ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ И ПРАВА
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РАН
В.В. Целищев
ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ:
ОБЪЕКТЫ И СТРУКТУРЫ
Ответственный редактор
д.филос.н., проф. Бессонов А.В.
НОВОСИБИРСК
«НОНПАРЕЛЬ»
2003

Исследования, нашедшие отражение в книге,
поддержаны Российским гуманитарным научным фондом
(грант 01-03-00131) и Междисгишнарным интеграционным
проектом Сибирского отделения РАН (грант 125)
Утверждено к печати Ученым советом
Института философии и права СО РАН
Целищев В.В.
Онтология математики: объекты и структуры. -
Новосибирск: Нонпарель, 2003. - 240 стр.
В монографии отражены исследования в области философии
математики, важные для понимания природы абстрактных
объектов математики, в частности, природы натуральных чисел и
множеств. В центре внимания работы находятся понятия
существования математического объекта и структуры. Значительная часть
книги посвящена исследованиям последнего десятка лет.
Книга предназначена всем, интересующимся философией
математики.
© В.В. Целищев, 2003

... человек многие тысячелегия жил не замечая, что в
окружающей em природе есть числа. Миллиарды чисел. Однажды
утром случайно, как цветок в траве, нашел он свое первое число.
Как первую улыбку. Он открыл это первое число с таким трудом,
с каким открыл свое будущее. Но для того, чтобы добрагься до
следующего числа, ему потребовалось несколько тысячелегий, то
есть, больше, чем нужно, чтобы открыть нослезавгра. В конце
концов, он начал приручать и укрошагь числа вокруг себя,
плодить их, и они множились от его прикосновения и взгляда. Но
только для него. Больше ни для кого в мире числа не
существовали, ни на земле, ни в земле, ни над землей. Ни для животных, ии
для растений. Сначала он думал, что мертвые забывают числа, но
как-то раз, глядя на отражения звезд в воде, понял, что числа есть
и на небе, причем в несметных количествах. И так же как его
предок Ааам дал имена животным, человек начал давать имена всем
чтим бесконечным числам. Однако чисел было так много, что душа
человека отступила перед ними. В его душе не осталось ни капли
сил как раз тогда, когда должно было начаться укрощение
небесных чисел.
Милорад Павич.
Последняя любовь в Константинополе.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга задумана как часть вторая моей
«Философии матемагики»1. Как и в первой части, в ней избегаются «избитые»
темы, и смею надеяться, представленный материал в основном будет
новым для русскоязычного читателя. Оглавление книги говорит само
за себя, и нет смысла i предварять основной текст какого-л ибо рода
объяснениями. Однако есть смысл сказать несколько слов о том, какого рода
установки преследовал автор при написании книги.
Прежде всего, философия математики есть тесное переплетение
философии, или лучше сказать, метафизики и собственно матемагики.
Матемагика требует личности, а метафизика всегда идет в
противоположном направлении. Конфликт неизбежен, и приходится искать такие
формы философского анализа, которые не нанесли бы ущерба ни
одной из 'этих практически независимых областей размышления над
«высокими материями». Мало кому удавалось успешное преодоление
такою конфликта, и такие редкие случаи представляют собой классику
философии матемагики. Приходит на ум, конечно же, основатель ана-
1 Целишев В.В. Философия математики. - Новосибирск: Наука, 2002.

ПРЕДИСЛОВИЕ
литической философии Бертран Рассел. Иногда этого мыслителя
упрекают в том, что он слишком сузил рамки философии, которая отнюдь
не сводится к сайентизму. В хоре подобного рода упреков выделяется
математик и философ Майкл Даммит, который «спасает»
аналитическую философию от сайентизма, провозгласив одним из ее основателей
Э. Гуссерля, утверждая при этом, что «аналитическая философия и
феноменологическая школа выросли из одних и тех же корней»2. Больше
того, Даммит полагает, что Principia Mathematica, которая
инспирировала признание математики в качестве одного из краеугольных камней
философии, не является основополагающей работой для
аналитической философии. Как замечает П. Хилтон, «такое заключение конечно
же неприемлемо. Principia Mathematica... определенно является пара-
дигмальной работой в аналитической философии и ее развитии»3. Что
касается герменевтики и феноменологии, пропагандируемых в
качестве лекарства для аналитической философии тем же Даммитом4, то
вряд ли с этим согласится кто-либо, кто не страдает, как Даммит,
раздвоением «философской личности». В самом деле, несмотря на свое
восхищение Г. Фреге, который разделяет с Расселом репутацию
основателя аналитической философии, взгляды Даммита в своей последней
книге, вышедшей на итальянском языке, противоположны взглядам
Фреге. Вообще, Даммит полагает, что философия языка Фреге была
правильной, в то время как его философия математика в целом была
ошибочной. Закономерной реакцией на принижение роли математики
в аналитической философии является высказывание рецензента
последней книги Даммита британский философ Д. Джиллис: «Хотя
некоторые люди могут быть вдохновлены герменевтикой и феноменологией,
я все-таки полагаю, что для продолжения работы в русле
аналитической философии следует уделить некоторое время изучению ряда
разделов математики и естественных наук... Так что мое предписание
философам состоит в том, чтобы они знали те разделы математики и
естественных наук, которые имеют философские следствия. Это занятие
должно быть использовано не для попыток получить определенные
результаты в этих областях..., но скорее для того, чтобы получить новые
идеи для развития новых философских теорий»3.
2 Dummett M. The Origins of Analytical Philosophy. ~ Harvard University Press,
1993. - P. ix.
3 Hylton P. Review of Dummett's Origins of Analytical Philosophy II Journal of
Philosophy. - 1995. - V. xcii, n. 10. - P. 559.
4 Dummett M. La natura e il future delta filosofia. - Genova, 2001.
5 Gillies D. Review ofDummett's La natura e ilfuturo delta filosofia II British
Journal for the Philosophy of Science. - 2003. - V. 54. - P. 507.
4

ПРЕДИСЛОВИЕ
То обстоятельство, что в основе ряда фундаментальных
математических идей лежат философские доктрины, не вызывает
никакого удивления, поскольку сама идея бесконечности, центральный
пункт всякого математического размышления, является глубоко
метафизической концепцией. Еще более показательным примером
является проблема существования математических концепций,
которой собственно и посвящена в целом данная книга. В
ожесточенных спорах между формалистами и интуиционистами по поводу того,
что считать существующим, аргументы заимствуются в
значительной степени из той же самой метафизики.
Метафизика как таковая не признает окончательных ответов.
Привлечение метафизики к обсуждению проблем философии математики
обрекает их нату же участь. Трудно ожидать, что при обсуждении
спорных философских вопросов математические выкладки внесут
решающий вклад в пользу одной из сторон. Философов еще надо убедить в
том, что эти математические результаты действительно важны для
философского дискурса. В этом и состоит «посылка принцессы
Маргарет», описанная в упоминавшейся выше моей «Философии
математики». Больше того, иногда возникает такая ситуация, когда
математические аргументы могут быть с обеих сторон столь же убедительными (или,
что равносильно в некотором смысле, столь же неубедительнымиХ что
предполагаемая их поддержка философских аргументов
обесценивается. Примером такой ситуации может служить недавняя интересная
работа М. Балагера, симптоматично названная им «Платонизм и
антиплатонизм в математике»6. В ней убедительно показано, что
математические аргументы в пользу платонизма, несмотря на детальность и
многочисленность, столь же убедительны, как и математические
аргументы против платонизма. Для описания такой ситуации я
предпочитаю эвфемизм «диалектика философского спора», использованный
мною в «Философии математики» для описания ситуации со спорами
вокруг интерпретации теоремы Левенгейма — Сколема.
Незавершенность философских споров, мотивированных математикой,
проявляется довольно рельефно в том, что давно забытые доктрины переживают
второе рождение, как это имеет место с «неологицизмом».
Реабилитация классического логицизма Г. Фреге в работах К. Райта и Б. Хейла7, а
также других философов, показывает, что аргументы, использованные
для вынесения приговора логицизму как устаревшему направлению в
' Balaguer M Platonism andAnti-Platonism in Mathematics. — Oxford University
Press, 1998.
7 Представительной работой этого направления является книга Wright С.
Frege s Conception cflumbers as Objects. ~ Aberdeen University Press, 1983.
5

ПРЕДИСЛОВИЕ
философии математики, оказываются ныне для многих
неубедительными. Очевидно, что не последнюю роль в этом играет переоценка роли
математической аргументации в философии.
Одна из целей данной книги, как и ее предшественницы,
состоит в том, чтобы привлечь внимание интересующихся философией
математики к несправедливо забытым фигурам. Прежде всего, это
относится к Фреге, поскольку его философия математики
обсуждается в текущей литературе гораздо меньше его философии языка.
Между тем, многие из его идей не только не потеряли значения, но
и представляют значительный интерес для преодоления нынешних
«завалов» в философии математики. Более острая ситуация с
философским наследием Р. Дедекинда. По какой-то случайности
интереснейшие мысли этого знаменитого математика в области оснований
математики и ее философии не находят отражения в популярных
изложениях этой отрасли философии. В данной книге Р. Дедекинд
рассматривается как один из основоположников структурализма в философии
математики, и по сути дела как один из ее героев. Не следует
пренебрегать возможностью представить философов математики, имена
которых, однако, мало что скажут неискушенному читателю. Я имею в виду
I юля Бенацеррафа, который, как уже было показано в моей
«Философии математики», зарекомендовал себя подлинным возмутителем
спокойствия в этой «спокойной» области философии. В данной книге я
вновь обращаю внимание на эту его роль, потому что именно он
относительно недавно начал дискуссию о статусе чисел как объектов, и дал
импульс к возникновению современной формы структурализма в
философии математики. Важнейшей фигурой является Чарльз Парсонс,
чьи фундаментальные работы сделались настоящими вехами в
лабиринтах современной философии математики. Работы В. Куайна
являются непременным фоном для всей философии логики и математики, а
изобретательность X. Патнэма в использовании математики для
философских целей делает ее незаменимой для любого обсуждения
философии математики.
Следует отметить, что написание книги, подобной этой,
сталкивается с очевидной трудностью, которая заключается в огромном
разнообразии исследований и точек зрения. Поскольку одна из целей книги
состояла в том, чтобы показать современный уровень этих
исследований, не было никакой возможности найти какой-то «канонический»
подход к унификации того богатого материала, который представлен в
книге. Скажем, структура натуральных чисел может быть обнаружена
в самых неожиданных формах, и для иллюстрации этого тезиса в книге
приведено, например, представление этой структуры в сложной в тех-
6

ПРЕДИСЛОВИЕ
ническом отношении дистрибутивной нормальной форме логики
первого порядка Я. Хинтикки. Другим примером является довольно
неожиданная в философии математики предпочтительность теоретико-
множественной экспликации натуральных чисел в версии фон
Неймана; эта точка зрения свидетельствует о глубоком различии в понимании
проблем философии математики со стороны философов и
математиков. Для иллюстрации этого различия имеет смысл привести
интересное свидетельство8:
Майкл Харрис в своем обозрении книги Владимира Ташича
«Математика и корни постмодернистской мысли» рассказал
следующую историю9. Однажды он присутствовал на встрече
с тремя математиками. Сидя в ресторане, они заговорили
о великом «кризисе» в основаниях математики, который
поразил математику в начале XX века. Начало и конец кризиса
можно обозначить с открытием Расселом парадокса (1901 г.),
носящего его имя, и доказательством Геделем теоремы о
неполноте арифметики (1931 г.). Этот «кризис» оснований возник
по причине того, что математики начали исследовать
логические и философские основания своего предмета, пытаясь
найти фундаментальные аксиомы, лежащие в основе всей
математики. Они искали непоколебимый фундамент процесса
математического доказательства, задаваясь вопросами типа «Что
на самом деле есть число?».
Так вот все три собеседника высказали полностью различные
мнения по поводу самого важного вопроса - онтологического
статуса континуума Харрис попытался инициировать более
глубокое обсуждение этого вопроса... но обнаружил, что его
коллеги не обладают для этого достаточными познаниями,
и больше того, им было все равно. Эти проблемы с
основаниями, хотя и интересные сами по себе, были прекрасным
поводом для того, чтобы обронить несколько замечаний во время
обеда, но не больше. Они ничего не значили для повседневной
работы большей части математиков.
В завершение следует добавить пару слов о том, что
представляет собой изложенный в книге материал. Одной из задач, которую
1 Derbyshire J. The Importance of not Thinking Too Much II www. national-
re view.com/derbyshire/derbyshire080103.asp
8 Notices of the American Mathematical Society, August, 2003.
7

ПРЕДИСЛОВИЕ
ставят перед собой авторы научных книг, является подведение
итогов в соответствующей области. В данном случае автор ставил
перед собой совсем другую цель. Исследователю очень важно
ориентироваться в море публикаций по философии математики, и очень
важно дать представление о том, что же обсуждается в
современных публикациях. Между тем, полное разнообразие тематики и
богатство идей и направлений зачастую ставят в тупик тех людей,
знакомство которых с текущим состоянием философии математики не
позволяет им судить о значимости тех или иных суждений. Поэтому
хотелось бы, чтобы читатель, открывая философский журнал со
статьей по философии математики, не был полностью озадачен
содержащимся в ней материалом. Именно эта цель и преследовалась
в данной книге. Материал, представленный в ней, достаточно
разнообразен, и смею заметить, дает некоторое представление о том,
что делается в современной философии математики.
8

ГЛАВА 1
ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
1
1. Математический платонизм
Классические направления в философии математики—
логицизм, интуиционизм и формализм - в значительной степени
противостоят платонизму. Тем не менее, многие элементы платонизма
разделяются немалым числом философов и логиков, не говоря уже о том,
что платонизм является неявной философией работающих
математиков. Конфликт между платонизмом и другими направлениями в
философии математики прежде всего касается онтологии, то есть, вопросов
о том, что существует. Принимая во внимание специфику области, речь
идет о том, какого рода объекты полагаются существующими с точки
зрения математических теорий. Естественно, что при этом имеется
в виду философский взгляд на математику, анализ ее логических
посылок и структуры. В последнее время в философии математики особое
внимание обращается на то обстоятельство, что философский анализ
должен принимать во внимание математическую практику и
обыденный математический дискурс вообще.
9

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
Термин «существование» употребляется в математике, исходя из
чисто математических критериев. В классической математике, где
принимается закон исключенного третьего, часто имеется в виду такой
смысл существования математических объектов, при котором этот
объект не представлен прямо. В конструктивной математике объект
существует лишь тогда, когда он сконструирован. В философии
математики вопрос о существовании математических объектов увязывается
с вопросом о существовании абстрактных объектов. Онтология
абстрактных объектов гораздо шире математической онтологии, и
следует сразу оговориться, что термин «онтология» употребляется в данном
контексте весьма специфическим образом, имеющим весьма
отдаленное отношение к традиционным онтологическим философским
спорам. Правда, самое известное направление в математической
онтологии, а именно, платонизм, довольно тесно связан с традиционными
философскими спорами относительно природы универсалий. Тем не
менее многие философы считают термин «платонизм» неудачным в том
смысле, что он ассоциирует со специфическими вопросами
математического мышления такие философские категории, контекст которых
давно утерян1. Поэтому часто употребляют другие термины, например,
«математический реализм», хотя сам по себе термин «реализм»
слишком многозначен и, заимствуя терминологию из философии науки,
«теоретически нагружен». В любом случае, речь идет о философском
направлении, согласно которому математика изучает сферу абстрактных
объектов, чье существование не зависит от человеческого сознания.
Несмотря на нежелательную ассоциацию с традиционными
онтологическими спорами, следует признать, что без онтологии
философия математики лишается слишком многого, и осознавая это,
видный логик Э. Бет в свое время утверждал2:
Философия математики ...есть онтология математических
объектов.
Правда, утверждение это может быть иллюзорным, поскольку
математика может не оказать никакой помощи в онтологических
вопросах. Г. Карри был выразителем как раз такого скепсиса в
отношении онтологии3:
1 Термин «платонизм» был запущен в обращение П. Бернайсом в 1934 году, когда
классические направления в основаниях математики оформились уже в достаточной
степени.
2 Beth E. Mathematical Thought. - Dordrecht, Reidel, 1965. - P. 176.
3 Curry H. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. -Amsterdam, 1970. -
P. 30-31.
10

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАТОНИЗМ
Особенность математики состоит в том, что она
рассматривает только некоторые существенные свойства ее объектов,
считая остальные не относящимися к делу. Один из этих
несущественных вопросов—об онтологии формальной системы... Мы
должны принять нечто аналогичное принципу терпимости
Карнапа в отношении онтологических вопросов.
В некотором смысле, это вполне разумная позиция, потому что
надежды на то, что онтологические вопросы обретут определенность
в философии математики, оказываются неоправданными.
В частности, как мы увидим позднее, понятие объекта при
экспликации его в формальных системах теряет однозначность и
становится весьма расплывчатым, что лишает смысла даже
традиционные онтологические различения.
В этом отношении интересной является точка зрения М. Балагера,
согласно которой философия математики может быть двух видов4.
С одной стороны, это герменевтический проект, суть которого состоит
в ориентации на математическую теорию и практику при объяснении
природы математических утверждений. С другой стороны, это
метафизический проект, который ориентируется на философские традиции.
Так, проблемы онтологии являются типично метафизическим
занятием, и если философия математики, как уже говорилось, есть онтология
математических объектов, тогда традиционная философия математики
есть реализация метафизического проекта. Конечно, разграничение двух
подходов является несколько искусственным. Действительно, вера
в существование абстрактных объектов—это платонизм, а вера в
существование математических абстрактных объектов — это
математический платонизм. Существует ли существенное различие между
абстрактными объектами и математическими сущностями - это
самостоятельный вопрос, которого мы коснемся ниже. Тезис Балагера есть еще одна
иллюстрация «посылки принцессы Маргарет»5, согласно которой
философы должны крепко подумать, принимать ли им философские
заключения, основанные на интерпретации технических математических
результатов. Балагер утверждает, что математическая теория и
практика не дает никаких резонов для принятия той или иной позиции в
метафизике. В частности, математика не дает никаких аргументов в пользу
или против принятия платонизма как метафизического проекта.
4 BaJaguer M Platonism and Anti-Platonism in Mathematics.— Oxford University
Press, 1998.-P. 4-5.
9 См.: Целищев В.В. Философия математики. — Новосибирск: Наука, 2002. —
Прелюдия к главе 4.
11

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
Дело в том, что обычно реальные теории в философии математики
являются пересечением герменевтического и метафизического
проектов. Так, платонизм может пониматься весьма по-разному, поскольку
взгляд, согласно которому математические объекты существуют и
описываются математическими теориями, - а это и составляет суть
математического платонизма - совместим со многими дополнительными
посылками. Так что неверно было бы полагать, что платонизм как
философия математики представляет собой четко очерченное
направление с набором ясных догм и посылок. Существует много взглядов,
которые в той или иной степени разделяют платонистские посылки в
признании области абстрактных объектов, но различаются в том, что
касается природы этих абстрактных объектов, возможности их познания,
и во многих других вопросах. Например, так называемый
«полнокровный платонизм» Балагера допускает в число математических объектов
все возможные непротиворечивые объекты6. С этой точки зрения
существовать - значит быть свободным от противоречия. Таким образом,
существуют все возможные математические объекты, и
математическая реальность представляет собой изобилие сущностей.
«Полнокровный платонизм» предлагает слишком обширную онтологию, в
которой могут потеряться все различия между, например,
номиналистами и реалистами. Более умеренные виды платонизма, расходящиеся
с «полнокровной» его разновидностью, это объект-реализм и
структурализм. Весьма распространен вид платонизма, связанный с
аргументацией о так называемой «незаменимости» (indispensability)
математики в науке. Эта аргументация представлена в основном в работах В. Ку-
айна и X. Папизма7. То же относится к платонизму К. Геделя8, в
котором основную роль играет математическая интуиция; она в отношении
доступа к математическим объектам аналогична чувственным
восприятиям при познании физических объектов. В данной работе мы будем
рассматривав по большей части объект-платонизм и структурализм.
Что такое объект-платонизм? Это убеждение, что существует
нечто реальное и объективное вне пространства и времени, и оно
изучается математическими теориями. Больше того, это нечто
объективное и абстрактное состоит из совокупности объектов, абстракт-
' Balaguer M. A Platonist Epistemology II Synthese. - 1995. - V. 103. - P. 303-325.
7 См., например: Quine W. V.O. Success and Limits ofmathematization II Theories
and Things. - Harvard University Press, 1981. - P. 148-155; Putnam H. Philosophy of
Logic II Mathematics Matter and Method: Philosophical Papers. - V. 1. - Cambridge
University Press. - P. 323 357.
* Godel K. What is Cantor's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics /
Eds. Benacerraf P. and Putnam H. - Prentice-Hall, 1964.
12

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАТОНИЗМ
ный характер которых представляет нефизический, нементальный,
внепросгранс гвенный и вневременной аспекты реальности.
Наиболее влиятельная версия объект-платонизма представлена идеями
Г. Фреге. Структурализм, с одной стороны, можно рассматривать как
антитезу платонизму, а с другой - как разновидность того же
платонизма. Это направление было инициировано в основном идеями
Р. Дедекинда, Н. Бурбаки, П. Бенацеррафа и других математиков
и философов. Перед тем, как перейти к анализу современных
версий платонизма, к рассмотрению аргументов за и против, имеет
смысл дать общее представление о платонизме.
Г. Фреге заслуживает особого внимания при обзоре
современной философии математики, потому что до сих пор поставленная
им проблематика является актуальной. Кроме того, значительная
часть развитых им концепций сохранила свою значимость; больше
того, в настоящее время наблюдается определенное возрождение его
идей, которые еще недавно казались принадлежащими лишь
истории. Речь идет о так называемом «неологицизме», весьма влиятельном
направлении в философии магематики, существенно затрагивающем
и эпистемологию. Именно с Фре!^ начинается то, что Б. Рассел
впоследствии назвал «математической философией»9. Главная
особенность его подхода заключалась в стремлении подтвердить
философские взгляды с помощью математических результатов. На этом пути
он попытался вывести элементы теории чисел из
теоретико-числовых аксиом в качестве демонстрации философского тезиса, что
арифметика является частью логики. Таким образом, он положил начало
логицизму, продолженному Б. Расселом и далее Р. Карнапом.
11оследующее развитие философии математики не во всем
согласовывалось с идеями Фреге, но одна идея обрела статус
«неприкасаемой»: числа являются объектами. Лишь в 1965 г. П. Бенацерраф
бросил вызов этой идее, вызвав бурную полемику, некоторые итоги
которой обсуждаются в данной книге. Далее, Фреге мы обязаны четкой
постановкой взгляда отологического платонизма в отношении
математики. Кроме признания чисел абстрактными объектами, этот взгляд
включает также приравнивание роли абстрактных объектов в
математике роли обыденных объектов в физике, без всякой попытки
осуществить редукцию одних сущностей к другим. Кроме онтологического
* Киша Ь. Рассела Введение в математическую философию (русский
перевод В. Целишева). - Гнозис: М., 1996, является адаптацией фундаментального труда
Whitehead A.N., Russell В. Principia Mathematica. - Cambridge University Press,
1911-1913.
13

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
платонизма часто выделяют так называемый эпистемологический
платонизм, связанный с представлением о том, как познаются
абстрактные объекты математики. Фреге можно назвать и эпистемологическим
платонистом, поскольку он полагал, как и К. Гедель впоследствии, что
познание подобного рода связано с некоторого рода восприятием,
которое аналогично, но не тождественно чувственному восприятию.
Наконец, Фреге был методологическим платонистом. Этот вид платонизма
характерен широким использованием неконструктивных
математических методов, таких как закон исключенного третьего,
непредикативные определения, непредикативные множества. Связь этих методов
с онтологическим платонизмом состоит в том, что использование
неконструктивных методов, критиковавшееся последующими
поколениями логиков и математиков, предполагает, что математика имеет дело
с бесконечной областью абстрактных объектов, существование
которых не зависит от человеческого сознания. Таким образом, Фреге,
несмотря на значительные сложности в интерпретации его философии
языка, был полным платонистом в философии математики.
Платонизм Г. Фреге связан с рядом технических деталей в
математических системах, некоторые из которых будут приведены в
дальнейшем. А пока имеет смысл дать содержательное описание того, что же
представляет собой платонизм в более широком контексте. Прежде
всего, платонистский взгляд в философии математики представляется
вполне естественным большинству работающих математиков. С их точки
зрения существует огромное число математических истин, некоторые
из которых открыты, а большая часть ждет своего открытия. Работа
математиков заключается в расширении круга открытых истин.
Математики, по словам английского математики и физика Р. Пенроуза10:
верят в некоторого рода вечное существование по крайней
мере наиболее глубоких математических концепций...
В такого рода математических идеях привлекает
уникальность и универсальность...
Под термином «платонизм» можно понимать как то, что
объекты математической мысли имеют некоторый род
действительного «существования», так и то, что
математическая истина абсолютна. Я не вижу между этими двумя
точками зрения никакого различия. Для меня абсолютность
математической истины и платонистское существование
математических концепций - одно и то же. «Существова-
Penrose R. The Emperor i New Mind. - Vintage, 1990. - P. 127.
14

2. СВОДКА НАПРАВЛЕНИЙ В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
ние», которое может быть приписано, например, множеству
Мандельброта, есть особенность его «абсолютной»
природы. Принадлежит ли точка на плоскости Аргана множеству
Мандельброта, или же не принадлежит, не зависит от того,
кто это проверит, математик или компьютер. Именно эта
«независимость от математика» придает этому множеству
платонистское существование. Больше того, его тончайшие
детали лежат за пределами того, что нам доступно при
использовании компьютеров. Эти устройства могут дать только
приближения к той структуре, которая является более глубокой,
и в своем существовании «не зависит от компьютера»".
Не менее характерным «платонистским» признанием является
высказывание английского математика Г. Харди12:
Мне кажется, что ни одна философия не может вызвать
сочувствие у математика, если она так или иначе не признает
незыблемости и безусловной годности математической
истины. Математические теоремы истинны или ложны, и их
истинность или ложность абсолютно не зависит от того,
известны ли нам эти теоремы. В некотором смысле
математическая истина является частью объективной реальности.
Свою позицию я сформулирую догматически во избежание
малейшей неясности. Я считаю, что математическая реальность
лежит вне нас, что наша функция заключается в открытии
и наблюдении ее, и что ее теоремы, которые мы доказываем
и высокопарно называем своими «творениями», в
действительности являются не более чем записями наших наблюдений13.
Коль скоро признается существование вечных и внепростран-
ственных абстрактных объектов, то можно сделать еще один шаг
и принять телеологическую картину развития математики. Это
процесс можно изобразить как процесс перехода от математического
платонизма к математическому неоплатонизму. Именно так
комментируют Ф. Херш и Р. Дэвис высказывания русского математика
И. Шафаревича, который говорит следующее14:
"Там же.-С. 147.
и Цитируется по М. Клайн. Математика. Утрата определенности. — С. 372.
13 Там же.
14 Цитируется по Hersh R., Davis Ph. The Mathematical Experience. - Penguin,
1983.-P. 52.
15

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
Поверхностный взгляд на математику может произвести
впечатление, что она является результатом отдельных
индивидуальных усилий многих ученых, рассеянных по
континентам и разделенных временем. Однако внутренняя
логика развития математики напоминает больше работу
одного разума, развивающего математику систематически,
через использование в качестве средства отдельных
индивидуумов. Это напоминает оркестр, исполняющий
симфонию, сочиненную кем-то одним.
Такого рода крайности не могут не вызвать обратной реакции,
и в этом отношении характерно высказывание создателя
нестандартного анализа А. Робинсона15:
Не могу представить себе, что я когда-нибудь смог обрести
кредо истинного нлатониста, который видит распростертый
перед ним мир актуальной бесконечности и верит, что он
может объять непостижимое.
Некоторого рода компромисс можно найти у французского
математика Эмиля Бореля16:
Многие люди имеют неясное ощущение, что математика
существует где-то там, хотя при некотором размышлении
они не могут избежать заключения, что математика есть
исключительно творение человека. Точно такие же
вопросы можно задать в отношении и многих других концепций,
например, концепций государства, моральных ценностей,
религии... Мы склонны постулировать существование всех
этих вещей, принадлежащих цивилизации или культуре,
в том смысле, что мы разделяем их с другими людьми
и можем обмениваться мыслями об этих концепциях. Вещь
становится объективной (в противоположность
«субъективному») как только мы убеждаемся в том, что она
существует в умах других в той же самой форме, как и в нашем уме,
и что мы можем размышлять о ней и обмениваться
мыслями. 1 юскольку язык математики очень точен, он идеально
приспособлен для определения концепций, в отношении
которых такой консенсус существует. С моей точки зрения
этого вполне достаточно для объяснения возникновения ощу-
'Цит. выше, с. 319.
'Цитируется по BairowJ. Pi in the Sky. ~ Clarendon Press, 1992.-P.259.
16

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАТОНИЗМ
щения в нас чего-то объективного, независимо от его
подлинного происхождения.
Но кроме противопоставления двух точек зрения - математика
есть открытие истин и объектов и математика есть
конструирование, творение истин и объектов, - существует еще одна точка
зрения, связанная с вопросом о том, как математика соотносится с
эмпирическим опытом. Проблема заключается в совмещении
существования мира идеальных объектов и мира несовершенных
материальных объектов. Самый простой взгляд на способы такого
совмещения состоит в том, что внечувственная реальность математических
объектов является результатом абстракции. Есть два варианта
объяснения природы абстрактных объектов, которые последнее время
привлекают внимание исследователей. Во-первых, это неологицизм,
в рамках которого абстрактные объекты математики являются
логическими конструкциями. Во-вторых, это постулирование
абстрактных объектов, исходя из употребления математических терминов
в обыденном математическом дискурсе. Последнее течение связано
с виттгенштейновской концепцией значения как употребления. Эти
два направления будут освещены нами позднее. А пока рассмотрим
крайний номинализм, согласно которому абстрактные объекты
вообще не существуют.
До сих пор на основе номинализма не удалось получить
реконструкции значительной части математики, и есть все основания
полагать, что уже в самом понятии абстрактного объекта таится
резкий разрыв с эмпирическим опытом. В качестве примера
рассмотрим то, как утверждение о существовании множества как
абстрактного объекта или универсалии вступает в противоречие с
эмпирическим опытом. Прежде всего, следует рассмотреть озадачивающую
ситуацию существования бесконечного числа множеств, которые
соответствуют одному эмпирическому объекту. Так, если имеется
один объект, скажем, человек, то можно образовать (при
использовании операции образования единичного множества и пустого
множества 0) следующие множества, которые будут содержать один
«реальный» элемент:
{человек}, {0, человек}, {0, {человек}}, {{человек}},
{{человек}, {человек}}, ...
Можно поставить, конечно, ограничение, согласно которому
членами множества могут быть только те сущности, которые сами
не являются множествами, то есть, являются «подлинными» инди-
17

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
видами. В этом случае мы не будем иметь для каждого
эмпирического объекта неограниченное число множеств, поскольку
запрещены множества множеств. Но именно они-то как раз и требуются
теорией множеств, и значит, всей математикой.
Другая аномалия множества как абстрактного объекта с
номиналистической точки зрения состоит в следующем. Коль скоро
множество представляет собой совокупность объектов, мыслимых как целое,
множества, состоящие из одних и тех же элементов, должны быть
тождественны. Это так называемое мереологическое понимание
множества. Пусть имеется несколько эмпирических объектов, то есть,
индивидов — а, Ь, с, d Пусть далее имеется некоторый процесс порождения
из этих индивидов множеств, который не должен повлиять на
установление тождества множеств. Но согласно теории множеств, множество
{{а, А}, {с, d]} не тождественно множеству [а, Ь, с, d), которое в свою
очередь нетождественно множеству {{а}, {Ь}, {с}, {d}} и т.д. Между
тем, все эти множества состоят из одних и тех же индивидов, и с
эмпирической точки зрения между этими множествами нет отличий. Но это
означает, что в понятие множества включено нечто большее, чем
просто идея объединения эмпирических объектов, или индивидов, в
целое, поскольку получающееся целое обладает весьма отличными от
составляющих его объекгов свойствами.
Более того, создается впечатление, что процесс порождения
множеств важнее, чем то, из чего создается множество. Действительно, для
порождения множеств вообще не требуется эмпирических объектов,
поскольку основой является пустое множеств. Математика допускает
порождение множеств из пустого множества17. Так, если 0 - пустое
множество, то операцией образования множества { } из пустого
множества образуется множество {0},идалеемножества{{0}}, {{{0}}},
и так далее. В данном случае возникает типичная для математики
ситуация обобщения операции от одних) класса сушностей к другому
классу. Пустое множество как абстрактный объект требует особого
обоснования, поскольку, согласно Кантору, «множество есть совокупность
вполне определенных объектов, мыслимых как целое». Дело в том, что
в данном случае нет эмпирических объектов, объединяемых
мысленно. Тем не менее, операция конструирования множества обобщена до
ситуации, когда идея совокупности эмпирических объектов
заменяется идеей совокупности мыслимых объектов. В некагором смысле здесь
и совершается радикальный скачок к платонизму; признание законным
17 Подробнее по этому вопросу см.: Целишев В.В. Философия математики. -
Новосибирск: Наука, 2002. - Глава 2 «Множества».
18

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАТОНИЗМ
пустого множества есть первый шаг, поскольку теперь квантификация
осуществляется над множествами, а не над его членами.
Одно из объяснений этого скачка состоит в идее структуры.
М. Стайнер описывает этот процесс следующим образом:
При рассмотрении материальных тел можно отвлечься от
их конкретного пространственного расположения. При этом
объекты будут мыслиться в виде некоторою многообразия,
и затем будет воспринята структура этого многообразия.
Именно так мы познаем стандартную модель теории
множеств Цермело - Френкеля, абстрагируясь от точек на
бумаге, расположенных определенным образом. Так мы
приобретаем интуицию структур множеств в системе
Цермело - Френкеля... Интуитивное восприятие структуры
множеств в системе Цермело - Френкеля может начинаться с
воображения некоторого порядка точек, но оно этим не
заканчивается. Раз мы абстрагируемся от тчюметрических
особенностей этого порядка, наше ментальное состояние
становится весьма отличным от простого воображения. Оно
моделируется на структуре абстрактных объектов, а не на
физических объектах или физическом порядке18.
Понятие математической структуры будет рассмопрено нами ниже.
Пока лишь отметим, что структурализм может быть использован для
защиты платонизма против эмпирических аргументов.
Действительно, платонист может говорить об изоморфизме между системами
математических объектов и системами физических объектов.
Большая часть направлений в современной философии
математики так или иначе связана с платонизмом, защищая или опровергая
его. С другой стороны, есть общий скепсис относительно
подобного рода воскрешения старых философских программ средствами
современной логики и математики. Исследователь в области
когнитивных наук А. Сломан говорит14:
Все, что он (Р. Пенроуз) говорит, состоит в том, что
математически истины и концепции существуют независимо от
математиков, и что они открываются, а не изобретаются. Это
лишает платонизм всякого содержания... Хотя многие люди ио-
" Steiner M. Mathematical Knowledge. - Cornell University Press, 1975. - P. 134-
135.
19 Цитируется по Barrow J. Pi in the Sky. - Clarendon Press, 1992. - P. 273.
19

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
латают платонизм чем-то мистическим, или антинаучным так
же горячо, как Пенроуз защищает платонизм, такие
разногласия на самом деле пусты. Нет никакой разницы, существуют
ли математические объекты до их открытия или нет. Спор этот,
как и всякий спор в философии, зависит от ошибочного
предположения, что существует четко определенная концепция
(например, «существование математического объекта»), которая
может быть использована с целью постановки вопроса, на
который можно дать определенный ответ. Мы все знаем, что
означает существование единорогов, или вполне понимаем
разумное утверждение о существовании простого числа между
двумя заданными целыми числами. Но нет смысла
спрашивать, существуют ли все целые числа, или существуют ли они
независимо от нас, и все дело в том, что понятие
существования весьма плохо определено.
Далее мы обсудим, насколько оправдан подобный скепсис, и так
ли плохо определена концепция существования математических
объектов.
2. Существование и определенные дескрипции
Понятие существования является одним из самых сложных
В философии. Основная проблема состоит в выявлении того
содержания, которое добавляется к содержанию понятия вещи,
объявленной существующей. Все онтологические споры в значительный
степени зависят от того, как мы понимаем в этом отношении
существование. В самом деле, если мы объявляем существующими числа,
добавляет ли это утверждение что-либо к понятию числа, или же мы можем
обойтись без понятия существования вообще? В последнем случае все
онтологические споры являются попросту бессмысленными.
В случае абстрактных объектов понятие существования
становится важным, поскольку им приписывается необходимое
существование. Проблематика, связанная с необходимым существованием,
восходит к спорам относительно онтологического доказательства
бытия Бога. Следует различать понятия необходимого
существования и контингентного существования; первое относится к
абстрактным объектам, а второе — к эмпирическим фактам. Различение это
было известно уже Д. Юму20:
20 Юм Д. Диалоги о естественной религии. Соч.: В 2 т. - М: Мысль, 1965. -
Г. 2.-С. 517-518.
20

2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ДЕСКРИПЦИИ
Претензия логически доказать какой-либо факт или же
обосновать его a prioiri заключает в себе явную нелепость. Только то
может быть доказано логически, противоположность чего
содержит в себе противоречие. Но ничто из того, что может
быть отчетливо представлено, не заключает в себе
противоречия. Все, что мы представляем как существующее,
можно представит себе и как несуществующее. Следовательно,
нет такого бытия, несуществование которого заключало бы
в себе противоречие; поэтому нет бытия, существование
которого могло бы быть логически доказано... Заявляют, что
Бог есть необходимо существующее бытие; и эту
необходимость его существования пытаются объяснить при помощи
утверждения, что если бы мы знали всю его сущность, или
природу, то убедились бы в том, что для него несуществовать
так же невозможно, как дважды двум не быть четырем. Но
очевидно, что это никогда не может осуществиться, пока наши
способности остаются такими же, как теперь. Мы всегда
будем в состоянии представить себе несуществующим то, что
раньше представляли существующим, и наш ум не может
с необходимостью предположить вечное существование
какого-либо объекта подобно тому, как мы с необходимостью
представляем себе, что дважды два составляет четыре. Итак, слова
необходимое существование не имеют никакого смысла...
Ясно, что абстрактные объекты, с точки зрения Юма, не имеют
необходимого существования. Но имеют ли они контингентное
существование, то есть, существование, которое обязано случайности?
Добавляет ли утверждение такого существования что-либо
к концепции абстракгного объекта? В техническом отношении споры
вокруг понятия существования сконцентрировались на вопросе,
является ли существование свойством, или предикатом. На этот вопрос
ответил в знаменитом пассаже из Критики чистого разума И. Кант21.
Ясно, что бытие не есть реальный предикат, иными
словами, оно не есть понятие о чем-то таком, что могло бы быть
прибавлено к понятию вещи. Оно есть только полагание
вещи или некоторых определений само по себе. В
логическом применении оно есть лишь связка в суждении.
Положение Бог есть всемогущее (существо) содержит в себе два
21 Кант И. Критика чистого разума. Соч.: В 6 т. - М.: Мысль, 1964.- Т. 3.
С. 521-522.
21

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
понятия, имеющее свои объекты: Бог и всемогущество;
словечко есть здесь не составляет дополнительного
предиката, а есть лишь то, что предикат полагает по отношению
к субъекту. Если я беру субъект (Бог) вместе со всеми его
предикатами (к числу которых принадлежит и
всемогущество) и говорю Бог есть или есть Бог, то я не прибавляю
никакого нового предиката к понятию Бога, а только
полагаю субъект сам по себе вместе со всеми его предикатами,
и притом как предмет в отношении к моему понятию. Оба
они должны иметь совершенно одинаковое содержание,
и потому к понятию, выражающему только возможность,
ничего не может быть прибавлено, потому что я мыслю его
предмет просто как данный...
Итак, если я мыслю вещь посредством каких угодно
предикатов и какого угодно количества их, то от добавления, что
эта вещь существует, к ней ничего не прибавляется. В
противном случае существовало бы не то же самое, а больше того,
что я мыслил в понятии, и я не мог бы сказать, что существует
именно предмет моего понятия. Если даже я мыслю в какой-
нибудь вещи все реальности, кроме одной, то от того, что
я скажу эта вещь, в которой чего-то не хватает,
существует, недостающая реальность не прибавляется...
То, что существование не является свойством, после Канта
никто особенно не оспаривал. Но чем оно является на самом деле, не
было известно до работ Г. Фреге и Б. Рассела. Фреге показал, что
существование фактически является квантором, то есть, свойством
свойств. Рассел в своей работе On Denoting12 впервые представил
ставшую знаменитой теорию дескрипций, которая стала, по
выражению одного из философов, «парадигмой современной
аналитической философии». В этой работе понятие существования обрело
строгую логическую трактовку. Перед тем, как перейти к
изложению теории дескрипций Рассела, следует сказать кое-что о
соотношении логики и онтологии.
Анализ понятия существования состоит в обращении к некоторой
области объектов внешнего мира. Утверждения о существовании
формулируются в языке. Рассмотрение онтологических вопросов
приводит две указанных области в соприкосновение. Неограниченное исполь-
22 Русский перевод: Рассел Б. Об обозначении (перевод В. Суровцева)// Язык,
истина, существование. - Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та, 2002.
22

2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ДЕСКРИПЦИИ
зование фундаментальной доктрины, согласно которой язык имеет
нелингвистический коррелят в реальной действительности, позволяет
сформулировать простейшую концепцию существования. Существует
все, что является объектом мысли, мыслится как единичное и может
быть субъектом истинного или ложного угеерждения. С этой точки
зрения существует человек, множество, отношение, круглый квадрат,
золотая гора и т.п. Платонистский характер этой доктрины очевиден.
Каждый объект имеет свое собственное «бытие», или же «есть» в
некотором смысле. В частности, А. Мейнонг допускал существование даже
противоречивых объектов типа «круглый квадрат», оговаривая при этом,
что для таких объектов надо ввести виды существования, например,
подсуществование. Такое усложнение в трактовке понятия
существования неприемлемо по многим причинам, и унификация с помощью
логических средств этого понятия была одной из целей теории
дескрипций Рассела.
С технической точки зрения основная проблема, которую решал
Рассел при создании теории дескрипций, состояла в
неудовлетворительности анализа предложений субъектно-предикатной формы. Если на
месте субъекта стоит не собственное имя, а дескрипция, то возникает
следующее затруднение. Обычная роль субъекта предложения состоит
в указании на объект, которому предикат приписывает присущее ему
некогорое свойство. Только при успешном выполнении своих функций
субъектом и предикатом получается осмысленное предложение,
отражающее истинное положение дел в реальном мире. Другими словами,
осмысленность предложения гарантируется существованием объекта,
указываемого субъектом. Дескрипция, однако, не гарантирует
существования этого субъекта. И поэтому Рассел считал, что предложения с
дескрипциями не имеют субъектно-предикатной формы. В самом деле,
рассмотрим предложение
Нынешний король Франции лыс.
Дескрипция «Нынешний король Франции лыс» не указывает на
реально существующий объект, и тем не менее, вся фраза полагается
вполне осмысленной. Для обоснования тезиса о том, что
дескрипции не являются подлинными субъектами в осмысленных
предложениях, Рассел выдвинул концепцию неполных символов.
Согласно этой концепции, дескрипции не должны рассматриваться как
отдельные значащие единицы сами по себе, вне контекста, так как они
приобретают значение благодаря контекстуальному определению.
Поэтому предложения, содержащие определенные дескрипции на
месте субъекта, должны быть проанализированы так, чтобы опре-
23

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
деленная дескрипция исчезла, и новое предложение ее не содержало.
Согласно расселовскому анализу предложения «нынешний король
Франции лыс», в нем содержится на самом деле три предложения:
(1) Существует по крайней мере один нынешний король Франции;
(2) Существует самое большее один нынешний король Франции;
(3) Он является лысым.
Первые два предложения не содержат дескрипций на месте
субъекта, потому что они вообще ни имеют субъектно-предикатной
формы. Уже здесь следует заметить, что многие философы
полагали, что утверждения существования не имеют
субъектно-предикатной формы, поскольку существование не является свойством. Пусть
буква Р обозначает свойство «быть нынешним королем Франции».
Обозначив дескриптивную фразу через (/х) Рх («единственный
объект х такой, что х обладает свойством Р»), мы видим, что
требуется дать контекстуальный анализ определения символа (/jc) Рх, при
завершении которого сам символ исчезает. Предложение
«нынешний король Франции лыс» оказывается осмысленным, будучи
ложным, поскольку не существует нынешнего короля Франции.
Согласно Расселу, употребление дескрипций подразумевает
неявное предположение о существовании объекта, на который
дескрипция должна указывать. Позиция Рассела в данном вопросе
продиктована принципом, восходящим к Аристотелю, по которому
свойства могут приписываться только существующим вещам. Точная
форма тгого принципа имеет вид
Если х обладает свойством Р, тогда х существует.
Но )то означает, что предикация объекту свойства явно
включает предположение о его существовании. Достоинством теории
дескрипций является то, что это обстоятельство находит отражение
в формализме. В самом деле, утверждение о существовании точно
одного объекта, указываемого дескрипцией (/jc) Рх, символически
выражается в виде
El (1х) Рх.
Из предыдущего анализа ясно, что
El (/jc) Рх ^ (Ех) (у) [(Ру = (jc = у)].
Далее, утверждение о том, что объект, представленный
дескрипцией (1х) Рх, обладает свойством Д символически выражается в форме
24

2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ДЕСКРИПЦИИ
В (1х) Рх = (Ех) (у) [(Ру = {х=у)& Вх].
Из рассматриваемых выражений видно (это можно доказать
строго, и на самом деле является теоремой 14.21* Principia mathe-
matica Рассела и Уайтхеда), что
В((1х) Рх з Е! (1х) Рх.
В формальной системе Рассела и Уайтхеда выводятся многие
интересные результаты, относящиеся к понятию существования. Во-
первых, поскольку существование не является предикатом, оно не
может приписываться индивидам, которые представлены
собственным именем, а не дескрипцией. Сам вопрос «Является ли
существование предикатом» должен ставится несколько в иной форме:
«Является ли существование предикатом в системе Principia
mathematical? Ответ вполне определенен — существование не есть
предикат. Правда, в других системах, особенно в ряде систем модальной
логики, существование может быть предикатом. Этот момент
является важным для понимания того, каким образом критерий
существования Куайна становится ключевым моментом в теории
онтологических допущений.
В определенном смысле можно сказать, что значение понятия
существования передается у Рассела значением квантора в
исчислении предикатов. Следует отметить, что во времена Рассела не было
разделения логики на логику первого порядка и логику высших
порядков. Обособленная впервые в работе Д. Гильберта и Аккермана
1928 года23, логика первого порядка, как доказал двумя годами
позднее К. Гедель, имела замечательное свойство полноты, которое
оказалось чрезвычайно важным для формализации как математики,
так и философских контекстов. В логике первого порядка квантор
существования пробегает над индивидами, и если ограничиться при
формализации философских контекстов логикой первого порядка,
тогда существование выражается квантором (что полностью
согласуется с концепцией Рассела), но ограничено оно индивидными
переменными. Тут следует отметить, что понятие индивида не надо
понимать в номиналистическом духе, поскольку индивидная
переменная, то есть, сингулярный термин, может указывать как
конкретные физические, так и абстрактные объекты.
23 Гильберт Д., Аккерман Г. Основы теоретической логики. — М, 1948.
25

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
3. Критерий существования Куайна
и онтологическая редукция
Расплывчатое понятие онтологии в математике эксплицируется
понятием онтологического допущения. Надо сразу отметить, что
в данном случае термин «онтология» употребляется в качестве
обозначения всего того, что существует с точки зрения определенной
теории, и больше того, теории, формализованной с помощью
определенного языка.
Вопрос о том, что существует, или вопрос об онтологии, решается
довольно радикально Р. Карнапом. С его точки зрения, есть так
называемые «внутренние» и «внешние» вопросы существования24.
Внутренние вопросы существования решаются в рамках определенного
языкового каркаса; скажем, если таким каркасом является язык теории
множеств, вопрос о существовании множеств является внутренним
вопросом. Внешние вопросы существования связаны с выбором языкового
каркаса, который осуществляется исходя из прагматических
соображения удобства, простоты, объяснительной силы и пр. То, что обычно
относится к метафизическим вопросам существования, то есть, к
вопросам, что существует «на самом деле», по Карнапу является вопросом
внешним, на который нет определенного ответа. Это вполне понятно
в свете двух особенностей философии Р. Карнапа, а именно, его
неприятия традиционной метафизики и принципа терпимости. Мы вольны
выбирать любой языковый каркас, не ставя наш выбор в зависимости
от метафизики. Да и сама метафизика должна быть исключена из
рассмотрения вопросов, которые имеют дело с научными теориями.
Но вот в рамках определенного языкового каркаса вопрос о
существовании может быть поставлен вполне осмысленно, хотя Кар-
нап полагал такого рода вопросы фактически тривиальными. Его
оппонент В. Куайн полагал, однако, что научные теории
составляют единственный вид языкового каркаса, который требуется при
обсуждении философских проблем. Таким образом, с точки зрения
Куайна вопрос о существовании является вполне осмысленным, если
иметь в виду единственность языкового каркаса. Другое дело, что
научный язык представляет собой глобальный каркас, внутри которого
существует множество теорий. Каждая из этих теорий может иметь
собственную онтологию, выявляемую определенным критерием.
24 Карнап Р. Эмпиризм, семантика, онтология II Значение и необходимость. -
М, 1959.
26

3. КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ КУАЙНА
Объекты, допускаемые теорией в качестве существующих,
составляют онтологические допущения теории (ontological
commitments). Концептуальный аппарат онтологических допущений в
значительной степени обязан работам В. Куайна, который по ряду
причин предпочитал язык первого порядка в качестве базисного языка
не только математики, но и науки в целом. Поэтому критерий
существования и онтологических допущений теории сформулированы
в предположении, что соответствующая теория сформулирована
в языке первого порядка, или стандартной кванторной теории.
Онтологические допущения теории определяются истинными
экзистенциальными предложениями. Так, предложение (Ex)Fx,
будучи истинным при некоторой интерпретации входящих в него букв,
т.е. при некотором приписывании значений связанной переменной
х, заставляет признать существование тех объектов, которые взяты
в качестве значений связанных переменных. Формулировка критерия
онтологических допущений может быть дана в следующей форме:
Теория допускает в качестве существующих те и только те
объекты, которые должны быть значениями переменных для
того, чтобы ее предложения были истинными.
Этот критерий был высказан В. Куайном в афористической форме:
Быть значит быть значением связанной переменной.
Афористический способ выражения философских тезисов
зачастую приводит к неверным интерпретациям или искажениям этих
тезисов. Довольно ясно эту точку зрения высказал К. Кемпбел25:
Тезис (Куайна) не есть правило, определяющее то, что
теория объявляет существующим. Лозунг «быть значит быть
значением связанной переменной» не означает, что если бы
не было мышления, языка и поэтому переменных, то
ничего не существовало бы. Он означает, что способ
обнаружения того, что теория допускает как существующее или
реальное, состоит в обнаружении того, какие вещи требуются
в качестве значебний переменных, для которых теория
является истинной.
Критерий определяет, что существует с точки зрения
теории. Конечно, он не может установить, сам по себе, являет-
25 Campbell К. Metaphysial. - Dickenson Publishing Company, 1976. - P. 176.
27

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
ся теория истинной или нет, и следовательно, не в
состоянии установить, что существует на самом деле. Но
критерий все-таки связан с вопросом о том, что на самом деле
существует. Он определяет, что должно быть, чтобы теория
была истинной, и когда теория становится истинной, ее
онтологические допущения будут состоять из вещей,
которые гаки существуют.
Куайн пошел гораздо дальше в применении логики для
прояснения онтологических вопросов. Он провозгласил логику первого
порядка единственной логикой, пригодной для анализа
существования. Заметим, что при этом речь идет не просто об использовании
логики первого порядка, а о достаточности средств логики первого
порядка для выражения различных философских концепций
существования. Это очень сильное утверждение, и оно базируется на
специфическом переплетении в работах Куайна понятий онтологии,
квантификации, предикации и экстенсиональности. По мнению
Куайна, логика первого порядка сама по себе уже предполагает при
своем применении эти четыре ингредиента.
При подобном анализе понятия существования важно понимать,
что конечным пунктом анализа является понятие квантора в перво-
порядковой логике. Всякая попытка объяснить его в терминах
других понятий вряд ли будет удачной. Понятие квантора является
примитивным, и именно это обстоятельство, по Куайну, является
свидетельством того, что понятие квантора является удачным для
экспликации понятия существования в научных теориях.
Действительно, научные теории охватывают самый широкий круг явлений - от
чисел до мотивов человеческого поведения. Ясно, что
свидетельства в пользу существования чисел и свидетельства в пользу
существования, скажем, латентной энергии будут совершенно
различными. Единственно, что их объединяет - это принадлежность к
теоретическим схемам, которые оказываются пригодными для
объяснения явлений внешнего мира. Поскольку в основаниях научных
теорий лежат общие логические предположения, истинность
утверждений теории о существующих объектах должна найти свое
отражение в общей логической форме. Такой формой является,
очевидно, квантифицируемое предложение.
Пусть мы имеем теорию, в основе которой лежит язык первого
порядка, так что мы можем, используя критерий Куайна, выявить
онтологические допущения этой теории. Очевидно, что в случае
арифметики онтологию образуют, по крайней мере, натуральные
28

3. КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ КУАЙНА
числа. В случае теории множеств такой онтологией будут
множества, что делает, как уже указывалось, критерий Куайна отчасти
тривиальным. Более интересный вопрос состоит в том, как
соотносятся между собой эти онтологии. Есть две возможности: первая
заключается в признании наличия двух несводимых онтологии - чисел
и множеств, вторая заключается в признании наличия одной базисной
онтологии, а именно, онтологии множеств. Есть, правда, и третья
возможность, заключающаяся в том, что необходимость в онтологических
разговорах отрицается вообще.
Проблема онтологической редукции прежде всего возникает
в связи с так называемой экспликацией одних объектов в терминах
других объектов. При этом роль первых успешно выполняется
вторыми, хотя объекты эти с онтологической точки зрения разные.
Классическим случаем экспликации является конструирование
упорядоченной пары <дс, у>, где единственным образом фиксируется
порядок ее элементов. Некоторые философы XIX века придавали
упорядоченной паре особый онтологический статус, резервируя для него
специальный термин <<дуада». В качестве самостоятельного
объекта упорядоченная пара действительно заслуживает особого места в
математической онтологии, если только она не сводима к другим
математическим объектам. Однако, если не входить в тонкие
метафизические размышления по поводу природы «дуады», то
оказывается, что к упорядоченной паре предъявляется лишь одно
требование: если <дг, у> = <z, w>, тогда х = у и z = w. Никакого другого
смысла в понятие упорядоченной пары не вкладывается, и само это
понятие употребляются только в тех контекстах, которые требуют
выполнения приведенного выше условия. При такого рода условии
возможно сведение понятия упорядоченной пары к понятию множества.
Н. Винер предложил в качестве упорядоченной пары <х, у>
использовать теоретико-множественную конструкцию! {х}, {У- 0}}-
Это множество содержит два члена: первый из них есть множество,
чьим единственным членом является х, а второе множество содержит
два члена-j и пустое множество. Конструкция {{х}, {у, 0}}
удовлетворяет упомянутому выше требованию, и поскольку больше
ничего не требуется, такая конструкция считается хорошим
уточнением понятия упорядоченной пары. Таким образом, понятие
упорядоченной пары сведено к понятию множества. Онтологическая
редукция считается успешной в том случае, если четко
определенному объекту одной онтологии соответствует четко определенный
объект другой онтологии. Между тем, такой определенности в
данном случае как раз и нет. Дело в том, что упорядоченная пара
29

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
может быть эксплицирована многими способами. Например, ее роль
может играть конструкция {{х}, {х, у} }, а также конструкция 2х х 3",
и конструкция дг + (дг +уУ. Но тогда следует вывод, что экспликаций
интуитивно ясного понятия может быть несколько. Ясно также и то,
что наличие многих допустимых экспликаций есть аргумент против
реалистического (или платонистского) представления о
единственности описания математической теорией некоторой реальности.
Случай упорядоченной пары может показаться периферийным
для обсуждения онтологических вопросов. Более важным
представляется понятие натурального числа. Приводит ли
теоретико-множественная экспликация понятия числа к четко определенному объекту,
в данном случае четко определенному множеству? Как оказывается,
ответ на этот вопрос отрицательный. Для того, чтобы выразить в теоре-
тико-множественных терминах натуральный ряд чисел, нужно
сконструировать множество, выполняющее роль нуля, а также
представить теоретико-множественной операцией понятие перехода
от числа п к числу Sn — следующему элементу натурального ряда.
Подобного рода конструирование должно быть проделано так, чтобы
конструкции из множеств удовлетворяли арифметическим
операциям и законам.
Э. Цермело предложил следующую экспликацию натуральных
чисел26. В качестве нуля берется пустое множество 0, а в качестве
операции последующего элемента - единичное множество, членом
которого является предыдущий элемент. Другими словами, для
числа х в качестве Sx берется {х}. Натуральный ряд чисел в теоретико-
множественной версии Э. Цермело выглядит так:
0 12 3...
0 {0} {{0}} {{{0}}}...
(Для удобства над теоретико-множественной
последовательностью помещена последовательность натуральных чисел). Таким
образом, числа являются множествами определенного рода. Такой
вывод следует из наличия вполне удовлетворительной экспликации
чисел. Число 3 «в реальности» есть множество {{{0}}}- Однако
подобная экспликация понятия натурального числа не единственна.
Дж. фон Нейман предложил в качестве 0, как и версии Цермело,
пустое множество 0, a Sx определил как дг и {*}. Тогда натуральный
ряд выглядит следующим образом:
"Далее мы следуем классической статье: BenacerrafP. What Numbers Could not
Be II Philosophical Review. -1965. - V. 74. - P. 47-73.
30

3. КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ КУАЙНА
0 12 3
0 {0} {0,{0}} {0, {0>Л0, {0»> -■
Таким образом, теперь число «три» оказывается множеством
{0, {0}, {0, {0}}} ... Ясно, что множество {{{0}}} отлично от
множества {0, {0}, {0, {0}}}. Больше того, в теории чисел
имеются такие утверждения, которые переводятся в истинное
теоретико-множественное утверждение в версии фон Неймана, и в ложное
утверждение в версии Цермело.
Последний факт является чрезвычайно важным не только в плане
соотношения теории чисел и теории множеств, но и в плане понимания
математических объектов и математических истин. Именно последний
аспект часто упускается из внимания. П. Бенацерраф дает очень
важную иллюстрацию подобного рода понимания на примере
гипотетического усвоения математических истин и гипотетического
осмысления природы математических объектов двумя воспитанниками
вымышленных математиков. Мы уделим этому примеру значительно
внимание из-за важности концепции понимания в философии математики.
Два воображаемых ребенка воображаемых
математиков-логиков - Эрни и Джонни (не трудно видеть, что прототипом отца Эрни
является Эрнст Цермело, а прототипом отца Джонни - Джон фон
Нейман) - обучаются математике не традиционным образом, когда
начинают со счета объектов, используя натуральные числа, а
начиная с теории множеств. (Имея в виду недавние тенденции в
начальном математическом образовании, история не выглядит так уж
фантастической). И только после ознакомления с множествами они
получают представления о числах. Для этих детей знание чисел
означало знание о множествах, и числа были на самом деле
множествами под другими именами.
Рассмотрим случай Эрни. Он знает, что существуют множества,
членами которого является то, что обычно люди называют
натуральными числами, которые считаются членами бесконечного
множества N. Ему также сказали, что на элементах этого множества (на
«числах») определено отношение «меньше-чем», которое
упорядочивает эти элементы, и которое обозначается через R. Так, Эрни
может проверить, что каждое непустое подмножество множества Л'
содержит «наименьший» элемент, и кроме того, можно проверить,
что отношение R является транзитивным, антисимметричным,
нерефлексивным и связным. Другими словами, с отношением R
элементы N образуют прогрессию, или ряд.
Наименьший, или первый, элемент обычно называется 1. Понятие
«следующего числа» легко переводится в понятие следующего члена в
31

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
последовательности N. Таким образом, оказывается, что
предположения обычных людей о числах являются теоремами Эрни. На основании
этой теории Эрни может установить аксиомы Пеано, а также операции
«сложения», «умножения», «возведения в слепень», поскольку такие
операции в теории множеств могут быть определены точно.
Однако для тою, чтобы Эрни имел настоящую математику, он
должен иметь способность считать и измерять с помощью своих
теоретико-множественных представлений. Существуют два типа
счета - транзитивный и нетранзитивный. Транзитивный счет
включает процедуру соотнесения элементов последовательности - чисел —
с предметами, которые считаются. Нетранзитивный счет такого
соотнесения не требует. Примером нетранзитивного счета являются
детские «считалки» типа: «Раз-два-три-четыре-пять - я иду искать».
Сама возможность нетранзитивного счета есть результат того, что
после некоторого этапа соотнесения цифр с множествами
предметов мы вынуждены порождать новые цифры, уже не опираясь на
такое соотнесение. Важным фактом является то, что мы можем
порождать в ходе некоторой рекурсивной процедуры цифры еще до
того, как мы можем научаться считать транзитивно. Другими
словами, обладая способностью к нетранзитивному счету, Эрни может не
уметь считать по-настоящему. «Настоящий счет», конечно, это
транзитивный счет. Так что Эрни должен иметь возможность считать
транзитивно. С точки зрения теории множеств счет элементов
множества означает установление одно-однозначного отношения
между множеством и одним из чисел - членов множества N. Другими
словами, транзитивный счет означает установление
кардинальности множества. Ясно, что Эрни имеет в распоряжении подобный
аппарат. Есть еще одно важное обстоятельство. Отношение «меньше-
чем» - или R -должно быть рекурсивным. Бенацерраф полагает, что
это положение является столь очевидным в случае этого отношения
для чисел, что на него мало обращают внимание. Тем не менее, это
требование следует сделать явным27. Таким образом, Эрни на самом
деле обладает теорией чисел.
Точно такой же теорией обладает и Джонни. Поскольку
предполагается, что они на самом деле говорят о числах, а числа составляют
вполне определенную область математических объектов, их
результаты должны совпадать. Однако тут начинаются значительные сложнос-
27 '>го условие все-таки оказалось не необходимым, как признал сам Ьенацерраф
в своем «покаянии». См. еш Recantation or any old (o-sequence would do after all II
Philosophia Mathematics 1996. - P. 184-189.
32

3. КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ КУАЙНА
ти. Оба мальчика могут столкнуться с вопросом о том, принадлежит ли
число 3 числу 5. Хотя в теории чисел нет отношения принадлежности,
вопрос вполне корректен, так как числа для них на самом деле
являются множествами. С точки зрения Джонни ответ на вопрос
положителен. Действительно, с точки зрения теоретико-множественной версии
теории чисел Дж. фон Неймана, для любых двух чисел х и y число х
меньше числа у, если и только если, х принадлежит у и х есть
собственное подмножество у. Символически, х < у = х е у. Поскольку число 3
меньше числа 5, число 3 принадлежит числу 5. С точки зрения Эрни,
ответ на вопрос отрицателен, поскольку с точки зрения
теоретико-множественной версии теории чисел Э. Цермело число х принадлежит числу
у, если и только если, у есть следующее число за числом х.
Символически, (х е у) = (у = Sx). Так как число 5 не является следующим числом за
числом 3, число 3 не принадлежит числу 5. Таким образом, Эрни и
Джонии приходят к ответам, которые противоречат друг другу.
Противоречие подобного рода требует объяснения. С первого
взгляда, объяснение весьма просто, поскольку мы имеем две
разных прогрессии
0, {0}, {{0}}, {{{0}}}, ...
и
0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0,{0}}},...
Скажем, множество, представляющее число 3 в первой
прогрессии имеет только один член, а во второй прогрессии - три члена. До
сих пор предполагалось, что всякое натуральное число является
некоторым определенным множеством, и что если нам дано какое-либо
натуральное число, мы всегда сумеем найти соответствующее ему
множество. Другими словами, предполагалось, что выражение для
натурального числа указывает на определенное множество. Но
оказывается, что эти множества различны для разных теорий. Если
экспликация натуральных чисел в рамках каждой теории
удовлетворяет необходимым и достаточным условиям для правильного
объяснения того, что связано с натуральными числами, то разногласия по
поводу того, какие числа указывают на какие множества, противоречат тому,
что каждое число является определенным множеством.
Рассмотрим некоторое множество/, указываемое знаком 3, то
есть,/= 3. Трудно предположить, что имеется еще такая трактовка
числа 3, в соответствии с которой 3 = d, где */есть некоторое
множество объектов, не совпадающее с/ Остается предположить, что одна
из экспликаций числа 3 неверна.
33

ГЛАВА I. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
Вообще, подобных экспликаций может быть сколь угодно
много. Надо думать, что по крайней мере одна из них является
правильной. Двух правильных, судя по всему, быть не может, поскольку они
не совпадают экстенсионально и уж тем более интенсионально.
Следовательно, или существует точно одна версия, в которой каждому
числу приписывается определенное множество, или же все версии
являются неверными. Допустим, что имеется точно одна такая
версия; тогда возникает вопрос о том, как выделить ее из числа других,
каковы должны быть аргументы в этом случае, если они вообще
имеются. Как выделить некоторое множество, о котором можно с
уверенностью сказать, что именно оно, и никакое другое, указывается
некоторым числом?
Версии числа содержат набор некоторых условий, часть
которых может быть общей для всех, а остальные присущи только
отдельным версиям. Именно последним версии обязаны своими
отличиями. Если верна только одна версия, то она содержит условие,
отклонение от которого приводит к тому, что она неверна; все
остальные версии неверны только за счет неверных избыточных
условий. Поскольку решается вопрос о соотношении чисел и множеств,
отличающие условия должны касаться именно этих отношений. Но
отличия различных версий числа не имеют никакой связи с
вопросом о гам, какие именно множества указываются числовыми
терминами. Иначе говоря, особенности версий числа никак не связаны
с использованием чисел. Это значит, что нет никаких аргументов,
которые могли бы указать на правильную версию. Следовательно,
ни одна версия не имеет никаких преимуществ перед другими.
Остается заключить, что отличающие условия всех версий являются
правильными, и тогда мы просто не можем сказать абсолютно, что
же такое числа. Во всяком случае, мы можем заключить, что числа
вовсе не должны быть множествами.
На вопрос о том, почему числа не могут считагься определенными
множествами, в общем дается два ответа. Первый состоит
в том, что числа вообще не объекты, и поэтому цифры как сингулярные
термины сопоставляются с различными множествами без оглядки на
то, как сопоставляются числа и множества. Второй состоит в том, что
такое отождествление принципиально невозможно из-за
неопределенности перевода числовых угверждений в утверждения теории множеств.
Этот i юследний вариант ответа зависит в значительной степени от
принятой философии языка, и поэтому мы отложим обсуждение его до
обсуждения тот, в какой степени аргументы из философии языка
могут быть уместны в философии математики.
34

3. КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ КУАЙНА
С точки зрения философии языка, индивидуальность знака
в системе определяется его функциями в системе, то есть, по
природе своей определяется структурой в системе. А вот
индивидуальность объекта, как уже было сказано выше, не зависит от
структуры. При этом структура понимается как система отношений на
совокупности объектов. Такое понимание соотношения объекта,
знака и структуры фиксируется в четырех утверждениях, которые, как
отмечает Ф. Китчер, тем не менее несовместимы28.
(1) Цифры являются сингулярными терминами,
указывающими на абстрактные объекты.
(2) Если цифры указывают на объекты, тогда имеются
определенные объекты, на которые они указывают.
(3) Не существует определенных множеств, которые
указывались бы цифрами.
(4) Все абстрактные объекты сводимы к множествам.
Утверждения (1), (2) и (4) принадлежат платонизму, а
утверждение (3) - формулировка возражения платонизму. Для выработки
последовательной точки зрения следует отрицать одно из
положений (1)-(4) или сразу нескольких из них. Рассмотрим несколько
вариантов попыток либо принятия, либо отвержения платонизма
в пользу структурализма.
Отрицание утверждения (1) означает полное неприятие
платонизма. В описанном выше подходе П. Бенацеррафа предложена
интересная интерпретация цифр в человеческой деятельности, без
предположения, что цифры указывают на объекты-числа. Отрицание
утверждения (2) свойственно подходу как П. Бенацеррафа29, так
и У. Куайна30; оба исследователя предложили концепцию
альтернативных моделей. В частности, Куайн показал, что (2) не является
простым следствием основных положений семантической теории
указания (хотя противоположное мнение кажется правдоподобным
с первого взгляда). Поэтому вполне возможно считать (1), (3) и (4)
истинными, а (2) — ложным. Еще одна попытка в этом направлении
была предпринята X. Филдом, который несколько модифицировал
(2) путем ослабления жесткого требования семантической теории
м Kitcher Ph. The Plight ofPlatonist II Nous. -1978. - V. xii, n. 2. - P. 119-136.
ю Benacerraf P. What Numbers Could not Be II Philosophical Review. - 1965. -
V. 74.
30 Quine W.V. Ontological Relativity II Ontological Relativity and Other Essays. -
N.Y., 1968.
35

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
указания. Вместо одно-однозначного отношения между знаком
и объектом он допускает много-однозначное отношение31.
Отрицание (3) в свете работ Бенацеррафа и Куайна кажется
невозможным. Остается рассмотреть отрицание (4). Так, М. Стайнер
полагает, что сведение чисел к множествам не увеличивает теоретико-
познавательного вклада в понимание математической истины, и
поэтому редукция себя не оправдывает32. Наконец, отрицание (1)
предпринято Н. Уайтом, который сделал набросок арифметики, где цифры
не являются сингулярными терминами. Далее, каждый вариант будет
рассмотрен отдельно.
4. Объекты и структуры
Рассмотрим позицию П. Бенацеррафа, которая может считаться
манифестом структурализма. Суть его предложения состоит в
отказе от понятия математического объекта вообще. Знаки,
представляющие цифры, не указывают на абстрактные объекты-числа и
функционируют в знаковой системе независимым образом. Реальный мир
представлен в науке теоретическими схемами, и любой вариант
реализма в отношении теорий утверждает истинность утверждений
теории об объектах этой теории, а также то, что термины теории
указывают на эти объекты. Объектами в реалистической схеме
могут быть как материальные предметы, так и абстрактные объекты
платонистского толка.
Цель ар|ументации Бенацеррафа может состоять в том, чтобы
отвергнуть платонизм, показав возможность математики без
предположения о существовании абстрактных объектов. Главная
проблема для Бенацеррафа в этом случае состоит в том, чтобы объяснить,
как знаки-цифры выполняют все то, что делают согласно платонис-
тской версии математики числа.
Рассмотрим понятие объекта с точки зрения его
функционирования в системе. Главный признак существования объекта в
структуре заключается в наличии у элементов структуры системы знаков
свойств, независимых от свойств структуры. Объект можно
отличить от других объектов, если имеются процедуры его индивидуа-
ции, которые не должны зависеть от роли, которую объект играет
В рамках структуры. Аргумент Бенацеррафа состоит в том, что чис-
31 Field H. Quine and the Correspondence Theory II Philosophical Review. - 1974. -
V. 83,n. 2.-P. 200-228.
n Steiner M. Mathematical Knowledge. - Ithaca, 1975.
36

4. ОБЪЕКТЫ И СТРУКТУРЫ
лам нельзя приписать подобную индивидуальность, потому что,
будучи представлены в системе цифрами, они не известны нам
помимо цифр. Но цифры являются частью структуры, и их
индивидуальность не есть индивидуальность объекта, поскольку роль знака
в системе определяется особенностями структуры системы.
Действительно,
быть числом 3 - это не больше и не меньше, чем иметь
предшествующими числами 2 и I, и возможно, 0, и иметь
последующими числа 5, 6 и т.д. И быть числом 4 - значит не больше
и не меньше, чем иметь в качестве предшествующих чисел 1,
2 и 3, и последующих 5 и 6 и т.д. ...Любой объект может
сыграть роль числа 3, то есть, любой объект может быть
третьим элементом некоторой профессии. Особенностью числа
3 является как раз то, что ... оно представляет собой
отношение, которое любой член профессии имеет к остальной части
профессии33.
Числа, с этой точки зрения, вообще не объекты, а знаки
специфической знаковой системы с определенными законами. Все
свойства чисел, определяемые этими законами, принадлежат знаковой
системе, и среди свойств нет таких, которые характеризовали бы
нечто, выходящее за рамки взаимоотношений элементов
структуры. Природа элементов структуры не имеет никакого значения.
Далее, определение чисел, по Бенацеррафу, есть совокупность
некоторых условий, относящихся не к элементам структуры, а к
отношениям, определенным на ней.
Если мы отождествим абстрактную структуру с системой
отношений... мы получим арифметику, разрабатывая свойства
отношения «меньше-чем», или всех систем объектов (то есть,
конкретных структур), обнаруживающих эту абстрактную
структуру. Из тот факта, что система объектов проявляет
структуру целых чисел, следует, что элементы этой системы имеют
некоторые свойства, которые не зависят от структуры. Тогда
должно быть возможно индивидуализировать эти объекты
независимо от той роли, которую они шрают в структуре. Но
как раз этого и невозможно сделать с числами34.
33 Benacerraf P. What Numbers Could not Be II Philosophical Review. - 1965. -
V. 74.-P.23.
34 'Гам же.
37

ГЛАВА I. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
Свойства, которыми числа обладают помимо свойств
структуры, не имеют никаких следствий для математика, и не должны иметь
никаких следствий и для философа математики. Крайним случаем
противоположной позиции является известная мистическая
традиция нумерологии, согласно которой каждое целое число обладает
индивидуальными свойствами, не зависящими от его места в ряду
натуральных чисел. Ранняя история математики свидетельствует, что
многие математические объекты считались символами духовных
истин или эпизодов священной истории. Другими словами, числа
могли иметь значение, не соотносящееся с их положением в
натуральном ряду чисел, и свойства их определенно выходят за пределы
«структуры». Интересной иллюстрацией нас снабжает Плутарх при
описании культа Изиды в древнем Египте35:
Египтяне считают, что смерть Осириса случилась 17-го
числа месяца, когда полная луна начинает убывать. Поэтому
пифагорейцы называют этот день «преградой» и ненавидят
его. Потому что число семнадцать, вмешиваясь между
квадратным числом шестнадцать и прямоугольным числом
восемнадцать, двумя числами, которые одни только среди
плоских чисел обладают свойством, что их периметр равен
площади, заключенной в них, отгораживает их друг от
друга, прерывает их, разделяя на неравные части в отношении
девяти к восьми. Число двадцать восемь лет, как говорят одни,
было числом лет жизни Осириса, и как говорят другие, было
числом лет его правления. Потому что это число есть число
появлений луны, и во столько же дней она завершает цикл
своего вращения. Когда они вырезают из дерева фигуру на так
называемых похоронах Осириса, они делают полумесяц,
потому что луна при приближении к солнцу, становится все
более узким месяцем и все время убывает. Расчленение Осириса
на четыре части истолковывается как соотношение дней, за
которые луна убывает и назревает новая луна.
Однако, как выражаются философы, такая система вер не
обладает той эпистемической надежностью, которая требуется для
обоснования математики и математической практики.
Для того чтобы более полно оценить точку зрения Бенацерра-
фа, стоит задаться вопросом о том, можно ли абстрагироваться от
33 Цитируется по Hersh R., Davis Ph. The Mathematical Experience. - Penguin,
1983.-P. 97.
38

4. ОБЪЕКТЫ И СТРУКТУРЫ
некоторого рода субстрата знака для понимания законов его
функционирования. Множество общих соображений по поводу самых
разнообразных знаковых систем подтверждает, что в ряде случаев
это очень полезная идеализация. В этом отношении интересна
аналогия, приведенная Р. Гудстейном, в духе формализма, который
весьма родственен структурализму. Ситуацию с абстрактными
объектами он сравнивает с ситуацией в шахматах. Если от понятия числа
как объекта можно отказаться вообще, то это означает, что
предметом арифметики являются не платонистские сущности, а структуры
и их особые проявления - знаки. Аналогично, шахматные фигуры
как таковые не являются предметом правил шахматной игры, если
иметь в виду субстрат (в данном случае — материальный субстрат)
фигур. Так, деревянного короля можно заменить куском сахара при
условии, что этот кусок сахара будет «ходить» так же, как обычный
шахматный король.
То, что делает фигуру королем, — это ходы, которые она
совершает. Так что мы можем сказать, что шахматный король -
это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной
партии, - роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же
различные роли, которые цифры играют в языке, - это и есть
числа. Арифметические правила, аналогично шахматным
правилам, формулируются в терминах дозволенных
преобразований числовых знаков36.
5. Онтологическая относительность
Значительная часть аргументации современных
структуралистов (например, С. Шапиро) в определенной степени повторяет
аргументацию В. Куайна но поводу так называемой онтологической
относительности37 , или же непостижимости указания38. На это
обстоятельство указывает и Ч. Парсонс, говоря, что под струюуралист-
ской точкой зрения на математические объекты понимается взгляд,
согласно которому указание на математические объекты всегда
делается в контексте некоторой фоновой структуры34, и что сходные
36 Гудстейн Р. Математическая логика. ~ М., 1961. - С. 123.
37 Quine W.V. Ontological Relativity II Ontological Relativity and Other Essays. —
N.Y., 1968.
38 Quine W.V. The Roots of Reference. - Chicago University Press, 1974.
39 Parsons Ch. The Structuralist View of Mathematical Objects II The Philosophy of
Mathematics / W.D. Hart. - Oxford University Press, 1998. - P. 272.
39

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
общие утверждения делались В. Куайном в связи с понятием
онтологической относительности40.
Тезис онтологической относительности в значительной
степени является следствием его же концепции неопределенности
радикального перевода. Вообще, концепции Куайна переплетены между
собой столь тесно, что трудно отделить одну концепцию от другой,
тем более, чем значительная часть из них обретает афористическое
выражение (например, известное возражение против
интенсиональных сущностей «no entity without identity»). Некоторого рода
путеводителем в этом сплетении концепций является ориентация на
важность языка первого порядка как средства регламентации
обыденного языка (еще один афоризм «first-order logic is logic enough»).
Классическое представление тезиса о неопределенности
связано с известным примером Куайна об антропологической ситуации,
когда при вопросе антрополога, указывающего на кролика, туземец
отвечает «гавагаи». Куайн утверждает, что при переводе этого
термина существует неопределенность: мы можем перевести «гавагаи»
либо как «кролик», либо как «неотъемлемая часть кролика», либо
как «серия временных фрагментов кролика» и т.д. По Куайну, нет
никаких физических фактов, которые позволили бы определить,
какой из переводов «правилен». Конечно, в практических случаях
подобного рода переводов наличие целого ряда дополнительных
средств (психологических, поведенческих и пр.) позволяет
достигать более или менее однозначного перевода. Тезис о
неопределенности перевода связан с холистическим характером философии
Куайна: имеют смысл не отдельные проявления системы, а вся
система в целом. В случае языка это означает, что не имеет смысла
спрашивать, как понимать «гавагаи» без привлечения других слов
туземного языка. И коль скоро в отношении каждого из этих
дополнительных слов возникает та же неопределенность, переводится не
одно слово, а вся система. Аналогия с соотношением структуры
и объекта в структурализме практически полная: в случае
неопределенности перевода роль структуры играет вся языковая система,
которая определяет значение входящих в нее терминов.
Концептуальная сложность системы в большинстве случаев
настолько велика, что допустимы различные переводы,
исключающие друг друга. Для сравнения концептуальных схем Куайн
предложил, как уже было упомянуто, анализ ситуации, которая часто
имеет место в антропологических исследованиях. Аборигены имеют
* Там же.
40

5. ОНТОЛОГИЧЕСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
концептуальную схему, которая может радикально отличаться от
концептуальной схемы исследователя аборигенной культуры. Для
простоты рассмотрим отчасти искусственный пример, приведенный
X. Филдом41. Пусть имеется два термина туземного языка «гавагаи»
и «глуб»; один из «естественных» переводов этих терминов таков:
«гавагаи» - «кролик», «глуб» - «тождественен». Если же
выбирается «менее естественный» перевод «гавагаи» как «неотъемлемая часть
кролика», тогда сохранение истинности некоторого утверждения о
гавагаи потребует перевода «глуб» как «взаимосвязь неотъемлемых
частей кролика», или проще, «соединение». Перевод будет несколько
неестественным, но теоретически вполне возможным. Действительно,
почему же следует рассматривать такой перевод как допустимый?
Пусть туземец, после наглядного указания, что означают слова
«гавагаи» и «глуб», произносит фразу
Для каждой пары гавагаи, дс и у, х глуб у.
Взаимосвязь частей системы проявляется здесь особенно ясно. Если
мы переводим «гавагаи» как «кролик», тогда предложение осмысленно
только при переводе «глуб» как «тождественен». Если же мы
переведем «гавагаи» как «неотъемлемая часть кролика», тогда для
осмысленности предложения «глуб» следует перевести как «соединение». Таким
образом, можно было бы сказать, что «естественный» перевод
«гавагаи» зависит от «правильного» перевода «глуб» как «тождественен».
Но как мы узнаем, какой из переводов «глуб» правилен? Только со
ссылкой на «правильный» перевод «гавагаи». Получающийся логический
круг показывает, что речь идет о переводе всей подсистемы языка
(в данном случае состоящей из двух терминов). Но эта система
переводится двумя теоретически допустимыми способами, поскольку оба они
делают осмысленным исходное утверждения.
Холистический подход к переводу подразумевает, что перевод
термина одного языка термином другого языка зависит от
соотношения двух словарей в том смысле, что область объектов,
указываемых терминами одного языка, заменяется областью объектов,
указываемых терминами другого языка. Наивная онтологическая
посылка состоит в том, что две области объектов должны совпадать
в том смысле, что термин и его перевод указывают на один и тот же
объект. На самом деле одной из целей перевода в научном дискурсе
является экспликация одного термина другими термином для по-
41 Field H. Quine and the Correspondence Theory II Philosophical Review. -1974. -
V.*3,n.2.
41

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
лучения большей ясности. Так, для прояснения природы натуральных
чисел мы производим экспликацию этих чисел в терминах теории
множеств. Скажем, число 3 мы эксплицируем множеством {{{0}}}, или
же множеством {0, {0}, {0, {0}}}, говоря при этом, что число 3 «на
самом деле» является множеством. Но возникает вопрос, каким
именно? Кроме того, если иметь в виду две предложенных экспликации, то
они являются удовлетворительными лишь в той степени, в какой эти
множества удовлетворяют законам арифметики. Но если
характеристики числа 3 полностью содержатся в арифметике, тогда
объяснительная сила экспликации теории чисел в терминах теории множеств, то
есть объяснительная сила сведения чисел к множествам, оказывается
иллюзорной. Другими словами, признание числа 3 множеством
{{{0}}}, или же множеством {0, {0}, {0, {0}}}, ничего не дает.
Поскольку обе версии перевода числа 3 в
теоретико-множественные термины являются равноправными и допустимыми, надо
признать, что число 3 не является объектом, существующим вне и
независимо от человеческого сознания. Другими словами, платонистс-
кая доктрина существования математических объектов тут не
проходит. И эти математические объекты в существенной степени
зависят от сознания, которое проявляется во вкладе концептуальной
схемы. Скажем, концептуальная схема теории множеств может внести
вклад в понимание природы натуральных чисел. Одним из
вариантов подобного рода вклада концептуальной схемы и является
предложенная В. Куайном неопределенность перевода. Согласно тезису
о неопределенности радикального перевода каждая теория
использует свой способ перевода, а сама объяснительная способность
теории в существенной степени и есть перевод.
Если это так, тогда не все, что можно сказать о числах, можно
сказать о множествах. И причина этого в холистическом видении
мира чисел и мира множеств: характеристика чисел определяется
характеристикой всего универсума чисел, и характеристика
множеств определяется характеристикой всего универсума множеств.
Тогда «объяснение» чисел в терминах множеств сводится к
сопоставлению двух универсумов. Все «дополнительное» о числах, что
выходит за пределы собственно арифметики, задается
сопоставлением чисел и множеств, и поскольку таких Сопоставлений может
быть много, вполне оправдан вопрос о том, чем является число «на
самом деле». В. Куайн говорит42:
42 Quine W.V. Ontological Relativity II Ontological Relativity and Other Essays. -
N.Y, 1968.-P. 43-45.
42

5. ОНТОЛОГИЧЕСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
Мы не находим ясного различия между спецификацией
универсума рассмотрения...и сведением этого универсума к
некоторому другому... Сказать более определенно (чем это
делает арифметика), чем являются сами числа, - значит просто
отказаться от чисел и приписать арифметике ту или иную
новую модель, скажем, в теории множеств...В этом смысле
истинно сказать, как это часто делают математики, что
арифметика есть все то, что относится к числу. Но было бы путаницей
выразить ту же самую точку зрения, как это иногда делается,
таким образом: числа являются любыми вещами,
удовлетворяющими арифметике. Эта формулировка неправильна
потому, что различные области объектов дают различные области
арифметики. Любая прогрессия может быть пригодной для
этой цели; но отождествлять эти прогрессии друг с другом,
например, прогрессию нечестных чисел с прогрессией четных,
значило бы противоречие уже с самой арифметикой.
Таким образом, согласно тезису о неопределенности перевода
объект теории нельзя охарактеризовать абсолютно, то есть, нельзя
сказать, что такое объект теории вообще. Только относительно новой
теории, которая является моделью для старой теории, и относительно
способа перевода одной теории в другую можно уточнить, что это
за объект. Но это уточнение приводит нас уже к другому объекту;
для того чтобы уточнить природу этого нового объекта, мы должны
изобрести модель для новой теории, перейдя, таким образом, опять-
таки к новым объектам. Нельзя сказать, чем является такое число
вообще безотносительно к схеме перевода; можно лишь свести
число, скажем 3, либо к {{{0}}}, либо к {0, {0}, {0, {0}}}, либо
еще к какой-нибудь конструкции из множеств.
Неединственность экспликации понятия числа в
теоретико-множественных терминах ставит под сомнение традиционное
понимание экспликации как проникновения в сущность эксплицируемой
вещи. Как мы видели, неймановская и цермеловская экспликации
натуральных чисел равноправны, и поскольку они противоречат друг
другу, нельзя считать, что каждая из этих экспликаций дает
«сущность» числа. Действительно, в противном случае мы имели бы
исключающие друг друга сущности. Поэтому становится ясным, ЧТО
тезис о неопределенности радикального перевода подразумевает под
экспликацией более радикальную гносеологическую операцию. Так,
Куайн утверждает43:
43 Quine W.V. Word and Object. - MIT Press. N.Y, 1961. - P. 228.
43

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
Экспликация есть элиминация. Мы имеем в начале
выражение, которое в чем-то неудовлетворительно. Скажем, оно
расплывчато в тех отношениях, которые нас интересуют, или
же оно создает путаницу в теории, или же является
причиной той или иной путаницы. Но оно все-таки служит
определенным целям, которые мы не должны отбрасывать.
Тогда мы находим способ достижения тех же самых целей
через другие каналы, используя другие, более
удовлетворительные формы выражений.
В результате экспликации новый объект может иметь такие
свойства, которые и не принадлежали старому объекту. Именно за счет
этого и возможны противоречащие друг другу экспликации. В
результате экспликации старый объект элиминируется, и поэтому
экспликация не заключается в простом уточнении понятий
обыденного неформального языка или обыденной научной практики.
Фактически при переводе одной теории к другой совершается
переход от одной онтологии к другой. Ясно, что при этом требуется
достаточно точное понятие онтологии. В этом отношении Куайн дал
формальное определение онтологии как области квантификации
(опять таки сформулировав в афористическом виде «Быть значит
быть значением связанной переменной»). Однако такое
определение онтологии встречается с определенными трудностями.
6. Платонизм и частичная теория указания
Если тезис о неопределенности радикального перевода не
является оправданным как средство опровержения платонизма, следует
уточнить понятие указания. Дилемма, с которой сталкивается как
Куайн, так и Бенацерраф, заключается в том, что нужно сделать
произвольный выбор между тем, что обозначает цифра 3, - множеством
{{{0}}} или же множеством {0, {0}, {0, {0}}}. И если мы
признаем способы разрешения Куайном и Бенацеррафом дилеммы
неадекватными, тогда придется заключить, что термин указывает на
оба объекта одновременно. Такова концепция X. Филда, названая
им частичным указанием44. Заметим, что по мысли Филда, такое
указание представляет собой более общую концепцию, чем
обычная семантическая концепция указания объекта сингулярным тер-
44 Field H. Quine and the Correspondence Theory II Philosophical Review. - 1974. —
V. 83, n. 2.
44

6. ПЛАТОНИЗМ И ЧАСТИЧНАЯ ТЕОРИЯ УКАЗАНИЯ
мином, которое является однозначным указанием. С точки зрения
Филда, термин «3» указывает и на {{{0}}}, и на {0, {0}, {0, {0}}},
и в этом смысле указание частью осуществляется для одного объекта,
а частью - для другого. Отсюда и название - «частичное указание».
Филд приводит пример, иллюстрирующий природу
неопределенности указания, аргументируя в пользу введения концепции
частичного указания. Пусть ньютоновская механика переводится в
релятивистскую механику. Тогда термин «масса» может переводиться
либо как «релятивистская масса», либо как «масса покоя». Каждый
из переводов оправдан, и оба перевода несовместимы друг с
другом. Рассмотрим два утверждения ньютоновской механики, которые
должны войти частично в релятивистскую механику:
(1) Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость.
(2) Масса тела инвариантна относительно инерциальных систем
отчета.
При переводе «масса - релятивистская масса» утверждение (1)
окажется истинным, а утверждение (2) - ложным. При переводе же
«масса - масса покоя», (2) окажется истинным, а (1) - ложным.
Некорректно было бы спрашивать, какой из переводов будет правилен,
поскольку сама ситуация есть проявление тезиса о
неопределенности перевода45. В этом примере термин «масса» частично обозначает
релятивистскую массу и частично массу покоя, и значит, не
обозначает полностью ни одного из этих объектов. Следует заметить, что
в примере фигурирует общий термин «масса», но все сказанное
в равной мере относится и к сингулярным терминам.
Цель Филда состоит в том, чтобы даже перед фактом
неопределенности указания сохранить основные черты корреспондентной
теории истины. Поэтому концепция частичного указания должна дать
объяснение, во-первых, истинности вообще, и во-вторых,
объяснение истинности альтернативных переводов. Первое объяснение
делается относительно легко. Рассматривается структура с частичным
указанием, то есть, для языка определяется функция,
отображающая сингулярные термины языка в объекты внешнего мира, и
предикаты - в множества объектов. Идеальным случаем была бы
только одна единственная структура, где каждому сингулярному
термину функция сопоставляла бы точно один объект, который
указывается термином. Однако в условиях неопределенности указания та-
43 Field H. Theory of Change and Indeterminacy of Reference II Journal of Philosophy. -
1973.-V. 70.-P.462-^81.
45

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
кой структуры выделить нельзя, и поэтому выделяется целый класс
структур, в каждой из которых сингулярные термины частично
указывают на объекты. Эти структуры называются частично
соответствующими семантике языка. Ясно, что частичное соответствие есть
обобщение обычного понятия соответствия, потому что конкретным
случаем частичного соответствия будет как раз тот случай, когда
каждый термин указывает точно на один объект. Тогда истина для
частичных структур определяется следующим образом.
Предложение истинно в определенной частичной структуре, если оно было
бы истинно в том случае, когда все термины в нем указываются
обычным образом.
Теперь вернемся к тому, почему идея частичного указания X. Фил-
да является попыткой отвергнуть платонизм, или, другими словами,
в чем состоит его антиплатонизм. Как уже говорилось, платонизм
объясняет истинность арифметических утверждений через существование
абстрактных объектов. Один из вариантов отказа от платонизма
состоит тогда в объяснении, как возможна математическая истина без
предположения о существовании абстрактных объектов. Идея Филда
состоит в следующем. Корреспондентная теория истины требует
понятия указания, как он понимается в классической семантике.
Модификация понятия указания, осуществляемая в переходе от указания
к частичному указанию, заставляет делать попытки
модифицировать определение истины Тарского для истины в формализованных
языках. Оказывается, что модификация подобного рода связана
с отказом от постулирования чисел. Отказ весьма специфичен в том
смысле, что не надо решать, являются ли числа теми или иными
множествами, или же они суть физические объекты, а не
множества, и т.п. Альтернативный характер выбора снимается с помощью
концепции частичного указания. Таким образом, в конце своего
предприятия Филд имеет теорию истины без окончательного решения
того, что же такое числа. Это возможно для него потому, что
характер частичного указания позволяет не искать тех определенных
объектов, которые должны указываться цифрами.
Возвращаясь к определению истины в частичной структуре
языка, заметим, что структура должна соответствовать в некотором
смысле семантике языка. Здесь соответствие подразумевается
в том смысле, что функция, определяющая структуру, не должна
давать произвольных отображений. Теперь для того, чтобы иметь
полноценную семантику для частичного указания, нужно
определить истину уже для всего языка. Естественным будет определение
такого рода:
46

6. ПЛАТОНИЗМ И ЧАСТИЧНАЯ ТЕОРИЯ УКАЗАНИЯ
Предложение языка истинно, если и только если, оно
истинно во всех частичных структурах, соответствующих
семантике языка46.
Это определение имеет радикальное следствие, которое резко
отличает семантику с обычным указанием от семантики с частичным
указанием. Так, упомянутые ранее два утверждения, взятые вместе, не
будут истинными. Действительно, (1) истинно в одной частичной
структуре (где термин «масса» означает релятивистскую массу), а (2)
истинно в другой частичной структуре (где термин «масса» означает массу
покоя), и поскольку две структуры альтернативны, конъюнкция (1) и
(2) не будет истинной ни в одной из структур, и тем более, во всех
структурах. Филд полагает, что это весьма желательное следствие, ибо
признание истинным одного утверждения, и стало быть, ложным -
другого, противоречит нашему пониманию развития науки. В самом деле,
если признать истинным (1), это означало бы, что в ньютоновской
механике под «массой» разумелась релятивистская масса А если взять
истинным (2), то нарушается принцип соответствия, и мы не могли бы
получить ньютоновскую механику как предельный случай
релятивистской. Таким образом, ни (1), ни (2) не являются истинными, и в то же
время нет необходимости считать их ложными.
Определение истины для частичного указания вполне
удовлетворительно, если только мы хорошо понимаем, что такое
соответствие структуры семантике языка. В примере с «гавагаи» таким
соответствием было отображение «гавагаи» в «кролика», а «глуб» -
в «тождественен». А вот если бы мы взяли произвольное,
интуитивно неоправданное отображение «гавагаи» в «дым», а «глуб» -
в «трескучесть», тогда соответствия не было бы. Но даже в том
случае, когда рассматривается более осмысленное соответствие,
требуется некоторое условие для того, чтобы структура соответствовала
семантике языка. Вернемся к примеру с двумя переводами слов
«гавагаи» и «глуб». Комбинируя оба перевода для двух слов, мы имеем
четыре возможности:
(1) «гавагаи» - кролик
«глуб» - тождество
(2) «гавагаи» - неотъемлемая часть кролика
«глуб» - соединение
46 Field H. Quine and the Correspondence Theory II Philosophical Review. -1974. -
V.83,a2.
47

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
(3) «гавагаи» - кролик
«глуб» - соединение
(4) «гавагаи» - неотъемлемая часть кролика
«глуб»—тождество.
Если (1) и (2) представляют желаемое соответствие структуре
семантике языка, то, скажем, (4) не является таковым, поскольку
неотъемлемые части кролика нетождественны. Но как бы ни был
нежелателен случай (4), в определении истины для частичного
указания нет ничего, что позволило бы запретить этот случай. Ранее
мы убедились в том, что для соответствия структуры семантике
требуется не произвольное сопоставление, а системное, например, при
сопоставлении термину «глуб» тождества термину «гавагаи»
сопоставляется кролик. В развитой системе, очевидно, можно выделить
базисные термины таким образом, что выбор базисных влечет
выбор зависимых терминов. В данном случае базисным является
термин для тождества.
Подробное изложение частичной семантики X. Филда
требуется нам для разрешения проблемы неединственности редукции
чисел к множествам. Напомним, что проблема, поставленная Бенацер-
рафом, заключается в том, что каждая цифра в ряду натуральных
чисел может быть поставлена в одно-однозначное соответствие
с последовательностью из множеств
0, (0}, {{0}}, {{{0}}},-
или же последовательностью
0, {0}, {0,{0}} {0, {0}, {0, {0}}}, ...
или с физическими объектами в последовательности
#«, /, //, ///, ...
При этом становится неясным, чем же являются числа,
представленные цифрами - множествами (и какими именно),
физическими объектами, и т.п. Другими словами, проблема заключается
в понимании соотнесения последовательностей натуральных чисел
и последовательностей множеств или физических объектов. При
использовании классического понятия указания сингулярный термин
3 указывает и на множество {{{0}}}, и на множество{0, {0}, {0,
{0}}}, и на физический объект ///.
Имеется в виду отсутствие физических объектов.
48

6. ПЛАТОНИЗМ И ЧАСТИЧНАЯ ТЕОРИЯ УКАЗАНИЯ
Идея Филда состоит в применении концепции частичного
указания не для отдельных цифр, а для целой последовательности. Пусть
имеется ш-последовательность
О, 1, 2, 3,
В целом эта последовательность указывает на все ш-последова-
тельности в смысле частичной концепции указания. При этом, имея
в виду особенности семантики частичного указания, нет
необходимости отвечать на вопрос, чем же на самом деле являются числа.
Как и в случае с термином «масса», утверждение, что число 3 есть
и {{{0}}}, и {0, {0}, {0, {0}}}, и ///, не является истинным.
Более того, детали сопоставления со-последовательности типа 3 = {0,
{0}, {0, {0}}} также будут утверждениями, которые нельзя
признать ни истинными, ни ложными. Но если нет ответа на вопрос,
чем же являются числа, то возникают дополнительные вопросы:
во-первых, как вообще возникает идея натурального ряда чисел,
и во-вторых, к чему же относятся свойства чисел?
Можно представить себе существование бесконечного числа
физических объектов, которые размещаются в некотором порядке
так, что каждому объекту соответствует цифра. Или же можно
допустить такое же соответствие цифр со множествами.
Использование концепции частичного указания позволит говорить об истинах
арифметики, не предполагая существования чисел. Дело в том, что
как последовательность физических объектов, так и
последовательность множеств, представляют собой ю-последовательности, или
прогрессии, которые вполне подходят для установления соответствия
структур семантике языка. Другими словами, мы имеем истины
арифметики без предположения существования чисел потому, что
как множества, так и физические объекты, образуя прогрессии,
играют роль чисел. Очевидно, при переводе с языка арифметики
базисными терминами будут термины для множеств или физических
объектов, а свойства чисел будут тогда производными. То есть, как
только установлено соответствие между нагуральным рядом и
прогрессией из множеств или физических объектов, как и в случае
с «гавагаи» и «глуб», свойства чисел появляются зависимым
образом в качестве следствия установления соответствия.
Отказ от платонизма, основанный X. Филдом на частичной
теории указания, также не свободен от трудностей. Хотя Филд
определяет истину без предположения абстрактных объектов и
избавляется от необходимости говорить, чем же являются числа «на самом
деле», это! отказ от платонизма не является очень убедительным.

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
Как отметил Ф. Китчер, для успешного применения семантики
частичного указания к математике требуется принятие понятия
последовательности, что возвращает нас к исходной постановке вопроса
о неединственности редукции чисел к множествам48.
7. Общие термины как знаки для чисел
Предположение, что цифры являются сингулярными терминами,
полагается почти очевидным. Сингулярный термин имеет целью
именовать точно один объект, и поэтому, руководствуясь теорией
дескрипций Рассела, из факта такого указания вполне обоснованно выводилось
существование указываемых объектов. Таким образом, использование
сингулярных терминов в анализе понятия числа является техническим
выражением тезиса платонизма. Н. Уайт поднял вопрос о том, нельзя
ли считать цифры общими терминами, несмотря на кажущуюся
неестественность этого49.
Теоретически семантика не запрещает рассматривать
сингулярные термины как частный случай общих. Элиминация сингулярных
терминов в пользу общих, предложенная Куайиом, позволяет
рассматривать, например, собственное имя «Сократ» как скрытую
дескрипцию «Тот объект х, который имеет свойство быть Сократом»
или «Объект jc такой, что jc есть Сократ». Часть этого выражения
«есть Сократ» является предикатом, и значит, роль указания на объект
передана переменной. Подстановка конкретных значений на место
переменной делает предикат истинным или ложным
утверждением. Хотя при замене сингулярного термина общим предикату
удовлетворяет точно одно значение переменной, это обстоятельство не
существенно; теоретически важным является то, что использование
общего термина не подразумевает существования объектов. Итак,
сингулярный термин 3 может быть представлен как общий «объект
jc такой, что х есть 3». И поскольку предикату «есть 3» может
удовлетворять много объектов, платонистская посылка снимается.
Но если предикату удовлетворяет множество объектов, то что
это означает для области абстрактных объектов? Скажем, вместо
одного числа 3 имеется много троек? Тогда как же объяснить эту
множественность? Как предположил Бенацерраф, число есть место
в го-последовательности, и поскольку таких последовательностей
может быть много, то и таких мест может быть много. Таким образом,
48 Kitcher Ph. We Plight ofPlatonist II Nous. - 1978. - V. xii, a 2. - P. 119-136.
49 White N. What Numbers Are II Synthese. - 1973. - V. 23.
50

7. ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ КАК ЗНАКИ ДЛЯ ЧИСЕЛ
вместо единственного ряда натуральных чисел имеется много
последовательностей. Для того чтобы выразить общее понятие
определенного числа, нужно употребить переменную, и для первого
члена мы будем иметь выражение («есть нуль в последовательности
Р», где Р есть переменная, область значений которой представлена
различными последовательностями.
Для того чтобы оценить предложение Уайта, рассмотрим
стандартную аксиоматику теории множеств Цермело - Френкеля с
присоединенными к ней принципами следующей формы
0 = 0
(x)(y)[S(x,y)^0(x,y)]
где 0 и Ф (х, у) - теоретико-множественные утверждения. Ф. Кит-
чер предлагает называть такие теории эрзац-арифметиками50. Как
показали Куайн и Бенацерраф, имеется много эрзац-арифметик,
и с каждой такой арифметикой ассоциируется последовательность
множеств, или прогрессия.
Как уже было сказано, множества играют в
последовательностях роль чисел, поскольку удовлетворяют законам арифметики. Две
обсуждаемые нами прогрессии, состоящие из множеств,
показывают, каким образом конструкции из множеств могут пониматься как
числа в эрзац-арифметиках фон Неймана и Цермело. Идея Н. Уайта
состоит в представлении арифметики как системы утверждений
о прогрессиях. Для этого ему требуется определить понятие
прогрессии в теоретико-множественных терминах.
Реконструкция Китчером аргумента Уайта показывает, что
основные понятия, требуемые для теоретико-множественного
представления арифметики на этом пути, вполне удается получить.
Важной особенностью построения Уайтом семантики для арифметики
является то, что арифметические понятия сводятся к множествам
и отношениям.
Таким образом, сведение арифметики к теории множеств, если
оно будет достигнуто, позволит избежать затруднений, связанных
с альтернативными теоретико-множественными моделями. Это
достигается ценой обращения к понятию прогрессии, а точнее,
релятивизацией понятия числа к прогрессии. Понимание цифры как
общего термина включает упоминание о прогрессии. Но возникает
вопрос, не является ли выбор соответствующей прогрессии тем же
самым выбором среди различных эрзац-арифметик?
KitcherPh.Op.cit.
51

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
С точки зрения Уайта это не тот же выбор. Проблема
эрзац-арифметик заключается в том, что при заданной непротиворечивой
теории с некоторыми прогрессиями всякий выбор экспликации числа
произволен и поэтому не дает объяснения понятия числа. А вот с
прогрессиями положение другое:
Мы не можем сказать прямо, чем являются числа, потому
что мы не сможем специфицировать единственно
правильную область для прогрессии. Мы скорее имеем схему
объяснения того, чем являются числа, то есть, имеем способ,
посредством которого, сконструировав непротиворечивую
теорию с допустимыми в ней прогрессиями, можно объяснить,
что такое числа в этой теории51.
Критика Уайтом платонизма не свободна от недостатков.
Основной ее дефект состоит в том, что мы не получаем сведения
прогрессии к множествам в полной мере. Уайт получил теорию
прогрессий в терминах множеств и отношений. Поэтому для полного успеха
требуется сведение отношений к множествам. Обычный путь
заключается в определении упорядоченной пары, которая и представляет
собой отношение в терминах множеств. Как мы видели ранее,
экспликация упорядоченной пары также допускает различные ее соотнесения
с конструкциями из множеств. Но именно цель однозначного
соотнесения преследовалась нами относительно прогрессий. Это означает, что
попытка Уайта свести понятие прогрессии к множествам,
предпринятая с целью разрешить проблему множественной редукции,
наткнулась как раз на аналогичную проблему. В этом смысле попытка Уайта
отвергнуть платонизм вызывает сомнения.
8. Логика без онтологии
(подстановочные системы)
Различные попытки ответить на вызов Бенацеррафа не дают
однозначного и общепринятого понимания того, что же такое объект. Как
было видно, само понятие объекта встречается с затруднениями.
Возникает вопрос, в какой степени понятие объекта является неизбежным при
использовании логики. Как было видно из предыдущего, объект есть
часть интерпретации квантора Рассмотрим этот boi ipoc более тщательно.
Пусть имеется некоторое утверждение о числах, например,
Х+3 > 7. Переменная х стоит вместо имен чисел (то есть, цифр); значе-
я White N. What Numbers Are II Synthase. -1973. - V. 23. - P. 128.
52

8. ЛОГИКА БЕЗ ОНТОЛОГИИ
ния переменной - сами числа. Подстановка имен чисел в jc + 3 > 7 дает
утверждение, истинность или ложность которого отображает
некоторый факт. Утверждение является, таким образом, описанием объектов,
составляющих универсум рассмотрения формальной системы.
Интерпретированную формальную систему мы будем называть референта-
тивной (или объектной) системой. Важнейшую ее особенность
характеризует уже упомянутый формальный критерий существования Куайна.
Референтативные формальные системы имеют четко
очерченную онтологию, то есть, область объектов, при подстановке имен
которых формальные предложения теории становятся истинными
утверждениями. Возможен и другой взгляд на функцию
формальной системы, согласно которому формальная система ничего не
говорит о существовании объектов. Значениями переменных в таком
случае являются не объекты, а термины языка. Этот тип
формальной системы называется подстановочным; в нем ничего не
говорится об онтологии формализуемой теории, поскольку нет никакого
способа указания на объекты. Каждый объект представляется
термином; иначе говоря, с точки зрения формальной теории нет
никакой разницы между объектом и термином. Это означает, что
подстановочный тип теории применим там, где каждый объект имеет имя,
и является такой ревизией референтативного типа теории, при
которой выпадают все вопросы указания на объект.
Так, в теориях подстановочного типа универсальная квантифи-
кация утверждения истинна, если утверждение истинно при
подстановке всех терминов (а не всех значений переменной, как в рефе-
рентативной теории). Все истины данного типа являются
лингвистическими со всеми вытекающими отсюда философскими
следствиями. Имеет ли различение двух типов интерпретированных
формальных систем какое-либо значение для понимания природы чисел,
и вообще, математических объектов? Поскольку подстановочная
система не обращается к понятию объекта, и поэтому в ней не
возникает разговора об онтологии, различие между референтативной
и подстановочной системами следует искать там, где понятие
онтологии является неизбежным следствием каких-либо интерпретаций
формальной системы, или же просто формальных утверждений.
Критерий онтологических допущений может применяться в самых
различных случаях, где содержательная теория формализована в языке
первого порядка. Однако применения подобного рода не избегают
тривиальности. Различие между референтативной и
подстановочной систем должно проявляться в нетривиальном использовании
критерия онтологических допущений.
53

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
Куайн отмечает несколько случаев тривиализации этого
критерия52. Во-первых, когда имеется конечный универсум
поименованных объектов. В этом случае экзистенциальная квантификация
сводится к дизъюнкции атомарных предложений, а универсальная
квантификация к их конъюнкции. Элиминация кванторов означает
исчезновение самого понятия связанной переменной, и поэтому
теряет свою значимость. Во-вторых, когда полные и разрешимые
теории бесполезны для применения критерия онтологических
допущений. Значения истинности выражений таких теорий определяются
механически, и стало быть, кванторы не являются необходимой
составной частью формального аппарата теорий. Отсюда следует, что
применение критерия онтологических становится нетривиальным
для случая весьма богатых теорий, например, арифметики или
теории множеств. В этой связи следует отметить, что даже в работах
самого Куайна критерий используется по настоящему только в
теории множеств53.
Референтативная интерпретация предлагает на всех этапах
формализации знания соотнесение знака и объекта. При
подстановочной интерпретации речь идет не о числах, а о цифрах, т.е. о системе
знаков. Эти знаки подлежат преобразованиям согласно законам,
которые управляют числами. Но поскольку подстановочная
интерпретация рассматривает знаки в изоляции от объектов, практическое
функционирование знаковой системы включает два этапа. Первый
этап состоит в формулировке допустимых преобразований знаков,
а второй - в com несении этих преобразований с характеристиками вза-
иомоотношений объектов. Другими словами, при подстановочной
интерпретации кванторов требуется специальное дополнение в
отношении того, как применять интерпретированную таким образом
формальную систему для описания реальности. В случае чисел такое
дополнительное условие усматривается в применении чисел для счета.
Референтативная интерпретация формальной системы уже
в своей формулировке допустимых преобразований знаков
подразумевает отображение этими преобразованиями взаимоотношений
объектов. В этой интерпретации счет уже включен, хотя и неявно,
в определение множества натуральных чисел. Нумерическое
определение кванторов дает представление о том, каким образом
делается счет54. А вот экспликация понятия числа с подстановочной точ-
52 Куайн В.В.О. Онтологическая относительность!/ Современная философия
науки. - М: Логос, 1996. - С. 40-61.
в Quine W.V.O. Set Theory and Its Logic. - Cambridge University Press, 1963.
54 См. определение нумеричесюго квантора далее.
54

8. ЛОГИКА БЕЗ ОНТОЛОГИИ
ки зрения требует объяснения понятия счета как независимого от
определения числа. В частности, с точки зрения П. Бенацеррафа,
концепция числа должна дополняться концепцией использования цифр.
Это требование обосновывается возможностью уже
упоминавшегося нетранзитивного счета. Ребенок, аргументирует Бенацерраф,
учится считать скороговоркой «Раз, два, три, четыре, пять, вышел
зайчик погулять!», и только потом переходит к транзитивному счету,
где коррелируются члены данного множества, например, пять
камней с элементами числовой последовательности.
Нельзя сказать, какое число представлено данным
выражением, если не задать при этом последовательность, членом
которой является выражение. Из его положения в
последовательности, то есть, из его отношений с другими членами
последовательности, и из правила, управляющего
использованием последовательности при счете, оно получает свою
индивидуальность55.
Таким образом, согласно Бенацеррафу, понимание правил
счета является независимым от определения натурального числа, и для
более полного усвоения эти правила должны быть расширены.
Обращение к онтологии при определении натуральных чисел
в референтати вной теории очевидно. Натуральные числа являются
частью принимаемой онтологии, то есть, существуют согласно
критерию Куайна. А вот для подстановочной интерпретации возникает
вопрос, можно ли, во-первых, говорить о существовании
натуральных чисел, и во-вторых, об онтологии подстановочной
интерпретации вообще. Если предложение о существовании математических
объектов утверждается непротиворечивой теорией референтативного
типа, то существование выражается экзистенциальным квантором
в рамках логики первого порядка. Если же речь идет о
подстановочном типе терий, то нужно допустить такую интерпретацию теории,
при которой, скажем, знаки «О», «1», «2» и т.д. являются
собственными именами существующих объектов. А это условие приводит
к трудностям, одно из которых было подмечено довольно давно Хао
Ваном56. В соответствии с теоремой Левенгейма-Сколема
непротиворечивая теория выполняется на счетной модели, то есть, на
универсуме целых положительных чисел. В связи с этим интересно знать,
55 BenacerrafP. What Numbers Could not Бе//Philosophical Review.-1965. - V. 74,
n. l.-P. 72.
56 Ван Хао. Процесс и существование II Математическая логика и ее
применения. - М., 1956.
55

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
в каком смысле существуют целые положительные числа. Для начала
требуется определить, может ли натуральный ряд чисел,
поименованных цифрами-знаками 0, 1,2, ..., быть полностью описан в терминах
логики первого порядка с равенством. Другими словами, являются ли
аксиомы истинными только при данной упомянутой интерпретации?
Не являются ли они истинными еще для некоторых абстрактных
объектов, кроме натуральных чисел?
Оказывается, любой перечень аксиом, истинный для натуральных
чисел, имеет и такую модель, не изоморфную первой, которая
содержит «лишние» абстрактные объекты. Каким же образом могут
существовать эти «параллельные» модели? Пусть имеется некоторое
определение класса натуральных чисел N, содержащего 0, 1, 2, ... и т.д.
В этом случае утверждения О е N, 1 е N,2e N,... являются
истинными. Можно доказать, что присоединение к N «лишнего» абстрактного
объекта jc такого, что х е N, х * 0, х * 1, х * 2, .. .до бесконечности, не
приводит к противоречию. Как показал Куайн, в любом доказательстве
противоречия будет использовано только конечное число посылок, но
любое конечное число их истинно для некоторого натурального числа
Этот результат интересен в связи с так называемыми со-проти-
воречивыми системами, в которых для некоторой формулы Fx
доказуемо FO, F\, F1, ... и одновременно доказуемо (Ех) (х е N & ~ Fx).
Другими словами, каждое из собственных имен 0, 1,2, ...,
принадлежащих N, выполняет некоторое условие, но все же можно
доказать, что некоторый объект, принадлежащий N, нарушает это
условие. Ясно, что ю-противоречивость не дает простой
противоречивости в смысле одновременной доказуемости Л и ~А. Можно показать
простую непротиворечивость некоторых ш-противоречивых систем,
но простая непротиворечивость не избавляет от одного
неудовлетворительного свойства, присущего ш-противоречивым системам:
найдется такая формула, интерпретация которой выражает
предложение, противоречащее некоторому другому истинному
предложению. Вероятно, в данном случае источник неприятностей -
интерпретация предиката Л'как «натуральное число», поскольку
Л'содержит и другие объекты. Это может случиться в любой системе с
подразумеваемой (или намеренной) интерпретацией на натуральных
числах, но в ш-противоречивой системе N должно быть именно
таким, чтобы в него входили «лишние» абстрактные объекты.
Теперь можно сформулировать затруднение, связанное с
отождествлением существования и непротиворечивости. В просто
непротиворечивой, но ©-противоречивой системе можно добавлять
аксиомы .для некоторых объектов, не являющихся натуральными числа-
56

8. ЛОГИКА БЕЗ ОНТОЛОГИИ
ми. Существование в этом случае приписывается натуральным
числам и «лишним» объектам. Очевидно, что это неправомерно в
некотором интуитивном смысле. Однако отсутствие какого-либо
критерия для различения этих двух видов сущностей приводит, как уже
указывалось, к заключению, что N ошибочно интерпретируется как
«натуральное число».
Существование просто непротиворечивых, но о-противоречи-
вых систем является одним из следствий теоремы Геделя о
неполноте. Они получаются из неполных непротиворечивых систем
добавлением к ним в качестве аксиомы неразрешимого предложения,
то есть, истинного, но недоказуемого в формальной системе;
поэтому игнорировать ш-противоречивые системы невозможно.
Следовательно, имеются такие случаи, в которых область существующих
объектов подвергается нежелательному, с интуитивной точки
зрения, расширению. Просто непротиворечивые системы могут
отличаться немотивированной онтологией в том смысле, что
расширение онтологии является произвольным. Легко понять, что
«законная» онтология состоит из поименованных объектов, но ее нельзя
отличить от «незаконной». Это наводит на мысль, что различие этих
онтологии иллюзорно и возникает только в рамках подстановочной
интерпретации кванторов. А вот в терминах референтативной
интерпретации описанная ситуация в ш-противоречивой системой
вполне объяснима. Если подстановка имени произвольного объекта
в некоторое открытое предложение дает истинное утверждение
теории, но в то же время универсальная квантификация данного
открытого предложения ложна, то существуют непоименованные
объекты универсума теории.
Посмотрим теперь, всегда ли можно четко разделить две
интерпретации формальных теорий. Применение интерпретации
подстановочного типа к некоторой объектной области возможно, если все
объекты могут быть поименованы, то есть, если теория w-непроти-
воречива. Тогда можно забыть об объектах и говорить только об
именах. Но это не значит, что разговор об объектах принципиально
излишен, поскольку можно предположить наличие
непоименованных объектов и для w-непротиворечивой теории. Все свойства
поименованных и непоименованных объектов могут совпадать, и
тогда два рода объектов неразличимы. В этом случае внутри самой
теории невозможно доказать различие двух типов интерпретаций,
и значит, решить, с какой интерпретацией теории мы имеем дело.
Если же имеется w-противоречивая теория, в которой выражения
FO, F\, F2,... доказуемы, как доказуемо и ~ (х) Fx, то с увереннос-
57

ГЛАВА 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ
тью можно утверждать существование непоименованных объектов.
Теория здесь допускает лишь референтативную интерпретацию.
Однако га-противоречивые теории нельзя рассматривать как
существенный аргумент против подстановочной интерпретации
вообще. В самом деле, га-противоречивость теории связана с
недостатком имен для поименования объектов из универсума рассмотрения.
Этот недостаток может проявиться лишь в теории, уже имеющей
референтативную интерпретацию, как, например, в рассмотренном
выше примере. Поскольку нетрудно представить себе тривиальный
пример теории, ю-противоречивость которой является следствием
намеренно выбранной недостаточной процедуры поименования, то
недостаток имен в таком случае релятивизован к некоторой
конкретной процедуре именования. Поэтому неосуществимость
подстановочной интерпретации некоторой теории, уже имеющей
референтативную интерпретацию, может быть доказана только в том
случае, если мы рассмотрим все возможные процедуры поименования.
Так как ю-противоречивость как будто свидетельствует о
существовании непоименованных объектов, а подстановочная
интерпретация опирается на предположение, что все сущности имеют имя,
то возникает следующая проблема, в случае, когда имеется больше
чем счетная объектная область, невозможно обозначить каждый
объект именем, поскольку множество выражений языка всегда
счетно. Поэтому подстановочная интерпретация универсальной кванти-
фикации, которая читается как «для всякого объекта, обозначенного
термином...», в случае несчетной области отличается от референта-
тивной интерпретации. Это справедливо для классических систем
теории множеств. Классическая теория множеств допускает
несчетные области, например, число подмножеств счетного множества
натуральных чисел, согласно теореме Кантора, несчетно.
Обычно содержательное отличие двух видов интерпретации
кванторов может быть эксплицировано в формальной системе.
Например, в случае ю-нротиворечивых систем, в которых все
формулы, получаемые подстановкой терминов в Fx, являются теоремами,
и в то же самое время теоремой является и ~ (х) Fx, формальные
рассмотрения свидетельствуют о недостатке имен для
поименования всех объектов, и следовательно, о неадекватности
подстановочной интерпретации системы. Однако не во всякой формальной
системе можно выразить содержательное различие между двумя
интерпретациями квантификации. Зачастую из-за ограниченных
выразительных возможностей в рамках формальной системы
невозможно отличить заведомо непоименованные объекты от объектов,
58

8. ЛОГИКА БЕЗ ОНТОЛОГИИ
специфицированных именами. В этом случае, когда все свойства
непоименованных объектов, выразимые в языке теории,
принадлежат также и специфицированным объектам, каждое кванторное
выражение, истинное при референтативной интерпретации,
остается истинным и при подстановочной интерпретации, и наоборот.
В такой ситуации подстановочная и референтативная
интерпретации адекватны независимо от мощности объектной области.
Рассмотрим, например, элементарную теорию действительных чисел;
поскольку множество всех действительных чисел несчетно, при
любом выборе совокупности терминов не все объекты
специфицированы именами. Однако, как показал Тарский, элементарная
теория действительных чисел полна и разрешима. Следовательно,
используя геделевскую нумерацию, мы можем с помощью
рекурсивного предиката задать все истинные теоремы такой теории в
элементарной теории чисел. Последняя же вполне допускает
подстановочную интерпретацию квантификации. Таким образом,
подстановочная интерпретация адекватна для элементарной теории
действительных чисел.
Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что в общем
случае для адекватности постановочной интерпретации кванторов не
требуется изоморфизм имен и объектов. Если в ш-противоречивой
теории отсутствие такого изоморфизма служит препятствием для
подстановочной интерпретации, то в элементарной теории
действительных чисел это обстоятельство не имеет значения. Это
обстоятельство говорит о полном равноправии референтативной и
подстановочной интерпретаций кванторов. И коль скоро подстановочная
интерпретация не подразумевает онтологии математических
объектов, это означает возможность различных «безонтологических»
рассмотрений в математическом дискурсе.
59

ГЛАВА 2.
АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
1. Понятие абстрактного объекта
Понятие объекта, фигурирующее в философии
логики, используется в двух важнейших смыслах. В одном смысле
понятие объекта трактуется семантически, а в другом -
метафизически. С семантической точки зрения объект есть референт
сингулярного термина. В развитой логике, с четким пониманием
разделения на общие и сингулярные термины, сингулярный термин
призван указывать на один и только один объект Такого рода указание
производится как на абстрактные, так и на конкретные объекты. Что
касается абстрактных объектов, то их объектный статус
фиксируется в использовании абстрактных сингулярных терминов. Объекты,
указываемые ими, входят в категориальный аппарат теории
множеств. По Куайну, значениями индивидных переменных логики
первого порядка могут быть как конкретные, так и абстрактные
объекты, коль скоро в основе теории множеств лежит логика первого
порядка. Таким образом, с семантической точки зрения между
конкретными и абстрактными сущностями нет различия, поскольку оба
60

1. ПОНЯТИЕ АБСТРАКТНОГО ОБЪЕКТА
вида сущностей зафиксированы в логике как объекты благодаря
использованию понятия сингулярного термина, будучи значениями
связанных переменных.
С метафизической точки зрения объект есть сущность,
обладающая определенными условиями тождественности. Если имеется
два объекта, х и у, тогда утверждение «х = у» должно быть либо
истинным, либо ложным. Это требование не коим образом не
является тривиальным, поскольку легко указать случаи, когда оно не
удовлетворяется. Например, некоторые частицы в квантовой
механике неразличимы, и поэтому не являются «объектами» (хотя с
точки зрения метафизики их можно назвать «сущностями» - ведь чем-
то они являются с точки зрения физики). Существование объектов
с метафизической точки зрения оправдано, если их включение в
онтологию увеличивает объяснительную силу теории. Если для
физических (конкретных) объектов условия тождественности легко
выполнимы, то для абстрактных объектов это представляет
значительные проблемы. Именно здесь находится значительное число
трудностей, связанных с понятием абстрактного объекта.
Е. Лоу отмечает, что в современной литературе обсуждаются,
по крайней мере, две концепции абстрактности'. Во-первых,
термин «абстрактное» противопоставлено термину «конкретное»;
конкретный термин подразумевает пространственно-временную
природу объекта, а абстрактный термин - внепространственные и
вневременные универсалии. В отношении этого различения есть
определенные сомнения. Если признаком конкретных объектов
объявляется существование в пространстве и времени, то это не совсем
верная харакгеристика. Как мы видели при рассмотрении понятия
существования, присоединение характеристики существования
к вещи на самом деле ничего к ней не добавляет. Существование
в пространстве и времени не есть специальный вид существования.
Речь может только идти о том, что свойства и отношения
«конкретных» объектов могут иметь пространственно-временной характер.
Тогда можно сказать, что объект является абстрактным, если его
отношения с другими объектами и его свойства не являются
пространственно-временными. Кроме того, противоположность
абстрактного и конкретного усматривается в том, что среди первых не
действует принцип причинности, а сама причинность считается
признаком подлинного существования. Однако упор на причинность
1 Lowe E. ТЪе Metaphysics of Abstract Objects II Journal of Philosophy. - 1995. -
*V. xcii, n. 10. - P. 509-524.
61

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
приводит к исключению из научного дискурса важнейших понятий,
в частности, универсалий, без которых не может обойтись никакая
научная теория, поскольку роль универсалий состоит в расширении
объяснительной силы теорий.
Во-вторых, абстрактная сущность понимается как нечто такое,
что неотделимо в своем существовании от других сущностей.
Например, вторичные качества Локка являют нам такую абстракцию:
цвет предмета, существуя номинально как нечто абстрактное, на
самом деле неотделим от самого предмета. Такое понимание
абстрактного, будучи отчасти метафизическим, тем не менее,
мотивировано эмпирическими соображениями. Это понимание Е. Лоу
абстрактного хорошо согласуется с подходом к абстрактному, предпринятому с
иных позиций. Действительно, понятие абстрактного объекта, как
показывает этимология слова, возникает в процессе абстрагирования от
материального. Именно это обстоятельство в значительной степени
определяет традиционное видение платонизма как философской
доктрины. Как утверждают Б. Лински и Э. Залта, платонисты
рассматривают абстрактные объекты, исходя из модели физических объектов,
внося в понятие абстрактного объекта черты, заимствованные из
физических объектов2. Заимствование обусловлено
представлением о том, что оба вида объектов не зависят в своем существовании
от сознания, то есть, что они объективны. Лински и Залта выделяют
три общих черты: во-первых, это применимое к физическим
объектам различение явления и действительности, когда свойства
объекта не видны непосредственно, а открываются в ходе эмпирического
исследования. Во-вторых, сущность физического объекта
раскрывается постепенно, с использованием как эмпирических так и
теоретических методов. Наконец, физические объекты обладают
свойством полноты, так что они определены вплоть до самой последней
физической детали. Другими словами, для каждого физического
объекта jc, для каждого свойства F, либо jc имеет F, либо он имеет отрицание
F. Традиционный платонизм исторически ориентировался на процесс
открытия абстрактных объектов теорией, становление которой идет
поэтапно. Лински и Залта называют это поэтапным платонизмом.
Лучше всего эта туманная формулировка проясняется позицией Ку-
айна, уподоблявшего роль множеств в математических теориях роли
физических объектов в теориях о реальном мире3.
2 Linsky В., ZahaE. Naturalized Platonism versus Platonized Naturalism II Journal
of Philosophy. - 1995. - V. xcii, n. 10. - P. 525-555.
3 Quine W.V.O. Posits and Reality II The Ways of Paradox and Other Essays. -
Harvard University Press, 1976.
62

1. ПОНЯТИЕ АБСТРАКТНОГО ОБЪЕКТА
Bo-третьих, термин «абстрактное» ассоциируется с процессом
абстракции из концепций; парадигмальным примером такой
абстракции является принцип абстракции Фреге. Интересным примером
абстрактного объекта в этом смысле является понятие направления
в геометрии. Действительно, направление представляет собой
абстрактный объект, потому что оно не имеет причинной природы
и не локализовано в пространстве и времени. Тем не менее,
утверждения о направлении имеют вполне конкретный смысл.
Абстрактный термин вводится путем логической реконструкции обыденных
утверждений о направлении. Пусть имеется множество прямых,
обозначенных именами «о», «Ь», «с», ... и предикат «...параллельно...»,
выражающий отношение эквивалентности на множестве прямых.
К. Райт вводит абстрактные объекты D (a), D (b), D (с), ... путем
постулирования такого рода4:
D(a) = D (Ъ) <-» а параллельна Ъ
Истинность утверждений с новыми абстрактными объектами
совпадает с истинностью утверждений формы «о параллельна Ь»,
которые понимаются на более эмпирическом уровне. Структура и
обоснование подобного рода абстракции будут приведены ниже.
Более важным примером является так называемый принцип
Юма. Фреге полагал, что мы можем иметь знание о конечных
кардинальных числах через вывод общих законов (эквивалентных
постулатам Пеано) из логики и из определения термина «кардинальное
число». Определение это должно включать критерий тождества для
кардинальных чисел, и в качестве первого кандидата Фреге предложил
принцип Юма1. Этот принцип утверждает, что кардинальное число,
принадлежащее концепции F, идентично кардинальному числу,
принадлежащему концепции G, если и только если, выполняется
следующее условие: сущности, подпадающие под концепцию F, находятся
в 1-1 отношении с сущностями, подпадающими под концепцию G.
(HP) (AF) (AG) [(Nx: Fx = Nx:Gx) <-> (F 1-1 G)]
Через этот принцип Фреге вводит новый абстрактный объект, а
именно, «кардинальное число», используя отношение эквивалентности
на множестве концепций (в данном случае - одно-однозначное
соответствие между объектами, подпадающими под эти концепции).
4 Wright С. Frege's Conception of Numbers as Objects. - Aberdeen 1983. -
P. 155.
3 Frege G. The Foundations of Arithmetic. Tr. by J. Austin. - Oxford, Blackwell,
1953. - Параграфы 62-5.
63

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Как видно из приведенных примеров, постулирование
абстрактных объектов на основе так называемых принципов абстракции
вполне возможно при некоторых условиях. Одним из важнейших
таких условий является то, что принципы выступают в роли
критериев тождественности абстрактных объектов. Однако здесь
применение принципов абстракции встречается с ощутимой трудностью.
Дело в том, что сами по себе принципы абстракции не говорят
о том, с какого рода объектами они имеют дело, и больше того, одни
и те же принципы имеют дело с различными видами объектов. Уже
Фреге осознавал эту трудность, с которой он столкнулся при
применении принципа Юма. Так, он полагал, что критерий тождества для
кардинальных чисел должен специфицировать, какие именно
объекты есть кардинальные числа6. Но принцип Юма не выполняет этой
задачи. Он абсолютно ничего не говорит об объектах. Например,
этот принцип ничего не говорит, является ли, например, Nx: Fx
(множество таких объектов jc, которые обладают свойством F) Юлием
Цезарем, и поэтому не говорит, что за объекты кардинальные числа.
Это так называемая «проблема Юлия Цезаря». Возвращаясь к
нашему прежнему примеру, приведенному Бенацеррафом, с
принципом Юма согласуется и то, что число 2 есть множество {{0}},
и множество {0, {0}}, и многие другие объекты.
Таким образом, критерия идентичности недостаточно для того,
чтобы «узаконить» абстрактный объект, потому что в результате
применения принципа абстракции мы можем получить
«неподходящие» абстрактные объекты. Именно здесь выступают на первый план
метафизические соображения, поскольку простым
постулированием принципов абстракции мы не сумеем получить
удовлетворительной концепции абстрактных объектов. Далее мы увидим, что
метафизика может быть «обуздана» с помощью семантических
соображений, но это достигается ценой принятия довольно сложных
философских программ, например, «неологицизма». В какой степени
подобные философские программы могут считаться метафизикой, -
дело вкуса.
С точки зрения метафизики наиболее близкими к абстрактным
объектам категориями являются категории универсалии и
конкретности (particulars). Различие между двумя этими категориями
можно определить в терминах «пример»7. Конкретность есть нечто,
являющееся примером, но что само не может иметь примеры. Универ-
6 Там же. — Парафафы 66-7.
7 В английском языке используется термин «instantiate», который мы
переводит как «быть примером».
64

1. ПОНЯТИЕ АБСТРАКТНОГО ОБЪЕКТА
салии есть то, что необходимо имеет примеры, то есть, универсалии
понимаются как вид. При попытке соотнесения понятия объекта
(в том числе абстрактного) с понятием универсалии возникает
вопрос, является ли универсалия объектом? На этот вопрос можно
ответить утвердительно, если универсалии имеют условия
тождественности. В большей части случаев это вполне правдоподобное
требование, поскольку универсалии представляют вид, а один вид легко
отличить от другого. Таким образом, можно считать, что
универсалии представляют собой объект.
Теперь возникает вопрос о том, являются ли универсалии
абстрактными объектами в различных смыслах абстрактности,
описанных нами ранее. Определенно, универсалии являются
абстрактными объектами, если иметь в виду отсутствие их
пространственно-временной локализации. Однако более интересный вопрос состоит в том,
являются ли универсалии абстрактными объектами в таком смысле
абстрактности, когда последняя вводится абстракцией из концепций.
Часто в дискуссиях по философии математики делается неявное
предположение (хотя многим оно кажется очевидным), что множества и есть
универсалии. Так, Френкель и Бар-Хиллел свидетельствуют8:
Под словом «множество» обычно понимают то, что
философы называют универсалии; таким образом, интересующая нас
сейчас проблема (онтологический статус множеств) есть
частный случаи известной и широко обсуждавшейся
классической проблемы об онтологическом статусе универсали.
Тогда основания математики, которые сведены к обоснованию
теории множеств, могут быть переформулированы в терминах
абстрактных объектов. Более точная постановка проблемы такова. Путь
имеется содержательная математическая теория, формализация
которой осуществлена на языке первого порядка. Такая
формализация включает перевод истинных утверждений теории в
общезначимые утверждения формальной теории. Всякая формальная теория,
если она непротиворечива, имеет модель, состоящую из объектов
и их отношений, которые удовлетворяют утверждениям теории.
Каковы же должны быть объекты в модели? В математической
практике это множества, функции и пр. Но допустим, что это просто
абстрактные объекты (универсалии), и тогда наш исходный вопрос
будет звучать так: можно ли дать объяснение природе математичес-
* Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М., 1966. —
С. 399.
65

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
кой истины, если исходить из того, что объектами модели являются
абстрактные объекты?
Числа определенно могут считаться универсалиями. Если это
утверждение принимается, тогда это ведет к любопытному выводу
о соотношении чисел и множеств. Поскольку у универсалий легко
определяется вид, числа относятся к своеобразному виду, точно так
же как множества относятся к своему виду. Больше того, если числа
есть вид множеств, тогда было бы неверным полагать, что числа
есть множества: ведь универсалия «быть собакой» никоим образом
не совпадает с конкретной собакой. Так, число 2 есть вид множеств
с двумя членами, или же, другими словами, каждое множество с
двумя членами есть пример числа 2, точно так же, как конкретная
собака является примером собаки.
Лоу полагает далее, что признание чисел универсалиями дает
еще более неожиданный результат. В противоположность
господствующему мнению о том, что числа являются множествами, Лоу
аргументирует, что обратное, а именно, что множества являются
числами9. Другими словами, множество есть «число вещей». Это
выражение знаменует резкий отход от стандартного подхода к
определению множества как совокупности вещей, которая
представляется в виде объекта. Действительно, согласно Г. Кантору,
«Множество есть Множественность, которая мыслится как Единое»10. Но
встает вопрос, а что же именно собирает члены множества
воедино? Если это есть результат ментального акта, как это утверждает
стандартная на этот счет теория", тогда надо признать, что в
математические проблемы вторгается психологизм. Напомним, что
именно подобный психологизм был мишенью атаки со стороны Г. Фреге
на работу Э. Гуссерля по основаниям математики. Сам Фреге
полагал, что члены множества собираются воедино благодаря
концепции, под которую подпадают собираемые члены. Ниже мы
подробно рассмотрим точку зрения Фреге, а пока заметим просто, что
против такого представления есть двоякого рода соображения.
Во-первых, множеств намного больше, чем концепций. Во-вторых, можно
представить себе такие множества, которые трудно помыслить как
результат какой-то концепции. Действительно, представим себе мно-
' Lowe E. The Metaphysics of Abstract Objects II Journal of Philosophy. - 1995. -
V.Xcii, n. 10.-P. 522.
10 Cantor G. Gesammelte Ahbandlungen /A. Fraenkel and E. Zermelo. - Berlin,
1932. - P. 204.
11 См. раздел Ментальный характер множества в работе: Целишев В.В.
Философия математики. - Новосибирск: Наука, 2002. - С. 61-68.
66

1. ПОНЯТИЕ АБСТРАКТНОГО ОБЪЕКТА
жество, состоящее из яблока на моем столе, футболиста Пеле и
числа л. Если и есть что-то характерное для этого множества, то это
единственное обстоятельство - оно состоит из трех членов.
Другими словами, оно есть «число 3». Конечно, при рассмотрении
понятия множества неявно предполагается, что элементы множества
принадлежат одному и тому же типу, но это предположение
довольно трудно эксплицировать. Именно оно представило наибольшую
трудность для Фреге при формировании его концепции числа.
Итак, с точки зрения Лоу множества являются производными
от чисел. Но если числа признаны нами абстрактными объектами,
то можно ли то же самое сказать о множествах? Во-первых,
множества обладают критерием тождественности; этот критерий
обеспечивается принципом экстенсиональности для множеств: два
множества jc и у тождественны, если и только если, эти два множества
имеют одни и те же члены. Далее, ответ на вопрос о том, являются
ли множества абстрактными объектами в смысле отсутствия
пространственно-временной локализации, зависит оттого, обладают ли
его члены статусом того же типа абстрактности. Лоу полагает, что
множества должны быть абстрактны в том же смысле, что и
универсалии, поскольку множества не могут существовать без элементов.
Однако тут трудно согласиться с Лоу, поскольку в основу
процедуры порождения множеств кладется пустое множество, то есть,
множество без членов. Поэтому этот смысл абстрактности множеств
также под вопросом.
Как видно, абстрактность множеств, понимаемых как примеры
чисел, не является очевидным обстоятельством. Однако трудно
возражать против абстрактности множеств в смысле получения ее через
принципы абстракции, поскольку абстракция из концепции является общей
для различных направлений в понимании природы чисел и множеств.
Как мы увидим позднее, именно этот смысл абстрактности позволяет
не только открывать, но и вводить новые абстракгные объекты. Точнее,
речь идет о постулировании абстрактных объектов.
2. Восприятие абстрактных объектов
и эпистемология
Эпистемологические проблемы, связанные с абстрактными
объектами, еще более трудны по сравнению с онтологическими
проблемами. В частности, одним из самых больших затруднений в
связи с абстрактными проблемами является их акаузальный характер,
и как следствие, невозможность эпистемического доступа у ним.
67

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Другими словами, если абстрактные объекты и существуют, то как
мы узнаем об их существовании?
Практика естественных наук показывает, что абстрактные
объекты постулируются, поскольку при этом увеличивается
объяснительная сила соответствующей теории. Постулирование абстрактных
объектов может рассматриваться с двух точек зрения на
соотношение математики и естественных наук. Если математика считается
наукой sui generis, тогда вопросы относительно постулирования
абстрактных объектов ограничены обсуждением их места в
математических структурах. Если же математика считается областью
исследования, которую трудно отделить от наук естественных, тогда
введение абстрактных объектов в математике ничем не отличается от
введения в естественнонаучные теории теоретических объектов типа
кварков, черных дыр и т.д. В этом смысле можно считать, как это
делал В. Куайн, постулирование в математике множеств ничем не
отличается от постулирования, скажем, кварков в физике. Каждая
из наук имеет собственные средства обоснования подобного
постулирования, но в общем такая тенденция считается проявлением
влиятельного в последнее время в философии направления, так
называемого натурализма. Натурализации эпистемологии заключается
в том, что человеческий субъект понимается как естественное
существо в физической вселенной, и его изучение включает только
естественные процессы в рамках обычного научного исследования.
Однако с точки зрения метафизики математические истины
всегда считались истинами априорными, по своей природе резко
отличающимися от истин эмпирических. Больше того, именно
математические утверждения стали источником самого понятия
априорной истины. Противопоставление эмпирической, контингентной,
конкретной истины и априорной, необходимой, абстрактной
истины существовало на всем протяжении истории философии; оно
в ходу и сейчас. Это противопоставление имеет много проявлений,
среди которых важнейшим является бесконечность математических
структур и конечность эмпирического материала.
Было сделано много попыток перекинуть мост между двумя
этими типами истин. Одна из них принадлежит П. Мэдди, которая
утверждает конкретность по крайней мере некоторых
математических объектов, в частности, множеств. Другая принадлежит
влиятельному направлению в философии математики - структурализму,
согласно которому математика есть наука о распознавании
абстрактных структур в эмпирических явлениях. Однако существует и
противоположная тенденция отделения математики от всего остально-
68

2. ВОСПРИЯТИЕ АБСТРАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ
го корпуса эмпирического знания. Как уже было упомянуто,
сведение математики к логике, что является целью логицизма, позволяет
решить ряд проблем, связанных с пониманием природы
абстрактных объектов.
Рассмотрим концепцию П. Мэдди, которая полагает, что мы
имеем некоторого рода восприятие абстрактных объектов, в
частности, физических множеств12. Мэдди полагает, что имея
некоторый эмпирический опыт в отношении физических множеств или
совокупностей, мы образуем общий термин, родовое понятие,
которое указывает на множество как абстрактный объект. Абстрактные
объекты математики подобны физическим совокупностям, и
поэтому, с точки зрения Мэдди, возможен прямой перцептуальный
доступ к ним. Совокупность физических вещей отличается от
множества тех же самых физических вещей, например, груда камней
отличается от множества камней. Отличие состоит в том, как, с одной
стороны, камень соотносится с грудой камней, и с другой - как он
соотносится с множеством камней. Каждый камень сделан из
физического материала, который и образует часть физической
совокупности. Но никакой камень не является членом физической
совокупности, потому что физическая совокупность не имеет членов. Здесь
Мэдди апеллирует к идее, что множество и членство в нем есть
результат деятельности сознания, образования в уме концепции
множества. Камень является членом множества, и именно отношение
членства делает его таковым. И в этом смысле множество есть абстрактный
объект, а физическая совокупность - нет. Но из такой трактовки
соотношения физической совокупности и множества следует чрезвычайно
интересный вывод о то, что множество камней локализовано точно
в том же месте, в котором локализована физическая совокупность. Это
в высшей мере непривычная трактовка понятия абстрактного объекта.
Физические совокупности не имеют членов, в то время как множество
определяется отношением членства. Именно по этой причине
множество является абстрактным объектом, который, тем не менее, согласно
Мэдди, предполагается локализованным в том же месте пространства,
в котором локализована физическая совокупность.
Ч. Чихара критикует точку зрения Мэдди, согласно которой мы
можем буквально «видеть» множества13. Он указывает в качестве
контрпримера единичное множество. Пусть в помещении имеется
12 Maddy P. Realism in Mathematics. - Oxford University Press, 1990.
13 ChiharaCh. Construciability and Mathematical Existence. -Oxford University
Press, 1990.
69

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
точно один физический предмет, скажем, камень. С точки зрения
здравого смысла в этом помещении ничего больше нет, но с точки
зрения Мэдди тут существует еще и множество, единственным
членом которого является этот камень. Множество есть абстрактный
объект, а камень - физический объект, и оба находятся в одном месте.
Традиционно множество рассматривается как универсалия, лишенная
локализации, и поэтому локализованная универсалия будет
представлять значительные трудности для традиционной философии.
Поскольку порождение множеств осуществляется замыканием
единичного множества, вместо одного камня и одного множества
мы имеем один камень и бесконечное число множеств. Однако
в пользу такого предположения нет эмпирических свидетельств,
и такой взгляд противоречит интуиции, поскольку он имеет
неправдоподобные следствия. Еще более трудным становится понимание
позиции Мэдди в случае бесконечных множеств, которые
невозможно сопоставить с конечными физическими совокупностями.
Следует отметить важную характеристику восприятия множеств
по Мэдди. Восприятие является невыводным, а прямым, что
совпадает с представлением о характере математической интуиции. В этом
отношении проблема обоснования концепции множества отчасти
снимается, поскольку прямо воспринимаемое множество
становится отправной точкой математического вывода. Действительно, не
являются ли аксиомы результатом воздействия на нас множеств
физических вещей? Другими словами, аксиомы оказываются
результатом воздействия на нас интуиции, выражающейся в прямом
восприятии множества. Пусть имеется множество, чьими элементами
являются точно два объекта. Это утверждается известной аксиомой
теории множеств. Но содержание этой аксиомы далеко выходит за
пределы математической интуиции, основанной на восприятии.
Таким образом, аксиомы теории множеств могут конфликтовать с
восприятием множеств. В качестве иллюстрации рассмотрим
множество {{jc, у}, х}14. Какого рода воспринимаемое физическое
множество соответствует этому множеству? Все дело в элементе jc,
который присутствует как в во внутреннем множестве, так и во внешнем
множестве. Попытаемся сконструировать физическое множество,
которое соответствует этой структуре. Пусть имеется две корзины -
большая и маленькая. Помещаем маленькую корзину в большую,
и кладем в маленькую корзину красный шар и черный шар. Таким
образом, мы сконструировали, в полном соответствии с методикой
14 Lomas D. What Perception is Doing, and What is not Doing II British Journal
for the Philosophy of Science. - 2002. - V. 53, n. 2. - P. 220.
70

2. ВОСПРИЯТИЕ АБСТРАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ
Мэдди, физическое множество {{красный шар, черный шар}}, где
{...}- маленькая корзина, а {{...}} - маленькая корзина в большой.
Теперь нам надо сконструировать физическое множество,
соответствующее описанию {{красный шар, черный шар}, красный шар}.
Красный шар оказывается одновременно в маленькой корзине и
большой корзине, что попросту с физической точки зрения невозможно,
поскольку красный шар не может быть одновременно в двух разных
местах. Таким образом, математическая конструкция {{jc, у}, х} не
имеет физического аналога. Это довольно сильный аргумент
против концепции П. Мэдди о прямом восприятии множеств и
абстрактных объектов вообще.
3. Постулирование абстрактных объектов
Существует два способа постулирования абстрактных объектов,
отмечает М. Джубьен15. Обычный подход состоит в неформальном
предположении, что существуют объекты, отличающиеся от
конкретных объектов. В этом случае нет никакого предположения о том,
что такие объекты являются математическими, что бы ни означал
термин «математические объекты». Соответственно, нет речи и
специфических математических свойствах объектов. Более
специфический способ постулирования абстрактных объектов состоит в том,
что существуют математические объекты, например, множества.
Такой подход мало интересен, поскольку при этом истинность
математических утверждений объясняется весьма просто: все
упирается в обоснование понятия множества как абстракгного объекта.
Гораздо более интересным было бы скомбинировать два
способа постулирования в один, с интересным замыслом: построить
теорию математической истины на одном лишь предположении - что
математика трактует чисто абстрактные объекты, и что такие
объекты существуют.
Обычный путь построения такой теории состоит в следующих
шагах:
1. Неформальная математика переводится в формальную
(предпочтительнее в теорию первого порядка).
2. Далее следует использовать постулированные объекты
в качестве модели и выбрать конкретные модели в качестве
намеренной интерпретации формализованных версий таких
моделей.
19 Jubien M. Ontology and Mathematical Than II Nous «, 1977,112.-P. 133-150.
71

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
3. Наконец, следует считать утверждения неформальной теории
истинными, если и только если, их формальный аналог
общезначим в модели, выбранной в качестве интерпретации.
Главным дефектом такого подхода является однородная трактовка
понятия истины. В частности, с точки зрения истинности
следующие два утверждения имеют одинаковую структуру: «Все города,
в которых население больше, чем в Нью-Йорке, находятся за
пределами Америки» и «Все простые числа, большие двух, нечетны».
Однородная концепция истины явно предполагает платонистское
удвоение мира, и в платонистском мире мы можем говорить об
объектах точно так же, как в мире материальном. Если при анализе
оснований математики избегать платонизма, следует отказаться от
однородной трактовки понятия истины.
Сбой в такой трактовке содержится в шаге 2. Каким образом
простое существование абстрактных объектов позволяет нам
сконструировать подходящие модели, которые служат в качестве интерпретаций?
Дело в том, что для выделения модели требуется изолировать от всех
абстрактных объектов определенные виды таких сущностей
(«натуральные числа», «множества», а также конкретные сущности («нуль», «пи»,
и т.д.). Это нужно сделать для спецификации области модели и
обеспечить интерпретацию символов констант и отношений в отношении
выбранной области. Но можем ли сделать это?
Трудность возникает, когда мы пытаемся изолировать или
выделить сущности. Например, мы пытаемся изолировать конкретный
объект, который служил бы интерпретацией некоторой константы
«О». Для платониста это относительно легко, потому что «нуль»
существует как отдельный объект в мире абстрактных сущностей,
и легко распознаваем там. Если же не принимать ллатонистскую
точку зрения, тогда есть два возможных способа: наглядно или же
через дескрипцию. Наглядное определение невозможно, так как
абстрактные объекты не имеют чувственной природы. Здесь
поднимается масса вопросов, связанных с тем, являются ли
математические объекты воспринимаемыми как абстрактные объекты. Тогда
остаются дескрипции. Это можно сделать при помощи
существенного свойства и при помощи контингентного свойства. Платонист
примет контингентное, потому что для него дескрипция «число
планет» будет вполне приемлемым способом выделения числа 9.
Для того чтобы дескрипция выделяла некоторую сущность,
требуется соблюдение ряда условий. Во-первых, такое выделение не
должно быть круговым. Например, оно не должно использовать
72

3. ПОСТУЛИРОВАНИЕ АБСТРАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ
имени вещи, которую предполагается выделить. Во-вторых, оно
должно быть вполне обосновано в том смысле, что не должно
содержать существенного вхождения никаких сингулярных терминов,
которые сами не выделяют конкретных сущностей. Например,
«Первая дочь Короля Лира» не является вполне обоснованным,
потому что термин «Король Лир» не выделяет конкретной возможной
сущности. В-третьих, дескрипция должна быть вполне
обоснованной в отношении общих терминов. Так, в утверждении
«единственная вещь со свойством Р» общий термин Р должен быть привязан
к свойству.
Использование контингентных свойств не дает соблюдения этих
требований. Так, можно ли считать, что термин «число планет»
указывает абстрактную математическую сущность? Утвердительный
ответ на этот вопрос возможен только в том случае, если термин
«число» уже привязан к определенным конкретным сущностям.
Таким образом, требуется подготовительная семантическая
«грунтовка». Но как это можно сделать? Если мы не можем выделить
математические термины с самого начала, то как мы можем сделать это
потом? То есть, какого рода предварительные семантические
приготовления нужны для предположения, что определенные
дескрипции, которые как будто обозначают абстрактные сущности, на
самом деле обозначают эти сущности?
Очевидно, для этого надо использовать существенные свойства.
Но существенные свойства - это те, которые соотносят
математические объекты с другими абстрактными сущностями.
Существенное свойство 9 - быть суммой 5 и 4, и быть следующим числом за 8.
Но тогда эти дескрипции не будут вполне обоснованы, поскольку
сингулярные термины типа «5», и общие термины типа «сумма» уже
прикреплены к соответствующим сущностям. До тех пор, пока мы
не выберем некоторые конкретные математические сущности без
предположения других сущностей, мы не продвинемся дальше.
Для преодоления этого затруднения надо выделить «базисные»
абстрактные объекты, например, 0, а остальные определять в их
терминах. Но даже базисные объекты требуют дескрипций («первое
натуральное число»), использующих общие термины («натуральное
число»), которые должны быть привязаны к абстрактным объектам.
Но именно подобного рода привязки мы и ищем. Таким образом,
мы впадаем в порочный круг. Остается следующая возможность:
быть может, следует выделить все натуральные числа скопом через
некоторую удобную формулировку. Это может дать иллюзию
вполне обоснованности, но на самом деле это опасно. Потому что есть
73

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
искушение сказать, что натуральные числа есть члены
определенной области абстрактных сущностей, которые обеспечивают область
выполнимости для экстенсионально интерпретированного
множества аксиом первого порядка. Но сам разговор об области неявно
утверждает существование абстрактных объектов, чье
существование мы пытаемся показать.
4. Расширение понимания платонизма
Абстрактные объекты есть категория метафизики, в то время
как числа и множества являются математическими понятиями.
Математический платонизм заключается в том, что математические
понятия отождествляются с метафизическими. Платонисты хотели
бы представить этот акт как результат открытия истинной природы
математических объектов. Однако следует понимать, что такое
отождествление, предпринимаемое философами, имеет скорее
нормативный характер. Между тем, есть третья позиция, которая занимается
работающими математиками: математические утверждения
должны пониматься в контексте математической практики, которая не
зависит от философских мнений и не определяется ими.
Математические структуры, порождаемые в ходе этой практики, полностью
своеобразны, или на философском жаргоне, математические
структуры суть sui generis.
Нормативный подход к соотнесению математических понятий
и философских категорий встречается с определенными
трудностями. Действительно, нормативность философии проявляется в том,
что природа математики представляется как описание отношений
между универсалиями - числами, формами и т.п. дело в том, что
философы склонны усматривать в математических объектах и
структурах более близкие им или понятные им сущности, скажем
универсалии. С другой стороны, используемые при таком
представлении философские концепции типа «необходимое утверждение»,
«синтетическое априори утверждение» и т.н. становятся
понятными только при предъявлении и анализе таких утверждений как
«5 + 7 = 12». В этом смысле нормативная попытка философии
объяснения природы математических истин приводит к порочному кругу.
Ясно, что окончательное разрешение спора о том, должна ли быть
философия математики нормативной, невозможно, и обычно имеет
смысл рассмотрение более частных вопросов. Так, значительный
интерес представляет вопрос о том, в какой степени философская
посылка о существовании абстрактных объектов оказывается необ-
74

4. РАСШИРЕНИЕ ПОНИМАНИЯ ПЛАТОНИЗМА
ходимой для объяснения природы математической истины. Вопрос
можно поставить так: если исходить из философских категорий,
используемых в платонистской философии математики, то
позволяет ли это внести большую ясность в понимание того, в каком
смысле существуют математические объекты, например, множества?
При обсуждении платонизма обычно это направление в
философии математики противопоставляется интуиционизму,
формализму, в определенной степени логицизму, и т.д. Между тем, в
последнее время набирает силу так называемый натурализм,
направление, которое ориентирует философию на научные стандарты. Так,
в области онтологии натурализм признает существующими только
те объекты, которые требуются в рамках объяснительных структур
науки. Наука требует признания не только физических объектов, но
абстрактных объектов математики, включая множества и числа.
В этом смысле натурализм должен признать в качестве
существующих и абстрактные объекты. Именно здесь заключено основное
противоречие натурализма, потому что в эпистемологическом плане
абстрактные объекты представляют огромную проблему. Принимая во
внимание причинный характер естественнонаучных законов, резонно
предположить, что познание сущностей, которые принимаются как
существующие, должно иметь причинный характер. Но мы не
имеем такого доступа к абстрактным объектам, - это проблема «энис-
темического доступа» к абстрактным объектам - и поэтому налицо
очевидный конфликт между онтологическими и
эпистемологическими посылками натурализма.
Как видно, платонизм и натурализм в онтологическом плане
имеют пересечения: Куайн, как и Патнэм, представители объект-
платонизма, принимают в качестве существующих математические
объекты, потому что считают, что множества играют в математике
ту же роль, что физические объекты в науке, и поскольку
математика незаменима в науке, утверждения о существовании
математических объектов столь же обоснованы, сколь обоснованы утверждения
о существования физических объектов. По этой причине есть смысл
искать пути сближения платонизма и натурализма. Один из путей
состоит в том, чтобы попытаться придать абстрактным объектам
математики причинный характер, а свойства этих объектов объявить
эмпирическими. Результатом было бы то, что Б. Линский и Э. Залта
назвали натурализованным платонизмом16.
16 Linsky В., Zalta Е. Naturalized Platonism versus Pktionized Naturalism //Journal
of Philosophy. - 1995. - V. xcii, n. 1. - P. 525-555.
75

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Такого рода взгляд кажется странным, поскольку сущность
абстрактных объектов и состоит в невозможности установления
причинных связей этих объектов с действительным миром. Тем не
менее, есть реальные попытки установления эмпирического
характера множеств. Как мы уже видели, П. Мэдди полагает, что
абстрактные сущности математики подобны физическим сущностям, и
поэтому возможен перцептуальный доступ к ним. Это в высшей
степени непривычная трактовка понятия абстрактного объекта.
Физическая совокупность не имеет членов, в то время как множество
определяется отношением членства. Именно по этой причине
множество является абстрактным объектом, который, тем не менее,
предполагается локализованным в том же месте пространства, в
котором локализована физическая совокупность17.
Но абстрактные объекты по своей природе отличны от
физических объектов. Поэтапный характер познания физических
объектов объясняется тем, что оно имеет причинный характер, чего нельзя
сказать про абстрактные объекты. Коль скоро нет причинных
ограничений на получаемые в теории объекты, абстрактные объекты
должны получаться более свободным образом, что ведет к
принципам изобилия {principle of plenitude). Один из таких принципов был
высказан в свое время Лейбницем, который утверждал, что все
возможности буду! реализованы по ходу бесконечного времени. Эти
принципы устанавливает некоторые общие условия существования
объекта, не специфицируя ограничения, налагаемые внешним
миром. Один из принципов изобилия утверждает существование всех
объектов, с единственным ограничением, чтобы оно было
логически непротиворечивым. На этом пути можно расширить понимание
математического платонизма, которое позволит примирить, с одной
стороны, sui generis характер математики и, с другой стороны,
приверженность работающих математиков платонизму.
При формулировке платонизма важно выделить те принципы,
которые лежат в ею основе. Среди ряда предположений о
концептуальной с труктуре платонизма особое место занимает предположение о том,
что математический платонизм основан на некоторых принципах
изобилия. Выделение таких принципов имеет большое значение для
прояснения понятия множества. Так, М. Резник полагает, что такой
математический объект как структура происходит от определенных
образцов расположения элементов множества {pattern). Он считает,
принимая неявно некоторый принцип изобилия, что каждый возможный об-
17 Maddy P. Naturalism in Mathematics. - Oxford University Press, 1997.
76

4. РАСШИРЕНИЕ ПОНИМАНИЯ ПЛАТОНИЗМА
разец расположения элементов имеет право на существование. Одной
из интересных попыток использовать принцип изобилия для более
четкого понимания соотношения математики и философии является так
называемый «полнокровный платонизм». Это направление
представлено работами М. Балагера18.
5. Полнокровный платонизм
При расширении понимания платонизма возникает вопрос,
являются ли аргументы Бенацеррафа против платонизма значимыми.
Какой собственно платонизм опровергается аргументом
Бенацеррафа, и опровергается ли при этом на самом деле платонизм, как бы
он ни понимался, в существенной степени зависит от соотношения
метафизики и математической практики в философии математики.
При разговоре о математическом платонизме онтология обычно
бывает весьма избирательной. Скажем, множества допустимы,
потому что теория множеств является основой математики, которая
является незаменимой частью науки. Другие объекты выглядят
подозрительными: например, пропозициональные функции системы
Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда считаются ныне теми, кто
отрицает значимость логики высших порядков для математики,
нежелательными. Кроме того, среди допустимых объектов
желательной считается онтологическая редукция: науке нужны
действительные числа, но онтология не должна быть перегруженной, и поэтому
действительные числа онтологически сводимы к натуральным
числам (через рациональные числа, которым, естественно, отказано
в самостоятельном онтологическом статусе). С другой стороны,
платонизм есть признание существования объектов вне и независимо
от человеческого сознания. Ясно, что такое понимание платонизма
создает гораздо больший простор для онтологии. И действительно,
следует уточнить, какого рода требования должны быть наложены
на абстрактные объекгы при сохранении их объекгивного статуса.
Интересным вопросом является вопрос о том, как определить,
что есть математический объект, и сколько может быть таких
объектов. Философия математической практики по- разному трактует этот
вопрос; например, интуиционисты и близкие к ним школы
полагают, что математические объекты существуют только в том случае,
если они сконструированы или доказаны. Вообще, так называемый
18 Balaguer M. Plaionism andAnti-Platonism in Mathematics. - Oxford University
Press, 1998.
77

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
антиреализм в философии математики настаивает на резком
уменьшении числа объектов, которые могут считаться существующими.
Есть и другая крайность — существуют все возможные в логическом
смысле объекты. С этой точки зрения существовать - значит быть
свободным от противоречия. Существуют все возможные
математические объекты. Таким образом, математическая реальность
представляет собой изобилие сущностей. При изложении этого, как его
называет Балагер, «полнокровного платонизма» часто цитируется
Д. Гильберт, который утверждал: «Если произвольно данные
аксиомы не противоречат друг другу в своих следствиях, тогда они
истинны, и вещи, определяемые аксиомами, существуют. Для меня это
критерий истины и существования.». Не менее характерно
утверждение А. Пуанкаре, что «в математике слово существует означает
свободу от противоречия».
Логически возможные объекты дают слишком большой простор
воображению, и несмотря на афористические утверждения
Пуанкаре и Гильберта, ни один из них не стал «полнокровным платонис-
том», потому что для них все-таки некоторые (даже
непротиворечивые) объекты не существовали. Наиболее уязвимым пунктом в
программе «полнокровного платонизма» является введение в
математический дискурс понятия возможного математического объекта. Это
означает обращение к модальностям, которые сами по себе
представляют значительные трудности для понимания. Но это обычная
история в философии - мы часто пытаемся объяснить неясное еще
более неясным, что, как ни странно, нередко ведет к успеху. Не
случайно, Балагер признает, что полнокровный платонизм может быть
выражен в модальном языке второго порядка. Пусть Мх -
математический объект,х—первопорядковая переменная, Y- второпорядко-
вая переменная. Тогда имеем
(Зх) (Мх) & (У) [ 0 (Зх) (Мх & Кс) -> (Зх) (Мх & Yx)]
Концепция «полнокровного платонизма» несколько необычна как
для математиков, так и для философов. Тем не менее, эта концепция
имеет ряд преимуществ, в частности, она претендует на
разрешение той самой проблемы неединственности перевода
теоретико-числовых утверждений в теоретико-множественные. Балагер
анализирует возражения против полнокровного платонизма, и приходит
к выводу, что несмотря на всю их серьезность, они не являются
окончательным препятствием к тому, чтобы принять его.
Первое возражение идет со стороны формализма. Согласно
полнокровному платонизму, непротиворечивые теории описывают ма-
78

5. ПОЛНОКРОВНЫЙ ПЛАТОНИЗМ
тематическую реальность. Однако часто мы имеем
непротиворечивые теории, противоречащие друг другу. Например, такая ситуация
имеет место в случае теории с аксиомами Цермело - Френкеля плюс
континуум-гипотеза и теми же аксиомами плюс отрицание
континуум-гипотезы. Эта ситуация, кстати, вполне сродни ситуации
с попыткой отождествления чисел с множествами. При этом даже
говорят о канторовской и неканторовской теориях множеств. Более
известный случай - с евклидовой и неевклидовой геометриями.
Ответ на это возражение состоит в том, что каждая
непротиворечивая теория описывает часть реальности, точнее, различные виды
ее. Недопонимание этого факта часто выливается в убеждение, что
обе теории - канторовская и неканторовская - описывают одни и те
же множества, то есть одни и те же сущности. Другими словами,
описываемый обеими несовместимыми теориями универсум
множеств один и тот же. На самом деле, каждая из теорий описывает
свой универсум, свою «часть реальности». Мы можем встретиться
с такой ситуацией, когда эти универсумы пересекаются, или один
универсум является частью другого, что находит свое отражение
в поведении кванторов соответствующей формальной теории.
Больше того, универсумы могут существовать «бок о бок», как это
можно считать в случае таких теорий как Цермело - Френкеля плюс
аксиома о существовании континуума разных мощностей.
А что происходит в случае евклидовой и неевклидовой
геометрий? Ведь предполагается, что две эти геометрии описывают одну
реальность, а именно, реальное пространство. Однако в этом
случае мы имеем дело с применениями математики к физическому миру,
что выходит за пределы чистой математики. Кроме того, универсум
теории множеств выходит за пределы универсума физических
вещей. Безусловно, сама по себе параллель между ситуацией в теории
множеств и ситуацией в геометрии ставит много вопросов, но на
этом этапе можно было бы ограничиться концепцией Г. Райхенбаха
о соотношении математики и реального мира. Весьма ясно она
изложена у Карнапа19. Согласно этой концепции схемы чистой
математики существуют сами по себе, и для того, чтобы математические
понятия могли быть применимы к внешнему миру, требуется ввести
«правила соответствия». Так, «точке» в евклидовой геометрии
будет соответствовать достаточно удаленный материальный объект,
а линии - луч света, и т.д. При установлении такого соответствия
математическая теория как дедуктивная система будет интерпрети-
19 Карнап Р. Философские основания физики. - М., 1964.
79

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
рована как физическая теория. Именно в этом смысле евклидову
геометрию можно считать теорией реального пространства.
Отнюдь не все разделяют такую точку зрения на соотношение
чистой математики и физики. Так, Р. Пенроуз говорит20:
Почему я считаю евклидову геометрию физической
теорией, а не ветвью математики? По иронии судьбы, одна из
наиболее ясных причин для подобного шага состоит в
нашем сегодняшнем знании того, что евклидова геометрия не
является исключительно точным описанием физического
пространства, которое мы на самом деле населяем (с. 197).
.. .Тот факт, что евклидова геометрия (до сих пор) так точно
отражала структуру «пространства» нашего мира, ввело нас
в заблуждение (или наших предков!), что эта геометрия есть
логическая необходимость, или что мы априорно
постигаем необходимость применения евклидовой геометрии
к миру, в котором мы обитаем (с. 204).
Второе возражение касается классической эпистемологической
полемики относительно того, что непротиворечивость еще не
означает истинности. При обсуждении когерентной концепции истины как
системы самосогласованных утверждений в качестве одного из ее
главных недостатков отмечается то обстоятельство, что можно
представить себе непротиворечивую систему утверждений, каждое из
которых ложно. В случае математических теорий ситуация
усложняется в том отношении, что истинность интерпретированной
теории есть истинность в стандартной модели. Можно ли считать
истинными нестандартные, или ненамеренные, модели, вопрос
сложный. Но в математической практике разговору об «истине» в связи
со стандартными моделями не придается никакого
метафизического оттенка, и значит, непротиворечивость имеет определенный
приоритет над понятием истинности.
В определенном отношении такое отношение к истине
перекликается с прагматизмом Р. Рорти, который полагает, что истинность
является производной от нашего отношения к теории, когда теория
понимается как инструмент совладания с действительностью21. При
построении непротиворечивой теории мы имеем дело со струкгурой, и если
эта структура обладает моделью, она истинна, но в специфическом смыс-
2" Penrose R. New Emperor s Mind. - Oxford University Press, 1989.
21 Рорти Р. Философия и зеркало природы. - Новосибирск: Изд-во
Новосибирск, тс. ун-та, 1997.
80

5. ПОЛНОКРОВНЫЙ ПЛАТОНИЗМ
ле, скажем в смысле теории истины Тарского. Но истинность, как ее
понимают философы, приходит к теории не сразу, и в существенной
степени зависит от контекста, в который покружена теория. С точки
зрения «полнокровного платонизма» математическое предложение
истинно как таковое, или правильно, если и только если, оно истинно во
всех стандартных моделях данной ветви математики, и неправильно,
если оно ложно во всех стандартных моделях. Но понятие
стандартной модели в значительной степени определяется нашей интуицией
того, что истинно, а успешность теории в значительной степени
определяет конечный вердикт в отношении того, насколько истинной
является теория. Так что истинность сама по себе как абстрактная
категория теории познания не является препятствием для принятия
полнокровного платонизма.
В некотором смысле все-таки полнокровный платонизм
противоречит математической практике. Если отвлечься от крайнего
формализма, тогда вопрос о том, какая из двух теорий - Цермело -
Френкеля с континуум-гипотезой или же Цермело - Френкеля с
отрицанием континуум-гипотезы - является истинной, является вполне
осмысленным вопросом. Признание же истинным и той и другой
теории противоречит математической интуиции. Кроме того, тут
ставится под сомнение объективность математики, которая
является краеугольным камнем платонизма.
Действительно, традиционный платонизм в математике тут
находится под угрозой, и как ни странно, спасает его именно
полнокровный платонизм. Наша интуиция множества схвачена в
различных формальных системах, и вполне возможно, что постановка
вопросов, скажем, о континуум-гипотезе требует существенно нового
понятия множества, точнее, новых теоретико-множественных
аксиом, которые позволили бы устранить кажущуюся парадоксальность
существования некатегоричных интерпретаций понятия множества.
Об этом говорил К. Гедель при обсуждении континуум-гипотезы22.
При такой постановке вопроса континуум-гипотеза является
истинной в одних моделях, и ложной - в других.
Полнокровный платонизм больше согласуется но своему духу
с математической практикой, потому что он не запрещает
рассматривать такие ситуации, которые запрещены с точки зрения
традиционного платонизма. В частности, речь идет о неразрешимых
утверждениях, которые вполне допустимы в полнокровном платонизме
и недопустимы в традиционном платонизме.
22 Godel К. What is Cantor's Continuum Problem? II Benacerraf P., Putnam H.
Philosophy of Mathematics. - Cambridge University Press, 1983.
81

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
6. Принцип свертывания
для абстрактных объектов
Условие непротиворечивости является слишком широким,
чтобы дать адекватное понимание природы существования
абстрактных объектов математики. Кроме того, это условие не является
конструктивным, поскольку само предположение о существовании не
дает понимания того, каким собственно образом эти объекты
вводятся в математический дискурс. В этом отношении более
интересны способы порождения абстрактных объектов математики через
так называемые принципы абстракции. Наиболее известным
принципом абстракции является знаменитая аксиома V Оснований
арифметики Г. Фреге, которая ведет к парадоксу Рассела.
На некотором этапе формирования концепции числа Фреге
предложил определение, согласно которому числа есть объемы
концепций23. Если числа есть объемы концепций, тогда не может быть
сомнений, какими именно объектами являются числа. Определение
Фреге идентифицирует число, принадлежащее концепции F, с
объемом концепции, которая находится в 1-1 отношении с объемом F.
Согласно этой точке зрения, числа есть частный вид более
фундаментального вида объектов (которыми являются объемы концепций).
Поэтому Фреге вывел общие законы числовых объектов из
принципа, специфицирующего условия тождественности этих
фундаментальных сущностей. Это и есть аксиома V:
(V) (AF) (AG) [(Ext: Fx = Ext: Gx) <-> (Fl - 1G)]
Здесь Ext: Fx означает объем концепции F.
Замысел Фреге состоял в демонстрации того, что истины
арифметики следуют из (V) в соединении с логикой второго порядка. Но
(V) оказалась противоречивой; больше того, эта аксиома налагает
невозможные требования на размер области объектов.
Действительно, согласно (V), существует функция от концепций к объектам,
которая приписывает одни и те же объекты (объемы) одним и тем же
концепциям, если и только если, эти концепции равнообъемны. Если
читать аксиомы справа налево, аксиома также утверждает, что
имеется функция, которая приписывает неравнообъемным концепциям
различные объекты. И так как (согласно теоретико-модельной
идентификации концепций с подмножествами) существует столько не-
Там же. 68-9.
82

6. ПРИНЦИП СВЕРТЫВАНИЯ
равнообъемных концепций, сколько подмножеств области, (V)
влечет, что в области имеется столько объектов, сколько есть в ней
подмножеств. Но такое заключение нарушает теорему Кантора.
Поэтому функция, гарантируемая аксиомой (V), существовать не может.
Именно осознание этих недостатков, особенно противоречивости
(V), не оставило у Фреге сомнений в том, что логицизм как
философская программа потерпел неудачу, и арифметика не обладает
эпистемологическим статусом логики.
Хотя неограниченный принцип свертывания в версии Фреге
ведет к парадоксам, его исследование показало, что наиболее
плодотворный путь введения абстрактных объектов все-таки лежит
в русле подобных принципов. Больше того, на этом пути можно
близко подойти к экспликации ряда метафизических положений
относительно абстрактных объектов. Интересные соображения по этому
поводу приводятся в работе Линского и Залта24.
Лински и Залта предлагают теорию абстрактных объектов,
вводя предикат <сс есть абстрактный объект» (обозначенный через «А!х»)
и примитивное понятие «кодирования». Кодирование представляет
собой разновидность предикации. Ранее нами использовалась
распространенная версия предикации, так называемое «проявление»
{exemplification): утверждение «х есть F», или Fx, означает, что
индивид х проявляет свойство F. Понятие кодирования (х кодирует F)
обозначается через «xF» и удовлетворяет трем следующим
принципам:
(1) Для каждого условия на свойства имеется абстрактный
индивид, который кодирует точно те свойства, которые
удовлетворяют условию:
(Ex)(A!x&(F)(xF=$))
(2) Если х возможно кодирует свойство F, тогда х кодирует это
свойство необходимо:
OjcF->CjcF
(3) Если хну являются абстрактными индивидами, тогда они
тождественны, если и только если, они кодируют одни и те
же свойства.
(А.'х&А.'у) -*(x=y = (F) (xF=yF))
24 Linsky В., Zalta E. Naturalized Platonism versus Platomzed Naturalism II Journal
of Philosophy. - 1995. - V. xcii, n. 10.
83

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Все три условия достаточно просты, но из них следуют
нетривиальные утверждения. Так, из (1) и (3) следует, что для каждого условия
на свойства имеется точно один абстрактный объект, который
кодирует точно те свойства, которые удовлетворяют условию.
Фактически это означает, что условие однозначно определяет путем
кодирования абстрактный объект. Для чего нужна подобного рода
однозначность? Дело в том, что принцип абстракции (1) утверждает
существование самых разнообразных абстрактных объектов.
Некоторые из них кодируют свойство полным образом, а некоторые -
неполным. Полнота здесь понимается в логическом смысле, как
проявление объектом, для каждого свойства F, самого свойства F или
его отрицания. Согласно одному принципу свертывания,
существует абстрактный объект, кодирующий точно те свойства, которые
проявляются какой-то сущностью. Объект этот является полным,
если эта сущность проявляет свойство или его отрицание. Другой
принцип свертывания утверждает существование абстрактного
объекта, который кодирует точно два свойства, например, свойства
«быть красным» и «быть квадратным». Этот объект неполон,
потому что для каждого другого свойства F, этот абстрактный объект не
кодирует ни F, ни его отрицания. Таким образом, абстрактные
объекты могут быть неполными в отношении кодирования своих свойств,
но они полны в отношении тех свойств, которые ими проявляются.
Для чего нужно подобного рода тонкое различение
кодирования и проявления свойства? Как известно, главной проблемой
неограниченных схем свертывания является появление противоречий.
Здесь они избегаются довольно остроумным способом.
Кодирование xF не влечет проявления Fx. Это весьма важное утверждение,
имеющее значительные метафизические следствия. Для описания
абстрактного объекта нужно указать группу свойств. Специфика
абстрактных объектов состоит в том, что свойства должны
идентифицировать эти объекты полным образом. Абстрактные объекты
кодируют в точности те свойства, которые используются для
спецификации абстрактного объекта.
Как было сказано ранее, множество есть ментальная сущность,
и значит, любое свойство может задать множество. Формально это
гарантируется принципом абстракции. Кодирование вводится для
гарантии, что независимо от природы свойства всегда найдется
нечто, а именно, абстрактный объект, который кодирует в точности то
свойство, которое формирует множество. Таким образом, налицо
изобилие абстрактных объектов, поскольку мыслительные акты
ничем не ограничены. Более того, понятие кодирования позволяет
84

6. ПРИНЦИП СВЕРТЫВАНИЯ
различить абстрактные объекты и эмпирические объекты, потому
что эмпирические объекты, имеющие пространственно-временную
локализацию, не могут кодировать свойства.
Для понимания этого важного для метафизики вывода следует
ввести ряд формальных результатов. Стратегия состоит в следующем.
Сначала мы должны определить понятие кодирования для теории с
абстрактными объектами, а затем описать абстрактные объекты. До сих пор
мы говорили о кодировании абстрактными объектами свойств, или
предикатов. Предикаты содержат переменные, и обычно делается
обобщение понятия предиката, в котором утвердительное суждение считается
0-местным предикатом. Тогда можно говорить, что абстрактный объект
кодирует суждение р благодаря сложному свойству «быть таким, что
р». Введение в оборот суждений нужно нам для обращения к более
широкому понятию теории, потому что абстрактные объекты
представляю! собой часть теории. Используя нотацию Х-исчисления,
обозначим свойство суждения «быть таким, чтор» через [Кур\. Цель введения
этого понятия состоит в идентификации математической теории Т
с абстрактным объектом, которая бы кодировала точно те суждения,
которые истинны в Т. Для этого надо определить понятие истины:
р истинно в теории Т, если и только если, Т кодирует свойство «быть
таким, что/?». То есть,
T^p = DfT[Xyp].
Это определение используется для анализа таких выражений как
«В теории Т, а есть F». Такое суждение на самом деле означает
следующее: суждение, которое проявляет/% истинно в теории Т, то есть,
Т => Fa. Наконец, следует потребовать, чтобы математические
теории были замкнуты относительно отношения следования. Если
Еслир —> q, тогда из 7"=>р выводится Г=> </.
Математический объект к теории Т, обозначаемый через «kjt, есть
такой абстрактный объект, который кодирует точно те свойства F, для
которых в теории Г объект #,. проявляете В формальном языке
к.г = (fy) (A!y&(F)(yF=T^F *,))
Согласно этому определению, число 1 пеановской арифметики
есть абстрактный объекг, кодирующий точно те свойства, которые
он проявляет в этой теории. Пустое множество 0 теории множеств
Цермело - Френкеля есть абстрактный объект, кодирующий точно
те свойства, которые он проявляет в этой теории. Это означает, что
заданием свойств объекта гарантируется его тождественность. Не-
85

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
посредственным следствием изложенного описания абстрактного
объекта является эквивалентность утверждений, что кг проявляет F
в теории Т, и k.f кодирует F.
Напомним, что кодирование является одним из видов
предикации, и значит, одним из прочтений связки «есть» в предикации «а
есть F». Кодирование является более естественной регламентацией
выражений обыденного языка, на котором изложена математика.
Действительно, говорят «2 есть простое число», что соответствует
форме xF, а не Fx. Это соответствие имеет глубокие
метафизические следствия. В частности, поскольку одним из условий в
определении кодирования было 0 х F -> L x F, это объясняет, почему
математические истины имеют необходимый характер. Далее,
поскольку для значительного числа теорий непротиворечивость не
доказана, и более того, они не полны, кодирование является гораздо более
адекватной формной предикации свойств абстрактным объектам, чем
проявление этим объектом свойств. Это значит, что математика
описывает свойства, кодированные абстрактными объектами, Как уже
было указано, при этом математические объекты проявляют
свойства, характеризующие их абстрактную природу, но этот факт, как
отмечают Лински и Залта, является сверхматематическим25.
Подобный анализ приводит к интересному результату
относительно самой постановки вопроса о неединственности сведения
чисел к множествам. Математика представляет собой совокупность
различного рода теорий. Редукционистская программа сведения
всего многообразия математических объектов к множествам
противоречит определению абстрактного объекта через кодирование. Поскольку
объект каждой теории кодируется свойствами конкретной теории, он
является тем, чем является, а не какой-либо другой вещью.
Ранее мы отмечали, что очень часто объекты одной теории
могут рассматриваться как объекты другой теории; например, число 1
есть натуральное число, и тот же самый объект может считаться
рациональным или действительным числом 1, 000... Однако с
точки зрения кодирования абстрактными объектами свойств число 1 из
натурального ряда и действительное число 1 являются разными
объектами, потому что первое в теории Пеано кодирует свойство,
что между числами 1 и 2 нет никакого другого числа, в то время как
действительное число 1 не кодирует такого свойства.
Кодирование также позволяет по-новому взглянуть на
интересную проблему единого универсума математических объектов, ска-
25Цит. выше.-С. 541.
86

6. ПРИНЦИП СВЕРТЫВАНИЯ
жем, множеств. В случае нестандартных моделей всегда возникает
наивный вопрос, что это за абстрактные объекты, которые не
принадлежат намеренной модели. Часто вопрос этот носит почти
мистический характер, и это обстоятельство обыгрывается подходящим
ярлыком для таких объектов, которые существуют помимо
натуральных чисел - иногда их называют «сверхъестественными» числами.
Далее, случай канторовской и неканторовской теории множеств,
которые ассоциированы с принятием и отрицанием континуум-
гипотезы соответственно, также приводит к вопросу о том, как
может один и тот же универсум математических объектов, скажем,
множеств, описываться несовместимыми аксиоматическими
системами. Единственный метафизический ответ на это состоит в том, что
описывается не единый универсум математических объектов, а
только часть его. Другими словами, канторовская теория множеств
описывает одну часть реальности, в то время как неканторовская
теория - другую часть. Но это подводит к выводу о том, что две теории
описывают разные универсумы, то есть, в этих двух случаях
описываются разные объекты. Этот метафизический вывод
поддерживается теорией кодирования, которая вовсе не требует единого для всех
математических теорий универсума.
7. Метод абстракции для получения
абстрактных объектов
При обсуждении природы абстрактных объектов на первый план
выходят проблемы соотношения синтаксических и семантических
способов их трактовки. Платонизм как философская доктрина о
существовании абстрактных объектов касается общей концепции
соотношения языка и реальности. Аргументация от языка к миру
всегда была, по выражению Б. Рассела, основой метафизики, и язык
в этом случае в значительной степени очищен до своей логической
основы. Понимание того, как употребляются термины языка,
которые соответствуют абстрактным объектам, является одной из задач
как сторонников платонизма, так и его противников. Таким
образом, в общем плане при обсуждении платонизма мы сталкиваемся
со следующими тремя проблемами:
1. выработка общей концепции соотношения языка и реальности;
2. конструирование конкретного метода введения новых
выражений в язык;
3. рассмотрение сферы и границ логики.
87

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Существует много концепций о соотношении структуры
реальности и структуры языка. Если не принимать во внимание «наивную»
точку зрения раннего Виттгенштейна (периода «Трактата») об
изоморфизме языка миру, наиболее распространенная в аналитической
философии концепция утверждает, что природа реальности
фиксируется в нашей речи. Так называемая лингвистическая школа в
философии утверждает приоритет языка, апеллируя к авторитету
Г. Фреге. Как замечает МакБрайд26, «лингвистический поворот» был
инспирирован именно Фреге, когда он эпистемологическое
исследование чисел превратил в исследование смысла цифр.
Как же нам могут быть даны числа, если мы не можем
воспринимать их интуитивно или образовывать идеи о них?
Поскольку слова имеют значение только в контексте
суждения, наша проблема принимает такой вид: определить смысл
суждения, в которое входят числовые слова27.
В нынешнем виде этот приоритет языка называется
«синтаксическим приоритетом» в установлении соотношения языка и
реальности. МакБрайд полагает, что при этом речь идет о трех компонентах
этого приоритета:
(SP1) Синтаксическая определенность: если выражение
проявляет синтаксические признаки сингулярного термина, тогда
этот факт решающим образом детерминирует, что выражение
имеет семантическую функцию сингулярного термина.
(SP2) Референциальный механизм: простой факт, что
указывающее выражение фигурирует в истинном атомарном
предложении, определяет, что имеется вещь в мире,
отвечающая этому выражению.
(SP3) Лингвистический приоритет: лингвистические
категории предшествуют онтологическим категориям. Вещь
принадлежит категории объектов, если возможно, что
сингулярный термин указывает на него.
В данном случае мы имеем дело с обращением к лингвистической
практике. В частности, (SP2) есть фиксация этой практики, а все
три условия представляют некоторую гарантию, что синтаксичес-
26 MacBride F. Speaking with Shadows: A Study ofNeo-Logicism II British Journal
for the Philosophy of Science. - 2003. - V. 54. - P. 103-163.
27 Frege G. The Foundations of Arithmetic. - Oxford: Blackwell, 1953. - Sec. 62.
88

7. МЕТОД АБСТРАКЦИИ
кая форма не может ввести нас в заблуждение. Это весьма спорный
с теоретической точки зрения тезис, поскольку определение
истинности утверждения может зависеть от неизвестных эмпирических
данных. Кроме того, сингулярные термины могут быть пустыми,
и в этом случае требуется теория, которая бы объясняла эту
аномалию28 . Тем не менее, считается, что в большинстве случаев
синтаксическая форма утверждений не вводит нас в заблуждение.
В применении к числовым терминам эта методологическая
позиция приводит к двум задачам. Во-первых, должны быть
установлены числовые термины, обладающие синтаксическими
признаками сингулярного термина. Во-вторых, должно быть установлено, что
эти термины фигурируют в истинных предложениях. Тогда не будет
сомнения в том, что числовые объекты соответствуют этим
выражениям. Следует еще раз подчеркнуть, что неологицисты в своей
методике объяснения существования абстрактных объектов исходят из
обыденной арифметической практики. Ими, как они утверждают
сами, предлагается лишь логическая реконструкция этой практики.
В значительной степени эти идеи созвучны тезису позднего
Виттгенштейна о том, что значение лингвистического термина не
может превзойти его употребления. Противоположной точкой
зрения является платонизм, с точки зрения которого значение
превосходит употребление. Слабым местом платонизма является то
обстоятельство, что это значение должно быть нам как-то известно.
Атаку на это понятие предприняли В. Куайн, X. Патнэм и С. Крипке,
каждый со своей точки зрения. Всем их аргументам свойственно
общее, поскольку значение утверждения неразрывно связано с
понятием истины. Истинность утверждений зависит от значений
входящих в него слов. Известная реконструкция аргумента
Виттгенштейна о «личном языке», осуществленная С. Крипке, сводится к тому,
что предыдущее употребление выражения не может рационально
ограничить его интерпретации до единственной. Стало быть,
определенность значения выражения следует искать в другом месте29.
Если Виттгенштейн прав, то значение не содержит чего-то
большего по сравнению с тем, что можно получить в результате
размышления по поводу употребления выражения. Если же значение
содержит это большее, то значение должно быть доступно каким-то
прямым образом. Современная эпистемология отрицательно
относится к идее такого доступа к значении, поскольку при этом оно остает-
См. Целищев В.В. Логика существования. - Новосибирск: Неука, 1976.
Kripke S. Wittgenstein on Rules and Private Language. - Blackwell, 1982.
89

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
ся чисто личным и субъективным. Таким образом, руководствуясь
эпистемологическими мотивами, следует избегать платонистского
примата значения над употреблением. К. Райт замечает, что сам Вит-
тгенштейн полагал недостающим параметром в определенности
языка человеческую практику30. Мы приобретаем способность
участия в практике, и в такое приобретение вносит вклад естественная
склонность человека поддерживать определенные структуры
суждения и его реакции на них. В дополнение к этому следует учесть,
что с точки зрения ряда исследователей математические термины
должны пониматься аналогично эмпирическим терминам, и тогда
заключения о структуре математических утверждений будет прямым
следствием анализа языка содержательных математических теорий31.
Последние два тезиса положены в основу процедуры введения
в математический дискурс новых абстрактных объектов, которая
предложена неологицистами. Логическая реконструкция обыденной
математической практики, о которой говорилось выше, состоит, во-
первых, в синтаксическом введении сингулярных терминов,
которые фигурируют в истинных утверждениях. При такого рода
введении надо ориентироваться на те образцы, которые имеются в
содержательной математике. Для того, чтобы эти образцы были полезны
для введения новых сингулярных терминов, требуется
дополнительная посылка, формализующая нашу уверенность в законности
переноса образца на новую ситуацию (против чего, кстати говоря, и
протестует Кринке, и с его слов, Виттгенштейн).
(SP4) Значение вытекает из употребления: если предложения
5, и 52 выявляют тот же самый образец употребления, тогда
если 5, истинно, тогда S2 тоже истинно; если выражения nt и п2
выявляют один и тот же образец употребления, тогда если я,
указывает на вещь и, тогда п2 также указывает на пп.
Идея состоит в том, что если в содержательном математическом
утверждении, которое служит образцом, некоторый термин
предположительно указывает на объект, тогда новое утверждение уже с
абстрактными терминами, ориентирующееся на образец, также содер-
30 Wright С. Skolem and Sceptic II Proceedings of Aristotelian Society. - 1985. -
Suppl. Vol. 59. P. 117 119.
31 См., например, Azzouni J. Metaphysical Myths, Mathematical Practice, -x
Cambridge University Press, 1997.
32 Далее м ы следуем i февосходному обзору MacBride F. Speaking with Shadows:
A Stydy of neo-Logicism //British Journal for the Philosophy of Science. - 2003. -
V. 54.-P. 110-115.
90

7. МЕТОД АБСТРАКЦИИ
жит сингулярный термин, предположительно указывающий уже на
абстрактный объект. Коль скоро сингулярный термин играет
ключевую роль в онтологии, надо проанализировать такие контексты,
в которых с синтаксической точки зрения сингулярные термины
легко отличить от других терминов. Таким контекстом является
тождество, по обе стороны которого стоят сингулярные термины. Если
вводятся новые сингулярные термины, которые по предположению
указывают на новые объекты, их поведение в контекстах тождества
должно быть распознаваемо в аналогичном тождестве.
Предположим, что мы уже говорим на языке, содержащим
выражения аг аг а3, ... которые указывают на элементы области, и
специальный реляционный предикат », который выражает
отношение эквивалентности среди элементов области. Тогда в соответствии
с методом абстракции, мы можем расширить выразительные
возможности нашего дискурса введением оператора Е получения
нового термина.
Оператор вводится следующим актом постулирования, который
называется «принципом абстракции»:
(АР) (од (ак) [ (I (eg = X (ак) ) <-> ( аф« ак)]
Вместо того, чтобы говорить точно, что означает оператор Е, (АР)
вводит его неявно, контекстуально в терминах выражения с
устоявшимся употреблением. Новые сингулярные термины (£ (ос ) и £ (ак)
предположительно указывают на новые объекты. Метод абстракции
позволяет нам переходить от знания истин, выраженных в одном
языке (истины о а и а) к истинам, выраженным в другом языке
(истины о Еос, и £а), и тем самым, позволяет нам вызвать на свет
божий те объекты, о которых мы не подозревали, находясь с рамках
прежнего дискурса.
Коль скоро принцип абстракции приводит к столь радикальным
онтологическим результатам, следует разобраться в его механизме.
В механизм действия (РА) входят два три посылки:
(МА1) Синтаксическая новизна: метод абстракции дает
механизм введения новых выражений £at ,Еос с
характерными особенностями сингулярных терминов через
постулирование АР.
(Ма2) Семантическая новизна: там, где исходный язык не
содержит достаточно ресурсов для характеристики
сущностей, требуемых для удовлетворения АР, новые
выражения Еос, 1хх, вводимые методом абстракции, будут, если
91

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
они вообще указывают, выбирать объекты, на которые
знакомые выражения а, а не указывают.
(MF3) Референциальный реализм: если сингулярные
термины, вводимые через абстракцию, указывают, тогда
утверждения, содержащие объекты, на которые они
указывают (Zat ,£a) заслуживают реалистической
интерпретации, которая может быть применена также и
утверждениям, касающимся референтов (a,a) знакомых
выражений33.
Введение новых абстрактных объектов есть результат перехода
от конкретного знания обыденного математического дискурса к
знанию абстрактному. Важно отметить, что преследуемая при этом цель
состоит в переходе от логики к арифметике, что соответствует
целям логицизма. В свете изложенного принципа абстракции следует
вернуться к уже приведенному примеру с получением абстрактного
объекта «направление прямой». Как видно,
D(a) = D (b) <-> а параллельна Ъ
есть уже понятный нам принцип абстракции, который обеспечивает
эпистемологический механизм постижения существования и
природы направлений прямых линий.
Более интересным примером логицистских устремлений
является другая логическая реконструкция, позволяющая понять, каким
образом происходит переход от логики к арифметике. Речь идет о
принципе, который фактически является видоизменением
принципа Юма, который уж упоминался выше. Обозначая через буквы F,
G, ... концепции, и имея в распоряжении реляционный предикат
1-1 соответствия, можно ввести новые термины Nx: Fx и Nx: Gx
через постулирование следующего принципа
(HP) (F) (G) [ (Nx : Fx = Nx . Gx) <-> (Fl-1 G)]
Заметим, что уже в этом принципе используется логика второго
порядка, поскольку кванторы пробегают над предикатными
переменными. Логика второго порядка представляет такое расширение
логики, которое позволяет арифметику сформулировать в логических
терминах. Далее мы рассмотрим те проблемы, которые встают в
онтологическом плане в связи с логикой второго порядка.
33 Цит. выше. - С. 111-112.
92

7. МЕТОД АБСТРАКЦИИ
Как видно, с формальной точки зрения введение новых
объектов является вполне приемлемым, поскольку старые схемы вроде
принципа Юма, появившиеся еще у Фреге, оказываются среди
новых схем. Но вот является ли постулирование подобного рода
принципов абстракции допустимым с точки зрения метафизики, это
интересный вопрос, который заслуживает обсуждения.
Первое возражение имеет дело с логическим статусом
принципа абстракции. Большая часть исследователей полагает, что логика
не имеет внутри себя никаких экзистенциальных утверждений, то
есть, логика не утверждает и не отрицает существования каких-либо
вещей. И уже тем более не может иметь онтологических
допущений постулирование, по поводу которого Б. Рассел язвительно
заметил, что «постулирование имеет перед доказательством все те
преимущества, которые воровство имеет перед честным трудом».
Между тем, Дж. Булос полагает, что принцип Юма представляет собой
экзистенциальное утверждение, поскольку влечет существование
математических сущностей3''. Поэтому если абстрактные объекты,
введенные принципом абстракции, занимают законное место в
онтологии математических теорий, тогда принцип Юма неправомерен.
Тут не утверждается, что принцип (HP) неверен. Скорее,
утверждается, что (HP) не может быть постулирован. Если числа
существуют, тогда (HP) является их характеристикой, но не наоборот. Таким
образом, (HP) не может быть принципом абстракции в том статусе,
какой был задуман для него неологицистами.
Поскольку вопрос о существовании является типично
метафизическим вопросом, и стало быть, возражение против
постулирования принципов абстракции является метафизическим, ответ на
возражение также носит метафизический характер. Больше того, в
нижеследующем примере метафизика играет неожиданно яркую роль
в логических рассмотрениях. Речь идет о концепции так
называемого «антинуля». Принцип (HP) приписывает определенное число
некоторой концепции. Для нуля должна найтись такая концепция, под
которую невозможно было найти никакой вещи. Подходящим
кандидатом на эту роль является концепция несамотождественности,
поскольку существенным свойством любой вещи является ее
самотождественность. Это свойство вошло в метафизику под названием
первого закона формальной логики (в старом смысле этого
термина). Если некоторая концепция имеет число, тогда определенное
34 Boolos G. Is (HP) Analytic? II Language, Thought and Logic / R. Heck. - Oxford
VniversityPress. -P.243-61.
93

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
число должно иметь дополнение этой концепции, которое также
представляет собой концепцию, а именно, концепцию
самотождественности, или просто, тождественности. Естественно
было бы назвать число этой концепции «антинулем». Далее,
поскольку все вещи являются самотождественными, «антинуль»
является числом всех существующих вещей. Среди этих всех
«вещей», очевидно, находятся и множества. Тогда «антинуль»
будет числом всех множеств, что противоречит аксиоматической
теории множеств Цермело - Френкеля. Таким образом, если
(HP) истинно, тогда ложна система Цермело - Френкеля. Но
если выбирать между этими двумя системами, теории множеств
будет явно предпочтительной. Следовательно, (HP) должно
считаться ложным.
Неоло! ицисты могут возразить на это, в свою очередь, что
этот аргумент Булоса не очень убедителен, поскольку теория
множеств Цермело - Френкеля рассматривает множества, которые
являются числами, но не имеет дело с объектами, которые не
являются множествами, то есть, не рассматривает чисел, которые
не являются множествами. В этом отношении принцип (HP)
рассматривает гораздо более широкий круг сущностей, поскольку,
он приписывает числа прямо концепциям в качестве значений
функций, обозначаемых как Nx: Fx, независимо от того, имеют
ли свойства множества в качестве объема, и имеют ли они объем
вообще. Поэтому (HP) онтологически допускает числа,
принадлежащие концепциям, чей объем не имеет числа в теории
множеств Цермело - Френкеля. Надо заметить, что полемика вокруг
концепции «антинуля» этим не завершается, поскольку в ней есть
много тонкостей, связанных с неологицистской программой,
которых мы не можем здесь касаться.
8. Природа абстракции
Принципы абстракции, которые позволяют вводить в
математический дискурс объекгы, являются до сих пор малоизученным
вопросом. Наиболее интересный с точки зрения математической
практики вид принципов абстракции, так называемая концептуальная
абстракция, был введен Фреге. Прежде всего, имеются в виду уже
обсуждавшиеся принцип Юма и аксиома V его Оснований
арифметики. Первый принцип абстрагирует числа, а второй ассоциирует
с объемы с концепциями. Фреге хотел вывести всю арифметику из
V с помощью менее проблематичных логических принципов, но весь
94

8. ПРИРОДА АБСТРАКЦИИ
замысел был порушен парадоксом Рассела. Так не стоит ли искать
другие приемлемые принципы введения концепций? Между тем,
многие исследователи, особенно неологицисты, полагают, что
разочарование Фреге было преждевременным. Дж. Булос показал, что
добавление (HP) к логике второго порядка совместимо с
арифметикой второго порядка, и в свете этого результата кажется, что если
даже конкретные пути построения оснований математики,
предпринятые Фреге, не были полностью правильными, общее
направление этих исследований достойно продолжения.
Но как бы то ни было, парадокс Рассела отвлек внимание
исследователей от темы концептуальной абстракции. Сам процесс
абстракции стал трактоваться как установление классов
эквивалентности, или как процесс установления эквивалентности множеств.
Таким образом, теория абстракции стала частью теории множеств.
Такой ход исследований определенно является отступлением от той
программы, которую намеревался осуществить Фреге, поскольку
множества не есть концепции. Кроме того, итеративная концепция
множества делает множество продуктом совсем иного процесса,
нежели абстракция.
Для того, чтобы понять действенность для оснований
математики принципов абстракции Фреге, следует понять, как действует
принцип абстракции. Мы начинаем с некоторой области вещей,
и ассоциируем с ними определенные объекты. Пусть в качестве
области выступают концепции. Если между предметами, которые
подпадают под концепции, существует 1-1 соответствие, согласно
принципу абстракции мы получаем концепцию числа.
Существуют различные виды абстракции. В приведенном выше
примере абстракция начинается с области вещей, которыми
являются концепции. Такая абстракция называется концептуальной,
и ее действие заключается в проецировании некоторой обширной
области концепций в меньшую область объектов, и сами эти
объекты могут подпадать под очередные концепции в процессе
абстракции. Это также помогает объяснить, как новые концепции и
предикаты могут быть введены на основании существующих. Это также
поясняет, насколько абстрактны определенные абстрактные
объекты. Мы используем абстракции, полученные в первом Kpyi-e как
конкретные для второго круга, и получаем абстракции второго уровня.
Таким образом, мы имеем иерархию абстракций. Подтверждением
такой процедуры является уже упомянутое нами введение Ч. Пар-
сонсом понятия квазиконкретных объектов как промежуточных на
пути к более полной абстрактности. Подобный рефлективный про-
95

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
цесс свойственен всей математической практике, и применимость
математики к эмпирическому материалу может объясняться как раз тем,
что мы начинаем с низших уровней для получения все больших
степеней абстракции. Но эта же особенность концептуальной абстракции,
когда результат абстракции становится предметом следующей
абстракции, является, согласно К. Файну, источником опасности35.
Опасность заключается в неясности соотношения уровней
абстракции. Действительно, пусть мы в процессе абстракции
выбираем объем некоторой концепции. В ходе этого процесса мы
приходим к понятию числа как нечто такого, что характеризует объем
концепции. Но поскольку полученные в ходе абстракции концепции
сами могут стать исходным пунктом новой абстракции, мы можем
потерять контроль над порождаемыми сущностями.
В этой связи К. Файн считает, что в отношении принципов
абстракции, которые выдвинул Г. Фреге, возникают три важнейших
вопроса36. Во-первых, истинны ли эти принципы? То есть, не приведут
ли эти принципы к некоторым положениям, которые будут
противоречить математической практике. В конце концов, один из
принципов, а именно, аксиома V Оснований арифметики, действительно
ведет к противоречию, и вполне может оказаться так, что какое-то
противоречие может возникнуть на других этапах абстракции. Во-
вторых, если принципы абстракции истинны, какого рода эта
истина и как принципы соотносятся с объектами, с которыми они имеют
дело? То есть, являются ли эти принципы аналитическими, или же
логическими истинами? Далее, какой статус имеют порожденные
ими объекты, например, как они соотносятся с множествами,
понимаемыми в соответствии с итеративной концепцией множества?
В-третьих, могут ли принципы играть роль оснований математики?
На последний вопрос можно ответить, оценив достаточно полно
программу и достижения неологицизма, который возродил подход
Г. Фреге к основаниям математики.
До сих пор употреблявшийся термин «принципы абстракции»
могли создать впечатление, что речь идет об общих принципах
когнитивного процесса абстракции, тогда как «принципы абстракции
Фреге» представляю! собой особые концептуальные образования.
Для более полного понимания их статуса следует сопоставить эти
принципы с альтернативными концепциями абстракции. Эмпирис-
35 Fine К. The Limits of Abstraction // The Philosophy of Mathematics Today / Ed.
Schirn M. - Clarendon Press, Oxford, 1998. - P. 503-629.
36 Op.cit. - P. 506.
96

8. ПРИРОДА АБСТРАКЦИИ
ты считают абстракцией психологический процесс фокусирования
внимания на некоторых характеристиках объекта и игнорировании
других. Более тонкое понимание абстракции можно найти в методе
эйдетической абстракции Э. Гуссерля. Но абстракция Фреге не
является ни эмпирической, ни феноменологической. Далее, в логике
и теории множеств часто используется понятие класс-абстракции
(рассмотренное нами ранее). Класс абстракция есть определение
множества через свойство. С первого взгляда между класс-абстракцией и
принципом абстракции Фреге (аксиомы V) есть близкое сходство. Однако
при более тщательном рассмотрении это два разных принципа. Класс-
абстракция есть синтаксический механизм, ведущий от одного
выражения к эквивалентному ему, в то время как принцип абстракции есть
механизм перехода от одного значения к другому.
Это различие между синтаксическими и семантическими
механизмами абстракции является весьма важным, поскольку сдвиг
в значении, который осуществляется фрегевскими принципами
абстракции, имеет прямое отношение к вопросу о том, как в
математике приобретается новое знание. Концептуальное содержание
вещей, которые являются предметом абстракции, каким-то образом
переносится на абстрактную концепцию. Это может делаться
несколькими способами. П. Симоне вводит так называемую
приспособительную абстракцию37. Самым простым примером переноса
является перенос свойств. Эта операция имеет смысл в ассоциации
с понятием инвариантности предикатов в связи с отношением R.
Одноместный предикат Р инвариантен относительно преобразования,
характеризуемого отношением R, если и только если,
V* Vу (х R у з (Рх = Ру)).
Пусть а - конкретная вещь, а *а - абстракция при отношении
эквивалентности R, Р есть предикат, инвариантный относительно R.
Пусть далее истинно утверждение Р(а). Тогда предикат, истинный
для *а, не совпадает с предикатом Р, а является предикатом *Р,
близко соотносимым с предикатом Р. Смысл нового предиката
получается из Р компенсаторным приспособлением из-за изменения
смысла между а и *а, за счет перехода от aRa к *а = *а. Это тот самый
компонент смысла, который *а получает сверх значения а, и тот
самый, который должен быть вычтен из Р для получения *Р. Это и
есть приспособительная абстракция.
37 Simons P. Structure and Abstraction // The Philosophy of Mathematics Today /
Ed. Schirn M. - Claiendon Press, Oxford, 1998. - P. 485-501.
97

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Механизм приспособительной абстракции, как уже было
сказано, проливает свет на то, каким образом абстракции могут иметь
большее концептуальное содержание по сравнению с областью
абстракции. Возможно, этот процесс может быть описан как
увеличение идеологии при уменьшении онтологии38.
Как замечает П. Симоне, несмотря на все преимущества
понятия приспособительной абстракции, нет никакой гарантии, что
объекты, созданные ею, существуют. Рассмотрим этот вопрос более
детально, свободной от экзистенциальных предположений логике
утверждение о существовании объекта а имеет вид
E!a = Df(3x)(x=-a).
Тогда кажется очень легко определить существование абстракции.
Рассмотрим старый пример с выделением абстракции направления
из области параллельных прямых. Пусть имеется прямая /.
Абстракцией от нее, как мы видели, будет направление Dir. Поскольку /
параллельна /, Dir (/) = Dir (/). Из этого выражения через
экзистенциальное обобщение получаем (Зх) (х = Dir (/)). Но правило
экзистенциального обобщения имеет место только в том случае, если
индивид а существует. Но именно это мы и пытаемся доказать. Ясно,
что дело заключается тут в референтативной интерпретации
квантора. В свободной логике а - а истинно, даже если (Зх ) (х = а)
ложно. Если же мы будем использовать подстановочную
интерпретацию квантора (£ х), тогда от а = а можно перейти к (Е х ) (х = а). Но
в этом случае мы имеем онтологически нейтральное утверждение,
ничего не говорящее о существовании. Очевидно, для утверждения
существования абарактных объектов надо ввести опять-таки
приспособительную абстракцию тождества, а именно, нерефлексивный предикат
тождества «. В этом случае будем иметь Е!а = (X х ) (х = а). Но ясно,
что фактически такой предикат уже использовался в получении аб-
стракгных объектов, и поэтому мы приходим к порочному кругу.
Такое положение дел сводит на нет все преимущества
приспособительной абстракции с точки зрения получения в математике
нового знания. Возникает вопрос, есть ли тогда у ней какие-то
другие преимущества, которые бы оправдывали ее введение.
Поскольку слабым местом ее является отсутствие гарантии существовании
абстрактных получаемых концепций, следует обратить внимание на
возможные преимущества именно в вопросе о существовании.
Симоне полагает, что есть все-таки некоторые положительные момен-
См. раздел 1 главы 5 данной книги.
98

8. ПРИРОДА АБСТРАКЦИИ
ты39. Во-первых, понятие существования не подвержено сдвигу
значений, и поэтому все абстрактные объекты имеют одинаковый
модус бытия. Это совпадает с трактовкой понятия существования Ку-
айном и вносит определенные упрощения в понимание иерархии
абстракций. Далее, возможно, что отсутствие гарантии
существования результатов абстракции гораздо более совместимо с
математической практикой, чем строгое установление факта существования
математических объектов. Л. Виттгенштейн настаивал на том, что
математической практике свойственно огромное число приемов
и способов обращения с объектами математической активности,
и разговор о существовании этих объектов просто неуместен40.
Наконец, если приспособительная абстракция не вносит ничего
нового в понятие существования, то, по крайней мере, она не усложняет
вопрос о том, что такое существование для абстрактных объектов.
Фактически этот вопрос сводится к тому, как понимать абстрактные
объекты при подстановочной интерпретации квантором. Этот
вопрос будет рассмотрен в следующем разделе.
9. Абстрактные объекты
и подстановочная квантификация
Все принципы абстракции являются, прибегая к старомодной
терминологии, онтологическими, и значит, в существенной степени
зависят от стандартной семантики, и стало быть, от референтатив-
ной интерпретации кванторов. Возникает вопрос о том, есть ли
объяснение абстрактных объектов в случае подстановочной
интерпретации кванторов, где понятие онтологии становится излишним.
Среди основных мотивов введения подстановочной
интерпретации кванторов следует назвать номиналистическую позицию
в отношении абстрактных объектов. Согласно критерию Куайна,
онтология абстрактных объектов допускается, если они находятся
среди значений связанных переменных при референтативной
интерпретации. Объекты теории множеств - множества, представляющие
собой классический случай абстрактных объектов, при стандартной
интерпретации являются как раз частью такой онтологии.
Подстановочная интерпретация, избегающая понятия онтологии вообще,
на первый взгляд предлагает отказ от абстрактной онтологии ввиду
39 Simons P. op. cit. - Р. 492.
40 Виттгенштейн Л. Замечания по основаниям математики // Философские
работы. Часть ii, книга I. — М.: Гнозис, 1994.
99

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
отказа от всякой онтологии. Однако то обстоятельство, что
подстановочная интерпретация кванторов не влечет онтологических
допущений, не дает ясного понимания того, как она реализует
номиналистические тенденции. Отказ от онтологии означает отказ и от
объектов вообще, в том числе физических. Поэтому «безонтологизм»
подстановочной интерпретации не есть особая позиция по
отношению именно к абстрактным объектам.
Следует исходить из того факта, что имеются более
радикальные по сравнению с подстановочной семантикой способы отказа от
признания абстрактных объектов. Среди них метод виртуальных
классов занимает особе место. Структура онтологии абстрактных
объектов особенно хорошо усматривается на примере теории
множеств. Квантификация над предикатными буквами, дающая повод для
разговора об абстрактных объектах в свете критерия онтологических
допущений, может рассматриваться как квантификация над
переменными, чьими значениями являются абстрактные сингулярные
термины. Введение же этих терминов связано с введением примитивного
предиката принадлежности к множеству «е» в теории множеств.
Реальные классы представляют собой несводимую часть нашего
разговора на языке теории множеств, и в этом случае предикат «е» не
сводится к чему-либо другому. Виртуальные классы появляются там,
где «е» вводится в качестве удобства в обозначениях. При этом знак
«е» употребляется только в комбинации с абстракцией класса {х: Fx}.
Это обстоятельство отражено в так называемом законе конкретизации
(instantiation), согласно которому выражение у е {х: Fx} сводится
к выражению Fy.
Онтология абстрактных объектов может считаться результатом
использования переменной для общих терминов, или предикатов.
I юдстановочная интерпретация кванторов тут оказывается весьма
оправданной, поскольку именно она является источником представлений
об абстракгной онтологии. Для понимания роли подстановочной
интерпретации ее следует сравнить с референтативной интерпретацией в
отношении сишулярных терминов. Имеется значительный параллелизм
между двумя подходами: подстановочная интерпретация кванторов
имитирует референтативную точно так же, как общий конкретный
термин имитирует абстрактный сингулярный термин. Действительно,
любому абстракгному сингулярному термину соответствует общий
конкретный, поскольку в объем второго входят вещи, образующие класе,
поименованный абстрактным сингулярным термином.
Подстановочная интерпретация связана с использованием
относительных предложений, или, другими словами, идиомы «Вещь
100

9. ПОДСТАНОВОЧНАЯ КВАНТИФИКАЦИЯ
такая, что Fx». Эта идиома имитирует класс-абстракцию {х : Fx}.
Соответственно, закон подстановочной трансформации
«у есть вещь х такая, что Fx» дает «Fy»
имитирует закон
«у е {jc : Fy}» дает «.Fy».
Здесь мы имеем дело с простейшими
теоретико-множественными законами. Естественно, проведение дальнейшего сравнения
двух интерпретаций на подобного рода законах. Два факта
представляют в этой связи интерес. Во-первых, выясняется, что эти законы
(по крайней мере, некоторые из них) представляют собой
комбинацию объектной и подстановочной интерпретаций. Во-вторых, мы
находим место подстановочной интерпретации в иерархии
абстрактной онтологии: между онтологией виртуальных классов и
онтологией, возникающей при объектной квантификации.
Рассмотрим аксиому свертывания
(1) (EZ)(x)((xeZ) = Fx).
Куайн считает, что выражение (1) является комбинацией рефе-
рентативной и подстановочной интерпретаций в следующем
смысле. Начнем с того, что (1) истинно, если и только если, имеется
подстановочный пример выражения (1), для которого выражение под
квантором (EZ) становится истинным. В самом деле, из тавтологии
(*) (Fx = Fx)
путем подстановочной трансформации «Fx» в «дс есть вещь у такая,
что Fy», получаем
(х) (х есть вещь у такая, что Fy = Fy).
Используя обозначение для класс-абстракции, имеем
(2) (x)((xz{y:Fy})^Fx).
Это выражение является подстановочным примером выражения (1).
Таким образом, истинность выражения (2) влечет истинность
выражения (1). Все это означает, что квантификация типа (1)
является подстановочной. Подстановочная квантификация в данном
случае равносильна квантификации над всеми специфицированными
классами, то есть, над классами, определенными всеми открытыми
предложениями вида Fx.
101

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
При спецификации классов открытыми предложениями Fx
предполагается, что переменная jc является связанной. Действительно,
предложение формы «(Ex) Fx» истинно, если и только если, имеется
некоторый замкнутый термин /, для которого «Ft» истинно41. Здесь
есть очевидная трудность, поскольку условия истинности
подстановочной квантификации сами предполагают квантификацию над
выражениями. Замкнутость термина t достигается как раз такого рода
«предварительной квантификацией»42. Это означает, что выражение
(1) нельзя понимать только подстановочным образом, если
допускаются незамкнутые термины.
В теории виртуальных классов допускаются абстракции типа
{у: Gwy}co свободной переменной w. В таких случаях мы имеем
«скрытую» переменную, и выражения (1) и (2) при замене Fx на
Gwy принимают вид
(3) (EZ) (х) ((х е Z) = Gwx)
(4) (jc) ((jc е {у: Gwy}) = Gwy)
Но выражение (3) не является ни истинным, ни ложным; оно
выполнимо для определенных значений свободной переменной.
Значение этой переменной выполняет квантификацию (3), если и
только если, оно выполняет некоторый пример, получаемый
подстановкой некоторой класс-абстракции для Z Здесь имеет место
обобщение понятия подстановочной квантификации. Обобшение
состоит в обращении к понятию выполнимости, и таким образом, —
к референтативной квантификации. Фундаментальное понятие ре-
ферентативной квантификации - понятие выполнимости. Для
обобщения же понятия подстановочной квантификации
фундаментальным понятием является выполнимость формулы
последовательностью элементов из области значений объектных переменных jc, у, и
т.д. Если использовать для подстановочных переменных буквы X, Y
и другие буквы, мы получим следующее положение дел.
Последовательность s выполняет <<(EX)FX», если и только если,
для некоторого термина ^(подставляемого для переменныхX, Y,...) со
свободными переменными низшего сорта, некоторое расширение s
выполняет «FT». Таким образом, закон (1) имеет комбинированный
характер. Теперь для истинности экзистенциальной квантификации уже
не требуется истинности подстановочного примера; требуется всего
41 Parsons Ch. A Plea for Substitutional Quantification II Journal of Philosophy. -
1971. - V. 68, n. 8.
*2 Цит. выше, с. 237.
102

9. ПОДСТАНОВОЧНАЯ КВАНТИФИКАЦИЯ
лишь подстановочный пример, содержащий свободные объектные
переменные, пример, выполняемый для некоторых значений из них.
Теперь рассмотрим место подстановочной квантификации с точки
зрения онтологии абстрактных объектов. Как мы уже убедились,
техника виртуальных классов делает квантификацию над ними в
принципе устранимой. Контекстуальное определение предиката «е » означает,
что подлинной квантификации над классами не происходит. Куайн
считает, что теория виртуальных классов имитирует подлинную
квантификацию. А вот объектная квантификация над классами приводит
к полному признанию онтологии абстрактных объектов, чреватой
парадоксами и подозрительной с номиналистической точки зрения.
Уже говорилось, что подстановочная квантификация
равносильна квантификации над всеми специфицированными классами. Эти
классы получаются и методом виртуальных классов, но здесь уже
происходит квантификация над ними. Таким образом,
подстановочная квантификация, хотя и объяснима, но не элиминируема.
Все это позволяет считать, что подстановочная квантификация
занимает промежуточное положение между методами виртуальных
классов и объектной квантификацией над абстрактными
объектами. Данное обстоятельство хорошо иллюстрируется процедурой,
предложенной Ч. Парсонсом для предикативной теории классов43.
Пусть «F» представляет одноместный предикат в языке первого
порядка. Тогда «F/» можно переписать в терминах виртуальных
классов как / е {х: Fx}. Если далее мы заменяем класс-абстракции кван-
тифицируемыми переменными, то получаем подстановочную
интерпретацию соответствующих формул. Преимущество
подстановочной квантификации в этом случае, говорит Парсонс, состоит в том,
что класс не является «реальным», независимым от имеющегося для
него выражения. Подобное положение дел открывает интересные
перспективы в построении теории множеств, которая носила бы
номиналистический характер в противовес объектной, или референ-
тативной интерпретации теории множеств.
Однако классическая теория множеств не допускает
подстановочной интерпретации. Данное обстоятельство можно усмотреть из того,
что некоторые элементарные истины теории множеств перестают быть
справедливыми при подстановочной интерпретации. В этой связи
Куайн особое значение придает закону единичных подклассов,
утверждающему, что любой класс имеет некоторые единичные подклассы44.
43 Цит. выше, с. 234.
44 Quine W.V.O. The Roots of Reference. - P. 108.
103

ГЛАВА 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Рассмотрим одно из выражений для аксиомы свертывания:
(5) (EZ)(x)((xeZ)^Fx)
в котором для каждого открытого предложения гарантируется
существование класса. Поскольку открытое предложение Fx может
содержать скрытые переменные, перепишем (5) в виде
(6) (EZ) (х) ((х е Z) = Gwx)
Ясно, что (6) не может быть истинным или ложным; таковым может
быть его универсальное замыкание
(7) (w) (EZ) (х) ((xeZ) = Gwx).
Это выражение является исходным для доказательства закона
единичных подклассов. Пусть Gwx есть w =х. Получаем выражение
(8) (MO(£Z)(x)((xeZ)S(w=x)).
Присоединив к обеим частям этого выражения тавтологию
(Y) [(w e Y) zd (w e Y)], получим выражение
(7) (У) {(w)(W e Y)^[(Ew)(EZ)(w е Y)&((x)(x e Z) = (w = x)J}
Переходя от универсальной квантификации к экзистенциальной,
получим
(8) (¥) {(Ew) (wel)D[ (Ew) (EZ)(weY)& ((x) (xeZ) = (w = x)]}.
Меняя местами кванторы (Ew) и (EZ), получаем, наконец, закон
единичных подклассов:
(9) (У) {(Ew)(w e Y)^[(EZ)(Ew)(w e Y)&((x)(x e Z)s(w =*)]}.
Заметим, что аксиома свертывания (5) представляет собой
сочетание объектной и подстановочной интерпретаций. Квантор (EZ)
является подстановочным, поскольку именно подстановочная
интерпретация имитирует абстрактную онтологию. Квантор же (Ew)
является объектным. Оказывается, что при «смешанной»
интерпретации аксиомы свертывания закон единичных подклассов не
выводится из нее. В дедукции (11) из (5) сделана ошибка в последнем
шаге: обмен местами экзистенциальных кванторов невозможен,
тогда один из них имеет объектную интерпретацию, а другой -
подстановочную. Пусть имеется индивид такой, что
(10) (w е Y) & (х) ((х е{у:у = w}) = (w = х)).
104

9. ПОДСТАНОВОЧНАЯ КВАНТИФИКАЦИЯ
Здесь речь о классе Y, чьим единственным членом является
индивид w. Поскольку класс-абстракция {у: у = w) может быть
заменена подстановочным примером Z, получаем
(11) (EZ)((w<eY)&(x)((x(eZ) = (w=x)).
Таким образом, существует индивид w, удовлетворяющий (13), то есть,
(12) (Ew) [(EZ) ((w e Y) & (х) ((* e Z) s (w = x))].
Но мы не имеем выражения
(EZ) (Ew) ((we Y)& (x) ((x e Z) = (w = x)),
поскольку квантификация (EZ) говорит о том, что класс-абстракция,
в которой нет свободных переменных, однозначно определяет
индивид iv. Подобного рода неадекватность подстановочной
квантификации, участвующей в установлении законов теории
множеств, вынуждает к ревизии теории множеств. Такая ревизия
состоит в перескоке от подстановочной квантификации к объектной
или перескоке к квантификации над классами.
Перескок к квантификации над реальными классами, то есть,
к объектной квантификации, как будто ведет к потере преимуществ,
которой обладает подстановочная квантификация. Но каковы же эти
преимущества при более тщательном рассмотрении? Эти
преимущества обычно усматриваются из более простых, чем для объектной
квантификации, условий истинности, ключевым понятием в которых
является понятие подстановочного примера. Однако использование
подстановочного примера не всегда упрощает условия истинности. В
частности, такой пример может быть достаточно сложным и включать
понятие квантора. Кроме того, условия истинности подстановочной
интерпретации, опираясь на понятие подстановочного примера, могут
включать неявным образом допущения каких-то новых объектов, например,
тех же классов. Экспликация этих неявных допущений при
использовании подстановочного примера возможна только путем
переинтерпретации, то есть, путем перехода к объектной интерпретации
кванторов. Подобной ревизии можно избежать, если обратиться к
предикативной теории множеств. Классическая теория множеств является
непредикативной, и поэтому допустимость подстановочной
интерпретации теории множеств можно искать именно в предикативном
фрагменте последней.
105

ГЛАВА 3.
ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА
МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
1. Проблема неединственности
в метафизике и семантике
Сама постановка проблемы неединственности сведения чисел
к множествам основана на нлатонистском представлении об
уникальной совокупности математических объектов, которые должны
описываться математической теорией. Между тем, это посылка
платонизма не кажется бесспорной. Рассмотрим, вслед за Бапагером,
логическую структуру аргументации, цель которой состоит в том,
чтобы из факта множественности таких совокупностей
математических объектов сделать радикальные выводы о ложности
платонизма вообще1. Ьалагер воспроизводит в целом аргумент Бенацер-
рафа, выделяя его отдельные шаги. Посылки аргумента таковы:
1 Balaguer M. Platonism andAnti-PIatonism in Mathematics. - Oxford University
Press, 1998.-P. 76-78.
106

1. ПРОБЛЕМА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ
(1) Если имеются некоторые последовательности абстрактных
объектов, удовлетворяющие аксиомам Пеано, тогда
имеется бесконечно много таких последовательностей.
(2) Нет ничего «специфически метафизического» в любой из
этих последовательностей, что выделяло бы ее среди
других в качестве натурального ряда чисел.
Из этих посылок следует заключение
(3) Не существует единственной последовательности абстрактных
объектов, которые представляют собой натуральные числа.
Но традиционный платонизм в математике утверждает обратное, то есть,
(4) Платонизм подразумевает, что имеется единственная
последовательность абстрактных объектов, которые и
представляют собой натуральные числа.
Из посылок (1) - (4) следует заключение
(5) Платонизм ложен.
Неясно, в какой степени Балагер в точности воспроизвел
аргументацию Бенацеррафа. Дело в том, что Бенацерраф аргументирует
в пользу отказа от понимания математических сущностей как
объектов и полагает, что подлинную важность для понимания природы
математики имеет понятие структуры. Как видно будет далее, и
понятие объекта, и понятие структуры вполне совместимы с
платонизмом. Такого рода затруднения в понимании аргументации
Бенацеррафа и ее разночтения связаны в первую очередь с
расплывчатостью термина «математический платонизм». Понимаемый в
широком смысле как доктрина об описании математикой некоторой
математической, внечувственной реальности, платонизм
действительно подразумевает единственность последовательности натуральных
чисел. Если же считать, что платонизм полагает математические
сущности объектами, тогда вывод об антиплатонизме Бенацеррафа
преждевременен. Однако это обстоятельство не имеет особого
значения для анализа проблемы неединственности, поскольку
математический реализм (представление об описании математикой
реальности) можно вполне сочетать с онтологической нейтральностью
(отказом принять определенную точку зрения на природу
математических сущностей).
Балагер полагает, что наиболее спорными являются посылки (2)
и (4), которые тесно взаимосвязаны. Основной упор Бенацерраф
1П7

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
делает на то обстоятельство, что среди теоретико-множественных
экспликаций натуральных чисел невозможно выбрать одну в
качестве более предпочтительной по сравнению с остальными. Надо
заметить, что хотя Бенацерраф говорит о многих экспликациях, на
самом деле он рассматривает лишь две таких экспликации - Церме-
ло и фон Неймана, полагая это достаточным. Коль скоро
невозможно выбрать по метафизическим или каким-либо другим основаниям
одну из экспликаций, Бенацерраф делает вывод о том, что числа не
могут быть множествами. Но его аргументация уязвима по двум
основаниям. Во-первых, если числа несводимы к множествам, из
этого не следует, что они не являются какими-либо другими
объектами. Во-вторых, если числа не являются
теоретико-множественными объектами, они могут быть объектами sui generis.
Заключение о своеобразии чисел прямо ведет к почти
тривиальному разрешению проблемы неединственности. Действительно,
аксиомам Пеано удовлетворяют многие последовательности, в том
числе последовательности из множеств, но при этом никто не
может отрицать, что существует единственная последовательность ни
к чему несводимых объектов, а именно, натуральных чисел.
...Бенацерраф не доказал, что числа не являются
объектами. Доказал он только то, что если «л» есть цифра, а «а» -
имя объекта, относительно которого неизвестно, является
ли он числом, тогда у нас нет больших оснований для
утверждения тожества «и = а» по сравнению с утверждением
некоторого другого тождества, «и = Ь». Таким образом, мы
должны были бы заключить, что числа не есть множества,
столы или стулья, и не символы на бумаге; несмотря на это,
мы не должны заключить, что числа не есть числа»2.
С технической точки зрения две экспликации, рассматриваемые
Бенацеррафом, кажутся полностью равноправными (хотя, как мы
увидим позднее, есть сильные свидетельства в пользу одной из них, а
именно, теоретико-множественной версии фон Неймана). Но можно ли то
же самое сказать о метафизической стороне этого вопроса? Здесь
Бенацерраф в своей аргументации, что числа не являются объектами,
выдвигает на первый план уже не редукцию одних сущностей к другим
(чисел к множествам), а растворение объекта в структуре. I
Предположительно, понятие объекта принадлежит метафизике, и коль скоро
объект растворяется в структуре, между двумя версиями теоретико-
2 Resnik M. Frege and the Philosophy of Mathematics. - Cornell University Press,
1980.-P. 231.
108

1. ПРОБЛЕМА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ
множественной редукции чисел не существует и метафизического
различия.
Балагер полагает, что подобного рода стратегия является
необоснованной3. По мысли Бенацеррафа, все, что можно узнать о
структуре натуральных чисел, уже содержится в аксиомах Пеано, и все,
что требуется от структуры, это выполнимость аксиом. Однако при
этом предполагается, что аксиомы Дедекинда - Пеано
«схватывают» все, что может быть известно о натуральных числах. Но
предположим, с метафизической точки зрения, что натуральные числа
имеют такие свойства, которые не «схватываются», скажем, что они
красного цвета. Ясно, что математику не интересует все, что
выходит за пределы структурных свойств, и интересуют лишь
«существенные» свойства, то есть, то, что удовлетворяет аксиомам
Дедекинда — Пеано. Таким образом, возникает порочный круг —
существенные свойства определяются через аксиомы, а аксиомы - через
существенные «схваченные» свойства. Именно таким образом
происходит исключение из рассмотрения метафизики.
Между тем, можно представить себе, что существует этакая
полная теория, описывающая объекты, называемые натуральными
числами. Далее, природа этих объектов не полностью «схвачена»
аксиомами Дедекинда - Пеано. Такого рода неполнота не является
чем-то необычным для математики. Так, наличие нестандартных
моделей в теориях первого порядка как раз говорит о том, что
аксиомы не «схватывают» полностью природы описываемой
математической реальности. Другое дело, что «лишние» объекты при этом
имеют таки математическую природу, не выходящую за пределы
«структурных фактов». Именно стремление не выйти за эти
пределы и выделяет последовательность натуральных чисел. В этом
смысле можно считать, что посылка (2) аргумента Бенацеррафа уязвима.
Однако встает вопрос о том, до какой степени она уязвима?
Коль скоро признан факт неполноты описания аксиомами
математической реальности, можно допустить, что среди упущенных
фактов и объектов могут оказаться не какие-нибудь экзотические
сущности, мотивированные метафизикой, а абстрактные объекты,
которые вполне могут быть теми самыми конкурирующими с
натуральными числами «струкгурными» сущностями. Таким образом,
мы оказываемся в следующей ситуации. Попытка подорвать
значимость посылки (2) аргумента Бенацеррафа основывалась на
метафизической концепции полного описания природы натурального
числа. Метафизические соображения являются крайней туманны-
3 Balaguer M. ibid. - Р. 78-79.
109

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
ми, и по большей части, нам трудно вообразить себе нечто такое, по
настоящему заслуживающее внимания, что выходит за пределы
структурных фактов о числах. В лучшем случае оправданием такой
метафизики может служить соображение, что в рассуждениях о
натуральных числах нам следует учитывать совокупность наших вер
и представлений о натуральных числах. Но такая стратегия также
вряд ли оправдана, если принять во внимание, скажем,
нумерологию в качестве классического образца рассуждения о числах,
выходящего за пределы структурных фактов. Можно сказать, что
нумерология не является рациональным предприятием, но тогда
возникает вопрос, является ли совокупность наших вер и представлений
рациональной. Если же действительно ограничиться рациональной
метафизикой, то не придем ли мы только к структурным фактам
в отношении натуральных чисел? Таким образом, использование
метафизики против посылки (2) аргумента Бенацеррафа оказывается
непродуктивным. Следовательно, возможная критика этой
аргументации должна сосредоточиться на посылке (4).
Аргумент о неединственности представляет серьезный вызов пла-
тонистской стратегии в отношении интерпретации математических
истин. Для того чтобы снасти платонизм, возможно, надо
пожертвовать посылкой о единственности, то есть, отрицать (4). Это означает,
что математические теории не описывают выделенной совокупности
абстрактных объектов. Это предположение ведет к серьезным
сомнениям относительно того, остаемся ли мы при этом в рамках
платонизма. Дело в том, что классический платонизм есть убеждение в том, что
математические теории однозначно описы вают некоторую внечувствен-
ную реальность, доступ которой возможен, как полагал К. Гедель,
через интуицию. Это угверждение платонизма на самом деле
представляет собой комбинацию двух тезисов: один состоит в утверждении
существования внечувственной реальности, а второй- в однозначном ее
описании. Если мы проведем параллели между двумя типами теорий -
эмпирическими и платонистскими, тогда в агношении последних
возникает следующий вопрос. Эмпирические теории не претендуют на
единственность при описании мира чувственных вещей; тогда почему
не предположить, что та же ситуация имеет место в случае описания
внечувственной реальности, в случае принятия какого-либо рода нла-
тонистской картины. Другими словами, мы можем ослабить жесткий
платонизм, который зафиксирован в посылке (4).
В конечном счете все упирается в понимание платонизма как
философской доктрины. Математический платонизм утверждает, что
наши математические теории истинно описывают совокупность аб-
110

1. ПРОБЛЕМА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ
страктных математических объектов. Но утверждается ли при этом,
что такая совокупность должна быть единственной? Очевидно, что
можно принять первое утверждение, и отрицать второе. В
некотором смысле этот шаг находится в согласии с методологией
естественных наук, где реалистические теории считаются истинным
описанием реальности, но никак не единственным описанием (иногда этот
тезис выражается в утверждении о приблизительном характере
эмпирических теорий). Остается понять, применима ли эта стратегия
к математическим теориям. В пользу этой стратегии
свидетельствует ситуация с различными версиями теории множеств, каждая из
которых имеет свой универсум множеств.
Одно из соображений в пользу традиционного платонизма
связано с семантической структурой математического дискурса.
Математические объекты указываются сингулярными терминами,
осмысленное употребление которых предполагает, что указанные ими
объекты существуют. Сам же статус сингулярных терминов
обусловлен тем обстоятельством, что они призваны указывать на один
и только один объект. Это обстоятельство говорит против версии
платонизма с допущением неединственности.
Один из вариантов защиты платонизма с допущением
неединственности состоит в обращении к значимости другой формы
платонизма, а именно, к структурализму. С точки зрения последнего,
внутренние свойства математических объектов не имеют значения,
поскольку все определяется местом математического объекта в
структуре. Поэтому вопрос однозначного указания термином
математического объекта не является решающим; действительно, при
рассмотрении математического объекта мы должны принять во
внимание все остальные объекты. Таким образом, в случае первичности
структуры проблемы указания теряют свое значение.
Но ситуация с соотношением семантики и онтологии при
определении статуса абстрактных объектов не была ясной уже у Фреге.
Фреге полагал, что числа есть объекты, логические объекты, и
поэтому важно определить понятие объекта. По поводу соотношения
онтологии и семантики существуют две диаметрально
противоположные точки зрения. Так, П. Гич полагал, что именно потому, что
числа есть объекты, цифры являются сингулярными терминами, но
не наоборот4. Это можно считать аргументом в пользу приоритета
онтологических рассмотрений. С другой стороны, М. Даммит
полагал, что «мы должны посмотреть, ведет ли термин как собственное
4 Geach P. andAnscombe G.E.M. Three Philosophers, -Blackwell, 1961. - P. 136.
Ill

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
имя, для того чтобы решить, указывает ли он объект»5. Таким
образом, П. Гич представляет точку зрения независимости
онтологических рассмотрений от языка, а М. Даммит - лингвистическое
объяснение абстрактных объектов Фреге. Дж. М.Б. Мосс полагает, что сам
Фреге на стороне Гича6. А вот М. Резник в своей работе7 полагает,
что Фреге имел точку зрения, которая ныне высказана Даммитом.
Таким образом, исследователи расходятся в том, имеет ли
семантический аргумент об использовании сингулярных терминов важное
значение.
2. Математический способ решения
проблемы неединственности сведения
чисел к множествам
Мы уже отмечали, что математики и философы имеют весьма
различные взгляды на одни и те же проблемы. В первой части
рассматривалась «посылка проблемы Маргарет»; суть этой притчи
сводилась к тому, что перенос чисто математических результатов на
философию - это только полдела. Надо еще убедить философов
в том, что этот перенос является значимым и обоснованным. Теперь
мы имеем что-то вроде обращения «посылки принцессы Маргарет»:
то, что философы полагают вполне обоснованным в переносе
математических результатов, отнюдь не является убедительным для
работающих математиков. Именно такова ситуация с проблемой
неединственности сведения чисел к множествам. Э. Стейнхарт
предлагает радикальное разрешение ее, считая, что числа таки являются
множествами, а именно, ординальными числами фон Неймана8.
Хотя аргументация Бенацеррафа принимается достаточно
большим числом философов, Стейнхарт полагает, что с математической
точки зрения эта аргументация не является обоснованной. Бенацер-
раф утверждает, что при сведении чисел к множествам должны быть
выполнены два шага. Во-первых, такое сведение сохраняет законы
арифметики, и во-вторых, кардинальность анализируется в
терминах счета. Все дополнительные требования, если таковые есть,
являются излишними. Как было показано выше, при обсуждении све-
5 Dummett M. Truth and Other Enigmas. - L., 1978. - P. 97.
'Moss.J.M.B. Review of Resnik's Frege and the Philosophy of Mathematics II
Journal of Philosophy. - 1982. P. 497-511.
7 Resnik M. Frege and the Philosophy of Mathematics. - Cornell University Press,
1980.
1 Steinhart E. Why Numbers Are Sets II Synthese. - 2002. - V. 133. - P. 343-361.
112

2. ПРОБЛЕМА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ
дения натуральных чисел к множествам обычно речь идет о двух
альтернативных вариантах, которые принадлежат фон Нейману
и Цермело. Это результат был использован и Куайном, который, тем
не менее, заключил, что существует сколь угодно много такого рода
редукций чисел к множествам, все из которых совершенно
равноправны9 . Больше того, речь идет у Куайна о философском
обобщении этого теоретико-множественного факта, и сам этот факт
становится лишь проявлением более общего тезиса о неопределенности
радикального перевода и онтологической относительности.
Скептик может задать вопрос, так сколько же на самом деле
прогрессий (или ю-последовательностей) могут претендовать на роль
натурального ряда. Стандартный ответ, согласно которому таких
прогрессий сколь угодно много, требует более тщательной
аргументации, чем это могло показаться с первого взгляда. Стейнхарт
полагает, что есть существенные математические резоны считать, что
если некоторая прогрессия удовлетворяет условиям Бенацеррафа,
то эта прогрессия представляет собой ординальные числа фон
Неймана. В дальнейшем при изложении материала мы следуем
аргументации Стейнхарта.
Сведение натуральных чисел к множествам включает в себя
соотнесение двух систем. Одна структура - структура натуральных чисел,
представляющая собой и-ку из четырех элементов Лг<{0,1,2, ...,0},<,
S >. Здесь {...}- множество натуральных чисел 1,2,3, ...; 0 - первый
элемент натурального ряда; S- функция последующего элемента,
и, < - отношение упорядочения среди натуральных чисел). Эта
структура сводится к другой структуре -теоретико-множественной
структуре, представляющей собой и-ку а = (ю,/ е, < ), где ю -
последовательность элементов, а — функция на элементах последовательности,
е - выделенный элемент, и < - отношение упорядочения). При
онтологическом сведении одних сущностей к другим требуется
сопоставление элементов соответствующих структур. Сведение чисел к
множествам означает, что {0,1,2,3,...) = ю, S =/, 0 = е, а отношение
упорядочения то же. Отметим, что необходимое условие выполнимости
арифметических законов теоретико-множественной структурой требует,
чтобы структура а = (ю, / ё) была моделью аксиом 11еано.
Итак, каковы же Moiyr быть математические резоны против
тезиса неединственности сведения чисел к множествам? Рассмотрим
более тщательно, как именно два типа сведения (Цермело и фон
Неймана) выполняют требования, сформулированные Бенацерра-
s Quine W.V.O. Roots of Reference. - Chicago University Press, 1974.
113

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
фом. Для ю-последовательности Цермело 0 есть { }, последующее
за п число п + 1 есть {п}. Далее, отношение упорядочения по
величине, то есть, отношение «меньше-чем» < есть предшественник [ е]
в отношении к е10. Кардинальность множества Гесть п, если и только
если, имеется 1-1 соответствие между Ти {#яею|и [е ] пг). При
этом, как известно, сведение чисел к множествам у Цермело
принимает вид:
0 = { },1 = {{ }},2={{{ }}},3 = {{{{ }}}}итакдалее.
Для ю-последовательности фон Неймана 0={ }, 1 = {{ }},
2={{ }{{ }}},3 = {{ }{{ }}{{ }{{ }}}}, и так далее. При этом
видно, что кардинальность множества Г есть п, если и только если,
имеется 1-1 соответствие между Ти {тяею | п [е ] пг).
Формальное противоречие между двумя способами сведения
чисел к множествам получается следующим образом. Возьмем
число 2 и соответствующие множества. Поскольку 2 = 2, имеем
{{{ }}} = {{ }{{ }}}• Но последнее выражение представляет собой
в теории множеств противоречие. Достаточно интересно отметить,
что несмотря на тривиальность вывода подобного рода
противоречия, как Бенацерраф, так и Куайн, для вывода о том, числа не могут
быть определенными множествами использовали промежуточный
шаг, а именно, анализ выражения «3 е 5», которое истинно в одной
версии сведения, и ложно - в другой. Между тем, некоторые
исследователи полагают, что такой пример некорректен. Так, Чен Чун-Ин
полагает, что Бенацерраф ошибается если не в постановке
проблемы, то в конструировании решающего примера". Вопрос о том,
принадлежит ли число 3 числу 5, не является вполне правильным,
потому что термин «принадлежит» является частью интуитивной
арифметики. Он может быть эксплицирован в терминах отношения
членства «е». Но это отношение является частью структуры, которая
определяется соответствующей теоретико-множественной схемы.
В схеме фон Неймана имеется одна структура и соответствующая
ей экспликация термина «принадлежит». В схеме Цермело другая
структура определяет иную экспликацию этого же термина.
Каждый из подходов справедлив, и поэтому числа могут быть
множествами вообще, если не спрашивать, какими именно множествами.
'" Термин х является ^-предшественником термина у, если у имеет каждое R-
наследетвенное свойство, которое имеет х. Свойство является N-наследственным,
если всякий раз, когда свойство принадлежит числу т, оно также принадлежит и
числу т + I, то есть, числу, к которому т имеет отношение N.
11 Cheng Chung-Ying. Referential Involvement of Number Words II Notre Dame
Journal of Formal Logic. - 1970. - V. 11, n. 4. - P. 487-496.
114

2. ПРОБЛЕМА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ
Несмотря на философские аргументы о том, что «нет никаких
сомнений, что никакая выделенная последовательность множеств
не является последовательностью натуральных чисел»12,
работающие математики имеют-таки предпочтения при рассмотрении
различных последовательностей множеств. В большом числе
трактатов по теории множеств натуральные числа отождествляются с
ординальными числами фон Неймана. Но такого рода
отождествление мотивируется специфически математическими соображениями.
Такого рода стратегия вполне согласуется с тенденцией
натурализации математики, которую особенно отстаивает П. Мэдди13.
Согласно этой традиции, аргументы в пользу той или иной гипотезы в
математике, которые имеют философскую значимость, получают
поддержку не со стороны философии, а со стороны других
математических областей. Имеет смысл кратко рассмотреть некоторые из
таких чисто математических резонов предпочтения неймановской
версии сведения чисел к множествам.
Заметим заранее, что все эти резоны не являются прямыми
свидетельствами с пользу главного тезиса Стейнхарта. Но сама
аргументация, ведущаяся в натуралистическом духе, хорошо
иллюстрирует то, как математическая аргументация переплетается с
философской или противоречит ей. Во-первых, Стейнхарт замечает, что
отношение порядка < должно быть рекурсивным. Это замечание
можно сопроводить интересной историей. Дело в том, что в своей
известной статье «Чем не должны быть числа» Бенацерраф также
утверждал рекурсивность этого отношения, потому что в
противном случае трудно было бы иметь разрешающую процедуру для
ответа на такой вопрос: верно ли, что для некоторых х и у из ю-после-
довательности, х < у. Позднее Бенацерраф, используя в
значительной степени аргументацию, связанную с семантикой
(соотношением цифр и чисел), отказался от этого требования. Показательно, что
статья эта называется «Покаянием»1*. С точки зрения математики
требование рекурсивности отношения <, или же его эффективной
разрешимости, является вполне уместным.
Во-вторых, сама постановка вопроса о том, что числа сводятся
к множествам, могла породить саму проблему неединственности.
Действительно, ведь можно поставить и вопрос по-другому, не яв-
12 Balaguer M. Non-Uniqueness as a Non-Problem II Philosophia Mathematica
(3). - V. 6, 63-84. - R 65.
13 Maddy P. Naturalism in Mathematics. - Oxford University Press, 1997.
14 Benacerraf P. Recantation or Any Oldia-sequence would do after all //Philosophia
Mathematica, series 111. - 1996. - P. 184-189.
lis

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
ляются ли числа производными от множеств. Ряд математиков
считают, что принципы упорядочения предшествуют принципам
построения ю- последовательности. Хрбачек и Иех используют понятие
транзитивного множества для определения натуральных чисел15.
Далее, нужно принять в рассмотрение тот факт, что если отношение
меньше-чем «<» между числами отождествляется с отношением
членства «е» в теории множеств, тогда соответствующая ю-после-
довательность проще других. Соображение простоты, как известно,
играет важную роль в естественнонаучных теориях, и, имея в виду
натурализацию математики, правильно было бы предположить, что
этот критерий важен и в математике.
В данном случае обнаруживается, что некоторые ю-последова-
тельности проще других. Смысл простоты в том, что эти
последовательности являются минимальными в итеративной иерархии
множеств. Для понимания этой идеи надо обсудить ряд технических
деталей. Глубиной некоторого множества п назовем размер самой
длинной е-цепи, простирающейся от 0 до п. Так, глубина {{ } { { }}
{{ } {{ }}}} равно 3, так как
{}£{{}}£{{}{{ }}}£{{ }{{}}{{ }{{ }}}}
ю - последовательность Л' минимальна, если и только если, для всех
п е Л'глубина п есть п. Далее, и-ое число в минимальной ю-последо-
вательности начинается с { } и насчитывает п шагов с е
отношением. Каждая минимальная ю-последовательность отождествляет О
с{ },а1-с{0}. Ряд { }, {{ }} удовлетворяет двум соотношениям
п+1={й}ип+1=п+{п}
Теперь имеется два минимальных выбора для 2. Во-первых,
2={{{ }}} = { 1 }■ Во-вторых, 2= {{ } {{ }}}=1и{ 1 }.Пока версии
фон Неймана и Цермело совпадают, но со следующего шага они
расходятся. Если мы выберем 2={{ }{{ }}}, тогда для представления
числа 3 имеется три варианта. В версии фон Неймана
3 = {{ }{{ }}{{}{{ }}}}■
Если операция получения следующего элемента в
последовательности отождествляется с операцией получения множества-степени,
тогда имеем множество-степень
3 = {{ }{{ }}{{{ }}}{{ }{{ }}}}•
" Hrbacek К., Jech Т. Introduction to Set Theory. - N.Y., Marcd Dekker, 1978.
116

2. ПРОБЛЕМА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ
Далее, при экспликации операции получения следующего элемента
последовательности можно скомбинировать подходы фон Неймана
и Цермело в единый подход, который Стейнхарт назвал «подход фон
Цермано»16
3 = {{ }{{ }}{{{ }}}}•
Итак, в этом случае все четыре подхода - а именно, фон
Неймана, Цермело, фон Цермано и множества-степени дадут
минимальные ю-последовательности. Теперь возникает два вопроса: во
первых, какие преимущества имеют минимальные
последовательности перед другими последовательностями, и во-вторых, имеет ли
какая-либо из минимальных последовательностей преимущества
перед другими минимальными последовательностями. Предпочтение
минимальным последовательностям может быть отдано по
следующим соображениям: если счет чисел начинается с 0, тогда мы
должны начинать считать с { }, и если мы начинаем считать с некоторого
числа п до следующего числа, тогда мы должны считать с
множества п до следующего множества, которое определено в терминах
«е». А теперь сравним минимальные последовательности в разных
версиях. Желательное при применении чисел для счета свойство 1—1
отображения имеют только версии фон Цермано и фон Неймана,
желаемые порядковые свойства имеют версии Неймана и
множества-степени, и лишь версия фон Неймана обладает всеми необходимыми
свойствами. Таким образом, можно считать, что версия фон Неймана
является наилучшей из всех минимальных последовательностей.
Есть еще одно обстоятельство, которое свидетельствует в пользу
версии фон Неймана. При переходе к трансфинитным числам
процедура счета и техника доказательства распространяется с
конечных ординалов фон Неймана на трансфинитные. Тут Стейнхарт
призывает в сообщники П. Мэдди, которая замечает, что «на самом деле,
существуют причины, по которым версия Цермело не столь
хороша, как версия фон Неймана. Например, последняя работает как для
конечных, так и для бесконечных чисел, и ее «меньше-чем»
отношение чрезвычайно просто: это отношение членства»17. Однако,
в то же время она отмечает, что «тот факт, что ординалы фон
Неймана более удобны, чем ординалы Цермело, и отсюда, первые более
удобны в современной теории множеств, не дает никаких других
причин полагать, что они действительно являются числами»18.
16 Steinhatt E. Why Numbers Are Sets II Synthese. - 2002. - V. 133. - P. 349.
17 Maddy P. Realism in Mathematics. - Oxford University Press, 1992. - P. 84.
18Там же.-С 85.
117

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
Все эти технические детали имеют значение для математика,
но имеют ли они значение для философа? В конечном счете, вопрос
о том, являются ли числа множествами, есть вопрос
онтологический, точнее, вопрос об онтологическом статусе чисел. Приведенные
Стейнхартом аргументы являются тем, что П. Мэдди называет
«внешними» факторами, в дано случае внешними по отношению к
философскому вопросу. Другими словами, можно ли придать какую-
либо метафизическую значимость этим «внешним» (чисто
математическим) аргументам? Сам Бенацерраф полагал, что такого рода
внешние обстоятельства несущественны для анализа концепции
числа, и коль скоро мы не имеем предпочтений в выборе какой-то из
различных версий перевода чисел в множества, числа
онтологически не сводятся к множествам. Стейнхарт довольно убедительно
упрекает Бенацеррфа в том, что такая позиция равносильна утверждению
той же самой метафизической важности для двух условий, которые
он считает достаточными для спецификации ю-последовательнос-
ти. Явно, что в данном случае Бенацерраф делает использование
установки на «метафизическую важность» асимметричным образом.
В завершение Стейнхартом задевается очень чувствительный нерв:
он надеется, что философы будут следовать математической
практике и отождествят натуральные числа с конечными ординалами фон
Неймана. Но вопрос о том, в какой степени философы должны
следовать математической практике, является сложным вопросом.
3. Логика второго порядка как основа
математических структур
Логика второго порядка находится в центре споров
относительно того, является ли она более предпочтительной для
моделирования важных аспектов математики. Логика второго порядка неполна,
и не столь «определенна», как логика первого порядка в своих
онтологических и концептуальных аспектах. Одним из таких аспектов
является почти всеобщее убеждение в том, что логика не может иметь
онтологических допущений, и что все экзистенциальные
утверждения в основаниях математики приходятся на долю теории множеств.
Именно это обстоятельство нашло выражение в известном
афоризме Куайна «логика второго порядка является теорией множеств
в чужом обличье» (более точно, это волк в овечьей шкуре). Между
тем, логика второго порядка действительно вводит онтологические
рассмотрения через квантификацию предикатов. Многие
исследователи полагают, что это прямой путь к признанию существования
118

3. ЛОГИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА
абстрактных объектов. Поэтому имеет смысл более тщательно
рассмотреть мотивацию логики второго порядка как источника
онтологических утверждений, а также сделать сопоставление логики
первого порядка и логики второго порядка.
Одно из основных соображений о том, что логика второго порядка
имеет онтологические допущения абстрактных объектов, состоит в том,
что эта логика является фактически математикой, а математика
безусловно имеет онтологические допущения. Действительно, многие
существенные математические утверждения имеют аналог в чистой
логике второго порядка. Таким образом, если бы была резкая граница
между математикой и логикой, тогда логика второго порядка была бы
математикой. Но дело в том, что нет резкой границы между ними. Тем
не менее, стоит выяснить, в каком смысле онтологические допущения
математики, скажем, теории множеств, совпадают с онтологическими
допущениями, если вообще есть таковые, логики второго порядка. Для
этого надо понять синтаксическую природу этой логики19.
Мы начнем с сопоставления логик первого и второго порядков.
Словарь логики первого порядка включает, кроме истинностных
функций, (1) схемы, являющиеся местами для собственных имен, или
выражений, занимающих место субъекта в утверждениях, (2)
схемы, являющиеся местами для предикатов, и (3) переменные, вместо
которых подставляются схемы для имен, и которые связываются
кванторами. Словарь логики второго порядка в дополнение к этому
имеет переменные для предикатов, и новый тип схем, которые
являются местами для предикатов второго уровня. Впрочем, последнее
добавление не изменяет синтаксиса первого порядка. Дело в том,
что квантор сам по себе является предикатом, и если мы сравним
формулу с квантором, скажем, (х) Fx, с формулой, которая содержит
схемы для предикатов второго уровня, скажем, Gx Fx, с
синтаксической точки зрения мы не находим особых различий. Таким
образом, можно считать, что логика первого порядка отличается от
логики второго порядка только в том отношении, что вторая содержит
переменные для предикатов и кванторы, связывающие их.
Насколько логика второго порядка отлична от теории множеств,
где есть квантификация производится над индивидами и
предикатами? Д. Восток полагает, что на синтаксическом уровне нет
никаких существенных различий20. Действительно, есть ли различие
19 Здесь мы следуем статье D. Bostock. On Motivating Higher-Order Logic II
Philosophical Logic / Ed. Smiley T. - Oxford University Press, 1998. - P. 29^*4.
20 D. Bostock. On Motivating Higher-Order Logic II Philosophical Logic / Ed.
Smiley T. - Oxford University Press, 1998. - P. 31.
119

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
между двумя выражениями—Fa и а е F? Можно утвердительно
ответить на этот вопрос, если рассмотреть такие формулы как FG или
GeF. Последняя формула является правильно-построенной
формулой теории множеств, в то время как первая формула не является
таковой в логике второго порядка (принимая во внимание теорию
типов). Однако однородная трактовка этих формул
восстанавливается, если признать выражения типа G e F просто ложными. Таким
образом, различия между логикой и теорией множеств надо искать
в семантике этих теорий.
Для того чтобы логика второго порядка представляла интерес,
должна быть задана область значений переменной; то есть, эта
логика предполагает некоторую онтологию. Отказ от онтологии,
который имеет место в случае, например, подстановочной
интерпретации кванторов, делает логику второго порядка слишком слабой.
Вопрос заключается в том, какого рода объекты являются
значениями предикатных переменных. В этом отношении определенный
интерес представляет теория Г. Фреге. Он полагал, что предикатные
выражения представляют собой «ненасыщенные» вещи, которые он
называл концепциями. В данном случае предикатные выражения есть
остаток от полного утверждения, из которого изъято собственное
имя. Фреге полагал, что значениями предикатных переменных
должны быть ненасыщенные сущности, в то время как в теории
множеств значениями переменных являются «насыщенные» сущности -
множества. Множества являются объектами, а концепции - нет. Это
существенное различие, если принимается теория Фреге.
Семантика теории имеет дело с истинностными условиями квантификации
второго уровня, и логика второго порядка должна обеспечивать
такую семантику. Вопрос состоит в том, предполагает ли такая
семантика в качестве значений переменной какие-то сущности, будь то
насыщенные или ненасыщенные, или какие-либо другие.
Интерпретация схемы для собственного имени есть
приписывание ему объекта из некоторой области объектов, а интерпретация
схем для предикатов состоит в приписывании истинностного
значения утверждениям об объектах. Но это означает, что в логике
второго порядка, как и в логике первого порядка, интерпретации
являются экстенсиональными. При такой интерпретации, когда мы
говорим об истинности предиката F относительно таких-то и таких-то
объектов, имеется несколько возможностей приписывания
предикатной букве сущностей. Мы можем считать, что такой сущностью
является имя класса тех вещей, о которых предикат истинен.
Такими сущностями могут быть фрегевские ненасыщенные концепции.
120

3. ЛОГИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА
Эти два способа (а можно найти и больше) полностью
взаимозаменяемы. Но «метафизика», лежащая в основе этих способов, вряд ли
даст повод признать их эквивалентными. Например, не очень много
исследователей принимают сейчас серьезно теорию насыщенных и
ненасыщенных сущностей Фреге. Но тогда представляется
разумным выход - не вводить в рассмотрение такую спорную категорию
как «значение» для предикатной переменной, поскольку это
предполагает, что предикат указывает на некоторую сущность. На самом
деле предикат не указывает, а просто истинен об объектах. «Я
полагаю полностью ошибочным взгляд, что особенностью логики
второго порядка является предположение о наличии специального рода
сущностей в качестве значений предикатных переменных»21.
Сходный аргумент был высказан в более разработанном виде
Дж. Булосом в ряде работ22. Краткая сводка его аргументации
выглядит так: Понимание значений связанных предикатных
переменных возможна без постулирования абстрактных объектов типа
множеств, классов, фрегевских концепций и так далее. Предложения
логики второго порядка могут быть переведены в обыденный язык
с использованием так называемых множественных кванторов.
Множественные кванторы не имеют онтологических допущений
абстрактных объектов, поскольку не выводят за пределы
онтологических допущений при квантификации первого порядка.
Программа Булоса может быть охарактеризована как «номина-
лизация» логики второго порядка, о чем свидетельствует название
одной из его работ23. Если программа Булоса является
убедительной, тогда это будет иметь для философии математики большое
значение: логика второго порядка, которая всегда считалась
аргументом в пользу существования абстрактных объектов, будет
«укрощена». Булосу удалось убедить в этом не всех, и в этом отношении
характерна реакция М. Резника, который дал критический обзор
усилий Булоса по номинализации платонизма в статье под название
«Логика второго порядка все еще не укрощена»24. С точки зрения
Резника самое большее, что удалось Булосу, это устранение
абстрактных сущностей в некоторых несущественных контекстах.
21 Цит. выше. С. 33.
22 См., например, Boolos G. To Be is to Be a Value of a Variable II Journal of
Philosophy. - 1984. - V. lxxxi. - P. 430-449.
23 Boolos G. Nominalist Platonism II Philosophical Review. - 1985. - V. xciv. -
P. 327-344.
24 Resnik M. Second-Order Logic Still Wild/1 Journal of Philosophy. - 1988. - V.
lxxxv. - P. 75-87.
121

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
В своей программе устранения абстрактных объектов как
значений предикатных переменных Булос использует две идеи,
которые связаны с новой теорией истины и понятием
множественных кванторов. Остановимся сначала на первой идее, хотя их
разделение, сделанное из дидактических целей, несколько
искусственно. Перед этим дадим пояснение того, что имеется в виду под
множественным термином и квантором. Под множественным
термином имеется в виду либо неопределенная дескрипция, или же
конъюнкция сингулярных терминов. Примерами множественных
терминов являются слова «дети», «Петр и Павел». Есть такие
множественные термины, которые открываются в этом свете только
после квантификации их. Так, например, «каждый человек и его
собака» содержат множественный термин «х и собака jc'а», который
будет субъектом предикации в предложении типа «каждый человек
и его собака охотятся вместе». Проблема множественного указания
заключается в указании на множественные термины, а также в
понятии квантификации таких терминов. Обычно полагается, что
множественное указание приводит к указанию множеств, классов, или
свойств. Булос использует множественную квантификацию для
интерпретации одноместных формул логики второго порядка,
утверждая при этом, что такая квантификация не имеет онтологических
допущений классов.
Булос перефразирует прочтение формул второго порядка путем
использования вместо кванторов второго порядка множественных
кванторов из естественного языка. Если первопорядковые
кванторы языка второго порядка пробегают над индивидами, которые
обладают свойством G, тогда второпорядковый квантор (Е F) должен
читаться как «имеются некоторые индивиды со свойством G», а
входящие в его область действия формулы Fx должны читаться как «х
есть один из них». Рассмотрим в качестве примера аксиому
свертывания, сформулированную на языке второго порядка
(EF) (x) [Fx о -, (х e х)]
Эта формула с точки зрения подхода Булоса должна читаться так:
Имеются некоторые множества такие, что каждое
множество есть одно из них, если и только если, оно не является
элементом самого себя.
Основная цель такого перефразирования состоит в том, чтобы не
иметь онтологических допущений, выходящих за пределы значений
индивидных переменных. Ч. Парсонс отмечает, что множественный
122

3. ЛОГИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА
квантор типа «имеются некоторые множества» все-таки утверждает
наличие некоторой множественности (plurality)25. Ясно, что это
интуитивное понятие, но оно появлялось довольно часто в работах
математиков. Так, Кантор говорит о многочисленности (multiplicity),
а Рассел - о «классе как многом» (class as many). Суть этой
интуитивной идеи состоит в том, что множественность может не
составить множества как абстрактного объекта.
Аргументация Булоса опирается на тот факт, что в
утверждениях, подобных приведенному выше, не содержатся явного
упоминания классов. Но разговор о множественности уже предполагает
сведение множественного квантора к сингулярному. Если это
утверждение изложить в терминах множественностей, тогда фрагмент
«имеются некоторые множества» следует заменить фрагментом
«имеется множественность множеств», и тогда «каждое множество есть
одно из них» будет иметь вид «каждое множество принадлежит ей».
Последнее будет иметь каноническую форму, что противоречит
замыслу самого Булоса, поскольку для него канонической должна быть
множественная квантификация. Таким образом, изданной
аргументации видно, что «Булос не убедил в том, что его интерпретация
логики второго порядка не имеет онтологических допущений.
Правда, при этом он вдохнул новую жизнь в старые концепции
множественности и многочисленности. В качестве источника второпоряд-
ковых логических форм множественная квантификация правильно
отделена от фрегевской предикации... »26.
Вторая идея Булоса в номинализации платонизма связана с
теорией истины. «Суть дела такова: только в отношении стандартного
определения истины в духе Тарского для языков первого порядка
может быть определено понятие значения переменной. В случае
языка второго порядка, такого как второпорядковый язык теории
множеств, есть по крайней мере два различных вида теории истины: в
одном из них было бы вполне естественно определить «значение»
таким образом, что значения переменных оказывались бы
классами; в другом этого не происходило бы»27.
Булос предлагает определение истины для языков второго
порядка внутри метаязыков второго порядка, при котором
абстрактные сущности не являются значениями связанных предикатных
переменных. Определение использует квантификацию над отношени-
25 Parsons Ch. A Structuralist View of Mathematical Objects. - P. 297.
26 Цит. выше, с. 299.
27 Boolos G. Nominalist Platonism II Philosophical Review. - 1985. - V. xciv.. -
P. 324.

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
ями R (W, х), где переменная х пробегает над объектами, aW~ над
одноместными переменными второго порядка. Если F есть такая
переменная, тогда каждый объект t такой, что R (V, i) есть некоторое
значение Vb соответствии с R. Класс таких t есть объем Vb
соответствии с R. Но объем не может быть привлечен для определения
истины, так что нет необходимости полагать нечто в качестве
определенного значения V в соответствии с R. Таким образом, можно
заключить, что для языков второго порядка с одноместными
предикатными переменными вполне достаточно понятий объектности
первого уровня и истинности об этих объектах28.
Другими словами, вместо ключевого для классической теории
истины в стиле Тарского выражения
Последовательность s (приписывающая индивиды
индивидным переменным и классы предикатным переменным)
выполняет Ау, если и только если, s(y) принадлежат s (X)
Булос использует следующий оборот:
Последовательность s (которая приписывает значения
только индивидным переменным) и отношение R выполняют Ду,
если и только если, R <X, s(y)>.
В такой теории истины классы, или множества, определенно не
являются значениями переменных. Однако Резник полагает, что при
обсуждении проблем онтологических допущений привлечение
понятия последовательности и семантики в стиле Тарского только
затемняет дело. Дело в том, что «последовательности являются в
каком-то смысле инженерным трюком, который позволяет иметь
однородные рекурсивные предложения в определении истины для кван-
торного языка. Так как с точки зрения этого подхода экзистенциальная
квантификация первого порядка истинна, если и только если, суще-
ствуег подходящая последовательность, онтологические допущения
индивидов, являющиеся следствиями теории, затемнены. Вопросы
онтологических допущений в экзистенциальной квантификации с точки
зрения теории истины Булоса оценить еще труднее»29.
В конечно счете отличие подхода Булоса к онтологическим
допущениям логики второго порядка от стандартного подхода
состоит в разном понимании понятия интерпретации. Интерпретация во
2* Higginbotham J. On High Order Logic and Natural Language II Philosophical
Logic / Ed. Smiley T. - Oxford University Press, 1998. - P. 10.
29 Resnik M. Second-Order Logic Still Wild II Journal of Philosophy. - 1988. -
V. lxxxv.-P. 81.
124

3. ЛОГИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА
втором случае заключается в приписывании сущностей, скажем,
абстрактных объектов, переменным второго порядка. Булос же
полагает интерпретацию отношением переменных и предикатов к
подходящим элементам универсума рассмотрения. Функция
приписывания при стандартном подходе также является отношением, но
отношения, которые использует Булос, не обязательно должны быть
функциями во всем, что касается логики второго порядка.
Таким образом, подводя итоги, можно сказать, что Булос
предложил альтернативный способ понимания или интерпретации
одноместных языков второго порядка. Прочтение Булоса призвано
снять возражения против логики второго порядка, заключающиеся
в предположении ею онтологических допущений. Согласно
стандартной семантике одноместный экзистенциальный квантор
второго порядка имеет следующее прочтение: «имеется класс» или
«имеется свойство». Во избежание такого прочтения Булос предлагает
рассматривать такой квантор как множественный квантор. С точки зрения
Шапиро, ситуация с предложением Булоса такова: существуют
переводы между стандартным метаязыком с классами без множественных
терминов и метаязыком без классов и множественными кванторами.
Булос обеспечивает перевод от одного метаязыка к другому30.
Есть общее согласие среди исследователей по поводу того, что
важность тезиса Куайна о логике второго порядка как скрытой
теории множеств была сильно преувеличена. Кванторы второго
порядка пробегают над множеством-степенью подклассов (или свойств)
области первого порядка. Так как множество-степень области
первого порядка включает пустое множество (свойство), истинное
утверждение, что пустое множество существует, есть истина второго
порядка. Но все же экзистенциальное допущение этого единственного
объекта (пустое множество) не может поколебать ситуацию. Более
значимым является то, что квантификация второго порядка всегда
порождает дополнительную онтологию (члены множества-степени).
Предположим, например, что кванторы первого порядка пробегают над
натуральными числами. Тогда кванторы второго порядка будут пробегать
над всеми множествами (или свойствами) натуральных чисел. Но как
показывает этот пример, сделанные экзистенциальные допущения все
еще далеки от допущений, которые делаются в теории множеств
(множества множеств натуральных чисел и т.д).
30 Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. - Oxford
University Press, 1997. - P. 234.
19S

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
4. Теория чисел Фреге:
числа как объекты
Всякий разговор о природе математических объектов в
современном контексте начинается с понимания природы чисел в
трактовке Г. Фреге. В работе «Основания арифметики»31 Фреге
представил обстоятельный анализ понятия числа. Им выявлено несколько
свойств чисел, включая два важнейших: во-первых, числа не
являются свойствами индивидуальных вещей, и во-вторых, числа
являются объектами.
Рассмотрим первое утверждение. Анализ числа как свойства
включает обращение к грамматическому смыслу математического
дискурса. Предложение «этот ящик тяжелый» имеет вполне определенный
смысл, поскольку свойство «тяжелый» осмысленно применимо к
индивидуальному объекту «этот ящик». Но когда мы говорим, что
имеется сто гвоздей в этом ящике, мы не добавляем ничего существенного
ни к понятию гвоздя, ни к понятию ящика как вместилища гвоздей.
Далее, если дать ящик в руки спросить, тяжел ли он, всегда можно дать
на это немедленный ответ. Однако на вопрос «сколько» определенного
ответа без уточнения дать нельзя, поскольку неясно, что собственно
требуется считагь - пары гвоздей, гвозди с большими шляпками и т.д.
Так что ответы вопросы о числе требуют чего-то большего, чем ответы
на присутствие или отсутствие определенного свойства. Наконец, одна
и та же ситуация может привести к разным ответам, в зависимости от
способа мысли относительно предмета счета. Так, я могу
рассматривать гвозди в ящике в зависимости от размера, формы шляпки
и т.д. Другими словами, все мыслимое может быть посчитано, включая
идеальные предметы - идеи, концепции и пр.
Такой особый статус чисел находит свое отражение (или
обоснование) в грамматической структуре. Дело в том, что хотя слова,
обозначающие числа, выступают в качестве прилагательных, они,
тем не менее, отличны от подлинных прилагательных.
Стандартным примером такою различия является противопоставление
предложения «Рассел был великим философом» и предложения «Рассел
был одним», где слово «один» вряд ли может считаться подлинным
прилагательным, как это имеет место в случае слова «великий».
В какой степени такой лингвистический анализ является
убедительным, сказать трудно. Потому что уже Рассел показал, что граммати-
31 Frege G. Die Crundlagen der Arithmetik. - 1884.
126

4. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ФРЕГЕ: ЧИСЛА КАК ОБЪЕКТЫ
ка вводит в заблуждение (при этом, правда, следует помнить, что
школа лингвистического анализа сделала Фреге одним из своих
пророков). Как бы то ни было, именно такой лингвистический анализ
позволил Фреге установить важный факт относительно статуса нуля
и единицы как чисел. Гуссерль и его последователи полагали, что
число связано со счетом, и в этом смысле нуль и единица ничего не
считают. И хотя с математической точки зрения тут не было никакого
вопроса, в вопросах обоснования математики это был важный пункт.
Подлинно важные вещи относительно природы числа Фреге
обнаружил при анализе утверждений числового тождества. Так, в
отношении ящика с гвоздями можно сделать два утверждения: «Это
один ящик» и «Здесь сто гвоздей». Различие, которое зафиксировано
в этих двух различных утверждениях, состоит в том, что одна и та же
физическая ситуация концептуализирована разными способами. В
одном случае используется предикат «ящик» и во втором - предикат
«гвоздь». Но как замечает Фреге, число не может быть свойством
лингвистического выражения, потому что никакой анализ не
сможет показать, что имеется в виду ящик гвоздей, а не, скажем,
конфет. Но именно это важно для правильного понимания выражения
с использованием числовых терминов. По этой причине Фреге
посчитал, что такие утверждения на самом деле говорят о концепциях.
Концепции, с точки зрения Фреге, не являются ни
субъективными идеями, ни предикатами. С точки зрения логики, предикаты
указывают на концепции, и истинны относительно объекта точно
в том случае, когда объект подпадает под концепцию, на которую
указывает предикат. Варьирование предиката как лингвистического
устройства не влияет на подпадание объекта под определенную
концепцию. Ясно, что в таком представлении проглядывает платонист-
ское убеждение Фреге в существовании вневременных объектов. Для
платониста Фреге утверждения с использованием чисел истинны или
ложны независимо от того, мыслит ли кто их или же утверждает.
Классический пример - утверждение о том, что Земля имеет одну
луну. Принадлежность числа один в данном случае иллюстрирует
мысль Фреге. Это число приписывается не идее и не слову, а
концепции луна Земли. Такой ход позволяет Фреге объяснить, каким
образом мы можем считать самые разнообразные вещи - от
физических индивидов до абстрактных объектов. Все дело в том, как мы
при этом выбираем подходящую концепцию.
Мало того, что мы можем посчитать вещи, которые
существуют; мы можем также посчитать вещи, которые не существуют. Хотя
не существует лун Венеры, мы все-таки можем говорить о концеп-

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
ции луны Венеры, и поскольку лун не существует, приписать этой
концепции число 0. Следует отметить, что анализ Фреге верен лишь
в том случае, если сохранять различие между утверждениями об
индивидах и утверждениями о концепциях.
Теперь перейдем к другому тезису Фреге - что числа есть
объекты. Следует помнить, что для Фреге понятие объекта
противопоставляется понятию концепции. Доя понимания этого различия следует
вспомнить некоторые представления о логической форме и семантических
фактах. Существуют два рода объектов - абстрактные и конкретные.
Существуют два вида терминов - сингулярные и общие. Сингулярные
термины имеют целью указывать на один и только один объект, но
природа этого объекта может быть разной. Сингулярный термин,
указывающий на абстрактный объект, может быть именем числа или
множества. Сингулярный термин, указывающий на конкретный объект,
может быть именем физического предмета. Общий термин не указывает
объект, а истинен для некоторой совокупности объектов, которые
представляют его объем. Такая схема не является общепринятой, и
свойственна куайновской регламентации обыденного языка логикой
первого порядка, но пока примем эту схему в качестве вполне естественной.
Так вот в рамках этой схемы объект в терминах Фреге может
указываться только сингулярным термином. А вот концепция может
соотноситься с общим термином. Те философы, которые не принимают куай-
новскую регламентацию, предпочтут сказать, что концепции
указываются общими терминами. (Естественно, что Фреге использовал логику
высших порядков). Таким образом, тезис Фреге о том, что числа есть
объекты, представляет собой тезис о логической форме и семантике
числовых терминов.
Во времена Фреге никто не различал семантических и
синтаксических понятий, но интуитивно некоторые соображения Фреге были
Достаточно ясны. Так, он полагал, что числовые термины обыденного
языка функционируют как сингулярные термины. Далее, цифры в ма-
темагике также являются сингулярными терминами, которые
указывают на магематические объекты. В такой схеме перед Фреге стояли три
вопроса: (1) являются ли числа объектами или же концепциями; (2)
сущесгвуюг ли числа; (3) являются ли числа логическими объектами.
Фреге отвечал на все при вопроса утвердительно, используя понятие
объема концепции. Если числа представляют объемы, тогда ясно, что
они являются логическими объектами и существуют. Парадокс
Рассела подорвал веру Фреге в то, что числа являются логическими
объектами, и он не представлял себе каких либо альтернатив: если это не
логические объекты, значит это вообще не объекты.
128

4. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ФРЕГЕ: ЧИСЛА КАК ОБЪЕКТЫ
Фреге полагал, что мы можем иметь знание о конечных
кардинальных числах через вывод общих законов (эквивалентных
постулатам Пеано) из логики и определения термина «кардинальное
число». Определение это должно включать критерий тождества для
кардинальных чисел, и в качестве первого кандидата предложил
принцип Юма32. Этот принцип утверждает, что кардинальное число,
принадлежащее концепции F, идентично кардинальному числу,
принадлежащему концепции G, если и только если, выполняется
следующее условие: сущности, подпадающие под концепцию F, находятся
в 1-1 отношении с сущностями, подпадающими под концепцию G.
(HP) (AF) (AG) [(Nx: Fx = Nx.Gx) <-> (F 1-1 G)]
Но вскоре Фреге отказался от этого предложения, и посчитал,
что критерий тождества для кардиналов должен специфицировать,
какие именно объекты есть кардинальные числа33. Но как уже
говорилось, принцип Юма не выполняет этой задачи, поскольку ничего
не говорит о природе объектов.
В свете этой проблемы Фреге предложил другое определение34:
он предположил, что не может быть никаких сомнений в том, что
собой представляют объемы концепций. Если числа есть объемы,
тогда не может быть сомнений, какие объекты есть числа.
Определение идентифицирует число, принадлежащее концепции F, с
объемом концепции, которая находится в 1-1 отношении с объемом F.
Согласно этой точке зрения, числа есть частный вид более
фундаментального вида объектов (объемов). Поэтому Фреге вывел общие
законы нумерических объектов из принципа, который упоминался
нами ранее, а именно из аксиомы (V):
(V) (AF) (AG) [(Ext: Fx = Ext: Gx) <-» (F1-1 G)]
Как видно, в основе определения числа Фреге как логических
объектов лежит понятие кардинального числа, поскольку в (HP)
используется одно-однозначное соответствие. С точки зрения М. Даммита
тут Фреге допустил ошибку, поскольку он полагал кардинальные
числа более фундаментальными, чем ординальные35:
32 Frege G. The Foundations of Arithmetic. Tr. By J. Austin. - Oxford, Blackwell,
1953. - # # 62-5.
33 Там же. # # 66-7.
34 Там же. 68-9.
35 Dummett M. Frege: Philosophy of Mathematics. — Harvard University Press,
1991. - P. 293.
129

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
Определение Фреге натуральных чисел не достигло
общности, которой он добивался. Он предполагал... что
наиболее общее применение натуральных чисел состоит в
обеспечении кардинальности конечных множеств. Процедура
счета не только устанавливает кардинальность считаемого
множества: она налагает на него определенный порядок.
Привычно полагать, что порядок несущественен, так как два
любых упорядочения конечного множества могут иметь
один и тот же порядковый тип. Но если бы Фреге больше
уделил внимания работам Кантора, он бы понял, что
понятие ординального числа более важно, чем понятие
кардинального числа... В конце концов, когда мы считаем бой
часов, мы приписываем скорее ординальное, нежели
кардинальное число... Фреге хорошо осознавал, что Кантор
имел дело скорее с ординальными, чем с кардинальными;
но он не посчитался с этим, полагая, что это просто
расхождение интересов, и никогда не осознавал его значения.
Фреге в основном имел дело с основаниями арифметики, и
представлял их в виде аксиом Дедекинда - Пеано; примитивными
понятиям являются нуль, последующие число, и натуральное число.
Проблема оснований состояла в том, чтобы дать корректные
определения соответствующих терминов в рамках логики, так чтобы
аксиомы могли быть доказаны. Эти определения легко дать на языке
логики второго порядка, но тут возникают две трудности. Во-первых,
определение предиката «есть натуральное число» непредикативно.
Во-вторых, переменные второго порядка пробегают над
бесконечной областью, и тогда возникают проблемы обоснования
существования как свойств, так и объектов. Фреге предложил, почти в
манере бутс!рэпа, вывести объекты из уже известных концепций, начиная
со свойства, которое не имеет примеров, таких как
самопротиворечивость, но ею формальная попытка привела к парадоксу Рассела.
Как математики, так и некоторые философы, озадачены тем
упором, который другие философы делают на вопросе о том, являются
ли числа на самом деле множествами. В конечном счете, вопрос
о числах может быть либо более общим (являются ли числа
абстрактными объекгами), либо более простым (числа являются
сущностями sui generis), так что непонятно, почему вопрос о природе
чисел связан именно с множествами. Вопрос, конечно, слегка наивен,
потому что всем известна важность теории множеств в основаниях
математики, и тем не менее, стоит объяснить, почему перевод
теории чисел в теорию множеств заслуживает особого внимания.
130

4. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ФРЕГЕ: ЧИСЛА КАК ОБЪЕКТЫ
Дело в том, что возникновение теории множеств как
дисциплины, которая лежит в основании всей математики, связано с двумя
различными тенденциями развития исследований36. Во-первых,
значительные усилия были направлены на решение проблем,
связанных с пониманием оснований дифференциального и интегрального
исчислений, в частности, с проблемой понимания бесконечно
малых. Теория действительных чисел, развитая Дедекиндом и
Кантором, стала основанием теории предела Вейерштрасса, и важно иметь
в виду, что при этом использовались бесконечные множества
рациональных чисел, в частности, понятия сечения Дедекинда. Таким
образом, теория множеств здесь была связана с действительными
числами, и мотивация исследований была математической.
С более философской позиции исходил в своих исследованиях
Г. Фреге. Логицистский тезис Фреге о том, что математика является
по сути логикой, привел его в логическому анализу натурального
числа. Для этого он использовал бесконечные множества, и хотя
ввиду парадоксов решение Фреге не оказалось безупречным с
логической точки зрения, большая часть его аппарата вошла в
современную теорию множеств. Натуральные числа также были
отождествлены с определенными множествами. Поскольку теория множеств
казалась крайне плодотворной в математике, тот факт, что числа, как
действительные, так и натуральные, отождествлялись с определенными
множествами, говорит что-то очень существенное о природе чисел.
Далее, объяснение натуральных чисел в терминах множеств
представляет с философской точки зрения первостепенный интерес.
Ниже мы вернемся к анализу теории натуральных чисел Фреге,
а пока обратим внимание на то, что фигурирует в литературе под
названием «определение числа Фреге-Рассела»; в этом отношении
весьма характерен следующий пассаж из Рассела37:
Когда мы подходим к подлинному определению числа, мы
не можем избежать того, что должно с первого взгляда
парадоксом, хотя вскоре это впечатление рассеивается. Мы
естественно думаем, что класс пар есть нечто отличное от
числа 2. В отношении класса пар не возникает никаких
сомнений; это понятие неоспоримо и его определение
несложно, а вот число 2, в некотором другом смысле является
метафизической сущностью, по поводу которой мы не чув-
36 Maddy P. Realism in Mathematics. - Oxford University Press, 1990. - P. 81.
37 Рассел Б. Введение в математическую философию. - М.: Гнозис, 1996. -
С. 26.
131

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
ствуем, что она существует или что мы можем выследить
ее. Поэтому благоразумнее будет ограничиться классом пар,
в которой мы уверены, нежели охотиться за
проблематичным числом 2. Соответственно, мы принимаем следующее
определение:
Число класса есть класс всех тех классов, которые ему
подобны.
Таким образом, число пары будет классом всех пар. На
самом деле, класс всех пар будет числом 2, в соответствии
с нашим определением. Ценой некоторой
неестественности это определение гарантирует определенность и
несомненность; нетрудно доказать, что так определенные числа
имеют все свойства, которые ожидаются от чисел.
Таким образом, число 2 является классом (множеством), и в
наивном варианте теории множеств, которая была предложена Фреге,
число 2 оказывается очень большим классом, что ведет к
парадоксам. Хотя определение числа Фреге - Рассела является вполне
корректным при определенных ограничениях, в основаниях этой
теории лежит весьма сложная разветвленная теория типов. Поэтому
исследование того, в каком смысле числа являются множествами,
осложнено сопутствующим анализом многих других концепций.
Гораздо проще в этом отношении сведение чисел к множествам,
которое было предложено Э. Цермело и Дж. фон Нейманом. Не
вдаваясь в сложный исторический экскурс, отметим, что именно эти
два объяснения натуральных чисел стали стандартными в
философской литературе. Представление о том, что такое стандарт, в
существенной степени определяется как математической, так и философской
практикой, и в этом отношении мнения могут расходиться. Как мы видели,
если философы полагают обе версии перевода равноправными, то
математики имеют другие представления о стандартах.
Соотношение двух версий перевода теоретико-числовых
концепций в теоретико-множественные, коль скоро оно заняло столь
большое место в философских дискуссиях, может быть подвержено
критике и с другой стороны. В ситуации двух альтернативных
объяснений нет ничего необычного, поскольку в определенном не
формализованном смысле эта ситуация весьма часто возникает в
естественных науках. Что касается математики, то тут нужно отметить два
аспекта. Во-первых, если некоторые сущности, не являющиеся
множествами, тесно связаны с множествами, тогда объяснительная сила
132

4. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ФРЕГЕ: ЧИСЛА КАК ОБЪЕКТЫ
множеств может быть перенесена на эти сущности без
отождествления их со множествами38. Например, Дедекинд полагал, что
действительные числа «ассоциированы» с сечениями, но он не
пояснял, что это за ассоциация. В данном случае нет прямого
отождествления действительных чисел с множествами рациональных чисел
(сечениями), и поэтому не ставится онтологический вопрос о том,
что же такое действительное число. Во-вторых, дилемма Бенацер-
рафа может быть повторена не только на примере сведения
натуральных чисел к множествам, но и на примере, скажем,
упорядоченных пар - это пример рассматривался нами выше. Далее, эту
историю можно продолжить, опять-таки обращаясь к действительным
числам. Вместо Эрни и Джона (детей математиков-пуристов,
напоминающих Цермело и фон Неймана) можно представить себе
историю с Жорой и Рики (детьми других математиков-пуристов,
напоминающих Георга Кантора и Рихарда Дедекинда), между которыми
существует непонимание в отношении того, что такое
действительные числа. Жора полагает, что это фундаментальные
последовательности, а Рики полагает, что это сечения. В результате можно прийти
к выводу, как и в случае натуральных чисел, что действительные
числа не являются множествами.
Фреге полагал, что цифры есть истинные сингулярные
термины, обозначающие натуральные числа. Понимание этого тезиса
возможно при рассмотрении тезиса «синтаксического приоритета»: если
предложение S истинно, и если лексический термин t в S есть
сингулярный термин, тогда обозначаемый объект существует. Согласно
этому принципу, все, что необходимо для установления
онтологического реализма для арифметики, - это показать, что цифры есть
сингулярные термины, и что предложения с этими сингулярными
терминами истинны. Поскольку многие из предложений являются
истинными, Фреге заключил, что числа существуют. Используя
принцип Юма, Фреге начинает с определения 0 как числа пустой
концепции и определяет отношение последующего числа среди чисел.
Затем он определяет объект п как натуральное число, если п
является анкестралом отношения последующего элемента к 0, и т.д. Фреге
затем показывает, что стандартные аксиомы Пеано
удовлетворяются для таким образом сконструированных чисел.
Числа могут пониматься не только как объекты, но и как
свойства, и у Фреге можно найти обе концепции. Он колебался между
ними, приводя соответствующие аргументы и опровержения их. Но
Maddy P. Realism in Mathematics. - Oxford University Press, 1990. - P. 86.

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
современные историки философии полагают, что не все эти
аргументы являются заключительными и окончательными.
Действительно, перед Фреге при объявлении чисел объектами вставали две
проблемы. Число, которое принадлежит концепции F, есть объем этой
концепции, равночисленной с концепцией Фреге. Он полагал, что
объем концепции есть просто концепция. Но это означает, что числа
есть скорее концепции, нежели объекты. Но Фреге отвергает этот
взгляд, поскольку он вызывает два возражения: первое связано с
грамматическими трудностями, что не очень убедительно, а второе
то, что концепции могут иметь разное содержание, не совпадая при
этом. Это предполагает, что концепции являются скорее
интенсиональными, чем экстенсиональными. Так что Фреге допускает
возможность того, что числа есть концепции.
Имея в виду подход Фреге, интересно было бы исследовать
идею, что числа есть концепции, и какую роль при этом играет то
обстоятельство, что концепции являются интенсиональными. Для
этого рассмотрим простой арифметический пример - тождество:
2 = 5 (5(0))
Если полагать «концепция» вместо «объема концепции», 2 будет
концепцией «равночисленной концепции «тождественный с 0 или
1»», и последователь 0 будет
Концепция, «равночисленная с концепцией «член ряда
натуральных чисел, заканчивающихся 5(0)»
который есть
Концепция, равночисленная с концепцией «член ряда
натуральных чисел, заканчивающихся концепцией,
равночисленной с рядом натуральных чисел, заканчивающихся 0.
Здесь нет никакого сомнения в том, что объем 2, так
определенный, есть тот же самый, как и объем S {S (0)) - каждый включает
свойство быть равночисленным с концепцией, под которую
подпадают две вещи - но если равнообъемные концепции, тем не менее,
различаются, наше простое арифметическое тождество в опасности.
Это явная трудность для взгляда о том, что числа есть концепции.
Теперь рассмотрим, как все это работает с представлением
о том, что числа есть свойства. Если число 2 есть числовое свойство
ординала фон Неймана {0 , (0}}, тогда обладание свойством 2
означает равночисленность с этим множеством. Когда для
последовательности фон Неймана определен последующий элемент, S(S{0))
134

4. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ФРЕГЕ: ЧИСЛА КАК ОБЪЕКТЫ
оказывается тем же самым множеством как и само {0 , (0}}.
Так что быть равночисленным с одним значит быть
равночисленным и с другим (потому что последующий элемент jc есть х и {х} ).
То же самое для версии Цермело. Но до тех пор, пока мы не
способны утверждать, например, что свойство, равночисленное с {0, {0},
{0, {0}}}, тождественно свойству, равночисленному с {0, {0},
{{0}} }, возникает новая версия проблемы Бенацеррафа- какое
из них число 3? Какие свойства на самом деле являются числами?
Те, которые определены в терминах равночисленное™ в
конкретными неймановскими ординалами, или же те, которые определены
в терминах равночисленности с начальным сегментом ординалов
Цермело?
Числа являются свойствами множеств, и элементарная
арифметика есть изучение числовых свойств наследственно конечных
множеств, и наше знание арифметических фактов есть часть нашего
знания этих конечных множеств. Должны ли натуральные числа,
как и множества, быть включены в онтологию теории множеств?
Если мы говорим, есть ли что-либо математически значимое, что не
может быть сказано без указания на числовые свойства, тогда ответ
отрицательный. В этом и состоит мораль теоретико-множественной
редукции чисел: все, что мы хотим от чисел, мы получаем
ординалами фон Неймана. Сказать, что 2 < 3, значит сказать, что если jc
равночислененс {0,(0}},а.уравночисленен с {0, {0}, {0, {0}}},
тогда х равночисленен с собственным подмножеством у. Сказать,
что 2 + 2 = 4, значит сказать, что два непересекающихся множества
х и у равночисленны с {0 , (0}}, и тогда их объединение
равночисленно с {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}}}. «Каждое
натуральное число имеет последующий элемент» есть «если х есть
неймановский ординал, объединение хи {х} есть неймановский
ординал. «2 есть простое число» говорит «если х равночисленен с {0 ,
(0}}, тогда не существует двух множеств мощностью меньшей 2,
но большей 1, чье декартовское произведение равночисленно дг».
Но достаточно ли в этом вопросе одного математического
оправдания?
Наша глобальная теория мира должна содержать главу,
которая говорит нам, что мы делаем и почему это работает.
Эта дескриптивная и объяснительная теория нашей
практики, требуемая натурализованной эпистемологией, как раз
такой сорт теории, которую мы пытаемся построить39.
39Там же.-С. 97.

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
В дилемме Бенацеррафа есть два кандидата на роль чисел -
неймановские и цермеловские ординалы. Есть ли другие кандидаты?
Бенацерраф упоминает числа в стиле Фреге, когда число три есть
множество всех трехэлементных множеств. Если числа
действительно есть свойства множеств, как предлагает Мэдди, то в этом случае
такой вариант будет серьезным конкурентом Нейману и Цермело.
Это обстоятельство ослабляет аргументацию Бенацеррафа. У него
весьма слабые грамматические аргументы против Фреге, и поэтому
он отметает фреге вские числа.
Если свойство рассматривается с теоретико-множественной точки
зрения, тогда свойство отождествляется с множеством вещей, которые
проявляют это свойство. В этом смысле фрегевские множества вполне
естественны. Но дело в том, что множество всех троек противоречит
итеративной концепции множества, так как множество из трех
элементов формируется на базе уже сконструированных множеств, так что не
может получиться сразу множество всех троек. Это будет слишком
большое множество, - это будет «собственный класс».
5. Онтологические допущения арифметики
и нумерические кванторы
В настоящее время под «логикой» принято считать логику
первого порядка. В этом случае становится весьма затруднительным
понимание тезиса логицизма Фреге, поскольку им утверждаются как
будто две противоположные веши. Если математика есть логика,
тогда она ничего не говорит о существовании, поскольку логика не
включает в себя экзистенциальных утверждений. С другой
стороны, математика утверждает существование специфических
математических объектов, например, чисел или множеств. Каким образом
можно совместить эти два утверждения?
Прежде всего, отметим, что под логикой во времена Фреге
подразумевалась логика второго порядка, выразительные возможности
которой достаточны для формулировки утверждений
существования. Но не менее важным обстоятельством является то, что тезис об
изучении математикой специфических объектов является весьма
сложным по своему содержанию. Действительно, в него неявно
входи! определенное предположение о синтаксической форме
математических утверждений, а также определенная семантическая
концепция. Часто говорят о том, что математический дискурс обладает
стандартной семантикой в стиле Тарского. Более точно, эти
неявные посылки можно представить следующим образом:
136

5. ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ
A. Цифры есть сингулярные термины; их вклад в определение
истинностного значения предложений зависит от объектов,
которые они обозначают.
B. Числовые предикаты являются концепциями и
отношениями первого уровня.
C. Квантификация над математическими объектами должна быть
сконструирована референтативно, а не подстановочно.
Это означает, что логическая форма математических
утверждений должна быть выражена на языке первого порядка, и коль скоро
в концептуальный аппарат этой логики входит понятие
сингулярного термина, призванного указывать существующие объекты,
делается уже не логический, а метафизический вывод, что указываемые
цифрами (сингулярные термины) объекты (числа) существуют вне
пространства и времени, не созданы человеческой мыслью и не
являются результатом «математической активности». Правдоподобность
этого чисто метафизического тезиса подтверждается интуитивным
пониманием природы математики работающими математиками.
Наиболее уязвимым в этой платонистской картине является
понятие указания. Самого по себе упоминания о том, что такой-то и
такой-то термин указывает на определенный объект, недостаточно.
Надо еще представить то, что обычно называется микроструктурой
указания, то есть, представить описание механизмов того, как
производится указание. Например, согласно господствующей сегодня в
эпистемологии причинной теории указания, для употребления
термина требуется установление причинной связи между
употребляемым термином и предполагаемым объектом. Ясно, что такой
причинной связи в случае абстрактных объектов нет. Тогда стратегия
платониста должна состоять в разработке теории, в которой
разговор об абстрактных объектах - множествах или числах - возможен
только за счет понимания того, что представляет собой
абстрактный объект. Другими словами, микроструктура указания коренится
в математической практике. Нужно понять, в чем заключается наша
способность указания, например, на кардинальные числа, и каковы
те факты из нашей лингвистической практики применительно к
математике, благодаря которым выражения языка обозначают
объекты или концепции. Но живучесть платонизма определяется не только
тем, что он интуитивно отвечает убеждениям работающего
математика, но и тем, что достаточно трудно предложить альтернативную
теорию, которая объясняла бы указание на абстрактные объекты.
137

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
Понятие указания, особенно в свете причинной теории
указания, ориентируется главным образом на объекты среднего размера,
то есть, на обыденные физические объекты. Указание же в случае
абстрактных объектов представляет собой скорее следствие
относительно опосредованной лингвистической практики, которая в
математических контекстах представляется довольно своеобразной.
Некоторые исследователи полагают, что указание на абстрактные
объекты и указание на обыденные объекты путать не следует, и что
указание на математические объекты есть указание sui generis.
Отсутствующая в случае абстрактных объектов
микроструктура причинного указания может быть заменена логической
конструкцией. В конечном счете, именно такая стратегия применялась
Б. Расселом в его трактовке эмпирических объектов типа точки.
Система вложенных друг в друга все более уменьшающихся
«коробочек» могли имитировать в пределе математический объект40.
Именно по этой причине Фреге считал числа «логическими
объектами»; логика играет роль посредника в указании на числа. Г. Ходес
предлагает следующую реконструкцию концепции Фреге, в
которой участие логики делает указание на числа отличным от
обычного указания41.
Итак, проблема определения специфики указания на
абстрактные объекты упирается в понимание соответствующей
лингвистической практики. Фреге предложил теорию, которая в значительной
степени была мотивирована именно этим обстоятельством. Для этого
Фреге должен был объяснить употребление слов, обозначающих
числа. Рассмотрим следующие примеры:
(1) Имеется луна Юпитера
(2) Имеется в точности четыре луны Юпитера
(3) Число лун Юпитера = 4
Первое утверждение имеет форму (Ex) Fx, где Fx- предикат
«Выть луной Юпитера». Здесь интерпретация квантора референта-
тивная. Второе утверждение имеет более сложную форму, в
которую входит так называемый нумерический квантор. Это
утверждение может быть переведено в вспомогательный вид
(£4х) (х есть луна Юпитера)
* Russell В. Our Knowledge of the External World. - L., 1966.
41 Hodes H. Logicism and the Ontological Commitments of Arithmetic II Journal
of Philosophy. - 1984. - V. lxxxi. - P. 123-149.
138

5. ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ
то есть, «Имеется точно четыре х таких, что х есть луна Юпитера».
Более точно, это утверждение имеет форму
(£х4) = (Ex) (Еу) (Ez) (Ew) [Fx &Fy&Fz& Fw] &
& [(* *y) &x *z) & (x * w) & (y *2) & (у * w) & (z Ф w) ]
( Vm) [Fu з ( (m = x) v (m =>>) vу = z) v (w = w))]
Утверждение «Имеется в точности четыре луны Юпитера»
выражает ту же самую мысль, что и утверждение «Число лун Юпитера
= 4», но если первое из них может быть эксплицировано с
использованием кванторов, истинностных функций и равенства, то как
эксплицировать второе из этих утверждений? Между тем, если мы
постигаем первое утверждение, мы должны понять и второе.
Для этой цели нам нужно более общее определение понятия ну-
мерического квантора. Квантор Q(x) на самом деле представляет
концепцию второго уровня такую, что для любых концепций Хи Гпер-
вого уровня
(Qx) Хх з ({Qx Yx - (Qtx) (Xx, Yy))
где (Qhy) (ф, vj>,) означает, что v такой, что ф, равночисленен v
такому, что \\1.
Заметим, что в данном случае выражения типа Хх не ведут к
парадоксам, поскольку логика второго полрядка отличается от
теории множеств. Действительно, если бы Хх было равносильно х е X,
тогда не было бы логики высших порядков.
При экспликации фразы «Число лун Юпитера = 4» часть ее надо
обратить в сингулярный термин, путем задания переменной и ее
связывания квантором. Это решающая операция, которая
обозначается через «#», представляет собой некоторого рода
постулирование путем принятия следующего правила:
Если ф есть формула и v переменная, тогда (# у)ф есть
сингулярный термин.
Это правило есть определение семантики термина (# у)ф,
который указывает на множественный объект, то есть, на число.
Действительно, справедливо следующее утверждение
(#у)ф = (#у)Ч;=(е^)(ф,Ч;).
Содержательно это утверждение означает, что число,
приписанное концепции ф, равно числу, приписанному концепции ц/, если и
только если, сингулярный термин, полученный операцией задания
переменной и связывания ее квантором в свойстве ф, равен сингу-

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
лярному термину, полученному такой же операцией над свойством
\\i. Другими словами, семантика этой конструкции соотносит ее с
концепцией равночисленности.
Для экспликации понятия указания Ходес вводит еще ряд
технических понятий. Они нужны для того, чтобы придать смысл
понятию указания, которое связано с нумерическим квантором. Если
нумерический квантор указывает числа, тогда концепция указания
получает некоторое объяснение, значимое при некоторых условиях.
Нумератор (numberer) есть функция F второго уровня,
соотносящая концепцию первого уровня с объектами, такая, что для всех
концепций А'и Y
F{X) = F{Y)^{Qbx){Xx,Yx)
Репрезентатор есть функция G третьего уровня, соотносящая
нумерические кванторы с объектами, такая, что для нумерических
кванторов Q и Q
G(Q) = G(Q')^(X) {{Qx)Xx = Q'x)Xx)
Среди нумераторов можно выделить один специальный,
который приписывает концепциям первого уровня число объектов.
Другими словами, такой стандартный нумератор приписывает свойству
определенное число, которое есть число объектов,
удовлетворяющее этому свойству. Далее, имеется также стандартный
репрезентатор, который приписывает нумерическому квантору некоторый
объект, который на содержательном уровне понимается как число,
отвечающее этому квантору. Теперь можно увязать два введенных
технических понятия: F приписывает всем концепциям,
подпадающим под данный нумерический квантор то, что G приписывает
этому квантору. Другими словами, число объектов, которое
удовлетворяет некоторой концепции, соотносится с нумерическим квантором,
который указывает на это число.
Еще раз уточним соотношение введенных технических
понятий. Нумератор приписывает концепции число. Это число,
понимаемое как объект, указывается нумерическим квантором.
Посредником между числом и термином для него выступает репрезентатор.
Это и есть экспликация понятия указания сингулярным термином,
который представлен в арифметике цифрой, объекта, который есть
число. Что дает нам такая довольно сложная схема? С этой точки
зрения число 4 есть объект, полная сущность которого заключается
в том факте, что стандартный репрезентатор приписывает
соответствующий нумерический квантор числу 4. Важный факт состоит в
140

5. ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ
том, что нумерический квантор соотносится с «правильными»
объектами. В этой связи возникает «вечный» вопрос по поводу платонизма:
является ли такое соответствие с правильными объектами конвенцией,
или же это является проявлением природы числа? С точки зрения
платонизма, это природа кардинального числа состоит как раз в том,
чтобы оно могло быть соотносимым с конкретной кардинальностью
определенного квантора. Таким образом, понятие кардинального числа
основывается на понятии стандартного репрезентатора.
При таком понимании природы натуральных чисел возникает
некоторая двусмысленность. Числа являются объектами, и с точки
зрения логики первого порядка они являются индивидами, над
которыми производится квантификация. С точки зрения логики
высших порядков индивиды представляют собой сущности нулевого
уровня. Тогда представление чисел в виде нумерических кванторов
означает, что сущности второго уровня на самом деле имеют нулевой
уровень. Такое понимание платонизма вряд ли удовлетворительно, хотя
ситуация отчасти аналогична ситуации с аксиомой сводимости.
Вообще, есть три метода введения «новых сущностей» в
математические теории.
1. Постулирование математических сущностей, которые
удовлетворяют определенным законам, большая часть которых
справедлива для уже принятых сущностей.
2. Неявное определение, когда математик дает описание
системы сущностей, обычно спецификацией ее законов, и
затем утверждает, что описание применимо к любой
совокупности, которая удовлетворяет постулированным законам.
При этом может возникнуть вопрос, существует ли такая
система сущностей.
3. Конструкция, когда математик определяет новые сущности
как комбинации уже установленных объектов.
Первый способ может отчасти прояснить приведенное выше
затруднение. Мы можем считать, что числа являются результатом
постулирования объектов, внутренняя природа которых может быть
описана с помощью сущностей второго уровня. В этом случае числа
«на самом деле» представляют собой нумерический квантор, и сами
по себе есть просто нотационное удобство, или, как говорит сам
Ходес, «кодирующее устройство», позволяющее обращаться с ними
как с объектами. Такая стратегия имеет то преимущество, что в
основу арифметики кладется логика первого порядка, которая в
нотационном отношении гораздо проще логики высших порядков.
141

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
Роль логики первого порядка заключается не только в
нотационном удобстве. Дело в том, что язык первого порядка выражает
синтаксис математической теории. Понятие сингулярного термина,
которое и дает повод к тому, чтобы рассматривать числа как
объекты, является синтаксическим термином. Но для содержательно
богатой математической теории синтаксиса мало, потому что она
описывает математическую реальность, и в ней замкнутые
сингулярные термины выполняют и семантическую роль, а именно,
обозначают объекты. Таким образом, на некотором этапе происходит
переход от синтаксической роди сингулярного термина к
семантической его роли.
Такого рода переход возможен при неявной предпосылке о том,
что числа являются объектами. Фреге считал, что сингулярные
термины выполняют семантическую роль, и коль скоро языком
описания чисел является логика второго порядка, где квантификация
производится как над индивидами, так и над предикатами, для него
существуют как объекты нулевого уровня, так и объекты первого
уровня. Неявное предположение о том, что числа являются объектами,
Фреге сделал основой своей концепции. Но как оказывается, можно
избежать постулирования абстрактных объектов в виде чисел. Если,
как утверждает Ходес, числа есть нумерические кванторы,
требующие для своего обоснования сущностей третьего уровня, с
помощью понятий нумератора и ре презентатора утверждения высших
уровней можно закодировать так, чтобы свести их к более знакомой
и управляемой логике первого порядка. Когда сингулярный термин,
представленный через а, есть часть такой упаковки, «о существует»
есть все еще {Ex) x =■ а. Но это не влечет металингвистического
утверждения «а обозначает нечто» или «а имеет референт». То же
относится к предикату.
Таким образом, арифметика представляет собой логику высших
порядков, как это считали Б. Рассел и А.Н. Уайтхед42. Так, они
полагали, что разговор о множествах сокращением разговора о
пропозициональных функциях. По свидетельству Ходеса, они также близко
подошли к пониманию чисел как нумерических кванторов. Однако
Нумерические кванторы дают только конечные числа, и для
получения трансфинитных чисел требуется либо аксиома бесконечности,
которую приняли Рассел и Уайтхед, либо модальное понимание
математики, которое позволяет ввести бесконечность как потенци-
42 Whitehead A.N., Russell В. Principia Mathematica. - Cambridge University
Press, 1911-1913.
142

5. ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ
альную бесконечность. Далее мы рассмотрим переформулировку
математики в модальном виде.
Понимание чисел как нумерических кванторов не
противоречит обычной арифметической практике. Проиллюстрируем этот
тезис на примере доказательства простой арифметической теоремы
«2 + 2 = 4». Для того чтобы найти соответствующую этому
утверждению теорему логической теории первого порядка, введем
вспомогательное понятие - нумерически определенный квантор. Пусть
имеется некоторое свойство F. Утверждение, что не существует
объектов со свойством F, равносильно утверждению о пустоте
класса, определяемого свойством F, то есть - (Ex) Fx. Запишем это
выражение в виде (Eji)Fx. Далее, можно определить выражение (£,*)
Fx - «имеется точно один объект х такой, что х обладает свойством
F» - как сокращение выражения
(Ex)[Fx&(E(y)(Fy&y*x)]
то есть, «существует объект х такой, что х обладает свойством F, и
не существует объекта у, отличного от х, обладающего свойством
F». Подобным же образом определяется выражение (Ejc) Fx —
«имеется точно два объекта, обладающих свойством F», определяемое
через
(Ex)[Fx&(E]y)(Fy&y*x)]
и т.д. Суть определений подобного рода состоит в следующем:
чтобы некоторое свойство было присуще п + 1 объектам, оно должно
быть присуще объекту, отличному от тех п объектов, которым оно
уже присуще, то есть (Е^х) Fx есть сокращение для
(Ex)[Fx&(En)(Fy&y*x)].
Таким образом, выражение (Ejc) Fx, записанное только с
помощью логических символов, соответствует арифметическому
объекту, а именно, числу 2. Тогда математическому утверждению «2 + 2 =
4» соответствует логическое выражение - логическая истина -
[(£/) Fx & (Е/) Gx &(Vx)~ (Fx & Gx)\ z> (£/) (Fx v Gx)
Доказывается это так. Распишем сначала выражение (Ejc)Fx в виде
(Ex) (Ey) [Fx&Fy&x*y&(Vu)(Fu&(u=x)v(u= у)]
Соответственно, выражение (Е4х) (Fx v Gx) можно представить в виде
1/п

ГЛАВА 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕДУКЦИИ
(Ex) (Еу) (Ez) (Ew) [(Fx v Gx) & (Fy v Gy) & (Fz v Gz) &
(S4) * (Fw v Gw) & (x*y) &x*z) & (x*w) & (y*z) & (y*w) &
& (z^w)](V u)[(Fuv Gu)^>((u = x)\/(u =y)vy = z)\/(u =w))]
Из анализа выражений (E^x) Fx и (E^c) Gx ясно, что существуют
объекты х, у, z и w такие, что
(51) (Fx & Fy & х Фу) & (Vu) (Fy z> ((u = x)v(u =y))
и
(52) (Gz&Gw&z*w)& (Vm)) (Gy z> ((u = z) v (u = u>))
В каждом из этих выражений гарантируется существование
точно двух объектов. Кроме того, есть и дополнительное условие
(53) (Vx)~(Fx&Gx)
которое гарантирует, что эти объекты различны. В целом
содержание (SI), (S2) и (S3) равносильно содержанию (S4).
Таким образом, структура доказательства может быть
представлена в следующем виде
[(S\)&(S2)&(S3)]z)(S4).
Как видно, нумерические кванторы, представляющие числа,
вполне адекватны для этой роли, при условии, что числа конечны.
Теперь уместно привести некоторые философские комментарии
по поводу изложенного вывода. С точки рения философской логики
элементарную арифметику и высшие ее разделы разделяет
огромная пропасть. Это различие видно уже в аргументации Г. Фреге,
который в своем логическом анализе понятия числа обращал большое
внимание уделил грамматической форме слов для чисел. В
элементарной арифметике слова для цифр фигурируют как
прилагательные, в то время как в высших разделах слова для чисел фигурируют
в виде существительных. Следует иметь в виду, что в данном случае
термин «грамматика» и понятия, ей принадлежащие, -
существительное и прилагательное - рассматриваются скорее с точки зрения
философской грамматики; такая же ситуация имеет место с
термином «синтаксис». При рассмотрении нумерических кванторов
становится понятно, почему для обозначения чисел используются
прилагательные. Когда мы полагаем, что числа являются свойствами
концепций, а концепция выражается прилагательным, тогда числа
выражаются с помощью прилагательных. Действительно, в
приведенном выше доказательстве теоремы «2 + 2 = 4», на
дескриптивном уровне мы делаем следующее: если имеются по крайней мере
144

5. ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ
две вещи, обладающие свойством F(p,Boe <сРов»), и по крайней мере,
две вещи, обладающие свойством G (двое «С ов»), и ни один F не
есть G), тогда имеется по крайней мере четыре вещи, обладающие
свойством //(четыре «//'ов»). При этом каждый Fи каждый G
являются Н. Таким образом, при использовании свойств мы говорим «две
вещи», «четыре вещи», неявно используя прилагательные в
разговоре о числах. В то же самое время, при использовании формулы «2
+2 = 4», термины «2» и «4» используются как существительное. В
обыденном языке термины «две вещи» и «2» являются синонимами,
в то время как с философской точки зрения термин «две вещи»
имеет номиналистический характер, а «2» - платонистский характер43.
С точки зрения философской грамматики, существительное «2» есть
собственное имя, которое призвано указывать на существующий
объект. Поскольку номиналистическая версия утверждения «2 + 2 =
4» может быть сформулирована на языке первого порядка,
становится понятной программа Г. Фреге сведения арифметики к логике.
Но речь идет только об элементарной арифметике. Что касается
высшей арифметики», то она не сводится к логике первого порядка,
и может быть сформулирована на языке второго порядка.
В языке второго порядка кроме обычных кванторов «3» и «V»
мы можем использовать и нумерические кванторы. Точнее, для
представления математики мы можем использовать свободную от
экзистенциальных предположений логику первого порядка с тождеством,
в которой такие кванторы вполне доступны. В этом случае попытка
Г. Фреге свести математику к логике кажется вполне обоснованной,
особенно в свете попыток неологицистов возродить эту программу.
43 Bernadete J. Logic and Ontology: Numbers and Sets // A Companion to
Philosophical Logic / Ed. Jacquette D. - Blackwell Publishers, 2002. - P. 351.
145

ГЛАВА 4.
АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
1. Структурность
абстрактных объектов
Трудности адекватной трактовки концепции
абстрактного объекта в рамках логики первого порядка могут быть
преодолены при использовании модальной логики. Коль скоро речь
идет о экспликации понятия объекта, важно понять, какого рода
модальности при этом будут использованы - de re или de dicto.
Различение это имеет почтенную историю, восходящую к Аристотелю.
Интуитивные основания двух видов модальностей довольно
расплывчаты: модальность de dicto приписывается суждению (dictum),
а модальность de re есть приписывание существенного свойства вещи
(res). Утверждение de dicto означает необходимость истинности
суждения, утверждение de re - необходимость наличия свойств у объекта.
Очевидно, расплывчатость интуитивного понимания
различения модальностей допускает несколько экспликаций. Интересной
и важной считается экспликация в языке кванторной модальной ло-
146

1. СТРУКТУРНОСТЬ АБСТРАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ
гики. Комбинации модального оператора необходимости и
квантора схватывают различение двух видов модальности следующим
образом: L (Ex) Fx представляет собой необходимость de dicto,
поскольку необходимость относится ко всему суждению (Ex) Fx, а вот
формула (Ex) L Fx представляет модальность de re, поскольку
необходимость относится к предикации свойства F объекту х.
Одно из интересных применений методов модальной логики,
использующее вышеописанное различение, заключается в построении
интенсиональной теории онтологических допущений, которая была
предложена Джубьеном1. В основе теории лежит семантика Крипке для
модальной логики2. Джубьен вводит понятия онтологических
допущений de re de и de dicto следующим образом. Пусть в теории имеется
утверждение формы (Ех) (х = с), где с есть константа. Если константа
есть собственное имя, в противоположность определенной
дескрипции, тогда утверждение влечет онтологическое допущение.
В теории Крипке собственные имена являются твердыми десиг-
наторами3. Согласно этой концепции, утверждение о некотором
объекте, который указывается собственным именем в одном
возможном мире, сохранит истинностное значение в другом возможном
мире. Скажем, если в {Ех) (х = с) идет о Нейле Армстронге, тогда
утверждение о его существовании будет истинно во всех
возможных мирах. Но допустим, что вместо собственного имени мы
употребляем определенную дескрипцию «человек, первым ступивший
на Луну». В действительном мире этот человек- Нейл Армстронг,
но легко представить себе такой ход событий, другой возможный
мир, в котором этим человеком мог оказаться русский космонавт.
Здесь, таким образом, речь идет не о конкретном человеке, а о
неопределенном объекте. Это будет допущение de dicto, и его
логическая форма (Еу) (у = (Ix) Fx).
Возникает вопрос о том, какова должна быть модальная теория
абстрактных сущностей - de re или de dicto? Из изложенного выше
становится ясно, что модальный подход к математике требует
твердой десигнации, то есть указания на абстрактные объекты. Но
требуемого классической семантикой указания в данном случае не
может быть по двум причинам. Как отмечает М. Джубьен", при проти-
1 Jubien M. The Intensionality ofOntological Commitment II Nous, 1972. - V.6. -
P. 378-387.
2 Kripke S. Semantical Consideration of Modal Logic II Acta Filosophica Fennica,
1963.-V. 16. - P. 83-94.
3 Kripke S. Naming and Necessity. - Harvard University Press, 1980.
4 Jubien M. Ontology and Mathematical Truth II Nous xi, 1977, n 2. - 133-150.
147

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
вопоставлении абстрактных объектов конкретным следует выделить
два способа постулирования абстрактных объектов. Обыденный
подход состоит в неформальном предположении, что существуют
объекты, отличающиеся от конкретных объектов. В этом случае не
требуется никакой специфической оговорки, что такие объекты
являются математическими, что бы ни означал термин
«математические объекты». Соответственно, нет речи и специфических
математических свойствах объектов.
Другой способ постулирования абстрактных объектов состоит
в том, что существуют математические объекты, например, множества.
Такой подход мало интересен, поскольку при этом истинность
математических утверждений объясняется весьма просто: все упирается в
обоснование понятия множества как абстрактного объекта. Гораздо более
интересным было бы скомбинировать два способа постулирования в
один, с интересным замыслом: построить теорию математической
истины на одном лишь предположении - что математика трактует чисто
абстрактные объекты и что такие объекты существуют.
Обычный путь построения такой теории состоит в следующих
шагах:
1. Неформальная математика переводится в формальную
(предпочтительнее в теорию первого порядка).
2. Постулированные объекты используются в качестве модели
и конкретные модели выбираются в качестве намеренной
интерпретации формализованных версий таких моделей.
3. Утверждение неформальной теории считается истинным,
если и только если, его формальный аналог общезначим
в модели, выбранной в качестве интерпретации.
Главным дефектом такого подхода является однородная трактовка
понятия истины. В частности, с точки зрения истинности два
утверждения имеют одинаковую структуру: «Все города, в которых население
больше, чем в Нью-Йорке, находятся за пределами Америки» и «Все
простые числа, большие двух, нечетны». Однородная концепция
истины явно предполагает платонистское удвоение мира, и в платонистс-
ком мире мы можем говорить об объектах точно так же, как в мире
материальном. Если подход к анализу математики старается избегать
платонизма, следует избегать однородной трактовки понятия истины.
Сбой в такой трактовке содержится в шаге 2. Каким образом
простое существование абстрактных объектов позволяет нам
сконструировать подходящие модели, которые служат в качестве
интерпретаций? Дело в том, что для выделения модели требуется из всей
148

1. СТРУКТУРНОСТЬ АБСТРАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ
совокупности абстрактных объектов изолировать определенные
виды таких сущностей («натуральные числа», «множества», а
также конкретные сущности («нуль», «пи»). Это нужно сделать для
спецификации области модели и обеспечения интерпретации
символов констант и отношений в отношении выбранной области. Но
можем ли сделать это?
Трудность возникает, когда мы пытаемся изолировать или
выделить сущности. Например, мы пытаемся изолировать конкретный
объект, который служил бы интерпретацией некоторой константы
«О». Для платониста это относительно легко, потому что «нуль»
существует как отдельный объект в мире абстрактных сущностей
и легко распознаваем там. Если же не принимать платонистскую
точку зрения, тогда есть два возможных способа: наглядно или же
через дескрипцию.
Наглядное определение невозможно, так как абстрактные
объекты не имеют чувственной природы. Здесь поднимается масса
вопросов, связанных с тем, являются ли математические объекты
воспринимаемыми. Как мы видели, предпринимавшиеся К. Геделем
и П. Мэдди попытки обосновать возможность прямого восприятия
математических объектов сталкиваются со значительными
трудностями. Таким образом, остается путь, связанный с использованием
определенных дескрипций. Выделение объектов через дескрипции
можно сделать при помощи существенного свойства или
контингентного свойства. С точки зрения платониста вполне приемлемо
контингентное свойство, потому что для него дескрипция «число
планет» будет вполне приемлемым способом выделения числа 9.
Для того чтобы дескрипция выделяла некоторую сущность,
требуется соблюдение ряда условий. Во-первых, такое выделение не
должно быть круговым. Например, оно не должно использовать имени
вещи, которую предполагается выделить. Во-вторых, оно должно быть
вполне обосновано в том смысле, что не должно содержать существе н-
ного вхождения никаких сингулярных терминов, которые сами не
выделяют конкретных сущностей. Например, «I (ервая дочь Короля
Лира» не является вполне обоснованным, потому что термин
«Король Лир» не выделяет конкретной возможной сущности.
В-третьих, дескрипция должна быть вполне обоснованной в отношении
общих терминов. Гак, в утверждении «единственная вещь со
свойством Р» общий термин Р должен быть привязан к свойству.
Использование контингентных свойств не позволяет соблюсти
эти требования. Так, возникает вопрос, указывает ли термин «число
планет» абстрактную математическую сущность? Утвердительный
149

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
ответ на этот вопрос возможен только в том случае, если термин
«число» уже привязан к определенным конкретным сущностям.
Другими словами, требуется подготовительная семантическая
«грунтовка». Но как это можно сделать? Если мы не можем выделить
математические термины с самого начала, то как мы можем сделать
это потом? То есть, какого рода предварительные семантические
приготовления нужны для предположения, что определенные
дескрипции, которые как будто обозначают абстрактные сущности, на
самом деле обозначают эти сущности?
Очевидно, надо использовать существенные свойства. Но
существенные свойства - это те, которые соотносят математические
объекты с другими абстрактными сущностями. Существенное
свойство 9 - быть суммой 5 и 4, и быть следующим числом за 8. Но тогда
эти дескрипции не будут вполне обоснованы, поскольку
сингулярные термины типа «5», и общие термины типа «сумма» уже
прикреплены к соответствующим сущностям. До тех пор, пока мы не
выберем некоторые конкретные математические сущности без
предположения других сущностей, мы не продвинемся дальше.
Один из вариантов избежать этого затруднения состоит в том,
чтобы выделить «базисные» абстрактные объекты, например, О,
а остальные определять в их терминах. Но даже базисные требуют
дескрипций («первое натуральное число»), которые используют
общие термины («натуральное число»), которое должно быть
привязано к абстрактным объектам. Но мы-то как раз и ищем такой
привязки. И предположение ее означает порочный круг.
Быть может, тогда следует выделить все натуральные числа сразу
через некоторую удобную формулировку. Это может дать иллюзию
обоснованности, но на самом деле это опасно, потому что
возникает искушение сказать, что натуральные числа есть члены
определенной совокупности абстрактных сущностей, которые составляют
область выполнимости для экстенсионально интерпретированного
множества аксиом первого порядка. Но сам разговор об области
неявно утверждает существование абстрактных объектов, чье
существование мы пытаемся показать. Таким образом, мы вынуждены
сделать вывод о том, что абстрактные объекты не могут быть
указаны ни прямо, то есть, собственными именами, ни через свойства,
случайные или существенные. Кроме того, указание имеет смысл
относительно действительных, а не относительно возможных объектов.
Но как раз такие объекты и рассматриваются в модальной логике.
Таким образом, теория онтологических допущений для
математических объектов не должна иметь характер de re. Этот вывод
150

1. СТРУКТУРНОСТЬ АБСТРАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ
тесно связан с общими соображениями о природе абстрактных
объектов. М. Джубьен приводит в этой связи следующий парадокс5.
Рассматривается формальная арифметика без констант и
предполагается, что любое подмножество натуральных чисел может служить
областью интерпретации, которая изоморфна стандартной
интерпретации. Пусть имеется стандартная интерпретация с намеренной
областью 0, 1,2, ... Если рассматривать de re теорию онтологических
допущений, знаки формальной теории указывают на абстрактные
объекты 0,1, 2, ... Теперь рассмотрим изоморфную первой
интерпретацию с намеренной областью 1, 2, 3, ... Здесь мы имеем de re
онтологическое допущение объектов 1, 2, 3, ... Строго говоря, два
этих положения дел заставляют принять существование разных
абстрактных объектов. В первом случае допускается абстрактный
объект 0, а во втором - нет. Но последнее противоречит нашей
интуиции. Используя факт изоморфизма двух структур
0, 1, 2, 3,...
и
1, 2, 3, 4,...
мы приходим к выводу, что оба случая имеют одинаковое
математическое содержание. В то же время согласно критерию Куайна
онтологические допущения этих двух структур различны. Это
значит, что теория онтологических допущений абстрактных объектов
неправильно описывает ситуацию с этими объектами. Ведь нам
важно не то, возьмем ли мы первым элементом со-последовательности 0
или 1, а то, чтобы этот объект был первым элементом
последовательности. Возникает впечатление, что нам важен не столько объект
сам по себе, сколько его «позиция» или место в
последовательности. Это достаточно хорошо согласуется с известной аргументацией
Бенацеррафа, и означает это в свою очередь, что абстрактный объект
отличается от конкретного тем, что роль его выполняется местом,
или «позицией» в последовательности. А что такое «позиция»? Это
роль объекта в абстрактной структуре, и быть объектом - значит
иметь определенную позицию в структуре. Это опять-таки
согласуется с общими тезисами структурализма, но теперь уже в
применении к сопоставлению конкретных и абстрактных объектов. Но
тогда оказывается, что абстрактный объект по своей природе такого же
порядка, что и абстрактная структура. Именно в этом суть специфи-
' Jubien M. Ontological Commitment to Particulars II Synthese. - V. 28, 1974. -
P. 513-531.
1 1

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
ки абстрактных объектов по сравнению с конкретными.
Действительно, представим, что мы имеем дело, как и выше, с двумя
случаями fife re онтологических допущений, но только их области состоят
не из абстрактных, а конкретных объектов. Однако в отличие от
предыдущих соображений у нас не возникает мысль устанавливать
изоморфизм между двумя областями конкретных объектов, потому что
соответствующие теории имеют не одно и то же содержание.
Ситуация с конкретными объектами очевидна: имеются вещи,
их свойства и отношения. Уходящая вглубь веков полемика о
природе вещей и их отношениях, несмотря на огромное разнообразие
взглядов, утверждает, что отношения имеют иную природу, нежели
вещи:
R
I I.
вешь а вещь Ь
I I
Р
Вещи а и Ъ одной природы, а отношения Rw Р~ другой. А вот для
абстрактных объектов ситуация иная.
R Р
I II II И 1
0 1 2 3 4
Быть «вещью» 3 означает на самом деле иметь отношения Р и R
(это, конечно, значительное упрощение гораздо более сложной
ситуации).
Таким образом, можно назвать абстрактные объекты чисто
структурными, а конкретные вещи - субстратными. И если к
субстратным объектам применимо fife re онтологическое допущение, то
структурные объекты могу! допускаться только в виде fife dido. Это
означает, что нельзя специфицировать область, состоящую из
абстрактных объектов. Действительно, все попытки связать знаки системы
с объектами представляют собой попытки вида fife re, а они, как мы
видели, обречены на неудачу в случае абстрактных объектов.
152

2. ПОНЯТИЕ СТРУКТУРЫ В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
2. Понятие структуры
в философии математики
Структурализм может рассматриваться как достаточно
радикальный пересмотр основных направлений философии математики и ее
понятий, включая понятия объекта, истины, онтологии. Более
скромная оценка структурализма состоит в том, что им предлагается
новое осмысление традиционных подходов к философии математики.
Следует отметить, что в качестве преимуществ структурализма
часто выступают его естественность и согласованность с
математической практикой. Поэтому изложение основных догм и предпосылок
структурализма предполагает в качестве исходной точки некоторые
стандартные концепции как философии математики, так и
математической практики.
Интуитивное представление о структурализме может быть дано
в виде трех тезисов: (1) математика имеет дело со структурами; (2)
при этом имеет место абстрагирование от природы
индивидуальных объектов; (3) математические объекты не имеют большего
содержания, чем содержание основных отношений структуры. Более
точная формулировка этих тезисов затруднительна, потому что
различные философы склонны делать упор на различных аспектах
структурализма. Так, Дж. Хеллман замечает:
Как и со многими «измами», «структурализм» коренится во
многих интуитивных представлениях, которые могут
эксплицироваться различным образом, часто конфликтными
путями6.
Часто эти различия столь велики, что очертания самого
направления становятся слишком расплывчатыми. С точки зрения самого
Хеллмана интуитивное представление о структурализме включает
следующие тезисы. Во-первых, математика представляет собой
исследование структурных возможностей, реализуемое строгими
дедуктивными средствами. Во-вторых, в математике имеют значение
не конкретные магематические объекты, а определенные
«структурные» свойства и отношения, определенные на совокупности
объектов. Наконец, сама идентичность индивидуальных математических
объектов зависит от таких структурных отношений. Иллюстрацией
этих представлений является бессмысленность постулирования од-
6 Hellman G. Structutalism without Structures II Philosophia Mathematica, series
111, 1996.
153

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
ного действительного числа, потому что оно должно быть частью
упорядоченного континуума7.
Несмотря на то, что структурализм в некотором смысле
противостоит всем направлениям философии математики, все-таки более
правильно было бы сказать, что структурализм противостоит в
наиболее значительном отношении платонизму. Действительно,
платонизм утверждает существование области независимых от
человеческого сознания сущностей (будь то платонистские идеи или же
математические объекты). Обычно в качестве крайнего платонист-
ского взгляда приводится утверждение Курта Геделя, согласно
которому роль математических объектов в математических теориях
(например, в теории множеств) аналогична роли физических объектов
в физических теориях. Таким образом, математические объекты
и физические объекты рассматриваются на пару как имеющие
одинаковый «объектный» статус. В отношении объектов очень важны
так называемые «принципы индивидуации»8. Во-первых, два объекта
тождественны, если они обладают одинаковыми свойствами. Это
знаменитый принцип неразличимых Лейбница. Во-вторых, два
объекта идентичны, если они занимают одну и ту же область
пространства-времени. Этот принцип восходит к Ф. Аквинскому.
Наконец, неопозитивистская трактовка тождественности объектов
сводится к утверждению примитивности этого отношения.
Натуральные числа являются отдельными объектами, и индивидуация в
данном случае означает, что каждое число является индивидуальным
объектом, который не зависит от других объектов, и должен
соотносится с другими объектами через отношение тождественности.
Но как раз этого и не может быть, поскольку число 3 не может
существовать без чисел 2 и 4; действительно, число 3 есть то, что следует
за числом 2 и предшествует числу 4 в ряду натуральных чисел. При
попытке применить к натуральным числам принцип неразличимых
Лейбница в ограниченном виде (говоря не обо всех свойствах,
а о его сущности) мы встречаемся с трудностями. Видимо,
сущности чисел заключается в их соотношениях друг с другом. В этом
смысле вся арифметика есть единая структура, внутри которой трудно
выделить индивидуальные объекты.
11латонист считает математические объекты отдельно
существующими сущностями, и в этом смысле каждое натуральное число
существует без всякой ссылки на другие натуральные числа. Нату-
7 Там же, с. 100-101.
8 См., например, Рассел Б. Человеческое познание -. М., 1957.
154

2. ПОНЯТИЕ СТРУКТУРЫ В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
ральное число имеет сущность само по себе, если прибегнуть к
аристотелевской терминологии. Структуралист же полагает, что так
называемая сущность числа состоит в отношениях между числами.
Описанное различие между пониманием природы числа платонис-
том и структуралистом лежит достаточно глубоко. Действительно,
мы можем обнаружить довольно близкую аналогию в различии двух
трактовок понятия отношения. Объективные идеалисты типа Брэд-
ли, Бозанкета и др., в значительной степени прояснившие логику
гегелевской диалектической структуры, исповедовали доктрину
внутренних отношений, согласно которой природа отношения
заключается в природе относящихся членов. Так, отношение тезиса
и антитезиса определяется внутренними противоречиями в тезисе
как члене отношения и их преодолением в антитезисе опять-таки
как члене отношения. Б. Рассел в обосновании математики принял
доктрину внешних отношений, согласно которой природа
отношения не зависит от природы членов отношения. В этом случае
отношения налагаются на область предметов, которые трудно признать
самостоятельными объектами вне отношений.
С другой стороны, есть такие формы структурализма, которые
могут рассматриваться как формы платонизма. Ниже мы
рассмотрим так называемый ante rem структурализм, в котором
онтологический приоритет отдается универсалиям, в полном согласии с
традиционным платонизмом.
Несмотря на то, что структуралистские идеи высказывались, как
это видно из предыдущего раздела, как математиками, так и
философами, до середины 60-х гг. XX века эта тема не была
превалирующей в философии математики. Интенсивное обсуждение
структурализма, как уже упоминалось, было инициировано статьей П. Бена-
церрафа «Чем числа не должны быть»9. Правда, следует отметить,
что термин «структурализм» является настолько широким, что его
надо понимать здесь в специальном смысле философии
математики. Но даже и здесь этот термин имеет расширительное значение
благодаря программе Н. Бурбаки. Кроме того, философское
направление, развиваемое в духе представлений этих философов, еще не
приобрело столь четких очертаний, чтобы можно было бы говорить
о нем как о сложившемся и оформившемся «направлении» в
философии математики.
Прежде всего, отметим, что структурализм вовсе не является,
в отличие от других направлений философии математики, «старым»
9 Benacerraf P. What Numbers Could not Be II Philosophical Review. - V. 74,
1965.
155

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
направлением. Как меланхолично замечает один из
структуралистов, математика имеет долгую историю, и вряд ли объяснение ее
природы укладывается в какой-то один философский взгляд. Тем не
менее, в некотором смысле, «конкурентоспособность»
структурализма по сравнению с другими направлениями, скажем, с платонизмом
или концептуализмом, определяется тем, что он претендует на
универсальность определенного рода. Структурализм стремится объять,
или вместить в себя, все остальные направления философии
математики: «Структурализм есть естественный продукт развития
математики и философии»10. Больше того, «...структурализм имеет
целью объяснить всю математику, а не просто все ее части, а только те,
которые хорошо согласуются с традиционным платонизмом»11.
Структурализм может рассматриваться как экспликация тех
незавершенных споров, которые время от времени возникают в
математике и философии относительно того, как понимать
математические концепции. С одной стороны, принимая во внимание точность
математического дискурса, естественно предположить, что каждое
понятие в математике имеет четкое и ясное определение. С другой
стороны, математика представляет собой структуру, каждый элемент
которой связан с другими элементами и структурой в целом,
приобретая значение в последней. Первый взгляд представлен Г. Фреге
в его знаменитой полемике с Д. Гильбертом по поводу роли аксиом
как неявных определений. Согласно Фреге аксиомы должны быть
истинами, а определения должны давать значения терминов и
фиксировать указание ими математических объектов. Между тем
концепция геометрии Гильберта, получившая окончательное
выражение в его «Основаниях геометрии»12, как раз характерна тем, что
в ней основные термины намеренно лишены значения. Сточки
зрения Фреге, определения должны давать значения каждого
употребляемого термина, и все термины, которые участвуют в
употреблении, уже должны иметь известные значения. Гильберт же полагал,
что значения математических терминов можно понять только в
рамках целой структуры, а не по отдельности.
Концепция может быть фиксирована логически только ее
отношениями с другими концепциями. Эти отношения
формулированы в определенных утверждениях, которые я на-
10 Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. - Oxford
University Press 1997. - P. 143.
11 Цит. выше, с. 183.
12 Русский перевод Д. Гильберт . Основания геометрии. - М., 1948.
156

2. ПОНЯТИЕ СТРУКТУРЫ В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
зываю аксиомами... Таким образом, я прихожу к взгляду,
что аксиомы и есть определения этих концепций. Я не
придумал этот взгляд по причине того, что мне нечего делать, -
дело в том, что я вынужден был это сделать ввиду
требований строгости в логическом выводе и логическом
конструировании теории. Я убедился в том, что более тонкие части
математики ... могут рассматриваться с этой точки зрения;
в противном случае, мы впадаем в порочный круг»13.
С. Шапиро комментирует этот пассаж так: «Я не знаю лучшей
формулировки структурализма. Неявное определение
характеризует тип структуры - единую структуру, если аксиоматизация
выполнима и категорична»14.
Б. Рассел в данном вопросе занял позицию, близкую к позиции
Гильберта.
...математик не должен заниматься частными вещами по
поводу его точек или же их внутренней природой. ...Нет
никаких эмпирических свидетельств того, чем должна быть
«точка». Ею может быть все, что как можно ближе
удовлетворяет нашим аксиомам, но не как то, что «очень мало» или
«не имеет частей». Обладает ли она такими свойствами, это
неважно, если она удовлетворяет аксиомам. Если мы
можем из эмпирического материала сконструировать
логическую структуру, даже весьма сложную, которая будет
удовлетворять геометрическим аксиомам, эта структура вполне
законно может быть названа «точкой». ...Это только
иллюстрация общего принципа, что существенным в
математике ...является не внутренняя природа наших терминов,
алогическая природа их взаимоотношений. ...Мы можем
сказать о двух подобных отношениях, что они имеют одну
и ту же «структуру». Для математических целей
...существенной характеристикой отношения является то, что оно
справедливо для определенных вещей, а не их внутренняя
природа....15
13 FregeG. Philosophical and Mathematical Correspondence. -Blackwell, 1980. -
P. 51.
14 Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology.- Oxford
University Press 1997. - P. 164.
15 Рассел Б. Введение в математическую философию (перевод Целишева В.).-
М.:Гнозис, 199.-С. 62.

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
Широко распространено мнение, что возникновение
исследований абстрактных структур является отличительной чертой
математики XX века. В этой связи возникают два рода вопросов: что
такое структура с математической точки зрения, и каковы
философские следствия этой концепции? Сразу надо отметить, что
математики и философы в отношении концепции структуры имеют
различные интересы. Философов интересует природа математических
объектов, будь то классические объекты вроде множеств или же
математические структуры. Например, типичным в отношении
натуральных чисел является вопрос о том, являются ли они «на самом
деле» множествами в стиле фон Неймана или же Цермело.
Математика подобные онтологические вопросы не интересуют, поскольку
он ограничивается изучением структур и останавливается при
обнаружении изоморфизма этих структур. В этом случае можно
считать в платонистском духе, что изоморфные структуры описывают
некоторую реальность, но опять-таки этот вопрос выходит за
пределы интересов математиков.
Дж. Таппенден приводит следующую характерную цитату,
которая характеризует ситуацию отрицания работающими
математиками важности подобных вопросов16. В своем учебнике по
дифференциальному и интегральному исчислению Майкл Спивак, после
доказательства категоричности аксиом замкнутых полей
действительных чисел говорит следующее17:
Эта теорема подводит нас к концу нашего исследования
действительных чисел, и разрешает всякие сомнения
относительно них: Имеется полное упорядоченное поле, и вплоть
до изоморфизма только одно полное упорядоченное поле.
Важная часть математического образования состоит в
детальном прослеживании процесса конструирования
действительных чисел, но нам нет нужды входить в детали того
или иного способа их конструирования. В высшей степени
несущественным является тот факт, что действительные
числа оказываются совокупностью рациональных чисел,
и этот факт не входит ни в одно доказательство какой-либо
важной теоремы. Разумные доказательства должны
использовать только тот факт, что действительные числа являются
полным упорядоченным полем, потому что это свойство
1Ь Tappenden J. Recent Work in Philosophy of Mathematics II Journal of
Philosophy. - 2001. - P. 492.
17 Spivak M. Calculus. - Menlo Park: Benjamin Cummings, 1991. - P. 511-512.
158

2. ПОНЯТИЕ СТРУКТУРЫ В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
действительных чисел характеризует их вплоть до
изоморфизма, и любое значимое свойство действительных чисел
будет истинных для всех изоморфных полей. Я должен
признаться, что последнее утверждение является лишь
предубеждением автора, но оно разделяется почти всеми
другими математиками
Это убеждение (или предубеждение) работающих математиков
имеет теоретическую подпорку со стороны структурализма как
философии математики. В этом смысле структурализм может
рассматриваться как философия, «более близкая» к убеждениям
математиков, чем, скажем, такие классические направления как логицизм,
интуиционизм или даже формализм. Итак, структурализм в
качестве одного из своих главных лозунгов провозглашает, что интерес
математиков оканчивается обнаружением изоморфизма структур. Но
так ли это на самом деле? Этот вопрос будет рассмотрен позднее, а
пока лишь заметим, что чрезмерные претензии структурализма
будут существенно ограничены, если все-таки интересы математиков
выходят за пределы поиска изоморфизма структур.
Структурализм как понимание математической практики имеет
достаточно долгую историю, но в значительной степени
популярности ему придала деятельность Н. Бурбаки. Эта группа
французских математиков предприняла грандиозные усилия по кодификации
значительной части математики в рамках единого видения. При этом
базисной концепцией явилась концепция алгебраической
структуры, точнее аш-ебраических структур, порождаемых различными
множествами аксиом и правил для различных областей математики.
Единое видение всех математических дисциплин возможно за счет
аксиоматического метода.
Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или
несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по
своему внешнему виду, и где вмешательство гениального
математика приводит к обнаружению совершенно «неожиданной
помощи», которую одна из них может оказать другой, там
аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины
этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за
деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать
эти идеи и подвергать их исследованию»18.
" Бурбаки Н. Архитектура математики II Очерки по истории математики. -
М. 1963.-С. 248.
159

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
Этому процессу Бурбаки придают воистину философское
значение, апеллируя, как и следует ожидать от французских
интеллектуалов, к картезианству. Согласно одной из максим последнего,
следует «разделять трудности для лучшего их преодоления». При
рассмотрении теории следует выделить основные направления ее
аргументации, затем сформулировать их в абстрактном виде и
вывести из них следствия. Затем следует воссоединить различные
компоненты теории и исследовать, как они влияют друг на друга. Как
замечают сами Бурбаки, «нет ничего нового в этом классическом
движении между анализом и синтезом; оригинальность метода
полностью заключается в том, как он применяется».
Лучше всего этот метод реализуется, с точки зрения Бурбаки, в
аксиоматических теориях абстрактных групп. На их примере
иллюстрируется общее понятие структуры. Так, общий характер различных
концепций, обозначаемых этим родовым именем, состоит в том, что они
применяются к множеству элементов, чья природа не
специфицирована; для того, чтобы определить структуру, надо взять одно или
несколько отношений, в которые элементы находятся друг с другом, и загем
постулировать, что данное отношение, или отношения, удовлетворяют
определенным условиям, которые установлены точно, и которые
являются аксиомами рассматриваемых структур.
При этом структуры не только лежат в основании
математического здания, но и служа! унифицирующим инструментом в
организации всею математического здания. Есть воистину
метафорическое видение магематики как развивающегося города.
Математика, согласно Бурбаки, подобна быстро
развивающемуся городу с многими пригородами, вторгающимися
в окружающую город сельскую местность.
Расширяющийся город сталкивается с кризисом собственной
идентичности, обусловленного спорадическим ростом построек
внутри и вне города, а также серьезным упадком
существующих строений в городе. Некоторые пригороды расту! столь
быстро, что сами становятся отдельными городами, а тем
временем обнаруживается, что нет практически никакого
сообщения между этими отдельными городами... Именно
по этой причине город нуждается в серьезнейшем
обновлении, которое должно быть произведено согласно ясно
задуманному плану и глобальному порядку. При этом должны
исчезнуть старые кварталы с лабиринтами аллей, которые
сменят идущие от центра на периферию новые проспекты,
более прямые, широкие и боле удобные. Естественно, что
160

2. ПОНЯТИЕ СТРУКТУРЫ В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
Бурбаки в этой метафоре полагают себя планировщиками
города и его строителями19.
Как показало дальнейшее развитие математики, структуры как
математические объекты играют важнейшую роль в
математическом знании. Однако философский вопрос, являются ли они столь же
фундаментальными с онтологической точки зрения как числа или
множества, остается открытым. С некоторым спадом энтузиазма,
связанного с идеологией Бурбаки, стало ясно, что для обретения
такого статуса требуется не столько математическая, сколько
философская аргументация.
3. Структура натуральных чисел
Перед тем как приступить к анализу этой аргументации, надо
рассмотреть некоторые концепции, необходимые для обсуждения
структурализма. Центральной такой концепцией является
арифметика как теория натуральных чисел. Стандартным представлением
являются аксиомы Пеано (Дедекинда - Пеано). Общепринятым
способом их представления является язык логики второго порядка, два
нелогических символа - константа «1» и одноместный
функциональный символ S. В этом языке устанавливаются три аксиомы (в языке
второго порядка):
(А1) V* [1 * *(*)]
(А2) Ух У у [(* *у)^> (s(x) * s(y))]
(A3) VX [(Д1) л Ух (X (х) -► X (s(jc)))) -► Vjc X(x)]
Вопрос об использовании логики второго порядка для
формулировки аксиом Пеано является весьма дискуссионным: многие
полагают, что гораздо надежнее в этом отношении является язык
первого порядка. Правда при этом имеется в виду не просто язык
первого порядка, а и теория множеств. Соотношение этих двух
подходов не всегда ясно, но известен афоризм Куайна, суть которого
состоит в том, что логика второго порядка является волком в овечьей
шкуре, то есть, на самом деле является логикой первого порядка
плюс теория множеств. Куайн полагает, что следует разделить эти две
части, поскольку логика отличается от теории множеств во многих
отношениях, главными из которых Куайн считает то, что логика не имеет
к Barrow J. Pi in the Sky. - P. 132.
iftl

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
дело с экзистенциальными утверждениями, а аксиомы теории
множеств как раз являются экзистенциальными утверждениями20.
Парадигмальным примером структур являются алгебраические
структуры. Так, группа В состоит из непустой области G, функции #
от двух аргументов на G; эта функция ассоциативна. Существует
единственный элемент е такой, что для всех а, принадлежащих G,
а#е = е#а = а. Далее, каждый элемент а из области G имеет
единственный обратный элемент по отношению к #, то есть, для
каждого а имеется такой Ь, что a#b = b#a = e. Элемент е и функция #
являются частью структуры. Язык, который используется для
описания этой структуры, включает такие математические объекты как
множества, функции, отношения.
В попытках дать более точное определение структуры мы
прибываем к теоретико-множественной концепции, В рамках теории
множеств структура предстает как математический объект,
исследуемый с помощью ресурсов теории множеств. Область структура
рассматривается как множество, и тогда сама структура становится
и-кой. Так, структура группы есть упорядоченная тройка <G, #, e>.
Хотя использование теории множеств для описания структур
вполне согласуется с тезисом, что теория множеств является каноническим
языком для всей математики, как мы увидим позднее, соотношение
концепции множества и концепции структуры представляет один из
наиболее сложных вопросов при утверждении структурализма.
Если мы принимаем теоретико-множественное описание
структур, тогда возможно рассматривать структуру как множество
объектов с определенными на этом множестве отношениями. В этом
случае аксиомы выступают в качестве некоторых условий, которым
эти отношения должны удовлетворять. То есть, мы можем
рассматривать различные системы, каждая из которых состоит из
множества объектов S, выделенного элемента е в множестве, и
одноместной функции на множестве/ и исследовать, удовлетворяют ли они
аксиомам. То же относится к другим аксиомам. Такие системы
можно называть реляционными системами. Таким образом, такая
система — это множество с одним или более константами, функциями
и отношениями.
Исследование концептуального базиса математического знания
в значительной степени было мотивировано долгое время поисками
правильных определений понятий предела, непрерывности,
сходимости рядов, то есть, было мотивировано вещами, которые так или
Quine W.V.O. Set Theory and Its Logic. - Cambridge University Press, 1963.
162

3. СТРУКТУРА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
иначе связаны с анализом и пониманием континуума. Такого рода
поиски были свойственны XIX веку, и они позволили понять уже
известные результаты. Однако появление новых результатов,
которые не могли быть осмыслены на основании старого
концептуального базиса, таких результатов как существование непрерывной, но
нигде не дифференцируемой функции действительной переменной,
требовало обращения к самым основам математики. В конце XIX
века тщательному концептуальному анализу подверглась базисная
часть математики - теория натуральных чисел.
Выяснилось, что математическая структура бесконечности,
в частности, структура действительных чисел и функций на них,
может быть построена с помощью теоретико-множественных
операций над натуральными числами. В этой связи возникает
философский вопрос о природе структуры натуральных чисел.
Подчеркивание философского характера вопроса не случайно, потому что
стремление к пониманию, например, действительных чисел
мотивируется главным образом математической практикой, в то время как
натуральные числа представляются настолько хорошо понятыми, что
трудно представить, какого рода вопросы тут могут возникать.
Исторически представляет интерес анализ понятия структуры
натуральных чисел, предпринятый с разных точек зрения двумя
мыслителями - Г. Фреге и Р. Дедекиндом. Анализ Г. Фреге носил
больше логический характер, в то время как Дедекинд имел в
первую очередь математическую сторону дела. Это обстоятельство
хорошо видно из другого математического результата Дедекинда.
Известно, что определение действительного числа допускает
множество трактовок, как это имеет место и в случае определения
натурального числа. Дедекинд ввел понятие сечения. Сечение есть
деление рациональных чисел на два множества А1 и А2 таких, что
каждый член Л1 меньше любого члена.,42. Если имеется
рациональное число и такое, что п есть либо наибольший член А\, или же
наименьший член А2, тогда сечение (А\, AT) «производится»
числом и. При этом некоторые сечения не производятся никакими
рациональными числами. Подобного рода пробелы Дедекинд
предложил заполнять следующим образом: всякий раз, когда сечение
производится не рациональным числом, мы создаем новое,
иррациональное число а, которое полностью определено сечением (Al, A2).
Дедекинд использует два выражения: число а соответствует этому
сечению, и число а производит это сечение. Некоторую
двусмысленность выражения Дедекинда можно использовать в
зависимости от философских взглядов.
163

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
Так, по мнению Ф. Клейна, Дедекинд, вводя определение
сечения, устанавливает определение, которое с точки зрения строго
логической, конечно, должно рассматриваться как чисто условное
соглашение21. Это значит, что сечение отождествляется с
действительным числом. Структуралист С. Шапиро настаивает на том, что
Дедекинд не отождествляет действительное число с сечением,
поскольку сечением создается новое число. Поскольку весьма трудно
представить, что собственно имел в виду Дедекинд, говоря о «создании
числа», часто ссылаются на пассаж из письма Дедекинда его другу
Г. Веберу. Вебер полагал основной концепцией кардинальное
число, а Дедекинд - ординальное, и по этому поводу заметил:
Если последовать вашему пути...тогда я не советую
рассматривать число как класс (система всех конечных систем,
подобных одна другой), и скорее рассматривать его как
нечто новое, соответствующее этому классу, создаваемое умом.
Мы принадлежим божественному роду и обладаем, без
всяких сомнений, творческими силами не только в
материальной области (железные дороги, телеграф), но особенно в
области метальной. Это точно теп же самый вопрос, который
вы поднимали в конце вашего письма в отношении моей
теории иррациональных чисел, где вы говорите, что
иррациональное число есть не что иное как само сечение, в то время как
я предпочитаю создавать нечто новое, отличное от сечения,
которое соответствует сечению, и о котором я говорю, что оно
вводит сечение (bring forth), порождает его22.
К вопросу о том, следует ли считать Дедекинда
структуралистом, мы вернемся позднее. Сейчас же, рассмотрев процедуру
создания действительных чисел, зададимся вопросом, а не
напрашивается ли представление о том, что натуральные числа Дедекинд будет
определять в том же духе, что и действительные. Нет, отвечает
П. Мэдди23. Дело в том, что вопрос «что такое действительные
числа?» не аналогичен вопросу «что такое натуральные числа?». Как
уже было отмечено, проект Дедекинда не был аналогичен проекту
Фреге. Фреге следовал укоренившейся лингвистической практике,
поддерживающей убеждение, что слова для чисел являются имена-
21 Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. - М.:
Наука, 1987. - С. 53.
22 DedekindR. Letter to Heinrich Weber (24 January 1988)11 From Kant to Hilbert.
- V. II, Clarendon Press, Oxford / W. Ewald. - P. 835.
23 Maddy P. Realism in Mathematics. - P. 94.
164

3. СТРУКТУРА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ми, а сами числа являются объектами, и его цель заключалась в
исследовании природы этих объектов. В случае же Дедекинда
ситуация была другая: до этого времени не было систематического
использования действительных чисел, а была лишь интуиция
геометрической линии. Задача Дедекинда состояла в том, чтобы дать
такую систему чисел, которая имитировала свойства прямой. Таким
образом, если Фреге задавался вопросом «что такое действительное
число?», то Дедекинд на самом деле имел в виду вопрос «что такое
непрерывность?».
Фундаментальное значение для понимания природы
натуральных чисел внес Дедекинд, название работы которого Was sind und
was sollen die Zahlen?24 может быть переведено по-разному.
Буквальный перевод таков: «Что есть числа и чем они должны быть?». Но
поскольку термин «sollen» имеет несколько смыслов, название можно
перевести и как «Каков наилучший способ рассмотрения чисел?», и
как «Какова функция чисел?», «Чем числа предполагаются быть?».
По этой причине название этой знаменитой работы часто
цитируется в оригинальном варианте. Эта работа существенно повлияла на
Пеано в его аксиоматизации арифметики и на Цермело в его
аксиоматизации теории множеств. Надо признать, что серьезный
философский анализ структуры натуральных чисел до сих пор не может
обойтись без возвращения к идеям Дедекинда.
Идеи Дедекинда во многом были созвучны
теоретико-множественному подходу к анализу натуральных чисел. Центральным
понятием у него было понятие системы, которое на современном
языке означает множество. В отличие от Фреге, который основное
внимание уделил анализу понятия кардинальною числа, Дедекинд
рассматривал число как характеристику структуры натуральных чисел.
Введем некоторое число технических деталей, следуя превосходной
работе Ч. Парсонса25.
Дедекинд рассматривает понятие простой бесконечной
системы N, для которой справедливы следующие требования: имеется
выделенный элемент 0 в Л', и отображение S: N>N {0}. «Простая
бесконечная система» есть структура </V, О, S>, и такая, что
выполняется аксиома индукции (не являющаяся формулой первого порядка).
(1) VM{[0eM& Vx(xeM>Sxe Mj\>NcM)
и Dedekind R. Brunswick: Vieweg, 1988, 1911.
25 Parsons Ch. The Structuralist View of mathematical Objects II The Philosophy
of Mathematics / W.U.Hart. - Oxford University Press, 1998. - P. 272-309.
165

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
Эта структура проявляется натуральными числами. Эти условия
обозначаются как Q (А/, О, S). Пока эта структура есть то, что
называется на современном языке ю-последовательностью. Между тем,
Дедекинд хотел получить анализ именно натуральных чисел. Как
известно, со-последовательностей может быть много, и одна из
самых серьезных проблем состоит в том, чтобы решить, какая именно
из этих последовательностей представляет натуральные числа.
Дедекинд решает эту проблему знаменитой теоремой категоричности,
согласно которой две любые простые бесконечные системы
изоморфны. Кроме того, Дедекинд вынужден сделать при этом
предположение о существовании простой бесконечной системы, что
равносильно принятию аксиомы бесконечности.
Теперь следует понять, почему Дедекинд считается
структуралистом. Первичным понятием для него является простая
бесконечная система, и только потом в рамках такой структуры
идентифицируются натуральные числа. В сущности простая бесконечная
систем является моделью натуральных чисел. Дедекинд говорит, что
утверждения о натуральных числах являются неявно общими,
говорящими о любой простой бесконечной системе. Любое
утверждение о натуральных числах будет иметь вид А (А/, О, S) с
примитивными символами N, О, S. Если мы считаем А (А/, О, S) утверждением о
натуральных числах, тогда А/, О, S будут переменными, и в этом
случае имеем
(2) Для любых N, О, S, если Q (N, О, S), тогда A (N, О, S).
Утверждение категоричности состоит в том, что (2) справедливо,
если A (N, О, S) справедливо для одной простой бесконечной
системы А/, О, S. «Первичность» простой бесконечной системы
свидетельствует в пользу структуралистского видения математических
объектов. Дедекинд говорит при этом следующее:
Если при рассмотрении простой бесконечной системы N,
упорядоченной отображением ф, мы полностью
пренебрегаем специальным характером элементов, просто
утверждая их различимость, и принимаем во внимание только
отношения упорядочения отображением ф, тогда эти
элементы называются натуральными числами, или ординальными
числами, или простыми числами... Указание на это
освобождение элементов от любого другого содержания
(абстракция) оправдывает нас в том, что мы называем числа
свободным творением человеческого ума. Отношения или законы,
166

3. СТРУКТУРА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
которые полностью выводятся из условий...
следовательно, всегда те же самые во всех упорядоченных просто
бесконечных системах, какие бы имена не давались
индивидуальным элементам...26
Далее, Дедекинд устанавливает, что «натуральные числа»,
определенные таким образом, удовлетворяют обычным
арифметическим свойствам, и для них соблюдается принцип индукции. Для этих
чисел определяется сложение и умножение, и даются определения
функций через примитивно рекурсивные отношения. Наконец,
показывается, как «натуральные числа» применяются для счета.
Таким образом, Дедекинд выглядит законченным структуралистом,
отдавая приоритет простым бесконечным системам, в чьих рамках
определяются натуральные числа, индвидуальность которых
«растворена» в структуре. Однако такая интерпретация вызывает
возражения ряда исследователей. Так, У. Уэйт утверждает, что
зачисление Дедекинда в структуралисты создаст настоящий скандал в
философии математики, как было скандалом и то, что до сих пор
основополагающая работа Дедекинда игнорировалась в философской
литературе27. Дело в том, что система чисел есть «свободное
творение человеческого ума», и получается она абстракцией из
конкретной простой бесконечности, которую мы конструируем. Но как сам
Дедекинд заметил в письме Клеферштейну28, суть конструкции
состоит в том, чтобы установить непротиворечивость системы чисел.
Таким образом, первичны все-таки в определенном отношении
натуральные числа. Это также подтверждается тем, что именно такой
«дедекиндовской абстракцией» им получаются рациональные и
иррациональные числа. Процесс этой абстракции идет следующим
образом. Начиная с ординальных чисел в стиле фон Неймана,
мы можем абстрагироваться от конкретной природы этих
ординальных чисел для того, чтобы получить систему N
натуральных чисел. Другими словами, мы вводим N вместе
с изоморфизмом между двумя системами. Точно таким же
образом мы можем ввести континуум, например, путем
дедекиндовской абстракции из системы дедекиндовских сече-
'"' Dedekind R. Was sind und was sollen die Zahlen II From Kant to Hilbert. - V. II
. - Clarendon Press, Oxford / W. Ewald. - P. 809.
27 W.W.Tait. Critical Notice: Charles Parsons' Mathematics in Philosophy II
Philosophy of Science. - 1986. - V. 53. - P. 590-591.
28 Dedekind R. Letter to Keferstein II From Frege to Godel / J. van Heijenoort. -
Harvard University Press, 1967. - P. 99-103.
167

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
ний. На этом пути, произвольность той или иной конкретной
«конструкции» чисел или континуума.. .устраняется29.
Тут Дедекинд предстает прямо-таки платонистом, верящим с
существование математических объектов, независимо от
человеческого сознания, и числа для него являются объектами.
Наш первоначальный вопрос о том, является ли Дедекинд
структуралистом, становится запутанным, поскольку математические
структуры также могут считаться объектами своего рода. Это новая
постановка вопроса, и именно она вызвала наибольшие споры
среди философов математики, в чьи интересы входит определение
статуса математических структур. Есть три подхода к решению этой
проблемы. Первый из них - это так называемые ante rem структуры.
Второй - это так называемый элиминативный структурализм.
Третий способ - так называемый модальный элиминативизм.
4. Ante Rem структуры
Собственно структурализм может быть представлен двумя
лозунгами: современная математика изучает структуры, а объекты являются
местами (или позициями) в этих структурах. Первый лозунг не требует
пояснений, но второй апеллирует к ряду деталей, которые следует
упомянуть. С. Шапиро выстроил целую систему понятий, которые
позволяют ему дать обоснование философскому структурализму30.
Шапиро начинает с понятия системы, которая есть совокупность
объектов с отношениями между ними. Структура же есть
абстрактная форма этой структуры. Более точно, структура состоит из мест,
цлк позиций, и конечного перечня функций и отношений над этими
позициями. Таким образом, мы имеем «материальную» в некотором
смысле систему, и от нее мы можем перейти через абстракцию к
понятию формы структуры. Обратный процесс состоит в том, что,
обладая абстрактной формой структуры, мы можем наполнить ее
содержанием. Этот последний процесс будем называть
проявлением структуры31. Приведем примеры структуры и ее проявления. Хок-
ю Tail W. W. Truth and Proof: The Platonism of Mathematics II The Philosophy of
Mathematics / W.D. Hart. - Oxford University Press, 1998. - P. 165.
30 Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. - Oxford
University Press, 1997.
31 Термин «проявление» есть аналог английского термина "exemplification",,
который широко используется в логике, и означает нахождение соответствующего
примера. Термин "instantiation" переводится нами как «конкретизация».
168

4. ANTE REM СТРУКТУРЫ
кейную команду можно считать структурой, а роль защитника,
нападающего, вратаря можно считать местами в этой структуре.
Некоторый матч с конкретными игроками можно считать проявлением
этой структуры, где место защитника занимает, скажем, Рагулин, а
место нападающего - Фирсов.
Структура может быть более «абстрактной». Натуральный ряд
чисел представляет собой структуру, позиции в которой, как может
показаться, закреплены за конкретными объектами - числами,
а именно, за 0, 1, 2, ... Однако ситуация гораздо более сложна. Как
известно, натуральный ряд чисел удовлетворяет аксиомам Пеано.
Три примитивных символа, а именно, «О», «последующий элемент»
и «число» - могут иметь бесконечное количество интерпретаций,
которые удовлетворяют аксиомам Пеано. Ряд формы
XXX X
I' 2' 3'""'' п3 **'
в котором имеется первый термин, последующий элемент для
каждого термина, в котором нет повторений, и каждый термин может
быть достигнут конечным количеством шагов, как известно, есть
прогрессия, или же ю-последовательность. При этом каждая
последовательность подобно рода удовлетворяет аксиомам Пеано.
«Любая прогрессия может быть взята в основу чистой математики: мы
можем дать имя «О» ее первому члену, имя «число» целому
множеству ее терминов, и имя «последующий элемент» следующему
термину в прогрессии. Вовсе не необходимо, чтобы прогрессия была
составлена из чисел: она может быть составлена из точек
пространства, или моментов времени, или любых других терминов,
доступных в бесконечном количестве. Различные прогрессии
дадут различные интерпретации всех утверждений чистой
математики; все эти возможные интерпретации будут равно
значимыми»32. Так что любая «-последовательность с функцией
последующего элемента является проявлением Числовой Структуры,
третий элемент которой занимает третью позицию, называемую
«натуральное число 2».
Традиционно считается, что членами прогрессии, или ы-по-
следовательности, являются объекты, и в случае проявления этой
прогрессии натуральными числами эти числа являются объектами.
Но помещение этих объектов в структуру приводит к различиям
в понимании роли этих объектов. Дело в том, что существует инту-
32 Рассел Б. Введение в математическую философию. - М.: Гнозис, 1996. -
С. 18.
169

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
итивное различие между объектами и позициями в структуре. При
обсуждении соотношения объектов и позиций в структуре
высказываются два подхода.
Рассмотрим первый подход. Коль скоро структура проявляется,
по крайней мере, несколькими системами, между ними сохраняется
определенное различие в силу разных онтологии, которым
принадлежат системы. Таким образом, при обсуждении объектов как
позиций в структуре предполагается некоторая фоновая онтология
объектов. Так, в шахматах, это фигуры из дерева, определенной формы
и цвета. В арифметике такой фоновой онтологией являются
множества. Другими словами, позиции в структуре могут быть проявлены
по-разному. Так, мы можем сказать, что проявление позиции «2»
в структуре натуральных чисел неймановской
теоретико-множественной конструкцией {0, {0}} имеет на один член больше, чем
цермеловской позицией {{0}}.Более тонкая ситуация возникает,
когда фоновая онтология может состоять из позиций другой
структуры. Например, структура натуральных чисел может проявляться
действительными числами, которые являются позициями в
структуре действительных чисел. Другими словами, место в структуре
действительных чисел, называемое «+2, 000...» будет проявлением
структуры натуральных чисел, соответствуя позиции в структуре
называемой «2». Идя в этом отношении последовательно, можно
допустить, что фоновая онтология может состоять из позиций той же
самой структуры: так, четные числа проявляют структуру
натуральных чисел, и поскольку четные числа являются подмножеством
натуральных чисел, это одна и та же онтология.
Таким образом, мы приходим к важному выводу. Структура
проявляется системой, которая обладает некоторой онтологией,
называемой фоновой онтологией. Объект как таковой принадлежит
сфере онтологии. Если же структура проявляется позициями этой самой
структуры, тогда различие между позицией в структуре и местом для
подстановки позиции, или же различие между объектом и позицией,
становится весьма расплывчатым. Такой подход Шапиро называет
«взглядом на позиции как на места для подстановки позиции».
Другой взгляд состоит в том, что позиции в струкгуре
трактуются как объекты сами по себе, безотносительно к проявлениям
структуры. То есть, позиции могут рассматриваться как объекты,
и в рамках формальной системы фигурируют как сингулярные
термины. Именно в этом смысле математические объекты являются
местами в структуре. Такая точка зрения называется Шапиро «взгляд
на позиции как объекты». Прибегая к шахматной аналогии, мы го-
170

4. ANTE REM СТРУКТУРЫ
ворим, с этой точки зрения, что слон (позиция в структуре) ходит по
диагонали. В этом случае структуре не нужно проявление какими-то
системами. Арифметика, в этом случае, говорит о структуре
натуральных чисел, и ее область рассмотрения состоит из мест этой структуры.
Оба изложенных взгляда предполагают, что каждая структура
имеет некоторое множество проявлений. То есть, структура в
некотором смысле есть обобщение общих свойств конкретных систем,
и поэтому структура с метафизической точки зрения может
рассматриваться как Форма (в платонистском смысле). Реализм в
отношении универсалий есть утверждение, что Форма, или универсалия,
существует онтологически независимо от своих проявлений. Это так
называемый ante rem реализм, и соответственно, ante rem
универсалии. Противоположная точка зрения на универсалии, высказанная
впервые Аристотелем, утверждает, что без вещей не существует
универсалий, и значит, последние существуют как in re
универсалии. Соответствующий вид реализма называется in re реализм.
Рассмотрение структур как универсалий позволяет перевести
дискуссии об онтологическом статусе структур в русло дискуссий
об онтологическом статусе универсалий. Так, если мы полагаем, что
структура сама по себе не содержит ничего, что выходит за пределы
содержания ее проявлений, то есть, в структуре нет содержания,
выходящего за пределы содержания систем, тогда это реализм in re.
С этой точки зрения «взгляд на позиции как объекты» не должен
пониматься как достаточно самостоятельный взгляд, ведущий к
выводу о том, что позиции есть сингулярные термины, указывающие
на объекты. Скорее, более самостоятельным взглядом является
«взгляд на позиции как на места для подстановки позиции». Дело
в том, что взгляд на позиции как объекты не должен пониматься
буквально, а является просто обобщением взгляда на позиции как
места для подстановки. Другими словами, утверждения,
подразумевающие взгляд «позиции как объекты», являются просто
перефразировкой соответствующих обобщений в отношении систем,
которые проявляют структуру. Утверждения в рамках взгляда
«позиции как объекты» влекут обобщения по всем системам, которые
проявляют структуру. Все, что играет роль 3 в системе натуральных
чисел, есть последователь всего, что играет роль 2 в этой систем.
Короче, утверждения в рамках взгляда «позиции как объекты»
прилагаются к конкретным объектам, которые занимают позиции в
отношении некоторой системы, проявляющей структуру. Это
понимание ведет к устранению позиций как объектов, то есть, к
фактической элиминации структур как таковых. Действительно, если струк-
171

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
тура проявляется только системами, а не структурами, мы могли бы
утверждать, что разговор о структурах есть просто сокращение
разговора о системах. То, что кажется подлинными сингулярными
терминами, есть на самом деле скрытое использование связанных переменных.
Если перейти от понятия структуры вообще к понятию
математической структуры, то возникают проблемы бесконечного
универсума, или системы с бесконечным числом объектов. Другими
словами, математические структуры требуют для своего проявления
системами бесконечного числа объектов. В случае in re понимания
структуры, к содержащей ее теории предъявляются требования, которые
трудно удовлетворить, поскольку наличие системы с бесконечным
числом объектов является проблематичным. В случае же ante rem
понимания структур не требуется, чтобы структура проявлялась
областью неструктурного происхождения. Каждая структура является
сама по себе системой, и таким образом, каждая математическая
структура проявляет саму себя. Так, структура натуральных чисел
проявляет саму себя, имея бесконечное число объектов. Это
главное преимущество ante rem понимания математических структур.
На этот момент нам требуется понимание того, в какой степени
математические структуры специфичны по отношению к другим
структурам. С точки зрения распознавания образцов в
эмпирических явлениях между структурами математическими и структурами
с эмпирическими элементами различия нет. Но математические
структуры изучаются дедуктивно, и все, что можно сказать о
вышеупомянутой специфике, относится к общему вопросу о специфике
дедуктивного знания и формализации знания.
Формализация играет ключевую роль в различении обыденных
и математических структур в следующем аспекте. При
рассмотрении обыденных структур «позиции» заполняются объектами,
природа которых важна для понимания структуры. Например,
рассмотрим игру в хоккей как систему, которая определяет действия
игроков. Эта система является проявлением некоторой структуры с
шестью «действующими лицами». Мы можем представить себе другую
систему с такими же «действующими лицами», то есть, игроками,
предположив при этом, что каждый из них находится друг от друга
на расстоянии одного километра. Ясно, что такая система не
проявляет описанную выше структуру. Или же мы можем представить
настольную игру в хоккей, которая также не является проявлением
структуры хоккея. Все дело в том, что для подлинного проявления
структуры требуется ввести определенные ограничения на
«действующих лиц» — они должны быть людьми, должны находиться на пло-
172

4. ANTE REM СТРУКТУРЫ
щадке разумных размеров и прочее. Но эти дополнительные
условия не имеют отношения к структуре. А вот в формальных системах
природа объектов не имеет значения.
Если в обыденных структурах позиции или места должны
заниматься объектами с учетом их природы, то в формальных
структурах такая подстановка является свободной (Шапиро употребляет
термин «freestanding»33). Действительно, пусть у нас имеется
структура натуральных чисел. Как видно из постановки проблемы о
неединственности редукции натуральных чисел к множествам, пози-
ция«3» может быть занята множеством {{{ 0 }}} или множеством
{0, {0}, {0} {0}}. Но можно и не прибегать к «посторонним»
объектам, поскольку роль таких свободных подстановок могут
сыграть и «свои» натуральные числа, учитывая, например, что четные
числа большие 4 проявляют структуру натуральных чисел. Скажем,
роль числа 3 может играть число 6, роль числа 3 - число 8, и так
далее. Другими словами, позиции как объекты могут занимать
места в различных структурах.
Но можно пойти еще дальше, по аналогии с тезисом
неопределенностью указания В. Куайна34. При изложении концепции
онтологической относительности, говоря о переводе одной
концептуальной схемы, скажем, натуральных чисел, в схему теории множеств,
он отмечает возникновение неопределенности указания. Далее он
делает то, что Р. Рорти назвал «странной» операцией35, а именно,
применяет концепцию неопределенности указания к одной и той же
концептуальной схеме, то есть, к одному и тому же языку. Тем
самым, неопределенность указания оказывается не результатом
перевода, а присуща самому языку. Та же идея легла в основу концепции
«внутреннего реализма» X. Патнэма36.
С. Шапиро предлагает применить нечто подобное к идее
свободной подстановки объектов. Вместо того чтобы считать, что роль
числа 3 играет множество {{{ 0 }}}, можно считать, что роль числа
3 играет само число 3. То есть, число 3, рассматриваемое с точки
зрения позиции как объекты, занимает позицию 3 в структуре
натуральных чисел. Эта операция позволительна при понимании струк-
33 Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. - Oxford
University Press, 1997. - P. 101-106.
34 Куайн В. Онтологическая относительность II Современная философия
науки. А.А. Печенкин. - М.: Логос, 1996.
35 Рорти Р. Философия и зеркало природы. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1997. -
С. 154.
36 Putnam H. Models and Reality// Journal of Symbolic Logic. - 1980. - V. 45, n. 3.
173

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
тур как ante rem структур. Теперь можно понять специфику
математических структур по сравнению с обыденными структурами в
более точных терминах. Обыденные структуры не являются
структурами со свободной подстановкой, а математические структуры
обладают таким свойством.
Термин «математические структуры» довольно неоднозначен,
поскольку позиции в структуре могут иметь разную степень
абстрактности. Другими словами, возникает вопрос, являются ли
позициями в математических структурах те абстрактные объекты,
которые мы обсуждали ранее. Дело в том, что свободная подстановоч-
ность, судя по всему, присуща таким абстрактным объектам,
которые по сути объектами не являются, будучи просто тенями
структуры, точно так же, как индивиды являются «тенями» универсалии.
«Реальные» абстрактные объекты не достигают такой степени
очистки, чтобы стать лишь частью структуры. На этом обстоятельстве
особенно настаивает Ч. Парсонс, обсуждая проблему так
называемых квазиконкретных объектов в математике37.
Абстрактные объекты традиционно противопоставляются
конкретным объектам. Но кроме них можно говорить еще о
квазиконкретных объектах, которые имеют представление в конкретных
объектах. Типичным случаем квазиконкретных объектов являются
геометрические фигуры. Поскольку квазиконкретными объектами
являются наиболее элементарные математические объекты, они
являются важными для оснований математики. Но одно обстоятельство
отделяет их от абстрактных объектов в духе ante rem, - они не
имеют свойства свободной подстановочности.
В этом отношении на первый план выходит свойство
формальности структур; структуралист на возражение Парсонса может
сказать, что квазиконкретные объекты являются слишком «сырыми»
для подлинного дедуктивного мышления, и что им нужно «дозреть»
до формального уровня представления. Кроме того, можно отрицать
промежуточные формы абстрактных объектов. Этот последний
вопрос особенно интересен в связи со взглядом, который
пропагандирует II. Мэдди, согласно которому мы имеем чувственное
восприятие множеств. В этом случае воспринимаемые сущности могут
полагаться квазиконкретными. Шапиро считает, что из истории
математики можно сделать вывод, согласно которому структуры
квазиконкретных объектов постепенно заменяются структурами со свой-
37 Parsons Ch. The Structuralist View of Mathematical Objects II The Philosophy
of Mathematics / W.D. Hart. - Oxford University Press, 1998. - P. 273.
174

4. ANTE REM СТРУКТУРЫ
ством свободной подстановочное™. Поскольку ранее мы заметили,
что наилучшим примером квазиконкретного объекта является
геометрические фигуры, рассмотрим пример из геометрии. Начиная с
античности, геометрия считалась изучением физического
пространства, хотя и идеализированным в значительной степени. Точки и
линии евклидова пространства были точками и линиями
пространства. Таким образом, эти геометрические объекты были
конкретными или квазиконкретными, а их структуры не обладали свойством
свободной подстановочности. Далее, отношения между этими
объектами не были формальными, что видно уже из того, что понятие
«точка С находится между точкой А и точкой В» опирается на
неформальное физическое требование, чтобы А была слева от С,аВ-
справа. По мере формализации геометрии ее объекты становятся все
более структурными. Структура евклидовой геометрии с точки
зрения аналитической геометрии проявляется и-ками действительных
чисел. Таким образом, отношение «между» в теории
действительных чисел и в геометрии подобны друг другу, но это подобие носит
структурный характер. Действительные числа не являются
действительными частями пространства, и таким образом, речь может идти
только о структурах.
Теперь перейдем к анализу свойства формальности.
Формальное отношение, с точки зрения Шапиро, должно быть полностью
определено в языке высшего порядка с использованием
терминологии логических понятий. Это отношение полностью определено на
системе объектов. Г. Ходес критически относится к такому
пониманию формальности, поскольку остается много вопросов о самой
системе38. В частности, формальность как свойство отношений
внутри системы может быть абсолютным, т.е. относящимся к любой
системе, или же относительным, т.е. зависящим от конкретной
системы. Далее, при такой трактовке становится неясной сама концепция
структуры, поскольку неясны ресурсы языка высшего порядка.
Дело в том, что для понимания понятия структуры как чего-то
такого, что проявляется различными системами, требуется
установление некоторого отношения сходства между системами.
Идеальным для этих целей было бы отношение изоморфизма между двумя
формальными структурами, но поскольку речь идет о более ранней
стадии, которая предшествует формализации, это понятие
оказывается слишком формальным. Остается ввести, как это делает М. Рез-
38 Hodes H. Stewart Shapiro's Philosophy of Mathematics II Philosophy and
Phenomenological Research. - V. lxv, n. 2, September 2002.
175

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
ник, понятие структурной эквивалентности39. Таким образом, это
понятие предшествует процессу установления тождества структур,
и стало быть, тождества объектов как позиций в структуре. Это, в
свою очередь, означает, что само понятие объекта как позиции в
структуре вводится постулированием через некоторый принцип
абстракции. Точнее, в случае ante rem понимания структур, через
принцип абстракции постулируется существование структур. Этот
принцип, с точки зрения Ходеса, может выглядеть так:
(Abstr) Для любых систем s0 и s{ имеется единственная
формальная структура, обладающая свободной
подстановочностью, проявляемая s0 и s, если и только
если, 50 и s структурно-эквивалентны.
Но такого рода абстракция применима только к конкретным, в
лучшем случае к квазиконкретным объектам, и как всякая абстракция
она не гарантирует нам получения объекта, «чистого» до такой
степени, что его можно считать позицией в структуре ante rem. Таким
образом, формальность, одно из главных требований к пониманию
структур в духе ante rem, в существенной степени зависит от
неформальных соображений относительно принципов абстракции.
Не лучше обстоит дело с описанием ресурсов языка. Шапиро
полагает главным принципом структурализма следующее утверждение
Если Ф есть согласованная (coherent) формула языка второго
порядка, тогда имеется структура, которая удовлетворяет Ф.
При этом понятие согласованности оказывается примитивным,
интуитивно понимаемым, не сводимым к формальному определению.
Но в этом случае оно становится загадочным, поскольку понятие
согласованности вызывает большие споры в эпистемологии, когда
речь идет о когерентизме как программе обоснования знания.
Увязывание же этого понятия со структурой не придает ясности
последнему понятию. Можно ли, например, считать, что если имеется
согласованная система, тогда имеется некоторая структура? Не
требуются ли при этом некоторые дополнительные условия
существования структуры?
Как видно, постулирование объектов как позиций в ante rem
структурах сталкивается с определенными трудностями. Поэтому вполне
3* Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference II
Nous. - 1981. - V. 15. - P. 529-550. Более общая трактовка этого понятия дана
в работе: Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns. - Clarendon Press, 2000.
176

4. ANTE REM СТРУКТУРЫ
закономерно стремление избавиться от таких философски
«нагруженных» объектов, и в то же время сохранить структурализм как нечто
такое, что отвечает математической практике. Такого рода программа
избавления от них представляет суть элиминативного структурализма.
5. Элиминативный структурализм
Структурализм in re не допускает свойства свободной подста-
новочности математических структур, поскольку в нем нет места
взгляду «позиции как объекты». С этой точки зрения числа не есть
объекты, и не могут быть организованы в системы. Строго говоря, в
любой элиминативистской программе ни структуры натуральных
чисел, ни сами числа не существуют (как объекты), и поэтому такие
вещи не могут заполнить места в структурах.
Программа элиминативного структурализма имеет целью
перевести утверждения в духе «позиции как объекты» в утверждения в
духе «позиции как подстановки для позиции». В этом русле можно
понять, почему Дедекинд в определенном смысле может все-таки
быть объявлен не просто структуралистом, а элиминативным
структуралистом. Он избегает выделения какой-либо простой
бесконечной системы как натуральных чисел и предлагает более общую
концепцию. Утверждения о математических объектах есть общие
утверждения о структурах определенного типа, и в этих
утверждениях нет указания на традиционные математические объекты.
Что собственно делает программа элиминативного
структурализма, и почему многие философы математики считают ее
достаточно привлекательной? Прежде всего, речь идет об
онтологической экономии: вместо значительного количества математических
сущностей можно признать в качестве таковых лишь структуры.
Правда, такая онтологическая экономия была уже достигнута в
случае множеств. Тогда возникает вопрос, что лучше - структуры или
множества? Принятие структур в качестве базисных
математических сущностей является философски привлекательным по
нескольким причинам. Во-первых, структуры могут быть поняты
эмпирически, как некоторого рода упорядоченные наборы символов,
лучше сказать - паттернов (pattern). В этом случае разрешается
фундаментальный эпистемологический вопрос, поставленный Бенацер-
рафом40, а именно, каким образом мы имеем эпистемический дос-
40 Benacerraf P. Mathematical Truth II Journal of Philosophy. - 1973. - V. 70. -
P. 661-679.
177

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
туп к математическим сущностям. Во-вторых, решается проблема
неединственности сведения чисел к множествам, возникающая в связи
с возможностью того, что в качестве натурального ряда чисел может
быть взята любая бесконечная последовательность. Ч. Парсонс
приводит известный пример: пусть имеется простая бесконечная
система (N', О, S'), и предположим, что (единственная) система
натуральных чисел (N, О, S) получается заменой 17-го элементаW Ричардом
Никсоном, с соответствующим S'. Соответствующий 5" делается
так: для т, п в N, п = Sm, если и только если, т = 51'16' 0'
и т = Ричард Никсон, и и = Ричард Никсон, и п = 5"|8) 0'. При этом
утверждения «Ричард Никсон есть натуральное число» и «Ричард
Никсон = 17» становятся истинными утверждениями. Такого рода
аномалии явно противоречат здравому смыслу не только
работающего математика41. В любом случае, такие эксцессы не входили
в замыслы математиков и философов, сочувствующих
структурализму, и как замечает Парсонс, в замыслы Дедекинда тем более.
Не все примут первое соображение о пользе элиминативного
структурализма, потому что математика имеет дело с абстрактными
структурами, и математический структурализм подобного рода М. Дам-
мит назвал даже «мистическим»42. Шапиро полагает, что
«мистический структурализм» Даммита есть не что иное как ante rem
реализм в отношении структур43. В отношении второго соображения
кажется, что цена за решение проблемы неединственности
сведения чисел к множествам, а именно, элиминативный структурализм,
кажется слишком большой, учитывая многие трудности, с
которыми сталкивается это направление. Рассмотрим некоторые из них.
Элиминативизм имеет много различных аспектов и стратегий.
Одна из них заключается в предпочтении каких-то базисных
сущностей, в частности, множеств, и избегании при этом специального
обращения к понятию структуры. Вторая состоит в том, что мы
можем объяснить арифметику без апелляции к специальной
уникальной системе, например, «натуральным числам», выделенную из всех
моделей в аксиоматике Пеано - Дедекинда. Мы заинтересованы в
моделях арифметики, и следовательно, нет необходимости в
выделении такой системы.
41 Parsons Ch. The Structuralist View of Mathematical Objects II The Philosohy of
Mathematics / W.D. Hart. - Oxford University Press, 1998. - P. 278.
42 Dummett M. Frege: Philosophy of Mathematics. - Harvard University Press,
1991. - P. 295.
43 Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. - Oxford
University Press, 1997. - P. 85.
178

5. ЭЛИМИНАТИВНЫЙ СТРУКТУРАЛИЗМ
Вопрос о соотношении объектов и структур возникает в связи с
областью квантификации. Пусть мы имеем аксиомы Пеано - Деде-
кинда с примитивными символами «1» и «5». Все остальные
арифметические символы «< »,«+» и так далее могут быть определены в
терминах этих двух символов. Тогда любое арифметическое
утверждение типа «3 + 2 = 5» будет иметь переводр (1, s), который
содержит только символы 1 и s. Возникает вопрос об онтологических
допущениях предложения р (7, s). Ответ на этот вопрос состоит в
поиске объектов, которые указываются примитивными символами,
а также объектами в области квантификации. При наличии многих
моделей главную роль играет постулирование. Если мы имеем
аксиомы Пеано - Дедекинда с примитивными символами 1 и s, то
всякий раз мы можем выбрать для них конкретную модель,
состоящую из области S, выделенного элемента е и функции
последующего элемента/ Далее мы постулируем, что 1 указывает на е, что
s указывает на/ и что область квантификации есть S. Можно было
бы выбрать другую модель М', с е', и так далее. Тогда 1 указывала
бы на s 'е. Следует иметь в виду, что всякое постулирование
сохраняется фиксированным до нового постулирования. Вопрос о том, на что
указывают примитивные символы и что они означают, относится уже
к метафизике и семантике. Если ситуацию понимать именно таким
образом, указание оказывается релятивизованным к выбору модели,
и поэтому структурализм такого толка называется релятивистским44.
Таким образом, указание определяется относительно модели, и одна
из этих моделей, в силу ряда причин, является рядом натуральных
чисел. Поскольку онтологические допущения определяются исходя из
истинных утверждений, следует определить понятие истины.
Утверждение р {1, s) истинно, если и только если, р (1, s) истинно в каждой
истинной модели. Как видно, это определение совпадает с
определением истины по Тарскому, то есть, является частью стандартной
семантики. С первого взгляда кажется, что при наличии многих моделей
онтологические допущения будут разниться, и тогда само понятие
онтологических допущений становится неопределенным. Однако следует
учесть, что для случая второпорядковой аксиоматической системы
Пеано - Дедекинда все модели изоморфны.
Ясно, что такой подход действительно представляет
структурализм. Поскольку мы всегда можем изменить постулирование,
принимая новую модель, указание одного объекта сингулярным терми-
44 Reck Е. & Price M. Structures and Structuralism (n Contemporary Philosophy
of Mathematics II Synthese. - 2000. - V. 125. - P. 341-383.
179

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
ном теряет свое метафизическое значение, и на первый план
выходит структура подходящих моделей. Однако релятивизм не
избавляет нас от онтологических допущений, поскольку нужно
предположить существование бесконечных множеств. Больше того,
поскольку структурализм стремится объяснить арифметику, некоторые
бесконечные множества должны быть нам даны независимо от
арифметики. Таким образом, получается, что релятивистский
структурализм фактически сопровождается принятием теории множеств, и
значит, онтологии множеств. Тогда возникает кардинальный вопрос
о том, почему множества более предпочтительны по сравнению со
структурами в онтологическом плане.
Вопрос о соотношении концепции множества и концепции
структуры в плане онтологического приоритета является довольно
важным, поскольку если понятие структуры в конечном счете
опирается на понятие множества, вся программа структурализма
находится под угрозой. Действительно, всю новейшую историю
философии математики обсуждается вопрос, что же является более
важным — структура или множество. Отсюда проистекает апелляция
структуралистов к логике второго порядка, поскольку она является
в определенном смысле конкурентом теории множеств, и в то же
время считается базовым языком структуралистов. Вообще, вопрос
о соотношении понятий множества и структуры является
некоторого рода классификационным признаком: есть теории
структурализма, которые опираются на понятие множества, и есть теории,
которые не опираются на него. Далее мы следуем исследованию Ч. Пар-
сонса по этому вопросу45.
Когда мы обсуждаем соотношение понятий структур, неявно
предполагается, что универсум объектов в обоих случаях
совпадает. На самом деле, нет никакой гарантии этого. В теории множеств
не определяется, что такое индивид и какова структура
принадлежности к множествам. Когда речь идет о структурах, описывающих
один и тот же «фрагмент реальности», предполагается, что
структуры изоморфны.'Но элементы множеств могут не сохраняться при
переходе к изоморфной структуре, и это значит, что сам по себе
структурализм опирается на большую область объектов, чем область
объектов, находящихся в отношении членства.
Далее, попытка обосновать структурализм на концепции
множества приводит к довольно ощутимой трудности. Дело в том, что
43 Parsons Ch. Structuralism and the Concept of Set II Philosophy of Mathematics
Today / Ed. Agazzi E. and Darvas G. Kluwer Academic Press, 1997. - P. 171-194.
ion

5. ЭЛИМИНАТИВНЫЙ СТРУКТУРАЛИЗМ
объекты в структуре, согласно структуралистской точке зрения,
имеют подчиненное по отношению к структуре онтологическое
положение. Это особенно относится к пониманию структур в духе ante
rem. А в случае с множествами ситуация другая, поскольку
множество находится в онтологической зависимости от своих элементов.
Больше того, «объективная реальность» множеств не схватывается
полностью, как это следует из теоретико-множественных
парадоксов и парадокса Левенгейма - Сколема, и все, что удается сделать,
это описать структуру множеств. За «скобками» остается много
онтологического, что не схвачено структурой. Это обстоятельство
противоречит структуралистскому пониманию ситуации.
До сих пор мы говорили о недостатках структурализма,
которые косвенно свидетельствуют в пользу множеств. Но ведь и
понятие множества является зачастую проблематичным, и именно это
обстоятельство часто мотивирует структуралистские концепции.
Прежде всего, следует иметь в виду так называемую итеративную
концепцию множества, которая призвана блокировать парадокс
Рассела. Этот парадокс возникает при позволении множеству быть
элементом самого себя. Но как раз этого не может произойти, если
опираться на интуицию, связанную с итеративной концепцией. Ч. Пар-
сонс в этой связи цитирует Дж. Шенфилда:
Когда мы образуем множеств z путем отбора его членов,
мы все еще не имеем объекта z, и отсюда не можем
использовать его как член z... Другими словами, множество z
может иметь в качестве членов только те множества, которые
сформированы перед z... Продолжая анализ, мы
прибываем к следующему: Множества формируются по стадиям.
Для каждой стадии S имеются определенные стадии,
которые предшествуют S. На каждой стадии S каждая
совокупность, состоящая из множеств, сформированных до S,
формируется на стадиях, предшествующих S*6.
При этом Шенфилд добавляет, что имеется в виду не временная,
а логическая последовательность.
Подобного рода онтологический приоритет предшествующих
стадий образования множества перед последующими стадиями
может быть оспорен на том основании, что интуиция стадийности
образования множеств позволительна, когда речь идет о небольших
множествах. Но когда мы имеем дело с бесконечными множества-
Op.cit., P. 176.
1Я1

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
ми, интуиция подобного рода становится скорее метафорой,
поскольку при формировании множеств высокого ранга вряд ли можно
осознавать формирование промежуточных множеств. Именно здесь
полезной становится идея бесконечной структуры.
Не последнюю роль при сопоставлении множеств и структур
играет вопрос об «объективном» описании математической
реальности. Аксиомы теории множеств, как известно, не «схватывают»
интуитивного понятия множества47. В этом отношении
структуралистская концепция, опирающаяся на изоморфизм, претендует на
большую объективность, чем теория множеств.
6. Фоновая онтология
Ante rem понимание математических структур встречается с теми
же трудностями, что и платонизм. Элементы структуры не имеют
неструктурных свойств; в некотором смысле объекты растворяются
в структуре. Понятие структуры тут есть прямой аналог
платоновских форм, что и позволило, как уже было сказано, Даммиту назвать
такой подход к пониманию структур «мистическим». Трудно
согласиться с таким подходом к математическим объектам, поскольку все
это возвращает нас к прежним дискуссиям относительно
возможности платонизма. Но прямые попытки номиналистического подхода
к структурам встречают не меньшие трудности. Если полагать, что
структура проявляется системами физических объектов, тогда
возникает проблема «наполнения» структур. Действительно, любая
ветвь математики требует большей онтологии, чем онтология
физической вселенной. Поэтому чисто номиналистическая трактовка
структур должна уступить место более тонким стратегиям.
Первая такая стратегия состоит в том, чтобы сохранить элими-
нативный структурализм, но в то же время постулировать
достаточно абстрактных объектов. Подход «позиции как места для
подстановки» требует некоторой фоновой онтологии, которая поставляет
объекты, заполняющие места в структуре. В случае игры в хоккей
такой фоновой онтологией будут реальные игроки; в случае
шахмат - деревянные фигуры определенного цвета и формы. В случае
арифметики ими могут быть множества. Далее, в математике роль
фоновой онтологии могут играть позиции из других структур;
например, действительные числа проявляют структуру натуральных
47 См. по этому поводу: Целищев В.В. Философия математики. —
Новосибирск: Наука, 2002.
182

6. ФОНОВАЯ ОНТОЛОГИЯ
чисел. Опять-таки, фоновая онтология с точки зрения взгляда на
структуры «позиции как места для подстановки» может состоять из
позиций той же самой структуры. В самом деле, четные
натуральные числа проявляют структуру натуральных чисел.
Возвращаясь к исходному вопросу об элиминативистской
программе в структурализме, заметим, что перефразирование
утверждения с позициями как объектами в утверждения подхода
позиции как места для подстановки требует ориентации на фоновую
онтологию. Эти области содержат объекты, которые заполняют
места в требуемых in re структурах. В шахматах такими
объектами будут все фигуры из разных материалов, которыми можно
будет играть. Как уже было сказано, главная заминка с элиминатив-
ным структурализмом состоит в том, что для придания смысла
значительной части математики фоновая онтология должна быть
основательной, то есть, объектов должно быть достаточно. Для
того чтобы показать это, рассмотрим некоторое предложение
арифметики Л. Согласно элиминативному структурализму А
равносильно утверждению:
(А') Для любой системы В, если В проявляет структуру
натуральных чисел, тогда А(В)
где А(В) получается из А интерпретацией нелогической
терминологии и сведением переменных к объектам В. Если фоновая
онтология конечна, тогда не существует систем, которые проявляли бы
структуру натуральных чисел, и поэтому истинны А' и его
отрицание. Но это неприемлемо. Мы не можем получить арифметики при
конечной онтологии. Так что элиминативный структурализм
требует онтологии, чье кардинальное число не меньше континуума, а
теория множеств требует, чтобы эта онтология имела размер
собственного класса.
Вторая стратегия состоит в том, чтобы ослабить «хватку»
фоновой онтологии, и постулировать существование не реальных,
а возможных структур. Это так называемая модализация элимина-
тивного структурализма; этот подход следует рассматривать
отдельно, поскольку он связан с общим взглядом на математику как
модальную систему.
Достаточное число абстрактных объектов для фоновой
онтологии поставляется теорией множеств. Но в этом случае элиминати-
вистская программа в структурализме теряет смысл, потому что как
было указано ранее, множества не очень совместимы со
структурами с точки зрения фоновой онтологии. Что касается модальных эли-
183

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
минативистских программ, то они представляют собой довольно
радикальный отход от фоновых онтологии, поскольку вводят
сущности вроде возможных миров. В какой степени модальности являются
выходом из положения, вопрос спорный; некоторые интересные
предложения в этом направлении будут рассмотрены ниже. Ввиду
этих трудностей встает вопрос о том, не является ли ante rem
концепция более предпочтительной по сравнению с элиминативизмом.
К этому выводу подталкивает «естественность» структурализма
в онтологическом плане. Так, М. Хэнд утверждает, что
... мотивация, лежащая за структурализмом, не имеет ничего
общего с возможной объяснительной функцией абстрактных
образцов... Тем не менее, структуралист привержен к более
чем одной ограниченной мотивации. В конце концов,
абстрактные образцы, структуры не являются сущностями, заново
постулируемыми структуралистом... Вместо этого,
структуралист использует уже знакомые вещи, которые мы уже
использовали в метафизике самым разнообразным образом48.
Хэнд полагает, что любое нововведение онтологического плана
должно быть мотивировано увеличением объяснительной силы. Но
происходит ли это при введении ante rem структур вместо
традиционных универсалий? Дело к тому же осложняется тем
поразительным обстоятельством, что основной пропагандист концепции ante
rem, С. Шапиро в конце концов признает, что «...нет особенного
выбора между этими концепциями (имеется в виду ante rem, элими-
нативизм и модализм. - В.Ц.). В определенном смысле все они
утверждаю! одно и то же, только с использованием разных
примитивных концепций»49. Судя по тому, что было изложено выше, вряд ли
ante rem структуры выходят за пределы универсалий; по этой
причине следует считать, что элиминативизм имеет все-таки свои резоны.
7. Дедуктивизм как форма элиминативизма
Элиминативизм связан не только с довольно радикальной
стратегией рассмотрения математики как модальной логики, но и с
более конвенциональным взглядом о природе математических
утверждений. Речь идет об их условном характере (в английской терминоло-
** Hand M. Mathematical Structuralism and the Third Man //Canadian Journal of
Philosophy. - 2003. - V. 23. - P. 188.
49 Shapiro S. Op.cit. - P. 97.
184

7. ДЕДУКТИВИЗМ КАК ФОРМА ЭЛИМИНАТИВИЗМА
гии этот взгляд называется if-thenism). Покажем далее, каким образом
структуралистский элиминативизм приводит к этому взгляду.
Постулирование абстрактных объектов, как и всякое
постулирование, согласно известному афоризму Рассела, не может
рассматриваться как добродетель, и поэтому постулирования, если это
возможно, надо избегать. Элиминативизм направлен против
постулирования абстрактных объектов в тех случаях, когда такое
постулирование не является необходимым. В этой связи следует отметить,
что существует еще одна интересная форма элиминативизма. Как
известно, главная мотивация структурализма заключается в
отрицании уникальной системы объектов, которые могут быть отждеств-
лены с натуральными числами. Но в отличие от релятивистского
элиминативизма, неоднозначно указывающее выражение
трактуется как переменная. Такая форма элиминативизма называется
универсалистской50. В релятивистской форме структурализма
сингулярный термин «1» релятивизован к модели. В универсалистской
версии «1» указывает на элементы всех моделей.
Для понимания того, какая же онтология все-таки стоит за
структурой натуральных чисел, рассмотрим слегка модифицированную
систему аксиом Пеано - Дедекинда. В дополнение к двум
примитивным нелогическим символам 1 и s используется одноместный
предикатный символ N (Nx есть «* есть число»). Аксиомы
арифметики будут выглядеть следующим образом:
(АГ) Щ)
(А2') V х [N (х) ->• N(s(x))]
(A3') Vx[N(x)-+(]*s(x))]
(А4') V* У у [((N(x) л N(y) л (дс * у)) -> (s(x) * s(y))]
(А5') УХ[(Д1)лУ*((М(х)лД*))-»Дф))))-> Ух(Щх)-+Х(хУ)\
Пусть РА2 (1, s, Л') будет конъюнкцией этих пяти аксиом. Что
меняет введение предиката «х есть число» в онтологических
допущениях утверждения типа/?(1, s), которое было введено ранее?
В данном же случае мы имеем более сложную процедуру,
состоящую из трех шагов: мы должны перевести р в предложение, в
котором только 1 и s - примитивные символы, и квалификация
ограничена областью объектов N (как в А4'). Пустьр (l,s, N) будет
результирующим предложением. Затем мы вводим условное предложение
PA2(l,s,N)-+p(\,s,N)
30 Reck E. & Price M. Structures and Structuralism in Contemporary Philosophy
of Mathematics II Synthese. - 2000. - V. 125. - P. 341-383.
IRS

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
В-третьих, мы квантифицируем термины /, s, N, получая в результате
Ух V/ VX [РА2 (x,f,X)-+ р(х, / X)]
Условное утверждение, которые мы обозначим через q, играет
важную роль в экспликации онтологических допущений утверждения
р. Действительно, когда с первого взгляда утверждаетсяр, на самом
деле утверждается q. Такое понимание математического
утверждения возможно за счет семантических соображений о содержании
утверждения. Мотивация конструирования условного предложения
была дана при рассмотрении идей Дедекинда. Нужно отметить, что
в q мы абстрагируемся от конкретных моделей РА2, тем самым
апеллируя к некоторой «стоящей за ними» структуре. В этом смысле
универсалистский структурализм является подлинным
структурализмом. Далее, природа объектов в утверждении q не
специфицирована, и можно считать, что оно говорит о всех объектах, всех
функциях и всех множествах, поскольку главные логические операторы
в q являются неограниченными универсальными кванторами.
Апелляция к условному предложению совпадает с теми
идеями, которые Б. Рассел имел относительно природы математики.
В частности, он утверждал, что «чистая математика есть класс всех
суждений формы «из р следует q», где р и q есть предложения,
содержащие одну или более одних и тех же переменных, и такие, что
ни р, ни q не содержат никаких констант, за исключением
логических»51. Для понимания того, какую же все-таки роль играет
условная форма предложения в постижении природы математики,
следует рассмотреть соотношение р и q. Дело в том, что предложение q
делает явным то, что утверждается в скрытом виде в р.
В логике большую роль играет различение поверхностной и
глубинной форм утверждения, поверхностной и глубинной
информации этого утверждения52. Согласно универсалистскому
структурализму каждое арифметическое предложение р имеет
поверхностную форму, которая является его синтаксической формой. Оно
также имеет глубинную форму, которая является его семантической
формой. Семантическая форма выражает то, что на самом деле
имеется в виду, когда утверждается р, и это знание выражается в
терминах синтаксической формы q.
51 Russell В. Principles of Mathematics. - L., 1903. - P. 3.
32 Эта терминология и соответствующие понятия шрают важную роль
в теории языка Н. Хомского. Интересные идеи высказаны Я. Хинтиккой
в применении теории дистрибутивных нормальных форм (см. ниже).
186

7. ДЕДУКТИВИЗМ КАК ФОРМА ЭЛИМИНАТИВИЗМА
Ясно, что при универсалистском подходе арифметические
утверждения не понимаются буквально. Утверждение р
анализируется нетривиальным образом, что отражается в синтаксической
форме q. Но в чем заключается гарантия того, что утверждение q
действительно передает информацию, которая в скрытом виде
содержится в утверждении р? Рек и Прайс, предлагающие концепции
универсалистского (как и релятивистского) структурализма,
прибегают к понятию экспликации: хотя q может и не делать явным то,
что скрыто в р, оно эксплицирует его в смысле Куайна -
экспликация есть элиминация. То есть, q схватывает существенные черты р,
не претендуя на буквальное раскрытие информации в р53. За
поддержкой они вновь обращаются к Расселу, который утверждал, что
«Определение чистой математики как системы универсальных
утверждений формы «если..., то...» оказывается не произвольным
решением использовать общее слово в незнакомом виде, но скорее,
точным анализом идеи, которая более или менее неосознанно
содержится в обычном употреблении термина»54. Таким образом, в
универсалистской версии структурализмар заменяется на q в
предположении, что q несет подлинную информацию о том, что
утверждается в р.
Подобно релятивистскому структурализму, универсалистский
структурализм может рассматриваться как форма элиминативизма,
исходя из двух соображений: элиминативизм направлен против не
необходимого постулирования абстрактных объектов в общем, с
целью их максимальной возможной элиминации. Во-вторых,
элиминативизм избегает предположения о специальной, уникальной
системе объектов, которые могут быть отождествлены с
«(единственными) натуральными числами». В то же самое время такое
«стирание» весьма отлично от релятивистского структурализма. Вместо
того, чтобы трактовать «1» как неоднозначное указывающее
выражение, мы трактуем его как переменную. Более точно, константа
«1» квантифицируется (quantified out) в переходе от утверждения/»
к более сложному утверждению q.
Как оценить концепцию Река и Прайса универсалистского
структурализма? Апелляция к условному предложению оправдана в
самых общих чертах. Но вот апелляция к методу экспликации
выглядит не очень убедительно, потому что для этого надо еще показать,
33 Reck E. & Price M. Structures and Structuralism in Contemporary Philosophy
of Mathematics //Synthese. - 2000. - V. 125. - P. 357.
34 Russell B. Principles of Mathematics. - L., 1903. - P. 3.
187

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
что q действительно представляет глубинную форму того, что
утверждается в поверхностной форме в р. Между тем, имеется с
нашей точки зрения интересный и убедительный метод выявления
глубинной информации математических утверждений, принадлежащий
Я. Хинтикке. Представление математических утверждений в дисти-
бутивной нормальной форме позволяет осуществить извлечение
неявной информации утверждения в строгом виде.
8. Дистрибутивные нормальные формы
как числовые структуры
Но в данной работе мы не касаемся метода извлечения неявной
информации с помощью аппарата дистрибутивных нормальных
форм55. Скорее нас интересует здесь то интересное обстоятельство,
что арифметические утверждения могут быть представлены в
чисто структурной форме, и в этом смысле этот логический аппарат
является квинтэссенцией самой идеи структуры.
Основные идеи Я. Хинтикки в представлении интересной
формы логики первого порядка хорошо известны56. Однако ввиду
сложности концептуального и логического аппарата не стоит
пренебрегать иллюстрациями, для понимания которых приведены некоторые
общие сведения о дистрибутивных нормальных формах.
Дистрибутивная нормальная форма непротиворечивой формулы Р
пропозициональной логики представляет собой дизъюнкцию
определенных конъюнкций, называемых конституентами. Пусть атомарные
формулы, входящие в Р, таковы:ру рг, ..., рп. Тогда конституента в
нормальной форме содержит для каждого / = 1,2,..., А: либо утверждение/?
(+р), либо его отрицание -р. Конституента выглядит так:
(1) ±Pl&±p2&...&±pn
или сокращенно tJ* n±pr
Ясно, что может быть 2* таких конституент. Если считать, что
атомарные формулы pt описывают факты реального мира, тогда конститу-
енты описывают все возможные положения дел, относящиеся к
описываемым фактам. Если в описании фактов участвуют свойства, представ-
" См.: Цслищев В.В. Философские проблемы семантики возможных миров. -
Новосибирск: Наука, 1977.
56 См.: Хинтикка Я. Дистибутивные нормальные формы в первопорядковой
логике; Он же. Информация, дедукция и a priori; Он же. Поверхностная информация
и глубинная информация II Хинтикка Я. Логико-эпистемологические
исследования. - М.: Прогресс, 1980.
188

8. ДИСТРИБУТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
ленные предикатами Р Р ..., Рк, с их помошью можно построить 2*
предикатов. Произвольный предикат, по аналогии с
пропозициональной формой, имеет вид ±Рхх&±Р^с &...& ±Рх, или сокращенно (=j" л
Pt х. Некоторый объект может обладать определенными предикатами
из этого перечня, и не обладать остальными. Сокращенно, ± (Ех) ПРх.
Как и в случае пропозициональной формы, вводится конституен-
та, которая описывает совокупность таких объектов. Если обозначить
части этого выражения, утверждающие существование объектов,
через С.(х), тогда выражение может быть переписано в форме
(2) (Ех) Схх & (Ех) С^х & ...& (Ех) Сх & ... & (Ех) Сх &
& (Ух) (С{х v Cjc v ...v Сх V...V Сх)
где Сх (i =1,2, ... и) есть некоторое подмножество указанного множества
предикатов. Интуитивно такое преобразование означает следующее.
Вместо того, чтобы рассматривать все виды существующих объектов и
затем все виды несуществующих объектов, можно указать только виды
существующих объектов и добавить, что это все существующие объекты.
Конституенты описывают все возможные положения дел,
используя при этом определенные ресурсы языка. В них входят
конечное множество предикатов, из которых строятся сложные
предикаты, множество свободных индивидных символов (плюс обычные
логические связки и кванторы), а также максимальное число цепи
кванторов таких, что область действия внешнего из них включает
оставшиеся области. Параметр, связанные с числом пересекающихся
кванторов, называется глубиной формулы, и рассматривался нами
при обсуждении понятия нумерического квантора. В случае
использования предикатов с одной переменной дистрибутивные
нормальные формы фактически не выходят за пределы обычных
нормальных форм в логике. Подлинные сложности и открытия начинаются
с переходом к двух и более-местным предикатам. Далее мы ради
простоты будем рассматривать только двухместные предикаты.
При переходе к двухместным предикатам Р(х,у) конституента
дистрибутивной нормальной формы имеет тот же вид (2);
изменения касаются уже вида конъюнкций Ci(x). В этом случае каждая из
них будет иметь вид
(3) (Еу) С\ (х, у) & (Еу) С\ (х, у) &...& (Еу) С\ (х, у) &
& (У) (С, (х, у) v С2 (х, у) v ...v С\ (х, у)) &
&ПР1(х,х)
а каждая С'у (х, у) имеет вид
189

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
(4) ПPtxy &ПР.ух&П;Уу (для простоты опуская
ненужные скобки).
Интуитивное значение этих формул понять нетрудно.
Первоначально имелось описание возможных положений дел конституентами,
утверждавшими существование некоторого числа индивидов.
Эти индивиды специфицировались переменной х. Теперь
относительно каждого такого индивида утверждается существование
некоторого числа других индивидов у, специфицированных уже
двухместными предикатами Рху. Спецификация индивида у
относительно индивида х с помощью предиката Рху включает указание
трех вещей: утверждается или отрицается отношение Р от х к у,
то есть, ± Рху; отношение Р от у к х, то есть, ± Рух, и отношение
Р от у к у. Различные комбинации подобного рода дают часть (4)
конституенты.
Переходим к определению дистрибутивной нормальной формы.
Пусть имеется множество предикатов, &At (a,, а2, ...af -.ak) (где /"= 1,
2, 3, ...) - множество атомарных предложений, которые могут быть
образованы из этого множества предикатов и свободных
индивидных символов ар ат ...ак. Пусть В (а , а2, ..., а{ ...ак), где i = 1, 2, 3,...
будет множеством всех атомарных формул, в которых имеется по
крайней мере одно вхождение индивидной переменной ак.
Используя эти обозначения, получим следующее выражение
(1) Я,Л (а,, а2, ...ак,, ак) = ЯЛ, (а,, а, ... , а,,) &
&ПчВ1(ауа2, ...aki,ak)
Например, пусть имеется один предикат Р и две индивидных
переменных а и Ъ. Тогда Аг (а, Ъ) будет включать атомарные
предложения Раа, РаЪ. РЪа, РЪЪ, a Bt {a, Ъ) будет включать атомарные
предложения РаЬ, РЪа, РЪЪ. Введенные обозначения имеют смысл с той
точки зрения, что практически все интересующие нас выражения
будут включать множество В.
Конституента Cdr (ar ау ... af ... ак) глубины d определяется
рекурсивно в терминах конституенты глубины d-\ следующим
образом:
(5) Сг (а,, а2, ... а, ... ак) = Я Я (о,, а2, ... а, ... ак) &
&П1{Ех)С*11(а1,а7,...а, ...а„х)
Рассмотрим относительно простую иллюстрацию. Пусть
ресурсы языка ограничиваются одним двухместным предикатом Р.
Первый член конституенты глубины 0 имеют следующий вид:
190

8. ДИСТРИБУТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
(2) С0 m (z, y х) = Pzz & Pzy & Pyz & Руу & Рхх & Рху &
& Pyx &Pxz& Pzx
То есть, С0 0) (z, у, х) представляет собой одну из возможных
конъюнкций атомарных выражений множества Л (z, у, х).
Произвольное выражение составляется с учетом того, что перед атомарными
выражениями может стоять знак отрицания. Так,
С0 Qk(z, у, х) = -Pzz & Pzy & Pyz & -Руу & -Рхх &
& -Рху & -Рух & -Pxz & -Pzx.
Конституенты глубины 1 имеют по определению следующий
общий вид:
С1 u (z, у) = Pzz & Pzy & Pyz & Руу &
& (Ex) (Рхх & Рху & Pyx & Pxz & Pzx) &
& (Ex) (Pxx & Pxy & Pyx & Pxz & Pzx) &
& (Ex) (-Pxx & -Pxy & -Pyx & -Pxz & -Pzx).
О I2 (z, y) = Pzz & Pzy & Pyz &Pyy&
& -<£x) ( Pxx &Pxy& Pyx & Pxz & Pzx) &
& (Ex) ( -Pxx & Pxy & Pyx & Pxz & Pzx) &
& (Ex) (-Pxx & -Pxy & -Pyx & -Pxz & -Pzx).
С u(z, y) = -Pzz & -Pzy & -Pyz & Pyy &
& ~{Ex) (Pxx & Pxy & Pyx & Pxz & Pzx) &
& ^Ex) (-Pxx & Pxy & Pyx & Pxz & Pzx) &
& -(Ex) (Pxx & Pxy & -Pyx & Pxz & -Pzx).
Конституенты глубины 2 имеют следующий вид
С2 2I (z) = Pzz & (Еу) [ Руу & Pzy & Pyz &
& (Ex) (Pxx & Pxy & Pyx & Pxz & Pzx) &
& (Ex) (-Pxx & Pxy & Pyx & Pxz & Pzx) &
& (Ex) (-Pxx & -Pxy & -Pyx & -Pxz & -Pzx)) &
& (Ey) [Pyy & Pzy & Pyz &
<M£x) (Pxx & Pxy &Pyx& Pxz & Pzx) &
& (Ex) ((-Pxx & -Pxy & -Pyx & -Pxz & -Pix)) &
191

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
& (Еу) [ -Руу & -Pzy & -Pyz &
& -(Ex) (Рхх & Рху & Рух & Pxz & Pzx) &
& -(Ex) (Рхх & Рху & Рух & Pxz & -Pzx)].
Конституента глубины 3 имеет следующий вид (перед
кванторами (Еу) ради краткости поставлены оба знака — плюс и минус; в
отдельные конституенты входит выражение с одним из знаков):
C3I= +_(Ez){Pzz&
& (Еу) [ Руу & Pzy &Pyz&
& (Ex) (Рхх & Рху & Рух & Pxz & Pzx) &
& (Ex) (-Рхх & Рху & Рух & Pxz & Pzx) &
& (Ex) (-Рхх & -Рху & -Рух & -Pxz & -Pzx)] &
& (Еу) [ -Руу & -Pzy & -Pxz &
& {Ex) (Рхх & Рху & Рух & Pxz & Pzx) &
& {Ex) ((-Рхх & -Рху & -Рух & -Pxz & -Pzx)]} &
+_ (Ez) { -Pzz &
& -(Еу) [ Руу & Pzy & Pyz &
& (Ex) (Рхх & Рху & Pyx & Pxz & Pzx) &
& (Ex) (-Pxx & -Pxy & -Pyx & -Pxz & -Pzx)] &
& (Ey) [ -Pyy & -Pzy & -Pyz &
& -{Ex) (Pxx & Pxy & Pyx & Pxz & Pzx) &
& -{Ex) ((-Pxx & -Pxy & -Pyx & -Pxz & Pzx)]}.
Как видно, в конституенту глубины d входят как члены
конъюнкции все конституенты глубины d I; в конституенту глубины d- 1
входят как члены конъюнкции все конституенты глубины d— 2, и
так далее. Дистрибутивная нормальная форма, таким образом,
представляет собой математическое дерево, конечными узлами которого
являются все конституенты глубины 0.
Некоторая конституента глубины d является конъюнкцией кон-
стичуент меньшей тлубины d-1, т.е, в свою очередь, являются
конъюнкцией конституент еще меньшей глубины, и т.д. Существует
в некотором смысле обратный указанному выше процесс.
Конституента глубины d может быть представлена как дизхъюнкция кон-
192

8. ДИСТРИБУТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
I
I
I
I
. I
rf-2
\ |\С21|\С22 Г\
^!.л
с
\
г'1 ' С1'
Л А Л А Л Л
,,0 ,-,0 ,,о W) Г'° /"° Л,с Л,() Г" Г° Г° Г'"
Ч|1 С,21 <~,21 Ц-22 С/П С/12С./21 t-,2l*"*ll L*I2 W2] •—А21
ституент большей глубины d + 1. Каждая из новых конституент
может быть в свою очередь представлена как дизъюнкция
конституент еще большей глубины d+ 2, и так до глубины d + е, где е - сколь
угодно большое число. Этот процесс называется процессом
расширения конституенты.
Для того чтобы понять лучше этот процесс, рассмотрим его на
приведенном выше примере конституенты глубины 3. Мы
рассматриваем некоторый индивид z, относительно которого мы имеем
простейший факт: Pzz. Вводим в рассмотрение возможный индивиду и
описываем его взаимоотношения с индивидом z. Такимх
взаимоотношений может быть много, и некоторые из них существуют
реально (когда речь идет о существующем индивиде), а некоторые не
существуют реально (речь идет о несуществующих индивидах).
Действительно, выражение (Ez) Pzz глубины 1 расширяется на
дизъюнкцию конститутент глубины 2:
(Ez) [ Pzz * (Еу) (Руу & Pyz & Pzy) &
193

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
& (Еу) ( -Руу & -Pyz & -Pzy)] v
v (Ez) [Pzz & -{Еу) (Руу & Pyz & Pzy) &
& (Еу) (-Руу & -Pyz & -Pzy)] v
v (Ez) [Pzz & -{Ey) (Pyy & Pyz & Pzy) &
& -{Ey) ( Pyy & -Pyz & -Pzy)l
В каждой из этих строчек описываются различные индивиды z,
и может существовать этот индивид z или (заметим, это
дизъюнкция) другой индивид z. Каждый из полученных индивидов z,
специфицированный с помощью индивида у, может «расщепляться» на
несколько индивидов путем введения нового индивида х.
Соответственно, конституента «расщепляется» на дизъюнкцию конститу-
ент большей глубины. Этот процесс расширения конституенты на
дизъюнкцию конституент большей глубины имеет важное значение
для определения противоречивых конституент.
Теперь переходим к вопросу о том, каким образом
приведенный выше аппарат может считаться структурным представлением
математических объектов. Из представленного выше описания
структуры дистрибутивных нормальных форм ясно, что конституента
глубины d описывает систематическую процедуру выбора некоторой
последовательности из dиндивидов. Каждая из этих
последовательностей изображает возможный ход событий. Здесь отметим
понятия абсолютного и относительного перечней индивидов. В
абсолютном перечне мы имеем индивид z. Относительным к нему перечнем
индивидов будет перечень всех возможных индивидов у.
Относительным к некоторому индивиду у будет перечень индивидов х, и т.д.
Тот способ, которым конституенты описывают некоторые
объекты, иллюстрируется следующим образом. Пусть ресурсы языка
состоят из двух предикатов - одноместного Р и двухместного Т, а
также двух индивидных символов х иу. Важно понимать, что конечные
ресурсы языка, используемые в преобразовании формул логики и
математики в дистрибутивную нормальную форму, не являются
ограничением для описания какого угодно числа индивидов. Дело в
том, что число используемых индивидных символов определяется
числом «мест» для переменных в предикатных выражениях. В
приводимом ниже примере с помощью двух переменных и двух
предикатов описывается натуральный ряд чисел.
Конституента С2 (Т, Р) утверждает существование трех типов
индивидов х, каждый из которых определяется соответствующими
условиями:
194

8. ДИСТРИБУТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
С2(Т,Р = (Ех) С\ (Т, Р х) & (Ех) 02(Т, Р, х) & (Ех) С\(Т, Р,х)&
(х) (С, (Т, Р, х) v 02(T,P,x)v С\(Т, Р, х))
Эта конституента дает абсолютный перечень существующих
индивидов. Каждый индивид х из абсолютного перечня является «точкой
отсчета» для относительного перечня индивидов у. Относительный
перечень также представляет собой утверждение о существовании
определенных типов индивидов, будучи по своей структуре конституентой
глубины 1. Первая конституента С1 (Т, Р, х) имеет вид:
Рх & -Тхх &
& (Еу) (Ру & -Тху & -Тух & -Туу) & (yl)
& (Еу) (-Ру & Тху & -Тух & -Туу) & (у2)
& (Еу) (-Ру & -Тху &Тух& -Туу) & (уЗ)
& (Еу) (-Ру & -Тху & -Тух & Туу) & (уА)
<fc(y)(...v...v...)
В этой конституенте утверждается существование четырех
типов индивидов. (Последняя строчка говорит о том, что существуют
только эти типы индивидов, а точки представляют собой понятные
сокращения для спецификации каждого из индивидов). Индивиды
из относительного перечня специфицируются с помощью
предикатов и индивидов из абсолютного перечня. Поскольку число
рассматриваемых предикатов и индивидов в обоих перечнях одно и то же,
каждый индивид ^является одним из индивидов х, и наоборот,
каждый индивид х является одним из индивидов _у. Какой именно
индивид из абсолютного перечня входит в относительный перечень,
должно быть видно из спецификации индивидов.
Припишем данной формуле следующую интерпретацию.
Область интерпретации, как мы уже отмечали, - множество
натуральных чисел. Предикат Рх интерпретируется как «х есть четное
число». Предикат Тху интерпретируется как «у есть непосредственно
следующее за х число». Для простоты иллюстрации ограничимся
несколькими первыми элементами из области интерпретации.
Рассмотрим интерпретацию конституенты С (Т, Р, х). Из записи кон-
ституенты видно, что х есть четное число, что х не следует
непосредственно за собой. Индивид ух есть четное число, и yt не следует
непосредственно за х, индивид х не следует непосредственно за ур
yt не следует непосредственно 3a_y)3 и т.д. В спецификацию
индивида у3 входит утверждение о существовании нечетного числа, для
которого число х является непосредственно следующим.
Наименьшим числом, удовлетворяющим этой спецификации, является
число 1; поэтому индивид х не может быть числом 0.
195

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
Пусть индивид х будет числом 2. Тогда индивид у может быть
числом 0, числом 4, числом 6 и т.д. По спецификации индивида у{
существует четное число, которое не является непосредственно
следующим за числом 2, и такое, для которого число 2 не является
непосредственно следующим. Ясно, что этими условиями
определяются четные числа, большие 2. Индивид у2 есть число 3 (в самом
деле, по спецификации у2 существует число нечетное,
непосредственно следующее за числом 2). Индивиду есть число 1 (по
спецификации индивида у3 существует нечетное число, для которого число 2
есть непосредственно следующее, и которое непосредственно не
следует за числом 2). Индивиду может быть числами 5, 7, ... (по
спецификации индивида уА существует нечетное число, которое не
следует непосредственно за числом 2, и для которого число 2 не
является непосредственно следующим. Ясно, что этим условием
определяются нечетные числа с 5 и больше).
Допустим, что индивид л будет числом 4. Тогда индивиду может
быть числами 0,2,: ит.д. Индивид ^представляет собой число 5.
Индивиду есть число 3, а индивид у4 может быть числами 1, 7, 9, и т.д.
Пусть индивид х будет числом 6. Тогда индивид у есть числа О
или 2, или 4, ... Индивиду есть число 7; индивиду есть число 5;
индивиду есть число 1 или число 3, 9, и т.д.
Вторая конституента С'2 (Т, Р, х) имеет вид
-Рх&-Тхх&
& (Еу) (Ру & -Тху & Тух & -Туу) & (у 1)
* (Еу) {Ру & Тху & -Тух & -Туу) & 02)
* {Еу) {-Ру & -Тху & -Тух & Туу) & (уЗ)
c6(y)(...v...v...)
В данном случае индивид х из абсолютного перечня есть число
0. В самом деле, число х не является четным числом; четным
числом, кроме 0, он не может быть, поскольку по спецификации
индивида у2 существует нечетное число, являющееся непосредственно
следующим за числом х. Если х есть число 0, тогда индивид у есть
число 2 или 4, или 6; индивиду есть число 1; индивиду, есть число
3 или 5; и т.д.
Наконец, конституента С'3 (Т, Р, х) глубины 1 имеет
следующий вид:
-Рх & -Тхх &
& (Еу) (Ру & Тху & -Тух & -Туу) & (у\)
&(Еу)(Ру&-Тху&Тух&-Туу)& (у2)
196

8. ДИСТРИБУТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
& (Еу) ( Ру & -Тху & -Тух & Туу) & (уЗ)
&(Еу)(-Ру&-Тху&-Тух& Туу)& (у4)
<&O0(..-v...v...)
Подобным же образом, как и случае конституент С, (Т, Р, х )
и 02(Т, Р, х), можно убедиться, что если х есть число 1, то индивид у
есть число 2; индивид у2 есть число 0; индивид у3 есть число 4 или
число 6; индивид у^ есть число 3 или число 5. Если индивид х есть
число 3, то индивидyt есть число 4; индивиду есть число 2; индивиду
есть число 0 или число 6; индивиду есть число 1 или 5. Наконец, если
индивид х есть число 5, тогда индивид у есть число 6; индивид у2 есть
число 4; индивиду есть число 0, и индивиду есть число 1 или 3.
Теперь видно, что конституента С2 (Р, Т) глубины 2 описывает
натуральный ряд чисел в терминах свойства четности и отношения
непосредственно следующего числа. Этот пример показывает, что
дистрибутивная нормальная форма описывает объекты через их
свойства и отношения друг с другом. В определенном смысле
математические объекты при этом полностью «анонимны», то есть
проявляются только в терминах структуры. С нашей точки зрения такое
представление математических объектов является квинтэссенцией
структурного представления. Правда, тут есть одно отягчающее
обстоятельство, которое до некоторой степени является причиной того, что
этот вид структурализма не очень знаком публике. Как признает сам
Я. Хинтикка, «концептуализацию», которая основывается на теории
дистрибутивных нормальных форм, иногда считается
подозрительной, поскольку она слишком тесно связана с весьма частным видом
доказательства в логике первого порядка, и поэтому кажется
концептуализацией ad hoc»51. Но эта концептуализация оказывается очень
продуктивной при исследовании многих вопросов, в том числе в
вопросе о том, каким образом неявная информация, содержащаяся в
математическом утверждении, может быть извлечена из него, если
прибегнуть к понятиям поверхностной и глубинной информации.
9. Математика как модальная логика
Это направление состоит в устранении математических
объектов в пользу модальностей. Перед тем как дать трактовку
собственно модальному элиминативизму, следует дать представление о том,
37 Hintikka Ja., Niiniluoto I. On the Surface Semantics of Quantificational Proof
Procedures //Ajatus. - 1973. - V. 35. - P. 203.
197

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
как математические истины могут рассматриваться в качестве
модальных утверждений. Модальные языки являются еще более
подходящим средством для выражения структуралистских тезисов.
Существует странный на первый взгляд способ обоснования
математики без одновременного принятия платонизма. Он заключается в
принятии математической структуры при одновременном отказе от
принятия математических объектов. С точки зрения платонизма
данный способ не очень понятен интуитивно, поскольку при этом
предполагается понимание математических истин без принятия того, о чем
эти истины говорят. Другими словами, математика предстает как
совокупность утверждений не об объектах, а об утверждениях.
Математические утверждения суть описания абстрактных
структур, выполняющихся на определенных областях объектов. Тогда
можно поставить такой вопрос: можно ли представить математику
как совокупность абстрактных структур без какой-либо
выполнимости этих структур для специфических объектов? Кажущаяся
неправдоподобность принятия структуры без объекта основывается
на резком противопоставлении их друг другу. В обычном
понимании платониста объект математики есть нечто существующее вне
и независимо от человеческого сознания, то есть, существующее
объективно, а структура есть система отношений между этими
объектами. Поэтому трудно себе представить объекты без
соответствующих структур, и еще труднее представить структуры без объектов.
Но если вслед за Бенацеррафом полагать, что числа не являются
объектами, а являются лишь проявлением структуры, тогда можно
считать, что математика может быть только совокупностью
структур. Более тщательно это допущение разработано Джубьеном,
который показал, что абстрактные структуры и абстрактные объекты,
в отличие от материальных, являются сущностями одного
порядка58. Но при таком подходе все-таки существует неявная посылка
о том, что математические истины предполагают объекты.
Один из наиболее интересных путей реализации такого видения
математики представлен модальной трактовкой математической
истины. В этом случае математическая структура может оказаться
выполнимой, а не просто является выполнимой. При этом считается, что
понятие возможности является достаточно хорошим основанием для
теории математической истины. В рамках модальной логики предложение
считается истинным, если оно выполнимо во всех возможных случаях.
38 Jubien M. Ontology and Mathematical Truth II Nous. - 1977. - V. xi, a 2. -
P. 133-150.
198

9. МАТЕМАТИКА КАК МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Следует сказать, что подобного рода модализм в отношении
математики считается критикой платонизма. Однако эта критика не
приводит к номинализму, поскольку модальные понятия
необходимости и возможности для номиналиста столь же неприемлемы, как
и понятие универсалии. Таким образом, отказ от платонизма,
предлагаемый сторонниками модального анализа, приводит к новой
позиции в принципах обоснования математики. Суть модального
взгляда на математику заключается в том, что обычная семантическая
схема указания терминами математических объектов заменяется на
схему с понятиями возможности и необходимости. Самым важным
последствием такой замены является отказ рассматривать
математические утверждения как утверждения об объектах, скажем, о
числах или множествах.
Перед тем как приступить к деталям модальной
переформулировки принципов математики, следует обсудить более общий
вопрос, насколько такая переформулировка согласуется с нашими
представлениями о математике вообще. X. Патнэм полагает, что
модальная концепция математики по сути своей имеет большую историю,
чем концепция, согласно которой математика описывает сущности
вроде чисел и множеств. По Патнэму,
математика вообще не имеет своих объектов. Вы можете
доказать теоремы обо всем, что угодно - дождливых днях,
знаках на бумаге, графах, линиях, сферах, но математик при
этом вообще не делает утверждений о существовании.
А утверждает он при этом то, что определенные вещи
«возможны», а другие - «невозможны». Короче говоря, с этой
точки зрения математика существенно модальна, а не
экзистенциальна59.
В свое время Б. Рассел считал математику системой
утверждений, имеющих форму «если..., то...», и поэтому не описывающих
действительного положения вещей. Правда, сам Рассел считал
такой взгляд не буквально истинным, а скорее метафорой,
укладывающейся в рамки «романтического стиля», предложенного ему
редактором популярного издания.
Платонист мог бы возразить, что числа и множества являются
исходными объектами математики, и что модальная
переформулировка математики делает исходными понятия необходимости и воз-
5V Putnam H. What is Mathematical Truth II Philosophical Papers. - V.l.
Mathematics, Matter and Method. - Cambridge University Press, 1977.
199

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
можности, которые вряд ли могут служить исходными для
понимания природы математики. Это возражение поднимает два вопроса:
один - о культурном приоритете разговора о числах над разговором
о необходимости и возможности, и другой - об эквивалентности,
скажем, теоретико-множественного и модального обоснований
математики. Что касается первого вопроса, то тут нет никаких
сомнений: разговор о числах первичен по отношению к рассуждениям
о необходимости и возможности. Что касается второго вопроса, то
тут ситуация несколько иная. Теоретико-множественное, как и
модальное представление, является экспликацией рассуждения о
числах, и хотя экспликацию в терминах множеств или чисел мы
считаем более естественной, теоретически обе экспликации могут быть
равноправными. Действительно, пусть понятие множества берется
примитивным, тогда можно получить понятие возможности как
производное от примитивных понятий: математическая структура
определяется как возможная, если существует модель, где понятие
модели является теоретико-множественным. Ниже мы покажем
справедливость обратного утверждения, то есть, как можно, положив
примитивным понятие возможности, получить понятие множества.
При рассмотрении модального представления математики
прежде всего надо иметь в виду, что сама по себе модальность не
является однородной концепцией, поскольку она включает в себя большое
число разных интуитивны идей. Реализация их в логических схемах
еще больше заостряет те расхождения, которые зачастую
скрываются при употреблении одного и того же термина «модальность».
В частности, логическая, или «алетическая» модальность, в
значительной степени отличается от «физической» модальности.
Существуют и другие виды модальностей, скажем, эпистемическая
модальность, и в любом случае разговор о модальном представлении
математических структур должен вестись с четким
представлением, какого рода модальность имеется в виду.
Как уже было сказано, одним из наиболее влиятельных
сторонников модального представления математики является ранний
(периода 1960-1970 гг.) X. Патнэм. Для того, чтобы показать, как
вообще возможна модальная формулировка математических
утверждений, рассмотрим пример из его статьи Математика
без оснований*®. К сожалению, этот пример использует
гипотетический контрпример теореме Ферма, которая к настоящему времени,
60 Putnam H. Mathematics without Foundations II Philosophical Papers. - V.l.
Mathematics, Matter and Method. -Cambridge University Press. - P. 43-59.
200

9. МАТЕМАТИКА КАК МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
увы, доказана. Это показывает, как опасно полагаться на
хрестоматийные представления.
Представим себе, что некто нашел контрпример последней
великой теореме Ферма, утверждающей, что нет целых
положительных чисел х, у, z, таких, что для и > 2 справедливо утверждение
х"+ у = z".
Обозначим этот контрпример через «Ферма» (имея в виду под
термином «Ферма» саму известную теорему). Ясно, что
математическое утверждение, констатирующее наличие контрпримера,
выразимо на языке арифметики первого порядка. За вывод этого
утверждения ответственны несколько аксиом арифметики первого
порядка, и пусть их конъюнкция обозначена через АХ. Ясно, что
имеется общезначимая формула
АХ id ~Ферма
И поскольку математические формулы обладают некоторым видом
необходимости, которую мы обозначим через С, мы получаем
(1) С (АХ II -Ферма)
Правдоподобно считать, что утверждения АХ и Ферма
сформулированы и записаны в терминах примитивных отношений суммы S и
произведения Г двух чисел, а именно:
S: «х есть сумма _у и z»;
Т: <сх есть произведение у и z».
Здесь S и Т являются произвольными буквами для определенных
предикатов. Образуем теперь аналог формулы (1) по следующему
правилу: Туда, где в частях АХ и Ферма стоят предикаты их есть
сумма у и z» и «д; есть произведение у и z», подставляем
трехместные предикатные буквы Sn Т. Обозначим результат подстановки S и
Г в АХ через ах (S, Т), и в Ферма - через Ферма ах (S, Т). Тогда новая
формула будет иметь вид
(2) L ax (S, Т) з ~ Ферма (S, Т)
Но формула (2) истинна благодаря своей логической форме, так как
предикатные буквы S и Т не входят в формулу существенно. Речь
идет о том, что переменные S и Т «пробегают» не над объектами,
а над буквами, над лингвистическими выражениями. Другими сло-
201

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
вами, переменные в (1) интерпретируются объектно, а в (2) -
подстановочно61.
Патнэм утверждает, что математическое содержание двух
формул - (1) и (2) - эквивалентно, то есть, существуют числа х, у z (и >
2, х, у z* 0) такие, что
х" + у" = z".
Однако две формулы с философской точки зрения различны,
поскольку формула (1) предполагает существование чисел, а
формула (2) - нет. Перевод математических утверждений на язык
модальных понятий не увеличивает в любом случае онтологии; он
расширяет концептуальное восприятие природы математической истины.
Введение модальных связок не есть введение
новых видов объектов, а есть скорее расширение того, что мы
можем сказать об обычных объектах или видах объектов62.
Судя по приведенному X. Патнэмом примеру, он имеет в виду
алетическую, или логическую, модальность. Здесь следует сделать
два замечания. Во-первых, расширение концептуального
восприятия природы математической истины в противопоставлении с
увеличением онтологии аналогично различению, сделанного Куайном.
Он различал онтологию и «идеологию», под которой подразумевал
концептуальные схемы63. Обычно при обсуждении онтологии
математики и логики исследователи фиксируют уменьшение онтологии
при одновременном усилении идеологии системы. Во-вторых,
весьма спорно утверждение Патнэма о том, что введение в дискурс
модальностей не увеличивает онтологии. Модальности заставляют нас
принять как минимум онтологию возможных миров, которые
являются не менее проблематичными, чем математические сущности.
Структура примера Патнэма может быть представлена в
следующем виде: пусть из посылки А выводится утверждение В. В
данном случае роль Л играет АДГ, а -Ферма представлена через В. Итак,
имеем
Н(ЬЛ)
61 Подробнее об этом см.: Целищев В.В., Бессонов А.В.Две интерпретации
логических систем. - Новосибирск: Наука, 1979.
62 Putnam H. Mathematics without Foundations II Philosophical Papers.- V.l.
Mathematics, Matter and Method. - Cambridge University Press. - P. 58-59.
63 См. раздел 1 главы 5 данной книги.
202

9. МАТЕМАТИКА КАК МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
где знак (- означает выводимость в логике первого порядка.
Поэтому можно заключить, что
общезначимо.
Имея в виду, что Патнэм рассматривает логическую
необходимость, которая интерпретируется как истинность во всех
возможных мирах, или же истинность во всех положениях дел, от
последнего утверждения можно перейти к утверждению
L(A z> В)
Эта формула является смешанной, поскольку включает в себя
как чисто модальные понятия, так и теоретико-множественные
(А и В содержат, очевидно, знаки 0, +, * и знак для отношения
следующего элемента в последовательности натуральных чисел).
Заменим теперь эти знаки на другие символы, не имеющие теоретико-
множественной интерпретации (в примере Патнэма понятия суммы
и произведения заменяются буквами S и Т). Эффекг замены
выразился в получении вместо АХ формулы ах, вместо ~Ферма -
формулы ~ферма, и таким образом, вместо формулы
L (АХ =э ~Ферма)
формулы
L (ax zd -ферма)
Суть всей этой замены состоит в том, что последняя формула
является формулой чистой модальной логики. Отразим это
обстоятельство, заменив буквы А и В вывода в первопорядковой
модальной логике буквами А* и В* первопорядковой модальной логики.
Таким образом, вместо формулы L{A :э В) имеем формулу L{A * =з
В*). Когда излагался пример Патнэма, суть этой замены была
прокомментирована как замена объекгных переменных вАиВ
подстановочными переменными в А* и В*. Можно более общо посмотреть на
обоснование перехода от L (А гэ В) к L(A * zd В*). Фактически речь идет
о переходе от выводимого в элементарной теории чисел предложения
В к предложению В* модального языка. Для более полного понимания
этого перехода следовало бы рассмотреть проблему перевода М:
М(В) = L(A* za В*).
Речь идет о переводе утверждения элементарной теории чисел
в модальное интерпретированное утверждение. Интерпретирован-
203

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
ный модальный язык должен содержать модальную интерпретацию.
Привлечение понятия интерпретации модального языка позволяет
заключить, что истинность в некоторой интерпретации в некотором
мире выражения L(A* zd В*) означает логическую общезначимость
выражения А * zd В*.
Модальное и теоретико-множественное выражение
математической истины, утверждает Патнэм, эквивалентны. Но как заметил
Г. Кесслер, эквивалентность эта имеет место при одном условии, а
именно, непротиворечивости А64. Конъюнкция аксиом А
непротиворечива, если она имеет модель. А вот вопрос о модели и является
решающим в рассмотрении проблемы того, эквивалентны ли два этих
представления -теоретико-множественное и модальное. Более того,
вопрос о модели является решающим при обсуждении того,
опровергает ли модальный взгляд на математику платонизм.
Рассмотрим, следуя Кесслеру, следствия предположения о
противоречивости А *. Тогда выводится как утверждение
L(A*zdB*).
так и утверждение
\~(А*^~В*)
поскольку из противоречия следует все что угодно. Теперь
предположим далее, что В имеет вид
(Ех1)...(Ехл)В(х1,...,хп).
Другими словами, В* есть утверждение о существовании
некоторых математических сущностей. Но тогда принятие обоих
утверждений означает, что эти сущности существуют и не существуют в
одно и то же время. Коль скоро речь идет о модели, такое положение
дел не устраивает математика, так как хотя для медалиста это и
вполне приемлемо, с теоретико-множественной точки зрения он
неприемлемо. Поэтому в случае противоречивости А * нет желаемой
эквивалентности двух представлений.
Все это означает, что модальный и теоретико-множественный
взгляды на математику могут дать эквивалентные описания только
в том случае, если будет явная предпосылка непротиворечивости
А*, таким образом, имеем
А* непротиворечиво.
64 Kessler G. Mathematics and Modality II Nous. - 1978. - V. xii, n. 4.
204

9. МАТЕМАТИКА КАК МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Теперь наступает критическая фаза в аргументации модалиста
против платониста. Ведь непротиворечивость, как только что было
упомянуто, означает наличие модели. В свою очередь, модель
представляет собой область абстрактных объектов. Получается, что мо-
далист, желая избавиться от платонистских сущностей, вводит их
снова. Ясно тогда, что если модальное представление
математических истин и может быть успешным, то только ценой такой
трактовки (8), при которой избегалось бы обращение к понятию модели.
При этом понятие модели должно быть таким, чтобы удовлетворять
аксиомам А*. Как это можно сделать? Один из вариантов
аргументации модалиста таков: с модальной точки зрения выражение «Л*
непротиворечиво» означает
О А*
то есть, имеется некоторая возможная интерпретация А *. Само по
себе утверждение О А* не содержит апелляции к объектам. Но на
самом-то деле при переходе от А * непротиворечиво к ОА * неявно
все-таки предполагается модель для А*. Другое дело, что можно
попытаться рассмотреть модель не из абстрактных объектов, а из
физических. Но тогда утверждение А * может оказаться ложным при
такой интерпретации, потому что физических объектов может не
хватить для образования модели А * (вспомним, что А * есть система
аксиом, призванных описывать числа или множества).
Таким образом, становится ясно, что физическая
интерпретация модальных переформулировок математических истин не
проходит. Но тогда не проходит и вся попытка модалиста избавиться от
абстрактных объектов. Платонизм является в этом смысле такой
позицией, которая требует признания математической истины
объективной (с чем согласился бы и медалист), так и признания
существования абстрактных объектов (с чем модалист не согласится).
10. Модальный элиминативизм
Ранее мы различали модальности de dicto и de re, а также
логическую и физическую модальности. Уточнение, какого рода
модальности используются в математическом дискурсе, представляется
важным. При обсуждении дедекиндовской простой бесконечной
системы онтологический статус ее не уточнялся, но неявно
объектами этой системы были числа (или множества). Элиминация
математических объектов в пользу модальных начинается с
утверждения возможности простой бесконечной системы, поскольку именно
205

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
этот факт является предпосылкой теоретико-числовых утверждений.
Соответственно, основной факг элиминации натуральных чисел,
который был установлен при обсуждении концепции Дедекинда
(1) Для любых N, О, S, если Q (N, О, S), тогда A (N, О, S).
становится модальным утверждением
(2) С [если Q (N, О, S), тогда A (7V, О, S)].
Но до этого нужно допустить возможность простых бесконечных
систем, то есть, допустить истинность утверждения (1), и природа этой
возможности существенна для понимания всей программы элимина-
тивизма. Первое, что можно сказать, состоит в том, что речь не идет
о физической возможности, поскольку не требуется физической
реализации простой бесконечной системы. Вообще, обращаясь к обычному
математическому дискурсу, следует отметить, что разговор о
математических объектах не предполагается чисто гипотетическим. Другими
словами, какие-то экзистенциальные предположения делаются, но этот
шаг гораздо слабее твердого предположения о том, что цифры
указывают на абстрактные объекты, а именно, числа. Таким образом, можно
считать, что возможность простой бесконечной системы в чем-то
аналогична предположению о существовании объекта при употреблении
сингулярного термина, как это имеет место в свободных от
экзистенциальных предположений логиках65.
Степень модальности в элиминативистской программе может
быть оценена, если разговор о возможности простой бесконечной
системы сформулировать на языке второго порядка. Так,
утверждение (2) равносильно утверждению
(3)_ ViV Ух VS [Q (N, 0,S)^>A (N, 0, S)].
Все модели арифметики, сформулированной на языке второго
порядка, изоморфны, и это свидетельствует в пользу
структуралистского понимания натуральных чисел. Но сама программа
элиминации математических сущностей в пользу модальностей была
затеяна ради демонстрации преимуществ структурализма. И теперь
оказывается, что не стоило ломать дров, и логика второго порядка есть
наивысшее представление структуралистских идей.
Однако модальности имеют свои преимущества, потому что
в отличие от онтологических вариантов формулировки математи-
65 См. Целишев В.В. Логика существования. - Новосибирск: Наука, 1976.
206

10. МОДАЛЬНЫЙ ЭЛИМИНАТИВИЗМ
ческих утверждений здесь не требуется фоновой онтологии. Но как
уже было сказано, все зависит от типа используемой модальности,
то есть, от того, как понимать модальные операторы. Ч. Парсонс
говорит о следующих интерпретациях модальных операторов66:
1. строго логические, в смысле связи с формальной логикой,
например, относящихся к строгому следованию или
нематериальной импликации.
2. логические в смысле более обычном для дискуссий о
модальностях, которые принимают ограничения не-логических
концепций, и которые лучше называть метафизическими
модальностями.
3. математические.
4. физические, или естественные.
Как уже было неоднократно указано, физическая
интерпретация модальных операторов вряд ли подходит для математических
контекстов. Далее, если логические контексты ограничиваются
логикой первого порядка, тогда трудно различить логическую и
математическую интерпретации модальных операторов. Действительно,
если мы имеем формализованное математическое утверждение, то
ясно, что его базисным языком является язык первого порядка, и в
этом смысле обе интерпретации модальностей просто
неразличимы. Остается рассмотреть, отличаются ли математическая
интерпретация и метафизическая интерпретация.
Вряд ли при формулировке структурализма следует говорить о
метафизической модальности. Метафизические модальности
взывают к концепции возможных миров, которые имеют гораздо более
тяжелый онтологический статус по сравнению с абстрактными
объектами типа чисел. Остается математическая необходимость,
которая рассматривается Парсонсом как наиболее отвечающая
математическому дискурсу. В этом отношении следует отметить, что
убеждение в необходимости математических утверждений и
необходимости утверждений о существовании математических
сущностей является частью значительных философских программ,
например, неологицизма.
Однако исключение из рассмотрения логических модальностей,
как уже было сказано, оправдано только в случае логики первого
порядка. Парсонс в своем отказе от логической интерпретации мо-
66 Parsons Ch. Пе Structuralist View of Mathematical Objects II The Philosophy
of Mathematics / Hart W.D. - Oxford University Press, 1998. - P. 289-290.
207

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
дальностей, которые кажутся ему «озадачивающей концепцией»,
делает очень важную оговорку67:
Это замечание, однако, относится к формальной логике,
представленной языком первого порядка... В отношении
стандартной логики второго порядка ситуация другая.
В самом деле, хорошо известные проблемы
разделительной линии между логикой и математикой склоняют нас
к тому, чтобы не разделять «строго логическую» и
математическую модальности.
Логическая интерпретация модальностей при использовании
логики второго порядка была выбрана Дж. Хеллманом в его
программе элиминации математических объектов68. В современной
логике логическая модальность понимается в терминах множеств.
Предложение логически возможно, если существует определенное
множество, которое удовлетворяет ему. Однако согласно
модальному варианту элиминативного структурализма существование
определенного множества означает разговор о каждой логической
системе, которая удовлетворяет теоретико-множественной иерархии.
Это непозволительный круг. Так что не стоит говорить о
математическом существовании в терминах логических модальностей
Таким образом, утверждение, что предложение логически
возможно, есть на самом деле, утверждение о всех
теоретико-множественных моделях теории множеств. Но кто сказал, что такие
модели есть? Опять возникает проблема пустоты. По этой причине Хел-
лман отказывается от стандартного взгляда на логические
модальности и принимает взгляд, согласно которому логически понятия
примитивны, то есть, не сводимы к теории множеств.
Модализация элиминативного структурализма выглядит
следующим образом. Арифметика рассматривается в этом случае не как
описание систем определенного типа, а как описание всех
возможных систем определенного типа. Пусть Ф будет некоторым
утверждением арифметики. Тогда Ф будет пониматься следующим образом:
Для любой возможной системы А, если А проявляет
структуру натуральных чисел, тогда Ф(А)
67 Parsons Ch. The Structuralist View of mathematical Objects II The Philosophy
of Mathematics / Hart WD. - Oxford University Press, 1998. - P. 290, foonote 40.
68 Hellman G. Structutalism without Structures II Philosophia Mathematica, series
111, 1996.
208

10. МОДАЛЬНЫЙ ЭЛИМИНАТИВИЗМ
или
Необходимо, для любой системы А, если А проявляет
структуру натуральных чисел, тогда Ф (А).
Преимуществом подобного подхода является отсутствие
нужды в фоновой онтологии. Тем самым снимаются все спорные
вопросы в отношении такой онтологии, в частности, споры о том,
каким образом снабдить структуру достаточным числом объектов. Это
достаточное число объектов получается из возможной онтологии.
И все-таки, главным вопросом при модализации элиминативного
структурализма является вопрос о том, какого рода модальности
имеются в виду, то есть, как понимать тут модальные операторы
Выше было сказано, что утверждения об абстрактных объектах
не могут быть модальностями de re. Но вот в программах
элиминации математических сущностей этот факт находит новое
отражение. Т. Маккарти указал на некоторые технические трудности в мо-
далистской интерпретации Патнэмом теории множеств, которые
могут быть преодолены только в случае понимания модальностей
в духе de re69. Можно сделать заключение о том, что поскольку речь
идет о de re модальностях, значит имеется в виду метафизическая
модальность в стиле твердых десигнаторов Крипке. Ч. Парсонс
возражает против такого заключения, полагая, что на самом деле мы
имеем дело с математическими модальностями. Математическая
модальность реализуется в интуиции, согласно которой
математические истины необходимы.
Логическая модальность кажется странной, и она не очень-то
независима от математической модальности. Физическая
модальность слишком ограничительна, поскольку требует, чтобы
структуры были физически возможными. Ясно, что в случае теории
множеств такие структуры просто невозможны физически.
Возникает впечатление, что в элиминативном структурализме мы
имеем дело с логическими выражениями, и следовательно,
математические и метафизические модальности не должны различаться.
Это действительно так при определенном понимании
математических модальностей. Но если принимать математический язык
буквально, тогда обычная интуиция, что математика необходима,
имеет следствие, что любой чистый математический объект
существует необходимо. Это не согласуется с элиминативным структура-
69 MacCarthy Т. Platonism and Possibility II Journal of Philosophy. - 1986. -
V.83. - P. 288-9.
209

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
лизмом. Поэтому следует говорить о (2) и (3) как о математических
модальностях.
Хеллман принимает логическую модальность70. Как уже было
сказано, для арифметического утверждения Ф мы принимаем
следующую переформулировку
Для любой логически возможной системы А, если А
проявляет структуру натуральных чисел, тогда Ф (А).
Имеется формула второго порядка F(X, s), гдеХк s -
единственные свободные переменные, которая утверждает, что <Х, д> есть
модель натуральных чисел. Язык второго порядка нужен по той
причине, что он позволяет дать категорическую характеристику
важных математических структур, а сама категоричность нужна для
верного представления арифметических истин. Тогда формальное
выражение тезиса Хеллмана принимает вид
03 X3sF(X, 5)
Онтологическое бремя структуралиста при модализации
резко облегчается, поскольку оно сводится только к
утверждению логической возможности, что имеется система, которая
проявляет структуру натуральных чисел. Дж. Хеллман идет
дальше, и предлагает такую версию структурализма, которая не
предполагает существования даже структур. Отсюда несколько
парадоксальное название этой концепции — «структурализм без
структур». Правда, онтологическая экономия в данном случае
в значительной степени сомнительна. Действительно, в случае
принятия модальной версии в качестве онтологической платы
принимается существовании возможных миров. В нашу задачу не
входит обсуждение природы возможных миров, но надо отметить,
что логические модальности понимаются в терминах множеств.
Утверждение о том, что предложение логически возможно,
равносильно утверждению, что имеется определенное множество,
удовлетворяющее ему. Но с точки зрения модальной версии эли-
минативного структурализма утверждение о существовании
определенного множества равносильно утверждению каждой
логически возможной системе, которая проявляет структуру
теоретико-множественной иерархии. Ясно, что тут имеется порочный
круг, состоящий в сведении математического существования
п Hellman G. Structuralism without Structures II Philosophia Mathematica (3). -
1966. - V. 4. - P. 100-123.
210

10. МОДАЛЬНЫЙ ЭЛИМИНАТИВИЗМ
к логической возможности, а логической возможности - к
теоретико-множественному существованию71.
Хеллман избегает этого порочного круга за счет, что объявляет
понятие логически возможного примитивным, не сводимым к
множествам. Действительно, разговор о возможных мирах является лишь
эвристическим. Интерес представляют детали процедуры модали-
зации Хелмана. Он предполагает так называет принцип
аккумуляции, заключающийся в следующем: Если возможно, что имеется
со-последовательность со свойством Р (которое включает вещи,
внутренние по отношению к последовательности), и имеется другая со-
последовательность со свойством Q (которое включает вещи,
внутренние по отношению к последовательности), тогда конъюнкция
этих экзистенциальных утверждений также возможна. Другими
словами, эти две последовательности существуют в одном и том же
возможном мире. Именно этим достигается категоричность любых
пар моделей арифметики второго порядка.
Сам принцип аккумуляции имеет некоторую правдоподобность,
исходя из двух рассмотрений. Во-первых, речь идет о логической
возможности, а во-вторых, математические свойства Р и Q
являются «внутренними» по отношению к своим последовательностям.
Совместимость Р и Q гарантируется тем обстоятельством, что
свойство, внутреннее по отношению к своей структуре, не может
конфликтовать с другим свойством, внутренним по отношению уже
к своей структуре. Таким образом, не требуется, чтобы структуры
были одного типа. Эти обобщения важны для структурализма,
так как в теории множеств часто говорят об отношениях между
различными структурами. Таким образом, мы имеем более
широкий взгляд на структуры, и более расширительное толкование
структурализма.
Итак, элиминация математических объектов, а именно чисел,
осуществляется с помощью языка, ингредиентами которого
являются понятия «области» и «функции». Тогда получается, что
арифметика не есть наука о специальных объектах, а говорит о
специальных типах структур. По сравнению с концепцией Дедкинда,
который говорит о предпочтении «простых бесконечных системах»,
введение в рассмотрение модальных операторов избавляет от
необходимости онтологических допущений специальных конкретизации.
При этом достигается общность, уместная для математики. С этой
71 Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology.- Oxford
University Press, 1997. - P. 89.
211

ГЛАВА 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
точки зрения математика исследует определенную категорию
необходимых истин, не подверженных ограничениям, которые связаны
с контингентным существованием. Это обстоятельство имеет
значительное преимущество в том отношении, что нет необходимости
постулировать особый мир необходимо существующих сущностей.
Дело в том, что Хеллман не верит в существование возможных
миров, и не является в этом отношении модальным реалистом. Ф. Чи-
хара таким образом поясняет этот подход к возможным мирам:
«Вся структура возможных миров является мифом, полезным для
прояснения и объяснения модальных понятий, но миф при этом
остается мифом»72. Вопрос об онтологическом статусе возможных
миров является вопросом, по своей значимости требующим
специального исследования73, а здесь следует отметить интересное
противопоставление онтологии системы ее «структурного»
антагониста - «идеологии» системы.
72 Chihara Ch. Constructability and Mathematical Existence. - Oxford University
Press, 1990. - P. 60.
73 См, например: Целищев В.В. Философские пробелмы семантики
возможных миров. - Новосибирск: Наука, 1977.
212

ГЛАВА 5.
АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
1. Идеология versus онтология
Значительная часть усилий в философии
математики направлена на то, чтобы «облегчить» онтологические
допущения математических утверждений. Во-первых, это
номиналистические программы, стремящиеся избавиться от абстрактных
объектов в пользу конкретных, физических объектов. Во-вторых,
это программы онтологической редукции, стремящиеся
минимизировать онтологические универсумы. В-третьих, это замена
одной онтологии другой, возможно, не менее проблематичной по
некоторым критериям, но более удобной для экспликации тех или
иных философских доктрин, как это имеет место при
экспликации концепций. Во всех трех случаях понятие абстрактного
объекта в любой развитой теории связано с понятием онтологии.
Между тем, ощутимый вклад в понятие абстрактного объекта вносит
концептуальная схема теории. Такое понимание свойственно кан-
213

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
тианской философии, и я не знаю лучшей иллюстрации этого
тезиса, чем метафора А. Эддингтона1.
Он говорит об одиноком рыбаке, ловящем рыбу сетью с
ячейками десять на десять сантиметров. Естественно, что в его сеть
попадают морские создания, не меньшие определенной величины,
поскольку остальные уходят сквозь ячейки сети. Будучи одиноким
мыслителем, рыбак задумывается над природой своего улова, и
приходит к закономерной мысли, что в море водятся создания, размер
которых не меньше определенной величины. Важным
ингредиентом метафоры является то обстоятельство, что у рыбака только одна
сеть, и он не подозревает, что могут быть другие сети с другим
размером ячейки. Однако если бы он знал о возможности других сетей,
он догадался бы, что закон о размере рыб в море есть не столько
объективный закон, сколько «закон сети». Концептуальная схема
теории уподобляется Эддингтоном сети, и кантианский тезис
состоит в том, что в познании объектов внешнего мира вклад
концептуальной схемы неотделим от внешних факторов, в частности, от
эмпирического опыта.
Таким образом, при обсуждении понятия объекта мы должны
принимать во внимание не только онтологические соображения, но
и роль концептуальной схемы. Эти соображения подтверждаются
тем, что некоторые исследователи рассматривают философию
математики Г. Фреге не как платонистскую, а как кантианскую2. Эту
точку зрения разделяет X. Патнэм, полагая, что взгляды Г. Фреге на
математические объекты следует рассматривать в менее
онтологическом ключе. Все это означает, что нужно искать в структуре
логики некоторый аналог вклада концептуальной схемы, на который
можно было бы возложить часть бремени онтологических
допущений теории. Для более полного понимания того, что собственно
имеется в виду, рассмотрим пример с заменой одной онтологии
другой при попытке разрешить проблему допустимости квантифика-
ции модальных контекстов.
Речь идет о понятии «идеологии» теории, выдвинутом В. Куай-
ном в противоположность онтологии этой теории. Под идеологией
понимается определенная часть концептуальной схемы, которую мы
обязаны принять для признания теории истинной. Идеология отно-
1 Eddington A.S. The Nature of the Physical World. - N.Y, 1928.
2 К ним относятся Burton Dreben и Warren Goldfarb. Подобное прочтение Фреге
можно найти в работе: Weiner J. Frege in Perspective. - Cornell University Press,
1996.
214

1. ИДЕОЛОГИЯ VERSUS ОНТОЛОГИЯ
сится к тому обстоятельству, какой сложности идеи выразимы в этой
теории, и какова степень отношений и связей объектов теории.
Дихотомия «онтология- идеология» может быть проиллюстрирована в
связи с онтологическим статусом возможных миров. Большая часть
противников признания за возможными мирами статуса реально
существующих сущностей встречается со следующей дилеммой: с
одной стороны, при квантификации модальных контекстов
возможные миры являются значениями связанных переменных, и,
следовательно, согласно критерию Куайна, их надо признать частью
онтологии. С другой стороны, возможные миры столь отличны не
только от обыденных физических объектов, но и от абстрактных
объектов типа чисел и множеств, что онтология возможных миров
становится трудно постижимой идеей. Выход из этой дилеммы можно
найти, перенося часть «обязательств» онтологии на идеологию, то есть,
на концептуальную схему. При этом возможные миры становятся в
значительной степени частью идеологии. При квантификации модальных
контекстов основная проблема состоит в конструировании так
называемой индивидуирующей функции, устанавливающей идентичность
индивидов в различных возможных мирах. Как мы уже указывали,
первейшее условие выделения абстрактного объекта состоит в его инди-
видуации. Индивидуирующие функции являются значениями
связанной переменной, но не являются частью онтологии. Идея
экзистенциального квантора, который несет основную нагрузку в онтологическом
плане, теперь включает две раздельные идеи: существование в
конкретном возможном мире (онтология), и тождество объектов в
различных возможных мирах (функциональность)3.
Я. Хинтикка показал, что методы идентификации объектов
сквозь возможные миры могут быть разными. Если иметь в виду
эпистемические модальности, тогда можно различить, по крайней
мере, перцептуальную и дескриптивную квантификации. Один и тот
же индивид может быть пересечением двух «мировых линий». Два
вида кванторов отличаются не объектами, над которыми они
пробегают в некотором конкретном возможном мире, а различными
методами идентификации сквозь возможные миры. Квантификация в
возможном мире есть проблема онтологии, а методы
идентификации относятся к идеологии. Таким образом, объекты, над которыми
пробегают кванторы в модальных контекстах, могут быть частью
идеологии, а не онтологии.
3 Hintikka Ja. Carnap i Heritage in Logical Semantics II The Intentions of
lntentionality and Other New Models for Modalities. - Dordrecht, 1975. - P. 91.
215

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
Далее, понятие идеологии можно проиллюстрировать на
примере процедуры онтологической редукции. Рассмотрим
интерпретацию теоремы Левенгейма - Сколема. Согласно этой теореме,
любая интерпретируемая теория имеет модель в теории чисел. В
терминах понятия «онтология» это значит, что любая онтология может
быть сведена к онтологии целых чисел. В некотором смысле этот
результат можно интерпретировать как современный вариант
пифагореизма, поскольку в этом случае любая физическая теория
оказывается чисто математической теорией, объектами которой являются
не эмпирические закономерности, а числа. Чтобы избежать
подобного рода заключений, которые противоречат как интуиции, так
и всей эмпиристской философии, следует более тщательно
относиться к переводу одной онтологии к другой. Идеология касается того
содержания, которое сохраняется при подобного рода переводе4.
Онтологическая редукция к числам есть переинтерпретация
некоторой теории Т к такому виду, когда примитивные предикаты
теории Остановятся арифметическими предикатами теории чисел.
Эти новые предикаты уже в теории чисел должны быть выражены
в терминах логики предикатов. Идеология при онтологической
редукции сохраняется, если все истинные утверждения теории Г
переводятся в истинные утверждения теории чисел, и при этом
истинные утверждения о числах делаются в арифметических терминах.
Если же мы прибегаем к чему-то, выходящему за пределы именно
арифметики, получается онтологическая редукция не только к
числам, но и к каким-то другим сущностям, чья природа выясняется из
дополнительных, не арифметических предикатов. При этом будет
изменение идеологии теории по сравнению с идеологией
редуцируемой теории. Это изменение вызвано как усложнением предикатов
(появлением неарифметических предикатов), так и появлением не
предусмотренных редукцией объектов. Известен тривиальный
способ онтологической редукции в смысле отображения предложений
в предложения с сохранением истинности. Каждое предложение/?
теории Т переводится в предложение Gx, где х есть геделево число
предложения р, a G - предикат «истинно» в теории Г,
удовлетворяемый для тех и только тех геделевых чисел, которые являются
числами истинных предложений теории Т. Примитивные предикаты
теории Гпринимают при такой редукции гораздо большее содержание,
чем подразумевалось в Т, и в интерпретированном виде они не явля-
4 См.: Целшцев В.В. Логическая истина и эмпиризм. — Новосибирск: Наука,
1974. - Гл. 1, параграф 4.
216

1. ИДЕОЛОГИЯ VERSUS ОНТОЛОГИЯ
ются арифметическими предикатами, а имеют более сложный вид.
Онтологическая редукция имеет целью перевести содержательные
истины для одной онтологии в содержательные истины для другой
онтологии. Однако в последнем примере такой перевод
обесценивается усилением идеологии в сопоставлении с онтологией.
Из приведенных примеров становится ясно, что хотя идеология
теории связана с ее онтологией, она не является частью онтологии:
она не характеризует того, что существует с точки зрения теории,
а характеризует выразимость свойств и отношений объектов
онтологии. Однако следует сразу сказать, что подобного рода ситуация
может возникнуть в эпистемической модальности, но не в алетической
модальности. Между тем, структуралистские идеи элиминативисткого
толка основываются на логической модальности. И в этом случае
споры относительно того, какого рода модальность уместна при анализе
математических утверждений, становятся вновь акгуальными.
2. Значение математических терминов
Весьма влиятельным направлением в современной философии
математики является так называемый неологицизм, представленный
работами Н. Теннанта5, Криспина Райта6 и Роберта Хейла7. В
значительной степени эти работы мотивированы взглядами М. Дамми-
та на концепцию значения8. Согласно Даммиту значением
выражения является то, что знает использующий язык субъект. Если
человек понимает предложение, он должен постичь его значение, и если
предложение постигается в процессе обучения, при этом
происходит и процесс освоения значения предложения. Таким образом,
в полном согласии с концепцией позднего Виттгенштейна, значение
утверждения определяется его употреблением9.
Сомнение в том, что аксиомы «схватывают» значение термина
в математической системе, направлены, прежде всего, против пла-
тонистских тенденций в теории значения. Противоположностью идее
Виттгенштейна было бы признание того, что значение превосходит
употребление. Но это означает, что значение должно быть доступно
субъекту каким-то прямым образом. Современная эпистемология,
5 Tennant N. Anti-Realism and Logic. - Oxford University Press, 1987.
6 Wright C. Frege 's Conception of Numbers as Objects. - Aberdin University Press,
1983.
7 Hale R. Abstract Objects. - Oxford: Basil Blackwell, 1987.
* Dummett M. Truth and Other Enigmas. - Harvard University Press, 1978.
9 Виттгенштейн Л. Философские исследования. - М.: Гнозис, 1994.
217

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
особенно натурализованная, неодобрительно относится к такого рода
прямому эпистемическому доступу, признание которого ведет к
мистицизму и субъективизму.
Детерминанты значения математических терминов содержатся
в нашем употреблениии математического языка. Вопрос состоит
в том, «схвачено» ли это употребление аксиомами. Как полагает
П. Бенацерраф,
математическая практика отражает наши намерения и
контролирует использование математического языка такими
способами, которые могут не осознаваться нами в любой
заданный момент, и которые превосходят то, что мы точно
устанавливаем в любом заданном объяснении10.
Наше употребление математических терминов не
«схватывается» аксиомами и нуждается в дополнительном объяснении.
Отказ от традиционной концепции значения принял весьма
четкие формы в работах В. Куайна, X. Патнэма и С. Крипке. Если
принять заключение, скажем, Куайна, о непостижимости указания,
тогда не существует единственного значения термина языка. Как
можно реагировать на радикальное устранение понятия определенного
значения в отношении математических контекстов? Дело в том, что
увязывание математических теорем с концепциями обыденного
языка может обернуться чистой схоластикой. Тем не менее, М. Даммит
поддерживает виттгенштейновскую концепцию, и применяет ее
к математическим утверждениям.
Если два индивида полностью согласны относительно
употребления некоторого утверждения, они согласны и в
отношении его значения. Причина этого лежит в том, что значение
утверждения полностью определяется его ролью в качестве
инструмента коммуникации между индивидами. Индивид не
может передать того, чего нет в коммуникации: если индивид
ассоциируете математическим символом или математической
формулой некоторое метальное содержание, и при этом
ассоциация не заключается в употреблении им этого символа
или формулы, тогда он не сможет передать это содержание
посредством символа или формулы, потому что его партнеры
по коммуникации не будут осведомлены об этой ассоциации,
и не будут иметь средств для ее осознания.
10 Benacerraf P. Skolem and Sceptic //Proceedings of Aristotelian Society. -1985. -
Suppl. Vol. 59.-P. 111.
218

2. ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ
Предположение о том, что имеется ингредиент значения,
который превосходит употребление, которое и составляет
значение, равносильно предположению, что можно изучить
все, что постигается прямо при изучении человеком языка
математической теории; этот человек может вести себя
подобно тому, кто понимает этот язык, и в то же время
человек на самом деле чего-то недопонимает, или понимает
неправильно".
Поздний Виттгенштейн утверждал, что содержание
математических утверждений весьма специфично, но оно не носит характера
обоснования; это скорее императивы, следование правилу. Но как
раз с понятием следования правилу связан скептический аргумент,
касающийся невозможности знания согласно правилам. Как указал
С. Крипке, предыдущее употребление выражения не может
ограничить его интерпретаций до единственной12. Этим тенденциям
противостоит множество взглядов - от платонизма до номинализма, -
в которых утверждается, что истина дает достаточные стандарты
оценки математических утверждений. Каковы же эти правила?
Поскольку речь идет о математике, в основе которой лежит логика,
правила эти следует искать прежде всего в практике логических
исследований. В этом отношении наиболее интересными являются
идеи Г. Генцена, который, по словам Даммита, «первым показал нам,
как должна быть формализована логика»13, имея при этом в виду
натуральную дедукцию и исчисление секвенций. Как известно,
главную роль при этом играют правила введения и устранения, которые
и определяют значение, скажем, логических связок. Для случая
классической логики это хорошо показано Я. Хакингом14. Для каждого
логического термина правила введения и устранения составляют
полный анализ значения этого термина.
М. Даммит полагает, что такого рода правила могут привести
и к реформе некоторой логической практики, если она лишена
обоснования. Такая теория значения говорит, что мы можем
провозгласить онтологические допущения, возникающие из наших способов
" Dummett M. The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic II Dummett M.
Truth and Other Enigmas. - Harvard University Press, 1978. - P. ???.
12 Kripke S. Wittgenstein on Rules and Private Language. - Basil Blackwell, 1982.
13 Dummett M. The Logical Basis of Metaphysics. - Harvard University Press,
1991.-P. 251.
'* Hacking 1. What is Logic? II Journal of Philosophy. - 1979. - V. 76. - P. 285-
319.
219

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
разговора и мышления, если эта практика обретает форму
принципов и достаточно упорядочена.
Эти идеи имеют далеко идущие последствия для неологицистс-
кой программы понимания натуральных чисел. Предположим, что
предикат N («быть натуральным числом»), термины 0 («нуль») и Д'
(«последующее число») являются логическими терминами. Тогда
правила введения и устранения этих терминов составляют значение
этих терминов. В определенном смысле над числами
осуществляется концептуальный контроль. Рассмотрим подобную программу в
представлении Н. Теннанта более подробно, существенно опираясь
на его работу О необходимом существовании чисел15.
3. Необходимое существование чисел
Числа представляют собой абстрактные объекты, и как
таковые, они вводятся в обиход математической практики разными
способами, -так называемой абстракцией, постулированием, и т.д. Эти
процедуры имеют разную степень связи с математической
практикой, и поэтому следует различать, на каком уровне рассмотрения
делаются утверждения о существовании чисел. Ясно, что коль
скоро значение есть употребление, следует искать такой контекст, в
котором разговор об абстрактных объектах смешивается с разговором
об обыденных объектах.
Итак, каковы же критерии существования чисел? Н. Теннант
говори! о трех уровнях разговора о существовании чисел:
1. Утверждения о существовании чисел в теории чисел.
2. Утверждения, предполагающие существование чисел в
фоновой семантике интерпретированного языка.
3. Теории, успешно объясняющая и предсказывающая
феномены, при помощи апелляции к существованию чисел.
Рассмотрим первый уровень изолированных утверждений
существования в математике. В формализованной теории
утверждением о существовании, скажем числа 0, является выражение
(Ех) (х = 0), которое является примером применения критерия
существования Куайна «быть значит быть значением связанной
переменной». В некотором смысле это тривиальная формализация на
15 Tennant N. On Necessary Existence of Numbers // Nous. - 1997. - V. ???. -
P. 307-336.
220

3. НЕОБХОДИМОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ ЧИСЕЛ
языке первого порядка, и в качестве записи единичного
экзистенциального выражения не представляет особого интереса.
Третий уровень онтологических допущений чисел
фактически связан с так называемым аргументом о незаменимости
математики в науке, скажем, физике, и здесь аргументация выходит
за пределы чистой философии математики, за исключением лишь
номиналистических интерпретаций математики. В целом же это
вопрос о применении математики, или как его сформулировал
Э. Вигнер в известном афоризме, вопрос о «непостижимой
эффективности математики в естественных науках», и он
представляет собой отдельную тему.
По настоящему вопрос об онтологических допущениях чисел
возникает при употреблении обычных математических выражений
типа 5 + 7=12, когда речь идет о счете. Кстати, это именно то
требование, которое Б. Рассел, вслед за Г. Фреге, полагал одним из самых
существенных при обосновании концепции числа. Именно здесь
употребление абстрактных объектов смешивается с разговором об
обыденных объектах, и коль скоро значение математических
терминов определяется их употреблением, мы должны искать такие
принципы, которые управляют подобного рода употреблением
абстрактных объектов в применении их к обыденным объектам.
Н. Теннант предлагает в качестве средства «концептуального
контроля» над такого рода употреблением чисел, и стало быть,
контроля над значением терминов для абстрактных объектов, так
называемую схему С. В ней используется уже упомянутое различение
грамматического вида числовых терминов. Общая ее
формулировка такова:
(С) Имеется точно п объектов со свойством Fs, если и только
если, Fs = n(гдеs - прилагательное, an-существительное.
В качестве примера этой схемы можно привести утверждение
«В этой корзине есть два яблока, если и только если, число яблок
в этой корзине = 2».
Таким образом, как и у Фреге, анализ понятия числа существенно
опирается на грамматический анализ числовых терминов.
Опираясь на обыденный дискурс с абстрактными объектами типа чисел,
мы пытаемся извлечь некоторую мораль из практики употребления
термина. Так, если мы признаем, что выражение «число Fs = п» имеет
истинностное значение, которое вполне понятно с точки зрения
обыденной языковой практики, то мы должны признать, что это
возможно только за счет приписывания конкретного числа концепции
221

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
F. Правомерность языковой практики подобного рода несомненна,
так как установление тождества есть одна из наиболее
фундаментальных операций. Ясно, что при этом мы онтологически
допускаем числа в качестве объектов.
Важность утверждений тождества как наиболее
фундаментальных утверждений в логике и математике видна из того, что
тождество является аналитическим выражением, и если мы опираемся в
своем онтологическом анализе чисел на тождества, мы приходим к
довольно необычному выводу о том, что существование чисел
следует из аналитических истин. Действительно, аналитические
истины принадлежат логике, и общее убеждение состоит в том, что
логика не должна говорить ничего о существовании.
Для более полного понимания этой дилеммы рассмотрим уже
упоминавшийся выше принцип Юма (HP) в такой форме, которая
учитывает грамматические различения числовых терминов.
(HP) Число Fs тождественно числу Gs, если и только если,
имеется точно столько же Fs, как и Gs.
Сторонники неологицизма, утверждающие наличие в логике
экзистенциальных утверждений, в качестве аргумента приводят
следующий вывод:
Число Fs тождественно числу Gs, если и только если,
имеется точно столько же Fs, как и Gs.
Далее,
Число Fs тождественно числу Gs.
Отсюда следует вывод:
Число Fs существует
Поскольку посылкой этого вывода является аналитической истиной,
таковым должен быть и вывод.
В данном случае говорится о логическом выводе, и в этом смысле
приведенный аргумент вполне значим. Однако сама логика, как
считают многие исследователи, в вопросе о том, имеет ли она
экзистенциальные допущения, допускает разные толкования. Другими
словами, есть ли гарантия того, что использование логики не влечет
экзистенциальных предположений? Оказывается, нет. Дело в том,
что употребление сингулярных терминов неявно предполагает су-
222

3. НЕОБХОДИМОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ ЧИСЕЛ
ществование объектов, на которые они призваны указывать. Таким
образом, экзистенциальные предположения неявно
протаскиваются через логику. А ведь что философская дискуссия о
существовании чисел должна быть проведена с фоновой логикой, которая
абсолютно нейтральна в отношении того, обозначает или нет что-либо
термин. Вообще, в целом задача состоит в том, чтобы исследовать
наши онтологические допущения чисел, и идентифицировать с
помощью логической техники точный стык, где происходит
экзистенциальное допущение.
Логике первого порядка присуща так называемая аномалия
сингулярного существования. Стандартное правило
экзистенциального обобщения
Fy з (Ex) Fx
при подстановке на место переменной пустых терминов (терминов,
которые терпят неудачу в указании существующего объекта) при
объектной (или референтативной) интерпретации кванторов
приводит к парадоксу. Пусть на место у подставляется заведомо пустой
термин «Пегас», a F интерпретируется как «не существует». Тогда
по правилу экзистенциального обобщения получаем
(Пегас не существует) з (существует объект х такой, что х
не существует).
Поскольку антецедент импликации истинен, получаем противоречие
существует объект х такой, что х не существует.
Возникновение противоречия можно объяснить как
использованием пустых терминов, так и прочтением квантора (Ех) как
«существует объект х такой, что...», то есть, объектной интерпретацией
квантора. На самом деле, оба этих фактора, как показывает
обсуждение проблем интерпретации кванторов, тесно связаны, и
разделение их представляется зачастую затруднительным.
Таким образом, аномалия сингулярного существования
заключается в необходимости модификации правила экзистенциального
существования (наряду с другими правилами) с тем, чтобы
включить использование пустых сингулярных терминов. Дело в том, что
когда мы исследуем вопрос об онтологических допущения теории,
мы не знаем, является ли какой-либо используемый термин пустым
или нет. И логические выводы, используемые, как это было
продемонстрировано выше, для доказательства онтологических допуще-
223

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
ний объектов, не должны зависеть от того, является ли термин
пустым или же обозначающим.
Утверждения существования, принятые в логике, могут иметь
две формы. Одна из них имеет вид экзистенциальной квантифика-
ции, а вторая - предикации существования индивиду,
представленному собственным именем. Последняя форма называется
сингулярным существованием, и обозначаются через Е!а, где а -
сингулярный термин, представленный собственным именем. Следует также
иметь в виду, что сингулярный термин может быть представлен
и определенной дескрипцией, и тогда утверждение существования
имеет вид Е! (Ix) Fx, где F— это свойство объекта, однозначно
определяющее объект.
Утверждение «имеется такая вещь как ...», где на месте
многоточия стоит общий термин, или предикат, называется общим
утверждением существования, и истинно только в том случае, если
имеется, по крайней мере, один объект, для которого общий термин
истинен. В логической символике общие утверждения существования
выражаются через экзистенциальную квантификацию, например,
высказыванию «Существуют единороги» соответствует
предложение «(Ех) (х есть единорог)», а высказыванию «Имеется такая вещь
как лошадь» - «(Ех) (х есть лошадь)». Первое предложение ложно,
а второе - истинно.
Различие общих и сингулярных утверждений существования
заключается в следующем. Если в первых указание на
предполагаемый существующий объект делается собственным именем,
например, «Пегас», то во вторых - с помощью переменной. Общие
утверждения существования имеют форму «(Ex) Fx», в то время как
для сингулярных утверждений существования, хотя они и не имею
общепринятой формы, наиболее естественной формой является
«(EF) Fx», то есть, «имеются факты об х».
Б. Рассел полагал, что единственной формой утверждения
существования может быть общее утверждение существования. Там,
где встречаются сингулярные утверждения существования типа
«имеется такая вещь как Пегас», он проводил следующую линию.
«Пегас» на самом деле является не собственным именем, а неявной
дескрипцией. Поэтому это утверждение имеет форму Е! (Ix)Fx, а не
Е!а. Для Е! (Jx)Fx Рассел давал контекстуальное определение, в
котором символ сингулярного существования уступал место квантору
(Ех). Тогда утверждение принимает форму общего утверждения
существования. Другими словами, единственным логическим
средством выражения концепции существования Рассел полагал кван-
224

3. НЕОБХОДИМОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ ЧИСЕЛ
тор существования (Ех). С этой точки зрения выражение (Еа), где
а - собственное имя, бессмысленно.
Если отвергнуть расселовскую трактовку собственных имен как
неявных дескрипций и придать собственному имени равноправный
с дескрипциями статус, тогда существование может быть
предикатом. Имеется два круга проблем, связанных с трактовкой
существования как предиката. Во-первых, необходимо построить логическое
исчисление, в котором предикат существования являлся бы
формализацией сингулярного существования, и в котором использование
пустых сингулярных терминов не приводило бы к парадоксам и
противоречиям. Такого рода исчисления получили название
«свободных (от экзистенциальных предположений) логик»16. Во-вторых,
необходимо найти перспективные выходы за пределы логики
первого порядка, которые бы позволили усилить выразительные
возможности логического языка и выразить различные оттенки
богатой концепции существования.
В техническом отношении свободная логика представлена
рядом эквивалентных систем. Достаточно легко показать, что
свободная логика может считаться эквивалентной логике первого порядка,
и отличаться от нее лишь тем, что распространяется на пустые
сингулярные термины. Таким образом, мы можем приступать к анализу
нашей проблемы без опасения, что логика неявно пронесет с собой
экзистенциальные допущения.
Схема (С) и принцип (HP) в значительной степени
пересекаются. Тогда возникает вопрос о том, зачем нужно введение схемы (С),
если (HP) является достаточно респектабельным принципом,
управляющим числами? Дело в том, что принцип Юма не дает
желательного результата, что если нет Fs, тогда число Fs равно 0, и для этого
надо обратиться к схеме С. В пользу такого решения говорит
следующий пассах из работы М. Даммита.
суть числа 3 - это не позиция в некоторой прогрессии,
и даже не в конкретной прогрессии, и не то, что оно есть
результат прибавления 3 к другому числу, но нечто более
фундаментальное: это тот факт, что если определенные
объекты считаются как «Раз, два, три», или подобным
образом, «Ноут, один, два», тогда имеется три объекта. Эта
точка зрения столь проста, что требуется утонченный
интеллект, чтобы проглядеть ее; и это показывает, что Фреге
См.: Целшцев В.В. Логика существования. - Новосибирск: Наука, 1976.
225

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
в споре с Дедекиндом был прав, сделав использование
натуральных чисел как конечных кардиналов внутренней их
характеристикой...и это представляет не какую-то деталь,
а фундаментальный принцип его философии арифметики17.
Тем не менее, многие исследователи говорят о «чистой
математике», где нет места понятию счета. Можно ли объяснить в этом
случае, каким образом происходит концептуальный контроль над
числами?
Н. Теннант полагает, что в значительной степени все упирается
в метафизические посылки о существовании нуля, которые следует
эксплицировать в некоторой формальной систем. Он предлагает
такую систему18. Пусть имеются следующие три простых принципов
для языка, содержащего константу 0, функцию последующего
знака s, и термин-образующий оператор #хФх (число Ф«). Первым
таким принципом является существование нуля:
(Нуль) Если нет Fs, тогда #xFx = 0.
Второй принцип он называет принципом храповика:
(Храповик) Если #xFx существует, и имеется точно на одного
Gs больше, чем Fs, тогда #xGx существует.
Наконец, последним принципом является принцип
последовательности
(Последовательность) Если / = #xFx и имеется точно на одного
Gs больше, чем Fs, тогда #xGx = s (/)
Как утверждает Теннант, из этих трех принципов мы можем
вывести все аксиомы Дедекинда-Пеано о натуральных числах, включая
схему индукции (и это в свободной логике, где нет непредвиденных
экзистенциальных предположений). Это важный факт говорит о том,
что объяснение аналитическому характеру экзистенциальных
утверждений следует искать в этих трех принципах.
Отметим, что вторые два принципа являются условными
утверждениями, посылками которых выступают экзистенциальные
утверждения. Это значит, что ничего существенного по поводу
прояснения онтологического статуса чисел они сказать не могут. Таким об-
17 Dummett M. Frege: Philosophy of Mathematics. - Duckworth, 1991. - P. 53.
18 Tennant N. On Necessary Existence of Numbers // Nous. - 1997. - V. - P. 307-
336.
226

разом, основная тяжесть падает на первый принцип существования
нуля. Здесь Теннант подправляет самого Кронекера, с его
знаменитым афоризмом «Бог создал целые числа», а все остальное -
творение человека».
Кронекер был неправ! Неверно, что Бог создал целые
числа, а все остальное - творение рук человеческих. Бог
должен был дать нам только 0. Мы имеем аналитические
принципы Храповика и Последовательности, и тем самым
породить концепцию натурального ряда чисел. Человек сделает
все остальное19.
Нуль определяется как число вещей, которые не самотождествен-
ны. Для выражения свойства несамотождественности требуется
предикат тождества, экзистенциальный квантор, и числообразующий
оператор #. В достаточно богатом языке, который имеет
упомянутые выше ресурсы, онтологические допущения нуля бесспорны. Но
при этом нуль оказывается очень специальным числом, будучи
логическим по своей природе объектом. Принимая во внимание
принципы Храповика и Последовательности, мы должны заключить, что
и все остальные натуральные числа являются объектами suigeneris.
Под словом «логический» здесь имеется в виду тот аспект, что это
число не подвержено проблеме неединственности, которая
возникает при переводе чисел в множества. Концептуальный контроль над
числами осуществляется с помощью правил, которые апеллируют
к чувственному восприятию, без непременной апелляции к
понятию множества. Действительно, наш повседневный язык для
разговора о конкретных вещах может быть распространен на разговор
о числе Fs, для некоторого предиката Fнашего языка.
Концептуальный контроль может быть наложен на новые числовые выражения
таким образом, что говорящий о конкретных объектах фактически
говорит о числах конкретных объектов и таких-то и таких-то
свойствах. Но если мы настаиваем на том, что нуль есть логический
объект, а именно число, нам требуется привести некоторого рода
«постулаты значения» для этой концепции. Более точно, нам нужны
правила введения этой концепции, которые бы регулировали ее
употребление. При этом значение термина «0» будет полностью
определяться таким употреблением. Формально, 0 есть #х (—■ х = х).
Первое знакомство с употреблением термина «0» заключается
в понимании того, что 0 есть число пустой концепции (парадигмой
19 Ibid. - Р. 320.
227

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
которой является —■ (jc = х). Если для любого а мы имеем
опровержение утверждения Fa, что означает, что нет Fs, то есть, объектов со
свойством F, тогда 0 есть число F. Теперь мы уже не постулируем
абстрактный объект «О», а вводим его согласно некоторому
правилу. Такое правило аналогично, как уже говорилось, генценовским
правилам введения и удаления символов.
Правило налагания значения 0 (Правило введения 0)
Fa E!a
1 i
0 = UxF(x)
Всякий, кто рассматривает вопрос о том, существует ли 0, должен
признать концептуальную истину
: (SO) 0 = #х (-!*=*)
. Отсюда следует, что существует 1, затем 2 и т.д., поскольку они
являются последователями друг друга.
На подобное правило введения, определяющего значение
термина «0», можно возразить, что оно применимо и к пустым
терминам, например к термину «Пегас». Однако в этом случае важную
роль играет различие имен собственных и дескрипций. Теннант
показывает, что отсутствует аналогия между правилом для значения 0
и правилом для значения «Пегаса». Заметим, что правило введения
0 делает 0 числом Fs, где /есть некоторая пустая концепция. Но есть
ли такое правило, заканчивающееся с «Пегас = ...», где правая часть
была бы заполнена подобной схематическим общим термином?
Оказывается, нет такого. Имя «Пегас», аналитически эквивалентное
некоторому термину, образованному посредством связанных переменных,
будет эквивалентно некоторой дескрипции, в которой примитивный
предикат не является схемой. Самое лучшее противопоставление тут
могло бы быть таким: дать правило для некоторого «аналитически
истинного» заключения такого, что «Пегас есть крылатая лошадь», где
предикат W - крылатый, а предикат Н - конь
228

3. НЕОБХОДИМОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ ЧИСЕЛ
W (а) Ща) Е!(а)
W (Пегас) Н (Пегас) а - Пегас
Пегас = (lx)(Wx&Hx)
Из этого правила ясно, что условия для утверждения «Пегас =
= {be) (Wx & Нх)» включают, среди прочих вещей, доказательство, что
можно утверждать атомарную предикацию W (Пегас) и Н (Пегас). Но
тогда Пегас должен существовать, а то как можно в противном случае
утверждать существование атомарных предикатов. Таким образом, нет
правдоподобной версии правила введения значения пустого термина,
аналогичного для правила введения концепции термина «О».
Концепция аналитичности, которая здесь работает,
опровергает обычную аналитическую догму, что что аналитическое
утверждение не включает онтологических допущений. Аналитически
истинно, что 0 = #х (—I х = х), а это в свою очередь влечет, что 0
существует. Постичь значение 0 значит знать число, которое этот термин
обозначает, а не просто знать, что он обозначает, при условии, что
такое число существует.
Линия такой аргументация ведет к тому, что натуральные числа
существуют необходимо. При этом необходимость формулируется
как истина в каждом возможном мире, в котором возможна
предикация и квантификация, или внутри которого такая мысль
существует. Раз такая мысль возможна, поэтому возможно расширение ее до
мысли о числах. Можно ввести выражения 0, s, #x(...x...) путем
консервативного расширения предсуществующего языка,
содержащего тождество, отрицание и предикацию. Подобного рода
возможность гарантирует необходимое существование натуральных чисел.
4. Неологицизм
Выше мы неоднократно упоминали некоторые положения
неологицизма. Видимо, следует упомянуть, что существуют несколько
версий этого направления, развиваемых К. Райтом и В. Хейлом,
Н. Теннантом, Г. Ходесом и др. Неологицизм включает в себя не-
229

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
сколько относительно независимых доктрин. Во-первых, это нео-
фрегеанство, суть которого состоит в формировании общей
концепции соотношения языка и реальности. Во-вторых, это метод
абстракции, суть которого состоит во введении концепций в язык.
Наконец, это полагание подлинной логикой не логики первого порядка,
а логики второго порядка. Все три особенности неологицизма так
или иначе рассматривались нами выше. В данном разделе мы хотим
подчеркнуть те особенности этого направления, которые позволяют
судить, в какой степени в философии математики могут
подвергаться ревизии традиционные программы.
С точки зрения нашей основной темы неологицизм
представляет интерес как доктрина об онтологических допущениях
натуральных чисел. Действительно, в целом неологицизм есть
представление, что можно иметь знание об абстрактных объектах, скажем,
натуральных числах, путем размышления над логическими и
лингвистическими истинами. Связь с традиционным логицизмом
заключается в ассоциации с утверждением Г. Фреге, что арифметические
истины являются априорными. Именно это обстоятельство делает
утверждения о существовании натуральных чисел необходимыми; механизм
доказательства такого заключения представлен в предыдущем разделе.
В определенном смысле неологицизм идет против устоявшегося
мнения, что аналитические истины ничего не говорят о существовании.
Другими словами, логические истины не могут быть
экзистенциальными утверждениями. Но, как утверждают неологицисты, логику можно
приручить. Не случайно, именно такой термин употребляет Н. Теннант
в своей последней книге «Приручение истины»20, и в результате
приручения логики отвергается «догма существования».
Утверждение, в котором содержится экзистенциальное
допущение, не влечет его синтетичности... Если
использование определенных выражений языка ведет к признанию
существования некоторых сущностей, которые в этом
случае существуют необходимо, при этом не совершается
выход за пределы значения выражений, которым обязаны
экзистенциальные допущения. Если мы знаем, что сущность
Е существует необходимо, и что функцией выражения «£»
является указание этой сущности, тогда утверждение «Е
существует» будет истинно исключительно благодаря его
своему значению, и таким образом, будет аналитичным21.
20 TennantN. The Taming of the True. - Oxford University Press, 1997.
21 Ibid.-P. 303-304.
230

4. НЕОЛОГИЦИЗМ
Как было указано ранее, этот взгляд мотивирован доктринами
М. Даммита. Однако, следует признать, что между собственно
логицизмом и взглядами Даммита существуют расхождения, на одно
из которых указал С. Шапиро22. Он предлагает рассмотреть
следующий аргумент. Предположим, что предикат ./V, термины 0 и S,
характеризующие натуральные числа, являются логическими терминами.
Тогда согласно доктрине Даммита есть правила введения и
устранения этих терминов, полностью определяющие их значения. Из этих
правил, а также правил для отрицания и тождества, следует, что
О Ф SO. Это утверждение должно быть одной из основных истин
арифметики, будучи аналитической и логической истиной.
Неологицисты полагают, что натуральные числа являются в
арифметике наинизшими индивидами, так что переменные, над которыми
идет квантификация, это переменные первого порядка. В этом случае
по правилу экзистенциального обобщения из 0 ф 50 получаем
утверждение Зх 3 у (х ф у). Это утверждение, будучи логическим
следствием аналитического утверждения, также является
аналитическим. Но тогда должно существовать доказательство
утверждения Зх 3 у (х ф у), и каждая строчка этого доказательства должна
содержать подформулу утверждения, а в доказательстве
используются только правила введения и устранения для отрицания,
тождества, и экзистенциального квантора. Однако такого доказательства
из одних лишь правил получить невозможно. Действительно,
существуют такие модели, в которых Зх 3 у (х Фу) ложно. Это, например,
такие структуры, которые удовлетворяют соответствующим
правилам введения и устранения, но имеют только один элемент. Таким
образом, «приручение» логики удается не полностью.
Кроме идеи необходимого существования чисел неологицизм
представляет для нас интерес в плане принципов абстракции, которые были
рассмотрены нами ранее, например, принцип Юма. В отношении этих
принципов возникает масса вопросов, на которые довольно трудно
ответить при нынешнем состоянии исследований. В частности,
непонятно, до какой степени могут продвинуть нас эти принципы в
обосновании математики. Так, могут ли они породить классический анализ, или
же теорию множеств. Далее, можно ли считать их действительно
аналитическими, или же априорными принципами?
Как отмечает Т. Бейс, набор свойств, которыми, по мысли Фре-
ге, должны обладать математические утверждения, в настоящее вре-
22 Shapiro S. Induction and Indefinite Extensibility: The Godel Sentence is True,
but Did Someone Change the Subject? II Mind. - 1998. - V. 107, n. 427. - P. 597-624.
231

ГЛАВА 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ
мя проблематичен23. Действительно, во времена Г. Фреге считалось,
что априорные суждения являются необходимыми. Но как показал
С. Крипке, это вовсе не так24. Таким образом, мы не уверены в
статусе принципов абстракции, и поэтому пока преждевременно
выносить вердикт в отношении их философской значимости. Очевидно,
то же относится и ко всему направлению неологицизма, которое, тем
не менее, представляет значительный интерес как возрождение одной
из наиболее фундаментальных программ в обосновании математики.
Эта история еще раз иллюстрирует истину, что добротная
философская идея никогда не угасает окончательно, и в этом смысле слухи
о смерти логицизма оказались, судя по всему, преждевременными.
Какое место занимает неологицизм во всем спектре попыток
разрешить проблему неединственности сведения чисел к множествам,
играющей ключевую роль в понимании места платонизма в философии
математики? В этом отношении интересное свидетельство исходит от
самого Бенацеррафа, который бросил вызов платонизму как в
онтологическом, так и в эпистемологическом планах25. Он полагает, что по
большому счету есть три направления, в рамках которых эта проблема
может быть разрешена. Во-первых, это позиция реализма, с точки
зрения которой невозможность установления ответа на вопрос, каким
именно множеством является некоторое число, в качестве правильного
ответа, не устраняет возможности, что существует все-таки правильный
ответ. Во-вторых, это позиция холизма, которую разделяет Куайн; она
заключается в том, что сама постановка проблемы не является вполне
корректной, поскольку все, что нужно для научной теории, это
множества, и поэтому вопрос о том, что такое на самом деле числа, не имеет
особого значения. В определенном отношении это действие «бритвы
Оккама», устраняющей из онтологии не необходимые объекты.
Наконец, это рассмотрение чисел в духе Фреге-Рассела, например,
неологицизм. Именно в отношении последнего П. Бенацерраф говорит, что это
направление, по сравнению с двумя другими,
кажется единственной линией исследования, которая одна
из всех чувствительна к арифметической практике, то есть,
к контексту употребления арифметических утверждений,
включая контекст (воображаемого) их «введения» в язык26.
23 Bays 'Г. The Fruits ofLogicism II Notre Dame Journal of Formal Logic. - 2003.
24 Kripke S. Naming and Necessity. - Cambridge University Press, 1980.
25 Имеются в виду две его статьи - «Чем числа не должны быть» и
«Математическая истина» (см. список литературы).
26 Benacerraf P. What Mathematical Truth Could not Be II Philosophy of
Mathematics Today / Ed. Shim M. - Clarendon Press, Oxford, 1998. - P. 57.
232

4. НЕОЛОГИЦИЗМ
В свете этого можно считать, что наша последняя краткая глава
фактически говорит, что значение математических терминов
определяется их употреблением, которое, в свою очередь, определяется
математической практикой. Каким же образом вводятся
математические термины, пытается решить неологицизм с помощью
принципов абстракции.
233

ЛИТЕРАТУРА
Бурбаки Н. Архитектура математики II Очерки по истории математики. —
М., 1963.
Ван Хао. Процесс и существование II Математическая логика и ее
применения. - М, 1956.
Виттгенштейн Л. Философские исследования II Философские работы. - М.:
Гнозис, 1994.
Виттгенштейн Л. Замечания по основаниям математики II Философские
работы. Часть ii, книга 1. - М.: Гнозис, 1994.
Гильберт Д., Аккерман Г. Основы теоретической логики. - М., 1948.
Д. Гильберт. Основания геометрии. - М., 1948
Гудстейн Р. Математическая логика. - М., 1961.
Кант И. Критика чистого разума. Соч.: В 6 т. - М.: Мысль, 1964. - Т. 3.
Карнап Р. Эмпиризм, семантика, онтология II Значение и необходимость. —
М., 1959.
Карнап Р Философские основания физики. - М., 1964.
Клайн М.. Математика. Утрата определенности. - М.: Мир, 1984.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. - Т. 1. — М.:
Наука, 1987.
Куайн В.В.О. Онтологическая относительность II Современная
философия науки. - М.: Логос, 1996.
Рассел Б.. Введение в математическую философию. — М.: Гнозис, 1996.
Рассел Б. Об обозначении II Язык, истина, существование. - Томск: Изд-во
Томск, гос. ун-та, 2002.
Рассел Б. Человеческое познание. — М., 1957.
Рорти Р. Философия и зеркало природы. — Новосибирск: Изд-во
Новосибирск, гос. ун-та, 1997.
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М., 1966.
Хинтикка Я. Дистибутивные нормальные формы в первопорядковой
логике //Логико-эпистемологические исследования. -М.: Прогресс, 1980.
ЦелишевВ.В. Логическая истина и эмпиризм. -Новосибирск: Наука, 1974.
Целишев В. В. Логика существования. - Новосибирск: Наука, 1976.
Целишев В.В. Философские проблемы семантики возможных миров.
—Новосибирск: Наука, 1977.
Целишев В.В., Бессонов А.В. Две интерпретации логических систем. —
Новосибирск: Наука, 1979.
Целишев В.В. Философия математики. - Новосибирск: Наука, 2002.
Юм Д. Диалоги о естественной религии. Соч.: В 2 т. — М.: Мысль, 1965. — Т. 2.
234

ЛИТЕРАТУРА
Cantor G. Gesammelte AhbancUungen I A.Fraenkel and E. Zermelo. - Berlin,
1932.
Azzouni J. Metaphysical Myths, Mathematical Practice. -Cambridge University
Press, 1997.
Balaguer M. A Platonist Epistemology II Synthese. - 1995. - V. 103. - P. 303-
325.
Balaguer M. Platonism andAnti-Platonism in Mathematics. - Oxford University
Press, 1998.
Balaguer M. Non-Uniqueness as a Non-Problem II Philosophia Mathematica
(3). - 1998. - V. 6. - P. 63-84.
Barrow J. Pi in the Sky. - Clarendon Press, 1992
Benacerraf P. What Numbers Could not Be II Philosophical Review. - 1965. -
V. 74.
Benacerraf P. Mathematical Truth II Journal of Philosophy. - 1973. - V. 70. -
P. 661-679.
Benacerraf P. Skolem and Sceptic!/ Proceedings of Aristotelian Society. -1985. -
Suppl. Vol. 59.
Benacerraf P. Recantation or any old w-sequence would do after all II Philosophia
Mathematica. - 1996. P. 184-189.
Benacerraf P. What Mathematical Truth Could not Be II Philosophy of
Mathematics Today / Ed. Shim M. - Clarendon Press, Oxford, 1998.
Bemadete J. Logic and Ontology: Numbers and Sets IIA Companion to Philosophical
Logic / Ed. Jacquette D. - Blackwell Publishers, 2002. - P. 351.
Beth E. Mathematical Thought. - Dordrecht, Reidel, 1965.
Boolos G. Is (HP) Analytic? II Language, Thought and Logic / R. Heck. - Oxford
University Press. P. 245-61.
Boolos G. To Be is to Be a Value of a Variable II Journal of Philosophy. -1984. -
V. lxxxi. - P. 430-449.
Boolos G. Nominalist Platonism // Philosophical Review. - 1985. - V. xciv. —
P. 327-344.
Bostock. D. On Motivating Higher-Order Logic II Philosophical Logic / Ed.
Smiley T. - Oxford University Press, 1998. - P. 29-44.
Campbell K. Metaphysics. Dickenson Publishing Company, 1976.
Cheng Chung-Ying. Referential Involvement of Number Words II Notre Dame
Journal of Formal Logic. - 1970. - V. 11, n. 4. P. 487-496.
Chihara Ch. Constructability and Mathematical Existence. - Oxford University
Press, 1990.
Curry H. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. - Amsterdam,
1970.
Dedekind R. Was sind und was sollen die Zahlen II From Kant to Hilbert. -
V. 11 / W. Ewald. - Clarendon Press, Oxford, 1999.
Dedekind R. Letter to Heinrich Weber (24 January 1988) II From Kant to
Hilbert. - V. II / W. Ewald. - Clarendon Press, Oxford, 1999.
Dedekind R. Letter to Keferstein II From Frege to Godel / J. van Heijenoort. -
Harvard University Press, 1967. - P. 99-103.
235

ЛИТЕРАТУРА
Derbyshire J. The Importance of not Thinking Too Much II www.
nationalreview.com/derbyshire/derbyshire080103.asp
Dummett M. The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic II Dummett M.
Truth and Other Enigmas. - Harvard University Press, 1978.
Dummett M. Truth and Other Enigmas. - L., 1978.
Dummett M. Frege: Philosophy of Mathematics. — Harvard University Press,
1991.
Dummett M. The Origins of Analytical Philosophy. - Harvard University Press,
1993.
Dummett M. La natura e il future delta filosofia. - Genova, 2001.
Dummett M. The Logical Basis of Metaphysics. - Harvard University Press,
1991.-P. 251.
Eddington A.S. The Nature of the Physical World. - N.Y., 1928.
Field H. Quine and the Correspondence Theory II Philosophical Review. -
1974. - V. 83, n. 2. - P. 200-228.
Field H. Theory of Change and Indeterminacy of Reference II Journal of
Philosophy. - 1973. - V. 70. - P. 462-481.
Fine K. The Limits of Abstraction II The Philosophy of Mathematics Today / Ed.
Schim M. - Clarendon Press, Oxford, 1998. - P. 503-629.
Frege G. The Foundations of Arithmetic. Tr. By J. Austin. - Oxford, Blackwell,
1953. - Параграфы 62-5.
Frege G. Philosophical and Mathematical Correspondence. - Chicago University
Press, 1980.
Geach P. andAnscombeG.E.M. Three Philosophers. -Blackwell, 1961. -P. 136.
Gillies D. Review of Dummett's La natura e ilfuturo del la filosofia II British
Journal for the Philosophy of Science. - 2003. - V. 54.
Godel K. What is Cantor's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics /
Eds. Benacerraf P. and Putnam H. - Prentice-Hall, 1964.
Hacking I. What is Logic? II Journal of Philosophy. - 1979. - V. 76. - P. 285-
319.
Hand M. Mathematical Structuralism and the Third Man //Canadian Journal
of Philosophy. - 2003. - V. 23.
Hellman G. Structutalism without Structures I/ PhilosophiaMaXhematica, series
111, 1996.
Hersh R., Davis Ph. The Mathematical Experience. - Penguin, 1983.
HigginbothamJ. On High -Order Logic and Natural Language II Philosophical
Logic / Ed. Smiley T. - Oxford University Press, 1998.
Hintikka J a., Niiniluoto I. On the Surface Semantics ofQuantificational Proof
Procedures II Ajatus. - 1973. - V. 35.
Hintikka Ja. Carnap's Heritage in Logical Semantics II The Intentions of
lntentionality and Other New Models for Modalities. - Dordrecht, 1975.
Hodes H. Logicism and the Ontological Commitments of Arithmetic II Journal
of Philosophy. - 1984. - V. lxxxi. - P. 123-149.
Hodes H. Stewart Shapiro's Philosophy of mathematics II Philosophy and
Phenomenological Research. - 2002, September. - V. lxv, n. 2.
236

ЛИТЕРАТУРА
Hrbacek К., Jech T. Introduction to Set Theory. - N.Y.: Marcel Dekker, 1978.
Hylton P. Review of Dummett's Origins of Analytical Philosophy II Journal of
Philosophy. - 1995. - V. xcii, n. 10. - P. 559.
Jubien M. The Intensionality of Ontological Commitment II Nous. - 1972. -
V. 6. - P. 378-387.
Jubien M. Ontological Commitment to Particulars II Synthese. - 1974. - V. 28. -
P. 513-531.
Jubien M. Ontology and Mathematical Truth II Nous. - 1977. - V. xi, n. 2. -
P. 133-150.
Kessler G. Mathematics and Modality. - Nous. - 1978. - V. xii, n. 4.
Kripke S. Semantical Consideration of Modal Logic II Acta Filosophica
Fennica. 1963. - V. 16. - P. 83-94.
Kripke S. Wittgenstein on Rules and Private Language. - Blackwell, 1982.
Kitcher Ph. The Plight ofPlatonist II Nous. - 1978. - V. xii, n.2. - P. 119-136.
Linsky В., Zalta E. NaturalizedPlatonism versus PlatonizedNaturalism II Journal
of Philosophy. - 1995. V. xcii, n. 10. - P. 525-555.
Lomas D. What Perception is Doing, and What is not Doing II British Journal
for the Philosophy of Science. - 2002. - V. 53, n. 2.
Lowe E. The Metaphysics of Abstract Objects II Journal of Philosophy. - 1995. -
V. xcii, n. 10. -P. 509-524.
MacBride F. Speaking with Shadows: A Stydy ofneo-Logicism II British Journal
for the Philosophy of Science. - 2003. - V. 54. - P. 103-163.
MacCarthy T. Platonism and Possibility II Journal of Philosophy. - 1986. -
V. 83. - P. 288 9.
Maddy P. Realism in Mathematics. - Oxford University Press, 1990.
Maddy P. Naturalism in Mathematics. - Oxford University Press, 1997.
Parsons Ch. A Plea for Substitutional Quantification II Journal of Philosophy. -
1971. V.68,n. 8.
Parsons Ch. Structuralism and the Concept of Set II Philosophy of Mathematics
Today / Ed. Agazzi E. and Darvas G. - Kluwer Academic Press. - 1997. -
P. 171-194.
Parsons Ch. The Structuralist View of Mathematical Objects II The Philosophy
of Mathematics / W.D. Hart. - Oxford University Press, 1998.
Penrose R. The Emperor s New Mind. — Vintage, 1990
Putnam H. What is Mathematical Truth II Philosophical Papers. - V. 1.
Mathematics, Matter and Method. - Cambridge University Press, 1977.
Putnam H. Mathematics without Foundations II Philosophical Papers. - V. 1.
Mathematics, Matter and Method. - Cambridge University Press, 1977.
Putnam H. Philosophy of LogicII Mathematics Matter and Method: Philosophical
Papers. - V. 1. - Cambridge University Press, 1977.
Putnam H. Models and Reality II Journal of Symbolic Logic. - 1980. - V. 45, n. 3
Quine W. V. Word and Object. MIT Press. - N. Y., 1961.
Quine W.V.O. Set Theory and Its Logic. - Cambridge University Press, 1963.
Quine W. V. Ontological Relativity II Ontological Relativity and Other Essays. -
N.Y., 1968.
237

ЛИТЕРАТУРА
Quine W.V. The Roots of Reference. - Chicago University Press, 1974.
Quine W.V.O. Posits and Reality II The Ways of Paradox and Other Essays. -
Harvard University Press, 1976.
Quine W.V.O. Success and Limits of Mathematization II Theories and Things. -
Harvard University Press, 1981. - P. 148 155.
Reck E. & Price M. Structures and Structuralism in Contemporary Philosophy
of Mathematics //Synthese. 2000. V. 125. - P. 341-383.
Resnik M. Frege and Philosophy of Mathematics. - Cornell University Press,
1980.
Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference II
Nous. - 1981. - V. 15. - P. 529-550.
Resnik M. Second-Order Logic Still Wild II Journal of Philosophy. - 1988. -
V. Ixxxv. - P. 75 87.
Russell B. Principles of Mathematics. - L., 1903. - P. 3.
Russell B. Our Knowledge of the External World. - L., 1966.
Shapiro S. Induction and Indefinite Extensibility: The Godel Sentence is True,
but Did Someone Change the Subject? II Mind. - 1998. - V. 107, n. 427. -
P. 597 624.
Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology.- Oxford
University Press, 1997.
Simons P. Structure and Abstraction II The Philosophy of Mathematics Today /
Ed. Schirn M. Clarendon Press, Oxford, 1998. P. 485-501.
Spivak M. Calculus. Menlo Park: Benjamin Cummings, 1991.
Steiner M. Mathematical Knowledge. - Cornell University Press, 1975.
Steinhart E. Why Numbers Are Sets II Synthese. - 2002. V. 133.
Tait W.W. Critical Notice: Charles Parsons' Mathematics in Philosophy II
Philosophy of Science. - 1986. V. 53. - P. 590-591.
Tait W.W. Truth and Proof: The Platonism of Mathematics II The Philosophy of
Mathematics / W.D. Hart. Oxford University Press, 1998. - P. 165.
Tappenden J. Recent Work in Philosophy of Mathematics II Journal of
Philosophy. 2001.
Tennant N. Anti-Realism and Logic. - Oxford University Press, 1987.
Tennant N. On Necessary Existence of Numbers II Nous. - 1997. P. 307-336.
Tennant N. The Taming of the True. - Oxford University Press, 1997.
Weiner J. frege in Perspective. - Cornell University Press, 1996.
Whitehead A.N., Russell B. Principia Mathematica. - Cambridge University
Press, 1911-1913.
White N. What Numbers Are II Synthese. - 1973. - V. 23.
Wright C. Frege s Conception of Numbers as Objects. - Aberdeen University
Press, 1983.
Wright С Skolem and Sceptic II Proceedings of Aristotelian Society. - 1985. -
Suppl. Vol. 59. P. 117-119.
238

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
Глава 1. ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ 9
1. Математический платонизм 9
2. Существование и определенные дескрипции 20
3. Критерий Куайна и онтологическая редукция 26
4. Объекты и структуры 36
5. Онтологическая относительность 39
6. Платонизм и частичная теория указания 44
7. Общие термины как знаки для чисел 50
8. Логика без онтологии 52
Глава 2. АБСТРАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ 60
1. Понятие абстрактного объекта 60
2. Восприятие абстрактных объектов 67
3. Постулирование абстрактных объектов 71
4. Расширение понимания платонизма 74
5. Полнокровный платонизм 77
6. Принцип свертывания для абстрактных объектов 82
7. Метод абстракции 87
8. Природа абстракции 94
9. Абстрактные объекты и подстановочная интерпретация 99
Глава 3. ЧИСЛА И ПРОБЛЕМА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕДУКЦИИ .... 106
1. Неединственность редукции в метафизике и семантике 106
2. Математическая практика и проблема неединственности 112
3. Логика второго порядка как основание математики 118
4. Теория чисел Фреге: числа как объекты 126
5. Онтологические допущения арифметики и нумерические кванторы .... 136
Глава 4. АБСТРАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ 146
1. Структурность абстрактных объектов 146
2. Понятие структуры в философии математики 153
3. Структура натуральных чисел 161
4. Ante rem структуры 168
5. 'Дпиминативный структурализм 177
6. Фоновая онтология 182
7. Дедуктивизм 184
8. Дистрибутивные нормальные формы как числовые структуры 188
9. Математика как модальная логика 197
10. Модальный элиминативизм 205

Глава 5. АНТИРЕАЛИЗМ И ОНТОЛОГИЯ 213
1. Идеология versus онтология 213
2. Значение математических терминов 217
3. Необходимое существование чисел 220
4. Неологицизм 229
ЛИТЕРАТУРА 234
Научное издание
Целищев Виталий Валентинович
ОНТОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ:
ОБЪЕКТЫ И СТРУКТУРЫ
В оформлении использован фрагмент лигенрафии М Escber
Издается в авторской редакции
Оператор шектронной верстки Г.Я.Симапона
Подписано в печать 25.10.93. Формат 60х90'/|6. Офсетная печать.
Гарнитура Тайме. Усл. неч. л. 13,25. Уч.-ичл. л. 12.
Тираж 500 >кч. Заказ № 1103.
Оригинал-макет и л отоплен на настольной издательской системе.
ООО «Нонпарель», г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1.