"» ii —
НОВОЕ Серия «Математика, кибернетика»
В ЖИЗНИ, НАУКЕ, № 5, 1976 г.
ТЕХНИКЕ Издается ежемесячно с 1967 г.
И. П. Егоров,
доктор физико-математических наук,
профессор
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ
СТРУКТУРАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Москва 1976

СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Аксиоматический метод и математические 3
структуры
§ 2. Отношения. Отношения эквивалентности и 16
факторизация 19
§ 3. Понятие модели системы аксиом
§ 4. Непротиворечивость. Независимость и
полнота системы аксиом. Примеры математиче- 25
ских структур 34
§ 5. Пример математической структуры (Т, П, р)
§ 6. О символических исчислениях и математиче- 51
ских структурах ...»,,
Егоров И. П.
ЕЗО О математических структурах. М.,
«Знание», 1976.
64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия
«Математика, кибернетика», 5. Издается ежемесячно с
1967 г.)
В брошюре рассматривается понятие математической
структуры и связанные с ним вопросы аксиоматической теории.
Изложение ведется на уровне современных достижений,
иллюстрируется наглядными примерами.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей,
интересующихся аксиоматическими теориями.
20 200 51
@ Издательство «Знание», 1976 г*

§ 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Открытие аксиоматического метода приписывается
Пифагору, греческому ученому, жившему в V веке до н. э. Но
впервые этот метод успешно применял в «Началах» Евклид
в III веке до н. э. В «Началах» прежде всего даются
определения и перечисляются основные допущения —
постулаты и аксиомы. Затем идут теоремы, которые Евклид
стремился доказывать по правилам логики на основании
принятых постулатов и аксиом.
Совокупность получаемых таким образом следствий и
приводит нас к аксиоматической теории. Аксиоматический
метод является в настоящее время основным методом
исследования не только в геометрии, но и во многих других
разделах современной математики.
Первый период развития аксиоматического метода
составляет период со времени Евклида до начала XIX века;
исследования в этот период в основном проходили на
содержательном уровне.
Для того чтобы выяснить, что же представляет собой
аксиоматический метод, обратим внимание на предложения
(теоремы), рассматриваемые в геометрии. В ней
доказываются различные теоремы, причем доказательство каждой
опирается на определения, аксиомы и ранее полученные
теоремы. Доказательства последних, в свою очередь,
основываются на предыдущих теоремах, определениях и
положенных в основу аксиомах. В итоге приходим к аксиомам,
как к> простейшим отправным предложениям.
Аналогичное положение имеет место для определений
понятий. Всякое понятие определяется через ранее
введенные понятия и аксиомы. В результате указанной редукции
мы придем в конце концов к понятиям, которые уже не
сводятся к более простым и представляют собой отправные
3

неопределяемые понятия. Эти понятия называются
основными понятиями, и они также описываются аксиомами.
Например, в планиметрии в качестве основных понятий
принимаются точки, прямые и расстояния от одной точки
до другой. Основные понятия — точки и прямые — в этом
случае называются также основными образами. Расстояния
при таком построении геометрии образуют, как убедимся
ниже, систему так называемых неотрицательных величин.
Отметим, что основные понятия при построении теории
даются только через аксиомы. Поэтому все свойства
основных понятий должны быть перечислены в аксиомах. В этом
смысле часто говорят, что аксиомы неявно определяют
основные понятия. Ниже на конкретных примерах мы
убедимся, как с помощью аксиом описываются основные
свойства или отношения основных образов.
Задача выбора основных понятий и аксиом, их
описывающих, является одной из важных задач оснований
геометрии. Эта задача решается неоднозначно и требует от
математика определенного навыка и внимания.
Указанным путем может быть построена и любая другая
аксиоматическая теория.
Построение аксиоматической теории начинается с
перечисления основных понятий — основных образов и
основных отношений. Все другие понятия должны быть
определены через основные понятия и понятия, ранее введенные.
Сущность аксиоматического метода в двух словах
состоит в следующем. Полагая в основу построения
аксиоматической теории некоторое число предложений, называемых
аксиомами, мы должны из них вывести все другие
предложения теории при помощи лишь одних логических законов.
Таким образом, аксиомы — это исходные положения
научной теории, выведенные из взаимосвязей изучаемых
понятий. Они в своих предпосылках имеют опыт.
Аксиоматические теории являются более строгими по
сравнению с так называемыми интуитивными
математическими теориями, в которых не дается четкого различия
между тем, что очевидно и тем, что должно* доказываться.
Математика является одной из самых абстрактных наук.
Но ее понятия отражают свойства реальных вещей и
отношений между ними. Поэтому аксиомы не являются
продуктом свободного творения математиков. Они не есть и
условные соглашения, как это считал А. Пуанкаре. Ошибочно
смотреть так же на аксиомы, как на истины, не
нуждающиеся в доказательствах в силу их очевидности.
4

Система аксиом должна удовлетворить определенным
требованиям и в первую очередь требованию совместности
или непротиворечивости. Необходимо отметить, что одни
аксиомы, даже если они и удовлетворяют требованию
совместности, не позволяют еще построить саму теорию
строгим образом, так как в действительности дальнейшие ее
построения ведутся без точного указания общелогических
правил вывода.
Следующий период в развитии аксиоматического метода
связан с открытием неевклидовых геометрий и созданием
теории множеств. Геометрия Лобачевского и теория
множеств вызвали появление ряда важнейших исследований по
общим вопросам аксиоматики. Они содействовали
распространению в математике метода научного исследования с
помощью аксиом.
Дальнейшее развитие аксиоматического метода привело
математиков к понятию символического исчисления.
Последнее характеризуется заданием не только системы
аксиом, но и правил вывода. В теории символических
исчислений получен ряд важнейших результатов, составляющих
новую ступень в развитии аксиоматического метода
исследования.
Математические структуры
В настоящее время усиленно разрабатываются
аксиоматические теории, в основе которых лежат
теоретико-множественные понятия. Такие теории приводят нас к понятию
математической структуры.
Математическая структура, или, короче, структура
по определению обозначает одно или несколько множеств
Aflf М2, ..., Mht (1.1)
элементы которых произвольной природы и находятся в
некоторых отношениях
Pi, Р2> •-, Рь (1-2)
описываемых свойствами (аксиомами)
«1. «2» •••» «г, (1.3)
выраженными в терминах теории множеств. Указанные
множества называются базисными множествами
математической структуры, a av ос2,..., аг— ее свойствами (аксиомами).
Математическая структура с базисными множествами
5

Aflf M2, ..., Mk
и отношениями
Pi» /?2» •••» Рг
обозначается в виде
S=(MX, M2i ..., Mh,pu р2, ..., />j). (1.4)
Часто в структурах некоторые из базисных множеств
играют более важную роль и называются они основны-
м и базисными множествами; остальные базисные
множества считаются вспомогательными.
Предположим, что основные отношения pi9 p2i ..., рг в
структуре (1.4) будут соответственно от nlt n2l ..., пх
предметных аргументов. Набор этих чисел п1% я2, ..., пх и k
единиц 1, 1..., 1 в указанном порядке будем называть типом
t данной структуры. В символической записи тип
структуры (1.4) условимся изображать в виде: /=(/2х, пъ ..., пь
1, ..., 1 у.
Здесь последние^ мест, где k — число основных
базисных множеств в структуре, заняты единицами; если & = 1,
то последнюю единицу в тип t включать не будем.
Совокупность предложений, которые можно вывести
логическим путем из аксиом структуры, называется теори-
е й этой структуры. Допустим теперь, что наряду с (1.4)
нам дана еще одна структура
s'=(M\, м\,..., м;,, />;, Pv ..., Р'г). (1.5)
Дадим определение понятия структур S, S' одного и того
же типа. Две структуры S, S' называются структурами
одного и того же типа t (однотипными), если они имеют одно
и то же число базисных множеств (k-kf), основных
отношений (/-/') и, кроме того, соответствующие отношения
Pi» Рр Рг» Р2» •••» Рь Pi
имеют одно и то же число предметных аргументов:
г г >
ТХ-^ — ^j» ^2 — ^о» •••» ^/—tlj-
Говорят, что две структуры S и S' подобны, если &, k!
равны и структуры эти содержат одни и те же основные
отношения. Очевидно, подобные структуры однотипны.
Предполагая, что понятия натурального ряда чисел N
и множества Z всех целых чисел уже известны, приведем
следующие примеры математических структур.
Пример 1. Возьмем в качестве базисного множества
одно множество N: в роли основного отношения — примем
6

отношение р (xt у, z) от трех предметных аргументов х,
у, z £N, описывающее операцию сложения, т. е. 1) функция
р (х, у, г) принимает значение И (истины), если x+y=z;
2) функция р (х, у, z) принимает значение Л (лжи), если
x-^-yn^z. Это структура Sx с одним базисным множеством N
и одним основным отношением р. Тип этой структуры t=(3).
Пример 2. Множество четных чисел натурального
ряда также можно принять в качестве базисного множества
структуры с тем же основным отношением р (х, у, г), что и
в примере 1. Приходим к структуре S2 четных чисел с
операцией сложения.
Пример 3. Рассмотрим далее множество М,
состоящее из данных чисел 1, —1:
Af={l,-1}.
В качестве основного отношения возьмем отношение,
описывающее умножение этих чисел. В итоге получим
структуру S8=(Af,-) типа /=(3).
Пример 4. Возьмем теперь в качестве базисного
множества вершины четырехугольника А1А2А3А^9 а в
качестве р — отношение, описывающее следование:
р (Аи А2)=р (Л2, А3)=р (Л3, АА)=р (Л4, Аг)=И.
В других случаях р (AtAj)=JI. Это структура типа /=(2).
Очевидно также, что множества и отношения
(Z, +), (Z, +, ., О
являются структурами, определенными на одном и том же
базисном множестве Z всех целых чисел; типы этих
структур выражаются соответственно символами
/=(3), /-(3, 3, 2).
Примеры структур с другими базисными множествами
рассматриваются ниже.
Но не всякая аксиоматическая теория является
математической структурой. В качестве примера приведем
аксиоматическую теорию равенства (тождества) при
предположении, что совокупность значений предметной переменной не
является множеством. Эта теория определяется одним
основным отношением р (х, у) от двух предметных аргументов
х и у и следующими двумя аксиомами, описывающими это
отношение,
7

Аксиомы равенства
1. Для всякого х выполняются р (х, у)\
2. Если при любых х, у отношение р (х, у) выполняется
и х обладает свойством Л, то тем же свойством А обладает у.
Из этих аксиом следует, что отношение равенства
является симметрическим и транзитивным. Более точное
определение аксиоматической теории равенства дается на основе
аксиом 1—13 исчисления предикатов (см. дальше.)
Изоморфизм структур
Изучение структур ведется с точностью до изоморфизма.
Приведем определение этого важнейшего понятия для
структур с одним базисным множеством.
Допустим, что нам даны две математические структуры
S и S', каждая из которых имеет одно базисное множество
М, М' соответственно:
S=(Af, ри р2, ..., pt)f (1.6)
S'=(M'9p\;p'v...9 р\). (1.7)
Отображением структуры S в структуру S' называется
отображение базисного множества М структуры S в
базисное множество М' структуры S'.
Две структуры одного и того же типа называются
изоморфными, если можно установить такое
взаимно-однозначное отображение элементов базисного множества одной
структуры на элементы базисного множества другой, при
котором элементам в первой структуре, связанным
некоторыми основными отношениями, отвечают элементы во
второй структуре, находящиеся в одинаковых отношениях.
Более четко это важнейшее понятие определяется
следующим образом. Взаимно-однозначное отображение f
некоторой структуры S типа / на структуру S' того же типа
t называется изоморфизмом, если при этом отображений
сохраняются основные отношения. Подробнее последнее
условие означает, что если основное отношение рх
выполняется или не выполняется для аргументов хх, х2, ..., х«/,
то отношение р\ также соответственно выполняется или не
выполняется для соответствующих по изоморфизму
элементов/ (х^), f (х2), ..., / (хп), т. е. выполняются условия
вида
Pi (*i> *2* •••» Хп)++Р\ if (xl)> f С*а). •••> f (Ч)- О'8)
е

Другими словами, правая часть (1.8) тогда и только тогда
выполняется, когда выполняется левая часть (1-8).
Структуры 5, 5\ допускающие изоморфизм,
называются изоморфными. Изоморфизм структуры S на себя
называется автоморфизмом.
Понятие изоморфизма структур допускает обобщение.
Если отображение / некоторой структуры S типа t в
структуру S' того же типа такое, что условия (1.8) выполняются
лишь в одну сторону:
Pi(xly хъ ..., хп^р\ (f (хг), f (х2), ..., / (Хп)), (1.9)
т.е. из выполнимости левой части следует выполнимость
правой, то данное отображение называется гомоморфизмом
структуры S в структуру Sr.
В этом случае говорят также, что структура
гомоморфна структуре S'.
Приведенные выше примеры структур показывают, что
структуры S-L, S2 изоморфны. В самом деле,
взаимно-однозначное отображение / (х)=2х структуры Sx на S2,
очевидно, является изоморфизмом.
Нетрудно также проверить, что структура St
гомоморфна структуре S3. В этом случае искомое отображение
гомоморфизма строится следующим образом:
1) / (х)=1, если х — четное число,
2) / (х)=—1, если х — нечетное число.
Если математические структуры не принадлежат к
одному роду, т. е. определяются разными системами аксиом,
то теории эти все же могут быть связаны друг с другом.
Особого внимания, естественно, заслуживает случай, когда
эти структуры приводят к одной и той же теории, т. е.
случай эквивалентности систем аксиом данных структур. Две
системы аксиом /С, К назьгоаются эквивалентными, если в
каждой из определяемых ими теорий можно построить
основные понятия другой теории так, что все аксиомы этой
другой теории будут теоремами в первой теории.
Эквивалентными системами аксиом являются,
например, гильбертовская и вейлевская (точечно-векторная)
системы аксиом евклидовой геометрии, а также аксиомы
«открытых» и «замкнутых» множеств, определяющие
топологические пространства и другие.
Замечание. Всякую математическую структуру с
k основными множествами
S=(Mlt Мъ ..., Mh, ри /?2, ..., pt), (1.10)
9

определенную аксиомами К («i, ..., ак), всегда можно
привести к структуре с одним базисным множеством.
В самом деле, предположим, что нам дана структура
(1.10) типа t—(nly ..., пь 1, ..., 1). Возьмем в качестве
базисного множества М' новой структуры объединение
базисных множеств Ми ..., Mk данной структуры S:
М'=Мг\/М2\/ ... \/Мк, а в качестве основных
отношений — отношения /?!, р2, ..., Pi структуры S и k
одноместных предикатов
Яг (*). Яг (*). •••> Як (*), (1.11)
выражающих принадлежность элемента х£МГ
соответственно множествам Мх, М 2, ..., Mk. Полученная таким
образом структура
S' = (M'y ри р2 Ри Яг Як) О-12)
будет с одним базисным множеством М', l-\-k
отношениями /?!, ..., рь qu ..., qh. Эти отношения описываются
данной системой аксиом К (alf ..., ar). Дополнительных аксиом
об отношениях (свойствах) qlt ..., </fe, производящих
разбиение М', мы не приводим в целях простоты изложения.
Очевидно, также, что объединение добавленных отношений
и пересечение любых двух отношений из (1.11) определяют
соответственно полное и пустое отношение (свойства); тип
структуры (1.12) t=(nu л2, ..., nh 1, ..., 1).
Обратно, по структуре S' с одним базисным множеством
1W и k-\-l предикатами, из которых k одноместных qly ..., qk
причем объединение qx V?2»V-..» V Як и пересечение
любых двух из них qt (] qj являются соответственно полным и
пустым отношениями (свойствами), всегда можцо построить
структуру S с k базисными множествами того же типа f =
= (nlt ..., nh 1, ...). Структуры S и S' будут
эквивалентными.
Род структур. Примеры
Аксиомы иногда характеризуют с точностью до
изоморфизма не одну структуру, а некоторое множество
математических структур. Совокупность всех структур,
определенных данной системой аксиом, называется родом этих
структур.
Структурам одного рода при каких угодно базисных
множествах обычно приписывается специальное название.
ю

Такие известные читателю понятия, как группа, кольцо,
поле и другие, являются множествами, наделенными
структурами определенного рода.
Пример 1. Остановимся подробнее на понятии рода
структур группы. Группой называется структура
S^(G, •). (1.13)
состоящая из одного базисного множества элементов G,
определенной на этом множестве операции умножения,
позволяющей любым двум элементам х, у отнести третий
элемент z при условии, что выполняются некоторые аксиомы.
Аксиомы теории групп
1) Любым двум элементам х, уу данного множества,
взятым в определенном порядке, можно отнести по операции
умножения определенный элемент г, принадлежащий тому
же множеству: г—ху.
2) Операция умножения удовлетворяет ассоциативному
закону, т. е. для любых трех элементов х. у, г,
принадлежащих множеству G, справедливо равенство:* {уг) = (ху) z.
3) Существует правая единица, т. е. такой элемент е,.
что для любого элемента х, принадлежащего множеству G,
имеет место хе=х.
4) Для любого элемента х из множества G существует
правый обратный элемент х\ принадлежащий также G,
т. е. такой элемент, что хх'=е.
Так определяется абстрактная группа. Это определениесо-
вершенноне касается природы элементов множества и
смысла групповой операции умножения. Элементы множества
могут быть любой природы, так же как и групповая
операция ср (х, у)=ху может быть любой операцией, лишь бы
удовлетворились указанные четыре аксиомы.
Замечание. Обратим внимание на функцию ср (х, у),
определяющую групповую операцию. Она задается на
множестве упорядоченных пар элементов х, #,£G, называемом
также декартовым произведением множества G на себя
(обозначается символом GXG). Оба сомножителя декартова
произведения у нас одинаковы, но они могут быть и
различными.
Декартовым произведением множества А и В
называется множество упорядоченных пар х, у, где элемент х
принадлежит множеству Л, а элемент у — множеству В.
Очевидно, областью значений функций ср (х, у) будет множест-
11

во G. .Эта функция ер (х, у) осуществляет отображение
декартова произведения GxG на G.GXG-+G. Ясно, что
задание групповой операции ф (х, у) равносильно заданию
отображения GXG-+G в предположении, что групповые
аксиомы 1—4 выполняются.
Более того, бинарную операцию ер (х, y)=z можно
также понимать, как отношение между тремя упорядоченными
элементами х, у, z £ G, которое истинно тогда и только
тогда, когда произведение первых двух элементов х, у в
указанном порядке равняется третьему элементу г.
Возвращаемся к определению (1.13). Из аксиом 1—4
следует, что 1) группа допускает только одну правую единицу;
2) левая единица в группе необходимо является правбй;
3) правый обратный элемент является одновременно и
левым; 4) всякий элемент в группе имеет не более одного
обратного элемента. Приведем примеры групп:
а) множество целых (рациональных, вещественных)
чисел составляет группу по операции сложения. Единицей
группы является число нуль;
б) множество рациональных (действительных) чисел
без нуля составляет группу по операции умножения.
Единицей группы является обычная единица;
в) множество подстановок из п цифр составляет по
операции умножения подстановок группу с п\ элементами.
При я=3, например, получим группу подстановок из трех
цифр, содержащую шесть элементов.
Существуют другие группы, также содержащие шесть
элементов и неизоморфные группы подстановок из трех
цифр. Например, совокупность вращений евклидовой
плоскости вокруг данной точки О на углы, кратные я/3,
образуют группу. Умножение элементов здесь понимается как
последовательное осуществление данных вращений.
Неизоморфность этих групп следует из того, что умножение в
группе вращений коммутативно, т. е. не зависит от порядка
сомножителей, а в группе подстановок — некоммутативно,
т. е. произведение элементов, вообще говоря, зависит от
порядка сомножителей.
Совокупность Н элементов из группы G, составляющая
по данной групповой операции в G самостоятельную
группу, называется подгруппой группы G.
Множества элементов а#, где a^F называются
смежными классами.
12

Очевидно, подгруппами группы вещественных чисел по
сложению являются множества рациональных или целых
чисел.
Пример 2. Рассмотрим теперь род структур
порядка. Так именуются структуры, в которых изучаются
бинарные отношения между элементами х, у данного
множества, выражаемые словами «х меньше или равен у»,
<ас предшествует у». Множество называется упорядоченным,
если его элементы находятся в отношении предшествования,
обозначаемого символом <;, причем выполняются
следующие аксиомы 1—3.
Аксиомы рода структур порядка
1. Для любого элемента х имеет место х^.у.
2. Если х^у и ух^ то х=у*
3. Если х^у и y*^.z, то х^г.
Примерами таких структур (М, ^). будут, в частности,
множества натуральных и вещественных чисел,
упорядоченные по величине. Множество называется частично
упорядоченным, если некоторые его пары элементов находятся
в отношении предшествования ^, удовлетворяющего
аксиомам порядка. Важным примером частично упорядочен*
ного множества является множество подмножеств данного
множества, упорядоченных по включению.
Пример 3. Рассмотрим еще одну совокупность
структур, составляющую род структур топологических
пространств.
Структуры этого рода описывают свойства пространств с
одним или несколькими основными отношениями (к
топологическим структурам принадлежат структуры,
определяющие топологические пространства и дифференцируемые
многообразия, евклидовы пространства и пространства
Лобачевского, аффинные и проектные пространства и
другие).
Топологической структурой (короче, топологией) в
множестве М называют структуру, образованную заданием
для каждого его подмножества А замыкания Л, так, что
выполняются следующие три аксиомы.
13

Аксиомы замыкания
1. Замыкание одноэлементного подмножества совпадает
с этим подмножеством.
2. Замыкание объединения множеств А и В совпадает с
объединением их замыканий А и В.
3. Операция замыкания, примененная к замыканию А
множества Л, совпадает с замыканием этого множества А-
Из этих аксиом следует, что всякое множество
содержится в своем замыкании, т. е. для всякого множества А
выполняется включение Ас:А. Кроме того, выполняется
свойство монотонности: если AczB, то ЛсиВ.
Топологическим пространством называется множество
УИ, наделенное топологической структурой. Элементы
топологического пространства называются точками.
Замкнутое множество определяется как множество,
совпадающее со своим замыканием. Множество называется
открытым, если его дополнение замкнуто. Окрестностью
точки называется всякое открытое множество, содержащее
эту точку. Предельная точка данного множества
определяется как точка х> всякая окрестность которой содержит
точку данного множества, отличную от точки х.
Обратно, зная предельные точки всех множеств, можно
определить замкнутые множества как множества,
содержащие все свои предельные точки. Далее замыкание
множества определяется как совокупность всех точек этого
множества и точек, являющихся предельными для него.
Примером топологического пространства может
служить множество точек числовой плоскости, если операцию
замыкания будем понимать в смысле добавления к А всех
предельных точек этого множества (предельные точки
множества А определяются как такие точки х плоскости, где
произвольный числовой круг с центром в х содержит по
крайней мере одну точку у (уфх) множества Л).
Отметим, что существуют другие определения
рассматриваемых структур, основанные на понятии «замкнутого»
или «открытого» множества.
В топологических структурах изучаются различные
обобщения понятий окрестности, предела и непрерывности
числовых функций. Эти структуры в основном
рассматриваются в топологии и дифференциальной геометрии.
И

О делении структур на классы
Деление совокупности всех структур на структуры
порядка, алгебраические структуры очень условно. Оно не
приводит к классификации-разбиению структур на
непересекающие классы. В качестве примера можно привести
структуры порядка-решетки, которые являются также и
алгебраическими структурами.
Познакомимся с более строгим делением структур,
содержащих одно базисное множество. Прежде всего определим
понятия алгебраической структуры и структуры с
отношениями. Математическая структура
S = (My ри /?2, ..., pi) (1.14)
называется алгебраической, если отношения ее/?!, /?2, ..., рг
описывают лишь одни операции (т. е. каждое из этих
отношений определяет некоторую операцию-отображение
декартовой степени Мп во множество М).
Например, алгебраическими структурами являются
структуры рода группы, кольца, поля и другие. Из
определения алгебраической структуры следует, что такую
структуру всегда можно определить в терминах алгебраических
операций.
Другой класс структур, очевидно, получится тогда,
когда каждое из отношений ри /?2, ..., рг является
собственно отношением, не представляющим собой
операции; такие структуры (1.14) называются структурами с
отношениями или реляционными структурами. Примерами
таких структур, как мы знаем, являются структуры порядка.
Математические структуры, в которых описываются
одновременно свойства, операции и отношения, составляют
третий класс структур, называемых структурами
общего вида. Ясно, что всякая структура является
структурой лишь одного из указанных трех классов.
Очевидно, заменяя в структурах общего вида символы
операций на соответствующие символы отношений, мы
можем преобразовать каждую структуру общего вида в
структуру с отношениями.
В заключении параграфа еще раз подчеркнем, что
аксиоматический метод является таким методом исследования,
при котором все предложения (теоремы) выводятся
логическим путем из некоторой части этих предложений,
называемых аксиомами. Указанный метод является мощным
инструментом исследования математических
закономерностей реального мира.
'5

В предыдущем параграфе были приведены некоторые
примеры отношений, из которых следует, что отношения
выражают связи между предметами или понятиями.
В общем случае для задания какого-нибудь бинарного
(двухместного) отношения между элементами х к у,
принадлежащими множествам соответственно А и В, достаточно
указать множество всех упорядоченных пар (х, у) таких,
что первый элемент хе=Л находится в данном отношении ко
второму элементу yEiB. Отсюда следует, что отношение
р (х, у) характеризуется определяемым им множеством
упорядоченных пар: pczA хВ, где А и В — множества
элементов, вступающих в отношение, ар — множество
истинности — множество упорядоченных пар, для которых оно
выполнено. Таким образом, отношение р (х, у) истинно для
х, у тогда и только тогда, когда х, у ЕЕр; по существу
утверждения «отношение р (х, у) выполнено» и «(х, #)ер»—
равносильны. Для некоторых бинарных отношений
приняты специальные обозначения. Например, х—у, х<у,
х£=Л выражают в символической записи бинарные
отношения соответственно отношения равенства, меньше и
включения. Говорят, что на множествах А и В задано
бинарное отношения р (х, у) определенное множеством р,
если р (х, у) выполняется тогда и только тогда, когда пара
(х, у)Е=р- Множество р называется иногда множеством
истинности отношения р (х, у).
Особо отметим бинарные отношения на множестве Л.
В этом случае множество истинности р будет
подмножеством АхА\ раАхА.
Если множество истинности р=АхА, р=0, р=Д, где
Д диагональ ЛхЛ, то бинарное отношение р (х, у)
называется соответственно полным, пустым и диагональным.
Если множество истинности будет подмножеством
декартова произведения трех различных или совпадающих
множеств, то отношение называется тернарным.
§ 2. ОТНОШЕНИЯ.
ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
М fbAkTHDU^AIlUa
16

Если же р будет подмножеством декартова
произведения п различных или совпадающих сомножителей, то
определяемое отношение называется /г-арным.
Операции объединения и пересечения множества
позволяют ввести соответствующие операции над отношениями.
В самом деле, если на множестве А заданы бинарные
отношения р (ху у), q (ху у) с множествами истинности р и qy
то на том же множестве можно определить бинарное
отношение с множеством истинности р[) q. Бинарное
отношение, построенное таким образом, обозначается символом
p+q.
Аналогичным образом можно построить по данным
бинарным отношениям р (х, у), q (ху у) бинарное отношение
с множеством истинности р f] q- Так построенное отношение
будем обозначать через pq.
Мы будем говорить также, что отношения ру q связаны
отношением pczq тогда и только тогда,когда
соответствующие множества истинности связаны одноименным
отношением. Отношение р (ху у) называется дополнительным к
отношению р (х, у)у если его множество истинности р
является дополнительным к множеству р.
Приведем определения еще некоторых видов бинарных
отношений, часто встречающихся в математике:
1) отношение р (ху у) на множестве М называется
рефлексивным, если (ху х) 6 р для любого х £ М. Таким образом,
множество истинности р отношения р (ху у) содержит
диагональ А множества МхМ\
2) отношение р (ху у) называется антирефлексивным, если
(х> х)£п ни для какого х £ М. В этом случае ни одна
пара (ху х) диагонали МхМ не принадлежит множеству
истинности р\
3) отношение р (ху у) называется симметрическим, если из
(ху у) ер следует (уу х) £ р\
4) отношение р (ху у) называется антисимметрическим,
если из (ху у) £ ру (уу х) 6 р следует, что х=у.
Следовательно, не существует ни одной пары (х, у) £ р, где хфу,
для которой р (ху у)-+р (уу х);
5) отношение р (ху у) называется транзитивным, если из
(*. У) 6 Ру (У> г) 6 Р следует (ху z) 6 р для любых ху уу г
6Af;
6) отношение р-1 — обратное к данному отношению р
определяется как множество всех упорядоченных пар
(уу х) таких, что (ху у) 6 р.
17

Дадим еще определение композиции двух отношений,
заданных на множестве М. Бинарное отношение г
называется композицией бинарных отношений р и q (в
символической записи r=poq), если множество истинности этого
отношения является композицией множеств истинности
отношений р, q. Последнее означает, что пара (х, у) тогда
и только тогда принадлежит г, когда найдется г £ М, что
(х, г) е Р> (z, у) е q-
Поясним эту операцию на примере. Предположим, что
нам даны два бинарных отношения на множестве М =
= {1,2,3}:
/?={(1, 1), (2,2), (3, 1), (1,2), (3,2)},
(7=((1,2), (1, 3), (3, 1), (3,3)}.
Составляя композицию отдельных пар данных отношений,
получим:
(1, 1) (1, 2) = (1, 2), (1, 1) (1,3) = (1,3),
(3, 1), (1,3) = (3,3), (3, 1)(1,2) = (3,2).
Таким образом, имеем
ро<7={(1, 2), (1, 3), (3, 3), (3, 2),}.
Переходим к отношениям эквивалентности и факто-
ризациям. Среди бинарных отношений важную роль
играют так называемые отношения эквивалентности.
Отношением эквивалентности между элементами данного
множества М называется отношение р (х, у), обладающее
следующими тремя свойствами:
1. Всякий элемент х£М эквивалентен самому себе, т. е.
для всякого х£М выполняется р (х, х) (свойство
рефлексивности отношения р).
2. Если х эквивалентен у, то у эквивалентен х для
любых ху у£М. В символической записи «если р (х, у), то
р (у, х)» (свойство симметричности отношения р).
3. Если х эквивалентен у я у эквивалентен г, то х
эквивалентен z. В символической записи, если р (х, у) и р (у, г),
то р (х, г) для любых х, у, z£M (свойство транзитивности
отношения р). Короче, бинарное отношение, одновременно
рефлексивное, симметрическое и транзитивное,
называется отношением эквивалентности.
Отношения равенства, подобия фигур, параллельности
прямых являются, очевидно, примерами отношений
эквивалентности.
Множество всех классов эквивалентности определяет
новое множество, называемое фактор-множеством мцо-
19

Жества М по отношению р. Фактор-множество
обозначается символом М/р. Это множество М/р определяет
разбиение множества М на классы эквивалентности — попарно
непересекающиеся подмножества.
Обратно, всякое разбиение множествам определяет
отношение эквивалентности между элементами х, у этого
множества. Будем считать, что х, у обладают по
определению отношением р тогда и только тогда, когда оба
элемента принадлежат к одному и тому же подмножеству данного
разбиения. Можно убедиться, что аксиомы
эквивалентности 1—3 выполняются и элементами фактор-множества
будут подмножества данного разбиения.
Операция перехода от множества М к множеству М/р
называется факторизацией данного множества М.
Понятия факторизации, как и понятие декартова произведения
множеств, является очень важным понятием в
современной математике.
Эти понятия у нас найдут важные приложения в пятом
параграфе «Пример математической структуры» (Г, П, р).
§ 3. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ
СИСТЕМЫ АКСИОМ
Абстрактность понятий в современной математике
вовсе не означает отхода от задач, которые ставятся перед
нами окружающей действительностью. Наоборот,
аксиоматические теории могут быть применены и успешно
применяются на практике в самых неожиданных ситуациях,
в которых удается подходящим образом найти некоторые
объекты и связать их первоначальными основными
отношениями так, чтобы все аксиомы были выполнены.
Предположим, что мы имеем некоторую математическую
структуру S, т. е. нам даны некоторые базисные множества,
элементы которых находятся между собой в определенных
отношениях, описываемых данной совокупностью К свойств
(аксиом) аи ..., аг. Из этих аксиом можно выводить
логическим путем новые предложения. Причем основные
19

образы и отношения, как и сами аксиомы, понимаются
формально и, следовательно, не имеют никакого
конкретного смысла. Истинные предложения структуры S будут
при этом некоторыми формальными предложениями
относительно образов и отношений данной структуры.
Допустим далее, что для данной системы аксиом К
существует такая совокупность каких-либо конкретных
предметов и отношений между ними, что все аксиомы
К (o&i, а2, ..., аг) становятся истинными предложениями.
Тогда логические выводы, вытекающие из данных аксиом,
также будут истинными высказываниями об этих
предметах и построенных между ними отношениях. В логических
выводах о свойствах данных предметов, разумеется,
совершенно не принимаются во внимание другие их возможные
свойства, не упоминаемые в аксиомах.
Основные объекты математической теории,
определенной аксиомами /С, можно считать предметами любой
природы, и основные отношения между ними могут иметь
любой конкретный смысл, лишь бы эти предметы и
отношения удовлетворяли всем требованиям данной
системы аксиом. Таким образом, с основными и
производными понятиями аксиоматической теории можно связывать
различный смысл.
Всякий конкретный набор основных образов и основных
отношений между ними, удовлетворяющий требованиям
данной системы аксиом, определяет модель или
интерпретацию этой системы аксиом.
Приведенные выше примеры групп и частично
упорядоченных множеств могут служить моделями
соответствующих аксиом теории групп и аксиом порядка. С моделями
других систем аксиом мы познакомимся в следующем
параграфе настоящей брошюры.
Модель систем аксиом часто называется также моделью
аксиоматической теории, определяемой этой системой
аксиом. Что касается правил вывода, то они должны
гарантировать выполнимость в любой модели всех выводимых
утверждений данной аксиоматической теории.
Мы рассматриваем вопрос о моделях системы аксиом и
определяемой ею аксиоматической теории.
Понятие модели, очевидно, приложимо и к
математическим структурам. Но чтобы не допустить здесь путаницы
и более четко представить себе рассматриваемый материал,
возвратимся к определению математической структуры.
20

Напомним сначала Это определение. Математической
структурой называется одно или несколько базисных
множеств уИх, ..., Мк, элементы которых находятся в
некоторых отношениях ръ ..., рь описываемых с помощью
свойств (аксиом) ах, ..., аг, выраженных в
терминах теории множеств.
Обратим внимание на упоминаемые в определении
слова «с помощью свойств (аксио м)». Этими словами
подчеркивается, что математические структуры можно
определить либо заданием свойств ах, ..., аг
отношений ри ..., рг между элементами данных множеств Ми ...,
Мк в некоторой уже созданной аксиоматической теории,
либо заданием аксиом К («i, ..., аг)> описывающих
основные отношения р19 ..., рг между элементами базисных
множеств (Ми ..., Мк).
Мы не будем ставить вопроса о переходе от одного
задания структуры к другому, о равносильности заданий.
К этому вопросу полезно вернуться потом, когда читатель
познакомится с содержанием § 6.
Об этих различных заданиях следует помнить особенно
в случаях, когда речь идет о построении требуемой
структуры.
Именно в смысле первого задания приводились выше
примеры структур 1.4.
При втором задании математические структуры (в
содержательном смысле) являются моделями данной системы
аксиом К (alf ..., ar). Теорией же таких структур
является теория рода структур, определенных аксиомами
К (alf ..., ar).
Модель математической структуры с аксиомами К
определяется базисными множествами, на которых все
предложения теории, при надлежащих интерпретациях
основных отношений, оказываются истинными утверждениями.
К этому краткому определению понятия модели
структуры мы добавим следующие пояснения:
1) в определении модели подразумевается, что р,,
р2, ..., рь зависящие соответственно от /ilf п2> ..., щ
предметных аргументов, интерпретируются в виде
основных отношений (обозначаемых теми же символами) между
элементами базисных множеств;
2) при построении модели аксиомы структуры
должны переходить всегда в истинные утверждения;
3) и, наконец, поясним смысл встречающихся в
определении модели слов «предложения теории».

Под предложением теории здесь понимается, как
обычно, любое утверждение (выводимая формула), не
содержащее свободных переменных.
При изучении моделей данной системы аксиом большое
значение имеет понятие изоморфизма двух моделей.
Допустим, что некоторая система аксиом допускает две
модели. Эти модели называются изоморфными по
определению, если между элементами (основными образами) данных
моделей можно установить взаимно однозначное
соответствие, при котором соответствующие элементы находятся
в одинаковых взаимных отношениях.
Легко видеть, что, например, группа вращений
плоскости вокруг данной точки на углы 0°, 90°, 180°, 270° и
группа вычетов целых чисел по модулю 4 являются
изоморфными моделями группы.
Обратим внимание читателя на следующие
обстоятельства.
Во-первых, понятие изоморфизма моделей
аксиоматической теории является близким к понятию изоморфизма
аксиоматических теорий. Но понятия эти, очевидно, не
совпадают друг с другом.
Во-вторых, существуют системы аксиом, имеющие
бесчисленное множество моделей. В этом случае каждому
предложению в одной модели отвечает в тех же терминах
соответствующее предложение в любой другой. Но мы
убедимся ниже, что не всякая система аксиом допускает
модель.
В-третьих, очевидно, что совокупность моделей
аксиоматической теории определяет границы применения этой
теории.
Теория множеств является главным поставщиком
моделей аксиоматических теорий. В частности, теоретико-
множественный характер имеют модели математических
структур по определению последних.
Однако сама теория множеств также нуждается в
обосновании. При аксиоматическом построении ее возникают
также вопросы непротиворечивости, независимости и
полноты систем аксиом, возникают здесь и другие сложные
вопросы.
Два слова о наглядном изображении частично
упорядоченных конечных множеств. Эти множества и
упорядочивающие их отношения изображаются при помощи
диаграмм следующим образом. Элементы множества
изображаются кружочками, расположенными на плоскости на
22

различных уровнях. Если элементы х, у сравнимы и х^у,
то кружочек, изображающий элемент у, расположен на
более высоком уровне, т. е. выше кружочка,
изображающего элемент х, причем из первого кружочка можно
перейти во второй по крайней мере по одной
какой-нибудь ломаной, звенья которой опускаются вниз.
Если элемент непосредственно предшествует элементу, то
соответствующие кружочки соединяются отрезком. В этом
случае говорят, что элемент у покрывает элемент х. В
других случаях сравнимые элементы соединяются ломаными.
Несравнимые элементы не соединяются ни с какими
опускающимися вниз звеньями. Если кружочки являются
вершинами лишь одной ломаной, то говорят о линейном
порядке элементов данного множества (рис. 1). На рис. 3
элементы 1, 2 не сравнимы, элементы 1, 123 — сравнимы.
Важным примером частично упорядоченного множества
являются совокупности упорядоченных по включению
подмножеств данного множества. На рис. 3 изображена
совокупность всех подмножеств трехэлементного множества,
упорядоченная по правилу включения. Кружочек на
самом низком уровне изображает пустое подмножество,
кружочки предшествующего уровня — одноэлементные
подмножества, кружочки следующего уровня —
двухэлементные подмножества.
Наконец, на самом высоком уровне кружочек
изображает данное трехэлементное множество как несобственное
подмножество.
Примерами бесконечных частично упорядоченных
множеств могут служить множества целых или вещественных
чисел, упорядоченных по величине, а также множество
натуральных чисел, упорядоченное отношением ^, где по
определению х^у, если у делится на х.
Большой интерес представляют решетки — частично
упорядоченные множества, в которых любые
двухэлементные подмножества {х, у} имеют точную верхнюю и
нижнюю грани.
Приведем определение верхней и нижней граней
подмножества, состоящего из двух элементов. Верхней гранью
подмножества {х, у} называется такой элемент а, что х^а,
у^а. Верхняя грань называется точной, если она
связана с любой другой верхней гранью b данного
подмножества соотношением а^Ь. Нижней гранью подмножества
{х, у} называется такой элемент с^х, с^у; эта грань с
называется точной нижней гранью, если любая другая
23

Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
нижняя грань d меньше или равна с. На рис. 1, 2 и 3
изображены диаграммы структур, состоящие из четырех,
пяти и восьми элементов соответственно. На рис. 4
изображено частично упорядоченное множество, не являющееся
решеткой.
24

Точные грани а, с двухэлементных подмножеств {х, у)
позволяют ввести на решетке операции сложения и
умножения. В качестве суммы и произведения элементов ху у
по определению принимаются соответственно точная
верхняя и точная нижняя грани данных элементов. Эти
операции в символической записи представляются в следующем
виде:
х+у=а, ху=с.
Например, если взять элементы #={1, 2}, у ={2, 3}
решетки, изображенной на рис. 3, то х+у={1, 2, 3}, ху=
= {2}; очевидно также в случае х={1, 2}, у={3}, получим:
х+у={19 2, 3}, ху=0.
Перебирая таким образом различные пары элементов, мы
придем к таблицам сложения и умножения элементов
рассматриваемой решетки.
Аналогично можно будет найти сумму и произведение
различных пар элементов данных решеток на рис. 1—2.
Яеко, что нам необходимо предварительно ввести
буквенное или цифровое обозначение для элементов этих решеток.
Такие задачи на простейшие свойства решеток будут
полезными для читателя упражнениями по закреплению
аксиоматического метода исследования.
§ 4. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ.
НЕЗАВИСИМОСТЬ И ПОЛНОТА
СИСТЕМЫ АКСИОМ.
ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
СТРУКТУР
При аксиоматическом построении математической
дисциплины мы принимаем некоторые предложения в
качестве аксиом, из которых другие предложения выводятся по
правилам формальной логики. Однако не всякую
совокупность предложений данной теории можно принять в
качестве систем аксиом. Несомненно, что одним из основных
требований, предъявляемых к системе аксиом, должно
быть требование непротиворечивости или совместности.
Наряду с требованием непротиворечивости при исследовании
системы аксиом интересуются также требованиями незави-
25

симости и полноты. Разберем по отдельности каждое из
указанных требований.
Рассмотрим сначала свойства
непротиворечивости.
Введем следующее определение. Система аксиом
называется непротиворечивой (совместной), если определяемая
ею теория не содержит противоречия, т. е. невозможно
доказать в этой теории какое-нибудь предложение А и его
отрицание А. В противном случае система аксиом
называется противоречивой. В противоречивой аксиоматической
теории можно доказать все, что угодно.
Легко видеть, что противоречивая система аксиом не
допускает никакой модели. Действительно, ни одно из
отношений, описываемых данной системой аксиом, не может
обладать в модели одновременно свойствами А и А.
Значит, если система аксиом допускает какую-нибудь модель,
то она непротиворечива.
Таким образом, вопрос о непротиворечивости данной
системы аксиом сводится к другому вопросу —
построению интерпретации рассматриваемой системы аксиом.
Если данные аксиомы допускают интерпретацию на
совокупности некоторых образов и отношений между ними другой
непротиворечивой теории, то из этих данных аксиом
невозможно вывести противоречия. Действительно, наличие
указанной интерпретации позволяет свести вопрос о
непротиворечивости данной системы аксиом к вопросу
непротиворечивости уже построенной аксиоматической
теории. Следовательно, вопрос о непротиворечивости
системы аксиом здесь решается в условном смысле. Именно мы
заключаем, что данная система аксиом непротиворечива,
если непротиворечива теория, на понятиях которой
реализованы эти аксиомы.
2. Перейдем теперь к вопросу независимости аксиом.
Система аксиом называется независимой
(независимой в смысле предшествования), если никакую из
аксиом невозможно вывести как теорему из остальных (из
предшествующих) аксиом.
В противном случае система аксиом называется
зависимой. Предположим, что данная система аксиом К
непротиворечива и некоторая ее аксиома а зависит от других
аксиом К\а. Тогда очевидно, что система аксиом/С\а также
непротиворечива и всякая ее модель является моделью всей
системы аксиом К- Более того, ясно, что в этом случае
система аксиом, которая получается в результате присоеди-
26

нения к аксиомам /С\а аксиомы а, противоречива.
Следовательно, чтобы показать независимость аксиомы а от
остальных (от предшествующих ей аксиом), достаточно
построить такую интерпретацию, в которой бы выполнялись
все (предшествующие) аксиомы, кроме данной, а аксиома а
не выполнялась бы. Если аксиома окажется зависимой от
других аксиом системы, то ее можно доказать на
основании остальных аксиом и перевести в теоремы.
3. Аксиоматика многих математических теорий обладает
свойством полноты. Но в математике большое значение
имеют также и теории, построенные на неполных системах
аксиом. Свойство полноты системы аксиом, естественно,
должно гарантировать отсутствие независимых
утверждений. Исходя из этого полную систему аксиом можно
определить следующим образом. Непротиворечивая система
аксиом называется полной, если любые две ее модели
(интерпретации) изоморфны. Полную систему аксиом в
указанном смысле — изоморфизма моделей — называют
также категоричной.
Понятие полной системы аксиом иногда вводится во
внутреннем смысле, не опираясь на понятия изоморфизма
моделей. Полную систему аксиом в этом смысле называют
дедуктивно полной. Дадим точное определение этого
понятия.
Непротиворечивая система аксиом называется
дедуктивно полной, если для всякого предложения А из
множества SP всех высказываний теории будет доказуемо или
это данное предложение А или его отрицание А. В
противном случае система аксиом по определению будет
неполной. Таким образом, если система аксиом неполная, то
имеется независимое предложение А (выраженное в терминах
понятий данной теории), которое не доказуемо и не
опровержимо в этой теории. (Предложение А называется
опровержимым, если А доказуемо); очевидно, 5°=ТU О UО,
где 7\ О, D попарно непересекающиеся подмножества
соответственно доказуемых, опровержимых и D = P—(Т[)0)
предложений. В случае неполной системы аксиом Ьф0
и можно найти две неизоморфные модели, в одной из
которых предложение А выполняется, а в другой — не
выполняется. Таким образом, если система аксиом
категорична, то она будет дедуктивно полной. В случае
дедуктивно полной системы аксиом Р=Т[)0, т.е. D пустое
множество.
27

Отсюда все же нельзя сделать вывода о том, что если
система аксиом дедуктивно полная, то она будет полной в
смысле изоморфизма любых двух моделей (категоричной).
Очевидно, о дедуктивной полноте системы аксиом
имеет смысл говорить лишь при предположении, что
логические средства вывода следствий точно описаны.
Аксиоматическая теория, в которой явно перечислены
правила вывода следствий, называется дедуктивной
теорией.
В дедуктивной теории, построенной на дедуктивно
неполной системе аксиом, существуют предложения,
которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью
логических средств этой теории.
Например, система аксиом абсолютной геометрии
является дедуктивно неполной, так как в этой геометрии
пятый постулат Евклида недоказуем и не опровержим.
Примеры
Теперь мы проиллюстрируем свойства совместности,
независимости и категоричности системы аксиом на трех
примерах — аксиомах структур инцидентности,
действительных чисел и системы величин.
Пример 1. Предположим, что имеется два
множества Мъ М2 без общих элементов. Назовем элементы
множества Мг точками, множества М2 — прямыми.
Предположим также, что нам дано бинарное отношение рг между
элементами этих двух множеств, называемое отношением
инцидентности точек и прямых. Совокупность точек и
прямых по определению является родом плоскостных
структур инцидентности (плоскостью), если выполняются
следующие аксиомы инцидентности плоскости.
Аксиомы рода структур инцидентности
1. Любым двум различным точкам можно отнести
прямую, им инцидентную
2. Любым двум различным точкам можно отнести не
более одной прямой, им инцидентной.
3. На каждой прямой существует, по крайней мере,
две точки, ей инцидентные.
4. Существует тройка точек, не инцидентных одной
прямой. Структуры, определяемые аксиомами 1—4,
обозначаются в виде (Mlt М2, Pi), где М1У М2 базисные мно-
28

А С д
Рис. 5
жества, а рг — отношение инцидентности точки и прямой.
Легко доказать, что система аксиом инцидентности
совместна, Действительно, пусть нам задан какой-нибудь
треугольник ABC. Объявляя его вершины Л, В, С
«точками», а стороны АВ, АСУ ВС «прямыми», мы убеждаемся
непосредственной проверкой в справедливости всех
аксиом при обычном понимании инцидентности точек и прямых.
Построенная модель состоит из трех точек и трех прямых,
соответствующих вершинам и сторонам треугольника.
Зададимся теперь вопросом — как доказать
независимость данных утверждений? Другими словами, каким
образом можно установить, что каждая из аксиом 1—4
существенна, т. е. ни одна не может быть получена как
следствие из остальных аксиом.
Поставленная таким образом задача является
простейшей задачей на независимость данной системы аксиоМ.
Независимость каждой аксиомы от остальных трех аксиом
будет доказывать указанным в определении методом.
Докажем сначала независимость первой аксиомы.
Возьмем для этого в качестве точек вершины прямоугольника
(рис. 5), а в качестве прямых — его стороны.
Инцидентность будем понимать в обычном смысле.
Вершины и стороны рассматриваемого
прямоугольника образуют при указанной интерпретации модель
структуры S1^=(Mly M2l pj),, определенную аксиомами 2—4.
Все аксиомы инцидентности здесь выполняются за
исключением первой аксиомы. Первая аксиома для точек
Л, С не выполняется: не существует прямой,
инцидентной данным точкам, так как диагонали прямоугольника
в построенной геометрии не есть прямые.
Перейдем к рассмотрению независимости второй
аксиомы. Для этого построим геометрию из четырех точек и
Рис. 6
29

Рис. 7 Рис. 8
семи прямых, указанных на чертеже. К прежним четырем
точкам и сторонам прямоугольника добавляются в
качестве прямых диагонали АС и BD, а также прямая АтВ.
Инцидентность точек и прямых понимается также в обычном
смысле (рис. 6). Для точек А и В в построенной
геометрии существуют две различные прямые АВ и АтВ,
инцидентные указанным точкам, т. е. вторая аксиома не
выполняется.
Что касается других аксиом 1, 3, 4, то, как показывает
непосредственная проверка, они выполняются. Таким
образом, вторая аксиома не зависит от остальных. При
доказательстве этого утверждения мы опирались на модель
структуры (32=(МЪ 7И2, рг), определенную аксиомами
1, 3, 4.
Чтобы доказать независимость третьей аксиомы от всех
остальных, построим геометрию, пространство которой
состоит из трех точек Л, 5, Си четырех прямых Л В, Л С,
ВС и а (рис. 7). В этой модели структуры S3=(Mly М2> рг),
определенной аксиомами 1; 2 и 4, очевидно, выполняются
все аксиомы инцидентности, кроме третьей. На прямой а
существует лишь одна точка С, ей инцидентная.
Для доказательства независимости четвертой аксиомы
от всех остальных аксиом достаточно привести модель
структуры S4=(Aflf М2, Pi), определенной аксиомами
1—3. Пространство здесь состоит из одной прямой и трех
точек, ей инцидентных (рис. 8). Очевидно, все аксиомы,
кроме четвертой, на ней не выполняются. Следовательно,
система аксиом соединения 1—4 совместна и независима.
Совсем просто доказывается, что система аксиом 1—4
инцидентности не удовлетворяет требованию
категоричности. Действительно, эти аксиомы допускают модели на
конечных и бесконечных множествах — множествах
разной мощности. Поэтому между одноименными образами
указанных моделей невозможно установить даже взаимно-
30

однозначного соответствия. Следовательно, такие модели
заведомо не изоморфны между собой.
Пример 2. Говорят, что множество элементов,
именуемых числами, допускает структуру рода действительных
чисел, и обозначается
S = (R, +, . , <),
если оно упорядочено некоторым отношением < и любым
двум элементам х, у сопоставляется по некоторой
операции (сложения) элемент и=х+у и по другой операции
(умножения) элемент v=xy, причем удовлетворяются
следующие аксиомы 1—5.
Аксиомы поля действительных чисел
1. Совокупность всех чисел образует коммутативную
группу по операции сложения;
2. Совокупность всех чисел, за исключением нулевого
числа, образует также коммутативную группу по
умножению.
3. Сложение и умножение чисел связаны
дистрибутивным законом:
г (x+y) = zx+zy.
4. (Аксиома порядка и монотонности.) Для любых двух
различных чисел справедливо одно из отношений х<у или
у<х, причем
а) если х<Су и #<z, то х<я\
б) если х<у, то х+и<у+и для любого и\
в) если х<Су и и>0, то хи<Суи.
5. (Аксиома непрерывности.) Если все числа разделить
на два непустых класса так, что каждое число второго
класса больше каждого числа первого класса, то существует
число наибольшее в первом классе или наименьшее во
втором классе.
Непротиворечивость этой системы аксиом
доказывается с помощью сечений рациональных чисел. Вводимые
сечения и известные отношения между ними позволяют
построить основные понятия поля действительных чисел
так, что все аксиомы 1—5 выполняются. Построенная
модель позволяет сделать вывод о том, что аксиоматика
31

поля вещественных чисел непротиворечива, если
непротиворечива аксиоматика рациональных чисел.
Непротиворечивость же аксиоматики рациональных чисел, в свою
очередь, сводится к непротиворечивости аксиоматики
натуральных чисел.
Другой моделью поля вещественных чисел может
служить множество бесконечных десятичных дробей. Если
число х целое, т. е. х=п, то для него такой бесконечной
дробью будет х=(п— 1), 999 ....
Если же х является конечной десятичной дробью х=п9
nly ..., nk, то соответствующей бесконечной дробью будет
л;=/г, nX'(nk—1)999... . Наконец, если х не есть
рациональное число, то при любом k имеем:
n, nl9 ..., (nh— 1)<л:</г,
Нетрудно убедиться, что все аксиомы 1—5 будут
выполняться. Построенная модель поля вещественных
чисел иногда называется арифметической.
Аксиоматика поля вещественных чисел удовлетворяет также
требованию полноты, т. е. любые две ее модели изоморфны.
Идей доказательства этого утверждения состоит в
следующем. Берется произвольная модель поля вещественных
чисел и доказывается, что она изоморфна арифметической
модели. Прежде всего, в этой данной модели определены
по первым двум аксиомам элементы с числами 0,1.
Сложение и умножение позволяют на основании аксиом 1—5
отнести элементам данной модели соответствующие числа
(координаты). Если произвольный элемент х получает
целое число /г, то ему из арифметической реализации
отнесем дробь (п—1), 999 ... , если же х не имеет целую
координату, то она будет заключена в интервале (/г, я+1).
Затем этот интервал делится на десять равных частей;
если данный элемент получит координату вида /г, пХг то
ему отнесем /г, (пх—1)999... из арифметической модели.
В противном случае интервал (п19 /гх + 1) снова будем
делить на десять равных частей и повторять приведенные
рассуждения.
Пример 3. Рассмотрим еще один пример структуры»
представляющий особый интерес для учителя математики.
Непустое множество W={xf у, г, ...}, элементы которого
могут быть любой природы, называется системой величин,
а его элементы — величинами, если выполняются
следующие аксиомы.
32

Аксиомы величин
1. Если х, у £ W, то выполняется одно и только одно из
отношений х<Су, у<.х, х=у.
2. Если х<Су, y<.z, то x<z.
3. Для любых х, y£W определена величина г=х+у,
которая также принадлежит W.
4. Аксиома коммутативности: х+у=у+х.
5. Аксиома ассоциативности: x+(y+z)=(x+y)+z.
6. Для любых ху у существует одна и только одна
величина z~x—у, для которой x—y+z.
7. Если х<.хх> то х+у<Схг+у для любого y£W-
8. Для любого x£W и натурального числа п существует
такое y£W> то х=пу.
9. Аксиома Архимеда: если */>0, то для любого x£W
существует такое ft, что х<Спу.
10. Аксиома Кантора: если
x^<Z.x2<С» ...i<Z.x7l<Z.-*.<^.Уп<^-' • '^^УЯ^Ух
и при достаточно больших п выполняется уп—хп<.с, где
с — произвольная положительная величина, то существует
и притом единственная величина £ такая, что выполняются
неравенства xn<£<Lyn при любом натуральном числе п.
Из аксиом 3—6 следует, что в системе величин W
существует вполне определенный элемент нуль, обозначаемый
символом 0, который обладает свойством х+0=л; для
любого x£W. Аксиомы 3—6 показывают, что система величин
W составляет коммутативную группу. Совокупность
величин x£W, таких, что 0^.х, называется системой
неотрицательных величин.
Примером величины, очевидно, является совокупность
вещественных чисел, причем симводы + и <
интерпретируются соответственно в смысле операции сложения и
упорядочения чисел по величине. Но операция умножения в
системе величин W не определена.
Каждой величине x£W при выбранной единице e£W
(е>0) измерения можно сопоставить, как это .следует из
аксиом 1—10, вполне определенное числовое значение хе,
так что
1) если х<.у, то хе<.уе'у
2) если г=х+у9 то ze=xe+ye.
Отсюда следует также, что значение нулевой величины
равняется нулю.
33

Рассматриваемая система аксиом, очевидно, совместна
и некатегорична, т. е. эта система аксиом неполна в смцсле
изоморфизма моделей.
Мы рассмотрели свойства совместности, независимости
и категоричности на примерах простейших систем аксиом
инцидентности, теории вещественных чисел и сравнения
величин. Можно убедиться также, что приведенная в
предыдущем параграфе система аксиом теории групп совместна,
независима и неполна. Совместность и некатегоричность
групповых аксиом следует из указанных выше примеров
групп.
■ § 5. ПРИМЕР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТРУКТУРЫ (Т, П, р)
В настоящем параграфе мы рассмотрим подробнее
математическую структуру, определенную аксиоматикой
А. -Н. Колмогорова школьного курса геометрии.
Аксиоматика эта категорична и характеризует она
евклидову плоскость как математическую структуру S=
= (Т, П, /?), с двумя базисными множествами Г, Я, элементы
которых именуются соответственно точками, прямыми и
тернарным отношением р (Л, В, d), которое описывается
отображением р : TXT-+R+, где р (Л, B) = d£R+ —
расстояние от одной точки до другой при предположении, что
перечисленные ниже 12 аксиом групп I—V выполняются.
1. Аксиомы принадлежности. 1. Прямая есть множество
точек.
2. Для любых двух различных точек существует одна
и только одна содержащая их прямая.
3. Существует хотя бы одна прямая; каждой прямой
принадлежит хотя бы одна точка.
Из первых двух аксиом следует, что две отличные друг
от друга прямые имеют не более одной общей точки.
II. Аксиомы расстояния. 1. Для любых двух точек
Л, В имеется вполне определенное неотрицательное
действительное число \АВ |, называемое расстоянием от Л до В.
34

Расстояние это равно нулю в том и только в том случае,
если точки Л, В совпадают.
2. Расстояние от точки Л до точки В равно расстоянию
от точки В до точки Л:
\АВ |= \ВА |.
3. Для любых трех точек А, В, С расстояние от Л до С
меньше или равно сумме расстояний от Л до Б и от В до С:
|ЛС|<|Л5|+ \ВС\.
При помощи понятия «расстояние» определяется
понятие точки, лежащей между двумя данными точками, и
отрезка. Отображение множества точек на себя, сохраняющее
расстояние, называется изометрией или перемещением.
Отметим также, что аксиомы расстояния здесь
приведены в терминах действительных чисел.
III. Аксиомы порядка. 1. Любая точка О прямой р
разбивает множество всех, отличных от О точек прямой р, на
два непустых множества так, что:
а) для любых двух точек Л, J5, принадлежащих разным
множествам, точка О лежит между Л, В (ОАВ)\
б) если точки Л, В принадлежат одному и тому же
множеству, то одна из них лежит между другой точкой и
точкой О.
2. Для любого расстояния а^О на заданном луче с
началом О существует ровно одна точка Л, расстояние которой
от точки О равно а: \ОА \=а.
3. Если точка С лежит между точками Л, В, то точки
А, В, С принадлежат одной прямой.
Прежде чем привести последнюю аксиому порядка —
аксиому о разбиении точек плоскости — остановимся на
определении разделения. Мы будем говорить, что прямая р
разделяет не принадлежащие ей точки Л, В, если отрезок
Л В пересекается с прямой /?, т. е. существует точка С£р,
4-
которая является точкой (внутренней) отрезка АВ (CAB).
4. Любая прямая р разбивает множество не
принадлежащих ей точек плоскости на два непустых множества
так, что:
а) если две точки принадлежат разным множествам,
то они разделяются прямой р\
б) если две точки принадлежат одному и тому же
множеству, то они не разделяются прямой р.
IV. Аксиома подвижности плоскости 1. Если
расстояние \АВ\ положительно и равно расстоянию \А'В' |, то су-
35

ществует ровно два перемещения, каждое из которых
отображает точку А на точку А\ а точку В на точку В'.
Если аг — полуплоскость, определенная прямой АВ, то
она этими двумя перемещениями отображается на две
различные полуплоскости соответственно р1э р2» ограничей-
ные прямой А'В1*.
V. Аксиомы параллельности. 1. Через точку А проходит
не более одной прямой, параллельной данной прямой р.
. Аксиомами групп I—V исчерпывается аксиоматика
школьного курса планиметрии.
Другие истинные предложения планиметрии
доказываются исходя из этих аксиом по правилам логики.
Например, из первых двух аксиом / следует, что две
различные прямые имеют не более одной общей точки. Остановимся
подробнее на некоторых следствиях, вытекающих из аксиом
расстояний, а также из аксиом I—III и I—IV.
Следствия из аксиом расстояний
Аксиомы II позволяют изучить общие свойства
расстояний независимо от природы элементов, именуемых точками,
и конкретных видов законов, определяющих ту или иную
метрику. Эти аксиомы определяют метрическое
пространство. Метрическим пространством называется л*обое
множество элементов
Т={А, Я, С, ... }, (5.1)
в котором определено расстояние, т. е. для любых двух
точек определено неотрицательное число так, что аксиомы
расстояний // 1—3 выполняются. Аксиома II 1 часто
называется аксиомой позитивности, а аксиомы II 2 и II 3
называются соответственно аксиомами симметрии и
треугольника.
Приведем простейшие примеры метрических пространств.
Пример 1. Множество вещественных чисел R =
= {x,yyzy ... } допускает структуру метрического
пространства, если расстояние от точки х до точки у условимся
определять по формуле
Р(*. У)= \У~Х I-
В самом деле, если р{х, #)=0, то х=у; обратно, из
х=у следует, что р(х, у)=0. Очевидно также, что \х—у | =
= \У—х |. Таким образом, первые две аксиомы расстояний
выполняются.
з§

Остается убедиться в справедливости аксиомы
треугольника. Предположим, что х, у, z — любые три вещественных
числа и разберем, например, случай, когда y*^.z*£.x: Так
как
[ Z—X | =*— Z, |z—у | = Z—у, \у—х | =х—у,
то получим
\z—y |+ \у—х \ = z—y+x—y^xJrz—2z=^ \x—z |,
т. е. аксиома треугольника выполняется. Аналогично
разбираются и другие случаи расположения х, уу z. Таким
образом, множество R с метрикой \у—х\ является
метрическим пространством.
Пример 2. Множество упорядоченных пар
вещественных чисел (координатная плоскость) RxR~{(x, у)},
(хг y£R) допускает структуру метрического пространства,
если расстояние от точки А{хъ ух) до точки B(x2i у2) ввести
по формуле:
d=V(x%-*i? +(</2-</i)2- (*>
В самом деле, выполнимость аксиом расстояний 1—2
очевидна. Докажем, что аксиома треугольника также
выполняется. Пусть (xlt уг)9 (х2, у2), (х3, у3) — три
произвольные точки. Чтобы установить неравенство
V {*г~*1)*+(Уп — Уг)2<V(x2—x1)2 + (y2—y1)2 +
+ У(х3-х2Г + (ув-у2)\ (5.2)
положим
х2 ^i==Wj_, у2 У\~и>2)
%3 -^2~V1> Уз Уъ^^Ъ'
В этих обозначениях из (5. 2) следует, что
K("i + ^i)2+K + y2)2< УЩТЩ+ Vv\ + v\. (5.3)
Возводя обе части (5.3) в квадрат, получим
и&г + Щ*>2 < УЩТЦ V v\ + vl (5.4)
Освобождаясь в (5.4) от радикала, выводим
2 u±v xu2v 2^u\vt+ulv\, (UiV2— ухц2)2^0.
Так как эти рассуждения можно обратить, то (5.2) доказано.
Условимся полученное метрическое пространство
обозначать символом (/?2, d).
Можно доказать, что пространство (/?2, d) является
двухмерным евклидовым пространством. При определении
евклидовой геометрии на основе координатной плоскости
используются лишь аксиомы 1—3 расстояний и дополни-
37

тельное предположение (выражающее аксиому Пифагора)
о том, что расстояние от точки (xlt уг) до точки (х2, у2)
определяется по формуле (*).
Пример 3. Та же самая координатная плоскость
RxR — {(x, у)} допускает другую структуру метрического
пространства, если расстояние от точки (хи уг) до точки
(х2, у2) определить по формуле
т ((х1$ уг), (х2, у2))=тах{ \х2—хг |, \у2—уг |}. (5.5)
Действительно, аксиомы расстояния II 1—3 здесь также
выполняются. Для любых двух точек величина (5.5)
неотрицательная; она равна нулю тогда и только тогда, когда
1*2—*i 1= \У2—Уг НО» т- е- точки {хъ уг), (х2, у2)
совпадают: х1=х2$ уг=у2.
Очевидно также, что 112 — свойство симметрии
выполняется, т. е. расстояние от (хи уг) до (x2i у2) равно
расстоянию (х2, у2) до (хъ уг). Докажем далее выполнимость
аксиомы треугольника.
Предположим, что нам даны три любых точки (хг, */х),
(х2> Уъ)> (*з» Уз)» которые для краткости обозначим буквами
соответственно Аи Л2, Л3. Так как \х3—хг |^ |лг3—х2 | +
+ \х2—хх |, то получим |*з—хх |^тах{ \хъ—х21, \у3—
—у2 |}+тах{ \х2—хи |, \у2—уг I}.
Следовательно, неравенство это можно переписать в виде
1*8—Xi \<m(Alt Л2)+га(Л2, А3).
Аналогично оценивается абсолютная величина разности
Ув—Уг-
\Ув—У1\^т(А19А2)+т(А2,Аз).
Из последних двух неравенств заключаем, что
max{ |*3—*i I, \Уз—yil}<^Hi» А2)+т(А2, Л3).
Окончательно имеем:
т(А1ч А3)^т(Аи Л2)+т(Л2, А3). (5.6)
Аксиома треугольника тоже выполняется.
Таким образом, на множестве RxR порождается другое
метрическое пространство. В дальнейшем условимся его
обозначать символом (/?2, т).
Графически (5.5) означает, что расстояние от Ах до А2
равно длине наибольшего катета прямоугольного
треугольника с гипотенузой АгА2 и катетами, параллельными осям
координат. Если А1А2\\ОХ(А1А2\\ОУ), то расстояние
т(Аи А2) равно длине евклидова отрезка АХА2.
Аналогично можно построить метрические пространства
(R2, s) или более общее (/?2, dp), в которых соответственно
5((*l#l)» (*2. У2))= 1^2—^1 1+ \У2—Уг 1>
38

dp ((*ь уг), (*a, */2)H( 1*2—*i \p^ 1^2—^/1 h1^. (**)
Очевидно, при p=\ из (**) получим (/?2, s), а при p=2
(R2y d)1. Нас интересуют метрические пространства,
допускаемые координатной плоскостью — известным
учащимся множеством. Приведенными примерами не
исчерпываются возможные метрики на координатной плоскости.
Пример 4. Пространство непрерывных функций,
определенных на сегменте [Л, В], где расстояние между
двумя функциями f(x)t (р(х) определяется как верхняя
грань разности этих функций, взятой по абсолютной
величине. Наиболее важные применения аксиомы расстояния
имеют именно в теории функций. Возникновение и развитие
теории метрических пространств и было связано в основном
с функциональными пространствами.
Пример 5. Любое множество элементов, очевидно,
будет метрическим пространством, если положить
расстояние б между двумя различными точками равным единице
и нулю, если точки совпадают. Это метрическое
пространство называется дискретным. Условимся
обозначать дискретное метрическое пространство, определенное
на координатной плоскости RxR, символом (#2, б).
Очевидно, всякое подмножество метрического
пространства также является метрическим пространством.
Расстояния между точками в этом пространстве равны расстояниям
между теми же точками в данном пространстве.
Отношение «лежать между» . Понятие отрезка
Аксиомы расстояний позволяют определить понятие
точки, лежащей между точками А и В. Говорят, что точка
С лежит между точками Л, В. (Символически обозначают
CAB). Если точки А, В, С различны и попарные
расстояния между парами точек АВ> АС, ВС удовлетворяют
равенству: \АВ\= \АС\+ \СВ\.
Опираясь на это понятие, дадим определение отрезка
Отрезком называется множество, состоящее из двух
различных точек А, В и всех точек С, лежащих между ними.
Точки Л, В называются концами отрезка. Всякая точка С,
лежащая между концами отрезка АВ, называется
внутренней точкой отрезка.
1 Эти пространства [в том числе и (R2, т), которое получается
из (**) при р=оо] являются так называемыми двухмерными
нормированными пространствами.
39

A1
A
'\
A '
B1
Рис. 9 Рис. 10
Внешняя точка отрезка АВ может быть определена как
такая точка С, что ABC или ВАС. Точка О отрезка А В
называется его серединой, если \АО |= \ОВ |. В качестве
длины отрезка А В можно йринять расстояние от точки А до
точки В. Но длины отрезков и сами отрезки в
произвольном метрическом пространстве, как мы убедимся ниже, не
играют большой роли, как в евклидовой геометрии.
Отрезки в дискретных пространствах состоят лишь из
одних концевых точек. Например, в пространстве (#2, б)
среди трех точек Л(1,0), 5(2,0), С(3,0), принадлежащих
оси Оху нет ни одной точки, которая бы лежала между двумя
другими. Этот вывод сразу следует из того, что каждое
расстояние \АВ |, \АС |, \ВС | равно единице и,
следовательно, ни одно из этих чисел не равно сумме двух других, т. е.
никакая из точек Л, 5, С оси Ох не лежит между двумя
другими. Но если в координатной плоскости ввести
метрику согласно аксиоме Пифагора или по правилу
наибольшего катета, то в каждом из этих пространств (R29 d)t
(/?2, т) точка В уже будет лежать между точками Л, С.
Вопрос о единственности концов Л, В отрезка АВ в
аксиоматической теории, основанной на аксиомах II
расстояний, решается отрицательно.
В дискретном пространстве (#2, б) отрезки имеют
бесчисленное множество пар концов. В пространстве (R2, т>
существуют отрезки двух типов с одной парой концов:
отрезки первого типа параллельны биссектрисе координат-
40

ных углов 1,3, отрезки второго типа параллельны
биссектрисе координатных углов 2, 4. В этом пространстве имеются
также отрезки с двумя парами концов (отрезки третьего
типа, называемые ниже также биотрезками).
На рис. 9 изображены отрезки АВ, CD соответственно
первого и второго типов в пространстве (R2, т). Отрезки
третьего типа (биотрезки) АВ {АХВХ) с концами Л, В
и А%ВХ, CD (CiDj) с концами С, D и С1$ Dx изображены
на рис. 10.
Круги и окружности
Во всяком метрическом пространстве можно ввести
понятие шара (сферы). Шаром (сферой) называется множество
точек М пространства, расстояния которых до некоторой
точки О удовлетворяют условию
\ОМ |<г (\ОМ |=г). (5.7)
Точка О называется центром шара (сферы), число г — его
(ее) радиусом.
Как известно, структуру метрического пространства
допускает и координатная плоскость /?2, в которой точками
являются упорядоченные пары (х, у) вещественных чисел.
В этих пространствах шары (сферы) обычно называются
кругами (окружностями).
В случае структуры (/?2, т), где расстояние от точки
(хи У л) Д° точки (хъ у2) определяется по формуле
m=max{ \х2—хх |, \у2—уг |}, (5.8)
круг с центром в (0,0) радиуса г состоит из точек (#, у),
для которых тах{ \х\, \у \}^г.
Таким образом, числа #, у такие, что одновременно
выполняются \х |^г, \у |^г. Искомым кругом будет
внутренность «квадрата» с вершинами (г, г), (—г, г), (—г,—г), (г, —г)
(рис. 11).
Посмотрим теперь, что представляют собой в этом
случае диаметры. Легко видеть, что диаметры являются
отрезками третьего типа, т. е. отрезками с двумя парами
концов за исключением двух диаметров MP, NQ первого и
второго рода соответственно: АВ {АХВ^)> CD {CJ}^ —
диаметры третьего рода.
Очевидно, диаметр круга (окружности) с двумя парами
концов в (R2, т) разбивается центром круга на четыре
радиуса,
41

N
A
С
M
Al
А1
У
*1
р
д
X
в
Q
Рис. 11
Отрезки в этом пространстве в общем случае имеют две
пары концов. В связи с этим представляют интерес случаи
взаимного положения круга (окружности) и отрезка, в
которых круг (окружность) принадлежит отрезку.
На рис. 12 изображен круг (окружность), «вписанный
(вписанная) в отрезок третьего рода, на рис. 13 изображен
круг (окружность), принадлежащий отрезку АВ {АгВ^) с
концами Л, В и А1В1 (см. рис. 11).
Перечисление возможных случаев взаимного положения
окружности (круга) и отрезка третьего рода предоставляется
читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.
В заключение рассмотрим вопрос о взаимном положении
двух окружностей в (#2, т).
Круг в этой плоскости изображается в виде квадрата со
сторонами, параллельными осям координат. Окружности
изображаются в виде сторон указанных квадратов.
Вопрос о взаимном положении двух окружностей
решается совсем просто. На приведенных ниже рисунках
(рис. 12—21) указаны возможные случаи взаимного
расположения двух окружностей.
В последних двух случаях (рис. 20, 21) окружности
имеют бесчисленное множество< общих точек. 06-
43

ш~*штшшт
□
Рис. 14
Рис. 12
Рис. 15
Рис. 13
Рис. 16
i
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
Рис. 21
43

ратим внимание также на рис. 19: ни один из
соответствующих кругов не принадлежит другому, но
пересекаются они все же по кругу.
Изометрия. Группа изометрии
Отображение метрического пространства на себя
называется изометрическим преобразованием, или просто изо-
метрией (перемещением), если оно сохраняет расстояния,
т. е. расстояние между двумя любыми точками равняется
расстоянию между их образами. Множество всех изометрии
метрического пространства составляет группу.
Очевидно, всякая изометрия отображает отрезок на
отрезок, причем концы отрезка отображаются в концы
преобразованного отрезка.
Это интуитивно ясное предположение, но оно тем не
менее требует от читателя определенного внимания. Дело в том,
что из определения отрезка, как мы указывали ранее,
совсем не следует наличия у него единственной пары
концевых точек.
В самом деле, существуют изометрии, которые отрезок
АВ отображают на себя и концы его при этом будут
отображаться на внутренние точки А1В1 этого отрезка.
Такие изометрии возможны в случае, когда отрезок
наряду с концами Л, В имеет другую пару концов, например,
Аи Вг. Конечно, эти точки А19 Вг необходимо являются
внутренними точками отрезка АВ, так же как Л к В, в свою
очередь, необходимо являются внутренними точками
отрезка А1В1.
Более того, объявляя эти точки АхВг концами нового
отрезка, получим отрезок [AxBi\% равный в теоретико-
множественном смысле отрезку [АВ].
Следствия из аксиом I— III
Множества, которые определяются согласно первой
аксиоме порядка заданием прямой р и принадлежащей ей
точкой О, называются открытыми лучами с началом 0\
Объединение каждого из открытых
лучей с точкой О называется лучом
с началом О.
Множества, которые определяются согласно аксиоме
порядка III 4 заданием прямой /?, называются открытыми
полуплоскостями, ограниченными этой прямой р.
44

Объединение открытой полуплоскости с прямой р
называется просто полуплоскостью, ограниченной этой
прямой.
Прямая р называется границей
полуплоскости.
Отметим, что открытые лучи и открытые полуплоскости
однозначно определяются соответственно заданием начала
О луча и граничной прямой р. Пусть, например, прямая
производит разбиение остальных точек плоскости а
согласно аксиоме III 4 на непустые множества alf a2, причем
Лхс=ах, Л2£а2. Предположим далее, что разбиение не
однозначно, т. е. та же прямая р разбивает остальные точки
плоскости на непустые множества jJx, (J2. Предположим,
что эти множества так обозначены символами §lf (J2, что
Лх£($х. Докажем, что множество (Jx совпадает с ах. В самом
деле, если Pi=^=ax, то существует точка С£ах, что C£(ix;
последнее означает, что C6fJ2. В таком случае Лх, Сбах
и точки Л, С не разделяются прямой р. С другой стороны,
Лх6Pi, С6Р2 и точки Лх, С разделяются прямой р, что
невозможно. Утверждение доказано полностью. Вывод
об однозначности определения лучей рекомендуется
читателю получить самостоятельно.
Из аксиом 111,1 следует, что прямая содержит по
крайней мере три точки. Более того, из бесконечности
множества положительных чисел и аксиомы III, 2 мы заключаем,
что прямая, луч и отрезок являются бесконечными
множествами точек.
Из аксиомы III, 3 вытекает, что отрезок А В есть
подмножество прямой АВ. Из этой же аксиомы и аксиом
расстояния заключаем, что для трех точек А, В, Су не лежащих на
одной прямой, выполняется неравенство
\АВ |< \АС \+ \СВ |.
Из аксиомы III, 4 и бесчисленности точек на прямой
следует наличие бесчисленного множества прямых.
В геометрии аксиом I—III справедлива следующая
теорема Паша. Если прямая не проходит через вершины
треугольника и пересекает одну из его сторон, то эта прямая
пересекает также и одну из двух других его сторон.
Приведем также определение понятия угла. Углом
называется фигура, состоящая из двух различных лучей с
общим началом и ограниченной ими части плоскости. Лучи
эти называются сторонами угла, а общее их начало — его
вершиной. Если стороны угла составляют прямую, то угол
45

называется развернутым. Если разделить такой угол Ш
два конгруэнтных угла, получим два прямых угла,
величина каждого из которых равна 90°.
Аксиомы I—III позволяют доказать следующее
предложение.
Теорема. Между точками прямой р и множеством
вещественных чисел R можно установить такое
взаимнооднозначное соответствие / : p-+R, что для любой пары
точек М, N и соответствующих им чисел m, п справедливо
равенство:
\MN |= \п—т |. (5.9)
Искомое отображение / будем строить следующим
образом.
1. Произвольной точке 0£р отнесем число нуль.
2. Всякой другой точке М£р, принадлежащей какому-
нибудь лучу, например ри сопоставим число га так: что
\ОМ |=га.
3. Всякой точке N, принадлежащей к дополнительному
лучу р 2, сопоставим число п так, что \ON |=—п.
Легко убедиться, что построенное таким образом
отображение / будет искомым. Прежде всего — это
взаимнооднозначное отображение: очевидно, различным точкам оно
относит различные числа, и каждое вещественное число
имеет прообраз.
Докажем теперь справедливость (5.9) в случае, когда
Му N принадлежат одному лучу, например р19 тогда MNO
или NMO. В первом случае имеем \ОМ |+ \MN \= \ON |,
где \ОМ |=га< |ON \ = п. Следовательно,
\MN \ = п—т,
т. е. (5,9) справедлива. Если NMO, то \ON \+ \NM | =
= \ОМ |, причем \ON \=п< \ОМ \=т. Таким образом,
|AfN \=т—п= \п—т \ и формула (5.9) снова имеет место.
Если теперь Му N будут принадлежать дополнительному
лучу р2, то рассуждения аналогичны приведенным.
Если точки Му N принадлежат разным лучам, например,
M6/?i, Af(fp2, то начало луча О лежит между точками УИ, N.
Следовательно, имеем: \MN \= \МО |+ \NO |, \ON \=—п.
Таким образом,
\MN \=т—п,
т. е. |МЛ^ |= |лг—т \ и (5.9) также справедлива.
Замечание 1. Эта теорема позволяет утверждать,
что множество точек прямой и множество вещественных
чисел с метриками соответственнб \MN |, \п—т \ порож-
46

дают с точностью до изометрии одно и то же метрическое
пространство.
Замечание 2. Установленное отображение
определяет на прямой систему координат с началом в точке О.
Очевидно, точку О и луч на прямой с положительными
координатами можно выбирать произвольно.
О единственности концов отрезка
Остановимся еще на одном вопросе — единственности
концов отрезка. Докажем, что каждый отрезок имеет
единственную пару концов.
Предположим, что нам дано [АВ] = [CD], т. е.
{Х\Х АВ} = {У\УСО}, {ХфС, D, УфА, В)
Требуется доказать, что множества {Л, В}, {С, D)
определяют одну и ту же пару точек. По условию точка X отрезка
АВ является также точкой отрезка CD, Таким образом,
эти точки Л, В принадлежат дополнительным лучам
[X, Л), [X, В), которые можно получить на прямой (АВ) на
основании аксиомы III 1. Но X является по условию также
точкой отрезка CD, поэтому каждому из лучей [X, Л),
[X, В) принадлежит одна из точек С или D. Для
определенности будем считать, что конец отрезка CD,
принадлежащий [X, Л), обозначен буквой С, а другой — Dg[X, В).
Предположим теперь, что АфС и АХС, тогда на [ХЛ)
существует по аксиоме II 2 точка /С, что
\ХКЫ\ХА |+|ХС|)/2,
т. е. K£CD, но К£ [АВ]> что невозможно. Аналогично
убеждаемся что С не лежит между X, Л. Таким образом,
из двух различных точек Л, С луча tXA) нет ни одной
точки, лежащей между другой точкой и точкой X, что
невозможно по аксиоме III 1 б. Полученное противоречие
показывает, что предположение о несовпадении Л, С—неверное.
Утверждение доказано полностью.
При доказательстве мы существенно опирались на
порядковые свойства плоскости, перечисленные в аксиомах III.
Эти свойства в доказательстве играли решающую роль,
В дискретном пространстве аксиомы III не выполняются
и единственность пары концов отрезка не имеет места.
В самом деле, в пространстве (Л?2, б) множества
внутренних точек любых двух отрезков совпадают (у каждого отрезка
имеется пустое множество таких точек). Другими словами,
47

отрезки в дискретном пространстве состоят из одних и тех же
внутренних точек, составляющих пустое множество. В
пространстве (R2, б) имеется лишь один отрезок, причем
любые две точки пространства являются его концами. Не
выполняется свойство единственности концов отрезка и в
(R2, т) — координатной плоскости, «метризованной» по
правилу «наибольшего катета».
Единственность середины отрезка
Прежде всего напомним определение середины отрезка
АВ. Точка О отрезка АВ называется серединой этого от-
резка, если \АО | = \0В |, (ОАВ). Единственность
середины устанавливается совсем просто. В самом деле, на
основании аксиомы III 2 на луче (Л, В) существует одна и
только одна искомйя точка О такая, что \АО |= \ОВ | = \АВ |/2,
*
(ОАВ). В произвольном метрическом пространстве аксиома
III 2 не выполняется и единственность середины отрезка не
имеет места.
Действительно, отрезок АВ в дискретном пространстве
(R2, б) не имеет середины, т. е. не существует точки О
отрезка АВу для которой \АО | = \ОВ |.
С другой стороны, в координатной плоскости (R2, /л),
метризованной по правилу наибольшего катета, существуют
отрезки, которые имеют бесчисленное множество середин.
Такие отрезки мы называли выше биотрезками, и имеют
они две пары концов. Графически биотрезки представляются
на координатной плоскости (R2, т) в виде прямоугольников
со сторонами, параллельными биссектрисам 1, 3 и 2, 4
координатных углов, а парами концов таких отрезков являются
пары противоположных вершин этих прямоугольников.
Серединами отрезков являются точки отрезка на
координатных линиях, проходящих через точку пересечения
«диагоналей» прямоугольника.
Единственность центра и радиуса круга (окружности)
Школьная геометрия начинается с определения
окружности и круга самых простейших фигур метрического
пространства. Напомним эти определения. Множество всех
точек плоскости, расстояние каждой из которых от данной
точки О этой плоскости равно (меньше или равно) данному
числу г(г>0) называется окружностью (кругом). В случае,
45

когда число измерений /г^З, говорят соответственно о
сфере и шаре. Таким образом, точки М окружности (круга)
определяются условием
|OAf |=г( \ОМ |<г), (5.10)
где точка О — центр окружности (круга), г — радиус.
В самом деле, допустим, например, что некоторый круг
имеет два центра Оъ 02 и два радиуса ги г2, причем г2<гг.
Предположим далее, что точки Л, В — точки прямой
(Ог02), для которых |0, А |=| О, В \—rv Существование
этих точек гарантируется аксиомой III 2. Так как по
условию r2<rlt то 02с 1АОг) лежит между Л, 01э следовательно
I0i02 |+г2-гь (5.11)
С другой стороны, так как \02В \—гъ то
/vHOiOi 1=/* (5.12)
Складывая почленно равенства (5.11) и (5.12), получим
(О1О2)=0, т. е. точки Ои 02 совпадают и г1=г2.
Аналогично разбираются случаи г^г2. Очевидно, этот вывод также
сразу следует из свойства единственности середины отрезка.
Таким образом, центр и радиус круга (окружности) в
геометрии аксиом I—III определяются единственным образом.
В приведенных здесь рассуждениях решающая роль
принадлежит порядковым свойствам прямых и плоскости.
В дискретном метрическом пространстве (R2, б) круг
радиуса г^1 (так же, как и круг радиуса г^5) совпадает со
всем пространством, причем центром его может служить
любая точка пространства. Таким образом, в
пространстве (R2, 8) не имеет места ни единственность центра
круга, ни единственность его радиуса,
Следствия из аксиом I—IV
Аксиома подвижности плоскости играет большую роль
при построении евклидовой геометрии. Она характеризует
множество возможных перемещений плоскости по самой
себе с сохранением расстояний между точками.
Прежде всего, рассмотрим частные виды перемещений —
симметрии относительно прямой, повороты и симметрии
относительно точки.
Симметрия относительно прямой
Симметрия относительно прямой р определяется как
такое перемещение, при котором: 1) точки прямой р
остаются на месте; 2) полуплоскости аъ а2 с границей р ото-
49

бражаютсй одна на другую. Прямая р в этом случае
называется иногда осью симметрии.
Имеет место следующий признак того, что некоторое
перемещение является симметрией относительно прямой.
Перемещение fp является симметрией относительно
прямой р тогда и только тогда, когда оно оставляет
единственными неподвижными точками — точки этой прямой р.
Следствие 1. Из указанного признака следует,
что всякая прямая р на плоскости определяет одну и
только одну симметрию Sp относительно этой прямой р.
Следствие 2. Прямая АА\ содержащая пару
соответствующих при симметрии Sp точек, перпендикулярна
оси симметрии р.
Поворот
Поворот вокруг точки О определяется как перемещение
при котором: 1) точка О отображается сама на себя; 2) угол
между любым лучом ОХ и соответствующим ему лучом ОХ'
имеет одну и ту же величину а. Величинаа
называется углом поворота, точка О — центром поворота.
Приведем следующий признак того, что некоторое
перемещение является поворотом вокруг точки О.
Нетождественное перемещение FQ является поворотом RQ
вокруг центра О тогда и только тогда, когда оно оставляет
единственную неподвижную точку — точку О.
Рассмотрим еще один частный вид перемещения —
симметрию относительно данной точки.
Симметрия относительно точки
Среди поворотов F0 вокруг О особенно интересны инволю-
тивные повороты (Fl=e), называемые также симметрией
относительно точки О.
Такие повороты существуют. Например, произведение
симметрии относительно перпендикулярных прямых р, </,
пересекающихся в точке О,
SqSp (5.13)
определяет симметрию относительно О.
С другой стороны, всякое инволютивное перемещение
имеет неподвижную точку — середину отрезка АА', где
Л, Аг соответствующие точки. Более того, серединой от-
50

резка ААГ необходимо является точка О. Очевидно,
симметрия относительно данной точки однозначно
определяется этой точкой. Таким образом, для любой точки О
существует и притом только одна симметрия относительно
этой точки О,
О следствиях из аксиом I — V
Аксиомами I — V определяется геометрия евклидовой
плоскости. Евклидова плоскость — это структура
л = (Г, Я, р),
где базисные множества точек Г, прямых П и расстояние
от точки А до точки В определяется 12 аксиомами I 1—3,
II 1—3, III 1—4, IV 1, V 1.
§ 6. О СИМВОЛИЧЕСКИХ
ИСЧИСЛЕНИЯХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ
СТРУКТУРАХ
В интуитивной математической теории нет строгого
различия между тем, что принимается в качестве аксиом, и
тем, что доказывается. В этом смысле аксиоматическая
теория сравнительно более строгая, но и она является лишь
первым уточнением интуитивной теории.
В аксиоматической теории, как мы видели, выделяются
основные понятия и перечисляются аксиомы, их
описывающие. Понятия, которые не являются основными в ней,
определяются, а свойства, не отмеченные в аксиомах, —
доказываются.
Следующее уточнение интуитивной теории доставляет
нам дедуктивная теория. Дедуктивная теория строится
также на аксиомах, но в ней, кроме аксиом, явно
перечисляются логические средства вывода следствий. В этом
состоит основное отличие дедуктивной теории от
аксиоматической.
51

Дальнейшая формализация дедуктивных теорий
приводит к формализованным теориям и символическим
исчислениям*
Большую роль в развитии этих формальных теорий
играли исследования по проблеме пятого постулата и теории
множеств.
Получение множества фактов по геометрии
Лобачевского, противоречащих обычным представлениям, и
открытие известных антиномий в теории множеств в большой
мере содействовали выяснению логических основ
математики.
Приведем в качестве примера следующий парадокс из
теории множеств. Среди различных множеств
заслуживают внимания множества, содержащие самих себя в
качестве элемента. Например, множество всех множеств
содержит самое себя в качестве элемента. Мы будем называть
такие множества неправильными.
Ясно, что каждое множество будет правильным или
неправильным. Поэтому все множества можно разбить на
два класса — на класс, содержащий правильные
множества, и на класс, содержащий неправильные
множества.
Возникает вопрос: каким будет множество ЯД всех
правильных множеств — правильным или неправильным?
Чтобы ответить на этот вопрос, предположим сначала,
что множество яп будет правильным. Тогда оно будет
элементом множества всех правильных множеств и,
следовательно, множество яи является неправильным, что
невозможно.
Предположим теперь, что множество ял всех правильных
множеств будет неправильным. Это означает, что среди
элементов множества ЯП встретится в качестве элемента
само это неправильное множество, что также невозможно.
Таким образом, множество ял всех правильных множеств
не является правильным и не является неправильным. Мы
пришли к противоречию (парадоксу).
Как показывает детальное исследование, этот парадокс
логической природы и чтобы предотвратить появление
такого рода противоречий в математике, надо точно
сформулировать аксиомы и допустимые правила вывода, лежащие
в основе теории множеств. Ниже мы приведем систему
аксиом Цермело — Френкеля теории множеств. Но
предварительно рассмотрим примеры некоторых символических
исчислений.
52

Исчисление высказываний
Всякое предложение, относительно которого имеет смысл
ставить вопрос об истинности или ложности, называется
высказыванием. Над высказываниями можно производить
некоторые операции, позволяющие из одного или двух
высказываний получать новое высказывание. Мы
познакомимся, в частности, с операциями конъюнкции, дизъюнкции,
импликации и отрицания. Конъюнкция Л Д В двух
высказываний Л, В определяется как такое высказывание, которое
принимает значение истинности (Я), если значения обоих
исходных высказываний принимают значение Я; во всех
других случаях конъюнкция считается принимающей
ложное (Л) значение. Таким образом, значения этого
высказывания в зависимости от значений высказываний Л и В
представляются в виде табл. 1.
Дизъюнкция А V В двух высказываний Л, В означает
высказывание, принимающее значение Л, если оба
высказывания принимают значение Л: во всех других случаях
дизъюнкция A \J В принимает значение Я. Указанные
значения дизъюнкции представлены в табл. 2.
Таблица! Таблица2
А
И
И
Л
Л
В
И
Л
И
Л
ААВ
И
Л
Л
Л
А
И
И
Л
л
в
и
л
и
л
A\JB
И
и
и
л
Операция А -> В — импликация двух высказываний
Л, В определяется следующим образом. Высказывание Л ->
-> В принимает значение Л, если высказывание Л истинно,
а высказывание В ложно. Во всех других случаях Л -> В
по определению принимает значение Я. Операция
отрицания позволяет по высказыванию Л строить высказывание Л,
значение истинности которого устанавливается по
следующему правилу. Высказывание Л принимает значение Я или
Л, если высказывание Л принимает соответственно
значение Л или Я. Значения импликации и отрицания пред-
£3

ставляются табл. 3, 4. Всякое простое или сложное
высказывание, полученное из простых в результате применения
указанных операций, называется формулой.
Таблица 3 Таблица 4
А
И
И
Л
л
в
и
л
и
л
А->В
И
Л
и
и
А
И
Л
А
Л
И
Обратим внимание на следующие свойства формул. Во
множестве формул, соответствующих высказываниям,
существуют формулы, каждая из которых принимает всегда
истинное значение при любых значениях И или Лу
входящих в нее элементарных (атомарных) высказываний.
Например, такими истинными будут формулы
Л -> Л, Л -> Л V Я. А 1\В-+ к.
Действительно, каждая из данных формул принимает всегда
истинные значения, как показывают соответствующие
таблицы истинности (табл. 5—7).
Таблица 5 Таблица 6 Таблица 7
А
И
Л
А
Л
И
1
и
л
А-+А
И
И
А
И
И
Л
Л
в
и
Л
и
л
AVB
И
И
И
л
А->АуВ
И
и
и
и
А
И
И
л
л
в
и
л
и
л
4ЛЯ
и
л
л
л
А[\В-*А
И
и
и
и
Тождественно истинные формулы, как мы убедимся,
приобретают важное значение при построении исчисления
высказываний. Прежде всего уточним понятие формулы:
1) всякое переменное высказывание Л, fi, ... , X, У ,.,,
по определению есть формула;
54

2) если аи Р формулы, то а Д 0, а V (}, а ->- |3, а есть
также формулы;
3) других формул в исчислении высказываний нет.
Легко убедиться путем составления соответствующих
таблиц истинности, что каждая из нижеследующих формул
принимает всегда истинные значения:
1. А-+(В-+А)\
2. (Л -> (В -> С)) -> ((Л -> В) -> (Л -> С));
3. (Л -* В) -> ((Л ->С)->(Л»(ВЛ Q));
4. (Л -* С) -> ((В -> С) -> (Л V В ~> С));
5. (Л -> В) -> (В ~+ Л);
6. Л Д В->А\
7. Л Д 5 -> ft -
8. Л -* Л v Я;
9. В-^Л V В;
10. Л->1;
И. А-+А.
Указанные формулы можно принять з качестве базисных
при исчислении высказываний. В этом исчислении наряду с
буквами, скобками, знаками логических операций,
правилами образования формул и аксиомами 1—11 вводятся
также правила вывода истинных формул.
1) Правило отделения. Если а, а-*- Р истинные
формулы, то (J истинная формула.
2) Правило подстановки. Предположим, что нам дана
истинная формула а, содержащая, например, букву Л.
Тогда заменяя в данной формуле букву А всюду, где она
входит, произвольной формулой (J, мы также получим
истинную формулу.
Теоремы являются утверждениями (формулами),
выводимыми из аксиом. Чтобы дать более точное определение
понятия теоремы, мы остановимся сначала на понятиях
доказательства и выводимости. Доказательством данной
формулы (утверждения) у называется такая конечная
последовательность формул Vi» Ъ> ••• » 7л = V» которая
заканчивается данной формулой у и каждый ее член у1У
?2» ••• » Уп является аксиомой или получается по правилам
вывода из одной или нескольких предыдущих формул этой
последовательности. Формула у, полученная в результате
доказательства, называется доказуемой.
55

Понятие доказуемости можно обобщить следующим
образом. Возьмем некоторую совокупность формул
(утверждений) Г> называемых посылками. Говорят, что формула б
выводима из посылок /\ если существует конечная
последовательность формул вида filf б2, ... , 8п = б, которая
также заканчивается формулой б, и каждый ее член
является доказуемой формулой или одной из формул-посылок
или выводится по правилу отделения из предыдущих
членов этой последовательности. Доказуемые формулы
называются теоремами данного исчисления.
Исчисление предикатов
Другим примером символического исчисления,
обобщающим исчисление высказываний, является исчисление
предикатов.
В исчислении высказываний предложения интересовали
нас лишь с точки зрения истинности или ложности без
учета внутренней структуры самого предложения. Однако
мы часто пользуемся в математике такими предложениями,
которые не являются высказываниями. Например,
предложение «л: меньше у» не является высказыванием и потому
не рассматривается в исчислении высказываний. Данное
предложение будет высказыванием при условии, если
указать, какие конкретно числа х, у имеются в виду. Полагай
х = 2, у = 3 или х » 5, у = 4, мы получим предложения
соответственно «2 меньше 3», «5 меньше 4», которые будут
уже высказываниями. Можно сказать, что предложение
«л; меньше уъ является неопределенным высказыванием и
зависит от двух предметных переменных. Это предложение
не является высказыванием, но становится таковым при
каждом конкретном наборе значений указанных
переменных. В этом случае говорят, что «х < уъ является
предикатом от переменных х, у (двухместным предикатом).
Аналогично, предложения юс — простое число», <ис ^ i/», ч.г =
= х + у» не являются высказываниями и представляют
собой соответственно одноместный, двухместный и
трехместный предикаты, определенные, скажем, на множестве
натуральных чисел.
Рассмотрим еще предложение <ис — четное число». Оно
также не является высказыванием, однако при подстановке
вместо х конкретного натурального числа, будем получать
каждый раз определенное высказывание. До подстановки
конкретных значений данное предложение^ можно сказать,
56

выражало неопределенное высказывание (предикат). После
этих примеров дадим определение понятия предиката.
Предикатами (неопределенными
высказываниями, высказывательными формами) называются функции
принимающие лишь два значения Я, Л при условии, что
наборы значений аргументов принадлежат данной области
определения.
Из приведенного определения следует, что нульместные
предикаты совпадают с высказываниями.
Предикаты так же, как и высказывания, допускают
операции конъюнкции или умножения (Д), дизъюнкции или
сложения (V)» отрицания (—) и импликации {->).
Таким образом, с указанными выше переменными и
операциями исчисления высказываний в исчислении
предикатов вводятся дополнительно предметные и предикатные
переменрые х, у, г соответственно Р ( ), Q (,), R (,) и еще
две следующие операции. Квантор общности (ух) для
предиката Р (х) означает высказывание (ух)Р(х) «для каждого
х предикат Р (х) принимает значение #». Квантор
существования (дх) для предиката Р (х) означает высказывание
(gfx)P (х) «существует х такой, что предикат Р (х)
принимает значение Я».
В теории предикатов формулы содержат не только
высказывания, но и многоместные предикаты без кванторов и
с кванторами, связанные между собой названными выше
операциями.
При построении исчисления предикатов вводятся три
рода переменных:
A) предметные переменные ху у, z, ...
Значение этих переменных принадлежат полю D (или
нескольким полям);
Б) переменные высказывания Л, В, С, ... , X, У, Z.
Это переменные, которые встречались у нас в исчислении
высказываний.
B) предикатные переменные Р ( ), Q (,), R (,,), ...
Затем определяется понятие формулы. Подобно тому как
это делалось в исчислении высказываний, но полной
аналогии здесь нет.
1. Переменное высказывание по определению является
формулой.
2. Переменный предикат есть формула.
3. Если а, р формулы, то
67

a V p, a Д P» a -+ P> a
являются формулами.
4. Если a (x) формула, содержащая переменную х, то
(ух)а (л:), (jx)a (х) — также формулы.
5. Никаких других формул не существует.
В пункте 4 определения предполагается, что в формуле
а (х) переменная х содержится свободно, т. е. она не
связана ни квантором общности, ни квантором существования.
Из приведенного определения формулы следует, что
предметная переменная не является формулой.
Основные истинные формулы исчисления предикатов
составляются так, чтобы при содержательном чтении их
получались всегда истинные или общезначимые формулы.
Они состоят по форме из указанных выше аксиом 1—11
исчисления высказываний и следующих двух аксиом, явно
содержащих кванторы:
12. (ух)Р (х) -* Р (у), 13. Р (у) -> (Эх)Р (х).
Кроме того, правила вывода подбираются таким образом,
чтобы они позволяли от указанных основных формул
переходить к другим истинным формулам. Приведем
формулировку этих правил — правило отделения и правило
подстановки.
1. Правило отделения. Если а, а-> р — истинные
формулы, то р — истинная формула.
2. Правило подстановки. Предположим, что дана
истинная формула, содержащая, например, двухместный
предикат. Тогда в эту формулу можно подставить на место
предиката формулу с двумя свободными переменными, не
допуская при этом коллизии букв, т. е. в подставленной
формуле не должны встречаться буквы, которые в
первоначальной формуле были под знаком квантора общности
или существования. Полученная в результате подстановки
формула также считается истинной.
Мы не даем здесь сводку всех правил подстановки и
обращаем внимание лишь на идею их применения; правил
введения кванторов совершенно не касаемся. Понятия
теоремы и вывода переносятся и в исчисление предикатов.
В математической логике доказывается, что система
аксиом исчисления предикатов непротиворечива. В этом
исчислении всякая тождественно-истинная формула логики
предикатов является выводимой в исчислении предикатов
(теорема Гёделя).
58

Символические исчисления, математические
структуры как формальные системы
Мы познакомились с исчислением высказываний и
предикатов. Объектами исследования в этих исчислениях
являются символы, формулы, формулы-аксиомы и формулы-
теоремы, получаемые из аксиомных формул по
определенным правилам преобразований.
Символическое исчисление в общем случае также
определяется заданием символов, правилами образования
формул из них, заданием конечного числа базисных формул
(аксиом) и правил преобразования (правил вывода).
Предложения в символических исчислениях
представляются в виде формул, т. е. в виде конечных линейных
последовательностей знаков. Получение теорем и их выводов
сводится к механическим операциям над формулами.
Примерами символических исчислений могут служить
исчисления высказываний и предикатов.
В общем случае символические исчисления
представляются также в виде множества формул, среди которых
некоторые формулы по определению будут доказуемыми, если
они получены по указанным формулам преобразования
(правилами вывода), исходя из данных базисных формул.
Принципиальный интерес представляет теория
символических исчислений в связи с выводимыми (доказуемыми)
формулами. Процесс получения выводимых формул из
базисных по данным правилам преобразования может быть
автоматизирован, т. е. можно сконструировать «машину»,
которая будет выдавать одну за другой все выводимые
формулы без пропуска, но возможно с повторениями. Этим
обстоятельством и обусловлено применение аппарата
символических исчислений к решению математических задач и
задач из области техники.
Два исчисления называются эквивалентными, если они
состоят из одних и тех же формул, и наименьшая
совокупность формул, содержащая базисные формулы и замкнутая
относительно правил преобразования одного исчисления,
совпадает с соответствующей совокупностью формул
другого.
В эквивалентных исчислениях базисные формулы будут,
вообще говоря, различными.
Более общее понятие — изоморфизма двух исчислений —
мы не приводим в силу его громоздкости.
59

Теперь мы можем перейти к понятию формализованной
теории множеств и математическим структурам как
формальным системам.
Исчисление предикатов позволяет формализовать
теорию множеств. Мы будем, естественно, предполагать, что
теория множеств определена некоторой системой аксиом.
Ниже приводится аксиоматика Цермело — Френкеля,
в которой основными понятиями являются понятия
«множества» и «содержит». Предположим, что нам даны два
множества у, z, и если любой элемент первого множества
является элементом второго, то у называется
подмножеством множества z (у включается в г). Затем вводится понятие
собственного подмножества {если у включается в г и
множество г содержит некоторый элемент, а множество у его
не содержит, то у называется собственным подмножествам
множества г).
Понятие равенства множеств определяется следующим
образом. Два множества х и у равны, если каждый элемент
одного из этих множеств является также элементом другогй
и наоборот.
Аксиомы теории множеств
1. Равные множества содержатся в однцх и тех же
множествах.
2. Если х и у являются множествами, то
неупорядоченная пара (ху у) йвляется множеством.
3. Если х является множеством множеств, то
совокупность элементов последних является множеством.
(Полученное множество называется множеством — суммой.)
4. Совокупность всех подмножеств данного множества
является множеством.
5. Предположим, что х есть множество, a F любое
свойство, имеющее смысл для каждого элемента данного
множества. Тогда совокупность элементов множества х,
обладающих указанным свойством, является множеством.
6. Если х есть множество непустых множеств, попарно
не содержащие общих элементов, то его множество-сумма
содержит по крайней мере одно подмножество, которое
содержит в точности один общий элемент с каждым членом
множества (аксиома выбора).
7. Существует множество, которое содержит в качестве
своего элемента пустое множество и которое вместе с
любым своим элементом х включает множество {х}.
60

8. Область значений любой однозначной
функции, определенной на множестве, является
множеством.
9. Всякое непустое множество х содержит такой
элемент у, что л; и у не имеют общих элементов.
Аксиомами 1—9 исчерпывается аксиоматика Цермело —
Френкеля теории множеств.
Исключительная роль в теории множеств принадлежит
аксиоме 6, называемой также аксиомой выбора.
Эта аксиома впервые была сформулирована Цермело и,
аддобно пятому постулату Евклида, вызвала появление
бШ1ьщого количества статей.
В отличие от других аксиом теории множеств, этой
аксиомой выбора гарантируется существование множества
без указания характеристических свойств, которым должны
удовлетворять его элементы. Поэтому можно утверждать,
что аксиома выбора опирается на очевидность другого вида,
чем остальные аксиомы.
С аксиомой выбора, начиная с 1904 г., связана большая
история. Это вторая аксиома в математике, после аксиомы
параллельности Евклида, ставшая предметом
многочисленных исследований математиков. Подобно пятому
постулату, она допускает несколько равносильных друг/ другу
формулировок.
Обратим внимание читателя еще на аксиомы 5 и 8. Они
отличаются от других аксиом тем, что в формулировке
указаниях аксиом используются произвольные свойства и
функцки соответственно. Аксиомы 5 и 6 в действительности
вдфажают бесчисленное множество аксиом,
соответствующих конкретным свойствам и функциям, и называются они
схемами аксиом.
Мы ограничимся лишь этими замечаниями и не будем
далее обсуждать приведенные девять аксиом или
доказывать на их основе различные теоремы теории множеств.
Аксиомы 1—9 составляют наиболее распространенный
вариант аксиоматического определения теории множеств.
Мы привели их здесь потому, что на русском языке еще мало
имеется пособий, из которых читатель мог бы получить
представления по вопросу обоснование теории множеств.
Аксиомы 1—9 теории множеств можно было записать в
символической форме. Все это предоставляется сделать
читателю в качестве полезного упражнения*
Присоединяя к аксиомам 1—13 исчисления предикатов
(с равенством) выписанные аксиомы 1—9 теории множеств,
Щ

мы получим систему аксиом формализованной теорий
множеств.
Более того, если к аксиомам 1—13 и 1—9
формализованной теории множеств мы присоединим аксиомы
некоторой математической дисциплины, выраженные в
терминах теории множеств, то получим аксиоматику рода
структур соответствующих формализованных теорий.
Например, присоединяя к аксиомам 1—13 исчисления
предикатов с равенством и аксиомам 1—9 теории множеств
аксиомы А. Н. Колмогорова, мы получим аксиоматику
рода структур евклидовой геометрии. Она содержит всего
13 аксиом исчисления предикатов (без аксиом равенства),
9 аксиом теории множеств, 12 аксиом школьной
аксиоматики. Ясно, что понятия алфавита, формулы и истинной
формулы должны быть уточнены. Соответствующим
образом уточняются и правила вывода. Излагать уточнения и
приводить доказательства теорем формализованной
геометрии здесь мы не будем.
Формализованная теория, в которой кванторы общности
и существования не берутся от предикатов, называется
элементарной теорией.
Важные результаты в области формализации математики
принадлежат Д. Гильберту. Он рассчитывал путем
формализации арифметики и теории множеств доказать
формальную их непротиворечивость и дать тем самым строгое и
эффективное обоснование всей математики.
Но программа Д. Гильберта оказалась не выполнимой-
Такой вывод следует из теоремы К. Гёделя о
несуществовании исчисления, выводимые формулы которого
интерпретировались бы в виде всех истинных предложений
арифметики целых чисел. К. Гёдель доказал, что даже обычная
(элементарная) арифметика не может быть полностью
аксиоматизирована, т. е. не является дедуктивно полной.
Дедуктивная полнота означает, что всякое предложение,
выраженное через основные понятия, можно доказать или
опровергнуть при помощи формально логического вывода из
аксиом (напомним, что предложение называется
опровержимым, если отрицание этого предложения является
теоремой в данной теории).
В формализованной арифметике можно найти формулу,
которая при обычной интерпретации выражает истинное
утверждение, но ни эта формула, ни ее отрицание не
являются теоремами формализованной арифметики.
62

Присоединяя такую формулу к аксиомам, мы найдем в
расширенной системе другую формулу истинную, но
не доказуемую и неопровержимую. Теория будет
по-прежнему дедуктивно неполной.
Таким образом, при формализации даже категоричной
неэлементарной аксиоматической теории можно прийти к
различным элементарным дедуктивно неполным
исчислениям (обычная теория Пеано неэлементарна, так как в
аксиоме математической индукции говорится о любых
свойствах натурального ряда).
Элементарная пеановская арифметика некатегорична и
дедуктивно неполна.
Положение с евклидовой геометрией таково:
доказывается, что аксиоматика обычной евклидовой геометрии
(например, гильбертовская) категорична; определяемая
ею теория неэлементарна.
Элементарная же евклидова геометрия с аксиомой
(элементарной) непрерывности Тарского некатегорична, но
дедуктивно полна (теорема Тарского — Швабхойзера).
Вообще элементарные бесконечные структуры не
являются категоричными (теорема Левенгейма — Сколе-
ма — Тарского).
Но теория групп третьего порядка, например,
категорична и дедуктивно полна; для групп четвертого порядка
ни категоричность, ни дедуктивная полнота не имеют места.
Указанная выше теорема Гёделя окончательно
опровергает установки формалистов. Из нее следует
несостоятельность тезиса тождественности
всех истинных предложений с
совокупностью доказуемых формул средствами
символического исчисления. Программа Гильберта о
формализации математики принципиально не осуществима.
Его попытка построения формальной дедуктивной
системы, из которой бы финитны ми методами
следовали все теоремы математики, оказалась не удачной.
Процесс получения истинных формул из базисных по
данным правилам преобразования не может быть
автоматизирован, т. е. не существует машины, которая бы
выдавала все истинные (открытые и неоткрытые в настоящее
время!) предложения арифметики.
Однако значение исследований Гильберта и его
учеников трудно переоценить. Эти исследования, несомненно,
являются важнейшими в обосновании математики. Они
позволили, в частности, поставить проблему о разреши-
63

мости исчислений. В разрешимом исчислении можно
эффективным образом решить вопрос о выводимости или
невыводимости произвольной его формулы. Примером
разрешимого исчисления является, исчисление высказываний.
Примером неразрешимого исчисления является исчисление
предикатов. Не существует единой программы, которая
позволяла бы для каждой формулы исчисления предикатов
решать вопрос о ее выводимости.
Иван Петрович Егоров
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
Редактор- В. И. Ковалев. Обложка Л. П. Р о м а с е н к о. Худож.
редактор В. Н. Конюхов. Техн. редактор А. М. Красавина
Корректор А. А. П у з а к о в а.
А03130 Индекс заказа 64305
Сдано в набор 16/Ш 1976 г. Подписано к печати 17/IV 1976 г.
Формат бумаги 84Х1087з2. Бумага типографская № 3 Бум. л. 1 Печ. л. 2
Усл. печ. л. 3,36 Уч.-изд. л. 3,33 Тираж 46 150 экз.
Издательство «Знание». 101835. Москва, Центр, проезд Серова, д. 4. Заказ 509
Чеховский полиграфический комбинат Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов Московской области
Цена И коп,

НОВОЕ
В ЖИЗНИ. НАУКЕ,
ТЕХНИКЕ
ЗНАНИЕ
И. П. Егоров
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ
СТРУКТУРАХ
S (ТПр)
• ••• ••
•••• • •••
••• •• • •••
• •••••
• •• • • ••
•••• • •• • ••• •• •• •• • •• • <
• *••••• • ••••• ••••• ••••
• •••••• • •• • •• • ••• •
5/1976
СЕРИЯ
МАТЕМАТИКА.
КИБЕРНЕТИКА