчас подпадает под нашу непосредственную диа¬
лектическую

рефлексию, превращаясь
351

из

завершающего

и

потому

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

периферийного

момента в

центральный,

в

субстанциональный,

в

непосредственно предлежащий.
а) Что

такое

континуум?

представлялся

континуум

Уже давно прошло то время, когда

чем-то

ясным,

простым,

чем-то совершенно неразложимым.

Правда,

очевидным,

для нас это не должно

значить, что континуум должен быть просто разложен на взаимно
изолированные моменты,
атомистика

тоже

не

и

больше

ничего. Такая

механическая

может удовлетворить

современному фило¬
софскому содержанию. Однако мы все же должны как-то форму¬
лировать структуру континуума, и эта формулировка представляет
огромные трудности.
Ь) Прежде всего мы должны выполнить одно обязательное

собою,

в нашем

континуум

условие:

т.

е.

прежде

всего

определении должен

он

как бы они близки ни были одна к

нас

стать

или

путеводным

маяком:

ясная

уже ребенку, должна

континуум

мы их не видим;

дыр;

потерять своей равно

рассыпаться на бездну точек,
другой. Изначальная, совершенно

примитивная интуиция континуума,
для

остаться самим

и не

расстилающейся непрерывности

разрывов

не

должен

не имеет никаких

континуум есть непрерывная,

равномерно растекающаяся сплошность. И вот этого-то

терять

никогда

Если мы не
остальные

и

и

нельзя

из виду.

погрешим против этой исходной интуиции,

разделения

и

то все

вся эта атомистика точек

подразделения,

уже не будет для нас страшной. Вполне естественно, что математи¬
ка хочет составить
го.

Ведь

континуум из точек. В

математика есть

абстрактное

наука,

а всякая

этом еще нет ничего

наука

худо¬

есть более или менее

знание, которое, конечно, никогда не может ухватить

непосредственную жизненную вещь целиком и не должно к этому
стремиться.

Вопрос

не в том, чтобы целиком

отображать

вещь

(тог¬

да наука вполне могла бы заменить живого человека и ему больше
уже никакого не осталось бы места на

бы

отобразить

которой
зически;
ческих

стоит данная
и

земле),

физик

наука. К континууму

должен суметь

терминах. К континууму

и

можно

можно

в том, что¬

и, как мы знаем, это

352

подойти фи¬

его в своих

физи¬

подойти геометрически

будет

и

подойти

оптиче¬

же можно

подойти

можно

художественно-искусствоведчески. К нему

философски;

вопрос

формулировать

теоретико-множественно. К континууму
ски,

а

вещь в точном соответствии с той позицией, на

значить, что мы должны

§ 72. Аксиома выражения

теории множеств

в

вскрыть ту диалектическую взаимосвязь
может
нам

осуществиться

материал,

а

что в мысли

приходится разлагать неразложимое.

Если мы, разложивши неразложимое
показываем, как

тут не

воскресает

страшного,

рассуждать

но Вейль

что

причитывает,

на составные элементы, вновь

на этих последних само

только нет ничего

ственная возможность

о

неразложимое,

но это только и есть един¬

предмете философски. Напрас¬

континуум-де вообще никогда

не

удастся

на том основании, что он есть непо¬

подвергнуть полному анализу

средственно данная неразличимая сплошность. Вся жизнь
тие таковы, но это нисколько не мешает никому
о том и о

не

философия этот материал осознает. Поэтому нечего

страшиться того,

то

категорий, без которой

континуума. Математика даст

самое понятие

другом. Важно, чтобы

явление жизни

и все

бы¬

философствовать

отразилось

в

данной

абстрактной области так, чтобы структура этой последней адекват¬
но ей соответствовала; но невозможно
что

протестовать против того,

абстрактная структура абстрактна.
с) Еще одна установка должна быть

влиянием

идеи

бесконечно-малых

руководящей. Под

у нас

можно

легко

континуум

трактовать как некий логический или математический инструмент

каких-нибудь

для

должно быть для

тому

как мы

сейчас
или

же

иных

целей. Но рассуждение

нас только аналитическим

рассуждали
применить

в анализе о

это

существует
«для

не для

чего-нибудь»,

континууме

для

не

аппаратом, подобно

непрерывности,

понятие

интегрирования функций. Континуум

самостоятельный

о

с тем чтобы

дифференцирования
есть

предмет, сущность которого

чего-нибудь, а сам по себе;
то оно берегся не для того,

нас

для

мы

вполне

вскрываем. Он

и если в нем есть это

чтобы

найти

это

«что», для которого
чего-нибудь»
существует,
берется здесь как непосредственный предмет рефлексии. Поскольку
но самое это «для

оно

имеется здесь смысловая сущность

континуума, Гуссерль

сказал

что

континуум здесь оказывается идеальным предметом. Но

нет

нужды употреблять эту терминологию, потому

заменить ее и

гораздо более близкой

d) Именно,
от

мы

уже

трансфинитному.

иные обозначают вслед за

тельно,

то

«идеирование», когда

бесконечно-большого

Очень хорошо

и

перешли

к

инфинитезимальные категории

Кантором

бесконечно-малое

что мы можем

к математике.

использовали такое

инфинитезимального

бы,
нам

как потенциальные.

бесконечно-большое,

353

с

Действи¬
которым

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

оперирует классический анализ, построено чисто процессуально,
и притом алогически процессуально.

который был бы
мы

положен и

Тут нет ни одного момента,
пребывал. В тот самый момент, когда

здесь полагаем, это полагаемое и снимается, уходя

что-нибудь

в прошлое, и мы о нем забываем. Бесконечно-малое есть именно
эта вечно скользящая сплошность и текучесть, в
момент снимает сам
в свою

себя,

снимает сам

очередь

которой каждый

отождествляясь с другим,

себя,

который тут

же

отождествляясь с третьим, и т. д.

и т. д. Это в полном смысле слова потенциальная бесконечность.
Совсем противоположно ей то бесконечное, которое покоится в

себе, будучи раз

навсегда отождествленным со своей идеей, никогда

не подвижной и никогда не изменной.

Тут

не ищется чего-то a

priori

недостижимого, но оно уже дано; то, что стремится к пределу, тож¬
дественно здесь с самим пределом. Это актуальная бесконечность.
Ясно, что только в актуальном виде бесконечность стала для нас чемто определенным, стала, скажем, идеальным предметом, в то время
как потенциальная бесконечность имела свою определенность вне
себя, поскольку она никогда не могла достигнуть своего предела,

фансфинитное число
себя;

вне

имеет свою

определенность внутри себя,

для его распознавания не нужно

фиксировать

а не

какой-то его

предел, т. е. определяющую его идею, которая была бы вне его.

Результатом этого является то, что над трансфинитным числом, в
сущности говоря, невозможно производить никакие действия. Ведь
бесконечность
к ней

—

это же и есть все, что только

существует:

можно ли

что-нибудь прибавить или можно ли ее как-нибудь уменьшить?
со ± N

Сущность операций

=

со-N=

=

,где?/ —любое

=

конечное число, в том только и заключается, что
число со не дозволяет никаких над собой конечных

трансфинитное
операций. Акту¬

альная бесконечность неподвижна, неизменна; она есть абсолютное
постоянство
кую

самособранности,

в самом своем

корне

конечную раздробленность, текучесть, слабость

исключая вся¬
и

[не]постоян-

ство.

Итак,

с полным

число и есть та

правом

мы можем сказать, что

бесконечность, которая

себе, а не вне себя и которая потому, несмотря
ва идеальный

на

мнимую составлен-

конечности, есть в полном смысле сло¬

дробящейся
предмет в смысле Гуссерля. Заметим,

ность из вечно

трансфинитное

свою идею содержит сама в

354

однако, что если

§ 72. Аксиома выражения

в

теории множеств

брать терминологию идеалистов, то найдутся термины и гораздо бо¬
лее
и

раз

то

своему смыслу,

то

выразительные. Так, поскольку трансфинитное

обозначает,

то и

проявляет,

чем оно является по

число как

Тфансфиниткак
а
не
ное число
символично,
аллегорично,
инфинитезималь¬
ные бесконечно-большие, и не схематично, как дряблая конечность.
Но, повторяю, мы можем спокойно отбросить всякую философскую
терминологию, вызывающую к тому же ненужные ассоциации, раз
мы усвоили, что такое трансфинитное число.
оно оказывается также и символам в смысле Шеллинга.
—

Но тогда

предмет нашего исследования может быть обозначен

следующим образом. Это континуум, данный как
число. В самом деле,

Это

ясно

континуум

уже из того,

есть во всяком

что мы в нем не можем

указать

последнего элемента, т. е. ни наименьшего, ни

время плывет;

трансфинитное

случае бесконечность.
ни

первого,

ни

наибольшего. Он все

и неизвестно, где он начался и где кончится.

С другой

стороны, однако, мы хотим, чтобы континуум стал для нас само¬
стоятельным предметом, так, чтобы за его сущностью нужно было
идти не к чему-то другому, а к нему же самому. Надо, чтобы свой соб¬
ственный смысл, свою
и неподвижно

значит, что

определенную идею

он имел в самом же себе. А это

континуум должен предстать перед

бесконечность,

но именно как

нами не как

актуальная бесконечность

просто
или как

трансфинитное (как модификация трансфинитности).

число

Можно сказать и еще определеннее. Так как
всего

абсолютно ясную

собственную нетекучую,

бросается

в глаза именно эта

в

континууме ярче

непрерывная текучесть,

т. е. ало¬

гическое становление, то наша

проблема

ского становления, данного как

актуальная бесконечность. Когда

алогическое становление

дило в

трансфинитное,

проблема

алогиче¬

(в форме инфинитезимального) перехо¬

то оно не

ждествлялось с конечной

есть

просто переходило,

определенностью, почему

оно еще ото¬

мы и

говорили,

инфинитезимальный
трансфинитное
процесс. Когда же в учении о континууме говорим об алогическом
становлении, то оно берется уже в своем чистейшем, беспримесном
есть

что

виде,

остановившийся

со всей его сплошностью и

едино-раздельности. И

текучестью, без

вот эта мгла и

всяких элементов

бездна неразличимости,

имеющая ни начала, ни конца, оказывается, тоже есть

актуальная

идеально-фигурное строение,
тоже число трансфинитное,
смысловую физиономию. Она

бесконечность;
свою

не

она тоже имеет свое

—

355

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

форма

самой

бесформенности, скульптурный

са. Ибо хаос есть тоже некая стадия, а именно

символ вечного хао¬

стадия хаоса.

—

7. Такая ясная постановка вопроса сразу снимает ряд

которые

в

другой

постановке оказались бы и

преодолимыми. Это

тинуума,

к

мы

чему сейчас

а) Итак,

наш

и

будем чувствовать

трудностей,

большими,

и часто не¬

на анализе понятия кон¬

приступаем.

исходный пункт: континуум

есть

алогическое

становление. Алогическое становление есть такое полагание, которое
в то же

и

является

время

никогда не есть

отрицанием, снятием. Каждый момент

он сам, но всегда

—

иное и иное. Но относительно

идеальной едино-раздельности эйдоса (§ [ ])
свойственно сразу
и

мы знаем, что

ему также

и в одном и том же отношении как тождество, так

различие. Следовательно, для алогического становления тут должен

быть

спецификум.

отдельный

Он заключается

и со всем целым, то здесь
всем

в том, что если в

момент тождествен и различен с

эйдосом,

становление в

с

каждый

другими

эйдосе каждый
его моментами

момент тождествен и

различен

со

как с таковою. Алогическое

едино-раздельностью

каждый свой мельчайший

момент полагает весь эйдос,

эйдос снимает, отрицает его.
эйдос целиком снимается, забыва¬

и в тот же самый момент весь этот

Ь) Итак,

весь

полагаемый

ется. Алогическое становление

раздельности)

—

там, где об эйдосе

ничего не помнится. Но что же

же остается и не

убывает? Ведь

(т.

е. о едино-

тут помнится,

оставаться нечто

безусловно

т. е. что

должно.

Если бы один момент после своего наступления целиком бы оказал¬
ся забытым и также

второй, третий

и т. д., то мы плыли

бы по морю

становления, совершенно не замечая последовательности этого
становления

цесс

—

и

не имея

представления

ни

о каком

процессе. Про¬

там, где прошедшие моменты изменения не погибли цели¬

ком, но продолжают сохраняться и влиять на наступающие моменты.
Следовательно, должны оставаться и
лагания, хотя само полагание

—

пребывать

забываться, чтобы было действительно
или

континуум. В континууме

все моменты по¬

актуальная бесконечность

мы

и должно

алогическое становление,

наблюдали

акты полагания

эйдоса,

числа, как бы следы полагания и снятия транс¬

трансфинитного
финитного, беря их как
или

но само

целое и не

трансфинитное тут

забывая

не мыслится

их вместе с их снятием,

(ибо

иначе не

получится

алогичности, необходимой для континуума).
с)

Теперь

спрашивается:

каковыми

356

же

должны

быть

акты

§ 72.

Аксиома выражения в теории множеств

полагания и отрицания, чтобы это было полаганием и отрицанием
именно

трансфинитного эйдоса (и притом

чтобы самого-то эйдоса

тут не было)? Прежде всего, очевидно, это не то полагание, которое
мы находим в самом

эйдосе. Там

всякое полагание было только

личением. Полагать в этом смысле

раздельность. Не

то

эйдос

полагание. Оно

реальное

есть какое-то идеальное полагание, некая
ность,

ибо иначе нечего было бы

раз¬

и значило создавать едино-

уже предполагает,

различенность

и полагать

что

и отличен-

реально. Само же реаль¬

факта, некой силы, способной актив¬
оттолкнуть прочее. Туг не просто различие, но

ное полагание есть полагание

но установить себя

и

некоторого рода притяжение

и отталкивание,

получение некоторо¬

го тела, воплощение.

d) Итак,

мы

наблюдаем,

как воплощается

трансфинитное,

само

созерцаем целокупность
трансфинитное отбрасываем,
самих актов воплощения трансфинитного. Но будем помнить,
а

только

что нам никуда нельзя отходить от алогического становления. До
сих пор оно

предста[ва]ло перед

воплощений

трансфинитного

ведь алогическое

Это значит,
становление

что если
есть

подвижной покой,
и

и

становление

эйдос

нами как

без

ряд последовательных

самого

возникает

инобытие

есть самотождественное

безразличное саморазличие,

и

то становление есть подвижная

взаимопроникнутость

определенность,

то

и

и

слитость,

становление

если

есть

Но

трансфинитного.
как

эйдоса.

различие,

эйдос

если

то

есть

неустойчивость

эйдос

есть

абсолютно

единство
сплошная

бесформенность. Другими словами, алогическое становление есть
безразличная самопротиворечивая сплошность или (максимально
сжимая все эти
определения) безразлично-взаимопроникнутое,
себя самопротивоборство. Следовательно, все
само
порождающее
акты воплощения трансфинитного эйдоса должны в континууме
находиться в состоянии

противоборства.
из себя

бы акт
все

и

безразлично-взаимопроникнутого

само-

Это значит, что каждый акт воплощения порождает

поглощает в себя все остальные акты воплощения. Какой

мы здесь ни взяли, он, с

прочие элементы,

сам

одной стороны, порождает себя

получая

свое бытие от них же, а с

и

другой

стороны, он поглощает в себя все прочие, а равно и сам поглощается
каждым

актом

из

всех

прочих.

Это-то

и

будет

подлинным

алогическим становлением эйдоса, когда, с одной стороны, оно
предполагает решительно все категории эйдоса

357

(т. е. все его элементы

III. Основные аксиомы числа (число как

и самотождественны, и

саморазличны,

суждение)

устойчивы,

и

и

взаимопере-

а, с

другой стороны, самих-то
(неизвестно что),
категорий
согласно этим категориям, воплощается на безразличном материале
ходчивы,

и

структурно-определенны),

не видно, а только видно, как нечто

этих

и

тут же

само себя

пожирает.

А, где

нас есть точка

Пусть у

«воплотился»

трансфинитный

эй¬

дос. Она не может быть просто точкой. Если мы хотим исследовать
континуум, т. е. то, что прежде всего есть алогическое становление,
мы тотчас же

увидим,

она в одно и то же

что эта точка плывет, что ее нет как ее, что

время

бездны таких же точек.
себя

целую бездну

бездне,

и мы

конечность,
себя

и

уже

С

есть и точка, и

новых точек; а с

не

наша точка Л породила из

другой

сама она исчезла в этой

—

ее поймать. Она же

умеем

она же и погибла в

ней,

т. е. она же

породила новую бес¬
себя породила, она

же

уничтожила.

Итак,

мы

теперь знаем,

что дает

ление. Оно воплощает в нем
та

самопротивоборство целой

одной стороны,

(п. [7] с),

континууму алогическое станов¬

актуальную бесконечность трансфини-

и оно заставляет эти акты воплощения

различном самопорождении

и

пребывать

в

без¬

безразличном самопожирании.

Что же дает теперь становление именно эйдоса?
е)

Трансфинитный эйдос,

прежде
чисел

всего

в

как мы знаем выше из п.

5,

возникает

результате последовательного пробегания
эйдос

натурального ряда. Трансфинитный

прежде

факт,
эйдос.
трансфинитный

таит в себе последовательность всех чисел. Это есть тот
осмысления

которого родился

другой стороны,
просто

эта

и

он

потому здесь

последовательность

сам

и является

эйдосом,

конечных

чисел, так

последовательность чисел еще не есть ни

просто бесконечность. Эйдос
смысл, идеальный предмет,

сам по

эйдос,

т.

из

С

что он не есть
как никакая

трансфинитное,

есть именно

который

всех

всего

е.

ни даже

некоторый

себе уже ничего общего

не имеет ни с какой последовательностью, подобно тому как понятие
тяжести вовсе не есть само нечто тяжелое.

Применить указанные

моменты

можно только так, что, взявши
ши в

результате

в

интересующей

ее снятия и превращения

саму эту текучесть

нас области

одну точку «воплощения»

и

получив¬

неопределенную текучесть,

полагать так, как мы полагали самый

трансфи¬

нитный эйдос. И вследствие того, что это новое воплощение в силу
алогического становления в то же мгновение

358

будет

в свою

очередь

§ 72. Аксиома выражения
снято и оттолкнуто в

длительность

и

в

теории множеств

бездну прошлого

и

превращено еще

мы должны и с этим новым

текучесть,

поступить так же, воплощая

в

новую

результатом

его заново, снимая и т. д.

Другими словами, если алогическое становление трансфинитно¬
го

эйдоса дало

нам стихию взаимопоглощающего

ства актов воплощения этого

трансфинитного эйдоса
значение эйдоса,

эйдоса,

заставляет, чтобы каждый такой акт имел

т. е. чтобы все акты не только поглощали один

но чтобы они были один в отношении

гого,

чтобы они были воплощением один

воплощает

самопротивобор-

то алогическое становление

природу

самого

для второго,

что

первый

другого
эйдоса. А так как трансфинитный эйдос

акт воплощения

второй

а этот

—

эйдоса

просто каждый

не

алогического становления воплощал в себе
но чтобы

перевоплощений, чтобы

все

представлять

является

эйдосом для третьего

довательно, необходимо, чтобы

трансфинитный эйдос,

т. е.

точно так, как один акт

есть бесконечная последовательность, то мы должны

себе дело так,

дру¬

другого эйдосами,

эйдосом

и т. д. и т. д.

Сле¬

момент в стихии

общий

единственный

и

тут была последовательность

время росла,

так сказать, сама

его

категория

воплощения.
f) Что
мировать

мы

же

2. данное как

теперь получили? Вышесказанное

Континуум

так.

есть

(а

не

его

эйдоса

алогическое

и

полагание

снятие

резю¬

становление,

транс¬

предполагает еже-

становление

трансфинитного эйдоса

всего

моментов) (а),

отдельных

можно

что то же, как

актуальная бесконечность, или,

финитный эйдос. 1. Алогическое
мгновенное

1.

взятое,

однако, без самого

(который внес бы едино-раздельность) (Ь); это полагание
фактическое (а не только различаемое отвлеченно)

и снятие есть

воплощение (с), которое дается

самопорождения
с

2.

и

порождения

самопоглощением

Трансфинитный

был

в виде

же

и

из

поглощением

непрерывного
себя
в

всего

себя

в отношении всякого

смыслового

другого

свою

форму,

куча, облако

(d).

с

накоплением

всего

содержания (е).
что весь он есть

бесформенное тоже имеет
форму бесформенности, подобно тому как

утверждение того,

а именно
и

вместе

иного

акта тоже эйдосом и чтобы эта

К этому анализу, однако, необходимо прибавить,
не что иное, как

иного

всего

эйдос требует, чтобы каждый акт воплощения

эйдетизация происходила последовательно,
получаемого

и сплошного

что

пр. бесформенные предметы,
359

в

сущности, всегда

име¬

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ют свою определенную

форму,

хотя

континуум

всякой бесформенности. Можно еще
анализ понятия континуума

только мыслимость хаоса

утверждает

бесформенного, бессмысленного, ибо,

и

бессмысленное стало мыслиться,

эйдос,

лизе.

Можно, наконец,

и

—

как только

оно тотчас же

вот что

бесформенное

получило

и свой

эйдос бессмысленного. Бес¬

а именно смысл и

смыслие можно видеть умом

уже предел

предыдущий

сказать и так, что

и

смысл, свой

это

—

говорится

просто сказать,

в

предыдущем

что здесь мы

ана¬

раскрываем,

как есть абсолютный хаос, ибо «быть» и «иметь смысл» для

филосо¬

фа одно и то же. Бессмысленное самопротивоборство хаоса все про¬
низано смыслом
конечно, своим собственным (а не каким-нибудь
иным) смыслом и эйдосом. И вся эта жестокая буря порождений и
—

поглощений

есть ясная и

прозрачная, покойная

и тихая,

бесплотно¬

умная картина, несмотря на все свое бессмысленное содержание.
все

эйдос,

—

и

каждый мельчайший

Тут

момент есть безмолвный жест

чистого смысла.
Но

эту,

в

общем,

довольно

банальную (не

хаотическое тоже есть нечто мыслимое

для

всех) истину,

что

(«идеальный предмет»), при¬

ходится анализировать и уточнять, чтобы

приблизиться к тому пред¬
Кантора и которое
континуума, которое создано
вошло в общее достояние мировой математики. Тут-то и

ставлению
с тех

пор

гением

пригодятся те расчленения, которые

мы только что

8. а) Уже одну математическую интерпретацию
го начала. А именно, вместо того

произвели.
мы ввели с само¬

чтобы говорить об алогическом

становлении как идеальном предмете,

мы

актуальной бесконечности.

актуальной бесконечности,

или

трансфинитного

Понятие же

говорили

о нем как об

числа, есть уже очень определенное матема¬

тическое понятие, несмотря на то что многие из механистических
позитивистов в математике и считают его
в это свалочное

место,

философию,

философским (сваливая
непонятно). Это,

все, что им

конечно, вполне математическое понятие, составленное из тех эле¬
ментов, которые в других случаях не вызывают сомнения ни у каких
математиков.

Будем

исходить из этого, т. е.

ское становление как со, считая, что этот

Ь) Идем

будем

пункт

понимать алогиче¬

вполне ясен.

дальше. Указанные выше пункты а, b и с можно взять

вместе. Это воплощение всего эйдоса без самого эйдоса. Значит,
это воплощение не чего другого, как того, что мы обозначили через
со. Что же это такое, воплощение со? Воплотить, вообще говоря,

360

—

§ 72. Аксиома выражения

в

теории множеств

значит перенести в инобытие, повторить. Но если мы со просто
то

повторим,

будет перенесение без

это

внутренних моментов,

без перенесения

его

перенесение самой

это

его

раскрытие

со в

•

2,

фиксации

его

общей субстанции,

смыслового

внутреннего

получим вместо со нечто другое, именно со

нераскрытым. Однако

всякой

Мы

содержания.

но само со останется

инобытии мы обязательно

должны произвести потому, что инобытие (как таковое) содержит
в

себе только те смысловые моменты, которые оно получило извне.

Иметь смысл от самого себя может только сам же смысл. Поэтому,
когда

мы в

находили присутствие этого смысла во

трансфинитном

всех его частях, то это было вполне естественно и вытекало уже из
одного того, что оно есть эйдос. Когда же речь идет об инобытийном
воплощении, то воплотить эйдос «вообще» не значит еще воплотить
его и во всех частностях. Надо дать такое его повторение в

инобытии,
чтобы каждый его момент в инобытии тоже воплотил на себе целое.
с) Чтоэтозначитматематически? Возьмем число «три >.Чтозначит
повторить его так, чтобы каждая

тоже целым, т. е.

из входящих в него единиц стала

тройкой? Это значит возвести

тройку в

квадрат.

А что значит возвести число в степень, которая равна самому числу,
напр.,

тройку в куб? Это значит не только отобразить

отдельной его части, но еще и
смысловым

содержанием, которое

тройку

возводим

в

квадрат,

его части, мы, очевидно,

тройка. Когда

заставляем
и

каждый

в этом

тройку

раз повторяем целое

целое тоже пока только
внимания к

тому,

Когда
в

мы

каждой

вообще,

как

что это целое есть

тройку именно в куб, то мы и
инобытии как общую субстанцию

же мы возводим

воплощаться в

ее смысловой момент оказывается тоже воплощенным

инобытии,

так что здесь

инобытии» число и по своей

Следовательно, возводя
вые

его именно со всем тем

мы находим в целом.

т. е. один

берем

некую общую субстанцию, без
именно

отобразить

целое в каждой

получаем

впервые целиком

субстанции,

и по

со в степень со же и

искомое воплощение

«воплотилось в

своему смыслу.
получая сош,

трансфинитного

мы

впер¬

числа полно¬

стью.

d) Этот процесс первого
именно о реальном
личении

(см.

выше,

7с),

математически точно,

будет повторяться

воплощения,

полагании,

а

не так прост, и его

потому что это

и дальше.

361

поскольку речь

не только об идеальном

идет
раз¬

следует представлять себе

воплощение, как сказано, везде

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

А именно,

будем пользоваться нашим основным воззрением на
трансфинитное, которое и привело нас к этому последнему из ко¬
нечной области. Мы знаем (§[]), что нужен скачок из раздробленной
конечности в неделимую идею, чтобы впервые только еще получить
самую категорию бесконечного.
здесь и тогда

Будем пользоваться этим методом и

получим следующее.

I. Первое воплощение.
(1,2, 3,... со)
А. 1. со,
В. 2.

со

7,

со 4-

2,

•

со

•

со 4-

2,

со 4- со

_

2 4- 7,

со

2 4- 2,...

•

со

•

2 4-

со

3. С0*3, CO-J4-7, СО'34-2, «СО-34-СО
4
С. 5. со2

6. СО2

4-

7, со2 4- 2, СО2 4- 3, со2 4- со
7, СО2 4- со 4- 2, СО2 4- СО 4- 3,
...

4- СО 4-

7. со2 4-

со

•

2,

со2 4-

со2

9. со2 2,
•

•

СО2 4-

СО 4- со

_

8

10. со2

~

со2

з,

11. си^

0^

D. 12

•

со

•

со

2 4- со2

•

со

•

со

сош

Нечего пояснять эту
пределы элементарных

таблицу математически. Она не выходит за
арифметических операций. Но ее философ¬

ский смысл, кажется, еще никто не исследовал до сих пор.
Я различаю здесь четыре стадии.

Первая, обозначенная буквой А, демонстрирует недоступность
трансфинитного ни для каких конечных увеличений. Поднимая во¬
прос

о воплощениях

фундаментальный

бесконечного,

тезис: никакое

можно, так как бесконечное

процесса увеличения
Но уже этот

другое
ных
но

мы и

уже

Именно,

фиксируем

невоз¬

Бессмыслицу этого

с самого начала.

нас к

случаю, имеющему совсем

не обязательно

приращениях. Что получится,

прибавим

бы сразу устанавливаем

охватывает все.

процесс Л приводит

значение.

мы как

увеличение бесконечного

говорить

если к со мы

только о конеч¬

прибавим

не

1,2, 3,

целое со? Тогда получится, что мы поставим бесконеч¬

ность во взаимоотношение не к конечному, но к бесконечности же,
т. е. к самой себе. А соотношение бесконечности с самой собой дает
несомненно нечто новое, так как здесь бесконечность не расслаива-

362

§ 72. Аксиома выражения
ется на конечное, но растет в своем

в

теории множеств

собственном,

чисто смысловом

содержании.
Вот почему
вого

с момента достижения со

•

2

мы отмечаем начало но¬

процесса В, который открывает собою область взаимоотно¬

шений бесконечности

с самой

собой,

отношения ее с бытием конечным.

в отличие от

•

2,

со

•

3,

со

•

4

и т.

собой

д.? Это значит,

раз повторяем бесконечность,

внутреннего

смыслового

что мы то или иное число

инобытия,

собой, постольку

в

котором

она могла бы быть повто¬

о взаимоотношениях бесконечности

всякое ее

субстанциальное повторение
обогащение

го же смыслового содержания. Следовательно,

вторение бесконечности
а только

сущность процесса В
конечности с самой

ее

так как она уже есть все, т. е.

есть не что иное, как последовательное

бесконечного,

рассмотрение

содержания. Правда, повторить бесконеч¬

рена. Но поскольку идет речь
с самой

взаи¬

субстанции. Что

по ее

не вводя ни в какое

ность, собственно говоря, невозможно,
нет для нее никакого

взаимо¬

Именно, процесс В рисует

моотношение бесконечности с самой
значит со

прежнего

ее

субстанциальное

есть

ее смысловое

содержание.

субстанциальное
или общебытийная

по¬

пределы идеи

нисколько не выводит нас за

напряжет

внутренне¬

—

Итак,

взаимоотношение бес¬

собой,

саморефлексия,

ее

когда бесконечность устремляет взоры на саму себя и находит в себе
себя же саму, но пока только как голый

лового содержания этого

С момента

со

•

со или

факт, не фиксируя

еще смыс¬

факта.

со2 начинается процесс С. З^съ, стало быть,

бесконечность уже рефлектирует над самой собой,

и должен

проис¬

ходить рост этой рефлексии. Поскольку рефлексия бесконечности
как голого бытийного

рефлексии

факта уже

возможен только в

состоялась, дальнейший рост этой

сторону

смыслового

конечности. Уже простое со2 указывает на то, что

содержания

со в качестве

бес¬

некоей

целости отразилось во всех своих отдельных моментах, из которых
оно состоит. Это уже нельзя считать бытийным взаимоотношением.
Если целое присутствует полностью
дим

уже

в

каждой части,

и смысловое взаимоотношение.

Ведь целое

стей есть то, что их осмысливает как именно части.

уничтожаем

и части,

которые

каждой части,

то это значит, что она

363

мы нахо¬

мы

превращаются

вполне самостоятельных

метов. И если вещь такова, что в ней целое полностью
в

тут

Удаляя целое,

после этого из частей

совершенно дискретное множество

то

в отношении ча¬

рефлектирует

в

в

пред¬

присутствует
себе не про-

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

сто свой

факт,

факт
Пересматривая свои

существу. В

Ясно,

Обращая взоры

но и свой смысл.

себе не только

своего

существования,

на

себя,

она видит в

физиономию.

но и свою

частичные моменты, она везде видит себя и по

этом смысл

изучаемого

нами момента со2.

факт саморефлексии со2 еще далеко не есть
саморефлексия. Бесконечность утверждает себя как

что один этот

вся возможная

процессе В, воплощает себя (конечно,

себе же самой) как

факт

в

факт.

В процессе С бесконечность утверждает себя как смысл, вопло¬

щает себя как смысл. Но

факта

мы

уже

много раз встречались с

и смысла и везде находили их синтез,

действительность
последнее

не есть ни

в

и ни

просто факт

взаимопроникновение

и слияние.

ях

фактом.

осуществился

реальная

просто смысл,

и

будет

было, пока целиком не осуществился в инобытии и самый его

процесс

от

факта

к

смыслу был у

от со к со2 т. е. возведением бесконечности в квадрат.
в

зна¬

и стал во всех отношени¬

Нельзя говорить ни о каком воплощении чего бы то ни

самый его смысл. Но

чтобы

но их

Факт должен быть це¬

ликом использован смыслом, целиком осмыслен. Это
чить, что смысл целиком

дуализмом

что

потому

сфере

смысла использовать весь

в этих актах

нас

факт, и

процессом

Следовательно,

надо использовать

факт,

Единичный
саморефлексии
саморефлексии
(или единичный акт смыслового самовоплощения) есть возведение
в степень. Но что здесь является субъектом рефлексий? Ведь целая же
бесконечность. Стало

себя

в

акт

все со.

быть,

саморефлексии, т.

только тогда бесконечность

исчерпает

е. только тогда она воплотится вся целиком

в едином, но полном акте самовоплощения, когда этих актов само¬

рефлексии будет тоже

целая бесконечность. Если это

случится,

смысловом самовоплощении бесконечности ее собственный

бытие

будут исчерпаны

что и есть окончание

D

и есть

его

первый

то в

факт и

полностью. Это и происходит в моменте со,

процесса С

и начало

полный акт воплощения

процесса D. Этот процесс

трансфинитного эйдоса

в

инобытии.
Этим характеризуется весьма существенный этап

вании

континуума. Еще далеко

нет самого

точек,

конструиро¬
но

уже есть,

говорить

о точках

континуума,

так сказать, одна его «точка», если только можно

континуума. И

в

что же это за «точка»? Мы видим, что это целая

как оно и должно быть по

соблюдать принципы

бездна

нашему первоначальному условию

чистого алогического становления.

«Точка»

континуума есть не просто геометрическая точка, но она в то же са¬

364

§ 72. Аксиома выражения

в

теории множеств

мое время порождает из себя целую бесконечность точек, так как эту
бесконечность точек порождает уже всякий малейший сдвиг пола¬
гаемой точки, а она в силу алогичности данной области не стоит ни
одно мгновение на месте. Мало того. Здесь не только бесконечность
точек, но эта бесконечность дана сразу как некий единственный акт
полагания. Быть же одной точкой для бесконечности точек

—

это

возможно только тогда, когда каждая точка из этой бесконечности
есть

предел

другой

для каждой

всех их вместе. А это и значит

Когда одна

точка в качестве

точки из этой бесконечности и для

превратиться

из со точек в сош точек.

предела притягивает

к

себе бесконеч¬

ность других точек, то каждая из них, чтобы слиться с первоначаль¬
ной точкой, должна сама пройти свою бесконечность точек; и, зна¬
чит,

пройдет

со точек

со-

точек только для

того, чтобы одна первая

точка была пределом для всех других. Но так как вовсе не одна точка
является пределом для других, а каждая из

для всех других,

то в

результате

мы

со точек является

получаем сош

пределом

точек.

словами, здесь мы наталкиваемся на тождество эле¬

Другими

мента континуума с его

предельной

точкой. А множество, которое

состоит из всех своих предельных точек, носит название совершен¬
ного множества. Следовательно, то, что мы получили сош точек из
одного акта полагания, уже обеспечивает нам

совершенно
содержатся,

—

крайней мерс

по

форму континуума

Совершенство

связного множества.

как принцип. Таково

математическое значение первого воплощения

е) Пойдем

дальше.

формулированный
уничтожении).
руживает

Уже

стихию

На

и связность

очереди

у нас

достигнутый

нами

взаимопорождения

в виде сош.

принцип

континуума,

(о порождении

трансфинитный эйдос однажды,

взаимопожирания отдель¬

но эта

бездна

поглотила и ее

через эманацию точек

полный

из себя

акт воплощения со

мопорождающих
даст этот

породила целую бездну

так что выходит, что точка

фактически оказался целой бездной

взаи-

и взаимопоглощающих точек. Что же нового нам

пункт d? Нового

погибнуть

саму,

уничтожила себя саму. Этот первый

он даст только то, что эта «точка» со в свою

очередь должна будет порождать
чтобы

инобытии

а оказалось, что это не одна

точка, а со точек. Наша единственная точка

точек,

и

результат достаточно обна¬
и

ных актов воплощения. Мы воплощали, т. е. полагали, в

наш

тут уже

философско-

эйдоса

выше, в п. 7f, как пункт d

как

в этой

бездне

из себя

и еще в

365

новую бездну

точек с тем,

дальнейшем уничтожить

и ее

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

саму. В каком отношении со10 оказались к со, в таком же и еще дальней¬
шее порождение этого сош должно оказаться к себе самому.

Ясно,

что

\(о“
мы

получаем (СО )
Этот процесс
II.

Второе

A 1.

сош4-7,

_

В. 2. сош + со,

3.

подробно.

можно и здесь записать более

воплощение.

_

сош + 2 со,...
сош + со2

4

5. сош + со2 +

6.

7,«

сош + со2 + со,...

7. сош + 2 со2,...

8

со10 4- coco2

9. (О10 4-

0^,

...

сош 4- сош

10
11. сош

•

24-7,

„

12

сош 2 4-

13

со10

•

14. сош
С. 15. сош

•

3

+ 7
_

4-

сош

16. со2ш.»

•

со

2 + сош

7, „.сош

•

со

+ ш

со™

17. соD. 18.

Тут

также можно

(они отмечены

проследить указанные выше четыре процесса

в этом списке

буквами А, В, С, D).

Но мы достаточно

разъяснили их выше.

Существенно
рождения

важным является то, что этот

пами, указанными также под

тут делаем такое,

водим с

как

d,

в

сущно¬

двумя
рубрикой [е]. Действительно,

как не то, что сош считаем

дальнейших порождений,

7f

последними принци¬

сти своей является тождественным с

мы

принцип взаимопо-

и взаимопоглощения, отмеченный в п.

эйдосом

что же

в отношении

эйдетизирование про¬
неуклонной последовательностью? То самое, что с точки
и как не то, что это

зрения алогического становления представляется взаимопорождением и взаимопоглощением, с точки зрения смысловой есть только
переход эйдоса из одного инобытия в другое. В эпоху романтизма

изображали иронию
бытии

и тем

именно так, что идея

уничтожала себя,

осуществляла себя

а инобытие

366

принятием

в ино¬

на себя идеи

§72. Аксиома
уничтожало себя

себя (ибо

выражения в теории множеств

но тем же самым и

(как инобытие),

становилось

осмысленным).

ния» абсолюта над самим собою и совершается
акте

осмысления,

смысл

когда

из

выходит наружу, чтобы

сферы
Потому

и

мы

в каждом

и

чистой

своей

осмыслить не

выше о тождестве в

говорили

воскрешало

Вот эта «божественная иро¬

простом

беспримесной

имеющее смысла.
хаоса со

континууме

смыслом, что каждое мгновение этой алогической тьмы есть в то
же время и

скульптурный

жест чистого смысла. На

приведенных

процессах второго воплощения трансфинитного эйдоса
цаем,
вп.

таким

образом, сразу

и

и

принцип d,

принцип

е из

мы

созер¬

указанных

7f.
f) Однако

и здесь мы еще не

в том, что если

получаем

первый полный

полного

акт воплощения

континуума. Дело

трансфинитности

дал нам вместо со стихию со10, то, получая вместо сош еще новую
точек

со““

,

мы

образуем

не что иное, как

другой, второй

бездну

полный акт

воплощения, когда воплощается уже не со, но сош. Но почему же мы
должны остановиться на этом втором акте воплощения? Как там
было недостаточно со-, потому что оно не исчерпывало всей беско¬
нечности, так

и здесь недостаточно

co“w,

потому

что оно не

пывает всей бесконечности воплощений. Чтобы пройти
нужна бесконечность

Чтобы пройти

от со до

актов полагания или идеальных

исчер¬

от 1 до со,

различений.

со10, нужна бесконечность реальных полаганий

всей бесконечности, чтобы получилась одна воплощенная бесконеч¬
ность.

Наконец, чтобы

охватить бесконечность самих

бесконечности, нужен переход
III. Третье воплощение.

от сош к

сош“

со“” =П

со““ со^’
1

>

Это третье воплощение есть, таким
ное выполнение

принципов d

9. а) Чтобы понять,
ется

континуум, надо

общелогический

что

и е из п.

образом, только окончатель¬
7f.

результатом третьего воплощения

анализ

понимает со, тот не поймет и

своей,

наш
вос¬

необходимо было яснейшим образом

представлять себе диалектику самого трансфинитного
ума есть,

явля¬

образом представлять себе
континуума в п. 7f, а чтобы реально

самым четким

пользоваться этим анализом,

в основе

воплощений

континуума;

и непонятность

непонятность числа со.

367

числа. Кто не

контину¬

III. Основные аксиомы числа (число как

суждение)

Именно, надо раз навсегда себе запомнить,
действительно бесконечность,

ность есть

что конечное не может в ней изменить ни

есть нечто абсолютно

неуменьшаемое

солютно неделимое. Если

думать,

что со

и

что если бесконеч¬

т. е. охватывает все, то ни¬

одной ноты. Бесконечность
неувеличиваемое,

действительно

нечто аб¬

составлено из

конечных чисел и может быть на них сведено, то это колоссальное
недоразумение, которое является препятствием ко всякому понима¬
нию этого со. Никакими процессами нельзя из конечного получить

бесконечное,
конечность

и никакими

как-нибудь

эта

и

раз навсегда. Наше

актуальная бесконечность, есть только

больше ничего. Его нельзя

раздробить точку;

как нельзя

уже имеющуюся бес¬

изменить. Это запомним

трансфинитное число со,
одна неделимая точка,

нельзя

процессами

дробить так же,

в этом смысле оно лишено всяких «из¬

мерений».
Если это хорошенько себе усвоить, тогда отпадает значительная
часть

и

трудностей,

из основных

связанных с пониманием

возражений против учения

в том, что невозможно его

о

континуума, ибо одно

континууме

представить себе

заключается

составленным из точек.

Совершенно правильно, что континуум не состоит ни из каких точек,
а есть абсолютная сплошность. Но это

пиально

простое

—

точно так, как и в

происходит здесь

со есть некая неделимая сплошность,

несмотря

натурального ряда,

ничто не мешает понимать как

бездну точек,

принци¬

простом трансфинитном числе.

нем всей бесконечности чисел

смотря на

—

Как

на наличие в

так и

континуум

некую неделимую сплошность,

не¬

из которых он составляется. Если понятно,

что такое со, то понятно и что такое континуум. И если не понятен
континуум, то уже рушится и самое первое

Следовательно,
континуум из точек

(это общая проблема всякой трансфинитности),

но в том, чем отличается
ния

получение континуума

первого трансфинитного

Будем

трансфинитное число.

весь вопрос заключается не в том, как получить

из точек от

считать, что это для нас ясно. Если же мы поставим этот

последний вопрос, то тут мы столкнемся еще с одной

которая,

если ее взять

специфическое для

саму

по

себе,

опять-таки не есть

была

алогического становления. В

изображена

интуицией,
что-нибудь
которой

континуума, но это такая интуиция, без

нечего и думать овладеть континуумом как логической

интуиция

получе¬

числа из точек.

достаточно, но мы так же, как и в

368

идеей. Это

предыдущем (п. 7а

—

d)

она

проблеме транс¬

§72. Аксиома

финитной

выражения в теории множеств

сплошности, укажем сейчас самый основной корень ее,

как он необходим для континуума.

Ь)

Корень

этот

созидания, наличной

в

заключается
в

бытии

с

отличается от

эйдоса, будучи

что

и
и

отношениях прямым

прочих

повторением. В эйдосе каждый момент отличен

и в становлении
в

во всех

необходимостью,

Только этим становление

же

координированно-раздельный эйдос.
его

эйдосе каждый

то же

(ибо

момент
нии

—

то же самое

—

(ибо

один от

другого,

иначе оно и не становилось

бы);

момент тождествен с другим, и в становлении

иначе оно не было бы

сплошностью);

—

эйдосе каждый

в

другой
(ибо иначе оно не развертывалось бы последовательно);

наконец, эйдос

и останавливается в нем, и в становле¬

в

переходит

то же

слепой мощи

утверждении

той

полагает сам себя целиком и ни от чего

зависит, и становление

то же

—

отдельные более активные

самостоятельным
эйдос, отмечены

Но

бытием).
в

(ибо
все

становлении

эти

моменты,

повторяющие

неизгладимым

одним

оно есть слепая мощь созидания всех этих моментов.
самотождественное

различие,

бытие эйдоса даны здесь

и

не

было бы безразлично¬

и оно не

пункты

другого

иначе в нем выделялись бы

подвижной покой,

как слепые сдвиги,

длительность без начала, без конца, да

и

как

и

свойством:

Поэтому

и

определенное

неопределенная

без середины. Каждый

отдельный момент становления никогда не есть он сам, но он
сплывает*

в самый

[момент] своего полагания, превращаясь в скольз¬

ящую тьму неизвестно

чего.

И если бы мы захотели двигаться

вообще

по

новления, то мы должны были бы заметить, что

получившийся

в

результате

ся в новом сдвиге,

полю ста¬

каждый такой сдвиг,

полагания точки, тотчас же воплощает¬

подобно тому

одной идеальной точки,

ровному

как сам он только что появился из

этот сдвиг

—

еще в новый и т. д. В результате

же получается, что в становлении каждая точка не покоится, но тяго¬
теет к

другой

точке, и притом ко всякой

другой

притяжения всех прочих точек, сколько бы
числе

прочих тоже тяготеет

и можно схватить

с) Если

ко всем

точке. Она

их ни

было,

прочим. Таким

—

центр

а сама она в

только

образом

сущность становления.

мы овладели этими

—

двумя интуициями

неразложимо¬

стью бесконечного и слепым самосозиданием становления, то это

*

Так в рукописи

(ред).
369

III. Основные аксиомы числа (число как

будет
как

и овладением

раз

из того, что

идеей

самого

континуум

суждение)

континуума. Ведь

мы же исходим

есть алогическое становление, данное

актуальная бесконечность. Следовательно, чтобы осуществить

как

интуитивные принципы, 1) надо

вышеизложенные
этом со считать не

различением,

1, 2, 3... (что было бы

неопределенная

прибавления

каждой единицы была упомянутая

длительность,

по единице

—

а

3)

вместо

является

или

(ош,

то

последовательных возведений (ош

в

(п. 8Ь),

что

трансфинитного

выше

первой
эйдоса

всех

бесконечных

соответствующие

степени мы и

почему исчерпание[м]

ясно,

но

последовательное воплощение одной

воплощением,

первым

в

последовательного

длительности в другую. Так как мы уже доказали

«точкой»,

2)

воплощением),

а не вне-числовым созиданием и

считать так, чтобы вместо

взять со, но

только идеально-числовым

получаем настоящий континуум.
Надо каждый момент

или,

каждый

что то же,

со

понять

как

алогически

становящийся,

момент алогического становления понять

трансфинитный, ибо эта взаимопронизанность алогического
становления и трансфинитного и есть, как сказано, алогическое ста¬
как

новление как

При
степень.

идеальный предмет.
роль последовательных возведений [в]

этом выясняется и

Ведь континуум должен обеспечить

финитный рост без разрыва

всех моментов

нам

что мы имеем сначала один алогический сдвиг,
вое

воплощение

трансфинитного,

потом

некоторый транс¬

роста. Это делается так,

знаменующий пер¬

воплощение

не

просто

прежнего трансфинитного числа,

но

сдвига,

старого трансфинитного числа,

затем опять не воплощение

но воплощение этого

трансфинитности

второго сдвига

воплощение

и т. д. и т. д.

мы, переходя ко всякому

происшедшего

При

таком росте

дальнейшему

воплоще¬

нию, имеем в виду все воплощения, бывшие до сих пор, вместе с этим
новым, не различая уже нового сдвига от старого. Таким
мы все

каждый

время

плывем

вперед

и

вперед, повторяя

образом,

эти воплощения в

момент своего плытия, но самих этих моментов как

дельных не замечаем.
предполагается,

Эта же

относится не к

нитному числу ад, которое
том всех этих

бесконечности

(т.

е.

нашему плытию,

но к

тому трансфи¬

является единственным основным

воплощений,

раз¬

раздельность, которая тут необходимо

а по

субъек¬

методу происхождения которого

путем предельного прыжка)

получающемся континууме.
370

мы и

из

судим здесь

о

§72. Аксиома выражения

d) Таким образом, континуум

в

теории множеств

есть

бесконечное

число

повторенное или, лучше сказать, бесконечно напряженное
ление. И это так и должно

быть,

из

другой.

мы не раз пользуемся примером движения

суть

взаимное

движение

Но

отрицание.

происходит

с

если

В этом сочинении

и покоя.

мы

Эти категории

представим

бесконечной скоростью,

мгновение охватит все точки

вообще одна

если мы вспомним, как

диалектическая категория происходит

бесконечности,

раз

станов¬

то оно

себе,

сразу,

что

в одно

какие только имеются;

и

раз ему поэтому некуда будет больше двигаться,

в

абсолютный всеобщий покой. Точно то же самое происходит

оно

превратится
и с

алогическим становлением. Покамест оно взято как такое, в чистом
виде, оно есть

отрицание эйдоса, смысла, едино-раздельности. Но

возьмем его в максимальном

напряжении, с бесконечной, так сказать,

скоростью распространения. В

бесконечности,

т. е. всю

таком

случае

бесконечность,

оно охватит все точки

в одно мгновение.

Каждое

мгновение бесконечности оказывается алогическим становлением,

решительно всюду как таковое,

так как оно отныне

во всякой точке

бесконечности со своим неизменным и абсолютным алогизмом. По

этому самому оно

не имеет и никакого начала и конца: всякое начало

и конец алогично становится, и
имеет ни

первого,

бесконечность,

потому, строго говоря, континуум

ни последнего элемента.

а это со мы

получили раньше

неделимое, то и наше становление

едино-раздельную идею. Это
можем

дробить

как

угодно

но мы

как

раз

и есть

и создавать из него

охвачена вся

устойчивое

в свое

превращается

прекрасно чувствуем,

раздельность, которая

как нечто

переходит тут

оно здесь как бы останавливается и

раздельность,

Однако раз

в

не

и

отрицание;

расчленяемую,

континуум. Мы

его

какую угодно едино-

что это вовсе не та едино-

есть в конечном, да и не то единство,

которое

трансфинитном. Хватая отдельные точки этой «единораздельности», т. е. фиксируя их на манер конечных элементов, мы сразу

есть в

видим,

как они выскальзывают из наших пальцев и

стороны. Это

и значит, что

ползут

во все

континуум есть бесконечно напряжен¬

ное становление и нельзя в нем отмечать никакие конечные момен¬
—

ты,

подобно тому как и

инобытие

и

факт.

смысл, идея есть бесконечно

напряженные

Инобытие есть бесконечно размытое становление

эйдоса, а эйдос есть бесконечно сомкнутое восстановление инобы¬
тия. Не иначе

и в том

случае, когда эйдос есть трансфинитное число,

а инобытие есть чистое алогическое становление.

371

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

е) Только теперь,
раскрыло нам свою
поставить

который

континуума

в

тот

контекст

определение,

мы можем

определений,

вне-числовых

прервали выше, при переходе

есть вне-числовое

окончательно

философско-математическую тайну,

континуум

мы

понятие

когда

6. Что континуум

к п.

это ясно из того же, из чего ясна и

вне-числовая определенность конечных и бесконечных чисел.

чтобы

число было конечным

ранее существовало
уже предполагают,

краснота, большие

само число, как синие и
что

есть

и малые

красные карандаши

карандаш вообще. И

размеры, хорошее

и

и

как

синева

худое качество

и

и

пр.

так и конечность,

суть вне-карандашные определения карандаша,

бесконечность, трансфинитность

Ведь

бесконечным, надо, чтобы уже

или

тела суть его

континуальность

вне-числовые определения.
Но какое же это вне-числовое

вовлекли этот

последний

гическое становление

в

трансфинитного эйдоса,

в стихию чистого становления.

виде

инфинитезимального

разыгрывалось у нас на путях от конечного
ставляя в

Чтобы построить

определение?

континуум, мы исходим из понятия

к

но мы

Как ало¬

бесконечного

трансфинитному,

со¬

некотором роде внутреннее содержание трансфинитного,

так теперь

это алогическое становление

нитного, увлекая его
что сначала было

бездну и

в свою

расстилается

по-своему

его

вне

трансфи¬

перестраивая. То,

внутри, теперь стало трансфинитно,

в

обоих слу¬

чаях являясь методом его смыслового конструирования. При таком
положении дела континуум явно оказывается чисто выразительной

формой,

как это видно уже на основании наших

принципиальных

установок (§ [ ]).
Итак,

суть

если

конечное,

вне-числовые

инфинитезимальное

определенности, данные

эйдетическое (едино-раздельное),
личное бытие

(§ [9 44]),

определенность

то

—

и

трансфинитное

соответственно

—

как

алогически становящееся и на¬

континуум есть, очевидно,

числа, данная как выразительная

вне-числовая

форма.

На этом мы кончаем наш анализ диалектического строения кон¬
тинуума.
10. Два вопроса или, вернее, один вопрос

в

двух аспектах оста¬

ется нерешенным. Во-первых, почему выразительная форма должна
быть чем-то сплошным
один вид

и

нерасчлененным

и

и не есть ли это только

требовал бы
оформления? И, во-вторых, почему нель¬

выразительности,

полной расчлененности

в то

время

372

как

второй

вид

§72. Аксиома выражения

теории множеств

в

зя идти еще дальше за пределы Q, совершая над ним те же действия,
что и над со, и какие от этого могли бы получиться

результаты?
а) Разумеется, выразительная форма, вообще говоря, есть рас¬
члененная форма (как это вытекает из характеристики выражения
в § [69]). Этой расчлененности вполне соответствует и сам кон¬
но сейчас мы

тинуум,

расчлененность
характеризуем
на

тогда
нечто

и

сами

который

и

нерасчлененное

же

мы

на

возможно,

Ведь

мы

уже прекрасно
что

конкретном анализе,
когда

нестановящееся.

есть

чему

В этом

время

своеобразие

знаем и много
только

становление

становиться,

смысле

все

сплошное? Для ответа

необходимо опять-таки учитывать

чистого становления.

раз убеждались

что она не единственная. Что такое

континуума,

как нечто

этот вопрос

сферы

увидим,

т.

е.

когда

предполагает едино-раздельную расчлененность. Последняя,
мы

это

хорошо видели

континууме
это

на

есть

обязательно

становление

как

предыдущем анализе, присутствует

в

как бы сзади, за этой сплошной завесой становления, но

присутствие совершенно необходимо,

так как

реально

станов¬

ление совершается только в отношении этого идеального расчлене¬

(§ [ ]), что нас интересует не самое со, но все
инобытии, которые к тому же всякий раз берутся

ния. Мы так и говорили
его воплощения в

Следовательно,

как нечто совпадающее, как нечто целое.

бездна или, точнее,

площения этого со неисчислимая
но

наблюдаемый результат

этих актов

где эти акты незримо присутствуют в
основного

актов во¬

актов этих

Q,

абсолютная сплошность,

—

виде каких-то следов или

теней

субъекта воплощений.

Можно поэтому считать континуум некоторого рода интелли¬
гибельной

эйдоса,

материей, материей

а интеллигибельной

сматриваются
лагают сферу

как

—

потому,

идеальный предмет,

своеобразной.

есть ведь одно и то же;

что все эти воплощения
т. е.

потому, что

они

В стихии смысла материя

материя тут

различенности эйдетического,

есть только

в то

время

гивания и отталкивания. Пользоваться

сфере

няя все целое,

рас¬

предпо¬

чистого смысла

—

пределами

эйдос

чистого

т. е. не

т. е. вещественного

материей

или полагать

это значит только

про¬

притя¬
реаль¬

различать, сохра¬

внутри которого установлены различия;
373

и

принцип инаковости,

как за

материя есть принцип фактической реальности,

сто различения, а силового воплощения,

ность в

что он есть воплощение

потому

чистого смысла и сами оказываются стихией чисто¬

го смысла, хотя и

смысла

—

что

различно,

III. Основные аксиомы числа (число как

существует. Пользоваться

то для мысли и

чистого смысла

—

это значит полагать

факт [по

как некий

отношению

материей

за

пределами

соответствующую реальность

всем

и

другим фактам

их вещественно, т. е. в силовом

притом противополагая
этих последних. Так как

ко]

же

суждение)

мы

континуум

трактовали

целому,

отрыве

в виде

и

от

проблемы

чистого смысла, то ясно, что наше О есть не только сплошность, но
и вся

а

в последовательных воз¬

расчлененность, которая содержится

ведениях исходного в степень.

поэтому континуум

ции, которые были затрачены
шении

континуум уже

ненность; и, если

Тут материя

есть так же все те
на его

есть очень

угодно,

и

эйдос

есть одно и то же,

расчлененные

числа и

конструирование. В

определенная

опера¬

этом отно¬

смысловая расчле¬

в этом смысле он состоит из Q точек

(что,

конечно, не должно нарушать его сплошности, как и составленность
со из бесконечного числа точек нисколько не мешает абсолютной
его

неделимости). Можно

множество, но

помощи

—

сказать, что континуум тоже есть счетное

такое счетное, в

котором

счет

производится при

чисел II класса.

Ь) Второй вопрос,

поставленный

также

выше,

не

терпит

отлагательства, если мы стремимся к диалектической системе. В
самом деле, что могло бы быть больше самого
имеем

континуума? Пусть мы

какой-нибудь отрезок прямой. Как бы мал или велик он ни был,

мощность всех действительных точек на ней совершенно одна и та
же. Это мощность континуума.
Именно,

ний

—

оказывается,

Кантор доказал даже гораздо больше*.

что мощность

такая же, как и мощность

двух измере¬

континуума

континуума одного измерения. И

то же самое, оказывается, имеет место и относительно континуумов
любого числа

счетного)

измерений,

так что

измерений

числа

одномерному.

Действительных

увеличивается

и

уменьшения

не

континуум бесконечного (или

по мощности своей

точек

уменьшается

не

фигуры,

—

равен континууму

данном

только

его длины; но их количество

любой плоской

на

от

не

отрезке

увеличения

или

одно и то же и в пределах

любого трехмерного тела

и

любого тела

любого числа измерений. Это поразительное открытие способно
озадачить

любую философскую голову.

Но мы

не очень этому

удивимся, так как уже привыкли от бесконечности ожидать самых
невероятных вещей. Если понятно, что бесконечность

*

Journal filr d. reine

u.

angewandte Mathemat. 1878. Bd 84.
374

со

вообще

не

§72. Аксиома выражения

в

теории множеств

увеличивается и не уменьшается, то в конце концов понятно и учение

Кантора

о

равномощности

с

одномерным континуумом

как

угодно

многомерного континуума.
Если

будто

все это так, то мы оказываемся как

действиями

положении: никакими

нельзя в

бы

в

трагическом

дальнейшем выйти

за

пределы континуальной мощности. Фактически, однако, дело обсто¬
ит иначе.

нию,
со

ни

Ведь

говорили мы, недоступна никакому

и со,

уменьшению,

и все же мы

целый ряд разных порядков со

совсем

Дело

другую природу,

в том, что для

в

получили

увеличе¬

результате увеличения

и в конце концов

чем со и чем любые ее

ни

Q, то,

что уже имеет

порядки. В

чем

тут дело?

бесконечности совсем не совпадают между со¬

бою мощность и тип множества, вполне

фактически

совпадающие

для конечных множеств. Мощность каждого числа второго класса

(между со и Q)

—

совершенно одна

же чисел второго класса везде
ность. Также и после
все

подряд

порядка,

континуума

сразу видим,

различных порядков,
Вот эта идея

разные,

т.

что

т. е. везде

разная упорядочен¬
которые

у нас получаются континуумы п вполне

е.различного числа измерений.

и является здесь

всех

счетная мощность. Типы

мы находим мощности,

решающей. Подобно тому,

лейший сдвиг точки со своего места

ром мощность

—

континуальными. Но, применивши сюда идею

являются

мы

и та же

уже порождает отрезок,

действительных

чисел

как ма¬

на кото¬

равна континууму (одно¬

мерному), так малейший сдвиг самого отрезка уже порождает
торую плоскость,

на

которой

равна тоже континууму, но
все те

операции,

таким же

что и для

—

мощность всех действительных точек

двухмерному. Тут

перехода

путем доходим до

от

от со к

Q, до

Q,

и

же мы

проделываем

получаем

и т. д. и т. д.,

и

От

получая

конти¬

измерений. Наконец,
а дальше затем и
бесконечно-мерный континуум

континуум, у которого
континуума,

Отсюда

или

множество

мы

мы по¬

нуумы все большего и большего числа

лучаем

неко¬

измерений

такой

само имеет мощность

континуально-мерный континуум.

выясняется вся

принципиальная

ных чисел классов, начиная с

мерного континуума к

важность

третьего. Уже О

трансфинит¬

есть переход от одно¬

двухмерному, следовательно, третий

с Q класс

дает
двухмерный континуум, четвертый (начиная с
т.
начинается
и
С
момента
д.
континуаль¬
трехмерный континуум
чисел дает

ная сплошность бесконечного числа измерений континуума. И, со¬
ответственно,

ПП1, Qn,, Qn

ит.д.

375

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

Мы, однако, не станем анализировать все эти числовые бездны,
чтобы не впасть в потенциальную бесконечность и тем самым не на¬
рушить принципа трансфинитности. Для
просто
как и

множество всех чисел,

нас достаточно выставить

куда войдут

неконтинуальные порядки;

и

все

континуальные,

множество всех чисел есть вполне

упорядоченное множество, обладающее целым рядом совершенно
определенных свойств. Но

мы не станем здесь

го замечательного множества, а только

строить теорию

закрепим

его

чески как тотальность, понимая под этим все, что
—

континуума,

по

это¬

терминологи¬

вообще больше

преимуществу же счетно-мерный континуум.

Если уже просто континуум, как указано выше, есть вне-числовая

форма числа, то сфера тотальности, которая есть
раскрытие общеконтинуального принципа, оказывается наивыс¬
шей развитой выразительной формой вне-числового осмысления
числа вообще. Этим, надо думать, исчерпывается вся сфера чисел во¬
выразительная

обще.
11. а) Остается еще одна область вопросов, которую
димо выставить тоже на

нам необхо¬

первый план, оставаясь, конечно, на позиции

чисто принципиального исследования. Это, вообще говоря, вопрос
о

взаимопредполагаемости

всех

рассмотренных

осмысления.

и

Лузин*

время взаимонесводимости

выше диалектических

Математики

блещут

здесь

тельностью своих заключений.

Н. Н.

в то же

ступеней

точностью

Для характеристики

воспользовался «демоном»

вне-числового
и

общеобяза¬

этого

разброда

Максвелла, который владеет

каждым математиком и внушает ему одни вкусы, исключая другие.
«1. «Демон»

Брауэра.

Его область есть область целого конечного, и

притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела.
За этой областью все лежит «вне математики».
2. «Демон»

Бэра.

ного без указания
лишь

Его область есть просто область целого конеч¬

верхней

fa?on de parler**

конечной границы. Бесконечное

это

и находится «вне математики».

3. «Демон» Бореля. Его область есть область счетной
сти. Всякое несчетное множество

4. «Демон» Лебега. Его область
ма. Всякая

—

—

бесконечно¬

«вне математики».

есть область мощности континуу¬

операция, требующая континуум простых шагов, доступ¬

*

Лузин Н. Н. Современное состояние
переменного. М.; Л., 1933. 52.
способ выражения {фр.).
“

376

теории

функций действительного

§ 72. Аксиома выражения

в

теории множеств

на этому «демону»; поэтому определение

2е,

области математики. Но мощность

функций, уже отрицается Лебегом
5. «Демон» Цермело. Его

верхней меры

и не по силам его

операций

поле

может сказать

улыбнуться

наивности

мощности,

может «сделать»

философ по этому поводу? Можно
этих философских рассуждений и

только
похва¬

откровенное признание математиками субъективизма своей
что

философии. Сказать,

бесконечного,
никаких

ком

«демону».

всякие

упорядоченным».

Что

лить за

—

Цермело

в частности, всякое множество «демон»

вполне

еще лежит в

мощность совокупности всех

существует

или сказать, что

подразделений

в

потребности

Приходится

и здесь

старных домыслов

и

существует только бесконечное

сфере бесконечного,

откровенно раскрывать

ма интимные

—

и нет

это значит слиш¬

свои ни на чем не основанные, но весь¬

и симпатии.

покинуть эту зыбкую

обратиться

наково равнодушному

только конечное и нет ничего

и

наивную почву ку¬

беспристрастному и

к

всему оди¬

ко

суду диалектики. Но суд диалектики беспо¬

щаден.
Ь)

Для

диалектики

совершенно

нет

предпочитать одну категорию другой. Если

как-нибудь образовалась, т.

ее нельзя было

силами. Если конечное, бесконечное и

не

столь

хоть

какими-нибудь

богатыми,

как

оснований

категория

е. имеет тот или иной смысл, то этого

достаточно для того, чтобы

являются

никаких

та или иная

уничтожить

разные виды бесконечного

логическими

можно

было

уже

никакими

бы

категориями

предполагать),

(пусть

то

этим

уже все решено: никакую категорию нельзя просто уничтожить, ее
можно

только подчинить

другой

или,

наоборот, другую категорию

подчинить ей, можно, наконец, при желании, и совсем о ней не
но

размышлять,

если

ее можно только как

предыдущем

мы именно

категорий, постольку
пожертвовать
в

что-нибудь значит, то мыслить
необходимую. Следовательно, поскольку в
она

ни

хоть

установили

смысл

все они для нас

бесконечным

в

категорий,

предполагает другую

выразительные формы

только о

ни

конечным

диалектической

т. е. о том, в каком смысле одна из них

и как они

с) Чтобы укрепиться

и мы не можем

пользу конечного,

пользу бесконечного. Речь может идти

системе этих

выразительно-числовых

обязательны,

объединяются

в той позиции, что

есть именно

377

в одно целое.

рассмотренные

категории, обратим

нами

внимание

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

на то, что им вовсе не свойственны чисто количественные различия.

Профан обычно думает,

что

конечное

очень маленькое, а вот бесконечное
что

в

получается

величины. Эта

точка

уничтожена до последнего основания.
конечное

разница

в

превратить

не по

бесконечное

количеству,

а по

не

горию

никаким способом нельзя

еще не

существует

другой

и бесконечное в

точнее

расплывается

континуум. Тут

говоря,

по кате¬

и не воссоединяется

Эту другую

получить откуда-нибудь,

сама по себе. Всякое

в диалектике вполне

малых

зрения должна быть

чтобы из этого получилась другая категория.

так,

из

ужасно огромное,

увеличения

Никаким увеличением нельзя

качеству или,

гории. Никогда одна категория

это что-то обязательно

это что-то

—

постепенного

результате

размеров конечной

—

кате¬

если она

получение одной категории

равносильно

и их полной взаимной

независимости и самостоятельности.
В частности,

не должен быть

данный отрезок прямой

что

нужно сказать,

увеличиваем до бесконечности, чтобы

бесконечность реально. Каждый конечный отрезок,
ни

был, уже

есть

бесконечность точек

и

интервалов

вовсе

мы имели

эту

как бы мал он
и даже конти¬

и даже в известном смысле тотальность. Бесконечность от¬

нуум,

личается от конечного вовсе не тем, что она
тот же

отрезок, например

конечным, и
по точке

бесконечным,

зрения,

т. е.

—

и

смотря

в один

и

может считаться и

сантиметр,

континуальным,
по той

больше его. Один

и тотальным,

смотря

мы

употре¬

категории, которую

бим для оценки данного отрезка.
Вот почему

пускают

в своей

нелепы

науке

ных множеств или
высших

допускают

и

все

—

конечную,

тотальную мощность. И даже

любое количество раз меньший, чем
но

ски,

скрыто для себя, допустил

тельные

пугаются

формы

Итак,

счетную,

математик

и

континуаль¬

если бы он

допустил отрезок,

[0; 1],

равно уже фактиче¬

все

он все

указанные

основные

в

вырази¬

числа.

в отношении

выставить

и

счет¬

пугаются еще

счетные множества, но

и

которые до¬

тех математиков,

мощностей. Уже допустивши отрезок [0; 1],

допустил решительно
ную,

рассуждения

только конечные величины, но

следующие

выразительно-числовых форм

мы должны

положения.

Существует четыре основных выразительно-числовых фор¬
мы:
а) конечная, Ь) инфинитезимальная, с) трансфинитная и
d) континуально-тотальная.
1.

378

§ 72. Аксиома выражения
2. Если число дано на стадии
в

зу содержит

форм,

теории множеств

выразительной формы, то оно сра¬

себе все эти четыре

хотя бы одной из этих

в

формы.

Если оно характеризуется

то остальные также

присутствуют тут

целиком.
3. Это, однако,

не значит, что всеми ими

Обычно выбирается

нужно пользоваться сразу

фиксируется какая-нибудь одна из них, смотря

и

по той категории, которую желательно иметь в виду. Конечная выра¬
зительная

форма основана на категории едино-раздельности (или
на категории станов¬
бытия определенного), инфинитезимальная
на категории ставшего и континуально¬
ления, трансфинитная
—

—

тотальная

на

—

4. Никакая

категории энергийно-эманативного бытия.

из этих

какая зато и не может

все они

—

категорий

не сводима одна на

существовать без других. Все

поможет нам и при детальном

указанных форм, которого, впрочем,
только

I. Как

рассмотрении

будем, но которому

определенное направление.

время

не есть

этой формы

конечная

выразительная форма, которая

инфинитезимальная.

невозможен ни малейший

элемента конечного

нельзя

мы делать не

возможно конечное?

а) Пусть существует
то же

но ни¬

нечто, и

—

разное.

d) Такая установка

зададим

другую,

они

Это значит, что

сдвиг,

в

пределах

т. е. что от начального

тем более

никуда сдвинуться нельзя, и, значит,

дойти до последнего элемента,

в

т. е. конечное

перестало быть

конечным, обозримым.
Ь) Допустим,
нитной.

что есть конечная

Поскольку трансфинитное

операции, постольку
ние

предела,

нечном

выразительность без

при

исключение

условиях

есть

с

есть исключе¬

достигнуть конца. Значит,

мы не смогли бы

элемента, даже если сдвинулись бы

трансфи¬

предел конечной

трансфинитности

т. е. самой возможности

таких

число

в ко¬

достигнуть последнего

первого элемента, т.

е. конечное

перестало бы быть конечным, обозримым.
с) Но пусть
нечного

исключается

образованы такие

континуум. Это значит,

что

внутри

пропасти и разрывы, которые нельзя ни¬

чем преодолеть, так что если бы мы даже и

обладали первым

следним элементом конечного множества, то мы не знали

находится «посредине», т. е. не знали
именно

первый

Конечно то,

и

ко¬

[бы],

и по¬

бы,

что

что наши элементы есть

последний.

что имеет начало,

середину

379

и конец. И вот оказыва-

III. Основные аксиомы числа (число как

ется: если конечное не есть в то же

суждение)

стихия

время

бесконечно-малого,

то оно не имеет начала. Если оно не есть в то же самое

финитное,

то оно не имеет и

середины. Скажут:

не обеспечивает нам начало,
тельно

категория

а если сама

середину

определенного бытия,
серединой, ни концом

но мы не можем с него

пройти;

транс¬

континуум,

это есть

действи¬

но мы не можем воспользо¬

числа и множества, если нет налицо

нее

и

едино-раздельность

конец? Да,

и

ваться ни началом, ни

через

время

оно не может иметь конца. А если оно не есть

конструирования

для

указанных условий. Начало есть,

сдвинуться; середина есть,

но мы не можем

конец есть, но мы его не достигаем. Являются ли

в таком случае эти отвлеченные категории

реальной характеристи¬

кой числа и множества?
Итак, если нет бесконечного, то нет ничего и конечного. Услови¬
ем возможности конечного является бесконечное.
II. Как возможно бесконечно-малое и бесконечно-большое?

а) Если существует бесконечно-малое, которое

в то же

время

не

является конечным, это значит, что оно есть чистое становление,
в

котором

даже

не

нет никакой

есть

нечто.

котором неизвестно,
словесная

само

х.

нелепость,

едино-раздельности,

Но

т. е.

такое

потому

что

для

dx

существует

становление,

должно
лишь

в

существовать

как

известное

конечного. Бесконечно-малое и бесконечно-большое

и есть не что иное, как становящееся конечное.

конечное, мы
делаем

которое вообще

что именно становится. Но это есть только

Бесконечно-малое

приращение

получается

тогда

Отбросивши

отбрасываем определенность
алогичным и, значит, необсуждаем[ым]

здесь

самого понятия, т. е.

абсолютно

само

бесконечно-малое.

Ь) Но, может быть, существует инфинитезимальное бесконечное
без всякой трансфинитности? Этого очень многим математикам
хотелось бы...
нет

Но, к сожалению, это не так. Если в инфинитезимальном

трансфинитного, то с точки зрения чистой логики

только, что становление здесь не имеет никакого

имеет никакой цели, т. е. не

предела входит

содержит

в самое понятие

в

себе

это означает

направления,

не

предела. Однако момент

бесконечно-малого

и

бесконечно¬

большого. Не нужно думать, что актуальная бесконечность существует

Веронезе

только для бесконечно-большого.

показал, что существует

также актуальное бесконечно-малое. Раз есть предел, то в условиях
алогического становления уже с

380

необходимостью существует и

§ 72. Аксиома выражения

в

теории множеств

трансфинитное (хотя оно тут не используется), ибо последнее и есть
определенный синтез становления с пределом.
с) Точно

нем

так же

немыслимо

континуум. Если

оно не есть

отсутствует

само становление,

отсутствует непрерывность. А это
постоянная величина,

что

и

бесконечно-малое

он не есть

когда

тогда,

континуум, это значит,

процесс

и

значит, что

что в

уже тем более, значит,

бесконечно-малое есть

противоречит самому

Итак: если бесконечно-малое не есть в то же

его понятию.

время конечное,

оно

трансфи¬

есть становление неизвестно чего; если оно не есть еще и

нитное, оно есть становление неизвестно какое*; если, наконец, оно
не есть континуум, оно вообще не есть становление, или процесс,
оно вообще не есть переменная величина.
III. Как возможен

а) Допустим,
указывало бы

что

континуум?

что

содержит

не

континуум

на конечность. Это значит, что

категории едино-раздельности. Но если
то

нет

и

сплошности,

заполненная

ибо

последняя

континуума все,

нет

ровно ничего,

континуум лишен

едино-раздельности,
что

не

есть

Однако,

едино-раздельность.

мы выделим из

в себе

что

в

получим континуум,
е.

окажется

котором не будет

неизвестным,

континуум. Мы получим

котором, однако,
числа
что

(ибо

невозможно.

стоит

после

множество всех

будет указать
всех

не

своего

именно

чего

мы

является

действительных чисел,

ни

одного

рациональных

Это, конечно,

что

никакого счетного скелета,

сплошностью

из этих едино-раздельных

сплошности

для

нельзя

множество

если

получится,

что создает в нем сплошность, и

постараемся получить едино-раздельность? Это значит,

т.

как

иное,

значит,

рационального

чисел
что
но

элементов;

в

—

счетное),

континуум
это

значит,

со¬
что

необходим едино-раздельный скелет, который

заполнения

и

в

превращается

неразличимую

сплошность.

Ь) Континуум
Это значило
мы

бы,

пришли бы

«точка»

немыслим и без
что он мыслим

к его

распадению

континуума,

становящаяся точка,

по

вне

на

В рукописи: чего

момента.

процесса становления,

дискретное

множество.

а

тут

Каждая

вышеизложенному ([п. 9]), есть именно

так что

лучше уже говорить

об отрезках.

‘

инфинитезимального

(ред.}.
381

не о точках, а

прямо

III. Основные аксиомы числа (число как

суждение)

с) Наконец, континуум, лишенный признаков трансфинитности, есть континуум, в котором ни одна точка не есть предельная. А
это исключается самим

определением континуума как совершенного

множества.
Итак:

вне

континуум

конечного есть сплошность не¬

категории

известно чего-, он же, лишенный

категории трансфинитного;

сплошность неизвестно какая, а лишенный

малого,

он

вообще

есть

категории бесконечно¬

не есть сплошность.

1) Самое же главное (оно же предпосылка, оно же резюмирующий

вывод)

во

всем

этом

исследовании

грубоколичественного подхода
трансфинитных

количественная

количеству еще

нельзя

судить,

признать,

больше,

другое, смотря
пятерка,

если математики так

но

Даже

и конечность числа

оно

конечное

или

обыденная традиция

по

голому

бесконечное.

человеческого

что это есть именно нечто конечное.

Сама же отвлеченно взятая пятерка

чем

категориям континуума,

характеристика числа, ибо

Если я сказал «пять», то только

сознания заставляет

и ни то ни

отрицании

чисел и бесконечно-малых величин, но даже и к

самим конечным числам и величинам.
не есть

в

заключается

не только к

—

по точке

и

бесконечность,

зрения. В связи

и

континуум,

с этим

шестерка

бесконечность ничуть не больше пятерки;

выражаются,

то они сами же

и

себя секут, когда

начинают оперировать с бесконечными величинами. Оказывается,
хотя последние только и «больше» конечных, но на самом деле они
по

самому существу своему совсем другие,

даже

разный диалектический

Одна структура
свое понимание
понятия даны

ра

—

так что

неприменимо

самое это понятие «больше» или, вернее, оно имеет

—

тут везде

смысл.

это

арифметическая едино-раздельность; тут

«большего»,

«меньшего» и

«равного»,

а именно, эти

едино-раздельно, стабильно. Совсем другая структу¬

инфинитезимальное

становление; другое здесь и понимание

«больше», «меньше» и «равняется», а именно, тут самые эти понятия
даны в становлении, в текучести, поэтому и самые операции в ана¬
лизе бесконечно-малых совсем другие. Как ясно из предыдущего
исследования понятия

трансфинитного

числа и

и здесь свое собственное понимание этих

говорить,

что

бесконечном

Можно

>, <

континуума,

и =.

Поэтому

также

нельзя

бесконечное больше конечного, если само «больше»
и конечном

в

разное.

сказать еще и так. Конечное и

382

многочисленные виды

выражения в теории вероятностей

§73. Аксиома

бытийственное, но
выразительно-смысловое. С точки зре¬

бесконечного не есть различие предметное,
чисто смысловое, а именно,
ния

—

онтологической предметности о бытии с одинаковым правом

можно сказать

и что оно конечное, и что оно

континуальное,

бесконечность

нечное, а

бесконечное,

сплошное. Можно сказать, что
и

континуум есть

существует

и что оно

только ко¬

(хотя тут надо
Можно
сказать, что
«вид»).

было бы проанализировать, что значит

его виды

существует только бесконечное, а конечное и континуум есть его
виды. Можно сказать, что существует только континуум, а конечное
и бесконечное есть его виды. Везде тут по-разному придется пони¬
мать термин «вид», но, не вникая в

грубоватым,

но вполне

не «выводима» из

ние

реалистическим добродушием сказать,

тут «подчинено» другому

одно

фона,

фоне.

в

ни

оно есть выделение и

при

субъективизм Брауэра
Бореля

и

и что каждая из этих

и

категорий

каком

Бэра,

вырезывание

реализме недопустим

ни

ни

на некоем

мещанский

рационалистическая импотенция

Лебега. Только «демон» Цермело немного высовывает свою

голову из этого мещанского болота мелкого субъективизма, да

способен
не в силах

только

беспомощно

претворить

его в

выставить

в

тезис,

тут

будучи

теории вероятностей

Наконец, необходимо дать не

и в

правильный

и

живую действительность.

§ 73- Аксиома выражения

ально

что

впол¬

В одном случае «выведение» есть заполне¬

другой.

другом

Но зато уже

подробности, можно с некоторым

подробную,

но все же

принципи¬

определенную установку для дедукции выразительной сферы

области теории вероятностей. Ограничимся самым необходи¬

мым.
1.

нее.

а) Выражение

До

сих

пор (§ 49, 53, 57,

вероятностей
зать,

есть внешность, по

только такие

внутренние

категории,

о

мы находили в

которых

они или внешние. Самое это

рождается там, где

полагается

пени наличного бытия.
чем-то внешним,

которой узнается внутрен¬

61.4, 62.5, 63.7)

поскольку

внутренним, которым

различие факта

Дальнейшее уже будет
и

теперь

факт

оказывается

(§ 62.5)

различие впервые
и смысла, т. е. на

смыслом

чистый,

т. е.

вероятностей

и закон

сту¬
т. е.

до-фактный,

отдельные опе¬

больших чисел

обходимо, следовательно, подчинить эти операции

383

факта,

за¬

есть внешнее в сравнении с тем

смысл. Раньше мы находили в теории

рации над вероятностями

теории

нельзя было ска¬

(§ 63 7). Не¬

и это

примене-

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

ние закона больших чисел таким новым

бы превратили

их в то, что,

сорганизовалось

заново и

будучи

потому

Ь) Наиболее яркую форму
выражения надо находить
пределения вероятностей
и

уклоняющихся

первых,

чисел,

как

так

получаемых
потому

теоретико-вероятностного

о

законе

нормального рас¬

вообще втеории построения нормальных

нормы

кривых

из опыта или

по

мере

во-

Здесь,

распределения.

вообще теоретико-вероятностные

тут наличен целый ряд вероятностей,

когда

вероятность,

существу внутренним, теперь

стало внешним.

учении

и также

теории,

что здесь ставится

какою

вопрос,

—

функцией

отдельных

так или

закон больших

количества

возрастания

случайные уклонения

сглаживаются

преобразованиям, которые

этого

сначала имеются в виду

операции,
иначе

от

и

в

по

является

событий

событий

от

их

математических ожиданий. Однако это еще не все. Именно, вовторых, здесь разыскивается закон распределения
здесь самое исчисление

внутренним,

вероятностей, т. е.

вероятностей является чем-то отвлеченным,
внешнюю

получающим

от

конкретность

нового

оформления. Следовательно, и здесь аксиому выражения необходимо
формулировать как утверждение тождества внутренно-внешних
направлений становления для исчисления вероятностей.
Мы не будем анализировать ни предельных теорем Лапласа,
А. М. Ляпунова и А. А. Маркова, ни закона (Гаусса) нормального рас¬
пределения вероятностей, ограничиваясь только их общей диа¬
лектической установкой. Но ясно,

что

теоретико-вероятностного выражения
оперируем

с

тут
—

мы

уже

находимся

по

кривыми, которые всегда есть выражение

аналитических данных. Но

тут, кроме того, исследуется

путем

выключения всяких

ления чисто смысловой

таким смысловым

случайных уклонений,

стороны

образом

становления. А

сфере
что

в отношении

становление

вероятностей, определенным образом сконструированное,
но

в

одному тому,

т. е.

а имен¬

путем

выяв¬

сконструированное

становление всегда есть

выразительная

форма.
2. Но

в

предыдущих параграфах

лектические типы

нам разные типы

ствуют разным

робности,

мы

констатировали разные диа¬

выразительной измеримости. Арифметика

преобразований,

типам

которые

в

пространства. Если даже

то нельзя ли дать хотя бы

дала

геометрии соответ¬
и не входить в под¬

общую установку

для такого

понимания вероятности, которое можно было бы назвать неэвкли-

384

§73. Аксиома выражения

в

теории вероятностей

довским? Да, такая методологическая позиция уже давно намечена в
науке, и в настоящее время она
аппаратом. Я имею
В чем

бы наше

обросла солидным математическим
в виду основные факты т. н. волновой механики.

тут дело? Придется

утверждение

на

минуту

отклониться в

о «неэвклидовости»

сторону,

вероятности

что¬

стало более

или менее понятным*.

а) В истории учения
именами

о

свете

известны

и

Ньютона

связанные

с

создателем

корпускулярной теории

большие

две

Ньютона

Гюйгенса.

света, по

которой

теории,
считают

светящееся

тело испускает из себя частицы, движущиеся в пустом пространстве
наподобие самых обыкновенных материальных частиц, т. е. пря¬
молинейно

и

равномерно,

если

влияние

всякой

удачно объясняла

явления

отсутствует

посторонней
отраженияипреломления,ноонаоказаласьсовершеннонепригодной
для объяснения интерференции и дифракции. Волновая теория,
основателем которой считают Пойгенса, рассматривала скорость
света как волновую скорость. Работы Физо и Френеля, казалось,
силы. Эта теория довольно

окончательно утвердили господство волновой теории. Знаменитая
теория

электромагнитная

точке зрения светового

которого

Максвелла

у

эфира Пойгенса,

эта

теория наткнулась

на большое

благодаря формулированному

сительности».

Если

основывается

на

кратко сказать,

такой

неподвижность

стояла

препятствие,
«принципу

идей.

т. е. повсеместная

пространства. 2) Отсюда

т. е. невозможность

1905

г.

то этот знаменитый

ориентировать абсолютное движение

3)

в

последовательности

пункт: отрицается абсолютность,

лучается,

вполне

на

механические колебания

и понимались как свет.

Ь) Однако
давшееся

света

соз¬

отно¬

принцип

1) Исходный

однородность

и

вытекает невозможность

относительно

пространства,

вообще определить абсолютное движение. По¬

что можно

говорить

только об относительном движении.

Но это значит, что невозможно судить и о тех абсолютных изме¬

нениях скорости света, которые она претерпевает в связи с прохож¬
дением света через те или иные подвижные системы.

признается всегда постоянной,
ческая
от

бесконечность, которая

прибавления

Скорость света

так что есть как бы некая математи¬

не

увеличивается

и не

уменьшается

или отнимания никаких конечных количеств.

‘

Дальнейшее изложено
М., 1934.1.

главным

образом

механика. Л.—

385

по Я. И.

Это

Френкелю: Волновая

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

(опыты Майкельсона, Морли

подтвердилось и экспериментально
и

др.). 4)

всех

Постоянство скорости света вместе с

реальных скоростей приводит

учению

о

ориентацией

сокращении

на нее

тел в на¬

зрения неподвижной системы, причем

правлении движения с точки
это

к

сокращение выражается простейшим образом

Лоренцовых преобразований. 5) Геометрическое

с помощью т. н.

толкование этих

процессов приводит к выводу за пределы Эвклидового пространства,
так как вытекающая отсюда

равняться нулю.

уже

кривизна пространства уже не может

6) Получающееся

не вмещается в обычные

пространство

три измерения,

и

по

этому самому

обычные трехмерные

векторные величины становятся четырехмерными векторами, при¬
чем четвертое измерение может быть рассматриваемо как результат
движения,

Вот

т. е.

эта-то

времени.

релятивистская теория

света и оказалась несовмести¬

мой с ньютоновским механическим атомизмом

электромагнитной теории

нения
ством

вполне

(хотя старые урав¬

совместимы

с

постоян¬

скорости света).

с) Но корпускулярная теория Ньютона

в

эти

же

самые

годы

получила неожиданное подкрепление, которое, впрочем, фактически
еще дальше уводило от Ньютона к сближению с волновой
но

уже

в

новом

Это

понимании.

квантовой теорией. Незадолго до

работы

теорией,

было создано

подкрепление

Эйнштейна 1905 г. Планк,

желая объяснить распределение интенсивности в спектре теплового
излучения, предположил, что атом и испускает, и поглощает лучистую

энергию

скачкообразно,

энергии. При
колебания

т. е. отдельными

этом оказалось, что квант

излучения,

и

связан

очень

порциями,

энергии

или квантами,

связан с частотой

определенным образом,

а

именно
е

где v

—

частота

колебания,

а b

=

=

b

•

6,55

V,
•

10-27 эрг сек, величина посто¬
•

янная.
Хотя сам Планк мыслил это свое открытие вполне в рамках

старой электромагнитной

волновой теории, Эйнштейн пошел го¬

раздо дальше. В самом деле, если испускание световых квантов
потом стали называть

координатной
с

=

3

•

фотонами) совершается

(их

одинаково в любой

системе, то скорость их всегда равна скорости света,

Ю10 см/сек,

а если эта

просто уничтожаться. Это

и

скорость уменьшается,

то они должны

случается, когда фотон поглощается
386

ма-

§ 73. Аксиома выражения

в

теории вероятностей

термальным атомом. Он не присоединяется механически к атому,
как это мыслил Ньютон, а как бы размывает его и размывается сам.
И кванты, по этому воззрению, не распространяются
волнами, а двигаются с собственной

энергией
пространственно-временнбй проекции четырехмер¬
вектора того и другого) как некоторые математические точки,

жения

ного

(в

виде

сообщая атому
гию,

сферическими

и количеством дви¬

в

случае

своего поглощения последним и свою

и количество движения.

электрический эффект

или

В дальнейшем такие

эффект Комптона,

факты,

как

энер¬

фото¬

дали замечательное

подтверждение идеям Эйнштейна. И в результате получилась не¬
обходимость признать сразу и волновую, и корпускулярную точки
зрения на свет,

матические
гих
е

=

—

как

который

волны

в одних

случаях проявляется

определенной

с

однородное корпускулярное излучение

bv (где h

—

планковская

направление движения,

постоянная). Фотон

но это

как

монохро¬

частотой колебания, а в дру¬
с

энергией

кванта

имеет определенное

направление совпадает

с

направле¬

нием световых волн.
К

этому

отношение

можно

присоединить

и чисто количественное взаимо¬

результатов корпускулярного

и

волнового

аспекта.

С

корпускулярной точки зрения интенсивность света есть количество
частиц, проходящих в
к

перпендикулярной

единицу времени через единицу площади,

направлению

лучей.

световых

отношении она есть квадрат амплитуды колебаний

в

В волновом же

данной

точке

N~^.
С

первой

точки

зрения число частиц, пересекающих

цу времени единицу площади, равно произведению N
света с,

которое есть

плотность тока частиц,

на

в едини¬

скорость

характеризуемое

как

(с присоединением четвертой проекции времени)
трехмерный
четырехмерный вектор и (после перемножения слагающих четы¬
рехмерных векторов, т. е. с получением 16 величин) четырехмерный
или

тензор. Но мы можем перемножать слагаемые электрического и маг¬
нитного поля и тоже получим 16 величин,
энергии. Последний

будет

образующих свой

вполне аналогичен

тензор

тензору корпускуляр¬

ной теории.
d) Таким образом,
и

корпускулярной,

прерывности,

и

и

мы

приходим

волновой,

—

к

теории, которая сразу является

другими словами, теорией сразу

непрерывности. В 1924

г.

французский физик Луи де

Бройль применил эту двойную точку зрения
387

и

к самой

материи (т.

е.

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

к электронам и

протонам), которая

с тех

пор тоже рассматривается

теперь как корпускулярно-волновая структура. Эта структура не сразу
была формулирована

как вполне

оригинальная. Еще де Бройль думал

свести «частицы» к «волнам» в том смысле, что каждая отдельная

трактовалась

частица

как

резкий максимум амплитуды той или иной
(как

волновой системы. Однако оказалось, что эти «волновые пакеты»

Шредингер) совершенно

их назвал

электронов

частиц

в явлениях

и совпадает с

пакетов.

смогла

Как

теперь пришлось

не объясняют

индивидуальных

интерференции, хотя скорость

групповой скоростью и со скоростью волновых

раньше

объяснить

дифракции

и

ньютоновская

корпускулярная

не

теория

и
дифракции
интерференции,
прямолинейного движения частиц
так

и

явлений

отказаться от

по природе и признать, что движение это зависит от системы волн,
сопровождающих эти частицы. Значит, необходимым оказывается
и существование «волн», и существование

«частиц», одно никак

несводимо на другое. Но тогда как можно было бы
пониманию и к

Тут-то мы

и

охвату

этого

встречаемся

параллелизма

или

с новым пониманием

3. В самые последние годы господствует
вой

механике.

приблизиться
дуализма?

Интенсивность света

к

вероятности.

такая схема в волно¬

определяется

числом частиц.

Чем более интенсивны волны, тем оказывается большее количество
частиц, и, чем они

слабее,

тем частиц меньше.

дельный электрон. Ясно, что,

Пусть

мы имеем от¬

чем интенсивнее волна, тем

роятность появления электрона

в данном месте.

более ве¬

Вероятность

эта,

очевидно, пропорциональна интенсивности волны в данной точке.
Имея упомянутую выше непрерывную волновую

трудно определить среднее,

объеме,
ем,

v02

—

или

стоит только взять

вероятное,

функцию у2,

не¬

число частиц в данном

произведение этой функции

на объ¬

Д v. Это произведение есть не что иное, как мера вероятности

нахождения одной из частиц в элементе объема Av, а
плотности

вероятности

у*

есть

мера

для нахождения частицы в данной точке

пространства. Это толкование взаимоотношения волн и частиц как
соотношения

вероятности было

введено

Борном.

И такое пред¬

ставление вполне удовлетворительно связывает волновую и кор¬
пускулярную точки зрения, остающиеся при всяком ином подходе
очень трудно соединимыми.
Здесь
ники от

удобнее

всего видеть все различие новой волновой меха¬

старой классической. Когда требовалось определить
388

по¬

выражения в теории вероятностей

§73. Аксиома
ложение частицы в

старой

жение частицы и ее

механике,

брали

некое начальное поло¬

в этот момент, а затем

скорость

интегрировали

ньютоновские уравнения движения и получали нужные координаты

В новой же волновой механике

(как функции времени).

положения

мы находим не точное положение частицы, а только вероятность
того, что она

будет

вероятность

связанных с

частицей,

распространения
сти от

эта измеряется

то мы

Гейзенбергом. Пусть

стемы плоских гармонических

частицы
но

оказалось

зафиксировали

време¬

только закон

и еще от

в зависимо¬

времени.

если мы примем во

неопределенности, формулированное

мы точно

пространстве. Но

сущности,

заостряется,

определили скорость частицы. Если
при помощи установления си¬

то ведь сделать это могли только

всем

в

волновую функцию у,

положение дела еще более

внимание т. н. соотношение

так,

тут находим,

этих волн, или

момент

квадратом амплитуды волн,

трех пространственных координат

Такое

данный

иметь это положение в

ни. А так как

волн с

одной

амплитудой

и той же

во

это значит только то, что положение нашей
мы

совершенно неопределенным. Пусть

точ¬

положение частицы. Это можно сделать только

путем сведения протяжения волнового пакета к нулю. А это значит,

скорость нашей частицы

что

ной,

так как

при

этом

оказалась

совершенно неопределен¬

условии одинаково вероятны

направления скорости. Чем

точнее

все значения и

определяется скорость,

тем

рас-

плывчатее оказывается положение; и, чем точнее положение части¬
цы, тем

оказывается ее скорость.

неопределеннее

Это соотношение нельзя толковать как печальную
мость

наблюдателя ограничиваться слишком несовершенными

собами при
шего

необходи¬

измерении

столь малых

субъективизма. Тут

—

расстояний. Тут

спо¬

нет ни малей¬

объективная картина той неопределен¬

ности, которая царит на изучаемом участке реального бытия. И это,
собственно говоря, есть не столько неопределенность, сколько от¬
сутствие

детерминизма имехани[ци}зма.

Ньютоновская механика

предполагает механистический детерминизм бытия. Здесь абсолют¬
но точно вычисляется наперед и положение частицы в зависимости
от скорости и

пройденного пути,

и

скорость

стигнутого положения. Волновая механика
министична\ она оставляет

в зависимости от до¬

в этом смысле

«свободу» самоопределения

индетерчастицам,

откуда и вытекает столь большое значение идеи вероятности, свя¬

зующей

частицы и волны в одну цельную картину. Раньше думали,

389

III. Основные аксиомы числа (число как

что

электрон

заряд,

т. е.

Теперь
ное

это

—

определенный индивидуальный электрический

прерывистый заряд,

же оказалось, что

связанный с той или иной

орбитой.

электроны представляют собою непрерыв¬

распределение заряда

сивности волн

суждение)

с плотностью,

(вышеуказанной

пропорциональной

величине

у2). Атом

интен¬

как бы размазан,

расплывается по «пространству», причем само это «пространство»,
по-видимому, надо считать впервые только еще

образующимся,

а не

существующим заранее наподобие абсолютной однородности

пространства. В

эв-

образуют
многомерное пространство. Но это последнее тут вовсе не фикция,
раз оно определенным образом характеризует процессы трехмер¬
клидовского

сложных атомах эти волны

ного пространства.
4. Разумеется, набросанные только что мысли о «неэвклидовской»

вероятности
и

нисколько не

полную ясность,

могут претендовать

так как это относится к

ретической физике, которая

как

специальной науке,

тео¬

раз теперь переживает небывалый

кризис, требующий разъяснения
Но

на обстоятельность

самых

первичных

основ знания.

вышенабросанные мысли претендуют на то, чтобы дать аксиома¬
определенный участок математической мыс¬

тическую установку на

ли; и такая необычная вещь, как соединение идеи вероятности с раз¬
нородным пространством, осталась бы слишком отвлеченной, если
бы мы не указали соответственного
точки

зрения уже

механику,

имела бы значение

а не только попытка

физического
простая

аналога. С этой

ссылка на

волновую

кратко формулировать относящийся

сюда феномен.
Сообщение идеи вероятности

с

разными

типами

пространства

имеет д ля нас исключительно важное значение еще и потому, что ве¬
роятность, относясь к бытию

конкретное. Его
ческое, ибо

мы выше

в нем

модальному,

есть бытие максимально

(§ 9) характеризовали

как бытие

истори¬

учитывается его самопроизвольность, которой

со¬

других
другой стороны,
брать геометрию, то ни топология, ни проективная геометрия,
ни аффинная не есть полнота определений пространства. Только
метрическое пространство дает наглядную физиономию простран¬
ственной фигуры; но метрика эта бывает разная, и эвклидовская
наиболее бедная и бессодержательная. Вот почему идея
метрика
вершенно

нет в

типах числового бытия. Но с

если

—

вероятности
точками

в

зрения

соединении

с

неэвклидовскими

есть максимально

математическими

конкретная позиция

390

в математи¬

§ 74. Итог аксиоматики
ке

вообще; и открывающееся здесь выразительное бытие числа обла¬

дает и наивысшей

свободой самоопределения,

богатыми

и самыми

физиономическими возможностями.
Тут естественный конец аксиоматики.
—

f) Общее

заключение

$ 74. Итог аксиоматики
1. Мы проделали

судьбу

числа как

большую работу. Обозреть всю диалектическую

суждения
и

лектическую систему;
ме, тот должен

ибо,
не

кто не

хоть

ли и ясность слова

—

построить огромную диа¬

что-нибудь

неясно в этой систе¬

всякие усилия для достижения ясности,

обладает последней
ни в чем

сумеет разобраться

ясностью в диалектике аксиом, тот

последующем. Правда,

совершенно разные вещи,

ясность мыс¬

и они часто не со¬

настоящего исследования имеет такие диалектиче¬

Автор

впадают.

кому

затратить

это значит

—

ские мысли, которые кажутся ему

предельно ясными,

но он не может

этого сказать решительно о всяком своем слове, так как воплощение
сложных диалектических

пряженнейшую борьбу
даже отчаянно

нибудь

построений

сопротивляется, когда

отвлеченное.

в словах всегда означает на¬

с человеческим языком,

Поэтому

его заставляют

надо еще раз

лектическую аксиоматику, минуя детали,
ство

картины, чтобы добиться

который упорно

обозреть

но лишь

и в словах той

выражать
всю

и

что-

нашу диа¬

соблюдая един¬

абсолютной ясности,

которая присуща прочно продуманной мысли.
2. Аксиоматика (и вообще всякая диалектика) основана на после¬
довательном созревании категорий. Если уловлена эта последова¬
тельность, значит, уловлено все. Но всякая последовательность со¬
держит

в

себе какое-то начало, какой-то закон развития

конец. Уловивши эти моменты, мы улавливаем

и

какой-то

и всю последователь¬

ность.

Итак,

аксиоматика

предполагает

какое-то начало. Что это за на¬

чало? Начало должно быть максимально
сложно.

Дойдя до последней простоты,

перво-принципа. Что

же это за

просто, максимально

не¬

мы доходим до подлинного

перво-принцип

в математическом

суждении? Что такое то, проще чего не может быть [ничего] ни в ка¬
ком математическом суждении? Если мы возьмем арифметику, то та¬
ким абсолютно

простым

началом всякого

391

суждения будет, очевидно,

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

единица.

Нет ничего проще единицы. В геометрии таковым перво-

принципом является точка, ибо в пространстве нет ничего проще
точки. В теории множеств таковым перво-принципом необходимо
считать элемент,
от точки

—

который

идеей

от единицы отличается

теоретико-вероятностным перво-принципом

событие, рассмотренное

отношение, или
шения; это и есть

Таково
ли можно

в свете модального отно¬

вероятность.

спорить об этом;

во всяком

простейшее

во всякой

последней простоте

и

данной области. Число,

свободе

от всего иного, есть

рассматриваем

перво-принцип

переходим

число как

к

перво-

первым определе¬

суждение, раскрывающее

существенные свойства

тела и тем его

вами, вот мы

к отдельным математическим

переходим

есть абсо¬

взятое в своей

как чистое полагание есть

самого числа. Но вот мы

ниям числа, т. е.

науках. Едва

о единице и точке не

случае

Перво-принцип вообще

всей математики, подобно тому,
принцип

а

Наконец,

является модальное

начало аксиом в различных математических

может быть никаких сомнений.
лютно

идеей порядка,

чисто количественной осмысленности.

определяющее; другими

сло¬

наукам. И

наш

общий перво-принцип, число, превращается в целый ряд конкрет¬
ных, специфических перво-принципов. Это и есть единица, точка,
элемент и ее

бытие (модальное отношение).

3. а) Итак,

трим, где

мы знаем начало нашей аксиоматики.

же ее конец. Если начало

как последняя

быть

наших

если мы охватим всю их

перво-принципов,

судьбу

описать этот максимально

принципа? Ведь
предмет

слишком

ощущает границу
он

последний

щей

она

сложность»

т. е. слишком

предел этой зрелости

тут должна быть,

характеризует

пусто. Диалектик

этот
ясно

и сложности. А именно,

своего предмета до той степени сложности,

остается самим собою. Если

предмета, переходящее

просто,

посмо¬

то конец,

конец аксиоматического перво-

зрелый

формально,

наблюдает развитие

пока

Теперь

целиком. Но нельзя ли более точно

«максимальная

и

максимально

максимально сложен. Какая только может

зрелость,

сложность

—

в его

распадение,

нас сложности. Но когда вещь

—

наступает усложнение
тут предел интересую¬

распадается?

Она распадается

тогда, когда отдельные ее части становятся абсолютно чуждыми одна

другой, когда они абсолютно иные одна другой, и иные не по смыслу
просто (в таком виде они еще входили
не

разрушали

ее

цельности),

в

цельную вещь

но иные по своей

392

и нисколько

субстанции. [Это] зна¬

§ 74. Итог аксиоматики
чит, что

есть вмещение в себя своего

распадение

субстанциального

инобытия. Итак, признаком последней допустимой сложности пред¬
мета является вмещение

субстанциального)

себя своего смыслового (а не просто

им в

инобытия. Вмещение дальнейшего инобытия

бу¬

дет уже разрушением и переходом в иную предметность.

Возьмем

Ь)

арифметический перво-принцип, единицу.

По¬

скольку она есть максимальная простота, мы можем добиться здесь
максимальной сложности только путем того или иного комби¬
нирования единиц. Это
лишь
т.

е.

бы

только

комбинирование

может быть каким

сохранялось выставленное

себе непосредственное значение всех вошедших

обнаружением

закона

самого

Мы

одной единицы,
можем взять

арифметическое

с

та или иная

которой происходит

систему единиц: получится

в

в него единиц, с

комбинирования.

соблюдается это условие, мы никогда не разрушим и не
ни

угодно,

условие,

бы только получаемый отсюда результат сохранял

лишь

ясным

что

только

Покамест

отбросим
операция.

самое обыкновенное

число, не нарушаемое никакими инобытийно

суб¬

станциальными привхождениями, ни как целое, ни как составленное
из отдельных единиц. Мы можем взять систему систем единиц: полу¬
чатся те или иные ряды чисел с теми или иными законами структу¬
ры этих рядов, но все входящие сюда единицы

будут

в своем

раздробит получающегося

няя сила не

будут

непосредственно-очевидном бытии,

как на ладони,

и никакая внеш¬

здесь сложного единства. Мы

можем взять систему этой системы систем, потом систему получен¬
ной таким

образом

сложной системы, и т. д. и т. д.,

найдем уничтожения, отпадения

перейдут

единицы не

средственной

в

в нечто такое, что

теории

мы

можем

сложность

первоначального
дается

сказать

множеств и

вероятностей. Везде тут перед
допустимая

—

это

элемента.

мы нигде не

смысл непо¬

уже потеряло

о точках

нами

одна

система

Если

в

полученной

геометрии, об

модальном отношении в

мы

и

та

систем

говорим

некоторый закономерный переход

элемента ко

—

очевидности и стало инородным телом в

совокупности.
с) То же самое
элементах

и

тех или иных единиц, нигде наши

же

теории

максимально

преобразований

о системе, значит,

от

первоначального

всякому другому. И если мы говорим о системе систем, то,

значит, дается

закономерное строение всего результата, полученного

из единицы, точки, элемента и

вероятности,
393

и

притом независимо

от

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

количества и последовательности видов систематизирования.

сохранении

этих

условий

сложность, до которой
точка

и

Такая

же

пр.

в

любом

и

Единица,

аксиоматика.

доходить

непосредственно данная
и

При

получаем допустимую максимальную

может

непосредственно данная

—

сохраняться

Пусть

мы

и

простота должна

очевидная

комбинировании

простота.

очевидная

этих

и

единиц

точек.

мы, напр., имеем то, что называется в теории чисел модулем

или в высшей

арифметике и алгебре числовым кольцом или полем.
бы
структуру это кольцо, или поле, ни имело, мы, хотя,
Какую
быть может, по

обозреть

его

памяти и

ограниченности
все

целиком,

же

внимания

и не

можем

принципиально

увидеть

ощупать любой элемент, входящий сюда. Поэтому кольцо,
бы сложность здесь

какая

в

и

очевидность,

любом пункте системы. Это

и

или поле,

была, принципиально сохраняет

ни

себе непосредственную простоту

реализовать

сумели

в

легко

которую

и значит, что здесь

у нас

допустимая степень усложнения первоначального элемента.
Итак: аксиоматика движется от той абсолютной простоты, ко¬
торая есть

событие),

в

акте полагания

простом

сюда термин, много раз
его в

но в смысле нашей
нас

у нас

употреблявшийся

расширенном значении,

Пусть у

(единица,

точка, элемент и

до системы систем этих полаганий. Можно применить
в

предыдущем, беря

а именно, понимая его исключитель¬

выразительной формы. Это попятсметризации.

будет метризованная

система единиц

(чисел),

—

напр.,

метризованное поле; пусть будет метризованное пространство,

ме¬

тризованное множество, метризованная вероятность. Это предел,
дальше которого
и т. д. и

уже

мы

переходим

уже покидаем

к

тому,

самое

что хотя его и

учение

о единицах, точках
но является

предполагает,

совсем иным.

d)

В этом рассуждении мы не воспользовались диалектическими

схемами. И многие думают, что так оно и проще, и яснее. Однако

философу

ясно

Указанное

только

совсем

что

не

зафиксировать

диалектически.

после стольких

разъяснений

кратчайшего резюме
полагания,
без

внутри

категории

не

что

то,

начало

в

и

ясно

конец

Этого

обыденному

аксиоматики

делать

здесь

сознанию.

необходимо
не

предыдущем

можно сказать, что начало этого пути

дифференцированный,

различия

внутри

себя,

других категорий, конец же этого пути

394

а
—

следует

изложении. Но в виде
—

акт

т. е. чистое полагание

без

всяких

акт полагания,

внутри

значит,

и

§ 74. Итог аксиоматики
и вовне явившийся как таковой. Сначала это

расчлененный

акт полагания, в

категория,

а

котором

категории, необходимые для

все

котором положены

для его мыслимости,

безразличия,
Таковы

как определенная

простотой

Везде

где нет

различий,

категории, необходимые

а

вместо изначального

пути. И других

начал и концов не¬

мы находимся здесь

созревшей структурой; при

и ясно

между абсолютной

этом

ме того, есть, хотя бы принципиально, различие этих

разнообразие

качественное

закономерности. Это

их

—

простота

там,

там, где эти различия есть и где, кро¬

—

структура

мыслимости,

же это такой

внутренне-внешняя структура.

эти начало и конец

возможно и мыслить.

и все

предстал здесь

так что он

его

другим. В конце

находятся вне его, мыслимы кем-то

акт полагания, в

просто

не положена еще пока ни одна логическая

различий,

т. е.

так везде, так и

в аксиоматике.

4. а) Чем

же

теперь заполнен этот аксиоматический путь? Его

тоже можно было бы сначала описать чисто фактически, не вникая
во всю сложность диалектических связей. Однако господствующие
здесь предрассудки так велики, что никакое простое описание без
всего потребного здесь логического аппарата никем не примется
здесь

ской

на

веру. Можно было бы, напр., исходить

аналогии.

Всякому ясно,

из чисто

геометриче¬

что если вместо одной точки мы возь¬

мем две различных точки, то тем самым мы получим какую-то ли¬
нию,

и

прежде

кому ясно,
на

всего

(в

связи с

то мы

числом

от точки к

мотождественного

—

различия,
по

шинство, конечно, не

это значит

поймет,

кто

глух

получим

телесности

всякому ясно,

что

затратить* категорию

са¬

и если невозможно

отрицать,

что для

как это они должны отождествляться,

между концами отрезка

аналогия с

к диалектике. А

тегорий происходит
*

не

точки не

нет

ровно

перерыва.

Следовательно, даже
тому,

мы также

крайней мере две различных точки, то боль¬

хотя и абсолютно очевидно, что
никакого

отрезок. Вся¬

разные структуры

измерений). Однако

прямой

прямой необходимы

и

ее

три различные

получим плоскость. Далее

тремя измерениями)

(в связи с большим
перейти

определенный

и даже

что если вместо двух точек взять

одной прямой,

тело

прямую,

Так в рукописи

как

раз

между

геометрией

ничего не скажет

тем логическое

в том смысле, в каком

(ред).
395

назревание

назревает

ка¬

геоме-

III. Основные аксиомы числа (число как суждение)

трическая

фигура

иным числом

по

мере перехода

измерений. В

точки к

образованиям с тем

же этапы логического развития, как и в эволюции

фигуры

от точки до

же самые основные
или

те

категории, создающие возможность

ту

хам диалектического

другой,
т. д.

как прямая

тического

и

путь при помощи диа¬

можем сделать это даже

пр.;

противополагается точке,

плоскость

—

прямой

отбросить всякую диалектическую манеру

бытия, конечно,

пострадает. Но

нисколько не

путь. Это путь триад.
Ь) Очень ясно этот путь аксиоматики
при помощи триад
тов, пояснения не

от начала к

так. Что такое система

требует. Будем

считать

окажется ее

переход

преобразований.
вания. Но полученный
иных

и

некоторая

очевидный

концу рисуется

первоначальных

такую систему

к

метрии

т. е.

роятностей

—

фигура,

в

исчисленная

цельное

теории

вается

по

—

или

или

диалектический

множеств

—

тип и в

совокупностью. В

операциями. И

совокупность,

отрицание

или же

синтез. В

будет само число, но
арифметическое число.

и

разного рода преобразования,

действиями,

систему,

наше

вероятность. Этот общий

ский тезис можно также назвать и
получим

отрицаем

совершаем обычный диалектический

система систем

сформированное,

это есть

тех или

будут самые преобразо¬
преобразований результат есть

системой актов полагания

арифметике

или ино¬

новую форму при помощи

после этих

тезису,

переход. Получается

элемен¬

за исходный

Этим инобытием и

система. Этим самым мы

возвращаемся

готовое и

в

изберем

мы

и

пункт аксиоматической диалектики. Тогда ее отрицанием,

тоже

прежде

в синтезе

—

уже

В гео¬

теории

стему чисел, пространства,

ве¬

аксиоматиче¬

антитезисе мы

всего то, что назы¬
—

метризованную

систему систем, дающую, смотря

характеру математической области, ту или иную метрическую

с)

и

вы¬

и от этого сама диалектика, залегающая в основе матема¬

наиболее педантический, но зато наиболее простой

бытием,

при

напр., просто противопоставляя одну категорию

Можно и совсем

ражаться;

напр.,

но от этого подхода они нисколько
описать этот

триад, тетрад, пентад
—

мыслить

можно всячески подходить к этим ве¬

развития,

не меняются. Мы можем,

помощи диад,

геометрической

многомерного образования. Здесь действуют

иную структуру. Ясно, что

лектических

или

диалектике мы проходим ровно такие

множества и

си¬

вероятностей.

В каждой из этих трех областей диалектической аксиоматики

можно проводить дальнейшие триады, как это видно из

396

прилагаемой

§ 74. Итог аксиоматики

внеш,

=

фонраяма тождесво ситем преобр.
Выразитель* внутр. напрвлен. ситема

мо¬

—

про¬

множества
Аксиома ралеьности (разные стран в) Метризован¬
па¬

кольца,

Груп ы, дули, поля

рас¬

Законы

ные

предлния вероятнсей

=

Ставше (условие закон измер ости тождесву напрв¬ лений становлеия)
и

Асоциат., комут. дистриб. законы Конгруэция фигур

Выра- жен[ие]

§

операций,

Ставше условие мерний)
и

Последватьн

Становлеи

бытие)

«сочетани»,
=

(сущноть, «совкупнть» Подвижн,

Принц п

едино-разльст

тождесгв. различ.

Само-

инну

L

С

ш

3

1

II

Ф

х

2

2

и

преобазвний
силиитема

-gotfou woaj
(woaj
венниффе)
чхэоннаи

Закон больших чисел

операций,

-atraduo

Последватьн

(BHJOl/OUOl)
[иохо]и BVOU
( wobj венвих
-xaodu) uEed
лгжоюмеэ
anHeeoeedgoadu

иии

преобазвний
силиитема

в и n е d а и о

qiOOH8Ad3dU3H

Коли¬ чество (счет)

Фигура (по¬ строе¬ ния)

Распо¬ ложени един ц Распо¬ ложени

пок.

Ф

-BBoeedgo xiah

иипниби-оебэи

Закон опред ¬ лен¬ ности (бытия)

О. л

иин

ииПниби

=

«

и»

О

(закон из¬

СТАНОВЛЕИ

Конгруэция множеств (resp.* аксиома произ- в[ольнго] выбора) Конгруэция вероятнсей («аксиома несовмти, событий»)

и

со¬

точек

Исчис¬ лен ая вероят¬ ность

□их

Распол¬ женая вокупнсть элем.,

упоря¬
или

£ е

доченсть

°

i

о

8

>1

сотвен

Совкупнсть различных единц Совкупнсть Совкупнсть элемнтов (мощнсть) Совкупнсть (модальн) сотн¬ сящихся событий
точек

Един ца

Общеаксио¬ матическй перво- принцп: число число Арифметка (сущность числа)

Точка

Элемнт

множеств числа)

есть

еомтрия (явлени числа)

Г

Теория (эйдос
397

—

Событие (resp.* модальне отншеи)
единог
из

Так

перво-инцг

вырасте диалектчсо мате ич¬ аксиомт .

(лат).

факт

вероятнсей (выраженй

корня все дер во ской Теория числа)

respctive
Сокр.
’

III. Основные аксиомы числа (число как

суждение)

общей таблицы. Но надо не терять из виду общую структуру основных

суждений
эта

о

математическом

структура создается

первоначальных
перехода

от

элементов

простейшего

предмете, именуемых аксиомами,

неизменно

к

и

их

через самопротивополагание
самоотождествление,

сложнейшему.

398

а

путем

ФУНКЦИЯ И СОСЕДНИЕ КАТЕГОРИИ
(ЧИСЛО КАК СУЖДЕНИЕ,
УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ВЫРАЖЕНИЕ)

IV.

§ 75. Определение и суждение
1. В предыдущем мы рассмотрели число как перво-принцип

граничивши
как понятие

его от всего, что не есть

(раскрывши его диалектическую структуру), и число как
все основоположения, вытекающие из его

суждение (установивши

структуры

число),

как

категориальной).

Из общей логики, да также из эле¬

ментарного рассуждения мы знаем, однако, что суждение
не последняя логическая

следует

т. н.

(от¬

число как принцип, или

форма,

а после этого

умозаключение,

и синтетическое.

Так как

мы

отнюдь

порядке усложнения,

умозаключения еще

одна структура, это доказательство

крайней мере
дедуктивное

что дальше, в

—

—

индуктивное,

преследуем цели

логиче¬

ской системы, то невозможно обойти молчанием число как
ключение и число

по

умоза¬

[как] доказательство.

Здесь, однако, полезно вспомнить первые общедиалектические
категории, которые являлись и еще много раз

руководящей

нитью для нашей системы.

бытие, истекающее
синтезируется
ясь и

из

перво-бытия

и

будут являться для

нас

Именно, припомним,

что

противостоящее инобытию,

с ним в становление, а становление,

синтезируясь

со своим собственным

бытие, факт

ставшее или наличное

противополага-

инобытием, порождает

дальнейшем

и в

—

выражение,

энергийно-смысловое выражение. Эта элементарная диалектиче¬
ская

структура должна быть проведена

тия числа еще до

сих

пор,

перехода

как сказано, мы

структуры

—

будет умозаключение,

разбирали только три первых момента этой
понятие и

суждение. Что

если его понимать как

переход

же такое

тут

от смыслового

смысловому ставшему? Здесь нужны, однако, предва¬

рительные разъяснения
Чем,

и в отношении всего поня¬

конкретно-математическим наукам. До

перво-принцип,

становления к

в

к

сущности,

и

условия.

занималась аксиоматика и что такое аксиома?

400

§ 75. Определение

и

суждение

До сих пор мы попросту говорили, что числу, как суждению, соответ¬
ствует аксиома. Сейчас же этот вопрос необходимо расчленить, так
как иначе не

будет понятен

переход

Именно, суждение есть,
ложить, или

—

утвердить,

Строго говоря,

к

умозаключению.

как мы знаем, положенное понятие. По¬

это значит обвести

в том, что мы до сих

пор

границей, определить.

называли

суждением,

самым

определения. Аксиома, строго го¬
вообще, сколько именно определе¬

важным был именно этот момент

воря, и есть не столько
ние.

Ведь бытие

и

суждение

инобытие, синтезируясь

в становление, дают еще

более ранний синтез, т. е. предшествующий становлению

щийся

его

ленное

бытие. Мы знаем,

по

предусловием,

это сама

граница, определенность, опреде¬

что тот и

другой

мере надобности. Так вот, говоря

тику,

мы еще не имели

суждении,

суждение вообще

Суждение
личается от

отличается от

о

синтез

могут выдвигаться

суждении, дедуцируя

расчленении

обращая особенного

не

ствительно

в том

нужды

и являю¬

и могли

аксиома¬

говорить

внимания на то, есть ли это

или это специально

определения так,

о

дей¬

определение.

как становление от¬

определенного бытия. В определении суждение

есть

положенное понятие плюс его исчерпывающее раскрытие; т. е. по¬

вообще понятия,

ложенность не

но понятия во всем его смысловом

содержании. Определить что-нибудь
его «признаки».

Для суждения

—

это и значит исчерпать все

же этого вовсе не

дает только голую положенность понятия
тия и

—

требуется. Суждение

независимо от

исчерпания всего его содержания. Содержание

крытым; содержание

мыслится

—

полагания понятия скользит но

каким

этому

далеко. Если говорится: «Иван спит»,
может быть сколько

угодно,

пания того смыслового

и

тут

раскры¬

остается

нерас¬

угодно становящимся,

полю инобытия

то ведь таких

—

как

и акт

угодно

предицирований

не ставится никаких

целей исчер¬

содержания, которое зафиксировано

в слове

«Иван».
Итак, если иметь
то мы

получаем

в виду главным

не

в

виду определенность

суждение вообще,

образом чистую

но

положенного понятия,

определение.

А если иметь

положенность понятия, то мы по¬

лучаем суждение.
2. Однако

и

тут

вполне позволительна и даже

совершенно

не¬

обходима еще одна дистинкция. Кроме положенности, адекватно
исчерпывающей полагаемое,
полагания,

как

пустой

и положенности как

простого факта

и голой положенности, возможна еще та или

401

IV.

другая

степень наполнения

целиком,

и соседние

а только

категории

положенности. Положенность может

факт полагания,

давать и не голый

таком

Функция

и

[не]

все полагаемое

некоторое содержание,

случае необходимо расчленить

и

содержание

содержание. В

частичное

соответствующие

ческие понятия. Голая положенность понятия

(т.

математи¬

е. в нашем

числа) даст, очевидно, некую модификацию числа,

случае

а так как пола¬

гание в данном диалектическом месте есть полагание становления,
становящееся полагание, то голая положенность числа

полагаемого числа в новое,

становлению из

прежнего,

рованное

Такой непосредственный переход

число.

средственно значимого числа
мому

числу

ность для

дет

и

пр.). Та

уже

не

просто

другая степень

операции,

какой-нибудь специальной

но их

выставленное

предназначен¬

числовой установки. Это

теорема. Таким образом, математическая операция

просто
—

значи¬

наполнения этих

через операционно

самые

ло, данное в своем чистом становлении из

ми

модифици¬

от одного непо¬

другому непосредственно

или

и новое осмысление их

понятие даст

к

действие, операция (напр., сложение, умножение,

есть

дифференцирование

операций

к

приведет

ние. Математическая же

другим, или
другим, другими слова¬

(число), данное

теорема

бу¬

одного числа

чистое становление одного числа

это числовое понятие

и

есть чис¬

как чистое становле¬

есть число, данное в своем за¬

другим, или, проще, заполненное
другим-, это числовое понятие (число),

полненном становлении из одного

становление одного числа

данное

как заполненное становление.

Тогда

аксиома

самоадекватная

определенность-,
тие (число), данное как определенность числа.

данное

[как]

Ясно,
суть

что выставленные в

именно

ослабленно,

определения,
чем

менее

оно

рации со всеми

общие. Сюда

—

частичнее и неопределеннее.

Но здесь

аксиомы, а

более частные

относятся все математические опе¬

соответствующими теоремами

дится из аксиом как их

аксиомы

суждения вообще. Суждение более

Суждению в математике соответствуют не
положения,

это число,

это числовое поня¬

предыдущем исследовании

а не

определение;

—

—

все то, что выво¬

более частный случай.

возможно еще одно членение, так как ставшее становле¬

ние можно взять и со всем тем, что именно

участвует в

этом ставшем

становлении, можно взять и как голый

факт ставшести.

то мы

новому математическому по¬

переходим

нятию, к

к

умозаключению

функции.
402

и к

И вот тогда-

§ 76. Понятие функции
§ 76. Понятие функции
1. Как суждение относится
суждению. Все

относится к

к

так

определению,

же это есть

ние относится к понятию и как, наконец, понятие

принципу. Везде тут
является

вокупность
т. е.

в

как

к

сужде¬

своему перво-

появления новой

категории

полагания
—

положенность)

и

исчерпание, различение того,

неразличимо. Понятие

по себе

ление,

условием

—

предыдущей категории. Перво-принцип
образуется понятие, поскольку последнее есть со¬
признаков (т. е. некая определенность, т. е. ограничен¬

акт

полагает себя

ность,

главным

умозаключение

повторение того,

котором подчеркнута

полагает себя

эта его

—

что само

образуется

опреде¬

исчерпанность. Определение

образуется переход к становящемуся перечислению
образуется умо¬
признаков, или суждение. Суждение образует себя

полагает себя

—

—

заключение.
2.

Когда

ры», то

высказывается: «Все идеалисты

это значит, что на

—

контрреволюционе¬

общем фоне контрреволюции

ся понятие идеализма; отсюда это

суждение

было положено понятие контрреволюции,

отграничение контрреволюции

ото всего

полагает¬

об идеалистах. Сначала
и из этого

другого,

получилось

и тем самым

проведенных границах образовалась возможность появления
дельных видов

контрреволюции. Туг

могли быть

архиереи, прости¬

тутки, кантианцы, фабриканты, содержатели притонов
Мы совершаем некий определенный

строго отграниченной области
трреволюции
а некое

—

и

в

от¬

и

акт полагания в этой

пр.

и

пр.

общей,

получаем специальный вид

но

кон¬

идеализм. Но пусть теперь мы положим не понятие,

содержание,

—

например, суждение

трреволюционеры». Это значит,

что мы

«все идеалисты

—

кон¬

очертили, отграничили

но¬

вую область, которая благодаря именно своей отграниченности ока¬

дроблению, к дальнейшему выявлению деталей.
Среди идеалистов могут оказаться Деборины, Лупполы, Лосевы и т.
д. Если мы совершим какой-нибудь акт полагания уже в этой только
что отграниченной области, то это сейчас же приведет нас не к суж¬
зывается склонной к

дению (которое

мы

уже имели),

но к совершенно

му построению, к умозаключению.

Все идеалисты
[Лосев]

[Лосев]

—

И

мы

иному логическо¬

получим:

контрреволюционеры.

—

идеалист.

—

контрреволюционер.

В умозаключении (так же,

как и относительно

403

суждения) возмож¬

IV. Функция и соседние категории

на большая расчлененность.
панность всего смыслового
это не

а

суждение,

Суждение

определение. В первоначальной диалектической

участвует

в становлении,

(независимо
содержания). Точно так же

не становление вместе с тем, что
но чистое становление,

чистые

от полноты или неполноты полагае¬

акты полагания

мого

исчер¬

содержания полагаемого понятия; тогда

конструкции этому соответствует
именно

может быть взято как

и

умозаключение. Оно

взято вместе со всем своим конкретным

взято чисто инобытийно, просто как

содержанием

может быть

быть

и может

формальная объединенность

двух или ряда суждений, просто как вообще положенность суждения.
Этому будет
что именно

перехода

соответствовать в первом случае ставшее вместе с тем,
и во

тут «стало»;

от одного

именно смысловое

втором
к

суждения

факт

чисто ставшее, чистый

—

другому (независимо

от того, каково

содержание фиксируемой ставшести).

Если перво-принципу соответствует числовой перво-принцип,
—

неразличимое перво-число, принципу (или понятию)
альная

структура числа, определению

—

категори¬

аксиоматика, суждению

—

отдельная математическая операция, определенному умозаключе¬
нию

—

теорема вместе со своим доказательством, то чистому, голому
из

умозаключению,
и в

котором

которого

исключено все смысловое

оставлена только

формальная

содержание

последовательность суж¬

дений или актов полагания, этому умозаключению соответствует в
математике понятие

3. Когда

функции.

мы пишем в

математике^

=

/(х)

что мы имеем в

—

Мы просто имеем в виду, что с х производится ряд действий.

у

Зх2

=

на

3

5. Это значит,

+

и к

значение

есть

квадрат, умножаем

этому прибавляем еще 5. Совокупность

с х и есть

у

что мы возводим х в

функция

х. Но

всех этих

его

действий

ли для этого знать количественное

нужно

х? Это совершенно не необходимо. Когда

функция х,

виду?
Пусть

мы

говорим,

что

то этим мы как раз хотим сказать, что независимо

от количественного значения х,
иным
и х,

образом

зависит отх.

[величина]^ именно вот таким, а не
Функция и есть эта зависимость между у

рассматриваемая совершенно без

ного

всякого

учета

их количествен¬

содержания.

Ясно, что это та же картина,
чистое

умозаключение,

довательностью

мы

суждений;

что и в чистом

оперируем только

умозаключении. Беря
с

формальной

после¬

и так как в диалектическом смысле

дение есть становящееся полагание,

404

то

умозаключение

как

суж¬

объеди-

§ 76. Понятие функции
ненность разных становлений есть, очевидно, не само становление,
но его

результат,

т. е. не становление, а ставшее или, как еще иначе

называют в диалектике

наличное бытие. Это акт по¬

эту категорию,

лагания как ставшее. Если бы мы имели в виду все смысловое
жание данного акта полагания, то нам
го

точно

разных суждений и,

такой вывод,

который

соблюдая

в точности

содер¬

пришлось бы выставить

мно¬

их последовательность, дать

бы соответствовал исходному акту

полагания. Тогда это было бы доказательством исходного положе¬
ния. Таково доказательство любой математической теоремы. Но мы
тут отвлекаемся от смыслового содержания данного положения,
его законченное доказательство

заключений. Это
В

функции у

1)у

и

=

суть

Зх2

+

не

5

рассыпается

задачей

и

ряд отдельных умо¬

иное, как отдельные

[что]

мы

на

имеем такие

функции.

умозаключения:

зависит отх,

нохтут взят какд:2.

След.,^ зависит отд:2;

2) ^зависит отд:2,
но х2- взят

тут

как

Ъх2. След.,^ зависит от Зх2;

3) у зависит от Зх2,
но

Зх2

взято здесь как

Это наглядно
есть

нее,

Зх2

+

умозаключение. Функция
не числа, а числовой

числовое,

т. е.

5. След.,^

Зх2

зависит от

показывает нам, что логическая

+

5.

сущность функции

строгое инобытие числа, и, вер¬

есть

операции. Само

арифметически-числовое,

число

—

непосредственно;

бытие есть непосредствен¬

ная числовая значимость. Числовая операция есть также бытие не¬
посредственное. Таков натуральный ряд чисел
ские числа
мы

вообще,

говорим «2»

таковы и все

или

арифметиче¬
арифметические операции. Когда

«10» или «3 + 5» или

«|»

и

и

пр.,

непосредственным бытием, непосредственной
стью. Когда же мы переходим к функции, то как
то, о чем

ровно

средственной

никакого

и

над

оперируем

с

раз эта непосред¬

пропадает. Число превращается

суждения

в

не высказывается в смысле непо¬

значимости, превращается в то, что может иметь ка¬

кое угодно непосредственное значение, вх;
этим х

мы

числовой значимо¬

с

ственная числовая значимость

все

и все

действия, которые

производятся, суть действия опосредствованные,

всякого числового

результата. Потому

и

т. е. без

действия эти, будучи

сами

брать самостоя¬
становятся
здесь характеристикой опосредствованной зна¬
тельно),
чимости бытия, чем-то в глубочайшем смысле инобытийным в от¬
по себе тоже бытием

непосредственным (если

405

их

IV. Функция и соседние категории

операций. Это судьба

ношении числа и числовых

взятая без всяких чисел; голая

шее»)

инобытии,

чисел в

«став¬
фактическая (потому
без
операций
непосредственной

здесь

положенность числа и его

—

—

данности самих чисел.
Итак, совершенно точно нужно сказать, что функция есть чис¬
ло, взятое как чистое умозаключение вне всякой непосредственной
значимости того, что участвует

в данном

умозаключении. Непосред¬

ственная же значимость числа, данная как заполненное
ным

ная

содержанием умозаключение,

есть уже не

определен¬

функция,

а доказан¬

теорема.

§ 77. Функционал

и

алгоритм (уравнение)

1. С диалектической необходимостью мы приходим наконец и
к выразительному числу, к выражению, вернее, к числу как выраже¬
нию. Если понятию соответствует категориальная структура числа,
—

определению
ключению

—

—

аксиома, суждению

функция

действие

и доказательство, то что же

следней категории

и

теорема, умоза¬

соответствует

по¬

из принятых нами основных
выражению?
Выражение отличается от абстрактного смыслового содержания
—

тем, что оно есть не мыслимое только, но еще и понимаемое. Пони¬
мать

—

значит отождествлять свое сознание с предметом настолько,

что и он целиком реализуется в сознании со всеми своими логиче¬
скими и алогическими связями.
мыслить.

Предмет

Это, однако, совсем не значит только

понимаемый как бы заново перекрывается смыс¬

ловым слоем, которого не было
только мыслимого, т. е.

в нем, когда он

абстрактного.

брался

себе печать того, кто его понимает, хотя это не есть

чуждое;

что-нибудь ему

это только нечто такое, что выделено в нем, новая

ка его элементов. А это все одинаково реально, как и
ченный смысл.

Выражение

Выражение

и есть

инобытием,

(ибо

иначе возмож¬

довыразительной категории, напр.,

но получение

еще

становления

но инобытие окончательно

осуществленного смысла, т.

становление,

и

через

ставшее.

ла и соотнося заново с его
членения, но

уже

отвле¬

предметный коррелят понимания.

но смысла не специального, не того или иного

ванного и

группиров¬

общий

есть соотнесенность чистого смысла с его

какой-нибудь
или ставшего),

на стадии

Понимаемый предмет несет на

е. смысла,

Тогда, беря

инобытием,

этот «ставший»

т. е.

сформиро¬

прошедшего

производя

через

факт смыс¬

в нем новые

не логические и не алогические, но и те и

406

и

другие

§ 77. Функционал
сразу, тогда,

и только тогда, мы

и алгоритм

(уравнение)

получаем выражение смысла

вместо

самого смысла.

Выражение потому всегда предполагает категорию внешнего, ка¬
тегорию

внутреннего

и

категорию отождествления

го, что, собственно говоря,
нельзя сказать, есть ли он

по себе взятый, он не есть
число. О

треннем

тройке

или

что-нибудь внутреннее
ни то, ни

того и

друго¬

чистом смысле

или внешнее.

Сам

другое. Таково арифметическое

пятерке ничего

или внешнем

выражение. О

и есть само

нельзя сказать на

тему

(внутричисловых категориальных

о вну¬

моментов,

где, как мы знаем, есть и свое внутреннее, и свое внешнее, мы здесь
не касаемся, а
цельное и

берем полностью сформированное число как нечто
самостоятельное). О становлении также нельзя ничего

сказать в этом смысле. В области категории наличного бытия
начинается антитеза внешнего и
себе наличное
внешнее, и
кое
го,

внутреннего, потому

бытие, или ставшее, трактуется как факт, т. е.

притом

внутреннее

как

факт осмысленный,

т. е.

несущий

смысловое содержание. Но сама

осуществляя чистый смысл, переходит

в

как нечто

на себе не¬

категория

категорию

уже

что само по

ставше¬

именно

фак¬

та, и потому здесь нет полноты смыслового самопроявления. Здесь
внутреннее есть смысл, а внешнее есть не смысл, но

факт. А полнота

требует, чтобы была такая категория, где и внутренний
абстрактный смысл, и внешнее конкретное его воплощение были
бы одинаково смысловым[и\, т. е. чтобы внутреннее было смыслом

диалектики

и внешнее тоже было смыслом.

ражения. Тут сразу дан

и весь

Такая категория

внутренний

есть

категория

вы¬

смысл, и отождествление

того и другого до полной неразличимости.
2.

Категория

эта сложная, и

тут

возможны многочисленные под¬

разделения. Однако для нас достаточно будет только двух видов
тематического

Во-первых,

выражения.
в

выражении

мы можем,

напр., выделить выражение

чистого смысла, отбрасывая выражение становления

Выражение

ма¬

или ставшего.

ведь несет на себе все внутреннее, т. е. все наши преды¬

дущие диалектические категории, которые раньше не были ни вну¬
тренними, ни внешними, а здесь, в связи со

диалектической сферы,
вательно, выдвинуть
ности той или иной

стали все

во всей

своеобразием данной

внутренними. Мы можем, следо¬

структуре выражения

момент

выражен¬

[из] предыдущих категорий. Ограничимся выде¬

лением выраженности последних двух

407

категорий

—

ставшего чисто-

IV.

Функция

и соседние

го и ставшего заполненного.
что даст в своем
Или еще

жении

функция

и

Конкретнее говоря,
—

выражении

конкретнее

категории

поставим

ближе к математике: что даст

и

вопрос:

и доказательство.

умозаключение

в своем

выра¬

доказываемая теорема. Решим первую часть во¬

проса.
Надо найти выражение функции. Надо, значит, найти такую кате¬
горию, которая бы зависела
но, такой

категорией

в своем

выражении

не может быть величина

от

функции. Очевид¬

у,

если мы напишем

как обычно:

У=/(х)Это

выражение функции, а сама функция, т. е. катего¬
рия, уже выведенная нами. Надо найти такой у, в котором функция

будет

не

участвовала бы
держанием.

у,

именно как

функция

Подставляя разные

так что отношения

между

теми же самыми, сама-то

со всем своим конкретным со¬

величины в х, мы

х и

у останутся

функция

останется

в

совершенно без

кого изменения. Она в диалектическом смысле не

т. е.

будет жить

именно не как

вместилище того,

что

будет

вся¬

положена,

но только лишь как

действительно тут живо,

количественных значений х.

сама

функция,

получим разные

любых значениях х

мертвое

т. е. изменяющихся

Следовательно, чтобы была выражена

функция, нужна величина, которая

бы зависела не только от из¬

менения своего аргумента, но и от изменения самого своего вида.

Другими
вается

словами, здесь мы получаем то, что в математике назы¬

функционалом, т.

е.

величину, зависящую

в своих изменениях

не только от количественных значений х, но и от вида

го

аргумента. Самое обычное оперирование

не с

термином)

мы имеем в

ся, напр., интеграл

вариационном исчислении, где изучает¬

типа

J(y)=
Здесь

функции это¬
(если

с таким понятием

^f(x,y,y')dx.

функцию от двух аргументов (х и у), и она же,
является функцией производной от у (у1). И требуется

мы имеем

кроме того,

узнать, какой вид надо придать функции J(y), чтобы интеграл
максимум
здесь

или

самой

становками. Она есть

более узком

образом, определяется
ВеличинаJ(y},
функции, а не только количественными под¬

минимум.

выбором

имел

таким

уже

смысле слова,

не

просто функция,

функционал.
408

но

функция

в

гораздо

§ 77. Функционал

Во-вторых,

3.

мы

можем

и

алгоритм (уравнение)

задаться

вопросом: как выражает¬

теорема? Чистое
ставшее раньше дало функцию, потом функционал. А что даст на¬
полненное ставшее, если оно раньше дало доказанную теорему?
ся наполненное

умозаключение,

или доказанная

В выражении есть внутреннее, есть внешнее

между

тем

выражение,

и

другим. По внешнему,

мы должны

зависимости

от

мы

всего

и должны

должны

это есть

отношение

действительно

всего

иметь значение (количественное) в
подынтегральной функции. Здесь же вну¬
не

функция,

но

непосредственно данная

доказанная

значимость

теорема,
числа.

выражение, чтобы путем разного рода
до некоей

пуляций добраться

т.

е.

Ее-то

внешнему виду выражения. Мы

найти по некоему

иметь такое

меня¬

поручить функции, которая

J будет

вида

тренним должна быть
прежде

есть

узнать внутреннее. В предыдущем случае

роль внутреннего лучше
ет свой вид; величина

если

и

непосредственной

мани¬

числовой зна¬

чимости и чтобы этот процесс получения оказался вместе с тем
и процессом доказательства. Это не есть просто доказательство,
потому что тогда мы имели бы здесь ту или иную теорему. Но это
есть доказательство наличия некоей определенной числовой зна¬
чимости, построяемое всецело на внешнем ее выражении, на вы¬
ражении ее внешних
она

—

судеб.

Внешние

ному, ибо это

—

нами

значении этого слова, когда

аргумента дана

уравнение

известного

сам неизвестный

в самом

широком

какая-нибудь функция

как известная, т. е.

числовой значимости, и, из этого

определить

синтез

внутреннего.

Другими словами, тут перед

ного

ее известны, а сама

выражение, диалектический

внешнего и неизвестного

общем

судьбы

неизвестна; и вот, изучая это неизвестное, мы идем к извест¬

приравнена той

приравнения исходя,

аргумент х.

Пожалуй,

и

неизвест¬
или иной

мы должны

выводимая здесь

категория даже шире «решаемого уравнения», почему, может

целесообразнее было бы говорить вообще об алгоритме

быть,

как методе

исчисления чего бы то ни было с целью нахождения того или

друго¬

го неизвестного.
Таким

чистой

образом: функционал есть число, данное как выражение

ставшести числа, или число как

умозаключения', алгоритм (уравнение)

ражение наполненной

выраженность

ставшести числа, или число как

ность наполненного умозаключения.

409

чистого

есть число, данное как вы¬

выражен¬

IV. Функция и соседние категории

§ 78. Общность полученных категорий

Дия удобства обзора

категорий общей теории

всех

числа см. та¬

блицу.
Необходимо отметить, что, поскольку мы в данном месте нашего
исследования занимаемся именно общей

теорией

числа, постольку

все выводимые здесь категории оказываются весьма
мально

общими,

тематическая
многие

наука

разверстать

Что

чистые

не может их

их

избежать,

арифметические

числа

в анализе, это ясно.

или

в

Также ясна

теорема. Но

по¬

универсальностью обладает

не всем ясно, что точно такой же

функции. А это действительно так.
всего
самые арифметические действия могут рассматри¬
Прежде

категория

ваться как

некоторого особого рода функции,

так сказать,

инобытийно-нулевые,

тийности, аргументной

можно

а именно

функции,

т. е.

неизвестности

мысль покажется уродливой, то

—

в

арифметике функций,
теории чисел (которая есть,

нуль. Однако если такая

уже прямо указать на

функций. В т. н.
арифметика,

функция

определяем, напр., количе¬

мы

первоначальных [простых] чисел,

оказывается, что это есть

наличие

конечно, не что иное, как

притом арифметика целых чисел)

ство

функции,

которых инобы-

носящих название числовых

в

и

старались

действуют решительно

универсальность таких категорий, как действие

и

как бы ни

между отдельными науками.

каждой математической науке, напр.,

жалуй,

общими,макси¬

какие только могут быть в математике. Ни одна ма¬

меньших данного числа х. И

от х.

Имеется,

как известно,

при¬

ближенное выражение этой функции через

Х

|

и

Inx

Число делителей данного числа также, оказывается, есть
ция этого числа; сумма делителей

—

функ¬

то же самое и т. д. Это самые на¬

функции. Не нужно только обязательно связывать понятие
функции с идеей бесконечно-малых, как это само собой навязывает¬
ся благодаря неискоренимой ассоциации. Математики даже скомби¬
нировали особую науку «теория функций», где есть все, что угодно,
но только не числовые функции. А числовые функции
обычная
стоящие

—

реальность того, что

в математическом

чисел.

410

обиходе именуется теорией

§78. Общность полученных категорий

категория

Матемичскя

полагния

перво-инц категорильнй

акт]

КАТЕГОРИЙ

акт]

теорма
о
п
е
р
а
ц
и
я
числовй своей полагния ставший выраж[еный
аксиома числовая теорма функция доказн я функциоал алгоритм
число струк е
в

I

акт

I

ЧИСЛА
ТЕОРИ
ОБЩЕЙ

II

категория перво-инц
Логическая логическй]

о
X

0
к

ТАБЛИЦА

едино-раз[льый]стновящейс
II

[акт]

III IV

числа

V

III

IV

опредлни

суждени

V

VII

VIII IX

умозаключени доказтельсв

выражени

VI

бытие)

категория

Общедиалктчся

уравнеи)
(решамое

(действие)

акт

перво-инц

17

i

принцпбытие)

бытия

С

g
X
X
а

бытие

бытие

Ю

I

(наличое

опредлный(опредлн] становлеи чистое заполне ставше чистое заполне выразительно чистое заполне
IV

III

411

V

VI

IV.

Функция

и соседние

категории

Алгебра тоже есть, конечно, наука о функциях. Что такое уравне¬
ния как не

функции?
Таким образом, функции

собою

не по

в

разных науках различаются между

принципу функции (который везде один

и тот

же),

но

свойствам каждой науки. В

арифметике главную
специфическим
роль играют числа в их непосредственном значении; след., функции
тут числовые. В алгебре главную роль играют функции с постоян¬
по

ными величинами, в анализе
накладывает

своеобразный

—

с

переменными

отпечаток на

величинами. Это и

употребление функций

в

разных областях.
Стоит обратить особое

ция»

в

теории

названных

внимание на значение

множеств и в

наук

эта

категории «функ¬

теории вероятностей. В первой

категория связана

с

процессом

из

отображения

одного множества на другом и на установлении того или иного со¬
ответствия

ных наук

отображенного

с

отображающим.

Во второй из назван¬

функция приобретает значение т. н. корреляции, которая,

связи с тем что в данном

тически случайного, как раз

и есть

нального содержания, а только с

Подробности

в этих

в

случае происходит исчисление бытия фак¬

функция,

но без чисто

функцио¬

фактически опосредствованным.

категориях изучаются

412

нами в своем месте.

V.

К

ПЕРЕХОД

СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЛА

$ 79. Перевод математики

на язык логики

1. Все рассуждения о числе, которые мы имели до сих пор, от¬
носятся к

общей теории

числа.

туг

не было никаких

рассуждений,

выходящих за пределы раскрытия самого понятия числа, включая
основанную на этом понятии элементарно логическую систему.

Вскрыть

число как таковое, число само по

треннюю сущность

и значение

построений. Правда,
вступили

в чисто

в

себе,

дедукции аксиом

и

учении

математическую область. Но

ся в аксиоматике тоже очень

обще,

хотя и

о

эта область

в

категория;

и

мы

уже

трактует¬

чем

просто

в

дедукции конститу¬

трактовалось

категория. Число тут уже математическая,

математическая

предыдущих

функции

конкретнее,

области чистой категории числа. Еще раньше,
тивных моментов числа, само число

тическая

показать его вну¬

вот была цель всех

—

как

общематема¬

но все еще

обще-

иной она, конечно, и не может быть на

первых порах, ибо все диалектическое развертывание числа может
двигаться только от самого общего и отвлеченного к более частному
и конкретному.
2. Этим общим учением о числе задача
ния математики не только не

ется. Хотя большинство

ется только этим, т. е.

философского обоснова¬

исчерпывается,

но только еще начина¬

философских учений о числе и ограничива¬

раскрытием

понятия числа,

—

все же в настоя¬

щее время вполне возможно считать диалектику настолько

конкретизированной дисциплиной,

обязана)

войти в детали числовых

общими рассуждениями

3. Разумеется,

и

науки

нас ни

что она вполне может

конструкций,

не

(и

и

даже

ограничиваясь

только о самом понятии числа.

здесь

анализа остается все та же

ской

зрелой

единственным

диалектика,

методом

философского

какие бы детали математиче¬

интересовали. Перед

нами

открывается трудноо¬

бозримая область математических наук с совершенно оригинальны¬

414

§ 79. Перевод математики
ми и подчас очень нелегкими

на язык логики

проблемами, которые,

однако, чтобы

понять, необходимо так или иначе перевести на язык логики. Нас не
должна интересовать чисто математическая сторона математики.
Те операции, равно как и вся техника «доказательств», должны нас
меньше всего интересовать. То, что интересует математику, нас не
может интересовать, поскольку мы хотим быть не математиками, но

философами.

И то, что понятно с математической точки зрения, ча¬

сто является полным туманом с точки зрения
понятие

интеграла

всего на

ски

или

производной

философии. Так, напр.,

можно

математиче¬

вскрыть

одной-двух страницах. Однако философски

понять,

т. е. прежде всего логически осмыслить, эти понятия очень и очень
нелегко; и если начать все тут
десятков
ит дать

страниц,

объяснять,

то не хватит для этого и

говоря уже об одной-двух. Итак,

не

философский диалектический

нам

предсто¬

анализ основных понятий и

методов математики, отказываясь от той технической и

формально¬

логической их понятности, которую преследуют все обычные курсы
математики.
4. Но что значит в этом смысле понять математическое утвержде¬

ние? Понять тут

—

значит

перевести данное утверждение с языка
(или обратно). Это значит исследо¬

математики на язык логики

вать, какая идея, какой логический смысл заложен в той или

математической теореме,
метод

формуле

построения этой теоремы

и т. д., если

или этой

принять

формулы.

другой

во внимание

Числа ведь, как

мы знаем, сами по себе пусты, не имеют никакого качественного со¬
держания, или наполнения. Однако, если
состав в статике или

скомбинированы

ношение в динамике

изучаемой

их логический

как эти числа в данном

рассмотреть то,

и каким методом

разобрать

сконструировано

взаимосвязи, мы почти всегда мо¬

жем определить ту идею, которую воплощает на себя данная

ла, тот

случае

их взаимоот¬

форму¬

внутренний смысловой замысел, которому подчинена данная

числовая конструкция. Математика очень часто оказывается потух¬
шей

философией

или даже

сти эти содержательные

и

мистикой;

и

нужно только уметь переве¬

внутренно-наполненные учения

мальный и

на

фор¬

язык логики.

внутренно-равнодушный
Другими словами, нам предстоит

задача, исходя из вышеразви-

того анализа понятия числа, дать диалектическое построение ма¬
тематической науки в ее основных опорных пунктах, т. е. в ее

фун¬

даментальных категориях и операциях. Мы должны внимательно

415

V. Переход к специальной теории числа

изучить материал математических наук, всю эту громадную технику
доказательств, выводов и целых

Но мы должны перестать

теорий.

быть математиками и должны все время помнить, что наша задача не
математика, но

философия. Техника

доказательств для философии

и

содержание математических

есть только слепой и

сырой матери¬

ал, не больше. Как бы ясно мы ни доказывали данную теорему, она
для нас

полный

—

философский туман,

специальные методы философского

нибудь теорему Коши
комплексного

сотни

относительно

переменного,

раз воспроизводить

представлять себе

его

если здесь не

анализа.

равенства нулю интеграла

математическую структуру

и

—

образом

все-таки быть

учения Коши.

по математике нам нисколько не

помогут

в

Они только материал, который еще надо осмыслить. Но

этом деле.

мало помогут
та область

найти

от

замкнутому контуру. Можно

взятого по

это доказательство и яснейшим

в полной темноте относительно настоящего смысла

Поэтому руководства

применены

Возьмем, напр., какую-

в этом деле и

философские трактаты, потому

что это

науки, которая наименее освещена философски. Можно

сколько угодно

хороших

и плохих

теорий

числа, но все они

ограничиваются анализом или самого понятия числа, или неко¬
торых его деталей. Но, кажется, никто еще не задавался целью дать

философско-логический
наук,

анализ всего

математики в целом,

содержания

ограничивая

элементах только, но и о структуре этой
лиз и всех ее основных

5. Задача

философии

эта

трудна

и многосложна; и

и

ница, часто не знаешь, философская

первичное, рождающее

лоно

тоже

интуитивных глуби¬

который

так

редок у

в

и ма¬

Лейб¬

ли или чисто математическая
ни то и ни

другое,

это

—

удивляешься тому,

какого-нибудь

именно чувствуется

ощущается,

арифметически.

то
и

нерасчленимое целое. И, когда

идея, вычитанная им у
и

и

тот союз

идеальной мысли, где философия

математика слиты пока еще в одно

математически и

тут необходим

впервые. Вчитываясь

руководила. Это, конечно,

читаешь Кантора,

в целом, включая ана¬

распространять философские

тематические идеи, но не создавать их

интуиция

не об

задачу учением

так част в

который
философов и математиков

тех, кому суждено повторять

им

науки

математических

категорий.

и математики,

нах у настоящих

свою

как иная

философская

Фомы Аквинского, чувствуется,

а не

просто понимается

—

чисто

Потом он разовьет тут же и такую

математическую теорию, которая по своему содержанию уже не
416

§ 80. Общая

общего

имеет ничего

внешного

и

обнаружит,

ни с каким

Фомой. Однако все это только для

поверхностного наблюдателя. Вдумчивый наблюдатель
что на

глубине у этого гениального человека философия

и математика слиты до полной

и

схема

неразличимости

единой

и являются

целостной могучей интуицией, способной оплодотворить

делить собою

как чисто

философскую,

так и чисто

и

опре¬

математическую

систему.
Философия

математики должна вернуть нас к

союзу философии

и математики.

этому глубинному

Она, философия математики, долж¬

на в расчлененном и яснейшем виде показать, конструировать то
нерасчлененное и неясное, что лежит в основе общей

философско-

математической интуиции, отказавшись как от формализма

ты, техницизма

сти и слишком большой

6. Достигнуть этой

сфера

—

пусто¬

общности философских теорий.

цели можно только путем перемены число¬

вого метода на понятийный или

тика

и

математических доказательств, так и от отвлеченно¬

общеспециально числовой.

Матема¬

чисел, и с числами она оперирует числовым же спо¬

собом. Она складывает, вычитает, умножает, логарифмирует, диффе¬
и т. д. и т. д. Все эти числовые
операции надо понять как
и
в
над
понятиями-,
математической, т. е. числовой, фор¬
операции
муле надо найти идейный, понятийный смысл. Можно сказать еще

ренцирует

и иначе.

Задачей философии

всех логических
лового

математики должно явиться

категорий, необходимых и

осуществления (в частности, для мышления') той

математической

напр., операцию,

или

структуры

как

операции. Если

интегрирование,

поняли

эту операцию,

получить

ответ на

поняли

вопрос,

есть в сознании, как она

К

философски.

или иной

мы сведем

на основные и

далее уже неразложимые категории мысли, то

и

вскрытие

достаточных для смыс¬

такую,

элементарные,

можно сказать, что мы

Это же значит, конечно,

как мыслима данная

операция,

как она

вообще осмысленно есть.

разрешению этой огромной задачи

мы и должны

обратиться.

§ 80. Общая схема
1.

Формально-логическая

должна быть
лектических

превращена

в

вычислительная система математики

диалектическую систему,

категорий. При

таком

принимает совершенно неузнаваемый вид;
расценить совершенно иначе,

не так, как

417

в

систему диа¬

условии математика, разумеется,
и

многое

при обычном

приходится
изложении

V. Переход к специальной теории числа

Будем помнить, что здесь мы совершен¬

математического материала.

но не занимаемся математикой как таковой, но только
а именно

философией

расположение материала нашей науки должно поэтому

Самое

меньше всего следовать за

расположением

материала. Мы

матического

математической точки

не

и системой чисто мате¬

что

раз будем убеждаться,

простое

с

фило¬

оказывается очень сложным в

зрения

отношении, а то, что просто для

софском

философией,

математики.

иной раз при¬

философа,

нимает исключительно сложный вид, если переводить это на язык

Поэтому необходимо

математики.

взять

принцип разделения

тематического материала не из математики, но из

Диалектика

диалектики.

философии,

из

одним настолько простым и

обладает

же

ма¬

всеобъемлющим принципом разделения, что и обходить его и не¬
возможно, и нет надобности. Это принцип триады.
тическое

построение,

сложным, и

как мы

может

триада

т. д. Но в целях ясности и

пока только

случае

полноту

и

первое

нибудь такого,
что

и

или

четкую

и

и

вполне обеспечит нам
системы.

отрицание

не

и

такой

предполагалось

своего

существования
и

откуда,

и понято в сознании.

Синте¬

и

отрицания,

является станов¬
слиты бытие и

время отсутствующие

дальнейшем, ставшее,

становление.

т. е.

Некоторым

граница, очерченность,

которой
418

тоже совпадают

в каж¬

результат

видом этого

чисто идеальным и смысловым видом
в

не

единый акт, чтобы инобытие

и в то же

становления, остановившееся

отрицание

противополож¬

процессе которого абсолютно

момент становления, или, в

от¬

как возникшее неизвестно

инобытия, утверждения

правда,

требует для себя чегое. требует инобытия, с

абсолютной

утверждено

инобытие, присутствующие

—

(ставшее). Бы¬

становление

инобытие, утверждение

в состоянии

ление, в алогическом

ся

ограничимся

и

в данном

определенную границу. Иначе говорят,

они должны быть поняты как

ставшего

очень

пентаду

первое полагание предмета, чтобы

утверждение, требует для

но чтобы оно тоже было

дый

—

от чего оно отличалось бы, т.

оставаться

зом бытия

в

чтобы быть положенным,

рицания. Наконец, бытие

ности;

изложения

инобытие

—

полагание. Это

оно имеет

бытие,

могут

тетрактиду,

всего, триаду можно выразить, как мы знаем, тремя таки¬

в частности,

которым

удобства

в

внутренно-логическую последовательность

Прежде

быть и,

указывали раньше, может быть

превратиться

триадным делением. Оно

ми категориями: бытие
тие есть

Конечно, диалек¬

—

являет¬

утверждение

и

§ 80. Общая

схема

отрицание, поскольку граница сразу
не относится и к

ограничивающему,

можно понимать и как

и

одновременно

реально ставшее,

и относится, и

ограничиваемому. Ставшее

и к

т. е. как

факт,

как

субстан¬

цию, которая так же очерчена и закончена, как идеальная граница,
только

реальной

в смысле

положенности. Становление и ставшее

одинаково являются синтезом бытия и

ды

их

безусловно необходимо

и часто нет

нуж¬

у Гегеля, то

становления, так

Итак,

мы

очень

у Гегеля синтезы имеют одинаково характер как

и ставшего.

весь объем математического

пределяется
но стать

и

субтильных наблюдений).
будем наблюдать технику синтезиро¬

требует

и

Важно отметить, что если
вания

инобытия;

особенно резко разделять (хотя тоже часто это разделение

на

три большие области. И

материала прежде
это

с

наук То,

что выше было дано в

анализе понятия числа, должно

как в

раздельности предшествует перво-акт,

час все число, взятое целиком, как вполне

категория, должно

разделений

фундаментальном

теперь рассматриваться

перво-принцип, перво-начало. Подобно тому

ленная

и

отчасти со¬

соответствующей диалектической классификацией

математических

числа всякой

рас¬

первое разделение долж¬

принципом существеннейшего разграничения,

впадающего

всего

стать

оформлений.

нами как

общей теории

так точно и сей¬

сформированная и осмыс¬

перво-принципом для дальнейших

Мы должны забыть все конструкции,

данные нами до сих пор и рисующие число как чистую категорию.
Мы должны понять эту категорию числа как новую неразличимость
и перво-акт и поставить задачу выявления того, что начинается и
стоит под этим перво-актом. Это и приведет к детализации понятия
числа, которая даст нам нужное распределение и разграничение ма¬
тематического материала. Ибо вся математика есть не что иное, как
развитое и детализированное понятие числа.
2.

Переходим

к

формулировке

числа, которых прелиминарно
I.

Перво-акт, переходя

в

мы

основных

уже

разделов философии

касались в

реальный

§ 9.

акт, делался

полаганием,

утверждением, бытием не вообще, но реально раздельным бытием.
Точно так же и число. Число вообще, число как общая категория,
прежде всего переходит в реальное полагание, в реально положен¬
ное число, в бытие числа. Число вообще, являясь отныне нашим
перво-принципом, не есть теперь

что-нибудь раздельное.

кое бытие, которое выше всякого разделения

419

и

Это та¬

различения, вернее,

V. Переход к специальной теории числа

сверх-число и потому

сверх-бытие. Следовательно,

не та положенность, о

зе числа. Там шла

ирующих

которой

речь

шла

речь

о полаганиях,

Здесь

самое понятие числа.

цельного, окончательно

можно такое по¬

Еще раз напоминаем,

ложенное число назвать бытием числа.

что это

фундаментальном

в

впервые

только еще

анали¬

констру¬

же имеется в виду полагание

и термин «бытие»

сформированного числа;

относится здесь не к частичным моментам, из которых состоит чис¬
ло, но к числу вообще, к цельному числу. Мы знаем, что такие общие
установки, как

бытие, инобытие,

становление, наблюдаемы и прово¬

димы как внутри каждой категории, так и в отношении каждой кате¬
гории в смысле ее внешней

К бытию числа

ный ряд чисел

и все

относятся также

и

судьбы.

в этом смысле относятся

всего

прежде

натураль¬

арифметические операции над числом. Сюда же
модификации числа, возникающие в связи с вы¬

делением в нем элементов бесконечного процесса.
анализом основных типов числа является

алгебры. Второе
предмет
ренциального и интегрального

Первое

вместе с

предметом арифметики

и

диффе¬
модифика¬

математического анализа, т. е.

есть

исчисления вместе с его

циями (напр., вариационное, или векторное, исчисление). Дия всех
этих математических наук характерно

употребление или чистых
функций,
арифметических чисел, или их специальных дублетов
в
и
числа
как
так
своем
устойчивые,
берутся
переходе в пере¬
причем
менные величины, в разных смыслах переменности
прерывной,
непрерывной, конечной, бесконечной и пр.
—

—

Можно попробовать зафиксировать это единое числовое постро¬
ение и

терминологически. Оно

алгебраически-аналитическое
можно дать и одно

общее

есть

арифметическиупотребление числа. Но

прежде

понятие и

название этой

всего

области,

янство, переменность и пр. частные категории.

бы до известной

степени

удобен термин

понятии интенсивности совмещаются

совмещая посто¬

Кажется, здесь был

«интенсивное число».

открытая

и

В

непосредствен¬

арифметике, функциональная и символиче¬
(буквенная) выраженность его в алгебре и анализе и конечно¬

ная значимость числа в
ская

бесконечные, непрерывно-прерывные процессы
II.

Бытию

должно быть

противоположно инобытие,

противоположно отрицание

Число

раздельность

и

счисления.

утверждению

есть

отрицание числа?

устойчивая различенность прежде
420

числа

числа. Но что может быть

противоположно числу? И что, собственно,
—

и

всего.

§ 80. Общая

Утверждение

числа

—

схема

утверждение этой раздельности

ности, утверждение неразличенного

вообще всегда есть,

тие

ченность и алогическое

по

рая

вся антитеза

сравнению
и

Поэтому

различен-

противоположность бытию, неразли-

как

протекание. Но тут

не

просто противопо¬

противоположность положенному числу. Следова¬

ложность числу, а

тельно,

и

числового инобытия. Инобы¬

перенесена

на

почву дальнейшей ступени,

с чистым числом есть

кото¬

реальная утвержденность.

противоположность утвержденному числу должна быть

положена. Это реальная положенность числовой неразличенности, реальная утвержденность инобытийно-числового без¬

реально

различия.
Это то, что в математике называется континуумом. Тут, несомнен¬
но, диалектическая

противоположность числу,

положность именно
т. е.

числу. В

утвержденному

внутри, утвержденного

числа мы

нии

утвержденного числа,

недрах,

реально

расшире¬

осуществлении, здесь

а надо

уже недостаточно говорить о непрерывности,

тинууме. Континуум

как в

о специальном

о его инобытийном

есть именно

притом противо¬

время

встретили такую категорию,

непрерывность, здесь, когда речь идет

как

и

то

говорить о

положенная

кон¬

непрерыв¬

ность, реальное утверждение непрерывного процесса.
Арифметически-алгебраически-аналитическое
степень чисто числовой

другая

как

векторно-тензорное исчисление,

сложности в своих
гаем

нами, стоящими
темного

число

числовых

усложнения

на этой

Это

—

туман. Это

и

есть

та

науках,

вот мы дости¬
и

перед

вершине, открывается необозримое

безраздельного «пространства»,

алогический

есть

огромной

раздельностей,

поле

где уже нет ничего живо¬

го и где все числовые утвержденности слиты в один
и

таких

достигает

едино-раздельных структурах. Но

этого

вершины

число

раздельности. В

или

антитеза

безразличный

утвержденному числу.

континуум.

Континуум
крывается

с

вершин

безразличием
можны и

не остается тем

числовых

только с точки

пустым безразличием,

оформлений. Навсегда

зрения

где осуществляется

учетом

оформление.

всего

так же, как и

своеобразия

В то время как

в

вез¬

этой области,

области чистого

единицу, в области
[дает] точку. Один и тот же смыс¬

числа, например, раздельное полагание создает

континуума раздельное полагание

он остается

чистого числа. Но в нем воз¬

необходимы различные оформления

де, хотя и с обязательным

каким он от¬

421

V.

Переход

к

ловой акт полагания дает

Нужно

только

специальной теории

в

числа

разных областях разные конструкции.

учитывать своеобразие области, где происходят

полагания и единство, даже тождество, смысловых актов,

ется особая система
системе

которые

областях. Тогда на основе континуума

в этих

происходят

вполне

определенных структур,

акты

образу¬

параллельная

арифметически-алгебраически-аналитических функций

числа.
Эта система есть

в

геометрия

разных

формах,

ее видах и

т. н.

элементарной, проективной, аналитической, дифференциальной,
многомерной

и

Такое число,

пр.

пребывающее в своем инобытии, уже не есть просто

число. Но для единства терминологии назовем
и

геометрические построения сферой числа,

инобытии,

ного числа. Число в своем

и эти

континуальные

но только экстенсив¬

число вне себя есть экстенсив¬

ное число.
III. Бытие и

инобытие, при

всем своем

всей несовместимости, должны быть
должны

синтезироваться

в некоем

знаем, что в диалектике это есть
и

вообще расчерченность,

этих

и

безразличном тождестве.

граница

и

заполненность

Число должно быть раздельность

Континуум

противополагании, при

положены как обычный акт,

очерченность,

Мы уже
а также

формами, образность.

и счетность

раздельных

моментов.

геометрические фигуры должны дать заполненность

раздельно-счетных

материей,

моментов некоей смысловой

терией геометрического континуума. Синтез требует,
геометризировалось

и

чтобы число

геометрия стала числовой.

Когда число, оставаясь числом, геометризируется, это значит,
оно становится

смысловой, умной фигурностью. Число,

своих единиц, мыслится в

своей

фигурности,

арифметике, алгебре

вне той или иной

ных единиц.

Считая, напр.,

совершенно

не

данном

себе,
ных

расстояний

во внимание

характера «расстояний»,

«расстояний»

что из

направлений получается

умственная фигура. Спрашивается:
ность

этих состав¬

этими отдельными единицами. И это было бы в

расстояния тут разные,
и

«состоя» из

и анализе вне всякой

расставленности

случае даже бессмысленным. Однако

что эти

что

пять единиц, входящих в число пять, мы

принимаем

залегающих между

ма¬

и

вполне

этих

раз¬

определенная

От числа как такового,

совершенно
422

представить

комбинации

от чего может зависеть эта

«направлений»?

стых актов полагания, это

мы можем

раз¬

т. е. чи¬

не зависит, так как они везде

§ 80. Общая
одни и те же независимо ни от

Зависеть это
принципа,
ляющего
Это

может только от

от

принципа уже

и как

и есть

схема

«расстояний»,

другого принципа,

иноприродного
направ¬

эту счетность.

или вытягивающего

принцип континуума. Таким образом геометризируется

умственной фигурностью. С другой стороны,

в этом синтезе не только число должно

геометрия должна стать числовой. Как

геометризироваться,

а мы только завели бы ее числовой

обстоит дело,

в

напр.,

но и

Это не

произойти?
фигура оставалась сама

это может

может произойти так, чтобы геометрическая

себе,

от

не счетного, а наполняющего,

бы напрягающего

число. Оно становится

по

«направлений».

ни от

коррелят. Так

именно и

аналитической геометрии. Здесь мы имеем

какую-нибудь параболу и находим ее уравнение, т. е. переводим ее на
язык чисел. Ни парабола, взятая чисто геометрически, не дает ника¬
кого

представления об ее уравнении,

ни данное

уравнение параболы

рх2, взятое как таковое, нисколько не говорит ни о какой кривой, а
есть самая обыкновенная отвлеченная функция. Тут просто перевод

у

=

другой;

с одного языка на

и тождественным в том и

другом

только момент счетности, отвлеченной количественной
ности

данной кривой

геометрия (и

трией)

никакая

и

данной функции. Поэтому

вообще геометрия,

должна

бытия числа, не

к

оформлен-

аналитическая

если она остается геоме¬

не может дать искомого нами синтеза числа и

быть отнесена

является

континуума

сфере континуально-геометрического

больше того.

Полный синтез (а всякий диалектический синтез есть полное
абсолютное
бы

слияние и тождество тезиса и

получилось

числом и

не тождество в том или

антитезиса) требует,

другом

отношении

тождество),

абсолютное тождество,

и

что¬

между

континуумом (такое тождество есть просто различие,
но

и

ино¬

а не

субстанциальное тождество
(функция) остается само

того и другого. В предыдущем случае число
по

себе,

и

кривая

остается сама по

субстанциальное,
брать как функцию,

себе,

и тождество

между

ними не

функции (если ее
нее никакого иного толкования)
данной кривой, а в кривой, если

но отвлеченно-смысловое: по

не

нельзя догадаться, что
ее

в

речь идет

о

брать чисто оптически-геометрически, нельзя вычитать никакого

уравнения. Здесь же,

структуру,
его

ет

привнося

мы

уже

в этом полном синтезе,

рассматривая данную

не находим в отдельности число и в отдельности

континуальное инобытие,

а видим то, в чем то и

неразличимо.
423

другое пребыва¬

V.

Переход

Это есть то, что

к

специальной теории

числа

современной математике носит название мно¬
(Menge, ensemble). Множество как раз есть некая умственная

жества

фигурность, где

в

разнообразно
преобразован в

число состоит из

ся элементов и где континуум

«упорядоченную» последовательность. Наука эта
ствах, созданная гением

множества как частный
число

уже

ным числом. Это

и

о множе¬

Георга Кантора. Правильно говорится,

что

случай.

нельзя назвать ни интенсивным, ни экстенсив¬

фигурное число

как синтез интенсивной значимо¬

сти и экстенсивного инобытия. Эта значимость

инобытии,

наука

свойства числа дедуцируются из понятия

арифметические

Такое

некую специально
есть

наиболее общее представление числа, так как все,

здесь мы имеем

напр.,

взаимоотносящих-

осуществлена

в этом

форма числа, которую можно назвать
вид, фигура). Соответствующую на¬
(эйдос
новая

получается

эйдетическим числом

—

уку можно назвать аритмологией. Это число для себя.
IV. Наконец,

вершение

в

все

три рассмотренные

четвертом

типе.

Эйдос,

типа числа находят свое за¬

являясь

и

завершением

зримым

фактическая действи¬
тельность числа. Числу-эйдосу противостоит бесконечная и темная
действительность, которая также требует своего числового оформ¬
ления. Разумеется, эйдос тоже оформляет действительность, но это
продуктом сущности числа,

не есть еще вся

оформление касается ее более или менее идеальных сторон. Эйдос
тоже
так и

действительность,

но это

действительность сущности. В § 9

практиковали арифметику (с алгеброй

ность»,

геометрию

—

как «явление»,

ствительность». Но эта

теорию

и

анализом)

множеств

«действительность» была

все же

—

мы

как «сущ¬

—

как

«дей¬

действитель¬

факте. Существует действительность
фиксируется теорией множеств, какой

ностью в ее сущности, а не в ее
как

факт,

и вот это-то и не

бы наглядностью она ни обладала и как бы ни была ближе к жизни,

арифметика и геометрия. Факты должны быть зафиксированы в
факты, т. е. во всей их путаной случайности и неразберихе.
Число вне оформления бытия как фактической действительности
чем

числе как

всегда несет с собою известную долю
отличие от чистого числа,

ствительности и

потому

тут должна быть особая

сфера

которое

случайности

очень далеко от

математическая

наука

есть исчисление

в

Следовательно,

и должна

быть особая

вероятность,

вероятностей.
424

вероятности

конкретной дей¬

максимально аподиктично.

числа. Это число есть математическая

ствующая наука

и

и соответ¬

§81. Разделение
Только

на

шительные и

почве

последней науки

этой

возможны

выразительные формы математики,

интенсивно-экстенсивно-эйдетического
3. Таковы четыре

завер¬

числа.

философии

основные области

все

но не на почве

числа, постро¬

енной в виде диалектических оснований математики.
I.

Интенсивное

в

число

число,

себе.

Арифметически-алгеб-

раически-аналитическое построение числовой
II. Экстенсивное число, число вне себя.

рическое построение

IV.

Континуально-геомет¬

числовой системы.

III. Эйдетическое число, число для себя.

строение числовой

системы.

Аритмологическое

по¬

системы.

число для иного.

Фактическое (прагматическое} число,

Теоретико-вероятное

построение числовой системы.

I. ЧИСЛО ИНТЕНСИВНОЕ

ВСТУПЛЕНИЕ

§ 81. Разделение
1. «Число

себе» есть сложная область числовых

конструкций,
объединенных принципом чистого полагания, без перехода в об¬
ласть, абсолютно-инобытийную в сравнении с чистым полаганием.
в

Это чистое полагание, однако, в свою

триваемо
что

с самых

различных

точек

решительно каждая категория

тализирована путем введения
в

очередь

может быть

рассма¬

зрения. Мы уже хорошо знаем,

может быть с любой степенью де¬

в нее или,

вернее, путем повторения

ней всех прочих категорий. Кажется, категория отражает на себе

все другие категории диалектической системы,

и только

возникающих тут структур

и делает понимание

вполне

и возникает

конкретным. Теперь

общей области
лениям, из

2. Мы
первых,

в

основным делением, конечно, является

(бытие, инобытие

имеем
его

необходимость разделения

числа в себе согласно обычным диалектическим де¬

которых

ное деление

число

и

в себе.

перейти

Это

«в

себе» можно понимать,

если последнее

во-

данности, «в себе» как таковое.

в свое

инобытие. Конечно, это не

то континуально-геометрическое инобытие,

себе»,

триад-

становление).

непосредственной

Оно, во-вторых, может

«число в

изучение

данной категории

брать
425

во всей

в

которое переходит

исчерпанности

его ка¬

V.

Переход

к

специальной теории

тегориальных структур. Когда построено
паны все его основные

бытие есть переход

в

числа

все «число в себе» и

структуры, тогда переход

построили

сфере

в

утвердили голый факт существования

Спрашивается:

исчер¬

дальнейшее

ино¬

континуально-геометрическую среду. Но сей¬

час мы пока еще ровно ничего не
а только

в

«числа в

себе»,

такого «числа в себе».

какое же инобытие здесь возможно, в чем заключает¬

ся это инобытие?

3. Голый факт

«числа в себе» говорит нам о непосредственном

бытии «числа в себе».

да

в

Инобытием,

и

притом инобытием до перехо¬

континуально-геометрическую сферу,

кое «число в

себе», которое,

может быть только та¬

дано в другом

собою,

оставаясь самим

виде, является иначе выраженным, выраженным при помощи иных
средств. Голый
сел и все

факт числа в себе есть, конечно, натуральныйряд чи¬
арифметические операции над числами. Инобытие ариф¬

метического построения без перехода
теми же

но

в

геометрию должно быть

арифметическими числами и теми же действиями над ними,

выраженными так, чтобы арифметика

внутренним принципом,

в отношении

осталась

всякое

указывает. Что

4. а) Значит, тут мы оперируем

арифметические действия.

с числами и

ино¬

реальное

бытие должно быть в отношении своего бытия символом,

него зависит и косвенно на него

осталась

которого данное инобытие

Вообще ведь

оказалось бы только символом.

внутри,

раз

оно от

же это за инобытие?

производим над

ними

Но тут, в этом инобытии, нас, однако, ин¬

тересуют не самые числа и действия над ними в их непосредствен¬
ной данности, но они же

—

в их

метрии покинута совсем самая
она отнюдь не
бытийное

непосредственное

куда

чения чисел и даже любые

буквенных выражений
Что значит

в

и оставить их только

можно было бы подставить любые зна¬

употребление

в

мы отвлекаемся от

общем виде. Если

Тут

необходимо отбросить

действий

и введением понятия

могут быть

Здесь

на месте. Но надо дать ей ино¬

действия. Это достигается употреблением

я

чего не сказано ни об а, ни о
значения.

чистого «числа в себе».

это сделать,

значение чисел и

в виде знаков, символов,

даем их в

сфера

покинута. Она остается

выражение. Чтобы

значит, что

инобытийной выраженности. В гео¬

функции.

алгебре буквенных

символов? Это

непосредственных значений числа и
пишу ах2 + Ьх + с, то здесь ровно ни¬

Ь,

какие

если под ними понимать числовые

угодно

значения.

Дело

не в них.

определенных взаимоотношениях, существующих между
426

Дело

х и эти¬

§81. Разделение
ми а и

Ь.

Другими

словами, сущность этого явления заключается в

том, что здесь даны не

арифметические

циональные отношения
чение

которых

величинами,

остается вне всякого

ны значения величин,

функ¬
арифметическое зна¬

интереса. В функции

между которыми

она

не важ¬

установлена. Значит, уже

арифметики,

инобытие «числа

себе». Но здесь, кроме того, полнейшая аналогия

арифметических

по
в

между

значения чисел, но

одному этому здесь

свойств

и

—

инобытие

действий, далекая от

всякой

геометрии,

а состоящая все из

действий числа, из которых состоит арифметика.
Значит, здесь именно то инобытие, которое мы ищем.
Ь) Буквы заменяют здесь непосредственное значение чисел. Но

тех же свойств и

в анализе мы
и

оперируем

с

выражениями, которые

непосредственное значение,

У =/W,то

во многих

случаях

значение

также заменяют

действий. Когда

в анализе нам

не

совершенно

мы пишем

интересно,

функция. Важно, что^ есть функция отх. А какая эта
совершенно не важно. Следовательно, как в алгебре

какая именно эта

функция, часто
буква выражает собою обобщенное значение числа, так в анализе/(х)
выражает обобщенное
подразумевать любые

значение

действий. В первом случае

числовые значения, во

подразумевать любые действия над

с) Диалектическое
если

мы

главе с

числами.

место учения о

представлений

математических

всех

усложненный

что все

действия

просто счет,

ту область

модификация

счета.

чистого числа в

непосредственный

квалифицировать учение

о

вполне

состоит из

сущностью

что есть в математике, имеет своей

ственное число и

действия суть

Поэтому будем

себе, которая

ственного значения чисел, назовем

купность

действий.

счет. Что бы мы ни делали в математике, мы всегда

или

всех

и

в математике есть не что иное, как

так или иначе считаем, занимаемся счетом', все

нужно

самого

натуральным рядом чисел, разумеется, играет роль

Можно сказать,

но, все,

можно

втором случае

функциях становится яснее,
употребим соответствующие термины. Арифметика во

основания

если

можно

числа.

или

правы,

непосред¬

Действитель¬

сущностью непосред¬

счет. По сравнению с этим как

функциях? Функция

есть сово¬

действий, которые необходимо произвести

над ар¬

гументом, причем числовое значение самого аргумента неизвестно
и неинтересно. Это значит, что в

судьбу аргумента
данности самой

в

функции

условиях неданности

сущности того, судьбу
427

мы имеем

самого

чего мы

инобытийную

аргумента,

т. е. не-

преображаем. Такую

V.

Переход

конструкцию удобно

к

специальной теории

назвать явлением. Явление

ности как нечто само по себе
явление же, взятое само по
с

сущностью. В

ности

(иначе

противостоит сущ¬

несущественное. Сущность

себе,

противоположность сущности)

оно и не

есть смысл;

есть нечто алогичное по

(опять-таки, подчеркиваем,

явлении

как таковое, т. е. как

числа

сравнению

если его

брать

нет самой

сущ¬

было бы противоположностью сущности);

в

сущность неизвестна, она есть какой-то неразгаданныйх. Можно

нем

только наблюдать

судьбу этого х, т. е. что творится с ним, независимо

от его подлинного смысла и значения. Такое

инобытийное констру¬

ирование сущности есть явление. И учение о функциях
положность
есть

учение

Арифметика

о числе как явлении.

числа; алгебра

потому

в

противо¬

непосредственному арифметическому значению

и анализ есть

не дающем

учение

учение

о

чисел

сущности

о явлении числа, о внешнем

внутренней значимости)

5. Однако категории

—

(и

явлении числа.

(«сущность», «явление» и, еще дальше,
«действительность») суть общедиалектические категории, повто¬
ряющиеся решительно

эти

во

науки. Кроме того, учение

функции

также было намечено нами в

разделения, чтобы

в связи с этими

предыдущем

необходимо приступить к более
ческого

специальной области

всякой
о

эти

изложении

знания

и

категориями

(§ 76).

расчлененной фиксации

Сейчас

математи¬

категории получили окончательную

конкретизацию.
Антитеза непосредственного

и

опосредствованного

бытия остается в математике основной.
теза,

которая объединяется

нею и

рождается обычное разделение

Именно,
свое

в

сфере

самой

устойчивое

которая
и

математики в

сравнении

с

возможно мыслить

в

превраща¬

выражаясь математически,

переменную. Поэтому функция,

непосредственным

может быть как

функцией переменных

с

данной области.

числа как таковой. Такое инобытие

тело в становящееся, или,

средствованное,

есть еще одна анти¬

как мы мыслим его в отношении всей

превращает постоянную величину
есть в

Однако

планомерного объединения

непосредственности

инобытие, подобно тому

непосредственности
ет

с нею, и из

числового

числом бытие опо¬

функцией постоянных величин, так

величин.

бытии и о становлении величин.

Точнее, однако,

Алгебра

надо говорить о

относится как

раз

к

уче¬

функциях постоянных величин, в то время как анализ преиму¬
щественно занят функциями переменных
точнее, становящихся
величин. Как функция в отношении непосредственной значимо¬

нию о

—

—

428

§81. Разделение
сти числа, так и становящаяся величина в отношении постоянной
есть «явление», поставленное в связь с
явление и за

сущность и

«сущностью», есть,

пределами непосредственного

6. а) Остается, следовательно, третья
ступень

в

области чистого числа

тезируются

в нечто

по-разному

и

третье,
в

которая

в

вопрос,

если

есть

сразу

и

сущность,

равные

его

и явление, их

субстанциальное

и

что же в математике является

сущность

можно называть

нашему обыкновению (ср. § 9) действи¬

абсолютное неразличимое тождество

числа,

и явление син¬

системах диалектики носит

тельностью. Действительность

Возникает

быть,

числа.

и последняя диалектическая

себе. Сущность

категорию, которую

разных

названия. Назовем ее по

в

стало

арифметична,

а

слияние.

действительностью

явление

алгебраично-

аналитично?

Ь) Надо

подыскать такую категорию, которая бы давала ино-

бытийно-числовую обработку арифметической
с другой

рая,

стороны,

опосредствованность

превращала

в числовым

бы

является

математически

определяется

как величина,

направленная,

в

скалярной

от

инобытийно-числовую

образом непосредственно данную

структуру. Такой категорией
отличие

величины и кото¬

категория вектора. Вектор

определенным образом

величины, которая опре¬

делена только количественно и не содержит в себе никакого мо¬
мента направленности.

Вдумываясь в это понятие,

находим искомый нами синтез

с)

сущности

мы в нем как

раз

и

и явления.

В самом деле, инобытие, не меняя самой сущности, вовлекает

ее в поток становления и облекает

в эти внешние для нее

инобы¬

тийные одежды. Инобытие размывает, растягивает сущность, тянет
ее по

необозримому

полю алогического. Сама же по себе

сущность

должна оставаться неизменной. Следовательно, ища синтезы сущно¬
сти и явления, бытия числа в себе и его

инобытие,

но понять его как

цепь тех или иных

му

изменений,

неизменна. Синтез того и

инобытия,

мы должны взять

неизменную сущность. Инобытие
а

сущность

другого

по

самому смыслу

есть

свое¬

может поэтому осуществиться

только тогда, когда инобытие потеряет свою изменчивость и станет
неизменным

(как сущность). Но потерять свою изменчивость в абсо¬

лютном смысле оно не может, ибо тогда
как

инобытие, которое всегда

войдет

в синтез

уже

не

быть, условия диа¬

требуют, чтобы инобытие теряло здесь не из¬
но разнообразную, не приведенную к единству

лектического синтеза

менчивость вообще,

оно

изменчиво. Стало

429

V.

изменчивость.

Переход к специальной теории

Изменчивость объединится с постоянством не тогда,

когда она совсем уничтожится
с

(тогда что же и будет вступать в синтез

преобразится в вид, где найдет
момент постоянства. Такой категорией, в которой ней¬

постоянством?),

свое место и

числа

но тогда, когда оно

трализуется инобытийная изменчивость и неизменность сущности,
является категория направления.
самой своей

природе инобытийно,
так или иначе

мет, который

которое необходимо для
момент алогического,

лено,

бре же

в

—

опосредствованное

как и сама

необходимый

что именно

направ¬

направление. С другой стороны,
в

алгебре

сами по себе не

Непосредственное

понимаемые числа и

значение чисел и

это

значение

действия;

действие

в алге¬

чисто сим¬

вернее, вообще сигнификативное: направление

этом смысле вполне

ем, оно, однако,

предполагает пред¬

и есть

говорится,

значения.

арифметически

волическое или,

не

по

нем есть то становление,

инобытия,

алгебре. Буквы

непосредственного

имеют только

непосредственно. Будучи

оказывается только такой же

сущность. Направление

есть

по

в

природе инобыти¬

непосредственностью,

переход сущности

в

инобы¬

в явление, в изменчивость, но оно не косвенно и не изменчиво,

инобытийно

не

поскольку

буквы

совсем не то, что

тие,

всякого

одной стороны,

с

так как оно

направлен. В

а мыслится только самое

имеют

Направление,

в смысле

опосредствованности

но вполне самостоятельно,

непосредственно,

и символичности,

постоянно и

опреде¬

ленно.

образом, число в направлении осуществлено инобытийно
как аргумент в функции осуществлен инобытийно,
в
функция направлении осмыслена путем перехода в неизменную
Таким

наподобие того,
а

сущность

и

получения старым «аргументом» непосредственности

и самостоятельности.

себе,

но как момент

Направление, кроме

вектора. Вектор

того,

и количественно данная величина того, что

черкивается

как

не само по

направление,

в

котором

d) Итак, векторное

этот

есть

так и

принцип осуществлен.

исчисление

исчислением

но

направлено. Этим под¬

участие арифметического принципа числа,

участие инобытия,

тензорным

берется

есть не только

вместе

с

его

усложнением

наука, вырастающая

на

—

действи¬

тельности числа. Наивысшей конкретизации векторно-тензорное
исчисление достигает в конструкции векторно-тензорного поля, где
число
а

с

получает,

с

одной стороны, особого рода гистологическую,

другой стороны, социальную структуру.
430

Вместе с введением

§81. Разделение
кватернионов получается

фигурно-телесная

наивысшая

и

вырази¬

ставшего как бы живым социальным телом,

структура числа,

тельная

последней формой конкретизации,

на

которую способно

«число в

себе».
7.

а) Итак, число-сущность,

тельность,

если

арифметическое,

аналитическое, как ниже увидим,

всей

направленное (вектор). Это

сферы

интенсивного числа

функции,

выше понятия

функциональной
ных

раз

—

трех

свои

себе,

есть

(или

первую

в

и есть наше основное деление

вообще. Что

же касается

развитого

непосредственной и
каждую из намечен¬

то ясно, что антитеза

значимости числа войдет в

основных областей интенсивного числа, находя

эмпирические

связанным с

ляясь

числа

бесконечно-малая величина)

синтезы и

дальнейшую

тезов. В частности, то, что называется обычно

из

число-действи¬

число становящееся

ограничиться сферой вообще

не что иное, как число

и число

и

число-явление

функциями

каждый

эволюцию этих син¬

алгеброй, т. е. учением,

постоянных величин,

войдет, очевидно,

в

указанных трех областей, где эта алгебра, противопостав-

арифметике, будет синтезирована в дисциплины, предпола¬
как арифметики, так и алгебры. Это то,

гающие одинаковое участие

что вообще можно было бы назвать

алгебраической арифметикой
арифметической алгеброй, куда войдут такие, напр., учения, как
учение о формах, теория инвариантов и др.
или

Ь) Обратим

в дополнение еще внимание на

некоторые терми¬

нологические моменты.
Хотя и вполне понятно именование числа в
себе как положенного и хотя вполне
именно

бытие числа,

исследования,
ла не

называть

бытием. Ведь

немся и

будем

что

правильно,

целесообразно,

—

случае тезиса

имея в

числа в

туг перед

нами

виду масштаб всего

эту начальную диалектическую ступень чис¬

к понятию числа

вообще

мы

теперь уже

считать его вполне понятным и

не

вер¬

проанализирован¬

ным. А то, что мы сейчас называем бытием числа,

будет для

нас ис¬

ходным пунктом для всего дальнейшего анализа. Если в отношении
к чистой категории числа как к числовому перво-акту это утвержде¬
ние цельного числа есть

дальнейшему
сущностью,

оно

из

реальное бытие числа,

будет тем

которой

то в отношении к

основным и единственным

все остальное

тем тех или иных диалектических

будет

операций.

как бы носится над всей числовой стихией
431

существом,

появляться только

пу¬

Чистая категория числа

и как

бы не принимается

V. Переход к специальной теории числа

во внимание при анализе конкретных видов и типов числа. Но тогда
среди этих последних должна существовать такая группа

которая оказывается существенной
явлений.

Конечно, подлинной

ся самая

категория числа,

в целях

как

числа являет¬

целесообразно эту кате¬
до-категориальный перво-принцип, а «сущ¬
и изложения

что находится под

перво-принципом.

Заметим,
Так, у
цип,

этих

перво-принцип. Но, повторяем,

ность» находить уже среди конкретизации того,
этим

явлений,

прочих групп

последней сущностью

число как

удобства построения

горию принимать

и

в отношении

что в

истории философии такой метод бывал

неоплатоников

существующий

первоначален,

есть именно

«сущность», «сущее»

не

раз.

второй прин¬

не там, где «единое», но там, где ум и идеи. Ум не

хотя он

—

сущность

с) Таким образом, область

всего

существующего.

«числа в себе» делится

[на]

—

I.

Сущность числа. Натуральный ряд чисел. Типы числа. Арифме¬
действия над числами. Алгебра. Алгебраическая арифмети¬
или
ка,
«алгебраический анализ».
II. Явление числа. Скалярный математический анализ (диффе¬
ренциальное, интегральное, вариационное исчисление).
III. Действительность числа. Учение о векторах. Векторно¬
тензорное исчисление.
тические

§ 82. Терминологические замечания
1. Относительно
ходимо сделать

предложенной диалектической

рое расхождение

с

обычным

тического

материала. С

нередко;

необходимо

и

таким

явлением

соответствующего

расхождением

по возможности

мы

необходимо сделать общее

гогических мотивов и часто почти не

последовательности

системы.

«арифметика»

объединить

его в

То, что полегче
к

и

«арифметике»,

по мате¬

психологических и педа¬

преследуют целей логической

Так, материал, известный теперь

«алгебра»,

настолько

какую-нибудь единую систему
потруднее,

—

к

разношерстен,

возраста,

что

«алгебре».

отнесено

С такой педагоги¬

ческой точкой зрения должны считаться педагоги, но не
432

под

совсем невозможно.

и что можно дать детям младшего
а то, что

на его наличие.

пособий

замечание. Все они появились в

результате определенных исторических,

названиями

и

матема¬

будем встречаться

указывать

Относительно существующих руководств
матике

системы необ¬

ряд замечаний, долженствующих оправдать некото¬

философы,

§ 82. Терминологические

замечания

преследующие цель логически последовательной
ходится или

систематики.

При¬

«арифметика»,
выбросить
«алгебра», «анализ», или придать им условный смысл и в дальнейшем
совсем такие термины, как

не выходить за

уже

сить такие

старые

и

рамки принятого словоупотребления. Выбро¬

популярные термины, конечно,

тогда надо вкладывать в них какое-то
логическое

Прежде
как

учение

содержание,
всего в
о

мерах

определенное

хотя оно и было только

«арифметике»

невозможно. Но
и вполне точное

условным.

мы находим такие,

и весах, имеющие к

арифметике

напр., главы,

такое же отно¬

естественнонаучной дисциплине, даже, пожа¬
луй,
другой стороны, в «алгебре» много таких вопросов,
как, напр., извлечение квадратного или кубического корня из чисел
шение, как и к любой

меньшее. С

или техника

логарифмирования, что по смыслу своему должно бы
«арифметике». Кроме того, логарифм есть трансцен¬

иметь место в

дентная функция,
лом

«алгебры».

и неизвестно, как связать его с

прочим материа¬

«Анализ» наполнен разными геометрическими по¬

строениями и приложениями, которым настоящее место, конечно,
не в анализе, а в специальной науке. Да и самое название «анализ»
мало того, что не очень точно, оно
танном виде.
ное и

Под

интегральное исчисление,

бесконечного процесса. Тем
—

вовсе не та

употребляется

в

«анализом» обычно понимается

геометрия,

в

т. е.

совершенно спу¬

дифференциаль¬

изучение функций

не менее «аналитическая

которой применены

в

условиях

геометрия»

методы исчисления

бесконечно-малых. Это, вообще говоря, изучение геометрических
элементов с точки зрения

алгебры, так что правильнее всего было
бы назвать ее алгебраической геометрией. Там же, где применены
методы исчисления бесконечно-малых (т. е. методы «анализа»), [уче¬
ние] называется не аналитической геометрией (как это требовала
бы логика), но почему-то дифференциальной геометрией, а частью
этот

материал

излагается прямо в курсах самого же анализа. Неиз¬

вестно также, почему эта

геометрия

дифференциально-интегральной (раз
дифференциалы, но и интегралы). А то,

а не

ко

называется

ние т. н. теории чисел

принципиально
ки», равно

и

применены

не толь¬

что составляет содержа¬

делимости),

ничем

содержания обычной «арифмети¬

алгебра» содержит

в

«элементарная алгебра»,

уравнения здесь

дифференциальной,

все рассуждения о

не отличается от

как и «высшая

же управлений, что
и эти

(напр.,

там

посложнее и

433

себе теорию всех тех
только что эта

теория

потруднее. Такая педагогическая

V. Переход к специальной теории числа

и историко-психологическая точка зрения в
матического

2. Что же составляет подлинный

арифметики

мет

Арифметика

нами

мате¬

отброшена.

выдержанный пред¬

и логически

алгебры?

и

есть учение о «числе в

ном бытии числа. Этим она

щей

классификации

материала, конечно, должна быть

не с числами, но с

резко

себе»,

т. е. о

отличается от

функциями.

непосредствен¬

алгебры, оперирую¬

Но тогда к

арифметике надо
непосредствен¬

отнести все типы числа, если только они имеют

ное значение. Прежде всего к арифметике должно быть отнесено
употребление отрицательных чисел. На каком основании это по¬
нятие отнесено к алгебре и что алгебраического в отрицательной
величине? Раз арифметика действует с положительными числами и,

кроме того, еще действует

будет

тика и

купле

с

нулем, то

очень

странно,

если

тут

еще и категории отрицательного числа. Фактически

употребляет отрицательные

и

в

продаже,

учении

принципу маскирует

терминологию
Далее,

в

это

числа

о векселях и

(напр.,

арифме¬

рассуждениях

о

но в

угоду логическому

относя

соответствующую

пр.),

употребление,

в

же не

другую науку.

вполне

арифметичны рассуждения

Бесконечное число есть особого рода

число.

и

бесконечности.

о

Оно оценивается

в

непосредственной данности; и нет нужды
арифметики. Точно так же необходимо внести в

своей самостоятельной и

выбрасывать
арифметику теорию мнимых величин, рассматриваемую почему-то
мелким шрифтом, так что сами авторы,
частью в алгебре (обычно
ли подлинное место для нее), частью в
не
здесь
знают,
по-видимому,
его из

—

анализе

(хотя

плексного

нужно

к

последнему

переменного,

выбросить

нями. Это вполне

из

относится только

а не

алгебры

логарифмирование,
корнях, с которой
вообще алгебра

оно

Сюда

же надо отнести

отрывают

существенно

отличается от

какими-то особенными

от статьи о

связано.

арифметики

не тем, что она

действиями, которых нет в ариф¬

метике, или какими-то новыми типами чисел, которых нет в
тике. Вовсе не в этом

ципиальное
тут

—

кор¬

непосредственные операции над непосредствен¬

степенях и

пользуется

ком¬

Решительно

также действия над степенями и

хотя его почти всегда

И

функций

арифметика мнимостей).

но и самостоятельно данными величинами.

и

теория

отличие

принципиальное

отличие.

алгебры от арифметики заключается

инобытие всех

арифметических
434

арифме¬

Единственное прин¬

чисел и

в том, что

действий, инобы-

§ 84. Разделение
тийный
система

их

коррелят. В

ровно

них не вносится

ни в чем не меняется.

ровно

ничего нового, и их

Но все эти числа и действия,

сфера, целиком переносятся в но¬
подвергаются, опять-таки все
вместе, единообразной модификации. Область же эта есть область
функциональных отношений. Следовательно, в алгебре не будет

все вместе, как некая целостная

вую область;

и в этой области они

ничего нового в смысле

ибо

все эти

категории

категории

относятся к

числа или

категории действий,

сущности

чисел и

действий,

а вся

те же категории,
обрисована в арифметике. В алгебре
а
именно
употребление функцио¬
употребление,
нальное, употребление в составе функций и их преобразований. Это
—

сущность

но только иное их

и есть

сущность алгебры.

3. Другое дело
учение о

—

функциях.

величинами, к

отличие

Но к

анализу

алгебры

от анализа. И то и

другое

есть

функции
алгебре
функции при бесконечно-малых про¬

же

относятся

с подлинными

—

цессах изменения аргумента. Возникающие здесь сложные перепле¬
тения
том

алгебраических

рассмотрения

и аналитических методов

будут у нас

предме¬

в своем месте.

I. СУЩНОСТЬ

(АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ)
§ 83- Разделение
Как было установлено

в

§ 81, та первая сфера

ла, которая у нас условно наименована
ся на

три

основных

интенсивного чис¬

сущностью числа, распадает¬

раздела.

^.Арифметика, или учение о непосредственной сущности числа
в ее бытии.
В.

Алгебра,

или

учение

о

непосредственной сущности

числа в ее

инобытии.
С.

Алгебраический

сущности

анализ,

или

числа в ее становлении

становлении

учение

(включая

и

о

непосредственной

прочие

основанные на

категории).

А Арифметика

(сущность числа в ее бытии)

§ 84. Разделение

Теперь

наконец мы вступаем в область

ния обыкновенного математического

435

философского

материала.

понима¬

V.

Сущность

Переход

к

специальной теории

числа

себе», которое утверждено

числа есть такое «число в

непосредственно данное бытие. Оно, это число,

как

какое-то другое,

уже

Потому

числовое значение.

создает только

Алгебра
ной

не

указывает

значимости числа.

это есть всецело область

функциональный дублет

Арифметической

к

арифметики.

непосредствен¬

величине диалектически

противостоит алгебраически-аналитическая величина, которая
ражена опосредствованно, при помощи букв
значений. Непосредственное бытие числа
стой акт

бытия,

в

и

вы¬

функционных обо¬

себе,

данное как про¬

есть акт полагания; акт же полагания есть

натуральный ряд чисел.

I.

Сосредоточимся
щем

на

чисто числовое значение, но само есть это чисто

из себя

на этом

примитивном

натуральный ряд

акте полагания,

рождаю¬

Будем наблюдать диалектиче¬
полагания. Другими словами, мы

чисел.

скую эволюцию только этого акта

отвлечемся от того инобытия, которое выводит вообще за пределы

арифметики

и

науки, давая функциональное построение непосред¬
величин, ведет уже к

арифметических

ственно

рировать

только с

указанными примитивными

алгебре. Будем

опе¬

числовыми актами,

сфере арифметики. Тогда возникнут свои
арифметические, триады, тетрады, пентады

чтобы остаться всецело в

собственные, уже
и т. д.

Будем

считать

чисто

в этой

общей сущности

натуральный ряд

за

бытие,

(арифметика)
сфере получаемого бытия

числа как бытия
т. е. в

установим свое собственное бытие, или, так сказать, бытие бытия.
Что тогда

будет в этом

смысле

инобытием бытия?

Бытие создало тут натуральный ряд чисел. Явно, что инобыти¬
ем

будет

здесь переход к

другим

числам. Какие же это
но

не составляющие

натурального ряда,

него? Назовем

часть исследования учением о

эту

Тут будет
получатся числа:

рациональное,
сти, данное
II.

другие числа,
отличные от

разных

типах чи¬

выяснено, что это за числа. В систематической

и

сел.

существенно

положительное,

мнимое и

в своем

форме

отрицательное, рациональное, ир¬

пр. Итак, непосредственное бытие сущно¬

инобытии, рождает из

себя

различные

типы числа.

Нетрудно перейти

к становлению

непосредственной сущности

числа, которую мы понимаем как
III.

арифметические операции.
(§ 62.2) мы уже столкнулись с тем диалектическим фактом,

Выше
что

арифметическая операция связана
436

с

категорией

становления. И

§ 84. Разделение
действительно,

покамест мы

только

и неподвижные

мертвые

лением мы имеем дело в

говорим

образцы чисел. С некоторым станов¬

натуральном ряде

влеченное становление, становление

вообще,

но не становление

ма чисел

о типах числа, у нас имеются

развитой

чисел. Но это очень от¬

первого

акта полагания числа

системы чисел. Развитая систе¬

(«типы числа») предполагает разнообразные направления

счета, а не ограничивается только одним и единственным направле¬
нием, которое лежит в основе натурального ряда чисел. Наличие же

разнообразных направлений счета делает возможным разнообраз¬
ную комбинацию этих направлений. А факт разнообразных комби¬
наций направления счета и есть факт арифметических операций.
Чтобы идти дальше, необходимо переходить уже и к комбинации
самих арифметических операций. Становление, когда оно заканчи¬
вается, превращается в ставшее; и
тические

операции, следуя одна

рую единую

их

за

параллельно

и

с этим

—

другой, превращаются

комбинацию, которая

бы застывает,

как

—

все, что здесь

арифме¬

в некото¬

как таковая останавливается,

происходит, происходит уже

в

образом комбинации. Когда,
комбинаторикой, то всегда тут налицо
напр.,
из А т сочетаний по «»), который, од¬
«взять
ряд операций (скажем,
нако, обладает одной неподвижной идеей, определяемой данными

твердых пределах застывшей

таким

мы имеем дело с т. н.

категориями. В детерминантах также имеется некая общая идея рас¬
пределения чисел, в пределах

действий. Везде
ществленным

в таких

которой

случаях

мы имеем дело с

и застывшим ставшим и с тем или

раций (становление),

но только в

условный термин,
IV.

дим

к

согласно

гут

выраженному факту,

должно оживиться и

к

ем

комбинаций

и

совершен¬

исчисление.

факта мы перехо¬
выразительной форме числовой сущ¬
предыдущей диалектической ступени
от ставшего

бурное движение. Устойчивость
фоне твердо расположенных чисел, но на фоне
перейти

их движения, становления.

быть становлением

этого ставшего.

употреблять общий

общей схеме,

ности. Застывшее состояние

мыслится здесь не на

опе¬

—

комбинаторно-матричное

Наконец,

некоторым осу¬

другим рядом

твердых пределах

Ниже мы увидим, что это есть, если
но

возможен ряд тех или иных

Однако

простых

этих актов

в

это становление

уже

не может

актов полагания или даже становлени¬

(этапы, пройденные

нами

раньше),

но

оно может быть только становлением самого числового ставшего.

437

V. Переход к специальной теории числа

Мы должны найти законченность структуры подвижных систем чи¬
сел, когда исходят не из

чисел,

но когда дается

закономерность

определенной

твердо данной комбинации

и

закономерность

в движении

Туг

их взаимоотношения.

ресными учениями, которые

Дадим условное
V. высшая
отнеся

название

сюда

альное

непосредственной

но

нашем смысле сло¬
значимости

числа).

—

этому отделу арифметики

теорию сравнений, групп, колец, лучей

арифметических

лах) первоначальный
мальной

о

алгебре,

арифметика,

В учении об

(тел).

науку

таких чисел,

хотя и относятся обычно к

представляют собою чистейшую арифметику (в
ва, понимая под этим

ряда

мы столкнемся с инте¬

(или,

и

развернутости, где

как бытие даже высшее, чем

оно включает в себя и все индивидуальное,

способно чисто

как еще

и

полей

говорят,

те¬

акт числового полагания доходит до макси¬

выраженности

бытие,

полях

арифметическое

он дан

уже

как соци¬

просто социальное, ибо
—

насколько, разумеется,

бытие выразить индивидуальное

и

социальное.

I.

НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД ЧИСЕЛ (БЫТИЕ СУЩНОСТИ ЧИСЛА)

$ 85. Единица и соседние категории
1.

Непосредственное

бытие числа

в

себе,

данное как чистый акт

полагания, характеризуется не одной, а целой системой

которую надо уметь формулировать.
Прежде всего чистый акт полагания
себе,

так и в

может быть взят как сам по

совокупности своих внутренних

Язык четко различает все эти категории,

пройти без
всякого

самоопределения, рождает

внутренно разделился,

предполагается

каждый

т. е. в нем возникло

внешнее

ту категорию, которую

представим себе,

что акт полагания

внутреннее инобытие,

условиях

инобытие,

т. е.

то

есть единичность.

другие

акты полагания,

из всех этих актов полагания, взятый в отдельности, есть

единственный, единственность,
нии

различий.

и мимо них невозможно

из себя

чистый акт полагания как таковой в этих

то

и внешних

внимания. Чистый числовой акт полагания, взятый до

можно назвать «одно». Если мы

Если

категорий,

друга акты,

а все эти внешние

друг

взятые как чистый акт полагания, есть

единство. На¬

конец, чистый акт числового полагания, взятый сразу

внутренним,

и со своим внешним

инобытием,

438

есть и

в отноше¬

и со своим

единица. Еди-

§ 85. Единица
ница потенциально дробима
гает

дробимость

ное тождество.

внутри себя и потенциально предпола¬

и множественность вне

Будем

ли делить

себя, причем

единицу

вокруг этой единицы утверждать

будет один

категории

и внешней множественности

внутренней

ли

и соседние

и тот же:

будут

суть

эти

процессы

вместе одно абсолют¬

на отдельные части,

новые единицы,

будем

результат здесь

появляться все новые и новые единицы.

Это внутренно-внешнее тождество инобытия чистого акта полага¬
ния

оформляет этот акт с обеих сторон, внутри и снаружи, и превра¬

щает

в

прочно оформленную положенность, которую

единицей (отличая
но до своего

ее от

одного, которое

внутреннего

2. Единица,

и внешнего

инобытия).

образом, предполагает

таким

мы называем

есть тот же акт полагания,

сложное диалектиче¬

ское строение, которое вместе с тем является моментом и во всех

прочих числах, поскольку каждое
единица

вообще (а

потом

мулировать раздельно

число есть тоже сначала некая

уже данное

число в

частности). Если фор¬

все диалектические моменты,

ходимым образом входят

в состав единицы, то мы

которые необ¬

получим

по

край¬

ней мере шестипланную структуру.
а) В единицу входит, как и во всякое число, прежде всего тот

который является нашим перво-принципом
фундаментальном анализе числа. Этот факт

перво-акт, перво-число,
и

формулирован

в

тождествен и во всех единицах, и во всех числах вообще.

Ь) Единица,
Чтобы

перейти

в

далее,

положенным числом.
всякого

другого

есть

полагания

этого

Туг

перво-акта.

стать

реально

тоже единица еще ничем не отличается от

числа.

с) Единица предполагает
в

акт

реальное число, перво-акт должен

свое

себе внутреннее инобытие, она

дробление, т. е. она
утверждает внутри

содержит
себя свое

инобытие.
d) Единица предполагает
единицами,
в

и свое

окружение другими

предполагает внешнюю множественность, т.

себе свое внешнее инобытие, вернее,

такими же

е.

содержит

предполагает

внешнее

инобытие.

е)

Ни то, ни другое инобытие, однако, не положено в единице

отдельно, но оба они даны как одно неделимое абсолютное тож¬
дество, как тождество абсолютной ограниченности и очерченности
единицы. То и другое инобытие дано в единице только потенциально,
а реально она потому и единица, что в ней нет разделенности
439

V.

и

внутри

Переход

реальной

нет

специальной теории

к

множественности

что внутри неразлично и вне
если

бы

это было только

единицей,

это не было бы
в

стоящим
что

начале

внутреннее
а было бы

предполагает

граница
только
и

и

предполагает,

раздельных

сказать,

внутреннее

в

ней

и

выясняется,

потенциально,

абсолютная граница

устойчивость.

смысловая

и внешнее

инобытие,

полагает в потенции, а не в виде

Эта

но именно

ряда реальных

внутренно-внешнего инобытия

это тождество

очередь должно быть тождественно

полагания,

Тут-то

в единице

актов полагания.

f) Наконец,
свою

то,

т. е. числом, совсем не

чисел.

внутренно-внешнее инобытие дано

так

—

прибавлений, хотя
внешнее безразличие, то

одним,

натурального ряда

контур, абсолютная,

Единица

вовне.

без всяких

—

т. е. постольку, поскольку существует
и

числа

с тем

в

актом

реальным

выше, в пункте Ь. Абсолютная отгра-

который упомянут

ниченность и очерченность извне и абсолютная неразличимость
внутри должны возникать моментально, как только совершается са¬
мый акт полагания. Иначе в единице акт положенное™
актом

оформления

бится

на

ет

дискретные

части.

разойдется с

перестанет быть единицей

и единица

и

раздро¬

Собственно говоря, тут-то и возника¬

спецификум единицы, потому что все предыдущие моменты в той

или

свойственны

другой мере

и

прочим

числам.

Тождество

ментов с одним чистым актом полагания и создает

Прочие

же моменты дают ей только

бы кованность и

твердую

и

всех мо¬

впервые единицу.

прочную оправу,

как

нерушимость.

3. Можно эту шестиплановую структуру единицы формули¬
ровать

и

данную

в

ставший

короче,

имея в

виду формулу числа как общей категории,

фундаментальном
результат

различия. «Акт»

акта

анализе. Там мы вывели, что число есть

подвижного

тождественного

различия»

—

совокупности

всего

щих

в

больше

по

себе,

числа как

перво-принцип,

но как

денность

образом,

ни меньше как

определение

что этот

этого

принципа,

отмеченного в

прочего как начало, ведущее

му оформлению. Таким
есть ни

самотождественного
само¬

пунктах с—f. «Ставший результат»

в

возникает как следствие участия
в

покоя

пункте Ь, «подвижной покой

отмечен выше в

пункте а,

к окончательно¬

вся эта шестиплановость единицы

повторение

всех элементов,

перво-принципа. Однако

входя¬

мало того,

со всеми своими элементами дан не сам

реальная сущность чисел,
первопринципа. Но

440

т. е. как

и в этой

бытие,

как

утверж¬

общей утвержденное™

§ 86. а) Безграничное дискретное
перво-числа

в виде

множество,

b) Равенство (неравенство)

бытия сущности числа-в-себе тут, несомненно,

выделен один момент из всех, его составляющих, а именно, опятьтаки момент полагания,
подчиняя их себе и

в общей

сфере

доминирует над

и он

оформляя

всеми остальными,

образом,

заново. Таким

единица есть

бытия сущность числа-в-себе, такой ставший резуль¬

тат акта подвижного покоя самотождественного различия,

дан

4. Чтобы

утерять единой

не

расположим предыдущие
на

который

как акт полагания.

одной

число,

Перво-акт

линии.

число как

акты

нити

во

всех этих

полагания

полагает

общая категория,

рассуждениях,

и ближайший

себя,

число как

и

будущий

получается перво-

перво-принцип (обще¬

математический). Число как перво-принцип полагает себя, дается
как чистый акт полагания,

—

получается число-в-себе,

интенсив¬

арифметически-алгебраически-аналитическое

ное число, или
ло.

и

Число-в-себе, переходя

чис¬

в новый акт чистого полагания, создает

арифметическое число, в противоположность
числу-вне-себя геометрии и числу-для-себя аритмологии. Сущность
числа, переходя в дальнейший акт полагания, создает единицу Еди¬

сущность числа,

или

ница, переходя дальше в новый акт полагания, создает

натуральный
ряд чисел, т. е. реальные числа, фиксируемые нашими обычными
цифрами. Всякое реальное число натурального ряда, утверждая себя
в виде нового акта полагания, создает положительное число. К

вообще надо заметить,
в диалектике

путем

как мы много

положения

Все

предыдущей, причем

своего собственного

ограниченное

и тем и дающее

отрицания

это положение,

актами

новое

вызы¬

утверждение,

следующую новую категорию.

эти акты полагания, как мы видели в

провождаются

этому

следующая категория получается

раз удостоверились, тождественно отрицанию,

вающему путем
точно

что каждая

прежних категориях,

отрицания, инобытия. Каждое инобытие

со¬

име¬

ет везде свое инобытие и свой синтез бытия и инобытия.

Сущность

числа, положенная как чистый акт, есть единица. Что

есть ее инобытие и в чем синтез единицы с ее инобытием?

§ 86. а) Безграничное дискретное множество. Ь) Равенство (нера¬
венство)
1.
ит

«Одному» противостоит

«многое».

«раздельное», «единственному»

«множество». Что

—

«Единичному» противосто¬

«множественное», «единству»

—

противоположно единице? Единице противопо¬
441

V.

ложно множество

Переход к специальной теории

таких же единиц. Но такое множество не

других

отличается полной

Когда

мы

беспорядком. Тут есть свои
формулировать.

дискретностью

которые необходимо

коны,

точно

и

рассматривали перво-число,

там нескольких

существенных моментов,

акт полагания,

роль играют:

различие. Так

как всякая

числа

мы

из

подвижной покой

которых главнейшую
и самотождественное

как и инобы¬

категория, бытийная, равно

одинаково содержит в себе перво-число

число),

то эти основные моменты мы находим также и в

плодотворно; для

многих

не всегда

категорий

(на

то оно и

проведение

перво-

инобытии,
деталей

этих

это совершенно искусственно

и бесполезно. Но и в инобытии единицы это дает

употребительные категории,

наличие

установили

тийная,

окружающем единицу. Далеко

за¬

интересные обще¬

и их нельзя замолчать.

2. Акт полагания инобытия единицы, как сказано, создает множе¬
ство

(и необозримое множество)

единица. Но

таких же единиц, как и сама первая

категория самотождественного различия уже

вносит в

это слепое множество важный момент. Что такое инобытие тожде¬
ства? Инобытие тождества есть
есть

неравенство. Когда

стой

непосредственностью, там

есть

уже тождество. Как

чины,

отдельной

вом и умном

предмета
быть

не

а инобытие

мы имеем дело с чистым

т. е. с чи¬

равенство одного другому

всякое

не может быть в

различия

бытием,

сфере

чистого смысла при¬

от основания, и всякое основание в чисто смысло¬

мире

ство здесь есть

равенство,

есть

уже тем

самым и

причина,

уже тождество. Другое дело

могут быть

как именно

и

в

так и всякое

ускользает

равен¬

инобытии. Здесь два

инобытийные, никогда

в полном смысле тождественными.

торая всегда расплывается

—

не

могут

В них есть та материя, ко¬

от абсолютного тождества.

предметы могут быть только равны или неравны
никогда не могут быть тождественны. Равенство

Инобытийные

ду собою,

но

бытийный

—

коррелят тождества. Тождество однопланно,

Равенство по

ву бытия, лежащего

глубине

перспекти¬

инобытийной структуры. Две равные

вещи тождественны по своему количественному смыслу
ны по

своему факту. Это значит,

сфере же

чистого смысла нет

и

различия между фактом

различие

в одном есть также и

мало навыкший к

различ¬

что их всегда две или несколько. В
и смыслом; и

там тождество в одном отношении есть также тождество и в

а

ино¬

плоскостно.

крайней мере двупланно и содержит в себе
в

меж¬

оперированию

различие

в

с чисто смысловой

442

другом,

другом. Вот почему ум,

сферой,

пони¬

§ 87. с) Порядковость
мает ее по типу инобытийной и не может

«одно»

и «иное» и тождественны, и

том же отношении

3. Итак,
личия

есть

различны между собою

(как одновременно

инобытие единицы

равенство

и

постигнуть того, что, напр.,

и в

в одном и

разном).

в аспекте самотождественного

неравенство единиц. Стало быть,

раз¬

слепое

множество единиц, возникающее как инобытие единицы в аспекте
чистого полагания,

получает разную оценку в зависимости от катего¬

рий равенства

неравенства, находящих здесь

Но единица,
ше

другой

или

взятая сама по

единицы.

себе,

свое

приложение.

не может быть больше или мень¬

Категории равенства или неравенства относи¬
Категории равенства и неравенства

мы только к группам единения.

требуют, чтобы полученные
ложения единицы были

равенства

гории

или

приложения. Итак,

необходимого
и

объединять

в

результате инобытийного противопо¬

объединяемы

разные группы. Иначе,

в

и

неравенства останутся пустыми

мы

принуждены делать

из

и слепого множества единиц

кате¬

без всякого

полученного общего,

разные наборы единиц

их в нечто целое.

§ 87. с) Порядковость
1. С другой стороны,
чение

с точки

это множество единиц получает

Подвижной покой

подвижной покой. Но тут

Это ведь

и есть

которую

необходимо

Когда

мы

области инобытия. Если

тому,

суть самый зеленый цвет,

и т.

д.),

но

и т. д. не

не

пути.

я

порядко-

и т. д., то явно,

скажу «зеленый»,

что не есть самый зеленый

каким-нибудь другим предметам,

сутствует. Всякие зеленые предметы

вый», «второй»

категория

говорим «первый», «второй», «третий»

что здесь мы находимся в

но не

обзор пройденного

возникает одна категория,

отметить специально. Это

то это может относиться только к
цвет, а только к

покоя.

заставляет двигаться по нашим единицам и, оста¬

навливаясь в том или другом месте, делать

вости.

упорядо¬

зрения применения категории подвижного

где этот цвет при¬

приобщаются к зеленому цвету,

суть сама

зеленость.

суть бытие (бытие

инобытие (инобытие, приявшее

—

Значит, «пер¬

это единица,

двойка

на себя значение от бы¬

тия).
Но «первый», «второй» не есть просто инобытие единицы и двой¬
ки;

это особого рода инобытие.

дования одного за

бы

не имелась в

Именно, тут предносится идея

сле¬

другим, принцип постепенного движения. Если

виду эта идея,

то вместо

443

«первый»

мы

бы говорили

V. Переход к специальной теории числа

«одинарный»,

вместо

«второго»

«двойной»,

—

вместо

«третьего»

—

«тройной» и т. д. Во всех этих заменах мыслится инобытие внутри са¬
мого бытия: «двойной»

—

это

такой, который

одно и цельное, но он состоит из
бытия сведена на

другое дело

инобытие

в

двух частей.

различенность внутри

случае порядковых

сам по себе есть нечто

Здесь

самого

функция

предмета. И

ино¬

совсем

Здесь, во-первых,

числительных.

дано не внутреннее, а внешнее: единица должна внешне

каком-нибудь инородном материале. И так как
устойчивой сущностью бытия (как
связано инобытие внутреннее) и всегда находится в неустойчивом
и становящемся виде, то функция его в данном случае проявляется в
аспекте подвижного покоя. «Второй»
это значит не только «иной»,

осуществиться на

внешнее инобытие не связано с

—

«другой»,
и стал

но такой

другим

«иной», который был «одним»,

же самым, что и раньше.

двинулся

потом изменился

и в этом своем новом виде остался в

Значит, «второй»

—

тот,

сущности

тем

который пере¬

и, передвинувшись, остановился. Я пересчитываю груши.

Когда я сказал «вторая» груша, это значит, что «груша вообще» была
положена раз, потом эта же самая «груша вообще» положена еще
раз. Следовательно, «второе» в каком-то отношении тождественно
с «первым». В каком же? Очевидно, в том, что «второе» так же по¬
коится, как «первое». С «одного» мы перешли к «иному», но вместо
того, чтобы распространяться и растекаться по

инобытия,

мы останавливаемся в

сте иного и

предаемся

между «одним»

безбрежному полю
каком-нибудь определенном ме¬

покою. В этом и

устанавливается тождество

и «иным», и «иное» оказывается не

просто «иным»,

но

«вторым».
2. а) Нужно

отчетливо

гория подвижного
явление

представлять себе, почему

порядковости. Пусть

точки В в

точку С,

именно кате¬

случае обусловливает собою

покоя в данном

мы двигались с точки А в

ис точки С в

точку/). Это движение.

точку В,

по¬
и с

Но вот начи¬

нает действовать категория покоя. Мы останавливаемся на точке/) и
тем кончаем наше движение.

Кроме

бы останавливается, мы его как бы

сматриваем

в том или

другом,

путь АВС7) есть такой-то
ломаная линия,

’

—

Так в рукописи

и

в

того, и весь путь наш ABCD как

фиксируем, зачеркиваем* и пере¬

любом направлении. Получается, что

такой-то путь

—

напр., такая-то кривая

что в нем отдельные точки

(реду
444

следуют

или

в таком-то по-

§ 87. с) Порядковость
что они

рядке,
идея

порядка

подвижного

расположены

есть в данном

покоя. Эта

таким-то и таким-то

образом. Ясно, что

случае результат применения категории

категория фиксирует

прой¬

все особенности

денного пути и тем утверждает порядок следования особенностей
этого пути.

Ь) Наконец,

надо

в

иметь

и

виду

еще одно

свойство

этой

категории, которое тут проявляется очень заметно. В то время как
тождество и различие утверждают разные точки и отдельные области
в

сфере применения

впервые делает
области в

пересчет

другую

всего

этих

точку

переход

или

различного,

от одной такой точки или

область, впервые делает

что

в

составилось

возможным

данной структуре установлено.

Не будь подвижного покоя, различествующие
и остались бы в

подвижного покоя

категорий, категория

возможным

моменты

мертвой взаимноизолированности,

бы целого. Выражаясь несколько

эйдоса

так

и из ничего не

грубее, подвижной

покой впервые делает возможным существование признаков данной
структуры, ибо то, из чего состоит данная структура, при условии
возможности точного его пересчета

и есть не что иное, как

признаков данной структуры. Поэтому такой признак,

сумма

или качество,

обычно обозначает при помощи имени прилагательного.

язык

Порядковое

числительное

прилагательного)

(которое,

содержа под собой

в качестве

конечно,

есть

имени

вид

(и основной) такой признак,

указывает один

принципа эту категорию подвижного

покоя.
3. Итак, порядковость возникает

следующих

как

диалектический результат

моментов.

Во-первых, порядковость осуществляется
потому что «первый»
вещь,

себе

которая

в

инобытии единицы,

это значит, что есть какой-то

сама по себе не единица, но

единицу. Однако

и т. д., тоже

—

такие

категории,

как

предмет

или

отражает, воплощает

на

«одинарный», «двойной»

предполагают инобытие единицы, двойки, и, значит, об¬

щее указание

на инобытие слишком

Во-вторых,

для

инобытие единицы

получения

широко

и недостаточно.

порядковости

необходимо, чтобы

воплотило на себе кроме общего

оно на себе воплощает

(единица),

бытия, которое

специально из него категорию

подвижного покоя. Эта категория создает в инобытии идею

фикси¬

рованной последовательности, которая, в сущности, и есть
установление порядка следования единиц одна за другой.

первое

445

V. Переход к специальной теории числа

Это установление порядковое™, в-третьих, в силу особенностей
той же категории подвижного покоя
или нескольких

знаковостъ,
мого здесь
го

(рождать

возможность одного

признаков) превращает порядковость
свойство,

в некое

через участие

или качество,

в единице,

двойке

в

некую при-

инобытия, определяе¬

и т. д.

Поэтому ярче

все¬

порядковость выражается при помощи особых прилагательных,

носящих

в

традиционной грамматике

название имен числительных

порядковых.

§ 88. Резюме и дедукция

натурального ряда

1. Итак, до сих пор мы получили следующее.
Мы имеем сущность числа
числа полагает себя

—

—

арифметическое

получается единица. Но

число.

Сущность

так как всякое пола¬

гание возможно только тогда, когда одновременно возникает и от¬

рицание инобытия,

то единица возникла как

мым полем алогического

не может остаться

в виде

безразличного

окруженная необозри¬

инобытия. Это инобытие

такой бессильной потенции. Мы начинаем

утверждать и его как реальность, т. е. реально воплощать

бытие,

из

которого

мы

тут исходим,

диалектическом смысле не есть

—

в нем наше

единицу. Однако единица

что-нибудь простое.

в

В ней несколь¬

ко существенных моментов, и прежде всего самый акт полагания,
различие и тождество, покой и движение. Все эти моменты единицы,
находясь

в составе единицы и

воплощаются

в

образуя

инобытии единицы

ее

диалектическую структуру,

и тем

оформляют

его, создают

из него новые категории.
Самый акт полагания единицы, воплощаясь в инобытии, дает
слепое и неопределенное множество инобытийных единиц. Так
как инобытие всегда неопределенно, всегда растекается и всюду

необозримо-алогично, то единица, воплощаясь в инобытии, не мо¬
жет дать какую-нибудь одну инобытийную единицу. Так как инобы¬
тие безгранично и вечно расплывчато, то оно одну бытийную еди¬
ницу воплощает безграничное и неопределенное число раз. Так воз¬
как результат
никает безграничное и неопределенное множество
—

инобытийного воплощения

Кроме
различия
ное

из единицы ее акта полагания.

акта полагания в единице основную
и

тождества,

воплощение

ее

самотождественного

роль играет

момент

различия. Инобытий¬

порождает категорию равенства и, следова¬

тельно, неравенства. Тождество существует
446

только между бытийно¬

§ 88. Резюме
смысловыми

и

элементами,

дедукция натурального ряда

равенство

же

меональными. Объединяя эту категорию

безграничным
личных

множеством единиц, мы

комбинаций

комплексов из этого

Наконец, кроме
го

различия

дает

полученным только

с

получаем

возможность

безграничного

что

раз¬

единообразных

этих единиц и возможность

поля множества единиц.

акта полагания и

категории самотождественно¬

в единице в качестве основного момента мы находим

категорию подвижного покоя.

еще

между инобытийно-

—

категорию

порядковости.

Ее инобытийное воплощение соз¬

А порядковость, присоединенная к

нашему неограниченному множеству, уже

ослабленному

введением

принципа равенства и неравенства, превращает ее в определенным

образом упорядоченное

множество, т. е. такое множество, где имеет

первостепенное значение порядок
следования единиц одна за

рядка)
Таково инобытие

—

другой.

принципами 1) неограниченного

и неравенства
3) порядковости.
Теперь предстоит установить синтез единицы

2) равенства

2.

вид, тип этого по¬

единицы, охарактеризованное этими тремя

основными свойствами
ства,

(и тот и другой

множе¬

и

охарактеризованного

этими

какой бы определенностью

и ее

инобытия,

тремя принципами. Эти три принципа,

и осмысленностью ни

обладали,

все же

должны оставаться и остаются инобытием. Их инобытийность ска¬
зывается в том, что они не

содержат

ципа, который создал бы

в них

в

себе никакого единого прин¬

или

ту

другую структуру. Возьмем

первый принцип. Этот принцип неограниченного множества
мому смыслу своему есть принцип
определяемое

им

чисто

и

инобытийный, потому

что

множество уже само по себе со¬

неограниченное

вершенно неупорядоченно

по са¬

неструктурно

и

требует для себя иных
сформированное

принципов, чтобы превратиться в так или иначе
множество. Точно так же ни о какой

принцип равенства

и

бытии одни моменты

равны другим

Но

и

что именно

равно

неравно

уравнение одного другому,
го не сказано.
о

способах

сколько

структурности

неравенства. Он говорит

Наконец,

и методах

и

и

другие неравны

и в каком

в голом

не

говорит

и

только то, что в ино¬
этим

другим.

порядке совершается это

принципе равенства ровно

принцип порядка также ничего

упорядочивания. Этих способов

не

ниче¬

говорит

может быть

угодно.

Синтез должен объединить эту инобытийную неопределенность
с

бытийной определенностью единицы
447

и тем дать

этой неопреде-

V. Переход к специальной теории числа

ленности определенную структуру, лишить ее
растекаемости.

проявляется обычно

слова

и

как становление.

Единица перестает быть

изолированной неприступностью

и втягивается в

и вовлекается в

новления. В становлении

станов¬

приобретать
формы.
и неоформленной
новые

процесс стройного

—

направлении своего бытия, едини¬

в

цы. Единица должна плюрализироваться,
ность должна подчиняться

и постепенного ста¬

единица в направлении

модифицируется

своего инобытия и инобытие

дит

процесс

перестает быть разбросанной

также

текучестью

только что

в отвлеченном смысле

ления, начинает меняться и постепенно

Инобытие

указанной

инобытия

Синтез бытия

и меональная множествен¬

единству. Посмотрим, как это происхо¬

в отдельных моментах.

3. а) Единица

есть акт полагания.

ченное множество.

эти принципа

Необходимо

Ему противостоит неограни¬

в целях синтеза отождествить

и понять их как нечто единое.

лагания должен быть

неограниченное

Получается,

неограниченным множеством,

число

раз повторяться-, а,

оба

что акт по¬

т. е. он должен

другой стороны, неогра¬

с

ниченное множество должно быть одним единым актом полагания, т.
е. оно должно быть единым

образомраспределено. Покамест множе¬
едини[цы],

ство в своей неопределенности оставалось вне принципа
его элементы могли распределяться как угодно и связь
могла

быть какая угодно,

и даже могло совсем ее не

принципа единства должно привести

к

Только при

этих

трактовано

как

воплощенная

преобразованное

по

единицей,

не чем иным, как

условиях неограниченное

и отно¬

единицей.

множество может быть

закону единицы, ибо единица,

на всяком инобытии как именно единица

она везде была видна как

инобытия,

другому было

ними

тому, чтобы любой момент

в этом множестве оказывался не чем иным, как
шение одного момента к

между

быть. Внесение

таковая), превращается

(так, чтобы

в единство этого

т. е. в единство этого многого, в его связь, самоотнесен-

ность, и единство такое, чтобы оно было видно в каждом элементе
этого многого. Становление
тия

—

своим

—

общая арена

оказывается становлением, которое имеет
единство
результатом
распределения множества, взаимов данном

случае

принадлежность

его элементов.

ские

можно сказать,

силе
и,

синтеза бытия и инобы¬

выражения,

удара каждого

кроме того,

Употребляя популярные
что это

акта полагания в этом

к одинаковым

приводит

одинаковой

безграничном

расстояниям между
448

к

этими

и житей¬

множестве

ударами

или

§ 88. Резюме

и дедукция

натурального ряда

одинаковыми промежутками времени, промежутками между разны¬
ми ударами. В результате применения принципа единства распреде¬
ления наше инобытийное

безграничное
в

равномерную пульсацию ударов,

множество

превращается

равномерность (по

в

силе и по ин¬

тервалам) различных актов полагания, в связь взаимопринадлежащих элементов. Таков этот принцип единства распределения.

Ь) Переходим
дественного

ко

различия. Единица

к

—

второму моменту

Ему противостоит категория равенства

чие.

ходимо

по

сами

себе

о

Равенство и

характере

и

самотож-

и

и

и понять

ничего не говорят

неравенство

установления равенства

методе

неравенства. Это голые принципы,

разли¬

неравенства. Необ¬

оба эти принципа

в целях синтеза отождествить

их как нечто единое.

категории

есть самотождественное

природе своей

по

инобытийные категории, нуждающиеся

в

они

конкретизации

и

и

суть

струк¬

турном оформлении. Отождествление

с

единицей

как диалекти¬

ческим

к

единству

установления

синтезом

равенств
почве

и

должно

неравенств. А

общего

привести

так как это единство

инобытия,

синтеза бытия и

устанавливается

именно

—

на

становления,

то в результате должен возникнуть принцип единства установления
равенств и неравенств в общей стихии становления.
вами,

становление

ства и
или

должно

единообразно

неравенства. Но неравенство

наличие

«меньше»,

Следовательно, тут
увеличения

или

т.

е.

или

есть или наличие

увеличение,

мы наталкиваемся на

сло¬

или

«больше»,

уменьшение.

принцип равномерности

равномерности

уменьшения,

Другими

устанавливать равен¬

нарастания

ино¬

бытийного множества.
Еще можно сказать, что это есть принцип единства направления
процесса множества. В предыдущем случае становление дало нам
единство распределения отдельных моментов множества. Теперь это
единое

распределение получает еще

мое

и единое

образом
разнообразное направление

и могли

бы как угодно его менять.

Но принцип единства становящихся равенств

чтобы

направление. Одина¬

относящиеся друг к другу точки могли бы иметь са¬

ковым

и в этом становлении

раньше

мы

и

неравенств требует,

было определенное

единообразие. Если

говорили об одинаковости удара, дающего необходимые

для множества акты полагания,

и также

между этими ударами, то теперь

правления

этих

об одинаковости интервалов

мы должны

равноотстоящих друг
449

от

говорить

о единстве на¬

друга равноинтенсивных

V. Переход к специальной теории числа

ударов-полаганий. Здесь

все

удары-полагания вытянуты

мую

различия. Когда там,

аспекте самотождественного
ства

в

одну пря¬

линию. И это создается специально единством становления в

распределения,

одной

мы

имели

просто

ряд точек,

условиях един¬

в

то

тут, переходя

от

другой,
(ибо тут действует категория самотождественного раз¬
личия); и, таким образом, тут мы двигаемся все к тому же и к тому же

мы замечаем, что это одна и та же точка, та же

точки к

самая точка

и тем самым создаем единство

с) И наконец, единица
этому аспекту единицы
Когда проходится путь,

пройденные
в

одной

моменты

связке.

Пока

подвижной покой. В инобытии

противостоит категория

а потом

фиксируется

только
мы

движемся,

переходим

порядковости.

он как

все

мы

к

как

фиксировать

различия. Однако

то все

этот

только то, что новый этап есть

бы забываем

новым

Правда, тут действует еще установленный

самотождественного

таковой,

как бы на одном месте,

пути закрепляются
мы

пройденные этапы пути;
моментам.

направления.

есть

и

к

новым

выше принцип

принцип заставляет

старый,

что новая точка

пути ничем по своему характеру не отличается от любой предыдущей
точки.

Тут

нет

самотождественного
от одного к

другому,

значит, что мы

пройденных точек воедино. Принцип
различия требует только признать, что, придя

собрания

всех

мы в этом

другом

присчитали новый

акту. Наоборот, самый акт, самый удар
мы помним только то, что

все эти полагаемые

пользуясь

только

мы могли

категорией

предыдущему

бы вполне

именно полагается, и

содержания

не уполномочиваемся на

нашли то же самое; но это не

акт полагания к

и

забыть;

констатируем,

что

есть одно и то же полагание. Но мы,

самотождественного различия, еще

собирание

самых

ударов воедино,

еще не

знаем, какие удары-полагания мы проделали, и, значит, еще ничего
не можем ответить на вопрос «сколько».
На этот вопрос можно получить ответ только в связи с примене¬
нием категории подвижного покоя. Ибо «подвижной покой» застав¬
ляет останавливать движение и приводит к покою

пройденный путь,

заставляя понимать его как нечто единое. Мы должны

единицу
должна

субстанциально

осуществиться

инобытии. Это значит, что 1)

путь,

объединить

с ее инобытием в аспекте подвижного покоя, т. е. единица
подвижно-покоящемся

2) пройдя тот или иной
пройденный путь оказывается по¬

мы движемся,

мы останавливаемся, и весь

коящимся, так что мы можем

в

обозревать
450

его как

угодно и, наконец,

§ 89. Диалектическая формула натурального ряда

(удары-полагания), понимаем их
субстанции, как субстанцию единицы. Пер¬
этапы

3) обозревая пройденные
как

единицу, данную

в ее

вое создается инобытийным движением,

покоем, третье

единицей. Тут-то

с самой

считать

в

и появляется

всеудары-полагания,

Вместо растягивания

ся,

которой
в

мы пытались выходить.

одну

и

ту

инобытийным

же

точку,

впервые

возможность со¬

которые были произведены раньше.

в линию все эти

удары-полагания возвращают¬

силу категории подвижного покоя,

ными

—

второе

принципом синтезирования инобытия единицы

—

к

одной

и той же точке, из

Все удары оказываются направлен¬

и движение оказывается только счетом.

Тут происходит определенное оформление того голого упорядо¬
чивания, которое

мы выше выставили как

инобытие подвижного по¬

коя. Инобытие подвижного покоя есть какое-то (какое угодно) упо¬
рядочение,

или

порядковость. Необходимо, чтобы эта порядковость

была конструирована по типу единицы, чтобы все пройденные мо¬
менты оказались, так сказать,

«в одном месте»,

чтобы все они, взятые

вместе, оказались одной «единицей».

§ 89. Диалектическая формула натурального ряда
1. Итак, бытие единицы
становление единицы.

и

инобытие единицы синтезируется

в

Это становление, во-первых, синтезирует акт

полагания бытия единицы

безграничного множества инобытия
единицы; получается становление единообразно связанной взаи¬
мопринадлежности, становление единообразно распределенного
ряда единичных полаганий.
Во-вторых, становление синтезирует самотождественное разли¬
чие бытия единицы с
тия единицы;

и

принципом равенства

получается

становление

и

неравенства инобы¬

единообразного направления

ряда единичных полаганий.
В-третьих, наконец, становление синтезирует подвижной покой
бытия единицы

с

принципом упорядочивания, объединения,

со¬

бирания инобытийных полаганий; получается становление едино¬
образной упорядоченности ряда всех единичных актов инобытий¬
ного полагания.
2.

Первый принцип дает нам становление единицы в виде безгра¬

ничного

ряда полаганий, которым обеспечивается

мерность следования одного

своей

оказываются здесь

за

другим. Эти

полная

полагания по

совершенно одинаковыми,

451

и

равно¬

природе

интервалы

V. Переход к специальной теории числа

между ними также вполне одинаковы.

еще ничего не говорится

Тут

именно полагается, ни

о качествах этих полаганий, т. е. о том, что
о том, в каком порядке полагается.

Перед

никает в процессе становления единицы

нами, следовательно, воз¬

безграничный ряд

полаганий, ударов, единиц, распределенный так,
кой акт-полагание возникает одинаково и

актами-полаганиями,

что и

одновременно

равноудаленных одна

3. Второй принцип
в

актах-ударах, которые
одно

ся всегда и везде

суть

та¬

другими

изобразить

то перед нами возникает здесь бесконечный ряд

геометрически,

точек,

с

и самое возникновение везде одинаково, т. е.

всегда и везде оно есть возникновение единицы. Если

это

актов-

каждый

от

другой.

ставит вопрос о том, что именно полагается
мы здесь полагаем. И ответ гласит: полагает¬

и то же. Качественно все эти полагания-акты

полагания одного и того же. Но если каждая

последующая

точка

есть та же, что и предыдущая, это значит, что все эти точки движутся
к

одному

тому же,

и

прямой линией,

в то

время

4. Но, ограничиваясь

этими

Однако

двумя

новых и новых

новыми

непереходом,

«что» всех

утверждениях

только качественных

чтобы тождественным был

бы,

взаиморасположения точек,

иным.

принципами, мы,

направлении

мы

мы не можем помнить только качество того, что

утверждается, при
установлением

становится

само по себе еще ничего не

к новой точке, знаем только то, в каком

двигаемся.

с

другой,

направлении. И направление тут может быть

о

переходя

одна от

как единство

постулированное первым принципом,
говорит

направлении. Наш бес¬

т. е. в одном и том же

конечный ряд точек, равноудаленных

и самый

и

ограничиваться

отождествлений. Необходимо,

переход

от одного к

—

другому

т. е. чтобы тождественно было не только качество

полаганий,

но и самая

субстанция

этих

полаганий,

что¬

делая иное полагание, мы делали, в сущности, то же самое по¬

лагание. Это и есть

третий принцип. Тогда

движение равносильно

покою, удары-полагания направляются не в разные, но все в одну
и ту же точку; и
все

—

мы

получаем

возможность считать,

удары-полагания накопляются, сгущаются

месте», ибо они неизменно
есть

возвращаются

принцип порядковости,

копления актов полагания в

чтобы
ца, т.

этот

т. е.

одну

как
и

ту

бы
же

«в

одной

точке.

точку. Это
на¬

Остается, значит, только,

понят как

абсолютная едини¬

упорядочиваемое инобытие накопляющихся
452

что

одном

принцип сгущения, скучивания,

процесс накопления был

е. чтобы это

в

потому

точек

§ 90. Переход

к типам числа

было понято как абсолютная единица,

предыдущих

актов полагания

и

—

всех

результат пересчета

превращается

в одно и единственное,

абсолютно единичное число натурального ряда. Отныне всякое дви¬
жение

в

сфере
выше

сфере

этого становления

этого становления

будет

его реформировать. Это уже
—

точка,

пульсирующий
растет

и

вернее,

равно расставлен¬

теперь коренным образом

собраны

но всего только одна
все акты полагания,

одна пульсирующая точка, один

—

акт полагания. С каждым новым актом полагания

и накопление этих актов в

внеположного

линии

будет линия,

не

однако такая, в которой

растянутые раньше,

растягивания

растет натуральный ряд

в

тремя принципами

единства направления

данной точке (вместо прежнего

одну прямую линию),

т. е.

растет

их

чис¬

чисел.

5. Отсюда, натуральный ряд
счете

Привлекая употребленный

подсобный образ геометрической

ных и тождественных точек, мы должны

ло,

счетам, и всякий покой в

будет

счетам.

—

чисел

характеризуется

в последнем

принципами единства расположения,

и единства

порядка сгущения (накопления)

актов полагания.

ее

Натуральный ряд чисел есть становящийся синтез единицы и
инобытия, данный как одинаковость взаимопринадлежности

распределения, направления и порядковости (накопления, сгуще¬
ния) актов полагания. Или короче: натуральный ряд есть станов¬
ление тождества

§ 90. Переход

единицы с ее инобытием.

к типам числа

1. С возникновением натурального ряда сущность числа полу¬
чает уже более или менее конкретную характеристику. К натураль¬
ному ряду при известной точке зрения можно свести решительно
всю

арифметику,

т. е.

решительно

всю

математику. И наоборот,

диалектическую конструкцию натурального ряда,
следовательного ее

развития получить

математики. Но как двигаться от

В распоряжении диалектики
тод

перехода

в

инобытие,

в

всю

инобытия
значит,

было

в

имеется

отрицание

бытии,

по¬

диалектическую систему

единственный метод

и в

дальшейшем

с бытием. Мы достигли

—

ме¬

в анти¬

синтезирования

натурального ряда

чисел.

для нас бытием и тезисом, и

453

—

метод от¬

инобытии,

в тезисе, и тем самым

натуральный ряд будет

имея

путем

натурального ряда дальше?

рицания этого отрицания, т. е. метод полагания в
тезисе того, что

можно

Теперь,
—

тре¬

V. Переход к специальной теории числа

буется узнать,

будут инобытие

какие же

просто

и даже не

просто любое

все числа

натурального ряда,

число

такого бытия к инобытию

другим числам, раз
ходим

и антитезис.

акт полагания является нашим бытием и не

к

какие только возможны. И
не может быть

имеем

уже

переход

переходом

от

к тем или

в том, от чего мы

уже содержатся

не

просто единица

натурального ряда. Теперь

уже

все числа

Теперь уже

пере¬

инобытию. Инобытие должно дать тут совершенно новые

категории, уже нисколько не связанные с количественностью
мы

ложением в

натуральном ряду. Тут

числа и к их

диалектической классификации.

2. Заметим,

говорить,

сфера,

что та числовая

есть вся

сфера,

переходим

к

которой

о

разным

и с по¬

типам

мы сейчас

будем

инобытийная в отношении натурально¬

го ряда. Вся область натурального ряда теперь превратится для нас
в

одну нерасчлененную идею,

о ее

осуществлении,

мы и

о

переходе которой

в

инобытие,

т. е.

Как перво-принцип числа

будем говорить.

со всеми своими внутренними различениями превратился для нас
в нерасчлененную идею, когда мы стали говорить о переходе его

другие диалектические ступени (потому

дальнейшая судьба первопринципа,
структура),

и как единица

что

тут

важна именно эта

а не его статически

утеряла для

нас

в

интерес

в

внутренняя

своей внутрен¬

ней структуре, как только мы стали говорить о ее взаимоотношениях
с соответствующим инобытием, так
важным внутренняя структура

скольку

начинается

лектических

будем
свое

речь

судьбах.

и

сейчас для нас перестает быть

натурального ряда,

не о нем самом, но о его

И мы

будем правы,

если весь

инобытие, осуществляется

дальнейших диа¬

натуральный ряд

и воплощается в своем
в

предстоящей

в течение всей

предстоящей
в отношении

в

инобытии.

главе о типах числа

время говорить об инобытии натурального ряда. Будем

инобытийной

по¬

идеей вообще, которая переходит

считать некой числовой

По этой же причине нет нужды
все

и

значение

помнить

главы, что речь идет именно о

натурального ряда. Называть

сфере,

же мы ее

будем говорить об осуществлении
идеи числа вообще в этой числовой сфере.
Делать это мы будем просто ради избежания излишнего нагро¬
мождения терминов, которые все равно будут непонятны, если не
будет усвоено общее место типов числа во всей области сущности
будем просто

числовой

числа и числа-в-себе.

сферой

и

Поэтому вдумаемся лучше

бытие натурального ряда, а как его именовать

454

—

в то, что такое ино¬

это дело

второсте¬

§ 91 а) Положительное

число

-

пенное.

Это инобытие, повторяем, не может быть одним из чисел на¬

турального ряда, потому что все эти числа уже предусмотрены

натурального ряда. Подлинное инобытие
да, когда

возникнут совершенно

возникнет

тут

в идее

именно тог¬

новые типы числа, возникнут на

основе новых актов полагания в этой инобытийной по отношению
ко

всему натуральному ряду сфере,

на основе нового инобытия этих

актов, синтеза инобытия этих актов с их бытием и т. д. и т. д.

II. ТИПЫ ЧИСЕЛ

(ИНОБЫТИЕ СУЩНОСТИ ЧИСЛА)

1. ВНЕШНЕЕ ИНОБЫТИЕ
$ 91. а) Положительное
Имея полное

число

и законченное понятие числа в

зная его диалектическое

происхождение,

ному вопросу, который

можно назвать

чисел.

Труден

первых

мы

натуральном ряде

переходим

к

и

тому труд¬

проблемой классификации

этот вопрос, конечно, не технически, так как уже на

страницах алгебры

и анализа математики с

поразительной

ловкостью и беззаботностью выставляют очень легкие и понятные

определения того,

что такое целое,

дробное, рациональное, ирра¬

циональное числа, и в дальнейшем даже ни разу не возвращаются к
определению этих чисел, считая их абсолютно ясными и понятны¬
ми. Конечно, технически нет ничего проще понять, что такое, напри¬
мер, отрицательное или мнимое число. Для

философа, однако, тут
общему обыкновению
для философа: что понятнее всего профану, то непонятно философу,
залегают огромные логические трудности, по

и что легко и понятно для

лимые

философа, то

составляет часто

трудности для профана. Диалектическая классификация

пов чисел,

стотой,

ти¬

предлагаемая здесь, обладает чрезвычайно большой про¬

если только дать себе

требуется здесь
ским методом,

только самое

труд вдуматься

в нее.

антитезис и

только понимание основной

завершается, возвращаясь

труда поймет прилагаемую

Для мыслящего

элементарное владение диалектиче¬

попросту даже сказать,

диалектической триады. Кому понятно вообще,
в

непреодо¬

ниже

в

как тезис

переходит

себя, синтезом,

классификацию,

и она

тот без

будет

для

него простым и очевидным продуктом элементарного логического
анализа.

Впрочем,

для понимания

чисел надо преодолеть трудность
диалектическим методом.

Надо

предлагаемой диалектики типов
гораздо большую, чем владение

отказаться от

455

высокомерия

матема-

V. Переход к специальной теории числа

тических

учебников, претендующих на всезнание и решительно все
Забудем ту легкость, с которой

на свете «понимающих» и «знающих».
мы

оперировали

в школе, когда

учитель давал

нам задачи с

отрица¬

тельными и иррациональными величинами. Технически вычисли¬
тельная легкость не имеет ничего
понятия. А мы хотим здесь
сти

диалектической,
2.

а) Когда

просто,

мы

добиться

говорим

натуральном ряде чисел,
отрицательным,

каким-нибудь

ни

ся сначала в виде числа

говоря уже

и в частно¬

переходе

себе, о числе

ни

мы не мыслим

от

к

ни

рациональным,

иным. Понятие числа выводит¬

просто. Нужен какой-то новый

перейти от двойки просто
о

логической,

о числе, т. е. о числе самом по

его ни положительным, ни

чтобы

с логической четкостью

именно

четкости.

как оно налично в

иррациональным,

общего

(+2),

акт мысли,

к положительной

двойки просто

к

двойке,

не

отрицательной двойке,

к

(-2).
Может быть, этот переход от двойки просто к положительной
двойке понятен легче всего,

и

самом понятии «положительности»
можен никакой

всего

проще

содержится то, без

диалектический переход,

а именно

его. В

чего невоз¬

содержится

мо¬

тезиса, того, что потом

утверждения,
особенную судьбу путем перехода

мент полагания, положения,

должно иметь свою

формулировать

в

инобытие.

Положительное число есть число как тезис, как акт полагания

в

сфере, инобытийной в отношении натурального ряда. Оно положе¬
но, утверждено мыслью, утверждено как некоторый мыслительный

факт,

субстанция. То, что число есть число,
это совершенно разные
субстанция числа,

как некая смысловая

и то, что число есть

—

вещи.
Ь) Существует ведь принципиально
голой

и

простой идеей факта

и самим

логическое

фактом.

различие между

Что это есть, кроме

того, еще и разница чисто жизненная, или, так сказать, житейская,
это не только не вызывает никаких сомнений, но в данном случае
является слишком большой банальностью, чтобы ее
в таком голом

это

не

Однако

значит,
с

бытовом смысле. Если
что

я

имею

самую эту сумму 100 руб.

философской стороны тут перед

всего чисто логическое.

фиксировать
100 рублях,

я имею мысль о

нами

Именно, всякий факт

в

кармане.

различие прежде

в отношении

своей

идеи есть инобытие этой идеи. Идея как тезис должна перейти
в

свое

инобытие,

чтобы

стать

456

фактом,

вещью,

субстанцией,

§ 91. а) Положительное
действительностью. Это элементарное
что такая же

интересно,

и явления, смысла и

число

положение диалектики. Но

противоположность идеи

налична и в каждом из членов этой

смысла и

идею и ее существование, а также

факт,

в пределах действительности

сущности

факта, субстанции
антитезы. В пределах самой идеи

действительности,

можно различать идею и

и вещи,

можно

различать

разные степени

действительности, т. е. прежде всего устанавливать различие идеи

факта. Так, например, строительство какого-нибудь здания,
какого-нибудь водопровода, канала и пр. есть, несомненно, нечто
действительное, а не идеальное; это есть сфера фактов и субстанций,
а не идей и чисто смыслового функционирования. И тем не менее
в строительстве мы различаем инженерский проект, план, чертеж,
с одной стороны, и физический труд рабочего, осуществляющего
с другой стороны. Не нужно быть особенно глубоким
этот план,
философом, чтобы здесь [увидеть] простую диалектическую триаду:
и

—

проект, план, чертеж есть идея, смысл, сущность строительства его
тезис, физический труд рабочего есть факт, субстанция, явление,
—

действительность строительства
законченная

постройка,

ком осмыслился и

его антитезис, и, наконец, сама

—

где целиком осуществился проект и цели¬

оформился труд рабочего, постройка, которая

просто идея постройки

не есть ни

она есть

материальная масса,

уже

и ни

просто

синтез

ее вещественная и

тезиса и анти¬

указанных

тезиса.

с) Вот

точно так же можно

идейности

—

в

пределах

различать

самого

возможны свои триады, свои более

более конкретные структуры.

положительному числу
к

конкретному,

от

мы

голого

смысла

и

и

разные факты смысла,
самой

абстрактные

С

переходом

от числа просто

раз двигаемся

как

абстрактного

Тут тоже
абстрактные,

идеи.

и менее

числа,

от

о

к

абстрактного
котором

еще

ничего пока нельзя сказать, кроме того, что оно есть просто число
натурального ряда, к тому конкретному пониманию числа, которое

будет граничить уже

с

переходом

в

сферу

механики и

физики.

И

все-таки эти разные степени идеальности и конкретности, все эти
диалектические триады осуществляются пока еще в пределах самого
же числа, т. е. в пределах самой же идеи, и мы еще не переходим тут
из

сферы

математики ни в

говоря уже

сферу

механики, ни в

о дисциплинах еще более

натурального ряда,

сферу физики,

но все еще чисто числовое же, а не иное.

457

не

конкретных. Это инобытие

V. Переход к специальной теории числа

Итак,

3.

положительное число есть акт полагания числа, или

сфере чисто же числовой. Или: по¬
утверждаемый в
сфере самого же числа; это смысловая субстанция, идеальная осуществленность числа в сфере инобытийно-числовой.

число как

факт

и

субстанция

в

ложительное число есть числовой тезис, тезис,

§ 92. Ь) Отрицательное

число

Так же не составляет большой трудности
тельного числа, хотя
ется

анализу

и не

уже тут

и

категория отрица¬

есть кое-что такое, что не

сразу подда¬

точной

Что отрица¬

сразу фиксируется

в

формуле.

тельное число есть антитезис положительного, это как
само

собой

общее

без

всяких

формальное

и

затемнить и не
в основе

будто ясно

дальнейших пояснений. Однако

слишком

понимание диалектического метода способно

развить некоторые существенные моменты, лежащие
числа. Их мы сейчас и

категории отрицательного

постара¬

емся вытащить на свет диалектического сознания.
1.

лу,

Отрицательное число противоположно положительному чис¬

как

отрицание противоположно утверждению. Но

ние есть

утверждение факта

и

субстанции (ибо

если

всякое

утвержде¬

утверждение

чего-нибудь), то отрица¬
ние есть отрицание факта и субстанции. Далее, это отрицание фак¬
и полагание есть

утверждение

та может быть или

и полагание

абсолютным,

рицается абсолютно,

или относительным. Если

то вместо бытия мы

факт

от¬

получаем просто небытие,

пустоту, нуль. Этот случай отрицания малоинтересен; и, кроме того,
он не есть то

Здесь

отрицание, которое

относительное

просто отрицается,
тут вместе

но

мыслится в

отрицание, потому
отрицается

с

отрицательном

что

отрицаемое здесь не

некоторым

и

отрицание,

и

что тут еще

нет ничего

оригинального

числе.

своим

сохранением;

некоторого рода утверждение. Заметим,

конструкцией диалектической триады.

по

сравнению

с обычной

В диалектике мыслится не

просто одно абсолютное отрицание, которое тотчас же привело бы
к нулю всю диалектику, но одновременно и относительное отрица¬
ние, являющееся в силу этого переходом от одного диалектического
члена к другому. Итак, отрицание, данное
есть

отрицание не абсолютное,

в

отрицательном числе,

но относительное.

2. В чем же оно заключается? Полагание и

лагание

факта,

есть род

как бы некоей вещи,

противополагания,

а

утверждение

действительности,

и

факту противоположна
458

есть по¬

отрицание
идея

факта.

§ 92. b) Отрицательное
Как

число

факт есть инобытие идеи, так идея есть инобытие факта. Если те¬
фактичен; и если тезис указывает на факт,

зис идеален, то антитезис
но антитезис

—

Стало быть, тем
идеальное

на идею. В нашем
самым дан

инобытие.

Другими

относительное, т. е. если оно

нением, оказывается

идее).

—

этом

с

некоторым

(а [есть]

факта

в его

пункте, однако,

сохра¬

в

идее,

его

его в идее, в его

отрицательном числе,

чисто

по¬

факт (отрицаем

(утверждением

его

не толь¬

относительное) отрицание,

есть тем самым некое новое

этого

своим

время утверждением идеи факта,

Итак, отрицание, данное

наоборот,
5. В

факта, и притом в
отрицание факта, если оно

словами,

факта.
факт), и сохраняем

утверждение

инобытие

Мы тут сразу и отрицаем

ко не есть абсолютное

но,

в

отрицается

в то же

лаганием идеи
как именно

случае имеется отрицание факта.

переход

утверждение,

а именно

в его смысловой значимости.

легко сбиться с диалектического

пути

и

спутать весь логический анализ типов числа. Именно, то утверждение
числа в идее,

которое

полагается

не есть абсолютное его

отрицанием, очевидно,

утверждение

в идее. Если

опять-таки

бы это было так,

то данная диалектическая стадия числа ничем бы не отличалась от
того изначального чистого понятия числа, которое

ше,

и

отрицательного

и даже положительного числа.

само по себе, число просто,

мы имели

рань¬

Это было число

и никакой новости оно в

себе не содер¬

жало бы, несмотря на наличие уже двух новых больших категорий

утверждения
в

и

отрицания. Очевидно,

отрицательном

гак и

числе мыслилось не

порождаемое

числа

этим

отрицанием

что как само

абсолютно,

т. е. в нем как-то

абсолютным,

сохраняется

и

с этим

указание

утверждение

отрицанием) об¬

но относительным

характером,

на стихию действитель¬

ности числа, на

факт и субстанцию

ложительна и не

отрицательна; и, оперируя

ровно ничего нельзя определить

но относительно,

новое идеальное

(вернее, утверждение, тождественное

ладает опять-таки не

отрицание

—

числа

числа. Чистая идея числа не по¬
понятием чистого числа,

и понять в

Точно так же надо сказать, что и чистый

отрицательном

факт

числе.

числа, свидетельствуя

о его положительности, т. е. положенности, ровно ничего не гово¬
рит об идее числа, не переходит, само в себе взятое, в идею числа и,
следовательно, тоже ничем не помогает при анализе понятия отри¬
цательного числа.

—

Итак, отрицание, данное

ле, не только есть некое

утверждение

утверждение

в

отрицательном

есть еще и относительное, а не абсолютное

459

чис¬

этого числа в его идее, но это

утверж¬

V. Переход к специальной теории числа

дение, т. е. такое идеальное утверждение, которое

утверждением

в

действительности,

на

связь с

сохраняет

факте.

4. Остается, следовательно, проанализировать характер самой
связи

этой

ности, с

идеальной утвержденное™,

фактической утвержденностью,

или

смысловой

положен¬

или положенностью, связи,

осуществленной при помощи отрицания факта. Что это за связь? Со¬
вершенно ясно, что отрицательное число не есть ни число просто,
ни отсутствие числа. В первом случае оно не отличалось бы от абсо¬
лютного числа, во втором
такое полагание числа,

—

оно не отличалось бы от

которое указывает

отрицание, которое указывает
ло есть идея числа

(и

но это есть идея не

в этом смысле оно

просто числа,

мым сюда сводится момент,

бытию). Отрицательное
развивается

быть,

принимается;

небытия

указывающий

факта),

этим са¬

или

Отрицательное

отодвигание его

разрушение), отбрасывание

в

одной простой идеи

числе мы не

отрицательном

не вос¬

принимается,

отстраняет его, отбрасывает

число есть, но мысль

динамическом моменте и заключается весь

в

число есть

сторону (не

сторону

и помеще¬

его. В этом силовом,

секрет отрицательного

уничтожаем

число

(повторяю,

бы, что всякое отрицательное число равно нулю), а толь¬

отстраняем его

Когда

(и

на какое-то отношение к

число есть, но оно не

—

ние на его место только

ко

числа как
числа

число есть идея небытия числа. Мысль здесь

положительного числа,

уничтожение

это значило

и такое

Отрицательное чис¬

отрицание

но идея

его от себя или отталкивается от него.

числа. В

отрицание,

мы

зрения, сдвигаем

с поля

с плана

производили утверждение числа,

чивали некое мысленное

усилие,

и

фиксируемого.

мы ведь тоже

затра¬

осуществлялся некий смысловой

некая смысловая теория числа. Число как идея и число как

акт,
есть

есть

как бы в таком направлении: это число должно было бы

но его нет; или

отрицание

на его

на его полагание.

нуля. Это

разное; чтобы получить число как факт, надо как бы

эту идеальную природу

факт

насильно

числа притянуть к стадии материи, как бы

ней, затратить своеобразную «мускуль¬
ную» силу, чтобы придавить эту смысловую печать к материи. Такую

положить отпечаток числа на

же

«силу» надо затратить

Только в
ли

получения отрицательного

первом случае мы, утверждая

бытийную

нее,

и для

число как

факт, припечатыва¬

стадию материи и отталкивали всякое

сами отталкивались от него, оттесняли

числа.

инобытие, вер¬

инобытийную

стадию

материи, чтобы осуществить число как бытие, или, что то же, что¬

460

§ 92. b) Отрицательное число
бы осуществить материю как бытие. Во втором же случае, утверждая
число как отрицание числа, отрицая число, получая отрицательное

наоборот,

число, мы,

снимаем

смысловую

печать с

материи,

и она

уходит, расплывается из-под нашей печати, теряя очертания этой
печати,

бытие,

этого числа, оттесняем от этого числа его

ваем это

стороны,

бытие,

как бы насильно

оставляя на его месте

Отрицательное число,

таким

энергийное отстранение

расталкиваем

его

полную пустоту

образом,

и

руками

в

разные

отсутствие бытия.

есть, как идея небытия числа,

положительного числа; это

тия числа, становление числового

отталки¬

инобытия,

энергия небы¬

становление инобы¬

тия числа.

5. Следует помнить,
ли понятия

что все высказанные нами только что дета¬

отрицательного

числа есть не что иное, как самые

новенные детали всякого диалектического момента,
как антитезис. Не только в

применении

как антитезису положительного числа,
лектике, где мы только

относительного

но

к

именуемого

отрицательному числу

решительно везде

в диа¬

наличны эти моменты

встречаем антитезис,

отрицания,

обык¬

относительного

относи¬

утверждения,

тельного бытия и относительного небытия и, наконец, активного
становления бытия инобытием и небытия

энергийная

—

взаимосоотнесенность бытия с

бытием. Это

небытием,

и есть та

идеи с

фак¬

том, которая является основой диалектического метода и, в частно¬
сти, диалектической триады. Всякое инобытие есть
ное отрицание

3)

бытия, 2)

активное становление

1)

относитель¬

относительное полагание бытия в идее и

отталкивающее от себя и как

инобытия,

бы расталкивающее в стороны всю

бытийную

стадию действитель¬

ности.
6.
ли

Поэтому будет

отрицательное

вполне точно и достаточно, если бы

число как

просто

определи¬

антитезис положительного

числа.

Отрицательное
числовой,

число есть число как инобытие в

активно становящееся отрицание числа

—

в

сфере чисто
сфере чисто¬

го же числа.
Можно было бы и не

тратить тех

немногих слов,

требили для характеристики отрицательного

Однако обычное сухое, формальное
трактование диалектического
линный

смысл

и

числа.

461

мы

упо¬

числа как антитезиса.

безжизненное понимание

антитезиса могло бы

отрицательного

которые

и

затушевать под¬

Поэтому, определяя

послед¬

V. Переход к специальной теории числа

нее как антитезис положительного числа,
нить все

необходимо твердо

и живые смысловые токи,

существенные

пом¬

пронизывающие

всякое инобытие и всякий антитезис.

§93. с) Нуль
1. Что является
числа?

Ведь

явственно

и

положительного

этот синтез так же

предощущается,

цательного

отрицательного

элементарно необходим

и так же

как и наличие положительного и

отри¬

числа. Не может не быть такого единства, и мы должны

пересмотреть
ла,

синтезом

сферу

всю

который бы

математики с целью найти такой тип чис¬

адекватно соответствовал этому синтезу. Конечно,

нужно и здесь понимать этот синтез не сухо и скучно, как неизбеж¬
ное зло, насильно навязанное извне. Надо его понять как подлинно
жизненную и мыслительную

Тогда

основы самого бытия.

ра забьется
те ее

как живое

тайны, которые

потребность,
и

как

логику внутренней

соответствующая

числовая

существо диалектической мысли,

не известны ни

антидиалектически, ни

структу¬

и выявятся

философу, подходящему к

математику, подходящему

ней

к ней технически-

вычислительно.
2.

а) Попробуем ясно представить себе этот синтез как таковой

сначала без

применения

к

числу. Тут тоже совершенно простая

—

и эле¬

ментарная диалектическая категория, которую, однако, приходится
растолковывать ввиду обычной
сюда людьми,

которым чужда диалектика

но живой метод
диалектике

неясности и

философии.

вообще

формализма, вносимых

как

подлинный

и

внутрен-

Что такое синтез вообще? Синтезом

называется

категория,

в

которой

в

совпадают и

сливаются до полной неузнаваемости тезис и антитезис. Тезис и ан¬
титезис настолько проникают друг друга, настолько
что

получается

тором уже

объединяются,

полное и абсолютное их тождество, тождество, в ко¬

нельзя

различить тезиса и

ют в этом синтезе

антитезиса, хотя они

содержаться. Для всякой пары

надо поискать такое слово,

продолжа¬

тезиса и антитезиса

которое бы, обозначая искомый синтез,

совместило бы в своем значении и смысл тезиса, и смысл антитези¬
са. Если иметь в

синтезом не

факт (или факт и идею) как тезис и анти¬
простейшим синтезом этих двух категорий,

виду идею

тезис, то ближайшим и

вообще,

категория границы.
здесь подробно; для

и

но именно диалектическим синтезом,

будет

Не стоит, конечно, об этом распространяться
полного и точного уяснения диалектического

462

§93. с) Нуль
смысла этой

дам
без

категории необходимо обратиться

по диалектике.

Здесь

общим тру¬

к более

мы напомним только самое

существенное,

категория потеряла бы всякое значение.

чего эта

Ь) Почему граница

инобытия,

есть синтез идеи и ее

или идеи и

факта, или, выражаясь в самой общей форме, бытия и небытия. Бытие,
осуществляясь, отличается,

сформулированность, при

бытию,

т. е. с

определенность, т. е.
предела, границы. Определить

ограничить, ибо без

бытием,

инобытием,

и

определяемому

не может состояться и

сация того, что входит в определяемое
яться само

точного прове¬

не относящимся к

небытием,

с

и как только

бытие получает

помощи

для диалектики всегда значит
дения границы со всем

небытия;

отталкивается от

это отличение заканчивается,

бытие,

фик¬

т. е. не может состо¬

определение. Итак, граница, определенность

есть

первый

ближайший законченный результат синтезирования бытия

и не¬

бытия. Но если это так, то совершенно бесполезно ставить вопрос
о том, к чему относится граница

затрудняются вопросом о том,
ность круга,

—

к

самому

ли

к

—

кругу

или к

окружающему

окруж¬

фону. Туг

границы и, следовательно,

потеряет определенность. 2) Граница бытия

личия

его

что она есть момент самого

бытия. Иначе бытие окажется лишенным

потому

т. е.

решение вопроса. 1) Граница бы¬

потому граница бытия,

что создающее

небытию. Часто

чему относится граница,

может быть только диалектическое
тия есть только

к бытию или к

эту границу

небытию,

относится к

есть именно

небытие,

и

без на¬

небытия не было бы ничего, от чего бытие отличалось бы, т. е.

не было бы самой границы. 3) Граница бытия не относится к бытию,
потому что бытие есть само еще только то, что нуждается
нии и

тия

ограничении,

потребовало

и внесение

границы бытия

бы¬

бы наличия еще новой границы для определения
в состав самого

бытия не относится к инобытию,

или

потому что,

недрах

определе¬

в состав самого

бытия, которая уже не входила бы

части,

в

инобытия,

составляя часть
и не выходила

небытию,

инобытия,

Граница

она и оставалась бы в

бы для встречи с бытием

ограничения. Следовательно, граница бытия

есть и

и для его

бытие,

и

небы¬

ни

небытие,

и все это

однозначном употреблении

всех этих

терминов. Граница потому

тие и не есть ни

есть синтез

бытия

бытие,

бытия. 4)

и не составляет его

и

небытия,

—

при совершенно

и ни то, ни это. Такова природа и всякого диалектического синтеза
в отношении

и

что она одновременно есть и то, и это

соответствующих

тезиса и антитезиса.

463

—

V.

3. а) Какое
ницы

Переход

к

специальной теории

число в математике

числа

соответствует этому

понятию

гра¬

как диалектического синтеза, если под тезисом понимать по¬

ложительное число, а под антитезисом

отрицательное?

Таковым

утверждения

отрица¬

—

числом является нуль.

Нуль

есть тождество полагания или

ния, диалектический
числа

—

синтез положительного и

границы, отделяющей

в смысле

и

отрицательного

положительные числа от

одинаково и

предела,
одновременно как
относящегося к той и другой сфере, так и не относящегося ни к
той, ни к другой сфере, а представляющего совершенно отдельную,
самостоятельную и оригинальную категорию.
и в смысле

отрицательных,

Ь) Что нуль
нальная

есть

истина

в математическом смысле

граница

это ба¬

Но

учебников.

школьных

элементарных

—

необ¬

ходимо понимать это не только математически, но и чисто ло¬
гически, т. е. диалектически. В

граница между

арифметике

положительными

чисто счетном смысле.

и

или

геометрии нуль
числами

отрицательными

—

в

того, во всех подобных рассуждениях

Кроме

у математиков звучит всегда нотка условности, необязательности.

Утверждают,
координат
влево
х и
не

—

отрицательные,

у равно нулю. В

условились так,

числами
может.

лежит

что

основание

отрицателен

между

центра

быть,

бытия

отрицательными

иначе

и в то же

в их четком

нуль

время

между

и что этот

в

к

—

быть

и

не

неотстранимо

этому предмету.

положительным

и

и положителен,

нуль

синтезировании

разграничении. Он

и

и

не положителен, и не

бытия, факта,

положительного числа

прикасаться

что

таково,

числом лежит

синтез числа как

но

значение

условности. Вовсе

нуля как границы неизбежно

Диалектика нуля заключается
стало

от

центре координат

положительными и

как только она начинает

отрицательным
и

и что в самом

логике не может быть такой

граница, именуемая нулем,

Наличие

для мысли,
Само

условились так, чтобы вправо

что просто

по линии х-ов отсчитывать положительные величины, а

отрицателен.

сфер и,
твердый

этих двух

устойчивый

и

как положенного и, следовательно,

числа

как

небытия, инобытия,

идеи как

отрицаемого и, следовательно, отрицательного числа.
4.

Одним

тике не как

из

простого отсутствия

А°=\. Если еще
принимать

лучших подтверждений понимания нуля

в таких

всякого бытия является

равенствах,

как А*О

(до некоторой степени)
464

как

=

ОиО*А

отсутствие,

=

О,

в матема¬

равенство

можно нуль

то в этом

равен-

§ 94. а) Целое

число

возникает только

стве единственная возможность осмысления

при

ап
толковании его

как

—

=

1. Никакого другого смысла это равенство

а"
не содержит Но такое понимание (а"~"
ет о том, что

нуль тут берется

жительными и

и

бытия,

но

я”)

как

свидетельству¬

q=A

Тут

поло¬

Нельзя иначе понять и

числами.

нули

—

не

равновесие между определенными

отрицательными

и

раз

равновесная граница между

отрицательными

«неопределенное» равенство
кого

как

=

отсутствие

вся¬

положительными

величинами.

2. ВНУТРЕННЕЕ ИНОБЫТИЕ

§ 94. а) Целое число
Положительное число, отрицательное число и нуль

элементарная триада чисел, первые три

перейдем

ко

рую

на первых

и отдельно

между

первая

вообще. Теперь

второй триаде. Эта триада непосредственно связана ди¬

алектически с первой триадой

Однако

типа числа

—

этими

и есть ее естественное

порах целесообразнее

третью триаду

—

продолжение.

изложить отдельно вто¬

с тем чтобы

уже

потом

установить

тремя триадами всестороннюю диалектическую

мозависимость.

взаи¬

Тут необходимо получить только первые члены этих

двух триад, чтобы последние

не повисли в

же взаимозависимость их выяснится после

воздухе. Всесторонняя

формулировки

их эле¬

ментов.

1. Положительное число есть полагание числа как числа, числа,
взятого целиком, числа как такового. Мы уже должны знать из общей
диалектики о различии внешнего и внутреннего инобытия. Когда ка¬
тегория полагается как таковая и, следовательно, противополагается
всякому внешнему инобытию, то, очевидно, действует здесь внешнее
инобытие, идея перешла во внешнее существование,
ваться

судьбы

ее вовне. Но

внутри себя самой, когда

существовании

и

категория

может

превращении

факт.

будут исследо¬

претерпевать полагание

не ставится никакого
ее в

и

вопроса

Можно

в

о ее внешнем

пределах самой

будем получать
внутреннее содержание,
в идее (или в факте, если речь идет о факте),
различия
внутренние
судьбу не самой идеи в ее субстанции во внешнем мире, но судьбу ее
и мы

же идеи полагать ее

отдельных частичных моментов

внутри

465

нее самой.

V.

Переход

к

специальной теории

числа

Ь) Всякое инобытие есть принцип оформления и, следовательно,
делимости. И
для нее

внешнее

субстанцию, впервые

ние идеи, в то
и

время

факт,

но

факт

и это

не ее

как к самой идее эти

самой,

а

идею в

факт и

также

факт оформления

ее

превращает идею

фактичности;

дробным, делиться.

и покамест это полагание

Положитель¬

ние остается

уже

Когда

не как полагание, а как полагание для

от этого полагания в

инобытие,

число становится

сторону,

как

то мы имеем уже не полагание, а

как

это полага¬

отправления

который

на

предел,

субстан¬

выдерживается

таковое, число остается положительным числом.

наскакивает

отрицание,

и

отрицательным. Попробуем формулировать ре¬

зультат такого же полагания
лагания и

в

внутреннего содер¬

ное число есть полагание числа как числа в его числовой

внешнее

дробле¬

операции неприменимы

внутреннее содержание впервые получает возможность

быть целым и, следовательно, быть

ции и

создавая

делает возможным деление и

Внутреннее инобытие

бессмысленны.

жания;

инобытие, превращая

и

отрицания внутри

самого числа, по¬

отрицания внутреннего содержания числа,

его

внутренне¬

го инобытия.

а) Итак,

2.

число еще не положено как таковое, но также еще ни¬

чего не сказано и о его
это

внутреннем содержании. Мы

внутреннее содержание,

числа, без которого
(ибо

это

содержание

женное

нии,

субстанция

Пусть

независимо от того,

число есть некий

круг

внутреннее инобытие).
положено ли оно как

или нет, начинает мыслиться нами как поло¬

число в его
его

содержится внутри

как катится этот

теперь

внутреннее инобытие

внутреннее содержание

и есть не что иное, как

внутри себя. Мы созерцаем

в том, что

всего

прежде

невозможно никакое

Следовательно, число,
внешняя

т. е.

полагаем

круг

или

или некий

шар,

т. е.

внутреннем содержа¬

резко очерченной границы.
шар. Мы

можем

наблюдать путь

наблюдать,

его движения, его

судьбу, не обращая никакого внимания на его очертания,
цвет, форму, на то, что на нем нарисовано. И мы можем на¬

внешнюю
на его

блюдать

и

анализировать самый

его внешней

судьбы, т. е.

этот

круг

отрицательном

нии покоя или движения, без

Когда

мы

числе и о нуле, мы

число именно в виде этого как бы

ное

шар

независимо от

независимо от того, движется ли он или по¬

коится, и если движется, то как именно.
жительном или

или

круга

или

обращения

о поло¬

представили себе

шара,

взятых в состоя¬

внимания на их собствен¬

содержание, окраску, запах, твердость

466

говорили

или мягкость и

пр. Теперь

§ 94. а) Целое
мы

рассматриваем

бываем,

число в его

число

внутреннем инобытии

положено ли оно, или <...>* или оно ни то и ни

за¬

потому

другое. Одна¬

внутреннего инобытия происходит тут у

ко полагание

числа-, число же, как мы знаем, совершенно
всякого

и

и

содержания

нас в сфере
формально в отношении

абсолютно пусто от всякой вещественной на¬

полненности. Стало быть, речь идет о полагании количественного
счетного содержания. С другой стороны, пока идет речь о полагании
внутреннего инобытия просто, пока еще нет никакого перехода
стичным моментам этого

содержание
ния в него

инобытия,

числа целиком, все его

каких-нибудь различий.

числом и какой тип числа мы здесь

Ь)

Число

содержание
содержание

1)
—

взято

виду

все

внутреннее

внутреннее инобытие без

внесе¬

Что же делается в таком случае с

получаем?

положено в своем
чисто

мы имеем в

к ча¬

внутреннем содержании, 2)

количественное,

взято

нерасчлененно,

3)

и

это

это

количественное
как чистый

как таковое,

принцип внутреннего инобытия без всяких дальнейших усложнений
и детализации.

Все это создает совершенно новую категорию числа,

а именно категорию целого числа.
3. Что такое целое число

и что такое

целость вообще? Заметим,

что целость есть, несомненно, понятие числовое, так что для на¬
ших целей почти достаточно было бы говорить просто о целом, о
целости. Целость

и целое число

—

почти синонимы.

смысл вкладываем мы в эти слова и совпадет ли наш

вывод целого

связана масса

щих также

обычным,
и

целого числа

пониманием

исходивших

числа с

ненужных

часто и

и в

и

целого

вообще? С

в

житейским,

понятием

нам сейчас воспоминаний из

раньше

истории философии
Их

же

диалектический

математическим, и

современной философии.

обойти молчанием,

Итак, какой

целого

споров, про¬

и не

мы должны

ослабеваю¬

совершенно

так как масса высказанных в этой области мне¬

ний способна только затемнить ясный и

простой

ход нашей диалек¬

тической мысли. Отметим то, что мыслится и «чувствуется» всяким и
каждым при

употреблении

этих

простых

слов

—

«целое», «целость»,

«целостность» и пр.

а)

Мы не ошибемся, если, во-первых, скажем, что «целость» есть

характеристика именно внутреннего содержания вещи. Что значит,
что это стекло целое? Это значит, что оно не

*

Пропуск строки

в тексте

(реду
467

разбито.

А что значит,

V.

Переход

к

специальной теории

Это значит, что, рассматривая его по

разбито?

что это стекло не

числа

его поверхности, т. е. скользя взглядом

формы (на¬
пример, четырехугольной),
встречаем трещины и ни¬
где не встречаем такого факта, который бы преградил нам непо¬
в

пределах

его

мы нигде не

средственное скольжение взгляда от одного края стекла до друго¬
го. Но что значит скользить взглядом по поверхности стекла

очертаний?

Это

значит

фиксировать

в

пре¬

делах

его

судьбу

стекла, когда оно, скажем, переносилось бы с места на ме¬

не

внешнюю

сто, вставлялось бы в раму и т. д., а его внутреннее инобытие,

фик¬

между его пределами, границами, в его

сировать то, что содержится

очертаниях. Чтобы мыслить себе шар целым, целость шара, надо
уже отвлечься от того, покоится он или движется, и надо сосредо¬
точиться на его внутренних, ему как таковому присущих свойствах.
Это, кажется, вполне ясно и

убедительно

без дальнейших доказа¬

тельств.
Ь) Что еще, во-вторых,
понятием

содержатся
что же,

и

в ней в

мы

«шар» уже

а мы знаем, что есть

свойство. А раз так, то,
самое

число

находящееся внутри
за свойство? Оно

вещь,

мы

или

«шаровость»,

«целый

время

вещи,

бы разлитое
как бы

но

в их

некое

их

свойство,

пределах. Что

разлито

не есть сама вещь.

по

же это

всему числу

или

Но, фиксируя целую

Значит, фиксируя

фиксировать самую

то самое, что мы

обязательное

целость числа и вещи, мы не

самое

целость

вещь; и то, что «разлито»

внутри вещи, есть сама же она, эта самая вещь. Что же

получается

и

и вещи, но не есть их

что это именно вещь.

вещи, мы продолжаем

которые

очертаний, и

говорим «целый шар»

различаем «целость»

фиксируя

действительно

говорили,

мы

и

с

шары разбитые, расколотые. Итак, целость

их и как

по всей вещи и в то же

жизни

значило бы тем самым сказать и

может быть свойственна числу

фиксируем

обыденной

в

в тех ее качествах,

тут фиксируем? Раз

то мы, очевидно,

иначе сказать

шар»,

соединяем

пределах свойственных ей границ

собственно,

«шар просто»,

ибо

мы

целого? Мы фиксируем вещь

получается? Да

формулировали выше, выводя категорию

целого числа: это есть число,

в котором

произошло полагание

его самого внутри его же самого, т. е. полагание его внутреннего
содержания. Когда вещь положена внутри себя самой, это значит, что
положено ее внутреннее содержание, а когда положено внутреннее
содержание вещи, это значит, что вещь взята как противоположность
себя самой, т. е. взята вещь как бы в действительном числе, и эти две

468

§ 94. а) Целое
вещи опять положены как одно.

треннее инобытие

Это

число

и значит, что мы

вещи или числа, полагаем вещь

внутреннем инобытии

внутри самой
ливаем» ее

и[ли]

число в его

самому себе. Полагаем внутреннее инобытие

т. е. то, что не есть сама вещь, но в то же

вещи,

фиксируем вну¬

время

полагаем его

же вещи, т. е. отождествляем с самой же вещью,
ее же

внутри

самой;

и

потому

—

«раз¬

возможность

получаем

судить, целая вещь или не целая.
Пока

бралась

себе,

вещь сама по

се целости, а если и знали, то знали

не

этой

возведя

сознания. Но

целости

теперь

с нею же

еще

не

знали

ничего

бессознательно, интуитивно,

специально

сознаваемую категорию

сделать? Для

самой;

и если

будет

этого надо

с[опос]тавить данную

тождество, вещь

—

целая, а если

этого тождества в результате сравнения не установится, вещь
целая.

об

мы хотим знать, целая эта вещь или не целая и

что же для этого надо

вещь

в

мы

Однако, чтобы сравнить

—

не

вещь с нею же самой, надо отличить

ее от нее самой. А отличить вещь от нее же самой можно только,
говоря

грубо, сделавши новую вещь как полную копию данной

вещи;

тогда получится две одинаковые вещи, и мы можем их сравнивать.
Но «сделать» другую вещь по

образцу данной

что мы в диалектике называем «положить»,

ясно,

что

суждение

[ли]

о целости вещи и

только тогда, когда вещь или число

3) внутри

новая вещь или число, но

1)

вещи

—

и значит то,

«утвердить» вещь. Значит,

числа может

осуществиться

2)

положено как

положено,

самой же вещи или числа. Тогда

можно сравнивать вещь с нею самой и можно узнать, целая она
или нет.
с) Наконец, в-третъих, всматриваясь

в

самое

обычное сло¬

воупотребление, мы замечаем, что целой мы называем такую вещь,
в которой не только просто произведено нами сравнение ее с
нею же самой, но в которой эта новая вещь, эта положенная вещь
(благодаря полаганию которой и стало возможно сравнение)
целикам отобразила в себе первую, первообразную вещь. Вот перед
нами шар. Допустим, мы еще не знаем, целый он или нет. Что нужно
для решения вопроса

о

целости? Нужно пробежать

пальцами по поверхности
мы мыслим в момент

ности

шара?

шара

и

пробегания

или

глазами или пальцами по

поверх¬

Мы тут как бы прикладываем к нашему шару мысленную

мерку гладкого и целого шара и
ствительно

убедиться, целый

глазами

он или нет. А что

целый. Стало быть,

в

убеждаемся,

что

данный шар дей¬

процессе установления факта цело¬
469

V.

го

Переход к специальной теории

шара играют роль три момента: 1) шар

ковой, идеальный шар

2) шар

и

как

как

числа

первообраз, шар как та¬

отображение, фактический шар,
3) этот второй шар

положенный шар, шар как инобытие, причем
вполне отождествлен с

бытие,

первым, установлено,

что хотя он и есть ино¬

повторяет свой первый образ.

но это инобытие полностью

Произошло отождествление шара с самим собой,
полное: как

идеальный шар, будучи шаром

себе, шаром просто,
сам по

себе, шар

Так уже

—

себе, шаром

тоже есть

есть шар

отображенный
как

самим по

просто, шар

и положенный

шар, это

и зна¬

употребление

слова

шар просто, шар

целый.

самое обыкновенное и житейское

указывает

«целое»

в

отображенный шар

как шар. Вот когда

шар, оказывается,
чит, что он

так и

и отождествление

с

очевиднейшей

и

полнейшей необходимостью,

что наш диалектический вывод категории целого числа был элемен¬
тарным
бою из

и

простым

логическим

простейших функций

4. Целое

построением, возникающим

число есть, следовательно, число, в

тие положено

внутри

сам со¬

самого понятия числа.

его же самого

при

его

котором

полном

инобы¬

отождествлении

этого инобытия

числа с самим же числом. Или: целое число есть

субстанциальное

тождество

числа с самим

для себя оказывается своим собственным

На основании этой
его

особенностей,

формулы

имманентно

собою, когда

содержанием.

целого числа можно вывести ряд

ему присущих

и выявляемых лишь в

результате предлагаемого здесь диалектического

а)

оно само

анализа.

Можно сказать, прежде всего, что 1) понятие целого числа

есть категория символического порядка. Под символом в самом об¬
щем смысле необходимо понимать смысловую структуру, которая
обладает по

крайней мере двухмерным характером,

т. е. таким, ког¬

да даны два смысловых плана, отождествленных в один. Понятие
целости есть

поэтому категория

отвлеченно и самостоятельно,

осуществления, осуществления
ных

пределах

и

же самой дается

границах,

тут

и эта

с полной

символическая.

рассмотрена
—

в самой же

Здесь идея,

себе,

в своих

осуществленность идеи

адеквацией,

взятая

с точки зрения своего

так что в

в

собствен¬

недрах

нее

осуществленном

целиком осуществилось осуществляемое. Это, несомненно, один
многочисленных типов символических

ние сюда

термина

из

структур вообще. Привлече¬

«символ» очень важно, так как с символом связана

вполне определенная диалектическая система

470

категорий, которую

§ 94. а) Целое
излагать

которая достаточно известна тем,

но

тут неуместно,

число

кто за¬

историей диалектики.
Ь) Далее, ясным становится из предыдущего, что 2) целое как та¬

нимался

ковое совсем не зависит от своих

частей,

ставляется из
и

впервые делает

у

нас как

частей,

что целое не только не со¬

но в смысловом отношении

предшествует им

их возможными. В самом деле, целое

результат отождествления вещи

с самой же

получилось

собой.

Тут

еще

нет ровно никакого разговора ни о каких частях ни вещи, ни чего-

нибудь другого. И ясно, что мы, еще не зная, что такое «часть», уже по¬
лучили категорию «целого». Целое
собой.

Целое

число есть число, в

само в виде некоей

кости».
этого

размытой

Тут
первообразного,

нет никакого

«наполненного» числа.

дробления,

примем,

с) Не

в

пор

сосуде, налито оно же

массы, в виде некоей смысловой «жид¬
ни на

какую

«часть» ни

«отображенного», «размытого» или
Правда, тут впервые возникает возможность
существования частей,

но еще нет самого

раздельных «частей». Диалектика

нового логического шага,

но до сих

как в

реального указания

и нет никаких

содержится

котором,

ни этого

возможность

дробления
требует еще

это заполненность вещи самой

—

мы еще его не

который

«части»

мы сейчас и

предпринимали,

пред¬

и он никак не

самого понятия целого числа.

конструкции

мешает также все

время

помнить все

фундаментальное

отличие целого числа от положительного числа. Это отличие, как,
впрочем, мы
и

внешнего

уже хорошо знаем, 3) сводится
инобытия числа,

или

к

различию внутреннего

сущностного (смыслового)

меона, к различию

фактического, материального
«реальной» материи, внутреннего
Когда

мы

полагаем

тут забываем,
его

и внешнего самоотождествления.

мы

внутреннее содержание; грубо говоря,

мы

и

получаем

положительное

из скольких и каких единиц оно состоит; забываем

внутриколичественную, счетную простоту. И

«плюс»,

приставленный

к

в самом деле, знак

какому-нибудь числу, привносит

новую особенность, отнюдь
его изменения

«идеальной» и

число,

число

закрываем глаза на его

и

в

него

не в смысле того или иного счетного

(например, увеличения

или

уменьшения). Новое,

что

привнесено сюда знаком «плюс», касается всецело судьбы этого чис¬
ла вне всякой зависимости от его счетной величины. Новое
тот новый

wjwb,

по

некое поле внешнего

число.

Именно,

тут есть

которому призвано двигаться данное число,

инобытия,

по

это есть поле, на

т. е.

которому должно двигаться это

котором данное числоутвержда-

471

V.

Переход

к

специальной теории

числа

ется, полагается, насаждается и таким

образом прибавляется ко
другое
Тут мы, наобо¬
всему,
на
глаза
на
внешний
рот, закрываем
путь числа,
судьбу его во внеш¬
нем инобытии, игнорируем вопрос о том, что оно будет делать с дру¬
что было до него. Совсем

целое число.

—

гими числами, если его пустить по данному пути, и что
ся от этого с ним самим.

Тут

мы

будет делать¬

на самам числе,

сосредоточиваемся

независимо от его покоя или движения, и спрашиваем себя: то ли
это число, каким оно должно

быть

самим собой? И

вот,

мысленного осязания его
есть

действительно

целое число. Таким

быть,

оно ли оно или оно

проверивши его
мы

структуры,

оно само, и

тут-то

образом, будучи

убеждаемся,

мы и

говорим,

дим,

дробному числу

что это число

что

перед

нами

тезисом в смысле полагания его

внутреннего содержания (и противополагаясь,

антитезису),

как

перестало

путем определенного

как мы сейчас уви¬

оно само является антитези¬

сом в смысле перевода нашего внимания с внешней положенности
числа ко

внутренней

тут должен быть

и

положенности его содержания.

свой синтез,

положительного числа и

положенности целого числа.

будет рассуждение

антитезису целого числа

к

судьбу внутренней числовой

Несомненно,

синтез внешней положенности

внутренней

Но об этом синтезе у нас

переходим

—

и

в

дальнейшем,

а пока

проследим диалектическую

самоположенности.

§ 95. Ь) Дробное число
1. Целое число есть тезис. Что же является его антитезисом? Це¬
лое число есть внутренняя самоположенность числа. Что является
антитезисом

внутренней

самоположенности числа?

Напрашивается

сам собою антитезис в виде внешней самоположенности.
на

данной диалектической позиции

это нам

внешней числовой самоположенности
лектическая

триада,

тельное число,

трактует специальная диа¬

нами изложенная выше в виде

недрах

внутреннего содержания

дем диалектическую триаду в
го инобытия числа и не

все того же
числа. Что

получится,

пределах изучаемого

выйдем

ни к

например, катящимся;

к

внутреннего

и вновь

антитезису,

самополага-

если мы переве¬

нами

или

внутренне¬

шар. Круг уже

не

устанавливаемые различия

относятся не к его поведению на той поверхности, по

472

положи¬

какому внешнему становлению?

Опять, для наглядности, представим себе круг
мыслится,

триады:

отрицательное число, нуль. Переходя

мы должны остаться в

ния,

запрещается,

Однако

так как о

которой

он

§ 95. в) Дробное
движется, но всецело лишь к

ко

провести

то или иное

одну

чит отличить

число

нему самому,
на

различие

область круга

к его

представить круг дробящимся,

от

их

сравнивать,

пределах круга

одну часть от другой,

Трактуя дробное

привлечь для

в

инобытие означает здесь

дробному.

числа все те диалектические

отличается антитезис

плодотворность применения
понятия

мы можем

число как антитезис целого числа, мы можем

характеристики дробного

свойства, которыми

зна¬

пределы внутреннего

переход к частям, т. е. переход от целого числа к
2.

—

раздробить целый круг на

т. е. можем вносить инобытие в

содержания круга. Стало быть, переход

это зна¬

оставаясь все время в

другой,

значит

отдельные части. Только отделивши

—

поверхности шара

его пределах. Отличить же «одно» от «иного» в
чит

внешнему виду. Одна¬

отрицательного числа. Это

В том-то ведь и заключается

вообще. Мы уже видели

этого способа

к

анализу

применить

и здесь.

рассуждения

же можно

огромное преимущество диалектиче¬

ского метода, что он обладает исключительной силой обобщения,
конструируя понятия так, чтобы уже самый порядок

их

обнаруживал

периодически повторяющиеся в них свойства, т. е. тот ритм, кото¬
рый является ритмом живой и живущей их сущности. Однако общие
свойства антитезиса

Антитезис

есть

мы

припомним здесь

отрицание,

лишь

вкратце.

факта.

отрицание

Это отрицание,

как мы знаем, относительное, а не абсолютное. Относительное от¬
рицание
та.

Дробь

факта сохраняет факт
по

некоей идеи, в виде идеи

самому существу своему живет

можно лишь целое.

Целое

число

дроблением,

содержится

в

дробном

субстанция факт (как факт оно тут как
идея. Дробь, сама не будучи целым числом,
и

ловая
как

в виде

но

фак¬

дробить

не как чис¬

раз отрицается),

но

всегда указывает на

то, на какие целые части разделена целая единица и сколько таких
частей взято.
но

Ясно,

содержится

что элемент целого числа

лишь в

как идея, а не как

принципе,

содержится

смысловым

в

дробном,

образом, содержится

факт и субстанция. Если целое число прямо утверж¬

дает и полагает свое полное собственное содержание внутри себя, то

дробное

число совсем не в этом находит свою

ществление. Здесь
держании,
от этого
по

а то, что налично

содержания

сравнению

сравнению

с

сущность

и свое

осу¬

налично только как бы воспоминание об этом со¬

и

фактически и субстанциально, есть уход

переход

к

новому. Как отрицательное

число

с положительным есть нечто как бы «идеальное» по

«реальностью» «фактического числа»,
473

так и

дробное

V.

Переход к специальной теории

число есть нечто «идеальное» по

го.

Вернее

же, эти две категории

сравнению
целое и

—

числа

с

«реальностью» цело¬

дробное

находятся во¬

—

обще в состоянии диалектической взаимозависимости: если целое
считать «реальностью», то
ально», то

дробь

дробь

установки диалектики целого

числа; оно
всего

и части, диалектики,

число как бы

необходимо

которую редко

окружает сферу

положительного

как то, что отличает положительное число от

и тем самым его

другого

определяет. Так

быть, требует для себя отрицания,

и целое число,

инобытия, которое бы

определяло бы. Вопрос, однако,

ло от всего иного и тем

в отношении

пределы данной категории (целого)

можем выходить за

к

инобытия

и

отрицания

в

пределах

тому, что граница, отделяющая целое

по

самому

Это

же

целому,

и значит, что целое

го мы

переходим

к

рассекается

к

не

телу,

инобытия, проходит
по его

на части, что от

категории части, дробного. И

«бытие» относится

в диалектике

случае

и должны

ее же самой. Это приводит

от его

по его, так сказать,

чтобы

его отлича¬

целого числа несколько осложняется тем, что мы в данном

искать

«иде¬

правильной форме.

в

Отрицательное

—

«реальна». Это дает правильную позицию для

—

представляют себе

«идеальна», и если целое

—

поверхности.

категории цело¬

так же, как

«небытию», «одно»

к

вообще

«иному»,

так

относится и здесь «целое» к «частям».

3. Формулируем примитивную и элементарную диалектику, воз¬
никающую здесь из общих оснований нашего постоянного метода.
I.

а) Целое

состоит из

частей,

или «целое»

равно «всему»,

всем ча¬

стям, ибо целое тут не что иное, как само же число, а число есть оно
само, т. е. состоит из себя же.
из

частей, ибо

в числе

Целое больше

больше ничего

не из чего составить, как

и нет,

кроме

него самого, т. е.

его частей.

Ь) Целое не состоит из своих частей, ибо само суждение о наличии
частей (часть есть всегда часть чего-нибудь) может состояться
только

делает

тогда,

когда

предшествует им,
оно

представление

частей;

а) Целое

случае

целом.

не зависит от них; и не они его

не

содержится

всякая часть

ни в

Целое впервые

частей,

но

порождают,

но

впервые

одной части, ибо

в

противном

уже была бы целым и, следовательно,

необходимость объединять одну
бом

о

оно не состоит из

их.

—

II.

есть

возможным наличие

только еще

часть с

другой, чтобы

получать целое. Но если
474

отпала бы

этим спосо¬

целое не

содержит-

§ 95. в) Дробное
ся ни в

одной части,

вместе, т. е. не

то оно не

содержится

каждой своей части, так и

Ь) Целое содержится
сумме, ибо целое

и в их

Потому

целого.

рвать

целое, и части
есть

сумме. Потому целое больше

суммы

всех частей.

как в

каждой своей части, так,

есть целое

частей,

оторвать

Целое складывается

указывают

сумма частей

и

и во всех частях, взятых

содержится

и в их

нельзя целое

от целого.

число

на целое

созерцается

быть,

а часть всегда есть часть

от частей и части нельзя ото¬

из частей

—

потому

—

потому

оно и есть

они и части.

каждой отдельной

в

стало

как

Целое

и

части. Стало

быть, целое прежде всего равно сумме своих частей, и целое равно
каждой своей части. В частях ведь и нет ничего, кроме целого. Если
бы

в

какой-нибудь

бы уже

части было бы нечто новое, чего не

в целом, то целое,

вого, что содержится

отдельной части,

в

содержалось

обнимая части, не отнимало бы этого но¬

частях. А это значит, что целое не

в нескольких или во всех

было бы целым. Итак, целое равно

каждой своей части.
с) Целое содержится

в

каждой своей

«часть», мы имеем в виду не
речь шла

бы

просто

просто целое,

Но, употребляя

термине

зафиксировали

нуждались бы. Раз

не

большее,

просто

переходили

мы

перешли

к

ее особым термином, то ясно, что, как

бы целое ни отождествлялось с частями, в «части»
чем

слово

а нечто большее. Если бы

о целом, то ни к какой «части» мы не

и ни в каком новом

части, да еще

части.

в целом.

Потому

нечто

содержится

целое меньше каждой своей

части. Целое именно содержится в части. А содержаться можно толь¬
ко в том, что больше содержимого и что охватывает его. Итак, целое
меньше каждой своей части и меньше суммы всех своих частей.
III.

Смысл,

или идея, есть нечто само по

ное; число само по себе

данном случае число

—

—

вне этих

переходит

себе

определений.

ни целое, ни

дроб¬

Но смысл, идея, а в

в становление.

Становление воз¬

внутреннее. Целой становится идея тогда, когда

можно внешнее

и

она вся

в становление и взято все ее становление с начала

перешла

до конца. Но так как становится здесь не что иное, как она же сама,
эта идея, то

тут происходит отождествление идеи вообще

новления; идея дается в аспекте своего становления,

покрывает

и

которое

как бы

изолирует идею.

Получается идея
ничего

и ее ста¬

общего

как ставшее,

причем

с вещами, а ставшее это

—

это ставшее еще не имеет

всецело смысловое и чис¬

ловое. Ставшее это может переходить в свою очередь в становление.

475

V.

Переход

к

специальной теории

числа

Тогда разрушается цельность ставшего, и оно разбивается
Таким

образом, дробное

от числа

жа, во-первых, переход
целого

двухмерный

число есть

вообще

(первый символический слой)

на «части».

символ числа,

содер¬

к становлению в качестве

и, во-вторых, переход от це¬

символический слой).

лого к становлению

дробным (второй
а) Диалектика, содержащаяся в этих трех параграфах (наме¬

4.

ченных выше

может быть принимаема

римскими цифрами I, II, III),

каком-нибудь переносном

только в

буквальном

условном

смысле. Что целое одновременно и

ей части,

и

и отнюдь не в

равняется ей,

ше того, эти три

это

—

суждения

—

сти», «целое меньше части»

любое из них,
только

мы

безусловное требование мысли. Боль¬

«целое равно части», «целое больше ча¬

—

есть одно и то же

получаем другое

какое-нибудь

и

одно из этих

третье;

время

не

признать

На этом зиждется вся

думать проникнуть

в диа¬

более сложных математических конструкций.

Ь) Попробуем представить себе,
и в то же

и

суждение. Фиксируя

и невозможно

суждений.

диалектика, и, не усвоивши этого, нечего
лектические тайны

больше,

или

и меньше сво¬

что целое только больше части

равно ему. Если целое только больше,

то часть,

следовательно, меньше целого. А если часть меньше целого, то она,
стало

Если

быть, есть нечто иное, чем

же целое не

содержится

держится нуль целого,
ибо сумма нулей
части, и только

стей,

целое, и целого в ней не

в части, т. е. если в

то и во всех частях

больше,

части со¬

содержится нуль целого,

Следовательно,

есть тоже нуль.

содержится.

каждой

если целое больше

то это значит, что целое не состоит из ча¬

а части, входящие в целое, не

суть части целого,

а

совершенно

самостоятельные вещи.

с) Могут

сказать, что когда утверждается, что целое больше

части, и только больше

(а

в то же

время ведь

и не

меньше),

надо понимать не в том смысле, что целого совсем не
в какой части, а в том смысле, что в

целого

(а

что

в

раз

каждой

содержится

все

каждой

части

целое,

абсурдного вывода,

содержится
и,

содержится

ни

части содержится часть

целое). Тогда получается

не все

то это

возможность

допускать,

часть целого, то во всех частях

следовательно,

отпадает

необходимость

что целое не состоит из частей и части не

суть

части целого.

Однако

это лишь видимость

скрыто содержится
личных

в

мысль о

возражения. Дело

разнообразии

каждой отдельной части, ибо,
476

в том, что здесь

этих частей целого, на¬

только

утверждая,

что

в

§ 95. в) Дробное
одной

части

содержится один

утверждая это,

т. д., только

дельных моментов целого,

число

момент целого, в

другой

рассыпанных

по частям, пытаться соста¬

разнообразия

моментов целого

объединяются одним

портит

разнообразные

все дело, так как неясно, чем же объединяются эти

то, следовательно, по

и

и возможно потом из сложения этих от¬

вить само целое. Но эта идея

моменты целого. Если они

другой

—

из этих моментов,

хоть в одном моменте целого

крайней мере

содержится все целое целиком и, следовательно, хотя бы тут целое
не больше части.

Если же они

объединяются чем-нибудь выходя¬

щим за пределы каждого отдельного момента, то они должны быть
тождественны между собою в отношении наличия в них этого вы¬
ходящего за их пределы начала. А так как это последнее может быть
только самим же целым, то целое, стало

быть, совершенно

одинако¬

во содержится в каждой своей части, а не только в виде того или ино¬
го своего момента. Следовательно, отдельные части не могут быть
между собою

отпадает

разнообразными

всякая возможность

в смысле наличия целого, и

думать, [что]

целого можно создать целое. Так остается в силе основной

что, когда целое

только больше части,

—

потому

из частичных моментов

аргумент,

это значит, что целое не со¬

стоит из частей.
Или

другое требование диалектики: целое

возьмем

меньше

части.

d) Удивляться
состоит из

и

вздыхать

антиномий,

должно быть
содержится

и вздохами

тут

меньше части, что оно

чем-нибудь,

в

Содержимое

содержится.

нечего:

тут

вся

ведь

не поможешь.

содержится

диалектика

Целое потому

в целом, а то, что

должно быть меньше того, в чем оно
меньше

содержащего. Этот «парадокс»

обыкновенно «опровергается» ссылкой

на

и

«всем

понятную» нелепость подобного утверждения. В самом деле,

что за

глупость: целое
«глупость»
истин

меньше своей части? И тем не менее

записать в число самых

и

логики

диалектики.

т. е. помещается в ее

целым, оно не
не

нуждается

прибавляли

нуждается

к

целому,

необходимых

и

приходится эту

очевиднейших

Именно, целое содержится

пределах, и,
в этих

в них, они же

бы

«очевидную»

в

части,

как таковое, для того, чтобы быть

других

частях целого. А

суть нечто, то, несомненно,

если бы мы

присоединили

раз

оно

они нечто

их сюда, и целое,

лишенное их, меньше того своего состояния, когда оно

бралось

бы

вместе с ними. Оно, во всяком случае, меньше суммы их. Помещаясь
477

V.

все целиком

в

Переход к специальной теории

числа

пределах одной части, целое, несомненно,

всего того, что

содержится еще

суммы. Однако

отличается ли

в

пределах

меньше

других частей

всех

чем-нибудь сумма

и их

частей и отдельная

часть в смысле наличия целого? Разве целое не присутствует везде,
и во всем, и в отдельных частях совершенно одинаково и вполне в
одинаковом смысле? Конечно, это так. Это условие самого наличия
целого в вещах. Итак, часть, в смысле наличия целого, ничем не
отличается от суммы частей и тождественна с ним.
целое, заключающееся в части, меньше
самым меньше и каждой

Дробное число,
себе

Потому,

суммы частей,

если

то оно тем

отдельной части.

как и всякая диалектическая

смысловую энергию

всех предыдущих

категория, несет

категорий.

на

Мы должны

помнить, что каждая диалектическая категория потому и становится
таковой, что она есть не что иное, как все категории, какие только су¬
ществуют, вся логическая истина в целом, но только взятая под опре¬
деленным углом зрения. Но если это так, то

содержать

себе все те моменты, которые

в

целого числа.

единица. И
единица.

Целое

дробное число должно
зафиксировали и для

мы

быть,

число есть нечто, и, стало

дробное число есть в этом

Целое неделимо

нечто единое,

смысле нечто, нечто единое и

и самостоятельно

—

и всякая

дробь

цела,

неделима и самостоятельна. Целое есть самополагание внутричислового содержания

дробное

—

дробное

и точно так же и

му оно также и во всем

мы знаем из
антитезиса

противоположно ему. Стало быть,

(т. е. бытия и инобытия, или

Одно отличается

Целое

все то, что

общей диалектики по поводу взаимоотношения тезиса и
«одного» и

и полностью содержится в антитезисе целого и

но, одно

число. Вместе с тем

число есть антитезис целого числа и его инобытие. Поэто¬

«иного»), целиком

дробного числа.

от иного. Но иное есть тоже одно.

Следователь¬

отличается от одного, т. е. одно отличается от себя самого.

отличается от

вательно, целое

дробного.

Но

дробное

Следо¬

тоже есть целое.

отличается от себя самого. В этом нет ничего уди¬

вительного, ибо это значит только то, что целое имеет в себе части
и отличается от них, хотя само ничего в

себе, кроме частей,

не со¬

держит.

Одно тождественно

с самим

ственным можно только с
тождественно.
элементами,

Тождество

собою,

т. е. с одним. Но быть тожде¬

чем-нибудь отличным оттого, что именно
можно

установить

только

между

такими

которые между собою различны. Следовательно,
478

если

§ 96. с) Бесконечность
одно тождественно

с самим

собою,

то это значит, что одно тожде¬

Удивляться этому нечего, ибо полученный

ственно с иным.

тезис

значит только то, что целое состоит не из чего иного, как из своих

частей;
кроме

и что оно тождественно с ним, так как в нем и нет ничего,

этих частей.

Целое

чем-нибудь

быть тождественным с
него отличным.

Итак, целое

диалектический

значит

прежде

число тождественно с

частей,

всего быть от

дробным, причем

из отдельных единиц, и в нем ничего нет

кроме определенной комбинации

Можно
из

—

смысл этого тезиса заключается в том, что целое

число состоит из
иного,

число тождественно с самим собою. Но

провести эту диалектику

которых сложено

число.

этих единиц.

по всем основным

Однако делать этого

ку подобное исследование было бы

лишь

не

категориям,

следует,

посколь¬

повторением основных

учений общей диалектики.
5. а) Общая формула дробного числа,
выше,

получает следующий вид:

его инобытие положено

ром

дробное

внутри

имея в виду все сказанное

число есть число, в кото¬

его же самого

—

в условиях пе¬

рехода этого инобытия в дальнейшее инобытие. Или: дробное число
есть такое тождество числа с самим
зывается

собою, когда последнее

в полное инобытие для себя самого.

содержанием, превращается
Короче: дробное число есть чис¬

котором его внутреннее содержание перешло
покрылось инобытийными различиями.

ло, в

Ь) На
числа

и

этом можно закончить

перейти

к

рассуждения

о

в

инобытие,

предпринимали [бы]

в

развитии

напрашивается сам собой, даже если

систематического анализа. То

котором находятся целое

и

дробное

т. е.

природе дробного

следующему диалектическому плану

математики. Этот этап

в

ока¬

для себя своим собственным

мы и не

противоречие,

число, или, говоря более

обще, целое и часть, слишком родственно и слишком бьет в глаза,
чтобы нам не искать такой категории, где оба они совпадали бы.
Целое число и
антитезис,

дробное

требующие

число

суть

в диалектическом смысле тезис и

совпадения в некоем определенном синтезе.

К исследованию этого синтеза мы и должны теперь

существо

всякого синтеза,

изучаемое

в

перейти,

помня

общей диалектике.

§ 96. с) Бесконечность
1. В целом числе число противопоставляется самому себе, своему

внутреннему содержанию,

и

—

отождествляется с ним; здесь внутри-

479

V. Переход к специальной теории числа

числовое инобытие связано с

субстанцией

числа. В

дробном

числе

число также

противопоставлено самому себе, своему внутреннему

инобытию

содержанию,

и

оборот, ему дана
инобытия,

свобода

дробном

обще

однако не полная, ибо полная свобода

если нет никаких

солютно алогическое и

В

но инобытие здесь не столь связано. На¬
—

неразличимое континуальное

числе инобытие

и с целым числом, но

тии, которое, собственно,

есть аб¬

ограничивающих моментов,

продолжает быть
ударение

становление.

связано с числом во¬

в нем все же лежит на

и вносит сюда

различие,

т. е.

инобы¬

дробность.

Связанность внутреннего инобытия числа с числом является здесь
не

субстанциальной,

когда инобытие целиком отождествлялось бы

с самим числом, но лишь смысловой, идеальной, в
же смысле эта связанность не только не мешает

оборот,

субстанциальном
дробности, но, на¬

обусловливает. В целом числе его внутреннее инобытие
субстанциально, т. е. как таковое, как некий дублет само¬
и потому оно положено как факт, тождественный с самим

ее

положено
го числа,

раскрытый в своем содержании. В дробном числе
(и отождествляется) уже не само изначальное число, а то

числом и еще не
двоится

инобытие, которое
как таковое.
в свое

Тут

мы как

бы извлекли

из

недр

числа и положили

именно само это инобытие начинает

инобытие,

т. е. начинает двоиться,

ется, развертывается,

и

уже

внутреннее инобытие

и

переходить
и

раскрыва¬

в таком именно виде отождествляется с

числом. Как в целом числе из

чистого числа, так в

расчленяется

недр

чистого числа мы извлекли его

гипостазировали

дробном

его в виде нового символа

числе мы извлекаем из

недр внутрен¬

него инобытия числа заключающиеся там смысловые возможности
и

гипостазируем

стоит
еще
и

их в

и

различенном

объединить эти две сферы

принципиальную)

—

раздельном виде. Теперь пред¬

субстанциальную (и

положенность

пока только

внутреннего инобытия

числа

инобытийную развернутость, раскрытость, различенность этого
Их, эти две сферы, надо понять как одну и единственную

инобытия.

сферу.
Ь) Одной

и

единственной сферой

только тогда, когда они
можно

будут

будет

получат

вполне поставить

вполне

одну

взаимопревратимы.

положенность

субстанциальной

изучаемого

эти две

сферы

такое смысловое
на место

480

строение,

другой,

и их

стать

что их

функции

Надо, чтобы субстанциальная

инобытия

положенностью

могут

и

внутри

внутренне

числа

была

разветвленного,

§ 96. с) Бесконечность
различенного инобытия, а смысловая разветвленность и раскрытость
раскрытостью самой субстанции инобытия

этого инобытия была

внутри

числа.

Что значит

первое

инобытие во всем его

бытие как

условий? Субстанциально
—

внутреннем развитии

сплошное алогическое

довательно,
из

из этих

безграничное,

абсолютно

неоформленное и,

сле¬

бесконечное становление. Это известно

общей диалектики; и достигнуть этого раньше нельзя было, так как

раньше изучаемое инобытие бралось
своем
тое

лишь в своем

инобытие,

отождествляясь с

принципом

уже

это

не частичное

(как раньше в дробном числе), но именно полное и все¬

условий

синтеза ведет к

тому,

получаем новую числовую стихию, которая есть, во-первых,

алогическая бесконечность,
и

разверну¬

превращающую
но

некую фигурность,

целое. Выполнение обоих основных
что мы

и чистым

определенную структуру,

алогическое становление в
становление

субстанцией

а не в

принципе,

что это

раскрытии. Второе условие предполагает,

инобытия, получает

ра

положить

это значит взять ино¬

фигурность этой

а

во-вторых, определенная структу¬

бесконечности. В целом числе инобытийная

бесконечность не была вообще положена. Она там отсутствовала, по¬
тому что там было инобытие просто, в принципе. В
инобытие положено, но оно не могло
конечное

цией

инобытие, потому оно дано

дробном

тут быть положенным
здесь как связанное с

числе

как

бес¬

субстан¬

целого числа. Оно существует здесь постольку, поскольку есть

то или иное целое

(т.

е. всегда

конечное)

внутричисловое инобытие дано
полное и всецелое

число. В

во всем своем

инобытие; потому

бесконечном

числе

раскрытии, дано

это число и

бесконечно. И

в

как

бес¬

конечном числе внутричисловое инобытие дано как определенная

субстанция; потому оно и структурно, фигурно, содержит в
себе идею порядка,упорядочено. Таким образом, бесконечность есть
синтез целого числа и дробного числа, тождество целого и состав¬
единая

ляющих его частей.
Эта конструкция

требует разных

пояснений и

уточнений,

кото¬

рыми мы и займемся.
2.

Прежде

всего может показаться непонятным,

почему

катего¬

рия бесконечности обязательно соединяется с внутренним инобы¬
тием числа.

Почему категория бесконечности

внутреннего,

а не внешнего инобытия?

него синтеза, а бесконечность

—

есть символ именно

Почему нуль

—

символ внеш¬

символ внутреннего синтеза?

481

V.

Переход

к

специальной теории

а) Зададим себе вопрос:
бесконечности? Допустим,
по

натуральному ряду

Конечно,

начинаем

т.

е.

бы мы

ни

никогда не дойдем до

к понятию
двигаясь

считать,

такого движения и

путем

бесконечности,

которое необходимо было бы

нельзя. Сколько

чисел, мы

вообще приходим

мы

чисел. Можно ли

счета получить понятие
такого числа,

как мы

что

числа

дойти до

можно ли

назвать бесконечным?

двигались

по

бесконечности,

натуральномуряду
и подобным путем

совершенно невозможно получить самую категорию бесконечности.
целых

Следовательно,

чисел

бесконечности; тут нужны
имеется в

конструкции

для

другие подходы. Но

ли мы здесь

встретим

возьмем числовое инобытие и

категорию бесконечного

такое инобытие? Инобытие числа, если его
всем абсолютно

ность, инобытие числа
чивость и

прерывность,

ность и алогическая
числовое

—

сплошная

числовое инобытие

непрерывность;

прежде

—

а не

всего есть нечто,

инобытием),

а

существует

и остается

неуловимым

что

число

раздель¬
—

устой¬

неуловимая подвиж¬

к

бесконечности

сущность

не имеет.

же инобытия за¬

(иначе

оно было бы

оно всегда только в отноше¬

нии числа и бытия. Числовое инобытие

ускользает

Однако

в чистом виде, во

и т. д. и т. д. В таком виде взятое,

ключается именно в том, что оно не есть нечто

бытием,

посмотрим,

числа.

неразличимость;

инобытие никакого отношения

Бесконечность

брать

не хватает

число есть четкая

противоположно числу:

понятия

что же еще

распоряжении диалектического метода? Если

натурального ряда чисел,
не

мало

совсем

расплывается, растекается,

смысловым

мраком,

о

котором

нельзя сказать ни того, что он конечен, ни того, что он бесконечен.
Об

инобытии,

если его

утверждение. Оно

брать

живет именно

буется какая-нибудь новая,
единила вокруг себя
смысл и

в чистом виде, невозможно никакое

размывом

и становлением; и

не инобытийная точка,

это инобытие и тем дала бы

структуру. Таким образом, бесконечного

мы не можем

бессилие,

ему какой-нибудь

числа на этом

достигнуть. Тут повторяется, собственно говоря,

что и в

случае

инобытие приводит к

с целым числом. В

беспредельному

тре¬

которая бы объ¬

крайнем случае

пути

то же

чистое

становлению, при котором

ни о какой новой точке становления нельзя сказать, что эта точка
бесконечно удалена от начала становления. Инобытие делает как бы
бессильный жест в сторону
конечности.

бы

Расширяясь

и

бесконечности,

расплываясь

в изнеможении кончаем это

непрерывное
482

но не дает самой бес¬

вместе с

инобытием,

мы как

становление и от уста¬

§ 96. с) Бесконечность
лости не можем двигаться дальше, делая
там, в той

стороне

есть еще новые этапы

беспомощный жест,
пути,

что вот

нами не изведанные, и

что если бы мы двигались дальше, то достигли бы и этих этапов. Есть
ли такое состояние мысли

Это,

как и движение по

мысль о бесконечности?

—

натуральному ряду чисел,

а лишь бессильный жест в

бесконечности,

Конечно,

есть не

нет.

конструкция

сторону бесконечности

и

что-нибудь
Ь) В распоряжении диалектического метода остается только один
положительное.

полная невозможность сказать о ней

—

путь

искать понятие бесконечности на почве

всего очевидным

кажется такое

рядом

берег,

возле

него;

бытие мыслится

ровно ничего

устойчивый

моря, плещется

волнами алогического становления. Такая

не

Она сводится к

когда инобытие

как некий

а инобытие омывает его в виде некоего

непрестанными

дает

для

конструкции

предыдущим двум,

видели) установкам
иное

положение дела,

бытием, но не тождественно с ним, а только

мыслится хотя и вместе с
с ним,

объединения чистого

Однако и здесь необходимо уточнение. Более

числа с его инобытием.

объединение

вообще

Значит,

и числового

надо

картина

бесконечности.

вполне недостаточным

на бесконечность.

числа

понятия

своими

брать

(как

какое-то

инобытия.

с) Иное объединение можно получить только тогда, если
возьмем две взятые смысловые стихии не
не возле одна

дается

другой,

а одна

внутри инобытия,

внутри другой. При

конечное

Тут получится
а о

море

ли оно или

не значит иметь

нам

в

как бы

и

остров среди моря;

остров

—

собственном смысле ничего не известно,
—

это еще

перед собой действительно бесконечную водную
стало

внутри инобытия,

что-нибудь

и

и алогическим становлением

бесконечное. Не видеть берегов

поверхность. Остается,
поместить

другой

с

этом если бытие

уже упомянутой картине твердого

берега бытия, омываемого подвижным

просто конечен,

рядом одна

мы

то эта позиция опять-таки ничего не дает

нового, так как она сводится к

инобытия.

мы

а

не бытие
быть, последний путь
инобытие
бытия.
Дает ли
внутри
—

—

для получения категории бесконечного числа эта

новая диалектическая позиция?

d) Прежде

всего, в этой позиции хорошо уже то одно, что перед

нами возникает осмысленный и
возможность

мыслить

следовательно, и

сдерживаемое

и

бесконечность),

и никакими

обозримый предмет
что-нибудь (а

утверждать
в то

время

как

и

получается

в

том

инобытие,

числе,

ничем не

пределами не ограниченное, совершенно
483

V. Переход к специальной теории числа

не

способно

это в данном

нечто,

к

нас

привести

утверждению. Но, разумеется,
случае

какому-нибудь

этого мало. Что

осмысленному

тут

мы

утверждаем

второстепенный интерес (хотя

имеет

все колоссальное значение этого обстоятельства выяснится нами

рассуждениях). Важнее другое обстоятель¬

в наших ближайших же

ство, возникающее на нашей новой позиции, а именно то, что тут
мы вообще получаем возможность поставить бытие и инобытие в
ближайшие взаимоотношения. Эти ближайшие взаимоотношения
мы можем здесь трактовать опять-таки различно.

е)

возможно

Во-первых,

плещется

внутри

устанавливаем
—

зы,

четко

все эти

устойчивости

раздельности

и

и

наблюдая,

бурлит

ограниченного

определенного бытия,

резко бьющие

в

глаза

смысла

движения,

и

т. д.

Сколько бы

Эта

мы ни

и

различия

и

позиция

и

мы

антите¬

алогического

начала,

также дает для

сравнивали оба принципа,

в

стороны категории бесконечности, и, следовательно,
никак не

категории

другой путь

—

не

ощутится

другим,

та

или

просто сравнивать

слить их в одно начало,
с

простого

сравнение будет проходить совершенно без всякой помощи

это
со

как инобытие

и

сплоченности

нашей цели маловато.

позиции

установление

становления бытия и инобытия:

иная

эти два

этой

надобность. Остается
а попытаться

принципа,

пронизать одно другим, растворить одно

получить нечто единое

в

твердо очерченных

и

четких

контурах.
3. Тут прежде всего надо разрешить предрассудок,
мость и четкость

формы

венно бесконечность считают туманом
ное

—

деле это полный

кровь

и неясным

общего между тем

границы данной вещи,

берегу моря,

вполне конечна, и

и

а конеч¬

другим. Если

значит ли это, что

мы не видим его

это объясняется отнюдь не бесконечными

ской поверхности (она

притом

берегов.

размерами мор¬

точно

исчислена),

совершенно другими причинами (кривизна поверхности моря

слабость человеческого зрения). Значит,
нечность

Но

мраком,

мелкобуржуазное воззрение
философа из толпы. На самом же

ничего

бесконечна? Стоя на

Однако
но

всякого

вздор. Нет

вы не видите конца или
—

обозри¬

очень понятным и четким. Это

въелось в плоть и в

она

что

вещилишает ее бесконечности. Обыкно¬

и

необозримость

ничего

точно так же, как нельзя из

в этом отношении

общего

не имеют

необозримости

ности, нельзя и из бесконечности выводить ее

484

и

беско¬

между собою.

выводить бесконеч¬

необозримость.

Что

§ 96. с) Бесконечность
такое
них

необозримость?

чувств, например

обще

весьма

Если иметь в виду
то же

зрение,

ней мы

и не на

ограниченна,

какой-нибудь орган

то наша

решение уравнения) отнюдь

не

чувствительность

базируем

выводы. Любое отвлеченно-математическое

внеш¬
во¬

свои научные

построение (например,

обладает чертами зрительной дан¬

брать его по существу. А если это решение мы выражаем
знаками
(которые видимы, зримы), то и операции с бес¬
условными
ности,

если

конечностью мы можем

выражать

и

знаками

выражаем условными

(которые точно так же видимы и обозримы). Следовательно, под обо¬
зримостью остается понимать только чувственную, мыслительскую
четкость и ясность. Но нечетким и неясным может быть только то,
что не имеет никакого смысла и никак не мыслится. Бесконечность
имеет смысл и ясно мыслится. Это одно из самых обыкновенных по¬
нятий диалектики и математики.

Почему же она вдруг необозрима?

Единственный здравый смысл, который
о

необозримости

бесконечного числа,

—

можно вложить в

это то, что оно

фактически, необозримо

мо для нас чисто лично,

необозри¬

жизненно, жи¬

тейски. В самом деле, кто бы я ни был, я не могу, например,

бесконечное

количество

километров,

не

бесконечного количества километров,
количество

килограммов,

не

не

учение

могу видеть

на

пройти

расстоянии

могу поднять бесконечное

могу пересчитать бесконечное

количе¬

ство чисел и т. д. и т. д. Но эта житейская невозможность обнять

тическую

фак¬

бесконечность не имеет ничего общего с мыслительной

невозможностью понять самую категорию бесконечности. Иначе
мы должны

рассуждать так,

что если жжется огонь, то жжется и по¬

нятие огня, или что если тонна тяжелее
тонны тяжелее понятия

треугольна,
но,

килограмма,

то и понятие

килограмма,

треугольника треугольно,

бессмыслица. Бесконечность

то и понятие

или что если данная
и

пр. Это,

сама по себе для нас

фигура
конеч¬

необозрима,

неизвестна, необычна и даже непонятна, но понятие бесконечно¬
сти

—

вполне

обозримо

мере понятно,

и понятно; и во всяком

как и любое

случае

оно в той же

другое понятие, трактующее

о конечных

вещах. Мы же в настоящем исследовании занимаемся исключитель¬
но диалектическими понятиями.

4. а) Преодолевши

этот

зримости бесконечности

и

бесконечности необходимо

инобытия,

т. е. в

универсальный предрассудок
утвердившись
искать в

на

том,

что

категорию

пределах соединения бытия

пределах инобытия, оформленного
485

о необо¬

и

и

ограничен¬

V. Переход к специальной теории числа

числового
сфере бытия (т. е. в нашем случае
всю
бытия), попробуем формулировать
непосредственную связан¬
ность бесконечного числа с указанной сферой объединения число¬

ного

пребыванием

в

—

вого бытия и инобытия.

где-нибудь

число

Итак,

дификациях, т. е. не в целом
единении бытия и

примыкает

к его

мы

что если бесконечное

уже вывели,

находится, то не в чистом числе и не в двух его мо¬
и не в

инобытия,

границам

дробном, равно как и не в том объ¬

когда последнее

с внешней

—

вне

бытия,

а только

стороны. Бесконечное

—

там,

где инобытие дано внутри бытия, т. е. там, где бытие вскрывает свое
внутреннее

содержание (ибо внутреннее содержание вещи и есть ее

внутреннее инобытие, содержащееся

Вопрос

только в способе

—

в ней

самой, т. е.

объединения

инобытием, или, поскольку внутреннее инобытие
ли как такое,

вопрос

дробное, чтобы
Ь) То, что
собою

столь

бытия,

что

—

только в том, как

мы

пределах).

внутренним
уже утверди¬

модифицировать целое или

получить бесконечность.
в

называется

диалектике

глубокое

и интимное

получается уже

нечто

не похожее ни на один из этих
заложенными в

в ее

числа с его

представляет

синтезом,

взаимопроникновение двух сфер

совершенно неузнаваемое,

двух планов, хотя оба они

совсем

и видятся

глубине этого синтеза. Оба бытийных плана должны

настолько слиться и отождествиться

безразлично, какой именно

между собою, чтобы было уже

брать

план

для рассмотрения. Один

оказывается абсолютнотождественным с другим. Инобытие—текуче,

несхватываемо;

оно

вечно

ускользает,

становится.

разливается,

И вот, эту вечную текучесть и

надо
бесформенное
смысла.
Бытие
бытие
устойчивое
оформленное
структурно, конечно, ограниченно, оформленно, осмысленно. А
и четко

взять как

надо

переделать

смысл

становление

его так, чтобы оно, оставаясь самим

бесформенности,

алогического

становления

собой,
и

имело

сплошной

неразличенной текучести.
с) Допустим,

состоящую

из

что мы имеем

какую-нибудь числовую структуру,

трех различенных

точек Л,

В

и

С. Что получится, если

мы станем заполнять эту структуру алогическим инобытием, как
некий сосуд

образом

становление
точки

—

жидкостью, и отождествлять порождаемое таким

числовое
есть

А,ВиС

содержание

с

самим

числом?

Алогическое

неразличимая текучесть. Это значит,

что

наши

должны стать неразличимыми. Но если бы они были

неразличимыми, и только неразличимыми, то это просто значило

486

§ 96. с) Бесконечность
бы,

что они

был бы не синтез бытия с инобы¬

и тогда

отсутствуют,

тием, а просто только одно инобытие. Следовательно, для синтеза
необходимо, чтобы точки Л, В
на деле
ной

и

С,

присутствовали бы здесь

оставаясь

разграниченности. Возможно

новление,
все в одну

взятое само по

себе, абсолютно однородно;

неразличимую,

хотя и подвижную массу. В применении к

мент этой

А,

как

уже

уже

тов

структуры

и есть то, что

с ее

структуры

себе все

В,

другие ее моменты,

и не

что

В,

кончиться

успело

что все

синтеза число¬

результате

будущие

вместе с

неопределенную даль

что все этапы нашего возможного

точки нашего движения

первом же, только что сделанном

алогическую мглу

в

получается

внутренним инобытием. Мы двигаемся

время оказывается,

пройдены,
в

каждый мо¬

это значит, что

началось

алогическим инобытием становления в
то же

оно сливает

началось С. Эта абсолютная взаимная слитость всех момен¬

как

вой

в

структуры содержит

кончиться

успело

же

случае. Ста¬

это только в одном

миру оформленных числовых структур

не

неразличимыми, все

во всей своей четкости и осмыслен¬

шаге. То же

пути уже

уже содержатся
если мы в

получится,

становления станем вводить

и в

—

структурные

ты, т. е. из этого становления, из этого становящегося

момен¬

мрака,

как из

созидать те или иные смысловые

фигурности.
будем
d) Результат будет один: как в смысловой структуре полученная

некоей глины,

—

форма будет расчленена,

будет

от

ведущего

В,

и

С,

одной

и

из них к

в В иметь и

разъединения

бытием,

и

а

и

С

каждой другой,

и в

С иметь

бесформенности,

началом

тождества,

Л,

мы

не

до

и

Л,

в то же

каждой

—

она

время

точке

их

пути,

и это значит в А иметь

и В.

Инобытие

—

начало

синтеза с

объединенности, доходящей до полной

слитости

бытие

имеющую

дошли

Си

становления в

—

начало

формы

инобытием,

неразличимости, доходящей до

одну,

и

условиях

здесь, в условиях синтеза с
и

различать Л, В

это значит иметь их наличными в

—

сохранять

и

и как в алогическом становлении

слита и неразличима. Не

никакого

подлинного

и

смысла

началом

слития

бытия

становится

бесформенности

раздельных моментов

измерения точку. Это

синтеза

—

и

и

значит,

инобытия,

в

что

когда обе

эти категории поменялись местами и отождествились в полной
взаимопронизанности и взаимозаменимости.
5.

а) Итак,

в поисках

что же мы

получили

от этой

диалектической ступени

категории бесконечности? Мы получили 1)

раздельных

моментов числовой

структуры

487

в

одной

и

слитость всех

единственной

V.

Переход

точке.

Мы получили

одной

и

как бы в

числа

алогическую текучесть этой

становление и

единственной

точки смысла

так что она

—

превратилась
хотя и раз¬

одну сплошную мелодию, где отдельные звуки

между собой,

личны

2)

специальной теории

к

но тем не менее в каждом из них

присутствует

вся мелодия со всеми своими эстетическими свойствами.
не

содержит слов,

в

Мелодия

ней кет логического смысла, она алогична, ирра¬

циональна; и тем не менее она сама по себе есть определенная струк¬
турность и упорядоченность, которую нельзя менять безнаказанно
ни в одном ее пункте и которая, стало быть, целиком присутствует

оформляя

решительно везде,

каждый

ностью
Мы

и осмысляя

получили 3)

постазированное

именно алогическое и в своей алогичности ги¬

берется

инобытие,

щающая в себе все

прочие

и

полученная

точки числовой

неразличимо, при

перерывов

принципиально,

в том, что,

поскольку тут

оно мыслится как полная и

неразличимость. Следовательно,

ная

не только

развитии, развертывании. Дело

чистое

солютно

присущими ему свойства¬

становление со всеми

ми, которые необходимо тут утверждать
но и в их

одной музыкальной цель¬

момент ее исполнения.

полном

структуры, движется аб¬

отсутствии

или механических внешних

каких бы то ни было

объединений. Здесь

взаимопронизанность, взаимослитость, внутреннее

ней смысловой основы данное подвижное тождество

всех моментов, из
чит, что

притом,
две

абсолютная

нами точка, совме¬

рядом

с

данной точкой

мы должны мыслить

друг

пол¬

и до послед¬

решительно

которых состоит изучаемая структура. Но

как бы близко ни находились

—

это зна¬

другую точку;

в отношении

и

друга эти

точки,между ними мыслима всегда третья точка. Только так и

можно

представлять себе эту сплошную бесформенность

всего во всем в

новление,

условиях изучаемого

развернутое

и слитость

нами синтеза. Алогическое ста¬

во всей своей мощи, дает именно

эту «необо¬

зримую» массу точек, расстояние между которыми исчезающе

Когда

мы

берем

становление только в его

составленность его из

принципе,

мало.

нам неясна эта

необозримого количества точек. Но сейчас мы

берем алогическое становление в развернутом виде, т. е. гипостази¬
руем его в виде некоей смысловой
неразличимо течет;

структуры. Становление сплошно,

его «овеществление» и

гипостазирование дает

такую структуру, которая должна ведь остаться сплошной

чимой (поскольку речь идет

ния),

но

которая

в то же

о

гипостазировании

время должна
488

и

и

неразли¬

именно становле¬

развернуть это становление

§ 96. с) Бесконечность
в

устойчивую

и

раздельную смысловую фигурность (поскольку тут

речь об утверждении, полаганий,

сюда

—

сразу

и

эта

скученность необозримого

раздельных,
мы

Ь) Наконец,
этого

множества

все

бесконечности.

проблемы

равно

растекается, то,

пришли

ни

к

Гипостазирование
его

к отдельным,

определенности

в

чему определенному,

и

в

том,

значение
пока

друг

все же от этого не

форму

свою

мы

становление,

для

данное

и смысл.

все

равно

пока становление остается

стороны

положенность

наплывающим

что

оно ни было синтетично, оно

теряет всякую

неопределенно идущим вперед и

становящейся

огромное

в

Дело

инобытием

с

ограниченность

алогически

имеет

как бы

исчезает во мраке и

Объединивши бытие
не

и

получили 4) оформленность

гипостазированного

множество

количества отдельных точек,

между собою.

и слившихся

структуры. Такое обстоятельство
всей

раздельном полаганий). От¬

т. е. о

алогическим процессом.

этого

процесса

друга точкам,

на

и

получилось;

мы

привели

общей

но

тут

все еще

не видим, где же находится искомое нами понятие бесконечности.
Только

с

полаганием

предела

для самого становления впервые

получается возможность коснуться этой

трудной категории.

И

почему так?

с) Наличие предела
дойдя

становление,

для становления приводит к тому, что это

до

определенного

останавливается

места,

и дальше уже никуда и не распространяется. Но тем не менее оно,
как принцип,
и

инобытия,

осуществляющий синтетическую

по

остановиться, т. е.
и

перестать быть

самый синтез бытия

становления

границах,

и

становлением

инобытия);

и в

принуждена осуществляться

образуется

этого вся мощь

в

определенных

разыгрываться внутри

ста¬

саму себя;

ста¬

и вся эта стихия

внутри структуры. Когда

устремляется

мы не находили для этого никаких

границ,

расширялась

и сплошность становления,
в

глубину

489

вовне и

мы тем самым лишали

какую-нибудь новую

границами, устремилась

на

напрягать пространство

синтетическая точка

себя возможности получить

непрерывность

этого

запруда для всестороннего растекания

новление начинает все больше и больше

ними

только

пределов, очерченных данной структурой. От

как бы некая

новящейся массы,

же

не может

(иначе разрушится

результате

и вся становящаяся стихия должна

очень тесных

спаянность бытия

самому существу своему все-таки нигде

категорию. Здесь

закруженная

этого

внеш¬

ограниченного

и

V.

Переход к специальной теории

оформленного пространства;
нами

не как

уже

просто

некая

и последнее

необозримая

разделенных между собою исчезающе

арена неисчерпаемости
внутри данных границ

предстает теперь перед
масса

малыми

этого постоянного

и как

принцип

числа

скученных точек,

расстояниями,

но как

инобытия

дробления

полноты инобытийного гипо-

стазирования внутреннего содержания смысловой структуры.
Тут-то

встречаем впервые категорию бесконечности.

мы и

d) Бесконечность не есть просто отсутствие конца. Бесконечность
это

есть

но

отсутствие конца,

не

всякое

бесконечность. Если выдвигать только
мы не

отсутствие конца

принцип отсутствия конца,

получим никакого положительного понятия,

скудный отрицательный признак. Подобное
определение ровно

ничего не

же

а только очень

отрицательное

определяет. Приходится

признаков бесконечности;

положительных

есть

искать чисто

и вот, они заключаются

раздельное и конечное множество как
содержащее в себе всю полноту своего собственного содержания.
в

том,

что

мы

трактуем

Это учение невозможно усвоить, если не помнить основного
свойства всякого
и

оформляемого

оформления

и

ограничения,

ограничиваемого

это

—

превращение

в нечто имеющее как

нечто количественное и, следовательно,

дробное.

бы объем,

в

В общей диалекти¬

ке мы приводим избитый пример с кругом или шаром: пока не про¬
ведена

круга
этих
ко

периферия

или

пор

и пока не

шара, еще

нельзя

замкнута линия, очерчивающая форму

говорить

он остается только в идее, а не в

провести окружность круга,

мать

круг

ни о каком

как

круге

реальности. Но

формы есть уже тем

самым наличие количественности, объемности и

безграничным
ществленным,

и

и наше алогическое становление

неоформленным,

уже заговорили
чек, но

будем

о наличии

помнить, что

дроблении

скученного

1)

приближения

как синтез бытия и

инобытия,

осу¬

лишенным

раздельности. Правда,

мы

множества становящихся то¬

благодаря
(или развернутого утверж¬

Сделали

мы это, однако, не в

целях окончательного ответа на поставленный

к

пока оставалось

это стало возможно только

в стадию чистого становления.

постепенного

—

строго говоря,

—

введению принципа гипостазирования

дения)

измеряемости.

оно оставалось все еще не

не положенным, все еще,

возможности находиться в

шаре; до

стоит толь¬

возможность пони¬

получается

как нечто делимое, ибо самое наличие

Точно так же

или

вопрос,

этому ответу. Получивши
мы сл али полагать и

490

но в целях

становление

утверждать

само

§ 96. с) Бесконечность
становление и на
на

протяжении

первых порах констатировали

самого становления,

ся массы и оставили в

стороне

последняя диалектическая
и как

дящая

к

утверждение

развертывающей¬

ступень
в

одинаковой мере необходима

в

частичном гипостази-

указанном

внутреннее содержание вещи,

положено

быть положена и она

внутри

это

становление в целом. Тем не менее

принцип, заложенный уже

ровании (если

его

сама),

и как позиция,

то должна

непосредственно приво¬

категории бесконечности.

6. а) Становление есть неразличимая и ускользающая сплошность
алогического смысла. Мы полагаем

вращаем

нас от становления к

девается стихия
во

ставшему,

оформленной

некоей

все

концы

мы

уже

может

в

и

т. е. к его

ограничению

неуловимой, ускользающей,

быть

по

положенных и

очерченных

необходимости

пределах формы

[быть] простого

оно

и

дает

бы

к

же

и

и

к

она

нами

дроблению,

начинает

границ,

но

так как отныне

ярко очерченных размеров,

определенного растекания,

и

уже

не

как в чистом

дробление, дробящиеся части настолько
другой, что расстояние между ними делается

здесь

Таким

исчезающе малым.

(очерчивание границы

образом, мы получаем сразу и момент всего

дает нам возможность говорить именно о

всех частях целого, о всем и всецелом содержании

неисчерпаемости
с

и как

Однако становление есть всегда становление; и потому,

близко подходят одна к

емостью»,

пре¬

становления? Лишенная возможности растекаться

приводит

становлении.
хотя

само становление,

потому конечной, ставшей вещи. Но куда

и

проявлять себя внутри
здесь она

теперь

некую смысловую субстанцию. Это при-водит

его самого в

смысла),

этого «всего», а соединение «всего» с

полнотой всего

неисчерпаемой

и момент

«неисчерпа¬

и есть подлинная

бес¬

конечность.

Ь) Необходимо
целого

и

дробного

помнить выведенные нами

раньше категории

числа, чтобы соблюсти правильную перспективу

в оценке категории бесконечности. Целое число, в отличие от числа
просто, содержит в себе свое внутреннее инобытие. Это инобытие
было положено в нем

внутренних, уже

чисто

субстанциально,

т. е.

как такое, вне своих

инобытийных, различий,

и, кроме того, оно

было отождествлено с самим числом. Целость и есть тождество
себя с самим

переходя
собою.

собою;

ни в какие

Далее

мы

число

противопоставляется самому себе и,

дальнейшие различия, отождествляется

перешли

к

дробному числу. Дробное
491

не

с самим

число тоже

V. Переход к специальной теории числа

базируется на внутреннем инобытии числа, на различии и тождестве
его

с

самим

твердыня

и

числом.

Но здесь

берется уже

субстанциальная

не

но

нетронутость внутреннего инобытия,

этого

переход

дальнейшее инобытие, так что подобно тому, как «число
вообще» противопоставляет себя своему внутреннему инобытию,

инобытия в

так

это

инобытие

внутреннее

собственному

противопоставляет

инобытию.

внутреннему

себя

своему
что-

Противопоставить

нибудь чему-нибудь (например, ему
самому)
значит дать ему
«что-нибудь», а отличить что-нибудь
значит
очертание границы и формы; а дать очертание чему-нибудь
же

значит отличить

—

его от этого

—

—

его в нечто количественное и

превратить

быть дробимым (принципиально

сообщить ему свойство

фактически). Отсюда вывод,
(в данном
внутренним инобытием), делается
или

что «число вообще», вступая в различие с инобытием
случае со своим же собственным
принципиально

различие

с

дробимым,

инобытием (т.

т.

е.

целым,

исчерпаны

целое

число,

вступая

в

е. опять-таки со своим же собственным

внутренним бытием), рассыпается
друга моменты,

а

т. е. становится

на

различествующие друг

дробным.

от

Но все ли возможности

в том инобытии, которое в своем

субстанциальном

отождествлении с «числом вообще» дало целое число, а в своем

с

«числом

вообще»

Этим все возможности еще не исчерпаны. В

дробном

числе на-

расчлененно-инобытийном
дало

дробное

отождествлении

число?

личен просто переход инобытия в

дальнейшее инобытие,

и

больше

ничего. Но кроме такого принципиального перехода необходимо
учесть

и все

разнообразие диалектической картины, возникающей

при детализировании
только

этого

«переход вообще»,

но и

ются новые диалектические

Прежде всего, 1)
прос,

в

принципиального перехода. Это
«переход

в частности», и

тут-то

дробном

числе

совершенно

неизвестным),

стихия становления во всей своей
наличие так или иначе

ления.

кро¬

не ставится во¬

(и

в

дроб¬

есть ли это становящаяся

неразличимой гуще

различествующих

Тут только утвержден голый

треннем инобытии

не

структуры.

как понимать это инобытие инобытия. Неизвестно

ном числе должно остаться

и

или только

моментов этого станов¬

тезис наличия инобытия во вну¬

дробность и боль¬
ше ничего. Но дробность может быть дробностью устойчивой струк¬
туры (и в таком случае она есть определенная числовая фигурность),
числа и вытекающая отсюда

492

—

§ 96. с) Бесконечность
и

дробность

той, наиболее частый образец которой

может быть

находим в математическом анализе

Эти

малым».

2)

дробном

в

ется в
Л

дробь

при операциях

дробном

числе

не

поставлены.

Далее,

числе неизвестно, все ли инобытие инобытия име¬

или

виду

в

вопросы

мы

с «бесконечно¬

Взявши ряд частей единицы,

не все.

например

3
мы

-

,

жании этой

совершенно

дроби. Она

может быть

лом, но может быть также и

конечного

ничего не знаем о

просто арифметическим

интегралом, т.

суммирования. Обе

внутреннем содер¬

эти идеи,

е.

пределом

чис¬

некоего бес¬

отсутствующие

в

дробном

числе, возникают именно в бесконечном числе.

с) Именно обе
начинаем

эти идеи как

синтезировать целое

раз

и

как только мы

возникают,

число и

дробное. Первая

идея, идея

алогической сплошности и неразличимости становления, возникает
тут потому, что в синтез вступают категории, взятые в своем существе,
в своем центральном и основном смысле.

Поэтому инобытие должно

быть здесь взято именно как чистая алогичность становления. На
ступени

которая

дробного
сама

по

числа мы

себе

не

причем неизвестно, как
и

инобытия,

и

просто вступали
была

в

а

положена,

она возникает.

откуда

мы должны положить и

область инобытия,
только допущена,

Беря

синтез бытия

инобытие (а не только одно

бытие), а это значит, что должна быть учтена вся алогическая гуща
мощь становления.

но этот момент внесен

бытия, который
утверждения
в

дробном

как

и

Без этого момента нет никакой бесконечности,
в нее как

раз фактом

мыслим только в

бытия, так и

синтеза бытия и ино¬

условии чистого

инобытия.

Вторая

и

существенного

идея, отсутствующая

числе, идея всего, всейности, есть также не что иное, как

результат привхождения сюда идеи целого. Все и есть не что иное,
как инобытийная восстановленность «целого». Когда я, имея идею

чего-нибудь целого, строю из какого-нибудь материала вещь, то, ког¬
да она построена, я, пересчитывая то, из чего она построена, должен
сказать, что она содержит в себе все части. «Все» есть инобытийный

(но
Это

полностью и без всяких изъянов
—

субстанциально

и

данный) коррелят

«целого».

совершенно осуществленное целое. В дро¬

би этого не могло быть потому, что она

берет всегда только некото¬

рые части единицы, а не все; а если бы она взяла и все части, то по
недостатку в

дроби

положенной стихии алогического становления

все эти части просто слились бы

в

единицу

493

и

ровно

ничем от нее не

V.

отличались

Переход

к

специальной теории

бы. Бесконечность содержит

тот момент всейности она

видно, присутствует

и

играет основную роль. Итак, то, чем бес¬

конечное число отличается от

даря участию
образом, подлинный

себе именно все части;

получает от целого числа, которое, оче¬

в ней и

в нем

в

числа

дробного, образуется

целого числа. И бесконечное
синтез целого числа и

в нем благо¬

число есть, таким

дробного.

§ 97. Продолжение
Понятие бесконечности настолько безнадежно запутано

лярном

сознании и настолько отягощено бесчисленными

сениями,

а) Из предыдущего

и

примечаний будет совсем

нулем

нелишним.

исследования с полной ясностью вытека¬

ет ответ на вопрос, поставленный нами выше,
и

попу¬

привне¬

часто не имеющими никакого к нему отношения, что и ряд

дальнейших разъяснений
1.

в

—

о

различии между

бесконечностью. Насколько это «ясно» всякому «здоровому»

человеку, настолько это различие неясно
чет понять это различие до конца.

философу, когда он хо¬
Предыдущие рассуждения дают

вполне достаточный материал для ясного решения этого вопроса.

Почему нуль

мы

трактовали

инобытия числа, а

как синтез

осуществленное™

бесконечность трактуем

осуществленное™? Нуль получается
шествия готового числа в

на

как синтез

пути счета,

внешнего

внутренней
т. е. на

определенном направлении. Это

и

пути

значит,

что природа нуля определяется внешним движением числа, движе¬
нием по внешнему инобытию. Когда утверждение отдельных эта¬
пов числа на пути этого движения переходит в отрицание и между
ними

тогда

—

утверждением

мы и

получаем

и

—

отрицанием

понятие нуля.

устанавливается равновесие,

Совершенно

ясно, что на этом

пути мы никакой бесконечности получить не можем. Сколько бы мы
ни «утверждали» чисел и сколько бы их ни «отрицали», т. е., другими
словами, сколько бы мы ни считали, мы никогда не достигнем этим
способом бесконечного числа.

Значит, центр

тяжести

переходит

внутреннее содержание. Ясно

здесь с внешней

судьбы

также и то,

бесконечность, будучи внутренним содержанием

что

числа на его

числа, является, несомненно,раскрытием этого содержания, и при¬
том полным и всецелым раскрытием. Это вполне можно утверждать,
даже не вникая во все
Но тогда с полной

число с таким

подробное™ предложенной выше диалектики.

необходимостью

вытекает еще и тот вывод, что

внутренним содержанием
494

есть нечто синтетиче¬

§ 97. Продолжение
ское,
уже

т. е. синтез тоже некоего

не в смысле нуля, а в

только и

смысле. И этот

другом

определяется тем,

и некоего

утверждения

другой

отрицания,

но

смысл всецело

атмосфере внутреннего
вращались только в сфере

что здесь мы в

числового содержания, а в случае с нулем

внешней

судьбы чисел.
Ь) Именно, мы должны утверждать

целость

и

дать

что

то,

не

ни

есть

и

целость
и

то

ни

своеобразный внутренний нуль. Утверждая

отрицать

другое,

целость

а

некий

мы

числа,

сохраняем его структурное единство; но, отрицая его, мы расслояем
его на

неразличимый

задаемся
такого

вопросом

отрицания,

понимать как

то

дологической текучести. И когда уже

хаос

о

такого

синтезировании

утверждения

и

прежнюю структурную целость приходится

неразличимо

безгранично становящуюся,

и

т. е. как

бесконечность. Отсюда можно сказать, что бесконечность тоже
есть некоторый нуль, но только этот нуль дан тут в своем
внутреннем раскрытии. Она так же внутри себя неразличима

расчленена,
внешняя

как

неразличим

и

есть внешнее

конечность

а

бесконечность

тождество

себе утверждение

утверждения

—

—

внутренно развернутый нуль.
2. а) Из общей диалектики известна

и

и

и

и не

есть

внутреннее
как и

отрицание. Но

отрицания,

а

бес¬

тождества, внутренно

смысл этого

внутренний
развернутое тождество утверждения
и

нуль. Но нуль

внутренне развернутый нуль. Бесконечность,

в
нуль, точно так же совмещает

нуль

нерасчленим

сторона бесконечности,

его выявление,

и

отрицания, существенно

характеристика синтеза как

границы. На нуле мы видели это очень отчетливо, потому что даже
в

ходовой

математике нуль

тельными и

трактуется

отрицательными

это не очевидно само

собой,

как

граница между

положи¬

числами. В отношении бесконечности
и

поэтому тут необходимы разъясне¬

Бесконечность есть синтез целого

дробного; и, стало быть,
границей, отделяющей целое число от
дробного, границей, оформляющей целое в его полном отличии от
ния.

необходимо, чтобы

и

она была

частей. Что это значит? Это значит то, что от целого никаким конеч¬
ным процессом нельзя дойти до частей.
но, не

Тут

имеется в виду, конеч¬

просто арифметическая невозможность, потому

метически взял да и
никаких

трудностей

разделил целую единицу
здесь не встречается.

на какие

Тут

что

ариф¬

угодно части,

имеется в виду невоз¬

можность свести самое понятие целого на отдельные части, невоз¬

495

V.

можность по

Переход

к

специальной теории

самому смыслу сводить целое

на отдельные части.

наличии этой невозможности, что бы мы ни

дробного

мы никогда не получим

рии различны между собою

числа

проделывали

частей, потому

и

что эти катего¬

Целое

чисто качественно.

качеству своему есть нечто иное,

При

с целым,

чем часть, а не только

по

самому

просто

количеству Так вот, диалектическое место бесконечности

по

требует

и

того, чтобы между целым и отдельной частью залегал бесконечный
процесс

приближения

целого к этой части, ибо только в бесконеч¬

ности можно количественно

необходимо утверждать,

В этом смысле и

граница между целым

Ь)
всего,
что
и

перейти от целого

и

что

к отдельным частям.

бесконечность есть

дробным.

Не нужно смущаться, что это очень большая граница. Прежде
она

настолько же

насколько

большая,

бесконечность может быть

и

бесконечно малым числом. И целое отстоит от своих частей,

во-первых, на бесконечно далеком расстоянии,

бесконечно малом;
от части к

невзирая
если бы

и

можно

—

целому

в одно мгновение

без

ни на какие

случае бесконечность
и

во-вторых,

время

с полным

дробного,

и

тем и

дробным

и не

этого целого; и можно

другим. Кроме

было только бесконеч¬

между целым

с) Нуль

—

ибо бесконечность действительно есть

граница между положительным
—

граница

бесконечность есть,
в

смысле

между

мы

как

целым

видели,

и

отрицательным;

частями.

Но

если

вообще развернутый нуль,

граница,

утверждение и отрицание; потому она

утверждение

и

бесконечность есть развернутый нуль.

границы

Бесконечность есть развернутая

совпадает

и частями,

дробным.

бесконечность

и

и в этом

можно было бы назвать гра¬

та область, которая является пограничной между целым
и

целому,
же того,

бесконечно малым), то

правом

на

трудиться над переходом

дойти до

различия между

в то же

а

от целого к части или от части к

расстояние между целым

ницей целого

конца

и никогда не

перейти

но большим (а еще

то

потому

малая,

бесконечно большим числом,

и

и

отрицание.

—

в

которой

целая

Мы

область,

уже

знаем,

совпадало
в

которой
о

каком

утверждении и о каком отрицании может идти речь в применении к
категории бесконечности.

а) Если число понимать чисто счетно и количественно, то,
очевидно, бесконечность не есть число-, и самое соединение слов
3.

«бесконечное число»

бессмысленно. Дело
496

в том, что

бесконечность

§ 97. Продолжение
по

самому качеству своему

есть нечто иное, чем

какое-нибудь

личественное число. Всякое число конечно, и самое

большое,

зрения совсем не есть число.

мое малое. Бесконечность с этой точки

Всякое число есть строго координированная раздельность
ченность. Бесконечность

ко¬

и са¬

и

разли-

неразличима внутри себя самой и, значит,

совсем не есть число. Конечные числа изменяются при

операциях

сложения и вычитания и пр. Бесконечность или совсем не реагиру¬
ет на эти
обычные

действия,

или

реагирует совершенно оригинально,

арифметические правила

оказываются

так что

неприменимыми

к

бесконечности. Об этих действиях с бесконечными числами стоит
говорить специально,
простейший пример,

но сейчас достаточно

привести хотя бы один

обнаруживающий полную смысловую ориги¬

нальность этого понятия.
Уже из

вестно,

о

элементарных рассуждений

бесконечности хорошо из¬

что
00 + А

=

00

—

А

=
сю.

Этот невинный пример доставляет очень много хлопот для ло¬
гического анализа;
тот,

который

и

тут нужно двинуть аппарат,

не

меньший,

чем

Пример
будем прибавлять к бесконечности конечных чисел
будем их отнимать от нее, она все равно остается без
говорит об очень многом. Прежде всего, данный при¬
этот показывает, что,

использован нами выше.

сколько мы ни
и сколько ни

перемен. Это

мер прекрасно иллюстрирует наше основное учение о том, что в
бесконечности часть и целое равны между собою. Действительно, та
бесконечность, которая является одним из слагаемых, есть, по само¬
му смыслу операции сложения, часть той бесконечности, которая
в этом примере оказывается

суммой. Ведь сумма больше

каждого из

своих слагаемых. Стало быть, бесконечность и больше самой
меньше самой

себя,

и

себя. Эту диалектику волей-неволей обязан признать

каждый самый заклятый враг диалектики, потому что тут

в

кон¬

це концов даже не диалектика, а только математика и даже только

арифметика.

Но

в то

время

как математик

нарушения законов

с)
что

этом только пожимает

«формальной

и доказать невозможность

глубоко обосновать это нару¬

никакой иной точки зрения.

В предыдущем примере необходимо также иметь

тут бесконечность

есть не

этого

логики» в операциях с бесконеч¬

ностью, диалектик способен не только

шение, но

при

совершенно бессилен объяснить происхождение

плечами и

просто
497

в

виду,

часть себя самой или целое

V.

в

отношении

Переход к специальной теории

себя самого, но еще

и

числа

всякая

часть

бесконечности равной целому. Именно, если

от

оказывается

в

прибавления

к

бесконечности какого-нибудь конечного числ аЛ сама бесконечность
не меняется, то Л, стало

быть,

есть или нуль, или то, что, окунувшись в

бесконечность, расплывается

ней

в

ней отождествляется.

и вполне с

Нулем Л не может быть, если оно действительно Л, но расплываться
в бесконечности оно, несомненно, может. Для этого надо только
мыслить

меркнет

как

бесконечность
всякое

показывает,

что

бесконечность вовсе

что

она,

даже

выкладках,

простейших

в

как

трактуется

самотождественной

d) Поучителен

и

тот

в

которой

простой пример

не мыслится в математике

одной

беспредельное прибавление

как

стихию,

алогическую

различие. Таким образом, уже

единицы

к

другой,

но

элементарных арифметических

алогическое

становление

цельности,

во всех своих мельчайших моментах.

также и

таки из элементарной

другой пример,

заимствованный опять-

арифметики:
00
=

00,

ао

•

Л

=

00, ОО4

=

00.

А
В

чем идея таких

разъяснений,

операций, «понятных» как будто бы и без всяких

но тем не менее загадочных,

употребительность? Стоит
тические

суждения, чтобы

общего

беспредельном переходе

все

хотя математикам

благополучно

в

с обычным

представлением

неизвестную даль. С первого

ничего особенного в

себе

не

зрения «формальной

содер¬
что

тут

логики». Все эти

ра¬

приходится буквально притворяться,

с точки

венства предполагают, что бесконечность есть и часть себя
и целое в отношении

результат деления,

себя самой. Так,

оказывается

целому. То

везде в этих

же и в

в

не только

так что

(целым

и отождествляется с

—

и мла¬

не надо

забывать,

что

бесконечность является частью

кой диалектики), но Л, т. е. каждая отдельная часть,

ности

уже

бесконечности часть вполне рав¬

себя самой (как это само собой видно

частью, и всем целым

самой,

первом равенстве частное,

других формулах. Только

равенствах

целым в отношении

в

равным делимому,

денцу должно быть понятно, что
на

обще¬

поглубже вдуматься в эти матема¬
уловить все своеобразие понятия беско¬

взгляда приведенные формулы
жат,

на свою

только

нечности, ничего не имеющее
о ней как о

несмотря

[тоже]

поскольку растворяется

нею).
498

в

и

и

без вся¬

является и

бесконеч¬

§ 97. Продолжение
4. а) Однако
скользнуть
как

из

можно и в этих

рамок диалектики

и понимать

пустое нагромождение безграничного

ухищрения уже совсем
и в

венств,

=

Ах

=

ссх

Ь) Первое

из этих

пример

го над

другим,

то

^

=
00.

является любым

конечным

(оно может быть любым). Спрашивается:
чисел одно¬

непрестанное нагромождение

почему

смыслу возведения

следующих ра¬

неопределенные формы, потому что об Л

неизвестно, что это за число
если бесконечность есть

количества единиц. Эти

А,

равенств, где А

на т. н.

вы¬

из них:

Iх

числом, есть

ухитряться

бесконечность просто

в отношении

невозможны

особенности первого

все еще

равенствах

первое равенство? По самому

возможно

в степень мы имеем,

24

2

=

Следовательно, и единица

2

•

2

•

•

например,
2.

бесконечной степени должна была

в

бы равняться
1

•

1

•

1

•

1

•

1

•

1...

причем этих единиц должно было бы быть бесконечное количество.
Другими словами, тогда было бы правильно, что
1*= 1.
Но из математики мы знаем, что единица в бесконечной степени
равняется не единице, а
что

тут

имеется в виду совсем не то

конечности,
оно

любому конечному числу. Ясно,

которое

мы

быть,

стало

вульгарное представление

о бес¬

а какое-то более сложное. В чем

отрицали,

заключается?
Если бесконечное помножение единицы

на

саму себя приводит к

какому-нибудь определенному конечному числу, то это может быть
только в том случае, если в употребляемой здесь бесконечности обя¬
зательно содержатся два принципа
гивания

процесса умножения

и

и как

2)

уже

конечная

из

принцип бесконечного растя¬

принцип определенной

Бесконечность мыслится здесь как
гичность ясна

—

1)

алогическое становление

отсутствия предела для

оформленность

конечности.

количества

этого становления. Стоит исклю¬

чить хотя бы один из этих моментов, как вышеупомянутое

Iх

=

(ало¬

умножений)
равенство

А становится совершенно немыслимым. Отнесемся к такому ра¬

венству совершенно
значит.

Всякому

непредубежденно и попробуем сказать, что оно

ясно, что здесь, во-первых, мы умножаем единицу

499

V.

на

Переход

единицу бесконечное

к

специальной теории

число

числа

раз, а, во-вторых,

в

результате

этого

умножения получается увеличение единицы до определенного
ла.

чис¬

получается
Результат
намере¬
но сам собой, силой одного только бесконечного процесса умно¬
этот

не от нашего сознательного

ния,

жения

единицы

унылый

на самое себя.

и монотонный

и

именно

ряд единиц,

замкнутой кривой

путь закругляется в
то и появляется

определенную

определенное

тут перед

нами т. н.

дифференциальное

содержит

в

как бы

или

на

6),

и

потомучто об

говорить невзирая

на

как известно,

простые способы рас¬

самого этого бесконечного

единицу создается какое-нибудь
что сама

потому

бесконечность

себе как бы кривизну, мешающую ей быть простой не¬

ведомой нагроможденностью, о которой только
сказать, что она
тов

кривой

(Заметим,

неопределенная форма, ибо,

исчисление дает весьма

(напр., 5

некоей

конечную величину,

крытия этой неопределенности.) Силою

конечное число

путь, имеющий свой

конечное число А.

процесса умножения единицы

здесь не есть

линией. Этот бесконечный

конечном числе везде тут надо

определенном
то, что

но некий

физиономию, являющийся

свою

профиль,

линией,

Значит, бесконечность

в понятие

равенство Iх

=

необозрима, и больше ничего.

бесконечности,

и можно

было бы

Не внося этих момен¬

я не знаю, как можно

было бы

понять

А.

с) Любопытно

также

и

сравнение трех анализируемых

нами

равенств. Они представляют собою яркую градацию: единица
бесконечной степени равна

нибудь (все равно какое)
есть

какому-нибудь конечному числу;

тоже

первое из этих

есть

какое-

конечное число в бесконечной степени

бесконечность; и, наконец,

степени

в

сама бесконечность в бесконечной

Когда

бесконечность.

математика

положений, она, очевидно, мыслит

утверждает

бесконечность в

пределах конечного числа и обозначает здесь переход от единицы, т.
е. от изначальной субстанции числа, к самому числу. Второе из этих
положений мыслит бесконечность
возводит

не

уже

в

бесконечных пределах

через промежуточную бесконечную область, уже

и

не

единицу к конечному числу, но конечное число к бесконечному числу.

Первое

положение

ориентирует

нас в пределах конечной вещи: мы,

наблюдая данную вещь, производим разложение ее на мельчайшие
части и возводим голый, внекачественный факт ее существования к
реальным
изучать и

ее свойствам и качествам.

Второй

положение заставляет

анализировать данную конечную вещь
500

не с точки

зрения

§ 97. Продолжение
из

ее составленности

протяжений,
к

бесконечного

но с точки
и

другим вещам,

котором
и вот мы

ориентированы уже

форме,

ориентирует

нас в

бесконечности;

личество, то

типах

бесконечности,

бесконечности,

существует свой особый путь

себе ту же кривизну

конечной) линией,

из

положение

и этот

можно

конечном

Неперова

замкнутой (и

вопрос

которое

неопределенной формы»,

числа е мы даем

в

интерпретацию

и

Именно,

здесь.

моменте

каждом

только

не

в

получается

но и о самом

выражение 1’ =А превратится

вообще

этого

о

результате

пути.

«каком-то»

«раскрытия

определенном. Тогда

наше

(
в

аналогию

Неперова

числа

1Y
1 +

I
(где п

стремится

к

растущая. Так
определенное

но

как

предел,

п)

единица

—

не

как

мертвая

необходимо для того, чтобы

мгновение

каждое

значение

а

единица становящаяся, разбухающая,

мыслить единицу

возможность в

—

бесконечности). Другими словами, бесконечность

тут мыслится как некий

неподвижность,

в

в этом смысле

путь бесконечности дает определенную форму

ставить

числе,

про¬

путь содержит

как и всякая бесконечность.

этой бесконечности решительно
Отсюда

вышеуказанных

от «бесконечности

бесконечностей;

и является той же

В анализе понятия

упомянутый

над

а именно во всех

бесконечности, которую необходимо привести
выше

заключивши

наблюдения

так как их, этих типов, тоже бесконечное ко¬

сто» к бесконечности всех

d)

во всей

о ее качествах и свойствах из

разных

эта

как бы мельчайшего атома, на

энергия всех вещей, всего бытия-,

Наконец, третье

конечной вещью.

заметных ее

от этой конечной вещи

другим вещам: тут уже сама

ко всем

играть роль

все же почила смысловая

о ее смысле и

типах

зрения перехода

притом

конечная вещь начинает

количества едва

иметь

изучаемого процесса получить

«неопределенной формы». Тогда

этой

в

особенности становится ощутительным алогический рост единицы
до определенного конечного числа, который потом расширяется до

бездны самой бесконечности. Рост

перехода от конечного числа

в

от единицы до

конечного числа в

определенного

есть

равенстве

рост

вещи

характеризующих вещь

субстанция, первое
Как диалектика
Диалектика

в ее

от

«бытия»

мыслит
все

вышеприведенном

реальных

«свойств»,

конкретном развитии. Единица

числовое полагание и

мыслит

до

переход

от «бытия» к

путем ограничения

501

есть

утверждение, бытие вещи.
прочим категориям?
и

оформления,

т.

е.

V. Переход к специальной теории числа

превращения в
в

дробность

размер[ен]ность и делимость, т. е. путем превращения

и

«Бытие»

раздельность.

определенность

и

форму,

т. е.

раздельность

кроме бытия, вообще ничего нет,

нуть

также

то эта

должно

дробность;

и

может возник¬

раздельность

только из взаимоотношения бытия с самим же

своими частями.

Отсюда

и

получается Неперово

Ясно, что, проделавши
мертвую,

но

этот бесконечный

живую растворимую единицу,

собою

или со

число

мы

путь,

не

получить
и так как,

пустое

и

не

получим

мертвое бы¬

но

развернутую и растворимую, раскрывающуюся конечную
вещь. Вот что значит,что это «бытие» путем бесконечного процесса

тие,

переходит

приспособлена

здесь

стого,

и цельных

форм,

алогического

из темной

земли.

цветущую поверхность

делом

в конечное число.

—

тому, чтобы вывести вещь

к

Бесконечность

из

глубины

точке становления можно

бесконечности,

му принимает единица

непрерывно связаны

Непера

разумеется,

—

и

определенную фор¬

Оба основные момента нашего

алогический процесс и

с этой

оформление

—

закономерностью ряда, выражаемого

и нашим основным

равенства

как выполнено задание,

равенством Iх
любое

=

А.

(Само собой

функциональное

пригодно для

вполне

бы только при подстановке конечного числа эта

Iх.)
От «бытия»

пре¬

направление. На любой

какую конечную

что не только число е, но и

нимание этого

и

решить вопрос,
и

в этой точке.

понятия бесконечности

числом

роскош¬

являясь здесь

процесса, издали руководит этим процессом,

диктуя ему определенную закономерность

лежащее в

пу¬

бытия на

и почвы на

Бесконечность,

и

унылого

ни с чем не находящегося ни в каком соотношении

свет ярких
но

в «вещь» и единица

наших

целей,

по¬

лишь

функция превраща¬

лась в

5.

а) Не

вещи мы идем здесь к

«конкретной»

вещи.

мешает также сознательно диалектически относиться и к

равенствам

с

участием нуля

—

О
содержат отнюдь
нимают все

не

=

и

бесконечности. Так, равенства

—

00,

=

0, 0 оо=Л

00

пустую идею

неизвестно чего

«неопределенные формы»),
502

но вполне

(как

многие по¬

четкую идею

о

§ 97. Продолжение
диалектике

«нечто» и «ничто»,

дой вещи. Понять
в

цессуальности
пределы

эти

каж¬

только внося момент

про-

равенства можно,
и

нуль

некоего

необходимой для конструкции

бесконечность, когда

мы

в

них

находим

применения, или, выражаясь более обычным для

диалектики языком, когда

мы находим

и ставшего, или алогической

кучести. Выкинувши

текучести

эти моменты из

тут совмещение
и

становления

нетекучего смысла этой

бесконечности,

мы

те¬

совершен¬

когда

определенным
образом данная оформленность внутренней текучести бесконеч¬
ности переходит в инобытие как в алогическое становление, т. е.
когда «бесконечность» переходит в «нуль», только тогдамы получа¬
ем конкретную конечную вещь, т. е. определенное конечное число. В
но

понимать эти

перестаем

этом и заключается смысл

Третье

из них есть

ненная

гущая

трех приведенных равенств.

есть

замкнутая

фактически

прежде всего диалектиче¬

формула

т. е.

внутренними энергиями

это сделать

только

наилучшая математическая формула всякого

диалектического процесса,
ской триады. Тезис

равенства;

смысловая

бесконечность,

напол¬

и готовая излиться вовне, но не мо¬

без наличия окружающего

фона,

или

инобытия, куда бы это излияние могло направиться. Нуль есть как раз
инобытие, инобытие не мертвое и пустое, но алогически стано¬
потенциальное все; нуль
вящееся, напряженное. Бесконечность
это

—

—

категориальное

ничто.

Обе стихии сливаются

нечность изливает из себя свою

переходит в

«нечто»,

энергию

размер[ен]ное и

в

в одно, когда

инобытие

и там

количественное, а

беско¬

дробится,

нуль, ничто,

инобытие, оформляется, осмысляется, наполняется, превращается
«нечто»,

уже конкретное

оба эти «нечто» есть одно
ная конечная,

реальное,

же

а не

просто категориальное,

и единственное «нечто», одна и единствен¬

определенная вещь

шее математическое

Ь) Столь

и

в
и

и число.

Повторяем,

это

наилуч¬

выражение всякой диалектической триады.

выразительной математической формой

диалекти¬

ческого процесса является, наконец, и равенство
00°= А
Быть может, с

некоторой

точки

зрения [оно] выражает диалек¬

тический триадический процесс даже еще лучше, поскольку

возвы¬

шение в степень, как это выясняется в специальном анализе этой

операции,

ставит

соответствующие

числа

(и,

стало

быть, вещи)

в

более органическое взаимоотношение, чем простое перемножение.
Возвышение

в степень по

сравнению
503

с

умножением

есть

процесс

V. Переход к специальной теории числа

органического роста, взятый по сравнению с механизмом внешних

И вот, бесконечность, органически растущая с пере¬

повторений.
в

ходом

инобытие, распадается

дает, изводя

на отдельные вещи и тем их

глубины развитую

из своей темной

и

порож¬

расчлененную,

развернутую систему конкретного бытия. Бесконечность нерасчленима; инобытие же, нуль,
объединяясь

с

«бытием»,

принцип расчленения, ибо «ничто»,

есть

вносит в него

оно есть, во внешнее инобытие,

ходит

раздельность

и

превращает

В умножении множимое механически переносится, как

в «нечто».

этот

перенос. Когда

жается само на

и множитель показывает, как

проис¬

же число возводится в степень, оно

себя, и, следовательно,

в

умно¬

инобытии оно определяется

не

чем-нибудь иным, но самим же собой. А это есть признак организ¬
ма
расти из себя самого в инобытийной сфере.
—

Вот почему последнее из указанных равенств с некоторой точки
зрения еще лучше выражает непосредственную жизнь понятия, ор¬
ганически растущего

преодолевая тьму
его вместо

в

окружающем

его инобытии из самого

замкнутой

и

скрытой бесконечности

в

себя,

и возводя

алогически становящегося инобытия

развернутую

и

конкретную вещь.
6. а) Можно сказать,
в одинаковой

смотря

мере

внутренним

мо явится

ми этого

не¬

можно на¬

алогическим содержанием, которое

необходи¬

можно всегда найти еще и

внутреннего содержания
и

труда мыслить

конечности. Но точно так же

диалектической

точки

определенную границу

и

уже

по

бесконечность в

необходимо установить, что и

бесконечность не может не быть
что с

третью

текучести.

нет никакого

в каком-то смысле

зрения

а нечто, отличаясь от всего иного, что его
ним

Конечную величину,

бесконечностью, потому что между каждыми двумя точка¬

Таким образом,

потому

вообще

все

ограниченные пределы,

ввиду его сплошности

пределах

зрения диалектики

и конечно, и бесконечно.

на ее вполне конечные и

полнить

всякая

что с точки

конечной,

она всегда есть нечто,

окружает, всегда

имеет с

одному этому является ограни¬

ченным. Всякая бесконечность так или иначе ограничена. Это, как
мы видим, входит в самое
мы

существо

ее понятия. И

получили понятие бесконечности,

дить

к

инобытию бесконечности,

ограниченности

и

погружать

уже потом, когда

только тогда можно

т. е. лишать ее

в чистое становление.

понимание бесконечности (как

перехо¬

определенности

и

Положительное

оформленного становления) пред504

§ 97. Продолжение
ее пониманию.

шествует всякому отрицательному
сконструировать

бесконечности,

самое понятие

рить о ее всевозможных

а

Нужно

уже

сначала

потом гово¬

модификациях. А впервые сконструировать

понятие бесконечности совершенно нельзя без внесения момента

оформления в
Отсюда нужно различать

чистое становление.

гипостазированного

Ь)

бесконечности,

крайней

по

мере три

связанные между собой диалектически.

Первый

бесконечности есть та основная бесконечность, которую
в нашем

учении

дробного,

бесконечности

о

и

тип

мы вывели

есть синтез целого и

когда они, целое и отдельные части, взаимно вполне

эквивалентны.

Тут

целое

и

как

часть объединены

ставшее алогическое становление, и
и числовое

которая

типа

тут развернуто

оформленно-

числовое бытие

(внутреннее) инобытие (алогическое становление), но не
полученная бесконечность, а пребывает сама по себе,

развернута сама

вне всякого взаимоотношения с
Это

каким-нибудь

бесконечность отвлеченно-смысловая,

Второй

или

новым инобытием.

арифметическая.

переводит первую бесконечность

тип бесконечности

новое понятие, в алогическое становление, лишает ее

ницы

и есть чистое

протекание

и подвижность,

ющая, безразличная

сплошность. Это и есть

ческого анализа, т. е.

дифференциального и

формы

и

в

гра¬

неуловимо наступа¬

предмет

т. н. математи¬

исчисле¬

интегрального

ния. Это потенциальная бесконечность.

Третий тип бесконечности синтезирует оба упомянутые и совме¬
щает оформление и строй первого типа с напряженной текучестью и
алогизмом второго типа. Оформление тут становится оформлением
бесконечной устремленности,
но выявленным и

второго
четкой

типа

и

притом оформлением

положенным, а становление и

[переходит]
формы.

в

и конечной

не

скрытым,

текучий

алогизм

смысловую актуальную направленность
Это актуальная бесконечность.

Каждая из этих бесконечностей является предметом специаль¬
ных математических

наук,

о

которых должна идти речь отдельно.

7. а) Заметим, что, собственно говоря, до
вели

категории

сих

пор

мы еще не вы¬

конечного числа. Мы имели целое число,

дробное

число и бесконечное число, но мы еще не имели конечное число.

Правда,

мы

говорили

о конечности, но именно о конечности, а не

о конечном числе, и, собственно
ность», а

ность.

скорее определенность,

говоря, тут была даже
четкая

Категория бесконечности

и не «конеч¬

ограниченность,расчленен¬

в смысле диалектического анализа

505

V. Переход к специальной теории числа

является

категорией более простой
конечного числа. Чтобы

категория

получить

ственном смысле слова, необходимо
в новое

инобытие,

различной

(ибо

никакая точка, нельзя

быть

нального

ни

ибо иное было бы уже не светом, т. е.

бесконечности как таковой не может быть

и о

на анализе

оо

равенства

всякое конечное число,

0

•

объединения бесконечности

бытием. От этого

никак не

как о чем-то конечном

говорить

никакой конечной предикации, а возникает

того или иного

которому

каких-либо внутренних различий,

ни

чего-нибудь,

уже видели

чем

отдельные, уже строго

конечные моменты. Как о свете,

только точкою), так

как мы

началу,

с тем чтобы иметь возможность извлечь из без¬

в нем не может

отличия его от

к

конечное число в соб¬

саму бесконечность погрузить

сплошности бесконечного числа

изолированные,
причастна

более близкой

и

объединения образуется

=

Д

лишь в

результате

с ее собственным ино¬
возможность

мео-

уже

т. е. возможность появления

расчленения бесконечности,

конечного числа.

Ь)

Конечное число, стало быть,

[есть]

та

или

форма

иная

объединения бесконечности с нулем, или относительное тождество
с

бесконечности

(т.

е.

некоторое,

Необходимо

ее

собственным

в

этом

инобытием,

относительное

иное) тождество бесконечности

то или

определении

самое

обратить

и

нуля.

серьезное

внимание на момент относительного тождества. Относительность

указывает

здесь

Бесконечность
появилась
лишь

на

не

на

частичность,

прямо отождествляется

совершенно новая категория,

степень

бесконечности,

привхождением

в

нее

ее

разговор совершенно

Непривхождение

и

нуля,

связи

с

тут действительно

категория;

инобытия

более общих предпосылок. Но ее

в

о

ней

бесконечность

в

раньше как бы

можно

сверху,

обосновать также

и

бесконечности внешнего меона,

и вносит в нее это количественное

дискретных частей. Раз

и

нее эквивалентность части

«снизу», анализируя отсутствие

личие

в

самостоятельно.

внешнего

обусловливает
характерную для
и целого. Эту эквивалентность мы уже вывели

который как раз

убыль

и

то

новая диалектическая

также и

т. е. из

только

конструируется

инобытийных различий. Что же касается

рождается совершенно

с)

но

тождества.

нулем, так, чтобы уже

сокращение

абсолютного тождества бесконечности

должен идти

неполноту
с

нет этого начала,

на¬

разрывающего бес¬

конечность на абсолютно изолированные одна от

506

дробление и
другой

части, то

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)
наличная в чистой

смысловой

бесконечности

раздельность

остается чисто

расчлененностью целого, пребывающей

синтезе расчленяемого, без всякого перехода

в

в

абсолютном

какую бы

механическую внеположность, которая бы превращала
няемое в

дискретное

и

взаимно

себе бесконечность абсолютно

то ни было

все

изолированное. Поэтому

неприступна

ни для какого

расчле¬
сама по

дробле¬

ния; и все различия, свойственные ей, нисколько не нарушают ее по¬
всюдной и абсолютной самотождественности. В ней различаются,
например, центр и

периферия, но они

в то же

время решительно

впадают, и нет никакой возможности понимать их как

дельные

точки. В ней

различаются движение

покоящиеся точки, но в го же

и

одной

внешнераз¬

покой, подвижные

решительно

и той же степени. И т. д., и т. д.

и дви¬

Словом,

бесконечности всякая раздельность не есть разрыв, но полная
тетическая

собранность

ной эквивалентности

в

и самотождество,

дество

есть

в

формула

внутренний

есть тож¬

с его собственным инобы¬

предельном напряжении.

Или: бесконечность

синтез числового инобытия с его всецелым ало¬

гическим становлением. Или: бесконечность есть число, в

целое

син¬

абсолют¬

бесконечности мо¬

следующем виде: бесконечность

внутреннего числового инобытия

тием, взятым во всем

приводящая

к

в

ней целого с отдельными частями.

9. Итак, последняя диалектическая
жет быть представлена

и

эти точки целиком и оконча¬

время

тельно совпадают, так что в бесконечности все
жется, и покоится в

со¬

и часть абсолютно эквивалентны

котором

друг другу.

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)
Прежде чем расстаться с анализом категории бесконечности,
вполне уместно расширить наше исследование до таких пределов,

которых уже намечались бы

и

коккрегспо-физические

выводы.

в

Разу¬

меется, в труде, посвященном диалектическим основаниям матема¬
тики, все эти темы могут быть свободно обойдены. Однако только
на этих геометрических и
новится ясным все

упорно

чудовищное своеобразие этой категории,

замалчиваемое и

знании. Как ни

оперировать
переходя

к

мыслители,

конкретно-физических проблемах

говорят математики,

и

популярном

со¬

что с бесконечностью нельзя

аналогично с конечными величинами, тем не менее,

конкретно-физическим
и

обычном

в

затираемое

ста¬

столь

большие

и малые,

и

геометрическим проблемам,

забывают это золотое правило те507

V.

Переход к специальной теории

числа

-^iniьмс х

*
..

'

<4*

/щ^1,
•*•*•*'■

jLti^^'
/м*

it^t!-^.

S»m

т/

*4г^

*6М&щ

«О

форме бесконечности», к §98
50«

мш

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)
'
■

’

<4Ал»,

,fA

4

Ml^V

v

x^v

yivLUfiirto

Ичй4

Яг

'~3^

Щ Afa

^ПЪ

Ij^ml- ufkwsAo

иммо/ил

K^HueuC

e

iUiC^UA

HUc<.

/Ых MdмишАшнш-

Wumjjw.
/V

^ГЛсИ^ЛлЧ

м

UiLdiu^ iw.

CiU,

С

-

[ki

f'j^Witi rittU^M’^.f/Щ. /Ш

IHMiM>

^HiiM^I-

i

Л/^МШи^

ipalrtc M-jt

Mupali

i TKiAMUaitt
'

:

jd^-U i

/h

^MiKrU .^/ ^I

W jiumm

0Tz^';
*

WL
к

уьл^/

i

м^А11>1)Л^1Л0й-^
1^441

К § 113а, к пункту 3

509

3^

MfmA
M М<илиАИч^ I'M

uk/илл^^

A

■

tiUHuu j-i£

V.

математики и начинают

оретической
никакого

Переход к специальной теории

своеобразия

в

числа

рассуждать так,

буем не развивать целиком соответствующее учение,
наметить

как

будто

бы

категории бесконечности не было. Попро¬

некоторые приблизительные

вехи для

бесконечности

а только всего

будущего

анали¬

проблемы
геометрическом
конкретно-физическом смысле, что не может не превратиться в
проблематику формы бесконечности, ибо бесконечность и сама по

за этой величайшей

о

в

и

себе есть прежде всего некая

форма и обладает она в обязательном
определенной формой, которую очень трудно, но не¬

смысле некой

обходимо

хотя бы

предварительно формулировать.
О

1. Бытие

существует

в целом есть или ничто, или нечто. Если оно ничто, то не

самого понятия

смысленных

Если

форме бесконечности

звуков,

бытия,

же бытие есть нечто, то

ственная для

и оно есть только

—

неделимость. Абсолютная неделимость есть точка.

Следовательно, бытие

в целом есть некая точка. Бытие в целом есть

или ничто, или точка, точка как точка и точка в своем

вертывании

существует.

ему принадлежит какая-нибудь суще¬

него качественность, оно есть какая-то единичность и

в этом смысле

тия. Бытие

собрание бес¬

и ни о чем нельзя сказать, что оно

и движении,

—

построяющем

развитии, раз¬

новые и новые

фигуры

бы¬

одно. Это одно содержится в каждой его точке, и, сле¬

довательно, бытие есть целость. Бытие как точка содержит эту точку
в каждом своем моменте, и все эти точки слиты в одну точку. Бытие
как точка есть одновременно и одна-единственная точка, и беско¬
нечное количество точек, раздельных одна от
с

другою

—

другой

и слитых одна

одновременно. Точка, находящаяся сразу везде, есть одна

и единственная точка.

2. Линия, являющаяся окружностью круга, сильно изогнута, если
радиус круга невелик. Если радиус делается больше, то окружность
круга получает меньшую кривизну

и

выпрямляется. Если радиус бес¬

окружность круга делается прямой линией. Пря¬

конечно велик,

то

мая есть

бесконечно большим радиусом. Или иначе: прямая

и

круг

с

замкнутая кривая

долженная

в

возвращается

3. Если
то

в

бесконечности есть одно

бесконечность, искривляется
в

в

и то же;

прямая, про¬

замкнутую кривую

и

исходную точку.

взять

треугольник

и его

угол при вершине делается

вершину отдалять

от основания,

все меньше и меньше. Если вершина

510

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)
будет удалена

Итак,

нию.

в

в

бесконечность,

то

бесконечности угол

и

угол при вершине обратится

прямая

в ли¬

Другими

есть одно и то же.

словами, прямая, продолженная в бесконечность, необходимым об¬
разом имеет по

крайней мере

два разных направления. Однако по¬

скольку движение вершины треугольника может начаться с любого
расстояния от основания, постольку с

прямой может быть отождест¬

решительно любой угол. Следовательно, прямая линия, про¬

влен

долженная

бесконечность,

в

имеет бесконечное количество направ¬

лений.

4. Шар, имеющий бесконечно большой радиус, очевидно, имеет
нулевую кривизну своей периферии, т. е. шар с бесконечно большим
радиусом не

отличается

ничем

прямой

от обыкновенной

линии.

словами, прямая линия, продолженная в бесконечность,

Другими

есть также и шаровое тело, шар.
5.

Шар есть или

нечто в

бы

на

ничто, или нечто. Если шар есть нечто, то он есть

каждой своей точке, ибо

некоторые

же шар есть шар

или на
в

в

каждой своей точке,

одна его точка ничем не отличается от
в смысле своей

шар

в своей

шаровости,

сущности,

он

противном случае

распался

бесчисленное количество разных тел. Если

т. е.

то в смысле

шаровости

ни

другой. Следовательно, шар

шар, взятый

как

есть не более как точка.

как

шар,

Шар,

таковой,

как

взятый также и с

бесконечно большим радиусом, есть тоже только точка.
6. Итак, в бесконечности точка, линия, угол, круг и шар есть одно
и то же.
7. Что значит двигаться по бесконечности или в бесконечности?
а) Двигаться по бесконечности от точки А до точки В

прямой АВ.
Ь) Двигаться по бесконечности

проходить

—

значит

по

замкнутую кривую через

от А к В

точки В и Л и

—

это значит описать

вернуться

ту же исходную

в

точку Л.
с) Двигаться
выходе източкиЛ

причем

по

этих

между

назад,

этими

значит

сразу

же по

пуститься одновременно по разным направлениям,

направлений бесконечное

бесконечности

двигаться

—

направления даны решительно

эти

кроме того,

по бесконечности от А к В

и

вперед

от А к В

двигаться

четырьмя

—

вправо,

основными

во

это значит
и

все

стороны

количество.

Двигаться

одновременно

двигаться

направлениями

влево,
—

и,

и

причем

бесконечное

количество промежуточных направлений. И потому двигаться по
511

V.

бесконечности

от Л кВ

всех возможных

d) Так

Переход

как в

—

к

специальной теории

это значит

направлениях,

и

сразу двигаться решительно

и

есть одно и то же,

кривая

значит одновременно двигаться не

—

только во всех возможных направлениях, но и по

одинаково удаляясь

е) Поскольку
приближение

от Л кВ и

всякое

от В к

Двигаться

покое.

пребывать
f) Точка

возвращаясь

удаление

от А

приближается

бесконечности

по

прямым

и

кривым,

от В кА.
к

В

есть

одновременно

А, постольку тело, двигающееся

удаляется от Л к В и не

во

притом одновременно.

бесконечности прямая

то двигаться в бесконечности

числа

от В

кА,

от Л

кВ,

не

т. е. оно находится в

от точки А к точке В

—

значит

в покое в точке Л.

точки

—

есть шар,

шар

есть точка. Но двигаться в пределах

это значит быть на одном и том же месте, т. е. покоиться,

как точка

так

и

не

имеет

бесконечности в шаре

(а

измерений. Следовательно,

двигаться по

вместе с тем и по любой линии,

кривой, и в любом направлении)

—

значит

прямой

или

пребывать неподвижным,

быть в абсолютном покое.

g) Если

тело
во

все

бесконечности,

места

всех

бесконечность
все и,

с

движется

находится

есть

бесконечной

бесконечности,

точках

всю

е.

как

что

потому,

кроме нее, ничего не существует. Но если

бесконечности (ибо

в

ней

уже все),

бесконечности. Поэтому двигаться
скоростью

—

значит охватывать

пределы. Но

двигаться

за ее

гающееся

с бесконечной

по

таковую.

она

выйти

бесконечности

с

скоростью, пребывает

в

за

кроме

пределы

бесконечной

всю бесконечность

это значит покоиться.

Но

охватывает

нет ничего,

то нельзя

сразу

охватывает

сразу

бесконечность

бесконечность

оно

скоростью,
т.

и

никуда не

Итак, тело, дви¬

абсолютном покое

и в полной неподвижности.

8. Точка, линия, окружность

и

шар есть

в

бесконечности одно

то же. Если точка и линия есть одно и то же, то двигаться по

ности

—

точка.

рии,

окружности. Но радиус

Следовательно,

—

окруж¬

значит быть в неподвижности, или, что то же, быть

во всех точках

и двигаться по

есть

прямая,

радиусу,

от

а

сразу

прямая

центра

к

и

есть

перифе¬

значит, во-первых, двигаться по некоей новой окружности,

которая, как всегда, есть только точка, а, во-вторых, это значит быть
в неподвижности, или, что то же, быть сразу во всех точках радиу¬
са. Отсюда следует, что центр бесконечного шара находится сразу и
одновременно и в любой точке его любого радиуса, и в любой точке

512

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)

периферии. В бесконечности центр и любая точка как внутрен¬
него, так и периферического значения есть одно и то же, а граница и

его

конец бесконечности находится в любой ее точке.

9. Реальный материальный мир
зация

бесконечности,

Материя

есть

инобытие,

или

материал,

реальная

из

иная

форма

в

инобытие, постольку

понятие. Реальный

стремящаяся

приближаться

разная

к

нему

к

с какой

Существует разная

то или иное ее

время

материальный мир

бесконечности

—

угодно

как к

себе

есть

напря¬

она есть

приближен¬

пределу и могущая

точностью.

степень бесконечности и, следовательно,

скорость движения, разная

в

и

возможна та или

как сама по

степень

и

взаимопроникновения

вездеприсутствия, разная степень совпадения

фигур

реальный мир,

состоит

осуществления бесконечности,

ная величина,

10.

которого

та или иная ее степень, в то

предельное

материальная бесконечность.

котором осуществляется бесконечность. Поскольку же

в

здесь совершается переход

жение,

есть реализация и материали¬
и

всех геометрических

одной неделимой бесконечности.

а) Мир, данный

как

бесконечность,

двигающаяся с бесконечной

скоростью, очевидно, не занимает пространства, так как все элемен¬
ты такого мира находятся один в другом, а пространство есть то, что,

наоборот, разделяет

один элемент от другого. Но поскольку такой

мир все-таки есть нечто, то его структура нематериальна и естьл/нммая величина. Назвать такой мир миром не вполне

целесообразно.

Это нечто над-мирное.
Ь) Мир, данный как бесконечность с той или другой скоростью
движения,

уже

приобретает

объемность. Это прежде

всего

тел или состояние тела, когда

Свет есть

тело с объемом в

или

ту

иную

пространственную

нулевая объемность, т.

е.

совокупность

объем его равен нулю. Это есть свет.
и

нуль,

нулевая объемность существенна

для пространственной границы мира. Мир

в

пространственном

смысле кончается там, где объем составляющих его тел

с)

Дальнейшее

сокращение

расширению объема

и

уменьшению

медленнее, тем объем его
все

реально видимые

движения
или

и

ту

или

иная степень

природа

света и

больше,

массы.

иную массу. Логически
уплотнения

природа

т. н.

и

ту

разрежения

к

привести

движется

Сюда

относятся

или

иную скорость

физически

материи одна
513

равен нулю.

тело

Чем

а масса меньше.

нами тела, имеющие

и

должно

движения

света.

они

суть

Доказано,

и та же,

та

что

поскольку

в

V.

основе

«материи»

от света только

Переход

к

специальной теории

заложена

формой

числа

электрическая заряженность,

и количественной

стороной

отличная

движения.

d) Наконец, тело, скорость которого есть нуль, а объем бесконечно
велик, есть пространство, та степень разрежения света, когда он
превращается в тьму, и та степень его уплотнения, когда каждый
момент бытия является
всякого иного момента.

абсолютно внеположным

в отношении

Пространство есть, таким образом, материя,

данная в абсолютном распылении и взаиморазорванности, подобно
тому как в теплоте

собранности

и

и

или

электричестве дана та

взаимопроникновения

бытия, создающая реальные вещи,

а

иная

расторгнутых

свет

есть

та

степень

элементов

степень

этой

собранности, когда она уже граничит с фиксированием ее смысловой
структуры,

т.

е.

когда

видимой. Чистое пространство

делается

вещи, в нем находящиеся, осязаются, свет

модификации

света в

видится,

а

и

дальнейшие

сторону большей скорости мыслятся.

11. а) Материальный мир

в целом есть нечто.

Стало быть, он от¬

личается от всего иного, т. е. того, что не есть он. Но отличаться от

чего-нибудь

материально

—

Потому материальный мир,

значит иметь

материальную границу.

если он есть, имеет

материальную гра¬

ницу.
Ь) Граница есть только тогда граница, когда при выходе за нее
прекращается то,

что было

внутри

нее.

Другими

словами, если суще¬

ствует граница мира, то это возможно только тогда, когда невозмож¬
но материально выйти за ее пределы. Следовательно, граница мате¬
риального мира, если она реально есть, должна своей собственной

структурой обеспечить невыходимость вещей за ее пределы.
с) Обеспечить невыходимость материальных вещей за пределы
материального мира возможно только тогда, когда вещь, стремящаяся
выйти за пределы мира, силою самой границы и пространства, к ней
прилегающего, изгибает путь своего движения и начинает двигаться

периферии. Следовательно, по крайней мере у границы мира
пространство должно быть так искривлено, чтобы силою самого
по

пространства тела или превращались в нулевую объемность, т. е.
в световые тела, и двигались по

пределы,

периферии мира, не выходя за его
каком-нибудь ином, например в

или начинали двигаться в

обратном, направлении.
d) Итак, 1) мир пространственно ограничен, 2)
мира объем

всякого тела

равен

нулю,

514

а

его

скорость

на

границе

и

природа

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)
и

равны скорости
имеет

обусловливающую

кривизну,

чтобы

оно

или

природе света, 3) у границы мира пространство
деформацию

такую

получило нулевой объем,

или

стало

телу,

двигаться

в

пределах мира, соответствующим образом искрививши путь своего
движения.
12. Пространство
вижная

субстанция,

и

природа пространства

Однако вещи

вещи.

материя

но

—

и

материи

ение.

также имеет

Пространство,

форма осуществления вещей,
и

разное смысловое

пространство, материя, где существует

и

разное значение

взятое само по

разрежаемо и уплотняемо

себе,

и

разное

смысловое стро¬

сжимаемо и расширяемо,

наподобие газообразного вещества;

никакой

принципиальной разницы между пространством

ей. Одно

есть степень уплотнения или разрежения

13. Вещи,

взятые по

находятся ни во

ни в

пространстве;

пространственно-временные свойства,

вещей пространственных
ток становления.

юс

ется нам как
нами как

и

ле,

матери¬

среда,

в

которую

они

не

неприменимы

так же как они бессмыслен¬
состоит из

временных; здесь вещи погружены

погружены

пространственно-временное

и

в по¬

не вещи, но

которая

становление и

явля¬

трактуется

«материя».

14. Если сосредоточиться
—

и к ним

Потому движутся, собственно говоря,

инобытийная

и нет

другого.

таблицы умножения. Но реальный мир

ны в отношении

и

своему чистому смысловому содержанию,

времени,

и

зависит только от природы самой

разное значение

имеют

строение; следовательно,
данная вещь,

не есть раз навсегда данная непод¬

только

на вещах как таковых, т. е. на их смыс¬

становление их исчезает. Но если

бытийной

среде, то,

как он изменяется

сосредоточиться

взявши один из ее моментов, легко

при переходе

гую. Если представить себе,

от

на их ино¬

проследить,

одной смысловой области

в

дру¬

что некая жидкость, или газ, или элек¬

трический ток проходит через какую-нибудь среду с разнообразной
степенью плотности и

напряжение

в связи с

принимает разный вид, форму,

особенностями

разнообразно уплотненных
стей,

то

этими
чем

реально

изменения

областями,

качество и

и

и местными отличиями этих

различно функционирующих обла¬

будут

здесь происходить не с самими

но именно с тем, что

через

них

проходит, при¬

направление происходящих тут изменений будут

зависеть всецело от

Точно так же

и

плотность и

природы проходимых областей данной среды.

пространство

меняется в своей

515

внутренней структуре

V.

в зависимости от

Переход

к

специальной теории

числа

временных судеб вещи, осуществленной тут про¬

странственно.
15. В любой
и

точке бесконечности совпадают

периферия и центр,

любая точка бесконечности движется сразу во всех направлениях

с бесконечной скоростью, т. е. покоится. Эта предельная картина
структуры бесконечности может с любой точностью
нием

осуществиться

в

и

приближе¬

любой точке материального мира. В любой

точке материального мира центр может совпасть с

периферией,

и в

любой точке может наступить абсолютное противостояние одного
элемента другому.
плане, таким
и

Судьба вещи в пространственном и материальном
образом, зависит всецело от внутреннего смысла вещи;

любая вещь, осуществляясь

вратиться

и в

временном становлении,

может

пре¬

безмерное, неограниченное пространство, расплыть¬

ся в нем, и в относительно

устойчивую, осязаемую объемность,

и в

безобъемное тело и, наконец, стать мнимой величиной,

световое,

причем все это возможно
16. Вопрос о границе
да данная
свою

во

в

и

любой точке пространственного мира.

форме мира не есть абсолютная и навсег¬

установка. Каждая область

собственную границу

и свою

каждый участок мира

и

имеет

В точке А

собственную форму.

материального мира этот мир дан, например, как бесконечное, не¬
ограниченное пространство, о границах которого бессмысленно и
спрашивать. В точке В материального мира этот мир дан, например,
как

шарообразное

тело с теми или иными

формами кривизну

тришарового пространства. В точке С этот мир может иметь

конуса

или

никакой

C,Dnr.

цилиндра,

формы

д. возможен, таким

мация вещи, т.

результат

образом,

только как

от точки А к точкам

В, С, D

времени. Следовательно, природа вещи
есть

ция движения.
ла вещи.

изменения ее

А, В, С, D

вну¬

п т. д. есть

Для бабочки, живущей один день,

Время

внутренняя

и внешняя

и

этот один день есть вся

Для других существ будет

так же сжимаемо и

Пространство

и т. д. можно только во

и ее

функция ее изменения во времени, в частности функ¬
Время же вещи в свою очередь есть функция смыс¬

возможная для нее вечность.

ность.

В,

внутренняя дефор¬

результат

а самое наличие этих точек

не иметь

к точкам

смыслового становления мира, взятого как целое.

Перейти

структура

мир может совсем

объема. Переход от точки А

е. в последнем счете как

треннего смысла,

17.

а в точке D этот

и никакого

вну-

форму

расширяемо,

время объединяются
516

как и

в движении.

и

другая

веч¬

пространство.

Поэтому судьба,

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)
форма, граница

структура вещи

и

абсолютного положения в
личных мест в
от

характера места, или,

всецелой

дится во

но вещь везде

что то же,

зависимости от

Пространство,

18.

мире

пространстве,

путь движения вещи

зависят от ее движения, т. е. от ее

как абсолютном целом. Нет

заполняющей

место, время, движение,

есть

осуществление

место нахо¬

его вещи.

форма, структура

и

ее смысла, равно как и о
в зависимости

категории

судьбы мира в целом. Поэтому пространство и
разнообразными качествами есть ре¬

только от смысловой

со всеми их бесконечно

зультат

внутреннего содержания

актуальный

самих

вещей. Вещь, утерявшая свой

смысл и затемнившая свою идею, имеет свое веществен¬

ное тело столь же пассивным,

ние и

безраз¬

в зависимости

—

пространственное

месте в целом можно высказывать все эти

время

разная

внутренняя вражда

раздробленным

и темным.

бытия, пребывающих

элементов

внешней механической связанности, вызывают к бытию
механическое тело

бесформенного

и темного космоса.

Распаде¬

только во

мертвое

и

Преодоление

внутренней вражды различных элементов бытия должно вызывать и
органическую связанность тела, живой его организм, почему уже в
растительном и животном организме дана уже совсем иная органи¬
зация материи и пространства, чем в неживой природе.

судьба мира,

а стало

быть, его форма, граница, тип

ний, будет зависеть всецело
держания

19. В

высших

от

материальной,
и

Представление об

движущемся механизме,

душа которой

—

есть идея, созданная

пантеизм, и не

утверждавшими в основе мира Божество как
но исключительно Новым

Средними веками,
абсолютную жизнь и

временем. Это всецело создание

капиталистической Европы, обездушившей мир
перенести
субъекта

и

всю жизнь, всю

и

природу, чтобы

глубину и ценность бытия на отдельного
Сущность новоевропейской филосо¬

и тем его возвеличить.

заключается в

разрыве субъекта

от объективного

ценностей объективных глубин

бытия,

в

пере¬

и в

обретении

могучей, гордой, но одинокой личности, мечущейся

по темным

носе всех

этой

основах мира как

механической вселенной, как о внутренне мерт¬

внешне

не античностью,

фии

и смыслового со¬

настоящее время на очереди не натуралистическое, но со¬

вом, хотя

любовь,

Дальнейшая

скорость движе¬

представителей самособранного бытия.

циологическое мировоззрение.
о

внутренних судеб

и

на

субъекта

необозримым пространствам опустошенного мира

вдаль, вечно вперед, к

туманной

и

стремящейся

неизвестности, ибо только так и мог

517

V.

Переход

к

специальной теории

утвердить себя субъект, потерявший опору
вративший все устойчивое

частью

и вся

философия

оформленную

вещей,

—

классовая

европейской культуре

и

пре¬

—

большею

и

постулируют бесконечную, необъятную,

только внешнемеханически

и в том числе всей

твердом объекте

в сплошное становление и искание. Па¬

в новой

раллельно этому наука

в

числа

истории

буржуазная астрономия

вселенную

в основе всех

и всего человечества.

Это всецело

и космология, подлинное и

ори¬

гинальное создание новоевропейского капиталистического духа.
20. Современная

мысль

цания, которое нужно

уже пережила кризис этого миросозер¬

назвать

натуралистическим. Она бременеет
по

новым, социологическим мировоззрением,
рия совершается в природе, но природа

раньше

и

принципиальнее истории,

изначальное

бытие,

а

марксизм критикует

природа
всякие

принципиально

глубине

жизни

истории,

или это

людей,

и

мир объяснить

циологической

то

—

оно

свое

как последовательная и

результат

тельно

на

существовало и,

существование (напри¬

первее мира,

и если в основе

историзм

и тогда

оригинальная система

—

мироздания социальна,

то тогда

мертво-физична,

тре¬

не зависящая ни от какого человече¬

мысли. Но если человек

и основа

и

внешнематериальный мир

в то, что

прекратит

первичнее астрономии,

история,

и

большинство,

или же, как это делает

субстанция,

как

результате какой-нибудь космической катастрофы),

марксизм падает

гия

природа

тогда не социальные явления надо объяснять

возможно, когда-нибудь
в

исто¬

проводить всерьез

ства, и что этого человечества когда-то совсем не

мер,

и не

натуралистические объяснения

души все-таки верить

есть абсолютная

не

которому

есть только момент в истории. Если

наоборот, природу

природными, а,

социальной

—

в

история есть подлинное

но

бует объяснения социологического, то
и

—

природы
а не

со¬

и социоло¬

лежит какая-

просто внешне-и

и социологизм есть

действи¬

универсальные методы.

21. Этот метод

не может быть только методом мысли. Если под¬

линно мир и космос социальны, то мир, космос есть

циальной

жизни

мира

в целом. А так как социальная жизнь есть

жде всего человеческая жизнь,

то состояние

результат самодеятельности человеческой
не только

изучать

результат

и понимать жизнь и

мира

жизни.

природу,

и

природы

Марксизм

но и

со¬

пре¬
есть

хочет

переделывать

ее, а пролетариат прямо заявляет, что он «новый мир построит». В
таком случае марксизм должен признать, что

518

материальный мир, его

§ 99. а) Рациональное число

форма, граница, характер и направление всех совершающихся в нем
движений

есть

результат определенного внутреннего

состояния со¬

социальный человек,

т. е. человече¬

циального человека и что этот
ство в целом,
ловой

рано

или поздно

судьбы переделает

пространство,

как

мир так,

ему

захочется.

времени, когда

субстанции,

все слепо

нием самого времени

быть,

верят

и

рационализировать процессы

и

умеет

с самим

велики относительно, как

принципом пространства

доление пространства

и

времени,

но

ной насильственно-механической

бенок

в своей

новую

форму своей

будет нужно,

детской. Природа

ние как только

и

—

все эти

результат процесса

но они жалки в

времени

и есть не

срав¬

прео¬

буржуазное раболепство перед

смиренное послушание перед

космос так, как нам

во

сжать или расширить

ускорить наступление будущего,

неустанно работающей человеческой мысли,

ними и

Преодолевать

бессилие человека перед протека¬

в

и когда никто не

вернуть прошлое

задачи, может

нении

смыс¬

когда само пространство мыслится в виде неподвиж¬

ной и абсолютной

время,

внутренними усилиями своей

их

дикой,

ничем не

властью. Мы изменим

а не

будем пугаться

оправдан¬
природу

в них, как

и

ре¬

изменится сама и космос получит

границы, примет новый лик, в то самое мгнове¬

мы сами

всерьез переменимся

и человечество станет

иным.

3. ВНЕШНЕ-ВНУТРЕННЕЕ ИНОБЫТИЕ

§ 99. а) Рациональное число
1. До сих пор нами рассмотрены две диалектические триады чис¬
ловых категорий: 1) положительное число, отрицательное число и

дробное число и бесконечность. Мы знаем те¬
перь взаимную связь категорий как внутри каждой из этих двух три¬
ад, так и между ними. Внутри первой триады связь трех категорий
осуществляется как внешняя судьба смысловой субстанции (или
нуль,

2)

целое число,

факта) числа: этот факт сначала утверждается, потом отрицается,
потом нейтрализуется. Внутри второй триады связь категорий про¬
исходит в сфере внутреннего инобытия числа. Сначала оно утверж¬
дается и субстанциально отождествляется с самим числом; потом
оно отрицается, переходит в новое становление, рассыпается и,
следовательно,

дробится;

наконец, оно

нейтрализуется,

вляя внутреннюю цельность числа с его

519

дробящимся

отождест¬

становлени¬

V. Переход к специальной теории числа

упорядоченной бесконечности. Также

ем, и создает структуру

коснулись

мы

триад. Именно,

членах

первых

мы

взаимной связи обеих триад. Эта связь заметнее всего

и

в

уже указали, что целое есть анти¬

тезис положительного числа в том смысле, что оно вместо внешне¬
объективной положенное™ числа на стадии положительного числа

внутренно-субъективную утвержденность

дает его

и выявленность.

Если внутри первой триады движение совершается по пути внешней
числа, то переход от всей

судьбы

вообще

жение

му содержанию. И

горий,

это видно на

прежде всего

и

Первые

члены

антитезой: чтобы

оторваться

на

паре первых

—

перейти

от внешних

перед нами

или

второй пары

—

от

внутренне¬
кате¬

членов.

нами

первого

движений

триад

положительное

—

ко

второму, надо действитель¬

числа и

сосредоточиться

только тогда мы сможем

дробное;

внутри данной формы,

есть дви¬

яснее всего являются взаимной смысловой

внутреннем содержании;
число

второй

ко

каждой паре соответствующих

двух изученных

число и целое число

но

первой триады

от всего внешнего положения числа к его

целость

—

на его

судить, целое

характеристика того,

ли

что

а не вне ее. Несколько менее ясна антиномия

отрицательного числа

мия затемняется тем, что

и

дробного числа. Эта антино¬

отрицательное число

понимают слишком

грубо вычислительно и не понимают всей его идеальной мыслимо(в сравнении с реальной фактичностью положительного числа).
Отрицательное число в той же мере есть антитеза положительного,

сти

дробное

как и

—

в отношении целого.

число, положительное становится
талкивается на

ходя
или

в

какую-то границу;

дробное, превращается
—

к

основание этого

и

а

переходит

отрицания

чистую отрицательность,

к ее

—

ту
и

нуля

и

также ясно

ограниче¬

в

развитии

внутреннему содержанию,
и

к

расчленяет

внутри. Ясно, что дробность

общей сфере ограниченности

и

субстанция

и

значимости числа, данного как смысловая

Необходимо

номию

в

и

второе идет дальше

выявляет ее

есть антитеза отрицательности

вещь.

в

дроблению. Отрицательное

внутренно-инобытийному раскрытию, разбивает

идеальной

на¬

пере¬

делимую числовую объемность,

саму отрицательность,

этой отрицательности
ее

отрицательное

оба ведут к ограничению и, следовательно, дроблению, но

первое устанавливает самое
т. е.

в

ограниченным,

и точно так же целое число,

иную ограниченность, ведущую

дробное
ния,

в

Переходя

как бы чем-то

представить себе

и последнюю анти¬

бесконечности. Эта антиномия есть антиномия

520

§ 99. а) Рациональное
«всего» и

число

«ничто»; и она настолько очевидна, что едва ли нуждается в

дальнейших комментариях.
Сам собой вытекает из всего предыдущего анализа и порядок на¬
шего дальнейшего исследования. Именно,
го инобытия числа и
ка

требует,

сфера,

инобытия, то диалекти¬
третья сфера, объединяющая обе первые,

сфера внутреннего

чтобы была

1) если есть сфера внешне¬

и

его

где уже нельзя было бы разъединить внешнее от внутреннего

и где обе эти категории слились в одну до полной неразличимости.

Далее, [2)]

если

[есть]

такая новая

сфера

чисел, то диалектика

требу¬

ет, чтобы и она имела триадическое строение; и, следовательно, не¬
обходимо нам найти по

крайней мере три типа

этих синтетических

чисел, сливающих в себе свойства первых двух триад и находящихся
во взаимном диалектическом отношении. И наконец,

3) необходи¬

мо, чтобы эти три категории числа не только между собою находи¬
лись в диалектическом взаимоотношении, но чтобы каждая из этих

категорий была

триад.

синтезом для

соответствующей пары первых двух

Стало быть, если первые три категории обозначить через I.II.

III, вторые
тезисом

—

через IV.V.VI,

третьей триады,

ясь антитезисом

а

третьи

через VII.VIII.IX,

то

VII,

являясь

должна быть синтезом для I и IV; VIII, явля¬

третьей триады,

являясь синтезом

—

должна быть синтезом II и V; и IX,

третьей триады,

должна быть и синтезом для III и

VI. Только при таком всестороннем диалектическом взаимоотноше¬
нии этих девяти типов числа можно говорить, что эти типы даны у
нас действительно диалектически и что они на самом деле суть диа¬
лектические категории какого-то одного и единственного числово¬
го всеединства.
Наметивши этот порядок дальнейшего исследования,
к

характеристике трех остающихся категорий,
2.

Задание

мыслить

первую

из этих

перейдем

или типов, числа.

категорий совершенно

она должна совместить «положительность» и «целость», или,

более отвлеченно, но, кажется, более понятно,

дение

числа как некоего

треннего содержания.

—

совместить

факта и утверждение числа

ясно:

говоря

утверж¬

как некоего вну¬

Тут должно повториться явление, общее всяко¬

му диалектическому переходу от внутреннего к внешнему. Вспомним
это обычное в общей диалектике смысловое обстояние. Если совер¬
шается переход от внутреннего к внешнему
ется

категория,

прежде всего

в

которой внутреннее

(или обратно)

внешнее оказывается не только явлением

521

и

обрета¬

и внешнее тождественны, то

внутреннего,

V. Переход к специальной теории числа

но и

проявлением внутреннего. Все,

оказывается уже
что на
нее

и вне

поверхности,

содержание

на внешнюю

этой

сферы,

оказывается

ней,

внутри данной сферы,

на ее

а все,

поверхности;

внутри. Оказывается,

что

внутрен¬

числа или вещи может быть извлечено из их

недр

поверхность путем некоторых планомерных опера¬

и это извлечение дает вполне

ций

что есть

на

адекватное соответствие обеих

сфер, внутренней и внешней. В применении к числу удобнее и яснее
будет, если мы употребим термин «соизмеримость» вместо более
отвлеченного и более

Именно, внутреннее
ность в
что

случае

внутри,

измерение

—

пустого

содержание

«соответствие», или «проявление».
числа и его внешняя

может здесь

измеряться

осуществляется

чисто внешними мерами, и это

вполне точно и адекватно.

получить при помощи определенных

можно

утвержден-

соизмеримыми. То,

их синтеза оказываются взаимно

То,

и четких

то, что вне, есть не что иное, как только так или иначе

что

внутри,

действий;

и

измеренное

внутреннее.
Число, представляющее собою тождество

своего внутреннего и

внешнего содержания, есть рациональное число.
в

Всмотримся ближе

эту новую категорию.
3. Что

в математике мы

ном понятие

рационального сходится здесь

общефилософским
Когда
стве»,

мы

о

именуем рациональным числом? В основ¬

говорим

обыденным

и даже

о

«рационализме»,

о

«рациональном обосновании»,

имную приспособленность
судком (или разумом),
соответствие

почти точно с обычным

пониманием этого

«рациональном доказатель¬

мы имеем в

и соответствие

и тем, что

между «идеями»

термина.

берется

виду полную

между «ratio»,

как

предмет

и «вещами». Известна

т. е.

вза¬

рас¬

«ratio»,

этого

формула старого

рационализма, коротко выражающая его сущность: «Порядок и связь
вещей

—

те же, что

учения, «идеи»

порядок

и связь

вполне точно и

идей». С точки

правильно,

зрения

подобного

вполне адекватно

жают сущность вещей, бытия; внутреннее содержание вещей
выразимо в идеях,

идеи и вещи

В понятие рационального
жде всего указание

на

абсолютно соизмеримы между собою.

мы здесь вкладываем, следовательно,

рассудочную соизмеримость,

скую измеренность бытия. Мыслятся два

вещественный

и

выра¬

вполне

плана

измеряющий рассудочный,

и

пре¬

чисто логиче¬

бытия, измеряемый

требуется,

чтобы оба

они выражали друг друга, чтобы получалось действительно измере¬
ние,

и

притом абсолютно

точное. То же самое понятие

522

рациональ¬

§ 99. а) Рациональное
ности имеется в

виду, когда говорят

число

в математике о

рациональном

числе.
В

числе тоже нет плоскостной точки

рациональном

циональное

число не плоскостно, но

совмещает

себе три слоя

в

Рациональное
ся и что в

число

—

измеряющее, измеряемое

говорит

зрения. Ра¬

рельефно, ибо оно обязательно

нам о том, что

и

измерение.

измеряемое измеряет¬

этого процесса измерения получается именно

результате

измеренное, вполне адекватно и точно измеренное, нечто, целиком
перешедшее в измеренное и отдавшее себя
го не утаило из своего содержания от
из себя на волю
нимо

в

что ниче¬

и все

передало

измеряющего

измеряющего. Эти три

присутствуют

измерению, то,

слоя

рациональном числе,

совершенно неискоре¬
и

без них невозможна

такая категория.

Внутреннее содержание числа, которое входит в синтез с внеш¬
ним его фактом для порождения рационального числа, берется на
стадии целости.
и

внешне,

Целость есть то внутреннее,

притом

с

абсолютной

«внешнего» находится на

что подлежит

точностью.

изучаемой

Но

в

выразить

распоряжении

стадии только утвержденность,

положенность числа; число здесь утверждается, как бы кладется или
ставится на некую плоскость, наподобие куска камня или дерева. Из
этих положенностей или

утвержденностей

или, вернее, при помощи

их надо получить и выявить все внутреннее содержание числа, т. е.
его нераздельную и неделимую целость.
кация первых двух

Совершенно

категорий, вступающих

порождающий сферу рациональных чисел.
денность числа, давшая

нам

первой триаде

модифи¬

Положенность и

утверж¬

раньше категорию положительного

числа, теперь совсем теряет эту
в

ясна

в этот интимный союз,

свою

функцию, имевшую

место в

силу господствующей там смысловой ситуации. Эта

сплошная утвержденность, призванная здесь выразить внутреннюю
сущность числа, перестает быть изолированным фактом, который,
противостоя абсолютному числу (т.

е. никак не

ется тем самым как число положительное.

функционирует до

тех

пор,

пока она не

содержания; и, следовательно, выходя
го

факта

Здесь

эта

утвержденность

выразит всего внутреннего

из состояния

изолированно¬

числа, она превращается в целую систему

лую систему утвержденностей,
связь этих
смысле

положенному), явля¬

—

утвержденностей.

значит

утвердить

в

некий

Но положить

что-нибудь

его как некое одно, как

523

фактов,

в це¬

определенный порядок

и

в числовом

единицу. И

если

V. Переход к специальной теории числа

изучаемая категория превратилась в целую систему

«полаганий»,

внутреннее, подлежащее внешнему выражению,

то это значит, что

выражается здесь некоторой суммой операций над единицей. Вну¬
треннее содержание, выступая вовне,

ряемую величину,

но и в нечто

сти из отдельных

полаганий,

число есть число,

единицы,
необходимости

адекватно,

полагает себя как себя опре¬

превращает себя

деленное число раз и тем самым

соизмеримое

из отдельных единиц.
т. е.

Рациональное

абсолютно точно,

из тех или иных действий с

из

не только в изме¬

в смысле составленно-

составленное

единицей. Таков результат

синтеза с внешней положенностью числа. Внеш¬

няя положенность,

с

синтезируясь

жанием, требует составленности

внутренним

этого

числовым

содер¬

внутреннего содержания

из

единицы.
Но в синтезе
мы знаем,

участвует

стью числа

в

участвует внутренняя сторона числа,

синтезируется здесь

в ее

фиксацией

личия целого в
дение в

собою применение

которые

вносится в

результат

т. е. вносится также и наличие

частей,

но с

зависимости их от целого и, следовательно, на¬

каждой отдельной

изучаемый

приводили

как

всего целость как таковая, а кроме того, и целость

развернутом виде,

точной

притом,

именно целое число. Что это вносит

общее содержание изучаемого синтеза? Этим

измерения прежде

и

она на стадии целости. С внешней положенно¬

части.

Конкретно говоря,

здесь таких

вхож¬

обусловливает
арифметических действий, которые

категории целого

синтез

числа

бы или просто к целым числам, или к таким

дробным,

состояли бы из целого количества целых же частей числа.

Обычно это выражается так, что рациональное число определяют
как число,

образованное путем четырех арифметических действий

и возвышения в степень.
то,

Конечно, рациональным
извлечения

которое получено путем

чтобы этот корень тут действительно

корня,

числом

но только

извлекался.

целые

части и этих частей

деления и извлечения

в

берется

корня).

и

требуется,

Общая идея,

быть, здесь та, чтобы соблюдался именно принцип целости
обще (в случае целых чисел), так и

будет

—

стало

как во¬

развитом виде, когда образуются
целое же количество

(результат

Если внешняя положенность внесла в

рациональное число составленность его из единицы, то внутренняя
целость, входящая в синтез для порождения рационального числа,
вносит сюда

определенный

именно

арифметические действия, которые базированы

—

те

метод этого составления из единицы, а

524

на ка-

§ 99. а) Рациональное
тегории целости. Можно
что

и

рациональное число

вместе с математиками сказать,

просто

есть то,

число

которое составлено

путем сложения, вычитания, умножения, деления

и возведения в сте¬

пень, и только надо понимать, из каких логических

текает самая возможность такой синтетической

сылки эти

участие «положительности»

—

4. Аналогия

с

измерением

является

из единицы

предпосылок

вы¬

категории. Предпо¬

и «целости».

основанием

усвоения

для

всей диалектической сущности рационального числа. Если

мы со¬

блюдаем ту простую картину, которую представляет собою

всякое

измерение, и не исказим этого житейски очевидного явления раз¬
личными теоретическими
пониманию диалектики

привнесениями,

рационального

что-нибудь измеряем? Во-первых,
варительно

мы

то это даст нам ключ и к

числа. Что мы делаем, когда

уже

знаем или должны

пред¬

производим измерение. Пусть это

знать то, чем мы

бу¬

дет метр, аршин, верста, но мы должны знать, чем же мы, собствен¬
но, мерим, должны знать принимаемую нами единицу измерения.

Затем, во-вторых,
должны

если

измерение действительно происходит,

эту единицу применить

последнем так, чтобы она,
нила все

к

измеряемому, уложивши

мы

ее в этом

повторенная известное число раз,

запол¬

протяжение измеряемого. И наконец, в-третьих, измерение

только тогда осуществляется, когда получен ответ, сколько
наша единица поместилась в

же

измеряемом. Этот простой факт

раз

изме¬

быть, требует, 1) чтобы было известное число полаганий, 2) чтобы полагания эти исчерпывали внутреннее протяжение

рения,

стало

измеряемого

3) чтобы было

и

известно, как именно это исчерпание

происходило. Точно такая же картина, и житейски очевидная, и диа¬
лектически синтетическая, предстоит нам и в рациональном числе.
Рациональное число

—

то, которое измерено единицей и которое

выявило свое внутреннее содержание

всего

чисто

количественное)

Рациональное

число

единицы. И три

—

в виде

четкая

(в

числе оно всегда

ряда действий

картина той

смысловых слоя

—

или иной

в виде

соизмеримости его

с полной очевидностью и

рационального

5. Отсюда

с

другого

единицей,

непреложностью входят

в

—

прежде

единицей.

комбинации

внутренняя целость,

единичная положенность и тождество того и

ренного числа,

с этой

внешняя

в виде изме¬

эти

три слоя

самую сущность

числа.

точная диалектическая

формула

этой категории гла¬

сит следующее: рациональное число есть тождество внутреннего
525

V. Переход к специальной теории числа

и внешнего инобытия числа, когда
а

второе

—

первое взято на стадии целости,

на стадии положительной

внешней положительной

§

100.

Или ко¬

утвержденности.

роче: рациональное число есть тождество

внутренней целости

и

утвержденности.

Ь) Иррациональное число

Усвоивши эту простую структуру рационального числа, нетруд¬
но перейти и к тому типу числа, который доставил немало затрудне¬
ний для своей

формулировки,

хотя чисто количественно и счетно

он, конечно, понятен так же, как и
Мы имеем в виду

иррациональное

рассуждений ему

можно

место в
1. К

ти,

диалектической
раскрытию

число. После

предоставить

вышеприведенных

только вполне

определенное

понятия

иррационального

подой¬

числа можно

плану исследования, двояко:

первых, со стороны категории рационального числа и,
со

тип числа.

системе.

намеченному выше

согласно

вообще всякий другой

стороны категорий отрицательного

и

ся, на самом деле это есть один и тот же

дробного
—

во-

во-вторых,

числа.

Разумеет¬

диалектический

—

под¬

ход и различие здесь между двумя точками зрения только внешнее,
вытекающее просто из

материал

по

разным признакам. Однако

но, вполне уместно

Что

Оно

необходимости распределять один

такое

и тот же

эти два подхода, как сказа¬

различать.

иррациональное

есть его антитезис. И

число в сравнении с

рациональным?

это так, то тем самым

раз

рисуется уже

совершенно специфическая характеристика иррационального
ла,

поскольку всякий вообще

он антитезис,

уже

есть вполне

антитезис по

чис¬

одному только тому, что

специфическая диалектическая струк¬

тура. Так как антитезис есть инобытие, то иррациональное число
есть инобытие рационального, переход его в свою противополож¬
ность.
когда

Переход

же в инобытие может

уничтожится

именно взаимная

основная

соизмеримость,

сущность рационального числа,

иррациональном

числе

выразиться

вовне.

этом соответствии

внутреннего

Все,

уничтожена

эта

не мо¬

что мы сказали выше об

и внешнего, здесь вполне

внешнее бессильно изнемогает в попытках

внутреннюю сущность. Внутренняя сущность
526

а

числа и

внутреннее числовое содержание никогда

жет здесь целиком

существовать;

только тогда,

соизмеримость внутреннего содержания

его внешнего инобытия. В
и

осуществиться

перестает

выразить

не может целиком вы¬

§ 100. b) Иррациональное
литься вовне, и всегда остается

мое, что бы
Ясно,
внешнее

мы ни

что

тут

ни

самым

не

невыраженное

в целях этого

предпринимали

тем

выражение уже

и

невырази¬

выражения.

внутренняя сущность числа,

могут быть

числе. Что бы ни

циональном

нечто

число

ни

его

теми же самыми, что и в

выражало рациональное число,

внутреннее содержание всегда будет

ра¬
его

чем-то целым, так как иначе не

осуществится сама рациональность, которая является здесь целью.

Рациональность
ность,

есть всегда сведенность начал и концов, закончен¬

закругленность, обозримость,

дельная полнота. Все

мого целостна и, так сказать,

стороны,

ло, оно всегда

средствами

выражается первыми

утвержденности рационального

находим в

случае

с

формы. С другой

положенности

Совсем другую картину

числом.

Дело

общей

ние числа,
в

структура получает совершенно разный

случае рационального

тику

—

выражения,

в

является

случае ирра¬

себе целым, лишается

выраженным. Так говорить

воз¬

и так понимать диалек¬

совершенно неправильно. Целостно внутреннее содержание

рациональном

числе не само по

ние целого и

себе,

но

потому,

выражении (равно

себе,

выражения здесь дана не сама по

—

структура

внутреннее содержа¬

числа само по себе целым, а в

дано в адекватном внешнем

же

что

в целях внешнего

числа оно, оставаясь само по

можности быть

в

Нельзя, например, сказать,

которое берется

ционального

мы

в том, что в диа¬

смысл в зависимости от того, какое место занимает эта

системе.

чис¬

действиями над единицей,

принцип твердой
числа.

раз¬

отношении спо¬

выражалось рациональное

пятью

иррациональным

лектике каждая смысловая

и

сущность выражае¬

и законченные

ни

так как иначе здесь исключался бы
и

структурность

способна, в смысловом

собна породить из себя целостные
какими бы

осязаемая

это возможно, когда самая

а

потому,

что оно здесь

как и адекватность

что это есть

оформленно-четкого, едино-раздельного).

выраже¬

Точно так

целостным внутреннее числовое содержание никак не может

остаться в иррациональном числе, и это только по одному тому, что
здесь мыслится невозможность адекватного внешнего выражения.
Нельзя тезис и антитезис в диалектической триаде понимать так,
что тезис остается сам по

себе,

зе дано настолько интимное
что оба они

получают

числе

—

сам по себе. В синте¬

взаимопроникновение

в его свете

совершенно несводимы
рациональном

а антитезис

того и

другого,

совершенно новое содержание

и

старую смысловую сущность. В ир¬

на свою

внутреннее

числовое

527

содержание никак

не мо-

V. Переход к специальной теории числа

жет остаться целостным и внешняя числовая выраженность никак
не может остаться голым, изолированным полаганием

самым

[выходит],

Тем

факта.

что иррациональное число занимает новое место

в системе, т. е. является не рациональным числом, а его антитезисом,
тем самым

получается необходимость

которых образовалось рациональное
ся в новые
кой

категории, противоположные старым

иррациональное
Вот тут-то

число

тегорий отрицания
ложностью старых

триада, которую
циональное,
лового

т. е.

дробности,

—

—

ка¬

Ведь

числового

рациональное

внутреннего

содержания,

внутреннего

есть синтез и тождество

та новая

рациональное, ирра¬

вся целиком есть синтез

есть синтез и тождество

мнимое. Но

рациональное

к ана¬

являющихся как раз противопо¬

сейчас анализируем,
—

в ка¬

необходимость привлечения

полагания и целости.

внеш невыраженного

иррациональное
так же

мы

мере,

необходимость второго подхода

категорий

мнимое

рациональное

—

и

превратить¬

в той же

противоположно рациональному.

и выясняется

лизу иррационального числа,

и

и для тезиса с антитезисом, из

число как синтез,

так

чис¬

что

и

и внешнего, и

внутреннего

и внешнего, и

есть тезис этого тождества,

ир¬

антитезис, а мнимое, как увидим дальше, окажется

синтезом этого тождества внутреннего и внешнего. И эта разница
положения в диалектической системе
чие тех смысловых

синтезов.
ся

уже

Когда

мы

предпосылок,
переходим

к

из

обусловливает собою и разли¬
вытекают эти

которых

иррациональности,

три вида

то сталкиваем¬

не с полаганием и целостью, т. е. не с целостным полаганием,

или полаганием целости, но с

отрицанием дробного свойства (или

дробным отрицанием бытия). Формулируем
обстояние подробнее.

с

же это диалектическое

2. Итак, иррациональное число возникает как синтез отрицания
и

дробности.

С первого взгляда этот синтез имеет весьма странный

вид, но это потому, что обе эти категории, «отрицание» и

обычно

понимают слишком

и количественно, не

просто логической
с

учитывая всей

лительную значимость;

широкий

Отрицание, как

числом

е.

полноты их

«Отрицание»

значимости.

простым арифметическим

и этот

арифметично,

т.

счетно

диалектической

шире

смысл и надо иметь в виду в наших

переход

от

и

только в соединении

получает свою обычную

само же по себе оно гораздо

мы видели, есть

«дробность»,

слишком

по

вычис¬

смыслу,

рассуждениях.

утверждения

в

сферу,

где этого утверждения нет, но где дано оно только категориально, в

528

§ 100. b) Иррациональное
становящемся

число

виде; оно тут только стремится быть утверждением,

но не может им стать. Оно как бы вот-вот станет утверждением, но
никогда не может им стать

Мы уже видели, анализируя

фактически.

категорию отрицательного числа, что отрицание здесь нельзя по¬
нимать в абсолютном смысле; око может стать в каждое мгновение
утверждением, и потому оно тут
всего

проявляется

да вещь Л дана в

чистое

—

относительное

отрицание

в

процессе

отрицание. Лучше
становления. Ког¬

то каждое мгновение этого

процессе становления,

становления есть новое и небывалое в сравнении

мгновением,

оно есть его

инобытие,

каждое мгновение, каждый

Поэтому каждый

момент.

отрицание другого, предыдущего;

с

предыдущим

и это иное и новое

и все моменты, вместе взятые, т. е.

все становление вещи целиком, в

некотором смысле

ликом, есть сплошное

и

и

нарастает

момент тут есть

отрицание

вся вещь це¬

каждого отдельного момента,

всей вещи целиком, проходящей через эти моменты. Чистое ста¬

новление, которое мы потому и называем алогическим становлени¬
ем,

и есть

наиболее отчетливая

форма

Возьмем эту наиболее отчетливую

диалектического отрицания.

форму отрицания

и запомним ее

внутреннюю сущность. Нашим тезисом, который войдет в иррацио¬
нальность, будет

именно чистое

отрицание,

новление, когда нет никакого и нигде

чисто алогическое ста¬

устойчивого

да все неизменно и сплошно течет, без всяких

состояния и ког¬

задержек

и

без всякой

раздельности. Если припомним, то именно такое чистое отрицание,

прибавленное к чистому и абсолютному числу, превращало его в от¬
рицательное число.

Теперь посмотрим,
ный
тоже

синтез
нельзя

вторая категория
понимать

время помнить,

лософией
операции
мость.

что вносит в

чисто

—

счетно

и

иррациональ¬

количественно.

что мы занимаемся здесь не

сами по

себе,

но их смысл, их

Будем

математикой,

но

трансцедентальная

Последняя всегда сложнее, необычнее,

оригинальным характером,

которой

проста,

мы доискиваемся,

на. Также и в отношении

время

все

фи¬

общепонятностью
то, что имеет

часто

значи¬

удивляет

своим

как сама-то вещь, значимости

вполне понятна и даже

обыден¬

дробности соблюдем нашу обычную

пози¬

соблазняться банальностью

будем
факта, который здесь осмысливается.
какое-нибудь внутреннее содержание, не мо-

цию смысловой диалектики и не

Дробно

нами

математики и нас интересуют здесь не математические

в то

и

изучаемый

категория дробности. Дробность

самого

529

V. Переход к специальной теории числа

жет быть

дробным то, что не

имеет ничего внутреннего.

Кроме того,

это внутреннее должно быть здесь противопоставлено самому себе,
т. е. оно само должно

дельность. Это

мы

перейти

уже хорошо

тельного числа. Такая

инобытие

в

и

знаем из анализа

эту дробность непосредственно

в

безусловной

не¬

чем ввести

взаимоотношение «от¬

«дробности».

как антитезис

отрицания, сводится

крытие отрицания,
о чистом

выявление его

отрицании

дробность представлена у нас

дробность есть рас¬
внутренней сущности. Когда мы
к

что

тому,

и не вводим в него никаких

них моментов, оно является только голым

не

раз¬

категорию иррационального чис¬

Это взаимоотношение, поскольку

говорим

с

иррациональность. Но прежде

в

ла, необходимо отчетливо представить себе

рицания»

в связи

категории отрица¬

характеристика дробности

обходимостью входит

и

получить

раскрытым

и

утвержденным

в

посторон¬

принципом, внутренно

своей голой принципиальности. И

пока это так, мы имеем только чистое становление, т. е. становление
неизвестно чего и неизвестно какое; это становление тут ничем не
заполнено, и неизвестно его направление. Но вот оно приходит в
свое инобытие. Из голого

факта отрицания

оно

дельный, расчлененный факт становления;
внутреннее содержание;
от

другой,

и

в нем возникают точки,

определенная

превращается

в

дробность.

уже

в

раз¬

получает

отличные одна

связь между этими точками; становление

едино-раздельную структуру и, следовательно, рас¬

крывается, расцветает. И
в

превращается

становление

это-то и значит, что

отрицание перешло

Голое отрицание было только некоей алогической си¬

дробность же есть уже результат этой силы; алогическая сила
становления пробила собою цельные и устойчивые стены смысла, и
это привело к дроблению стен, привело к дробности. Так дробность,
будучи антитезой отрицания, раскрывает это отрицание, обнаружи¬
вает его внутренний смысл и построяет его структуру.
Теперь мы сделаем все, чтобы быть в состоянии формулировать

лой;

зарождение иррационального числа из недр антиномии отрицания
и дробности.
3. Что получится при соединении стихии отрицания и стихии
дробления? Отрицание

есть в своем чистейшем виде становление,

алогическое становление. Оно призвано
нюю

сущность

числа. Не

раздельные

метод внешнего выражения

(как

в

случае

530

выражать

вовне

внутрен¬

акты четкого полагания есть
с

рациональным числом),

§ 100. b) Иррациональное
но именно

нерасчленимая

и

ческого становления. Стало

число

безразличная, сплошная тяжесть алоги¬

быть, иррациональное число, куда отри¬

цание должно войти как один из двух необходимых порождающих
моментов, во внешнем отношении есть прежде всего нечто становя¬
щееся, т. е. нечто, не выразимое никаким раздельным, расчлененным,
конечным числом.
усилия
или

Иррациональное число есть такое, когда никакие
арифметических действий не могут превратить единицу в ту

иную структуру, аналогичную данной иррациональности. Ирра¬

циональное
оно всегда

число внешне есть всегда алогическое становление, т. е.

процесс, имеющий целью

могущий выразить

его адекватно.

требует бесконечное количество
адекватно

никогда

выразиться вовне;

нечто

выразить,

Иррациональное

и так как это количество

не выполнимо и не достижимо, то

процесс, всегда становление,

(поскольку для
и

границ). Пусть

знаков

мы ни

точностью

мы имеем

притом

формы. Оно

фактически достижимых
число

извлечении этого

получили при

факт,

корень

V2

корня

мы его ни вычисляли, мы никогда не

в покое числовой

практически

иррациональное

—

.

пределов

Сколько бы

и с какой

получим

этот не есть

но всегда

чис¬
всег¬

—

алогическое становление

иррациональное

выражения для этого корня, ибо

вающий

и

него нет никаких

поэтому

внешних актов счисления, чтобы

ло никогда и не имеет законченной внешней
да

но никогда не

число

только

бы

точного

четкий, пребы¬

процесс

и

ало1

гическое

становление.

Вычисливши его с точностью до

,

1000000
мы получим число 1,414214, каковое, конечно, совсем не выражает
заданного корня

в точности,

кого такого извлечения

конечного

мы и ставим обычно после вся¬

корня многоточие, выражая

этим идею бес¬

процесса, через который должно быть выражено ирра¬

циональное
Но и

почему

число.

рациональное

число есть не только чистое отрицание, или

алогическое становление, но оно есть еще и

переносит центр
характеристику

тяжести на

того

дробность. Дробность

внутреннее содержание

внутреннего

числа и дает

в числе, что именно должно

быть

выражено при помощи бесконечного алогического процесса. В
чем же заключается внутренняя сущность иррациональности, если
внешне последняя есть бесконечное алогическое становление?
Эта внутренняя сущность может являться только частично. Дру¬
гое дело

—

в

случае

с

рациональным
531

числом. Там

внутреннее це¬

V.

ликом

проявлено

Переход

к

специальной теории

во внешнем, и в нем

го, что было бы не

уже

числа

не остается

проявлено. В иррациональном

остается нечто невыявленное и

а

невыраженное,

рассмотрении оно оказывается даже

ровно

ниче¬

же числе всегда

при ближайшем

невыразимым, недо¬

и совсем

статочным для адекватного выражения. Однако нечто здесь все-таки
выражается. И
может

не только нечто здесь

простираться

ла может

как

выражается,

угодно далеко,

быть выражена

и

но это

любой точностью, хотя

с

ной. Если бы речь шла не о числе, а о

выражение
чис¬

внутренняя сущность
и не с

какой-нибудь

абсолют¬

вещи, то невы¬

разимая тайна ее обладала бы предметным характером и говорила

судьбах данной

бы о каких-то неведомых еще

вещи. Но математика

оперирует только с числом, и поэтому невыразимое имеет здесь ис¬
ключительно числовой характер. В математике мы не можем назвать
невыразимую стихию числа

каким-нибудь

собственным именем,

ибо этого имени здесь нет. Мы можем здесь только чисто формально
сказать, что выражаемое в иррациональном числе не выражает всей
его

внутренней сущности

целиком и что она является здесь только

отчасти, только частично, что она должна

дробиться,

чтобы быть

выявленной. Вот почему, математически рассуждая о внутреннем
содержании иррационального числа, можно сказать только то, что
оно

дробно,

понимаемое

дробность,

что оно есть

внутреннее содержание

а не целость и что только так

числа и может находиться в

диалектическом синтезе с алогическим становлением.
нить, что

синтез

иррациональное число, как

внутреннего

говорить

о

выражении. Это

и

рациональное,

пом¬

тоже есть

и внешнего в числе, но что этот синтез должен

невыразимом

тренним, которое

и

Будем

и

невыражаемом

в числе, т. е. о частичном

побуждает диалектика считать дробность тем
внешне

вну¬

выражено как иррациональное число.

4. Эта последняя мысль требует специальной фиксации. В ирра¬
циональном

треннего

синтезе точно так же мы находим тождество

рациональным числом,

иррациональном
вполне
Но тут

смыслу,

с той же

силой,

что и в

рациональном

числе.

по

своему

тип тождества, оно

формально-диалектически

дество, что и в

вну¬

разница с

что в последнем налично это тождество, а в

совершенно иной

хотя

не в том

его нет. В иррациональном числе это тождество

присутствует
—

рациональном. И

и внешнего, как и в

рациональном

оно

—

—

другое

ровно

такое же тож¬

числе. Смысл же этого нового тожде¬

ства заключается в том, что оно есть инобытие первого тождества,

532

§ 100. b) Иррациональное
что

первое тождество переходит здесь

и тем

свое

раскрывает

тические

раньше,

дробности,
же

крепко

которых рождается

а именно

противоположность

а не о целости.

это

новое

противоположные тем;

именно об

пришлось говорить

в свою

внутреннее содержание. Поэтому

из

элементы,

иные, чем

число

отрицании,

Отрицание

и столь же интимно и

а не об

тождество,
нам

поэтому

утверждении

дробность

и

неразрушимо

и

и диалек¬

и о

слиты здесь так

в синтетическое тож¬

дество, как и полагание слито в синтез с целым числом в

случае ра¬

циональности.

эта

невыразимости внутреннего, то, во-первых,

Когда говорится

о

невыразимость

не

крайней мере

в

утверждается здесь абсолютно,

по

некоторых отношениях тут необходимо устанав¬

ливать полное тождество

даже невыразимое

и внешнего.

внутреннего

принималось здесь

диалектической точки зрения
некое тождество между

внутренним

и внешнего, что

совершенно

лектической критики. Когда

мы

внешним,

хотя бы и очень мало,

полная

не

выразима;

и о

значительное, все же можно сказать.

так как только

в

разорванность вну¬

выдерживает никакой диа¬

говорим,

этим самым мы нечто о ней все-таки

если бы

случае устанавливалось бы

и в этом
и

Однако

абсолютном смысле, то с

в

дуалистической метафизике признается
треннего

так что

что вещь

невыразима,

выражаем; и, значит,
ней нечто, хотя бы

то

она как-то,

и очень не¬

Но раз о вещи можно утвердить

хотя бы некое малейшее смысловое качество, то отсюда выводимы
решительно все диалектические категории. И поэтому, строго го¬
воря, с диалектической точки зрения не может быть никакой вещи,
абсолютно непознаваемой; и, значит, хотя бы
шении всегда можно

выразимым
тренняя

и

Итак,

и внешнего как

внутреннее невыразимо целиком

а внешнее не есть
менчивая и
Итак:

устойчивая

приблизительная

иррациональное
—

и

и цельная

отно¬

между

отрицание

и

не¬

вну¬

рациональном числе;
раз

и

и показывает здесь,

выразимо
картина,

только частично,

а только вечно из¬

величина.

число

внешнего инобытия числа, когда

сти, а второе

некотором

внешнее

вполне тождественны в

внутреннего

в

то или иное тождество

в вещи.

выражаемым

дробность

это тождество
что

установить

есть тождество

первое

на стадии алогически

внутреннего

взято на стадии

и

дробно¬

становящейся отрицатель¬

ности.
Или

короче: иррациональное

число есть тождество

533

внутрен¬

V. Переход к специальной теории числа

ней

дробности

и внешней алогически

становящейся отрицатель¬

ности.

5. В особенности
менить

ясна

Возьмем

геометрически.

которого оба
Если один

катета

природа иррациональности,

по 1 единице

другой

тоже 1 см, то, по

—

V2

ра, гипотенуза должна равняться

при¬

прямоугольный треугольник, у

содержат, например,

катет =1 см и

если ее

.

нальное, но тем не менее гипотенуза

измерения.

теореме Пифаго¬

Хотя это есть число иррацио¬
нечто вполне

—

реальное; это

самая обыкновенная линия, которую можно измерить как угодно
и только вся

точно,

особенность ее
с

в этом отношении заключается

длиной

катета. Возьмем

в том, что длина ее

несоизмерима

и в нем диагональ.

Диагональ квадрата, выраженная через сторону,

равняется стороне, умноженной

V2

на

.

Опять тут иррациональная

величина вполне реальной геометрической линии.

вписанный
ние от

круг. Если

центра круга до

стороны
*

в

квадрата

; и, таким

считать
точки

радиус круга

за

то

квадрат,
расстоя¬

пересечения, например, вертикальной

одной

на

Возьмем

единицу,

с горизонтальным диаметром

образом,

квадрат

и

той

же

будет равняться

линии окажется и от-

V2
резок, равный радиусу круга,
равный

.

т. е.,

по

и

условию, единице,

отрезок,

На одной и той же линии помещаются и рациональ¬

ные, и иррациональные точки. Все эти примеры, которых можно
приводить сколько угодно, при всей своей

вскрывают
ние

—

весьма

и в

сущности

элементарной простоте

весьма таинственное явле¬

совмещение рациональности и иррациональности на одной и

той же

прямой линии. Что это значит и как это возможно? Очевидно,

иррациональных
и

глубокое

точек может быть здесь сколько

рациональных. Расположены

одинаково густо,

те и

другие

и они в полном смысле

на

угодно, равно

одной

и

перекрывают одни других.

Объяснить эту таинственную структуру иррациональной
можно только на основе

как

той же линии

величины

вышепроизведенного диалектического

ис¬

следования.
А именно, это взаимное
нальных точек на

одной

перекрытие рациональных

и той же линии показывает

что мы имеем здесь дело не с отдельными
ниями и

утвержденностями,

бесконечного

иррацио¬

прежде всего,

изолированными

но с алогически

полага-

отплывающей бездной

количества становящихся точек.

534

и

Тут

все как бы слито

§101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

прерывная величина

в одном нерасчлененном потоке становящейся линии; и как бы мы
его ни измеряли, т. е. какие бы конечные и изолированные единицы
меры мы к нему ни применяли, он все равно остается неизмеренным
и, стало быть, неизмеримым. Но во-вторых, так же ясно, что эта не¬
прерывная текучесть пронизывается вполне определенными сече¬
ниями, отдельными от тех сечений, которые произведены со сто¬
роны рационально размеренных количеств. Ясно, таким
что есть сама линия, есть ее

се алогически

отрицательности

мерами, цельными друг

мерами, дробными друг

в отношении

превращаются

в отношении

друга. Когда

рассекается дробными мерами,

становления

и есть сечение

становящуюся отрицательность,
—

новление

перекрытие

образом,

новым слоем, создающим

в те или иные

этой

друга,

и

алогическое ста¬

то последние в

условиях

дробящиеся структуры.

И

следовательно, поскольку внешняя алогическая перекрытость линии

действует во
настолько

ступает

всем этом диалектическом обстоянии на

внутренне, изнутри определяющая дробная структура

тоже на

первый

и есть

вы¬

план, внедряясь во внешний алогический

поток в виде тех или иных вполне реальных

Это

первом плане,

дробящихся структур.

иррациональность.

§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

прерывная вели¬

чина

1. а) Можно еще продолжить характеристику иррационального
числа, пользуясь также одним из приемов общей диалектики.
ем этот заключается в том, что,

рассматривать тезис
за; также

и

самый синтез

в свете синтеза

стику, детализирующую то,
есть не что иное, как

получивши синтез,

и антитезис, но уже в свете

При¬

вновь начинают

полученного синте¬

получает иную характери¬

что было выведено

раньше. Такой метод

углубление и детализация полученного синтеза,
и

без этого педантического приема, а

что можно было бы

достигнуть

просто путем более

подробного раскрытия полученного синтеза. Но

I юдантизма
им

тут

нечего

бояться, так как порядок и

в хаос математических

представлений,

система, вносимые

никогда не могут быть

вредными. Раз есть А и есть В и они тождественны с С, то это воз¬
можно только тогда, когда и Л, и 5, и само С могут быть представле¬
ны в свете полученного С и когда станет ясным, что же,

случилось сАиВ,

собственно,

когда они вступили в общее тождество и слились

до неразличимости в С. Этот прием вносит весьма интересную дета-

535

V. Переход к специальной теории числа

лизацию изучаемого синтеза: отрицание

нальность;

и мы

получаем тут ряд

—

дробность

—

иррацио¬

очень важных и ходовых понятий

математики.

Ь) Итак,

что такое

в свете

отрицание

иррациональности?

поставленный, вопрос этот звучит не совсем понятно

разъяснений. Еще

и

отрицание. Чистое отрицание
новление.
числом,

есть становление, алогическое ста¬

Когда это становление было отождествлено с

оно

само

абсолютизировалось

замерло на месте, превратившись

отрицательным числом;
числом, а

но

берем отрицание

что

с

сделать

и

как

то,

что

мы

не

себе,

само по

в свете

рассматривать

нужно

в

сейчас

Во что оно

алогическое становление.
станем

как диалектика понимает

раз вспомним,

еще

Так

требует

и

абсолютным

бы остановилось,

математика

берем

т. е.

называет

абсолютным

связаны

его как чистое

превращается,

иррациональности? Другими

чистой

словами,

алогического

отрицательностью

становления, чтобы получить из него

мы его

если

Собст¬

иррациональность?

венно говоря, алогическое становление уже само по себе есть нечто
иррациональное, хотя еще

и не есть

иррациональное

число.

Ирра¬

ционально оно потому, что оно внутренно нерасчленимо, сплошно, да и само название «алогическое»,

мя, есть

то же, что и

значит, что

число.

новления есть нечто
в свете

нами все

«иррациональное», хотя, повторяем,

отрицательно данное

иррациональное

употребляемое

Однако

вре¬

это еще не

становление тем самым есть уже

если чистая

иррациональное,

то

иррационального может быть

отрицательность

вопрос

только

о ней как о

вопросом

ста¬

данной

о том, что

делается с отрицанием, если внести в него именно момент числа,
момент

устойчивой

числовой структуры, какую мы нашли

в

ирраци¬

ональном числе. Чтобы не сбиться с ясного диалектического

будем твердо помнить,
тельность
с
и

что это не может быть внесением в

структуры абсолютного числа,

отрицательным числом. Когда

объединяем

мы

пути,

отрица¬

что мы уже имели в

случае

берем чистую отрицательность

ее с абсолютным числом, мы, как надо помнить, по¬

лучаем отрицательное

число. И сейчас речь не об этом. Мы вносим в

чистую отрицательность момент нс абсолютного числа, т. е. момент
не того числа, о
тельное или
т. д.

котором

нельзя сказать ни того, что оно положи¬

отрицательное,

(стало быть,

ного числа. И

число

поэтому

ни того, что оно целое или

просто),
в

но как

раз

—

момент

дробное,

иррациональ¬

результате должно получиться уже
536

и

никак не

§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

прерывная величина

просто отрицательное число, а нечто другое. А так как в отрицатель¬
ности уже есть иррациональность и мы не уничтожаем ее отождест¬
влением с абсолютным числом, то внесение в нее момента ирраци¬
онального числа есть не что иное, как внесение момента числа, но
без остановки становления, являющегося сущностью отрицания, а,

наоборот,

с

этого становления,

сохранением

мыслимо вносимое сюда

Но что же

иррациональное

получается? Надо

внести

поскольку без

него не¬

число.

устойчивую числовую струк¬

туру в стихию чистого становления. Прежде чем к этому приступить,
сделаем еще одно предварительное
нание.

Иррациональное
и само

измеряющее

число

трехсоставно:

измерение. То

рациональном, иррациональном

содержание,
ном

же и в

вернее,

в нем есть

внешнее инобытие и тождество того и

выразительном

лике.

Следовательно,

как она входит

в

определенного

устойчивой

иррациональное число,

и внешнего,

даваемую

процессе

взаимоотношение своего

числе. В

внутреннее

другого

в еди¬

чистую отрица¬

числовой структуры,

мы вносим сюда и

с точки

их взаимоотношения.

щееся число, являющее в

внося в

напоми¬

измеряемое,

рациональном

и мнимом числе есть

тельность и в становление момент

внутреннего

замечание или,

зрения

антитезу

того или иного

Значит, получится

своего становления

становя¬

определенное

внутреннего и внешнего содержания. Вот к

какому результату мы приходим, если начнем рассматривать чистую
отрицательность действительно

в свете

иррационального

синтеза.

Теперь мы можем перейти и к терминологической фиксации
изучаемой диалектической позиции. Число, рассмотренное с точки
2.

зрения антитезы внутреннего и внешнего в условиях чистого ста¬
новления, есть переменная величина. Эта категория

величины, как она ни проста сама по себе,

требует

переменной

диалектического

разъяснения, потому что эта простота есть простота только вычис¬
лительная, а не диалектическая. Диалектически же

эту категорию
уж
как она употребляется в
не так

просто. Сущность переменной величины,
математике, сводится также к

ной структуре, поскольку самая категория
сения сюда момента

иррационального

выявлена здесь в том смысле, что
своей

формулировать
трехсостав¬

ее возникает на почве вне¬

числа. Эта

1) переменная

трехсоставность

величина в основе

содержит некую внутреннюю числовую структуру,

структура

может

ляющиеся по

принимать

сравнению

что

2)

эта

те или иные числовые значения, яв¬

с нею самою внешним ее

537

выражением, и,

V.

наконец,

3)

Переход к специальной теории

что эта

структура

числа

не только может

принимать разные

фактически принимает их и в действи¬
образом, совершенна и не остается неизменяе¬

числовые значения, но и

тельности,

таким

мой. Ни один из этих моментов не может быть исключен из понятия

переменной

величины, но они возникают лишь на почве сравнения

чистого становления с синтетической

рой;

внутренно-внешней структу¬

когда мы говорим, что радиус в круге есть величина постоянная

для данного круга, то это постоянство возможно только как резуль¬
тат сравнения численного, т. е. внешнего, значения радиуса с самим
радиусом, понимаемым как некая внутренняя значимость. И когда
мы говорим, что расстояние от центра тяжести качающегося маят¬
ника до точки его равновесия есть величина переменная в процес¬
се качания, то и тут самое суждение об этой
возникает только в

результате сравнения

переменной

величин этого

с самим расстоянием, взятым в наибольших размерах.
слоя

три

—

тождество

внешний

внутренний,

расстояния

Везде тут

и возникающее из их

имеются в элементарно очевидном и

—

величине

эти

сравнения

непререкаемом

виде.
3. Но

обще,

переменной

и само понятие

что вполне возможна и

тализация. Прежде

величины все еще настолько

необходима

также и

дальнейшая де¬

всего само собой понятно, что раз есть

ная величина, то должна быть и постоянная величина.

величину
ращение

перемен¬

Постоянную

иногда и определяют в математике как переменную, при¬

которой равно нулю;

разом, вид переменной

постоянная величина есть, таким об¬

величины. И нет

нужды распространяться

трехсоставности категории постоянной величины, потому
отношение

окружности

к

величина постоянная, то

когда

1)

3)

утверждать

этому отношению

есть полная

фактическая

быть изменчивым. Это
то, что постоянная и
в состоянии

кругах одинаково

и есть

это можно, естественно, только

2)

есть отвлеченная мысль о

меняться в связи с размерами

круга

невозможность для этого отношения

элементарно очевидно. Очевидно

переменная

величины находятся

также и

между собою

взаимной противоположности, что если одну из этих

категорий принять
сом.

во всех

есть в уме само это отношение,

возможности
и

диаметру

в

что если

как тезис, то

другая будет обязательно

антитези¬

Будем считать постоянную величину тезисом той общей сферы

становящейся отрицательности, которая рассматривается
свете

иррационального

нами

в

числа. Тезис всегда ведь есть только потен¬

538

§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

ция антитезиса и как бы сам антитезис, но в

прерывная величина

нулевой форме.

И есте¬

ственно постоянную величину принять как тезис и переменную как
антитезис, хотя в порядке нашего исследования и ради определен¬
ных целей понятности мы пришли сначала к

ровно с

и хотя

тем же

считать тезисом,

а антитезисом

Интереснее вопрос,

реснее то,
лью дать

что же

4.

Тут

матики,
ны

к

единый диалектический

сразу и постоянной,

если мы зададимся це¬

переменной величиной.

и

фундаментальных

понятий всей мате¬

особенности математического анализа;

соблюсти сугубую осторожность,

непрерывной

Что непрерывная величина есть вид

перемена

Перемена

Непрерывно

непрерывность

В,

но чтобы этот

странно

где

переход

время

не

переходила

не только
не

приводил вещь

отрывалась

с иной точки зрения, но

действительно

меняться. Но

поскольку

непрерывно, необходимо еще дополнительное

чтобы точка А в то же
ни

есть также вид постоянства.

непрерывным, надо, во-первых,

условие. Необходимо, чтобы вещь
к точке

величины,

непрерывной, и прерывной. Но должно быть

и то, что

не всякое изменение

переменной

то, что меняется или что может

предшествует непрерывности, ибо

логически

может быть и

столь же ясным
Чтобы быть

непрерывности,

величины.

это ясно само собой.
меняться.

и здесь мы долж¬

субтильность диалектического

исследования. Именно, здесь рождается категория

а)

синтез. Инте¬

этому

возникает одно из

и в

из соединения постоянной и

внешнее тождество алогически становящего¬

ся числа, являющегося

Перейдем

величине

постоянную. Интереснее другое.

категория возникает,

какая новая

внутренне

—

получится

величин в один

переменной

переменной

правом можно было бы переменную величину

нет ни малейшего

к

от точки А

разрыву,

т. е.

от точки В. Как это

непрерывность

—

только там,

перерыва между отдельными

моментами изменения вещи. Иначе для чего и

термин? Однако отсутствие перерыва между

употреблять

такой

отдельными момента¬

ми изменения есть в конце концов какое-то отсутствие различия

между

ними. Они

различны так,

тождественными между собою,

что в то же

время остаются вполне

как и тождественны они

своего различия. Но величина, которая меняется так,
дельными моментами ее изменения нет

уже

не есть величина

постоянная. И таким

в

меру

между

от¬

ровно никакой разницы,

переменная. Это, наоборот,

образом,

что

—

величина вполне

постоянство и изменение должны в

539

V. Переход к специальной теории числа

одинаковой мере войти в непрерывность, которая и есть такое из¬
менение, что изменяющееся остается постоянным, и такое постоян¬

пребывает в измененном. Непрерывность без
только абстрактное и неподвижное тождество раз¬

ство, что постоянное
изменения есть
ных

теоретически установленных

смысловых моментов; в ней нет

никакого движения, так что неизвестно, как же

происходит переход

от одного момента к другому в случае, именуемом как непрерывное
движение.
стихия, в
кого

Непрерывность без

которой

постоянства есть чисто алогическая

становится неизвестно что и в

расчленения, так

которой

что неизвестно, что же именно

В обоих случаях непрерывность

вполне

ностью и становится прерывностью.

нет ника¬

непрерывно.

перестает быть непрерыв¬

Итак, непрерывность есть безу¬

словное тождество постоянства и изменения.

Ь)

Мало

безусловным

этого.

Можно

ли

тождеством

назвать

непрерывность
и

постоянства

изменчивости?

только
Такое

определение и наименование было бы совершенно правильным,
если бы всегда отдавался точный отчет в

употреблении терминов
обращают внимание на
то, что оба эти понятия указывают не на плоскостную, но рельефную,
«постоянство» и «изменчивость». Обычно не

а

именно

трехсоставную, структуру. Постоянным

может быть только то, в чем есть
и внешнего и

в чем эта

первых,

или

мы

есть нечто само по

Тогда,

размеры.

величину,
антитеза

то

уже видели, переменно то, что,

себе,

—

скажем, число,

внешние значения,

—

—

и

тем

мы

внутреннего

во-вторых,

фактически

именуем данную величину переменной.

постоянная

самым

а

во-

скажем, количественные

зная, что эти значения здесь наличны

потенциально,

Раз переменная

переменным

противоположность внутреннего

противоположность определенным обра¬

зом уравновешена. Как

принимает разные

и

в

величины

в

непрерывную

и

уравновешенная

Непрерывно то,

в чем внутреннее

последнюю

и внешнего.

вошли

вошла

и внешнее так совпали в единое нерушимое тождество, что уже
нельзя сказать об этом тождестве, постоянно ли оно или переменно,
и необходимо говорить, что оно в одинаковой мере и постоянно, и
переменно.
Что было бы, если бы имелось только одно тождество постоян¬
ства и изменчивости, и в это тождество не вносилась бы антитеза
внутреннего и внешнего, и понятия постоянства и изменчивости
обладали бы чисто плоскостным характером, не указывая ни на что

540

§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

прерывная величина

внутреннее и внешнее? В этом случае мы имели

становление, которое
не есть сама

непрерывность, ибо

ление плоскостно,

о

поскольку

может быть и

в нем

оно

—

первый результат

лишь

само по

голое и

и самого

не ставится

себе,

не

синтеза бытия и

треннего

совсем не та,

и внешнего, есть только

ность есть уже приложение

турно

как становление;

турное оформление
вопрос: перешло

ли

не может не

взятое без антитезы вну¬

принцип,

в то

время

как

непрерыв¬

принципа. Становление

этого

и та

непрерывность

же есть

не

струк¬

определенное струк¬

самого становления. В становлении поставлен

бытие

тельно: да, бытие здесь
Совсем

структурно,

небытия;

которая давала бы структуру

Становление,

становлению.

вопроса

трехсоставность бытия, небытия

тоже налична

становления),

уже готовому

но

непрерывное,

реальность, которая ему свойственна (а реальность тут

быть, поскольку тут

пустое

прерывным. Станов¬

совершенно

характере становления. Оно, взятое

ибо

[бы]

хотя и мыслится вначале как

другой вопрос

в

небытие

перешло

в

или нет? И

небытие

и

разрешен

синтезировалось с

в

сфере непрерывности.
сфере непрерывности шла бы речь

стоит ли на месте данная вещь или

интересуемся, когда говорим

о

ним.

Если бы здесь

стоит в

стоял такой вопрос, то

положи¬

о том,

развивается. Но разве этим

непрерывности? Тут

мы

вовсе дело не в

том, движется ли данная вещь или покоится. Этого очень мало для
понятия непрерывности.

Дело здесь

в том, что вещь
уже

становлении, что становление здесь уже

щается
именно

ни

при

сформировано

каких условиях, и только

тут становление,

какова

говорится

пребывает
и не

в

прекра¬

о том, какое же

структура этого становления. Имен¬

сфере непрерывности ставится такой вопрос: если мы будем
придавать становящейся величине то или иное значение, то будет ли
но,

в

эта становящаяся величина

функционировать по-старому

Становление уже налично, уже действует,
одинаково оно
или ином

будет действовать,

направлении,

влияние на самое

и

если оно

или же это

или нет?

спрашивается: всегда

будет действовать

ли

в том

направление действия оказывает

действие? И когда

имеется в виду

непрерывность,

ответ гласит: никакое направление становления, т. е. никакое
ление его в количественные отношения, не

действует

оформ¬

на становле¬

ние как на становление, и последнее остается самим собою в тече¬
ние всего своего

в

ясно

протекания через разные

количественные значе¬

происхождение антитезы внутреннего

Тут
переменной

ния.

величине наличны,

во-первых,

541

и внешнего.

сама числовая

Как

струк¬

V.

тура,

а

во-вторых,

Переход

к

специальной теории

числа

ее количественные значения, так в

непрерывной

величине наличны, во-первых, становящаяся числовая

во-вторых,

структура,

те или иные ее количественные значения. Как в

переменной

случае

а
с

величиной мы устанавливаем подвижность ее количе¬

ственных значений при неподвижности внутреннего остова, носи¬
теля этих значений

пустоте
=

тела

981 см/сек2,

ности самой
ной мы

в

(например,

зависимости

мы имеем

в

от

формуле пути

переменные

формулы для g()),

так и в

на себе эти

и

=

^gQt\

где

в

=

ga

величины 5 и t при неподвиж¬

случае

устанавливаем непрерывность

при неподвижности

S

t,

времени

5 падающего

с

непрерывной

величи¬

ее количественных значений

прерывности внутреннего остова, носящего

непрерывно становящиеся значения, т.

вижности самого принципа становления,

в

при непод¬

е.

которое погружена дан¬

ная величина. Упомянутая формула для пути падающего тела

случае

толкования величин как переменных, и в

их как

непрерывных

—

случае

—

и в

толкования

одинаково предполагает один основной и

первоначальный факт, а именно, что тело падает. И только этот об¬
щий для обоих случаев и внутренний для своей

факт по-разному проявлен

вовне.

Когда

мы

внешней значимости

говорим

о

непрерывной

величине, то точки применения к ней той или иной количествен¬
ной значимости настолько близки одна
слиться и

фактически

другой,

что они

уже

готовы

сливаются. В этом и заключается вся особен¬

(уравновешенная) вну¬
треннего и внешнего равно в той же мере свойственна непрерывной
величине, как и просто переменной.
5. Если мы вспомним те рассуждения, которые обычно сопрово¬
ность непрерывности, а противоположность

ждают
легко

в математике

убедиться,

тему

что эти

о

непрерывных

рассуждения

величинах и

функциях, то

возможны только на основе

развитого здесь диалектического учения.

Элементарное определение непрерывной
в математике к

тому,

что

величины

разница между двумя

сводится

значениями данной

величины может стать меньше любой заданной величины. Если
данная величина именно такова, что к любой точке ее становления
применимо условие исчезающе малого расстояния ее от

точки,

то эта величина

—

непрерывна.

Уже тут выясняется необходимость вводить
ности

соседней

как тождество постоянного и

542

в понятие

переменного, так

непрерыв¬

и тождество

§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная
и

внутреннего

внешнего.

Первое

и

величина

прерывная

тождество

собою всю

образует

стихию алогического становления, без которого не могло бы про¬
исходить движение, по исчезающе малым расстояниям; второе же
тождество

обусловливает

собою антитезу самой величины с теми

или другими ее отдельными значениями.
Далее, хотя

мы еще не

раскрыли

базируясь не на диалектическом,
понимании,

привлечь сюда

и

функции, все же можно,

понятия

а пока на чисто математическом ее

обычное определение непрерывной

функции. Как известно, функция называется непрерывной
точке z тогда, если ее значение в

данной

угодно точностью выражено через
условии

данной

точке может быть с какой

другое

достаточной близости аргументов

словами, для непрерывности
но,

всякое

в

ее же значение при

х к этой точке,

функции/(х) необходимо

другими

и достаточ¬

чтобы если есть какое угодно малое положительное число е, то

всегда существует тоже другое число 5

точек, где

|r

—

z\<

=

8(e),

в

силу которого для всех

е, существует также неравенство

l/W -/(?№■
Иначе:
Нт
X^Z

В точке z

функция указывается

тем пределом, к

которому стре¬

мятся значения любого ряда чисел, стремящихся к пределу z. Если
х стремится к z как к своему пределу, то этот предел равен как
значению

функции

от х, когда х станет

раз

равным z. Это определение

непрерывной функции обязательно предполагает,

1) уже

что

есть

становление двух величин, т. е. тождество постоянства и изменчиво¬
сти, становление
что

2)
3)

связанных

это становление облекается в

иные значения,
что

функционально

откуда

эта новая

антитеза

само становление,

теоретически

ной функции точно так же,

новую форму, принимая

внутреннего

форма развивается
как и

между собою величин,
те или

и внешнего, и, наконец,

так же последовательно, как и

взятое. Иначе

вообще

в

говоря,

в

непрерыв¬

непрерывной

величине,

чистый алогизм и нерасчлененное становление объединяются с ан¬
титезой внутреннего
количественные

Говоря
стоит

(основная структура)

значения) содержания.

о том,

как

определяется непрерывность

привлечь рассуждение Дедекинда

ственных чисел,

(отдельные

и внешнего

с

которым

мы

о сечениях в

в

уже столкнулись выше,

543

математике,

области веще¬
в

[§ 60.7].

Ак-

V.

сиома

Л,

числа

чисел гласит, как мы помним,

области вещественных чисел А

мы имеем две

которых известно,

или к

специальной теории

к

непрерывности вещественных

следующее. Пусть
о

Переход

что каждое вещественное число

и

В,

принадлежит

или кВ и что всякое число а из Л меньше всякого числа b из

В. Называя

разделом

эту границу, делящую область

или сечением,

получаем следующую аксиому непрерывно¬

сти вещественных чисел:
ных чисел

сечение

Дедекинда

всегда одно,

определяет

число s так, что всякое

всех вещественных чисел,

a<s,

и

в

области веществен¬

только

всякое b> s.

Сразу

одно, вещественное
как

будто

бы не вид¬

но тождество этой аксиомы непрерывности с развитым у нас уче¬
нием о непрерывности. Но отдадим себе отчет
аксиома.

Тут

развивается

в

есть часть ограниченного и что

время есть часть ограничивающего,
ограниченного
и

границы, которая

общей диалектике. В общей диалектике доказывается,

1) граница

что

в том, что значит эта

имеется в виду та самая диалектика

и

т. е. что

ограничивающего

специального места,

Такую границу,

и в то же

время

которое бы

сферы вещественных чисел,

и

граница отличается от
с тем

способность ее отделять

незанимаемость ею никакого

имело хоть

или сечение, можно

в то же

граница тождественна

и

другим. Это обеспечивает для границы

одну область от другой,

2) граница

какие-нибудь размеры.

провести

в

любом месте общей

и во всяком таком месте все числа, при¬

мыкающие с одной стороны, подходят к этой границе настолько
близко, что вполне сливаются с нею, равно как и все числа, примыка¬
ющие с

другой стороны,

тоже подходят к ней настолько

близко,

что

сферы вещественных чисел и
называется непрерывностью. Существует только одна и единствен¬
ная точка, разделяющая обе сферы чисел. И если бы общая сфера
вполне сливаются с нею. Это строение

вещественных

чисел

была

бы

прерывна, то граница, отделяющая

здесь одну область от другой, отнюдь
местах

разрыва

эта

граница

не везде была бы

имела бы то или иное

рое измерялось бы уже линейными мерами,
сто

точкой,

не

имеющей

ни одного

Теперь спросим себя:

вещественных чисел,

ном значении чисел а и

и В?

Совершенно

Ь,

будем

про¬

утверждать непрерывность

знать ничего о количествен¬

входящих в ту или иную область чисел А

же понятно, что

нарастание вещественных

кото¬

а не оставалось бы

утверждать существование раз¬

можно ли

если мы не

протяжение,

В

измерения.

можно ли

дела Дедекинда и, стало быть,

равна точке.

чисел

общая линия, символизирующая

при передвижении

544

слева

направо,

§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

прерывная величина

должна быть здесь ещераз перекрыта новым слоем исчисления, кото¬

рый бы

показал, что реальные количественные значения отдельных

ее точек могут

приближаться друг

к

другу как угодно близко, вплоть

до полного слияния. Стало быть, оба основные момента, входящие
понятие

непрерывности, здесь налицо

образом уравновешенная противоположность вну¬

и определенным

треннего
То

в

алогическое становление

—

и внешнего.

же самое

необходимо

включения, которая
рывности. Пусть

сказать и о той

является

нам даны

ваются вложенными один в

теореме,

прямым выводом

т. н.

интервалы прямой так, что

другой, причем

теореме

из аксиомы

непре¬

они оказы¬

длины этих интервалов

уменьшаются как угодно много и становятся меньше всякой любой
заданной величины. В таком случае и возникает теорема включения:
существует всегда
лежит всем

стремятся

одна,

и только

интервалам одного

к этой точке.

подвергается

одна, точка, которая принад¬

включения.

Здесь еще виднее

то

Интервалы

включения

перекрытие, которому

данная линия, когда мы укладываем на ней все мень¬

шие и меньшие интервалы. Из этого перекрытия ясно и само дока¬
зательство этой теоремы. Доказательство это заключается в том, что
если бы было две таких точки включения, а не одна, то длина всех
интервалов не могла бы быть меньше расстояния между этими точ¬
ками или в
длина

крайнем случае равнялась бы ему,
может стать меньше любой

интервала

Все время, значит, идет
нии, а

во-вторых,

а мы

заданной

о ее новом

отношение

между тем

и

другим. Первое, конечно,

есть

внутренний остов для второго, являющегося

чем-то внешним и,

рассуждая, даже необязательным; третье

первого

и

ли¬

перекрытии, и, в-третьих, устанавлива¬

определенное

альное тождество

что

величины.

разговор, во-первых, об определенной

ется

отвлеченно

условились,

же есть специ¬

второго. Все три момента разыгрывают¬

сфере чисто алогического становления (в
бесконечно
данном случае
дробящихся интервалов).
6. Три категории
постоянная величина, переменная величина
ся, кроме того, всецело

в

—

и

непрерывная

величина

—

освещены нами достаточно для наших

целей. Все они определены как синтетическое тождество внутрен¬
него числового содержания и его внешнего

фактического осущест¬

вления, в чем их полная аналогия с иррациональным числом. И все
они являются не чем иным, как стихией алогически становящейся
отрицательности,

рассмотренной

в свете

545

иррационального числа,

V.

или

—

Переход

к

специальной теории

числа

иррациональным числом, рассмотренным

становящейся отрицательности. Наметили

мы и

в свете алогически

между этими тремя

категориями определенное взаимоотношение. Они связаны между
собою

как диалектическая

триада,

являясь тезисом, полагает собою
вижное», т. е.

же,

в

которой

постоянная величина,

упомянутое тождество

какразлично-самотождественное бытие,

являясь антитезисом, дает это тождество как

прерывная величина,

и наконец, не¬

являясь синтезом бытия и инобытия в некоем

утверждает общую определенную единичность

внутренней дробности
стоянного и

переменная

подвижное ино¬

бытие, точнее, как устойчиво подвижное инобытие;

новом становлении,

как «непод¬

и внешней

переменного. В

отрицательности

как синтез по¬

формулиров¬
сферой для

точных диалектических

ках эти три категории имеют

следующий

вид. Общей

них является алогически становящаяся отрицательность, рассмо¬
тренная как иррациональное число, т. е. как тождество

дробности

и внешнего алогического становления, или,

внутренней

наоборот,

—

это самое тождество, рассмотренное как алогически становящаяся
отрицательность.

Отсюда

и

—

наши

формулы.

Постоянная величина есть тождество
сти и внешней алогически

внутренней дробно¬
становящейся отрицательности, дан¬

ное как алогически становящаяся

отрицательность

—

в своем

(не¬

подвижном) самотождественном различии.
Переменная величина есть тождество внутренней дробности
и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как
алогически становящаяся

в своем

отрицательность

устойчиво¬

недвижном инобытии.
Непрерывная

величина есть тождество

сти и внешней алогической

отрицательности, данное

алогическое становление. Или:

ство

внутренней дробности

ности, данное

Короче:

постоянная величина есть

в своем подвижном

нальность как

ность)

переменной

различии, переменная

становящийся

синтез

переменной

определения

отрицатель¬

величин.

иррациональность

инобытии; непрерывная

постоянной и

Все эти

непрерывная

как новое

величина есть тожде¬

и внешней алогической

как синтез постоянной и

самотождественном

внутренней дробно¬

—

в своем

иррациональность

величина

—

иррацио¬

(или определенная единич¬

величин.

и введенные для них

мать исключительно так, как это было

546

термины надо

разъяснено

в

пони¬

предыдущем

§101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

прерывная величина

анализе. Всякое малейшее отклонение от принятого выше понима¬
ния терминов способно превратить все эти

смыслицу. Так,
сто

нельзя

арифметически

формулы

полную бес¬

в

«отрицательность», «отрицание» понимать

или

чи¬

здесь есть диа¬

алгебраически. Отрицание

лектическое инобытие утверждения, а не просто действие, которое в
математике обозначается знаком минуса. Дия подчеркивания этого
обстоятельства в

формулу

введены слова «алогическое» и «становя¬

щееся», хотя, строго говоря, достаточно было бы
один из этих
что момент

употреблять только

терминов. Нечего, далее, удивляться, например, тому,

«дробности»

введен в определение постоянной величи¬

ны. Постоянство как противоположность изменчивости содержит в
себе последнюю на стадии нуля, т. е. потенциально. А всякая измен¬
чивость возможна только там, где имеется частичная проявленность,
т. е. некое

дробящееся

и «бытие»

нужно

дробное
формулах так,

и, следовательное,

понимать в этих

эту категорию в общей диалектике: бытие здесь
нечто,

—

основание. Так же

как мы понимаем
полагаемое

твердо

или, вернее, пока еще не перешедшее от чистой

устойчивое

положенности ни в какие иные качественные обстояния. Это имен¬
но и закрепляет алогическое становление на одной точке и превра¬
щает его длительную стихию в неподвижную значимость постоян¬
ного количества. И т. д. и т. д. Разъяснять эти термины во
не стоит.

Нужно

определенном

только напомнить, что эти

и

специфическом

термины

то от этого

существо

не изменилось бы. Важна в конце концов не словесная

оболочка

термина,
7.

а его

внутренняя

смысловая значимость.

Три изученные категории

цельной иррациональности
циональное число,

дробное

—

получится

отрицания. Но

погрузить

отрицания

его в стихию

Надо,

трех указанных категорий,

чистое становление;

застигала там

мы

алогически

чистую иррациональность

547

ирра¬

внутренней

в свете

стало

быть,

Когда

ирра¬
взять

стано¬

мы сделали

погружали иррациональность

становящаяся

рывно текучую форму становления,

и

иррационально

вящегося тождества постоянства и изменчивости.
вывод

в

мы знаем, что

рассмотрена

из этого?

в свете

рассмотрение

первого момента, входящего

также может быть

что же

число, но

возникли как

а именно в свете

дробности. Последняя
циональности. И

—

есть синтез внешнего

иррациональность

в

строго

лучше было

значении. А даже если

бы употребить какие-нибудь другие термины,
дела

второй раз

взяты в

и

т. е. в

отрицательность

превращала

ее в

непре¬

непрерывность. Теперь,

V.

Переход

наоборот, выступает
вый план,

но

специальной теории

к

числа

не внешнее алогическое становление на

внутренняя дробность,

предметом внимания. Но

иррациональности главное

в

пер¬

и она является здесь главным

это опре¬

—

образом данное тождество внутреннего и внешнего. При
разнообразных категорий это тождество внутреннего

деленным

выводе трех

и внешнего дано внешними

средствами.
внешнего

ми. В

и

алогически становящимися

притом

Теперь же мы должны дать это тождество внутреннего

внутренними

и

притом дробно

осмысленными

и

средства¬

первом случае все отдельные моменты текучей иррациональ¬

ности сливаются

(а

или иные

в

сти разрываются
числового

одну непрерывную массу,

быть,

может

и

все)

моменты

во

втором

же

случае

те

текучей иррационально¬
силы

внутреннего

содержания. В первом случае мы, придавая

те или иные

ввиду привхождения дробящей

количественные значения

данной величине, убеждаемся,

что любая

точка становления этой величины способна подвергнуться той или
иной количественной значимости без риска прервать

протекание самой

величины в смысле

Мы сравниваем тут возрастание или
личиной и

убеждаемся,

возрастания

убывание

равномерное

величины с самой ве¬

что величина продолжает везде

так же, как и раньше. Иная картина

—

в новом

убывания.

или

действовать

случае, когда привхо¬

дит внутренняя дробность.

Тут

протекание величины в том

или ином направлении. Но тут, начиная

сравнивать эти

ной,

нарастающие

тоже

продолжается непрерывное

значения величины с самой величи¬

мы находим, что отнюдь не всегда и не везде эти значения

обла¬

дают способностью соответствовать равномерному действию самой
величины. Сама величина,

потому надо, чтобы

эта

рывном протекании
частичная,

т. е. ее

дробность как-нибудь отразилась

величины.

непрерывность,

ветствовала в качестве

внутреннее содержание, дробна;

а не та полная,

непрерывность?
как

которой раньше

т.

е.

соот¬

числового содержания целость.

Частичная непрерывность

есть прерывность. В прерывной величине

рациональность, которая дана

непре¬

Должна получиться дробная,

внутреннего

Но что такое частичная

на

и

мы и находим

такую ир¬

внутренняя дробность

числового

содержания.
В

прерывной

антитеза

величине, как и в

внутреннего

нальное и как

и

непрерывной,

внешнего,

имеется обычная

синтезированная

как

рацио¬

иррациональное число. Но когда эта антитеза

та внешне-становящимся

материалом, тогда
548

в

зали¬

ней не проявляется

§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная

и

прерывная величина

никакое начало, которое бы вносило ту или иную раздельность или
расчлененность в

образующийся общий непрерывный
Когда же

новления величины.

начинает

поток ста¬

выступать дробность вместо

алогического протекания, непрерывность начинает внутренне раз¬
личаться

и

разделяться

и

—

переходит

в свою

противоположность,

в

величину прерывную.
Таким образом, прерывная величина есть тождество внутрен¬
ней дробности и внешней алогически становящейся отрицатель¬
ности, данная как внутренняя дробность. Или короче: прерывная
величина есть

иррациональность, данная

как

внутренняя дроб¬

ность.
Можно и здесь

расчленить

три последовательных

понятие на

диалектических этапа, отграничивая непрерывность
и тем полагая для нее

прерывные границы,

ние

вовнутрь непрерывности

три

нее самой и, наконец,

непрерывности,

или

и тем полагая

—

сначала извне
внося

давая чистое и общее понятие

—

дробле¬

различные границы вну¬

дробной

прерывности вообще. В первом случае

лучим непрерывность в
ленными точками; во

третьем, наконец,

потом

—

определенных пределах,
—

втором

непрерывность
в

прерывную величину

т. е.

мы по¬

между опреде¬

в одной точке и в

общем

и

собственном

смысле слова.
Кажется, примеры прерывной величины для демонстрации
шеизложенного понятия

прерывности

вы¬

излишни. Но все-таки возь¬

какую-нибудь прерывную функцию и отметим на ней указан¬
ные нами моменты этой категории. Пусть имеется функция tgx, при
возрастании х от 0° до 90° тангенс возрастает от 0 до +оо. При даль¬
мем

нейшем увеличении х от 90 до 180° тангенс изменяется от
моменте, когда угол равняется
от +оо мгновенно

переходит

90°, происходит разрыв

к —оо. Имея это в

гориальные

речь

касалась становления и,

просто

чески меняться,

изменение,

есть

и какие кате¬

конструируют? Нужно, во-первых, чтобы
во-вторых,

становящегося х. X должен быть

этот а не

до 0. В

виду, спросим себя: что

нужно для осуществления этого разрывного момента
моменты его

—оо

тангенса и он

не

просто становления,

переменная величина,

причем это

но изменение, в

но

переменной величиной. В-третьих,
но он должен и

изменение есть опять-таки не

факти¬
просто

котором бы целиком воплощалось ста¬

новление как таковое, т. е. изменение

непрерывное. И вот, наконец,

изменяется от 0 к

90°, мы, наконец, вдруг замеча-

когда х непрерывно

549

V. Переход к специальной теории числа

ем это удивительное явление, что данная
и лишается своей

непрерывности. От

исключительно от
генса,

который

внутреннего

именно

потому,

функция tgx разрывается

чего это зависит? Это зависит

чисто смыслового
что он

—

содержания

тан¬

тангенс, производит раз¬

рыв в точке 90°. Стало быть, необходимо, в-четвертых, чтобы внеш¬
нее непрерывное изменение х получало отдельную структуру от

внутренней

значимости этого

значимость х

протекание

действует

х. На этом

рии прерывной
нение,

как

tgx

tgx. В
и

—

в

данном случае эта внутренняя

определенной

примере совершенно

ясно

точке

разрывает

участие

в катего¬

величины таких моментов, как становление, изме¬
и внешнее и синтез

непрерывность, внутреннее

внутреннего

и внешнего.

Между прочим,

на этом

примере

с тангенсом

прекрасно видно

дробности, которое мы употребляем
употребляли раньше. Дробность у нас не есть просто ариф¬
метическое понятие. Дробность есть целость, данная в своем инобы¬

то диалектическое понимание

здесь и

тии так, что имеется только это инобытие целости, а не сама целость.
В этом смысле тангенс есть

дробящая

и

дробящаяся стихия, потому
дроблению цельно¬

что ее внешний результат приводит к разрыву и
го, структуры становления.

§ 102. Предел
Если мы рассмотрели

первый

момент

иррационального

числа

(становящуюся отрицательность) в свете самого иррационального
постоянной, перемен¬
(и получили три особые категории
ной и непрерывной величины), если мы, далее, рассмотрели второй

числа

момент

—

иррациональности (внутреннюю дробность)

иррациональности (и получили еще новую категорию

величины),

—

то

теперь необходимо рассмотреть

нальное число

(как синтез

циональности

и

внешней алогически

внутренней дробности)

нальности. Что значит рассмотреть

первоначальном

и чистейшем

структура

иррацио¬

иррацио¬

иррациональность в свете самой

существе?

найти самый ее перво-принцип. Иначе

в ее

существе,

в

Это значит рассмотреть

исходную сущность,

можно сказать так.

есть синтез, она должна быть

го момента, для тезиса триады.

прерывной

само

в свете самой же

самый исток иррациональности, определить ее

эта новая

самой

становящейся ирра¬

иррациональности, т. е. рассмотреть ее как таковую,
ее

в свете
—

Поскольку

границей для перво¬

Граница должна дать первоначальное
550

§ 102. Предел
очертание сущности, определить

ее

смысловую природу,

чить ее от всего, что не является ею. Найти
значит

уметь провести границу

отличивши это нечто от всего

где

же нам искать самый

быть,

или

быть

ясно отли¬
—

перво-принцип

это и

в состоянии сказать нечто,

прочего. Так

вот и возникает

вопрос:

перво-принцип иррациональности и,

стало

где же находится смысловая граница, определяющая эту ирра¬

циональную сущность и дающая ее определенную и

значимость? Где

эта смысловая законченность

как называется этот новый синтез

специфическую

иррациональности

и

внутренней дробности и внешней

алогически становящейся иррациональности, синтез, уже освобож¬
денный от самой иррациональной текучести
ее

первопринципом,

ее

и

являющийся

внутренней закономерностью

лишь

и исходным

первоначалом?
Этот перво-принцип

циональности

есть

и

эта

внутренняя закономерность ирра¬
то, что в математике называется

предел, вернее,

пределом.
2. Эта
четкого

силу
в

фундаментальнейшая категория

разъяснения,

и

всей математики

тут диалектика должна

требует

показать всю свою

Иррациональность имеет свой первоисток
внутренний исходный перво-принцип ирраци¬

и основательность.

пределе. Предел

—

ональности. Чтобы

усвоить

это

учение об иррациональности, надо

произвести ряд отграничений.
а) Предел
лированно

го

не есть

голая и

просто

абстрактная

пребывающая сама в себе.

образованы

по

типу -А_

,

т.е.,

Если взять

полагая

идея числа, изо¬

ряд,

члены

п=\, 2, 3

которо¬

взять ряд,

”+'

12 2
2

,

3, 4

и т. д., то на основании

легко видеть, что

пределом

этого

ряда

является 1. Равным

образом,

если взять ряд

то при возрастании п j\q бесконечности мы получаем в качестве пре¬
дела 0. Эта единица и этот нуль, являющиеся пределами двух после¬

551

V. Переход к специальной теории числа

довательностей, сами по себе
единицы

есть

никакой речи. Так

пределы. Смысл

взятые, отнюдь не есть

просто единица,

и ни о каком

же и относительно нуля.

пределе тут

Пределом 0,

нет

ровно

1 и всякое

другое число становится не само по себе, не в силу своей чисто аб¬

страктной

значимости, но исключительно лишь в силу того, что оно

является некоей

силу того,
но

притягивающей

что оно

силой для других величин, т. е.

перестает быть изолированным

заряжается некоей числовой заданностью

влекает

к

в

и голым числом,

и как

бы издали при¬

себе целую бесконечность определенным

образом распо¬

ложенных величин.

Так,

в

первом примере единица,

лом последовательности, тянет к себе

тягивает

к

являясь

преде¬

эту последовательность, при¬

себе наподобие некоего магнита целую массу каких-то

своеобразных

математических точек. И об этом мы знаем не просто

из числового значения единицы

(не

имеющего, понятно, никако¬

го отношения к последовательности или

той смысловой сферы,
определение предела

в

пределу),

которую погружена

но из

характера

Значит,

эта единица.

в

обязаны внести момент закономерности

мы

протекания последовательности, постепенно

мере дальнейшего распространения

осуществляемой по
Предел есть

этого протекания.

размерность, расположенность и упорядочен¬
ность процесса, динамический смысл и закономерность построения
всегда та или иная

последовательности.

Предел

не есть

просто ординарное

ло или величина, но он есть смысловой
новления.
в

Отсюда

первоисток

начинает становиться понятным, что

некотором роде иррациональность, рассмотренная

нальность же, т. е. он есть

зрения

не

просто

своего

иррациональное

протекания

и

предел

как

становление

текучести,

голое чис¬

числового ста¬
есть

иррацио¬
—

с точки

но с точки

зрения

смысловой закономерности этого становления. Это есть сомкнутая
и

неразвернутая закономерность

вая

заряженность
—

цип

числового становления, смысло¬

этого становления,

методический его перво-прин¬

и чистая возможность.

Но точно так же предел не есть и та или иная
величина, возникающая на его основе. Эта
на не есть самый

жение
ни

предел,

предела. Если

3,1415

но именно лишь

взять число л, то это л не есть ни

приближение, как бы
но лишь приближение к

и т. д. Никакое

не есть самый

приближенная
приближенная величи¬
приблизительное выра¬

предел,

3,14,

ни

3,145,

оно далеко ни шло,

пределу. Отдельные

приближенные выражения предела суть конечные, изолированные
552

§102. Предел
количества, никуда
целью и

не

стремящиеся

и ни для чего не являющиеся

предельной причиной. Предел виртуален,

или, что то же,

предел есть смысловая цель и задание для некоего числового ста¬
новления. Каждое же отдельное выражение предела ровно ничего не
говорит о самом пределе и, само по себе взятое, ничем принципи¬
ально не отличается ни от какого любого числа вообще. Если чис¬
ло, точно выражающее предел, например е, не есть обыкновенное
число, но указывает лишь смысловой перво-принцип и потенциаль¬
ную закономерность становящегося ряда, то число,

выражающее предел,

пределом, а именно число,
к

щееся

емый

пределу. Само

стремящееся

по себе число

знаком е, но если

число,

выражающее (если брать

как

таковое),

его тоже в

брать

ни число,

пределу, притягиваю¬

не есть предел,

его в контексте
так же, как

пределу

для него неким смысловым магнитом.
точно его

к

2,1718

рассматривать

то оно влечется к

отношений,

приблизительно

также есть особое число, если его связывать с

Итак, предел

его само по

приближенно

предел

является

не есть ни число,

себе,

его

выража¬

предельных

т. е. как

просто

выражающее (если

изолированном виде), ибо предел

есть смысловым

становления, а не отдельные

образом заряженный перво-принцип

становящиеся моменты, хотя бы и взятые в самом конце станов¬
ления.

с) Вполне
Когда

мы

понятно и то, что

имеем

становление

к

числовую

пределу,

но

не

предел

не есть само становление.

самый

предел. И тут

оперировать изолированными величинами,
и все величины, относящиеся к

то

последовательность,

это

есть

также нельзя

хотя бы даже это были

данной области. Взять

все моменты,

из которых состоит становление данного ряда, совсем не значит
взять
то

предел

предел,

этого

но

заряженности
заменено

взятый

как

ряда. Это будет ряд, которому свойствен какой-

не самый
и

предел. Тут

также

не

хватает смысловой

потенциальной оформленности,

изолированной структурой
таковой,

тоже есть

некая

и

тут также

это

(ибо становящийся ряд,

неподвижность);

становится

становящееся, но само становление не становится, оно неподвижно,
как

и

оно

не огонь и

огонь

жжется,

но

огненность

не жжется.

есть

Нужно брать

отвлеченное

не

исходную закономерность, развертывающуюся
последовательности,

потенциальную

ления.

553

понятие,

становление,
в

но его

определенной

упорядоченность

станов¬

V. Переход к специальной теории числа

d)

Не поможет тут также и антитеза внутреннего и внешнего,

ибо эта

антитеза слишком

обща

и

она

в

входит уже

простое

рациональное число, не говоря уже об иррациональности.

как

для

вполне

чего-то

Конечно,

внешнего.

правильно,

и

предел

отношению к чему всякое

чем-то внешним. Но

такое

противопоставление

есть на самом деле нечто

внутреннее,

по

приближенное его выражение оказывается
тут еще

это не только так, и

определения предела. Это один
само

Предел

внутреннее для приближенного выражения предела

не есть только

из

моментов

нет логического

определения,

но

не

определение.

е) Наконец, предел

нельзя понимать и как нечто обязательно

иррациональное. В вышеприведенных примерах, где пределом
1

оказывается

или

0, совершенно ясно,

иррациональность. Наоборот,
Однако предел

не есть и нечто

уместна

не жжется, или с

треугольность,

0

не

есть

рациональны.

который

Тут

опять вполне

хотя и жжется, но понятие огня

треугольником, который

понятие

ни

обязательно рациональное. Исток

рациональности не есть нечто иррациональное.
аналогия с огнем,

1,

ни

что

эти величины вполне

хотя и

треугольника отнюдь

точно так же нет никаких оснований считать

треуголен,
не

но сама

треугольно. Но

предел

и чем-то

обяза¬

тельно рациональным. Точное числовое выражение предела может
быть рационально (как

уже знаем,

в

вышеприведенных примерах 0

что точное числовое

выражение предела

как

и

1),

раз

но мы

не есть

предел.
3. После

всех этих

гораздо более

отграничений

ясным и по

понятие

крайней мере

предела

выясняется та

становится

область,

где

нужно искать определение предела.
Основной вывод предыдущих
щему.

Предел

есть

отграничений

закономерность

ходящаяся не вне его и не в

сводится к следую¬

алогического становления, на¬

каком-нибудь

отдельном его моменте,

но имманентно присущая всему становлению и внутренне
ляющая его протекание.
ние

Это, собственно говоря,

предела. Однако дадим

это

определение

в

и есть

оформ¬

определе¬

более расчлененной

форме.
а) Ясно до всякого рассуждения, что 1) предел может существовать
только там, где даны не просто устойчивые

и взаимно

изолированные

числовые структуры, но—только там, где нал ична стихия становления.
Алогически становящаяся

отрицательностьтолькоиможетобеспечить
554

§ 102. Предел
продвижение к пределу, и без этого становления предел превращается
просто
что

в

обыкновенное неподвижное

такое

бытия

и

и

изолированное

число.

Далее,

становление? Становление есть отвлеченное тождество

инобытия, и

в нем еще не

то, как оно становится.

раскрыто

ни то, что становится, ни

Необходимо, следовательно, чтобы было

то,

что становится, т. е. необходимо, чтобы становление потеряло свой
плоскостной

(в

смысле

предметного безразличия) характер

рельефным, перспективным. Для
было изменением, т.

чтобы

была

налична та

2)

и стало

становление

величина,

которая

чтобы становление стало предметно расчлененным.

и

становится,

е.

этого надо, чтобы

Предела здесь, конечно, еще нет, так как неизвестно еще о способах
данности этого изменения. Покамест известно только то, что есть
какая-то величина, которая как-то меняется, т. е. есть числовая антитеза

Спросим себя: можно ли мыслить предел без
того, чтобы каждый отдельный момент становления не приближался
внутреннего

к

и внешнего.

этому пределу? Конечно, вполне можно себе представить, что

переменная

величина

тем не менее,

к

своему пределу прерывно,

к

пределу. Прохождение через прерывную область

приближает

пределу. Нужно только, чтобы

ее к

но

она все же должна

проходя через прерывную область,

приближаться
же как-то

стремится

в

все

более глу¬

боком смысле непрерывность все же была налична. Если есть прерыв¬
ность

в

абсолютном смысле, то это значит, что становление мыслится

здесь прерванным

в

абсолютном смысле, т. е.

переставший быть пределом. Так

нельзя

предела. 3) Становление должно быть
изменением

прерывным
тие

—

и

предел

мыслится как

представлять себе существо

не только изменением, но и не¬

для того, чтобы

образовалось

само поня¬

предела.
Ь) Будем вдумываться дальше. Что еще надо присоединить сюда

и

чего не хватает для

получения предела? Пусть у

непрерывное изменение
предел. Функция синуса,
периодически

в

одни

и

величины. Не всякая
или
те

нас есть некое

непрерывность

имеет

синусоида, например, возвращается

же

точки

и

ни

к

какому пределу

не

стремится. Значит, из одной непрерывности мы предела не получили.
Чего

же

тут еще не хватает? Очевидно, наша непрерывность должна

получить какую-то определенную структуру,

непрерывности,
загадка

по-видимому,

предела. В

процесса.

понятии

Непрерывное

и

кроется

предела

изменение

555

и

мыслится
должно

в

вся

этой

структуре

диалектическая

еще
быть

направление
направлено

V.

Переход

специальной теории

к

чтобы стремиться именно

определенную сторону,

в

Но для

изменения

другого.

все

же

один момент

различали

сравнивать,

судить о направлении изменения.
момент

непрерывности

мы

непрерывность везде разная,

от

получаем

изменения с

то есть и возможность

различать один

Но что значит

другого?

от

пределу.

непрерывности

сравнивать один момент непрерывного

а если есть возможность

к

при всей непрерывности

мы

мы это различение производим, то

Если

возможность

другим;

необходимо, чтобы

этого

числа

Это прежде всего значит, что

т. е. что эта

непрерывность внутренне

прерывную структуру. Из недр этой
выбиваться
должна
непрерывности
наружу, навнешнююповерхность

прерывна,

что

она

имеет

непрерывного изменения,

дробление

такая

структура, которая бы обеспечила

единого непрерывного процесса на любое количество
их взаимном

отдельных моментов, определяющих при

сравнении

общую направленность процесса. Эта дробящаяся непрерывность
обусловливает собою особую направленность изменения,
сейчас видно,

что и этого еще недостаточно для

хотя

уже

конструирования

категории предела.
4) Должно быть,
и

непрерывность,

ление,

которое

по

быть,

стало

не только становление, изменение

но еще и такое

непрерывно-изменчивое

своему внутреннему смыслу дало

дробящееся.
с) Не может

быть

станов¬

как становление

только

дробности. Чистая прерывность
помешала бы понятию предела. Пробивающаяся изнутри дробность,
определяя собою прерывные точки общего процесса становления,
не может мешать тому, чтобы непрерывность все же продолжала както

функционировать. Это, мы сказали, прерывность относительная,

т. е. она как-то

на

почве

становления,

один

объединяется

объединения

с

непрерывностью. 5) Предел

непрерывных
к

направленного

из этих моментов, как

и
и

пределу;

предел тут

прерывных

же

сразу

моментов

только

стоит
и

возникает

удалить

уничтожается,

—

при удалении непрерывности перестает существовать движение
и

приближение

возможность

к

пределу,

судить

обоих случаях

о

предел

и

при удалении прерывности исчезает

самом

наличии

перестает быть

этого

приближения.

пределом

или

В

перестает

функционировать как предел.
4. а) Можно
но

меняющееся

ли

удовлетвориться этим? И

становление,

имеющее

556

этого мало.

Непрерыв¬

определенную прерывно¬

§ 102. Предел
непрерывную структуру,

прерывности
ко,

не

и

непрерывности. Когда идет речь

принимаем

во внимание эти

прерывные

менты как таковые, хотя им и свойственна

Предел

—

комбинацией

оказывается той или иной
о

пределе, мы, одна¬

или

непрерывные

мо¬

определенная структура.

легче и как бы идеальнее всей этой массивной телесности

реального становления, т. е. реально построенного числового ряда,
или последовательности. Он есть сама

скомбинированностъ

определенным образом скомбинированные. Существует то

бы и
иное

чередование прерывных

ния, и

план и закон этого

непрерывных

фигурность

становления

реальной числовой

план и то, что

этого

чередования. Вот

внедрены

чередования, опре¬
он-то и

самую гущу становления,

в

в

формулировать

—

этот

порядке абстрагирования,

эту смысловую фигурность извлечь

следовательности и

интересен

последовательности они неразрывны

ему подвержено. Однако,

ничто не мешает

или

моментов становле¬

а не сама стихия становления. Этот план

для конструкции предела,

и в

и

существует определенный порядок

деленный

или

комбинация или, вернее, сама

этих моментов, а не самые эти моменты, хотя

из самой по¬

самостоятельно. В таком виде,

т. е. в виде смысловой закономерности чередования прерывных и
непрерывных моментов, становление уже гораздо ближе к пределу,

который и надо определить, как 6) структуру, или комбинацию пре¬
рывности и непрерывности.
Ь) Еще один шаг, и мы получаем

Упомянутая
потоку

структура,

или

комбинация,

вполне

имманентна

становления. Но она не только имманентна. Имманентизм
есть

становлению

все

же

некоторая

потоку становления, распростертость

тому

точное определение предела.

как

в течение потока. Но

упомянутая структура прерывностей

глубины

из

извлечена

и

становления

но и совлечь в

и

совлечена

самостоятельную данность, так необходимо

данной структуры

непрерывности
с

Конечно,

плотности

свое целое или свою целость в

фигурность
—

в

некую

тоже извлечь ее идею и смысл и не только извлечь,

и самостоятельное значение.

не

него

из этой самостоятельно

каждой своей точке,

так что сама-то по себе эта цельность имеет вполне

та

этому

подобно

новую самостоятельную данность. Всякая фигурность

содержит ведь

предела

по

распределенность

Нужна

со всеми

нужна. Надо

сжать

ли для

подробностями
эту

определенное

конструкции категории
своего

строения?

структуру до максимальной

так, чтобы она превратилась вместо развернутого вида
557

V. Переход к специальной теории числа

в одну заряженную смысловую точку, в одно напряженное задание,
готовое излиться каждое мгновение вовне и предопределить собою
числовую последовательность

—

любой длительности

и

протяжения.

Структура непрерывно-прерывного ряда должна исходить

напряженной точки, которая
ни

просто непрерывность,

не есть уже ни

7)

но

из

одной

просто прерывность,

происхождение, рождаю¬

закон и

щее лоно и перво-принцип, осмысливающий собою развитую не¬
прерывно-прерывную структуру становления.
5. Это, наконец, и есть предел

в математическом смысле слова.

И из этого анализа вполне выясняется диалектическое место

ла.

Первый

из

преде¬

указанных пунктов, становление, заставляет признать

существенную роль категории отрицания, вернее, алогически ста¬
новящейся отрицательности. Второй пункт, изменение, вносит
новление

с

антитезу внутреннего

и внешнего,

которая,

о том, что с

третьим пунктом, непрерывностью, свидетельствует

категорией отрицания тут

ближайшую

ставится в

рациональность. Непрерывная величина,
внутреннего
го синтеза.

и внешнего в

условиях иррациональной текучести

ния);

второго

момента

и

оказывается так же

это¬

Четвертый пункт, вну¬

предел

первом,

в

в

иррациональности (кроме

категории преде¬
чистого отрица¬

заинтересованным

лектическом моменте иррациональности,
как и в

ир¬

Иррациональность, стало быть, погружена здесь в стихию

тренняя дробность, свидетельствует об участии
ла

связь именно

как мы знаем, и есть синтез

алогически становящейся отрицательности.

—

в ста¬

в соединении

во

во

втором диа¬

внутренней дробности,

чистой отрицательности. Пятый и шестой пункты из

вышеупомянутых, т. е.
и

чередование непрерывности с прерывностью
фигурная структура этого чередования, подчеркивают синтети¬

ческую природу предела
а

седьмой,

момент

Предел
алогически
в своем

в ее смысловом

алогически и

дробности. Отсюда
есть

категориальную самостоятельность,

перво-принципности, доказывает,

об иррациональности
перво-единство

и его

становящейся отрицательности, данное

ность, данная

в своем исходном

предел

и

внешней

как таковое

есть

иррациональ¬
перво-принципе. Или еще: предел

(или метод) построения иррациональности,

альная закономерность

речь идет

предел есть

формула предела.

внутренней дробности

исходном перво-принципе. Или:

есть закон

что

непрерывно становящейся числовой

и диалектическая

тождество

перво-истоке,

что

иррациональной стихии.
558

потенци¬

§ 103- Продолжение
§ 103. Продолжение
Если

мы

основные

пересмотрим

носящиеся к

о

учению

пределах,

то

в математике, от¬

определения

нетрудно будет убедиться,

что

работает категориями, которые только что
формулирует их, конечно, чисто математиче¬

математика здесь также

были

хотя и

развиты,

ски, а не диалектически.
1.

Прежде

деление
знать,

обратить

всего стоит

точки

скученности,

что такое

окрестность. Если

некую величину е, могущую
интервал Л

ны, то

—

е

Л +

...

угодно малой

интересное опре¬

сгущения. Для

мы имеем

этого

нужно

некую точку Л

и имеем

заданной

величи¬

стать меньше любой

е называется

вот, точка А называется точкой
сколько

внимание на

или точки

окрестностью

сгущения множества,

точки Л. Так

если в любой

окрестности А лежит еще бесконечное коли¬

чество точек.
Так, для последовательности 1,

1,1
2

0, а для последовательности,
строенные по закону

1

и

ществуют две

А, 1, А
2

3

точки

будут здесь

точкой сгущения является
0 и 1, а также числа, по¬

содержащей

+1 (при

1

п

...

3

п целом и

положительном), су-

п

сгущения,

а именно 0 и

1,

в то

время

т.н. изолированными точками, т. е.

в

как числа

окрест-

4

ности которых совсем нет точек данной последовательности. Это
скромное на

первый

взгляд утверждение о точках сгущения по свое¬

му логическому составу предполагает решительно все те категори¬
альные моменты предела, которые мы выше установили.
теза

цательность
к

и

внутреннего

точечным слоем;

другой

бящая
точек

—

в

тут

внешнего,
и

переходе

—

в

допущении

точки

расстояниях; тут

и

внутренняя дро¬

возможности бесконечного количества

деленная закономерность строения
—

в

расстояниях. Последнее
ного скопления точек

развито

—

смысловая

опре¬

точек на исчезающе малых

закономерность бесконеч¬

в понятии точки

и поставлено, как в

и

этого алогического скопления

расположенности
—

отри¬

бесконечного множества

при прогрессирующем уменьшении окрестности; тут

бесконечности

анти¬

внешним

алогически становящаяся

одной

на исчезающе малых

сила

перекрытие окрестности

непрерывно
от

Тут и

скученности еще

не так

других математических дефинициях,

559

от¬

V.

носящихся к

Переход к специальной теории

пределу. Однако уже

и здесь эта

числа

специфическая законо¬
вполне

мерность, порождаемая пределом, чувствуется
Стоит
в

только

случае, когда

ства,

как

есть

потому

предел

уже становится ясной

скученности

этого бесконечного множе¬

рассуждений
категориальной структуры предела вообще.

для понимания

2.

ощутительно.

она для данного бесконечного множества является

единственной и
—

обратить

внимание на то, что точка

вся важность этих

Более резко этот момент смысловой закономерности ряда,

стремящегося к пределу, выражен в известной теореме Больца¬
но

—

Вейерштрасса. Она гласит: «Каждое ограниченное бесконечное

множество точек имеет по крайней мере одну точку скученности».
Собственно, тут можно говорить

и о

неограниченном множестве,

так как ничто не мешает находить еще новые точки и даже

ное

их количество

—

в

бесконечностью. Другими словами, бесконечную точку
считать точкой

сгущения. Итак, имеется

граниченное множество,
ния,
что

или

тут

ли

что это значит? Это значит

количеством точек; и, таким

одному этому здесь у нас двухплановая структура,

объединяющего

все та же антитеза

прежде всего,

внутреннего

гораздо ярче,

образом, уже
—

чем в

которые

предыдущем

нами

т. е. опять

вообще тут об¬

понятии точки

скученности,

ражен момент структурного построения бесконечного

могут

дящими в бесконечное множество, когда все они

структуру

или эта точка

бы только

к

Предел

притягиваются

к

такую структуру,

точками исчезающе малы. Это есть впол¬

как бы издали

и вот она-то и

предопреде¬

располагает особым образом

точки бесконечного множества; он есть как бы
того числового поля,

множества.

оказаться вхо¬

сгущения, определяет собою специальную

определенная структура множества;

лена пределом.

вы¬

одному такому центру.

взаимного расположения точек, т. е.

когда расстояния между
не

хотя

тут

уже получены. Но тут

А именно, оказывается, что только тогда точки

каким-нибудь центрам или

по

Эта антитеза заполнена

и алогическим становлением. И

все те моменты,

наруживаются

и внешнего.

или ин¬

не считая момен¬

эти два количественные плана,

здесь непрерывным

Этот центр,

или нео¬

бы одна точка сгуще¬

представляем себе перекрытие некоей области,

тервала, бесконечным

та,

тоже нужно

ограниченное

в нем всегда есть хотя

скученности. Но

мы

бесконеч¬

окрестности той точки, которая именуется

принцип построения

которое именуется данным бесконечным

жеством.

560

мно¬

§ 104. Переход к
3. Еще ярче

эта

в

принципная природа предела выражена

знаке Коши для сходимости
вательности

мнимости

ряда,

т. е. для наличия в

при¬

данной последо¬

предела. Как известно, признак, установленный Коши

для сходимости ряда,

гласит

следующее. Пусть

мы имеем последова¬

тельность
а
р
ап,
2,
где п может стать сколько угодно большой величиной. Если абсолют¬
~

ное значение любой

количества е, то

упомянутый ряд

—

ат

меньше сколь

для всякого р > 0 было

(а п+р

—

угодно

малого

сходится. Пли точнее: как бы мало

>0, должно существовать такое

ни было е

(е)

разницы ап

а)<

п, чтобы для всякого

п0 >

п0

е.

Это условие необходимо и достаточно для сходимости ряда. Пре¬
стало

дел,

быть, превращает

последовательность чисел в такую упо¬

рядоченность, что между двумя его достаточно далекими от начала
членами разность может стать менее любой заданной величины. Он
создает последовательность как некую текучую иррациональность,
распределенную так или иначе в зависимости от числовой величи¬
ны предела.

предела
чем в

на

Упомянутая закономерность

учении Коши

о

и

перво-принципность

признаке сходимости

заметна еще

ярче,

предыдущих примерах.

4. Особая, специфическая структура сходящегося ряда, выражен¬
ная как некий

определенный принцип, хорошо,

—

пожалуй,

даже

формулирована признаке сходимости Далучше, чем у Коши,
ламбера. Как известно, по Даламберу, сходимость будет в случае, ког¬
в

—

да

предел

отношения

между соседними членами ряда ин+х

и

ин при

п—>оо, будет выражаться правильной дробью
lim

|

|= q
ип

при q
q

=

1

<

—

1

—

ряд сходится; когда q > 1

ряд неопределенный

его

ряд расходится; когда

в смысле сходимости.

ставление о подвижном отношении,

щем

—

пробегающем

Тут

по

дано пред¬

ряду

определенную полную структурность, зависящую

и

рисую¬

от

харак¬

тера предельной устремленности этой структуры.

$ 104. Переход
1.

Теперь

к мнимости

мы подошли к

просу, который до

сих

пор

огромному

и

принципиальнейшему

не нашел для себя почти никакой

561

во¬

фило-

V.

Переход к специальной теории

числа

софской формулировки и остается по настоящий день чисто мате¬
матической теорией, определяемой только одними математически¬
ми

интуициями, без

всяких

философское

не менее, отчетливое

фундаментальное
Диалектика

проблема

имеет целью

предмета. Диалектика

конструкцию
кретность

числа

конкретное

со всей

—

построения всей

(комплексных)

логическое

конкретностью

его

величин.

конструирова¬

логическую

построения. Кон¬

же чего бы то ни было возникает только тогда, когда дан

смысле живого

реальный образ,

числа

которые возникают

в

лое, дробное, бесконечное),
смыслового

не

образа

собственного оформления

могут претендовать

и своего

с точки

на

полную

числа. Эти числовые типы
в них не может не

кон¬

принци¬

быть своего

собственного, специфического

не были бы и самими

кретного оформления

нуль), равно

и

внутреннего гипостазирования (це¬

односторонни. Разумеется,

лика, ибо иначе они

на почве внешнего гипо-

(положительное, отрицательное

как и три типа, возникающие из

струкцию

оформление

его

предметного лика.

типа числа,

стазирования

пиально

мнимых

числа должна дать адекватно

и осмысленно обоснован его

Те три

понимание этой области имеет

значение для диалектического

математики. И это есть

ние

признаков логической обработки. Тем

собой. Однако тут нет кон¬

зрения отражения

в смысловой

сфере

полного лика числа.
Только там, где в числе привлечены
внешняя стихия, может

ном лике,

или

образе,

сразу

и его

элементарно очевидно. Только
числа к его внешне

с

субстан¬

данности может начаться рассуждение о границе числа,

об очертаниях числа, о его конкретном
всякая

внутренняя

быть впервые поставлен вопрос о конкрет¬

числа. Это

привлечением внутреннего содержания

циальной

и его

конструкция

в

образе и форме.

Но

и

тут

не

одинаковой мере построяет конкретный образ

числа.
2. В

рациональном числе, там, где впервые зародилась антитеза

внутреннего

и внешнего,

граница между

этим

ним не может, конечно, не наличествовать

мой

антитезы),

ществует,

но она

тут

а не положена

только

внутренним

(иначе

и внеш¬

не было бы и са¬

присутствует, наличествует, су¬

диалектически. Рациональное число уже

предполагает, что такая граница есть, но пользуется оно этой гра¬
ницей как некоей абсолютной данностью, положенной неизвестно
кем

и чем и

имеющей

неизвестное происхождение. В понятии ра-

562

§ 104. Переход к мнимости
ционального числа

ница

ровно

и какие смысловые

В рациональном

1)

числе

ничего не

говорится

о том, какова эта

категории затронуты для

ее

гра¬

порождения.

положена сама эта антитеза и

2)

дана эта

антитеза на стадии неразвернутого тезиса, т. е. когда внутреннее и
внешнее прикреплены одно к другому в качестве отвлеченных прин¬
ципов и внешнее еще не расползлось в бесконечность становления
и не увлекло с собою

образом,

внутренней структуры

числа.

Граница,

таким

здесь вполне на месте, но о ней ничего не известно, кроме

того, что она существует. В рациональном числе
ко самый

факт

данность, еще

границы, и,

как всякий

факт,

фигурирует

он есть

толь¬

тут абсолютная

не возведенная на степень понятия, не

вобранная

в

сферу чистого смысла.
Иррациональное число также немыслимо без антитезы внутрен¬
него и внешнего, без

быть, без

различения внутреннего

границы между ними,

наличия

цы вообще. Однако

и здесь нельзя

ложена как смысловая

нальной границы

от

и внешнего и, стало

т. е. немыслимо без

говорить

о том, что

категория. Единственное

рациональной

—

грани¬

граница

отличие

по¬

иррацио¬

то, что здесь она дана в ста¬

новлении, в движении. В рациональном числе граница существует
между взаимно прикрепленными сторонами,

внутренней

и внеш¬

ней. В иррациональном же числе внешнее инобытие перешло в ста¬
новление

утеряла

и

увлекло

с

собою внутреннюю стихию, отчего последняя

свою целостность и

новящаяся граница здесь так же
и неподвижная

граница

здесь уже данной
смысловой акт, в

3. Однако
разная

в

и

в

дробность. Но эта ста¬
не фиксирована категориально, как

превратилась

рациональном

используется

в

числе. Она

результате которого

она идеально возникла.

тут

намечается

пределах иррациональных структур уже

степень

конкретности границы

и

оформления.

рациональном числе граница только становится,
ней

предполагается

как данность, хотя и неизвестен тот

не известно. Но в понятии

и

В чисто ир¬

больше ничего

о

непрерывности эта становящаяся

граница внутреннего сливается с самим числом и, таким образом, по¬
лагается вместе с ним, полагается в

ности. Раньше

граница

меру

его собственной положен-

вовсе не была положена, а

бралась готовой,

как положенная неизвестно каким смысловым актом. В

ной

непрерыв¬

величине она слита с числом настолько интимно, что ее станов¬

ление оказывается

уже

становлением самого числа, а положенность

числа оказывается уже и положенностью ее самой. В

563

непрерывности

V. Переход к специальной теории числа

стихия границы, т. е. сама очерченность,

внутреннее содержание
некая

оформленность,

го и алогического,

числа и

или

оформленность,

объединилась

образность,

но

—

Но

категориальную структуру границы,

тут граница

и

очерченность

будет получена

чем

текуче¬
Если

бы

и диалектика числа

в основном закончена.

положены вместе с самим числом, и

потому предстоит еще диалектика разделения
прежде

получилась

пока на стадии

положены как такие, мы

конкретного смыслового образа была бы

как

вошла во

сплоченно-неразличенного становления.

граница, очерченность, образность были
имели бы

с ним, и

чистая и

этих

конкретная

двух моментов,

смысловая

фигур¬

ность числа.
В

непрерывной

фигурность

величине

числа положена вместе с

самим числом и алогически расплылась в нем.
вносит

различения

ла в самом числе. В

в

категории

же

предела впервые

и

прерывной

и

величине

и

внутрь структуры

ей определенную смысловую содержательность (пока
гического
своей

становления),

в понятии

едино-совокупной

чис¬

останавливается

фиксируется как некая
образность, вошедшие в не¬

стремление

структура. Оформленность

прерывной

величина

эту алогическую растворенность фигуры

это бесконечное алогическое
ставшая

Прерывная

и

придавшие

на стадии ало¬

предела впервые фиксируются

в

положенности, в своей ставшей, а не про¬

сто становящейся смысловой данности. Оттого предел есть ставшая

фигурность внутреннего

и внешне положенного числа,

щего во взаимно несоизмеримом подвижном алогизме.
положенность такой

ния, когда

этими

границы, такой структуры

границами

и

пребываю¬

Предел

и числового

структурами определяется

есть

очерта¬

алогиче¬

ский процесс становления числа, по существу своему бесконечный.

Непрерывность и прерывность слиты здесь в один процесс стремле¬
ния

выразить некую

общую структуру

и есть граница, предел

—

и в

общем,

становления, и эта структура

и в специально-математическом

смысле этого последнего слова.

4. Итак,
в

мы

получили до

неразрывном единстве

содержанием. Разная
сит от

разной

сих

с самим числом, с его

степень

степени

пор оформление числа,

конструкции

конкретности

положенное

внутренно-внешним

этого

оформления зави¬
Ниже (§ [ 111 а])

самого числа.

sinx
мы

увидим

на

трех типичных пределах

—

и л, как эта на

е,
х

564

§ 104. Переход
растающая конкретность числа,

чувствуется
(единицы) в

к мнимости

его

общеэнергийной

ность, т. е. сама очерченность и

фигурностью,

взятого вместе с его

вполне осязательно. Если

е есть стихия числа

предел

выявленное™, где сама явлен-

фигурность, еще пока

растворена во

внутренно-внешнем содержании числа и где нет раздельного

сирования формы

как таковой и числа как такового, то в

фик¬

пределе

sinx
а в

начинается, рождается,

пределе

л

завершается

и

наглядно

х

рисуется

оформленность

такая

полной с ним

неразрывности,

числа, которая хотя и

но

пребывает в
обрисо¬

осязательно на нем

уже

вывается, выпукло на нем выступает и оказывается в значительной
мере

для изолированного созерцания. В понятии л дано

доступной

наиболее наглядно это совокупное содержание границы величины
и ее внутреннего содержания
ношении того и

—

в

выявленном взаимоот¬

конкретно

другого. Здесь наиболее зрелый плод совокупного

полагания вещи вместе с ее смысловой

образностью

и

очерченно-

стью.

5. Следовательно,
ная

остается только

образность есть образность,

и мы

отбросить

получим уже чистую самостоя¬

тельную числовую образность, созерцаемую
гом и не в отношении

образность

как

чего-нибудь другого,

таковую,

как

новую

то, ради чего дан¬

и

не на

чем-нибудь дру¬

а вполне самостоятельно,

самодовлеющую субстанцию.

В категориях непрерывности, прерывности

и

предела

числовая об¬

разность была хотя и положена, но эта положенность была связана
здесь с

формой и степенью положенное™ самого числа и потому
не общую, а частную, вполне специфическую структуру.

получала

образности быть свободной структурой, и ее
нельзя было вписать в таблицу основных математических категорий

Это мешало числовой

как
и

самодовлеющую. Она тут

пока еще

совокупного обстояния образа-вещи
хию и

сосредоточимся

как самоцели, и

числа,

вполне

—

мы

играет второстепенную роль,

прикладное. Но

значение ее вполне

на

исключим

числа его

образности

как

из этого едино¬

«вещественную»

таковой,

на

образности

получаем уже совершенно новую категорию

свободную

и

самоцельную;

и

тут уже

не

будет

антите¬

зы внутреннего и внешнего как основного и единственного

ра (при котором граница была
само

сти¬

факто¬

бы чем-то второстепенным, хотя

собою разумеющимся), но тут
565

и

будет обратная тому ситуация:

V.

основную
разность

Переход к специальной теории

единственную роль играет здесь сама граница,

и

оформление,

и

а антитеза

няется здесь назад и начинает

совершенно необходимого
как

внутреннего

играть роль

и очень

но

фона,

второстепенного

и

резко выступившую вперед

фигурную сконструированность.
образность и фигурность
как отделенная от его внутренно-внешнего содержания чи¬
и

очерченность

Число,
стая его

данное как чисто смысловая

структурность,

анализу этой

К

и

сама об¬

и внешнего оттес¬

только смыслового

нужного,

бы окаймляющего выпукло данную

числа,

числа

и есть мнимое, или комплексное, число.

глубочайшей категории

математики мы теперь и

обратимся.
§

105. с) Мнимая (комплексная)

Мнимая величина может

точек

зрения,

величина.

Общее понятие

быть рассматриваема с

разнообразных
какое-нибудь

и в самой математике дается отнюдь не

одно-единственное ее определение, хотя,

безусловно,

чия являются только

разными сторонами одной

ческой конструкции,

и надо

уметь

их так связать,

и

все эти

разли¬

той же диалекти¬

чтобы действитель¬

но получалась единая конструкция.
1. Одно

величины

из самых

—

ляет собою

первых

и

элементарных определений мнимой

это то, что обыкновенно обозначается как i и

квадратный корень

из

представ¬

отрицательной единицы, V-T

•

Это вполне слепое определение мнимой величины, получаемое как
необходимое завершение понятия числа, совершенно не раскрыто
математике по

что никто

существу; и, кажется,

ровно

в

можно с полным правом сказать,

ничего не понимает в этом

выражении

V-T. В руко¬

водствах по математике эта мнимая величина трактуется просто как
необходимое следствие из желания проводить любые действия над
любыми величинами. Если бы мы не извлекали квадратного корня
из отрицательных величин, то в силу этого отпали бы весьма значи¬
тельные операции, появляющиеся тем не менее вполне естественно,
в порядке самых обыкновенных вычислительных приемов.
ция извлечения корня из
не естественно, и

поэтому волей-неволей приходится

нею. Но что она значит, что это,

дратный корень

из

Опера¬

отрицательной величины появляется впол¬
собственно,

отрицательного

числа

—

значит

—

считаться с
извлечь ква¬

этого, можно сказать,

ровно никто не знает. И потому это пресловутое i вводят нехотя, как
бы стыдясь столь

неприличной

вещи, и если вводят, то сейчас же

566

§ 105. с) Мнимая (комплексная)
стремятся избавиться от этого i и
и

величина.

перейти

Общее

понятие

к «вещественным» числам

операциям.
Это

наивное и смешное отношение к числу i было

результатом

определенной эпохи вульгарного материализма, видевшей конкрет¬
ное только в вещественном и не

подозревавшей того, что подлинная

грубом веществе, но в диалектике бытия в жизни,
пребывании живых противоречий действительности.

конкретность не в
в

рождении

и

Поэтому нашей

задачей является не стыдливо и боязливо прикрыть

этот досадный символ i и сделать вид, что тут нет ничего особенного
и что даже самое это i как бы не существует, а,

наоборот,

дать себе

отчет в полной ясности мысли о природе мнимой величины и без
всяких

ограничений

стеснений вскрыть решительно все те кате¬

и

гории мысли, которые вошли в это i

логическую и,

в частности,

2. Что такое (— 1)
полагание,

определили собой его обще¬

диалектическую структуру.

и что такое

утверждение. В

и

«квадратный корень»? Единица есть

отличие от всякого

другого

числа едини¬

факти¬
субстанция, единица же сама по себе есть полагание мыслен¬
ное, смысловое; это идеальная субстанция. Отрицательная единица
есть отталкивание от положительной единицы, т. е. от фактически
положенной субстанции, и
отталкивание снова в идеальную,
ца есть полагание как такое. Положительная единица есть

ческая

—

смысловую область,

и

притом

с новым

содержанием. Отрицатель¬

ная единица, как мы знаем из диалектики
есть не

просто идеальная единица (иначе

бы от абсолютной
на основе

единицы), но такая

«реальной»

отрицательного числа,

она ничем не отличалась

«идеальная»,

которая

возникла

единицы. Она существует, но не в том смыс¬

ле, как существует положительная единица; она существует только
в чистой мысли, и притом не как чистая мыслимость просто
чистой мыслимости нет никакого

мость, отталкивающая

отрицания),

(ибо

в

но как чистая мысли¬

реальную данность. Это такая мыслимость,

оформление реальной субстанции, в результате которого
последняя мыслится отсутствующей. Уже по одному этому (—1) есть
некое представление единицы, вернее, некий ее образ. Ибо та еди¬
ница, которая существует в реальной единице как именно единица,

т. е. такое

но в то же время отталкивает от себя реальную положенность самой
единицы,

—

такая единица есть

цы, идея единицы. Ведь
динение того

и

другого

в

образ,

бытии есть

—

смысловая

или

факты,

больше нет ничего.

567

структура едини¬

или идеи, или

объе¬

V. Переход к специальной теории числа

Однако
вообще

в этом смысле

всех

рые всегда даны

Отрицательность

чисел.

отрицательных

некая мыслимость по

мость, но не

отрицательная единица разделяет судьбу

сравнению

есть

вообще

с положительными числами, кото¬

реальность. «Мнимость» есть, конечно,

как

просто одна

голая мыслимость.

квадратном, корне.
3. В диалектике операции

Тут

мысли¬

возникает вопрос о

извлечения корня мы увидим, что из¬

влечение корня и возведение в степень относятся к области алоги¬
ческого становления,

бытия,

в

к

частности

области органического роста

арифметических действий, которые

в отличие от остальных

мыслятся как механические или усложненно-механические.
в степень, мы заставляем данное число

элементе', а извлекая

основание,
вилось

корень,

в подлинном смысле

путем самоповторения

Это и есть

повторение

повториться

мы находим в нем то

«корень»,

из

Возводя

в каждом своем

первоначальное

которого [бытие]

поя¬

во всех своих отдельных элементах.

признак организма

—

вещественное,

субстанциальное

целого в каждой отдельной части и вытекающая отсюда

невозможность существования этих частей в изолированном виде.
Что значит в этом смысле извлечь

Это

значит найти такое

ности, откуда

квадратный корень?

первоначальное

она появляется путем

основание

отрицатель¬

однократного самоповторения

Откуда появляется мыслимость
(отстраняющая реальную субстанцию единицы) и откуда

во всех своих основных элементах.

единицы

само отрицание, если

процесс

вторение? Отрицательная

этого появления есть некое самопо-

единица есть чистая мыслимость едини¬

цы, отстраняющая, отталкивающая реальную единицу; откуда проис¬
ходит это отстранение и отталкивание, и почему оно есть результат
некоего самоповторения, и что именно повторяет тут себя самого в
себе же самом?
4. Вот тут-то и рождается категория

оконтуренности числа, той
ности и

образности, перспективности,

ет самое число. Как возможно

проведения границ,

которая впервые

и

рожда¬

отрицание чего-либо? Только путем

точно отделяющих его от всего иного. Мыслить

отрицание единицы
что

твердой очерченности и
неупругой структур¬

его абсолютной

не есть она сама,

—

значит мыслить ее

границы со

границы, отделяющие

чит, корень отрицания единицы

границы единицы, отделяющие

ее от всего

всем

есть корень, из которого
ее от всего

568

прочим,

прочего. Зна¬

вырастают

прочего. А квадратный

§ 105. с) Мнимая (комплексная)
корень

Общее

понятие

единицы есть корень, из которого вырас¬

отрицательной

из

величина.

тают границы единицы, если их повторить на всем их протяжении.
От чего отталкивается мысленная единица, когда она

рует

как

отрицательная? Она

отталкивается от

функциони¬

реальной субстанции

единицы, но этоможет значить только то, что реальная

ция единицы имеет

твердые контуры,

от

и

которых

субстан¬
происходит

отталкивание. Раз ставится вопрос об отталкивании, то тем самым

предполагается,
талкивание.

что есть нечто

от чего и

Следовательно, реальная субстанция

твердая,
эта форма была; и

т. е. имеющая

ли ее

твердое,

определенную

надо,

чтобы от этой

происходит

от¬

мыслится здесь как

негибкую форму. Надо, чтобы
формы мы отошли и созерца¬

издали, чтобы вообще могло состояться суждение о границах и,

значит, об отрицании. Когда проведены границы, то,

обходимо для

как это ни не¬

четкого созерцания предмета, границы, сами по себе

взятые, тем самым еще не
ность имманентно

фиксируются

Ограничен¬

специально.

сопровождает всякую мыслимость,

но чтобы со¬

зерцать специально ограниченность, границы, надо выйти

за

делы этих границ или, точнее, надо просто различать уже

просто

всю вещь от
значит

—

инобытия,

но только

не

одну ее границу от инобытия,

пре¬
а это

еще раз повторить эту границу в ней же самой, т. е. изме¬

нить эти границы, сохраняя не

форму,

но

какую-нибудь (пусть

хотя

достаточно) величину. Это

и
бесконечно-малую
значит извлечь квадратный корень из отрицательной единицы.
Таким образом, уГа есть не что иное, как полагание твердо очер¬

бы

—

ченной границы,

или

этого вполне

перспективно сформулированного образа, для

отвлеченно взятой единицы,

туренности единицы.
5. Тут еще не вскрыты

осуществление

и

утверждение

все стороны мнимой величины, но пока¬

мест указана только одна существенная сторона.
то все, что

в

содержится

конструкции

категории

му, повторим еще раз

лАЙ.
а)

Единица

есть

абсолютная единица
идее, идеальное

утверждение,

в

Однако тут вскры¬

V-T. Как скоро увидим, другие

методы представления мнимой величины дадут
диалектике самой

мнимого.

Прежде

и

другие стороны

чем

перейти

в

к это¬

строго последовательной форме диалектику

утверждение,
есть

субстанция,

утверждение

и

и

отвлеченная,

субстанция

утверждение. Положительная единица

т. е.

окон-

в

мысли,

в

есть новое

утверждение утверждения, реальное утверждение
569

V. Переход к специальной теории числа

идеального утверждения.

переход

сферу
(тогда

реальности

это была бы абсолютная

реальную

отталкивающая

оформление

есть

отстраняет саму реальность,

единица),

но с целью

единицу.

словами,

Другими

оформление реального, которое
чистая форма реального, его

есть

образ.

смысловой

Извлечение корня из

отражающая
само число

то

е. это есть

какого-нибудь

первоначальное ядро

числа

числа,

есть

откуда

операция,
появилось

через свое алогическое становление путем реального

самоповторения

и

самоотражения себя

арифметическое выражение

Извлечение квадратного корня
его

есть новый

единица

единицы, взятое в активном отстранении
Такое

единицы.

реальности

Ь)

же

отрицания. «Минус единица» есть мысленная, идеальная

активного ее

единица,

(—1)

Отрицательная

идеи и смысла, но переход не с целью забвения

в

указанного ядра, когда

оно

самого в себе же самом, т.
живого

из числа есть

роста организма.

операция

дорастает до данного

выявления

числа

путем

однократного самоповторения (самоотражения).
с)

V-T,
и

следовательно, есть выявление такого первоначального

образности числа, когда оно
образности путем однократного самоповторения
(самоотражения, самоотличения).
d) Это первоначальное ядро и основание числа должно поэтому

ядра

основания

смысловой

дорастает до этой

1. претерпеть самоповторение,
но

не то

т.

е.

прежде

всего самоотличение,

первоначальное самоотличение, без которого

вообще не

могло

это

ядро

бы существовать (по общим правилам диалектики),

но то самоотличение, которое отличает от инобытия, не есть
принцип, а уже утвержденный принцип, т. е. отличает реальность с
определенными границами, самоотличение, которое отличает от
инобытия самые границы числа; это самоповторение есть результат

квадратности

извлекаемого

здесь

корня. 2. Это основное ядро,

или основание, числа должно здесь мыслиться как нечто
и

абсолютно негибкое, ибо

оно

выдерживает

на

приносимое смысловой образностью (в случае отрицания),
гими словами, искомое

ядро,

или основание

твердое

себе отталкивание,

смысловой

т. е.,

дру¬

образности,

твердой, абсолютно твердой оконтуренностъю
числа, и только тогда эта последняя и может обусловить собою, путем
числа должно быть

самопротивопоставления, конкретно-смысловую образность числа.
3. Наконец, поскольку

это

самопротивопоставление
570

и

самоотрица¬

§ 105. с) Мнимая (комплексная)
ние

величина.

Общее

понятие

мыслится, по условию, органически, как живой рост организма,

оно должно пониматься так, чтобы указанное ядро, т. е. первоначаль¬

абсолютнотвердая оконтуренность, органически дорастало до
конкретной образности числа, чтобы оно было живым скелетом
живого числового тела. Это значит, что в той деформации, которую
ная,

претерпевает

изначальный контур, целиком присутствует самый

контур, т. е. то целое, бывшее вначале, остается целым и для того
нового, что из него получилось путем

деформации.
е) Сводя все вышеуказанное к одной максимально сжатой
формуле,можносказатьтак. Все,чтомыслится,и,следовательно,также
число, чтобы мыслиться, должно иметь свои границы, но это еще не
значит, что тут
самые

фиксируются

самые границы. Чтобы

границы, необходимо уже

инобытия.

Но

это

границы границ,

значит,

фиксировать

их отличать как таковые от всякого

что

тут фиксируются

не

форма границ, образ ограниченности. Мнимая
форма и вид, образ ограничения числа, форма

т. е.

величина и есть

формы числа, число как смысловая перспектива.
Эти пять тезисов с достаточной ясностью и полнотой
диалектическую структуру числа

V-T

ление мнимости как

i, хотя, повторяем,

вызывает только

образ

сторон этой категории. Не трудно сообразить,
Ведь исходным пунктом тут
что

творится, творится

гание,

существенных

что это за

предмете

тут

в своем

мысли есть

стороны.

является момент единицы. Все

единицей. Единица

взята здесь с точки

числа даны

в

с

из

вскрывают

само представ¬

прочее,

есть смысловое пола-

утверждение. Следовательно, образность числа,

пришли,

но

границы,

к

которой

мы

зрения своей положенности; очертания

субстанциальном

материя,

полагании.

Ведь

во всяком

есть идея и есть синтез того и

другого

цельной вещи. Материя обусловливает собою гипостазирование,

утверждение идей.
сти, которая есть
ма

формы

ее

жех

как

раз ту сторону числовой образно¬

субстанциальная

числа дана

тут

положенность. Указанная

пока на стадии полагания,

фор¬

утверждения,

материальной данности. Следовательно, должна быть еще идея этой

образности, ее цельная вещественность. К этому теперь и
перейдем.
6. а) По нашей основной таблице типов числа мнимая величина

формы

и

должна явиться, между прочим, диалектическим синтезом нуля и
бесконечности. Этот вопрос надо проанализировать по существу.

Нуль

есть синтез положительного и

571

отрицательного числа, или,

V.

по

Переход

к

специальной теории

числа

общему правилу диалектического синтезирования, граница меж¬

ду положительным и отрицательным числом; проведя границу во¬
круг положительного числа и тем отличивши его от бесконечной
стихии отрицательности, мы и получаем этот синтез
ность положительного числа.
ский синтез целого и
—

Дробное

—

ограничен¬

Далее, бесконечность есть диалектиче¬

дробного;

это

—

граница между

тем и

другим.

то, чем является целое в своем инобытии, если отнять

само целое и взять только инобытийные корреляты целого. Если те¬
перь перенести в это инобытие и само целое, то это целое окажется
полной недостижимостью для тех частей, из которых состоит ино¬
бытие целого, потому что инобытие есть всегда неразделимость, а,
подвергнутое счету, оно есть всегда неисчислимость.
ца, отделяющая целое от
состоит из

дробного

Потому грани¬

в этом диалектическом синтезе,

бесконечного количества точек; она есть, короче говоря,

бесконечность.
Эти две границы, нуль

и

бесконечность, находятся, несомненно,

в положении диалектического

жительные числа от

противостояния. Нуль, отделяя

отрицательных,

рассекающей общую систему чисел; бесконечность
лой бесконечностью таких чисел.

Для уточнения

антитеза.

же является це¬

есть диалектическая

можно сказать, что достаточно

двух точек и достаточно, чтобы

расстояние между

уже

только

этими точками

уже синтез бесконечности (т.

было бесконечно мало, так как

тез целого и

Это, конечно,

поло¬

одной точкой,

является только

дробного) осуществляется, ибо между двумя

тами множества, как бы они близко ни были между

е. син¬

элемен¬

собой,

всегда

можно поместить еще одну точку. Это выражается в положении, что
множество вещественных чисел
тез этих двух синтезов

—

и

нуля

повсюду

совмещающая в себе обе эти границы
и

границу

в виде

—

границу

и

Итак,

каков син¬

[какова] граница,

в виде

одной точки

бесконечного количества точек?

Ь) Синтез должен объединить

Другими

плотно.

бесконечности

в

себе

и

тезис,

и

антитезис.

словами, должна быть такая граница, которая есть и точка,

и больше, чем точка

(«больше,

есть бесконечное количество
оставаясь

чем точка»

—

это, как сказано, уже

точек). Должна быть граница, которая,

точкой, в то же время содержит в себе еще по крайней мере

одну точку, отличающуюся от другой; должны быть, следовательно,
две точки, которые являются
значит и в чем тут

в

то

дело?
572

же

время [единством]. Что

это

§ 105. с) Мнимая (комплексная)

величина.

Общее

понятие

Тут-то мы опять и должны призвать на помощь понятие числово¬
контура, или числовой образности. Когда мы имеем некое Л, оно
остается неоформленным вплоть до момента отличения его от не-Л
го

и отождествленным с самим собою. Только когда мы скажем «А есть

Л»,

—

возможным делается

его от всего

прочего. Но, конструируя

как-то должны отличать Л от

это

суждение «Л

рошо

Л,

это

содержание «Л

не-Л,

но отличается и от самого

общей диалектики. Но

мы знаем, что это значит

—

есть Л», мы

т. е. от него же самого; иначе самое

есть Л» окажется бессмысленным.

ко отличается от
знаем из

этого А и четкое отличие

оформление

из этой же

Итак, А

себя,

—

не толь¬

это мы хо¬

общей диалектики

отличие Л от самого себя. Это значит то,

что Л есть некое целое, имеющее части. Как целое оно отличается от
себя как от состоящего из частей

своих

(целое отличается от совокупности

частей). Следовательно, суждение

<А есть Л», в сущности, есть

суждение <А как целое <...>, А как совокупность частей». Но как раз
это самое мы утверждаем, когда отождествляем границу в смысле

нуля с границей в смысле бесконечности.
Граница

нуля есть последняя неделимая целость точки,

в смысле

та самая развернутая точка, которая еще не имеет никаких частей. Та¬
кое целое

мы в

мой точкой.

общей диалектике всегда

Граница

некоей суммы точек,

и

аналогизируем

же в смысле бесконечности есть
—

по

с недели¬

совокупность

крайней мере двух точек; тут

—

целое раз¬

дроблено, и раздробленные точки объединены в некую сумму. Стало
быть, отождествляя (и, следовательно, синтезируя) границу-нуль

границей-бесконечностью,
ем

границу-нуль,

как

мы

попросту категориально

с

фиксиру¬

бы говорим, что «граница-нуль есть граница-

нуль», т. е. как бы проводим эту границу-нуль жирной линией, делаем
ее твердой, абсолютно негибкой, создаем абсолютно крепкий кон¬
тур, получаем эту самую границу границы,

торой

шла

или

форму границы, о ко¬

речь выше.

с) Итак, мнимое

число есть также

диалектический

синтез нуля и

бесконечности.

[К] этому заметим, что в анализе понятия бесконечности мы стал¬
кивались с одним недостаточным и неполным видом синтеза нуля и
бесконечности, именно с умножением нуля на бесконечность. Это
умножение дает неопределенную величину
и мнимую.
и

Однако

этот синтез, как мы там

бесконечность не

функционируют тут
573

—

как

вещественную, так

указали, неполный. Нуль

как логические

категории,

V.

Переход к специальной теории

но лишь как счетные величины.

В то время как при диалектическом

синтезировании обе категории входят
и

числа

в синтез вполне

равноправно

равномерно, при счетной операции умножения сомножители

нюдь не равноправны. Всякое

умножение

мой, главным своим предметом

—

от¬

имеет своей основной те¬

множимое, и о нем тут только и идет

разговор; множитель же только показывает, что с множимым творит¬
ся в инобытийной
именно

сфере. Поэтому синтез умножения

—

частичный,

счетно-количественный, а синтез диалектический

—

а

полный

равномерный, а именно логически-категориаль-ный.

d) Наконец,

важно

в

твердой оконтуренности

образности,
образности.

V-L

помощи

и

его

жс

синтез нуля и бесконечности. В

выражаемым через

моментом

ощущать точную разницу между

i, выражаемым при

числа

четкой смысловой

и

моментом,

первом случае

фигурности,

или

числа выдвигается, как мы знаем, момент полагания этой

Во втором случае, поскольку речь идет о проведении

самой границы, о ее, так сказать, жирном черчении, нужно видеть

противоположный

момент

положенность, но ее
чем-то

является

субстанция
такого

дана

и как

ется т. н.

числовой

образности,

то

первому

Пусть

Раз

случаю.

тут

ее идея. И нет ли

ее

субстанция числовой фигурности,

там

теперь

сразу была бы

о мнимой величине, где она

идея?

и как ее

синтетическим представлением мнимой величины явля¬
мнимости.

гауссовское представление

§ 106. Гауссовское представление
1. Гауссовское представление мнимости

точки

субстанциальную

не

очерченность, картинность, что, несомненно,

противоположным

представления

Таким

образности,

мы имеем в

на

диаметр.

треугольнике

В

(с

какой-нибудь

таким

полученном

прямым

следующему.

образом

опирающимся

углом,

элементарной
геометрии, будет средним пропорциональным между обоими
отрезками диаметра. Для простоты будем считать, что этот
на

диаметр)

с

круге перпендикуляр, опущенный

окружности

прямоугольном

сводится к

этот

перпендикуляр

перпендикуляр,

будет

=

а

координат,

+1, отрезок

мы

известно

из

совпадать тоже с диаметром и что радиус

данного круга равен единице.
оси

как

Тогда, рассматривая оба диаметра

как

получаем отрезок первого диаметра направо

того же

диаметра

налево от

отрезок второго диаметра поверх
574

=

центра координат

л/(4-1)*(-1)

=

-/й

=

=

—

1,

i. Мнимое

§ 106. Гауссовское представление
число, следовательно,

есть

положительной единицы

Конечно,

на

квадратный корень
отрицательную.

пренебрегать

на

отрицательную

квадратного корня.
( 4-1}

есть такое отличие,

в диалектике. В чем

Тут, прежде всего, два момента

единицы

произведения

это понимание мало чем отличается от первого, где

фигурирует просто V-1. Однако тут
никак нельзя

из

—

которым

тут дело?

умножение положительной

и извлечение из этого

произведения

От первого способа представления мнимости

этот способ отличается только

прибавкой умножения

подко¬

ренной отрицательной единицы на положительную. Эта прибавка
означает одно из двух (то и другое есть одно и то же): или положи¬
тельная единица движется (утверждается) в отрицательной области,
или

отрицательная единица движется

том и в

в

положительной области. И

в

другом случае подчеркивается двуплановость смысловой об¬

разности

числа.

Отрицательное

себе

число само по

есть

сфера

иде¬

альная по сравнению с положительным числом, наличие же поло¬
жительного числа в этой
вого

утверждения

в

отрицательной области,

т. е.

различие

но¬

сфере чисто смысловой, есть, конечно, усиление
в смысле ее выразительности и фигурности.

этой смысловой сферы

Точно

так же положительное число мыслится как нечто

сравнении

с

отрицательным числом,

наличие же

реальное

в

отрицательного

сфере
оформленности и фигурности. Стало быть, оба слу¬
(+1)*(—1) и (-1)*(+1), в одинаковой мере вносят в основное
вносит в нее, несомненно, мо¬

числа в этой положительной
мент смысловой

чая, т. е.

представление i

тельности,

или

как

4-\

момент

фигурности;

вящщей оформленности, вырази¬

и тем самым здесь

обусловливается то,
образом синте¬

что гауссовское представление мнимости заметным

зирует

в

себе субстанциальное трактование числовой образности

и смысловое ее толкование в синтезе

вая, таким образом,

некое уже не

нуля

в

бесконечности, да¬

просто субстанциальное,

смысловое трактование мнимости,

не

просто

но сктезмческк-вещественное

трактование (поскольку «вещь» есть синтез
или

и

«идеи»).
2. Однако гауссовское представление

«субстанции» и

«смысла»,

мнимости гораздо богаче

того, что мы только что сказали. Оно богаче не только своим геоме-

тризмом (он, конечно,
в

есть нечто

прикладное),

но и наглядностью

более тонком, не прямо пространственном смысле. Именно, тут

наглядно дано направление

мнимости в

575

сравнении с направления-

V. Переход к специальной теории числа

ми положительным и отрицательным. В более детальном понима¬
нии этого явления здесь три момента.

мнимой

Во-первых,

это

пересечение

нулевой
Во-вторых,
перпендикулярное направление мнимой оси в отношении веще¬
ственной. В-третьих, это общий смысл происходящего здесь перехо¬
осью оси вещественных точек в

точке.

это

да из линейной области в плоскостную.
Ъ. Что

касается

первого момента, то он интересен

зательство того, что мы имеем здесь дело с

Ведь нуль уже

как новое дока¬

начерченным контуром.

сам по себе есть граница положительных и

тельных чисел. И тем не менее

отрица¬

через эту границу проходит еще одна

граница, зависящая теперь уже

вовсе не от того, что в точке

—

нуль,

но совсем от другой причины. Величина эта определяется тем, что
мы извлекаем

квадратный корень из произведения положительной и

отрицательной

величины. Если с точки

между утверждением
границы,

—

потому

речь идет

числе

и

зрения нуля,

отрицанием, здесь был

что ведь и в положительном, и в

только о

факте

(или

числа

о его

как мы говорили, о внешнем инобытии числа,

операции

извлечения

ся здесь в своей

из

корня

Оба эти момента здесь совпали,

вообще,

но и

—

отрицательности

начерченности,

в своей

как равновесия

наличен

отсутствии),
то с точки

эта

картинности

и мы имеем в

нуле

просто факт

отрицательном

не

зрения

граница дает¬
и

фигурности.

просто границу

очерченно-заполненную границу, начерченную,

жирно проведенную границу. Таким образом,
ляясь в вещественном смысле

как бы

мнимая величина, яв¬

нулем (потому-то

дит через нулевую точку вещественной оси),

или,

в

мнимая ось и

прохо¬

более общем смысле

отнюдь не является просто нулем. Там, где нет ничего вещественно¬
го, оказывается, кое-что может существовать. Может существовать
вещи, ибо сама-то

фигура вещи отнюдь не есть вещь и не
[нечто] вещественное. Фигура вещи отличается от самой
иначе мы и не употребляли бы такого слова
вещи,
«фигура», а
просто говорили бы «вещь». Отличаться от чего-нибудь можно толь¬

фигура

есть даже

—

—

ко тогда, когда отличное не есть то, от чего оно отлично,

не

осуществилось бы

лее

числа)

—

и само отличное.

терия,
Это

и

Итак, фигура вещи (а

невещественна, в вещественном смысле она

Без посредства вещества
смысловое

—

она

уже

иначе

тем бо¬
—

нуль.

есть нечто, некое самостоятельное

бытие, в котором существует и своя, чисто смысловая, ма¬

и свои, чисто смысловые, идеи, и свои синтезы того и

выражено

в

гауссовском представлении
576

мнимости.

другого.

§ 105. с)

Мнимая

(комплексная)

4. Весьма интересен

перпендикулярность
сел. Что это

второй

и

Общее

величина.

момент в этом

понятие

представлении

—

линии мнимости к линии вещественных чи¬

значит? Перпендикуляр есть геометрическое место то¬

чек, равноотстоящих от данной прямой. Другими словами, это есть
линия, таковым

образом расположенная

нии. Но эта одинаковость

разному

—

смотря

по

может быть

расположения

тому,

имеется ли в

перпендикулярность. Параллельность

линий, когда

относительно

другой

выражена

виду параллельность

есть одинаковость

ли¬

поили

располо¬

берутся в движении} это одинаковость
движения (направления) разных линий. Понятие перпендикулярно¬
сти предполагает обе линии (или по крайней мере одну из них) со¬
жения двух

они

содержание одной

другой
ния

линии.

линии

и

к

есть одинаковость

статическому содержанию другой

Перпендикулярность

к

линии

мнимой

быть, означает, что мнимость находится
нии к

расположения

одинаковость

Перпендикулярность

одной линии

виду содержание, статическое

а имеется в

вершенно неподвижными,

к

линии.

вещественной,

в одинаковом

статическому содержанию вещественной

этому

расположе¬

стало

расположе¬

положительности и

вещественной отрицательности. Мнимость абсолютно одинаково
со¬

расположена

в отношении положительного и

держания. Но

это и значит, что мнимость есть

граница, начерченная

числа и

содержанием отрица¬

между

положительным

тельным. Ибо только
как к

граница одинаковым образом расположена

ограничиваемому,

га, например,
на нее

или

содержанием

так и к

ограничивающему. Окружность кру¬

является абсолютно тою же

изнутри,

смотреть

отрицательного

с точки

зрения

окружностью, смотреть ли

положительного

на нее извне, с точки

содержания круга,

зрения фона, окружающего дан¬

ный круг. То самое очертание, которое ограничивает данный кусок
пространства,

оно же и

пространства. Вот
стей
ее

—

вырезывает

это-то и

этот

зафиксировано

кусок

и из

Гаусс понимает как перпендикулярную

к

вещественной линии

нулевой точке. Только так и можно диалектически

этой мнимой перпендикулярности,

окружающего

в том, что линию мнимо¬

если не

понять

в

природу

ограничиваться одной

арифметически-счетной точкой зрения.
5. Наконец, третий

момент

гауссовского геометрического пред¬

ставления мнимых величин заключается в
мент является самым

щим. Дело

в том

важным, самым

следующем;

и этот мо¬

принципиальным

и

решаю¬

простом факте, что если разница положительного
577

V. Переход к специальной теории числа

и отрицательного на

правлений,

то

прямой

есть не что иное, как разница ее на¬

разница вещественного

и мнимого

предполагает

вы¬

вообще
измерение. Не будем
пределы прямой переход
говорить о перпендикулярности, а сосредоточимся пока вообще
за

ход

на

переходе

бовала

в новое

Оказывается,

от линии к плоскости.

в данном

случае перехода

философском

значит в
о

и

мнимость

потре¬

от линии к плоскости. Что же это

отношении? Вспомним

наши

рассуждения

природе пространственного измерения (§ [55]). Мы установили,

что всякое

пространственное измерение

нечто алогическое, оно
тийность есть именно
смысловая.

резка

Ведь

прямой;

и

—

в отношении

чистое становление,

тут

мы сталкиваемся с явлениями

линии.

Когда

же мы

измеримости

переходим от

уже субстанци¬

ли

совершается переход

Так вот,

Получилось бы два

в

рение. Однако, повторяю,

там не шла

нашем же

другие измерения,

мыслится,

речь

перешли
о

предображается,

но

или

случае

в

другое

субстанциально

изме¬
новом

внутри

субстанциальный

мыслится

реально не совершается,

отображается.

от

в это последнее.

имелось в виду смысловое же становление

данного измерения. В
в

числе мы тоже

больше

и

чтобы перейти

в том и заключается,

другое без реального перехода

иррациональном

измерении. Там

в

вещественных измерения,

бывает, например, при измерении площадей,

измерения

переход

инобытие.

то этот переход сам по себе ровно ничего не го¬

ничего. Вся сущность вопроса

в

в

мнимая

это? Если бы здесь шла речь просто о переходе

ворил бы о мнимости.

Правда,

линии к

бытие, которое

другое измерение,

одного

или

в такое

нас

требует субстанциального перехода

как обычно

а не только

алогическое становле¬

ально самостоятельное алогическое становление.

Но только

эта инобы-

отлично от бытия линии, и это есть

тут у

субстанциально
величина

есть

становление возможно и в пределах и данного от¬

пределах данной

плоскости, то

причем

субстанциальная инобытийность,

неизмеримости, несоизмеримости. Это будет
ние в

другого

а только

И там, и здесь, сле¬

довательно, дано только мысленное, смысловое представление из¬
мерения; но в первом случае
смысл

чае

внутреннего

(для

мнимого

числа)

есть

измерения,

это есть смысл

мерения, зафиксированный
Ясно,

(для иррационального числа)

же смысла данного

в данном

что это возможно только

отрицание одного измерения

в

во

это есть

втором

субстанциально

же

слу¬

нового из¬

измерении.

потому, что

мнимая величина

другом, представление

одного

§ 105. с)

Мнимая

(комплексная)

величина.

измерения при помощи другого. Пусть
рить

о плоскости только
в

реально

эту

(или,

о

прямую

если

будет

угодно,

и

с мнимыми

плоскостями). Пусть я

я

—

у меня получатся мнимые

могу пространство четырех измерений изо¬

бразить при помощи трехмерного пространства. Тогда у

усложненное трехмерное пространство,

ствовать

переходя

значить, что я оперирую с мни¬

теле

пространственном

плоскости. Наконец,

чится

хочу гово¬

не

хочу при помощи одних плоскостных категорий

имею плоскость и

рассуждать

я имею

понятие

при помощи одной прямой,

плоскость. Это

мыми прямыми

Общее

мнимые величины. И сколько бы

в

меня

полу¬

котором будут уча¬

измерений

мы ни

брали,

всегда, когда зайдет речь о переходе одного пространства на другое,
мы должны

будем прибегать к помощи мнимых величин. Ясно: мни¬
отображение в данном вещественном измерении

мая величина есть

какого-нибудь другого измерения. Данная вещественная
получает здесь

некое новое смысловое

величина

оформление, получает вну¬
фигурность, не

треннюю перспективу, некий смысловой рисунок,

зависящую

от того, что мы двигались

пока мы были там

ра

фигуры

и

разных
го

и самое

большое

направлениях,

содержания,

а не

внутри этой величины, ибо,

мы не могли видеть ее внешнего

внутри,

т. е.

—

устанавливать фигурность

фигурность ее вообще. Теперь

треннюю представленность величины,

роерасстояние

эту величину уже

фоне окружающей действительности.

чтобы
т. е.

ее видеть,

перейти

е. в новое

рень

из

сферу

тот

это значит взять

представленности,

отрица¬

некоторое расстояние,
окружает,

находясь в этом новом измерении,
с тем чтобы ее

исходный пункт, который
—

на

алогического становления, т.

покинутую величину,

чтобы определить

самой ее

зафиксировать

фигурностью,

это значит отличить ее от того, что ее

измерение. И наконец,
на

—

от величины на

в отношении ее в

обратить взоры
тем

—

эту вну¬

Взять внутреннюю представ¬

ленность величины из самой величины

тельную единицу. Отойти

внутренне¬

отошли от нее на некото¬

со всей ее внешней

таковую,

ее

мы взяли

и тем самым наметили возможность

как

конту¬

это могли только двигаться там в

это значит извлечь

увидеть,

т. е. с

лежит в основе

квадратный

ко¬

отрицательной единицы.

Так понимание Гаусса дает

претировать

нам возможность

философски интер¬

самый смысл перехода от линейного представления

плоскостному, перехода, содержащегося
величины.

579

в самом

к

существе мнимой

V. Переход к специальной теории числа

6. Если коснуться

исторической стороны дела, то справедливость

заставляет отметить, что уже Валлис имел полное представление о
том, что невещественные корни

корней,

алгебраических уравнений рас¬

прямой, перпендикулярной

полагаются по
так что

уже у

циональною между положительной

Валлис действовал

в конце XVII в.;

К. Вессель выпустил
ем мнимости,

к линии вещественных

него мнимая величина была

среднею пропор¬

отрицательной величиной*.

и

ровно через столетие,

на датском языке

который, однако, стал

труд

с таким же

1797 г.,

в

представлени¬

известен широким кругам толь¬
"

французский язык уже в конце XIX в Не¬
аналогичная работа Арганда в начале XIX в.***

ко после перевода его на

замеченной прошла
И только

Гаусс

в

и

1831

г. своей знаменитой

вычетах сделал изложенную

Изучение

только в том, что мнимая величина есть
и -1 и что для ее

области выйти в

ющей

ское значение; и для

комплексных

взглядов

всякому ясно,

философии

Гаусса, од¬

если

ограни¬

мысль его заключается

среднее пропорциональное

представления необходимо

плоскостную. Этот принцип

важности. Но

биквадратных

философского результата,

читься текстом самого Гаусса. Единственная

между +1

о

геометрическую теорию

чисел популярным достоянием всех****.

нако, не дает ровно никакого

работой

—

из линейной

колоссальной, реша¬

что он имеет чисто математиче¬

он не

больше

как

сырой материал.

Наша концепция мнимостей, кажется, впервые превращает это гаус¬
совское понимание в чисто

§

философскую теорию.

107. Некоторые детали

Чтобы не оставалось никаких неясностей в диалектической кон¬
цепции мнимой величины, сделаем еще ряд добавочных замечаний.
1. Надо помнить, что кроме мнимой оси в
ственной оси и в этом же

дит еще

*

**

точке веще¬

перпендикулярном направлении

также и вещественная ось

ординаты). Спрашивается:

нулевой

какая

прохо¬

(если брать прямоугольные

ко¬

существует разница между мнимой

Wallis. Algebra. Opera mathemat. 1693. II, гл. 66—69.
Wessel C. Essai sur la representation de la direction. Copenhague, 1897.
ArgandJ. R. Essei sur une maniere de representer les quantites imaginaires

dans les constructions geometriques. Paris, 1806.
Gauss C. Theoria residuorum biquadraticorum. [Hottingae, 1832.] А также
см. его собственный реферат об этом сочинении, отрывок из которого о
****

геометрическом представлении комплексных чисел приведен у А. Васильева.
Введение в анализ. Каз. 1908. 183 сл.

580

§ 107. Некоторые детали
осью и

второй, вещественной

или ось

jz-ков)? Тут

развиваемой у

нас

(именуемой обычно «ордината»,

осью

приходится волей-неволей
теории мнимостей

и

стать на

сразу

же

точку зрения

отбросить

иное толкование. Но это обстоятельство остается весьма
ным и

требует четкого диалектического анализа.

В самом деле, что

тут происходит

же разница между обычной

вещественной

с

вещественной абсциссой

эта

Когда

имеется в виду вещественная

граница

вую,

не

берем

мы

дерево
идеи

будем думать

это значит, что сама

ее как чисто смысловую, а не как

вещественную. Ве¬

субстанциальное осуществление

материальное осуществление

дерева. Стало быть, линия, точка

смыслового. Это

некоего смысла, некоей

и все, что

существует,

и относительно

дерева

менее это

Если
тим как

от

действия

и что она «имеет то же

дерево,

проявления,

что и само

виду вещественную абсциссу,

вещественную,

на

фоне

содержание

и

мы имеем в

то так мы ее и

виду мнимую ось,

но только в ее

имеет «то же»

проходит через ту
все же

мать ее значит

2. В этом

же

принципиальной,

мы не

вообще

не понимать

о мнимости
с

ум,

углу¬

осу-

смысловой струк¬
хотя мнимая

что и вещественная, и хотя она

нулевую точку абсциссы,
и

ограни¬
но

и телесной

фигуре. Поэтому,

направление,

разница междутой

учении

чер¬

в ее чисто смысловое

вещественной

ее не во всей ее

туре, в ее идеальном содержании и

абсцисса,

тем не

ничем не отличая, в смысле вещественности,

этой вещественной абсциссы

берем

ществленности,

ордината

«на¬

направ¬

дерево. И

проведением простой вещественной ординаты,

чиваемся

другой

—

что и вещественная

огромная,

природы мнимой
не

привыкший

трудностями, которые

и не пони¬

величины.

мыслить чистый

возможно

смысл,

встречается

только

путем длительного педагогического воздействия

питания.

дерева

совершенно разные конструкции.

мы имеем в

ординаты. Но когда

бляемся

и

нахо¬

направление»,

мы должны сказать, что идея

ходится там же», где и само
ление» своего

может

Они, конечно,

быть чисто смысловым и чисто вещественным.

дятся в одном и том же месте и «имеют одно и то же

как

мнимой ор¬

фиксируется как таковая. Фиксируя границу как тако¬

щественное есть
есть

граница,

осью и в чем

и

динатой? Привлекая рассуждения, развитые раньше,
так.

всякое

поучитель¬

преодолеть
и самовос¬

В самом деле, как мыслить это чисто смысловое, идеальное?

Как отличить его от вещественного, которое так «понятно» всем

каждому? Тут

мы можем только

призвать
581

на помощь

некоторые

и

ана-

V. Переход к специальной теории числа

облегчающие представление мнимостей,

логии,

но надо помнить,

что настоящее понимание, как таковое, не имеет никакого отноше¬
ния ни к каким аналогиям, и оно должно

кой помощи с

а) Первая

стороны. Учиться

их

функционировать

без вся¬

же на аналогиях всегда полезно.

аналогия, которую можно было бы привести, есть ана¬

логия с зеркалом. Видя предмет в зеркале, мы, несомненно, имеем не¬

образ. Сказать, что в зеркале присутствует сама вещь, мож¬
но, но ясно, что она присутствует здесь не своей субстанцией (иначе
получились бы две вещи, а не одна вещь со своим отражением в зер¬
кале), но лишь своей образностью. Спрашивается: где эта образность
во
находится? Ответить на этот вопрос довольно затруднительно,
кий его

—

—

всяком

случае

не легче, чем на вопрос о «местонахождении» идеаль¬

ного, смыслового.

Пусть знатоки

вещественности ответят на вопрос:

изображение вещи? Сказать,

где и как «находится» зеркальное
оно находится «в»
без этого ответа

ле. Этот

факт

совсем о

объем,
ном

что

это значит ничего не сказать, так как и

всякому ясно,

что

изображение

находится в зерка¬

сам по себе вполне очевиден и несомненен. Речь идет

другом:

и как его

зеркале

—

что значит этот

объединить? Вещь

очевидный

и

несомненный

занимает место, имеет

факт

определенный

вес, плотность, массу и т. д. Ничего подобного нет в зеркаль¬

изображении

вещи. И тем не менее то, что мы видим в зеркале,

есть сама вещь, сама вещь в смысле ее

образа. Эта образность и есть

«мнимая» вещь, ибо под «мнимостью» мы и понимаем чисто смыс¬

ловую образность вещи, которая, раз

она именно чисто смысловая

образность, не есть вещь и даже не есть нечто вещественное. Изо¬
бражение вещи имеет свои собственные размеры, причем законы
этой размерности не есть законы строения самой субстанции вещи.
Изображение

вещи в зеркале, как это легко созерцается, находится

даже на том или на другом расстоянии от поверхности зеркала, т. е.
от вещественной

будто

области,

совсем иными

хотя это

мерами,

вом, зеркальное изображение

расстояние

и оценивается как

чем вещественные

расстояния. Сло¬

живет своей собственной жизнью и

вещественной стихией вещи тоже весьма своеобразно.
Оно, строго говоря, нигде не находится, его вещественные размеры
равны нулю, и оно есть смысловая образность вещи, ее «мнимое»
связано оно с

изображение.
Так

и

нужно представлять себе мнимую величину. Она дана

ществе как

бы перспективно,

и ее

контуры абсолютно

582

в ве¬

не поддаются

§ 107. Некоторые детали

воздействию; они абсолютно тверды и рез¬

никакому вещественному
ко

и их нельзя

очерчены,

абсолютная граница

фигурность

и

и

стереть

или подделать. Это и есть чистая и

очерченность вещи,

ее

конкретно-смысловая

образность.

Ь) Вторая аналогия относится к более грубому представлению
гнущейся, или проваливающейся, поверхности. Поверхность,
например, покрытая воском, может воспринять на себя печать
и путем продавливания тех или других линий дать изображение
определенной вещи. В сущности, это почти та же аналогия, что и с
зеркалом. Но только эту вдавленность надо понимать обязательно
идеально
заставляет

и

чисто

смысловым
как

поверхность

проваливание

—

не

«Мнимое»

образом.

бы

проваливаться

пространственное,

а

изображение

внутрь,

образное,

и

это

перспективное,

некая смысловая печать вещи.

3. а) Подобные

аналогии делают понятным и то, что в матема¬

тике носит название специально комплексной величины. Если мни¬

i,

мая величина есть

расположенным,

вещественной),
но

—

а х,

—

у

согласно

оси координат

предыдущему,

то величина х +

yi

(причем у

оказывается

по мнимой оси, а х

называется не

координатах. Обычно у

одно независимое

х и

переменное

комплексным переменным

—

—

у

=

/(х),

от него

по

просто мнимой,

комплексной. Смысл этих х, у здесь, конечно, совсем

чем в обычных

—

другой,

т. е. имеется только

функция.

В случае с

два независимых переменных, х, у и

функцией является уже третья величина z, так что z=х +yi. Таким об¬
разом, здесь мы имеем определенный вещественный х в соединении
с

определенным мнимыму Что

значит это

соединение? Так как мни¬

образность числа, то, полагаясь на ве¬
деформировать с точки зрения
образности. Вещественная величина долж¬

мая величина есть смысловая

щественную величину, она должна ее

идеи, заложенной
на здесь

в

этой

получить новый вид, новую форму, получить

она должна как бы

отразиться

в

зеркале

и из

иные

«реальной»

границы;

веществен¬

ности превратиться в «мнимую» выразительность.
ность мнимой оси обеспечивает здесь

вещественной
нии, и,

таким

величины во всем ее составе и смысловом

образом,

ставе, одинаково

этом

смысле

содержа¬

вся вещественная величина, во всем своем со¬

подвергается этой новой смысловой обработке.

Ь) Будем брать указанную
в

Перпендикуляр¬
единообразие деформации

есть линия,

выше аналогию с

идущая
583

от

зеркалом. Осьу-ков

поверхности зеркала

в его

V. Переход к специальной теории числа

перспективную

глубину. Слово «идущая», конечно, нужно понимать
изобразительно, ибо на то это и есть «мнимая»

не вещественно, но
величина.

Это

—

как бы показатель того, что

к

зеркальной поверхности,

изображения;

ного

меньше. Ось j/-kob и есть показатель этого

зеркала вообще. Тут еще

ляющаяся

зеркаль¬

изображение

перспективного свойства

только эта

реальных вопросов

общая координата,

критерием зеркальной перспективы, подобно тому

абсолютной

величины положительных чисел.

другой вещественной

При
и о

наличии такого

применении его

Эту вещественную вели¬
Беря эту величину и применяя

величине.

(функция) х.
перспективный критерий мнимой

чину дает здесь

яв¬

как

направо является критерием

от нуля слева

перспективного критерия возникает вопрос уже

к ней

его

размеры

не ставится никаких

Здесь дана

абсцисса при движении

к той или

предмет находится

чем

тем больше

и, чем он дальше от нее, тем это

о той или иной вещи.

со

наблюдать его отражение в зеркале. Уже гру¬

всяким предметом, если

бое наблюдение показывает, например, что,
ближе

вообще происходит

линия

ординаты, мы

перспективное изображение данной вещи

и

и

получаем

обозначаем его через

x+yi.
с) Здесь необходимо,

формализм, основанный

как
на

и

везде,

том,

что

учитывать математический
число

есть

«равнодушная

к

себе самой определенность». Какое бы содержательное построение
математическая формула

построение

чисто

в

себе

ни

количественно,

отражала,
дает

она всегда дает такое

числовым

способом, при

помощи чистого числа, и потому сознательно отстраняет от себя
все понятное содержание данного построения,

беря

его

только

постольку, поскольку из него можно получить ту или иную числовую

комбинацию. Понятийное содержание дано тут постольку, поскольку
определяет собою специальные взаимоотношения тех или

оно

числовых

операций. Также

перевод вещественной
дан

только

чисто

случае
в

с комплексными величинами

мнимую область может быть

формально, путем

взаимоотношений, без
и смысла

и в

величины

всякого

иных

только

одних

числовых

учета онтологического содержания

затронутых тут вещественной

и

мнимой областей. И как же

это делается?

d)

Что происходит

в

зеркале?

вещи. Но математик сознательно
что это за вещь

(стол, стул

и т.

В зеркале происходит

отбрасывает

д.),

деформация

от себя и знание того,

и знание того, что такое

584

зеркало,

§ 107. Некоторые детали
и даже знание самого процесса

отображения.

Все это содержатель¬

но понятные построения, которые отнюдь не «равнодушны» к своей
определенности, а,
в

их

виду

наоборот, потому-то
и

содержательная

ность. Математика

деформация

—

какое отношение

вопрос сводится только

формированным. Ясно,

что имеется

только одним: вот вещь, и вот ее

между ними? И при

таком

прин¬

математика)

иначе это не была бы

сравнению данных очертаний вещи

к

что основной

категория направления, ибо

будет

интересны,

предметно-существенная определен¬

интересуется

ципиальном формализме (а

и

категорией

в этом

весь
с де¬

сравнении

деформированной

все отличие

вещи от самой вещи заключается только в том, что ее очертания

приобретают здесь новое
мализированное понятие,
математика. Возьмем все

вещи

с

в

изображение вещи в зеркале со
забудем, что такое эта вещь, а сосредо¬

—

очертаниях. Сравнивая

первоначальным,

разницу

направлении

есть то форупотреблять тут

Направление

реальное

всей его конкретностью и
точимся только на ее

направление.

которое только и может

мы

тут не найдем

этих

эти новые

очертания

ничего иного, как только

очертаний.

Если бы мы рассуждали чисто геометрически, то мы еще могли
бы говорить об измерении, а не о направлении', и эта категория была
бы все же ближе к содержательности онтологических установок.
Но мы хотим говорить о комплексных величинах исключительно

арифметически (или арифметически-алгебраически). Поэтому гео¬
метрия здесь есть только сфера приложения. Значит, приходится

разыскивать более абстрактный термин для

выражения перспектив¬

ного строения числа. И таким термином является термин «направ¬
ление».
4.

а) Вот почему комплексная величина х +yi изображается при

помощи вскрытого сложения.

точки

на

только меняет ее

ничего. Надо сложить вещественную
искомое нами

и

тельно,

новое

такая величина,

направления

—

и

с

мни¬

математической

направление

и

больше

мнимую функции как векто¬

зеркальное изображение вещи.

Мы тут накладываем одно направление
дываем оба эти

раз

вещественную величину,

зрения попросту

ры, чтобы получить

есть как

образом направлена. Следовательно,

которая определенным
мость, положенная

Вектор

на

—

другое

попросту

скла¬

получаем новую точку (и, следова¬

построение), которое будет уже не чистой

и не чистой вещественностью, но

585

мнимостью

отображенной, изображенной,

V. Переход к специальной теории числа

перспективно осмысленной вещественностью

—

комплексной вели¬

чиной.

Ь)

Нечего

и

говорить

здесь в виду, есть

о том, что

—

картины, направление

в своих

предмет уменьшается
его

оригинальная

(хотя
и

в

измерения. Тут

размерах
с

в

зрения

все

в

время

перспективе

и тем самым

точки

происходит

созерцающего

нулю),

смысле

она

и

нам

перспективную картину вещи,

или

иначе

ее

может иметь

образ вещи будет
вещи, нисколько

уже

равняется

контуры

построения, без реального перехода
деформация

глубь зеркала,

величина дает

так

деформируя

в

перспективой. Как

деформация

вещественном

комплексная

направление

нового

нужно иметь в виду аналогию с

имеется

особого рода, не обычного

совсем

направление

вещественного характера. Это

глубину

«направление», которое

давая

им

новый

так

закон

новую вещественность. Эта

в

себе нулевое значение; тогда

сама по

вполне адекватно

и

только

выражать реальные очертания

деформируя, но это не помешает ему остаться
(или мнимой) величиной, так как образ вещи все

их не

чисто комплексной

равно не есть сама вещь и не есть нечто вещественное. Это смысловая,
а не вещественная структура.

с) В том, как представляется в математике комплексная величина,
дан, следовательно, анализ числа с точки зрения его

образной
структуры. Тут отдельно даны вещественные и образные моменты,
т. е. [они] абстрактно выделены из общей числовой стихии и, кроме
того, даны в целесообразном объединении, адекватно отражающем
отношения,

нетронутой

остававшиеся

5. а) Подводя

числа и давая

мы должны

—

с точки

анализа

в

зрения диалектики)

употребить термины, которые,

воря, должны были бы появиться у
ку того требовал порядок

рий

этого

ему самую простую, самую ясную

самую краткую (все это, конечно,

формулу,

до

итог развиваемого здесь учения о природе мнимого

(или комплексного)
и

невскрытыми

стихии числа.

нас

уже

по

существу

го¬

с самого начала, посколь¬

появления у нас диалектических катего¬

математики, но которые, ради ясности изложения, необходимо

употребить
элементы

Тут

именно теперь, когда уже вскрыты некоторые основные

категории мнимой

величины.

идет речь о рациональном и иррациональном числе и об их

диалектическом синтезе. Мы ведь помним, что иррациональное
число рассмотрено нами, кроме основной установки, также еще с

586

§ 107. Некоторые детали

категорий непрерывности, прерывности

точки зрения

После диалектики предела

о

пределах. Но

го со всей

ное

—

ская

перешли прямо

и

предела.

к диалектике мни¬

проследивши назревание этой категории еще

мых величин,

учения

мы

в

сфере

мы не связали всю

категорию рационально¬

категорией иррационального.

А между тем, рациональ¬

иррациональное

—

мнимое есть вполне точная диалектиче¬

триада, подобно тому

как и

триада нуль

мнимое также есть всецело диалектическая и

существу. Остается указать
ционального

и

бесконечность

рассмотрена

—

нами по

синтетическую тождественность ра¬

на

иррационального

в мнимом, и тогда эта

получит более

мнимости в основном

—

или менее полное и

категория

существен¬

ное определение.

Ь)

Мы знаем, что рациональное отличается от иррационального

как понятие от вне-понятийного, как
как

от

принцип

себе

рациональное

от

только

в

закон

отношении

материала, который подчиняется этому закону,
метод для

оформляемого,

подчиненного принципу. Само

материала,
есть

форма

или

по

некоего

принцип

и

некоей алогической массы, которая должна подчиниться

этому закону или принципу. В этом сущность рационального во

всесторонней взаимосоизмеримости

отвлеченного и конкретного,

так что все, что ни положено здесь отвлеченно, то тем самым дано
и конкретно, так что тут нет ровно никакого

противоречия. Иррациональное,
размыто

и тем самым

в отношении

в

противостояния

котором конкретное распушено*,

получило изолированную свободу,
чем-то алогическим,

рационального

или

играющим роль простого материала (по

является

бесформенным,

аналогии, например, с

сыпучими или жидкими телами, не имеющими своей собственной

формы,

но

мы хотим

принимающими форму

того или иного

объединить рациональное

должны дать

конструкцию,

в

вместе с

которой бы оба

сосуда). Когда

иррациональным,
эти

мы

принципа играли

совершенно одинаковую роль. Необходимо, чтобы рациональное
начало действовать взаправду

оформляемое;

и

содержащей то

и

или глины, и

тогда

как

Так в рукописи

иррациональное

—

как

мы имеем

бесформенную кучу песку

мы имеем отвлеченное понятие дома, человече¬

ского жилья. Если мы захотели

‘

а

обеспечено появление новой структуры,

другое. Пусть

пусть

форма,

объединить

(ред.).
587

то и

другое,

мы должны

V. Переход к специальной теории числа

слепить из песка или глины дам. Что для этого

надо? Для

этого надо,

бесформенная глина подчинилась отвлеченному понятию
как некоей форме, принципу, как некоему методу оформления,

чтобы
дома

а отвлеченное понятие дома
и стало заданием и планом

с) Из
формы

объединения

этого

и

не

перестало быть

отвлеченным понятием

конкретной структуры.
и

наличность

получается

просто оформляемого,

но

—

уже

не

просто

сформированное,

само

которое в свою очередь предполагает сформированность, структуру.
И вот эта-то структура и есть мнимое (комплексное) число. Мнимое
чистая

число,

отвлеченное

(иррациональное),

(сделанная

числа

структурность

понятие
ни

из глины

не

объединенность

вещь),

таким

есть,

(рациональное),

числа

но

—

того

ни

и

образом,

материя

другого

объединенность

как

того и

как новый смысл, как смысл этого вновь появившегося

ни

числа

факт

другого

факта,

как

конкретная структура факта. Это сделанность вещи из материала, хотя
и не вещь и не

материал вещи, определенная скомбинированность

алогического

материала,

и

задания,

принципа

осуществимость

и

метода,

данная

отвлеченного
как

новая

закона

смысловая

физиономия факта.
d)

Можно сказать еще

и так.

Выше (§

в моменте алогически становящегося

брать как таковой,

в чистом виде, нет

мнимым числом и числом

некая

что

106.5)

мы

инобытия,

уже отметили,

что

если этот момент

ровно никакой разницы между

иррациональным. Оба

рационально-вещественная

они

предполагают,

вбирает

величина

в

себя свое инобытие. Но какое именно инобытие? Внутри самой
числовой структуры тоже есть инобытие; оно, как таковое, уже не
выходит за ее пределы

и оставляет

самую субстанцию

этого числа

нетронутой.

Число может объединиться с таким своим внутренним

инобытием.

Получится

мы выше именовали

тут
в

в

синтез

его

с

та

внутренно-внешняя структура, которую

пределом. Но

инобытием

субстанциальности,

в
в

значит ли это, что число вошло

абсолютном смысле, с инобытием
его

абсолютной

независимости

самостоятельности? Конечно, нет. Это инобытие
отношение числа; и

тут число входит поэтому

—

внутреннее

и
в

в синтез со своим же

собственным внутренним содержанием. Можно, однако, дать ино¬
бытию

абсолютную, субстанциальную свободу.

Это

будет

значить,

что в поисках такого инобытия мы должны покинуть уже все число,
а не ограничиваться только распознанием его внутреннего содер¬

588

§ 107. Некоторые детали
жания. И вот синтез с таким инобытием

абсолютный. Тут оба
при

бытия,

циональном

не

числе тоже дан синтез бытия и

могут быть

полный,

действительно

и есть комплексное число.

инобытия, вну¬

в свете

первого члена,
с ним. В

ирра¬

инобытия, внутреннего

предполагает здесь превалирование

инобытия, этой дробящейся

гического

синтез

синтез

тут подчинено ему, соразмеряется

и внешнего. Но этот синтез

этому

будет уже

общий

Но этот синтез дан тут

и внешнего.

а инобытие

в

числе тоже дан синтез бытия и

рациональном

треннего

войдут

равноправии. Это-то

полном
В

момента

окончательными.

ало¬

внешности. Оба синтеза по¬

Первый,

основанный на при¬

мере внутренней целостности, подчиняет все внешнее становление
числа себе

и считает его своим

как оно свободно

внутренним достоянием,

в то

и от него само число не должно зависеть.

синтез, основанный на примере внешне-становящейся

время

Второй

дробности,

подчиняет все внутреннее себе и вовлекает его в стихию своего ста¬
новления

(ибо предел

становления),
шенно свободно

в то

пора

время

внутреннее должно быть совер¬

как это

и независимо ни от чего внешнего.

для третьего синтеза, когда бытие и

объединяются

и внешнее,

когда

есть не что иное, как закон самого же этого

примат остается

бытием,

Тогда наступает
или

внутреннее

на основании своего чистого синтеза, т. е.

не за

а именно за их

небытие,

внутренним бытием,

не за внешним ино¬

синтезом.

равноправным

Тогда

и

рождается

комплексное число. Его вещественная часть есть та самая внутренняя
целостность, которая уже не поглощает ничего внешнего и

внешнему

выраженность, которая

существовать

в ее

в отношении ее
нее, не есть

нисколько не мешает

полной свободе

ей не подчиняется,

но

ничему

не подчиняется. Его мнимая часть есть та самая внешняя

происходя

вещественной

которая

также и сама нисколько

из источника,

субстанциально нового

и

(из другого измерения). Самый же синтез, тем

[ни] только внутреннее бытие, ни только

совершенно

части

внешнее

новая положенность нового числового

тие перспективное,

в

котором уже

нельзя

где его становление, где внешняя и где

не ме¬

бытие,

бытия,

—

бы¬

различить, где предмет

внутренняя

его

структура

и
и

направление.
В рациональном
тивы

за;

числе

установлен

только самый

факт перспек¬

без ее конкретной формы, т. е. факт внутренно-внешнего синте¬

поэтому внутреннее

совпадают тут

и

и внешнее, логическое и алогическое

просто

больше ничего. В иррациональном числе установле¬
589

V. Переход к специальной теории числа

но то растекание

которой

факта перспективы,

та алогизация внешности, без

эта внешность не может превратиться в гибкий и податли¬

вый материал для
и внешнее

перспективного оформления; поэтому внутреннее

тут просто
и в

риторическом

чтобы достигнуть

не совпадают, и

буквальном

нужно бесконечно долго (и

смысле бесконечно

в

долго) трудиться,

этого совпадения. В положительном числе дан не

бесформенный факт перспективы и не голая, оформляемая,
текучая ее материальность, но сама перспектива в своей конкретной
оформленности, фигурности, определенности и разграниченности.
голый

Таким

е)

образом, для

понятия

простой антитезы рационального
может

считаться

этого основного

6. В

правил

определения

заключение нашего

в

мнимости

и

целесообразно ввиду

ряд

чисто математических

требует

теорем

и

в данном месте не

того, что большинство

с этим мнимым i

демонстрацией

комплексного числа не¬

области этого учения. Делать это, однако,

построений

уже

мнимости.

рассмотрения
на

достаточно

иррационального. Все прочее

детализацией, конгруэнцией

обходимо было бы указать

очень

и

интереснейших

еще исследования таких ки¬

тов математической мысли, как е и л, т. е. предполагает исследование
трансцедентных чисел, чего мы еще не предпринимали. Таков инте¬
грал Коши, выражающий значение аналитической функции внутри
замкнутой области регулярности через значения функции на конту¬

ре области. Такова теория Абелевых,

и в частности эллиптических,

функций или теория автоморфных функций

и т. д.

Упомянем только

ряд простейших положений теории комплексных чисел.
Таково прежде всего сложение комплексных чисел. Оно проис¬
ходит по правилу обычного векторного сложения, через построе¬
ние на слагаемых векторах параллелограмма. Как указывалось выше

(§ [Юб]), это есть признак того, что комплексное число предполагает
переход
и

в иное

равносильно

измерение. Сложить два комплексных
сложению двух

числа

потому

разнонаправленных вещественных

векторов.
Комплексное умножение, предполагающее для
ла его

растяжение

умножения

в

и

поворот, отличается

вещественной области тем,

от

векторного (внешнего)

что

произведение остает¬

ся здесь в той же плоскости и сама плоскость не

вещественного направления,

как в

множимого чис¬

получает никакого

умножении вещественных векто¬

ров.
590

§ 108. Обозрение предыдущего

и

переход

к новым типам числа

Извлечение корня из комплексного числа геометрически есть
не что иное, как деление окружности на то или иное число рав¬
ных частей. А это

случаях должно предполагать

в комплексных

реход окружности

в иное

измерение,

т. е.

[пониматься]

пе¬

как ее изги¬

бание.
Известна теорема Коши: интеграл от регулярной аналитической
функции, взятый по замкнутому контуру, равен нулю
регулярности. Но, как известно, то же самое явление
в

криволинейных интегралах.

лагает две вещественных
наталкиваемся на тот

А

криволинейный интеграл предпо¬

что комплексное число

соответствует переходу из одного измерения
в основе

Эту перспективность, лежащую
трудно было бы показать

и на многих

тематического анализа, так и из

щихся типов,

и

др.

существенную грань в ди¬

вообще. Чтобы усвоить себе

квалификацию

как

место еще остаю¬
нами

чему-то целому.

изложении изученных типов числа мы допустили неко¬
по

в методе

общей теории

числа. Если мы сейчас свяжем

типов числа с

конструирования

сравнению

с методами

изученную классифи¬

методологией общей теории (§§ 28—31), то тем

самым поставим учение о типах в

логией

и

переход к новым типам числа

торую новизну

кацию

как из ма¬

необходимо сделать обозрение уже изученных

типов и дать им

а) При

мнимой величины, не¬

других примерах

комплексных чисел кладет

алектике типов числа

(или функция)

другое.

теории потенциала

из

§ 108. Обозрение предыдущего

Изучение

в

гидродинамики, теории упругости,

электромагнитной теории света,

1.

и здесь мы

переменных. Следовательно,

факт,

области ее

в

мы замечаем и

ближайшую связь с общей методо¬

нашего исследования и получим

лучения еще остающихся

руководящую

нить для по¬

типов.

Ь) Природа типов числа заставила нас конструировать такие три
диалектические последовательности: 1) положительное число,

от¬

рицательное, нуль; 2) целое, дробное, бесконечное; 3) рациональное,
иррациональное, мнимое. Эти последовательности очень естествен¬
ны; и если последняя

еще может

представлять некоторую новость для

не мыслящих диалектически математиков, то
всяком

первые две являются

случае довольно банальным местом даже у

привычку и

математиков.

математического, и нематематического

ставлять положительному числу отрицательное

591

и

во

Эту

ума противопо¬

проводить грани¬

V.

цу между

ними в

числу дробное

Переход

к

специальной теории

а также

нуле,

и мыслить

привычку противопоставлять целому

(в теории множеств) бесконечность

эквиваленцию целого и части,

хотя бы и

отбросить
ними

пришлось

—

эти навыки нельзя было

их с точки

наступил;

каково же значение

как

просто

ради правильной диалектической системы;

считаться как с типовыми, чтобы

интерпретировать
этот момент

числа

зрения этой общей системы. Теперь

и мы должны отдать

всей этой

с

уже впоследствии

себе полный отчет

классификации

с точки

в том,

зрения нашей

общей методологии.
с) Обратим

внимание на то, что мы

ные нами типы числа не только в тех
только что

указаны нами,

позволительно

рядов и,

(и

очень

конструировали

изучен¬

трех направлениях, которые

но еще и в ином

направлении. А именно,

полезно) было брать

понимая их как чисто целое,

все

только тезисы этих

противопоставлять

тезисам, взятым тоже как целое, а затем

их анти¬

находить завершение в

—

синтезах, понимаемых, конечно, опять в их целостной совокупно¬
сти. Тогда получалась у нас другая система, именно:
ное число, целое,

1)

рациональное; 2) отрицательное, дробное, ирра¬

циональное; 3) нуль, бесконечность,

мнимое. Фактически диалек¬

тика типов числа в этой именно последовательности
нас

—

положитель¬

для первого ряда в

§ 99,

для второго в

§

100

приводилась у

и для

третьего

в

§105. Вот на этом-то втором способе расположения числовых типов
мы сейчас

Что он собой

d)

строится

(§ 15)

и остановимся.

представляет? Первый ряд

по типу той

в

установки, которая

вполне отчетливо

общей теории

носила у нас название акта полагания или, точнее,

единораздельного

числа

раздельного,

акта полагания. «Положительное число»

—

это и

есть ведь не что иное, как чистый акт полагания числа после того, как

сформировано во всей
«Целое число» обращает это

оно

полагание
как это

в

законченности.

вовнутрь числа, производит
а

«рациональное число»,
эти акта.

теперь второй ряд? Едва ли нужно еще доказывать после

разъяснений общей теории, что он есть переход акта полагания

дается

не

полагание

совершенно очевидно, объединяет оба

инобытие,

ное

категориальной

внутреннего содержания числа,

Что такое
всех

своей

а именно в

сферу становления.

И становление это тоже

тут на разных стадиях диалектической зрелости. Отрицатель¬

число полагает стихию становления только лишь как

развертывая

ее в нечто самостоятельное.

592

Дробь

уже

принцип,

вносит в нее

§ 108. Обозрение предыдущего

и переход к новым типам числа

разнообразные дифференциации,

а

иррациональное

Наконец, третий ряд,

как это тоже

разви¬

нетрудно заметить, существен¬

но останавливает поток становления,

зародившийся

преграждая его дальнейшее развитие
есть

число

самостоятельную алогическую последовательность.

вает ее в

такая

граница

в ее

и полагая

во

втором ряду,

ему границу Нуль

положенности; бесконеч¬

принципиальной

ность развертывает эту границу во всей ее инобытийной мощи; мни¬
мость синтезирует то и другое в некую конечную перспективную
структуру числа. Если мы, по примеру общей теории

(§21),

назовем

«фактом», «ставшим», «наличным быти¬
ем», «инфра-актом», то, очевидно, мы будем правы.
е) Отсюда сама собой получается и та руководящая нить, которую
этот

диалектический

мы искали для

тем и

конструирования дальнейших типов

гарантия того,

типа числа в

момент

что мы не

числа, а вместе с

пропустим какого-нибудь

будущем. Именно,

за

«фактом»,

или «ставшим»,

диалектика требует категории выражения, энергии (в

ношении),

Стало быть,

или эманации.

теперь такой

тип числа,

2. Что же это за число?

числа
в

Сначала

уже будем рассматривать

а) Вспомним,

(§ 31)

мы должны

конструировать

или числовой эманации.

обрисуем

«выражение»

и как пользовались этой

станционального отсутствия

его

общее понятие,

его математические

как мы понимали

самого

в

построения.

общей теории

инобытием в

этого

в

Выражение

в некую ставшую структуру; и

в нем

его теми или

это

перекрытость

мосоотношениями. В

«выражение»

в

другом

месте

существенную

в отличие от «мышления» также

второй слои

другими инобытийными

(§ 69)

—

результате превращения

эйдоса через становление

ставить

условии суб¬

инобытия.

всегда по меньшей мере двупланово. Один слой в нем

отвлеченно-смысловой, образовавшийся

—

а

категорией при случае (напр.,

§ 35). Выражение есть соотнесенность с

поэтому

общая

смысловом от¬

который по самой своей структуре содержал

бы стадию энергийного выражения,

потом

основного

нам

пришлось

са-

также по¬

связь с «пониманием»,

которое

предполагает некую определенную

смысловую двуплановость предмета.

отобразить в себе свое инобытие. Оно
должно быть предображением всех своих инобытийных судеб. На
нем, без перехода в фактическое его инобытие, мы уже должны ви¬
Ь) Итак,

число должно

деть, что с ним

вообще

может

случиться

в этом

инобытии. Оно есть

идеальный прообраз всякого своего возможного инобытия. Правда,
593

V.

в

Переход

теории комплексного

к

специальной теории

числа мы

уже столкнулись

тийной соотнесенностью числа. Но там

соотнесенность

как

мы имели

таковую, перспективу

мы имеем самое число, его

числа

субстанцию

как

таковую. Здесь

же

вместе со всем перспек¬

тивным строением. И так как здесь не чистая

себе,

инобы¬

с такой

эту инобытийную

перспектива

сама по

взятая вне своей носимости тем или иным числовым

фактом,

факт, набухший

но именно самый этот

инобытийных судеб,
т. е. о чем-то

то

уходящем

в

от вмещения в

тут уже лучше говорить

глубину

самой

энергиях, изливающихся вовне,

фактической сущности

перспективе,

плоскости, но именно об энергии,

об эманации, т. е. о чем-то как бы выпуклом,
смысловых

не о

себе своих

набухшем,

о каких-то

но еще неотделимых от

числа, еще не отрывающихся от свое¬

го исходного лона.

с) Энергия,

или

выражение, есть синтетическое единство вну¬

и внешнего. Но тождество

треннего
находили

в

внутреннего

рациональном, иррациональном

тому сейчас мы должны точнейшим
вида

и внешнего мы

и мнимом числе.

образом разграничить

уже

Поэ¬

эти два

внутренно-внешнего тождества.

Прежний вид

этого тождества был тождеством

ным, до-выразительным. Ведь

невыразитель¬

еще до выражения, в

смысла, есть свое внутреннее и свое внешнее.

Эйдос

сфере

чистого

отличается от

инобытие, некую «умную»
материю, которая, оформляясь через логос, и создает смысловую

логоса тем, что он

предполагает

фигурность эйдоса. Однако
жения
некое

нужен переход

внутреннее

за

и внешнее, то

инобытийности. Эта

прежней

это еще не есть

пределы

внешнее само оказывается

некое

выражение. Для выра¬

самого эйдоса. Если

теперь

это

раньше было

совокупное внутренно-

внутренним для некоей новой внешней

новая внешность внешня даже в отношении

внешности, которая, как ни внешня в отношении прежнего

внутреннего, все же в отношении нового внешнего оказывается уже
внутренним.

d) Это нетрудно заметить на функционировании категорий
внутреннего и внешнего в последовательности: рациональное,
иррациональное,
тождество

мнимое

внутреннего

инобытийность

число.

В

рациональном

числе

дано

и внешнего как тезис, или, что то же, внешняя

подчинена

тут

внутреннему бытию;

внутренняя соизмеримость числа с самим собою.
числе это тождество перешло

в свое

594

В

отсюда

—

иррациональном

отрицание, или,

что то же,

§ 108. Обозрение предыдущего

и

переход к новым типам числа

внешняя инобытийность подчинила себе внутреннее бытие; отсю¬
да

—

внешняя

несоизмеримость

собою. В мнимом

числа с самим

числе рассматриваемое тождество прошло через отрицание своего
отрицания,

т. е.

вернулось

из инобытия снова к

себе,

но зато стало

развернутым, фигурно-положенным, перспективно оконтуренным.
Сама

по

себе мнимость есть поэтому уже некая выраженность (рав¬

но как я

рациональность

собственно

иррациональность). Однако

и

говоря, внутренно-внешнее тождество

ей ставшести. Можно сказать, что в

внутреннего
циональном
в мнимом

но,

—

это есть,

на стадии сво¬

рациональном числе тождество

и внешнего дано как тезис, как акт полагания, в
—

как антитезис, как

становящийся

как синтез, как ставший акт полагания.

остается еще

ирра¬

акт полагания, и

Следователь¬

выраженное, энергийно-эманативное

тождество

внутреннего и внешнего. Это и есть те числа, к которым мы те¬
перь переходим. В них
таковое, но

не чистое

выражение

как

выраженная вещь, почему прежнее внутренно-внешнее

окажется опять
своего

будет играть роль

внутренним содержанием, которое при помощи

осуществления

на

вещи

перейдет теперь

в

внеш¬

новую

ность.

3. Это энергийно-эманативно выраженное
быть дано на

разной

степени своей

а) Энергийно-эманативное
только еще голый
как

принцип,

неразвернутое бытие. В

число тоже может

диалектической зрелости.

число может быть дано снова как

как чистый акт полагания, как

этом виде оно

базис,

т. е.

содержит свое инобытие

только лишь как потенцию, т. е. сама эманация числа оказывается
пока только

потенцией. Это

—

алгебраическое число.

Ь) Энергийно-эманативное число может существовать как некий
акт полагания в его

развитии,

как становление акта полагания, как

развернутое инобытие числа, энергийно вмещенное
числа.

Это

—

с) Энергийно-эманативное

число должно

становления своего акта полагания и тем самым
как

оформленное, фигурно осмысленное,

танное. Его

в лоно самого

трансцедентное число.
вернуться

из стадии

получить свое

как перспективно

бытие

отрабо¬

инобытийные судьбы, которые оно должно вмещать

себе, пребывают в

нем

развернутая энергия,
кая эманативно

теперь

но как

в

не как потенция и не как инобытийная

структурно-устойчивый эйдос,

развернутая картинность. Это

число.

595

—

как не¬

гиперкамнлексное

V. Переход к специальной теории числа

К исследованию этих типов числа мы теперь и

обратимся.

4. ЭНЕРГИЙНО-ЭМАНАТИВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
§ 109. Алгебраическое
1. Под

число

алгебраическим

числом понимается

+... а^х

коэффициентами которого

являются

элементарного преобразования
щено
нии

в

+

корень уравнения

ап= 0,

рациональные

числа. После

это уравнение может быть

уравнение с целыми коэффициентами. Поэтому

алгебраического

числа можно

ми

Если все

коэффициентами.
целые, а коэффициент при

говорить

и

в

превра¬

определе¬

об уравнении с целы¬

коэффициенты уравнения суть числа

х" равен, кроме того, еще и единице, то

корень такого уравнения называется целым

алгебраическим числом;
дробное алгебраиче¬

если нет этого второго условия, то мы имеем
ское число.
2. Как понять это математическое
математика,

блещет чрезвычайно резким формализмом,

философской

ляющим

определение, которое,

мысли даже

пошевельнуться?

как вся

не позво¬

Если данное

число удовлетворяет тому или иному уравнению, то что это значит?
Что такое прежде всего само

уравнение? Оно говорит нам о ряде дей¬

ствий, которые необходимо произвести над каким-нибудь числом,
чтобы получить другое
казывает, что это

действия,

прежде

а затем т. н.

степень и извлечение

браического

и

число. Какие же это
всего обычные

действия? Уравнение

четыре «арифметические»

алгебраические действия,

т. е. возведение в

корня (в которых, конечно,

которые

относятся все к той же

гими словами, левая часть

по¬

нет ничего алге¬

арифметике). Дру¬

уравнения есть попросту определенная

арифметико-алгебраическая функция корней уравнения.
ция, оказывается, равняется целому

(или,

что то же,

Эта

функ¬

рационально¬

арифметико-алгебраические
операции
производили над целым числом, т. е. какую бы ал¬
гебраическую функцию ни брали от этого числа, мы можем прийти
му) числу. Другими словами,

какие бы

мы ни

только к

целому числу. Алгебраическое

число есть такое число, лю¬

алгебраическая функция которого
любое из шести арифметико-алгебраических действий

есть целое число.

бая

Произведя

над данным

числом, мы всегда можем получить целое число. Если даже мы имеем
иррациональное число, мы всегда можем составить такое уравнение,

596

§ 109. Алгебраическое
т. е.

произвести ряд

чтобы прийти
Но

таких

от этой

число

действий над этой иррациональностью,

иррациональности

сматриваем

число не само по

действий над ним,

себе,

целому числу.

ним

действия

оно

не

ним эти

инобытийных

инобытийных

как потенцию всех его

выйдет

за

действия,

судеб.

мы

судеб.

По

уже сразу видим, что

и

вовсе и не обязательно

потому

в нем

—

произ¬

только потенция его

Но эта потенция здесь вполне определенная;

это потенция рациональности или даже целости. Всякое
ческое число, включая

иррациональность,

целым числом. Если мы имели бы

рациональность

рас¬

пределы своей общей арифметико¬

алгебраической категории. Реально

водить над

мы

производить любые арифметико-алгебраические

можно
и

случае

но как потенцию возможных

данному числу, если оно алгебраическое,

над

к

что же это значит? Это и значит, что в данном

возвысить в

новенное целое число

какой-нибудь 7з,

квадрат,

алгебраи¬

является потенциально
то стоит

эту ир¬

как мы получаем самое обык¬

«3». Таким образом, даже иррациональность,

алгебраическая (а ниже мы увидим, что существуют и
не алгебраические иррациональности), потенциально есть не что
иное, как целое число. Правда, из всякого целого числа при помощи
тех или иных арифметико-алгебраических операций можно, наобо¬
если она

—

рот, получить иррациональные числа. Но тогда нужно сказать, что
целость, рациональность и иррациональность представляют собою
некую единую область, смысловая печать
числе, входящем в эту область.

Каждое

которой

число несет с

цию этой общеалгебраической области;

всей

алгебраической

в

этой области.

в чем же заключается это единство

области? Каков принцип этой

сти»? Заметим, что при таком широком понимании
сюда

войдут и

V-T

все

собою потен¬

и оно не может выйти за

пределы той судьбы, которая уготована ему
3. а) Зададим себе вопрос:

лежит на каждом

«алгебраично¬
алгебраичности

операции над комплексными числами, потому что

входит в

общеалгебраические операции решительно
основаниях. Правда, тут не будет фиксиро¬
ваться спецификум самого этого математического феномена i или
а + bi, но все действия над i войдут в алгебру, очевидно, на общем
основании, т. е. в смысле обычных же арифметико-алгебраических
действий. Итак, в чем заключается принцип самой алгебраичности
операция

на тех же самых

общих

в этом

контексте? Можно даже попросту сказать: все типы числа, ко¬

торые

мы до сих

пор рассматривали, включая нуль

597

и

бесконечность,

V. Переход к специальной теории числа

тоже, очевидно, входят в эту

все это по

существу,

алгебраическим (хотя
арифметика). В

мы называем

как мы знаем, есть чистейшая

чем же принцип этой

Ь)

область. Все они есть

алгебраическую

теперь для нас нечто общее, что

«алгебраичности»?

Этот принцип, вообще говоря, есть принцип сводимости чис¬

ла на то или иное число натурального ряда, на то
число. Но в чем заключается эта

менении тех

или

других

сводимость? Она

из шести

или иное целое

заключается в

арифметико-алгебраических дей¬

ствий. В чем же общий принцип этих действий? Ниже,
ном отделе, мы

подвергнем

эти

при¬

в специаль¬

действия подробному анализу. Сей¬

час же нам важно только то одно

фундаментальное обстоятельство,

что всякая

операция выводит данное

общает его

к

число из его

уединения, при¬

арифметические опе¬
собою
только
законом
приобщения чис¬
рации различаются между
ла к этому инобытию. Мы увидим (§ 116), что, если это приобщение
происходит по типу самотождественного различия, мы получаем
сложение
ются

(т.

иному инобытию,

и вычитание; если по

умножение

е. по

или

тому

типу

типу подвижного покоя,

и деление; и, наконец, если по

алогического или

лучаем возведение
циям обще то,

и что

берут

к

получа¬

типу бытия-небытия
то по¬

органического становления),

в степень и извлечение

что они

то

корня. Всем

этим

опера¬

данному числу его инобытие

не во

инобытие как таковое, инобытие как принцип,

всяком смысле, но

неразвернутое инобытие, только самый

факт инобытия, не входя во
внутреннюю жизнь этого инобытия и не приобщая этой внутренней
развернутости инобытия числа к самому числу. Что такое сложение
и вычитание? Сложение и вычитание сопоставляет данное число с

другими числами,

т. е. с

фактом существования других

чисел, а за¬

тем категория самотождественного различия, примененная ко все¬
му ряду этих сопоставленных чисел, и приводит нас от самих этих
чисел к их сумме или разности. Что такое умножение и деление?
Умножение и деление сопоставляет перед нами несколько чисел, т. е.
указывает на

факт существования

рия подвижного покоя,

таких-то чисел, а потом катего¬

примененная

к

этому ряду чисел,

последовательно одно число переноситься в

воспроизводиться
Точно так же

в нем, и мы

и в остальных

ние (совокупное

заставляет

сферу другого

получаем произведение

числа и

или частное.

двух действиях алогическое становле¬

функционирование

одно число повториться целиком в

598

бытия

и

небытия)

каждой своей

заставляет

части и тем самым

§ 109. Алгебраическое

число

превращает два инобытийно противостоящих
ние и показатель

одно

число

степени)

в

повторило себя

причем 3)

цип,

каз самый
Это

это инобытие дано не

т. е. оно имеет здесь

основа¬

числа.

закону другого

1)

число и

развернуто,

единственную функцию

факт существования

проще

(напр.,

органически спаянную целостность, где
самого по

Так или иначе, но везде мы имеем здесь

тие,

числа

тех или

всего в сложении: инобытие

2)

его инобы¬

но лишь как
—

других инобытийных

действует

прин¬

выставить напо¬
чисел.

только в том един¬

ственном смысле, что оно кроме одного числа, называемого

теперь

слагаемым, устанавливает факт другого числа, получающего

назва¬

ние слагаемого. Так и во всех

с) Следовательно,

«алгебраичности»

в

других действиях.

как же мы

изучаемом

теперь должны

понимать принцип

нами контексте? Как

принцип своди¬

мости данного числа на целое число он оказывается не чем иным,
как

принципом сопоставления данного числа

простейшем

акте полагания этого

бы быть дано
мог бы

не только как

тут развернуться

тельный

простейший

становящийся,

в

акт полагания. Но в

браическое

число

цип, без всякой

с его инобытием

акт полагания.
в

Последний

ставший и даже

алгебраическом

развернутости. Отсюда

в

вырази¬

числе этого нет. Алге¬

предполагает просто инобытие

его

в

инобытия. Это инобытие могло

и

как голый

прин¬

предопределенность

всякого числа быть сводимым на целое число.

4. Теперь
такое

мы можем и

более сознательно отнестись

алгебраическая иррациональность. Поскольку

лагает в качестве своего инобытия только те или иные
акты полагания, т. е.
из нее

поскольку

к

тому,

она

что

предпо¬

простейшие

она сводима к целости и может быть

получена, постольку единственным

алгебраи¬

источником

ческой иррациональности может быть только операция извлече¬
ния корня. Когда мы извлекаем неизвлекающийся корень, то мы ведь
ничего иного не делаем, как просто известным
ляем два целых числа, и больше ничего.

чае иррациональности инобытие
выставление

двух целых

чисел.

этой иррациональности
знаков

при

даже в слу¬

больше,

как только

действует

не

к

данному. Алге¬

и есть не что иное, как

Становление, необходимое

(т.

сопостав¬

Следовательно,

другого целого числа, инобытийного

браическая иррациональность
шения

образом

образ соотно¬
для структуры

е. бесконечное количество десятичных

извлечении «неизвлекающегося»

корня), действует здесь

как таковое, без всякого принципиального усложнения и расшире¬

599

V. Переход к специальной теории числа

ния; оно реально есть сила, выставляющая один за другим эти деся¬
тичные знаки, и притом абсолютно одинаковая в каждом таком
знаке. Оно

—

то

ровное поле,

более и более мелкие

лу;

котором бесконечно

дроби, стремящиеся

и это поле одинаково

этого бесконечного

на

равнодушно

к

возникают все

недостижимому преде¬

ко всем отдельным моментам
с таким алогиче¬

процесса. Иррациональность

ским становлением в основе мы и называем

алгебраической ирра¬

циональностью.
5. Что же теперь сказать по поводу общности этого

«алгебра¬

изма» для всех изученных нами типов числа? Раз мы нашли во всех
них что-то

общее, какой-то

формулировать

этот

один единый принцип, то выставить и

принцип

—

это и значит

лы каждого, такого типа, а следовательно, и за

пов, взятых вместе.

уже выйти

пределы

бразно формулировать

нецелесоо¬

другим отдельным

числа, раз этот принцип остается тем же самым и для всех
типов.

преде¬

всех этих ти¬

Принцип «алгебраичности» было бы
в связи с тем или

за

типом

других

же, изучивши все относящиеся сюда отдельные типы,

Теперь

мы смогли выставить и общий принцип их структуры. Но это зна¬
чит

[и] конструировать новый тип числа, в отношении
прежние типы числа будут только частным случаем. В
никаких иных типов числа,

раньше. Это будут
ные, целые

и

нем не

будет

кроме тех, которые исследованы

нами

все те же самые положительные и

дробные, рациональные

и

те же нуль, бесконечность и мнимость.
типе

будут представлены

тивный принцип,

которого все

иррациональные числа,

Однако

в этом новом

не они сами, а только их

ческого числа, математически

и есть

спецификум

определяемого

как

все

общем

общий конструк¬

а именно сводимость на целое или

ординарная инобытийность. Это

отрицатель¬

неразвернуто¬
т. н.

алгебраи¬

корень уравнения

коэффициентами. Этот спецификум «корень уравнения с
коэффициентами» в философском раскрытии является не

с целыми
целыми

чем иным, как

принципом числа, потенциально предполагающим

свое неразвернуто-ординарное

6. Однако
числа может
же

в этом

алогическое становление.

нашем логическом

устранить. Алгебраическое число,

нящее

в

анализе

алгебраического

крыться одна неясность, которую необходимо сейчас
сказали мы, есть число,

себе потенцию целого числа. Вместе с тем

числом мы называем такое,

которое отображает

в

хра¬

алгебраическим
себе свое нераз¬

вернутое (так сказать, одномерное) инобытие. Эти два определения,
600

§ 109. Алгебраическое
по-нашему, тождественны. Но, пожалуй,

то, что

их тождественность еще не

предыдущего. Тут необходимо обратить

вполне ясна из

одномерность инобытия

ления, или,

число

есть ведь

попросту единство

другими словами, единообразие

чие такого инобытия в
него изменяться в
число мыслится

недрах

внимание на

его

станов¬

направления. Нали¬

числа обеспечивает возможность для

прямо противоположные стороны. Если данное
результате той

другой арифмети¬
(или определенной комбинации этих операций),
в

полученным

ческой операции

или

то наличие в нем его одномерного инобытия есть не что иное, как
возможность произвести над ним

которые над

ним

число было

или тем,

суммой двух дру¬

одномерного инобытия обеспечивает

гих чисел, то наличие в нем
возможность

действие, обратное тому

производились. Если

из него вычитание одного из двух этих

произвести

дру¬

гих чисел.

Благодаря этому всеобщему принципу можно положитель¬

ное число

превратить

и

в

отрицательное

обратно, рациональное

—

в

и

обратно, целое

иррациональное

—

в

и мнимое и

дробное
обратно.

Но так как основой всяких вообще операций является обыкновенный
счет по натуральному ряду, т. е. по всем возможным целым числам,
то

и возникает

димых к

потребность говорить

целому числу. Однако для

наличие в данном числе

инобытие

сво¬

только

потенции. Такое

как сила, выставляющая новые числа в

причем

данного числа в самых

[иначе]

требуется

одномерно-инобытийной

действует просто

отношении данного,

о числах, так или

этого сведения

эти числа обеспечивают изменяемость

разнообразных,

и в

особенности

в

противо¬

положных, направлениях. Максимальное изменение, которое тут
может

произойти

с числом,

—

это вовлечение его в стихию чистого

становления, но последнее тут всегда дано именно в

примесном виде,

как голый

рациональность

есть только

Итак, сказать ли,
что оно

хранит

действительно

результат

себе

рождающаяся здесь ир¬

извлечения

что число сводимо к

чистейшем, бес¬

корня.

целому числу,

одномерно-инобытийную

или сказать,

потенцию,

—

это

есть одно и то же.

7. Так как мы

щий

в

принцип,

так что

рисуем сейчас алгебраическое

тип числа, то нам нет

в математике называется

нужды входить

в

число как некий об¬

рассмотрение того,

что

алгебраической областью или алгебраиче¬
алгебраическим телом), хотя толь¬

ским полем (его называют также
ко эта

отрасль

гебраических

математики показала бы нам
чисел. Мы не

будем

подробно структуру ал¬

здесь делать этого, тем более что

601

V. Переход к специальной теории числа

«арифметической теории алгебраических

чисел» нам еще

придется

в своем месте.

коснуться

8. А теперь на очереди тот тип числа, который является диалек¬
тической противоположностью
вый тип

будет

тоже

алгебраического
как и

выразительным, типом,

числа. Этот но¬

алгебраическое

число, но здесь мы найдем выражение совсем иной структуры. Из
предыдущего сама собой напрашивается идея построить такое чис¬
ло, которое бы, храня в себе свое инобытие

тельным), содержало

его не в виде

развертывала бы

ности, но

его в

(т.

е. являясь

простой, одномерной

сложную, многомерную структуру.

То становление, которое приносится инобытием,
должно вступать
от

висящую

моментов.

в новое становление,

привнесения

вырази¬

положен-

в свою

очередь

получать усложненность,

за¬

в него еще новых, не зависящих от него

Такая иррациональность уже не может равномерно рас¬

стилаться как результат простого извлечения корня. Она сама пере¬
шла здесь

в свое

инобытие,

сящие от извлечения
какой

корня

т. е. в нее вплетены моменты, не зави¬
и

—

тем более

не зависящие ни от

—

другой арифметической операции. Такая иррациональность

называется
ношении

трансцедентной;

с

и такие числа, данные в своем соот¬

называются

многомерно-становящимся инобытием,

трансцедентными.
К анализу этой
числовой

труднейшей

категории

и темнейшей из всей

мы сейчас и

математики

приступим.

§ 110. Трансцедентное число (диалектическая категория)

1. Обычное определение трансцедентного
гласит:

трансцедентное

число есть то,

никакого уравнения с целыми

которое

числа в математике
не является

корнем

коэффициентами. Это определение

дается по методам того восточного человека,

который,

желая опи¬

Карапета, указывает на Аванеса и говорит: «Совсем не похож!»
Предоставим подобные методы кафедральным академикам и по¬

сать

пробуем

сами

разобраться

немногочисленных

этой

в

проблеме, базируясь на тех весьма

математических

исследованиях,

которые

от¬

формулируем трансцедентное
общефилософскую категорию, как она получается в обще¬

носятся к этой области. Но сначала
число как

диалектическом контексте,
схоластике и

формализме,

—

—

чтобы не потонуть

а потом

смысле сама математика.

602

в

математической

уже посмотрим, что дает

в этом

§ 110. Трансцедентное
2. Итак, трансцедентное
им инобытием в

число

(диалектическая категория)

число есть число, соотнесенное со сво¬

условиях развернутости (или многомерности)

это¬

общее определение, полученное еще

го инобытия. Уточним это

в

предыдущего параграфа.

конце

а) Самым

главным или по

исходным пунктом это¬

крайней мере

го определения является соотнесенность числа с инобытием. Следо¬

берем какое-нибудь (алгебраическое) число и берем его
«инобытию», т. е. к какому-нибудь другому числу

вательно,

отношение к его

Это отношение

двух чисел

должно быть все

время

в

центре

нашего

внимания.

Ь) Это

отношение, однако, должно быть нами взято не просто

как таковое. Наше определение трансцедентного числа гласит, что
инобытие, привлекаемое здесь, само переходит в свое
свое становление.
шение

Следовательно,

двух чисел также должно перейти

новление. А это значит, что оно

действием

ту

или

или

рядом действий,

в

в свое

инобытие,

в свое ста¬

должно осложниться каким-нибудь
в

чего оно

результате

потерпело бы

иную деформацию.

с) Достаточно

ли

этого?

этом, то у нас ничего

и

не

мы

Если

остановились

операцией.

бы только на

было бы, кроме какого-то отношения

двух целых чисел, деформированного той
ской

инобытие,

и все только что взятое нами отно¬

или иной

арифметиче¬

Ни о какой трансцедентности не было бы ни слу¬

ху ни духу. В чем же дело? Для трансцедентности числа надо, чтобы
само число вмещало

в

себя эту свою многомерную соотнесенность

с инобытием. Значит, по меньшей мере эта соотнесенность должна
быть

прибавлена

к

самому числу. Мы должны рассматривать

само

число и в нем самом находить его соотнесенность с инобытием. Не
может быть так, что число

существует где-то

получилось бы просто два разных числа,
(если

не

прямо арифметических),

и

само по

себе,

а его со¬

другом месте, отдельно. Тогда

отнесенность с инобытием где-то в

и

притом алгебраических

больше ничего. Следовательно,

для трансцедентности необходимо сложить само число с его ино¬
бытийной соотнесенностью.
d) Но не получим

ли мы и в этом

случае

опять-таки то же самое

алгебраическое (или арифметическое) число? Несомненно получим,
если

остановимся только на этом.

Сумма

двух

чисел есть опять число алгебраическое. Что же
еще

новое,

чтобы

приблизиться
603

к

этой

алгебраических

мы должны сделать

неуловимой

числовой

V. Переход к специальной теории числа

трансцедентности? Обратим
инобытия,

о

котором

диалектический)

внимание на момент

смысл этого

полагания?

акта

неразличимый
полагания.

что то же,

развертывания заключается

перейти

акт полагания. Что значит

простого

развернутости

говорили. Философский (или,

не в чем

противополагании такому инобытию, которое дано

ином, как в

простой

мы

акт

наше

число, должно

алогическое

инобытие,

быть

не

как

противоположность

перейти

значит

в

полагания,

Следовательно,

изучаемое

Это

в

в

сплошно¬

становление

акта

которым соотносится

с

актом,

просто ординарным

[иную] соотнесенность; и эта соотнесенность не
должна быть чем[-то] устойчивым, как любое арифметическое от¬
ношение двух чисел, но она должна уплыть в становление, уйти в
создающим ту

или

нерасчлененную даль
что и оба момента, из
и

которых складывается

эта соотнесенность, т. е.

отношение данного числа к

первоначальное

щая модернизация
нового

все новых и новых становлений. А это значит,

этого отношения

инобытия, оба эти момента

становления. Если

этого не

будет,

другому,

и

через приобщения
должны

наш

уйти

в

последую¬
к

нему еще

бесконечность

принцип многомерной

ино-

бытийности останется только на стадии простого акта полагания,
т. е. опять ничем не

будет отличаться

от

принципа алгебраического

будет введено новое инобытие в отношении старого, но
это инобытие коснется только содержания старого инобытия; оно
его единовременно и единообразно деформирует и тем самым толь¬
числа. У нас

ко заменит одно

арифметико-алгебраическое

отношение

другим,

и

больше ничего. А полнота диалектического противоположения тре¬

бует,

чтобы у

нас

выросла

не только антитеза

содержания первона¬

чального отношения, но и антитеза самого его

мого

принципа

этого отношения. А тогда

первоначальное соотношение числа

модернизация его
новления,
и

—

и так как становление

в стихию

с его

на новое соотношение

неопределенного,

факта,

антитеза са¬

необходимо, чтобы
инобытием,
—

и

и само

дальнейшая

оба ушли в стихию ста¬
то

нерасчлененно

и

беспредельного

становления. Только

неопределенно,

тогда мы выполним задание, лежащее в основе диалектического от¬

рицания инобытийности, характерной для алгебраического числа;
и только тогда

получим здесь действительно развернутое

станов¬

ление.

е) Указанное положение дела, однако, обязывает ко многому. Вся
каяли бесконечность становления может иметься здесь в виду? Если
-

604

§110. Трансцедентное
мы

за

будем

без

разбора,

число

(диалектическая категория)

как попало,

другим, то, во-первых,

мы

нагромождать одно

становление

не что иное, как опять-таки

получим

арифметико-алгебраические числа, с тою только разницей, что их
теперь будет бесконечное количество. А во-вторых, трансцедент¬
ного числа не получится еще
ло, должно быть чем-то

и

потому,

простым,

а не

количество взаимно диспаратных
им

предполагаться,

своей

но тогда оно должно

но это число

—

на то или иное

распадаться

операций. Эти операции могут

структуре некий единообразный

раций. Напр., дробь

что оно, как и всякое чис¬

предполагает

и

содержать

простой

имманентно

закон этих опе¬

просто какое-то одно число,

не

усложнено привнесением определенной арифметиче¬

ской операции. Однако

самая

структура этой дроби содержит

в

себе

вполне определенный закон этой операции. Трансцедентное число,
предполагающее бесконечное количество
должно самой своей

структурой

фактически

закон

не в состоянии

развертывания

водстве

всех этих

этих

Совершенно
все эти

произвести

операций,

операций

операций,

давать закон, по которому эти

операции можно было бы развернуть.
мы

тех или иных

мы и не

не важно, что

операции. Имея

нуждаемся

в

произ¬

целиком. Мы можем остановиться где

угодно; и если бы нам и было возможно произвести все эти беско¬
нечные операции целиком, то мы из этого ровно ничего нового не
получили бы. Такова важность
становления. Этим законом

цедентного

обладания

законом

развертывания

развертывания

становления для

предела. Становление
развертывания беспредельно.

числа является понятие

своей, по характеру своего

транс¬

по сути
Но это

не мешает ему иметь тот или иной предел, который характеризо¬
вал бы тот или иной метод данного становления.
становления

требует

Беспредельность

только, чтобы оно, если его рассматривать как

таковое, нигде не останавливалось и чтобы тем самым не перестало
быть самим собою и не перешло в ставшее. Но это значит только то,
что предел становления не может наличествовать в нем самом. Если
этот предел наличествует вне самого процесса становления и, сле¬
довательно, предопределяет не его абсолютные границы

ку становления),

а только лишь

характер

и

(останов¬

метод его разверты¬

вания, то такому пределу становление нисколько не противоречит
даже,

наоборот,

от него-то и

и

получает определенность своей струк¬

туры.
Итак, трансцедентное

число должно быть

605

пределом

всех своих

V. Переход к специальной теории числа

многомерно-инобытийных становлений
алгебраического числа

единения некоего

или даже пределом объ¬
со всем его

многомерно¬

инобытийным становлением.
2. Необходимо отметить,
него момента мы имеем

что только после введения этого послед¬

право говорить об энергийно-эманативной

выраженности трансцедентного

Когда

шла

речь

о потенци¬

числа, то все дело упрощалось тем, что

алгебраического

альности

числа.

не нужно было реально производить никаких действий над этим
числом или, точнее

ствий

(поскольку

нуждается также

не

и

в

трансцедентное число),

фиксировать реальный характер
указать только
и

к

что мы

тому,

числа мы, хотя и

производстве

всех

это последнее по

лом

фиксировать

ся сюда

операций,

все же,

содержанию

вынуждены

как потенцию. В

по-прежнему

иметь о них

лагаются, должны

то мы

действий,

дей¬

нужно было

а достаточно

было
Это

просто постулировали одномерно¬

инобытийную соотнесенность

дентного

этих

не

общую арифметико-алгебраическую природу.

их

привело нас

этих

реальном производстве

не

случае

же

нуждаемся

поскольку

они

в

трансце¬
реальном

реально предпо¬

конкретное представление. А

и есть само

определяемое

в самом этом числе или,

вернее,

так как

нами число,

самим этим чис¬

закон, или метод, развертывания всех относящих¬

операций. Вместе

число оказывается не

с тем и

благодаря этому трансцедентное

просто потенцией,

развернутой энергией

но

уже реальной мощью,

всех своих инобытийных

судеб и

даже,

боль¬

ше того, развернутой энергией всех своих инобытийных соотно¬
шений
только

сфере осуществления

в

ушло

в

инобытие,

оно

судеб. Трансцедентное число не
ушло бесконечную даль инобытия; и
этих

в

оно не просто как-то унеслось к своему инобытию, но определен¬
ным

образом

дельный

соотносится с инобытием

момент своего инобытийного

сто соотносится там

в

решительно

существования;

и здесь в отдельные

каждый

и оно не

от¬

про¬

бесконечные моменты, но

сразу отпечатлело на себе раз навсегда, однажды на всю вечность,
все эти свои соотнесенности
стихию
ных

ное

сфере бесконечных скитаний,

непрерывно менявшейся самоориентации

в

всю

беспредель¬

инобытийного становления. Оно есть мгновенно дан¬

глубинах
предображение

инобытия,

притом

в

в

и оно

—

всех своих вершинных
тот вечный

одной точке,

всю

судеб

в темной

предел, который объемлет

бездну

возможных числовых

цаний.
606

области
в

себе,

и

самоотри¬

§ 110. Трансцедентное число (диалектическая категория)
Это-то

энергией сущности,

когда вся развернутая

мощь этой последней не переходит реально и

субстанциально в ино¬
пребывает вся собран¬

бытие
ной

и называется

и не

рассыпается,

в одном

не

в нем, но

умирает

в

нерасторгнутом мгновении,

в одном никогда не достижимом для

одной неделимой точке,

инобытия пределе,

в одном

бес¬

конечно напряженном заряде, который ежемгновенно готов излить¬
ся

в

инобытие

и заполнить его целиком, но не изливается, а

вает в себе в своем

абсолютном покое,

в

пребы¬

своей смысловой перегру¬

женности. Это же свойство сущности можно назвать и ее эманацией,
понимая под последней переход сущности в алогическое инобытие,
но в такое инобытие, которое,
момент

будучи

готово оплодотворить

инобытия, однако, пребывает в

бранности

и в

своей

идеально-телесной

число.

3. Легче проследить сущность трансцедентного

в

числа на его эма-

функциях, взятых реально. Допустим, что эманация транс¬

цедентного не остается в своей

вается

со¬

себе покоящейся вечности.

Таково трансцедентное

нативных

каждый

инобытие,

и

самозамкнутости,

спросим, что

мы в этом

трансцедентным. Тут три вопроса: 1)

но

реально изли¬

случае должны

что такое

назвать

инобытие как резуль¬

тат эманации, 2) что такое трансцедентное как излившее эманацию
и

3)

каково отношение между тем и

а)

другим?

Что такое инобытие какрезультат эманации? Если бы транс¬

цедентное никак не эманировало бы, то инобытие было бы чистым
нулем. В самом деле, трансцедентное число вместило
можное

инобытие; следовательно,

ничего, остался

нуль. Но

мы

на инобытие. Что же именно

Изливается

трансцедентное. Но ведь

нечности.

Значит,

ную бесконечность взять

перед

как

оно

в его

ре¬

тут изливается?
—

предел беско¬

бесконечностью. Если эту инобытий¬

таковую, непосредственно, забывая

первоисточником, откуда

она

произошла,

нами вполне самостоятельно, т. е.

тельная бесконечность.

зрения на

все воз¬

изливается сама бесконечность. А это значит, что

инобытие из нуля становится

связи с

себя

берем теперь трансцедентное

альной излиянности
само оно,

в

на долю инобытия не осталось

Однако

то она

прежде всего

это было бы

о ее

предстанет

как положи¬

абстрактной

точкой

инобытийную бесконечность; это значило бы судить по
не заглядывая в глубину вещи. Итак, инобытийная бес¬

поверхности,

конечность не есть бесконечность просто, но именно инобытийная

бесконечность,

т. е.

бесконечность, инобытийная
607

к

той, первообраз-

V. Переход к специальной теории числа

ной, бесконечности, откуда

шю-бытийная,

она

произошла. Это значит, что она,

как

отрицательная бесконечность.

есть

Ь) Второй вопрос:

что же такое

после

число

трансцедентное

бесконечность, ставшую инобытийной,
отрицательной бесконечностью? Об этом можно было бы говорить
того, как оно излило из себя

ясного

путем

цедентном

раскрытия того содержания, которое

осталось в

транс-

после эманирования бесконечности в инобытие. Но мы

другой

сейчас стоим на

позиции. Мы забываем наше полное опре¬

деление трансцедентного числа и хотим найти это число из обсле¬
дования эманативных результатов трансцедентного. Мы не знаем,
что такое это трансцедентное число, и назовем его
или ш. И мы только

формально спрашиваем:

если мы заставим ее
бытие?

Очевидно,

в

шееся есть только

реально

себя

все свое

излить из себя бесконечность в ино¬

трансцедентном нечто останется,

бесконечность,

просто бесконечность. Это
в

каким-нибудь х

что делается с этой ш,

инобытие,

такая

и

а

трансцедентное

так как излив¬
есть вовсе не

бесконечность, которая

тивши и себя и его в некоем целостном, покоящемся

повторяю,
что в

не станем пока входить в

трансцедентном

вместила

притом многомерное инобытие,

охва¬

пределе. Но,

категориальную структуру того,

«осталось». Мы

просто

исключим из некоей

гипотетической со отношение некоего числа к бесконечности.

Следовательно,

включая в себя свою многоразличную соотнесен¬

ность с инобытием
сле

Ведь

сказали мы, эманировало из себя бесконечность.

трансцедентное,

(и притом

с бесконечным

инобытием),

эманирования бесконечности должно исключить

шение к этой бесконечности. Раз бесконечность

инобытие, следовательно,

исчезло там и это

ние с бесконечностью. Это и все. Но

тут

из себя отно¬

оттуда

простое

оно по¬

излилась в

взаимоотноше¬

и возникает самый главный

вопрос.
с) Каково же

отношение

себя бесконечность в

между трансцедентным, излившим

из

инобытие, и самим этим инобытием, ставшим

бесконечностью, и, показано выше, отрицательной бесконечностью?

Тут

волей-неволей придется коснуться и категориального раскры¬

тия того, что осталось в трансцедентном после исключения из него
соотнесенности с бесконечным.
этого менее
ным?

бесконечным,

Разумеется,

Спросим себя:

сделалось ли оно от

т. е. может ли оно стать от этого конеч¬

нет, потому что трансцедентное есть такая беско¬

нечность, которая охватывает все свои

608

многомерно-инобытийные

§ 110. Трансцедентное
в

судьбы

число

пределе. Это значит, что

(диалектическая категория)
оно может

порождать

из себя це¬

лую бесконечность разных инобытий-бесконечностей
от этого не

изнурится. Но тогда что же это такое

трансцедентном

после

эманирования

и

все

же

«оставшееся» в

—

из него бесконечности? Раз

мы исключили отсюда соотнесенность с инобытийной бесконеч¬
ностью, то, очевидно, в нем останется та же самая мощь бесконеч¬
ных эманации, но только, ввиду

эту мощь относить к

будем
брать ее
не

ключения
вечного

как
в

таковую,

порождения,

какому-нибудь инобытию,

в чистом виде.

трансцедентном

будем

а

После произведенного ис¬

останется только самая способность

останется

бесконечная

эманации, бесконечная мощь бесконечных

бесконечного роста,

мы

произведенного исключения,

или иначе

—

бесконечных

мощь

самовоплощений,

или

бесконечная степень бесконеч¬

ности.
Определивши так «остаток», спросим себя опять:
ношении находятся

между собою этот

«остаток» и

инобытийная бесконечность? Что нужно сделать
тельной бесконечностью, чтобы превратить

торый образовался

в

трансцедентном?

в каком же от¬

отрицательно¬
с

этой

отрица¬

ее в тот «остаток», ко¬

И что нужно сделать с этим

«остатком», чтобы превратить его в отрицательную бесконечность?
Очевидно, и в том и в

нечный процесс,
го «остатка»,

во

в

надо опять

все же

получаем

есть

действительно трансцедентное число, то,

из него нечто такое, до чего

3)

оно содержит в себе

другое

определяем трансцедент¬

1) инобытие, 2) инобытие инобытия

как бесконечности в

бесконечность, бесконечное

пределе. Значит,

число

в

найдем,

бесконечную

что

и

это всегда есть

раз повторившая себя

в

себе.

Поэтому, извлекая из нее простую «одномерную» бесконечность,
всегда

мы

отрицательное инобы¬

так или иначе бесконечность в

бесконечной степени, ибо мы ведь так и

то и

бесконечностью,

дорастать еще целую бесконечность времени. Во всяком

трансцедентном всегда содержится

ное:

беско¬

втором случае, чтобы умалиться до отрицательной

исключивши из него его соотнесенность с

тие должно

проделать

первом случае, чтобы дорасти до трансцедентно¬

бесконечности. Если

даже

другом случае

мы

эту простую бесконечность надо еще возвысить

степень, чтобы она сравнялась с трансцедентным

числом.
4. Следовательно, результат наших поисков трансцедентного
числа таков. Если по исключении из некоего числа

609

со

соотнесен-

V. Переход к специальной теории числа

ности с бесконечным оно все же в бесконечной степени превос¬
ходит отрицательную

бесконечность,

то число со

—

трансцедентное

число.

Теперь обратимся

к

что дает математика.

тому,

§ 111. Трансцедентное число (математическая конструкция)
1. История математического исследования трансцедентных
чисел весьма несложная. Хотя

с

матики

но до

оперировали издавна,

трансцедентными

ность этого типа числа совсем не

цузский

математик Liouville

все еще не

изучалась. Только

в

необходимый) признак трансцедентности

корнем

с целыми

40-х годов прошлого

никакого

1844

г.

сущ¬

фран¬

числа. Он же

натуральных логарифмов,

квадратного

коэффициентами*. Эрмит

ность е на основании т. н.

века

впервые установил достаточный (хотя

доказал, что число е, основание

быть

числами и мате¬

или
в

не может

биквадратного уравнения

1873

г. доказал

трансцедент¬

эрмитовского интегрального тождества**,

применяя свой громоздкий аппарат (впоследствии упрощенный***).
Только

1882 г. Линдеман**** доказал трансцедентность л, а

в

Вейерштрасс
к

ций (sin со, если со
Г.

Кантор

—

сам собой

заполняют

собою

Он установил два тезиса: 1)

вообще

действительных

множество всех

должны

Кроме того, в 70-х годах

дал замечательно простое доказательство существования

жество всех

Отсюда

чисел имеет мощность

алгебраических

получается вывод,
всего

*

континуума,

что

алгебраические

и не

и

алгебраические,

числа не

и

что

хотя все-таки

дей¬

континуума вещественных

существовать еще

мно¬

чисел есть счетное множество.

ствительные числа. Эти вещественные, но не
и есть

г.

трансцедентности тригонометрических функ¬

алгебраическое число)

трансцедентных чисел

2)

1885

значительно упростил это доказательство, сделавши

же вывод о

тому

в

чисел

алгебраические

числа

трансцедентные числа, причем [их] бесконечно больше, чем

Journal des Mathematiques purget appliques. T. XV

и XVI

(1-я сер.).

-

Contel Rendus, 1873, vol. 77, стр. 18-24, 74-79, 226-233, 285-293, a
также в Собр. соч. 1912. Т.111, 150 слл.
***

Птъберрем, Mathem. Annal. 1893. Т. 43.
Sitzungsber. d. Berl. Akad. 1882,679 и Mathem. Annal.
—

““

1882.

20, 213.

Sitz. d. Berl. Akad. 1885.
у К. А. Поссе. О трансце¬
Технологического Института. 1894.
Crellesjourn. Т. 77. 1873.

Хорошее

изложение разных доказательств

дентности чисел е

и п. Известия

610

—

§111. Трансцедентное

число

алгебраических. К этому учению
что все

трансцедентные

(математическая конструкция)
можно было

бы, конечно, добавить,

числа тоже еще не составляют

континуума,

образуют опять только счетное множество (что легко выводится из
счетности коэффициентов дифференциального уравнения для каж¬
а

дого данного n-го положения трансцедентного числа, разлагаемого
в

существовать еще какие-то

алгебраический ряд). Поэтому должны

особые числа для заполнения всего вещественного континуума. Эти
числа назвали

гипертрансцедентными, но, кажется, до последнего
[о них] ничего не сказано ясного.
Кроме указанных авторов заслуживают упоминания в интере¬
сующей нас проблеме только три автора, все уже XX века. Это Э. Бо¬
рель*, Д. Д. Мордухай-Болтовский** и А. Ф. Гельфонд***.
Несмотря на то что вся эта литература не очень обширна, дать
логический анализ всех этих учений можно только в большом спе¬
дня

циальном

исследовании.

Мы

извлечем

только

отсюда

наиболее

принципиальные установки, чтобы вышеизложенная философия
трансцедентного

числа не повисла,

воздухе. А именно, 1)
цедентности

числа.

ших

представителей

При

этом

мы

рифмическая
дованию

мы

относятся

дадим

и

взаимоотношения

характеристику главней¬

Неперова

числа е и числа л.

некоторых трансцедентных

прежде всего показательная,

тригонометрические),

хотя

лога¬

специальному обсле¬

арифметике.
пробле¬
общетрансцедентальных, алгебраических

они должны быть

Наконец, 4) огромный
ма

2)

этого числа, т. е.

3) придется коснуться
и

в

рассмотрим признак Лиувилля для транс¬

Затем

функций (к которым

в математическом смысле,

подвергнуты, конечно,

не в

логический интерес представляет

‘

Comptes rendus. 1899. Т. 78. Ср. уточнения у Popken. Mathem. Zeitschr.
1929, Т. 29.
К теории трансцедентных чисел. Протоколы О-ва Естествозн. при Варш.
Универе. 1913, и
“

О

некоторых свойствах транец, чисел первого класса.

—

Матем. сб. 1927.

Т. XXXIV, 55—100, где автор дает очень интересные построения (напр., опре¬
деление транец, чисел при помощи корней ряда уравнений с целыми коэф¬

фициентами в условиях роста степеней и высот).
Давший целый ряд знаменитых построений, напр., доказавший теоре¬
мы Эрмита и Линдемана и решивший
Гильбертову проблему трансцедент¬
ности ev и др. при помощи теорий конечных разностей и комплексного
переменного (Очерк истории

и

современного состояния теории транец,

чи¬

Естествозн. и марксизм. 1930, 1/5, 33—55). Он же нашел и необходи¬
мый признак тр[ансцедентного] числа.
О необходимом и достаточном

сел.

—

—

признаке трансцендентного числа. МГУ. Учен, записки. 1933,6—8.
611

V. Переход к специальной теории числа

(в

частности,

комплексных)

и

тригонометрических функций

и

чисел.

2. а) Итак, остановимся прежде всего на достаточном признаке

трансцедентности

числа по

математик исходит для
величины

отклонения

дроби, которая
число х

его

В указанных

Лиувиллю.

такого

разыскания

признака
числа

трансцедентного

приближенно выражает.

от

Если

работах

этот

из абсолютной

рациональной

алгебраическое

определяется неприводимым уравнением п-й степени,

то

для достаточно большого а мы имеем

А

Р_
Я

’

я"

где А > 0 и не зависит от q. Это условие, очевидно, необходимо для
того, чтобы число х было

алгебраическим. Оно, конечно, не есть еще

достаточное условие. Но тогда отсюда можно получить условие для

будет, наоборот, достаточным,

трансцедентности числа, которое

но

не необходимым. Если, какое бы ни было п, мы имеем, при достаточ¬
но большом q, что
А

Р_
Я
то х уже не сможет быть

Я

алгебраическим

числом. Оно

будет транс¬
формули¬

На основании этого неравенства можно так

цедентным.
ровать достаточный признак трансцедентности

числа со:

Р

In

со

=

—

<7

lim
^-►оо

Я утверждаю, что эта
матический

=

—

00

.

формула есть не что иное,

как точный мате¬

дублет к развитому выше учению о трансцедентном и об
инобытие (§ 110, п. 2
3).

его эманациях в

Ь)

-

lib?

—

В самом деле, что мы тут имеем? Мы тут имеем 1) отношение

р
двух целых чисел —, т. е. некое р взято

в своем соотношении со сво-

Я
им

инобытием q. 2) Это q тут не остается стабильным; оно меняет¬

ся, получая последовательный ряд все новых

другими словами, раз
ное

инобытие

и

взятое инобытие

изучаемое

переходит

отношение

612

и новых

значений,

в свое

становится

т. е.,

собствен¬

развернуто¬

§111. Трансцедентное
инобытийным. 3) Далее,
к

число

(математическая конструкция)

это соотношение должно быть

тому числу, которое претерпевает

будет,

прибавлено

все эти соотношения. Так оно и

когда мы развернем трансцедентное число в ряд. Но тут нас

интересует позиция,
т. е. мы только ищем

обрисованная

в

предыдущем параграфе,

эту трансцедентную ы,уже

данное соотношение. И поэтому,
вычитаем это соотношение из

согласно

со и

содержащую

указанной

в

п.

3,

себе

позиции, мы

получаем

ч
4) Однако, чтобы определить

этой позиции, мы долж¬

со согласно

ны посмотреть, каково отношение этого трансцедентного «остатка»
к инобытию, которое из него эманировало.

Поскольку

р мы соотно¬

сили с q и поскольку q у нас менялось, мы теперь должны сказать, что
если из со эманировала действительно бесконечность, то q должно у
нас получить в конце концов значение

бесконечности;

q должно

р
стремиться

к

бесконечности.

Только

—

будет

тогда

на

самом

У
деле

изображать собою соотнесенность с бесконечностью.

5) При
и

этом мы должны оба числа

трансцедентный

«остаток», и

ставить не иначе как в

изучаемого соотношения,

т. е.

инобытийную бесконечность, пред¬

атмосфере эманации.

«Остаток» должен трак¬

товаться как результат эманации, и инобытийная бесконечность
должна трактоваться как результат эманации. Позже, в анализе Неперова числа е, мы увидим, что е, основание натуральных

логариф¬

мов, является самым основным и примитивным трансцедентным
числом, так как оно говорит о соотнесенности с инобытием не чего
другого, как самой обыкновенной
может считаться своего

единицы,

так что, если

рода трансцедентной единицей,

образом трансцедентности вообще. Поэтому,
данное число, конечное или
самым мы

обрисуем

бесконечное,

угодно,

или

е

перво¬

если мы покажем, как

появилось из е, то этим

данное число именно как результат эманации

трансцедентного. Но всякое данное число может быть получено из е
путем возведения его в ту или иную степень, т. е. свидетелем проис¬
хождения данного числа из
ся только его

трансцедентной эманации

может явить¬

натуральный логарифм.

Но проводимая здесь позиция для разыскания трансцедентного
числа

6)

должна привести к тому, что между этими двумя бесконеч¬

613

V. Переход к специальной теории числа

ностями, трансцедентным «остатком» и инобытийной бесконечно¬
стью, в свою очередь должна залегать

бесконечность, так что, только

подвергаясь бесконечному умалению

или

росту,

эти две

бесконечно¬

могут встретиться. А 7) если, кроме того, инобытийная бесконеч¬

сти

ность есть

отрицательная,

то отношение

рифмами трансцедентного

бесконечность),

в

растет

лога¬

(поскольку инобытие только

нечности, отношение, взятое в пределе
еще

между натуральными

«остатка» и самой инобытийной беско¬

это отношение и есть не что иное, как

отрицательная бесконечность.
Все

с

это

занном

математической

выше

точностью

зафиксировано

в

по

признаке трансцедентности

достаточном

ука¬

Лиу¬

виллю.

3. Этот признак Лиувилля переработан Гельфондом (в указан¬
ной

статье

ный

нов

соответствующего заголовка)

признак путем рассмотрения

первой

в

необходимый

вместо нижней

границы двучле¬

степени относительно данного числа нижней

многочленов любой степени от него.

Это, однако,

принципиально нового в наш анализ, хотя и
няет

и достаточ¬

действительно уточ¬
с т. н. вы¬

математическую теорию. Гельфонд оперирует здесь

сотой

многочлена,

которая, во-первых, растет вместе

соответствующего коэффициента,

ствующей

а

границы

не вносит ничего

во-вторых,

берется

с

номером

в соответ¬

степени, при стремлении того и другого в бесконечность.

Следовательно, многомерность бесконечно становящегося инобы¬
тия соблюдена и здесь; прочее же все в

существенно,

лософском

так как

философском

различие между биномом

отношении

может явиться

не

отношении не

и полиномом в

принципом

для

фи¬

новой

теории.
4. Признак Лиувилля дает
строить

новые

возможность

трансцедентные

числа

без особого труда

(путем разложения)

рять трансцедентность уже известных. Так, если

и

по¬

прове¬

мы имеем 1 и потом

будем брать последовательно отношения этой 1 к некоей растущей
функции, возведенной в степень, показатель которой будет тоже не¬
коей растущей функцией, то, беря предельные отношения, мы полу¬
чим из суммы всех этих отношений не что иное, как трансцедентное
число.

Напр.,

мы его

определим при помощи ряда:

число со, при I >

®

=1
~

1
+

0, будет трансцедентным числом,

1

I* j\2

1
+

•"

1

+

+

р-!-..

614

п

2 ..»•(«+!)

+

если

§ 111а. Трансцедентное число (е,

т. е. к

1,

мы имеем данное число,

Тут

иному числу,

Одно

новление.

степени:

Далее

Другое

-

и его отношение к его

это отношение вступает в

становление

—

копление

-

отношение синуса к дуге и

в

становление

тельнее

для

цедентность е,

т.

ста¬

—

это последовательное на¬

_L

и т.д.

Оба бесконечных

пределе.

отчетливее всего,

всего

двойное

Г-

§ 111а. Трансцедентное число (е,

1. а) Но

инобытию,

это последовательное повышение

—

предыдущих степеней: 1

становления даны

л)

всей

н.

отношение синуса к дуге и

проще всего,

математики

Неперово

л)

а самое главное, значи¬

строится знаменитая транс-

число, или основание натуральных

логарифмов. Это, если угодно, совершенная идея и всякого преде¬
ла. История философии дала бы нам немало аналогий, если бы мы
стали прослеживать эту идею исторически. Тут прежде всего вспо¬
минаются,

фии.

конечно,

софиологические учения

филосо¬

Учение об Уме в неоплатонизме, имманентно саморазвиваю-

щемся

в

Мировой Душе,

Смысле, эманирующем

есть

учение об энергийно преисполненном

свои смысловые потенции и

идеальную неподвижность Ума

сферы Души.

реальной

с

Эта потенция, перешедшая

вобрала

идеальна, но она как бы
в

античной

в

немецких

энергию,

все еще вполне

себя все свои возможные

инобытии. Она не перешла реально

предвосхитила

в

объединяющем

живой подвижностью

в

инобытие,

судьбы

но она идеально

все свое возможное инобытие. Учение об идеале у

философов

начала XIX в. относится сюда же. Это

всех возможных взаимоотношений

окружающим ее инобытием.

Тут

предел

данной смысловой структуры

с

в идее дана полная тождественность

смысловой структуры с инобытием, так что эта структура переста¬
ет быть отвлеченным и пустым принципом и голой потенцией, но
превращается в универсальную энергию, смысловым

сущую

бегая

к

на себе всю

бытийственную

тяжесть

образом

данной структуры. При¬

обычному диалектическому схематизму, нужно

Потенция

—

сказать так.

отвлеченный принцип. Он переходит в свое инобытие

и воплощается в своем

из голого принципа

инобытие,

не¬

этот

в

инобытии. Это заставляет его превратиться

некую телесную оформленность. Переходя

принцип там находит себя,

615

т. е.

осуществляется

в

и во-

V. Переход к специальной теории числа

площается в этом инобытии целиком и полностью. В результате
синтез потенции
в

(или принципа)

энергии, причем

и ее потенциального же

все эти три момента

действуют

—

инобытия

все еще в

сфере

чисто числовой.

Ь)

Этот особого рода предел

зу. Он

—

основная

—

не

случаен

наполненного и

структура

предела. Этот основной характер

и не

выбран по капри¬

конкретно явленного

так сконструированного предела

еще более делается важным и даже исходным для всякого

пределе вообще,

если мы за числовую

структуру, получающую энер-

гийную перестройку, примем единицу. Такая единица,
чала как потенциальная

энергийную структуру,

предела,
с

он

вступает

на свой

в связь

(как

взятая сна¬

тут же перестроенная

является, можно сказать,

переделывающим

которой

а потом

структура,

о

учения

прообразом

в

всякого

манер всякую другую структуру,

это мы

увидим ниже, например,

в

теории рядов).
2. а) Итак,
но к ее

это

и

росту

поскольку
цы ко

мы

берем сначала единицу как таковую, безотноситель¬
к ее энергийной обработке. Затем,

безотносительно

мы задались целью взять также и отношение этой едини¬

всякому возможному инобытию,

всего становление. Кроме того, само
дельное становление, т.
отношение единицы
-

с

мы должны

и

рассмотреть

инобытие. Что такое инобытие? Всякое инобытие есть прежде

условием,

что п

по

е. становящаяся

к этой

себе взятое,

оно есть

становящейся бесконечности,

стремится

к

беспре¬

бесконечность. Нужно взять
т. е. взять

бесконечности. Итак, прибавивши

к

п
основной еинице ее отношение ко

мы

получаем 1

+

всякому возможному инобытию,

-.
п

Туг перед

нами

субстанция, утвержденность,

положенность вме¬

сте со всеми возможными взаимоотношениями с

безбрежным

Но что это такое? Есть ли

ла,

о

окружающим

ее

инобытием.

котором

мы

это то понимание законченного

говорили выше? Нет, здесь

мы

преде¬

получили только

от¬

ношение единицы к инобытию и механическое присоединение его к
самой единице. Тем не менее нами замыслена такая категория, чтобы
единица не только содержала в себе свое отношение к
но чтобы она вместе с

одной

и той же,

нарастанием

замерзшей

и

инобытию,

этого отношения не оставалась

оцепеневшей субстанцией,
616

но чтобы

§ 111а. Трансцедентное число (е,
она вновь и вновь воплощалась,
нии

—

по

мере роста

отношение

пусть

себе» останется самой

и

по

Дуализм

исчезнет

нему присоединится. Дуализм

действительно

начнет из¬

энергии, когда она,

эта «вещь

процессреального становления,

когда она

из себя живые бытийственные

вовлечена в

п)

хотя бы в идеальном воплоще¬

только тогда и «вещь в себе» только тогда

себе», будет

дуге

будет преодолен не тогда, когда «вещь в
себе, не затронутой никаким «явлением»,

а «явление» только внешне к

в

к

этого взаимоотношения с инобытием.

«вещи в себе» и «явления»

лучать

синуса

вместе с нарастанием своего взаимоотношения с инобытием

скольку инобытие

становление) нарастает

есть

(по¬

идеально и сама,

переходя в подлинно бытийственный процесс соответствующего
возрастания. В каждый новый момент нарастания своего взаимоот¬
ношения с инобытием единица воплощается и повторяется заново
вместе с тем приростом,

который был

до сих пор. Только при этом

условии неявленная сущность и становится
ция

—

эманацией. Математически

лен бесконечно повторяет сам себя п

ден

в лг-ю степень,

раз,

увеличиваться до бесконечности. Это
значенный

в математике как е

—

и

субстан¬

предыдущий двуч¬

т. е. он должен

что это п

при условии,

энергией

это значит, что

быть возве¬

по-прежнему продолжает
предел, обо¬

есть знаменитый

основание

натуральных логариф¬

мов

Ь) Короче

V
lim

(
I

п—00

у

+

А

в этой

говоря,

1

IV
1

_

=

е.

п)

формуле

—

два положенных друг на

друга становления: становление бесконечным того числа, с которым
единица соотносится

(весь натуральный ряд чисел),

бесконечной той степени,
инобытийным

в

ряд чисел). Стало быть, уже
мерная, т.

е.

которую

соотнесением

эта единица вместе со своим

возводится

(тут

опять

натуральный

из одного этого видно, что е есть много¬

выразительная, эманативная бесконечность,

признак трансцедентного

3. Тут перед

нами

в математическое.

без

построения

и

прекрасный образец

Этот метод

—

чисто

его в

философского построения
как

таковой,

он

содержание философского

числовую

617

того, каким методом

числовой; и,

внимания все понятийное

превращает

а это и есть

числа.

пользуется математика для превращения

оставляет

и становление

и

количественную схему.

V. Переход к специальной теории числа

Однако даже
трения,

оставить

если

оно все же вполне

понятийное

содержание без рассмо¬

определенным образом отражается

на

специфическую формальную структуру и
фигурность. И вот эту-то специфическую фигурность числовой схе¬
мы, фигурность, выраженную численно, но имеющую не численное,
а понятийное происхождение, философ и должен уметь анализи¬
ровать, если он хочет философски понять математические основы
числовой схеме и дает ее

бытия. Число е, являющееся основным

в

философско-диалектическом раскрытии

теории пределов,

в своем

дает идеальную выявлен-

ность и сконструированность чисто идеальной потенции алогиче¬
ски становящейся единичности. Единица не

ненном

и

тупом существовании,

но

—

как

берется

в своем

уеди¬

выросшая до той степени,

себя все свои возможные инобытийные

судьбы
идеально-софийную
субстанциальноэнергийную, эманативную само-преисполненность. Это тот предел, ко¬
торый является первопринципом единицы со всей ее жизнью и судь¬
когда

она

вбирает

в

воплощенность и

и дает

бой,

как бы

возросшей, разбухшей, расцветшей единицей, органиче¬

ски ставшей и
и

созревшей,

энергийный прообраз

как живое тело,

всякого

единицей. Это идеальный

предела, ибо

это

предел идеально

ставшей единицы.
4. а) Весьма интересно разложение
точки

зрения предложенной

Возьмем

это

Неперово

нами диалектики

число не в виде

реальный ряд

этого е в

—

с

трансцедентности.

разложения

по

биному Нью¬

тона, а в следующем виде, тождественном, как известно, с разложе¬
нием по правилу бинома Ньютона:

Попробуем дать диалектическую формулу этого ряда.
Прежде всего, мы имеет здесь 1) саму единицу. Далее, мы имеем
здесь 2) отношение единицы к самой себе, т. е. самосоотношение еди¬
ницы, во

втором

ницы к единице
становится по

члене. Это же является, конечно, и отношением еди¬

вообще,

к

инобытию. В последующем каждый

мере удаления

Следовательно,

здесь налицо

от начала

ряда все меньше

дробление этого

член

и меньше.

самосоотношения, т.

е. становление этого самосоотношения, и, следовательно, выявление
всякого возможного его
ние всех мельчайших

содержания. Это дробление

и это выявле¬

внутренних возможностей самосоотношения
618

§ 111а. Трансцедентное
дано здесь

отношение синуса к дуге и

(е,

число

бесконечном процессе,

в

конечном процессе. Итак, здесь

—

бес¬

в алогически становящемся

3)

алогически становящаяся жи¬

(или

вая бесконечность единичного самосоотношения
единицы со всеми прочими

л)

отношение

единицами).

Но это еще не все. Всматриваясь в строение членов ряда, начиная
1
с

бится не

в том смысле, что оно

меньше, как, напр., было

1^1
+
1-2-2

1-2

бы везде

тут первоначальное отношение

мы замечаем, что

третьего,

бы,

равномерно становится

если бы ряд имел

форму

у

дро¬

все меньше и

1 +

+

-

—

+

112

П

...и т. д. В этом случае закон уменьшения оставался
2

2

совершенно одинаковым, требуя повсюду, чтобы каждый
член был вдвое меньше

последующий

мы имеем совсем

другое. Здесь

чала взято как половина

*
,

предыдущего. В

нашем ряде

основное самосоотношение

потом

—

|

сна¬

не как половина же этой по-

12
ловины, но

уже

как ее

11

треть

потом опять

,

—

не как полови-

1-2-3
на этой

трети

и т.д. и т.д.

ряда

в

и даже не как ее

Следовательно, здесь у

силу единообразного

ленная эволюция

при

всех

переходах,

таковое, но еще и

но

становящаяся
—

4)

уже

как ее

нас не только

закона

четверть

уменьшение

дробления,
который уже

но здесь еще

не

только

членов

опреде¬

однообразен

совершенно разного рода. Именно,

уменьшения. Не

,

он тоже

тут уменьшение

как

прогрессирующее уменьшение, прогрессирующее

увеличение скорости
но и

но

самого этого закона,

становится в смысле

ски

!

треть,

этого

уменьшения. Здесь

бесконечность

единичного

не

просто

алогиче¬

самосоотношения,

становление самого этого становления, инобытие этого

становления.

Наконец, нетрудно заметить,

5) определенный

закон

инобытия

основное самосоотношение
на последовательно

долженного

в

этого

что в нашем

становления.

ряде дан

и

А именно,

уменьшается при помощи дробления

нарастающие числа натурального

ряда,

про¬

бесконечность.

Ь) Этот анализ

основных моментов

помощи ряда, сразу

предела е, выраженного при

становится анализом диалектическим, если мы

примем во внимание

следующее. Третий
619

момент из тех,

которые

V.

Переход к специальной теории

числа

указали, говорит об алогическом

мы только что

становлении или,

вернее, о законе алогического становления живой

самостановящейся

единичности. По сравнению

моментом

тый

—

с

этим

третьим

Следовательно, третий

выше, становление самого становления.

четвертый
они

—

четвер¬

конструирующий инобытие для этого закона, или, как сказано
моменты связаны

между собою

диалектическая противоположность. Стало

вообще говоря,

есть

принцип

число е дает не только

и

как тезис и антитезис;

быть, если предел,

и закон алогического становления, то

такой принцип, но

и

переход его в инобытие,

воплощение его на некоем материале вместо его отъединенного и
неподвижного состояния.

Теперь,

о чем

форму бытия

основного

его инобытии.
ленное

говорит пятый момент? Пятый

Тут

не

закрепление

момент

принципа (или потенции)

просто переход

в

определяет

окружающем

в становление, но и

в этом становлении. Какое

опреде¬

же? Мы видим, что

закрепление происходит здесь путем внедрения принципа нату¬
рального ряда чисел, продолженного
этот

принцип

метить

между

отношении,

с

ними

в

мы не можем не за¬

существенного тождества. Когда говорилось об

то п мыслилось именно по

принципу нарастания ряда

бесконечность. Стало быть, когда тот же прин¬

мы нашли и в отношении

ципа в его

бесконечность. Сравнивая

первоначальным принципом,

чисел, уходящего
цип

в

инобытии,

оформления первоначального прин¬
первоначальный принцип в

то это значит, что

инобытии нашел самого себя. Предел, мыслимый

принцип

и потенция, не только

крепился

в этом

как

инобытии,

таковой, целиком, весь,

нием, перевоплотился

перешел

и не только

в свое

закрепился,

со всем своим

весь и нацело

—

нами сначала как

инобытие,
но

но и за¬

закрепился

существенным содержа¬

так, что в нем уже ничего не

осталось невоплощенным. Это значит, что тут перед нами не только
диалектическая антитеза, но и диалектический синтез. Пятый мо¬
мент есть синтез третьего и четвертого моментов.

принцип

основан на

чисел. И его инобытие основано на том же.

чальный принцип
бытием и
смысле

вошел здесь в

осуществился

бытия

и

Следовательно, первона¬

подлинный

синтез со своим ино¬

как синтетическое тождество

принципа

Можно сказать

Первоначальный

применении бесконечного натурального ряда

в смысле

и так, что в

принципа

в

инобытия.

бесконечном нарастании инобытия

(с которым соотносится единица)

620

в виде

1, 1*2, 1*2*3, 1 *2*3*4

и т. д.

§ 111а. Трансцедентное число (е,
мы имеем

отношение синуса к дуге и

многомерное инобытие, потому

п)

что здесь одна бесконеч¬

множителей) перекрыта
(увеличение
другой бесконечностью становления (накоплением всех множите¬
лей, которые до данного момента появились), причем оба становле¬
количества

ность становления

ния

(как

и полагается

вательно, оба

они

всякому становлению) развиваются последо¬

бесконечны,

и

оба

берутся

образом, здесь непременно нарастает

бесконечную же степень.
с) Остается еще второй
числа с, и мы

со всеми

из

момент

говорит

Оставить, однако,

этот

значило бы

прочими

второй

разорвать

самосоотношение с только что

объединением
обратим

еобразное

момент без

объединения

весь этот анализ на две со¬
части.

Нужно объединить
и это будет

судьбой,

т. е. мы

получим

жизнь этого единичного самосоотношения.

внимание на то, что

инобытием,

этого

полученной триадой,

его с его же собственной

подлинно живую

его

анализа

произведенного

о наличии единичного самосоот-

вершенно несоизмеримые между собою

этого

пределе. Таким

получаем настоящую диалектическую формулу

предела. Второй
ношения.

момент

в своем

возвышение бесконечности в

как и всякий

синтез

диалектический синтез,

Принцип

становление.

полученный

Для

принципа

с

есть некое сво¬

и потенция, лежащие в

глубине

находятся в процессе становления. Но этим первопринци-

предела,

пом является у нас единичное самосоотношение,

1. Значит, соотно¬

шение единицы с самой собой дано здесь как становящееся соот¬
ношение.

Однако будем

внимательны к

тому,

что

речь идет

именно

о самосоотношении, об отношении единицы к самой же себе. Это
значит, что мы все

время

дом единицы в реальное
ется здесь

инобытие,

цы. Речь идет

в

этот

только о самосоотношении, т. е. весь смысловой
есть именно

смысловой,

а не

про¬

субстанци¬

реальный процесс. Следовательно, если
мы
определили как особое своеобразное становление,

идеальный,

процесс

и вся смысловая

недрах этой субстанциально устойчивой едини¬

цесс, констатируемый нами,
—

но

совершенно нетронутой и неподвижной,

игра совершится

альный,

субстанциальным перехо¬
субстанция единицы оста¬

имеем дело не с

а не

то тут перед нами идеальное становление, смысловое становление,
становление без

убыли бытия, без растекания и самопотери в буднях

инобытия. Такое сущностное становление

621

мы

именуем

в диалекти¬

V. Переход к специальной теории числа

энергией. К потому и
энергией единицы.
ке

весь предел е оказывается особой смысловой

сюда, наконец, еще и

Присоединивши

момент, т. е. саму

первый

единицу, мы получаем такую конструкцию единицы, когда она ока¬
зывается вовлеченной в процесс бесконечного становления и, сле¬
довательно, впитывающей в себя все свои инобытийные

судьбы,
предвосхищающей свою жизнь в окружающем ее безбрежном море
инобытия, идеально отобразившей или, вернее, предобразившей
всю свою

реальную

жизнь и

судьбу.

Вовлечение

в

процесс

становле¬

сфере чистого смысла, а
самораспаду
субстанциальному уменьше¬
приводит единицу
нию. Число е есть единица с идеальным предображением всех своих
реальных и жизненных судеб.
5. а) Жизненную конкретизацию этого числа е мы находим, как

ния

тут

вполне идеально, оно

известно, в

наросшую,

и

принципе роста

центов. Тут,

в этом

населения и

приросте

нарастания

сложных

про¬

первоначальную единицу, а

не на

жизненно воплощается

числа е, со всеми

в

свершается

к

не

вся

на

нами диалектика

развитая

присущими ему отдельными диалектическими

мо¬

ментами.

Ь)

Из этого исследования видно, как слепы сами по себе числа

своем голом вычислительном и

арифметическом употреблении.

в

Вы¬

ражение числа е при помощи величины 2,718281828459045... ровно
ничего само по себе не говорит. И нужно произвести

гическую
ности

и

работу,

уловить

в

ло¬

чтобы передать тайный смысл этой иррациональ¬

беглых контурах бесконечного ряда слепых чисел

великую идею, вызвавшую

структуру.
6. Между прочим,

к

бытию

этот

ряд

и его

большая идея содержится

натуральных логарифмов, имеющих,

т. н.

большую

основания число е. Этот

в

специфическую

факте построения

как известно, в качестве

удивительный факт большею

частью остав¬

ляется математиками без всяких объяснений. Очень часто бывает
так, что

могучая

математическая интуиция заставляет

именно таким, а не иным

но и

разумно

но что в то же

сами математики бессильны сказать в

интуиции что-нибудь
том,

образом,

основательное. Так

почему основанием для логарифмов

чему

эти

рассуждать

время

сознатель¬

оправдание этой

случилось

и с

вопросом

взяли именно число е и по¬

логарифмы «натуральные».
«натурального»? Правда, этот вопрос

Что тут особенно

622

о

мы не мо¬

§ 111а. Трансцедентное

число

(е,

отношение синуса к дуге и

жем в настоящем месте нашего исследования

поскольку

нами еще не

в степень.

нако, можем сказать очень многое,
уяснения природы

разрешить полностью,

дан анализ той математической

которая именуется возведением

и это

л)

операции,

Забегая вперед, мы, од¬

было бы весьма важно для

Неперова числа. Почему всякое число есть (1 + —)"
п
1

при том или ином значении п?
мы можем

получить любое

Как мы

увидим

матическое

Почему,

(1+- )

конечное число? И что это значит?

выражение органического роста вообще, поскольку

свою единицу

построять

умножаться

на самого

как целое, делать

таким же целым, как и само исходное число. Это

организма. Показатель степени, логарифм,
по

которому совершается рост организма,
из

рень,
Когда

в п-ю степень,

в своем месте, возвышение в степень есть мате¬

операция заставляет данное число

каждую

возведя

(1+— )

каждый

—

эта
т. е.

элемент

признак роста

есть символ того закона,

а «основание» есть тот ко¬

которого происходит фиксируемый

число

себя,

в данном

случае рост.

возводится в п-ю степень, это значит, что в дан-

п

ном случае исходная величина органически растет по закону «п», и
растет при этом из е. А так как п мыслится здесь становящимся, то
каждый раз, т. е. для каждого числа, мы имеем тот или иной вид е, воз¬
веденный в соответствующую степень.
Число е есть, мы сказали,

вести ее

росту,

в

но

ту

или

иную

росту уже

можно, так как е

не в смысле

уже

того

росту

в смысле

иную

или

степень

и отяжелевшая единица.

значит подчинить ее

смысле

дальнейшему

дальнейшего разбухания (оно

оформления

по

Воз¬

невоз¬

инобытийную беско¬

закону того

превращения набухающей

и

или иного

напирающей сти¬
инобытии, как

положенность и утвержденность в

[иную]
ту
требует данный

хии в

—

вместило в себя всю свою

нечность), но росту в
п, т. е.

набухшая

степень

—

показатель степени.

Возвести, напр.,

значит заставить данное число

ту

или

преобразиться

так,

в

чтобы оно данное именно число раз повторило себя самого, т. е. от¬
разило на себе эту степень как закон и структуру своего развития. Зна¬
чит, и нарастающее число е,
переходит уже в

инобытие, отражает

ность, зафиксированную
изводится

будучи возводимо в ту или иную степень,

и тем самым

там на себе

в показателе степени,

эту закономер¬

инобытийно воспро¬

теряет энергийно источающуюся стихию

623

V. Переход к специальной теории числа

смыслового

набухания, превращая ее в ту или иную систему инобы¬

тийных положенностей. В самом
дана

Когда

ления.

же е возведено в

направлении упорядочения
ления
чает

структуру

или

ту

почему

правом
почему наиболее

это

энергийное

из

трансцедентного. Это

иную степень, даст

оно

—

в

станов¬

становление

полу¬

в показателе

но

уже

и значит, что число

нам то или иное конечное

основание тех

логарифмов, которые

с

натуральными логарифмами. Вот

естественно именно такое основание,

хотя

на

взгляд оно и кажется чересчур сложным, чтобы быть есте¬

ственным.

Рассматривая

рассматриваем
7. а) До

ции

развивается

рационализации энергийного

можно назвать

полным

мы

станов¬

получаем инобытийное алгебраическое число,

е, возведенное в

первый

то е

полаганий, зафиксированных

числовых

результат эманации

число. И вот

утвержденность

энергийно расцветшего

ту или иную степень,

и

уже инобытийного числа;

степени; и мы

как

е положенность и

вместе со всей стихией своего

сих

пор

всякое число

его как эманацию
мы занимались

трансцедентного,

через натуральный логарифм,

трансцедентности.

одной основной формой

или наполненного,

е.

предела

эмана¬

Существует,

од¬

нако, еще два основных предела, связанных с е чисто диалектически,
хотя в математике они выражены в более частном виде. Чтобы их на¬
звать, продолжим нашу диалектику предела.
Мы имели предельную эманацию
в

его

конкретной

нейшее
к

вообще,

и мы

получили предел

Дальнейшая диалектика,

явленности.

т.

е. даль¬

противопоставление новому инобытию, должна привести

переконструированию полученной конкретно-явленной

ции. Отличая от нового инобытия и

отделяющую

этот

проводя,

конкретно-явленный предел

от

эмана¬

обычно, границу,

как

окружающего

его

инобытия, мы, по общим законам диалектики, получаем данную эманативную выраженность уже как некую
ем

дробимую величину, получа¬

различенность и, след., оформленность внутри

энергийно-софийная субстанция
определенное оформление, в то время

единичности

ко об ее

сущностном

ление должно
нами

становлении

превратиться

в

предстанет единичность

но как

как до сих

—

получить

пор речь

шла толь¬

вообще. Сущностное

сущностно ставшее,

не только как

определенным образом очерченная

гийность. Становление

нее самой. Наша

должна

и

станов¬

и тогда

перед

энергийность вообще,

сформированная энер¬

всегда растекается; и сущностное станов¬

ление, отличаясь от вещественного отсутствием

624

убыли

и

дробления,

§ 111а. Трансцедентное
совершенно

(е,

число

отношение синуса к дуге и

не отличается от него своим алогизмом и

сплошной текучестью. Подобно тому,

л)

непрерывно¬

как бытие и небытие в синтезе

дают становление, само становление и новое инобытие дают став¬
шее.

Противоположность становления

той остановке,

которая

есть

(тут, собственно говоря,
сутствие),

уже

ведет его к остановке, но не к

первоначальной категории бытия

в

не остановка становления, а его полное от¬

а к той остановке,

вмещает его в себя в виде

которая есть результат

порожденных

становления и

им новых смысловых мо¬

Поэтому ставшее и есть синтез становления и его (принад¬
лежащего становлению) инобытия. А ставшее в области чисто смыс¬
ментов.

ловой есть то, что получилось в результате становления смысла,

результате движений, происходящих
становление смысла есть, как мы

в

в

сфере смысла. Движение же и

хорошо знаем;

его

разрисовка,

воз¬

смыслового лика и цель¬

очертаний, фигуры, рождение
образа. Поэтому ставшее в области смысла есть смысловая,
умная очерченность и фигурность, оформленность как явленный
лик и образ. Эта фигурность и образность может быть дана с разной
никновение
ного

степенью самостоятельности.

Ь)

Яснее всего и ближе всего к

полученной структуре предела

предел, который всецело еще

является тот

связан с

держанием энергийно-софийной единицы,
отношение этого

границе. Это

содержания

очерченность,

или

вернее,

внутренним

который уже рисует

возможной его очерченности,

к

отношение получает разную

того, в каком виде или,

но

в

форму

мы хотим взять

будем брать эту
диалектическую

противоположность энергийно-софийной единицы,
жем

воспользоваться

Готовая

или

в зависимости от

какой степени мы

границу. Если

е

со¬

то мы не мо¬

уже готовой очерченностью этой единицы.

и полная, цельная

очерченность свидетельствует скорее

некоем синтезе, чем об антитезисе.

Противоположностью для

о

энер-

гийной единицы является ее граница, но не полная и законченная,
а граница, данная в своем становлении и даже лучше, если
ем возникновении.

С

другой стороны,

возникающая, не может

тут браться

подобно тому, напр., как такой
ложительного и

в

эта

границей

граница, законченная

богатым,

и

или

(граница по¬
брали голую поло¬

являлся нуль

отрицательного числа). Там

внутренне пустая. Здесь

вместе с его

в сво¬

своей голой изолированности,

женность числа, и в зависимости от этого
голая и

—

мы

граница была

тоже как

бы

же мы взяли положенность числа

притом совершенно специфическим, содер¬
625

V. Переход к специальной теории числа

жанием. Оттого и граница явится здесь более

внутренним содержанием
отношения

густой;

она связана с

числа и есть не что иное, как особый тип

принципа границы

к

построению внутреннего содержа¬

ния.

с) Спрашивается: если понимать число как внутренне энергийнонаполненную

брать очертание

стихию и

виду ее внутреннего содержания, то
эта

граница

и какое отношение

возникающей границей

этой стихии, не упуская из

в каком виде должна

предстать

существует между так понимаемой

и так понимаемым возникающим

содержа¬

нием?
Ответом

на этот

вопрос

является одно из самых

положений общей диалектики. Пока

бытия,

инобытия,

нет самого

границы,

инобытия,

ложение, нет никакого отличия от
отличия от

нет

элементарных
гласит это по¬

а пока нет никакого

нет и того, что именно отличается от ино¬

предмета определения. Проведение границы для

ограничиваемого, стало быть, есть первое создание

ограничиваемого, первое

дена граница, граница
ко еще

проводится,

его

зарождение

не есть

она

самого этого

и появление.

Когда прове¬

ограничиваемое, но, когда

ровно

она толь¬

ничем не отличается от степени

раскрытия ограничиваемого внутреннего содержания. Насколько
проведена граница предмета,
весьма

содержание. Тут

настолько

порождено

интересна диалектика, хотя

его
и

внутреннее

обычна: пока

совершается самый процесс проведения границы, еще нет ничего
ни

внутреннего,

ни внешнего; но, как только

мгновенно появилась антитеза
в

факте

замкнулась граница,

и внешнего и их синтез

самой границы. Стало быть, пока граница не замкнута, вну¬

треннее и внешнее с

ются;

внутреннего

и в

процессе

их

антитезой

этого

и синтезом только еще

зарождения

сама внешняя

крытие внутреннего содержания ограничиваемого еще

ренцировались,

они пока еще вполне тождественны.

помнить, что так это происходит только в

ницы

и

ограничиваемого;

бывания

того и

другого,

зародышевой формы
тождество

и

потому

но в смысле

того и

ограничивающего

другого
и

в

ном

не

и

рас¬

диффе¬

Нужно

только

процессе рождения гра¬

не в смысле

устойчивого пре¬

проникновения до последней
—

необходимым

является это

ограничиваемого.

8. а) Как эта конструкция дана
но

зарожда¬

граница

в

математике? В математике, имен¬

теории пределов, обычно дается учение об одном замечатель¬

пределе, который

по своей важности сопоставим даже с преде-

626

§ 111а. Трансцедентное число (е,

отношение синуса к дуге и

л)

Правда, этот предел выражен как будто не столь обще, как это¬
требовала бы развитая только что концепция взаимоотношения

лом е.

го

не

вредит,

выражает

существует

в

это

несмотря на частный характер

так как,

как раз

ограничивающего. Однако

и

ограничиваемого

нами концепцию

предложенную

делу

этого

предела. Именно,

sinx

lim

=

Ь) Анализируя

его с

1.

х

диалектической

следующее. 1) Речь идет прежде

всего о

точки

зрения,

двинутости сторон,

о степени

раз-

образующих угол; он раскрывает то содержание,

которое кроется между сторонами угла. 2) Если х в

вполне

мы находим

синусе. Синус есть мера рас¬

крытия, развертывания угла. Синус свидетельствует

a sinx есть

дуги,

он

теории пределов такой предел:
х->0

длина

нисколько

предела,

этом

пределе

есть

синус угла, соответствующего этой дуге,

правильно будет признать,

что х есть

то

проводимая граница,

а

sinx есть

мера развертываемого внутреннего содержания, получаю¬

щегося

результате проведения этой границы. 3) Далее, берется

в

ношение

между синусом угла

ношение это

берется

ное отношение, т. е.

дуги,

или,

и

к

тому

при

длиной соответствующей дуги;

и

же не

том

синус соответствующего угла

что все

равно,

становления.

ограничиваемое

равно 1. Как раз
что в

в

предель¬

0. И длина

зарождении

процессе

Другими

вполне

это самое и

о

тождественны,

ветствующей дуги

пределе
вполне

о становлении

отношения

ясно

границы

энергийно-выявленной

их

сло¬

от¬

утверж¬

пределе ограничивающее
что

ничем не отличаются одно от

9. а) Учением

тезис

их

вообще

и

проведение внешней

раскрытие внутреннего содержания,

процессов,

учение

берутся в самом

к

и от¬

пределе оказываются равными одно другому, раз

далось выше, когда говорилось,

границы

стремится

в самом их окончании, т. е.

ношение между ними в пределе

и

что х

И утверждается: этот предел равен 1.

4)

вами, sinx их в

ных

просто

условии,

как такое, но как

от¬

в смысле

предель¬

другого.

синуса угла

к длине соот¬

демонстрируется диалектическое

как о моменте, составляющем анти¬

единичности. Но становление долж¬

но стать ставшим, чтобы диалектика в данном пункте получила за¬
вершение. Ставшее, говорили мы, в
смысла.

Ставшее, кроме того, т.

е.

сфере смысла есть фигурность
фигурность смысла, мы берем пока

не в абсолютной чистоте и самодеятельности, но вместе со стихи¬
ей

энергийно-выявленной

единичности. Это ставшее оказывается,

627

V. Переход к специальной теории числа

таким

образом,

ния ее с

ставшим

в

условии

такого взаимоотноше¬

размерами очерченного границей содержания. Здесь уже

становящаяся, внешняя
мым

границы

граница

внутренним содержанием,

в ее взаимоотношении с

ио законченная,

в ее взаимоотношении со всей целостью

не

очерчивае¬

замкнутая граница

очерченного внутреннего

содержания. В математике этой диалектической конструкции со¬
ответствует

определяемое

число п,

диаметру.

ности к ее

как отношение длины

окруж¬

Что окружность есть замкнутая граница, это

очевидно. Что диаметр указывает на степень раскрытия и растворе¬
ния или,

грубо говоря, просто на размеры окружности, это тоже само

собой понятно. Стало
внешней

быть,

ограниченности

т. е. та самая концепция

к

л и есть как

отношение законченной

раз

очерченному внутреннему содержанию,

предела, которая является

синтетическим за¬

вершением энергийной единичности, получившей, наконец, цель¬
ное

очертание,

сопоставленное со своим

Ь) Интересен
ла, а именно
ем из

в

—

также еще и

как площади

другой

круга

с

внутренним инобытием.

вид представления я как преде¬

радиусом, равным 1. Как

элементарной геометрии, площадь/правильного

мы зна¬

вписанного

круг 2т-угольника равняется

Отсюда

если п есть количество

удвоений сторон

Если сторона квадрата равняется
довательно, площадь его

=

2,

rjl,

вписанного

т. е., по

^-угольника.

условию,

V2

,

а, сле¬

то отсюда легко вычисляется и само я,

равное, как известно, 3,14159265...
с) Это представление

единице, подчеркивает
держания,

как бы

я как площади

дорастания

полной и законченной

то ни было

ванную

на

радиусом

с

радиусом, равным

очерченности. Единица

значит дать

невидимый центр,

внутреннего

со¬

его до степени явленности, до степени

смысле есть полагание как таковое.
—

круга

в я момент выявленности

и

в диалектическом

Провести окружность

каким бы

некую фигурность, ориентиро¬

притом так,

что

каждый

момент этой

фигурности ориентирован совершенно одинаковым образом
628

и

фи-

§112. Трансцедентное

число

сама к

гурность возвращается

Провести

явленностью.
значит

(в

связи с трансцедентными

функциями)

себе, будучи некоей самодовлеющей

окружность радиусом, равным единице,

же

получить фигурность, которая своей внутренней сущностью
тому, чтобы демонстрировать самодовлеющую

к

призвана

явлен-

единичности, как бы ее

обтекающую выраженную
энергийной
полноту, эманативно-фигурную ограниченность и скомпонованность

носгь или, если

рует

угодно, внешнюю размерность. Число

нам то постоянное отношение,

ке как

«предел

Позже

щей

отношения

мы не

форме это и

в основе

окружности

раз столкнемся

построения

демонстри¬

которое существует между этой

внешне-эманативной размерной полнотой
нием этой полноты. В наивной

я

к

и

внутренним содержа¬

понимается в математи¬

диаметру»>.

именно с такой

интуицией,

лежа¬

числа.

d) Между прочим, трансцендентность числа л, в логическом
смысле, яснейшим образом вытекает из понимания его как некоей
предельной
выражений

площади. В последнем из приведенных математических

мы,

с

одной

стороны,

бесконечный

имеем

количества сторон вписанного многоугольника, с
ны

—

бесконечное нарастание его площади. Эти две бесконечности

вплетены одна
становления в

в

другую,

пределе,

и

потому

т. е. число

$ 112. Трансцедентное

(в

число

их

результат

есть становление

трансцедентное.

связи с трансцедентными

циями)
1. Линдеман обобщил бывшую
и показатели являются целыми

он доказал, что в этом случае

а показатели
ми. Частным

—

функ¬

до него теорему о невозможно¬

сти для числа е быть корнем уравнения, в котором

в

рост

другой сторо¬

рациональными

коэффициенты

числами. А именно,

коэффициенты могут

быть любыми,

различными между собою алгебраическими

числа¬

случаем этой теоремы Линдемана оказывается то,

что

уравнении
ех

числа хи а не могут

(кроме

х

=

0,

т. е. а

алгебраическим

=

быть

а

одновременно алгебраическими числами

1). Иначе

е в

алгебраической

степени было бы

числом, что после теоремы исключается. Значит,

если мы имеем показательную

гумента,

=

функцию

то она оказывается числом

алгебраического ар¬

трансцедентным. Точно

натуральный логарифм алгебраического
629

от

числа

так же

обязательно есть

V. Переход к специальной теории числа

Кроме того, А. Гельфонд доказывает, что

тоже трансцедентное число.

со', где со

—

алгебраическое

число, тоже

ношения 1+ е™= 0 следует, что (-1)

ду, е~п тоже трансцедентно.

' =

трансцедентно*.

е~п.

Следовательно,

Но из соот¬

Гельфон-

по

Но также трансцедентно и еп.

(и подобные им) таят под собою ряд нео¬
без
интуиций,
вскрытия которых невозможно философ¬

2. Все эти заключения
сознанных

ское понимание предмета.

а) Прежде всего зададим

себе

вопрос:

что значит

вообще степень

трансцедентного числа? Как будет особо разъяснено ниже,
возведение числа в степень есть его алогический

Возвести

число в степень

—

это значит

в

§ 118,

органический рост.
его как именно

повторить

его самого в каждом его отдельном моменте, воспроизвести его са¬
мого в каждом отдельном моменте.

Органический рост,

это и есть

возведение в степень. Но как же это возможно в отношении

дентного числа? Ведь трансцедентное
свое

инобытие,

число

т. е. все свои возможные

уже вмещает

трансце¬

в

себе

все

инобытийные самовоспро¬

изведения. О каком же еще воспроизведении может идти речь?

Тут

мы должны вспомнить, что

трансцедентное

число вовсе не

есть застывшая в себе данность, хотя бы эта данность и была полной.

Трансцедентное

число есть

степень

—

как

трансцедентного

результат

какого-нибудь

числа своим

инобытие, выразительная эманация

излияние числа в
да

переполнение

числа. Отсю¬

числа только и можно понимать

инобытии,

его эманации в

инобытием,

т.

е.

как

установление

нового числа, инобытийного в отношении

данной

трансцедентности.
Ь) Рассуждая

таким

образом,

мы можем

результата эманации трансцедентного,
кое же

трансцедентное

—

получить

во-первых,

—

в качестве

опять все та¬

число. Что это значит? Это значит, что из

данной трансцедентности эманировало бытие, которое,
таковым

(т.

е. инобытием в отношении

само возымело в свою
стало

способным

может

к

и само

порождению эманации. Результатом эманации

ное число возводится в

браическое

данной трансцедентности),

очередь трансцедентные особенности

быть, во-вторых,
число.

ставши

и

алгебраическое число. Когда трансцедент¬

трансцедентную степень,

мы

получаем

алге¬

По-видимому, тут происходит двойная эманация:

с одной стороны, эманирует из данной трансцедентности новая,
*

GelfondA. Jor. les nombres transcendences. Contes Renel.

Ср. также

—

Естеств. и марке. 1930,1/5. 52 сл.

630

1929, T. 189. P. 1224.

§112. Трансцедентное

инобытийная,

другой

а с

ность возводилась в

—

с трансцедентными

же степень, то

данной

числа из

трансцедентности. Наконец, результатом эманации

Здесь мы, кажется,

жет быть и комплексное число.

инобытие, трансцедентное

или

не только есть

но это инобытие

именно комплексную.

приняло новую форму,

та или иная степень

что иное, как тот или иной

алгебраическое,

мо¬

тоже имеем дело с

двойной эманацией, когда эманированный продукт

Итак,

эмана¬

продуцирование новой трансцедентности,

дальнейшее продуцирование еще алгебраического

этой новой

еще и

функциями)

поскольку первоначальная трансцедент¬

трансцедентную

ции хватило не только на
но и на

(в связи

число

трансцедентного

числа е есть не

результат эманации числовой транс¬

цедентности.
Изучим некоторые

явления из этой области.

3. а) Число е, возведенное
ставляемое в виде

нее интересно.

в

вещественную

бесконечного ряда

Гораздо интереснее

типа

степень и легко

Маклорена,

пред¬

для нас ме¬

здесь мнимые степени. Возводя

трансцедентное число в мнимую степень, мы не получаем никакой
несуразности и никакого бесполезного нагромождения схоластиче¬
ских терминов, как это всегда кажется неискушенным в диалектике
мыслителям.
чательные

Тут

на помощь

приходит

в виде

построения

сама математика, давая заме¬

Эйлерового представления тригоно¬

метрических функций
оборачивается рядом самых обыкновенных и даже самых элемен¬
тарных математических построений.
Ь) Именно, если мы возьмем exi, разложим его в ряд, отделим ве¬

с помощью мнимых степеней е. Схоластика

щественные и мнимые члены, то вещественная часть окажется не
чем иным, как

сти

—

разложением cosx,

не чем иным, как

а

коэффициент при

разложением sinx,

и мы, таким

мнимой ча¬

образом,

по¬

лучаем:
exi

=

cosx + isinx.

Уже это одно замечательное

построение способно вызвать у фи¬

лософствующего некоторый восторг ума. В
только возводили е в

мнимую

степень.

самом деле, ведь мы же

Откуда

же это

вдруг

всплыли

тригонометрические функции?
Прежде

всего
—

дентности,

формулируем,

что такое мнимая степень трансце¬

независимо ни от каких

Мы уже знаем

(§ 111а),

формул Эйлера.
указывает на органический

что степень

рост возводимого в степень. Стало быть, трансцедентное должно ор¬
631

V.

ганически

должно

Переход к специальной теории

самовоспроизводиться. В какую

и

расти

числа

расти? Об этом говорит мнимый

же

сторону

оно

показатель степени. Но что

оформление вещи
(§ 104). Значит, трансцедентность должна расти в сторону своего чи¬

такое мнимость? Мнимость есть чисто смысловое

сто смыслового

оформления; трансцедентное испускает из себя эма¬

нацию чисто смыслового
как бы

мым телом.

воспроизводит себя

же

облекается выразительным

Выразительно-телесная форма

трансцедентного

—

в нем,

как

и

в

твердо ощути¬

результат эманации

вот что такое мнимая степень

трансцедентного.

теперь дает тут математика?

с) Аналитический вывод
мнимой степенью е

рен,

и

покрывает себя прочной броней оформления, облекается

некое внешнее одеяние,

Что

оформления

связи

указан выше,

тригонометрических функций

и он не только внешне элемента¬

но он в такой же степени и загадочен и

осмысленного уразумения.

схоластика и

формализм

с

в данном

сделать свой предмет непонятным,

требует какого-нибудь

сознаться, что математическая

Нужно

вопросе особенно постарались

в

результате

чего

формулы Эйле¬

ра, можно сказать, просто никто из математиков не понимает, хотя
вывести

их

доступно школьнику.

Попробуем представить себе мнимую
(Клиффорд). Для
единице,

своим

этого

представим себе,

вращением

очень мала. Так как

нице, то длина QP,

дуга QP

=

степень е

что

образует угол QOP, величина которого
ОР Z QOP, а ОР, по условию, равно еди¬

возникшая в

•

результате вращения радиуса ОР,

не что иное, как просто числовая величина

представить

не

прямо

гауссовского представ¬

(§ 106). Именно, эту величину QP мы

как

таковую,

а с точки

Рис. 9

«32

есть

угла QOP. Здесь, однако,

мы должны вспомнить то, что мы вывели из

ления мнимых величин

геометрически

радиус круга ОР, равный

зрения радиуса

можем

§ 112. Трансцедентное

число

(в связи

с

трансцедентными функциями)

будем считать, что в результате своего вращения радиус ОР
определенный угол, но еще и получает
некоторое приращениеQP, растягивается на величинуQP. Поскольку
угол QOP очень мал, мы можем QP считать перпендикуляром к ОР,
и тогда, по Гауссу, это QP окажется мнимой величиной. Итак, QP
^QOPi. А принимая угол QOP тоже за единицу, мы можем сказать:
если радиус круга, равный единице, поворачивается на угол, тоже
равный единице, то он испытывает растяжение на V-T что и
является длиной образуемой здесь дуги данной окружности. И если
ОР, т. е. мы

не только поворачивается на

=

,

угол у нас естьх, то растяжение, очевидно, равняется

х

V-T

•

•

Но ка¬

кое же имеет сюда отношение е?
Известно, что когда одна величина равномерно помножается
при одинаковых приростах

логарифмически.

другой,

то

говорят,

что она

вырастает

Если взять отношение прироста первой величины

при увеличении второй на единицу к самой величине, то по этому
отношению можно судить о размерах
ния.

Когда

мы постепенно

лучаем увеличение радиуса xi,

х и соответственно по¬

то ясно, что xi

мически. То же находим мы в т. н.
ние

логарифмического возраста¬

увеличиваем угол

логарифмической спирали

растет здесь логариф¬

логарифмической спирали. Изуче¬

как

раз

и дает нам искомое

решение

вопроса.
Оказывается,

что если

мы станем искать в

спирали результат поворота луча-единицы
логарифмической скорости возрастания
ной котангенсу углов,
зывается также
—

число

равномерной) результат

равный

этого

этот

будет

есть то, во что

в

результате

этих

поворота

нашего

при

как

радиуса ОА

на i

на¬

раз е\ где

превращается

нам

х

на¬

равный

вращений

логарифмическое возрастание, рисующее

ру логарифмической спирали. Следовательно, е'
тат

то

луча-единицы (рав¬

единице, когда мы, вращая его на угол,

угловым единицам, получаем

пенное его

логарифмической

угол-единицу,

которым логарифмическая спираль

угловых единиц поворота,

чальный луч,
х

по

на

посте¬

структу¬

есть тоже

резуль¬

угловых единиц, потому

что

быстрота логарифмического возрастания ОР, отнесенная к угловой
единице, есть i. Результат же поворота на угол х равен, очевидно,
4. Все это математическое рассуждение, однако, будет совершен¬
но слепым, если мы не

предпримем здесь философской интерпре¬

тации.
а) Прежде всего, достойно

всяческого

633

приветствия

толкование

V. Переход к специальной теории числа

окружности при помощи мнимых величин. Когда
ли о

мы в

§ 107 говори¬
с собою мни¬

перспективном оформлении, которое приносят

мые и комплексные числа, то это, конечно, должно было произво¬
дить на неподготовленных впечатление насильственно

фактов. Не угодно
изведенного

Мы

там

теперь воочию

ли

перпендикуляр. Но

вещественную прямую

мы

можем

правильности про¬

плоскости оказываются не

вещественный

созерцаемыми

одну вещественную

круг

представляемыми,

и его

не выходящих за

Тогда окружность, как нечто выходящее

за

точки этой

данной веществен¬

с

эту окружность созерцать

категориях,

к ней

точки плоскости, ве¬

а только

так же мы можем иметь

мы можем

мыслить в

решительно

реальными,

«мнимыми» точками, идеально

ной прямой. Точно

и

только

пределы данной прямой. Тогда

щественно не выходя за

прямой,

иметь

и соотносить с нею все

окружность. Но

притянутых

исследования?

можем иметь

прямую

убедиться

в

вещественную
с точки

зрения

пределы прямой.

пределы прямой и, след,

предполагающее уже другое измерение, окажется

только

представ¬

ляемой, мнимой, подобно нарисованным предметам, которые
и даны вещественно в

пространстве,
ление

дуги

и

в

одной плоскости,

рельефе,

в

но

представляются

перспективе. Указанное

окружности круга

выше

как некоей величины

xi,

хотя

нами в

представ¬

где х явля¬

ется тем или другим числом угловых единиц, есть очевиднейшее до¬
казательство перспективного характера мнимой величины и связи

оформлением бытия. Тут мы наглядно видим,
целесообразного применения гауссовской концепции мни¬

ее с чисто смысловым
как из

мостей можно конструировать то, что хотя и мыслится веществен¬
но, но при вещественном понимании не создается в своей

границе. Представление

фигурной

об окружности как о 2пг дает очень ценную

идею, но это не есть идея фигурного конструирования окружности,
в то

время как

это последнее вполне осязаемо

совершается через

употребление
b) Однако эта концепция тут не единственная. Пожалуй, еще важ¬
мнимого числа i.

нее то, что 6х оказывается связанным с

теорией логарифмической
Это
обстоятельство
чрезвычайно важно, и необходимо
спирали.
отдавать себе в нем полный отчет.

ципиальном

участия
и

его в

отличии

спирали,

участия
и

е в

другой

—

Тут два

вопроса, один

—

о

прин¬

конструировании окружности
о

другого.
634

принципиальном сходстве

от

того

§ 112. Трансцедентное

Бросается прежде

число

(в связи

с трансцедентными

всего в глаза, что для

функциями)

[случая] логарифмиче¬
упомянутый

ской спирали е входит без всякой мнимости. Ведь если
выше котангенс

тоже за

принять

единицу,

то мы

стейшее уравнение логарифмической спирали

Тут,

как видим, совсем не входит i. И это понятно

луч получает тут
[как] для круга
себе,

а

все

приращение

в то

его

мнимыми единицами и

выражается

нии

указанного

окружность,

мыслим как

уравнения,

обязательно вещественно,

упомянутого приращения радиуса,

она вполне веще¬

между обеими кривыми существует глубо¬
развертываются на

они

основе

логарифмиче¬

возрастания луча-единицы. Другими словами, обе

образом появляются

общем,

мы

здесь точки зрения на них.

всем том, однако,

чайшее сходство. Обе

ковым

перехо¬

на основа¬

кладет принципиальное отличие между обеими кри¬

анализируемой

При

мы мыслим

мнимую (хотя как2пг или

ственна). Это
выми с

ее

на основании

время

равным самому

построение самой окружности. Поэтому спираль,

в

ского

почему. Ведь

время вещественное приращение,

он остается постоянно вещественно

дит

а

получим наипро¬

в виде г= е\

из е, из

они одина¬

трансцедентного. Обе

они

суть,

в

одинаковые эманации трансцедентного. Именно для того и

другого трансцедентное должно выйти за свои пределы; оно долж¬
но излиться в реальных эманациях и облечься некой телесностью,
выразительно-смысловым телом. Оно может по-разному констру¬
ировать это тело. Оно может оставить его при
его всецело на
это не

уйдет

иметь только

цедентное,
ясь

выражение

своих собственных

бесконечное становление,

в

единственную функцию

не

но всегда

растекаясь,

вокруг себя

же самого.

—

мнимая степень е.

так что тело

но его становление

выражать

возвращаясь

в

и выявлять

себя

и

будет

транс¬

ориентиру¬

Таков круг, окружность которого

не вещественным, а чисто идеальным

Это

—

себе, употребивши

глубин,

является

(или мнимым) оформлением.

С другой стороны, трансцедентное может

исходить такими эманациями, которые уже не дадут мнимого, т. е.
только смыслового тела, но перейдут

в

реальное становление,

щественную эманацию. Образ вещественных (а

выразительных) эманаций трансцедентного есть спираль,

логарифмическая спираль.

в ве¬

не только идеально
а именно

На этом мы отчетливо видим все сход¬

ство и несходство двух рассматриваемых кривых.

с) Итак, eY' есть символ идеально выраженной эманации трансце¬
дентного, или

образ облачения трансцедентности в адекватно выра¬
635

V. Переход к специальной теории числа

жающее его тело.

Окружность, которая конструируется при помощи
функции, оказывается образом выразительного

этой показательной

оформления
степени
и

трансцедентности, расцветшей здесь до

и воплощения

самодовлеющей,

саму себя обтекающей

Только теперь

постоянно

полноты

возвращающейся

к

себе самой

действительности.

мы можем начать

разгадывать тайну тригономе¬

трических функций.
5. а) Выше (п. ЗЬ)

мы

получили
exi

Получивши

это

=

чисто аналитически, что

cos х + isin х.

и таинственного вывода.

Теперь посмотрим,

мы в нем

выражение аналитически,

чего не понимали, оставаясь только

при

Последующее

что такое

заключается ее смысл.

Это

правая

и есть

голом

факте

ровно

ни¬

загадочного

показало нам, что такое

часть этого

вопрос

о

равенства

exi.

и в чем

сущности тригонометри¬

функций.

ческих

Взглянувши на [рис. 9], мы сразу начинаем догадываться, что если
угол РОА считать за х, то ОМ есть cos х, а МР есть sin х (или, имея в виду
концепцию Гаусса, МР

Эйлера.

=

isin х). Отсюда нетрудно вывести

и

формулы

Мы получаем окончательно:
еХ1 + еЛ7
cosx=

exi

—

,

что имеет вполне ясный не только

ский смысл (поскольку exi есть
В чем же, теперь,

Ь) Обратим

sin х

х‘

е

,

аналитический,

не что иное, как

философский

прежде

-

=

смысл этих

ОР,

но и

геометриче¬

а е Л/есть

ОР^.

формул Эйлера?

всего внимание на то, что мнимая степень е

может быть понята как комплексное число.

Другими словами, всякое

комплексное число может быть понято как мнимая степень е, т. е. как
выразительная эманация трансцедентного. Но комплексное число,
как мы знаем
всякая

ного;

(§ 107),

есть

перспективный

перспектива обязательно

и

в

трансцедентное эманирует,

спективно.

Когда

мы имеем

символ.

Следовательно,

таит в себе эманацию

просто е,

трансцедент¬

выразительном смысле, пер¬

то

перед

нами

тут

некое

бытие,

овеянное тающими энергиями смысла, но эти энергии еще положе¬
ны как

выразительный образ. Когда

же мы имеем

мнимую

степень е,

то исходящие из него смысловые энергии складываются в некую об¬

разную положенность,
есть

в некое

выразительное самообрекание,

и это

перспективная структура эманации трансцедентного. Всматри¬
636

§112. Трансцедентное
ваясь в

связи с трансцедентными

эту перспективную выразительность,

начальный
ный

(в

число

пункт этой перспективы

мы отчетливо видим

и отчетливо видим ее конеч¬

пункт. Также перспектива существует
изгибы перспективных линий

лейшие

и

только там, где видны ма¬

зрительно-выразительная

судьба всей вещественной предметности, втянутой
ву. Когда трансцедентное реально
вращает

свою идеально
и

вещественную
да
в

оно

реальность. Но

изливается в

в

эту перспекти¬

инобытие,

оно

пре¬

выразительную, смысловую перспективу

субстанциальную

свою

теряет

функциями)

стихию

действительности;

изливаясь

спиралевидным вихрем

мнимость,

в

тог¬

бурлит

пока оно не изошло вовне, а только еще

в

себе смысловыми энергиями самопроявления, оно содержит всю
свою возможную

инобытийную образность

умном теле, содержит
отраженную
что

только в самой себе

трансцедентное

—

липтических,

из

своем

действительность. Но

покоится в себе

кругообразно,

перспективных самоотражений. Тут-то

цедентных функций

в

собственном

ее пока только лишь как цель, как идеал, как

—

и залегает

это и значит,

играя образами

целый ряд транс-

тригонометрических, гиперболических,

которых

нас

интересуют

именно

эл¬

тригонометри¬

ческие.
Из

предыдущего ясно,

плексном

что

тригонометрический косинус

представлении мнимой

вещественная

комплекса.

часть,

Другими

а

синус

—

степени е есть не что иное, как

коэффициент при

мнимой части

словами, линия косинуса является как бы тем

началом, откуда мы считаем перспективу, а линия синуса

правлением,

в

котором

возникшая перспектива

мы

Синус

имеет ведь свою

ности

расстояние отраженной

зеркала. Косинус

на линии отсчета; это

же есть

—

структуру, определяемую

в

зеркале

мы имеем

точек.

точки от линии

точки от

поверх¬

отображение перспективной

проекция модуля

неподвижный радиус. Когда

тем на¬

другим расположением

измеритель расстояния перспективной

отсчета, как бы

—

созерцаем перспективу. Эманационно

известным изгибом линий и тем или
есть

в ком¬

точки

комплексного числа на

просто ех‘, мы,

с

увеличением

больше

и

больше

выявляем внутреннее содержание круга, как бы все больше

и

больше

захватываем пространство

трансце-

х,

все больше и больше

дентности,

все

шире

и

раскрываем угол,

в идеально

шире

т. е. все

выразительном

заполняем эманацию

выразительным оформлением. Ясно,
образ трансцедентности, который
637

теле

трансцедентного

что здесь начинает

как-то должен быть

рисоваться

зафиксиро¬

V. Переход к специальной теории числа

ван и

зафиксирован

не

мертво

устойчиво,

и

но

—

энергийно,

в точ¬

раскрываемым эманационным содержанием. Тригоно¬

ной связи с

метрические функции

как раз и призваны дать ориентацию в этом

образе трансцедентного. Синус указывает на разме¬
направление раскрывающейся в этом образе перспективности,

эманационном

ры
а

и

ее с точки

косинус интерпретирует

Синус
синус

это

—

—

перспектива

перспектива

с) В настоящем
нем

с точки

с точки

зрения ее исходного пункта.

зрения

зрения

ее конечного

ее начального

а ко¬

пункта.

месте нашего исследования мы, однако, не ста¬

развивать подробно теорию тригонометрических функций,

как их

удобнее будет рассмотреть

усвоили себе

этот

функции,

в

исходный пункт,

лософской интерпретации

и

месте.

другом

прикоснуться

к

и

косинуса

синуса

синуса. Но

нам

бы

прибавил

косинуса,
соот¬

необходимо было

хотя бы слегка, что¬

тригонометрическим функциям

я

и

обратные функции

проследить диалектическую судьбу трансцедентного

6. К вышеизложенному

так

что если мы

прочие четыре тригонометрические

так как тангенс есть только отношение

ветственно тангенса,

Ясно,

будет подвергнуть фи¬

то можно

а котангенс, секанс и косеканс есть только

бы

пункта,

числа е.

еще очень важное заклю¬

чение, дающее возможность проверить и уточнить наше рассужде¬
ние о трансцедентном. Если мы в комплексном выражении е'7
понимать х

=

п, т. е. как численную величину угла в

во внимание, что cos 180°=

Как

ни

элементарно

ском отношении оно

и i.

Предоставляя
к их

1,

a sin 180°=

читателю самому
мы

продумать

укажем только

ской схоластики заключается в идее

вращения радиуса

завершенной

спиралевидно,

идеально

или

единственный

разделения круга

на те или иные

на

равные

углы. А это

выразительной

ча¬

есть идея

в виде смыслового

образа,

эманации трансце¬

(п. 4 Ь), совершается

кругообразно. Тот и другой символ эманации

предполагает какой-нибудь исходный пункт,

или начало эманаци-

‘

Одно

философ¬

эти <...>* на основании

на то, что

дентного. Эманация ведь, как мы вывели выше
или

получим

вместо обычной математиче¬

раскрытия внутреннего содержания круга
т. е. идея

мы

чрезвычайно инструктивно для суждения ое,п

осмысленному применению

сти, т. е. в идее

0,

это заключение математически, в

предложенной формулы,
путь

—

будем

180°, то, принимая

слово в рукописи прочесть не удалось

638

(ред).

§ 112. Трансцедентное
онного отсчета, и

маем,

число

(в связи

предполагает ту

как это естественно,

с трансцедентными

или

функциями)

иную его эволюцию. Прини¬

исходный пункт за единицу. Тогда органи¬

ческий рост образности нашего трансцедентного окажется
иным, как

пень,

органическим ростом,

числа е.

При х=0

возводя число е все в

мы

т. е. возведением в

1. Это

получаем

большую

и

большую

—

ту

или

не чем

иную сте¬

начало отсчета.

Но,

степень, мы все больше и

больше раскрываем содержание трансцедентного и, раскрывши его,
опять приходим к начальному, исходному пункту, т. е. к 1. Мы видим,
следовательно, что эманация

кругообразно

обволакивает своими

смысловыми энергиями неявленную сущность трансцедентного.
Отсюда

и идея

периодичности трансцедентных функций. Отсюда

колоссальная важность числа

чем мы еще

встретимся

2л/ или ni в теории функций вообще (с

в своем

понять как окружность с

месте), т.

мнимым

производная
дело? И

функции

или как

смысл того

ех равняется

тому

же

теории огромное

сделаться для нас только в том

общее учение

о

было бы

вообще идею

обстоятельства,
самому е\ В

какое это может иметь для нас значение?

имеет для нашей

наше

е. того, что можно

радиусом,

фигурной замкнутости бытия.
7. Укажем еще на философский
от

и

чем

что

тут

Это, несомненно,

значение. И понятным оно может

случае,

если мы

будем

иметь в

виду

трансцедентности. Трансцедентное, учили мы,

включает в себе все свои инобытийные возможности; следова¬

уже

тельно, никакое инобытие не может внести в него никакого изме¬
нения.

ех=у

и

Поэтому, взявши эманационный

фиксируя царящее

аспект

трансцедентного,

здесь отношение междух ну мы и в

т. е.

сфере

инобытия данной трансцедентности найдем это отношение непоколебленным (а производная
шения аргумента
от

функции

и

функции).

и есть закон

Таким

инобытийного соотно¬

образом, разгадка производной

ех заключается в инобытийной эманативности трансце¬

дентного.
8.

Наконец, уясняется из всего предлагаемого учения и подлинное

диалектическое место

тель степени, в
то ясно, что

логарифма. Если логарифм числа есть показа¬

которую нужно

возвысить е, чтобы

логарифм указывает

на

получить число,

некоторый метод инобытийного

трансцедентного. Это
инобытия,
возрастающего в резуль¬
фиксация возраста

роста е, т. е. на тот или иной способ эманации

есть как бы
тате

трансцедентных эманации,

или

скорости

гонометрические функции раскрывают
639

нам

его

возрастания. Три¬

размер

и

направление

V.

Переход

к

эманативной перспективы,
о

скорости

ее нарастания.

специальной теории

логарифмическая функция говорит

Наконец, простая

свидетельствует о скорости
го

вообще

из

числа

или

показательная

нам

функция

возрасте инобытия, эманированно-

какого бы то ни было числа.

недр

Разумеется, различение Неперовых и Бригговых логарифмов* не
может иметь

принципиального значения для

ния, и его не следует тут

настоящего исследова¬

обсуждать.

§ 113. Гиперкомплексное число (общее понятие)
1. а) Алгебраическое

число есть число, соотнесенное с своим

инобытием и, следовательно,
себя. Включение это

как

совершается здесь,

только потенциально.

ципе,

простой, неразвернутый

ципе

некоторым образом включающее
как мы знаем, только в

Поскольку инобытие
акт полагания,

есть целость, целое число.

постольку

оно в

прин¬
здесь

прин¬

Следовательно, алгебраическое

ло есть потенция целого числа. Всякое число,

операций
алгебраическое.
Диалектической противоположностью
конечного числа

мыслится

его в

которое

в

чис¬

результате

может стать целым числом, есть число

трансцедентное. В

его

нем вмещается его инобытие

тенциально, а еще и

энергийно.

является

уже

число

не только по¬

И это потому, что само инобытие

дано тут не в виде голого бытия или полагания, но в виде полагания,
перешедшего в становление, в развернутое инобытие, так что оно
стало здесь инобытием инобытия, становлением становления. Когда
число самой своей
быть

получено

структурой свидетельствует о том, что оно может

только

то это число есть
не может быть

путем учета этого многомерного становления,

трансцедентное. Уже простая иррациональность

получена при помощи

Но все же путем различных

числу,

если отказаться от

операций

конечного числа
ее можно

непосредственного

операций.

привести

средственных вычислений,
число.

простая,

а

поэтому, даже

—

1)эанскак мы

отказываясь от непо¬

мы не в состоянии свести его на целое

«Свести на целое число»

числа инобытие только как
не

и

—

целому

его вычисления.

цедентное же число есть усложненная иррациональность,

говорим, «многомерная»,

к

—

это ведь значит иметь для данного

простую положенность,

а

тут

она как

раз

«многомерная».

’

Малоупотребительные названия
{Бриггов) логарифмов {ред.).

натурального

640

{Неперов)

и десятичного

§ 113. Гйперкомплексное

Трансцедентное

число

число всегда есть

(общее понятие)

предел. Оно

и

ной иррациональности

и

трансцедентного
цедентном

Поэтому,

если

браичности. Алгебраическое

число

—

е. не имели

угодно, уже

есть начало синтеза

предела

в

многомер¬

бы никакого закона необ¬

мы не имели

ходимого тут становления становления, т.
числа.

может не

не

быть пределом, потому что иначе оно расплылось бы

бы

и самого

наличие в транс-

трансцедентности

устойчиво,

и алге-

неподвижно. Сти¬

хия инобытийного становления дана тут только принципиально, а
не

фактически. Трансцедентное

становлением, и если бы

же число все

тут было

бросилось бы на трансцедентность и
Однако трансцедентность, несмотря
становления, пребывает неподвижно
этим становлением и дает ему закон.

цедентность

есть

в

устойчивости. Предел

в самом

самом деле,

не является ли она

Достигается

она

управляет

это тем, что

транс¬

не есть еще син¬

алгебраической

в

антитезу

но входит вместе со всем
к

числу алгебраическому.

поскольку

некоторым

мнимая степень

может подняться

транс¬

трансцедент¬
вопрос

о том,

синтезом.

она

синтезом

бытия и становления должен положить
то ведь мнимая степень

является.

бытийную

Если

синтез

границу для ста¬

трансцедентности, видели мы,

комплексное истолкование, превращается в идеально выра¬

зительную образность трансцедентного,

в его смысловое, эманатив-

оформление. Несомненно, начало покоя залегает в этом аспекте

трансцедентного,
и

бездну.

себя вихрь

подвижности и

трансцедентное,

Несомненно, некоторым

ное

себе,

в

явным синтезом является мнимая степень

ности не есть само

получая

вмещаемый

на

какой-нибудь,

трансцедентного

Зато гораздо более

новления,

его в свою

входит в самую конструкцию трансцедент¬

ного и потому вовсе не есть

цедентности. В

увлекло бы

трансцедентном

трансцедентной инобытийной

становлением

сложным

предел.

Но, конечно, наличие предела
тез

бурлит этим

только это последнее, то оно на¬

и покоя не в смысле только

без того не может

шими до тех

не

быть),

пор телесно-изобразительными энергиями.

Ь) Однако можно ли
цедентного

предела (которого тут

но покоя в смысле зацветения не быв¬

и

это считать окончательным синтезом

алгебраического? Всматриваясь

замечать здесь

совершенно

отчетливые

транс¬

в него, мы начинаем

признаки

ставшего.

Ведь

ставшее тоже есть синтез бытия и становления, хотя и не оконча¬
тельный синтез.

Здесь расплывающееся становление, сдерживаемое
641

V. Переход к специальной теории числа

раньше только пределом, превращается в самостоятельную струк¬
туру, а не просто упорядочивается извне

предел).

(как

это способен делать

Раз из становления рождаются твердые очертания и отдель¬

ные его струи затвердевают в смысловую

образность

и

фигурность,

то, конечно, здесь перед нами синтез бытия и инобытия. Но необхо¬
димо твердо

зафиксировать:

трансцедентного

комплексно

есть только начало этой

фигурности, которая
скую устойчивость, потенциальность,
ность.

Для

полного синтеза

образности,

—

так и всего кате¬

это возможно не по

категории выражения. Можно ли

другое исчерпано

степени

трансцедентного? Конечно,
Следовательно,

нет.

сказать,

представлении мнимой

в комплексном

что то и

тенция целого.

алгебраиче¬
энергий-

необходимо полное исчерпание как все¬

гориального содержания трансцедентности
но по

начало этой

и трансцедентную

категориального содержания алгебраичности,

категории ставшего,

мнимая степень

вмещает в себе и

самостоятельной

го

понимая*,

Алгебраичность

есть по¬

потенция целого должна войти в наш

синтез. Тем не менее комплексная величина представляется нами на
плоскости, т. е. она

странства

и не

берет только один из возможных элементов про¬
берет его целиком. Правда, поскольку в алгебраиче¬

ском числе речь идет не о целости как

таковой,

но о потенции цело¬

фиксировать какое-нибудь определенное
пространство и отбрасывать все прочие. Тут необходимо дать прин¬

сти, вовсе не обязательно

цип перехода
никаким

из одного

измерения

заранее данным

в

другое,

количеством

не

ограничивая себя

измерений. С другой сторо¬

ны, трансцедентность есть эманативная энергия инобытия, станов¬
ления.

Осуществлено

ли это в комплексном

«двумерная», так сказать,

энергийность, поскольку

точкой вещественной прямой
скости.

Ясно,

что становление

новления, но оно не

числе?

уходит

в

соотнесена та или

тут

Тут
с

дана только

вещественной

другая

точка пло¬

хотя и является становлением ста¬

бесконечность становлений, как того

требовала бы трансцедентная энергийность. Следовательно, и с этой
стороны

мнимая степень

трансцедентности

не есть полный диалек¬

алгебраического и трансцедентного.
[не] необходимо фиксировать всю бесконеч¬

тический синтез числа

Разумеется,
ность

вовсе

измерений

и

всю

бесконечность становлений. Необходимо

только показать, как вообще мыслится

’

Так в рукописи

(ред).
642

в

этом

случае переход

от

§ 113. Гйперкомплексное

одного измерения
как

вообще

к

(общее понятие)

число

и от одного становления к

другому

мыслится та или иная целость

измерений

другому

и

и становлений.

Все же, однако, это не осуществимо средствами простых комплекс¬
ных чисел и

требует

нахождения новой математически-логической

категории.
2.

Вспомним,

всего это мы сделаем так.

Проще

не только антитезис является

отрицанием

бытия к

отрицание

нему,

но и синтез есть

антитезиса и введение но¬

вого инобытия к нему. Если это инобытие
оно и

вернет

нас к

тезису, который ведь

рицание отрицания. Комплексное
ным

правильно подобрано,

то

и есть не что иное, как от¬

число

образом направленную величину,

что в диалектике

тезиса и введением ино¬

характеризует определен¬

или

вектор (вспомним:

щественная и мнимая часть есть ведь только два слагаемых

ве¬

вектора).

Следовательно, необходимо еще инобытие этого вектора или другой
такой же вектор. Оба вектора должны быть чем-то единым.

кроется подлинный синтез, который создаст нужную

нам

Тут-то

и

категорию

выражения.
Когда

мы имеем а +

ственной прямой
мнимости:

уже
за

=

j2=k2

—

I2

не плоскость, а

=

—

мы

рассматриваем

1.

плоскости а+bi.
самого

перпендикуляру

трехмерного пространства,

эту сторону,

и наша

лости,

о

мы

не к

прямой

смотреть куда-то

нам

направит

в чет¬

наш

взор

себе значимость

и т. д. Имея такое
и

нашу новую

а, но ко всей

наблюдать судьбу

а станет носить на

уже реально обладаем

которой говорило

т. е.

новая мнимость k

прямая

четырехмерного пространства. И т. д.

комплексов,

что мы должны выйти

т. е. должны

что мы дальше хотим

Допустим,

вертое измерение. Тогда еще
и в

зрения веще¬

таких же единиц

Пусть с нашей прямой а мы рассматриваем

пространство. Это значит,

по

с точки

Введем еще ряд

пределы нашей комплексной плоскости,

мнимость j направить

и

bi,

плоскость.

усложнение

потенцией абсолютной це¬

алгебраическое

число, и всей беско¬

нечностью пронизывающих друг друга становлений, о

которой

нам

всякое станов¬

вещало число

трансцедентное. Здесь уже решительно

ление из тех,

которыми богата трансцедентность, превращается

фигурную выразительность,
маемое так

конкретно,

в

«направление»,

в

«измерение»,

что его можно отождествить даже с соответ¬

ствующими геометрическими образами. И здесь

мы

действительно

получаем ту принципиальную числовую целость, которая дает
представление

в

пони¬

о наглядно

зримой

числовой комбинации.

643

нам

V.

Переход к специальной теории

числа

Это и есть т.н. гиперкомплексное число.

Нужно сказать, что еще Гаусс, и притом еще в докторской
диссертации 1799 г., предположил для некоторых уравнений не¬
3. а)

обходимость корней

не вещественных и не комплексных, но

более

сложных, о свойствах которых сам Гаусс, однако, отказался выска¬
зать

какоенибудь суждение.

В начале 40-х годов к учению об этих

новых числах пришли одновременно два математика, Г.

Первый

многообразиях,

в отношении

ко частным

тяжении»

случаем;

(1844 г.)

дал

Грассман

философско-математическое учение

и В. Гамильтон.

его два сочинения

и «Учение о

о

которых геометрия должна быть толь¬
—

«Учение о линейном про¬

протяжении»

(1862 г.)*. Гамильтон еще

в 30-х годах обобщал комплексные числа в том смысле, что изучал
соотношения векторов в пространстве на манер соотношения век¬
торов на плоскости, существовавшего для обычных комплексных
чисел. В 40-х годах эта

разработка продолжилась,

и в

1853

г. вышло

большое сочинение «Lectures on quaternions», где была дана теория
т.

н.

ми

кватернионов,

(одной вещественной

еще «Elements of

четырьмя единица¬

т. е. комплексных чисел с
и

тремя мнимыми),

quaternions» (1866)**.

после чего мы имеем

В дальнейшем кватернионами

много занимались англичане, среди которых надо указать

Моргана,
Кэли, Сильвестра, Клиффорда и др. Кватернионы получили развитие

в том смысле, что их стали

ния пар векторов в

Отсюда

привлекать для изучения

пространстве;

возникли т. н.

взаимоотноше¬

бикватернионъГ”.

возникло и т. н. винтовое исчисление****.

В настоящее время эта теория гиперкомплексных чисел раз¬

Ь)

рабатывается

в

двух науках. Во-первых,

единицы, произведение

мнимостей,

которых

можно

брать такие

мнимые

относится к тому же самому

так что каждая единица является здесь не

классу

больше, как ре¬

зультатом линейного преобразования другой. И можно, во-вторых,
иметь в виду такие единицы,

произведение которых создает

новые

’

Оба перепечатаны
Grassmann Н. Gesammelte mathematische u.
lische Werke. I. Lpz., 1894-1898.
—

”

physika-

Есть нем. nep.: Elemente d. Quaternionen, deutsch. v. P. Gian. Lpz.,

1882—1884.1—П.
О них можно получить представление по мемуару В. Клиффорда «Пред¬
варительный очерк бикватернионов»
приложение
точных наук». Пер. А. Р. Кулишер. М., 1910, 314—344.
—

””

Ср.: Котельников

в книге

«Здравый смысл

А.П. Винтовое исчисление. Каз., 1896; Он же. Проэк-

тивная теория векторов. Каз., 1899.

644

§ 113. Гиперкомплексное
неприводимые единицы. Вслед
ние можно назвать линейными

число

(общее понятие)

за античными

алгебрами

и

греками первое уче¬

второе

—

всеобщей

ал¬

геброй.
Мы не станем входить в анализ этих дисциплин, а только ради

образца коснемся кватернионов, входящих в первую из
нейную алгебру.
4. а) Как показывает самое название, в кватернионе
дело с

них, в ли¬

мы имеем

четырьмя единицами. Первой единицей здесь является

веще¬

ственная единица, как и в обыкновенных комплексных числах.
остальные единицы
по

—

мнимые с теми или иными

Гамильтону. Они обозначаются

как

i, jhk,h

Три

коэффициентами;

весь кватернион име¬

ет такой ВИД:
=

q

Вещественная единица
от обычных вещественных
1

Что

=

1 •/

d+ia+jb

и

операции

правил,
=

+ kc.

/,;•

с нею ничем не отличаются

так что

1= 1

k-l

=

l-k

=

k.

же касается мнимых единиц, то здесь сходно с

комплексными числами только общее

^=/
В этом смысле все, что

в

§

=

£-’

=

их

определение, т.е.

-1.

107 говорилось о мнимости как о

квадратном корне из отрицательной единицы, остается

тернионов

в

прежней

силе.

обычными

Далее, однако,

и для ква¬

этим мнимым единицам

принадлежит фундаментальное свойство, резко отличающее
всяких

других единиц.

Ь) А именно,

этим единицам не свойственна

умножения или, точнее,

с

j
при

коммутативность

переменой порядка сомножителей произ¬

ведение меняет свой знак на

но

их от

k

=

обратный, т. е.
i, ki=j, i j

=

k,

этом
k

i

k

=

-j, j

i= -k.

Если не принимать интуиции, лежащих в основе кватернионов,
то это свойство его мнимых единиц является вполне бессмыслен¬
ным или по крайней мере необоснованным. В чем же, однако, тут
дело? Дело

другу не

в

в том, что мнимые единицы

i, j, k противоположны друг

области одного измерения (тогда, если предполагает толь¬

ко плоскость,j

и

k тоже оказались бы на плоскости

и отождествились

бы с i), но они противоположны друг другу как разные простран¬
ственные измерения. Количественно
645

будучи

одним и тем же, они

V. Переход к специальной теории числа

еще выполняют некую «качественную»

функцию,

а именно они де¬

монстрируют разные измерения. Поэтому кватернионы есть
иное, как аналитическое

Подобно тому

ства.

как

число плоскостное, т. е.

не что

выражение четырехмерного простран¬
обыкновенное

двухмерное (ибо

данной вещественной прямой те

комплексное

или иные точки

(а

число

есть

оно соотносит с точками

плоскости), подоб¬

следовательно, и

пространство)
с
точки че¬
данной
вещественной
(соотнося
прямой
четырехмерное
но

этому кватернион

есть число

тырехмерного пространства). Отсюда
тативности

умножения

выясняется и смысл

мнимых единиц

А именно, поскольку каждая единица
мерением,
ление же,

идти от Л к

ле

направлений

точки, лежащие не на одной

—

направления. Направ¬

комбинации направлений, естественно,

направлений.
В и С

связана здесь с новым из¬

она есть также символ известного

В сложении

В, а

потом от В к

С,

я

зависят от самих

дело обстоит просто. Если Л,

прямой,

то вместо того, чтобы

могу прямо идти

от Л к Си в смыс¬

векторном АС=АВ+ВС. Иначе, однако, обстоит дело

Ведь

что такое

умножение?

некомму-

кватерниона.

в

умножении.

Умножение есть составление из множи¬

мого нового числа так, как множитель составлен из единицы. Ясно,
что произведение тут определенно зависит от того, что считать мно¬
жимым, а что множителем.

Допустим, напр.,

что множимое положи¬

тельно. Составляя из него новое число, мы, конечно, так же должны
считаться с этим плюсом, как если бы и

нибудь

положительное

умножении векторов

(а

не

вообще

отрицательное)

на плоскости мы,

помножали какое-

число.

Поэтому уже

вообще говоря,

порядком действующих тут сомножителей. То

в

считаемся с

же самое и в

кватер¬

нионах.
Немного

позже

мы

сформулируем

смысл

некоммутативности

умножения кватернионов еще более конкретно.

§ 113а. Гиперкомплексное число (интерпретация)

1. Прежде чем, однако, идти дальше, задумаемся, какой философ¬
ский смысл можно было бы вкладывать в четырехмерное простран¬
ство и

почему целесообразно брать комбинацию

единиц,

а не больше и не меньше. В

вопросом. И сейчас необходимо

§ [...]

с точки

именно

четырех

уже столкнулись

это понимать яснейшим

а) Четырехмерное пространство
странством

мы

является

с этим

образом.

полным

первым
про¬
зрения диалектики. Считая точку за геометри¬
646

§ 113а. Гйперкомплексное

число

ческий перво-принцип (поскольку
ния и

потому

выше всякого

она не имеет ни одного

оформления),

за первую расчлененную положенность

очевидно,
линии

(интерпретация)

и

мы

измере¬

обязаны за бытие, т. е.

утвержденность, считать,

линию. Вполне естественно также в поисках инобытия

переходить

в

другое измерение,

т. е. в плоскость, что

опреде¬

образом погружает нас в некое становление (в отношении
Но
ведь становление где-то останавливается и, переходя в
линии).
ленным

ставшее, в дальнейшем уже перестает быть все новым и новым ста¬
новлением, но вместо этого встречается с самим собою. Так и пло¬
скость должна встретиться с плоскостью, т. е. с

т. е. мы должны

перейти

в

пространство,

в

другой

плоскостью,

третье измерение. Оче¬

оформление наступает только вместе
образом
выразительной формой,
вмещает в себя и все свое инобытие, т. е. когда в нем, в его образной
полное диалектическое

видно,

т. е. когда ставшее смысловым

с

структуре,

проявились его всевозможные инобытийные дифферен-

ции. Следовательно,

на

трехмерном пространстве должны быть

печатлены следы его инобытийного

существования. Проще

это инобытие там, где оно не задевает самой

за¬

всего

субстанции простран¬

ства, а лишь говорит о процессах, совершающихся внутри одной и
той же, неизменяемой

напр.,

субстанции

если бы мы составили

четвертая

то весь

на

массу

или

странства,

т. е. о том или ином

пературы,

или

бы

выраженным,

на

температуру

кватернион говорил бы

энергии;

структуры пространства. Так,

вещественный кватернион,

первые три единицы указывали бы
а

и

вого

котором

три измерения пространства,
или

потенциальную энергию,

нам о том или ином заполнении

распределении

и наше означенное

про¬

в нем массы, или тем¬

пространство

оказалось

так как здесь оно вместило бы в себя свое инобытие.

Но ясно, что это инобытие есть инобытие не самого
т. е. не его

в

последней субстанции,

содержания, при нетронутости

Понимание кватерниона

самого

как отношения

пространства проводил еще

в

пространства,

но только его смысла, его смысло¬

принципа пространства.

двух векторов трехмерного

30-х годах итальянский геометр Бел-

лавитис*.
Настоящая выраженность пространства,
вое

полное его диалектическое

когда оно вместит в себя свое

’

а следовательно, и

пер¬

оформление, наступает только тогда,
инобытие в субстанциальном смыс-

Bellavitis G. Sposizione del metodo delle equipollenze. Modena, 1854.
647

V.

Переход к специальной теории

числа

будет выражено его инобытие, меняющее самый
субстанцию. Тогда на трехмерное простран¬

ле, т. е. когда в нем

принцип его, самую его
ство мы должны

двухмерное

смотреть

с точки

такими же глазами, какими

зрения трехмерного

тырехмерное пространство,
по

и на

т. е. тогда мы должны

зрения двухмерного,

и оно-то и

смотрим

одномерное

постулировать

—

с точки

некое че¬

будет подлинной (первой,
и, сле¬

крайней мере, полной) выразительностью пространства

довательно, первым полным его диалектическим

Ь) Здесь,

странства

оформлением.

однако, необходимо устранить одно недоразумение,

которое обычно вносит путаницу в
и

на

которое

нионов. Вовсе не

ство как некую

как

проблему четырехмерного про¬

раз особенно вредно для

понимания

кватер¬

обязательно мыслить четырехмерное простран¬

особуюметафизическую действительность, не име¬

общего с обычным четырехмерным пространством.
ющую
Хотя признание трехмерного пространства ничуть не более основа¬
ничего

тельно, чем

же в

признание пространства любого

числа

измерений,

все

трехмерном пространстве (недаром для диалектики оно есть

«ставшее»,

«наличное

бытие»)

мы имеем нечто как

бы

в подлинном

«действительное», «фактическое», «эмпирическое». Но тут мы

смысле

прямо должны сказать, что чистого трехмерного пространства

во¬

обще не существует, если уж на самом деле гнаться за «фактическим»
и

«эмпирическим». Фактическое

когда не

трехмерно,

и

эмпирическое пространство

ни¬

ни в своем смысловом наполнении, ни в своем

субстанциальном принципе.

Что оно всегда чем-то наполнено, это

понимают все. Если не понятно, как можно считать заполненным
«чистое», пустое пространство, то я бы предложил здесь

аргумент. Если Москву и

простейший

Киев считать математическими точками пу¬

стого пространства и если между Москвой и Киевом действительно
«пустота», т. е. ничего нет, то почему я, живя в Москве, не нахожусь в
это же время в Киеве? Если меня
это есть именно

пустота
только

есть

что-нибудь,
фактически такая

что-нибудь

отделяет от Киева, то

а ничто, и если это

сила,

—

пустота,

преодолеть которую

то эта
можно

при помощи затраты огромных усилий. Итак, пространство

всегда так

или иначе заполнено, оно всегда так или иначе некое поле

сил, и

по

уже

одному этому

Однако оно
вмещения

не

своего

иную кривизну,

и

оно не

просто трехмерно.

просто трехмерно

субстанциального
только

и в

другом смысле,

в смысле

инобытия. Оно имеет ту

или

Эвклидова геометрия приравнивает эту
648

§ 113а. Гиперкомплексное

число

кривизну нулю, будучи, следовательно,
вой

теорией

живого

(интерпретация)

как

раз абстрактной,

а не жи¬

пространства.

с) И вот, кватернионы

есть

арифметический

аналог именно вы¬

раженного пространства, четырехмерного пространства. Это
раженное
нятую
и

число. И мы вспоминаем здесь

в исследовании

вы¬

—

природы алгебраического, трансцедентного

гиперкомплексного числа, позицию энергийно-эманативного

ражения. Но
ла

в

трансцедентном

проявляться

а в

как

числе эта

выраженность

конкретный образ (покамест

алгебраическом

в

кватернионе,

она стала

вы¬

только нача¬

плоскостной),

еще

она и вовсе только еще потенция. Зато в

комплексном числе,

за¬

нашу общую позицию,

гипер¬

законченной, фигурно

осмысленной, выраженной действительностью.
2. а) Именно, здесь мы получаем одну вещественную прямую,
которая

и по

направлению

и по

абсолютной величине оказывается

носительницей четырехмерного пространства. Поскольку
нион входит

мнимых единицы, плоскость,

три

тырехмерное пространство

не даны

тут

отдельно от заданной вещественной

кватер¬

пространство

сами по

прямой.

в

и че¬

себе, вещественно,

Но эта последняя от¬

ражает на себе и плоскость, и трехмерное пространство, и
мацию в связи с четырехмерностью. Мы имеем

дефор¬
одну вещественную

единственный вещественный вектор, который,

прямую

или один и

однако,

несет с собою

четырехмерную

значимость.

Вспомним,

что

модулем обыкновенного комплексного числа. Это

называется

—

абсолютная величина того радиусавектора, который указывает на¬
правление комплексной точки плоскости по отношению

координат. Его
как катеты

можно

прямоугольного треугольника;

квадратный корень
чисел.

Тут

он

ниона. Она

из

т

=

л/а2

его можно

началу

получить

произведения сопряженных
+

равняется

имеем величину

к

получить, рассматривая обе части комплекса

+

Ь2

+

h2

с2

.

+

и как

комплексных

Аналогично для кватерниона мы

d2

,

называемую тензором кватер¬

играет первостепенную роль

во всем

учении

о

четырех¬

мерном пространстве.
Ь) Чтобы
из

понять

логическую сущность тензора, будем исходить

определения модуля обычных

плексного числа есть
числа на
ло,

квадратный корень

сопряженное

сопряженное

комплексных чисел.

с ним.

Во-первых,

из

произведения

что значит а

са + ЬР Понимать его надо, конечно,

649

Модуль
-

bi

ком¬

самого
—

чис¬

векторно, как

V.

и

вообще

Переход к специальной теории

числа

комплексное число. Но это значит, что в данном случае

линия мнимостей

имеет

обратное направление. Направление

нас имеет только единственный диалектический смысл: это
становления.

Следовательно, постулируя

—

для
вид

для всякого комплексно¬

го числа сопряженное с ним, мы постулируем просто возможность
противоположных

Дальше

направлений

наблюдаем судьбу

мы

ка АВ после того, как он

ту

равное а

иную точку С

положением

повернулся

вернулся

вещественным

отрез¬

т. е. по¬

становления.

единицам.

Теперь,

взявши

расстояние АС

претерпело растяжение (или укорочение,

случае безразлично),

выбранной

на

комплексную область,

на плоскости, мы видим, что

совсем иное, чем АВ. АВ
что в данном

в

дальше?

вещественного

всецело вещественным, он давал нам определенное

Раньше, будучи
или

нашего

подвергся воздействию упомянутого

сле того, как он

протяжение,

становления. Но что же

и это

растяжение определяется

нами точки на плоскости. Наш

определенный угол

и

отрезок АВ

растянулся. Всмотримся

в это

растяжение.
Оно

есть не только

зультат поворота

его на

от этого поворота и
от

результат увеличения длины отрезка,

определенный угол.

направления. Чтобы

нятна, надо

пустить,

реально

эта независимость от

что это

взять два

направления была

противоположных направления

растяжение одинаково там

будет гарантией

независимо
не

но еще была и диалектически по¬
и до¬

и здесь. Если для взаимно

противоположных направлений растяжение
же, то это и

ре¬

Но мы отвлечемся пока

будем рассматривать растяжение

просто абстрактным допущением,

но и

останется одним и тем

того, что растяжение действительно не

зависит ни от какого направления вообще. Но как это сделать? Оче¬
видно, необходимо допустить, что растяжение находится в одном
и том же отношении к противоположным направлениям, что со¬
отношение растяжения и направления в общем случае совершенно
тождественно с этим же соотношением в другом случае.

Другими

словами, растяжение есть не что иное, как среднее геометрическое
между числами, связанными с взаимно противоположными направ¬
лениями. Но числа с взаимно противоположным направлением и
есть сопряженные комплексные числа. Отсюда и вытекает, что мо¬
дуль

(т.

е. абсолютная

ный корень

из

величина)

произведения

комплексного числа есть

комплексного числа на

с ним.

650

квадрат¬

сопряженное

§ 113а. Гйперкомплексное число (интерпретация)
Следовательно, определение модуля через сопряженные

фиксация растяжения

менты есть в диалектическом смысле

эле¬

веще¬

ственного отрезка при данном переходе его в комплексную область,

берется

которое
всякого

в аспекте полной независимости этого
в

направления

отрезка

от

комплексной области.

Теперь станет понятной и философская сущность тензора.
Тензор кватерниона играет в четырехмерном пространстве, оче¬
видно, ту же самую роль, что модуль комплексного числа в двух¬
мерной области. «Тензор» значит «растягиватель». Одно растяжение
с)

мы

получаем, когда переходим

от линии к плоскости, т. е.

пространство. Но ведь

мы

представляем себе,

что

хотя и не

четвертым измерением,

ственном

отрезке

как мнимое.

Тогда, следовательно,

отрезка усложнится еще более,

ние вещественного

что мы со¬

перешли

зафиксировали

нее в вещественном смысле, а только

в

трехмерное про¬

странство определенным образом выражено. Это значит,
относим его с

отражаем

Другое растяжение образуется при переходе

плоскость на линии.

и

в послед¬

его на веще¬

наше

растяже¬

мы

получим

—

деформацию,
он
когда
вещественным
отображает
отрезком,
которая происходите

понятие

на себе

тензора. Тензор одним

махом охватывает всю

четырехмерное пространство.

d)

направление. На

плоскости мы

который повернулся
правление меняется
единицы,

а эта

изменение

соответствующее

Разумеется,

наш

уже

имеем

определенный угол,

и

на

таким способом на¬

отрезок. Полученное

в свою

получает

очередь при воздействии новой мнимой

трехмерная направленность усложняется еще дальше,

когда заходит речь

о

третьей

единице.

Кватернион,

таким

образом,

уже взятый сам по себе, гласит о тройном процессе растяжения и
тройном процессе поворота данного вещественного отрезка пря¬
мой, причем поскольку он есть комбинация четырех разнонаправ¬
ленных единиц, то и

области

в

он, таким

другое

другую (из одной

и

координат

в

одной

другую). Кватерни¬

явлен как

определенная

и

рельефно это

система

растя¬

можно видеть на умноже¬

кватернионов. Если сумма двух кватернионов

собою

из

поворотов.

3. а) Особенно просто
нии

переносимым

образом, есть просто отрезок в четырехмерном простран¬

стве, который вещественно
жений

мыслится еще

системы

ничего

особенного, кроме обычного для

не

представляет

комплексных чисел

раздельного сложения вещественных и мнимых частей,

651

V.

Переход

+

q+qs= (d+cP)
то

специальной теории

к

i(a+aQ + j(b+bQ
весьма

умножение кватернионов

векторным умножением вообще

+

числа

kfc+c7),

интересно,

хотя и аналогия его с

вполне очевидна. Так как

умножение обыкновенных комплексных чисел

векторное

значительно

проще,

то вспомним сначала его.
ОМ и

ON

—

два вектора, соответствующие двум разным ком¬

плексным числам.
значит

повторить

Требуется

ОР будет
Или

как

перемножить. Так

множимое столько

теле, то отложим на линии х
на линии ON

их

умножить

—

единиц во множи¬

вектор OQ, равный единице,

и

построим

треугольник OPN подобный треугольнику OMQ. Тогда

раз

составлено из ОМ так, как ОМ составлено из

OQ

=

1.

—

ОР ОМ

ОМ

=

.

откуда OP
что

раз, сколько

как

при Z-MOQ

=

ф и

ников, при ZPON

=

=

ZNOQ

ZMOQ

rr/\ ZPOQ
=

=

их

другого вектора,
на тот

=

ф +

раз,

а сам он

ZNOQ

ф<

умножить одно

перемножить,

умножении одного вектора
тягивается во столько

1,

ф дает

словами: чтобы

другое, надо модули

.

ZPON +

ср/ и, ввиду подобия указанных треуголь¬

APOQ
Другими

=

на

другой

комплексное число на
сложить. Или:

при

его абсолютная величина

рас¬

а

аргументы

сколько единиц в абсолютной величине

вращается

в положительном

угол, который характеризовал направление

направлении

этого

другого

век¬

тора. Умножение комплексных чисел, следовательно, есть соедине¬
ние

растяжения с поворотам.
Ь) Точно то же самое мы находим

Рис. 10

652

и в

кватернионах. Нетрудно

§ 113а. Гйперкомплексное
представить себе усложнение

число

(интерпретация)

поворотного растяжения для

этого

а затем и для

случая трехмерного пространства,

пространства. Аналогично поведению модулей
жении можно
нов

утверждать,

что

четырехмерного

в комплексном

умно¬

тензор произведения двух кватернио¬
их

равняется произведению

тензоров (это

легко доказывается

путем введения сопряженных кватернионов). А отсюда, припоми¬
ная из аналитической геометрии

от начала

что

координат

уравнение

иное, как

в

равногоyjx2

выражение для расстояния точки
+

у2

+

z2

w2

+

,

мы можем сказать,

кватернионах q^= pq представляет собою

определенное линейное преобразование

тырехмерного пространства
вместо одного вектора

для расстояния

в точки

другой

и

точки от начала

ный множитель т

координат на
.

инвариантом расстояния
ние или

w че¬

Тензор,

один и тот же постоян¬

х

0,

в

вполне

четырехмерное

геометрии известно,

у z, при котором

от начала

образом,

таким

из аналитической

преобразование

у, z,

iv1 дающее в результате

х^у1 z1,

характеризует растяжение отрезка, вступающего

что линейное

не что

умножающее указанное выражение

=

пространство. Кроме того,

точек х

x^y+z2 является

есть не что иное, как

зеркальное отражение. Не иначе, следовательно,

враще¬

и в четы¬

рехмерном пространстве, где таким инвариантом будет x2+y2+z2+ w2.
Стало быть, когда линейное
на

некоторый

растяжением

Если
чисто

множитель

всего

преобразование помножаетxr+yf+z^w2

т2,

то мы и

получаем вращение

вместе с

пространства до т-кратных размеров.

мы станем

изучать результат

зрительно будет заметно,

нескольких

вращений,

то

уже

какое значение имеет последова¬

вращений. В зависимости от разного порядка вращений
будет, вообще говоря, получаться и разное «тело вращения». Но сло¬

тельность

жение

вращений,

как мы сейчас видели, эквивалентно

кватернионов. Отсюда

становится понятной и столь

умножению
характерная

для кватернионов некоммутативность умножения. Она, видим
теперь,
ний

есть не что иное, как зависимость

от порядка слагаемых.

И,

таким

суммы

образом,

сложения

мы

враще¬

отвлеченный аналити¬

ческий признак кватерниона получает тут вполне понятное и

убеди¬

тельное истолкование.

4. Значение кватернионов получит для
ние, если я укажу на

нас еще большее значе¬

ближайшую связь их с популярной
653

ныне

теори¬

V. Переход к специальной теории числа

ей относительности. Хотя Минковский исходил в своих рассужде¬
ниях о поворотном растяжении четырехмерного пространства со¬
всем из

другой терминологии (именно

простейшим образом показал,

разования», лежащие

из

матриц Кэли), Ф. Клейн*

что знаменитые

иное, как вращение некоторого пространства,
весьма

удобно при

«Лоренцовы преоб¬

в основе теории относительности, есть не что

изобразимое притом

помощи кватернионов.

Хотя было бы и неуместно пускаться здесь в эти выкладки, все же
привлечение их для теории кватернионов значительно обогащает
наше представление о гиперкомплексном числе, и можно только
рекомендовать усвоить эти в общем

всякому желающему усвоить себе

простейшие

выкладки у Клейна

философию гиперкомплексного

вообще.

числа

5. а) В заключение мы затронем один вопрос, который, возможно,
уже

возник у внимательного читателя, в особенности если он

усвоил

нашу первоначальную дедукцию гиперкомплексного числа (§ 113).
Мы утверждаем, что гиперкомплексное
ма

число есть наивысшая

фор¬

арифметического числа, диалектически включившая в себя и пре¬

творившая в себе и
с тем

алгебраическое,

гиперкомплексное

жение

вообще арифметического

видно, что

гиперкомплексное

выражение числа?

и

число есть

зание на

число. Вместе

энергийно-эманативное выра¬

числа. Возникает

число есть

вопрос: откуда

же

энергийно-эманативное

Если оно продолжает быть эманацией трансце¬

дентности, являясь только наиболее

его оформлением,

трансцедентное

то где же в

оформленным

предыдущих

наших

и

выраженным

рассуждениях ука¬

эту трансцедентность? Такой вопрос получает остроту еще

и оттого, что в

зрелой ее

области самой трансцедентности мы пришли к более

форме,

к мнимой степени

ровали тождество

ее с

двухмерным

чтобы завершить диалектику числа,
му комплексному числу,

трансцедентности

мы

назвавши его

перешли

если

говорить

о

Потом,

четырехмерно¬

тут

четырехмерном

числе как о таковом, без всякой связи с

*

к

гиперкомплексным числом,

но мы ничего не сказали о том, какая же остается

цедентностью. Ведь

и констати¬

комплексным числом.

связь с

транс-

комплексном

трансцедентностью,

то ведь

Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Пер.
Д. А. Крыжановского. Под ред. В. Ф. Кагана. М.—Л., 1933.1, 106—107. Ср.: Он же.
О геометрических основаниях Лоренцовой группы. Рус. пер. в «Нов. идеях в
математике». 1914, V, 144—174.

654

§ 11 За. Гйперкомплексное
его мы

свободно

в какие

учения

число

(интерпретация)

могли бы вывести значительно

о числах

посредственно после

алгебраических

учения

и естественно: сначала

раньше,

о

не входя ни

§ 107. Это

было бы
потом о

двухмерных комплексах,

и т. д.

Следовательно,

если

гиперком¬

трансцедентных, то должно

плексные числа у нас появились после
быть установлено четкое отношение

т. е. не¬

трансцедентных,

о мнимых числах

говорить

трехмерных, четырехмерных

и

категории гиперкомплексов

к

чувствую себя уверенно

и

трансцедентности.
Ь) Однако
не

в этом

вопросе

я как

матической концепции.

не

раз

могу предложить читателю четкой

совершенно ясной

и

Дедуцируя данную

комплексного числа, я в значительной

указывался

мне

интуицией,

и

связи

гиперкомплексов

с

выше категорию

мере

совершенно

тических аналогов. Все же у меня есть

мне мате¬

шел по

не имел точных матема¬

некоторое предположение

трансцедентными [числами], и,

Д. Д. Мордухай-Болтовский
числах из

в

указанной
он

цедентными. Замечая, говорит он,

у

=

1;

у, причем

что

называет
что

работе*

о

транс¬

1g

мы можем считать, что

е

собственно транс¬

можно

а, где а есть

число, можно представить как учМР если
и тд.,

выше

общей области трансцедентности выделяет

трансцедентные числа, которые

—

предла¬

обсуждение.

цедентных

если

о

хотя я не

настолько силен в математике, чтобы его доказать, я все же
гаю его на

гипер¬

пути, который

ду

=

определить как

алгебраическое
=

1, причем

трансцедентные

числа

0,

и тд.

вообще под¬

ходят под формулу N-y^, где с рационально, 2у определяется усло¬
вием f(x,y,y\ ^у{,1))
0, причем / есть полином с рациональными,
=

или,

что то же, с целыми,

коэффициентами

от

(х,у,у, ...,У'°)

.

Такого

рода трансцедентные числа являются собственно трансцедентны¬
ми, прочие же

Тут

—

гипертрансцедентными.

вспоминается

является

«определение» алгебраического

корнем уравнения

с целыми

числа:

коэффициентами.

оно

Собствен¬

но трансцедентное число есть такое, которое может быть корнем

дифференциального уравнения с целыми коэффициентами. Значит,
это такое, которое не может быть
гипертрансцедентное число
корнем дифференциального уравнения с целыми коэффициен¬
—

тами.

*Матем. сб. 1927. XXXIV 61.

655

V. Переход к специальной теории числа

с) Едва

ли математики понимают

трансцедентности

философское

значение связи

корнем дифференциального уравнения. Если

с

трансцедентной иррациональности в ее
алгебраической (§ 110), то мы утверждали, что эта по¬

вспомнить наше
отличии от

о

учение

одномерной,

следняя оказывается

она есть

простейшая

и, так ска¬

зать, одноплановая иррациональность, математически определяе¬
мая только простым извлечением корня.
нальность

это

—

многомерная,

и

прежде

ональность. Мы показали на основании
что

трансцедентное

число

Трансцедентная иррацио¬
всего

двухмерная, ирраци¬

признака Лиувилля (§ 111),

предполагает переплетение двух разных

так как логически мы имеем здесь становление

иррациональностей,

Отсюда

эманационный характер трансцедентности.
Это переплетение двух разных иррациональностей привело нас к

становления.

комплексной области. Ведь измерение

двухмерной

как мы тоже не

ход

и

раз доказывали (§55,71),

инобытие,

в новое

т. е. в

скость в отношении линии,

стей
и

в

пере¬
пло¬

пространство

в отношении плоскости,

в отношении

пространства

п из¬

Не связана ли эта переплетенность двух иррационально¬

трансцедентном

вообще

пространстве,

новую иррациональность (такова

пространство (w+l)-ro измерения

мерений).

в

есть не что иное, как

с

с

двухмерно-комплексным

двухмерно-пространственным

или

ее толкованием

векторным ее

толко¬

ванием?
Если так, то тогда понятно, почему

ляясь корнем

не яв¬

алгебраического уравнения

ми, является тем не менее корнем

Ведь

трансцедентное число,

с целыми коэффициента¬
дифференциального уравнения.

последнее, содержа в себе производные, тем самым содержит

помимо той

простой иррациональности, которая возможна в алге¬
еще и другую, особую иррациональность, ту,
области,
браической

которую

мы

получаем

в

результате дифференцирования, или, вер¬

нее, ту, благодаря которой

бытию,
цией

и

а затем и к

возможен

переход

от

функции

к ее ино¬

закону инобытийных соотношений между функ¬

аргументом, т.

е. к

производной. Так или

иначе, но

дифферен¬

циальное уравнение обеспечивает двухмерную иррациональность,

которой

d)

не хватает в

алгебраическом уравнении.

Но если так, то тогда я спрашиваю себя: а если мне нужна

трехмерная

или

четырехмерная

иррациональность,

то

не

значит ли это, что мое трансцедентное число отказывается быть
корнем

дифференциального уравнения? Другими
656

словами, числа

§ 113а. Гйперкомплексное

(интерпретация)

число

гипертрансцедентноенеэквивалентноличислугиперкомилексному,
подобно тому
валентна

как вещественная

спирали,

а

в нашем

трансцедентности

таким

—

гиперкомплексном

числе мы и

дошедшую до последней диалектической зрелости
эманацию трансцедентного,

которая

тригонометрических выражениях

экви¬

обыкновенному комп¬
образом окружности)? Если

мнимая ее степень

лексному числу (и получаемой
это так, то тогда

степень

и

зарождается

мнимых

получим

выраженности
в

Эйлеровых
Неперова

степеней

числа.

е) Поскольку

до сих пор не существует исследования гипер-

трансцедентных чисел и еще нет указания их точных свойств, по¬
ставленный вопрос не может найти для себя того или другого ясного
ответа. Если этот ответ

будет отрицательным,

то это

будет

значить,

что наше учение о гиперкомплексах, отражая по своему содержанию
давно известные истины математики

алгебра)

и

потому едва

ли

уязвимое

тиной только диалектического

тического соответствия

трансцедентностью).
6. а) Так или иначе,
сто

диалектической

самым

но

точки

иметь в

не

нашедшей

виду

связь

гиперкомплексное
зрения

самым

о внешнем инобытии числа

нуль),

мы еще могли

перейти

дробное, бесконечное). Когда
инобытийные

судьбы

мое). Но когда
внешнее

мы

к

своего матема¬

гиперкомплексов

с

число является с чи¬

зрелым,

самым сложным и

мышления.

Когда

мы

(положительное, отрицатель¬

внутреннему инобытию (целое,

обозрели и внутренние, и внешние

числа, мы еще могли доискиваться той обла¬

сти, где то и другое совпадает

(рациональное, иррациональное, мни¬

мы вместили в число не только просто его внутренно-

инобытие,

но и всякое

можно, то больше идти
все

ума, еще

развитым продуктом арифметического

говорили
ное,

(если

(линейные алгебры, всеобщая

в этом отношении, окажется ис¬

предыдущие

инобытие,

какое только для него воз¬

уже некуда. Алгебраическое

число

обобщило

типы числа в том смысле, что поставило их лицом

безбрежным инобытийно-иррациональным морем, ко¬
Оно запретило им бросаться в это море, но оно
торое
только потен¬
сделало возможным в него бросаться. Потому оно
ция, потенция целости и потенция простой иррациональности.
Трансцедентное число уже ринулось в это безбрежное море ирра¬
к

миру

с тем

их омывает.

—

циональности, чтобы его охватить, чтобы его вместить в себя. И вот
оно вместило его. Но оно вместило его сразу, целиком, как бы влило в
657

V.

Переход

к

специальной теории

себя, еще не размеривши его и

числа

не приведя в полный порядок. Однако

тут рождается гиперкомплексное число, которое не только вмещает
в себя всю бесконечность инобытийных

щает

бездн,

но

которое превра¬

ее в

стройный, зрительный, фигурно-размеренный космос.
Ь) Дальше идти некуда. Все типы арифметического числа этим

исчерпаны. Тут

—

тому дальнейшее

за

допустим,

свои становления. В этом случае
в

пределами

типов числа

что число, вместившее в себя

становлений, продолжает вмещать

своих

в

тогда мы останемся при типе числа,
никакого нового типа не

себя еще дальнейшие

самую

его

субстанцию,

ко, что оно

нами

может

если новое

в данное число, но

затронет

самим собою и

превратится

как такового, область тех или иных типов чисел, но

проблемам

в новое

случае мы, очевидно, покидаем область

число. В последнем

и

или новое становление возы¬

вовлечет в становление само число настоль¬

уже перестанет быть

становления самих чисел или к

рациям.
Так гибнет

получен,

—

получиться,

которое

просто вместится

и в ней потонет,

который уже

образуется;

меет совсем новое значение,

вообще. В

бесконечность

или данное становление вольется

бесконечность уже имеющихся становлений

становление не

Поэ¬

исследование возможно только уже на совершенно

новой диалектической ступени,
самом деле,

арифметического числа.

последняя зрелость

тип числа и

рождается

числа

переходим

арифметическим

числовая

к

опе¬

операция.

§ 114. Дополнительные замечания к учению о типах числа
1.

Нарисованная

ловой типологии

в

претендует,

точность взаимосвязи

ке

предыдущем диалектическая картина

точке

основу этой диалектики

Отсюда

—

точ¬

будет
[обозреть] при помощи
взаимосвязь

иная.

положен

принцип

под бытием

числового типа как

натуральный ряд чи¬

рассмотрение числового типа с точки зрения разных

видов инобытия
что

только на

схемы.

принцип инобытия числа, понимая
сел.

зрения

взаимосвязь числовых типов можно

следующей
В

вообще диалектика,

категорий при определенной заданной

зрения. При всякой другой

Нашу

как и

чис¬

—

зафиксировано

внешнего, внутреннего и внутренно-внешнего,
в

вертикальных

колонках схемы. С

другой

сто¬

роны, материал данного «бытия» (натуральный ряд) рассматрива¬
ется и с

общедиалектической

точки

658

зрения, которую

мы понимаем

§114. Дополнительные

замечания к

учению о

типах числа

Внешнее
инобытие

Внутреннее
инобытие

Внутренно-внешнее
инобытие

Бытие

Положительное
число

Целое число

Рациональное число

Становление

Отрицательное
число

Дробь

(инобытие)

Ставшее

Нуль

Бесконечность

Мнимое (комплексное)
число

Выразительная
форма

Алгебраическое
число

Трансцедентное
число

Гиперкомплексное
число

Перво-принцип

=

инобытие
натурального
ряда

Иррациональное число
а) постоянное
Ь)переменное
с) непрерывное
II. Прерывное
III. Предел
I.

как триаду, или как тетрактиду, или как пентаду

мерности этих

построений говорится

выше, в

(о возможной много¬

§ 31).

В данном случае,

если понимать рассматриваемое здесь инобытие натурального ряда
чисел

в качестве

перво-принципа всех

щей теории
от

и

вневыразительных типов

нас в

типов числа, то у нас

образец первообраз которой мы
числа (§ 26). Существенно важен также

няется пентада,

§ 35. Самым

числа к

имеем

приме¬

уже

особый

в

об¬

переход

выразительным, разъясненный у

важным является здесь то, что, в то время как девять

вневыразительных типов представляют собою две стороны диалек¬
тической триады (одна

—

как

горизонталь, другая

схемы), выразительная триада
целым,

типов,

вырастающим

на

является

обобщении

всех девяти

как

вертикаль

самостоятельным

вневыразительных

а вовсе не так, как может внешне подсказывать схема, т. е. во¬

все не так, чтобы каждая
только своей

выразительная категория соответствовала

вертикали.

2. а) Предлагаемая диалектика

еще

вполне

—

и в том смысле, что

рий (вытекающих,
единственного

типов числа является

при нерушимой

как это и

требуется

перво-принципа)

она

диалектикой

взаимосвязи всех катего¬

в данном

требует

случае,

полной

из одного и

специфично¬

сти каждого типа и полной несводимости его ни на какой
тип. С этой точки

зрения общеизвестные

числа на целое и положительное число, наиболее

которых
для

может

другой

попытки свести все типы

резким образцом

служить учение Кронекера, заведомо обрекаются

нас на полный

неуспех. Л. Кронекер сводит
659

всю

математику

на

V. Переход к специальной теории числа

теорию натуральных чисел и целых целочисленных

неопределенных

символов и, v, tv...

при

функций от
операций*.

конечном числе

В результате все эти ухищрения сводятся только к новому матема¬
тическому правописанию, так как

фактически

нет, конечно, ника¬

кой возможности избежать самих логических
в основе каждого типа.

числа при помощи т.

категорий, лежащих
Кронекер рассматривает главнейшие типы

функциональных сравнений. И получается:
формуле 7 9 3 5, ему надо поль¬
функциональным сравнением: 7 + 9х 3 + 5х (mod
н.

чтобы избежать слова «минус» в
зоваться таким
х +

1). Но

=

-

-

=

ведь это значит, что обе сравниваемые здесь величины

при делении на х + 1 имеют один и тот же остаток. А чтобы

необходимо реально произвести

ся в этом,

бует

и

употребления операции

имеем дело только с иным

убедить¬

эти деления, что

вычитания.

правописанием,

потре¬

Следовательно, тут
с иными знаками

мы

обо¬

значения, а сущность обозначаемого осталась совершенно неза¬
тронутой.
Ь) И для чего понадобилась такая теория? Если
показать

исходный пункт

всякого

рассуждения

Кронекер

хочет

о числе, то и

без

всяких доказательств ясно, что основой всей математики является

простой
ем этот

счет, т. е. система натурального ряда

мы и называ¬

последний бытием непосредственной сущности числа). Не

умея считать,
Если

(почему

нельзя

Кронекер

вообще

высказать никакого

хотел дать более

строгую

и

суждения

о числе.

более экономную систему

обозначений, то всякому ясно, что
знаков

употребление плюсов, минусов,
дроби, показателей, радикалов и т. д. несравненно экономнее

тяжелых обозначений

следние,

кроме того,

рое совершенно
дробности
лью не

дать

и

через функциональные сравнения. Эти

имеют

гораздо более широкое значение, кото¬

излишне для

пр. Наконец,

простых категорий отрицательности,

если

упор

на

просто указать исходный пункт

другое обозначение для

сделать

натуральные

числа имел це¬

самого понятия и не просто

того же самого

предмета,

а имел целью

ненужным самые понятия дробности, иррациональности

т. д., то это можно

квалифицировать

чающую себя при первом же своем

и

только как нелепость, изобли¬

проявлении. Упование

все числа можно «свести» на целые числа,
до

по¬

вредно еще

на то, что

и тем, что оно

известной степени преграждает анализ тех категорий, которые
*

Кронекер Л.

Понятие о числе. Рус. пер. в «Основаниях

Казанского математич. студенч. кружка, 1907.

660

арифметики»,

изд.

§ 114. Дополнительные
заложены в основе

ческие
на

разных

замечания к учению о типах числа

индивидуальности. Тут надо уметь

другое,

сколько «выводить» одно из

3. Несколько иначе смотрит

идеей сведения

сившийся с

специфи¬

типов числа, понимаемых как

не столько «сводить» одно

другого.

Вейерштрасс,

на дело К.

всех чисел на целые числа.

тоже но¬

Правда, Вей¬

ерштрасс в этом смысле рассуждает гораздо сдержаннее. Он вовсе не
хочет отменять самые понятия

иррациональность

столь же

Не хочет он также и всякие

разных видов

реальной

числа и считает,

арифметические действия

заменять

ствиями над целыми числами. Насколько можно понять
он

просто

дим

к

так,

то

бы

о

уже

по

разных

обсуждаться

в нашем сочинении.

сколько слов о

единиц.

Но ясно и то, что

психологом.

Вейерштрассу

Поэтому

скажем не¬

—

Вейерштрассе.

числе

Вейерштрасс рассуждает

мы находим явления,
знаками. В

тут

Отсюда

хитро. Вокруг

когда

мы

различаем

несколько

понятие о целом числе. Взявши два таких числа,

друг другу соответствуют,

математик

где

мы

говорим,

другого,

а это последнее

меньше.

—

говорит, конечно, пустяки: целое

эти

равны;

говорим,

что

Здесь знаменитый

число там,

говорит он,

оно целое.
О

дробном

числе

—

рассуждение

—

и многие

двойка, тройка, десятка, сотня, миллион,

рода единицы. Покамест

мы

берем

сложнее.

несколько

«главной единицы», говорит он, существуют

цы

Когда

что числа

в одном числе остаются лишние элементы, мы

оно больше

нас

говорит он, которые обладают общими при¬

каждой такой группе явлений
—

не

мы можем взаимно сопоставить входящие в них единицы.
элементы

прихо¬

действительно

не должно было

одному этому учение Вейерштрасса

меньше всего хотелось быть

О целом

типах числа. Если это

дей¬

эту теорию,

занят психологическими вопросами о том, как мы

представлению

напр.,

для мысли, что и все другие.

Кроме

другие едини¬

это тоже

некоторого

числа, составленные из «глав¬

ной единицы», мы можем иметь только целые числа. Но, вводя дру¬
гие единицы и сравнивая новые единицы со старыми, мы получаем
представление о

дробных

удивиться, почему

числах. По

не появляется

этому поводу

представление

о

можно только

дробной

части,

когда мы имеем одну цельную группу нескольких предметов, и по¬
чему для этого необходим переход к другой

ницам. Кроме того,
условии,

что

уже

назвать

имеется

группе или к другим еди¬

десятку единицей

представление
«61

можно только

о целом и

при

том

дробном, так что

V. Переход к специальной теории числа

здесь

Вейерштрасс утверждает только то,
дробное.

что

дробное

число возни¬

кает тогда, когда оно

Отрицательное число

возникает, по

Вейерштрассу, тогда,

когда

кроме основного элемента е вводится

«противоположный» элемент
е/, удовлетворяющий равенству а+е+е^а (где а состоит только из
элементов в). Отсюда е+е^
0; и если одну из этих величин назвать
=

положительной,
этого

другая будет отрицательной. Тавтологичность

то

определения

не

нуждается

в

комментарии.

Немногим лучше обходится Вейерштрасс

с

иррациональными

числами. Он их сводит на целые числа так. Мы можем,

дробных частей единицы. Число

этих

расти до бесконечности. Допустим,
числу

количество. Тогда

пусть

каждой группе,

элементов в

такими

и

разных групп

нас

групп

будут дробные

но в

ерштрасс

бесконечное

части единицы

каждую группу будет входить только

ментов, то это и даст нам

—

число. В самом деле,

тые, сотые, тысячные и т. д. Если этих групп у нас

число,

разных

чисел может

что у нас имеется по конечному

а самих этих

получится иррациональное

группами у

говорит он,

из главной единицы и из

брать агрегаты чисел, состоящие

будет

—

деся¬

бесконечное

конечное число эле¬

иррациональное число. Проще говоря, Вей¬

хочет сказать только то, что

иррациональное

число есть

дробь с бесконечным числом десятичных знаков. Если на основании
этого

он

думает,

что

иррациональность сводится

это есть только подмена логического
знаками,
как

которые

таковую,

ность.

его обозначают.

на целое число, то

определения

письменными

Иррациональность,

если ее

брать

в чистом виде, ни в каком смысле не сводима на цель¬

Можно, конечно,

понимать ее как целое, но в таком же точно

смысле окажутся целыми и все

дроби,

все

трансцедентные

и

гипер¬

комплексные числа, точно так же, как все их можно назвать едини¬

Вейерштрасс единицами двойки, тройки, десятки,
(в том
в
и
о
того
же
23
одного
говорили §
вездеприсутствии

цами. Называет же

половины, трети, сотые части и т. д. Но если это не диалектика
смысле, как мы

перво-принципа единичности)
сколько не повинен,

4.

—

то это

—

а в диалектике

просто игра

мильтону,

пары целых

чисел. Это

ни¬

словами.

Наконец, слабым достижением надо

пов чисел как

Вейерштрасс

считать

определение

представление, восходящее

взятое в чистом виде, очень недостаточно

ти¬

к Га¬

вскрывает сущ¬

ность данного типа числа, являясь обычной математической тавто¬

логией, хотя у самого

Гамильтона в связи с его

662

векторными представ¬

§ 114. Дополнительные замечания

к учению о типах числа

лениями это имело, несомненно,

гораздо более глубокое

В учении о числах как о

чисел

условия равенства
Если мы имеем в

и

паре целых

неравенства пар

виду

дроби,

собою только тогда, когда ab
свои умственные

сту имеется

в

и

указывают обычно

способы действий над

пары а, b

то

и

а7, Ь7 равны

виду равенство

ними.

здесь между

Не нужно особенно напрягать

способности, чтобы догадаться,
в

значение.

что здесь

попро¬

пропорции произведения крайних

средних. Другими словами, здесь

только по

записана та святейшая истина, что

и

другому правописанию

дроби равны,

когда равны отно¬

шения их числителей и знаменателей. Но никакое новое правописа¬
ние, конечно, не создаст логического определения, если оно не по¬
лучено из другого источника.
Точно таким же характером обладает «условие равенства пар»
для отрицательного числа.
вии

а+b7

=

словесный

ражает

имеет для себя

условиться!)

—

построения.

систематики и методологии.

перечислить решительно

прямо невыполнимо,

пр. Везде тут

математическом учении о типах числа по¬

отсутствие всякой

действие

не

в комплексных числах и

оборот вместо логического

5. В традиционном

желая

Тут пары а,Ьи а/р7 будут равны при усло¬

а7 + Ь. То же самое

то

все типы числа,

обратное действие,

говорят,

Обычно,

что каждое

и когда это последнее

«условились»-де (как будто бы можно было

ввести новые понятия

—

отрицательного, иррацио¬

нального и мнимого числа. Этим и кончается вся «система». Что еди¬
ница, нуль и бесконечность есть совсем
бым влиянием на все

прочие числа, об

говорится ни слова, хотя
дом

типы числа,
в

своеобразие

шагу. Всякому ясно, что

это не

разные категории

особые числа,
этом в

со своим осо¬

данной

«системе» не

этих чисел бьет в глаза на каж¬

просто разные числа,

числа.

Почему

но

разные

же о них нет ни слова

указанной «системе»?
О прочих типах числа, хотя они непосредственно связаны с ука¬

занной «системой», говорится весьма неохотно

и

большею частью

только там, где уже сам материал хватает математика за горло

бует введения

новых чисел. Как

возрадовались бы

тики, если бы

удалось выкинуть

из низшей

оказывается, без
из

теории круга

геометрию. Но

него невозможно
и

круглых

как вносят!

не давая никакого

решить

и

тре¬

многие матема¬

геометрии
почти ни

число л.

Но,

одной задачи

тел. И вот волей-неволей вносят это л в

Вносят, конечно,

представления

чисто вычислительно,

о нем как именно об особом типе

663

V. Переход к специальной теории числа

числа, а не просто о числе наряду с прочими
ными

ше

—

—

в анализе

самых
е

числами. О е вяло

(потому

говорят

в

низшей

—

напр., иррациональ¬

алгебре,

немного боль¬

что без него нельзя было бы понять многих

элементарных форм дифференцирования). Но где

изучается

как таковое? Математики не знают даже, в

можно было бы отнести

теорию

же

это

какую науку

алгебру, не то в ана¬
арифметика, большинство, пожа¬

этого е, не то в

лиз. А то, что это есть чистейшая

даже удивится. Но вот без е и л никуда двинуться нельзя, а без

луй,

остальных

трансцедентностей

Результат

же?

очень

простой:

можно двигаться очень далеко. И что

нет почти никакой систематической

теории трансцедентностей. О кватернионах
рю. Хотя

можно сказать,

смотря

крайне непопулярны

в

Нечего и

я

современной

удобства, которые
арифметика ли это, алгебра

говорить

они

о том, что

и совсем не гово¬

уж

числового типа

на значительные

и тоже неизвестно,

ское

зрелый продукт

это наиболее

вообще,

математике

приносят

с

это только

первый

предложенное

быть,

опыт. После него

(не¬

собою);

или анализ.

выше диалектиче¬

построение числовой типологии, вероятно, содержит

изъянов, недостатков и, может

они,

много

даже просто ошибок. Однако

другие смогут дать уже

и

более

совершенные построения.

III. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

(СТАНОВЛЕНИЕ СУЩНОСТИ ЧИСЛА)
§

115. Основная дедукция

1. а) Натуральный ряд чисел есть энергийное становление (ста¬
новление единицы).
и то же число; и

ная.

Тут все числа представляют собою

разница между

«Количество» создает разницу

чества», не

со всеми

затрагивая

в

пределах одного

его как таковое.

выраженными

ский переход

по

типу одно

ними не типовая, но количествен¬

Когда еще

количественными

не

и того же «ка¬

получено

число

различиями, диалектиче¬

к типам числа невозможен. Но вот

натуральный ряд

дает числа с любым количественным значением, так что категория
числа в этом отношении оказывается вполне

исчерпанной.

В таком

случае дальнейшие диалектические противопоставления уже не мо¬
гут быть чисто количественными. Дальнейшее противопоставление
ведет уже к изменению самого типа, самой категории числа, как он
дан в числе натурального ряда. И мы пришли к разным типам числа,

664

§115. Основная дедукция
отличающимся друг

от

друга уже

не количественно, но

но. В этом смысле все типы числа

суть инобытие

турального ряда, где сконструированы
чисто количественных
диалектическом

объединении

количеству,

Хотя

и отождествлении

натурального ряда

нам числа, бесконечно

разнообразные
употреблении.

но числа, так сказать, в их статическом

натуральный ряд

сам по себе и есть становление, но входящие

в его состав числа даны отнюдь не в своем становлении. Они
тичны. Становление относится здесь к стихии самого

чисел,

ряда. Итак,

ровно

не связаны

лектически,
заны как

ничего не

говорится

в понятии

будучи

числа

и то в

понятийно, категориально;

а не как числа с тем или

натурального ряда

совершенно узком

совершенно

не связаны

связаны

другим

они свя¬

количе¬

изолированы.

между собою количественно

и специальном значении этого

категориально (все

и типы числа связаны

совершенно

натурального

между собою диалектически,

связаны

т. е. исключительно

категории чисел,

тегория);
и

порождения

между собою количественно. Они связаны диа¬

ственным значением. В этом смысле они абсолютно

(да

ста¬

изолированы. С другой

эти числа статичны и взаимно

типы числа,

стороны,
отнюдь

и

—

самого их возникновения. Но о становлении каждого числа

в отдельности

Итак,

о

этот синтез.

Ь) Натуральный ряд дает
по

только

при условии

различий. Возникает неизбежный вопрос

Рассмотрим

и этих типов.

числа

категориаль¬

в отношении на¬

они

между собою

не связаны количественно

(ко

—

чисто

слова)

одна и та же ка¬

категориально

всем ним

применимы

любые количества). Возникает диалектическая необходимость так
объединить
шения

числа

натурального ряда

числами

между

с типами чисел, чтобы отно¬

натурального ряда были

ственными, но и типовыми, а отношения

между

не только типовыми, но и количественными.

дим диалектический синтез того

с) Всякий

и

не только количе¬
типами числа были

Короче говоря, необхо¬

другого.

синтез есть прежде всего становление. В

процессе

ста¬

новления отождествляются такие бытийные и такие инобытийные
моменты,
положно

которые

друг

—

как тезис и антитезис

в отношении

—

стоят абсолютно вне-

друга. Следовательно,

и здесь мы долж¬

котором количественные различия
бы
в
а
типовые
типовые,
превращались
получали бы качественное
в
Это
возможно
числовых
тех
процессах, которые име¬
выражение.
ны найти некое становление, в

нуются

арифметическими действиями.
665

V. Переход к специальной теории числа

арифметическое действие

2. Что всякое

есть некое становление,

собой, ибо для осуществления сложения, вычитания и
необходимо, чтобы нечто произошло. Тут мало простого наличия

это ясно само

пр.

изолированных чисел; необходимо, чтобы

статических и

в какое-то взаимное

одно

в

Итак,

всякое

вообще были

и

другое

объединение
во

всестороннем

арифметическое действие

они вошли

чтобы они входили

и сплетение,

взаимоотношении.

есть становление. Но какое

это становление? Это именно такое становление, в котором

ходит
напр.,
каем
го и

качественное изменение количественных
мы

умножаем

—

2 на 5

и из

квадратный корень. Тут
отрицательного)

мы

переходим совершенно к
имеем

сумму 3+2

(дробное число).

и

извле¬

(положительно¬

чисто количественных

операций

новому типу числа (к мнимому). Пусть

и делим ее на

ла (положительного

установок. Пусть,

полученного произведения

от двух типов числа

путем

проис¬

мы

2: из одного (или двух) типов чис¬

отрицательного)

мы

И т. п. Ясно, что всякое

получаем

опять

третий

арифметическое действие

есть становление, и как раз становление в смысле диалектического
синтеза чисел натурального

ряда

с теми или

Таково диалектическое место самой
го

другими

типами числа.

категории арифметическо¬

действия.
3. Необходимо

тического

основное место.

но

которое

арифме¬

есть синтез нату¬

Другими словами, здесь впервые рождается арифме¬

действие

ствие само по

есть то становление,

как бытия и типов числа как инобытия. Но это только

рального ряда

тическое

отметить следующее. Основное место

действия

как отвлеченная

себе, однако,

не есть

действие, и потому в нем

категория. Арифметическое дей¬

просто категория. Оно

всегда живет та или

есть имен¬

другая практически-

жизненная сложность. Эта сложность для диалектика есть, конечно,
опять-таки не что иное, как

категорий.
бок
и

И если эта сложность действительно жизненная, то клу¬

категорий

всегда в конце концов

запутанное предстает

применим

нераспутанный клубок многочисленных

целесообразно распутывается,

во всей своей смысловой ясности. Мы и

тут

попробуем поискать, не зарыта
та первообразная пентада, кото¬

наши обычные методы и

ли и в каждом отдельном действии

рую мы имели в общей теории числа.
4. Итак,
их

формулируем перво-принцип арифметических действий,

принцип

и их

реальную структуру.

а) Перво-принцип арифметических действий,
666

насколько

по¬

§ 115. Основная дедукция
следние

вытекают из синтеза

типами числа

вообще, есть,

ловое становление.

тический счет,

чисел, или, что то же,

наиобщем виде

тивнейшее становление

единонаправленную,

со всевозможными

очевидно, разноскомбинированное

Натуральный ряд

в своем

плением в синтез с

натурального ряда

простейшее

есть

вообще. Он содержит

чисел

монотонную энергию

в

эту единую направленность становления,

арифме¬

и

прими¬

себе некую

становления. Со всту¬

типами числа он начинает

разными

чис¬

этой стихии числового становления отдельные

нарушать

вырывать

из

куски, отдельные

от¬

начинает

комбинировать. Это и превращает
резки
по-разному
счет вообще в то или иное арифметическое действие. Следователь¬
но, перво-принцип арифметических действий есть разнонаправлен¬
их

и начинает

ное, разнокомбинируемое
или иначе
наличия

числовое становление, или,

кодифицированный

счет. Этот

попросту,

перво-принцип 1) требует

разных отрезков общечислового становления, 2)

их вместе один за

3) постулирует

другим

как

[иное]

то или

так

полагает

некую единую последовательность

и

взаимоотношение, в которое должны

вступить взятые отрезки. Таковы

Заметим,

что если

рального ряда (счета)

функции перво-принципа.
арифметическое действие есть синтез

того или иного числа и число

рассматривается для целей получения
того или иного типа
его из

операций

счетом

нату¬

и числовых типов, то это значит, что здесь счет

рассматривается

с точки

зрения происхождения

счета. Но число того или иного типа в сравнении со

(который

всегда есть

процесс)

является чем-то стабильным.

Поэтому арифметическая операция, будучи процессом, должна быть
ввиду своей синтетичности и чем-то стабильным. Она есть всегда и
метод становления, и

ческого

определенный результат различного

комбинирования

ет не только

этого становления. Вот

категория «плюс»,

и «вычитание» и

пр. И

но и

вот почему

«сумма»,

методи¬

почему существу¬

не только «минус», но

перво-принцип арифметических

действий обязательно требует сопоставления разных становлений
искания

и

стабильных результатов этого сопоставления.

Ь) Каков же принцип арифметических действий? Принцип отли¬
чается от перво-принципа тем, что рисует реальный переход

дому отдельному действию,
всех

действиях

в то

время

как

как о чем-то неделимом.

к каж¬

перво-принцип говорит о

Другими

словами, принцип

арифметического действия раскрывает содержание третьего
мента

перво-принципа

из только что

667

указанных. В

мо¬

самом деле, в ка-

V. Переход к специальной теории числа

ком же реальном взаимоотношении находятся эти сопоставленные

общечислового становления?

лицом к лицу отрезки

Во-первых,

[их]

мы не можем оставить

в каком они нам

единстве. Будучи один

в отношении

раздельном виде,

говорить об

и только

предъявлены,

в том

их смысловом

другого инобытием,

эти

разные

отрезки становления, однако, непосредственно примыкают друг
отношении к

рвал

из

друг

к

другу уже

в

силу перво-принципа. Перво-принцип

натурального ряда

несколько

разных

другу, предоставивши судить об

их

вот

их в такой взаимосопоставленности и только
или

разъединять

жанию.

Отбросим

потому

гания,

ности мы

зато мы

их по их

смыслу,

эти числа как

т. е. по их

факты,

их в их

будем судить

смежном положении

простей¬

пробовать объединять

как

некоторые

акты пола¬

фактической

об

их

раздельном,

различии

и

положен-

но

результат?

или

но

различение двух раздельных,

непосредственно¬

об их тождестве. И что тог¬

да получится, какой тогда возникнет

становлений

и

это оставить

непосредственном взаимоследовании. Но

о них в таком
—

—

количественному содер¬

что по актам полагания, по их

примем

их

взаимоотно¬

первое

шее, что может появиться с точки зрения диалектики,

вы¬

приставил

дальнейшем

уже более конкретным принципам. И

шении

чисел и

в

Это отождествление

непосредственно-смежных

есть сложение или вычитание.

Во-вторых,

совсем необязательно оставаться

при

таком взаимо-

противопоставлении разных отрезков общечислового становления,
да притом еще

с таким

внешне-субстанциальным противостоянием,

когда оба они во всех смыслах чужды один другому и определен¬
но отрицают один другого. Можно поставить вопрос: нельзя ли их
сблизить между

собою,

чтобы эти различения

смыслу без

нельзя ли их

различать

и отождествлять так,

и отождествления относились не

просто

факту,
фактическое существование,

всякого внимания к их несовместимости по

чтобы этим

затрагивалось

не только смысл

их

бытия,

и их

но и

бытие

к их

но так,

чтобы

их смысла стало в той или

дру¬

гой мере единым?
Диалектика знает

много

новения бытия и инобытия.
бытие

разных видов
Самое

просто повторяет себя

в

га

они

элементарное

и

инобытием,

противостоят одно другому

факты. Тут

в

взаимопроник¬
—

это то, когда

инобытии. Несомненно, это гораз¬

до большая близость между бытием

когда

такого

инобытии, оказывается, уже
668

чем в том

как несводимые

друг

случае,
на

дру¬

нет ничего такого, чего

§ 115. Основная дедукция
не было бы в
таком

случае

бытии, потому
это

—

что тут одних

этом последнем.
И если в

шении

тождества и различия

будет

мало.

Тут

нужны, очевидно, категории движения

первом случае бытие

другого внешними,

они связаны

инобытия

в

то

и

после

в

и покоя.

инобытие оказывались одно

тут, когда одно

в отно¬

воплотилось на

другом,

связями. В том

резуль¬

уже внутренне-инобытийными

тате, который получен

надо

инобытие, чтобы воспроизвестись

из бытия в

Тут

функция

повторять бытие, воспроизводить бытие. Ясно,

категорий

перейти

реально

что единственная

воспроизведения бытия

инобытии,

в

последнее стало для бытия чем-то внутренним, вошло в его плоть
и кровь. Отождествление между бытием и инобытием стало тут не

внешне-инобытийным,

но

внутренне-инобытийным.

И вот это взаи¬

моотношение нескольких становлений, когда они переходят друг в
друга в порядке подвижного покоя, есть умножение и деление.

В-третьих, необходимо
тельное

ограничивались у
становление

нас

ступает только
другого,

оконча¬

воспроизводило другое. Но

как некая

бытием,

самой;

и оно совсем не

дело было

бы,

в

если бы оно так отождествилось

содержанием,

воспроизводимое

им

не

вообще,

факта,

т. е.

воспро¬

и мощь своего смысла, т. е.

содержание бытия

ственное содержание. Это возможно только

будет воспроизводиться

высту¬

как некое смысловое

что вложило бы в него и мощь своего

бы

умале¬

фактическая сила воспроизведения чего-то

извело бы его со всем его
вложило

не есть ли это

что в данном случае инобытие вы¬

конкретная индивидуальность,

содержание. Другое

ста¬

нами инобытия

простым воспроизведением бытия;

внешнего в отношении себя

пает здесь как

с

функции рассмотренного

только

против инобытия? Ведь ясно,

ние

дальнейшее, уже

взаимопроникновение двух сопоставленных отрезков

новления. В самом деле,

одно

мыслить и еще

но и в

в том

и свое

случае,

соб¬

если бытие

каждом отдельном

своем

будет присутствовать в инобытии не про¬
неделимый факт, но когда оно будет содержаться и в

моменте, когда его целое

сто как единый

каждом отдельном моменте его
как

раз

тие

от инобытия

при

будет участвовать

здесь не просто как голый

содержание воспроизведет
ную

с

инобытийного тела, полученного им

своем воспроизведении в нем.

на себе

воспроизводимым целым

Тогда инобы¬

факт,

но и все его

некую целостность, неразрыв¬

как таковым.

Другими

словами, из

механизма оно станет организмом и тем спасет себя не как
и как смысл, и не как механический смысл, но и как

66$)

факт,

но

живую материю.

V. Переход к специальной теории числа

Это взаимоотношение нескольких разных становлений, когда они
переходят друг в друга в порядке

субстанциального отождествления,

есть возведение в степень или извлечение корня. Таковы принципы

арифметических действий.
с) Наконец, рассмотрим реальную структуру арифметиче¬
действий или, точнее, принцип структуры арифметических

ских

действий. Только
действий

как

действие,
еще и

что мы

некоторых категорий диалектики. Но арифметическое

как мы сказали в п.

определенная

каков же

рассматривали принцип арифметических

живая

3,

не есть только

категория. Оно

есть

структура, живой образ. Спрашивается:

принцип построения этой структуры

и этого

образа?

Поскольку сейчас нам уже не надо выводить самих принципов
арифметических действий (они уже выведены) и не надо, следова¬
тельно, фиксировать спецификум каждого отдельного действия,
мы можем
тическую

(и должны) применить здесь только нашу общедиалек¬
схему всякой структуры вообще, и прежде всего числовой

структуры (§ 31). Другими словами, каждое действие будет для
каким-то

себя

бытием, переходящим

в свое

инобытие

в алогическом становлении, после чего оно

свое

беспредельное

и

нас

забывающим

вдруг прекращает

становление, останавливается, превращается

в ставшее, и мы начинаем видеть его смысловые струи, изливаю¬
щиеся на новое, теперь уже на всякое инобытие, т. е. начинаем ви¬
деть его

образ, его выраженную форму, его энергийно-эманативный
образ. Никакого иного принципа для структуры арифметического
действия мы не знаем в настоящем исследовании, поскольку он был
проведен еще

в самом начале, в

самого понятия числа
дела об

5.

менять его и для от¬

арифметических действиях.

Относительно

яться

сфере первоначальных установок

вообще. Нет оснований

традиционной

арифметических действий

надо особенно бо¬

математической самоуверенности. Действи¬

тельно, что может быть проще сложения и вычитания, умноже¬
ния и деления? Но эта-то простота и соблазняет.
понимать-то

ствий,

я

нечего.

бы сказал,

—

Между

тем

Думают,

что

тут

и

проблема арифметических дей¬
проблем диалектики.

одна из довольно тонких

И приходится очень долго и очень мучительно размышлять на раз¬
ные лады, чтобы добиться ясной диалектической систематики в этой

проблеме.
торые

не

Можно даже утверждать, что на таких-то

загромождены

проблемах,

ко¬

никаким математическим аппаратом, легче

670

§ 116. Сложение
всего

проверять достоинства

и вычитание

и недостатки

применяемой у нас мето¬

дологии. В математически сложных вещах еще можно сомневаться,
достаточна или нет эта методология. Но там, где математика не пред¬
ставляет

трудностей,

а самая

(а

по своей значимости

ствия), там яснее

конструкция

центральной
арифметические дей¬

оказывается

таковы именно и есть

всего ценность или

применимость данной методо¬

логии.

Перейдем теперь к самому предмету.
§ 116. Сложение

и вычитание

1. Сложение и вычитание характеризуются прежде всего равно¬
правием моментов, из которых они состоят. В то время как, напр.,
в умножении

существенной

множитель же только
в

результате

щественно

слагаемых,

повторяет

множимое известное число

увеличенное,

—

в сложении и вычитании нет такого

равноправны. Если сумма складывается, напр.,
то все

три

слагаемые хотя и

могут

различие

одной плоскости;

сложения только в том и заключается, чтобы взять эти

процесс

из них

содержанием;
—

множимое,

к

мно¬

совершенно различным смысловым

множитель обозначает совсем не то, что обозначает
помимо

уже

но так же и в вычитании

чисто количественного их

операция над

числами

и той же плоскости. Можно сколько

вычитать; и все

шенно

применивши

совершенно одинаковый метод. В умножении

жимое и множитель входят с

одной

трех

не идет дальше чистой

слагаемые вместе, взять в таком виде, как они даны,

на

из

отличаться между со¬

количественности. Эти слагаемые как бы лежат на

каждому

и

смыслового содержания чисел, и последние здесь су¬

бою чисто количественно, но это

и

раз

появляется опять-таки прежнее же множимое, хотя и в

несколько раз

неравенства

и основной темой является множимое,

прибавляемые

равноправны

по

различия. Точ¬

происходит

угодно складывать

и вычитаемые единицы

своему смысловому

и

как бы
и

будут совер¬

оперативному содер¬

Другими словами, сложение и вычитание не переводят чи¬
по сравнению с теми их элементами,
сел в новое инобытие, новое

жанию.

—

которые уже даны
В

сложении

числовое
мог бы
ное

(если

с самого начала.
и

вычитании

иметь

осуществиться

в

виду

дано

только

основное,

внутри-

сумму) инобытие, без которого

не

и самый счет, а именно чисто количествен¬

инобытие (хотя самые слагаемые одно

671

в отношении

другого

V. Переход к специальной теории числа

Никакого другого инобытия не

внешне-инобытийны).

для сложения и вычитания чисел.

необходимый для числа,

счет,

Поэтому

требуется

если понимать число и

как тезис, то сложение и вычитание

не переходят ни в какой антитезис; и вся картина

разыгрывается

в

пределах счетного тезиса.
2. Что

же

зиса и что

происходит

в

пределах этого числового

и счетного те¬

делается с этими равноправными числами,

составляется

а) Ясно,

сумма

что сложение и вычитание,

ствия, суть некоторые функции
назвать силами, или

из

которых

разность?

или

равно

как и все

числового смысла,

энергиями. Сложение

прочие дей¬

которые надо

и вычитание есть

всего некий смысловой акт, активная направленность

ленному результату. В процессе складывания

к

прежде

опреде¬

и вычитания мысль не¬

и соединяет,

что активно полагает, активно

разделяет

В этой активной напряженности

сложение и вычитание ничем еще

прочих действий,

пока не отличаются от

необходимо

ния

ловая

ровано выше
данном

энергия,
в

случае,

общего

положе¬

начать. Сложение и вычитание есть некая смыс¬

энергия. Точнее сказать,

не смысловая

но с этого

суммирует.

все

арифметические действия суть

но смысловое становление, как это

проблеме натурального ряда. Однако
как мы

только

уже знаем, конструирует

дедуци¬

становление в

самую

кате¬

горию арифметических действий. Конкретное же выполненное дей¬
ствие, напр., решенная задача, есть уже такое становление, которое
определенным образом
ленным

рую

в

стало и в этом своем ставшем виде

образом оформилось. Тут уже переход

общей диалектике

Ь) Какая
гия счетной

мы

опреде¬

ту ступень,

кото¬

именуем смысловой энергией.

же это смысловая

природы

на

энергия?

Это не есть просто энер¬

числа, ибо, сосчитывая единицы в числе, мы

не нуждаемся в понятии плюса или минуса, равно как и суммы или
разности. С

другой стороны,

налична и во всех
есть

энергия объединения

безусловно содержится
в

смысловая

или

также сказать, что это

разъединения.

элемент

В умножении, напр.,

объединения единиц, полученных

результате увеличения первоначально заданного

шительно во всякой числовой
и

энергия, рождающая счет,

других действиях. Нельзя

операции счет,

разъединение единиц содержится

множимого. Ре¬

а след.,

объединение

или в чистом виде, или в виде

некоторой своей модификации. Какая же разница между простым
пересчетом единиц, напр., в 10, и между складыванием 6 + 4=10?
672

§116.

с) Разница
таем

от 1 до

Сложение и вычитание

Когда

эта заключается в следующем.

10, то, переходя

от

6

к

7,

мы

совершенно

о том, можно ли

присоединить

йти

Необходимость

и возможность этого

к

просто счи¬

не задаемся во¬

6 еще одну единицу и пере¬

просом
к 7.

мы

перехода уже заранее

обусловлена для нас самим понятием натурального ряда
счета,

который строится

именно как постоянное и бесконечное уве¬

личение любого числа на ту или иную единицу
ваем

6+4,

то

при переходе

можно ли в данном

и понятием

от

6

Когда

необходимо

к 7 мы

случае переходить

от

6

же мы склады¬

ставим

вопрос:

далее? Если

к 7 и

стоит

плюс, то такой переход возможен; если же его нет, то мы еще не зна¬
ем, к какому числу надо переходить и надо ли

Итак,

плюс есть смысловая

можным

вообще переходить.

энергия числа, впервые делающая

переход от одной единицы

к

следующей

за

ней,

воз¬

т. е. внеш¬

ней по отношению к ней.

d)

Но почему

делается возможным? Он делается

факт перехода

возможным потому, что в сложении мы поставляем складываемые

единицы

на одной плоскости, приравниваем

внутри одного

числа к

делая один путь

путь пересчета единиц

пути пересчета единиц внутри другого числа,

продолжением другого

инобытийны один в отношении

пути,

другого. Мы

хотя

они

самих складываемых числах, ни в их количественном
ни в какой

новое мы
от

бы то

ни

было другой

их

интерпретации. И

устанавливаем, когда решаемся

6 перейти

к

в

внешне-

ничего не меняем в

содержании,

все-таки нечто

вышеуказанном примере

7, чтобы совершить операцию 6

+ 4

=

10. Если это

новое не касается ни количественной стороны чисел, ни их общей
интерпретации, то оно может касаться только места, взаимного
положения этих чисел, а именно
но от

6 перейти

к

7,

мы

вдруг узнаём,

что можно и нуж¬

от 7 к 8 и т. д. до 10. Но положение, или место,

«что-нибудь». «Что-нибудь», или «не¬
«где-нибудь»; и чтобы находиться «где-нибудь»,
в отношении того,
должно [быть] какое-нибудь иное, инобытие
что находится или помещается где-нибудь. Чтобы идти, должен быть

чего-нибудь
что»,

не есть само это

находится

—

путь, пространство, по которому можно было бы идти;

странство необходимо должно быть

и это

про¬

чем-то иным, а не самой вещью,

движущейся по пространству, ибо иначе невозможно было бы и само
движение. Стало

быть,

знак «плюс»

указывает

на отождествление

инобытия,
которому движется одно слагаемое,
которому движется другое слагаемое.
по

673

с

инобытием,

по

V. Переход к специальной теории числа

е) Надо

четко

представлять характер функционирующего здесь

инобытия. Инобытие
Есть ли то

налично как

внутри

самого числа, так и вне его.

инобытие, которое необходимо

внутри-числовое или вне-числовое?
то о каком инобытии идет

Когда

речь, когда

сложению и вычитанию,
мы складываем

мы мыслим себе

6

+ 4

=

шестерку?

10,
Мы

тут пересчитываем единицы внутри самой шестерки и не нуждаем¬
ся в том, чтобы всю шестерку помещать в какое-то новое инобытие.

[ино]бытие дается отдельно и притом внешне в отношении
первого. Иначе будет в умножении, где множимое как раз берется в
Новое

виде неделимого целого и

повторяется

в новом

инобытии, которое

есть нечто внешнее в отношении самого множимого. В сложении

речь идет

пока о внешнем

сопряжении инобытия

слагаемых. Снача¬

берется внутреннее инобытие шестерки, т. е. ее счетная составлен¬

ла

ность из шести разных единиц
нее от одной единицы к
и т. д. вплоть до шести.

другого

слагаемого

—

иной,

а

необходимость перехода внутри
от этой иной еще к дальнейшей иной
и

Затем то же самое

четверки. И наконец,

берется
—

и относительно

это и есть самое глав¬

одна инобытийность

(та, которая внутри шестерки) прирав¬
другой (той,
обоих
инобытийВнешнее
приравнение
которая внутри четверки).

ное

—

нивается, в смысле именно внешней инобытийности, к

ностей и превращение их в
ность и есть

сущность

единую инобытийную

последователь¬

сложения и вычитания.

f) Во всем остальном сложение и вычитание ничем не отличаются
от

обыкновенного счета, как

отличается

от

числа

значит считать в

и самый счет ничем

как такового.

пределах

существенно

не

какое-нибудь число
Основная функция числа

Иметь

этого числа.

—

функция разъединения и соединения, т. е. прежде всего счета.
Поэтому число как число везде и всюду действует совершенно

есть

одинаково
е.

прежде

Поэтому

—

разъединяя, различая

всего

производя

можно не

операциях

и

и

объединяя, отождествляя,

т.

обусловливая счетную сторону бытия.
о счетной функции числа в

говорить специально

сложения и вычитания, а достаточно

просто говорить

о

функции, или о чисто смысловой функции числа.
функция числа в условиях
внешнего взаимоотождествления его внутри-инобытийных эле¬
ментов. Тут делается диалектически понятным и то «равноправие»

чисто числовой

Ъ. Итак,

сложение и вычитание есть

слагаемых, с которого мы начали характеристику этих действий.

«Равноправие» необходимо

здесь именно потому, что оно-то и

674

обу¬

§116. Сложение и
словливает собою

вычитание

взаимоприспособленность двух (или нескольких)

инобытийных рядов, когда оказывается возможным объединить
в

одну

и

их

целостную инобытийную последовательность. Однако это

равноправие,

по

установленному

нами выше

не может

принципу,

мыслиться как нечто пассивное и неподвижное. Само число есть
всегда смысловая
ждествления,

бытия;

энергия, ибо

оно всегда есть акт

и

разъединения

и невозможно мыслить

димости

взаимоперехода одной единицы

пятерки. Но
треннее

пятерку без

элементов

возможности и необхо¬

другую

в

пределах этой

если число есть всегда смысловая энергия, то и его вну¬

инобытие, обусловливающее самую

возможность самого числа, так же есть
гия. А

в

и ото¬

различения

объединения отдельных

поэтому

и

тат смысловой

возможность счета, т. е.

некоторая

смысловая

сложения и вычитания есть всегда

результат

энер¬

резуль¬

энергии определенным образом функционирующе¬

го инобытия чисел.

4. а) Все

эти

рассуждения получат гораздо большую стройность

ясность, если мы

ный принцип,

Именно,

каков

о

применим

к сложению и вычитанию тот

котором говорилось

принцип

в

структур¬

предыдущем параграфе,

сложения и вычитания и как он

и

п.

4.

структурно

оформляется'.
Принцип
раздельных,
ний.

Пусть

этот есть отождествление или

но в то же

различение

время непосредственно

это отождествление

(различение)

нескольких

смежных становле¬

есть для нас некое са¬

мостоятельное бытие. Что это значит? Это значит, что мы

ляем, приделываем,

как бы

му. Было 6 единиц,

и

становление

прикрепляем одно

было 4 единицы.

4 единиц

к становлению

пристав¬

становление к

Теперь

же мы

6 единиц. Это

друго¬

приклеиваем
бытие

и есть

изучаемого отождествления.
Далее должно быть его инобытие. Это значит,
снят самый

го становления с началом

одно

другого становления так, что получилось

и единственное становление, и отныне мы

верке,

и о

что должен быть

вопрос об отождествлении. Мы соединили конец одно¬

шестерке. Инобытие отождествления

уже забыли

и о чет¬

есть тот продукт ото¬

ждествления, в котором уже невозможно различить отождествляе¬
мого.

Дальше

мы

—

в

сфере

становления; это то, что открылось перед

нами после отождествления. Мы должны теперь

крывшемуся перед

нами

общему направлению.
675

пройти

по

этому от¬

Мы должны начать

V. Переход к специальной теории числа

считать полученные единицы, потому что счет и есть в данном слу¬
чае становление. Но становление должно

где-нибудь

кончиться, за¬

вершиться, почерпаться, превратиться в ставшее. Ставшее, очевид¬
но, есть сумма, самый результат сложения.
Но самый

интересный вопрос

тельную форму

в том, как же понимать

тание как выражение, как смысловая энергия, как

стороны,

вырази¬

сложения и вычитания. Что такое сложение и вычи¬

эманация? С одной

это должно быть чем-то самым основным, самым

в сложении и вычитании, даже их источником; с

глубоким

другой стороны,

оно должно быть чем-то максимально внешним, вышедшим

жу

и

силой, оформляющей

и

определяющей
вообще

сложения или вычитания, ко и все

действий. Что
«плюс» или

наиболее

же это за

глубокое

са

и

принципиальное

в этих

и

действиях. В этих категориях плюса

арифметическое действие, именуемое

ские

из

и мину¬

и все логиче¬

сплетаются сложение и вычитание,

которых

максимально сконденсированы

и

и

пр. энергиях)

различение

тут

заострены.

Ь) Называя энергию числа смысловой (чтобы
об электрической, тепловой

—

сложением и вычитанием,

последней диалектической зрелости,

ние к сложению, а

есть самый

наиболее внешнее, актуаль¬

достигает своей

категории,

случаи

эманация? Это

акт

этих

самая энергия складывания и вычитывания,

«минус»,

но определяющее

и что за

энергия

возможные

нару¬

данный

не только

не

подумали здесь

и относя отождествле¬

к вычитанию, мы можем выставить

следующие диалектические формулы обоих рассматриваемых дей¬
ствий.
Сложение

есть смысловая

инобытийных,

но в то же

энергия отождествления

время

и

внешне¬

непосредственно-смежных ста¬

новлений.
есть

Вычитание

инобытийных,

смысловая

но в то же

время

и

энергия различения

внешне¬

непосредственно-смежных ста¬

новлений.

с) Когда мы берем 6 + 4
отождествление

=

10, то происходит внешне-инобытийное

внутри-инобытийной

стерки (или просто

—

последовательности

ше¬

последовательности, пути последования вну¬

три шестерки) с
верки. Когда же

внутри-инобытийной последовательностью чет¬
мы берем 10
4
6, то внутри десятки, или в плане
-

=

внутри-инобытийной последовательности десятки, мы производим
различе¬
различение одной формы от другой, в данном случае
—

676

§117. Умножение
ние

четверки

перехода от

инобытия;

шестерки. В

и

различения

—

в единое

энергия

энергия

числа есть

различению или, точнее,

самотождественного
жение стягивает

сложении

числа есть энергия

к отождествлению внешне-числовых

в вычитании же

отождествления к

и деление

к

форм

энергия перехода

от

от отождествленного,

различенному, саморазличающемуся. Сло¬

разные куски инобытия, превращая

внутреннее содержание числа,

их из внешних

сплавляя их в один

кусок

и

несколько прямых линий становления в одну прямую;

превращая

вычитание же

разрывает цельное

и самотождественное

инобытие

внутри числа, раскалывает его на отдельные куски, устанавливая, что
одна

форма отлична от другой

В сложении

в

пределах этого инобытия.
незыблемым само основание

и вычитании остается

числа, тот экран, на котором выступают числа. Это как бы единый
фон, на котором числа то появляются, то исчезают,
самый

фон

остается незыблемым.

альны и каждое имеет полнейшее

Сложение

и вычитание есть

Тут

время

как

все числа

глубоко индивиду¬

на свою

индивидуальность.

право

пересчет

в то

всех единиц, входящих в

раз¬

ные слагаемые; и этот

пересчет совершенно равноправен. С одина¬

ковыми

и с одинаковым заданием относится к едини¬

намерениями

цам, входящим в отдельные слагаемые, тот, кто хочет сосчитать эти
слагаемые.

природой,

Сложение

т. е. тем

и вычитание обладают поэтому зрительной
свойством; когда субстанция самой вещи не меня¬

ется, а меняется только ее внешняя составленность, что и легко кон¬

статировать при помощи зрения. Тут
ходит внутри идеи

(суммы),

элементов, но не задаемся

взятой в целом. Рамка и

мы

появление и

вопросами

фон, экран

о

фиксируем

то, что проис¬

уничтожение отдельных

судьбе

ее

самой идеи, т. е. идеи,

и самое основание,

субстанция

складываемых и вычитаемых элементов остаются неизменными; и
все действие сложения и вычитания есть как бы умственно зримая
картина неподвижной вещи
те или иные

различения

§ 117. Умножение

—

суммы, внутри которой происходят

или отождествления.

и деление

1. а) Совсем иначе обстоит дело в умножении и делении. Мно¬
жимое и множитель, делимое и делитель различаются здесь не про¬
сто количественно, как могут различаться между собою слагаемые в
сумме.

роли

в

Множимому и

множителю

принадлежат совершенно разные

общей операции умножения,
677

как соответственно

делимому

с

V. Переход к специальной теории числа

делителем. В сложении каждое слагаемое сохраняет свою индивиду¬
альность, и роль всех слагаемых в общей сумме совершенно равно¬
правная, кроме единственного
чения. В

же свою

умножении

—

чисто количественного

судьбе

разли¬

полную индивидуальность сохраняет

только множимое. Только о нем и идет

тут разговор,

трактует умножение. Множитель здесь

и

—

и только о его

не имеет самостоя¬

тельного значения. Речь идет не о нем, но о множимом. Множитель
только показывает, что

или должно

случается

с множи¬

случиться

мым.

Ь) Множитель

—

инобытие множимого не просто

ном отношении, как,

напр., 3 есть инобытие

тель не есть такая

форма, которую
формы внутри данного числа. Такое
просто к

в количествен¬

в отношении

2. Множи¬

мы отличили от всякой

другой

простое отличение привело бы

фиксации того, что в десятке содержится, напр., шестерка

и

четверка, т. е. к операции сложения или вычитания. Множитель обо¬
значает совсем другое.

с) Он, во-первых,

в отношении множимого.

треннее

дуальность,

ровно

не есть нечто

и ни о каких ее

никакого

просто

внутренних различиях тут

вопроса. Множитель указывает

делимая цельность. Стало

инобытие множимого.

указывает,

не ставится

судьбу всего

как

что именно

внутренне неизменным,

если его поместить надлежащим

мно¬

совершенно

не¬

образом

в

случится
и что

с множи¬

произойдет,

совершенно новую для

среду.
как

d) Во-вторых,
зированное
хотя бы

в

в виде

полнотой
сколько

Нет,

своей

раз

берется

это

внешнее

инобытие,

символи¬

множителя? Может быть, оно, оставаясь внешним,

качестве

с множимым?

внешнего

мыслится

здесь

нисколько. В то время

индивидуальности,

как

равноправное

как множимое

множитель

взято это множимое со всей своей

Индивидуальность
и он

частей,

на

быть, множитель не есть только внешнее

Он

мым, когда оно остается

просто вну¬

Множимое есть цельная индиви¬

жимого, множимого, взятого вне своих

него

внешнее или

самого множителя остается

взято с

указывает только,

индивидуальностью.
совершенно

в тени,

формальной функцией
берется только как
инобытие, ибо инобытие чего-нибудь, если оно берется в
виде, есть полная противоположность этого «чего-нибудь»,

выступает

только с своей

скучной

и

быть вехой по пути движения множимого. Он
чистое
чистом

т. е. полная

противоположность

его смысла, оно есть не смысл «чего-

678

§ 117. Умножение

факт его. Факт, взятый в чистом виде, когда неизвестно,
факт, есть полная бессмыслица и противоположность смыслу.

нибудь»,
чего он

и деление

а

И реально факт осмысленный содержит
он

и не есть чистое

в

себе некий смысл, но зато

инобытие смысла; это,

синтез смысла и инобытия смысла. Как

наоборот, соединение и
действует множитель? Как

осмысленное множимое или как его чистое инобытие?
Не может быть никакого сомнения в том, что ровно ничего не

содержится

из

во множителе

что множитель есть чистое

индивидуальности

множимого

инобытие множимого. Множитель есть

множимого, суждение не о смысле множимого, но о его

факт

и

фак¬

те. Множитель показывает, сколько раз взято множимое, сколько раз

фактов множимого

оно положено, сколько

желательно взять.

Итак,

в множимом число взято как полное и настоящее число, с полно¬
той своей

индивидуальности,

во множителе же взято число только в

функции формального полагания, утверждения факта, и больше ни с
какой

стороны

2. Итак,

он не

интересует операцию умножения.

множимое есть то, что в этой

операции сохраняет

пол¬

формально
иноприродной среде, в
воспроизводит субстанцию
инобытии. Множитель есть форма инобытия, внешнего в отноше¬

ноту инобытийности,

множитель же есть то, что лишь
множимого в

нии множимого. Если сложение есть такая
сжимает и стягивает

разные,

альности в одну единую,
жение

есть такая

производить

одну

энергия числа, которая

равноправные

числовые индивиду¬

нераздельную индивидуальность,

числовая
и

но

окружающей. В сложении речь идет

о стольких

умножении

же

демонстрирует,

числа и что эти числа,

в

вос¬

среде, ее

индивидуальностях,

речь идет только

индивидуальности, той, которая символизирована
читание

умно¬

энергия, которая обладает силой

ту же числовую индивидуальность

сколько дано слагаемых; в

то

об

одной

в множимом. Вы¬

что в одном числе возможны

разные другие

будучи такими-то, имеют все одинаковое пра¬

во на существование и обладают каждое своей собственной инди¬

видуальной природой. Деление
факт,

же

что данное число как некая

если учесть тот

путь,

по

демонстрирует

тот

интересный

определенная индивидуальность,

которому оно развивалось, сводится

к

друго¬

му, более элементарному числу, являющемуся исходной точкой
го

развития, той единственной

которая

только и имеется

тут

в

и

это¬

подлинной индивидуальностью,

виду

и

которая претерпела ряд изме¬

нений с момента равенства частному до момента равенства делимо¬
679

V.

Переход к специальной теории

числа

му. Никакой другой числовой индивидуальности деление

Итак,

ны

внешнем

при

умножении

ударение

и самостоятель¬

равноправие),

их

противостоянии (отсюда

же и делении

лежит на числах,

ударение

не знает.

лежит на числах, по¬

внутреннем инобытии

они даны в своем

скольку
—

в сложении и вычитании

поскольку

в

они

(отсюда существенное нерав¬
множителя). Можно сказать и так, что если

даны во взаимновнешнем инобытии

ноправие

множимого и

сложение и вычитание есть некий тезис, то

первой паре операций

есть антитезис. В

инобытием

ним

и его внешним

второй

во

сопряжением,

ним инобытием чисел, вступающих в некоторое

моопределение,

Еще

чисел.

т. е. в

сумму);
дит

числа самого по

в

умножении

ном воплощении и
самого по

себе,

но

внутреннее

(так как внутреннее содержание

себе,

взятого именно как число

т. е. на число в его

существовании,

энергия

ударение перехо¬

имеется в виду не

числа в его внешнем

диалектический

числа,
него

хотя и

же

различенных уже

в

другом смысле,

но в смысле внешнего

воспроизведения которого

различение определенного
и

получить

перейти

к

и самих

окружаю¬
его

форм,

противоположения. В

в

тому,

в

результа¬

появилось данное число, и

воспроизведений.
нельзя

Не

было бы

как и в вычитании, не зная

пределах данного числа,

различенных чисел,

т. е. от

невоз¬

уменьшаемого

разности.

4. а) Произведя
ния,

и

не в смысле внеш¬

воспроизведений,

вышеуказанное сведение,

определенной формы различения
можно

числа в

числа к

количества этих

зная точного количества этих

произвести

умножение

воспроизведенных

происходит сведение данного

те внешнего

что

происходит отождествление различенных форм

воспроизведения,

делении

числа

антитезис сложению и вычитанию.

его инобытии и отождествление

как и в сложении

энергия

инобытии. В такой

3. В умножении происходит воспроизведение
щем

(если брать

внешне-[ино]бытий-

формулировке совершенно ясным становится то,
деление есть

взаи-

из таких

Поскольку внутреннее инобытие

же и делении, где смысловое

инобытие,

на внешнее

с внеш¬

то в сложении и вычитании имеется в виду

число),

числа и есть само

внутрен¬

—

условиях внутреннего роста одного

можно сказать и так.

числа и само число есть одно и то же

энергия

и деление

умножение

мы имеем дело с

это

общее

попробуем применить

Прежде всего,

каков

описание

сюда

действий умножения

и деле¬

структурный принцип § 115,

категориальный принцип
««о

этих

п.

4.

действий?

§ 117. Умножение

и деление

Раз у нас шла речь о воспроизведении числа
что мы

в его

инобытии, то ясно,

тут оперируем с категорией движения. Как только число дви¬

нется со своего места,

будет

так это и

значить, что оно воспроизво¬

дится в своем инобытии. Но конечно, это не значит, что движение
тут происходит без всякой остановки.

бытии,

число где-то и

перестает воспроизводиться,

становится стабильным.

двух становлений, когда

ношение

рядке категории подвижного

Теперь перейдем

к

новления? Это есть самое

тат

гия

—

произведение
есть

умножения

Ь) Отсюда

и

как такое взаимоот¬

переходят друг

двух

или нескольких

друга

в по¬

такое бытие

отрезков

ста¬

дробле¬

инобытие! Эуо переход от процесса вос¬

единицы,

к

а

воспроизведенному. Становление

ставшее дает стабильный

или частное.

резуль¬

Выразительно-эманативная энер¬

х, и она же деления есть

[знак]

в

множимого или

воспроизведение

произведения (или низведения)
нем

они

достигнутый
формулиро¬

покоя.

покоя

ние делимого. Что такое его

сосчитывает в

и

структурному принципу. Что

упомянутого подвижного

в своем ино¬

выше мы и

Поэтому
категориальный принцип обоих действий

результат
вали

Воспроизводясь

[знак]:.

формулы.

Умножение есть смысловая энергия разных становлений, пере¬

ходящих одно

другое в порядке подвижного покоя в целях взаимовоспроизведения.
Деление есть смысловая энергия разных становлений, переходя¬
в

щих одно в другое в порядке подвижного покоя в целях воспроизведе¬
ния одного в

5.

пределах другого.

В сложении и вычитании все представители созерцаемого

бытия даны в готовом виде, и мы только должны их

созерцая,

как они сплетаются или

В умножении

Тут дано только одно

воспроизводится,

инобытии, растет

не даются готовые числа, как в сложении.

операция воспроизведения

умножении

как оно

рожда¬

внутренно рас¬

число выходит из самого

ность, устремляется вдаль

и

увядает. В умножении

Наоборот,

само

числа и его нового

себя,

ней самораздельности и, забывая себя,

субстанции,

разные единства.

число; и мы созерцаем, как оно переходит

в инобытие и там, в этом

ние есть

фиксировать,

и делении мы являемся свидетелями того, как

ется само число, как оно
тет.

расплетаются

в

из своей чисто

свою

умноже¬

рождения. В

внутрен¬

внутреннюю раздель¬

как целое, как таковое, в своей

целостной

инобытие, обусловившее

этот пере¬

покамест внешнее

681

V. Переход к специальной теории числа

ход, само же не поставит предела этому устремлению. Сложение и
вычитание
ственное

—

они как бы

пассивно-зрительны;

представление вещей. Умножение

операции не зрительны

и не

картинны,

но

картина вещи, ум¬

и деление активны.

Эти

активно-мускульны,

они

утверждают, твердо полагают, устанавливают. В

нечто

сложении

субстанции чисел мыслятся уже данными, их кто-то
формулировал, и остается только посмотреть карти¬

и вычитании

установил

ну

и

существования. В умножении

их совместного

только одно число, и

больше ничего

бы мускульно осязаем напор
ний этого числа и

и

силу

не дано; и мы не видим, а как

новых

присутствуем при

инобытийной пустоте. В умножении
блемой

субстанция

и делении дано

его

утверждений

и полага-

первичном зарождении

в

и делении не остается незы¬

чисел, как в сложении и вычитании, не остается

неподвижным тот экран и

фон,

на

котором выступают фиксируе¬

мые нами числа.

Тут затрагивается судьба самой этой субстанции числа; и ставит¬
будет внутренно вести себя, если ее переве¬

ся вопрос о том, как она
сти со

фон,

старого

и

ее

привычного

экрана

на новый

экран

совершенно чуждое ей инобытие. В

во внешнее,

вычитании числа лежат, как готовые шары на столе, и
ко их

в

пересчитать;

и на новый

сложении и

нужно

же и делении дан только один

умножении

и дано

определенное количество материала (напр., дерева,

пр.),

которого можно сделать еще несколько

из

мы делаем эти

и

притом шары

и

разной

эти были

величины.

совершенно разные,

Здесь

говорить, собственно,

одного

уже

—

потом

шары делаем

же

из

разного материала

именно мы, т. е. тот, кто

процессе самой этой операции

и деления; и создаются они как точнейшая копия, и каче¬

ственно и количественно,

но

и вот

не мы, не тот, кто складывает и вычитает,

и делит; они создаются в

умножения

шаров;
и

шар

глины и

полученные шары, когда данный материал будет

исчерпан. Там шары делали

умножает

таких

шары, тождественные с данным шаром;

сосчитываем все

толь¬

первоначального шара,

так что здесь нуж¬

но о

воспроизведении

не о

разных шарах,

(и притом количественно опреде¬
ленном данном) инобытийном материале. Это и значит, что умноже¬
и того же

шара

ние и деление, есть

в данном

энергия

ствовании, отождествление

воспроизведений,

числа в его внешне-инобытийном
и

но так, что

различение

при этом растет

содержание данного числа.
682

суще¬

его внешне-инобытийных
и

убывает внутреннее

§118. Возведение
6. Можно

в

в степень, извлечение

результате

всего двояко

корня

и

логарифмирование

формулировать диалектиче¬

скую антитетику сложения и вычитания, с одной стороны, и умно¬
жения и деления

—

другой. Можно, во-первых, признать,

с

что в

пер¬

вой паре арифметических действий даны внешне-инобытийные (в
идейном смысле) друг
ло, в

котором

в отношении

друга числа,

они сливаются в одно

и идею нового числа.

внутренно-единое содержание

Тогда умножение

одно и единственное число, которое

и ищется такое чис¬

будут предполагать
будет так или иначе внутренно
и деление

меняться в зависимости от его внешнего

воспроизведения. Значит,

в этом толковании антитезы сложение и вычитание есть нечто

а

треннее, идея,
и

умножение

и деление есть нечто внешнее,

вну¬

инобытие

факт, воспроизведение идеи.
Но можно, во-вторых, сложение и вычитание понимать как нечто

внешнее, упирая на внешнюю взаимо-инобытийность

фактически

слагаемых. Тогда умножение и деление окажутся чем-то внутренним,
поскольку речь идет тут о росте одного и того же

убыли (делении)

или об

(по факту)

числа

одного и того же числа. По существу это

одна и та же антитеза, выраженная различно

—

только с

—

разных точек

зрения. В первом случае дано внутри-идейное различие (слагаемые)
и оно исчезает в

умножение
идеи,

к

общем тождестве,

и деление есть

также

уже переход

идейном (сумма),

от идеи к

фактическому воспроизведению

факту,

к

и тогда

инобытию

идеи. Во втором случае да¬

ются сначала внешне различные
они в нечто единое, тоже
и деление

субстанции, факты и сливаются
фактическое (сумма), но тогда умножение

необходимо интерпретировать

убыль одной

и той же

как идейное наполнение и

субстанции.

Различие этих толкований ничего особенного собою не пред¬
ставляет. Раз

в диалектике две

категории

связаны диалектическо-

антиномически, то их всегда можно взаимно
бытие и есть
бытие

инобытие, то ровно ничего не

будем трактовать как бытие,

§ 118. Возведение

а бытие

переставить. Если

есть

изменится, если мы ино¬
—

в степень, извлечение

как инобытие.

корня и логарифмиро¬

вание
1. Всякая вещь есть некий
или идею.

факт, и всякая вещь имеет некий смысл,
факт и осуществленная идея. Если

Она есть осмысленный

отнять у вещи

факт,

она

превратится

но, перестанет существовать;

в

чистую идею и, следователь¬

и если отнять

683

у вещи

ее идею, смысл,

V. Переход к специальной теории числа

она перестанет быть

самой, собой

и

превратится

в

бессмысленный

хаос неизвестно чего, т. е. тоже перестанет существовать.

бытие есть единство

ное

ления, сознания и

применима

кому виду

и

и к

числу, поскольку

в

она

применима решительно

превалирует, скажем, идея

сущность, фактическая субстанция

сферу

ко вся¬

типу бытия. Предыдущие рассуждения показали нам, что

неподвижной;
никакого

Конкрет¬
факта, сущности и яв¬

бытия. Эта элементарная диалектика должна быть

в сложении и вычитании

же и

и тождество идеи и

о ее

судьбах

сущность, факт

нетронутой,

ничего не слышно, и о ней не ставится

вопроса. В умножении

явления,

и

числа остается

наоборот, мы переходим
факта, субстанции, внешне-фактического инобы¬
и делении,

тия, ибо как раз ставится вопрос о внешнем воспроизведении чис¬
ла, о его инобытийной

Внешнее инобытие, или внешний

судьбе.

материал, здесь появляется впервые,

и пока

инобытийные же, чисто материальные

ему даны только чисто

функции, функции

внешне

оформлять, воспроизводить, давать материал для воспроизведения.
Отсюда вытекает два фундаментальных вывода.
а) Прежде всего, умножение и деление есть та функция числа, ко¬
торая обусловливает собою и делает возможным фактическую при¬
роду всякого механизма. Механизм есть такое воплощение идеи в
материи, материале, когда
в своей отвлеченности, а
вым

материалом,

главным и основным остается сама идея

материал продолжает быть таким

каким он был и

раньше,

и его

же мерт¬

преобразует

здесь

только чисто внешняя новая организация. Механизм можно поэто¬
му сломать и починить и можно

обратно.
ал,

в

котором

она

осуществлена,

идеей,

не

чтобы быть столь

же

отождествление с
столько,

любую
не

вступает

в механизме в полное

пронизывается идеей

неповторимым

сама идея. В механизме отдельные
не

его часть изъять и вставить

Это возможно только потому, что инобытие идеи, матери¬

объединены, объединены

и

и смыслом на¬

оригинальным,

материальные

как и

части лишь внеш¬

схематически, оставаясь внутренно

вполне противоположными и даже несовместимыми. В умножении
и делении данный представитель числового бытия механически вос¬
производится; и потому множитель здесь и играет такую

подсобную
обозначительную роль. Правда, в умножении и
делении мы уже переходим в бытие, в факт, в действительность, в
сферу, где воспроизводится сама субстанция числа. Сложение и вы¬
и чисто внешнюю,

читание суть

диалектический тезис,
684

это

—

сама идея, о внешнем бы¬

§118. Возведение
тии и

в степень, извлечение

существовании которой еще

Умножение

и деление

—

ность. Но вся эта инобытийная

не ставится никакого

произведением того смысла
то в

умножении

вопроса.

на

первый

инобытие и

фак¬

действитель¬

субстанция
сфера дана здесь именно
и

число как

а так как чистое инобытие

и само-то никакого смысла в

инобытие,

логарифмирование

судьба числовой идеи,

осуществление числа,

инобытийная,

и

диалектический антитезис, где

план выступает уже внешняя

тическое

корня

как только

противоположно смыслу

себе не содержит, а живет только вос¬

и идеи, в

отражении которых

она и есть

и делении мы находим лишь механиче¬

ское, схематическое

действие инобытия, когда конкретно данным

остается только сама

первоначальная идея,

жимое

не и

(произведение)

и делимое

буквально повторяет эту

Ь) И далее
нии идеи и

сама собой

т. е. в данном

(частное),

мно¬

а инобытие лишь внеш¬

изначальную данность.

напрашивается

мысль о таком

числа и его внешнего

материи,

случае

инобытия,

объедине¬

где материя

и инобытие перестало бы быть только чем-то внешне организован¬
ным и

оформленным,

где произошел бы полный синтез числа как

идеи и числа как инобытия и где в результате этого синтеза появился
бы не механизм, но организм. Во всяком механизме лежит в основе
презрение к материи и уничижение ее. Механизм есть не возвеличе¬
ние и увенчание материи, но ее преуменьшение и принижение, по¬
скольку любая часть механизма в
из целого и заменена

другой. Тут,

любую минуту

может быть изъята

значит, все дело не в материи, не

в теле, а во внешней и отвлеченной схеме, которую можно осуще¬
ствить на любом материале и из любого куска данного рода тела. Не
то в организме.

рии,

Организм есть прежде всего уважение к телу и мате¬
субтильное отношение к этому «внешнему» и

внимательное и

«случайному».

В организме нельзя заменять по произволу одни ча¬

сти другими; и это потому, что тут важна не только осуществившаяся
в

организме идея,

но и тот телесный

ствилась эта идея, так что

организма

материал,

определенные

на

котором осуще¬

части этого

материального

оказываются уже столь же неповторимыми, индивидуаль¬

ными, ни на что

другое

оригинальными, как

не сводимыми и подлинно,

субстанциально

и сама идея.

Вот почему если идея есть тезис, а механизм есть ее чисто ино¬
бытийное осуществление, антитезис, то организм есть синтез идеи с
ее инобытием, тот синтез, где уже нельзя различать идею

скольку в организме

не только идея дана чисто

««5

и

факт,

по¬

материально (так что

V. Переход к специальной теории числа

она уже не просто отвлеченная схема, которую можно механически
воспроизвести сколько угодно раз на любом

рия дана

чисто идеально

ее моменты так же

рые

(так

неповторимы

идея). Следовательно, возвращаясь
среди операций
чисто

и

числу,

приводит

к появлению

органической

возведение

организма, где

логарифм

чисто числовом языке

Существенным

извлечения корня и

говорить

является то, что

в

тут

моментом

мы имеем,

и

воспроизводить

столько

81. Разумеется, поскольку

числа по

операциями

операций

в

в степень,

о

последнем

умножения

и деления

повторения первоначально

напр., 34=81,

то здесь

одну

раз, чтобы

в

и

ту

процесс

мысли

тройку

повто¬

же

результате получилось

вообще

оперирует

отвлеченны и

держанию бытия), постольку

являются

судьбе органических

возведения

в отличие от

математика есть

природе своей

и

логарифмирование (хотя

о жизни и

ная дисциплина в том смысле, что она

(а

организм,

и вычисляется методом ин¬

идет вовсе не в том направлении, чтобы

рять

число дано как

чи¬

как таковых.

нет механического

данного числа. Когда

порождает

которых энергия

логарифмирования (поскольку

арифметике)

осу¬

их заключается в том, что они на

повествуют

экземпляров бытия, организмов

можно

и

корня

трансцедентная функция

тегрального исчисления). Тайна

2.

осуществляется

есть не что иное, как числовой

жизни. Такими

в степень, извлечение

есть

в

операции,

где самый смысл числовой операции

как и сама

и не только те, где

механическая энергия числа, т. е. где число
но и такие

некото¬

мы должны ожидать, что

числа находятся не только те, где

субстанцию механизма,

эквивалент

крайней мере

неразъединимы,

идейная («зрительная») энергия числа,

ществляется

сел

к

но и мате¬

материале),

что она или по

чисто

формаль¬

только с числами

применимы

к

любому

со¬

ней не сразу можно определить ту не

формальную,

а чисто

влечением от

которой получилась данная математическая операция.

и

содержательную

конкретную операцию,

от¬

Часто бывает очень трудно найти то исходное опытно-конкретное
содержание, которое переведено на

абстрактный

Также загадочны и операции возведения
и

логарифмирования;

и одно из

гласит, что возведение

числовой язык.

в степень, извлечения

корня

обычных утверждений математиков

в степень есть лишь

ния, как само умножение есть частный

частный

случай

случай умноже¬

сложения, когда даны

равные по количеству сомножители или слагаемые. Это утверждение
грешит логическим

формализмом,
6«6

и оно

правильно

лишь в чисто

§ 118. Возведение в степень,
счетном смысле.
все

равно

Разумеется,

что дать

извлечение

корня и логарифмирование

3

возвести

в

четвертую

произведение четырех троек

—

это

сумму двадцати

или

семи троек. Но это не значит, что по логическому и

степень

диалектическому

есть не больше как умножение и де¬

смыслу указанные три действия

Тут есть тонкий оттенок, который
субтильным потому, что везде мы имеем здесь

ление или сложение и вычитание.

всегда

будет тонким

и

который, исключивши

дело с чисто числовым языком,

из

себя всякое

смысловое содержание, кроме числового, конечно, сплошь
в

превратился
степень от

умножения

Ь) Что тут
числа в его

настоящую загадку. В

здесь

умножением

от

и извлечения

происходит зарождение

материале. Но

в то

деления?

время

пень мы видим,

множителем,

что

числа во внешнем

число

раз,

в

пунктах. Оно

в

с делением. Там

инобытии;

умножении (3

тройку еще раз перейти

в

во все свои

в

в сте¬

умножении

показателем степени, вса¬

поры

и

отождествляется

просто воспроизвело его 4 раза, как

не

+

механически

операции возведения

—

там и

числа на внешнем

инобытие, охарактеризованное

а в возведении в степень

ним во всех

—

умножении множимое

как в

первоначальное число

это было бы

корня

воспроизведении

алогическом

повторяется определенное

с

корня

воспроизведение первоначального
субстанции, это очевидно. В этом полное сходство возве¬

речь идет об

сывает

рядом

чем же отличие возведения в

есть также некое

дения в степень с

и здесь

и извлечения

и

3

себя,

+

+

3

т. е. в

3),

но заставило

инобытие,

каждую такую

еще раз помножить

3 на 3 относительно каждой из четырех троек. Инобытие здесь про¬
явило себя в каждом отдельном элементе, заставивши первоначаль¬
ное число воспроизвести себя самого и как бы отразиться в самом

себе,

в каждом из своих моментов.

гия числа, которая заставляет

Возведение

любую

в степень есть та

энер¬

вещь алогически воспроизве¬

сти себя не просто вовне, но в каждом из своих основных элементов,
и притом воспроизвести целиком и без остатка.
В умножении субстанция множимого не раскрывается, не раз¬
вертывается, не расцветает; она тут только воспроизводится при
помощи механического повторения. Возведение

кает вглубь первоначального числа,
и

в

З4

=

этом

81

—

атоме
это

тыре раза,

каждая

но

в степень

берется

значит:
не

прони¬

каждый отдельный

его атом,

число

целиком.

воспроизводит первоначальное

суждение

из этих

в

первоначальная тройка берется

просто

как таковая,

но

че¬

предварительно

четырех троек воспроизводит себя самое. Возведе¬
687

V. Переход к специальной теории числа

ние в степень есть сила, заставляющая число воспроизводить себя
самого, и притом определенное число раз. В умножении множитель
может сколько угодно отличаться от множимого, он
его внешнего

повторения. При возведении

же

—

только знак

в степень «множи¬

тель» мыслится всегда одним и тем же, а именно он и есть

тут

само

множимое. Не то что какое-то внешнее инобытие тянет изначально
данное число к
само это

самого.

повторению

первоначальное

Тут

не внешнее

и

порождает

воспроизведение

внутреннее самовоспроизведение
ном

и

на

и

воспроизводит

себя

прежнем материале,
на своем же

притом

но

собствен¬

материале.

с) В

этом и заключается

ханизма.

Организм растет

инобытие

нужно ему

вление

сам из

только как

пень, извлечения

понятным.

Когда

производится;

корня

и

организме

стало

самого, так как если

множится сама на

логарифмирования

быть, тут играет роль
что

т. е. по

т. е.

может

внутреннее инобытие, которое

в одно

та их

—

сама себя.

воспроизведений

просто

операцию
внешнее

они отождествились и слились

нераздельное целое. Инобытие указало здесь

механических

воспроизве¬

и это не

только

породить

него

Следователь¬

нами в целях

тройки;

по

тройка

то здесь каждая

сразу и внутреннее и

именно

встреча, где

оно

воспроизводится

воспроизводит

вос¬

во-первых,

закону, лежащему внутри

инобытие, констатированное

сложения и вычитания. Это

в сте¬

это становится вполне

какое-то внешнее ино¬

брать прежний пример,

себя,

им до

синтез и отождест¬

операциях возведения

оказалось водвинутым внутрь самой

инобытие числа,

—

число возводится в степень, оно,

своему собственному закону,

внешнее

своими силами, и внешнее

материал, перерабатываемый

Но, во-вторых, оказывается,

бытие.

дения,

себя,

и внешнего; и на

внутреннего

в отличие от ме¬

сущность организма

полного с ним отождествления. В

но,

но само же число,

воспроизведению,

число

не количество

числа, но тот предел, до которого

органически растет первоначально заданное число.
3.

а) Возведение

ганизма не в том
числа в

в степень на числовом языке

переносном смысле,

процессе умножения,

присущ только живому и
му. Организм

иную

в

степень.

но в том

алогически

выражает рост ор¬

как можно

буквальном

говорить
смысле,

о

росте

который

саморазвивающемуся организ¬

процессе своего роста

как бы возводит себя в

Организм характерен

именно тем, что в каждом сво¬

ем отдельном моменте он

повторяет себя самого, т.
688

ту

или

е. он всегда цели¬

§118. Возведение
ком в алогическом

в степень, извлечение

инобытии,

что это повторение идет

а

корня и логарифмирование

рост организма

непрестанно вперед,

заключается в том,

так что сначала весь

организм воплощается в каждом своем моменте, потом

заключенный

в каждом отдельном своем моменте,

более мелких моментах, т. е.

Идет

все

организм,

воплощается

растущая вперед детализация организма,

и в

каждой более

мелкой детали воплощается более крупная деталь организма; и,
ким

образом,

весь организм

в

няя его

себе,

но становится

чуждым,
и есть

его

инобытие

рост организма,

себе,

на

построение

в свою

очередь расширя¬

в целом.

С другой стороны,

не остается здесь чем-то внешним и

органическим
и

употребляя

которые

себе организм

на

повторяя

и само алогическое

та¬

и постоянно и неизменно подчи¬

отождествляя его с собою и

все более и более мелкие детали,

ются дальше,

сам в

многократно повторяется

себя внешнее инобытие

вбирая

в

в моментах этого момента, и т. д. и т. д.

телом

растущего целого. Это

элементарное математическое выражение

есть возведение в степень.

Ь) Надо

всегда помнить при анализе математических положе¬

ний, что математика раз навсегда исключает всякую вещественную
качественность и превращает бытие в чисто
ство, когда

уже

ких именно

как таковое.

формальное

количе¬

не важно, о количестве чего именно, о количестве ка¬

вещей идет речь. Тут важно само количество,

Однако,

ности, математика

количество

отделивши число от вещественной качествен¬

фиксирует качественные моменты

в самом числе;

и это, конечно, не вещественно-качественные, но чисто числовые
качественные

моменты.

Эта

ственность возникает сама

структуры

тех или

других

математическая,

собой,

или

числовая,

как только мы задаемся

математических

операций

или

каче¬

вопросом

формул.

И вот, если мы возьмем организм, возьмем организм в процессе
его роста и заметим себе четко, что организм в отличие от механиз¬
ма существенно зависит от своего тела
ния его

(ввиду полного отождествле¬

материи, материала, с его внутренней идеей,

и тело это тем самым

моменте, то что
ключим все

повторяет идею цельно

получается

из всей этой

содержательные

смыслом)

э каждом отдельном

конструкции,

если мы ис¬

моменты и оставим только моменты

числовые, количественные и метод опять-таки не

содержательный,

метод последования этих числовых момен¬

формальный
забудем, что здесь идет речь об организме, а будем знать, что
здесь употребленные, касаются решительно всего и ничего в

но чисто

—

тов? Мы

числа,

или

689

V.

Переход

к

специальной теории

числа

забудем, что тут происходит именно рост организ¬
забудем даже, что вообще есть на свете такое бытие,
как органическое, и что [последнее] чем-нибудь отличается от бытия
механического и всякого иного. Однако, становясь на чисто фор¬
мальную точку зрения, мы не можем забыть здесь следующих трех

особенности. Мы
ма.

Наконец,

мы

вещей.
Во-первых, рост организма есть некоторое увеличение. Это во
всяком случае момент не-качественный, не-содержательный, чисто

формальный, и мы
Во-вторых, как
нии оно

его обязаны оставить на месте.

происходит это увеличение

движется? Конечно,

по

принятому условию

жем сказать, что тут происходит выявление

развертывание
тот чисто

мы

организма

и живая жизнь. Мы оставляем из

формальный

и в какам

направле¬

уже

не мо¬

в деталях, его

этой картины только

момент, что каждая точка органического ро¬

ста повторяет организм в целом, неразрывна с ним и неотъединима от него. Математически это значит только то, что, скажем,

повторяется
получается

в

тематика,

Тут

тройка

полностью и целиком, так что

не просто три единицы, как

и значит, что

моменте.

каждой своей единице

раньше,

тройка воспроизвела себя

но

три тройки. Это

в каждом своем отдельном

забыта идея организма, но зато это не биология, а ма¬

и на своем

—

математическом

не точно выразила идею

—

языке математика впол¬

роста организма. Тут произошел перевод

с

языка биологического на язык математический.

Наконец, в-третьих, мы не можем забыть, оставаясь на формально¬
математической позиции, и того конечного момента, до которого
происходит или отмечается рост организма. Раз дано увеличение, то
естественно спросить, до каких размеров доходит это увеличение.
Это

—

тоже математика. И вот, понимая

чески, мы опять должны наше

трактовать

как

суждение

самого в себе самом, сколько
Об этом и

трактует

заставили ее еще

а

раз

эта

о

мысль чисто математи¬

пределе роста организма

раз организм повторил себя

тройка отразилась

т.н. показатель степени. Если есть

раз повториться,

ном моменте, мы

то, что

суждение

о том, сколько

эту

получаем

и

повториться

показатель 2. Эта

она

повторила себя

что кроме основной тройки
в самой

в

тройка

и мы

в каждом ее отдель¬

двойка указывает

первоначальная тройка есть, во-первых, нечто

во-вторых,

сама в себе.

само по

на

себе,

себе же. Показатель 3 указывает,

мы имеем

первое повторение тройки

себе и еще второе повторение. И т. д. Без этого суждения о
690

§ 118. Возведение

в степень, извлечение

размерах роста, конечно,
самом и, след., о самом

и

корня

не было бы точного

логарифмирование
представления

о нем

организме.

Так происходит перевод идеи органического роста

на язык чи¬

сел. В числовом отношении это есть только возведение в степень.

с) Какое отличие возведения
в степень есть символ

ведение

в степень от извлечения

органического роста;

корня?

Воз¬

извлечение же

формы развития к
форме первоначальной. Тут происходит действительно некое из¬
корня, очевидно, низводит нас от законченной

влечение

корня

растущий

в

буквальном смысле слова; и

в земле цветок, как

вания растет этот цветок,

убедиться

воочию в

свойства. Какая

мы, имея

какой-нибудь

бы хотим узнать, из какого своего осно¬

корешок, чтобы

и вынимаем из земли его

существовании

категория действует

этого основания и
в извлечении

корня

узнать
по

его

сравне¬

нию с возведением в степень?

речь об органической жизни,

И там и здесь идет

случае

мы движемся от

же

другом

—

к

корня

стволу

от этих последних к

и

и только в одном

завершительным формам,

корню. Движение органического

роста одинаково характерно для обоих действий. Но
ризовать
цу этих

не описательно, а чисто логически, и

двух типов движения

возводится, скажем,
приводит к

тому,

в

что

в

как

охаракте¬

притом точно, разни¬

органического развития? Когда тройка

четвертую степень, то,

как мы

тройка четыре раза повторит

отдельных единицах. Почти то же самое

уже знаем,

себя саму

происходит

и

это

в своих

при извлече¬

нии

корня. Но совершенно ясно, что для получения именно степени,

а не

корня необходимо сосчитать, суммировать все получившиеся

от этой

дельное
ния же

из

операции тройки,
и

т. е.

отождествить всех

их в одно

нераз¬

совершенно единое, даже единичное целое. Для получе¬

корня,

в

случае, скажем,

81, надо, наоборот,

в этом

извлечения

корня четвертой степени

общем процессе органического разви¬

тия отделить от всего целого то основное, что именно было взято
для

целей развития, отличить его от всего целого. Возводя

мы отождествляем все

одну однообразную
корня

в одно целое, как

мы отвлекаемся от целого и

нию из 81 основной

81.

тройки

линию 81 точки, в то

тройки

и к

фиксации

в

к выделе¬

ее именно в отличие от

мы

стремимся

результате развития
691

в

при извлечении

в степень и извлечением

первом случае

скому целому, явившемуся

бы вытягиваем их
как

стремимся, наоборот,

Итак, разница между возведением

заключается в том, что в

время

в степень,

к

корня

органиче¬

и отождествления

V. Переход к специальной теории числа

всех отдельных моментов этого развития в одном целом, в другом же
случае мы стремимся от органического целого, явившегося в резуль¬
тате развития, к отличению отдельных моментов, из которых состо¬
ит это развитие, и прежде всего к
того единственного и

фиксации

и

точному

первоначального основания,

из

отличению

которого

шло

изучаемое развитие.
Ясно

и

также

то,

что

логарифмирование, поскольку это есть
имеет целью фиксировать в общем

операция нахождения степени,

процессе органического развития
влечение

корня)

степень),

но то, что

именно

Но
на

его

не начало этого

и не конец этого

развития (как

из¬

развития (как при возведении

происходит между

в

началом и концом. Что же

тут происходит? Происходит самый рост, процесс роста.

необходимо формулировать математически,

формальный

язык чисел. Но что такое

его понимать чисто количественно, а не

т. е.

перевести

органический рост,

содержательно?

если

Рост есть

непрестанное самовоспроизведение. То, что это есть именно само¬
воспроизведение, это уже
нашего анализа

зафиксировано

роста, равно

предыдущих

моментах

как и то, что это есть именно самовос¬

Но что же тогда остается в

произведение.

в

росте?

Остается только ме¬

тод этого самовоспроизведения, закон самовоспроизведения. Ни
«самость»

и ни

«воспроизводимость»

рования; вернее,

эти

не

характерны для логарифми¬

категории характерны, для

него в той же

как и для возведения в степень, и для извлечения корня.

мирования характерен
развитие

как таковое, но его

показывает,
пределов

именно

формальности
разить только

развития,

не

Для логариф¬

органическое

методический принцип. Этот принцип

что именно должно

мыслится его

закон

мере,

случиться

развитие. Но

с

организмом

по основной и

и до каких

неизбежной

числового языка математика и этот закон может вы¬

количественно, т. е. она может только

указать,

сколько

раз произойдет самовоспроизведение первоначального организма.
Это и будет т. н. показатель степени, а самая операция нахождения
степени основания по данному основанию и

количеству развитого
довательно, если

в

основания и

основе

возведения

в степень лежит

отождествления отдельных элементов
чения

корня

—

данному конечному

будет логарифмированием.

различение отдельных

изучение движения

этого

692

категория

в целое, а в основе извле¬

фоне целост¬
логарифмирова¬

элементов на

ного результата органического роста, то в основе
ния лежит

Сле¬

развития

и не столько самого

§ 118. Возведение

движения,

в степень, извлечение корня и

устойчивого

сколько

ния, данного в аспекте

твердой

закона этого движения, т. е. движе¬
и

иными словами, в аспекте

—

ния,

логарифмирование

покоящейся формы

этого движе¬

подвижного покоя органического

развития.

d)
вещи

Не

забудем, однако, что природа числа противостоит природе

как

смысловая

чисто

конструкция,

что

действие

чисел,

изучаемое здесь, есть действие чисто смысловое, смысловая энергия
числа, что имеется здесь в виду смысловая картина органического
развития, а не вещественный его коррелят, не механическая копия.
И, давая определение рассмотренным действиям, тут в особенности
не

забудем ввести это обстоятельство в формулу
4. а) Применим в целях большей компактности изложения выше
сформулированные (§ 115, п. 4) категориальный и структурный
принципы рассматриваемых действий.
Мы знаем из общей теории числа

чие и подвижной

(§ 27)

(бытие,
покой). Последние две

эйдетических категориях

числа

струирования первых четырех

о пяти основных

внутри-

самотождественное разли¬
мы уже исчерпали для кон¬

арифметических действий.

Остается

«бытие». Это бытие, как мы знаем из той же общей теории числа, есть
то, чем число является, «что» числа, его смысл, его индивидуально¬
смысловое содержание, его, если угодно, эйдос. Оно противостоит
инобытию, и, когда оно

в этом последнем воплощается, оно стано¬

В сложении числа

брались только в своем смыс¬
субстанцией.
ловом (внешне-инобытийном) содержании. В умножении числа
берутся так, что одно воспроизводится на другом по своему факту,
берется инобытийно по своему факту (откуда и внутреннее объеди¬
вится

инобытием).

нение с этим

В возведении в степень, наконец, одно

число воспроизводится в другом и по своему

смыслу

—

короче говоря,

по своей

синтетическое внутренно-внешнее
и

формулировали

ваемых

друг

в

действий

друга

Бытие

в

в

§ 115

п.

факту, и
субстанции (так что

по

своему

возникает

воспроизведение). Поэтому

мы

4 категориальный принцип рассматри¬

как взаимоотношение

становлений, переходящих

порядке субстанциального самоотождествления.

субстанциального самоотождествления есть со¬
ответствующий рост числа согласно показателю его степени. Ино¬
бытие

мы,
а

этого

приносит

согласно

с

собою новое число (самую степень),

становлению,

согласно со ставшим

сосчитываем

получаем самую
«93

в

котором

полученные единицы,
степень.

Выразительно-

V. Переход к специальной теории числа

эманативная

соответствующих

энергия

действий фиксируется

в

логарифма (log).
радикала ()
b) Но прежде чем дать формулы и применить то, что в предыдущем
и

знаках показателя,

пункте

этого

действиях,
говорим

параграфа

мы должны

как о

может быть

мы

сказали

учесть то,

последней

из пяти

самотождественным

о

раздельно

«бытие»,

о

трех изучаемых

котором

мы здесь

внутри-эйдетических категорий,

и само по

рассматриваемо

себе,

и в

совокупности как

с

так и с подвижным покоем. Это и

различием,

дает возможность ясно

что

представить себе диалектическое содержание

трех рассматриваемых действий.
Возведение

в степень есть смысловая

ний, переходящих одно

в

другое

в

энергия разных становле¬

порядке субстанциального

ото¬

ждествления.
Извлечение корня есть смысловая

переходящих одно

в

в

другое

энергия разных становлений,

порядке субстанциального различе¬

ния.

Логарифмирование (поскольку о нем может идти речь в ариф¬
метике) есть смысловая энергия разных становлений, переходящих
одно в другое в порядке самотождественного различия и образую¬
щих в результате подвижной покой.
Можно говорить и иначе.
Возведение в степень есть смысловая энергия числа,

нирующего

в

аспекте

функцио¬

отождествления его внутренно-внешних

инобытийных воспроизведений.
Извлечение корня есть смысловая энергия числа,

рующего в аспекте различия
воспроизведений.
Логарифмирование
рующего

в аспекте

функциони¬

его внутренно-внешних инобытийных

есть смысловая

энергия числа, функциони¬

подвижного покоя его внутренно-внешних ино¬

бытийных воспроизведений.
5. Заметим, что категория подвижного покоя, выступающая

логарифмировании,

вполне налична, собственно

отношении первых двух пар

говоря,

в

также и в

арифметических операций. Однако не¬

возможно придумать новой операции подвижного покоя в отноше¬
нии сложения и вычитания,

потому

совпадает технически с основными
ли

получить не

сумме

что здесь эта

операция

действиями. Если бы

мы захоте¬

только отождествление отдельных чисел в

и не только

различение какого-нибудь числа
694

на

вполне

одной

их

фоне общей

§ 119. Заключение
суммы чисел,
и

но еще и найти закон

различения,

такого закона
чески эти

действует

просто сказать,

само же сложение или вычитание. Техни¬

закон составления

количество и

зафиксировать

или

суммы

характер

жению

и делению. И только в отношении к

ческих

операций

оказывается

ние закона движения в

—

разности

значит

слагаемых или умень¬

шаемого и вычитаемого. Это же относится и ко

второй паре

—

умно¬

третьей паре арифмети¬
целесообразным выделить нахожде¬

особую операцию,

и только

тут для особой

логической категории (подвижной покой) возникает
нический

что в качестве

вполне совпадают, хотя логически они вполне

операции

различны. Найти
точно

движения этого отождествления

то мы должны были бы

и особый тех¬

коррелят (логарифмирование).

$ 119. Заключение
1. Диалектика простейших арифметических действий
тонкая вещь.

рые

с

Тут нагромождена

масса логических

очень

—

категорий,

кото¬

трудом поддаются анализу. Повторим еще раз вышеприведен¬

ную схематику, чтобы не оставалось никакой

неясности.

было
а) Нужно прежде
твердо держать
сказано в § 115, п. 4 о перво-принципе арифметических действий, о
в памяти то, что

всего

категориальном принципе
ще первый

и о

третий. Первый

и

рального ряда

и типологии.

общей теории

числа. Более

структурном принципе. Из

появляется как синтез

них

про¬

категорий нату¬

Третий воспроизводит лишь схематику
запутанный второй принцип, категори¬

альный.

Ь) Тут

игра категорий. Пять обыкновенных внутри-

сложная

эйдетических категорий пляшут тут далеко не сразу понятный балет.
Чтобы не сбиваться

что все эти пять

всего,

скажем

прежде

категорий, конструирующие вообще

всякий

с четкого диалектического

пути,

эйдос, обязательно участвуют решительно в каждом
ческом действии. И следовательно,
том, как они
нении. Если

тут участвуют,

валирующей роли,

—

может ставиться только о

порядке
о

и в каком взаимоподчи-

главной,

необходимо сказать,

то

различием, вторая

под бытием

первой паре

в каком

говорить об основной,

самотождественным

третья

вопрос

—

что

о

так и остаются в своем

центральной

первая пара

и

пре¬

стоит под

под подвижным покоем и

(или «субстанцией»). Это

мы имеем дело с

арифмети¬

видно из того, что в

равноправными элементами, которые

равноправии, входя без
695

всякого изменения в

V.

Переход к специальной теории

сумму (или разность). Тут,

стало

потом отождествлять в одну

второй паре
дится; и в

быть,

числа

можно только их различать и

непрерывную

линию становления. Во

множимое, несомненно, движется, раз оно воспроизво¬

третьей паре,

несомненно, речь идет о воспроизведении,

но уже о всецелом, о воспроизведении в каждом отдельном моменте
воспроизводимого, т. е. о

Итак, превалируют

субстанциальном росте.

и, так сказать, «задают тон» самой категории

каждого действия именно эти категории. Однако тут же участвуют и
все прочие категории, но уже подчиненно. В
что

подвижной покой

но значительного

§ 115,
что

п.

4

первой паре, но он

результата, отдельно

п.

5

мы

не дает

указали,

тут особен¬

от того, что дает самотож-

различие. Так же не было особенного смысла вводить

дественное

ного

есть и в

§ 117,

в

определение второй пары категорию самотождествен-

различия,

прибавки

изведения»

в

хотя внимательный читатель, несомненно, заметил,

в конце

и в конце

формулы умножения
формулы деления «в

«в целях

взаимовоспро-

целях воспроизведения

одного в пределах другого» содержат в себе если не прямо указание
на эту категорию, то на известное ее частичное

Наконец,

в

функционирование.
логарифмировании уже ясно
центральности одной из пяти категорий име¬

третьей паре действий

выступает то,

как при

ют важное значение и все

с) Метод

пяти

другие.

внутри-эйдетических категорий

один из возможных подходов к

подход,

и в

это только

—

арифметическим действиям. Другой

использованный нами, заключается в использовании ино¬

бытийной характеристики. Дело в том, что инобытие есть начало
различия, и, внося то или другое инобытие, мы вносим в предмет те
или иные различия, т. е. так или иначе рисуем и

ресующих

(чтобы

не

спецификум инте¬
категорий. Здесь нужно обратить особое внимание
запутаться) на наше замечание в § 118, п. 6.
нас

Первую пару арифметических действий
как

арену

слагаемые,

будучи

щаются одно
отношении

сумму,

представить

в

равноправными моментами суммы, не превра¬

другое,

а

продолжают оставаться внешними одно

другого даже тогда, когда мы, объединивши

начинаем

пересчитывать

Обратное этому имеем
тель

мы можем

внешнего инобытия чисел. Понимаем мы под этим то, что

в

целую

все заключающиеся в них единицы.

мы в умножении.

существенно неравноправны,

мое, а множитель только

их в

Здесь

определяет размеры
696

множимое и множи¬

так как растет именно множи¬
этого

роста. Результат

§119. Заключение

такой,

же этого роста

что множимое и его инобытие

внешними одно в отношении

будучи

другого ровно

—

множитель,

так же, как сла¬

оказываются в

результате умножения, в т. н. произ¬
ведении, уже внутренне объединенными, настолько внутренно, что

гаемые в

сумме,

уже гораздо труднее

конец,
ских

§ 118,

в

п.

действия

6

их

различать

в этом

общем произведении. На¬

мы доказываем, что остальные

связаны с

три арифметиче¬

объединенным инобытием,

с инобытием

внутренно-внешним.
d) Наконец, третий подход, использованный

нами в диалектике

арифметических действий, пользуется терминологией «смысл»,
«факт» и «осмысленный факт». В первой паре действий речи нет
о
«фактическом» распространении входящих сюда элементов.
Слагаемые берутся тут только с точки зрения своего смыслового,
т.

е.

непосредственно-количественного содержания.

Во

второй

паре существенно, наоборот, воспроизведение одного другим,
существенен факт,

т. е.

ибо то, что воспроизводит смысловую структуру,

факт. Остальные три действия сливают значащий
смысл и воспроизводящий факт в одно синтетическое обстояние,
являющееся числовым дублером понятия организма.
есть именно

е) Наконец,

не исключена, конечно, возможность и многих дру¬

гих диалектических подходов к

арифметическим действиям. Едва

будут проще ввиду большой сложности и перепле¬
тенности категорий, входящих в состав этих действий.
f) Нижеследующая схема облегчит усвоение предложенной

ли, однако, они

—

диалектики действий.

сложение

тождество

возведение

умножение

в

различие

вычитание

извлечение

деление

подв[ижной] покой
=

перво-принцип
разно-комбинируемое становление

ст[епень]

логарифмирование

самотожд[ествеподвижн[ой] покой
внутреннее]
нное] различие
внешнее иноб[ытие]
иноб[ытие]
«смысл»
«факт»

бытие (субстанция)
внутр[енно]внеш [нее ]
иноб[ытие]
«осмысленный]
факт»

2. Важно также отдавать себе правильный отчет
смысле

корней

синтезирования натурального ряда
697

в истинном

и типологии

при

по¬

V.

Переход

специальной теории

логические возможности, которые кроются
числовом типе. Если мы вспомним

постоянно

бегать

к

шенно

каждом

отдельном

нашу теорию типов числа, то

приходилось для пояснения того

необязательно,
некоторые

нужно входить
во все те

или

так как мы должны были

логические

другого

типа

нам

при¬

категории

фактические

рассматриваем

самые

натуральным рядом,

т. е.

вящегося счета, с точки

и

дедуцировать
для

типы

вовсе

этого

не

фактические модификации натурального

во все те

действия, которые приводят

Но зато все эти
мы

в

арифметическим действиям. Строго говоря, это было совер¬

числа как

ряда,

числа

действий. Последние развертывают те

арифметических

мощи

к

к тем или

другим

теперь, когда

вычисления обязательны

действия. И

типам.

мы видим, что синтез типов с

рассмотрение

типов с точки

зрения

зрения процессов счета, ведет уже

ческим вычислениям, порождающим один тип числа из

к

стано¬

факти¬

другого, т.

е.,

Типы числа

арифметическим операциям.
арифметические операции, так же как и эти по¬
суть фактически развернутые числовые типы. Развертыва¬

попросту говоря, ведет

к

суть неразвернутые
следние

ние числового типа в целое
менения к

ряд

типу методов

действие, очевидно,

счета. А счет есть

есть

прежде

результат при¬

натуральный

всего

чисел.

3. Важно

также

чувствовать энергийный, или,

если

вой, характер арифметических действий. Это тоже дар
ряда. Типы сами по себе стабильны
подвижно покоятся

перед

нами

—

так сказать,

угодно,

сило¬

натурального

мертвы. Они

не¬

наподобие раз навсегда скомбини¬

рованных понятий или вещей. Арифметические же действия суть не¬
которого рода силы, смысловые силы и

заряды, которые

не покоятся

на месте, но сущность которых состоит в излиянии силы. Это пото¬
му, что

тут действует мощь натурального ряда, прямо

содержащаяся

(+)

в каждом

есть именно

гивания

ние.

арифметическом действии. Потому

некоторого рода

разных становлений

Потому радикал ( V" )

циального роста одного

смысловая энергия,

в одно,

становления в

Прежде

стя¬

становле¬

энергия, энергия субстан¬

другом. И

т. д. Этой

будет

в

энергий-

комбинаторно¬

исчислении.

4. Важно упомянуть здесь еще
действий

«плюс»

энергия

едино-направленное

есть смысловая

ности не было в числовой типологии и не

матричном

или косвенно

—

всего

о

трех законах арифметических

ассоциативном, коммутативном

необходимо

и

дистрибутивном.

ясно понимать, что сами действия от

698

§119. Заключение
этих законов

не зависят.

совершенно

коммутативный

Раз

закон,

напр., в одних случаях применим к умножению, в других неприме¬
ним, то ясно, что о самом умножении нужно говорить вне всякой за¬
висимости его от закона коммутативности. Так мы и делали. Снача¬
ла нужно было вывести самые действия, а потом уже говорить об их
необязательных законах.
Что же касается теперь самих этих законов, то они возникают
на ниве дальнейшего

которой появились
о самих

действия. Именно, когда

и самые

действиях, мы,

становление с точки

самой категорий становления, из

углубления
в

говорим

сущности говоря, рассматриваем

зрения

голое

не становящихся, т. е. смысловых, т. е.

внутри-эйдетических, категорий. Или, точнее говоря,
ваем здесь эти последние с точки
ния и становления.

мы

зрения

их

мы

рассматри¬

раздельного воплоще¬

Но ничто не мешает нам идти

и дальше.

Уже полу¬

чивши данное действие, мы можем внутри него наблюдать разные
становления, т. е. разные направления действия. Для этого придется
самое действие считать уже не становящимся, а чем-то устойчивым,
ставшим

лений
к

и в его

пределах судить

счета. Так мы и

которому и

о значимости отдельных

произвели дедукцию трех

надо отослать

уже

идеальной единораздельности числа,
нет эти

действия

развернет

мы

чены. Получены

увидели,

из каких

становления

в этих

бы,

а

погрузился

действий

развер¬

сфера ставшего

действиях.

натурального ряда,

нами

изу¬

или счета, и чис¬

в становление, в счет¬

счета он состоит. Но мы мог¬

интенсифицировать

это сделали, мы заметили

на

сфера

Арифметические действия

они как синтез

ли бы это становление

в типе числа, т. е. на стадии

применимые

у новой грани.

ловой типологии. Числовой тип
ность, и мы

то

конкретной структуре,

и все законы счета,

5. Теперь

§ 65,

забывчивого читателя. Если все действия

и все законы счета in писе заложены

во всей их

направ¬

законов счета в

и дальше. И если

что новое становление

конструирование арифметического действия,

а

бы

уходит уже

уходит

мы

не

на что-то

другое. А именно, поскольку самое-то действие уже конструирова¬
но и его

может

энергийная природа оформлена, дальнейшее

наброситься

субстанцию,
ческое
в свое

на

только на самое же

действие,

самую его категорию. Это значит,

действие перестанет существовать
отрицание,

становления, из

в свое инобытие.

которого

оно

699

что

смысловую

арифмети¬
перейдет

как таковое, а

Оно распадется,

вырастало,

становление

на его

и вместо того

оно создаст

распавшееся

V.

к

специальной теории

числа

в устойчиво-czn^ew/ee.
действия
превратятся в
арифметические

принципиально превратится

становление,

Но

Переход

значить, что

будет
комбинаторно-матричное исчисление.
это

IV. КОМБИНАТОРНО-МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

(СТАВШАЯ СУЩНОСТЬ ЧИСЛА)
$

120. Отношение, пропорция, ряд

1.

Категория арифметического действия образована

категории

становления.

туральный ряд

Одно становление, более простое,

по

типу

есть на¬

чисел, монотонный счет; другое становление, более

сложное и по-разному скомбинированное, есть разно-направленный

арифметическое действие.

счет, или

Но становление

останавливается, чтобы быть определенным, а не

бесцельным;

и слепым,

чивый результат. Так

и

оно

превращается

где-нибудь
беспредельным

в ставшее, давая

арифметическое действие

устой¬

останавливается,

приходя к определенному результату, превращается в ставшее. Тогда

образуется

новая возможность

становления в

без оглядки;

никак не

по отдельным этапам

и

все дальше и дальше, наш

потому проходимые

перебегания

в

этого последнего как

образовалась

по

пути совершив¬

теперь твердо фиксируем отдельные

устойчивые,

2. Но только ли это

возможность много¬

разных направлениях

шегося становления, и мы

взор следовал

этапы становления совсем

Но вот мы положили точный предел для

фиксировались.

нашего становления. Сейчас же
кратного

перебегать

пределах устойчиво-ставшего. Покамест становление

неопределенно развивалось
за ним

—

вехи

как вполне неподвижные.

фиксация

неподвижных этапов становле¬

ния? Если бы мы тут имели только ряд чисел, никак между собою не
связанных, можно ли было считать

Напр., пусть мы делили
зультат деления, та
полагает

цу,

мы

граница,

предел для

нашего

теперь фиксируем

сируем прежде
этапы,

10 на 2

если

и

всего 10 и

за

и

Можно ли сказать, что

5. Это 5

есть ре¬

мы дальше не идем и

которая

получали

которую

становления?

в частном

действия деления. Получивши эту грани¬

пройденные этапы становления, т. е. фик¬
2, а потом, может быть, и многие другие

процесс получения

становления,

[это] результатом

10, 2

и

5,

частного был достаточно сложный.
взятые сами по

себе,

есть

т. е. ставшее? Хотя эти числа и есть нечто

неподвижное, они все же не есть ставшее в

700

результат

устойчивое

результате

и

того станов¬

§ 120. Отношение, пропорция, ряд
ления, которое

деления. Чтобы данный ряд

операцией

называется

чисел был ставшим именно в этом смысле, им необходимо

фиксиро¬

них становления.

Эти числа

вать на себе след

совершившегося через

уже не могут тут

браться

себе,

сами по

по своей

на

изолированной

будучи устойчивыми,

личественной значимости. Они должны,

себе некий подвижный образ становления. Только тогда

дут именно ставшим, когда

в них окажется два плана: один

другой

сами в своей неподвижности;
стихия становления.

метическое

Только это впервые

действие осуществилось, т.

свете своего

результата представило

жения этого

результата)

3. Что же такое
ского

действия

нутого

этим

это ставшее как

все

и

проходящая через

будет значить,

перешло

бу¬

это они

что

них

ариф¬

в свое ставшее и в

пройденные

им

(для дости¬

эффект распадения арифметиче¬

на несколько чисел,

представленных

действием результата? Это
—

—

пропорцией.
пропорции),

виднее это на

взятых в своей

ственной значимости. Это

в свете достиг¬

ставшее есть то, что называ¬

далее

(а

мы имеем отношение

просто ряд чисел,

нас не

е.

они и

—

числовые этапы.

ется в математике отношением и

Когда

это

—

ко¬

нести

непосредственной

то у

количе¬

числа, которые между собою как-то

—

связаны. Как же они связаны? Они связаны именно тем результатом,

который бы получился,

произвести над

если

действие. Эти устойчивые

числа

несут

ними

определенное

на себе что-то подвижное и

неустойчивое, что само по себе вовсе не связано обязательно только
с этими числами. Пусть мы имеем пропорцию:
а

е

с
_

_

_

g

Что это значит? Это значит, что мы имеем, во-первых, ряд не¬
подвижных чисел (числители и знаменатели этих

дробей),

а, во-

вторых, эти числа поставлены здесь между собою в такую зависи¬
мость, что они несут на себе
ского

действия,

рассматриваем

ствия в свете самого
надо

прибегать

одного и того же

арифметиче¬

т. е. одного и того же числового становления. Вот

это-то и есть наше ставшее,
тельно

образ

к

что только здесь мы

потому

отдельные

результата

пропорции

этапы

этого

действи¬

арифметического дей¬

действия. Однако для

или к нескольким

этого не

пропорциям. Уже

а
если имеется

ставшее в

просто отношение

анализируемом смысле,
701

то и здесь мы должны находить
т. е. освещение

устойчивых

эта¬

V. Переход к специальной теории числа

пов определенного
этого

арифметического действия

в свете

результата

действия.

4. Развернутую форму анализируемой категории
можем найти в том, что математики называют

отношения мы

рядам (хотя

чистый

ряд как таковой, т. е. без диалектически положенного единства взаи¬
моотношения его членов, мыслится еще до ставшего в пределах уже
одного только становления, как это мы имели, напр., в
в данном месте нашего исследования

речь

§ 19). Конечно,

может идти только о чис¬

функциональных рядах (имея в виду наше понимание
арифметики и алгебры в § 84). И типов этих рядов, очевидно, столько
же, сколько и типов арифметических действий. Существуют ариф¬

ловых, а не

метические, геометрические, степенные, биномиальные и пр. ряды.
Во всех этих рядах мы имеем комбинации

устойчивых

чисел, но по

этим числам

пробегает определенное «отношение», получаемое как
результат того или другого арифметического действия. Здесь, следо¬
вательно, цельный процесс определенного арифметического дей¬
ствия

распался

на

ряд устойчивых изолированных чисел, которые,

однако, скомбинированы соответственно типу данного действия.
Таков первый этап новой арифметической категории,

ющей вслед

за

возника¬

категорией действия.

§ 121. Делимость чисел. Комбинаторика. Детерминанты
1. а) Уже с первого взгляда видно, что полученная форма новой
категории

совсем не единственная. Мы имеем, следовательно, некую

систему чисел, расположенных
шения, царящего среди

единообразного
Но ясно,

них.

с точки

зрения определенного отно¬

Система тут рассмотрена с точки зрения

взаимоотношения элементов, входящих в

систему.

крайней мере

две дру¬

что возможно еще несколько и по

гих точки зрения на эту «ставшую» систему. Сначала система рассма¬
тривается в целом, без внимания к каждому отдельному типу. Гово¬
ря, напр, об

«арифметической»

мы высказываемся

сразу

или

«геометрической» прогрессии,

о всех ее членах без

разбору.

Важна только

структура ряда, а она вполне определена первым членом ряда (или

суммой ряда) и его «разностью» или «знаменателем». Но можно ведь
выбрать любой отдельный член ряда и отвлечься от ряда в целом.
Можно данную систему чисел привлекать только к

числу

системы и

рассматривать

ее только с точки

какому-нибудь

зрения этого

следнего. Таким способом намечается иная диалектическая

702

по¬

перспек¬

§121. Делимость чисел. Комбинаторика. Детерминанты

тива,

хотя и вполне в

пределах изучаемой

ской категории, но все же
выше

щих

—

нами сейчас

явной антитезе к

в

суммарному подходу. Так же

арифметиче¬

формулированному

как в логике, мы имеем кроме об¬

еще и частные, кроме суммарных понятий еще и ин¬

суждений

дивидуализированные, точно так же и в

рить об определенной

системе чисел

арифметике
в целом,

сразу,

каждом элементе этой системы в отдельности, в его

мы можем гово¬

теперь

же оно

к

притянуто

—

о

индивидуальной

значимости. Раньше единство отношения элементов
по всей системе,

и

суммарно,

одному

расплывалось

или нескольким

ее элементам, в их отвлечении от системы в целом.

Ь)

Но тогда сам собой подсказывается и

суждений общих

гике кроме

в

разделительные,
отдельными ее

и

мы

частных

подход. В ло¬

третий
имеем

еще

представителями. Система

лой,

разделенной, индивидуализированной. Тогда

сел положена

Конечно,

перед

общей,

фиксировалось

фиксируя каждый

в отдельности, мы можем потом

едино-раздельности. Тут

при суммарном подходе,

но

вовсе не на каждом из них, а значит,

и не на всех них вместе. Только

получить

система чисел

которая всякий раз действует

блицу,

це¬

вся система чи¬

нашими глазами со всеми своими элементами.

все эти элементы имелись и

внимание там

всеми

чисел может быть рассма¬

триваема так, что она в одно и то же время оказывается и
и

суждения

которых общность распределена между

и всю

элемент системы

систему
в

превращается

во всей ее

некую

та¬

со всей

едино-раздельностью

зрения единства

их взаимоотношения,

своих элементов.
2. Система

безраздельная общность, есть
арифметический ряд. Та же система, но

данная

и

чисел с точки

как

пропорция

отношение,

данная для каждого от¬

дельного своего элемента или для нескольких, т. е. как

общность, создает еще

новые

категории, получающие

различимая

в математике

Тут, однако, тоже скрывается достаточная
гориальная сложность, требующая внимательного анализа.

огромное

Итак,
только к

значение.

мы

забываем

о системе чисел в ее целом и

какому-нибудь одному

ется новая система чисел

какое-нибудь

ее

кате¬

привязываем

во главе с

каким-нибудь одним

числом, т. е.

одно число рассматривается как система чисел, как

определенным образом составленное из целой системы чисел,
определенным образом
чисел.

ее

элементу. Таким образом, получа¬

Конечно,

всякое

вычисленное

при помощи целой

арифметическое действие тоже
703

как

системы

есть

получе-

V. Переход к специальной теории числа

ние некоторого числа при помощи, целой системы чисел. Но не

бу¬

дем путаться в трех соснах: под системой чисел понимается у нас не
просто та или иная комбинация чисел, но ряд, последовательность
чисел.

Следовательно,

в настоящем

случае

мы

привязываем

к данно¬

му числу известную последовательность чисел, составляем его при
помощи ряда чисел
и возможно

а) В
ли к

или даже нескольких таких

по-разному смотреть

на

структуру

рядов. И вот здесь-то
числовых систем.

течение нашего исследования мы уже много раз применя¬

числу категории «смысла», «бытия»

«Смысл»

арифметического

ство. Смысл

числа есть,

пятерки заключается

в том, что

другого нет! Ту

ниц, и больше ничего

рассматривать

с точки

же

бытия».

«осмысленного

тут перед

его количе¬

нами пять еди¬

самую пятерку

зрения «бытия». Это значит, что

самые акты полагания, из

тересуют

и

вообще говоря,

которых

мы можем

нас

тут

ин¬

состоит пятерка. Оба

подхода мы можем соединить и в один. Вот это разделение, которое
кажется

пустым

в

более отвлеченных теориях числа, становится весь¬

ма ощутительным, когда

мы

переходим

к сложным и

разветвленным

структурам. Наше число, составленное при помощи целой
чисел, можно

(или ряда)

сказать, по его

смысловому содержанию;

можно его

ключенным в нем актам полагания; можно, наконец,

его
ло

и по

системы

брать именно чисто количественно или, так

совокупности обеих

точек

зрения. Во

всех

брать

и по за¬

рассматривать

трех случаях

чис¬

при помощи
рядов
будет
Ь) Всмотримся в первый способ конструирования числа из систе¬

мы чисел.

Мы,

значимости и
иного

системы или

составляться

стало

быть, берем

спрашиваем себя,

и

по

тому

или

иному закону. Про¬

проблемой арифметики, относящейся
проблема делимости чисел. Иметь точное

яснейшей

является, очевидно,

ставление о делимости числа
число

число в его чисто количественной
как его можно составить из того или

ряда чисел, расположенных

стейшей

чисел.

—

сюда,

пред¬

это и значит рассматривать данное

при помощи целого ряда определенным образом подобран¬

ных чисел. В частности,

вопрос

без остатка, есть, напр., вопрос

ческую прогрессию,
разность
данного

=

q. Но

[числа],

обще данное

и

в

о том, можно ли составить

которой первый

член есть

#

арифмети¬

0, последний

=

N,

а

без этого ясно, что вопрос о том, каковы делители

как оно из них составляется и даже делимо ли во¬

число на

не что иное, как

о том, делится ли данное число N на

другое данное,

рассмотрение

в диалектическом смысле есть

числа с точки

704

зрения определенной

§121. Делимость

Комбинаторика. Детерминанты

чисел.

других чисел, так или иначе связанных между собою. Вся
проблема делимости чисел развивается именно под этой
модификацией ставшей сущности арифметического числа.

системы

нелегкая

с) Обратимся

к

числу

как системе полаганий. Хотя актов пола¬

гания в числе столько же, сколько в нем и количественных единиц,
но логически это
мечаем, сколь

совершенно разные категории. И

несхожую структуру

именно на актах полагания.

торых

определенной

получим,

Итак, берем

состоит данное число, и

кающие из

мы

мы сейчас же за¬

если остановимся

те акты полагания, из ко¬

пробуем представлять

их как возни¬

системы чисел. Акты полагания единиц в

числе тем отличаются от его количественного смысла, что они

ствуют

и

в то время как количество,

рется

своей полной изолированности,

будучи

смыслом числа, обязательно бе¬

как целое, как некая неделимая единичность, вне

рассыпается

Каждый

и

суще¬

в

могут рассматриваться

теряет свой смысл, т.

е.

которой

перестает быть смыслом

оно

числа.

акт полагания имеет значение сам по себе и, даже все вме¬

смысла) полной
дискретностью. Поэтому привлечение некоей новой системы чисел
сте взятые, они остаются

для

а только

затронет

—

его количественно-смысловой значимости,

изменение в них как именно в них. Но что же

произведет

это значит

произвести

лагания? Это значит

таковые, вне своего

актов полагания, составляющих данное число,

характеристики

нисколько не

(как

изменение в актах полагания как актах по¬

производить из них тот или иной отбор и рас¬
порядке. Раз количественная сторона

полагать их в том или ином

числа остается без внимания, то остается только так или иначе ком¬

бинировать входящие в него

акты полагания, или единицы.

словами, здесь мы наталкиваемся на тот отдел математики,

обычно

Другими
который

комбинаторики, илиучения о соединениях.
Мы можем иметь в виду тот или иной выбор элементов, тот или иной
порядок элементов, наконец, то или иное объединение выбора эле¬
носит название

ментов с их
нений»

—

порядком

и

получить три общеизвестных

«размещения», «перестановки»

Возьмем хотя бы

и «сочетания».

«перестановки». Пусть у

нас имеется Р элемен¬

тов, т. е. число Р. Отвлечемся от того, что это именно
ко

оперировать

типа «соеди¬

с входящими в него элементами. И

Р,

а

пусть

будем толь¬
нам

скажут,

что эти элементы, взятые в таком виде, должны быть составлены со¬
ответственно той или

ни

была,

мы сможем

другой

системе чисел. Какова бы эта система

произвести

в них изменение именно в смысле

705

V. Переход к специальной теории числа

того или иного их

порядка. Никакие

комбинирования,

иные

т. е.

определенного отбора

и

нашего числа невозможны,

характеристики

отбросили его чисто количественный смысл.
вытекает, что комбинаторика есть рассмотре¬

мы с самого начала

раз

Так с очевидностью

ние чисел, взятых только в составляющих их актах полагания, с точ¬
ки

зрения той

или иной системы

других

чисел.

3. По нерушимому закону диалектики количественный

общечисловые
начинаем

акты полагания

говорить

полагания числа.
вившееся из

объединяются

о синтезе того и

другого, об

осмысленном акте

Следовательно, число, рассматриваемое

целой

системы чисел

(а

значит, и

смысл и

в нечто целое, и мы

как поя¬

операций), предстает

и со всеми своими актами полагания, и со всей своей количествен¬

ной значимостью. Мы получаем число, которое, во-первых, интере¬
сует нас уже само по себе, т. е. чисто количественно. А во-вторых, оно
интересует нас как вычисленное на основании определенной систе¬
мы чисел и,

поскольку

эта последняя основана на

актов полагания, как вычисленное на основании

комбинировании
комбинаторного

принципа. Это соединение числа как непосредственного количе¬
ства с его комбинаторной исчисленностью есть детерминант.
а) Посмотрим, как определяется детерминант. Берется п2 чисел,
которые расставляются в виде следующей квадратной таблицы:
а1Р а12> '^а1п
^2Р &22’

&2п

апР ап2>
В этой таблице atk первым значком

ки, вторым, k

одному числу

мы

i обозначается номер стро¬

номер столбца. Составляем всевозможные произве¬

из всех этих чисел так, чтобы в каждое

дения
по

—

—

из

каждой строки

произведение входило

и из каждого

столбца. Очевидно,

получим произведение вида

а1рР а2рР
где

рр р»

...,

рп

есть

определенным образом расставленные

1,2,..., п, причем число этих «перестановок»,

1*2*3
взять

•

•
...

п

=

п\ Если

прямую последовательность 1, 2, 3,

порядком)

как известно,

в качестве основного

.,

будет равно

порядка «перестановки»
п и под

инверсией (бес¬

понимать то явление, что большее число стоит в

706

числа

пере-

§121. Делимость чисел. Комбинаторика. Детерминанты
становие

раньше меньшего,

инверсий

четное число
мем

первые

всех этих

во

то мы

произведений

\pjp>... pj

вторые

произведениях
нечетное. Возь¬

других

со знаком

минус. Тогда сумма

образует детерминант w-го порядка. Обо¬
инверсий в перестановкер^, ...,рн мы

значая

через

можем

определить указанный детерминант

Если имеется

в одних

в

вторых значках,

со знаком плюс и
и

получим

число

как

детерминант второго порядка:
Лп’
^22’

то он

равен апа„

стоит из

—

а^. Здесь число, равное детерминанту,

алгебраической суммы двух произведений,

имеют первыми значками

рыми
тов

значками

—

(1, 2)

инверсию
ко

основную перестановку,

вторых

усматривается

(1, 2),

т. е.

а вто¬

две возможные тут перестановки из двух элемен¬

(2, 1), причем второе произведение

и

во

—

со¬

из которых оба

на

значках

(2, 1)

взято с

как

минусом. То

содержащее

же самое лег¬

детерминанте 3-го порядка, который, очевидно,

будет равен следующей
aLfl >,а^+а/ fl, fl

алгебраической сумме произведений:

~^а на ча1>)

—

апа ^a^ —a t fl >fl

Таково обычное определение детерминанта.
b) Что же мы тут усматриваем с точки зрения категориальной

структуры? Мы находим прежде всего, что некое число (которому
равен детерминант) составлено здесь из некоей системы чисел, рас¬
смотрено в свете этой системы, вычислено при ее помощи.

уже

по

одному этому детерминант

к категории ставшей

вполне

правильно

сущности арифметического

Значит,

отнесен нами

числа.

Всматрива¬

емся, что же это за система чисел и как она составлена. Оказывается,
наше число представлено здесь как алгебраическая

произведений.
чественном

нения

содержании;

действующей тут

личество.

Другими

и то, что мы

получаем

системы чисел, есть

в

в

в своем коли¬

результате приме¬

непосредственное

ко¬

словами, здесь мы имеем структуру того же типа,

какую имели при непосредственном вычислении

ряда (напр.,

сумма некоторых

Это значит, что наше число взято нами

арифметической прогрессии),
707

арифметического

только что отдельные

V.

Переход

к

специальной теории

более сложному закону, чем

слагаемые составлены здесь по

новенных

числа

арифметических рядах. Остается,

в

обык¬

следовательно, учесть

закон составления этих слагаемых, и мы исчерпаем категориальную
структуру детерминанта.
Что же это за закон? Возьмем ради простоты рассуждения детер¬
минант 3-го порядка. В этом случае наши произведения
ять каждое из трех

Сделаем

все

сомножителей, которые будут

перестановки

из трех элементов. Их

будут состо¬

составляться так.

будет шесть:

1,2,3
2, 3,1
3,1,2
1,3,2
2,1,3
3, 2,1.
1, 2, 3. Сделаем так,
Примем за основную перестановку первую
чтобы эта основная перестановка имела значение во всех шести пе¬
—

рестановках, чтобы
закон составления

все они были на нее нанизаны.

этих слагаемых из

Тогда

и

получаем

произведений:

11,22,33
12,23,31
13,21,32
11,23,32
12,21,33
13,22,31.
Смысл этого распределения

заключается в том, чтобы каждая из

шести перестановок обязательно имела смысл основной переста¬
новки

1, 2, 3, чтобы каждый

элемент независимо от своего

собствен¬

ного значения имел бы также значение и своего положения в

пере¬

становке 1, 2, 3.
с) Нетрудно заметить, что количественно-смысловое значение
нашего

общего

числа и

участие

тому же закону,
виде

по

закону диалектической триады. Количество дано в

суммы, следовательно, имеется

чисел;

и эти слагаемые

вательно,

(§ 117)
одного

разной расставленности ак¬
«бытие», построены по одному и

в нем

тов полагания, т. е. его «смысл» и его

в

виду некоторая положенность

суть некоторого рода произведения, следо¬

положенность перешла тут в свое

всякое

произведение

есть

всегда

в ином. Но если каждое слагаемое есть

708

инобытие, поскольку

некое

воспроизведение

произведение,

то все

§121. Делимость чисел. Комбинаторика. Детерминанты
наше число есть

сумма произведений. Это третий

количественного

смысла

изучаемого

числа. С

шаг в

определении

другой стороны, пере¬

ходя к изучению актов полагания, из которых составляется наше
число, мы прежде всего видим, что тут признается за данный неко¬

торый определенный порядок

произволен),

а затем

тут же перебираются

неразрывно

этот вполне

все возможные инобы¬

которыми, однако, основной порядок

тийные виды этого порядка, с
остается

(выбор

актов полагания

образом, три

связанным. Таким

диалектиче¬

ских шага вполне различимы в структуре как количественного со¬
держания изучаемого числа, так и актов его полагания.

d)

Остается еще одна

и

последняя

чтобы детерминант

идея,

открыл нам свой логический секрет. А именно,
числе чисто

количественную сторону

и чисто

мы взяли в нашем

фактическую, акты
абстрактное

его полагания. Само число, однако, не есть ни только
количество

без

осуществляющих

его

актов

полагания,

ни только

слепые акты полагания без осмысливающего их количества. Но не

сразу понятно,
количество.

как акты полагания

Конкретно вопрос

произведений определяется
Если этот вопрос

могут в данном случае определить

стоит

так:

как

каждое

из

наших

входящими в него актами полагания?

будет решен

относительно каждого

в отдельности, то тем самым он

будет решен

произведения

и относительно

всей

суммы произведений, т. е. относительно всего изучаемого нами
числа.

Вопрос ставится не просто об отличии одного порядка сомножи¬
телей от

другого,

так как этот

щи использования
е.

триадического

при помощи получения

о том, как

нами

разрешен при

это

перестановок. Речь идет

этом количество, т. е. на их

произведение мыслится

как

произведение

это

общее

помо¬

шага в области актов полагания, т.

всех возможных

данный порядок сомножителей, взятый

получаемое при

словами,

вопрос уже

в целом, влияет на

произведение. Другими

нами сейчас как неизвестное,

каких-то неизвестных, и

требуется узнать,

неизвестное повлияет тот или иной

порядок

как на

этих неиз¬

вестных сомножителей.

Спросим себя: что означает тут та или
жителей? И даже поставим
отличие

в

вопрос еще уже. Не надо обсуждать общее

одной перестановки

себе отчет

в

простой

иная перестановка сомно¬

от

другой,

а достаточно пока отдавать

замене одного сомножителя

другим, носящей

теории детерминантов название транспозиции. В чем, стало быть,
709

V. Переход к специальной теории числа

смысл

транспозиции? Чтобы

наш ответ на этот

вопрос

странным, рассмотрим эту замену сомножителей
какой он имеет чаще всего для

фициентов при

детерминантов,

не показался

в том их смысле,

коэф¬

т. е. в смысле

уравнений. Пусть, напр.,

неизвестных системы

мы

имеем

с' -Ь'у
а

+

-—

Ьу

а

Определяя

из

ах +

by

а'х +

Ь'у

=

=

с\

с,

=

с.

третьего уравнения

х

=

с-Ь'у
а'

и подставляя его в

другим. В

первое уравнение,

неизвестное из

двух

лали мы это только
го стало

одно

мы заменяем одно неизвестное

чем значение этой замены? В том, что мы исключили одно
и тем

получили

возможность его найти. Но сде¬

благодаря тому,
с другим знаком.

что на место одного неизвестно¬

другое неизвестное,

И значит,

неизвестное в этом случае есть не что иное, как

разом превратить другое

неизвестное в это

ком. Замена одного сомножителя

означала как

раз то,

что мы

другим

переходили

первое

с

в наших

определить

некоторым об¬

обратным

произведениях

к нахождению, к

нию этих неизвестных сомножителей. Если

теперь

зна¬

мы

определе¬

будем считать

нашу основную перестановку 1,2,3 положительной, то всякая другая

перестановка будет положительной
сти от того, сколько

у

нас

или

отрицательной

будет транспозиций.

в зависимо¬

Если отсутствие вся¬

кой транспозиции оставляет перестановку положительной, то одна
транспозиция сделает ее отрицательной, вторая, продолжая менять
ее знак на
по той же

приходим

обратный, вернет
причине сделает
к той

выше в его

ее опять к положительности, а

ее вновь

особенности детерминанта, которую

определении:

третья

отрицательной. Словом, тут

если число

инверсий

в

мы

мы отметили

перестановке

ное, то она положительная, а если это число нечетное, то она

чет¬

отри¬

цательная.
Таким образом, диалектическая сущность того,

710

что

половина

§121. Делимость чисел. Комбинаторика. Детерминанты
наших

произведений

оказалась

отрицательной,

сводится как раз к

тому, что в данном случае мы их понимаем как неизвестные, кото¬
рые должны быть найдены, определены при помощи той или иной
перестановки их сомножителей, т. е. отрицательность этих про¬
изведений есть результат того, что

рона

анализируемого числа

нашего

вступили одна

пределение.
емся

с

другой

обще-количественная

и система актов его полагания

всестороннее диалектическое

во

Это сразу становится видно, как только

детерминантами для решения

которыми входит

половина всех

сто¬

системы

мы

взаимоо-

воспользу¬

уравнений. Минусы,

произведений,

с

составляющих де¬

терминант, как раз определены тем, что мы переносили в разных
уравнениях неизвестные с одной стороны на другую и потом под¬
ставляли в другие уравнения, перенося их после необходимых вы¬
кладок, может

быть,

и еще

раз

в

другую сторону, чтобы отделить

известные от известных величин,

становок; другими словами,

приступили

к

эти

получившихся

и нахождению неизвестных, т. е.

вознамерились найти непосредственный количественный
неизвестных

не¬

результате под¬

вызваны именно тем, что мы

минусы

решению уравнений

в

при помощи определенной группировки

их

смысл

коэффи¬

циентов.
4. С внешней стороны детерминант производит довольно гро¬
моздкое впечатление.
ские способы

Этому способствуют

оперирования

математической

с

также многие техниче¬

детерминантами, находимые

практике. Напр., правило Сарруса для

детерминанта удивляет своей внешней
теорема Крамера для решения

нами в

вычисления

механичностью. Такова же и

системы

уравнений при

помощи де¬

терминантов. Внешняя громоздкость увеличивается учением о ми¬
норах, об адъюнктах, о сложении и умножении и т. д. Тем не менее
должен быть какой-то

простейший

логический принцип для всей

этой технической сложности, какая-то

простейшая

диалектическая

категория, которая бы позволяла обнять все эти многочисленные
числа и операции в одном простом единстве. Этот принцип и эту
категорию мы и находим в синтезе количественно-смысловой и

количественно-фактической сторон

числа, в синтезе чистого коли¬

чества с чистыми актами полагания, причем то и другое появляется
здесь в диалектически развитом виде.

развитом виде, берется
тез того и

другого

Берется

акт полагания в

тоже в

чистое количество в

развитом виде,

и дается син¬

развитом виде. Диалектически
711

же

развитой

V. Переход к специальной теории числа

мы считаем ту смысловую установку, которая прошла по

мере три

крайней

диалектических шага.

Отсюда понятной является и нижеследующая схема диалекти¬
ческого развития понятия

детерминанта.

В этой схеме категории

I, II и III и категории 1, 2, 3 связаны между собою
лектической

триадой.

рое появляется

двух

в

Все же вместе связано тут как то целое, кото¬

результате диалектического взаимоопределения

главных элементов числа

полагания,

элементарной диа¬

—

количественного смысла и актов

принципиально таящихся

званных создать из своего

во всяком числе, но здесь

при¬

взаимоопределения новую диалектиче¬

скую категорию.
5. Необходимо заметить,
не чисто

что

детерминант

оперирование над непосредственными
чие от их

можно понимать и

арифметически. Под арифметикой (§81)
функциональных отношений,

712

мы понимаем

значениями чисел в отли¬
относимых нами к

алгебре

§122. Матрицы
и

анализу. Детерминанты могут

метическую природу

в этом смысле иметь чисто

Но существуют еще

минанты, место рассмотрения которых в
терминанты бесконечного

порядка,

функциональные детер¬
алгебре. Существуют де¬

в целях

в анализе,

решения

как и

равно

системы

или

у которых строки

обладают признаками сходящегося ряда. Место
тов, конечно,

ариф¬

этих

столбцы

детерминан¬

рассмотрение детерминантов

уравнений

относится к

обыкновенных линейных уравнений)

или к

ференциальных линейных уравнений

алгебре (в случае

анализу (в случае диф¬

коэффици¬

с постоянными

ентами).
§

122. Матрицы

1.

Детерминант представляет собою наиболее зрелый

тический продукт ставшей сущности

арифметического

диалек¬

числа, по¬

нимаемого как отдельное число. Однако ставшая сущность числа
отнюдь не есть только отдельное число.

ность,

как мы видели в

§ 120,

Наоборот,

ставшая

ла, а таковое всегда предполагает некоторую как бы
т. е. множественность и

чисел.

Детерминант

а ставшая

ее

числа есть

переход

единораздельной

просто

ее

от

объемность,

комбинацию, систему

комбинация

чисел.

Отсюда

сам со¬

безразличной общности комбинации

системе. И

система чисел

принцип

раздробленность,

или

возник на почве диалектики отдельного числа,

сущность

бой возникает

сущ¬

есть остановившееся становление чис¬

вообще,

теперь должна быть

для

которой

на

очереди

не

общий

известен только

построения (отношение, пропорция, ряд),

к

но и система

чисел как именно система, т. е. система во всей положенности своих
элементов. С

стигла
себе

другой стороны, поскольку

зрелости детерминанта,

достигнутую ступень

на основе

учения

о

новая

наша диалектика

категория должна

и новое понятие должно

трица.
2. а) После изучения детерминанта матрица
то

простым, уже известным,

стороны, матрица
есть

терминантов,
что

и чем-то

но и

матрицы
то и

детерминант

можно

всякий

получить

одной

детерминанта. Она

таблицы

чи¬

известное количество де¬

возможен только

существует определенная матрица. Однако,
713

новым. С

пишется в виде

детерминант

образовано

и является ма¬

оказывается и чем-

безусловно

почти ничем не отличается от

таблица чисел,

сел. И если из

быть

детерминанте. Такой категорией

уже до¬

вместить в

с

потому,

другой стороны,

V.

Переход

В

основном оно сводится к

деленное число, матрица

числа

что

тому,

и

огромное различие.

детерминант всегда

матрицу

—

есть система

чисел

как система чисел.

понятие

расширяя прежнее

некоторыми совершенно

матрица

сразу накладывает

Это

изгладимый математически-диалектический след
только

от¬

с числом, понимаемым как система.

есть отдельное число как система чисел,

полняя его

опре¬

комбинированной представимостью

с

Детерминант

рицы, не

есть

же есть система чисел. Это и заставило нас

детерминант объединять
дельного числа, а

специальной теории

матрицей существует

и

между детерминантом

к

на

понятие

детерминанта,

же
не¬

мат¬

но и до¬

не бывшими до того особенно¬

стями.

Ь)

Если бы мы захотели представить себе более конкретно диа¬

лектическую сущность матрицы,

мы должны

[были]

бы выдвинуть

тут на первый план понятие комплекса, уже хорошо известное нам
из теории мнимостей (§

(§ 113). Попробуем

105)

в этом

и из

теории гиперкомплексных

чисел

разобраться.

Мы можем рассматривать комбинацию вещей, состоящую, напр.,
из 5 яблок, 3 орехов

жем

2

и

конфет.

Это

будет некоторая

система чисел,

старой арифметике называли именованными. Но мы мо¬
отвлечься от яблок, орехов и конфет и вообще от всяких вещей,

которые

в

но все же

продолжать рассматривать соответствующие

состоящие из

различных единиц. Мы забудем

числа как

о вещах, но мы все же

будем помнить, что пятерка состоит у нас не из тех единиц, из ка¬
ких тройка, а тройка
не из тех, из каких двойка. Это помешает нам
складывать 5 + 3 + 2 в одну безразличную Сумму, как мы не могли без
—

всяких

предварительных условий попросту сложить 5 яблок, 3 ореха

[и] 2 конфеты. Такие

числа называются,

вообще говоря,

комплекс¬

ными и записываются так, чтобы их система не поглощала каждое
из них до полного

безразличия,

но чтобы каждое оставалось само¬

стоятельным. Наше комплексное число мы запишем в данном

случае

примерно таю (5, 3, 2).
Примеры

где

этих комплексов мы находили в

теории мнимостей,

величина а+bi была такова, что невозможно было не считаться с

индивидуальными особенностями
а и состоит

Ы,

—

откуда

и

соответствующая

комплексных чисел мы нашли т. н.
ляясь комплексом

тех единиц, из

состоит

теории гипер¬

кватернионы (§113), которые,

четырех разных единиц, так

со всей этой несводимостью

которых

запись. В

одной единицы
714

на

и

действовали у

другую.

яв¬

нас

§122. Матрицы
Вот таким

же точно «числом»,

матрица. Она, конечно,

не есть

вернее, системой

безразличное собрание каких угодно

чисел. Она все же есть нечто целое,

является,

напр., арифметическая

где целое не дано

конкретно

вестном законе его

которая

которое

законом.

управляется определенным

чисел является и

или

во всех своих элементах

Однако

это не то целое, каким
и

геометрическая прогрессия

во всех своих элементах, а только в из¬
—

построения. Матрица

хотя и является чем-то

это есть система чисел,

которой

но в

закономерно-целым,

каждое отдельное число положено не просто принципиально, но во
всей своей

фактической индивидуальности.
3. а) Отсюда и основные свойства матрицы. Все

именно с

индивидуальным

Матрица нулевая

они связаны

значением каждого ее элемента.

тогда, когда все ее элементы равны нулю. Две

матрицы считаются равными не тогда, когда равны числа, составлен¬
ные тем или другим способом из их элементов

тах),

но когда одинаковы все их

(как

соответствующие

в

детерминан¬

элементы

при

горизонталей у каждой и равном числе вертикалей у
это значит сложить их со¬
каждой. Сложить одну матрицу с другой

равном

числе

—

ответствующие

элементы. Можно даже сказать, что

матрица

есть в

некотором роде векторное число, поскольку арифметика способна
отличать

вектор

от

скаляра.

Умножить матрицу

на обыкновенное

умножить на него каждый
новенные законы счета.

ее

отдельный

сечении /-ой

элемент /-й

Здесь

Оригинально (как и вообще

числах) умножение матрицы
значит составить

число

скалярное

элемент.

на

матрицу. Умножить

новую матрицу так,

горизонтали

и

что

каждый

значит

в комплексных

в этом смысле

ее элемент на

j-й вертикали получится,

горизонтали первой матрицы умножили

ющий элементj-й вертикали второй

—

же и все обык¬

и сложили все

на

если

—

пере¬

каждый

соответству¬

полученные этим

(имеются в виду сомножители и
порядка). В умножении матриц, во¬

способом отдельные произведения

произведения одного

обще говоря,

не

и того же

соблюдается коммутативный закон;

лее характерное для матрицы свойство
видеть

мы

уже

и это

наибо¬

случай воочию

при рассмотрении умножения кватернионов (§113). В

время здесь действительны ассоциативный
ны

имели

(как

и

вообще

в

и

то же

дистрибутивный зако¬

комплексах).

В этом же ряду особенностей матричного исчисления необхо¬
димо отметить то, что

произведение матриц может обращаться
715

в

V.

Переход к специальной теории

нуль (матрица равна нулю, когда
в том

числа

все ее элементы

случае, когда матрицы-сомножители

равны нулю) даже

и не

суть нули. Напр.,

при любых awb

«п

ап

0

ООО

ООО

а»

аи

0

ООО

ООО

0

=

0.

ООО

ь„

Это обстоятельство вполне аналогично комплексной области,
относительно которой Вейерштрасс доказал даже следующую тео¬
рему: при обычных законах сложения

того, нуль

есть

и

умножения, когда, кроме

единственный делитель нуля,

тремя единицами

не

существует (так

комплексных чисел с

как они сводятся или к веще¬

ственным числам, или к комплексным типа а +

bi).

По этой теореме,

стало быть, выходит, что если вообще существует комплексное число
больше, чем с двумя единицами, то тут при коммутативности умно¬
жения существуют делители нуля, отличные от нуля, т. е. деление тут

Фробениус

неоднозначно,

и

Пирс расширили теорему Вейерштрасгиперкомплексной

са в том смысле, что доказали единственность

системы

при некоммутативности умножения,

деления; эта система

быть,

ентами. Стало

—

кватернионы

только числа типа а +

считаться допустимыми в
ного

но с однозначностью

с вещественными

коэффици¬

Ы, строго говоря, могут

арифметике, если не придавать ей матрич¬

расширения. Однако матрицы при всей

их важности для

раз¬

ных отделов математики и естествознания и связанности с ними и
по своей

же

структуре (таковы, напр., функциональные матрицы)

коренятся

в

арифметике

как в

все

сфере, вообще говоря, непосред¬

ственной значимости чисел.

Ь) Матрицу

можно понимать как

Имея квадратную матрицу
детерминант
низшего

и-го

порядка

порядка, которое

мание, что число

квадрату

получить один

и известное количество

детерминантов

легко вычисляется, если

число

во вни¬

считается

если

детерминантов 2-го порядка равня¬

числа сочетаний из т по 2 и т. д.

ранг. Матрица

принять

детерминантов 1 -го порядка равно п2 (или тп,

матрица прямоугольная),
ется

совокупность детерминантов.

с п2 элементами, можно

ранга г,

Матрица

если в ней есть по

716

имеет свой

крайней мере

§122. Матрицы
один отличный

от

нуля детерминант,

нанты в ней высшего
г есть

от

сумма

порядка

все

в то

время

матриц ранга 1. Таково формальное

г

детерминанта, становящееся внутренно

занным

как

прочие детерми¬

равны нулю. Всякая матрица ранга
отличие матрицы

понятным только с ука¬

привлечением «векторного» представления.

4. Но особенно

важно для понимания

и

матрицы

еще одно обстоятельство, играющее большую роль

детерминанта
в математиче¬

ской практике.
а) Именно, общая категориальная основа изучаемой области

арифметики определяет собою одну особенность,
не

и

указывали

Дело

которая получит

в том, что ставшее, полагая

на

которую

свое настоящее значение в

Когда

разные

ла,

неизмен¬

(натуральные чис¬
перед собой нечто устой¬

мы имеем дело с числом как таковым

типы

чивое, но эта

алгебре.

твердые границы для становления,

впервые реально осуществляет диалектику постоянства,
ности.

мы

числа),

мы хотя и имеем

устойчивость тут еще

не положена диалектически; она

существует в числе вместе со всеми другими категориями. Также и
в отношении

арифметических действий нужно сказать, что хотя
благодаря становлению, т. е. благодаря некоторо¬

они и существуют
го

рода движению, действию, изменяемости,

тут

не

но сама изменяемость

утверждена специфически. Только когда неизменное-в-себе

изменчивое-в-себе,

бытие

и становление, числа и

и

действия, объ¬

общее диалектическое обстояние,

мы тогда сможем

собственном смысле об изменяемости

и неизменности.

единятся

в одно

говорить

в

Другими

т. е.

словами, здесь мы наталкиваемся на бытие, в котором то и

другое положено, утверждено.

Выражаясь

математически, ставшее

впервые делает возможным суждение об инвариантности.

Пусть

дан тот или иной

конечно, неподвижен.

геометрический образ. Сам

Однако, чтобы

ствительно диалектически положена,
вала такая

сфера,

по себе он,

эта неподвижность была дей¬
необходимо, чтобы существо¬

где эта неподвижность четко противополагалась

подвижности. Только тогда из взаимоопределения этих явлений мы
получаем источник

фиксации того и другого. Именно, пусть наш
геометрический образ как-нибудь меняется, испытывает преобразо¬
вания. Если

при

этом нечто остается в нем неизменным и мы видим,

что именно, то тогда, ясно, неизменное у нас окажется

зафиксиро¬

ванным, диалектически утвержденным. И если раньше этот момент
был неподвижен в себе, то теперь он уже неподвижен в себе и для себя,
717

V. Переход к специальной теории числа

что стало возможным только потому, что он предварительно оказал¬
ся неподвижным для иного.

любых увеличениях
самой
есть

окружности

Пусть, например,

и

диаметру остается

пусть

разование. Как бы
зывается, что,

мы заметили, что

уменьшениях радиуса окружности

некоторый инвариант. Пусть

переменными,

что

к

и

неизменным. Стало

быть, это

мы имеем два полинома с

эти последние

при

отношение

двумя

потерпели некоторое преоб¬

мы ни меняли в этом смысле наши полиномы, ока¬

произведя соответствующие вычисления,

некоторая функция коэффициентов

совершенно неизменной. Она,

стало

мы

найдем,

наших полиномов остается

быть, инвариант. И тд.

И вот спрашивается: если категория ставшего приводит нас к
понятию инвариантности, то не имеет ли ближайшее отношение к
этому последнему и теория детерминантов и матриц, которая тоже
ведь возникла на диалектической категории ставшего?

Ь) Пожалуй,

несколько

удивляет

инвариантов сравнительно слабо
или что, по

трицами

добающее

место.

и

детерминантами

и

матрицами

фактически

связь

подробности,

—

то

количественно-смыслового

полагающего. Но как раз это совмещение и

обуслов¬

категорию инвариантности. Самое

суждение об инвариантности делается

перешедший

вение, когда смысл,

эту

общий признак детерминанта,

двух слоев

ливает собою указанную выше

и ма¬

эта связь не выдвигается на по¬

схем. Если не входить в

изложенные выше, а взять самый
ведь это есть совмещение

теория

детерминантами

как бы математики ни сводили

самая
на

что

сказать, что с диалектической точ¬

ки зрения связь инвариантов с

непосредственная,
удобство вычислительных

обстоятельство,

связана с

крайней мере,

Нужно прямо

то

ществление, вдруг остановился и,

возможным только в то мгно¬

в становление и

перейдя

фактическое осу¬

в ставшее, в

факт, превра¬

фоне которой
доступно судить об
изменяющихся моментах. Детерминант и матрица суть именно та¬
кие диалектические формы с двойным накладыванием; в них опре¬

тился в ту

устойчивость,

деленное

число или система чисел даны как

помощи

системы чисел, т. е.

торая инвариантность:
том, осуществлено

чисел,

на

в

матрице,

только в

уже

осуществленные при

в самом их понятии заложена неко¬

неизменное число, являющееся

детерминан¬

результате некоей процедуры комбинирования

являясь неизменным

нанте и

стало

среди

изменчивого. Но

тут,

в

детерми¬

это отношение неизменного и изменяемого дано

категориальном виде,

т. е. в

718

фиксированном,

в застывшем

§122. Матрицы
виде,

так что изменяемые элементы даны здесь не в

изменения, но в

Отсюда
значимость

устойчивом результате

само собой делается

детерминанта

и

процессе

понятным то, что

матрицы

своего

этого изменения.

инвариантная

выяснится только тогда, ког¬

какой-нибудь иноприрод¬
среде и посмотрим, как меняется структура и числовое значение
этих математических образований в зависимости от воздействия

да мы заставим их

функционировать

в

ной

этой среды.
5. Два-три примера

а) Популярнее

из этой области

всего здесь

учение

преобразовании. Линейная

линейном

будут нелишними.

о т. н. линейной зависимости и

зависимость есть не что иное,

как обобщение понятия о пропорциональности. Линейным же пре¬

образованием

с п

переменными называется преобразование

такого

типа:

ах^х,

+

...

+

аХахп

х;=а1Ххх+а^2

+

...

+

а1пхп

х^ахххх

х'= ап,х,
n

Эти

(xp

-

xj

nil

+

+ а х, +... + ах
nz
2
nm
n

мы можем понимать,

рения ^-мерного пространства,
будет говорить
в

другой вектор

о

во-первых,

так что

как

разные

изме¬

указанное преобразование

переходе одного вектора данного пространства

того же

можно понимать как

пространства. Эти

координаты

же

точки того же

переменные, далее,

пространства

п из¬

мерений, так что наше преобразование есть переход от одной точки
к другой. Можно, в-третьих, считать, что переменные являются ком¬
понентами одного и того же вектора при

Тогда

нат.

наше

преобразование

есть

разной системе коорди¬
преобразование самих коор¬

динат.
Спросим себя:
для того,

каково то условие,

необходимое

и достаточное

чтобы т систем с п постоянными находились между со¬

случае когда

т < п,

то т систем с п постоянными только тогда линейно зависимы,

когда

бою

все

в линейной зависимости.

определители

т-го

Оказывается,

порядка матрицы
719

что в

V.

Переход к специальной теории

*11

равны нулю. Мы
мы,

как оно ни

не

рый, к сожалению,

*22

*2„

*ml

*m2

*т„

отвлекаться доказательством этой

но отметим этот

матрица

угодно значение,

равна нулю. Опуская случай

и вполне

кото¬

т > п

зависимы), укажем

реальный

детерминантами
что эти

(хг xt)
_

раз составленные

но

яви¬

могли

из них си¬

определенная комбинация

стемы линейно зависимы, то

линейно

со своими

некоторым инвариантам, потому

ведь иметь какое

теоре¬

удивительный факт,

всегда понимается слишком количественно и, так

сказать, вычислительно:
лась здесь

*Ш

*21

будем

просто,

*12

числа

их всегда

(так как здесь системы будут всегда

на то, что линейная зависимость имеет

количественный смысл, так что указанное ма¬

тричное условие определяет собою и некоторые геометрические
инварианты. Напр., две точки тогда,
мы, когда они совпадают;

три

зависимы, когда они лежат на

они лежат на

одной прямой; четыре

одной плоскости;

зависимы. Везде тут

и только тогда, линейно зависи¬

точки тогда, и только тогда, линейно

пять и

точки

если

—

более точек всегда линейно

будут иметь значение указанная матрица и ее де¬

терминанты.
Если теперь обратиться
ным

к

линейному преобразованию

и

обыч¬

порядком составить квадратную

системы уравнений, которой
вая ее

таблицу коэффициентов той
определяется преобразование (назы¬

матрицей преобразования), то

элементов каждой строки

и

окажется, что

сумма квадратов

столбца равна единице,

а

сумма произ¬

ведений соответствующих элементов двух разных строк

столбцов равна нулю. Пусть у
ее элементы

нас

матрица третьего порядка,

суть косинусы углов, образованных

старыми. Тогда

соответственно мы

пространство

образование будет определяться

разных
и

пусть

новыми осями со

получаем некоторый инвариант

при координатных преобразованиях. Допустим,
подвижны, а движется само

или

что

координаты

как целое.

все теми же

Тогда

это

не¬

пре¬

тремя уравнениями

и

соответствующим определителем (+1). Определитель (-1) будет ука¬
зывать не только на движение, но и на

720

симметрию

относительно на¬

§122. Матрицы
тут еще

чала. Очень важна

и такая

если от

теорема:

переменных

х к

переменным х' переходим [с] помощью линейного преобразования
с

матрицей а и далее кх" с матрицей Ъ, тох" можно и

из х при помощи линейного
дим,

преобразования

с

прямо получить

матрицей Ьа. Как ви¬

параллелизм между линейными преобразованиями

и

матрица¬

ми идет очень далеко.

Можно показать, что если под инвариантом понимать только

функции координат и коэффициентов (при одно¬
родности тех и других), то в этих функциях всегда будет общий мно¬
житель, зависящий только от коэффициентов подстановки и всегда
являющийся той или другой степенью определителя подстановки.
рациональные

Такие инварианты, как известно, называются относительными, а по¬
казатель

упомянутой

даваясь вопросом
сталкиваемся с

ка,

о нахождении всех таких

Оказывается,

что

нанты дают и

в

на плоскости имеется
в этом

детерминантов второго поряд¬

координат

этих точек. Эти детерми¬

полную систему инвариантов.

1,2, мы получаем основной
виде двойной площади треугольника с точками 0,1, 2. А

Обладая двумя точками
инвариант

мы опять

простейшие инварианты

можно получить при помощи

составленных из заданных

инварианта. За¬

инвариантов,

детерминантами. Пусть, напр.,

несколько точек.

случае

степени носит название веса

на плоскости:

площадь треугольника и есть половина детерминанта, составленно¬
го соответствующим
шее число точек и

антов,

мы

найдем,

остановиться

на

подстановки)

и

плоскостью, то
менных

образом

из

координат

этих точек.

Беря боль¬

разыскивая полную систему аффинных инвари¬
что она состоит из всех их

детерминантов. Если

проективном преобразовании

ограничиться, напр.,
при абсциссе

на

опять

прямой

х

(дробно-линейные

двумя переменными,
=

Аир

т. е.

парах этих пере¬

детерминант

А ik

№=1,...р)

явится тоже полной системой основных инвариантов. Но так как
числовое значение
ется за

А/Х=0.

А^,

тут отпадает, то проективное

значение оста¬

А это значит, что in к совпадают, каковое совпадение

точек мы уже выше отметили как вытекающее из их линейной зави¬
симости.
Даже различие трех основных

721

геометрий (ср.

выше,

§ 71)

со¬

V. Переход к специальной теории числа

всем не

обходится без детерминантов. Имея

в

виду квадратичную

форму
а2

которая при

с

+

р2+у-’-£б2

0 характеризует

=

геометрию Лобачевского,

а

при

Эвклидову геометрию, при £ > 0
£ < 0
Риманову, мы находим, что
—

—

детерминант этой формы для неэвклидовой геометрии
0

0

0

10

0

0

0

10

0

0

0

10
А

вообще говоря,

отличен от

рицательный.
Отметим еще,

=

=

нуля;

-е,

1

он либо

положительный, либо

что ранг матрицы точек оказывается тоже инва¬

риантом по отношению к линейным

матрицы линейных

преобразованиям. Также и ранг

полиномов по отношению к их линейным

образованиям. И вообще алгебра дает большой материал для
вания

матриц

с

от¬

пре¬

связы¬

инвариантами преобразований.

Ь) Этих примеров достаточно, чтобы иллюстрировать глубо¬
чайшую

связь

детерминантов-матриц

английский математик,
вал

с

инвариантами. Известный

потрудившийся

много

в этой

инварианты прямо «гипердетерминантами»,

стал называть их

теперешним

именем. Ф. Клейн же

теория детерминантов вообще

есть основа для

области,

и только

назы¬

Сильвестр

утверждает,

что

теории инвариан¬

тов. Эта интимная связь обеих ветвей математики объяснена у нас
диалектически как

хождения

того и

другого. И детерминант-матрица,

одной

никли на почве

поскольку

результат одинакового категориального проис¬

и то и

и той же

другое предполагает совокупное

менно количественных и изменяющихся
в один

и

инвариант

воз¬

категории ставшей сущности числа,
полагание неиз¬

фактических сторон числа
в комбинированное

внутренно измененный факт количества,

ставшее, или в числовую систему как в такую.
6.

Матрица

категории
ется

заканчивает собою

развитие обще-арифметической

ставшего. Это ставшее, или наличное, бытие всегда явля¬

дробимым

пройденные

координированной раздробленностью,
фиксирует и делает устойчивыми этапы,

единством,

так как оно всегда только

становлением при всей прихотливости

722

направлений

§ 122. Матрицы
этого последнего.

Поэтому система чисел есть самая первая

ходимая характеристика

арифметически

и

необ¬

ставшей сущности числа.

Речь может идти тут, стало быть, только о разных принципах этой
системы, но сама системность, сама
всегда остается в

необходимой.

скомбинированность

для категории ставшего

арифметике

чисел

безусловно

Но матрица есть не просто система чисел. Это такая

система, которая дана именно как система (а не как, напр., одно
число, или
как

раз

какое-нибудь отношение

это обстоятельство и

чисел, или закон

свидетельствует

системы). Но

о том, что мы здесь

уже у границы всей той арифметической области, которая опреде¬
лена категорией ставшего. Когда подобный принцип выявляет себя
не частично

и

раздельно,

определена
тать тот же

этим

себя, т. е. целиком и
область, которая была

но себя как именно

полностью, это значит, что

та

уже исчерпана

принципом. И, следовательно, продолжая

принцип

в

«критическую точку»,

прежнем направлении,
на

категорию матрицы

мы наталкиваемся на

диалектический «узел», который

наше диалектическое движение на
и вместе с тем

обратное

нагне¬

и заставит

изменит

покинуть

вообще категорию ставшей сущ¬

ности числа.
В самом деле,

которому

мы

мы захотим,

пусть

пришли

вместе с

чтобы понятие системы чисел, к
ставшего, возымело еще

категорией

большее значение. Она и без того проявила себя как именно себя. Но
пусть мы захотели, чтобы она проявила себя еще больше. Что это мог¬
ло бы значить? Это может значить только то, что она

будет проявлять

себя не просто как себя, но уже проявлять иное как себя,

или

себя как

иное, ибо кроме источника проявления есть только то, что именно
не есть самый источник, т. е. иное, чем источник. Итак,

перь, чтобы система
чтобы она

чисел

определяла

Но тогда получится,

проявляла себя

не себя как

систему,

как

систему

а иное как

что мы получим несколько

мы хотим те¬

чисел в ином,

систему чисел.

разных

систем чи¬

сел,

управляемых одним законом, получим целый ряд рядов, целый

ряд

классов чисел,

не

будем

лах

управляемый единым

законом. Закон этот мы уже

называть «отношением чисел», как мы

категории ставшей сущности. Закон

Гаусса носит

поступали

в

этот есть то, что со

преде¬
времен

название композиции, охватывая собою несколько тон¬

ких и достаточно

глубоко разработанных

плин.

723

математических дисци¬

V. Переход к специальной теории числа

V. УЧЕНИЕ О

КОМПОЗИЦИЯХ

(ВЫРАЖЕННАЯ СУЩНОСТЬ ЧИСЛА)
$ 123. Общая ориентация
1. Поскольку учение о композициях

есть заключительный отдел

арифметики, выявляющий наиболее зрелые в диалектическом смыс¬
ле формы числа, а именно выразительные формы, постольку надо
особенно тщательно усвоить себе понятие композиции, связывая
его по возможности в единое целое со всей

а) Арифметика

вся

вырастает

на

арифметикой вообще.

перво-принципе, который у

нас

носит название единицы. В чистом виде единица вполне аналогична
точке, не

ма, хотя

имеющей

и является

лектическая

ни одного

судьба

сводится к ряду

новых возникновений из него

впервые
пятствие

в такое

(а

т. е. она в

измерения,

принципом различимости. Ее

инобытие

и

—

в

погружений

себе нерасчлени-

многосложная диа¬
в

инобытие

ряду

обновленном виде. Погрузившись

натолкнувшись

там на абсолютное

таковым является для нее она же сама,

хочет в этом инобытии

и

осуществиться,

пре¬

поскольку

она

саму),

она

т. е. найти себя же

отскакивает от инобытия к себе самой и превращается в новый тип
числа,

который поэтому

держит
свое

в

действие,

натуральным рядом уже

и тем самым

числа,

со¬

устремившись

развернувши себя

снова наскакивает в этом

(по той же причине)

инобытии

в

в

ариф¬

на самого

и, отскакивая от него, т. е. от себя в инобы¬

себе, содержа

отныне в себе уже не два, а

смысловых слоя.

Первые два
и

с

себе два смысловых слоя. А этот тип

тии, вновь возвращается к

три

сравнении

собственное инобытие

метическое
себя

в

смысловых слоя были само число натурального ряда

многообразная скомбинированность его из единиц этого ряда. Три

смысловых слоя, образовавшиеся

в

ные два плюс их осуществленность
чего первые два становятся в

слою,

т. е. в

Разные

в новом

определенное

инобытии,

в

результате

отношение к

третьему

образуется некое отношение, которое яв¬
построения целой комбинации чисел (напр., ряда).

результате

ляется законом

ставшей сущности, суть указан¬

чего

диалектические ступени внутри этой ставшей сущности по¬

степенно и все более и более конкретно осуществляют это отноше¬
ние чисел на этой комбинации чисел.
Та ступень, которая дает отношение, пропорцию и ряд, еще
оставляет указанные три слоя в том их сыром виде, в каком доста¬

724

§ 123. Общая ориентация
сущность. Но уже вторая ступень (делимость,

вила их нам ставшая

комбинаторика, детерминанты) растворяет первые два
так что остается только одно

другом,

площаемое на

комбинации

чисел.

и гладкое

система

разных,

нами целая

равноправных чисел, данная

подвижной таблицы. Та единица,

сливает

сущность получает

многомерное строение, когда перед

но вполне

во¬

непосредственное число,

Третья ступень, матрица,

и два оставшихся слоя в один, так что ставшая

ровное

слоя один в

в виде не¬

которой
арифметика,
расцвела здесь в целую систему разноприродных и разноскомбинированных единиц.
Ь) Но сущность единицы заключается в единичности, в объеди¬
нении всего иного,

чему

она

началась

с

сообщается. И

эта

разноприродная раз-

носкомбинированная единица переходит еще
превратить себя,
[бы]
разноскомбинированную коллективную

тие,
и

с тем что

везде было так, что

в

т. е. в

в

и его

дальнейшее инобы¬

эту разноприродную
Однако

единичность.

бытие, сообщаясь инобытию, отчуждалось

от

себя самого и снимало с себя план, снимало свой смысл, чтобы пере¬
дать его инобытию и, таким
для

себя,

и для своего

передавая свой

образом,

иметь этот смысл

инобытия. Точно так же

смысл

инобытию,

тем самым создает

закономерность, одинаково присутствующую

бытии,

т. е. тем самым

уже общим

и

и здесь система чисел,

и на

некую общую

ней,

и на ее ино¬

создается уже несколько систем, объединен¬

одной общей закономерностью.
с) С одной стороны, общая теория

ных

ные

ее

повторения

в

отдельных

цесса уже хорошо научили
бытия к

внутреннее

в

и многочислен¬

переходить

про¬

от ставшего, наличного,

возникает в тот

бытии становится внешним

и когда

внешнему необходимым образом узнается внутреннее, хотя это

и две

совершенно различные

В ставшей сущности
смысл,

который

шем дал

разные

фиксирован

в

мы

и несводимые одна на

находим

много

типы числа и

другую сферы.

«внутреннего». Весь

несла с собою чистая единица и

который

разные действия над ними,

в

тот

дальней¬

он

тут

за¬

ставшей сущности как царящие внутри нее числовые

отношения. Виднее всего это на

(отношение, пропорция, ряд),
му

(§ 31)

выражению. Выразительная форма бытия

момент, когда все
по

нас

числа

моментах диалектического

числовому ряду,

ранней ступени

где отношение

само оставаясь неизменным.

смысл ставшего в полном смысле оказывается

725

наличного бытия

пробегает

по

все¬

Здесь внутренний

внутренним,

он не пе¬

V.

Переход к специальной теории

реступает границ ставшей сущности

и

потому

ставшей сущности этот

второй ступени
нее внутренний. До
На

него легче

добраться.

числа

не делается внешним.

внутренний

тип

составен, он только некое определенное число, данное

посредственном

количестве.

смысл ставшего делается на

Здесь он,
весь

в

сущности,

перевоплотился

Еще более

внешним этот

третьей ступени,

мало для выражения. Это только еще

из бытия-всебе
и

притом для

смысловым

идти

речь

(хотя

и

это

(хотя

и не

стало

Однако

и

этого еще

энергией

выразительном

лике

на иное и

бытием-для-иного,
в ином, а только

растворилось

образом открылось ему). Тогда,

о подлинном

он

внутренно-внешнее

излилось смысловой

выразительного)

всего иного

матрицы.

структурой;

перво-принцип выражения,

выражение. Необходимо, чтобы

бытие устремилось вовне,

внутренний

структуру, поскольку матрица

есть система чисел как именно система чисел.

но не само

ме¬

в своем не¬

на стадии

вполне тождествен с внешней
во внешнюю

уже

Сам он уже только одно¬

и только тогда, может

арифметической сущ¬

ности числа.

d)

Что же мы имеем

который

в той

в том

системе систем,

дедуцировали выше? Поскольку каждая

мы

построены определенным образом, постольку

они

ряде рядов,

система и
в

хранят

ряд

себе

закономерность, которая для них вполне внутренняя. Но поскольку
таких

рядов

несколько,

постольку

закономерность,

указанная

внутренняя для каждого из них, поневоле выходит за пределы
каждого ряда, чтобы сообщиться другому ряду,

и

потому

она

уже

перестает быть внутренней, а становится еще и внешней для всех этих
рядов, внешней

—

ибо общей. Для каждого ряда эта закономерность

внутренняя, так что, казалось бы, раз она внешняя для одного

гого,

то внешняя она и для всех

му. Но с другой
всех

в

эту общую

и

дру¬

систе¬

стороны, именно потому, что эта закономерность для

рядов системы

вполне

и внешняя, так как она
для каждого

рядов, входящих

ряда,

общая,

именно

поэтому она

действительно осуществлена

взятого в отдельности, она, как

другом ряде, внешняя,

а стало

быть,

для всех них

ряде,

и

осуществленная

в

в каждом

и для всех внешняя.

Следователь¬

но, закономерность эта есть бытие внутренно-внешнее. Но посколь¬
ку указанных рядов несколько
инобытие

(хотя

постольку

наша

и они

и тоже связанное

друг

в отношении

друга

определенной закономерностью),

общая внутренно-внешняя закономерность

коится на месте, но

пребывает

есть

в живом становлении,

726

не по¬

закономерно

§ 123. Общая ориентация
не только в каждом

переходя

и во всей системе

рядов

Таким образом,
в

—

ряде от одного элемента

от одного

ряда

к

к

другому,

но

другому.

имея несколько числовых

рядов, объединенных

одну общую систему так, что одна-единственная закономерность

определяет собою как структуру каждого ряда,
ние всех

рядов,

имея

так и взаимоотноше¬

такую систему рядов чисел,

мы имеем подлин¬

ную выразительную форму арифметической сущности
Эта закономерность системы систем

и есть

числа.

композиция.

2. а) Но для изучения диалектической природы композиции будет
очень полезно дедуцировать ее из

фактического содержания преды¬
арифметики. Если мы знаем, что выражение есть
смысловым образом становящаяся, энергийная внутренно-внешняя
структура, то это дает нам путь и для конкретно-математической де¬

дущих категорий

дукции. Наличное бытие выносит в выражении свое внутреннее на¬
ружу. Но где у нас в предыдущем это наличное бытие, или ставшее, и
в чем его

внутреннее? Последней

и

наиболее зрелой формой став¬

шего у нас была матрица. Она несла с собою

и

определенный вну¬

тренний смысл, который мог быть только количественным ее содер¬
Да

жанием.

и

вообще числовой

смысл в

Внутреннее тут

количество

вообще,

количество.

Последним для матрицы

а

арифметике

неотличим от

количество. Но оно, конечно, не есть

количества.

—

определенным образом скомбинированное

Следовательно, чтобы перейти

является только

детерминант.

сферу выражения, матрица должна
вовне выявить свой детерминантовый смысл. А так как выше мы уже
пришли к выводу, что в выразительной сфере число оказывается не
просто системой, но системой систем чисел, то вот в какой форме
ставится

теперь диалектическая задача:

нант, когда
вится

он из

как

проявляет себя детерми¬

внутреннего содержания одной матрицы

стано¬

закономерностью для комбинации сразу нескольких матриц

в нечто

чески

в

единое? Ответить

на этот

вопрос

—

это и значит диалекти¬

дедуцировать новую, выразительную категорию

числа в

ариф¬

метике.

Ь)
сумма

Вспомним структуру детерминанта. Это есть
всевозможных

произведений

чит, ряд матриц должны

совокупность

и

2)

1)

«алгебраическая»

данного числа элементов. Зна¬

соединиться в одну

общую неделимую

каждая матрица этой совокупности должна быть

одним из тех всевозможных

произведений, которые допускаются
произведения»?

данными элементами. Но что значит «всевозможные

727

V.

Переход к специальной теории

числа

Мы знаем, что эта «всевозможность» есть не что иное, как совокуп¬
ность всех перестановок сомножителей. Следовательно, матрицы,
входящие в нашу
одна от

другой

общую совокупность матриц,

так, как отличаются одна от

должны отличаться

другой перестановки

данного числа элементов. Но эти перестановки игра¬

некоторого

ли в детерминанте ту роль, что они определяли собою те или иные
произведения. Здесь же мы имеем дело не с детерминантами, а с ма¬
трицами. Значит, перестановки важны тут не в качестве непосред¬
ственно значащих
но как

но в аспекте ставшего, т. е. имен¬

перестановки. Мы берем все перестановки

элементов
к

произведений,

—

и

из данного числа

получаем ряд числовых комплексов,

суммированию,

ни к

умножению,

средственно значащим
вокупность матриц

ни

прибегая ни
вообще к каким-нибудь непо¬

количественным

берем

мы

комплексную совокупность,

не как их

т. е. в чисто

операциям. Также

сумму,

но

просто

матричном

Итак, получается совокупность матриц, каждая
одна из

перестановок данного

возможные

перестановки

минантовая

значимость

внешним
—

этих элементов.
вышла

все

Здесь внутренняя детер-

внутреннее

числовое

всех

законом композиции

содержание матрицы

ложность элементов

матриц,

перестановок данного

как

матрицы превратилась

матрица,

но

с) Таким образом, группа,

арифметического

однако, еще связана
числа и не

развита

Так оно

в

бытия

другими матрицами,

во

и внепо-

внутренне самообо-

из них не цепенеет на ме¬

энергийно тянет[ся]

комплексу общей совокупности

наличного

объединенность

а внешняя

снованный ряд комплексов, когда каждый
сте как всякая

является

представимая матрично. Здесь

стало внешним законом ее взаимоотношений с

ко

всякому другому

и ко всем им вместе.

эта наиболее

общая выраженная фор¬

числа, коренится еще в детерминанте, где она,

непосредственной

значимостью единичного

совокупность свободно эманирующих

и должно

быть, потому

осуществление смысла,
динение

суть

наружу и, определивши

образцом которой

совокупность

числа элементов, взятая как целое и

с

из которых есть

как целое, стала в отношении к ним

и неизменным

группа, прообразом

тов.

некую

же смысле.

принципом. Так рождается новая категория арифметики

эта только что выведенная

ма

и всю со¬

как

числа элементов, а все они

матрицы

собою совокупность матриц

не

а всякое

элемен¬

что если наличное бытие есть

осуществление предполагает объе¬

инобытием, выражение же есть
728

всегда

прежде всего некое

§123. Общая ориентация
такое

объединение,

наличном

бытии,

только лишь как голый

привлечено
ная

структура, постольку

ния,

его

выразительное должно крыться уже

то нечто

в ставшем. Но конечно,

т. е. когда из

же инобытие

почему детерминант

еще запрятанный

в

и не дана его

получает свою свободу,

выразительным

по своей

глубине ставшей сущности

d) Можно сказать еще и так

детерминанте

(как сумма
застывают

ся

в

нее

из

числа, а группа

эта дедукция

это

—

в

—

вы¬

своей структуре.

будет, пожалуй, яснее.

непосредственно значащее

определенной комбинации других
произведений).

их всевозможных
в

—

самое главное

вычисляемое

число,

структуре. Вот

перво-принцип числовой выразительности,

разительное арифметическое число, развернутое

В

реаль¬

выраже¬

в становление, тогда и воплощен¬

принципа превратится

ный на нем смысл станет
—

принцип

ставшее есть лишь самое начало

перво-принцип. Когда

в

поскольку здесь инобытие

чисел

В матрице эти числа

своей самостоятельности и уже больше не растворяют¬

общей числовой

значимости

детерминанта. В группе внутрен¬

содержание детерминанта выходит наружу,

всевозможных

произведений

т. е.

вся та

сумма

элементов, которая в детерминанте

только предполагалась, но не была положена, теперь полагается,
т. е. затвердевает так же, как элементы детерминанта затвердели в ма¬

Теперь затвердевают уже не самые элементы, а те методы их
комбинирования, которые приводили к числу как непосредствен¬

трице.

ной

значимости

произведений,
изведений,

детерминанта, т.

но

уже

не как

е.

сумма,

но как комплексов,

—

всевозможных

получается сумма
а как комплекс и

ряд рядов.

Тут,

—

не как

про¬

очевидно, по мето¬

ду ставшего, т. е. внешне, матрично, явлено внутреннее содержание
детерминанта. Остается, стало быть, чтобы это внутренно-внешнее
бытие получило развитие и перешло в смысловое становление. Для
этого необходимо,

один

в

что[бы] полученные

другой переходили

—

путем той

комплексы

или иной

чит, что наши комплексы должны быть так
были

одновременно

теми, из

которых

Группа

мы

они

подобраны,

которые

получили

детерминанте произведения,

возникают один из

образной операции. Последняя

3. а) Итак,

зна¬

чтобы

и комплексами элементов, тождественными с

составлялись в

кими комплексами,

закономерно

операции. Это

и та¬

другого путем одно¬

и есть композиция.

понятие

группы

имеет в качестве закона своей

и понятие

композиции.

структуры композицию. Спра¬

шивается: о каких же композициях может идти речь в математике?

729

V. Переход к специальной теории числа

Композиция

или

нескольких чисел,

общую совокупность, именуемую нами как вырази¬
арифметическое число. Но ведь законы объединения чисел

вступающих
тельное

объединения двух

есть закон
в

уже подробно обследованы
как самые обыкновенные

нами в своем месте; это есть не что иное,

арифметические действия. Кроме

того, и

диалектика может говорить только о том же самом.

Поскольку внеш¬

нее

оно должно раз¬

не может быть только голым

тут

придатком,

виться в становление. Но становящееся

инобытие,

по

предыдущему,

арифметическое действие (разнонаправленный счет).
Следовательно, перебирая все известные арифметические действия,

есть именно

мы и
чи

получим разные виды композиции. Ведь детерминант, буду¬

освобожден

непосредственно-количественной

от

рассыпался на ряд

произведений,

денные от того же самого,
отношении

друга

нант вовсе не

определил

чисел.

рассыпались

на

ряд дискретных друг

как было показано выше,

наоборот,

собою эту внешность. Но если бы только он определял
и осталась

бы не выразитель¬

ной, а перво-принципом выражения, каковым являлся
Внешность должна

стихию и

в

Правда, выйдя изнутри наружу, детерми¬

уничтожился, но,

эту внешность, то эта внешность так

минант.

значимости,

как и эти последние, освобож¬

превратить

вовлечь

этот

и сам

перво-принцип

его в становление; только тогда

детер¬

в

свою

внутренно-

образом сконструи¬
выражением. Поэтому, хотя

внешнее становление, понимаемое как особым

рованный

смысл, окажется настоящим

основа и остается в

и

при

же¬

план

(как

это

линейно-матричных представлениях групп),

все

детерминантово-матричная

лании она всегда может быть
делается,
же

напр.,

в

выдвинута

группа обладает, сверх того, еще

на

и своим

группе

первый

собственным законом

композиции т. е. эти же самые элементы группы, освобожденные
от непосредственно-числовой значимости детерминанта, оказы¬
ваются связанными между собою еще особыми арифметическими
действиями. Детерминантово-матричная структура группы залегает
внутри

группы, перекрываясь сверху еще особым композиционным

слоем.

Вернее

же

сказать,

поскольку детерминантово-матричная

структура должна быть сразу

структура группы

матричной,
Группа

есть

и

является и

и

внутренней,

и

внешней, одна

и та же

внутренно-внешней детерминантово-

становящейся внутренно-внешней композиционной.

ряд матриц (следовательно,

минантную структуру),

но в то же

она таит в себе и

время переход

730

от

одной

детер-

из этих

§ 124. Теория групп
матриц

к

другой совершается

по

особому композиционному

зако¬

тождественна здесь с композици¬

ну (поэтому детерминантовость
ей). Так ставшее, детерминантово-матрично

онно распространяясь вовне, становится

группы.
Ь) Войдем ближе
что это есть

в

содержание

наружу и композици¬

выразительной формой

понятия композиции.

Сказано,

попросту различные арифметические действия. Когда

система наших числовых систем
нием, она называется

определена

сложением и вычита¬

модулем. Когда она определена умножением
лучом или группой в узком смысле слова.

и делением, ее называют

Когда тут действуют сложение,

вычитание и

умножение, говорят

о

[говорят] о всех первых четырех действиях
арифметики, [то] говорят об «алгебраическом» поле или теле (допу¬
ская обычную противоречивость в термине «алгебраический»). На¬
кольце. И когда, наконец,

конец, прочие арифметические действия представлены
называется

расширениями

с) Термин «группа» употребляется
везде в математике,

неизвестно,
к

в том, что

поля.
в

разных

смыслах.

Тут,

как и

целый ряд неясностей термина. Прежде всего,

относится ли

теория групп

анализу (о геометрии согласимся,

что

к

арифметике,

к

алгебре

или

тут только применение тео¬

рии групп, хотя также можно было бы говорить, что функциональные

группы суть только применение арифметических). Затем, если взять
обычную формулировку группы, то она дается настолько широко,
что сюда войдут и модули, и кольца, и поля, так что неизвестно, что
же,

собственно,

считать

виться понимать под

ну умножения

принципов

группой

группой совокупность, образованную

и деления.

все эти

в настоящем смысле. Можно

усло¬

по зако¬

Наконец, при различии композиционных

выразительно-числовые совокупности настолько

формальной структуре, что можно было
терминов, сводя их к обще-выразительной тер¬

близко совпадают по своей
бы избежать многих

минологии и избегая столь любимых математиками схоластических

нагромождений

и

усложнений.

Так как понятие группы
этой

выразительной сфере,

§ 124. Теория групп
1. Остановимся сначала
тия

группы. Обычно

это

—

наиболее общее

и

широкое

во всей

то остановимся больше на нем.

^математическом

определении поня¬

определение расчленяют
731

на несколько те-

V. Переход к специальной теории числа

зисов, которые мы и рассмотрим с нашей обычной диалектической
точки зрения.

а) Говорят: существует
цией,

или символическим

элемента

At

и Л

системы

такая

операция (ее

умножением), при

называют компози¬

помощи

могут быть однозначно

которой

два

Другими

связаны.

словами, два любых элемента системы определяют собою однознач¬
но

свой

некоторый

назвать

«произведением»;

В таком
рится

совокупный результат, который условно

обычном

рится тут даже

зицией тут

можно

«перемножаются».

широчайшем понимании композиции не гово¬

определенном арифметическом действии. Не

ни о каком
и

элементы тут

вообще об арифметических действиях. Под

арифметически-алгебраическое

можно понимать любое

действие и любое

их

объединение;

можно понимать и любые геоме¬

трические процессы (вращение, сдвиг, перенос, отображение

Словом, понимайте тут

гово¬

компо¬

что хотите, но только под одним

и

пр.).

условием:

результат композиции должен быть обязательно определен входя¬
щими

в нее элементами системы.

Ясно,

что композиция в этом смысле есть самое

рактеризует группу, самый
смысле вполне

ее источник и

общее,

первоисток. Она

играет роль перво-принципа

в

определении

что ха¬
в этом

понятия

группы.
Ь) Далее

говорится: результатом

ментов

является

группы
лектический смысл

опять

данной

элемент

этого момента в

той

композиции
же

эле¬

группы. Диа¬

определении группы

очень ва¬

жен.

Прежде

всего, самый этот способ выражения хотя и вполне точ¬

ный, но не вполне ясный, и не худо было бы подобные выражения
заменить другими. Смысл этого утверждения заключается в следую¬
щем. Если мы имеем ряд элементов данной группы, то, очевидно, раз
результат объединения каждых двух из них принадлежит к самой
группе, сама группа состоит из этих объединений, точнее говоря,
из всевозможных объединений
сразу, что
о том, что
система

группа

ряд

по

мы

Мы видим отсюда

определения группы просто говорит
ряд рядов,

и что эта

определенному закону композиции. Если

наш

„А? А^ то, считая A ; за единицу (о чем еще бу¬
получаем такую таблицу, носящую имя таблицы

есть A

ниже),

момент

есть система числовых систем,

построена

основной

дет речь

упомянутый

(«произведений»).

t,

А

Кэли:

732

§ 124. Теория групп
1

а2

^3

1

1

а2

Л}

а4

А>

А>

^2

А2А>

а_,а4

^3

Л

«

А^А2

/4

А4

а4а2

а4

...

А

;А4

Л4Л5

Тут наглядно видно, почему группа есть ряд рядов и каково значе¬
ние в ней композиционного принципа.
Задаваясь вопросом о том, какова категориально-диалектическая
сущность этого момента определения понятия группы, мы долж¬
ны

обратить

внимание на то, что

указанный

выше

перво-принцип

т. е. самая композиция, выставлен здесь двояко.

группы,

весь основной
весь основной

ряд «перемножен»

на

ряд «перемножен»

гими словами, наш

первый

член

Во-первых,

ряда, и, во-вторых,

на все члены этого же

ряда. Дру¬

перво-принцип, композиция, во-первых,

осуществлен, осуществлен вообще;

это значит, что мы

тут стадию перво-принципа группы

и

перешли

к ее

как-то

уже покинули

принципу,

к ее

«бытию». Во-вторых же, он осуществлен тут вполне определенным

образом,

а именно так, что мы

при

этом

осуществлении

не только

пробегаем весь ряд, но осуществляем еще и самый ряд
пробегая опять все его члены подряд. Это значит,

—

ственно

позиционный перво-принцип перешел тут от своего
становлению:

пустили

это

мы не только

осуществление
в

что

принадлежит

в качестве элемента к

и то

обстоятельство,

раз

элементов

самой группе, освещает сразу

и становление в самом понятии

Отметим

своему

но еще

осуществление. Таким образом,

группе результат композиции двух

утверждение,

бытие,

бытия к

осуществили композицию,
в новое

соответ¬
что ком¬

и

группы.

что на

приведенной таблице Кэли

яснейшим

образом видна сущность перво-принципа. Ведь всякий
перво-принцип (как это мы хорошо знаем, и прежде всего из § 23)
присутствует в соответствующей ему сфере бытия совершенно оди¬
наково
кого

и самотождественно, являясь в то же

различия. В нашей таблице

ково и целиком

двух

и

принципом

вся¬

группы одина¬

присутствует идея определенного рода композиции

элементов. Элементы везде

ции везде

время

в каждом элементе

разный.

тут разные, да

Но самая композиция

и

результат

формально

компози¬

везде одна и та

же, и ее результат в этом смысле везде один и тот же.

с) Пойдем

дальше. За становлением идет ставшее, наличное бы¬

733

V. Переход к специальной теории числа

тие. Наша композиция и все ее результаты пусть застынут в некоей

твердой

данности. Чем определяется эта твердая данность? В каком

виде все элементы

§ 65 переходили
ния к

ставшему,

элементы

столкнулись

факта? Когда

с т. н. законом счета. Как

в этом смысле и

мы в

ведут себя
группы

понятия

группы

применим

ли к понятию

рассуждения вообще?

Не без удивления
точные

в качестве

область арифметических операций от становле¬

в

мы

группы

этот способ

будут утверждены

указания

мы находим в

определениях

на эти законы. А именно,

утверждается,

что компо¬

зиция группы обязательно обладает ассоциативным законом,
=

не

быть, выражение

($т)и ф(тм),
определенный, единственный

что

и что, стало

коммутативный
так что,
ные

(Абелевы)

d)

Но

в

и

смысл, что и фт. С

* тф и все

же

понятия

группы делятся

особенности ярко торжествует свою
мы

задаемся

завершительный, выразительный
группы

Его можно

на

и

как на своем

выразить более общо

языке

действий, который

оказывается

его математики.

общо. Для первого случая
в

применении

от внешнего неизвестного к

или от внешнего известного к

к элементам

целый

известному внутрен¬

внутреннему неизвестному. Если

группы применим принцип уравнений, т. е.

ния с неизвестными в качестве элементов

решимы,

в

комбинации своих направлений

в иной

уравнением. Уравнение всегда выразительно, давая

метод движения
нему

том,

определения

действиям. Арифметическая операция превращается тут

комплекс

наша

о

вопросом

выражают

и менее

победу

момент

вспомним, какую форму принимало у нас выражение
к

коммутатив¬

некоммутативные.

пятиступенная диалектика, когда
где

другой стороны,

обладает такой обязательностью,

закон совсем не

вообще говоря, фт

т. е.

имеет также впол¬

то возможность этих

уравнений

если

уравне¬

группы обязательно раз¬

и

обеспечит нам искомую

выразительность определения понятия группы. Действительно, если
принять во внимание возможную некоммутативность, то, оказыва¬
ется, для каждой группы уравнения
ФХ

^ф

=

т

=
Т

обязательно разрешимы (если, конечно, ф не равно нулю),
том однозначно

разрешимы. Это звучит, однако, довольно

но, и мы можем

употребить тут гораздо

ния.

734

и

при¬

отвлечен¬

более конкретные выраже¬

§ 124. Теория групп
А именно,

случай

=

срх

из

предыдущих уравнений вытекает,

необходим

что

и

q>, т. е. необходимо, чтобы если ф не равно единице, то

оно в иных случаях и равнялось единице. Точно так же уравнение
ФХ

=
т

разрешимо

только тогда, когда возможен и

когда имеется некое

резкий
групп

в качестве

единица, т.
=

ф_/

отпечаток на понятие

•

ф_/

=

и в

группы;

фХ

1,

т. е.

1. Это сразу накладывает
по

руководствах

теории

именуемой «группа», существует элемент-

е. такой элемент е, что для любого ф системы имеется фе

ф; и для любого элемента ф системы существует в системе

ный элемент, такой, что ф

нефилософ

Кажется,

тельных элементов

Кажется,

•

ф_/

=

говорится об

категориального

и

обратного

выразительные формы

логического

группы. А между тем совершенно неясно, зачем

этих элементах
их в

к

двух обяза¬

еще никому из математиков не пришло в голо¬

понятия

матики вводят

обрат¬

прикоснуться

значения для

каждой группы, элемента-единицы

ву понимать эти элементы как

определения

=

1.

и недиалектик не может и

пониманию подлинного

элемента.

=

обязательных моментов определения содержатся

и такие два: в системе,

еще

еф

такое, что ф

случай

уже

определение,

в

определении группы.

то вовсе не

потому,

Если мате¬

что они имеют

потребность в логической системе, и вовсе не потому, что понимают
весь логически-завершительный смысл этих двух элементов в поня¬
тии

группы,

но исключительно только

а в особенности в геометрических
элементы

потому,

(напр.,

в

что в иных

обладают неотразимой очевидностью,

очевидностью, так что, давая после этого

группах,

группе вращений),
и

бьющей

эти

в глаза

общее определение груп¬

пы, уже никак нельзя обойти упоминания об элементе-единице и об¬
ратном элементе. Таким
минание в самое
тате

образом, если

определение группы,

ползучего эмпиризма,

ясности самого понятия

то исключительно в

но никак не в

упо¬

резуль¬

результате диалектической

группы. Тем более нужно быть благодарным

исследователям, впервые
всей его

математики и вводят это

захотевшим

представить

это понятие во

кристально-философской ясности.

Необходимо, между прочим, отметить,
разрешимости указанных уравнений
единицы и

обратного

что как из

однозначной

вытекает наличие элемента-

элемента, так и из этого наличия вытекает

однозначная разрешимость этих

уравнений. Поэтому выразитель¬

ный характер общих элементов группы нужно понимать не только
в связи с приведенными уравнениями, но и самостоятельно, из них
735

V. Переход к специальной теории числа

самих. В этом случае, однако, выразительная

форма, пожалуй,

еще

ощутимее. Дело в том, что все предыдущие моменты определения
понятия группы обладают слишком принципиальным характером
и ничего не говорят о реальном протекании в ней композиционно¬
го принципа. Элемент-единица указывает, напротив того, на некое
начало реального

оформления группы, т. е. оформления как чего-то
обратный элемент указывает на разнообразные смысловые

целого, а

направления, господствующие

реальном организме группы. То

в

другое, несомненно, свидетельствует
сти

о

и

конкретной выразительно¬

группы.
2. Усвоивши себе логический

ратимся

к

состав самого понятия

примерам группы, потому

ощутительно воспринять то,

группы, об¬

что только здесь можно вполне

о чем отвлеченно

говорит диалектика

понятия.

а) Укажем прежде всего чисто числовые, т. е. в собственном смыс¬
ле

арифметические, группы.
Группой является уже самый

чисел и

притом

в

разнообразном

натуральный ряд
Пусть, напр., композицией

обыкновенный
смысле.

является сложение. Какие бы два числа из
взяли, их

сумма безусловно окажется

натурального ряда

в том же самом

ряду. Пусть композицией будет умножение. И опять,
ла ни взять их

произведение

ряду. Допустим,

ряда, обладающая
относится

к этой

числом b по

бивается

на

тем

совокупность

чисел

натурального

признаком, что разность каждых двух чисел

если они

При такой

ряд классов,

по

что число а

при делении

точке

сравнимо
чисел

которых содержатся

данному модулю. Если у

получаем следующий ряд рядов,

с

на с дают всегда один и

зрения натуральный ряд

в каждом из

сравнимые между собою
то мы

натуральном

какие бы два чис¬

равно принадлежит натуральному

совокупности. Говорится,

модулю с,

тот же остаток.

все

что у нас имеется

мы ни

нас

раз¬

все числа,

модуль

=

5,

или классов чисел:

О, 5, 10, 15...
1,6,11, 16...
2,7,12,17...
3,8, 13,18...
4,9,14,19...
Дальнейшие классы, очевидно, были бы только повторением уже
данных, и, следовательно,
количественное значение

классов возможно здесь столько, каково

модуля. Все
736

эти пять классов чисел, на ко¬

§ 124. Теория групп
торые разбивается натуральный ряд
собою модуль
такой
ния

в

широком смысле,

группе применение

всех

чисел по

или вид

группы. Легко увидеть

выше моментов

указанных

образуют

модулю 5,

на

определе¬

группы.
Из области

чисел

строения. Так, напр.,

и

возможны

из

более сложные

по¬

групповые

теории групп можно вывести малую теорему

Ферма.
Ь) Приведем пример группы
функций. Пусть

мы имеем,

напр.,

функций,

а именно

такие шесть

рациональных

функций:

х

Л=х
х

х

1

/.=

—

—

1
1

—

х

X

1

Простым

вычислением

элементами некоей

комплексного

функции

являются

функции, т. е. подстановку в одну из функций
функции вместо. Точно так же все целые функции
от

переменного образуют группу,

понимать опять

получение функции

целой всегда будет

пы.

что эти

единой группы, если под композицией понимать

получение функции
функции другой

убеждаемся,

от

если под

функции:

композицией

целая

функция

от

тоже целая.

с) Однако особый интерес представляют геометрические груп¬
Рассмотрим, напр., группу вращений какой-нибудь плоской фи¬

гуры.

Возьмем

его можно

равносторонний треугольник АВС

вращать так, чтобы

самим собою. Если мы

в

и

перечислим

все такие способы

на

120°, чтобы В

попало в

вращения,

они

таких способов

ществует шесть: 1) оставление данного треугольника

ворот вокруг центра

он совпадал с

результате вращения

образуют собою группу вращений. Оказывается,

как

посмотрим,

А, С

в покое;

—

в В и Л

2)
-

су¬
по¬
в

С;

3) поворот вокруг центра на 240° (или
обратную сторону),
в А, А
вВиВ
в С; 4) поворот на 180° вокруг оси
на 120° в

чтобы С попало

AD; 5)

то же

—

—

вокруг BE;

6)

то же

вокруг CF. Будем

понимать под ком¬

позицией замену двух вращений соответствующим
виде одного вращения. В таком случае нетрудно

737

эквивалентом в

убедиться, что шесть

V. Переход к специальной теории числа

вращений образуют группу, потому что каждые два из них
образуют какое-нибудь третье (напр., соединение вращений 2-го и

указанных

5-го дает 6-е).

Интересны

также

ков, переходящих

группы вращений правильных многогранни¬

в самих

себя. Таковы группы 12 вращений тетраэ¬

дра, 24 вращений октаэдра

и

куба, 60 вращений додекаэдра

и ико¬

саэдра.
В § 63 были указаны геометрические

финный, проективный

и

построений

«метрический» (эквиформный).

понимать эти построения как типы
таким

типы

преобразований

и

—

аф¬

Мы можем

говорить,

образом,
группах преобразований. Эквиформная группа,
преобразованиях подобия, состоит из таких элемен¬
о

основанная на

тов,

которые указывают

ной неизменности их

конфигурацию.

геометрия, изучающая
антными

при

всех

ния составляют

фигуры,

на масштабы

лишь те

Это

свойства, которые

преобразованиях подобия.

группу, эквиформную группу,

понимать последовательное

но оставляют в пол¬

и есть наша

элементарная

остаются инвари¬

Все эти

преобразова¬

если под

композицией

проведение преобразований подобия.

Исключим отсюда ортогональность, продолжая сохранять

преобразованиях параллельность.
преобразований. А

Мы получим

отказываясь также еще и от

в наших

аффинную

группу

параллелизма, полу¬

чаем

проективную группу преобразований.
Возьмем для примера прямоугольник. Сосредоточимся

свойстве как именно

Тогда

все

прямоугольника,

преобразования,

т. е. на

на его

равенстве диагоналей.

оставляющие неизменным это равенство,

738

§ 124. Теория групп
образуют собою эквиформную группу. Но для

разованиях сохранял
себе,

т. е. чтобы

свою

нем мы

от

преоб¬

всех своих

е. оставался

углы его были соответственно равны,

параллельны. Отвлечемся
гольник

конфигурацию, т.

равенства диа¬

этого

гоналей необходимо, чтобы прямоугольник при

равенства углов. Тогда

подобным
а

стороны

наш

прямоу¬

будет рассматриваться как вообще параллелограмм, т. е. в
будем фиксировать в качестве основного свойства уже не
а только их взаимное деление пополам. Все

равенство диагоналей,

преобразования, оставляющие неизменным это свойство, суть аф¬
финная группа. Наконец, забывая и о параллельности сторон, т. е. о
параллелограммности,

иными словами, не

четырехугольник,

взаимное деление пополам, мы

образований,
только этот

наши

если

прямоугольнике

только

равенство диагоналей

и не их

и начиная видеть в

получаем проективную группу пре¬

преобразования

оставляют неизменным

простой факт.

d) Обозревая

все

эти

примеры

мы

группы,

поучительных иллюстраций. Мы видим,

как

выносим

ряд

бывает

разнообразна

композиция. Она допускает какое угодно взаимоотношение двух

фиксировано.

Мы замечаем,

ассоциативность

композиции.

элементов, только бы оно было твердо
как

действует коммутативность

и

Коммутативность явно выполняется отнюдь не везде. Напр., понимая
под

композицией вычитание,

первых примерах,

Если

а

группой натуральный ряд

под

мы отнюдь не можем считать, что

3

-

2

=

берем чистые вращения (напр., плоскости вокруг
координат), то композицией является здесь складывание
мы

угла вращения
Но

отображение,
имеется
и не

присоединить

т. е.

к

при вращении

вращениям
плоскости ху

в

3.

начала
одного

также

зеркальное

вокруг

начала еще

симметрия относительно оси^. В этом случае элементы могут

коммутировать. Не коммутативна

преобразований
подавляющем

в

также

большинстве

нашу композицию

бы,

что не

случаев

каждый

Впрочем,

элемент может

сохраняя

свою

упомянутом примере

ния мы имеем дело с

с

и

налична

в

ассоциативность

осуществлять

будь (фт)м

вступать

композицией

в

=

ф(тм),

это

в композицию

индивидуальную

неассоциативной группой,
739

пр. Наоборот,

мы можем

на любых элементах. Не

с каждым элементом,
в

группа ортогональных

трехмерном пространстве

композиции. Это обеспечивает нам то, что

значило

-

другим. Такая группа, очевидно, коммутативная.

с

попробуем

2

значимость.

виде

так как

вычита¬

(2

-

5)

-

V. Переход к специальной теории числа

-2 *2

-

(5

-

2). Пусть фигура вращается, увеличивается в масштабе и

зеркально отражается. Один
вращаем
чала

и

увеличиваем,

увеличиваем,

а потом

конец, везде было видно

зеркально отображаем,

вращаем

с

группах

и когда мы

и когда сна¬

зеркальным отражением. На¬

обратный
вращений, напр., элементом-единицей

покоя, а

а

результат получится

предыдущих примерах, где

в

там элемент-

элемент. Яснее всего это в геометрии. В

единица и где

группе

и тот же

а потом

является состояние

обратную сторону. В
преобразований уменьшению соответствует увеличение,

обратным

элементом

—

зеркальному отражению

—

вращение

новое

в

зеркальное отражение

и

пр. В

единичным элементом является

(п. 1а),

модуле, приведенном

выше

нуль, в примере же на

функциональную группу —fo

=

х.

Заметим,

од¬

нако, что, в сущности говоря, и элемент-единица вопреки заявлени¬
ям математиков в конце концов необязателен. Его нет, напр., в той
группе, которую

образует

композицией для которой

собою натуральный ряд чисел 1, 2, 3,...
является сложение, так как не

существует

единицей

оставалось

никакого числа ряда, которое бы в сложении с

бы самим собою. В то же время ряд
элемент в этих

Имея

условиях,

и он

0,1,2, 3,

•

имеет такой

единичный

равен 0.

все это в виду, можно сказать, что в конце концов из всех

моментов определения понятия
ся

и

совершенно необходимыми

группы

—

принадлежность ее результата к

только

первые два остают¬

это однозначность композиции и

общей совокупности.

3. а) Рассмотрим еще один пример группы

—

пример, который,

однако, имеет для всей теории групп первостепенное значение,
что это даже не

пример,

группы вообще. Это

а

именно

группа подстановок. Кстати,

свяжет наше изложение с тем, что

дедукции группы

перестановку

говорилось

она теснее

вначале относительно

вообще.

Мы уже знаем,
из

так

скорее общий метод представления всякой

что такое

другой,

перестановки. Чтобы получить одну

надо произвести известную подстановку.

Ясно, что всех возможных подстановок п чисел столько же, сколь¬
ко возможно всех их перестановок. Из трех элементов, как известно,
возможны шесть перестановок:
123 123 123 123 123 123
123 132 321 213 231 312.
Их мы можем понимать как подстановки, причем под каждым
верхним числом подписываем то, которое подставляется вместо

740

§ 124. Теория групп
верхнего. Так, первая подстановка
нения

оставляет все число

без изме¬

(т.н. тождественная подстановка); вторая переводит

3 в 2; третья переводит 1вЗ, 2в2иЗв1ит.д.

группа подстановок,

это есть именно

второй

элемент

Нетрудно убедиться, что

если под

композицией

проведение подстановки. Так,

мать последовательное

на

группы

третий: вторая

1 в 1,2 в 3,

пони¬

«помножим»

подстановка оставляет 1

без изменения, третья же переводит ее в 3; вторая переводит 2 в 3,
третья же 3 в 1; наконец, вторая переводит 3 в 1, третья же 1 в

2; итак,

получаем новую подстановку 3,1,2, а это есть не что иное, как шестая
подстановка.

Ассоциативность тут, безусловно, сохранена,

мутативности

не

существует

щих операциях. Единичным

это легко

элементом

обратный сразу

подстановка, а

это

—

но ком¬

увидеть при соответствую¬

тут

является тождественная

виден для любой подстановки.

Итак,

группа.
Ь) Часто случается, что, изучая разные предметы, мы замечаем, как

они

при всей своей несхожести выражаются одной

для

которой существует,

Такие группы

называют

таким

изоморфными

изоморфными. Другими

влеченная

или, точнее, одноступенно-

АДК

=

А,,

то и

Bpk

вот в теории групп доказывается

=

Bt,

то эти

теорема:

из таблицы

Кэли,

в

которой

каждая строка содержит как

раз все элементы группы, а переход от одной строки к

ем

группы

всякая от¬

группа изоморфна некоторой группе подстановок. Это

сразу видно
только

группой,

таблица Кэли.

словами, если элементы двух групп мож¬

но расположить так, что если

изоморфны. И

образом,

и той же

только одна

перестановка

другой

этих элементов. Если так, то отсюда мы

есть

получа¬

некоторый универсальный метод исчерпывающего представле¬

ния любой

группы, который

к

тому

удобен
практическая). Если

же замечательно

прост

и

(хотя простота
теоретическая,
вышеприведенный пример с вращением равносто¬
роннего треугольника, где этих вращений было именно шесть, то
а не

эта скорее

мы вспомним

эту же самую

группу

мы можем

представить как группу подстановок

трех вершин треугольника Л, В, С:
АВСАВСАВСАВСАВСАВС
АВСВСА САВАСВ СВА ВАС
Так

же можно

представить

и

приводившуюся группу

циональных функций (представляющую,
чений

ангармонического

всевозможных их

кстати сказать,

отношения четырех точек на

перестановках).
741

шести

группу

ра¬

зна¬

прямой при

V. Переход к специальной теории числа

с)

Но

новки.

обратим

Туг

«умножением» матриц. Можно поэтому
всякая

всякую группу представить матрично;
ном смысле

к

группа матриц. Возвращаясь

шести рациональных функций,

мы можем

но в

так:

матрицах второго порядка

То же в виде

I
1=

1 0 0
010

I

I
АВ

1 0

II 00 1||

II

0 1 о
100
00 1

0II

00 1
0 1 oil

=

Туг

мы

возвращаемся
из

нашему примеру группы
представить

ее

изоморф¬

0 10

,

II юо||
00

!||

100,
о 1 oil

таблице Кэли:
А
А
А2
АВ

1
1
А
В

1
А
В

ции группы

есть в извест¬

I 0 0 1II
В2=

,

0 1 о
0 0 1,
I ю oil

соответственно

группа

так:

матриц третьего порядка

,

«перемножаем» подста¬

внимание на то, как мы

полная аналогия с

к

данной

В
В
АВ
В2

вначале

диалектической дедук¬

детерминантно-матричных отношений. Ряд матриц
принципом, скользящим

связан здесь единым композиционным

одного элемента к другому и охватывающим их все вместе.

от

Вырази¬

тельная природа композиции сказывается именно в этом тяготении
одного элемента к

образуется
ние» двух

по

другому,

в этом смысловом становлении,

причине того, что каждый

других

и все, таким

образом,

элемент есть

которое

«произведе¬

объяты одним взаимным тя¬

готением.

d)

Это делается еще яснее, когда

практикуемый

в

мы

стараемся

Циклом называется такая подстановка,
заменяется

осознать обычно

теории групп метод циклического представления.

следующим

за ним, а

в

которой каждый

последний

—

первым. При

знак
этом

совершенно неважно,

с какого знака начинать, лишь бы сохранялся

указанный порядок.

Ничто

не

мешает

742

и

всякую

подстановку

§ 124. Теория групп
расположить так, чтобы смена знаков происходила последовательно,
как

только

указано

быть

представлена

всякая

подстановка

может

произведение циклов,

не имеющих

общих

что;

как

или,

точнее,

элементов. Следовательно, всякая подстановка,т. е. вся кая группа, вэтом

притом однозначно-циклична. Но циклическое

смысле циклична и

расположение наилучше рисует тот момент

который
по

мы

в композиции

группы,

именуем выразительно-становящимся. Цикличность

самому своему смыслу есть нечто становящееся. Поэтому

отражает

в

она и

себе наилучше выразительную природу группы. Ведь

выражение есть именно фигурно-становящаяся, текучая сущность.
е) Наконец, важно знать еще

и то, что полная

можных подстановок данного числа знаков

Именно,

альным свойством.

число знаков,

участвующих

всех воз¬

группа

обладает одним специ¬

если под степенью

группы

в подстановках, то все п

понимать

подстановок

п

симметрическую группу п-й степени. Такова,
напр., тройная группа, приведенная выше в виде таблицы Кэли, или

образуют т.

знаков

н.

четверная, которую еще рельефнее

Мы видим здесь
обеих

можно выразить так:

Е

А

В
В

С

С

В

Е

А

Е

Е

А

А

А

Е

В

В

С

С

С

В

С

А

Е.

замечательную симметрию знаков относительно

диагоналей таблицы. В теории групп доказывается,

метрическая группа содержит
подстановок.

Группа

четных и столько

[же]

что сим¬

нечетных

всех четных подстановок п знаков называется

полусимметрической, или знакопеременной, группой.
4. До сих пор мы занимались, собственно говоря, только опреде¬
лением понятия группы, мало входя
в

в

рассмотрение

ее

структуры

собственном смысле. Но развитое выше понятие группы со все¬

структуры самой группы

ми его

подробностями

только

перво-принцип. Поэтому развитая структура группы должна

в отношении

быть рассматриваема еще
Укажем некоторые

с весьма многочисленных точек

понятия из

теории групп, относящиеся

есть

зрения.
к

струк¬

туре группы.
а) Структура группы

в ее

принципе (а

не

перво-принципе),

в ее

бытии характеризуется различным комбинированием входящих

743

в

V. Переход к специальной теории числа

нее элементов.

Введем необходимейшее

группа, все элементы которой входят

последней
ется

она и называется

проще

всего

в

подгруппы.

понятие

другую группу;

подгруппой. Структура группы

при помощи разложения

по

Это та

в отношении

выявля¬

Если М под¬

модулю.

группаJ, то имеется известное количество элементов Л, В, С, „/таких,
что ]=МА+МВ+МС+.ЛМ]. Это значит, что мы компонируем последова¬
тельность элементов, составляющих подгруппу М со всеми элемен¬
тами, входящими вJ, но не
называется

Тут

В,„/ называется

полная аналогия со

композицией

Впрочем,
по

структурой модуля

если гнаться за

и о

а самый

образом,

о

же

относится не

когда

нам
в

то к «бы¬

разложение

разложение,

т. е.

реальное разложе¬

(или принципа),

выражен

позднейшая

бытие,

ста¬

но даже и не самое становление;

теоремы Лагранжа

о том, что

порядок любой под¬

группы есть делитель порядка группы, определяют структуру
групп. Так, нетрудно найти,

Поскольку 5
которой
для

и

именно полной системой выче¬

закон становления, т. е. ставшее.

На основании

ших

уже

§ 126.

что только он и есть идеальная

полная система вычетов есть

дия; она не только не самое

(т. е.

котором

диалектической точностью,

некое становление бытия

закон этого становления

тов. Таким

узком

модулю М.

смысле

котором еще будет речь

модуль, потому

ние, предполагает уже

в

вычитание),

является сложение и

картина разложения. Самое

—

а всякая система

«принципу», структуры группы

модулю,

она

комбинирование

модулю М,

полной системой вычетов по

приходилось упоминать (п. 2а)

тию», или

по

разложением группы J

элементов Л,

вМ Такое

входящи[ми]

и

есть

7

—

простые

числа

простое число,

порядков 5

и

что

групп четвертого порядка

(а

низ¬

—

две.

известно, что группа, порядок

может быть только

циклической),

то

7 получается только один тип, циклическая группа.

Дия группы 6-го порядка возможны: 1) циклическая группа,

образо¬

6-го порядка; 2) если же она не цикличе¬
могут быть 2-го или 3-го порядка, причем все не

ванная одним элементом
ская, то ее элементы

могут быть 2-го порядка. И

Ь) Несколько другой
сопряжения. Если

В=С~‘АС,

то

в

говорят,

план

структуры группы

данной группе А, В, С
что В

чения Вт А называется

элемента С.

т. д.

сопряжено

с

Л,

а сама эта

преобразованием

Всматриваясь

в это понятие

что последнее есть полная аналогия

744

составляют т.

н.

являются элементами и

операция полу¬

элемента А

сопряжения,

равенству или,

посредством
мы замечаем,

если угодно, по¬

§ 124. Теория групп
добию. Но

равенство

или

подобие нужно понимать,

просто структуре группы

ее становлении,

ибо

в ее

фигура должна

чтобы превращаться в другую

бытии,

но

структуре группы

фигуру, подобную

ей.

подгруппу данной группы будем преобразовывать
группы,

то мы

с) Отношение А
именно

физм

=>

С1АС

с

данной под¬

частично совпадать и одна

первоначальной подгруппой.

другой,
брать из них различные.
и с

Сопряженны¬
какую-нибудь

всеми элемента¬

получим подгруппы, сопряженные

группой. Эти подгруппы, конечно, могут
с

в

быть погружена в становление,

ми бывают не только элементы, но и комплексы. Если

ми

так

«групповым» способом. Отсюда сопряжения соответству¬

сказать,
ют нс

только это

Ничто не помешает вы¬

автоморфизмом,

называется также

а

внутренним автоморфизмом. След., внутренний автомор¬

мы

получаем,

в

случае когда

мы из данного элемента

получаем

преобразованием при помощи другого элемен¬
та. Прочие автоморфизмы (если они существуют для данного эле¬
это просто взаимно
мента) называются внешними. Автоморфизм
его же самого, но с

—

однозначное соответствие

группы

с самой собою. Это понятие со¬

всем не так излишне, как это могло бы показаться с

Пусть, напр.,

мы имеем

группу отражений,

ческой фигуры, обусловливающую собою
бы здесь фигура

не

переходила

в

или

первого раза.

переносов, геометри¬

явление

симметрии. Если

себя саму, то не было бы

и самой

же видно и то, что понятие

переносов. Тут
отражений,
автоморфизма (как и понятие сопряжения) предполагает становле¬

группы

ние

или

ее

структуры группы,

так как без собственного

тие группа не могла бы стать

и

Соответственно-взаимная
называется

ным

зывается

однозначность

двух

разных

групп

но не

между

или тот,

элементами как в

который

одной,

так и

предполагает взаимной однозначности,

на¬

гомоморфизмом. Здесь каждому элементу одной группы со¬

ответствует один
другой

инобы¬

автоморфной.

изоморфизмом
изоморфизмом. Многозначный изоморфизм

другой группе,

в

или, точнее, однозначным, одноступен-

охватывает все соотношения
в

перехода

элемент

другой группы,

но

одному элементу этой

может соответствовать несколько элементов

первой группы.

фактами изоморфизма и гомоморфизма, явно
предполагают инобытие группы в виде другой группы и их опреде¬
ленное структурное взаимоотношение (в частности, при изомор¬
Теоремы, связанные

физме

—

с

тождество).
745

V. Переход к специальной теории числа

d)

Уже

эта

становящихся

структурность

есть

групп

нечто

ставшее. Более заметно это на тех подгруппах, которые остаются
неизменными
т.

е.

в

процессе, где становление группы

оказываются

неизменными

относительно

яснее

всех

всего,

внутренних

автоморфизмов группы.
Пусть

случай, когда все решительно подгруппы, со¬
первоначальной, совпадают с нею. Это будет значить,

мы имеем

пряженные с

что наша подгруппа коммутирует со всяким элементом группы.
Вместо любого элемента группы можно
во всех

будет брать эту подгруппу

групповых операциях. Это далеко еще

дый элемент

этой

подгруппы коммутирует

группы. Такую подгруппу

называют

не значит, что каж¬

с

элементом

каждым

инвариантной

или

делителем группы. Другими словами, нормальный
подгруппа, инвариантная при всех внутренних

нормальным

делитель и есть

автоморфизмах.

И

ясно, что здесь мы получаем указание на структуру группы как на
нечто ставшее, так как сопряжение нашей исходной подгруппы с
элементами группы пришло здесь к определенному результату.
мы

реально подходим

к

ры, с которым столкнулись выше,
Абелевых
становок

группах
трех

все

подгруппы инвариантны. В группе

всех подстановок

ный делитель 12-го порядка
менты можно

4а. Нетрудно сообразить,

в п.

знаков имеется один

3), (1, 3, 2). Группа

Тут

тому наличному бытию групповой структу¬

распределить

и один

на

что элементы одного класса

ряд

нормальный

четырех

делитель:

знаков имеет

1, (1, 2,

нормаль¬

4-го. В каждой группе

классов без

что в

всех под¬

все эле¬

общих элементов так,

сопряжены между собою,

а элементы

различных классов не сопряжены. Эти классы называются класса¬
ми

сопряженных

теорем

о

элементов.

Существует ряд

нормальных делителях, которых

и

интересных
мы

здесь не

простых

будем

ка¬

саться.

е) Наконец, выразительной стороной групповой структуры мо¬
композиционный ряд. Назовем максимальной инва¬

жет явиться т. н.

риантной подгруппой группы такую,
ет

что в

последней

не

существу¬

другая инвариантная подгруппа, которая бы содержала первую.

Максимальных инвариантных подгрупп

может быть несколько и

разных порядков. Так, циклическая группа 6-го порядка
симальные
всю

инвариантные подгруппы 2-го

группу расщеплять так,

что

и

—

имеет мак¬

3-го порядков. Можно

получится ряд

максимальных инва¬

другую. Это

и называется компо¬

риантных групп, входящих одна

в

746

§ 125. Геометрия
зиционным рядам. Таких рядов

теореме Жордана

—

той же группы всегда

Гельдера,

в

чисел...

группе

может быть несколько. По

два композиционных ряда одной и

изоморфны.

Все эти указываемые нами моменты структуры группы являют¬
ся беглыми

и

примитивными, играющими роль скорее образцов для

диалектического

ее исследования. Большая

на в нашем сочинении, а

потому

подробность невозмож¬
обратиться к одной

нам надлежит

области, где выразительная природа группы

явлена с наибольшей

силой.

§ 125. Геометрия

чисел, или теория групп как учение о наивыс¬

шей

арифметической выразительности
1. Уже давно было замечено, что художественные формы

подчиняются

удивительно закономерным правилам, достигающим
и

прямо геометрической

вообще математической

мировой орнаментики

ние

часто

в

особенности дает

точности.

Изуче¬

в этом отношении

интересный материал, который, между прочим, часто поддается рас¬
шифрованию

только при помощи

ра, оказывается, бессознательно
никами в симметриях
выполняются и в

которых явлений

теории групп. Групповая структу¬

выполнялась еще древними худож¬

орнамента, равно

природе, напр.
в этих

в

как они в точнейшем виде

формах кристаллов. Коснемся не¬
наглядно убедиться в выра¬

областях, чтобы

зительной природе числовой группы вообще*.
а) Под плоской точечной решеткой
бражения] двух векторов:р^р, (не

на

щих xt их, раз (х7х,= О, ±1, ±2,...) одно

понимается

результат [ото¬

одной прямой), откладываю¬

и то же единичное

расстояние

хр;
хр,. Точечная решетка есть точки с целочисленными коор¬
динатами в той или иной прямолинейной системе координат. Или,
+

наоборот,

для всякой решетки точек можно конструировать такую

систему координат, для

которой д ир2 являются единичными векто¬

рами обеих осей. Конгруэнтное отображение точечной решетки на
саму себя

называется ее

симметрией.

Ее можно установить или при

помощи вращения всей плоскости вокруг той или иной точки, или
при помощи зеркального

*

отображения

относительно

данной

оси

[см.:] Jaeger F. М.
principle of symmetry. Amsterdam, 1917. Prisse dAvennes. Atlas de
1’histoire de 1’art Egyptien. Par., 1878. Нижеследующий материал изложен по:
SpeiserA D. Theorie d. Gruppen von endlicher Ordnung. Berl., 1927,77—106.
Богатейший материал из орнаментики дает Owen Jones,

Lectures on the

747

V. Переход к специальной теории числа

симметрии. Все эти движения точечной решетки

Спрашивается:

Ь) Остановимся
всякая точечная

на

бою,

группе вращений. С

решетка допускает

ки вращение на 180° в

сама с собою. Но отсюда

рядка,
углы

случае

относительно любой своей точ¬

результате

следует,

только четного

с самой со¬

вращения совпадает

такого

группы вращения могут быть

что

порядка. Так,

возьмем

группу 4-го

будем вращать нашу решетку вокруг некоторой точки

т. е.

по

самого начала ясно, что

условиях совпадения всей решетки

так как всякая прямая в

нашем

образуют группу.

структура этой группы?

какова же

90°. Мы убеждаемся,

решетка совпадает

с самой собой только

что если

собой,

с самой

то

при вращении

0 на

на 180° любая

на

при вращении

в

по¬

90° совпадает

квадратная решетка. Легко заметить также,

что

существует одна решетка, совпадающая сама [с] собою при враще¬
нии на

60°,

при вращении 6-го порядка. Это та, которая

т. е.

из ряда равносторонних
ше чем на

щая

с

60°

не

собою, потому

что

ближайших

от

единичного

расстояния

центра

или гексагональная. Мень¬

треугольников,

допускает вращения

состоит

ни одна

решетка, совпадаю¬

стороны образующегося при соединении

точек
в

многоугольника

оказались бы меньше

вся точечная система на¬

решетке и, след.,

рушается.
Итак, группа вращений решетки, совпадающей
может быть

2, 4

и

6-го порядков,

и только этих

первом случае решетка может быть любой формы,

ной

и

параллелограммной,

и в третьем

—

во

втором

—

с самой

собой,

порядков, причем
т. е.

в

прямоуголь¬

она обязательно квадратная

обязательно гексагональная.

с) Посмотрим, каковы возможные здесь зеркальные отражения.
Прямоугольная, и в частности квадратная, решетка зеркально отобра¬
жается относительно любых прямых

прямых,

им

параллельных

ников. Что же касается

и

бавления

может быть

проходящих через центры прямоуголь¬

на

саму себя

получена

к ней в качестве точек

так как в данном
ся взаимно

а также относительно

непрямоугольных решеток,

допускающей отображение
шетка, которая

решетки,

из

является

то

единственной

ромбовидная

решетки центров прямоугольников,

случае стороны прежнего прямоугольника

являют¬

перпендикулярными диагоналями полученных ромбов.

Таким образом, группа ромбовидных зеркальных отображений
дественна с

Итак,

ре¬

прямоугольной путем при¬

тож¬

группой прямоугольных.

мы имеем

три группы вращений
748

и

одну группу зеркальных

§125. Геометрия

отображений.
ния плоская

сам.

Ни при каких других условиях вращения и

решетка

И вращения, и

d)

Посмотрим,

всякое

чисел...

отображения могут

как
с

вращение

отображе¬

не совпадает сама с собой.

возможно.

это

переносом

щением. Вращение вокруг

еще соединяться с перено¬

Что

точки

180°,

на

вращений,

касается

можно заменить

то

просто другим вра¬

соединенное

с

пере¬

носом 0 в О’, тождественно с таким же вращением около середины
отрезка 00'.

Поэтому плоскую решетку

только около ее

любыми двумя
с

точками

общих точек,

можно

но и около точек

точками. Из этих новых

посредине между

центров вращения

и

половинного

в

сравнении

с

нею

Квадратная решетка допускает, кроме того, вращение

свою

точек

квадратов. Эти

и в отношении к ней

мой

новые центры

на

половинную

в

90° вокруг

образуют

старой

на

по площади. Что же касается

45°

вра¬

60°, то тут центрами вращения могут быть только точки са¬

решетки, потому

ников

измерения.

на

вращения

в отношении

квадратную решетку, повернутую

щения

вместе

данной решетки получится другая решетка, подобная

первоначальной

средних

180° не

на

вращать

что

средние точки равносторонних треуголь¬

центров вращения дали бы вращение уже 3-го

качестве

порядка.
Таким образом, только вращения 2-го
в соединении с

шетки.
с

же

от точек

6-го порядка допускает перенос центра

одной обыкновенной
же

4-го порядков могут дать

переносом центры вращения, отличные

Вращение

Что

и

точки на

теперь делается

ре¬

только

другую.
отражения, когда

с осями

к

последнему

присоединяется перенос? Всякий такой перенос может быть раз¬
ложен на
ней. Если

то

перпендикулярный

отражения

и на

направление переноса перпендикулярно

результат будет

снова

отражением,

проходящей через середину
раллелен

к оси

к оси

отражения,

самого

то мы

случае объединения отражения

параллельный

к оси

отражения,

но только относительно оси,

переноса. Если

же

перенос

с

переносом

мы должны

различать

ромбовидную решетки. В первой возможны
прямоугольную
ко обычные оси (или оси скользящего отражения) с той или
кратностью элементарному расстоянию решетки
реноса

па¬

получаем скользящее отражение. В

и

по

к

сторонам прямоугольников

или

толь¬
иной

компонентов пе¬

через середины сторон

параллельно другим сторонам. Во второй решетке кроме обычных
осей отражения

по

параллельным прямым самой решетки
749

возмож¬

V. Переход к специальной теории числа

на посредине каждых двух параллельных еще ось скользящего отра¬
жения.

е) Приведем

в качестве

примера на группу вращений

и

зеркаль¬

отражений плоской решетки мозаику храма Изиды в Помпее
(рис. 12). Чтобы разобраться в структуре этой мозаики, отбросим то,

ных

что не

соответствует здесь основной симметрии. Тут

шестиугольниках круги с фигурой

группы вращения

в пять

они находятся,

вращаются

мы находим шесть

с

только на

180°.

такой схеме

точках

90°;

образом скре¬

места же, на

которых

Наконец, вверху

и

внизу

полумесяцев, которые тоже трудно объединить

общей системой вращений, Остается,

угольная решетка,

лучей. Очевидно, единой

здесь не может получиться. Равным

щенные овалы предполагают вращение на

мы находим в

(считая,

что

стало

быть,

только шести¬

ромбовидная, которую легче обозреть на
круги с пятилучевой фигурой находятся в

она же и

решетки) (рис. 13).

Рис. 12

Рис. 13

750

§ 125. Геометрия

Рис.

чисел...

14

Перед нами тут гексагональная решетка. Другими словами, перед
нами

тут группа вращений 6-го

порядка

плоской решетки. Здесь

легко увидеть все, что говорилось выше о

Тут

невозможны

вращения

на

90°,

впадала с самой собой. Невозможно

пускает
оси

не только

перенос

по

присоединение переноса,

не

принадлежащие решетке

зеркального отражения,

сторонам ромбов,

посредине между двумя сторонами

сравнению
оси

виду

ось

в

с единичным

но и по

с половинным

то она до¬

скользящей

размером

расстоянием решетки. На рисунке

отражения проходят через центры пятилучевой фигуры,

скользящего

отражения

—

со¬

решетка

и

тут

которое бы <...>* центры вращения
точки. Зато если иметь в

ромбовидной решетке.

если мы хотим, чтобы

через центры

по

чистые
оси же

сплетенных овалов.

дает массу прекрасных примеров на

История орнаментики
разнообразные группы. Тут мы
2.

находим

группу зеркальных отраже¬

ний, группу скользящих зеркальных отражений, группу переносов,
группы вращений

на

60°, 90°,

120°

и

180°.

разных групп, приводя соответствующую

указаниями,
несколько

а также

примеров

Polya** перечисляет 17
таблицу. Пользуясь этими
G.

указаниями упомянутого A. Speiser’a, приведем
из египетской

орнаментики***.

Рис. 14 дает нам прямоугольную решетку. Основная

вторяется тут

в

фигура

по¬

зеркальных отражениях. Оси симметрии совпадают

’

Одно

слово в рукописи разобрать не удалось (реду
Polya G. Ueber d. Analogic d. Kristallsymmetrie in Ebene. Zeitschr. fiir Kristallographie. 1924. Bd. 60, 278—282 и там же, 283—298: Niggli P. Die Flachensym**

metrien homogener Disckontinuen.
Cm.: Prisse dAvermes. Atlas de 1’histoire de 1’art Egyptien. Par., 1878 (рисунки
отсюда воспроизводятся у нас без красок).

751

V.

Рис.

Переход

к

специальной теории

Рис. 18

17

с осями отражения, отстоящими одна от
точного

числа

другой

на

половину реше¬

расстояния. Схемой этой группы служит рис. 15.

Рис. 16 дает ромбовидную решетку типа

схемы

рис. 17. Основная

фигура орнамента обладает средней точкой, через которую прохо¬
дят две

оси

отражения. Решетка переносов лучше

зетках. Через
оси.

лилии

Вертикальные

всего видна на

проходят горизонтально простые

оси также смешанные.

лилиями.

752

Скользящие

ро¬

и скользящие

оси

—

между

§ 125. Геометрия
18

Орнамент рис.

чисел...

постро¬

ен по схеме 19. Здесь основная

фигура

через отражение

центром

носительно оси, не

через

фигуры

возникает из

проходящей

центр. Оси

этот

оси

простые

перпендикулярные

можно
витки:

отражения,

же

В

оси.

скользящие

отбросить

симме¬

ней, суть

трии, параллельные к
только

с

от¬

только

—

орнаменте

основные за¬
с

получится фигура

той

группой симметрии,
20, но с вертикальным пере¬
типа

же

рис.

носом.
одни

Наоборот,

завитки,

должает быть
типа

группа про¬

точно

указанного

(рис. 19), который

получить
нием

если оставить

то

из

можно

рис. 21с продолже¬

отражения.

На рис. 22
пу вращений

отражений.

мы находим

на

90° без

Это квадратная ре¬

шетка с основной

пускающей
схема

—

фигурой,

только
и

вращение,

груп¬

всяких

до¬

указанное

ничего

более. Ее

рис. 23.

Менее интересен орнамент
рис. 24

с основной

фигурой,

ладающей вращением на 90°

четырьмя

осями

отражения,

и

ко¬

торые проходят через

ее

наподобие

равными

концами.

креста

Здесь,

с

так

Рис. 22

об¬

центр,

сказать,

«буквальные» отраже¬
Гораздо сложнее зато ор¬

слишком
ния.

намент на рис.

фигура

25. Тут

возникает

из

основная

фигуры

Рис. 23

с

753

V. Переход к специальной теории числа

Рис. 24

Рис. 2 5

вращением в

90° через отражение

относительно оси, не

через центр. Оси симметрии, параллельные
являются осями

отражения,

подвижные точки

но только они не

ражения. Решетка переносов здесь

тоже

зу видно (нужно повернуть рисунок
со

с

на

45°,

ними.

не¬

Обе

из осей скользящего от¬

квадратная,

это обычно. В заключение

ра из восточного искусства.

60°

проходят через

хотя ее и не

сра¬

и тогда станет заметным

сторонами, проходящими через четыре средние точки).

В орнаментах

в

проходящей

сторонам квадратов,

вращений, проходя посредине между

совокупности других осей состоят только

квадрат

к

6 складными

вроде бантика

прибавим

Один*, рис. 26,

осями. Основной

—

это

фигурой

трилистника, который, однако,

Этот замечательный образец

Prisse dAvenues. Pzn arabe. [Paris,

1877].

754

группа вращений

является здесь нечто
не

относится к XIV в.

’

еще два приме¬

сразу выделяется.

(мечеть

в

Каире).

§ 125. Геометрия

Рис.

чисел...

26

образец восточной орнаментики*
рис.27.Основнуюфигуруитутнесразурассмотришь простойкрест

Другой такой же замечательный

—

—

с

16-кратной симметрией. Тут

потом

мы находим

четыре вида осей отражения,

группу вращений

потом еще восемь

в

90°,

дальнейших

симметрии, соединенных с отражениями, т. е. скользящие отражения
в плоскости,

лежачих

которые перемещают один

крестов. Что

же

касается

на место

вращений,

другого оба ряда

то

тут

вращательные отражения вокруг центров розеток

горизонтальные

и

вертикальные

две группы простых
предыдущими

отражения
•

и

витых

винтовые оси

осей, повернутых

на

крестов.

VogueM.de. Syrie centrale.
755

находим

углами

в

±90°;

между розетками;

45°

проходящих через центр розеток;

на 180°

с

мы

по
и

сравнению

с

вращательные

V. Переход к специальной теории числа

Рис. 27

Ъ.

Наконец,

богатейший

теории групп дает

и

интереснейший

кристаллография,

кристаллограф Федоров определил

и

материал

где замечательный
вывел

для

русский

групповое строение

кристаллов. В настоящее время

можно

сталлическом

котором играют основную роль

отражения

пространстве,

в

и движения, лежащие в основе

говорить вообще

симметрии,

о

кри¬

аналогично с

рассмотреннымивышеплоскимирешетками.Группы,определяющие
собою кристаллическое пространство, формулируются чисто
и

теоретически,

само

кристаллическое

пространство

получает

вполне априорную структуру Так выводится 32 кристаллических
можно найти в ниже

класса, таблицу которых

водстве. Мы, однако,

не станем

указываемом руко¬

приводить этот материал, потому

принципы групповой структуры достаточно иллюстрируются

что

фактами плоской решетки*.

§ 126. Модуль, кольцо,

Выше,

в

§ 123,

выразительного

п.

числа.

Остановимся вкратце
1.

а)

поле

3 Ь, были указаны
Из

и на

них

мы

все

коснулись

только

формы
группы.

прочих формах.

Когда разность каждых двух элементов совокупности

принадлежит

к

модуля. В § 124,

п.

самой

2а, для

совокупности, последняя
модуля был приведен

носит

название

простейший числовой

пример. Без дальнейшего видно, что модуль есть
’

основные

элементарный

вид

Делоне Б., Падуров Н., Александров А. Математические основы структур¬
М.—Л., 1934. Руководство это написано чрезвы¬

ного анализа кристаллов <...>

чайно ясно и просто, с массой

иллюстраций.
756

§ 126. Модуль,

кольцо, поле

выразительной формой (как это
Также
отчетливо
видно, что здесь налицо вся наша
§ 123).

ряда рядов и что поэтому является
вытекает из

пятиступенная диалектика.

Перво-принципом модуля в узком смысле

слова является, очевидно,

композиционный принцип

это

таких

совокупность

которых относится к самой
принцип его

структуры)

в нем возможны,

ряд

есть

а эта

возможных

совокупность

совокупность

если

последовательный

тоже

называется

модулем.

виду наименьшая разность двух

в

числа а и b

есть число

разница (а—Ь)

фундаментальный ряд разностей
то

е.

разностей, которые

и дает нам

кратные. Говорится: два

и все ее

модулю т,

всех

взаимоотношений, определяющих структуру

Здесь, следовательно, имеются

по

из

двух

совокупности. Принцип модуля (т.

модуля. Этот последовательный ряд
элементов

каждых

потому что принцип есть первообразная структура

перво-принципа,
всех

разность

элементов,

вычитания:

есть

принцип,

каждый реальный ряд чисел, входящий

—

сравнимы

модуля. Но

в

или

если этот

бытие, модуля,

модуль, есть уже

становление модуля, так как каждый такой реальный ряд чисел есть
постепенное

и последовательное

Ь) Становлению

осуществление
поставлен

быть

должен

этих

разностей.

предел.

В

модуле

это делается путем т. н. полной системы вычетов. Чтобы усвоить
диалектическое значение вычетов,
математики
но

о

в

к

применении

ряде классов,

понимая

равноостаточных при делении
нибудь

обратим

модулю говорят
под

классом

на число

примера, приведенного в

модулю

§ 124,

п.

т.

2а,

о

не

на

ряде

числу,

то

проще

представителей

напр., модуль

=

всего судить по

другое

число того же

Кроме того, как ясно видно из

для каждого модуля т имеется

10,

то полной системой вычетов может

определяет собою границы

получаем

зрения

возможных

типов

служить ряд

становления

сколько классов

и

систему модуля

форму. Внутренняя структура

все классы
—

мы

арифметически выразительную
т. е. первоначальный ряд

модуля,
757

всей

какие классы

согласно этой системе вычетов, и
как

Если,

полная система вычетов

систему модуля. Остается, след., чтобы

реально построены
всю

точки

определяет собою,

чисел входят во всю
были

любому

наименьшему вычету. Система

всех классов и есть полная система вычетов.

О, 1,2,... 9- С диалектической

системы. Она

рядов,

совокупность чисел,

и т разных классов. А так как судить о классе можно по
его

что

то,

модуля. Тогда, имея какое-

число а, мы можем сказать, что всякое

класса есть вычет числа а по

внимание

V. Переход к специальной теории числа

разностей,

кратных

включается внешне-смысловым

различных

классов чисел, точно

значению

чисел.

зафиксированных

Но

внутренно-внешняя

3 Ь,

мы имели также

образом

в виде

абсолютному

по

форма

смысловая

есть

выражение.
2. а) В § 123,

Кольцо

п.

есть система с

указание

двойной композицией,

системой элементов, из которых каждая
их

и их

сумму

тоже

произведение,

принадлежит
эта

(§ 124),

к системе.

композиционная

Как

бытии кольца

так как оно является

пара однозначно определяет

эта

и это

сумма

произведение

и в отношении понятия

структура кольца

(структуры)

его принципа

перво-принципа,
наличном

причем

на понятие кольца.

мы находим

и

есть

группы

результат

его
В

его становления.

различные

законы сложения и

умножения элементов (коммутативностьумножения необязательна),
дающие возможность строить отдельные

Тут необходимо

«классы» в пределах кольца.

заметить, что когда произведение равно нулю, то

это еще не значит, что один из сомножителей всегда равен нулю.
Когда ни один сомножитель не равен нулю

0),

то они называются делителями

(при произведении

их

=

нуля (пример: пары чисел, когда

сложение и умножение этих пар определяется комплексно, образуют
кольцо с делителями нуля). Если

коммутативно,
Что

кольца, то, как и в

наконец,

отнюдь не всегда.

четные

Ь)
то

тут

—

нет и кольцо

момента

выразительного

категории группы (§ 124),

обратный

и

делителей нуля

его называют областью целостности.

касается,

единицу

этих

в

понятии

мы имеем здесь элемент-

элемент. Но только эта единица налична здесь

Так,

целые числа

кольцо с единицей, а

образуют

кольцо без единицы.

Если от понятия кольца

перейти

к его

мы сталкиваемся сначала с понятием

реальной структуре,

подкольца,

т. е. нового

кольца, входящего в состав данного кольца, а потом с очень важным

идеала,

понятием

делителя

в

вполне

группе. Если

совокупность элементов,
следует вхождение
и

кольца,

оставить в

такая

состав

что

в нее и их

произведение одного из
то

аналогичным

в

из

понятию

данного

вхождения

произведения

ее элементов на

совокупность

называется

кольца

в нее

порожденным через

произвольный
идеалом

все элементы

элемент

кольца.

только из

кольца),

элемент а, мы называем идеал,

758

такая

двух элементов

и что в нее же входит

стороне нулевой идеал (состоящий

единичный идеал (содержащий

нормального
входит

Если

нуля)

и

то идеалом,

состоящий

из

§ 126. Модуль,
всех элементов вида ra+пщ где г

целое

(а)

суммы ±Ъа=па. Идеал

Идеал (а)

порождаться
К

по

элемент кольца, а п

крайней мере

содержащий

главным

Идеал вообще

идеалом.

кольцо

аналогично

также

изоморфизма

понятия

группам. И

Имея

на

именно

классы,

идеалом

мы

соответствует

войдут элементы
исчерпываются
сказать,

что

и так:

а

все

прочие

гомоморфное

при

в виде классов вычетов по

другим
классы

гомоморфизму

помощи

с данным.

В

это

идеалу. Кольцом

идеала
кольцо

вычетов

гомоморфные с данным, откуда можно
классов вычетов изоморфно с элементами

все кольца,

кольцо

другого кольца. Или: кольцо, гомоморфное
кольцу

одного

этого кольца с

первого кольца,

Можно сказать

можно построить кольцо,

разбиваем

образ в другом кольце. Класс кольца,

суть классы вычетов этого идеала, так что всякому

идеал.

гомо¬

этим явлением

элементов

совокупности

соответствующий нулю при гомоморфизме
является

и

нормальные делители

как там

гомоморфизма, так здесь с
два гомоморфные кольца,

кольца, имеющих один и тот же

кольцом,

может

и несколькими элементами.

идеалы.

на

а, потому

входят все кратные па и все

связаны с явлением

связаны

вообще

—

(а) есть пересечение всех идеалов, содержащих

называется

кольцу применимы

морфизма,
были

—

число. Это есть наименьший идеал,

что во всякий идеал

а.

кольцо, поле

вычетов последнего. И

обратно,

с

другим, изоморфно

кольцо вычетов по данному

произвол ьному идеалу есть гомоморфное отображение кольца. Пусть
мы имеем кольцо целых чисел.

Классами вычетов по

положительному числу окажутся
делении
Эта

какому-нибудь

в этом кольце классы, дающие

при

на число этого идеала тот или иной постоянный остаток.

картина

построения

фиксации, аналогичной

с

колец

требует

теорией групп (§ 124).

класс чисел, входящий в кольцо, окажется

первообразным, указывая

на основную структуру «бытия» кольца, а наличие

указывает

на его становление. Вычеты

диалектической
А именно, один

приводят

впервые создавая реальное существование

к

вообще

наличному бытию,

классов с

значением отдельных элементов. Это и есть идеалы, или

делители кольца. Отсюда уже

вытекает

и

классов

абсолютным

нормальные

выразительная форма

кольцевой структуры, которая может быть представлена в виде кольца
главных идеалов. Здесь внутреннее строение идеала оказывается
выходящим за пределы идеала, так как оно распространено на все
кольцо, структура которого оказывается, таким
759

образом, внутренно-

V. Переход к специальной теории числа

внешней. Уже кольцо целых чисел содержит только главные идеалы,
откуда область целостности с

единицей,

в

которой каждый

идеал

является главным, и есть не что иное, как кольцо главных идеалов.
Кольцо целых гауссовских чисел а+Ы также есть кольцо главных
идеалов.
3.

а) Наконец, в § 123, п. ЗЬ, была указана и еще одна выразительная

форма,

это

уравнения

поле. Поле можно

—

ах

=

b

и

ya

определить

как кольцо, в

b всегда разрешимы при а

=

*

котором

О (и, конечно,

при условии, что имеется по крайней мере один элемент, не равный
нулю). Попросту говоря, поле есть совокупность элементов, над
которыми можно производить четыре арифметических действия,
выходя за
поля

является

двойная композиция

умножения (деления). Выявляется
поле состоит из элементов как из

же

—

не

пределы самой совокупности. Отсюда перво-принципом

и законы вычитания и

Стоит отметить,

этот

элемента-единицы и,

в

умножения,

выше

сложения

(вычитания)

перво-принцип

и

в том, что

результатов этой композиции. Тут

что поле не может

разрешимости указанных

—

аналогичные

предыдущему.

содержать делителей нуля. Из

уравнений

вытекает

дальнейшем, обратного

существование

элемента.

Поэтому

диалектика понятия поля вполне аналогична диалектике понятия
группы, модуля и кольца.

Ь) Обратимся

*

к

реальной структуре поля*.

В рукописи текст

обрывается посреди страницы (реду
760

ПОСЛЕСЛОВИЕ

МЕТАМАТЕМАТИКА АЛЕКСЕЯ ЛОСЕВА

Из Хаоса родимого
Гляди
Звезда, Звезда!..
—

Из Нет непримиримого

—

Слепительное Да!..
Вяч. Иванов. Огненосцы

Эпиграф,

как известно, должен вводить и

кать и останавливать,
вествования. Он

последних, он,
мающимся
точек

—

указывать

как

начало и

резюмировать, увле¬

предвосхищать конец

замкнутая кривая, где

вернее, подобен такой окружности

радиусом,

в

которой хоровод друг

стремится сойтись

четверостишие

в

центр,

поэтического

в

по¬

нет первых частей и нет

в

с

неуклонно

сжи¬

друга переходящих

средоточие единого вихря. Это

сборника Corardens поможет (должно

помочь) нам сегодня, когда из глухих

небытия вдруг являет¬

глубин

ся новый, неизвестный пласт творчества выдающегося мыслителя,
сам момент важного

и

обретения нашей культуры получает символи¬
соразмерной яркости. Четверостишие,

ческую окраску подобающей,

будем

надеяться, поможет вычленить и нечто главное в этом творче¬

стве, мощном и длительном, разностороннем и, вместе, необычайно
цельном, в творчестве еще и воистину светоносном. Свет упомянут
не

случайно, не «для образности»: всякая мыслительная конструкция,

всякое

умопостроение

версальной интуицией,
в

мире

нет ничего

и

умонастроение у Лосева пронизаны уни¬

а именно,

кроме света,

интуицией

«слепительного

а тьма и любые

761

прочие,

Да»,

—

по излюблен¬

В. П.

ному авторскому выражению,
ко оттенять,
являя

Троицкий

«степени затемнения» призваны толь¬

окаймлять, обрамлять четкие контуры

неразрывное единение

темного

фона

ум призван равноправно сопрячь Тьму

обнаружить

их

и

Свет, Хаос

хаокосмическую Гармонию,

положение лосевского

творчества

и видимые точки,

и светового лика. И

—

счастливо

это

и

раз¬

Логос, должен

фундаментальное

выражают стихотвор¬

строки Вячеслава Иванова.

ные

Далее
прочего,

нам остается последовать законам писательства и,
по возможности полно

развернуть

среди

на большем текстовом

пространстве богатые потенции эпиграфа.

1. Недостающее

звено

Работа А. Ф. Лосева «Диалектические основы математики», соз¬
данная

ра. Так

в

1930-х годах,

что

не знала печатного станка

теперь перед

нами

жизни авто¬

при

действительно предстает

стающее звено творчества этого выдающегося

некое недо¬

философа.

Рассмо¬

трим вкратце, при каких условиях могла появиться и появилась эта

работа.
Туг

немаловажную роль сыграли известные внешние обстоя¬

тельства
ская

жизни

Лосева, арест

«перековка». Лагерный

в

1930 году

и

опыт явственно

разработка идей, выдвинутых

последующая
учил,

что

сталин¬

дальнейшая

в знаменитом «восьмикнижии»

годов, была бы попросту

20-х

самоубийственна, поскольку
требовала острых обобщений социологического, культу¬
рологического и богословского характера. Нужно было искать но¬

она по необ¬

ходимости

вые темы и целые области
похоже, начался еще в

руководством»*,
удерживалась

в

а

уже

уме)

сил. Этот поиск,

тюрьме, где Лосев «прошел подробный курс

и

дифференциального

приложения творческих

в

интегрального исчисления, под хорошим

Свирьлаге

писалась

(вернее,

сочинялась и

книга по диалектике аналитических

функций.

В архиве Лосева, надо отметить, хранится небольшая пачка разроз¬
ненных листков, относящихся к лагерной поре его жизни.

Лихора¬

дочные, сделанные в очевидно не подходящих не только для творче¬
ства, но и просто для элементарного письма условиях, эти

*

наброски

Письмо А. Ф. Лосева к В. М. Лосевой от 12 декабря 1931 года. Обмолвка

«под хорошим руководством» показательна

верситетов» можно было изучать едва ли всё
ской клинописи.

762

—

в

в «потоках» ГУЛАГовских

размахе

«уни¬

от генетики до шумер¬

Послесловие

проливают свет на раннюю историю создания тех же
ских основ математики» и
и о

гражданском подвиге

их

научном,

так

автора.

биографии Лосева был короткий период, когда внеш¬
начинали складываться, казалось, вполне благоприятно

Впрочем,
ние условия

верно свидетельствуют

«Диалектиче¬

как о

в

для некоторых его творческих планов. Таковым было время недолгой

работы на философском факультете Московского университета в на¬
чале 40-х годов, когда там создавалась кафедра логики. В архиве Ло¬
сева сохранился машинописный «План научно-исследовательской
работы философского факультета МГУ

на

1943 г.», где

по

разделу

«Логика» даже планировалось издание работы Лосева объемом

в

три

Довольно обширная статья под названием «Логиче¬
ская теория числа» действительно была написана (как можно теперь
печатных листа.

она

заключить,
вы

представляла собой переработанные начальные

«Диалектических

основ

математики»),

потом при жизни автора так и не

Та
к

же

участь ожидала

«Диалектическим

гла¬

однако ни в 1943 году, ни

публиковалась*.

и все остальные сочинения,

примыкавшие

основам математики» и рожденные по ходу сво¬

еобразного логико-философского «штурма», предпринятого фило¬
софом**; он сошел на нет после изгнания Лосева из университета в
1944 году

в

результате доноса

и

обвинения

шлось оставить темы «математические»
читься

—

уже более удачливо,

—

на

и в

в «идеализме».

Так при¬

дальнейшем сосредото¬

«истории античной эстетики».

Надежды на относительную нейтральность логико-математических
тем оказались иллюзорными,
лов

и

результатов

в

и

обо всем размахе лосевских замыс¬

этой области может судить лишь современный

читатель. В который раз подтвердилась печальная истина, со знани¬
ем дела констатирована когда-то П. А. Флоренским
сти отставания по

одинокого

фазе

творчества

и

по меньшей

мере

—

на полвека

о

неизбежно¬

между

взлетом

признанием заслуг творца медленно дозре¬

вающим обществом.
Кроме обстоятельств

внешнего

порядка,

сознательные логико¬

математические «экскурсы» Лосева диктовались и
*

Работа впервые издана в журнале «Вопросы

внутренней

философии». 1994.

по¬

№ 11.

С. 82-134.
**

Эти работы сохранились в архиве А Ф. Лосева, часть из них была опу¬
бликована недавно: это «О методе бесконечно-малых в логике» и «Некоторые
элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления
бесконечно-малых» (в кн.: Лосев А. Ф. Хаос и структура. М., 1997).
763

В. П. Троицкий

требностью творческого бытия философа. Скажем так: вся работа,
проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалекти¬
ки мифа» (1930), позволяла не только с уверенностью указывать на
Имя,
«трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз миропонимания,
—

Миф, Число,

—

и «абсолютной

определяла программу научных исследо¬

но и точно

ваний. Именно, вслед

за

(или, вернее, вместе с) «философией имени»

мифологией» должна

была строиться и

«философия

числа».

Впрочем, в строительстве этом существенно, подчеркнем, разли¬
чался

род действий,

о чем

надобно судить с должной бережностью

и

пониманием.

Очевидное тяготение Лосева к систематическому методу диалек¬
тики с

опорой

нести его с

на упомянутую выше

давней

в этой цепи

и

триаду

преемств

составляют Платон и

ют неоплатоники во главе с Плотином и

Кузанский,

потом

позволяет

твердо

соот¬

необычайно стойкой традицией. Первые звенья

—

Аристотель, далее

Проклом,

затем

—

следу¬

Николай

немецкие идеалисты в лице Шеллинга и Гегеля.

Наконец, новое и последнее звено было ковано на кузне отечествен¬
ной мысли...

Конечно, диалектическим

многие из лосевских

учителей

и

методом блестяще владели

современников,

вспомнить хотя бы

Вл. Соловьева, Флоренского, Франка, Карсавина, Ильина, Муравьева.
Пожалуй, лосевский вклад и на этом фоне выделяется своим идей¬

ным монизмом, непоколебимой последовательностью в приложе¬
ниях, возведенным в принцип универсализмом. Но не только. Здесь
еще явлен как раз итог,

фактически произнесено последнее слово.
интереснейшее преди¬

По констатации В. М. Лосевой, написавшей
словие к

«Диалектическим

мы имеем дело с одним из

основам математики», в

«случае Лосева»

«завершительных, резюмирующих умов»,

каковые «всегда появлялись в конце великих эпох для того, чтобы

привести

в

систему вековую работу

рающей культуры, чтобы передать

мысли и создать
его новой

инвентарь уми¬

культуре,

только еще

строящейся» (6)*.
Теперь нужно уточнить характер
ской цепи,
ее

крайние звенья. Когда

сева касалась
*

означенного

образа

вернее сказать, цепи платоновско-лосевской,

проблем

в

платонов¬
если

брать

20-х годах систематизирующая мысль Ло¬

идеологических, социальных и религиозных,

Цифрами в скобках здесь и далее указываются страницы настоящего из¬

дания.
764

Послесловие

платонизм неизбежно получал

(когда

православное переосмысление
лектик» не

тому в

открытое)

—

критику. «Последний русский диа¬
но

(для непосредственного

недостатки и даже опасности

мания) вроде,

скрытое, когда

двухтысячелетней традицией,

с

порывал

и

—

указывал

ее

жизнепони¬

скажем, безличного онтологизма или пантеизма. По¬

Имени и

сферах

Мифа

идеология платонизма нуждалась в

принципиальных поправках, оговорках и дополнениях. Когда же в
30—40-х годах Лосев сосредотачивался на
математики и логики, полагаясь, как мы

философских вопросах

уже говорили,

на относи¬

тельную нейтральность этой области, прежняя неоплатоническая
техника мысли

уже

не

требовала

сфере

качественных изменений. В

Числа великая цепь укреплялась не столько наращиванием, сколько
отделкой
и даже

в

некоторых старых

древнего метода,

в свете

звеньях. По

приложении старинного

незыблемых «принципов» недостаю¬

щие обобщения получали именно «факты» той обширной области
точных
и

наук,

что

традиционно считалась самой структурированной

вообще развитой областью
Тени

ниц

логико-математических

«Логической

В. М.

Лосевой)

нимавшейся

и там встают со стра¬
исследований Лосева. Ажурная архи¬

теории

(12),

она

безусловно (согласимся с
философской литературе, за¬

числа»,

«одного из шедевров в

числом»

соразмерна, сомасштабна, сопри-

родна триадическим построениям «учения
гики» Гегеля.

Когда

живаются веские

времени.

предшественников здесь

великих

тектоника

знания Нового

в

«Диалектических

суждения

о бытии» из

«Науки

основах математики»

ло¬

обнару¬

о «множестве всех чисел» и за таковым

закрепляется термин «тотальность»,

в

родственном ряду

мы

тут

же

находим «единство множества», Totalitat Шеллинга. И в той же книге

прослеживая логическую «дедукцию геометрических фигур», нужно
обязательно
моса и

прямо

вспомнить более

ранние построения «Античного

современной науки», которые,
к

Проклу

с его

в свою

очередь, выводят

вольно заставляет вспомнить

Кузы

—

нас

комментариями «Элементов» Евклида. Чтение

философского эссе «О форме бесконечности» (510—519)

лая из

кос¬

почти не¬

трактат «Об ученом неведении» Нико¬

столь, можно сказать, равномощны эти два текста. Во

всяком случае, там, где затрагиваются одни и те же темы, разительно
совпадают и результаты. Даже тогда, когда в своем диалектическом
освещении нескончаемой математической «эмпирии» Лосев
щается к

проблемам,

обра¬

еще не ведомым его предшественникам

765

(не¬

В. П.

счетность в

ятностей

и

теории множеств,

тщ.), ему, кажется,

Троицкий

типы логик и

геометрий, теория веро¬

доставляет сил спокойная уверенность,

что античные неоплатоники и немецкие диалектики

творить сегодня

где

в

—

воспарили бы

—

доведись им

в тех же логических

«эмпиреях»,

реально-историческом одиночестве пребывал он,

их

россий¬

ский vis-a-vis.

2. «В траншеях ленинской диалектики*

Приступая теперь

к

ской «философии числа»,

ее автора, методом
к

более подробной характеристике лосев¬
мы

воспользуемся излюбленным приемом

«меонального

отграничения»: чтобы подвести

какому-нибудь «это», нужно всесторонне рассмотреть «то, что не
Приверженность подобной интеллектуальной технике

есть это».

(напомним,

что ее

применял Сократ

платоники) лишний раз показывает
цельность творчества Лосева,

и

особенно привечали нео¬

и доказывает

действительную

который предстает диалектиком

и по

содержанию полученных результатов, и по стилистике способа до¬
бывания таковых.
Итак, каким же было «Нет непримиримое» в ту именно пору, ког¬
да творилось «слепительное Да» этого

характеристик)

«маленького

(воспользуемся одной из само¬

философа

в

[конечно,

большом

—

В.

Г.]

Советском Союзе»? Для тогдашней ситуации характерен заголовок
небольшой заметки из газеты «Вечерняя Москва» за 10 апреля 1929
года: «В траншеях ленинской диалектики»*. В статье торжественно
извещалось о наступившей решающей схватке (как раз шла 2-я кон¬

ференция марксистских научно-исследовательских учреждений)
между отечественными «механистами» и «диалектиками». Здесь нас
не занимают подробности этой мало научной и не без зловещих от¬
тенков

дискуссии, приведшей

в конце концов к

многих ее участников, как «победителей», так
нее отметить
тот

факт,

и

прямым репрессиям

«побежденных». Важ¬

специфически «фронтовую» риторику тех лет,

что как

раз отданного репортажа

а также

с места «боевых действий»

’

Точнее,

по обыкновению тех лет

интересующий нас заголовок многоя«Воль¬
// Идеологические бои.

русен: «В траншеях ленинской диалектики

—

Психология во власти идеалистов.
Физика в ту¬
ные стрелки» из ГАХН.
пике.
В чем ошибка «механистов»?
Только на основе диалектического
материализма // На конференции марксистских научно-исследовательских
—

—

—

—

учреждений // (Доклад тов. А. М. Деборина)». Заметка не подписана, но можно
предположить, учитывая примыкающие

766

публикации,

что ее автор —А.

Кут.

Послесловие

следует начинать отсчет всей череды многочисленных
в

тогдашней печати, где

так или иначе

лист и мистик Лосев». После заметки

изложившей доклад А М.
налась

в

«Правде»

за 11

апреля 1929 года

апреля. Чуть

появился

позже

уже

начи¬

короткий

сам доклад под

«Современные проблемы философии марксизма» был

названием

опубликован

в полном

объеме сначала «Вестником Коммунистиче¬

ской Академии», затем тремя отдельными изданиями

годах, уже

выступлений

поминался «идеа¬

«Вечерней Москвы», впервые
него 8

конференция),

всесоюзная

упомянутая

комментарий

Деборина (с

ругательно

вместе со

Но обратимся

стенограммами прений

к заметке в

«Вечерней

картину «ожесточенных боев на

по

1929

в

и

1930

докладу.

Москве». Ее автор рисует

философском фронте»,

в ходе ко¬

торых «воинственные материалисты-диалектики» вынуждены
только наносить

«сокрушительные удары противникам

фронте”, извращающим

нем

основы

на

не

“внутрен¬

материалистической

диалек¬

тики», но они также успешно «сражаются с исконным внешним вра¬
гом

—

идеализмом». Оказывается, «значительные кадры идеалистов,

не сложив оружия, окопались в ряде наших

производят вылазки

учреждений (например,
стрелков”. Тов.

“вольных

ГАХНе)
Деборин подробно характеризует суть “средневековщины”
в

и

из таких

“стрелков”

—

в качестве

Лосева, стоящего

на позиции

одного

“диалектиче¬

ского”... идеализма». Действительно, целые страницы вступительной
части

программного доклада А М. Деборина отданы разбору учения

этого

«реставратора» диалектики (при этом цитируются

ва «Античный космос и

вышедшие в 1927

современная наука»

году), который

“чистую диалектику” Плотина
лектике

Маркса, Энгельса

и

—

и

книги Лосе¬

«Философия

неслыханно!

—

имени»,

«предпочитает

Прокла материалистической

и Ленина».

диа¬

Конечно же, заключает доклад¬

чик, эта «лосевская идеология отражает настроения самых реакци¬
онных элементов нашей страны»,

и

напоминает своим

коллегам,

«борьба
обязанностью»*.

с идеализмом и мистицизмом является нашей

что

Как

первой

видим, размежевание Лосева и его советского окружения

обозначалось явственно и недвусмысленно. «Новая русская

софская

внутри России жив дух истинного

*

фило¬

система», свидетельствующая своим появлением, «что и

философского творчества,

Вестник Коммунистической Академии. 1929. № 32 (2). С. 4—5.
767

па-

В. П. Троицкий

чистой мысли,

фос

констатацию С. Л.
иначе

на абсолютное»

Франка*, который

откликнулся

чел» А. М.

направленной

в

(воспроизводим

эмигрантском далеке

Лосева,

на те же две книги

что год

совсем

спустя «про¬

Деборин), понадобилась советским философам скорее для

сведения счетов «со своими». В этом отношении весьма показатель¬
ны материалы дискуссии по

деборинскому докладу, где торжествую¬
бросают упрек сконфуженным «механистам», по¬

щие «диалектики»

партийной бдительности

скольку последние не проявили должной
и

вовремя

не объявили бой

«идеализму

шпетов и лосевых», в то вре¬

мя как «диалектики» уже начали окопную
те...

Заметим,

что

войну на

«внешнем»

первые выпады против Лосева исходили

фрон¬

именно из

лагеря, где еще были способны (хотя бы втайне) оценить реальное
значение «чистой диалектики».

Сохранились свидетельства,

сев строил планы объяснения с
взаимопонимание на почве

установить с ним
Дебориным,
научной (неидеологизированной) мыс¬

ли. Показательны в этой связи

падной, прежде

всего

что Ло¬

желая

некоторые сочувственные отклики

эмигрантской прессы,

на итоги

за¬

философской

батрахомиомахии в Советском Союзе, когда отмечалось, что «деборинцы ценили специфичность философии», «в их работах воскре¬
сали основные философские категории» (П. Востоков), обнаружива¬
лись «тенденции к

идеализму»

«обособление философии

Итак,

и

чуть ли

не намечалось

от политики»

даже в относительно

необходимое

(Н. Бердяев)**.

либеральные времена

конца 20-х го¬

дов, когда «никакого классового содержания» еще можно было не
находить «ни в
конах

Пифагоровой теореме,

Менделя»

ни в

и тем самым еще на деле

правиле Ампера,

сопротивляться

ни в за¬

«солнеч¬

марксизма»***, уже тогда лосевская философская система
его «философия числа» в частности были обречены на

ной истине

вообще

и

отторжение. Что

ж тогда

говорить об интеллектуальной атмосфе¬

ре 30-х годов, когда философское освещение проблем математики
«обогатилось» борьбой
что
и

Д. Ф. Егоров

когда,

по

и Н. Н.

с

«егоровщиной»

Лузин

и

«лузинщиной» (заметим,
друзей Лосева)

входили в круг близких

определению современных исследователей,

«пышным

*

Франк С. Новая русская философская система // Путь (Париж). 1928.
№ 9. С. 89,90.
Брушлинский В. Отклики на философскую дискуссию 1930 г. в ино¬
странной прессе //Под знаменем марксизма. 1936. № 1. С. 189—191.
**

*“

Волков К. Диалог о диалектике // Научное слово. 1930. № 7—8. С. 44, 56.

768

Послесловие

побеждают «сдерживаемые

цветом расцветает славословие вождю» и

до

того

начетничество,

конъюнктурщина, раболепие,

догматизм,

беспринципность, аморальность, доносы друг

друга»*.

на

И какие же

труды, спросим мы, полагал издавать Лосев именно в эти годы? В его
«Диалектических основах математики» нет не только какого-то хотя
бы слабого намека на идейное сближение, к примеру, с Энгельсовой
«Диалектикой природы», тут нет даже
альных отсылок к

трудам

классиков

формальных

и чисто

риту¬

марксизма-ленинизма. А

каким

образом он цитировал таковых, если дело к тому все-таки шло, как
в работе примерно того же времени «О методе бесконечно-малых
Все «нужные»

в логике»?

локальные области
ность

ста)

автора,

или в

не

злободневные цитаты

и

вступительной

утруждая себя

части

чтением

компоновались в

(удобно проверить

содержательной

специальный отдельный параграф, где

механически скла¬

дируются высказывания имярек без всяких оценочных
опять-таки

лояль¬

части тек¬

суждений

и

без реальной увязки с собственными построениями. Во¬

обще исследователям «катакомбной» составляющей отечественной
философской мысли пример творчества Лосева дает много важней¬
шего материала, скажем, о той замечательной иронии,
явочным

порядком превращал

некие идеологемы из

полагающих в маргинальные, как, впрочем, и

с

которой

разряда

обратно,

—

он

осново¬

вспомним

имяславия, укрытое в недрах

анафематствование врагам
обширных примечаний книги «Античный
страстное

космос

и

современная

наука».
Лосев, конечно же,

желал видеть свои

ми, потому должен был так или иначе

работы опубликованны¬

кодифицировать

их на языке,

обществе. Однако его «перевод» принципиаль¬
сообщаемого. Вот только один пример из истории

господствовавшем в

но не искажал

создания «Диалектических

основ математики». В

сохранился небольшой машинописный
по

текст с

данной книге, которые рассматривались

архиве философа

перечнем поправок

в ответ на

критические

замечания С. А. Яновской и относились, можно предположить, к се¬
редине

30-х годов. Автором предусматривались некоторые коррек¬

тивы «в целях
изменения»

большей ясности»

(в

и вносились «чисто математические

изложениях аксиомы

Паша, проблем упорядочения

множеств, гильбертовского формализма
*

и

др.),

а также изменения

Богомолов А. Н., Роженко Н.М. Опыт «внедрения» диалектики в математи¬

ку в конце 20-х

—

начале

30-х

гг.

// Вопросы философии. 1991. № 9. С.37.
769

В. П.

«ради избежания
вания

Троицкий

политических

философского

кривотолков»

объективизма»

книги

и «в целях

(анализ

подчерки¬

дошедших до

нас материалов показывает, что правка была минимальной и носила

сугубо косметический характер). В заключение же перечня фикси¬
ровалось незыблемое и для нас, теперешних читателей, поучитель¬
ное: «Оставлены без изменения все места, где идет чисто логический
анализ. И
ся в

ку

вообще защищается логика

архиве

—

и

образчик

в виде отзыва на

Обнаружил¬
подобную установ¬

как чистая наука».

неизбежной реакции

«Диалектические

на

основы математики» за под¬

Жаровой. Тогдашний критик почему-то «отказывается ви¬
деть какой-нибудь вразумительный смысл» в высказываниях фило¬
софа, но зато уверенно замечает, что «автор исходит из идеалисти¬
писью П.

ческих, можно смело сказать,

религиозно-мистических установок,

проповедуя которые поднимается подчас

на

ступень подлинного

поэтического пафоса». Достаточная временная дистанция и,
ное, возможность

напрямую

нам все возможности

страстны

глав¬

познакомиться с учением Лосева дает

убедиться,

и сколь точно сама эта

насколько его критики были при¬

критика характеризовала обстоя¬

тельства момента высказывания.

3. У последних «как» и «почему»

Пожалуй,
метно

о самой

глухой

«тьме меона» сказано достаточно. За¬

содержательнее обещает быть рассмотрение более друже¬

ственного

Лосеву окружения.

Имеется в виду деятельность тех ин¬

теллектуалов, которые группировались тогда вокруг уже немного¬
численных
сти

(легальных

вокруг того,

и

не-)

очагов

свободной мысли,

что называют Московской математической школой

и московского же, но уже нелегального,
такое

и в частно¬

кружка имяславцев. Однако

рассмотрение приходится предварять одной важной

воркой: данный период

ого¬

отечественной истории еще недостаточно

изучен. К примеру, лишь совсем недавно были предприняты первые
попытки описания
тематической

*

реальной духовной атмосферы в упомянутой

школе*, весьма,

казалось

бы, известной

ма¬

школе. Самое

См.: Charles Ford Е. Dmitrii Egorov: Mathematics and

The Mathematical

Intelligencer. 1991. Vol. 13.

Religion in Moscow //
№ 2. Статья в основном обобщает

сведения, полученные в результате поисков С. С. Демидова и С. М. Половинки¬
на. Отметим также новое исследование: ГрэхэмЛ., Кантор Ж.-М. Имена беско¬

нечности: правдивая история о религиозном мистицизме и математическом
творчестве. СПб., 2011.

770

Послесловие

интимное и самое важное получало тогда только устную
или в

бликации

домолвки, а

переписку попадали

доверенные

форму, в пу¬

лишь отдаленные намеки и не¬

мысли, даже не самые радикальные,

бумаге

вполне могли удостоиться «депонирования» в хранилищах Лубянки*.

Потому многие предлагаемые ниже сближения

преимущественно реконструктивный, гипотетический харак¬

сят

тер

и сопоставления но¬

—

нужно это учесть.

Прежде всего, взаимно обогащающими объективно предстают

ровым

Лосева с математиками Д. Ф. Его¬

и личные отношения

творческие
и Н.

Лузиным. От первого

Н.

Лосев получал, прежде всего,

уроки строгого и сжатого изложения математического материала,
от второго

римости,
и

особый интерес

—

а от обоих вместе

к

—

теории меры

важные

и

проблематике

изме¬

интуиции теории множеств

функционального анализа. Признанные лидеры Московской мате¬

матической школы своим

творчеством блестяще

Лосев,

союз, о коем столько хлопотал и

который

математики,

философов
повторять

и математиков и

и

математики»

впервые»,

являли тот самый

«тот союз

философии

так

читаем мы в

редок у тех, кому суждено
и математические идеи,

«Диалектических

основах

(416).

представляется уместным

сказать несколько

подробнее

некоторых особенностях духовного пути Н. Н. Лузина. Известно,
еще молодым человеком он

связанный

с

и

интуитивных глубинах у настоящих

который

распространять философские

но не создавать их

Здесь

так част в

—

что

пережил мировоззренческий кризис,

необходимостью выбора специальности в науке и,

ное, с ранним

о

прикосновением

к

острейшим проблемам

глав¬

оснований

математики

(теоретико-множественные парадоксы, проблема кон¬
Он
тинуума).
отшатнулся от разверзшейся бездны, и даже много¬
летняя

дружба

с П.А.

отчаянном письме к

Флоренским

не

принесла облегчения. В своем

нему Н. Н. Лузин писал, отрекаясь

от

прежних

надежд: «Вы ищете бестрепетного сердца непреложной Истины,
оснований всему <...>,

а я... я не

жду последних “как”

и

“почему”,

и, бо¬

*

Яркий тому пример
«Манифест» московских имяславцев (около
1922 года), составленный рукою Лосева и подписанный Д. Ф. Егоровым,
—

среди прочих
Год и

из

кован

в

—

первым. Копия этого документа была передана А. А Тахо-

Центрального архива ФСБ РФ в 1995 году, он частично опубли¬
ее книге «Лосев» (серия «Жизнь замечательных людей». М., 1997;

2007).
771

В. П.

ясь

бесконечного,

я

Троицкий

сторонюсь его,

я не

верю

в

себя утешением, что сделался «специалистом»

(констатация

матиком»

профессия

чего

ты

Лузина

«как» и
ки»

классику мировой

вновь встали

«математиком от

—

Сама жизнь подтолкнула
их автономные

время

и для

в

их

—

о

квартирах

мате¬

те самые

от математи¬

и как

бы мы).

бы дополни¬

некоего целого, пусть и на

может

быть,

Арбате

у Лузина
и

короткое

одного-единственного вопро¬

природе бесконечного. О

на

Однако

когда он близко познакомился с

навстречу друг другу

сева? Для Лузина воистину личной

чем они

спорили

Воздвиженке у Ло¬

или на

воистину уязвляющей предста¬

«область загадок континуума», разрешить которые он хотел, по¬

вала

ложив все

И

математики.

философии» (как определили

существа до

разрешения,

са, но зато какого

вечерами

просто

Флоренским), от¬

перед ним, «философом

(лузинское самоопределение),

Лосевым

ла

переписки

и «стал

с П. А.

его, конечно же, только выиграла: многие результа¬

вошли в

«почему»

из той же

него»*. Он обманывал

силы на

«уничтожение идеи актуальной бесконечности».

полный крах вместо ожидаемого

—

туальной бесконечности

не только изначально близка:

ность в любых ее смыслах, и в

софском

триумфа**. Для Лосева

идея ак¬

«бесконеч¬

научно-математическом,

и в

фило¬

смысле, была для меня подлинной реальностью, включая

сюда и многие мои бытовые

подлежала

переживания»***. Бесконечность еще
философскому обоснованию, которое, надо признать,

автору «Диалектических основ математики» вполне удалось. Пото¬
му и понятно, что лосевские рассуждения о подлинно диалектиче¬
ском,

иерархийном устройстве мира бесконечностей

ре континуума (да,

сама

«бесструктурность»,

и «сплошность» имеют, по

выражены
драма идей

в столь
в ее

Лосеву,

торжественной

кульминационных

сама

свой особый и

или о

структу¬

«неразличимость»

узнаваемый лик!)

тональности. Так

разыгрывается

точках.

Далее, неизбежно приходится говорить об идейном сходстве
преемстве,

если в

и

кругу современников Лосева выделять фигуру уже

упоминавшегося П. А. Флоренского. Известно, например,
соко Лосев ставил и

книгу «Мнимости

в

сколь вы¬

геометрии» (1922)

и неиз¬

*

Письмо Н. Н. Лузина П. А. Флоренскому от 4.08.1915 г. // Историко¬
математические исследования. М., 1989. Вып. 31. С. 178.
“

А. Н.

Это драматическое признание

Крылову от 7.12.1934
*“

г.

//Там же.

зафиксировано:
С.

Письмо Н. Н. Лузина

243, 244.

Лосев Алексей. Из воспоминаний // Студенческий меридиан. 1990. № 5.

С. 31.

772

Послесловие

менное стремление ее автора к принципиальному единению

Безусловно близкими

фило¬

для Лосева предстают

софии
пифагорейско-платоновские по своим основаниям взгляды Флорен¬
и математики.

(в

ского на число

боте «Число

начале 20-х годов они получили

форма»),
трактовка
(особенно показательна ранняя

множеств

как

а также

бесконечности»).

символах

1904 года

—

Сближают мыслителей

общие установки: предпочтение диалектики
системам
гических

блемам

—

познания

(«конкретная метафизика»

разработчики

тривать любые факты

(Логос)
Да,

иным

более

философским

понимание не только

одного, «абсолютная

мировоззренческих,

и

имяславской

доктрины),

и явления в единстве

(оба

готовность

но
ак¬

—

рассма¬

структурно-смысловых

выравнивающе-десемантизирующих (Хаос) процессов.

их одинаково волновали именно последние «как»

мысленный взор каждого устремлялся

ческую даль,

вперялся в одну и ту же

как же без него,

сугубо

ра¬

статья «О

и многие

мироустроительных функций слова, имени, символизма

тивные

в

(откуда, к примеру, бодрое и даже деловое восприятие ло¬
антиномий), лишенное формалистики отношение к про¬

мифология» другого),
и

обобщение

канторовской теории

им

—

внешнее их

стилистическом

и

одну

и

ту же

—

различие скорее

всего

пролегало

на

уровне. Потому-то Флоренскому, засвиде¬

тельствовано, грезились зримые «корни вещей», каковые
тельно отличал от

«почему»,

феноменологи¬
глубинную точку. А различие
в

он «реши¬

бесструктурной мажущейся черной массы»*,

тому-то Лосев прозревал

по¬

«логические скрепы бытия» там, где боль¬

шинству рисовалось «безумное марево»

и

«сплошной туман неиз¬

вестно чего»**. Поневоле играли свою определяющую роль очевид¬
ные несовпадения на уровне психологических особенностей этих
личностей. Один, как истинный естествоиспытатель-коллекционер,
больше любил
ним

разнообразие

и

неповторимость представших пред

«реальных абстракций», потому

миная важнейшее из содеянного,

в письмах из

Соловков, припо¬

Флоренский особо

выделял иссле¬

дования «индивидуальности чисел», свое «изучение кривых in сопcreto» и прилагал к письмам скрупулезно и любовно выполненные

*

Флоренский П. А. Природа

М, 1992. С. 78.
Несколько
“

//Детям моим. Воспоминанья прошлых дней.

подробнее об этом сопоставлении см.: Троицкий В. П. «Антич¬
//Лосев А Ф. Бытие

ный космос и современная наука» и современная наука
Имя
Космос. М., 1993. С. 887—890.
—

773

—

В. П.

рисунки водорослей*

живых в такой же

мере,

как математические

и, подобно последним, столь же изощренно-структурных.

объекты,
Оттого

—

Троицкий

другой, прирожденный классификатор

Менделееву, потому

ГУЛАГа

в заметках из

(конечно,

может явственнее проступить глас личностной,

Лосев набрасывал
—

схемы

именно

яркий

след в

торов «Вех»

и

публицистике

участвуя

в

другом

как основная задача

временем

значительная часть его

кованной,
рядом

тяготели

явственно

с ним

к

нутряной сути)

типологий, первым

фигуре

к

примыкая

оста¬

группе

ав¬

«Из глуби¬
сборнике
философскую работу «Овладение

знаменитом

—

организации труда» (1924). Однако

основаниям

не
с

опубли¬

Лосевым

математики.

Имя

и

число,

характер учения Георга Кантора, последователь¬
числового

принципа

нутых Муравьевым вместе (повторим
Лосевым. Что же касается нюансов и

«философии

темам

обсуждать
мы

лишь после

—

одновременно

различий

и

затро¬

рядом)

с

в подходах к этим и

числа», то их, конечно, надлежит де¬

должной публикации работ Муравье¬

укажем разве

кличку. Она связана с

в диалектическом синтезе

вот только некоторые из тем,

единства-множественности

ва**. Поэтому

Муравьева. Он

творчества, остающаяся доныне

—

подобным

В. Н.

трудился мыслитель, интересы которого особенно

развертывание

тально

и

свидетельствует: одновременно

философским

ипостасийный
ное

систем

начала века,

ны», успел издать замечательную

и

в

числовых.

Нельзя не вспомнить здесь и о

вил

или

раз там,

как

изоляции, вдали от нивелирующего влияния библиотек

лагерной

делом

любитель кате¬

«таблицы» подобно Линнею

свои

горий, вдохновенно строил

и

главой «О

лишь на

одну примечательную пере¬

форме бесконечности» из «Диалекти¬

ческих основ математики». Стилистика главы определенно тяготеет
к

самодостаточной округлости эссе, здесь очевидна заостренность

провозглашаемых императивов (совершенно неожиданная среди
*

Первая публикация: Флоренский Павел. Письма

следие.
ла

—

1988. № 4. С. 128; здесь же

с Соловков

// Наше

на¬

воспроизведены некоторые рисунки о. Пав¬

потрясающие документы духовной биографии мыслителя.

**

В фонде В. Н. Муравьева в Рукописном отделе РГБ хранятся, к примеру,

рукописи с такими характерными названиями: «Диалектическое построение
множественности» (ф.189, п.10, е.х.11), «Основной элемент ряда чисел» (п.11,
е.х.5), «Пифагорейское учение о числах и современные проблемы» (п.13,

е.х.1), «Имяславие» (п.13, е.х.24). Недавно вышло в свет двухтомное собрание
трудов В. Н. Муравьева (подготовлено А Г. Гачевой), но в нем, к сожалению, не
нашлось места этим работам по «философии множественности».
774

Послесловие

подчеркнуто
нен

нейтрального содержания окружающих глав)

публицистический напор.

и явстве¬

Иными словами, данный текст носит

«вставной» характер и невольно заставляет вспомнить о знаменитых
«взрывчатых гнездах»

(удачное определение

ствовательной структуре «Диалектики

С. С.

Хоружего)

мифа». Откуда

«взрывчатое» рассуждение? «Мы изменим природу и
менее всего
о

нужно

читать

эту декларацию

собраний

в пове¬

пришло

космос»

это

(519),

—

марксистский лозунг

но прежде всего

переделывании действительности,

шать в ней голоса с имяславских

как

же

нужно услы¬

20-х годов. Нужно при¬

слушаться к свидетельству Муравьева, одного из участников таковых,

который утверждал
действия,

а

потому

о

и «основной

гармонической

ние

ческих и

нераздельности субъекта

системы

объединение

их в

задачей

и

объекта,

мысли и

имяславия» ставил «созда¬

органов осуществления

имен челове¬

Имени Божьем», который взывал: «Имя

славие, чтобы сохранить то, чего оно достигло, должно стать Имя
действием»*.
4. Аксиоматика

и метаматематика

Остается рассмотреть логико-математические
взяв их как целое и как некую, скажем,
щем ее

фоне мировых исследований

тики. Такое

в

рассмотрение правомерно

причинам. Во-первых,

к

работы Лосева,

световую точку

на оттеняю¬

области оснований матема¬
по меньшей

началу 40-х годов, когда

мере

по

лосевская

двум

«фило¬

софия числа» приняла известную нам форму, многое существенное в
данной области уже произошло
вполне ясное

щать

представление (иными словами, точку

допустимо).

на

фоне

поме¬

Уже не только был полностью исчерпан арсенал

наивно-эмпирических

Локка), была

и о многом главном сам Лосев имел

определений

не только создана

понятия числа

канторовская теория

статочно выявлены ее парадоксы, но и

преодоления**.

(от Евклида

выдвинуты едва ли

Почти завершился длинный

до

множеств и до¬
не все идеи

трудный путь от
Principia matbematica А Уайтхеда и Б. Рассела (1913) к «Основаниям
математики» Д. Гильберта и П. Бернайса (1939), уже начиналась (в
для их

том же

’

24

1939 году)

многолетняя многотомная сага Никола

Муравьев В. Н. [Имяславие. Тезисы] // ОР РГБ, ф. 189,

б, л.

и

п.

13,

е.х.

Бурбаки,

24 а,

л.

2;

е.х.

7.

“

Обоснованно нелестные оценки этим попыткам и распространенному
пониманию антиномичности «множеств» даны еще около 1925 года в книге
«Античный космос и современная наука».
775

В. П.

и

Троицкий

уже был получен основной результат К. Гёделя (1931), указующий

подобным титаническим усилиям нежданно

Во-вторых, эта проделанная целой
раз убеждала самого Лосева

ний

осмысление математического

вершения

здесь

и

в том, что подлинно

материала еще

«философию числа»

и что

убедительный предел*.

армией мыслителей работа

и

философское

слишком далеко от за¬

можно и должно

теперь (а нам, следовательно, точку

лиш¬

строить

—

ему,

фон необходимо раз¬

личать).
Различать так различать. Прежде всего, лосевское понимание
природы математических объектов максимально чуждо (еще не
вполне изжитому тогда в

науке) психологическому подходу,

выводя¬

щему представление о числе непосредственно из некоторого ком¬
плекса

переживаний субъекта. Автором «Диалектических

тематики»

и

отрицалась

куда более известная,

философской общественности
единственная,
нятиях как

доктрина

о

советского

научных,

результате абстракции,

ствительности.

периода даже едва

при

наличии

материальной дей¬

—

уже

(Met. 1078

непрестанно возобновляемой череды

(здесь видное место занимала как раз С. А. Яновская,
идейных оппонентов

Лосева),

абстрагирование

Аристо¬

«полагая
а

15),

—

апологетов

один из главных

надо подчеркнуть, метод

всегда страдал принципиально важным
на

после

предметы» надо было рассматривать,

что-то обособленно от привходящих свойств»
и

ли не

в том числе математических по¬

отвлечения от

При весьма почтенном возрасте,

теля «математические

основ ма¬

а для отечественной

дефектом:

абстракции

сама

установка

имплицитно содержит знание именно того по¬

нятия, которое надлежит определить. Это есть, как известно, логиче¬
ский круг. Отметим к случаю, что прямую

борьбу с аристотелевским
абстракции Лосев проводил в работах «Диа¬
лектика числа у Плотина» (1928) и «Критика платонизма у Аристоте¬
ля» (1929)**. В этих специальных античных экскурсах он приглашал
пониманием

числа как

современного читателя вернуться к старинному спору между Пла¬
тоном и

*

Аристотелем

о

природе числа, чтобы заново рассмотреть

Теорема Гёделя (о неполноте) довольно быстро вошла в круг тем, обсуж¬
философами; см.: Колъман Э. Предмет и методы совре¬

давшихся советскими
менной математики.
“

М., 1936 (особенно

с.

261—268).

Работы впервые переизданы в кн.: Лосев А. Ф. Миф

М., 1994. С. 527—876; здесь же помещен

наш

чисел».

776

—

комментарий

Число
к ним

—

—

Сущность.
«О смысле

Послесловие

аргументы сторон и

тировать

—

таково задание Лосева

—

осознанно

реабили¬

платонизм в математике.

Не столь однозначно отрицательным было отношение Лосева
к

логицизму. С одной стороны, ему безусловно импонировали

чинания

некоторых выдающихся ученых, приступивших

на

на¬

рубеже

XIX и XX веков к строительству оснований математики на аксиома¬
тических принципах. Действительно, подобно тому как привержен¬
цы методов Пеано и

Гильберта получали многочисленные матема¬
тические истины из немногих базовых утверждений-аксиом, так и
Лосев последовательно (от немногих содержательных посылок ко
многим формальным и неформальным следствиям) выводил и от¬
дельные математические понятия, и развернутые теоремы, и целые
типологии математического знания.

Громадное древо

с нею по

произрастает

из малого

и ее аксиомы.

Тут действительно уместны

зерна,

математики

мере роста развертываются
высказывания

подобного

«ботанического» окраса, ибо сама аксиоматика, по Лосеву,
на последовательном созревании

стороны,

«основана

категорий» (391). Однако, с другой

для него были неприемлемы многие изначальные, родо¬

вые особенности

формализм,

т.е.

гильбертовской

демонстративный
проблемах непротиворечивости
содержательных интерпретаций (для

сосредоточение

вывода при игнорировании

школы. Это и

на

философа, многому научившегося у Вл. Соловьева, подобная пози¬
ция попросту безжизненна), это и установка на строго обозримые
«финитные» методы рассуждений (потому формалистам предписы¬
валось навсегда «изгнать»

важнейшую

идею

актуальной бесконеч¬

ности), это, наконец, рискованная самозамкнутость гильбертовской
теории доказательств*. Последняя особенность требует отдельного
комментария.

Гильбертовская программа
от

парадоксов,

щем:

по

спасения классической математики

определению С. Клини

математика «должна быть

(1967),

сформулирована

состоит в

в виде

следую¬

формальной

аксиоматической теории, после чего следует доказать ее непротиво¬
речивость, т.е. установить, что в этой

формальной

аксиоматической

теории нельзя доказать противоречие»; сами доказательства при

*

А. Ф. Лосев дал подробную критику идейных основ гильбертовской про¬
граммы, см.: Лосев А.Ф. Критические заметки о буржуазной математической
логике II Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 8 (43).
2003. С. 339—401. Работа написана в 1944 г

777

В. П. Троицкий

этом становятся «предметом специальной математической дисци¬
плины, названной Д. Гильбертом метаматематикой, или теорией
доказательств»*. Данная программа полагалась к реализации для
арифметики, функционального анализа и, в перспективе, геоме¬

трии. Уже над отдельными фрагментами
возводились

(это

изнурительно трудным занятием), когда подоспе¬

оказалось

теоремы Гёделя. Здесь выяснилось, во-первых,

во всякой математической
осмысленное

теории

(правильное),

жимое утверждение,

но

можно

сформулировать

т.е. внутри всякой такой теории, содержательно

богатой, гарантировано присутствие сомнительной

яснилось, во-вторых, что

мальной теории,

та в свою

невозможно. Вы¬

рамках иной, более развернутой фор¬

очередь нуждается

в новом

расширении,

доказательство непротиворечивости «извне» всегда

Потому

незавершимо. Таким

образом,

было строго доказано наличие прин¬

ципиальных ограничений

на

строгость доказательств

Это

на

необходимость выхода

фактически указывало

(по Гильберту)

таматематики

двум путям: либо
татами

ее

непротиворечивость данной формальной

только в

теории доказывается

тд.

что

вполне

недоказуемое и, вместе, неопровер¬

составляющей. Потому доказательство «изнутри»

и

метаматематики

ажурные конструкции гильбертовой

ли знаменитые

достаточно

математики старательно

Гёделя,

пытаться

в

объемлющие

ее

в математике.

за

пределы

ме¬

области, причем

по

преодолеть барьер, поставленный резуль¬

за счет отказа от

прежнего экстремизма

и создания

формальных методов и повторного (через них) обращения к
проблеме существования математических объектов, либо развивать

новых

более содержательную «метаматематику», действительно конструи¬
руя

такие объекты из

прибегая

не

сей день

по

некоторых первооснов

к математическим

следуют

второму пути

и

первоэлементов, уже

формализмам. Первым путем

и по

многие специалисты по основаниям математики,

пошел Лосев и

больше, кажется,

никто.

Тут у нас настает момент уточнения терминологии. В самом деле,
насколько правильно

вполне

Ведь

связывать

«метаматематику» впрямую

с

автор

называл свое учение

определенно, «диалектическими

основами математи¬

именем Лосева?

либо,

будет

мы знаем, что сам

философским во¬
просам математики), либо, вполне общо, «философией числа» (этим
ки»

(как

*

в названии этой основной своей книги по

Клини С. Математическая логика. М., 1973. С. 232, 233.

778

Послесловие

обозначением мы и сами уже пользовались в предыдущем изложе¬

нии). Кроме того, термин
тической дисциплины,

И

еще и «занят» под название

введенной,

как сказано,

сугубо матема¬

Давидом Гильбертом.

все-таки смысловой пласт этого термина «метаматематика» слиш¬

ком богат и ценен, чтобы отказываться от него,

доверяясь лишь

фор¬

мальным доводам.

дятся

что

прежде всего,

Заметим

построения Лосева нигде

с математическими данными.

и вновь показывает, где

Автор

не

расхо¬

некоторой (мето¬

назойливостью и монотонностью вновь

оправданной)

дологически

даже с

и как его

содержательная аксиоматика,

его

«основоположения числа» естественно перерастают в аксиомы и те¬

оремы самой
тика Лосева
начинает

математики. Можно сказать,

собственно математика,

нефилософов. Логически Лосев
специалистов
лась

—

в

и заканчивается там, где

изощрениях профессионалов-

оказался раньше, впереди,

уже математика со

всеми ее достижениями,

тем и

име¬

принципиальными

предметов, когда

от света, «в стол» московского

прежде

Исторически

по математике и ее основаниям.

кризисами, необозримостью

(точнее,

философская метаматема¬

проделывает свой отрезок пути

явились на свет

одиночки) построения

новой

метаматематики. Эта ситуация определенно повторяет одну весьма
давнюю историю,

—

вспомним

дроник Родосский

(I

ka)
физики» (ta

поместил

начала

и

за

заново

pbisika).
стала

тики)

в

притязаний

на

о

случайно,
и

когда Ан¬

переписывая

«о природе»

(taphisi-

названием «то, что после

Аристотелем величаемая
«метафизикой». То, что в материальном
и самим

это только аналогия,

традицию «наук

родственного

С тех пор наука, «исследующая первые

занимало локус «после», в мире

мом вхождении лосевской

явно

упорядочивая

группой сочинений

причины» (Met. 982 b 10)

Впрочем,

возник

другую группу под условным

meta ta

«первой философией»,
мире

X.),

в. до Р.

труды Аристотеля, вслед

происхождение

Последний

«метаматематике» термина.

идей

пусть

«философии

оказалось «до».
и полезная.

числа»

первоначалах»,

О самом пря¬

(как

как и о

метаматема¬

справедливости

многообещающую семантику греческой приставки

«мета», легче судить, если привлечь к нашему терминологическому
рассмотрению книгу С. Л.
книги ставит

ния и
и

Франка «Предмет

бытия», предпочитает

вполне

знания»

(1915). Автор

перед собой задачу построения единой «теории

подходящим

называть ее «не

онтологией,

а

зна¬

старым

аристотелевским термином “первой фило¬
779

В. П.

софии"», себя

Троицкий

старой,

относит опять-таки «к

секте платоников» и особо выделяет в

Николая

Кузанского*.

Не правда ли, тут узнаются

сева? Но еще больше согласий

«Время

и

устаревшей

и

Франка.
«всеединство» («единство

в главе

построений Франка

здесь

целого», «единство единства и

«подлинный

множественности»), которое и рассматривается

как тот

источник,

понятие числа»

из

которого

может быть выведено

одного из основных понятий

во

—

источник

логического
вает

Франк,

«мы

только

на этом

отправляясь

действительно

не

тому,

этих моментов еще нет и из чего они должны

Франка

не возникает

математических

в чем, как таковом,

возникнуть»**. Далее у

следовало непосредственное «выведение числа из всеедин¬

ства». Именно этой части
альный

пути

от всеединства, настаи¬

предполагаем

понятий единого и многого, а восходим к

как

Это всеединст¬

«первой философии».

единственный, ибо только

круга, ибо

и

предпочтения Ло¬

перекличек обнаруживается
В основу

и число» книги

кладется

но еще не

последней фигуры Плотина

комментарий

«Предмета

в книге

знания» Лосев посвятил специ¬

«Музыка

как

логики»

предмет

где он, в свою очередь, строил концепцию числа с

опорой

мер трактата Плотина (Эннеады VI. 6 «О числах»)
согласованность

конструкций

удивительно: «одни

и те же

—

своей, Франка

и

(1927),
на

при¬

обнаруживал

и Плотина.

Это

и не

предпосылки приводят при правильном

результатам»***.
Лосевская метаматематика, в основе которой лежат глубокие не¬
оплатонические интуиции, получала, таким образом, мощную под¬

методе

и к тождественным

держку и примером непосредственного предшественника. Но этого
мало. В своем построении и анализе «числовых структур бытия» Ло¬
сев сумел избежать одного существенного перекоса

софии»
ми

по

Франку,

на

который

в свое

наиболее проницательными критиками. Так,

«Предмет

знания» Н. А.

Бердяев

«первой фило¬

время было указано некоторы¬

отмечал

в

рецензии

неоправданный

на

книгу

«монизм»

теории Франка, подчеркивал упрощенность решения проблемы
«изменения, творческого движения,
валого» и напоминал о

возникновения нового, небы¬

неустранимом присутствии

во всеединстве

*

Франк С. Л. Предмет знания. Об основах и пределах отвлеченного зна¬
ния. СПб., 1995. С. 39-40.
Там же. С. 288, 290.
Вы¬
Стиль
***ЛосевА. Ф. Музыка как предмет логики //Лосев А. Ф. Форма
“

—

ражение. М., 1995. С.594.

780

—

Послесловие

не только «света» как творящего начала, но и «тьмы», «темных волн

бытия»,

безосновной основы
имеет

творческую природу,

напор тьмы, пронизывать
хаос»*.

Для Лосева

же было

определял: «Знание потому

и в итоге

что оно должно одолевать этот вечный

его светом,

уже

оформлять

его изначальный

естественно относиться к извечной

«меональной тьме» не только с пониманием, но и

чрезвычайно

кон¬

бу¬
возгла¬
фигурности» (487),
шает он фундаментальный принцип строительства математических

структивно:

«из этого становящегося

мрака

как из некоей глины

дем созидать те или иные смысловые

объектов

и повсеместно

—

проводит его

в

практике своей

метаматема¬

Применительно
другой области знания, еще в «Диа¬
лектике художественной формы», лет за десять до «Диалектических
совсем к

тики.

основ математики», легко отыскиваются те же мотивы и установки. К

примеру (тоже

ре смысла,

почти

инструкция

применению),

по

читаем: «В

сфе¬

где слиты в единое и сплошное тождество категория и ее

внутреннее инобытие, вполне позволительно выделять поочеред¬
но то самую категорию, подчиняя ей ее
подчиняя ей его категорию»

кусств
же

по

«категориальному»

прочтем

больше всех

и

инобытие,

ис¬

«меональному» принципам). Или

там

шла о

учтем лосевскую похвалу Шопенгауэру

других почувствовал

отличие от всякой

5. Диалектика

как

за то, что «он

раз алогическую основу мира

в

оформленности»**.

как точная наука

Мы рассмотрели и дальнее, и ближнее окружение

контекст)

инобытие,

классификации

(здесь речь
и

то ее

лосевской

«философии

(можно сказать,

числа», то окружение, в драмати¬

ческом притяжении-отталкивании с которым она и

оформилась. По

ходу рассмотрения уже были, конечно, получены некоторые содер¬
жательные характеристики самого ядра, центра всех соотнесений.

Теперь пришла пора сосредоточить
этом

центре,

наше внимание специально на

в его смысловой точке.

Только сделаем одно предваряющее замечание. Приходится кон¬
статировать, что Лосеву не удалось реализовать

в полном

объеме

*

ка

Бердяев Н. А. Два типа миросозерцания (По поводу книги С. Л. Фран¬
«Предмет знания») // Вопросы философии и психологии. 1916. Кн. 134.

С. 305,312.
"Лосев А Ф. Диалектика художественной формы // Лосев А Ф. Форма
Стиль

—

Выражение. С. 257, 264.
781

—

В. П.

свой
ми

Троицкий

замысел диалектического обоснования математики.

тому следует указать

как

обстоятельства общего

подобное грандиозное предприятие
при

самых

благоприятных

по силам

внешних

Причина¬

плана

(вряд

ли

одному человеку, даже

условиях),

так и частные био¬

графические особенности печального свойства, о которых уже гово¬
рилось выше. Добавим еще одно: значительная часть довоенных ру¬
кописей периода максимальной активности автора на
математическом

поприще погибла

философско-

1941 года

летом

прямого попадания фашистской авиабомбы

в дом на

в

результате

Воздвиженке,

где была квартира Лосева. Что-то не успел сделать или не дали, тол¬
кая под руку, что-то было уничтожено, готовое.

приходится
тических

заниматься

знаний,

как она

основ математики»

34,
в

Потому и нам теперь
реконструкцией общей панорамы матема¬
представлялась автору «Диалектических

(особо

ценны для нашей задачи

параграфы 9,

80 данной книги), а также отыскивать следы прежних замыслов

более позднем творчестве

философа. По ходу этих операций будут

видны и общие контуры всей конструкции, и зияющие места утра¬
ченных ее деталей.
Математика как

феномен культуры. Проведя
разделение (33—34) по сферам
философии чистой математики,
философии математического естествознания,

начальное тема¬

тическое

культурно-социальной истории

числа,

Лосев сосредоточил свой анализ на
«оставляя пока в

первой сфере, вынужденно

стороне естествознание, психологию, социологию,

теорию самой диалектики

числа и

историю»

«пока». Нам не известны лосевские

работы,

(5—6). Характерно

это

специально посвящен¬

ные «временно покинутым» темам, однако интерес к социально¬
культурным типологиям

воззрений

в частности можно

тяжении всей жизни.
матики»

автора

к

проследить

и в тех же

построений.

первый

и

самый

в его

математических

творчестве

«Диалектических

логику

пробного

На них особо

чуткий рецензент

Или взять один из таких

сева, как

«физиогномике»

социально-исторической обусловленности

читателей

ного

Да

к

«бродячих»

внимания

—

внимание

В. М. Лосева

сюжетов в творчестве Ло¬

исчисления бесконечно малых. В
камня она

про¬

тех или иных

обращает
книги

на

основах мате¬

нетрудно обнаружить примеры напряженного

математических

(14).

вообще,

роли своеобраз¬

многократно привлекалась философом
782

Послесловие

то для характеристики мировоззренческого стиля
его

богоборческим лозунгом quo

ascendant)

non

Возрождения (с
вообще пресло¬

и

вутого «прогрессизма» новоевропейской культуры,
телесных

интуиций

античности, то для понимания

то для анализа

ранней истории

представлений о дискретности, пределе и континууме. В своем неиз¬
менно типологическом отношении к
к

различным проявлениям духа,

различным культурам Лосев предстает

лем

усилий

несомненным

продолжате¬

О. Шпенглера, для которого «то, что выражается

чисел», всегда

«есть стиль души», души

тика обязана быть еще и

Философия

выражающейся*.

в

мире

Метаматема¬

морфологией культуры.

чистой математики. Область собственно матема¬

тики, с точки зрения

философа, разделяется

также на

три сферы

(39):
общая теория (логика) числа, исследующая перво-принципы
число как таковое,

числа,

философия
числа, теория

сущность числа,

математических

философия теории вероятностей и
исследующая число

Дошедшая до
вполне

реход

специальная

дисциплин,

теория

числа в частности, числа как явления,

в

казусах,

нас

представляет

часть

математической статистики,

в жизни, в

действительности.

«Диалектических

основ

математики»

общую теорию числа (§ 10—78) и дает пе¬
вопросам (§ 81 и далее). Отдельного исследо¬

всю

к специальным

вания «числа в жизни», т.е. специального рассмотрения теоретико¬

вероятностной проблематики автор
мы имеем возможность
тики»
и

каждый

судить:

в

не оставил, однако о многом

«Диалектических

шаг лосевской аксиоматики

разъяснение

именно на

получал

материале данного

основах матема¬
свое

завершение

слоя математической

реальности.
Специальная теория
ское

науки

(это

числа.

Здесь

также

проводится

классиче¬

триадное разделение (417—425):

—

о

бытии

или

сущности числа, об

интенсивном

предмет арифметики, алгебры, анализа),

науки об инобытии

или явлении числа,

об экстенсивном числе

(геометрия),
теория множеств как наука о синтезе арифметической
трической ипостасей числа, об эйдетическом числе.
*

числе

Шпенглер О. Закат Европы. Т.

1. М., 1993. С. 208.

783

и геоме¬

В. П.

и

Второй

третий разделы, строго говоря, нужно

Исчез, например, целый

там.

несколько
стями.

Троицкий

том по

раз упоминает (213, 222)

Однако примем

в

расчет,

геометрии,

и

отсылает за

современная наука». С

дошедшего

—

раннюю «Музыку

Даже одно

много.

как

подробно¬

занимался уже на страницах

нием осваивалась и теоретико-множественная
иметь в виду

утра¬

котором Лосев

логико-диалектической про¬

что

работкой геометрических идей автор
книги «Античный космос и

куда

отнести к

о

предмет

тем же

упрежде¬

проблематика,

логики».

если

Словом, уже

глубинном
счетно-арифметических под¬

только напоминание о

единстве наглядно-геометрических и

убедительно демонстрируемое лосевской метаматематикой,
философы и математики все еще
будет

ходов,

весьма кстати сегодня, когда

бьются над во многом уже решенными, оказывается, вопросами. Для

«арифметического» ( Rechnen) и
которой всерьез заговорил за рубе¬
«геометрического» (Zeichneri),
жом Д. Фанг, а у нас
К. И. Вальков*. Пора на самом деле «обратиться
к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диа¬
лектики» (377), а не замирать, по Фангу, в безмолвном ужасе перед
примера укажем тему оппозиции
о

—

сфинксом «единой

и

неделимой и,

в конечном итоге,

непостижимой

тотальности» математики или же вместо одной крайности

«арифметизации»
ризма»**.

ней

впадать в другую

Бытие числа (интенсивное число).
числа можно

представить,

согласно

—

в

крайность

Науки о бытии

Лосеву,

—

в виде

или

излиш¬

«геомет-

сущности

диалектической

триады:

алгебра как учения о неизменной сущности числа,
постоянных величинах и их функциях,
дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления
арифметика

о

как

и

учения об инобытийной

изменчивости числа, о

функциях в скалярной форме,
векторное и тензорное исчисления как

переменных

ве¬

личинах и их

ности числа, о числе синтетическом,

учения

о

действитель¬

ориентированном, направлен¬

ном.

Здесь второй

и

третий разделы,

если

лектические основы математики», также

*

опираться

следует

только на

считать

«Диа¬

утраченны¬

Вальков К. И. Моделирование и формализация. Л., 1984.
Фанг Дж. Между философией и математикой: их параллелизм в «парал¬
лаксе» // Вопросы истории естествознания и техники. 1992. № 2. С. 8.
“

784

Послесловие

ми. Однако достаточно

определенный

тической сущности, например,

«Музыка

отыскивается в книге

анализ, касающийся диалек¬

дифференциала

как

и

интеграла

также

Утрату содержа¬

предмет логики».

тельной части второго раздела отчасти восполняет сохранившая¬
ся

работа

ческих

Лосева

основах

«Некоторые элементарные размышления о логи¬
исчисления бесконечно-малых», ныне опублико¬

ванная.

Арифметика

алгебра. Внутри первой сферы

и

числа Лосев выделяет

арифметика

бытии,

о числе в

алгебра

инобытии,

как

как

интенсивного

очередную триадическую структуру:

учение

о

непосредственной сущности числа в ее

себе,
учение

о

непосредственной сущности

числа в ее

функционально выраженном,
алгебраический анализ (теории форм, инвариантов и др.) как
учение о непосредственной сущности числа в ее становлении.
Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диа¬
лектических основ математики», степень детализации построений
лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры
о числе

переход планировался лишь в самом конце обширного тома. Все
дальнейшее кануло в Лету. А нам осталось предпринять еще одно по¬
сещение мира числовых триад, нам остается назвать и последние
структуры в лосевском описании.

Арифметика. Внутри арифметики,
ской

схеме

согласно

общей диалектиче¬

Лосева, следует различать:

натуральный ряд

как бытие

сущности числа,

как акт ее пола-

гания;
типы чисел
инобытие чисел

действия

(отрицательные, рациональные,

мнимые и

др.)

как

натурального ряда;

с числами как становление

ловых комплексов в

сущности числа,

разнообразных направлениях

и

типы чис¬

комбинациях

счета.

Сохранившийся
канчивается как

По части

раз

текст
на

арифметики,

«Диалектических

материалах третьего

можно считать,

автор

основ математики» за¬
из названных
вполне

разделов.

реализовал свой

план.
На

полученную последовательность

—

анфиладную

тельность одна в другую врастающих триад

—

последова¬

еще нужно наложить

объединяющий все шаги и этапы процесс, чтобы картина получи¬

785

В. П.

Троицкий
Лосев,

лась полной: ведь вся математика, показывает и доказывает
есть не что иное, как

Число как первая
ложенность,

развитое

и

детализированное

понятие числа.

категория, первая «осмысленная, оформленная

по-

(105),

как

категориально оформленная

«слепительное», напомним,

«Да»

положенность»

составляет

саму основу

математиче¬

ских объектов. Всё есть число. Остается только оговорить:

категорию,
ного

ту перво-

тот «акт полагания подвижного покоя самотождествен-

различия»,

что

пронизывает,

по

Лосеву,

любые закоулки мате¬

матики, не обязательно называть именно «числом». Действительно,
в

угоду пуританской строгости

можно

окрестить названную фунда¬

ментальную логико-диалектическую конструкцию каким-либо
циальным

образом,

к

примеру

назвать ее по

случаю

и в честь

спе¬

Лосева

это еще слишком лосев¬
«L-выражением» (впрочем, «выражение»
ский термин) или «L-кортежем»*. Далее придется поступить так, как
—

уже приходилось действовать в области математической логики, те.
в области

формальной,

нелосевской метаматематики, причем имен¬

но в 30-х годах. А именно, там вместо интуитивно ясного, но строго
не определенного понятия «вычислимой

функции» принялись тща¬
общерекурсивных функ¬
точно.
ций, определяемых уже алгоритмически
Следующим шагом
было показано, что у вновь введенного формализма достаточно изо¬
бразительной мощи, чтобы заместить собой исконно расплывчатое

тельно изучать свойства так называемых

понятие «вычислимости». Наконец, между классами содержатель¬
ных и

формальных функций

(в форме «тезиса Черча»),

поскольку
ввиду

именно

—

была провозглашена эквивалентность
именно

доказательство

принципиальной

провозглашена,

и

различной
имя

свое

предложить аналогичную проверку для

L-кортежа. Впрочем, изучая «Диалектические
нетрудно убедиться,

ки»,

невозможно

несводимости, принципиально

природы сравниваемого. Желающим увековечить
вом «тезисе» можно

а не доказана,

эквивалентности

в

но¬

числа

основы математи¬

что Лосев сам положил много

усилий

для

демонстрации справедливости подобного «тезиса» и повсеместно

обнаруживал, как математический материал

«с

огромной точностью

воспроизводит» логико-диалектические прообразы
*

(286).

К очевидно-оценочной ассоциации («почетный кортеж») здесь нужно

присовокупить

профессиональную семантику алгебраистов, кортежем назы¬
набор

вающих последовательность элементов некоторого множества, некий

«букв»

из

строго фиксированного «алфавита».
786

Послесловие

Оценивая теперь лосевский проект

метаматематики и оценивая

предложенный философом неблизкий путь
принципов «философии
ной (и самой

первой)
судить

жем, наконец,

—

воплощения

самое

при

числа» до мельчайших

из математических
и о замысле

многих

философского

можно с оптимизмом

предположить,

обоснования математики» если

как основное

разрешима

зрелой

что она вполне может

теперь знаем, успешно вошла

что «задача

разрешена еди¬

коллективными
а

уси¬
саму

(и
—

конкретизированной дисци¬
и, как мы
обязана) войти»
детали числовых конструкций,
и

—

даже
«в

ограничиваясь общими рассуждениями

числа»

и не

орудие этой метаматематики уже теперь

«можно считать... настолько

не

сформулировано и

путях, проложенных лосевской метаматематикой,

диалектику

плиной,

масштабен,
необходимых оговорках, всё

в невольном одиночестве испол¬

нолично им, то вполне может быть
лиями на

мы мо¬

и о степени его

самое главное было

предано бумаге. Обозревая труды,

Лосевым,

и

общих

самой част¬

фактов

наук, арифметики,

он

—

потерях

трудное свершено, всё

ненные

от максимально

только о самом понятии

(414).

6. Вместо заключения
Итак, определенный период творческой биографии Лосева,
по его собственной

пройденный,

квалификации,

«отвлеченно-диалектического

выраженного

под знаком ярко
вполне

эроса»,

зако¬

номерно завершился систематическими логико-математическими
исследованиями. Как бы ни относиться к некоторым лосевским со¬
чинениям,

«гипертрофированным

(В. М. Лосева),

тельству

к

«унифицированному строи¬
(С. С. Хоружий), ясно и досто¬

этому всеохватному

из диалектических блоков»

верно следующее:
ном итоге

зволил

в смысле логики и диалектики»

тот

давний

и

мощный творческий эрос,

породивший «Диалектические

Лосеву

мыслителей,

занять

достойное

в конеч¬

основы математики», по¬

место в ряду немногих подлинных

для которых постижение интегрального целого,

тение Логоса в Хаосе было
дили и входят

превыше

преимущественно

ные созидатели систем,

всего.

До Лосева

естествоиспытатели

в этот
—

обре¬

ряд

вхо¬

отечествен¬

прежде всего Д. И. Менделеев, Е. С. Федоров,

В. И. Вернадский, Н. И. Вавилов, А. А. Любищев, среди современных
исследователей

—

Г. М. Идлис, Ю. А.

Урманцев, Ю.

И.

Кулаков.

По¬

следний из названных, вспоминая предысторию созданной им тео¬
787

В. П. Троицкий

физических структур,

рии

И. Е. Тамма, выдающегося

универсального
«прежде

всего

языка»

высоко оценивал совет своего

физика-теоретика:

природы

точно

поисках

учителя

«единого

нужно вооружаться примером

русских философов», которые

сформулировать
строго*. Пример Лосева показывает,

лись, хотя не могли

в

«о многом догадыва¬

свою идею всеединства» доста¬

что русская

философия

оказалась способна не только «о многом догадываться», но и «многое

сформулировать».
В. П.

*

Троицкий

Кулаков Ю. И. Еретические горизонты физики // Вопросы истории есте¬

ствознания и техники.

1996. № 4. С. 167.
788

КОММЕНТАРИИ

Работа А. Ф. Лосева над книгой «Диалектические основы матема¬
тики»

проходила

в

1930-е годы. Началом

шла в
—

31

июля

1932 г.,

окончание

—

2 августа 1932 г.; даты соответ¬

А. Ф. Лосева в Белбалтлаге

пребывания
Медвежья Гора на берегу Онежского

ствуют времени
ст.

заметку-

форме бесконечности», которая дальнейшем целиком во¬
§ 98 книги. Рукопись заметки точно датирована: начало рабо¬

эссе «О

ты

ее можно считать
в

освобождения из заключения. Уже на

(лагерь

на

озера) примерно за год до

следующий

день, 3 августа

1932 г., Лосев приступил к написанию текста под названием «Диа¬
лектика основных

арифметических действий» (окончен

дальнейшем, практически без изменений,
книга в целом

книги.

Вероятно,

торый

известен нам к

1935 г.,
ное

(по крайней мере,

настоящему времени) была

о чем косвенно

подробное

составившего

свидетельствует

оглавление книги

тот

в том

7

августа), в
§§ 115—118
объеме,

ко¬

закончена осенью

факт,

что окончатель¬

(рукопись) сохранилась

в

архи¬

блока, завернутого в газету «Правда» от 9 октября
автора
г.
1935 Подписанное В. М. Лосевой «Предисловие» к книге датирова¬

ве

но

в виде

29 января 1936

г.

философскому исследованию основ
некоторой мере отражает следующий план, сохранив¬
шийся в архиве А. Ф. Лосева среди бумаг, относящихся к книге (пу¬
бликация А. А. Тахо-Годи, подготовка к публикации В. П. Троицкого;
рукопись не датирована).
Общий

замысел

автора

по

математики в

789

Комментарии
[План содержания

книги

«Диалектические основы математики*]

Введение
I. Общая теория
I.

числа

Отграничения

II.

Фундаментальный

анализ

III. Аксиоматика

Функция
Переход

IV.

V.

II. Интенсивное число
I. А.

Арифметика*
(от аргумента] к ставшему, от непосредственного]
через ф[ункцию] к непосредственно] ставшему)
I. Бытие. Натур[альный] ряд

бытия чисел

II. Инобытие, Типы числа
III. Становление, Действия
ГУ. Ставшее:
а) 1. Отношение
2. Пропорция
3. Ряд (прогрессия)
b) 1. Делимость чисел
2. Комбинаторика
3. Детерминанты
с) Матрицы (не величина, но система величин)
V. Выражение. Геометрия чисел (формы
В.

Алгебра** (= от ставшей ф[ункции]
С. Арифметическая]*** алгебра:

к

и

группы)

аргументу, уравнения)

а) арифметика многочленов
Ь) алгебраич[еские] числа
II.

Скалярный

анализ****

Арифм[етика] и алгебра бесконечно-малых
Инобытие, Производная

I. Бытие,
II.
•

ка:

Сверху над словом надписано: быт[ие]. Возле номера отдела (I) помет¬
Сущность.
Сверху надписано: иноб[ытие].
Сверху надписано: опред[елейное] б[ытие].
Сверху надписано: становл[ение]. Возле номера отдела (II) пометка:
“

***

““

Явление.

790

Комментарии
III. Становление. Произв[одная] «-порядка
IV. Ставшее:
а) ряды
Ь) исследование] ф[ункций]
с) неопред[еленный] интеграл
d) определенный] интеграл
V. Выражение:
а) вариац[ионное]

исчисление

Ь) интегр[альные] и диф[еренциальные] ф[ункции]

компл[ексного] переменного
с) интегральные] и диф[ференциальные] уравне¬
ния

III.

IV.

Векторный

анализ*

Тензорный

анализ

Вект[орный]” и тензорный анализ в условиях неоднородно¬

сти

(теория

мнимых

полей)

III. Экстенсивное число
I. А. Бытие:

а)

1. континуум
2. топология

3. проективная [геометрия]
Ь) аффинная геометрия
с) обыкновенная или полная [геометрия]
В. Инобытие. Аналитическая] геометрия
С. Определенное] бытие. Прилож[ения] алг[ебры]

к

гео-

м[етрии]
II. Становление,

Дифф[еренпиально]-интегр[альная геомет-рия]
метрич[еское] учение

III. Ставшее. Общее
IV.

Выражение:
парабол [ическая геометрия]
гипербол [ическая геометрия]
эллиптич[еская геометрия]

*

Сверху надписано:
Действительность].
•*

становление. Возле номера отдела

Возле номера отдела (IV) пометка: Выраж[ение].
791

(III)

пометка:

Комментарии
[На свободном

месте в верхнем правом углу рукописи отдел «Ал¬

гебра» расписан более подробно]:
Алгебра
I. Бытие.

II.

Функция.

Полином

Иноб[ытие]. Классификация] функций
Становление]. Действия над полиномами

III.

IV. Ставшее:

а) Инварианты
Ь) Функциональные] детерминанты
с) Функциональные] матрицы
V. Выражение, Уравнения (= функциональные] сравнения).
Как следует

из

рассмотрения данного документа

нии с известным оглавлением

А. Ф. Лосев

практически

«Диалектических

полностью

в сопоставле¬

основ математики»,

реализовал этот план в его «ариф¬

метической» части (соответственно, до второй части первого раз¬
дела «Интенсивного числа»), т.к.
книги

в последнем, не оконченном

уже излагалось учение о кольцах

и полях

§ 126

(см. заключительный

«Выражение. Геометрия чисел (формы и группы)» указанного
плана). Остальной же материал книги явно обдумывался и предпо¬
пункт

лагался

автором

к

оформлению,

о чем свидетельствует,

ряд имеющихся

в книге отсылок к

геометрической

тематике

числа» в

например,

будущему тому, посвященному

(ей соответствует раздел «Экстенсивного

плане).

Современная публикация

«Диалектические

книги

тематики» проходила в несколько этапов, по

работки соответствующих рукописей

в

№ 2—4. С. 29—45,

—

—

«Предисловие»

«Оглавление»

ма¬

архиве философа. Сначала

увидело свет несколько небольших отрывков
1993- № 2. С. 113— 123,

мере

основы

выявления и об¬

из книги

(см.:

Начала.

В. М. Лосевой; Начала. 1994.

книги и эссе «О

форме бесконеч¬

ности»). Затем, после подготовки В. П. Троицким текста по выявлен¬
ным в

архиве двум неидентичным экземплярам машинописи 1930-х

годов, которые
бенно

имели многочисленные

лакуны

и искажения, осо¬

части, значительная часть книги впервые была

формульной
опубликована в составе тома трудов А. Ф. Лосева «Хаос и структура»,
подготовленного в издательстве «Мысль» (М., 1997. С. 5—608; охваты¬
в

вался состав книги вплоть до

§ 107).

Названные машинописные эк¬

земпляры имели весьма плачевный вид, поскольку они были в свое
792

Комментарии
извлечены из воронки от тяжелой

время

в ночь на

вы.
ся

Некоторое время

в связи с

проведением

(с

долгие годы
ком

—

считалось, что на этом издание

«Диалектических

части

авиабомбы, уничтожившей

12 августа 1941 г. дом на Воздвиженке, 13, где жили Лосе¬

капитального

ремонта

конца 1941 г. по 1988

для временного хранения,

и гигантскую домашнюю

—

г.)

жил

сохранившей¬

завершено. Однако

основ математики»

в доме на

Арбате,

Лосев, пришлось

перемещать

где

цели¬

не только архив, но

библиотеку философа. И тогда-то на самом

дне книжного

шкафа с латинскими изданиями неожиданно была
обнаружена ранее неизвестная большая рукопись, тщательно упако¬
ванная в советские газеты с датировками от августа 1941 г. Рукопись
представляла собой полный текст «Диалектических основ матема¬

тики»

(вплоть до § 126),

бомбежке и

а даты газет свидетельствовали все о той же

катастрофе. Рукопись,

оказывается, в 1941 г. отыскали и

спасли, но отложили в «долгий ящик», где она и

1999 г.

пребывала до

В итоге по данной рукописи было подготовлено издание оставшей¬
ся части «Диалектических основ математики»

было

включено как

в состав

приложение

(§§ 108— 126), которое

очередного

тома сочине¬

Абсолют» (М., 1999. С.

516—646).
Для настоящего издания текст «Диалектических основ математи¬

ний А. Ф. Лосева

—

«Личность

и

ки» подготовлен заново и в полном

лениями,
на

с

учетом

объеме, с необходимыми исправ¬

авторскую рукопись. Без упоминания

опечатки и явные описки

в

примечаниях исправлены

слов, рассогласования чле¬

(искажения

нов предложения, механические повторы и

шрифтовые

графов.
др.),

но

Изменена устаревшая

сохранено авторское

орфография (проэктивный,

написание

от него, в том числе

авторских

работах 1920—40-х

отсылок в

рукописи,

годов.

—

итти

и

термина «трансцедентный»

«трансцедентное число»),

скольку этого предпочтения А.Ф. Лосев
в своих

т.п.), унифицированы

выделения, в ряде случаев уточнена нумерация пара¬

(и производных

годы

опорой

всех выявленных архивных материалов и

явно

по¬

придерживался многие

Рисунки

в тексте

—

с

учетом

подготовлены по следующим из¬

элементарной математики. Т. 2. Одесса, 1909
СА
Богомолов
Основания геометрии. М., Пг., 1923 (рис. 6,
(рис. 1—5);
7); Лямин АА Неэвклидова геометрия. М., 1914 (рис. 8); остальные ри¬

даниям: Энциклопедия

сунки воспроизводятся по копиям, подготовленным автором.
Все конъектуры помещены в квадратные скобки вида
стоящем издании

встречается

также

793

стандартное

[ ];

в математике

в на¬

обо¬

Комментарии
значение
тексте

отрезка

случаях, когда

в

характер исправления спорен,

в

с помощью квадратных скобок В

заподозрено искажение,

примечаниях указано:
Подготовка текста
также примечания

«так в

но

рукописи».

публикации, послесловие, комментарии, а
к тексту (помеченные сокращением ред., перево¬
к

ды иноязычных

выражений) выполнены В. П. Троицким.
поддержана грантом РГНФ, код проекта 11—03—00408а.

794

Эта

работа

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Горький А. М. 5
Грассман Г. 644
Гуссерль Э. 4,6,8,353,354
Пойгенс X. 385

Абель Н. 590,734,746
Александров А 756
Арганд Д Р. 580
Архимед 239, 242-244, 248, 299
Афонасьев А.П. 227

Даламбер (Д’Аламбер) Ж. 561
Деборин А. М. 10,403,766-768
Дедекинд Р. 15, 242-245, 248

Бек А. 48
Беллавитис Г. 647
Бернштейн С. Н. 186,187, 207, 305
Больцано Б. 245
Борель Э. 376, 383,611
Борн М. 388
Бригг Г. 640
Бройль (де Бройль) Л. 387, 388
Брауэр (Броуэр) Л. 9, 376, 383
Бэр К. 376, 383

ДезаргЖ.269, 299
Делоне Б. 756
Джевоне С. 159

Егоров Д. Ф. 273
Жордан К 747

БюффонЖ. 250

Зигварт X.

Валлис Д. 580
Васильев А. В. 580
Вейерштрасс К. 136, 241, 244, 245,
560,610,661,662,716
Вейль Г. 9,353
Вельштейн И. 320
Веронезе Г. 267, 380
Вессель К. 580
Виери 290
Вундт В. 8

Каган В. Ф. 320,654
Кант И. 8,15, 36,43,44,121

8

Кантор Г

10,15,35,168, 242, 244-249,
267, 353, 360, 374, 375, 416, 424,
610,774
Кассирер Э. 8
Клейн Ф. 168, 258, 261, 266, 310, 320

Клиффорд В. 632,644
Коген Г. 8
Комптон А. 387
Конт 0.8

Гамильтон В. 257,644,645,662
Гаусс К 11, 21, 136, 384, 574-577, 579,
580,632-634,644,723,760
Гегель Г. В. 5, 7, 8, 10, 31, 51, 102, 103,
107,128,419,764,765
Гейзенберг В. 389
Гельдер 747
Гельфонд А. 0.611,614,630
Гйльберрем 610

Котельников А. П. 644
Коши 0.15,136,416, 561,590,

Гйльберт Д 9, Ю, 15, 120, 156-164,
191, 192, 256, 267, 269, 288, 297,
325,611,775,777-779

Лагранж Ж 136,744
Лаплас П. 384
Лебег А. 376, 377, 383

591
Кронекер Л. 256,659,660
Кроче Б. 12
Крыжановский ДА 654
Кулишер А. Р. 644
Кэли А. 320, 333, 338, 640, 654, 732,
733,741-743

795

Указатель имен

Лежандр А. 136
Лейбниц Г. 15,31,136

Фидлер В. 258
Физо А 385

Ли С. ЗЮ
Линдеман Ф. 610,611,629
Лиувилль Ж. 15,611,612,614,656
Лобачевский Н. И. 9, 229, 267, 293,
315, 316, 320, 331, 333, 334, 338,
341,722
Лоренц X. А 386,654
Лосев А. Ф. 5-16, (141), 403
Лузин Н. Н. 10, 272, 376

Фихте И.Г. 7

Луппол И. К. 403
Ляпунов А М. 384

Цермело Э. 170, 195-197, 302, 377,
383

Майкельсон А 386

Чебышев П.Л. 274

Маклорен К. 631
Максвелл Дж. К. 376, 385
Марков А А 384
Мёбиус А 329
Минковский Г. 136,654
Морган 644
Мордухай-Болтовский Д Д. 611,655
Морли 386

Фома Аквинский 416

Франке. Л. 10
Френель О. Ж. 385
Френкель А. 170, 177,
Френкель Я. И. 385
Фробениус Г. Л. 716
Фурье Ж. 9

201, 202, 205

Шаль М. 259
Шатуновский С. 244
Шеллинг Ф. В. 5,12, 15,355
Шредингер Э. 388
ШтаудтХ. 261,269

Наторп П. 8
Непер И. 501, 502, 611, 615, 618, 623,
640,657
Николай Кузанский 6, 7
Ньютон И. 15, 31, П9, 136, 385-389,
618

Эвклид 187, 195, 231, 293, 298, 311,
312, 314-317, 320, 324, 327-329,
331, 332, 334, 337, 341, 342, 386,
390,648,722
Эйлер Л. 15,136,257,631,636,657
Эйнштейн А 386, 387
ЭнриквесФ. 192,193, 200
Эрмит Ш. 610,611

Падуров Н. 756
Паскаль Б. 287, 298, 299, 307
Паш М. 191-193
Пеано Д 15, 288

Bellevitis G.

Пирс 716
Пифагор 534
Планк М. 386, 387
Платон 196
Плотин 44

Hausdorff

см. Беллевитис

206

Jaeger F.M. 747
Liouville

см.

Лиувилль

Поссе К.А 610
Прокл 7
Пуанкаре А 9, 10, 158, 227, 228,

NiggliP. 751

269,

321,332,334,338
Риман Б. 136, 229, 268, 293, 315, 316,
319, 320,324-326, 329-331,333335,337, 340,722
Робеспьер М. 50

Owen J. 747
Pasch M. см. Паш
Polya G.751
Popken611
Prisse dAvennes 747, 751,754

Speiser A. 747,751

СаррусП.Ф. 711
Серпинский В. К.

303
Сильвестр И. И. 644,722
Синцов Д М. 334

Veronese G. см.

Веронезе
Vogue M. de 755
Wallis см.

Федоров Е. С. 756

Wellstein

796

Валлис

J.

см. Вельштейн

ОГЛАВЛЕНИЕ
В.М. Лосева.
5

ПРЕДИСЛОВИЕ
А Ф. Лосев.
ДИАЛЕКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ
ВВЕДЕНИЕ

17

23

(общее разделение наук о числе)

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЛА
I. ОТГРАНИЧЕНИЯ (установка числового перво-принципа)
II. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛА (число как понятие)
III. ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ЧИСЛА (число как суждение)
А) Общая теория
В) Система
а) Аксиома числового перво-принципа
Ь) Аксиомы едино-раздельности числа (или его идеальной
структуры)
с) Аксиома становления

130

142
числа

(или

его

непрерывности)

Аксиома ставшего (или конгруэнтности)
е) Аксиома выражения (или выразительной

235
277

d)

измеримости)

f) Общее заключение

306
391

IV. ФУНКЦИЯ И СОСЕДНИЕ КАТЕГОРИИ
(число как суждение, умозаключение, доказательство
V. ПЕРЕХОД К

40
41
55
117
118
130

и

выражение)

СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЛА

1. Сущность (арифметика, алгебра, алгебраический анализ)
I. Натуральный ряд (бытие сущности числа)
II. Типы чисел (инобытие сущности числа)
III. Арифметические действия (становление сущности числа)
IV. Комбинаторно-матричное исчисление (ставшая сущность
числа)
V. Учение о композициях (выраженная сущность числа)

399
413
435
438
455
664
700
724

Послесловие
В. П.

Троицкий. Метаматематика Алексея Лосева

761
789

Комментарии
Указатель имен

795

797

А.Ф. Лосев

ДИАЛЕКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

Издательство «Academia»

редакцией журнала «Вестник РАН»
119991, Москва, Мароновский пер., 26.
Тел. 8(499)238-21 -44,8(499) 238-21-23
Эл. почта: yurin.og@yandex.ru,
academia@mail.cnt.ru
vestnik@naukaran. ru

совместно с

www.academpress.net
Наши книги можно заказать он-лайн

Директор издательства
О. Г. Юрин

Редактор
АМ Чепелов

Художник
А. В. Кубанов

Верстка
Т. Н. Гризунова

Корректор
А. В. Силина

Подписано к печати 01.11.2012 г.

Формат 60х90‘/16. Гарнитура NewBaskerville.
Печ. л. 50.
Тираж 800

ъ

экз. Заказ №

Отпечатано в ОАО «Можайский

1295.

полиграфический комбинат»

Можайск, ул. Мира, 93
www.oaompk.ru, www.OAOMnK.p0 тел.: (495) 745-84-28, (49638) 20-685

143200,

г.

Сданы

в печать

Идеология и процессы социальной модернизации / Сб. статей
М.: Academia, 2012.
320 с.
под общей ред. Т. Б. Любимовой.
Книга посвящена изучению различных аспектов идеологических
процессов. Идеология, будучи крайне сложным явлением, включает в
—

—

бытующие в обществе идеи относительно политических
событий, устройства государства и социальных институтов. Она про¬

себя не только

низывает все стороны жизни, всю культуру. Поэтому в книгу включены
статьи, рассматривающие как все общественное сознание в целом, так и
различные идеологические процессы, происходящие в конкретных об¬
ластях культуры (политике, философии, науке, религии, образовании, в

образе жизни).
Особое внимание уделяется изучению идеологических форм

в мо¬

дернизирующемся обществе, в особенности в России, развенчанию ил¬
люзии деидеологизации и роли массовых коммуникаций в идеологиче¬
ских процессах.
В книге помещены работы философской классики, недостаточно
известные нашим читателям. Это несколько статей

Б. Н.

Чичерина,

за¬

XIX века, развивавшего идеи либе¬
рализма, а также перевод большой главы из фундаментального труда
Ж.-П. Сартра «Критика диалектического разума». Книга, несомненно,
привлечет внимание специалистов и широкого круга читателей.
мечательного русского

философа

Галицкая С. П., Плахова А. Ю. / Монодия:

М.: Academia, 2012.

—

320

проблемы теории.

—

с.

Это первое в отечественном и

зарубежном музыкознании исследова¬

ние, в котором предпринята попытка создания общей теории монодии,
понимаемой максимально широко, т. е. как тип музыкального мышления
и организации. Если теория многоголосия, гармонического и
и

полифо¬

другого фундаментального типа музыкального мышления
стоит на достаточно высоком научном уровне, то тео¬
организации

нического

—

—

рия монодии до настоящего времени не имеет

упорядоченной

системы.

такой теории диктуется уже тем, что монодия
представлена огромным числом прочно сложившихся столетиями, а
нередко и тысячелетиями, функционирующих локальных, этнических,

Актуальность разработки

национальных, цивилизационных разновидностей музыкального твор¬
чества, где накоплены непреходящие культурно-художественные цен¬
ности.

Авторы ставят целью приблизиться к выявлению сущности монодии,
предполагает акцент на закономерностях, свойственных монодийному музыкальному мышлению в целом. Ряд разделов книги освещает

что

фундаментальные черты
мел

одийность,

монодии

(такие,

а также повышенная

как

однолинейность

и моно¬

неоднородность элементов структу¬

ры и диффузность). В других раскрываются различные стороны монодийной музыкальной организации, в частности, вопросы семантики,
лада и фактуры. Книга предназначена для музыковедов, культурологов,
студентов музыкальных
ет история и теория

учебных заведений, а также

искусства.

всех, кого интересу¬

Вышли

в свет

Зубарев С. М. Хрустальный купол фантазий.
2012.-320 с.
Книга представляет собой
тывающих

широкий круг

—

М.: Academia,

сборник психоаналитических

тем и

объединенных идей

эссе, охва¬

о том, что главной

человеческие фантазии.
Через призму семейной матрицы рассматриваются странности и па¬

силой, «правящей миром», являются

радоксы зрелых, казалось бы, социальных отношений

граждан, учителей
бизнесменов.

и

учеников, кредиторов

—

правителей

и

и должников, молодоженов,

Парадоксальность объясняется скрытым присутствием

в

реликтовых фантазий. Переосмысливается и тради¬
ционное понимание реальности.
Выделены основные принципы, которыми руководствуются люди в
«закон», «каприз», «справедливость», и дан
различных обстоятельствах

этих отношениях

—

обзор

основных способов «социального питания»

—

подаяния, кражи,
дара, ко¬

грабежа, гонорара, прибыли, приза, взятки, жертвы,
торые определяют соответствующие образы жизни индивида.
зарплаты,

Книга адресована психоаналитикам, психологам, психотерапевтам,
философам, педагогам, студентам названных специальностей и всем ра¬
ботникам «помогающих» профессий.

Две жизни Льва Тихомирова / А.В Репников, О.А. Милевский.
М.: Academia, 2011.
560 с.
Монография.
В монографии впервые предпринята попытка совокупного анализа
жизненного пути и взглядов Л.А. Тихомирова (1852—1923)
револю¬
ционера и идеолога «Народной воли», прошедшего царскую тюрьму,
ставшего монархистом, редактором официозных «Московских ведомо¬
—

—

—

стей» и закончившего жизнь православным мыслителем.
Долгие десятилетия его считали ренегатом, изменившим революци¬
онной борьбе. В последние годы большой интерес в России вызывают
работы Тихомирова-монархиста. Вместе с тем только анализ всех основ¬
ных событий его жизни и мировоззренческой эволюции позволяет в
полной мере раскрыть специфику его взглядов в различные периоды
жизни.
В

приложение

Тихомирова,

вошли

не переиздававшиеся более

100 лет статьи

посвященные геополитическим

между Россией

проблемам в отношениях
библиография основных работ Тихо¬

и Китаем, а также
посвященной ему литературы.
Книга рассчитана не только на профессиональных историков

мирова

и

и по¬

интересующихся теорией й практикой отече¬
ственной революционной мысли и русского консерватизма.

литологов, но и на всех,

кг»

Г

(

I
$

I

J

I

WJkDEMl//