АЛГЕБРА
ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
ЗАВИСИМОСТЕЙ
КВАДРАТЫ И КУБЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
от1 доЮ
											
	п|	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	nf	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
	п3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

СТЕПЕНИ ЧИСЕЛ 2 И 3
п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2 "	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
зп	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
ФОРМУЛЫ
СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ


(а-Ь)2 = а2 -2аЬ + Ь2
(а-b) (а+Ь) = а2-Ь2
(а+b) (а2-аЬ + Ь2) = а3+Ь3
(а-b) (а2 +аЬ+ Ь2) = а3- Ь3
АЛГЕБРА
УЧЕБНИК ДЛЯ 7 КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Под редакцией	Утверждено
ф Министерством образования
С. А. ТЕЛЯКОВСКОГО	Российской федерации
3-е издание
Глава I
ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА,
УРАВНЕНИЯ


Глава II
ФУНКЦИИ
Глава III
ШгЛ СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ
*'Л ПОКАЗАТЕЛЕМ
Щ Глава IV
 | МНОГОЧЛЕНЫ
|Г|’ МОСКВА	*
IjP «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1993
ББК 22.14я72
А45
Авторы:
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. Г. МИНДЮК, К. И. ПЕШКОВ, С. Б. СУВОРОВА
Учебник занял первое место на Всесоюзном конкурсе учеб-
ников для средней общеобразовательной школы в 1988 г.
В учебнике использованы некоторые упражнения из учебника Алгебра:
Учеб, для 6 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин;
Под ред. А. И. Маркушевича.— 4-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1981.
Условные обозначения
Знаком В отмечены упражнения, соответствующие утвержденному
уровню обязательных результатов обучения (например, • 25).
Светлым курсивом набраны номера упражнений, рекомендуемых
для домашней работы (например, 58).
Знаком * отмечены более сложные упражнения (например, 186*).
Сведения о пользовании учебником
№	Фамилия и имя ученика	Учебный год	Состояние учебника	
			В начале года	В конце года
1				
2				
3				
4				
Алгебра: Учеб, для 7 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макарычев,
А45 Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред.
С. А. Теляковского. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. —
240 с.: ил. - ISBN 5-09-004558-5.
4306020500—101
А 103(03) —93
инф. письмо — 93, № 69
ББК 11.14я72
ISBN 5-09-004558-5
© Издательство «Просвещение», 1989
a 6
с
Глава I
ВЫРАЖЕНИЯ,
ТОЖДЕСТВА,
УРАВНЕНИЯ
§ 1.	ВЫРАЖЕНИЯ
§ 2.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ
§ 3.	УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ВЫРАЖЕНИЯ
1. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решим задачу: «Туристы в течение двух часов ехали
на велосипедах по шоссе со скоростью 16 км/ч, а затем шли
лесом еще 7 км. Какова длина всего маршрута?»
По шоссе туристы проехали 16-2 км, а лесом прошли 7 км.
Поэтому длина всего маршрута равна (16-2 + 7) км, т. е. 39 км.
Решая задачу, мы получили числовое выражение 16-2 + 7.
Числовые выражения составляются из чисел с помощью знаков
действий и скобок. Приведем еще примеры числовых выраже-
ний:
43:5;	9,6-3-1,2;	5-(7,4-6,1).
Число, которое получается в результате выполнения дейст-
вий в числовом выражении, называют значением выражения.
Найдем, например, значение выражения 96 — 2-62. Для
этого мы должны, соблюдая принятый порядок действий,
сначала выполнить возведение в степень, затем умножение и,
наконец, вычитание:
1) 62 = 36;	2) 2-36 = 72;	3) 96-72 = 24.
Число 24 — значение выражения 96 — 2 • 62.
Если в выражении встречается деление на нуль, то это вы-
ражение не имеет значения, так как на нуль делить нельзя.
О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла.
Например, не имеет смысла выражение 35: (4-2 —8).
3
1.	Найдите значение выражения:
а)	6,965 + 23,3;
б)	76,73 + 3,27;
в) 50,4-6,98;
г) 88-9,804;
д) 6,5-1,22;
е) 0,48-2,5;
ж) 3,725-3,2;
з) 0,016-0,25;
и) 53,4:15;
к) 16,94:2,8;
л) 75:1,25;
м) 123,12:30,4
2.	Выполните действия:
а) 481,92:12-20,16;
б) 6,05-(53,8+ 50,2);
в) 1,08-30,5—9,72-2 4-
г) 44,69 + 0,5 -25,5:3,75
	3. Найдите значение выражения:		
а)	155,5-5,5-20,7;		в) 3,6:0,08 + 5,2-2,5;
б)	85,68:(4,138 + 2,162);		г) (9,885 —0,365): 1,7+ 4,4.
	4. Выполните действия:		
а)	3 , 6 . 5'7’	д) 3 ' 6 ’	и)
б)	A+_L; 6 ' 4	е) 5-34;	к) 2 —:1— • 7	7 ’
в)	_7	5_ . 8	6 ’	Ж) J..JL- 9	8 ’	л) б4'10;
г)	J1	4_ .	3) А-А-	м) 3—• —
	10	15 ’	8 ’10 ’	3	6 ’
	5. Вычислите:		
а)	6-L-8;	Г) 8 \	16	);	ж)4-(-49);
б)	-24 + 4А ;	д)	з) -16:(-±¥ \	9 Л
в)	5т-6Т;	е) -34-3;	и) -3т-(-4)-
	6. Выполните действия:		
а)	8— + 6-—3—;	в) 24-- — :2 — 
3 ' 2	6’	3 10 5’
б)	124-54+74; г) 14:2-г-26-
8	4	2	о о
7.	Найдите значение выражения:
а)этт+6т:2:
4
8.	Выполните действия:
а) 3iH4:i-2-h
б> (4-т):3т+4>
9.	Найдите значение выражения:
а)	252;	в) 3,52;	д) (-±-/;	ж)(1-1-)2;
б)	123;	г) 0,23;	е)	з) (2^-)3.
10.	Используя три раза цифру 2, составьте выражение,
значение которого равно: а) 6; б) 8; в) 3; г) 1.
11.	Составьте какое-нибудь выражение, содержащее два
знака действия, значение которого равно: а) 12; б) 0.
12.	Составьте числовое выражение для решения задачи: «Из
двух населенных пунктов, расстояние между которыми
40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пеше-
хода. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если извест-
но, что скорость одного пешехода 4 км/ч, а другого
5 км/ч?»
13.	Решите задачу, составив выражение: «Один рабочий
изготовляет за час 7 деталей, а другой 9 деталей. Сколько
деталей они изготовят за 4 ч?»
14.	Используя термины «сумма», «разность», «произведе-
ние» и «частное», прочитайте выражение:
а) 8,5-7,3;
б) 4,7-12,3;
в) 65:1,3;
г) 5,6+ 0,9;
д) 2-9,5 + 14;
е) (10-2,7):5;
ж) 2,5-(3,2+ 1,8);
з) 6,1-(8,4:4);
и) (6,4+ 7): 2.
15.	Запишите в виде выражения:
а)	сумму чисел 28 и 15;
б)	произведение чисел 6 и 3;
в)	разность чисел 3 и 8,7;
г)	частное чисел 0,8 и 0,4.
Упражнения для повторения
16.	Найдите 1% числа 240. Найдите 5%, 85%, 150% того же
числа.
17.	Найдите:
а)	3% числа 500;	в) 120% числа 8,5; д) 280% числа 9,5;
б)	40% числа 15;	г) 9,5% числа 280; е) 1,2% числа 1,25.
18.	За несколько книг уплатили 5,2 р. Стоимость одной из
книг составила 30%, а другой 45% израсходованных денег.
На сколько копеек первая книга дешевле второй?
5
19.	Площадь участка поля 80 га. Первый тракторист вспа-
хал 40% этого участка, а второй 60% оставшейся части. Кто
из них вспахал больше и на сколько гектаров?
20.	Колхоз собирал с каждого гектара 44 ц пшеницы. При-
менив интенсивную технологию, колхоз увеличил производ-
ство пшеницы на той же площади на 25%. Сколько центнеров
пшеницы с гектара стал собирать колхоз?
2. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль за 2 ч пройдет
60 • 2 км, за 3 ч — 60-3 км, за 5 ч — 60-5 км. Вообще, за t ч он
пройдет 60 t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью
выражения 60 t находить путь, пройденный автомобилем за
разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо
буквы t подставить ее значение и выполнить умножение. Букву t
в выражении 60 t называют переменной, а само выражение
60 t — выражением с переменной.
Приведем еще пример. Пусть длины сторон прямоугольника
равны а см и Ь см. Тогда его площадь равна а Ь см2. Выражение
аЬ содержит две переменные а и Ь. Оно показывает, как на-
ходить площадь прямоугольника при различных значениях
а и Ь. Например,
если	а = 8	и	5 = 11,	то	аб = 8-11=88;
если	а = 25	и	5 = 4,	то	а5 = 25-4=100.
Если в выражение с переменными подставить вместо каждой
переменной какое-либо ее значение, то получится числовое вы-
ражение. Его значение называют значением выражения с пере-
менными при выбранных значениях переменных.
Так, число 88 есть значение выражения аЬ при а = 8 и 5 = 11,
число 100 есть значение этого выражения при а = 25 и 5 = 4.
Рассмотрим выражение . При любом 5 =#= 3 можно
найти его значение.
Например, если 5 = 13,	то = , „13 „ = 4т; = 1.3.
При 5 = 3 значение этого выражения найти нельзя, так как
в этом случае делитель 5 — 3 равен нулю. Говорят, что при
5=/=3 выражение , „ имеет смысл, а при 5 = 3 оно не имеет
о — 3
смысла.
Некоторые выражения имеют смысл при всех значениях
переменных. Примерами могут служить выражения x(x-j-l),
6
Выражения с переменными используются для записи фор-
мул.
Рассмотрим, например, формулу четного числа. Любое чет-
ное число т можно представить в виде произведения числа 2
и целого числа п, т. е.
т = 2п.
Если в эту формулу вместо п подставлять целые числа, то
значениями переменной т будут четные числа. Формулу т = 2п
называют формулой четного числа.
Формулу т = 2л 4-1, где л — целое число, называют форму-
лой нечетного числа.
Аналогично формуле четного числа можно записать форму-
лу числа, кратного любому другому натуральному числу.
Например, формула числа, кратного 3, запишется так:
т = 3л, где л — целое число.
• 21. Найдите значения выражения:
а)	4х —12 при х = 7; 0; —5;
б)	2,8 — 0,5у при j/ = 3; 0; —6.
22.	Заполните таблицу, вычислив значения выражений
Зх—1 и -3x4-1 для указанных значений х:
X	— 2	— 1	0	1	2	4	5
Зх—1							
-3x4-1							
Какими числами являются соответственные значения выра-
жений Зх — 1 и —3x4-1?
23.	Найдите значения выражений 10—2у и 10 4-2у и за-
пишите их в соответствующие клетки таблицы:
У	-3	— 1	0	2	3	4	6
Ю-21/							
104-21/							
• 24. Значения переменной х равны 5, 3, 0, —3 и 10. Найдите
соответствующие значения выражения:
а) х24-4; б) х2 —8.
7
• 25. Какие значения принимают сумма х + у и произведение
ху при следующих значениях переменных:
а) х = 1,2, у =—2,5;	в) х = 0,1, у = 0,2;
б)х=—0,8, у = 3-,	г)х=—1,4, у=-1,6?
26. Найдите значение выражения 5т— Зп, если:
а) т=—|-, л =	;	б) тл = 0,2, л =—1,4.
• 27. Вычислите значение выражения -^-х — у, если:
а) х = 2,4, у = 0,8;	в) х = 4,8, (/=—2,1;
б)х=— 3,6, у = 5;	г) х=—4,4, у=— 3.
28.	Заполните таблицу, вычислив значения выражения
а-2Ь:
а	5	— 2	4	1	6
ь	-3	3	0	— 1	4
а — 2Ъ					
29.	Известно, что при некоторых значениях хну значение
выражения х — у равно 0,7. Какое значение принимает при
тех же х и у выражение:
а) 5(х — у); б) у — х; в) ; г) ?
30.	Вычислите значение выражения:
а)(2т + 6)л при т= — 2-^-, л = 3;
б) х — 2ху при х = 5, у=— 1;
в)	ах — Зу при а = 10, х=—5, у=—
г)	ах + 6х + с при а=-|-, х = 2, Ь=—3, с = 5,8.
31.	В классе 35 учеников. Каждый из них получил бес-
платно учебники по математике стоимостью 0,55 р. и осталь-
ные учебники общей стоимостью л р. Сколько денег было
израсходовано, чтобы обеспечить этот класс учебниками?
32.	Опытное поле разбили на два участка. Площадь первого
участка а га, а второго b га. С каждого гектара первого участка
собрали 32 ц пшеницы, а с каждого гектара второго участка
40 ц. Сколько пшеницы собрали с обоих участков? Вычислите
при а = 120 и Ь = 80.
8
33.	На стройке работало 5 бригад, по а человек в каждой,
и 3 бригады, по Ь человек в каждой. Сколько человек работало
на стройке? Вычислите при а = 25 и 5 = 32.
34.	На рисунке 1 указаны длины отрезков (в сантиметрах).
Для каждой фигуры, изображенной на рисунке, составьте вы-
ражение для вычисления ее площади (в квадратных санти-
метрах).
35.	Ребро куба равно а м. От этого куба отрезан прямо-
угольный параллелепипед, высота которого равна h м (рис. 2).
Найдите объем оставшейся части.
36.	Длина прямоугольника а см, ширина Ь см. Что озна-
чает выражение:
а) а5; б) 2<z + 25; в) а + 5; г) 2<z?
37.	Тетрадь стоит х к., а карандаш у к. Что означает выра-
жение:
а) х-\-у, б) Зх + у; в) 2х + Зу, г) у?
38.	Прочитайте, пользуясь терминами «сумма», «разность»,
«произведение» и «частное», выражение:
а)	тх;	в) Ю4-а5; д) т — 8а;	3) ab-f-bc;
б)	п — а; г) (а + 5)х; е) 2х + 1;	ж) ь + ’ и) (а-5) (а+ 5).
39.	Запишите в виде выражения:
а)	сумму чисел 5 и с;
б)	разность чисел а и т',
в)	квадрат числа х;
г)	куб числа у,
д)	сумму числа х и произве-
дения чисел а и 5;
е)	разность числа т и частно-
го чисел х и у,
ж)	произведение суммы чисел
а и 5 и числа с;
з)	произведение числа а и
суммы чисел х и у.
Рис. 1
Рис. 2
40.	При каких значениях переменной имеет смысл выра-
жение:
а) 5у + 2; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ^ ?
41.	Составьте формулу числа:
а) кратного 5; б) кратного 10; в) кратного 101.
42.	Напишите формулу числа, кратного 7. Найдите по этой
формуле два трехзначных числа, кратных 7.
43.	Напишите формулу числа, кратного 6. Найдите по этой
формуле три каких-либо числа, кратных 6.
Упражнения для повторения
44.	Найдите число, если известно, что:
а) 3% этого числа равны 1,8; в) 130% этого числа равны 3,9;
б) 85% этого числа равны 17; г) 6,2% этого числа равны 9,3.
45.	После снижения цены на 30% стоимость часов стала
равной 21 р. Сколько стоили часы до снижения цен?
46.	Перевыполнив план на 15%, завод выпустил за месяц
230 станков. Сколько станков должен был выпустить за месяц
завод по плану?
3. СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ВЫРАЖЕНИИ
Решим задачу: «Колхоз засеял пшеницей два опытных
участка площадью 48 и 60 га. С первого участка собрали 1800 ц
пшеницы, а со второго 2100 ц. На каком участке урожай-
ность выше?»
Урожайность выражается частным от деления массы пшени-
цы, собранной с участка, на площадь участка. Чтобы узнать,
на каком участке урожайность выше, надо сравнить значения
выражений 1800:48 и 2100:60. Так как 1800:48 = 37,5;
2100:60 = 35, то урожайность выше на первом участке.
Для любых двух числовых выражений можно установить,
равны их значения или нет, и если они не равны, то какое из
них больше и какое меньше.
Результат сравнения значений выражений можно записать
в виде равенства или неравенства. Например, результат срав-
нения частных 1800:48 и 2100:60 можно записать в виде
неравенства:
1800:48 >2100:60.
Если выражения содержат переменные, то для разных
значений переменных результат сравнения значений этих выра-
жений может оказаться различным.
10
Сравним, например, значения выражений 2а и а +4 при
а = 0, 4, 10.
Если а = 0, то 2а = 0 и а+ 4 = 4, т. е. при а = 0 верно
неравенство 2а < а 4-4.
Если а = 4, то 2а =8 и а+ 4 = 8, т. е. при а = 4 верно
равенство 2а = а 4-4.
Если а = 10, то 2а = 20 и а4-4= 14, т. е. при а = 10 верно
неравенство 2а > а 4- 4.
Иногда требуется установить, между какими числами за-
ключено значение выражения.
Рассмотрим пример. Пусть при взвешивании металлическо-
го шарика установили, что его масса больше 86 г, но меньше
87 г. Обозначим массу шарика (в граммах) буквой т. Тогда
результат взвешивания можно записать так:
тл>86 и лг<87
или иначе:
86<тл и т<87.
Два неравенства 86<тл и лг<87 можно записать в виде
двойного неравенства
86<тл<87.
Неравенство 86<тл<87 читают так:
«86 меньше т и т меньше 87» — или короче:
«тл больше 86 и меньше 87».
Рассмотрим еще один пример. Число дней в месяце меньше
31 или равно 31. Обозначим число дней в месяце буквой п.
Тогда
Л<31 ИЛИ 77 = 31.
Вместо этой записи обычно пишут одно неравенство
71 С 31
(читают: «л меньше или равно 31»).
Число дней в месяце больше или равно 28:
л >28 или 71 = 28.
В таких случаях также пишут короче:
л >28
(читают: «л больше или равно 28»).
Так как л >28, то 28^ л.
11
Два неравенства
28 + п и п + 31
можно записать в виде двойного неравенства
28 < л+ 31.
Неравенства, составленные с помощью знаков > и <,
называют строгими неравенствами, а неравенства, составлен-
ные с помощью знаков и +, называют нестрогими.
• 47. Сравните значения выражений:
а)	2,06-3,05 и 21,28:3,5;	в) -1-+-L и -L_|_^;
б)	97,2:2,4 и 62-21,6;	г) 16-3-5- и 15-2—.
8	4
• 48. Сравните значения выражений:
а)	56--|- и 56:-5-;
б)	9:0,36 и 0,9;
•	49. Верно ли неравенство:
а) 2-5-:±-2-5->(1-5--1-5-'
б) -7,62+ 3,38 <4,2-7,31?
•	50. Сравните значения выражений:
а) 0,7-0,8-0,9 и 0,7 + 0,8-0,9; б) -5-+-5--JL и _L._L._L.
2	3	6	2	3 6
•	51. Сравните значения выражений:
а)	9,5 — а и 0,5а при	а = 3,8; 0; 5;
б)	3 —с и 4с —5 при с = 1,6; —3; —6.
• 52. Сравните значения выражений:
а)	х и — х при	х = 8; 0; —3;
6)	х и 100х при	х = 5; 0; —5;
в)	10 —Зх и 10 —2х	при	х = 2; 0; —3;
г)	а + Ь и а — Ь при а = 3,4; Ь= — 1,5.
• 53. Сравните значения выражений:
a)	5m —0,8 и 0,8m —5 при m= —1, —5, 2;
б)	ab и а'.Ь при а = 4,6; 5 = 0,23.
12
•	54. Верно ли неравенство:
2х4-5<3х при х = 4,
х = 4,2; 5; 6,5?
•	55. Прочитайте неравенство:
а)	8,1 < 8,14 < 8,6;
6)	9 <9,865 <10;
в)	— 900 < — 839 < - 800;
г)	— 40< — 38,7 < — 30;
Д) 1А<1>7<14
О	О
е) 2,42 <2^-< 2,43.
56.	Запишите в виде двойного неравенства:
а)	8 меньше 13 и 13 меньше 15;
б)	4,1 меньше 4,18 и 4,18 меньше 4,2;
в)	63,5 больше 63 и меньше 64;
г)	—8,1 больше —11 и меньше —7;
д)	а больше 1,8 и меньше 2,8;
е)	х больше а и меньше Ь.
57.	Подберите какое-нибудь число, заключенное между
числами:
а) 8,6 и 8,7; б) -i- и 4"! в) —3,6 и —3,7; г) -5- и -f-.
/о	4	6
Результат запишите в виде двойного неравенства.
58.	Запишите в виде двойного неравенства:
а)	0,79 больше 0,7 и меньше 0,8;
б)	6-|- больше 6 и меньше 7;
в)	—4,6 больше —10 и меньше 0;
г)	т больше —16 и меньше —15;
д)	k больше 2,65 и меньше 2,66;
е)	у больше т и меньше п.
59.	На координатной прямой точками отмечены числа
а, Ь и с (рис. 3). Напишите около каждой точки соответствующее
ей число, если известно, что а > b и О а. Составьте из чисел
а, Ъ и с двойное неравенство с помощью знака <.
Рис. 3	 —----------•—		*•—	———*-
• 60. Прочитайте неравенство:
а) 7,3 ^х;	г) k ^0,5;
б) у^0,83;	д) 4,4^ п <
в) а~^—10,4;	е) 7,6
г) k ^0,5;
д) 4,4^п^6,1;
е) 7,620,8
ж) — 5 <а < — 2;
э) х^5<у.
13
• 61. Верно ли неравенство:
а)	х^5,3	при	х = 2,7; 5,3; 6;
б)	у 4,8	при	£/ = 3,5; 4,8; 7,1;
в)	0,6<х^0,8	при	х = 0,5;	0,6;	0,7;	0,8;	0,9;
г)	2,1 ^£/^2,4	при	</ = 2,1;	2,2;	2,3;	2,4;	2,5?
• 62. Запишите с помощью знаков неравенства:
а)	х меньше или равно 8;
б)	у больше или равно 0;
в)	а больше 5 и меньше или равно 7;
г)	Ь больше или равно —2 и меньше 1.
• 63. Запишите в виде неравенства:
а)	х — отрицательное число; в) у — неотрицательное число;
б)	т — положительное число; г) z — неположительное число.
64.	Запишите в виде двойного неравенства:
а)	х больше или равно 11 и меньше 12;
б)	у больше 50 и меньше или равно 100;
в)	а больше 350 и меньше 400;
г)	Ь больше или равно —100 и меньше или равно —10.
65. Автомобиль «Жигули»
биль «Москвич» прошел 630
скорости автомобилей, если:
а) х = 12,5,	£/ = 10,5; б)
прошел 700 км за х ч, автомо-
км за у ч. Сравните средние
х = £/ = 14.
Упражнения для повторения
66.	Сколько процентов составляет:
а)	число 8 от числа 200;	в) число 0,363 от числа 6,6;
б)	число 2,1 от числа 14;	г) число 10,2 от числа 8,5?
67.	В результате рационализаторского поиска удалось со-
кратить число работниц на комбинате. Вместо 1600 их осталось
1200. На сколько процентов сократилось число работниц?
68.	Найдите значение выражения:
а)	37,6-5,84 + 3,95-8,9;	в) 17,1-3,8:4,5-0,5;
б)	81-45,34 + 19,6 + 21,75;	г) 81,9:4,5:0,28-1,2.
69.	Запишите в виде выражения:
а)	сумму числа х и произведения чисел а и Ь;
б)	частное от деления числа а на разность чисел Ь и с;
в)	произведение суммы чисел х и а и разности чисел х и Ь.
14
Контрольные вопросы
1.	Приведите пример числового выражения и выражения
с переменными.
2.	Сравните значения выражений х + 3 и Зх при х =—4;
1,5; 5.
3.	Приведите пример двойного неравенства и прочитайте
его.
4.	Как читаются знаки и ? Кдкое неравенство на-
зывается строгим и какое нестрогим?
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ
4. свойства действии над числами
Напомним основные свойства сложения и умножения чисел.
1)	Переместительное свойство: для любых чисел а и Ь
верны равенства
а + Ь = Ь + а,	аЬ= Ьа.
2)	Сочетательное свойство: для любых чисел а, Ь и с верны
равенства
(а + 5) + с = а + (Ь + с),	(а6)с = а(6с).
3)	Распределительное свойство: для любых чисел а, Ь и с
верно равенство
а (b-\-c) = ab-\-ac.
Из переместительного и сочетательного свойств сложения
следует, что в любой сумме можно как угодно переставлять
слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 1. Вычислим сумму 1,23 + 13,5 + 4,27.
Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим.
Получим:
1,23 + 13,5 + 4,27 =(1,23 + 4,27) + 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19.
Из переместительного и сочетательного свойств умножения
следует, что в любом произведении можно как угодно перестав-
лять множители и произвольным образом объединять их
в группы.
Пример 2. Найдем значение произведения
1,8 0,25-64 0,5.
15
Объединив первый множитель с четвертым, а второй с треть-
им, будем иметь:
1,8  0,25 • 64  0,5 = (1,8 • 0,5) • (0,25 • 64) = 0,9  16 = 14,4.
Распределительное свойство справедливо и в том случае,
когда число умножается на сумму трех и более слагаемых.
Например, для любых чисел а, Ь, с и d верно равенство
а (Ь + с d) = ab -\-ас ad.
Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением,
прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитае-
мому:
а — Ь = а + (— 5).
Это позволяет числовое выражение вида а — b считать
суммой чисел а и —Ь, числовое выражение вида a-f-b— c — d
считать суммой чисел а, Ь, —с, —d и т. п. Рассмотренные
свойства действий справедливы и для таких сумм.
Пример 3. Найдем значение выражения
3,27-6,5-2,5 + 1,73.
Это выражение является суммой чисел 3,27, —6,5, —2,5 и
1,73. Применив свойства сложения, получим:
3,27 - 6,5 - 2,5 +1,73 = (3,27 + 1,73) + (- 6,5 - 2,5) =
= 5+(-9)=-4.
Пример 4. Вычислим произведение 36
1	5
Множитель —---— можно рассматривать как сумму чисел
1	5 „
— и —-jg. Используя распределительное свойство умножения,
получим: 36('4--т^ = 36-4-~36-Л=9-10= -1.
\ 4	18/	4	18
МУХАММЕД БЕН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ
(787 — ок. 850) —
среднеазиатский математик и астроном. Написал
основополагающие трактаты по арифметике и ал-
гебре, которые оказали большое влияние на раз-
витие математики. Он впервые отделил алгебру от
арифметики и стал рассматривать ее как самостоя-
тельный предмет.
16
70.	Какие свойства действий позволяют, не выполняя вы-
числений, утверждать, что верно равенство:
а)	247 + 35 = 35 + 247;	в) 14+ (16+ 97) = (14 +16) +97;
б)	84-19 = 19-84;	г) 25-(4 + 7) = 25-4 + 25 • 7?
71.	Вычислите наиболее рациональным способом:
а)	3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8;	в) 15,21-3,9-4,7 + 6,79;
б)	4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4;	г) —4,27 + 3,8 — 5,73 — 3,3.
72.	Найдите значение выражения:
а)	8,91 + 25,7 + 1,09;	в) 7,15-9,42+12,85 — 0,58;
б)	6,64 + 7,12 + 2,88;	г) 18,9 — 6,8 — 5,2 — 4,1.
73.	Выполните действие и объясните, какие свойства сложе-
ния были при этом использованы:
а) 5-^-+1зА ;	б) 19-|-+10^-.
74.	Найдите значение выражения:
a) 5A_2^+1+__4f ;	б) 8f-64-2f+1-Z-.
75.	Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 50-1,34-0,2;	в) 25-(-15,8)-4;
б) -75,7-0,5-20;	г) 0,47-0,4-25.
76.	Используя распределительное свойство умножения, вы-
полните действие:
a) 3—5;	6)7-2-?-; в) 2-|--10; г) 6-4^.
77.	Найдите значение выражения:
а) 3,5-6,8+ 3,5-3,2;	б) 12,4-14,3-12,4-4,3.
78.	Вычислите:
а) 15,7-3,09 + 15,7-2,91;
79.	Докажите, что:
а)	сумма 24-17 + 17-6 делится ^на* 5;	,
б)	сумма 34-85 + 34-36 делится на 11.
1! к
Упражнения для-повторения
б) 4,03 ^7^^17,9-4,03.
80.	Для детского сада купиляьа наборов карандашей и
Ь альбомов для рисования. На бой*" карандашей стоит 25 к.,
а альбом на 10 к. дешевле. Какова стоимость'покупки?
‘‘ 17
81.	Автомобиль двигался t ч со скоростью 60 км/ч и р ч со
скоростью 50 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?
82.	Расположите числа 6-i-, 6,3, 6-1- в порядке возраста-
ния. Ответ запишите в виде двойного неравенства.
83.	Найдите координаты точек, отмеченных на координат-
ной прямой (рис. 4).
в	С	0	А
---Ч--1^-4-1--1-1-!-1	•	|->	. ---1-1--- * !-I-1---►
-2-1	0	1	2 х
Рис. 4
84.	Отметьте на координатной прямой точки, соответствую-
щие числам 1,4; —1,7; 0,8; —1,2.
5. ТОЖДЕСТВА
Найдем значения выражений 3 (х + у) и	Зх + Зу
при х = 5, (/ = 4:
3 (x + j/) = 3 (5 + 4) = 3-9 = 27,
3x + 3i/ = 3-5 + 3-4 = 15+12 = 27.
Мы получили один и тот же результат. Из распределитель-
ного свойства следует, что вообще при любых значениях пере-
менных соответственные значения выражений 3 (х + у) и
3x + 3i/ равны.
Рассмотрим теперь выражения 2х-\-у и 2ху. При х = 1,
у = 2 они принимают равные значения:
2x+i/ = 2-l + 2 = 4;
2ху = 2-1-2 = 4.
Однако можно указать такие значения х и у, при которых
значения этих выражений не равны. Например, если х = 3,
у = 4, то
2х + </ = 2-3 + 4 = 10,
2ху =2-3-4 = 24.
Определение. Два выражения, соответственные значе-
ния которых равны при любых значениях переменных, назы-
ваются тождественно равными.
Выражения 3(x + j/) и Зх + Зу являются тождественно рав-
ными, а выражения 2х + </ и 2ху не являются тождественно
равными.
18
Равенство 3 (x-|-j/) = 3x + 3j/ верно при любых значениях
х и у. Такие равенства называются тождествами.
Определение. Равенство, верное при любых значениях
переменных, называется тождеством.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тожде-
ствами являются равенства, выражающие основные свойства
действий над числами:
a + b = b-t~a,	(а + 6) + с = а + (д + с),
а6 = 6а,	(ab)c = a(bc),	a (b-(-c) = ab-]-ас.
Можно привести и другие примеры тождеств:
а+О = а, а + ( — а) = 0, а— Ь = а-\-( — Ь),
а-1=а, a-( — b)=—ab, ( — a)( — b) = ab.
85.	Какие свойства действий позволяют утверждать, что
тождественно равны выражения:
а) а6+16с и 16с+<2&;	в) ху-\-3 и 3-f-jci/;
б) (а + 2) + х и а + (2 + х); г) 5(6 +с) и 56 +5с?
86.	Укажите, на основании каких свойств действий можно
утверждать, что тождественно равны выражения:
а)	а-25Ь и 25аЬ;	в) 2с-(-ЗаЬ и ЗЬа-)-2с;
б)	6 (х + у) + 4 и 6х + 6у + 4;	г) 2с-3 и 6с.
87.	Являются ли тождественно равными выражения:
а)	(2а) (7Ь) и 14аЬ;	• в) х —у и у —х;
б)	-2а + 2а и 0;	г) (х-у)2 и (у — х)2?
88.	Являются ли тождественно равными выражения:
а)	2 +86а и 8а6 + 2;	в) (а + 6)-0 и а+ 6;
б)	2х + 7 и 2(х + 7);	г) (а + 6)-2 и 2а+26?
89.	Какие свойства действий позволяют утверждать, что
данное равенство является тождеством:
а) 12 (об —4)=12а6 —48;	б) (х — х)а=0?
90.	Запишите в виде равенства следующие утверждения:
а) произведение любого числа и нуля равно нулю;
б)	сумма двух противоположных чисел равна нулю;
в)	произведение двух чисел равно произведению чисел, им
противоположных;
г)	квадрат любого числа равен квадрату числа, ему противо-
положного.
19
91.	Составьте какое-либо тождество:
а)	содержащее одну переменную;
б)	содержащее две переменные.
92.	Укажите, если возможно, какое-либо значение перемен-
ной х, при котором не является верным равенство:
а) 5х + 4 = 5(х + 2);	б) 3х-12 = 3 (х-4).
93.	Является ли тождеством равенство:
а)	6 (х — у) = 6х — бу;	в) За — 4 = а+(2а— 4);
б)	25 (а — а) = 25;	г) 0,За-5а = 1,5аЬ?
94.	Является ли тождеством равенство:
а)	х+( — х) + у = у;	в) ( — 1)а + 5 = 5 — а;
б)	1-Ь + 2а = 2а+Ь;	г) 5у — 15 = 5 (у— 2)?
Упражнения для повторения
95.	Вычислите:
а) -|-2,4 + 4-0,15;	б) 2,08:4—0.15-4-
о	о	«3	5
96.	Найдите значение выражения:
а)	х2 — 5у при х= — 2, у = 1,6;
б)	а2 — ЗЬ при а=----4 5 = 4-
2 о
97.	Сравните значения выражений 2а —7 и За+ 4 при
а=—20, —8, -6.
в. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИИ
Чтобы найти значение выражения ху — хг при заданных
значениях х, у и г, надо выполнить три действия. Например,
при х = 2,3, у = 0,8, 2 = 0,2 получаем:
ху-хг = 2,3 • 0,8 - 2,3  0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
Этот результат можно получить, выполнив лишь два
действия, если воспользоваться выражением х (у — z), тождест-
венно равным выражению ху — xz:
х (у- z)= 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение ху — хг
тождественно равным выражением х (у— z). Замену одного
выражения другим, тождественно равным ему выражением
называют тождественным преобразованием или просто пре-
20
образованием выражения. Тождественные преобразования вы-
ражений с переменными выполняются на основе свойств
действий над числами.
Тождественные преобразования выражений широко приме-
няются при вычислении значений выражений и решении
других задач. Некоторые тождественные преобразования вам
уже приходилось выполнять, например приведение подобных
слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения
этих преобразований и рассмотрим, какие свойства действий
при этом используются.
Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме
5х + 2х —Зх.
Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:
чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффи-
циенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Имеем:
5х + 2х — Зх = (5 + 2 — 3) х = 4х.
Это преобразование основано на распределительном свой-
стве умножения.
Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а+(6 — Зс).
Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит
знак «плюс»: если перед скобками стоит знак «плюс», то
скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого,
заключенного в скобки.
Получим:
2а + (6 — Зс) = 2а + Ь — Зс.
Проведенное преобразование основано на сочетательном
свойстве сложения.
Пример 3. Раскроем скобки в выражении а—(4Ь —с).
Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми
стоит знак «минус»: если перед скобками стоит знак «минус», то
скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого,
заключенного в скобки.
Получим:
а — (46 — с) = а — 46 + с.
Выполненное преобразование основано на распределитель-
ном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения.
Покажем это. Представим в данном выражении второе слагае-
мое— (46 — с) в виде произведения ( —1)(46 —с):
а—(46 —с) = а + ( —1) (46 —с).
Применив указанные свойства действий, получим:
а—(46 —с) = а+(—1) (46 —с) = а + ( —46 +с) = а —46 + с.
21
• 98. Упростите выражение, используя переместительное и
сочетательное свойства умножения:
а)	—6,2а-5;	в) 0,Зх-( —12у);
б)	4с-( —1,25);	г) -0,16-(-2,3с).
• 99. Упростите выражение:
а)	1,6 •( — 0,2п);	б) —6,4а-( — 5с).
• 100. Преобразуйте выражение в тождественно равное, ис-
пользуя распределительное свойство умножения:
а)7(х —у);	в) -23-(2а —36 + 1);
б)	(а — 4b)-3;	г) 1,5-( — Зх + 4у— 5z).
• 101. Замените выражение тождественно равным, используя
распределительное свойство умножения:
а)	1,2-(5—а);	в) 2,5-(4х-бу-2);
б)	(т — 4х) • (— 6);	г) -0,1 (100а + 106-с).
102.	Среди выражений 2(6— а), —2 (а — Ь), —2а — 26,
— 2а+ 26 найдите те, которые тождественно равны выражению
26-2а.
• 103. Приведите подобные слагаемые:
а)	5а + 27а— а;	в)	6х— 14— 13х + 26;
б)	126-176-6;	г)	-8 —у + 17 —10у.
• 104. Выполните приведение подобных слагаемых:
а)	13а + 26 — 2а— 6;	в)	—5,1а —46 —4,9а + 6;
б)	41х — 58х + 6у — у;	г)	7,5х + у —8,5х —3,5у.
• 105. Приведите подобные слагаемые:
а)	8х —6у + 7х —2у;	в)	3,56 —2,4с —0,6с —0,76;
б)	27р+14у —16р —Зу;	г)	1,6а + 4х — 2,8а — 7,5х.
• 106. Раскройте скобки:
a)	x + (6 + c + d—ш);	в)	х + у—(6 + с — т)\
б)	а —(6 —с —d);	г)	х + (а —6) —(c + d).
• 107. Запишите без скобок выражение:
а)	ш + (а-й —6);	в)	х + а + (/п — 2);
б)	т — (a — k — 6);	г)	а—(6 —с) + (/п + л).
• 108. Раскройте скобки:
а)	(х — у) — т;	в)	— (т —п + 5);
б)	(а + 6) —(с —d);	г)	— (2а —6) + (m —1).
22
109. Запишите без скобок выражение:
а) а + (5 — (с — d))-,	б) х-(у-(р+*)).
• 110. Упростите выражение:
а)	5 —(а —3);	в) 64 —(14 + 7х);
б)	7+(12 —25);	г) 38 + (12р-8).
• 111. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а)	х + (2х + 0,5);	в) 4а —(а+ 6);
б)	Зх —(х —2);	г) 65 + (10 —4,55).
• 112. Упростите выражение и найдите его значение:
а)	(5х—1) —(2 — 8х) при х = 0,75;
б)	(6 — 2х) + (15— Зх) при х= — 0,2;
в)	12 + 7х — (1 — Зх) при х=—1,7;
г)	37— (х — 16) + (11х — 53) при х=—0,03.
• 113. Упростите выражение:
а)	(х-1) + (12-7,5х);
б)	(2р+1,9) —(7 — р);
в)	(3—0,4а) —(10 —0,8а);
г)	Ъ — (4-25) + (35-1);
Д) </-(</ + 4) + (1/-4);
е) 4х—(1 — 2х)+ (2х—7).
114.	Докажите, что при любом а значение выражения
3(а + 2)— За равно 6.
115.	Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а)	3	(6 — 5х) + 17х —10;	г)	2 (7,3- 1,6а)+3,2а-9,6;
б)	8	(Зу + 4) —29у + 14;	д)	- 5 (0,35 + 1,7) +12,5— 8,55;
в)	7	(2z — 3) + 6z—12;	е)	—4 (3,3-8с)+ 4,8с+ 5,2.
116.
а)	0,6 (р — 3) + р + 2 при
б)	4 (0,5g — 6)—14g + 21
в)	-0,5 (За + 4)+ 1,9а - 1
г)	10(0,7 —35)+145+13
Упростите выражение и найдите его значение:
Р = 0,5;
при 9=-|-;
1
при а———;
при 5= —16.
• 117. Упростите выражение:
а)	3 (2771+ 1) +4m-7;
б)	-6 (Зтг +1)+ 12ti + 9;
в)	5 (0,6 —1,5р) + 8 —3,5р;
г) 0,2 (За —1) + 0,3 — 0,6а
д) 0,9 (25 —1) —0,55 + 1;
е) —2,6 (5 —с) —с + 8.
23
Упражнения для повторения
118.	Не выполняя вычислений, сравните значения выра-
жений:
а) 12,6-4 и 12,6-4; в) 3,7-4 и 3,7:4;
6)4-4 и 4—г!	г) 5,6:2,5 и 5,6-2,5.
эо	О э
Ответ запишите в виде неравенства.
119.	Техническое перевооружение цеха позволило вы-
пускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов
повысился выпуск станков в сутки?
120.	Отметьте на координатной прямой точки, соответствую-
щие числам: — 3,9; 24; —0,7; 3,2; —14; 1,25.
О	о
121.	Найдите значение выражения 6а — 55 при а = 2,35 и
Ь= -0,24.
Контрольные вопросы
1.	Сформулируйте переместительное и сочетательное свой-
ства сложения и умножения, распределительное свойство
умножения.
2.	Какие выражения называются тождественно равными?
Приведите пример тождественно равных выражений.
3.	Какое равенство называется тождеством? Приведите при-
мер тождества.
§ 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7. УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Рассмотрим задачу: «На нижней полке в 4 раза больше
книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на
верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько
книг на верхней полке?»
Обозначим буквой х число книг на верхней полке. Тогда
число книг на нижней полке равно 4х. Если с нижней полки
переставить на верхнюю 15 книг, то на нижней полке останется
4х— 15 книг, а на верхней будет х +15 книг. По условию задачи
после такой перестановки книг на полках окажется поровну.
Значит,
4х — 15 = х+15.
24
Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равен-
ство, содержащее переменную. Такие равенства называют
уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним
неизвестным.
Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х
в уравнение 4х— 15 = х+ 15 получается верное равенство. Такое
число называют решением у равнения или корнем уравнения.
Определение. Корнем уравнения называется значение
переменной, при котором уравнение обращается в верное ра-
венство.
Уравнение 4х—15 = х+15 имеет один корень — число 10.
Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три
и более корней или не имеют корней.
Так, уравнение (х — 4) (х — 5) (х — 6) = 0 имеет три корня:
4, 5 и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль
один из множителей произведения (х — 4) (х — 5) (х — 6), а зна-
чит, и само произведение. При любом другом значении х ни
один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обра-
щается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет
корней, так как при любом значении х левая часть уравнения
на 2 больше его правой части.
Решить уравнение — значит найти все его корни или до-
казать, что корней нет.
Уравнение х2 = 4 имеет два корня — числа 2 и —2. Уравне-
ние (х-2)(х + 2) = 0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения,
имеющие одни и те же корни, называют равносильными урав-
нениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равно-
сильными.
При решении уравнений используются следующие свойства:
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в
другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносиль-
ное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение,
равносильное данному.
Например, равносильны уравнения
5х = 2х + 7 и 5х —2х = 7,
равносильны также уравнения
6х = 2х + 8 и Зх = х + 4.
Указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь
на свойства верных числовых равенств: если к обеим частям
25
верного равенства прибавить одно и то же число или обе части
верного равенства умножить или разделить на одно и то же
отличное от нуля число, то получится верное равенство.
• 122. Является ли число 3 корнем уравнения:
а) 5(2х-1) = 8х + 1; б) (х - 4) (х + 4) = 7?
123. Какие из чисел — 2, — 1, 0, 2, 3 являются корнями урав-
нения:
а) х2 = 10 —Зх; б) х(х2-7) = 6?
•	124. Является ли корнем уравнения х (х—5) = 6 число:
а) 1; б) -1; в) 6; г) -6?
•	125. Докажите, что каждое из чисел 7, — 3 и 0 является кор-
нем уравнения
х (х + 3) (х —7) = 0.
• 126. Докажите, что каждое из чисел 1,2 и —1,2 является
корнем уравнения х2 = 1,44.
127.	Докажите, что:
а)	корнем уравнения 1,4 (у + 5) = 7 4-1,4у является любое число;
б)	уравнение у — 2 = у не имеет корней.
128.	Имеет ли корни уравнение:
а) 2х-|-3 = 2х4-8; б) 2у = у?
129.	Составьте какое-нибудь уравнение, корнем которого
является число: а) 8; б) —12.
130.	Имеет ли уравнение корни и сколько:
а) |х|=1; б) |х|=0; в) |х| = —5; г) |х|=1,3?
131.	Равносильны ли уравнения:
а)	7(х-3) = 49 и х-3 = 7;
б)	-у =9 и 2х = 27;
в)	2х —7 = 0 и 2х = 7?
Упражнения для повторения
132.	Упростите выражение:
а)	0,4 (7х —2) —1,64-1.7х; в) 2,5 (4 — Зу) — </4-2,3;
б)	(1,2а —4)4-(40 —4,8а);	г) (14 —3,65) —(124-10,45).
133.	Найдите значение выражения 8 (3 — 3,5т) — 20 4-23m
при т=—2,5; 1,2; 40.
26
8. линейное уравнение с одной переменной
Каждое из уравнений 5х=—4, — 0,2х = 0, — х=—6,5
имеет вид ах = Ь, где х — переменная, а и Ь — числа. В пер-
вом уравнении а = 5, Ь=—4, во втором а=—0,2, 5 = 0, в
третьем а= — 1, Ъ = — 6,5.
Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной
переменной.
Определение. Уравнение вида ах = Ь, где х — перемен-
ная, а н Ъ — некоторые числа, называется линейным уравне-
нием с одной переменной.
Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение.
Рассмотрим уравнение ах = Ь, в котором коэффициент а не
равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим
х =—. Значит, линейное уравнение ах = Ь, в котором а#=0,
°	Ь
имеет единственный корень —.
Рассмотрим теперь линейное уравнение ах =Ь, у которого
коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и Ь=/=0, то уравнение
ах =Ь не имеет корней, так как равенство Ох =Ь не является
верным ни при каком х. Если а =0 и Ь = 0, то любое значение х
является корнем уравнения, так как равенство Ох = 0 верно при
любом х.
Таким образом, линейное уравнение ах =Ь при а=#0 имеет
один корень, при а = 0 и 5У=0 не имеет корней, при а = 0 и
5 = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является
его корнем).
Решение многих уравнений сводится к решению линейных
уравнений.
Пример. Решим уравнение 4 (х + 7) = 3—х.
Раскроем скобки: 4х-|-28 = 3 — х.
27
Перенесем слагаемое — х в левую часть уравнения, а сла-
гаемое 28 в правую часть, изменив при этом их знаки:
4х-|-х = 3 — 28.
Приведем подобные слагаемые:
5х= -25.
Разделим обе части уравнения на 5:
х= —5.
Применяя свойства уравнений и выполняя тождественные
преобразования, мы последовательно заменяли одно уравнение
другим, равносильным ему. Значит, корнем уравнения
4 (х + 7) = 3 —х является число —5.
В этом примере исходное уравнение свелось к равносильному
линейному уравнению, в котором коэффициент при х отличен
от нуля.
Если при решении уравнения мы придем к равносильному
ему линейному уравнению вида Ох = Ь, то в этом случае либо
исходное уравнение не имеет корней, либо его корнем является
любое число.
Решим, например, уравнение 2х + 5 = 2 (х + 6).
Имеем:
2x4-5 = 2x4-12,
2х-2х=12 —5,
Ох = 7.
Полученное уравнение не имеет корней. Значит, и уравнение
2х-|-5 = 2 (х4-6) не имеет корней.
Уравнение 3 (х-|-2)4-х = 6-|-4х сводится к уравнению
0х = 0, корнем которого является любое число. Следовательно,
корнем уравнения 3 (х4-2)-|-х = 6 4-4х является любое число.
•	136. Найдите корень уравнения:			
а)	5х=—60;	г) 6х= — 50;	ж)	0,7х = 0;
6)	— 10х = 8;	Д) — 9х= — 3;	з)	— 1,5х = 6
в)	7х = 9;	е) 0,5х= 1,2;	и)	42х=13.
•	137. Решите линейное уравнение:			
а)	Тж=12:	в) -4х = ^-;	д)	-^=-h
б)		V г	5 Г) 5j/=-T;	е)	4х = 0.
28
Найдите корень уравнения:
г)	12х —1=35;
Д) — х + 4 = 47;
е) 1,3х = 54 + х;
• 138.
a)	5x —150 = 0;
6)	48 —3x = 0;
в)	— l,5x —9 = 0;
• 139. Решите уравнение:
a)	2x + 9 = 13 —x;
6)	14 —</ = 19—111/;
в)	0,5a+ 11 =4 — 3a;
r) l,2n + l = l-n;
д)	1,7 — 0,3m = 2 + 1,7m;
e)	0,8x+14 = 2—l,6x;
ж)	15 —p = -i-p—1;
ж)	7 = 6 —0,2x;
з)	0,15x + 6 = 51;
и)	—0,7x + 2 = 65
3)	l-§-* + 4=-i-x+l;
и)	z—^-z = 0;
к)	x —4x = 0;
л)	x = — x;
m) 5</ = 6j/.
• 140. Решите уравнение:
а)	Зх —8 = х + 6;
б)	7а —10 = 2 —4а;
, 1 1 о 1
в> -&У—т = 3~^:
г) 2,6 — 0,25 = 4,1—0,55;
Д)
е)
ж) -^-х =
0,8-у = 3,2 +у;
2..	1 .
7 *	2 ’
з) 2х —0,7х = 0.
• 141. Найдите корень уравнения:
а) (У + 4)-(</-1) = 61/;	в) 6х-(7х-12) = 101;
б) Зр — 1— (р+3) = 1;	г) 20х = 19 —(3 + 12х).
• 142. Найдите корень уравнения:
а)	(13х —15) — (9 + 6х)= -Зх;
б)	12-(4х-18)=(36 + 4х) + (18-6х);
в)	1,6х-(х-2,8)=(0,2х + 1,5)-0,7;
г)	(0,5х+ 1,2)—(3,6-4,5х) = (4,8-0,Зх) + (10,5х + 0,6).
• 143. Решите уравнение:
а)	5х + (3х —3) = 6х + 11;	в) (х — 7)-(2х+9)= -13;
б)	За — (10 + 5а) = 54;	г) 0,6+ (0,5</ —1) = у + 0,5.
• 144. При каком значении переменной значение выражения
85 — 27 равно: а) 5; б) —11; в) 1,8; г) —1?
145.	При каком значении переменной:
а)	значения выражений 2m —13 и m + З равны;
б)	значение выражения 3 — 5с на 1 меньше значения выра-
жения 1 — с;
в)	значение выражения 2х + 1 на 20 больше значения вы-
ражения 8х + 5;
29
г)	значение х в 3 раза меньше значения выражения
45 —10х;
д)	значение выражения 9 — у в 2 раза больше значения у1
146.	При каком значении у:
а)	значения выражений бу -|-3 и 36 — у равны;
б)	значение выражения 7 у— 2 больше значения выражения
2у на 10;
в)	значение выражения 1,7 у + 37 меньше значения выраже-
ния 9,3у —25 на 14?
147.	Решите уравнение:
а)	2х + 5 = 2(х + 1)+11;
б)	5 (2у-4) = 2 (бу —10);
148.	Решите уравнение:
а)	15 (х+2)-30 = 12х;
б)	6 (1 + 5х) = 5 (1 +6х);
в)	2у— (у — 19) = 2у;
г)	6х=1—(4 —6х).
в)	Зу + (у-2)=2 (2у —1);
г)	бу —(у —1) = 4 + 5у.
• 149. Найдите корень уравнения:
а)	5(Зх+1,2) + х = 6,8;	в) 13-4,51/ = 2 (3,7-0,бу);
б)	4(х+3,6) = Зх-1,4;	г) 5,6-7:/=-4 (2у-0,9) + 2,4
• 150. Решите уравнение:
а)	0,4х + 3 = 0,2(Зх + 1) — х;	в) 0,8х — (0,7х +0,36)=7,1
б)	3,4-0,6х = 2х — (0,4х +1);	г) х —0,5 = 2 (О,3х —0,2).
• 151. Найдите корень уравнения:
а)	6 (х—1) = 9,4 —1,7х;
б)	3,5-9а = 2 (0,5а-4);
в)	3(2,4-l,lm) = 2,7m + 3,2;
• 152. Решите уравнение:
а)	7 (х — 8,2) = Зх + 19;
б)	0,2 (5х —6) + 2х = 0,8;
в)	-(7</+ 0,6) = 3,6- у,
г)	-3(j/ + 2,5) = 6,9 — 4,2у,
д) 0,5j/ + 7 = 5(0,2 + 1,5j/);
е) 4 (х —0,8) = 3,8х —5,8.
г) 3 (2,5 — 2х) = 13,5 — 14х;
д) 0,61/-1,5 = 0,3(1/-4);
е) 0,5(4 — 2а) = а —1,8.
Упражнения для повторения
153. Укажите все целые значения у, при которых верно
двойное неравенство: а) — 5<i/<2; б) 28^у^31,2.
154. Подберите какое-нибудь число,
данными числами. Результат запишите
заключенное между
в виде двойного не-
равенства :
11	2	3
а) 7,8 и 7,9; б) 4 и^; в) -0,3 и -0,4; г) и -г.
О 4	О 4
30
155. Отметьте в координатной плоскости точки А (— 3; 4),
В (6; 5), С (5; 0),	О(-3; 0).
156. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 6,8с —(3,6с+ 2,1)	б) 4,4 —(9,6—1,2m)
при с = 2,5;	при т=—3,5.
9. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИИ
При решении задач с помощью уравнений поступают сле-
дующим образом: обозначают некоторое неизвестное число бук-
вой и, используя условие задачи, составляют уравнение; реша-
ют это уравнение; истолковывают полученный результат в со-
ответствии с условием задачи.
Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем
в ящике. После того как из корзины переложили в ящик
10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине.
Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?
Решение. Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике
было 2х яблок. После того как из корзины переложили в ящик
10 яблок, в корзине стало х — 10 яблок, а в ящике 2х +10 яблок.
По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем
в корзине. Значит,
5 (х- 10) = 2х+ 10.
Решим составленное уравнение:
5х —50 = 2х+10,
5х-2х = 10 + 50,
Зх = 60,
х=20.
Следовательно, в корзине было 20 яблок.
Так как 2х = 2-20 = 40, то в ящике было 40 яблок.
Ответ. 20 яблок и 40 яблок.
Задача 2. Предназначенные для посадки 78 саженцев
смородины пионеры решили распределить между тремя звенья-
ми так, чтобы первому звену досталось саженцев в 2 раза
меньше, чем второму, а третьему звену на 12 саженцев больше,
чем первому. Сколько саженцев надо выделить первому звену?
Решение. Пусть первому звену решили выделить х са-
женцев. Тогда второму следует выделить 2х саженцев, а
третьему х + 12 саженцев.
Общее число саженцев х + 2х + (х + 12), что по условию
задачи равно 78.
31
Значит,
х + 2х + (х+ 12)= 78.
Решим полученное уравнение:
х + 2х + х + 12 = 78,
4х = 78 —12,
4х = 66,
х = 16,5.
По смыслу задачи значение х должно быть натуральным
числом, а корень уравнения — дробное число. Значит, рас-
пределить саженцы указанным способом нельзя.
Ответ. Такое распределение саженцев невозможно.
•	157. В одной кассе кинотеатра продали на 86 билетов боль-
ше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе,
если всего было продано 792 билета?
•	158. Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны
равны между собой и каждая из них на 2,9 см больше третьей.
Каковы стороны треугольника?
•	159. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый
изготовил на 8 деталей меньше второго. Сколько деталей
изготовил каждый рабочий?
160.	В трех цехах завода работают 1274 человека. Во втором
црхе на 70 человек больше, чем в первом, а в третьем на 84 че-
ловека больше, чем во втором. Сколько человек работает в каж-
дом цехе?
161.	На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти,
причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер,
и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали
на каждое изделие?
162.	Можно ли расположить 158 книг на трех полках так,
чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй,
и на 5 книг больше, чем на третьей?
163.	Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика
так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом,
а во втором на 4 банки меньше, чем в третьем?
164.	На одном садовом участке в 5 раз больше кустов мали-
ны, чем на другом. После того как с первого участка пересадили
на второй 22 куста, на обоих участках кустов малины стало
поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?
165.	За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь,
что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость
теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
32
166.	По шоссе идут две автомашины с одной и той же ско-
ростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая
уменьшит на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же,
сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?
167.	В первой бригаде в 2 раза больше рабочих, чем во
второй. В результате введения хозрасчета число рабочих
первой бригады уменьшилось на 5 человек, а число рабочих
второй бригады уменьшилось на 2 человека. Сколько рабочих
стало в каждой бригаде, если известно, что после введения
хозрасчета в первой бригаде их оказалось на 7 больше, чем во
второй?
168.	В первой бригаде было в 4 раза меньше людей, чем во
второй. После того как из второй бригады 6 человек ушло, а
12 перевели в первую, людей в бригадах стало поровну. Сколько
человек было в первой бригаде?
169.	На доске записано некоторое число. Один ученик увели-
чил это число на 23, а другой уменьшил на 1. Результат первого
оказался в 7 раз больше, чем результат второго. Какое число
записано на доске?
170.	В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящи-
ке. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало виногра-
да на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было
в корзине?
171.	Один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз легче,
чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее,
чем второй. Найдите массу каждого арбуза.
172.	Рациональное использование техники в колхозе позво-
лило высвободить 12 тракторов. Сколько тракторов осталось в
колхозе, если известно, что их было в 1,5 раза больше?
173.	В двух мешках было по 50 кг сахару. После того как из
одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в
нем осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько
сахара осталось в каждом мешке?
Упражнения для повторения
174.	Постройте в координатной плоскости точку, у которой:
а) абсцисса равна 3, а ордината противоположна абсциссе;
б) абсцисса равна —2, а ордината на единицу больше;
в)	абсцисса равна 1,5, а ордината на единицу меньше;
г)	абсцисса равна 1,5, а ордината в 2 раза больше абсциссы.
175.	Постройте в координатной плоскости отрезок MN, зная
координаты его концов: М( — 1; 4) и N (2;' —2). Найдите коор-
динаты точек пересечения этого отрезка с осью х и с осью у.
33
176.	Вычислите:
а)	19,6-2-1-+ ^5,25-1-|- —4,5--|-);
б)	(зЦ— 14): 24—14.2,4.
177.	Найдите значение выражения
— 0,5 (1Ь — 12а) — (8,4а— 145)
при а = — 10, Ъ= —6.
178.	Сравните с нулем значение выражения:
з 2	1-24
а) -3,52-1,7; б) (-2,86):(-0,9); в) 424-53-=-; г) -
1 + 2у
Контрольные вопросы
1.	Дайте определение корня уравнения. Является ли число 7
корнем уравнения 2х — 5 = х + 2?
2.	Что значит решить уравнение?
3.	Какие уравнения называются равносильными? Сформу-
лируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения,
равносильного уравнению 5х — 4 = 6.
4.	Дайте определение линейного уравнения с одной пере-
менной. Приведите примеры.
5.	В каком случае уравнение ах = Ь имеет единственный
корень?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
К параграфу 1
179.	Вычислите:
б) 4-1-21);
Оо
в) -4:4;
г)
Д) (— 0,15)--|-;
е) -16:(-4).
180.	Найдите значение выражения:
а)	42,5-10+ 25,5:17;	в) 20,6-8 — 244,8:6;
б)	16,8:10 + 7,4-0,8;	г) 240,8:301+32-0,06.
181.	Вычислите:
а) 12,6 + 5-(3,251-1,171); б) 7,6-8,4:(0,27 + 0,15).
34
182.	Вычислите:
а)	3A.iJ__72_;i2_;	b)(1-L + 2A_33 \ 3 з
о 9	39	\ -	3	4/5
б)	14:4^- + -^-8;	г) 14 — 15-|-: 2.
183.	Найдите значение выражения:
184.	Найдите число, обратное:
.	5 2ч	11
а)	сумме чисел — и — ; в) произведению чисел — и —•;
63	15	16
б)	разности чисел 6,2 и 5,8; г) частному чисел 4,9 и 3,5.
185.	Найдите число, противоположное:
а)	сумме чисел 2,86 и —4,3;
,,	4	5
б)	разности чисел —— и —;
в)	произведению чисел —5,75 и 1,6;
2
г)	частному чисел 46 и — 7 —.
186*. Найдите сумму всех целых чисел от —102 до 104.
187*. Найдите произведение всех целых чисел от —11 до 13.
188. Найдите значение выражения:
а) т , при т=----б) 2а +1 при а = 3,5.
т — 13	л — 4
189.	Найдите значение выражения 2l~ty , если:
X —31/
а)	х = 4, у = 1,5;	в) х = 1,4, у=0;
б)	х=-1, г/ = 4;	г) х = 1,3, у =-2,6.
190.	Запишите в виде выражения:
а)	сумму произведения чисел а и Ь и числа с;
б)	разность числа с и частного чисел а и Ь;
в)	произведение разности чисел х и у и их суммы;
г)	частное суммы чисел а и b и их разности.
191*. Известно, что при некоторых значениях а и b значение
выражения 2 (а + Ь) равно —8,1. Найдите при тех же значениях
а и Ь значение выражения:
а) 3(а + б); б) — 0,5 (а + б); в) 4а + 4б; г) — 5а—56.
35
192.	При каких значениях переменных не имеет смысла
выражение:
2х —4 ’	4у + 2 ’	В) а — Ь ’	а4-6 ‘
193.	Составьте выражение для решения задачи:
а)	Периметр прямоугольника 16 см, одна из его сторон т см.
Какова площадь прямоугольника?
б)	Площадь прямоугольника 28 м2, а одна из его сторон рав-
на а м. Чему равен периметр прямоугольника?
в)* Из двух городов, расстояние между которыми s км,
навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля.
Скорость одного из них и, км/ч, а скорость другого V2 км/ч.
Через сколько часов они встретятся?
г)* Через какое время мотоциклист догонит велосипедиста,
если расстояние между ними s км, скорость велосипедиста
о, км/ч, а скорость мотоциклиста U2 км/ч?
194.	От прямоугольного листа картона со сторонами а см
и Ь см отрезали по углам квадраты со сторонами х см (рис. 6).
Из оставшейся части сделали открытую коробку. Запишите
формулу для вычисления объема V коробки. Вычислите по фор-
муле объем коробки, если а = 35, 5 = 25, х = 5. Какие значе-
ния может принимать переменная х при указанных значениях
а и Ь?
195.	Составьте формулу числа:
а) кратного 11; б) кратного 21.
196.	Чтобы выразить в километрах расстояние, измерен-
ное в морских милях, пользуются формулой </ = 1,852х, где
х — расстояние в милях, а у — то же расстояние в километрах.
Выразите в километрах следующие расстояния: 10 миль,
50 миль, 250 миль.
197.	Сравните:
а)	3,48-4,52 и -8,93 + 9,16;	в) 4,7-9,65 и 4,7-9,9;
б)	6,48— и 6,48:-^-;	г) -j-16,4 и 16,4:-?-.
36
198.	Сравните значения выражений:
а)	2,7х + 5 и 1,8х— 4 при х=—10;	—1,2;	2,4;
б)	60тп— 1 и 50m+ 1 при т=— 0,2; 0,2; 0,4.
199.	Прочитайте неравенство:
а) 9,6<10< 10,1;
б) 0,7 <0,75 <0,8;
в) 640 <641 <650;
г) 57<57-^j <58;
д) —4,8< —4,71 < -4,7;
е) -Ю<-9-|-<-9.
200.	Прочитайте неравенство:
а)	х — 8,3;
б)	у^0,07;
в)	4,52^ а;
г) -3,64>Ь;
д) т — n~^k\
е) р + х<1/.
201.	Верно ли неравенство:
а) т^12 при т = 10; 12; 20;
б)	— 5 при k= — 1; —5; —9?
202.	Запишите неравенство:
а)	т больше или равно 5,2;	в) 6,5 больше или равно х;
б)	k меньше или равно —1,7;	г) 9,1 меньше или равно у.
203.	Запишите в виде двойного неравенства:
а)	х больше или равно 100 и меньше или равно 110;
б)	а больше —7,1 и меньше или равно 5,2;
в)	d больше 3 и меньше 3,1;
г)	k больше или равно 0 и меньше 1.
204.	Составьте двойное неравенство из неравенств:
а)	х<3 и х> —2;	в)а + б<1 и а-\-Ь> — 4;
б)	а>—5 и а<0;	г) аЬ>0 и ab<Z 15.
205.	Верно ли, что
а)	если а>0 и Ь>0, то аЬ>0;
б)	если дд>0, то а>0 и Ь>0?
206*. Верно ли, что для любых чисел а и Ь
а) |а + Ы = |а| + |Ь|;	б) \ab | = |а| • IЯ ?
207*. Известно, что | х I = I у I. Верно ли, что х = у?
208*. Известно, что |а| < 1Ы. Верно ли, что а<6?
209*. Известно, что |а| > IЬI. Возможно ли, чтобы было
а<&?
37
210*. Известно, что a<Zb. Запишите в виде двойного нера-
венства, что среднее арифметическое чисел а и Ь заключено
между числами а и Ь.
211.	Известно, что число а больше или равно —3 и меньше
4. Покажите на координатной прямой, какой точкой может
изображаться число а.
К параграфу 2
212.	Найдите значение выражения:
а)	8,7-9,6+ 3,5-8,7 —8,7-3,1;	в) 5,9-2,6 + 5,9-3,2 + 5,8-4,1;
б)	7,6-6,8-1,5-6,8 + 6,8-13,9;	г) 6,8• 8,4- 1,6• 8,4+ 5,2-1,6.
213.	Вычислите:
а) (1,25-1,7-0,8-1,7)-3,45;	б) 3,947 :(3,6 — 2,6-4-0,25).
214.	Являются ли тождественно равными выражения:
а) — 3(а — Ь) и ЗЬ — За;	б) — 5 (у — х) и 5у — 5х?
215*. Объясните, почему равенство является тождеством:
а)	|х| = |—х|; б) |х — yl = \у — х|; в) |2с|=2|с|.
216.	Запишите в виде равенства следующие утверждения:
а) разность двух чисел равна сумме уменьшаемого и числа,
противоположного вычитаемому;
б)	кубы противоположных чисел являются противоположными
числами.
217*. Является ли тождеством равенство:
а)	|а + 5| =а + 5;	в) |а — Я — |5 — а| =0;
б)	|а2 + 4|=а2 + 4;	г) \а + Ь\ - |а| = |Ь|?
218.	Докажите, что
а)	если к сумме двух чисел прибавить их разность, то полу-
чится удвоенное первое число;
б)	если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится
удвоенное второе число.
219.	Преобразуйте выражение в тождественно равное, ис-
пользуя распределительное свойство умножения:
а)	0,8-(11х +101/— 2);	в) - 7 • (0,5m - 1,2л + 1);
б)	(20- 12а + 45)-1,5;	г) (-2,2-m + l,5n)-(-6).
220.	Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) (а + Ь)х + (а-Ь)х—2ах; б) 8 (х — у) + 8 (у — х).
38
221. Приведите подобные
а)	— 3,6х — 5,2 — 2,4х —9;
б)	4,6а +1,56 — 3,25 —1,8а;
в)	— 6,7а + 56 — 0,8а — 2,56;
слагаемые:
г)	1,2х +3,4х —5 — 5,3х;
д)	2,4а — 0,8m — 0,4m — 1,5m;
е)	- 3,8г/ + 2х + 8г/ - 4,3 г/.
222.	Докажите, что:
а)	выражение х( — 1) + х( — 2) + х( — 3) + 6х тождественно
равно нулю;
б)	выражение а( — 5) + а-4 + а( — 3) + а-2 тождественно
равно — 2а.
223.	Раскройте скобки:
а)	— ( —х) + ( —г/);	в) х + (-(-г/));
б)	-(-х)-(-г/);	г) х—( —( —у)).
224.	Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) 6,9 — 5,lm + (6m — 1,2);	в) 7,5г/ + (6 —7,3 г/) —5,8;
б)	8,4х —4,4 —(1,6 + 10х);	г) — (3,7q — 5,5) + 9g — 3,9.
225.	Найдите значение выражения 8а—(46 + За) — (4а — 36):
а) при а = 6,8, 6 = 7,3;	б) при а=—8,9, 6 =—9,9.
226.	Докажите, что значение выражения не зависит от а:
а) а + (2а — (За — 5));	б) а —(6а —(5а —8)).
227.	Составьте разность выражений 17х— 13г/ + 8 и 20х + 6г/
и упростите ее.
228.	Докажите, что если одно из чисел кратно 3, а другое
кратно 5, то их произведение кратно 15.
229.	Докажите, что произведение двух четных чисел
кратно 4.
К параграфу 3
230.	Является ли корнем уравнения (2х —3,8) (4,2 + Зх) = 0
число:
а) 1,9; б) 2; в) -1,4; г) -3?
231.	Какие из чисел —4, —3, —1, 3, 4 являются корнями
уравнения:
а) х2 + 4х + 3 = 0;	б) х2 + х = 12?
232.	Имеет ли корни уравнение:
а)	Зх + 7 =(9 + х) + 2х;	в) х2 = х;
б)	5х-1 = 4(х + 2)-(9-х);	г) х + 1 = х-1?
39
233.	Почему не имеет корней уравнение: а) |х| = —1;
б) |хЦ-3 = 0?
234*. Решите уравнение:
а) 1x1=5; б) |у|=3,7; в) |а|—17 = 0; г) 1,4 1Ы=0.
235.	Составьте какое-нибудь уравнение, корнем которого
является число: а) 8; б) —10; в) 0.
236*. При каких значениях коэффициента т уравнение
тх = 5 имеет единственный корень? Существует ли такое значе-
ние т, при котором это уравнение не имеет корней; имеет
бесконечно много корней?
237*. При каких значениях коэффициента р уравнение
рх=10 имеет корень, равный —5; 1; 20?
238.	Решите уравнение:
а)	3,8х —(1,6 — 1,2х) = 9,6 + (3,7 — 5х);
б)	(4,5у + 9)-(6,2-3,1у) = 1,2у + 2,8;
в)	0,6m — 1,4 = (3,5m + 1,7) —(2,7m — 3,4);
г)	(5,3а - 0,8) - (1,6 - 4,7а) = 2а - (а - 0,3).
239*. Решите уравнение:
а)	(х —1)(х —7) = 0;	в) (х+1) (х- 1) (х-5)=0;
б)	(х+2)(х-9)=0;	г) х(х + 3)(х + 3) = 0.
240*. Может ли иметь положительный корень уравнение:
а) (х+5)(х + 6) + 9 = 0;	б)х2 + Зх+1=0?
241.	Решите уравнение:
а) 0,15 (х-4)=9,9-0,3 (х—1);
б)	1,6(а-4)-0,6 = 3(0,4а-7);
в)	(0,7х - 2,1)- (0,5 - 2х) = 0,9 (Зх - 1) + 0,1;
г) -3(2-0,4у) + 5,6 = 0,4(Зу + 1).
242.	При каком значении переменной:
а)	сумма выражений 2х + 7 и —х + 12 равна 14;
б)	разность выражений —51/4-1 и 3j/ + 2 равна —9;
в)	значение выражения 5—а на 20 больше значения выраже-
ния 6а — 1;
г)	значение выражения 7m —3 в 2 раза меньше значения выра-
жения 12m+ 1?
243.	Найдите все целые значения а, при которых корень
уравнения ах = 6 является целым числом.
244*. Не решая уравнения 7 (2х+ 1) = 13, докажите, что его
корень не является целым числом.
40
245.	На ферме 1000 кроликов и кур, у них 3150 ног. Сколь-
ко кроликов и сколько кур на ферме?
246.	Двое рабочих изготовили за смену 86 деталей, причем
первый изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Сколько
деталей изготовил каждый рабочий?
247.	На первом участке на 9 кустов смородины больше,
чем на втором. Если со второго участка пересадить на первый
3 куста, то на первом участке станет в 1,5 раза больше кустов
смородины, чем на втором. Сколько кустов смородины на пер-
вом участке?
248.	У Миши в четыре раза больше марок, чем у Андрея.
Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у него станет марок
вдвое больше. Сколько марок у каждого мальчика?
249.	Чтобы сдать в срок книгу в библиотеку, ученик должен
был читать ежедневно по 40 страниц, но он читал в день на 15
страниц меньше и сдал книгу на 6 дней позже срока. За
сколько дней ученик должен был прочитать книгу?
250.	Чтобы сделать вовремя заказ, артель стеклодувов
должна была изготовлять в день по 40 изделий. Однако она
изготовляла ежедневно на 20 изделий больше и выполнила
заказ на 3 дня раньше срока. Каков был срок выполнения
заказа?
251.	Если к задуманному числу прибавить 7, полученную
сумму умножить на 3 и из произведения вычесть 47, то полу-
чится задуманное число. Какое число задумано?
41

Глава II
ФУНКЦИИ
§ 4. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
§ 5. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 4. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
10. ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ
На практике мы часто встречаемся с зависимостями
между различными величинами. Например, площадь круга
зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит
от его объема и плотности металла, объем прямоугольного
параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.
В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя
величинами.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Площадь квадрата зависит от длины его сто-
роны. Пусть сторона квадрата равна а см, а его площадь равна
S см2.
Для каждого значения переменной а можно найти соответ-
ствующее значение переменной S.
Так,
если а= 3, то S= 32 = 9;
если а = 15, то S=152 = 225;
если а = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.
Зависимость переменной S от переменной а выражается
формулой
S = a
(по смыслу задачи а>0).
Переменную а, значения которой выбираются произвольно,
называют независимой переменной, а переменную S, значения
которой определяются выбранными значениями а,— зависи-
мой переменной.
42
Пример 2. Путь, пройденный автомобилем со скоростью
50 км/ч, зависит от времени движения.
Обозначим время движения автомобиля (в часах) буквой t,
а пройденный путь (в километрах) буквой з. Для каждого зна-
чения переменной (, где t 0, можно найти соответствующее
значение переменной з. Например,
если ( = 0,5, то 3 = 50-0,5 = 25;
если ( = 2, то з = 50-2 =100;
если ( = 3,5, то 8 = 50-3,5 = 175.
Зависимость переменной з от переменной ( выражается фор-
В этом примере ( является независимой переменной, аз —
зависимой переменной.
Пример 3. На рисунке 7 изображен график температу-
ры воздуха в течение суток.
С помощью этого графика для каждого момента времени
( (в часах), где 0^(^24, можно найти соответствующую
температуру р (в градусах Цельсия). Например,
если ( = 6, то р=—5;
если ( = 12, то р = 2;
если (=17, то р = 3.
Здесь ( является независимой переменной, ар — зависимой
переменной.
Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде за-
висит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зави-
43
симость показана в таблице (буквой п обозначен номер эоны,
а буквой т — соответствующая стоимость проезда в копейках):
п	1	2	3	4	5	6	7	8	9
m	10	15	20	25	35	40	55	65	85
По этой таблице для каждого значения л, где л = 1, 2,	9,
можно найти соответствующее значение т. Так,
если л = 2, то т = 15;
если л = 6, то т = 40;
если л = 9, то т = 85.
В этом случае л является независимой переменной, а т —
зависимой переменной.
В рассмотренных примерах каждому значению независи-
мой переменной соответствует единственное значение зависи-
мой переменной. Такую зависимость одной переменной от дру-
гой называют функциональной зависимостью или функцией.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о
зависимой переменной говорят, что она является функцией
от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией
от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с по-
стоянной скоростью, является функцией от времени движения.
Значения зависимой переменной называют значениями функ-
ции.
Все значения, которые принимает независимая переменная,
образуют область определения функции. Например, область
определения функции, рассмотренной в примере 1, состоит
из всех положительных чисел, а в примере 3 — из всех чисел
от 0 до 24.
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
(1646—1716) —
немецкий философ, математик, физик и языковед.
Ом и английский ученый И. Ньютон создали (не-
зависимо друг от друга) основы важного раздела
математики — математического анализа. Лейбниц
ввел многие понятия и символы, употребляемые
в математике и сейчас.
44
•	252. Площадь прямоугольника со сторонами 9 см и х см
равна S см2. Выразите формулой зависимость S от х. Для значе-
ния аргумента х = 4; 6,5; 15 найдите соответствующее значение
функции S.
•	253. Поезд, двигаясь со скоростью 70 км/ч, проходит за
t ч расстояние s км. Задайте формулой зависимость з от t.
Найдите значение функции, соответствующее значению аргу-
мента, равному 2,4; 3,8.
•	254. Объем куба зависит от длины его ребра. Пусть а см —
длина ребра куба, а V см3 — его объем. Задайте формулой
зависимость V от а. Возьмите два каких-либо значения аргу-
мента и вычислите соответствующие им значения функции.
255.	По озеру плавала яхта. Расстояние з (в километрах),
на которое удалялась яхта от базы, менялось с течением вре-
мени движения t (в минутах). Изменение s в зависимости от
t показано на рисунке 8. На каком расстоянии от базы находи-
лась яхта через 20 мин, через 1 ч 20 мин, через 2 ч 30 мин?
Какова область определения рассматриваемой функции?
256.	На рисунке 9 показано изменение высоты сосны у
(в метрах) в зависимости от ее возраста х (в годах). Найдите:
БЕРНАРД БОЛЬЦАНО
(1781 —1848) —
чешский математик и философ. Ввел ряд важных
понятий математического анализа. Работал над
проблемами оснований математики.
45
а) высоту сосны в возрасте 10; 40; 90; 120 лет; б) на сколько
выросла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет; от 60
до 100 лет?
257.	Каждому натуральному числу п ставится в соответ-
ствие остаток г от деления этого числа на 4. Найдите г, если л
равно 13, 34, 43, 100. В рассматриваемой функциональной за-
висимости укажите аргумент. Какова область определения этой
функции? Какие числа служат значениями функции?
258.	В таблице показана зависимость числа цветных теле-
визоров т (в миллионах штук), выпущенных в СССР с 1980 г.
по 1987 г., от года выпуска л:
Л	1980.	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987
т	2,3	2,7	3,1	3,4	3,6	4,0	4,4	4,6
Укажите независимую переменную (аргумент). Какие числа
служат значениями аргумента и какие значениями функции?
Какое значение т соответствует значению п, равному 1981,
1984? Во сколько раз увеличился выпуск телевизоров с
1980 по 1985 г.?
Упражнения для повторения
259.	В одном резервуаре 380 м3 воды, а в другом 1500 м3.
В первый резервуар каждый час поступает 80 м3 воды, а из вто-
рого каждый час выкачивают 60 м3. Через сколько часов воды
в резервуарах станет поровну?
46
260.	Отметьте точки А (4; —3) и В ( — 2; 6). Проведите пря-
мую АВ и найдите координаты точек пересечения этой прямой
с осью х и осью у.
11. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ ПО ФОРМУЛЕ
Функции, которые мы рассматривали в предыдущем пункте,
задавались различными способами. Наиболее распространен-
ным способом является задание функции с помощью формулы.
Формула позволяет для любого значения аргумента находить
соответствующее значение функции путем вычислений.
Пример 1. Пусть функция задана формулой
у = 3je^~1 , где — З^х^З.
Найдем значения у, соответствующие целым значениям х:
„	3-( —3)—1	,
если х=— 3, то у=——=—5;
„	3-( —2)— 1	„ ,
если х =—2, то у=-------g---=—3,5 и т. д.
Результаты вычислений удобно записать в виде таблицы,
поместив в верхней строке значения аргумента, а в нижней
строке — соответствующие значения функции:
X	-3	— 2	-1	0	1	2	3
У	-5	-3,5	— 2	-0,5	1	2,5	4
Мы выбирали каждый раз значение х на 1 больше преды-
дущего. Говорят, что мы составили таблицу значений функции
с шагом 1.
В рассмотренном примере была указана область определения
функции. Если функция задана формулой и область определе-
ния функции не указана, то считают, что область определе-
ния состоит из всех значений независимой переменной, при
которых эта формула имеет смысл. Например, область опреде-
ления функции, заданной формулой у = х (х + 5), состоит из всех
чисел, а область определения функции, заданной формулой
1	п
у = j 2 , состоит из всех чисел, кроме числа 2.
С помощью формулы, задающей функцию, решают также
задачу отыскания значений аргумента, которым соответствует
данное значение функции.
47
П р и м е р 2. Функция задана формулой ^ = 12х —3,6.
Найдем, при каком значении х значение функции равно 2,4.
Подставим в формулу у = 12х —3,6 вместо у число 2,4. По-
лучим уравнение с переменной х:
2,4 = 12х—3,6.
Решив его, найдем, что
х = 0,5.
Значит, у = 2,4 при х = 0,5.
Заметим, что мы смогли решить эту задачу, так как она
свелась к уравнению, способ решения которого нам известен.
•	261. Функция задана формулой </ = 2x4-7- Найдите значе-
ние функции, соответствующее значению аргумента, равному
1; -20; 43.
•	262. Функция задана формулой </ = 0,1x4-5. Для значения
аргумента, равного 10; 50; 120, найдите соответствующее зна-
чение функции.
12
•	263. Функция задана формулой У=~ • В таблице указа-
ны значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соот-
ветствующие значения функции:
X	-6	-4	-3	2	5	6	12
У							
• 264. Функция задана формулой у = х2— 9. Заполните таб-
лицу:
X	-5	— 4	-3	0	2	3	6
У							
•	265. Составьте таблицу значений функции, заданной фор-
мулой у = х(х— 3,5), где 0^х^4, с шагом 0,5.
266. Найдите область определения функции, заданной фор-
мулой:
а) у = х2 + 8;	б)</=-^;	в)у=у^; г)у = -^-!.
• 267. Формула у =—5х + 6 задает некоторую функцию. При
каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100?
48
•	268. Функция задана формулой р=-|-х. Заполните пустые
клетки таблицы:
X	-0,5			4,5	9
У		— 2	0		
•	269. Функция задана формулой у = 0,Зх — 6. Найдите зна-
чение аргумента, при котором значение функции равно —6;
-3; 0.
•	270. Задайте формулой зависимость массы куска пробки
от его объема, если известно, что плотность пробки равна
0,18 г/см3. Найдите по формуле: а) массу куска пробки,
объем которого равен 240 см3; б) объем куска пробки, масса
которого равна 64,8 г.
•	271. Двигаясь со скоростью и км/ч в течение 6 ч, автомо-
биль прошел путь з км. Задайте формулой зависимость s
от V. Пользуясь этой формулой: а) найдите з, если v = 65;
б) найдите и, если s = 363.
272.	С турбазы на станцию, удаленную на расстояние
60 км, отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч.
Задайте формулой зависимость переменной з от переменной t,
где з — расстояние велосипедиста до станции (в километрах),
at — время его движения (в часах). Найдите по формуле:
а) э, если t = 3,5;	б) t, если з = 30.
273.	У мальчика было 20 к. Он купил х карандашей по 3 к.
за штуку. Обозначив число копеек, оставшихся у мальчика,
буквой у, задайте формулой зависимость у от х. Какова область
определения этой функции?
Упражнения для повторения
274.	Для сельской библиотеки ученики шестых и седьмых
классов собрали 315 книг. Сколько книг собрали семиклассни-
ки, если известно, что они собрали на 10% книг больше, чем
шестиклассники?
275.	Отметьте в координатной плоскости точки М (0; —4) и
У (6; 2) и соедините их отрезком. Найдите координаты точки
пересечения этого отрезка с осью х.
276.	Отметьте в координатной плоскости точки А ( — 2; —3)
и В (4; 5). Найдите координаты середины отрезка АВ.
49
12. ГРАФИК ФУНКЦИИ
Рассмотрим функцию, заданную формулой у=—-j, где
— 2^х^3. По этой (формуле для любого значения аргумента
можно найти соответствующее значение функции. Возьмем
например, целые значения аргумента. Получим:
если х=— 2, то у = 6;
если х— 1, то у = 3;
если х = 0, то у = 2;
если х = 1, то у = 1,5;
если х = 2, то у = 1,2;
если х = 3, то у = 1.
Каждую из найденных пар значений х и у изобразим
точкой в координатной плоскости, считая значение х абсцис-
сой, а соответствующее значение у ординатой (рис. 10). Выбирая
другие значения х из промежутка от —2 до 3 и вычисляя
соответствующие им значения у по формуле у = —7-7, будем
получать другие пары значений х и у. Каждой из этих пар
также соответствует некоторая точка координатной плоскости.
Все такие точки образуют график функции, заданной форму-
лой у = -4-5, где — 2О<3 (рис. 11).
х -f- о
Определение. Графиком функции называется множе-
ство всех точек координатной плоскости, абсциссы которых
равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим
значениям функции.
50
Пример 1. Построим график функции, заданной форму-
лой у = х (6 — х), где — 1 С х 5.
Составим таблицу соответственных значений аргумента и
функции:
X	-1	0	1	2	3	4	5
У	— 7	0	5	8	9	8	5
Отметим в координатной плоскости точки, координаты
которых указаны в таблице. Соединим их плавной линией
(рис. 12). Получим график функции, заданной формулой
у=х(6 — х), где —1^х^5. Чем больше отметим точек, при-
надлежащих графику, и чем плотнее они будут расположены,
тем точнее будет построен график функции.
С помощью графика функции по значению аргумента
можно найти соответствующее значение функции. Можно также
решить обратную задачу: по указанному значению функции
найти те значения аргумента, которым оно соответствует.
Пример 2. По графику функции, изображенному на ри-
сунке 13, найдем: а) значение функции при х = 3; б) значения
х, при которых значение функции равно 7.
а)	Через точку оси х с абсциссой 3 проведем перпендикуляр
к оси х. Точка пересечения этого перпендикуляра с графи-
ком функции имеет координаты (3; 5). Значит, при х = 3 зна-
чение функции равно 5.
б)	Проведем через точку оси у с ординатой 7 прямую, парал-
лельную оси х. Эта прямая пересекает график в двух точках: с
координатами (5; 7) и (9; 7). Значит, функция принимает
значение, равное 7, при х = 5 и при х = 9.
51
График дает наглядное представление о зависимости между
величинами. Так, по графику температуры воздуха можно
узнать, когда температура равнялась нулю, была выше нуля,
ниже нуля, возрастала, убывала и т. д. Например, с помощью
графика, изображенного на рисунке 7, можно определить,
что температура была равна О °C в 9 ч и в 22 ч; была положи-
тельной с 9 ч до 22 ч; возрастала с 3 ч до 15 ч.
На практике часто используются приборы для автоматиче-
ской регистрации хода того или иного процесса (изменения
в течение суток атмосферного давления, изменения в течение
суток уровня моря, изменения давления пара в цилиндре
двигателя в зависимости от положения поршня и т. п.). Эти
приборы вычерчивают графики соответствующих функцио-
нальных зависимостей.
277.	Функция задана формулой у = х(х — 3), где — 2 < х С 2.
Заполните таблицу:
X	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
У									
Постройте график этой функции.
278.	Постройте график функции, заданной формулой
1/ = х + 3, где —l^xsJ5, составив предварительно таблицу
значений функции с шагом 1.
279.	Функция задана формулой у=-^-, где 1^х^6. По-
стройте график этой функции, составив таблицу значений
функции с шагом 1.
• 280. Кривая MN — график некоторой функции (рис. 14).
Найдите по графику значение функции, соответствующее
значению аргумента —2; —1; 0; 1; 5.
52
• 281. Используя график функции, изображенный на рисунке
15, заполните таблицу:
X	-3	-1,5	-0,5	0	0,5	3,2
У						
Укажите пять значений аргумента, которым соответствуют
положительные значения функции, и пять значений аргумента,
которым соответствуют отрицательные значения функции.
• 282. На рисунке 16 изображен график некоторой функции.
Пользуясь им, заполните таблицу:
X	— 4	-3	— 2,5	0	1	3,5
У						
• 283. Кривая CD — график некоторой функции (рис. 17).
Используя график, найдите:
а)	значения у при х= — 3; —2; 0; 2; 4;
б)	значения х, которым соответствует у ——2; 0; 2; 3.
284.	Графиком функции служит отрезок, координаты кон-
цов чотррого ( — 6; —2) и (3; 5). Начертите график и найдите
по графику:
а)	значения у при х=—5; —3; —1; 1; 2;
б)	значения х, которым соответствует у=—1; 1; 3; 4.
285.	Ломаная АВС — график некоторой функции, причем
А( —3; 1); В(1; —1) и С(3; 3). Начертите график и с его
помощью найдите:
а)	значения функции, соответствующие х= — 2,5; —1,5;
0; 1,5; 2;
б)	значения аргумента, которым соответствует у = —0,5; 1;
53
286.	Графиком некоторой функции является ломаная MNP,
где М (— 2; —1), N (3; 6), Р(6; —3). Начертите график и, поль-
зуясь им, найдите:
а)	значения функции I/ при х= —1,5; 0; 4; 5,5;
б)	значения аргумента, которым соответствует у= —2,5; 0;
4,5.
• 287. Принадлежат ли точки А (4; 2), В(1; —4) и С(1; 4)
графику функции, заданной формулой у = 2х — 6? Назовите
координаты еще каких-либо двух точек, одна из которых при-
надлежит графику этой функции, а другая не принадлежит.
• 288. Принадлежат ли графику функции, заданной форму-
лой у = х+ 1, точки А ( — 5; — 4); В (— 0,3; 0,7); С (—1,2; 0,2)?
12
289.	Функция задана формулой у = —, где 1^х^12.
Составьте таблицу значений функции для целых значений х.
Постройте график функции. Отметьте на графике точку с
абсциссой 2,5. Найдите ее ординату и проверьте результат
по формуле.
290.	На рисунке 18 изображен график зависимости массы
бидона с жидкостью от объема жидкости. Найдите по графику:
а)	массу пустого бидона;
б)	массу бидона с одним литром жидкости;
в)	массу одного литра жидкости;
г)	объем жидкости в бидоне, если общая масса бидона с
жидкостью равна 3 кг.
291.	Измеряя через каждую минуту температуру воды
в баке, составили таблицу:
X, мин	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
у, °C	14	28	41	54	66	76	85	93	98	100	100	100	100
Постройте график зависимости у от х (масштаб: 1 см на
оси х соответствует 1 мин, 1 см на оси у соответствует 10 °C).
54
а)	какую температуру имела вода через 4, через 5,5, через 9,
через 10,7 мин после начала нагревания;
б)	через сколько минут после начала нагревания темпера-
тура воды стала равной 41 °C; 60 °C; 95 °C?
292.	На рисунке 19 изображены графики зависимости тор-
мозного пути автомобиля от скорости его движения на сухом
асфальте (кривая ОА), на мокром асфальте (кривая ОВ), при
гололеде (кривая ОС). Ответьте на вопросы;
а)	чему равен тормозной путь автомобиля при скорости
50 км/ч в каждом случае;
б)	с какой скоростью должен двигаться автомобиль в сухую
погоду, в дождь, при гололеде, чтобы его тормозной путь
не превышал 60 м?
Упражнения для повторения
293.	Решите уравнение:
а)	3,7х —2= —2х + 3,13;	в) -27х = 5-54х;
б)	4,2х + 8 = 8 —7х;	г) х — 1 = 0,4х —2,5.
294.	В автопарке было в 1,5 раза больше грузовых машин,
чем легковых. После того как автопарк получил еще 45 легко-
вых автомашин, а 12 грузовых машин передал колхозу, в нем
стало легковых машин на 17 больше, чем грузовых. Сколько
всего автомашин было в автопарке?
295.	Верно ли, что:
6т-т-1т+т-6>0;
б) 7+ 2424: (11,8+ 0,2)+ 2,3 <200?
Контрольные вопросы
1.	Приведите пример функциональной зависимости одной
переменной от другой. Укажите независимую и зависимую
переменные.
2.	Объясните на примере функции, заданной формулой
у = 6х+12: а) как по значению аргумента найти соответ-
ствующее значение функции; б) как найти значения аргумента,
которым соответствует указанное значение функции.
3.	Дайте определение графика функции.
4.	Покажите, как с помощью графика функции можно
найти: а) значение функции, соответствующее заданному зна-
чению аргумента; б) значения аргумента, которым соответ-
ствует данное значение функции. Используйте для этого график
функции, изображенный на рисунке 14.
55
§ 5. ЛИНЕЙНАЯ функция
13. линейная функция и ее график
Рассмотрим примеры функций.
Пример 1. На шоссе расположены пункты А и В, уда-
ленные друг от друга на 20 км (рис. 20). Мотоциклист выехал
А
Рис. 20
из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью
50 км/ч. За t ч мотоциклист проедет 50 t км и будет находиться
от А на расстоянии 50t + 20 км. Если обозначить буквой s
расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зави-
симость этого расстояния от времени движения можно выразить
формулой
s = 50( + 20, где t^0.
Пример 2. Ученик купил тетради по 3 к. за штуку и
ручку за 35 к. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей.
Обозначим число купленных тетрадей буквой х, а стоимость
покупки (в копейках) буквой у.
Получим:
i/ = 3x + 35, где х — натуральное число.
В обоих примерах мы встретились с функциями, заданными
формулами вида y = kx-f-b, где х— независимая переменная,
k и Ь — числа. Такие функции называют линейными.
Определение. Линейной функцией называется функ-
ция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где
х — независимая переменная, k и Ь — некоторые числа.
Рассмотрим вопрос о графике линейной функции. При этом
мы будем предполагать, что область определения функции
состоит из всех чисел.
Построим график линейной функции </ = 0,5х— 2. Составим
таблицу соответственных значений х и у:
1 X	-6	— 4	— 2	0	2	4	6	8
У	-5	-4	-3	— 2	-1	0	1	2
56
Отметим в координатной плоскости точки, координаты кото-
рых указаны в таблице (рис. 21). Все отмеченные точки лежат
на одной прямой. Эта прямая (рис. 22) является графиком
линейной функции у = 0,5х — 2.
Вообще, графиком линейной функции является прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно
найти координаты двух точек графика, отметить эти точки
в координатной плоскости и провести через них прямую.
Пример 3. Построим график функции у = 2х + 3.
Функция у = 2х + 3 линейная, поэтому ее графиком являет-
ся прямая. Используя формулу у = 2х + 3, найдем координаты
двух точек графика:
если х = — 2, то у = 2-1 — 2)+3=— 1;
еслих = 1, то (/ = 2-1 + 3 = 5.
Отметим точки А( — 2; —1) и В (1; 5). Проведем через эти
точки прямую (рис. 23). Прямая АВ есть график функции
У=2х + 3.
При построении графика линейной
функции часто бывает удобно в качест-
ве одной из точек брать точку с абсцис-
сой 0.
Пример 4. Построим график функ-
ции у=— 0,8х + 1. Найдем координа-
ты двух точек графика:
если х = 0 то у = — 0,8 -0 + 1 = 1;
если х = 5, то у= -0,8-5 +1 = — 3.
57
прямую (рис. 24). Прямая МК — график функции у = — 0,8х +
+1-
При k = 0 формула y = kx-\-b, которой задается линейная
функция, имеет вид j/ = Ox+b, т. е. у = Ь. Линейная функция,
задаваемая формулой у = Ь, принимает одно и то же значение
при любом х.
Пример 5. Построим график функции у = —2.
Любому значению х соответствует одно и то же значение у,
равное —2. Отметим две какие-нибудь точки с ординатой —2,
например Р (0; — 2) и N (4; —2), и проведем через них прямую
(рис. 25). Прямая PN — график линейной функции у=— 2.
Заметим, что если область определения линейной функции
состоит не из всех чисел, то ее график представляет собой соот-
ветствующую часть прямой. Например, это может быть полу-
прямая или отрезок.
296.	Каждую секунду в бассейн поступает 0,5 м3 воды.
Сколько кубометров воды станет в бассейне через х с, если сей-
час в нем 120 м3 воды? Задайте формулой зависимость объема
воды в бассейне от времени его наполнения. Является ли эта
зависимость линейной функцией?
297.	Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше.
Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника
от его длины и зависимость площади прямоугольника от
длины. Какая из этих зависимостей является линейной
функцией?
298.	Ученик имел 50 к. На эти деньги он купил х марок по
5 к. После покупки у него осталось у копеек. Задайте формулой
зависимость у от х. Является ли эта зависимость линейной
функцией?
58
299.	Является ли линейной функция, заданная формулой:
а) t/ = 2x —3;	в)	д) ^ = я2_з;
о
б)у = 7 — 9х;	г) у = — + 1;	е) у = 10*-7?
•	300. Линейная функция задана формулой у = 0,5х + 6. Най-
дите значение у, соответствующее х= —12; 0; 34. При каком х
значение у равно —16; 0; 8?
•	301. Линейная функция задана формулой у=— Зх + 1,5.
Найдите:
а)	значение у, если х=— 1,5; 2,5; 4;
б)	значение х, при котором у=—4,5; 0; 1,5.
• 302. Постройте график функции, заданной формулой:
а)у=— 2х + 1; в) </=—х + 4,5;	—з;
б) у = 0,2х + 5; г) z/ = x+l,5;	е) у=— х — 3,5.
• 303. Постройте график функции, заданной формулой:
а)у=— Зх + 4;	в) у = х — 2;
б) у=— х + 3;	г) у = 0,Зх — 5.
•	304. Постройте график линейной функции у=—1,5х + 3.
Выясните с помощью графика: а) какое значение у соответ-
ствует х=—2,5; 3,5; б) какому значению х соответствует
у= —4,5; 0,5.
•	305. Начертите график линейной функции :/ = 1,5х + 4.
Найдите с помощью графика: а) значение у, соответствующее
х= — 3,5; 1,5; б) значение х, которому соответствует у =
= -0,5; 4,5.
306. Постройте график функции у=—10х-|-40, выбрав
масштаб: по оси х — в 1 см одна единица, по оси у — в 1 см
10 единиц. Найдите по графику: а) значение у, соответст-
вующее х=—2,5; 0,8; 3,5; б) значение х, которому соответ-
ствует у=70; —10; —30.
307. В бак налили воды, температура которой 10 °C, и нагре-
ли ее до 100 °C, причем через каждую минуту температура
повышалась на 1,5 °C. Задайте формулой зависимость темпе-
ратуры воды у (в градусах Цельсия) от времени нагревания х
(в минутах). Постройте график этой зависимости. Узнайте по
графику: а) какую температуру имела вода через 5 мин, через
10 мин после начала нагревания; б) через какое время вода
нагрелась до 85 °C.
59
• 308. Не выполняя построения, найдите координаты точек
пересечения с осями координат графика функции:
а)	у= — 2,4х-|-9,6;	в) </ = 1,2x4-6;
б)	у=— 0,7х — 28;	г) </=—5x4-2.
•	309. В какой точке пересекает ось х график функции,
заданной формулой: а) </ = 0,4х —12; б) у=—i-x-|-8?
•	310. Не выполняя построения графика функции </ = 1,2х —
— 7, выясните, проходит ли этот график через точку:
а)	А (100; 113);	в) С (-10; 5);
б)	В (-15; -25);	г) 0(300; 353).
• 311. В одной и той же координатной плоскости постройте
графики функций: </ = 6;	</=3,2;	</=—1;	</=—5;
</ = 0.
• 312. Постройте графики функций: </=—2; у = —1,9;
у = 1,6; у = 7.
Упражнения для повторения
а)
а)
б)
313. Решите уравнение:
3(0,9х — 1) — (х4-0,6)=—0,2; б) 7— (3,1-0,1</) = 3-0,2у.
314. При каких натуральных значениях п:
п + 8	—
—-----правильная дробь;
7	- п
9 — неправильная дробь?
315. Три пионерских звена собрали для школьной библио-
теки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем вто-
рое, третье 30% того числа книг, которое собрали первое и
второе звенья вместе. Сколько книг собрало каждое звено?
316. Запишите в виде выражения сумму трех последова-
тельных натуральных чисел, меньшее из которых равно:
а) п; б) л —1; в) п4-4.
Упростите записанное выражение.
14. ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
Рассмотрим пример. Пусть V — объем железного бруска в
кубических сантиметрах, т — его масса в граммах. Так как
плотность железа равна 7,8 г/см3, то т = 7,8У. Зависимость
массы железного бруска от его объема является примером
функции, которая задается формулой вида у = kx, где х —
60
независимая переменная, k — число, отличное от нуля. Такую
функцию называют прямой пропорциональностью.
Определение. Прямой пропорциональностью называ-
ется функция, которую можно задать формулой вида y = kx,
где х — независимая переменная, k — не равное нулю число.
Прямая пропорциональность является частным случаем
линейной функции, так как формула y = kx получается из
формулы y = kx-\-b при Ь = 0. Отсюда следует, что графиком
прямой пропорциональности служит прямая. Эта прямая
проходит через начало координат, так как при х = 0 значение
у равно 0.
Итак, графиком прямой пропорциональности является
прямая, проходящая через начало координат.
Для построения графика прямой пропорциональности доста-
точно отметить какую-либо точку графика, отличную от нача-
ла координат, и провести через эту точку и начало координат
прямую.
Пример. Построим график функции </=0,5х.
Эта функция — прямая пропорциональность. Найдем коор-
динаты какой-нибудь точки графика, отличной от начала
координат:
если х = 4, то у=0,5-4 = 2.
Отметим точку М (4; 2) и проведем через нее и начало коорди-
нат прямую (рис. 26). Эта прямая — график функции у = 0,5х.
Расположение графика функции y = kx в координатной
плоскости зависит от коэффициента k. Из формулы у = kx нахо-
Рис. 27
61
дим, что если х = 1, то y = k. Значит, график функции y = kx
проходит через точку (1; k). При Л>0 эта точка расположена
в первой координатной четверти, а при /г<0— в четвертой.
Отсюда следует, что при /г>0 график прямой пропорциональ-
ности расположен в первой и третьей координатных четвер-
тях, а при k < 0 — во второй и четвертой.
На рисунке 27 построены графики прямой пропорциональ-
ности при различных значениях k.
317.	Велосипедист движется равномерно со скоростью
12 км/ч. Напишите формулу, выражающую зависимость прой-
денного пути s (в километрах) от времени движения t (в часах).
Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
318.	Напишите формулу, выражающую зависимость длины
окружности от радиуса. Является ли эта зависимость прямой
пропорциональностью?
319.	Является ли прямой пропорциональностью функция,
заданная формулой:
а) у= — 5х; б) у = 5х2; в)у = -^-; г) у = х + 5?
• 320. Прямая пропорциональность задана формулой у =
= —-г-х. Найдите:
О
а)	значение у, соответствующее х, равному —9; 0; 1; 4;
б)	значение х, которому соответствует у, равное 0; —
10; 1.
• 321. Постройте график прямой пропорциональности, задан-
ной формулой:
a) i/ = 3x; б) у=— 1,5х; в) у = х\ г) у=—х.
• 322. Постройте график прямой пропорциональности, за-
данной формулой:
а) у = 2,5х; б) у=— 4,5х.
• 323. Постройте график функции, заданной формулой
у=—0,5х. С помощью графика найдите:
а)	значение у, соответствующее х, равному —2; 4; 1;
б)	при каком х значение у равно —1; 0; 2,5.
Существует ли такое х, при котором у=—150? Если
существует, то вычислите его.
62
• 324. Постройте график прямой пропорциональности у = 2х.
Найдите с помощью графика:
а)	какое значение принимает функция при х, равном
2; 2,5; 3; 4;
б)	при каком х значение функции равно 7.
325. Турист вышел из города и через х ч находился на
расстоянии у км от него.
Зависимость у от х показана в таблице:
X	0	0,5	1	2	2,5	3	3,5	4
У	0	2,1	4,0	7,9	10,1	12,1	14	16,1
В координатной плоскости отметьте соответствующие точки
и покажите с помощью линейки, что они расположены почти
на прямой. Составьте формулу, которая приближенно выражает
зависимость у от х.
326. На рисунке 28 построены графики движения пешехода
(отрезок ОВ) и велосипедиста (отрезок ОА). С помощью гра-
фиков ответьте на’ вопросы:
а)	Какое время был в пути пешеход? велосипедист?
б)	Какой путь проделал пешеход? велосипедист?
в)	С какой скоростью двигался пешеход? велосипедист?
г)	Во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипе-
дист, больше пути, пройденного за то же время пешехо-
дом?
327. На рисунке 29 изображен график зависимости удлине-
ния у стальной проволоки от силы F, под действием которой
проволока растягивается. Укажите границы изменения силы F,
при которых зависимость удлинения проволоки от силы F
является прямой пропорциональностью.
Рис. 28	Рис. 29
63
•	328. Принадлежат ли графику функции у= — 0,5х точки
А(0;-1); В(-1; 0,5); С (2; — 1); D(4;-2)7
•	329. Какие из точек А (6; —2); В(— 2; —10); 0(1; — 1);
1	2
D (—g-; 1 -у); Е (0; 0) принадлежат графику прямой пропор-
циональности, заданной формулой: а) у =—х; б) у = 5x1
• 330. Покажите схематически, как расположен график
функции, заданной формулой:
а)	у = 1,7х;	в) 1/ = 0,9х;	Д) У = кх, где А>0;
б)	у=—3,1х;	г) у=—2,3х;	е) y = kx, где Л<;0.
331.	На рисунке 30 построены графики прямых пропорцио-
нальностей. Для каждого графика определите знак коэффици-
ента k. Напишите соответствующие формулы.
Упражнения для повторения
332.	Решите уравнение:
а) 1-1,7х — (0,8х + 2) = 3,4;	б) 5 —0,2j/ = 0,3y-39.
333.	Упростите выражение:
а) —21 (4-10а)-54а;	б) 28 - 10d + 4 (d+18).
334.	Известно, что а>0. Сравните с нулем значение выра-
жения:
а) 5а; б) -10а; в) а + 6;	г) -а; д) —; е)
8	а
Ответ запишите в виде неравенства.
64
15. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИИ
Графики двух линейных функций представляют собой пря-
мые, которые либо пересекаются, либо параллельны.
Рассмотрим, например, графики функций, заданных фор-
мулами у = 0,9х — 1 и у = 0,8х4-1 с различными коэффициен-
тами при х (рис. 31). Выясним, пересекаются ли эти графики.
Пересечение графиков означает, что они имеют общую
точку. В этом случае найдется такое значение х, которому соот-
ветствует одно и то же значение у для обеих функций. Чтобы
найти это значение х, надо решить уравнение 0,9х —1 =
= 0,8x4-1.
Имеем:	0,9х —0,8х= 1 +1,
0,1х = 2,
х = 20.
При х = 20 обе функции у = 0,9х— 1 и у = 0,8х -)-1 прини-
мают одно и то же значение, равное 17. Точка (20; 17) принад-
лежит как одному, так и другому графику. Такая точка только
одна. Значит, прямые, являющиеся графиками функций
у = 0,9х — 1 и у = 0,8x4-1, пересекаются.
Рассмотрим теперь линейные функции, заданные формула-
ми у = 0,5х-|- 4 и у = 0,5х — 2 с одинаковыми коэффициентами
при х (рис. 32). Чтобы выяснить, пересекаются ли графики
этих функций, надо решить уравнение 0,5х-|-4 = 0,5х—2. Так
как это уравнение не имеет корней, то прямые, которые являют-
ся графиками функций у = 0,5x4- 4 и у = 0,5х— 2, не имеют
общих точек, т. е. они параллельны.
Вообще, графики двух линейных функций, заданных фор-
мулами вида y = kx-\-b, пересекаются, если коэффициенты
при х различны, и параллельны, если коэффициенты при х
одинаковы.
65
Докажем это. Пусть y = Aix + 6t и у = Л2х + 6,. — две различные линей-
ные функции. Чтобы выяснить, каково взаимное расположение их графиков,
рассмотрим уравнение
Л|Х-|-б|=А2Х4-Ь2.
Имеем
Л|Х — Л2х = Ь2 — bi,
(ki—k2')x = b1 — bt.
Если ki=£k2, то это уравнение имеет единственный корень. В этом случае
графики функций пересекаются. Если	и f>i=#b2, то уравнение не имеет
корней. В этом случае графики функций параллельны.
На рисунке 33 изображены прямые, которые являются
графиками линейных функций, заданных формулами вида
y = kx-\-b с одинаковыми коэффициентами при х и различны-
ми значениями Ь. Все эти прямые параллельны и наклонены
к оси х под одним и тем же углом. Этот угол зависит от коэф-
фициента k. Число k называют угловым коэффициентом пря-
мой — графика функции у = kx + Ь.
Используя термин «угловой коэффициент прямой», дока-
занное выше свойство можно сформулировать так: если угловые
коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линей-
ных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если
угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.
Из формулы y=kx-\-b следует, что при х = 0 значение у
равно Ь. Значит, график функции у = kx + b пересекает ось у
в точке с координатами (0; Ь). На рисунке 34 изображены
прямые, которые являются графиками функций, заданных
формулами вида у = kx -f- b с различными k и одним и тем же
значением Ь. Все эти прямые пересекаются в одной точке,
лежащей на оси у.
66
• 335. Каково взаимное расположение графиков функций:
a) (/ = 7х —4 и :/ = 7х + 8;	г) у=—4х и у =—4х — 5;
б) (/=10x4-8 и у=— 10х + 6;	д) (/ = 3x4-1 и у =—4х + 1;
в) у = 3х — 5 и у=— 6х + 1;	е) </ = 12х и у=— 8х?
336. Линейные функции заданы формулами: у= — 20х+13,
(/ = 3,7х—13, у=— 8 — 20х, у=—3,6х —8, (/ = 3,6х-|-8, у =
— — 3,6х. Выделите те функции, графики которых — парал-
лельные прямые. Назовите две из заданных функций, графики
которых пересекаются.
337. Функции заданы формулами: у=—1,5х-|-6, у =
= 0,5х —6, (/ = 0,5х-|-4, (/ = 0,5х, (/ = 34-1,5х. Выделите те
из них, графики которых:
а)	параллельны графику функции (/ = 0,5х-|-10;
б)	пересекают график функции у=—1,5х.
338. Дана линейная функция у = 2,5x4- 4. Задайте форму-
лой какую-нибудь линейную функцию, график которой:
а)	параллелен графику данной функции;
б)	пересекает график данной функции.
339.	Задайте формулами две линейные функции, графики
которых:
а) параллельные прямые; б) пересекающиеся прямые.
340.	Найдите координаты точки пересечения графиков
функций:
а) у = 10х — 8 и (/=—3x4-5; г) (/ = 37х —8 и (/ = 25х-|-4;
б) у = 14 —2,5х и j/ = l,5x —18; д) у = 14х и (/ = х-|-26;
в) (/ = 20х —70 и (/ = 70x4-30; е) (/=—5х-|-16 и у=—6.
341.	Пересекаются ли графики функций:
а)	(/=—6x4-9 и у = 2х — 7;
б)	у =—0,5х-|-2 и у = 2,5х —10;
в)	(/ = 0,2х —9 и у=-|-х-|-1;
г)	(/ = х и (/=—Зх-|-3,6?
Для пересекающихся графиков найдите координаты точ-
ки пересечения.
342.	Постройте в одной и той же системе координат графи-
ки функций:
а)	у=—х + 6, (/=—х—1,5, :/=—х, (/=—х —3;
б)	(/ = х-|-2,5, у=— х4-2,5, у = 2,5, у = 0,5x4-2,5.
343.	Приведите пример линейной функции, график кото-
рой пересекает ось у в той же точке, что и график функции:
а) (/ = х-|-11;	б) у=— 9х — 6.
67
344.	Постройте в одной и той же координатной плоскости
графики функций, заданных формулами:
a)	i/ = 3x-|-b при 6 = 1,2; —4; 0;
б)	у = kx — 2 при k = 1; — 1; 0,4.
345.	В каких координатных четвертях расположен график
прямой пропорциональности, параллельный графику линей-
ной функции, заданной формулой:
а) у = 0,8х —1,6;	б) j/=-0,4x + l?
346.	Покажите примерное расположение в координатной
плоскости графиков функций, заданных формулами:
a) j/ = 17x и у = 17х — 20; б) у=— ЗОх и у=— 30х-|-8.
347.	На рисунке 35 построены графики функций, задан-
ных формулами вида y = kx-\-b. Для каждого графика опреде-
лите знаки k и Ь.
Упражнения для повторения
348.	На элеватор за два дня завезли 1440 т зерна, причем
во второй день завезли 80% того количества, что завезли в
первый. Сколько тонн зерна завезли на элеватор в первый
день?
349.	Запишите в виде выражения:
а)	произведение двух последовательных четных чисел,
меньшее из которых равно 2л;
б)	сумму двух последовательных нечетных чисел, большее
из которых равно 2л+1.
350.	Пусть а<0и Ь>0. Сравните с нулем значение выра-
жения:
а) аЬ; б) — 7аЬ; в) г) 1— ab.
Ответ запишите в виде неравенства.
68
Контрольные вопросы
1.	Сформулируйте определение линейной функции.
2.	Что является графиком линейной функции? Как по-
строить график линейной функции?
3.	Как расположен в координатной плоскости график
функции y = kx при k>0 и при /г<0?
4.	В каком случае графики двух линейных функций пере-
секаются? Как найти координаты точки пересечения?
5.	В каком случае графики двух линейных функций яв-
ляются параллельными прямыми?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
К параграфу 4
351.	Масса одного кубического сантиметра ртути равна
13,6 г. Масса V см3 ртути равна т г. Задайте формулой зависи-
мость :
а) т от V;	б) V от т.
352.	При делении натурального числа л на 5 в частном по-
лучается число кив остатке 3. Задайте формулой зависимость
п от k.
353.	При делении числа у на число х в частном получает-
ся 5, а в остатке 10. Задайте формулой функцию у от х. Какова
область определения этой функции? Найдите две пары соот-
ветственных значений х и у.
354.	Турист вышел с турбазы А в направлении железнодо-
рожной станции В. На рисунке 36 дан график зависимости
пути, пройденного туристом, от времени движения. Выясните:
а) какое время гатратил турист на путь из А в В; б) с какой
69
средней скоростью двигался турист; в) сколько минут он за-
тратил на первый привал и сколько затратил на второй при-
вал; г) сколько километров турист прошел за первый час дви-
жения и сколько за последний; д) какое время было затрачено
туристом на первые 8 км и какое на последующие 8 км.
355. Зависимость у от х задана таблицей:
X	-3,5	-3	— 2,8	-2,1	1,3	2	3,5	5,2	5,8
У	-4	-3	-3	-3	1	2	3	5	5
Какая переменная является независимой и какая зависи-
мой? Какое значение функции соответствует значению аргу-
мента, равному —3,5; —2,8; 2; 5,8? При каких значениях
аргумента значение функции равно —3; 1; 5?
356.	Функция задана формулой у = 5,8х— 4 (1,2х— 2,5).
Заполните таблицу:
X	— 4	-3	— 2	-1	0	1	2	3	4
У									
357.	Функция задана формулой у = — 0,5 (8 — х). Заполни-
те таблицу соответственных значений х и у.
X	— 1,4		2,6		8,8	
У		-3,4		-1,8		2,4
358.	Какова область определения функции, заданной фор-
мулой:
a) y = —i-—;	б) —?
> у х — 4	’ у х +4
359.	Бригада по плану должна изготовить 150 деталей
за смену. Однако она перевыполнила план на х%. Составьте
формулу, выражающую зависимость у (число изготовленных
бригадой деталей) от х. Найдите по формуле:
а)	значение у, если х = 10; 30;
б)	значение х, если // = 150; 180.
360.	Из квадрата со стороной 10 см вырезали прямоуголь-
ник со сторонами 8 см и х см (рис. 37). Обозначив площадь
оставшейся части квадрата (в квадратных сантиметрах) бук-
70
Рис. 38
вой у, выразите зависимость у от х формулой. Найдите:
а) значение у, если х = 2,5; 4; б) значение х, если у = 20; 36.
361.	Постройте график функции, заданной формулой:
а)	</ = -у(10 — х), где — 2sgxsgl2;
б)	у=— (5 — х), где — 10^х^4;
в)	у = (х —1)(х + 1), где — 3<х<3;
г)	у = 3х + х2, где —3<х^2.
362*. На рисунке 38 тонкой линией изображен график
первой функции, а толстой — график второй функции. При
каких значениях аргумента значение первой функции: а) рав-
но значению второй; б) больше значения второй; в) меньше
значения второй?
363*. Изучая зависимость объема V жидкости в сосуде от
высоты h ее уровня, получили таблицу:
Л, см	3	6	9	12	15	18
V, л	1,2	3,1	5,6	9,7	14,7	21
Постройте график функции V от h. Узнайте по графику:
а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота
уровня стала равной 5 см, 10 см; б) какой будет высота
уровня в сосуде, если в него налить 4 л, 10 л.
364*. Рыболов пошел из дома на озеро, где ловил рыбу.
Затем он возвратился обратно. График движения рыболова
показан на рисунке 39. Узнайте по графику: а) каково рас-
стояние от дома до озера; б) сколько часов шел рыболов до
71
озера и сколько часов он затратил на обратный путь; в) сколь-
ко часов был рыболов на озере; г) на каком расстоянии от
дома был рыболов через 1 ч после выхода из дома; д) через
сколько часов после выхода рыболов был на расстоянии 6 км
от дома; е) какова средняя скорость рыболова на пути к
озеру и какова на обратном пути.
К параграфу 5
365. Является ли линейной функция, заданная формулой:
б) у = 3(х + 8);
в) у=х(6—х);
г) у=2 (1 —Зх) + 7 (х —3);
д) у = х (9 — х) + х2;
е) у = 5 (3 + 4х)-4 (5х- 1)?
366. Функция задана формулой j/ = O,2x— 4. Найдите зна-
чение функции, соответствующее значению аргумента, рав-
ному — 25; —12; 45; 60. При каком значении аргумента
значение функции равно 0; равно 1? Существует ли такое
значение х, при котором: а) значение функции равно зна-
чению аргумента; б) значение функции противоположно зна-
чению аргумента?
367*. Зная, что зависимость у от х является линейной
функцией, заполните таблицу:
72
и соответствующие им значения линейной функции. Подбери-
те формулу, которой можно задать эту функцию.
369.	Масса одного гвоздя равна 5 г, а масса пустого ящика
равна 400 г. Какова масса т (в граммах) ящика, в котором
лежит х гвоздей? Составьте формулу, выражающую зависи-
мость т от х. Является ли функция, заданная этой формулой,
линейной?
370.	Постройте график функции, заданной формулой
у=0,5х + 3. С помощью графика найдите:
а)	значение у, если х= — 4; —1; 4;
б)	значение х, которому соответствует у, равное —2; —0,5; 6;
в) координаты точек пересечения графика с осями координат;
г) корень уравнения 0,5х + 3 = 0.
371.	Прямая пропорциональность задана формулой у =
= —7,5х. Найдите значение у при х= —12; 20; 44. При ка-
ком х значение у равно —1500; 1200?
372.	Постройте график функции, выбрав соответствующий
масштаб:
а) у = 100х;	б) 1/ = 0,02х.
373.	Не выполняя построения, выясните, проходит ли гра-
фик функции, заданной формулой </ = 1,25х — 5, через точку:
а) А (12; 10); б) К (- 20; -30); в) Р (3; 5); г) Q (20; -20).
к
374*. При каком значении а точка А (а; —1,4) принадле-
жит графику прямой пропорциональности 1/ = 3,5х?
375.	Функция задана формулой у = х + 3, где — 4 х 8.
Постройте график этой функции и укажите все целые зна-
чения, которые может принимать эта функция.
376.	Какое расстояние у (в километрах) проедет велоси-
педист за х ч, если будет двигаться равномерно со скоростью
15 км/ч? Постройте график зависимости у от х (масштаб
по оси х: в 1 см — 15 км; по оси у: в 1 см — 1 ч). С помощью
графика ответьте на вопросы: а) Какой путь проедет велоси-
педист за 3 ч; за 3 ч 40 мин? б) Сколько времени затратит
велосипедист на путь в 50 км?
377.	Скорость распространения звука в воздухе в зави-
симости от температуры может быть найдена приближенно
по формуле v = 331 + 0,6t, где v — скорость (в метрах в се-
кунду), t — температура (в градусах Цельсия). Найдите, с
какой скоростью распространяется звук в зимний день с тем-
пературой — 35 °C и в летний день с температурой + 30 °C.
73
378.	Пересекает ли ось х график линейной функции, и
если пересекает, то в какой точке:
а)	у = 100 — 25х;	в) </ = 200х;	д) </=—15;
6)	у = 7х4-49;	г) у= — 75х;	е) </ = 15?
379*. Покажите схематически в одной координатной пло-
скости, как расположены графики функций у=ах и у — Ьх,
если:
а) а>0, Ь>0 и а>Ь; б) а<0, 5<0 и |а| < |Ь|.
380. График некоторой линейной функции вида y = kx + l
параллелен графику функции у=—0,4х. Найдите значение
коэффициента k и выясните, принадлежит ли этому графику
точка М (50; —19).
381*. Задайте формулой линейную функцию, графиком
которой служит прямая, проходящая через точку А (2; 3)
и параллельная графику функции </ = 1,5х— 3. Постройте ее
график.
382. График линейной функции — прямая, параллельная
оси абсцисс и проходящая через точку М (5; 8). Задайте эту
функцию формулой.
383. Не выполняя построения, найдите координаты точки
пересечения графиков линейных функций:
а)	</ = 4x4-9 и </ = 6х —5;
б)	</ = 16х —7 и </ = 21x4-8;
в)	</ = 10х —7 и у = 5;
г)	</ = 0,1х и </ = 14.
384*. Графики линейных функций </ = 3x4-2, у——2x4-3
и </ = 0,5х —2 ограничивают треугольник. Лежит ли начало
координат внутри этого треугольника?
Глава III
СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 6.	СТЕПЕНЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
§ 7.	ОДНОЧЛЕНЫ
§ 8.	АБСОЛЮТНАЯ
И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ
§ 6.	СТЕПЕНЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СТЕПЕНИ
С ПОМОЩЬЮ МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРА
Произведение нескольких одинаковых множителей можно
записать в виде выражения, называемого степенью. Например,
5-5-5-5-5-5-5 = 57.
Повторяющийся множитель называют основанием степе-
ни, а число повторяющихся множителей — показателем сте-
пени.
Так, в выражении 57 число 5 — основание степени, а число
7 — показатель степени.
Определение. Степенью числа а с натуральным по-
казателем п, бблыпим 1, называется произведение п множи-
телей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с пока-
зателем 1 называется само число а.
Степень с основанием а и показателем п записывается
так: а". Читается «а в степени л», «л-я степень числа а».
По определению степени:
а'=а, а2 = аа, а3 = ааа, а1=аааа.
Вообще
а" —аа ... а.
п раз
Нахождение значения степени называют возведением в сте-
пень.
75
Приведем примеры возведения в степень:
34 = 3-3-3-3 = 81; 02 = 0 0 = 0;
(-6)3 = (-6)-(-6)-(-6)=-216; 9' = 9.
Ясно, что при возведении в степень положительного чис-
ла получается положительное число; при возведении в степень
нуля получается нуль.
При возведении в степень отрицательного числа может
получиться как положительное число, так и отрицательное.
Например,
( —2)' = —2;
(— 2)2 = ( — 2)-( — 2) = 4;
( —2)3 = ( —2)-( —2)-( —2)= —8;
( —2)< =( —2)-( —2)-( —2)-( — 2) = 16.
Степень отрицательного числа с четным показателем —
положительное число, так как произведение четного числа
отрицательных множителей положительно. Степень*~отрица-
тельного числа с нечетным показателем — отрицательное чис-
ло, так как произведение нечетного числа отрицательных мно-
жителей отрицательно.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль,
т. е. а2^0 при любом а.
Вычислим значения нескольких выражений, содержащих
степени.
Пример 1. Найдем значение выражения 4-103:
1) 103 = 10-10-10 = 1000;	2) 4 1000 = 4000.
Значит, 4-103 = 4000.
Пример 2. Найдем значение выражения —26+( — З)4:
1) 26 = 64;	3) ( —3)4 = 81;
2) — 26=—64;	4) -64 + 81 = 17.
Значит, — 2б+( —3)4 = 17.
СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ ЛЕБЕДЕВ
(1902—1974) —
советский ученый в области электротехники и вы-
числительной техники, академик. Под его руко-
водством созданы первая в СССР ЭВМ и лучшие
советские ЭВМ серии БЭСМ.
76
Вы уже учились складывать, вычитать, умножать и делить
числа с помощью микрокалькулятора. Рассмотрим теперь,
как с помощью микрокалькулятора можно вычислять значе-
ние степени. Мы будем описывать вычисления на микрокаль-
куляторе «Электроника МК-57» (рис. 40). Работа на других
моделях микрокалькулятора может иметь свои особенности,
но общие ее принципы сохраняются.
Пример 3. Найдем с помощью микрокалькулятора зна-
чение степени 2,75.
Так как степень 2,75 есть произведение пяти множителей,
каждый из которых равен 2,7, то вычисления можно про-
вести по схеме:
2,7 [х] 2,7 [х]2,7 [х] 2,7 [х~|2,7	.
Однако микрокалькулятор позволяет вычислять значение
степени проще, не набирая повторно основание степени и знак
умножения. В нашем примере достаточно ввести число 2,7,
нажать клавишу | X | и четыре раза нажать клавишу | = |.
Получим более удобную схему вычислений:
^HSSSEI-
В результате вычислений найдем, что 2,75 = 143,48907.
77
• 385. Запишите произведение в виде степени:
а)	0,9 0,9 0,9;
б)	( —6)-( —6)-( —6)-( —6);
1	1	1 J_.
В‘ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’
д) 5-5...-5;
е) ссссссс;
ж) уу...у,
12 раз
з)	(-х)-(-х)-(- х)-(-х).(-х);
и)	(а — Ь) (а — Ь);
к)	(ху) (ху) (ху) (ху) (ху).
25 раз
• 386. Назовите основание и показатель степени:
а) 3,5«; б) ( —0,1)э; в) 8042; г)(-100)4; д)(-а)6; е)(-1-х)5.
Используя определение степени, представьте степень в виде
произведения.
• 387. Выполните возведение в степень:
а)	24; в) 53; д) (-7,8)2; ж) (-5-/;	*0
б)	42; г) З5; е) (-1.5)3;	3)(—K)(-2-i-)3.
• 388. Найдите значение степени:
а)	252;	в) 73;	д) (- 0,9)3;	ж)(-4)5;
б)	84;	г) 75;	е)(-2,4)2;	з)(-4)6.
389. Вычислите с помощью микрокалькулятора:
а) 4,153; б)( —0,98)5; в) 1,426; г) 2,083:1,56; д) 1,674-8,3.
390. Найдите с помощью микрокалькулятора значение вы-
ражения:
а) 8,494; б) (-1,062)3; в) 2,735-27,4; г) (1,39 +7,083)3.
391. Заполните таблицу:
п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2"										
3"										
392. Представьте:
а)	в виде квадрата число: 0,81; 0,16; 144;	14т!
0,0004;	169	28
78
б)	в виде куба число: 64; —216; 0,008; —; 4^|;
в) в виде степени десяти число: 10, 100, 1000, 1000000;
г) в виде степени пяти число: 125, 625, 15625.
393. Представьте в виде квадрата или куба число:
а) 8; б) 81; в) 125; г) 64; д) 0,001; е) 3-|-; ж) 1-Н.
394. Сравните:
а)	712 и 0;	в) (-5,9)3 и ( —5,9)2;
б)	( —25)3 и 0;	г) ( —2,3)12 и (-8,6)19.
• 395. Выполните действия:
а)	7 -52;	в) (-0,4)3;	д) -3-25;
б)	(7-5)2;	г) —0,43;	е) -62-(-12).
396. Найдите значение выражения, используя таблицу квад-
ратов, помещенную на форзаце учебника:
а)	342 —175;	в) 422-9;	д) 752-|-252;
б)	605+ 782;	г) 182:27;	е) 592-362.
• 397. Вычислите:
а)	9'(4)2;	в) (-10)6;	д)4-53;	ж)-24-15;
б)	(9—)2;	г) —106;	е) — 5-25;	з) 2700-(-0,1)3.
• 398. Выполните	действия:
а)	72 + 33;	г)	102-32;	ж)	11 -З4;
б)	62 + 82;	д)	(10 — З)2;	з)	(6-8)5;
в)	(6 + 8)2;	е)	24 — З2;	и)	43-22.
399. Вычислите:
2
а)	- 13 + (-2)3;	г)	1O-5-24; б)	—62 —( —I)4;	д)	2-34 — 3-24; в)	-83 + ( — З)3;	е)	2-53 + 5-23; • 400. Найдите значение выражения: а) 8х3	при	х= — 2;	—1; 0; б) 70 —а2	при а=— 25; 1; 10. • 401. Найдите значение выражения: а) 0.011/4 при у=— 2; 3; 10; б) 2с2+ 3	при с=—11; 0; 15.	Ж) 34-(4)-бА; з) 0,2• З3 — 0,4• 24; и) 8-0,53 + 25 - 0,22. 3; г
79
402.	Чему равны значения выражений:
а)	х2; -х2; (~х)2	при х = 9; -6;
б)	х3; —х3; ( — х)3	при х = 4; —3?
403.	Вычислите значение выражения xs+x‘l + x3 + x24-x
при х= — 1; 0; 10.
404.	Найдите значение выражения 2х'' — 5х3 + х2 + Зх-|-2
при х = 5; —5.
405.	Представьте произведение в виде степени с основа-
нием а: а) а3а; б) а4а2; в) а3а6; г) а20а12.
406.	Объясните, почему при любых значениях переменной
х значения выражений 4х2 и (х —8)2 являются неотрица-
тельными числами.
407.	Докажите, что выражения а2+1 и 3+(5 —а)2 прини-
мают только положительные значения.
408.	Запишите в виде выражения:
а)	квадрат суммы чисел х и 1;
б)	сумму квадратов чисел а и Ь;
в)	разность квадратов чисел тип;
г)	квадрат разности чисел т и п;
д)	удвоенное произведение квадратов чисел х и у,
е)	удвоенный квадрат произведения чисел х и у;
ж)	удвоенное произведение куба а и квадрата Ь;
з)	утроенный квадрат разности чисел а и Ь.
• 409. Прочитайте выражение:
а)	(* + у)2;	в) (х —I/)2;	д) (х —у)3;	ж)2(а —6)2;
б)	х2 + у2;	г) х2 — у2-,	е) х3 + у3;	з) З(а2 + Ь2).
Упражнения для повторения
410. Не выполняя построения, найдите координаты точек пе-
ресечения графика функции у = 1,2х —30 с осью х и осью у.
411. Найдите координаты точки пересечения графиков
функций:
а) у=— 4х + 1,3 и у=х-2,7;
б)у=—х + 8,1 и у=— Зх + 7,9.
412. Каково взаимное расположение графиков функций:
а)	у=—i-x + З и у=—^-х — 3;
б)	у=-|-х + 4 и у=—|-х + 4?
80
17. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
Выражение а2а3 представляет собой произведение двух сте-
пеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно за-
писать в виде степени с тем же основанием:
а2а3 = (аа)  (ааа) = ааааа = а5.
Значит,	а2а3 =а2 + '\
Мы видим, что произведение а2а3 равно степени с тем же
основанием и показателем, равным сумме показателей пере-
множаемых степеней. Аналогичным свойством обладает произ-
ведение любых степеней с одинаковыми основаниями.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел
тип
— П „П _ _/П -к Л
а а = а	.
Для доказательства используем определение степени и
свойства умножения. Представим выражение а™ а" сначала в ви-
де произведения множителей, каждый из которых равен а, а за-
тем в виде степени
ата" = (аа...а)  (аа...а) = аа...а = а"1 +".
т раз п раз	т +л
раз
Таким образом,
атаг‘ = ат + п.
Доказанное равенство выражает основное свойство степени.
Оно распространяется на произведение трех и более степеней.
Например,
ama"ak = am + "ak = a(m + г1) + ‘ = ат +"+ к.
Из основного свойства степени следует правило умножения
степеней: при умножении степеней с одинаковыми основа-
ниями основание оставляют прежним, а показатели степеней
складывают.
Приведем примеры:
x8x7 = xe + 7 = x15, yy5 = y'y5 = y'+s = y6, b2b'b3 = b2 + ' + 3 = b\
Выражение а7:а3 является частным двух степеней с одинако-
выми основаниями. Это частное при а ф 0 можно представить в
виде степени с тем же основанием. Действительно, так как
а3-а2=а7, то по определению частного
а7:а3 = а4, т. е. а7:а3 = а7~3.
81
Мы видим, что частное а7:а3 равно степени с тем же
основанием и показателем, равным разности показателей дели-
мого и делителя.
Аналогичным свойством обладает любое частное степеней с
одинаковыми основаниями, отличными от нуля, в котором
показатель степени делимого больше показателя степени дели-
теля.
Для любого числа а=£0 и произвольных натуральных
чисел тип, таких, что т>п,
„т . „л _ т — л
а .а — а
Равенство а’п:а"=а"'~'' будет доказано, если мы устано-
вим, что произведение а'"-'1 и а" равно а".
Применив к произведению ат~,'а" основное свойство сте-
пени, получим:
ат - пап = а(т ~")+" = а"1 ~ " +" =а"‘.
Значит, по определению частного
ат:а" = а"'~".
Из доказанного свойства следует правило деления степеней:
при делении степеней с одинаковыми основаниями основание
оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычи-
тают показатель степени делителя.
Приведем примеры:
сЮ;с2 = с10-2 = свг р7.р = р7.р1==р7-1=р6
Мы вывели правило деления а” на а" для случая, когда
т> п. Если это правило применить к частному а"‘.а",
то получится
_л , _л__л — л _0
а ,а =а — а .
Степень с нулевым показателем не была определена. Так как
при всяком а#=0 и любом натуральном п
а"'.а" = 1,
то считают, что при а^О
а°=1.
Определение. Степень числа а, не равного нулю, с ну-
левым показателем равна единице.
Например, 2°=1, ( — 3,5)° = 1. Выражение 0° не имеет
смысла.
82
Теперь, после введения нулевой степени, мы можем при-
менять формулу а"'а" = а'п + " (при а=#0) и в том случае, когда
ffi = 0 или п = 0. Формулу а”’:а" = а"'~" при а#=0 можно при-
менять при любых целых неотрицательных числах тип,
удовлетворяющих условию т п.
• 413. Представьте произведение в виде степени:
а)	х5х8;	в)	у4у9;	д)	х9х;	ж) 26-24;
б)	а6а3;	г)	Ь8Ь15;	е)	уу'2;	э) 75-7.
• 414. Запишите в виде степени произведение:
а)	тп3тп8;	в)	с1 с'2-,	д)	аа3;	ж)	59-58;
б)	х4х4;	г)р3р";	е)	Ь2Ь;	з) З3-З3.
415.	Представьте выражение а15 в виде произведения двух
степеней с одинаковыми основаниями, одна из которых равна:
а) а6; б) а9; в) а2; г) а14.
416.	Представьте степень в виде произведения двух степеней
с тем же основанием каким-нибудь способом:
а) х10; б) у15; в) 2'2; г) 517.
417.	Представьте выражение х6 в виде произведения двух
степеней с основанием х всеми возможными способами.
• 418. Представьте в виде степени произведение:
а)	х2х5х4;	в) тт!т‘т\	д) 1О2-1О3-1О5;
б)	у3у2у;	Г) р4р3рр;	е) 34-32-33-3.
• 419. Запишите в виде степени выражение:
a)	m’mW;	в)	хх4х4х;	д)	78-7-74;
б)	а4а3а2;	г)	п5пп3л8;	е)	5-52-53-58.
420.	Представьте в виде степени:
а)	58-25;	в)	6|5-36;	д)	0,45-0,16;
б)	312-27;	г)	29-32;	е)	0,001-0,14.
421.	Представив в виде степени выражение, найдите его зна-
чения по таблице степеней числа 2, помещенной на форзаце
учебника:
а) 2"-2; б) 26-4;	в)8-27; г) 16-32.
422.	По таблице степеней числа 3, помещенной на форзаце
учебника, найдите значение выражения, представив его в виде
степени с основанием 3:
а)	32-35; б) 81-36; в) 9-2187; г) 27-243.
83
• 423. Представьте выражение в виде степени с основанием с:
а) (с’)2;
б) (с2)4.
424. Представьте в виде
а) х5:х3;	в)а2|:а;
б) у10:/;	г) Ь19:Ь18;
степени частное:
д)с12:с3;	ж) 38:35;
е)р20:р10;	з) 0,79:0,7\
•	425. Выполните деление:		
а)	в) х^гх3;	д) 10|6:1012;	
б)	а8:а\	г) у9-.у,	е) 2,316:2,37.	
•	426. Найдите значение выражения:		
а)	56:5";	в) 0,510:0,57;	д) 2,73'3:2,73	12.
б)	1015:Ю12;	г) (1А)8;(1±)6;		2 у  з)-
•	427. Найдите значение дроби:	му (	2 Ч6
а)	7‘ .	й!	8‘ .	Ч	°-8' 	М < — уг •	б)	8, ,	в)	0 8< ,	Г) (_Oj3)3 •	) ।	{ 2> • е)	
		<14'’	(	2 Ч’
		к 2)	v	2з/
	428. Вычислите:		
а)	7’-75	З'5	. 5'6-5*	, -7^;	б)^;	В) -5^;	г)	0,612	
		0,6* 0,6s'	
429. Упростите выражение:
а) х"-х3; б) а2^"1; в) х-х'1; г) г/":/; д) с9:с"‘; е) k":k.
430. Найдите значение выражения:
а) Зх° при х = 2,6;	в) 10а26° при а=—3, 5= — 8;
б)	— 2,5/ при у= — 1-|-;	г) 27а°с3 при а=—, с=—-.
3	3
431.	Выполните действия:
a) ЬАЬ°; б) с5:с°; в) аАа°; г) х3:х“.
Упражнения для повторения
432.	Представьте в виде квадрата или куба число:
а) 9; б) -27; в) 6,25; г) 0,064; д) -3—; е) 5—.
8	9
433.	Постройте график функции, заданной формулой
У~х— 3. Найдите по графику значения функции при х = 4и
х = 6.
84
434.	Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за t ч про-
шел расстояние s км. Задайте формулой зависимость s от t.
Пользуясь этой формулой, найдите путь, который автомо-
биль прошел за время от 3 ч 30 мин до 5 ч.
435.	Пусть а — произвольное число. Сравните с нулем зна-
чение выражения:
а) 6а2; б)—а2; в)а2 + 4; г)(а + 4)2; д) —а2 —5.
436.	Принадлежит ли графику функции, заданной форму-
лой у = х:> — Зх2, точка А (7; 196); точка В( — 5; —200)?
437.	Кусок гранита объемом 40 см3 имеет массу 108 г.
Какова масса куска гранита, объем которого на 35 см3 больше?
18. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ
Выражение (ab)4 является степенью произведения множи-
телей а и Ь. Это выражение можно представить в виде произ-
ведения степеней а и Ь:
(ab)4 = ab -ab -ab -ab = (aaaa)-(bbbb) = a4b4.
Значит,
(ab)4 = а'Ь4.
Аналогичным свойством обладает любая натуральная сте-
пень произведения двух множителей.
Для любых а и Ь и произвольного натурального числа п
(аЬ)п=а"Ь".
Докажем это. По определению степени
(ab)" = (ab) • (ab) •... • (ab).
п раз
Сгруппировав отдельно множители а и множители Ъ, по-
лучим:
(ab)-(ab) ... • (ab) = (аа...а) • (bb...b).
\_____ ' -_________
п раз	л раз л раз
Воспользовавшись определением степени, находим:
(aa...a)-(bb...b) = a"b'1.
л раз л раз
Следовательно,
(аЬ)"=алЬп.
Доказанное свойство степени произведения распространя-
ется на степень произведения трех и более множителей.
Например, (abc^aWc"-, (abed)" =a"b,'cr,d".
85
Отсюда следует правило: при возведении в степень произве-
дения возводят в эту степень каждый множитель и резуль-
таты перемножают.
Пример 1. Возведем произведение 2уг в пятую степень:
(2j/z)5 = 25p5z5 = 32i/5z5.
Выражение (а5)3 есть степень, основание которой само являет-
ся степенью. Это выражение можно представить в виде степени
с основанием а:
(а5)3 = а5а5а5 = а5 + 5 + 5 = а6 ’.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел
тип
(ат)"=атп.
Проведем доказательство.
По определению степени
{ат}" = атат...ат.
п раз
Согласно основному свойству степени
п раз
__т   т + т 4- ... 4- т
а а ..л — а	.
п раз
Заменим сумму т-{- т + + т произведением тп.
п раз
Тогда получим:
п раз
гл +/п 4-••• +/п дтл
Следовательно,
Из доказанного свойства степени следует правило: при воз-
ведении степени в степень основание оставляют тем же, а пока-
затели перемножают.
Пример 2. Представим выражение (а3)3 в виде степени
с основанием а:
„4 Э 12
(а ) =а = а.
Свойства степеней, выраженные формулами (ah')" = а"Ь" и
(а'”)" = ат", имеют место и для степеней с нулевым показателем
(если основания отличны от нуля).
86
• 438. Выполните возведение в степень:
а)	(ху)4;	в)(2х)3;	д)( —5х)3;	ж)	( — 0,2ху)4;
б)	(abc)5;	г) (За)2;	е)(-10аЬ)2;	з)	( — Q,5bd)3.
• 439. Возведите в степень:
a)	(тп)5;	в) ( —Зу)4;	д) (Юху)2;	ж)	( — ат)3;
б)	(xyz)2;	г) ( — 2ах)3;	е) (— 2abx)i;	з)	( —хп)4.
• 440. Найдите значение выражения:
а) (2-10)3;	б)(2-5)4;	в)(3-1ОО)4;	г)(5-7-20)2.
441.	Докажите, что: а) квадраты противоположных чисел
равны; б) кубы противоположных чисел противоположны.
442.	Как изменится площадь квадрата, если его сторону
увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в п раз?
443.	Как изменится объем куба, если его ребро увеличить в
2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в п раз?
444.	Представьте в виде степени произведение:
а)	b’x3;	в)	x2y2z2;	д)	32а5;
б)	а1 у1-,	г)	( —а)3д3;	е)	0,027m3.
445.	Найдите значение выражения:
а)	24-54;	в)	0,2515-415;	д)	(-0'°• 1,49;
б)	43-253;	г)	(-|-)7-1,57;	е)	0,26-507.
• 446. Выполните возведение в степень:
а)	(х3)2;	в) (а5)4;	д) (у2)5;	ж) (Ь3)3;
б)	(х2)3;	г) (а6)3;	е) (у7)2;	з) (Ь5)2.
• 447. Запишите в виде степени с основанием х выражение:
а) (х5)4; б) хбх4; в) х2х2; г) (х2)2; д) х2х3х4; е) ((х2)3)4.
448.	Представьте в виде степени с основанием а выражение:
а) (а5)2;	б) а5а2;	в) (а4)3;	г) а3а4;	д) а5а5;	е) (а5)5.
449.	Представьте в виде степени с основанием а:
а) апа3\	б) аа”1;	в) а2ат;	г) (а2)"1;	д) (а")3;	е) (а3)".
450.	Представьте в виде степени с основанием 5 число:
а) 254; б) 1253; в) 6252.
451.	Представьте 220 в виде степени с основанием:
а) 22; б) 24; в) 25; г) 210.
87
452.	Запишите 260 в виде степени с основанием:
а) 4; б) 8; в) 16; г) 32.
453.	Выражение а12 представьте в виде степени несколькими
способами.
454.	Известно, что а2 = т. Найдите а6.
• 455. Упростите выражение:
а)	х3-(х2)5;	в)	(а2)3-(а4)2;	д)	(А3)1;
б)	(а3)2-а5;	г)	(х2)5-(х5)2;	е)	(х4х)2.
• 456. Запишите в виде степени с основанием а выражение:
а)	(а2)4;	в)	(а5)2-(а2)2;	д)	(а3а3)2;
б)	а3-(а3)2;	г)	(а3)3-(а3)3;	е)	(аа6)3.
• 457. Упростите выражение:
а) х5-(х2)3; б) (х3)4-х8; в) (х4)2-(х5)3; г) (х2)3-(х3)5.
458.	Найдите значение выражения:
Упражнения для повторения
459.	Известно, что а<0 и й>0. Сравните с нулем значение
выражения:
a) ab2; б) а3Ь\ в) —ай3; г)а2 + й2; д)(а + &)2.
460.	Какой цифрой может оканчиваться: а) квадрат нату-
рального числа; б) четвертая степень натурального числа?
461.	Известно, что график функции i/ = fex-|-5,4 проходит
через точку А (3,7; —2). Найдите коэффициент k.
462.	На рисунке 41 построен график некоторой функции.
Используя график, найдите:
а)	значение у при х, равном
-2; -1; 2;
б)	значение х, при котором у
равно —0,5; 2.
Рве. 41
88
Контрольные вопросы
1.	Сформулируйте определение степени числа с натураль-
ным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из
них основание и показатель степени.
2.	Каким числом (положительным или отрицательным) яв-
ляется: а) степень положительного числа; б) степень отри-
цательного числа с четным показателем; в) степень отрица-
тельного числа с нечетным показателем? Приведите примеры.
3.	Сравните с нулем квадрат произвольного числа. Ответ за-
пишите в виде неравенства.
4.	Сформулируйте и докажите основное свойство степени.
5.	Сформулируйте правило умножения и правило деления
степеней с одинаковыми основаниями.
6.	Дайте определение степени числа с нулевым показателем.
7.	Сформулируйте правило возведения в степень произведе-
ния и правило возведения в степень степени.
§ 7. ОДНОЧЛЕНЫ
19. ОДНОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД
Выражения 5а2х, 2Ь3( — 3) be2, —За7, ху2 являются произ-
ведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения
называют одночленами. Одночленами считают также числа,
переменные и их степени. Например, выражения —7, 23,
х, х* — одночлены.
Упростим одночлен 2b3( — 3)bc2, воспользовавшись пере-
местительным и сочетательным свойствами умножения:
2Ь3 (- 3) Ьс2 = 2 (- 3) b3bc2 = - 6Ь V.
Мы представили одночлен 2Ь3( —3) Ьс2 в виде произведения
числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней
различных переменных. Такой вид одночлена называют стан-
дартным видом. К одночленам стандартного вида относят и та-
кие одночлены, как —5, а, —а, а3. К стандартному виду можно
привести любой одночлен.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном
виде, называют коэффициентом одночлена. Например, коэффи-
циент одночлена —6Ь4с2 равен —6. Коэффициенты одночленов
а2 и —ab считают равными соответственно 1 и —1, так как
а2 = 1-а2 и — ab=— 1-аЬ.
89
В одночлене 7 ах2 у3 сумма показателей степеней всех пере-
менных равна 6. Эту сумму называют степенью одночлена
7ах2у3. Степень одночлена —9Ь'с3 равна 7, степень одночлена
з 5 с
-g-x равна 5.
Вообще степенью одночлена называют сумму показателей
степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не
содержит переменных (т. е. является числом), то его степень
считают равной нулю.
463.	Является ли одночленом выражение:
a)	3,4x2j7;	г)	х2 + х;	ж)	а— Ь;	к)	с'°;
б)	— 0,7 ху2-,	д)	х2х;	з)	2(х+</)2;	л)	— пг,
в)	а (—0,8);	е)	—|-7п3л7п2;	и)	— О,3ху2;	м)	0,6?
464.	Записан ли	в стандартном	виде	одночлен:
а)	Оху,	в) 0,5m-2n;	д) — х2у3-,
б)	— 2аЪа-,	г) — Ьса;	е) 5р3р2?
• 465. Представьте одночлен в стандартном виде и назовите
его коэффициент:
а)	8х2х;	в) Зху (-1,7) у,	д) А т2п-4,5п3-,
б)	1,2аЬс-5а;	г) 6с2 ( — 0,8) с;	е) 2— а2х( -'l а3х2.
• 466. Приведите одночлен к стандартному виду:
а)	9уу2у,	в) — 8аЬ ( — 2,5) Ь2;	д) 2тл3л-0,4771л;
б)	0,15pQ-4pg2;	г) 10а2Ь2 (— 1,2а3);	е) — 2х3-О,5хт/2.
467.	Найдите значение одночлена:
а)	5х3 при х = 0,5;	в) 12х2у при х= — 0,3, у = -|-;
б)	—ОДгбу4 при у=— 2;	г) — 9х5у2 при х= — 1, у =-^-.
468.	Вычислите значение выражения:
а)	3,7т2 при тл = 0,4;	в) — За‘Ь при л=—0,1, 6 = 4;
б)	—0,5тл3 при тп=0,6;	г) ‘21х У2 ПРИ х~ —§> У = 4~2~-
469.	Найдите с помощью микрокалькулятора значение од-
ночлена 2,1тл2лр3, если:
а) т = 3,2, л=1,8, р = 0,85;	б) тл = 0,61, л = 32, р = 4,7.
90
470.	Найдите с помощью микрокалькулятора значение од-
ночлена:
а)	Зх2!/ при х = 1,1, !/ = 1,9;
б)	— &тАпА при т = 0,8, п = 2,2.
471.	Ширина прямоугольника равна т см, а длина в 5 раз
больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.
472.	Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда,
ширина которого а см, длина в 2 раза больше ширины, а
высота в 2 раза больше длины?
473.	Какова степень одночлена:
а)	—7х5!/6;	в) 0,8mn3fe2;	д) —6m7;
б)	-^-abc;	г) аЬ2с3;	е) 23?
Упражнения для повторения
474.	Дана точка А ( — 7; 15). Найдите координаты точки В,
симметричной точке А относительно: а) оси х; б) оси у, в) нача-
ла координат.
2
475.	Функция задана формулой у= —g-x. Найдите значе-
2	2
ние функции при х= — 3; 3; -у; —2,4. При каком х зна-
чение у равно 1; —6; —10,2?
476.	Найдите значение выражения:
. 43-3"’ .	,, 26-6,а
a) -jjTo- ,	б) 225 д9 .
20. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ.
ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ
При умножении одночленов и возведении одночлена в сте-
пень используются правило умножения степеней с одинако-
выми основаниями и правило возведения степени в степень.
При этом получается одночлен, который обычно представляют
в стандартном виде.
Пример 1. Перемножим одночлены — 5а2Ьс и 4а2ЬА.
Составим произведение этих одночленов. Перемножим их
числовые множители и степени с одинаковыми основаниями.
Получим:
— 5a2bc-4a2b1 =( — 5-4) (а2а2) (ЬЬА) с= — 20аЧ5с.
91
Пример 2. Найдем произведение одночленов — х2у,
4х3у2 и — 5ху:
- х2у  4х3у2  (- 5ху) = -1 • 4 • (- 5) (х2х3х) (уу2у) = 20х V-
Пример 3. Возведем в третью степень одночлен —2а2Ь.
Воспользуемся правилами возведения в степень произведе-
ния и степени:
(- 2a‘bf = (- 2)3 (а2)3Ь3 = - 8а6Ь3.
Пример 4. Возведем одночлен — х3у2 в четвертую сте-
пень:
(- xVГ = (-1)" • (*')’ • (</2)4 = х12 у*.
• 477. Выполните умножение:
a)	4x-7i/;	в) -^-а63~аЬ;	д) — 0,6а26-( — 10а62);
б)	—8х-5х3;	г) х2у5-( —6xj/2);	е) —гл'л1 • 5/л2л'.
• 478. Перемножьте одночлены:
а)	— 11х2у и O,3x2j/2;	в) 4ху, — х2 и — у3;
б)	аъЬ и — ab3c;	г) a2x56, —0,6axb2 и 0,6а263.
• 479. Выполните умножение:
а)	3,5-2лг;	г) ab •( — 7аЬ2)-4а2Ь;
б)	— 6ax3-9bx2;	д) 10x2j/-(-xJ/2)0,6x3;
в)	— 8a2b2-( — 8a3b5);	е) — 9аЬ2 • За3-( —46).
• 480. Упростите выражение:
а)	— 0,8/л2л-( —0,5тп5л7); г) ab •( — аЬ2)-аЬ3;
б)	0,Зу2-(—g-xV) ;	Д) х2у-( — ху)-( — ху2);
в)	1-j-cd-^—^-c9d7) ;	е) лгл •( —лг5л3)-( —лг'л8).
481. Представьте несколькими способами одночлен 6а263
в виде произведения двух одночленов стандартного вида.
482. Представьте одночлен —12Х4!/3 двумя способами в ви-
де произведения:
а)	двух одночленов стандартного вида;
б)	трех одночленов стандартного вида.
92
• 483. Выполните возведение в степень:
а)	(Зх2)3;	в)	( —2а4Ь2)3;	д)(-а2Ьс3)5;
б)	(4m)2;	г)	( —Зх2у)4;	е)	( — а3Ь2с)2.
• 484. Представьте в виде одночлена стандартного вида:
a) (2m3)’;	в)	( — 0,6т3л2)3;	д)	( —xi/4b2)4;
б) (За)2;	г)	(-2xj/3)2;	е)	(-х2у3т)5.
• 485. Возведите одночлен:
а)	5x2j/3 в квадрат;	в) — 2т’л2 в четвертую степень;
б)	—4ах3 в куб;	г) —а2Ьс3 в пятую степень.
486.	Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
а) 81х'; б) 121а6; в) 0,09г/'2; г) -уЬб.
487.	Представьте выражение в виде куба одночлена:
а) 64х9; б) 0,001г/12; в) -0,008b6; г) -^а15.
488.	Представьте каждый из одночленов:
а)	9Ь2с2;	100т2л6 в виде квадрата одночлена;
б)	—а3Ь°;	—27х6Ь9 в виде куба одночлена.
489.	Запишите каждый из одночленов:
а)	1бх6;	49т2л4 и т8 в виде квадрата одночлена;
б)	а9;	—8т1 и ЮООх3!/6 в виде куба одночлена.
490.	Какой одночлен надо возвести в квадрат (в куб), чтобы
получить одночлен:
а)х6!/12;	б) 1 000 000m'8?
491.	Представьте выражение в виде одночлена стандартного
вида:
в)	8р'5.(-р)';	ж) (_2ху/ J. л .
г) ( — с2)3-0,15с’;	'	4 >
д) ( — 10с2)4-0,0001с";	з) ( ——
93
492. Упростите выражение:
а)	—3*V);
б)	0,5а2Ь3 ( — 2Ь)6;
в) (0,2тп2л)3-1000т1п7;
г) -7с6-(-0,4с3)2;
д) (-x2</)3-(-*V);
е) О,2а2Ь’-( —5а3Ь)2;
ж) (-i-лгл) ( — 32т2п);
з) (-fpq")2-(-27p5q).
• 493. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного
вида:
a)	( — 0,2b6)3 5b;	д) (2ab)’•(-7а7Ь);
б)	— 0,01а1-( — 10а5)3;	е) — 0,6х7г/7-(0,5х</2)2;
в)	ж) lOp1q"-(O,lpQ):l;
г)	(з-^-а2) -Sla3;	з) (— 3a7b2)1--^ab.
Упражнения для повторения
494. На одном складе было 185 т угля, а на другом 237 т.
Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля, а вто-
рой по 18 т. Через сколько дней на втором складе угля
будет в полтора раза больше, чем на первом?
495. В одном овощехранилище 210 т картофеля, а в другом
180 т. В первое подвозили ежедневно по 90 т, а во вто-
рое по 120 т картофеля. Через сколько дней в первом ово-
щехранилище картофеля будет в 1,2 раза меньше, чем во
втором?
49в. Прямая, являющаяся графиком функции, заданной
формулой у = kx + b, пересекает оси координат в точках А (0; 6)
и В(— 4; 0). Найдите k и Ь.
497.	Найдите координаты точки пересечения графиков
функций у = — 0,Зх + 5,4 и у=0,7х — 8,4.
498.	Точка А (а; —3) симметрична точке В (4; Ь) относи-
тельно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат.
Найдите значения а и Ь.
499.	Округлите десятичные дроби:
а)	3,468; 27,601; 8,51; 10,5 до единиц;
б)	605,718; 4,0389; 11,05 до десятых;
в)	745,1; 699,95; 8,04 до десятков;
г)	661,38; 1740,5; 7550,1 до сотен.
94
1	ч
21. ФУНКЦИИ У = Х И у = Х И ИХ ГРАФИКИ
Зависимость площади квадрата от его стороны и зависи-
мость объема куба от его ребра являются примерами функций,
которые задаются формулами вида у=х2 и у = х\
Построим график функции у — х2. Составим таблицу соот-
ветственных значений х и у:
X	— 3	-2,5	-2	— 1,5	— 1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
У	9	6,25	4	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25	4	6,25	9
Построим точки, координаты которых указаны в таблице
(рис. 42).
																																																					Й				
																																													У 9 8 7 6 5 4 2 1 1												
Рис. 42
95
Чтобы точнее построить график вблизи начала координат,
вычислим еще несколько значений функции:
X	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0,1	0,2	0,3	0,4
У	0,16	0,09	0,04	0,01	0,01	0,04	0,09	0,16
Из таблицы видно, что график функции вблизи начала коор-
динат почти сливается с осью х.
Через отмеченные точки проведем плавную линию (рис. 43).
Получим график функции у = х2. Ясно, что этот график неогра-
ниченно продолжается вверх справа и слева от оси у.
График функции у = хг называют параболой.
Рис. 43
Выясним некоторые свойства функции у = х2.
1)	Если х = 0, го у = 0. Поэтому график функции проходит
через начало координат.
2)	Если х#=0, го i/>0. Действительно, квадрат любого чис-
ла, отличного от нуля, положителен. Значит, все точки гра-
фика функции, кроме точки (О; 0), расположены выше оси х.
3)	Противоположным значениям х соответствует одно и то
же значение у. Это следует из того, что (— х)2 = х2 при любом х.
Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы,
симметричны относительно оси у.
Построим теперь график функции у = х3. Составим таблицу
соответственных значений х и у, округляя значения у до
сотых:
X	— 2	-1,5	— 1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
У	-8	— 3,38	— 1	-0,13	0	0,13	1	3,38	8
Построим точки, координаты которых указаны в таблице
(рис. 44).
Через отмеченные точки проведем плавную линию (рис. 45).
Получим график функции у = х3. Ясно, что этот график неогра-
ниченно продолжается справа от оси у вверх и слева от оси
у вниз.
Заметим, что вблизи начала координат график функции поч-
ти сливается с осью х (если х = 0,1, то у = 0,001; если х =
= 0,2, то у =0,008; если х = 0,3, то </ = 0,027).
Выясним некоторые свойства функции у = х\
1)	Если х = 0, го у = 0. Поэтому график функции проходит
через начало координат.
2)	Если х>0, го у > О; если х<0, го у<0. Действи-
тельно, куб положительного числа есть число положительное,
а куб отрицательного числа есть число отрицательное. Зна-
чит, график функции расположен в первой и третьей коорди-
натных четвертях.
3)	Противоположным значениям х соответствуют противо-
положные значения у. Это следует из того, что при любом
значении х верно равенство (— х)3 = —х3. Значит, точки графи-
ка, имеющие противоположные абсциссы, расположены сим-
метрично относительно начала координат.
97
Рве. 44
Рве. 45
• 500. Используя график функции у = х2, изображенный на
рисунке 43, найдите:
а)	значения у, соответствующие х = 0,75; —1,25; 1,25;
-2,2; 2,2;
б)	значения х, которым соответствует (/ = 3; 5.
• 501. Пользуясь графиком функции у = х2 (см. рис. 43), най-
дите:
а)	значение функции, соответствующее значению аргумента,
равному 1,4; —2,6; 3,1;
б)	значения аргумента, при которых значение функции рав-
но 4; равно 6;
в)	несколько значений х, при которых значения функции
меньше 4; больше 4.
• 502. Воспользовавшись графиком функции у = х2, изобра-
женным на рисунке 43, найдите:
а)	значение у, соответствующее х =—2,4; —0,7; 0,7; 2,4;
б)	значения х, которым соответствует у = 2; 0,9;
в)	несколько значений х, при которых значение функции
больше 2; меньше 2.
503. Как изменится площадь квадрата, если его сторону уве-
личить в 3 раза; уменьшить в 10 раз?
504. Как надо изменить сторону квадрата, чтобы его пло-
щадь увеличилась в 4 раза; в 16 раз?
• 505. Используя график функции </ = х3, изображенный на
рисунке 45, найдите:
а)	значение у, соответствующее х = 1,4; —1,4; —1,8; 1,8;
б)	значение х, которому соответствует у=—4; 4.
• 506. Пользуясь графиком функции у = х3 (см. рис. 45),
найдите:
а)	значение функции, соответствующее значению аргумента,
равному —0,7; 1,2;
б)	значение аргумента, которому соответствует значение
функции, равное 3; равное —3;
в)	несколько значений аргумента, при которых значение
функции больше —3, но меньше 3.
507.	Как изменится объем куба, если его ребро увеличить в
2 раза; уменьшить в 3 раза?
99
508.	Как надо изменить ребро куба, чтобы его объем уве-
личился в 64 раза?
509.	Постройте график функции у = — х3. Найдите по гра-
фику:
а)	значение у, соответствующее х = 0,7; —1,3;
б)	значение х, которому соответствует у = 4.
•	510. Принадлежит ли графику функции j/ = x3 точка:
а) Л (-0,2; -0,008); б) В (1-Ь 3-|-) !	в)с(-А;^)?
511.	В одной и той же системе координат постройте графики
функций у = х2 и у = х\ где х^0. Пользуясь построенными
графиками, сравните:
а) 0,62 и 0,6э; б) 1,52 и 1.51; в) 2,72 и 2,73.
Упражнения для повторения
512.	На покраску квадратной плитки израсходовали 20 г
краски. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить плитку,
имеющую форму квадрата, сторона которого в 3 раза боль-
ше (плитки окрашиваются с одной стороны)?
513.	Резервуар, имеющий форму куба, наполняется при по-
мощи насоса за 45 мин. За какое время наполнится тем же
насосом резервуар, имеющий форму куба, ребро которого вдвое
больше?
514.	Сравните значения выражений:
а)	0,316 и ( —0,3)|е;	в) -5,6' и (-5,6)";
б)	(-1.9)21 и 1,921;	г) -0,8" и (-0,8)".
515.	Найдите координаты точки пересечения графиков
функций у = 8,5х и у = 0,5х —19,2.
516.	Найдите значение выражения 1а — Ы, если:
а)	а = 6,39, 6 = 5,46;	в) а=43,52, 6 = 46,68;
б)	а = 0,1, 6 = 0,208;	г) а = 6 = 7,5.
517.	Округлите до сотых каждую из дробей: 0,00813;
1,00399; 62,125; 39,0956.
518.	Упростите выражение:
а) — 0,6а36 ( —2а263)3; б) 0,8ху4 (-бху1)2.
100
Контрольные вопросы
1.	Приведите пример одночлена стандартного вида и назо-
вите его коэффициент.
2.	Сформулируйте определение степени одночлена.
3.	Сформулируйте свойства функции (/=х2. Как отражают-
ся эти свойства на графике функции 1/ = х2?
4.	Сформулируйте свойства функции у = х\ Как отражают-
ся эти свойства на графике функции у = х3?
§ 8. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ
ПОГРЕШНОСТИ
22. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Найдем по графику функции у = х2 ее приближенные зна-
чения при х = 1,5 и х = 2,1 (см. рис. 43):
если х = 1,5, то (/«2,3;
если х = 2,1, то (/«4,4.
По формуле у = х2 можно найти точные значения этой
функции:
если х = 1,5, то у=1,52 = 2,25;
если х = 2,1, то у = 2,12 = 4,41.
Приближенное значение отличается от точного значения в
первом случае на 0,05, а во втором на 0,01, так как:
2,3-2,25 = 0,05;	4,41-4,4 = 0,01.
Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отлича-
ется от точного, надо из большего числа вычесть меньшее.
Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и прибли-
женного значений. Этот модуль разности называют абсолют-
ной погрешностью.
Определение. Абсолютной погрешностью приближен-
ного значения называется модуль разности точного и прибли-
женного значений.
Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность
приближенного значения, равного 2,3, есть 0,05, а абсолют-
ная погрешность приближенного значения, равного 4,4, есть
0,01:
12,25-2,31 = | -0,051 =0,05;	14,41-4,41 =0,01.
101
Найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Пусть,
например, при измерении длины отрезка АВ, изображенного
на рисунке 46, получен результат:
АВ«4,3 см.
Рис. 46
Мы не можем найти абсолютную погрешность приближен-
ного значения, так как не знаем точного значения длины
отрезка АВ. В таких случаях важно указать такое число,
больше которого абсолютная погрешность быть не может.
В рассматриваемом примере в качестве такого числа можно
взять число 0,1. В самом деле, цена деления линейки 0,1 см
и потому абсолютная погрешность приближенного значения,
равного 4,3, не больше, чем 0,1, т. е.
|АВ-4,31 ^0,1.
В таких случаях говорят, что число 4,3 есть приближен-
ное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью
до 0,1.
Вообще, если и абсолютная погрешность этого прибли-
женного значения не превосходит некоторого числа Л, то
число а называют приближенным значением х с точностью
до h. Пишут:
х»а с точностью до h.
Точность приближенного значения зависит от многих при-
чин. В частности, если приближенное значение получено в
процессе измерения, то его точность зависит от прибора, с
помощью которого выполнялось измерение. Например, на меди-
цинском термометре деления нанесены через 0,1°. Это дает
возможность измерять температуру с точностью до 0,1°. Ком-
натный термометр, на котором деления нанесены через 1°,
позволяет измерять температуру с точностью до 1°. На тор-
говых весах, у которых цена деления шкалы 5 г, можно
взвешивать с точностью до 5 г.
При округлении десятичных дробей до десятых, сотых,
тысячных и т. д. получаются приближенные значения с точ-
ностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Например, округлив
число 2,513 до десятых, получим 2,5. Число 2,5 является
приближенным значением числа 2,513 с точностью до 0,1. Дей-
ствительно,
12,513-2,51 =0,013<0,1.
102
519. Найдите по графику (см. рис. 45) приближенное
значение функции y = xJ при х = 0,2; 1,6; 1,9 и вычислите
абсолютную погрешность каждого приближения.
520. Найдите по графику функции у=х1 (см. рис. 43) при-
ближенные значения у при х = 0,6; 1,8; 2,6. Вычислите
абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
• 521. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и
найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных
значений.
• 522. Найдите абсолютную погрешность приближенного зна-
чения, полученного в результате округления:
а)	числа 9,87 до единиц;	в) числа 0,453 до десятых;
б)	числа 124 до десятков;	г) числа 0,198 до сотых.
523.	Представьте число	в	виде десятичной дроби и
округлите эту дробь до десятых,	до сотых, до тысячных. В
каждом случае найдите абсолютную погрешность приближен-
ного значения.
524.	При вычислении дробь -у- заменили десятичной дробью
0,14. Какова абсолютная погрешность этого приближения?
525.	Измерьте с помощью транспортира каждый из углов,
изображенных на рисунке 47. Какова точность полученных
результатов?
526.	Начертите острый угол и измерьте его с помощью
транспортира. Какова точность полученного результата?
527.	При измерении длины стержня пользовались линейкой
с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деле-
ния 0,1 мм) и микрометром (цена деления 0,01 мм). При этом
были получены результаты: 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Каким
инструментом выполнено каждое из указанных измерений и
какую точность дает каждый инструмент?
103
528.	С помощью весов и гирь установили, что масса
арбуза больше 5 кг и меньше 6 кг. В качестве приближен-
ного значения массы взяли среднее арифметическое 5 кг и 6 кг.
С какой точностью выбрано это приближение?
529.	Покажите, что каждое из чисел 0,16 и 0,17 явля-
ется приближенным значением числа с точностью до 0,01.
О
Какое из них является приближенным значением числа —
с точностью до 0,005?
Упражнения для повторения
530.	Чтобы попасть на турбазу, туристы должны преодолеть
расстояние в 252 км. Часть пути они проехали на автобусе,
а остальное расстояние прошли пешком, причем на автобусе
они ехали на 2 ч больше, чем шли пешком. Сколько времени
шли туристы пешком, если известно, что скорость автобуса
60 км/ч, а шли туристы со скоростью 6 км/ч?
531.	Вычислите:
. 67-7»	445
а) 42? ,	б) 1Г, 2,„.
532.	Найдите отношение:
а) 12,3 к 7,5; б) 18 к 45; в) 3,7791 к 1,7; г) 7,314 к 609,5.
533.	На рисунке 48 построены графики движения двух ма-
шин, следующих из города А в город В, расстояние между кото-
рыми 200 км. С помощью этих графиков ответьте на вопро-
сы: а) какое время была в пути первая машина, вторая
машина; б) какая машина начала свое движение раньше;
в) с какой скоростью двигалась каждая машина; г) какая
машина прибыла в город В раньше; д) что означает точка
пересечения графиков?
104
23. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
При измерении (в сантиметрах) толщины Ь стекла и длины
I книжной полки получили результаты:
5 «0,4 с точностью до 0,1;
100,0 с точностью до 0,1.
Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит 0,1. Однако 0,1 составляет существенную часть
числа 0,4 и ничтожную часть числа 100. Это показывает, что
качество второго измерения намного выше, чем первого. Для
оценки качества измерения используется относительная пог-
решность приближенного значения.
Определение. Относительной погрешностью прибли-
женного значения называется отношение абсолютной погреш-
ности к модулю приближенного значения.
Относительную погрешность принято выражать в процен-
тах.
Пример. Округлим дробь 14,7 до целых и найдем отно-
сительную погрешность приближенного значения:
14,7 да 15,
14,7-151 _ I -0,31 _ 0,3	П9_90/
1151	-^5~-T5-U’UJ_J/°-
Для вычисления относительной погрешности, кроме при-
ближенного значения, нужно знать еще абсолютную погреш-
ность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому вы-
числить относительную погрешность нельзя. В таких случаях
ограничиваются оценкой относительной погрешности.
Вернемся к рассмотренному в начале пункта примеру с из-
мерением толщины Ь стекла и длины I книжной полки.
В результате измерения нашли, что b «0,4 с точностью
до 0,1, т. е. абсолютная погрешность измерения не превосходит
0,1. Значит, отношение абсолютной погрешности к приближен-
ному значению меньше или равно
-§^ = 0,25 = 25%,
т. е. относительная погрешность приближения не превосходит
25%.
Аналогично найдем, что относительная погрешность при-
ближения, полученного при измерении длины полки, не пре-
восходит	М=о,001=0,1%.
105
Говорят, что в первом случае измерение выполнено с от-
носительной точностью до 25%, а во втором — с относительной
точностью до 0,1%.
• 534. Округлите число до единиц и найдите абсолютную и
относительную погрешности: а) 5,3; б) 9,8; в) 1,96;
г) 7,5.
535.	Представьте каждое из чисел 3-2- и 12-2- в виде
8	16
десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых,
найдите абсолютные и относительные погрешности прибли-
жений.
536.	Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относитель-
ную погрешность приближения, полученного при округлении.
537.	Найдите по графику приближенное значение функции
у = х2 (см. рис. 43) при х = 0,8; 1,6. Найдите относительную
погрешность приближенного значения.
538.	Термометр показывает температуру с точностью до
0,5 °C. Им измерили температуру воздуха и получили 17 °C.
С какой относительной точностью выполнено измерение?
539.	Выполняя лабораторную работу по определению плот-
ности железа, ученик получил результат 7,6 г/см3. Вычислите
относительную погрешность экспериментального результата
(табличное значение плотности железа равно 7,8 г/см3).
540.	Поверхность Земли 510,2 млн. км2 (с точностью до 0,1
млн. км2). Оцените относительную погрешность приближен-
ного значения.
541.	Измерили толщину человеческого волоса d и расстоя-
ние от Земли до Луны I. Получили d ~ 0,15 мм с точностью
до 0,01 мм и Z«384 000 км с точностью до 500 км. Сравните
качества измерений, оценив относительные погрешности.
542.	На весах отвесили 1,5 кг пшена с точностью до 5 г и
2,5 кг кукурузы с точностью до 5 г. Сравните качества
измерений, оценив относительные погрешности в процентах.
Упражнения для повторения
543.	Точки А и В лежат в 1-й четверти координатной плос-
кости и принадлежат графику функции у = х2. Ордината точки
В в 16 раз больше ординаты точки А. Во сколько раз абсцисса
точки А меньше абсциссы точки В?
544.	Найдите значение выражения:
106
545.	Найдите координаты точек пересечения с осями коор-
динат графика функции, заданной формулой у = 2,6х + 9,1-
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение абсолютной погрешности.
2. Сформулируйте определение относительной погрешности.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
К параграфу 6
546. Верно ли равенство:
а) 32 + 42 + 52 = 62;	б) (1+ 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43?
547*. Докажите, что 267 + 155— 319 кратно 10.
548.	Разложив число на простые множители, представьте
его в виде произведения степеней простых чисел:
а) 54; б) 144; в) 225; г) 500.
549.	Представьте число в виде степени с основанием 2 или 3:
а) 64; б) 81; в) 512; г) 729; д) 1024.
550.	Представьте число в виде суммы степеней числа 2:
а) 6; б) 18; в) 42.
551.	Представьте число в виде степени с показателем,
отличным от 1:
а) 121; б) —32; в) 0,125; г) 625; д) —0,216; е) 0,343.
552.	Найдите значение выражения:
а)	0,001х5 при х= — 2;	в) х2уА при х = 5, j/ = 2;
б)	ЮООу3 при у = 0,1;	г) Зх3у3 при х=— 2, у = — 5.
553.	Найдите значение выражения (— 1)л при п, равном:
а) 6; б) 11; в) 23; г) 70.
554.	Вычислите:
а)	сумму кубов чисел 5 и —3;
б)	куб суммы чисел 9 и —11;
в)	разность квадратов чисел 12 и 8;
г)	квадрат разности чисел 96 и —4;
д)	удвоенное произведение квадратов чисел 7 и —5;
е)	утроенное произведение числа 15 и квадрата числа 4.
107
555.	Не выполняя вычислений, сравните значения выра-
жений:
а)	(-0.03)8 и 0;	в) (-1,75)3 и (-0.29)2;
б)	0 и (—1,25)7;	г) 0,986 и 1,026.
556.	Что больше и на сколько:
а)	23 или З2;	в) 2-32 или 3-23;
б)	52 или 25;	г) (И + 19)2 или 112 + 192?
557.	Сравните значения выражений а2 и а3 при а, равном:
а) —12; б) 0; в) 5.
558.	Найдите при х=1,5 и х=—2 значения выражений:
а) х2; —х2; ( —х)2;	б) х3; — х3; ( —х)3.
559.	Докажите, что при любом натуральном п значение
дроби является натуральным числом:
560.	Какие из чисел —3, —2, —1, 1, 2, 3 являются
корнями уравнения:
а)	х4 = 81;	в) х2-х = 2;	д) х3 —Зх2 — 4х + 12 = 0;
б)	х6 = 64;	г) х4-|-х3 = 6х2;	е) х34-3х2 —х —3=0?
561.	Докажите, что не имеет корней уравнение:
а) х24-1 = 0;	б) 2х64-Зх44-х2 + 1 = О.
562.	При каком значении х значение выражения (2х-|-З)2
равно нулю?
563*. Докажите, что уравнение х4 -|- Зх3 4- 2х2 4- х4- 6 = 0 не
имеет положительных корней.
564*. Имеет ли уравнение х6 —х54-х4 — х3-|-х2—х-|-1=0
отрицательные корни?
565.	Упростите выражение:
а) а'“а12 ( —а5);	б) х ( —х) ( —хб); в) уку*у2-, г) b"b"b3.
566.	Представьте выражение в виде степени:
а) 25-8;	6)16-64; в) 7"-343;	г)81-3‘.
567.	Представьте выражение в виде произведения двух
множителей, один из которых равен а5:
а) а10; б) а6; в) —а40.
108
568.	Замените х степенью с основанием с так, чтобы полу-
ченное равенство было тождеством:
а) с2х = с5; б) хс5 = с9; в) с6х = с"; г) с4х = с15.
569.	Замените частное степенью:
а)Ь|5:Ь12; б) 739 : 713;	в)а":а; г) 12100:12".
570.	Найдите значение выражения:
а) 13",0:1396; в) 2":8'; д) 5,0:254;
571.	Упростите выражение:
а) 6п+3:6";	б) 1О', + 1: Ю"'1.
572.	Вычислите:
а) (217 - 43,07-4)° +5-Ь;	б) 17,83°-6,4+^--2,8.
573*. Упростите:
а) (— 1)"• (— 1)";	б) (—1)2":( —I)3.
574.	Площадь круга вычисляется по формуле S = nr2, где
г — радиус круга. Как изменится площадь круга, если его ра-
диус увеличить в 3 раза; в 7 раз?
575.	Объем шара вычисляется по формуле У = -|- лг3, где г —
радиус шара. Как изменится объем шара, если радиус увели-
чить в 2; в 4 раза?
576.	Верно ли при любом значении х равенство:
а) |х[2 = х2;	б) |х|3 = х3?
577.	Найдите значение выражения:
а) 45-2,55;	в) 0,29-57;
б) (-i-)'3-313;	г) О,4|о-2,512;
д) 0,26-253;
578.	Сравните значения выражений:
а) 107 и 2е-57;	в) 2525 и 2И-35°;
б) 612 и 2|3-3";	г) 633° и З6°-53°.
579.	Представьте выражение в виде 3" или —Зл:
а)( —З3)2; б) ( —З2)3; в) -(З4)2; г) -(-З2)3.
109
580.	Упростите выражение:
а)	(х3)2-(-х3)4;	в) (х7)5-( —х2)6;
б)	(-</3)7•(-</?;	г) (-с9Л(с5)2.
581*. Замените букву р выражением так, чтобы полу-
ченное равенство было тождеством:
а) р5 = х20; б)р7 = х2'; в)р3с8 = с2и; г) у7-(уу=р\
582.	Представьте в виде степени:
а) 45-221;	б)25|3:5";	в)85-1613; г) 27|0:915.
583.	Представьте выражение в виде х" или —х":
а) ( — х3)7; б) ( — х2)5; в) ( — х)4х8; г) (— х5)7 • (х2)3.
584*. Сколькими способами можно представить в виде степе-
ни с показателем, отличным от 1, число:	а) 215; б) 26?
585*. При каком условии:
а)	сумма квадратов двух чисел равна нулю;
б)	квадрат суммы двух чисел равен нулю?
586*. Натуральное число а оканчивается единицей. Какой
цифрой оканчивается степень числа а с натуральным показа-
телем? Для каких еще цифр выполняется аналогичное свой-
ство?
587*. Докажите, что при любом натуральном k:
а)	число З4* оканчивается единицей;
б)	число 10* — 1 кратно 3.
К параграфу 7
588.	Вычислите значение одночлена:
а)	7а3 при а = 0; 1; —1; —0,1; 0,2;
б)	— 4х3 при х = 2; —3; 20; -0,2; 0,5.
589.	Найдите значение выражения:
3	5
а) — 4,5аЬ при а= — 6,	а = —,	а=—
ь=3т;	ь=-т;	ь=-11 =
б) 0,001х3</ при х= —4,	х = 6,	х= — 1,	х = 18,
</ = 8;	j/=i25;	У = 0;
в) 225m2n2 при т= —1-|-,	т = —0,2, лг = О,	
п~1т:	п= —0,5; л = —6;	"=’т
110
590.	Какова степень одночлена:
а) Зх3{/7; б) — 10аЬ2с’; в) а9Ь9; г) —xyz; д) —8х(|; е) 2,4?
591.	Представьте выражение в виде одночлена стандарт-
ного вида и укажите его степень:
a)	5ab-0,7bc-40ac;	г) — а3Ь-За2Ь4;
б)	— 0,45bd-( — 1-i-ad)-9ab; д) 0,6x’i/•( — 0,5xi/3);
в)	— l,9ab-( — 16abc)-(— 0,5c); e) — O,32m7n4  ( — 3-|- m’n6) .
592.	Составьте все возможные одночлены стандартного
вида с коэффициентом 5, содержащие переменные х и у такие,
что степень каждого одночлена равна: а) трем; б) четырем.
593.	Выполните умножение одночленов:
а)	— Зх2у3 и 0,2xi/3; г) 1,25ху2, — 0,4i/z2 и — 0,Зх2г;
б)	т2п2 и 0,5тп3л;	д) — 2,5abc, —abc и 3,4a2b;
в)	— 2,4х3а и —0,5x1/’; е) 0,8а5Ьх, — 0,4аЬ2х3 и — 0,5аЬ4х3.
594.	Представьте выражение в виде произведения двух од-
ночленов стандартного вида, один из которых равен 20х4у:
а) ЮОх5!/3; б) — 30х41/5; в) — 4х16!/; г) х'°у2.
595.	Представьте данный одночлен в виде произведения
двух каких-нибудь одночленов стандартного вида:
а) — 8а5с3; б) -b6i/9; в) 60х'°1/15.
596.	Преобразуйте выражение в тождественно равный од-
ночлен стандартного вида:
а) ( —10ab12)2; б) (-О,2х41/)4; в) (-3xi/2a3)3; г) (-0,5ab2c3)4.
597.	Представьте произведение одночленов в виде степени
некоторого одночлена:
а) 27и2Ь5 • Зо'°Ь3;	в) О,О1Ь5с3-( —0,1Ьс6);
б) — 64а8х" •( —0,25а2х9); г>
598.	Упростите выражение:
а) ( —0,21/)3-501/2;
б) -60с6-(-0,5с2)3;
в) ( —0,6х3)2-( —5х4);
г) ( —3a4b)2--^-al2be;
д) —hc2-(4fc3c5)3;
е) (-0,4х5/)3-(- ЮООх5!/10).
111
599.	Представьте в виде одночлена стандартного вида:
a)	(2ab)z-(~3ab)3;
б)	(-0,2x1/)3-(-5xi/)2;
в)	— (3xj/)2-(—Зх)3;
г) _(-0,5ас2)2-(-2а2с)3;
д) ( — Зтл2/-( — лг2л)3;
е) (4х^)3-(2х3У2)2;
ж) (-|-а252у •( — Зад/;
3)
600.	Упростите выражение:
a)	(-x2i/2)4-(-xj/)2;
б)	-(АХ//3)2.(-Зх)3;
в)	(— 2х3г/)3 - (— 2г/2)3;
г) ^a2b)J-(9ab2)2;
д) (-5а3б)2-(4аЬ3)3;
е) (-4аЬ1)2-(-34а3ь)2.
601.	Представьте выражение в виде произведения числа 3 и
квадрата некоторого выражения:
а) Зт4л2; б) 12x6//'z2; в) -|т'л',
602.	Известно, что точка Р(— 4; Ь) принадлежит графику
функции, заданной формулой у =х2. Найдите значение Ъ. При-
надлежит ли графику этой функции точка Q (4; Ь)?
603.	На рисунке 49 построены графики функций у=х,
у = х2, у = х3. Пользуясь графиками, сравните:
а) 0,23 и 0,232;
0,23 и 0,233;
0,232 и 0,233;
б) 1,47 и 1,472;
1,47 и 1,473;
1,472 и 1,473.
Рис. 49
112
604*. Точка А (а; Ь) принадлежит графику функции:
а) у = х2\ б) у=х3. Принадлежат ли этому графику точки
В ( — a; b), С (a; —b), D( — a\ — Ь)?
605*. Расположите в порядке возрастания числа а, а2 и
а3, если:
а) 0<а<1; б) а>1; в) —1<а<0; г) а<—1.
К параграфу 8
606.	Представьте число у в виде десятичной дроби и округ-
лите эту дробь до десятых, до сотых, до тысячных.
В каждом случае найдите абсолютную погрешность прибли-
женного значения, если:
а) у=^-; б) У=-^-
2
607.	Какое из двух приближенных значений числа — точ-
нее: 0,18 или 0,19?
608.	Какое из четырех приближенных значений числа
л = 3,14159... точнее: 3,141; 3,142; 3^-; 3^?
7	71
609.	Докажите, что число 1,4 является приближенным зна-
чением числа 1,361 с точностью до 0,1.
7
610.	Запишите число — в виде десятичной дроби и округли-
10
те эту дробь: а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных.
Укажите точность полученного приближенного значения.
2	5
611.	В сумме —+ — каждое слагаемое представили в виде
десятичной дроби с одним знаком после запятой и выполнили
сложение. Найдите абсолютные погрешности приближенных
значений слагаемых и суммы.
612.	Докажите, что среднее арифметическое чисел а и Ь яв-
ляется приближенным значением любого из этих чисел с
точностью до их полуразности.
613.	Округлите число до десятков и оцените относитель-
ную погрешность округления в процентах: а) 38,9; б) 4219.
614.	Сравните качества измерения массы М железнодорож-
ного вагона и массы т дозы лекарства, если Л4а:63 т (с точ-
ностью до 0,5 т) и т~0,15 г (с точностью до 0,01 г).
615*. На приборе указано, что граница относительной
погрешности измерения равна 0,1%. В результате измерения
значения некоторой величины получили 492. С какой точ-
ностью произведено измерение?
113
Глава IV
МНОГОЧЛЕНЫ
§ 9.	СУММА И РАЗНОСТЬ
МНОГОЧЛЕНОВ
§ 10.	ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА
И МНОГОЧЛЕНА
§ 11.	ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
§ 9.	СУММА И РАЗНОСТЬ
МНОГОЧЛЕНОВ
24. МНОГОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД
Выражение 4х2у — 5ху + Зх — 1 представляет собой
сумму одночленов 4х2!/, —5ху, Зх и —1. Такие выражения
называют многочленами.
Определение. Многочленом называется сумма одно-
членов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют чле-
нами многочлена. Так, членами многочлена 4х2</ — 5xj/4-3x —1
являются 4х21/, — 5x1/, Зх и —1.
Если многочлен состоит из двух членов, его называют дву-
членом, если из трех членов — трехчленом. Одночлен считают
многочленом, состоящим из одного члена.
В многочлене 5а2Ь + 2 + 4ад2 — За2Ь — 7 члены 5а2Ь и — За2Ь
являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту
же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены
2 и —7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые
в многочлене называют подобными членами многочлена, а
приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением
подобных членов многочлена.
Пример 1. Приведем подобные члены в многочлене
5a2b + 2 + 4ab2-3a2b-7:
5а2 Ь + 2 + 4аЬ2 - За2Ь - 7 =
= (5а2Ь — За2Ь)+ 4а62 + (2 — 7) = 2а2 Ь + 4а Ь2 — 5.
Каждый член многочлена 2a2b -f- 4аЬ2 — 5 является одночле-
ном стандартного вида, и этот многочлен не содержит подобных
114
членов. Такие многочлены называют многочленами стандарт-
ного вида.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для
этого нужно каждый его член представить в стандартном виде
и привести подобные члены.
Членами многочлена стандартного вида 8xj/ + 6x2y3— 9 слу-
жат одночлены второй, пятой и нулевой степени. Наиболь-
шую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким
образом, многочлен 8х// + 6х21/3— 9 является многочленом пя-
той степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наиболь-
шую из степеней входящих в него одночленов. Степенью
произвольного многочлена называют степень тождественно
равного ему многочлена стандартного вида.
Пример 2. Выясним, какова степень многочлена
За4 + 8аЬ — 2а4 —а4 + 5Ь.
Для этого приведем его к стандартному виду:
За4 + 8аЬ — 2а' - а4 + 5b = 8а b + 5Ь.
Степень многочлена 8ab-|-5t> равна двум, поэтому степень
многочлена За4 + 8а& —2а4—а4 + 5Ь равна двум.
Рассмотрим, как вычисляются значения многочлена с по-
мощью микрокалькулятора.
Чтобы в ходе вычисления значения многочлена не запи-
сывать промежуточные результаты, используют память микро-
калькулятора. Для того чтобы ввести в память число, которое
высвечено на экране, надо нажать клавишу П_|_ ; при этом на
экране слева появится точка. Для того чтобы перенести на
экран число, хранящееся в памяти, надо нажать клавишу
(из памяти). Нажатие клавиши
стирает содержащееся в памяти число; при этом точка на
экране гаснет. Заметим, что клавиши П +
выполнять действия с числом, содержащимся в памяти: при на-
П+ к числу в памяти прибавляется число,
СП (сброс памяти)
ИП
жатии клавиши
и П_
позволяют
высвеченное на экране; при нажатии клавиши П_
из числа
в памяти вычитается число, высвеченное на экране.
Таким образом, при нажатии этих клавиш меняется со-
держимое памяти.
115
Пример 3. Найдем с помощью микрокалькулятора зна-
чение многочлена а3-|-д2 —4с при а = 3,2, Ь = 2,6, с = 0,107.
Вычислим сначала значение степени а3 и введем результат
в память. Затем вычислим значение степени Ь2 и прибавим полу-
ченное число к значению выражения а3, содержащемуся в
памяти. Далее вычислим значение произведения 4с и вычтем его
из числа, содержащегося в памяти. Наконец, извлечем резуль-
тат из памяти. Программа вычислений выглядит так:
X	=	П+
4 X 0,107
п_	ип
Произведя указанные действия, получим ответ: 39,1.
616. Назовите каждый член многочлена:
а) -6х4 +у3-5J/ + 11; б) 25ab + ab2-а2Ь + 8а-7Ь.
• 617. Выполните приведение подобных членов многочлена:
а)	10х — 8ху — Зху;
б)	2аЬ — 7аЬ-\-7а2;
в)	Зх4 —5х + 7х2 —8х4 + 5х;
г)	2а3 + а2 — 17 — 3a2 + a3 — а — 80;
д)	12ab2 — d3 —6ad2+3a2d — 5ad2 +2d3;
е)	2a2 —ax3 —a4 — a2x3 + ax3 + 2a4.
* 618. Приведите подобные члены многочлена:
а)	— a4 + 2a3 —4a4 + 2a2 —За2;
б)	1 +2/-4у3 — 6ув + 4у3-уъ-9;
в)	10х2у — 5ху2 — 2х2у +х2у — Зху2;
г)	Зад3 + 6а2д2 — ад3 — 2а2Ь2 — 4а2д2 + 7.
• 619. Представьте в стандартном виде многочлен:
а)	-8р4 + 12р3 + 4р4-8р2 + Зр2;
б)	2aa2 + a2 —3a2 + a3 —а;
в)	Зхх4 + Зхх3—5х2х3 —5х2х;
г)	3a-4d2-0,8d-4d2-2ad-3d + d-3d2—1.
• 620. Запишите в стандартном виде многочлен:
а)	2a2x3 —ax3 —a4—a2xJ + ax3 + 2a4;
б)	5х-2у2— 5х-3ху— х2у+6ху2.
116
621.	Найдите значение многочлена:
а)	5х6 — Зх2 + 7 — 2х6 — Зх6 + 4х2 при х= —10;
б)	4a2b — ab2 — 3a2b-f-ab2 — ab-j-6 при а=— 3, Ъ = 2.
622.	Найдите значение многочлена:
а)	6а3 — а|0 + 4а3 + а10 — 8а3 + а при а = —3;
б)	4х6!/3 — Зх6!/3 + 2х2:/2 — х6!/3 — х2у2 + у при х = — 2, у=— 1.
623.	Найдите значение многочлена 2х2 + 1 при х = 0; —2;
3; -4.
Существует ли такое значение х, при котором значение
многочлена равно нулю; отрицательно?
624.	Докажите, что многочлен х2 + у2 +1 при любых зна-
чениях х и у принимает положительные значения.
625.	Запишите в виде многочлена число, состоящее из:
а)	а десятков и b единиц;
б)	а сотен, b десятков и с единиц.
626.	Расположите по убывающим степеням переменной
многочлен:
а) 17а4 — 8а5 + За — а3—1;	б) 35-с6 +5с2-с4.
627.	Расположите по возрастающим степеням переменной:
а) х4-5-х2 + 12х;	б) 2у + у3 - у2 +1.
628.	Какова степень многочлена:
а)	4а6 — 2а7+а — 1;	г)	4xi/+xi/2 — 5x2 + j/;
б)	5р3 — р — 2;	д)	8х41/ + 5х2!/3 —11;
в)	1 —Зх;	е)	xy + yz-\-xz — 1?
629.	Составьте многочлен четвертой степени, содержащий:
а) переменную у,	б) переменные а и Ь.
630.	Используя микрокалькулятор, найдите значение мно-
гочлена :
а)	х2 + 4,23 при х = 1,97;	в) a'-j-2b при а = 2,3, Ь = 138,9;
б)	321,8 —х2 при х = 2,17; г) За—Ь5 при а = 806,2, Ь = 1,7.
Упражнения для повторения
631.	Решите уравнение:
a) 0,3j/= 70;	б)-|-х=-1;	в)_|.о=—1.
117
632.	Вычислите:
а) • б) 4г8; в) 4^" •
a; ge »	'4	°
633.	При каком значении аргумента функция y=0,01j
принимает значение, равное: а) 240; б) —100?
634.	Запишите:
а)	сумму двух последовательных четных чисел, большее из
которых равно 2п;
б)	сумму трех последовательных нечетных чисел, меньшее
из которых равно 2n—1.
25. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Сложим многочлены 5х2 + 7х 9 и	Зх2 — 6х + 8.
Для этого составим их сумму, затем раскроем скобки и
приведем в полученном многочлене подобные члены:
(5х2 + 7х-9) + (-Зх2-6х + 8) =
= 5х2 + 7х - 9 - Зх2 - 6х + 8 = 2х2 + х -1.
Сумму многочленов 5х2 + 7х — 9 и — Зх2 — 6х + 8 мы пред-
ставили в виде многочлена 2х2 + х—1. Вообще, сумму любых
многочленов можно представить в виде многочлена.
Вычтем из многочлена х3 + 5х2 —х + 8 многочлен х3 —7х-1.
Для этого составим их разность, раскроем скобки и приве-
дем в полученном многочлене подобные члены:
(х3 + 5х2- х + 8)-(х3- 7х —1) =
= х3 + 5х2- х + 8- х3 + 7х + 1 =5х2 + 6х+9.
Разность многочленов х3 + 5х2 — х + 8 и х3 — 7х — 1 мы пред-
ставили в виде многочлена. Вообще, разность любых много-
членов можно представить в виде многочлена.
Таким образом, при сложении и вычитании многочленов
снова получается многочлен.
Иногда требуется решить обратную задачу — представить
многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом
пользуются правилом:
если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, кото-
рые заключают в скобки, записывают с теми же знаками;
если перед скобками ставится знак «минус», то члены, за-
ключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.
Например,
3x-2j/ + & = 3x + (-2t/ + 6),	3x-2y + b = 3x-(2y-b).
118
635. а) Составьте сумму многочленов 4х3 — 5х — 7 и х3 — Зх
и преобразуйте ее в многочлен стандартного вида.
б) Составьте разность многочленов 5у2— 9 и 7у2 — г/+ 5 и
преобразуйте ее в многочлен стандартного вида.
636. Даны два многочлена: 2а3 — 5а+ 5 и а3 — 4а — 2.
Составьте и упростите:
а)	сумму этих многочленов;
б)	разность первого и второго многочленов;
в)	разность второго и первого многочленов.
• 637. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а)	(1 + За) + (а2 - 2а);	г) (Ь2 — fe + 7) — (62 + Ь + 8);
б)	(2х2 + Зх) + ( — х + 4);	д) (8га3 - Зга2) —(7 + 8га3 - 2га2);
в)	(у'2 — 5у) + (,5у — 2у2);	е) (а2 + 5а + 4) —(а2 + 5а —4).
• 638. Упростите выражение:
а)	5,2а —(4,5а+ 4,8а2);
б)	-0,852 + 7,45 +(5,65-0,2b2);
в)	8х2 + (4,5 —х2) —(5,4х2 —1);
г)	(7,3г/ - у2 + 4) + 0,5у2 - (8,71/ - 2,41/2).
• 639. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а)	18х2 — (10х —5 + 18х2);	в)	(52 + 5-	1)-(52-5+ 1);
б)	- 12с2 + 5с + (с + 11с2);	г)	(15 - 7г/2) - (у3 - у2 - 15).
640.	Найдите сумму и разность выражений:
а)	а + 5 и а — 5;	в)	—а — 5	и а — 5;
б)	а —5 и а + 5;	г)	а—5 и	5 —а.
641.	Докажите, что выражение
а)	(х — у) + (у — г) + (z — х) тождественно равно 0;
б)	(а2 — 5а5) — (7 — За5) + (2а5 — а2) тождественно равно —7.
642.	Найдите многочлен, после подстановки которого
вместо М следующее равенство окажется тождеством:
а) М + (5х2 — 2хг/) = 6х2 + 9хг/ — у2;
б)	М — (4а5 — 352) = а2 — 7а5 + 852;
в)	(4с4-7с2 + 6)-Л4 = 0.
643. Какой многочлен в сумме с многочленом 5х2 — Зх — 9
тождественно равен:
а) 0; б) 18; в) 2х —3; г) х2 —5х + 6?
119
• 644. Упростите выражение:
а)	(а2 - 0,45а +1,2) + (0,8а2 - 1,2а) - (1,6а2 - 2а);
б)	(а2 — 1,75у — 3,2) — (0,3</2 + 4) — (21/ — 7,2);
в)	6xi/ — 2х2 —(3xi/ + 4x2 + 1) — ( — ху — 2х2 — 1);
г)	-(2ab2-ab+b) + 3ab2 — 4b — )5ab — ab2).
• 645. Упростите выражение:
а)	8а2* + (- 5а2* + 4*2) + (а2Ь - 5*2 + 2);
б)	(ху + х2 + у2)-(х2 + у2-2ху)-ху.
646.	Найдите значение выражения:
(5,7а2*- 3,1а* + 8*3)- (6,9а* — 2,3а2* + 8*’),
если а) а —2 и * = 5; б) а — 2 и * 3.
647.	Вычислите значение выражения:
5х2 — (3x1/ — 7х2) + (5X1/ - 12х2),
если а) х=— 0,25 и у = 4; б) х=—5 и £/=0,1.
648.	Докажите, что разность многочленов OJx1 + О,2х2 —5
и — О,3х4+-^- х2 — 8 при любом значении х принимает поло-
жительное значение.
649.	Учащимся была предложена задача: «Найдите зна-
чение выражения
(7а3 - 6а2* + 5а*2) + (5а3 + 7а2* + За*2) - (10а3 + а2* + 8а*2)
при а= —0,25». Один из учеников сказал, что в задаче не хва-
тает данных. Прав ли он?
650.	Какой двучлен нужно сложить с многочленом
х2 + у2 — 2ху +1, чтобы в результате получился многочлен:
а) не содержащий переменную х;
б) не содержащий переменную у?
651.	Докажите, что значение выражения
(4 х2 - 0,4x1/ - 1,51/ 4- 1) — (</2 - А х1/ + 0,6х2)
не зависит от х.
652.	Докажите, что значение выражения не зависит от
значения переменной:
а)	1,7-10*2-(1-3*2)4-(2,3 + 7*2);
б)	1-*2-(3*-2*2) + (1 + 3*-*2).
120
653. Пусть x = 5a2 + 6ab—b2, у = —4а2 + 2ab + 352,
z = 9a2 + 4ab. Подставьте эти многочлены вместо х, у и z
в данное выражение и упростите его:
а) x + y + z-,	б) х — у — z.
• 654. Решите уравнение:
а)	(23 + Зх) + (8х - 41) = 15;
б)	(19 + 2х)-(5х-11) = 25;
в)	(3,2i/—1,8) —(5,21/+3,4)= — 5,8;
г)	1 —(0,5х —15,8)= 12,8 —0,7х;
д)	3,8 — 1,51/+(4,51/— 0,8) = 2,41/ +3;
е)	4,2i/+ 0,8 = 6,21/— (1,11/+0,8) +1,2.
• 655. Решите уравнение:
а)	8i/-3-(5-2i/) = 4,3;	в) -8х + (4 + Зх)= 10-х;
б)	0,51/-1-(21/+ 4) = i/;	г) 1,3х —2 — (3,3х +5) = 2х +1.
656.	Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь
двучленов:
а) Зх3-2х2 — х + 4;	б) — 5г/" + 4t/3 + Зг/2-2у.
657.	Представьте выражение каким-либо способом в виде
разности одночлена и трехчлена:
а) х3 + 2х2 —Зх —5;	б) За1 + 2а3 + 5а2 — 4.
658.	Докажите, что сумма:
а)	трех последовательных натуральных чисел кратна 3;
б)	четырех последовательных натуральных чисел не
кратна 4.
Упражнения для повторения
659.	Найдите значение функции у = х2 при х=1,8 по ее
графику (см. рис. 43) и путем вычислений. Вычислите абсолют-
ную и относительную погрешности приближенного значения,
найденного по графику.
660.	Найдите значение выражения:
а)	6 (2a — b) при а=-|-, д=-|-;
б)	при а=Т’ Ъ = 0,2.
121
661.	Представьте выражение в виде одночлена:
а) (2х2)3 ~ х2; б) ( —Зу4)’•—у5-	0’2аЬ’ •( — 5а3Ь2)2;
4	’ К У ' 9 У ’ г) (-O,5c4d)3.(-4c2d2)2.
662.	Восстановите многочлен по заданной программе
вычисления его значений с помощью микрокалькулятора:
а)	х 0 □ S □ S Ву В:
6)	а Гх] [Я Г^"1 I/ —/I Г+"1 с f.
Контрольные вопросы
1.	Дайте определение многочлена.
2.	На примере многочлена 5а'х ах’— 4а х ~ х объясните,
как привести многочлен к стандартному виду.
3.	Что называется степенью многочлена ? Приведите пример
многочлена третьей степени.
4.	В многочлене 5х~ — х-)-4 заключите в скобки два послед-
них члена, поставив перед скобками
а) знак «плюс»;	б) знак «минус».
§ 10. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА
И МНОГОЧЛЕНА
26. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Умножим одночлен 9л' на многочлен 7 л2 —Зл + 4.
Составим их произведение и преобразуем его, используя
распределительное свойство умножения:
9л3 (7л2 —Зл + 4) =
= g„J. 7„2 _ 9„3. Зл + 9л3 • 4 = 63л5 - 27л4 + 36л3.
Произведение одночлена 9л' и многочлена 7л2 —Зл+4
мы представили в виде многочлена 63л5 — 27л4 + 36л3, умножив
одночлен на каждый член многочлена и сложив полученные
результаты.
Вообще, произведение одночлена и многочлена всегда
можно представить в виде многочлена. При этом пользуются
правилом:
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить
этот одночлен на каждый член многочлена и полученные
произведения сложить.
122
Пример 1. Умножим одночлен —За2 на многочлен 4а3 —
-а + Г.
— За2 (4а3 — а +1) =
= — За2-4а3 —За2-( —а) —За2-1 = — 12а5 + За3 —За2.
Заметим, что запись можно вести короче, не выписывая
промежуточные результаты:
— За2 (4а *— а1) = — 12а5 + За3 — За2.
Пример 2. Упростим выражение Зх2 — 2х(х + 8):
Зх2 - 2х (х + 8) = Зх2 — 2х2 - 16х = х2 — 16х.
Умножение одночлена на многочлен часто применяется
при решении уравнений.
Пример 3. Решим уравнение 8 — 5х (х —7) = 1 — 5х2:
8 — 5х (х — 7) = 1 — 5х2;
8 - 5х2 + 35х = 1 - 5х2;
- 5х2 + 35х + 5х2 = 1- 8;
35х=—7;
х= —0,2.
Пример 4. Решим уравнение 2lg 1 — *^5 = 2.
Для этого обе части уравнения умножим на наименьшее
общее кратное знаменателей дробей, т. е. на число 18:
• 18 = 2 • 18;
^^•18-^-18 = 36;
9	о
2 (2х —1) — 3 (х +5) = 36;
4х — 2 —Зх—15 = 36;
х = 53.
• 663. Выполните умножение:
а) 2х (х2 —7х —3);	г) (г/2 — 2,41/+ 6) • 1,5г/;
б) — 452 (552 — 35 — 2);	д) -О,5х2 (-2х2 - Зх + 4);
в) (За3 — а2 + а) ( — 5а3);	е) ( — Зг/2+ 0,6г/) (— 1,5г/3).
• 664. Преобразуйте произведение в многочлен:
a) 3ab (а2— 2аЬ + Ь2)',	г) ( — 2ах2 + 3ах — а2) ( — а2х2);
б) — х2у (х2у2— х2 — у2); д) (6,Зх3г/ — Зу2 — 0,7х)-10х2г/2;
в) 2,5а25 (4а2 —2а5 + 0,252); е) — l,4p2q6 (5p3q — l,5pq2 — 2q3).
123
• 665. Представьте в виде многочлена:
а)	-%- х (1,4х2 —3,5;/);	в) -±-ab(-^-a2—^-ab + -i-62);
б)	—i-c2(l,2d2-6c);	г) --^-а2у5(5ау2—1- а2у —1 в3),
• 666. Выполните умножение:
а)	— Зх2 ( —х3 + х —5); г) — За 'х (а2 — 2ах + х3 — 1);
б)	(1 _|_ 2а - а2) • 5а;	Д) ~ху + ху2 + у3). Зхр2;
в)	jc2!/(i5x —°,9е/ + 6); е) -?-а4 (2,162-0,7а + 35).
• 667. Упростите выражение и найдите его значение:
а)	3(2х — 1) + 5(3 — х) при х = —1,5;
б)	25а —4 (За —1) + 7 (5 —2а) при а = 11;
в)	41/ —2 (101/— 1) + (81/— 2) при у= — 0,1;
г)	12 (2 — Зр) +35р —9 (р +1) прир = 2.
• 668. Представьте в виде многочлена:
а)	146 + 1-6(2-116);	в) 14 (7х-1)-7 (14х+1);
б)	25(2 —Зс) + 16(5с—1);	г) 36 (2-у) — 6 (5-21/).
• 669. Упростите выражение:
а)	14у + 2у (6 — у);	д)	76 (4с — 6) + 4с (с — 76);
б)	Зу2 — 2у (5 + 2р);	е)	— 2</ (х3 — 2i/) — (х3</+ 4у2);
в)	4х (х— 1) — 2 (2х2— 1);	ж)	3m2 (zn + 5n)— 2n(8m2 — л);
г)	5а (а2 —За) —За (а2 —5а);	з)	6m2nJ — л2 (6тл2л + л —1).
• 670. Представьте в виде многочлена:
а)	6х (х — 3) — х(2 — х);	в) ах (2х — За) — х (ах + 5а2);
б)	— а2 (За —5) + 4а (а2 —а);	г) — 4лг2 (л2 — т2) + 3л2 (лг2-л2).
671.	Найдите значение выражения:
а)	—2х(х2 —х + 3) + х (2х2 + х—5) при х = 3; —3;
б)	X (х — у) — у (у2 — х) при х = 4 и у = 2.
672.	Вычислите значение выражения:
а)	5х(2х — 6) — 2,5х(4х — 2) при х= — 8; 10;
б)	5а (а —46) —46 (6 —5а) при а =—0,6 и 6 =—0,5.
673.	Упростите выражение:
а)	(За2)2 —а3 (1 — 5а);	в) х (16х-2х3)-(2х2)2;
б)	(—1-6)3 —Ь(1 —26—62); г) (0,2с3)2-0,01с4 (4с2-100).
124
Ь с
Рис. 50
674.	С помощью рисунка 50 разъ- ’
ясните геометрический смысл формулы
а (Ь-\-с) = аЬ-{-ас для положительных
значений а, b и с.
675.	Докажите, что выражение
х (2х-|-1) — х2 (х + 2) + (х3 — х + 3) при
любом значении х принимает одно и то
же значение.
676.	Докажите, что значение выражения
у (Зу2 - у + 5) - (2у3 + Зу -16) - у {у2 - у + 2)
не зависит от у.
677.	Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
a) a (b — с)+ Ь (с — а)4-с (а— Ь);
б)	a(b + c—bc')—b(c-\-a — ac)-\-c(b — a).
678.	Докажите, что выражение 2х (х— 6) — 3 (х2— 4х + 1)
при любых значениях х принимает отрицательные значения.
• 679. Решите уравнение:
а)	5x4-3 (х-1) = 6х+11;	д) 6+ (2-4х)+5 = 3 (1 —Зх);
б)	Зх—5 (2 —х) = 54;	е) 0,5 (2у- 1) — (0,5-0,2//)+1 = 0;
в)	8 (у — 7)-3 (2</ + 9)= 15; ж) 0,15 (х-4) = 9,9-0,3 (х-1);
г)	0,6 —0,5 (у —1) = у 4-0,5; з) 3 (Зх- 1)4-2 = 5 (1 -2х)- 1.
680.	Найдите корень уравнения:
а)	Зх(2х —1) —6х(7-|-х) = 90;
б)	1,5х(34-2х) = Зх(х-|-1)-30;
в)	5х(12х —7) — 4х(15х-11) = 30 + 29х;
г)	24х — 6х(13х — 9)= — 13 —13х (6х — 1).
681.	Решите уравнение:
а)	3 (-2х + 1)-2 (х4-13) = 7х —4 (1 —х);
б)	— 4 (5 — 2а)4~ 3 (а — 4) = 6 (2 — а) —5а;
в)	Зу(4у-1)-2у(6у-5) = 9у-8(3 + уУ,
г) 15х4-6х(2-3х) = 9х(5 —2х) —36.
• 682. При каком значении переменной:
а)	значение выражения 2 (3 — 5с) на 1 меньше значения вы-
ражения 4(1—с);
б)	значение выражения —3 (2x4-1) на 20 больше значения
выражения 8x4-5;
в)	значение выражения 5х-|-7 в 3 раза меньше значения
выражения 61 — 10х;
г)	значение выражения 8 — у в 2 раза больше значения
выражения 7-1/?	'
...J	.  i /"	125
• 683. Решите уравнение:
а)	—+4=14; 4'3	г)	2z + 3 = ^;	
б)	а	о с. ~2	8~ ’	д)	2с  4с _ „ 3	5 ~ ’	ч 5m т 1 } 12
в)	А = ,-1;	е)	т+т+4 = 0:	и) ^+4=4-
•	684. Найдите корень		уравнения:	
а)	6х — 5 2х—1 । q , ~7	—3 * ’	в)	<1 г ®| ? 1 СЛ II ел	«)
б)	5 —х । Зх —1 л —+—=4;	г)	4у- 11 , 13-Ту _ 15	'	20	е) JL
• 685. Решите уравнение:
2р —1	Р + 1__ м 12-х 2-х_ х
6	3 — Р’	'4	3	6’
686. Найдите корень уравнения:
а)	1 - £zl2 = £++ + 4; 2	3	’	в)	2т4+1+з =	т	6 — т "б	12“
б)	а +13	2а 3 —а . а . 10	5	15 “Г 2 ’	г)	х+1	X— 1 9	6	— 9	*4-3 2
687. Решите уравнение:
а) 6y_h7 + 8-^=5;
5а —1 2а —3	-
б) —=——1;
г\ +_1 । с_с + 3 
’	9'4	6 ’
. Зр— 1	2р + 6	_л,
Д) -------36---1~0,
ч е 1 — 2х	3x4-20 . х
е 5---=—£------Ьу
4	О	о
• 688. За 15 открыток, 10 конвертов и блокнот заплатили
1 р. 68 к. Конверт в 8 раз дешевле блокнота и на 2 к. дороже
открытки. Сколько стоят открытка, конверт, блокнот?
• 689. Периметр треугольника 44 см. Одна из его сторон на
4 см меньше другой и в два раза больше третьей стороны. Най-
дите стороны треугольника.
126
690. В первый день в овощном магазине было продано на
3 т овощей меньше, чем во второй день, а в третий того,
что продали за первые два дня. Сколько овощей продал мага-
зин в каждый день, если всего за три дня продано 98 т овощей?
691. В первом сарае было сложено сена в 3 раза больше,
чем во втором. После того как из первого сарая взяли 20 т,
а во второй добавили 20 т сена, во втором сарае его оказа-
5
лось — того, что осталось в первом сарае. Сколько тонн сена
было в каждом сарае?
• 692. Применив новый резец, токарь стал обтачивать за
один час на 4 детали больше, чем полагалось по норме, и
выполнил дневную норму не за 8 ч, а за 6 ч. Сколько деталей
в день должен был обтачивать токарь по норме?
693.	Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада
сумела скосить луг на один день быстрее, чем планировалось.
Какова площадь луга?
694.	Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин,
спортсменка стала пробегать дистанцию на одну минуту быст-
рее. Какова длина дистанции?
695.	От лагеря до привала пионеры шли со скоростью
4,5 км/ч, а возвращались в лагерь со скоростью 4 км/ч,
затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком рас-
стоянии от лагеря был сделан привал?
•	696. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед
за ним из пункта В, отстоящего от А на расстоянии 20 км,
выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч,
а мотоциклист со скоростью 16 км/ч. На каком расстоянии
от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?
•	697. Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью
60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина
со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А легковая
машина догонит грузовую?
Упражнения для повторения
698.	Найдите координаты точки пересечения графиков ли-
нейных функций:
а)	1/ = 5х + 29 и у=— Зх —11;
б)	</ = 1,2х и </ = 1,8х + 9,3.
127
699.	В каких координатных четвертях расположен график
функции:
а)у=—28х;	в)</ = 0,05х;
б)1/=-28х + 4;	г) у = 0,05х —2,5?
700.	Постройте в одной и той же координатной плоскости
графики функций: а) у=х2 и у = 4; б) у = х2 и у = 2х.
Найдите координаты точек их пересечения.
701.	Упростите выражение:
а) (-|-а5#3)2 • (— ау)3;	б) — 0,1а467-( — 30а2Ь)2.
27.	ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач
бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких
многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Пред-
ставление многочлена в виде произведения двух или несколь-
ких многочленов называют разложением многочлена на мно-
жители.
Рассмотрим многочлен 6a2b-f- 15b2. Каждый его член можно
заменить произведением двух множителей, один из которых
равен 36:
6а26+ 1562 = 36-2а2 + 36-56.
Полученное выражение на основе распределительного
свойства умножения можно представить в виде произведения
двух множителей. Один из них — общий множитель ЗЬ, а вто-
рой — сумма 2а2 и 5Ь:
3b-2a2 + 3b-5b = 3b (2а2 + 56).
Итак,
6а2Ь + 1562 = 3b (2а2 + 5Ь).
Мы разложили многочлен на множители, представив его
в виде произведения одночлена ЗЬ и многочлена 2а2 + 5Ь.
Примененный способ разложения многочлена на множители
называют вынесением общего множителя за скобки.
Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители
с помощью вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Разложим на множители многочлен
- 15х2у3 — 30хУ + 45х1|/.
Члены этого многочлена имеют различные общие множи-
тели: х, у, Зху, —5х2 и др. Обычно в многочлене с целыми ко-
128
эффициентами множитель, выносимый за скобки, выбирают
так, чтобы члены многочлена, оставшегося в скобках, не со-
держали общего буквенного множителя, а модули их коэф-
фициентов не имели общих делителей.
В многочлене — 15х21/3 — ЗОх31/2 + 45х',</ модули коэффици-
ентов — числа 15, 30 и 45. Их наибольший общий делитель
равен 15. Поэтому в качестве коэффициента общего множителя
можно взять число 15 или —15. Все члены многочлена содер-
жат переменные х и у. Переменная х входит в них во второй,
третьей и четвертой степени, поэтому за скобки можно вынести
х2. Переменная у содержится в членах многочлена в третьей,
второй и первой степени, поэтому за скобки можно вынести у.
Итак за скобки целесообразно вынести одночлен 15x2j/ или
— 15х21/. Вынесем, например, за скобки — 15х2у. Получим:
- 15х2/ - 30xV + 45х4</ = - 15x2j/ (у2 + 2ху - Зх2).
Пример 2. Разложим на множители выражение
За2 (Ь — 2с)+ 7 (5-2с).
В этой сумме каждое слагаемое содержит общий множитель
Ь — 2с. Вынесем этот множитель за скобки:
За2 (Ь — 2с) + 7 (Ь - 2с) = (Ь - 2с) (За2 + 7).
Пример 3. Представим в виде произведения сумму
а(х-у)+Ь(у — х).
Множители х — у и у— х отличаются друг от друга лишь
знаком. Если в выражении у — х вынести за скобки —1, то
второе слагаемое будет иметь тот же множитель, что и первое
слагаемое. Тогда этот множитель можно будет вынести за
скобки:
а(х — y)+b(y — x) = a(x — y)+b(— 1)(х —j/) =
=а (х - у) - b (х - у) = (х - у) (а - Ь).
Запись можно вести короче:
а(х — у) + Ь(у — х) = а(х — y) — b (х — а) = (х — у) (а — Ъ).
Заметим, что преобразование b (у — х) =—b (х — у) можно
объяснить иначе: если изменить знак у второго множителя
и перед произведением, то значение выражения не изменится.
Пример 4. Решим уравнение 2х2 + Зх = 0.
В выражении 2х2 + 3х вынесем за скобки множитель х.
Получим:
х(2х + 3) = 0.
129
Произведение х(2х + 3) равно нулю тогда и только тогда,
когда равен нулю хотя бы один из множителей, т. е. когда
х = 0 или 2х+3=0.
Решая уравнение 2х + 3 = 0, находим:
2х= -3,
х= —1,5,
Следовательно, произведение х(2х + 3) обращается в нуль
при х = 0 и при х=—1,5, т. е. уравнение 2х2 + Зх = 0 имеет
два корня: 0 и —1,5.
Запись можно вести короче:
2х2 + Зх = О,
х(2х + 3) = 0,
х = 0 или 2х+3 = 0,
х = 0 или х= — 1,5.
Ответ: Ои —1,5.
Пример 5. Докажем, что сумма З9 + З7 + З6 делится на 31.
Вынесем в выражении 39 + 37 + 36 за скобки З6:
39 + 37 + 36 = 36(33 + 3 + 1) = 36(27 + 3 + 1) = 36-31.
Мы представили сумму З9 + З7 + З6 в виде произведения
двух целых чисел, одно из которых равно 31. Значит, эта
сумма делится на 31.
702. Разложите на множители и сделайте проверку:
а) тх-\-ту, б) kx — px; в) — ab + ac;	г) —та—па.
• 703. Вынесите за скобки общий множитель:
a)	5x + 5j/;	г)	—6m —9л;	ж)	ab+a;
б)	4а —45;	д)	ах-\-ау,	з)	су— с;
в)	3c + 15d;	е)	bc—bd;	и)	—та —а.
•	704. Представьте в виде произведения:
а)	1а-\-1у,	в) 12х + 48</;	д) 12a-j-12;
б) •	— 85 +8с;	г) —9m — 27 л;	е) —10 — 10с. 705. Разложите на множители:
а)	7ах + 75х;	д) 5</2 —15</;	и) — 6а5 + 952;
б)	35^ — 65;	е) Зх + 6х2;	к) х2у—ху2;
в)	— 5тл + 5л;	ж) a2 — ab;	л) а5—а25;
г)	За + 9а5;	з) 8тл —4т2;	м) — p2q2 — pq.
130
• 706. Вынесите за скобки общий множитель:
а) а2 + а;	г) а3 — а7;	ж)	4с2 — 12с4;
б) х3 —х2;	д) 3m2 4- 9m3;	3)	5х5 — 15х3;
в) с5 + с7;	е) 9р3 —8р;	И)	—12/ — 161/.
• 707. Представьте	в виде произведения:		
а) 14х-|-211/;	д) Gab — За;	И)	7х— 14х3;
б) 15а+10Ь;	е) 4х—12х2;	к)	16/4-12/;
в) 8аЬ— бас;	ж) m4 —т2;	л)	18а53 —954;
г) Эха 4-9x5;	з) с3 4-с4;	м)	4х3/ —6х2/,
708. Найдите значение выражения:
а) 3,28х —х2 при х = 2,28;
б) а2у + а3 при а = — 1,5 и у = — 8,5;
в) ау2 — у3 при а = 8,8 и у= —1,2;
г) —mb—т2 при т = 3,48 и 5 = 96,52
709. Решите уравнение:
а) х2 + 8х = 0;	г) Зх2 —1,2х = 0;	ж) х—10х2 = 0;
б) 5х2 —х = 0;	д) 6х2 —0,5х = 0;	з) 6х — 0,2х2 = 0;
в) 6/—30у = 0;	е) 4-/ + </ = °;	и) / + -|-!/ = 0.
710. Найдите корни уравнения:	
а) 5х24-Зх = 0;	в) 6х2 —3,6х = 0;	д) 5х2 —0,8х = 0;
б) х2 —11х = 0;	г) О,3х2 —Зх = О;	е) 7х2 —0,28х = 0,
711. Докажите,	что значение выражения:
а) 165-|-164 кратно	17;	в) 365 —69 кратно 30;
б) 389 — 38® кратно	37;	г) 518 —25е кратно 120.
712. Разложите	на множители:
а) х54-х4 —х3;	в) а44-а5 — а8;
б) /-/-/;	г) — 510 — 515 — 520.
713. Докажите, что
а) 7е — 77 + 76 делится на 43; в) 274 —95 + 39 делится на 25;
б) 213 —210 —29 делится на 13; г) 164 — 2|3 — 45 делится на 11.
714.	Разложите на множители многочлен:
а)	х3 —Зх2-|-х;	г) 6х2 — 4х34~ 10х4;
б)	т2 — 2m3 — т3;	д) 15а3 — 9а2 + 6а;
в)	4а5 — 2а3 + а;	е) — 3m2 —6m3-|-12m5.
131
715.	Представьте в виде произведения:
а)	с3 —с' + 2с5;	в) 4х4 + 8х3 —2х2;
б)	5m4 — m3 + 2m2;	г) 5а — 5а2—10а4.
716.	Вынесите за скобки общий множитель:
а)	За3—15a2b + 5аЬ2;	г) 12а2Ь- 18ад2-ЗОаЬ3;
б)	20х4-25хУ- 10х3;	д) 4ах’ + 8а2х2- 12а3х;
в)	—6ат2 + 9т3 —12/п4;	е) — Зх4!/2 — бх2у2 + 9х2у\
717.	Разложите на множители многочлен:
а)	4с4 — 6х2с2 + 8с;	в) Зах — бах2 — 9а2х;
б)	10а2х—15а3—20а'х;	г) 8а45‘—12а2Ь‘ + 16а352.
718.	Укажите общий множитель для всех слагаемых суммы
и вынесите его за скобки:
а)	2а(х+у)+Ь (х + у);
б)	у (a-b)-(a-b);
в)	(с + 3) — х(с+3);
г)	9(р-1) + (р-1)2;
д)	(а + 3)2 — а(а + 3);
е)	-ЗЬ (5-2)+ 7 (Ь — 2)2.
719.	Представьте выражение в виде произведения двух
многочленов:
a)	a (b-c)-f-d (с— Ь);
б)	х (у — 5) — у (5 — у)-,
в)	За (2х —7) + 55 (7 —2х);
г)	(х-у)2 — а (у — х);
д)	3 (а —2)2 —(2 —а);
е) 2 (3-5) + 5 (й-3)2.
720.	Разложите на множители:
а)	8т (а — 3) + п (а — 3);
б)	(р2 — 5) — q (р2 — 5);
в)	х(у-9) + у(9-у);
г)	7(с + 2) + (с + 2)2;
д)	(а — Ь)2 — 3 (5 —а);
е)	— (х + 2у) — 4 (x+2i/)2.
Упражнения для повторения
721.	Велосипедист проехал путь АВ со скоростью 12 км/ч.
Возвращаясь из В в Л, он развил скорость 18 км/ч и затра-
тил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из А в В.
Сколько километров между А и В?
722.	Решите уравнение:
. Зх —5 . 8х —12 п	,, 21 — 4х 8x4-15 о
а) “г—+—— =9;	б) —---------— =2.
723.	Известно, что значение выражения а — Ь при некото-
рых значениях а и Ь равно 0,5. Чему равно при тех же а и b
значение выражения:
а)	Ь — а;	в) (а — Ь)2;	д) (а — Ь)';
б)	!	г) (Ь — а)2;	е) (Ь — а)‘?
132
724.	Запишите в виде выражения:
а)	произведение разности а и b и их суммы;
б)	сумму квадратов а и Ь;
в)	квадрат суммы а и Ь\
г)	разность квадратов b и с;
д)	куб разности b и с;
е)	сумму кубов Ь и с.
Контрольные вопросы
1.	Сформулируйте правило умножения одночлена на мно-
гочлен.
2.	Какое преобразование называют разложением многочле-
на на множители?
3.	На примере многочлена 2ху — 6х2 объясните, как выпол-
няется разложение на множители вынесением общего множи-
теля за скобки.
§ 11. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
28. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Умножим многочлен a-f-b на многочлен c + d. Составим
произведение этих многочленов:
(а + Ь) (с + d).
Обозначим двучлен а + b буквой х и преобразуем полученное
произведение по правилу умножения одночлена на мно-
гочлен:
(а + b) (с + d) = х (с + d) = хс + xd.
В выражение xc-\-xd подставим вместо х многочлен а+Ь
и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на
многочлен:
хс + xd = (а + Ь) с + (а + b) d = ас + be + ad + bd.
Итак,
(а + b) (с + d) = ас + be + ad + bd.
Произведение многочленов а + b и с + d мы представили
в виде многочлена ac-\-bc-\-ad-\-bd. Этот многочлен является
суммой всех одночленов, получающихся при умножении каж-
дого члена многочлена а + Ъ на каждый член многочлена
c + d.
Вообще, произведение любых двух многочленов можно
представить в виде многочлена.
133
При умножении многочлена на многочлен пользуются
правилом:
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый
член одного многочлена умножить на каждый член другого
многочлена и полученные произведения сложить.
Заметим, что при умножении многочлена, содержащего m
членов, на многочлен, содержащий п членов, в произведении
(до приведения подобных членов) должно получиться тп чле-
нов. Этим можно пользоваться для контроля.
Пример 1. Умножим многочлен 4x24-2xj/ — у2 на мно-
гочлен 2х — у:
(4х2 + 2ху-у2)(2х-у) =
= 8х3 + 4х2(/ — 2ху2 — 4х21/ — 2ху2 + у3 = 8х3 — 4ху2 + у3.
Пример 2. Упростим выражение
(2а— 3) (5 — а) — За (4 — а):
(2а-3)(5-а) —За(4-а)=10а —15 —2а24-3а —(12а —За2)=
= 13а —15 — 2а2 — 12а 4- За2 = а2Ц- а — 15.
Пример 3. Докажем, что при любом натуральном п зна-
чение выражения л (л— 5) — (л—14)(л + 2) кратно 7.
Выполним преобразование:
л (л— 5) —(л — 14) (л 4-2)= л2 — 5л — (л2 — 14л 4- 2л— 28) =
= л2 —5 л —л2 4- 14л —2л 4-28 = 7л 4-28 = 7(л 4-4).
При любом натуральном л произведение 7 (л 4-4) делится
на 7, а значит, делится на 7 и значение выражения
л (л —5) —(л —14) (л 4-2).
• 725. Выполните умножение:
а)	(х4-лг) (j/4-n);	в) (а — х)(Ь — у);	д) (Ь — 3)(а — 2);
б)	(а — Ь)(х + у);	г) (x4-8)(j/ —1);	е) ( — а 4- у) (— 1 -у).
• 726. Упростите выражение:
а)	(х-|-6)(х4-5);	в) (2 - у) (у - 8);	д) (2</-1) (3^4-2);
б)	(а-4)(а4-1);	г) (а — 4) (2а 4-1);	е) (5х-3) (4-Зх).
• 727. Представьте в виде многочлена выражение:
а)	(т — л)(х4-с);	в) (а4-3) (а —2);	д) (1—2а) (За4-1);
б)	(k — р)(Л — л);	г) (5 —х)(4 —х);	е) (6т — 3) (2 — 5m).
134
728. С помощью рисунка 51 разъ-
ясните геометрический смысл формулы
(а+ b) (c + d) = ac4- be + ad-|- bd для по-
ложительных а, Ь, с и d.
• 729. Запишите в виде многочлена
с d
выражение:
а)	(х2 + у) (х + у2)\ г) (5х2 — 4х)(х+1);
б)	(т2 — п) (т22п2);	д) (а —2) (4a3 —За2);
в)	(4а2 +Ь2) (За2—Ь2);	е) (7р2- 2р) (8р- 5).
• 730. Выполните умножение:
а)	(2х2 — у) (х2 + у);	в) (11у2 — 9) (Зу — 2);
б)	(7х2 +а2) (х2 —За2); г) (5а—За3) (4а-1).
731. Замените степень произведением, а затем произведение
преобразуйте в многочлен:
а) (х + 10)2; б) (1-J/)2;	в)(За-1)2; г) (5-6Ь)2.
•	732. Представьте в виде многочлена выражение:
a)	(x2 + xi/-i/2)(x + y);
б)	(п2 —пр + р2)(п —р);
в) (a + х) (а2 — ах — х2);
г)	(Ь — с) (Ь2 — Ьс — с2);
д)	(а2 —2а+ 3) (а —4);
е)	(5х —2) (х2 —х —1);
ж)	(2-2х + х2)(х + 5):
з)	(Зг/ -4) (у2- у +1).
•	733. Запишите в виде многочлена:
а)	(с2 — cd — d2)(c + d);	в) (4a2 + a + 3) (а — 1);
б)	(х — у) (х2 — ху — у2);	г) (3-х)(Зх2 + х-4).
734.	Раскройте скобки:
а)	(4п2 — 6пр + 9р2) (2п + 3р); г) (7— 2a) (4a2 + 4a+ 3);
б)	(25x2 + 10xi/-|-4i/2)(5x-2i/);	д) (x2-x + 2)(3x2 + x-2);
в)	(- 2a2 + 3a +1) (3a - 2);	е) (5-2a + a2)(4a2-3a-l).
735.	Представьте в виде многочлена:
а)	У2 (У + 5) (у - 3);	в) - ЗЬ\Ь + 2) (1 - Ь);
б)	2a2(a-l)(3-a);	г) -0,5с2 (2с-3) (4-с2).
736.	Запишите в виде многочлена выражение:
а) (х + 1)(х + 2)(х+3);	б) (а-1) (а-4) (а + 5).
737.	Упростите выражение:
а)	(35-2)(5-2Ь) + 6Ь2;
б)	(7у-4)(2у + 3)-13у;
в)	х3- (х2 — 3х)(х + 3);
г)	5Ь3 + (а2 + 5Ь)(а6-Ь2);
д)	(а— Ъ)(а + 2) — (а+Ь)(а — 2);
е)	(х + у)(х — у) — (х— 1)(х — 2).
135
• 738. Представьте в виде многочлена:
а)	(2х —</) (</ + 4х) + 2х (</ —Зх);
б)	(За — 26) (2а — ЗЬ) —6а (а — б);
в)	5а(2х-а)-(8а-х)(2х-а);
г)	2с (Ь + 15с)+ (Ь - 6с) (5с + 2Ь).
• 739. Упростите выражение:
a)	(8а-б)(а + 7б)-55аб;	в) (Зр-1)(2р + 5)-6р(р-2);
6)	{Зх+2у)(4х-у) + 2у!-,	г) (7m + 3)(2m-l)-2m(7W-i),
740.	Докажите, что при любом значении х:
а)	значение выражения (х —3) (х + 7) —(х +5) (х —1) рав.
но —16;
б)	значение выражения х4 — (х2 — 7) (х2 + 7) равно 49.
741.	Докажите, что значение выражения не зависит от пере-
менной х:
а) (х-5)(х + 8) —(х + 4)(х—1);	б) х4 — (х2 — 1)(х2 + 1).
742.	Докажите, что выражение (у — 6) (у + 8) — 2 (у — 25) при
любом значении у принимает положительное значение.
743.	Докажите, что при всех целых п значение выражения
а)	п (л — 1) — (л + 3) (л + 2) делится на 6;
б)	л (л + 2) — (л — 7) (л — 5) делится на 7.
744.	Решите уравнение:
а)	(Зх- 1) (5х + 4)- 15х2= 17;
б)	(1 — 2х) (1 — Зх) = (6х —1) х—1;
в)	12 — х (х — 3) = (6 — х) (х+ 2);
г)	(х + 4)(х + 1) = х— (х — 2)(2 — х).
745.	Найдите корень уравнения:
а)	5 + х2 = (х+1)(х + 6);
б)	2х(х-8)=(х + 1)(2х-3);
в)	(Зх-2)(х + 4)-3(х+5)(х-1) = 0;
г)	х24-х(6 —2х) = (х —1)(2 —х) —2.
746.	Докажите, что:
а)	при любом натуральном значении л значение выражения
л(л + 5) — (л — 3) (л-|-2) кратно 6;
б)	при любом натуральном значении л, большем 2, значение
выражения (л- 1) (л + 1)-(л-7) (л - 5) кратно 12.
136
TAT. Найдите три последовательных натуральных числа,
если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше
произведения двух остальных.
748.	Три последовательных нечетных числа таковы, что
если из произведения двух больших вычесть произведение
двух меньших, то получится 76. Найдите эти числа.
749.	Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его
длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то
площадь увеличится на 50 см2. Найдите длину и ширину
первоначального прямоугольника.
750.	Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон пря-
моугольника и на 2 см больше другой его стороны. Найдите
сторону квадрата, если известно, что площадь квадрата на
30 см2 меньше площади прямоугольника.
Упражнения для повторения
751.	Для выполнения планового задания к определенному
сроку бригада рабочих должна была изготовлять ежедневно
54 детали. Перевыполняя план на 6 деталей в день, бригада уже
за один день до срока не только выполнила плановое задание,
но и изготовила 18 деталей сверх плана. Сколько дней рабо-
тала бригада?
752.	Тракторная бригада должна была по плану вспахи-
вать ежедневно 112 га. Перевыполняя план на 8 га в день,
бригада уже за день до срока закончила пахоту. Сколько
гектаров нужно было вспахать бригаде?
753.	Решите уравнение:
, х — 2	2 Зх —2	2х —5 . х + 1
а) —=т—б>——1=—-
754.	Прочитайте выражение:
а) а2-\-Ь'2; б)	в) а3 — Ь3; г) (а — Ъ)3.
29. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ
Мы познакомились с разложением многочлена на мно-
жители способом вынесения общего множителя за скобки.
Иногда удается разложить многочлен на множители, исполь-
зуя другой способ — группировку его членов.
Пример 1. Разложим на множители многочлен аЬ — 25 +
+ 3а —6.
Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой
группе имели общий множитель:
ab — 2b + 3a — 6 = (ab — 25) + (За — 6).
137
В первой группе вынесем за скобки множитель Ь, а во
второй — множитель 3:
(ab — 26) + (3а — 6)=6 (а — 2)+3(а — 2).
Каждое слагаемое получившегося выражения имеет мно-
житель а —2. Вынесем этот общий множитель за скобки:
6 (а — 2)+3 (а — 2) = (а — 2) (6 + 3).
Итак, о,Ь — 26 +За— 6 = (а—2) (6 + 3).
Способ, с помощью которого мы разложили многочлен на
множители, называют способом группировки.
Разложение многочлена ab — 26 +За— 6 на множители
можно выполнить, группируя его члены иначе:
ab — 2 6 + За — 6 = (а 6 + За) + (— 2 b — 6) =
= а (6 +3) — 2 (6+ 3) =
= (6 + 3) (а-2).
Пример 2. Разложим на множители многочлен ac-[-bd—
— be —ad.
Сгруппируем первый член многочлена с третьим и второй с
четвертым. В первой группе вынесем за скобки множитель с,
а во второй — множитель —d. Получим:
ac-\-bd — be — ad = (ac— bc)-{-(bd — ad) =
= c (a— b) — d (a — b) =
=(a — b)(c — d).
Пример 3. Разложим на множители трехчлен а2 —
-7а + 12.
Представим —7а в виде —За — 4а и выполним группи-
ровку:
а2 — 7а+12 = а2 — За—4а+12 = (а2 — За) + (— 4а+12) =
=а (а —3) —4 (а —3) = (а — 3) (а —4).
• 755. Представьте в виде произведения многочленов выра-
жение:
а)	х (6 + с) + 36 + Зс;	в) р(с — d) + c — d;
б)	у (а — с) + 5а — 5с;	г) a(p — q) + q — p.
• 756. Разложите на множители многочлен:
а)	тх+ту-)-6х + 6у;	г) ax-f-ay — x — у;
б)	9х + ау + 9у + ах;	д) l-bx — x-^-b;
в)	7а — 76 + ап — Ьп;	е) ху-\-2у — 2х — 4.
138
757.	Разложите на множители многочлен:
а)	аЬ— 8а — 6х + 8х;	в) ах — у-\-х— ау;
б)	ах— Ь-{- bx — а;	г) ax-2bx-\-ay — 2by.
758.	Разложите на множители многочлен:
а)	х3 + х2 + х + 1;	д)	а2— аЬ — 8а + 8Ь;
б)	у^ — у3 — у2_|- 1;	е)	аЬ — 36+Ь2 — За;
в)	а' + 2а3 — а — 2;	ж)	Их—ху + 11у — х2;
г)	Ь6 — ЗЬ1 — 262 + 6;	з)	kn — mn — n2+mk.
759.	Представьте в виде произведения многочлен:
а)	тп — mk-\-xk— хп;	в) Зт— mk-\-3k — k2;
б)	х2 + 7х— ах — 7а;	г) xk — ху — x2-\-yk.
760.	Разложите на множители многочлен:
а)	х2 + ах — а2у — аху;	в) 5а3с + 10а2 — 6Ьс — ЗаЬс2;
б)	а2л + х2— апх — ах;	г) 21а+8х</3 — 24{/2— Таху.
761.	Найдите значение выражения:
a)	P2Q2-\-PQ — </’ — Р3 при	р = 0,5 и q=—0,5;
б)	Зх3 — 2у3 — 6х2у2 + ху при х = -|“ и У = ~Т-
762.	Чему равно значение выражения:
а)	2а-{-ас2 — а2 с — 2с при а = 1-^- и с=—1-|-;
б)	х2у — уху2 — х при х = 4 и {/ = 0,25?
763.	Вычислите:
а)	2,7 • 6,2 — 9,3 • 1,2 + 6,2 • 9,3 — 1,2 • 2,7;
б)	1,25-14,9 + 0,75-1,1 + 14,9-0,75+1,1 • 1,25.
764.	Представьте в виде произведения:
a)	ac2 — ad-\-c3 — cd—bc2-\-bd;
б)	ах2-\-ау2 — Ьх2 — by2 + b — а;
в)	ал2 + сп2 —ар + ар2 —ср + ср2;
г)	ху2 — by2 — ах + а& + {/2 — а.
765.	Разложите на множители многочлен:
а)	х2у + х + ху2 + у + 2ху-\-2;
б)	х2 — ху + х — ху2 + у3 — у2.
766.	Разложите на множители трехчлен:
а) х2 + 6х + 5;	б) х2 — х — 6.
139
Упражнения для повторения
767.	Число коров в колхозном стаде возросло на 60 голов
а в связи с улучшением кормовой базы удой молока от одной
коровы возрос в среднем с 12,8 л в день до 15 л. Сколько
коров стало в стаде, если колхоз стал ежедневно получать щ
1340 л молока больше, чем раньше?
768.	Применив передовую технологию, бригада стала произ-
водить в час на 6 изделий больше, чем намечалось по плану.
В результате уже за 6 часов работы она выполнила 120% днев-
ной (восьмичасовой) нормы. Сколько изделий в час должна
была изготовлять бригада по плану?
769.	Решите уравнение:
а) 4 — х (х + 8) = 11 — х2; б) 4х (Зх — 1) — 2х (6х + 8)=5.
30. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ,
Напомним, что равенство, верное при любых значениях пе-
ременных, называется тождеством. Чтобы доказать, что некото-
рое равенство является тождеством, или, как говорят иначе,
чтобы доказать тождество, используют тождественные преобра-
зования выражений.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Докажем тождество
ху — Зу — 5х + 16 = (х — 3) (у — 5)+ 1.
Преобразуем левую часть этого равенства:
ху — Зу — 5х+ 16=(ху — Зу)+( — 5х+ 15)+ 1 =
= У (х — 3) — 5 (х — 3) + 1 = (х — 3) (у — 5) + 1.
В результате тождественного преобразования левой части
равенства — многочлена ху — Зу — 5х + 16 мы получили его
правую часть (х — 3)[у — 5)+1 и тем самым доказали, что
данное равенство является тождеством.
Это тождество можно доказать иначе, преобразовав его пра-
вую часть:
(x-3)(y-5)+l = xj/-3y-5x+15 + l =
= ху — Зу — 5х+ 16.
Пример 2. Докажем тождество
(а-4)(а + 2) + 4 = (а + 1)(а-3)-1.
В этом случае удобно упростить левую чйсть данного
140
равенства, а затем его правую часть и сравнить полученные
результаты:
(а — 4) (а + 2) + 4 = а2 — 4а + 2а — 8 + 4 = а2 — 2а— 4,
(а +1) (а — 3) — 1 = а2 + а — За — 3 — 1 = а2 — 2а — 4.
Так как левая и правая части данного равенства равны од-
ному и тому же выражению, то они тождественно равны между
собой. Значит, исходное равенство — тождество.
Таким образом, для доказательства тождества преобразуют
его левую часть в правую или правую часть в левую или пока-
зывают, что левая и правая части исходного равенства тождест-
венно равны одному и тому же выражению.
770.	Докажите тождество:
а)	а (Ь — с)= — а (с— by,
б)	т (т — п — k)=—— ту,
в)	(х — у)(а — Ь) = (у —х)(Ь — а);
г)	(х-аЦу — b)(z — с) = — (а — х)(Ь — у)(с — г).
771.	Докажите, что
а) 2а — ЗЬ = —(ЗЬ — 2а); б) (2а — Зд)2 = (ЗЬ - 2а)2.
772.	Докажите, что равенство является тождеством:
а)	10а-(-(5а + 20)) = 5 (За + 4);
б)	— ( —7х)—( —(6 —5х)) = 2 (х + 3);
в)	12у —(25 —(бу —11))=18 (г/ —2);
г)	47—(35 —(9 —5Ь))=8 (7 —5).
773.	Докажите тождество:
а)	—х (х —а) (х+Ь)=х (а—х) (ЬЦ-х);
б)	(— а — б)(а + б) =—(а + Ь)2;
в)	36-(-(9c-15))=3(3c + 7);
г)	J/(-2-(j/-4)) = i/(2-i/).
774.	Докажите тождество:
а)	а (Ь — х) + х (а + Ь)= Ь (а + х);
б)	с (у — 2) + 2 (у + с) = у (с + 2);
в)	а (а—Ь) + 2аЬ = а (а +Ь);
г)	X (1 — х) + х (х2 —1) = х2 (х—1).
141
775.	Составьте два выражения для
вычисления площади фигуры, изобра-
женной на рисунке 52, сначала до-
строив фигуру до прямоугольника, а
затем разбив ее на два прямоугольника.
Докажите, что полученные выражения
тождественно равны.
Рис. 52
776.	Докажите тождество a (b — с) + b (с — а) = с (Ь — а).
777.	Докажите, что равенство является тождеством:
а)	(х-3)(х + 7)- 13 = (х + 8) (х-4)-2;
б)	16-(а + 3)(а+2) = 4-(6 + а)(а-1).
778.	Докажите тождество:
а)	а 4” 7а +10 = (а + 2) (a + 5):
б)	Ь2 —95 + 20 = (Ь — 4)(6 — 5);
в)	(с-8)(с + 3) = с2-5с-24;
г)	(т — 4) (т + 7) = m2 + 3m — 28.
779.	Докажите тождество:
а)	(х + 5)(х-7) = х2 —2х — 35;
б)	(а-11) (а +10) + 10 = (а-5) (а+ 4)-80.
780.	Докажите, что каждое из следующих равенств не яв-
ляется тождеством:
а)	(У~5)(у — 8) = у2 + 40;
б)	(//-1)(г/-2)(</-3) = </'-31/2 + 2|/;
в)	1=(у- 1)(у2 + 1);
г) у1-у2+1=(у2-1)2.
Упражнения для повторения
781.	Решите уравнение:
а) (5х —1) (2х+ 1)- 10х2 = 0,6; б) 18х2-(9х + 2)(2х-1)=1.
782.	При каком с:
а)	значение дроби —2— на 1 меньше значения дроби —j—,
б)	сумма дробей 5е~1 и Зс~4 равна 187
783.	Верно ли, что при любом значении х:
а) х2 + 4>0;	б) х2-4<0; в) )х-4)2>07
142
784.	Запишите в виде выражения:
а)	квадрат разности х и у,
б)	разность квадратов х и у;
в)	сумму числа 3 и произведения а и б;
г)	разность числа 7 и удвоенного произведения а и Ь.
Контрольные вопросы
1.	Сформулируйте правило умножения многочлена на мно-
гочлен.
2.	На примере многочлена аЬ — 2Ь-\-5а— 10 объясните, как
выполняется разложение многочлена на множители способом
группировки.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
К параграфу 9
785.	Найдите значение многочлена х2 — Зхг/-|—^-у2, если
а) х = 3, (/ = —2;	б) х = -1-, '/ = -§•
786.	Приведите подобные члены многочлена:
а)	6тпп — 5тп2п2 — 9тп2 — 117Пп + 10тпл2-|-5/п2п2;
б)	2a3b-ab3 — lj-ab3 — a3b — 4±-a2b-j-a2b.
787.	Приведите к стандартному виду многочлен:
a)	10abc2 + 23a2bc — abc2 — 15a2bc-f-abc2 — 2а2 be;
б)	— 3,6x2j/z + l,2xy2z — Q,5xyz2 + Зх2 yz — 4xy2z + xyz2.
788.	Найдите значение выражения -|-а2Ь—^-ай2— fl2b +
-j-2ab2—^~ab2, если:
a) a =8, b= —0,5;	6)a=—0,5, 5 = 4.
789*. Найдутся ли такие целые значения х, при которых
значение многочлена
а)	2х2 + 6х + 3 окажется четным числом;
б)	х2-|-х-|-2 окажется нечетным числом?
790.	Расположите многочлен Зах2 — 6a3x + 8a2 — х3:
а)	по возрастающим степеням переменной х;
б)	по убывающим степеням переменной а.
143
791.	Какова степень многочлена:
a)	7х31/2 — 2х5 + Зх:/3 — 4x2j/2 + 6;
б)	— тп2 + 2тп— 8 + m6— 3m’ra3 + n5;
в)	0,4а3д + Зад2 — 10 + 0,6а3д — 2ад2 — а3д;
г)	— ЗДах4 + 2,5ах + 2ах4 + 1Дах4 — 0,5ах — 2ах?
792.	Сложите многочлены:
а)	2х3 —4х2 + 7х + 1 и - х3 + 2х2 + Зх — 5;
б)	—10а2 + 6а3 + За и — ба3— 4а + 8а2;
в)	2а + д — с — d и 4а — ЗЬ — 2c-f-5d;
г)	х2 — !/2 + х — 6 и — х2 + 21/2 — у — 4.
793.	Найдите разность многочленов:
а)	6а3 + 2а2—8а —9 и 8а3 — а2 — 6а+ 1;
б)	-Зх + х3 —2х2 и 4х3 — 2х2 — 4х;
в)	4а —Зд + 2с и — 6а+4д —2с—2;
г)	а2+д2 —2ад+1 и 2а2 + д2 + 2д + 1.
794.	Представьте в виде многочлена:
а)	(— 2х2 + х+1) —(х2 —х + 7) —(4х2 + 2х +8);
б)	(За2 —а +2) + (— За2 +За — 1) — (а2—1);
в)	2а — ЗЬс — (4а 7Ь -|-с3);
г)	2ху — у2 + (у2 — ху) — (х2 + ху).
795.	Упростите выражение:
а)	(1 - х + 4х2 — 8х3) + (2х3 + х2 - 6х - 3) — (5х3 + 8х2);
б)	(0,5а -0,6д + 5,5)-(- 0,5а + 0,4д) + (1,3д — 4,5).
796.	Докажите, что выражение А+В— С тождественно
равно выражению С — В —А, если А = 2х — 1, В = Зх+1 и
С = 5х.
797.	Какой многочлен нужно вычесть из многочлена
у2 — 5г/+1, чтобы разность была тождественно равна:
а) 0; б) 5; в) у2; г) 4у2 — у+ 12
798.	Докажите, что при любом значении х разность мно-
гочленов
- 3	।	1	)	1 1	2 ।	2 I 5
-тх +тх+-
и
0,75х4 - ОД 25х3 - 2,25х2 + 0,4х - -у
принимает положительное значение.
144
799.	Докажите, что при любом значении а сумма мно-
гочленов
1,6а5 — l-i-a4 — 3,4а’ — а2 — 1 и —1-|-а5—^-а4 + 3-|-а3
3	000
принимает отрицательное значение.
800.	Запись abc означает число, в котором а сотен, Ь де-
сятков и с единиц. Это число можно представить в виде
многочлена:	7—	,
abc = 100а+ ЮЬ +с.
Например, 845 = 100 • 8+10-4 +5.
Представьте в виде многочлена число:
а) ху; б) ух; в) аОЬ; г) abed.
801.	Представьте в виде многочлена и упростите получив-
шуюся сумму или разность:
a)	adc + cba;	в) abc— Ьа;
б)	abc-\-bc;	г) abc — ас.
802*. Докажите, что:
а)	сумма чисел аб и bajcpaTHa сумме а и Ь;
б)	разность чисел аЬ и Ьа кратна 9.
803.	Решите уравнение:
а)	(4 —2х)+(5х —3) = (х —2)—(х + 3);
б)	5 —3j/—(4 —2j/) = j/ —8 —(:/ —1);
в) 7-14а+(4а-5т)=2а+4_(4+4а);
Г) — 3,6 —(1,5х+1)= — 4х —0,8 —(0,4х —2).
804.	Найдите четыре числа, пропорциональные числам 2,
4, 5 и 6, если разность между суммой двух последних и сум-
мой двух первых чисел равна 4,8.
805*. Если к задуманному числу приписать справа нуль
и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное
задуманное число. Какое число было задумано?
806*. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и
к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то
сумма будет равна 633. Найдите данное число.
807*. К данному трехзначному числу слева приписали
цифру 5 и из полученного четырехзначного числа вычли 3032.
Получилась разность, которая больше трехзначного числа в
9 раз. Найдите данное трехзначное число.
808*. Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту
цифру переставить на первое место, то число увеличится на
324. Найдите трехзначное число.
145
К параграфу 10
809.	Преобразуйте произведение в многочлен:
a)	3a5b1 (а'° —a76J —6'°);
б)	— 2х8</5 (Зх2 — 5xi/+ </2);
в)	(x4 + 7x2i/2- 5/) (- 0,2xi/2);
г)	( Ь7 - -у tfc + 4 b'c1 - 4 с5)( - 30 bc J)-
810.	Упростите выражение:
а)	5 (4х2 — 2х+1) —2 (10х2 —6х — 1);
б)	7 (2i/2 —5|/— 3) —4 (Зу2 — 9i/— 5);
в)	а (36 — 1) — Ь (а — 3) — 2 (ab — a-\-by,
г) х2 (4 — у2) + у2 (х2 — 7) — 4х (х — 3).
811.	Докажите, что при любых значениях переменной
значение выражения
а)	3 (х2 — х + 1)—0,5х (4х — 6) является положительным чис-
лом;
б)	у(2-\-у — у')—|- (6 + Зу + 1,5у2) является отрицательным
числом.
812.	Решите уравнение:
a)	5(j/+4)-3 = 4(3f/—i-) ;
б)	7 (2у —2) —2 (Зу —3,5) = 9;
в)	21,5 (4х—1) + 8 (12,5 —9х) = 82;
г)	12,5 (Зх—1)+132,4 = (2,8 —4х)-0,5;
3£±6_Тх-14_х±1 =
2	3	9
е) 1-61	2x4-19 _ 23 —2х
2	12	3
813.	В один киоск завезли кваса в 1,2 раза больше, чем
в другой. Каждый час в первом киоске продавали 90 л кваса,
а во втором 80 л. Через 2,5 ч во втором киоске осталось
на 65 л кваса меньше, чем в первом. Сколько литров кваса
завезли в каждый киоск?
814.	В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кт
меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада
расходовала 150 кг раствора, а вторая 200 кг. Через 3 ч
работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза боль-
ше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую
бригаду?
146
815.	Расстояние между пристанями М и N равно 162 км.
От пристани М отошел теплоход со скоростью 45 км/ч. Через
45 мин от пристани N навстречу ему отошел другой теплоход,
скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправ-
ления первого теплохода они встретятся?
816.	От пристани А отошел теплоход со скоростью 40 км/ч.
Через 1-1-ч вслед за ним отошел другой теплоход со ско-
ростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправ-
ления и на каком расстоянии от А второй теплоход догонит
первый?
817.	Из города А в город В одновременно отправляются два
автобуса. Скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости
другого. Через 3-1-ч один автобус пришел в В, а второй
находился от В на расстоянии, равном -1- расстояния между
О
А и В. Найдите скорости автобусов и расстояние от А до В.
818*. Из А в В одновременно выехали два мотоциклиста.
Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости друго-
го. Мотоциклист, который первым прибыл в В, сразу же
отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил че-
рез 2 ч 24 мин после выезда из А. Расстояние между А и В
равно 120 км. Найдите скорости мотоциклистов и расстояние
места встречи от В.
819.	За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 ра-
за большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера
в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?
820.	За 6 ч катер проходит по течению на 20 км меньше,
чем за 10 ч против течения. Какова скорость течения, если
скорость катера в стоячей воде 15 км/ч?
821.	Кооператив наметил изготовить партию мужских со-
рочек за 8 дней. Однако, выпуская в день на 10 сорочек боль-
ше, чем предполагалось, он выполнил план за 1 день до срока.
Сколько мужских сорочек в день должен был выпускать коо-
ператив?
822*. На элеватор поступило 1400 т пшеницы двух сор-
тов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось 2% отхо-
дов, а другого сорта 3% отходов. Чистой пшеницы полу-
чилось 1364 т. Сколько пшеницы каждого сорта поступило
на элеватор?
823.	Работая на подряде, бригада предполагала убирать
80 га пшеницы в день, чтобы закончить работу в намечен-
ный ею срок. Фактически в день она убирала на 10 га боль-
147
ше, и поэтому за 1 день до срока ей осталось убрать 30 га.
Сколько гектаров пшеницы должна была убрать бригада?
824.	Разложите на множители:
а) х40 —х20; б) у24 + /; в) а20-а,0 + а5; г) Ь60 + Ь40 -1>»,
825.	Докажите, что:
а)	7|6_|_714 делится на 50;	в) 259 + 517 делится на 30;
б)	531—529 делится на 100;	г) 2710 — 914 делится на 24;
д)	1213- 12'2 + 12'1 делится на 7 и на 19;
е)	II9 — 11е + II7 делится на 3 и на 37.
826.	Разложите на множители:
a)	(a — 36) (a-j-2b)~t-5a (а-\-2Ь);
б)	(х + 8у) (2х — 56) — 8у (2х — 56);
в)	7а2 (а — х) + (6а2 — ах) (х — а);
г)	1162 (36 — д) —(бу — 362) (1/— 36).
827.	Найдите значение выражения:
а)	5сх + с2 при	х = 0,17, с = 1,15;
б)	4а2 — аЬ при	а = 1,47, 6 = 5,78.
828.	Решите уравнение:
а)	1,2х2 + х = 0;	в) О,5х2 —х = 0;	д)	1,6х2 = 3х;
б)	1,6х + х2 = 0;	г) 5х2 = х;	е)	х = х2.
829*. Вынесите за скобки числовой множитель:
а)	(За + 6)2;	в) (7х + 7у)2;	д) (5g —30)3;
б)	(126 — 4)2;	г) (-Зр + 6)3;	е) (2а-8)4.
830*. Докажите, что значение выражения а2 — а кратно 2
при любом целом а.
831*. Докажите, что если к целому числу прибавить его
квадрат, то полученная сумма будет четным числом.
832*. Докажите, что если к двузначному числу прибавить
число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то
полученная сумма будет кратна 11. Выполняется ли анало-
гичное свойство для трехзначных чисел.
833*. Докажите, что:
а)	сумма трех последовательных степеней числа 2 делится
на 14;
б)	сумма двух последовательных степеней числа 5 делится
на 30.
148
К параграфу 11
834.	Представьте в виде трехчлена выражение:
а)	(х—2)(5 + х);	в) (10-z)(z-4);	д) (5с+2) (2с-1);
б)	(у + 7)(у-11);	г) (За+ 4) (8-д);	е) (Зл-2) (1 -4л).
835.	Упростите выражение:
а)	(х-2)(х + 3) + (х+2)(х-3); в) (а +1) (а + 2) + (а + 3) (а + 4);
б)	(у-1Ну + 2Шу + 1)(у-2)-, г) (с-1)(с-2)+(с-3)(с-4).
836. Представьте в виде
многочлена выражение:
а)	(х2 —х —4) (х —5);
б)	(2у-1) (у2 + 5у-2);
в)	(2 —За) (—а2 + 4а —8);
г)	(3 —4с) (2с2 —с—1);
д)	(х2 — х + 1)(2х2 — х + 4);
е)	( —5а2 + 2а + 3)(4а2 —2а + 1
ж)	у (у - 3) (у + 2);
з)	(с-4) (с + 2) (с + 3).
837.	Докажите, что выражение тождественно равно неко-
торому двучлену:
а)	(.х + у) (х2— ху + у2);	в) (а + б)(а3 —а2Ь + аЬ2—Ь3);
б)	(х — у) (х2 + ху + у2);	г) (а —Ь)(а3 + а2Ь + аб2 + д3).
838.	Упростите:
а)	(а2 — 7) (а+ 2) —(2а — 1) (а —14);
б)	(2 — Ь) (1 + 2Ь) + (1 + Ь) (д3 —ЗЬ);
в)	2х2-(х-2у)(2х + у);
г)	(т— 3n)(m-f-2n) — т (т — п).
839.	Докажите, что выражение (у-\-&)(у — 7) — у(у-{-1) при
любом значении у принимает отрицательные значения.
840.	Докажите, что значение выражения:
а)	(З5 —З1) (33 + 32) делится на 24;
б)	(2'° + 2е) (2s — 23) делится на 60;
в)	(163 — 83)(43 + 23) делится на 63;
г)	(1252 +252) (52— 1) делится на 39.
841.	Упростите выражение и найдите его значение при
указанных значениях переменных:
а)	126</3 + (х— 5t/) (х2 + 25г/2 + 5x1/) при х=—3, у= — 2;
б)	т3 + л3 —(лг2— 2тп — п.2)(т— п) при тл =—3, л = 4.
842.	Докажите, что значения выражения не зависят от
значения переменной:
а)	(а — 3) (а2 —8а+ 5) —(а —8) (а2 — За +5);
б)	(х2 - Зх + 2) (2х + 5) - (2х2 + 7х + 17) (х - 4).
149
843.	Докажите, что
а)	сумма пяти последовательных натуральных чисел крат-
на 5;
б)	сумма четырех последовательных нечетных чисел крат.
на 8.
844.	Найдите четыре последовательных натуральных чис-
ла, если известно, что произведение первых двух из этих
чисел на 38 меньше произведения двух следующих.
845.	Докажите, что:
а)	произведение двух средних из четырех последователь-
ных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б)	квадрат среднего из трех последовательных нечетных
чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
846.	Сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон
прямоугольника и на 5 см меньше другой. Найдите площадь
квадрата, если известно, что она на 50 см2 меньше площади
прямоугольника.
847.	Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а
ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь
которого будет больше площади прямоугольника на 40 см2.
Найдите площадь прямоугольника.
848.	Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину
увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его пло-
щадь увеличится на 30 м2. Определите площадь первона-
чального прямоугольника.
849.	Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его дли-
ну уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то
площадь прямоугольника уменьшится на 8 см2. Найдите пло-
щадь первоначального прямоугольника.
850.	Найдите значение выражения:
а)	а2 + а5— 7а — 75 при а = 6,6, 5 = 0,4;
б)	х2 — ху — 4х + 4у при х = 0,5, у = 2,5;
в)	5а2 — 5ах — 1а-\-1х при а = 4, х =—3;
г)	х5 —хс + Зс—35 при х = 2, 5 = 12,5, с = 8,3;
д)	ау — ах — 2х+2у при а= — 2, х = 9,1, у= — 6,4;
е)	Зах — 4Ьу — 4ау + ЗЬх при а = 3, 5= — 13, х= — 1, у= -2.
'851?. Разложите на множители многочлен:
а)) а3 — 2а2 + 2а — 4;
б)	х3 —12 + 6х2-2х;
в)	сА — 2с2 + с3 — 2с;
г)	-г/6-/? + / + /;
д) а25 — 52с + а2с—5с2;
е) 2х3 + ху2 — 2х2у— у3;
ж) 16а52—10с3 + 32ас2 — 552с;
з) 6а3 —21а25 4-2а 52 — 753.
150
852.	Представьте в виде произведения:
а)	та — тЬ-\-па — nb-\-pa— pb;
б)	ах—Ьх— сх-\-ау — by — су;
в)	х2-\-ах2 — у — ay-f-cx2 — су;
г)	ах2 — 2у — Ьх2 + ay + 2х2 — by.
853.	Разложите на множители многочлен:
а)	х2- 10х + 24;	в) х2 + 8х + 7;	д) х2 + х-12;
б)	х2 —13х + 40;	г) х2 + 15х + 54;	е) х2-2х —35.
854.	Докажите тождество:
а)	(х+а) (х+ Ь) = х2 + (а + b) x-\-ab;
б)	(х — а) (х — Ь) = х2 — (а + b) x-\-ab.
855.	Докажите тождество:
а)	(х« + х3) (х2 + х) = х1 (х + 1)2;
б)	(.уа + у2)(у2~у)=у3(у2 + 1)(у-1У
в)	(а2 + ab + b2) (a2 -ab-j- Ь2) = а4 + а2Ь2 + Ь4;
г)	(с4—С2+1)(с4+с2 + 1) = е8 + с4 + 1.
856*. Докажите, что если Ь + с=1О, то (10а+ Ь) (10а + с) =
= 100а (а+1) + Ьс. Воспользовавшись этой формулой, вычис-
лите:
а) 23-27; б) 42-48; в) 59-51; г) 84-86.
857*. Если а5 + с2 = 0, то (а + с) (Ь + с) + (а—с) (Ь —с) = 0.
Докажите это.
858*. Докажите, что (а + 1) (Ь + 1) — (а— 1) (Ь — 1)= 18, если
а + b = 9.
Глава V
ФОРМУЛЫ
СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
§12.	КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ
РАЗНОСТИ
§ 13.	РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА
И РАЗНОСТЬ КУБОВ
§ 14.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ
ВЫРАЖЕНИИ
§ 12.	КВАДРАТ СУММЫ И
КВАДРАТ РАЗНОСТИ
31. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И
РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ
При умножении многочлена на многочлен каждый
член одного многочлена умножают на каждый член другого.
Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно
выполнить короче, воспользовавшись формулами, сокращен-
ного умножения.
Возведем в квадрат сумму а -|- Ь. Для этого представим
выражение (а + Ь)2 в виде произведения (a + b)(a-j-b) и выпол-
ним умножение:
(a-\-b)2=(a-\-b)(a-\-b) = a2-i~ab-\-ab-\-b2=a2-\-2ab-{-b2.
Значит,
(а 4- b)2 = а2 + 2ab + b2.	(1)
Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта
формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат
суммы любых двух выражений:
квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого
выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго
выражений, плюс квадрат второго выражения.
Возведем теперь в квадрат разность а — Ь, получим:
(a — b)2 = (а — b) (а — b) = a2 — ab — ab b2 = а2 — 2аЬ + Ь2.
152
Значит,
(a — b)2 = a2 — 2ab-j-b2.	(2)
Тождество (2) называют формулой, квадрата разности. Оно
позволяет возводить в квадрат разность любых выражений:
квадрат разности двух выражений равен квадрату первого
выражения, минус удвоенное произведение первого и второго
выражений, плюс квадрат второго выражения.
Заметим, что тождество (2) можно получить из тождества
(1), если представить разность а—b в виде суммы а + (—Ь):
(а — 5)2 = (а + ( — Ь))2 = а2 + 2а ( — Ь) + ( — b)2 = a2 — 2ab-f- b2.
Приведем примеры применения формул квадрата суммы и
квадрата разности.
Пример 1. Возведем в квадрат сумму 8х + 3.
По формуле квадрата суммы получим:
(8х + З)2 = (8х)2 + 2 • 8х  3 + З2 = 64х2 + 48х + 9.
Пример 2. Возведем в квадрат разность 10х — Чу.
Воспользовавшись тождеством (2), получим:
(10х —71/)2 = (10х)2 —2-10x-7i/ + (7i/)2 = 100x2 —14Oxj/ + 49i/2.
Пример 3. Представим в виде многочлена выражение
( —5а —4)2.
Выражение (— 5а—4)2 тождественно равно выражению
(5а + 4)2. Действительно, при любом а значениями выражений
— 5а — 4 и 5а+ 4 являются противоположные числа, а квад-
раты противоположных чисел равны. Получаем:
(— 5а — 4)2 = (5а + 4)2 = 25а2 + 40а + 16.
Пример 4. Упростим выражение 2х (3 + 8х) — (4х —0,5)2:
2х(3 + 8х)-(4х-0,5)2 = 6х+16х2 —(16х2-4х + 0,25) =
= 6х + 16х2 - 16х2 + 4х - 0,25 = 10х - 0,25.
ЕВКЛИД (III в. до н. э.) —
древнегреческий математик, автор знаменитого
трактата «Начала», посвященного элементарной
геометрии, теории чисел. Оказал огромное влия-
ние на развитие математики.
153
• 859. Представьте в виде многочлена:
а)	(х + </)2; в) (д + З)2; д) (у - 9)2; ж) (а+12)2; и) (д-0,5)2;
6)	(р-д)2; г) (10-с)2; е) (9-у)2; з) (15 —х)2; к) (0,3-т)2.
• 860. Преобразуйте в многочлен:
а)	(т + п)2-,	в) (х + 9)2;	д) (а —25)2;	ж) (0,2-х)2'
б)	(с — d)2;	г) (8 —а)2;	е) (40 +d)2;	3) (*4-O,5)2.’
861. С помощью рисунков 53 и 54 разъясните:
а)	геометрический смысл формулы (а + д)2 = а2 + 2ад + д2 для
положительных а и Ь; б) геометрический смысл формулы
(а — д)2 = а2 — 2ад + д2 для положительных а и д, удовлетво-
ряющих условию а > д.
• 862. Преобразуйте выражение:
а) (2х + 3)2; в) (10 + 8/г)2; Д) (5а + -|-д)2;	ж) (О,3х-О,5а)2;
б) (7г/ —6)2; г) (5у — 4х)2; е) —	з) (Юс + ОДу)2.
• 863. Преобразуйте в многочлен:
а) (7-8д)2;	в) (-1-х —Зг/)2;	д) Г0,1пг + 5п)2;
б) (0,6 + 2х)2;	г) (4а + -1-д)2;	е) (12а-0,3с)2.
864. Преобразуйте в многочлен:
а) ( — х + 5)2; б) ( — z — 2)2; в) ( —п + 4)2; г) ( — т —10)2.
865. Из выражений (у — х)2, (у-\-х)2, ( —</ + х)2, ( —х + у)2,
(— х—у)2 выберите те, которые тождественно равны выра-
жению:
а) (х + у)2; б) (х — у)2.
866. Докажите тождество:
а) (а—д)2 = (д —а)2;	б) (— а — Ь)2 = (а + д)2.
154
867. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена:
а) ( — 9а + 4Ь)2;	в) (-0,8х-0,5Ь)2;	д) (0,08а - 50b)2;
б)	(-11Х-71/)2;	г) (-lJ_p + 69)2;	е) (-0,5х-60у)2.
868. Преобразуйте в многочлен:
а)	(-За + ЮЬ)2;	в) (8х-0,3г/)2;	д) ( —0,2р-10g)2;
б)	( —6гп-п)2;	г) (баН-Аб)2;	е) (0,8х —0,1у)2.
869.	Используя формулу квадрата суммы или формулу
квадрата разности, вычислите:
а) (100+I)2;	в) 612;	д) 9992;	ж) 9,92;
б) (100 — I)2;	Г) 1992;	е) 7022;	з) 10,22.
870.	При вычислении квадратов чисел, близких к единице,
вместо формулы (1 + а)2 = 1 + 2а + а2 часто используется
приближенная формула (1 + а)2»1+2а. Какова абсолютная
погрешность приближения, найденного по этой формуле?
С помощью формулы (1 + а)2?а1 + 2а найдите приближен-
ное значение данного выражения и, используя калькулятор,
вычислите абсолютную и относительную погрешности при-
ближения:
а) (1 + 0.01)2;	в) 1,052;	д) 0,972;
б) (1—0,02)2;	г) 1,0052;	е) 0.9992.
871.	Выполните возведение в квадрат:
а)	(х2 —5)2; в) (2а+ Ь4)2;	д) (5у3-2х2)2;
б)	(7 —у3)2; Г) ( —Зр + g3)2; е) щ4 + 9п2)2.
872.	Преобразуйте в многочлен:
а)	(а2 —За)2;	г)	(4у3-0,5у2)2;	ж)	(ЗаЬ—|-а2)2;
б)	(Ахз + 6ху.	д) (1_1_а5 + 8а2у.	з)	(12с4 + ^_абсу.
в)	(с2-0,7с3)2;	е) (0,66 - 60b2)2;	и)	(0,2ху+ 0,5х2у2)2.
873.	Представьте в виде многочлена:
а)	(а2 —2Ь)2;	в) (7а6+12а)2;	д)	(Зу+8у5)2;
б)	(х3 + Зу4)2;	г) (15х —х3)2;	е)	(4а3-11а2)2.
155
874.	Замените + одночленом так, чтобы получившееся
равенство было тождеством:
а)	(* + 2b)2 = a2 + 4ab + 4b2;
б)	(Зх + 4<)2 = 9x2 + 6ax + a2;
в)	(4= — 2т)2 = 100 — 40т + 4лг2;
г)	(* — 9с)2 = 36a4 — 108а2с + 81с2;
д)	(15у + * )2 = 225g2 + 12x3g + 0,16х6;
е)	(За + 2,5b)2 = 9a2 + 6,25b2 + *.
• 875. Упростите выражение:
а)	(12a —I)2 —1;	в) 121 —(11 —9х)2; д) b2 + 49-(b-7)2-
б)	(2a + 6b)2 —24ab; г) a2b2 — (ab — 7)2; е) a4 — 81 — (a2 + 9)!.
• 876. Представьте в виде многочлена:
а)	18a + (a —9)2;	в) 4х2 —(2х —З)2;
б)	(5х —I)2 —25х2;	г) (a+2b)2 — 4b2.
• 877. Упростите выражение:
а)	(х-3)2 + х (х + 9);
б)	(2a+ 5)2-5 (4a+ 5);
в)	9b(b —1) — (ЗЬ + 2)2;
г)	(b-4)2 + (b-l)(2-b);
д)	(а + 3) (5 — а) — (а — I)2;
е)	(5 + 2g) (g — 3) —(5 — 2g)2.
878. Упростите выражение и найдите его значение:
а)	(х —10)2 — х (х + 80) при х = 0,97;
б)	(2х + 9)2 —х (4х + 31) при х=—16,2;
в)	(2х4-0,5)2 — (2х — 0,5)2 при х= —3,5;
г)	(0,1х — 8)24-(0,1х4~В)2 при х=—10.
879. Решите уравнение:
а)	(х — 6)2-х (х4-8) = 2;
б)	9х(х + 6)-(Зх + 1)2 = 1;
в)	g (g—1)—(g —5)2 = 2;
г)	1бу (2 — g) + (4g — 5)2 = 0.
880. Найдите корень уравнения:
а)	(х —5)2 —х2 = 3;
б)	(2g + I)2- 4g2 = 5;
в)	9х2 — 1-(Зх-2)2 = 0;
г) х4-(5х4-2)2 = 25 (14-х2).
• 881. Представьте в виде многочлена выражение:
а)	7 (4a-I)2;
б)	— 3(5g —х)2;
в)	-10(±Ь + 2)2;
г)	3(а — 1)24-8а;
д)	9с2-4 + 6 (с-2)2;
е)	10 ab - 4 (2а — Ь)2 + 6Ь2.
156
• 882. Преобразуйте в многочлен выражение:
а)	5(За + 7)2;	в) - 3 (2 - х)2- 10х;
б)	— 6(4 —Ь)2;	г) 12а2-4(1-2а)2+ 8.
883.	Представьте в виде многочлена:
а)	а(а + 9Ь)2;	в) (а + 2)(а-1)2;
б)	6х(х2 + 5х)2;	г) (х —4) (х 4-2)2.
884.	Докажите тождество:
а)	(а+Ь)2+ (а — Ь)2 = 2 (а2 +д2);	в) а2 4- Ъ2 = {а + Ь)2— 2аЬ;
б)	(а + Ы2 —(а —6)2 = 4аЬ;	г) (а + b)2 — 2Ь (а + Ь) = а2 — Ь2.
885.	Выведите формулу куба суммы
(а + Ь)3 = а3 + За2д + Зад2 + Ь3.
Пользуясь доказанным тождеством, преобразуйте в мно-
гочлен выражение: а) (2х + у)3; б) (а + ЗЬ)3.
886.	Выведите формулу куба разности
(а — Ь)3 = а3 — За2Ь + ЗаЬ2 — Ь3.
887.	При каком значении х:
а)	квадрат двучлена х+1 на 120 больше квадрата двучлена
х —3;
б)	квадрат двучлена 2х-|-10 в 4 раза больше квадрата дву-
члена х — 5?
Упражнения для повторения
888.	Прочитайте выражение:
а) (За)2 + (56)2; б) (За + 5Ь)2; в) (За —5Ь)2; г) (За)2—(5Ь)2.
889.	Запишите в виде выражения:
а)	разность квадратов 2т и 7л;
б)	квадрат разности х и Зу,
в)	утроенное произведение 6а и Ь2;
г)	произведение суммы а и b и их разности.
890.	Разложите на множители многочлен а5 + 2а 4~ а4 4-2.
891.	Представьте в виде многочлена:
а) (2а2 —аб) (а-|-4Ь2);	б) (х4- Зу) (х — Зу).
892.	Из пунктов А и В, расстояние между которыми
1020 км, отправились одновременно навстречу друг другу
два поезда, причем скорость одного на 10 км/ч больше ско-
рости другого. Через 5 ч поезда, еще не встретившись, на-
ходились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите ско-
рости поездов.
157
32. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
КВАДРАТА СУММЫ И КВАДРАТА РАЗНОСТИ
Формулы квадрата суммы и квадрата разности находят
применение не только для возведения в квадрат суммы и раз.
ности, но и для разложения на множители выражений видя
a2 + 2ab + b2 и а2 — 2аЬ-\-Ь2.
Действительно, поменяв местами в этих формулах левую
и правую части, получим:
a2 + 2ab~t~ b2 = (a + Ь)2;
а2 — 2аЬ + Ь2 = (а — Ь)2.
Пример 1. Разложим на множители трехчлен
9х2 + 30х + 25.
Первое слагаемое представляет собой квадрат выраже-
ния Зх, третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое
равно удвоенному произведению Зх и 5, то этот трехчлен
можно представить в виде квадрата суммы Зх и 5:
9х2 + ЗОх + 25 = (Зх)2 + 2-Зх-5 + 52 = (Зх + 5)2.
Пример 2. Разложим на множители многочлен
а2- 20а b2 +100b4:
а2 - 20ab2 + 100b4 = а2 — 2 • а  10 b2 + (10 b2)2 = (а — 10b2)2.
• 893. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:
а)	х2-\-2xy + у2;	в) а2+12а + 36;	д) 1—2z + z2;
б)	р2 —2pg + g2;	г) 64 + 16b + b2;	е) л2 + 4п + 4.
894.	Представьте в виде квадрата двучлена:
а) 4х2 + 12х + 9;	г)	-^-лг2 + 4л2— 2w
б)	25b2 + 10b+ 1;	д)	10ху	+ 0,25х2 +
в)	9х2 —24х</ + 16</2;	е)	9а2 — ab+-^- Ь2.
г) тп2 + 4л2 — 2тп-,
д) 10ху + 0,25х2+ ЮОу2;
е) 9а2 — ab+-l- Ь2.
895.	Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:
a) 81a2-18ab + b2;	г) 100x2+(/2 + 20xi/;
б)	1+у2'— 2у;	д) Ь2 + 4а2 —4аЬ;
в)	8аЬ-|-Ь2 + 16а2;	е) 28xi/ + 49x2 + 4y2.
158
г)	100х2+(/2 + 20х1/;
д)	Ь2 + 4а2 —4аЬ;
е)	28xi/ + 49x2 + 4j/2.
896.	Поставьте вместо знака такой одночлен, чтобы
трехчлен можно было представить в виде квадрата двучле-
на:
а)*+56а + 49;	в) 25а2 + * +2_ ь2-,
б) 36-12х+*;	г) 0,0162+*+Ю0с2.
897.	Впишите вместо знака >(< недостающие одночлены так,
чтобы получилось тождество:
а) (* +2а)2= * +12аЬ+ *; б) (Зх+* )2 = * + * + 49у2.
898.	Замените звездочку таким одночленом, чтобы получен-
ное выражение можно было представить в виде квадрата
двучлена:
а)	Ъ2 + 206+*;	в) 16х2 + 24ху+*;
б)	*+146 + 49;	г) * — 42pq + 49<72.
899.	Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена или
в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
а) — 1 + 4а —4а2;	г) — 44ах +121а2+ 4х2;
б)	— 42а + 9а2+ 49;	д) 4cd —25с2 — 0,16d2;
в)	24а6 — 16а2 — 962;	е) — 0,49х2 — l,4xi/ — у2.
900.	Найдите значение выражения:
а)	у2 — 2у-\-1 при р = 101; —11; 0,6;
б)	4х2 —20х + 25 при х = 12,5; 0; —2;
в)	25а2 + 49 + 70а при а = 0,4; —2; —1,6;
г)	—606 —1OO62 —9 при 6 = 1,7; —1,1; 0,3.
901.	Верно ли, что при любых значениях х
а) х2 + 10>0;	б) х2 + 20х+100>0?
902.	Сравните с нулем значение выражения:
а) х2 —ЗОх + 225;	б) — х2 + 2ху — у2.
903.	Поставьте вместо ... какой-либо из знаков + или +
так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом
значении х:
а)	х2- 16х + 64...О;	в) -х2-4х-4...0;
б)	64 + 8х + х2...0;	г) —х2 + 18х —81...0.
159
904. Представьте если это возможно:	выражение в виде квадрата двучлена
a)	-i-x2 + 3x + 9; б)	25a2-30ab + 9b2; в)	р2 —2р + 4;	д)	100b2 + 9с2- 60Ьс; е)	49х2+12xj/ + 64i/2; ж)	81j/2 — 16z2 — 72j/z;
г)-р + ^+^2;	3) ±a2-ab + 4b2.
905. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:
а)	х4 — 8х2</2 + 16/; б)	i-x4 + 2x2a+16a2; в)	-j-a2 + 2ab2 + 4b4;	г)	a2x2 —2abx+b2; д)	9y2 + c2d2 + 8cdy, e)	^a6b2-a4b4+^a2b6. 40	JO
906. Представьте а) 4a6 — 4a3b2+ b4; б) b8 —a2b4-|—^-a4;	в виде квадрата двучлена выражение: в) О,О1х4 + </2 —о,2х2^; г) 9xe + 4i/2 —12х4у.
Упражнения для повторения
907.	Прочитайте выражение:
а) (a —10b)2; б) a2-(10b)2; в) (а + 10b) (a-10b).
908.	Запишите в виде выражения:
а)	квадрат суммы За и -^-Ь;
б)	сумму квадратов 0,5m и 5,3га;
в)	произведение 0,6х2 и 9у2;
г)	произведение суммы выражений 8х и 4у и разности этих
же выражений.
909.	Представьте в виде многочлена:
а) (х2 + 4ху — у2)(2у — х); б) (3 —а) (а3 —4а2 —5а).
910.	Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
а) 4х4; б) 0,25а4; в) 36m0; г) а2Ь4; д) 9а4Ь2; е) 0,16х’/.
911.	Разложите на множители:
a) m3 + m2-m-l;	б) 7a3 + a2b — 28а — 4Ь.
160
Контрольные вопросы
1.	Напишите формулу квадрата суммы. Проведите дока-
зательство.
2.	Напишите формулу квадрата разности. Проведите до-
казательство.
3.	Приведите пример трехчлена, который можно пред-
ставить в виде: а) квадрата суммы; б) квадрата разности.
§ 13. РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ.
СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ
33. УМНОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ НА ИХ СУММУ
Рассмотрим еще одну формулу сокращенного умножения.
Умножим разность а — Ь на сумму а 4-5:
(а — Ь) (а4- Ь) = а2 4-аЬ — аЬ — Ь2 = а2 — Ь2.
Значит,
(а — Ь) (аЬ) = а2—Ь2.	(1)
Тождество (1) позволяет сокращенно выполнять умноже-
ние разности любых двух выражений на их сумму:
произведение разности двух выражений и их суммы равно
разности квадратов этих выражений.
Приведем примеры применения формулы (1).
Пример 1. Умножим разность Зх — 7 у на сумму 3x4- 7 у.
Воспользовавшись тождеством (1), получим:
(Зх - 7 у) (Зх + 7 у) = (Зх)2 - (7у)2 = 9х2 - 49i/2.
Пример 2. Представим в виде многочлена произведе-
ние (5а2 — Ь3) (5а2 + Ь3).
Применив тождество (1), получим:
(5а2 - Ь3) (5а2 + Ь3) = (5а2)2 - (Ь3)2 = 25а4 - Ь6.
Пример 3. Представим в виде многочлена произведение
(— 2а — 9с) (2а — 9с).
Вынесем в выражении —2а — 9с за скобки —1, тогда
(- 2а -9с) (2а -9с) = (- 1) (2а + 9с) (2а -9с) =
= — ((2а)2 — (9с)2)= - (4а2 - 81с2) = -4а2 4-81с2.
Преобразование можно выполнить иначе:
(— 9с — 2а) (— 9с4- 2а) = ( — 9с)2 — (2а)2 = 81с2 — 4а2.
161
Пример 4. Упростим выражение
6,5х2 —(2х + 0,8) (2х —0,8):
6,5х2 — (2х + 0,8) (2х — 0,8) = 6,5х2 — (4х2 — 0,64) =
= 6,5х2 - 4х2 + 0,64 = 2,5х2 + 0,64.
• 912. Выполните умножение многочленов:
а)	(х — уЦх + у);	д)	(х + 3)(х —3);	и)	(n — 3m) (Зт +л);
б)	(р + д)(Р-Ч)‘>	е)	(1— с)(Ц-с);	к)	(2а —ЗЬ) (35 +2а);
в)	(Ь — а)(Ь+а);	ж)	(2х—1) (2х+1);	л)	(8c + 9d) (9d-8c);
г)	(р —5)(р + 5);	з)	(7 + 3g) (Зу — 7);	м)	(10х — 7у) (10x+7i/).
• 913. Выполните умножение:
а)	(у — 4)(д + 4);	г)	(7х 2) (7х—|—2);
б)	(р — 7)(7+р);	д)	(8Ь + 5а)(5а-8Ь);
в)	(4 + 5g) (5g —4);	е)	(10х — 6с) (10х + 6с).
914. С помощью рисунка 55 разъ-
ясните геометрический смысл форму-
лы (а— Ь) (а + Ь) = а2 — Ь2 для поло-
жительных а и Ь, удовлетворяющих
условию а > Ь.
915. Представьте в виде много-
члена произведение:
а) (х2 — 5) (х2 + 5);
б) (4 + g2)(g2 — 4);
в) (9а - Ь2) (Ь2 + 9а);	ж) fc4 + d2) (d2 —с4);
г)	(0,7x + g2) (0,7х —д2);	э) (5х2 + 2а3) (5х2-2а3)-
д)	(Юр2 —0,3g2) (Юр2 + 0,3g2); и) (1,4с -0,7g3) (0,7^+1,4с);
е)	(а3 —Ь2) (а3 +Ь2);	к) (1,3а5 — 0,1Ь4) (1,3а5 + 0,1Ь4).
916.	Впишите вместо знака какой-нибудь одночлен так,
чтобы получилось тождество:
а)	(2а+ *)(2а — *) = 4а2 — Ь2;
б)	(>|с — Зх)(* +3х)=16д2 — 9х2;
в)	(5х+ *)(5х— *) = 25х2 — 0,16g4;
г)	100m4—4n6 = (10m2—) (^; + 10m2);
д)	(*-54)(Ь4+*)=121а10 —Ь“;
е)	m4-225cl0 = (m2->|<:)(*+m2).
162
917.	Представьте в виде многочлена:
а)	(Зх2 —1) (Зх2 +1);	г) (0,4у3 + 5а2) (5а2 —0,4у3);
б)	(5а —Ь3) (Ь3 + 5а);	д) (1,2с2 - 7а2) (1,2с2 + 7а2);
в)	(4^3+тл3)(тт3-тга3): е> (тх+у5)(у-44
918. Выполните вычисления:
а)	(100—1) (100+1);	в) 201-199;	д) 1002-998;
б)	(80 + 3)(80 —3);	г) 74-66;	е) 1,05-0,95.
919.	Найдите значение произведения:
а)	52-48;	в) 6,01-5,99;	д) 17,3-16,7;
б)	37-43;	г) 2,03-1,97;	е) 29,8-30,2.
920.	Представьте выражение в виде многочлена, используя
соответствующую формулу сокращенного умножения:
а)	(- У + х) (х + у);	г)	(х + у)(-х-у);
б)	( — а + 6)(Ь — а);	д)	(х —у)(у-х);
в)	( — Ь — с)(Ь — с);	е)	(— а — Ъ) ( — а — Ь).
921.	Представьте в виде многочлена:
а)	(-3ху + а)(3ху + а);	в)	(12а3-7х)(-12а3-7х);
б)	(-1 — 2а2д) (1 — 2а2Ь);	г)	(_Юр4 4.9) (9_ Юр4).
922.	Выполните умножение:
a)	(-m2 + 8)(m2 + 8);	в) (6п2 + 1)(-6п2 + 1);
б)	(бу - у2) (у2 + бу);	г) (— 7аЬ — 0,2) (0,2 - 7аб).
• 923. Представьте в виде многочлена:
а)	2(х — 3)(х+3);	г)	— За (а+ 5) (5 —а);
б)	у (у + 4) (у — 4);	д)	(0,5х - 7) (7 + 0,5х) (- 4х);
в)	5х (х + 2) (х-2);	е)	-5у (-3у-4)(3у —4).
924. Представьте выражение в виде многочлена:
а)	(5 + а) (Ь — а)2;
б)	(х + у)2(у-х).
925. Выполните умножение:
а)	(6 —2) (5 + 2) (Ь2 + 4);
б)	(3-у)(3 + у)(9 + у2);
в)	(а2 + 1) (а +1) (а — 1);
г)	(с4 + 1)(с2 + 1)(с2 —1);
д)	(х- З)2 (х + З)2;
е)	(у + 4)2(у-4)2;
ж)	(а —5)2 (5 + а)2;
з)	(с + 4)2(4 —с)2.
163
926. Упростите выражение:
а) (0,8х + 15)(0,8х —15) + 0,36х2;
б)	562 + (3 —26) (3 + 26);
в)	2х2 - (х+1) (х -1);
г)	(За- 1) (За + 1)- 17а2;
Д) 100х2 - (5х - 4) (4 + 5х);
е) 22с2 + (- Зс — 7) (Зе—7).
927. Упростите:
а)	(х — у) (х + у) (х2 + у2);
б)	(2а + 6) (4а2 + 62) (2а- 6);
в)	(с3 + 6)(с3 —6)(с6+62);
г) (3m —2) (3m+ 2)4-4;
д) 25а2 —(7 + 5л) (7 —5л);
е) 6х2 —(х — 0,5) (х +0,5).
928. Докажите, что квадрат любого целого числа на еди-
ницу больше произведения предыдущего и последующего це-
лых чисел.
• 929. Упростите выражение:
а)	(х — 2)(х + 2) — х(х + 5);	в) (4х — а) (4х + а) + 2х(х—а);
б)	т (т — 4) + (3 — m)(3 + m);	г) 2а(а-\-Ь) — (2a-f-b)(2a — b).
930.	Представьте в виде многочлена:
а)	(5а — Зс) (5а + 3с) — (7с — а) (7с + а);
б)	(46 + 10с) (Юс - 46) + ( - 5с + 26) (5с + 26);
в)	(Зх — 4</)2 — (Зх — 4у) (Зх + 4у);
г)	(2а + 66)(66-2а)-(2а + 66)2.
931.	Упростите выражение:
а)	5а (а —8) —3 (а+ 2) (а —2);
б)	(1 —46) (46+1) + 66 (6 — 2);
в)	(8р —?)(<? +8p) — (p+<j)(p — g);
г)	(2х- 7у) (2х + 7 у) + (2х - 7у) (7у - 2х).
932.	Решите уравнение:
a)	8m (1 + 2m) — (4m + 3) (4m — 3) = 2m;
6)	x — Зх (1 — 12x)= 11 — (5 — 6x) (6x + 5).
933.	Найдите корень уравнения:
a)	(6x— 1) (6x+1) — 4x (9x + 2)= — 1;
6)	(8-9a)a=-40 + (6-3a)(6 + 3a).
Упражнения для повторения
934.	Представьте выражение в виде квадрата двучлена:
а) 1 — 4x(/ + 4x2i/2;	б) -^-a262 + a6 + 1.
935.	Докажите тождество:
а) (a +6)2 —4a6 = (a — 6)2;	б) (а—6)2 + 4а6 = (а +6)2.
164
936.	Разложите на множители:
а)	2абс2 —Зад2с + 4а2бс;	в) — 15ат3л' — 20ат*п6;
б)	12а2х</3 — баху5-,	г) — 2ЪЪ*съу + 16Ь5с61Д
937.	Решите уравнение:
а)	2х-^=^-6;	г) 6 = ^1.2,4;
б)	1+^ = х-^±1; д) 0,69 = -Ц^. 13,8;
о	о	В
В) ^+</=f+3;	е) 0,5.±±^=х-10.
938.	Со станций М и N, расстояние между которыми 380 км,
одновременно навстречу друг другу вышли два поезда.
Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше
скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления
расстояние между поездами составляло 30 км. Найдите ско-
рости поездов.
34. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Поменяем местами в тождестве (а — Ь) (а + д) = а2— Ь2 пра-
вую и левую части. Получим:
а2 — Ь2 = (а — Ь) (а -|- Ь).
Это тождество называют формулой разности квадратов.
Ее применяют для разложения на множители разности квад-
ратов любых двух выражений:
разность квадратов двух выражений равна произведению
разности этих выражений и их суммы.
Приведем примеры применения формулы разности квад-
ратов.
Пример 1. Разложим на множители выражение 36 —а2.
Так как 36 = 62, то
36 — а2 = 62 — а2 = (6 — а) (6 + а).
Пример 2. Представим в виде произведения двучлен
49х2 — 16 г/6.
Данный двучлен можно представить в виде разности квад-
ратов. Получим:
49х2 — 16</6 = (7х)2 —(4i/3)2 = (7х —4j/3) (7х+41/3).
165
•	939. Представьте многочлен в виде произведения разности	
и	суммы:	
а)	х2 — у2;	г) т2 — 1;	ж) р2 — 400;	к) ft2-4;
б)	с2 — г2\	д) 16— Ь2;	з) у2 — 0,09;	л) п-л ;
в)	о2 — 25;	е) 100 — х2; и) 1,44—а2;	. 25	2 м) 45-Р.
•	940. Разложите на множители;	
а)	25х2 — у2;	д) 9m2 —16л2;	и) 9 — Ь2с2;
б)	— т2 + 16л2;	е) 64р2 —81g2;	к) 4а2Ь2— 1;
в)	36а2-49;	ж) - 49а2 + 16ft2;	л) р2 — а2Ь2;
г)	64 —25х2;	з) 0,01л2 —4т2;	м) 16c2d2 —9а2.
•	941. Представьте в виде произведения:	
а)	х2 —64;	г) - 8Ц-25у2;	ж) х2у2 — 0,25;
б)	0,16 —с2;	д) 144ft2 —с2;	з) c2d2—a2;
в)	121-т2;	е) 16х2-49</2;	и) агх2 — 4у2.
	942. Вычислите:	
а)	472 —372;	в) 1262 — 742;	д) 0.8492- O.1512;
б)	532 — 632;	г) 21,32 —21,22;	<» ИЧч)-
	943. Найдите значение дроби:	
	36	.	792 — 652 .	532 —27'	. 532 — 32!
	132—II2 ’	'	420	792-51' ’	Г) 612 —442 •
	944. Найдите значение выражения:	
а)	412-312; в) 2562—1562;	4 2в2-	122 .	632 —272
б) '	762 —242; г) 0,7832 — 0,2172;	д)	162 ’ С> 832 —79' •
945. Разложите на множители:
а) х4 —9;	г) у2-р'\	ж) ft'-j/10;	к) се— d";
б) 25-л6;	Д) с6 —d6;	з) т8 —л6;	л) а1 —16;
в) т8 —а2;	е) х6 —а1;	и) а1 — ft1;	м) 81 —ft1.
946. Решите	уравнение:		
а) х2 —16 = 0;	г) а2 —0,25 = 0;	ж)		4х2 —9 = 0;
б) у2-81 =0;	Д) ft2 + 36	= 0;	з)	25х2 —16=0;
в) т-^2 = 0;	е) х2-1 =	0;	и)	81х2 + 4 = 0.
166
947.	Решите уравнение:
а)	т2 — 25 = 0;	в) Эх2 —4 = 0;
б)	х2 —36 = 0;	г) 16х2 —49 = 0.
948.	Представьте в виде произведения:
а)	с6 —Эх1;	г) а'Ь2 — 1; ж) 16т2у2 — 9п4;
б)	100г/2 — а8;	д)	0,36 —х’р4;	з) 9х6у4 — 100z2;
в)	4х' — 25b2;	е)	4а2 —Ь6с2;	и) 0,81р6гл4 — 0,01х2.
949.	Разложите на множители:
а)	64 — у4;	г)	25т6 — п2;	ж) 64 —а4Ь';
б)	х2 —с6;	д)	1—49р'°;	з) 16Ь2с'2-0,25;
в)	а' — Ь8;	е)	4у6 — 9а4;	и) 81х6;/2 —0,36а2.
950.	Представьте выражение в виде произведения:
а)	(х + 3)2 —1;	в)	(4а — З)2 — 16;	д) (5у — 6)2 — 81;
б)	64-(Ь + 1)2;	г)	25-(а + 7)2;	е) 1 -(2х-1)2.
951.	Разложите на множители:
а)	9у2 — (1 + 2р)2;	в)	49х2 —(</ + 8х)2;	д) ( — 2а2 + ЗЬ)2 — 4а4;
б)	(Зс — 5)2 — 16с2;	г)	(5а —ЗЬ)2 —25а2; е) Ь6 — (х — 4Ь3)2.
952.	Представьте в виде произведения:
а)	(2Ь —5)2 —36;	в)	(4- 11m)2- 1;	д) (5с-3d)2-9d2;
б)	9 — (74-За)2;	г)	р2 — (2р+1)2;	е) а4 —(9Ь+а2)2.
953.	Представьте в виде произведения:
а)	(2х + р)2 — (х — 2у)2;	в) (т + л)2 — (т — п)2;
б)	(а + Ь)2 — (Ь + с)2;	г) (4с — х)2 — (2с + 3х)2.
954.	Докажите, что при любом натуральном п значение
выражения (4л+ 5)2 — 9 делится на 4.
955.	Докажите, что при любом натуральном п значение
выражения (п + 7)2 — л2 делится на 7.
956.	На сторонах прямоугольни-
ка построены квадраты (рис. 56).
Площадь одного квадрата на 95 см2
больше площади другого. Найдите
периметр прямоугольника, если из-
вестно, что длина прямоугольника на
5 см больше его ширины.
167
Упражнения для повторения
957.	Представьте в виде куба одночлена выражение:
a) 27aJ;	в) 86е;	д) -27а3х6;
б)	— 8m1;	г) — 64р6;	е) 64а6х9.
958.	Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или
выражения, противоположного квадрату двучлена:
а)	0,25х2 —О,6хр + О,36у2;	в) a1 + а3 +а2;
б)	— а2 + 0,6а — 0,09;	г) — 16m2 — 24тп — 9п2.
959.	Разложите на множители:
а) а2 — ас — аЬ 4- Ьс;	б) х'1 — у3 + ху — х2у2.
960.	Турист рассчитал, что если он будет идти к железно-
дорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду
на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придет
на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние
должен пройти турист?
35. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ И РАЗНОСТИ КУБОВ
Для разложения на множители суммы кубов используется
тождество
a3-\-b3 = (а-\-b)(a2 — ab-\-Ь2),	(1)
которое называют формулой суммы кубов.
Чтобы доказать тождество (1), умножим двучлен а-\-Ь на
трехчлен а2 — ab-[-b2:
(а + b)(a2—ай + b2) = a3 — a2b + ab2 -\-а2Ь — аЬ2 + Ь3 = а3 + Й3.
Множитель а2 — ай + й2 в правой части формулы (1) напо-
минает трехчлен a2 — 2ab-\-b2, который равен квадрату раз-
ности а и й. Однако вместо удвоенного произведения а и й в нем
стоит просто их произведение. Трехчлен а2 — ab-\-b2 называют
неполным квадратом разности а и й. Итак:
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы
этих выражений и неполного квадрата их разности.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 27х3+у3.
Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов
двух выражений:
27x3 + jr’ = (3x)34-y‘.
168
Применив формулу (1), получим:
(Зх)3 + у3 = (Зх + у) (9х2 — Зху + у'2).
ИТаК’	27 х3 + у3 = (Зх + у) (9х2 - Зху + у2).
Для разложения на множители разности кубов используется
тождество	,	,
a3 — b3 = (a— b) (а2 + ab + Ь2),	(2)
которое называют формулой, разности кубов.
Чтобы доказать тождество (2), преобразуем произведение
двучлена а — Ь и трехчлена а2 -\-ab-\- Ь2, который называют
неполным квадратом суммы а и Ь:
(а — Ь) (a2-\-ab + b2) = a3 -\-a2b -f-ab2 — а2Ь — ад2 — Ь3 = а3 — Ь3.
Разность кубов двух выражений равна произведению разно-
сти этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Пример 2. Разложим на множители многочлен яг6 — п3.
Представим данный многочлен в виде разности кубов двух
выражений и применим формулу (2). Получим:
т6 — п3 = (тл2)3 — п3 = (т2 — п) (тА + т2п + п2}.
961.	Разложите на множители многочлен:
а)	х3 + у3;	в) 8 + а3;	д) t3+l;
б)	т3 — л3;	г) 27 —у3;	е) 1 —с3.
962.	Примените формулу суммы кубов или формулу раз-
ности кубов:
a)	c3 — d3;	в) х3 —64;	д) у3 —1;
б)	P3+q3;	г) 125+ а3;	е) 1 + д3.
963.	Представьте выражение в виде суммы или разности
кубов и разложите его на множители:
а)	8х3 —1;	в)	8--|-а3;	д)	125а3-64д3;
б)	1 + 27у3;	г)	^п3+ 1000;	е)	^х3 + ^у3.
964.	Разложите на множители:
а)	8 — т3;	в)	64х3 + 1;	д)	т3 — 27л3;
б)	с3 + 27;	г)	1—i-p3;	e)-j-a3+d3.
169
	965. Запишите в виде произведения выражение:			
а)	х3-/;	в) тга9—а3;	д)	а6 + б9;
б)	а6 + Ь3;	г) р3 + А9;	е)	х9 —у9.
	966. Разложите на множители:			
а)	с3+56;	б) а9-	-б6;	в) х6 —8;	г)	27+ У9.
	967. Запишите в	виде произведения:		
а)	— х3 + </3;	В) -а6 + -1-;	д)	с6 + 1;
б)	— 8 —р3;	Г)	е)	х6 + у6.
	968. Представьте	в виде произведения:		
а)	а353 —1;	в) 8 — а‘с1;	д)	x6ys — с3;
6)	1 + Xs у\	г) mJn3 + 27;	е)	а3 — /п3п9.
969.	Докажите, что значение выражения:
a) 327' +1733 делится на 500; б) 731J — 631' делится на 100.
970.	Делится ли значение выражения:
а) З834-З73 на 75;	б) 993-743 на 25?
Упражнения для повторения
971.	Представьте в виде многочлена:
a)	aic2 + a:,)(-a:,+ llc2); в) (0,3с —0,2d) (0,2d-0,3с);
б)	(0,8х + /)( — 0,8х-</'); г) (6х3 — 4х)( — 6х3-4х).
972.	Докажите, что равенство не является тождеством:
а) х3 + 4 = (х + 2)2;	б) (х - 2) (2 + х) = 4 - х2.
973.	Решите уравнение:
а)	(2х —З)2 —2х (4 + 2х) = 11;
б)	(4х-3)(3 + 4х)-2х(8х-1) = 0.
Контрольные вопросы
1.	Чему равно произведение разности двух выражений них
суммы? Напишите соответствующую формулу и докажите ее.
2.	Напишите формулу суммы кубов. Проведите доказа-
тельство.
3.	Напишите формулу разности кубов. Проведите дока-
зательство.
170
§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИИ
36. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛОГО ВЫРАЖЕНИЯ В МНОГОЧЛЕН
Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью
действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми
выражениями (произведение одинаковых множителей в целом
выражении может быть записано в виде степени). К целым
относят и выражения, в которых, кроме действий сложения,
вычитания и умножения, используется деление на число,
отличное от нуля.
Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми
выражениями. Например,
3,5x2i/ —4хг/2+10х —0,5г/ и -|-а36с2
— целые выражения. Примерами целых выражений служат
такие выражения:
Юг/3 + (Зх + у) (х2 - Юг/2),	2 6 (62 — 10с2) — (63 + 2с2),
За2-^±^+2,5ас.
Выражение
х + у-^—5 (х— 1)
не является целым, так как в нем используется деление на
выражение с переменной.
Выражение 101/3 + (Зх-|-г/) (х2 — Юг/2) является суммой од-
ночлена Юг/3 и произведения многочленов Зх + г/ и х2 —Юг/2.
Выражение 26 (62—10с2) —(634-2с2) является разностью между
произведением одночлена 26 и многочлена 62 — 10с2 и много-
членом 63 + 2с2. Мы знаем, что сумму, разность и произведение
многочленов можно преобразовать в многочлен, поэтому каж-
дое из этих целых выражений можно представить в виде
многочлена.
_	о 2 а (о + 2с) . „ _
Выражение За----—---------|-2,5ас отличается от рассмотрен-
ных тем, что в нем содержится деление на число, отличное от
нуля. Если деление заменить умножением на число, обратное
делителю, то получится выражение За2—а (а + 2с) + 2,бас,
которое, как и предыдущие выражения, составлено из мно-
гочленов с помощью действий сложения, вычитания, умноже-
ния. Поэтому это целое выражение также можно представить
в виде многочлена.
171
Вообще, любое целое выражение можно представить в виде
многочлена.
Пример. Представим в виде многочлена целое выражение
(х2 4- 2f — (х — 2) (х+ 2) (х2 + 4) - 6х (0,5х - х2).
Имеем:
(х2 + 2)2 - (х- 2) (X + 2) (х2 + 4) - 6х (0,5х - х2) =
= х" + 4х2 + 4 - (х2 - 4) (х2 + 4) - Зх2 + 6х3 =
= х4 + 6х3 + х2 + 4-(х4-16) = х' + 6х:1 + х2 + 4 —х" + 16 =
= 6х' + х2 + 20.
974.	Какие из выражений 2х2у, 4а2 — Ь (а — 3d), а^3 ,
X2— 1 п 1	О
—-—, 9х—— являются целыми?
975.	Представьте в виде многочлена:
а)	сумму многочлена х34-7х24-8 и произведения много-
членов х2 — 6x4-4 их—1;
б)	разность произведения многочленов а2-\-7а—4 и а —3
и многочлена а‘4-4а2 — 29а + 11.
• 976. Преобразуйте в многочлен:
а)	(5х — 2у)(х+у) — 5х2;
б)	За2 4-(За-f-d) (d — а);
в)	2d (7 — d)—(а 4- 2d) (3 — d);
г)	(х4-6у)(1 —4х)-4х(у-х);
д) (a4-2d)(4a-5d)-(3a-d)(d-a);
е) (4х — 5у)(3у + х)+(2х—у)(х — 2у).
977.	Преобразуйте в многочлен:
а)	3(х-4)(х + 2) + (Зх-1)(5-х);
б)	(d-5)(7-5d)-2(d-f-2)(6-6);
в)	(с - 7) (4 4- 2с)- 6с (1 - Зс) - (9с - 2) (3 — с);
г)	5 (а 4-3) (5 — а) — (а — 8) (1 — а) — 2а (За — 6);
д)	4(2а4-1)(ба-3)-3(а + 2)(а4-3);
е)	— 2 (6 — 3m) (m-f- 1)4- 5 (тп — 4) (пг — 5).
978.	Упростите выражение:
а)	4 (т — л)24-4от (т — л);	в) (у 4- 7)2 — 2 (у + 10) (у 4-4);
б)	5х (х — у) — 2 (у — х)2;	г) (х —5) (6 4-4х) —3 (1 —х)2.
172
979.	Упростите выражение:
a)	(3m — a)	(2a + m) (За — m);
б)	(х —4у)(х + 3у)+(х-3у)(3у + х);
в)	-|-а(6а + 1)(6а-1)-0,5а(12а2 + 4) :
г)	0,26 (10с —56) —4 (0,56 +2с) (2с —0,56).
980.	Представьте в виде многочлена:
а)	а (1 - 2а)2 - (а2 - 2) (2 - а) + 4а3 (За -1);
б)	(х2 — Зх)2 — х (5 — х) (х + 5) — 5х (2х3 — 5).
981.	Упростите выражение:
а)	6х (5х —24) —4 (3 —2х)2;
б)	2у(11у — 9) + 0,5(4</-3)(4i/ + 3);
в)	(а — 36) (а + 36) + (2а — 36)2 — 4а (6 - а);
г)	(х + бу)2 — (бу + 5х) (6у — 5х) + х (12у — 6х).
982.	Вычислите значение выражения:
а)	— 3 (х2—i-) (х2 + -|-) + Зх2(х2 — 1)—i- при х= —1,5;
б)	О,9х(4рГ2 — х) (-|-х2 + х) — 0,6х3(2х2 — 1) при х=—2.
983.	Докажите, что значение выражения не зависит от
значения переменной:
а)	(а -1) (а2 + 1) (а +1) - (а2 -1)2 - 2 (а2 - 3);
б)	(а2 - З)2 - (а - 2) (а2 + 4) (а + 2) - 6 (5 - а2).
984.	Упростите выражение:
а)	(У - 3) (у2 + 9) (у + 3) - (2у2 - у)2 -19;
б)	(1 - а) (1 - а2) + (1 +а) (1 + а2)-2а (1 + а) (а-1).
985.	Докажите тождество:
а)	(а — Зс) (4с + 2а) + Зс (а + Зс) = (2а — с) (Зс + 5а) — 8а2;
б)	(1 - 26) (1 - 56 + Ь2) + (2Ь- 1) (1 - 66 + b2)= b (1 - 26).
Упражнения для повторения
986.	Представьте данный трехчлен, если это возможно, в
виде квадрата двучлена или в виде выражения, противопо-
ложного квадрату двучлена:
a)	25z/2 —15а</ + 9а2;	в) 15а6 — 9а2 — 6 -j- 62;
б)	± 62 + 0,46с + 0,09с2;	г) 0,04х4-1,2х3 + 0,09х2.
173
987.	Разложите на множители:
a) -20xV-35xV;	б) За3Ь2с + 9аЬ2с3.
988.	От деревни до станции велосипедист ехал со скоростью
15 км/ч, а обратно он возвращался со скоростью 10 км/ч.
Найдите расстояние от деревни до станции, если известно, что
на обратный путь велосипедист затратил на 1 ч больше, чем
на путь от деревни до станции.
989.	Из пункта А. связной доставил донесение в пункт В
за 30 мин. На обратном пути он уменьшил скорость на 1 км/ч
и затратил на дорогу 36 мин. Определите, с какой скоростью
шел связной из А в В.
37. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ
ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
Для разложения многочленов на множители мы применяли
вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы
сокращенного умножения. Иногда удается разложить много-
член на множители, применив последовательно несколько
способов. Заметим, что начинать преобразование следует, если
это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 10а3 —40а.
Члены этого многочлена имеют общий множитель 10а. Вы-
несем этот множитель за скобки:
10а3 — 40а = 10а (а2-4).
Разложение на множители можно продолжить, применив
к выражению а2 — 4 формулу разности квадратов. В результа-
те получим в качестве множителей многочлены более низких
степеней.
Имеем:	, „ , ,
10а (а1 — 4} = 10а (а+ 2) (а— 2).
Значит,
10а3 - 40а = 10а (а + 2) (а — 2).
Пример 2. Разложим на множители многочлен
18х3+ 12х2 + 2х.
Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. Вы-
несем его за скобки:
18х3 +12х2 + 2х = 2х (9х2 + 6х + 1).
Трехчлен 9х2 + 6х-|-1 можно представить в виде квадрата
двучлена:
9х2 + 6х+1=(Зх + 1)2.
174
Итак,
18х‘ +12х2 + 2х = 2х (Зх +1 )2.
Пример 3. Разложим на множители многочлен
аЬ3 — ЗЬ'+аЬгу — ЗЬ2у.
Сначала вынесем за скобки общий множитель Ь2:
аЬ3 -ЗЬ3-\-аЬ2у — ЗЬ2у = Ь2(аЬ — ЗЬ + ау — Зу).
Попытаемся теперь разложить на множители многочлен
ab-3b-\-ay — 3y.
Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвертым,
будем иметь:
аЬ — ЗЬ-\-ау — Зу = Ь (а — 3) + у (а — 3) = (а — 3) (Ь + у).
Окончательно получим:
аЬ3 — ЗЬ3 + ab'2y — ЗЬ2у = Ь2(а — 3) (Ь + у).
Пример 4. Разложим на множители многочлен
а2 — 4ах — 9 + 4х2.
Сгруппируем первый, второй и четвертый члены многочлена.
Получим трехчлен а2 — 4ах-)-4х2, который можно представить
в виде квадрата разности. Поэтому
а2 — 4ах — 9 + 4х2 = (а2 — 4ах + 4х2) — 9 = (а — 2х)2 — 9.
Полученное выражение можно разложить на множители по
формуле разности квадратов:
(а — 2х)2 — 9 = (а — 2х)2 — З2 =(а — 2х — 3) (а — 2х + 3).
Следовательно,
а2 — 4ах — 9 + 4х2 = (а — 2х — 3) (а — 2х + 3).
Заметим, что при разложении многочлена на множители имеют в виду
представление его в виде произведения нескольких многочленов, в котором
хотя бы два множителя являются многочленами ненулевой степени (т. е.
не являются числами).
Не каждый многочлен можно разложить на множители. Например, нельзя
разложить на множители многочлены х2 + 1, 4х2 —2х-|-1 и т. п.
•	990. Разложите	на множители	многочлен:
а)	5х2 — 5у2;	г) 9р2 —9;	ж) Зху2 — 27х;
б)	ат2 — ап2;	д) 16х2 —4;	з) ЮОас2 — 4а;
в)	2ах2 — 2ауг;	е) 75-27с2;	и) 50mi/2 — 2тх2,
175
• 991. Представьте в виде произведения:
а)	а3 —а;	в)	у3 — уь;	д)	81х2 — х‘;
б)	х2 —х4;	г)	2х — 2х';	е)	4у3 —100/.
• 992. Выполните разложение на множители:
а)	тх2 — ту2-,	в)	6а2 —24;	д)	4ft3 — Ь;
б)	ab2— 4ас2;	г)	7Ь2— 63;	е)	а3— ас2.
993.	Докажите тождество:
а8 — Ьв = (а — Ь) {а + Ь) (а2 + Ь2) (а4 + ft4).
994.	Разложите на множители:
а) р4 —16; б) х4 —81; в) /-1; г) а1 - 68.
995.	Разложите на множители:
а)	Зх2 + 6ху + 3/;	г)	6р2+ 24q2+ 24pq;
б)	— т2 + 2т — 1;	д)	45х + 30ах + 5а2х;
в)	— 4х —4 —х2;	е)	18сх2 — 24сх +8с.
996.	Представьте в виде произведения многочлен:
а)	4х3 — 4t/3;	г)	16х3 —2;	ж) 1/3 + /;
б)	7а3 + 7Ь3;	д)	1000m + m4;	з) 27m2-m5;
в)	ат3 —ап3;	е)	х5 —х2;	и) 8а4 —64а.
997.	Разложите на множители выражение х6 — у6, предста-
вив его в виде:
а) разности квадратов; б) разности кубов.
998.	Выполните разложение на множители:
а)	2т2 — 4/п + 2;	в) 8а‘ —8ft3;
б)	36 + 24х + 4*2;	г) 9ах3 + 9ау3.
999.	Разложите на множители:
а)	4ху + 12у — 4х —12;	в) —abc — Ьас— 4аЬ — 20а;
б)	60-(-6а6 — 30ft — 12а;	г) а3 + a2b -\-a2-\-ab.
1000.	Представьте в виде произведения:
a)	45ft + 6а — За ft —90;	в)	ас'— c'-j-ac3— с3;
6)	— 5ху — 40у — 15х— 120;	г)	х3 — х2у + х2 — ху.
1001.	Выполните разложение на множители:
а)	х2 — 2хс + с2 — d2;	в)	р2 —х2 + 6х —9;
б)	с2 + 2с+1 —а2;	г)	х2 — а2 — 10а — 25.
176
1002.	Разложите на множители:
а)	х'2 + 2ху + у2—т2;	в)	Ь2 — с2 — 86 + 16;
б)	р2 — а2 — 2аЬ — Ь2;	г)	9 — с2 + а2— 6а.
1003.	Разложите на множители:
а)	х2 — у2 — х — у,	в)	m + л+лг2 —л2;
б)	а2 — Ь2 — а+6;	г)	k2 — k — р2 — р.
1004.	Представьте в виде произведения:
а) а — 6 + а2— Ь2;	б) с2 -\-d-d2 +с.
1005.	Представьте в виде произведения:
a)	ab2 — а — 63 + Ь;	в) х3 + х21/ — 4у — 4х;
б)	Ьх2 + 2Ь2 — Ь3 — 2х2;	г) х3 — 3i/2 + 3x2 — ху2.
1006.	Решите уравнение:
а)	х3 —х = 0;	в) х3 + х2 = 0;
б)	9х —х3 = 0;	г) 5х< — 20х2 = 0.
1007.	Решите уравнение:
а) х3 + х = 0;	б) х3 —2х2 = 0.
1008.	Докажите, что значения многочлена х3 —х при целых
значениях х кратны числу 6.
1009.	Докажите, что разность квадратов двух последова-
тельных нечетных чисел делится на 8.
Упражнения для повторения
1010.	Упростите выражение и найдите его значение при
указанном значении переменной:
а)	(6х — 1) (6х +1) — (12х — 5) (Зх+ 1) при х = 0,2;
б)	(5 + 2х)2 — 2,5х (8х + 7) при х= — 0,5.
1011.	Принадлежат ли графику функции, заданной форму-
лой 1/ = 0,02х2, точки А (15; 4,5), В( — 2,05; —0,12), С (50; 50)?
1012.	Не выполняя построения, найдите координаты точек
пересечения графика функции j/ = 0,24x + 6 с осями координат.
1013.	Покажите, как примерно расположен в координатной
плоскости график функции:
а) У= -0,9х + 4; б) j/ = 2,3x; в) У = ^‘.	г)у=— 9.
177
38. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИИ
В зависимости от рассматриваемой задачи проводятся п
или иные тождественные преобразования целых выражений
Мы уже использовали преобразования для упрощения вычис-
лений и при решении уравнений. Рассмотрим другие задачи,
при решении которых применяются преобразования цели
выражений.
Пример 1. Докажем, что при любом х многочлен х!|
4-6x4-10 принимает положительное значение.
Разобьем число 10 на два слагаемых 9 и 1, тогда в данной
многочлене можно будет выделить квадрат суммы. Имеем
х2 + 6x4- Ю = (х2 + 6х + 9)4-1 =(х + 3)2 +1.
Мы представили многочлен х2-|-6х4-10 в виде суммы
двух слагаемых (х-|-3)2 и 1. Значение слагаемого (х-|-3)2при
любом х неотрицательно, поэтому значение суммы (х-|-3)!-|-1
при любом х больше нуля. Поэтому многочлен х2 4-6x4-10 при
любом х принимает положительное значение.
Пример 2. Докажем, что ни при каком целом п значение
выражения (п4-1) (л — 1) — (л — 6) (л 4- 2) не делится на 4.
Упростим данное выражение:
(л4-1) (л-1)-(л-6) (л 4-2) = (л2- 1)-(л2-6л 4-2л-12)=
= л2 — 1 — л2 4- 6 л — 2л 4- 12 = 4 л 4-11.
Мы представили данное выражение в виде суммы 4л4-11.
При любом целом л значение первого слагаемого делится на
4; второе слагаемое — число 11 — не делится на 4. Поэтому
при любом целом л значение суммы 4л 4- 11, а значит, и зна-
чение исходного выражения (л-|-1)(л—1) — (л —6)(л-|-2) не
делится на 4.
Пример 3. Найдем с помощью микрокалькулятора зна-
чение многочлена 5х3 + 2х2— 7x4-4 при х=1,2.
Если выполнять действия в принятом порядке, то придет-
ся сначала возвести число 1,2 в куб, умножить результат на 5
и ввести полученное число в память. Затем возвести число 1,2
в квадрат, умножить результат на 2 и сложить полученное
число с извлеченным из памяти значением выражения 5х3ит.д.
Однако искомый результат можно получить гораздо проще,
если преобразовать данный многочлен следующим образом:
5г14-2х2 - 7х 4-4 = (5х2 4-2х - 7) х + 4 = ((5х 4-2)х - 7) Х4-4.
178
Тогда программа вычислений будет выглядеть так:
50x020x07 HXS4S'
Выполнив вычисления для х=1,2, найдем, что значение
многочлена равно 7,12.
1014.	Докажите, что выражение принимает лишь положи-
тельные значения:
а)	х2 + 2х + 2;	в) а2 + b2 — 2ab + 1;
б)	4х2 —4х + 6;	г) x2 + j/2 + z2 + 2xj/ + 5.
1015.	Докажите, что выражение 2Ь— Ь2— 2 может прини-
мать лишь отрицательные значения.
1016.	Докажите, что значение выражения может быть лишь
числом положительным:
а) у2 — 10у + 30;	б) с2 + 4cd + 4d2 + 4.
1017.	Докажите, что квадрат нечетного числа есть число
нечетное.
1018.	Докажите, что значение выражения
(2п+1)(л+5)-2(п + 3)(л-3)-(5п + 13)
ни при каком целом п не делится на 6.
1019.	Докажите, что значение выражения
(п + 8) (л — 4) — (л + 3) (л — 2) + 27
ни при каком целом га не делится на 3.
1020.	Найдите наиболее удобным способом значение выра-
жения:
a)	3a2b~t~2ab2 при а=—6 = -^-;
б)	2тп2 — Згаг2л+ 1 при т=—га=-|-.
1021.	Докажите, что выражения (a2 + b2)(a+b)(a-b) и
а* — Ь' тождественно равны. Какое из них удобнее для вычис-
лений при:
а) а = 2, 6 = 0,1;	б) а=—, 6=—?
4	4
1022.	Используя микрокалькулятор, найдите значение мно-
гочлена :
а)	З,5х3— 2,1х2 + 1,9х—16,7 при х =—6,9; —2,4; 3,7;
б)	О.вгх4 —3,4х2 + 7,4х при х= — 0,53; 0,62; 1,7.
179
1023.	Восстановите многочлен по заданной программе вы-
числений его значений:
1024.	Вычислите наиболее простым способом значение мно-
гочлена х* — 20х3 — 19х2 — 32* +40 при х = 21.
Упражнения для повторения
1025.	Докажите, что функции, заданные формулами
у = 4(3 — 2х)— 5 и у = х— 8 (х — 8), являются линейными, а ш
графики — пересекающимися прямыми. Каковы координаты
точки пересечения этих прямых?
1026.	Постройте в одной и той же координатной плоскости
графики функций у = х2 и у=— х + 6 и найдите с помощью
графиков координаты точек пересечения этих графиков.
1027.	Разложите на множители:
а)	а2 + Ь2 — с2 + 2аЬ;	в) a3 + <z2 — ab2 — b2;
б)	т2 — х2 — у2 + 2ху;	г) 9л + т' — т2п — 9т.
Контрольные вопросы
1.	Приведите пример целого выражения и выражения, не
являющегося целым.
2.	Какие действия надо выполнить и в каком порядке,
чтобы представить целое выражение 4х (3 — х)2-|-(х2 —4)(х-|-4)
в виде многочлена?
3.	Какие способы разложения многочленов на множители
вам известны?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
К параграфу 12
1028.	Представьте в виде многочлена:
а)(тх + 9);	г) (-Зх---,з) (8x^ + 3/)’;
/ 5	k 3 '	<и) (aV-1)2;
б)	(ТУ-3) ;	Д) (5ху —0,8</2)2;	’ к) (2 + xV)2;
/ „	1	е) (0,4а +1 ОаЬ)2;	„л) (х6-Зх/)!;
в)	(-2a + Tdj ; ж) (За2-5аЬ)2;	м) (у‘-2х'у}\
180
1029.	Преобразуйте в многочлен выражение:
а) (0,1 х2у — 2xi/3)2;	в) (0,2p3g + 0,3pq3)2;
б)	:	г) (т^+тbrf-
1030.	Представьте в виде многочлена выражение:
a) (2m3n + 0,3mn4)2;	в) (0,1а6б + 0,2дб6)2;
б) (4-^ь2-4аЬ); и (4х5у2_тжу6) 
1031*. Докажите тождество:
(а + b + с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2аЬ + 2ас + 2Ьс.
1032*. Представьте в виде многочлена:
а)	((а + б)2)2;	б) (а — Ь)\
1033.	Докажите, что значение выражения не зависит от х:
а) (х + 7)2-(х-5)(х+19);	б) (х-9)2 + (8-хХх + 26).
1034.	Разложите на множители:
а)	б2 + Юб + 25;	в) 16х2 —8х + 1;	д) х4 + 2х2у + у2;
б)	с2_8с+16;	г) 4с2 + 12с + 9;	е) а6-6а352 + 9б4.
1035.	Представьте в виде квадрата двучлена или в виде
выражения, противоположного квадрату двучлена:
а) а4 —8а2+ 16;	г) c4d2+l — 2c2d;	ж) у —у2 — 0,25;
б)	—4 — 46— б2;	Д) а6б2+12а3б + 36; з) 9 —	т2;
1	36
в)	10х —х2 —25; е) х + 1+ —х2; и) — 25 - 2п — 0,04п2.
К параграфу 13
1036.	Представьте в виде многочлена:
а)	(х2- 11) (11 +х2);	г) (б7 + 3)(-б7 + 3);
б)	(j/2 + 10) (- 10 + у2);	д) ( — с6 —8) (с6 —8);
в)	(а5 —1) (а5 +1);	е) (d9-5)(-5-d9).
1037.	Вычислите:
а)	1005-995;	в) 0,94-1,06;	«) 10Т'9Т:
б)	108-92;	г) 1,09-0,91;	е) 99	100.
1038.	Представьте в виде многочлена:
а)	5у (у2 - 3) (у2 + 3);	в) (а4 - 3) (а4 + 3) (а8 + 9);
б)	-8х (4х —х3) (4х + х3);	г) (1 - б3) (1 + б3) (1 + б6).
181
1039.	Упростите выражение:
а)	(а+ 2) (а — 2) — а (а — 5);
6)	(а —3)(3+а) + а(7 —а);
в)	(5— 4) (5 + 4) —(5 — 3) (5 + 5);
г)	(5+ 8) (5 — 6) —(5 —7) (5 + 7);
Д) (с—1) (с + 1) + (с —9)(с + 9);
е) (5+с) (с — 5) — (с—10) (с+10).
1040.	Докажите, что значение выражения не зависит от
значения переменной:
а) (х —8)(х + 8) —(х —12)(х+12);
1041.	Преобразуйте в многочлен:
а)	(х- 5)2 + 2х (х- 3);
б)	(у+ 8)2— 4у (у— 2);
в)	(а —4)(а + 4) + (2а —I)2
г)	(5-3) (5 + 3)-(Ь + 2)2;
д) (2а —5)2 —(5а —2)2;
е) (35- 1)2 + (1- ЗЬ)2;
ж) (2х + 1)2-(х + 7)(х-3);
з) (3</-2)2-(у-9)(9-у).
1042*. При каком значении х удвоенное произведение дву-
членов х + 2 и х — 2 меньше суммы их квадратов на 16?
1043.	Представьте в виде многочлена:
a)	(x + y+l)(x + jz —1);	г)	(с — d + 8)(c — d-8);
б)	(т + п — 3)(т + п + 3);	д)	(р + 2q — 3) (р — 2g — 3);
в)	(а —5 —5) (а —5 + 5);	е)	(а —Зх + 6) (а + Зх + 6).
1044.	Решите уравнение:
а)	(х —7)2 + 3 = (х —2) (х +2);
б)	(х + 6)2-(х-5)(х+5) = 79;
в)	(2х—З)2—(7 —2х)2=2;
г)	(5х —I)2 —(1 —Зх)2=16х(х—3).
1045.	Разложите на множители:
а)	1—а252;	г)	0,09хе-0,49у2;	ж) i 2_хг_±уг.
б)	4х2/ —9;	Д)	1,21а2 —0,365е;	з) 0,01а25’-1;
в)	- 0,64+ х';	е)	2-j-52--1c2;	и) - 9т2 + 1,44л'.
1046.	Найдите значение дроби:
. 382-172 .	,. 39,52-3,52 .	. 17,52-9,52
722 —162 ’	57,52-14,52 ’	131,52-Э,52 '
182
1047. Представьте в виде произведения:
а)	х'°-1;	г)	36 —64у6;	ж) 0,01х18 —0,16
б)	у|2-16;	д)	25pV-l;	з) 1,69ум —1,21;
в)	а2х8 —81;	е)	— 9+121т8га8;	. 4	6	25 И> ~9т “36-
	1048. Разложите i		на множители:
а)	(х —5)2—16;		ж) (7х-4)2-(2х + 1)2; з) (га-2)2 —(Зга+ I)2;
б)	(Ь + 7)2-9;		
в)	25-(3-х)2;		и) 9 (а + 1)2 —1;
г)	81-(а + 7)2;		к) 4-25 (х-3)2;
Д)	(5х —12)2 —х2;		л) 9 (х + 5)2-(х-7)2;
е)	36р2 —(5р —З)2;		м) 49 (у - 4)2 — 9(у + 2)2.
1049. Докажите, что при любом натуральном п значение
выражения:
а)	(л+I)2 —(га—I)2 делится на 4;
б)	(2 л+ 3)2 — (2л — I)2 делится на 8;
в)	(Зл+I)2 —(Зга—I)2 делится на 12;
г)	(5га+1)2 — (2п—I)2 делится на 7.
1050. Найдите значение выражения:
а)	(За — 2Ь)2 — (2а — Ь)2 при а = 1,35 и Ь=— 0,65;
б)	(2у — с)2 + (у + 2с)2 при с = 1,2 и у=—1,4.
1051.	Разложите на множители:
а) 0,027х3 + 1;	в) d3 +0,008с3;
б)	у6-0,001х3;	г) 125 —0,064р3.
1052.	Представьте в виде произведения:
а)^-у12;	в) 3 |а15+ Ь12;
б)	-х|5+^;	г) 1-|^х18 + у3.
1053.	Докажите, что значение выражения:
а)	413 + 193 делится на 60;	в) 663 + З43 делится на 400;
б)	793 —293 делится на 50;	г) 543 —243 делится на 1080.
1054*. Выведите формулу разности кубов из формулы сум-
мы кубов.
1055*. Представьте в виде произведения:
а) (х+1)3 + х3;	в) (а-Ь)3 + д3;	Д) 27а3 - (а-Ь)3;
б) (у —2)3 —27;	г) 8х3 + (х —у)3;	е) 1000 + (6-8)3.
183
К параграфу 14
1056.	Представьте в виде многочлена:
а)	(а2-7)(а + 2)-(2а- 1)(а- 14);
6)	(2-b)(l + 2b) + (l + b)(b'J-3b).
1057.	Представьте в виде многочлена:
а) (х + 4)(х2 —4x4-16);	б) (За + 5) (9а2- 15а + 25).
1058.	Решите уравнение:
а)	(х+1)(х + 2) — (х — 3)(х + 4) = 6;
б)	(Зх-1)(2х+7)-(х+1)(6х-5) = 7;
в)	24 -(Зу +1) (4у — 5)=(11 — бу) (2у - 7);
г)	(6у + 2)(5-у) = 47-(2у-3)(Зу-1).
1059.	Докажите, что функция, заданная формулой
у=(2х - 5) (3 + 8х) - (1 - 4х)2,
линейная. Принадлежит ли графику этой функции точка
А ( —1; 10), точка В(0; 16)?
1060.	Найдите значение выражения:
а)	(Зп —1) (л + 1) + (2п — 1) (л — 1) —(Зл + 5) (л — 2) при л= —3,5;
б)	(5у —1)(2 — у) — (ЗуЧ-4) (1 — у) + (2у + 6)(у — 3) при у=4.
1061*. Докажите, что значение выражения не зависит от
значения переменной:
а)	(а — 3) (а2 — 8а + 5) — (а — 8) (а2 — За + 5);
б)	(х2 - Зх + 2) (2х + 5) - (2х2 + 7х + 17) (х - 4).
1062. Докажите тождество:
(а2 + ft2) (ab + cd) — ab (а2 + Ь2 — с2 — d2) = (ас + bd) (ad + be).
1063*. Докажите, что значение выражения
(Ь + с — 2а) (с — 5) 4-(с 4-а — 2Ь) (а — с) — (а + Ь — 2с) (а — Ь)
при любых значениях а, b и с равно 0.
1064. Упростите выражение:
а)	(а + 8)2-2 (а + 8) (а-2) + (а-2)2;
б)	(у-7)2-2(у-7)(у-9) + (у-9)2.
1065*. Докажите тождество:
а)	(ах - 2 (а + 2)) (а (х - 1) + 2) + 2 (4 - а2) + За2х = ах (ах - 2);
б)	(3- b (с-1)) (Ьс + 4 (b + 1))+ Ьс (Ьс + ЗЬ + 1) = 45(Ы-4) + 12.
184
1066*. Упростите:
а)	2 (а2- I)2 - (а2 + 3) (а2 - 3)	(а2 + а - 4) (2а2 + 3);
б)	4 (m3 — З)2 — (т2 — 6) (тге2 + 6) —9 (8 — m + т2) (1 — т).
1067*. Представьте в виде многочлена:
(а (а + 2Ъ) + б2) (а (а- 2Ь) + Ь2) ((а2 - б2)2 + 4а2б2).
1068*. Докажите тождество:
а)	(а + Ь)2 (а — Ь)— 2аЬ (б —а) — баб (а — б) = (а — б)3;
б)	(а + б) (а — б)2 4-2аб (а 4- б) — 2аб ( — а — б) = (а+ б)3.
1069*. Докажите тождество:
(а2 + б2) (а4 — а2б2 + б4) — (а3 — б3) (а3 + б3) = 2б6.
1070. Найдите значение выражения:
а)	(г/ + 5)(у2 — 5^4-25) — у (z/2 + 3) при у=— 2;
б)	а2 (а+ 4) —(а+ 2) (а2 —2а+ 4) при а = 3;
в)	х (х + 3)2 — (х — 1) (х24~х4~1) при х=—4;
г)	(2р— 1) (4р2 + 2р+1) — р(р — 1)(р+1) при р=1,5.
1071*. Докажите тождество Диофанта (III в.):
(а2 + б2) (с2 + d2) = (ас + bd)2 + (ad — be)2.
1072*. В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется
тождество:
(р2 + сд2) (г2 + сз2)=(рг + eqs)2 +c(ps — qr)2.
Докажите его.
1073*. При каком значении а многочлен стандартного вида,
тождественно равный произведению (х2 + х — 1)(х — а), не со-
держит:
а) х2;	б) х?
1074*. При каком значении b многочлен стандартного вида,
тождественно равный произведению (х2 — 10x4-6)(2х+ б):
а)	не содержит х2;
б)	имеет равные коэффициенты при х3 и при х?
1075. Представьте в виде произведения:
а)	2,1а2 —2,1б2;	г)	7а3Д-7б3;	ж) 2,5а6 —2,5б6;
б)	1,7а24-1,7б2;	д)	2а4 —2б4;	з) 1,2а64- 1,2б6;
в)	1,1а3 —1,1б3;	е)	5а44~5б4;	и) За8 —Зб8.
185
1076. Преобразуйте в произведение выражение:
а) 9с15 —с13; б) х22 —-^х20; в) а5 —0,64а2; г) / —il_jS
1077. Представьте в виде произведения:
а)	2х’-12х1 + 18;	в) а’Ь + 6а2Ь3 + 9Ь5;
б)	— 2а6 —8a3b —8Ь2;	г) 4х + 4ху6 + ху12.
	1078*. Разложите на множители:	
а)	70а —84b + 20ab —24b2;	в) 12у-9х2 + 36-3х2у;
б)	21bc2-6c —Зс3 + 42Ь;	г) 30а’ —18a2b — 72b-|-120a.
1079. Преобразуйте в произведение:
a) б)	За3 — За Ь2 + а2Ь — Ь3; 2х — а2 у — 2а2х + у; 1080*. Решите уравнение:	в) г)	Зр — 2с’ — Зс3р + 2 а1 — 24 + 8а — За3.
a)	х3 + Зх2 — 4х —12 = 0;	в)	у3 - бу2 = 6 - у,
б)	2т3 — т2 — 18m+ 9 = 0;	г)	2а3 +За2 = 2а+ 3.
1081*. Решите уравнение:
а)	х3 —2х2 —х+2 = 0;	в)	2у' — у2 — 32у +16 = 0
б)	у3 —у2 = 16у —16;	г)	4х3 — Зх2 = 4х — 3.
	1082. Разложите на	множители:	
а)	х2 — у2 — 1,5 (х — у);	г)	р2 — 16с2 — р — 4с;
б)	х2 — а2+ 0,5 (х + а);	д)	а2 + 6а+6Ь-Ь2;
в)	4а2— Ь2 — 2а+ Ь;	е)	х2-7х + 7у-у2.
	1083. Представьте в	виде произведения:	
а)	х2 (х+2у)-х-2у;	в)	а1 — 5а2 — 4а + 20;
б)	у2 (2у-5)-8у + 20;	г)	х3 — 4х2 — 9х + 36.
	1084. Разложите на	множители:	
а)	а2—Ь2 + 2 (а+&)2;	в)	2(х-у)2 + 3х2-3у2;
б)	Ь2 — с2— 10 (Ь — с)2;	г)	5а2-5-4(а + 1)2.
1085. Преобразуйте в произведение выражение:
a)	х2 + у2 + 2ху — 1; б)	а2+Ь2 —2аЬ —25; в)	36 —b2 —с2 + 2Ьс; г)	49 — 2ах—а2 — х2; 186	д) 1—25х2 + Юху-у2-, е) Ь2— а2 — 12а — 36; ж) 81а2 + 6Ьс—9Ь2—с2; з) b2c2 — 4Ьс — Ь2 — с2 + 1.
1086 . Разложите на множители:
a)	x3 + j/3 + 2xj/(х + у);	г) р3 —2р2 + 2р—1;
б)	х3-у3-5х(х2 + хр + 1/2);	Д)	863 + 662 + 36 + 1;
в)	a3 — b3 + 5a2b — 5ab2;	е)	а3 — 4а2 + 20а — 125.
1087*. Представьте в виде произведения:
а)	х3 + </3 + 2х2 — 2ху + 2у2-,	в)	a'+ab3— а3Ь —Ь'-,
б)	а3 — 63 + За24-За6 + З62;	г)	х' + х3у — ху3 — у4.
1088*. Докажите, что многочлен принимает лишь неотри-
цательные значения:
а)	х2 — 2ху + у2 + а2;	г) а2 + 2аЬ + 262 + 26 + 1;
б)	4х2 + а2 —4х+1;	д) х2 — 4хр+у2 + х2р2 + 1;
в)	962 —66 + 4с2+ 1;	е) х2 + i/2 +2х + 6р +10.
1089*. Может ли выражение:
а)	а2+16а + 64 принимать отрицательные значения;
б)	—62 — 25 + 106 принимать положительные значения;
в)	—х2 + 6х — 9 принимать неотрицательные значения;
г)	(J/ + 10)2 —0,1 принимать отрицательные значения;
д)	0,001—(а + 100)2 принимать положительные значения?
1090.	Делится ли на 5 при любом целом п выражение:
а)	(2л+3)(3л —7)—(л+1)(л —1);
б)	(7л + 8)(л-1)+(Зл-2)(л + 2)?
1091*. Докажите тождество
(10л + 5)2 = 100л (л +1) + 25.
Используя это тождество, сформулируйте правило возведения
в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5.
Найдите по этому правилу 252, 452, 752, 1152.
Глава VI.
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§15. ЛИНЕЙНЫЕ уравнения
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
§ 16. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИИ
§ 15. ЛИНЕЙНЫЕ уравнения
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
39. ЛИНЕЙНОЕ уравнение с двумя
ПЕРЕМЕННЫМИ
Пусть известно, что одно из двух чисел на 5 больше
другого. Если первое число обозначить буквой х, а второе
буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде
равенства х — у = 5, содержащего две переменные. Такие равен-
ства называют уравнениями с двумя переменными или уравне-
ниями с двумя неизвестными.
Приведем другие примеры уравнений с двумя переменны-
ми: 5х+ 2у = 10, —7х + </ = 5, х2-|-у2 = 20, ху = 12.Изэтих
уравнений первые два имеют вид ах-\-Ьу = с, где а, b
ис — числа. Такие уравнения называют линейными уравне-
ниями с двумя переменными.
Определение. Линейным уравнением с двумя пере-
менными называется уравнение вида ах + by = с, где х и
у — переменные, а, Ь и с — некоторые числа.
Уравнение х — у = 5 при х = 8, у = 3 обращается в верное
равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных
х = 8, у = 3 является решением этого уравнения.
Определение. Решением уравнения с двумя перемен-
ными называется пара значений переменных, обращающая
это уравнение в верное равенство.
188
Нетрудно проверить, что решениями уравнения х— у = 5
являются также пары: х = 105, i/ = 100; х = 4, у= — 1;
х = 3,5, у = —1,5. Пары значений переменных записывают
иногда короче. Например, перечисленные пары можно запи-
сать так: (105; 100), (4; —1), (3,5; —1,5). При такой записи
необходимо знать, значение какой из переменных стоит на
первом месте, а какой — на втором. В записи решений урав-
нения с переменными х и у условимся на первом месте запи-
сывать значения х, а на втором — значения у.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же
решения, называют равносильными.. Уравнения с двумя пере-
менными, не имеющие решений, также считают равносиль-
ными.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же
свойствами, как и уравнения с одной переменной:
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в
другую, изменив его знак, то получится уравнение, равно-
сильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же отличное от нуля число, то получится уравне-
ние, равносильное данному.
Рассмотрим уравнение
5x + 2j/ = 12.	(1)
Воспользовавшись свойствами уравнений, выразим из этого
уравнения одну переменную через другую, например у через х.
Для этого перенесем слагаемое 5х в правую часть уравнения,
изменив его знак:
2у = -5х + 12.
Разделим обе части этого уравнения на 2:
у=— 2,5х + 6.	(2)
Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Пользуясь фор-
мулой у=—2,5х + 6, можно найти сколько угодно решений
уравнения (1). Для этого достаточно взять произвольное х и
вычислить соответствующее ему значение у.
Например,
если х = 2, то у= — 2,5-2 +6 = 1;
если х = 0,4, то у = — 2,5 • 0,4 + 6 = 5.
Пары чисел (2; 1), (0,4; 5) — решения уравнения (1). Урав-
нение (1) имеет бесконечно много решений.
189
1092.	Является ли уравнение с двумя переменными ли-
нейным:
а)	Зх —</ = 17;	в) 13х + 6</ = 0;
б)	х2 —2</ = 5;	г) х</ + 2х=9?
1093.	Является ли линейным уравнение:
а) Зх + 6</ = 4; б) ху = 11; в) х — 2у = 5; г) х + </=0?
• 1094. Является ли пара чисел х = 1 и у = 4 — решением
уравнения х + </ = 6? Укажите еще два решения этого ураа.
нения.
1095. Пары значений переменных х и у указаны в таблице:
X	-5	— 4	-3	— 1	0	4	5
У	0	3	4	-3	— 5	— 3	0
Какие из них являются решениями уравнения:
а) 2х+</=—5;	6) х + 3</=—5?
•	1096. Какие из пар (3; 1), (0; 10),	(2; 4) и (3; 2,5)
являются решениями уравнения Зх-|- у = 10?
•	1097. Является ли решением уравнения 10х-|-у = 12 пара
чисел (3; -20), (-2; 12), (0,1; 11), (1; 2), (2; 1)?
1098.	Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя
переменными, решением которого служит пара чисел:
а) х = 2, у=4,5;	б) х— — 1, у = 2.
1099.	Из линейного уравнения 4х — 3</ = 12 выразите:
а) у через х;	б) х через у.
1100.	Из уравнения 2и4-р = 4 выразите: а) переменную г
через и; б) переменную и через и.
1101.	Выразите: а) у через х из уравнения 6х — </ = 12;
б) х через у из уравнения 10х + 7</ = 0.
1102.	Выразите из данного уравнения переменную у че-
рез х; используя полученную формулу, найдите три каких-
либо решения этого уравнения:
а) х + у = 27;	в) Зх _|_2у = 12;
б) 2х—</ = 4,5;	Г) 5</-2х=1.
1103.	Выразив из уравнения х — бу =4 переменную х через
у, найдите три каких-либо решения этого уравнения.
190
1104.	Выразив переменную у через переменную х, найди-
те три каких-либо решения уравнения:
а) Зх — j/ = 10;	б) 6x + 2j/ = 7.
1105.	Среди решений уравнения х + 2</ = 18 найдите такую
пару, которая составлена из двух одинаковых чисел.
1106.	Найдите значение коэффициента а в уравнении
ох2// 8, если известно, что пара х = 2, у = \ является ре-
шением этого уравнения.
Упражнения для повторения
1107.	Найдите значение выражения:
а)	2с (с — 4)2— с2 (2с —10) при с = 0,2;
б)	(a — 4t>)(4d + <z) при а = 1,2, Ь=—0,6.
1108.	Разложите на множители:
а) 1+а-о2 —а3;	б) 8-b3 + 4Ь-2Ь2.
40. ГРАФИК ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с
переменными х и у, изображается в координатной плоскости
точкой, координатами которой служит эта пара чисел (абсцис-
сой служит значение х, а ординатой — значение у). Все такие
точки образуют график уравнения.
Графиком уравнения с двумя переменными называется мно-
жество всех точек координатной плоскости, координаты ко-
торых являются решениями этого уравнения.
Выясним, что представляет собой график уравнения
Зх + 21/ = 6.
Выразим переменную у через х:
</= — 1,5х + 3.
Формулой у= — 1,5х + 3 задается линейная функция, графи-
ком которой служит прямая (рис. 57). Так как уравнения
3x + 2i/ = 6 и у=—1,5х4~3 равносильны, то эта прямая
является и графиком уравнения 3x-|-2i/ = 6.
С помощью таких же рассуждений можно показать, что
графиком любого линейного уравнения с переменными х и у,
в котором коэффициент при у не равен нулю, является прямая.
191
Если в линейном уравнении коэффициент при у равен ну-
лю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком та-
кого уравнения также является прямая. Рассмотрим, напри-
мер, уравнение 2х + Оу = 12. Его решениями служат все пары
чисел (я; у), в которых х = 6, а у — любое число, например
(6; 2), (6; 0), (6; —4,5). График уравнения состоит из всех
точек, абсцисса которых равна 6, а ордината — произволь-
ному числу. Такие точки образуют прямую, проходящую че-
рез точку (6; 0) и параллельную оси у (рис. 58).
Итак, графиком линейного уравнения с двумя перемен-
ными, в котором хотя бы один из коэффициентов при пере-
менных не равен нулю, является прямая.
Рассмотрим теперь случай, когда в линейном уравнении оба коэффи-
циента при переменных равны нулю.
Уравнение ах + Ьу = с, в котором оба коэффициента при переменных равны
нулю, имеет вид Ox-f-Oy = c. При с = 0 любая пара чисел является решением
этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При с^О
уравнение не имеет решений и а*о график не содержит ни одной точки.
ПЬЕР ФЕРМА (1601—1665) —
французский математик, один из создателей ана-
литической геометрии и теории чисел. Занимался
теорией решения неопределенных уравнений.
192
Приведем примеры построения графиков линейных урав-
нений.
Пример 1. Построим график уравнения Зх —4у = 12.
В уравнении Зх —4у = 12 коэффициенты при переменных
отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая.
Прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух
каких-либо точек прямой:
если х = 0, то у=— 3; если х = 2, то у= —1,5.
Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них
прямую (рис. 59). Эта прямая — график уравнения Зх —
— 4у = 12.
Пример 2. Построим график уравнения 0,5х= —1,5.
Это уравнение можно записать в виде 0,5х + 0у = —1,5.
Его решениями служат пары чисел, в которых х= — 3, у —
произвольное число. Графиком уравнения является прямая,
проходящая через точку (— 3; 0) и параллельная оси у (рис. 60).
РЕНЕ ДЕКАРТ (1596—1650) —
французский философ, математик и физик. Соз-
дал основы аналитической геометрии, ввел по-
нятие переменной величины, разработал метод ко-
ординат. Осуществил связь алгебры с геометрией.
193
1109.	Принадлежит ли графику уравнения Зх + 4у = 12
I°T(4; 1); б) В(1; 3); в) С (-6; -7,5);	г)П(0;3)?
1110.	Какие из точек А (6; 1), В{ — 6; —5), С (0; -2),
D( —1; 3) принадлежат графику уравнения х —2j/ = 4?
1111.	Докажите, что графики уравнений Зх — у=-~§
— x+10j/ = 21, 11 х + 21 у = 31 проходят через точку
Р(-1; 2).
• 1112. Постройте график уравнения:
а)	2х —</ = 6;	в) х + 6г/ = 0;	д) 1,2х=-4,8;
б)	1,5х4-21/ = 3;	г) 0,5у — х= — 1;	е) 1,5</ = 6.
• 1113. Постройте график уравнения:
а) х + у = 5~, б) у — 4х = 0; в) 1,бх = 4,8; г) O,5j/ = 1,5.
1114.	Постройте график уравнения:
а)	х — у — 1=0;
б)	Зх = (/ + 4;
в)	2 (х—j/) + 3y = 4;
г)	(х+у)-(х-у) = 4.
1115.	На прямой, являющейся графиком уравнения 21х-
_ 5^ = 100, взята точка, абсцисса которой равна 3. Найдите
ординату этой точки.
1116.	Известно, что ордината некоторой точки прямой, явля-
ющейся графиком уравнения 12х—15z/= 132, равна 0. Най-
дите абсциссу этой точки.
1117.	Не выполняя построения, определите, в каких коор-
динатных четвертях расположен график уравнения:
а) 12х— 8у = 25; б) 1,5у=150; в) 0,2х = 43.
Упражнения для повторения
1118.	Решите уравнение:
a)	б)	1 = 0.
1119.	Найдите значение выражения:
а)	а (а — 4) — (а + 4)2 при а= — 1-i-;
б)	(2а —5)2 —4 (а —1)(3 + а) при а = ^2~
194
41. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Задача. Сумма двух чисел равна 12, а их разность рав-
на 2. Найдите эти числа.
Обозначим первое число буквой х, а второе буквой у. По
условию задачи сумма чисел равна 12, т. е.
x + j/ = 12.
Так как разность чисел равна 2, то
х — у = 2.
Мы составили два уравнения с двумя переменными. Чтобы
ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения пере-
менных, которые обращают в верное равенство каждое из
уравнений х + </ = 12 и х — у = 2, т. е. найти общие решения
этих уравнений. В таких случаях говорят, что требуется решить
систему уравнений.
Систему уравнений принято записывать с помощью фигур-
ной скобки. Составленную систему уравнений можно запи-
сать так:
* + </ = 12,
х — у = 2.
Пара значений переменных х = 1, у = 5 служит решением
каждого уравнения системы, так как оба равенства 7+ 5 = 12
и 7 — 5 = 2 являются верными. Такую пару называют реше-
нием системы.
Определение. Решением системы уравнений с двумя
переменными называется пара значений переменных, обра-
щающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения
или доказать, что решений нет.
Для того чтобы решить систему линейных уравнений с
двумя переменными, можно использо-
вать графики уравнений.
Пусть требуется решить систему
уравнений
2х-|-31/ = 5,
Зх-у=-9.
Построим в координатной плоскости
графики уравнений системы. Графиком
первого уравнения является прямая АВ,
а графиком второго — прямая CD (рис.
61).
195
Координаты любой точки прямой АВ являются решением
уравнения 2х4-3(/ = 5, а координаты любой точки прямой
CD являются решением уравнения Зх у =—9. Координаты
точки пересечения прямых удовлетворяют как первому уравне-
нию, так и второму, т. е. являются решением системы. Графи-
ки пересекаются в точке К ( — 2; 3). Значит, система имеет
единственное решение: х =—2, i/ = 3.
Примененный нами способ решения системы уравнений
называется графическим. Заметим, что графический способ
обычно позволяет находить решения лишь приближенно.
Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя
переменными, в каждом из которых хотя бы один из коэффи-
циентов при переменных отличен от нуля. Выясним, всегда ли
такая система имеет решения и если имеет, то сколько. Гра-
фиками уравнений системы являются прямые. Если эти пря-
мые пересекаются, то система имеет единственное решение;
если прямые параллельны, то система не имеет решений; если
прямые совпадают, то решений бесконечно много.
Пример 1. Выясним, сколько решений имеет система
уравнений
( 11х + 10(/ = 120,
I 6х-|-(/ = 18.
Рассмотрим, каково взаимное расположение графиков урав-
нений данной системы. Для этого выразим из каждого урав-
нения у через х, получим:
( у=-1,1x4-12,
I у= -6х-|-18.
Уравнениями (/= —1,1х-|-12 и у =— 6х-|- 18 задаются ли-
нейные функции. Угловые коэффициенты прямых, являющих-
ся графиками этих функций, различны. Значит, эти прямые
пересекаются и система имеет единственное решение.
Пример 2. Рассмотрим, сколько решений имеет система
уравнений:
( 8х4-20</ = 3,
I 2x4-5i/ = 16.
Из каждого уравнения системы выразим у через х:
Г (/=-0,4x4-0,15,
I у=-0,4x4-3,2.
Прямые, являющиеся графиками линейных функций у =
= -0,4х-|-0,15 и у= —0,4х-|-3,2, параллельны, так каких
196
угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с
осью у различны. Отсюда следует, что данная система урав-
нений не имеет решений.
Пример 3. Выясним, сколько решений имеет система
уравнений
5х + 2у= -18,
15х-|-6(/= —54.
Выразив из каждого уравнения системы у через х, полу-
чим:
у — — 2,5х —9,
у= — 2,5х — 9.
Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает,
что любая пара чисел (х; у), в которой х — произвольное чис-
ло, а </= —2,5х — 9, является решением системы. Система
имеет бесконечно много решений.
• 1120. Является ли решением системы уравнений
х+(/ = 4,
2х-у = 2
пара чисел: а) х = 3, у = 1; б) х = 2, у = 2?
• 1121. Является ли пара чисел и=3, и=—1 решением
системы:
а) ( Зи + о=8,	б) f i> + 2u = 5,
I 7u —2i> = 23;	I u + 2v = l?
• 1122. Какие из пар ( — 3; 4), ( — 2; —6), ( — 4; 3) являются
решениями системы:
а) f х = у — 7,	б) Г Зх — у = 0,
I 3x4-4i/ = 0;	I 5х — у = — 4?
1123. Составьте какую-либо систему линейных уравнений
с двумя переменными, решением которой служит пара зна-
чений переменных:
а) х = 4, у = 1;	б) х = 0, </ = 3.
• 1124. Решите графически систему линейных уравнений:
а)	( х-у=1,
I х + 3у = 9;
б)	f х + 2у = 4,
I - 2x + 5j/ = 10;
в)	( х + 1/ = 0,
I - Зх + 4у = 14;
г)	( Зх — 2у=Ъ,
I Зх+Ю1/=-12.
197
• 1125. Решите графически систему:
а) ( х — 2у = 6,	б) Г х —у = 0,
I Зх + 2:/=—6;	I 2x + 3j/=—5.
1126.	Выясните, имеет ли система решения и сколько:
а)	J 4у —х = 12,	в) ( 1,5х = 1,	Д) Г 2х=11-3|/|
I 31/ + х=—3; I —Зх + 2</= 2; I 6i/ = 22 —4х;
б)	/ у-Зх = 0,	г) Г х + 2у = 3,	е) Г -x + 2j/ = 8,
I 3i/-x = 6; I У=— 0,5х;	I x + 4i/ = io.
1127.	Имеет ли решения система и сколько:
а) ( х = 6у — 1, б) ( 5х+</ = 4, в) ( 12х — Зу = 5,
I 2х —10t/ = 3; I х + у — 6 = 0; I 6</ —24х=—Ю?
1128.	Укажите какие-нибудь три решения системы:
а) ( х — Зу = 5,	б) f l,5i/ + х =—0,5,
I Зх—9у = 15;	l2x + 3i/=- 1.
Упражнения для повторения
1129.	Решите уравнение:
2х —3 „  х + 1 .	g. g— Эх — 1 х^
а)	~----Зх = -^-,	О) 3	5 •
ИЗО. Представьте в виде многочлена:
а) (5с2-с + 8) (2с-3)-16;
б)	18m3— (3m —4) (6m2 + т —2).
1131.	Разложите на множители:
а) а3+а2 — х2а— х2;	б) b3-j-b2c— 9b — 9с.
Контрольные вопросы
1.	Дайте определение линейного уравнения с двумя пере-
менными. Приведите пример.
2.	Что называется решением уравнения с двумя перемен-
ными? Является ли пара значений переменных х = 7, </ = 3 ре-
шением уравнения 2х+</ = 17?
3.	Что является графиком уравнения ах + by = с с пере-
менными х и у, где а + 0 или 6#=0?
4.	Что называется решением системы уравнений с двумя
переменными? Что значит решить систему уравнений?
5.	Сколько решений может иметь система двух линейных
уравнений с двумя переменными?
198
§ 16. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
42. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
Рассмотрим способ решения систем линейных уравнений с
двумя переменными, называемый способом подстановки. Нач-
нем с примера.
Пример 1. Решим систему уравнений:
f 3x + i/ = 7,
I -5х + 2у=3.	(1)
Выразим из первого уравнения у через х:
У = 7~3х.
Подставив во второе уравнение вместо у выражение 7 — Зх,
получим систему:
Г Зх + </ = 7,
I — 5х + 2(7-Зх) = 3.	(2)
Системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.
Докажем это. Пусть некоторая пара чисел (а; Ь) является решением си-
стемы (1). Тогда верны числовые равенства За-|-д = 7 и — 5а + 2д = 3, а значит,
и равенство b = 7 — За. Заменив в равенстве — 5а + 25 = 3 число b выражением
7 — За, значение которого равно Ь, мы снова получим верное числовое равен-
ство — 5а+ 2(7— 3а) = 3. Значит, каждое решение системы (1) является ре-
шением системы (2).
Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2) является ре-
шением системы (1).
В системе (2) второе уравнение содержит только одну пе-
ременную. Решим это уравнение:
— 5х + 14 — 6х = 3,
— 11х= —11,
х = 1.
Подставив в равенство у = 7— Зх вместо х число 1, найдем
соответствующее значение у.
У = 7-3-1,
у = 4.
Пара (1; 4) — решение системы (2), а значит, и данной систе-
мы (1).
Решение системы (1) мы свели к решению системы (2).
При этом мы воспользовались тем, что системы (1) и (2) имеют
одни и те же решения.
199
Системы уравнений с двумя перемен-
ными, имеющие одни и те же решения,
называются равносильными. Системы,
не имеющие решений, также считают
равносильными.
Геометрически равносильность систем
(1) и (2) означает, что графики уравне-
ний системы (1) пересекаются в той же
точке, что и графики уравнений системы
(2), т. е. все три прямые пересекаются
в одной точке (рис. 62).
Мы решили систему (1), используя
способ подстановки. При решении си-
стемы двух линейных уравнений с двумя переменными спосо-
бом подстановки поступают следующим образом:
1)	выражают из какого-нибудь уравнения системы одну пе-
ременную через другую;
2)	подставляют в другое уравнение системы вместо этой
переменной полученное выражение;
3)	решают получившееся уравнение с одной переменной;
4)	находят соответствующее значение второй переменной.
Пример 2. Решим систему уравнений:
/ 7x + 6i/ = 6,
I Зх + 4у = 9.
Выразим из второго уравнения х через у:
Зх = 9 — 4у,	Х=9-ЛК.
Подставим в первое уравнение вместо х выражение 9~4у :
7--Ц^+6</ = 6.
Решим полученное уравнение с переменной у:
7 (9 — 4</)-|-3 • 6</= 3 • 6,
63-281/ + 18у= 18,
-10у= -45,
</ = 4,5.
Подставим в уравнение х=1_±( вместо у число 45;
Х	3—Х= — 3.
Ответ: х= — 3, у = 4,5.
200
• а)	1132. Решите систему уравнений: { z/ = x—1,	б) ( х = 2-у, 1 5x+2i/ = 16;	| Зх-2у- 11 = 0.
•	1133. Решите систему уравнений:
а)	( у — 2х=1,	в) / * + </ = 6,	д) ( у — х = 20, 1 6х — у = 7\	1 Зх—5</ = 2;	1 2х —15</=— 1;
б)	1 7х-3у = 13, г) ( 4x-j/ = ll, е) ( 25-х=-4у, 1 х — 2у = 5;	1 6х —2i/ = 13;	1 Зх — 2у = 30.
•	1134. Найдите решение системы уравнений:
а)	Г 2х + у = 12,	в) Г 8у — х = 4, 1 7х —2</ = 31;	1 2х —21у = 2;
б)	( у-2х = 4,	г) Г 2x = </ + 0,5, 1 7х —у = 1;	1 Зх — 5у = 13.
•	1135. Решите систему уравнений:
а)	( 2и + 5у = 0,	в) ( 4u + 3i>=14, 1 - 8u + 15n = 7;	1 5и —Зи = 25;
б)	Г 5р —Зд = 0,	г) I 10p + 7q=—2, 1 3p + 4g = 29;	I 2p-22 = 5q.
•	1136. Решите систему:
а)	/ Зх + 4у = 0,	В) | 5x-f_6t/ = — 20, 1 2x + 3i/ = l;	1 9i/ + 2x = 25;
б)	Г 7х + 2р = 0,	г) Г Зх + 1=8</, 1 4i/ + 9x=10;	1 llj/-3x=-ll.
1137. Не выполняя построений, найдите координаты точки
пересечения графиков уравнений:
а)	7х + 4у = 23 и 8х — 10у = 19;
б)	Их —6</ = 2 и	—8х + 5у = 3.
1138. Найдите координаты точки пересечения графиков
уравнений, не выполняя построения:
а)	5х —4у = 16 и х — 2</ = 6;
б)	20х—15</ = 100 и Зх — у = 6.
1139. Найдите решение системы:
	f 3 (х —5)—1 =6 —2х,	б) ( 6(х + у)-у=-1, 1 3(x-</)-7j/=-4;	1 7(</ + 4)-(</ + 2) = 0.
201
1140. Решите систему уравнений:
а) / 2 (Зх-2у)4- 1 = 7х,
I 12 (х + у)—15 = 7x4-12:/;
!/ б) ( 3 (х4-У)-7 = 12x4-У,
I 6 (у — 2х)—1 = — 45х;
в) ( 5 (х4-2у)-3 = Зх4-5
I 4(х-Зу)-50=-ЗЗу;
г) Г 4x4-1 =5 (х —Зу)—6
I 3 (х 4- бу) 4- 4 = 9у 4-19,
1141. Решите систему:
а) / 5у-|-8 (х —Зу) = 7х —12, б) Г
I 9x4-3 (х — 9у) = 11у 4-46;	I
1142. Найдите решение системы:
— 2 (а —6)4-16 = 3 (64-7)
6а —(а —5) = —8 —(б-)-!)'
а)
2L—L=_4,
3	2
в)
6)
4-26 = 6,
О
г)
- 3a + 4= - 37;
2т . п _-
т 7п .
1о--б- = 4:
7х-4= —4,
х-|-у=—3.
2 1 4
1143. Решите систему уравнений:
а)
А__£=6,
4	5
A + -L = 0;
15 Т 12
^ + 4 = 2,3,
—-^-1 2
10	3	1,z‘
Упражнения для повторения
1144.	Упростите выражение:
а)	(2х-3у)24-(2х4-3у)2; г) 3 (д-4--|)2~(3х-у)2;
б)	(2х-|-Зу)2 —(2х —Зу)2;	д) (х4-2)34-(х — 2)3;
в)	2(т+т)2 + (2х-^2;	е> (х+2)3-(х-2)3.
1145.	Разложите на множители:
а) х54-4а2х3 — 4ах\	г) -i-65-|-463c4-96c2;
б) 4а6- 12а56 + 9п<62;	д) -^х2-у2 + (А х + у)\
в)	е) Тх2~у2~(-Тх~у)2-
1146. Докажите, что все точки графика функции, заданной
формулой у = х 4x4-5, расположены в верхней полу-
ПЛОСКОСТИ.
202
43. СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных
уравнений способ сложения. При решении систем этим спо-
собом, как и при решении способом подстановки, мы пере-
ходим от данной системы к другой, равносильной ей системе,
в которой одно из уравнений содержит только одну пере-
менную.
Пример 1. Решим систему уравнений:
f 2x-|-3j/ = —5,
I х~3у=38.	(1)
В уравнениях этой системы коэффициенты при у являют-
ся противоположными числами. Сложив почленно левые и
правые части уравнений, получим уравнение с одной пере-
менной:
3х = 33.
Заменим одно из уравнений системы (1), например первое,
уравнением 3х = 33. Получим систему:
f 3х = 33,
I х-3j/ = 38.	(2)
Система (2) равносильна системе (1). В этом можно убе-
диться с помощью рассуждений, подобных тем, которые были
проведены в предыдущем пункте при решении систем спосо-
бом подстановки.
Решим систему (2). Из уравнения 3х = 33 находим, что
х=11. Подставив это значение х в уравнение х —31/ = 38,
получим уравнение с переменной у;
11 —3</ = 38.
Решим это уравнение:
-31/=27,
!/=-9.
Пара (11; —9) — решение системы (2), а значит, и данной
системы (1).
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы (1) коэф-
фициенты при у являются противоположными числами, мы
свели ее решение к решению равносильной системы (2), в ко-
торой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Геометрически равносильность систем (1) и (2) означает,
что графики уравнений 2х + Зу =—5 и х — 3</ = 38 пересе-
203
(рис. 63).
Пример 2. Решим систему:
( 5г+11у = 8,
I 10х—7у = 74.
Почленное сложение уравнений системы не приведет к
исключению одной из переменных. Однако если умножить все
члены первого уравнения на — 2, а второе уравнение оставить
без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравне-
ниях будут противоположными числами:
( — 10х—22у= —16,
I 10х —7у = 74.
Теперь почленное сложение приводит к уравнению с одной
переменной —291/= 58. Из этого уравнения находим, что
у= — 2. Подставив во второе уравнение вместо у число —2,
найдем значение х:
10х —7 •( — 2) = 74,
10х = 60,
х = 6.
Ответ: х = 6, у=— 2.
Пример 3. Решим систему уравнений:
( Зх-51/=93,
I 5х-41/=103.
Подберем множители к уравнениям системы так, чтобы
после умножения на них коэффициенты при у стали проти-
204
воположными числами. Умножив первое уравнение системы
на —4, а второе на 5, получим:
( —12х + 20</ = -372,
I 25х —20</ = 515.
Отсюда найдем, что
13х = 143,
х = 11.
Подставив значение х в уравнение 5х —4у = 103, найдем,
что у = —12.
Ответ: х=11, у =—12.
Мы рассмотрели примеры решения систем способом сложе-
ния. При решении систем двух линейных уравнений с дву-
мя переменными способом сложения поступают следующим
образом:
1)	умножают почленно уравнения системы, подбирая мно-
жители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных
стали противоположными числами;
2)	складывают почленно левые и правые части уравнений
системы;
3)	решают получившееся уравнение с одной переменной;
4)	находят соответствующее значение второй переменной.
Заметим, что если коэффициенты при одной из переменных
являются противоположными числами, то решение сразу на-
чинают с почленного сложения уравнений.
• 1147. Решите систему:
а)	f 2x4-11^ = 15,
I 10х — 11г/ = 9;
б)	f 8х—17у = 4,
I —8х+15</ = 4;
в) ( 4х — Ту =30,
t 4х — 5i/ = 90;
г) Г 13х —8j/ = 28,
I Их —8i/ = 24.
• 1148. Найдите решение системы:
а)	( х — 6у = П,
I 5х + 6(/ = 13;
б)	( 4х-7у=-12,
I —4х-|-3{/=12;
в)	( Зх + 2у = 5,
I - 5х + 2у = 45;
г)	Г 9х — 4у= —13,
I 9х — 2у= — 20.
205
•	1149. Решите систему:		
а)	f 40х + Зу=10, t 20х —7у = 5;	г,{	13х — 12у=14, 11х — 4 = 18у;
б)	t 5х-2у=1, 1 15х — Зу= —3;	«>(	10х — 9у = 8, 21i/+15x = 0,5;
в)	( 33а + 426 = 10, 1 9а+146 = 4;		9у + 8г= — 2, 5z = —4у — 11.
•	1150. Решите систему:		
а)	Г 12х — 71/= 2, 1 4х — 5у = 6;	’{	6х = 251/ + 1, 5х — 16у = —4;
б)	I 7и + 2о = 1, t 17u + 6u=— 9;	г’{	46 + 7а=90, 5а — 66 = 20.
•	1151. Найдите решение	системы	
а)	I 0,75х + 201/=95, 1 0,32х —25у = 7;	.’{	10х = 4,6 + 31/, 4г/+3,2 = 6х;
б)	I 0,5и — 0,6и = 0, 1 0,4и+ 1,7о = 10,9;	г’{	— 36 +10а-0,1=0, 15а + 46-2,7 = 0.
1152. Составьте уравнение вида у = kx Ь, график которо-
го проходит через точки:
а)	М(5; 5) и ЛГ( —10; -19);	в) А (8; -1) и В(-4; 17);
б)	Р (4; 1) и Q (3; -5);	г) С ( — 19; 31) и 0(1; -9).
1153.	График линейной функции пересекает оси координат
в точках ( — 5; 0) и (0; 11). Задайте эту функцию формулой.
1154.	Прямая y=kx + b проходит через точки А( — 1; 3)
и 3(2; —1). Напишите уравнение этой прямой.
1155.	График линейной функции пе-
ресекает ось х в точке с абсциссой 4, а
ось у в точке с ординатой 11. Задайте эту
функцию формулой.
1156.	Задайте формулой линейную
функцию, график которой изображен
на рисунке 64.
Рис. 64
206
1157. Решите систему:
a) f 5 (х + 2у) —3 = х+ 5,
I у + 4 (х — 3t/) = 50;
б) f 2,5 (х —3t/) —3= — Зх + 0,5,
I 3 (x + 6j/) + 4 = 9y + 19.
•	1	158. Найдите решение	системы:	
а)		4-х + 4</-2 = 0, 5х-у = 11;	В) {	0,5x + 0,2i/ = 7, Тх-То^ = °-’
б) •	( 1	1	Л — m——п = о, 1 о	о ( 5т — 4п = 2; 1159. Решите систему:		Г) {	-j-u—i-u = — 3, 0,2u + 0,lo = 3,9.
а)		f+f-5 = 0’ 1 2х —у = 10;	В)	“ “If ? 1 T 11 1 © © * II 7
б)		2х — 71/= 4, 2L__L=0; 6	6	г) {	5x	5 2x । o	2 T+3j/ = -T.
• 1160. Найдите решение системы:
[ Т^4’	в) ( Т+Т= 1’
I 6x + 5i/ = 150;	( 2x + 3i/ = —12;
б) ( Lu = 3,	г) ( 4а —5Ь —10 = 0,
) 3	8	1 °	Ь —I— 1 -о
I 7и + 9и=-2;	( T-T+T-U-
1161. Имеет ли решения система и сколько:
а) < 2х — у = 1,
( —6x + 3j/ = 2;
б) / -5х + 2у=7,
( 15х — 6у=-21?
Упражнения для повторения
1162.	Разложите на множители:
а) 15а2 —15b2;	в) 10а3 + 10b3;	д) 47а6-47Ь6;
б) 29а2 + 29Ь2 + 58аЬ;	г) 18а3-18Ь3;	е) 51а6 + 51Ь6.
1163.	Упростите выражение:
а) 2х(8х—1) — (4х + 1)2;	б) 4 (Зу-1)2-18у (2у-1).
1164.	Для вычисления кубов чисел, близких к единице,
часто используют приближенную формулу (1 -|-а)3~ 1 + 3а.
207
Вычислите по этой формуле приближенное значение выра-
жения: а) 1,13; б) О,93. Какова абсолютная погрешность при-
ближения?
44. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
При решении задач с помощью систем уравнений посту-
пают следующим образом: обозначают некоторые неизвест-
ные числа буквами и, используя условие задачи, составляют
систему уравнений; решают эту систему; истолковывают ре-
зультат в соответствии с условием задачи.
Задача 1. Для школы приобрели 15 хоккейных клюшек
и 5 футбольных мячей, уплатив за всю покупку 64 р. Сколько
стоит клюшка и сколько стоит мяч, если известно, что 5 клю-
шек дороже 2 мячей на 3 р.?
Решение. Пусть клюшка стоит х рублей, а мяч у руб-
лей. Тогда 15 клюшек и 5 мячей стоят 15x + 5t/ рублей. Так
как за всю покупку уплатили 64 р., то
15х + 5у = 64.
По условию задачи 5 клюшек дороже 2 мячей на 3 р. Отсюда
получаем второе уравнение:
5х —2у = 3.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие зна-
чения х и у, которые удовлетворяют как первому, так и вто-
рому уравнению, т. е. удовлетворяют системе:
( 15х + 51/ = 64,
1 5х — 21/= 3.
Решив эту систему, получим, что х = 2,6; у = 5.
Ответ: клюшка стоит 2 р. 60 к., а мяч стоит 5 р.
Задача 2. Можно ли разменять 1 рубль пятикопеечны-
ми и двухкопеечными монетами так, чтобы всех монет бы-
ло 30?
Решение. Допустим, что следует взять х пятикопеечных
и у двухкопеечных монет. По условию x + j/ = 30. Так как с
помощью этих монет нужно разменять 1 рубль, то должно
выполняться равенство 5х + 21/ = 100. Получили систему урав-
нений
( x + j/ = 30,
| 5x + 2i/ = 100.
Решив ее, найдем, что х = 13—, и = 16 —
3	3
208
По смыслу задачи х и у должны быть натуральными
числами, а мы получили дробные числа.
Ответ: разменять 1 рубль указанным способом нельзя.
• 1165. Сумма двух чисел равна 63, а их разность равна
12. Найдите эти числа.
•	1166. Техническое перевооружение цеха позволило выпус-
тить в феврале на 165 изделий больше, чем в январе. Сколь-
ко изделий было выпущено в январе и сколько в феврале, если
известно, что за эти месяцы цех выпустил 1315 изделий?
•	1167. На строительстве объекта работает 31 бригада. В их
числе бригад, работающих на бригадном подряде, на 5 боль-
ше, чем других. Сколько бригад работает на бригадном
подряде?
•	1168. В мастерских отремонтировали 22 легковых и грузо-
вых автомобиля. Среди них легковых было на 8 меньше, чем
грузовых. Сколько грузовых автомобилей отремонтировали
в мастерских?
•	1169. Несколько колхозов закупили 28 тракторов и автома-
шин. Причем тракторов было в 1,8 раза больше, чем автомашин.
Сколько тракторов и сколько автомашин закуплено колхозами?
•	1170. Основание равнобедренного треугольника на 7 см
больше его боковой стороны. Найдите боковую сторону тре-
угольника, если его периметр равен 43 см.
•	1171. За 600 г конфет и 1,5 кг печенья заплатили 4 р. 62 к.
Сколько стоит 1 кг печенья, если он дешевле 1 кг конфет
на 1 р. 40 к.?
1172. Применение в колхозе передовой технологии позволи-
ло повысить урожайность картофеля с 1 га на 4 т. В резуль-
тате с участка площадью 320 га собрали на 640 т картофеля
больше, чем собирали раньше с участка площадью 400 га.
Какова была урожайность картофеля первоначально и какой
она стала?
• 1173. За 4 ч езды на автомашине и 7 ч езды на поезде
туристы проехали 640 км. Какова скорость поезда, если она
на 5 км/ч больше скорости автомашины?
• 1174. За три пары лыж и четыре пары коньков уплатили
47 р. Сколько стоит пара лыж и сколько стоит пара коньков,
если две пары коньков дороже одной пары лыж на 1 р.?
1175.	Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против
течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения про-
ходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость
теплохода против течения и его скорость по течению.
209
1176.	Из пунктов А и В, расстояние между которыми
равно 280 км, выходят одновременно два автомобиля. Если
автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча
произойдет через 2 ч. Если же они будут двигаться в одном
направлении, то автомобиль, вышедший из А, догонит автомо-
биль, вышедший из В, через 14 ч. Какова скорость каждого
автомобиля?
1177.	Два туриста вышли одновременно из двух городов,
расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4 ч.
С какой скоростью шел каждый турист, если известно, что
первый прошел до встречи на 2 км больше второго?
1178.	Моторная лодка путь по течению от одной пристани
до другой проходит за 4 ч, а обратный путь за 5 ч. Какова
скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она про-
ходит за 3,5 ч?
1179.	За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход
проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения
теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теп-
лохода и скорость течения.
1180.	На двух полках 55 книг. Если переставить со второй
полки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза
больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой
полке?
1181.	Разность половины одного числа и — другого числа
равна 2. Если первое уменьшить на его, а второе увеличить
на шестую его часть, то их сумма будет равна 59. Найдите эти
числа.
1182.	Масса 4,5 см3 железа и 8 см3 меди равна 101,5 г.
Масса 3 см3 железа больше массы 2 см3 меди на 6,8 г. Найди-
те плотность железа и плотность меди.
1183.	Смешав два сорта конфет по цене 2 р. и 4 р. за кило-
грамм, получили 10 кг смеси по цене 2,9 р. за килограмм. Сколь-
ко конфет каждого сорта взяли для смеси?
1184.	Из двух сортов муки ценой-31 к. и 46 к. за килограмм
составили 50 кг смеси ценой 40 к. за килограмм. Сколько кило-
граммов муки каждого сорта входит в смесь?
1185.	В колхозе под озимыми культурами было занято на
480 га больше, чем под яровыми. После того как убрали 80%
озимых и 25% яровых культур, площадь, оставшаяся под
озимыми, оказалась на 300 га меньше, чем площадь под яро-
выми. Какая площадь была отведена колхозом под яровые и
какая под озимые культуры?
210
1186.	Две бригады должны были по плану изготовить за
месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное
задание на 20%, а вторая на 15%, и поэтому обеими бригадами
было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей
должна была изготовить по плану каждая бригада за месяц?
Упражнения для повторения
1187.	Упростите выражение:
а)	(а — 2) (а2+а — 1) — а2 (а — 1);
б)	(3 -р) (9 + Зр + р2)-(1 -р3).
1188.	Разложите на множители:
a) 0,064m1+ 1;	6) 0,027х3-у3-, в) р6 + 8;	г) 27-т6.
1189.	Докажите тождество
(х3 — уУ + 2х:У = (х2 + у2) (х1 + у4 — х2у2).
1190.	В каких координатных четвертях расположен график
уравнения:
а) 2х + 5р = 12;	б) Зх-4р = 10?
1191.	Докажите, что все точки графика функции, заданной
формулой у=—х1 — 6х —11, расположены в нижней полу-
плоскости.
Контрольные вопросы
1. Расскажите, как решают систему двух линейных уравне-
ний с двумя переменными способом подстановки.
2. Расскажите, как решают систему двух линейных уравне-
ний с двумя переменными способом сложения.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
К параграфу 15
1192.	Является ли решением уравнения х2 — 2у = 7 пара
значений переменных х и у:
а)	(5; 8);	в)(—1; — 3);
б)	( — 4; —11,5);	г) (1,2; —2,78)?
1193.	Составьте уравнение с переменными и и и, решением
которого служит пара чисел вида (и; о):
а) (10; 3); б) (0; -7); в) (0,6; -0,8); г) (-1,4; -3,6).
211
1194*. Докажите, что если в уравнении ах + by = 81 коэф-
фициенты а и Ь — целые числа, то пара (15; 40) не может быть
решением этого уравнения.
1195.	Известно, что:
а)	пара значений переменных х = 5, у = 7 является реше-
нием уравнения ах — 21/= 1. Найдите коэффициент а;
б)	пара значений переменных х= —3, у = 8 является реше-
нием уравнения 5x+bi/ = 17. Найдите коэффициент Ь.
1196.	Найдите все пары натуральных чисел, которые явля-
ются решениями уравнения:
а)	х + </ = 11;	б) xi/ = 18.
1197*. Найдите все пары простых чисел, которые являются
решениями уравнения а + Ь = 42.
1198*. Для школы-интерната приобрели несколько пар
коньков по 4 р. и несколько пар лыж по 5 р. Стоимость всей
покупки 60 р. Сколько пар коньков было куплено?
1199*. Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки. Глубо-
кая тарелка стоит 80 к., а мелкая 60 к. За всю покупку она
заплатила 7 р. Сколько мелких тарелок купила хозяйка?
1200*. Пересекает ли график уравнения у — х2 = 9:
а)	ось х; б) ось у? При положительном ответе укажите
координаты точек пересечения.
1201.	Принадлежит ли графику уравнения х1 — у — 2=0
точка:
а) М( — 1; -3);	б)К(- 1; 1);	в)В(1;-1)?
1202.	Графику уравнения х — ху = 46 принадлежит точка с
ординатой —1,3. Найдите абсциссу этой точки.
1203.	График уравнения 8х — 51/= 14 проходит через точку
с абсциссой 1,2. Найдите ординату этой точки.
1204.	Докажите, что графику уравнения Зх-\-2у =—4 не
принадлежит ни одна точка, у которой обе координаты поло-
жительны.
1205*. Докажите, что графику уравнения 6х—12</ = 5 не
принадлежит ни одна точка с целочисленными координатами.
1206.	Постройте график уравнения:
а)	3 (х — 2у) — 2 (х — 4t/) = 4;
б)	2 (0,5х —1,21/) —(0,6i/ + x) = 6;
в)	3 (0,4ь/ - 0,2х) - 4 (0,31/ - 0,6х) = 0,6.
1207.	В линейном уравнении ах — у = 4 подберите коэффи-
циент а так, чтобы график этого уравнения проходил через
точку М (3; 5). Постройте график этого уравнения.
212
1208.	Постройте прямую, которая является графиком урав-
нения у — 2,5х = с, если известно, что она проходит через
точку К (2; —3).
1209*. Постройте график уравнения:
а) (х —2) (у —3) = 0;	в) (х + 4) (у + 5) = 0;
б)	(х + 8)(|/-1)=0;	г)х(1/-2)=0.
1210*. Не выполняя построения, найдите координаты точки
пересечения графика уравнения (х + 2) (у-\- 3) = 0 с осью х,
с осью у.
1211*. Постройте график уравнения: а) у = |х|; б) у = — I х I.
1212.	Является ли решением системы уравнений
( а2 + Ь2 = 16,
I а2 + 8а+Ь2-8Ь+16 = 0 пара чисел:
а) а=0, Ь = 4; б) а = 0, 6= — 4; в) а= — 4, 6 = 0?
1213.	Докажите, что прямые х-\-у = 5, 2х — у = 16 и
х + 2у = 3 пересекаются в одной точке. Каковы координаты
этой точки?
1214*. При каком значении а прямые 5х —2у = 3 и х +
-\-у = а пересекаются в точке, принадлежащей оси у?
1215*. При каком значении b прямые 6х + Зу = 10 и х —
— 2у = 4 пересекаются в точке, принадлежащей оси х?
1216*. При каком значении k прямая y = kx — 4 проходит
через точку пересечения прямых у = 2х — 5 и у=— х + 1?
1217.	Решите графически систему уравнений:
a) f у-|-Зх = 0,	б) 7 х + у = 1,
< х—у = 4,	< у —х = 3,
I х + у=-2;	I 2х + у = 0.
1218.	Имеет ли система решения, и если имеет, то сколько:
а) Г 2х + 5у = 17,
I 4х — 10г/ = 45;
1 6х — 2г/ =35;
в)	< 0,2х —5у = 11,
I — х + 25у = — 55;
г)	( Зх + -|- у = 10,
I 9х — 2у = 1?
1219.	Подберите какое-либо линейное уравнение с двумя
переменными, которое вместе с уравнением 10х + 5у = 1 соста-
вило бы систему: а) имеющую одно решение; б) имеющую бес-
конечно много решений; в) не имеющую решений.
213
1220*. Укажите какое-либо значение k, при котором система
( 2x + j/ = 7,
I у — kx = 3 имеет единственное решение.
1221*. При каком значении с система
( Зх— i/ = 10,
1 9х — Зу=с	имеет бесконечно много решений?
1222*. При каком значении с не имеет решений система
1 5x + 2i/ = c?
К параграфу 16
1223.	Решите систему:
а)	( 25х-18</=75, в) ( Зу — 5z = 23, д) Г 7х + 4у = 74,
I 5х — 4у = 5; I 31/ — 2z = 6;	l3x + 2j/ = 32;
б)	f 35x = 3i/ + 5,	г) ( 13х—15i/= —48, е) Г Ни + 15и = 1,9,
I 49x = 4j/4-9; l2x+i/ = 29;	I -3и + 5и = 1,3.
1224.	Найдите решение системы:
а)	( 6 (х + у) = 8 + 2х — 3у,
I 5 (у — х)= 54-Зх + 2у;
б)	Г -2(2х+1)+1,5 = 3(у-2)-6х,
I 11,5-4 (3-x)=2j/-(5-x);
в)	( 4 (2х — у 4~3) —3 (х—2i/+ 3) = 48,
I 3 (Зх-4у 4- 3)4- 4 (4х-2у - 9) = 48;
г) ( 844-3(х-3|/)=36х-4(у4-17),
I 10 (х — у)= 3i/4- 4 (1 — х).
1225. Решите систему:
а) ( Т=1~15’	в) ( 4х — 3у = 1,
loco	1 2х+1	9~5У 1 2х 51/ —0;	| в - 8
б) Зт4-5л = 1,	г) 7 3q = 4p — 7,
I Зл	 -	| 1 — 3g	4 —2р 4 '+' 5	1	4	3
214
1226*. Найдите решение системы:
а) ( (х—I)2 —(х-|-2)2 = 9у,	б) ( (7 + и)2-(5 + и)2 = би,
| (у-3)2-(у + 2)2 = 5х;	I (2 — р)2 — (6 — и)'2 = 4ц.
1227. Решите систему:
a) f 8х-|-5у = 20,	в) ( — 1,8х + 2,4у= 1,
1 1,6х4-2у = 0;	I Зх —4у = 5;
г)( Т—
\13х —7у = 5;	I -16х + 3у = 12.
1228*. Имеет ли решения система уравнений:
а) ( 5х —4у = 1,	б) ( 11хЦ-Зу=-1,
I 3x4-1 = 13,	J 2х4-у = 3,
I 7х —5у = 1;	I 5х-|-2у = 4?
1229*. Проходят ли прямые 2х-|-Зу = 20, Зх —5у = 11 и
х4-!/ = 9 через одну и ту же точку?
1230.	Существует ли на прямой 7х-|-8у = 135 точка:
а) абсцисса которой равна ее ординате; б) абсцисса которой
противоположна ее ординате; в) ордината которой равна удво-
енной абсциссе?
1231.	Задайте формулой линейную функцию, график кото-
рой проходит через точки:
а) А(1; 2) и В(-2;3); б)ЛГ( —5; 0) и К (2; — 1).
1232.	Напишите уравнение вида y = kx + b, график которого
проходит через точки: а)М(—1; 1) и Р (4; 4); б) А( — 3; 3)
и В (3; —3).
1233.	Комплект из десяти конвертов и пяти открыток стоит
85 к. Сколько стоит один конверт, если два конверта дешевле
трех открыток на 3 к.?
1234.	За 3 общие тетради и 5 блокнотов заплатили 2 р. 45 к.
Сколько стоит одна общая тетрадь и сколько стоит один
блокнот, если две тетради дороже трех блокнотов на 5 к.?
1235.	В первый день засеяли -j- первого поля и вто-
рого, что составило 340 га. Во второй засеяли -у оставшейся
части первого поля, что на 60 га меньше половины оставшейся
части второго поля. Найдите площадь каждого поля.
215
1236.	На станцию для колхоза доставили удобрения и це-
мент. В первый день колхоз вывез половину цемента и у
удобрений, что составило 8 т. Во второй день было выве-
3	-
зено — оставшегося цемента и половина оставшихся удобре-
ний — всего 7 т. Сколько удобрений и сколько цемента было
доставлено на станцию для этого колхоза?
1237.	Два автомата изготовляют детали. Число деталей,
изготовленных первым автоматом за 3 ч и вторым за 2 ч, состав-
ляет 720 штук. Четвертая часть деталей, изготовленных
обоими автоматами за 2 ч, составила 150 штук. Сколько дета-
лей изготовлял каждый автомат за час?
1238*. Написали два числа. Если первое число увеличить на
30%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится
на 6. Если же первое число уменьшить на 10%, а второе на
20%, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были напи-
саны?
1239* (Задача Л. Н. Толстого). Вышла в поле артель кос-
цов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был
вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг,
а на вторую половину дня артель разделилась пополам,
и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая
стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен,
а от малого остался участок, который был скошен на другой
день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было кос-
цов в артели?
1240.	За две куртки и брюки было уплачено 160 р. После
снижения цен на куртку на 20%, а на брюки на 25% такая
покупка обошлась бы в 125 р. Какова была стоимость куртки
и брюк до снижения цен?
1241.	За 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы
на втором было изготовлено 235 деталей. В результате усовер-
шенствования производительность первого станка возросла на
15%, а второго на 20%. Теперь за 2 дня работы на первом
станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей. Сколь-
ко деталей в день изготовляли раньше на каждом станке?
ИСТОРИЧЕСКИЕ
СВЕДЕНИЯ
КОГДА ПОЯВИЛАСЬ АЛГЕБРА
Алгебра как искусство решать уравнения зароди-
лась очень давно в связи с потребностями практики, в резуль-
тате поиска общих приемов решения однотипных задач. Самые
ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что
в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы
решения линейных уравнений.
Слово «алгебра» возникло после появления трактата
«Китаб аль-джебр валь-мука бала» хорезмского математика
и астронома Мухаммеда бен Муса ал ь-Х о р е з-
м и (787 — ок. 850). Термин «аль-джебр», взятый из названия
этой книги, в дальнейшем стал употребляться как «алгебра».
До XVI в. изложение алгебры велось в основном словесно.
Буквенные обозначения и математические знаки появлялись
постепенно. Знаки + и — впервые встречаются у немецких
алгебраистов XVI в. Несколько позже вводится знак X для
умножения. Знак деления (:) был введен лишь в XVII в.
Решительный шаг в использовании алгебраической символики
был сделан в XVI в., когда французский математик Франсуа
Виет (1540—1603) и его современники стали применять буквы
для обозначения не только неизвестных (что делалось и ранее),
но и любых чисел. Однако эта символика еще отличалась от
современной. Так, Виет для обозначения неизвестного числа
применял букву N (Numerus — число), для квадрата и куба
неизвестного буквы Q (Quadratics — квадрат) и С (Cubus —
куб). Например, запись уравнения х'— 8x2+16х = 40 у Виета
выглядела бы так:
1С —8Q + 16N aequ. 40 (aequali — равно).
В процессе развития алгебра из науки об уравнениях
преобразовалась в науку об операциях, более или менее
сходных с действиями над числами. Современная алгебра —
один из основных разделов математики.
Школьный курс алгебры включает в себя, кроме некоторых
алгебраических сведений, отдельные вопросы из других разде-
лов математики (функции, метод координат, приближенные
вычисления и др.).
217
О ФУНКЦИЯХ
В первой половине XVII в. в связи с развитием механики
в математику проникают идеи изменения и движения. В это
же время начинает складываться представление о функции
как о зависимости одной переменной величины от другой. Так,
французские математики Пьер Ферма (1601 —1665) и
Рене Декарт (1596—1650) представляли себе функцию
как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А анг-
лийский ученый Исаак Ньютон (1643 —1727) понимал
функцию как изменяющуюся в зависимости от времени коор-
динату движущейся точки.
Термин «функция» (от латинского functio — исполнение,
совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид
Лейбниц (1646 —1716). У него функция связывалась с гео-
метрическим образом (графиком функции). В дальнейшем
швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 —
1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый
математик XVIII в. Леонард Эйлер (1707 —1783) рас-
сматривали функцию как аналитическое выражение. Функцию
как зависимость одной переменной величины от другой ввел
чешский математик Бернард Больцано (1781 —1848).
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Некоторые правила сокращенного умножения были извест-
ны еще около 4 тысяч лет тому назад. Их знали вавилоняне
и другие народы древности. Но тогда они формулировались
словесно или геометрически.
У древних греков величины обозначались не числами или
буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а2», а «квад-
рат на отрезке а», не «аЬ», а «прямоугольник, содержащийся
между отрезками а и 5». Например, тождество (а + 5)2 = а2 +
+ 2аЬ-\- Ь2 во второй книге «Начал» Евклида (III в. до н. э.)
формулировалось так: «Если прямая линия (имеется в виду
отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен
квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоуголь-
ником, заключенным между отрезками». Доказательство опи-
ралось на геометрические соображения (см. рис. 53).
Некоторые термины подобного геометрического изложения
алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую
степень числа квадратом, а третью степень — кубом числа;
218
О МЕТОДЕ КООРДИНАТ
Первоначально идея координат зародилась в древности
в связи с потребностями астрономии, географии, живописи.
Так, на стене одной из древнеегипетских погребальных ка-
мер была обнаружена квадратная сетка (палетка), которой
пользовались для увеличения изображений. Древнегреческий
астроном Клавдий Птоломей (II в.) применил геогра-
фические координаты (долготу и широту) для определения
местонахождения мореплавателя. Идеей координат пользова-
лись в средние века для определения положения светил на
небе, для определения места на поверхности Земли. Прямо-
угольной сеткой пользовались художники эпохи Возрождения.
Применять координаты в математике впервые стали П. Фер-
ма и Р. Декарт. В 1637 году вышла книга Р. Декарта «Рассуж-
дения о методе», в которой наряду с общими философскими
рассуждениями о материи значительное место уделяется
«универсальной математике». В разделе этой книги «Геомет-
рия» Р. Декарт предложил новый метод — метод координат,
который позволил переходить от точки (в координатной
плоскости) к паре чисел, от линии к уравнению, от геометрии
к алгебре. Это была новая геометрия, которую в настоящее
время называют аналитической геометрией. Заслуга Р. Декар-
та состояла в том, что он ввел переменные координаты. Так,
в уравнении ах -\-Ьу = с буквы х и у стали рассматриваться
не как неизвестные, а как переменные. Благодаря этому
каждой прямой в координатной плоскости соответствует линей-
ное уравнение ах-\-Ьу = с (а или Ь — отличные от нуля
числа) и наоборот.
Метод координат позволяет строить графики уравнений,
изображать геометрически различные зависимости, выражен-
ные аналитически с помощью уравнений и формул, решать
различные геометрические задачи с помощью алгебры.
Термины «абсцисса» и «ордината» и название «координа-
ты» были введены в употребление Г. Лейбницем в 70—80-е го-
ды XVII в.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА
С давних пор люди стремились облегчить вычисления.
Самой древней «счетной машиной» были пальцы рук и ног,
камешки, раковины и другие мелкие предметы. Ремесленники
и торговцы пользовались для счета доской, разграфленной
на столбцы, на которой с помощью камешков откладывались
219
единицы различных разрядов. Эту доску называли абаком.
От римлян к нам пришло слово «калькуляция», что означает
буквально «счет камешками». В настоящее время термин
«калькуляция» используется в смысле «вычисление». Усовер-
шенствование абака привело к появлению счетов (в Древнем
Китае — «суан-чан», в Японии — «сорабан»). Русские счеты
появились в XVI в.
Машину для механического производства арифметических
действий называют арифмометром. Одними из первых таких
машин были машины, созданные в 1641 году француз-
ским ученым Блезом Паскалем (1623 —1662) и в
1671 году Г. Лейбницем. Массовое распространение получил
арифмометр, сконструированный в 1874 году петербургским
механиком В. Однером.
Революцию в вычислительной технике совершили электрон-
ные вычислительные машины (ЭВМ), которые появились в се-
редине XX столетия. Первая ЭВМ была создана в США в
1944 году. Первая советская ЭВМ была построена под руковод-
ством академика С. А. Лебедева (1902—1974) в 1950 году.
Современные ЭВМ производят несколько миллионов операций
в секунду и находят широкое применение в различных обла-
стях науки и народного хозяйства. Простейшей ЭВМ, полу-
чившей широкое распространение в практической деятельности,
является микрокалькулятор.
ЗАДАЧИ
ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
1242.	Найдите все натуральные значения а, при которых
корень уравнения (а — 1) х = 12 является натуральным числом.
1243.	Решите уравнение:
а)	|х-3|=7;	в) |4 —х|=1,5;
б)	Iх + 2| =9;	г) 16 —х|=7,3.
1244.	В шестизначном числе первая цифра совпадает с
четвертой, вторая с пятой и третья с шестой. Докажите, что это
число кратно 7, 11, 13.
1245.	В двух бочках было воды поровну. Количество воды
в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увели-
чилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала уве-
личилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке
стало больше воды?
1246.	На сколько процентов увеличится площадь прямо-
угольника, если его длину увеличить на 20%, а ширину на
10%?
1247.	Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на
10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в
третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на
80 орехов больше, чем в третьем?
1248.	Число а составляет 80% числа Ъ, а число с составляет
140% числа Ь. Найдите числа а, Ь и с, если известно, что с
больше а на 72.
1249.	Число а составляет 75% числа b и 40% числа с.
Число с на 42 больше числа Ь. Найдите числа а и Ь.
1250.	При делении натурального числа а на натуральное
число Ь в частном получается сив остатке d. Выясните, могут
ли все числа а, Ь, с и d оказаться нечетными.
1251.	Найдите двузначное число, которое в четыре раза
больше суммы его цифр.
1252.	Делится ли число 111 ... 1 на 81?
81 раз
1253.	Докажите, что остаток от деления простого числа на
30 есть простое число или единица.
221
1254.	К некоторому двузначному числу слева и справа
приписали по единице. В результате получили число, в 23
раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.
1255.	В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Полу-
чилось число, которое в 31 раз меньше первоначального.
Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
1256.	Первая цифра трехзначного числа 8. Если эту цифру
переставить на последнее место, то число увеличится на 18.
Найдите первоначальное число.
1257.	Постройте график уравнения:
а) (ж-2)(у+3) = 0;	б) х2 + ху = О.
1258.	Постройте график уравнения:
a) y + lyl =х;	б) у=х\у\.
1259.	Постройте график функции:
а)у=|х| — 3;	б) у = 4 — |х|.
1260.	Найдите наименьшее натуральное число, которое
после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения
на 3 — кубом натурального числа.
1261.	Докажите, что значение выражения 967 —225 —486
кратно 10.
1262. В координатной плоскости (рис. 65) отмечена точка М (х; у). Отметьте в этой координатной плоскости точки:																		
л	&у),	Рис. б& В( —Зх; 4 у), С (4-х; -2у), 1263. Что больше: 10'° + 1	10" + 1 , 10и + 1 ИЛИ 10- + 1 ?							У											
																		
																		
																		
																		
												'iJJ						
																		
																		
							0											X
																		
																		
																		
																		
																		
1264.	Представьте выражение 2х2-\-2у2 в виде суммы двух
квадратов.
1265.	Если а#=0 или Ь=/=0, то значение выражения
5а2 —6at> + 5fe2 положительно. Докажите.
1266.	Докажите, что при любом значении х значение
выражения (х —3)(х — 5)4-2 — положительное число.
222
1267.	Разложите на множители многочлен:
а) х’ + х1 —2; б) а5 —а2 —а —1; в) п'1 + 4; г) n4 + л2 +1.
1268.	Докажите, что р2— 1 кратно 24, если р— простое
число, большее 3.
1269.	Докажите, что сумма квадратов пяти последователь-
ных натуральных чисел не может быть квадратом натураль-
ного числа.
1270.	Докажите, что разность между квадратом натураль-
ного числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
1271.	Упростите выражение
(2 + 1) (22 + 1) (2'1 + 1) (28 + 1) (216 + 1) (232 + 1).
1272.	Докажите, что уравнение х2— уг = 30 не имеет реше-
ний в целых числах (т. е. когда х и у оба целые).
1273.	Докажите, что не существует целых коэффициентов
а, Ь, с и d, таких, что значение многочлена ах3 + Ьх2 + сх + d
равно 1 при х=19 и равно 2 при х = 62.
1274.	Докажите, что если у есть среднее арифметическое
х и z, то х1 + 2x3z — 2xz3 — z1 — 4х2!/2 + 4j/2z2 = 0.
1275.	Найдите все простые числа р и q, для которых
р2 —2q2 = l.
1276.	При каких значениях а, Ь, с и d равенство
5х3 - 32х2 + 75х- 71 =а (х-2)3 + b (х-2)2 + с (х-2} + d
является тождеством?
1277.	Представьте многочлен Зх3-|-7х2-|-9х-|-6 в виде
многочлена ау'-\- by2-\-су + d, где </ = х-|-1.
1278.	При каких натуральных значениях х и у верно ра-
венство 3x + 7i/ = 23?
1279.	Решите систему:
а) гх —j/=—1,	б) fx + y= — 3,
J у — z=— 1,	J u4-z = 6,
^z + x = 8;	[z-|-x = l.
1280.	Найдите трехзначное число, которое равно квадрату
двузначного числа и кубу однозначного числа.
1281.	Найдите два натуральных числа, сумма которых
равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.
1282.	У школьника было несколько монет достоинством
в 15 к. и 20 к. Причем двадцатикопеечных монет было больше,
чем пятнадцатикопеечных. Пятую часть всех денег школьник
223
истратил, отдав две монеты за билеты в кино. Половину остав-
шихся денег он отдал за обед, оплатив его тремя монетами.
Сколько монет каждого достоинства было у школьника вна-
чале?
1283.	Путь от А до В идет 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км
по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 я
7 мин, а обратный путь за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мото-
циклиста в гору и его скорость под гору, если на ровном месте
его скорость была 18 км/ч.
1284.	Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года
назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад — в 5 раз?
1285.	Из двух городов А и В, расстояние между которыми
180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус
и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин.
Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой
автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин.
Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?
1286.	Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два авто-
буса. В то же время из города В в город А выехал велосипе-
дист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой в 10 ч
50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость
велосипедиста, если скорость одного автобуса в 1 — раза
больше скорости другого.
1287.	Всадник и пешеход одновременно отправились из
пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в В на 50 мин раньше пе-
шехода, возвратился обратно в А. На обратном пути он встре-
тился с пешеходом в двух километрах от В. На весь путь всад-
ник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от А до В и ско-
рость всадника и пешехода.
1288.	Только что добытый каменный уголь содержит 2%
воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он
содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась
масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели
был на воздухе?
1289.	Два брата ходят из школы домой с одинаковой
скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы
первый побежал в школу и, добежав до нее, немедленно бро-
сился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал
идти домой в два раза медленнее. Когда первый брат догнал
второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли
домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость
бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?
224
СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА
МАТЕМАТИКИ
V—VI КЛАССОВ
Делимость чисел
1.	Пусть а и Ь — натуральные числа и при делении а на b
в частном получается див остатке г. Тогда a = bq-\-r, где q
иг — натуральные числа или нули, причем г <5. Например:
_127 I 35
105 I 3	127 = 35-3 + 22.
22
2.	Если натуральное число а делится на натуральное число
Ь, то а называют кратным b, а Ь — делителем а. Это означает,
что a = bq, где q — натуральное число. Например, 62 кратно
31, 31 — делитель 62, так как 62 = 31-2.
3.	Простым числом называется такое натуральное число, ко-
торое имеет только два делителя — единицу и само это число.
Составным числом называется такое натуральное число,
которое имеет более двух делителей.
Например, числа 2, 3, 5, 7, 43, 109 — простые, а числа 4,
12, 35 — составные.
Всякое составное число можно разложить на простые мно-
жители и притом единственным способом. Например, 630 =
= 2-32-5-7.
4.	Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких
чисел, надо разложить эти числа на простые множители и
найти произведение всех получившихся простых множителей,
взяв каждый из них с наибольшим показателем. Например,
72 = 23-32; 180 = 22-32-5 и 600 = 23-3-52. Наименьшее общее
кратное чисел 72, 180 и 600 равно 23-32-52 = 1800.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел,
надо разложить эти числа на простые множители и найти
произведение общих простых множителей, взяв каждый из них
с наименьшим показателем. Например, наибольший общий
делитель чисел 72, 180 и 600 равен 22-3, т. е. числу 12.
5.	Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно
делится на 5. Если число оканчивается любой другой цифрой,
то оно не делится на 5.
225
Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится
на 2. Если число оканчивается нечетной цифрой, то оно не
делится на 2.
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится
на 3. Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не
делится на 3.
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится
на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не
делится на 9.
Обыкновенные дроби
6.	Правильной дробью называется дробь, у которой числи-
тель меньше знаменателя.
Неправильной дробью называется дробь, у которой числи-
тель больше знаменателя или равен ему.
7.	Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель
дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное
число, то получится равная ей дробь.
8.	Чтобы привести дроби к наименьшему общему знамена-
телю, надо найти наименьшее общее кратное знаменателей
дробей; вычислить дополнительные множители, разделив
наименьшее общее кратное на каждый знаменатель; умножить
числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий
дополнительный множитель. Например, приведем к наимень-
17	5
шему общему знаменателю дроби , — , — . Наименьший
о 12	10
общий знаменатель равен 36:
1 _ 1-6	6	7 _ 7-3 _21 .	5	5-2 _ 10
6 — 6~6~ "36 ’	~12~ 12-3~ 36 ’	18~18-2~36‘
9.	При сложении дробей с одинаковыми знаменателями
к числителю первой дроби прибавляют числитель второй
дроби и оставляют тот же знаменатель. При вычитании дробей
с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби
вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знамена-
тель. Например:
3 .	_4__1__ з
7'7	7’	5	’
При сложении и вычитании дробей с разными знамена-
телями сначала их приводят к общему знаменателю.
226
10.	Чтобы перемножить две дроби, надо перемножить от-
дельно их числители и знаменатели и первое произведение
сделать числителем, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое
умножить на дробь, обратную делителю.
Например:
3 ' 5 ~ 15 ’
3_._4__ 3 ^_15
7 ‘ 5 — 7	28 ’
Десятичные дроби
11.	При округлении десятичной дроби до какого-нибудь
разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют
нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.
Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8
или 9, то к последней оставшейся цифре прибавляют 1. Если
первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то
последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Например,
4,376 = 4,4; 2,8195 = 2,820; 10,1425 = 10,14.
12.	Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют
поразрядно. При этом дроби записывают одну под другой так,
чтобы запятая оказалась под запятой.
Например:	3,4691	68,3
+ 48,63	5,275
52,0991	63,025
13.	Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую,
надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые,
а затем в полученном произведении отделить запятой справа
столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множи-
телях вместе.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо
в делимом и делителе перенести запятые вправо на столько
цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить
деление на натуральное число.
Например:	3 0(_
Х 2,4
1224
+ 612
7,344
12,096:2,24 = 1209,6:224,
_ 1209,6 1224
1120 |5~4~
896
— 896
0
14.	Чтобы умножить десятичную дробь на 10", надо в
этой дроби перенести запятую на л цифр вправо. Чтобы раз-
227
делить десятичную дробь на 10л, надо в этой дроби перенести
запятую на п цифр влево.
Например:	8,372-100 = 837,2;	3,4:1000 = 0,0034.
Положительные и отрицательные числа
15.	Модулем положительного числа и нуля называется
само это число. Модулем отрицательного числа называется
противоположное ему положительное число. Модуль числа а
обозначают |а|. Например, 13,61 =3,6, |0| =0, |—2,81=2,8.
16.	Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сло-
жить их модули и перед полученным результатом поставить
знак «минус».
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из
большего модуля вычесть меньший и перед полученным резуль-
татом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Например:	— 3,4 +(— 1,8)= — 5,2;
2,5+ (-4,1)=-1,6;	—3,6+ 3,6 = 0.
17.	Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к
уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитае-
мому. Например, —5 —1,9=—5 + (— 1,9)=—6,9.
18.	Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо
перемножить их модули.
Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо
перемножить их модули и перед полученным результатом
поставить знак «минус».
Например, — 1,2-( — 8) = 9,6; —3-1,2=—3,6.
19.	Чтобы разделить отрицательное число на отрицатель-
ное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.
Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо модуль
делимого разделить на модуль делителя и перед полученным
результатом поставить знак «минус».
Например, — 4,8:( — 2,4) = 2; 5,5:( — 5) = — 1,1.
20.	Средним арифметическим нескольких чисел называется
частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Пропорции
21.	Равенство двух отношений называют пропорцией. На-
пример, равенство 2,5:5 = 3,5; 7 — пропорция. Числа 2,5 и 7 —
крайние члены пропорции. Числа 5 и 3,5 — средние члены
228
пропорции. Если пропорция верна, то произведение ее крайних
членов равно произведению средних членов. В пропорции
можно менять местами крайние члены или средние члены.
22.	Две величины называются прямо пропорциональными,
если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько
раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Если величины прямо пропорциональны, то отношения со-
ответствующих значений этих величин равны.
23.	Две величины называются обратно пропорциональны-
ми, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколь-
ко раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же
раз.
Если величины обратно пропорциональны, то отношение
значений одной из величин равно обратному отношению соот-
ветствующих значений другой величины.
Свойства действий над числами
24.	Переместительное свойство сложения. От перестановки
слагаемых значение суммы не изменяется.
Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел
прибавить третье число, можно к первому числу прибавить
сумму второго и третьего.
Переместительное свойство умножения. От перестановки
множителей значение произведения не изменяется.
Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение
двух чисел умножить на третье число, можно первое число
умножить на произведение второго и третьего.
Распределительное свойство умножения. Чтобы умножить
число на сумму, можно умножить это число на каждое слагае-
мое и сложить полученные результаты.
Преобразование выражений
25.	Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо
сложить их коэффициенты и результат умножить на общую
буквенную часть. Например, 5а — 7а + 4а = 2а.
26.	Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки
можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заклю-
ченного в скобки. Например, Зх-|-(2а — у) = Зх-\-2а— у.
27.	Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки
можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заклю-
ченного в скобки. Например, 5а—(2х —3i/) = 5a —2x-|-3i/.
229
ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная погрешность 101
Аргумент 44
Возведение в степень 75
-------произведения 85
------- степени 86
Выражение с переменными 6
График линейной функции 57
— линейного уравнения с двумя
переменными 192
— прямой пропорциональности 61
— уравнения с двумя переменны-
ми 191
— функции 50
Графический способ решения сис-
тем уравнений 196
Деление степеней 82
Зависимая переменная 42
Корень уравнения 25
Коэффициент одночлена 89
Линейная функция 56
Линейное уравнение с двумя пере-
менными 188
-------одной переменной 27
Многочлен 114
— стандартного вида 115
Независимая переменная 42
Область определения функции 44
Одночлен 89
— стандартного вида 89
Основное свойство степени 81
Относительная погрешность 105
Парабола 96
Переменная 6
Переместительное свойство сложе-
ния 15
----умножения 15
Подобные члены многочлена 114
Приведение подобных членов 114
Прямая пропорциональность 61
Равносильные системы уравнений 200
— уравнения 25, 189
Разложение на множители много-
члена 128
Распределительное свойство умно-
жения 15
Решение системы уравнений 195
— уравнения с двумя перемен-
ными 188
Свойства уравнений 25, 189
Сочетательное свойство сложения 15
----умножения 15
Способ подстановки 199
—	сложения 203
Степень многочлена 115
—	одночлена 90
—	с натуральным показателем 75
—	с нулевым показателем 82
Тождественно равные выражения 18
Тождественные преобразования 20
Тождество 19
Точность приближенного значе-
ния 102
Угловой коэффициент прямой 66
Уравнение с одной переменной 25
— с двумя переменными 188
Формула квадрата разности 153
----суммы 152
—	разности квадратов 165
---- кубов 169
—	суммы кубов 168
Функция 44
Числовое выражение 3
Член многочлена 114
230
ОТВЕТЫ
Глава I
2. а) 20; б) 629,2; в) 28,89; г) 48,09. 3. а) 41,65; б) 13,6; в) 58; г) 10. в. а) 11;
6) 14; в) А ; г) 14. 7. а) 4 ; б) 0; в) 3; г) 16 . 8. а) 5 ; б) 1; в) 3 А ;
г)	18. На 78 к. 19. Первый на 3,2 га. 20. 55 ц. 21. б) 1,3; 2,8; 5,8. 26. а) -4;
б) 5,2. 27. а) 0,4; 6) —6,8; в) 4,5; г) 0,8. 30. а) 3; б) 15; в) —49; г) 0,8.
44. а) 60; 6) 20; в) 3; г) 150. 45. 30 р. 46. 200 станков. 66. а) 4%; б) 15%;
в) 5,5%; г) 120%. 67. На 25%. 68. а) 26,81; б) 77,01; в) 7,22; г) 78.
71. а) 24; 6) 24,9; в) 13,4; г) -9,5. 72. а) 35,7; б) 16,64; в) 10; г) 2,8.
74. а) 0; б) 1	. 77. а) 35; 6) 124. 78. а) 94,2; б) 40,3. 95. а) 1; б) 3.
96. а) -4; б) —. 112. а) 6,75; б) 22; в) -6; г) -0,3. 113. а) 11-6,5х;
б) Зр —5,1; в) 0,4а —7; г) 65 — 5; д) у —8; е) 8х —8. 115. а) 8 + 2х;
б) 46 — 5//; в) 20z —33; г) 5; д) 4-106; е) 36,8с —8. 116. а) 1; 6) -7;
в) -3,1; г) 276. 117. а) Ют-4; б) -6п + 3; в) 11 - Ир; г) 0,1; д) 1,35 + 0,1;
е) 1,6с —5. 119. На 12,5%. 121. 15,3. 132. а) 4,5х-2,4; 6) 36-3,6а;
в) 12,3 — 8,5//; г) 2 — 146. 133. 16,5; -2; -196. 138. а) 30; б) 16; в) -6;
г) 3; д) —43; е) 180; ж) —5; з) 300; и) -90. 139. а) 1; 6) 0,5;
в) —2; г) 0; д) —0,15; е) —5; ж) 12; з) —3; и) 0; к) 0; л) 0; м) 0.
140. а) 7; б) 1 Jj -, в) 5-i-; г) 5; д) 1-J-; е) —1,2; ж) 1	. 141. а) ;
б) 2,5; в) —89; г) 0,5. 142. а) 2,4; б) -12; в) -5; г) -1,5. 143. а) 7;
1	3
б)	- 32; в) - 3;	г) -1,8. 144. а) 4; б) 2; в)	3,6; г) 3 — . 145. а) 16; б)	;
в)	— 4; г) 3^ ;	д) 3. 146. а) 5,5; б) 2,4; в)	10. 147. а), в),	г) Корней	нет;
б)	любое число	является корнем уравнения.	148. а) 0; б),	г) корней	нет;
в)	любое число является корнем уравнения.	149. а) 0,05; б)	—15,8; в)	1,6;
г)	0,4. 150. а) -3,5; б) 2; в) 74,6; г) 0,25. 151. а) 2; б) 1,15; в) ; Р) 12;
6
д)	~ ; е) — 13. 157. 439, 353 билета. 158. 6,3; 6,3 и 3,4 см.	159. 39;
47 деталей. 160. 350; 420 и 504 человека. 161. 400 г, 80 г, 75 г. 164. 55 и
11 кустов. 165. 20 км/ч. 166. 50 км/ч. 167. 20; 10 рабочих. 168. Ю че-
ловек. 169. 5. 170. 1,5 кг. 171. 2, 4 и 10 кг. 172. 24 трактора. 173. 20 и
40 кг. 176. а) 45,82; б) -2,5. 177. -39. 179. а) —; б) “12 у;
в) -/2’ Г) —2,8; д) -0,1: е) 36' 18°- а> 426'5: б) 7,6; в) 124; г) 2,72.
231
181. a) 23; б) -12,4. 182. a) -2; б) 4; в) 1 -1 ; г) 6 ~ . 183. а) 4- ', 6) 16.
2	16	8
184. а) у ; б) 2,5; в) 240; г) у . 185. а) 1,44; б) 1 А ; в) 9,2; г) 6. 186. 207.
187. 0. 188. а) 4- ; б) -16. 189. а) -19; б) / ; в) 2; г) 0. 191. а) -12,15;
4	6
б) 2,025; в) —16,2; г) 20,25. 212. а) 87; б) 136; в) 58; г) 52. 213. а) 0;
б) 3,947. 224. а) 5,7+0,9m; б) — 1,6х — 6; в) 0,2у + 0,2; г) 5,3ч +1,6.
225. а) -0,5; б) 1. 238. а) 1,49; б) 0; в) —32,5; г) 0,3. 239. а) 1; 7;
б) —2; 9; в) —Г, 1; 5; г) —3; 0. 241. а) 24; 6) —35; в), г) корней нет.
242. а) —5; б) 1; в) —2; г) 3.5. 245. 575 кроликов, 425 кур. 246. 46 и
40 деталей. 247. 42 куста. 248. 48 и 12 марок. 249. 10 дней. 250. 9 дней.
251. 13.
Глава II
270. а) 43,2 г; 6) 360 см'. 271. а) 390 км; б) 60,5 км/ч. 272. а) 18 км;
5
6) 2,5 ч. 274. 165 книг. 293. а) 0,9; б) 0; в) — ; г) —2,5. 294. 200 машин.
308. а) (4; 0) и (0; 9,6); 6) ( — 40; 0) и (0; —28); в) ( — 5; 0) и (0; 6);
г) (0,4; 0) и (0; 2). 309. а) (30; 0); б) (24; 0). 310. Проходит через точки
Л, В и D. 328. Принадлежат точки В, С и D. 329. а) Точки А и Е; 6) точ-
ки В и Е. 332. а) —1,76; б) 88. 340. а) (1; 2); б) (8; —6); в) ( — 2; -110);
г) (1; 29); д) (2; 28); е) (4,4; —6). 341. а) (2; —3); б) (4; 0); в) не пересе-
каются; г) (0,9; 0,9). 348.800 т. 359. у = 150+1,5х; а) 165; 195; 6) 0; 20.
373. а), б) Да; в), г) нет. 374. При а= -0,4. 375. 2, 3, 4 и 5. 378. а) (4; 0);
б) ( — 7; 0); в), г) (0; 0); д), е) не пересекает. 380. к=~0,4, принадлежит.
381. у = 1,5х. 382. у = 8. 383. а) (7; 37); б)(-3; —55); в) (1,2; 5); г) (140; 14).
384. Лежит.
Глава III
388. 6)4096; г) 16 807. 393. г) В3, 4’; е) 1,5’; ж) 1.22. 395. д) -96; е) 432.
399. а) -9; б) -37; в) -539. 401. а) 0,16; 0,81; 100; б) 245; 3; 453.
404. 667; 1887. 415. а) а“а9; в)а2а'3; г) ана. 418. в) т"; г) р9; д) 10'“; е) 3'°.
419. в) х'°; г) л'5; д) 7”; е) 5". 420. в) 617; г) 2"; д) О,47. 424. в) ам; □) 0,7‘.
7	8	1	19
426. б) 1000; г) 1 — ; е) . 427. д) 2 — ; е) - 12 — . 428. а) 49; 6) 81;
У	4	2 i
в) 25; г)0,216. 429. а) х"+ '; в) х"* '; г) у" '. 430. а) 3; б) —2,5; в) 90; г) — 1.
432. д) ( - 1
д) (2а)5; е) (0,3m)1. 445. в) 1; г) 1; д) у ; е) 50 000 000. 447. д) х”; е) х1'.
449. в)а” + 2; г) а2". 452. б) 82”; г) 32'1. 454. т’. 455. в) а"; г) х20; д) т20.
456. в) а1*; г) а”; д)а12; е) а21. 457. в) х2’; г) х21. 458. а) 16; 6)5; в) 4; Ну.
4в1. k= — 2. 4вв. б) 0,6pV‘; в) 20аб'; г) — 12айЬ2; д) 0,8т'л2; е) — х*у2.
467. 6) —2; в) 0,18; г) 1. 468. а) 0,592; б) -0,108; в) 0,012; г)
471. 5т2 см2. 472. 8а*’см1. 473. а) Одиннадцатая; б) третья; е) нулевая/
232
i V; е)(2у). 434. 105 км. 437. 202,5 г. 444. г)
476. a) 6) 0,5. 478. a) — 3,3x3i/3; 6) -a’b’c; a) Ах'у1-, r) -0,36a5b6x6.
479. в)64а5Ь7; r) — 28a'b'; д) -6x6g3; e) 108a’b3. 480. a) 0,4m7n“; 6) -O.lxV.
a) -c'°d’; r) — a3b6; д) x*y'; e) т’л'2.	483. a) -8a,2b6; r) Six8!/';
д) — a'°b5c15; e) aeb'c2. 484. в) — 0,216т9л8; г) 4x2y6; д) xV6b8; e) -x'°i/l5m5.
488. a) (9x2)2. 487. в) ( — 0,2b2)3. 490. 6) 1000m9; 100m6. 491. a) 225a10;
6) 81b25; в) 8p'9; г) — 0,15c'°; д)с19; e) 2b13; ж) -x10; з) 2j/u. 492. a) -3x’y5;
6) 32a2b9; в)8т'0л'°; г)—l,12cu; д) x10/; e) 5a‘bs; ж) —0,5mV; з) — 12p?g9.
493. a) —0,04b19; 6) 10a'9; в) p15; r) 3000a"; д) — 112a"b5; e) —0,15x9y";
ж) 0,01p7g7; з) 3aMb9. 494. Через 9 дней. 495. Через 6 дней. 496. k = 1,5;
Ь = 6. 497.х = 13,8, i/ = l,26. 503. Увеличится в 9 раз; уменьшится в 100 раз.
507. Увеличится в 8 раз; уменьшится в 27 раз. 510. а), 6) Принадлежит;
в) не принадлежит. 512. 180 г. 513. За 6 ч. 515. х=—2,4, у = 20,4.
518. а) 4,8a9b‘°. 522. а) 0,13; б) 4; в) 0,047; г) 0,002. 528. 0,5 кг. 530. 2 ч.
531. а) 7; 6) 121. 532. а) 1,64; 6)0,4; в) 2,223; г) 0,012. 536.1%. 544. а) 8;
6) 122,5. 545. (3,5; 0), (0; 9,1). 548. г) 22-53. 549. г) З6; д) 210. 550. в) 25 + 23 + г’.
554. а) 98; 6) —8. 562. — 1 у . 566. в) 7" + 3; г) З‘т*. 567. в) a5 (-a3s).
569. 6) 726. 570. 6) 36; г) 0,6; е) . 572. а) 2 ; 6) 6,8. 577. в) 0,04; г) 6,25;
д) 1; е) 81. 578. в) Указание; 2 5 25 = 550 ; 250-350=6“; г) 6330> 3м• 5м.
579. г) 3е. 593. г) 0,15x3i/3z3; д) 8,5a’b3c2; е) ОДба’Ь’х6. 598. г) 7а20Ь'°;
д) Ь'ос'7; е) 64x2V'. 599. е) О,5х12^7; ж) 36а‘Ь‘; з) —1 х’у7. 600. г) За“Ь7;
д) 0,2а’Ь"; е) а’Ь'0. 607. 0,18.
Глава IV
1	6
621. а) 107; б) 30. 622. а) -57; б) 3. 631. а) 233 — ; б) -1,6; в) -3 —.
□	7
1	2
632. а) — ; 6) 1; в) — . 633. а) 24 000; 6) -10 000.637. г) -25-1; д) -л2-7;
е) 8. 638. а) 0,7a —4,8a2; 6) - b2 + 13b; в) 1,6х2 + 5,5; г) 1,9/-1,4у + 4.
639. а) 5 —10х; 6) 6с-с2; в) 2Ь —2; г) ЗО-бу2-/. 642. а) х2 + 11ху-у2;
б) a2-ЗаЬ + 5Ь2; в) 4с*-7с2 + 6. 644. а) 0,2а2 + 0,35а + 1,2; 6) 0,7у2-3,751/;
в) 4х2-|-4х//; г) 2аЬ2 — 4аЬ — 5Ь. 645. а) 4а2Ь — Ь2 + 2; б) 2ху. 646. а) 60;
б) 156.647.а) —2; б) — 1. 650. а) 2ху-х2; 6) 2ху - у2. 653. а) 10a! + 12ab + 2b2;
2	4
б) -4b2. 654. а) 3; б) 1 — ; в) 0,3; г) —20; д) 0; е) у . 655. а) 1,23; б) -2;
в) -1,5; г) —2. 660. а) 3; 6) 2. 661. в) - 5a“b7; г) -2cl6d7. 667. а) 10,5;
б) 28; в) 0,8; г) —5. 668. а) 80b —11; б) 5с + 34; в) —21; г) 42-241/.
669. а) 261/-2у2; 6) -у2-10у; в) 2-4х; г) 2a3; д) 4с2-7Ь2; е) Зх3у;
ж) 3m3 — т2л + 2л2; з) л2 —л3. 670. а) 7х2 —20х; 6) a3 + a2; в) ах2 — 8а2х;
г) 4т3 — т2п2 — Зл3. 671. а) -6; 60; б) 8. 672. а) 200; -250; б) 0,8.
673. а) 14a3 — a3; б) 2Ь2-Ь; в) 16х2-6х3; г) с*. 679. а) 7; б) 8; в) 49; г) 0,4;
д) —2; е) 0; ж) 24; з) . 680. а) -2; б) -20; в) -1,5; г) -0,2. 681. а) -1;
19 1
6) 2; в) —4; г) 2. 682. а) 0,5; б) -2; в) 1,6; г) -2. 683. а) 24; 6) 13-^ ;
233
в) 1 — ; г) —1	; д) —52,5; е) —4,5; ж) —36; з) 1 -i- ; и) 0,4. 684. а) 12,5*
3	8	7	*
б) 17; в) 17; г) —25; д) у ; е) ||. 685. а) 1 -1- ; б) —0,5; в) —i- ; г) 28.
686. а) -13; б) 1,5; в) -15; г) 0,5. 687. а) -3,5; б) -1; в) 1; г) 2; д) 17,4;
е) 4 — . 688. 4; 6 и 48 к. 689. 16; 20 и 8 см. 690. 30; 33 и 35 т. 691. 90 и 30 т
4
692. 96 деталей. 693. 300 га. 694. 1500 м. 695. 9 км. 696. 60 км. 697. 360 км.
701. а) - -i-a'Y; б) -90а’59. 708. а) 2,28; б) —22,5; в) 14,4; г) -34g.
9 1
709. а) 0; —8; б) 0; 0,2; в) 0; 5; г) 0; 0,4; д) 0; — ; е) 0; —4; ж) 0; 0,1;
9
э) 0; 30; и) 0; -у . 710. а) 0; -0,6; б) 0; 11; в) 0; 0,6; г) 0; 10; д) 0; 0,16;
е) 0; 0,04. 719. а) (5 - с) (a - d); 6) (у - 5) (х +у); в) (2х-7) (За —56);
г) (х — у)(х — у+а)-, д) (а —2)(3а —5); е) (5 — 3) (55 — 17). 720. г) (с + 2) (с + 9);
д) (а - 6) (а - Ь + 3); е) -(х + 2у)(4х + 8у + 1). 721. 9 км. 722. а) 5; б) -1,5.
732. а) х‘ + 2х!у — у3; 6) л3 — 2п1р-у2пр1 — р3; в) а' — 2ах‘ — х3; г) 5' —252с + с3;
д) а3-6а2 + 11а- 12; е) 5х3 —7х2 — Зх +2; ж) х3 + Зх2 — 8х + 10; з) Зу3-7р2 +
+ 7р — 4.	733. a) c3-2crf2-d3; б) х3 —2х2(/ + р3; в) 4а3 —3а2 + 2а-3;
г) -Зх3 + 8х2 + 7х-12.	734. а) 8л’ + 27р3; 6) 125х3 — 8/; в) -6а1+’
+ 13а2-За-2; г) -8а’ + 20а2 + 22а + 21; д) Зх' - 2х3 + 3х2 + 4х-4;
е) 4а' — 11а3 + 25а2-13а — 5.	735. a) (/'+ 2/ +15у2; 6) — 2а' + 8а3 —6а2;
в) ЗЬ5 + ЗЬ'-6Ь3; г) с5- 1,5с' —4с’+ 6с2.	736. а) х' + 6х2 + 11х + 6;
6) а3 —21а+20. 737. в) 195-10; 6) 14/-12; в) 9х; г) а’б+ 5а52-а252;
д) 4а —2а5; е) Зх —у2 —2. 738. а) 2х2 — у~-, 6) 652 —7а5; в) За2 —7ах + 2х2;
г) 252 —55с. 739. в) 8а2 —752; 6) 12x2 + 5xi/; в) 25р —5; г) т — 3. 744. а) 3;
б) 0,5; в) 0; г) 0. 745. а) -у; б) 0,2; в) 3,5; г) -1|. 747. 21; 22; 23.
748. 17; 19; 21. 749. 25 и 10 см. 750. 36 см. 751. 12 дней. 752. 1680 га.
753. в) 2; 6) 15,5. 758. е) (а + 5)(5-3); ж) 1х + у) (11 — х); з) (т + л)(Л-л).
759. в) (m + *)(3-t);	г) (x + y)lk-x). 760. в) (ас+ 2) (5а2-35с);
г) (7а —8р2) (3 — хр). 761. а) -^ ; 6) . 762. а) 12 у ; 6) 0. 763. а) 60;
б) 32. 766. а) (х + 5) (х +1); 6) (х — 3)(х + 2). 767. 260 коров. 768. 10 изделий.
7	1	8
769. а) - — ; 6) —- . 781. а) — ; б) -0,2. 782. а) При с = 2; 6) при с = 6.
8	4	15
788. а) 18; 6) -8,5. 794. а) -7х2-14; 6) -а2 + 2а + 2; в) —2а-105-3;
г) -х2. 803. а) —2; 6) 8; в) 0,5; г) 2. 804. 1,92; 3,84; 4,8; 5,76. 805. 11.
806. 52. 807. 246. 808. 417. 812. а) 4- ; 6) 2; в) 0,25; г) -3; д) 8; е) -3,5.
3
813. 540 л и 450 л. 814. 750 кг и 800 кг. 815. 2 у ч. 816. 2,5 ч; 150 км.
817. 50 —, 60 —; 210 км. 818. 40 —, 60— , 24 км. 819. 16,5 — . 820. 2,5-.
ч ч	ч ч	ч	ч
821. 70 сорочек. 822. 600 т и 800 т. 823. 480 га. 827. а) 2,3; б) 0,147.
5	7
828. а) 0; -у; 6) 0; -1,6; в) 0; 2; г) 0; 0,2; д) 0; 1 у; е) 0; 1.
829. а) 9(а + 2)2; г) -27 (р-2)1. 841. а) -35; б) 156. 844. 8; 9; 10; 11.
234
ддд 400 см2. 847. 360 см2. 848. 80 м'. 848. 55.25 см'. 850. а) —2,8; 6) 7;
в) 91; Г) — 4.2: л) °! е> — 50  ®53- а) (^-4)(х — 6); б) (х —8)(х —5);
д) (х + 4)(х — 3); е) (х + 5)(х —7).
Глава V
875. в) 198х —81х2; г) 14а5 —49; д) 145; е) —18a2 —162. 876. а) а2 + 81;
6) — 10х+1; в) 12х — 9; г) a2 + 4ab. 877. 6) 4а2; в) —215 — 4; г) 14 — 55;
д) — 2а2 + 4а + 14; е) — 2у! + 19у — 40. 878. а) 3; б) 0; в) -14; г) 130.
879. а) 1,7; 6) i; в) 3; г) 3,125. 880. а) 2,2; б) 1; в) А ; г) г
881. д) 15с2-24с + 20; е) - 16a2 + 26a5 + 252. 882. б) -Э6 + 48 5 - 652;
в) — Зх2 + 2х—12. 883. 6) 6х5 + 60х' + 150х3; в) a3-3a + 2; г) х3-12х-16.
887. а) При х=16; б) при х = 0. 892. 80 и 90 км/ч. 900. а) 10 000; 144; 0,16;
б) 400; 25; 81; в) 81; 9; 1; г) —400; —64; —36. 905. д) (3y4-cd)2;
е) (yaJ5—|-а5зу. 906. 6) (ь4 —i-а2/; в) (0,1х2-у)2; г) (Зх'-2у)2.
926. б) *»2 + 9; в) х2 + 1; д) 75х2 + 16; е) 13с2 + 49. 927. д) 50а2 —49;
е) 5х2Н-0,25. 929. а) — 4 —5х; б) — 4тЦ-9; в) 18х2 — 2ах — а2; г) 2ab + b'2 — 2а2.
930. в) 32у2 —24ху; г) — 8а2 —24аЬ. 931. а) 2а2 —40а + 12; б) 1 — 12b —10b2;
в) 63р2; г) 28xi/-98j/2. 932. а) -1,5; б) 7. 933. а) 0; б) -0,5. 937. а) -6;
3	4	4	1
б) 5; г) 2; д) 2,3. 938. 85 и 90 км/ч. 943. а) — ; б) 4 — ; в) ; г) 1. 944. д) — ;
'	'	4 О (	5
е) 5. 946. а) 4 и —4; б) 9 и — 9; в) -i- и —; г) 0,5 и —0,5; д) корней нет;
о о
4	4
е) 1 и — 1; ж) 1,5 и —1,5; з) — и —— ; и) корней нет. 947. а) 5 и —5;
2	2	7	7
б) 6 и -6; в) — и ; г) — и -— . 951. а) (у-1) (5у +1); б),(с + 5) (5 -7с);
0	0	4	4
в) -(х + у) (15х + у); г) —35 (10a—35); д) 35(35 —4a7); е) (553 — х)(х — З53).
952. а) (25 —11) (25 +1); б) -(4 + 3a)(10 + 3a); в) (3-11m)(5- 11m);
г) — (р + 1) (Зр + 1); д) 5с(5с —6d); е) — 95(2а2 + 95). 956. 38 см. 960. 12 км.
970. а), 6) Да. 971. б) -0,64х2-1,6ху*-ув; в) -0,09c2 + 0,12cd-0,04d2;
г) 16х2 — Збх6. 973. а) — 0,1; б) 4,5. 976. а) Эху — 2у2; б) 2а5 + 52; в) 85 + ab - За;
г) х + 6у —28ху; д) 7а2 — а5 — 957; е) 6х2 + 2ху —13у2. 977. а) 10х —29;
6) — 752 + 405 — 11; в) 29с2 —45с —22; г) — 10а2 + 13а + 83; д) 37а2 —19а-30;
е) 11m2 — 51m + 88. 978. в) — у2 —14у —31; г) х2 —8х —33. 979. в) 18а1 —а;
г) 25с —16с2.	980. а) 12а4 + а3-6а2-а + 4;	б) -9х4-5х3 + 9х2.
981. а) 14х2 —96х —36; б) ЗОу2- 18у —4,5; в) 9а2-16а5; г) 20х2 + 24ху.
982. а) —6,75; 6) 28. 984. а) -Зу4 + 4уэ — у2—100; 6) 2а + 2. 988. 30 км.
989. 6 км/ч. 999. а) 4(у —1)(х + 3); б) 6(2 —5)(5 —а); в) -а (с + 4)(5 + 5);
г) а(а+1)(а + Ь).	1000. а) 3 (5 —2)(15 —а); б) -5 (у +3)(х + 8);
в) с3 (а —1) (с + 1); г) х(х-у)(х + 1). 1003. а) (х + у) (х - у -1); 6) (а —Ь)Х
Х(а+ 5 — 1); в) (m + n) (1 + т — а); г) (A + p)(t—р —1). 1004. а) (а — 5) (1 + а + 5);
б) (c+d)(c-d + l).	1005. а) (а—5)(5 —1)(5 + 1); 6) (5-2)(х-5)(х+5);
в) (х + у) (х —2) (х +2); г) (х +3) (х-у) (х + у). 1006. а) 0; 1; -1; б) 0; 3; -3;
в) 0; -1; г) 0; 2; -2. 1007. а) 0; б) 0; 2. 1010. а) 4,6; 6) 19,75.
1023. а) Зх2-6х + 8; б) 4xJ + 9x2-x + 10. 1032. а) a4 + 4a36 + 6a262 +
+ 4a53 + 5*; б) а1 — 4а35 + 6а252-4а53+ 5'. 1039. а) 5а-4; б) 7а-9;
235
в) — 2b — 1; г) 2b + 1; д) 2с2 —82; е) 75. 1041. в) 5а2 —4а —15; г) —46 — 13;
д) -21а2 4-21; е) 1862-1264-2; ж) Зх24-22; з) 10<г’-ЗОр-|-85. 1042. При
15	1	1
всех х. 1044. в) 4; 6) 1,5; в) 2,625; г) 0. 1046. а) — ; б) — ; в) —.
о4*	л	ВО
1048. ж) 15 (х —1) (Зх —1); з) (2л 4-3) (1 - 4л); и) (За+ 2) (За+ 4);
к) (- 5х +17) (5х- 13); л) 8 (х+ 2) (х+11); м) 4 (5у -11) (2у- 17). 1050. а) 17,4;
6) 17. 1055. а) (2x4- 1)(х2 + х +1); б) (у-5) (/-у 4-7); в) а (а2 — За6-|-362);
г) (Зх — у) (Зх2 4- у2}; д) (2а4-6)(13а2 —5а6-|-62); е) (64-2)(62— 2664-244).
1058. а) —4; 6) 0,5; в) 2; г) 2.1060. а) 34,5; 6) 24.1066. а) — а’ — 1,5а2— 1,5а4- 17;
6) 4т6-т’-15т2-18т24-81т. 1067. а’ - 2а161 4- Ь“- Ю70. а) 131; 6) 28;
в) 61; г) 24,125. 1073. а) При а = 1; б) при а= — 1. 1074. а) При
6 = 20; 6) при 6 = 1.	1078. а) 2 (7 4-26) 15а-66); б) 3 (76 — с) (с2 + 2);
в) 3 (у 4-3) (2 — ж) (2 4-х); г) 6 (5а-36) (а2 4-4). 1079. а) (а — 6) (а-f-6) (За 4-6);
б) (1—а) (14-а) (2x4-у); в) (1 -с) (14-с4-с2) (Зр4-2); г) (а4-2)(а—3)(а2 — 2а4-4).
1082. а) (х-у)(х4-у-1,5); б) (х 4-а) (х-а4-О,5); в) (2а —6) (2а 4-6 -1);
г) (р 4-4с) (р — 4с — 1);	д)	(а 4-6) (а — 6 4-6); е) (х y)(x-f-y — 7).
1083. a) (x4-2y)(x-l)(x-f-l); 6) (2у-5)(у-2)(у + 2); в) (а - 2) (а 4-2) (а-5);
г) (х-4)(х-3)(х4-3).	1084. а) (а4-6) (За4-6);	6) (6 —с) (Ис-96);
в) (х — у) (5х4-р); г) (а-|-1)(а —9).	1085. а) (х-|- у — 1) (х-|- у 4-1);
б) (а —6 —5)(а —64-5); в) (6 — 64-с) (6-f- 6-с); д) (1 - 5х + у) (1 4- 5х-у);
е) (6 — а — 6)(64-а4-6); ж) (9а-36 4-с) (9а-|-36-с); з) (6с— 6 — с-1)Х
Х(6с4-64-с-1). 1086. а) (х4-р) (х2 4- ху + у2); 6) -(4x4-i/)(x24-xi/-|-y2);
в) (а — 6) (а24-баб 4-62); г) (р —1) (р2 —р4-1); Д) (26 4- 1) (462-|- 6 4-1);
е) (а-5) (а24-а4-25). 1087. а) (х2-ху 4-у2) (х 4-у 4-2); б) (а2-|-а6 4-62)(а - 6 4-3);
в) (а — 6) (а-|-6) (а2 — а6 4-62); г) (х-|- у) (х — у) (х2 + ху 4- у2).
Глава VI
1105. (6; 6). 1106. а = 3. 1107. а) 6,16; б) -4,32. 1108. а) (14-а)2 (1-а);
6) (2 — 6)(24-6)2. 1115. -7,4. 1116. И. 1118. а) 12; б) 26,5. 1119. а) -1;
6)34у. 1129. а)	б) 7^. ИЗО. а) Юс1- 17с2 4- 19с-40;
б) 21т2 4-Ют-8. 1131. а) (а-)-1) (а-|-х) (а-х);	6) (6-|-с) (64- 3) (6-3).
1132. а) (2; 3); б) (3; -1). 1133. а) (2; 5); б) (1; -2); в) (4; 2); г) (4,5; 7);
д) ( — 23; -3); е) (7; -4,5). 1134. а) (5; 2); 6) (1; 6); в) (-20; -2);
г) ( — 1,5; —3,5). 1135. a) u=-0,5; и = 0,2; б) р = 3; <7 = 5; в) и = 4-1;
р=-1-1; г) р = 2,25; q=-3,5. 1136. а) ( — 4; 3); б) ( — 2; 7); в) (-10;.5);
г) (_Ц; -4). 1187. а) (3; 0,5). 1138. а) (1-1; -2-1); б)	~7’2>-
1139. а) (4,4; 1,72); б) (з А ; -4-1). 1140. а) (3; --1); б) (--1; 2);
в) ( — 166; 34); г) (5	: —^)- 1141. а) х = 7; у=1; 6) а= — 3; 6 = 1.
1142. а) х=—6; р = 4; 6) а = 12; 6=-2; в) т = 5; л=—3; г) х=-1;
у=— 5. 1143. а) (-15; 12); б) (2; -1,5). 1144. а) 8х24-18«2; 6) 24ху.
1145. а) х3(х —2а)2; б) а* (2а — 36)2. 1147. а) (2; 1); б) ( — 8; -4); в) (60; 30);
236
г) (2; 1148’ а) (5; -2,; б) (~3: 0); в) (-5; 10); г) (-3; -3,5)'
1149. a) (-i- ; о); б) ( — 0,6; -2); в) а = —; 6 = i ; г) (2; 1); д) ; —1);
е) у = 6; z=—7. 1150. а) х=— 1; у=-2-, б) и = 3; а=-10; в) х=-4;
у= — 1; г) а=10; 6 = 5. 1151. а) 1 = 100; у = 1; б) u = 6; и = 5; в) х = 0,4;
и=—0 2; г) а = 0,1; 6 = 0,3. 1152. а) у = 1,6х —3; б) у = 6х-23;
в ’	12
в) у= — 1,5x4-11; г) у = — 2х — 7. 1153. у = 2,2х + 11.1154. у= — 1 -j-x-|-1 -j-.
1155. у=-2-?-х4-11. 1157. а) (7; -2); 6) (2; 1). 1158. а) х = 3; у = 4;
б) т = 10; п = 12; в) х = 6; у = 20; г) и=12; и = 15. 1159. а) (9; 8);
6) (-0,8; —0,8); в) (3; 4); г) (-1; 0). 1160. а) х = 15; у = 12; б) и= -8;
р = 6; в) х = 12; у=-12; г) а = 15; 6 = 10. 1162. д) 47 (а — 6)(а4-6)X
Х(а! + «НЬ')(в!-ab + tr); е) 51 (а2 4- 62) (а1 —а262 4- Ь"). 1163. а) -10х-1;
б) — 6у4-4. 1165. 37,5 и 25,5. 1166. 575 и 740 изделий. 1167. 18 бригад.
1168. 15 грузовых автомобилей. 1169. 18 тракторов, 10 автомашин.
1170. 12 см. 1171. 1 р. 80 к. 1172. 8 и 12 т. 1173. 60 км/ч. 1174. 9 и 5 р.
1175. 45 и 50 км/ч. 1176. 80 и 60 км/ч. 1177. 5 и 4,5 км/ч. 1178. 18 км/ч.
1179. 55 и 5 км/ч. 1180. 33 и 22 книги. 1181. 60 и 42. 1182. 7,8 и 8,3 г/см3.
1183. 5,5 кг и 4,5 кг. 1184. 20 кг по 31 к. и 30 кг по 46 к. 1185. 720 и 1200 га.
1186. 320 и 360 деталей. 1187. а) —За4-2; б) 26. 1188. в) (p2 + 2)(pJ-2p2-)-4);
г) (3-m2)(9 4-3m24-m'). 1195. а) 3; 6) 4. 1196. 6) (1; 18); (2; 9); (3; 6);
(6; 3); (9; 2); (18; 1). 1197. (5; 37); (И; 31); (13; 29); (19; 23); (23; 19);
(29; 13); (31; 11); (37; 5). 1198. 10 или 5 пар коньков. 1199. 1, 5 или 9 тарелок.
1200. а) Нет; б) да; в точке (0; 9). 1202. 20. 1203. -0,88. 1213. (7; -2).
1214. а= —1,5. 1215. 6 = 2,5. 1216. 6 = 1,5. 1223. а) х = 21; у = 25;
5) х = 1; у = 10; в) у = 16; z = 21; г) х = 9; у = 11; д) х = 10; у = 1; е) и = — 0,1;
1200. а) Нет; б) да; в точке (0; 9). 1202. 20. 1203. -0,88. 1213. (7; -2).
1214. а= —1,5. 1215. 6 = 2,5. 1216. 6 = 1,5. 1223. а) х = 21, у = 25;
б) х = 1, у = 10; в) у = 16; z = 21; г) х = 9; у = 11; д) х = 10; у = 1; е) и = — 0,1;
7
о = 0,2. 1224. а) ( — 0,25; 1); б) (-0,5; 1,5); в) (7; 5); г) (4; 4). 1225. а) х = 4 — ;
13	1
у = 1	; б) т — — 8; п = 5; в) х — 1; </ = 1; г) р = 2; д=— . 1226. а) х = — 5;
17	о
i/ = 3; б) u = 0; v = 4. 1227. а) (5; —4); б), в), г) решений нет. 1233. 6 к.
1234. 40 и 25 к. 1235. 560, 600 га. 1236. 12 т удобрений, 8 т цемента.
1237. 120, 180 деталей. 1238. 40 и 60. 1239. 8 косцов. 1240. 50 и 60 р.
1241. 20, 15 деталей.
Задачи повышенной трудности
1242. 2, 3, 4, 5, 7 и 13. 1243. а) -4; 10; б) -11; 7; в) 2,5; 5,5; г) -1,3; 13,3.
1246. На 32%. 1247. 520, 572 и 440. 1248. 96, 120 и 168. 1249. 36 и 48.
1251. 12, 24, 36, 48. 1252. Делится. 1254. 77. 1256. 890. 1260. 72.
1263. Первая дробь больше второй. 1271. 2м —1. 1276. а = 5, Ь=— 2, с = 7,
d=—9, 1278. х = 3, у = 2. 1279. а) х = 3, у = 4, z = 5; б)х=-4, у = 1,
z = 5. 1280. 729. 1281. 24 и 144, или 48 и 120, или 72 и 96. 1282. 6 двадцати-
копеечных и 2 пятнадцатикопеечных. 1283. 12 и 30 км/ч. 1284. 18 и
10 лет. 1285. 40 и 80 км/ч. 1286. 15 км/ч. 1287. 6 км, 7,2 км/ч, 3,6 км/ч.
1288. На 114 кг. 1289. В 3 раза.
237
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ
9 1. Выражения....................................
1.	Числовые выражения...............................
2.	Выражения с переменными..........................
3.	Сравнение значений выражений.....................
3
3
6
10
§ 2. Преобразование выражений.............................15
4.	Свойства действий над числами.........................15
5.	Тождества ............................................18
6.	Тождественные преобразования выражений................20
9 3. Уравнения с одной переменной.........................24
7.	Уравнение и его корни...............................24
8.	Линейное уравнение с одной переменной...............27
9.	Решение задач с помощью уравнений...................31
Дополнительные упражнения к главе I.....................34
ГЛАВА II. ФУНКЦИИ
9 4. Функции и их графики...........................42
10.	Что такое функция...............................42
11.	Вычисление значений	функции по формуле..........47
12.	График функции.................................50
9 5. Линейная функция.................................56
13.	Линейная функция и ее график........................56
14.	Прямая пропорциональность..........................60
15.	Взаимное расположение графиков линейных функций . .	65
Дополнительные упражнения к главе II....................60
(Л	ГЛАВА III СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
KI 9 в. Степень и ее свойства................................75
16.	Определение степени с натуральным показателем. Нахож-
дение значения степени с помощью микрокалькулятора 75
17.	Умножение и деление степеней.......................81
18.	Возведение в степень произведения и степени........85
9 7. Одночлены........................................89
19.	Одночлен и его стандартный вид.....................89
20.	Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 91
21.	Функции у = х2 и у = х1 и их графики...............95
238
§ 8. Абсолютная и относительная погрешности..............Ю1
22.	Абсолютная погрешность.............................101
23.	Относительная погрешность.............................
Дополнительные упражнения к главе III...................107
ГЛАВА IV МНОГОЧЛЕНЫ
§ 9. Сумма и разность многочленов.....................114
24.	Многочлен и его стандартный вид..................114
25.	Сложение и вычитание многочленов.................118
§ 10. Произведение одночлена и многочлена.............122
26.	Умножение одночлена на многочлен.................122
27.	Вынесение общего множителя за скобки.............128
§ 11. Произведение многочленов........................133
28.	Умножение многочлена на многочлен................133
29.	Разложение многочлена на множители способом группи-
ровки ................................................137
30.	Доказательство тождеств..........................140
Дополнительные упражнения к главе IV..................143
ГЛАВА V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
$ 12. Квадрат суммы и квадрат разности.................152
31.	Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений 152
32.	Разложение на множители с помощью формул квадрата
суммы и квадрата разности.............................158
$ 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов ....	161
33.	Умножение разности двух выражений на их сумму . . .	161
34.	Разложение разности квадратов на множители ....	165
35.	Разложение на множители суммы и разности кубов. . .	168
9 14. Преобразование целых выражений...................171
36.	Преобразование целого выражения в многочлен.	...	171
37.	Применение различных способов для разложения на мно-
жители ...............................................174
38.	Применение преобразований целых выражений ....	178
Дополнительные упражнения к главе V....................180
239
ГЛАВА VI.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы 188
39.	Линейное уравнение с двумя переменными............188
40.	График линейного уравнения с двумя переменными . .	191
41.	Системы линейных уравнений с двумя переменными . .	195
§ 16. Решение систем линейных уравнений...............199
42.	Способ подстановки................................199
43.	Способ сложения...................................203
44.	Решение задач с помощью	систем	уравнений..........208
Дополнительные упражнения	к	главе VI.................211
Исторические сведения...............................  217
Задачи повышенной трудности...........................221
Сведения из курса математики	V—VI классов.............225
Предметный указатель..................................230
Ответы................................................231
Учебное.издание
Макарычев Юрий Николаевич. Миндюк Нора Григорьевна.
Нешков Константин Иванович. Суворова Светлана Борисовна.
АЛГЕБРА
Учебник для 7 класса средней школы
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Н. И. Никитина. Младшие редакторы О. В. Агапова,
Т. Н. Клюева. Художник Т. А. Алябьева. Художественные редакторы В. П. Богданов, Е. Р. Дашук.
Технический редактор Е. В. Богданова. Корректоры Е. В. Тулъпо, И. В. Чернова.
ИБ Хв 14702
Поштпсапо к печати с диапозитивов 22. 10. 91 Формат 60 х 90%(. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Пе-
чать офсетная. Усл. печ л. 15 + 0,25 форз Усл. кр.-отг. 15,75. Уч.-изд. л. 11,04 * 0,42 форз. Ордена Трудового
Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и информации РСФСР. 127526,
Москва, 3-й проезд. Марьиной роши, 41. Отпечатано при посредстве В/О «Внешторгиэдат».
Отпечатало Графишер Гросбетриб Пёснек ГмбХ - Эйн Мопдрук-Бетриб
Gedruckl bei Graphischer GroObeirleb PoBneck GmbH Ein Mohndruck-Betrieb
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
натуральных чисел отЮ ДО 99
ДЕСЯТКИ				ЕДИН		и ц ы				
	0	1	2	3	4	5	6	1	8	3
										
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801