Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics
Volume 38
SEMISIMPLE LIE ALGEBRAS
MORIKUNI GOTO
Department of Mathematics
University of Pennsylvania
Philadelphia, Pennsylvania
FRANK D. GROSSHANS
Department of Mathematical Sciences
West Chester State College
West Chester, Pennsylvania
M.ГОТО, Ф. ГРОССХАНС
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Перевод с английского
А. И. Логинова и В. С. Шульмана
под редакцией
Д. П. Желобенко
MARCEL DEKKER, INC.
New York and Basel
1978
«МИР»
Москва
1981

ОГЛАВЛЕНИЕ
336 Оглавление
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
От редактора перевода
Предисловие
Глава 1.' Общая теория алгебр Ли
1.1. Основные понятия и определения
Представления алгебр Ли . . . . ¦
Нильпотентные алгебры Ли
Разрешимые алгебры Ли •
Формы Киллинга и невырожденные алгебры Ли ....
Расширения полей коэффициентов
Алгебры Ли размерности <:3
Подалгебры Картана и разложения по корневым подпро-
подпространствам
1.9. Универсальная обертывающая алгебра
1.10. Существование точных представлений
Глава 2. Полупростые алгебры Ли
2.1. Полупростые алгебры Ли
2.2. Разложение по корневым подпространствам
2.3. а-последовательность весов
2.4. Фундаментальная система корней и я-система
2.5. Классификация я-систем
2.6. Классификация простых алгебр Ли .
• 2.7. Классические простые алгебры Ли
Приложение. Исключительные алгебры Ли
Глава 3. Когомологии алгебр Ли и их применение : . . .
3.1. Когомологии алгебр Ли
3.2. Применения теории когомологии
3.3. Эндоморфизм Казимира
3.4. Когомологии нетривиальных неприводимых представлений
3.5. Разложения Лев»
Глава 4. Полупростые алгебры Лн над R н С . • . .
4.1. Алгебры Ли иад R а С
4.2. Простые алгебры Ли
4.3. Компактные алгебры Ли
4.4. Группы автоморфизмов алгебр Лн
4.5. Разложения Картана. Вещественные формы полу простых
алгебр Ли над С
4.6. Сопряженность подалгебр Картана
4.7. Разложения Ивасавы
Глава 5. Группы, связанные с корневыми системами
5.1. Введение и обозначения
5.2. Группы Вейля , ¦ . ,
5.3. Группа автоморфизмов полупростой алгебры Ли над С
5.4. Группа автоморфизмов компактной полупростой алгебры Ли
5.5. Инверсия * и универсальный центр С (Д)
5.6. Аффинная группа Ai (Д) и аффинная группа Вейля Afd (Д)
5.7. Группа F (я) и расширенная диаграмма Дынкина . . .
5.8. Доказательство равенства F (я) Г| Afd (Д) =1
5.9. Вычисление универсального центра
Глава 6. Линейные группы
6.1. Линейные группы и их алгебры Ли
6
7
7
10
14
19
24
29
32
36
3D
44
51
51
57
61
66
71
77
82
9С
92
92
95
100
102
10Е
ПС
ПС
112
122
12:
131
13'
13
13
14
14
- 14
15
16
16
16
17
17
6.2. Классические линейные группы и алгебраические группы 178
6.3. Полярное разложение группы GL (г, С) 183
6.4. Разложения Картана полу простых линейных групп ... 187
6.5. Таблица умножения алгебры Ли 192
6.6. Разложения Ивасавы полупростых линейных групп ... 198
6.7. Построение линейной группы по алгебре Ли 204
6.8. Флаговые многообразия 207
6.9. Теоремы Вейля о компактных группах Ли 213
Глава 7. Неприводимые представления 219
7.1. Введение 219
A. Комплексные неприводимые представления 221
7.2. Старшие веса . . . . : . 222
7.3. Тензорные произведения представлений 224
7.4. Модуль всех весов и универсальный центр 229
7.5. Существование неприводимых представлении. Формула
характеров и формула размерностей 238
7.6. Фундаментальные представления классических простых
алгебр Ли 248
I. Фундаментальные веса 248
II. Представления в пространстве дг (Ст) 249
III. Спинорные представления 250
B. Вещественные неприводимые представления 252
7.7. Основные понятия 252
7.8. Теорема Картана 254
7.9. Индекс комплексного представления 260
7.10. Комплексные представления вещественных полупростых
алгебр Ли 264
Глава 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли 270
8.1. Обозначения 270
8.2. Подалгебры максимального ранга в компактной алгебре
Ли 272
8.3. Явное определение максимальных подалгебр максимального
ранга в компактной простой алгебре Ли (теория Бореля—
Зибенталя) 277
8.4. Таблица максимальных подалгебр максимального ранга
в компактных простых алгебрах Ли 284
8.5. Классификация вещественных простых алгебр Ли внутрен-
внутреннего типа 288
8.6. Вещественные формы внешнего типа 292
Классификация для случая р = р0 296
Классификация для случая рфр 297
8.7. Автоморфизм системы я, заданный сопряжением .... 302
8.8. Представление ad (l)p 304
Нахождение старших весов 307
Добавление. Замечания о линейных операторах 311
1. Обзор основных понятий 311
2. Вполне приводимые операторы 316
3. Расширение основного поля 318
4. Полупростые операторы 322
5. Разложение Жордаиа 325
6. Теорема Жордана—Гёльдера 327
Литература • 330
Предметно-именной указатель . * 332

УДК 512 ; 519.46
Монография учебного характера по классической теории полупро-
полупростых алгебр Ли; написана американскими математиками. Для чтения
книги достаточно знания основ линейной алгебры и анализа. Материал
тщательно отобран; наряду с классическими результатами включены новые,
известные лишь по журнальным публикациям.
Книга представляет интерес для математиков различных специально-
специальностей, физнков-теоретиков, студентов университетов.
Редакция литературы по лштематическим наукам
1702030000
20203—003
041@1)—81
03—81, ч. 1
1978 by MARCEL DEKKER, INC.
Перевод на русский язык, «Мир», 1981
Морикуни Гото
Фрэнк Д. Гроссхаис
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
ЛИ
Научный редактор В. И. Авербух. Млад, научн. ред. Э. Г. Иванова.
Художник В. Н. Тикунов. Художественный редактор В. И. Шаповалов.
Технический редактор И. Г. Кузнецова. Корректор М. А. Смирнов.
ИБ № 2511
Сдано в набор 25.02.81. Подписано к печати 23.09.81. Формат 60X90Vi«.
Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем бум. л. 10,50. Усл. кр.-отт. 21,00. Усл. печ. л. 21,00. Уч.-изд. л. 17,99.
Изд. № 1/0954. Тираж 6000 экз. Зак. 542. Цена 2 р. 50 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-110, ГСП 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 133144, г, Ленинград, ул. Моисеенко, 10,
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Эта книга посвящена классическому разделу современной математики, связан-
связанному с именами В. Киллинга, Э. Картана, Г. Вейля и выкристаллизовавшемуся
к середине нашего столетия. Основным достижением теории является полная
классификация простых алгебр Ли над полями комплексных и вещественных
чисел, посредством которой достигается также классификация связных простых
вещественных групп Ли и связных симметрических римановых пространств
(Э. Картан).
Предлагаемая вниманию читателя книга отличается значительными методи-
методическими достоинствами. Это одновременно элементарный учебиик и специальная
монография, содержащая изложение ряда вопросов, освещавшихся до сих пор
только в журнальной литературе. Сюда относятся: когомологии алгебр Ли,
аффинные группы Вейля, автоморфизмы простых алгебр Ли, классификация
максимальных подалгебр максимального ранга в компактных простых алгебрах
Ли, детальная классификация простых вещественных алгебр Ли. Ограничение
классическими полями комплексных и вещественных чисел позволило сделать
изложение более прозрачным и завершенным и включить соответствующий
материал по связи с линейными группами Ли.
Можно надеяться,, что книга окажется полезной широкому кругу читателей,
интересующихся как основами теории, так и ее специальными разделами и много-
многочисленными приложениями.
Д. Желобенко

ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги — дать изложение той части теории алгебр Ли, которая наиболее
тесно связана с теорией групп Ли. Изучение алгебр Ли было начато С. Ли именно
в связи с группами Ли, и с тех пор эти две области продолжают влиять друг на
друга: Сравнительно иедавио на развитие теории алгебр Ли стала оказывать
влияние теория алгебраических групп; в главе 6 настоящей книги вводятся
в рассмотрение как группы Ли, так и алгебраические группы, и оии играют
существенную роль в последующих главах. Однако основное внимание в книге
уделено алгебрам Ли, и при изложении теоретике-групповой части материала
мы ограничились только самыми важными моментами.
В главах 1—4 развивается общая теория алгебр Ли, включая классификацию
комплексных полу простых алгебр Ли, существование точных представлений и
разложения Леви, Картана и Ивасавы. Наш подход алгебраичен, и от читателя
требуется лишь хорошее знание линейной алгебры. В главе 5 строится, аппарат
дискретных групп, связанных с системами корней,
В главе 6 на сцене впервые появляется теория групп, а именно дается до-
достаточно полное и независимое введение в теорию групп Ли. Нашей целью в этой
главе является глобальная реализация результатов глав 1—4, т. е. их интерпре-
интерпретация в виде результатов о группах Ли. В главе 7 описываются неприводимые
комплексные и вещественные представления полупростых алгебр Ли. Наконец,
глава 8 содержит полную классификацию вещественных простых алгебр Ли.
В книгу включены упражнения различной степени трудности. Для эко-
экономии места результаты упражнений иногда используются при доказательстве
теорем.
Приводимая в конце книги библиография предназначена служить путеводи-
путеводителем по имеющейся литературе, но никоим образом не претендует на полноту.
При ссылках на литературу в тексте используется только фамилия автора1.
Мы глубоко признательны целому ряду лиц за большой труд, в результате
которого эта книга смогла выйти в свет. В особенности нам хочется поблагодарить
г-жу Фон Лай, отпечатавшую рукопись, г-жу Энну Мэй Брэнтон, подготови-
подготовившую рукопись к набору, и д-ров Хэи-Луна Лая и Ричарда Брэнтона, прочи-
прочитавших корректуру и сделавших много полезных замечаний.
Морикуни Гото
Фрэнк Д. Гроссханс
1 В квадратных скобках. Соответственно в библиографии отмечены
те работы, на которые имеются ссылки в тексте.—Прим. ред.
Глава 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АЛГЕБР ЛИ
1.1. Основные понятия и определения
Пусть Р — поле. Под векторным пространством над Р мы будем,
если не оговорено противное, подразумевать векторное простран-
пространство конечной размерности. Если А — векторное пространство
над Р, то всякое билинейное отображение /: А х А —* А называ-
называется умножением в А, а. А — алгеброй относительно /. Как обычно,
для X и Y из А вместо / (X, Y) мы будем писать просто XY.
Пусть А — некоторая фиксированная алгебра и Elt ..., Еп —
какой-нибудь ее базис. Элементы cijk ? Р, определяемые равен-
равенствами
4=1
называются структурными константами алгебры А относительно
базиса Ег, ..., Еп. Умножение в А полностью задается этими
константами.
Алгебра А называется ассоциативной, если X (YZ) = (XY) Z
для всех X, Y и Z из А. Алгебра А называется алгеброй Ли, если
выполняются следующие два условия:
XX = 0 (антикоммутативность),
X (YZ) + Y (ZX) + Z (XY) = 0 (тождество Якоба).
Из условия антикоммутативности следует, что
О = (X + Y) (X + Y) = XX + XY + YX + YY
= XY + YX
и, значит, XY = — YX. Обратно, если XY = — YX для всех
X, Г из Л, то XX = 0, при условии что char P (характеристика
поля Р) 4= 2. -щ
Пусть снова А — произвольная алгебра. Векторное подпро-
подпространство В в А называется подалгеброй в А, если В является
алгеброй относительно определенного в А умножения, т. е. если
XY ? В для всех X, Y ? В.
Для любых двух подмножеств В и С алгебры А положим
ВС = I У а.Х;Х,-: k — произвольное натуральное число,!.
И *i € B,Yi 6 С а* € Л

8 Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
Подалгебра В называется идеалом алгебры Л, если А В cz В
и ВА cz S. В случае когда А — алгебра Ли, достаточно выполне-
выполнения одного из этих условий (ввиду антикоммутативности).
Пусть даны алгебра Л и ее идеал В. Факторпространство
А/В (в смысле векторных пространств) является алгеброй отно-
относительно (корректно определенного, как нетрудно проверить)
умножения
(X + В) (Y + В) = XY + В для X, Y ? А.
Эта алгебра называется факторалгеброй Л по В и обозначается
также через A IB.
Пусть А и А' — алгебры над Р. Линейное отображение g:
А —* Л' называется гомоморфизмом, если g (XY) — g (X) g (Y)
для всех X, Y ? Л. Множество [X ? Л: g (X) — 0} называется
ядром гомоморфизма g и обозначается через ker g; очевидно, что
это — идеал в Л. Всякий взаимно-однозначный гомоморфизм А
на Л' называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм Л
на Л', то говорят, что А и А' изоморфны, и пишут A s=z А'.
Стандартные теоремы о гомоморфизмах справедливы и для
алгебр. Прежде всего, если g — гомоморфизм А на Л', то
Л/ker g <sk А'. Далее, если В — идеал, а С — произвольная
подалгебра в Л, то В 4- С = \Х + V: X ? В, Y ? С\ — под-
подалгебра в Л, В — идеал в В + С, В AС- идеал в С и (В +
+ C)IB s CIВ П С.
Изоморфизм алгебры на себя называется ее автоморфизмом.
Множество всех автоморфизмов алгебры Л образует группу,
которая обозначается Aut (Л) и называется группой автоморфизмов
алгебры Л.
Приведем примеры алгебр Ли. Ниже мы обозначаем через Р
алгебраическое замыкание поля Р. Отметим, что если char Р = 0,
то его простое подполе можно отождествить с полем рациональных
чисел Q.
1. Пусть Л —произвольная ассоциативная алгебра. Вводя
новое (скобочное) умножение на Л по формуле [X, Y] = XY —
— YX, мы превращаем векторное пространство Л в алгебру Ли.
Исходя из этого примера, мы в дальнейшем будем обозначать
умножение в алгебрах Ли через IX, Y]. В этой записи условие
антикоммутативности и тождество Якоби принимают соответ-
соответственно вид
[X, X] = 0 и [X, [Y, Z}} + IY, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0.
2. Пусть V — векторное пространство над Р и еи ..., еп — его
базис. Обозначим через gl (V) ассоциативную алгебру всех
эндоморфизмов (линейных отображений в себя) пространства V.
1.1. Основные понятия и определения 9
Для всякого s из gl (V) положим
se/= Ysk-,ek (Skj 6 р), /=1. 2,...,л,
т. е.
Пусть gl (n, P) обозначает ассоциативную алгебру всех матриц
размера п X п над Р. Тогда отображение
sn...sln
9I(V)
является изоморфизмом алгебр. Таким образом, выбирая базис
в V, мы можем отождествлять алгебры gl (n, P) и gf (V).
Согласно примеру 1, алгебры gl (V) (и gl (л, Р)) суть алгебры
Ли относительно скобочного умножения. Мы будем иногда исполь-
использовать символ End (V) для обозначения ассоциативной алгебры,
3. Важную роль в теории алгебр Ли играет следующий идеал
алгебры gl (n, P):
& (п,Р) = {S ? gl (n,P): tr S = OK
где tr (s:.) = su + s22 + ... + snn. Алгебра Ли & (n, P) называ-
называется специальной линейной алгеброй Ли х.
4. Ортогональная алгебра Ли:
v (п,Р) = \S e gl (n,P): S ¦+• 'S = 0},
где 'S обозначает матрицу, транспонированную к S.
5. Пусть /,„ — единичная /лХ/л-матрица и
' 0 1т\
.-1т О
Алгебра
ё$ (т,Р) = (S ? gl Bm,P): lSJ + JS == 0}
называется симплектической алгеброй Ли.
6. Пусть Л и В —две алгебры Ли. Векторное пространство
Л ф В = {(X, Y); X?A, Y ? В} является алгеброй Ли отно-
относительно умножения
г/у V \ (У VII I\ Y У 1 ГУ V ]\
L\y\j_, -«1/» t,-^-2» ^2/-^ — \'-у*-1» ^2J, 1-^1> J 3 '/•
Эту алгебру Ли Л ф В называют прямой суммой алгебр Ли Л и В.
1 Алгебру Ли gl (К) (илн gl (n, P)) называют обычно полной линейной
алгеброй Ли. — Прим. ред.

10
Гл. I. Общая теория алгебр Ли
Простой алгеброй называется алгебра А, имеющая лишь два
идеала, {0} и Л, и удовлетворяющая условию Л2 = A A =h 0.
Позднее мы покажем, что если char P — 0, то все алгебры Ли
в! (я, Р) (я > 2), о (я, Р) (я = 3 или я :&. 5) и &р(га, Р) (да > 1)
просты. Алгебры из этих бесконечных классов простых алгебр Ли
называются классическими алгебрами Ли.
Упражнение 1. Пусть А — алгебра, обладающая таким базисом [Е1 Еп},
для которого EtEj = У "=1 сц^Еь- Показать, что А является алгеброй Ли в том
и только том случае, когда справедливы следующие равенства:
= 0,
= 0
J (CiStCjkS + CjStCkiS
s=l
для всех i, /, k = 1, ..., п.
Упражнение 2. Найти размерности алгебры gl (n, P) и классических алгебр Ли.
Упражнение 3. Дифференцированием алгебры А называется всякое линейное
отображение 8: А -*¦ А, такое что 8 (ab) = фа) b + а (86) для всех а, Ь ? А.
Доказать, что множество всех дифференцирований алгебры А является (лиевой)
подалгеброй в gl (A).
1.2. Представления алгебр Ли
Пусть V — векторное пространство над полем Р и L — алгебра
Ли над некоторым подполем Р поля Р. Всякий гомоморфизм /
из L в алгебру gl (V), рассматриваемую как алгебра Ли над Р,
называется представлением алгебры Ли L.
Таким образом, представление алгебры Ли L — это отображе-
отображение /: L —» gl (V), удовлетворяющее следующим условиям:
f(aX + bY) = af(X) + bf (Y),
f(lX, Y])=[f(X), f(Y)]=f(X)f(Y)-f{Y)f(X)
для всех X, Y ? L и a, b ? P. Мы будем иногда обозначать такое
представление через (V, /) или просто через /ив случаях, когда это
не может привести к недоразумению, писать Xv вместо / (X) v
(здесь X е L, v ? V).
Среди представлений данной алгебры Ли L есть одно особенно
важное. Это — естественное действие алгебры L на самой себе,
позволяющее переформулировать результаты теории представле-
представлений в виде утверждений о структуре алгебры L. Точнее, пусть
L — алгебра Ли над полем Р. Для каждого элемента X ? L
определим эндоморфизм ad X ? qi (L) формулой ad X (Y) =
= [X, Y], Y e L- Так как
ИХ, Y\, Z\ = IX, IT, Z\\ - \Y, [X, Z}\
1.2. Представления алгебр Ли 11
для всех X, Y, Z ? L, то
ad (IX, Y]) - adX-ad Y — ad YadX,
так что ad — представление алгебры L. Оно называется присоеди-
присоединенным представлением алгебры Ли L. Рассмотрим идеал г (L) в L,
задаваемый формулой
г(Z,) =* ker(ad) =* [X?L: [XtY] — 0 для всех F?L).
Он называется центром алгебры Ли. Присоединенное представле?
ние является взаимно-однозначным тогда и только тогда, когда
z (L) = 0.
A.2.1) Пусть (V, /) —представление алгебры Ли L и X ? L.
Пусть L = L @) ф L (а) Ш ... — разложение пространства L на
обобщенные собственные подпространства эндоморфизма ad X,
a V = V (К) 0 V (\i) 0 ... — разложение V на обобщенные соб-
собственные подпространства эндоморфизма f (X). Тогда
f (L (а)) V {Ц <= V (а + Ц.
Замечание. Условимся считать {()} собственным подпространством,
отвечающим тем числам, которые не являются собственными
значениями. Например, в A.2.1) мы имеем V (ее + X) = 0, если
а + К не является собственным значением для / (X).
Доказательство. Для любых Y ? L, v ? V
(/ (X) - (а + I)) f(Y)v = f ((ad X - a) Y) v
+ / (Y) (/ (X) - Я) v.
Отсюда, используя индукцию по k, можно вывести, что
-(« +Я))
Если Г ? L (а) и и ? У (Ц, то для некоторого номера / > 0
(adX —а)/У = 0 и
Следовательно,
A.2.2) Пусть L — алгебра Ли, X ? L, и L = L (()) 0 L (а)
0 ... — разложение L на обобщенные собственные подпространства
эндоморфизма ad X. Тогда
1) lL(a), L(P)]cL(a+ P);
2) L @) есть подалгебра в L, содержащая X.

12 Гл. L Общая теория алгебр Ли
Доказательство. Взяв в A.2.1) в качестве представления (V, /)
представление (L, ad), получим утверждение 1). Для доказатель-
доказательства утверждения 2) заметим, что X ? L @), так как [X, X]
= 0. р
Пусть теперь V — векторное пространство над Р и 2 —
некоторое подмножество в gl (V), Если единственными подпро-
подпространствами в V, инвариантными относительно всех элементов 2,
являются 0 и V, то S называется неприводимым. В противном
случае 2 называется приводимым. Если для каждого 2-инва-
2-инвариантного подпространства W в V существует такое 2-инвариант-
2-инвариантное подпространство W в V, что F= 1F0 №',то 2 называется
вполне приводимым. Представление (V, /) алгебры Ли L называется
неприводимым, приводимым или вполне приводимым, если соответ-
соответствующим свойством обладает / (L).
Два представления (Уь /J и (У2, /2) алгебры Ли L называются
эквивалентными, если существует такой изоморфизм ср векторного
пространства Ух на У2, что
ср/г (X) v = h (X) qrc, т. е.
1 = /2
для всех X ? L и и ? W Очевидно, что это действительно отно-
отношение эквивалентности.
Пусть теперь (V, /) — некоторое представление алгебры Ли L,
и пусть W — собственное f A,)-инвариантное подпространство
в V, имеющее максимальную возможную размерность. Представле-
Представление (V, /) порождает неприводимое представление алгебры L
в пространстве V/W. В самом деле, для X ? L и v ? У положим
(X) (и + W) = / (X) v + IF.
Таким путем можно явно построить композиционный ряд для V,
т. е. последовательность 0 = Vo ^ ... ^ Vk = V, состоящую из
/ A<)-инвариантных подпространств в V, такую что / (L) действует
неприводимо в каждом из фактор пространств VJVi_x. Можно
доказать (см. упр. I ниже), что существует представление /'
алгебры L в прямой сумме
относительно которого инвариантны все подпространства VVV^,
и сужения которого на эти подпространства совпадают с только
что построенными представлениями. Согласно теореме Жордана—>
Гёльдера, это представление (У, /') определяется алгеброй L
и представлением (V, /) однозначно с точностью до эквивалент-
эквивалентности. Оно называется вполне приводимым представлением, ассо-
ассоциированным с (V, /).
Выберем базис \ех, ..., еп] в V таким образом, чтобы для
каждого / = 1, 2, ..., k векторы ех, ..., etl- образовывали базис
1.2. Представления алгебр Ли 13
пространства Vj {h < l2 < ¦¦¦ < h)- Тогда для X
физму / (X) отвечает в этом базисе матрица
1г 12 — lt ik — fk-i
L эндомор-
эндоморО "Fk(X)
причем диагональная часть
F2(X)
Fk(X)
этой матрицы соответствует/'. Следовательно, мы можем отождест-
отождествить V с V, т. е. рассматривать /' как представление в простран-
пространстве V.
A.2.3) (Лемма Шура) Пусть V — векторное пространство над
Р = Р и 2 — неприводимое подмножество в ijl (V). Если эндо-
эндоморфизм 2 ? gl (V) удовлетворяет условию zs — sz для всех
s ^ 2, то существует такой элемент а ? Р, что z = al.
Доказательство, Пусть а — какое-нибудь собственное значение
преобразования 2. Так как det (г — al) = 0, то подпространство
U = (г — al) V =? V. С другой стороны, если s ? 2, то
st/ = s (z — а) У = B — a) sV cz (z — a) V = U.
В силу неприводимости 2, U = 0, т. е. 2 = al. Q
Упражнение 1. Пусть L — алгебра Ли, V± a V2 — векторные пространства
над Р и (Vx, /i), (V2> /s) — представления L. Для (o1; w2) ? ^i© V2n X ? L
положим / (X) (vv vz) = (/x (X) ob f2 (X) o2). Показать, что (Ухф V2) /) —
представление алгебры L. Оно называется суммой представлений (Уг, fx) и
Упражнение 2. Пусть (Ух, /х), G2, /2) — представления алгебры Ли L и
Нот (V2, 7г) — векторное пространство всех линейных отображений из ]/а
в Vt. Определим отображение /: L -*• gl (Horn (]/2, Vi)) формулой
f(X)u = fx (X) и ~ иЪ (X)
для всех X ? L и г* ? Horn (K2, Vx). Показать, что / — представление алге-
алгебры L.
Упражнение 3. Пусть (Рп, f)—представление алгебры Ли L. Показать, что
f* (X) = — Ц (X) — также представление алгебры L.
Упражнение 4. Пусть L— алгебра Ли и X ? L. Показать, что ad X — диффе-
дифференцирование алгебры L. [Указание: воспользуйтесь тождеством Якоби.]
Упражнение 5. Пусть (V, f) — представление алгебры Ли н / — идеал в L,
Показать, что f (I) V есть L-инвариантное подпространство в V'. [Указание:
f (X) f (Y) = [f (X), f(Y)\ + f{Y)f (X).}

14 Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
Упражнение 6, Пусть (Vlt /х) и (V2, /3) — представления алгебры Ли L. Для
X ? L определим f (X) ? <jt (Vx <g> V2) соотношением
(X) с,
(«! ? Vi, o2 ? V2). Показать, что (Vx ® V2,/)ecTb представление алгебры L.
Оно называется произведением представлений (Vlt fi) и (V2, /2).
Упражнение 7. Пусть (Vj., fx) и (Vj, /a) — представления алгебры Ли L и
А' С L. Предположим, что Vx — ^aVi(a) И Va = (J)gV2 (P) — разложения
пространств Vi и К2 на обобщенные собственные подпространства эндоморфиз-
эндоморфизмов f1 {X) и /2 (X) соответственно. Пусть (Vx (х) V2, f) — произведение предста-
представлений (Vi, /i) и (V2, /2) (упр. 6). Показать, что
есть разложение пространства Vi (§) К2 на обобщенные собственные подпро-
подпространства эндоморфизма / (X). [Указание: покажите, что
к
(А) ~(а-\-[\))к
и., —
1=0
Упражнение 8. Пусть V — неприводимое подмножество в gl (от, R) иг —
симметричная матрица из gl (от, R). Если zs = sz для всех s ^ 2]> то г = al
при некотором а ? R. [Указание. Это следует из вещественности собственных
значений матрицы г. Фактически достаточно одного вещественного собственного
значения. ]
1.3. Нильпотентные алгебры Ли
A.3.1) Пусть L — алгебра Ли и А, В — идеалы в L. Тогда \А,
В ] — также идеал в L.
Доказательство. Всякий элемент из [А, В] можно записать в виде
Г-iU
ГДе
А'
В- ЕСЛИ Z ~~ ПРОИЗВОЛЬНЫЙ
элемент из L, то, в силу тождества Якоби,
A) [Z, B [Х^Ш - 2 [[2,Х(], У(] + 2 №, [2,Г,]].
Так как А я В — идеалы, то [Z, X,- ] ? Ли [2, У,- ] ? В. Следова-
Следовательно, правая часть равенства A) представляет собой элемент
из [А, В). D
Используя A.3.1), определим по индукции последовательность
Vе идеалов в L:
L1 = L, L2 = [L, L], .... Lk = [L*-1, L].
Эта последовательность L1 zd L2 zd L3 ... называется убывающей
центральной последовательностью алгебры Ли L. Если Lk = О
при некотором &, то алгебру L называют нильпотентной. В том
1.3. Нильпотентные алгебры Ли 15
частном- случае, когда L2 = 0, алгебра L называется абелевой.
Очевидно, что L абелева тогда и только тогда, когда z (L) — L.
Далее, если Lk = 0, то Lk~x cz z (L), так что всякая ненулевая
нильпотентная алгебра имеет ненулевой центр.
Абелевы алгебры Ли легко строить и неинтересно изучать.
Фактически, если V — векторное пространство над Р, то можно
превратить V в абелеву алгебру Ли, положив [и, ш] =0 для всех
v, w ? V. Нильпотентные алгебры Ли представляют собой сле-
следующую по трудности ступеньку после абелевых алгебр Ли.
В этом параграфе мы изучим их строение, для чего нам будет
необходима одна теорема теории представлений A.3.4). Вначале
установим два вспомогательных результата.
A.3.2) Пусть V — векторное пространство и L — подалгебра
в gl (У). Пусть элемент s ? L нильпотентен, т. е. sk = 0.
Тогда элемент ad s ? gl (L) также нильпотентен.
Доказательство. Прежде чем начинать доказательство, напом-
напомним, что gl (V) — алгебра Ли относительно скобочного умноже-
умножения: [s, t\ = st — ts. Пусть теперь t ? L. Тогда
(ad s) t = st — ts, (ad sJ t = s2t — 2sts + ts2
и вообще
lad s\'t =
В частности, если sk = О, то (ad sJk = 0. Q
A.3.3) Предположим, что L —алгебра Ли, I — идеал в L и
(V, /) — представление алгебры L. Тогда подпространство W
¦— {и ? V"; /о = 0} инвариантно относительно L.
Доказательство. Пусть X ? L, У ? /, и ? №. Так как
fG)f(X) =/([Г, Х]) + /(Х)/(У), то f(Y)f{X)v = f(lY,
X}) v + / (X) / (Y) v = 0 и / (X) v 6 №. Q
A.3.4) Пусть L — (лиева) подалгебра в gl (У), состоящая из
нильпотентных элементов. Тогда существует элемент v ? У,
такой что v
0 и Lv = 0.
Доказательство. Применим индукцию по dim L. Если dim L = 1,
то L ¦-—- Ps, где s нильпотентен. Существует целое число k > 1,
для которого sA' Ф 0, но s*+x — 0. Тогда для любого v ? s*V
имеем su = 0.
Предположим теперь, что dim L > 1, и пусть Н — собствен-
собственная подалгебра в L, имеющая максимальную возможную размер-
размерность, Докажем сперва, что dim Н == dim L — 1 и Я есть идеал

16 Гл. I. Общая теория алгебр Ли
в L. В самом деле, так как (ad Я) Я
представление (L/H, /) алгебры Я:
Я, то в Ы'Н определено
для s ? Я, t ? L. Ввиду A.3.2) все эндоморфизмы / (s) нильпо-
тентны. Далее, dim / (Я) < dim Я, и, значит, по предположению
индукции существует такой элемент s0 ? L, s0 ^ Я, что / (Я) (so +
+ Н) = Н, т. е. [Я, s0] cz Я. Следовательно, Pso(?) Я —под-
—подалгебра в L, строго содержащая Я. Ввиду предположения о макси-
максимальности подалгебры Я, L = Pso(J) #• Отсюда следует, что Я —
идеал в L.
Пусть W = {v е V; Hv = 0}. В силу A.3.3), № является
L-инвариантным подпространством в У и, по предположению
индукции, не равно 0. Если v — ненулевой элемент из W, для
которого sov Ф 0, то Lv = 0. Q
Пусть L — подалгебра (Ли) в gl (V), каждый элемент которой
нильпотентен, и пусть 0 cz Vo ^ ... ^ Vk = V — композицион-
композиционный ряд для V. Из A.3.4) немедленно следует, что dim (W V,_,)--=
= 1 и LV,- cz V,-_!. Перефразируя этот факт в терминах подходя-
подходящего базиса в V, получаем следующий результат:
A.3.5) Пусть L — подалгебра (Ли) в gl (V), каждый элемент
которой нильпотентен. Существует такой базис еи ..., еп про-
пространства V, что LVi cz Vi_i, где Vt = Ре1 0 ... 0 Pet при
i = 1, ..., п и Vn - 0. Q
В таком базисе
еп все эндоморфизмы из L представля-
представляются яХп-матрицами, имеющими нули на главной диагонали п
ниже. Обозначим множество всех таких матриц через и (п, Р).
Подалгебра L в gl (V) состоит из нильпотентных элементов тогда
и только тогда, когда существует невырожденная матрица s,
для которой"sLs cz и (п, Р) (упр. 3).
A.3.6) Пусть V—векторное пространство размерности п, a L —
подалгебра в gl (V), состоящая из нильпотентных элементов.
Тогда ^ ... tn = 0 для любых tx, ..., tn ? L.
Доказательство. Сохраняя обозначения из A.3.5), можно записать
(tj, ... tn)V = t, ... tn_, (tnV) cut, ... *п_гУ„_г = . . . = 0. Q
A.3.7) (Теорема Энгеля) Пусть L—алгебра Ли. Если эндо-
эндоморфизм ad X нильпотентен для каждого X ? L, то L — ниль-
потентная алгебра Ли.
Доказательство. Пусть dim L = п. Применяя A.3.6) к алгебре
ad I = {ad X\ X ? L\ cz gl (L), получаем ad Xx ... ad Xn --- 0
1.3. Нильпотентные алгебры Ли 17
для любых Xlt .... Хп ? L. Следовательно, для любого У ? L
имеем 1Х1г 1Х2, .... 1ХЯ, К] ...]] = 0 и L-+1 = 0. Q
A.3.8) Если подалгебра L в gl (V) состоит из нильпотгнтных
элементов, то L — нильпотентная алгебра Ли.
Доказательство. Это вытекает из A.3.2) и A.3.7). Q
В каждой алгебре Ли L существует единственный максималь-
максимальный нильпотентный идеал iV; оказывается, что он равен сумме
всех нильпотентных идеалов в L. Чтобы убедиться в этом, рас-
рассмотрим прежде всего произвольное представление (V, /) алгебры
L и ассоциированное с ним вполне приводимое представление
(V, f). Алгебра / (L) состоит из нильпотентных элементов тогда и
только тогда, когда /' = 0. Действительно, если все элементы
f (X) ? / (L) нильпотентны, то можно применить A.3.5) и заклю-
заключить, что /' = 0. С другой стороны, пусть 0 = Уо ^ ... ^ У„ —
— V — композиционный ряд для V. Если f = Q, то / (X) V,- cz
cz V,_, и / (Х)« = 0.
A.3.9) Пусть L — подалгебра в $ (V), Я — подалгебра в L
и К — такой идеал в L, что L = Я + К- Если И и К состоят из
нильпотентных эндоморфизмов, то каждый элемент из L нильпо-
нильпотентен.
Доказательство. Пусть W = VJV:_л — какое-нибудь из фактор-
пространств, порожденных композиционным рядом пространства
V. Положим W ^-\we W; Kw = 0|. Тогда W Ф 0, в силу
A.3.4), и LW cz W, в силу A.3.3). Снова применяя A.3.4),
найдем элемент w ? W', для которого Hw = 0 и w Ф 0. Следова-
Следовательно, Lw = 0 и, поскольку L действует в W неприводимо,
W -=(Pw. Поэтому каждый элемент из L есть нильпотентное линей-
линейное преобразование. Q
A.3.10) Пусть L — алгебра Ли Я, К, — ее нильпотентные идеалы.
Тогда Н + К — нильпотентный идеал в L.
Доказательство. Если X ? Я или X ? К, то ad X — нильпотент-
нильпотентное линейное преобразование в L. Согласно A.3.9), преобразование
ad X нильпотентно для любого X ? Я + К- Из теоремы Энгеля
вытекает, что Я + К — нильпотентная алгебра Ли. Q
Сумма ./V всех нильпотентных идеалов алгебры Ли L является,
согласно A.3.10), нильпотентным идеалом и, следовательно,
наибольшим нильпотентным идеалом в L. Будем называть ./V
ниль-радикалом алгебры L.
A.3.11) Пусть V — векторное пространство над Р — Р, L
-— нильпотентная алгебра Ли и (V, /) — представление L. Тогда

18
Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
существуют набор Klt ..., Kk функций на L со значениями в Р и
набор Vi, ..., Vk подпространств в V, удовлетворяющие условиям:
2) для любых X ? L и i = 1, 2, ..., k подпространство У,-
содержится в обобщенном собственном подпространстве преобра-
преобразования f (X), отвечающем собственному значению \, так что
Vi = \v G V: для каждого X ? L найдется целое число е >¦ О,
такое что (/ (X) — Xt (X))e v = О}.
Доказательство. Пусть X ? L и ?/ — обобщенное собственное
подпространство эндоморфизма f (X), отвечающее собственному
значению Я. Так как алгебра L нильпотентна, то, в обозначениях
из A.2.1), L = L @) и, следовательно, LU cz U.
Будем доказывать A.3.11) индукцией по dim V. Случай dim V=
= 1 тривиален. Далее, если каждый эндоморфизм / (X), X ? L,
имеет только одно собственное значение, то доказывать нечего.
Если же для некоторого Хо ? L эндоморфизм / (Хо) имеет (по
меньшей мере) два различных собственных значения, то, по-
поскольку его обобщенные собственные подпространства инвариант-
инвариантны относительно L, мы можем применить предположение индук-
индукции. Q
В каких случаях-функции Кх, ..., \k из A.3.1-1) линейны?
Если алгебра L абелева, то преобразования из /(L)|V,- имеют
общий собственный вектор и, значит, функции %t линейны (см.
упр. 6). В общем случае, если char Р = 0, то функции \ линейны
при условии, что L лишь нильпотентна. Это будет доказано
в A.4.9), причем идея доказательства снова состоит в нахождении
общего собственного вектора.
Упражнение 1. Показать, что подалгебра и гомоморфный образ нильпотентной
алгебры Ли нильпотентны. [Указание: f (L)k = f (?*)¦]
Упражнение 2. Пусть L — алгебра Ли н Н— ее подалгебра. Нормализатором
л (Я) подалгебры Н называется множество {X ? L: [X, Н]С. Н). Показать,
что п (Н) — подалгебра в L и Н — идеал в п (Н). Если L нильпотентна и Н =f= L,
той^я (Я).
Упражнение 3. Пусть и (л, Р) = {(а,-,-) ? gl (л, Р): a(j = 0 при i^ j). По-
Показать, что и (л, Р) — нильпотентная подалгебра в gl (n, P). Показать, далее,
что подалгебра L в дХ (л, Р) состоит из нильпотентных элементов тогда и только
тогда, когда существует невырожденная матрица s ? д1(л, Р), такая что
sLs'1 с и (л, Р).
Упражнение 4. Показать, что трехмерная алгебра Ли Lo, определяемая соот-
соотношениями Lo= PXi+ РХ2+ РХ8, [Xlt Х3] = [Х2, Х3}=0 и [Xlt X2]
= Х3, нильпотентна, но не абелева. Показать, что всякая нильпотентная неабе-
лева алгебра Ли над Р содержит подалгебру, изоморфную Le.
1.4. Разрешимые алгебры Ли
19
Упражнение 5. Пусть L — алгебра Ли. Определим г* (L), k~ 1,2, ..., индук-
индуктивно следующим образом:
Zi (L) = г (I), г* (I) = U € I". [Х,Ц С г* (L)}.
Показать, что все 2j (L) — идеалы в L и что L* = 0 тогда и только тогда, когда
zk~x (L) == L, Последовательность
0 С гЧ?) С г2 (?) С . . .
называется возрастающей центральной последовательностью алгебры L.
Упражнение 6. Пусть V — векторное пространство над Р и s, t — такие эле-
элементы из gl (К), что st = ts. Показать, что для Я, ? Р и IF = {о ? К: sw = Ху}
выполняется соотношение ?№ С IF. Используя это, доказать, что функции Яг
из A.3.11) линейны, когда L абелева.
1.4. Разрешимые алгебры Ли
Пусть L — алгебра Ли. Определим Ик), k = 1, 2, ..., по
индукции, полагая L(I> = [L, L], L<fe+i> = [L<*\ L<*4. В силу
A.3.1), L(k) — идеал в L; он называется k-й производной алгеброй
алгебры L. Первую производную алгебру LA) называют также
коммутаторной алгеброй алгебры L. Последовательность идеалов
называется производной последовательностью. Алгебру Ли L
называют разрешимой, если L{k) = 0 при некотором k.
Можно доказать по индукции, что для любой алгебры Ли L
выполняется включение L(ft> с L(ft+I>. Действительно, LA) = L{2)
по определению, и если L'*-1' с Lk (предположение индукции), то
L<*> = [/-<*—">,/-<*—"•] cz [L<*',L] = L<*+1>.
Следовательно, всякая нильпотентная алгебра Ли разрешима.
Однако разрешимая алгебра Ли может и не быть нильпотентной
(упр. 3).
Данный параграф начинается с ряда элементарных результа-
результатов, цель которых—определить радикал алгебры Ли как наиболь-
наибольший разрешимый идеал. Затем мы несколько продвинемся в теории
представлений разрешимых алгебр Ли, доказав утверждение,
схожее с A.3.4).
A.4.1) Пусть L — алгебра Ли и А — ее идеал. Алгебра L разре-
разрешима тогда и только тогда, когда А и ЫА разрешимы.
Доказательство. Так как подалгебры и гомоморфные образы
разрешимых алгебр Ли разрешимы (упр. 1), то Л и ЫА разрешимы,
если разрешима L. Обратно, допустим, что А{1) = 0и (LlA)(k) — 0.
Тогда L<*> cz Л и ?<*+/> = (L<*>)</> <=. Л</> = 0. Q
A.4.2) Пусть L —алгебра Ли, А и В —ее разрешимые идеалы.
Тогда идеал А + В также разрешим.

20
Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
Доказательство. Поскольку (Л + ВIВ г* А/(А Л В), алгебры В
и (А + ВIВ обе разрешимы. Следовательно, и алгебра А + -S
разрешима, в силу A.4.1). Q
Из A.4.2) следует, что алгебра Ли L содержит наибольший
разрешимый идеал, равный сумме всех разрешимых идеалов в L.
Этот идеал называется радикалом алгебры Ли L. Если радикал
алгебры L равен 0, то говорят, что она полупроста,
A.4.3) Пусть R — радикал алгебры Л и L. Тогда фактор алгебр а
L/R полупроста.
Доказательство. Предположим, что Rx/R — радикал алгебры L/R.
Тогда идеал R1 разрешим, в силу A.4.1). Поскольку Rx — идеал,
то #, с: R. U
A.4.4) Алгебра Ли L полу проста тогда и только тогда, когда она
не содержит ненулевых абелевых идеалов.
Доказательство. Допустим, что алгебра Ли не является полупро-
полупростой и R — ее радикал. Тогда #<'> = [R, R], ..., #<*-м> = [#<*>,
R<-k)] — идеалы в L, ввиду A.3.1). Так как R — разрешимая
алгебра, то существует целое число k > 0, такое что R^ Ф0, но
#<*+i> = [#<*) f %(k) i = о (мы полагаем #<"> = #). Тогда /?<*>
— абелев идеал в L. Обратное очевидно. Q
Мы обратимся сейчас к теории представлений разрешимых
алгебр Ли. Основной результат здесь A.4.6) принадлежит
С. Ли. Чтобы доказать его, нам придется предположить, что
char P = 0.
A.4.5) Пусть Р — поле характеристики 0 и V — векторное
пространство над Р. Пусть L — подалгебра в gl (V) и А — идеал
в L. Допустим, что существует вектор v Ф 0 из V, такой.что
Av cz Pv. Если У ? А и Yv = av, то для любых Хг, ..., Xk ? L
имеет место равенство
YXj. ... Xkv = аХгХ2 ... Xkv.
Доказательство. Зафиксируем X ? L. Для всякого Z ? А опре-
определим последовательность элементов из А, полагая
Zo = Z, Z1= [Z, X], ..., Zk = \Zk_x, X],
Поскольку Все Zk принадлежат А, существуют элементы ak B) ^
? Р, такие что 2лу = аА (Z) и. Покажем индукцией no k, что
A)
1.4. Разрешимые алгебры Ли
21
для любого Z ? А. Это равенство очевидно при k — 0; допустим,
что оно выполнено при некотором k. Зафиксируем Y ? Л. Нам
надо доказать, что
Уг — IF, X), то
¦
У=0
7
Так как A) выполняется для Z
B) ^Х\. = J (*} Ду (У,) X"-'
У=0
Отсюда
= (\Y,X\ +¦ ХУ) Xku
у=0
2
/"-=0
.1=0
k+l
y=o
чем A) и доказано.
Далее, предположим, что т — наибольшее целое число, для
которого множество \v, Xv, ..., Xm~lv\ линейно-независимо, и
рассмотрим подпространство U =pv + PXv + ••• + PXm~1v.
Положим В = А + РХ\ так как Л — идеал, то В — подалгебра
в L. Очевидно, что Xkv ? U для любого целого k > 0. В силу A)
отсюда следует, что подпространство U инвариантно относительно
А, а значит и относительно В.
Возьмем теперь произвольный элемент У ? Л. Матрица эндо-
эндоморфизма У,-|ц в базисе \v, Xv, ..., Хт~^\ имеет диагональные
элементы а0 '(Y,) = аДУ). Поэтому ее след равен та1 (У). С другой
стороны, так как tr (st) = tr (ts), то tr is,/] = 0 для любых
s, t ? gl (V)- Ho Yj = 1УУ„1? X] при / > 1; значит, tr (У,-(у) -- 0.
Поскольку char P = 0, отсюда вытекает, что ai (У) = 0 при / > 1.
Поэтому, ввиду A), УХ*у = а0 (У) Х^у.
Докажем теперь индукцией по k, что УХХ ... Xkv= aXx ... Xkv,
учитывая, что случай k = 1 только что нами рассмотрен. Если
k > 1 и Х2 ... Xkv = 0, то доказываемое равенство справедливо.
В противном случае все следует из его справедливости при k = 1,

22 Гл, 1. Общая теория алгебр Ли
поскольку YX.i ... X,.v — аХ2 ... Xkv по предположению индук-
индукции. Q
A.4.6)_ (Теорема Ли) Пусть V — векторное пространство над
Р = Р, char P — 0, и пусть L — разрешимая подалгебра алгебры
gl (V). Тогда существует вектор v ? V, такой что v Ф 0 и
Lv cz Pv.
Доказательство. Проведем индукцию по dim L. Случай dim L — I
очевиден. Допустим, что теорема справедлива для всех разреши-
разрешимых алгебр Ли, имеющих размерность <п = dim L. Поскольку L
разрешима, L ф L*1' = ?А Далее, всякое векторное подпро-
подпространство в L, содержащее L*1), является идеалом в L; поэтому
найдется идеал N в L, такой что dim N = n — 1 и N id L<d.
Пусть элемент X ? L таков, что L = N + РХ. По предположе-
предположению индукции найдется вектор v Ф 0, для которого Nv cz Pv.
Пусть U = Y^qPX'v. Согласно A.4.5), для каждого Y ? N
мы имеем V \и = а (У) 1, где a (Y) ? Р и 1 —тождественное
отображение U на себя. Поскольку U инвариантно относительно
X, существует вектор и Ф 0 из U, такой что Хи ? Ри. Следова-
Следовательно, Lu cz Pu. D
Оставшаяся часть параграфа посвящена следствиям этой тео
ремы. Прежде всего заметим, что из A.4.6) вытекает, что един-
единственными неприводимыми представлениями разрешимой алгебры
Ли над полем Р являются представления размерности 1. Более
общим образом, рассмотрение композиционного ряда представле-
представления дает следующий результат:
A.4.7) Пусть V — векторное пространство над Р = Р, char P =
= О, L — разрешимая алгебра Ли и (V, /) — ее представление.
Существует базис elt ..., еп пространства V, такой что
где !ц (X) е Р-
Пусть t (га, Р)—множество всех верхне-треугольных пХп-
матриц, т. е. t (га, Р) = \(аи) ? gl (n, P): ац = 0, i > /}.
Подалгебра L алгебры gl (л, Р) разрешима тогда и только тогда,
когда она изоморфна некоторой подалгебре алгебры t (n, P)
(упр. 2).
A.4.8)^ Пусть L—разрешимая алгебра Ли размерности п. над
Р = Р и char P = 0. Существует последовательность идеалов в L
L, =^ L,n ID Ln_-y 13 • • • 13 i^o = О,
такая что dim Ly- = / при j = 0, 1, ..., п.
1.4. Разрешимые алгебры Ли
Доказательство. Достаточно взять композиционный ряд для (L,
ad). D
A.4.9) функции Klt ..., К из A.3.11) линейны, если char Р ~ 0.
Доказательство. Поскольку нильпотентные алгебры Ли разрешимы,
в каждом подпространстве V, из A.3.11) мы можем выбрать базис,
о котором говорится в A.4.7). Тогда диагональные элементы всех
матриц / (X) будут равны А,,- (X). Q
Доказательство нашего следующего результата значительно
упрощается, если воспользоваться приемом, известным под назва-
названием «расширение поля коэффициентов». Поэтому здесь мы до-
докажем пока этот результат лишь в частном случае, отложив общий
случай до упр. 4 § 1.6.
A.4.10) Пусть Р — поле характеристики 0. Алгебра Ли L над Р
разрешима тогда и только тогда, когда алгебра Z/1* нильпотентна.
Доказательство. Если L*1* нильпотентна, то L разрешима в силу
A.4.1), поскольку L/Ul) абелева. _
Обратную импликацию мы докажем только для случая Р — Р.
Согласно A.4.7), в этом случае можно выбрать базис в L, относи-
относительно которого все преобразования ad X (X ? L) имеют верхне-
верхнетреугольные матрицы. Следовательно, преобразование ad [X, Y]
для любых X, Y d L представляется верхне-треугольной матри-
матрицей с нулями на диагонали и потому нильпотентно. Это означает
ввиду A.3.7), что алгебра LA) нильпотентна. Q
В заключение параграфа докажем теорему Э. Картана о непри-
неприводимых подалгебрах алгебры gl (V). Предварительно сделаем
несколько замечаний, вводящих в курс дела. Пусть V — векторное
пространство над полем Р характеристики нуль, 1 — тождествен-
тождественное отображение V на себя и I (V) — Р\. Тогда gl (V) является
прямой суммой идеалов & (V) и Ь (V), т. е.
= Я (VH Не-
Недействительно, Ь (V) содержится в центре алгебры gl (V) и
потому является идеалом. Далее, если $ ? gl (V), то
s = (s — (tr s/dim V)\)~ (tr s/dim V) 1.
Так как Р имеет характеристику 0, то et(V) П ^ (У) = 0.
A.4.11) (Э. Картан) Пусть V — векторное пространство над
Р = Р, char Р = 0, и пусть L — неприводимая подалгебра
алгебры gl (V). Тогда L либо полупроста, либо равна прямой
сумме Ь (V) и некоторого полу простого идеала,

24 Гл. I. Общая теория алгебр Ли
Доказательство. Пусть R — радикал алгебры L. Поскольку R —
разрешимая алгебра, то в силу A.4.6) существует вектор ифО
из V, для которого Rv cz Pv. Рассмотрим подпространство U в V,
порожденное множеством {s^ ... skv\ s, ^ L, k = 0, 1, 2, ...'}.
Ясно, что U инвариантно относительно L; поэтому, ввиду неприво-
неприводимости L, U = V. Используя A.4.5), отсюда легко вывести,
что если г ? R, то г = а\ (а ? Р), т. е. R cz i (V).
Если R — 0, то алгебра L полупроста. В противном случае
R = I (V) cz L и L = (Я (V) П ?) © 8 (Ю- Но ё! G) =
^ L/?J; следовательно, й (V) П ? — полупростая алгебра. ?
Упражнение 1. Показать, что подалгебры и гомоморфные образы разрешимых
алгебр Ли разрешимы. [Указание: f (L)(fe) = ft)
Упражнение 2. Показать, что t (п, P) — разрешимая подалгебра в gl (n, P).
Показать, что если Р = Р и char Р — 0, то подалгебра алгебры gl («, Р) раз-
разрешима тогда и только тогда, когда она изоморфна некоторой подалгебре ал-
алгебры t (п, Р).
Упражнение 3. Показать, что t B, Р) разрешима, но не нильпотентна.
Упражнение 4. Показать, что всякая двумерная алгебра Ли над Р изоморфна
одной из следующих двух алгебр:
Lx= РХг+ РХ2, [XltX2]=0,
L2= РХХ+ РХ2, [Хг, Х2]=Х2.
Показать, что L2 разрешима, но не нильпотентна.
Упражнение 5. Показать, что если алгебра L проста, то она полупроста и
L = LA).
Упражнение 6. Показать, что теорема Ли неверна в случае Р =j= P, рассмотрев
одномерную алгебру Ли
где R — поле вещественных чисел.
Упражнение 7. Показать, что предложение A.4.8) несправедливо в случае
Р =}= Р, рассмотрев алгебру
I = RXj + RX2 + RX3, [Xlt Xa] = X3, [Xlt Xs] = —X2, [Xt, X3] = 0
и показав, что она не имеет одномерных идеалов.
1.5. Формы Киллинга и невырожденные алгебры Ли
Пусть V — векторное пространство над Р. Симметричная
билинейная форма на F —• это отображение w: V X V —* Р (где
Р — некоторое расширение поля Р), такое что
1) w (х, у) = w (у, х),
2) w билинейно.
1.5. Формы Киллинга и невырожденные алгебры Ли 25
Если U — подпространство в V, то ограничение формы w на
UX U определяет билинейную форму wu на U. Ортогональное
дополнение подпространства U относительно w определяется
формулой
= {а-
V: w(x, U) =
Если Vх — 0, то w называется невырожденной. В этом случае,
как можно показать, справедлив следующий результат:
A.5.1) Пусть w — невырожденная симметричная билинейная
форма на V и U — подпространство в V. Тогда
1) dim U + dim U± = dim V; р
2) Wu невырожденна в том и только том случае, когда U П ^J-
= 0.
Симметричная билинейная форма w на алгебре А называется
инвариантной, если w (xy, z) = w (х, уг) для любых х, у, z ? А.
A.5.2) Пусть w — инвариантная симметричная билинейная фор-
форма на алгебре А. Если I — идеал в А, то и /J ¦ идеал.
Доказательство. Предположим, что х ? /х и у ? А. Для любого
2 ? / имеем w (ху, г) — w (х, уг) = 0. Следовательно, ху ? /х.
Аналогично из равенства w {yx, z) = w (x, zy) следует, что ух
е Iх- d
С точки зрения изучения строения алгебр инвариантные
формы важны тем, что их можно использовать для разложения
алгебр. Прежде чем сформулировать точный результат, напомним,
что алгебра В проста, если В2 Ф 0 и единственными ее идеалами
являются 0 и В.
A.5.3) (Э. Артин) Пусть А —алгебра, не имеющая ненулевых
идеалов I, для которых Р — 0. Если она обладает невырожденной
инвариантной симметричной билинейной формой, то ее можно
представить в виде прямой суммы простых идеалов: А = Ах
ф ... ф Ak, где AtAj = 0, i Ф). Это разложение единственно
с точностью до порядка слагаемых.
Доказательство. Чтобы доказать существование требуемого разло*
жения, проведем индукцию по dim А. Пусть / Ф 0 — некоторый
минимальный идеал в А. Согласно A.5.2), Iх — также идеал в А,
а поскольку / минимален, то / П /х — 0 или I f[ Iх = I. Но
равенство I f[ Iх = I невозможно. Действительно, если / с: Iх,
то Wj ~ 0. Далее, /а = /, в силу минимальности /. Поэтому
если а ? /, то
w (a, A)
w
*, А) = w (/, IA) = 0,
в противоречие с условием невырожденности w. Следовательно,
/ П Iх = 0 и, согласно A.5.1), А = / ф Iх. Кроме того, I-IL

26 Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
a I f] Iх = 0. Форма w определяет невырожденную симметрич-
симметричную билинейную форму на Iх, поэтому мы можем применить
предположение индукции, если Iх Ф 0.
Предположим теперь, что А = Вх ф ... ф Bh, где все В/ —
простые идеалы. Так как В\ Ф 0, то ВХА = ВХАХ + ... + BxAk
Ф 0. Следовательно, найдется Л,-, для которого BXAL Ф 0. Но как
B-i, так и А-и — простые идеалы, поэтому Вх = Л,-. Отсюда выте-
вытекает, что набор \В/\ является перестановкой набора \А-.\. Q
Теперь применим полученные результаты к алгебрам Ли.
Прежде всего нам нужны инвариантные формы.
A.5.4) Пусть L — алгебра
Тогда равенство
Ли и (V, /) — ее представление.
Bf(X, Y) = tvf(X)f(Y) (X, Y е Ц
определяет инвариантную симметричную билинейную форму на L.
Доказательство. Здесь все очевидно, за исключением разве что
инвариантности. Но
Bf([X, Y], Z) = tr/([X, Y])f(Z) = tr lf(X), f{Y)]f{Z)
= tr / (X) f (Y) f (Z)- tr / (Y) f (X).f (Z)
•= tr / (X) [f (Y), / (Z) ] = Bf (X, IY, Z ]). D
Среди этих инвариантных форм мы выделим одну. Это форма
Bad, называемая формой Киллинга алгебры L. Мы будем всегда
обозначать ее просто В:
В (X, Y) = tr ad Х-ad Y (X, Y ? L).
A.5.5) Пусть L — алгебра Ли, А — идеал в L, В и В' — формы
Киллинга на L и А соответственно, а ВА — ограничение формы В
на А. Тогда ВА = В'.
Доказательство. Пусть \Xlt ..., Хт, ..., Хп\ —такой базис в L,
что \ХХ, ..., Хт\ есть базис в Л. Предположим, что
<*dY)X,= 2:.akj(Y)Xlt (УеЦ.
Тогда aif (Y) = 0 при i > m, если Y ? А, поскольку А
в L. Следовательно, для Yx, Y% ? Л мы имеем
= .L a,y (YJ «/,- (П) = В' (Кг, F2). D
идеал
i.5. Формы Киллинга и невырожденные алгебры Ли 27
Алгебра Ли L называется невырожденной, если ее форма
Киллинга невырожденна. Невырожденные алгебры Ли обладают
многими хорошими свойствами. Некоторые из них мы сейчас
установим.
A.5.6) Пусть L — невырожденная алгебра Ли над Р. Тогда L
полупроста и может быть разложена в прямую сумму простых
идеалов единственным с точностью до порядка слагаемых способом.
Доказательство. Для доказательства того, что L полупроста,
допустим, что Л — абелев идеал в L. Пусть {Хг, ..., Хт, ..., Хп\ —
базис в L, такой что {Хъ .... Хт\ — базис в Л. Пусть, далее,
Z — произвольный элемент из Л и Y ? L. Тогда adF-adZ
переводит каждый элемент Xi в 0, если 1 < i < т, поскольку Л
абелева. Кроме того, adF-adZ переводит каждый элемент Xjt
т + 1 < / < я, в элемент из Л, поскольку Л — идеал в L.
Отсюда следует, что В (Y, Z) = tr (ad Г-ad Z) = 0. Поскольку Y
был выбран произвольно, a L невырожденна, мы заключаем, что
Z = 0, т. е. Л = 0. Следовательно, L полупроста, ввиду A.4.4).
Остальные утверждения немедленно следуют из A.5.3). Q
Забегая вперед, приведем два результата из гл. 2, где рассма-
рассматриваются лишь алгебры Ли над полем характеристики 0.
А именно, мы доказываем там, что
B.1.2) L разрешима тогда и только тогда, когда В = 0 на La>.
B.1.3) Всякая полу простая алгебра Ли невырожденна.
Отсюда следует, что в случае char P = 0 алгебра L невырожденна
тогда и только Тогда, когда она полу проста. В этом случае, согласно
A.5.6), L можно разложить в прямую сумму простых алгебр Ли.
Что из себя представляют простые алгебры Ли над Р? Для
Р = С простые алгебры Ли — это классические алгебры Ли
вместе с пятью «исключительными» алгебрами (это главный ре-
результат гл. 2). Для Р = R классификация будет дана в гл. 8;
грубо говоря, там утверждается, что простые алгебры Ли над Р
можно получить с помощью одного изящного приема из простых
алгебр над С.
Пусть L — алгебра Ли над полем Р произвольной характе-
характеристики. Эндоморфизм б векторного пространства L называется
дифференцированием алгебры L, если
8 (IX, Y}) - [6Х, Y) + [X, 6Y] для всех X, Y ? L.
Мы будем обозначать множество всех дифференцирований алгебры
L через der (L). Согласно упр. 3 § 1.1 и упр. 4 § 1.2, der (L) явля-
является подалгеброй Ли в gl (L), содержащей ad X для каждого
X d L. Дифференцирования вида ad.X называются внутренними.

28
Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
Положим ad (L) == {ad X: X ? L\. Легко показать, что б-ad X
= ad FХ) + ad Х-б для всех б ? der (L), X ? L. Отсюда сле-
следует, что ad (L) — идеал в der (L). Мы назовем алгебру L полной,
если der (L) = ad (L) и z (L) = 0.
A.5.7) Пусть L — алгебра Ли и А — идеал в L. Если А полна, то
существует идеал В в L, такой что L = А ф В.
Доказательство. Множество В = \Х 6 L: [X, А ] = 0} является
идеалом в L, в силу тождества Якоби. Зададим для каждого X ? L
дифференцирование б (X) алгебры А, полагая б (X) = adXI^.
Поскольку А полна, существует такой элемент Х1 ? А, что
б (X) Y = [Xj, Г] для всех Y ? А. Следовательно, X — Хг ? В
и L — А + В. С другой стороны, Л Л -б = 0, поскольку А (] В
= 2 (Л). Q
A.5.8) Всякая невырожденная алгебра Ли полна.
Доказательство. Пусть L — алгебра Ли над Р, имеющая невырож-
невырожденную форму Киллинга В'. Так как z (L) содержится в радикале
алгебры L, то, в силу A.5.6), г (L) = 0. Остается показать, что
ad (L) = der (L).
Для данного дифференцирования б алгебры L мы построим
алгебру Ли L, такую что dim L = dim L + 1. А именно положим
L = {{а, X): а ? Р, X ? Ц,
[(а, X), (Ь, К)] = @, a-8Y — b-ЪХ + [X, Y}).
Тогда {@, X): X ? L\ — идеал в L, изоморфный L. Пусть В —
форма Киллинга на L. Тогда Lx = \z ? L: В (z, L) = 0\ —
ненулевой идеал в L, в силу A.5.2). Далее, ограничение BL формы
В на L невырожденно, в силу A.5.5). Отсюда следует, что L fl i1
= 0, 1 = L © L-1- и [L, L-1- ] = 0. Наконец, пусть A, 0) = X + Z,
где X ? L и Z ? Lx. Тогда для любого У ^ L мы имеем
@, ЬУ) - [A, 0), @, Y)} = [@, X), @, Y)] = @, [X, У]),
и б = ad X. Q
Упражнение 1. Пусть В — форма Киллинга на 31 B, Р). Доказать, что В (X, Y)
= 4tr (XY). Показать, что В невырожденна, если charr P ф 2.
Упражнение 2. Пусть L — двумерная неабелева алгебра Ли:
L = РХХ+ РХ2, [Xit X2] = Х2.
Доказать, что L полна.
Упражнение 3. Показать, что если б — дифференцирование алгебры Ли L,
6Lfe k 6<fe> (fe»
то 6L
fe С Lk
,
L(fe» для всех k.
1.6- Расширения полей коэффициентов 29
Упражнение 4. Пусть б —дифференцирование алгебры Ли L, имеющей форму
Кяллинга В. Показать, что
В (бХ, Y)+ В (X, б У) = 0 для всех X, Y ? L.
Упражнение 5. Пусть L — простая алгебра Ли над Р = Р, и пусть wx, w2 —
инвариантные симметричные билинейные формы на L. Если wx невырожденна,
то w2 — cw-l для некоторого с ? Р.
[Указание. Для фиксированного X 6 L отображение L Э Y i—> ^2 (^> ^)
линейно. Поскольку w1 невырожденна, существует единственный элемент
X' 6 L, для которого w2 (X, Y) — wx (X', Y) при всех Y ? L. Очевидно, что
отображение s: X (—> X' линейно. Используя инвариантность форм wx и w2,
проверьте, что ad X°s = s°ad X для всех X $ L. После этого остается только
применить лемму Шура A,2.3).]
1.6. Расширения полей коэффициентов
Пусть Р — некоторое поле, содержащее Р в качестве подпол я,
иУ — векторное пространство над Р. Рассмотрим Р как векторное
пространство над Р (размерность которого может быть и бесконеч-
бесконечной) и построим тензорное произведение Р 0 V над Р. Пусть
а ? Р. Так как отображение прямого произведения Р X V в Р 0 V,
определенное формулой (b, v) 1—э- ab <S> v> билинейно над Р, то
существует эндоморфизм а пространства Р0У над Р, такой что
3 (ft 0 о) = аб (§) и- Полагая
ах
ах при а ? Р,
мы превратим Я 0 V в векторное пространство над Я. Примем
для полученного таким образом векторного пространства над Р
(общеупотребительное) обозначение Vp.
Используя вложение V ^ v 1—»• 1 0 v ? Vp, мы можем считать
V подмножеством в V?. Далее, если ег, ..., ет — базис простран-
пространства V над Р, то 1 0 ех = elf ..., 1 0 ет — ет — базис простран-
пространства V^ над Р. Если W — векторное подпространство в V, то
векторное подпространство в Vp,' порожденное W, можно отожде-
отождествить с Wp.
Всякое линейное отображение s из V в произвольное векторное
пространство U над Р продолжается до линейного отображения
sp: yp _, t/я. а именно:
sp
ате.п)
(em),
Р.
Отображение sp однозначно определяется отображением s, ив тех
случаях, когда это не может вызвать путаницы, мы будем писать s
вместо sF. Ясно, что
р (у4; Нот (V, U) = Нот [V?, Up)>

30
Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
в частности, беря V = U, мы видим, что gl (V) можно рассма-
рассматривать как подмножество в gl {Vp) = Р (§) gl (V).
Рассмотрим теперь некоторую алгебру Ли L над полем Р.
Расширяя РаоР, мы получим векторное пространство Lp над Р.
Операция умножения L x L —> L порождает линейные отображе-
отображения L 0 L —> L и Lp 0 Lp —> Lp, а тем самым билинейное
отображение умножения Lp X Lp —> Lp. Фактически, если
\ХХ, ..., Хп\ — базис L над Р, то
[Е«До 1АЛ-]=1а(й/[Х„ X;]
для всех а,, Ь. ? Р. Определенное так умножение на Lp превра-
превращает Lp в алгебру Ли над Р. Приведем без доказательства не-
несколько (легко проверяемых) утверждений.
1) Если Н — подалгебра в L, то Нр — подалгебра в Lp.
2) Если Н — идеал в L, то Нр — идеал в Lf.
3) Если 8 — дифференцирование алгебры L, то 6^— дифферен-
дифференцирование алгебры Lp. В частности, если 8—внутреннее диф-
дифференцирование: то таково же и 8Р.
4) Если А и В —подпространства в L, то [Ар, Вр] = [А,
В]р.
A.6.1) Пусть L —алгебра Ли над Р и Р—расширение поля Р.
1) Если алгебра L абелева (соотв. нильпотентна, разрешима
или невырожденна), то такова о/се и Lp, и обратно.
2) Если алгебра Lp проста или полупроста, то тем же свой-
свойством обладает и L.
Доказательство. В силу приведенного выше утверждения 4),
Поэтому L является абелевой (соотв. нильпотентной или разре-
разрешимой) тогда и только тогда, когда тем же свойством обладает Lp ¦
Пусть теперь Xlt ..., Хп — некоторый базис L над Р, В —
форма Киллинга алгебры L, а Вр — форма Киллинга алгебры Lp ¦
Тогда В (X, Y) = Вр (X, Y) для всех X, Y 6 L. Поскольку
алгебра L является невырожденной в том и только том случае,
когда det (В (X,, Xt)) Ф 0, отсюда следует, что L невырожденна
тогда и только тогда, когда Lp невырожденна.
Наконец, если А — идеал в L, такой что 0 ф А Ф L, то
0 Ф Ар ф Lp. Следовательно, если алгебра Lp проста, то та-
такова же и L. Далее, если А — ненулевой абелев идеал в L, то
1.6. Расширения полей коэффициентов 31
А^ — ненулевой абелев идеал в Lp. Поэтому если алгебра Lp
лолупроста, то и L полупроста. Q
В качестве применения приема расширения исходного поля
докажем следующее утверждение:
A.6.2) Если char P = 0 ujiimy > 2, то^алгебра U(V) проста,
а Ь {V) является центром алгебры gl (V). _
Доказательство. Предположим вначале, что Р = Р. Поскольку
алгебра й (V), очевидно, неприводима и 31 (V) П i (V) = 0,
из теоремы Картана A.4.11) следует, что алгебра Й (V) полу-
полупроста. Далее, симметричная билинейная форма w на 21 (V),
определенная формулой w (X, Y) = tr XY, инвариантна и невы-
невырожденна (упр. 5). В силу A.5.3), 21 (V) является прямой суммой
простых идеалов: 21 (V) = Sx ® Sa ® ... . Пусть ех, ..., ет —
базис пространства V, и пусть s ? & (V) выбрано так, что se/ =
= a.jej (I < / < т), щ ф uj (i ф }), аг + ... + ат = 0. Тогда
s = sx + s2 + ..., где st ^ 5,-. Поскольку s Ф 0, хотя бы один из
элементов st отличен от нуля. Произведя, если надо, перенумера-
перенумерацию, мы можем считать, что sx Ф 0. Так как [slt s] = 0, то s^
— bfiy, 1 < / < т, для некоторых bs ? Р.
Предположим теперь, что алгебра 5Х приводима и SXW cz W,
где W — векторное подпространство в V, удовлетворяющее усло-
условию 0 ф W Ф V. (Мы хотим прийти к противоречию.) Поскольку
h \w — также полупростой эндоморфизм, существует базис
е[, ..., e'k в W, такой что %е} ^ Ре) A < / < k). Этот базис можно
расширить до базиса е{, ..., е'т пространства V, выбирая элементы
e'k+u ¦¦•¦> e'm среди еь ..., ет. Меняя, если надо, обозначения, мы
можем считать, что еи .,., ek — базис W и &&•, — bjet A < / < т).
Поскольку tr sx — 0, то sx имеет (по меньшей мере) два различных
собственных числа, которые мы можем (после перенумерации)
считать равными Ьх и Ьп. Введем эндоморфизм t ? 21 (V), пола-
полагая tex — ет и fey = 0 при / > 2. Тогда It, sx] ex = (bx — bm) em,
что противоречит условию SXW a W. Следовательно, алгебра Sx
неприводима и, по лемме Шура A.2.3), S2 с: 8 (V). Отсюда
следует, что S2 = 0 и 21 (V) = Sx — простая алгебра. Общий
случай (Р с: Р) следует теперь из A.6.1).
Пусть, наконец, С — центр алгебры gl (V). Снова по лемме
Шура Cpczb (V)p. Следовательно, С = г (V). Q
Упражнение 1. Пусть L — алгебра Ли над Р, V — векторное пространство над
Р ZD Р и (V, /) — представление алгебры L. Показать, что линейная оболочка
множества / (L) в gt(Vp) есть гомоморфный образ алгебры Lp.
Для всякого комплексного числа s пусть s обозначает комплексно-сопря-
комплексно-сопряженное число. Для S = {s{j) ? gl (п, С) положим S = (s(/-). Матрица S ^ gl {n,
С) называется косоэрматовой, если S + S = 0.

32 ['л. 1, Общая теория алгебр Ли
1.7. Алгебры Ли размерности <;3
33
Упражнение 2. Пусть и (п) — множество всех косоэрмитовых матриц из gl (л,
С). Показать, что и (л) — алгебра Ли над R, не изоморфная gl (n, R) при
п >¦ 2, но
u(/i)Cs9t(n, R)c^gl(/z, С).
[Указание. Множество и (п) состоит из полупростых линейных преобразо-
преобразований. Если и (п) содержит подалгебру t>, изоморфную алгебре L2 из упр. 4
§ 1.4, то алгебра [Ъ, t> ] ф О должна, согласно A.4.7), состоять из нильпотент-
ных^матриц—противоречие. С другой стороны, gl (n, R) содержит L2- Сле-
Следовательно, эти две алгебры не изоморфны. Заметим также, что комплексная
линейная оболочка алгебры и (п) или gl (n, R) в gt (п, С) совпадает с gl (n, С). ]
Упражнение 3. Пусть 31 (п, С) рассматривается как алгебра Ли над R; обозна-
обозначим ее через §1 (п, C)R. Показать, что при п >¦ 2 алгебра %1 (п, С)р есть простая
алгебра Ли над R, но алгебра (%l (n, C)R)C) не является простой.
Упражнение 4. Закончить доказательство предложения A.4.10).
Упражнение 5. Показать, что w (X, У) = tr (X, Y) — невырожденная сим-
симметричная билинейная инвариантная форма на el (V). [Указание. Пусть Е^
обозначает матрицу размера пХл.у которой на i, /-м месте стоит 1, а на осталь-
остальных местах — нули. Если w (X, Y) = 0, то пусть Y пробегает значения Е{/,
I ф j, и Еи — El+it l+i. ]
1.7. Алгебры Ли размерности <3
Для того чтобы найти все алгебры Ли L размерности 3, рас-
рассмотрим вначале несколько более общую постановку задачи. Будем
называть алгебру А антикоммутативной, если XX — 0 для всех
X ? А. Пусть А — антикоммутативная алгебра и Elt ..., Еп —
базис в А. Тогда EiEc — 0 и ELEj = —Е/Е,. Поэтому, задавая
таблицу умножения относительно фиксированного базиса, доста-
достаточно указывать лишь одно из произведений EiE! или EjE,-,
i ф /. В дальнейшем мы будем этим пользоваться.
A.7.1 JПусть А — антикоммутативная алгебра размерности <2.
Тогда А является алгеброй Ли и имеет место один из следующих
случаев:
dim А = 1: АА == 0;
dim Л = 2: (а) АА = 0,
(Ь) А = РЕХ + РЕ*, ?А = Ео.
Доказательство. Предположим, что dim А — 2 и АА Ф 0. Для
произвольного базиса Ег, ?2 в А мы имеем АА = РЕ1Е2, и можно
выбрать элемент Е3 так, чтобы выполнялось равенство АА = РЕ2.
Тогда ЕгЕ2 = аЕг, где а ? Р, а Ф 0. Заменяя Ех элементом а~хЕг,
придем к равенству ЕгЁг = Е^. Легко видеть, что тождество Якоби
в А справедливо. Q
Пусть теперь dim Л =3 и Elt E%, Е3 — базис в А. Тогда
матрица s = (s,/) 6 91 C, Р), определенная равенствами
Е1 = Е2Е3 = s11E1 + s21E2 + s3i^3,
Е2 = Е9Ег = SnEx + Saa^ + S32?3,
E* = ЕхЕг = SybE-L + siSE2 + s33E3
или, в матричной записи, равенством
A) (?\ Е\ Е*) = (ВД, ?^„ ^г^-2) = (?г, ?'„ Я„) s,
полностью определяет структуру алгебры А. Пусть Еи Ег, Ея —
новый базис в А, для которого
B) (?\ Ъ\ &) = (?2?3, ВД, ВД) = (?х, ?2, Ёя) s.
Обозначим через а невырожденную матрицу, удовлетворяющую
условию
C) (El,Ei,E3) = (l1,Et,'Ea)a.
Тогда
Е1 = EZE3 = (al2E1 -f- а^г + пз2Ё3) (а13Ех -+- а2з?г + о^з) =
зЯ — а2заз2) Е2Е3 + (a3ia13 — al2a33) ЕЯЕ1
Пусть а* = (а'О —матрица алгебраических дополнений к элемен-
элементам матрицы а. Тогда, очевидно,
аналогично
Е'1 = а21!1 4- агзЖ2 4- агзЁ~3,
Е? = а31^1 4- а™Ег 4- <г33?3.
Обозначая, как обычно, матрицу, транспонированную к а*,
через 'а*, получаем
D) (Е\ Е\ ?3) = (Ё\ Ё\ Ё3)-'а*.
Из A)—D) следует, что s^a* = as. С другой стороны, как из-
известно, аа* = deta-1, где 1 —единичная матрица. Значит, ({а*)~1
= (det а)-'а. Отсюда вытекает следующее утверждение:
A.7.2) Две антикоммутативные алгебры, заданные соотноше-
соотношениями A) и B), изоморфны тогда и только тогда, когда существует
невырожденная матрица а, такая что
a-s-'a.
det a
2 М. Гото, Ф. Гроссханс

34 Гл. 1. Общая''теория алгебр Ли
В случае dim А = 3 антикоммутативная алгебра уже не обя-
обязана быть алгеброй Ли. Условие в терминах матрицы s, при кото-
котором А будет алгеброй Ли, дается следующим предложением:
A.7.3) Антикоммутативная алгебра, заданная соотношением A),
является алгеброй Ли тогда и только тогда, когда матрица s*
алгебраических дополнений к элементам матрицы s симметрична.
Доказательство. Для того чтобы А была алгеброй Ли, достаточно,
чтобы тождество Якоби выполнялось для элементов базиса.
С другой стороны, так как всякая одномерная или двумерная
антикоммутативная алгебра является алгеброй Ли, то в случае,
когда какие-то из элементов X, Y, Z совпадают между собой, мы
имеем
X (YZ) + Y (ZX) + Z (XY) = 0.
Следовательно, необходимым и достаточным условием того, что
А — алгебра Ли, служит равенство
Е2Е%
Е3Е3 = 0.
С другой стороны, прямое вычисление дает
ExEl + ЕгЕ% + Е3Е3 = (s23 - s32) El + (s31 - s13) Е2 +
+ (s"-s*)E,. D
Начиная с этого места и до конца параграфа мы будем рас-
рассматривать алгебры Ли L размерности 3, заданные соотношением
A). Ясно, что
rank s = dim [L, L ].
Случай 0: rank s = 0. В этом случае L абелева.
Случай 1: rank s = 1 и [L, L ] = PEa. Если элемент Es содер-
содержится в центре, то Е1 = ?2 = 0 и ?3 = аЕ3. Следовательно,
заменяя Е1 на а~хЕх, получаем
Aа) \Е%, Е3] = [?3, Ех] = 0, [Elt ?2 ] = Е3.
Мы уже знаем, что это нильпотентная алгебра Ли.
Далее, если Е3 не принадлежит центру, то можно выбрать
элемент ?2, для которого [Е2, Е3 ] = Е3. Тогда РЕ2 + РЕ3 —
неабелева алгебра Ли размерности 2, являющаяся полной алгеброй
(упр. 2 § 1.5). С другой стороны, [L, РЕг +РЕ3]=РЕ3 с РЕа +
+ РЕ3, и потому РЕ2 + РЕа — идеал в L. Следовательно, в силу
A.5.7), найдется такой элемент Ех, что L = РЕ± ф (РЕ2 + РЕ3)
есть прямая сумма идеалов. Таким образом,
[Е.2, Е3] = Е3, [Е3, Ег] = [Ех, Еа] = 0.
1.7. Алгебры-Ли размерности <: 3 35
Случай 2. rank s = 2 = dim [L, L]. Если [L, L] не является
абелевой алгеброй, то [L, L ] — прямое слагаемое и L должна
иметь структуру AЬ), что противоречит условию. Значит, алгебра
[L, L] абелева. В таком случае мы можем выбрать базис Ех, Е%,
Е2, для которого '
[Е2, Е3] =0, [Е1г Et] = аЕ% + $Е3,
[Ех, Е3] = уЕ2 + б^з,
а
где t —\ ' I — невырожденная матрица. Обратно, для
матрица s*, очевидно, симметрична, и s определяет алгебру Ли.
Легко видеть, что алгебры Ли, определенные матрицами t и ?,
изоморфны тогда и только тогда, когда существуют невырожден-
невырожденная матрица Ъ 6 9* B> Р) и элемент с ? Р\ {0}, такие что
i-= cbttr1. _
Если, в частности, Р = Р, то можно выбрать t в одной из сле-
следующих форм:
„ Е3] = 0, [Е3, Е,} = —осЕ3, [EL, Et] +
Bb) t =
= 0, [Е3, Ег] - —?3. [Ev
= ?,
Все эти алгебры Ли попарно неизоморфны.
Случай 3. Если матрица s невырожденна, то в силу формулы
ss* = dets-1 она симметрична. Следовательно, 2?, i—iStjXtyj =
= ф ((хи х2, х3), (у1У уг, у3)) — невырожденная симметричная би-
билинейная форма на Р3. Допустим, что char P Ф 2. Тогда из усло-
условия ф (v, v) — 0 для всех v ? Р3 следовало бы, что ср (v, w) — 0 для
всех v, w ? Р3, что невозможно. Поэтому мы можем найти элемент
vi € Р3, Для которого ф (vu Vj) ф 0. Из A.5.1) вытекает теперь,
что Р3 = Pvx ф (Pui)-1-, причем ограничение формы ср на (PvxI-
невырожденно. Рассуждая аналогичным образом, можно найти
такие vx, и2 ? Р3, что ср (vlt v{) = 0 при i Ф j. Следовательно,

36
Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
выполняя при необходимости подходящее линейное преобразова-
преобразование пространства Р3, мы можем предполагать, что
/а 0 0\
s=( 0 р О I, а, р, v 6 Р\{0\.
\0 0 7/
В случае Р = Р, полагая в A.7.2)
(УЩ о о
а = I О У ух О
\ 0 0
/1 0 0\
получаем s = I 0 1 О I. Итак, в этом случае
V0 0 1/
(За) [Еъ Ea] = Elt [Е„ El]=Ei, [Ev Е2] = Е3.
Для Р = R, как легко показать,
/1 0 0\ -Л °
(За, b) s = I 0 1 0 ) или s =• I 0 1 О
\0 0 1/ \0 0 —1.
Упражнение 1. Классифицировать при Р = R алгебры L, для которых dim L
= 3, dim [I, L] = 0.
Упражнение 2. Все алгебры Ли, отвечающие случаю 3, просты.
Упражнение 3. оC, R) ss (За), §1B, R) ^ (ЗЬ).
1.8. Подалгебры Картана и разложения
по корневым подпространствам
Пусть L — алгебра Ли над Р. Подалгебра Н в L называется
подалгеброй Картана, если она нильпотентна и совпадает со своим
нормализатором в L. (Напомним, что нормализатор алгебры Н —
это {X е L: [X, Н] а_Н\.)
Пусть теперь Р = Ри?- алгебра Ли над Р. Предположим,
что в L существует подалгебра Картана. Применяя A.3.11) к пред-
представлению (L, ad) алгебры Н, мы видим, что существуют различ-
различные функции а0, аъ ..., ak из Н в Р и подпространства L (а0),
? (сс±), ..., L (ak) в L, такие что
= L (a0)
L
У.5. Подалгебры Картана 37
L (a ) = \Y ? L: для всякого X ? H существует целое
число е > 1, такое что (ad X — at (X))eY — 0\.
Так как подалгебра Н нильпотентна, то для каждого X ? Н обоб-
обобщенное собственное подпространство, отвечающее собственному
значению 0, содержит Н. Следовательно, мы можем считать, что
а0 = 0 и
L (а0) = L @) = \Y ? L: для любого X ? Н существует
целое число е > 1, такое что (ad X)e Y = 0].
Если Н Ф L @), то существует такой элемент s0 ? L @), что s0 <? Н
и [//, s0] с Я (в силу предложения A.3.4), примененного к
L @)/#). Но в таком случае s0 принадлежит нормализатору подал-
подалгебры Н, совпадающему по предположению сЯ, — противоречие.
Значит, И = L @).
Далее, согласно A.2.2), [L (a,), L (а,)] содержится в обобщен-
обобщенном собственном подпространстве эндоморфизма ad X, отвечаю-
отвечающем собственному значению ос, (X) + а; (X), для любого X ? Я.
Так как L (а,- + «/) представляет собой пересечение всех таких
подпространств, то
[L(a;), L (a,-)] c= L (a(. + «/)•
Функции alt ..., ak называются корнями, а разложение
—¦ i-i d/ -^ v1^'] / ^1? '^ *-* \ k/
— разложением по корневым подпространствам алгебры L относи-
относительно H.
Подалгебры Картана существуют, если поле Р бесконечно. До-
Доказательство этого потребует некоторых усилий, и мы начнем с
того,, что напомним следующий факт:
A.8.1) Пусть V — векторное пространство над Р, s ? gl (о)
и х 6 Р It] —-характеристический многочлен эндоморфизма
s '¦ X @ = det (t\v —s), где lv — тождественное отображение V
на себя. Допустим, что х (t) = Xi @ Хг @. гд* Xi. Хг 6 Р Ш —
взаимно простые многочлены со старшим коэффициентом +1.
Пусть Vx = Х2 (s) V и V2 = Xi (s) V. Тогда
1) Vx и V% суть s-инвариантные подпространства в V и V =
2) характеристический многочлен эндоморфизма s\v. равен
Начиная с этого места и до конца параграфа мы будем пред-
предполагать, что Р — бесконечное поле. Пусть L — алгебра Ли над
Р и Xv ..., Хп — базис в L. Пусть, далее, Р (и) = Р (щ, ..., ип) обо-
обозначает поле рациональных функций от п переменных их, ..., ип
над Р. Построим алгебру Ли Lp (u) над Р (и) и положим

38
Гл. I. Общая теория алгебр Ли
Обозначим через % (t, и) характеристический многочлен эндо-
эндоморфизма ad Хи. Тогда % (t, и) = tn + gn-i (") tn~l + ••• +go («),
где всеgj (и) суть полиномы от их, ..., ип. Так как (ad Xu) Хп =
= 0, то g0 (и) — 0. Следовательно, существует номер /, такой что
go (и) = ... = gi_x (и) = 0 и gi (и) Ф 0. Поэтому 0 является соб-
собственным значением кратности >/ для каждого эндоморфизма
ad X (X ? L), и если gt (аъ ..., ап) Ф 0, то 0 является собствен-
собственным значением кратности / для ad (axXx + ... + апХ). Такие эле-
элементы ахХх + ... + апХп мы будем называть регулярными эле-
элементами алгебры L. Поскольку поле Р бесконечно, регулярные
элементы существуют. Таким образом, / — это наименьшая из
кратностей собственного значения 0 эндоморфизмов ad X (X ? L);
число / называется рангом алгебры L: rank L = I. Пусть Р — рас-
расширение поля Р. Легко видеть, что rank L = rank Lp.
A.8.2) Пусть Р —бесконечное поле, L —алгебра Ли ранга I
над Р и X — регулярный элемент алгебры L. Предположим, что
X @ = t'%* (t), где х* Ф) ф 0 — характеристической многочлен
эндоморфизма ad X. Пусть
L0 = х* (ad х) L, L* = (ad XI L.
Тогда
1) L = Lo ф L* (прямая сумма векторных пространств);
2) LQ есть подалгебра Квартана размерности I;
3) [Lo, L*] = [X, L*] = L*.
Доказательство. Поскольку tl и х* @ взаимно просты (%* @) Ф
Ф 0), мы можем применить A.8.1) к эндоморфизму ad X и заклю-
заключить, что L = Lo ф L*, [X, Lo] c= Lo и [X, L* ] с L*. Далее,
X* @ является характеристическим многочленом эндоморфизма
ad X Ц, и так как х* @) ф 0, то (ad X) L* = L*. С другой сторо-
стороны, ad X |l0 имеет характеристическим многочленом tl, поэтому
dim Lo = / и Lo есть обобщенное собственное подпространство
для ad X с собственным значением 0. В частности, X ? Lo.
Расширим поле Р до Р и рассмотрим разложение Lp = LPQ)
ф L'p. Так как (ad X) L* = L*, то
L*p = L(a1) ф • •• ф!(а*),
где ссх, ..., а,к — различные собственные значения эндоморфизма
ad X -р. Все а{ отличны от 0, поскольку ad X \ь* невырожден.
Согласно A.2.2), имеем
[Lq, Io] cz Ll и [bf, 1(а/)]с=Г(а/).
Следовательно, [Lo, Lo] a Lo и [L0) L* ] cz L*.
/.9. Универсальная обертывающая алгебра 39
Пусть теперь Y — элемент из нормализатора подалгебры Lo.
Тогда IX, Y] 6 Lo и потому (ad X)'+1 У = (ad XI [X, Y] = 0.
Значит, Y ? Lo и Lo совпадает со своим нормализатором.
Докажем, наконец, что подалгебра Lo нильпотентна. Обозна-
Обозначим через Р (v) = P (vlt ..., и,) поле рациональных функций от /
переменных vx, ..., vt над Р и построим ?р <°>. Пусть Ях, ..., Яг —
какой-нибудь базис в Lo и
Так как [#., Lo]
[Я, 10р<о)]с:1{Т
Пусть Хо (^> v) и X* (^
разований Я Lp @) и
Lo и [Я,, L* ] с: L*. то
Т<о), [Я, ГР(а)]с:Гр<
— характеристические многочлены преоб-
преоб|ь«р(^ соответственно. Запишем регуляр-
регулярный элемент X в виде X = а1Я1+ ... +alHl (a, ? Р). Тогда
X* @, у) =? 0, поскольку эта функция принимает ненулевое зна-
значение при v = (ах, ..., at). С другой стороны, из того что Lp <°>
имеет ранг /, следует, что Хо (t, v) должен делиться на /'. Значит,
Хо (t,v) = tl и каждый элемент Нь = b-^H-y+.-. + biHi 6 Lo удов-
удовлетворяет соотношению (ad Нь)' Lo = 0. Следовательно, алгебра
Lo нильпотентна по теореме Энгеля A.3.7). Q
Упражнение 1. Показать, что всякая подалгебра Картана является максималь-
ной нильпотентной алгеброй. ( Обратное неверно: рассмотрите С {
V. 1.\0 0/1 \\0 с
Упражнение 2. Показать, что если Н — подалгебра Картана в L, то Нр — под-
подалгебра Картана в Lp.
Упражнение 3. Пусть diag (п., Р) = {(s{j) gl (я, Р): st,- =0, i =j= /]. Показать,
что diag (л, Р) является подалгеброй Картана в gl (n, P). Показать, что если
элемент X ? diag (п, Р) имеет различные собственные значения, то он регу.-
лярен.
1.9. Универсальная обертывающая алгебра
В этом параграфе мы свяжем с каждой алгеброй Ли L некото-
некоторую ассоциативную алгебру U (L) (бесконечной размерности),
такую что представлениям L взаимно-однозначно соответствуют
представления U (L). Алгебра U (L) служит мощным средством
изучения представлений алгебры L.
В этом и следующем параграфах мы будем считать, что рас-
рассматриваемые векторные пространства и алгебры могут иметь
бесконечную размерность (временно отступая от принятого нами
соглашения), что рассматриваемые ассоциативные алгебры имеют
единицу, обозначаемую всегда символом 1, и что гомоморфизмы
одной ассоциативной алгебры в другую переводят 1 в 1. Для

40 Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
данного векторного пространства V (возможно, бесконечномерного)
мы будем обозначать через End (V) ассоциативную алгебру всех
его эндоморфизмов. Трактуя End (V) как алгебру Ли относительно,
скобочного умножения [s, t] = st — ts, мы будем обозначать ее
gl (V). Представление (V, /) ассоциативной алгебры А —это го-
гомоморфизм из Л в End (V), где V — конечномерное пространство.
Мы начнем с того, что напомним основные свойства тензорных
произведений.
Пусть Р — поле и Vlt ..., Vr, W—векторные пространства
над Р. Всякое r-линейное отображение / : Vx х V2 х .... х Vr
—*¦ W определяет единственное линейное отображение /*: Vx
0 ... 0 Vr -> W, удовлетворяющее условию /* (vx 0 ... 0 vr)
= / (vlt ..., vr) для всех vt ? Vt (i = 1, ..., r).
Пусть V — векторное пространство над Р. Тензорная алгебра
(свободная алгебра) над V, обозначаемая через Т (V), —это век-
векторное пространство
г раз
вместе с операцией умножения, продолжающей естественные отоб-
отображения
(V 0 • • • 0V) х (V 0 • • • 0 V) -* V 0 • • • 0 V,
г раз
s раз
s раз
Ig ^010 0s
Ясно, что Т (V) -— ассоциативная алгебра над Р.
A.9.1) Пусть V — векторное пространство над Р, А — ассоци-
ассоциативная алгебра над Р и f: V -*¦ А —¦ линейное отображение. Су-
Существует единственный изоморфизм алгебр /*: Т (V) -> А, про-
продолжающий /, такой что
f(vr)
V).
Доказательство. Пусть fr: V х ... X V (г раз)
нейное отображение, определенное формулой
А есть г-ли-
Тогда существует единственное линейное отображение /> (V
0 ... 0 V) (г раз) -*- А, для которого f* (^0 ... 0 vr)
= fr (ui> •••> vr)- Комбинируя отображение /q,- P -> Р, удовлетво-
удовлетворяющее условию /о A) = 1, с отображениями /*, мы получим ли-
линейное отображение /*.- T(V)~*-A. Чтобы доказать, что /* —
гомоморфизм, достаточно проверить, что /* (х 0 у) = /* (х) /* (г/)
для х = хг 0 ... 0 л:л и г/ = г/г 0 ... 0 ys. Но это сразу следует
из определения отображения /*, равно как и единственность ото-
отображения /*. Q
1.9. Универсальная обертывающая алгебра 41
A.9.2) Пусть б ? End (У). Тогда существует единственное диф-
дифференцирование б* алгебры Т (V), для которого б*и = 6и
Доказательство. Определим r-линейное отображение
г раз
полагая
8r(vu ...,v
г раз
7—*¦
Далее рассуждаем, как при доказательстве A.9.1). Q
Пусть L — алгебра Ли. Рассматривая на L лишь структуру
векторного пространства, образуем тензорную алгебру Т (L).
Пусть / —двусторонний идеал в Т (L), порожденный элементами
X0F — F0X— [X, Y] для всех X, Y ? L. Универсальная
обертывающая алгебра алгебры L — это ассоциативная алгебра
T(L)II. Мы будем обозначать T(L)II через U (L), а умножение
в U (L) записывать в виде (и, v) н* ма («, о ^ U (L)). Отображе-
Отображение L -»- Т (L) порождает линейное отображение я: L-»- U (L).
A.9.3) Пусть L — алгебра Ли над Р, А —¦ ассоциативная ал-
алгебра над Р. Если f : L -> А — линейное отображение, удовлет-
удовлетворяющее условию f([X, Y]) = f (X) f(Y)—f(Y)f (X) для всех
X, Y (= L (т. е. f — гомоморфизм алгебры L в алгебру Ли А), то
существует единственный гомоморфизм f*: U (L) —>- А, для которо-
которого f* о я = /. Обратно, если /*: U (L) -> А — гомоморфизм, то
f* on: L —>- А — гомоморфизм алгебр Ли.
Доказательство. Линейное отображение /: L ->¦ А продолжается
до гомоморфизма алгебр /*: Т (L)-*-А, согласно A.9.1). Далее,
ядро гомоморфизма /* содержит /, поскольку
/*Х0ГУ0Х-[Х, Y])=f(X)f(Y)-f{Y)f{X)
Следовательно, /* порождает гомоморфизм U(L)-^-A, облада-
обладающий требуемым свойством; этот гомоморфизм определен однознач-
однозначно, поскольку я (L) порождает U (L). Доказательство обратного
утверждения еще проще, и мы его опустим. Q
В том частном случае, когда А = End (V), где V — конечно-
конечномерное векторное пространство, предложение-A.9.3) устанавливает
обещанное взаимно-однозначное соответствие между представле-
представлениями алгебр L и U (L),

42 Гл. I. Общая теория алгебр Ми
A.9.4) Пусть L — алгебра Ли над Р и б — ее дифференцирова-
дифференцирование. Тогда существует единственное дифференцирование б* ал-
алгебры U (L), для которого б* о л = лоб.
Доказательство. Согласно A.9.2), б продолжается до некоторого
дифференцирования б* алгебры Т (L). Далее, при X, Y ? L
Y\ + [X, bY\)
-[X, 6Г]),
т. е. 8*1 cz I. Отсюда следует, что б* порождает дифференциро-
дифференцирование алгебры U (L), обладающее требуемым свойством. Q
A.9.5) Пусть L — алгебра Ли над полем Р, имеющая базис
Хъ ..., Хп. Множество всех элементов вида
(*) я (Ххр ¦ ¦ ¦ я (Х„)\
где et — произвольные неотрицательные целые числа, образует
базис в U (L).
Для экономии места мы лишь наметим доказательство этой
теоремы, известной под названием теоремы Пуанкаре —Брикгофт
фа—Bumma. Подробное доказательство можно найти, например,
в книге [Джекобсон].
Набросок доказательства. Множество я (L) порождает U (L) и
состоит из линейных комбинаций элементов л (XJ, ..., л (Х,;). Мы
хотим показать, что элемент л (Хг ) ... л (X,j из U (L) является
линейной комбинацией элементов вида (*), для которых ех + ...
+ еп <- k. Доказательство проводится индукцией по k, причем
случай k = 1 очевиден. Рассмотрим шаг индукции k -*- k + 1
и элемент л (X,J ... л (X,ft+J. Докажем индукцией по ix, что этот
элемент представим в виде линейной комбинации элементов вида
(*), для которых ех + ... + еп <ё k + 1. Если i\ = 1, то приме-
применяем предположение индукции к элементу я (X,- ) ... я (X,fe )
и получаем, что я (Хх) я (Х,2) ... я (Xt ) есть линейная комби-
комбинация элементов вида
я(Х1)л(Х1)ег ... л{Хп)\
k.
Для произвольного ix = i > 1 мы видим снова, что я (X,)
•я(Х(-2) ... я (XCk+i) является линейной комбинацией элементов
вида
я (Х() л (X// я
. л (Хп)%
еп -< k.
1.9. Универсальная обертывающая алгебра 43
Если в этом выражении i < /, то наше утверждение доказано.
В противном случае i > / и
л (X,.) я (X/fi ... я (Хп)еп ;= я (Х{) я (X,.) я (Xjp-1 ... я (Хп)еп
= [я (X,.). я (X,.)] я (Xffr1 ... я (Хп)е*
-\- я (Xyj я (X,-) я (Xjfi ... л (XnYn.
Здесь первое слагаемое представляет собой линейную комбина-
комбинацию требуемого вида, поскольку наше утверждение уже доказано
для k, а второе — поскольку / < L
Доказательство линейной независимости элементов вида (*)
проводится непосредственным образом. Пусть Zo — множество
всех неотрицательных целых чисел и Z% — совокупность всех
n-наборов элементов из Zo. Обозначим через V векторное простран-
пространство всех функций из ZJ в Р, отличных от нуля лишь в конечном
числе точек. Мы можем рассматривать V" как множество всех
конечных сумм вида X1 а^..- ?n(et> ¦ ¦ •> 6'»)> где (еь • ¦ ., ?п) 6 Zo
и ае ...е ? Р. Введем обозначение е,- = @, ..., О, 1, 0, ..., 0)
A на г-м месте). Решающий момент доказательства состоит в вве-
введении умножения в V", относительно которого Vn становится ас-
ассоциативной алгеброй, причем {ev ..., en)= 8ei... e*«, и если
[X,-, ХЛ = S с<у,Х,,
то
А=1
Это можно сделать по индукции, в несколько приемов. Обозначим
полученную алгебру через V (L).
Так как отображение /: L -> V (L), определенное условиями
/ (Хг) = е,-, t = l,...,/, является гомоморфизмом, то, согласно
A.9.3), существует гомоморфизм f*: V (L)-*- V (L), такой что
/* О я = /. Поскольку
линейная независимость элементов из Z? в V" влечет за собой
линейную независимость элементов вида (*). Q
Замечание. Теорема A.9.5) утверждает, в частности, что отобра-
отображение я: L -*¦ U (L) взаимно-однозначно. Используя это, мы будем
в дальнейшем отождествлять L с я (L) c= U (L) с помощью ото-
отображения л.

44 Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
A.9.6) Пусть L — алгебра Ли над Р. Если I и J — идеалы в U (L),
имеющие конечную коразмерность, то идеал IJ также имеет ко-
конечную коразмерность.
Доказательство. Пусть X принадлежит L. Можно найти положи-
положительные целые числа s, t, такие что
X* - а^Х*-* а0 ? /,
х' - &(_хх'-1 - • • • - ь0 е j
при некоторых а,-, Ь,- ? Р. Следовательно, Xs+t является линейной
комбинацией элементов 1, X, ..., Xs"'1 по модулю идеала //.
Отсюда вытекает, что все Xk, k > s + t, также являются линей-
линейными комбинациями элементов 1, X, ..., Xs"' по модулю //.
Пусть Xlt ..., Хп — какой-нибудь базис в L. Каждый элемент
(*) AJi .
X'*, et
можно записать по модулю идеала // в виде линейной комбинации
элементов
где числа s? и tc выбраны аналогично предыдущему. Но элементы
¦ (*) порождают U (L), в силу A.9.5). Q
Упражнение 1. Пусть L — абелева алгебра Ли размерности п. Тогда алгебра
U (L) изоморфна кольцу многочленов от п переменных.
Упражнение 2. Алгебра U (L) не имеет делителей нуля.
1.10. Существование точных представлений
Цель этого параграфа—доказательство следующей теоремы:
A.10.1) Теорема. Пусть L — алгебра Ли конечной размерности
над полем Р характеристики 0 и N — ее ниль-радикал. Суще-
Существует тачное представление (V, /) алгебры L, такое что f (N)
состоит из нильпотентных линейных преобразований.
Логичнее было бы поместить доказательство этой теоремы в
конце гл. 3, так как оно основано на разложении Леви и некото-
некоторых результатах гл. 2. Однако мы докажем ее здесь, предполагая
справедливость указанных результатов, поскольку 1) эта теорема
превосходно иллюстрирует значение универсальной обертываю-
обертывающей алгебры и 2) она будет использована лишь при доказательстве
одного факта о группах Ли F.7.1).
Известно несколько доказательств теоремы A.10.1), принад-
принадлежащих И. Д. Адо, Э. Картану, Хариш-Чандре, К- Ивасаве и
другим. Мы будем следовать методу X. Цассенхауза. Для удобства
разобьем параграф на четыре пункта.
1.10. Существование точных представлений 45
(А) Начнем с одного элементарного факта теории ассоциатив-
ассоциативных алгебр. (Напомним, что ассоциативные алгебры у нас всегда
содержат 1.)
A.10.2) Пусть А —ассоциативная алгебра. Для всякого х ¦? А
определим L (х), оператор левого умножения на х, формулой
L (х) и = хи при и ? А. Тогда отображение
А Э x^L(x) ? End (Л)
есть взаимно-однозначный гомоморфизм.
Доказательство, Отображение L является гомоморфизмом, по-
поскольку для любых .v, у, и ? А
L (x) L (у) и = L (х) (уи) = х (уи) = (ху) и = L (ху) и.
Далее, гомоморфизм L взаимно-однозначен, так как L (х) = 0
влечет L (х) 1 = х = 0. Q
Что можно сказать о правом умножении R (х): и —*- их}
В этом случае имеем R (x) R (у) = R (ух), т. е. R не является
гомоморфизмом. Коснемся попутно вопроса: почему для нас удобно
левое умножение и неудобно правое? Ответ прост: потому что мы за-
записываем операторы из End (А) слева. Давайте записывать опера-
операторы из End (Л) справа, а не слева, как мы привыкли; если обозна-
обозначать образ элемента у ? Л при отображении s ? End (Л) через ys,
то мы получим, что отображение х —>- R (х) — гомоморфизм.
Пусть L — алгебра Ли над Р, U (L) — ее универсальная обер-
обертывающая алгебра и End (U (L)) обозначает ассоциативную ал-
алгебру всех линейных преобразований векторного пространства
U (L). Мы записываем образ элемента и ? U (L) при отображении
s ? End (U (L)) в виде us, т. е. рассматриваем U (L) как правый
End (U A))-модуль. Для х, у, и ? U (L), определяя R (х) форму-
формулой uR (х) == их, имеем R (x) R (у) = R (ху).
Обозначим через U (L)* пространство, сопряженное к U (L),
т. е. U (L)* — векторное пространство, состоящее из всех линей-
линейных отображений U (L) в Р. Для х, у ? U (L) и X ? U (L)* опре-
определим R* (х) равенством (R* (х) X) (у) = X (ух). Ясно, что отобра-
отображение U (L) Э х -+ R* (х) ? End (U- (L)*) — гомоморфизм.
Опуская символ R*, получаем
(*) (хХ) (у) = X (ух) при х, у ? U (L) и X. ? U (L)*.
Таким образом, U (L)* становится левым U (.Ц-модулем.
Далее, пусть der (L) обозначает алгебру Ли всех дифференци-
дифференцирований алгебры L. Будем рассматривать L как правый der (L)-
модуль. Согласно A.9.4), каждый элемент б алгебры der_(L) един-
единственным образом продолжается до дифференцированияб алгебры
U (L). Для любых б1; б2 6 der (L) мы имеем [бъ б2 ] = 6^—б^.

46 Гл. I. Общая теория алгебр Ли
Следовательно, ограничение отображения [Ьх, б2 ] на L совпадает
с ЬХЬ2 — Ь2ЬХ =_ [Ьх, 52]. Таким образом, с помощью изоморфизма
der (L) Э б->6 ? der (U (L)) алгебра Ли der (L) может быть вло-'
жена в der (U (L)).
A.10.3) Пусть G— алгебра Ли, Н — подалгебра, a L — идеал
в G, такие что G = Н 0 L. Пусть, далее, U (L) — универсальная
обертывающая алгебра алгебры L. Для X ? Н обозначим через
б (X) дифференцирование алгебры U (L), определенное равенством
2 6 (X) = IZ, X] при Z ? L. Тогда формула
р (X + 7) = 5 (X) + R (У) для X ? И, У ? L
задает гомоморфизм из G в gl (U (L)) (т. е. в алгебру End (U (L)),
рассматриваемую как алгебра Ли).
Доказательство. Так как R : U (L) Э У ~+R (у) ? End (?/(L))
— гомоморфизм, то R : L Э У -*¦ R (У) 6 9*(^ (?)) — гомомор-
гомоморфизм алгебр Ли.
Из тождества Якоби, следует, что для любых Хх, Х> ? Я
6 (.[*!, Х2]) = [б(Д б(Х2)]
на L. Следовательно, это равенство выполняется тождественно на
U (L). Таким образом,
— гомоморфизм алгебр Ли.
Далее, пусть X ? Я, У ? L и х ? ?/ (L). Тогда
х [б (X), ^ (Г) 1 = х8 (X) • У — (хУ)-8 (X)
= хб (X) • Г — х8 (X) ¦ У — х (Кб (X))
- — х [Г, X] = х# ([X, П),
т. е. [б(Х), R (У)] = R ([X, Г]), или [р (X), р (У)} =
= р([х, у]), а
(В) Пусть У — векторное пространство над Р и (V, /) — пред-
представление алгебры L. Будем обозначать продолжение этого пред-
представления до гомоморфизма алгебры U (L) в End (V) снова через /.
(Впоследствии аналогичные замечания мы будем опускать.) Пусть
End (V)* — пространство, сопряженное к End (V). Под пред-
представляющей функцией, ассоциированной с представлением /, мы
будем подразумевать функцию U (L) —>- Р вида Я о f, где Я ?
? End (V)*. Обозначим через R (/) совокупность всех таких
функций:
R (/) = {X о/: А.
Очевидно, что R (/)
End (У)*} czU(L)*.
конечномерное векторное пространство.
1.10. Существование точных представлений 47
Пусть х и у принадлежат U (L), а X ? End (К) *. В силу (*),
(х (X о /)) (г/) - (X о /) (г/х) = Я. (/ (г/х)) = X (/ (г/) / (х)). Положим
9 (s) = A, (sf (x)) при s G End (V). Тогда
х (А о /) = 9 о f и 9 G End (У*).
Следовательно, х (Я о /) ? # (/)¦ т- е- ^ (/) инвариантно отно-
относительно U (L) при действии (*).
A.10.4) Пусть L—алгебра Ли над Р, V — векторное про-
пространство размерности т над Р и (V, /) — представление алгеб-
алгебры L. Существует взаимно-однозначный гомоморфизм
¦ ¦ ., Ф«): V -> mR (f) = R (/) ф • • • ф R (f) (m раз),
Ф = (ф1; ¦
такой что
Ф (/ (х) v)
v ? У ы х
(у), ..., х-Фт (у))
? ? ()
Короче говоря, естественное представление алгебры L (или
(L)) в пространстве т^ (/) содержит данное представление (У, /).
Доказательство. Так как dim У = т < оо, то dim У* = /п.
Пусть Яъ ..., Хт — базис в У*. Определим ф,-: У -> i? (/) формулой
Ф,
х
для i = 1, ..., m. Если ф (у) = (фх (v), ..., ц>т (v)) =0, тоф; (у)A) =
= Хс (у) = 0 для всех i и потому у = 0. Следовательно, отображе-
отображение ф взаимно-однозначно.
Далее, имеем
(х-ф,; (у)) (у) = ф(. (у) (ух) = \ (/ (ух) v),
(Ф, (/ W v)) (у) = Я, (/ (у) f (х) о) = Xt (f (yx) v)
(i = 1, ..., m) и ф (/ (х) v) = (хфх (у), ..., хф.™ (у)). Q
(С) Прежде чем приступать к наиболее существенной части
доказательства, докажем одну лемму.
A.10.5) Пусть G — алгебра Ли, L — ее идеал и (У, ф) —ее вполне
приводимое представление. Если г|) (L) состоит из нильпотентных
преобразований, то г|) (L) — 0.
Доказательство. Можно считать, что V Ф 0. Положим W = \и
е V: 1|з (L) у = 0}. Ясно, что № =? 0 (в. силу A.3.4)) и г|> (G) W
cz W (в силу A.3.3)). Ввиду полной приводимости существует
подпространство W в У, такое что V = W ® W и г|5 (G) W
cz W. Так как для каждого У ? L ограничение преобразования
i|j (F) на W также нильпотентно, то проведенное выше рассужде-
рассуждение применимо к W. Поэтому если W ф 0, то W f\ W Ф 0,
— противоречие. Итак, W = 0. Q

48
Гл. I. Общая теория алгебр Ли
Перейдем теперь к решающей части доказательства.
A.10.6) (Цассенхауз) В предположениях теоремы A.10.3), пусть
(У> !) —представление алгебры L, а (V, /')— ассоциированное с
ним вполне приводимое представление. Допустим, что f ([Я, L])
= 0. Тогда можно найти представление (W, F) алгебры G, удовле-
удовлетворяющее следующим условиям:
(i) V с= W и / (Y) = F (Y) на V для всех Y ? L.
(И) Обозначим через (W, F') вполне приводимое представление,
ассоциированное с F. Тогда ker F' :э ker /'.
(iii) Если эндоморфизм ad X \L нильпотентен для всех X f H
то F' {И) = 0.
Доказательство. Обозначим представления алгебры U (L), от-
отвечающие представлениям / и /' алгебры L, снова через / и /'.
Далее, обозначим через / и /' соответственно ядра представлений /
и /' в U (L). Пусть 0 = Vo J Уу. % ••• J Vk = У — композици-
композиционный ряд f A)-инвариантных подпространств. Заметим, что он
является также композиционным рядом / (U (Ь))-инвариантных
подпространств, поскольку L порождает U (L). Пусть т,- =
== dim V; — dim V,_x для / = 1, ..., k. Тогда, выбирая подходя-
подходящий базис в V, эндоморфизмы f (x), x ? /', можно одновременно
привести к виду
Оо
о о,
где 0у обозначает т] х ягу-матрицу, состоящую из одних нулей,
и тх + яг2 + ... + mk = т. Для любых хх, ...., хт ? /' мы имеем
/ (хх ... хт) = / (хх) ... f (xm) = 0, и потому (/') с= /.
Пусть р: U (G) -> End (U (L)) — продолжение построенного
в A.10.3) гомоморфизма р алгебры G в gl (?/ (L)). Так как /' —
идеал в U (L), то /'р (L) = ГЬ сг /'. Аналогично из равенства
/' (W, L]) =0 получаем, что /р (Я) с: /'. Следовательно, /'р (G)
с: /' и потому (Г)т р (G) с: (/')'"• Значит, (/')т есть р ((G))-hh-
вариантное подпространство в f/ (L). Положим S = U (L)/(I')m.
Так как /' имеет конечную коразмерность в U (L), то, согласно
A.9.6), тем же свойством обладает (Г)т.
Итак, 5 является конечномерным векторным пространством и
в то же время правым U (О)-модулем. Это означает, что отображе-
отображение
U(G)
€ End E),
/./C. Существование точных представлений 49
где (у + (/')'*) Ро (*) = У9 (х) + (/')'" при у ? U (L), задает не-
некоторое представление (S, р0) алгебры U (G).
Пусть R (/) — векторное пространство всех представляющих
функций, ассоциированных с представлением /. Поскольку (Г)т
a ker f, R (/) можно отождествить с некоторым подпространством
в S*, сопряженном к 5. Положим W = mS* = S* ф ... © 5*
(т раз). Тогда мы имеем следующую последовательность взаимно-
взаимнооднозначных линейных отображений: V —*- mR (/) —*- mS* = W.
Полагая (Ро (X) р) (s) = ц (sp0 (X)) для X € G, s 6 S, jx 6 S*.
мы получим некоторое представление ро': G-*-gIE*). Обозна-
Обозначим через F представление алгебры G в W, задаваемое формулой
F = ро Ф ••• Ф Ро (т раз). Из нашего построения вытекает,
ввиду A.10.4), что (W, F) удовлетворяет условию (i).
Далее, поскольку р0 ((Г)т) = 0, то р0* (A')т) = 0 и F ((/')'")
= 0. Следовательно, для любого Y из подпространства /' П L,
совпадающего с ядром представления/': L —*- gl (У), эндоморфизм
F (Y) нильпотентен, а значит и F' (Y) нильпотентен. Так как пред-
представление F' вполне приводимо, то F' (Y) — 0, согласно A.10.5).
Тем самым доказано (ii).
Наконец, предположим, что ad X \L является нильпотентным
эндоморфизмом для каждого X ? Я. Пусть б (X) — дифферен-
дифференцирование алгебры U (L), определенное формулой Y-8(X) =
= IY,X] при Y ? L. Для k = 0, 1, 2, ... положим
Uk (L) - Р + L + L2 + ¦ ¦ ¦ + L" a U (L),
где L2 = L-L, L3 = L*-L, ... . Тогда Uk (L)-6 (X) cz Uk (L), и
эндоморфизм б (X) нильпотентен на Uk (L). С другой стороны, по-
поскольку A')т имеет конечную коразмерность в U (L), найдется
такой номер k, что Uk (L) + (Г)т = U (L). Следовательно, су-
существует натуральное число г, для которого U (L)-8 (X)r cz (Г)т.
р0 (Х)г = 0. Отсюда вытекает, что эндоморфизм р* (X) нильпо-
нильпотентен и потому F (X) нильпотентен. Мы видели также, что F (/'
П L) состоит из нильпотентных эндоморфизмов. Но /' П L —
идеал в G, так как [Я, /' ("I L ] С \Н, L ] с= /' П L и [L, /'
f]L]c/'flI. Поэтому, согласно A.3.9), F (Я + (/' П Ц со-
состоит из нильпотентных эндоморфизмов. Поскольку Н -\- Г 0 L
— идеал в L, мы можем снова применить A.10.5) и заключить, что
F' (Я + (/' П L)) = 0. О
(D) Теперь мы в состоянии доказать теорему A.10.1), если при-
примем без доказательства следующее утверждение:
A.10.7) Пусть L —конечномерная алгебра Ли над полем Р ха-
характеристики 0, и пусть R — радикал, а N — ниль-радикал ал-
алгебры L. Тогда
a) [L, R] cz N B.1.7);

50
Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
b) существует полупростая подалгебра S в L, такая что L =
= S + R C.5.1).
Сохраняя обозначения из A.10.7), обозначим еще через 2 центр
алгебры L. Ясно, что L гэ R zd N id Z. Представление (L, ad)
алгебры L имеет своим ядром Z. Если нам удастся построить пред-
представление (V, /) алгебры L, точное на Z, то представление (L, ad)
© (V, /) будет точным на L. Далее, если f (N) состоит из нильпо-
нильпотентных эндоморфизмов, то тем же свойством обладает (ad © /) (N).
Построим представление (V, /), используя A.10.6) и A.10.7).
Если 2 = 0, то доказывать нечего. Предположим поэтому,
что dim Z = п > 0. Имеется масса точных представлений алгеб-
алгебры Z. Например, если Хх, ..., Хп — базис в 2, то
'0 а, ..
(X) =
о ... о
— точное представление нильпотентными матрицами. Поскольку
алгебра N нильпотентна, существует цепочка ее идеалов: Z =
= No a Nx cz ... с: Nr = N, в которой dim (N^N^-,) = 1. Более
подробно, Ni = N[_! + PX[t где Xl ? N. Допустим, что (У,_1г
fi_i) — представление алгебры Nf_i, отображающее каждый эле-
элемент X ? Ni_x в нильпотентный эндоморфизм. В таком случае
ассоциированное вполне приводимое представление (Vi—i, f'i—i)
тождественно равно 0, и эндоморфизм ad Xt \N. нильпотентен.
Следовательно, выполняется условие из пункта (ш) предложе-
предложения A.10.6), и данное представление можно продолжить до такого
представления (Vc, ft) алгебры Nit что f'c (Xi) = 0. Поскольку
к тому же ker f't гэ ker f'c—i = N--x, то f'i (Nt) = 0 и /,¦ (N() состоит
из нильпотентных элементов. Таким образом, можно построить
представление (Vr, fr) алгебры N, образ которого fr (N) состоит из
нильпотентных эндоморфизмов и которое точно на 2.
Пусть dim (R/N) = s. Выберем такие элементы Уъ ..., Ys, что
= N + PY + + PY R
у m (RN) s. Вы
R = N + PYj. + ... + PYiy
+ PY(
ъ , s,
положим Rt = N + РГг+
[R R]
+ j. + .. + PYiy и положим Rt = N + РГг+ ...
+ PYi (J = 0, 1, ..., s). Поскольку [R, R] с: N, все Rj — идеалы
в R, откуда следует, снова в силу A.10.6), что любое представле-
представление алгебры Rj-i может быть продолжено до представления ал-
алгебры Rj. Так как f'r — 0, то ввиду A.10.6), (ii), можно считать,
что каждый элемент X из N переводится в нильпотентный эндо-
эндоморфизм.
Наконец, полученное представление алгебры R продолжается
до представления алгебры L, ибо L = S + R и [S, R] а N. Q
Глава 2
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
В этой главе мы будем изучать полупростые алгебры Ли над
полями характеристики 0. Структура и классификация таких ал-
алгебр детально исследовались, начиная с конца девятнадцатого
столетия. Большая часть известных результатов относится к слу-
случаю Р = Р.
Наша первая цель — показать, что алгебра Ли над полем ха-
характеристики 0 полупроста тогда и только тогда, когда она невы-
рожденна. Ввиду A.5.6) это позволяет свести изучение полупро-
полупростых алгебр Ли к изучению простых алгебр Ли. Основной ин-
инструмент здесь — это разложение по корневым подпространствам,
получающееся при ограничении присоединенного представления
на подалгебру Картана. В §§ 2.1—2.6 дается классификация про-
простых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями характе-
характеристики 0. Оказывается, что, помимо семейств классических ал-
алгебр Ли, существует лишь пять простых алгебр Ли.
На протяжении всей этой главы предполагается, что основное
поле Р имеет характеристику 0.
2.1. Полупростые алгебры Ли
Пусть L — алгебра Ли над Р = Р, и пусть
A) L = L(OHL(a1)©.-.0L(aA)
—• ее разложение на корневые подпространства относительно под-
подалгебры Картана L @) = Lo. Пусть V — векторное пространство
над Р и (У, /) — представление алгебры L. Так как отображение
Lo Э X i-> / (X) ? gl (V) является представлением нильпотент-
ной алгебры Ли, то мы получаем разложение пространства V
в прямую сумму
B) V = V(^)©V(^)©-.. ,
где kt (i = 1, 2, ...) — функции из Lo в Р и для любого X ? Lo
пространство V (Я,,) содержится в обобщенном собственном под-
подпространстве эндоморфизма f (X), отвечающем собственному зна-
значению А,,. (X) (согласно A.3.11)). Функции аи а», ..., А,ъ ..., в силу

50
Гл. 1. Общая теория алгебр Ли
Ь) существует полу простая подалгебра S в L, такая что L =
= S + R C.5.1).
Сохраняя обозначения из A.10.7), обозначим еще через Z центр
алгебры L. Ясно, что L zd R zd N zd Z. Представление (L, ad)
алгебры L имеет своим ядром Z. Если нам удастся построить пред-
представление (V, /) алгебры L, точное на Z, то представление (L, ad)
© (V, f) будет точным на L. Далее, если / (N) состоит из нильпо-
тентных эндоморфизмов, то тем же свойством обладает (ad © /) (N).
Построим представление (V, /), используя A.10.6) и A.10.7).
Если 2 = 0, то доказывать нечего. Предположим поэтому,
что dim Z = п > 0. Имеется масса точных представлений алгеб-
алгеби Х Х б Z
> 0. Имеется мас
ры Z. Например, если Хх, ..., Хп
рдс
базис в Z, то
0
— точное представление н иль потен тными матрицами. Поскольку
алгебра N нильпотентна, существует цепочка ее идеалов: Z =
= No cz N-L а ... с Nr = N, в которой dim (Nt/N{_х) = 1. Более
подробно, Ni = N[_x + PXt, где Xt ? N. Допустим, что (V^,
fi_i) — представление алгебры iVt-_lf отображающее каждый эле-
элемент X ^ iV,_x в нильпотентный эндоморфизм. В таком случае
ассоциированное вполне приводимое представление (Vc—i, f't—i)
тождественно равно 0, и эндоморфизм ad Xi \N. нильпотентен.
Следовательно, выполняется условие из пункта (ш) предложе-
предложения A.10.6), и данное представление можно продолжить до такого
представления (Vi, /,) алгебры Nc, что f] (Xt) = 0. Поскольку
к тому же ker f] zd ker /i_i = Ni—u то f't (Nt) = 0 и f( (Nt) состоит
из нильпотентных элементов. Таким образом, можно построить
представление (Vr, fr) алгебры N, образ которого fr (N) состоит из
нильпотентных эндоморфизмов и которое точно на Z.
Пусть dim (R/N) = s. Выберем такие элементы Ylt ..., Ys, что
R = N + PY1+ ... + PYS1 и положим R,- = N + PYX+ ...
+ PYj (j = 0, 1, ..., s). Поскольку \R, R] d N, все Rj — идеалы
в R, откуда следует, снова в силу A.10.6), что любое представле-
представление алгебры Rj_t может быть продолжено до представления ал-
алгебры R/. Так как /> = 0, то ввиду A.10.6), (и), можно считать,
что каждый элемент X из N переводится в нильпотентный эндо-
эндоморфизм.
Наконец, полученное представление алгебры R продолжается
до представления алгебры L, ибо L = S + R и [S, R] cz N. Q
Глава 2
ПОЛ У ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
В этой главе мы будем изучать полупростые алгебры Ли над
полями характеристики 0. Структура и классификация таких ал-
алгебр детально исследовались, начиная с конца девятнадцатого
столетия. Большая часть известных результатов относится к слу-
случаю Р = Р.
Наша первая цель — показать, что алгебра Ли над полем ха-
характеристики 0 полупроста тогда и только тогда, когда она невы-
рожденна. Ввиду A.5.6) это позволяет свести изучение полупро-
полупростых алгебр Ли к изучению простых алгебр Ли. Основной ин-
инструмент здесь — это разложение по корневым подпространствам,
получающееся при ограничении присоединенного представления
на подалгебру Картана. В §§ 2.1—2.6 дается классификация про-
простых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями характе-
характеристики 0. Оказывается, что, помимо семейств классических ал-
алгебр Ли, существует лишь пять простых.алгебр Ли.
На протяжении всей этой главы предполагается, что основное
поле Р имеет характеристику 0.
2.1. Полупростые алгебры Ли
Пусть L — алгебра Ли над Р = Р, и пусть
A) L=
— ее разложение на корневые подпространства относительно под-
подалгебры Картана L @) = Lo. Пусть V — векторное пространство
над Р и (V, /) — представление алгебры L. Так как отображение
Lo Э X 1—> f (X) ? gl (V) является представлением нильпотент-
ной алгебры Ли, то мы получаем разложение пространства V
в прямую сумму
B) V =
где \ (i = 1, 2, ...) — функции из Lo в Р и для любого X ? Lo
пространство V (А,,-) содержится в обобщенном собственном под-
подпространстве эндоморфизма / (X), отвечающем собственному зна-
значению Xi (X) (согласно A.3.11)). Функции о^, а.2, ..., Хг, ..., в силу

52 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
A.4.9), линейны; функции Х{ называются весами алгебры L отно-
относительно подалгебры Картана Lo (и представления (V, /)). Разу-
Разумеется, функции ocj, ..., ak можно считать попарно различными.,
поэтому существует такой элемент X ? Lo, что все числа а( (X)
отличны от нуля и друг от друга. При таком выборе X подпростран-
подпространства L (аг) совпадают с обобщенными собственными подпростран-
подпространствами эндоморфизма ad X, отвечающими собственным значениям
at (X). Следовательно, ввиду A.2.2), [L (a,), L (а./)] содержится
в собственном подпространстве, отвечающем собственному значе-
значению а,- (X) + cx.j (X), т, е. в L (ас + а,). Таким образом,
C) FL<a), L (P)] c=L(a + P),
где а, Р — корни (или 0). Аналогичное рассуждение, только с ис-
использованием A.2.1), дает
D) L (а) V (X) с= V (а + X).
В C) и D) по-прежнему подразумевается, что L (а + Р) = 0,
если a + Р (=5^0) не является корнем, и V (а -{- X) = 0, если
а + ^ не является весом.
B.1.1) ?ел« а и —a — корни или a = 0,
X+CL(a), X_?L(~a), Х0 = [Х+) XJCLO
и X — вес, /по А, (Хо) = га (Хо), где г — некоторое рациональное
число,
Доказательство. Предположим сперва, что a = 0. Так как под-
подалгебра Lo разрешима, то, согласно A.4.7), / (Lo) состоит из эндо-
эндоморфизмов, имеющих верхне-треугольные матрицы относительно
подходящего базиса в V, и, значит, [/ (Lo), / (Lo)] состоит из
нильпотентных эндоморфизмов. В этом случае А, (Хо) = 0, по-
поскольку Хо ? L(ol) = ILO, Lq].
Пусть теперь a^0. Подберем неотрицательные целые числа /
и k, для которых X — /а, ..., А,—а, Я, А, + а, ..., А, + ka являются
весами относительно Lo и (V, f), а А- — (/ + 1) а и А, + (k + I) a
таковыми не являются. Положим
U = V (X — /о) + ... + V(A.) + ... + V (X + Jfea).
Согласно D), U инвариантно относительно Х+, Х_ и Lo. Положим
т (i) = dim V (А, + /а). Тогда
* k
// (*o) = 2] try a+M f (Xo) = S m (I)
(Xo).
2.1. Полу простые алгебры Ли 53
С другой стороны, так как Хо = [Х+, Х_], то txuf (Хо) = 0. Сле-
Следовательно, 2яг (?) (Я + ta) (Хо) =0, т. е.
¦ (^o) ==
(г)
(О
D.
B.1.2) Пусть L — алгебра Ли над Р и В — ее форма Киллинга.
Алгебра L разрешима тогда и только тогда, когда В = 0 на
La) = LL, L].
Доказательство. Предположим, что алгебра L разрешима. Рас-
Расширяя поле коэффициентов Р до Р, мы получим в силу 1.6, что
алгебра LP разрешима и LA) с: (LA))P = (Lp)A). С другой сторо-
стороны, согласно теореме Ли, при некотором выборе базиса в Lp ма-
матрицы всех эндоморфизмов ad X (Х? (Lp)A> треугольны, причем
их диагональные элементы равны 0, поэтому tr (ad Х-ad Y) = 0
при X, F?(LP)A). Следовательно, В = 0 на LA). _
Докажем обратное утверждение. Допустим вначале, что Р — Р.
Пусть В = 0 на L(I). Так как LA) = ?а, р=0> ^ а& [L (а),
L (р)] и [L (а), L (P)] c= L (а + Р), где {alt ..., ай} — совокуп-
совокупность всех корней, то
Lo П ^(" = ЦП (a), L(—a)].
Следовательно, если мы предположим, что L = LA), то придем к
выводу, что всякий элемент из Lo является линейной комбинацией
элементов вида Хо из B.1.1). Положим dim L (at) = n{. Так как
для каждого X ? Lo матрица эндоморфизма ad X относительно
некоторого базиса в L треугольна и имеет диагональные элементы
0, 0,. . ., 0, а1(Х),...,а1(Х),..., ak(X),...,ak(X),
п A) раз п (ft) раз
то Б (X, X) = 2 \=\П (i) ос,- (XJ. Выбрав элемент Хо. как в B.1.1),
получим, что а,- (Хо) = г (t) а (Х„), где г (i) € Q (простое под-
подполе в Р), и Б (Хо, Хо) = (L?=i«@>' (О2) а (Х0J. Поэтому из
равенства В (Х„, Хо) = 0 следует, что а (Хо) = 0 и. а,- (Хо) = 0,
i = 1, ..., k. Поскольку всякий элемент из Lo есть линейная ком-
комбинация элементов вида Х„, то а,- = 0 при i = 1, ..., k, т. е. L =
= Lo — нильпотентная алгебра. Но это противоречит предполо-
предположению о том, что L = LA). Таким образом, L ^= Lil). Так как
форма Киллинга Вх алгебры LA) является ограничением формы В
на LA), то Вх = 0 на L<2) = (LA))A)- Следовательно, разрешимость
алгебры L устанавливается индукцией по dim L.

54 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
Предположим, наконец, что Р =/= Р. Если форма Киллинга В
равна нулю на LA), то форма Киллинга алгебры Lp равна нулю
на (LA))P = (LP)O) и, значит, алгебра Lp разрешима. Следователь-
Следовательно, и L разрешима. Q
B.1.3) Всякая полупростая алгебра Ли невырожденна.
Доказательство. Пусть L — полупростая алгебра Ли и В — ее
форма Киллинга. Тогда Lx = {X ? L : В (X, L) — 0) есть идеал
в ?, в силу A.5,2). Следовательно, форма Киллинга алгебры Lx
является ограничением формы В на Lx. С другой стороны, В (Lx,
Lx) =0. Из B.1.2) вытекает поэтому, что алгебра Lx разрешима
и, значит, Lx = 0. О
Используя A.5.6), A.5.8), A.6.1) и B.1.3), мы можем доказать
следующую теорему о полупростых алгебрах Ли:
B.1.4) Теорема. Пусть L —полупростая алгебра Ли над Р.
1) L разлагается в прямую сумму простых идеалов, причем это
разложение однозначно с точностью до порядка слагаемых.
2) Идеалы и факторалгебры алгебры L полупросты.
3) L = LA).
4) Алгебра L полна.
5) Для всякого расширения Р поля Р алгебра Lp полупроста.
Доказательство. Утверждения 1) и 3) — 5) уже доказаны выше.
Докажем 2). Пусть А — идеал в L. Тогда Ах = [X ? L: В (X,
А) = 0} и А П Ах = С — также идеалы. Форма Киллинга ал-
алгебры С является ограничением формы Б на С и потому равна нулю.
Следовательно, алгебра L разрешима, в силу B.1.2). Поскольку L
полупроста, то С = 0, так что форма Киллинга алгебы А невы-
невырожденна. Так как (Лх)х = А, то А1- П (Л-1-) == 0, откуда следует,
что В невырожденна на Ах. Но Лх ss LI А и, значит, факторалгеб-
ра LIA невырожденна. Q
B.1.5) Пусть L и Н — алгебры Ли над Р и R — радикал алгебры L. ,
1) Если I — гомоморфизм L на Н, то f (R)—радикал ал-
алгебры Н.
2) L = LA) + R.
Доказательство. 1) Пусть А — ядро гомоморфизма /. Фактор-
алгебра Ы{А + R), как гомоморфный образ полупростой алгебры
Ли L/R, полупроста. Поскольку Hlf (R) =s LIA(A + R)IA
зё Ы(А + R), то алгебра Hlf (R) тоже полупроста. Далее, / (R)
— разрешимый идеал алгебры Н. Следовательно, / (R) — радикал
алгебры Н.
2.1. Полупростые алгебры Ли 55
2) Так как алгебра L/L'1' абелева, она совпадает со своим
радикалом, и, в силу 1), (R + Ln))ILu> = L/Ln\ Q
Пусть L — алгебра Ли. Всякая подалгебра А в L, инвариант-
инвариантная относительно всех дифференцирований алгебры L: der (L) А
а А, называется характеристической. Характеристические под.
алгебры являются идеалами. Для любых X, Y ? L и б ? dar (?л
б [X, Л = [6Х, Г] + [X, 6У],
и потому LA) — характеристическая подалгебра.
B.1.6) Радикал является характеристической подалгеброй.
Доказательство. Обозначим через Лх ортогональное дополнение
к Л относительно формы Киллинга В. Из упр. 4 § 1.5 следует,
что если подалгебра А характеристическая, то и ЛA)тоже. По-
Поскольку LA) — характеристическая подалгебра, достаточно дока-
доказать, что К = (Ь )х совпадает с радикалом R алгебры L.
Так как В (Ка\ Кш) cz В (LA), К) = 0, то К — разрешимый
идеал (ввиду B.1.2)). Следовательно, R zd К, и, значит, достаточно
показать, что В (Lcl), R) = 0.
Предположим вначале, что Р — Р. Выберем какую-нибудь
максимальную цепочку идеалов в L:
? = **=>/.*_,=>••• =Ч0 = 0.
Для i = 1, 2, ..., k обозначим через Д. представление алгебры L,
индуцированное присоединенным представлением на LJL^^. По-
Поскольку между Lt_x и L; нет идеалов, все представления Д непри-
водимы. Так как Д (/^) — радикал алгебры Д (L), то, согласно
A.4.11), Д. (R) сг Р1,-, где 1(.—тождественное преобразование
L-JL.^. С другой стороны, tr Д (La)) = 0. Следовательно, для
любых X ? La) и Г ? Я мы имеем tr (Д (X) Д (Y)) = 0, а по-
потому В (X, Y) = ??=l tr Д (X) Д (У) = 0.
Общий случай легко сводится к случаю Р = P. Q
B.1.7) Пусть L — алгебра Ли, R —ее радикал, N —ее нильра-
нильрадикал и Ri — радикал алгебры Lll). Тогда Rx = L(l) ("| R « Ri
является нильпотентной характеристической подалгеброй. Далее,
для всякого представления (V, /) алгебры L эндоморфизм f (X)
нильпотентен при любом X ? Rx. Кроме того, [L, R] сг N.
Доказательство. Из равенства LA) + R = L следует, что алгебра
?(i>/?(i) р| ?> ^ ^/^ полупроста и LA) f| i? — разрешимый идеал
в LA). Следовательно, i?t = LA) П Я- Поскольку LA) и ^ — ха-
характеристические подалгебры в L, тем же свойством обладает и Rx.

56 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
Предположим теперь, что Р = Р, L — алгебра Ли над Р, V
— векторное пространство над Р и V (/) — представление алгебры
L. Пусть V = Vft 5? ¦ •' ? ^о = 0 — композиционный ряд для У.
Для каждого i = 1, 2, ..., k обозначим через Д представление
алгебры L в VjV^x, индуцированное представлением Д Из не-
неприводимости представлений (У/У?_ъ Д) вытекает, в силу A.4.11),
что все алгебры (Д (L))a> полупросты. Если теперь через At мы
обозначим ядро представления Д, то из соотношений
(l)) П A, s (LA) + Л,)/Л, - (Д
получим, что LA) П./4/ ^ ^? и. значит, Д (Rj) = 0. Отсюда вы-
вытекает / (X) Vi cz Vi_x для любого X ? Ri, так что / (X)ft = 0.
Перейдем к рассмотрению общего случая. Пусть L — алгебра
Ли, V — векторное пространство над Р и (V, Д) — представление
алгебры L. Пусть Хъ ..., Хп — базис в L. Полагая для любых
a ^Т
апХп) = a
+ • • • + aj (Xn),
мы определим представление (Vp, fp) алгебры Ли If. Коммутатор-
Коммутаторная алгебра алгебры Lp совпадает с (И1~>)р, а радикал алгебры
(L^')p равен Rp (упр. 4). Следовательно, если X ? Rlt то эндо-
эндоморфизм fp (X) нильпотентен, а значит, и / (X) нильпотентен.
Итак, нам известно, что эндоморфизм / (X) нильпотентен для
любого X ? R1 и любого представления Д В частности, ad X
нильпотентен. Отсюда следует, что Ri — нильпотентный идеал и
Rl с= N. Поэтому [L, R] cz [L, L] П R = Rx <= N. Q
Пусть V — векторное пространство над Р и Р — расширение
поля Р. Тогда gl (V) естественным образом вкладывается в g,t(Vp).
Мы опустим доказательство следующей теоремы из общей алгебры:
B.1.8) Если подмножество 2 алгебры gl (V) вполне приводимо, то
оно вполне приводимо как подмножество в gl (Vp), и обратно.
B.1.9) Если алгебра Ли L обладает вполне приводимым точным
представлением (V, /), то она является прямой суммой своего центра
и некоторого полупростого идеала.
Доказательство. Предположим сперва, что Р = Р, L — алгебра
Ли над Р и V — векторное пространство над Р. Пусть V разлагает-
разлагается в прямую сумму минимальных инвариантных относительно L
подпространств Vx, ..., Vk. Для любого X ? L обозначим через
Д (X) (i = 1, 2, ..., k) ограничение эндоморфизма /(X) на V,-.
Тогда (Vt, Д) есть неприводимое представление алгебры L. Пусть
Л,: — ядро представления Д (i = 1, ..., k). Тогда Ах (] ... (] Ak
2.2. Разложение по корневым подпространствам 57
= 0. Обозначим через R радикал алгебры L. Тогда радикал ал-
алгебры Д (L) равен Д (R) и (Д (L))(l) = Д (LA)). В силу A.4.11),
Д (L(l)) П h (R) = 0. Следовательно, Ln) П R <=¦ At для всех
I, и потому LA) П R = 0. Отсюда вытекает, в силу B.1.5), 2), что
L = LA) 0 R (прямая сумма). Поскольку LA) s LIR, алгебра
Lm полупроста. С другой "стороны, из включения [L, R] a LA)
П R = 0 следует, что R содержится в центре. Так как центр всегда
содержится в радикале, то R совпадает с центром.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть L — алгебра Ли и
(V, /) — ее представление. Расширим поле коэффициентов Р про-
пространства V до Р и построим пространство Vp. Пусть L — вектор-
векторное пространство над Р, порожденное f (L) в gl(V^). Очевидно,
что L есть алгебра Ли над Р. Если множество / (L) вполне приво-
приводимо в gl (V), то, согласно B.1.8), оно обладает тем же свойством
и как подмножество в gl (Vp). Следовательно, существует полу-
полупростой идеал S в I, такой что L — S 0 Z, где Z — центр L.
Пусть R — радикал алгебры L. Тогда подпространство R, поро-
порожденное / (R) в gI/(Vp), есть . разрешимый идеал в L. Значит,
f(R)czRczZ. Кроме того, / (LA)) = (/ (L))A) с Lcl) = S. Сле-
Следовательно, / (R) П / (ЬA)) = 0, т. е. R П Lll) = 0. Отсюда вид-
видно, что алгебра LA) полупроста я R — центр алгебры L. Q
Упражнение 1. Множество и (т) — {(s^y) ? gt (m, С): s,-y-+ sj{ = 0 для i,
j — I, 2, ..., m) образует алгебру Ли размерности тг над R. Каждая подалгебра
в и (т) является прямой суммой своего центра и полупростого идеала.
[Набросок доказательства. Определим скалярное произведение в С фор-
формулой ((av ..., ат), (Ьг ..., bm))= Yf=iaibr Тогда Условие s= (Sj/) 6 и (т)
можно записать в виде (sa, b) + (a, sb) = 0 для всех а, Ь ? С" (где элементы
С"* рассматриваются как векторы-столбцы). Пусть ? — некоторое подмноже-
подмножество в и (т). Если векторное пространство U d С инвариантно относительно S,
то его ортогональное дополнение (по отношению к введенному выше скалярному
произведению) также инвариантно относительно ?. Следовательно, ? вполне
приводимо.]
Упражнение 2. Пусть L — алгебра Ли и 5 — ее форма Киллинга. Тогда под-
подалгебра L1- = {X ? L: В (X, L) = 0} совпадает с ниль-раднкалом алгебры L.
Эта подалгебра L^ является характеристической, и каждый нильпотентный идеал
алгебры L содержится в Iх.
Упражнение 3. Радикал коммутаторной алгебры LA) алгебры L равен пере"
сечению всех максимальных идеалов в L.
Упражнение 4. Пусть L — алгебра Ли над Р, a R — ее радикал. Для любого
расширения Р поля Р радикал алгебры Lp равен Rp .
2.2. Разложение по корневым подпространствам
Пусть g — полупростая алгебра Ли над Р = Р, В — ее форма
Киллинга, ^ ¦— ее подалгебра Картана и

58 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
— ее разложение по корневым подпространствам. Обозначим через
i)* векторное пространство, сопряженное к f). Пусть Дс|* — мно-
множество всех корней {а, 0, ...}; положим А = A (J {0).
B.2.1) Если а, 0 ? А и а + 0 =/= 0, /по 5 (д (а), g @)) = 0.
Доказательство. Для X ? g (а) и F ? g @) положим ст = ad X
• ad К. Тогда, ввиду A.2.2), для любого у ? А
ад (т) с g G + а + 0),. . ., <т*д (?) с д (? -f- * (а + 0)),....
Так как Д — конечное множество, то для некоторого достаточно
большого k мы имеем у + k (а + $) <? Ъ. и g (у + k (a + 0))
= 0, откуда следует, что сг* g (у) = 0. Поскольку это справедливо
для всех у, эндоморфизм а нильпотентен и tr а = 0. Q
B.2.2) 1) Ограничение В^ формы В на ?) невырожденно.
2) Алгебра $ абелева.
3) А порождает §* (как линейное пространство).
4) Если а ? Д, то — а ? А.
Доказательство. 1) Предположим, что Я ? t) и В (Я, ty) = 0.
Так как, в силу B.2.1), В (Я, g (а)) = 0 для любого а ? А, то
5 (Я, в) == 0 и Я = 0.
2) Заметим, что для любых Hlt Я2 С Ь
Если Я2 ? §а\ то а (Ях) = 0 при а ? Аи, значит, В^ (Я1? Яа)
= 0. Согласно 1), отсюда следует, что Нг — 0.
3) Пусть Яо — такой элемент алгебры §, что а (Яо) = 0 для
всех а ? А. Тогда В (Яо, Я) = Одля любого Я ? g и, следователь-
следовательно, Яо = 0.
4) Если g (—а) = 0, то, в силу B.2.1), В (д (а), д (а)) = 0 и,
значит, д (а) = 0. Q
Введем в I) скалярное произведение по формуле
(X, Y)=B(X, Y)= 2 (dim g (a)) a (X) а (У) (X, Fe^)-
Поскольку форма Вь невырожденна, для каждого Я ? I)* суще-
существует единственный элемент Их ? §, такой что Я (Я) = (Я^,,
Я) при всех Я ? I). Это позволяет определить невырожденное,
скалярное произведение в fy* формулой
<Я, ц> = <ЯЬ Яд> = Я (Яй) = ц (Я^ (Я,
2.2. Разложение по корневым подпространствам 59
B.2.3) (а, а) Ф 0 при а ? А.
Доказательство. Поскольку алгебра I) абелева и ad /i-g (а) с g (а),
то, согласно A.4.6), в g (а) найдется такой элемент Еа Ф 0, что
(ad ¦%) Еа с; Р?а. т. е. [Я, ?а] = а (Я) Еа для всех Я ? $.
В силу B.2.1), найдется такой элемент X ? g (—а), что В (Еа,
X) -ф 0. Не уменьшая общности, мы можем считать, что В (Еа,
X) = 1. Тогда [Еа, X] ^ tg («), 9 (—а) 1 с= ^ и для любого
Я 6 $
<[?а, X], Н) = В([Еа, X], Н) = В([Н, Еа], Х)^а(Н)В(Еа, а (Я),
откуда следует^ что [Еа, X] = Яа.
Так как ?а ^ g (а), X ? g (—а) и На = [?а, X], то, согласно
B.1.1), для любого 0 ? А
@, а)=
= га(Яа) = г(а, а), где
Допустим, что (а, а) = 0. Тогда @, а) = 0 для всякого 0 ? А
и, следовательно, а = 0, поскольку А порождает ф*. Тем самым
мы пришли к противоречию. Q
B.2.4) dim g (а) = 1 для любого а ? А. Если а ? А и ka ? А
(k e Z), то k = ±1.
Доказательство. Как и при доказательстве B.2.3), выберем такие
элементы Еа ? g (а) и X ? g (—а), что [Я, ?а] = а (Я) ?а для
всех Я ? lj и [Еа, X] = Яа, и положим
(-/а).
Ясно, что V инвариантно относительно ad Ea, ad X и ad Ha. По-
Поскольку [Еа, X] = На, 'то tvv (ad Яа) = 0. С другой стороны,
tr,, (ad Яа) = A — S У dim g (—/а)) (а, а).
Так как (а, а) Ф 0, то
Е / dim g (—/а) = dim g (—а) 4- 2 dim g (—2а) -f- ¦ • • = 1.
/
Поскольку g (—а) Ф 0, отсюда следует, что dim g (—а) = 1 и
g (—/а) = 0 при / = 2, 3, .... Далее, заменяя а на —а, находим,
что dim g (а) = 1 и g (/а) = 0 при у = 2, 3, .... П
Объединяя полученные выше результаты, заключаем, что спра-
справедлива

60
Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
B.2.5) Теорема. В каждом из (одномерных) подпространств
g (а), а ? А, можно выбрать базисный вектор Еа так, что
а = Ь-\- PF... -4- PF .. 4- РРЛ ХРР.Х...
причем выполнены следующие условия:
1) подалгебра § абелева и [Я, Еа]. = а (Я) Еа (а ? А) я/7"
Я ? §; в частности, ad // есть полупростое линейное преобразо-
преобразование;
2) Ша, ?„] = tfe, р?в+р (tfe.a ? Р)приа+$фО;
3) [?¦„, ?_а ] = —Яа и Б (Еа, Е_а) = —1 (знак минус перед На
окажется удобным в дальнейшем);
4) если а ? А и ka ? A (k ? Z), то k = dzl;
5) В(Н + ? ха?а, Я'
^Л = В (Я, Я') -
(
(В(Н,Н')=*(Н,Н')= ? а(Я)а(Я'Л;
6) для любых X, \х ? fy*
(Я, ц> = ? (Я, а) <ц, а).
а€д
Сейчас, пожалуй, подходящий момент подробно рассмотреть
наиболее простой и важный из доступных примеров — алгебру
81 (л, Р). Некоторые факторы об этой алгебре время от времени уже
появлялись в тексте и в упражнениях, но для удобства читателя
мы начнем с самого начала и прежде всего покажем, что
B.2.6) Форма Киллинга алгебры & (л, Р) задается формулой
В (s, t) = 2л tr (st)
и невырожденна при п >¦ 2.
Доказательство. Поскольку алгебра 81 (л, Р) — идеал в gl (л, Р),
ее форма Киллинга является ограничением формы Киллинга В
алгебры gl (л, Р).
Пусть sat принадлежат gl (л, Р). Тогда
(ad sf t = [s, [s, t]] = s4 — 2sts + ts2.
Предположим, что эндоморфизмы s, t и s*t представляются в неко-
некотором базисе матрицами (sf/-), {ttj) и (ыг/) соответственно. Тогда
ирч = X'¦/, jSpiSijUq- Поэтому след эндоморфизма tt—>s2t равен
?</?р, isPisip = п tr (s2), где л = dim V. Аналогично tr (t\—*- ts2)
— п tr (s2), tr (* I-»-sfe) = (trsJ, что равно 0 при s ? 21 (л, Р).
2.3. а-последовательность весов 61
Итак, В (s, s) = 2п tr (s2) при s .? gl (n, P). Если s и s' принадле-
принадлежат & (л, P), то
(S) .s') = _L (В (s-f s',
—s', s — s')) = 2ntr(ss').
Так как, в силу A.6.2), алгебра & (л, Р) проста, то форма В не-
невырожденна. D
Подалгебра sdiag (л, Р)\ состоящая из тех матриц (si;-)?3l (л,
Р), для которых s,-; = 0 при i ^= /, абелева. Далее, нетрудно про-
проверить, что sdiag (л, Р) совпадает со своим нормализатором. В са-
самом деле, пусть Я = (А(/) E sdiag (л, Р) имеет попарно различные
диагональные элементы. Если элемент X ? $ (л, Р) нормали-
нормализует sdiag (л, Р), то матрица [X, Н] диагональна. Но (i, /)-й эле-
элемент этой матрицы равен хГ] (hn — hu), и, следовательно, хи = 0
при i =?^= ']¦ Отсюда вытекает, что sdiag (л, Р) совпадает со своим
нормализатором и Я — регулярный элемент.
В обозначениях настоящего параграфа, мы можем взять I) =
= sdiag (л, Р). Определим А, ? sdiag (л, Р)*, полагая Я,- (Я) = hH.
Перемножая матрицы, находим, что
[Я, Еи\ « (ft,. - hn) Eu = (Я,. - Kt) (Я) Etr
Таким образом, функции а из B.2.5) в нашем случае имеют вид
Яг —¦ X/ (i Ф /). Для а = а,-/ = Я? — Я;- можно в качестве Яа
взять матрицу из sdiag (n, P), у которой
hu = 1/2л, «// = — 1/2я,
а остальные элементы равны 0. Тогда для t < / можно положить
?а = Eti и ?_а = (—1/2п) ?/г.
Упражнение. Пусть (К, /) — представление алгебры д. Тогда f{Ea) — ниль-
потентный эндоморфизм пространства V. В частности, эндоморфизм ad Ea
нильпотентен.
2.3. а-последовательность весов
Мы сохраняем обозначения из B.2.5). Пусть (V, /) — представ-
представление алгебры д. Обозначим через Л совокупность всех весов от-
относительно (V, f). Это —- конечное подмножество в ф*.
B.3.1) Предположим, что а ? Д-, Х^АиХ + а^А. Тогда
/ = 2 {X, аI{а,а) есть неотрицательное целое число и X — ia
? Л для тех и только тех i ^ Z, для которых выполнено условие
0 < i < /.
Доказательство. Возьмем такой элемент v Ф 0 из У (Я), что fyt>
с Ри, и положим у/5 —,(E_a)kv, k = 0, 1, 2, .... Тогда у„ = у

62 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
и Щ ? V (Я — &а). Положим ч4 = 0 и индукцией по k докажем
формулы
A) Hvk = (X~ka)(H)vk при Я О,
B) Eavk = — k((X, a)~^-{k-\){a, a>)uft_x, 6 = 0, 1,2,....
При & = 0 эти формулы очевидны. Допустим, что они справедливы
для k — 1. Тогда, в силу предположения индукции,
Hvk =
_i = E^Hv^ + [ И, ?_a] vk_x
= E_a(X~(k-\) a) (Я) i^ ~a(H) E_avk_t
= (Я - ka) (H) Е_ащ_4 = (Я - ka) (H) vk,
k = EaE_^vk_x = E_aEavk_r — Havk_x
(* - 1) (Я, a) + -1 (yfe - 1) (k - 2) (a, a}) vk_2
- (Я, a) + (yfe - 1) (a, a)) vk_x
Тем самым формулы A) и B) доказаны.
Предположим теперь, что v,¦ Ф О и и/+1 = 0. Тогда, в силу B),
при k = / + 1 мы имеем (X, а) — (//2) (а, а) = 0. Следова-
Следовательно, ] = 2 (Я, a)/(a, a) и Я — /а, Я — (/ — 1) а, ..., Я при-
принадлежат Л.
Далее допустим, что существует целое число i >¦ 2, такое
что к + i.cc ^ Л. В этом случае можно выбрать i так, что
Я + (i — 1) а Ф- Л. Положим Я + ta = Ях и —a = р. Поскольку
Кх ? Л и Ях + р ^ Л, то
, а)
. Р)
(а, а)
— 21 = —2/ — / > 0.
Но это невозможно, ибо / :> 0 и i з> 2. Мы доказали, таким об-
образом, что если Я + ta ?Л для некоторого целого i, то i < 0.
Допустим, наконец,' что Я2 = Я — la ? А для некоторого
целого / > /. В этом случае мы можем предположить дополни-
дополнительно, что Я2 — а Ф Л, поскольку множество Л конечно. Так
как 2 (Я2( —а)/(—а, —а) = —у + 21, то мы получаем Я2 — (—/
+21) (—а) = Я + (/—/) а ? Л, что невозможно, ибо I — / > 0. ?
^.<У. а-последовательность весов
B.3.2) Для любых заданных а ? Л и Я ? Л можно найти такие
неотрицательные целые числа у и k, что
1) Я + ia ? Л (? ? Z) тогда и только тогда, когда —у <. i ^. k;
2) k ~ j = —2 (Я, а)/(а, а);
3) Я — B (Я, а)/(а, а» а ? Л;
4) если Я + а ? Л, то ?аУ (Я) =#= О.
Доказательство. 1), 2) Пусть А — наибольшее целое число, для
которого Яо = Я + ka ?_ Л. Так как Яо + а Ф Л, то, в силу B.3.1),
тогда и только тогда, когда
О < t < 9 ^' ^ = 2 ^" а)
р
Яц — ia
Следовательно, Я
тогда, когда
(а, а) " (а, а) ]
да = Яо — (k — i) a
Л тогда и только
C)
Если положить / = k + 2 (Я, аI{а, а), то C) эквивалентно
неравенствам — / <: i *g. k.
3) Это следует из того, что —/ <S —2 (Я, аI{а, а) <: k.
4) Как и при доказательстве B.3.1), возьмем элемент v =/= 0
из V (Яо), для которого iiv с Pv, и положим V[ = (?_a)'w, t = 0,
1, 2, ... Тогда и,- ? У (Яо — ia) = V (Я + (й — i) а), и в част-
частности vk ? V (Я). Поскольку 2 (Яо, a)/(a, a) = у + A 5s А ^ 1,
то %_а Ф 0 и yfe =#= 0. В силу B),
и* = — k {{К, «) — — {k — 1) (а, а}
о, а) - ^ (А - 1) (а, «) = (Я, а) + -L(k + 1) (а, а)
откуда ?а V (Я) ^ 0. Q
Определение. Последовательность
Я — /а, Я — (/ — 1)а, . . ., Я, . . ., Я -|- ka
из B.3.2) будем называть а-последовательностью (весов), содер-
содержащей Я.
Теперь мы можем дополнить теорему B.2.5) некоторыми но-
новыми результатами:

64 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
B.3.3) 1) Если а, р и а
2) ?Ъш а ? Л и та
Р ? Д, то #а; р ^ О.
Д (т ? Р), то т = ±1.
Доказательство. 1) Применяем B.3.2), 4), к (V, /) == (g, ad)-.
2) Предположим, что а ? Д и та ? Д. В силу B.3.2),
2 (та, а)/(а, а) = 2т является целым числом. Если m — це-
целое, то m = ±1, в силу B.2.4). Предположим поэтому, что
m = 1/2 + /га' (/я' ? Z), и постараемся прийти к противоречию.
Поскольку ±та ? Д. можно считать, что /га > 0 и, значит,
т' > 0. Пусть та + га (—у <: i < k) есть а-последователь-
а-последовательность, содержащая та. Тогда k —¦ у = —2 (та, а)/(а, а) = —2т
= —1 — 2т' и у = 2т' + 1 + /? >¦ т' >- 0. Следовательно, та
— т'а = а/2 ? Д, в противоречие с тем, что 2 (а/2) ? Л. Q
B.3.4) Если а ? Д и Я ? Л, то (Я, а) ? Q и (а, а) — поло-
положительное рациональное число.
Доказательство. Согласно B.3.2), если Я + ia, —-у (Я, a) <sS i <
< А (а, Я), есть а-последовательность, содержащая Я, то
D) (Я, а) = -±- (у (Я, a) — k (Я, а)) (а, а).
Отсюда вытекает ввиду B.2.5), что
(а, а) == 2 (р, аJ - -f 2 0' (Р' а> ~ * $- а»"<а' а>2'
значит, (а, а) = 47 2j (/(Р» а) — ^ (P. a)JVx —
поло-
/
жительное рациональное число. Следовательно, в силу D),
(Я, а) ? Q. О
Основные результаты о неприводимых представлениях алгебры
ё! B, Р) являются простыми следствиями предложения 2.3.1.
По этой причине мы включим их в данный параграф, не дожи-
дожидаясь систематического изложения в гл. 7.
B.3.5) Для каждого j = 0, 1, 2, ... существует единственное (с точ-
точностью до эквивалентности) неприводимое представление f, алгебры
%1 B, Р) размерности у + 1. Это представление f,- алгебры
Я B, Р) = РНа + РЕа + РЕ_а
задается формулами
Havk = (±- j
A)
Eavk=-±
¦kj (a, a)-vkr
2.3. а.-последовательность весов
65
где \v0, vx, ¦¦¦, Vj\ —базис векторного пространства V над Р
и у_х = vj+l = 0. Совокупность Лу весов представления /; отно-
относительно подалгебры Картана РНа имеет вид
1
Л/==[-1-/а, D-/-
Доказательство. Пусть (V, /) — неприводимое представление ал-
алгебры 81 B, Р). Так как множество весов относительно РНа
конечно, то существует вес Я, для которого Я + а не является
весом. Применим предложение B.3.1). Во введенных при его
доказательстве обозначениях, легко проверяется, что v{0, ..., vj\
порождает ненулевое инвариантное подпространство W в V.
Так как (V, /) неприводимо, то W = V. Из равенства На =
— [Еа, Е_а] следует, что tr / (На) = 0, т. е.
(Я
- ~ ja,
= 0,
откуда Я = уа/2 (заметим, что подалгебра Картана РНа одно-
одномерна).
Таким образом, мы убедились, что для каждой размерности
существует не более одного (с точностью до эквивалентности)
неприводимого представления fj, причем это представление должно
задаваться формулами A). Прямое вычисление показывает, что
формулы A) действительно задают представление алгебры 31 B, Р).
Проверим, что оно неприводимо. Обозначим через // вполне при-
приводимое представление, ассоциированное с /у. Допустим, что /,•
приводимо, тогда приводимо и //. Поскольку всякое неприводимое
представление алгебры & B, Р) есть представление вида /,-,
имеем
/;•=/« ф/йф ....
С другой стороны, каждое собственное подпространство для ff (На)
одномерно, и потому Ла П Лк = 0, где через Аа и Аь обозна-
обозначены множества весов представлений /а и fb соответственно.
Поскольку Лу = |2/а. B/ — 1) «, ••-, —2-х/а} и Ла, Аь имеют
аналогичный вид, это невозможно. Следовательно, представле-
представление /у неприводимо. []
Замечание. Вес 2~х/а представления Д- называется старшим
весом этого представления.
Упражнение 1. В § 2.2 мы показали, что корнями алгебры Bl(n, P) служат
aij—k( — Яу (при i=f=j). Найти а,-у-последовательности, содержащие a^t-
3 М. Гото, Ф. Гроссханс

66 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
Упражнение 2. В 31 B, Р) можно взять
/' 1/4 0 > / 0 1 \ / 0 0 '<
И'Л о -1/4 J' ?a==io oj' Я-а=Ч_1/4 О
и старший вес соответствующего (естественного) представления алгебры
31B, Р) равен а/2.
2.4. Фундаментальная система корней и л>система
Мы сохраняем обозначения § 2.2 и 2.3. Пусть 1)о — вектор-
векторное пространство над Q, порожденное Д в lj*.
B.4.1) 1) dimQ^o = dimP^* = rank g.
2) Все веса принадлежат 1)о.
3) Ограничение билинейной формы (,) в ф* на Ijjj есть
Q-значная положительно-определенная форма.
Доказательство. Выберем базис ах, ..., a.t в §*, состоящий из
элементов Д (см. B.2.2)), Тогда (аг, а}) ? Q, в силу B.3.4),
и det ((а,-, а.])) Ф 0. Пусть Я = х^ + • ¦ • + хьщ (xt ? Р) —
вес. Тогда система линейных уравнений
(!) (аг. а/}*1 + - • - + (аь at)xt = {K а;), /= 1, 2, . . ., /,
имеет рациональные коэффициенты и det ((af, a,)) ^=0. Следо-
Следовательно, хх, ..., *, ? Q, т. е. Я ? Qa, + • • • + Qa/. В част-
частности, аь ..., at порождают §jj. Так как, разумеется, набор
\<хх, ..., а,} линейно-независим над QcP, то dim Ijo = /.
Далее, для Я = ххах + • ¦ • + xta.i {xt ? Q) мы имеем
(к, к) = Ц (А,, а>
а? Д
(X,, а) == хх (alt а>
(а,, а) ? Q.
Значит, {к, к) > 0, и если (к, к) = 0, то {к, а) = 0 для всех
a ? Д, откуда следует, что i = 0. Таким образом, эта билиней-
билинейная форма положительно-определенна на I)o- Q
Обозначим через ^0 векторное пространство над Q, порож-
порожденное элементами На (а 6 Д) из $¦ Легко видеть, что 1)о можно
рассматривать как векторное пространство, сопряженное к ^„.
Введем (лексикографическое) упорядочение в t)o> по отношению
к фиксированному произвольному базису \НЪ ..., Ht\ простран-
пространства ^„, полагая кх > к2 (или к2 < Х,х), если существует номер k
@ <: k < т ~ 1), такой что кх (Нх) = к2 {Нх), ..., кх (Hk) - kz (Hk)
и Ях (Hk+l) > к2 (Hk+1). В случае когда к > 0, мы говорим, что
элемент 1 положителен. Следующее предложение очевидно.
2.4. Фундаментальная система корней и п-сиапема
67
B.4.2) 1) Отношение > является линейным упорядочением, т. е.
для любых Яь Я2 ? % выполняется ровно одно из трех соотноше-
соотношений: кг < Я2, кх = Я2 или кх > Я2.
2) Из кх > Я2 следует, что кх + Я3 > Я2 -j- Я3, —кх < —Я2
и гкх > гЯ2 для г (> 0) ? Q.
Положим Д+ = {а ? Д: а > 0} и Д- = {а 6 А: °с < 0} ¦
= {—а : а ? Д+}. Ясно, что Д = Д+ (J Д~ и Д+ П А" = 0-
Определение. Корень аиз Д+ называется простым, если его нельзя
записать в виде а = р + 7, где р ? Д+, 7 € А+. (Например,
наименьший положительный корень прост.)
Подмножество G в 1)о называется ортогональной системой,
если каждый его элемент отличен от 0 и для любых Я, Я' ? G
(Я =5^ Я') выполняется равенство (Я, Я') =0. Если Я1? ..., кк —
ортогональная система и гхкх + • •• + rkkk = 0 (rt G Q), To
(Я,-, гхкх + • • • + rkkk\ = п (Яь Я,-) = 0, поэтому rt = 0 для всех
i = 1, ..., k. Следовательно, всякая ортогональная система ли-
линейно-независима и содержит не более / (= dim fyo) элементов.
Отсюда вытекает, что существует максимальная ортогональная
система, скажем \ех, ..., e-s\. Для любого Я ? % положим
Яо = Я —
Тогда <Я0) е.) = 0 при i = 1, ...,/. Поскольку \еъ ..., et\ —
максимальная ортогональная система, мы заключаем, что Яо = 0,
т. е. Я является линейной комбинацией элементов ех, ..., ег Итак,
мы доказали существование ортогонального базиса в %8-
Поскольку fyo — векторное пространство над Q czR , можно
построить (l)o)R = §к- Скалярное произведение в t)o может быть
единственным образом продолжено до скалярного произведения
в 1JR, которое мы обозначим тем же символом. Пусть ех, ..., et —-
некоторый ортогональный базис в ^. Ясно, что он будет бази-
базисом пространства $f> над R. Следовательно, для Я = Yirieiiri € R)
мы имеем (Я, Я) = ?>! (е.-, е{) >> 0, и из (Я, Я) = 0 следует,
что Я = 0. Таким образом, расширенное скалярное произведение
в ^r положительно-определенно.
. Для Я ^ f)j? положим ||Я|| = У {к, Я) и для любых кх {Ф 0)
и Яа (^= 0) из f)R определим г/гол 0 = L. {К, К) между кх и Яа
@ <: 0 <: 180°) условием cos 0-| Яг ||-| Яг || = (Я^ Я,). В дальней-
дальнейшем, когда это нам будет нужно, мы будем предполагать, что §5
является подмножеством эвклидова пространства §j? с указан-
указанным расширенным скалярным произведением. Например, для
ненулевых Яь Я2 ? ^ мы будем рассматривать угол /_ (Яъ Я3)
между кх и Я3.

-1
68 Гл. 2. Полу простые алгебры Ли
Определение. В пространстве R1 со скалярным произведением
i
((хи . . ., х,), (ух, . . ., у,)) = J) xtyt
подмножество D называется корневой системой, если
1) для любого а ? D мы имеем: а Ф 0 и Ra (} D = {±а};
2) для любых а, J3 ? D мы имеем: 2 <р, а>/(а, а) ? Z и
Р — ka fD для всех целых чисел k, заключенных между О
и 2 <р, а>/<а, а).
В случае когда не оговорено противное, мы предполагаем,
что D порождает R'.
Отождествим Ijj? с R1. Согласно B.3.2), множество А, рассма-
рассматриваемое как подмножество в fyjj, удовлетворяет условию 2),
а модифицируя доказательство предложения B.3.3), 2), можно
доказать и справедливость условия 1). Таким образом, А является
корневой системой.
B.4.3) Пусть а и р — различные простые корни. Тогда
1) (а, р) « 0, т. е. '„ (а, р) > 90°;
2) а — р <? А.
Доказательство. Предположим, что а — р ? А. Если а — р > 0,
то а = (а — Р) + р, что противоречит простоте а. Если а —¦ р < 0,
то р = (Р — а) + а, снова в противоречие с условием простоты
корня р. Следовательно, а — р <? Л. Это означает, что р-после-
довательность, содержащая а, равна а, а + р, ..., а + &Р, где
k = — 2 (а, Р)/(Р, Р). Таким образом, (а, Р) <С 0. О
B.4.4) Обозначим через я совокупность всех простых корней из А
(относительно некоторого фиксированного упорядочения).
1) п = \ах, а2, ..., аД образует базис в %'.
2) ?Ъш р ? А+, /по
где п{ ? Z, л,- =г 0 при t = 1,2, ...,
Доказательство. Допустим, что
= 0,
где rx, ..., rs+t — положительные рациональные числа, а аь ...,
as+t — различные элементы из я. Положим
Тогда {у, у) = Тч,,-ПГ,+1 (a,, as+/> <: 0, ввиду B.4.3), 1). С дру-
другой стороны, (у, у) > 0, так что у = 0. Следовательно, гхах -\- ...
+ rsas = 0. Но из соотношений г,- > 0 и а, > 0 вытекает, что
2.4. Фундаментальная система корней и п-система 69
/¦;«,- > 0 и г^! + • • • + rsas > 0, — противоречие. Итак, я —
линейно-независимая система.
Докажем теперь 2). То что я порождает f)o> будет отсюда сле-
следовать. Предположим, что А+ = {pi, ..., Р*}, 0 < рх < ... < pft.
Тогда Рх ? я. Допустим, что все р( имеют требуемый вид (*)
при i < /, и рассмотрим р/. Если р,- G п> т0 все очевидно. Если ру
не является простым корнем, то р;- = ps + P^ (s < / и t < /).
Следовательно," по предположению индукции, Ра. и Р^ имеют
вид (*), и, значит, тем же свойством обладает р,-. Q
Определение. Подмножество я множества А называется фунда-
фундаментальной системой корней, если
1) я = \аъ ..., а/} образует базис пространства IjjJ;
2) всякое Р ? А представимо в виде
где все nt з> 0 или все П; <: 0.
Согласно B.4.4), множество я всех простых корней (относи-
(относительно некоторого фиксированного упорядочения) есть фундамен-
фундаментальная система корней. Покажем, что справедливо обратное.
B.4.5) Пусть я = {а,, ..., а;} —фундаментальная система кор-
корней. Тогда л совпадает с совокупностью всех простых корней от-
относительно некоторого лексикографического упорядочения fyo.
Доказательство. Пусть Яь ..., Нх—базис в $0, определенный
формулой ас (Н,) --= 8i; (символ Кронекера). Годится отвечающее
ему упорядочение. Q .
Определение. Введем, в R' обычное скалярное произведение
i
2 х
1
1
Подмножество я = \ах, ..., а,} пространства R1 называется я-си-
стемой, если
1) набор \alt ....a^ линейно-независим;
2) ctt = —2 <aM aj)/(a., a,) ? Z при i, j = 1, 2, ..., /,
причем С;/ >¦ 0, если i ф j.
Будем называть cif числами Квартана, а матрицу (ctj) — мат-
матрицей Картана. Всякую фундаментальную систему корней я
можно рассматривать как я-систему.
B.4.6) Пусть {аи ..., at\ —фундаментальная система корней.
Тогда множество {Еа„ ••-, Еаг Е-с^, ¦¦¦, E-at} порождает д.
Доказательство. Пусть & —подалгебра, порожденная элементами
Е±а[ (i = 1, ..., /). Так как [Еа[, Еа^ = — На( и множество \На. j
линейно-независимо, то подалгебра Картана S) содержится в k.
Допустим, что существует элемент р ^ А+, для которого Е$ Ф k.

70 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
Возьмем наименьший элемент |3, обладающий этим свойством.
Поскольку р Ф я, найдутся $х, р2 ? Д+, такие что рх -f- р2 = |3.
Тогда ?Pl, ?p2 G * и [?3l, ?Рг ] = ^Pl,a,?p ^ 0, в силу B.3.3). •
Мы пришли к противоречию. Следовательно, Е$ ? ? для любого
Р ? Д+. Аналогично если у ? А~, то Ev ? k. Поэтому k = g. Q
я-система я называется неразложимой, если нельзя указать
два непустых ее подмножества яг и я2, таких что пх (J я2 = л,
Я; A Hj = 0 и (а1? а2) = 0 для любых ах ? %, а2 ? я2.
B.4.7) Фундаментальная система корней я неразложима тогда
и только тогда, когда алгебра g проста.
Доказательство. Предположим, что <хх, р ? л и (а, |3> — 0. Мы
знаем, что |3 — а ^ Д. Пусть |3, Р + а, ..., р + ka есть а-по-
следовательность, содержащая |3; тогда k = —2(|3, а)/<а, а) = 0.
Следовательно, р + а <? я и Шч-а, ?±pl = 0.
Допустим, что я = {<*!, ..., а,, р1; ..., 0,}> где (а,-, р\> = 0.
Обозначим через дх подалгебру, порожденную элементами Е±а.
(i = 1, ..., s), а через д2 — подалгебру, порожденную ?±р.
(/= 1, ...,/). Ясно, что [дь д2] = 0 и дх + д2 представляет собой
подалгебру, порожденную \Е±а: a Q я}. В силу B.4.6), дх + д2
= д. Следовательно, дх и д2 — идеалы в д, причем идеал qx по-
полупрост. Поскольку [gt, gi П З21 = 0> мы имеем дх П Зг — 0
и 9 = 3i © Зз (прямая сумма идеалов). Это доказывает, что если
алгебра g проста, то система я неразложима.
Докажем обратное. Пусть g является прямой суммой двух
идеалов gL и д2: д = дх ф д2, д, ^ 0, и пусть a ? я. Предпо-
Предположим, что ?„ = ?! + ?2, Е{ ? д,- (а — 1, 2). Для Н ? () имеем
[Я, ?„] = 1Я, ?J + [Я, ?2| = а (Я) ?х + а (Я) ?,. Так как
[Я, ?J ^ д,., то [Н, Е1 ] = а (Я) f1.. Из того что dim g (a) = 1
и Ех, ?2 ^ 9 (ее), следует, что Ех — 0 или ?2 — 0. Таким обра-
образом, каждый элемент Еа содержится в одном из идеалов д.. Кро-
Кроме того, из соотношения [Еа, ?_а ] = —На ф0 вытекает, что
если Еа G %,, то Е_а G д,- и На G 9<- Допустим, что Еа G 9i и
?р € Зг- Тогда [Яа, ?р] = (а, Р) ?р = 0, и потому (а, 0) = 0.
Пусть л, = {а ? я: ?а ? 8,-}, t = 1, 2. Если ях = 0, то, сог-
согласно B.4.6), д2 = 3 — противоречие. Значит, пх ф. 0 и л2 ф.
Ф 0- D
Упражнение 1. Найти фундаментальную систему корней для §>1 (п, Р), п >¦ 2.
[Ответ: alt ,-+1> г = 1 /г — 1.]
Упражнение 2. Пусть 1)о — линейно упорядоченное векторное пространство
над Q с отношением порядка >, удовлетворяющим условиям 1) и 2) из B.4.2).
Тогда > является лексикографическим упорядочением относительно некото-
некоторого базиса в 1H.
Упражнение 3. Можно дать определение неразложимой корневой системы
аналогично тому, как это было сделано для л-систем. Доказать аналог теоремы
B.4.7) для произвольной корневой системы Д.
2.5. Классификация п-систем 71
Упражнение 4. В определении корневой системы условие 2) может быть заме-
заменено более слабым условием
2') для любых а, C ? D мы имеем: 2<'р\ а)/{а, а) ? у и C — 2 (|3, a)/(a
a.) ?D. ¦ "
Доказательство будет дано в §5.1.
2.5. Классификация л-систем
Две я-системы я = {с^, ..., а,} и лj= \dx, ..., а,} называются
эквивалентными (обозначение: я s л), если соответствующие
числа Картана у них совпадают. Если существует положительное
вещественное число г, такое что at = га,- (i = 1,2, ..., /), то
л зё л. Найдем все (с точностью до эквивалентности) неразло-
неразложимые я-системы.
Пусть я = \ах, ..., at\ — некоторая л-система. Используя
обозначение cos ap = cos !__ (а, р), мы имеем при i ф /
4 (а/, а,-J
Так как| cos a,a;|< 1, то СцСц == 0, 1, 2, 3. Предположим, что
II II II II
I «у
II у I
Случай 1:
Следовательно,
получаем, что
Сц = 1. Тогда с(,- = с/( = 1, т. е.
= - 2 (а/, Я/) =
(а,-, аг)
| а, || = || а;- J. Из равенства 4 cos2 a,-a;- = 1 мы
(a,-, a,) = 120°.
2 А
(, ,)
Случай 2: с1:сц = 2. Аналогично предыдущему имеем с,- = 2,
1 || f 2||||2 ( ) 135°
1ц
су, = 1, а потому
af f =
= 2||а.
(а,., а,.) = 135°.
Случай 3: СцС]{ = 3. Имеем Сц = 3, cl4 = 1, поэтому
а
= 3|ayf и /_ (а„ а,) = 150°.
Случай 0: сисц = 0. Тогда /_ (alt a,) = 90° и сИ = Сц = 0,
однако о длинах векторов никакой информации мы не получаем.
Диаграмма Дынкина D (л) системы я состоит из / вершин
(изображаемых в виде маленьких кружков), по одной на каждое
а,- ? я, и некоторого множества отрезков, соединяющих эти
вершины. Мы проводим 0, 1, 2 или 3 линии от а,- к а7 в соответ-
соответствии с тем, cijCjl =0, 1,2 или 3. В случаях 2 и 3 стрелкой ука-
указывается соотношение длин векторов ас и а,- . Таким образом,
перечисленным выше случаям отвечают диаграммы
0)
3)
1 Стрелка смотрит в ту же сторону, что и соответствующий знак неравен-
неравенства. — Прим. ред.

72 Гл. 2. Пдлупростые алгебры Ли
Говорят, что два элемента а, р системы л связаны между собой,
если (а, Р) ф 0. Подмножество Dx в D (я) называется связным,
если для любых а, р ? Dx найдется последовательность а = Yo>'
Yi. •••» Ук = Р в Аь такая, что элементы у,,"у.:+1 связаны между
собой для i — 0, ..., k — 1. Ясно, что диаграмма D (л) связна
тогда и только тогда, когда система я неразложима. Далее, если
диаграммы D (я) и D (я) изоморфны в очевидном смысле, то л з± л,
так как приведенные выше диаграммы 0) — 3) однозначно опре-
определяют значения ctj.
B.5.1) Для всякой п-системы л = {аь ..., щ\ число пар вершин,
связанных друг с другом, не превосходит I — 1.
Доказательство. Пусть y = Z '=i (otf/|| a,-1|) Ф 0. Имеем
i
_{ai,_al)_ | о V <а1-- «/>
откуда
— 2<af, «/)
С другой стороны, если а1 и af связаны между собой, то, предпо-
предпо| \\ \ || б
аг || :» || а;-1|, будем иметь
:• D
лагая для определенности, что
-2<gf,g/)^ -2<at,q/)
II «ill -II «/ II II «ill2
Заметим, что каждое подмножество л-системы можно рассма-
рассматривать как л-систему.
B.5.2) Пусть я = {alt ..., at\ — некоторая п-система.
1) D (л) не имеет циклов, т. е. подмножеств \alt ..., a^},
таких что (а1; а2) Ф 0, ..., (ak_x, <xk) Ф 0 и <аА, ах) ^= 0.
2) Пусть Di — связное подмножество в D (я), .Ес-ш а ? Z) (я)
ы а <? Dlt mo существует не более одного Р ^ Z)lt связанного с а.
3) Через каждую вершину проходит не более трех отрезков.
4) Если л неразложима и I > 3, mo Z) (л) не содероюит под-
мноокеств вида
Доказательство. 1) Если \ах, ..., о^} — цикл, т. е. {<хх, а2) Ф 0,
..., (а^_х, aft) ф 0, (aft, ax) =/=0, то л-система \аъ ..., ak\ имеет
по крайней мере k пар связанных друг с другом вершин.
2) Если а связано с р1; р2 ? Z)x (р\ Ф р2), то мы имеем цикл.
3) Пусть р принадлежит л и ах, ..., a,k — вершины, связан-
связанные ср.. Если а,- и а у связаны между собой при i Ф /, то D (я)
2.5. классификация п-систем 73
содержит цикл, что невозможно. Следовательно, (а,, а;-> = 0
при i, j — \,2, ..., kw. i Ф \. Пусть а0 (=^=0) — вектор в простран-
пространстве Rk+l, порожденном векторами р\ аг, ..., ak, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию <а0, аг) =0 A <? I < k). Тогда Sf=ocos2 |3a, = 1.
Так как множество {р\ alt ..., ak\ линейно-независимо, то
<р,
k
и ? 4cos2Pa;<4.
i
С другой стороны, 4 cos2 |3аг = 1, 2, 3 есть число отрезков, соеди-
соединяющих р с а{.
4) Если вершины а и |3 соединены тремя отрезками, то, в силу
3), они не могут быть соединены ни с одной другой вершиной. Q
Пусть я = {cci, ..., a;} — некоторая я-система. Подмножество
С = \а1у ..., ак\ называется однородной цепью, если с(-,,:+1
=с(-+1,i = 1 при i = 1, 2, .... k — 1, т. е. соответствующая часть
диаграммы системы имеет вид
С;
B.5.3) Пусть в ^.-системе л = \alt ..., ak, р\, ..., Ру} подмно-
подмножество С — \ах, ..., ak\ есть однородная цепь. Тогда фактор-
система л/С = {a, pY ..., Ру}, где а = ах Ч- ... ak, также яв-
является л-системой. Диаграмма D (я/С) получается следующим
образом. Между вершинами ps и р; проводятся те же отрезки,
что и в D (л). Каждая вершина р% соединена в D (я) не более чем
с одной из вершин а,; если ps не соединена в D (л) ни с одной из а,-,
то мы не соединяем р, с а, а если ps соединена с a/t то соединяем
ее с а точно так же, как она была соединена с а(- в D (л).
Доказательство. Если вершина ps соединена с <xt, то
— 2 (at + • ¦ ¦ + оц. Ps) __ -2(af, %)
Так как |
(Ps. Ps)
г || = ... = \\a.k\\
(Ps> Ps)
| ax
*i *
ak f = 2 ? (аг, a,+1) +. ?
a,
то, используя равенство —2 <a(-, ai41)/||a; ||2 = 1, получаем
ak |p = (k
| a,
= || a,
Следовательно, —2 (a, pV,/(a, a) = —2 (a,-, P_,)/(a,, a,). Q

74 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
B.5.4) Диаграммы
не могут быть подмножествами диаграммы Дынкина.
Доказательство. Рассматривая соответствующие фактордиаграммы,
можно найти вершину, через которую проходят 4 отрезка. ?
Используя доказанные выше леммы, мы получим сейчас клас-
классификацию неразложимых я-систем с точностью до эквивалент-
эквивалентности. В случае /= 1 существует только одна диаграмма 0
При / = 2 имеем три диаграммы:
Предположим теперь, что I >¦ 3.
Случай 1. Диаграмма D (я) содержит
должна иметь вид
. Тогда она
ft
Pi
Так как || аг f = ... = | а, f и || рх ||2 = ... = || р, f = 2|| ах f, то,
меняя при необходимости масштаб, мы можем предполагать что
|| а, р = 1 и ¦ || E7 |р = 2. В силу равенства
— 2 (a,-, at.+1> __
ila/ll* '
имеем (а,-, а+1) -= —1_/2. Аналогично <Р;-, р/+1) = — 1 и <as, p<)
= — 1. Пусть a == 1 Li iat- и р = X/=i/Py- Тогда
s s-1
(a, a) = N f^fla,. ||- -j- 2
2.5. Классификация п-систем 75
Аналогично <р, Р) = t (t + 1), а (a, p> = ~st. С другой стороны,
поскольку аир линейно-независимы, (а, рK < || a f|| р Р, т- е-
Отсюда получаем, что (s — 1) (^ — 1) < 2.
Поскольку s и t — положительные числа, возможны лишь
три случая:
1) s = 1, а / произвольно;
2) t = 1, as произвольно;
3) s = * = 2.
Случай 2. Диаграмма!) (я) не имеет подмножеств вида &==О
Если ни через одну вершину не проходит трех отрезков, то имеется
единственная возможность:
В противном случае D (я) должна иметь вид
I3!
Мы можем считать, не теряя общности, что || а,- || = || Ру
= II 6 II = 1 и s > / > и > 2. Положим
= | 7*'
s-l
y=i
Т =
Тогда
(a, 6) = -4-(s-l), <P, S)
= - -L (/ - 1), (y, 8> = - ~- Ц/ - 1).
Так как векторы a, C, 7 взаимно ортогональны, то найдется орто-
ортогональный базис elf ,.., в[ в R', такой что ех = а, ег = |3 и е3 = 7-

76 Гл. 2. Полу простые алгебры Ли
Поскольку множество \ех, е2, е3, б\ линейно-независимо, найдется
номер i > 3, для которого (б, е() ф 0. Следовательно,
V cos2 (>;6 < У, cos2 efi = i.
С другой стороны,
cos2
, = <6' w>a = J- A _
и cos2 рб-4-0 ~-r)'
= -i-(l -4")- Таким обра-
+ — + — >¦!• Поскольку a > 2, то — -j- -i- > -i-. Из того,
что s > /, следует, что — >—, т. е. / < 4. Значит, ?=2
или /= 3.
Если t = 2, то и = 2, a s произвольно.
Если ? = 3, то из неравенства — + — > -у- мы получаем,
что s < 6 и, следовательно, s = 3, 4 или 5. В таком случае из
неравенства—> 1 — вытекает, что и = 2. Это ис-
исчерпывает все возможности. Подытожим полученные результаты:
B.5.5) Теорема. Пусть л — неразложимая п.-система. Тогда диаг-
диаграмма Дынкина D (л) совпадает с одной из следующих диаграмм:
I 5=3
= S, 7, 6
Найдем я-системы, соответствующие диаграммам Ап В,, С, и D<.
i?.6'. Классификация простых алгебр Ли 77
1) Ас. Пусть е{, ..., е[+1 — ортонормированный базис в R'+1,
т. е. (еп е;) = 5if. Положим а, = et —ei+1 (i = 1, 2, ..., /). Тогда
набор \ах, ..., at\ линейно-независим и (ah at) — 2{i—\,
2, .... /), (ait ai+1) = —1 (i = 1, 2, ..., / — 1), (a,-, af) = 0, если
j Ф i — 1, i, i + 1. Система \аъ ..., at\ является я-системой
с диаграммой А{.
2) Bh С/, Di'. Пусть ёъ...,е1 — ортонормированный базис
в R1. Полагая а,- — et — ei+1, i — 1, 2, ..., / — 1, и
ДЛЯ В; : ОС; — ?(,
для С/ : а; = 2е;,
для D[ : <Xi = ei_x + е/,
получим я-системы с диаграммами бг, С; и D?.
Фактически, все диаграммы Дынкина реализуются как л-си-
стемы.
Упражнение 1. Найти я-системы для G2 и F4 (хорошо бы и для Ев, Е7, Ев).
Упражнение 2. Преобразование, отвечающее невырожденной матрице 6 из
gl (I, R), называется преобразованием подобия, если Fм, 6и) == г (и, и) (и,
v ^ |R/) для некоторого положительного г. Пусть л = !at, ...,a/| и я — laj,
..., a;} —неразложимые я-системы. Если д s л, т.е.
_ -2(af,a/) -2(at-, dy) _ . ^
г/ " (ay, a.j) (a,-, a,-) "'
то отображение 0, определенное формулой 0 (? x,-af) = S лгга,- (д:г- ? R). яв-
является преобразованием подобия (и обратно).
2.6. Классификация простых алгебр Ли
Представляется уместным задержаться здесь для небольшого
отступления. Всякая подалгебра Картана данной полупростой
алгебры Ли д определяет разложение д по корневым подпро-
подпространствам и фундаментальную систему корней. Эту фундамен-
фундаментальную систему можно рассматривать как я-систему, и мы только
что завершили классификацию последних. Цель данного па-
параграфа — показать, что классификация простых алгебр Ли над
алгебраически замкнутым полем Р характеристики 0 совпадает
с классификацией я-систем (см. B.6.6)). На протяжении этого
параграфа д обозначает полупростую алгебру Ли. Мы сохраняем
обозначения, введенные в §§2.4 и 2.5.
B.6.1) Если Р ? А+ и р Ф я, то существуют элементы а ? п
и у ? А+, такие что |3 = у + а. При этом а-последовательность,
содержащая р\ т. е. содержащая у, содержится в А+.
Доказательство. Допустим, что Р = п1а1 + ... + ntat (nt > 0).
Поскольку (Р, Р) = пх <ах, р) + ...+- п, (а,, р) — положительное
число, то существует номер i, для которого nt (a,:, Р)>0. От-
Отсюда следует ввиду B.3 2), что р — а,- (= Д, а так как nt > 1,

78 Гл. 2. Полу простые алгебры Ли
мы заключаем, что р— аг>0. Если р— /а,; = п^ -f- . . .-\-(п[
—/)аг + - ¦ ¦ ~\-niai € Д(/>0), т°. поскольку существует ? =? i,
для которого пк > 0, мы имеем я, >• / и fi — /a, > 0. Q
B.6.2) Пусть g — полупростая алгебра Ли с подалгеброй Кар-
тана ?i, корневой системой Ac|j u фундаментальной системой
я cr Д. Пусть, далее, g — полупростая алгебра Ли с подалгеброй
Картана §, корневой системой А с: fо; и фундаментальной си-
системой псД. ?сли я зй я, то этот изоморфизм допускает есте-
естественное продолжение до линейного изоморфизма ср из ^ на fyo,
такого что ср (А) = А и
= (A,, |i> для А,, ц е Ы-
Доказательство. Предположим, что я = \alt
аг|
я = |а
г,
(
аЛ
и зададим ср равенством
Ф <Ла1 + ¦ • • Ч )
. . -f r,a, (г,-
Для любого элемента Р = пгах + ... Ч-
его высоту | р | формулой | р | == | пх + ..
+ | я, | и положим As = 5Р ^ А: | р | < s\
? А определим
я, | = | пх \ + ...
s = 1,2, ... Ясно,
| s 5Р ^ | р | \, , ,
что Ах = |+a: a ^ я} и As = А для достаточно больших s.
Аналогично определим А5. Докажем индукцией по s, что ср (As)
= A.s. Для s = 1 это очевидно. Поэтому предположим, что ср (As_x)
= Дг_х, и покажем, что ср (As) = A. (s > 2). Очевидно, достаточно
установить, что ср (As (~1 А+) сг А. Допустим, что Р ^ А, | f> \ ~ s
и р > 0. Согласно B.6.1), найдется элемент ас ? я, для которого
Р — «1=7 € А+^ Так как у ^ As_1, то по предположению ин-
индукции ср G) € As-i- Пусть 7 — /«/. ¦¦-. 7. 7 + а,, ..., у + ka;
есть (^-последовательность, содержащая 7. и пусть ср (у) — /а ,...
Ф Cy)> Ф G) Ч- а(, ..., ф (у) + йа(- есть агпоследовательность, со-
содержащая o_(y). Так как из равенства 7 = Tint^-t следует, что
ф (?) = Иъъ, то
(?¦ <*ч) _^ (ф(у). «,-)
(а,, а,:) ' (а?, а(-)
Применяя B.3,2), получаем k — j = k — /. Но из предположе-
предположения индукции следует, что / = /. Значит, k = k > 1 и ф (у)
+ а,. = Ф (р) ? "д.
Для доказательства нашего последнего утверждения мы вна-
вначале предположим, что система п неразложима. Тогда для любых
2.6. Классификация простых алгебр Ли 7Э
а, Р из я найдется такая последовательность ах = а, а2, ...,
а, = Р в я, что (а,-, а,-+1) =?& 0 при i = 1, 2, ..., f — 1. Поскольку
(а,, аг) _ (a,-, at-+1> _ (аг+1, ai+i)
(а,-, а,> ~ <а(, а,-+1) <а/+1, а,-+1) '
можно найти г ^ Q, такое что (а,-, а() = г (а,-, а;) для i = 1,
2, ..., t. Следовательно, (a, a) = г (а, ее) для всех a из п.
Так как
(а/,
_ (ау,
<а(-, а,) (а(-, а,-) '
то (а , а(.) = г (а/; аг> при i, / = 1, 2, ..., Л Значит, (ф
Ф ([*)> '= г (А,, [*> для A,, ix ? 1)о (см. упр. 2 § 2.5).
С другой стороны, согласно B.2.5), 6),
= Т
Поэтому г2 = г и г = 1. Таким образом, в случае когда система л
неразложима, (ф (А,), ф (jj,)) = (A,, jj,).
Если система я не неразложима, то она является объединением
своих попарно непересекающихся неразложимых подмножеств
я(г>, ..., я("\ Пусть ^о @ обозначает векторное подпространство
<1'\ i 1 2 Так как из условий «<г>
я, ..., я\ Пусть ^о обозначает векторное подпространство
в I)*, порожденное я<1'\ i = 1, 2, .... и. Так как из условий «<г>
^ яО, а</> 6 я(л. i ^ /' следует, что (а('>, а(')> =0, то Т)* ^
ортогонально к i)*i') и
Поэтому наша задача легко сводится к случаю, когда система я
неразложима. Q
Теперь займемся исследованием чисел Na, p, определенных
соотношением [Еа, Е$\ = Л^а,р?а+р при а, р, а + Р € А- Нам
уже известно, что Na>e^0, в силу B.3.3). Для удобства не-
несколько расширим определение чисел Naj p. А именно положим
А^ = о, если А,, ц е ft>, А, ^ 0, ц Ф 0, А, + ц Ф 0 и по крайней
мере один из элементов X, р, X + \х не является корнем. Напом-
Напомним, что Еа у нас выбраны так, что В (Еа, Е_а) = —1.
B.6.3) 1) Если а, р, у — ненулевые элементы из Ъо, удовлетво-
удовлетворяющие условию a + |5 + 7 — 0> то
2)
a, p\ 7. б принадлежат А ы
a + 7^0. сс+б^О, mo
= 0,

80 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
Доказательство. 1) Так как a + ji^O, $ -\- у ф0г a -}_ .у ^ о,
то Na,a> Л^р,7 и Ny,a определены. Если хотя бы один из элемен-
элементов «,{*,? не принадлежит А, то JVa,p = N&,v = JVv,.a = 0.
Мы можем поэтому предполагать, что а, р\ у ? А. Из равенства
В ([?в, ?р], ?J + В (?э, [?a, ?v]) = 0 получаем JVa,pB (?_v,
??) + Na.,yB (?g, ?_p) = — Na,p — iVa,v = 0. Следовательно,
Л^а, 13 = —Na,4 = Ny,a- Аналогично JV3, v = Na,a-
2)Яз равенства [Ea, [?p, ?v]] + t?g, [?v, ?«] 1 + [?v, [?e,
?p ] ] = 0 следует, что iVg, vJVa, 3+v + JVV, aJVg, 7H.6 -f JVe, giVv, a+3
= 0. С другой стороны, из того, что a + (Р + Y) + б = 0, сле-
следует, согласно 1), что Na, p+v = N6, a = —Na,b, и т. д. О
B.6.4) Предположим, что а, р u a + Р принадлежат А. Если
Р + ja (—/ < i j^: k) есть а-последовательность корней, содер-
содержащая Р, то
, a).
Доказательство. Пусть 7 = Р — /а и и, = (ad EaI Ey, i = 0, 1,
2, ... В формуле B) из доказательства предложения B.3.1) заме-
заменим X на 7, с на —а, k на / + 1 и получим
G, —а) g~
— — /«. a\ vi
(мы воспользовались тем, что —2 (р\ a)/<a, a) = /г —/).
Так как у, G 9 (Р) и у/ ^ 0. то У/ = г^э (г т^ 0)- Следова-
Следовательно, [E_J, [Еа, ?р ] ] = — 2 (/ + 1) k (a, a> Efi. С другой
стороны,
[Е_а, [Еа,
Поэтому Ma,
= — Na
_a,_p = -g- (/ + 1) /г <a, a). Q
B.6.5) Из каждого подпространства g (a) можно выбрать век-
вектор Еа таким образом, чтобы
1) В(Еа, ?^а)= -1; '
2) Л^,р - #..«,_ р при a, P <Е А.
Доказательство. Для 7 ? А+ положим Av = {а ? А: —7 < a <
< y}- Предположим, что условие 1) выполнено для всех a ? А
и что, если а, Р,а + Р принадлежат Av, то JVa,g = iV_a,_p.
Если в А7 найдутся элементы а, Р, такие что а + Р = у и
!?,,, ?«| - /V,,, „?v, l?_rii ?_ft| = Л/.и, ^B?_v,
2.6. Классификация простых алгебр Ли 81
то, обозначив один из квадратных корней из
положим
,3 через
И ?_v =
а, C
J-v
Тогда [?e, ?p] = ]/Ma,p?v и [?_a, ?_p ] = ]/Ma>g?lv. Так
как УИа>р = /Va,p/V_a,_,}, то В (?^, ?lv) = В (?v, ?_v) = —1.
Поэтому, изменяя, если надо, обозначения, мы можем считать,
что /Va>p = /V_a,_p.
Допустим, что в Av есть еще одна пара a', P', для которой
а' + р' = у. Докажем, что Na-,p' — Л^_а',_р'. Поскольку a + Р
4- (—а') 4- (—И = 0иа^а',а^Р',а + М0,мы можем
применить B.6.3), 2):
Л^а, fiN-*: _р- 4- Щ, -a'Na, _э. 4- Ли, «Л/р, _р. = О,
ли _Рл/аЧ р. 4- iv_p, «ли з- + U%_a.v_g,p, = о.
Так как а, р,сх'. Р\ очевидно, положительны, то, если какой-то
из элементов ±(Р — а'), ±(а — Р'), ±(а — о'), ±(Р — Р')
является корнем, он принадлежит Д„. Следовательно,
~ N
_ti,a'
нем, он принадле у д, $,
т.д. Кроме того, Na, & = N_a, _p ^= 0. Поэтому
Таким образом, наше утверждение может быть получено ин-
индукцией относительно упорядочения в А+. Q
B.6.6) Теорема. Пусть g — полупростая алгебра Ли с фунда-
фундаментальной системой корней я и g — полупростая алгебра Ли
с функциональной системой корней я. Если л з* я, то g ^ g.
Доказательство. Мы сохраняем обозначения из B.6.2). Определим
линейное отображение 9 из ^ в lj условием ср (X) (Q (#)) = X (Н)
при Н ? 1j, А- ? 1}о- Ясно, что 0 является изоморфизмом и
(9 (tfj, 9 (Я2)> = (Ях, Я2> при ЯХ) Я2 G Ь (в силу B.2.5)).
Предположим, что
^ +¦¦-,
g = Т) 4- РЕа 4- РЕ_а 4-
[Я, ?а] = а (Я) ?а (Я
[?О1 ?р! = Л^а> |3?а+р, Л/а
р
|), [?а, ?_а] = — Яа (а ? А),
== #_«, _р, если а, р, а4~Р 6 А.
Так как ф (А) = А, то
g =| 4- Р~Ё, + Р?_
[6 (Я), Ё,х] = а (Я) ?« (Я
_а] = -6(Яа) (о 6 А),
-= ^,,v?ai|i, ^«,» -= ^ .„, .р, если а. р, a I p f Д.

/*,/. 2. Пилуupucitwin исгебры Ли
Пусть р1 -I ¦ ia ( -/ < i < It) есть а-последовательность, со-
содержащая р. Тогда ф (р) + 1ф (а) (—/ < i < k) будет ф (^-по-
(^-последовательностью, содержащей ф (Р). Следовательно,
~i (а, а),
и, значит, Л/ы,р = ±iVa, р.
С помощью индукции, основанной на рассмотрении мно-
множеств Av, как в доказательстве теоремы B.6.5), мы докажем
сейчас, что, заменяя некоторые из элементов Еа, Е_а на —Еа,
—Е_а, можно добиться равенства Na, g = Wa,p. Предположим,
что Na>$ = Nat$, когда а, р, а + р принадлежат Av. В слу-
случае, если а -f- р = 7 и Л^а,р = —Л^а,р, положим Е'у = —?v,
?l ? [Е Е\ ЫЕ [? ? ]
7 ,р
?lv = —?_7 и получим, что [Еа,
у
у и [?_«,
= —Ыа>рЕ'-у. Поэтому мы можем считать, что iVa, g = Л^а,р.
Если {«', Р'} — другая пара, для которой а' + р" = Y, то,
используя B.6:3), 2), можно показать, что iVa'_ р» = iVa'F p-,
аналогично тому, как это было сделано при доказательстве пред-
предложения B.6.5).
Итак, мы можем предполагать, что Nai$ = Na>$. Тогда отоб-
отображение Я -> 9 (Я) (Я ^ |) и .Еге -> Еа (а ? Л) определяет
изоморфизм алгебры g на g. Q
B.6.7) Пусть $ — полу простая алгебра Ли с подалгеброй Картана
I) м Дс|0* — корневая система. Пусть, далее, ф — линейное
преобразование в f)o, такое что ф (А) = А. Тогда преобразование 0
«з gl (Я), определенное формулой
Ф (Я.) (9 (Я)) = Я, (Я), Я ИД 6 Й,
может быть продолжено до автоморфизма алгебры д.
Это прямо следует из доказательства теоремы B.6.6).
Упражнение. Доказать, что в алгебре g существует базис, относительно кото-
которого все структурные константы рациональны.
[Набросок доказательства. Пусть \ах, ..., at\ —фундамен-
—фундаментальная система корней. Выбирая подходящие ?а из g (a), полу-
получаем искомый базис Яя , ••-, HrjiJ, Ea, Е_а, ... (используем индук-
индукцию, как в B.6.5) и B".6.6)): 1
2.7. Классические простые алгебры Ли
На протяжении этого параграфа мы будем предполагать, что
поле Р алгебраически замкнуто и char Р = 0. Согласно §§ 2.5
и 2.6, классификация простых алгебр Ли над Р будет завершена,
2.7. Классические простые алгебры Ли 83
если мы сможем для каждой из диаграмм Дынкина, перечис-
перечисленных в B.5.5), построить обладающую ею простую алгебру
Ли. Такие алгебры были известны уже с конца прошлого столе-
столетия; позднее Хариш-Чандра нашел систематический способ их
построения. (Подробности можно найти в книге [Джекобсон ],
гл, VII.) Здесь мы оставляем в стороне «исключительные алгебры
Ли и изучаем лишь «классические», отвечающие диаграммам At;
Bi, Ci и ?>,.
Обозначим через Е(]- матрицу, у которой на (i, /)-м месте стоит 1,
а на остальных 0. Далее, пусть \п обозначает единичную матрицу
из gl (n, P).
(А) Специальная линейная алгебра Ли й (/ + 1, Р) (I :> 1).
Перечислим основные из полученных нами результатов об этой
алгебре.
Эта алгебра действует неприводимо на Pl+l, проста и имеет
размерность (/ + 1)а — 1 = 1% + 21. Алгебра
= sdiag (/ + 1, Р) =
:С
,,: х, -| \- xl+l = 0
служит ее подалгеброй Картана. Будем писать (х,, ..., xi+{) вме-
вместо Sjc/?//. Определим е, ^ [)* формулой
'¦ ^
Тогда
а
ad (хг, ..., х,+1) Etj = (Xi — X:) Ец (I Ф }),
я
{ег — еу: 1ф
{а,-= е, — е,
Элемент (xlt ..., л^+]) ? t) регулярен тогда и только тогда, когда
все Xi различны. Имеют место равенства
В (X, Y) = 2 (/ + 1) tr XY,
1
2 (/ -4- 1)
@, ..., 0, 1, — 1, 0, ..., 0) A на J-м месте).
Следовательно, мы можем вычислить <а,-, а,-} — В (j
= 2 (f + 1) tr Яа/Яву:
i . __ .
т+Т' '-'¦•
1
(а,, а,-) =
о,
Таким образом, диаграммой Дынкина системы л является At.

84 Гл. 2. Полупростые алгебры Ли
Далее, рассмотрим представление
jjl(л, Р)Э X^f (X) е 8l(gl(я, />)),
(см. упр. 2 и 3 § 1.2) и для ф ? gl (я, Р) положим
Ясно, что / (ф) есть подалгебра в gl (ft, P). Если элементы и,
v ? Рп рассматривать как векторы-столбцы, то *ищ является
билинейной формой, и, обратно, всякая билинейная форма на Рп
имеет такой вид. Поэтому, полагая
Ф (и, v) = lu(fv,
мы получаем, что
/(Ф) = |Х ? gl(rt, Р): Ф(Хи,и) + (р(и
В этих обозначениях имеем
= &p(n, P)c=gIB/7,
где
•Л, =
— In
О
Для доказательства того, что эти алгебры полупросты, нам по-
понадобится следующее предложение:
B.7.1) Пусть ф — невырожденная симметричная или кососим-
метричная билинейная форма на Рп. Если п > 3, то I (ф) дей-
действует неприводимо на Рп.
Доказательство. Предположим, что / (ф) оставляет инвариантным
ненулевое некоторое подпространство W, и пусть 0 ф w ? W.
Пусть, далее, и ? (Pw)x. Так как форма ф невырожденна, то
найдется элемент v ? Рд, для которого ф (v, w) ф 0. Тогда
линейное преобразование
X: х 1—> ф (х, и) v т— ф (и, х) «
принадлежит / (ф), поскольку
Ф (Хх, у) + ф (л:, Хг/) = ф (ф (х, и) v — ф (о, л) «, г/)
+Ф (х, ф (г/, и) v — ф (о, у) и)
= —ф (у. х) ф (и, г/) + 9 (У, ") Ф (-V. у) "^ °.
в силу предположения о симметричности или кососимметрично-
кососимметричности ф. Так как Xw = —(v, w) «, ф (v, w) Ф 0 it W инвариантно
относительно X, то « ^ IF, т. е. (Pw)x cz W. Отсюда следует,
2.7. Классические простые алгебры Ли 85
что dim W >¦ п — 1. Если бы dim W — п — 1, то мы имели бы
W — (PwI- я Шх= Pw. Поскольку dim W = п — 1^-2иш —
произвольный ненулевой вектор из W, это невозможно. Следо-
Следовательно, W = Рп. Q
Так как о (п, Р) П Р1п~0, то, в силу B.7.1) и A.4.11),
алгебры Ли
о(п, Р) (п > 3) и вр (/г, Р) (п > 2)
полупросты. Далее, поскольку о (п, Р) состоит из двух кососим-
метрических матриц, dim о (п, Р) = п (п — 1)/2.
(В) Ортогональная алгебра Ли о B1 + 1, Р). Для того чтобы
найти подалгебру Картана в удобной форме, мы вначале при-
приведем форму 13/+1 (х, у) = } ?=oxtyi к виду ф (х, у) = ходо
X ' ) с помощью линейного преобразования
'
=1 (*i9i+i +
о = -Vu, Xi =
V2 ^
Другими словами, положим
A < i < /).
0
0
О
О
1/
о
1/
о
о
о
о
I
Т1'
2г
ясно, что 5 г = 'S, т. е. S является ортогональной матрицей,
и 5~]ф5 = 1а/+,. Далее, легко видеть, что
Так как / (ф) - {X ? gl B/ + 1, Р): 'Хф + ФХ = 0}, то
/0 ^а ^ \ а, Ъ 6 Я',
/(ф) =_UB ]: Л, В, С е 81 (/, Я),
\__а С — М/ 'В = —В,'С= —'
Обозначим через (хц ..., JC/) элемент алгебры t (ф), для которого А
является диагональной матрицей с диагональными элементами
хх, ..., JC/, а б, С, a, b равны 0. Пусть b обозначает абелеву ал-
алгебру Ли, состоящую из всех (xlt ...,xt).

Гл. 2. Полу простые алгебры Ли
Далее определим
Ее условием bL = 1,
?_К/ условием at = 1,
ESi+&/ условием В = Еп - Еп, |
E-(ei+ej) условием C — E^ — Eji )K
?8._в. условием Л=?,7 (^Ф\)
(причем предполагается, что остальные элементы равны 0). Тогда
[Е+е., Е±Е.±е. (i Ф /Н является базисом в / (ср) по модулю lj и
(*)
e_ = ±xiE±S[,
ad(.v,, ...,
Отсюда, в частности, следует, что нормализатор алгебры § сов-
совпадает с ней самой, так что % — подалгебра Картана. Далее,
А = |±е,-, ±е,- ± е, (i Ф })\ есть корневая система относи-
относительно f).
Положим
а1 =8, —8.,, а, = е, — е3, .... а,_, = е,_( — еь а, = 8,.
Тогда
«/ (i <
У),
(У < 0.
8,. — 8у = aL + «/+1 -f •
е,- — е/ = — (а; -f а/+1
±е/ = ±((е( —е,)+ е,),
± (е; + еу) = ± ((е., - 8,) + (е; - е,) + 2е,) И Ф }).
Следовательно, каждый корень является линейной комбинацией
корней аъ ..., аг с неотрицательными или неположительными
целыми коэффициентами. Значит, п = \ах, ..., аД — фундамен-
фундаментальная система корней.
Далее, для любого Н = (х1г ..., xt) ^ i) имеем, ввиду (*):
В(Н, Н) = 2 ( У х\ + У ({Xl f x,f
= 2 B/ - 1) Г -v? = B/ - 1) tr Я2,
2B/-l) @, ...,U, 1,-1,0, ...,0), i<t,
{I на t'-м месте)
0-757—П @, .... 0, 1), t = /,
2.7. Классические простые алгебры Ли 87
oT57 n' J -1>
' 0, | i - / | > 2,
(а,-, а,-) =
21— 1
i = i.
2B/— 1)'
Отсюда видно, что диаграмма Дынкина алгебры / (ср) совпадает
с В[. Следовательно, алгебра о B1 + 1, Р) s ! (ср) проста. В силу
упр. 5 § 1.5,
В (X, Y) = B1 — 1) tr XY.
(С) Симплектическая алгебра Ли йр (/, Р) (I ~z> 1). Имеем
ёр (/, Р) = {X G gl B/,- Я): tXJl + ^Х = 0}
): Л, В, С
Согласно замечанию, следующему за B.7.1), алгебра 8^ (/, Р)
полупроста и неприводима для всех / >¦ 2 и йр A, Р) = 81 B, Р).
Далее,
dim 8^ (/, Р) = Р + 2 (/+21И = 2/2 + 'f-
Положим
(х,, ..., х/) =
.0
01
— ч
Ее.+е.
0
Ef -o, •=
0 ?i;
о о
?,;- 0
0 —
0,
Тогда

Гл. 2. Полу простые алгебры Ли
Отсюда видно, что 1j = {(xlt ..., х^] является подалгеброй Кар-
тана.
ПОЛОЖИМ ах = 8Х — 82, ..., (Xl_1 = 8Ul 8j И а, = 28;.
Тогда 8; — 8;- == а,. + ocm -f • • • + «/-i (i < /),
е. _ 8/ = _ (a/ _|_ a/+i _| [_ q,.^) (/- < ^
±(8, + 8;-) = ± ((8, - 8,) + (8, - 8,) + 28,;.
Следовательно, n = \alt ..., a,}—фундаментальная система корней1.
Для Я = (хъ ..., xj) имеем:
В (Я, Я) = 2 ?
<¦• i
, + *,)
2 ? fo - */)
= 2 B1 + 2) Ц jc? = B/ 4- 2) tr.
4(Д1} (О, О, ..., 0, 1,-1,0, ...,0), i<l,
A на t-м месте)
t - /;
(«/, «;> =
<а„ о,> =
— 1
— 1
2A
2A
I i - /I > 2,
t < /,
t =
Отсюда видно, что диаграмма Дынкина для {а1; ..., at\ совпадает
с С; и алгебра 85р (/, Р) проста. Следовательно, также
В (X, Y) = B/ + 2) tr ХУ.
(D) Ортогональная алгебра Ли о B/, Р) (I >> 3). Большая часть
рассуждений, относившихся к алгебре о B1 + 1, Р), проходит
и здесь. Отметим только различия. Мы полагаем
0 ¦ 1,
U 0
V
и получаем, что 5 хф5 = 12г и S Ч (ф) = о B/, Р), где / (ф) —
совокупность матриц вида
(А В \
), А,В,С € Я1 (Л Я), -'В + В = 0, 'С Ч- С == 0.
2.7. Классические простые алгебры Ли 89
Далее рассматриваем / (ф). Пусть
(xv ...,х,) =
о
х,
0
и ?±e.±e.(i =7^=/) определены аналогично предыдущему.
Тогда
ad(^, ..., xi)E±E.±e. = (±xi+xj)E±ei±e..
Следовательно, ^ — подалгебра Картана и
А = |±е(.±8у: 1 < i, j <¦ I, i ф j\
— корневая система. Полагаем
я = \aL, ..., at\,
аг = е1 — е2,
Из формул
= е,_, — ег, а, =
о, + «/
h «/-1.
/.
± (е, + еу) = ± ((е, - е,_г) 4" (8/ — е,) 4" i^i-i + 8/))> 1' < />
видно, что я — фундаментальная система.
Для Я = (хъ ...,xt) имеем:
В (#, Я) = Б (±х(.±х;J = 2 B/ - 2) Ц х! = B/ - 2) tr Я2,
1 -@, .... 0, 1,-1,0, -,0), К1,
— 2) (fj
@, ...,0, 1, 1), i = l,
2 B/ — 2)
1
2 B/ — 2)
0,
j
2 B/ — 1)'
j
2 B/ — 2)'
0,
1
2/ —2 '
1 = 1-2, / = '/,

90 Гл. 2. Полу простые алгебры Ли
При / = 1 эта алегбра Ли одномерна. При / = 2 имеем /а1, а2)
= 0, и диаграммой Дынкина является ° о .
Следовательно,
оD, Р)г*Аг ф Av
Если / :> 3, то я неразложима и о B/, Р) — простая алгебра
типа Dt. Заметим, что D3 = Л3. Имеем
В (X, Y) = B/ — 2) tr ХК.
Размерности простых алгебр Ли представлены в следующей
табличке:
Алгебра Ли
Размерность
А1
(/+1J-1
Bl
2/2 -f/
С/
2/2 + /
2/2 — /
G2
14
52
я»
78
133
Es
248
Упражнение 1. Показать, что 31 B, Р) ss о C, Р) зё Зр A, Р), о E, Р) ss Зр B,
Р), о F, Р) ss 31 C, Р).
Упражнение 2. Разложить о D, Р) в прямую сумму всех простых идеалов.
Приложение. Исключительные алгебры Ли
Пусть g — алгебра Ли (над Р), порожденная (как линейное
пространство) множеством {#,-, Е±х., Ех.-х' 1 < i, / < 3, i Ф /},
где Ях + Я2 + Я3 = 0 и A-j + А-а + Х3 = 0, причем умножение
определено следующим образом:
у-
[H,, H±%.\ = +4-
= ± -g- E
Приложение. Исключительные алгебры Ли 91
где i, /, & попарно различны и jx (i, /, /fe) = —1 или 1 в зависи-
зависимости от того, образует ли тройка (i, /, k) нечетную или четную
перестановку тройки A, 2, 3); далее,
\ЕЧ, E.h\ = - Я, (i = 2, 3), [?Xi, ?A] = Я1;
= И,
t для (t. /) = B, 3) или C, 1),
все остальные произведения равны нулю, если их значения не
получаются непосредственно из приведенных выше формул.
Тогда g — простая алгебра Ли и § = РЯХ + РЯ2 — ее под-
подалгебра Картана. Полагая кг = е2 — е3, Я2 = е3 — ег, Ъ3 = ех—е2,
получаем
Д = \ер~ ед, ± (8р+-ед — 2ег): р, q, г = 1, 2, 3|,
я = {«! = ех — е2, аа = е2 + е3 — 28^,
так что g — алгебра Ли типа G2.
Для исключительных алгебр Ли типа Е и F мы лишь выпи-
выпишем корневые системы и фундаментальные системы (ниже е1,
8.2, ..., — некоторая ортонормированная система и е(8> = ег + ...
+ е8):
Ей: А = (ер — е?, (ер + г„ +- 8r — es — ef — еи±]/2е7)/2,
± j/2e7: р, ..., ы = 1, ..., 6},
я = {а,- = е,- — 8;+1, ав ==.(— ех — 8.3 — е3 +- е4 +- е5 + е6
+-1/2е7)/2: i=l, ..., 5);
?7: Д = \гр — гд, {г,, +¦ гч +- гг +- es — е, — е„ — е„ — еш)/2: р, ..., ш
= 1 8V,
я = {а, = е, — ei+1, а7
= (— 8Х — 82 —• 83 — 84 + 85 +- 88 +¦ 87 + 88)/2: 1=1, ...,Ь\;
Es: А = [±8„±е„ ± (-j- е<8) - ер) , ± (^ ^(8) - 8Р - е, - ег):
р, q,r= 1, ...,
л = |а, = 8; — е(+1, а8 = g- е<8) + ев + е7 +• е8:
±8?1 -|-(±е1±82±е3±84): p,q=l, ..., 4J,
= 1ах = еа, а, =
-у (— ег — е2 -f e3 +• е4),
а3 =-- е3 — е3, сц = 83

Глава 3
КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР ЛИ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
3.1. Когомологии алгебр Ли
Пусть Р — поле, L —- алгебра Ли над Р, V — векторное про-
пространство над Р и (V, /) — представление алгебры L. Будем
называть V-коцепью размерности q алгебры L всякое ^-линейное
знакопеременное отображение с: L X... X L —*¦ V. Напомним,
что полилинейное отображение с называется знакопеременным
(альтернирующим), если с (Хх, ..., Хд) = О, в случае когда
X,- = Xj для какой-нибудь пары индексов i, /, 1 < i < / < q.
Заменяя Xt и X, на Х(- + Xj, мы видим, что с удовлетворяет ус-
условию
i I i i
c(Xlt ..., Xh ..., Xj, ...*Xg)-\-c_(Xlf ..., Xj, ..., Xt, ..., Xq) = 0.
Пусть Cq — О (L, V) обозначает векторное пространство всех
У-коцепей размерности q, q = 1, 2, 3, ... . Кроме того, положим
С0 (L, V) = V. Определим линейное отображение d: С9 (L, V)
(L, V) (q = 0, 1, 2, ...) формулами
dc (X) = / (X) с, если с € С0 (L, V),
dc(Xlt ..., Xm) =
Jj
A)
I. если с С С"(L, V),q>0,
где шляпка означает, что соответствующий член должен быть
пропущен. Легко видеть, что dc ? Cq+l (L, V).
Докажем, что dd = 0. С этой целью мы вначале введем опера-
операторы 6 (X) и i (X) для X 6 L. Для каждого q оператор 9 (X) —
это эндоморфизм пространства Cq (L, V), заданный формулами
( 9 (X) с = / (X) с, если с С С0 (L, V),
F(Х)с)(Х1, ... , Х,) = /(Х)/с(Х1, ..., X,))
B)
— l-c(Xlt ..., [X, X,],..., X,),
если с
С" (L,
5./. Когомологии алгебр Ли
93
оператор i (X) —-это линейное отображение из Сд (L, V) в
С* (L, V) (мы полагаем С (L, V) = 0), заданное формулами
i(X)c = 0, если с G C°(L, V),
C)
<7>0.
если с
Непосредственные вычисления дают:
D)
E) ...
для любых X, У ? L. Докажем следующее равенство:
F) е ([х, у ]) = е (X) е (У) - е (У) е (X) (X, у е Ц.
С этой целью положим S (X, У) = 6 ([X, У]) — F (X) 6 (У)
— 6 (У) 6 (X)) Если с е С° (L, V), то
S (X, У) с = / ([X, Y])c-(f (X) f (Y)-f(Y) f (X)) с = 0.
Предположим, что S (X, У) О4 (L, V) = 0. Для с ? С" (L, V)
и 2 ? L, применяя повторно E), получаем-
i B) (9 (X) 6 (У) с) = @ (X) i B) - i ([X, 2])) 6 (У) с.
- е (X) (G (У) i B) - i ([У, 2])) с - е (У) (ь [X, 2] - i ([У, [X, 2])) с
= 8 (X) е (У) i B) с - е (У) i ([X, z\) с — е (X) i ([У, 2]) с
+ i ([У, (X, 2]]) с.
Так как i B) с ? С"-1 (L, К), то
- е (X) е (У) i B) с ~ 9 (У) е (X) i (Z).c + (i ([^, ix, 2]])
- v ([X, [У, 2])) с
= е ([X, У]) i (Z) с - i ([[X, У], Z]) с = i B) е цх, yj) с.
Следовательно, i B) E (X, У) с) = 0 для всех 2, и, значит,
5 (X, У) = 0. Тем самым F) доказано.
Докажем теперь индукцией по q формулу
G) de (X) = 0 (X) d (X 6 L).
Для с ? С° (L, V) имеем
F (X) dc) (У) = / (X) (dc (У) - dc ([X, У]))
= / (X) / (У) c-f(\X,Y])c = f(Y)f(X)c
- (de (X) с) (У)

94
Гл. 3. Когомологий алгебр Ли и их применение
Предположим теперь, что d'i (X) с = 9 (X) dc для с ? Cq~l (L, V),
и возьмем с ? Ci (L, V). Для Y ? L, используя D)—F), получим
i (Y) (de (X) — е (X) d) с = (9 (Y) — di (У)) е (X) с
¦f (i (U, y]) — е (X) i (г)) dc = е (г) е (X) с
+ d (I ([X, Г ]) — 6 (X) i (Г)) с + F ([X, Y)
— di ([X, Г ])) с — 9 (X) F (У) — dx (Y)) с
= F (X) d — dG (X)) (i (Y) e) = 0.
Поскольку Y — произвольный элемент алгебры L, мы заклю-
заключаем, что (d8 (X) — 8 (X) d) с = 0. Таким образом, формула G)
доказана.
Теперь будем доказывать равенство
(8) ddc = 0 для с е С" (L, V),
снова применяя индукцию по д. Для с ? С0 (L, V) имеем
~ {ddc) (X, Y) = / (X) {dc {Y)) - / {Y) {dc (X)) - dc {[X, П)
= / (X) (/ (Y) с) - f {Y) {f (X) c)-f{[X,Y])c = 0.
Далее, допустим, что (8) выполняется для q — 1, и возьмем
с <Е О (L, V). Для X ? L, в силу D) и G),
i (X) {ddc) = (9 (X) — di (X)) dc
= d9 (X) с — d F (X) — dx (X)) с = dd{i (X) с) = 0,
и, значит, ddc = 0.
Назовем коцепь z ? С (L, V") коциклом, если dz — 0. Пусть
Zq (L, /) обозначает совокупность всех коциклов размерности д.
Положим также dC'1 {L, V) = В* (L, /) (пространство когра-
кограниц). Ясно, что Z* (L, /) и В* (L, /) — векторные подпространства
в С" (L, V), причем Z* (L, /) zd В" (L, /), поскольку dd = 0.
Факторпространствог? (L, /)/B" (L, /) = Я" (L, /) (^r = 0, 1, 2, ...)
называется пространством q-мерных когомологий алгебры L
относительно представления {V, /).
Упражнение 1. Н° (L, /) = 0 тогда и только тогда, когда из / (L) v = 0 (v ? V)
следует, что v = 0. В частности, Я0 (L, ad) = 0 тогда и только тогда, когда
центр г (L) алгебры L равен 0.
Упражнение 2. Z1 (L, ad) = der (L), Bx (L, ad) = ad (?). Следовательно, ал-
алгебра L яолна тогда и только тогда, когда № (L, ad) = Я1 (L, ad) = 0.
Упражнение 3. Пусть V — одномерное векторное пространство, а / — триви-
тривиальное представление, т. е. / = 0. Обозначим соответствующие пространства
когомологий через Hq (L, 0). Тогда
tf°(L, 0) =Р, dim m(L, 0) _ dim (/•./?'").
r^ 2. Применения теории когомологий
У5
Показать, что в этом случае можно, используя грассманово умножение в XqCq (L,
Р), определить умножение в Н* (L. 0) =- ^:,Н'1 (L, 0) так, что Н* (L, 0) станет
ассоциативной алгеброй.
3.2. Применения теории когомологий
(А) Полная приводимость. Пусть V — векторное пространство
над полем Р, L — алгебра Ли и /: L ->¦ gl (V) — ее представле-
представление. Предположим, что существует векторное подпространство U
в V, такое что / (L) U с: U. Подберем векторное подпространство
W с V так, чтобы V = U @ W (прямая сумма). Тогда для лю-
х е l, и е и и w e w
A)
f{X)u = fx (X) и,
(X) w,
где g (X) w ? U и f2 (X) w ? W, так что мы имеем линейные
отображения /х: L -> gl (U), /2: L -> gl (Г) и g: L -> Нот (Г, ?/).
Из того что / — представление, сразу следует, что
B) /х и /а — представления,
C) g([X,Y]) = fx (X) г (Г) - g-(Г) /а (X) - /, (У) gr (X)
причем верно и обратное. Точнее:
C.2.1) Утверждения B) и C) справедливы тогда и только тогда,
когда отображение f, определенное формулами A), есть пред-
представление.
Пусть теперь W' — произвольное подпространство в V, до-
дополнительное к U. Тогда W = A + h) W, где 1 —тождествен-
—тождественное преобразование W и h ? Нот {W, U). В самом деле, если
до' ? №', то w' = « + ш, где элементы и ^ f/ и до ? IF одно-
однозначно определяются по а/. Поскольку отображение W Э ^'
ь-> ш ^ W взаимно-однозначно, мы можем положить и = h {w).
C.2.2) Яры h ^ Horn (IF, f/) подпространство (I -\~ h) W тогда
и только тогда инвариантно относительно f (L), когда
D) Л о/, (X) — /х (X) о /г = g (X)
Доказательство. При w ? W и X ? L . имеем / (X) (да + hw)
= g {X)w + f2 (X) w + /x (X) Лш. Так как ^ (X) да + /x (X) hw
6 tf и /2 (X) до G W, то g (X) да + /x (X) to = hf% (X) да, если
/ (X) (до + hw) ? №'. Обратное очевидно. Q
C.2.3) (Упр. 2 § 1.2) Положим
F (X) s = /i (X) s — s/2 (X) (Зу?я A" ^ L u s ^ Horn
{/).

96
Гл. 3. 1(огомологии алгебр Ли и их применение
Тогда (Horn (W, U), F) — представление алгебры L,
C.2.4) Отображение g из Нот (L, Нот (W, U)) ]= С1 (L,
Нот (W, U)) удовлетворяет условию C) тогда и только тогда,
когда оно принадлежит Z1 (L, /).
Доказательство. Имеем
(dg) (X, 7) = F (X) g(Y)-F G) g (X) -g([X,Y])
= /i W g(Y)-g (Y) h (X) - h (Y) g (X)
~g([X, Y\).
Следовательно, (З) выполняется тогда и только тогда, когда
dg = 0. Q
C.2.5) Пусть g ? Нот (L, Нот (W, U)). Для того чтобы суще-
существовало отображение h, удовлетворяющее равенству D), необ-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие g ? В1 (L, F).
Доказательство. Если h ? Нот {W, U), то
(dh) (X) = F(X)h = h (X) h - hh (X). D
Итак, мы доказали следующую теорему, играющую основную
роль в доказательстве полной приводимости некоторых пред-
представлений:
C.2.6) Теорема. Пусть (V, /) — представление алгебры Ли L
и U — подпространство в V, инвариантное относительно f (L).
Положим /х = /у и /2 = /V/и- Тогда формула
F(X)s = h (X) s - sft (X),
где X ? L, s ? Horn (V/U, U), определяет некоторое представ-
представление алгебры L; если Н1 (L, F) = 0, то найдется векторное под:
пространство W' в V, такое что V = U ф W (прямая сумма)
и /(L) We W.
(В) Расширения с абелевыми ядрами. Пусть Е и L — алгебры
Ли над Р. Предположим, что существует сюръективный гомо-
гомоморфизм F: Е —*¦ L, ядро которого V = F~y @) абелево. Линей-
Линейное отображение г: L -*¦ Е называется сечением, если F о г = id,
где id — тождественное отображение (L на себя). Определим
отображение / : L -*¦ gl (V), полагая для X ? L и v ? V
f(X)v= I
Если г' — другое сечение, то F (г (X) — г' (X)) = X — X = 0,
откуда г (X) —г' (X) ? V и, следовательно, [г (X), у] ¦= \r' (X), v\,
т. е. / не зависит от выбора г.
3.2. Применения теории коеомологий 97
C.2.7) (V, f) — представление алгебры L.
Доказательство. Для X, Y ? L и v ? V
(f(X)f(Y)-f(Y)f(X))v
= [г (X), [r(Y),v\] — lr(Y), [r(X), v]]
С другой стороны, так как F (г ([X, Y}) — [г (X), г (Y)]) = 0, то
г (IX, Y])— 1г (X), г (Y)} е V. Следовательно,
\{r(X),r(Y)],vl = [г ([X, Y]),v] =/([X, Y])v Q.
C.2.8) Определим отображение g: L X L ~> V формулой.
g (X, 7) = [г (X), г, (У) ] - г ([X, У ]).
Мы. будем называть g факторкоциклом, соответствующим се-
сечению г.
Доказательство. По определению, g (X, X) = 0, т. е. g ? Ca (L,
V). Для любых X, У, Z ? ?- имеем
dg (X, Y, Z) = / (X) gr (у, Z) + / (У) g (Z, X) + / (Z) g (X,
У) - g ([X, Г]-, Z)-g ([Y, Z], X)-g ([Z, X], Y)
= [r (X), [r (Y), r (Z))]~[r (X), r ({Y, Z})
+ lr(Y), [r (Z), r (X)]] - lr(Y), r([Z, X])
+ [r (Z), MX), r (Y)]] — lr (Z), r ([X, 71I
- [r ([X, 71), r (Z)} + r ([X, Y] Z\) - [r ([7, Z])'
r (X)} r + (MY, 7Л, XI) — [r([Z, XI),
r G)] + r ([\Z XI, 7]) = 0. D
C.2.9) Пусть rx и ra — сечения, a gx я gz — соответствующие
факторкоциклы. Тогда gx —g2 G B2 (L, f).
Доказательство. Положим h (X) = rx (X) — r, (X) для X ? L.
Тогда h ? С1 (L, V). Для X, Y ? L имеем
ft (X, 7) = [rx (X), n G) 1 - rx ([X, 71) = [r2 (X) + h (X),
r2 G) + h (Y)]—rz (IX, Y])—h([X, Y])
= ([r2 (X), r, GI - rs ([X, 71)) + ([Л (X), r2 GI
+ [r2 (X), Л GI -/г([Х, 71))
= g-2 (X, 7) + dh (X, 7). Q .
4 M. Гото. Ф. Гроссханс

98
Гл. 3. Когомологии алгебр Ли и их применение
Определение. Пусть V — векторное пространство, L — алгебра
Ли над полем Р, и пусть задано представление (V, /) алгебры L.
Будем называть расширением (алгебры L), принадлежащим \L (V,
/)}, всякую пару (Е, F), такую, что
1) Е — алгебра Ли над Р;
2) F : Е -v L — эпиморфизм;
3) F-1 @) = V — абелев идеал з Е;
4) для любого сечения г функция /, определенная равенством
f (X) v = [г (X), v] для X ? L и v ? V, совпадает с данным пред-
представлением.
Два расширения (Elt F^ и (?2, F2) называются эквивалент-
эквивалентными, если существует такой изоморфизм 9 алгебры Ех на ?2, что
Qv = v при v ? V и F2-9 = Fx.
Обозначим через \ L, V, f | множество всех классов эквивалент-
эквивалентности расширений, принадлежащих \L, (V, f)\.
C.2.10) Для любого g ? Z2 (L, /) существует пара (Е, F), такая
что g является факторкоциклом, соответствующим некоторому
сечению.
Доказательство. В прямой сумме Е = L ф V определим умноже-
умножение формулой
lt vj, (Xt, v2)} = ([Xx, X2], / (XJ vo - f (Xa t»! + g (Xlf X2)).
Тогда Е становится алгеброй Ли, a V — абелевым идеалом в Е.
Отображение F : (X, v) -*- X является гомоморфизмом Е на L.
Определим сечение г, полагая г (X) = (X, 0). Тогда [г (X),
r(Y)] -([X, Y],g(X,Y)) =r([X, Y]) + g(X,Y). Q
Используя полученные выше результаты, докажем следующую
важную теорему;
C.2.11) Теорема. Существует взаимно-однозначное соответствие
между \L, V, /| и Я2 (L, /).
Доказательство. Возьмем. произвольный элемент из | L, V, /|,
выберем в этом классе эквивалентности какого-нибудь представи-
представителя и зададимся некоторым сечением г. Согласно C.2.8), этому
сечению г отвечает определенный факторкоцикл g. Если расшире-
расширения (?1; Fx) и (?2, F2) эквивалентны, гг и гг — сечения и gx, g2 —
соответствующие коциклы, то, как нетрудно проверить, модифи-
модифицируя доказательство C.2.9), gi —g2 ^ В2 (L, /). Таким образом,
построенное отображение из \L, V, f\ в Н2 (L, f) определено кор-
корректно. В силу C.2.10), оно сюръективно.
Покажем, что это отображение взаимно-однозначно. Пусть
коциклы gi соответствуют сечениям гс расширений (?,-, Ft), i =1,
2, и gi~-g2 € В2 (V, f). Мы хотим доказать, что расширения
3.2. Применения теории когомологий 99
(Е1, Fx) и (?2, F2) эквивалентны. Предположим, что gx — g2 = d/i,
где /i^C1 (L, У) = Horn (L, V).
Заметим, что Ес = г,- (L) ф У (прямая сумма векторных про-
пространств) для i = 1, 2. Определим 9 : Ег -*- Е2 равенством
E) 9 (гх (X) + v) = г2 (X) + (Л (X) + и) для X Е L, у ? V.
Ясно, что отображение 9 линейно и 9 = id на V. Если г2 (X)
+ (h (X) + и) = 0, то X = 0 и v = 0, так что 9 взаимно-одно-
значно. Из E) следует также, что F± (rx (X) + v) = F29 (гг (X)
+ у) = X. Поэтому достаточно доказать, что 9 — гомоморфизм
алгебр Ли.
Для любых X, Y ? L я и, v ^ V имеем
9 ([/-! (X) + и, г, (Y) + у]) = 9 ([/-! (X), rx (Y)} + / (X) и
- / (У) и) = 9 (gl (X, У) + г, ([X, У]) + / (X) v-
-/(У) и) =г2 ([X, У]) + (/i ([X, У-]) +gl (X, У)
+ / (X) v - f (У) и) = [г2 (X), г2 (У)] -?Я (X, У)
+ /г([Х, У]) +?i (X, У) + / (Х)у-/ (У) и
(последнее равенство следует из E)). С другой стороны,
gl (X, У) -ft (X, У) = dh (X, У) = / (X) h (У)
—/(У) А(Х) — h({X, У]).
Следовательно,
9 ([/-! (X) + и, г, (У) + v]) = [гя (X), г2 (У) ] + / (X) h (У)—
¦ - / (У) Л (X) + / (X) v - / (У) и = [г2 (X)
г2 (У)] + / (X) (h (У) + и) — / (У) (h (X) + и)
- [га (X) + Я (X) + и, гя (У) + /г (У) + v\ =
и), 6(Г1(У) + иI. D
Определение. Расширение называется расщепимым, если отвеча-
отвечающий ему факторкоцикл является кограницей. Для всякого
расщепимого расширения мы можем взять g = 0, т. е. выбрать
сечение г, являющееся изоморфизмом алгебр Ли г.
C.2.12) Н2 (L, /) = 0 тогда и только тогда, когда все расшире-
расширения, принадлежащие {L, (V, f)\, расщепимы.
1 Иначе говоря, в этом случае Е — г (L) ф V, где г (L) — подалгебра в Е,
изоморфная алгебре L. — Прим. ред.
4*

100 Гл. 3. Когомологии алгебр Ли и их применение
3.3. Эндоморфизм Казимира
На протяжении этого параграфа Р — произвольное поле,
характеристики 0, a g — полупростая алгебра Ли над Р.
Пусть (V, /) — представление алгебры д. Положим Bf (X,
Y) = tr (/ (X) f (Y)) для X, Y ? д. В силу A.5.4), Bf — ин-
инвариантная билинейная форма.
C.3.1) 1) Если Bf=0,mof = 0 (т. e. f (X) = 0 для всех X ? д).
2) Если представление f точно (т. е. взаимно-однозначно),
то форма Bf невырожденна.
Доказательство. 1) Предположим вначале, что Р '— Р. Пусть
V — векторное пространство над Р, § — подалгебра Картана
алгебры д, Л = {А,, \х, ...\ — совокупность всех весов предста-
представления (V, f), ассоциированных с §, и V = V (к) ф ... — раз-
разложение на весовые подпространства. Тогда для каждого а ? А
Поскольку (А-, а) ? Q, из равенства Bf = 0 следует, что (к,
а) = 0 для всех К ? Л и а ? А. Следовательно, Л = {0| и
У = К @). Поэтому / (Я*) FcF(a) = 0, т. е. / (Еа) = 0 при
a 6 А, и /(Яа) = —lf(Ea), f(E_a)} = 0. Так как элементы
На (а ? А) порождают § (как векторное пространство), то
1=0.
Рассмотрим теперь общий случай. Возьмем какое-нибудь
алгебраически замкнутое поле Р, содержащее поле коэффициентов
пространства V, и построим алгебру Ли др и векторное простран-
пространство Ур. Пусть Ех, ..., Еп — базис в д. Так как gl (V~p) = gl (V)~p
zd gl (V), то, полагая
~f (x1E1 + ... + XnE) = xj (EJ + ....
„) (xt e P),
мы получим, представление (V?, f) алгебры g^. Обозначим через Bf
билинейную форму на д^, соответствующую этому представле-
представлению. Ясно, что В/ (X, Y) = Bf (X, Y) для любых X, Y 6 g.
Если / Ф 0, то / =Ф 0 и Sf ф".0. Так как g порождает д?, то
и Bf Ф0.
) Пусть дг = {X 6 д: S/ (g, X) = 0}. Ясно, что это идеал
в д. Следовательно, дх —^полупростая алгебра. Обозначим через
/i ограничение представления /на дх. Так как (V, fx) — пред-
представление полупростой алгебры дх и Bfl — 0, то, в силу 1),
/i = 0. Поскольку / — точное представление, то дх = 0. Q
Пусть (V, f) — точное представление алгебры д, и пусть
Elt ..., Еп — базис в д. Поскольку форма Bf невырожденна,
3.3. Эндоморфизм Казимира 101
в g можно выбрать такой базис Flt ..., Fn, что Bf (Eh Fj) = бг/.
Положим
Эндоморфизм С называется эндоморфизмом Казимира представле-
представления (V, f).
C.3.2) 1) С не зависит от выбора базиса.
2) Cf (X) = f (X) С для всех X ? д.
3) Эндоморфизм С отличен от нуля и, если представление
(V, f) неприводимо, невырожден.
Доказательство. 1) Пусть Ех,^..,Е_п и Flt ..... Fn — другие два
базиса в д, для которых Bf (En Fj) = б(/. Пусть
п п
Ё — У е Е F == У, / • F ¦ е ¦ f ¦ ?Р
Тогда
Bf {EhFj\ = Z.eJtIB(Es,Ft) = 1^/5/ = S,7.
Так как из равенства '(е^)-(/г/) = 1 (единичная матрица) следует,
что (/;/)-'(е(/) = 1, мы имеем
= г/
2) Пусть X 6 9, и пусть [X, ?, ] = 2;ау/Я;> [F,, X] = S.6/fF,
P) Т
9
). Тогда
Д.], F,)= JakiBf (Ek,Ff) = fl//,
k
(a/;,
Bf (Et, [F,,X]) = S ЙА/В, (?,-,F,) = 6/7.
Следовательно, an = bu и потому [F4, X ] = S ju^F,¦. Далее,
/(X)C = 2/(X) f(Et) /(F,-) = S(/(W. ?«D +/№) / W)
¦ f.(Ft) = Zanf (E,) f (Ft) + ф (Et) f (X) f (Ft),
Cf(X) = S/'U) / (Fd f (*) = S/(^)(/ (^. *])
+ / (X) f (FL)) = Sfli// (?/) / (^-) + S/ (Et) f (X)
Следовательно, f (X) С = Cf (X).

102 Гл. 3. Когомологии алгебр Ли и их применение
3) Так как tr С = 2, tr / (?,) f (Ft) = 2,Я, (Я„ Fc) = .n,
CO
то
Поскольку / (X) CV = Cf (X) У с: СУ при X ? д, подпро-
подпространство CV инвариантно относительно / (д). Так как С Ф О,
то CV ф 0. Из неприводимости представления следует, что CV
— У, т. е. что эндоморфизм С невырожден. Q
3.4. Когомологии нетривиальных
неприводимых представлений
Мы по-прежнему предполагаем, что char Р = 0 и алгебра g
полупроста.
C.4.1) Пусть (У, f) — представление алгебры д, К 6 gl (V)
и с ? С*(9> У) (k = 0, 1, ...). Тогда
1) Кс 6 С* (д, У);
2)
- Kd) c)(Xlt ....
*+1
= J. (-l
(/
-iC/ (Х,))с(Х1г ...,Xlt ...,Xk+1);
3) если Kf (X) = f (X) К для всех X 6 д. то do К = Ко d.
Доказательство. Утверждение 1) очевидно. Утверждение 2) три-
тривиально для k Ф 0, а для k > 1
, ..., Xk+1)= |j(-l)'
I.,X/], ..., Xt, ..., X,, ...),
I(
.. /J. ¦••, Л,-,
I /Сс (..., X,-, ..
цх,,*,-], ...Д-, .
3) сразу следует из 2). Ц
3.4. Когомологии нетривиальных неприводимых представлений 103
C.4.2) Если представление (У, /) неприводимо и f ф 0, то
НЧь!) =0, Л = 0, 1, ...
Доказательство. Обозначим через д2 ядро представления /. Тогдах
9 = 9i Ф 9а (прямая сумма идеалов) и ограничение предста-
представления / на ft точно. Пусть Elt ..., Еп и Flt ..., Fn —базисы
в glt двойственные друг другу относительно 5?. Тогда эндомор-
эндоморфизм С = ? /=i/ (^i) / (^) невырожден. Из того, что f(X)C = Cf (X)
для всех X 6 9i и f (X) = 0 для всех X ? Зг» следует, что
/ (X) С = Cf (X) для всех X 6 д.
Поскольку равенство Я0 (д, /) = 0 очевидно, предположим,
что & 3= 1. Напомним, что для с ? Ck (g, У)
(e(K)c)(Xlt ..., X,) = /(F)c(X], X,)- 11 с(X,, ...,
и что
8 (Y) = di (Y) + i(Y) d.
Пусть с 6 2* (g, /). Положим
Тогда
dh=Z(df(Ef)-f(El)d)i(Fl)c+ l-
i i
Так как dc = 0, то di (Z7,) с = 8 (F,-) с. Применяя теперь C.4.1),
2) с К = f (Е{), получим
.(dh)(Xlt ..., Х/г)=
Г >
1 Приводимое далее равенство служит определением идеала
Прим. ред.

104 Гл. 3. Когомологии алгебр Ли и их применение
Пусть [X„ Et] = Zs^iajsiEs. Тогда [Ft, X,-] =
-f(Et)f(X,))
имеем
У У(
= 12 (-
( /
I I- I:«
I / S
ЕЕЕ
! / S
'¦jisrs, и мы
(..., х,-, ...)
,, .... Fh ...),
(/¦)
I / S
Следовательно,
idh) (Xlt ...,X,) =
1=1
Согласно C.4.1) с К = С, d
с € 5 (g, /). D
C-Xdh = с, и потому
C.4.3) Для каждого представления (У, f) алгебры g
Я1 (д, /) = 0.
Доказательство. Прежде всего докажем, что Н1 (д, /) = 0, если
/ = 0. Пусть с ? Z1 (д, f). Тогда
(dc)(X, Y) = / (X) с (Y) - f(Y)c(X)-c([X, Y})
= —с([Х, F]) = 0.
Поскольку g = [а, а], это означает, что с = 0, так что Н1 (а,
0) = 0.
' Применим теперь индукцию по dim V. Если представление
(V, f) неприводимо, то наш результат следует из C.4.2) и только
что доказанного утверждения, а если dim V = 1, то всякое пред-
представление неприводимо. Предположим поэтому, что представле-
представление (V, /) приводимо a U — подпространство в V, удовлетворя-
удовлетворяющее условиям 0C[/CyjC)[/c ?/. Тогда (U, fv) и (V/U,
fv,u), где fu (X) = / (Х)и и fv/u (X) = / (X)V/u при X 6 g, —
3.5. Разложения Леей 105
также представления алгебры д. Пусть р — естественное отобра-
отображение У на VIU. Обозначая fv/u через J, имеем
р (f (X) v) = f(X) pv для X е д и у 6 V.
Пусть с 6 Z1 (9. /)• Тогда рс 6 С1 (g, VIU). Так как
(dc)(X, У) = f (X) с (Y) - f (Y) с (X) - с (IX, Y]) =0, :
то
(d (pc))(X, Y) =7 (Х)(рс)(Л -7
= р (f (X) с (Y)-f (Y)c (X) -с (IX, Y])) =
= 0.
Следовательно, рс 6 Z1 (9. 0- По предположению индукции,
рс 6 -S1 (g, f) и, значит, существует такой вектор v ? V/t/ = С0 (д,
V7?/), что f (X) v = (do) X = (рс)(Х) при X G 9- .Выберем век-
вектор v ? V, для которого pv = v. Тогда р/ (X) v = f (X) pv = (рс)
(X), т. е. h (X) = с (X) — / (X) о = (с — do)(X) € ?/• Так как
d/i = dc — ddv = 0, то h 6 Z1 (g, /). С другой стороны, h (g) с: U
и потому h ? Z1 (g, /у). Снова используя предположение индук-
индукции, заключаем, что h ^ В1 (д, /у), т. е. /i = d« для некоторого
и ? U. Следовательно, с = /i + dv = d (и + v) ? б1 (g, /). Q
Из C.2.6) и C.4.3) вытекает следующая теорема:
C.4.4) Теорема. Всякое представление полупростой алгебры Ли
вполне приводимо.
3.5. Разложения Леви
Мы сохраняем предположение о том, что Р имеет характери-
характеристику 0.
C.5.1) (Э. Леви) Пусть L — алгебра Ли и R — ее радикал. Тогда
существует полупростая подалгебра S в L, такая что L = S + R.
Доказательство. Предположим вначале, что R является мини-
минимальным идеалом в L. Так как Rw = [R, R] — идеал в L, то
^н) _ о,уг. е. идеал R абелев. Естественный гомоморфизм L
-v LIR ]= g определяет расширение полупростой алгебры Ли
g с абелевым ядром R. Пусть (R, f) —соответствующее предста-
представление. Поскольку R]—минимальный идеал, это представление
неприводимо. Если f фО, то Я2 (д, /) = 0, в силу C.4.2), и по-
потому, согласно C.2.12), данное расширение расщепимо. Если
/ = 0, то dim R — 1 и R совпадает с центром алгебры L. Поэтому
присоединенное представление (L, ad) служит представлением
алгебры LIR = g, откуда следует, в силу теоремы C.4.4), что оно
вполне приводимо. Таким образом, найдется идеал (= инвариант-

106 Гл. 3. Коииэлогии алгебр Ли и их применение
ное подпространство относительно ad (L)) S, для которого L =
= S + R. .
Теперь будем доказывать теорему в общем случае, применяя
индукцию по dim R. Предположим, что R не является минималь-
минимальным идеалом, и выберем какой-нибудь минимальный идеал- Ro
алгебры L, содержащийся в R. Так как R/Ro — радикал в L/Ro
и dim (R/Ro) < dim R, то по предположению индукции найдется
полупростая подалгебра So/Ro в L/Ro, такая что L/Ro = So/Ro +
+ R/Ri), т. е. L = So + R- Так как Ro — радикал алгебры So
и dim Ro < dim R, то, снова используя предположение индук-
индукции, можно найти полупростую подалгебру S, для которой So =
— S + RQ и, следовательно, L = S + R. Q
C.5.2) Пусть L — алгебра Ли и б — ее дифференцирование.
Если б нильпотентно (скажем, б* = 0), то
<х> ft —1
ехрб=2л — = L-4T
1=0 i=0
— автоморфизм алгебр L.
Доказательство. Исходя из равенства б [X, Y] = [6Х, У] + [X,
6F], можно с помощью индукции по т доказать формулу
m — 1,2, ...
чаем отсюда
<=0
Учитывая, что в нашем случае ряд конечен, полу-
полу= [ехрб-Х, ехрб-F]. Q
2j
<=0
Замечание. Мы увидим позднее, что и для произвольного диффе-
дифференцирования б ряд ехр б (сходится и) определяет автоморфизм
если Р = R или С.
C.5.3) Пусть L — алгебра Ли и R — ее радикал.
1) (Мальцев) Пусть g и g — полупростые подалгебры в L
и L — g+^ = g + i?. Тогда существует автоморфизм а
алгебры L, для которого erg == g.
2) (Гото, Хариш-Чандра) Пусть g — максимальная полу-
полупростая подалгебра в L. Тогда L = g + R.
3.5. Разложения Леей 107
Доказательство. 1) Обозначим через Rx радикал алгебры L1
= [L, L] и выберем цепочку идеалов
в L, такую что все алгебры Rj/Ri+1, i — 1, ..., k — 1, абелевы.
Для любого X ? L через /, (X) обозначим преобразование, инду-
индуцированное на Ri/Ri+j преобразованием ad X. Так как L = g
ц- ?> = д~ц- /?, то для каждого X ? g существует единственный
элемент X 6 9. такой--что_Х = X (mod R), т. е. X — X ? /?_
Далее, отображение X —>- X является изоморфизмом g на g
(нам нужно продолжить его до автоморфизма"алгебры L). Так как
всякая полупростая подалгебра алгебры L содержится в L(I),
тоХ-Х^П LA) = Ri (см. B.1.7)).
Допустим теперь, что для некоторого 1A < I <: k) существует
набор из I элементов Yx G ^?о = R> Y* G -^1. •••. Yi € ^;_i.
удовлетворяющий условиям:
@ каждое из преобразований ad Y, нильпотентно;
(и) если 0, = ехр (ad Yt) и X ? g, то X — ff;... (TiX 6 ^z-
Если I = k, то все доказано. Покажем, что если / < k, то суще-
существует аналогичный набор из / + 1 элементов. Пусть х = а{ ... аг
и с (тХ) = "X — тХ для любого X 6 9- Согласно (И), с (хХ) ? #,.
Поэтому, обозначая через р естественное отображение Ri -*- Ri/R!+1
и полагая с\ (тХ) = рс (тХ), мы получим линейное отображение
из тд в Rt/R!+1. Докажем, что_сх ? Z1 (тд /,).
Так как отображение тХ -*- X алгебры тд в д является изо-
изоморфизмом, то для любых X, Y из д
т ([X, У]) + с (т [X, П) = 1хХ + с(тХ), тГ + c(xY)]
с(х\Х, Y]) = [тХ, с(тУ)]— [тГ,с(тХI + [с (тХ), с(тУI.
Но [с (тХ), с (xY)] е Ш, Ш] с= /?/+1, так что
сх (х [X, Y]) = ft (хХ) с, (xY) - ft (xY) c{ (xY).
Это означает, что сг G 21 (тд, /). В силу C.4.3), найдется элемент
Z ? R, для которого сх (хХ) = —/, (тХ) pZ и потому с (тХ)
— [Z, тХ] ? i?/+i. Следовательно,
X = X
, xX](mod
для каждого X ? д. Согласно B.1.7), преобразование ad Z ниль-
нильпотентно. Кроме того, (ad Z)"' хХ (Е /?;+i при т = 2, 3, ... .

108 Гл. 3. Когомомгии алгебр Ли и их применение
В силу C.5.2), or = exp (ad Z) — автоморфизм алгебры L, и для
а (хХ) = X + ad 1-Х + 4" (ad Zf x + •••
= X + [Z, X] (mod Я/+1).
Следовательно, сг (тХ) — X .? i?; + x. Таким образом, набор
^ii • •¦> У/» 2 также удовлетворяет условиям (i) и (и). Тем самым
наше утверждение доказано.
2) Пусть д' — полупростая подалгебра в L. Тогда V = д'
+ R — подалгебра в L. Пусть g — полупростая подалгебра,
такая что L = g + R. Полагая V П 9 = 9"> имеем U = д"
+ R и д" П R = 0. Пусть [L', L' ] П R = Ri- Тогда найдутся
элементы Ylt Yz, ..., Yk _ г ? R'u для которых
exp (ad Yk _ x) ... exp (ad
g'
Так как R{ cz Rlt то все дифференцирования ad Yt нильпотентны
и, значит, exp (ad Yt) — автоморфизмы алгебры L. Пусть g
= exp (ad Yk _ 2) ... exp (ad Fx) g. Тогда g' cz~§ и L = g
+ 7?. В частности, если g' — максимальная полупростая алгебра,
то q = g' и L = g' + i?.
В качестве приложения укажем один частный случай теоремы
C.5.3).
Пусть V — векторное пространство над Р. В пространстве его
аффинных преобразований aff (V) = gl (V) ф V определим ско-
скобочное умножение формулой
[(s, а), (*, 6) ] =
fe,
ta),
где s, ^ ? gl (V)., a a, b ? V. (Заметим, что для я X я-матриц
s, t я I X я-матриц а, 6 имеет место равенство
/s «\ // Ь\ ns,t) sb-ta\
llooj' U о/1 — Vo о )')
Очевидно, что aff (V) становится при этом алгеброй Ли; она назы-
называется полной аффинной алгеброй. Далее, V = 0 ф V есть абелев
идеал в aff (V). Элемент v0 ? V называется неподвижной точкой
для (s, а) ? aff (У), если да0 + а = 0.
C.5.4) Всякая полупростая подалгебра g e aff (У) имеет общую
неподвижную точку.
Доказательство. Так как saff (V) = & (V) ф К есть идеал ко-
коразмерности 1 в aff (У), то g = [g, g] сг saff (У). Кроме того,
ё! (У) = й (У) ф 0 — максимальная полупростая подалгебра,
3.5. Разложения Леей 109
а у = 0 ф V — радикал алгебры saff (У). В силу C.5.3), найдется
такой вектор v0 6 V. чт0
g с: exp ad иой (К).
Так как (ad Vuf = 0, то, обозначив exp ad (—v0) g через g',
мы получим
g=(s4-[t»dlsl:s e g'l = {(s.ioo): s 6 9'}-
Следовательно, у0 — неподвижная точка любого элемента ал-
алгебры g. D
Замечание. Теоретико-групповой смысл результатов этого пара-
параграфа будет разъяснен в гл. 5.
Упражнение. Доказать, что для любого представления (V, /) алгебры g
Я3 (g, f) = 0.

Глава 4
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
НАД R И С
4.1. Алгебры Ли над R и С
Пусть V — векторное пространство размерности п над С. Рас-
Рассматривая V как векторное пространство над R, мы получим
векторное пространство Vs размерности 2п над R. Если V является
алгеброй (Ли) над С, то Vr будет алгеброй (Ли) над R.
Пусть g — алгебра Ли размерности п над R. Тогда дс = С
Фк д является алгеброй Ли размерности п над С и называется
комплексификацией алгебры д. Имеет место равенство дс = д
ф г'д (прямая сумма векторных пространств над R), и для любых
Xlt Yx, X2, Г2 6 9
[Хх + iYlt X, + iY,} = (lXlt Х2] — [Ylt Y2}) + i([Xlt
Y2] + [7l5 Xa]).
Пусть g — алгебра Ли над С. Подалгебра g в g^ назы-
называется вещественной формой алгебры д, если д = д + гд
и 9 П *9 = 0. В этом случае алгебра д изоморфна дс. Вообще
говоря, д может иметь несколько неизоморфных вещественных
форм (см. упр. 2 § 1.6). Положим а (X + iY) = X — iY для X,
Y(z 9 и назовем а сопряжением относительно д. Ясно, что
о2 = id, а ({U, V)) = laU, oV], о (all) = ao (U)
для любых U, V 6 3 и я ? С, где а обозначает число, комплекс-
комплексно-сопряженное к а. Если {) — векторное подпространство в д,
то и at) тоже.
Для всякой алгебры Ли L обозначим через Ant (L) группу
всех ее автоморфизмов. В общем случае Aut (g) с Aut (де),
причем о ? Aut (дк), но а Ф Aut (g). Далее, поскольку любой
автоморфизм т алгебры $ единственным образом продолжается
до автоморфизма т алгебры g по формуле т (X + iY) = т (X)
+ ix (У) (X', Y ? д), мы можем рассматривать Aut (g) как под-
подгруппу в Aut (g).
D.1.1) Пусть gx и g2—вещественные формы алгебры д, и
пусть о1 и о2 — соответствующие сопряжения. Соотношение
0Х02 = сг2ст1 имеет место тогда и только тогда, когда а^2 = д2
(и d2gi — 9i). ив этом случае
9i =¦¦ (9i П gs) Ф C! П igO. 92 = (8г П д,) Ф (8i П ^)-
4.1. Алгебры Ли над R и С 111
Доказательство. Заметим, что g2 = {f/ G ?: а2^ = ^}- Если
ai9-2 = Зг. то Для X € д2 мы имеем а2а1 = 0!^ = 0Х02 X и
020! (гХ) = 02 (—г) 0ХХ = г'020]Х = /0x02X = 01 02 (г'Х). Обратно,
если 0J02 = 020i, то для X ? д2 имеем 020iX = 0i02X = агХ
и потому 0гХ ^ д2.
Далее, предположим, что X, Y ? 9г и X + iV ? gx. Если
o'aSi = 9i> то а2 (^ + iY) = X — iY ? tjx и, значит, X, г У
<Е Si- D
D.1.2) Пусть g — алгебра Ли над R и g — ее комплексифика-
ция. Если одна из алгебр д, д, дк полупроста, то все они полу-
полупросты .
Доказательство. В силу A.6.1) и B.4.1), д полупроста тогда
и только тогда, когда g полупроста.
Всякий абелев идеал в g является абелевым идеалом в gR.
Если а — абелев идеал в gR, то его комплексно-линейная обо-
оболочка
\a1X1^...+akXk:aj ? С, X,?a,k=\, 2, ...}
будет абелевым идеалом в g. Q
Пусть V — векторное пространство размерности 2п над R.
Под комплексной структурой на V мы понимаем эндоморфизм
J € $ (V), для которого J2 = —1. Если / — комплексная струк-
структура на V, то, полагая (а + Ы) X = аХ + bJX для a, b ? R,
X ? У, мы превращаем У в векторное пространство размерности
/г над С. В случае когда V есть векторное пространство
над С, умножение на i является комплексной структурой
на Vr .
Пусть g — алгебра Ли над R. Комплексная структура / на
векторном пространстве g называется комплексной структурой
Ли, если /oadX =adXo/ для всех X ? д. Если на д за-
задана комплексная структура Ли /, то g становится алгеброй Ли
над С. В этом случае —/ также будет комплексной структурой Ли
на д.
D.1.3) Пусть д — алгебра Ли над R с комплексной структурой
Ли J. Обозначим через д+ и д_ комплексные алгебры Ли, получен-
полученные из д введением структур J и —/ соответственно. Если д+
обладает вещественной формой, то д+ ^ д_.
Доказательство. Пусть д0 — вещественная форма алгебры д.
Тогда каждый элемент из g единственным образом записывается
в виде X + JY, где X, F?g0. Мы утверждаем, что отображе-

[12 Гл. 4. Полупростые алгебры Ли над R и Q
ние 8 : д+
тельно,
+ JY *-^ X — УУ? д_ отображает д+ на д_. Действи-
Действи9 (I (X + JY)) = 6 (У (X + УК)) = 9 (—Г + УХ)-
= —Y — УХ - —У (X — УК) = ie (X + JY),
+ УУх, Х2+УК2]) '= e(([Xlf XJ— [ylf F2]
+ УA71, Xa] + [Xl Уя]) = [Xlt XJ— [Уь
Щ-У(Щ, x2i + iXx, r2]) = [Xi
X2 - УГ2] = [9 (Xj. + УГх), 9 (X2 + УГ2)].
4.2. Простые алгебры Ли
D.2.1) Пусть g —алгебра Ли на С. Алгебра
и только тогда, когда алгебра g проста.
проста тогда
Доказательство. Очевидно, что если алгебра д^ проста, то тем же
свойством обладает и д.
Предположим, что алгебра g проста. Согласно D.1.2), дк —
полупростая алгебра. Пусть дг — ненулевой идеал в gg , a g' —
его комплексная линейная оболочка в д. Так как д' — ненулевой
идеал в д, то д' = д. Пусть д2 — такой идеал в gR, что дк =
= 9i © Зг- Поскольку [g1( g2] =0, мы заключаем, что [д,
д2] =0, откуда следует, что д2 = 0. Q
D.2.2) Пусть д — алгебра Ли над С. Обозначим через д ком-
плексификацию алгебры д^. Если д обладает вещественной фор-
формой, то д есть прямая сумма двух идеалов, каждый из которых
изоморфен д.
Доказательство. Пусть У и i обозначают комплексные структуры
в д и д соответственно. Тогда
з1 и g-={X-i7X:
суть идеалы алгебры д, такие что д = д+ (+) д~. Далее, легко
видеть, что отображение дЭХ1—> (X — г'УХ)/2?д осуще-
осуществляет изоморфизм алгебр д и д.
Обозначим через д_ алгебру Ли над С, получаемую при введе-
введении комплексной структуры Ли —У на gR. Согласно D.1.3),
g ss g_. С другой стороны, рассуждения, аналогичные приведен-
приведенным выше, показывают, что д_ =* д+. Следовательно, g+ = д~. Q
D.2.3) Пусть д — простая алгебра Ли над R. Если ее комплекси-
фикация дс не является простой, то д обладает комплексной
структурой Ли.
4.2. Простые алгебры Ли 113
Доказательство. Обозначим через а сопряжение относительно д.
Докажем прежде всего, что если \) — идеал в дс, удовлетворя-
удовлетворяющий условию о§ = i), то \) = дс или 0. Так как д ("| Ь —
идеал в д, то либо lj :n д, либо д ПI? = 0. Если § zd g, то
I) == дС. с другой стороны, если X + iY?f) (X, YQq), то
а (X + iY) = X — iY^ f) и, значит X, Y? f). Следовательно,
если g(l^ = 0, то § = 0.
Если дс не является простой, то существует идеал J в дс,
такой что 0 Ф \ Ф дс. Поскольку I + <Я и tf[ot суть
сг-инвариантные идеалы в дс и f + at Ф 0, f HcrJ Ф дс,
то дс = 1 ф at.
Так как д' = {Х(; д : X + iY^t для некоторого Y?§\ —
идеал в д, причем, очевидно, д' Ф 0, то мы имеем д' = д. Да-
Далее, если X + iYx и X + iY2 принадлежат I для некоторых X,
Yx, К2б9> то Yx — K2^f Пд = 0 и Y-l — Y2. Следовательно,
можно определить линейное отображение У:д->д, такое что
+ iJXX€} ?{XiyX:X6
\
Поскольку [X + UX, У' — UY] =0 при X, Y? g, то
[X, Y] + [УХ, JY] = 0, [УХ, Y] = [X, JY]
[X + UX, Y + UY] = 2 ([X, Y] + i [X, JY]).
Так как последнее выражение принадлежит I, то [X, JY] = У [X,
У], т. е. adXoy == УоаёХ. Кроме того, из равенств [У2Х,
Y] = [УХ, JY] = —[X, Y] следует, что У2 = —1. Таким обра-
образом, У является комплексной структурой Ли на д. П
Пусть теперь д — простая алгебра Ли над R. Мы будем раз-
различать два случая.
a) Предположим, что g не обладает ни одной комплексной
структурой Ли. Тогда комплексификация дс алгебры д проста,
ввиду D.2.3), и д является вещественной формой некоторой про-
простой Алгебры Ли над С.
b) Предположим, что g обладает комплексной структурой Ли.
Тогда мы можем рассматривать g как алгебру Ли над С, которую
обозначим дс. Согласно D.2.1), эта комплексная алгебра Ли дс
проста. Из упражнения § 2.6 следует, что каждая полупростая
алгебра Ли имеет вещественную форму, поэтому, в силу предло-
предложения D.2.2), примененного к комплексной алгебре Ли дс, мы
имеем дс = дх ф д2) где алгебра дх изоморфна дс- Следова-
Следовательно, если g и д' —простые алгебры Ли над С, такие что
9r = д'к. то gsg'.
D.2.4) Теорема. Простые алгебры Ли над R можно разбить на
два класса:
(i ) простые алгебры Ли над С,
(ii) вещественные формы простых алгебр Ли над С.

114 Гл. 4. Полупростые алгебры Ли над R и Q
Ранее мы провели классификацию простых алгебр Ли над С.
Их можно обозначить следующим образом:
СЛ, (/ > 1), СВ, (/ > 2), СС, (/ > 3), CD, (/ > 4), СЕ6, СЕ7,-
СЕ„ CF4, CG,.
Они попарно неизоморфны как алгебры Ли над R. Таким образом,
задача классификации всех простых алгебр Ли над R сводится
к нахождению всех неизоморфных вещественных форм для каж-
каждой простой алгебры Ли над С.
4.3. Компактные алгебры Ли
Пусть g — алгебра Ли над R. Под скалярным произведением
на g мы будем понимать билинейное отображение w : g X g —>¦ R,
такое, что w (X, Y) = w (Y, X) для любых X, F?g и w (X,
X) > 0 при X =h 0.
Пусть t — подалгебра в g. Говорят, что скалярное произ-
произведение w инвариантно относительно t (или I-инвариантно),
если
A) w([X,Y],Z) + w(Y,[X,Z])=0(Y,Z€q)
для всех X?f. В случае когда скалярное произведение д-ин-
вариантно, его называют просто инвариантным.
Определение. Алгебра Ли д над R называется компактной,
если она обладает инвариантным скалярным произведением.
Подалгебра I алгебры g называется компактно вложенной в д,
если на д существует {-инвариантное скалярное произведение.
В Rn мы рассматриваем обычное скалярное произведение
w0 ((xi), (г/,)) = 2л;,г/;. Пусть о (п) обозначает ортогональную
алгебру Ли над R : о (п) = {S^ql (n, R) : S + *S = 0}. Тогда
S^o (п) в том и только том случае, когда w0 (xS, у) + w0 (x,
yS) = 0 для х, г/^R". Аналогично упр. 1 § 2.1 можно показать,
что каждое подмножество в о (п) вполне приводимо.
Пусть w — скалярное произведение на д. Мы можем найти
ортонормированный относительно него базис Е1у ..., Еп: w (Е,,
Ei) = б/;-. С помощью соответствия
можно отождествить (g, w) с (Rn, w0). При этом отождествлении
условие A) эквивалентно условию adX^o (n). Следовательно,
если w является f-инвариантным, то {ad X: X?t) —вполне
приводимое множество,
4.3. Компактные алгебры Ли 115
D.3.1) Пусть g — алгебра Ли над R.
1) Подалгебра t алгебры g компактно вложена в g тогда
и только тогда, когда существует базис Ег, Е2, ..., Еп в д, для
которого
(мх» go (n) при ха,
где (adX)Ej = YUfa(X) Et.
2) Всякая подалгебра компактной алгебры Ли компактна.
3) Всякая подалгебра компактно вложенной подалгебры ком-
компактно вложена.
4) Всякая компактно вложенная подалгебра компактна.
5) Если алгебра Ли компактна, то она представима в виде
прямой суммы своего центра и некоторого компактного полупро-
полупростого идеала, и обратно.
Доказательство. 1)—4) Эти утверждения очевидны.
5) Пусть g — компактная алгебра Ли. Тогда ad (g) вполне
приводимо и g есть прямая сумма некоторых минимальных иде-
идеалов. Так как минимальные идеалы либо просты, либо одномерны,
то g есть прямая сумма некоторого полупростого идеала и и
центра S:g = и@Ь. Поскольку и является подалгеброй
в g, u тоже компактен.
Обратно, для любой абелевой алгебры Ли Ь всякое скалярное
произведение на Ь инвариантно. Пусть % и и2 — компактные
алгебры Ли с инвариантными скалярными произведениями w1
и w2 соответственно. Тогда алгебра иг ф и2 компактна: она
обладает инвариантным скалярным произведением w± ф w2, опре-
определяемым формулой
(wx Ф u)a)((Xlf X2), (Ylf Y2)) = Wl (Хг, Yx) + w2(X2 Y2)
для Хъ Yi^u, и X%, 73^u2. Тем самым доказано и обратное
утверждение. Q
D.3.2) Пусть g — полу простая алгебра Ли над R и В — ее
форма Киллинга. Для того чтобы алгебра g была компактной,
необходимо и достаточно, чтобы форма В была отрицательно-
определенной (т. е. удовлетворяла условию В (X, X) < 0 при
ХФО).
Доказательство. Пусть g компактна и имеет ортонормированный
базис Е-1, ..., Еп относительно инвариантного скалярного произ-
произведения. Тогда ad Х-Е, = 2,/,,- (X) ?,-, ftl (X) + flt (X) = 0
при X?q. Следовательно,
В (X, X) = S,-, ifа (X) flt (X) = -S,, у (Д.у- (Х)Т < 0.
Обратно, если В отрицательно-определенна, то —В будет ин-
инвариантным скалярным произведением. Q

116 Гл. 4. Полупростые алгебры Ли над J5 " С
D.3.3) Если компактная алгебра Ли g обладает комплексной
структурой Ли, то она абелева.
Доказательство. Разложим g в прямую сумму полупростого иде-
идеала и и центра: g = u ф i. Тогда и = [g, g]. Пусть / —•
комплексная структура Ли на д. Поскольку /u = tJg, g] а и,
то и обладает комплексной структурой Ли. Докажем, что и = 0.
Так как / о ad X = ad X о / = ad (/X), то
w(J [X, Y], Z) = w ([JX, Y], Z) = w(Y, Z, JX]) = w (Y,
[JZ, X\) = w(\X, 71, JZ)
для любых X, Y, Z?u. Поскольку [и, и] = it, мы имеем
w (JX, Y) = w (X, JY). При отождествлении (u, w) с (R", w0)
где n = dim it, / представляется некоторой симметричной матри-
матрицей. Следовательно, все собственные значения / вещественны.
С другой стороны, из равенства J2 + 1 =0 вытекает, что каждое
собственное значение X преобразования / удовлетворяет уравне-
уравнению № + 1 = 0. Это невозможно, если и ф 0. Q
Теперь, пользуясь методом, принадлежащим Г. Вейлю, по-
построим компактную форму и для любой полупростой алгебры Ли
g над R. Пусть I) — подалгебра Картана в g и А =.{±а, +р,
...\ — корневая система относительно f). Тогда
g = [} + СЕа + СЕ_а + С?р +
[Н, Еа\ = а(Н)Еа при Н^.,
[Еа, ?"р] = Л/а, Р?а+Р, если а,
где Na, р = iV_a, _р и Na> $N_a> _р есть положительное рациональ-
рациональное число, так что Na,$?R..
Положим tjr = Еа^дРЯа. Тогда для Н ?§г и а? А имеем
a(H)(zR- Зафиксируем какое-нибудь лексикографическое упо-
упорядочение в А и положим
B)
a = i(Ea-E_a),
(RCa + RSa).
а>0
Докажем, что и является компактной вещественной формой
для д. Прежде всего, поскольку комплексно-линейная оболочка
множества il)r совпадает с I), а комплексно-линейная оболочка
множества RCa + RSa равна С^а + С^.а, мы видим, что и
порождает $ как линейное пространство, и, очевидно, dims и
4.4. Группы автоморфизмов алгебр Ли. 117
= dime g- Далее, и является алгеброй Ли, как видно из соотно-
соотношений
[Ш, Ca]=a(H)Sa, [Ш, S«| = — а(Н)Са (Я ? §г),
[Са, Sa] = 2iHa,
При а
Элемент X = 1Н + Иа^АхаЕа (#(;!?, ха?С) принадлежит
тогда и только тогда, когда ха = х„а. В силу B.2.5), 5), имеем
C) В(Х, Х)=—{Н, Я}- I. |ха|*.
Обозначим через S' форму Киллинга алгебры и. Так как и —
вещественная форма алгебры д, то В' (X, X) = В (X, X) для
X ? и. Из C) следует, что форма В' отрицательно-определенна
и алгебра и компактна.
D.3.4) (Г. Вейль) Пусть g — полупростая алгебра Ли на С.
Тогда алгебра Ли и, определяемая формулами B), является ком-
компактной вещественной формой алгебры д.
Упражнение 1. Всякая компактная разрешимая алгебра Ли абелева.
Упражнение 2. Алгебра Зи является компактной вещественной формой ал-
алгебры 31 (п, С).
Упражнение 3. Если и — компактная простая алгебра Ли, то ее комплекси-
фикация и проста. [Указание: см. D.2.3) и D.3.3).]
4.4. Группы автоморфизмов алгебр Ли
Пусть S — (su) принадлежит gl (п, С) и М — вещественное
число, такое что М з> тахг>/-\S[, \. Пусть, далее, si/* обозначает
(i, /)-й элемент матрицы Sk, k = 1,2, ..., где мы полагаем S° = 1
(единичная матрица). Докажем индукцией по k неравенство
A)
<.{nM)k k = 0, 1, 2,
(*)
Допустив, что \slf
__ | ^"
< (пМ)к (i, j = 1, ..., п), имеем
чем A) и доказано.
Из A) следует, что ряд
k\

118 Гл. 4. Полу простые алгебры Ли над R в Q
равномерно сходится на совокупности тех матриц 5, для которых
max \spq\ < М. Поэтому мы можем определить
exp S=]jV]^i
для S?gl(n, С).
Пусть V — векторное пространство размерности п над С
(соотв. R). Положим GL (V) == {s(fgl (V): dets^=O}. Ясно,
что GL (V) является открытым подмножеством пространства
gl(V), отождествленного с С (соотв. R"'), я мультипликативной
группой.
D.4.1) Для s?gI(V) степенной ряд
2!
exp s = У, — =
сходится (равномерно на каждом компактном подмножестве
в 91 (V)), и
1) если S& = s2slt то
exp Si exp s2 = exp (s± + s2) = exp s, exp 5X;
2) для и С GL (V)
exp (usw1) = и exp tr1;
3) exp является комплексно-(соотв. вещественно-)аналитической
функцией из gl (V) в GL (V);
4) для всякого s из gl (V) отображение R Э* ->• exp (xs) есть
однопараметрическая подгруппа в GL (V), т. е. гладкое отобра-
отображение и гомоморфизм аддитивной группы R в GL (У). Обратно,
всякая однопараметрическая подгруппа в GL (V) получается таким
образом.
Доказательство. Утверждение 1) доказывается аналогично клас-
классическому случаю п = 1. Что касается 2), то достаточно заметить,
что [usu'1)k = usku-^ для k = 0, 1, ... . Из 1) вытекает, что
exp s ехр (—5) = ехр 0 = 1 и det (exp s) Ф 0. Также в силу 1),
4.4. Группы автоморфизмов алгебр Ли 119
exp (xs) exp (ys) = ехр (х + у) s для х, y?R,
откуда следует, что х ->- ехр xs — однопараметрическая подгруппа.
Обратно, предположим, что / (х), x?_R, — однопараметри-
однопараметрическая подгруппа в GL (V). Для любых х, h?R имеем
4- (/(х + К) - /(х)) - -L (J(h) - 1) / (х)
Решив это дифференциальное уравнение с начальным условием
/ @) = 1, получим
/ (х) = ехр (xf @)). Q
Пусть g — алгебра Ли над С (соотв. R) и Ех, ..., Еп — некото-
некоторый базис в д, с [?,-, ?/] = 2,kcijkEk. Для того чтобы преобразо-
преобразование a?GL(g) было автоморфизмом алгебры Ли д, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства loEt, аЕЛ
= 2,kcukaEk (i, j, k = 1, ..., я). Полагая aEt = ^iSjiE! (i = 1,
..., n), получим
B) TJ cpqksrHsqj = T_ ci!rskr (i, j, k = 1, • • ., n).
Р.Я r
Следовательно, группа Aut (g) является замкнутой подгруппой
в GL (g).
Пусть б — дифференцирование алгебры д. Модифицируя до-
доказательство C.5.2), легко убедиться, что ехр б 6 Aut (g). Об-
Обратно, если ехр (xs), x?R, — однопараметрическая подгруппа
в Aut (g), то из равенства [ехр (xs) X, ехр (xs) Y] = ехр (xs)[X,
Y] следует, что
- (ехр (xs) —1)Х, ехр (xs) у] ¦+ [ X, -^ (ехр (xs) - 1) Y]
= ^-(ехр (xs) - l)[X, Y\,
откуда, устремляя х к нулю, получаем, что [sx, Y] + [X, sY ]
= s [X, Y], т. е. s есть дифференцирование алгебры д. Таким
образом, мы доказали следующий результат:
D.4.2) Если б — дифференцирование алгебры ?, то ехр (хб),
x?R, является однопараметрической подгруппой в Aut (g),
и обратно.
Определение. Подгруппа в Aut (g), порожденная множеством
{ехр б: 6?ad(g)}, называется присоединенной группой ал-
алгебры g и обозначается Ad (g). Автоморфизм алгебры g назы-
называется внутренним, если он принадлежит Ad (g).
4.4.3. Пусть g — алгебра Ли и а — ее автоморфизм.
1) Пусть В — форма Шиллинга алгебры д. Для любых X,
В (оХ, oY) = В (X, Y).

120 Гл. 4. Полупростые алгебры Ли над R и Q
2) Пусть g = g (а) ф g (b) ф ... — разложение на обобщен-
обобщенные собственные подпространства преобразования а. Тогда [д (а),
д (b)] d g (ab), откуда, в частности, следует, что д A) — под-
подалгебра.
Доказательство. 1) Пусть Е1у ..., Еп — базис в д, и пусть ad X
X Е; = 2;Д7 (X) Et (Xeg), / = 1, .... л. Тогда ad (оХ)-аЕ,-
= 2(.Д7(Х)-а?, и
, аУ) =? А
2) Для X, У?д имеем (а — ab) [X, У] = [(а — а) X,
(а — Ь) У] + [аХ, (а — ft) У] + [(а — а) X, 5У], и индукцией
по /е можно доказать, что
(a-ab)k[X,Y] =
2 ^
p+q+r=k
Если (а — аOХ = (а — &)' У = 0, то (а — abfi [X, У] = 0. Q
D.4.4) Пусть g — алгебра Ли над С и р — ее автоморфизм,
попустим, что существует базис Elt ..., Еп в д, такой что
C) pEj = pfEj, /= 1, . .., я,
гд? /7Х, .-., рп — положительные вещественные числа. Тогда фор-
формула
D) р (х) Е,- = (р/ ?, (*?/?), / = 1 п,
определяет однопараметрическую подгруппу в Aut (g).
Если a?GL (gR) и ара-1 == р (г) для некоторого r?R,
то ар (х) о-1 = р (гл;) |5.гя всел; х? R.
Доказательство. Пусть cijk — структурные константы относи-
относительно данного базиса: [Et, E}] = S&c,^.^. Линейное преобразо-
преобразование, заданное формулой C) при /?,¦?€, является гомоморфиз-
гомоморфизмом (соотв. дифференцированием) алгебры Ли тогда и только
тогда, когда
сцк (PiPi - Pk) = 0 (соотв. cijk (Pi -f Pj - Л) = 0),
i, }, k= 1, .. ., п.
Поэтому, если формула C) с ру- > 0 задает автоморфизм р, то
формула
О-Е/ = (In /?;) Ej, j = 1, .... П,
задает дифференцирование б. Следовательно, отображение р (х)
= ехр (х, б), определенное формулой D), является однопараметри-
ческой подгруппой в GL (g).
4.4. Группы автоморфизмов алгебр Ли 121
Для произвольного положительного вещественного числа М
рассмотрим разложение в ряд Тейлора
In х = In M -f
( —
: — М
М
которое сходится при \х — М\ < М. Выберем М достаточно
большим, так чтобы выполнялись неравенства 27W > р}- и 27W
> (pj)r для всех /. Тогда, очевидно, имеем сходящиеся разло-
разложения
б =
Рассматривая б и р как элементы из gl (gp), получаем
оба == а-In М-о'1 +
У=1
j-i — M\i
М
и, значит, ар (х) (г1 = ехр х-(аба) = ехр (гхб) = р (гх). Q
Упражнение 1. Для я^дИЮ
ехр (tr s) = det (ехр s).
Упражнение 2, ехр: gl (V) -* GL (К) является диффеоморфизмом некоторой
окрестности нуля.
Упражнение 3. АЛ (д) — нормальная подгруппа_в Aut (g). [Указание: для
Xg naGAut(g) имеем ad (аХ) = ст-ad Х-ст. ]
Упражнение 4. Пусть L — алгебра Ли над R (соотв. С) и М — ее подалгебра.
Каждый внутренний автоморфизм алгебры М может быть продолжен до вну-
внутреннего автоморфизма алгебры L. [Указание: любой внутренний автомор-
автоморфизм а алгебры М можно записать в виде а — ехр (ad X±) ехр (ad X2)--.
• ехр (ad Xk) с подходящими Х1г ..., Хь?М]

122 Гл. 4. Полупростые алгебры Ли над J^ и (j
Упражнение 5. Пусть hsym (п) = |S?gI (n, С): 5 = '5} — совокупность всех
эрмитовых (симметричных) матриц. Каждая матрица 5 нз hsym (n) полупроста,
и все ее собственные значения вещественны. Пусть Hsym (п) — множество всех
матриц из hsym (n), у которых все собственные значения положительны. Тогда
exp (hsym («)) с Hsym (n). Обратно, используя тот же метод что и в доказа-
доказательстве теоремы D.4.4), можно построить голоморфное отображение In из
Hsym (п) в hsym (п), такое что exp (In S) = 5. Следовательно, hsym (n) и Hsym (п.)
биголоморфны х друг другу.
Аналогичные результаты имеют место для sym (я) = ql (n, R) Л hsym (n)
„ Sym (п) = gl (п, R) П Hsym (n).
4.5. Разложения Картана. Вещественные формы
полупростых алгебр Ли над С
В этом параграфе мы используем следующие обозначения:
g — полупростая алгебра Ли над С,
В — форма Киллинга алгебры д,
и — фиксированная компактная вещественная форма ал-
алгебр д,
т — сопряжение в алгебре д относительно и.
Так как всякий автоморфизм вещественной формы алгебры д,
или, более общим образом, всякий изоморфизм между двумя ее
вещественными формами, однозначно продолжается до автомор-
автоморфизма всей алгебры д, то мы условимся в дальнейшем считать
такие изоморфизмы элементами группы Aut (g).
Пусть L — алгебра Ли. Автоморфизм а алгебры L называется
инволютивным, если а2 = 1. Пусть g — вещественная форма ал-
алгебры д. Тогда сопряжение относительно g является инволютив-
инволютивным автоморфизмом алгебры д^.
D.5.1) Пусть L — алгебра Ли и b — ее форма Киллинга. Пусть
о — инволютивный автоморфизм алгебры L. Тогда
т — т as т
L+ = A + a) L == \X?L: оХ = Х\,
L_ = A _ а) L = \Y?L: aY = —Y\,
причем
A) b(X, Y) =0 при XeL,
B) [L+, L+] с L+, [L+, L_] С
Доказательство. Для
1 2
— eZ)(~L+ -\- L_,
любого Z ?
и очевидно, что
имеем Z = —
_ = O. В силу
См. ведение к гл. 6. — Прим. ред.
4.5. Разложения Картана 123
D.4.3), 1), b (X, Y) - b (оХ, aY) = b (X, —Y) = —b (X, Y),
так что b (X, Y) = 0. Соотношения B) следуют из D.4.3), 2). Q
D.5.2) Пусть g —вещественная форума алгебры qua — сопря-
сопряжение относительно д. Тогда найдется однопараметрическая
подгруппа р (х) алгебры Aut (g), ma/соя что
(i) р D) = (сгтJ, и если ц 6 GL (gR) и тр D) = р D) т), то
т]р (х) = р (х) т] для всех x?R;
(ii) если ввести обозначение р A) и = и', то аи' = и', т. е.
о индуцирует инволютивный автоморфизм компактной веществен-
вещественной формы и;
(ш) и' = и+ ф ul, где п'± = A ± а) и',
(iv) g = и; е ml;
(v) и; = дПи' « га:-=дП™'-
Доказательство. Положим / (X, Y) = —В (X, тГ) при X, У€д-
Для X = Хх + гХ2 ^= 0 (Xlt Х2?и) имеем: / (X, X) = —(S (Хъ
Х2) + S (Х2, Х2)) > 0, / (X, Y) линейно (над С зависит от X
и / (Y, X) ¦= f (X, Y), т. е. / является положительно-определенной
эрмитовой формой на д. Здесь нам понадобится лишь тот легко
проверяемый факт, что можно найти ортонормированный базис
Еи ..., Еп относительно такой формы: /(?,-,?/) = 6,/, и если
¦n€g*(g) удовлетворяет условию / (r\X, Y) = / (X, r]Y) для всех
X, Y?q, то матрица, представляющая г\ относительно базиса
Ei, ..., Еп, эрмитова.
Так как о,
(gR) и для
от (zX) = о (z (xX)) = z (тХ),
то т] ==
(g). Из того, что а2 = т2 = 1, следует,
4
что
] x^ (g) ,
1 = та, а значит, ввиду D.4.3), 1),
/ (т,х, У) = —В (цХ, %Y) = ~В (X, трЧУ) = —В (X,
xotY) = f (X, ц Y).
Следовательно, преобразование г\ представляется эрмитовой ма-
матрицей; поэтому оно полупросто и все его собственные значения
вещественны. Значит, мы можем применить D.4.4) к т]2 и получить
однопараметрическую подгруппу р (*) в Aut (g), для которой
р D) = т]2. Далее, поскольку туг^тг1 = rf и ttjV1 = ту2, мы за-
заключаем, снова используя D.4.4), что
т)р (х) = р (х) г\ и тр (х) х = р (—х) для х? R,

124 Гл. 4. Полупростые алгебры Ли над R и Q
Заметим, что р (л:) и является компактной вещественной фор-
формой и сопряжение относительно р (х) и задается формулой х (х)
= р (х) тр (—х) (x(^R). Из соотношений
ах (х) = ар (х) хр (—х) = атр (—2х) = туЧу^р (—2х) = гухр
D - 2л:),
х (х) а = р (л;) хр (—х) а = р Bх) хо = р Bх) ту1 = ¦лр Bл:)
вытекает, что ох A) = х A) а, и, согласно D.1.1), ар A) и = р A) и.
Так как ограничение а на и' = р A) и — инволютивный авто-
автоморфизм алгебры и', то и' = и+ф ul, где и+= A ± а) и'.
Поскольку из условия Х?и+ следует, что оХ = X, т. е. Х?д,
мы имеем u+cru'flS- Аналогично ul с: и' П *'д- Следовательно,
и; =- и' П g и ul => и' П Щ- Далее, g = (g f| и') Ф (д П m') = u;®iul. Q
Определение. Пусть д — полупростая алгебра Ли над R. Раз-
Разложение векторного пространства g в прямую сумму g = f®5p
называется разложением Картана алгебры д, если существует
компактная вещественная форма и' комплексификации д ал-
алгебры д, такая что
1 = дПи' и 5р = дПга'.
Из D.5.1) и D.5.2) очевидным образом вытекает следующее
утверждение:
D.5.3) Пусть g — полу простая алгебра Ли над R.
Тогда g обладает разложением Картана. Если g = t @ 5p —
такое разложение, то
1) отображение х' : X ¦+- У •—э- X — У (X 6 t- ^ € V) я6"
ляется (инволютивным) автоморфимом алгебры д;
2) [I, t]cl, If, 5р]С5р, ft, jp]cl;
3) для X ? I u У С 5р
В(Х, Х)<0 (Х^О), В(У, У)>0 (У + 0), 5(Х, У) = 0;
4) ! -р 15р — компактная вещественная форма алгебры д.
Прежде чем продолжать построение теории, рассмотрим при-
пример g = 81 (п, R), g == 81 (п, С). В качестве компактной веще-
вещественной формы алгебры g можно взять
и' =8и(/г) = {Х ? Й(л, С):'Х=— X}. .
В самом деле, и' есть подалгебра в 81 (п, C)r.
Далее, X ^ и' тогда и только тогда, когда матрица iX эрми-
эрмитова и имеет след, равный 0. Поэтому разложение
(*) У = ±(У-г?)+4(^-
4.5. Разложения Картона 125
(У С si (n, С)) показывает, что Su (n) является вещественной
формой алгебры 8f (n, С). Собственные значения всякой косо-
симметричной матрицы имеют вид V—1 >", где г ? R- Отсюда
следует, что если X ? 8f (n), то
< 0
и и' есть компактная алгебра Ли. Взяв в предыдущем определе-
определении g = 81 (я, R) и и' = 8и (п), получим
1 = {У 6 Я (л. R) : 'У = — F|,
^5 = {Г ? й(л, R) :*Y = Y\.
Автоморфизм %' алгебры 8l (n, R), определенный в D.5.3),
1), — это отображение х' (Y) = — 'У, 7^1 (n, R).
D.5.4) 1) Пусть иг и и2 — компактные вещественные формы ал-
алгебры д. Тогда существует однопараметрическая подгруппа р (х)
в Aut (д), такая что р A) их = и2.
2. Пусть д = !х ф 5pi = !2 Ф 5р2 — разложения Картана.
Тогда существует автоморфизм 9 ? Ad (g), такой что
0{1 = {, ч в-р, = -рз-
Доказательство. 1) Обозначим через ту- сопряжение относительно
и, (/ = 1, 2). Согласно D.5.2), найдется однопараметрическая
подгруппа р (х) в Aut (g), такая что
A) P(l)u, = (p(l)u1 nii2)®(p(l)U! П iuj),
B) р D) = (xzxtf.
Поскольку форма Киллинга В отрицательно-определенна на лю-
любой компактной вещественной форме, она отрицательно-определен-
отрицательно-определенна на р A) щ и положительно-определенна на iu2, так что
р A) их П И12 = 0. В силу A), р A) п± d u2; сравнивая размер-
размерности, заключаем, что р A) itx = u2.
2) Предположим, что Uy — компактная вещественная форма,
для которой tj: == g П Иу, ip/ = g П I'Hy, ; = 1, 2. Пусть or,—
сопряжение относительно g. Так как ату- = т;а, / = 1,2, то, в силу
B), р D) а = ар D), и, согласно D.5.2), (i), р (х) о = ар (х),
т. е. р (х) g = g для л; ^ R. Следовательно, р (х) — однопара-
однопараметрическая подгруппа в Aut (g). Полагая р A) = 0, имеем
eti = e (ux n g) = eui n g = ua n 8 = *2 и е^ = 9 (ux n *й) =
= вих П tg == u2 n »g = 5pa. D
D.5.5) Для всякого инволютивного автоморфизма о алгебры и
положим

126 Гл. 4. Полупростые алгебры Ли над [R и Q,
1) g (or) есть вещественная форма алгебры g и формула (*)
задает разложение Картана алгебры g (or).
2) Пусть g — вещественная форма алгебры д. Тогда найдется
инволютивный автоморфизм о алгебры и, такой что д s 5 (о).
3) Пусть ох и а2 — инволютивные автоморфизмы алгебры и.
Если д (огх) =ё д (а2), /по можно найти т] ? Aut (и), для которого
Т1ОЧТГ1 — а2. и обратно.
Доказательство. 1) Используя формулу B) из D.5.1), легко про-
проверить, что д (а) является подалгеброй. Очевидно, dim g (or) =
= dim u и g (or) порождает g как линейное пространство над С.
Следовательно, g (a) — вещественная форма.
2) Согласно D.5.2), можно найти т] ? Ad(g), для которого
в = A + °о) ЦП + I A — ОГ0) ТI1,
где ог0— инволютивный автоморфизм алгебры г\и. Тогда г\о0г\—
инволютивный автоморфизм алгебры и и
щ ОГЧготО = т) A + TWO u + it) (I - Ti^aoT)) i
= A + a0) Tju + i A — a0) щ = g,
откуда следует, что g (T)-1a0Ti) ss g.
3) Пусть / : g (ax) —» g (a2) — изоморфизм. Тогда
есть разложение Картана алгебры g (or2). Согласно D.5.4), 2), су-
существует автоморфизм р ? Ad (g (or2)), для которого
/ A + о-х) и = р A + a2) и, / A — at) u = р A — а2) и.
Для любого X ? A ± ах) и имеем р~грС ? A ± or2) u и о^р^/Х.
Поэтому f^aP/* = Г *Р (±Р-1/^) = ±Х = ахХ. Полагая
f~xp = т|, получаем, что г\о2ц~1 = ог1. В силу равенства A +
icrj « = т] A ± а2) ы имеем г\и = «. Обратное утверждение оче-
очевидно. О
Отметим, что D.5.5) дает формальное решение следующей
задачи:
Задача. Найти все неизоморфные вещественные формы алге-
алгебры д.
Решение, (i) Выбираем какую-нибудь компактную веществен-
вещественную форму u. (ii) Пусть / обозначает множество всех инволю-
тивных автоморфизмов алгебры и.
(Ш) Определяем отношение эквивалентности <~ в /, полагая
°i ~ a2. если существует автоморфизм r\ ? Aut (u), для которого
T1 = a,.
4.6. Сопряженность подалгебр Картина 127
(iv) Из каждого класса эквивалентности в //~- выбираем по
представителю а и строим g (а).
Как мы видели в D.2.4), решение задачи классификации всех
простых алгебр Ли над R сводится к решению предыдущей за-
задачи для каждой простой алгебры д. Классификация, даваемая
ниже в гл. 8, будет получена как раз на этом пути.
Упражнение 1. Пусть g — полупростая алгебра Ли над R и g = г. ф р —
разложение векторного пространства g в прямую сумму подпространств. Если
отображение X -j- V i—> X— Y (X ? f, Y ? p) является автоморфизмом,
а форма Киллинга отрицательно-определенна на i и положительно-определен-
на на р, то g = I ф р есть разложение Картана.
Упражнение 2. Пусть g = I ф р — разложение Картана алгебры д. Тогда
f — максимальная компактно вложенная подалгебра в д.
Упражнение 3. gR = u+ m есть разложение Картана.
4.6. Сопряженность подалгебр Картана
Нам потребуется следующий результат, доказательство ко-
которого будет дано в § 6.2.
D.6.1) Пусть g — алгебра Ли над R (соотв. С), все дифферен-
дифференцирования которой — внутренние. Тогда присоединенная группа
Ad (g) совпадает со связной компонентой в Aut (g), содержащей 1,
и является замкнутым вещественно- (соотв. комплексно-) аналити-
аналитическим подмногообразием в GL (g). Множество {exp (ad X) : X ?
д}, содержит некоторую окрестность единицы в Ad (g).
D.6.2I) Ортогональная группа О (п) = \S ? gl (я, R) :'SS=1|
компактна.
2) Если и — компактная полупростая алгебра Ли, то Aut (u)
и Ad (и) компактны.
Доказательство. 1) Очевидно, что множество О (п) замкнуто
в gl (n, R). Так как для (sjk) 6 О (п) мы имеем 2/ (s;aJ = 1>
то | sjk | < 1 и О (п) ограничено.
2) Пусть В — форма Киллинга алгебры и. Тогда В отрица-
отрицательно-определенна и, в силу D.4.3), 1), В (оХ, oY) = В (X, Y)
для любых о ? Aut (u), X, Y ? и. Пусть ?ь ..., ?„ — ортонор-
мированный базис относительно — В. Тогда о ? Aut (u) пред-
представляется матрицей S С О (п). Поскольку. множество Aut (и)
замкнуто в GL (и), то оно компактно, а значит, и множество Ad (u)
компактно, в силу D.6.1). Q
D.6.3) Пусть и — компактная полупростая алгебра Ли.
1) Всякая максимальная абелева подалгебра является подал-
подалгеброй Картана, и обратно.

128 Гл. 4, Полу простые алгебры Ли над R « С
2) Пусть а иЪ—-подалгебры Картана в ъ. Тогда существ ует
автоморфизм 9 ? Ad (а), такой что 9а = Ь.
Доказательство. Так как всякая подалгебра Картана является •
максимальной нильпотентной подалгеброй и всякая компактная
разрешимая алгебра Ли абелева, то всякая подалгебра Картана
в и является максимальной абелевой подалгеброй.
Пусть а — максимальная абелева подалгебра в и. Поскольку
множество {adX : X ? а\ можно отождествить с некоторым под-
подмножеством в О(п), оно вполне приводимо; поэтому найдется
векторное подпространство to в и, такое что
и — а ф №, [а, to] с п>.
Так как подалгебра а абелева, то, расширяя поле коэффициентов
пространства to до С, получим разложение в прямую сумму
СЦС = t»! ф
и С-значные линейные функционалы Хъ ..., Xk на а, такие что
для любого X ? « подпространство tOj содержится в обобщенном
собственном подпространстве преобразования ad X, отвечающем
собственному значению Х; (X), j = 1, ..., k. Допустим, что X ;= О
для некоторого /. Тогда можно найти элемент Y (=~0) ? toy,
для которого [a, Y) = 0. Полагая Y — Yx + tT2 (Yx, К2 ? tt>),
имеем [a, Yx] — [a, Y2] = 0. Следовательно, a + RYX и
a + RF2 — абелевы подалгебры в и. Поскольку a — макси-
максимальная абелева подалгебра, то Yx — Y2 — 0, — противоречие.
Таким образом, мы доказали, что все Xj отличны от 0. Поэтому
в а можно найти элемент Хо, для которого Хг (Хо) ф 0, ...
..., Xk (Хо) Ф 0. Следовательно, ограничение преобразования
ad Хй на id3 (а значит, и на и>) невырожденно. Итак, мы доказали,
что а является собственным подпространством преобразова-
преобразования ad Хо, отвечающим собственному значению 0.
Продолжим доказательство, используя метод, принадлежа-
принадлежащий Ханту. Пусть а и b — максимальные абелевы подалгебры,
и пусть элементы Хо С a, Yo ? Ь таковы, что а и Ь являются
собственными подпространствами преобразований ad Хо и ad Yo
соответственно, отвечающими собственному значению 0. Обозна-
Обозначим через В форму Киллинга алгебры и. Тогда В (оХ0, Yo) есть
непрерывная функция от о ? Ad (u). Пользуясь тем, что группа
Ad (и) компактна, выберем элемент о0 ? Ad (и), для которого
В (а0, Хо, Yo) принимает максимальное значение. Пусть Z принад-
принадлежит и. Поскольку ехр (х ad Z) а0 ? Ad (u) (x ? R), функция
f (х) = В (ехр (х ad Z) а0Х0, Yo) достигает максимума при х = 0.
Так как -у- ехр (х ad Z)x^0 = ad Z, то
4r @) = B([z, ст„Х0], Ya) = B([a0X0, Yo], Z) = 0.
4.6. Сопряженность подалгебр Картана 129
Ввиду произвольности Z имеем [ог0Х„, Yol — 0. Поскольку Ь
есть собственное подпространство преобразования ad Yo, отвечаю-
отвечающее собственному значению 0, это равенство эквивалентно усло-
условию о0Х0 ? Ь. Поскольку а есть собственное подпространство
преобразования ad Хо, отвечающее собственному значению 0,
то сгоа является собственным подпространством для ad (o0X0),
отвечающим собственному значению 0. Поэтому из равенства
[о0Х0, Ь] = 0 следует, что aoct zd b. Аналогично равенство [Хо,
СогУо]. ~ 0 влечет включение а^ zd ab. Следовательно, аоа = Ь.
Это завершает доказательство, так как если а — подалгебра
Картана и о ? Aut (u), то и яя — подалгебра Картана. Q
D.6.4) Пусть g — полупростая алгебра Ли над С, 1)х и §2 —
подалгебры Картана в д. Существует автоморфизм 9 ? Ad (g),
для которого 9^х = §2-
Доказательство. Исходя из данной подалгебры Картана §у- (/ =
1, 2), можно по формулам B) § 4.3 построить компактную вещест-
вещественную форму Uj, такую что u,- f) t)y- = ау- есть подалгебра Кар-
Картана в Uj. Согласно D.5.4), 1), существует автоморфизму ? Ad (g),
для которого тщ! = и2. Тогда Tiar — подалгебра Картана в и2.
Согласно D.6.3), найдется такой автоморфизм о ? Ad (u2) с
cz Ad (g), что оц^ — а2. Полагая 9 = ац, получим, что даг =
а2. Так как f)f — комплексная линейная- оболочка алгебры а,,
/ = 1, 2, то е^ = Ь- D •
Замечание. Теорема D.6.4) справедлива для любой алгебры Ли
над полем Р = Р характеристики 0.
Упражнение 1. Доказать D.6.3) без предположения о полупростоте алгебры и.
[Указание. Если g компактна, то g = и ф 3, где и — полупростой идеал
и 3 — центр алгебры д. Используя этот факт, мы можем отождествить Ad (u)
с Ad (g) и применить D.6.1) к Ad (g). Либо же можно воспользоваться тем
фактом, что произвольная подалгебра Картана (соотв. максимальная абелева
подалгебра) алгебры g имеет вид a + i, где a —- подалгебра Картана (соотв.
максимальная абелева подалгебра) в и. ]
/ 0 1\ /1 0\
Упражнение 2. Подалгебры a = R I I и Ъ = R I I
>ами Картана в 31 B, R). Однако не существу
I B, R)), для которого 9а = Ь. [Указание:
преобразований ad | | и ad | 1.
являются
подалгебрами Картана в 81 B, R). Однако не существует автоморфизма 9 ?
? Aut C1 B, R)), для которого 9а = Ь. [Указание: сравните собственные
значения
5 м. Гото, Ф. Гроссханс

130 Гл. 4. Полу простые алгебры Ли над R и С
4.7. Разложения Ивасавы
Пусть g — полу простая алгебра Ли над IR и g — ее. ком-
плексификация. В силу D.5.2), можно найти компактную веще-"
ственную форму и и инволютивный автоморфизм а алгебры и,
такие что
где I = A + or) u и 5p = i A — a) u.
Выберем в. :p какое-нибудь максимальное подмножество a,
элементы которого попарно перестановочны. Ясно, что а будет
векторным подпространством в ^, и, поскольку ia — коммута-
коммутативное подмножество в и, можно найти подалгебру Картана t
алгебры и, для которой ia с: t (согласно D.6.3)). Пусть X —
элемент из t. Для любого Y ? га имеем [X, Y] = Ои [аХ, Y] —
= _ [аХ, oY] = —о [X, Y] = 0, так что [X — оХ, Y] = 0.
Поскольку X — оХ ? A — а) и, то, ввиду максимальности га
как коммутативного множества, X — оХ ? ia, откуда аХ ? t,
т. е. t инвариантна относительно о. Следовательно, найдется под-
алегбра Ь алгебры f, такая что
t = b ф га, bczt, а с: 5р.
Пусть #!, ..., Яг — базис в а и Яг+1, ..., Я; — базис в t'b. Тогда
+ • • • + СЯ,
— подалгебра Картана в д.
Обозначим корневую систему относительно I) через Д. В силу
результатов гл. 2 имеем
8 = II СЯ,- + Ц
I , +
7=1 a € А
[Я, Я'] = 0 при Я, Н' 6 ^,
[Н, ?а] = а(Я)?а, a (Hi) ?
(а,
а
(/= 1, ...,/),
А),
Отметим, что поскольку ad X (X ? и) можно представить матри-
матрицей E/й), для которой Sjk + skj- = 0, то все собственные значения
преобразования ad X — чисто мнимые числа, а поскольку Яу- ^
? ш, то ad Яу имеет лишь вещественные собственные значения
при / = 1, ...,/.
Обозначим через и' множество всех элементов из g вида
Х1Н1 -(- • • • -f- XtHt + ХаЕа + A-.af.a + • • • ,
4.7. Разложения Ивасавы 131
где xlt .... Xi ^ t'R и л:а = х_а при а ? А. Согласно D.3.4), и'
является компактной вещественной формой алгебры д. Согласно
D.5.4), существует внутренний автоморфизм 9 алгебры д, для ко-
которого 9it' = u. В силу D.6.3), мы можем предположить также,
что 0t = t и и = {Я + Saxa- QEa : Я 6 t, xa = x_a для всех
a ? А}. Следовательно, мы можем, не меняя обозначений, ото-
отождествить и и и'.
Так как а§ = I), то найдется такой эндоморфизм / (а) двойст-
двойственного к 1) векторного пространства §*, что / (a) A = А. Для
удобства записи будем обозначать / (а) просто через а. Мы знаем,
что
(аа) (Я) = а (о^Н) = а (аН) для а ^ А, Я ^ ^
оЕа С СЕаа.
Введем лексикографическое упорядочение, отвечающее базису
Нъ ..., Яь и положим
Au = {a 6 А: а(Я) = 0 при Н 6 а},
Д+=; {а ^ А:а>0 и аа<0},
Д_ = {а ? А: а < 0 и аа > 0} = — Д+.
D.7.1) 1) А является объединением трех попарно непересекаю-
непересекающихся множеств А+, А_ и Ао.
2) а ? Ао тогда и только тогда, когда оа = а, и в этом случае
аЕа = Еа, оЕ_а = ?_„.
3) ?с/ш а, р ? А+ы а + Р ^ А, то а + Р € А+-
Доказательство. Заметим прежде всего, что
а(Яу), /= 1, . . ., г,
(aa) (//,-) =
а (ЯД
1) Если а ^ До, то найдется номер / < г, для которого
а (Ях) =...= а (Нм) = 0 и а {Нj) =h 0.
Следовательно, aa < (соотв. >) 0, когда а>(соотв.<с) 0.
2) Очевидно, что а ? Ао, т. е. а (Нг) =... = а (Яг) = 0, тогда
и только тогда, когда aa = а. Положим
Са = Еа— Е_а, Sa = i (Ea — Е_а) при a ? Д.
Если a ? Ао, то Еа и ?_„ перестановочны с любым элементом
из а. Поскольку оЕааСЕаа, = СЕа и oE_aczCE_a, мы имеем
[Са — оСа, а] = 0. Поскольку Са — аСа G A — о) и = гр,
то Са — оСа ? ia а $. Так как Са — оСа 6 C
мы имеем Са — aCa = 0.
5*

132 Гл. 4. Полупростые алгебры Ли над R и С
Аналогично Sa — oSa = 0. Следовательно, аЕа — Еа и аЕ а —
3) Если аа < 0 и ар* < 0, то а (а + р*) = аа + ар* < 0. Q
D.7.2) (К. Ивасава) п = Bа?д С?а) П 3 ес/яь нилыютентная
подалгебра в д, такая что эндоморфизм, ad X нильпотентен для
любого X ? п ы а + п является разрешимой подалгеброй. Далее,
д = /г ф а ф п.
Доказательство. В силу D.7.1), 3), п = 2а?Д С?а— подал-
подалгебра в д, и, поскольку (ad Ea)i E$ a Eja+$ (/= 1, 2, ..,), эндо-
эндоморфизм ad X (X ? п) нильпотентен. Отсюда следует, в част-
частности, что п — нильпотентная алгебра Ли, а значит, нильпо-
тентна и алгебра п. Так как [а, п] с=п, то [а, п] сп и, по-
поскольку алгебра а абелева, а + п является подалгеброй. Из
соотношения [а + п, а + п ] с п следует, что эта подалгебр а
разрешима.
Для Я ? а и а ? А имеем а (Я) ? R, так что ad Я — полу-
полупростой эндоморфизм с вещественными собственными значениями.
Следовательно, a f| л = 0 и для каждого X ? а + п все соб-
собственные значения эндоморфизма ad X вещественны. С другой
стороны, если У ? f, то,*, как мы знаем, ad Y — полупростой
эндоморфизм с чисто мнимыми собственными значениями. Следова-
Следовательно, ad (?) 0 ad (а + п) = 0, т. е. f П (а + п) = 0.
Поскольку l + acig, достаточно показать, что дс! +
+ а + п. Ввиду того что g == I + i (I — а) и, мы можем огра-
ограничиваться доказательством включения i A — сг) u cr I -+- а +
п. Так как и = Riffi + . • . + Riffs + ?a>o (RCa + RSa) и
для а ? До, в силу D,7.1), 2), аСа = Са и aSa — Sa, то нам ос-
остается только показать, что t A — о) X ? t + а + п для
X = iff,- A < / < 0, Са> 5а (а А
Очевидно, 1 A — а) 1'Я, G а-
непосредственный подсчет дает
* A - а) С* = ~ (Sa + о5а) +
A
е А+).
Далее, для
2t (?а - а?_а
любого а ? А+
и, поскольку для любого а ? Д+ мы имеем —аа ? А+, то Еа —
оЕ-* € п. Так как Sa + crSa 6 A -f- cr) u = I, to i A — 0)
Ca € I + it. Аналогично проверяется, что i A — cr) Sa ? f -f-
+ n. 0
В качестве иллюстрации к изложенной теории рассмотрим
пример g = & (п, R), g = 8l (n, С). Здесь можно взять
u = 8u(rt) = {X е «Цп, С): <Х = — Х\.
4.7. Разложения Ивасавы 133
Тогда
a = sdiag (n, R) = {X
n = u(n, R) = {X =
•) ^ Я (л, R): x,y = 0, i Ф
«I(n, R): дг,/ = 0, 1 > /}.
Равенство & (n, R) — t + a + n следует из D.7.2), но его
легко доказать и непосредственно.
Упражнение 1. В обозначениях данного параграфа, для всякой полупростой
алгебры Ли д над С
Г
a>o
есть разложение Ивасавы для gR.
Упражнение 2. Если рассматривать a ? Д как С-значный линейный фуикцио
нал на подалгебре Картана а+ Ь алгебры д, то (аа) (Н) = а (Я).

Глава 5
ГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ С
КОРНЕВЫМИ СИСТЕМАМИ
5.1. Введение и обозначения
Начнем с того, что коротко напомним основные результаты гл. 2.
Пусть g — полупростая алгебра Ли над С и 1) — ее подал-
подалгебра Картана. Пусть А — корневая система алгебры g относи-
относительно §. Тогда А является подмножеством пространства §*,
двойственного к §. Далее, форма Киллинга В алгебры g невы -
рожденна на 1}, и поэтому для произвольного Я ? I)* мы можем
определить элемент Нх ? \ условием
В (Яь Я) = Я (Я) для всех Е ? $•
Введем скалярное произведение (невырожденную симметричную
билинейную форму) в §*, полагая
¦ (Я, |А) = А,(Я„) = (х(Я0 = в(Ях, Я„) (Я, ц? П
Пусть ? — вещественная линейная оболочка множества А
в §*: Е = Ла^дКа- Если rank g = dim 1) = dim lj* = /, то Е
также имеет размерность / над R и скалярное произведение яв-
является положительно-определенным, на Е..
Рассматриваемая как подмножество пространства Е корневая
система А удовлетворяет следующим условиям:
A) О Ф А и для любого а ? А мы имеем Rc% f) A = |±а}.
B') Для любых а, Р С А
2 <fti4-? Z и р_2#-4а€Д-
<а, а> ^ ^ ' (а, а) ч-
C) А порождает Е как линейное пространство.
Для всякого Я ? Я определим элемент S% ? gl (E) условием
, = 1-2
Ясно, что 5^ — это отражение относительно гиперплоскости
Рх = || ^ Е: (Я, |) = 0} (см. рис. 1). Пусть 0 (?) обозначает
ортогональную группу эвклидова пространства Е:
О(?)= {Г 6 GL(?): (П, Гт)> = (|, Т)) для Ъ, г\ ? Е\.
or;i S, ^ О (?), и если а, р* ^ А, тэ 5^3 3 Д, ввиду B').
5.1. Введение и обозначения 135
Рис. 1.
Докажем, что всякое подмножество А пространства Е, удовлет-
удовлетворяющее условиям A) и B'), удовлетворяет следующему усло-
условию B) (см. упр. 4 § 2.4):
B) Если а, р ? А, /по р — /га ? А для любого целого числа /г,
заключенного между 0 и 2 (|3, а)/(а, а).
Доказательство. Пусть а, р^Аиа=^±Р- Если (а, р) = 0,
то доказывать нечего. Предположим вначале, что Dа, р* ) > 0.
Если (а, а) > (р, р), то из неравенств 2 (а, а) > (а, а) +
<р, Р) > 2 (а, р) получаем 0 < (а, р)/(а, а) < 1. Так как 2
(о, Р)/(«, ос) ? Z, то 2 (а, р)/(а, а) = 1 и р — а = 5ар е Д. в
силу B')- Если (р, р) > (а, а), то аналогично доказывается,
что а — р ? А, и потому Р — а = — (а — Р) ? А, согласно A).
Отсюда вытекает, что Sa (р — а) = 5ар + а ? Д. Следовательно,
если (а, р) > 0, то р — а, 5ар + а ? А; повторяя это рас-
рассуждение, заключаем, что р, р — а, р — 2а, ...,5ар ? А.
Если (а, р) < 0, то (—а, Р) > 0, что позволяет свести этот
случай к предыдущему. Q
Иногда бывает удобно определить скалярное произведение
в I) формулой
(Я, Я') = — -Л^ В (Я, Я') (Я, Я' е t>)
и отождествлять элемент Я ? ? с элементом ср (Я)
торого
для ко-
коЯ (Я) = 2я V— 1 (Ф (X), Н) (Я
так что Н\ = 2л К—1 Ф (Я). Пусть \ — вещественная линейная
оболочка множества \На: а ^¦ А[. Тогда ср есть изоморфизм век-
векторных пространств
(Я, и.) = (ср (Я), ср
(Я,
Я).

136 Гл. 5. Группы, связанньш с корневыми системами
Учитывая это, мы будем при необходимости опускать символ ер
и рассматривать Д как подмножество в §.
Далее, введем в Е какое-нибудь лексикографическое упорядо-
упорядочение и обозначим через Д+ множество всех положительных кор-
корней. Положительный корень а называется простым, если его нельзя
представить в виде суммы а = |3 + у, где р, 7 € Д+- Пусть п —
множество всех простых корней. Тогда
D) я = \а1у ..., at\ образует базис пространства Е.
E) Если Р С Д, то Р = п1а1 +•••+ Ща.1, где п у ? Z, причем либо
все rij неотрицательны, либо все П/ положительны, т. е. л —¦
фундаментальная система в Д; обратно, всякая фундаменталь-
фундаментальная система в Д является множеством простых корней отно-
относительно некоторого упорядочения (см. B.4.5)).
В § 2.4 было введено также понятие я-системы как подмноже-
подмножества {аъ ..., <xt\ с Е, для которого выполняются условия:
F) \аъ ..., at\ — базис в Е.
G) Числа Сц
при i Ф }
= —2 (а,-, ау)/(ау-, ау> целы и неотрицательны
Мы называем сГ1 числами Картана, а матрицу — (с,у-) — матрицей
Картана я-системы {аг, ..., at\.
Всякая фундаментальная система я в Д является л-системой.
Но, как было показано в гл. 2, для любой л-системы я существуют
полупростая алгебра Ли g с подалгеброй Картана § и корневой
системой Д и фундаментальная система л в Д, такие что я з=; я.
Далее, из я ss я следует, что ДзД идад (см. B.6.2) и B.6.6)).
Это означает, что п определяет g и Д.
Напомним теперь конструкцию компактной вещественной
формы и алгебры д, описанную в § 4.3. Для любого а ? Д
существует элемент Еа ? д, такой что
8
себл
И, И = 0, a (W с R,
[Я, ?в] = а (Я) ?в, [?в, ?_а] = —Яа С t,r,
[?¦„, Efi] = Na,,fiEai# при а, Р,
где
5.2. Группы. Вейля 137
Множество \Еа: а ? Д}, удовлетворяющее перечисленным выше
условиям, называется базисом Вейля алгебры g (по модулю §).
Для данного базиса Вейля \Еа\ подалгебра
для всех a ? Д}
является компактной вещественной формой алгебры д. Заметим,
что, используя описанное выше отождествление, можно написать
Д(=«ф(Д))с tcu.
В этой главе мы будем изучать группы эвклидовых движений
пространства Е, связанные с Д. Мы сохраняем обозначения настоя-
настоящего параграфа на протяжении всей главы.
Последняя часть главы основана преимущественно на работах
Ивахори и Мацумото.
5.2. Группы Вейля
Пусть Е — векторное пространство размерности / над R с по-
положительно-определенным скалярным произведением < ,) и Д —
корневая система в Е, т. е.
A) О Ф Д и Ra П Д = \±а\ Для любого a ? Д;
B') из того, что а, |3 ? Д, следует, что 2 (р\ а)/(а, а) ? Z
и 5af5 е А;
C) Д порождает Е.
Пусть, как и выше, О (Е) обозначает ортогональную группу про-
пространства Е.
Определение. Подгруппа в О (Е), порожденная множеством
\Sa: а ? Д}, называется группой Вейля системы Д и обозначается
Ad (Д). Далее, группа
называется группой автоморфизмов системы Д.
E.2.1) Aut (Д) — конечная группа, и Ad (Д) — нормальная под-
подгруппа в Aut (Д).
Доказательство. Каждое преобразование Т из Aut (Д) индуци-
индуцирует некоторую перестановку множества Д, и потому Aut (Д)
можно отождествить с соответствующей подгруппой симметриче-
симметрической группы конечного множества Д.

138 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
Если Т ? Aut (Д) и а
нормальная подгруппа
Положим
? А, то TS^T'1
в Aut (Л). Q
= STa, так что Ad (Д) —
?' =^
Ра-
Определение. Связные компоненты множества ?' называются
камерами Вейля.
Из этого определения сразу следует, что каждая камера Вейля
есть открытое линейно-связное множество в ?.
E.2.2) 1) Пусть № — камера Вейля и Т ? Aut (А). Тогда и
TW — камера Вейля.
2) Пусть я = \ах, ..., at\ —фундаментальная система в Д.
Тогда множество
№ (я) = !???:<<*„ ?}>о, . . ., {а„ ?)>0|
является камерой Вейля.
Доказательство. 1) Так как ТРа = РТа, то ТЕ' = ?'. Посколь-
Поскольку Т представляет собой гомеоморфизм, TW является связной
компонентой множества ?' и, значит, камерой Вейля.
2) Всякое р ? А записывается в виде |3 = ^а, +...+ л,а,
(tij ? Z), где коэффициенты лу- либо все неположительны, либо
все неотрицательны. Поэтому для ? ? IF (я) мы имеем {р\ ?) ^= О
и i e ?'.
Очевидно, что для любых ?, т] ? № (я) отрезок ?? + A —0 т)
(О < t -< 1) содержится в № (я), т. е. множество № (я) вы-
выпукло, а значит, связно.
Пусть теперь ? ? № (я) и rj ? ?'\№ (я). Тогда найдется такой
номер /, 1 </<:/, что (ос,., т]) < 0. Поскольку (а., ?) > 0,
всякая кривая, соединяющая ? и т), пересекает Ра.. Следовательно,
№ (я) есть связная компонента множества ?'. Q
E.2.3) Пусть я0 = {ах, ..., аД — фундаментальная система в Д.
Яоложгш
1) {5,, ..., Si\ — па/юждшощая система для Ad (A).
2) Для каждой камеры Вейля W найдется такое пр собразо-
вание S ? Ad (А), что S№0 = №.
3) Всякая фундаментальная система в А шпь система вида
5я0, где S ? Ad (А), «, обратно, 5я0 является фундаментальной
системой в Д я/ш любом S ? Add (A).
5.2. Группы Вейля 139
Рис. 2.
4) Каждый корень р ? А можно записать в виде
S'iS'» ¦ ¦ ¦ Sikai' где l". /i. ••¦•/*= 1, .... /,
« <?ля любой фундаментальной системы я в А имеет место равен-
равенство А = Ad (А) я.
Доказательство. Обозначим через G подгруппу в Add (Д), порож-
порожденную множеством {5Х, ..., St\.
(а) Докажем прежде всего, что каждая камера Вейля № сов-
совпадает с S №0 для некоторого 5 ? G.
Пусть ? ^ №,, и ? ? №. Выберем такой элемент 50 ? G,
что || 50? — ? || «: || S? — ? || для всех 5 ? G, и положим 50? = т].
Допустим, что т) Ф №0. Тогда найдется номер /, для которого
(oty, т)) < 0. Следовательно, ? и 5^ лежат по одну сторону от ги-
гиперплоскости Ра., а т) — по другую ее сторону (рис. 2). Значит,
II i — 5уТ) || < || ? — ц || — противоречие. Более подробно, выбе-
выберем в Е ортонормированный базис е1? ..., е;, в котором гх —
а
а,
¦/-и -/ и- Тогда о
? = ххгх +...+ xv
и (ау, т)) < 0, то
= —гх
Sj-ek = sk
Ti = ухгх +...
> 0, ух < 0 и
при k > 1. Положим
Так как (ау, ?} > 0
Из равенства
—ухгх + г/2е2 +.
г/,J + (х2—y,f Ч
.+ y,et получаем
Мы пришли к противоречию. Тем самым показано, что So (№) П
Wo =5^ 0, откуда следует, что S0W = №0.
(Ь) Теперь докажем, что для любого a ? Д найдутся такие
а у ? ло и S ? G, что 5а = ау-.
Выберем ? ^ Ра так, чтобы I <? Рр при всех р =#= ±а. Возь-
Возьмем е > 0, настолько малое, что для всякого т) ^ ?/={?€ ?:
II С — 1|| < е} выполняется неравенство <р, |> (Р, ii)> 0, т. е.
? и т) лежат в одном и том же полупространстве, ограниченном
гиперплоскостью Р$, при всех р Ф ±а. Очевидно, что множество
U' = U f\ {l, ^ E: (a,, 'Q > 0} связно и содержится в некото-
некоторой камере Вейля, скажем №. В силу (а), найдется преобразо-
преобразование S ? G, для которого SW = №0.

140 Гл. S. Группы, связанные с корневыми системами
Допустим, что Sa Ф ±а;- для всех /== 1, ...,/• Тогда для каж-
каждого т) ? U' числа <S~1a/, т)) = <a;-, St)> и {S~x(xt, |> = <а;-, S?>
имеют одинаковые знаки. С другой стороны, из соотношений
St) ? Si/' с: SW = Wo следует, что (a), Sr\) > 0 при / = 1,
2, ..., /. Это означает, что S| 6 Wo> B противоречие с условием
S| ? SPa = PSa- Таким образом, Sa = ay- или Sa = —а,-
для некоторого /. Если Sa = —ay, то SySa = ay-, а SjS ? G.
(с) Докажем, что Sa ? G для всех a ? Д, откуда будет следо-
следовать, что G = Ad (A).
Для любого Т ? Ad (Д) имеем TSaT'1 = STa. С другой сто-
стороны, Sa = а для некоторого / и некоторого S ? G, в силу (Ь).
О SSS'1 S S S^SS 6 G
р
Отсюда SSaS'
р
Sa =
р
G.
д a j a y
Заметим, что из (b) и (с) вытекает 4).
(d) Пусть я = |Рх, ..., Р;} —фундаментальная система в Д.
Найдем преобразование S ? Ad (Д), для которого Sn0 = я.
Поскольку № (я) — камера Вейля, существует преобразова-
преобразование S ? Ad (Д), такое что SW0 = № (я). Отсюда следует, что для
вектора | ? ? тогда и только тогда <РУ, |) > 0 A <: / < Z),
когда (Say, |) = <ay-, S!) > 0 A < / «: Z). Следовательно,
граница множества W (л) содержится в U/^^sa- и также в
U/=i^pr Значит, наборы {PSai, ¦¦¦, Psat) и [Р^, ..., Р^} сов-
совпадают с точностью до порядка. Если Pp. = Psak> T0 Safe ? Rp/;
а потому Sa.k = ±РУ-. Но для любого | ^ Wo мы имеем <Р;, S|) >
0, и из равенства ру = —Sa.k следовало бы, что {ctk, |) = (Sa,k,
S|) < 0, — противоречие. Таким образом, S<xk = р;- и Sn0 = я.
(e) Пусть Т ^ Aut (Д) и р ^ Д. Тогда р можно записать в виде
Р = ща.^ + ... + лга;, так что ТР = п1Та1 + ... + ntTat, где
п;- ^ Z, причем либо все п; > 0, либо все пу- < 0. Следовательно,
Тя0 — также фундаментальная система.
Предложение полностью доказано. Q
Определение. Пусть я — фундаментальная система в Д. Группа
Aut (я) = {S € О (?): Six = л}
называется группой автоморфизмов системы п.
E.2.4) Aut (я) — подгруппа в Aut (А), такая что
Aut (Д) = Ad (Д) Aut (я).
Доказательство. В силу B.6.2), для Любого S ? Aut (я) мы Имеем
SA = Д. Поэтому Aut (я) с Aut (Д). Обратно, пусть Г ? Aut(A).
Тогда Тп ¦—- фундаментальная система, и, согласно E.2.3), 3),
5я = Тп для некоторого S ? Ad (Д). Следовательно, S"XT ?
Aut (я). Q
5.3. Группа автоморфизмов полупростой алгебры Ли над С 141
Замечание. Фигурирующее выше произведение Ad (Д) Aut (я) яв-
является полупрямым, т. е. Ad (Д) fl Aut (я) = 1. Этот факт будет
доказан в следующем параграфе.
Упражнение 1. Пусть Д (Ai) — корневая система, соответствующая диаграмме At.
Доказать, что группа Ad (Д (А1)) изоморфна симметрической группе множества
{1. 2, ...,/+ 1}.
Упражнение 2. Найти Aut (Д (А1)).
Упражнение 3. Пусть W = SW0, где S ? Ас1(Д), — камера Вейля. Если она
инвариантна относительно преобразования Т ? Aut (Д), то это преобразование
переставляет элементы множества {Sax, ..., So.;].
5.3. Группа автоморфизмов полупростой
алгебры Ли над С
Пусть g — полупростая алгебра Ли над С, I) — ее подал-
подалгебра Картана, Д — совокупность корней алгебры g относи-
относительно t) и я = \аъ ..., а;| — множество простых корней относи-
относительно некоторого фиксированного упорядочения.
Обозначим через N = N (fy подгруппу в Aut (g), состоящую
из всех автоморфизмов а, для которых сг § = ф, и положим № =
^ П Ad (g).
E.3.1) Aut(g) = Ad (g).tf,
Aut (g)/Ad (q) = N/№.
Доказательство. Для любого a ? Aut (g) подалгебра aij будет
подалгеброй Картана в g; поэтому, согласно D.6.4), найдется
автоморфизм т ? Ad (g), для которого тсф = §, т. е. та (= N,
откуда сг ? т^1^ с: Ad (g)-iV.
Так как Aut (g) = Ad (g)-iV, то
Aut (g)/Ad (g) = (Ad (g) ¦ N)/Ad (g) - N/(N f| Ad (g)) = N/№.
Положим
?= L
E.3.2) 1) Пусть о
GL (?) формулой
(f (a) |)
N. Тогда a
(Я 6 \
= §r, «, определяя f (о)
мы получаем гомоморфизм f группы N на Aut (Д).
2) аНх = Hf (a) х для всех К ? Е.
3) Ядро гомоморфизма f равно exp (ad §).

142 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
Доказательство. 1) Применяя а ? N к обеим частям равенства
[Н,.Еа] = а (Я) Еа, находим, что [аН, аЕа] = а. (Н\аЕа, т. е.
[Я,
при
Пусть р (Я) == а ((Г1//). Ясно, что р ? А. Определим f (а) ?
€ GL (Г) формулой (/' (а) |) (Я) = I (аПЯ) (Я О, U 5*)-
Тогда /' @) А = А, а потому /' (а) Е — Е и 0§г = \. Следова-
Следовательно, ограничение / (а) отображения /' (а) на Е принадлежит
Aut (А). Для 0, т е М, а ? А и Я ? $г
(/ @) (/ (т) а)) (Я) = (/ (т) а) (а^Я) = а (тГ^Я)
=а ((отГ^Я) = (/ (от) а) (Я).
В силу B.6.7), для каждого Т ? Aut (А) существует такой
автоморфизм а алгебры д, что of) — I) и / (а) = Т. Следовательно,
гомоморфизм f сюръективен.
2) Положим f (a) = S. Для любого Ъ, ? Е
= {I, Я) = | (Н%).
Значит, 0~1Я5». = Н%, т. е. аНх = Я5^,.
3) Если / @) = 1, то 0 = id на f). Применяя а к обеим частям
равенства [Я, ?а ] = а (Я) Еа, получаем [Я, аЕа ] — а (Я) оЕа.
Следовательно, оЕа = q (а) Еа для некоторого q (a.) ? С.
Так как [Еа, Е_а) = —На ? Ъ, то q (a) q (—а.) = 1, а из
равенства [Еа, ?Р1 = Na,^Ea^ следует, что ? (а) ^ (Р) = g (а +
р), если а, р, а + Р € д-
Докажем утверждение:
(*) если р = пЛа,х + ¦ ¦ ¦ + Щ<*1 € А, то q (Р) = ^ {a.x)ni ¦ ¦ ¦ q (a,)"',
используя индукцию по | р | = | пх +...+ Щ |.
В случае | Р | = 1 это утверждение очевидно. Допустим, что
р ? А, | р.| :> 2 и (*) справедливо для всех у ? А, с | у I < I P I-
Предположим вначале, что Р > 0. Тогда, в силу B.6.1), найдутся
такие у > 0 и а; ? л, что Р = Y + а/- Если р = л^ +...+ п;а/;
то 7 — niai +•••+ (tij — 1) a.j +...+ nlccl и по предположению
индукции
Следовательно,
Я (а,)
q(a,)n'.
Ч («/)"'•
Поскольку <7 (Р) ? (—Р) =1, (*) выполняется и для —р. Итак,
утверждение (*) доказано.
Так как q (а;) ф. 0, то существуют числа Гу ^ С, для которых
ехр т-г = q ((Xj). Поскольку множество \аг, ..., at\ линейно-не-
5.3. Группа автоморфизмов полупростой алгебры Ли над С
143
зависимо, найдется такой элемент Яо ? lj, что а;- (Яо) = гу и
потому ехр (ау (Яо)) == ? (а;). Применяя (*), получаем
ехр а (Яо) = ^ (а) при а ? А.
Следовательно, ехр (ad Яо) Н = Н при Я ?
q (а) Е , т. е. о = ехр (ad Яо).
То что / (ехр (ad f))) = 1, очевидно. Q
и ехр (ad Яо) Еа. =
Замечание. Из 2) следует, что если отождествить X ? Е с Нх ?
? f)r или с 2я К—1 Я?, ? К—1 f)r = t, то S совпадает с ограни-
ограничением автоморфизма ст на ^ или соответственно на t.
E.3.3) / (№) zd Ad (A).
Доказательство. Достаточно показать, что для любого а ? А
найдется элемент Ха ? g\ такой что ехр (ad Xa) f) = ^ и
/ (ехр (ad Ха)) = Sa- Положим
V 2 (a, a) v
Индукцией по k можно доказать, что
(aA Y12*+l Я ( 1 1*+1 тг2&+1 a(
?_«), а = ехр (ad X).
« - ? .а),
(ad
Ь,
= (—1
Поэтому
oH = Я + V
1
Bft+1)!
г (ad
, 2
(ad
-= я --
V~2 (а, а)
(a, a)
- ?_1Х)
*—о
<а, а>
Bk + 2)\ a
(COS л — 1) Яа
(а, w) а

144 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
Следовательно, для
Е и Я ? 1)
и, значит, f (a^1) = 5a. Так как S\ = 1, то / (a) = Sa. Q
Для s ? gl (g) и с ? С положим
g(s, c) = {X 6 g:(s —cl)«X = 0}, где rc = dimg.
E.3.4) Для любого о ? Ad (g)
dim g (a, 1) >• rank g = /.
Доказательство. Пусть а ? Ad (g). Положим
с (x, a) = det (.y1 - cr) = (x - 1)" + cn+1 (a) (* - i)»+i +
¦ ¦¦ +cn (a).
Ясно, что с0, cx, ...,crl_x — голоморфные функции на Ad (g).
С другой стороны, для X ? g и а = exp (ad X) имеем g (a, 1)
гз g (ad X, 0) и dim g (ad X, 0) > /, откуда dim g (о, 1) > / и,
значит, с0 (а) = сх (а) =• • ¦ = ct_x (a) = 0. Из последнего утвер-
утверждения теоремы D.6.1) следует, что с0) сх, ..., cl_1 равны нулю
в некоторой окрестности единицы. Так как Ad (g) — связное ана-
аналитическое многообразие, то с0, ..., ct_x должны быть тождественно
равны нулю на Ad (g). Следовательно,
с(х, о) = (х-
\-ct(a)) для a
). Q
E.3.5) Для любого Т ? Aut (я) найдется такой автоморфизм
т^ JV, что f (т) = Т и g (т, 1) с: §.
Доказательство. Поскольку отображение f: N —*~ Aut (Д) сюръ-
ективно, мы можем найти элемент т0 ^ iV, для которого /_(т0) =
= Т. Так как Тл = л, то из а > 0 следует Та > 0. Разложим
перестановку множества Д, индуцированную отображением Т,
в произведение циклов
(Рь Ра, • • ¦ , Pa) (Vi. 7г. ¦•.)•••,
где Тр! = р2, Гр2 = р3, ..., Tpft = plf Tyx = у2, ... .
Для любого а, ? Д имеем [//, То^а ] = а (то1/^) то?а и
а (тоХЯ) = (/ (Т5) а) (Я) = (Та) (Я), поэтому то?а С g (Та). Но
9 (Р) = С-Ер для всех р ? Д. Следовательно, тод (Pi) = д (р2),
Ч 9 (Рг) = 3 (Рз). ¦••. ЧЧ (Рй) = 9 (Pi) и, значит, подпространство
5.J. Группа автоморфизмов полупростой алгебры. Ли над
145
инвариантно относительно преобразования т„, причем сужение
этого преобразования на V задается в базисе Е^, ..., E$k матри-
матрицей вида
A)
0
qx
0
0 .
0 .
ч.
. . 0
. . 0
. . 0
Як
0
0
0 0 ... o,k_x 0
J
с характеристическим многочленом хк — qxq%...qk.
Для любого Я ? % автоморфизм хо-ехр (ad H) также остав-
оставляет подпространство V на месте и представляется в нем матри-
матрицей вида A), в которой все числа qj заменяются на дуехр Р;-(Я)
и которая имеет характеристический многочлен хк—¦ Я\'~ Як^
Хехр (?/=iP/ (Я)). Так как все корни ру-имеют один и тот же знак,
то 23 Р/ ?= °- Следовательно, множество {Я 6 1?: ЯгЯг---Як-^^Р
Bру (Я)) = 1} является объединением счетного числа гипер-
гиперплоскостей в J) вида |Я^: 23 Р/ (я) = r\ > weexp г = (^- • -^Г1-
Итак, каждому циклу соответствует некоторое подмножество
в f), являющееся объединением счетного числа гиперплоскостей.
Ясно, что найдется элемент Я„ ? ^, не принадлежащий этому
объединению. Положим т = тоехр ^Яо).
Автоморфизм т оставляет пространство V на месте, и 1 не яв-
является корнем характеристического многочлена его сужения на V,
поскольку qx-qk-exp B Ру-(Я„)) =?*= 1. Это справедливо для
каждого цикла. Значит, т не имеет собственного значения 1 в
инвариантном подпространстве Еа^дС^, т. е. g (т, 1) с §. Q
E.3.6) 1) / (JV°) = Ad (Д).
2) Ad (Д) П Aut (я) = 1.
Доказательство. Докажем вначале, что / (№) П Aut (я) = 1. Для
всякого Т ? f (№) П Aut (л) можно, в силу E.3.6), найти такой
автоморфизм х ? N, что / (т) = Тид (т, 1) с: § . Так как № с=
Ad (д), и ядро гомоморфизма f содержится в Ad (д),тот ^ Ad (g)
и, ввиду E.3.4), dim g (т, 1) > rank g. Следовательно, g (x, 1)
=! ^. Поскольку т^г = ^г и для любых Нх, Я2 6 Ьт
(хНх, хНг)=В(хНх, тЯ2)=В(Я1, Н2) = (Ни Н2),
где через В обозначена форма Киллинга, то ограничение авто-
автоморфизмах на 1jr является ортогональным преобразованием с един-
единственным собственным значением 1; следовательно, т должно быть
тождественным преобразованием. Из того, что (Т|) (Я) = \ (т ХН)
при Н ? 1)г и I ? Е, вытекает, что Т = 1.

146 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
Поскольку, в силу E.3.3), / (№) =э Ad (Д) и / (№) Г\ Aut (я) = 1,
мы имеем Ad (A) fl Aut (я) = 1. С другой стороны, согласно
E.3.4), Aut (Д) *= Ad (A)-Aut (я) и потому / (№) = Ad (A). Q
Таким образом, мы установили следующую теорему:
1 2 3
E.3.7) Теорема Aut (g)/Ad (g) a N/No at Aut (A)/Ad (Д) as Aut (л),
где N = {а ? Aut (g): a$ = Щ и № = N П Ad (g).
Отметим, что
1
з* следует из сопряженности подалгебр Картана,
= — из свойств гомоморфизма f,
sz — из разложения в полупрямое произведение
Aut (A) = Ad (А) • Aut (я), Ad (Д) П Aut (я) = 1.
Пример. At : о о— •••—о (/> 2). Группа автоморфизмов этой
диаграммы, очевидно, такова:
и Aut (g)/Ad (g) — группа порядка 2.
Упражнение. Пусть Й и Й' — камеры Вейля (или фундаментальные системы
в Д). Тогда существует единственное преобразование'S ? Ad (Д), для которого
Odd Lu .
5.4. Группа автоморфизмов компактной
полупростой алгебры Ли
Пусть и — компактная полупростая алгебра Ли и g —
ее комплексификация. Мы можем считать, что
и = t
Ма
U (R (Еу
Е_у) -f Ri (Еу - Е_у))
Я
для
JV_
р при а, E ? Д.
Поскольку алгебра и является вещественной формой алгебры д,
всякий ее автоморфизм единственным образом продолжается до
автоморфизма алгебры д. Пользуясь этим, мы будем рассматри-
рассматривать Aut (u) как подгруппу в Aut (g):
Aut (и) = {cr ? Aut (g): an = и},
5.4. Группа автоморфизмов компактной полупростой алгебры Ли 147
Мы сохраняем обозначения предыдущего параграфа; в частности,
а значит,
Aut (Д)
Так как всякий элемент группы N оставляет на месте \
и подалгебру Картана t алгебры и, то
Nu =* {а ? Aut (и): at == t} == N П Aut (и).
Нас будет интересовать сужение гомоморфизма /: N
на Nu. Обозначим это сужение через /и.
Пусть а ? N. Тогда
аЕа = q (a.) ESa, где ?(a)€C, S = f(a).
Из равенства а (хаЕа + х_аЕ_а) = q (a) xaESa + q (—a) х_аЕ_3а
мы заключаем, что аи = it тогда и только тогда, когда q (a) xa =
= q (—a) x_a при xa = x_a, т. е. q (a) = G (—a). Итак:
E.4.1) Автоморфизм о ? N принадлежит Nn тогда и только
тогда, когда q (a) = q (—а) для всех a ? А.
E.4.2) Яусть 5 $ Aut (А) и п = {ах, ..., щ\ — фундаменталь-
фундаментальдй ф
() у $ () {х \
ная система в А. Тогда существует единственный автоморфизм
а ? N, для которого f (а) = 5 ы а?Иг = -Esc^. (i = 1. •••> О-
a ^ iVu.
Доказательство. Если р + ia (—/ <¦ I <¦ k) есть a-последователь-
ность, содержащая р\ то SP + га (—/ < i <. k) будет (S, а)-
последовательностью, содержащей Sp\ Следовательно, (iVa, в)г =
= (^sa.spJ = 2 (/ + L)k (a, a), т. е. Na, p = ± iVSa, sp.
Пусть ст — такой элемент из N, что f (a) — S (см. E.3.2)). Приме-
Применяя a к равенствам [?"v, ?_v] = —#v и [?„, ?p] = iVa> p?a+p.
получаем
<7 (?) 9 (—?) =
если
Выберем элемент а0 ? ^, для которого / (a0) = S и а0Еу ==
9o (?) ^sv- Далее> Для каждого г = 1, .... / выберем по одному ре-
решению lt ^ С уравнения- q0 (аг) ехр |, = 1. Поскольку мно-
множество }а1; ..., a,i\ линейно-независимо, существует элемент
#о €Ъ, Для которого at (Яо) = |, (г = 1, 2, ..., /). Положим
сг = a0 exp (ad Яо). Тогда аЕа. = ^0 (?) ехр а(- (Яо) ^so, = Esar
Учитывая формулу аЕу — q (?) ESy, получаем q (аг) = • • • =
q (a/) = 1. Из равенства q (a(.) q (—at) = 1 следует, что
Ц (—ai) =" " ' = Ц (—<xi) — !• Так как множество {Е±ах, ¦¦¦> ?±«z}

148 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
порождает д, то автофорфизм а однозначно определяется усло-
условиями оЕ±а. = E±Sa{:
Теперь убедимся, что q (у) = ±1 для всех у ? А. Не ограничи-
ограничивая общности, можно считать, что у > 0. Будем доказывать наше
утверждение индукцией относительно упорядочения в Д+. Для
всякого положительного корня у Ф- я найдутся такое у' > 0
и такой индекс I, что у = у' + а,-. Следовательно, <7 (у) = ±
±<7 (т') Ч (ai) — =ЬЧ (?')• По предположению индукции, q (у') —
± 1 и, значит, q (у) = ±1. Отсюда вытекает, что q (—7) —
= q G) (ибо q G) 9 (—7) = !)• Поэтому, в силу E.4.1), о ? йп. Q
Автоморфизм ст из E.4.2) мы будем обозначать через u. (S)
и называть нормальным автоморфизмом, соответствующим авто-
автоморфизму 5.
E.4.3) Отображение Aut (я) Э S |->- М- (S) ? Nu является изо-
изоморфизмом.
Доказательство. Пусть S и Т принадлежит Aut (я). Так как
Та. ? я, то и. E) и. (Т) ?в/ = [х (S) ?Га. = ?5Гя. = |х E7) ?а/.
Следовательно, [х (S) ^х (Т) = }х (ST). Q
Далее нам понадобится следующий результат:
Ad (g) П Aut (u) = Ad (u),
доказательство которого будет дано в гл. 6 (см. F.4.3)). Из этого
результата и E.4.2) получаем
Aut (u)/Ad (u) = Nu/Nau = Aut (A)/Ad (Д),
где
E.4.4) Теорема. Справедливы равенства
Aut (g) = Ad (g) ¦ ix (Aut (л)), Ad (g) fl ц (Aut (n)) = 1,
Aut (u) = Ad (u) • (i (Aut (я)), Ad (u) П M- (Aut (л)) = 1.
Доказательство. Имеем Aut (g) = Ad (g)-iV, Ad (g) fl iV = №
и f: N-*¦ Aut (Д) = Ad (A)-Aut (я). Так как / (№) = Aut (Д),
то N = №-\jl (Aut (я)). Значит, Aut (g) = Ad (g)-[x (Aut (я)).
Из того, что отображение /u : Nn -> Aut (Д) также сюръективно,
следует второе равенство. []
Вычислим Aut (я) для всех простых алгебр Ли д:
¦ -о
Aut»={l,
5.5. Инверсия * и универсальный центр С (Л) 149
Aut (я) асимметричная группа на A, 2, 3)
г
Aut (я) = {1, («!«,)} =.
Aut (я) -= {1, (а,ав) (а,а5)] s
Во всех остальных случаях Aut (я) = 1.
Упражнение. Доказать, что kerf = exp (ad t). [Указание. В силу E.4.1),
| q (а) \ = 1 для а ? Д. Поэтому при доказательстве утверждения 3) пред-
предложения E.3.2) можно так выбрать элемент Яо, чтобы все числа a,j (Ho) были
чисто мнимыми.]
5.5. Инверсия * и универсальный центр С (Л)
Пусть Д — некоторая корневая система в Е. Рассмотрим ин-
инверсию пространства Е относительно сферы радиуса V 2 с центром
в начале координат, т, е. преобразование
X* =
(X, X)
для
Векторы X и X* одинаково направлены, и
X Д д б X ? ?'\{0J
= 2. Поэтому
X** =" X. Далее, для любых X,
(X*. ц«) __ (я., ц)
{X*, X*) <ц, |х)
?'\4{0J выполняются равенства
A)
B) (SX|x)* = Sx.|i*.
Доказательство. Равенство A) устанавливается простым подсче-
подсчетом. Чтобы доказать B), заметим, что Sx = S*,.. Отсюда очевид-
очевидным образом следует, что инверсия коммутирует с отражением
S^ —1/2 (см. рис. 3). Q
E.5.1) Пусть Д — корневая система в Е и я = {аь ..., а,| —
фундаментальная система в Д. Тогда
1) Д* также является корневой системой (называемой и н -
в е р с н о й к системе Д);
2) я* = {а*, ..., щ\ есть фундаментальная система, в Л*;
3) матрица Картана системы я* транспонирована к матрице
Картана системы я.

150 Г л, 5. Группы, связанные с корневыми системами
Рис. 3.
Доказательство. 1) Пусть а, р ? А, и пусть р** = со,* для некото-
некоторого с ? R. Тогда
2а* lea* 5R*
¦ = ср и с = ±\.
_
- («*, а*) - с («я* са*) = с <р*; >
Далее, 2 <р*, «•>/<«*, «*> = 2 <р, а)/(р, р>
bP*. в силу соотношений A] и B)
Множество {а* «} оче
Z и (Sap)* =
2), 3) Множество {а?, ..., а/}, очевидно, линейно-независимо, и
* —z\ai' af) —2 (аг, ау)
Следовательно, я* является я-системой и фундаментальной систе-
системой в Д*. Q
Поскольку множество я* = \а[, ..., а*\ линейно-независимо,
существуют векторы соь ..., со, из Е (называемые фундаменталь-
фундаментальными весами), для которых
<сог-, а*) = 8Cj.
Так как я*—фундаментальная система в А*, то
Л = {X ? Е: (X, а*) ? Z для всех а ? А} = Zcox -f- • • • -f- Zcob
так что Л — свободная абелева группа.
Для а, р ? Д имеем (р, а*> = 2 (р, а)/(а, а) ? Z и, значит,
А с Л. Пусть Az — аддитивная группа, порожденная Д. Ясно,
что Az = Zai+ ... -f- Za, с: Л. Так как множество \alt ..., at\
линейно-независимо, то Az — подгруппа конечного индекса в А.
Положим
Л1 = A*z =
АХ==Г= {?
!, А,) С Z для всех К ? А\
a)^Z для всех
= Ze, f
где {a,-, Sj) = бг-у-. Из этих определений сразу следует, что Ах
подгруппа в Г.
5.5. Инверсия * и универсальный центр С (Д) 151
E.5.2) A/&z = T/Ax.
Доказательство. Обозначим через Т аддитивную группу R/Z.
Пусть А и В — аддитивно записываемые абелевы группы. Если
существует такое биаддитивное отображение q>: ЛхВ->Т, что
из условия ф (а, х) = 0 для всех х ? В следует, что а = 0, а из
условия ф (г/, Ь) = 0 для всех i/ ? Л следует, что Ъ = 0, то мы
говорим, что Л и В образуют ортогональную пару; если А я В
образуют ортогональную пару и группа А к тому же конечна,
то А ==; В (см. [Понтрягин]).
Для любых Я ? Л и y 6 Г положим
Я-7 = <^, v> mod
Если Я = X' mod Az и y = f' m°d Лх, то
(Я, 7> - (V, 7'} = (X - X', Y> + (X1, у - у') = 0 mod Z.
Мы имеем, таким образом, корректно определенное биаддитивное
отображение
Непосредственный подсчет показывает, что группы A/Az и Г/Лх
образуют ортогональную пару относительно ф. О
Определение. Конечную группу Л/Дг ss Г/Лх мы будем обозна-
обозначать через С (А) и называть универсальным центром системы Д.
Так как <а,-, а*) = 2 <аь ау)/<а/, а/) = —С;/, то
а(. =— Г' с,-усо/ (/= 1,. ..,/)•
/=i
Как известно, существуют целочисленные /X /-матрицы а и Ь,
для которых det а = ±1, det Ь = ±1 и a (—ciy) Ь есть диагональ-
диагональная матрица [ег, ..., ez ], где все еу — натуральные числа, причем е,
делится на е1+1 при i — 1, ..., I — 1. Набор из / чисел (еъ ..., et)
однозначно определяется матрицей — (сф и называется ее ин-
инвариантом Смита. Строение группы Л/Az = С (А) описывается
формулой С (А) ^ Ze х • • ¦ х Ze;, где Ze — циклическая группа
порядка е.
E.5.3) Пусть (еъ ..,, е{) — инвариант Смита матрицы Кар-
тана — (cti) системы я. Тогда
С (A) = Z(ix...xZ,r
Выразим теперь а>17 ..., (ot через аг, ..., at. Предположим, что
со, = daaj + • • • -\-di(a(.

152 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
Так как (со,-, at*> — 647 и (а,-, а*) = —с1у, то
(со,-, а*) = Y- d(k (ak, a/) = ?¦ d« (—cfty) = 8,7.
*=i
&=i
Следовательно, матрица d = {dtj) является обратной к матрице
Картана с = — (ciy).
E.5.4) со,- = d,-,^ +• ¦ • + daah
гдг (dtj) — матрица, обратная к матрице Картана —"(с;/)-
Ниже для каждой неразложимой системы л выписаны: ее ма-
матрица Картана с (л), определитель этой матрицы det с (я) и обрат-
обратная матрица d (л) = с (я). Матрицу с (л) можно вычислить по
диаграмме Дынкина.
(/> О
det c(A:) = / + 1
/2-10 0 . . . 0N
-1 2 -1 0 ... 0
0-12 -1 ... 0
0 0....0 -1 2 -10
О 0 . . .0 -1 2 -1
^° 0 .... о -1 2„
1-1
2A-1)
2A-2)
6
4
1-2
2A-1)
ЪA-2)
.
9
6
4U-3)
.
3
. 6
. 9
4U-3)
•
• • 3A-2-)
. . 2A-2)
2
4
6
-
2U-2)
2(^-0
5.5. Инверсия * ы универсальный центр С (А) 153
Например, для / = 5
5
4
3
2
4
8
6
4
3
6
И
6
2
4
6
8
1
2
3
4
а.,
det с E,) = 2
'2-1 0 0 0 ... 0'
-1 2-1 0 0 ... 0
0-1 2 -1 0 ... 0
О 0...0 -1 2 -1 О
о о ... о -1 | 2 -г
\0 0 ... О 0 -1 2,
/2
/2
/ 2
V
\г
2
4
4
4
4
2
4
6
6
6
г ... г
4 ... 4
6 ... 6
8 ... 8
8 . . . гA-г)
2
4
6
8
2О0
* \
4
6
8
det с (С,) = 2
Матрица"с (Ct) транспонирована к с (Bt), а значит d (C() транс-
транспонирована к d (Bt).
D,
«•1 «2
det с (Dt) = 4

154 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
G,
2
1
0
0
0
0
0
-1
2
-1
. .
0
-1
2
.-i
. 0
. 0
. 0
0
0
-1
2
-1
0
0
•
-1
2
-1
-1
¦ •
0
-1
2
" 0
°\
0
0
0
-1
0
2/
det с (F4) = 1
о.,
det с (G2) = 1
««-D 1)
у - (Г!)
5.5. Инверсия * и универсальный центр С (Д) 155
сс.
2
1
0
0
0
0
-1
2
-1
0
0
0
0
-1
2
-т
-1
0
0
0
-1
2
0
0
0
0
-1
0
2
-1
0
0
0
0
2
2
1
0
0
0
0
0
-1
2
-1
0
0
0
0
0
-1
2
-1
0
0
0
0
0
-1
2
-1
-1
0
0
0
0
-1
2
0
0
0
0
0
-1
0
2
-1
0
0
0
0
0
-1
г
3 4 5 6 3 4 2
4 8 10 12 6 8 4
5 10 15 18 9 12 6
12 18 24 12 16 8
6 9 12 7 8 4
8 12 16 8 12 б
4 6 8, 4, 6к;4
detc(?e)«3
4
5
6
3
4
2
5
10
12
6
8
4
6
12
18
9
12
6
3
6
9
6
6
3
4
8
12
6
10
5
2\
4 \
6
3
5
J
det с (Е7) = 2

156 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
ос,
detc(?8)=l
/2 34 56 34 2
3 6 8 10 12 G 8 4
4 8 12 15 18 9 12 6
5 10 15 20 24 12 16 8
6 12 18 24 30 15 20 10
\3 6 9 12 15 8 10 5
4 8 12 16 20 10 14
2 4 6 8 10 5 7
Замечание. Пусть g — полупростая алгебра Ли над С, 1} —
ее подалгебра Картана и А — корневая система алгебры g от-
относительно д. Как мы увидим далее, Л — это совокупность весов
всех представлений алгебры д, а С (Д) — центр универсальной
накрывающей группы над Ad (g).
Упражнение 1. BJ &Ct, CJssSj, а для всех остальных неразложимых си-
систем я мы имеем я s я*.
Упражнение 2. Порядок группы С (Д) равен det с (я),
5.6. Аффинная группа Af (A)
и аффинная группа Вейля Afd (А)
Мы знаем, что алгебра g является простой тогда и только, тогда,
когда система А неразложима (см. B.4.7) и упр. 3 § 2.4). Учиты-
Учитывая зто, в оставшейся части глав будем предполагать, что А не-
неразложима.
Для любых а. ? А и k ? Z обозначим через Ра> k гипер-
гиперплоскость в Е, определенную линейным уравнением
5.6. Аффинная группа Af (А) и аффинная группа Вейля Afd (A) 157
Рис. 4.
-а
и примем обозначение Sa, k для отражения пространства Е относи-
относительно Pa,k- В наших предыдущих обозначениях, Ра,0 = Р
S
= Ра
Напомним, что Sa задается формулой
A) Sal = I - <|, «*) а, где а* = 2а/<а, а).
Чтобы найти аналогичную формулу для Sa>fe, возьмем точку
Л € Ра, к, для которой On _L Ра,к (рис. 4). Тогда т] = са при
некотором с ? R и (а, т^} = ^ С &/( a)
Очевидно,
(р
Следовательно, с =
р
, a).
О А
> > О А
(S.S) (Se, ,|) = 20-n = j—^ a = ka*;
поэтому
B) ¦S.^S-Sei + te*.
Для X ? ? обозначим через Г (Я) преобразование переноса на
А, в ?: Г (Я) | = | + Я, при ? $ ?. Для произвольной аддитивной
подгруппы D в Е положим Т (D) = \Т (Я): Я ? D}. Ясно, что
Т (?) — это нормальная подгруппа группы эвклидовых движений
пространства Е, которую можно записать в виде полупрямого
произведения О (?) Т (?) == Т (?) О (?). В этих обозначениях
формула B) принимает следующий вид:
B') Sa,k = T(koc*)oSa.
Далее мы используем обозначения предыдущего параграфа.
Пусть S 6 Aut (Д) и y € Г == Дх- Так как SA = А, то Sy 6 г
и, кроме того,
C) ST (у) S-1 = T (Sy).
Следовательно, Aut (Д) нормализует Т (Г) и
Af (A) = Aut (А)-Т (Г) = Т (Г)-Aut (A)

158 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
есть, группа эвклидовых движений пространства Е. Будем назы-
называть Af (Л) аффинной группой системы А. Очевидно, Aut (Д) П
П Т (Г) = 1, так что написанное выше произведение является
полупрямым.
E.6.1) Орбита (Af (Д)) ? любого элемента § ? Е локально-ко-
локально-конечна.
Доказательство. Множество
= U Г(ГM?= U {S
есть конечное объединение локально-конечных подмножеств про-
пространства Е. Q
Из формулы B') следует, что Sa,k ? Т (Л-1-)-Ad (Д) с Af (Л)
Определение. Подгруппа в Af (Д), порожденная множеством
{Sa,к'- а € Д. k ? Z\, называется аффинной группой Вейля
системы Л и обозначается Afd (A).
E.6.2)
Доказательство. Так как Ad (А)-Л = Л, то Ad (Л) Л-1 = Л-1
и потому для любых 5 ? Ad (Д), б ? Л-1 Q
ST (б) S-1 = Т E6) 6 Т (Л1).
Следовательно, Г (Л-1)-Ad (Л) — группа.
Ввиду B'), Afd (Л) с Г (Л1)-Ad (Д). С другой стороны, из
соотношений Sa<k = T (ka*) о 5а и 5a,ft, Sa 6 Afd (Д) следует,
что Г (ka*) ? Afd (Л). Поэтому Т (Л-1-) с Afd (Д). Q
Обозначим через ^ совокупность всех гиперплоскостей Рп k
(a ? A, k € Z). Пусть I ? Р«,*, у € Г и S 6 Aut (Д).
Тогда
= <S|, 5а) + (у,
и потому
D) (ГG) О S) Ра, k =
|, а> + (у, 5а> =
= k + (у, 5а) ^ Z
Sa)).
Следовательно, множество !Р инвариантно относительно Af (A).
Далее, из формулы D) следует, что
(Т (у) О 5) Sa. k (Т (у) О 5)-1 = 5Sa, (fe+(v> 5a»-
Таким образом, мы получили следующий результат:
E.6.3) Afd (Л) — нормальная подгруппа в Af (Д).
Объединение UagA ,&?z^a k инвариантно относительно Af (Л),
и потому тем же свойством обладает его дополнение ?\ U Ра, к.
5.6. Аффинная группа Af (А) и аффинная группа Вейля Afd (A) 159
Определение. Связные компоненты множества Е\ \j Pa<k назы-
называются клетками. Совокупность всех клеток обозначается через 6.
Пусть т) ? Е и Вг — открытый шар радиуса г > 0 с центром
в ц. Тогда для a ? Л, g ? Вг величина (а, %) ограничена. По-
Поэтому существует лишь конечное число гиперплоскостей вида Pa,k>
имеющих непустое пересечение с Вг. Значит, множество Вг
\ U ^a, а открыто и плотно в Вг. Отсюда следует такой результат:
E.6.4) Множество Е\ 1_1а?Д ы^ъ^а и открыто и плотно в Е.
Пусть С ? 6 и U ? Af (Л). Тогда UC — связная компонента
множества Е \ U Ра, ь т. е. UC — клетка. Следовательно,
Af (Д) действует как группа преобразований на множестве 6.
Пусть Л+ обозначает множество положительных корней из Л
(относительно некоторого фиксированного упорядочения в Е).
Положим
Со = \1 6 Е: 0 < (а, I) < 1 для всех а ? Л+Ь
Ясно, что Со — непустое открытое выпуклое подмножество в
в Е \ (J Pa,k- Так как Со связно, то найдется клетка С, для ко-
которой Со cz С. Если Со ф С, то существуют такие ц ? С и a ? Л,
что (а, т)) < 0 или (а, г\) > 1. Выберем произвольно ? ? Со.
Пусть \|з (*), 0 <s ? <s I, — какая-нибудь непрерывная кривая в С,
соединяющая I с г\ (г)? @) = т], г|> A) = ?). Тогда (а, г|? (^)) прини-
принимает значение 0 или 1 при некотором t0, 0 < t0 < 1, — противоре-
противоречие. Значит, Со — клетка. Мы будем называть Со фундаментальной
клеткой.
Обозначим старший (по отношению к выбранному упорядоче-
упорядочению) корень через —а0 = тхах + ... + /п2а2. Ясно, что —а0 есть
старший вес присоединенного представления алгебры д, которое
неприводимо, либо g проста. С другой стороны, как мы увидим
в G.2.1), всякий вес % неприводимого представления записывается
в виде
при некоторых целых неотрицательных kj, где Хо — старший вес
представления. Так как каждый корень а;- является весом при-
присоединенного представления и имеет вид а, = (—а0) — (^ах +
... + ?/«;), то mt > 0. Кроме того, для лю'бого положительного
корня Р = пха\ + ... + ntai выполняются неравенства 0 < п;- <:
< /п/ при /=1,2,...,/.
E.6.5) Пусть Л — неразложимая корневая система, я — фунда-
фундаментальная система в А и —а0 — старший корень. Тогда
—а0 = тхаг + ... + /и,аь т{- > 0,
и для любого Р = ща^ + ... + пгщ ? Д+ справедливы неравенства
0 < П; < т,- (/= 1 /).

160 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
Рис. 5.
В частности, а0 определяется множеством л (а не упорядоче-
упорядочением).
Из E.6.5) следует, что I 6 Со тогда и только тогда, когда
0<Г<а,:, 1>, i = 1, ...,/, и <—аО) %)<\.
Следовательно, Со является открытым симплексом, ограниченным
I + 1 ГИПерПЛОСКОСТЯМИ Яах, 0, ••-. Ра.^0 И Р-ао, 1-
Для удобства в оставшейся части главы мы примем обозначе-
обозначения:
Ра,г О = Р\, • • •, Pah 0 = Pit Р-ай, 1 — Л)>
Sav 0 = Si, . . ., Sa[t о = Si, S-
E.6.6) 1) Множество \S0, Slt ...,
2) Группа Afd (Л) действует
(Е всех клеток.
a_ i = So.
St\ порождает Afd (Л).
транзитивно на множестве
Доказательство. Пусть С — клетка. Выберем произвольно К ? Со
и v ? С. Пусть i? — подгруппа в Afd (Л), порожденная множест-
множеством {So, Si, ..., St\. В силу E.6.1), множество Rv локально-ко-
локально-конечно. Следовательно, найдется элемент ц ? Uv, где U ? R, для
которого I А, — ц|| <: ||Л — Vji|| при всех V ? R. Допустим, что
ц Ф Со. Тогда можно найти граничную гиперплоскость Р} Ц — 0,
1, ..., I) клетки Со, по отношению к которой К и р, лежат в разных
полупространствах (рис. 5). Рассуждая, как при доказательстве
E.2.3), получаем, что ||Sy-n — Х,| <: ||ц — Х|, — противоречие.
Таким образом, ц ? Со и t/C = Со. Это означает, что R действует
транзитивно на S.
Пусть а ? Л и ? ? Z. Тогда гиперплоскость' Яа,й ограничи-
ограничивает некоторую клетку С. Выберем преобразование О ? R, для
которого UC = Со. Тогда UPa,k совпадает с некоторой гранич-
граничной гиперплоскостью Pi клетки Со. Следовательно, USUx
совпадает с S, и S, = USa,k U'1 ? R. Значит, Sa,k =
€ д. а
E.6.7) Для любого ц
U ? Afd (А), ч/по t/т) ?
^ Е найдется такое преобразование
С0) где Со —замыкание клетки Со:
и— (а0,
1}.
5.7. Группа F (я) » расширенная диаграмма Дынкина
16!
Доказательство. Пусть г0 — диаметр клетки Со. Так как Afd (A)
действует транзитивно на 6, то всякая клетка С изб также имеет
диаметр г0. Обозначим через т' множество всех клеток С, пересе-
пересекающихся с открытым единичным шаром Вх с центром ц. Ясно, что
каждая клетка из т' содержится в шаре В\+г<> радиуса 1 -f- ra
с центром ц. Поскольку объем этого шара конечен, %' содержит
лишь конечное множество клеток. Пусть, скажем, т' = \СХ,
Ck\. Тогда т] ? Вг а Сх U ... [)Ск. Следовательно, найдется такой
номер /, что Cj Э Ч- Так как существует преобразование U ?
G Afd (А), для которого UC/ = Со, то 11ц 6 UC, = Со. Q
Упражнение 1. Найти вершины фундаментальной клетки Со как симплекса.
Упражнение 2. Если система Д разложима, то множество
Сэ = {S € ?: 0 < (а, |) < 1 для всех а ? А+}
является прямым произведением симплексов, но множество
С'о = {| 6 ?: 0 < <a/f |>, - <а0, ?)< 1}
неограниченно.
5.7. Группа F(n) и расширенная диаграмма Дынкина
Мы предполагаем, что система корней А неразложима, и сохра-
сохраняем обозначения предыдущего параграфа.
Рассмотрим подгруппу F (к) группы Af (А), задаваемую форму-
формулой
F(n)=\U ? Af(A):
Так как \Р0, Plt ..., Pt\ —совокупность всех граничных гипер-
гиперплоскостей клетки Со, то для любого U ? F мы имеем
s«».
Следо-
Следогде я— некоторая перестановка множества {0, 1 /}. По-
Положим
VI = SI 4- у, S ? Aut (A), v ? Г.
В силу формулы D) § 5.6, VPa, к = PSa, (k
вательно,
| 5а/ = +ая (/) для / = 0, 1, . . ., k,
^ ' { (San у) = 0, если ]'Ф0, л.Ц)фО. .
При исследовании преобразования V разберем отдельно два слу-
случая.
(i) л @) = 0. Ввиду A), (San у) = 0 при / = 1, 2, ..., /.
Так как {Saly ..., Sat\ — базис в Е, то у = 0. Поэтому для лю-
любого I ? Со мы имеем (Sah SI) ¦= (ау, |) > 0; поскольку
6 М. Гото, Ф. Гроссханс

162 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
S? = ?/| ? Со, получаем Say- > 0. Таким образом, 5а,- = «я (/>
при / = 1, ..., /. В этом случае U = S ? Aut (я).
(п) я @) = k Ф 0. Положим я-1 @) = h Ф 0. Так как <Say, ¦
7> =0, / = 1, 2, ..., h, ..., /, то (а,., 7> = 0 при i = 1, 2, ...
..., ?, ..., / и потому 7 = сеь с ? Z, где (в,-, ау> = 8,7. Допу-
Допустим, что с = 0, т. е. 7 = 0- Тогда t/ = S ? Aut (Л), а по-
поскольку S сохраняет фундаментальную камеру Вейля Wo, задан-
заданную неравенством (а,-, |> > 0 при j = 1, ..., /, то S ? Aut (я).
Поэтому Sa0 = S (—т.\о.\ — ... — miai) = —т\а.П{\) —¦ ... —
—• mian (/) = а0, и мы снова имеем случай (i). Следовательно,
с ф 0. Для / = 1, 2, ..., h, ..., I и ? ? Со получаем
<Say, ?Д> = (Say, SI) + (Sa/, 7> = <«/. 5> ± <ая (/), сгк)
= {а„ Н)>0.
Поскольку t/| ? Со, то Sa;- не может совпадать с —Ол(/-). Таким
образом,
Далее, допустим, что Sa0 = —ak. Тогда для любого | ^ Со
<aft, t/g) = -<Sa0, S|> -f <«*, T> = ~<a» S> +c,
где 0 < (aA, t/|) < 1 и 0 < —<a0, |) < 1. Но это невозможно,
так как с — ненулевое целое число. Итак, Sa0 = ak.
Из равенства —а0 = /7?^ + ... + ттг;а; следует теперь, что
—a.k = mxSa.x + ... + m^Scii, т. е.
—mhSah= ? rnjan U)-\-а.к.
/=1;...,й.
Так как правая часть положительна, то Sah = a0 и
mh {mla1 -f • • • + mLa,) = I «„ (/) + a*.
Сравнивая коэффициенты при a;,, получаем т/,/тгА = 1, т. е.
mh = mk = 1.
Из равенства Sa0 = ад, вытекает, что
<aA, t/|> = <a0, l)~\-c при ? G Co.
Поскольку 0 < (ak, (/|) < 1, —1 < (а0, |) < 0, единственное
возможное значение с есть 1 и, значит, 7 = вА.
Определение. Система я = {a0, ax, ..., at\ называется расширен-
расширенной фундаментальной системой (содержащей я). Диаграмма,
соответствующая я (она определяется аналогично диаграмме си-
системы я), называется расширенной диаграммой Дынкина.
5.7\ Группа F (я) и расширенная диаграмма Дынкина 163
Пример. At: я = |а1( ..., а;|. Старший корень равен —а0 =
= аг + ... + а;. Все корни имеют одинаковую длину, и можно
считать, что ЦосуЦ — 1 при / = 0, 1, ..., /. Тогда
—2 <а0, а2) = —2 <а0, аг) = 1 и <а0, а,-) = 0,
; = 2, ..., /-1-
Диаграмма системы ft такова;
Теперь рассмотрим группу автоморфизмов системы я:
Aut (ft) = \S ? О (?): Sft = я}.
Из равенств (Sa,-, Say)/(Say, Say) = (a.t, ay)/(ay, ay) (/ = 1, ...
..., /) следует, что 5я является я-системой и фундаментальной си-
системой в Л. Следовательно, в силу E.2.3), 3), существует преобра-
преобразование S' ? Ad (А), такое что 5я = S'n. Поэтому S^^-S ?
? Aut (я) с Aut (Л) и S ? Aut (Д). Итак, мы показали, что
Aut (я) с Aut (Д).
Если S ? Aut (я), то Sa0 = a0 и S ? Aut (ft). Таким образом,
Aut (я) с Aut (ft).
Зафиксируем полученные выше результаты в виде следующего
предложения:
E.7.1) Для любого U = Т (у) о S ? F (я) имеем S ? Aut (ft).
Если S Ф Aut (я) и Sa0 = ak (k Ф 0), S"xa0 = ah, mo m/, = /П/, —
= 1, где —a0 =
E.7.2) Отображение _ F (n) Э U = T (у) о S G € Г,
S ? Aut (Д)) ь—э- S ? Aut (я) является изоморфизмом группы F (я)
на Aut (я).
Доказательство, (а) Предположим, что Т = Т {ргъг + ... + ргег)
G F (я), где plt ..., pi ^ Z. Тогда для | ^ Со
Поскольку (а;, |> и (ау, 7"|) принадлежат открытому интервалу
@, 1), из этого равенства следует, что pt = 0. Следовательно,
ядро нашего гомоморфизма тривиально.
(Ь) Докажем, что для каждого преобразования S 6 Aut (ft)
найдется такой элемент 7 € Г, что Т (у) о S ? F (я). Если
S ? Aut (я), то S ^ f (я) и сделанное утверждение очевидно,
б*

164- Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
Допустим, что Sa0 = ak {k ф 0) и Sah = а„. Положим U =
= Т {ek) о S. I ? Co имеем
<Say-, ?/?> = (Say, 55) -f- (Say, вЛ) = (ay, 5) > 0 (/ > 1, / Ф h)>
(Sa0, UQ = (Sa0, S?) + (aA) eA) = (a0, ?) -f 1 > 0,
/#-/ f f%\ / v^v //I— N ¦ /rv ?\ i //v p \ —
\ \.vf\, L/ Cy \OvAftj О* Цу — - \ \Au. *™/ I \**^'O? k/
= («a, ?> ~ wA = (аЛ, ?) — 1 > — 1.
Следовательно, ?/? G Co, т. e. f/ G ^ (я)- D
E.7.3) Af (Д) = Afd {A)-F (л).
Доказательство. Пусть f/ ? Af (Л). Положим ?/C0 = С. Найдется
преобразование У ? Afd (Л), для которого УС = Со. Следова-
Следовательно, VUC0 = Со, т. е. VU e F (я) и U ? Afd (Л) f (я). Q
Упражнение. Для всякой неразложимой системы я расширенная диаграмма
Дынкина связна.
5.8. Доказательство равенства F (я) fl Afd (Д) = 1
Мы сохраняем обозначения предыдущих параграфов.
Пусть С и С принадлежат т и Р ^ &. Если С я С лежат по
одну сторону от Р, то мы будем писать С ~ С mod P; в противном
случае пишем С ф С mod Р. Пусть | ^ С и |' ^ С_^_. Ясно, что
С ~ С mod P тогда и только тогда, когда отрезок ||' не пересе-
пересекается с Р. Положим А, (С, С) = \Р ? &>: С ф С mod P\. По-
Поскольку отрезок ||' может пересекаться лишь с конечным числом
элементов множества ^, А, (С, С) — конечное множество. Оче-
Очевидно, X (С, С) = X (С, С) и
UX (С, С) =X{UC, UC) для U ? Afd (Д).
Положим X {11) = X {UC0, Со), где С„ — фундаментальная клетка,
п обозначим через р {U) мощность множества X {U): p {U) =
= card X (IJ). Тогда р является функцией на группе Afd (Д) со
значениями в Z. Из определения сразу следует, что
{см. рис. 6),
A) X (tr1)
/7A)= 0, p(S,)=*l, р {U) = р {U-
E.8.1) Для U ? Afd (Д) и t = 0, 1, ..., /
5.5. Доказательство равенства F (я) П Afd (Д) =1 165
Рис. 6.
Доказательство. Пусть Р принадлежит X {U'1) \ \PL\. Тогда
р ? X{U-1) = f/-1 Л. (?/) (в силу A)) м UP ^ X(U), т. е. Со
^ f/C0 mod UP. Далее, поскольку Р Ф Pt, то StP ф SLP, = Pt.
Докажем, что StP G X {SgU'1). Из формулы A) и равенства
S? = 1 вытекает, что X {SiU'1) = S[U~lX {USt). Следовательно,
достаточно показать, что UP ? X {USi). Предположим, что это
неверно. Тогда Со ~ UStC0 mod UP и, значит, ?/С0 -* USfio
mod t/P, откуда следует, что Со ^ S,C0 mod P, т. е.
¦Р € ^ (S,), а это означает, что Р = PL. Мы пришли к противоре-
противоречию. Таким образом,
S, {X Ш'1)\ \Pt\) а X (SJU-?)\\Pt\.
Заменяя здесь U на USt, находим, что
S, (X {S(U^) \\Pt\)cX {U-Ч \ \Pt\.
Умножая на S,-, получаем
X (SiU-^WP,] с S? (X (^)\ \Р{\). Q
E.8.2) Пусть U — элемент группы Afd (Д). Тогда Pt принадле-
принадлежит в точности одному из множеств X {U'1) uX {SiU'1); при этом
еСЛи
если
X {U'1) fl X{SiU~1).
UC0 mod UPt. Точно
Со -* t/S,C0 mod t/P,.
e. Co ~ SjC0 mod Ph
Доказательство, (а) Допустим, что Р,- ^
Тогда и-гС0 * Со mod Р, и, значит, Со
также SiU'^Ca * Со mod Рь и потому
Следовательно, UC0 -~ USfio mod t/P,, т
—противоречие.
(b) Если Pt Ф X {U-1) U X {SiU-1), то Co ^o
~ Co mod P; и, рассуждая аналогично предыдущему, легко прийти
к противоречию.
(c) Если Р{ Ф X (S^i/-1) и Р(- ? A, {U-1), то, в силу E.8.1)(
р {SiU-1)= card{X
{Р,}) =card {X {U-1)
— 1.
Второй случай разбирается аналогично. 0
Определим теперь некоторую функцию q: Afd (Д) -*• Z. Для
тождественного преобразования 1 положим q A) = 0. Пусть
U ? Afd (А) и U Ф 1. Тогда U можно записать в виде произведе-

166 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
ния SiJSt^ ... Sif, где iu i.z, .... ir = О, 1, ..., /. Минимальное из
чисел г (по всевозможным представлениям U в таком виде) назы-
называется длиной элемента U и обозначается q (U); разложение
U = Si ... Sir, где г = q (U), называется приведенным выраже-
выражением для 1).
Очевидно, что q(St) — 1.
E.8.3) q (U) > р (U) для любого U 6 Afd (Л).
Доказательство. Пусть U = S^ ... S,-r — приведенное выраже-
выражение для U. Тогда р (S^) = 1 и, согласно E.8.2), р (Si,, Si2)
«s p (Si,) + 1 < 2, ..., так что р (U) <¦ г. U
E.8.4) Если Afd (А) Э ?/ ?= 1, то р (U) > 1.
Доказательство. Пусть U = S^ ... Sir — приведенное выраже-
выражение для U. Положим Ux= U = SijSig ••• S,r, i/2 = S,2 ... S,r,
..., Ur = Si (все это — приведенные выражения). Допустим, что
Я, (U) = 0. Тогда, в силу E.8.2), Ри 6 A, (Sflt/) и, в силу E.8.1),
Si, (Я. (^/) \ {Я*,}) = Л. (S,,U)-\ {Pi,\, поэтому X (Si.LO =
= \Pi,\, т. е. X (U2) = {Pi,\. Докажем индукцией по k утвержде-
утверждение
(A,)
k = 2, ..., г. Предположим, что утверждение (Ak) справедливо.
Если Ptk Ф X (Uk), то, ввиду E.8.2), Ptk 6 A. (Sfftt/fc) = Я. (t/*+i)
и, согласно E.8.1),
так что Я, (Uk+i) = SikX(Uk) U [Pik}- Отсюда следует, что спра-
справедливо (АЛ+1). Таким образом, осталось рассмотреть случай
Pit e А- (?/*).
Допустим, что PtA G A, (t//c). Согласно (А*), найдется номер
т, 2 < т <?. k — 1, для которого
откуда вытекает, что (Sift_x . . . Stn) S(fni(Slfti
S S S S S S С
(ftx
т. e. S,- Si ... S,- ==Sj
ttl—l ftl k X M
.. Sib S,:.. Следовательно,
/2—1 К
ik+i ... Slf)
. . . Sin
m>21
5.9. Вычисление универсального центра 167
В обоих случаях мы получаем противоречие с условием q (U) = г.
Это завершает доказательство утверждения (А/г) для k — 2, ..., г.
Из (Аг) следует, что
K(Ur) = *(S,r) = {St>i . . . S,t(Pti) Pir_i}.
С другой стороны, X (Sir) = (Я,г). Значит, Я,-г совпадает с одной
из гиперплоскостей SCf_i ... Sim(Pim_J. Рассуждая аналогично
тому, как это было сделано выше, приходим к противоречию. Q
E.8.5) Теорема. 1) Afd (Д) П F (к) = 1, так что произведение
Af (Д) = Afd (Д) -F (п) — полупрямое.
2) Afd (Д) действует просто транзитивно на QL.
Доказательство. 1) Если UC0 = Со для U ? Afd (Д), то р (U) =0
и, в силу E.8.4), U — \.
2) Если UC0 = ?/'С„, где U, V 6 Afd (Д), то U'W
е Afd (Д) П F (п) = 1 и ?/ = t/'. Q
E.8.6) Для любого t/ 6 Afd (Д)
1) если U Ф 1, то существует номер i, такой что Р, ? Я,
2) (^ (^)
Доказательство. 1) Пусть | ? Со. Если Р,- <? % (U) для всех
г = 0, 1, ..., /, то отрезок | (t/|) не пересекает ни одной из гипер-
гиперплоскостей Я;. Следовательно, t/| ? Со и, значит, (/Со = Со.
Поэтому f/ = 1.
2) Применим индукцию по р (U). Если р (U) = 0, то U = 1 и
?/) о
?()
Предположим теперь, что р (U) = k > 0. Ввиду 1), Я (f/) 3 Я,-
для некоторого номера Л Положим У = f/S(. Тогда, согласно
E.8.2), р (V) = k — 1, откуда, в силу предположения индукции,
q (V) = k — 1. Пусть V — S^ ... Sj^— приведенное выраже-
выражение для V. Тогда U = Sti ... Sj^Si и q (U) < k = p (II). Учи-
Учитывая E.8.3), заключаем, что р (U) = q (U). Q
5.9. Вычисление универсального центра
Обозначим через ф гомоморфизм
Af (А) Э Т (У) о S I-* S 6 Aut (Д).
Тогда ср-1 (Ad (А)) = Т (Г) Ad (Д) и
ср-1 (Ad (A))/Afd (A) = Т (Г) Ad (Д)/Т (Л-l) Ad (Д)
s Г (Г)/Т (Л-L) as Г/Л-l s С (Д).

168 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
С другой стороны, Af (A) = Afd (A)-F (я) есть разложение в по-
полупрямое произведение и
Ф-1 (Ad (Д)) = Afd (A)-(F (я) П ф'1 (Ad (A))).
Поэтому
Так как, в силу E.7.2), отображение ср взаимно-однозначно на
F (я), то
F(n) П 9-x(Ad(A))scp(F(n)) П Ad (Л) = Aut (ft) П Ad (Л).
Следовательно,
С (Л) ss Aut (я) П Ad (Л).
Для краткости примем обозначение
С (я) = Aut (ft) П Ad (Л) ss С (Д).
Так как разложение Aut (A) = Ad (A)-Aut (я) полупрямое и
Aut (ft) id Aut (л), то мы имеем следующий результат:
E.9.1) С (я) — нормальная подгруппа в Aut (л) и
Aut (ft) = С (re) • Aut (я), С (я) П Aut (я) = 1,
-— полупрямое произведение.
. Как мы видели в § 5.5, структуру группы С (я) s С (А) можно
вычислить с помощью матрицы Картана. Однако здесь мы будем
определять структуру С (А), используя E.9.1). В большинстве
случаев такой путь проще.
А, о, —«о = ее, Н [-а,
При / = 1 имеем Aut (ft) = С (я) = {1, (а0, ах)\. При / з» 2
группа Aut (ft), очевидно, порождается перестановками Sx = (а0,
а1( ..., а;) и S2 = (ai<Xi ¦ ¦ ¦ ai \\ sx имеет порядок / + 1, a S2 —
порядок 2, Aut (я) =~{1, S2f= Z2 и card Aut (ft) = 2 (/ + 1).
Пусть e0, ex, ..., et — ортонормированный базис пространства
R/+1. Мы можем принять, что
Ad (А) отождествляется с группой всех перестановок векторов
е0, ег, ..., еь (преобразования Sa. соответствуют транспозициям и
порождают Ad (А)). Поэтому линейное преобразование, опреде-
определенное условиями
Se0 == ev Sex = еъ . . ., Set_x = еи Se, = е0,
5.9. Вычисление универсального центра 169
принадлежит Ad (А) и индуцирует перестановку S^ Следова-
Следовательно, Si ? С (я). Имеем
С(я)= {1, Si, . . ., S{] s*Zm и Aut(n)= {1, S2}.
i
(t>2)
«2
Aut (я) = 1, Aut (ft) = С (л) = {1, (a0, ax)\ ss Z2.
—a0 = 2 (ax -)-...-[_ a,_j) -f- cc,
°-z
Aut (я) = 1,
«-П
. a0
)}¦
= «i + 2 (a- + ¦ • • + a,_2)
Пусть © (k) обозначает симметрическую группу на множестве
|1, 2, ..., k\. При / = 4 имеем Aut (ft) ss <5 D), а Aut (я) ss <S C).
Следовательно, порядок группы С (я) равен индексу подгруппы
<3 C) в SD), т. е. card С (я) = 4. С другой стороны, единственной
нормальной подгруппой порядка 4 в <?D) является группа Клейна,
изоморфная Z2 X Z2. Итак, С (я) ss Z2 X Z2.
При / > 4 группа Aut (ft) порождается подстановками
S2 == (aUl a,),
порядки которых равны соответственно 4 и 2, а Aut (я) = {1, S2]
и
Aut(ft) = (l, Sb Sj, Si Si, SiS^SxSl, S2Si=S1Sl
Следовательно, card С (я) ==4. Центр группы Aut (ft) совпадает
с коммутантом и равен {1, S?}. Поскольку группа Aut (й)/С (я)
абедева, то С (я) Э S\ = (ар, ai) (а^-^/). Зафиксировав какой-

170 Гл. 5. Группы, связанные с корневыми системами
нибудь ортонормированный базис ех, ..., et в R', мы можем счи-
считать, что
Д = \±ер ± eq: p, q = 1, . . ., /, р =? q\,
al = e1 — eit си = е%~е3, .. ., а,_г = е,_х — eh a, = е,_х -+-eh
—а0 = ех + е.2.
Прямым подсчетом устанавливается, что отражение Se —e меняет
местами ер и eq и оставляет на своих местах все прочие er, a
Se +е Se -е умножает ер и eq на —1, также оставляя на своих
местах все прочие ег. Следовательно, с помощью преобразований из
Ad (Д) можно получить любую перестановку векторов \ех, ..., ег\
и, кроме того, можно умножить любое четное число векторов на —1.
(i) Если 1 нечетно, то отображение
принадлежит Ad (Д) и индуцирует подстановку Sx. Следовательно,
С (Я) = j 1 , Ь\, Oj, oi) ^ Z4-
(ii) Если / четно, то отображение
принадлежит Ad (Д) и соответствует перестановке
(aoa/
Следовательно, группа С (я) порождена элементами S? и
а значит.
х Z2.
—а0 = ах + 2а2 +
+ 2а4 + 2as
Очевидно, Aut (я) = (?C) и Aut (я) s ©B) ^ Z2. Следовательно,
С (л) — единственная нормальная подгруппа порядка 3, и потому
С (я) =? Z3.
<х5
—а0 = ах -f- 2а2 + Зая + 4а4
+ 2а„ + За0 + 2ог7
"б а7 °-0
5.9. Вычисление универсального центра 171
=l и
—а0 = 2аг + За.2
+ 5а4 -(- 6а5
_|_ 4а;-j-2a8
—а0 = 20С] + 4а, -f- 3a3 + 2а4
—Ор = Заг 4- 2а..

Глава 6
ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ
В настоящей главе будут в основном рассматриваться замкнутые
подгруппы в GL (г, С), называемые в этой книге линейными груп-
группами. Мы считаем, что изучение алгебр Ли, во всяком случае
в духе этой книги, должно основываться на теории групп Ли или
алгебраических групп. Однако недостаток места не позволяет
нам развить достаточно полную теорию таких групп. Здесь мы
дадим краткий обзор глобальной теории алгебр Ли.
Мы ограничиваемся линейными группами из-за того, что в этом
случае можно быстро описать связь между группами и алгебрами
Ли, не привлекая в больших дозах теорию многообразий или алге-
алгебраическую геометрию. Читатель, знакомый с группами Ли или
алгебраическими группами, легко сможет перенести излагаемые
ниже факты на более общий случай.
Глобальные аспекты разложения Леви, Картана и Ивасавы из
гл. 3 и 4 излагаются здесь элементарным образом и почти незави-
независимо от других источников. Правда, в последнем параграфе главы
(§ 6.9), где мы даем теорему Г. Вейля о компактных группах Ли,
используются некоторые результаты общей теории групп Ли.
Однако читатель, знакомый с содержанием книги [Шевалле], без
затруднений разберется в материале этого параграфа.
В данной главе нам понадобятся элементы теории многообра-
многообразий. «Голоморфный» будет у нас означать «вещественно-аналити-
«вещественно-аналитический», а «С-голоморфный» — «комплексно-аналитический». Мы
не смогли в голоморфном случае найти подходящий термин, соот-
соответствующий термину «диффеоморфный» в С^-случае, и потому ис-
используем слово «биголоморфный».
6.1. Линейные группы и их алгебры Ли
Пусть GL (г, С) обозначает группу обратимых матриц в
в gl (г, С). Эта группа является связным (см. упр. 3) открытым
подмножеством в gl (г, С) = Сг2 и называется полной линейной
группой над С. Как мы видели в § 4.4, экспоненциальное отображе-
отображение exp: gl (г, С) ->¦ GL (г, С) обладает следующими свойствами:
A) ехр является С-голоморфным отображением и С-биголо-
морфно отображает некоторую окрестность нуля в gl (г, С)
6'./. Линейные группы и их алгебры Ли 173
на соответствующую окрестность единичной матрицы 1 =
\г в GL (г, С).
B) Если IX, Y] = 0, то ехр (X + Y) = ехрХ-ехр Y.
C) Для любого X ? gl (r, С) отображение R)l^ ехр (XX)
есть (гладкая) однопараметрическая подгруппа в GL (г, С),
и, обратно, всякая однопараметрическая подгруппа в GL (г.,
С) может быть получена таким образом-
Добавим к этому еще несколько формул: для X, Y ? gl (r, С)
lim (ехр ехр—) ' = ехр (X -f- Y),
D)
E)
lim (exp exp exp exp
v r m r m m r m
=ехр[А\
F) ехрХ-У-ехр(— X) = exp(ad Х)-У.
Доказательство. В силу A), для достаточно малого в > 0 найдутся
такие элементы /ь f,, ..., (= gl (r, С), что ряд
сходится при |X| < е и
ехр (XX)- ехр (XY) = ехр / (X).
Сравнивая тейлоровские разложения
ехр
.ехр
/-о
¦n-1'
= 1 -f (X -I-- Y)X -f 4"
2ХУ -f- Y°-) A,2 -j
exp / (X) =
получаем /t = X -f Y, f, =-i- \X, Y], т. е.
G)
— IX Y\
Для всякого вещественного числа а пусть [а] обозначает наи-
наибольшее целое число, не превосходящее а. Поскольку (ехр T)k
= ехр (kZ) при k 6 Z и Z 6 91 (г- С), мы имеем (ехр / (А,))Ч/«
= ехр [1Д ] / (X) при 0 < X < е, и lim WIX] f (X) = /г = X + Y.
Тем самым мы доказали D).

174 Гл. 6. Линейные группы
Рассуждая аналогично, из равенства
ехр (XX) ¦ ехр (XY) ¦ ехр (—XX) ¦ ехр (—XY)
(l - (X + Y) X + -i- (X2 + 2XY -
получаем равенство
exp(XX)-exp(XY)-exp(— XX)exp( — XY) = exp([X, Y]X2
и формулу F).
Наконец, поскольку (см. доказательство A.3.2))
+¦ ¦ ¦)
/ I
1=0
)'(f)
мы имеем
ехр (adX)-Y =
Q
Пусть G — замкнутая подгруппа (= замкнутое подмножество
и подгруппа) в GL (г, С). Положим
д=|Х € 9* (г, С): exp(RX)c:G}.
Ясно, что из X ? д следует RX с д. Далее, в силу D) и E),
для любых X, Y ? $
X
, У] ? д.
Следовательно, $ — алгебра Ли над R. Мы назовем g алгеброй
Ли группы G. Алгеброй Ли группы GL (г, С) является gl (r, С).
Имея в виду изучить экспоненциальное отображение группы G,
т. е. отображение ехр: g ->¦ G, докажем сначала следующую лемму:
F.1.1) Обозначим через D замкнутый единичный круг в Rm:
D = {v ? Rm: I о I ¦< 1}. Пусть Q — подмножество в D, обладаю-
обладающее такими свойствами:
(i) Q замкнуто;
(и) Zv (} D a Q для любого v ? Q;
(iii) Q содержит последовательность vlt v2, ..., все элементы
которой отличны от нуля, с lim o;- = 0.
Тогда существует элемент v0, такой что || v01
JiDo ^ Q rc/ju —1 < А, < 1.
= 1 и
Доказательство. Положим kf = [1 /Цо/Ц] для / = 1, 2, ... Тогда
kiVj € Q и НтЦ^/УуЦ = 1. Поскольку все kp-t принадлежат D,
6.1. Линейные группы и их алгебры Ли. 175
можно выделить из \kjVj} сходящуюся подпоследовательность. Не
меняя обозначений, будем считать, что lim ktVj = v0. Тогда |уо| =
1 и v0 ? Q. Пусть А, принадлежит замкнутому интервалу [0, 1 ].
Так как lim v,- = 0 и lim Vj,
lim IVII v, 111 v, = X lim v,l
II = v0, то
— lim (A,/| i
Следовательно, Xv0 ^ Q и —A,t»0 f Q. Q
у у ||]) uy = Xv0.
Определение. Пусть М я N — голоморфные многообразия, такие
что N (Z. М (как множества). Говорят, что Af является подмно-
подмногообразием в М, если
a) отображение включения i: N'-*• М голоморфно;
b) для каждой точки р ^ N справедливо равенство rank (di)p
= dim N, где {d\,)p — инфинитезимальное линейное отображение
в точке р, соответствующее отображению i.
Если к тому же выполнено условие
c) топология многообразия N совпадает с относительной топо-
топологией Af как подмножества в М,
то говорят, что Af регулярно вложено в М.
Условие того, что данное подмножество Af многообразия М
является регулярно вложенным подмногообразием, дается сле-
следующим предложением:
F.1.2) Пусть М—голоморфное многообразие размерности т,
г — натуральное число, 1 < г < т, и N — подмножество в М.
Если для каждой точки р ^ N существует локальная система
координат {х1} ..., хт\ на многообразии М, определенная в некото-
некоторой окрестности U этой точки, такая что
N П U = \q 6 U: xr+l (q) = • • • - хт (q) = 0\,
то .N обладает единственной структурой голоморфного многооб-
многообразия, относительно которой N становится регулярно вложенным
подмногообразием, и обратно.
(Стандартное доказательство этого результата мы предоставим
читателю.)
Следующая теорема представляет собой частный случай тео-
теоремы, принадлежащей Э. Картану:
F.1.3) Пусть G — замкнутая подгруппа в GL (г, С). Тогда
1) g = \Х ? gl (г, С): ехр (RX) cz G\ есть алгебра Ли над R;
2) G является регулярно вложенным подмногообразием в GL (г, С);
3) ехр: g ->¦ G представляет собой голоморфное отображение,
биголоморфное в некоторой окрестности нуля в д; в частности,
dim G = dim g;
4) отображение G X G Э (a, b) t—^ab'1 ? G голоморфно,

176 Гл. 6. Линейные группы
6.1. Линейные группы и их алгебры Ли 177
Доказательство. Выберем векторное подпространство ^ над R
в gl (г, С), такое что gl (г, С) = g + 1) и g ("I ? =¦ 0. Опреде-
Определим отображение \\r. gl (г, С) -> GL (г, С) формулой
¦ф (X + Y) = ехр Х-ехр У (X 6 9. ^6 V).
Так как
-I- Y)~l+(X + Y}
2XY
то отображение (dipH невырожденно, и можно найти
ность д0 нуля в д и такую окрестность 5р0 нуля в у>,
морфно в д0 + 5р0 = {X + Y: X ? д„, У ? )р0}.
Мы утверждаем, что существует окрестность
GL (г, С), содержащаяся в ехр (д„) • ехр Eр„),
U П G с: ехр (д0). Действительно, допустим, что
Тогда найдется такая последовательность аг, а2, ...
такую окрест-
что 1|з биголо-
?/ точки 1 в
для которой
это неверно,
в G, что
lim ctj = 1.
Поскольку ехр X, 6 G, то ехр К, = ехр (—X;) • а,- ? G. Мы мо-
можем предполагать, что 5р0 = D, где D — замкнутый единичный
круг относительно подходящего базиса в 5р. Положим Q = \Y
бро: ехр Y?G\. Тогда условия предложения F.1.1) выполнены
для QczD. Следовательно, существует ненулевой элемент Ya ? Q,
для которого ХУ0?<2 при — 1 < X < 1. Поскольку множество
{ехр (XY0): — 1 < X -< \\ порождает ехр (RY0), мы имеем
exp(RFu)czG и ^обз — противоречие. Значит, существует
окрестность U точки 1, такая что f/flGcexp (g0). Мы можем
теперь, не меняя обозначений, считать, что
G П (ехр (д0) • ехр (%)) = ехр (д0).
Пусть а принадлежит G. Тогда а ехр (до)ехр (%) = V есть
окрестность точки а в GL (г, С) uVf\G = а-ехр (д„). Отображе-
Отображение V Э а-ехр Х-ехр Y -*¦ (X, У)?д0 х у0 определяет ло-
локальную систему координат в V, и V П G задается условием 7 — 0.
Согласно F.1.2), G является регулярно вложенным подмногооб-
подмногообразием в GL (г, С).
Наконец, отображение G X G^(a, b) -»- аб ^ G голоморфно
в силу того, что оно голоморфно на GL (г, С). Q
Под линейной группой мы всюду в этой книге будем понимать
замкнутую подгруппу в GL {г, С). Линейную группу G с GL (г,
С) будем называть комплексной, если она является С-голоморф-
ным подмногообразием в GL (г, С).
X
F.1.4) Пусть G — линейная группа (в GL (г, С)) и g — ее алгебра
Ли. Для того чтобы группа G была комплексной, необходимо и до-
достаточно, чтобы g была подалгеброй алгебры gl (г, С) над С.
Доказательство. Если g — подалгебра в gl (r, С) над С, то G,
очевидно, комплексна. Обратно, предположим, что G — комплекс-
комплексная линейная группа и g — ее алгебра Ли. Как можно доказать,
для С-голоморфных многообразий и С-голоморфных подмного-
подмногообразий справедлива теорема, аналогичная F.1.2). Поэтому суще-
существуют окрестность U точки 1 в GL (г, С) и комплексная локаль-
локальная система координат \xlt ..., хг>\, определенная на U, для ко-
которых
Пусть X принадлежит g. Тогда найдется такое положительное
число е, что х1 (ехр XX) = 0 при —е < А- < е. Поскольку
х] (ехр (XX)) является С-голоморфной функцией от X, мы имеем
xt (ехр (fiX)) = 0 для всех комплексных чисел \а с |j.i| < е.
Отсюда следует, что СХ cz g. Q
Группа G называется (комплексной) группой Ли, если она пред-
представляет собой (С-) голоморфное многообразие и отображение
G х G3(a, b) -+ab~l(zG является (С-) голоморфным. Всякая
(комплексная) линейная группа есть (комплексная) группа Ли.
Пусть Go — компонента единицы (связная компонента, содержа-
содержащая единицу) группы Ли G. Очевидно, Go является открытой и
замкнутой нормальной подгруппой в G.
F.1.5) Пусть G — линейная группа, а % — ее алгебра Ли. Тогда
ехр (д) порождает компоненту единицы Go группы G.
Доказательство. Пусть Gx обозначает подгруппу в G, порожден-
порожденную ехр (д). Ясно, что Gx связна. Далее, поскольку ехр (д) со-
содержит некоторое открытое подмножество в G, множество а- ехр (д)
с: Gi при любом а ? Gx содержит некоторую окрестность элемента
а. Следовательно, Gx открыта. Отсюда вытекает, что каждый класс
смежности в Gx — открытое множество, a Gj — G\\Jbg=G1
в Gx — замкнутое. Поэтому Gj является компонентой единицы. Q
F.1.6) Пусть G — связная линейная группа и g — ее алгебра Ли.
Группа G является абелевой тогда и только тогда, когда алгебра
g абелева. В этом случае экспоненциальное отображение сюръек-
тивно и G = R* X lh, где Т = R/Z.
Доказательство. Если алгебра g абелева, то из формулы
(8) expXexpF = exp(X + F) приХ,У?д
следует, что ехр (д) — группа, т. е. ехр (д) = G, и группа G абе-
•дева,

178 Гл. 6. Линейные группы
Обратно, если группа G абелева, то для X, У?д и ^€R
имеем ввиду E)
ехр ехр ехр J =ехр^[Х, У]
и [X, У] - 0.
Далее, из (8) вытекает, что отображение ехр является непре-
непрерывным гомоморфизмом аддитивной группы g на G. Пусть D —
ядро этого гомоморфизма. Существует такая окрестность д0 точки 0
в д, что D П до = 0. Следовательно, D — дискретная подгруппа,
порожденная множеством \ХЪ ..., Xh\, которое линейно-незави-
линейно-независимо, и группа g/D изоморфна G. Q
Замечание. Экспоненциальное отображение переводит gl (r, R)
в GL (r, R), и большинство из полученных в настоящем параграфе
результатов переносится на этот случай.
Пусть V — векторное пространство размерности г над Р = R
или С. Тогда группу GL (V) — |s?gI(V): det s Ф 0\ можно
отождествить с GL (r, P), выбрав произвольный базис в V. Сле-
Следовательно, мы можем естественным образом определить линейные
группы в GL (V) и их алгебры Ли.
Упражнение 1. Пусть Gt и G2 — линейные группы в GL (г, С) с алгебрами Ли
дх и д2 соответственно. Тогда алгеброй Ли группы Gx f) G% будет дх f) g2.
Упражнение 2. Существует такая окрестность W точки 1 в GL (г, С), что ряд
In a =
абсолютно сходится (т. е. каждая компонента этого матричного ряда абсолютно
сходится) для всякого а ? W. При этом
ехр (In a) = а (а 6 W),
In (ехр Х)= X (X ? \п W).
[Указание: достаточно, чтобы выполнялись неравенства | а,у — бг/- | < I//-2
при «,/= 1, ...,/•.]
Упражнение 3. Отображение ехр: gl (г, С) -*• GL (г, С) сюръективио, а потому
группа GL (г, С) связна. [Указание. Используя жорданову нормальную форму,
свести задачу к рассмотрению эндоморфизма вида §1 -f- iV ? GL (г, С), где
0 ?= 1€С и эндоморфизм N нильпотентен. Затем с помощью формулы |1 -(-
+ iV = | A + N/Q свести ее к случаю уннпотентного эндоморфизма.]
6.2. Классические линейные группы
и алгебраические группы
Пусть ф (v, w) = *v(fw — билинейная форма на Сг, где ср ^
6 gl (г, С), а у, ш?Сг рассматриваются как векторы-столбцы.
Тогда
L (ср) = ja? GL (г, С): <р (aw, aw) = ср (у, ш)}
r, С):
6.2. Классические линейные группы и алгебраические группы
179
— линейная группа. Действительно, для любых a, b ? L (ф)
имеем '(afr) ф (а^1) = ^(Ь) ((ац>а) Ь'1 = ф, так что ab^ L (ф);
то что группа L (ф) замкнута, очевидно.
Найдем алгебру Ли g группы L (ф). Для любого Х?д
ехр (к'Х)- ф- ехр (А,Х) = ср (A,^R).
Беря производную по X при Я, = 0, получаем 'Хор + срХ = 0, т. е,
X ? I (ф), в обозначениях § 2.7. С другой стороны, если ^Х
= 0, то при X?R
ехр
A.X)
и ехр (А,Х)? L (ср), т. е. I (ср) с: д. Следовательно, I (ф) = д.
Поскольку CI (ф) == I (ф), линейная группа L (ф) комплексна.
Далее, для ср ? gl (r, R) мы имеем билинейную форму
<pR (v, w) = 'vq>w (v, w?Rr); тогда
L (<pR) = L (ф) П GL (r, R) = {a ? GL (r, R): 'aya = cp}
есть замкнутая подгруппа в GL (r, R), имеющая алгебру Ли
I (ФК) = I (ср) n gl (r, R) = {XegI(r, R): *Хф
Будем называть отображение чр: Сг X Сг ->¦ С полуторали-
нейной формой, если
гр (ay + v', w) = ачр (у, w) + г|з (»', ш),
\\i (v, aw + ш') = агр (у, ш) + г|з (у, и>')
для любых v, v', w, ш' ^ С' и а^С, где а обозначает число, ком-
комплексно-сопряженное к а. В этом случае можно найти матрицу
Ф € 9* (г> С), такую что
Яр (У, Ш) = УфОУ.
Мы будем обозначать яр через ф*:
ср# (у, w) = Чирш.
Как и в случае билинейных форм, легко проверяется, что
(r, С): Ф# И, аш) = ср* (у, ш)^
(/-, С): 'афа = ф|
является (не обязательно комплексной) линейной группой и ее
алгеброй Ли служит
1(Ф*)= {X€gl(r, С): *Хф+фХ = 0}.
Таким образом, мы получили следующий результат:

180 Гл. 6. Линейные группы
F.2.1) 1) Пусть ф — билинейная или полуторалинейная форма
на С. Тогда
L (ср) = {а? GL (г, С): ср (av, aw) = q> (v, w)\
есть линейная группа, алгеброй Ли которой является
I(<p)=|X6gI(r, С): ф(Ху, ш) + Ф(и, Хш) = 0}.
б том случае, когда ф билинейна, группа L (ф) комплексна.
2) Пусть ф ? gt (r, R) u фк — соответствующая билинейная
форма на Rr. Тогда
L (фк) = \а ?GL (r, R): ф8 (ау, йод) = фк (у, ш)}
= L(9)nGL(r, R)
— линейная группа, имеющая своей алгеброй Ли
I (q.R) = {X ? gl (r, R): ^R (Ху, ш) + cpR (и, Хш) = 0}
Используя F.2.1), мы можем построить несколько линейных
групп и их алгебр Ли.
(а) Билинейные формы на Сг. Группа
О (г, C) = L(lr) = {u6GL(r, С): *аа = 1}
называется комплексной ортогональной группой; ее алгеброй Ли
является
о (г, C)={X6gI(r, С)}: <Х+Х-0}.
Группа
Sp {r, С) = L (Jr), где Jr =
О 1,
—к о /'
называется комплексной симплектической группой; ее алгеброй Ли
служит ё5р (г, С) (см. § 2.7).
Как О (г, С), так и Sp (r, С) — комплексные линейные группы.
(Ь)Полуторалинейные формы. Группа
U(r) = L(lr*) = {a?GL(r, С): 'aa=l}
называется унитарной группой. Для a= (a,;)^U(r) имеем
I~/=i|a(/| =1 при /=1, ..., г, так что U (г)—компактная
группа. Алгебра Ли группы U (г) — это алгебра
u(/-)-{Xe(jI(rf С): 'Х + Х = 0}.
6.2. Классические линейные группы U алгебраические группы 181
(с) Билинейные формы на Rr. Группа
О (г) = О(/-, R) = L(]r8) = {a6GL(r, R): 'aa = 11
называется (вещественной) ортогональной группой. Поскольку
О (г) = О (г, С) П U (г) с U (г), ортогональная группа компактна.
Алгеброй Ли группы О (г) служит
о(/-) = о(г, R) = l(lrR)= {X?gl(r, R): 'X"+X = 0}.
Группа
Sp(r, R) = L(J?)
называется вещественной симплектической группой
Теперь найдем алгебру Ли комплексной специальной линейной
группы
SL (г, С) = [а е GL (г, С): det a = 1}.
Ввиду формулы
det (ехр X) = exp (tr X)
(упр. 1 § 4.4) ясно, что она совпадает с el (r, С). В частности,
группа SL (г, С) комплексна.
Приведем еще несколько примеров линейных групп:
SU (г) = SL (г, С) П U (г) — специальная унитарная
группа,
SO (г, С) = SL (г, С) Г) О (г, С) — комплексная специальная
ортогональная группа,
SO (r) = SL (r, R) П О (г) — специальная ортогональная'
группа,
Sp (г) = U Bг) П Sp (г, С) — унитарная симплектическая
группа,
SO
, R).
-1р О
о
1 i a ~~~
In/ \ " iql
—1„ 0 \) _
о
\ — индеф
инитная ортогональ-
ортогональная группа.
Их алгебры Ли находятся без труда (см. упр. 2).
Обратимся теперь к несколько иному классу линейных групп.
Определение. Пусть Р есть С или R. Подгруппа G в GL (r, P)
называется алгебраической, если существует множество многочле-
многочленов \fa\ cz P Un, хп, .... х1Г], такое что а = (a(/)?GL (r, 73)
принадлежит G тогда и только тогда, когда fa (..., a,,-, ...) = О
для всех а.

182 Гл. 6. Линейные группы
Всякая алгебраическая группа является линейной группой.
В частности,
F.2.2) Всякая алгебраическая группа в GL (г, С) является ком-
комплексной линейной группой.
Доказательство. Пусть G — алгебраическая группа в GL (г, С)
ид — ее алгебра Ли. Пусть X принадлежит д. Для [х?С пусть
?,,- (ц.) означает (г, /)-ю компоненту матрицы exp (\iX). Тогда
|,, (fx) является С-голоморфной функцией и, значит, С-голоморф-
ными будут также функции
fa (ц) = /«(•• -, 1,/(|1),-- ¦)•
Так как fn (u.) = 0 при ц.?К, to fa тождественно равно нулю.
Следовательно, CXcg. Q
Для любой билинейной формы ср на Сг или Rr группа L (ф)
является алгебраической группой.
Пусть V — векторное пространство размерности г над Р ( = С
или R). Подгруппа G группы GL (V) = {s?gl (V): det s Ф 0}
называется алгебраической, если она представляется алгебраиче-
алгебраической группой матриц (т. е. алгебраической группой в GL (г, С))
относительно некоторого базиса в V. Очевидно, свойство быть
алгебраической группой не зависит от выбора базиса.
F.2.3) Для всякой алгебры А над С или R группа ее автоморфиз-
автоморфизмов Aut (А) является алгебраической группой в GL (А), и алгебра
Ли группы Aut (А) совпадает с der (A).
Доказательство. В D.4.2) мы рассмотрели тот случай, когда А
является алгеброй Ли. Однако доказательство проходит для любой
алгебры. Q
Пусть g — алгебра Ли. Напомним, что Ad (g) — это группа,
порожденная exp (ad (g)) (см. § 4.4).
F.2.4) Пусть g — алгебра Ли над С или R, для которой der (g)
= ad (g) (например, пусть g полупроста). Тогда Ad (g)
совпадает с компонентой единицы в Aut (g) и является линейной
группой.
Доказательство. Это следует из F.1.5) и F.2.3). Q
Упражнение 1. Пусть Р (г, С) — множество всех верхне-треугольных матриц
из GL (г, С). Показать, что Р (г, С) есть алгебраическая группа, алгеброй Ли
которой служит
9 (г, С) = {(а,,-) € gl (п С): «„¦/ =* 0, i > /}.
Упражнение 2. Доказать, что алгеброй Ли группы SO (р, q) является
I/ A B\
*><"•*> = {(* c):A
), В произвольной
6.3. Полярное разложение группы GL {r, Q) 183
6.3. Полярное разложение группы GL(r,C)
Для всякой комплексной матрицы s будем обозначать через s
комплексно-сопряженную матрицу. Положим s* = '(s) — (ls).
Матрица s из g/ (г, С) называется эрмитовой, если s = s*. Эрми-
товость матрицы s = (s,-,-) означает, что числа sti вещественны
и s.j = Sj(. Следовательно, множество § (г) всех эрмитовых матриц
из д/ (г, С) образует векторное пространство размерности г2
над R. Будем рассматривать элементы пространства СЛ как
векторы-столбцы и введем в нем скалярное произведение
v-w= ? ViWt = v*w для и = (&,), до = (ш1-)?Сг
и соответствующую норму ||о|| = \/v-v. В терминах этого ска-
скалярного произведения оператор * в gl (г, С) определяется форму-
формулой v-sw = s*v-w, и матрица s эрмитова тогда и только тогда,
когда vsw = sv-w для всех у, ш?Сг-
Пусть s принадлежит [) (г) и X — собственное значение ма-
матрицы s. Выберем ненулевой вектор е?Сг, Для которого se = Хе.
Из равенства see = е-se следует, что X = X, т. е. к? R. Далее,
пусть 2 — некоторое подмножество в I) (г). Если 2 оставляет
данное векторное подпространство V пространства Сг на месте,
то ортогональное дополнение V = \w?Cr: w V = 0} также
инвариантно относительно 2, т- е- S вполне приводимо. Отсюда
следует, что в случае одноточечного множества S = Is! можно
найти ортонормированный базис еъ ..., ег в Сг(е,-е^ — 8И),
такой что se^ = Х^,- (X^R) при L = 1, ..., г. Пусть [klt ..., Хг 1
обозначает диагональную матрицу, на главной диагонали которой
стоят числа Аь ..., Хг, и пусть и — матрица, у которой г'-й столбец
равен е(, i = 1, ..., г. Тогда и унитарна, т. е. и*и = 1,
(*) з = и[Хг, ..., Xr)u-1 (X^R).
Обратно, всякая матрица вида (*) эрмитова.
Эрмитова матрица s называется положительной (или положи-
положительно-определенной), если все ее собственные значения положи-
положительны. Пусть Н (г) обозначает совокупность всех положительных
эрмитовых матриц в gl (г, С). Множество Н (г) открыто в fy (r).
Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать следующее предло-
предложение:
F.3.1) Пусть а принадлежит gl (г, С). Если X — собственное
значение матрицы а кратности k, то для достаточно малых
6 > 0 у любой матрицы Ь, достаточно близкой к а, существует
в точности k собственных значений в круге {z?C:\z— Х\ < б|.

184 Гл. 6. Линейные группы
Доказательство. Предположим вначале, что X является корнем
многочлена
имеющим кратность k. Пусть б > 0 — число, меньшее, чем рас-
расстояние от X до остальных корней многочлена f, и пусть с — окруж-
окружность, задаваемая уравнением | г —¦ к\ = 6. Поскольку / (г) -ф О
на с, мы имеем min{|/(z)|: z?C\ = m > 0. Выберем уъ ...,
TV (ЕС так, чтобы liv' + ... +yr | <т при г ? С. Применим
теперь теорему Руше. (Пусть / и g принадлежат С [z ] и с — жор-
данова замкнутая кривая в С. Если |/(z)| >\g(z)\ для всех
г ? с, то число нулей функции / внутри с равно числу нулей функ-
функции / + g внутри с.) Из этой теоремы сразу следует, что многочлен
имеет ровно k нулей внутри с.
Поскольку всякое собственное значение матрицы а
является корнем ее характеристического многочлена
det (zlr — а) = zr -f-«V-1 + • •
(atj)
- a,
где ab ..., ar — некоторые многочлены от a,,-, наша теорема тем
самым доказана. Q
Для эрмитовой матрицы s, заданной формулой (*), имеем
exp s = и [exp Xv . . ., ехр Хг] и'1,
где ехр к1 > 0. Следовательно, exp (i> (r)) cz H (г).
Далее, для любого положительного числа а обозначим через
На (г) совокупность всех элементов из Н (г), у которых максималь-
максимальное собственное значение меньше 2а. Как известно, степенной ряд
1паг = In a
z-a\/
1
сходится в круге jz?C: \z — а| <а\, и если а < ($, то
lna z = lnp z для всех z, таких что \z — а| < а. При s = и [|лх,
..., цг] и-1^На (г) ряд
= In a
абсолютно сходится и определяет голоморфное отображение
1п„: На (г) -*¦ 1) (г). Далее, если a < р*, то ln« s = lnp s при
6.3. Полярное разложение группы GL (r, Q) 185
s€Ha(r). Следовательно, как и в случае комплексных чисел,
мы имеем голоморфное отображение In: H (г) -*¦ t) (r), для которого
In о ехр = id на I) (г). Поэтому ехр является биголоморфным ото-
отображением из Ь (г) на Н (г).
F.3.2) 1) ехр: I) (г) -*¦ Н (г) — биголоморфное сюръективное ото-
бражение.
2) Для любого а ? Н (г) существует единственный элемент
Ь?Н (г), такой что Ьг = а (мы пишем в этом случае b = У а).
3) Н (г) — регулярно вложенное замкнутое подмногообразие
в GL (г, С).
Доказательство. 2) Для а = ехр X, где X?t)(r), положим
ft = ехр (Х/2) ? Н (г). Тогда ft2 = а. Если (ехр УJ = а для не-
некоторого У О (г), то ехр BУ) = ехр X и 2Y = X.
3) Допустим, что аъ а2> ...?Н (г) и а0 = lim a^QL (r, С).
Тогда ОоО(г) и каждое собственное значение К матрицы а0
неотрицательно, согласно F.3.1). Так как ao(E GL (г, С), то
Я, > 0. Следовательно, Н (г) замкнуто в GL (г, С).
Далее, пусть а принадлежит Н (г). Выберем вещественное
подпространство 5р в gl(r, С), для которого
91 (г, С) = У а'1 $ (г) ш/а + )р, Ка-1 $ (г) j/ofl ? == 0-
Возьмем такую окрестность #j точки 0 в V а'г1) (г) Vа и такую
окрестность :р0 точки 0 в 5р, что отображение
Ч>: ЪоХ!роЭ(Х, К) —ехрХ-ехрК
биголоморфно. Поскольку Н (г) открыто в \) (г), то, полагая
Ф (^о X ipo) = W> мы можем считать, что aWf\l)(r) cz H (г).
Кроме того, мы можем предположить, что степенной ряд In = 1пА
абсолютно сходится на W.
При этих предположениях допустим, что матрица ab эрмитова
для некоторого b ? W. Так как ряд для In b сходится и In ft*
= (In ft)*, то из равенства (aft)* = ab (т. е. ft* = aba) получаем
(In b)* = a (In b) а'1. Следовательно,
так что In b?Va~ll) (r) i/а. Обратно, если X? Va'x\, (г) /а, то
a exp X? H (г). Таким образом, aW f\H (r) = exp ($J). Посколь-
Поскольку отображение
a exp Х-ехр У — (X, У)О
определяет на aW локальную систему координат для GL (г. С)
и подмножество aW П Heaf задается условием Y = 0, мы за-

186 Гл. 6. Линейные группы
ключаем на основании F.1.2), что Н (г) есть регулярно вложенное
подмногообразие в GL (г, С). О
Теперь мы готовы к доказательству следующей теоремы:
F.3.3) (Полярное разложение комплексной полной линейной
группы.) Всякий элемент s группы GL (г, С) может быть един-
единственным образом записан в виде
s = и ехр X, где «?U (г), Х?Ъ (г),
и этим задается биголоморфное отображение между GL (г, С)
и U (г) X Ь (г).
Доказательство. Для любого s?GL'(r, С) элемент s*s эрмитов
и форма s*suw = sv-sw положительно-определенна. Следова-
Следовательно, s*s?H(r). Положим Ks*s = a?H(r) и u — sa'1.
Тогда и*и = (a^h-saT1 = Г и «?U (r).
Далее, предположим, что иа — а , причем u?U(r), а а,
а ? Н (г). Тогда (а'J = а'*а = а*и*иа = а" и потому а = а',
в силу F.3.2), 2). Следовательно, если игах — ифг, где uf ? U (г)
и а,-?Н (г) (/ = 1, 2), то (и^) а1 = а2 и н~ 1«1 ? U (г), так что
ах = а2. Этим доказана единственность разложения.
Наконец, отображение U (r) xf) (r)^ (и, X) -*¦ и ехр X ? GL (г,С)
голоморфно, и, обратно,
X = -у In (s*s) и и = s ехр (—X)
— голоморфные функции от s. D
Докажем теперь теорему, аналогичную теореме F.3.3), для
группы GL (г, R). Пусть s принадлежит GL (r, R) и
s = иа, где u?U (r), a?H (г).
Тогда u?U (r), a ? Н (г) и s = s = па. Поэтому, ввиду един-
единственности разложения, и = п и а = а.
Положим.
^ (г) П gl (r? R) = «(г) и Я (г) П GL (r, R) = S (г).
Очевидно, 8 (г) есть множество всех симметричных матриц в gl (r,
R), а S (г) — множество всех положительных матриц в 8 (г).
Поскольку ехр F (г)) и In (S (г)) состоят из вещественных матриц,
мы видим, что ехр отображает 8 (г) на S (г). Кроме того, U (г)
ПGL (r, R) = О (г). Таким образом, имеет место следующая
теорема:
F.3.4) (Полярное разложение вещественной полной линейной
группы.) Всякий элемент s?GL(r, R) единственным образом
записывается в виде
s — и ехр X, где и ? О (г), X ? % (г),
6.4. Разложения Картана полупростых линейных групп 187
и этим определяется биголоморфное отображение между GL (r, R)
и О (г) X % (г).
Упражнение 1. U (г) — максимальная компактная подгруппа в GL (г, С),
а О (/¦) — максимальная компактная подгруппа в GL (r, R).
Упражнение 2. Для всякого a? S(r) найдется элемент и?О(г), такой что
а= и [Хъ ..., VI" (*.,- >0).
Упражнение 3. Пусть
/ (г) = а0 + alZ + а2г2 + ... (а/ ? С)
— степенной ряд с радиусом сходимости R > 0, и пусть s?gl(r, С). Пред-
Предположим, что все собственные значения матрицы s по абсолютной величине
меньше R. Тогда ряд f (s) = а0 + a^ + a2s2+... абсолютно сходится. [У/ca-
зание. Используя жорданову нормальную форму матрицы s, можно свести за-
задачу к случаю
. С), \X\<R.
Обозначая h-ю (формальную) производную функции / через /(/i), имеем
/(«) =
(/¦ — 2I
С другой стороны, радиус сходимости ряда для /'^ равен R.]
Упражнение 4. Для всякого коммутативного подмножества ? в 2 (г) суще-
существует элемент м?О (г), такой что
и V м с: diag (r, R).
6.4. Разложения Картана полупростых линейных групп
Вначале докажем одну теорему, принадлежащую К- Шевалле.
F.4.1) Пусть G — алгебраическая группа в GL (r, R) ид — ее
алгебра Ли.
1) Если a?S(r)f")G, то 1па?д.
2) Если s = иа (н?О (г), a?S (r)) « *_s принадлежит G, то
и, a?G.
3) Если G = 'G, mo G = /С-ехр (^), где /С = О (г) П G, а
р = 8 (г) р д и как многообразие G есть прямое произведение

188 Гл. 6. Линейные группы
К X 5р. Группа К является максимальной компактной подгруппой
в G, и ее алгебра Ли t совпадает с о (г) П 3-
Доказательство. 1) Обозначим через D (г) подгруппу всех диап>
нальных матриц в GL (г, R). В силу упр. 2 § 6.3, найдется элемент
Ь?О () й bb1 ?D () Т bGbx
(
(г), такой что bab
'1
у ур §
(r). Так как bGb~x также является
() ? ()
алгебраической группой, мы можем предполагать в дальнейшем,
что a?D (г). Тогда D = D (r)f\G есть алгебраическая группа,
содержащая а. Пусть {/„} с R [хъ ..., хг] — множество много-
многочленов от г переменных хъ ..., хп определяющее D. Так как
а = [%i, ..., Кг ] ? D, то /а (Х[,) ...,Х!г) = 0 при / ? Z. Положим
faW = /a(exp(/lnX1), ..., ехр (f In A,,)) {t?R).
Поскольку fa — многочлен, Fa можно записать в виде
причем мы можем считать, что р,- ф р, и соответственно ехр Р;
Ф ехр Р/ при i Ф ]. Тогда
det ((ехр Р,-)Ц k-.t^.i, ...,*-i)?=0,
в силу теоремы ван дер Монда. Так как
ft
^a(i) = I Mexp6y/ = 0 при 1 = 0, 1, ..., /г-1,
/ — 1
то \it = ... = (xft = 0 и Fa (t) — 0. Таким образом, мы доказали,
что In a? g.
2) Имеем 'ss = ^а^ииа = a2?S (r)flG. В силу 1), In a
= 2 In a2 ? g и a?G.
3) Указанное разложение следует из F.3.4) и 2). Как замкну-
замкнутая подгруппа компактной группы О (г) группа К компактна.
С другой стороны, всякая подгруппа L группы G, удовлетворя-
удовлетворяющая условию K^L, содержит некоторый элемент a?S(r),
аф\, а подгруппа, порожденная а, не может содержаться ни
в каком компактном множестве. О
Пусть g — полупростая алгебра Ли над R и
— ее разложение Картана. Как показано в § 4.5, отображение т:
X + У ->- X — Y (X?l, Y?$) есть автоморфизм алгебры g и
[!, !] с t, [f, 5р] с 5Р', [р, р] с: f. Форма Киллинга В алгебры g
является отрицательно-определенной на f x f, положительно-
определенной на 5р X р, и В (!, $) = 0. Положим
ф (?/, У) = _В (I/, xV) для С/,
6.4. Разложения Картана полупростых линейных групп 189
Легко видеть, что q> — положительно-определенная симметрич-
симметричная билинейная форма. Для любых X?f, Y^y имеем ad Хот
= TOadX, ad7oT = -toad У и
A)
Ф (ad Х- U, V) + ф ((У, ad Х- К) = 0,
ср (ad Y-U, V) = ф (г/, ad У- V).
Пусть Ег, ..., ?г — такой базис в д, что ср (Et, Ef) = б;/.
С помощью этого базиса группу Aut (g) можно отождествить с не-
некоторой алгебраической группой в QL (r, R). Для p?Aut (g) и
U, VC 9 имеем В (pi/, pV) = В (U, V) и
Ф (pi/, У) = — В (pi/, tV) = —S (i/, p~hV)
= ф (t/, тр'^К).
Используя указанное выше отождествление, это можно записать
в виде 'р = тр~хр^ Aut (g). Таким образом, '(Aut (g)) = Aut (g).
Алгебра Ли der (g) = ad (g) группы Aut (g) отождествляется
с некоторой подалгеброй в gl (r, R), и из A) следует, что
ad(!)co(r) и ad(ip)c:S(r),
где ad (f) = {ad X: X^f}. (Мы будем использовать подобные
обозначения и далее, в тех случаях когда это не может привести
к недоразумению.) Применяя F.4.1), приходим к следующему
результату:
F.4.2) Пусть g — полупростая алгебра Ли над R ug = f + p —
ее разложение Картана.
1) Разложение Aut (g) = К- ехр (ad Op)) определяет голоморф-
голоморфное разложение многообразия Aut (g) в прямое произведение К X 5р,
где К — некоторая максимальная компактная подгруппа в Aut (g)
с алгеброй Ли ad (f).
2) Ad (g) = /Coexp (ad Ep)), где Ko — компонента единицы
группы К.
Доказательство. 1) Из соотношений ad (t) с: о (г) и ad (p) с в (г)
следует, что ad (д)П° (г) — ad (?)¦ Согласно упр. 1 § 6.1, ал-
алгебра Ли группы К совпадает с ad ({).
2) Поскольку, согласно F.2.4), Ad (g) является компонентой
единицы в Aut (g), в разложении Aut (g) = К X 5р ей отвечает
связная компонента в К X 5р, содержащая A,0). Q
F.4.3) Пусть g — полупростая алгебра Ли над С u u — ее ком-
компактная вещественная форма. Тогда

190 Гл. 6. Линейные группы
где U — некоторая максимальная компактная подгруппа в Aut (g),
имеющая алгебру Ли ad (u), и
Ad (g) П Aut Ы) = Ad (и),
где Aut (и) рассматривается как подгруппа в Aut (g).
Доказательство. Рассматривая g как алгебру Ли gR над R,
получаем разложение Картана дк = и + V — 1и (упр. 3 § 2.5).
Следовательно, Aut (gp) = /С-ехр (У—1и). Поскольку алгеброй
Ли группы Aut (g) является ad (g) = ad (gt?), мы имеем
/С-ехр (// — lu) :э Aut (g) з /Coexp (// — In), где Ko — компо-
компонента единицы в К. Следовательно,
g) = i/-exp(J/=lu), К з U з Ко.
Так как алгеброй Ли группы Ко служит ad (u), то Ко = Ad (и)
и Ad (g) = Ad (u)-exp (//—iu).
В силу D.6.2), 2), группа Aut (u) компактна. Но Ad (и) —
максимальная компактная подгруппа в Ad (g); следовательно,
Ad (g) П Aut (u) = Ad (u). D
F.4.4) Для всякой полупростой подалгебры Ли g в gl (г, R) су-
существует алгебраическая группа G в GL (г, R), такая что g яв-
является ее алгеброй Ли. Отсюда, в частности, следует, что группа,
порожденная exp (g), замкнута.
Доказательство. Алгебра д = д + щ cz gl (r, С) есть комплекс-
комплексная полупростая алгебра Ли. Найдем сначала алгебраическую
группу G, алгебра Ли которой равна д.
Поскольку алгебра д вполне приводима (см. C.4.4)), можно
найти такие подпространства Уъ ..., Vk в Сг, что
и g действует неприводимо на каждом из V,-.
Пусть G* — совокупность всех элементов а из GL (г, С),
удовлетворяющих соотношениям
A) aga'1 = g,
B) aV; = V, и det (a\Vi) = 1 при I = 1, ..., k.
Покажем, что G* является алгебраической группой. Очевидно,
что соотношения B) определяют некоторую алгебраическую
группу. Пусть \ЕЪ ..., Егг] — базис в gl (r, С), такой что {Els
..., Eq\ — базис в д~. Для х ~ (хи)? GL (г, С) имеем
[5=1
6.4. Разложения Картина полупростых линейных групп 191
где /,-;- (х) — рациональные функции от хи, ..., хгг. Поэтому
условие
Д./ (х) = 0 для / <: q < I
выражается полиномиальными уравнениями. Следовательно, ра-
равенство A) тоже определяет некоторую алгебраическую группу.
Тем самым показано, что G* — алгебраическая группа.
Пусть д* — алгебра Ли группы G* и Х^д*. В силу фор-
формулы F) §6.1,
Ф (X) = ехр (XX) К-ехр (—XX) = (exp (ad лХ)) Y
= Y + X [X, Y) + \ Г- [X, [X, KJ] + • • ¦,
где X?R. Но ввиду A), если У?д~, то и ф (A,)?<j, а значит и
-^- @) = [X, У]^д. Таким образом, [д*, д] cz д. Поскольку
д* ZD д, можно найти идеал m в д*, такой что д* = д ф m (см.
A.5.7)). Пусть Z принадлежит т. Так как [g\Vi, Z\Vi] = 0, то,
по лемме Шура A.2.3), Z\V[^ C1. Сдругой стороны, trZ\^i = O,
в силу B). Следовательно, Z\v. = 0 и Z = 0. Итак, g* = g и
алгебра Ли группы G* совпадает с д.
Положим G* П GL (r, R) = G. Тогда G — алгебраическая
группа в GL (r, R) и ее алгебра Ли равна дПдЦг, R) = д. О
Замечание. Линейная группа называется полупростой, если ее
алгебра Ли полупроста.
F.4.5) Для всякой компактной полупростой алгебры Ли и в gl (r,
С) существует элемент a?GL (г, С), такой что аиаГ1 cz и (г).
Это немедленно следует из F.7.3) и F.9.2).
F.4.6) Теорема. Пусть g — полупростая подалгебра Лив gl (r, R)
и g = t + ? — ее разложение Картана.
1) Существует положительная симметричная матрица
b? GL (r, R), такая что
bib'1
о (г) и
1 с: 8 (г).
2) Пусть G и К — подгруппы в GL (r, R), порожденные
exp (g) и ехр (!) соответственно. Тогда G и К — линейные группы,
причем группа К компактна. Всякий элемент х из G может быть
единственным способом записан в виде
, где с?К
и этим определяется биголоморфное отображение между G и
К + V-

192 Гл. б. Линейные группы
Доказательство. 1) Как мы видели в § 4.5, алгебра ц = f-j-ц>
(Е gl (r, С) компактна и полупроста. Согласно F.4.4), найдется
элемент а? GL (г, С), для которого av.cC1 cz u (г). Используя
полярное разложение группы GL (г, С), можно найти такие эле-
элементы d?U'(r) и h?H (г), что а = d Vh. Тогда (/Ли К Л
с сГЧх (r) d = и (г). Запишем Л в виде h = 6 + ie, где i и г —
вещественные матрицы. Поскольку h* = h, матрица Ъ симме-
симметрична. Далее, поскольку матрица h положительна, то положи-
положительна и Я, а значит и b = (h + ft)/2.
Пусть Z принадлежит и. Ввиду того что VJiZVh'l^\\(r),.
мы имеем (i/hZV h~1)* ^r VhZ У h~l = 0, откуда следует, что
Z*h + hZ = 0. Следовательно, 'X (b + le) + (Ь + ie) X = 0 и
'ХЬ + &Х = 0 для любого X?f. _ Поэтому \1/ЬХ\/Ъ'1)
_ _ _
= V'Ь~1-*Х-Уb = —VЬХУb'1 т.е. ]/ ЬХ V b'1^ о (г). Анало-
Аналогично для любого У? 5р имеем —i*Y (b + ге) + (b + ie) iY = 0
и 'УЬ = bY. Отсюда мы заключаем, что \/UY ^b'1 ?&(г).
2) В силу 1), можно считать, что ! с о(г) и ycz$(r). Тогда
'! = !, 'р == 5р и 'g = g. Согласно F.4.4), существует такая
алгебраическая группа Л в GL (r, R), что G есть ее компонента
единицы. Так как \ = g и '(exp Z) = exp (fZ), то G = *G.
Поскольку Л —алгебраическая группа, такова же и *А. Следо-
Следовательно, Л1 = ЛП/^4—алгебраическая группа, содержащая G.
Далее, tA1 = A1. В этой ситуации мы можем применить F.4.1). Q
Замечание. Разложение из F.4.2), 2) называется разложением
Картана полупростой линейной группы G.
Упражнение. Пусть Aft (Kr) обозначает группу всех преобразований n Rr вида
(s )€GL( R) х рг
(s, a)€GL(r,
р<г,
где (s, a) v = sv 4~ а для и?Кг. Показать, что Aff(Rr) можно отождествить
с некоторой замкнутой подгруппой в QL (г + 1. R), полагая
а\ v
sv -\- a
1
Алгеброй Ли группы Aff (Rr) является алгебра aff (Rr), рассмотренная в § 3.5.
Пусть G — связная полупростая линейная группа в Aff (Rr) и g — ее алгебра
Ли. Показать, что G имеет неподвижную точку, т. е. существует элемент vg ? Rr,
такой что (s, а) и0 = у0 для всех (s, a)?G. [Указание: см. C.5.4).]
6.5. Таблица умножения алгебры Ли
Пусть G — линейная группа в GL (г, С) и g — ее алгебра Ли.
Тогда exp (g) порождает компоненту единицы в G. Однако для
произвольной подалгебры Ли д' с= д! (г, С)у группа, порожден-
6.5. Таблица умножения алгебры Ли 193
пая ехр (g'), вообще говоря, не замкнута. В самом деле, для одно-
одномерной алгебры Ли
ехр (д0) — незамкнутая однопараметрическая подгруппа в GL B,
С). С другой стороны, если g является алгеброй Ли некоторой
линейной группы, то для X, У (Eg, достаточно близких к 0, мы
имеем ехр X ехр У?ехр (д). Этот факт может быть обобщен
на произвольные подалгебры Ли в gl (r, С)р, и это и будет пред-
предметом рассмотрения настоящего параграфа.
Для X, У?д1(г, С) положим
A) / (X, У) = In (exp X ехр У)
7=1
1=0
Существует такая окрестность U точки 0 в gl (r, С), что степенной
ряд / (X, У) абсолютно сходится при X, У^ U.
Далее для X ? gl (r, С) положим
B)
/1
adX
2!
(ad
31
Степенной ряд ср (X) можно записать формально как
exp ad X — 1
хотя det (ad X) = 0; этот ряд сходится для любого X, ввиду того
что числовой степенной ряд
ехР г -
_ 1 , J_ ,
— ^ 2!
3!
сходится для всех г^С (см. упр. 3 § 6.3). Таким образом,
Ф (X) — корректно определенное линейное преобразование век-
векторного пространства gl (r, С).
F.5.1) Для X, У?д1 (г, С) и Х?С
ехр (X + XY) ехр (—X) = 1 + Ху (X) У + О (V),
ехр (—X) ехр (X + XY) = 1 + Я,Ф¦(—X) У + О (Я,2),
О (А,2) обозначает некоторый степенной ряд от X, начинающийся
с члена с К2.
7 М. Гото, Ф. Гроссханс

194 Гл. 6. Линейные группы
Доказательство. Зафиксируем /Y^gf(r, С) и определим эле-
элементы L, R и 9 =- ad X алгебры gl (gl (/". С)) формулами LZ
= XZ, RZ = ZX для Z? gl (г, С) и 9 = L - i?. Ясно, что пре-
преобразования L, i? и 6 попарно перестановочны. Положим
;=0 m=0
Имеем
ехр (X -|- XY) = 1 + (X + XY) ~
2!
== ехр X + Ад[>У + О
Поскольку L = R + 9, то
/=0
\tn-k
m
m -|- 1N
fe f 1
Следовательно,
-s
gfe ^m-fe
"(от +1I j?U (A -+¦ 1I (m —*)! ^J (г+ 1I /1
*=0 l+j=m
0^_
(« +
•
~%Л ihm
= cp(X)exp JR.
Поэтому
грУ = (ф (X) ехр R) У = ф (X) У ехр X.
Это доказывает первую формулу.
6.5. Таблица умножения алгебры Ли 195
Докажем теперь вторую. В силу формулы F) § 6.1,
ехр (—X) ехр (X + XY)
= ехр (—X) ехр (X + XY) ехр X ехр (—X)
= ехр ((ехр ad (—X)) (X + XY)) ехр (—X)
= ехр (X + X (ехр ad (—X)) У) ехр (—X)
= 1 + X (ф (X) ехр ad (—X)) Y + О {Хг).
Но имеет место равенство ср (X) ехр ad (—X) =
гичное (и доказываемое аналогично) равенству
(—X), анало-
аналоехр z — 1 , . ехр (—г)
—?- ехр(—z)= vy '
для
Q
Пусть d expx: gl (г, С) -*• gl (r, С) обозначает инфинитези-
мальное линейное отображение (производную) экспоненциаль-
экспоненциального отображения в точке X:
, ,г ,. ехр (У + W) — ехр X
dехрхУ = hm —VK ^ . ' *-— .
л,->о к
Из F.5.1) следует, что
F.5.2) d ехрх У = (ф (X) У) ехр X = ехр X (ф (—X)) У.
Поскольку ф @) — тождественное отображение, ф (X) невы-
невырожденно для X, достаточно близких к 0. Для X, Y, Z? gl (r, С)
и Я^С имеем, в силу F.5.1),
ехр (X + XX) ехр (У + XZ)
--= ехр X ехр (XX) A + Хц> (Y) Z + О (X2)) ехр У
= ехр X A + X (X + ф (У) Z) + О (X2)) ехр У.
Положим Z = —ф (У)-1Х и р (X) = f (X + XX, У — Хц> (У)'гХ).
Тогда ехр р (X) = ехр X A + О (Я,2)) ехр У и -^-ехр /7 (X) = 0
при А, = 0. Так как
р(Х) =
(-1)'41
(ехрр^)-!)'",
Пусть g — подалгебра Ли в gl (r, C)r и {^j^, ..., Е,„| — ба-
базис д. Пусть X = 2 xi-?'; и У = 2 У/^г принадлежит д; положим
f (х, у) = 1 {ху, -.., х,п; yv ..., у,п) -= / (X, У).
7*

196 Гл. 6. Линейные группы
Можно считать, что
C) f = f0 + h + ....
где fk = fk (x, у) — однородный многочлен степени k по пере-
переменным хъ ..., хт. В частности, f0 = %У[Е{. Полагая
D) Ф(Ур?(=1а/7ад
получаем
Р (*> = Г ( A + к) хх;
Заметим, что f и а(/- можно определить для (xt) и (г/,), достаточно
близких к 0. Равенство -?- @) = 0 влечет теперь равенство
-?-
дТ
1=1
Поскольку / t -%-^-Х; = kfk,
i
имеем
= ^ x,au (у)
,^, k = 1, 2, ..
где ?> обозначает дифференциальный оператор
Так как ?0 = ^у,Ес, то fk = ¦
E) f (х, у) -
Поэтому, в частности, J (х, у)
следующую теорему:
т.е.
Таким образом, мы установили
F.5.3) Для X, У?д1 (г, С), достаточно близких к 0, элемент
f (X, Y) = In (exp X ехр У) содержится в алгебре Ли, порожден-
порожденной X и У.
Теорема F.5.3) позволяет нам связать с каждой лиевой под-
подалгеброй g алгебры Ли gl (p, C)r голоморфную функцию f,
действующую из некоторой окрестности точки @, 0) ^ g X g в g.
Будем называть / таблицей умножения алгебры Ли д. Предполо-
Предположим, что структура алгебры Ли в g задается формулами [Et,
6.5. Таблица умножения алгебры Ли 197
С С2
-2Г + -ЗГ + • •
ПРИ l"> /=1- ¦••• т-
\ задается матрицей
(ad У) Е,
где (/, /г)-я компонента матрицы С (по отношению к базису Ех,-
,.., Ет) равна 2icift/ Ус Следовательно, функции aLj зависят только
от {cijk\. Отсюда вытекает следующая теорема:
F.5.4) Пусть Gj и G2 — линейные группы, и для /=1,2 пусть
д,- — алгебра Ли группы G, и /0) — таблица умножения алгебры
д,-. Предположим, что существует изоморфизм р алгебры дх на
д2. Тогда
f (рХ, рУ) = р/A> (X, У)
(Зля X, У(Едъ достаточно близких к 0.
Коротко говоря, таблица умножения алгебры Ли зависит
только от ее структуры алгебры Ли.
Замечание. Для любой подалгебры Ли g в gl (r, C)r группа G,
порожденная ехр (д), образует подмногообразие в GL (г, С)
и является группой Ли относительно подходящей голоморфной
структуры в G. Такая подгруппа G называется связной подгруппой
Ли (или аналитической подгруппой) в GL (г, С). Однако в этой
книге мы не будем рассматривать такие группы.
F.5.5) Пусть п — подалгебра Ли в gl (r, C)r, состоящая из
нильпотентных матриц. Тогда ехр (п) есть линейная группа
и отображение ехр: п -*- ехр (п) биголоморфно.
Доказательство. Пусть п (г, С) = \(хи)^%1 (г, С): хи = 0
(i > ])\ и N (г, С) = 11 + X: X? п (г, С)}. Ясно, что п (г,'С) —
алгебра Ли алгебраической группы N (г, С). Далее, как ехр X
для Х?п (г, С), так и In а для a?N (r, С) являются много-
многочленами степени г — 1 от X и а — 1 соответственно и определяют
биголоморфное соответствие между п (г, С) и N (г, С).
В силу упр. 3 § 1.3, мы можем считать, что ncn(r, С).
Тогда функция / (X, У) = In (ехр X ехр У) определена всюду на
п х п. Так как / голоморфна и / (X, У) ? п для X, У, достаточно
близких к 0, то /(X, У)?п для всех (X, У) ?п X п. Отсюда
следует, что ехр (п) — группа. Поскольку подалгебра п, очевидно,
замкнута в п (г, С), группа ехр (п) замкнута в N (г, С). Q
Упражнение 1. Линейные группы Gj и G2 называются локально-изоморфными,
если существует биголоморфное отображение а некоторой окрестности U еди-
единицы в Gi на некоторую окрестность единицы в G2, такое что для любых а, Ъ ? U,
для которых ab?U, справедливо равенство a (ab) — а (а) а (Ь). Доказать,
что Gi и Ga локально-изоморфны тогда и только тогда, когда их алгебры Ли

198 Гл. 6. Линейные группы
3i и За изоморфны. [Указание. Если Gx и G2 локально-изоморфны, то а* =
= lnOaOexp является биголоморфным отображением некоторой окрестности
точки 0 в алгебре дх в алгебру д2. Используя формулы D) и E) § 6.1, пока-
показать, что а* (XX + Y) = Ха*Х + a*Y и а* ([X, Y]I= [о*Х, о*У] для тех
X, Y(z$i и ^€R> Для которых все эти выражения определены. Обратное
утверждение непосредственно следует из F.5.4).]
Упражнение 2. Пусть X принадлежит gl (г, С). Дать необходимое и достаточ-
достаточное условие (в терминах собственных значений матрицы X) того, что det (d expx
Ответ: существует пара X, jx "собственных значений, для которых X — (а)
= 2я V—1/, где /€Z\{0}- [Указание. Прежде всего, ср (X) невырожденно
тогда и только тогда, когда айХ не имеет собственных значений вида 2я V—1 /,
Далее, если [Xt Хг) —множество всех собственных значений
матрицы X, то {Хг.— Xj-. i, j= I г) есть множество собственных значений
б X]
матрицы X, то {Хг.—
преобразования аа X.]
6.6. Разложения Ивасавы полупростых линейных групп
Пусть |с1( ..., сг\ — некоторый базис в Сг. Напомним извест-
известный метод (процесс Шмидта) построения ортонормированной
системы векторов (относительно скалярного произведения
(vt)-(wt) = %viwi)' исходя из системы съ са, .... Прежде всего
полагаем
¦e2-
Тогда e'i-е) = 0 при i ф j. Будем обозначать через [к^, ..., кг]
диагональную матрицу (Л,,-б/у). Далее, пусть е, = еУ\\е'с\\, i = 1,
..., г. Рассматривая элементы пространства Сг как векторы-
столбцы, имеем
/1
ъ . . ., сг) :=(<?!, . . ., е'г)
\0
II, •¦-, К
/1
6.6. Разложения Ивасавы полупростых линейных групп 199
По построению элементы е\, ..., е'г и соответственно компоненты
трех матриц в правой.части последнего равенства голоморфно
зависят от сх, ..., с,.. Поскольку е,-е1 ^ f>in матрица (<?1( ..., ег)
унитарна, т. е. (ег, ..., е,.) ? U (г). Обозначим через D1 (г) группу
всех диагональных матриц [\, ..., кГ] с положительными %.;,'
1 <: i <¦ г. Для Р = R или С положим
Л/ (г,Я) = {(v,/) € GL (г,Р): 7г/ = 0 (i > /) и Yll = 722 = ...
Очевидно, D+ (г) N (г, С) — линейная группа и
D+ (г) П N (г, С) = 1, U (г) П D+ (г) N (г, С) = 1.
Следовательно, полученное выше разложение матрицы (clt ..., сг)
единственно.
Рассуждая аналогично и в случае пространства Rr, получаем
следующий результат:
F.6.1) Всякий элемент группы GL (г, С) может быть единствен-
единственным способом записан в виде
1 *)
0
где е ? U (г) и все ki положительны. Это определяет разложение
GL (г, С) как голоморфного многообразия в прямое произведение
U (г) X D+ (г) X N (г, С). При этом многообразие U (г) компактно,
D* (г) биголоморфно Rr и N (г, С) С-биголоморфно Сг(г-1)/2.
Аналогичное разложение для группы GL (r, R) имеет вид
GL (r, R) = О (г) D+ (г) N (г, R).
Теперь нам понадобятся некоторые результаты об алгебре
& (г, С). Пусть <? (г) обозначает симметрическую группу на
множестве {1, 2, ..., г\. Для [х ?<?(/•) положим
где (б/;) = 1Г. Матрицы б (^
Очевидно, 6 (fi) ? О (г) и
6(|tv) = 6(fiN(v) (ix,
Положим
a (fx) X = б ([i) Xfi ((.i)
называют матрицами перестановки.
для X
(/¦. -•)•

200 Гл. 6. Линейные группы
Ясно, что так определенное преобразование а (ц) есть автоморфизм
алгебры й (г, С).
Обозначим через sdiag (г, P) множество всех диагональных
матриц из si (г, P). Очевидно, sdiag (r, С) является подалгеброй
Картана в 81 (г, С) и
A) а (|а) [Xlt ..., Xr] = [^(i), ..., ^ц (/¦)]•
В частности, a (fx) оставляет на месте алгебру sdiag (r, С). Пусть
А (г) — совокупность всех корней алгебры $ (r, С) относительно
sdiag (г, С). При помощи отображения А,ь—*¦ Я*, мы можем ото-
отождествить А (г) с некоторым подмножеством в sdiag (r, R):
А (г) =je(/ = -ir-(e/-
¦1.
где е,- = [0, ..., 0, 1,0, ..., 0] (i на i-м месте) (см. § 2.7), и, согласно
упр. 1 § 5.2, группа Вейля совпадает с симметрической группой
3 (г), стандартно действующей на sdiag (r, R). С учетом A) легко
видеть, что группа Вейля является ограничением группы сг C (г))
на sdiag (r, R). Мы знаем также, что корневое подпространство
CES.. совпадает с СЕЧ-, где ?,у- — матрица, у которой (i, /)-я
компонента равна 1, а все остальные равны 0.
Для Р — R или С положим
п (г, Р) = {(?</) € 91 (г, Я): gty = 0 (i > /)}.
Ясно, Что п (г, Р) есть алгебра Ли группы N (г, Р). Если ввести
в sdiag (r, R) линейное упорядочение >, при котором я0 (г)
= {е,-, ,-4-1: t = 1, ..., г — 1} будет совокупностью всех простых
корней, то
5" C?B = tt(r,C).
Э » о
Предположим, что > — какое-либо другое упорядочение и it (г) —
совокупность всех простых корней относительно этого упорядоче-
упорядочения. В силу E.2.3), найдется перестановка fx ? <? (г) (рассматри-
(рассматриваемая как линейное преобразование в sdiag (r, С)), для которой
[ля (г) = п0 (г). Поскольку Р > 0 влечет fxp* ^> 0 для Р ? А (г),
мы имеем
(|) I 9 (,)
3 > 0
Итак, справедлив такой результат:
F.6.2) Для любого упорядочения > в А (г) существует такая
перестановка fx ? <? (г), что
E.5. Разложения Ивасавы полупростых линейных групп 201
Теперь мы готовы к доказательству следующей теоремы:
F.6.3) Пусть д — полупростая алгебра Ли в gl (r, R) u д = {
+ а + п — ее разложение Ивасавы. Тогда существует такой
элемент s ? GL (r, R), ч/по
sis с: о (г), sas с: sdiag (r,R), sns~x zz n(r,R).
Доказательство. Пусть д = f + )р — разложение Картана ал-
алгебры д. Согласно F.4.6), существует элемент Ъ ? GL (r, R),
такой что
bib-1 а о (г) и inp^cJfr).
Поэтому мы будем предполагать в дальнейшем, что
B) fez о (г) и $ czi(r).
Поскольку л — абелева подалгебра в # (г), можно найти такой
элемент и ? О, что или'1 cz sdiag (r, R) (упр. 4 § 6.3). Тогда
utw1 cz о (г) и upw1 cz 8 (г); поэтому мы можем предположить
дополнительно, Что
C) a cz sdiag (r, R).
Пусть Нх, ..., Hh — какой-нибудь базис в а. Выберем Яй+1,
..., Яг_х так, чтобы множество {Яь ..., Нн, •¦•> #,-il образовы-
образовывало базис в sdiag (r, R). Положим д = д + V—1д cz & (г, С).
Пусть Ь — подалгебра Картана алгебры д, содержащая а. Тогда
д = b 4- I CXy,
у € д
где А — корневая система алгебры д относительно подалгебры
Картана Е) и [Я, Xv] = 7 (Я) Ху для Я ^ i). Обозначим через
А+ совокупность всех корней у С А, для которых
7(ЯХ) = ... = 7(Я^) =0-
7 (Я^) > 0 при некотором ^ = 1, ..., h.
Как было показано в § 4.7,
(
р > о
(
Э > о
S (ц)-1 = п (г,С).
зП 1 7
у €д+
Пусть > — упорядочение в А (г), определяемое базисом
(Ях, ..., Яг_х). Пусть 7 принадлежит А+ и
г
Xv = }j 'XijEij, Xtj ^ С-
Применяя ad Я (Я С л) к обеим частям равенства, получим

202 Гл. 6. Линейные группы
Следовательно, если Х(/- Ф- 0, то L ф / и у (Я) = а,у (Я) для всех
Я ? а. В силу выбора упорядочения в Д (г), е(/- > 0. Поэтому
Xv € 2р>оС?E. Значит, согласно F.6.2), найдется такая пере-"
становка (х ? © (f), что
о (ц) ( ? СХ7) с п (/\С) и а (|л) и с: n (r,R).
? €д+
С другой стороны, а (ц) I с: о (г) и а (ц) а с sdiag (r, R). Q
Для того чтобы получить глобальный вариант теоремы F.6.3),
нам понадобятся некоторые подготовительные результаты.
F.6.4) Пусть А и В — связные линейные группы в GL (г, С)
с алгебрами Ли а и Ь соответственно. Если [а, Ь] а Ь, то АВ
= В А и А В — группа.
Доказательство. Пусть X ? а и У ? Ь. В силу формулы F)
§ 6.1,
ехр X • У • ехр (-X) = exp (ad X) Y = У + [Я,У ]
и
ехр Х-ехр У'ехр (—X) =
= ехр (ехр Х-У'вхр (—X)) ? ехр (Ь).
Поскольку ехр (а) порождает А, для х ? А мы имеем
х ехр (Ь) х~х а ехр (Ь), а поскольку ехр (Ь) порождает В, то
хВлг1 с: В. Следовательно, АВ = БЛ и ЛБ — группа. Q
F.6.5) Пусть G — связная линейная группа, К — компактная
подгруппа, а Я — замкнутая подгруппа в G. Пусть g, f и ^ —
алгебры Ли групп G, К и Н соответственно. Если д = ! + I),
mo G = КН = Я/С.
Доказательство. Пусть {jc^ —произвольная последовательность
в К, а |?/;} — произвольная последовательность в Я, и пусть
lim я,-2/; = z ? G. Поскольку /С компактна, найдется такая под-
последовательность \х,-\ последовательности
Т li ~х ^ Я С
что lim x
х~йхг
Я. Следовательно, г
\,\
= х0 ? К. Тогда lim у,-- = й
и множество /(Я замкнуто в G.
Выберем теперь подпространство q и fy, такое что § = (t Г) ^)
+ q, A П ВД П q = 0. Так как д = I + I), то д = f + q, f П q
= 0. Поскольку отображение
fxq Э (Х,У)^ехрХехрУ ^ G
биголоморфно в надлежащей окрестности точки @, 0), множество
ехр (f) exp (q), содержащееся в ехр (!) ехр (()), содержит неко-
6.6. Разложения Ивановы полупростых линейных групп 203
торую окрестность единицы в G. Поэтому для любых х € К и
у ? Н множество х ехр (!) ехр ($) г/ с: /С# является окрестностью
точки ху в G. Следовательно, КН открыто.
Поскольку группа G связна, мы заключаем, что G = КН. Q
Теперь мы готовы к доказательству следующей теоремы:
F. б. 6) Теорема. Пусть G — связная полупростая линейная
группа в GL (r, R). При подходящем выборе элемента s ? GL (r, R)
группа э'Юэ содержит замкнутые подгруппы
К а О (г), AaD+{r) и NczN(r,R),
такие что всякий элемент х из s~1Gs может быть единственным
образом записан в виде х = хххгхъ (хх ? К, хъ ? А, х3 (i N),
и это определяет биголоморфное отображение из G на К х А х N.
Отметим, что экспоненциальные отображения в А и N биголо-
морфны.
Доказательство. Мы сохраняем обозначения из F.6.3). Пусть К —
группа, порожденная ехр (!). В силу F.4.6), она замкнута в О (г)
и компактна. Далее, так как отображение
diag(r,R)
К
ехр
+(г)
биголоморфно, то А = ехр (а) — замкнутая подгруппа в D+ (r).
Согласно F.5.5), N = ехр (п) — замкнутая подгруппа в N (г, R).
Поскольку [a, n] cz n, множество AN является группой, в силу
F.6.4). Так как D+ (r) N (r, R) как топологическое пространство
есть прямое произведение Е>+ (г) х N (г, R), А замкнуто в D+ (г),
а N замкнуто в N (г, R), то множество AN замкнуто. Следова-
Следовательно, AN — линейная группа. Поскольку
dim AN = dim A + dim N = dim a + dim n
= dim (a + n),
причем и a и п содержатся в алгебре Ли группы AN, мы видим,
что алгебра Ли группы AN совпадает с a + п.
Так как !+(а + п)==ди/С компактна, то G = KAN, в силу
F.6.5). D
Упражнение 1. Пусть д — полупростая подалгебра (над С) алгебры gl (r, С)
и G—комплексная линейная группа, порожденная ехр (д). Сформулировать
и доказать утверждение о разложениях Ивасавы группы G в GL (г, С).
Упражнение 2. Пусть }-( обозначает тело кватернионов, т. е. J-| = Rl + Ri
+ R/ -f~ Rh, где /2 = /2 = k2 = —1, ij — k. jk ¦= /' н ki = /. Установить тео-
теорему, аналогичную F.6,1), для матриц над J-j.

204 Гл. ft. Линейные группы
6.7. Построение линейной группы по алгебре Ли
Пусть I —алгебра Ли над R. Согласно A.10.1), у нее суще-
существует хотя бы одно точное представление. Целью настоящего
параграфа является прямое доказательство следующей теоремы:
F.7.1) Для всякой алгебры Ли I над R существует линейная
группа L, алгебра Ли которой изоморфна I.
Доказательство. Пусть V — векторное пространство над С и
(V, f) —точное представление алгебры I. Выбирая в V подходя-
подходящий базис, мы можем считать, что для всех X ? I
•1
A) t(X) =
0 * ftV-"-/
где Fx, ..., Fk —неприводимые представления алгебры I размер-
размерностей гх, ..., rk соответственно. Пусть L* — группа, порожденная
ехр (/(!))• Тогда для любого X ? I матрицы f {X)i, / = 0, 1,
2, ..., и ехр (/ (X)) также имеют вид A). Отсюда следует, что для
всякого а ? L* мы имеем
B) а =
o, (a)
€ GL(r,C).
0 Fk (a)
Пусть f — вполне приводимое представление алгебры I, ассо-
ассоциированное с /:
C) /' (X)
о
для X 6
G.7. Построение линейной, группы по алгебре Ла 205
Согласно A.4.11), F: ([I, И) для каждого i является неприводи*
мой полупростой алгеброй Ли. Пусть g — максимальная полу-
полупростая подалгебра в I. В силу C.5.3), Ft ([I, I]) = F{ (g), т. е.
каждое из представлений Ft определяет неприводимое представле-
представление алгебры д. Поскольку всякое представление алгебры g вполне
приводимо (см. C.4.4)), найдется элемент s ? C-L (г, С), такой что
D) /(X) =s/'(X)s-1 при X G 9
(в силу теоремы Жордана—Гёльдера). Пусть G — группа, поро-
порожденная ехр (/(д)) в GL (г, С). В силу F.4.4), она замкнута.
Для а ? L* положим
E) /' (а) =
Fk (a)
Ясно, что а\—=*/'(а) — гомоморфизм групп. Из D) вытекает, что
F) а — sf (a) s'1 для а ? G.
Далее, пусть тт — радикал алгебры 1A) = [I, I]. Так как
g = [g, g] с IA) , то lA> = 5 + n, j fl n = 0, согласно C.5.3),
2). Из доказательства теоремы B.1.7) следует, кроме того, что
/' (тт) =0. Поэтому N = ехр / (п) есть линейная группа, в силу
F.5.5), и
/' (Ь) = 1 для Ь е N.
Ввиду F.5.5), GN является группой, ибо [д, п] с: п, а по-
поскольку f (N) = 1, из F) вытекает, что G с: N — 1. Таким обра-
образом, отображение G X N Э (а. Ь) ^—* аЪ ? GN взаимно-одно-
значно и голоморфно. С другой стороны, sf (ab) s'1 = sf (a) s~x
— an отображение ab\—>a непрерывно, а потому непрерывно и
отображение ab i—> b. Следовательно, группа GN гомеоморфна
G X N; в частности, она локально-компактна.
Покажем, что всякая локально-компактная подгруппа А
группы Ли обязательно замкнута. Поскольку А локально-ком-
локально-компактна, она открыта в своем замыкании А. Далее, дополнение
А/А группы А в А есть объединение классов смежности вида
сА (с С ^4\/4) и потому открыто в А. Следовательно, А замкнута
в Л, а значит, А = А.
Итак, GN = L(I) — линейная группа. Ее алгеброй Ли будет,
очевидно, IA) = g + it.

206 Гл. 6. Линейные группы
р. Выберем такие элементы Ег, ...,
... + REp. Если, как обычно, [кг.
Пусть dim Ша> =
что / = /A) + R?i +
Кг] обозначает диагональную матрицу с диагональными злемен- •
тами hlt ..., кр, то, полагая для любых Я,1? ..., \ ? R
/,AA) +к1Е1 + ... + хрЕр) = [К, -Л,] € дЦр.С),
мы получим некоторое представление алгебры I. Обозначим через f
сумму представлений / и Д,_
Так как R 3 ^ ¦—*• ехР f (^?i) *—^ ехр А, есть последователь-
последовательность двух непрерывных взаимно-однозначных отображений и
А, н-^ ехр к — гомеоморфизм, то множество ехр f (R?,) = Нс го-
меоморфно R и потому локально-компактно. Следовательно,
Hi — замкнутая подгруппа в GL (г + р, С).
Обозначим теперь через LA) группу, порожденную ехр f (IA) ).
Ясно, что
: a
и что Z*1) замкнута в GL (г'+р,С). Из включения l?t, I(l) ] с: IA)
следует, что НХИ1) — группа (снова в силу F.6.4)), Поэтому,
используя равенство
,ехр ЦкЕ,) 0
ехр J(kEj) = | ехР х
[О 1,
легко проверить, что LA) П Нх— 1, отображение LA> X Нх
Э (c,d)t—^cd ? LA)#t —гомеоморфизм и группа LA)# замкнута.
Аналогичные рассуждения показыва см ,что L = LA)Ht ... Нр^—
замкнутая подгруппа в GL (г + р, С), гомеоморфная LA)
X Нг х ... X Я„ — LA) X Rp, и алгебра Ли группы L совпа-
совпадает с f (I). Q
Модифицируя это доказательство, нетрудно получить следую-
следующее утверждение:
F.7.2) Для всякой алгебры Ли I над С существует комплексная
линейная группа L, алгебра Ли которой изоморфна I.
Чтобы двигаться дальше, нам необходим такой результат:
F.7.3) Пусть А — компактная подгруппа в GL (г, С). Тогда
существует элемент s ? GL (rt С), для которого sAs~l a. U (г).
При этом, если A cz GL (r, R), то можно подобрать s в GL (г, R),
такое что s As~] d О (г).
(Это сразу следует из существования меры Хаара; см. |Ше-
валле] и Шонтрягин ].)
6.8. Фласовьш многообразии. 207
F.7.4) Для всякой компактной алгебры Ли й существует ком-
компактная линейная группа V, алгебра Ли которой изоморфна ь.
Обратно, алгебра Ли всякой компактной линейной группы компакт-
компактна.
Доказательство. Как мы видели в § 4.3, 5-iiffi Ь, где и -
некоторый компактный полупростой идеал, а Ь — центр алгебры и.
Поскольку алгебра и полупроста, Ad (и) — линейная группа
(см. F.2.4.)). Так как и компактна, то существует скалярное про-
произведение ф на и, инвариантное относительно и. Пусть \Е1г ...,
Ег\ —базис в и, для которого ф (?,-, Ef) = 6t/. При таком
выборе базиса ad (u) можно отождествить с некоторой подалгеб-
подалгеброй в о (г). Следовательно, Ad (u) с: О (г), и, поскольку группа
О (г) компактна, группа Ad (u) также компактна.
Пусть dim z = р. Тогда множество V всех матриц вида
О
.. ехр (|/=
где а ? Ad (u) и
{К ..., Хр\ = [ехр (|/=1\
при \, ..., kp ? R,
является компактной линейной группой и ее алгебра Ли изоморф-
изоморфна ь.
Обратное очевидно в силу F.7.3). Q
Упражнение 1. Пусть в доказательстве теоремы F.7.1) элементы Еъ ..., Ер
принадлежат радикалу алгебры I. Показать, что существует линейная группа R,
гомеоморфная R9, алгебра Ли которой совпадает с радикалом алгебры L. Кроме
того,
L= GR, G П R= 1
и L биголоморфна G X R, где G — линейная группа, порожденная ехр J (g).
Это дает глобальный вариант теоремы C.5.1).
Упражнение 2. Связная линейная группа с компактной алгеброй Ли может
не быть компактной. [Указание: найдите абелеву некомпактную линейную
группу.]
8.8. Флаговые многообразия
В этом параграфе нам понадобится понятие факторпространст-
ва линейной группы. Пусть G cz L — замкнутые подгруппы
в GL (г, С). Обозначим через L/G совокупность всех левых
классов смежности: LIG = \aG : а ? Ь\, и через п — естествен-
естественную проекцию L 3 а >—^ aG ? L/G. Мы называем подмножество
В в LIG открытым, если существует открытое множество А
в L, для которого л (А) = В. Легко видеть, что LIG становится

208 Гл. 6. Линейные группы
хаусдорфовым пространством при таком определении семейства
открытых множеств и что отображение
L X UG Э (а, Ь G) н-». abG ? LIG
непрерывно и открыто.
Пусть gel — алгебры Ли групп G и L соответственно.
Выберем подпространство Jp в I, такое что I = g + sp, g П Р = 0-
Как и при доказательстве теоремы F.1.3), можно найти такие
окрестности д0 и ро нуля в д и р соответственно, что отображение
spo хд0 Э (X, У) .-> ехр Х-ехр У ? L
биголоморфно и (ехр ($,) ехр (д0)) П G = ехр (д0). Подберем ок-
окрестность Jp0 = —ip0 с Jpo нуля в )р, настолько малую, чтобы
(ехр (ро)J с ехр ()ро) ехр (д0). Тогда (ехр (vo))a П G = 1, откуда
следует, что отображение
*>„ 3 X -> я (ехр X) С L/G
взаимно-однозначно и является гомеоморфизмом на некоторую
окрестность элемента it A) в L/G. Следовательно, используя отоб-
отображение, обратное к отображению )>0 3 Х\—> an, (ехр X), мы можем
ввести локальную систему координат в окрестности л (а ехр (Jp0))
элемента п (а). Отпуская подробное доказательство, сформули-
сформулируем следующую теорему (читатель может обратиться к книге
[Шевалле]):
F.8.1) Пусть L—линейная группа и G—ее замкнутая под-
подгруппа. Тогда факторпространство LIG обладает голоморфной
структурой, согласованной с топологией факторпространства
и такой, что L является голоморфным расслоением над LIG
(т. е. L локально устроено как прямое произведение LIG на G и
отображение L X L/G 3 (a. b G) \—> abG ? LIG голоморфно).
В случае когда L и G комплексны, LIG будет С-голоморфным
многообразием, и мы можем заменить в приведенном выше ут-
утверждении «голоморфный» на «С-голоморфный».
Теперь нам нужен следующий результат:
F.8.2) Пусть G — линейная группа, К и Н — ее замкнутые под-
подгруппы. Если К компактна и G = КН, то отображение
К/К П Н Э а (К П Н) >—э- аН ? GlH сюръективно и биголо-
биголоморфно (это можно записать так: KHIH =ё К/(К П Щ
Доказательство. Отображение К 3 а >—*¦ аН € G/H непрерывно
и сюръективно и индуцирует взаимно-однозначное отобра-
отображение г|з из К/(К П Щ на G/Я. Поскольку группа К/(К П Я)
компактна, \|э — является гомеоморфизмом.
6.S. Флаговые многообразия 209
Обозначим через g, f и ^ алгебры Ли групп G, К и Я соот-
соответственно. Тогда алгеброй Ли группы К П Н будет ? П § и
dim t — dim (f П Ь) = dim 9 — dim ^ = dim G/^-
= J
Следовательно, dim g = dim f + dim § — dim (f f| |) и g
+ $. Выберем подпространство )р в f, такое что f = (f П ^) + sp.
и (f П Ь) П ? = 0- Тогда имеем g=^ + Jp,^riip=O. Поэтому
для достаточно малой окрестности )р0 нуля в )р и для любого а ? К
оба отображения )р0 3 ^ |—* а е^р X -Н ? G/Я и !р0 3 X t—> а ехр X
X (К П Я) С #/-К П Я биголоморфны. D
Пусть Р (г) обозначает совокупность всех верхне-треугольных
матриц из GL (г, С). Ясно, что Р (г) — алгебраическая группа
и ее алгебра Ли )р (г) совпадает с множеством всех верхне-треу-
верхне-треугольных матриц. Пусть, далее, U (г) — группа всех унитарных
матриц из GL (г, С), и (г) — алгебра Ли группы U (г) и Т (г) —
подгруппа в U (г), состоящая из всех диагональных матриц
i
!,
Тоги
гГ]
= ... = |ег| = 1.
Для каждой матрицы X = (хц) С gl (/", С) зададим матрицу
У = (у,7), полагая уи = х(/ (t_> /) и уи = 0 (» < /). Тогда
у _ ^у ^ u (г) и X — (Г — 'У) С ?> (г)- Следовательно, и (г)
+ )р (г) == gl (г, С). Так как группа U (г) компактна, то
GL (г, С) = U (г) Р (г),
в силу F.6.5), и многообразия F (г) = GL (г, С)/Р (г) и U (г)/Т (г)
биголоморфны, в силу F.8.2). Так как группа Р (г) алгебраична
и ко'мплексна, то F (г) есть С-голоморфное многообразие, и при-
притом компактное, ибо U (г)/Т (г) компактно.
Пусть теперь q (r) обозначает совокупность всех нижне-тре-
угольных матриц с нулевыми элементами на диагонали. Ясно,
что q (r) — нильпотентная алгебра Ли и
Q(r) = exp(qfr))={l+X:X? ц{г)\
— алгебраическая группа в GL (г, С).
Далее, для всякого а = (аи) С GL (г, С) положим
Л (а) = "п det
\(r) = {a? GL(r, Су.У]
Очевидно, I (г) Р (г) = I (г).

210 Гл. в. Линейные группы
(8.8.3) 1) GL (г, С) = Q (г) Р (г) U Г (г) (дизъюнктное объеди-
нечиз).
2) I (г) Р (г) ^ I (г).
3) Всякая матрица а = (аи) ? GL (г, С)\1 (г) может быть
единственным образом записана в виде
а = jx (а) Я, (а), где [х (а) ? Q (г), Я, (а) ? Р @.
причем элементы матриц \у, (а) и X (а) суть рациональные функ-
функции от а,-,- (i, / = 1, ..., г).
Доказательство. Проведем индукцию по г. Случай г = 1 триви-
тривиален.
Пусть а, Ь, с, и d — матрицы размера (г — 1) X (г — 1),
(г — 1) X 1, 1 х (г— 1) и 1X1 соответственно. Если det a
ф 0, то
ш
i 0\/а 6
1 \J\0 d — ca
0\/а 0
1-1
lJ\0
далее, если
а Ь
с d
I (r), то а Ф I (r —
Тем самым мы свели дело к случаю г — 1. []
Замечание. Разложение из F.8.3) является частью разложения
Брюа
GL (г, С) = (JQ 00 SP 00 (дизъюнктное объединение),
S
где s пробегает все матрицы перестановки (определенные в § 6.6).
Пусть g — полупростая алгебра Ли над С, I) — ее подалгебра
Картана и Pi > р2 > ... > Ра > О — совокупность всех поло-
положительных корней относительно некоторого фиксированного упо-
упорядочения. Пусть Яь ..., Hi — базис в lj и {?±p.: i' = 1, ..., k\
— базис Вейля (см. § 5.1) алгебры g по модулю I). Положим
Тогда {Xj, ..., Xr (r = / + 2fe)[ — базис в g. Для удобства
будем отождествлять S ? gl (g) с матрицей D ? gl (г, С), пред-
6.5. Флаговые многообразия 211
ставляющей б в базисе Хи ..., Хг. Кроме того, для всякой под-
подалгебры Ли m в gl (r, C)r будем использовать обозначения
ad (m) = |ad X: X ? m\ с gl (g) =» gl (r, C),
Ad (m) — подгруппа в GL (г, С), порожденная ехр (ad (m)).
Положим
p>o p>o
Ясно, что Jp и q — подалгебры в g и
3 = q -|- sp, q П ? = 0, ad (q) c= q (r), ad (ip) c= ip (r).
Поскольку Aut (g) — алгебраическая группа в GL (г, С)^
ее компонента единицы Ad (g) также является алгебраической
группой, по известной теореме алгебраической геометрии.
F.8.4) Ad (q) и Ad (ip) — алгебраические группы, и
Ad (g) = Ad (q)-Ad (у) U I {дизъюнктное объединение),
где
/ = Ad(g)n !(/')•
(Ad (ip) называется подгруппой Бореля в Ad (g).)
Доказательство. Функция г\ С-голоморфна на Ad (g) и, очевидно,
не равна нулю тождественно. Следовательно, / = \а ? Ad (g):
¦ц (а) = 0} имеет (топологическую) размерность, не большую
чем dim Ad (g) — 2. Следовательно, множество Ad (g)\/ связно.
Пусть а принадлежит Ad (g)\/. Тогда а можно записать
в виде
а = [х (а) X (а), где и (а) 6 Q 00, Я, (а) € Р (г).
Пусть / — многочлен от п2 переменных, равный нулю на алге-
алгебраической группе Ad (g). Если матрица а = (аи) достаточно
близка к 1, то
а = ехр (ad Л")-ехр (ad Y), X G q, У 6 ?»¦
Следовательно, (х (а) — ехр (ad X) и / (fx (а)) — 0. Поскольку
f о fx — рациональная функция от aiS и множество Ad (g) \ /
связно, мы заключаем, что / (ц (а)) == 0 для всех а ? Ad (g) \ /,
а значит, fx (а) С Ad (g). Аналогично X (а) С Ad (g). Положим
Ad (g) П Q (Г) = Q, Ad (g) П P (r) = P.
Тогда Ad (g) \ / = QP, где Q и P — алгебраические группы,
содержащие Ad~(q) и Ad (p) соответственно. Так как пространство
Ad (g) \ / связно и QP гомеоморфно Q ;< Р, то Q и Р связны и

212 Гл. б. Линейные группы
Q =• Ad (q), P — Ad (ip), Далее, из равенства I (г) Р (/•)=* I (г)
следует, что / • Ad ()р) с I (/•) f| Ad (g) = /. Q
Рассмотрим компактную вещественную форму и алгебры g :
и +1 + ? R (Е^. + ?.Р/) + Rf (?р. - ?.э.) t = %.
Поскольку и компактна и полупроста, Ad (u) — компактная
группа (это вытекает из доказательства теоремы F.7.4)), и легко
видеть, что u -j- ip = q. В силу F.6.5) и F.8.2), имеем
Ad (g) == Ad (u) • Ad ft)
Ad (g)/Ad ft) = Ad (u)/(Ad (?) П Ad (u)).
Докажем, что Ad ()p) fl Ad (u) = Ad (t). Так как алгебра t
коммутативна, то Ad (t) — абелева группа, а значит, абелевой
группой будет и ее замыкание. Согласно F.1.6), алгебра Ли f
этого замыкания абелева. Так как t — максимальная абелева
подалгебра в и, то t' = ad (t) и группа Ad (t) замкнута. По-
Поскольку Ad (u) компактна, то и Ad (t) компактна. С другой сто-
стороны, ad (l у=1С?р.) — алгебра Ли, состоящая из нильпотент-
ных линейных преобразований, и
Ad
I СЕп. j = еХр (ad ( } CE9f
не содержит компактных подгрупп. Легко видеть, что
Ad(ip) = Ad (t)• Ad (l_ C?p.), Ad(t) П Ad (? C?p.) = 1.
Поэтому Ad (u) f| Ad (ip) — компактная группа, содержащая
Ad (t). Следовательно, Ad (u) fl Ad (ip) — Ad (t).
Определение. Для всякой компактной полупростой алгебры
Ли и
F (u) = Ad (u)/Ad (t)
называется флаговым многообразием,
F (и) является компактным С-голоморфньш многообразием,
поскольку оно биголоморфно Ad (g)/Ad (ip).
Теперь нам понадобится следующая лемма:
F.8.5) Пусть М —¦ связное дифференцируемое многообразие и
S — замкнутое подмножество в М, такое что dim 5 <s dim M — 2
Пусть, далее, р принадлежит М \ S и у: [О, 11 —> М — не-
непрерывная кривая, удовлетворяющая условию у @) = у A) = р.
6.9. Теоремы Вейля о компактных группах Ли 213
Тогда найдется кривая у', гомотопная у, которая лежит в
М \ S и также удовлетворяет условию у' @) = y' A) = р.
(См. [Хелгасон],)
F.8.6) Теорема. Всякое флаговое многообразие F (и) односвязно.
Доказательство. Ad (g) является расслоением с базой F (и) и
типичным слоем Ad (ip). Поскольку /-Ad (ip) = 1,1 есть ограни*
ничение этого расслоения. Обозначим через /* базу этого ограни-
ограничения: /* = \а Ad (ip) С F (u): а $ /}. Так как dim / < dim / (и)
— 2, то
dim /* = dim / — dim Ad ()p) < dim F (u) — 2.
Поскольку F (u) = (Ad (q) Ad Ep))/Ad (ip) U /* (дизъюнктное объ-
объединение) и /* замкнуто в F (u), а кроме того, многообразие
(Ad (q) Ad (jp))/Ad (ip) биголоморфно q и односвязно, мы заклю-
заключаем на основании F.8.5), что F (и) односвязно. Q
Упражнение. FCuB))—двумерная сфера.
6.9. Теоремы Вейля о компактных группах Ли
В этом параграфе нам потребуются некоторые элементарные
сведения о группах Ли. Все необходимые определения и резуль-
результаты читатель может найти в [Шевалле], и мы не будем каждый
раз делать ссылку на эту книгу. Все результаты данного параграфа
по существу принадлежат Г. Вейлю.
Мы знаем, что 81 B, С) — единственная с точностью до
эквивалентности комплексная простая алгебра Ли ранга 1. По-
Поскольку Ш B) — компактная вещественная форма алгебры 81
B, С), она является единственной компактной (полу)простой
алгеброй Ли размерности 3, или ранга 1. Связная линейная
группа, соответствующая %и B),—это группа
/А
SUB) =
Гомеоморфная единичной сфере в С'2 или R4 и односвязная.
Сделаем еще одно замечание по поводу группы SU B). Для лю-
любого X из Ш B) группа exp (RX) компактна. В самом деле,
замыкание группы exp (RX) — компактная связная абелева груп-
группа, но всякая абелева подалгебра в Ш B) имеет размерность <1.
F.9.1) (Г. Вейль) Пусть и — компактная полупростая алгебра
Ли и U — универсальная накрывающая группы Ad (it). Тогда
группа U компактна.

214 Гл. 6. Линейные группы
Доказательство. Пусть ср: 0 —* Ad (u) — накрывающий гомо-
гомоморфизм. Обозначим через Т компоненту единицы в ср (Ad (t)),
где t — подалгебра Картана алгебры и и Ad (t) = {ехр (ad X)"
X ? t}. Тогда qr1 (Ad (t))/T—дискретная группа и
UIT — Ul(fx (Ad (t)) s Ad (u)/Ad (t) = F (u)
— накрывающее отображение. Поскольку F(u) односвязно, это
отображение должно быть взаимно-однозначным иф (Ad (t)) = Т.
Пусть ехр обозначает экспоненциальное отображение алгебры
Ли и в группу Ли U. Тогда Т = ехр (t). Пусть ах, ..., аг — ба-
базис корневой системы алгебры g = uc относительно подалгебры
Картана § = tc . Тогда
t = R |/ - \Hax H + R [/"- 1Яв/
и
ехр (t) = ехр (R j/ZTTtf^) . . .ехр (R ^ =7ЯЯ/).
Пусть {?g} — базис Вейля. Тогда для любого корня р
up = r К =ТЯР + R (?р 4- ?_р) 4- R !/¦=!" (?р - ?_р)
есть простая алгебра Ли и ир ^ Зи B). Обозначим через ?/р
аналитическую подгруппу в ?/, соответствующую Up. Существует
непрерывный гомоморфизм из SU B) на Up. Следовательно, группа
ехр (R |/ —1 Нр), как непрерывный образ однопараметрической
подгруппы в SU B), компактна. Поэтому каждая из групп
ехр (R [/ —1 На.) компактна и, значит, ехр (t) компактна. По-
Поскольку факторгруппа О/ехр (t) = F (u) также компактна, ком-
компактна и группа U. U
Заметим, что теорема F.9.1) допускает такую переформули-
переформулировку:
F.9.2) Всякая связная группа Ли, имеющая компактную полупро-
втую алгебру Ли, компактна.
Пусть и — компактная полупростая алгебра Ли размерно-
размерности г, и пусть а принадлежит Ad (и). Поскольку ортицательно-
определенная форма Киллинга инвариантна относительно линей-
линейного преобразования а, это преобразование полупросто. Обо-
Обозначим через и (а, 1) собственное подпространство линейного
преобразования а, отвечающее собственному значению 1:
it (or, !) -= {X ? it: aX --= X]. Как и в E.3.4), имеем
dim it (о", 1) > rank u = /.
6.9. Теоремы Вейля и кимпикшных группах Ли 215
Мы будем называть а регулярным, если dim u (a, 1) -- I. Пусть
X (|, о) — характеристический многочлен преобразования а. ¦
Имеем
„. it „\ — ,1Q+ /S | п\ — 1% 1 V _!_ v (а\ IP — ] \r-l \. . .
Следовательно, автоморфизм а регулярен тогда и только тогда,
когда X/ (°) =7^ 0. Поскольку %/ — голоморфная функция, не рав-
равная тождественно нулю на связном многообразии Ad (u), мно-
множество всех регулярных элементов открыто и плотно в Ad (и).
F.9.3) Совокупность всех регулярных элементов группы Ad (u)
образует открытое плотное подмножество. Для любого регуляр-
регулярного элемента о ? Ad (и) подпространство и (а, 1) является
подалгеброй Картана в и и о ? Ad (и (а, 1)).
Доказательство. Положим m = (а — 1) п. Тогда
и = и (о, 1) 0 т.
Рассмотрим комплексификацию алгебры и:
ис = и(а, 1)с@тс.
Ясно, что а можно продолжить до автоморфизма алгебры ис,
который мы также обозначим через а, и сгтс = тс. Следова-
Следовательно, шс разлагается на собственные подпространства:
щС = uc (q^ ^) _^_ ис (сг, (д,) —|- - - -, где X ф I, \у,ф\, ... .
Так как и (а, 1)с = ис(а, 1), то [и (а, 1)с, ис (а, Х)\ с ис (а, X),
в силу D.4.3), 2). Поэтому
[и(о, 1), п(о, 1)] с=и (а, 1), [и(а, 1), m]c=m.
Пусть X — регулярный элемент алгебры Ли и (а, 1). Тогда
и (а, 1) = а 0 п,
где а — подалгебра Картана в и (а, 1), содержащая X, а и —
= (ad X) и (а, 1). Таким образом, имеем
н = а 0 п 0 т,
где а, п и т инвариантны относительно аи ad X. Поскольку
X ? и (а, 1), т. е. аХ = X, то а о ad X. = ad X о а. Положим
а(Ъ) = о ехр X (ad X), X ? R.
Так как преобразование о — 1 jm невырожденно, то и о (X)
—1 |т невырожденно, если X достаточно близко к 0. Пусть
?х, ..., t,h —собственные значения сужения преобразования adX
на пс. Выберем X так, чтобы | ?,,Х | < 2я для / — 1, ...,/?.. Тогда

216 Гл. 6. Линейные группы.
преобразование ехр X (adX)— 1 невырожденно на п. Следова-
Следовательно, найдется X Ф О, для которого и (а (X), 1) = а. Из регу-
регулярности о следует, что и (а, 1) = а. Поэтому алгебра и (а, Г)
абелева и dim u (а, 1) = I. Следовательно, и (а, 1) — под-
подалгебра Картана в и.
С другой стороны, если (о — 1) t = 0 для некоторой подал-
алгебры Картана t, то а ? ехр (ad (t)), в силу упражнения
к § 5.4. D
F.9.4) Пусть L — связная линейная группа и I — ее алгебра Ли.
Для х ? L имеем xlx'1 — I; положим (Adx) У = xYx'1 для
У ? L Тогда лл—*Adx есть гомоморфизм из L на Ad (I). Ядро
этого гомоморфизма (присоединенного представления) группы L
совпадает с ее центром.
Доказательство. Для X и У из I
ехр Х-У-ехр (—X) = ехр (adX) К 6 I.
Пусть х принадлежит L. Тогда существуют такие элементы
Хх, ..., Х1г ? I, что х = ехр Xi ... ехр Хк. Следовательно,
(Ad x) Y = ехр (ad Xi) ... ехр (adXA) Y. ? I и {Ad x: x ? L\ сов-
совпадает с группой, порожденной ехр ad (С), т. е. с Ad (I).
Если Ad х = 1, то xYx'1 = У и, значит, х ехр Yx'1 =--- ехр Y
для всех У ? I. Так как ехр (I) порождает L, то х принадлежит
центру L. Обратно, если х принадлежит центру L, то для любого Y
из I имеем х ехр XYx'1 = ехр XY. Дифференцируя обе части
по X при X — 0, получим xYx'1 == Y. Следовательно, ядро при-
присоединенного представления совпадает с центром группы L. Q
Пусть L — компактная группа Ли Из теории Петера--Вейля
вытекает, что существует линейная группа, (биголоморфио)
изоморфная L. Пусть и —- компактная полупростая алгебра Ли.
Согласно F.9.2), всякая связная группа Ли U, имеющая алгебру
Ли и, компактна. Следовательно, мы можем предполагать, что
U — линейная группа.
F.9.5) (Г. Вейль) Пусть U — компактная связная полупростая
группа Ли. Тогда всякий ее элемент содержится в некоторой мак-
максимальной связной абелевой подгруппе. В частности, экспонен-
экспоненциальное отображение сюръективно.
Доказательство, (i) Частный случай: U = ad (u), где и полу-
полупроста. Пусть р принадлежит Ad (u). Тогда найдется последо-
последовательность рх, р2, ... регулярных элементов, такая что lim py =
= р. Пусть t —¦ какая-нибудь фиксированная подалгебра Кар-
Картана алгебры и. Согласно F.9.3), и (р/; 1) — подалгебра Кар-
Картана и р; ? ехр (ad (и (ру, 1))). В силу D.6.3), существуют авто-
6,9. Теоремы Вейля о компактных группах Ли 217
морфизмы 6У- ? Ad (u), для которых 6yt = и (ру, 1), / = 1, 2, ....
С другой стороны, для любых а ? Aut (u) и X, У_? и
ехр (ad (<тХ)) oY = аУ -f [aX, aY] + -у
= сг (ехр (ad X) У)
ехр (ad (аХ)) = а (ехр (adX)) <r\
Следовательно, ехр (ad (и (р;, 1))) = ехр (ad @yt)) = Э; (ехр (ad (t))
Q]1 = 97 Ad (t) Э71, и SyV/Q/ € Ad (t). Поскольку группа Ad (и)
компактна, мы можем предположить, что lim Эу- = Эо. Тогда
е^рв. € Ad (t) = ехр (ad (t)).
(ii) Общий случай. Пусть и — алгебра Ли группы U. Обоз-
Обозначим через ф присоединенное представление группы U, q>:
U —> Ad (u). Для любого элемента с из U найдется подалгебра
Картана t в и, такая что q> (с) ^ Ad (t)), С другой стороны,
группа орт1 (Ad (t)) связна, в силу F.8.6). Следовательно, с со-
содержится в связной абелевой группе qr1 (Ad (t)). Q
Пусть U — связная линейная группа и и — ее алгебра Ли.
Предположим, что и компактна и полупроста. Пусть t — неко-
некоторая подалгебра Картана в и. Тогда Т = ехр (t) — замкнутая
подгруппа bU. Так как Т связна и абелева, то Т = ТР, где
Т— R/Z. Группа Ли Т' называется тором. Очевидно, что Т —
максимальный тор в U.
Пусть А — максимальная связная абелева подгруппа в U.
Ее замыкание также должно быть связной абелевой группой.
Следовательно, подгруппа А замкнута. Пусть а — ее алгебра Ли.
Очевидно, а — максимальная абелева подалгебра в и и, значит,
подалгебра Картана. Следовательно, существует элемент
сг ? Ad (u), для которого ста = t. Поскольку присоединенное
представление сюръективно, найдется элемент х ? U, для ко-
которого х ах'1 = t и, следовательно, хАхт1 = Т.
F.9.6) Пусть U — компактная связная полу простая линейная
группа и Т — максимальный тор в U. Пусть, далее, N (Т) — нор-
нормализатор подгруппы Т в U: N (Т) — \х ? U: хТх~х = Т\.
Отождествим корневую систему Д алгебры ис с соответствую-
соответствующим подмножеством алгебры Ли t группы Т. Тогда отображение
N (Т) 3 *>—^ф (х) — Ad xlj. индуцирует изоморфизм фактор-
факторгруппы N (Т)/Т на группу Вейля Ad (A).
Доказательство. Для х ? N (Т) имеем (Айх) t = t. Так как
Ad 6 Ad (u), то Adx|t ? Ad (Д), в силу E.3.6).

218 Гл. 6. Линейные группы
Далее, для любого 5 ? Ad (Д) найдется ввиду E.4.2) авто-
автоморфизм а ? Ad (н), такой что 011 — 5, а поскольку отобра-
отображение Ad: U -> Ad (u) сюръективно, найдется такой элемент
х ? U, что АсЬс = ст. Следовательно, <р сюръективно.
Заметим, что центр С группы U содержится в Т. В самом
деле, по теореме F.9.4) для всякого с ? С существует такое
у 6 U, что усу1 = с ? Т.
Пусть К — ядро гомоморфизма ср. Ясно, что К zd Т. Пусть z
принадлежит К. Тогда (Ad х — 1) t = 0 и, в силу упражнения
к § 5.4, Ad х = exp ad Н для некоторого Н ? t. Поэтому
Ad (х ехр (—//)) = 1 и х ехр (—Я) ? С. Так как С с: 7\ то
х ? Т. Следовательно, /С = 7. Q
Упражнение 1. В условиях предложения F.9.6) централизатор С (Т) = {х С U-
ху = ух для всех j/ g Г) совпадает с Г.
Упражнение 2. Обобщить теорему F.9.5) на произвольные компактные связ-
связные линейные группы.
Упражнение 3. Полупростая связная линейная группа G компактна в том и
только том случае, когда ее алгебра Ли компактна.
Глава 7
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
7.1. Введение
В предыдущих главах уже была построена значительная часть
теории представлений. В этом параграфе мы рассмотрим повторно
некоторые основные моменты и обобщим их в таком виде, который
будет нам удобен для дальнейшего.
Пусть V — векторное пространство (всегда предполагаемое
конечномерным) над полем Рид — алгебра Ли над подполем Р
поля Р. Представление алгебры g на V—это отображение /:
g —> gl (V), удовлетворяющее следующим условиям:
A) / (аХ + bY) = af (X) + bf (Y),
B) f([X, Y]) = [/(X), f(Y))
для всех X, 7? g и a, b ? P. Такое отображение мы условились
обозначать через (V, /).
Пусть (V, /) — представление алгебры g и
V Д ? l (V)
у ( /)
ство, дуальное к V. Для всякого s
условием ('sX) (v) = X (sv) при X
'() П f* (X)
р g — простран-
пространgl (V) определим 's ? gl (V*)
V? V И '^
g (
V*
V. Имеем
у
() () () р
(s2si). Положив f* (X) = —'/ (X), мы получим представление
(V*, /*), которое называется дуальным к (V, /) представлением.
Если (Vlt fi) и (V2, /2) — представления алгебры д, то можно
построить новые представления (У± ф V.z, fx ф /2) и (Vx 0 V2,
/1 ® /г), полагая
(А Ф h) (X) (v, + t>2) - h (X) v, + /„ (X) у2
(А Ф к) (X) (v, <
= /х (X) у, ® v,
/а (X) у,.
Выполнение условий A) и B) проверяется без труда. Эти представ-
представления называются соответственно суммой и (тензорным) произ-
произведением представлений (Vlt /1) и (V2, /a)-
Из всякого представления /: д —* д1 (К) алгебры д можно
получить представление на тензорной алгебре" Т (V) простран-
пространства V. Действительно,
г раз

218 Гл. 6. Линейные
группы
Далее, для любого 5 ? Ad (Д) найдется ввиду E.4.2) авто-
автоморфизм (т с Ad (п); такой что 0|t =- S, а поскольку отобра-
отображение Ad: U -> Ad (u) сюръективно, найдется такой элемент
х ? U, что Adx = ст. Следовательно, <р сюръективно.
Заметим, что центр С группы U содержится в Г. В самом
деле, по теореме F.9.4) для всякого с ? С существует такое
у 6 U, что усу1 = с 6 Т.
Пусть К — ядро гомоморфизма ср. Ясно, что К :=> Т. Пусть г
принадлежит К. Тогда (Ad х — 1) t = 0 и, в силу упражнения
к § 5.4, Ad х = exp ad Я для некоторого Я ? t. Поэтому
Ad (х ехр (—Я)) = 1 и х ехр (—Я) ? С. Так как С cz T, то
х ? Т. Следовательно, К, = Т. Q
Упражнение 1. В условиях предложения F.9.6) централизатор С (Т) = {х ? U-
ху = ух для всех у ? Т} совпадает с Т.
Упражнение 2. Обобщить теорему F.9.5) на произвольные компактные связ-
связные линейные группы.
Упражнение 3. Полупростая связная линейная группа G компактна в том и
только том случае, когда ее алгебра Ли компактна.
Глава 7
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
7.1. Введение
В предыдущих главах уже была построена значительная часть
теории представлений. В этом параграфе мы рассмотрим повторно
некоторые основные моменты и обобщим их в таком виде, который
будет нам удобен для дальнейшего.
Пусть V — векторное пространство (всегда предполагаемое
конечномерным) над полем Рид — алгебра Ли над подполем Р
поля Р. Представление алгебры g на V — это отображение /:
g —> gl (V), удовлетворяющее следующим условиям:
A) f(aX + bY) =af{X) + bf (Y),
B) f([X,
, f(Y)}
для всех X, F? g и a, b ? P. Такое отображение мы условились
обозначать через (V, /).
Пусть (V, /) — представление алгебры g и V* — простран-
пространство, дуальное к V. Для всякого s ? gl (V) определим 's 6 gl (V*)
условием ('sty (v) = X (so) при X ? V*, v ? V. Имеем ^-Sa =
= '(s2si). Положив /* (X) = —'/ (X), мы получим представление
(V*, /*), которое называется дуальным к (V, /) представлением.
Если (Vi, /i) и (V2, /2) — представления алгебры д, то можно
построить новые представления (V± ф V%, /1 ф /2) и (V1 0 У г,
/i ® /2). полагая
(/i Ф h) (X) (v, + v%) = h (X) vx + h (X) v.
(/1 Ф /2) (X) (Vl
= /x (X)
/a (X) y,.
Выполнение условий A) и B) проверяется без труда. Эти представ-
представления называются соответственно суммой „и (тензорным) произ-
произведением представлений (Vlt /x) и (F2, /2).
Из всякого представления /: д —> gl (V) алгебры g можно
получить представление на тензорной алгебре Т (V) простран-
пространства V. Действительно,
Т (V) = Р +
V
1
г раз

220 Гл. 7. Неприводимые представления
и на каждом тензорном произведении V ® ... ® V искомое пред-
представление полагается равным / ® ... ^ f. В частности,
Напомним теперь некоторые факты о внешней алгебре про-
пространства V. По определению, эта алгебра есть факторалгебра
тензорной алгебры Т (V) по идеалу /, порожденному всеми эле-
элементами вида v ® v, v ? V. Класс
принято обозначать через их Д .;. Д v/, r-я внешняя степень
пространства У обозначается через Дг (V), а вся внешняя ал-
алгебра—через Д (V). Если {»!, ..., vn\ —базис в V, то мно-
множество всех элементов вида
образует базис в Дг (V).
Представление алгебры g на Т (V) порождает представление
на Д (V). Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что g
отображает / в /. Но
X (v ® v) = Xv ®о + v <g) Xv
= (Xv -i-v)<gi(Xv + v) — Xv®Xv-v<g)V.
Явная формула для действия g на Д (V) сразу следует из формулы
для тензорного произведения представлений. А именно,
X
Л vr) = S »i Л• • • Л»<_! Л Xv, Ло?+, Л• • • Лvr.
?1
Далее, пусть X ? д. Предположим, что существует базис
\vlt ..., а„| пространства V, такой что Xvt = а,-^ для i = 1, ...,
п при некоторых а,- ^ Р. Элементы вида vt 0 Vj образуют базис
в V ® V, и каждый такой элемент является собственным векто-
вектором. Действительно,
X (у, ?§) оу) = Xvt (g) U/ + Щ (g) о/
= («Л) ® О/ + о* ® (ар,) = (а, + а;-) (и, ® о,).
Этот результат естественным образом обобщается на действие X
во всем Т (V).
7.1. Введение 221
Аналогично обстоит дело с действием X на Д (V). Например,
элементы вида vt Л »/» * < /> образуют базис в Д2 (V) и
X (и, Л vj) = Xt>, Л v, + о, Л Хо/ = (а* + а/) О/ Л v,.
А. КОМПЛЕКСНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Пусть I — алгебра Ли над Р. Ее представление (V, f) назы-
называется комплексным представлением, если V —- векторное про-
пространство над С. Расширяя поле коэффициентов Р до С, мы по-
получим из I алгебру Ли Iе над С. Всякий базис \Хг, ..., Хп\ в I
будет базисом и в Iе над С. Для любых сь ..., с„ G С формула
f: ic Э с1Х1 -| 1- сяХпн-э. cj (X,) Н h с,/ (X,) 6 gl (V)
определяет представление алгебры Iе. Представление f непри-
водимо, приводимо или вполне приводимо тогда и только тогда,
когда таковым является /.
Предположим теперь, что I — алгебра Ли над С, и пусть
(V, f) — ее комплексное неприводимое представление. Согласно
A.4.11), алгебра /(I) либо полупроста, либо является прямой
суммой некоторого полупростого идеала и центра С1. Если g —
максимальная полупростая подалгебра в I, тогда либо / (I) =
= / (д), либо / (I) = / (д) 0 С1, ив обоих случаях алгебра / (д)
неприводима. Поэтому при изучении комплексных неприводимых
представлений мы можем ограничиться рассмотрением неприво-
неприводимых представлений полупростых алгебр Ли (над С). Заметим
также, что всякое представление полупростой алгебры Ли вполне
приводимо (см. C.4.4)).
Пусть g — полупростая алгебра Ли над С. Зафиксируем ка-
какую-нибудь ее подалгебру Картана §. Пусть §* — дуальное к §
пространство, Л — множество корней и ? — векторное подпро-
подпространство (над R) в Ij*, порожденное А. В ? имеется положитель-
положительно-определенное скалярное произведение ( , ), и всякий вес
(произвольного представления д, относительно f)) X принадлежит Е.
Раз и навсегда зафиксируем некоторое лексикографическое упо-
упорядочение в Е.
Пусть (V, f) — представление алгебры g и Q (/) = {X, [г, ...\ —
совокупность всех различных весов этого представления. Тогда
где V (X) для каждого Н ? § содержится в (обобщенном) собст-
собственном подпространстве преобразования / (Я), отвечающем соб-
собственному значению X (Я), и называется %-собственным подпро-
подпространством или весовым подпространством данного представле-
представления. Далее, ненулевой вектор v ? V (X) называется Х-собственным
вектором (или весовым вектором), если f (fy v а Си. Согласно

222 Гл.7. Неприводимые представления
A.4.6), для каждого веса к существует весовой вектор. Поскольку
Q (/) — конечное множество, в нем можно найти наибольший эле-
элемент со по отношению к зафиксированному упорядочению в Е.
Будем называть со старшим весом и всякий весовой вектор
v ? V (со) — старшим весовым вектором для представления (V, /).
Для любого корня р ? Д положим р* = 2р/(Р, р>.
7,2. Старшие веса
G.2.1) Пусть g — полупростая алгебра Ли над С, (V, /) —ее
неприводимое представление и со — старший вес этого представ-
представления. Тогда
1) для каждого положительного корня р имеет место равен-
равенство E$V (со) =0 и (со, р*> =2 (со, Р)/(Р, Р) есть неотри-
неотрицательное целое число;
2) dim V(o) = 1;
3) для каждого веса A, ? Q (/) существуют неотрицательные
целые числа пх, ..., щ, такие что
= со
г^ -f-
где
{ах,
а,
совокупность всех простых корней;
V й
{х ,} у р
4) существует базис пространства V, состоящий из весовых
векторов, т. е. f (!)) состоит из полупростых эндоморфизмов.
Доказательство. Что касается утверждения 1), то достаточно
заметить, что со + Р Ф- ^ (/), поскольку вес со — старший. По-
Поэтому E$V (со) <=. F(co + p) = 0 и, согласно B.3.2),
<»• «и-
о.
При доказательстве остальных утверждений мы используем
универсальную обертывающую алгебру U (g) алгебры д. Пусть
IPi. •••. РЛ—совокупность всех положительных корней и
j//x, ..., Ht\ —базис в §. Выберем в качестве базиса \Xt, ...,
Хп\ в д базис вида
В силу A.9.5), множество всех элементов вида
где все et — неотрицательные целые числа, образует базис
в U (g). . . .- ¦
Пусть v — старший весовой вектор. Тогда 1) (g.) v — ненулег
вое д-инвариантное подпространство в V, т:. е-. V (g) v ~ V.
7.2. Старшие веса 223
Поскольку Ef,.v = 0 и Fftv a Cv, мы видим, что V порождается
векторами вида
w = (?-Р>)в
-ф v е V (« - ^Pt
Докажем индукцией по т = ег + ... + ем, что каждый такой век-
вектор w является весовым вектором. Если т = 0, то w = и и все
очевидно. В общем случае допустим, что е,, 5^ 1 A <: Л «: fc),
С/,п =^ ... = (?/г = 0, И ПОЛОЖИМ
Я, = со — e,Pj — ... — <?Л_грЛ_, — (^ — 1) (V
По предположению индукции имеем для любого Н ? fy
Я
= (со -
... - e$h) (H)
Этим доказательство по индукции завершено.
Из доказанного следует справедливость утверждений 2) и 4).
Поскольку каждый из корней ($;- есть линейная комбинация кор-
корней аь ..., а{ с неотрицательными целыми коэффициентами, мы
заключаем, что справедливо и утверждение 3). []
Покажем теперь, что старший вес полностью характеризует
представление.
G.2.2) (Э. Картан) Пусть g — полупростая алгебра Ли над С,
(^i./i) и (V2,/2)— ее неприводимые представления. Если эти предста-
представления имеют одинаковые старшие веса, то они эквивалентны.
Доказательство. Пусть vx и f2 — старшие весовЫе векторы в
Ух и Уг соответственно. Рассмотрим сумму этих представлений
(Vi ф Vit f = /i ф /а) и вектор и = t»! + и3 ? Ух ф У2. Пусть
U (и) — универсальная обертывающая алгебра алгебры д. То-
Тогда V = ?/ (д) и есть инвариантное подпространство в Vx ф У2.
Выберем базис {Xlf ..., Х„\ в д, как при доказательстве теоремы
G.2.1).
Предположим, что ц2 ^ У. Тогда найдется элемент и из (У (д),
такой что ыо = t>2, т. е. uvx — 0 и ыи3 = о2. Очевидно, что и яв-
является линейной комбинацией элементов вида

224 Гл. 7. Неприводимые представления
где все a.-, bit ci — неотрицательные целые числа. Но поскольку
Е$ух = ?p.t»2 = 0 при i = 1, ..., k, мы можем считать, что и.
есть линейная комбинация элементов вида
A) (?н,4Г*--'(?-»1К'--^'-
Представим и в виде суммы двух слагаемых: и = и' + «", где
м' — линейная комбинация тех элементов вида A), у которых хотя
бы одно a-i > 0, а и" — линейная комбинация элементов вида
f2) tfj'i . . . Н\К
Рассмотрим теперь уравнения
u'v± + u"vx = uv± = О,
u'v2 + ы"и3 = uv2 = у2-
Сравнивая векторы одинакового веса, получаем, что u"vt = О
и u"v2 = v2. Следовательно, мы можем предположить, что
где с (Ьъ ..., bt) ? С: Тогда
Поскольку ыух = 0 и миа = i>2, мы имеем
, U = 1. 2).
— противоречие. Следовательно, i>a ^ У.
Проекция Vi ф У2 —* Vz индуцирует g-гомоморфизм р:
V —» Vi: /i (X) р (w) = р (/ (X) ш) при !о( У. Ядром гомомор-
гомоморфизма р является V П У%- Так как У П ^ представляет собой
V ? V V V
ф р %
g-инвариантное подпространство в V2 и
V V 0 С
V f\
V2,
gр рр
то V П V2 = 0. Следовательно, р взаимно-однозначен. Ho
— Р Ф (з) v) — U (g) ох = Ух, так что /j сюръективен. Таким
образом, р является д-изоморфизмом из V на Ух. Аналогично
У и У2 — изоморфные д-модули. Q
Упражнение. Пусть и — компактная вещественная форма алгебры д. При-
Применяя к и предложение F.4.5), доказать, что / (I)) состоит из полупростых
линейных преобразований.
7.3. Тензорные произведения представлений
Согласно B.1.4), всякая полупростая алгебра Ли является
прямой суммой простых идеалов и такое разложение единственно
с точностью до порядка слагаемых.
G.3.1) Пусть g — полупростая алгебра Ли над R или С и
7.3. Тензорные произведения представлений 225
— ее разложение на простые идеалы. Для i = J, ..., т обозна-
обозначим через pt проекцию g на д(. Пусть (V, /) — неприводимое пред-
представление алгебры д. Тогда для каждого i существует неприводимое
представление (У,-, ft) алгебры дь такое что (V, /) есть тензор-
тензорное произведение представлений (У,-,-/,- о pt).
Для доказательства этой теоремы, дающей описание неприво-
неприводимых представлений алгебры g в терминах неприводимых пред-
представлений алгебр д,-, нам потребуется следующая теорема, назы-
называемая вместе с теоремой A.2.3) леммой Шура.
G.3.2) Пусть" A a gl (г, С) и В a gl (s, С) — неприводимые
множества матриц, и пусть S — комплексная г х s-матрица,
для которой AS — SB. Тогда либо S = 0, либо г = s и det 5 Ф 0.
Доказательство. Рассматривая элементы пространства Cs как
векторы-столбцы, имеем включение A (SCS) = SBCS cz SCS. По-
Поскольку A — неприводимое множество, отсюда следует, что
SCS = Сг, если 5^0. Пусть У = \v ?CS : Sv = 0}. Тогда
SBV = 0 и BV cz V Ф О. Так как множество В неприводимо,
то У = 0. Следовательно, S является изоморфизмом простран-
пространства С3 на С. D
Теорема G.3.1) немедленно вытекает из следующей теоремы:
G.3. Г) Пусть дх и д2 — полупростые алгебры Ли над R или С,
9 — 9i © 92 и (V> I) — неприводимое представление алгебры д.
Тогда существуют такие неприводимые представления (Уь Д)
и (Уг, /г) алгебр а,х и д3 соответственно, что
для любых X ^ дг
д! (У) (i = 1, 2).
и Y ? д2, где 1(г)—единичная матрица в
Доказательство. Поскольку qx Э X н-н> / (X) ¦— вполне
димое представление, мы можем считать, что
приво-
приво(
(X)
о
о
gi (л, о,
)
где F? — неприводимое представление алгебры дх размерности
Л,, i == 1, ..., k. Далее, мы можем предполагать, что Fx = ... = FP
при A < р < k), а представления ^, р < G, не эквивалентны F±.
о М. Гото, Ф. Гроссха не

226 Гл. 7. Неприводимые представления
Пусть Su суть hL X /1,-матрицы • и
, С).
\Skl . . . Skkj
Предположим, что f (X) S = Sf (X) для всех X 6 gi- Тогда
StiF:(X) = F1(X)Sll при », /= 1, ..., k. По лемме Шура
(A,2.3) и G.3.2)) имеем
Sit =
lft («,-/ G С), h = /i,, если i < p и / < p,
S;/ = 0, если i < p < / или /<:/?<; i.
Теперь применим этот результат к S = / (К), 7 ? g2. Если
бы р Ф k, то из соотношений St-;- = 0 при i < р < / следовало бы,
что представление / приводимо. Значит, р = k. Вводя обозначе-
обозначения h (X) = Fx (X) для X 6 9i и Ь (Y) = (S//) ? gl (р, С)
для У ? g3l имеем
/ (X) = f, (X) ® 1Р, / (Y) = 1„ ® /2 (К).
Предположим, что W — ненулевое собственное подпространство
в О, такое что /, (g2) FcF. Тогда / (g) (С* ® Г) с= С* ® W
— противоречие. Следовательно, /а — неприводимое представле-
представление алгебры g3. Q
>7.3.3) Пусть д — полупростая алгебра Ли над С, (V, /) ы (V,
'') — ее представления, имеющие старшие веса (о и ш' соответст-
соответственно. Тогда V ® V содержит такое д-инвариантное подпро-
подпространство W, что (W, f ® /' 1^) есть неприводимое представле-
представление со старшим весом со + со'.
Доказательство. Пусть V — 2*,V (^) и V" == S^V ((Д.) — раз-
разложения пространств V и V на весовые подпространства. Тогда
будет разложением пространства V <Э V на весовые подпростран-
подпространства (см. упр. 7 § 1.2). В частности, со + со' — старший вес пред-
представления f <g> /', и так как dim V (со) = dim V (со') — 1, то
dim (V eg) V ) (со + со') = 1.
Пусть v я v' — старшие весовые векторы в V и V соответ-
соответственно, и пусть U (д) — универсальная обертывающая алгебра
алгебры д. Положим v eg) v' = w и № = f/ (д) ш. Ясно, что W
является д-инвариантным подпространством в V eg) V. Покажем,
что W — неприводимый д-модуль. Пусть
7.3. Тензорные произведения представлений 227
— разложение
w = tWj + .
W на неприводимые д-модули, и
. . + а>г) где шг ^ W,..
пусть
Для Н ? I) имеем Hw = (со + со') (Я) до. Поскольку все Wt
инвариантны, мы заключаем, что Ядо,- = (со + со') (Я) до,, i
= 1, ..., г. Так как весовое подпространство для со + со' одно-
одномерно, то можно считать, что дох = w, а до2 = ... = wr = 0.
Следовательно, W = Wx. Q
Пусть д — полупростая алгебра Ли над С и I) — ее подал-
подалгебра Картана. В § 5.5 мы ввели аддитивную группу
Л = \Х ? Е: (А,, р*) g Z для всех р* ^ Д}.
Пусть л — \аъ ..., <Xi\—фундаментальная система в Д и
шъ ..., со/ заданы условием <cot-, а*> = б;/. Тогда Л = Zcox
+ ... + Zco/. Под целочисленной формой мы будем понимать про-
произвольный элемент из Л. Для любого представления (V, /) ал-
алгебры д пусть Я (/) обозначает множество всех весов этого пред-
представления. Тогда Q (/) cz А в силу B.3.2), Обозначим через Q
объединение всех множеств Q (/).
G.3.4) Определенное выше множество Q является подгруппой
группы Л.
Доказательство. Пусть д Э X н-> / (X) ? д! (г, С) — представ-
представление алгебры д. Тогда X *—*¦—' (/ (X)) также будет ее представ-
представлением, которое мы обозначим через /* (см. § 7.1). Используя
G.2.1), будем предполагать, что / (^) состоит из диагональных мат-
матриц. Если |А,1; А,2, ...} = Q (/), то, очевидно, Q (/*) = {—Хи
—Х2, ...}. Далее, пусть Я, ? Q (/), К ? Q (/'), и пусть и и и' —
весовые векторы, отвечающие X и X' соответственно. Тогда
/(Я) v = X (И) v и f (Я) v' = X' (Я) v'. Поэтому (f eg) /') (Я)
(v (g, v') = (X + Г) (Я) (и eg) у'). Следовательно, X + А/ ? Q
(/ ® П- О
¦Целочисленная форма А, называется доминантной, если
(X, а*) > 0, т. е. если Я. имеет вид
X = /г^ + . • . + к1ш1> ГДе. все ^t ^ °-
G.3.5) Целочисленная форма X доминантна тогда и только тогда,
когда SX <: X для всех S ? Ad (Д).
Доказательство. Пусть {J — положительный корень. Тогда
X > S&X = X — (X, р*> р влечет <Х, р*> > 0.
Чтобы доказать обратное, положим
Л ={???: S? < g для всех S ? Ad (Д)}.

228 Гл. 7. Неприводимые представления
Пусть Wo — камера Вейля, определенная следующим образом:
Wo = {Л е Е: (а,, ц) > 0 при i = 1, ..., /},
и Wo — ее замыкание. Мы видели, что A cz Wo. Так как граница В
множества Wo содержится в объединении конечного числа гипер-
гиперплоскостей в Е, то В не может содержать никакого (непустого)
открытого подмножества множества Wo- Следовательно, если
А Ф Wo, то можно найти тH ? Wo, такое что тH Ф А. Допустим,
что S0r\0 Eо € Ad (Д)) — наибольший элемент в Ad (Д) гH. То-
Тогда Sor\o € А <=- Wo. Но, поскольку г\0 принадлежит камере
Вейля Wo, элемент Sof\o должен принадлежать некоторой камере
Вейля. Поэтому S0-r]0 ? Wo. Следовательно, So (Wo) = Wo и
So = 1 (в силу упражнения к § 5.3), что противоречит условию
щ^А.и
Пусть Ad обозначает множество всех доминантных целочис-
целочисленных форм. Ясно, что Ad образует полугруппу по сложению:
Ad + Ad с Ad. Согласно G.2.1), старший вес любого непри-
неприводимого представления доминантен. Обозначим через Qh мно-
множество всех старших весов неприводимых представлений 1. В силу
G.2.2), множество всех классов эквивалентности неприводимых
представлений алгебры g находится во взаимно-однозначном со-
соответствии с Qh. Согласно G.3.3), Qh образует подполугруппу
в Ad. Мы можем теперь задать следующие вопросы:
Вопрос 1. А = Я?
Вопрос 2. Ad = Qh?
Поскольку Ad порождает группу A, a Q является группой, из
равенства Ad — Qh должно следовать, что А = Й.
Э. Картан дал утвердительный ответ на вопрос 2, а значит
и на вопрос 1, изучив по отдельности все типы комплексных про-
простых алгебр Ли A913). Позднее Г. Вейль нашел доказательство,
не опирающееся на классификационную теорию, а основанное на
проведенном им исследовании компактных групп Ли A927).
Сравнительно недавно К. Шевалле и Хариш-Чандра дали чисто
алгебраическое доказательство A948—51). В настоящей книге
мы докажем эти результаты, используя аналитический метод,
более или менее близкий к методу Г. Вейля. В § 7.4 будет пока-
показано, что А = Q; опираясь на этот факт, в § 7.5 мы получим
окончательный результат Ad = Qh вместе с некоторыми форму-
формулами, также принадлежащими Г. Вейлю.
G.3.6) При доказательстве формулы Ad = Qh достаточно рас-
рассмотреть случай, когда алгебра g проста.
1 Индекс d — от dominant (доминантный), индекс h от highest (старший). —
Прим. ред.
7.4. Модуль всех весов и универсальный центр 229
Доказательство. Пусть g — полупростая алгебра Ли над С,
и пусть
9 = 9! Ф 92© • • • Ф9«
— ее разложение на простые идеалы. Пусть, далее, рс. g —-> дг- —
естественная проекция и ^ — подалгебра Картана алгебры дг-.
Тогда
будет подалгеброй Картана алгебры д. Пусть Д(- — корневая
система алгебры дг относительно ^. Если отождествить (S ? Д;
с Р о р{. $ —» С, то ясно, что
А = Ах U Д2 U ... U Ат (дизъюнктное объединение)
есть корневая система алгебры g относительно §. Пусть я( — фун-
фундаментальная система в Д,-. Тогда
я = пг U я2 U ... U пт
— фундаментальная система в Д. Обозначим через Д,- группу
всех целочисленных форм алгебры д(- относительно я,-. Тогда
А = А, -\- А2 + . . . + Ат (прямая сумма аддитивных групп)
будет аналогичной группой для д. Пусть А? — множество всех
доминантных целочисленных форм в А,-. Тогда
Ad = Af + A2d + ---+Ai
— множество всех таких форм в А.
Пусть Q? обозначает множество всех старших весов для д?
и Qh — аналогичное множество для д. Тогда Q, с: Й . В самом
деле, если со — старший вес неприводимого представления (V, f)
алгебры gt, то (V, f о р.) — неприводимое представление ал-
алгебры д, имеющее старший вес со (мы отождествляем со с со о р{).
Следовательно, если нам известно, что Q? = Ad для i = 1, ...,
т, то мы можем заключить, что Qb = Ad. Q
7.4. Модуль всех весов и универсальный центр
G.4.1) Пусть L — связная линейная группа, а I — ее алгебра Ли.
Если I полупроста, то центр С группы L конечен.
Доказательство. Поскольку I полупроста, мы можем считать, что
каждый элемент X из I (или L) является матрицей вида
01
X =
о
г, С),

230 Гл. 7. Неприводимые представления
где I Э X I—> Ft (X) 6 91 (г. @. С) — неприводимое представ-
представление алгебры I, i = 1, .... k, и г A) + ... + г (k) = г. Далее,
для любого х ? L мы имеем det (F{ (x)) = 1 (см. доказательство
предложения F.4.4)).
Пусть у принадлежит С. Тогда [у, I] = 0, в силу F.9.4).
Следовательно, [F( (у), Fc (I)] = 0, и (по лемме Шура A.2.3))
Ft (Y) = ctlrit) (сс € С). Так как det Ft (у) = 1, то cj(° = 1
для i — 1, ..., k. Поэтому порядок С не превосходит г A) г B) ...
• - .г (k). U
В этом параграфе мы предполагаем, что g — простая
алгебра Ли над С Зафиксируем подалгебру Картана § в д. Пусть
Д — корневая система, а \Е$: Р ? Д} — базис Вейля алгебры д.
Положим
Тогда
Рд
и = (Я + S 2Р?Р: Н ?t,
= 2_р для
— компактная вещественная форма алгебры д.
Отождествим Е= Z'pcaIRP с t-при помощи отображения
Е Э ^'—^я ^'—1 Нх ^ t. Введем в t скалярное произведение
по формуле
(Я, Я') =
, Я') для Я, Я'
где S — форма Киллинга алгебры д. Ясно, что {к, fx) = (A,, fx)
для Я, ft ? ?.
Пусть (V, /) — представление алгебры j и Q (/) — множество
всех весов этого представления. Пусть, далее, Q —- объединение
всех Й (/) и Л — модуль (=аддитивная группа) всех целочислен-
целочисленных форм. Тогда Q является подмодулем в"Л (см. G.3.4)).
Для любого подмножества 2 алгебры t положим
2 -L- = [Н ? t: (а, Я) 6 Z для всех a G 2}.
G.4.2) Если 2 — замкнутая подгруппа аддитивной группы t,
то 2-LJ- = 2. Если 2Х и 2г — замкнутые подгруппы в t ы 2Х
22, то
7.^. Модуль всех весов и универсальный центр 231
Доказательство. Пусть 20 — компонента единицы в 2. Тогда
20 — векторное подпространство в t и факторгруппа 2/20 яв-
является дискретной подгруппой векторного пространства t/20.
Следовательно, можно найти векторные подпространства Vx
(с базисом Хг, .... Xk) и У3 алгебры t, такие что t = 20 ф Vx
е V,, (Vu V2) = (Flt 20) = (V2, 2) = 0 и 2 - ZXX + ... ZXA
+ 20. Определим Уъ ..., Yk соотношениями (Xt, Yt)
= 8ijt B0 + У2, Т/-)'=^0. Тогда {Yu ,.., Yk\ также образует
базис пространства Уг.
Теперь легко видеть, что
S-1- = ZK, + . . . -J- ZY/, Ф V* ¦
Если 21 с: 2,, то, очевидно,
= 22^, то 2г = 2J--L 2 2
221. Наконец, если 2;1-
G.4.3) Существует точное представление f алгебры д, такое что
U == ехр / (и) односвязно. Для такого представления f:
1) линейная группа G, порожденная ехр / (и), односвязна;
2) Й (/) порождает модуль Q;
3) яфо отображения t ? X i—> ехр / (X) ? ехр / (t) = Г
равно Q-l = {Я ^ t: (Я,, Н) ? Z для всех. К 6 Q};
4) центр С группы U совпадает с центром группы G;
5) С = ехр / (Д-l) с Г, где
Д-l = (Я ? t: (Р, Я) е Z для всех р ? Д);
Доказательство. Пусть Ad (xt) обозначает присоединенную группу
алгебры и. Универсальная накрывающая U группы Ad (u)
компактна, в силу (9.6.1). Но для каждой компактной группы Ли
К можно найти линейную группу, биголоморфно ей изоморфную
(см. [Шевалле]). Следовательно, мы можем считать, что U — ли-
линейная группа. Поскольку U и Ad (u) локально-изоморфны,
алгебра Ли группы U изоморфна алгебре Ли ad (it) (= и) группы
Ad (u) (упр. 1 § 6.5). Таким образом, мы имеем точное представ-
представление (С", /) алгебры и, такое что ехр / (и) порождает одно-
связную компактную группу U. В силу F.9.5), ехр / (и) — группа.
Поскольку g является комплексификацией алгебры (и), /
можно продолжить до представления алгебры д, которое мы
также обозначим через /. Так как д проста и / (д) =5 / (и) Ф 0,
то / — точное представление д. Поскольку д = и + V—1 и —
разложение Картана, линейная группа G, порожденная ехр / (д),
гомеоморфна U X и (в силу F.4.6)) и потому односвязна. Тем
самым доказано утверждение 1).

232 Гл. 7. Неприводимые представления
Ввиду G.2.1) мы можем предполагать, что /(§) состоит из
диагональных матриц [кг (Я), ..,, Хг (Я)], ЯП. где ^< € & (/)
для всех i. В частности, для Я ? t
/(Я) = [2я
Я),
Я),
2я/"=Г(Хг, Я)],
, Я)],
где е (kit Я) = ехр 2я ]/—1 (Х^ Я). Следовательно, ядро гомо-
гомоморфизма i
, t Э Н .-> ехр ЦН)
совпадает с Я (/)-l = {Я ? t: (к, Н) ? Z для всех X ? Я (/)}.
vПусть /' — ненулевое представление алгебры д. Тогда оно
является точным и соответствие / (X) н-^ /' (X) (X ? д) задает
изоморфизм / (д) на /' (д). Пусть G' — линейная группа, порожден-
порожденная ехр /' (д). Согласно F.5.4), отображение ехр / (X) н-э- ехр /' (X),
определенное для X ? д, достаточно близких к 0, есть локальный
изоморфизм из & в G'. Поскольку G односвязна, этот локальный
изоморфизм мгойнЬ продолжить до голоморфного гоморфизма ф
из G на G'. Для элементов X ? <j, достаточно близких к 0, мы имеем
равенство ф (ехр ?(XJ) = ехр /' (X). Но обе его части суть голо-
голоморфные отображения, определенные всюду на д. Поэтому
Ф1ехр/(Х)) = ехр/'(Х) при X ? д.
Пусть Я принадлежит Я (fI-, т. е. ехр / (Я) = 1. Тогда
ехр /' (Я) = 1, так что Я ? Q (ГI-- Следовательно, Q (fI-
cz Я (f')±. Для любого подмножества 2 алгебры t будем обозна-
обозначать через 2Z порожденную им аддитивную группу. Ясно, что
2^ = 2\ Но Я (/)z и^ Я (/')z, будучи подгруппами дискретной
группы Л, замкнуты в t. В силу G.4.2), Я (/)z = Я (fI-1- id
=> Я (/')-l-l = Я (f')z. Если /' = 0, то Я (/)z => Q (/') = {0}.
Таким образом, Я (/)z == Я, и это доказывает утверждения 2)
и 3).
Докажем 4). Пусть С — центр группы G. Тогда группа С
конечна, в силу G.4.1), и потому UC — компактная подгруппа
в G. Но в разложении Картана G = U ехр (К—1 и) сомножитель
ехр \У—1 и) не содержит компактных подгрупп, отличных от 1;
значит, U — максимальная компактная подгруппа, и U zd С.
Далее, пусть х принадлежит центру группы U. Ввиду F.9.4),
[х, / (и) ] = 0 и потому Ix, f (g) ] = [х, f (u) ] + K=T [x, f (u) ]
= 0. Следовательно, х ? С. Этим доказано 4).
Мы видели, что С а Т = ехр / (t). Но при Я ? t
)
и ехр / (Я) ? С тогда и только тогда, когда Я ? Я (ad)-1- =
Это доказывает 5), а 6) немедленно следует из 5) и 3). Q
7.4. Модуль всех весов и универсальный центр 233
Начиная с этого момента, мы предполагаем, что U — связная
односвязная линейная группа, а и — ее алгебра Ли. Элемент
х ? U называется регулярным, если собственное подпространство
эндоморфизма Ad x, отвечающее собственному значению 1, имеет
размерность I = rank и. В противном случае х называется син-
сингулярным. Если элемент х регулярен, то элемент уху также ре-*
гулярен для любого у ? U, ввиду того что Ad (уху) = (Ad#)
(kdx) (Ady). Обозначим через f/(r> множество всех регулярных
элементов в U и положим ?/<s> = U \ ?/<¦">, Т<г> = Т П ?/(г>
и Г<5> = Т n ?/is>'= Т\ Г<г\ где Г = ехр (t). ¦
G.4.4) f/(s) — замкнутое подмножество в U, и dim ?/(s) <
<: dim U — 3, где dim обозначает топологическую размерность.
Следовательно, U{t"> есть связное односвязное голоморфное много-
многообразие.
Доказательство. Для любого р ? Л гомоморфизм
t Э'Я^'ехр2я1/=Т(р\ Я) 6 gl(l. С)
порождает гомоморфизм
0: Т
ехр Я |-> ехр 2л К—1 (Р, /0,
ибо ^Р}-1- zd Q-1. Пусть Т(Р) — ядро гомоморфизма %. Ясно,
что Т(Р> — замкнутая подгруппа размерности I — 1 в Ги Т,(,3>
Положим
= t + R
?_р) + R К=
Это — подалгебра в и. Пусть п (и(Р)) — ее нормализатор в и :
n (xt(B)) = \Х ? и: [.X, u(^ ] с: u(P>. Мы утверждаем, что n (u(P>)
= и(Р>. В самом деле, если n (it(|5>) Э У ^ Sv?-±p2v-^v (^v = 2-v).
то [Я, 7] = ?7?,±Р2я 1/Л^Т(т, Я) 2уЕу 6 «(р) для всех Н ? t,
так что 2V == 0, т. е. У = 0. Пусть N (и<Р>) = 1х (У: лпх^'х-1
= и(Р)}, и пусть R ^ % i-> ехр |Х (X ^ it) — однопараметри-
ческая подгруппа в U. Если X принадлежит алгебре Ли
группы N (и<Р>), то ехр I (ad X) и«> = и«Р> и [X, и<« ] с и<Р),
и обратно. Следовательно, алгебра Ли группы N (и<^) совпадает
с n (n^) = xt^'. Обозначим через U&) компоненту единицы
группы N (it^)). Ясно, что f/(P> — линейная группа и и(Р> —
ее алгебра Ли. Для х ? Т(В> имеем [х, it(W] = 0, и потому [х,
?/») 1 = 0.
Для любого х ^ t/'s) выберем элемент у ? U, такой что
у~хху ? Т. Тогда z/"xxy ^ T<s> и существует Р ^ Д, для кото-
которого х ? yTWy'1. Обозначим факторпространство U/U^ через

234 Гл. 7. Неприводимые представления
>. Отображение Т<Р> X U Э (х, у) l-> У-иГ1 порождает голо-
голоморфное отображение
ввиду того что [Т(Р>, F<P)] = 0. Следовательно,
х
Но dim Г(Р> = / — 1, а dim ЯР> = dim U ~ I — 2. Поэтому
dim (T(P> X F<P>) = dim t/ — 3 и, поскольку отображение г|э<Р)
голоморфно, dim т|з<Э) (ТО) X ЯР>) < dim f/ — 3. Таким обра-
образом, dim ?/<s> <s dim U — 3. Далее, так как множество Т<Р>
X f'Pl компактно, то компактен и его образ г|)(Р) (Т(Р> X F<B>).
Значит, ?/<s) — замкнутое множество.
Из теории размерности следует теперь, что множество 6/(Г)
= и\и^ связно и односвязно. [J
Далее, положим
t<r> {Я?t: ехрЯ?Г<г>}.
Ясно, что
t(r) = \н ? t: (р, Я) ^ Z для всех р? А}.
Пусть я = \аъ ..., щ\ — фундаментальная система в А и —а0—
старший корень. Как мы видели в § 5.6, фундаментальная клетка
C0={H?t: (alt Я)>0,...,(«/, Я) > 0 и (-ссп, Я)< 1}
является связной компонентой в t(r). Пусть F (и) — флаговое
многообразие U/T. Голоморфное отображение
Со X U Э (Я, х) I-» х (ехрН) х-1
индуцирует голоморфное отображение
1|з: Со х F (и) Э (Я, дгТ) i— x (ехр Я) лг" ? ?/<г>.
G.4.5) Инфинитезимальное линейное отображение сЬ§(Н, ХТ) невы-
невырожденно в каждой точке множества Со X F (и).
Доказательство. Положим
2Р^С и % = г_р для
Тогда u = t @m и для любого х ? U отображение
F (и) Э х ехр
Т I- (г« ,.. ., zH) 6 Ck,
где JPi рА| — множество всех положительных корней, опре-
определяет комплексную локальную систему координат на F (it)
7.4. Модуль всех весов и универсальный центр 235
в окрестности точки хТ. Зафиксируем х0 ? U и Яо ? t. Тогда
для любого Я ? t
*о ехр (S
= х0 ехр B гр?|з) ехр (Яо + ^) ехр (-- 2
= А'о ехр (ехр ad '
Докажем прежде всего, что отображение d expHo невырожденно
для любого Яо ? t(r). Согласно F.5.2),
ad Ha (ad .
-f- ¦ • ¦ ) X ехр (Я„) ДЛЯ X ? U.
-1 2! "г 3!
Мы можем считать, что эндоморфизм dd Яо задается диагональной
матрицей
"О,.. .,0, 2тт //"(Pj, Я„), 2зх J/^Tfl^, Я„),. . .
Тогда
(ad
Л
ехр 2я 1^—1 (Рх, Яо) —1
-2я /=Т (Pi, Я,)
ехр 2я 1^—1 (—рх, 1
—2nV—l (Pl Яо) J
и, поскольку (Pi, Яо) ^ Z, ни один из диагональных элементов
не равен 0. Поэтому преобразование 2 (а^ Но)''1/]1- невырож-
невырожденно, а значит, невырожденным является и d ехрЯо.
Таким образом, экспоненциальное отображение и -*¦ U биго-
ломорфно в некоторой окрестности элемента Яо. С другой стороны,
для всякого вещественного \
(I2),
= Яо + |(Я - 2я К ~
и, поскольку (Рг, Яо) т^- 0, отображение
x
является линейным изоморфизмом. Q
Мы можем теперь доказать основную теорему данного пара-
параграфа.
G.4.6) Отображение г|з: Со X F (и) Э (Я, jcT) i-v x (ехр Я) х яв-
является биголоморфным отображением из Со X F (и) на ?/(Г).

236 Гл. 7. Неприводимые представления
Доказательство. Докажем прежде всего, что г|э сюръективно.
Для любого у из ?/(г) найдутся такие элементы Я ? t(r) и х ? U,
что у — х (ехр Я) Xq1. Но, как мы видели в § 5.6, существуют
5 ? Ad (А) и Я„ ел-1, для которых Я' =* SH + Яо ? С„.
Так как Л-1 с: пх, то ехр Яо = 1 и ехр Я' = ехр SH. Согласно
F.9.6), можно найти элемент s ^ N (Т), для которого ехр 5Я
= s (ехр Я) s. Следовательно, у = xs (ехр Я') (xs).
Далее, рассмотрим множество всех преобразований алгебры t
вида t Э Я |-> SH + X, где 5 ? Ad (А) и X ? Qx. Так как
для 5 ? Ad (А) мы имеем 5Q = Q, в силу B.3.2), 3), и 5— орто-
ортогональное преобразование, то SQX = Qx. Следовательно, мно-
множество Т (Q-1-) Ad (А) образует группу, где Т (X) (для X ? t)
обозначает перенос Я |-> Я + X. Положим
Ф = {ti G Г (Q-1-) Ad (А): т]С0 = Со).
Ясно, что Ф — подгруппа группы F (я) из § 5.7; значит, Ф — ко-
конечная абелева группа. При этом отображение
ф Э ф = Т (X) S I-*- 5 ? Aut (ft) П Ad (A)
взаимно-однозначно.
По заданному ц> = Т (X) 5 ? Ф выберем такой. элемент s
? N (Т), что Ads |t = 5. Если sT = s'T, то г1 Г = 7s = ТУ
= s'?". Поэтому можно определить биголоморфное отображение
ф: С„ х F (и) Э (Я, хГ) I— (фЯ, xs^T) 6 Со х F (и)
многообразия Со X F (и) на себя. Это отображение ф не имеет
неподвижных точек, если <р Ф 1. Действительно, из равенства
хТ = xs~xT следует, что s ? 7* и 5 = 1, но соответствие <р t—> S
взаимно-однозначно. Заметим также, что г|Юф = ty.
Выберем такие элементы Ни ..., Ht G t0, что Qx = ZHX + ...
+ ZЯ^. Обозначим через t(d) множество всех элементов ^Ях + ...
+ i/Я; (^ ? R) из t, для которых множество {1, ?ь ..., lt\
линейно-независимо над Q. Вспоминая, что Q± — ядро отобра-
отображения ехр: t —*¦ Т, мы легко можем убедиться в том, что ехр Я
(Я ? t) тогда и только тогда порождает плотную подгруппу
тора Т, когда Я ? t(d). Далее, множество t(d) плотно в t. В самом
деле, положим для любого набора i = (i0, . . . , it) ^ Z1+1,
такого что (ilt .... tz) ^ @, ..., 0),
Р @ = {I № ? *: t1g1 Ч [- г^, = f0}.
Тогда t\t(d) есть объединение счетного множества гиперплоско-
гиперплоскостей вида Р (г). Обозначим Со f) t<d> через qa). Множество C<d
плотно в Со.
7.4. Модуль всех весов и универсальный центр 237
Предположим теперь, что г|з (Я, хТ) = -ф (Я', г/Г) для Я ^ C<d>.
Тогда из равенства х ехр Ях = у ехр Я'г/ вытекает, что
(г/*) Т1 (у^х)'1 = Т. Следовательно, s = у~гх ? N (Т1). Поэтому
Ad s |j. = 5 ? Ad (А), и мы имеем ехр SH = ехр Я'. Таким об-
образом, X = Н' — SH ? Qx. Положим ф = Т (X) S. Тогда срЯ
= Я' и ф (Я, хГ) = (Я', у Г).
Зафиксируем элемент (Яо, х0Т) ? C<d' X F (и). Поскольку
ф (Ф 1) не имеет неподвижных точек, все элементы ф (Яо, х0Т),
Ф ? Ф, различны. Следовательно, найдется открытая связная
окрестность W точки (Я0) х0Т), для которой q>W П ф'^ = 0,
если ф ф ф'. В силу G.4.5), мы можем считать к тому же, что ф \w
биголоморфно. Положим\\>W = В и докажем, чтсп|г1Б = (J ф^фф^-
Предположим, что -ф (X, хТ) ? 5. Выберем какую-нибудь
замкнутую окрестность Во элемента х ехр Хх'1 в б. Пусть Хъ
Х2, ...—такая последовательность элементов из C<d), что
lim Xj = X и х ехр Х;х-1 ? Вп.
Так как i|j |w биголоморфно, то найдется замкнутое подмножество
Wo с= W, такое что i\>W0 — Во. Тогда для каждого / существуют
(X), х,Т) е Wo и Ф/ G Ф, Для которых фу (X/, *,Т) = (X/f хГ).
Поскольку группа Ф конечна, мы можем найти такой элемент Фо,
что, фу- = ф0 для бесконечного множества номеров /. Заменяя
последовательность Xj соответствующей ее подпоследователь-
подпоследовательностью, мы можем считать, что (Xjt хТ) ? Фо^о Для всех /. Так
как lim Xs = X и фо№о замкнуто, то (X, хТ) ? фо№о с= fo_W.
Итак, \|)""TS = U ^фф^. Поэтому каждое из множеств <pW
есть связная компонента множества ty~xB. Поскольку ty\w биголо-
биголоморфно отображает W на В, то же справедливо и для \р \$w. Так
как множество элементов вида х0 ехр HqX-1, Яо 6 ^od)> ПЛОтно
в ?/(г>, то (/(г' можно покрыть открытыми множествами, опреде-
определяемыми аналогично множеству В. Это доказывает, чтог|э — накры-
накрывающее отображение. Но ?/<г> односвязно. Следовательно, -ф
взаимНо-однозначно. Q
Теорема G.4.6) имеет важные следствия:
G.4.7) Q = A,
m. e. всякая целочисленная форма является весом некоторого (не-
(неприводимого) представления.
Доказательство. Из E.8.5) нам известно, что
Af (A) = F(n)(T (Ax) Ad (A)), F (п) (\ (Т (Лх) Ad (А)) = 1.
Если Л Ф Q, то AJ- с Qx и Т (Лх) Ad (А) с T(QA) Ad (А). Сле-
Следовательно, F (л) f) T (Qx) Ad (A) = Ф ф 1 — противоречие.

238 Гл. 7. Неприводимые представления
G.4.8) Центр односвязной линейной группы, алгебра Ли которой
совпадает с ц (или д), изоморфен универсальному центру С (А)
из § 5.5.
Доказательство. Это следует из G.4.3), 6), и G.4.7). Q
Замечание. Большая часть результатов этого параграфа пере-
переносится на пол у простые алгебры д.
Упражнение 1. Доказать G.4.3) для полупростой алгебры д.
Упражнение 2. Доказать G.4.8) для полупростой алгебры д.
7,5. Существование неприводимых представлений.
Формула характеров и формула размерностей
Пусть и — компактная простая алгебра Ли, t — ее
подалгебра Картана. Пусть U — связная односвязная линейная
группа, алгебра Ли которой совпадает с и. Обозначим exp (t)
через Т. Ясно, что группа U компактна и Т — максимальный тор
в U. Пусть Л — множество всех целочисленных форм (весов)
на t. Отождествим Л с соответствующим подмножеством в t
при помощи отображения X \-+ 2л I/—1НХ. Зафиксируем раз и
навсегда какую-нибудь фундаментальную систему \аъ ..., а,}
в корневой системе А и положим
я -
11 :
(а,-, а,-)
= а* для i = 1,...,/.
Множество \Ни ..., Ht\ образует базис в t, и
Г Л -L 1? 1-1 \ |
= А = ?_,ПХ ~Г • • • i
есть ядро отображения ехр: / -> Т. Пусть ооъ
ментальные веса: (со,., Нj) = 8,,. Тогда
Л ='2@! +- • • • +2@;.
фунда-
Пусть F—некоторая С-значная функция, определенная на t.
Для всякого 5 ^ Ad (А определим функцию SF формулой
(SF) (Н) = F (S~XH) при Н ? t. Функция F называется симмет-
симметричной, соответственно альтернирующей (относительно группы
Вейля), если SF = F, соответственно SF = (det 5 )F для всех
5 ? Ad (А). Заметим, что для отражений 5Р мы имеем det 5P
=а —1, и, значит, вообще det 5 = ±1 для 5 ? Ad (A).
Пусть / — представление алгебры и. Назовем функцию %,
определенную формулой
7.5. Существование неприводимых представлений 239
характером представления /. Так как tr ABA'1 = tr В, то для
эквивалентных представлений / и f мы имеем %f = %г- в этом
параграфе мы примем следующие обозначения:
е (|) = ехр Bл У^Л) для ??R,
е(Я, Я') = ехрBяК=Л(Я, Я')) для Я, Н'?t.
G.5.1) Всякий характер симметричен.
Доказательство. Пусть (V, /) — представление алгебры ц (или
uc = g). Пусть Q (/) — множество всех весов этого представления
и V (К) — весовое подпространство, соответствующее весу X ? Q (/).
Тогда
Щ)
V dim 1/ {ц е ((X, Н)) при И ? t.
Следовательно, достаточно доказать, что
dim V (X) = dim V (SX) для S 6 Ad (A).
ЕслИ f = о, то это очевидно. Если /^=0, то / является изомор-
изоморфизмом и индуцирует гомоморфизм групп <р: U -> U' = ехр (/ (и)),
такой что
ф"(ехр ]Х) = ехр / (X) при X ? и
(см. доказательство предложения G.4.2)). Для каждого 5 из
Ad (А) выберем такой элемент s из N (Т), что Ad s = S на t.
Тогда для любого Я ? t и любого вещественного числа ц имеем
s ехр
s'1 =
= ехр
ехр (jxq> (s) f (Я)
= Ф (s) (exp jx/ (Я))
- ехр ц/ EЯ).
Дифференцируя обе части по \х при ^ = °> находим, что
Ф (s) f (Я) ф (s)'1 = / EЯ) для всех Я ? *• Пусть и принадлежит
К (X): / (Я) и = 2я К1^^, Я) о для Я 6 t. Тогда / (SH) ф (s) v
= ф (s) / (Я) и = 2л К—1 (X, Я) ф (s) у. Заменяя здесь Я на
5"ХЯ, получаем
/ (Я) ф (s) v = 2я Kz:
(s)
Следовательно, ф (s) V
с V(X), т. е. ф(в) 7(
= 2я KZT (SX, Я) ф (s) v.
) cz V (SX). Но точно также ф (s)'1 V (SX)
= V (SX). Q

240 Гл. 7. Неприводимые представления
В § 7.3 целочисленная форма Я, была названа доминантной,
если SX <g X для всех 5 ? Ad (А). Будем называть форму К ? Л
строго доминантной, если 5Я, < А для всех 5 ? Ad (A), S фЛ.
Для Я, ^ Л определим функцию Л?. формулой
A) АХ(Н)=
= Г
Г
Г
S(z Ad (Д)
(det S)e(Sb, Я) при H?t.
G.5.2) 1) Функция Ах является альтернирующей.
2) ?сл« существует S ? Ad (А), 5 ^= 1, для которого SX = X,
то Ах = 0.
3) Если Я, и \х — строго доминантные целочисленные формы, то
т \
(<р,#х + . . .
A
+ ср,Я,
ДО при Я, = A,
0 при X =5& ц,
где w — порядок группы Вейля Ad (A).
Доказательство. 1) Это утверждение очевидным образом следует
из определений.
2) tДопустим, что Я, принадлежит некоторой камере Вейля W.
Тогда' SX = Я, влечет SW = W, откуда (согласно упражнению
к §5.1) 5 = 1, — противоречие. Поэтому для некоторого р ? А
мы имеем (|3, Я,) = 0. Тогда
S.X = X - 2
(*.. Р)
(Р. Р)
Но, по определению функции Ль Л5Я = (det 5) Ля для 5 ^ Ad (A).
Так как det 5Р = —1, то Ах = —Ах и Ах = 0.
3) Если форма Я, строго доминантна, то все формы SX,
5 ? Ad (А), попарно различны. Действительно, из SK = ТХ
при 5, Т ? Ad (А) следует, что T^SX = X и T^S = 1.
Пусть X a \i — две различные строго доминантные целочислен-
целочисленные формы. Если 5Я, = T\i для некоторых S, Т ? Ad (А), то
из Я, ф ц следует, что 5 ф Т, а из Т 5Я, == \i, S'1^ = Я, сле-
следует, что одновременно X <\i и jo. < Я,, — противоречие. Итак,
5Я, ^ Гц для всех 5, Г ? Ad (A).
Теперь B) немедленно вытекает из следующей элементарно
проверяемой формулы.
Je(«p)e(/rp)dcp = 6,/ (г, / ? Z).
7.5. Существование неприводимых представлений 241
G.5.3) (со,, со ) > 0 для i, / = 1, ..., /.
В разложении со,. = dn<x1 + ... + duat все коэффициенты du
положительны. В частности, всякая доминантная целочисленная
форма з>0 относительно лексикографического упорядочения.
Доказательство. Согласно B.2.5), 6),
(со,., ©,•)= ? (р, (
Всякий корень р можно записать в виде
-f . . . + tiiai = п*а* + . . . + n't at,
где числа п* = 2 (ah ay) ny либо все »0, либо все <0. Поэтому
(Р, со;) (р, соу) = п\п) > 0. Но для старшего корня т\а.\ + ...
+ т*а* все коэффициенты т) положительны, согласно E.6.5).
Следовательно, (со,, со^ > 0.
Далее, поскольку (ау, со() = 0 при i Ф}, то (со,, ш,)
= d(/ (a;, со) > 0. Но (ah соу) == 2 (ay, ay) > 0, поэтому d,.; > 0.
Всякая доминантная [целочисленная форма [имеет вид
Я, = 6^ + ... + ^со(, тде Ю < kj ^ .Z. "'Так как "со,- > 0, то
Я. > 0. Q
Замечание. Если алгебра и (или д) не является простой, то можно
утверждать лишь, что (со,., соу) > 0.
Пусть А+ обозначает множество всех положительных элемен-
элементов из А. Положим
G.5.4) 8 = сох + со2 + ... + со/,
и 8 является минимальным элементом множества всех строго
доминантных целочисленных форм.
Доказательство. Пусть р = п^ + ... + П/сс, ? Д+. Если р ^ а,.,
то 5,р = р — (р, Яг) а; > 0 (где St = 5a.), вследствие того что
некоторые из коэффициентов п- j Ф i, положительны. Так как
Следовательно,
Р>о, ы

242 Гл. 7. Неприводимые представления
Поскольку (Sfi, а() = (у, 5,:а,) = —(8, а,.), мы имеем (8 — а,., а.)
= —(б, а,), т. е. E, //,.) = 2 (б, «,)/(«,, а,) = 1 при, г = 1, ..., /.
Следовательно,
б = CL»! + Ш3 + ... + Ш;.
Предположим теперь, что 5А+ = А+ для некоторого^ ? Ad (А)-
Так как Wo = {Я ? t: (р\Я) > 0 для всех Р ? Д+} есть камера
Вейля и SW0 = Wo, то S = I (см. § 5.3). Поэтому, если S ф I,
то 5А+ содержит хотя бы один отрицательный корень и потому
58 < 8. Итак, 8 — строго доминантная форма.
Если К = ^©i + ... + kt(i), @ < kt 6 Z) — доминантная це-
целочисленная форма и Я, < б, то неравенство kt » 1 не может вы-
выполняться для всех i (ввиду того что все со, > 0), т. е. существует
номер i, для которого ki = (к, Я,) = 0. Следовательно, 5,Я,
= К - (К, Hi) а. = X. Q
Рассмотрим функцию
D)
G.5.5) D (Я) = Аь (Я), где 8 = ±
р>о
Доказательство. Покажем прежде всего, что функция D — аль-
альтернирующая. Для этого достаточно доказать, что StD = —D.
Но если р > 0 и |3 ф а(., то S( р1 > 0 и, кроме того, S(-a(. =—а..
Следовательно,
(S;D) (Я)
= П (е D-EДЯ))-е(~1E(.р,яЛ) х(е (~1(аг, Я)
C>0) 4V 7 \z //\\^
Пусть F — конечный ряд Фурье на t:
JZ c(u)e(^i, Я), 0^
й€ло
где Ло — некоторое конечное подмножество в Л. Заметим, что
множество {е (и-, Я): [х ? Л} линейно-независимо над С. Если
функция F — альтернирующая, то
SF (Я) = 2 с (ц) е (Sji, Я) - I с (ц) (det 5) е (щ Я)
= S с (S(i) (det 5) е E(я, Я),
7.5. Существование неприводимых представлений 243
откуда следует, что с (Sjj.) (det 5) = с (и-) для 5 ? Ad (А). В част-
частности, Ло инвариантно относительно Ad (А). Выберем наибольший
элемент \it (i = 1, ..., k) из каждой орбиты действия Ad (A)
на Ло. Тогда
^)А (Н),
причем формы \иъ .,., цк можно считать строго доминантными,
ввиду G.5.2).
Но D (Я) = 2 ± е (]i, Я), где
и jj, < 8. Согласно G.5.4), ни одна из форм [i ^= 8 не является
строго доминантной. Так как коэффициент при е (S, Я) равен 1,
мы заключаем, что D (Я) = Аб (Я). О
Здесь мы должны сказать несколько слов о мерах Хаара ком-
компактной группы Ли /С- Пусть С (К) — множество всех непре-
непрерывных R-значных функций на К- Оно является векторным
пространством над R. Под {левоинвариантной) мерой Хаара
на К понимается такое отображение /: С (К) ->¦ R, что
(i) / — линейный функционал и / Ф 0;
(И) если F ? С (К) и F (х) > 0 для всех х ? К, то IF >¦ 0;
(iii) для любых у ? К и F ? С (/() определим yF ? С (К),
полагая (г/F) (х) = Z7 (у~1х) при # ? /f; тогда Z/7 = / (yF) для
всех г/ G не-
неизвестно, что мера Хаара существует и что, если / и /' — меры
Хаара на К, то / = с/' для некоторой положительной константы с
(см. [Шевалле]). Пусть 1 обозначает постоянную функцию на К,
принимающую во всех точках значение 1. В случае когда /1 = 1,
мера Хаара / называется нормированной. Для всякой меры Хаара /
и всякой С-значной функции F = /^ + Y—1F2 (Ft ? С (К))
положим / (Fx + V—iFv) == IFy + V~=\IF%.
Будем обозначать нормированную меру Хаара на U обычным
знаком интеграла F (x) dx. Полагая для любой С-значной
и
непрерывной функции F на Т
1 1
J . . . J F (ехр (Ф1Яа + . . . Н- Ф;Яг))
0
= \F(y) dy,
Г
J J
0 0
мы задаем нормированную меру Хаара на Т.

244 Гл. 7. Неприводимые представления
G.5.6) Для всякой непрерывной С-значной функции F на U
X
где w — порядок группы Ad (A).
Доказательство. Легко видеть, что правая часть доказываемого
равенства как функция от F ? С (U) удовлетворяет условиям
(i) — (iii). Для F = 1 эта правая часть равна
в силу G.5.5) и B). Следовательно, она определяет нормирован-
нормированную меру-Хаара на U. Q
Обозначим через К (U) множество всех С-значных непрерыв-
непрерывных функций на U, для которых F (хух) — F (у) при всех
х> У € U- Элементы множества К (U) называются функциями
классов, поскольку значения функции из К. (U) зависят только
от классов сопряженных элементов. Интеграл (мера Хаара)
от функции классов F определяется формулой
E)
Н = ф1Ях
ввиду G.5.6).
Пусть CN (T) — совокупность всех С-значных непрерывных
функций F на Т, таких что F (sys'1) = F (у) для у ? Т и s ? N (Т).
Очевидно, что отображение
K(U) ЭР^Р\те^(Т)
взаимно-однозначно и сюръективно.
Обозначим, далее, через Cw (t) множество всех С-значных
непрерывных функций F на t, инвариантных относительно аффин-
аффинной группы Вейля
Afd (Л) == Т (Г) Ad (A),
7.5. Существование неприводимых представлений 245
т. е. таких, что F @Я) = F (Я) для всех 0 ? Afd (А) и Я ? t.
Тогда, как было показано, отображение
CN(TKf^foexp 6 Cw(t)
взаимно-однозначно и сюръективно.
В дальнейшем мы будем отождествлять К (U) с Cw (t) при
помощи отображения Ft-^-Foexp и называть элементы из
Cw (t) также функциями классов. Согласно E), интеграл от
функции классов определяется равенством
1 1
F) \ F(H)dH = -L \ ¦ ¦ ¦ \
Пусть (V, f) — представление алгебры ц. Его характер if
является функцией классов. Если / неприводимо, то if назы-
называется примитивным характером. Всякий характер %можег
быть записан в виде
X/
4- kh%fn,
где kj — натуральные числа, a %f. — примитивные характеры,
что соответствует разложению данного представления на непри-
неприводимые. Множество всех примитивных характеров не более чем
счетно, ввиду того что число доминантных целочисленных форм
не более чем счетно. В наших обозначениях одну из основных тео-
теорем теории Петера—Вейля можно сформулировать следующим
образом:
G.5.7) Пусть \%ъ %2, ...\ —множество всех различных прими-
примитивных характеров. Тогда
G) JX, (Я) ^ТГ) ЛН = 6„ при I, I = 1, 2,
t
J
t
и если для функции классов F
\ F {Н)у~(Н) dH = 0 при всех j = 1, 2, ...,
t
mo F (Я) = 0.
Короче говоря, |%у} — полная ортонормированная система
в предгильбертовом пространстве Cw (t) относительно скалярного
произведения, определяемого интегралом j dH.
t
G.5.8) Теорема*. Пусть со — доминантная целочисленная форма.
Тогда существует неприводимое представление (Уш, /ffl) алгебры ц

246 Гл. 7. Неприводимые представления
(или д) со старшим весом со. Характер Хш этого представления
задается формулой
(8) %ш(Я) = -^Ж (формула характеров),
где
р>о
Г (det S)e(SX, H).
- S ? Ad (Д)
Доказательство. Пусть вначале (V, f) — неприводимое представ-
представление алгебры и и со — его старший вес. Пусть % — характер
представления /. Положим для любого Я ? t
Е (Я) = х (Я) D (Я).
Так как функция х симметричная (в силу G.5.1)), a D — альтер-
альтернирующая, то и ? — альтернирующая функция. Рассуждая
так же, как и при доказательстве теоремы G.5.5), получаем
k
с, ее,
где \1Ъ ..., \kk ~~ различные строго доминантные целочисленные
формы, фигурирующие в конечных рядах Фурье, которые полу-
получаются при разложении
/э>о
Тогда со. + б будет наибольшей из целочисленных форм, входящих
в эти ряды Фурье, и притом строго доминантной, поскольку 8
такова. Следовательно, мы можем предполагать, что \ix = со + б.
Так как dim V (со) = 1, то сг = 1. В силу B),
\Ck\
Нол ввиду G) этот интегра равен] % (Н) х (Я) dH = 1. Следо-
t
вательно, с2 = ... = ck = 0 и мы имеем % (Н) = Аа+6 (Н). По-
Поскольку D (Я) = А6 (Я), отсюда вытекает (8).
7.5. Существование неприводимых представлений. 247
Будем теперь исходить из доминантной целочисленной формы со.
Тогда форма со + 8 строго доминантна. Положим
хш-=
D
Так как функции Аф,6 и D = А6 — альтернирующие, то функ-
функция Хш симметрична. Поскольку каждый элемент группы
Г = 2ЯХ + ... + ZHi является периодом как для Лш+6, так
и для D, функция Хш инвариантна относительно Т (Г). Следо-
Следовательно, Хш — функция классов. В силу B), для доминантных
целочисленных форм со и со'
1 1
= -5Г J " " " J
о о
-|
X
= О
если со ф со'. Если Хш не является примитивным характером,
то вследствие полноты системы примитивных характеров мы
имеем Хщ = 0, — противоречие. Этим доказано существование
неприводимого представления с характером %ш. Так как Хш —
конечный ряд Фурье вида
>, Я) 4- X ^е(и^> ю)>
Х(ДЛ) =
где все \xt < со, то со — старший вес этого представления. Q
G.5.9) (Формула размерностей) Размерность неприводимого пред-
представления (Vm fj, имеющего старший вес со, равна
—~ П (со+ 6, р)
П (б,
р>о
р>о
Доказательство. Для того чтобы вычислить dim Кш = хй @). Рас"
смотрим Хш (М/), Я ^ t, как функцию вещественного параме-
параметра Я,. Имеем
-j- (P, ^Я)) - е (- 4" (Р. ^Я)) = 2 [/=П" sin яХ (р, Я)
(Р,
и, значит,

248 Гл. 7. Неприводимые представления
D (ЯЛ) = Bя V— О* П (Р, Я) Х/е + О (Kk+1),
Р>о
где k — число положительных корней. С другой стороны, '
Л«+в № = Т (det 5) е E (со + 6), Щ
S? Ad(A)
= Е det E) е(S"^, Я, (со + 6))
= D (со (Я, + б)) = Bл ]/А=гТ)* П (со + 8, Р) Я,*
р>о
4-0 (Я.)*41.
Но поскольку форма S строго доминантна, то (Р, S) > 0 для
любого положительного корня р и
D (Щ = Bя К=Т)* П (б, р) Хк + О (Xft+1).
Р>о
Следовательно,
П (со+ 6- р)
%т@) = Шпхт(Я.6)= р>0 . О
а.-и> ll (б, Р)
Формула характеров и формула размерностей принадлежат
Г. Вейлю.
7.6. Фундаментальные представления
классических простых алгебр Ли
/. -Фундаментальные веса
С каждой простой комплексной алгеброй Ли типа А;, Вь С
или Dl мы связали в § 2.7 одно типическое представление. В каж-
каждом случае имелась подалгебра Картана, состоящая из диагональ-
диагональных матриц. Пусть [хъ ..., хп] обозначает диагональную матрицу
с элементами хъ ..., хп на главной диагонали. Тогда указанными
подалгебрами Картана являются \(хи ..., xt): xL ? С}, где
([*!,...,*/,—(*i+•••+*/)] Для А,,
(xv ..., Х[) = | [0, хх, ..., xh —х1У ..., —xt[ для Bh
{ [xv ..., xh —xx, ..., —xt] для Ct и Di.
Определим е,-, полагая е,- (хъ ..., xt) = xt для i = 1, ..., /. Для Al
мы положим также е/+1 = —fa + ... + ez). Тогда elf ..., г1 и
(в случае At) e/+1 суть веса упомянутых типических представлений.
Система простых корней л состоит из следующих элементов:
7.6. Фундаментальные представления классических алгебр Ли 249
а'
е,
Для
для
для
Для
В § 5.5 была приведена таблица матриц d (л), с помощью кото-
которых мы можем вычислять фундаментальные веса ©ь ..., со, как
линейные комбинации корней аь ..., а,. Выразим сог через еь ...,
е;. Например, в случае At
Аналогично имеем
Щ — 8i + 82. юз = 8i + е2 4- е3, ..., со, = sx 4- ... 4-
для всех типов, всего лишь с тремя исключениями:
1
= 4-(8- Н + 8;) для В, и А,
;-1 = "о~ (ет
ДЛЯ D,-
Далее в этом параграфе мы изучим по отдельности представ-
представления, отвечающие исключительным и неисключительным фун-
фундаментальным весам.
11.Представления в пространстве Д' (Ст)
С помощью типических представлений мы вкладываем каждую
классическую простую комплексную алгебру Ли в gl (m, С),
где т = / + 1 для At, т = 21 + 1 и для Sz и /п = 21 для Q
и D,. Поэтому каждое типическое представление индуцирует
представление в Дг (Ст). Рассмотрим в пространстве Ст базис
\ех, ..., ет\, где es — весовой вектор, соответствующий весу \-,
/ = 1, ..., т. Тогда <?ix Л «<2 Л ••• Л etf (ix < i% < ... < ir) есть
(Я</х + ... + Я,(-г)-весовой вектор в Дг (Ст). Поскольку Я,ь ..., Я,т
могут быть равны только ±8г (г = 1, ...,/), О или st+v старший
вес равен ег + ... + &г. Таким образом, для любого неисключи-
неисключительного фундаментального веса сог можно найти соответствую-
соответствующий неприводимый модуль V (юг) в Дг(Ст)-

250 Гл. 7. Неприводимые представления
Как мы знаем, dim /\r (Cm) = \^\. С другой стороны, по фор-
муле размерностей мы можем вычислить dim V (©,) следующим
оорязом;
1+Х
г
11
2/
, )
1\ 2/— 2/-+ 2
Bt (r < /),
у для Q,
^А (г <•/ — 1).
21
Следовательно, для Л/, Bh D, мы имеем К (сог) = Дг (Ст). Но
для Ct пространство Дг (С2/) приводимо, за исключением слу-
случая г = 1.
///. Спинорные представления
Наметим конструкцию спинорных представлений ортогональ-
ортогональных алгебр Ли о (п, С), т. е. 5, и ?>,. Подробности можно найти
в книге [Бёрнер].
Пусть К = Ст и 7 (К) — тензорная алгебра над V. Пусть / —
идеал в Т (V), порожденный всеми элементами вида
(*{) <8> (Уд + (Уд <8> (хд - 2 (Xjj/i -\ f- xmym),
(хд, (Уд € С'".
Алгебра Клиффорда С(пг) определяется какфакторалгебра Т (V)//;
это ассоциативная алгебра с единицей. Пусть р: V -> С (тп) —
естественная проекция и {еи ..., ет\ — канонический базис в С":
et == Фи)- Из определяющих соотношений для агебры С (т)
следует, что
р (е,-J = 1, р (еу) р (ек) + р (вл) р (е,) = 0 (/ Ф k)
и множество всех элементов вида
Р (г'х) Р (%) • • ¦ Р Ю> Ч < 'г < ¦ • ¦ < г'г.
образует базис в С (т). В частности, отображение р инъективно и
г=0
7.5. Фундаментальные представления классических алгебр Ли 251
Пусть End (Cfe) — ассоциативная алгебра всех комплексных
матриц размера k x k. Тогда
СBп+ 1) = End (С2") ф End (С2") (прямая сумма идеалов).
Следующий шаг состоит в нахождении подалгебры Ли в С (т),
изоморфной о (т + 1, С).
Обозначим через Еи- матрицу, у которой (/, /)-й элемент ра-
равен 1, а остальные элементы равны 0. Множество всех элементов
вида
образует базис в о (т + \). Поэтому
Рассмотрим в алгебре Клиффорда С (т) элементы Tltj(i > /),
определяемые формулами
Tt, i = 4" Р (ед Р (е,) при т + 1 > / > /,
Легко видеть, что отображение S,-/t—»Tl7 (t > /) задает изомор-
изоморфизм алгебры Ли о (т + 1, С) в С (т).
Следовательно, алгебра Ли Bt шо B1 + I, С) допускает
некоторое представление / в алгебре С B/) ^ End (C20- По-
Поскольку / (В;) содержит р (С2/). ассоциативная алгебра, порож-
порожденная / (Bt), совпадает с С B1), откуда следует, что представление /
неприводимо. Таким путем мы получаем представление алгебры Bh
соответствующее весу ыг.
Аналогично
Дао B1, С) а С B1 — 1) зг End (С2') ф End (С2')'
и мы можем найти два неприводимых представления алгебры Dt
размерности 21~х, соответствующие весам ©/-x и со;. Эти пред тав-
ления алгебры о (п, С) называются спинорными представлениями.
Упражнение. Группы SL (/ + 1, С) и SP (/, С) односвязны, а группа SO (m, С)
неодносвязна. Фундаментальные веса для типов Л и С являются линейными
комбинациями форм въ ..., е/ с целыми коэффициентами, а для типов В и D
это неверно. Найти связь между этими двумя фактами.

252 Гл. 7. Неприводимые представления
В. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
7.7. Основные понятия
В оставшихся параграфах этой главы мы изучаем веществен-
вещественные неприводимые представления вещественных полупростых ал-
алгебр Ли. После того как в данном параграфе мы введем нужные
обозначения и обсудим терминологию, мы обратимся к теореме
Э. Картана, которая устанавливает взаимно-однозначное соот-
соответствие между вещественными неприводимыми представлениями
и комплексными неприводимыми представлениями. При помощи
этого соответствия класс всех комплексных неприводимых пред-
представлений разбивается на два подкласса. Важным инвариантом,
позволяющим различать эти подклассы, служит индекс комплекс-
комплексного неприводимого представления.
Пусть V и U — векторные пространства над С. Отображе-
Отображение Т: V -> U называется полулинейным, если
= с{Г (v,
(v.z)
для всех vu v2 ? V и съ с2 ? С (Как обычно, мы обозначаем
через с число, комплексно сопряженное к с. В случае когда U — С,
полулинейное отображение называется полулинейным функцио-
функционалом).
Множество V* всех полулинейных функционалов на V ста-
становится линейным пространством, если ввести операции
G\ + Г2) (v) = Тцо + 7>,
(сТ) (v) = cTv.
Далее, dim V* — dim V. В самом деле, пусть \еъ ..., еп\ — ба-
базис в V. Определим функционалы Тъ ..., Тп из V*, полагая
/=
п.
Тогда множество \ТЪ ..., Тп\ будет базисом пространства V*.
Пусть V — пространство, двойственное (над С) к V*, т. е.
векторное пространство всех комплексных линейных функцио-
функционалов на V*. Мы можем определить отображение V -> V, v>-^*v
формулой
v (Т) = Tv
для всех v ? V, Т ? V*. Это отображение является взаимно-
взаимнооднозначным полулинейным отображением пространства V на V-
Исходя из данного линейного преобразования А: V-+¦ V,
можно определить линейное преобразование А: V-*-V следую-
следующим образом:
Ли = Av
7.7. Основные понятия 253
для всех v ? V. Отображение A t—> А является взаимно-однознач-
взаимно-однозначным полулинейным отображением пространства gl (Y) на gl (V).
Далее,
[А, В) = [А, В]
для всех А, В ? gl (V). Если \ег, ..., еп\ — базис в V, то \ё1; ...,
ёп\ — базис в V; матрицей преобразования А в базисе \ёх, ..., ёп\
служит матрица, комплексно-сопряженная к матрице преобра-
преобразования А в базисе \е1у ..., еп].
Всякое векторное пространство V над С можно рассматривать
как векторное пространство над R; это вещественное векторное
пространство будет обозначаться Vr .
Пусть g — вещественная алгебра Ли и (V, f) — ее комплекс-
комплексное представление. Полагая
Ы {X)v = f (X) v
для всех X ? g, v ? V, мы получаем ассоциированное веществен-
вещественное представление (V«, /r) алгебры g. Обратно, всякое веществен-
вещественное представление (Е, d) алгебры g порождает комплексное пред-
представление (Ес, dp) просто при расширении поля коэффициентов.
Предположим снова, что (V, /) — комплексное представление
вещественной алгебры Ли д. Полагая
для всех X ? д, мы получаем представление (V, f) алгебры
в пространстве V. (Здесь существенно, что g — вещественная
алгебра Ли.) В этом случае отображение v,—>v определяет g-изо-
морфизм между /r и fg.
Пусть (Vlt fi) и (V2, /2)—два комплексных представления
вещественной алгебры Ли д. Если (Vx, fx) изоморфно (V2, h),
то говорят, что представление (Vi, /1) сопряжено к представлению
(^2. /г), и пишут f1 ~ /2. В случае когда fx ~ flf представление /х
называется самосопряженным.
G.7.1) Пусть (Уъ /х) и (К2. /г) — комплексные представления
вещественной алгебры Ли д. Представление (Vj,, /x) сопряжено
к (V3, /2) тогда и только тогда, когда существует взаимно-одно-
взаимно-однозначное полулинейное отображение Т из Vx на V2, такое что
при всех X ? д. В частности, представление (}/г, /х) самосопря-
самосопряжено тогда и только тогда, когда существует взаимно-однознач-

254 Гл. 7. Неприводимые представления
нов полулинейное отображение J пространства Vx на себя,
такое что
Jof1(X)=f1(X)oJ
для всех X ? д.
Доказательство. Если ft ~ f2, то существует, линейный изомор-
изоморфизм _
такой что
для всех X ? д. ^Определим отображение Т: Vx -*- V2 соотноше-
соотношением Т (Oi) == 5 (Vj). Ясно, что Т обладает требуемыми свой-
свойствами.
Обратная импликация доказывается аналогично, подробности
мы опустим. О
7.8. Теорема Картана
Пусть g — вещественная алгебра Ли и (Е, d) — ее веществен-
вещественное представление. Будем обозначать через [d] класс всех веще-
вещественных представлений, эквивалентных (т. е. д-изоморфных)
представлению (Е, d). Далее, положим
Rra (ё) — { ЕсС ]: (Е, d) неприводимо и dim Е = п\.
Аналогично, если (V, /) — комплексное представление алгебры д,
то класс всех комплексных представлений, эквивалентных (V, /),
обозначается через [/]. Положим также
Сп (д) = | [/]: (V, /) неприводимо и dim V = п\.
Наконец, обозначим через [/] класс всех комплексных пред-
представлений алгебры д, эквивалентных либо (V, f), либо (V, f),
и положим
С« (д) = { 1/1: (V, [) неприводимо и dim V = п\.
Чтобы сформулировать теорему Картана, нам надо разбить
эти классы на подклассы. А именно, мы полагаем
Ci (s) = \[f] <E CB(g): fa приводимо},
C"(g) = Ufl € C«(g): /r неприводимо},
C"(g) = {[/] 6 Cn(g): /r неприводимо},
R«(g)= {[d] 6 К„(д): d° неприводимо},
€ Rrt(g): dC приводимо}.
7,S. Теорема Картана 255
Теорема Картана утверждает существование следующих взаимно-
взаимнооднозначных соответствий (через \pL обозначены отображения,
которые нужно задать):
Первый этап доказательства этой теоремы состоит в том, что
с каждым вещественным неприводимым представлением алгебры g
мы связываем некоторое комплексное неприводимое представление.
А) Пусть (Е, d) — неприводимое вещественное представление
алгебры д, для которого представление (Ес, dc) также неприво-
неприводимо. В качестве tyx мы берем отображение, которое классу [d]
относит класс [dc]. Далее будет показано, что [dc] принадле-
принадлежит Сд (д).
Теперь обратимся к случаю неприводимого вещественного
представления (Е, d) алгебры д, для которого представление
(Ес, dc) приводимо. Построение неприводимого комплексного
представления, отвечающего представлению (Е, d), мы начнем
с того, что докажем следующую лемму.
G.8.1) Пусть Е — вещественное векторное пространство и
vv-^-v — полулинейное отображение пространства Ес на себя,
определяемое правилом
v = х -f- V — }у I—?¦ v = х — У — 1 у
для всех х, у ? Е. Пусть W — комплексное подпространство
в Ес и
TF== {w e V: w ? W\.
Равенство W = W имеет место тогда и только тогда, когда суще-
существует, такое вещественное подпространство F пространства Е,
что
W = F + //
U + У~у: х, у G F].
В этом случае F = W П Е.
Доказательство. Прежде всего, из определения v следует, что
v — v тогда и только тогда, когда и ? ?. Если W = F + |/ —1_F,
то W=WkF=W[\E. Обратно, предположим, что W = W.
Для всякого w ? W имеем
w =
+ A/2 V - 1) V— 1 (w - w),

256 Гл. 7. Неприводимые представления
где w + w и У — 1 (w — w) принадлежат W [\ Е. Полагаем
F = W П Е. D
Предположим теперь, что (Е, d) — вещественное неприводи-
неприводимое представление алгебры д, такое что (Ес, dc) приводимо.
Пусть V — произвольное g-инвариантное комплексное подпро-
подпространство в Ес, отличное от Ес и от 0. Комплексное подпро-
подпространство W = V + V является g-инвариантным и удовлетво-
удовлетворяет условию W — W. Согласно G.8.1), существует вещественное
подпространство F в Е, такое что
7.8. Теорема Картана 257
V + V = F + V ~F и F = (V + V) П Е.
Из второго равенства следует, что F тоже g-инвариантно. Так
как V ф 0, тоР = ?иУ+У = Ес. Аналогично доказывается,
что (V П У) Л Е — вещественное g-инвариантное подпростран-
подпространство в Е и (V П У) = 0 (поскольку V Ф Ес).
Таким образом, если представление (Ес, dc) приводимо, то
существует g-инвариантное комплексное подпространство V в Ес,
для которого
Отсюда вытекает, что dim V = -у dim Ec. Далее, V является
неприводимым комплексным g-модулем. Действительно, если U
есть g-инвариантное комплексное подпространство в V и U Ф О,
то так же, как и выше, доказывается, что
E^ = U + U и U Г\ {7=0.
Поэтому dim U = dim V и U = V.
Представления алгебры g в пространствах V я V сопряжены
относительно отображения v\—>v. Далее, эта конструкция опре-
определяет V однозначно с точностью до сопряжения. В самом деле,
предположим, что U — собственное ненулевое g-инвариантное
комплексное подпространство в Ес. Тогда
EZ = U + U и U пг7=О.
Если v ? V, то и = и + ш для некоторых элементов и, w ? t/.
Отображение ср: 1/ -+- ?/, задаваемое формулой ср (v) = и, д-ин-
вариантно. Следовательно, V изоморфно U (если ср взаимно-одно-
взаимно-однозначно) или U.
Соберем вместе полученные результаты:
В) Пусть (Е, d) — неприводимое вещественное представление
алгебры д, для которого представление (Ес, dc) приводимо. Пусть
V — произвольное ^-инвариантное ненулевое собственное комплекс-
комплексное подпространство в Ес. Тогда
Ec = V-{-V и V ()V=0.
Представление f алгебры д в пространстве V неприводимо и опре-
определено однозначно с точностью до сопряжения. В качестве "ф2
мы возьмем отображение, которое классу [d] ставит в соответ-
соответствие класс [f]. Позднее будет показано, что [f] ? С" (д).
Итак, мы связали с каждым неприводимым вещественным пред-
представлением алгебры g неприводимое комплексное представление.
Теперь поставим в соответствие каждому комплексному неприво-
неприводимому представлению вещественное неприводимое представление.
Пусть (V, /) — комплексное неприводимое представление ал-
алгебры д, для которого представление (Vr, /r) приводимо. Пусть
Е — произвольное вещественное g-инвариантное ненулевое соб-
собственное подпространство в Vr. Тогда Е + 'у — \Е и Е [\ ]/ — \Е
суть комплексные g-инвариантные подпространства в V. По-
Поскольку
Е-\-У — \фО и Е [\У —\ЕфУ,
мы заключаем, что
VR = Е + у ~Е и Е П У "^Е = 0.
В частности, dim Е = -j- dim Vr.
Представление d алгебры g в пространстве Е неприводимо.
В самом деле, если F — вещественное g-инвариантное ненулевое
собственное подпространство в Е, то, рассуждая так же, как и
выше, мы получаем
VR = F + У ~F и F П V ~^ = 0.
Следовательно, dim F = dim Е и F = Е.
Вещественные представления алгебры g в пространствах Е
и У—ЛЕ изоморфны—этот изоморфизм осуществляет отобра-
отображение х\—>у—\х. Далее, приведенная конструкция определяет
вещественное представление в Е однозначно. Действительно,
если F — вещественное g-инвариантное ненулевое собственное
подпространство в Vr, to
VR = F + y^AF и F П V ~^ = 0.
Если v ? Е, то v = х -j- У —\у для подходящих х, у $ F, и
либо отображение Е 3 Ol—>х 6 F, либо отображение Е Э v
1 *" У — \у ? У — IF является д-изоморфизмом.
9 М. Гото, ф, Гроссханс

258 Гл. 7. Неприводимые представления
C) Пусть (V, f) — комплексное неприводимое представление
алгебры д, для которого представление (Vr, fp) приводимо.
Пусть Е — произвольное д-инвариантное ненулевое собственное'
вещественное подпространство в Vr. Тогда
Vr = Е + У —ЛЕ и Е П У"~Е = О-
Соответствующее вещественное представление d алгебры д в лро-
странстве Е неприводимо и определено однозначно. В качестве \р3
мы берем отображение, относящее классу F/1 класс Id]. Ниже
будет показано, что Id] ? Rn (g).
D) Пусть (V, f) —• неприводимое комплексное представление
алгебры д, для которого представление (Vr, ^r) неприводимо.
В качестве "ф4 мы возьмем отображение, которое классу [/] относит
класс [/r]. Сейчас будет показано, что [/r] ? R2« (g).
G.8.2) (i) Функция г|зх взаимно-однозначно отображает Rn(g)
на Сп (д). а гр3 взаимно-однозначно отображает Сп (д) на Rn (g).
Более того, отображения ipj и гр2 взаимно обратны.
(ii) Функция гр2 взаимно-однозначно отображает R2I1 (д) на
С" (д). а гр4 взаимно-однозначно отображает С" (д) на
Кгп (д). Более того, отображения if3 и гр4 взаимно обратны.
Доказательство, (i) Пусть (?, d) ^ Rn (g). По определению, пред-
представление (Ес, d°) неприводимо. Покажем, что [dc] ^ Cn (g).
Чтобы упростить запись, положим V = Ес и / = dc. Представ-
Представление (Vr,/r) приводимо, поскольку
VR =
= 0,
а ? является g-инвариантным подпространством в VR. Отсюда
следует, что г^ [die: C^ (g) и, согласно С),
-фз1*! Id] = Id].
Далее, пусть (V, /) ? С« (д). Снова в силу С) существует
д-инвариантное ненулевое собственное подпространство Е в Vr,
для которого
VR = ? + ^ ~? и ? П К ^Tf = 0.
Обозначим через d неприводимое вещественное представление,
индуцированное представлением fR в Е. Из построения сразу
следует, что V изоморфно Ес и dc = /. Это показывает, что
W1 € R» C) и.
7.8. Теорема Картана 259
(ii) Пусть вначале (Е, d) ? R" (g). Согласно В), существует
комплексное g-инвариантное собственное подпространство V в Ес,
такое что
?с = у_|_у> V []V = 0
и представление / алгебры g в пространстве V неприводимо.
Приведенные выше соотношения показывают, что
Следовательно, вещественное пространство Е имеет четную раз-
размерность; обозначим эту размерность через In (вместо п).
Покажем, что (Vr, /r) является неприводимым вещественным
представлением алгебры д. В самом деле, если бы Vr содержало
какое-нибудь вещественное g-инвариантное ненулевое собствен-
собственное подпространство F, то
было бы собственным ненулевым g-инвариантным подпростран-
подпространством в Е, вопреки нашим предположениям о представлении (Е, d).
Это показывает, что if2 \.d] принадлежит С" (д).
Остается доказать, что [/r ] = Id]. Отображение ср: V -*-Е,
задаваемое формулой ср (v) = v + v, R-линейно и взаимно-од-
взаимно-однозначно. Поскольку dim Vr = dim E, ср является изоморфизмом
пространства Vr на Е. Кроме того,
Ф о /R = d о ср,
так что [fR] — [d]. Мы показали, что
Id] = [d].
Пусть теперь (V, f) ? С^1 (д). Для удобства обозначим Vd
через Е, a /r — через d. По предположению, вещественное пред-
представление (Е, d) алгебры g неприводимо. Отметим, что
dim Е = dim Vr = 2 dim V
и потому Id] ? Rv,i (g).
Линейный автоморфизм Ф: Е —> Е, определенный формулой
Ф (х) = у—\х, удовлетворяет условию Ф2 = —1. Продолжим Ф
до линейного автоморфизма Фс пространства Ес и положим
U+={x ? Ес: Фс(х)= У "^Лх),
U_ = [х ? Ес: Фс (х) = У ~^\х\.
Ясно, что
?С = ц+ _|_ и^ и (/+ р| (/_ = Oi
9*

260 Гл. 7. Неприводимые представления
Как обычно, мы обозначаем комплексное сопряжение в Ег отно-
относительно Е через х i—>я. Легко проверить, что
фс (Х) = фС(Х)
и, значит,
п+ = и_.
Далее, комплексные подпространства U + и U. в Ес оба д-инва-
риантны, поскольку Ф коммутирует с d = /R. Следовательно.
Согласно В), комплексное представление алгебры g в ?/ +
неприводимо; будем обозначать его через /х. Мы утверждаем,
что [/] = [fx]. Действительно, элемент и = х + // —\у G ?с
лежит в G+ тогда и только тогда, когда х — Ф (у), поскольку
фс (и) = Ф (х) -f ]/ ^ТФ (у)
Следовательно, мы можем определить отображение ф : V -*¦
полагая
Ф («/) = Ф (У) + У^У-
Это отображение R-линейно и даже С-линейно, поскольку
Ф (/^Т у) = ф (Ф (у)) = Ф2 (у) + К —F Ф (у)
Кроме того, ф взаимо-однозначно и ф о / = fx о ф. Следовательно,
If] = lh] и
I/I = I/]. D
Тем самым теорема Картана полностью доказана.
7.9. Индекс комплексного представления
Теорема Картана сводит изучение вещественных неприводимых
представлений к изучению комплексных неприводимых представ-
представлений. Но, если задано комплексное неприводимое представле-
представление (V, /), как можно определить, принадлежит If] к Сп (д)
или к Сл (д)? В этом параграфе каждому представлению f ста-
ставится в соответствие некоторый инвариант, называемый его индек-
индексом. Затем показывается, что [/]? Cl (g) в точности тогда, когда
f ~ f и / имеет индекс, равный 1. На основе доказательства этого
7.9. Индекс комплексного представления 261
утверждения строятся различные методы выяснения того, выпол-
выполняются ли указанные условия для представления f.
Пусть g — вещественная алгебра Ли и (V, /) — ее неприводи-
неприводимое комплексное представление, такое что f ~ f ¦ Как мы знаем
из G.7.1), существует взаимно-однозначное полулинейное отобра-
отображение / пространства V на себя, удовлетворяющее условию
Jof(X) = f(X)oJ
для всех X ? д. Ясно, что Р есть автоморфизм пространства V,
коммутирующий с каждым преобразованием / (X); значит, по
лемме Шура, Р = с\, где с ^ С. Мы утверждаем, что на самом
деле с ? R. Действительно, пусть v — произвольный ненулевой
элемент пространства V. Тогда
Pv - / (Pv) = J (со) = cJv
и
Pv = Р (Jv) = cJv;
следовательно, с = с и с ? R. В том случае, когда с > 0, гово-
говорят, что представление (V, f) имеет индекс 1, и пишут у (/) = 1;
в случае когда с < 0, говорят, что (V, /) имеет индекс —1, и пи-
пишут у (/) = —1. Если ш — старший вес представления f, то мы
иногда будем писать у (ш) вместо у (/).
Индекс представления (V, /) не зависит от выбора /. Действи-
Действительно, пусть /' — другое взаимно-однозначное полулинейное
отображение пространства V на себя, для которого
J'of(X) = f (X) о /'
при всех X ? д. Автоморфизм P1J' пространства V коммутирует
с каждым преобразованием / (X), и потому существует число
d ? С, такое что /' = dJ. Следовательно, если
ия( V, то
(J'fv = c'v
и
(dJ)v = ddPu = ddcv.
Это показывает, что
с' = due,
чем наше утверждение и доказано.
G.9.1) Пусть g — вещественная алгебра Ли и (V, f) — ее непри-
неприводимое комплексное представление. Тогда [f] ? Сл (<}) в том
и только том случае, если f ~ 1 и у (/) = 1.

262 Гл. 7. Неприводимые представления
Доказательство. Пусть [/] ? Сл (з)- Тогда, согласно утвержде-
утверждению С) из § 7.8, существует вещественное g-инвариантное соб-
собственное подпространство Е пространства Vr, такое что
1/R = ? + // — \Е и Е ПК—1? = 0.
Далее, вещественное представление d, индуцированное представ-
представлением fs в ?, неприводимо. Следовательно, V = ?с. Пусть
/ — комплексное сопряжение пространства V относительно Е.
Тогда Р = 1, / полулинейно и
Jof(X)=f(X)oJ
для каждого X ? д, в силу g-инвариантности ?. Следовательно, /~f
и ?(/) = 1.
Обратно, пусть f ~ f и у (f) = 1. Существует такое взаимно-
взаимнооднозначное полулинейное отображение / пространства V на
себя, что Р = 1 и
/ о / (X) = / (X) о J
для каждого X ? д. Положим
Ясно, что Е — вещественное д-инвариантное подпространство в Vr
и
У^Ц Е = {v ? V : Jv = —о).
Далее,
У^Я + К^Г^ и ^ П К=Т^ = О,
причем первое равенство следует из того, что всякий вектор
v ? V можно записать в виде
Следовательно, представление (Vr, [r) приводимо и [/] ? Сл (g). D
G.9.2) Пусть g — вещественная алгебра Ли. Предположим, что
существуют идеалы д1? . . ., дт в д, такие что
3 = 9i © ¦ ¦ ¦ © S-n-
Пусть pt : g -»- д; — соответствующие проекции, и пусть (V, f) —
комплексное неприводимое представление алгебры д, являющееся
тензорным произведением представлений ^V,, Д-6р,-). Тогда / ~ f
е тож и только в том случае, если fj ~ f;- ^4Я есех / = 1, ..., т.
Далее,
УФ = V(/i) - ?(/«)¦
7.9. Индекс комплексного представления 263
Доказательство. Заметим прежде всего, что (V, /) является,
в силу G.3.1), тензорным произведением комплексных неприво-
неприводимых представлений алгебр дг. Если f ~ f, то существует взаимно-
взаимнооднозначное полулинейное отображение / пространства V на
себя, такое что
для каждого X ? д. Мы можем написать
где Ji — взаимно-однозначное полулинейное отображение про-
пространства V, на себя.
Пусть теперь X ? д/(, где 1 < h ¦< т. Тогда
.If (X) v10 • • • 0 vm == /^ 0 ¦ ¦
(X)JhVh(g) ¦ ¦ ¦ <S>JmVm-
Отсюда следует, что
для любого X ^ .gft. Кроме того,
— J i
Уф =У(П) -У Aт).
Обратно, если Д. ~ f(. для каждого / = 1, ..., m и У,- — соответ-
соответствующее полулинейное отображение V, на себя, то достаточно
положить
чтобы убедиться в том, что / ~ f. Q
Предыдущий результат сводит изучение комплексных непри-
неприводимых представлений полупростой алгебры g к случаю, когда
g — либо однэмерная вещественная абелева алгебра Ли, либо
вещественная простая алгебра Ли. Всякое неприводимое комплекс-
комплексное представление (V, /) одномерной алгебры Ли имеет размер-
размерность 1. Следовательно, тогда
R для всех Х? д.
В этом случае у (/) = 1. (Достаточно положить Jcv = си.)

264 Гл. 7. Неприводимые представления
7.10 Комплексные представления
вещественных полупростых алгебр Ли
На протяжении этого параграфа g будет обозначать веще-
вещественную полупростую алгебру Ли, а ^ — ее подалгебру Картана.
Алгебра Ли дс, полученная из g расширением основного поля,
содержит f)c в качестве подалгебры Картана. Обозначим корне-
корневую систему алгебры ^с через А. Через X н-> X будем обозначать
комплексное сопряжение в дс относительно д. Напомним, что
[ХГУ] = [Х, V] и с~Х = сХ
для X, Y ? дс и с 6 С
Если 1 : |с ->¦ С — комплексно-линейный функционал, то
можно получить новый линейный функционал X, полагая
I (Я) = Х{Н)
для всех Я ? t)c. Отображение X \—> А, полулинейно.
Пусть а — корень алгебры \р. Тогда а — также корень.
В самом деле, если
[Я, Еа] =
то
[Я, Еа] = а
и, значит,
[Я, ?а] =
G.10.1) Для любых корней а и Р алгебры $°
(а, р> = <о, р>.
Доказательство. Из отмеченного выше факта вытекает, что для
всякого корня у алгебры f)c
j(y, a) = /(Y, a) и k(y, a) = k(y, a),
в обозначениях предложений B.3.1) и B.3.2). Следовательно,
в силу B.3.4),
(a, a)= 4( Y (Ну, oc)-k(y, a))^
\v€a )
= 4f ? (/(v, a)-
(/(V. «)-
Поэтому из B.3.2) следует, что (а, р) = (a, ji}. Q
7.10. Комплексные представления вещественных алгебр Ли 265
В качестве непосредственного следствия предложения G.10.1)
мы получаем, что
(X, Д) = {X, [д.)
для всех X, ц, ? ?=Ев?д^Р> так как это вещественное век-
векторное пространство порождается множеством А. Если я — фун-
фундаментальная система в А, то и я — фундаментальная система.
Согласно упражнению в § 5.3, существует единственный элемент S
группы Вейля алгебры ^с, для которого Six = я. Ясно, что ото-
отображение а 1—> Sa = a# является автоморфизмом системы я.
Чтобы понять, как устроено отображение а \—э> а*, разложим g
в прямую сумму простых идеалов:
8 = 8i Ф • • • Ф в*-
Пусть i)i — подалгебра Картана в дг, Дг — соответствующая
корневая система подалгебры (^,)с в (д,)с и я,- —¦ фундаменталь-
фундаментальная система корней в Д,. Возьмем подалгебру Картана ^ в д,
задаваемую формулой
b = bi® • • • Ф %¦
Отождествляя Аг обычным способом с подмножествами в А, так
что
Д = Aj (j ... U А* (дизъюнктное объединение),
возьмем в качестве я систему
л = iij и % 1) • • • U ftftj Л1 *-— Д( •
Тогда для а ? я,- имеем а ? я,- и Sa ^ я?.
Итак, для того чтобы изучить отображение a i—> а*, мы можем
вначале предположить, что сама алгебра g является вещественной
простой алгеброй Ли. Здесь возможны два случая.
Случай 1: алгебра g проста, а алгебра дс нет. Эту ситуацию
можно выразить несколько иначе, сказав, что представление
(g, ad) неприводимо, a (g3, ad=) приводимо. Согласно утверж-
утверждению В) из § 7.8, существует неприводимое подпространство m
в qc, такое что
m
m и in flm = 0.
Поскольку
[g, m] a m и [дс, т] с т,
мы видим, что т — простой идеал в дс и [тип] = 0 (см. D.2.3)).
Если п — подалгебра Картана в т, то п — подалгебра Кар-
Картана в m и п + п — подалгебра Картана в дс. Пусть

266 Гл. 7. Неприводимые представления
Согласно G.8.1),
If = n -j- п.
Следовательно, 1) является подалгеброй Картана в д.
Всякая фундаментальная система {аь .... аг) подалгебры
в m порождает фундаментальную систему
н
«г. «1,
«г!
алгебры д. Отображение а <—э» а* — это просто продолжение по
линейности отображения a,- v—> а,.
Случай 2: алгебра g проста и алгебра д" проста. Ответ для
этого случая будет дан в § 8.7.
Пусть снова g — вещественная полупростая алгебра Ли.
Задача, которую мы сейчас хотим решить, состоит в том, как
определить, является ли данное комплексное неприводимое пред-
представление (V, f) самосопряженным. Если оно является таковым,
нам бы хотелось также вычислить у (/).
G.10.2) Пусть (V, f) — неприводимое комплексное представление
вещественной полупростой алгебры Ли д. Если со — старший
вес этого представления (продолженного на ар), то Sco (где S: а\—=>
1—s* а*) — старший вес представления (V, f). В частности,
f ~ J -*=>• со = Sco.
Доказательство. Если X — какой-либо вес представления (V, f),
то Л, — вес представления (V, /), поскольку из условия
Hv = X (Н) v
следует, что
Hv = X (Н) v
Hv = X{H)v==X(H)v.
Пусть теперь {<%;}( — фундаментальная система в А. Всякий вес X
представления (V, f) записывается в виде
X = со — 2." «,а,-,
(=1
где п,-—неотрицательные целые числа (см. G.2.1)). Отсюда
вытекает, что
7.10. Комплексные представления вещественных алгебр Ли 267
Но когда X пробегает множество всех весов алгебры % в V, SX
пробегает множество всех весов алгебры I) в V (см. B.3.2)). Q
Отображение со i—> со* = Sco переводит старший вес в стар-
старший вес. В самое деле, если со — старший вес_ представления
(V, /), то со* — старший вес представления (V, f), согласно
G.10.2). Далее,
поскольку каждая из частей этого равенства — старший вес пред-
представления (V, /)•
Пусть (соь ..., со;} — множество всех фундаментальных весов
по отношению к некоторой фундаментальной системе п = [alt ...,
а,). Так как инверсия * коммутирует с любым ортогональным
преобразованием, то имеет место равенство ** = #*, откуда
(с учетом того, что (со;, а*) = б;/) следует, что (cof, af#)
= (со*, a**) = &ij- Следовательно, отображение # индуци-
индуцирует некоторую перестановку множества {coj, ..., coz).
Занумеруем фундаментальные веса сладующим образом:
соь . . ., со,., со*, . . ., cof, co2r+1, . . ., со,;
при этом предполагается, что
СО; = СО*
для i = 2r + 1, ..., /. Всякий старший вес со можно записать
в виде
СО =
rtrco*
Отсюда вытекает что со = со* тогда и только тогда, когда пг
= п\, ..., пТ = п'г. В этом случае
О) =
-f • • •
Пг
-f 0)
fi/CO/.
Подведем итоги. Определить, выполняется ли соотношение
f ~ f, можно, проверив условие со = со#. Это в свою очередь
можно сделать, выразив со через фундаментальные веса. В слу-
случае когда / ~ f, индекс представления / можно выразить через
индексы весов со3г+1, ..., со,. Для доказательства этого нам по-
потребуются два вспомогательных результата.
G.10.3) Пусть g — вещественная полупростая алгебра Ли и
(V, f) — ее неприводимое комплексное представление, имеющее
старший вес со. Тогда индекс неприводимого комплексного пред-
представления алгебры g со старшим весом со + со* равен 1.

268 Гл. 7. Неприводимые представления
Доказательство. Пусть вначале (V, f) — самосопряженное ком-
комплексное представление алгебры д. Если X — вес алгебры Ь
на V, то и А, является весом. В самом деле, пусть J' — взаимно-
взаимнооднозначное полулинейное отображение пространства V на себя,
коммутирующее с действием алгебры д. Если Hv' = X (Н) v', то
HJ'v' = J'Hv' = J'X (Я) v' = ЦН) J'v' = к (Н) J'v'.
Как мы видели в G.3.3), комплексное неприводимое представ-
представление алгебры g со старшим весом ш + ш# однозначно реали-
реализуется в пространстве К0 V (как сужение тензорного произве-
произведения представлений). Далее, это представление является само-
самосопряженным, в силу G.10.2).
Пусть / — отображение пространства V 0 V на себя, опре-
определенное формулой
Легко проверяется, что это отображение взаимно-однозначно,
полулинейно и сюръективно. Далее, оно коммутирует с действием
алгебры д, так как
Следовательно, / отображает подпространство с максимальным
весом со + ш# в себя. (Образ этого пространства при отображе-
отображении / имеет веса Я,, но данное неприводимое представление яв-
является самосопряженным и однозначно определено.) Поскольку
J2 = 1, индекс веса со + со# равен 1. Q
G.10.4) Пусть g — вещественная полупростая алгебра Ли, (Vlt
/i) " (V2, fa) — два ее самосопряженных комплексных неприводимых
представления со старшими весами шг и со2 соответственно.
Если (V, f) — неприводимое представление, имеющее старший
вес сог +. ш2, то f ~ f и у ф = у (f:) у (f2).
Доказательство. Пусть v^ — вектор старшего веса в Vi, a v2 —
вектор старшего веса в ]/г. Неприводимый д-модуль V можно
реализовать как подпространство
Пусть теперь Jt для i — 1, 2, — взаимно-однозначное полули-
полулинейное отображение пространства Vt на себя, удовлетворяющее
условию
для любого X ? д. Предположим еще, что
И Jo = '
7.10. Комплексные представления вещественных алгебр Ли 2G9
Отображение / = Л ?§) /2 перестановочно с действием алгебры д,
взаимно-однозначно, полулинейно и переводит Fx (g) Уа на себя.
Оно переводит также и пространство V на себя (в силу сообра-
соображений, аналогичных использованным при доказательстве пред-
предложения G.10.3)).
Отсюда следует, что /— f (что можно было бы также показать,
рассмотрев старший вес представления /). Далее,
и Y(/) = Y(/i)-?(/*)• D
G.10.5) Пусть g — полу простая вещественная алгебра Ли и
tj _ ее подалгебра Картана. Пусть А — корневая система алгебры
f)c в дс и
Щ, . . ., Cur, (Of, . . ., Ct>r\ UJr+1, ¦ ¦ •. ш/
— система фундаментальных весов. Пусть (V, f) — неприводимое
комплексное представление алгебры д, имеющее старший вес со,
равный
0J =
п'гО>?
h «/СО,.
tlr = ll'r.
Тогда / ~ f в том и только том случае, если пх = п\,
В этом случае
у (/) = у (ОJг+1)Я«-+1 • • • V (©,)"'.
Доказательство. Это следует из G.10.3) и G.10.4). Q
Упражнение 1. Пусть (V, /) — комплексное самосопряженное представление
алгебры g и J — взаимно-однозначиое полулинейное отображение простран-
пространства V на себя, коммутирующее с действием алгебры д. Показать, что если суще-
существует ненулевой вектор v ? V, для которого Jv = v, то у (/) = 1.
Упражнение 2. Пусть (V, f) и J те же, что и в упр. 1. Допустим, что существует
вес X, такой что А, = X и dim V (Я) = 1. Показать, что у (f) = 1.

Глава 8
КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ
ПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ
8.1. Обозначения
На протяжении всей этой главы используются следующие обо-
обозначения:
g — полупростая алгебра Ли над С,
[) — подалгебра Картана алгебры д,
/ = rank g = dim ^,
А — корневая система алгебры g относительно ?),
В — форма Киллинга алгебры д,
Е — вещественное векторное пространство, порожденное Л.
Для X ? Е определим Нх ? Ь формулой
в (яь н) = х
В пространстве Е имеется положительно-определенное скалярное
произведение
(X, |1> = Я(Яц)=ц(Я0 (X, ц? Е).
Для каждого а ? Д мы выбираем Еа таким образом, чтобы
выполнялись соотношения
g = ?> + С?« + СЕ_а + С?р + С?_р + . . ., ft, Ь] = &г
[Н, Еа)^а(Н)Еа при Я G f), a € А,
[?а, ?_а] = — Яа, В(?а, ?_а) = — 1 при а?Д,
[?а, ?р] = Na< р?а+р, если а, р, а + PG Д.
где Л^а,р = Л^_а,_р и Ма,р = (ЛгИ;р)а — положительное рациональ-
рациональное число (так что Л/^р ^ R);
[Еа, ?р] = 0, если а.Р^Д.
Для
полагаем
Е.а,
и А, ? ? имеем
а - ?_а), t = /[)г,
. Мы
8.1. Обозначения 271
где / = /• —1. Зафиксировав какое-нибудь лексикографическое
упорядоченное в Е, положим
и = t + У- (RCa + RSe).
а>0
Как мы знаем, и является компактной вещественной формой ал-
алгебры g, a t — подалгеброй Картана в и. Пусть т обозначает
сопряжение относительно и, т. е.
т (X + iY) = X — iY для X, Y ? и.
Тогда т?а = ?_а.
Для удобства введем в I) новое скалярное произведение по
формуле
(Я„ Я2) = --BSJ
I))-
Поскольку форма 5 (Яь Яа) положительно-определенна на ^г,
это новое скалярное произведение положительно-определенно на t.
Для X ? Е положим
Ф (Я,) = 2пШх ? t.
Ясно, что ф — изоморфизм векторного пространства Е на t.
Далее,
так что ф является изометрией эвклидова пространства Е на
эвклидово пространство t. В дальнейшем, когда это нам будет
удобно, мы будем отождествлять ф (X) с X. В частности, корневую
систему Л можно рассматривать как подмножество в t и (а, |5>
== (а, Р) для а, р ^ Л. Таким образом,
A) [Н, Еа] = 2яЦа, Н)Еа для Н ? $ и а?Л,
B)
В частности, для Я ? t
(а, Н))ЕГ,
а, Я) 6 Z.
В соответствии с A) и B) имеют место формулы
( [Я, Ca] = 2it(a, H)Sa,
\ [Я, Sa] = —2я(о, Н)Са,
( exp(ad И))Са = cos 2л (а, Я) Са -j- sin 2я (а, ЯMа,
1 (exp (ad Я)) 5а = — sin 2д (а, Я) Са J- cos 2я (а, Я) Sa.
(О

272 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Следовательно,
(exp (ad Я)) - 1 (RCa -f RSa) = 0 ч=> (а, Я) ? Z.
Далее, пусть л = (аь ..., а,} — совокупность всех простых
корней в А относительно выбранного упорядочения; я образует
базис в Е (или t) над R и базис в $* (или \) над С.
Предположим теперь, что алгебра g проста. Старший
корень будет обозначаться через
—а0 =
Тогда тъ ..., mt — положительные целые числа, и всякий поло-
положительный корень р можно записать в виде
Р = п1а1 -j- •••-(- nta, (О < ni <-. m,)
(см. E.6.5)).
Множество ft = |а0, аь ..., at\ мы будем называть расширен-
расширенной системой простых корней.
8.2. Подалгебры максимального ранга
в компактной алгебре Ли
Пусть ь — компактная алгебра Ли и I — подалгебра в Ь.
Напомним результаты §§ 4.3 и 4.6. Подалгебра I компактна.
Всякая подалгебра Картана алгебры I абелева и содержится
в некоторой максимальной абелевой подалгебре (= подалгебре
Картана) алгебры Ъ. Следовательно, rank I <: rank b. В случае
когда rank [t = rank й, I называют подалгеброй максималь-
максимального ранга.
Пусть Ь обозначает центр алгебры Ь. Тогда
Ь = цф8 (прямая сумма идеалов),
где алгебра и = [й, ь] полупроста. Пусть f—-подалгебра ма-
максимального ранга в Ъ, at — подалгебра Картана алгебры I.
Тогда t — максимальная абелева подалгебра в й и 3 ct, Следо-
Следовательно, t = (f П и) Ф Ь, t = (t П и) ф 1 и I П и содержит
подалгебру Картана t f] u алегбры и. Поэтому для изучения
подалгебр максимального ранга в Ь достаточно рассмотреть под-
подалгебры максимального ранга в и.
Пусть и — компактная полупростая алгебра Ли. Зафиксируем
какую-нибудь подалгебру Картана t в и и обозначим через Ф
совокупность всех подалгебр алгебры и, содержащих t. Пусть
I — подалгебра максимального ранга в и и ti — подалгебра
Картана в I. Тогда найдется автоморфизм о ? Ad (u), для кото-
которого crta = t и at ? Ф.
Пусть g — комплексификаиия алгебры п. Для любого под-
подпространства () вн обозначим через рс его комплексную линей-
8-2. Подалгебры максимального ранга в компактной алгебре Ли 273
ную оболочку в. %. Пространство 5рс естественно отождествляется
с комплексификацией пространства ?. Как мы знаем, ^ = tc
есть подалгебра Картана в д. Далее будут использоваться обозна-
обозначения, введенные в § 8.1.
Для любой подалгебры I ? Ф ее комплексификация Iе яв-
является подалгеброй в д, такой что ?с Z3 tc = $) и %1С = !с, где
х ¦— сопряжение в g относительно и. Пусть Фс обозначает сово-
совокупность всех подалгебр а в д, удовлетворяющих условиям
а ю t) и х (а) = а.
Тогда для а ? Фс имеем а Ц и ^ Ф, и отображение Ф Э ? >—^ fc
? Фс взаимно-однозначно и сюръективно.
Далее, для всякого ! ^ Ф положим
дA)={, ? ^¦.Eaelc\¦
Если а, р ? Д (!) и. а + Р ? А, то ?а+|3 = (N^)'1 [Ea, ?р ] 6 Iе
и а + E ? А (I). Кроме того, поскольку %Еа = Е_а, соотно-
соотношение а ? А (?) влечет —а ? А (!). Будем называть подмно-
подмножество D системы А подсистемой, если
Всякая подсистема в А является корневой системой. Обозначим
через Фл множество всех подсистем в А. Тогда A (t) $ Фл для
! 6 ф-
Пусть f f Ф и X ( Iе. Тогда X можно записать в виде
X = Хо + Хг+ ... + Х„,
x0G ь, офх, е С?р. (/=1, ..., к),
где Pi, ..., Р/, — различные корни. Выберем элемент Но алгебры i},
для которого все числа Р (Яо), Р 6 д различны. Тогда
(ad Я „У (X - Хо) = Pj (Яо)/ Х,А b р\ (Яо)/ Xft G Iе,
и определитель матрицы
.((р, (ВД, i=l, . ¦ ., Л, / = 0, . . ., /г-1,
не обращается в нуль. Пусть фи) — матрица, обратная
к (р, (Яо)О- Тогда
X, - I' ft,,- (ad //„)/ (X - Хо) 6 1е
/о
/=о
Д (!) для i = 1, ..., /г. Таким образом.
Iе =

274 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Эти результаты можно переформулировать следующим обра-
обрам:
зом:
(8.2.1) Ф — Фс
Фд,
есть последовательность взаимно-однозначных сюръективных ото-
отображений.
(8.2.2) Пусть ti и t2 принадлежат Ф. Они сопряжены отно-
относительно Ad (u) (соотв. Aut(u)) в том и только том случае, когда
существует элемент S ? Ad (А) (соотв. Aut (Л)), такой что
SA (Ь) = Л (!,).
Доказательство. Допустим, что ofi = fa для некоторого а ?
? Ad (u) (соотв. Aut (и)). Тогда at — подалгебра Картана в f2
и найдется р ? Ad (f2), для которого pat = t. Согласно упр. 4
§ 4.4, р продолжается до внутреннего автоморфизма алгебры н.
Мы можем поэтому считать, что р ? Ad (u) a Ad (g). В обозна-
обозначениях § 5.3, пусть / — гомоморфизм группы N (ЭД = {ц, ? Aut
(з): jit =t[ на Aut (Л). Полагая f (pa) = S ? Ad (Л) (соотв.
Aut (А)), получаем, что ра?в ? CES*. Следовательно, SA (fi)
= А (Г.).
Обратно, допустим, что SA (fa) = A (f2) для некоторого
5 ? Ad (А) (соотв. Aut (А)). Выберем элемент a ? Ad (u) (соотв.
Aut (u)), такой что at = t и f (a) — S. Тогда для a ? A (fi) имеем
a? ? CE U f f Q
a?
)
CE
Sa
f ()
c: f2. Q
Для произвольного подмножества А алгебры t положим
A± = \H ? t: (X, H) ? Z для всех % ? A).
Очевидно, Лх является подмодулем (== аддитивной подгруппой)
векторного пространства t. Положим, далее,
Z(t) = {a € Aut(u):(d- 1I = 0} Для { ? Ф.
Пусть Л/ц (t) = N (§) П Aut (at) и /u — ограничение гомомор-
гомоморфизма / на Nn (t). Тогда Z (f) принадлежит ядру гомоморфизма
/ц: Nu (t) -»- Aut (А) и потому Z (t) с exp (ad t) (см. упражне-
упражнение к § 5.4). Поскольку exp ad Н ? Z (I) тогда и только тогда,
когда (а, Я) ? Z для всех а ? А (I), мы имеем
(8.2.3) Z(f)==exp(ad(A(f)-L)).
Нам понадобится следующая лемма:
(8.2.4) Пусть D — подсистема системы ict. Обозначим через
{D)z подмодуль в t, порожденный D. Тогда
\D\Z[\ Д = ?>.
8.2. Подалгебры максимального ранга в компактной алгебре Ли 275
Доказательство. Пусть р принадлежит \D\z Л А, и пусть
\аг, . . ., ak\ — какая-нибудь фундаментальная система в D.
Меняя в случае необходимости нумерацию {а,}, мы можем счи-
считать, что
/ Р = (с^ -| г- csab) — (d1as+1 + • • • + dtas+t),
где s + I < Ь сь ..., cs, di, ..., dt — натуральные числа. По-
Положим | p | = fi + ... + cs + dx + ... + dt и докажем индук-
индукцией по | р |, что р ? D. Если | Р | = 1, то р = ±а, ^ D.
Предположим, что Р — а, ^ А для i = 1, .... sh p + а +/ Ф А
для / = 1, •¦¦, t- Тогда, рассматривая а;-последовательность и
а^+/-последовательность, проходящие через р, мы получим на
основании B.3.2), что
(р, а,) < 0, t=l,..., s, и (Р, os+y) » 0, / = 1, . . ., U
Следовательно,
s t
s
Р. Р) = I- ^ IP, a,) - I] dj (P, as+/)
0
и p == 0, — противоречие. Поэтому хотя бы один из элементов
Р — аь ..., р — as, р + as+1, ..., р + as+t (обозначим его через у)
должен принадлежать Д. Тогда | т | = | Р | — 1 и по предположе-
предположению индукции у ? D. Следовательно, Р? (D + D) f\ 4cD. О
Пусть m — произвольное подмножество алгебры t. Опреде-
Определим т# с: А формулой
т# == |а ^ А: (а, Н) ? Z для всех Н ? т}.
Из этого определения сразу следует, что — т# = т# и (т#
+ т#) П A cz т#. Следовательно, ш# — подсистема в А.
(8.2.5) 1) Для любого подмножества т алгебры t
m* с: Фд.
2) Для D ? Фд
DJ-* = D.
3) Для Di, D2 G Фд
4) для г е ф
l)X = 0 для всех
Доказательство. 2) То что D-1-* зз D, очевидно, Пусть р при-
принадлежит D±#, и пусть ах, ..., сб?— какая-нибудь фундаменталь-

¦ж
276 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли.
ная система в D. Предположим вначале, что множество {аь ...,
аъ Р} линейно-независимо над R. Тогда найдется элемент Яо ? t,
для которого
(«j, Но) = • ¦ • = (а*, Яо) = 0 и (р, Но) Ф Z.
Поскольку (аь Яо) = ... = (аЛ) Яо) = 0, мы имеем Яо ? D^,
а так как р ? D-l», то (Р, Яо) ? Z, — противоречие. Следова-
Следовательно, :
Р = с,ах -}-... -|- ckak (ct ? R).
Выберем такие элементы Нг, ..., Hk ? t, что (а,, Я,) — 6?/.
Тогда все Яу принадлежат Dx и (р\ Я) = с, ? Z: Значит,
р С \D)Z и, в силу (8.2.4), р ? D.
3) Очевидно, что из Dj cr D, следует, что D/- r> D^-. Если
D-^-zdD^-, to Dj = D±* cr О2±#= D2. Аналогично из Df = D.f
вытекает, что Dx = D2.
4) Положим
!j = {X ? u: (a — 1) X = 0 для всех а ? Z(f)} 6 Ф-
Согласно (8.2.3), корень а принадлежит Д (Ех) тогда и только
тогда, когда (а, Н) ? Z для всех Я ? Д (!)-к Следовательно,
(8.2.6) Для всякого максимального элемента ! множества Ф\|и},
упорядоченного по включению, найдется элемент Я ? t, такой
что
\) ДA) = Я#, где
2) !={Х ? и : (ехраёЯ- 1)Л = 0}.
Доказательство. В силу (8.2.5), 3), Д (!) есть максимальный
элемент множества ФА\|Д}, и в частности Д (t)x ~^ Д-1-. Сле-
Следовательно, существует элемент Я ? t, удовлетворяющий усло-
условиям Д (!)-l Э Н <? Д-1. Из того, что Я ? Д (!)х, следует, что
Д (!) = Д (!)-l# с= Я#. Поскольку Я Ф Д-1, можно найти та-
такой корень а ^ Д, что (а, Я) <? Z, т. е. а <? Я#. Так как Д (f)
максимально, то Д (!) = Я*.
То что ! = \Х ? u: (exp ad Я — 1) X = 0}, вытекает из
равенства Д (!) = Я#.
Упражнение 1. Пусть Ю — компактная алгебра Ли. Тогда число подалгебр
максимального ранга с точностью до действия группы Ad (t)) конечно.
Упражнение 2. Пусть b — компактная алгебра Ли:
t> = 3 © щ © ¦ • • фи& (прямая сумма идеалов),
8.3. Теория Бореля — Зибенталя 277
где 3 — центр алгебры Ю, а подалгебры и1; . . ., Ufe просты. Пусть t — под-
подалгебра максимального ранга в Ю. Тогда найдется такая подалгебра ?0 макси-
максимального ранга в одной из алгебр U/, что
i = Ь ф их ф
U/_!
«/
/+1
Ф Щ-
Упражнение 3. Пусть t) — компактная алгебра Ли, а I — подалгебра макси-
максимального ранга в t>. Тогда нормализатор п подалгебры I совпадает с I. [Ука-
[Указание. Ввиду полной приводимости множества {ad X: X ? ?} найдется такое
подпространство qcn, что n= l+ q, ? П q = 0 и [Е, q] = 0. Дока-
Докажите, что q = 0, используя тот факт, что q содержит некоторую подалгебру
Картана алгебры и.]
8.3. Явное определение максимальных подалгебр
максимального ранга в компактной простой алгебре Ли
(теория Бореля—Зибенталя)
В этом параграфе мы предполагаем, что и — компактная
простая алгебра Ли, и сохраняем обозначения предыдущих пара-
параграфов. Пусть ! — какой-нибудь максимальный элемент в Ф\{и}.
Тогда ^о».но найту Я ? t, для которого
! = {Х?у: (expadtf — l)X = 0\.
Будем говорить в этом случае, что Я задает !. Прежде всего мы
рассмотрим вопрос о выборе элемента Я, задающего подалгебру,
сопряженную к !.
Поскольку ядром гомоморфизма
t Э -X н-э- exp ad X ? Ad (u)
является Г = Д-1, мы можем заменить Я на Я + X (X ? Г).
Пусть S принадлежит Ad (Д) (соотв. Aut (Д)). Тогда S можно
продолжить до автоморфизма о ? Ad (u) (соотв. Aut (и)) и для
X е и
(exp ad (аН)) =
/=о
' 1 ' ' [<тЯ> оХ] '
/=о
Следовательно, (exp ad Я — 1) X = 0 тогда и только тогда,
когда (exp ad (оЯ) — 1) оХ = 0, и
of = |oX: (exp ad Я — 1) X = 0}
= \Х: (exp ad (оН) — \)Х = 0\,
т. е. элемент оН = SH задает а!.

278 Гл. 8. Классификаций, вещественных простых алгебр Ли .
Далее, обозначим для любого Y ? Г через Т (Y) преобразо-
преобразование переноса на Y в t:
и положим Г (Г) = IT (Y) : Y ? Г}. В гл. 5 мы видели, что
Af (Д) = Aut (Д)Т(Г) есть группа изометрий эвклидова про-
пространства t, Ас1(Д)Т(Г) — ее подгруппа и что подгруппа
Afd (Д) группы Ad (Д)- Т (Г) действует транзитивно на множестве
всех клеток. Пусть Со обозначает фундаментальную клетку:
Со= {Я 6 t:
Я)>0,
(а,, Я) > 0 и (— аа, Я)< 1}.
Тогда, в силу E.6.7), для любого Я ? t найдется такой авто-
автоморфизм и ? Afd (Д), что Я ? ?/С0. Таким образом, справедливо
следующее утверждение:
(8.3.1) Предположим, что элемент Я из t задает ?. Тогда можно
найти Y ? Г ы а ? N (lj) f) Ad (u), такие что элемент Н' =
= о (Я — У) задает at, причем
(а„ Я') > О, . . ., (а,, Я>0и (-а0, Я') < 1.
Напомним, что —а0 = тхах + ••• + ^/«/ — старший корень
и я = {а0, аь ..., а,) — расширенная система простых корней.
(8.3.2) Пусть t — максимальная подалгебра максимального ранга,
задаваемая элементом Я ? Со: Д (f) = Я*. Тогда я (f) = ft f)
П Д (!) является системой простых корней в Д (?) относительно
некоторого упорядочения.
Доказательство. Мы докажем, что всякий элемент р множества
Д (?) можно записать в виде линейной комбинации корней из
я (?) с целыми коэффициентами, которые либо все >¦ О, либо
все <0. Достаточно рассмотреть случай положительного р.
а) а0 Ф Д (?). Так как (а0, Я) Ф Z и 0 < (—а0, Я) <: 1,
то 0 < (-^а0, Я) < 1. Пусть р = Mi + ... -f &;аг ? Д (?) —
положительный корень. Тогда
О « Ь, (ах, Я) + . . . -f bt (аь Я) = (Р, Я) < - (а0, Я)< 1.
Так как (р, Я) — целое число, то (Р, Я) = 0 и Ьх (ах, Н) = ...
= bt (at, Я) = 0. Следовательно, если Ь; > 0, то (а,, Я) = 0
и ау ^ Д (f), т. е. р есть линейная комбинация корней ау ? Д (f)
с неотрицательными коэффициентами.
(Ь) а0 ^ Д ({). В этом случае —(а0, Я) = 0 или 1. Если бы
(а0, Я) = 0, то мы имели бы (аь Я) = ... = (аь Я) = 0 и Я
= 0, — противоречие; Следовательно, —(а0, Я) = 1. Пусть
Р == Ъхах + ¦•• + btat > 0 принадлежит Д (f). Тогда (Р, Я) = 0
или 1.
8.3. Теория Бореля—Зибенталя 279
Если (Р, Я) = 0, то, как и в случае (а), получаем, что Р есть
линейная комбинация корней а, ^ Д (?) с неотрицательными
целыми коэффициентами.
Если (Р, Я) = 1, то —(<х0, Я) = 1 и
(—а0 - Р, Я) = (т1 - Ьг) (а1г Н; + . . . + (т, - Ь,) (а„Н) = 0.
Поскольку rrij > bj и (а;, Я) > 0, мы имеем а. ^ Д (?), как
только ntj — bj > 0. Следовательно,
Р = —а0 — (тх — by) ах — ... — (т, — bt) at
есть линейная комбинация элементов из Д (?) П я с неположи-
неположительными целыми коэффициентами. Q
Напомним, что card ?] Для любого конечного множества 2
обозначает число его элементов.
(8.3.3) card я (?) = / — I или I, причем
(I) в случае когда card я (?) = /, алгебра ? полупроста,
(II) в случае когда card я (?) = /— 1, алгебра ? является
прямой суммой одномерного центра Ь (?) ы полупростого идеала
[f, f].
Доказательство. Так как я (?) не может содержать я, то
card я (?) < /.< Допустим, что card я (?) <г / — 2. Выберем два
корня а,-, а;-"@ <: г </</), не принадлежащих я (?). Мно-
Множество я (?) U (а,, ау} содержит не более чем / элементов и по-
потому линейно-независимо. Следовательно, найдется элемент
Я' ? t, для которого
n(t) либо h = i, и (а;-, Я') = -^ •
Тогда Я'# ~1 Я#= Д(?), ибо Я'# zd я (?) U {«Л- с ДРУг°й
(aft, Я') = 0, если aft
ZD
стороны, а^ФН'*. Это противоречит максимальности Я*
= Д (?). Значит, card я (?) = / — 1 или I.
Пусть i (?) — центр алгебры ?. Тогда i (?) с: t и
J(?)^=|X^t: (а, Х) = 0 для всех а?я(?)}.
Следовательно, dim Ь (t) = / — card я (?) — 0 (если card я (!)
= /) или 1 (если card я (?) = / — 1). Q
Докажем теперь один результат о скалярных произведениях
на корневых системах. Чтобы избежать недоразумений, мы повто-
повторим ранее введенные обозначения.
(8.3.4) Пусть g — полу простая алгебра Ли над С, f) — ее подал-
подалгебра Картана, Д — корневая система алгебры g относительно I)
и Е — линейная ободочка множества Д над к. Далее, пусть

280 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
u — компактная вещественная форма алгебры д. Пусть, наконец,
Ф — инвариантная билинейная форма на д, ограничение которой
на и отрицательно-определенно. Определим скалярное произве-
произведение в F формулой
(X, |я)ф = ф(Ях, Яц) для X, |л ? Е.
Это скалярное произведение положительно-определенно, и
(Напомним, что скалярное произведение (а, р> = (а, Р) б&
определено как (а, Р)в, где В — форма Шиллинга алгебры д.)
В частности, для любого точного представления г|з алгебры д
лш можем рассматривать
/да/с скалярное произведение в Л.
Доказательство. Из включения {Ях: Я ? ?) ст; [/— 1 и видно,
что (X, ц)ф положительно-определенно. Поскольку форма ф
невырожденна на и, она невырожденна и на д. Пусть д = дх
ф ... ф g,s — разложениг алгебры д на простые идеалы. Обо-
Обозначим через фу- ограничение ф на ду- ( / = 1, ..., k). В силу A.5.3),
Ф (З" 8/) = 0 ПРИ г" ^ /• Следовательно, для Xf, Y) ? д;, /
= 1, ..., ?, мы имеем
Это соотношение мы будем записывать в виде ф = фх ф ... ф фё.
Для каждого / = 1, ..., k пусть Ц — подалгебра Картана
в д;-. Тогда V = &i +•••+&* — подалгебра Картана в д. В силу
сопряженности подалгебр Картана (см. 4.6.4)), существует
9 ? Ad (g), для которого Щ' = §. Следовательно, ^ = Щ{ + ...
4- 9^. С другой стороны, так как ad (g) gy с: g;-, то Ad (g) gy-
== g;- и №);• cr gy. Следовательно, ^- = 91)} = ^ f) 8/ есть под-
подалгебра Картана в g; и
Аналогично из D.5.4) мы получаем, что
* = «1 + •••+«*,
где Цу = gy fl W —¦ компактная вещественная форма алгебры д;.
8.3. Теория Бореля—Зибенталя 281
Обозначим через Ау- корневую систему алгебры д; по отноше'
нию к подалгебре Картана T)f. Ясно, что Д; можно естественным
образом отождествить с подмножеством системы Д и
Д = U Ау (дизъюнктное объединение).
/=i
Пусть Ej — линейная оболочка системы Д; над R. Тогда
Е = Ег Ф . . . ф Ek
и (Е[, ?у)ф = 0 для i Ф }. Так как при этом {Et, Ej} = 0, то
для доказательства формулы A) достаточно рассмотреть случай,
когда аир принадлежат одной и той же подалгебре д;. В этом
случае (а, р) совпадает со скалярным произведением в Ef, по-
построенным по форме Киллинга алгебры ду. Заметим также, что
форма фу отрицательно-определенна на иу.
Предположим теперь, что алгебра g проста. Согласно упр. 5
§ 1.5, ф = сВ для некоторого с ? С. С другой стороны, как ф,
так и В отрицательно-определенны на и. Следовательно, с > 0.
Далее, в силу C.3.1), 2), форма Вф невырожденна. Кроме того,
ввиду F.4.5) мы можем считать, что i|j (u) с: u (n) = {X ^ gl (n,
С): X + *Х = 0), откуда, в частности, следует, что tr X2 <: 0
для любого X ? и (п). Q
Вернемся к нашей первоначальной задаче. Нам известно, что
[f, fc] = [Iе, Iе] — полупростая алгебра Ли над Си A (f) —
ее корневая система. Так как [f, !]с Э Х>—*ай X ? ad (g) —
точное представление, то, согласно (8.3.4), мы можем определить
скалярное произведение в Д (I) формулой
(а, р") = tr ad Яа ad Яр для а, р 6 Д (?),
что совпадает со скалярным произведением на Д. Таким образом,
имеет место следующий результат:
(8.3.5) В качестве скалярного произведения в А (!) можно взять
скалярное произведение (а, Р) в Д. В частности, диаграмма Дын-
кина системы я (!) получается из диаграммы Дынкина системы я
удалением вершин, соответствующих корням из я\я(!), и
ребер, у которых хотя бы один из концов принадлежит к числу
этих вершин.
Теперь рассмотрим по отдельности случаи (I) и (II из (8.3.3).
Ввиду (8.3.2) мы предположим, что подалгебра f задается эле-
элементом Я ^ Со.
(I) card я (f) = /, и алгебра f полупроста. Если я (!) = я,
то Д (!) = А — противоречие. Следовательно, я (f) = ft \ {а,-}
для некоторого i > 0. Тогда 0 < (aL, Н) < 1, и поскольку (—а0,

282 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Я) > т[ (а,, Н), то (—а0, Я) = 1. Далее, для / > 0, / Ф i, мы
имеем (а,-, Я) = О или 1 и
т, (а,-, Я) < т.; (ау) Я) + mi (а,., Щ <. — (а0, Я) = 1.
Следовательно, (а;, Я) = 0 и тг (а(-, Я) = —(а0, Я) = 1. Пусть
Ях, ..., Нг — базис в t, определяемый условием (as, Ht) = 6S,.
Тогда Я = A/m,) Я., где т; > 1, поскольку (at, Я) > 1.
Докажем, что т; — простое число. Допустим, что m(. = ab,
где а, & — натуральные числа, большие единицы. Тогда Я# с:
d (аН)#. С другой стороны, последовательно применяя B.6.1)
к старшему корню, мы можем найти элемент р = ргах + ...
+ pt<Xi ? Д, для которого р, = Ъ. В самом деле, для корня —а0
найдется такой корень а_?1 ? я, что Pj = —а0 — а;-, ? Д+, и
для Pt существует такой корень aJ2 ? я, что р2 = Pi — «/, 6 Д+>
и т. д.; таким путем мы получаем последовательность —а0 > рх
> ... > Р/г в Л+, последний член которой Рд, есть простой корень.
Так как р\ — Р!+1 ? я, какие-то из корней Ру- должны иметь
требуемый вид. Тогда (Р, Я) = р,/т, = На Ф Z и Р Ф Я#,
но р ? (аЯ)#. Далее, (а,-, аЯ) = lib Ф Z и а,- ^ (аЯ)#. Сле-
Следовательно, Д (!) = Я# , (аН)# , Д, что противоречит ма-
максимальности системы Д (f).
Итак, мы показали, что Я = Я,7т(-, где тг — простое число.
Обратно, рассмотрим D = (Я(/т?-)# для простого т,-. Ясно,
что D П ^ = {ао> аъ •••> <*j> ¦••! «/}• Выберем максимальный
элемент D' в ФЛ, удовлетворяющий условию D a D'. Найдется
такой элемент Я' Э t. что D' == (Я')#. Поэтому (ау-, Я') ? Z
для / > 0, \ф{ и I/=im;(a-, Я') ? Z. Полагая Н" = Н'
—irZi+i («/, Я') Я7, получаем, что (Я")# = (Я')* = D' и (а,-,
Я") = 0 для у = 0, / Ф i. Следовательно, Я" = cHi для не-
некоторого с ? R. Поскольку Н" Ф Т = А±, число С не может
быть целым, но q = тга,- (Я") = mfi — целое число. Так как mt
просто, то найдется л ? Z, такое что qr = 1 (mod m(). Тогда
(rH")# zd (Я")# =?>'. С другой стороны,
= (§-)# = D,
^%- (mod
т. е. D = D'.
Итак, мы доказали следующее утверждение:
(8.3.6) В случае когда card я (!) = /, мы имеем Д (t) = (HJrrij)*
для некоторого i, такого что число mt просто. Обратно, если
mt — простое число, то система (Н^/т,)* максимальна вФЛ \ {Д}
и я П (Я,-/т,)* = я\|а(.}.
Для случая (II) результат таков:
8.3. Теория Бореля—Зибенталя 283
(8.3.7) В случае когда card я (!) = I — 1, можно найти такой
автоморфизм о ? Ad (u), ст (t) = t, что Д (а!) = (Я,/2)# Эля
некоторого i, такого что т,- = 1. Обратно, если mt = 1, то
система (Яг/2)* максимальна в ФЛ\{Д) и ftp (Я,/2)# = я\{а().
Доказательство, (а) Предположим, что я (!) ^ а0, так что я( !)
= {а2> .... а^}. Поскольку 0 <—(а0, Я) < 1 и 0 < (аъ Н),
мы имеем (а2, Н) — ... — {ah Я) = 0 и Я = сЯъ 0 < с < 1.
Если тх > 1, то а0 ? (#i/™i)* \ Д (!) и ах ? {Нх1тх)#, что
противоречит максимальности Д (!). Следовательно, апх = 1.
Но в этом случае для любого с, удовлетворяющего условию
0 <с < 1,
Поэтому можно взять с = 1/2.
(Ь) Допустим, что я (!) Э ао> так что я (!) = {а0, а3, ..., аД.
Поскольку 0 < (а1( Я), то —(а0, Я) = 1 и для / 3s- 3 мы имеем
(а;, Я) < (аь Я) + (а;> Я) < —(а0, Я) = 1, а также а,- (Я) = 0.
Следовательно, Я = а1Ях + агНг, где
ах > 0, а2 > 0 и апх^ + т^а^ = 1.
Предположим, что тх > 1. Тогда (Hxlm-^)# zd \aQ, o&2, ..., а^},
но ах ^ (Ях/тх)*, что противоречит максимальности Д (!).
Следовательно, апх = 1; по той же причине и т2 = 1. Для любой
пары вещественных чисел Ьг, Ьг, таких что Ьг > 0, Ь, >0 и Ь±
+ Ьа = 1, мы имеем
(Ь1Н1 + ?>2Я2)# = {рЛ + . . . + ла4 € Д: Л = Ы,
ввиду того что рх и р2 могут быть равны только 0 или ±1. Таким
образом, мы можем считать, что Я = (Ях + Я2)/2.
Положим Сх = Г (—Я2) Со = {X — Я2: X 6 Q ССЛ- Р«с- 7)-
Ясно, что Сх — клетка. Так как вершины симплекса Со — это
элементы {0, HJnii, ¦¦•, Htlmt) и m3 = 1, то Я2 является верши-
вершиной Со, а значит, 0 — вершиной Сх. Поэтому найдется такрй
элемент S ? Ad (Д), что
SW1 = W0^\X 6 Ь («;, Х)>0 при /=1, . . ., 1\.
С другой стороны, можно найти такое е > 0, для которого
|Х С Wr: | Х|<е}с=Сг при г = 0, 1.
Следовательно, для элементов X ? С1( достаточно близких к 0,
SX ? Со и потому SCi = Со. Положим Н' = ST (—Я2) Я,
= S (Ях — Я2)/2. Так как Ях — Я2 — вершина симплекса С1;
то 2Я' = S (Ях — Я2) есть отличная от 0 вершина Со и, значит,
2Я' = Hi/mi для некоторого i. Пусть а — элемент группы Ыи (!)
= jV И}) П Ad (u), для которого f (a) = S. Тогда, как мы знаем
из (8^3.1), Я' задает о!. ¦ . . .

284 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Г-Н.
Рис. 7.
Докажем теперь, что т1 = 1. Очевидно, (#')# d (Я(/тг)#.
Если mi больше 1 и не является простым числом, то, как было
установлено при доказательстве теоремы (8.3.6), система {Hjmj)*
не максимальна. Если т1 — простое число, то card (ft f) Щитд#)
= / и из того же доказательства теоремы (8.3.6) следует, что
(Я')* Ф (Яг/т<)#, — противоречие. Следовательно, mL должно
быть равно 1 и Н' = Hi/2.
(с) Предположим, что т, = 1, и докажем, что система (Н/2)#
максимальна.
Для удобства будем считать, что i = 1. Очевидно, (Я2/2)*
П я = л\\аг\ и, в силу (8.2.4),
Пусть D — произвольная подсистема в Д, для которой (#х/2)#
, D. Поскольку т1 = 1, система D должна содержать элемент |3
вида
Для любого X из D-1 имеем Р (X), а2 (X), ..., а^ (X) ? Z и потому
ai W G Z. Следовательно, ах ? D-1* = D, a значит, D = Д.
Это доказывает, что система (HJ2)* максимальна. Q
8.4. Таблица максимальных подалгебр максимального
ранга в компактных простых алгебрах Ли
Мы сохраняем обозначения предыдущего параграфа. В случае
когда гп;-— простое число или 1, через I, обозначается подалгебра
в и, задаваемая элементом Hi/ml или Я,/2 соответственно. Как
8.4. Таблица максимальных подалгебр максимального ранга 285
мы видели выше, всякая максимальная подалгебра максимального
ранга в и сопряжена относительно группы Ad (u) с одной из под-
подалгебр !х. Прежде всего дадим классификацию подалгебр !,
е точностью до изоморфизма 1.
—а„ = ах + • • • + Щ
. (I) Подалгебр I,- типа (I) нет.
(II) I,: i = 1, .... [//21 Qi^tu
^
?-1 4+1
¦ I
г_г (г > 2),
где R обозначает одномерный центр.
—а0 = а, + 2 (а2 + . . • + щ
(I) Ь: / = 2, . . ., /.
—о
1
!„ = лх е Аг е
(II) fx = R ф B,_v
С t
(Z>3)
—«o = 2
. . . + at_t) + a.
1 Различая каждый раз два типа ((I) и (II)) подалгебр tit описанные в (8.3.3).
Прим. ред.

286 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
(I) !,.: 1 </<[//2] (Ь=1^)-
«(«/):
О 1
f< = Cj Ф w_,-.
(II) I,-
A-r
t-1
1 2
4)
—а0 = ах + 2 (а2
я (It):
2 Z-2
• • ¦ + az_2)
г
+ а,
t» = л
(ii) i, = R
г_( (i > 3).
В случае когда / = 4, fх з* f,.
—а0 =
(I) f2 = A
12 3 5 6
L
>O
¦ 3a3 + 2a4 + 2a5 + a
(II) !, =
?7
(I) f, = 4
f:J = А.2
iB = Л-
(И) f, = R
Таблица максимальных подалгебр максимального ранга 28?
1 2 3 4 6 7 0
2а2 + За3
¦ 3ae + 2a7
2 3 4 5
8
-O
а„ =
4а3
6а5 + Зав + 4а7
(I) ll = A1
* Л
1} г- /If»
?4 == -<Н
(II) Нет.
12 3 4 0
—а0 = 2аг + 4а2 + За3 + 2а4.
(I) f1 = B*,
с3.
(II) Нет.
(I)
—a0
fi
^2 === '
= 3ax л
A2,
4X © -4,.
L 2aB
1
2
=^—
0
О
(II) Нет.

288 Гл. 8. Классификация вещественных, простых алгебр Ли
(8.4.1) Приведенная выше классификация является полной класси-
классификацией максимальных подалгебр максимального ранга с точ-
точностью до действия группы Aut (u). .
Доказательство. В случае (I) это утверждение следует из того, что
по теореме B.6.2) изоморфизм между я ({,-) и я Aу) продолжается
до автоморфизма системы Д. Что касается, случая II, то заметим,
что изоморфизмы
а,-
для Ah Dt и Ев можно
продолжить до автоморфизмов системы я, как видно из диаграмм
Дынкина. Согласно (8.2.2), это означает, что соответствующие
подалгебры сопряжены относительно Aut (u). Q
8.5. Классификация вещественных простых
алгебр Ли внутреннего типа
Напомним результаты § 4.5. Пусть g — простая алгебра Ли
над С и и — фиксированная вещественная компактная форма
этой алгебры. Обозначим через У — У (и) совокупность всех
инволютивных автоморфизмов алгебры и. Для р ? & положим
Ясно, что g (p) есть вещественная форма алгебры g и всякая ве-
вещественная форма этой алгебры изоморфна одной из алгебр
g (р), Р € &• Для Р. Р' € 3f равенство g (р) = g (p') имеет место
в том и только том случае, когда существует автоморфизм о ?
? Aut (u), такой что арсГ1 = р'. Поскольку Ad (u) — нормальная
подгруппа в Aut (и), отсюда следует, что если р, р' ? 3, р ? Ad (u)
и g (р) &, g (p'), то р' 6 Ad (и).
Определение. Вещественная форма g (p) называется формой
внутреннего типа, если р ? Ad (и). В противном случае она на-
называется формой внешнего типа.
(8.5.1) Пусть р ? 3 (u), p ф 1.
1) I (р) является максимальной подалгеброй в и.
2) Представление г|з = i|;p алгебры X (р), заданное формулой
Ч> (X) = ad X | v(p) для X ? t(p),
точно и неприводимо.
Доказательство. 1) Напомним, что
[I, I] с t, It, *] с *, to, *] с= I.
Поэтому подалгебра р + to. Vl + h>> to. Vl] является идеалом
в и и, значит, совпадает с и. Другими словами, у> порождает и.
8.5. Классификация простых алгебр Ли внутреннего типа 289
Пусть tx — произвольная подалгебра в и, содержащая f.
Тогда
Пусть ^а — ортогональное дополнение к ^ в ^ относительно формы
Киллинга В. Тогда В (f ъ ^2) = 0 и и = 1Х + ?>2- Из инвариант-
инвариантности формы Киллинга вытекает, что В 0рь [!ь ^а]) = 5([{х,
Vil. ЧРа) = 0, ибо [fx, Vil cr fx. Следовательно, [fb ?2]с:?2
и потому tox, ^21 с: f П ?г = 0- Пусть Ьх и Ь2 — подалгебры
в ц, порожденные ^х и ^2 соответственно. Так как у = рх + ?2
порождает ии t^, р2] = 0, то Ьх и Ь2 — идеалы в и и Ьх + Ь2 = и.
Поскольку алгебра и проста, один из этих идеалов сопадает с у.
Если Ьх = и, то равенство [и, :р2] = 0 влечет ра = 0 и fx = и.
Если Ь2 = и, то аналогично рх = 0 и fx = f.
2) Поскольку р порождает и, из равенства [X, р] = 0 следует,
.
— под-
под!p1 есть
что X — 0. Значит, представление -ф точно. Пусть
пространство, инвариантное относительно^ (I). Тогда
подалгебра и, в силу 1), рх = 0. Q
(8.5.2) 1) Для всякой подалгебры Квартана t+ алгебры t (p) су-
существует единственная подалгебра Картана t алгебры и, содер-
содержащая t+, такая что
t = tf et_, t.
), Pt = t.
2) Всякая такая подалгебра t+ содержит регулярный элемент
алгебры и.
3) Если автоморфизм р внутренний, то t = t+, и обратно.
Доказательство. 1) Пусть с = с (t+) обозначает централизатор
алгебры t+ в и: с = \Х ? и: [X, t+] = 0\. Если X + Y ? су
где X е I, К 6 V, то [X, t+] с: I, [Г, tj с* и (X + Г, t+]
= 0. Следовательно, [X, t+ ] = 0 и X ? t+, ввиду того что tT —
максимальная абелева подалгебра в f. Кроме того, [Y, t+] =0,
т. е. Y ? с. Полагая с Г) V = t, имеем с = t+ ф t_. Отсюда видно,
что рс = с. ^
Далее, так как [t_, t_] с f П с = t+, то [с, [с, с]] = 0 и
алгебра с нильпотентна. Поскольку всякая компактная разре-
разрешимая алгебра Ли абелева (упр. 1 § 4.3), алгебра с абелева.
Пусть ct — максимальная абелева подалгебра в ц, содержащая с.
Тогда [сх, tj = 0 и CiC с. Следовательно, с является макси-
максимальной абелевой подалгеброй в и и потому, очевидно, — един-
единственной подалгеброй Картана в и, содержащей t+. В дальнейшем
мы будем писать t вместо с.
10 М.. Гото, Ф. Гроссханс

290 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
2) Имеем
u==t+ ?
[Я, Са1 = 2
H)Sa, [Н, Sa] = — 2я(а, Я) Са для Я С t.
Если (а, t+) = 0, то RCa + RSa <= с (t+) = t, — противоречие.
Следовательно, (a, t+) Ф 0 для всех а ? Д. Поэтому найдется
такой элемент Яо ? t+, что (а, #„) ^= 0 для всех а ? Д. Ясно,
что Яо — регулярный элемент алгебры и.
3) Поскольку отображение exp: ad (u) ->- Ad (и) сюръективно
(см. F.9.5)), для всякого внутреннего автоморфизма р найдется
такой элемент X ? и, что exp ad X = р. Пусть tx — подалгебра
Картана содержащая X. Тогда (ad X) ti = 0 и (р — 1) tx = 0.
Следовательно, tx cr I (р) и I (р) имеет максимальный
ранг.
Обратно, если (р — 1) I = 0, то р = exp ad Я для некоторого
Я ? t, в силу упражнения к § 5.4. Поэтому если р ? Aut (u)
\ Ad (и) и pt = t, то (р — 1) t Ф 0. D
(8.5.3) Классификацию отличных от и вещественных форм вну-
внутреннего типа алгебры g можно получить из классификации,
приведенной в § 8.4, опуская в (I) все !,-, для которых тгф2 (см.
табл. 1).
Доказательство. Пусть р Ф 1 — инволютивный внутренний авто-
автоморфизм алгебры и. В силу F.9.5), существуют а ? Ad (u) и
Я ? t, такие что орсг1 = exp ad Я. Следовательно, мы можем
предположить, что р = exp ad Я. По теореме (8.5.1) подалгебра
I (р) максимальна. Но так как f (p) zd t, то, согласно (8.3.6)
и (8.3.7), либо существует автоморфизм о' ? Ad (u), для кото-
которого
н,-
где т{ =
либо
ГТ
= expad—-, где тг — простое число.
В последнем случае т( == 2, поскольку р2 = 1. Следовательно,
автоморфизм р сопряжен с exp ad [HJ2) относительно Ad (u)
для некоторого i = 1, ..., /, такого что т(- = 1 или 2.
Положим
Pi=exp
я,-
5.5. Классификация простых алгебр Ли внутреннего типа 291
Таблица 1
Простые вещественные
9
(обозначения Картана)
AIII (At, l>> 1)
AIII
BI (Bh I > 2)
BI
BI
BI
CI (C/, />3)
СП
DI (Dh I > 4)
DI
DI
DII
El I (?,)
EII
EV (?,)
EVI
EVII
EVIII (Es)
EIX
FI (F4)
FII
G
Я,- f 2 < t <
Яг C,
Hi(\ <?i <
Hi C <
алгебры Ли
2Я
I
Нг
Нг
н%
Hi
Hi
Г l —11
L 2 J "
Я2
i ^ \ l + ' "
К[ 2 .
Hi
Hi
Hi
н2
Hi
н2
нг
я8
Hi
я4
ях
внутреннего типа
h l)
l-l)
)
R Ф A-i
R Ф Bi_t
А ф А Ф Bi_2
Dt ф Br_?
R Ф Ai_x
Ct Ф Q_t
АФА®^.2
Di®DUi
R Ф D/.j
x R Ф A-i
P д\ П
UN tX* t~'i
А ф А
A © At
P en P
UN 427 ^-<(J
O8
Лх ф ?7
A ®c,
B4
Л1 tt? Л1
для тех i, для которых mj = 1 или 2. Так как любые два разло-
разложения Картана алгебры д,- сопряжены относительно Ad (g()
(см. D.5.4)), то д,- ^ д; влечет I,- = !/.
Обратно, допустим, что lt = I/. Согласно (8.4.1), существует
9 ? Aut (u), для которого 9f? = fy-. Тогда
05р? = {9А: ВA„ Х) = 0\ = {Х: В@1,, X)-01 = V/.
Продолжив 9 до автоморфизма алгебры д, получим Эдг = ду-. Q
10*

222 Гл. 8- Классификация вещественных простых алгебр Ли
8.6. Вещественные формы внешнего типа
Пусть р — инволютивный внешний (= не внутренний)
автоморфизм алгебры и и
Пусть, далее, t = t+ © t_, где t.r с: f (р) и t_ с р (р), — под-
подалгебра Картана в и. Согласно (8.5.2), 2) t+ содержит некоторый
регулярный элемент Я алгебры и. Поскольку (р\ Н) Ф 0 для
любого р ? А, существует камера Вейля W, содержащая Я.
Так как рН = Н, то pW = W. Для № можно подобрать систему
простых корней я = {аь ..., at\, такую что
W=\X.e t: (а1( X» 0 (а,, X) >fi\
и ря = я.
Пусть Ь — центр алгебры k (р) и с — централизатор %: с = {X
? и: [X, S] = 0}. Тогда k (p) с= с. С другой стороны, поскольку
I a t+, мы имеем tec. Так как I (р) — максимальная подал-
подалгебра и t ф ? (р), то Ь = и, ввиду (8.5.2), 3). Следовательно, i
содержится в центре алгебры и и, значит, Ь — 0. Это доказывает,
что алгебра f (p) полупроста. Итак, мы получили следующее
утверждение:
(8.6.1) Для всякого инволютивного внешнего автоморфизма р
алгебры и
1) можно найти такую подалгебру Картана t в и, что pt = t»
и такую систему простых корней net, что ря = я;
2) алгебра t (p) полупроста.
Введем обозначение
Д.
а
* = ра для а
Продолжив р до автоморфизма алгебры д, положим-
р?р = <7(р)?р. (<7(Р)€С) для р? А.
Тогда
<7(РЖ-Р) = 1.
<7 (а + р) = s (а, Р) gr (а) q ф) для а, Р, а + р 6 Д,
где е (а, Р) = Na^/Ma*, р. = ±1. Далее, ри = и, так что
7(рТ = <7 (РГ1, или |<7(Р)| = I-
Инволютивность автоморфизма р дает
8.6. Вещественные формы внешнего типа 293
откуда следует, что
? $*) = ??) = <7 (-Р) - <7 (РГ1 Для Р 6 Д.
В частности, если р = р*, то q ф) = q ф*) = ±1-
{8.6.2) Для всякого инволютивного внешнего автоморфизма р
алгебры и можно найти такой элемент X ? t, что если положить
Pl = (exp ad X) р (exp ad (-X)), Pl (?p) = qx (р) ?р, (р ^ А),
mo 9i Ф) == <7i (Р*) = ±1 при всех р
— р) t = 0.)
А. (Заметим, что (р-.
Доказательство. Предположим, что я =
УгУг}, где a/ = а*
} / для
множество |yi — 7*> •••> Уг—-7*
I
2г = I.
j^ p Yi> ?*> •••>
/ = 1, ..., р и р -\- 2г = I. Поскольку
|y *1 линейно-независимо и | q G,) |
= I, мы можем решить уравнение
exp 2я У-
7*.
и найти удовлетворяющий ему элемент X ? t. Переходя к комп-
комплексно-сопряженным числам в обеих частях уравнения, получим
Следовательно, для рх = exp ad Х-р-ехр (—ad X) имеем
e/ = q (а;) Еа;, Я (ау) = ± 1,
= exp 2п |/~ [у', X) ¦ q (у,)
• ехр 2я V — 1 (v., —X) ?Vt* =
Для доказательства того, что ^х (Р) = ±1 при всех Р ? А,
достаточно рассмотреть лишь положительные р. Применим индук-
индукцию по упорядочению в А. Для простых р, как мы видели, qx ф)
= =1. Если р не является простым, то найдутся положительные
корни у и б, такие что y-f-5 = p. Так как у < Р и б < р, то по
предположению индукции, qx (у) = ±1, qx (б) = ±1 и, следо-
следовательно, qx (р) = s (у, б) qx G) <7i F) = ±1. Q
(8.6.3) Для всякого инволютивного внешнего автоморфизма р
алгебры и, для которого q (P) = ±1 при всех р ? А, существуют
й ? At () 2 1
такой автоморфизм р0
Но ? t+, что
о = Ро exp ad Яо,
(P) р р ? , ущу
Aut (и) с р20 = 1 и такой элемент
рро = pop, (exp ad Я0J = 1

294 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
и
q0 (а) = 1 при а ? я,
где qp определяется соотношением
для р<Е Д.
Доказательство. В E.4.3) был построен взаимно-однозначный
гомоморфизм [л: Aut (я) -> JVU (t). Положим р0 = [я (/ (р)) и.
ро?р = <7о (Р) ?р* Для Р € Д- По определению гомоморфизма [я,
(Р — Ро) t = 0, q0 (а) = 1 для а ? я и ?„ (р) = ±1 для Р ? Д.
Поскольку / и jx— гомоморфизмы, р*=1. Далее, для Р ? Д
и <7 (Р) = ? (Р*), Яо (Р) = <7о (Р*)- Следовательно, (рр0 — рор) E?J
= 0 и, значит, рро = РоР- Так как ! (p) — собственное подпро-
подпространство для р, то ро1 = I.
Таким образом, рор — автоморфизм компактной полупростой:
алгебры! (p),t+ — подалгебра Картана в f (р) и (рор — 1) t+ = 0.
Поэтому можно найти такой элемент Яо ? t+, что рор = exp ad Яо
на ! (р) (см. упражнение к § 5.4). Очевидно, (exp ad Я0J = 1.
Поскольку Pop exp ad Яо — инволютивный автоморфизм алгебры
и и
!(popexpadЯo):з!(p)Ut=>!(p),
мы имеем I (рор exp ad Яо) = и и рор exp ad Я = 1, т. е. р
= р0 exp ad Яо. Q
В дальнейшем мы сохраняем обозначения р, р0 и Яо из (8.6.3).
Разобьем корневую систему А на три непересекающихся
подмножества
Д.^аб Д: а* = а, q(a) = l\,
Д2 = |Р6 А: Р*=Р, <7(Р) = -1},
Вводя обозначения 1+ = h+ и f_ = lj_, получаем
?с = ^++ Е С?к+ Ъ СA+р)?„
а € Л, V € Д.
C(l-P)?v
а,
(с учетом того, что A + р) ?v. = q (у) A + р) Еч и A
= -q (у) A - р) Еч).
р)Еу
8.6. Вещественные формь\ внешнего типа 295
Изучим корневую систему Д (!) комплексной полупростой
алгебры Ли fc относительно подалгебры Картана §+. Для произ-
произвольного корня б ? Д обозначим через б' его ограничение на t)+.
Пусть у принадлежит Д3. Для Я ? §+
[Я, p?v] = [РЯ, p?vl = о [Я, Еу] = 7 (Я) РЕу
и 7 (Я) = 7* (Я). Аналогично для Я ? fy_ имеем 7 (Я) = —7* (по-
(последовательно,
Для Я
[Н,
[Я,
и потому
а (а ? Дх),
г U
Д8),
Будем рассматривать Д как подмножество в t cr ?). Так как
ра = а для а ? Дх и р G + Y*) = 7 + У* Для У € дз. то а,
7 + 7* € t+ cz ^+. Согласно (8.3.4), мы можем в качестве скаляр-
скалярного произведения в fy+ взять ограничение скалярного произведе-
произведения в ?).
= -Х±И
мы имеем
Поскольку а' (Я) = а (Я) и 7' (Я) =
(я) при я
а' = а для а
и у' =
2
для 7 6 А-1
В качестве упорядочения в Д (f) будем использовать упорядочение
в t. Так как ря = я, то из б > 0 следует б* > 0.
(8.6.4) Пусть я = \аъ .., ар; ръ .., р„; 71-
€ Д Р € Д € Д 2
a,- € Ai. P/ € A2,
1) Множество
независимо в b. и
rank I = р
¦ г.
и р -\- q + 2r — I.
а
р;
Pi, -,
У\,
где
линеино-
2)
3)
а;
7ь
я (f).
И ()
о, то п (!) = \а[, ..., ар\ у[, ..
Доказательство. 1) Это утверждение следует из того, что ^+ = {Я
6 &: 7»(Я) = Yft (Я) при?= 1, ..., г}.
2) Имеем а- = а» > 0 и 7а = G* + 7*)/2 > 0.
Пусть б — один из корней аъ ..., ар, уи ..., уг. Предположим,
что корень б' не является простым. Так как Д (!) = {%': к ? Ai
U Д3}, то найдутся положительные корни X, \i ? Дх U Дз.
которых б' = к' + |л'. Следовательно, A + р) ?6 = с[A

296 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли .
+ р) Е%, A + р) ?ц], где с— некоторое комплексное число.
Значит, корень б должен совпадать с одним из корней X + jx,
Я + fi*, К* + [1, А,* + fx*. Но поскольку корни К, j.i, A*, jj,* •
положительны, это невозможно.
3) Это следует из 1) и 2). Q
Классификация для случая р = р0
Aut (я) Ф 1 только для А; (I > 2), ?>^ (/ > 4) и ?„.
Для алгебры ?>4 группа Aut (л) изоморфна симметрической
группе <3 C) на множестве {1, 2, 3). Но все элементы порядка 2
в <3 C) (B, 3), C, 1) и A, 2)) попарно сопряжены.
Во всех остальных случаях Aut (л) имеет порядок 2.
Ъ
V
Выберем какой-нибудь ортонормированный базис еъ ..., е3/+1
в R2!+i и положим
Y? = el+i — ef+2> ¦ ¦ •. Y* — еУ — eV+i>
, У/г + Уй . .
Yfe = § ' == ' •••''•
Диаграмма Дынкина для ? (р0) = f0 имеет следующий вид:
7a
Аналогично
"' %
tf-\
1
(С/)
?>,
о
S.5. Вещественные формы внешнего типа 297
л (?о,> =
% Ъ
it У*
л (ti) =
7/ Уг
Классификация для случая р Ф р0
Положим I (ро) = t0 и рх = exp ad Яо Ф 1. Пусть {aj, ..., «р;
7i у;} =п(() и [Н{, ..., Яр, ..., Н'р+г) —базис в U, двой-
двойственный к я (f0). Пусть т[а\ + ... + тр+гу'г — старший корень
в A (t0). Так как t0 — компактная простая алгебра Ли, что видно
из приведенной выше классификации для случая р = р0, и рх
индуцирует инволютивный автоморфизм алгебры t0, т°. в силу
(8.5.3), найдется / ? {1, ..., р + г}, для которого т) = 1 или 2 и
apiO'1 = exp ad (НI2), где а ? Aut (f0). Поскольку - алгебра !0
изоморфна Ви Ci или F4, то Aut (f0) = Ad (f0) и ст можно рас-
рассматривать как элемент группы Ad (u). Так как
- н>'
opa l = ор0о
где I (ароСГ1) = ? (р0), (троСГ1 (стя (f0)) = an (f0) и ароа г (аЕа)
= оЕа при а ? л ({„), то мы можем, изменив обозначения, счи-
считать, что
я;
р = ро exp ad —ф-.
Докажем, что если / > р, то р и р0 сопряжены относительно
Ad (и). Для этого выберем элемент Y ? t, такой что
(a,., F) = 0,j = I, ..'., р,
Прямое вычисление дает
и теперь непосредственно проверяется, что
exp ad -j- (р0 exp ad ——) exp ad —^— = Ро-
Таким образом, мы снова приходим к случаю р = р0.

298 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
В дальнейшем будем предполагать, что /
ности можно считать, что / = 1. Тогда
рЕа1 = exp 2ni у \ и Eai = — ?«,.
р. Без потери общ-
общБудем писать р вместо аг, так что
л = {а2, • • •, «p. Р, Yi> Yi> • • •> Y" Y*K P € Д2-
В силу (8.6.4),
я(!)= (г)', а2, . .., а'р, у'и ¦ • ¦, у'А,
где т|' — простой корень из Д (I), a r\ —- положительный' корень из
Ai U А3. Нам понадобится следующее утверждение:
(8.6.5) Пусть л = {а1( ..., az} —система простых корней в Д,
р + Д
а,- , ...,
{ z} р
— различные корни из л, р = а; + ... +
Тд Р Д
а,
Д и
а'т}- Тогда Р + а;- ? Д б /паи и только том
случае, если (a/, a,-ft) =#= 0 яры некотором h.
Доказательство. Поскольку р — а;- Ф Д, включение р -+- а; ? Д
эквивалентно неравенству —2 (Р, a;)/(a;-, a;) > 0. Так как (а/(
afe) < 0 для k Ф /, то (Р, а;) = j^hLi (°V а/) ^ °
тогда, когда (a;-, a,-ft) =^= 0 при каком-то Л. Q
Мы можем найти последовательность простых корней
т0ГДа и только
yk,
такую что (Р, a(j =^ 0, (a^, aig) ^0, ..., (а?/
Р йб
0. (Сначала
( j (^ g) ( )
соединяем Р с Yi какой-нибудь последовательностью, а затем пер-
первый корень у в этой последовательности берем в качестве ук.)
По только что доказанной лемме
Р
Поскольку
^ Н
a>tt
+ ot,ct -+-
= рР + pafi + ¦ • • + ра?< + Y* = Р + «^ + • • -
t М1» мы имеем jx ? Д3 и ц,' ^ Д (I). Если корень \i'
не является простым в Д ({), то fx' = y' + 8', где y, б — положи-
положительные корни в Дх (J Д3. Аналогично тому, как доказывалось
утверждение (8.6.4), 2), можно доказать, что \л = у + б, где
в случае необходимости y. б заменяются на y*, б*. Следовательно,
Y и б являются суммами простых корней из (*). Допустим, что yk
входит в число слагаемых, дающих в сумме у. Если р не входит
в число этих слагаемых, то б есть сумма Р и некоторых корней ае-,
так что 6 ? Д2, поскольку
ММ** •••]]]-
* ••¦]]]¦
8.6. Вещественные формы внешнего типа 299"
Это противоречит тому, что б
Y - Р + ... + yk.
г (J Д3. Следовательно,
Поскольку \i Ф у, написанная сумма должна разбиваться на две
взаимно ортогональные части. Но это противоречит лемме (8.6.5).
Таким образом, справедлива следующая теорема:
(8.6.6) Теорема. Предположим, чтои имеет инволютивный внеш-
внешний автоморфизм (и, значит, является алгеброй типа At (I >¦ 2),
Dt (I > 4) или Еъ). Пусть Т Ф 1 принадлежит Aut (л). (В случае-
D4 берем произвольный автоморфизм Т Ф I, для которого Т'2 = 1.)*
Запишем п в виде
пт =
., ар,
Уг,
где Та(- = а, и Ту& == yl ф Ук- Положим j-i (Т) = р0. Тогда
I (р0) = t0 есть простая алгебра Ли, для которой t+ = {X ? t;
ТХ = Х\ служит подалгеброй Картана, и л (f0) = \а{, ..., а'р,.
Yi. •¦•. У'А- Пусть
v =
— старший корень для л (!0).
Всякий инволютивный внешний автоморфизм алгебры и сопряжен:
с р0 или Р( = р0 exp ad (#,72), гЗе Я? ^ t определяется условиями
(a,-, Ht) = 6,{, (yk, НЪ = G;, Я,) = 0
всех i, таких что 1 < i <. р и т\ = 1 или 2.
Подалгебра tt = f (p,) содержит t+ в качестве подалгебры:
Картана, и
n(tt)= in', ai. • ¦ •. «л • • м «р, Yi> • • •• уг).
r| = at- + a;- + ... + a;- + y%, причем (a,-
Yfe) =#= 0.
Приведем список этих подалгебр:
0, .....
**/
Поскольку здесь не фигурирует ни один из корней типа а,
единственная простая вещественная алгебра Ли внешнего типа,
возникает при р = р0.
А,
¦2/-1
Л-𠦦
Vi

300 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Отсюда следует, что г\' = а{ + Ym и
.«¦>- ?
оц а.,
сх2
Ji(fo)= or
Отсюда следует, что1
г) == a- + aj+i + •. . + a't-2 + Yi
и потому
"i-z
ct.
*/+1
Следовательно, It — алгебра типа
Аг е Вг'_2
или
Покажем, что соответствующие алгебры Ли ^ и g/_t-_1 изомор-
изоморфны. Для этого достаточно доказать, что соответствующие
внешние автоморфизмы 9г- и 8/_!_1 алгебры и сопряжены. Так
как л (?0) типа Bt_^, то
8.6. Вещественные формы внешнего типа 30Г
— корень алгебры 10 и мы имеем диаграмму
«1 «2
Существует элемент S группы Вейля системы 5/_г, для кото-
которого
S {a;, «2, • • ¦, a/-2, Yi) = iai> a2> • • •- a'-2> —Л'}»
поскольку оба множества — фундаментальные системы.
Тогда
Sa; = a', и Svi = —т|'.
Так как f0 типа Bt_x, то Aut (fj) = Ad (f0). Пусть ст — элемент
группы Ad (f0), порождающий 5. Мы можем рассматривать а
как элемент из Ad (u). Легко проверить, что сопряжение,
определяемое элементом
(ехрлК—Tadtf^cr1,
переводит Э<- в Q/_;_!.
% 72
72* У*
л (f0) = o-
«-'г
v = 2oi + За2
В этом случае ч\ можно выбрать единственным способом,,
а именно
Y2-
Тогда
л (!^) =
оо
Ъ 72 «2
(С4

302 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Полученные результаты собраны в табл. 2.
Простые вещественные алгебры Лн внешнего типа
Таблица 2
з
(обозначения Картана)
AI (A2f)
АН (Л,М)
AI (Л,м)
DI (Di)
DI
El
EIV
p
= p0 exp ad («V2)
Po
Po
p0 exp ad (HJ2)
Po
p0expad(#;/2)
A <i<[//2])
Po
p0 exp ad (HJ2)
h
Bf
Cf
Df
Bt-i
Bt X BUi..x
F4
8.7. Автоморфизм системы я, заданный сопряжением
Пусть д0 — простая.алгебра Ли над Rh^, — ее подалгебра
Картана. Пусть g — комплексификация алгебры д0 и § — комп-
комплексная линейная оболочка алгебры % в д. Ясно, что lj — подал-
подалгебра Картана в д. Пусть д 3 ^'—^ X обозначает сопряжение в д
относительно д0. Тогда
и ^х =
для X, F ? дис ? С. Рассмотрим пространство §*, двойственное
к I). Сопряжение алгебры g порождает отображение пространства
§* в себя, обозначаемое Ал
при Я?$.
Отображение Я, ь-> Я полулинейно, и так как из равенства [Я,
?р} = р (Я) ?е следует, _что [Я, ?"„ ] = ?~(Я) 1"р, т. е. [Я,
?р] = р (Я) Fp> то А = {Р: р е А} = А-
S.7. Автоморфизм системы я, заданный сопряжением 303
Пусть
9о = f (р) + '> (Р)
— разложение Картана алгебры д0. Тогда и = ! (р) + 5р (р) есть
компактная вещественная форма алгебры g и р — инволютивный
автоморфизм алгебры и, удовлетворяющий условию pt = t, где
t = и П Ь — подалгебра Картана в и. Пусть А — корневая
система алгебры g относительно подалгебры Картана |иТ =
= /u (t) — автоморфизм системы А, порожденный р.
(8.7.1) Для р С А
Р = —Гр\
Доказательство. Пусть {Хь ..., Хп\ —какой-нибудь базис в д0.
Он будет и базисом для g над С. Пусть Y принадлежит д.
Если ja_d У) Х{ = ?/ пцХ, (ан ? С), то (ad Y) X{ =_[Y, Х;] =
= 2/ aaXj> так что матрица, соответствующая ad F, является
комплексно-сопряженной к матрице эндоморфизма ad Y. Отсюда
следует, в частности, что В (X, Y) = В (X, Y). Пусть А, принадле-
принадлежит 1)*. Так как I (Я) = В (Яь Я) для Я ? $о. то X (Я) = S (Яь
Н) = В (Hi, Н). Поскольку §о порождает §, имеем Ях = Я^.
Пусть К А- Тогда Яр ^_tt и, значит, Яц = j (X +_F),
X 6 I (P), ^ € V (р). Так как X = X и 7 = —Г, то Щ - Яе =
= —? (X — У) = —рЯр. Следовательно, Я™ = рЯр = —Яр
(ввиду E.3.2)) и ГР = —p. Q
Пусть л = \<х1, ..., а{\ —фундаментальная система в А. Тогда
фундаментальной системой будет и л = {аь ..., аг| = —Тл.
Согласно результатам §§ 5.2 и 5.3, существует единственный эле-
элемент S группы Вейля Ad (А), для которого 5л = л. Таким образом,
мы имеем автоморфизм [Т]: а; >—^- Sct; системы л. В § 7.10 мы
изучали [Т] в общем случае, когда алгебра g не является простой.
В этом параграфе мы определим все возможные [Т] для случая,
когда g проста.
Итак, пусть алгебра g проста. Если д0 — алгебра внутреннего
типа, то р = exp ad Я для некоторого Я ? t и Т = 1. Если д0 —
внешнего типа, то, согласно (8.6.1), мы можем предположить, что
Т ? Aut (л). Тогда я = —Тл = —л. Если Ad (А) содержит —1,
то определенный выше автоморфизм S должен быть равен —1 и
в. этом случае 5а; = —STat = Та;. Таким, образом, [Т] = Т.
(8.7.2) Пусть А — неразложимая корневая система. Группа
Вейля Ad (А) не содержит — 1 тогда и только тогда, когда А
имеет тип Л, (/ > 2), Dt (l нечетно) или Ев.
Доказательство, (а) Поскольку система —л = {—alt ..., —а:\
фундаментальна в А вместе с л, существует автоморфизм 5 ^

304 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
8.8. Представление ad (?)
305
а.,
«•6
—о
-4 Рис. 8.
? Ad (А), для которого —5 ? Aut (л). Следовательно, если
Aut (л) = 1, то 5 = —1 ? Ad (А). Но это именно тот случай,
когда А не принадлежит к типу А{ (I > 2), Dt (I > 4) или Ев.
(b) Группа Вейля системы At (/ > 2) — это симметрическая
группа на множестве из / + 1 > 3 элементов, и потому ее центр
тривиален. Следовательно, —1 не принадлежит к Ad (A).
(c) Пусть \ег, ..., et\ — какой-нибудь базис в R1. Группа
Вейля системы Dt порождается всеми перестановками множества
\ех, ..., et\ и преобразованиями, которые умножают на —1 четное
число векторов et (см. § 5.9). Следовательно, —1 принадлежит
Ad (А) тогда и только тогда, когда / четно.
(d) Автоморфизм —1 не принадлежит группе Вейля системы Ев
(см. упражнение). Q
Теперь мы можем дать полное решение нашей задачи.
(8.7.3) 1) Если д0 — подалгебра внутреннего типа, т.е. Т = 1,
то [Т ] Ф 1 для А[ (I > 2), Dt (l четно) и Ев. Заметим, что в этом
случае Aut (л) ^ Z2.
2) Если д0 — подалегбра внешнего типа, то [Т] = Т для Dt
(I четно).
3) Во всех остальных случаях [Т] = 1.
Доказательство. Если группа Aut (л) тривиальна, то доказывать
нечего. Поэтому нам достаточно рассмотреть системы At (I :> 2),
Di и Ев. Рассмотрим вначале тот случай, когда —1 <й Ad (A).
В этом случае, как мы знаем, Aut (n)sZs. Так как [Т] = —ST ^
? Aut (л), то при Т = 1 мы имеем [Т] = —S Ф 1, а при Т Ф 1
имеем —ST Ф Т и [Т] = —ST = 1. Единственный оставшийся
случай — это Di (/четно). Так как —1 принадлежит группе Вейля,
то 5 = — 1 и [Т] = Т. Q
Упражнение. Автоморфизм —1 не принадлежит группе Вейля системы Ее.
[Указание. Пусть 0 — нетривиальный автоморфизм системы л, и пусть S —
элемент группы Вейля системы я,' = {аг, аа> аз- а5- ав) (см- Рис- 8), для которого
Sn'= —л'. Тогда —SO есть автоморфизм системная, оставляющий на месте
каждый элемент из л'. Покажите, что он оставляет на месте и а4-1
8.8. Представление ad ({) | ^
Пусть д0 — простая алгебра Ли над R и
д0 = I + зр
— ее разложение Картана. Как мы видели в § 4.5, отображение
является автоморфизмом алгебры д0 и
[t, *]¦<= I, [t, «С?, [IP, ?]Cf.
Форма Киллинга В алгебры д0 отрицательно-определенна на
IXf, положительно-определенна на рХ5р, и В (t, 5p) = 0. В (8.5.1)
было показано, что представление
adX|p для Х61
точно и неприводимо.
(8.8.1) Для всякой симметричной билинейной формы S на р,
инвариантной относительно ^ (!), существует вещественное число А,,
такое что S — %В нау> X у>.
Доказательство. Для фиксированного Y из р отображение 5р 3 ^
н->5 (F, Z) линейно. Поскольку форма 5 невырожденна на 5рХр,
существует такой элемент Y' ^ р, что В (У, Z) = S (Y, Z).
Отображение s: Y i—* У, очевидно, линейно, и 5 (sF, Z) = 5 (F, Z)
при F, Z ^ р. Для X ^ 5 .
В ((ad X) sK, Z) = В (sY, [Z, X ]) = S (F, [Z, X ])
= S([X, F], Z) =5(s [X, F], Z).
Поэтому ad Xos = so ad X для всех Х ? f.
С другой стороны, легко видеть, что В (sY, Z) — В (F, sZ).
Поскольку В положительно-определенна на рХр, мы можем найти
такой базис \Yly ..., Fn} в р, что 5 (Fi( F;) = btj. В этом базисе
матрица отображения s симметрична. На основании упр. 8 § 1.2
мы заключаем, что s = %1, % ? R. Q
(Приведенное доказательство аналогично доказательству, наме-
намеченному в указании к упр. 5 § 1.5.)
Комплексная структура на р — это такой элемент J ? gl (p),
что
(И) [/, хр (f)] = 0,
(Ш) 5 (JF, JZ) = В (F, Z) для Y, Z ? •$.
(8.8.2) Для всякой комплексной структуры J на 5р существует
единственный элемент С центра алгебры I, такой что J — г|з (С).
Доказательство. Покажем прежде всего, что [JY, JZ] = [Y, Z]
для всех F, Z из 5р. Действительно, для произвольного элемента X
из f
В (X, (F, Zl) = SJ(r, [Z, X]) = S (/F, J [Z, X])
= S (JY, [JZ, XI) - В (X, [/F, JZ]).
1 1 М. Гото, Ф, Гроссханс

306
Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Далее, введем в рассмотрение некоторую алгебру Ли I. Как
векторное пространство I = {' © р, где f = \\> (k) + КУ. За-
Заметим, что !' есть подалгебра Ли в gl ($), ввиду (ii). Умножение
в I, которое мы обозначим временно через [ , ]', определяется
следующим образом: если 7\ и Т2 принадлежат!', то [Тг, Т2У —
= ТХТ2 — Т^Тх (это — обычное скобочное умножение в gl (p));
если Ylt У2 принадлежат д, то [Уь У2]' = г|з ([У1; Y2]); наконец,
если Т принадлежит !, a Y принадлежит р, то [Т, YY = —[У,
ТУ = TY (образ элемента Y при линейном преобразовании Т).
Тождество Якоби
[X, [Y, Z]']' + [Y, [Z, Х]'У + [Z, [X, Y\'\' = 0
следует из тождества Якоби в д0, если X, Y, Z ? 5р или если X,
Y ? зр, a Z ^ ар (?). В случае когда X, Y ? р и Z = У, оно выте-
вытекает из равенства [JX, JY] = [X, Y], а в случае когда X ? 5р и
F, Z ? !', — из определения операции [,]'.-
Отождествим теперь д0 с подалгеброй г|з (I) + 5р в I и обозначим
[ , ]' через [ , ]. Предположим, что д0 строго содержится в I.
Так как алгебра д0 полупроста, то всякое ее представление вполне
приводимо (см. C.4.4)). Поскольку д0 имеет коразмерность 1 в I,
существует ненулевой элемент X ? I, такой что I = g0 -+- RX
и [д0, X ] с RX. Так как одномерное представление алгебры д0
должно быть нулевым, то [д0, X] = 0. Следовательно, X при-
принадлежит центру алгебры I и X — XJ + Y + Z, где А, ф 0,
Y ? pnZ ? t Но 0 -= [У, X] = [У, У] = JY, и потому У = 0.
Таким образом, для любого U из р мы имеем 0 = [X, U] = XJU +
+ Zi7, так что J = —X,-1Z а 1 = д0.
Итак, мы убедились в том, что / ? г|з (f). В силу (ii), / при-
принадлежит центру алгебры -ф (I). Поскольку представление \р
точно, существует только один элемент С ? f, для которого
г|> (С) = /. Q .
(8.8.3) Комплексифицированное представление -фс: f н-> gl (pc)
неприводимо тогда и только тогда, когда алгебра t полупроста.
Доказательство. Пусть представление г|зс неприводимо, и пусть X
принадлежит центру алгебры I. В силу леммы Шура A.2.3),
ifc (X) — АЛ для некоторого X ? С. Поэтому для У, Z ? :р
0 = В (грс (X) У, Z) + В (У, грс (X) Z) = 2XS (У, Z).
Следовательно, А, = 0. Поскольку алгебра { компактна, она
полупроста.
Обратно, пусть \рс приводимо. Как мы видели в § 7.8,
где V — некоторое {-инвариантное комплексное подпространство
в рс. Далее, представление / алгебры t в пространстве V и пред-
8.8. Представление ad (?) |
307
ставление/1 этой алгебры в пространстве V сопряжены относительно
отображения v ь-»• v. Согласно G.7.1), существует взаимно-одно-
взаимно-однозначное полулинейное отображение /х пространства V на себя,
удовлетворяющее условию
/1 при
Кроме того, из соответствий, установленных в §§ 7.9 и 7.10, сле-
следует, что y (/) = —1. т. е. можно считать, что Jt удовлетворяет
также условию J\ = —1.
Зададим отображение /: 5pci—>yc формулой
J (v-\-w) = Jjp -f- Лш
и покажем, что / порождает комплексную структуру на р.
Прежде всего, J (v + v) = Jtv + Jxv, так что / ? gl (p).
Далее, У2 = —1, ибо J\ = —1. Кроме того, отображение J
коммутирует с хр (I), поскольку этим свойством обладает Jx.
Покажем, наконец, что / сохраняет форму В \^х^. Пусть
{У!, ..., У}„ — такой базис в 5р, что
В(Yc, Yj) = Ьи при i, / = 1,..., п.
Мы утверждаем, что матрица преобразования У относительно этого
базиса (которую мы также обозначим через У) удовлетворяет
условию *JJ = 1. Действительно, в этом базисе 'г(з (X) + г|з (X) =
= 0 для каждого X ? {. Из условия [У, хр (!) ] = 0 следует, что
<$(Х)*Л+*Лу(Х) = 0 при Х?1.
Следовательно, симметричная билинейная форма, определяемая
преобразованием *УУ, инвариантна относительно г|з (J). В силу
(8.8.1), существует вещественное число А,, такое что 'УУ = АЛ.
Так как У2 = —1, то det 'УУ = det Уа = (—1)" = А,". Значит,
Wn = 1 и Х- = ±1. Но форма 'УУ положительно-определенна,
.так что А. = 1. Из равенства 'УУ = 1 следует (ш).
Поскольку р обладает комплексной структурой, алгебра I
не полупроста, ввиду (8.8.2). О
Нахождение старших весов
А)д0 — подалгебра внутреннего типа. Пред-
Предположим вначале, что алгебра I не полупроста. Тогда
(Vе, yc) = (v, /) + (?, Ту,
будем искать старший вес ю представления (V, /). Как мы уже
знаем, I содержит некоторую подалгебру Картана алгебры д0
и система простых корней алгебры 1° изоморфна одной из систем

308 Гл. 8.
So
AIII
AIII
BI
CI
DI
DII
EII
EVII
Классификация вещественных
t
R Ф AUl
R Ф А{_! ф Ai_i
R Ф BUl
R Ф AUl
R Ф AUx
R Ф AUl
R©?>8
R ©?„
простых алгебр Ли
Таблица 3
ш
w/_i (AUl)
Щ (Лг-i) Ф <o/_i И/.,-)
wi
спинорное представление
я\{а(-}. Отсюда следует, что —а0 не является корнем алгебры
tc и потому вектор старшего веса в дс — это Е_а^. Сужая —а0
на Iе, мы получаем табл. 3 (где, как обычно, (со;, а*) — б,-/).
Теперь обратимся к случаю, когда алгебра ? полупроста.
В этом случае t снова содержит некоторую подалгебру Картана
алгебры д0. Далее, вектором старшего веса для неприводимого
представления \рс будет
где at — тот корень, который нужно вычеркнуть из й, чтобы полу-
получить диаграмму для !. В самом деле, поскольку вектор старшего
веса единствен, достаточно лишь проверить, что
[?„, ?_„,] = 0
для каждого $ из системы простых корней алгебры t, а это легко
следует из рассмотрения системы я и из того факта, что ни <х;- — а{,
ни —а0 + а1 не является корнем.
В результате мы получаем табл. 4.
В)д0 — подалгебра внешнего типа. В этом слу-
случае алгебра I всегда полупроста (см. (8.6.1)) и представление-фс
3
BI
BI
BI
СП
DI
DI
EII
EV
EVI
EVIII
EIX
FI
FII
G
8.8.
Представление ad (г) | р 309
Таблица 4
I
Dt ф B[_[
Dt
Сi ф Cut
Al ф Al ф Z>,_2
Dt ф DUi
Ax ф Л5
Л,
ЛфДв
D8
-<*1 Ф ^7
Л1ФС3
"i Ф -^i
@
0),^)®.,^)®.,^)
0)^0),
й)х ® й)х
• со,®.,®.,
0)х ® 0)х
"'Х ^^^ о
0L
0)х ® (спинорное
представление)
спинорное представление
0)^0),
сох ® о>з
0L
со^Зо),
неприводимо. Поскольку t не содержит ни одной подалгебры Кар-
Картана алгебры д0, этот случай требует детальных вычислений для
нахождения тех корней со алгебры д, для которых Еа не принадле-
принадлежит fC (Разложения алгебр Iе и рс были получены в § 8.6.)
Результаты вычислений представлены в табл. 5.

310 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Таблица 5
3
AI
AI
АН
DI
DI
EI
EIV
I
Bf
Df
Cf
Bt-г
В( © But-i
Ci
ш
20)!
2@!
щ
(Dj ® т1
©4 B6-мерное
представление)
<04
Пример 1. Пусть g0 = AI с максимальной компактной подалгеб-
подалгеброй Bf. Старший корень алгебры g — это корень — а0 = а1 -р ...
+ a2f, его проекция на Bf равна
Далее,
[?р, ?_„,] = О
для каждого Е$ из Iе.
Пример 2. Пусть L = DI с максимальной компактной подал-
подалгеброй В1_1. Далее, пусть
со = ах + сс2 + ... + а^_2 + уг.
Проекция со на Bt_x равна
Снова можно проверить, что
для всех Ел из f°.
Добавление
ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ
1. Обзор основных понятий
В этом параграфе мы напомним некоторые основные понятия и
факты теории линейных операторов. Особенно важны для нас
разложение, получаемое в (Д. 1.1), и теория собственных значений
и собственных векторов.
Пусть У — конечномерное векторное пространство над полем
Р. Линейное преобразование Т пространства У (или линейный
оператор в У) — это отображение 7: V — У, удовлетворяющее
следующим условиям: .
1) 7 (у + w) = Tv + Tw для всех векторов у, w ? У-
2) Г (су) = сГу для всех векторов у ? У и скаляров с ? Р
Пусть gl (У) — множество всех линейных преобразований
пространства У. Покажем, что gl (У) можно наделить структурой
ассоциативной алгебры над Р. Прежде всего, если Тг и Т2 при-
принадлежат gl (У), то мы определяем отображение 7, + Т„ про-
пространства V в себя формулой "
G\ + Т2). у = 7ху + Г2у
для всех v ? V. Легко проверяется, что 7\ + 7, — линейное
преобразование пространства У. Далее, если с ? Р и Т ? gl (У)
то мы определяем отображение с7 формулой
(с7) у = с Gу)
для всех v ? V. Снова из определения легко следует, что сТ —
линейное преобразование пространства У. С этими операциями
сложения и умножения на скаляр gl (У) становится векторным
пространством над Р. Аддитивной единицей служит преобразова-
преобразование 0, определяемое формулой
Оу = О
для всех v ? V. (Символ 0 в правой части равенства обозначает
нулевой вектор из У, а в левой части — нулевое линейное преобра-
преобразование.) f fa
Для любых двух линейных преобразований 7 U f а[ (V)
определим отображение TU формулой
TUv = 7 (Lfo)

310 Гл. 8. Классификация вещественных простых алгебр Ли
Таблица 5
3
AI
AI
АН
DI
DI
EI
EIV
I
Bf
Df
Cf
Q
@
2ш2
Щ
а>4 B6-мерное
представление)
«4
Пример 1. Пусть g0 = AI с максимальной компактной подалгеб-
подалгеброй Bf. Старший корень алгебры g — это корень —а0 = ах -f' ...
+ cc2f, его проекция на Bf равна
Далее,
[Е&, ?_„,] = 0
для каждого ?р из !с.
Пример 2. Пусть L = DI с максимальной компактной подал-
подалгеброй В;_г Далее, пусть
со = с*! + а2 + ¦•• + а,_а + Yi-
Проекция со на S;_x равна
«1 + «2 + ¦ • ' + Щ-Ч + «1 = «1-
Снова можно проверить, что
[Е&, Еа] = 0
для всех ?р из fP,
Добавление •
ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ
1. Обзор основных понятий
В этом параграфе мы напомним некоторые основные понятия и
факты теории линейных операторов. Особенно важны для нас
разложение, получаемое в (Д. 1.1), и теория собственных значений
и собственных векторов.
Пусть^ V — конечномерное векторное пространство над полем
Р. Линейное преобразование Т пространства V (или линейный
оператор в V) — это отображение Г: V — V, удовлетворяющее
следующим условиям: ..
1) Т (v + w) = Tv + Tw для всех векторов v, w ? V;
2) Г (cv) = cTv для всех векторов v ? V и скаляров с ? Р.
Пусть gl (V) — множество всех линейных преобразований
пространства V. Покажем, что gl (V) можно наделить структурой ч
ассоциативной алгебры над R. Прежде всего, если Тг и Г3 при-
принадлежат gl (У), то мы определяем отображение 7\ + Т„ поо-
странства V в себя формулой " н
G\ + Тя). о = 7> + Г2у
для всех v ? V. Легко проверяется, что Т1 + Т2 — линейное
преобразование пространства V. Далее, если с ? Р н Т ? а\ (V)
то мы определяем отображение сГ формулой
(сГ) у == с (Ту)
для всех w ? У. Снова из определения легко следует что сТ
линейное преобразование пространства V. С этими операциями
сложения и умножения на скаляр gl (V) становится векторным
пространством над Р. Аддитивной единицей служит преобразова-
преобразование 0, определяемое формулой
0v = 0
для всех v ? V. (Символ 0 в правой части равенства обозначает
нулевой вектор из У, а в левой части — нулевое линейное преобра-
преобразование.) * у
Для любых двух линейных преобразований Т U ? А (У)
определим отображение TU формулой
TUv = Т (Uv)

312 Добавление. Замечания о линейных операторах
для всех v ? V. Нетрудно убедиться, что TU также является
линейным . преобразованием. Далее, выполняются следующие
условия:
1) 5 (TU) = (ST) U для всех S, Т, U ? gl (V);
2)' (S + T) U = SU + TU и 5 (Г + U) = ST + 5G для
всех S, T, U ? gl (V);
3) a (S7) = (а5) Г = 5 (аТ) для всех а ? Р и всех 5, Т
Ассоциативная алгебра gl (V) имеет мультипликативную единицу
/, где Iv = v для всех v ? F.
Зафиксируем теперь какой-нибудь базис В = {е!, ..., е„| про-
пространства V. При помощи этого базиса мы можем связать с каждым
линейным преобразованием Т некоторую nXn-матрицу срв (Т).
А именно предположим, что
п
Те, = Е а„-е,
для каждого / = 1, ..., п. Тогда мы определяем срв (Т) как яХк-
матрицу, у которой на (г, ;)-м месте стоит элемент atj, т. е. срд (Т)
= (аи). Отображение срв является изоморфизмом, алгебры gl (V)
на алгебру всех nXn-матриц над Р. Поскольку последняя алгебра
имеет размерность п2 над Р, то же справедливо и для gl (V).
Используя этот изоморфизм, можно ввести понятие опреде-
определителя линейного преобразования Т, полагая
detT = det(q>a(T)).
Это определение не зависит от выбора базиса. Действительно,
если В1 — какой-нибудь другой базис, то существует обратимая
nXn-матрица Q, такая что срв (Т) = QcpBs (t) Q. Следовательно,
в= det Q det фв« (Г) (det Qf1 = det Фд. (Г).
Напомним, что det T = 0 тогда и только тогда, когда существует
ненулевой вектор v ? У, для которого 7Ъ = 0.
Пусть Р [х] — алгебра многочленов над Р. Как хорошо
известно, Р [х] является областью (целостным кольцом) главных
идеалов и любые два многочлена Д и /2 из Р [х ] (хотя бы один из
которых отличен от нуля) имеют наибольший общий делитель d.
Этот многочлен d есть единственный ионический х многочлен наи-
наименьшей степени вида g^ + ?3/2, где gt — произвольные много-
многочлены из Р [х]. Мы будем обычно писать d = (/ь /2)-
1 Моническими называют многочлены, у которых коэффициент при стар-
старшей степени переменной х равен I. —Прим. ред.
1. Обзор основных понятий 313
Зафиксируем линейное преобразование Т и определим с его
помощью некоторый гомоморфизм из Р [х] в gl (V). Пусть
/ = amxm -\ + aix + °о
— элемент из Р [х ]. Положим
а (/) = атт™ + ... + а{Г + ао\ = f (T).
Отображение а является гомоморфизмом. Изучим его ядро У.
Оно содержит ненулевые многочлены. Действительно, пусть
m — произвольное натуральное число, большее, чем n2 = dim gl (V).
Линейные преобразования
Т, Г2, ..., Тт
должны быть линейно-зависимы, и потому существуют скаляры
alt ..., ат ? Р, хотя бы один из которых отличен от 0, удовлетво-
удовлетворяющие условию
атТ>" + ... + а^ + агТ = 0.
Следовательно, полагая
= amxm + ... + а2л:2 + агх,
мы получим а (/) = 0. Поскольку J — ненулевой идеал в Р [х],
существует единственный ионический полином тт из Р [х],
такой что / = (тт) = (множество всех иногочленов, крат--
ных тт).
Многочлен тт называется минимальным многочленом преобра-
преобразования Т. Он обладает следующиии свойствами:
1) пгт — ионический многочлен, и mT (T) = 0;
2) любой многочлен /, для которого / (Т) = 0, делится на пгт.
Прежде чем сфориулировать основной результат о минималь-
минимальном многочлене линейного оператора, введен еще одно определе-
определение. Подпространство W пространства V называется Т-инва-
рианпгным, если Tw ? W для каждого w ? W. В этом случае
ограничение преобразования Т на W является линейным преобра-
преобразованием пространства W, также обозначаемый через Т.
(Д. 1.1) Пусть Т: V —* V — линейное преобразование с минималь-
минимальным многочленом тт. Предположим, что тТ = тхтг, где (тъ
т2) |= 1. Тогда существуют подпространства Wx и W% в V, удов-
удовлетворяющие следующим условиям:
1) Wx и №2 являются Т-инвариантными;
2) jV = Wt® Wit т. е. V = Wx + Wt и \Q\ = Wx П W»
3) минимальный многочлен оператора Т в Wt равен m{, i =1, 2.

314 Добавление. Замечания о линейных операторах
Доказательство. Определим два искомых подпространства в V
следующим образом:
W1 = \v^V: nh{T)v^Q\ и Wz=\v?V: /щ(Т)и = 0\. '
Каждое из этих подпространств Г-инвариантно, поскольку для
v 6 Wt
m. (T) Tv = Tmt (T) v = ГО = 0.
Далее, пусть Д и /2— многочлены из Р [х], такие что f1m1
+ /2m2 =1. Для v? W,[\W%
v = Iv = (Д (T) mx (T) + U (T) m2 (T)) v
= Д (T) mx (T) v + f, (T) m2 (T)v = 0,
поскольку mL (T) v = 0. С другой стороны, для любого вектора v
из V мы имеем
v = Iv = Д (T) mx (T) v + U (Т) ш.г (Т) v.
Вектор /х (Г) тг (Т) v принадлежит W%, так как
тг (Т) Д (Т) тх (Т) v = /, (Т) mx (T) m2 (T) v
= fi (T) mT (T) v = 0v = 0.
Аналогично /2 (Г) /n2 (T) u6 ^i-
Наконец, пусть gt — минимальный многочлен оператора Т
в Wt. Для каждого v? Wx имеет место равенство tn1 (T) v = 0,
поэтому gx делит гп1. Предположим, что deg gt < deg mx. Линейное
преобразование^ (Т) m2i(T) обращается в 0 на V. Действительно,
пусть v?V и и = да1 + йу2, где w, ^ Wt. Тогда
gl (T) m2 (T) v = m2 (Г) gl (T) Wl + gx (Т) пц (Т) w2
= m% (T) 0 + gl (T) 0 - 0.
Таким образом, /лг = /л^з делит g\tn%, что невозможно, по-
поскольку
deg mT = deg /nj + deg /n2 > deg gx + deg m2 = deg gtm2.
Следовательно, gt = тг. Аналогично минимальный многочлен
оператора Т в W2 равен m2. Q
В заключение этого обзора напомним основные понятия теории
собственных векторов и собственных значений. Ненулевой вектор
у? V называется собственным вектором преобразования Т,
если существует скаляр с? Р, такой что Tv = cv. В этом случае
скаляр с называется собственным значением {собственным числом)
преобразования Т.
Таким образом, с является собственным значением Т тогда и
только тогда, когда существует ненулевой вектор и? V, для
которого (с/ — Т) v = 0. Как было замечено выше, это эквива-
1. Обзор основных понятий 315
лентно условию det (cl — Т) = 0. Характеристический многочлен
/V преобразования Т определяется формулой
fr (х) = det (xl - Т).
Принадлежащие Р корни характеристического многочлена явля-
являются собственными значениями преобразования Т.
(Д. 1.2) Пусть Т: V —+ V — линейное преобразование. Если
vlt ..., vm —¦ собственные векторы этого преобразования, отвечаю-
отвечающие различным собственным значениям съ .... ст_, то vly ..., vm
линейно-независимы.
Доказательство. Допустим, что множество \vlt ..., vm\ линейно-
зависимо. Среди всех соотношений линейной зависимости выберем
какое-нибудь одно, имеющее наименьшее число ненулевых коэффи-
коэффициентов. Меняя, если надо, нумерацию, мы можем считать, что это
соотношение имеет вид
где все at отличны от нуля, Так как все векторы vt ненулевые, то
г > 2. Применяя преобразование Т к равенству (*), получаем
(¦¦) Г (alVl 4- • • • + arvr) = axc{ox + . . . + arcrvr = 0.
Умножим (*) на сх и вычтем из последнего равенства:
аг (с% — cj v2 + ¦ . . + аг (сГ — сх) vr = 0.
Поскольку Cj Ф сг, мы получили более короткое соотношение
линейной зависимости, чем доказательство и завершается. Q
Пусть Т: V —> V — линейное преобразование, и пусть
/V (х) = det (xl — Т) = хп^г ап_Лхп-^ + . . . + ахх + а0.
Теорема Гамильтона—Кэли утверждает, что fr (T) = 0, т. е.
Г + а^Г-1 + • • ¦ + aj- + ао1 = 0.
Отсюда следует, что тт делит fT. Нам будет удобнее доказать
эту теорему не для, линейных преобразований, а для матриц.
Ниже / обозначает единичную яхя-матрицу.
(Д. 1.3) Пусть А — матрица размера пхп с элементами из Р и
fA (х) = det {xl - А) = х" + an_lX"-i + . . . + <h.x + a0.
Тогда
0 = fA {A) = An + an_LAn-x + . . . + «И + ай[.

316 Добавление. Замечания о линейных операторах
Доказательство. Пусть L — произвольное поле и С — матрица
размера пхп с элементами из L. Будем обозначать матрицу, при-
присоединенную к С, через adj С. Напомним, что
Cadj С = det С/.
Применим это равенство к случаю, когда С = xl — A (a L есть
Р (х) — поле рациональных функций над Р). Получим
(*) (xl — A) adj (xl — А) = det (xI — A)-I = fA(x) I.
Элементами матрицы adj (xl — А) служат многочлены, и мы
можем записать
adj (xl - А) = Во + Вхх + .. . + Втхт,
где Bt — матрицы размера пхп с элементами из Р. В этих обозна-
обозначениях равенство (*) принимает вид
(xl - А) (Во + Вгх + . . . + Bmxm) = fA (х) I.
Перепишем это следующим образом:
—АВ0 + х (Во - АВг) + . .. + *т (Вш+1 - АВт) + хт+1Вт
= fA (X) I = xnl + ап_,хп~х1 + ...+ alXI + aol.
Подставляя А вместо х, получаем
fA (А) = А" + о^Л" + . . . + аИ + ар/
= — АВ0 + А(В0- ABJ + .. .
+ Ат (Вт_х - АВт) + Лт+1Вт = 0. Q
2. Вполне приводимые операторы
Пара (V, 2) называется пространством с операторами, если
V — конечномерное векторное пространство над Р, а 2 — неко-
некоторое множество линейных преобразований пространства V. Два
пространства с операторами (V, 2) и (Vх, 21) называются изоморф-
изоморфными, если существуют изоморфизм векторных пространств <р:
V —¦» Vх и взаимно-однозначное сюръективное отображение г|>:
2 —» 21, такие что <р о S = г|э E) оср для каждого 5^2.
Пусть (V, 2) — пространство с операторами. Подпространство
W пространства V называется 2-инвариантным (или инвариант-
инвариантным относительно 2), если SW cz W для любого 5 ? 2. В случае
когда 0 Ф W Ф V, мы можем построить, исходя из W, два про-
пространства с операторами. Во-первых, всякий оператор 5^2
порождает линейное преобразование пространства W посредством
2. Вполне приводимые операторы 317
взятия ограничения S—* S\w. Подпространство W вместе со
всеми его линейными преобразованиями, полученными из элемен-
элементов множества 2 с помощью ограничения, обозначается через
(W, 2 |^). Во-вторых, каждый оператор S?2 обычным образом
порождает линейное преобразование 5 факторпространства V/W:
S (v + W) = Sv
W.
Это отображение определено корректно, поскольку для любого
S~(v + w + W) - Sv + Sw + W - Sv + W,
и легко проверяется, что оно является линейным оператором
в VIW. Пространство V/W вместе со всеми его линейными преобра-
преобразованиями, полученными из элементов множества 2, образует
пространство с операторами, обозначаемое через (V/W, 2),
Пусть (V, 2) — произвольное пространство с операторами.
Если [0( и V — единственные 2-инвариантные подпространства
в V, то (V, 2) (а часто и само V) называется неприводимым. В случае
когда dim V > 1, всегда существует хотя бы одно ненулевое
2-инвариантное подпространство Z пространства V, для которого
(Z, 2 \z) неприводимо. В самом деле, мы можем взять в качестве Z
любое ненулевое 2-инвариантное подпространство в V, имеющее
минимальную размерность.
Пространство с операторами (V, 2) называется вполне приводи-
приводимым, если для каждого 2-инвариантного подпространства W
в V существует 2-инвариантное подпространство W1, такое что
V = W ф W1.
(Д.2.1) Пара (V, 2) вполне приводима тогда и только тогда,
когда существует набор подпространств Wlt ..., W,n пространства
V, удовлетворяющий следующим условиям:
1) каждое WL является 2-инвариантным и каждое (Wit 2 \w.)
неприводимо;
2) V есть прямая сумма подпространств Wit ..., Wm.
Доказательство. Пусть пространство с операторами (V, 2) вполне
приводимо. Обозначим через Ж класс всех 2-инвариантных
подпространств, являющихся прямыми суммами неприводимых
2-инвариантных подпространств. Пусть W = W^ ф ... ф Wn —
какое-либо максимальное подпространство из Ж. Мы утверждаем,
что IF = V. В самом деле, если W ф V, то V = W ф W1, где W1 —
ненулевое 2-инвариантное подпространство. Пусть Z1 — ненуле-
ненулевое 2-инвариантное неприводимое подпространство в Wx. Тогда
^ХЖ, что противоречит максимальности W. Итак, V — W

318 Добавление. Замечания о линейных операторах
? Ж, т. е. V представимо в. виде прямой суммы неприводимых
2-инвариантных подпространств.
Обратно, пусть V является прямой суммой 2-инвариантных
подпространств, скажем V= И^ф ... ф Wm, где все (№,., 2 lwf)
неприводимы. Пусть W — произвольное 2-инвариантное
подпространство в V. Если W = V, то можно взять W1 — 0.
В противном случае W^V. Подпространство W[\Wt 2-инва-
риантно и содержится в Wt. Поэтому оно равно {0} или Wt.
Поскольку W ф V, найдется номер /, для которого W |"| W,-
= {О}. .
Пусть / — наибольшее целое число, для которого существуют
индексы i1 , i.h I < tx < i% < ... < it < m, такие что
Положим
и покажем, что
V = W + W1.
Прежде всего, W f[ W1 = \0\, в силу нашего выбора подпро-
подпространства W1. Далее, пусть i — какой-нибудь индекс A <i <: пг),
не входящий в {ilt ..., i{\. Ввиду максимальности /
Пусть вектор
w = Щг + • • • + wtl
принадлежит W, причем
Тогда wt Ф 0 и потому
>i Ф 0
Следовательно,
Упражнение. Пусть (V, 2) — вполне приводимое пространство с операто-
операторами и W — произвольное ^-инвариантное подпространство в V. Показать,
что пары (W, 2lw) и (V/W, S) вполне приводимы.
3. Расширение основного поля
Пусть L — некоторое поле, содержащее Р. Группа Галуа
поля L над Р состоит из всех автоморфизмом ст поля L, для которых
а? — а при всех а?Р (мы пишем а? вместо ста). Будем обозначать
3. Расширение основного поля 319
эту группу через Gal (L\P). Далее, предположим, что поле L
алгебраически замкнуто. Поле Р называется совершенным, если
выполняется следующее условие: если a?L и аа = а для всех
crGGal (L\P), то а?Р.
Пусть теперь V — векторное пространство над Я, имеющее
базис \еъ ..., еп\, и- L — произвольное поле, содержащее Р.
Тогда мы получаем векторное пространство VL над L, как было
описано в § 1.6 основного текста, и {ег, ..., еп\ будет базисом про-
пространства VL над L. Действие группы Gal (L\ P) на L порождает
действие этой группы на VL следующим образом. Пусть
ст ? Gal (L\P) ии( Vх. Если
то мы полагаем
5
у 1
Это действие не зависит от выбора базиса в V.
(Д.3.1) Предположим, что поле L алгебраически замкнуто, а поле
Р совершенно. Если W — такое подпространство в VL, что
W° =
w
для любого ст^ Gal (L\P), то Wf\ V содержит некоторый базис
пространства W.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если v? V , то
v° = и для всех а? Gal (L | Р) тогда и только тогда, когда v? V.
Действительно, пусть \еи ..., еп) — какой-нибудь базис в V
и v — X l=iaiej ¦ Тогда v° = у для всех ст ? Gal (L | Р) в том и только
том случае, когда а" == а;- для каждого / = 1, ..., п. Это показы-
показывает, что v3 = v для всех ст тогда и только тогда, когда все а;-
принадлежат Р и, значит, v? P.
Теперь предположим, что нумерация базиса \еъ ..., еп] выб-
выбрана так, что \ех + W, ..., ет + W] есть базис в VL/W. Тогда
L
однозначно определены элементы
L, такие что

320 Добавление. Замечания о линейных операторах
для / = т + 1, ...,и. Далее, atk?P. В самом деле, если
^Gl (LIP), то
т т
«/ = S ajkek (mod W) == е° = Б а?лел (mod W)
к — 1 .y=1
и, значит, ctjk = cijk-
Покажем, что элементы
т
., я,
образуют базис пространства W и лежат в Vf\ W. Как мы только
что видели, каждый элемент fs принадлежит W fl V. Далее,
легко проверяется, что эти элементы линейно-независимы. Если
w — произвольный элемент из W, то
т п
~~ /=1 ; 7 ;=m+i °' '
S d/e/ + 23 с// ¦
при подходящих 6у-, су: и dy. Следовательно, T;%=\d,ej^iW и,
в силу нашего выбора элементов \еъ ..., ет], все cfy--равны 0. Это
показывает, что элементы /у- порождают W. Q
Пусть 2 — некоторое множество линейных преобразований
пространства V. Каждое преобразование S ? 2 порождает линей-
линейное преобразование пространства VL (как описано в § 1-.6), которое
мы также будем обозначать через 5. Таким образом, 2 можно
рассматривать как множество линейных преобразований про-
пространства VL.
(Д. 3.2) Пусть V — векторное пространство над Р, 2 — некото-
некоторое множество линейных преобразований этого пространства
и L — некоторое поле, содержащее Р.
1) Если пара (VL, 2) вполне приводима, то и пара (V, 2) вполне
приводима.
2) Если поле Р совершенно и пара (V, 2) вполне приводима, то
пара (VL, 2) тоже вполне приводима.
Доказательство. 1) Пусть U — 2-инвариантное подпространство
в V. Тогда UL будет 2-инвариантным подпространством в VL,
Ич.потому существует 2-инвариантное подпространство W1 в VL,
удовлетворяющее условию VL = UL ф W1.
3. Расширение основного поля 321
Пусть U1 — какое-нибудь подпространство в V, дополнитель-
дополнительное к U, т. е. V = U ф U1. Обозначим через л и я1 проекции на U
и U1 соответственно. Заметим, что если S?2 и W-^U1, то
Пусть г);1: VL —> UL — проекция, отвечающая разложению
VL = UL ф W1. Пусть, далее, (a,-), i6Л— базис L над Р,
выбранный так, что в число его элементов входит aig = 1. Для
каждого ы1^ U1 однозначно определены элементы u^U,
такие что
г|;1(ц1)= V utat.
*€'
Определим отображение г|?: U1 —> U, полагая г|э (и1) = u((j. Оче-
видноч это отображение линейно над Р.
Положим W = {и1 — г|э (и1): и1^ Ux\. В силу Я-линейности
i|j, W является подпространством в V. Далее, V = U®W. Действи-
Действительно, если viz U П
из U1, такие что
*
то существуют элементы иг
то
Следовательно, и\ + ... +и^€ ^П У1 и, значит, и
и v = 0. Кроме того, U cz U + W, и если ы1 с:
ы1 = г|? (ц1) + (ы1 — ф (ц1)) ?U + W.
Наконец, покажем, что подпространство W 2-инвариантно;
Пусть 5^2 и иг^и1. Тогда из равенства
следует, что
г);1 (n1Su1) = ф1 Eм1 — nSu1) = S^w1
и потому г|з (^Sw1) = Sipu1 — nSu1. Следовательно,
S (и1 — ф (u1)) = Sw1 — S^w1 — 5м1 —
. Q
2) Ввиду 1) достаточно показать, что пара (VL, 2) вполне
приводима в случае, когда поле L алгебраически замкнуто. (Возь-
(Возьмем алгебраически замкнутое поле К, содержащее L. Если из-
известно, что пара (VK, 2) вполне приводима, то, в силу 1), и пара
(VL, 2) вполне приводима.) Для этого случая мы докажем, что
если пара (V, 2) неприводима, то пара (VL, 2) вполне приводима.
Тогда общий случай будет следовать из (Д.2.1).
Пусть Z — произвольное ненулевое 2-инвариантное подпро-
подпространство в VL, для которого пара (Z, 2 |z) неприводима. Если

322 Добавление. Замечания о линейных операторах
и? Gal (L\ К), то Za — также 2-инвариантное подпространство
в VL. Положим
где суммирование ведется по всем a? Gal (L\ К). Тогда W° — W
для всех ст? Gal (L\ К) и, согласно (Д.3.1), W обладает базисом,
содержащимся в V. Так как подпространство W П V является
2-инвариантным, то W[)V = V и W= V^. Таким образом,
пространство VL разлагается в прямую сумму 2-инвариантных
неприводимых подпространств и, значит, в силу (Д.2.1), вполне
приводимо. О
4. Полупростые операторы
Прежде чем приводить основные факты о полупростых опера-
операторах, мы должны сформулировать и доказать теорему Тейлора.
Пусть Р — поле. Если f?P [х] и
... + ап хп,
/ = а0
то многочлен
f = ах + 2а2х + •-. + папх
называется производной многочлена f. По индукции определяются
высшие производные:
/<*> = (/<*-")' для Л = 2, ....
Легко проверить, что так определенная операция обладает обыч-
обычными свойствами дифференцирования:
1) (/ + ё)' =Г+ё' Для всех /, ge P U1;
2) (с/)'-= cf для всех f?P [x]\
3) №' = !§' + Г 8 Для всех /, g? P [х\.
Нам понадобится одно следствие утверждения 3), легко доказы-
доказываемое по индукции:
4) (/")' = nfn~lf для всех / ? Р [х] и а = 1, 2, ....
Замечание. Предположим, что / — неприводимый многочлен из
Р [х]. В каком случае наибольший общий делитель многочленов /
и /', обозначаемый через (/, /'), равен 1? По предположению дели-
делителями / могут быть только скаляры и многочлены вида cf. Следо-
Следовательно, если /' Ф 0, то (/, /') = 1. Это всегда так, если Р имеет
4. Полупростые операторы 323
характеристику 0. Однако если char Р = р > 0, то /' может быть
равен 0 и тогда (/, /') = /. В теории Галуа доказывается, что
если поле Р совершенно, то (/, /') всегда равняется 1.
Формула Тейлора. Пусть f — многочлен над Р и х, у — перемен-
переменные над Р. Тогда
где
x) = f{k) (х)
для k = 0, ..., п.
Доказательство. Простое возведение в степень и приведение подоб-
подобных членов в / (х + у) показывают, что существуют многочлены
Ы*)> ¦¦¦' fn М> такие что
Последовательно дифференцируя, это равенство по у и применяя
правило D), получаем
Г (х + у) = fx (х) + 2/2 (х) у + . . . + nfn (у) уп'\
fk) (х + У) = Щк(х) И- . . . + п (п - 1). ..An - k + 1)
Поскольку х и у — переменные, мы можем заменить в каждом из
написанных выше равенств у на 0. Это дает искомую формулу, о
Пусть, как обычно, V — конечномерное векторное простран-
пространство над Р. Линейное преобразование 5: V —* V называется полу-
полупростым, если пара (V, {S\) вполне приводима.
(Д.4.1) Пусть Р —совершенное поле, L — алгебраически замкну-
замкнутое поле, содержащее Р, V — конечномерное векторное простран-
пространство над Р и S: V —> V — линейное преобразование.
1) Преобразование S полупросто тогда и только тогда, когда V
обладает базисом, состоящим из собственных векторов этого
преобразования.
2) Если f^P [x] и S полупросто, то f (S) полупросто.
3) Если S и Т — полупростые линейные преобразования в V,
такие что ST = TS, то S — Т полу просто.
Доказательство. Согласно (Д.3.2), 5 полупросто тогда и только
тогда, когда пара (VL, \S\) вполне приводима. Поскольку L
алгебраически замкнуто, единственными 5-неприводимыми под-
подпространствами в VL служат {0} и одномерные подпространства,
порожденные собственными векторами преобразования 5. Поэтому
утверждение 1) следует из (Д.2.1).

324 Добавление. Замечания о линейных операторах
Чтобы доказать утверждение 2), возьмем базис {ег, ¦¦¦,е/г\
в VL, такой что Set = с,-е,- при подходящих с,- ? L. Тогда / (S) eL
— f (C[) et и, значит, f (S) полупросто, в силу 1).
Далее, пусть clt ..., ck— различные собственные значения
оператора 5. Положим
Vl = {v^VL: Sv = C[v} для J=l. ..., k.
Пространства \\, ..., Vk инвариантны относительно Т. В самом
деле, если v? VL, то
STv = TSv = T.(cLv) = c-jv.
Поскольку оператор Т полупрост в V, он полупрост и в "Vt (согласно
упражнению, к § 2). В силу 1), существует базис {wi: ...,wr\
пространства VL, удовлетворяющий условиям
(Д.4.2) Пусть поле Р совершенно. Для того чтобы линейное пре-
преобразование S: V --* V было полупростым, необходимо и достаточно,
чтобы существовал многочлен f?P [х], удовлетворяющий усло-
условиям (/, /') = !"/ (S) = 0.
Доказательство. Пусть 5 полупросто. Если V имеет размерность
п, то преобразования 1, S, ..., Sn" линейно-зависимы над Р.
Следовательно, существует ненулевой многочлен F?P \x], для
которого F (S) = 0. Пусть
F = cF{k ..Ferr,
где (F^ Fj) = 1 для i ф j, — разложение F на неприводимые
многочлены в Р [х]. Положим / = Fx ... Fr и обозначим через е
наименьшее общее кратное чисел еъ ..., ег. Тогда f делится на F
и потому / (S)e = 0. В то же время преобразование / (S) полу-
полупросто, и равенство / (S)e = 6 показывает, что все собственные
значения этого преобразования равны 0. Следовательно, / (S) = 0.
Далее, (/, /') = 1, поскольку (Fh F't) = 1 и
Обратное, предположим, что существует многочлен f? P [х],
удовлетворяющий условиям (/, /') = 1 и / (S) = 0. Пусть L —
алгебраически замкнутое поле, содержащее К- Тогда f можно
рассматривать как многочлен из L [х], для которого /E) = 0.
Далее, (/, /') = 1 в L [х], так как существуют многочлены g, h
из Р [х\ cz L [х], удовлетворяющие условию gf + hf — 1. Со-
5. Разложение Жордана 325
гласно (Д.3.2), нам достаточно доказать, что 5 является полу-
полупростым оператором в VL.
Так как поле L алгебраически замкнуто, то
f(x) = c(x — a1). . .(х — ак),
где с, аг ak^L (причем каждый корень имеет кратность 1,
ибо (/, /') = 1). Положим
для i = 1, ..., k. Так как наибольший общий делитель многочле-
многочленов flt ..., fk равен 1, то существуют многочлены glt ..., gk из
L [х], такие что glf1 + ¦•• + gkfk = 1-
Определим подпространства Ul7 ..., Uk в VL формулой
и покажем, что V есть прямая сумма этих подпространств (отсюда
будет следовать, согласно (Д.4.1), что S полупросто). Прежде
всего, для и? VL имеем
v = gl (S) f1(S)v+...+gk (S) h (S) v.
Ho fa (S) v? Uu поскольку
Тот факт, что V есть прямая сумма Uh следует теперь из линейной
независимости собственных векторов с попарно различными
собственными числами. Q
Упражнение. Пусть поле Р совершенно. Показать, что линейное преобразова-
преобразование S: V -> V полупросто тогда и только тогда, когда (ms, m's) = 1.
5. Разложение Жордана
Пусть V — конечномерное векторное пространство над Р.
Линейное преобразование N: V —> V называется нильпотентным,
если существует натуральное число е 5> 1, такое что Ne = 0.
(Д.5.1) Если N нильпотентно и полупросто, то N = 0.
Доказательство. Пусть е — наименьшее натуральное число, для
которого Ne = 0. Если е = 1, то все доказано. В противном случае
е 5> 2 и Ne~x Ф 0, поэтому существует вектор v0 ? V, для которого
Ne~lv0 Ф 0. Положим

326 Добавление. Замечания о линейных операторах
Как мы только что видели, Ne~xv0 ? W, так что W ф 0. По-
Поскольку N полупросто, существует Af-инвариантное подпростран-
подпространство W1 в V, такое что V = W, ф W1. Далее, так как е > 2, to
W ^ V я W1 Ф {0}. Точно такое же рассуждение, как и выше,
показывает, что существует ненулевой вектор vt -? W71, для кото-
которого Nv-i = 0. Значит, wx? Wfl W1- Полученное противоречие
завершает доказательство. Q
(Д.5.2) Пусть Р — совершенное поле, V — конечномерное векторное
пространство над Р и Т: V —-» V — линейное преобразование.
Существуют такие линейные преобразования S и N пространства
V, что
1) Т = S + N;
2) SN = NS;
3) 5 полупросто, а N нильпотентно;
4) S и N — многочлены от Т.
Пара (S, N), удовлетворяющая этим условиям, единственна.
Доказательство. Точно так же, как и при доказательстве утверж-
утверждения (Д.4.2), можно найти многочлен/ ? Р [х], для которого
(/> /') — 1 и / (Т)е = 0. Пусть h и hx — такие многочлены из
Р [х], что f'h+'fhi = 1. Тогда /'/г = 1 (mod/).
Используя эти многочлены, определим гомоморфизм а: Р[х]
—> Р [х] формулами а, (х) = х — / (х) h(x) и а (р(х)) = р (а
в общем случае. При помощи формулы Тейлора получаем
« (/) = / (х - / (х) /I (х)) = /(*)- /' (х) / (х) ft (x) (mod /
= / (х) A - /' (х) h (x)) (mod
= f{x) f (x) Л, (x) (mod /2/i2) = 0 (mod f).
По индукции легко доказывается, что
(*) am(f) = 0(mod/2m).
Пусть m — натуральное число, выбранное так, что 2т > е.
Из (*) следует, что ат (/) = 0 (mod f). Определим линейное пре-
преобразование 5 формулой
5 = ат (х) (Т).
Тогда
/ (S) = / (а- (х) (Т)) = (а-/) (х) (Г) = 0,
поскольку ат/ делится на /е и / (Г)е = 0. Линейное преобразова-
преобразование 5 является многочленом от Т по построению и полупросто
в силу (Д.4.2).
6. Теорема Жордана — Гёльдера 327
Пусть N = Т — 5. Заметим, что
а (х) = х — f (x) h (х) = х (mod /)
и потому
а* (х) — х (mod /).
Следовательно,
/Vе = (Т — Sf =
Г = 0,
поскольку х — ат (х) делится на / и / (Т)е = 0. Таким образом,
оператор N нильпотентен, и очевидно, что он является многочле-
многочленом от Т.
Наконец, допустим, что T=.S + N = S1+N1, где опера-
операторы 51 и N1 суть многочлены от Т, причем S1 полупрост, a N1
нильпотентен. Оператор 51 коммутирует с 5, ибо оба эти оператора
— многочлены от Т. Следовательно, оператор S — S1 полупрост,
в силу (Д.4.1). По той же причине N коммутирует с N1. Если Ne = 0
и (Af1J' = 0, то (N — Аг1)е+е1+1 = 0. Поэтому 5 — 51 = N1 — N,
так что оператор 5 — 51 полупрост и нильпотентен. Согласно
(Д.5.1), 5 = S1. Следовательно, N = N1. Q
6. Теорема Жордана—Гёльдера
Пусть (V, 2) — пространство с операторами. Последователь-
Последовательность 2-инвариантных подпространств
' называется %-рядом в V. Про такой ряд говорят, что он имеет
длину г.
2-ряд
¦{01 = Ко с: ...c=Vs = V
называется уплотнением ряда
если каждое подпространство Wi совпадает с одним из Vr
Пусть
{0} = Wo cz . . . с Wr = V
— некоторый 2-ряд в V. Поскольку каждое Wt 2-инвариантно,
имеется естественное действие 2 на WjWi^.. Пространство
WjWi_v вместе с этим действием множества 2 есть пространство
с операторами, обозначаемое через {WLIWi_v 2) и называемое
фактором данного ряда.

328 Добавление. Замечания о линейных операторах
Наконец, ряд
называется композиционным 2 -рядом в V, если каждый фактор
WjWi_x является ненулевым и неприводимым.
(Д.6.1) Пусть Wu W2, Vt uV2 суть I.-инвариантные подпро-
подпространства в V, такие что №2 cz W± и V2 cz VV Тогда
+ (w, n v
, n
i n vt))
как 2-модули.
Доказательство. Каноническое отображение
(Wx П Vt) - (Wt + (W1{\ Vx))/(W2 + (fl7, П
сюръективно и имеет ядро
n
Аналогично каноническое отображение
(wx n Vi) - (va + (Vi n ^i))/(va +
есть сюръективное отображение с ядром
Нам достаточно показать, что
== Я- Пусть а;
где ш^ Wi П Vi, Шх
му да — wx — w2?
доказывается, что
П V2 и оу2 ? W2- Тогда oj — a>
VV Следовательно, ш^ Я.
г П
ъ скажем
? Vx и пото-
потоАналогично
(Д.6.2) (Уточнение теоремы О. Шрайера) Любые два Ъ-ряда в (V,
2) обладают уплотнениями равной длины, такими что факторы
этих уплотнений попарно изоморфны.
Доказательство. Пусть
два 2-ряда в (V, 2). Положим
6. Теорема Жордана—Гёльдера 329
Тогда
wis =
n vf) =
; n V) =
Таким образом, мы имеем последовательность 2-инвариантных
подпространств
W — W a c^W- —W-
Аналогично имеем
V,_, = V,n «= V,
и.
v. =
v ir
Включение этих членов в исходные последовательности дает два
уплотнения длины rs, и
в силу (Д.6.1). О
(Д.6.3) (Теорема Жордана—Гёльдера) Пусть (V, 2) — простран-
пространство с операторами. Любые два композиционных 1,-ряда в V имеют
одинаковую длину и попарно изоморфные факторы.

ЛИТЕРАТУРА
Помета „[К гл. га]" после описания работы указывает на главу настоящей
книги, к которой относится эта работа.
Бёрнер X. (Н. Boerner) Representations of groups, North-Holland Publishing
Company, Amsterdam, 1963. [Бёрнер] [К гл. 7]
Борель A. (A. Borel) Линейные алгебраические группы. —.М.: Мир, 1972 A969).
[К гл. 6]
Вейль Г. (Н. Weyl) Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfachen
Gruppen, I—III, Math., 23, 24 A924—25). [К гл. 7]
Вейль Г. (Н. Weyl) The structure and representation of continuous groups, Lecture
' Note A934—35). [К гл. 7]
Гантмахер Ф. Р. Канонические представления автоморфизмов комплексных
групп Ли. — Мат. сборник, 1939, 5, с. 101—146.
Гантмахер Ф. Р. О классификации вещественных простых групп Ли. — Мат.
сборник, 1939, 5, с. 217—249. [К гл. 8]
Гуревич В., Волмэн Г. (W. Hurewicz, H. Wallman) Теория размерности. —М.:
ИЛ, 1948 A941). [К гл. 6, 7]
Джекобсон Н. (N. Jacobson) Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964 A962). [Джекобсон]
Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли. — Мат. сборник, 1946, 18
F0), с. 347—352. [К гл. 2]
Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли. — УМН, 1947, 2:4 B0),
с. 59—127. [К гл. 2]
Ивахори Н. (N. Iwahori) Theory of Lie groups, Iwanami", Tokyo, 1957 (на японском)
Ивахори Н. (N. Iwahori) On real irreducible representations of Lie algebras, Na-
goya Math. J., 14A959), 59—83. [К гл. 8]
Ивахори Н., Мацумото X. (N. Iwahori, H. Matsuraoto) On some Bruhat decom-
decomposition and the structure of the Hecke rings of p-adic Chevalley groups, In-
stitut Des Hautes Etudes Scientiflques Publication Mathematiques, No. 25
A965), 237—280. [К гл. 5]
Картан Э. (E. Cartan) Oeuvres completes, Partie I, Vol. 1 et 2 A952).
Мацусима Я. (Y. Matsushima) Theory of Lie rings, Kyoritsu, Tokyo, 1956 (на япон-
японском).
Мураками С. (S. Murakami) On the automorphisms of a real semisimple Lie al-
algebra, Journ. Math. Soc. Japan, 4 A952), 291—307. [К гл. 8]
Понтрягнн Л. С. Непрерывные группы.—3-е изд. — М.: Наука, 1973.
Самельсон X. (Н. Samelson) Notes on Lie algebras, Van Nostrand, New York, 1969.
Сатакэ И. (I. Satake) On a theorem of E. Cartan, Journ. Math. Soc. Japan, 2 A951),
284—305. [К гл. 7]
Тите Ж. (J- Tits) Tabellen zu der einfachen Lie Qruppen und ihren Darstellungen,
Lecture Notes in Mathematics, 40, Springer-Verlag, 1967.
1 Те работы, на которые имеются ссылки в тексте, отмечены здесь фа-
фамилией автора в квадратных скобках (см. предисловие).
Для переводных книг в круглых скобках указан год выхода оригиналь-
оригинального издания. — Прим. перев.
Литература 331
Фройденталь X. (Н. Freudenthal) Zur Berechnung der Charactere der halb-ein-
halb-einfachen Lieschen Qruppen, I, II, Indagatioues Math., 16 A954), 369—376,
487—491. [К гл. 7]
Харнш-Чандра (Harish-Chandra) On some applications of the universal enveloping
algebra of a semisimple Lie algebra, Trans. Amer. Math. Soc, 70 A951), 28—
99. [К гл. 7]
Хелгасон С. (S. Helgason) Дифференциальная геометрия и симметрические про-
пространства. — М.: Мнр, 1964A962). [Хелгасои]
Хохшильд Г. (Q. Hochschild) Representation theory of Lie algebras, University
of Chicago, Chicago, 1959. [К гл. 7]
Хохшильд Г. (Q. Hochschild) The structure of Lie groups, Holden-Day, San Fran-
Francisco, 1965.
Шевалле К. (С. Chevalley) Теория групп Ли. В 3 томах. — М.: ИЛ, т. 1, 1948
A944) [Шевалле]; т. 2, 1958A951); т. 3, 1958A955).
Шевалле К., Эйленберг С. (С. Chevalley, S. Eilenberg) Cohomology theory of Lie
groups and Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc, 63 A943), 85—124. [К гл. 3]
Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли.—М.: ИЛ,
1962 A955).

ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
абелева алгебра Ли 15
автоморфизм 8
А до И. Д. 44
алгебра 7
— Ли 7
группы 174
алгебраическая группа 181, 182
альтернирующая функция на подалгебре
Картана 238
альтернирующее полилинейное отобра-
отображение 92
аналитическая подгруппа в GL (г, С) 197
антикоммутативиая алгебра 32
антикоммутативность 7
Артин (Е. Artin) 25
ассоциативная алгебра 7
аффинная группа корневой системы 158
Бе'рнер (Н. Воегпег) 330
бнголоморфность 172
Борель (A. Borel) 330
Бореля подгруппа 211
Брайтон P. (R. Branton) 6
Брайтон Э. (Mrs. Anna Мае Branton) 6
Брюа разложение 210
Вейль (Н. Weyl) 5, 116, 117, 172, 213, 216,
228, 248, 330
Вейля аффинная группа 158
— базис 137
— группа 137
— камера 138
векторное пространство 7
вес 52
весовое подпространство 221
весовой вектор 221
вещественная форма НО
внешний тип 288
внутренний автоморфизм 119
— тнп 288
Волмэн (Н. Wallman) 330
вполне приводимое представление 12
ассоциированное с данным 12
— — пространство с операторами 317
высота 78
Галуа группа 318
Гамильтона —Кэли теорема 315
Гантмахер Ф. р. 330
голоморфность 172
гомоморфизм алгебр 8
Гото (М. Goto) 6. 106
Гроссханс (F. D. Grosshans) 6
группа автоморфизмов алгебры 8
корневой системы 137
— — фундаментальной системы 140
— Ли 177
— — комплексная 177
Гурееич (W. Hurewicz) 330
Джекобсон (N. Jacobson) 42, 83, 330
дифференцирование алгебры 10
Ли 27
внутреннее 27
длниа элемента группы Afd (Д) 166
— ряда 327
доминантная форма 227
дуальное представление 219
Дынкин Е. Б. 330
Дынкина диаграмма 71. 162
Желобенко Д. П. 5
Жордана разложение 325
Жордана—Ге'льдера теорема 329
задает (подалгебру) 277
знакопеременное полилинейное отображе-
отображение 92
Иеасаеа (К. Iwasawa) 44, 132
Ивасавы разложение 130, 203
Ивахори (N. Iwahori) 137, 330
идеал 7
изоморфизм алгебр 8
ннвариантиое подпространство 313, 316
инверсная корневая система 149
ннволютивный автоморфизм 122
индекс представления 251
индефинитная ортогональная группа 181
Казимира эндоморфизм 101
Картан (Е. Cartan) 5, 23, 44, 175, 223,
228, 330
Картана матрица 69
— подалгебра 36
— разложение полупростой алгебры Ли 124
— — — линейной группы 192
— теорема 23, 255
— числа 69
Киллинг (W. Killing) 5
Киллинга форма 26
классические алгебры Ли 10
клетка 159
Клиффорда алгебра 250
когомологии алгебры Ли 94
кограница 94
коммутативная алгебра 19
компактная алгебра Ли 114
компактно вложенная подалгебра 114
комплексифнкация 110
комплексная структура Ли 111
иа р 305
V 111
композиционный ряд 328
компонента единицы 177
корень 37
корневая система 68
косоэрмнтова матрица 31
коцепь 92
коцикл 94
Лай Ф. (Mrs. Fong Lai) 6
Лай Х.-Л. (Heng-Lung Lai) 6
Леей (Е. Levi) 105
— разложение 105
Ли (S. Lie) 6, 20 ,
— алгебра 7
— группа 177 Щ
— теорема 22
линейная группа 172, 176
— — комплексная 176
линейное преобразование 311
Предметно-именной указатель 333
линейный оператор 311
локально-нзоморфные линейные группы
197
Мальцев А. И. 106
матрицы перестановки 199
Мацумото (Н. Matsumoto) 137, 330
Мацусима (Y. Matsushima) 330
минимальный многочлен 313
монический многочлен 312
Мураками (S. Murakami) 330
невырожденная алгебра Ли 27
неподвижная точка 108
неприводимое представление 12
— пространство с операторами 317
нильпотентная алгебра Ли 14
нильпотентный оператор 325
ниль-раднкал 17
нормализатор 18
нормальный автоморфизм 148
однопараметрнческая подгруппа 118
однородная цепь 73
определитель 312
ортогональная алгебра Ли 9
— группа вещественная 181
— — комплексная 180
— пара 151
— система 67
ортогональное дополнение 25
Петера— Вейля теория 245
подалгебра 7
— максимального ранга 272
подмногообразие 175
подобия преобразование 77
подсистема 273
полная алгебра Ли 28
— аффинная алгебра 108
— линейная алгебра Ли 9
— — группа 172
— приводимость 95
положительная матрица 183
положительно-определенная матрица 183
полулинейное отображение 252
полулинейный функционал 252
полупростая алгебра Ли 20
— линейная группа 191
полупрямое произведение 141
полуторалинейная форма 179
полярное разложение 186
Понтрягин Л. С. 151, 206, 330
представление алгебры Ли 10
— — — комплексное 221
представляющая функция 46
приведенное выражение 166
приводимое представление 12
примитивный характер 245
присоединенная группа 119
присоединенное представление 11
произведение представлений 14
производная алгебра 19
— последовательность 19
простая алгебра 9
простой корень 67
пространство с операторами 316
прямая сумма 9
Пуанкаре—Биркгоффа—Витта теорема
42
радикал 20
разложение по корневым подпространст-
подпространствам 37
размерностей формула 247
разрешимая алгебра Ли 19
ранг алгебры Ли 38
расширение алгебры Ли 98
• расщепнмое 99
— — — эквивалентное 98
— поля коэффициентов 23, 29
расширенная диаграмма Дынкина 162
— система простых корней 272
— фундаментальная система 162
регулярное вложение 175
регулярный элемент алгебры Ли 38
— — односвязной линейной группы 223
— — присоединенной группы 215
ряд 327
Самельсон (Н. Samelson) 330
самосопряженное представление 253
Сатакэ (I. Satake) 330
Свободная алгебра 40
связанные элементы я-системы 72
связная подгруппа Ли в GL (г, С) 197
связное подмножество диаграммы Дын-
Дынкина 72
сечение 96
симметричная билинейная форма 24
— — — инвариантная 25
— — — невырожденная 25
— функция на подалгебре Картана 238
симплектнческая алгебра Ли 9
— .группа вещественная 181
— — комплексная 180
сингулярный элемент односвязной линей-
линейной группы 233
скалярное произведение 114
— — инвариантное 114
— — {-инвариантное 114
скобочное умножение 8
Смита инвариант 151
собственное значение 314
— число 314
собственный вектрр 314
совершенное поле 319
сопряжение 110
сопряженное представление 253
специальная линейная алгебра Ли 9
— — группа 181
— ортогональная группа 181
— унитарная группа 181
спинорное представление 251
старший вес 65, 222
— весовой вектор 222
строго доминантная форма 240
структурные константы 7
сумма представлений 13
таблица умножения алгебры Ли 196
Тейлора формула 323
тензорная алгебра 40
Тите (J. Tits) 330
тор 217
универсальная обертывающая алгебра 41
универсальный центр 151
унитарная группа 180
— снмплектнческая группа 181
уплотнение ряда 327

334 Предметно-именной указатель
фактор ряда 327
факторалгебра 8
факторцикл 97
факторпростраиство линейной группы 207
флаговое многообразие 212
Фройденталь (Н. Freudenthal) 331
фундаментальная клетка 159
— система корней 69, 162
фундаментальный вес 150, 24S
функция классов 244
Хаара мера 243
Хант (Hunt) 128
характер 239
характеристическая подалгебра 55
характеристический многочлен 315
характеров формула 246
Хариш-Чандра (Harlsh-Chandra) 4 4, 83,
106, 228, 331
Хелгасон (S. Helgason) 213, 331
Хохшильд (G. Hochschild) 331
Цассенхауз (Н. Zassenhaus) 44, 48
целочисленная форма 227
центр 11
центральная последовательность возра-
возрастающая 19
— — убывающая 14
Шевалле (С. Chevalley) 172, 187, 206, 208,
213, 228, 231, 331
Шмидта процесс 198
Шрайер (О. Schreier) 328
Шрайера теорема (уточненная) 328
Шура лемма 13, 225
Эйленберг (S. Eilenberg) 331
экспоненциальное отображение 172
Энгеля теорема 16
эрмитова матрица 183
ядро 8
Якоба тождество 7
С-голоморфиость 172
7"-ннварнаитное подпространство 313
ос-последовательиость 63
А.-собствеииое подпространство 221
А.-собствеииый вектор 221
я-система 69
— неразложимая 70
— эквивалентная 71
2-инвариантное подпространство 316