/
Похожие
Текст
В. М. БОНДАРЕНКО
НЕКОТОРЫЕ
ВОПРОСЫ
НЕЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ХАРЬКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Харьков 1968
УДК624.012.4
Б—81
6С4
Б81
Монография посвящена оценке напряженного
состояния, расчету деформаций и несущей спо-
собности стержневых железобетонных конструкций.
При этом учитывается нелинейность мгновенного
и длительного деформирования.
В книге излагается анализ современных теорий
ползучести бетона, а также оценка влияния ста-
рения и усадки бетона, влажности и температуры
среды, масштабного фактора, виброползучести
и т. п.
Исследование выполняется методом интеграль-
ного модуля деформаций, сводящим нелинейные
задачи строительной механики к линейному
расчетному аппарату. Изложены эксперименталь-
ная проверка метода, а также решения некоторых
задач (статически неопределимые и контактные
системы, колебания и устойчивость стержней и др.).
Книга рассчитана на инженеров-проектировщи-
ков и научных работников.
3—2—8
ВВЕДЕНИЕ
Реальные конструктивные материалы, как правило, де-
формируются неравновесно и нелинейно. Неравновесность дефор-
мирования проявляется в том, что при нагружении образцов, по-
мимо упруго-мгновенных деформаций, развиваются так называемые
неупругие деформации и, в частности, деформации ползучести.
Нелинейность деформирования заключается в отсутствии между
напряжениями и деформациями пропорциональной связи. Это отно-
сится как к деформациям ползучести, так и к упруго-мгновенным
деформациям. Применительно к деформациям ползучести под не-
пропорциональностью связи между напряжениями и деформациями
понимается следующее: если несколько образцов-близнецов нагру-
зить различными силами, то деформации ползучести, накопленные
образцами за равные промежутки времени, не пропорциональны
этим силам.
Бетон и арматурная сталь, составляющие железобетон, также
подчиняются этому правилу. Внешние признаки связей между на-
пряжениями и деформациями бетона и арматурной стали иден-
тичны. Это позволяет в необходимых случаях использовать для
них единые по математической записи феноменологические урав-
нения механического состояния материалов1. Однако проявление
неравновесное™ и нелинейности деформирования бетона и арма-
турной стали различно. Поэтому для арматурной стали обычно
используют упрощенные записи уравнений деформаций.
Деформируемость бетона и арматурной стали изменяется в за-
висимости от химического состава, способа обработки, величины
образца, режима внешних воздействий, температуры среды и т. п.
Кроме того, бетон, высокоуглеродистая и низкоуглеродистая стали,
подвергнутые предварительно холодному деформированию, харак-
теризуются значительными явлениями старения — изменением .ме-
ханических свойств с увеличением возраста. Наконец, количест-
венные характеристики механических свойств бетонов, в отличие
от арматурной стали, существенно зависят от знака действующих
1 Вместо термина «уравнения механического состояния» в литературе также
применяются другие термины: реологические уравнения, уравнения деформа-
ции, физические уравнения и т. п.
напряжений: предел прочности, модуль деформаций, предельная
относительная деформация при сжатии во много раз больше, чем
одноименные характеристики при растяжении. Это и предопре-
деляет возможность появления и раскрытия трещин в бетоне рас-
тянутой зоны железобетонных конструкций и обусловливает целе-
сообразность создания асимметричных относительно нейтральной
оси сечений, т. е. уменьшения растянутой части бетонного сечения
и одновременно увеличения площади арматуры в растянутой зоне,
а в необходимых случаях, и предварительное обжатие последней.
Полные деформации состоят из влажностных деформаций (усадка
или набухание), упруго-мгновенных деформаций и деформаций пол-
зучести 1. Эти компоненты полных деформаций могут быть на-
званы частными деформациями. Каждая из частных деформаций
имеет свои специфические особенности, которые различны у раз-
ных материалов. Так, например, деформации ползучести бетонов
развиваются при любой температуре и любой влажности среды,
увеличиваясь с ростом температуры и уменьшением влажности.
Деформации ползучести арматурных сталей не связаны с влаж-
ностью, а влияние на них температуры неодинаково для различ-
ных сталей: если ползучесть высокоуглеродистых, так называемых
жестких сталей, проявляется при любых температурах, то ползу-
честь малоуглеродистых (мягких) сталей заметна только при тем-
пературах выше 300—400° С (явление крипа).
Р. Ольсоном [373] показано, что с точки зрения молекулярно-
кинетической теории строения твердых тел существует только
нелинейная связь между напряжениями и деформациями, а ли-
нейная связь (например, общеизвестный закон Гука) является
лишь упрощенной записью уравнения состояния материала, допу-
стимой только при весьма малых напряжениях. Как полные, так
и частные деформации бетонов и арматурной стали нелинейно свя-
заны с напряжениями2.
Нелинейность деформирования бетонов проявляется по-разному
в зависимости от знака напряжения: при сжатии она больше, чем
при растяжении. Нелинейность упруго-мгновенных деформаций
значительна при-^ = 0,6-i-0,8, а нелинейность деформаций пол-
зучести — уже при = 0,3 -г- 0,5.
В связи с этим многие исследователи учитывают только
нелинейность деформаций ползучести, игнорируя нелинейность
упруго-мгновенных деформаций. По-видимому, при расчете кон-
струкций на эксплуатационные статические нагрузки это практи-
чески целесообразно. При динамическом расчете, когда петля ги-
стерезиса на диаграмме «напряжения—деформации», отражающая
1 Очевидно, что влажностные деформации арматурной стали отсутствуют.
2 Деформации усадки и набухания несущественно зависят от напряжений,
поэтому влияние напряжений на них не учитывается.
явление диссипации энергии, должна учитываться при любых про-
должительностях нагружения и любых частотах колебаний,
игнорирование нелинейности упруго-мгновенных деформаций
недопустимо. Сохраняя принципиально единый подход к дина-
мическим и статическим исследованиям и учитывая, что при-
нятие нелинейности упруго-мгновенных деформаций позволяет
получить качественно новые результаты при кратковременном
загружении даже для статических задач, нами в дальнейшем
признается как нелинейность деформации ползучести, так и не-
линейность упруго-мгновенных деформаций.
Нелинейность деформирования арматуры мало зависит от знака
напряжений. Нелинейность деформирования высокоуглеродистых
сталей проявляется при сравнительно низких уровнях напряже-
ний (кривая о—s характерна плавным (монотонным) изменением
кривизны), а низко углеродистых наступает после того, как вели-
чина напряжений превысит так называемый предел пропорцио-
нальности (для кривой з—е свойственны внезапные изменения
кривизны).
Во времени и по мере увеличения нагрузок перечисленные свой-
ства деформаций бетона и арматуры при совместной работе вызы-
вают перераспределение напряжений между ними, уменьшают
жесткость сечений вплоть до появления пластических шарниров
и изменения статической схемы конструкции, увеличивают про-
гибы и обусловливают перераспределение усилий в статически
неопределимых системах, влияют на режим колебаний, устойчи-
вость конструкции и т. п.
Несмотря на высокий уровень современной теории железобе-
тона, достигнутый благодаря работам советских и зарубежных
ученых-строителей, она требует дальнейшего развития, особенно
в связи с необходимостью учитывать неравновесность и нелиней-
ность деформирования, а целый ряд проблем ожидают еще деталь-
ного изучения.
До настоящего времени, в частности, отсутствует единая, легко
реализуемая в практических расчетах методика расчета стержне-
вых и тонкостенных конструкций, которая учитывала бы все об-
суждаемые выше свойства деформаций арматурных сталей и осо-
бенно бетонов (главным образом, нелинейности деформирования)
и одновременно в равной степени была пригодна для оценки проч-
ности, устойчивости, деформативности, колебаний и трещино-
стойкости обычных и предварительно напряженных конструкций
различных статически определимых и статически неопределимых
и контактных систем.
С этой точки зрения предлагаемый читателю метод интеграль-
ного модуля деформации автор рассматривает как одну из попыток
построить такую единую методику инженерного расчета железо-
бетонных конструкций.
Глава I
НЕЛИНЕЙНОСТЬ И НЕРАВНОВЕСНОСТЬ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ПРОЧНОСТЬ БЕТОНОВ
§ I, 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДПОСЫЛКИ
Используемые в настоящее время реологические урав-
нения механического состояния конструкционных материалов и,
в частности, бетонов и арматурной стали представляют собою
феноменологические зависимости. Они описывают внешние связи
между напряжениями и относительными деформациями во вре-
мени при одноосном нагружении лабораторных образцов. Вслед-
ствие идентичности проявления этих связей у большинства ма-
териалов в технической теории деформаций пользуются, как пра-
вило, едиными математическими записями указанных связей.
В основе современных уравнений механического состояния
материалов заложены следующие предпосылки:
а) Вне зависимости от величины, режима и длительности за-
гружения как частные, так и полные относительные деформации
считаются малыми в смысле принципа начальных размеров [278].
б) Взаимозависимость частных деформаций не учитывается,
считается, что
^У-^У-Л _ n- d£n - de°
(1,1)
где еу — относительные деформации усадки (или набухания);
ем—относительные упруго-мгновенные деформации;
еп — относительные деформации ползучести.
в) Полные деформации считаются суммой частных:
£=еу + ем + еп- (1,2)
г) Предполагается аффиноподобие кривых частных деформа-
ций. Это значит, что ординаты одноименных частных деформаций
образцов-близнецов, загруженных различными силами, отличаются
одна от другой в определенное и неизменное во времени число
раз, зависящее только от уровня нагружения1.
1 Опыты П. И. Васильева [58 , 60], Н. И. Катина [133] показывают, что
имеются случаи, когда аффиноподобие нарушается.
Рис. 1,1. Простейший режим нагру-
жения:
/V—режим изменения нагрузки, с —
режим изменения напряжений.
д) Для деформаций ползучести используется принцип супер-
позиции [96, 313]. Теоретические и экспериментальные исследо-
вания В. Персоца [376], Э. Л. Манукяна [175], А. А. Гвоздева,
А. В. Яшина, К- 3. Галустова [84], С. В. Александровского,
В. Я. Багрия [6], а также [50] и обработка опытных данных, по-
лученных в Харьковском инженерно-строительном институте, под-
твердили, что принцип суперпозиции практически справедлив не
только для линейной, но и для нелинейной ползучести. Как по-
казано А. А. Гвоздевым, А. В. Яшиным и К. 3. Галустовым, для
этого достаточно выделить необратимые деформации ползучести
первого рода, обусловленные
структурными изменениями це-
ментного камня и проявляю-
щиеся на первых циклах пе-
риодических нагружений. При
использовании принципа супер-
позиции, как следует из ис-
следований С. В. Александров-
ского и В. Я. Багрия, расхож-
дение с опытными данными
составляет не больше 10%.
В теоретическом плане для
принятия принципа суперпози-
ции в нелинейной ползучести
достаточно признать взаимоне-
зависимость частных деформа-
ций (1,1). Заметим, что принятие
этого принципа для деформаций
не предопределяет его справед-
ливости для напряжений [282].
В настоящей главе рассматриваются только деформации, раз-
вивающиеся при простейшем нагружении. Простейшим считается
нагружение, которое соответствует мгновенному (в статическом
смысле) приложению нагрузки с последующим поддержанием
неизменных во времени напряжений (рис. 1,1). Такой ре-
жим нагружения называется нами далее «простейшим». Все другие
случаи нагружения оговариваются.
В отличие от упруго-мгновенных деформаций, определяющихся
только величиной напряжений в момент наблюдения и не зави-
сящих от величин и режима предшествующих нагружений, а
также в отличие от деформаций усадки, которые очень незначи-
тельно зависят от напряжений и, следовательно, от режима на-
гружения1, деформации ползучести обусловливаются не только
1 В дальнейшем речь будет идти о деформациях усадки, а деформации
набухания. не будут рассматриваться.
величинои, но режимом и длительностью нагружения, предше-
ствующих моменту наблюдения t.
Действительно, представим, что два одинаковых образца-бли-
знеца lull, загруженные в момент /0, в момент наблюдения t
испытывают одинаковые напряжения О) (рис. 1,2). Образец /
загружен по режиму, изображенному кривой / в координатах сО/,
а образец II — по режиму, изображенному кривой II. Очевидно,
что деформации ползучести образца /, развивающиеся по кривой
I (координатные оси епО/), окажутся значительно меньше соот-
ветствующих деформаций образца //, развивающихся по кривой II.
Для анализа различных опытных
данных и построения теории ползучести,
общей для любого режима загружения,
необходимо установить некоторый эта-
лонный режим загружения. В качестве
такого эталона и принимается упомяну-
тое выше простейшее загружен и е (кри-
вая /// в осях аО/)
1,0 = 0. (1,3)
Рис. 1,2. Кривые деформа-
ций ползучести при различ-
ных режимах загружения.
Кривая деформаций ползучести ///,
соответствующая этому загружению, на-
зывается кривой простой ползучести.
Опытами установлено, что при моно-
тонно возрастающих напряжениях де-
формации простой ползучести больше любых других деформаций
ползучести, развившихся за тот же промежуток времени, если
напряжения в момент t одинаковы.
§ I, 2. НЕЛИНЕЙНОСТЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНОВ
Все экспериментальные диаграммы «напряжения—де-
формации» для образцов, испытывавшихся при осевом сжатии
[7, 41, 51, 57, 58, 61, 74, 75, 85, 131, 133, 173, 180, 210, 254,
258, 296, 373, 374 и др.], и многие диаграммы а—е для образцов,
испытывавшихся при осевом растяжении [89, 138, 204, 291, 347,
348, 391] показывают, что для бетонов характерна нелинейность
связи между напряжениями и деформациями (рис. 1,3). С физиче-
ской точки зрения указанная нелинейность имеется на всех уровнях
напряженного состояния образцов [5, 27, 3731.
Как считает ряд авторов [26, 30, 75, 103, 381, 391, 397], рез-
кое проявление нелинейных свойств деформирования бетонов можно
связывать с возникновением и развитием в теле бетона микро-
трещин. О. Я- Берг указывает, что «границей начала развития
пластических деформаций является граница образования микротре-
щин в бетоне» [26, 30].
Рис. 1,3. Схема диаграмм упруго-мгновенных деформаций:
а — в координатах с — ем; 1,2 — кривые деформаций двух различных бетонов;
б — в логарифмических координатах.
Установлено [И, 26, 83, 323, 340], что на диаграмме сжатия
малопрочных бетонов можно наблюдать нисходящий участок
(рис. 1,4), подобный имеющемуся на диаграмме растяжения стан-
дартных образцов мягкой стали, если не учитывать сокращения
площади сечений так называемой «шейки» течения. Заметим, что
принятие такой нисходящей ветви приводит к перемене знака мо-
(да \
£ннсх = ^7 < 0 •
В. К- Балавадзе [11] объясняет указанную диаграмму «чисто
пластическими» деформациями, когда кристаллический сросток в
Рис. 1,4. Диаграмма сжатия бетона.
результате развития необратимых микротрещин подвергается раз-
рушению, а гелевая составляющая все еще продолжает пласти-
чески деформироваться. При этом он считает, что стеснение
деформаций неармированного бетона способно повысить предел проч-
ности и предельную деформативность бетона. Последнее и пред-
определяет такие наблюдаемые в опытах факты, как повышенная
растяжимость армированного (особенно, дисперсно армированного)
бетона, увеличение предельных деформаций крайних фибр балок
и повышение пределов прочности бетонов на сжатие и на растя-
жение при изгибе по отношению к соответствующим характери-
стикам при осевом сжатии и растяжении.
Ряду исследователей [100, ПО, 194, 257] удалось при помощи
обработки экспериментальных данных получить зависимости, свя-
зывающие предел прочности на сжатие при изгибе с призменной
прочностью и характеристикой армирования а = ~:
«о
= (а — 6а)7?пр, (1,4)
где а = 1.3 и Ь = 0,3 (по В. И. Мурашову);
а = 1,25 и b = 0,25 (по Н. Ф. Давыдову и О. М. Донченко) [ 100];
х — высота сжатой зоны бетонного сечения;
ho — его рабочая высота.
Частные деформации усадки, упруго-мгновенные деформации и
деформации простой ползучести, пользуясь допущением об аффи-
ноподобии, можно записать единообразно, в виде произведения
двух функций:
Ек(Л ^о) = »$к (/, /о), (1.3)
где ек(/, t0) — соответствующая частная деформация;
SK — множитель аффиноподобия данной частной деформа-
ции, являющийся функцией напряжений (может быть
назван условно «функцией напряжений»);
о — величина действующих напряжений;
R—предел прочности материала;
Вк (/, /о) — мера соответствующей частной деформации;
t0 — возраст материала в момент начала нагружения;
t — момент наблюдения деформаций.
Так как деформации усадки в очень незначительной степени
зависят от уровня действующих напряжений, то множитель аф-
финоподобия для деформаций усадки Sy допустимо приравнять
единице
/ д \ (?с _
ад = 1: W = °- d-6)
т. е. записать
£y(t tQ) = t>y(t, tO)'
Теперь с учетом (1,5) более общим признаком простой ползучести,
чем сформулированный выше (1,3), является условие
Ш = 0’ 0'7)
где т — текущая координата времени.
Множитель аффиноподобия 5К упруго-мгновенных и деформаций
простой ползучести удобно представлять в виде
где — некоторая функция нелинейности деформации.
Из имеющихся немногочисленных предложений, относящихся
к физическому обоснованию функции нелинейности деформирова-
ния бетона [173, 297, 381], заслуживает внимания аналитическая
зависимость А. Е. Шейнина [295]:
Sk = 1 + 7)0,
(1,9)
где т) — некоторая физическая характеристика, постоянная для
данного бетона.
Более поздние исследования [58, 218, 2831 показали, что
линейная двучленная запись SJ (1,9) не является точной. Рассмат-
ривая кривые / и 2 рис. 1,3, а, можно прийти к выводу, что па-
раметр не полностью характеризует особенности диаграммы
нелинейных деформаций бетона, так как разные кривые 1 и 2
могут иметь одинаковые углы а0 и ас. То же можно сказать и о
диаграмме ползучести (рис. 1,5). Очевидно, что опытные кривые
а—е требуют для более точного описания минимум еще один па-
раметр (параметр tn). Несмотря на это, подобная зависимость была
использована Н. X. Арутюняном [7], И. И. Улицким [275] и рядом
других авторов для решения ряда важных практических задач.
Необходимость более полного учета нелинейности деформи-
рования бетонов потребовала применения других формул для 5°,
лучше отражающих результаты опытов. Функция нелинейности
упруго-мгновенных деформаций и функция нелинейности де-
формаций простой ползучести Sn записываются с помощью оди-
наковых по форме выражений. Разница между и Sn заклю-
чается в различных численных значениях параметров нелинейно-
сти, входящих в эти выражения.
Рядом исследователей [7, 275, 282] принимаются такие функ-
ции нелинейности, которые в общем могут быть представлены
многочленом вида
s„° (-|) = V сх., (-1)' (< = 0. 1, 2, 3 ...) (1,10)
i «=0
ПрН Ск .о 1 *
Для бетонов
членом [41]
функцию нелинейности можно выразить одно-
с°
(L11)
Эта функция легко приводится к (1,10) разложением в степенной
ряд, например, при bKt 0 = 1, принятом в [39],
__ ак, 0
^к. I — —77- •
В ряде работ [41, 58, 133, 218, 283] для функции нелинейности
применяется запись
(L12)
Здесь CK,Z; ак.о; &к.о; и тк— различные параметры нелиней-
ности деформирования.
Выражения (1,11) и (1,12) легко линеаризуются. Это удобно
при назначении параметров нелинейности деформирования по экс-
периментальным диаграммам а— е (рис. 1,3, б и 1,5). Действительно,
учитывая (1,5 и 1,8), можно записать
о
откуда
ак.
ек = зе
~R &
ик.
In — In 8К — GKt о ( р
(1,Иа)
(1.13)
и
(е \ / а \
In —— lnoKj = 1пак, о 4- &К10 ; (1,12а)
или
откуда
In
•к 1
о b
к
(1.14)
Другие, менее применяемые функции нелинейности, например,
известную степенную формулу Баха, можно найти в книгах
Я. В. Столярова [254] и И. И. Улицкого [272].
Численные значения параметров нелинейности деформирования,
входящие в формулу (1,12), как и численные значения всех дру-
гих параметров уравнений механического состояния материалов,
обычно назначают подбором или находят решением системы
алгебраических уравнений типа (1,13) или (1,14) относительно
искомых параметров.
Уравнения указанной системы составляются для дискретных
точек опытных кривых «напряжения—упруго-мгновенные дефор-
мации» и «напряжения—деформации простой ползучести» при за-
данном возрасте и длительности нагружения [41]. Например, для
кривой 1 □—ек (рис. 1,3, а) по двум точкам s и q можно записать
систему из двух уравнений типа (1,14)
и
1п(^ 1— 1) = In т<м + ти In
1 \ G
----1 j = In 7]M 4- rnu In .
q м '
(а)
(А)
(б)
Решение линейной системы (А) дает
(1.15)
и
(1.16)
Когда одна из точек кривой а—ем (рис. 1,3, а), например, точка
qt совмещается с точкой г, для которой ar = R и ем, г = ем. /?, си-
стема уравнений (А) распадается на два самостоятельных урав-
нения:
0 “ ,пт‘м’
In Л— 1)= In т]м 4- rnM In (-в
\ G„ 0., ! \ А
4 q м ‘
(в)
(Б)
(г)
Из (в) непосредственно следует
_ £.м,я I ,
7‘ м “ R 6 *
44 м
Учитывая, что
,а^ = /и, (1,17)
см. Сек См см
окончательно запишем
Т|„=Ц^, (1,18)
• м
где — константа материала;
Ем. сек — секущий модуль деформации при о = R.
Теперь из уравнения (г) получим
In £® — 1
м
с?
ти =-------. (1,19)
Аналогично вычисляются параметры нелинейности простой ползуче-
сти т]п и та. Очевидно, что при линейном деформировании, когда
ас = а”, имеем [ = 1 и tj = 0.
Чем меньше численное значение /и, тем более плавно изме-
няется кривизна кривой а—s (функция нелинейности более регу-
лярна). С ростом пг увеличивается начальный участок диаграммы
о—е, на котором связь между напряжениями и деформациями
близка к линейной.
При малых уровнях напряжений второй и последую-
щие члены (1,10; 1,12) стремятся к нулю, а функция нелиней-
ности Sk—к единице; при этом функция (1,8) имеет вид
S“ ( R/ ~ ’•
а соответствующие уравнения деформаций становятся квазили-
нейными, что согласуется с молекулярно-кинетической теорией
строения твердых тел [8, 373].
При сжатии для упруго-мгновенных деформаций это соответ-
ствует уровню напряжений Z^0,5-i-0,8, а для деформаций пол-
зучести 4/.0,3-и 0,5.
л. — »
о
f3 £
0 -6
mm eufoufee
—M. Л&рма&е
—*—Z^.^Sjaew'
С(х>т8епт6гнно упюа»-
‘ me sw£hub no ptorwe
с
□
Рис. 1,6. Графики зависимостей параметров нелинейности:
, 1
а—зависимость т)ы, цм от р—;
^пр
б—зависимость т;^, tj'JJ от /?р.
Принятие в (1.12) тк = 1 аналогично сохранению в степенном
ряде (1,10) только первых двух членов. Подбор тк не обязательно
равным единице при соответствующем назначении существенно
облегчает удовлетворение опытным значениям для функции не-
линейности.
Нелинейность деформирования бетонов изучена совершенно
недостаточно, имеющиеся в литературе данные трудно поддаются
необходимому обобщению.
В Харьковском инженерно-
строительном институте авто-
ром и П. П. Романовым,
Э. Д. Чихладзе, А. Л. Шаги-
ным, работающими под его
руководством, проведена си-
стематизация параметров не-
линейности упруго-мгновен-
ных деформаций и параметров
нелинейности ползучести в за-
висимости от прочности бето-
на в 28-суточном возрасте.
Параметры tj определя-
лись по формуле (1,18), а па-
раметр гп— из условий мини-
мума квадратичных абсолют-
ных отклонений опытной и
аппроксимирующей кривых
диаграмм з—е. В итоге полу-
чены следующие эмпиричес-
кие зависимости:
Рис. 1,7. Зависимость параметров не-
линейности деформаций ползучести т]п
, 1
И От •
пп
а) для осевого сжатия:
упруго-мгновенные дефор-
мации (рис. 1,6, а; 1,8)
= (1,20)
Апр
/71м — 5,7 — 0,005 ^?пр»
(L21)
Деформации ползучести (рис. 1,7; 1,8)
— р ; (1,22)
тп = 5,0 — 0,007 /?пр; (1,23)
б) для осевого растяжения:
упруго-мгновенные деформации (рис. 1,6,6 и 1,8)
Ti5 = 0,3 + 0,037 Rp;
/nJ = 0,8 + 0,023 Rp,
(1.24)
(1.25)
И- М. Бондаренко
17
деформации ползучести
1,5
ffin =1,0,
(1.26)
(1,27)
где /?„р—предел призменной прочности бетона при осевом сжа-
тии, кг/см2\
/?р — предел прочности бетона на осевое растяжение, кг/см1.
Заметим, что ранее предложенные формулы [40] также могут
применяться для вычисления и тН1. Их отличие от формул
(1,20) и (1,22) состоит в использовании иной размерности абсциссы.
Рис. 1,8. Зависимость параметров нелинейности деформаций /пм. тп, от
призменной прочности бетона.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие
выводы.
1. При осевом сжатии с ростом призменной прочности бетона
нелинейность упруго-мгновенных деформаций и деформаций пол-
зучести уменьшается.
2. При осевом растяжении, напротив, с ростом прочности бетона
нелинейность упруго-мгновенных деформаций увеличивается.
§ I, 3. О КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПРОЧНОСТИ БЕТОНОВ
ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
С увеличением возраста статическая прочность бетонов
увеличивается [238, 333]. Характер и темпы нарастания стати-
ческой прочности бетонов во времени определяются видом напря-
женного состояния, составом и активностью цемента, способом
укладки бетонной смеси, качеством заполнителей, водоцементным
отношением, температурно-влажностными характеристиками окру-
жающей среды, самой величиной прочности бетона в нормативном
18
возрасте (28 суток), скоростью нагружения и размерами образца
и наконец, наличием и особенностями предшествующих силовых
воздействий и т. п. [9, 104, 105, 111, 161, 353, 378, 397).
Так, прочность бетона на сжатие во времени нарастает больше,
чем прочность на растяжение. Прочность бетона на портландце-
менте увеличивается интенсивнее, чем бетонов на пуццолановом
и шлакопортландцементе. Прочность бетона на высокоактивном
цементе во времени нарастает медленнее, чем на низкоактивном.
Бетон на щебне прочнее, чем бетон на гравии. С повышением
водоцементного отношения растет длительность периода, в тече-
ние которого прочность бетона увеличивается. При положитель-
ных температурах прочность бетона, находящегося во влажной
среде, растет более устойчиво, чем прочность бетона, хранящегося
в сухой среде.
Вместе с тем с увеличением влажности прочность бетона сни-
жается и тем интенсивнее, чем меньше скорость нагружения бе-
тонного образца [ 10]. Высокопрочные бетоны получают значи-
тельно меньший прирост прочности во времени, чем низкопрочные,
и т. д.
Несмотря на указанное обилие факторов, влияющих на изме-
нение прочности бетонов во времени, в литературе существует
мнение, что при других равных условиях зависимость прочности
от времени можно изображать в виде следующей логарифмиче-
ской записи 1238] (рис. 1,9, а):
R^) = a + b\g-^, (1.28)
где т — возраст бетона в сутках;
а, b — константы, определяемые из опытов, например, для бето-
нов на портландцементе при влажном хранении
a = R(l), 6«R(10)-R(l).
Заметим, ччо при а = 0; b = 0,7 R (28) выражение (1,28) совпа*
дает с известной зависимостью Б. Г. Скрамтаева, рекомендуемой
для т = 3. Логарифмическая форма (1,28) выгодна тем, что ее
график в координатах R—1g т изображается прямой линией, а
последняя удобна в приложениях. Функцию R(x) можно также
представить как
R(t) = R(co)e т
или, что то же
где R(oo)^ R(/CT) — прочность бетона к моменту условной ста-
билизации его механических свойств;
Рис. 1,9. График нарастания
прочности бетона во времени:
а — зависимость R от т:
I — при 6% коды и влажном хра-
нении; У — при 6% воды. 7-днев-
ном влажном хранении; 3 — при 8%
воды и влажном хранении; 4 — при
8% воды. 7-дневном влажном хра-
нении и последующем сухом;
а 1 #(<»)
о — зависимость у = In пт7
1
от х = — ;
в — зависимость у =
= In
Я(со)
°т (“ — т0).
В целом
, более
d— опытный коэффициент, который зависит от
состава бетона, условий окружающей среды
и определяется как угловой коэффициент
прямой у = dx, аппроксимирующей опытные
точки, а у = In и х = 4 (рис. 1,9, б),
ряде случаев, когда требуется брать квадратуры от
удобно принимать
R(t) = R (со) Fr (при ~>’о).
(1,29)
Здесь
= [ 1 + —коэффициент возраста бетона по проч-
ности, где
R (°°) !
. (1,30)
R (to)
Здесь т0—начальный возраст становления бетона как конструк-
тивного материала (при отсутствии опытных данных
можно принимать: для бетонов на портландцементе
т() = 1 суткам; для бетонов на пуццолановом и шлако-
портландцементах т0 = 3 суткам);
тс—возраст стандартного бетона (для бетонов на портланд-
цементах тс = 28 суткам).
Имея совокупность опытных данных о прочности бетона в
различном возрасте (т0<т<хте) и выполнив некоторые преобра-
зования выражения (1,29):
(1,31)
можно получить значения параметров и dlt построив аппрокси-
Г/? (
мирующую прямую в координатах In — 1 — (т — т0) —
рис. 1,9,в. Опытами установлено, что однократное (даже повто-
ренное несколько раз) кратковременное нагружение бетона в ма-
лом возрасте повышает его прочность, если соблюдаются следую-
щие условия:
1) направление предварительного силового воздействия совпа-
дает с направлением силового воздействия при испытании образца:
2) напряжения от предварительного силового воздействия не
превышают некоторого предела RT, соответствующего появлению
в бетоне микротрещин;
3) интервал времени между предварительным силовым воздей-
ствием и испытанием меньше времени отдыха образца.
С физической точки зрения повышение прочности бетона вслед-
ствие предварительных силовых воздействий приближается к яв-
лению так называемого наклепа металлов. При расчетах реальных
конструкций указанное увеличение прочности бетона, как явление
скоропроходящее, не учитывается.
§ I, 4. УСАДКА БЕТОНОВ
Исследованию деформаций усадки и набухания бетона
посвящены работы [12, 3, 20, 21, 22, 68, 69, 72, 79, 91, 130, 176,
187, 201, 214, 216, 223, 231, 239, 254, 272, 274, 277, 281, 289,
308, 328, 342, 354, 375, 383, 392, 400 и многие другие].
§ I J______________III III
I 0 0 £0 00 00 00 00
мйМеш бутах, мшт с
юлема разбишя усабочюа аалрямемш бзащхп-
леш/х лбразцах.
Рис. 1,10. Кривые усадки нагруженных (защемленных от
усадки) и ненагруженных (свободно деформирующихся) образ-
цов сравниваемых серий опытов:
пунктирные кривые — ненагруженные образцы, на кото-
рых исследовалась свободная усадка; сплошные кривые —
нагруженные образцы, на которых исследовались усадочные
напряжения;
/— i серия, 2 — III серия, 3— IV серия, 4— V серия.
Большой вклад в решение вопроса о напряженном и деформи-
рованном состоянии бетонных и железобетонных конструкций и
сооружений, обусловливаемом усадкой и набуханием, сделали
С. В. Александровский, А. В. Белов, Г. Д. Вишневецкий, К- С. Ка-
рапетян, Г. Н. Маслов, Ю. А. Нилендер, И. И. Улицкий,
С. Е. Фрайфельд, 3. И. Цилосани, А. Е. Шейкин, Е. Н. Щерба-
ков и др.
Еще недавно считалось, что деформации усадки нагруженных
и ненагруженных образцов, при прочих равных условиях, одина-
ковы [2, 176, 231, 254, 281]. Между тем исследования, проведен-
ные С. В. Александровским [2, 3], показали, что указанного ра-
венства не существует (рис. 1,10).
Одновременно было установлено, что изменения влажности
бетона по мере его высыхания также неодинаковы: нагруженные
образцы как при сжатии, так и при растяжении высыхают бы-
стрее, чем ненагруженные. Так как деформации усадки пропорцио-
нальны его весовой влажности [2], то для нагруженного образца
деформация усадки определялась по формуле
еу. и (х) = еу. ин(х) д / х > (1,32)
где £у н»(т)— величина деформаций усадки ненагруженного образца
к моменту времени т;
Дбн(') — влагопотери нагруженных образцов к моменту вре-
мени т;
Д6|)н (т) — влагопотери ненагру-
женных образцов к
тому же моменту
времени.
При этом требовалось, чтобы
все величины правой части (1,32)
брались непосредственно из опы-
та. Вместе с тем имеющихся опыт-
ных данных совершенно недоста-
точно для того, чтобы построить
расчетные выражения деформаций
Рис. 1,11. Рост деформаций усадки
бетона во времени.
усадки в зависимости от знака
и величины действующих напряжений. Поэтому для практиче-
ских расчетов пока вынужденно не учитывают влияние уровня
напряженного состояния на развитие деформаций усадки и набу-
хания, а пользуются предпосылкой о независимости усадки от
напряжений [223, 272[.
Влажностные деформации бетона — усадка1 (или набухание)
еу(0 увеличиваются во времени, асимптотически приближаясь
к некоторой предельной величине ау (рис. 1,11):
еу (0 — Яу ? (О»
(1,33)
где ф(/) — функция роста деформаций усадки во времени;
fly — предельная относительная деформация усадки (относи-
тельная деформация усадки, накопленная с момента
становления бетона до полного окончания процесса
твердения при некоторых средних значениях влажности,
температуры и размеров образца).
1 Так как принято, что влажностные деформации не зависят от вида и
уровня напряженного состояния, то здесь обсуждается не мера деформаций
Ьу(О. а сами деформации s (/), которые, в силу сказанного, равны между собою.
Очевидно, что функция деформаций усадки должна удовлет-
ворять следующим требованиям:
Пт Еу (/) = 0; Пт еу (/) = ау; Пт ф (/) == 1;
/-+0 ОО t-+ са
де у (0 „ dt >0; |. <М'> п hm - 5; - = 0. м» *
Функцию роста деформаций усадки во времени ф(/) можно запи-
сать в виде
k~i
'ИО = 1 + X . (1,34)
А«1
где ак, bk—некоторые параметры, определяемые из опытов.
Е. Н. Щербаков, проанализировавший данные об усадке бе-
тонов, опубликованные за последние 40 лет, рекомендует для ау
следующую формулу [303]:
Gcy = ЛУ • 10-«В/В,
(1,35)
где Ху— коэффициент вида бетона для обычного тяжелого бетона
естественного твердения Ху = 0,125
/л«3\я/2\
Ы г
В — расход воды в литрах на 1 Л13 бетонной смеси.
И. И. Улицкий [272] рекомендует определять величину ау
для бетонов в зависимости от характера температур но-влажност-
ной обработки, условий хранения в вида заполнителя. В частности,
для средних условий (относительная влажность среды 50%, тем-
пература 20° С, наименьший размер образца 20 см) значения ау
приводятся в табл. 1,1, [272].
Данные табл. 1,1 позволяют констатировать следующую законо-
мерность:
а) уменьшение крупности заполнителя и объемного веса бетона
при прочих равных условиях повышают усадку;
б) температурно-влажностная обработка бетона в период его
становления как материала (пропаривание) снижает усадку.
Величина деформаций усадки, накопленных в течение некото-
рого интервала времени от /0. у до t, зависит от возраста в момент
начала отсчета деформаций /0. у и от возраста в момент наблю-
дения I:
£у (/, /о. у) — еу (0 Еу (^о. у)!
Еу(/, /о. у) = fly [ф (/) - ф (/о. у)], (1,36)
ИЛИ
еу(А
(1.37)
Таблица 1,1
Виды бетона a* х Юь
Обычный тяжелый бетон (с крупным заполнителем), под- вергнутый пропариванию 25
Обычный тяжелый бетон (с крупным заполнителем) естествен- ного твердения Легкий бетон (с крупным заполнителем), подвергнутый про- париванию Мелкозернистый (песчаный) тяжелый пропаренный бетон для вибропрокатных конструкций 30
Легкий бетон (с крупным заполнителем естественного твер- дения) Пробужденный бетон 35
Мелкозернистый легкий бетон, подвергнутый пропариванию 40
Мелкозернистый (песчаный) тяжелый бетон естественного твердения Мелкозернистый легкий бетон естественного твердения 50
где to. у)—функция возраста деформаций усадки, или бу (/, /о. у) = Qy s ak (e~bkt — e~bkt°‘ у). (1,38)
Если момент окончания отсчета отнести в бесконечность t = со,
то учитываемая величина деформаций усадки определяется только
возрастом в момент начала отсчета:
еу = Tl4Gy> (1,39)
где
Ъ=1-Ж.у) (1.40)
или
14 = S {~ak} е-^- у, (1,41)
Ti4 — коэффициент влияния возраста в момент начала учета усадки.
И. И. Улицкий [272] проанализировал большое количество
опытов Научно-исследовательского института железобетона, Киев-
ского научно-исследовательского института строительных конструк-
ций, Киевского инженер но-строительного института, Гленвилля,
Малмейстра, Дютрона (рис. 1,12) и установил, что, округляя, можно
рекомендовать следующие коэффициенты т(4:
NJ
О
.a IJs' 1 t X- I & 1 p 0,75 aw 0,25 П n ©— 7A x nd \ Ф Опить/HMM6 AC и А СССР дль/ть/ КИСЦ Слыть/ НИНСНACи АУССр/^О/ть/ты/71енбилддлытиРн)грона о серия I д серия T -о- серил W + серия I -у- серия/у_ • — >'— и — уй х —— о —а отп/ти(Ж№иЛ'/ир,ыззг ь —ш Y <_ | -<-< — — . Tv~ О —•— IV , VI © _ // □ серия L i ——iX. _ — —' _ . тг- <-> —— V — — It-VI/
1Д *^+ V
©лА $ 1 «г X “ HMCKACuMatMk с -,-т ОшгышкKuAW.moi. ° серия 10 XОптПшмлнЯ < серияiv, сечение 7*7 е —^— И длыт6г Строна г — *-4_ ™ Феерия с —'“4L <ф —г '—20x20 д _< - z —,_уу
ea "#• о Д" 4-V )
о △ oo A ®ф^ L IA oo 1 к °а О 4 •\j ч{>О (§) Отнегителмо? значение усадки при 'и^цзсуток, принятое на единииу
□ OO°A О ZOA X ok ^>с К ’ < ’ % "^о —Ф— X 1 • • »о
& % 1 • ЛЕЗ □ △ £ X 1 00 “+ о^ ОО
+o8 • △ X, • □ □ 0 <1 © 1 •O-Q > • • о +
Hu W 12W /55 £40 £<W J2W W0
Зрепл с лсю/юеи иаиишется ииеля усадке сутках
Рис. 1,12 . Влияние времени т0 с которого начинается учет усадки, на ее предельное значение.
Таблица 1,2
t0 у сутки до 3 7 14 28 60 90 180 360
1,00 0,95 0,75 0.55 0,35 0,30 0.25 0,20
Коэффициент т]4 с ростом /0. у уменьшается, сначала весьма интен-
сивно, а затем все более замедленно. У «старого» бетона усадка
практически отсутствует. Общие требования к функции коэффи-
циента т]4 могут быть сформулированы
lim т;4 = 0; lim т;4 = 1; lini — = 0;
t<3. У'*'* to. У*0 to у—
< 0; 1 > > 0.
^0. у & о. у
(1,42)
Во многих работах (например, [254, 269, 272]) вместо (1,38, 36)
допускаются упрощенные записи:
еу(/) = ау(1-^'); (1.43)
«у(/, /оу) = ау(е у - «-'•'); (1,44)
11 = е-Мо.У1 (i>45)
которые могут быть получены из предыдущих при at = —1;
d‘2 ~~ ^'1 — • • • — 0"
Заметим, что выражение (1,45) не достаточно хорошо описы-
вает кривую т;4 (рис. 1,12). Действительно, определяя по несколь-
ким точкам этой кривой численное значение параметра Ьь полу-
чим величины, отличающиеся одна от другой в 2—5 раз (от 0,005
до 0,025).
В среднем для приближенного расчета деформаций усадки,
руководствуясь исследованиями Г. Д. Вишневецкого [69], можно
принять в зависимости от температуры среды (при изотермическом
процессе становления и твердения бетона)
Ь} = 0,003е~°-06Г, (1,46)
где Т — температура в ° С.
В частности, для температуры 20° С, принятой за некоторую
среднюю, dj = 0,0125. Теперь
= е-°'0125'о. У. (1,47)
§ I, 5. УПРУГО-МГНОВЕННЫЕ ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНОВ
Зависимость меры частных деформаций ок и прочности R
°т возраста обусловливается изменением механических свойств
бетона вследствие его старения [2, 7, 24, 26, 41, 56, 128, 129,
161, 176, 211, 214, 239, 258, 275, 282, 323, 341, 369, 373 и др.].
Несмотря на то, что физическая природа влияния возраста на раз-
личные частные деформации и прочность едина [169, 104, 105],
в современной литературе это влияние учитывается по-разному.
Мера упруго-мгновенных деформаций в момент наблюдения t
проще всего записывается в виде произведения двух функций:
8„(/) = Fm(0»m(oo); 8„(/) = -±-; 8м («>) = —(1,48)
^м(0 £м(°°)
Здесь Л. (0 — функция возраста;
Е°ъ\ (/) — начальный модуль упруго-мгновенной деформации,
соответствующий нулевому напряжению;
8м(оо)—мера упруго-мгновенной деформации «старого»
бетона.
Заметим, что начальный
модуль упруго-мгновенныхде-
формаций соответствует ну-
левому напряженному состоя-
нию.
Опыты многих исследова-
телей [7, 24, 41, 58, 133,
Рис. 1,13. График изменения начального
модуля в меры упруго-мгновенных де-
формаций бетона.
214, 254, 305] показали, что
с увеличением возраста бето-
на модуль упруго-мгновенной
деформации EZ(t) увеличива-
ется, а мера ее 8Ы(/) соответ-
ственно уменьшается. Причем
скорости изменений E°(t) и
8М(/) сростом возраста падают, а величины E„(t) и 8М(/) асимптоти-
чески приближаются к некоторым предельным значениям Е£(оо)
и &м(со) (рис. 1,13).
Сказанное может быть сформулировано следующим образом:
Ит8м(/) = ^;
г-о (0)
<ЯМ (0 п
di
lim^ = 0
dt и'
(1,49)
Установлено, что изменения Е* (/) и 8М (/) во времени не зави-
сят от режима предшествующего нагружения.
Наиболее распространенная запись функции влияния возраста
на упруго-мгновенные деформации вытекает из известной формулы
Н. X. Арутюняна [7]
откуда
Й(0 = ^°м(оо)(1-₽е--“9.
(1,50)
(1,51)
В ряде случаев более удобно функцию представлять в виде
Г* (0 = S r^e~'k‘
fe=0
(1,52)
или упрощенно:
Л.(0= i +
(1,53)
Величины 04 и взаимосвязаны с константами а и J3. Если из
опытов известны дискретные значения начального модуля упруго-
мгновенной деформации для ряда возрастов /к, то они могут быть
вычислены по формулам
I
“ G-*. , £°(<.) :
Е£(°о)
(1.54)
Численные значения указанных констант зависят от условий
твердения и состава бетона. В табл. 1,3 приводятся эти значения
по данным опытов некоторых исследователей.
Таблица 1,3
Данные опытов Еи (°°) Ю5 а fl
ЛИИЖТа [24] * • . . 3,0 0.06 0,46
Днепростроя [254] * 3,73 0,02 0,48
И. П. Еременко [214] ** 2,80 0,20 0,78
Гленвилля [347]** * 2,84 0,05 0,74
Шенка [388] ' 2,32 0,04 0,66
И. Е. Прокоповича, серия I [214] 2,70 0,10 0,78
» , серия III [219] .... 2,50 0,06 0,68
Девисов [61] 2,11 0,03 0,90
ХИСИ [41] 2,45 0,39 0.95
* Цитировано по Н. X. Арутюняну [7]; ♦♦ — по И. Е. Прокоповичу [214].
(ДИИЖТ— Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта;
ХИСИ — Харьковский инженерно-строительный институт).
Расчетные значения модуля упруго-мгновенных деформаций
в момент становления бетона как конструктивного материала
можно определять по формуле
Й(0)=0,ЗЕ°(оо).
Наконец, заметим, что возрастную изменчивость модуля упруго-
мгновенных деформаций бетона при растяжении можно принять
такой же, как при сжатии.
Рис. 1,14. Зависимость модуля упруго-мгновенных
деформаций бетона от — по экспериментальным дан-
‘'СЖ
ным.
Деформативность бетонов непосредственно связана с его проч-
ностью. Опыты М. С. Боришанского [49], П. И. Васильева [56],
А. Н. Кузнецова [154], А. В. Яшина [305] и других [254, 334]
показывают, что с ростом прочности начальный модуль упруго-
мгновенных деформаций увеличивается, а начальная мера их
уменьшается (рис. 1,14 и 1,15).
В литературе [254] имеется много различных эмпирических
формул, связывающих начальный модуль упруго-мгновенных дефор-
маций с кубиковой прочностью бетона, например,
£°м (0) = или Е° (0) = d Уй (табл. 1,4). (1,59)
Коэффициент d = 11,0 • 103 — для легких бетонов и 20,0 • 103 —
для тяжелых бетонов. Здесь d— кубиковая прочность бетона.
Автор Параметры
а b с
М. Рош [384| 550 10а 150,0 1.0
я. В. Столяров [254] 550 103 187,0 1.0
К. В. Сахновский [85) 588 103 212.0 1.0
Т. Гансен [76] 800 • 103 14.3 0.4
В последние годы в литературе обсуждается вопрос о влиянии
предыстории деформирования1 на упруго-мгновенные деформации
бетона [305, 285, 230, 37, 240, 167, 179, 398). Хотя сам факт
такого влияния признается многими исследователями, вопрос о коли-
чественной оценке его остается невыясненным. Более того, по
данным одних исследователей, предшествующее напряженное со-
стояние снижает модуль упруго-мгновенных деформаций [230, 285],
Рис. 1,15. График зависимости единичных упруго-мгно-
. 1
венных деформации бетонов и растворов от ——.
ЯСж
по мнению других—не влияет на него [133, 161], согласно треть-
им— повышает [37, 167, 179, 305, 398]. Поэтому до накопления
необходимых опытных данных указанное явление в дальнейшем
мы, как и другие авторы [17, 26, 37, 56, 75, 81, 135, 206, 214,
226, 275, 297], не учитываем.
Рядом исследователей отмечается, что модуль упруго-мгновен-
ной деформации неравновесно деформируемых материалов зависит
1 Под термином «предыстория деформирования» понимаются особенности
напряженно-деформированного состояния, характеризующие механические
свойства материала к началу процесса нагружения.
не только от возраста к моменту наблюдения, но и от длитель-
ности нагружения [7, 168, 176, 215, 283, 305]. Как следует из
опытов Л. П. Макаренко и Е. М. Бабича [283], при загружении
бетона в относительно молодом возрасте и последующем длитель-
ном воздействии сжимающих напряжений, уровень которых не пре-
вышает 0,75/?Пр, модуль упруго-мгновенных деформаций во времени
возрастает. Это явление можно объяснить уплотнением структуры
материала вследствие реологических сдвигов по поверхностям
контактов между отдельными звеньями кристаллической решетки
цементного камня, происходящих без микроразрушения материала.
Наибольший эффект повышения модуля упруго-мгновенных
деформаций наблюдается при длительном нагружении напряже-
нием, равным 0,4 от /?Пр, причем, эффект тем выше, чем меньше
возраст, в котором начато нагружение образца. Это соответствует
существующим гипотезам о природе микротрещинообразования
и разрушения бетона. Вместе с тем, очевидно, что для практи-
ческого использования описываемого эффекта необходимо обобще-
ние значительно большего экспериментального материала.
Поэтому, признавая эффект повышения модуля упруго-мгновен-
ных деформаций от пригруза, мы все же считаем, что его учет
при проектировании реальных конструкций может считаться прежде-
временным.
§ I, 6. ДЕФОРМАЦИИ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНОВ
Мера деформаций простой ползучести оп(Л ^о) к моменту
наблюдения t бетона некоторого состава зависит от двух факторов:
возраста в момент начала нагружения /о и продолжительности
Рис. 1,16. Рост меры деформаций простой ползучести
во времени.
нагружения t —10. Заметим, что в литературе меру деформаций
простой ползучести оп(/, /0) принято обозначать С (/, /0).
Вопросам влияния возраста бетона в момент загружения и дли-
тельности последующего воздействия нагрузки на развитие дефор-
маний простой ползучести в советской и зарубежной литературе
у целено много внимания [2, 7, 9, 24, 34, 40. 51, 56. 80. 81. 92.
94 95, 96, 107, 117, 135. 142, 163, 174, 206, 211, 214, 219. 225,
928, 233, 247, 254. 266, 269. 282, 286, 305, 316, 317, 318, 322,
335, 341,342. 315. 346. 354, 361,
394, 325, 326, 327, 328, 330, 331,
362, 365, 370, 375, 376, 377,
382, 388, 393, 391, 396, 401
и многие другие!.
С увеличением длительности
загружения / — to кривые меры
простой ползучести растут, мо-
нотонно затухая во времени
и асимптотически приближаясь
при / -> >> к некоторым предель-
ным прямым, параллельным оси
времени. Соответствующая пре-
дельная величина меры ползу-
чести называется предельной ме-
рой ползучести (рис. 1,16).
Хотя
Рис. 1,17. Зависимость предельной
меры ползучести от возраста бетона
к началу загружения.
свойство ползучести присуще бетону в любом возрасте,
с увеличением последнего к моменту начала нагружения /0 оно
проявляется слабее—предельные меры ползучести монотонно
убывают, также асимптотически стремясь к некоторому пределу СС
(рис. 1,17). Одновременно установлено, что вне зависимости от
Рис. 1,18. Влияние длительности нагружения на
величину меры простой ползучести.
возраста в момент загружения to с ростом длительности нагру-
жения наблюдается увеличение деформаций простой ползучести.
Скорость указанного увеличения затухает по мере удаления от
начала загружения, а каждая кривая ползучести асимптотически
приближается к некоторой своей прямой, параллельной оси вре-
мени (рис. 1,18).
2
В- М. Ьоидаренко
33
В связи с изложенным, не предопределяя конкретного вида
функции С(/, /о), можно предъявить к ней следующие требования:
а) С (Z, /0) > 0 для всех / > /0;
С (t, to) = о при t = /0;
ПгпС(/, /0) = ?(/<>);
t-ro
б) lim ? (/о) = Со,
lim ? (/0) = Со.
/0** 00
(1,60)
(1,61)
(1,62)
(1,63)
Важным свойством ползучести бетона является то, что «напря-
жения, действовавшие на бетон совсем недавно, а также те,
которые действовали на молодой бетон, оставляют значительный
след, тогда как влияния напряжений, которые прикладывались
в промежуточный период, в значительной степени стираются» [801.
Указанное свойство ползучести бетона, впервые замеченное
А. А. Гвоздевым, послужило предметом экспериментальных иссле-
дований М. С. Боришанского и А. В. Яшина.
В фундаментальной монографии С. В. Александровского [2]
детально обсуждено свойство «памяти» бетона и всесторонне оце-
ниваются функции ползучести, предложенные различными авторами.
Исследования последних лет, проведенные в НИИЖБе и в
ХИСИ, а также анализ опубликованных данных показали, что
наиболее полно удовлетворяет описанным выше требованиям функ-
ция меры деформаций простой ползучести С. В. Александров-
ского [2]
С (/, /о) = ? (/о) - F (/) (*•'• - А,) - A (to) е--^, (1,64)
где
<? (/о) = Ф (/о) + д (Zo); F (/) =
е>1 — Ао
(1,65)
при 0 < 7 а; 0 < А? < 1.
Здесь ф и А — функции, быстро убывающие с ростом т;
а, 7, Л.2—константы деформирования, зависящие от состава
бетона, и т. п.
В то же время существует большое количество крупных работ
[7, 57, 64, 128, 214, 223, 275, 282, 305 и др.], в которых принят
иной подход к формированию функции меры деформаций про-
стой ползучести, позволивший получить много важных и полез-
ных для практики результатов.
Исходя из принципа аффннноподобия, функцию меры деформаций
простой ползучести С(/, /0) в этих случаях записывают в виде
произведения двух функций:
С(/, /о) = ?('о)Ж t),
(1,64а)
где <р('о)—предельная мера ползучести материала, загруженного
в возрасте /0;
/(/0, 0 — функция роста деформаций простой ползучести во вре-
мени.
Как (/0), так и () назначаются довольно произвольно:
лишь бы они удовлетворяли требованиям (1,60—1,63).
Основоположник современной теории ползучести бетона
Н. X. Арутюнян [7] рекомендует для ? (/0) запись вида
т
('«><» (1.65а)
Л=0 '°
или, ограничиваясь только первыми двумя членами суммы (1,65а),
?(/«) = А+г- А66»
‘о
где = С*ос.
И. Е. Прокоповичем [214], К- С. Карапетяном [129], И. И. Улиц-
ким [272] запись (1,66) была несколько уточнена:
f <z«> = Л» + вГ+Л • (1>67)
И. Е. Прокопович [215], И. И. Улицкий [275], В. М. Бонда-
ренко [38] предлагают для (? (/0) экспоненциальное выражение типа
<Р (/0) = Сх + Ae-i\ (1,68)
где См — предельная мера деформаций простой ползучести, со-
ответствующая возрасту бетона /0 в момент загружения,
равному бесконечности (/0 =
Лх, Ак, В и у—параметры, определяемые из опытов.
Учитывая содержание выражений (1,67) и (1,68), функцию
? (/о) удобно представлять в виде произведения
<? (/0) = CMFn (/0), (1,69)
где Fn(/0)— функция возраста .меры простой ползучести. Преобра-
зовывая соответственно выражения (1,67; 1,68), получим
т
А(/о)=1 + У%; (1,70)
* = 1 о
Fп (/о) = 1 + У или Fп (/0) = 1 + „ ’ . , (1,71)
*0 "Г ‘О
где
= l+d«e~A;
со
а=4 <1>72>
В табл. 1,5 приводятся численные значения параметров А, /1н
Сте и у, установленные по ряду опытных данных II. Е. Про-
коповичем и И. II. Улицким 1215].
Т а 6 л л а a 1,5
Опытные данные 1(Г' .4, 10' .4 Ю-1 7
И. Е. Прокоповича, серия 1[214] 1.022 48,0 58.8 0.819 0.014
» серия 11|214| 0,433 18.9 7.1 2.660 0.057
» серия 111 [215] 0,144 6.2 25,0 0,248 0,027
Гленвиля [345J 0,614 101,2 77.0 1,315 0,011
Девисов [324] 0.349 28.0 31.0 0,929 0,023
Шенка [388] 0,675 127.0 99.0 1.290 0,009
Известны и другие предложения но выбору обсуждаемых па-
раметров ползучести бетона. Е. II. Щербаков, например, предло-
жил принимать значения предельной меры деформаций ползучести
по формуле [303]
С„ = Кп 4 10-’,
где Кп—коэффициент состава бетона и способов обработки его
для тяжелого бетона естественного твердения рекоменду-
ется принимать Кп = 16 м3 кг;
В—расход воды в литрах на 1 лР бетонной смеси;
R. — кубиковая прочность бетона.
Из табл. 1,5 видно, что параметры функции возраста Fn(6.)
имеют очень большой разброс. Для практического применения
требовалось обобщить имеющиеся результаты, чтобы получить
статистически общие данные для расчета влияния возраста в мо-
мент загружения на последующее развитие деформаций ползу-
чести. Это обобщение выполнено И. И. Улицким [272]. Выраже-
ние (1,66) можно представить в виде
? (М = ri3 (М (1,73)
где
к (/») = Fn Go); (1,74)
ri3 — коэффициент, зависящий от возраста бетона в момент загру-
жен ия образца (элемента, конструкции);
С23 — предельная мера деформаций простой ползучести, соответст-
вующая возрасту бетона в момент загружения /0, равного
28 суткам.
Отсюда следует, что
т|3(28)= ^F„(28)= 1. (1,75)
U 28
Va
IzWz/ КЫараквма О/7^А/!(/О(А[иАУС!Р,19А1к»0пыгы Ш РусиюАа
Значения поправочного коэффициента, ?
40%
10
г.5
s°
о
д серия т_ серия Ж_
л серия и А серия ун
ОпышЖКАСиAWtl959t. * серия 1JL
□ серия Г
серия 1L
Опыты А.В Яшина
серия ZY
о серия у
л # серия ут
ОпытыН/ШАСи МСр М Опыты ОенЗи.ля
и серия Ж Л1ПЛ о сериях. +• серия 2
Опспы НОНОКАСи АУС/f'№t е серия iZ * серия О.
-6- сериям сечение т*7 © серия Ж серия Й7
> сериям—70Н0 Опыты НЕ. ПрокопоАяча Опыты Ле5исг:
—ж—ро»2О и серия ± л серия 2__
♦ серия у_ J ария JL„ п о а серия <
-о- серия Ж ° Опыты ГС. РоОаоа V- серия 11L
© Опытные значения скя %-2<Зсут, принятые за единицу
Опыты /Чапмана
I серия Т_
I серия
-* серия ну
серия м.
с
□
I
серия У_
серия У!
серия ZZ
серия уШ
серия 0L
Опыты Раша
з серия Z
в серией
0 опыты Шэнха
го
J60
<50
Зозрастп детона £ штнт загружения Т, 5 сутнах
Рис. 1,19. Зависимость деформаций ползучести от возраста бетона /0 8 момент загружения.
1С
Подставляя (1,71) и (1,72) в (1,73), найдем
Ч» (>«) = do + .
Ч, (/„) = d, + d.,e-A, (1,76)
где
Рис. 1,20. Влияние возраста бетона т1 в момент загруже-
ния на ползучесть (логарифмическая шкала для т).
По кривой т)з (рис. 1,19 и 1,20) подбираем численные значения
параметров, входящих в (1,76):
d0 = 0,36; dY — 26,3; = 13,0 (при t0 > 0);
dQ = 0,36; d2 = 1,15; 7 = 0,021 (при /0 > 28).
В итоге И. И. Улицкий [272] рекомендует значения tj3(/0),
представленные в табл. 1,6.
Таблица 1,6
Характеристика бетона ^0
3 5 7 10 14 20 28 40 60 90 180 360
Бетон естествен- ного твердения 2.00 1,80 1.60 1,40 1,20 1,10 1,00 0,80 0,70 0,60 0,50 0.45
Бетон, подверга- ющийся авто- клавной обработ- ке, прогреву, пропарке 1,50 1.40 1.30 1,25 1.20 1,10 1,00 0.80 0.70 0,60 0.50 0,45
Из табл. 1,6 видно, что влияние предварительной обработки
(пропаривание, прогрев, автоклавная обработка) сказывается только
при загружении бетона в возрасте до двух недель. При загруже-
ниях в более поздние сроки коэффициент т(3(/0) можно принимать
независимо от характера предварительной обработки. При этом
функция роста меры простой ползучести f(t, /0) в силу изложен-
ных выше особенностей должна отвечать условиям
/(G. /о) < / (^2, /о)» если < /2;
lim/(/, /0) = 0; lim / (/,/0) = 1;
/т 77)
dt ’ * di и’
t ОС
т. е. расти с увеличением длительности нагружения, отражать
факт монотонного затухания скорости
времени, а также обеспечивать усло-
вия оп = 0 при / = /0 иоп = <р(/0) при
t -> со (рис. 1,21).
В современной литературе приме-
няются различные записи функции
роста меры простой ползучести: сте-
пенные, показательные, гиперболи-
ческие, логарифмические, экспоненци-
альные или их комбинации.
Всеобщее признание получила экс-
поненциальная запись, предложенная
еще Л. Больцманом (313]:
деформации ползучести во
Рис. 1,21. Зависимость функции
роста меры простой ползучести
от длительности нагружения.
= 1 -е-ь
(1,78)
В более обобщенном виде она может быть представлена суммой
т
f (t to) = f(t- /„) = s Bke-4
(1,79)
где и Bk — константы материалов, определяемые по опытным
данным.
Число слагаемых суммы (1,79) обусловливает так называемый
«порядок наследственности» по Э. Вольтерра [393, 394]. Опыты
большинства исследователей [7, 41, 58, 89, 176, 214, 254, 272,
283 и др.] показывают, что для бетонов достаточно ограничиться
двухчленной записью (1,78).
Значения параметра приведенные в различных литератур-
ных источниках, сильно колеблются (примерно от 0,01 до 0,06),
что, видимо, обусловлено различием испытываемых бетонов и раз-
ной методикой экспериментов.
При отсутствии конкретных опытных данных для расчета бе-
тонных и железобетонных конструкций некоторые авторы рекомен-
дуют усредненные значения = 0,04 [272] или = 0,025 [41].
С ростом прочности мора деформаций простой ползучести
уменьшается. II. И. Улицким |2721 на основании опытов, выпол-
ненных в КИСИ и в И И ИСК Госстроя УССР, а также опытов
И. И. Серегина 1241), О. Я. Верга и 10. И. Хромца 129) состав-
лена следующая таблица зависимости С\. при осевом сжатии от
марки тяжелого бетона с крупным заполнителем.
Т а б л и на 1,7
Авторы опытов 1 сутки
И. X. Арутюнян |7| 0,26—0.040
11. Е. Прокопович |Д.|| 0,01 1—0,057
И. И. Улицкий Г-72) 0,04
К. С. Карапетян |129) 0,03
Гленвиль |345| 0,011
Шенк |388| 0.009
Девисы (324) 0 023
ХИСИ |41| 0,024-0,027
Табл н ц а 1,8
Марка бетона 200 250 300 400 500 600 800 1000
• 10°, естественно- го твердения ИЗ 9.5 8.0 6.0 4.3 3.6 2.4 2.0
10°, бетон тепло- влажностной обра- ботки 10,2 8.6 7.2 5.4 3.9 3.2 2.2 1.8
Ползучесть бетона при осевом растяжении изучена еще недоста-
точно. В одних опытах 1295, 326, 335, 336) мера ползучести
при растяжении равна мере ползучести при сжатии; в других —
она в 1,2—1,5 раза больше [35, 57, 89, 133), а в третьих, больше
в 3 раза [72) и даже в 5 раз [239). Вместе с тем тщательные
опыты В. Я. Багрия, выполненные под руководством С. В. Алек-
сандровского [6, 15), показали, что расхождения между деформа-
циями ползучести при сжатии и растяжении не превышают +10%.
Специальные исследования В. В. Блинкова [33] и К- С. Кара-
петяна [134) дают основание считать, что ползучесть бетона при
кручении и при осевом растяжении также практически одинакова.
Тоже относится и к ползучести при внецентренном сжатии [15,
214). Опыты, проведенные для изучения ползучести при попереч-
ном изгибе, показывают, что деформации ползучести сжатой зоны
в этом случае примерно в 1,5 раза превышают ожидаемые по ана-
логии с ползучестью сжатых образцов. Это, по-видимому, можно
объяснить изменением взаимодействия между волокнами балки
по сравнению с работой отдельных волокон при осевом действии
сил.
Однако в настоящее время допустимо считать, что меры пол-
зучести бетона практически одинаковы независимо от вида напря-
женного состояния конструкции. Принятие такого допущения
вносит известные упрощения при решении тех задач теории
ползучести, которые связаны с изучением неоднородного напря-
женного состояния конструкции или с изменением во времени
знака действующих напряжений.
§ I, 7. ПОНЯТИЕ О ТАК НАЗЫВАЕМОМ
«СТАРОМ БЕТОНЕ»
При оценке свойств деформирования бетона часто при-
меняется термин «старый бетон». «Старый бетон» характеризуется
таким возрастом, дальнейшие изменения которого незначительно
влияют на модуль упруго-мгновепной деформации и предельную
меру ползучести. Если принять, что это изменение не должно
превышать 5%, то:
а) Условный возраст стабилизации влияния возраста на упруго-
мгновенные деформации (по формуле 1,50)
/ч = _1|п^, (1,80)
а л
где у. и 3 назначаются по табл. 1,3.
Если принять в среднем а = 0,075 и 3 = 0,7, то /м = 35. За-
метим, что по данным И. П. Еременка 1112] /м 15 суткам,
Шенка [388], Гленвиля ]334], И. Е. Прокоповича [214] и ЛИИЖТа
[24] — /м ~ 35 суткам, по данным НИИГ и Днепростроя [254] —
tM 92 суткам.
б) Условный возраст стабилизации влияния возраста на свой-
ства ползучести равен (по формуле 1,72)
/п = 20С, или /„ = — 1 In . (1,81)
По данным табл. 1,5 можно подсчитать, что/ц = (100ч-150) суток.
Сравнивая возраст стабилизации свойств ползучести /п с воз-
растом стабилизации упругих свойств /м, легко установить, что
стабилизация упруго-мгновенных свойств бетона происходит зна-
чительно быстрее, чем стабилизация свойств ползучести.
§ I, 8. О ВЛИЯНИИ ВЛАЖНОСТИ НА ДЕФОРМАЦИИ
УСАДКИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
По мнению Фрейсине [254], О. Вагнера [396], Г. Д. Виш-
невецкого [68] и ряда других исследователей, и усадка, и ползу-
честь бетона во многом зависят от одних и тех же факторов.
И. И. Улицкий [272] сумел осуществить единую количественную
оценку влияния влажности среды, водоцементного отношения
и количества цементного теста на предельные меры деформаций
простой ползучести и усадки. При этом влияние влажности среды
на развитие деформаций ползучести и усадки определялось по опы-
там С. В. Александровского [2], В. И. Сиденко [242], И. Н. Се-
регина [241], Девисов [324 , Дютрона [330], Мамийана [361, 362],
Пэнья [375], Родригеса [383], Роша [377], Трокселя, Рафаэля,
Девиса [392], а влияние водоцементного отношения и количества
цементного камня — по данным О. Вагнера [396].
«8
I
4%
0,6
о серии Т_ -
• серия р
ъ серия
• А» Jfrerpaua
х Олыгы ПаниРама
• саия м.
• серия &
я серия LF
s серия х.
и серия хе.
О.
х
УсаЗса Ретена.|
д ОА&ажнфайяхо Ольяидезабым
ЪЯпяти Редиса
0 /0 Z0 J0 40 00 60 70 <30 60 /00 Дера
/7мзучесл7ь беатаеа $
байты /Ъита 0лыты ре за
Олиты Рппрона Ф серия IT - серияд3g
□ края-Г серия Е „ V——
сериям Олмидела Яматяяв
и сериялг ♦ №Оио7&~ряя i^S6s-Mh
*0ЛЫПТГЬ/Зимяи^О^Я]й( Ц2Я, С—
,----^ — eS.»
Решаемая Дзаяностъ среды,
Рис. 1,22. Влияние влажности среды на ползучесть и усадку
бетона.
□
е
□
□ а
х
Принимая условно за единицу предельную меру деформаций
простой ползучести и предельную меру деформаций усадки, соот-
ветствующие 50% относительной влажности, И. И. Улицкий по-
строил график зависимости для коэффициента влажности
С„ (IF) _ ayW)
7)1 " См(50%) ~пу(50%)’
где W — относительная влажность среды в процентах.
Этот график можно аппроксимировать простейшей
записью (рис. 1,22)
линейной
?]!= 1,575 —0Д115Г при 20% < W < 100% (1,83)
или представить в виде табл. 1,9 [275].
Из всего сказанного следует, что деформации ползучести и
усадки растут с уменьшением влажности среды. Описанная связь
ползучести и усадки бетонов с влажностью среды согласуется
с гигрометрической теорией механизма ползучести и усадки Фрей-
сине [284].
Таблица 1,9
Характеристика влажностного режима Относительная влажность воз- духа W, %
Очень сухой 20 1,40
Сухой 20—49 1,30
Нормальный 50—60 1,00
Влажный 61—75 0,15
Мокрый 75 0.70
Влияние водоцементного отношения и количества цементного
теста на предельные меры деформации простой ползучести и усадку
можно проследить по кривым
(рис. 1, 23, 24). Эти кри-
вые построены по таблицам
И. И. Улицкого [211], кото-
рый положил в их основу
опытные данные О. Вагнера
[396].
Анализ кривых показы-
вает, что предельные меры
деформаций простой ползу-
чести и усадки увеличиваются
с ростом водоцементного от-
ношения и содержания це-
ментного теста. На базе при-
веденных графиков можно
построить эмпирические фор-
мулы для подсчета предель-
ных мер С» и ау в зависи-
мости от водоцементного от-
ношения (В/Ц), количества
цементного теста в процен-
тах по весу (Ц):
Ссм = АД..С»; (1,84)
а'= (1,85)
где
/G = 5,o(-g} —1,5; (1,86)
Х2 = 0,05(Ц). (1,87)
0,5 О/, 0,5 0,6 07 g/ц
Рис. 1,23. Зависимость предельной меры
деформаций простой ползучести от водо-
цементного отношения и количества це-
ментного теста.
Рис. 1,24. Влияние водоцементного отно-
шения и количества цементного теста
на усадку бетона.
меры, соответствующие
равному 0,5 и 20%-ному по весу
Здесь Са„ и а" — некоторые предельные
водоцементному отношению,
содержанию цементного теста.
§ I, 9. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ДЕФОРМАТИВНЫЕ
И ПРОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЕТОНА
Исследования П. И. Васильева, Б. Г. Гаврилина,
А. И. Гнедова, Д. И. Кононова, А. М. Милованова и И. И. Ту-
кова 1183, 184], К- Д. Некрасова [197], Г. Д. Салманова (235],
В. А. Харламова [288], В. И. Сиденко [242], И. Н. Заславского,
Г. С. Жук, Г. П. Стрелкова 1115, 116], Т. Гансена [76], Меера
[364], Нассера и Невиля |368] и других авторов показывают, что
с повышением температуры среды (в условиях ее достаточно дли-
тельного воздействия) наблюдается снижение прочности и увели-
чение деформативности бетона. Последнее проявляется в том. что
уменьшается модуль упруго-мгновенной деформации и увеличи-
вается мера деформации простой ползучести Г
Эти изменения прочностных и деформативных характеристик
могут быть учтены коэффициентами fo, 3/,-, 3(;:
_ R(T) . 0 = . г. t\(20)
“ А’(20)’ г''(20)’ 'с С„(Т) ’
(1,88—89)
где R (20), (20) иС, (20) — соответствующие характеристики при
нормальной температуре (20° С);
Т — температура, ° С.
Для точного описания функции ;3А. = f (Г) имеющихся экспе-
риментальных данных совершенно недостаточно. Чтобы ориенти-
ровочно учесть влияние температуры бетона на его прочность
и деформативность, можно руководствоваться табл. 1,10, построен-
ной по опытам Г. Д. Салманова [235].
Т а б л и ц а 1,10
Наимено- вание коэф- фициента Значения коэффициента снижения 3 для обычного бетона при температуре Т° С
20 100 200 350 550
Q? Щ О ох ох ох 1.0 1.0 1.0 0,94 0,90 1.0 0,85 0,75 0.71 0,71 0.43 0,40 0,34 0,06 0,07
Значения снижающих коэффициентов (та л. 1,10) можно при-
ближенно аппроксимировать линейными записями
р« = 1,0220—0,00117 (при 20 ст < 500); (1,90)
--= 1,0354—0,00187 (при 20 < т < 550); (1,91)
рс= 1,2060—0,00217 (при 20 < т < 550). (1,92)
1 Некоторые сведения о влиянии температуры на усадку бетона изло-
жены в § 1,4.
В опытах II. И. Заславского и Г. П. Стрелкова (116] наблю-
далось значительное восстановление модуля упруго-мгновенной
деформации остывших и впоследствии увлажненных образцов, если
предшествующее нагревание не превышало 60°С.
13 опытах Н. II. Гукова |217] было замечено, что при нагре-
вании до 200uС снижающаяся вначале прочность (до 30%) вос-
станавливается по мере высыхания бетона.
Интересные исследования о влиянии температуры на дефор-
мативиость бетона выполнены П. И. Васильевым, В. Г. Гаври-
линым, А. И. Гнедовым, Д. И. Кононовым. С помощью представ-
лений о приведенном времени, введенных А. А. Гвоздевым:
/пр.,.. = j FIT(x)Jdr,
где T (т) — закон изменения температуры во времени, a F—неко-
торая функция связи, авторам удалось построить зависимости
модуля упруго-мгновенлых деформаций и меры ползучести бетона
от изменения температуры во времени. Эти зависимости удовлет-
ворительно согласуются с экспериментами. Отметим, что анало-
гичное предложение содержится в работах А. Р. Ржаницына
1220] (см. гл. 11,6).
§ I, 10. ВЛИЯНИЕ МАСШТАБНОГО ФАКТОРА
Как известно, прочность бетона в значительной степени
зависит от размеров и формы образца [350, 367]. Сущность такой
зависимости раскрывается с помощью статистической теории проч-
ности [35]. С увеличением площади сечения и с уменьшением
отношения наименьшего размера его к длине прочность падает.
Так, например, в одной серии образцов из цементного раствора
состава 1:3, твердеющих во влажной среде, наблюдалась зави-
симость предела прочности раствора на растяжение (/?р) от раз-
меров поперечных сечений (F, елг), представленная в табл. 1,11.
Таблица 1,11
F, см2 /?р, кг/см2
50 33.4
100 21,0
400 17,6
Призменная прочность бетона при сжатии меньше соответ-
ствующей кубиковой прочности, причем уменьшение тем резче,
чем больше отношение высоты h образца к его стороне b (см.
табл. 1,12).
Таблица 1,12
h/b 1 2 3 4 6 7.5
*пр/я 1,00 0.89 0,80 0,76 0,70 0,68
Г. Д. Цискрели и Г. Л. Лекишвили [290] на основании обра-
ботки опытных данных о прочности кубов различных размеров
получили следующую формулу для масштабного коэффициента:
Км.ф= 5,0С-(1- 1,67)+1
где М = — модуль поверхности образца (S — величина полной
поверхности образца, V — его объем),
С.,—коэффициент вариации.
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что снижение проч-
ности заметно сказывается только на
^еоеитвемая деформация
Рис. 1,25. Упруго-мгновенные деформации
и деформации ползучести железобетонных
призматических образцов большого и ма-
лого размеров с ребрами, соответственно
уменьшенными в восемь раз:
I — упругие деформации большого образца; 2 —
пластические деформации большого образца; 3 —
упругие деформация малого образца; 4 — пласти-
ческие деформации малого образца.
малых образцах. Как пока-
зали опыты В. С. Булга-
кова [52], при внецентрен-
ном сжатии образцов с от-
носительно малым эксцент-
риситетом увеличение сече-
ния от 20 х 10 см при
высоте 45 см до 160 х 20 см
при высоте 360 см прак-
тически не изменило проч-
ность бетона. На основе
указанных и аналогичных
опытов действующие нормы
не вводят масштабной кор-
рекции к прочности бетон-
ных и железобетонных кон-
струкций в зависимости от
масштабного фактора.
То же можно сказать
и о модуле упруго-мгновен-
ных деформаций бетона.
В статье А. А. Гвоздева [80]
приводятся данные опытов
ЦНИПС, из которых сле-
дует, что диаграммы упру-
го-мгновенных деформаций
а—ем двух различных образцов, площадь одного из которых отли-
чается от площади другого в 64 раза, примерно одинаковы.
Из рис. 1,25, заимствованного у А. А. Гвоздева [80], видно,
что в то время как кривые упруго-мгновенных деформаций образ
цов, значительно отличающихся по размерам, практически совпа-
дают, деформации ползучести таких образцов различаются: дефор-
мации ползучести малого образца почти в 3 раза больше, чем
деформации ползучести большого образца.
И. И. Темнов [264], проведя экспериментальное изучение влия-
ния масштабного фактора на развитие деформаций ползучести,
а также обработав опыты К- С. Карапетяна [130, 134], И. Е. Про-
коповича [214], Бертье [161] и Девиса [324], построил зависи-
мость между мерой простой ползучести бетона и отношением пери-
метра образца П к площади его поперечного сечения — рис. 1,26
[2141.
Рис. 1,26. Зависимость между мерой ползучести бетона
и отношением периметра образца к площади его попереч-
ного сечения.
у-, й)
Если именовать г = условным радиусом сечения, то очевидно,
что с уменьшением условного радиуса образца мера простой пол-
зучести бетона растет. Одним словом, масштабный фактор значи-
тельно влияет на развитие деформаций ползучести бетона.
Как показали исследования И. И. Улицкого [272], Гансена
и Маттона [343], целесообразно одновременно изучать влияние мас-
штабного фактора на развитие деформаций ползучести и дефор-
маций усадки.
Характерно, что если за единицу мер простой ползучести
и усадки принять деформации образцов, меньший размер попереч-
ного сечения которых равен 20 см, то относительные значения
мер простой ползучести и усадки 7j2 укладываются довольно плотно
вдоль прямой (рис. 1,27):
ri2 = 1,926—0,738 lg b, (1,93)
где b — наименьший размер сечения образца в см. Данные о пол-
зучести бетона получены из опытов И. И. Улицкого и других
сотрудников НИИСКа (гор. Киев) [272, 274], И. Е. Прокоповича
и И. И. Темнова (214, 261|, К. С. Карапетяна (130, 134], Г. Вайла
[362, 400] и Р. Девиса, 11. Девиса, II. Гамильтона, И. Трохейта
и И. Рафаэля (321, 392], а данные об усадке бетона — из опытов
С. В. Александровского [2, 4] и упомянутых выше опытов
И. И. Улицкого, И. Е. Прокоповича, К. С. Карапетяна и Г. Вайла.
В итоге можно сформулировать следующие особенности дефор-
маций ползучести и усадки бетонов в зависимости от масштабного
фактора:
2,00-
/,76
/,&
100
0,00
0,26
00
/сайка бетона.
03. ,Ьи>ксан0ро0(кок>
□ - cepw I
3
Чч /00
/,026-0738
0,0
Рис.
1,27. Влияние масштабного фактора на ползучесть
и усадку бетона.
с/мзууесте, бетона
Забю.
v—,—Defoca
/С.С' tfqpcmenwa.
о—С&ш? I
• -СфЮ 0
0МГЬ/СШЛЖ АСиАУМ> M3Oi
Зоррр /2
-paepyxtcwe / Сщхюе t/cyr.
•о-- —•------•---- 27cyr.
-ф. _ —.----, ---- Jffcyr.
-серия Z
x — а/ыгы 02//х?лато&ла
/,30/ /,602
030/ 0,602 07
а <— zy
в---— 2?
j - pcwmoi Заш*
д---• - б.С. /ирдпетна
- 6ЖАСиАУМ0МЬ.
- 0£.0poxocia&/va
I
а) влияние масштабного фактора на ползучесть бетона, под-
вергнутого термовлажностной обработке, значительно меньше, чем
на ползучесть бетона естественного твердения;
б) ползучесть изолированных образцов из непропаренного
бетона может быть уподоблена поведению бетона в массиве;
в) ползучесть изолированных образцов из пропаренного бетона
мало отличается от ползучести неизолированных образцов; это
значит, что изменение влажности окружающей среды мало влияет
на ползучесть пропаренного бетона;
г) ползучесть пропаренных образцов зависит от режима про-
паривания: чем выше температура пропаривания, тем меньше
ползучесть;
д) влияние масштабного фактора на усадку бетона естествен-
ного твердения и на усадку пропаренного бетона одинаково;
е) аргумент — = — , где г—условный радиус, более точно
характеризует влияние масштабного фактора, чем аргумент b—
наименьший размер сечения.
§ I, 11. ОБРАТНАЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ
Если предварительно нагруженный и про деформировав
шийся образец освободить в некоторый момент времени /о. р от
нагрузки, то он стремится восстановить свои первоначальные раз-
меры. Одна часть такого восстановления происходит мгновенно
и объясняется обратимостью упруго-мгновенных деформаций, полу-
ченных при нагрузке. Дру-
гая часть восстановления s л
протекает замедленно во }
времени (рис. 1,28) и пред-
ставляет собою деформации zm/l--------------------------
обратной ползучести (чаще ______________________________
употребляется другое на- *
звание—упругое последей- ^0
ствие).
4 6 12 Ю 20 24 33 32 36 Ю
Опытами установлено,
что деформации обратной
t ~ Т 6 суткам
Рис. 1,28. Деформации разгрузки в бетон-
ползучести всегда мень- ном образце. Возраст бетона в момент за-
ше соответствующих пред-
гружения tx = 380 суток.
шествовавших деформаций
ползучести, что деформации обратной ползучести растут во вре-
мени, причем скорость роста постепенно затухает. Деформации
обратной ползучести асимптотически стремятся к некоторому пре-
делу. В общем, картина развития деформаций обратной ползучести
подобна картине развития деформаций ползучести.
Закономерности обратной ползучести изучены еще недоста-
точно. Основы физико-химической природы ее сформулированы
А. Е. Шейниным [297], который объясняет обратную ползучесть
перераспределением во времени усилий между компонентами бетона
вообще и между гелевой и кристаллическими частями цементного
камня в частности. Деформации обратной ползучести не равны
соответствующим деформациям прямой ползучести, хотя и яв-
ляются следствием последних.
При длительном силовом воздействии на бетонный образец,
наряду с упруго-мгновенными деформациями, начинают прояв-
ляться деформации ползучести. Им соответствует непрерывное
перераспределение усилий с менее упругих компонентов на более
упругие: с цементного камня на инертные заполнители в целом,
с гелевой! составляющей цементного камня на его кристалличе-
ский сросток в частности. Указанное перераспределение уси-
лий зависит от возраста образца, режима внешних воздейст-
В. М. Бондаренко 49
вин и других факторов, влияющих на развитие деформаций пол-
зучести.
Очевидно, что разгрузка образна происходит всегда в более
зрелом возрасте, чем нагрузка. При нагрузке неизбежны необра-
тимые частичные переформирования структуры, фиксируемые в про-
цессе твердения бетона. Эти переформирования (более плотная
укладка) интенсифицируются при динамическом (в частности,
вибрационном) характере внешних нагрузок. Наконец, деформации
обратной ползучести развиваются под действием тех усилий, кото-
рые соответствуют накопленным при нагрузках упруго-мгновен-
ных деформаций кристаллического сростка цементного камня
и инертных заполнителей, и поэтому, хотя они всегда меньше
первоначальных прямых усилий, обратимость деформаций возра-
стает с увеличением возраста в момент нагружения.
Так как деформации обратной ползучести всегда меньше пред-
шествующих им деформаций ползучести, то большинство иссле-
дователей говорят о частичной обратимости деформаций ползу-
чести [41, 58, 133, 214, 269]. Однако имеются и другие работы,
утверждающие полную (пусть замедленную во времени) обрати-
мость деформаций ползучести.
Аналогично деформациям ползучести, деформации обратной пол-
зучести развиваются по-разному в зависимости от различных режи-
мов разгрузки. Простейшим видом обратной ползучести является
простая обратная ползучесть, соответствующая мгновенному раз-
гружению образца, испытавшего простую ползучесть. Для этого
случая в качестве основной предпосылки в литературе прини-
мается зависимость обратной простой ползучести от величины
деформаций простой ползучести [41, 58]
еп.Р(/, *о.р)=Ф(М/Ра, *о,р). (1.94)
где Ф(£ц)—предельная величина деформаций обратной ползучести,
зависящая от накопленных к началу разгрузки дефор-
маций ползучести;
fp — функция роста деформаций обратной ползучести; при-
нимается аналогичной (1,75).
Опыты показали, что зависимость (1,94) может быть представ-
лена в виде некоторой пропорциональной связи, коэффициент
пропорциональности Ко. о которой, называемый коэффициентом
обратимости ползучести, зависит от уровня предшествующего
нагружения:
Ло. в = -^-7, (1.95)
5° (JL]
т. е. с увеличением уровня напряжений предшествующего нагру-
жения величина Ло. б уменьшается.
Здесь S° — функция нелинейности деформаций простой ползу-
чести (I, 10; 12);
К — некоторый коэффициент пропорциональности.
Так как коэффициент К примерно постоянен (А о- 0,6), то
очевидно, что величина Ко. б колеблется от т-^’6 до 0,6. Учиты-
вая, что при осевом сжатии
450 ..
П » 0 >96)
Ап. р
можно записать
0.6/L D
= 450 +^7 0.97)
Это значит, что в зависимости от призменной прочности бетона
Ко. б колеблется от 0,1 (при Rn. р = 100 кг/слг) до 0,6.
В связи с ростом прочности бетона по мере увеличения его
возраста в момент нагружения параметр нелинейности т|П умень-
шается и, следовательно, обратимость деформаций ползучести
возрастает. Сказанное согласуется с опытами А. В. Яшина [305]
и отмечается И. Е. Прокоповичем и И. И. Улицким (215].
Для сравнения приведем значения коэффициентов пропорцио-
нальности Ко. б, подсчитанные по данным ряда опытов (табл. 1,13).
Таблица 1,13
Автор опыта Опытные значения коэффициента Примечание
В. м. [41] Бондаренко и др. 0,23—0.60 Увеличение ~ сопро- Л вождалось уменьшением
п. И. Васильев [57] 0,20—0,50 Ко. б
н. и. Катин [133] 0.23—0,70
А. В. Яшин [305] 0,11—0,46
В итоге можно записать для (1,94)
Ф (sn)—Ко. б£п(^о> ^о. р); (1,98)
fp(t, to.p)= (1,99)
где t0 и to. р—начало и конец предшествующего нагружения;
7р = Р7 — коэффициент скорости затухания деформаций обрат-
ной ползучести (р — множитель связи с соответ-
ствующим коэффициентом скорости затухания пря-
мой ползучести — табл. 1,7).
Опыты показывают [58, 41, 269], что условная стабилизация
Деформаций обратной простой ползучести наступает быстрее, чем
стабилизация деформаций простой ползучести. Это предопреде-
ляет неравенство
Р>1. (1,100)
Ниже установлена возможная связь между параметрами р и К.
Если учесть, что по (1,5; 1,8)
(/о, t0. „) = °SS (|) С (/„, р), (1,101)
то с учетом (1,95; 1,98) формула (1,94) примет вид
еп. р (^, to. р) — К зС (/0, /о. р) f р (Л ^о. р)- (1,102)
Выражение (1,102) иллюстрирует отмечаемое рядом авторов
[57, 2691 приближение простой обратной ползучести к такой зави-
симости от величины предшествующих напряжении при нагруже-
нии, которая отличается очень малой нелинейностью. Эти авторы
говорят о линейной связи между деформациями простой обратной
ползучести и величиной предшествующих напряжений при
нагружении.
§ I, 12. ВОССТАНОВЛЕНИЕ И РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Опыты, проведенные И. Е. Прокоповичем и И. И. Улиц-
ким [214), показали, что, сняв в момент /о. р с образца нагрузку
и мгновенно зафиксировав внешними
Рис. 1,29. Восстановление напряжений. Опы-
ты И. Е. Прокоповича. Возраст бетона
в момент загружения = 380 суток.
связями его размеры, можно
наблюдать постепенное вос-
становление прежних на-
пряжений. И. Е. Прокопо-
вич и И. И. Улицкий пред-
ложили называть этот про-
цесс процессом восста-
новления напряжений. Он
может служить доказатель-
ством того, что упругие
деформации восстанавлива-
ются не только мгновенно
в момент снятия внешней
нагрузки, но и постепенно,
во времени (рис. 1,29).
В отличие от обратной
ползучести, это явление следует назвать упругим последействием.
Деформации упругого последействия и восстановления напряже-
ний во времени происходят по законам, аналогичным законам раз-
вития деформаций ползучести и обратной ползучести.
С другой стороны, известно, что если образец из любого мате-
риала подвергнуть вынужденным деформациям и в дальнейшем
сохранять эти деформации, то напряжения, возникшие в образце
в момент нагружения, в дальнейшем будут постепенно умень-
шаться [44].
Описанный процесс уменьшения напряжений во времени назы-
вается релаксацией напряжений. Релаксация напряжений при
полностью или частично стесненных деформациях характерна
и для бетонных образцов (214, 2751 (рис. 1,30).
Так как напряжения в материале обусловлены его упругими
деформациями, то механизм релаксации напряжений может быть
описан следующим образом. Вследствие наличия напряжений раз-
виваются процессы ползучести. Стеснение деформаций (фиксация
размеров образца) не позволяет развиваться деформациям ползу-
Рпс. 1,30. Кривые релаксации напряжений.
чести—упругие деформации замещаются деформациями ползу-
чести при сохранении первоначальных размеров и формы образца.
Уменьшение упругих деформаций вызывает снижение напряжений
(релаксацию).
Восстановление и релаксация напряжений—противоположные,
взаимно нивелируемые явления, связанные с разными сторонами
единого процесса изменения упругих деформаций во времени.
Явления обратной ползучести, восстановления и релаксации
напряжений — следствия неравновесной природы деформирования
бетона. Подобно явлению ползучести, они по мере старения
бетона протекают менее ярко и существенно зависят от режима
внешних воздействий, температурно-влажностных условий и т. д.
§ I, 13. ПОПЕРЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНОВ
Процесс развития во времени поперечных деформаций
образцов бетона изучен еще не достаточно. Опубликованные све-
дения часто противоречивы, а числовые значения коэффициентов
поперечного расширения (в линейно-упругой постановке—коэф-
фициент Пуассона) имеют большой разброс.
На основании экспериментов, проведенных автором совместно
с Л. Б. Гержулой, А. А. Любимовым и О. В. Нальчикским 141],
а также по данным ряда других исследователей [7, 54, 214, 275,
26, 309] можно прийти к выводу, что с ростом уровня напряже-
ния коэффициенты поперечных деформаций увеличиваются. Однако
количественно оценить указанную зависимость не удается из-за
недостатка опытных данных.
Приближенно можно считать, что поперечные деформации прак-
тически пропорциональны соответствующим продольным дефор-
мациям [1, 2, 12, 79, 135, 141, 142, 163, 214, 254, 286,
301]. Усредненные значения коэффициентов поперечных дефор-
маций /у, полученных из опытов на сжатие, приводятся в табл. 1,14.
Таблица 1,14
Упруго-мгновенные дефор- мации Деформации простой пол- зучести С редне рас- четные зна- чения
Нагружение Раз- грузка Их отно- шение Под на- грузкой После раз- грузки Их отно- шения
0,26 0,32 0,81 0,19 0,24 0.79 0,25
Кроме того, из опытов Р. Джонса и Е. Гетфилда [103], которые
проводили исследования ультразвуковыми методами, следует, что
Рис. 1,31. Изменение скорости продольных волн и коэф-
фициента Пуассона с возрастом бетона.
с увеличением возраста бетона коэффициент поперечных дефор-
маций уменьшается (см. рис. 1,31).
Заметим, что по данным В. А. Бушкова коэффициент попе-
речной деформации ползучести, напротив, больше коэффициента
поперечных упруго-мгновенных деформации.
Таким образом, предварительно можно констатировать сле-
ду ющее:
1. Коэффициент у как при нагружении, так и при разгрузке
меньше, чем соответствующий коэффициент упруго-мгновенных
деформации, на 25%
2. Коэффициент поперечных деформаций при нагрузке состав-
ляет в среднем 80% этого же коэффициента при разгрузке. Видимо,
при разгрузке большее значение имеет предшествующее общее
деформированное состояние, поэтому возможна большая обрати-
мость поперечных деформаций—как упруго-мгновенных, так
и деформаций ползучести.
3. В среднем для расчетов можно, независимо от вида дефор-
мании, принять у — -т-, если процесс твердения бетона не пол-
1 A Ci
ностыо закончился, и у — для «старого бетона». Это существенно
облегчает построение общей теории деформаций бетонов [7, 214,
2, 229, 282, 286, 3, 92, 135].
§ I, 14. ВИБРОПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
Интенсификация свойств деформаций ползучести при
вибрационных нагрузках твердых тел (виброползучесть) упорно
привлекает внимание исследователей [38, 372, 381, 402, 119, 161,
212, 63, 82, 319, 344, 350]. В литературе имеются сведения
о виброползучести металлов [119, 402], грунтов [16, 213, 234],
каменной соли, графитов и других материалов [76, 212]. Известно,
что с приложением дополнительных динамических вибрационных
нагрузок деформации ползучести бетона й арматурной стали,
так же, как и деформации ползучести бетонных и железобетон-
ных конструкций, возрастают [ 14, 38, 39, 350, 251, 82, 83, 300,
402, 319, 372, 304, 58, 157, 177, 302, 45, 157, 158, 166, 195].
Исследованию виброползучести бетона посвящены работы
О. Я. Берга, И. К- Белоброва, В. М. Бондаренко, А. А. Гвоздева,
С. А. Дмитриева, Г. К- Евграфова, Ю. С. Кулыгина, Б. В. Логи-
нова, А. К. Малмейстера, И. А. Матарова, Г. И. Писанко,
Е. А. Рабиновича, В. В. [Лашина, А. Е. Шейкина, К- К. Шкер-
белисса, Г. Иосиды, Р. Лермита, Б. Лекалыо и других.
Детальный обзор проблемы виброползучести бетона сделал
А. А. Гвоздев на II Всесоюзном съезде механиков в 1963 году
[81]. Им же указаны пути дальнейших исследований виброползу-
чести бетона [82].
Физико-химические основы явления виброползучести твердых
тел изложены в работах [26, 117, 221]. Виброползучесть бетона
объясняется тикстропными свойствами гелевой составляющей
цементного камня, подвижность которой зависит от частоты
и величины динамических воздействий и разности удельных инер-
ционных сил геля и заполнителей [221].
ЛА еж д у тем опытных данных, которыми мы располагаем, недо-
статочно для аналитического назначения количественных харак-
теристик виброползучести (рис. 1,32).
В настоящее время широко проводятся экспериментально-тео-
ретические исследования виброползучести бетона и арматурной
стали. Известно, что соответствующие работы выполняются
Рис. 1,32. Кривые развития остаточных деформаций под
воздействием многократно повторяющейся нагрузки в за-
висимости от числа ее повторений п:
а — по данным Иосида |350|; б — по данным Метля [214].
в НИИЖБе (Москва), НИИСКе (Киев), ВНИИГе (Ленинград),
ХИСИ (Харьков), ИСиА АН Латвийской ССР (Рига), КИСИ (Куй-
бышев) и в ряде других научно-исследовательских и учебных
институтах страны. Анализ имеющихся экспериментальных данных
позволил ряду авторов прийти к выводу об аффинноподобии кривых
деформаций простой ползучести и кривых деформаций простой ви-
броползучести 1 при р = const [38, 300, 161, 169, 350, 45, 157, 158].
Результаты опытных наблюдений над приращениями деформа-
ций ползучести образцов, нагруженных статически (частота коле-
баний о) = 0, расчетные амплитуды динамических напряжений
1 Простой виброползучестью по аналогии с простой ползучестью можно
назвать такую виброползучесть, которая проявляется при стационарных вибра-
ционных нагрузках образца, воспринимающего, кроме этого, постоянную
статическую нагрузку.
ft = 0) и образцов, испытывающих стационарные вибрационные
воздействия (ю = const, Н = const), приведены на рис. 1,33.
Сопоставляя полученные кривые простой ползучести (со — 0,
ft = О') и кривых простой виброползучести (со >0, Н >0), удается
заметить, что ординаты последних можно получить умножением
соответствующих ординат кривых ползучести с помощью неко-
торого множителя, зависящего только от частоты колебаний со
и амплитуды динамических напряжений Н. Другими словами, для
определенной длительности загружения, рассматривающейся при
анализе явления виброползучести, можно использовать принцип
аффинноподобия.
аг-ЗО, 6-18
о эо во 120 1оо г4о зоо зоо ого о
Рис. 1,33. Прогибы балочек, нагруженных статической
и динамической нагрузкой.
Соответствующий множитель назван нами коэффициентом
виброползучести [45]. Опытные данные о виброползучести, полу-
ченные при различных режимах вибрационных воздействий, позво-
ляют искать коэффициент виброползучести в виде
(ш, Н) = e'o-W'., (1,103)
где Со, ‘Лк и 7)0—параметры, зависящие от прочности, деформатив-
ности и других механических свойств материала.
Например, для тяжелых бетонов можно принять* 1 * при р = 0,3
Со = 8,6 • 103; = 1>0. т.о = 0 9
1 Заметим, что опыты, проводящиеся в настоящее время в лаборатории
железобетонных конструкций ХИСИ В. В. Шашины.м под руководством
автора, приводят к несколько иным значениям Со, и т]о. Установлено, чтоСо
зависит также от динамической характеристики цикла о = .
сшах
Использование принципа аффнннеподобия разрешает представить
меру простой виброползучести через меру простой ползучести:
С(/, т, о). /7) = /(и(ц), т). (1,104)
Это обеспечивает использование известных теорий ползучести для
описания процессов виброползучести, если действующие вибра-
ционные нагрузки имеют гармонический или почти гармонический
закон изменения во времени и отличаются стационарными значе-
ниями амплитуды Н и частоты io. Более общее выражение для
коэффициента виброползучести, найденное на основе опытных дан-
ных о независимости удельного поглощения энергии при колеба-
ниях от частоты со, приводится нами в § 11,9.
В такой постановке виброползучесть считается качественно
новой особенностью деформирования бетонов, связанной с изме-
нением их механических свойств при вибрационных воздействиях,
и не может быть оценена никакими комбинациями обычных рео-
логических уравнений, полученными при статических нагружениях.
Иным по исходным предпосылкам является предложение
А. А. Гвоздева [82], развившего известное положение П. И. Ва-
сильева [571 о различных уравнениях деформаций для нагрузки
и для разгрузки бетонных образцов. А. А. Гвоздеву удалось
построить уравнение состояния материала, способное отражать
явление накопления остаточных деформаций при повторных знако-
переменных нагрузках (см. § 11,9).
§ 1,15. ДЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЧНОСТЬ БЕТОНОВ
Исследования ряда авторов |26, 89, 114,171, 188,222, 245,
332, 340, 378, 385, 398] показывают, что при длительном при-
ложении нагрузок прочность бетона уменьшается. Степень сниже-
ния прочности зависит от длительности и режима предшествующих
силовых воздействий. Образцы, в которых длительно действую-
щие напряжения превышают 80% предела прочности, с тече-
нием времени разрушаются, причем разрушение наступает тем
раньше, чем выше напряжение. Пример указанной зависимости
приводится в табл. 1,15.
Опыты А. М. Скудры 1245] и Л. Б. Гержулы [891 позволяют
считать, что статические напряжения, величина которых меньше
примерно 0,8 кратковременного предела прочности, не вызывают
разрушения образцов при любой длительности нагружения. В связи
с этим в качестве нижнего предела длительной статической проч-
ности можно принять /?дл = 0,807?.
Снижение длительной прочности по сравнению с прочностью
кратковременной ряд исследователей связывает с пластическим
развитием во времени микротрещин [26, 75]; другие авторы —
с преодолением во времени некоторого энергетического барьера
процесса деформации [63, 89, 121] (рис. 1,31).
При многократном приложении нагрузок, в частности, при
стационарных гармонических внешних воздействиях длительная
прочность бетона снижается еще больше. Предел длительной дина-
мической прочности называется пределом выносливости (пределом
Таблица 1,15
сдл^ Хц, мин
1,00 0
0,98 10
0.91 30
0,90 60
0,86 120
0,83 360
0.80 СО
Примечание, Таблица состав-
лена по данным Л. Б. Гержулы (89].
Образцы испытывались при растяже-
нии. Предел кратковременной проч-
ности составлял 16,3 кг] см2. -дл —
длительно-действующие нормальные
напряжения растяжения, вызвавшие
разрушение образца на минуте.
усталости) /?в. Он равен при-
мерно половине кратковременной
статической прочности (/?в^
= 0,5/?) [3111.
Если многократноповторные
действующие напряжения пре-
вышают предел выносливости,
хотя и остаются ниже предела
длительной статической проч-
ности /?дЛ, то при достаточном
повторении циклов загружения
обязательно происходит разру-
шение образца. При этом вели-
чина разрушающего напряже-
ния — длительная динамическая
прочность — тем ниже и тем
ближе к пределу выносливости,
чем больше число циклов на-
гружения действовало на обра-
зец [148, 157, 188, 304, 378].
Связь между длительной динамической прочностью и числом
циклов колебаний показана на рис. 1,35.
Существует мнение [379], что предел выносливости соответ-
ствует пределу пропорциональности диаграммы напряжения —
деформации. Если циклически действую-
щие напряжения выше нижнего предела
длительной статической прочности, то
разрушение образца может произойти
раньше, чем исчерпается указанное на
рис. 1,35 предельное число циклов.
Длительную прочность бетонов мож-
Рис. 1,34. Падение ста-
тической призменной
прочности в зависи-
мости от длительности
нагружения (по дан-
ным В. Р. Регеля
[222]).
но рассчитать в зависимости от дли-
тельности режима нагружения, поль-
зуясь прочностным критерием энерге-
тического барьера деформации [891. Ука-
занный критерий Л. Б. Гержула фор-
мулирует следующим образом: «коли-
чество потенциальной энергии, накапли-
ваемое в процессе нагружения единицей объема образца и приво-
дящее к разрушению материала, является величиной постоянной
и не зависит от режима загружения [89]»:
Ц7°р = Ц7°л = const,
(1,105)
где IV'kp—удельная разрушающая потенциальная энергия при
«мгновенном» (в статическом смысле) кратковременном
загруженин;
№дЛ — то же при любом длительном загружении.
Удельная потенциальная энергия U/0 вычисляется по формуле
[39, 43, 253)
’max
№° = У «ь, (1,106)
’mln
где е (а, I) — уравнение механического состояния материала.
Рис. 1,35. Схема зависимости предела выносливости
бетона от количества циклов нагружения п.
Так как потенциальная энергия, накопленная твердым телом
в процессе деформирования, определяется обратимой частью его
деформаций, то соответствующие уравнения механического состоя-
ния материалов записываются в следующей форме:
а) для кратковременного деформирования
£кр — Коб. м
(1,Ю7)
б) для длительного деформирования
х C*(f, (1,108)
или С учетом (1,102)
G(Z) 1 ('
£д.'1 — Коб. м c»vJ ^0
(1,109)
№
Здесь Ков. м — коэффициент обратимости упруго-мгновенных
деформаций;
Коб к — коэффициент обратимости деформаций ползучести
(1,95);
К — коэффициент пропорциональности (§ 1,11; фор-
мула 1,102);
Кн— коэффициент виброползучести (1,103);
Зм и Sn — функции напряжений упруго-мгновенных дефор-
маций и деформаций ползучести (1,11) и (1,12);
1 и С*(/, т) — меры частных деформаций: упруго-мгновенных
(Е° — начальный модуль упругости) и ползучести
(С* — мера ползучести);
R и Rm — пределы кратковременной и длительной прочности.
Теперь, подставляя (1,107) в (1,106), получим выражения для
№кр И
R
р
Ср = \ Лоб. »
о
(1,110)
На основании равенства (1,105) приравниваем правые части
(1,110) и (1,111). Это позволяет при известном режиме изменения
напряжений вычислить искомую длительную прочность бетона.
В случае мгновенного статического нагружения с последую-
щим сохранением неизменных во времени напряжений, равных
искомому пределу длительной прочности (о> = const и И = const),
зависимость (1,105) реализуется в виде
(I.H2)
откуда предел длительной прочности
R& (0 = ^R (0,
(1,113)
где
Чя =
— коэффициент длительности и режима загружения по прочности.
Из выражения (1,113) при A’n(w, Н) = 1, что соответствует со = О,
Н = 0, получим предел длительной статической прочности, а при
/<п(со, Н) > 1, когда со > 0 и Н >0, находим предел длительной
динамической прочности. Если принять линейную постановку (А =
Рис. 1,36. График характеристики деформирования бетона Н:
1 — по данным ОИСИ, серия 1 |214]; 2 — по данным Гленвиля
(334]; 3—по данным Шенка [388].
чести (Ав = 1), то из (1,106) вытекает запись длительной проч-
ности, предложенная Л. Б. Гержулой (891.
На практике особенный интерес представляет низший предел
длительной прочности, соответствующий моменту t = оо. Обозна-
чая, аналогично С. В. Александровскому [2] и И. Е. Прокоповичу
12141, предельную характеристику деформирования бетона (рис. 1,36)
S(fo) = C*(oo, /о)Ем(оо),
перепишем выражение (1,113)
Rw (°°) = Ti« («>) R (°°).
где
(1,114)
(1,115)
(1,116)
Сопоставим расчетные значения R^(^} при статическом (R^)
и динамическом нагружениях (/?J"!I), полученные ио формуле
(1,115), с опытными значениями нижнего предела длительной ста-
тической прочности /?S0,8/? [82, 245) и предела выносливости
пйп /?Г = R\. 0,5/? [341]. Для этого примем К — 0,6 (411;
/<об м = 0,95; Е = 4,0— наибольшее значение по кривой И. Е. Про-
коповича, рис. 1,35 [2141; т]м и гпы— по формуле (1,20) для /?пр =
== 80 (/? = 100); /Cti = 3,5 из таблицы работы [45]. Тогда min
= 0,75/? (при Кв = 1); min/?д"н= 0,47.
Если принять Е = 2,5, что соответствует устойчивому значе-
нию Е по кривой И. Е. Прокоповича (рис. 1,36), а не наиболь-
шее значение Е, как это сделано выше, то получим
min /?дд = 0,8/?;
min/?д"" 0,5/?.
Как видно, расчетные значения R^ хорошо совпадают с опыт-
ными данными.
§ I, 16. НАЗНАЧЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПРОЧНОСТИ И ДЕФОРМАТИВНОСТИ БЕТОНОВ
При расчете бетонных и железобетонных конструкций
и сооружений необходимо знание прочностных и деформативных
характеристик бетона. Как правило, на стадии проектирования
прямые экспериментальные данные отсутствуют. Поэтому необ-
ходимо уметь определять нужные расчетные характеристики, отра-
жающие перечисленные выше особенности механических свойств
бетона.
Следуя И. И. Улицкому [275], можно рекомендовать такую
схему вычисления указанных характеристик:
1. За основу принимаются некоторые средние значения предела
прочности /?с, предельной относительной деформации усадки Оу,
начального модуля упруго-мгновенной деформации Е£’с, предель-
ной меры деформации простой ползучести CL. Каждое из этих
значений соответствует определенным возрасту, влажности и тем-
пературе окружающей среды, наименьшему размеру конструкций,
определенным уровню, режиму и длительности загружения.
2. Расчетные прочностные и деформативные характеристики
бетонов, которые должны отражать реальные возраст, влажность
и т. п., получаются путехМ умножения средних значений на диф-
ференцированные корректирующие множители (коэффициенты)
возраста, влажности, ползучести, режима длительности загруже-
ния, температурный, масштабный множители и т. п. Только влия-
ние возраста на модуль упруго-мгновенных деформаций и меру
деформаций ползучести учитывается непосредственно в реологи-
ческих уравнениях деформаций с помощью специальных функций
возраста.
Предел прочности бетона
(1,117)
где Fr—коэффициент возраста по прочности (1,29);
— температурный коэффициент прочности (1,89);
t]r—коэффициент длительности режима загружения по проч-
ности (1,116);
Rc — средняя прочность бетона при рассматриваемом напря-
женном состоянии, соответствующая кратковременному
статическому загружению в 28-суточном возрасте при
температуре 20° С.
Предельная относительная деформация усадки
аУ — 7il7)2714ay»
(1,118)
где т)!—коэффициент влажности среды (1,83);
т^2 — масштабный коэффициент (1,93);
7].j — коэффициент, зависящий от возраста, с которого начи-
нается учет усадки бетона, с момента окончания влаж-
ного хранения или термовлажностной обработки (1,45);
а.у — значение предельной относительной деформации усадки
для условий, принятых за средние: относительная влаж-
ность среды 50%, наименьший размер образца 20 см\
возраст, с которого начинается учет усадки, — трое суток.
При этом влияние температуры на деформацию усадки
учитывается изменением коэффициента bY и скорости роста
деформаций усадки во времени (1,46).
Предельный модуль упруго-мгновенных деформаций при нуле-
вых напряжениях
S(co)=fc^’c(oo), (1,119)
где |3£—температурный коэффициент по упруго-мгновенным дефор-
мациям (1,90);
Е°нС — предельный модуль упруго-мгновенных деформаций при
нулевых напряжениях, соответствующий пределу проч-
ности /?с(оо).
Предельная мера деформаций простой ползучести
С» = КВ7|17)2ЗсССоо,
(1,120)
где Кз—коэффициент виброползучести (1,98);
Tji—коэффициент влажности среды (1,83);
т)2—масштабный коэффициент (1,93);
Рс — температурный коэффициент ползучести (1,88);
Сс„ — среднее значение предельной меры деформации простой
ползучести при рассматриваемом напряженном состоянии,
загруженного после стабилизации процессов твердения
бетона (условно t -> со) при относительной влажности
среды 50%, температуре 20°С, наименьшем размере
образца 20 см.
Изложенную схему назначения расчетных прочностных и дефор-
мативных характеристик нужно рассматривать как приближенную,
поскольку независимая оценка влияния различных факторов на
механические свойства бетонов в известной мере условна.
Напомним, что здесь модуль упруго-мгновенных деформаций
и мера деформаций простой ползучести соответствует нулевым
напряжениям. При реальных условиях нагружения необходимо
учитывать функции нелинейности соответствующих частных дефор-
маций (1,8; 12; 20—27). Влияние длительности загружения на
деформации ползучести отражается функцией роста (1,77).
5
В. М. Бондаренко
Глава II
УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
БЕТОНОВ
§ II, 1. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
Все применяемые в технике уравнения состояния1 кон-
струкционных материалов являются феноменологическими в том
смысле, что они построены по опытным данным о деформируемости
образцов при некоторых эталонных и элементарных напряженно-
деформируемых состояниях. Обычно в качестве эталонного за-
гружения принимают так называемое простейшее загружение,
причем простейшим считается такое загружение, которое вызы-
вается мгновенным статическим силовым воздействием, сохраняю-
щим в последующем неизменность уровня действующих напряжений.
Элементарными напряженно-деформированными состояниями при-
нято называть такие состояния, которые возникают при одноосном
сжатии, одноосном растяжении и при чистом сдвиге стандартных
образцов.
Переход от записей деформаций материалов при простейших
загружениях к уравнениям при других режимах загружения, осно-
ванный на тех или иных теоретических предпосылках, составляет
сущность различных современных теорий ползучести материалов.
Как указывалось выше (гл. § I, 1), известные уравнения со-
стояния бетонов основываются на следующих подтверждаемых
экспериментами общих исходных предпосылках:
а) О малости деформаций. Как полная, так, тем более, частные
деформации бетонов считаются малыми при любом уровне напря-
жений и любой длительности нагружения.
б) О взаимонезависимости частных деформаций. Считается, что
частные деформации (усадки, ползучести, упруго-мгновенная дефор-
мация) развиваются самостоятельно, независимо друг от друга.
в) О сложении частных деформаций. Сумма частных взаимоне-
зависящих деформаций равна полной деформации при любых
режиме и длительности загружения.
1 Другое название: реологические уравнения, уравнения ползучести, физи-
ческие уравнения строительной механики и т. п.
г) Об аффинноподобии кривых частных деформаций. Эта пред-
посылка приводит к весьма важному в практическом отношении
следствию о возможности инвариантного учета основных факторов,
влияющих на изменение частных деформаций.
§ II, 2. УРАВНЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ
ПРИ ПРОСТЕЙШЕМ НАГРУЖЕНИИ
С помощью изложенных исходных предпосылок уравне-
ние деформаций бетона при простейшем загружен ни может быть
записано так:
а) полные относительные единичные деформации
$о ° (1о)
8 (Л /„) = 8У (Z, /0) + -Е^ + Sn° С* (t, /„); (11,1)
б) полные относительные деформации
S ° I
епр(Л/0) = еу(/, /о) + + So [j^] С* (t, f„), (11,2)
где <SM и Sn — функции нелинейности и напряжений соот-
ветствующих частных деформаций; еу (^> ^о) = йуРу (^» ^о)> (1,37) (1,48)
* (Л и = -к - зД + Л. Ю f (t, М С.. (1,64а)
'О VO/
Далее Я (/о)— FR (^о) (1Л17) fly = 4iWcy; (I л 18) (Li 19) = (I л 20)
Здесь FRi Fy, FM и Fn—соответственно функции возраста для прочности, деформаций усадки, упруго- мгновенных деформаций и деформаций ползучести (1,29; 37; 52);
?£ и ?с—температурные коэффициенты проч-
ности, упругости и ползучести (1,89; 90; 91); т]1 и т(2—соответственно коэффициент влажности среды и масштабный коэффициент (1,83; 93);
ri — коэффициент длительности и режима за-
гружения по прочности (1,112);
— коэффициент виброползучести (1,103);
/(/,/о)—* Функция роста деформаций ползучести
в зависимости от длительности загру-
жен и я (1,78);
Rc(cx>), ау, Ем с(°°), Ссм— соответственно предельная прочность и
предельные меры частных деформаций
для определенного вида напряженного со-
стояния (сжатие, растяжение, сдвиг) при
некоторых условиях, принятых за сред-
ние (§ 1,16).
В случае отсутствия индивидуальных опытных данных для асу,
£мС(°°)и С» их можно принимать по табл. 1,3; 1,5; 1,8 и по
формулам в зависимости от прочности бетона и других факторов.
Заметим, что на величины F и f влияет, помимо временных
аргументов, также температура среды.
Используемые системы независимых друг от друга функций
и коэффициентов позволяют дифференцированно и гибко учитывать
влияние всех основных факторов нагружения, размеров и среды
на развитие деформаций бетонов. Такая система удобна для практи-
ческих расчетов напряженного и деформированного состояния
бетонных и железобетонных конструкций и сооружений. Вместе
с тем необходимо помнить, что допущение об аффиннеподобии,
реализацией которого является указанная система, в отдельных
случаях не подтверждается тщательно поставленными опытами
1133]. Поэтому допущение об аффинноподобии должно рассматри-
ваться как рабочая гипотеза технической теории железобетона.
§ II, 3. УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
ПРИ МОНОТОННОМ НАГРУЖЕНИИ
Приведенное выше уравнение (11,1) справедливо для
простейшего загружения, которое представляет собой мгновенное
(в статическом смысле) приложение нагрузки, с неизменными в по-
следующем напряжениями. Применение данного уравнения для
переменных во времени режимов нагружения приводит к непра-
вильным результатам.
Вообще говоря, каждому режиму загружения присуща своя
функция ползучести. Поэтому для большей достоверности следо-
вало бы для каждого режима загружения иметь самостоятельное
уравнение деформаций. Однако на практике возможно в принципе
бесконечное разнообразие режимов нагружения, и. значит, потре-
бовалось бы такое же многообразие упомянутых.уравнений. Очевид-
но, что для практических приложений это не приемлемо, не говоря
уже о сложности проведения необходимых экспериментов. Следо-
вательно, необходимо создать метод построения уравнений дефор-
маций, опирающийся на опытные данные, полученные при некоторых
элементарных эталонных режимах.
В настоящее время в качестве такого эталонного режима при-
нято простейшее загружение, а основное содержание современных
теорий деформаций заключается в обосновании и реализации пере-
хода от опытных данных о деформациях при эталонном режиме
загружения к расчету деформаций при других режимах.
Различные предложения теории деформаций бетонов или, как
их принято называть, различные теории ползучести бетонов отли-
чаются друг от друга главным образом способом перехода от про-
стой ползучести к ползучести при любых монотонных режимах
загружения.
Помимо изложенных выше (§11,1) основных исходных предпосы-
лок, все современные теории ползучести используют допущение
о суперпозиции деформаций ползучести. Наряду с допущениями
о взаимонезависимостн частных деформаций и об аффинно подобии,
это допущение имеет фундаментальное значение для всей теории
ползучести.
Использование допущения о суперпозиции деформаций ползу-
чести является важным расширением упоминаемого выше принципа
сложения малых частных деформаций.
Применительно к линейным деформациям ползучести принцип
суперпозиции впервые был использован почти сто лет назад
Л. Больцманом [312], однако только недавно В. Персоц сумел
доказать его справедливость для нелинейных деформаций ползу-
чести [376]. Оказалось, что единственным условием для этого явля-
ется признание взаимонезависимости частных деформаций.
Формулировка принципа суперпозиции деформаций ползучести
приводится нами по И. Е. Прокоповичу (214 : «суммарная дефор-
мация ползучести при переменном напряжении может быть найдена
как сумма деформаций ползучести, вызванных соответствующими
приращениями напряжений». При этом величина деформации
ползучести, вызванная приращением нагрузки, зависит от порядка
и длительности действия этого приращения, но не зависит от вели-
чины и длительности действия остальных приращений. Последнее
обстоятельство названо С. Е. Фрайфельдом принципом независи-
мости деформации ползучести от величины и режима предшест-
вующего деформирования, т. е. от предыстории деформаций [282].
Переходя к выводу уравнения состояния бетонов при любом
монотонном загружении, напомним некоторые особенности частных
деформаций:
а) деформации усадки (или набухания) считаются независимыми
от величины действующих напряжений:
М = 0; (11,3)
б) единичные упруго-мгновенные деформации определяются
только величиной модуля этих деформаций в момент наблюдения
н не зависят от режима и длительности предшествующих нагру-
жений:
1_ = 0-
* Е° (О
(II.4)
в) деформации ползучести в момент начала загружения равны
нулю:
С*(/, Q = C*(^ М = о. (11,5)
при t = t0
Опираясь на изложенные выше основные исходные предпо-
сылки, включающие принцип суперпозиции деформаций ползучести,
можно записать следующее выражение для полных деформаций
при монотонном за гружении:
д'
е(/, U = е"р«, /о) + X Л-пр(Л V) (П.6)
г-=о
или, переходя к пределу,
е(/. 1,) = епр(/, /„)+ fde"P.
I.
(II,7)
Поскольку приращение AsnP и дифференциал cUnP проявляются
вследствие изменения напряжений, постольку они являются част-
ными приращением и дифференциалом.
Поэтому, учитывая (11,3), можно записать
d^(t,r)= '.d^dx + C*(t,x)^<k. (II,8)
Отсюда (11,7) перепишется в виде
t t
Раскрывая с учетом (11,4)
Г 1 dS" d- --- 1 f — d- — 1 a
‘ £°,(0;'Л ‘ £’(/) ’
• 0 • © <0
(11,9)
t
fj r\x) dz X^T’
i n
(11,10)
учитывая (11,5) и приведя подобные члены, получим окончательно
ЧЛ Л») = еу (/, /0) -}-
q °(0
м /?(/).
(0
А С» (С -)d-(11,11)
Здесь sy(/, /0)—первый член уравнения (11,11) представляет
собою относительные деформации усадки (или набухания), накоп-
ленные от момента времени /0 до момента времени /; если начало
отсчета деформаций усадки /о. у не совпадает с началом загруже-
ния tn (to, v =£ /0), то /() в этом члене нужно заменить на to. у;
деформации усадки (или набухания) не зависят от действующих
напряжений. еы(/) =
2
м /?(/),
(')
— второй член уравнения (11,11), со-
ответствует относительным упруго-мгновенным деформациям бето-
на в момент наблюдения /, определяется только величиной на-
пряжений в этот момент и модулем одноименных деформаций
бетона, возраст которого совпадает с моментом наблюдения, но
не зависит от величины, длительности и режима предшествующего
нагружения.
'q) =
t
1с* (t,
~) dx — третий
член
-п (^,
уравнения (11,11), равен относительным деформациям ползучести,
накопленным от момента времени /0 до момента наблюдения t при
любом режиме монотонного нагружения (отражает явление наслед-
ственности) и возрастные изменения бетона.
Вследствие того, что
все члены уравнения (11,11) положительны.
Построенное уравнение механического состояния бетонов спо-
собно отражать влияние температуры и влажности среды, масштаб-
ный фактор и возрастные изменения бетона, режим нагружения
и влияние вибрационного пригруза и т. д.
Как следует из работ П. И. Васильева [58], С. 3. Вульфсон [74],
К. С. Карапетяна [ 131 ], Н. И. Катина [133), Р. А. Мельника [ 80 ,
И. И. Улицкого [275] и других, во времени наблюдается смягчение
нелинейности деформаций ползучести. Наши опыты показывают, что
во времени происходит также смягчение нелинейности мгновенных
деформаций. Основное уравнение механического состояния бетона
(11,11) согласуется с этими эффектами.
Смягчение нелинейности деформирования во времени учптыва-
G I
~R / ’
входящим в функцию нелинейности S. При этом интенсивность
указанного смягчения зависит от возраста бетона к началу загру-
жения и его марки. С увеличением возраста к началу загружения
общая нелинейность деформирования уменьшается, но одновременно
уменьшается и интенсивность смягчения нелинейности. С повышением
марки не только замедляется скорость роста прочности бетона во
времени и, как следствие, уменьшается смягчение нелинейности
деформирования, но и меняются параметры нелинейности 7] и т.
При сжатии с повышением марки т; и т уменьшаются, поэтому
снижается общая нелинейность, но одновременно усиливается влия-
ние изменения отношения . При растяжении, когда с ростом
марки бетона т) и tn увеличиваются, наблюдаются противоположные
тенденции.
Наконец, заметим, что если при оценке несущей способности
железобетонных конструкций, как правило, не принимается во вни-
мание рост прочности бетона во времени, то при расчете их дефор-
маций учет этого эффекта в связи с изложенным нами во многих
случаях оказывается необходимым.
§ II, 4. О НЕОБХОДИМОСТИ УЧЕТА НЕЛИНЕЙНОСТИ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНОВ
Исследования по молекулярно-кинетической теории твер-
дых тел приводят к выводу, что в природе существует нелинейная
связь между напряжениями и деформациями, а так называемая
линейная связь (например, известный закон Гука) представляет
собою лишь первое приближение нелинейных уравнений механи-
ческого состояния реальных материалов [373].
Уравнение состояния бетонов (11,11) отражает факт нелиней-
ности как деформаций ползучести, так и упруго-мгновенных дефор-
маций и, хотя оно построено на феноменологической базе, но с этой
точки зрения соответствует молекулярно-кинетической теории твер-
дых тел. Один из возможных путей дальнейшего развития урав-
нений механического состояния бетонов может заключаться в отказе
от эмпирической оценки параметров деформирования, входящих
в уравнение (11,11), и их назначении на основе теории дислокации,
термодинамики и молекулярно-кинетической теории.
Нелинейность деформаций ползучести уже сравнительно давно
включена во многие существующие уравнения механического со-
стояния бетонов |7, 45, 58, 133, 224, 2721 и учтена действующи-
ми СНиП. Нелинейность упруго-мгновенных деформаций, получив-
шая полное признание в теории пластичности равновесно-дефор-
мируемых тел (17,25, 124), в уравнениях механического состояния
неравновесно-деформируемых материалов учитывается немногими
авторами (38, 44, 92). Очевидно, что природа деформаций едина,
независимо от характера внешних силовых воздействий и длитель-
ности наблюдения за процессом деформирования. При этом различные
качества деформирования могут проявляться в разной мере в за-
висимости от особенностей этих воздействий. Это должно отражаться
(и действительно отражается) самими уравнениями механического
состояния бетонов, что по сути было подчеркнуто ранее в ряде
работ (82, 2821.
Между тем в настоящее время при расчетах железобетонных
конструкций это единство природы деформаций бетонов игнори-
руется. В частности, статические расчеты жесткости основываются
на представлениях о линейной связи между напряжениями и дефор-
мациями (194)1, а динамические расчеты—на нелинейных связях
( 252 ]2; при этом первые учитывают ползучесть бетонов, а вторые
не учитывают ее3.
Можно привести и другие примеры нарушения методологиче-
ского единства современных расчетов железобетонных конструк-
ций.
Без сомнения, разработка единой методологии расчета железо-
бетонных конструкций в качестве непременной предпосылки должна
использовать по возможности наиболее общее уравнение механи-
ческого состояния бетонов. Как одно из возможных таких урав-
нений нами рекомендуется уравнение (11,11).
1 Введение в расчет жесткости коэффициентов 1 и снижающих расчет-
ный модуль деформации, не может заменить учет нелинейности деформиро-
вания, так как указанные коэффициенты не зависят от величины действующих
напряжений.
2 Эллипсовидная связь между напряжениями и деформациями, положенная
в основу гипотезы Е. С. Сорокина, благодаря замечательным свойствам
комплексных переменных разрешается линейными уравнениями.
3 Причина кроется в том, что известные уравнения деформаций твердых
тел, не отражающие явления виброползучести, не смогли описать независи-
мость площади петли гистерезиса диаграммы з— е при колебаниях от частот,
а сам факт поглощения энергии при колебаниях потребовал привлечения не-
линейных уравнений механического состояния материала (98, 148].
§ II, 5. СВЯЗЬ ПОЛУЧЕННОГО УРАВНЕНИЯ С ДРУГИМИ
УРАВНЕНИЯМИ МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ БЕТОНОВ
Можно легко показать, что уравнение (II, 11) согласует-
ся со всеми основными состояниями деформации бетонов [7, 24,
57, 75, 80, 92, 125, 170, 176, 215, 223, 275, 282, 283, 305].
Если пренебречь нелинейностью упруго-мгновенных деформа-
ций бетона, т. е. принять
S" = 1 и S„ = а,
то уравнение (11,11) получит запись
t
<о) = еу(/, to) + • - f s„ Дс* (/, ”) <1-. (11,12)
Су (/) ' \ 'J
• о
Отказ от учета деформаций усадки
еу (/, /о) = 0
приводит к уравнению нелинейной ползучести Н. X. Арутюняна
17], П. И. Васильева [58]
t
(О J . I /J
<о
Если дополнительно пренебречь нелинейностью деформаций
ползучести, т. е. принять
£0=1 и Sn = а,
то уравнение (II, 13) обратится в широко известное линейное урав-
нение ползучести бетона [2, 7, 75, 80, 125, 170, 176, 206, 214, 229,
272, 305] в записи С. В. Александровского [3]:
а учитывая, что
t
to) = ^~^)£c*(t, №
(П.14)
L-!_ = о
* £» (Г)
(П,4)
в записи Г. Н. Маслова —Н. X. Арутюняна [7, 176]
t
с(0 _
Е°„(0 •’
д
(11,15)
или в записи А. А. Гвоздева [2, 80]
t
е. (t, i0) = ем (/) — f ем (т) L (/, т) dxt
it
(11,16)
где ем (/) =
ем СО =
° (О I
— наблюдаемая в момент t упруго-мгновенная
£м (0
деформация;
° (х) 1
— упруго-мгновенная деформация в момент т;
L(t, т) = £2(1)1 1-1- +С(/, т)];
l£M(') J
(И. 17)
L(/, т) — функция влияния прежних упругих деформаций на на-
блюдаемую полную деформацию, так называемая функция
памяти [80].
Наконец, записав уравнение (11,15) в виде
t t
интегрируя второе слагаемое правой части по частям
° (х)
£м°«>
t
t а
1 дз (т)
£“(*) *
сократив подобные члены, получим запись С. Е. Фрайфельда [282]:
t t
(11,18)
J £м(т) •’ °'
fa ft
где eM (/0) =------упруго-мгновенная деформация, возникшая в
момент загружения ~ = /0.
Как известно [214, 282, 378], принятие различных гипотез
о связи между деформациями ползучести и деформациями простой
ползучести приводит уравнения (II, 11 ч- II, 15) к различным теориям
ползучести бетона или, вернее, к разновидности теории ползучести
бетона.
§ II, 6. РАЗНОВИДНОСТИ ТЕОРИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНОВ
Рассматривается линейная постановка. Бетонный обра-
зец мгновенно (в статическом смысле) нагружается в некоторый
момент времени /й. Полученным напряжениям Да (рис. 11,1, а),
которые в дальнейшем поддерживаются постоянными, соответст-
Рис. 11,1. Деформации бетона при сту-
пенчатом режиме нагружения:
а — режим изменения напряжений; б —
график изменения деформаций.
что вследствие старения бетона
вует некоторая упруго-мгно-
венная деформация 0—1, рав-
ная £м (/0) (рис. 11,1, б).
По мере удаления момента
наблюдения от начала загру-
жения деформации образца
во времени увеличиваются
(/—2)— проявляется ползу-
честь бетона. Накопленные
за интервал времени т — /0
деформации являются дефор-
мациями простой ползучести,
величина которых к момен-
ту времени т = tL составляет
/,>)
Если затем в момент вре-
мени / сообщить новое напря-
жение Да, равное по величине
и знаку напряжению Да (/0),
то образец получит прираще-
ние упруго-мгновенных де-
формаций 2—3, равное Дгм (ZJ.
При неизменном во вре-
мени суммарном напряжении
[Да (/„) 4- Да (Q = const] НЗ-
блюдается сначала более бур-
ный, а затем постепенно ста-
билизирующийся рост де-
формаций ползучести (3—4).
К некоторому моменту наблю-
дения t приращение дефор-
маций ползучести достигает
величины Де"р(/, Заметим,
Д^р(/0)>Де„(/,); (/„/„)>
>Де"р (/,/J. Очевидно, что полные деформации бетона к моменту
наблюдения i определяются как сумма упомянутых упруго-мгно-
венных деформаций и деформаций ползучести (О'—4).
В описанной схеме деформации ползучести на первом этапе
нагружения определяются как разница между полными деформа-
циями в любой момент т < и упруго-мгновенными деформациями,
замеренными в момент /0, а на втором этапе —как разница между
полными деформациями, развившимися к моменту наблюдени i т
(/, < т < /), и полными деформациями, накопленными к моменту
времени tx. Указанный прием вычисления деформаций ползучести
вытекает из принятых условий проведения эксперимента, в соот-
ветствии с которыми все замеры делаются на одном и том же
образцех.
Другими словами, де- а б
формации ползучести от-
считываются от горизон-
тальных прямых 1—Г и
3—3', параллельных аб-
сциссе — оси времени1 2.
Имеется два образца- to
близнеца, но один из них 14
аналогично описываемому
выше загружен напряже-
нием Да в момент времени
/0 (рис. 11,2, а), а второй —
таким же напряжением Да
в момент времени (рис.
П,3, а).
Деформации ползучести
первого из нихДб£Р(/, /0),
определяемые указанным
выше способом (отсчет от
линии 1—/), изображены
на рис. 11,2,6; деформации
ползучести второго Де£р (£,
/J, устанавливаемые точно
Рис. П,2. Деформации ползучести бетона
при простейшем режиме нагружения:
а — режим напряжений (загрузка в момент
/0); б — кривая роста деформаций ползу-
чести.
так же, вычерчены в виде
кривых (рис. 11,3, 6).
На рис. 11,3 имеются
три различные кривые 3,
/, 2.
1. Кривая 3 соответствует допущению X. Уитнея [399]. Она
параллельна кривой а рис. 11,2, 6 на участке 1—2. Это значит, что
наблюдаемая в момент т ползучесть образца, загруженного в < ?,
равна ползучести за этот же интервал времени (от до т) другого
образца, загруженного ранее >/0). Так как деформации ползу-
чести довольно быстро затухают, то это приводит к резкому умень-
1 Считается, что деформации усадки учтены сравнением с деформациями
ненагруженного образца-близнеца, находящегося в тех же температурно-влаж-
ностных условиях.
2 Заметим, что это означает омертвление упруго-мгновенных свойств бетона
соответственно по моментам tQ и [3, 286].
шению деформаций ползучести образцов, загруженных в сравни-
тельно зрелом возрасте. Из этого вытекает, будто единственным
фактором, влияющим на характер развития деформаций ползучести,
является возраст, явление старения бетона
Дг'’Р(/, Ц) = Дз'’Р(/, /0) - Д£пр (/ь 4).
(П.19)
2. Кривая / представляет собою не что иное, как перенесенную
в tY первоначальную кривую а. Другими словами, независимо от
Рис. П,3. Зависимость деформаций ползу-
чести от возраста бетона:
а — режим напряжений (загрузка в момент
Д); б — деформации ползучести:
/ — перенесенная в первоначальная кривая де-
формаций ползучести (рнс. И.2, б); 2 —промежу-
точная кривая; 3 — кривая, соответствующая до-
пущению Унтнея (399).
возраста материала равные
нагружения за одинаковые
интервалы времени вызы-
вают равные деформации
ползучести. Это положение
заимствовано у Л. Больц-
мана [313]. Подчеркнем,
что такая постановка со-
вершенно игнорирует влия-
ние возраста на развитие
деформаций ползучести бе-
тона:
при t — = tp — tq\
to С An
Д8”ПР(/, Л) = Депр^-у.
(П,20)
3. Многочисленные опы-
ты [7, 38, 41, 57, 80,
129, 134, 165, 176, 214, 246,
272, 289 и др.] показали,
что деформации ползучести
бетонных образцов не со-
ответствуют ни одной из
двух описанных кривых 3
и /, а могут быть изобра-
жены кривой 2, находящей-
ся между ними (рис. 11,3).
Другими словами, де-
формации ползучести бето-
на зависят от возраста, хотя
эта зависимость значительно слабее, чем следует из «параллель-
ности» кривых X. Уитнея.
Для описания приведенных качеств кривых деформаций ползу-
чести бетонов можно, наверное, использовать выражение (11,20),
предпослав его правой части некоторую корректирующую функцию
возраста:
As;’(Л G) = <Р (6) Ае?> (<„-/,).
(П.21)
Рис. 11,4- Деформации ползучести бетона при ступенчатом режиме нагружения:
а—режим напряжений во времени; б — кривая деформации, соответствующая (а в — кривая
деформаций, соответствующая (а 4- в); г—сопоставление кривых деформаций ползучести.
Очевидно, что этой функцией возраста является обсуждаемая ранее
функция (гл. I).
Выражения для деформаций ползучести (11,19; 11,20; 11,21)
можно привести к мере деформаций простой ползучести, разделив
правые и левые части на Да1:
а) С(/, /х) == Со(/, /0) — Л>); (П,22)
б) С(/, ti) = C0(tp-tq) при (11,23)
В) С(/,/0 = ^(/07(6, —М при t — = (11,24)
Индекс «о» при С означает, что рассматриваемая мера деформаций
соответствует опытным данным по простой ползучести (рис. 11,3);
f Up— tq) — наследственная
функция роста деформаций
простой ползучести (гл. I).
Если рассматривать не
два образца-близнеца, на-
груженные равными напря-
жениями в разном возрас-
те, а один образец, загру-
женный последовательно в
двух различных возрастах
одинаковыми ступенями
нагружения (рис. 11,4, а),
то, опираясь на принцип
суперпозиции деформаций
ползучести, можно запи-
сать при t >
ем (/, /0) = Де"Р (t, t„) +
+ Де;'Р(/, /,), (11,25)
Рис. П,5. Аппроксимация монотонно воз- что соответствует суммар-
растающего режима ступенчатым. ным кривым на рис. цд
б — 3.
Так как теперь действует не простейшее загружение, а сту-
пенчатое, то речь должна идти не о простой ползучести, а о пол-
зучести вообще, поэтому в левой части (11,25) отсутствует индекс
«пр».
На рис. 11,4, б изображена кривая (а 4-б), вытекающая из
(11,3, б); на рис. 11,4, в — кривая (a J- в), отвечающая (11,3, б); на
рис. 11,4, г—кривая (a -j- г) по (11,3, г).
Многочисленные исследования показывают, что наилучшим
образом с данными опытов совпадают кривые типа (а + г).
Очевидно, что ступенями нагружения, подобными тем, которые
даны на рис. 11,4, а, можно аппроксимировать любой монотонно
1 См. также (11,68).
возрастающий режим нагружения образца (рис. И,5), причем ука-
занных ступеней может быть сколько угодно, а точность замены
некоторого непрерывного процесса загружения тем выше, чем боль-
ше число ступеней и меньше каждая ступень. Отсюда вытекает,
что деформации ползучести к моменту времени t при п ступенях
загружения равны
еп(/. Q= S Ае;₽(Л О- (П,26)
i — о
Устремляя число ступеней к бесконечно большой величине, а раз-
мер ступени — к бесконечно малой, получим
Учитывая, что
запишем
t
e„(t, t„) = т).
/о
^р(/, г) =
dr -f-
3- const
де"Р(С ')да(т)’
да (-) д'
с ^;;p да (т)
J да (т) дт
^0
J да (~) д~ U *
f.
(И,27)
(11,28)
(11,29)
Так как в линейной постановке
да Да
(11,30)
и
^Р(Л t0) = 3(t0)C(t, tu),
то (11,29) можно переписать
t
еп (/, /о) = о (t0) С (t, f0) 4- J С (/, т) Д о (т) dx.
(П.31)
(П.32)
Далее, интегрируя по частям
еп (^» ^о) — 3 (М С (Л ^о) 4“
С(/, х)з(г)
еп (/, /„) = о (/„) С (t, /0) + о (О С (/, t) -
t
В. M. Бондаренко
81
дт +
6
t
t
t С А
помня, что
С(/, 0 = 0,
и приведя подобные члены, получим
г
4) = -J »(т)Дс(Л т)Л. (11,33)
to
При этом, так как
£С(/,г)<0,
ТО
еп » /о) > О*
Из принципа суперпозиции деформаций ползучести при моно-
тонном загруженин и их независимости от предшествующего на-
пряженно-деформированного состояния вытекает, что мера дефор-
маций ползучести, как единичная характеристика, равна мере
деформаций простой ползучести. Это значит, что равенство (11,33)
может быть переписано в виде
en (t, /„) = — С 0 (Х) с0 (/, т) dr, (11,34)
i'o
где Со — соответствует левым частям выражений (П,21н-23) после
замены на z.
Между разными теориями ползучести бетона имеются сущест-
венные различия: во-первых, при построении соответствующих рео-
логических уравнений состояния материалов принимается различная
связь между функциями меры деформации ползучести и функциями
меры деформаций простой ползучести (независимо от математичес-
кого вида записи последней); во-вторых, важно, насколько те или
иные ядра указанных уравнений обеспечивают совпадение теорети-
ческих и опытных кривых ползучести, полученных при малых воз-
расте и длительности загружения, при нагрузке и разгрузке.
Анализ различных теорий ползучести приводится в книгах
С. В. Александровского [2], Н. Я. Панарина [206], И. Е. Проко-
повича [214, 2151, И. И. Улицкого [27Т], в работах В. М. Бонда-
ренко, П. И. Васильева, С. Е. Фрайфельда и др.
а) Теория старения — X. Уитней [399], Ф. Дишингер 329];
затем В. А. Бовин [34], Н. А. Буданов [51], А. Б. Голышев [275],
М. Б. Гибшман [90], В. Ф. Деркач [106], Я. Д. Лившиц 163],
А. М. Смирнов [250], И. И. Улицкий [275], С. Е. Фрайфельд
[282] и др.
Теория старения основывается на допущении «о параллельности»
кривых ползучести (рис. 11,3, г, кривая б, рис. 11,4, б), приводящем
к равенству
Со (/, т) = Со (/, /0) - Со (т, /0). (11,35)
Здесь влияние возраста в момент загружения /0 отражается
мерой простой ползучести, поэтому для определенности в теории
старения начало отсчета времени совмещают с началом становления
бетона как конструктивного материала, принимая /„ = 0.
С. Е. Фрайфельд (282], совершенствуя теорию старения, пред-
ложил учитывать влияние возраста специальным множителем, а
влияние длительности нагружения отражать самостоятельно и не-
зависимо от возраста
Со (С т) = <? (/0) (Со (/ - /о) - Со (г - /0)], (11,36)
где ?(/0)— функция возраста бетона в момент загружения.
Теперь деформации ползучести (11,34) приобретают вид
t
Bn К, Q = -<? (to) j о (') £ [Со (I ~ g - Со (г - Q] dr, (II ,37)
или с учетом того, что
^С0(/-/о) = 0; (11,38)
t
е„ К, /о) = <? Ко) j ° () ^ Со (т - /0) dr. (11,39)
to
Очевидно, что, дифференцируя по i обе части (11,39), можно по-
лучить
£ е„ (/,/„) = з (0 ? (/„) | С» (/ - /„). (11,40)
Аналогично непосредственное применение равенства (11,35) дает
t
е» К, to) = - J ° Ю £ [С„ (Z, /0) - С„ (т - /„)] dr- (11,41)
t
^C(t,to) = O, ТО еп(/. t0) = (з(т)£ Со (Т,/„)<//; (11,42)
К
£ е„ К, t0) = з (/) А Со К, f„). (11,43)
В нелинейной постановке (11,11) теория старения соответственно
имеет вид
t
г„ (t, /„) = 9 (/о) j S„ [i$] £ Со (г - to) dr (11,44)
или
е„ (/, Q = ? К„) S„ [^] Со К - to). (11,45)
Из сказанного следует, что независимо от конкретного мате-
матического вида функции меры деформации простои ползучести
теория старения приводит задачи к дифференциальным уравнениям.
б) Теория наследственности 1 — Л. Больцман [313], В. Вольтерра
[394], затем А. И. Губанов [97], А. Ю. Ишлинский [125], А. К. Мал-
мейстер, Е. А. Мачерет [170], Ю. Н. Работнов [219], А. Р. Ржани-
цын [226], М. И. Розовский [229], А. М. Скудра [245], Д. Бленд
[31] и др.
Теория наследственности не учитывает влияния старения бетона
на развитие деформаций ползучести. Согласно этой теории незави-
симо от возраста бетона приложение равных напряжений обуслов-
ливает одинаковое по характеру развитие деформаций ползучести
(рис. 11,4, в), т. е. кривые простых деформаций ползучести бетона,
нагруженного в любом возрасте, получаются переносом одной и той
же кривой вдоль оси времени. На основе (11,23 и 11,34) уравнение
деформаций ползучести по теории наследственности имеет вид
=п(Л^о) = -]=(-)Дс„(/-т)Л.
to
(П.46)
Функция меры ползучести Со(/— т) в принципе может быть
любой — единственным требованием, которое предъявляется к ней,
является ее инвариантность по отношению к началу отсчета
времени.
Такие же ограничения теория наследственности накладывает на
развитие упруго-мгновенных деформаций. Считается, что модуль
упру о-мгновенных деформаций не зависит от возраста бетона:
Е-о = const.
м
По теории наследственности уравнение полных деформаций
«а, /о) = ^-)-(‘о(-)^с0а-т)л.
с,, ,1
(Н.47)
(П.48)
В качестве функции меры ползучести принимается, как правило,
экспоненциальная зависимость
Со (/- г) = См [1- е~^)].
(П.49)
Уравнение деформаций теории наследственности приводится
к дифференциальному уравнению [125,227].
1 Эту теорию часто называют теорией упругой наследственности, понимая
под добавлением термина «упругая» восстановление всех деформаций после
разгрузки.
Так, подставив (11,49) в (11,48), получим
з (/. 4) = 7? + р (*) d-.
Го
(И,50)
Возьмем от этого равенства производную по t:
<Л: (/, Л>) = J_ <Ь£)
dl £« dt
+ ТС„ЛО- fo^fC.e-^dr,
Го
(И,51)
умножим равенство (11,50) на у и сложим почленно (11,50) и (11,51).
Это дает искомую запись в дифференциальной форме:
и(/,4) + ^) = 7|^+С„'р(/) +(11,52)
Как показано А. 10. Ишлинским [125], уравнение (11,52) пред-
ставляет собой обобщение известных уравнений Кельвина — Фойгта
и Максвелла.
А. Разделив равенство (11,52) на у получим при
\£м /
= 0 уравнение Кельвина—Фойгта:
° = Т- ---s+—г2---------Л- (11.53)
77,+ С- 4Г»+С"
Б. Разделив равенство (11,52) на у, будем иметь при = О
уравнение Максвелла
3 = (| + C.)’ + i£. (П.54)
Каждое из этих уравнений описывает механические свойства
определенных реологических моделей — среды Кельвина — Фойгта
или Максвелловой жидкости.
Очевидно, что предельная мера деформаций ползучести по тео-
рии наследственности не зависит от возраста материала к моменту
загружения. Стремясь улучшить аппроксимацию опытных кривых
простой ползучести, ряд авторов [70] представляет функцию (11,49)
в виде
т
Со (/--)= S С,.[1-е-’3'-’>1,
(-0
(11,55)
где т — так называемый порядок наследственности (гл. I).
Использование (11,55) в уравнении наследственности (11,48) при-
водит к обобщению дифференциальной записи (11,52):
(11,56)
где
Р~(^0Р,дИ' ^~^oq,dti (И,57)
— линейные временные операторы [70,97,275].
Как показано Е. Ли [275], дифференциальные уравнения 2-го
порядка (п = 2) качественно описывают все особенности кинетики
развития спада деформаций так называемых вязко-упругих тел.
Для лучшего согласования уравнений теории наследственности
с опытными данными ряд авторов [229, 245] используют нелиней-
ные записи типа (11,11), причем 10. Н. Работнов [219,220] прини-
мает одинаковую функцию нелинейности как для упруго-мгновен-
ных деформаций, так и для деформаций ползучести:
t
SM0] = ^+ fa(x)X(Z-t)dr, (11,58)
£“ •>
*0
где К —наследственное ядро, К (t — т)= ~ Со (/ — ?), а М. И. Розов-
и и
ский [229] относит нелинейность только к деформациям ползу-
чести:
Приведенные уравнения деформаций также основываются на
сформулированных выше допущениях: о малости деформаций, их
наложении, о взаимонезависимости частных деформаций, о супер-
позиции деформаций ползучести и об аффинноподобии.
Уравнение (11,58) А. Р. Ржаницын называет квазилиней-
ным [224], понимая под этим пропорциональную связь между
полными или отдельными частными деформациями и функцией на-
пряжений S [*(?)).
Привлекая собственные опыты, а также опыты IO. М. Иванова
[120], А. Р. Ржаницын [224] разделяет кривую деформаций ползу-
чести при постоянных нагрузках на три участка (рис. 11,6): устой-
чивого деформирования, безразличного деформирования и неустой-
чивого деформирования. На каждом участке предполагается линей-
ное или квазилинейное деформирование и законы деформирования
подбираются так, чтобы удовлетворялись условия непрерывности
или, по крайней мере, условия сопряжения деформаций в момент
перехода через границу между участками при любых режимах
загружения.
Заметим, что здесь также предполагается аффинноподобие на
отдельных стадиях (участках) деформирования. Хотя обсуждаемая
выше кривая (рис. 11,6) и нашла последователей в ряде более
поздних работ [74, 245], применительно к бетону она может рас-
сматриваться только как возможная принципиальная схема дефор-
мирования, а не как рабочая модель, поскольку в действительности
вСе опыты показывают, что даже при напряжениях, близких к пре-
делу прочности бетона (о = 0,87?), деформации его имеют явно
затухающий характер [2, 37, 41, 57, 80, 133, 272]. Это же подчерки-
вает А. А. Гвоздев |82], считая, что /?дл < 0,9/?. Может быть,
только в тех случаях, когда действующие напряжения больше пре-
дела длительной прочности
материала в момент време-
ни, предшествующий раз-
рушению, на кривой дефор-
маций и появляются участ-
ки безразличного и неус-
тойчивого деформирования
(рис. II,6). Однако ни одна
реальная конструкция не
эксплуатируется при на-
пряжениях, превышающих
предел длительной проч-
ности, поэтому при расчете
инженерных сооружений
достаточно рассматривать
только первый участок —
устойчивого деформирова-
ния.
Если же, подобно устой-
чивости неравновесно де-
формируемых систем, при-
дется рассматривать время
эксплуатации сооружений,
испытывающих напряже-
ния, превышающие предел
длительной прочности ма-
териала, то можно решать
вопрос о критическом вре-
мени, в пределах которого
обеспечивается и устойчивое
Рис. П,6. Деформации ползучести при по-
стоянных нагрузках:
1 — участок устойчивого деформирования; 2 —
участок безразличного деформирования; 3 — учас-
ток неустойчивого деформирования.
деформирование, и длительная проч-
ность.
Особое место в линейной теории наследственности занимает
предложение А. Р. Ржаницына об условном масштабе времени
[226]. Стремясь коренным образом усовершенствовать исходные
предпосылки теории наследственности \ чтобы учесть влияние
возраста и условия среды (влажность, температуру и т. п.), изме-
няющиеся в процессе деформирования тела, А. Р. Ржаницын
1 Напомним, что теория наследственности не учитывает
бетона на его упруго-мгновенные деформации и деформации
влияния возраста
ползучести.
ввел в наследственную теорию ползучести комплексное ядро
Ф(г, 6):
t
е(г) = е0(2) + ^>- ( о(')Ф(г, E)d;, (11,60)
-00
где z — условное время, связанное с абсолютным временем
t
z = j (т)^х> (11,61)
о
а т] (?) — некоторая экспериментальная функция состояния, отра-
жающая изменение деформативных характеристик мате-
риала во времени под влиянием изменения возраста,
влажности, температуры и т. п.
Здесь т и t — действительное время.
Заметим, что переход от 2 к т лишает уравнение (11,60) и
соответствующие решения исходной базы теории наследственности.
Например, в задаче о влиянии температуры, влажности и старе-
ния на напряженное состояние закрепленной по краям тонкой
пластинки 1226] уравнение состояния может быть представлено
в виде
t
где
/5(Лх) = т(т) 1п(т) • (П.63)
В рассматриваемой задаче уравнение (11,62) приводится к урав-
нению наследственности (11,60) с помощью условного времени
z=-i-lnC/. (11,64)
Здесь а, а, у, С и В' — постоянные параметры, определяемые
опытным путем.
Излагаемое обобщение линейной теории наследственности,
разработанное А. Р. Ржаницыным, не нашло до настоящего вре-
мени широкого применения только из-за отсутствия достаточного
количества необходимых экспериментальных данных, но может,
по нашему мнению, рассматриваться, как многообещающая основа
дальнейшего развития теории ползучести вообще. По-видимому,
обсуждаемое предложение А- Р. Ржаницына может быть распро-
странено и на нелинейные задачи теории деформаций бетона и
железобетона.
в) Теория стареющей наследственности1 — создана Г. К. Мас-
ловым и Н. X. Арутюняном, получила дальнейшее развитие в ра-
ботах Б. Л. Абрамяна, С. В. Александровского, П. И. Васильева,
д. А. Гвоздева, И. И. Гольденблата, М. А. Задояна, К- С. Кара-
петяна, М. М. Манукяна, Н. Я. Панарина, С. В. Полякова,
П. Е. Прокоповича, М. И. Розовского и др.
Теория стареющей наследственности по исходным предпо-
сылкам (рис. 11,3, г; рис. 11,4, г) занимает промежуточное поло-
жение между теорией старения и теорией наследственности. Если
первая резко преувеличивает значение старения бетона, а вторая
игнорирует его, то теория стареющей наследственности с этой
точки зрения наилучшим образом удовлетворяет опытным данным.
Используя (11,24) и (11,34), деформации ползучести по тео-
рии стареющей наследственности можно записать в виде
г
Q = -p(-)^['?«f(<-t)]d-, (11,65)
t'
где э(')— функция, отражающая влияние возраста бетона на
предельную меру деформаций ползучести (гл. I);
/(/—т) — наследственная функция роста деформаций ползучести
во времени (гл. I).
Как видно, здесь свойства наследственности отображаются так
же, как и в рассматриваемой выше теории наследственности, а
свойства старения бетона отражены корректирующей функцией
возраста.
Приведенный способ учета свойств старения и наследствен-
ности ползучести разработан Н. X. Арутюняном [7], который
предложил следующие записи для указанных функций:
т
<?(•) = (т>0); (11,66)
fe=0
т
(11,67)
fe=0
где tn — порядок наследственности [394], а также показал, что
с точки зрения удовлетворения опытным данным достаточно огра-
ничиться только двумя слагаемыми каждой из записанных выше
сумм
<?W=H0+^, (х>0); (11,68)
/(/—-) = 1—(11,69)
другие названия: теория упруго-ползучего тела [7,176], наследственная
теория старения [92].
Позднее, чтобы удовлетворить опытным данным при т = 0, для
<р(т) было введено [129, 216, 272] выражение
<Р (т) = Ао -|-
(И,70)
Константы До, Вх и подбираются по экспериментальным
данным, а в целом кривые, построенные по формулам (11,24).
хорошо соответствуют опытным кривым (рис. 11,7).
Рис. П,7. Зависимость меры деформаций ползучести от продол-
жительности действия нагрузки:
а — опытные кривые; б — кривые, построенные по формулам
(П.23).
Использование меры ползучести в виде (I, 5; 1, 6) приводит
задачи теории железобетона к сравнительно легко разрешимым
интегральным уравнениям [7, 223].
То обстоятельство, что экспериментальные кривые деформа-
ций ползучести образцов, загруженных в возрасте tx (рис. 11,3),
располагаются между кривыми, построенными по теории старения
н по теории наследственности, привело, по-видимому, ряд авторов
к другому приему конструирования выражения меры деформаций
простой ползучести [214, 215, 30511. Сущность его вытекает из
того экспериментального факта, что кривые деформаций ползу-
чести сразу после загружения больше соответствуют кривым
теории наследственности и зависят от длительности загружения.
Спустя некоторое время (приблизительно половину периода ста-
билизации деформации ползучести) приближаются к кривым тео-
рии старения и определяются только возрастом бетона, т. е.
удовлетворяют принципу «параллельности» в смысле Унтнея [38,
165, 214, 305]. Поэтому мера деформаций простой ползучести
разыскивается в виде комбинации двух функций, одна из которых
аналогична записи теории наследственнности, а другая—теории
старения
со (/, = Ф (/ - 7) + [F (0 - F (7)1. (11,71)
Здесь слагаемое Ф (/ — 7) должно отражать обратимые дефор-
мации ползучести, a F— необратимые. При этом А. В. Яшин
[305) считает необходимым для Ф(/ — 7) удержать четыре слага-
емых суммы (II, 67) и предпослать ей функцию возраста
Со(/, X) = (1 + (В, [1 _£-<.(/->] + В2 [1 -+
+ [Л(1 -е-ь')-Л(1 -е-ь’)1, (11,72)
а И. Е. Прокопович и И. И. Улицкий [214, 215] сочли доста-
точным ограничиться тремя членами суммы (11,72) без множителя
(’ + ^):
С„«, т) = В[1—е-ь('-Ч] + [Л(1—е-ь')_Л(1—е-ь’). (11,73)
Так как в последних выражениях для меры деформаций простой
ползучести содержится соответственно семь и четыре произволь-
ных постоянных (A, Blt В2, Сь ^2, и у3), определяемых из
опытов, то, очевидно, с их помощью можно лучше описать экс-
периментальные кривые, чем с помощью выражений (11,68, 69),
имеющих всего по три постоянных.
Из выражений (11,72) и (11,73) при t = со можно получить
значение предельной меры деформаций ползучести в зависимости
от возраста бетона в начале загружения 7:
по А. В Яшину
с„(оэ, т) = (1 +£‘)[(В1+ В2) + Л.е-Т’], (11,74)
по И. Е. Прокоповичу — И. И. Улицкому
С0(оо, х) = В + Ае~^. (11,75)
1 Первое из них принадлежит, по-видимому, Мак-Генри [346J.
Заметим, что при С( = В2 = 0 записи (11,74 и 75) совпадают.
Изучая поведение предельной меры деформаций простой пол-
зучести бетона, загруженного при т = оо, т. е. после окончания
процесса старения, найдем
С0(со, со) = BL -J- В2 или Со (со, со) = В. (11,76)
Упрощая запись (II, 73) за счет уменьшения числа параметров,
определяемых из опыта, И. Е. Прокопович принимает
7 = 71=72. (И,77)
чем устанавливается непосредственная зависимость между ско-
ростью старения и скоростью ползучести [214]. Теперь выражение
(II, 68) получает вид
Со(/, (t — г) = С0(оо, oo)Fn(T)/(/—-), (11,78)
где
Fn = l+aKe-r (11,79)
И/ - т) = 1 -
Хотя из данных ряда опытов [214, рис. 16, табл. 3, 4, 5];
[272, стр. 57, 71] не вытекает равенство (11,78), несомненно,
что функция возраста Еп(") без ее связи с предшествующим урав-
нением (11,73) может быть принята наравне с любой другой,
например, (11,74).
Еще в 1959 г. автор [38], основываясь на опытах Л. Б. Лю-
бимовой [165], которые показали, что выбор связи между функ-
цией ползучести и функцией простой ползучести зависит от со-
отношения между длительностью стабилизации нагрузки и дли-
тельностью условной стабилизации деформаций ползучести,
предложил иной, чем в (11,22 ч- 24), вид связи между мерой
деформаций ползучести и мерой деформаций простой ползучести
C(t, х)-Л(г)[С0(/, М-С0(т, /0)], (11,81)
где корректирующая функция имеет вид
—ь—
fi (т) = I -J- Be tcT. (11,82)
Здесь b и В— константы деформирования, определяемые из опытов;
/ст — время условной стабилизации деформаций ползучести.
При отсутствии специальных данных время стабилизации
деформаций ползучести может определяться из условия 5%-ного
нарастания деформаций по формуле
/ст = у суток, (11,83)
причем для относительной влажности 50% и температуры среды
20° С можно принимать у = 0,04 и /ст = 75 суток.
Уравнение (11,81) позволяет удовлетворять опытным кривым
при любой длительности стабилизации нагрузок. Если отношение
длительности стабилизации нагрузки и длительности стабилизации
деформаций ползучести меньше 0,5, то теоретическая кривая
(11,81) приближается к кривой теории наследственности (рис. 11,1),
а если это отношение больше 0,5—к кривой теории старения.
Значение предельной меры деформации ползучести в зависи-
мости от возраста бетона в начале загружения при /0 = 0 состав-
ляет
С0(оэ, х) = Л(т)е-пС0(оэ, со). (11,84)
Таким образом, корректирующую функцию можно вводить не
только к уравнениям теории наследственности (11,24), но и к
уравнениям теории старения (11,81). Запись (11,81) целесообразно,
по-видимому, назвать уравнением наследственного старения.
Наиболее полно соответствует опытным данным предложение
С. В. Александровского 12], которое после несложных преобра-
зований может быть представлено в виде
С(/, -) = '?(t) + A(/)[F(/, tJ-F(t, т, /,)] + <!>(/, т), (11,85)
где 'Нт) = + Ь.; Л (/) ='МО; (П.86)
F(t, /к) = Л1(О(1-е’'к); F(l, т, 1к) = /„(/)(1-е-г); (II,87)
Л1(0 = (е1'к-^')-'; Ф(/, т) = Д(т)/(/-г); (11,88)
Д(т) = Д,+ ^; f(/-x)= /„ = 12^.(11,89)
Здесь ф0, 'фх, 7, До, Д,, а, А2—некоторые параметры, подбирае-
мые из опытов (все они — величины положительные). Функция
Д(-) должна отражать быстро натекающую вслед за мгновенным
загружением часть деформаций ползучести.
Для спокойных, плавно изменяющихся, или кратковременных,
прерывисто изменяющихся воздействий, но с продолжительностью
действия или периодом изменения более одних суток С. В. Алек-
сандровский рекомендует принять f(t — т) = 1 и дает несколько
упрощенную запись меры деформаций ползучести [2,3]:
С(/, т) = С(оо, т) 4- Л (/) (F (/, — х, /к)]. (Ц,90)
Из (11,85) нетрудно получить функцию предельной меры ползу-
чести (при t = со) в зависимости от возраста бетона в момент
загружения
С(о=,т) = №0 + Д„) + 1Ц-^. (11,91)
Легко заметить, что при
% + Д() = Л0; ф1-]-Д1=Л1 (11,92)
последнее выражение совпадает с аналогичным выражением
Н. X. Арутюняна [7, 1,65].
Уравнения теории упруго-ползучего тела, предложенные
Н. Г. Масловым — Н. X. Арутюняном и записанные на основе вы-
ражения для функции С (/, т) С. В. Александровского, позволяют
аналитически сравнительно просто и практически достаточно
достоверно решать большинство задач современной линейной
теории железобетона.
Очевидно, при назначении выражений для меры деформаций
ползучести в теории стареющей наследственности необходимо
учитывать, что старение бетона должно проявляться не в боль-
шей мере, чем в теории старения. Это значит, что С(оо, т) по
теории старения всегда должно быть меньше, чем С (со, т) по
теории стареющей наследственности.
Имеющиеся работы по нелинейной теории стареющей наслед-
ственности [7, 25, 38, 57, 74, 135, 283, 378] опираются на принцип
аффиннеподобия 1 и поэтому полностью согласуются с построен-
ным ранее уравнением состояния. Заметим, что в большинстве
из них нелинейность упруго-мгновенных деформаций не учиты-
вается.
§ II, 7. АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Анализу различных теорий ползучести бетона посвя-
щено много работ. Для всех них характерно использование
общих отправных предпосылок, которые состоят в следующем:
а) рассматривается так называемая линейная постановка как
для нагружения, так и для разгружения;
б) принцип суперпозиции деформаций, принимаемый для сту-
пенчато возрастающей нагрузки, считается независимым от знака
напряжений и поэтому переносится на разгрузку;
в) поведение бетона изучается при неизменных температуре,
влажности среды и т. п.
Различные теории ползучести оцениваются главным образом
по характеру учета необратимости деформаций, по степени соот-
ветствия «функции памяти» и по наблюдаемым в опытах особен-
ностям деформирования бетонов, загруженных в различных воз-
растах и с различной длительностью.
Очевидно, что применять линейную постановку, существенно
облегчающую аналитические решения, можно только при низких
уровнях напряжений. Поэтому распространять выводы анализа
теорий на высокие уровни напряжений, когда нелинейность де-
формаций ползучести проявляется особенно ярко, надо с извест-
ной осторожностью.
Анализируя характер развития деформаций обратной ползу-
чести, многие авторы установили существенное отличие закона
1 Интересное предложение по нелинейной теории стареющей наслед-
ственности сделал П. И. Васильев [58].
деформирования при разгрузке от закона деформирования при
нагрузке 133, 41, 57, 82, 165, 282]. Если для нагрузки и для раз-
грузки с известными оговорками можно принять допущения о
суперпозиции деформаций ползучести, то перенос закона дефор-
мирования бетона при нагрузке на описание деформаций при
разгрузке следует считать условным.
На базе сформулированных предпосылок, учитывая исходные
зависимости (11,24; 22; 23), можно следующим образом предста-
вить особенности различных теорий ползучести (табл. 11,1).
Теория старения, опирающаяся на допущение о параллельности
кривых ползучести (11,22), с одной стороны, исключает обрати-
мость деформаций ползучести и восстановление напряжений, а с
другой—резко преувеличивает релаксацию напряжений.
Теория наследственности, совершенно не учитывающая влия-
ния возрастных изменений на ползучесть, приводит к полной
обратимости деформаций ползучести и преувеличенному восста-
новлению напряжений, но существенно преуменьшает релаксацию
напряжений.
Обе указанные теории представляют собою некоторые пре-
дельные случаи и неудовлетворительно согласуются с опытами,
причем на начальных этапах деформирования последнее в большей
степени относится к теории старения, а на более поздних — к тео-
рии наследственности.
Наилучшее совпадение с экспериментами обеспечивает теория
стареющей наследственности, которая удовлетворительно отражает
обратимость деформаций ползучести, восстановление и релаксацию
напряжений и занимает промежуточное положение между теорией
старения и теорией наследственности (рис. 11,8).
И. Е. Прокопович и 14. И. Улицкий [214, 215] для оценки
разновидностей теории ползучести ввели специальный аналити-
ческий критерий. Сущность этого критерия (назовем его крите-
рием Прокоповича — Улицкого) состоит в следующем:
1. Величина деформаций ползучести еп. об(0> оставшейся после
разгрузки (рис. 11,9, а и б), определяется как разность [33, 275]:
еп. об (0 == £п (Л ^i)—епр (/> ^г)> (11 >93)
по теории старения
еп (Л ^1)с>епр(Л Ос, (11,94)
по теории наследственности
£п(°°, ^1)н=£пр(°°, ^2)н, (И,9о)
а по теории стареющей наследственности—между (II, 94) и
(II, 95)
С)с^*£пр(Л ^2)сн- (11,95)
Таблииа U.i
£ s 777 УУ.
7 - Й J D Jl 4 g <\) h <pj la t $> <? 'i X 4 1 tifoexpamae /ыгсгейше? заерумение afyawcdo змгка # % 6 Ъ- -б <£f А> -е G 4 -б 1~ е..7лу
о it ,. <Э ТУ
&рер/пщия npoc- гои" ползучести обратного знака am Ту <7o t. ср 4 "Л л? г 4> Улр А? _- У.7
Л»1 4"Z:
0 $ £ § I 4 fyfae&e мзгруме- нле от Уз go t ( G> .]> _С: Ч) <• ia 1 et
J~7I— фр Д ij фр '|< — — Ур -61
бТи^агитосто ^е^оортациР лоозуче О7и <4 ,1 • 6 > (э!
— А»
^1 t, фр A- 1 л гд
З&сстано&юмв галря- fl .we/w? /zweразгрузки Il при нем nett.wx &умрпгацилх а Г- — 4 — & 1 —
" 7. h i:t i. 7
^таксация лалрдяен^Я 6 л б *~~-^. ’ б
t. y.t i» •-J У 'Ту
7
Рис. 11,8. Экспериментальная и теоретическая кривые
релаксации напряжений в сжатых бетонных призмах:
а — релаксация напряжений; б — эпюры деформаций (серия
опытов, проведенных в Одесском инженерно-строительном
институте).
Рис. 11,9. Обратимость деформаций ползучести бетона:
а — эпюра напряжений; б — эпюра деформаций.
В. М. Бондаренко
97
Поэтому всегда
Еп. об (0 0.
(11,96)
Разница между еп и е„р наибольшая по теории старения и на-
именьшая по теории наследственности;
здесь введены такие обозначения:
Еп. об — величина деформаций ползучести, оставшихся после раз-
грузки;
еп — величина деформаций ползучести, накапливаемых при на-
гружении;
епр—величина деформаций ползучести, накапливаемых при раз-
грузке;
с — теория старения, н — теория наследственности; сн — тео-
рия стареющей наследственности.
2. Сформулированная выше независимость допущения супер-
позиции от знака деформаций приводит к равенству
Ец (С — Епр(/, Т).
Отсюда по теории старения
дУ Еп. об (Ос — О,
а по теории наследственности
Еп. об (/)ц < 0.
(11,97)
(П,98)
(11,99)
Следовательно, по теории стареющей наследственности, которая
не может приводить к старению большему, чем теория старения,
должно быть
| еп. об (/)« < 0. (И. 100)
3. Значит, в качестве аналитического критерия теорий ползу-
чести по обратимости деформаций можно принять (II, 100) или
в силу линейной постановки окончательно
^С„.ов(/, G, <г)<0. (11,101)
Учитывая (11,93), можно видоизменить выражение (11,101),
записав его в следующем виде:
с, (/, /,) < 4 (11.102)
Последние два неравенства и представляют собой аналитический
критерий И. Е. Прокоповича — И. И. Улицкого.
Рассмотрим обсуждаемые выше теории ползучести с позиций
удовлетворения критерию И. Е. Прокоповича—И. И. Улицкого.
А. Теория старения:
Соб (/, 11» ^2) ~ С G» Л) — С G» ^г)>
С(/, /1) = С(/)-С(/1); С(/, /2) = С(/) —С(/2); (11,103)
Соб (Л G> ^2) = С (/2) — С (/();
4,С„б(/, /„ /2) = 0,
то же в записи С. Е. Фрайфельда [282]:
С„б(/, /„ /2) = ?(/t)|C (/-/,)-[С (/-/,)-С (Л,-/,)]);
С„в(/, 1ь Q = <?(G)Ctf2-/,); (11,104)
^уСоб(Л G» G) ‘ 0.
Аналитический критерий И. Е. Прокоповича—И. И. Улицкого
для теории старения удовлетворяется независимо от вида приме-
няемой меры деформаций простой ползучести.
Б. Теория наследственности:
Соб (Л Л, /2) = С(t-tj- С (1 —/2); Соб(/, /ь /2) =
= C.[f(/-G)-f(/-M;
С„б(С t„ /2) = С.Ц1 -е-т[1-е->
Соб (С tlt t2) = С. [е-т е~ »-'>); (II ,105)
С„б (/, 6. <2) = уС„ [е-т- e-i
Так как
t--/1 > — ^2>
то
e-i(t-ti) < в-1
и, значит, по теории наследственности
|с„б(/, /2)<0. (11,106)
Аналитический критерий И. Е. Прокоповича—И. И. Улицкого
для теории наследственности удовлетворяется.
В. Теория стареющей наследственности:
а) запись Г. Н. Маслова—Н. X. Арутюняна:
Соб(/, G,
СОб(/, /1, /2) = ?(G)[l-e-T^]-?(/2)[l-e-7<^]; (11,107)
4,Соб(/, tu /2) = т [¥ (Z,) е-1 ('-'> -?(12) е-т«-'.!].
Так как 7 = const, то для удовлетворения критерия (11,101) не-
обходимо обеспечить неравенство
ср GO е-^ — <р (/2) е--( < 0,
т. е.
<р (/1) е~'( < ср (/2) е~ 1 f,>,
или
е-1
Очевидно, что
?('.)>?(',); ^<1.
(II, 107а)
(11,108)
Следовательно, при независимом назначении выражения для <р(т)
д('
может оказаться, что меняет знак, а критерий И. Е. Проко-
повича — И. И. Улицкого не удовлетворяется.
Вспоминая, что
?м=с-+в4-х’ с1’109)
°1Т т
найдем
(с.+в4гг)е-! < (с-+НЫо1-11о)
\ О| -Г ч ’ \ т гэ
и, сократив обе части предыдущего неравенства на при
< t-i имеем
Рассматривая функцию
f W = (с- + Нп)е1'’
разыскиваем интервал для /, в котором f(t) возрастает монотон-
но, т. е. интервал для /, где обеспечено >0:
[<в* +о2-1 + о - й > °- 112)
Отсюда ^7 = 0 при (Вг + О2 + Д1 (Вх + Z) — -4г- = 0 и корни
U < С со оо
z=± (п,нз)
Так как / > 0, то учитывается один корень
и, следовательно, критерий И. Е. Прокоповича—И. И. Улицкого
удовлетворяется при
6<G</2. (11,115)
Теперь очевидно, что теория стареющей наследственности при
^(т) по (11,109) удовлетворяет критерию И. Е. Прокоповича—
И. И. Улицкого только при
+ + <6>°) оьиб)
и, значит, в записи Н. X. Арутюняна при В] = 0 [7] удовлетво-
ряется всегда;
б) запись И. Е. Прокоповича — И. И. Улицкого (11,68)
Сов(/, („ /2) = С(1, — (2);
Соб(/, А, /2)=|В[1-е-ь('-'.>) + (А(1-е-т.')-
— А (1 — «-')]! — (В [ 1 — е-ь <'-'•>] + [.4(1— е-ь') —
— 4(1— «-<•'.)]}; (11,117)
С„б(/, /„ 12) = В [е-ь —е-ь <'-'•>[ +4 (e-i.'. — е-ъ'.);
^С„б(/, /2) = Т1В[е-п-е-,.«-/.)]
и аналогично (II, 106)
£ С<* (I, tu t2) < 0. (11,118)
Последнее вытекает также из того, что (11,117) представляет со-
бой сумму (11,102) и (11,105).
Итак, теория стареющей наследственности в записи И. Е. Про-
коповича— И. И. Улицкого удовлетворяет критерию (11,101);
в) запись А. В. Яшина (11,67) удовлетворяет критерию
И. Е. Прокоповича—И. И. Улицкого только при определенном
соотношении между Ц и 1.2 (11,116).
г) запись С. В. Александровского (11,85):
с„б(/, G. + ‘1. /*)]-
— [/=(/. t2, /«)]) + [A(G)f(<-/.)-
— A (Z2)/(( — /.,)]; (11,119)
(’Ж) - Ж)) = 0; (11,120)
(A (/)[+(/, /,)- + ((, tJ-F(t, tu t*) + F(t, t,, <,)]| =
= |jfi(O[^(i. G. l*)-F(t, A, /,)]) =
_ , ,, ,. d + T _ e1'1 —
~(e‘ e ’) dz ez'._ez' — ez')3 '
17 (?o + 4i) Г»1' + 4, («’' - г1'-) _ n
X--------------p------------< 0;
~ [A (A) Ht-tJ- A - A)) < 0.
(11,121)
(11,122)
Заметим, что неравенство (11,121) обеспечено тем, что, с одной
стороны, (е^* — ei1)2 >0, а /2 > 6 и, значит,
этому
— e‘f/*
(CV* _ el')2
(е^« — < 0, по-
< 0. И, с другой стороны,
при t > 0 всегда
Т (фо/ + Ф1) 1#* + (е-' — ei**) > 0.
(11,123)
Неравенство (11,122) вытекает из (11,105; 106). Таким образом,
запись С. В. Александровского удовлетворяет критерию (11,101).
А. А. Гвоздев [801, исследуя особенности механического со-
стояния бетона как неравновесно-деформируемого стареющего ма-
териала, пришел к выводу, что наибольшее влияние на развитие
полных деформаций оказывают упругие деформации образцов
в молодом возрасте и наблюдающиеся в моменты времени, кото-
рые непосредственно предшествуют отсчету измерений. Влияние
промежуточных упругих деформаций сказывается в незначитель-
ной степени, стирается.
Функция влияния прежних упругих деформаций на наблюдае-
мую полную деформацию, или «функция памяти», имеет вид
(11,17)
а уравнение полных деформаций (11,16)
t
£(/, /о) = £м(0—j £м(хН(/» х)^х-
А. А. Гвоздев рекомендует определять функцию L(t, т) по дан-
ным опытов о деформациях серий образцов-близнецов, загружен-
ных в разном возрасте через короткие промежутки времени один
после другого. Для реализации этого указания удобно рассмат-
ривать единичные деформации
t
с (/) f е (т)
ЧЛ /о) = Т(7Г -<)-^Г ^(/, ХИХ, (11,123)
или
8(z’= T)dT- <П’124)
М ' ' ; М ' f
• О
Тогда, дифференцируя (11,124) по /0
= /о) (11,125)
и разрешая результат относительно L, получим
L (/, Q = (/„) 8 (/, /„), (11,126)
где
8(Л /о) = тЛ-; + С(/, /,).
('о)
(П,127)
т е. выражение (11,126), как и должно быть, согласуется
с (11,17).
Далее, графики единичных деформаций перестраиваются так,
чтобы по оси абсцисс отсчитывалось время начала нагружения
/0, а каждому моменту наблюдения t отвечала своя кривая де-
формаций. Теперь ^-S(f, t0) определяется как тангенс угла на-
Рис. 11,10. Кривые роста деформаций во времени для призм
III серии (по опытам А. В. Яшина).
клона соответствующих кривых (рис. 11,10) при меняющихся /0
и заданном /, а величина модуля упруго-мгновенных деформаций
Ем (t0) известна из опытов.
Обработка опытов А. А. Гвоздева, М. С. Боришанского,
А. В. Яшина [80, 3051, выполненная по описанной методике, по-
зволила построить семейство кривых функций влияния L(t, /0)1.
Кривые функции L(t, t0) (рис. 11,11) имеют три характерных
участка: активный участок при малых /0; участок слабого влия-
ния при сравнительно больших /0, предшествующих довольно
длительному загружению; и еще один активный участок, соот-
ветствующий кратковременным загружениям в любом возрасте
t0, т. е. при малых t —10.
1 Заметим, что А. В. Яшин [305] для повышения достоверности эмпири-
ческой обработки опытов, которая обеспечивается компенсацией неоднород-
ности бетона взаимной увязкой прочностных и деформативных характеристик,
подверг анализу также кривые деформаций ползучести в зависимости от
прочности бетона при различной длительности нагружения.
По мнению А. В. Яшина, активность первого участка кривой
определяется скоростью нарастания прочности бетона: чем она
выше, тем короче и круче этот участок, а «спокойный» характер
второго участка свидетельствует о нивелирующем, сдерживающем
влиянии «упругого последействия». Что касается третьего участка,
то, несмотря на трудности экспериментальной оценки, связанные
с быстротечностью процессов при (t — t0) 0 и несовершенством
измерительной аппаратуры, можно предположить, что его орди-
наты конечны. Это вытекает из того факта, что ползучесть бе-
тона даже при очень высоких напряжениях имеет затухающий
характер [2, 37, 41, 57, 80, 133, 2721. Данное обстоятельство
впервые указано С. В. Александровским [21.
c/i/vac
Рис. 11,11. Функция влияния £(/,«) ранее имевших место
упругих деформаций на наблюдаемую полную дефор-
мацию.
Различные теории ползучести бетона по-разному описывают
влияние прежних упругих деформаций на наблюдаемую полную
деформацию.
Теория старения (независимо от вида принятой функции меры
простой ползучести) не учитывает зависимости функции влияния
L от времени наблюдения /, т. е. не имеет третьего активного
участка кривой.
Теория наследственности, игнорирующая влияние возраста на
развитие деформаций ползучести бетона, не показывает первого
активного участка кривой.
Теория стареющей наследственности с функцией меры ползу-
чести в записи Н. X. Арутюняна [7] также неполно отражает
свойства бетона: функция влияния L, построенная в соответствии
с (11,126), для сравнительно зрелых бетонов почти не имеет по-
следнего активного участка [2].
Разновидности теории стареющей наследственности, предло-
женные С. В. Александровским [21, И. Е. Прокоповичем,
И. И. Улицким [214, 215], А. В. Яшиным [305], более полно от-
ражают особенности функции влияния /_(/, т). Структура функ-
ций меры деформаций ползучести, рекомендуемых этими авторами,
имеет все три участка кривой функции влияния L(t, т), а подбор
эмпирических коэффициентов, фигурирующих в этих функциях
(11,67; 68; 75), обеспечивает высокую степень совпадения теоре-
тических и опытных кривых £(/, -).
Немаловажными обстоятельствами при анализе различных тео-
рий ползучести являются количество и простота определения
коэффициентов, входящих в уравнения деформаций. В общем
случае требуется решить систему из нескольких уравнений, в том
числе ряд трансцендентных.
Разделение указанной системы на отдельные уравнения в об-
щем случае неосуществимо. Наконец, для получения решений
задач теории ползучести в замкнутом виде важным фактором
является интегрируемость уравнений деформаций в квадратурах.
В этом отношении наибольшие трудности встречает использование
меры деформаций ползучести, предложенной А. В. Яшиным1.
В табл. II, 2 дана сводка результатов выполненной оценки
различных теорий ползучести бетона. Рассматривая эту таблицу,
приходим к выводу, что наиболее приемлемыми для теории бетона
и железобетона являются уравнения упруго-ползучего тела
Г. Н. Маслова — Н. X. Арутюняна [7], использующих в качестве
меры деформаций ползучести записи С. В. Александровского [2]
или И. Е. Прокоповича, И. И. Улицкого (215].
Уравнения стареющей наследственности, опирающейся на за-
пись меры деформаций ползучести, предложенную Н. X. Арутю-
няном [7], могут успешно применяться для рассмотрения дли-
тельных процессов, в частности, для решения задач о напряже-
ниях и деформациях в бетонных массивах, вызванных усадкой
и экзотермией бетона, для расчета сооружений при осадке их
оснований, для оценки потерь предварительного напряжения
в преднапряженных железобетонных конструкциях и многих
других.
Теория старения, которая является наиболее простой с точки
зрения математической реализации, приводит к весьма удовлет-
ворительным результатам при решении большого круга релакса-
ционных задач.
Теорию наследственности вследствие ее инвариантности отно-
сительно возраста можно использовать для исследования напря-
женно-деформированного состояния конструкций из старого бе-
тона (170, 223]. Особое место в этой теории занимает весьма
перспективное предложение А. Р. Ржаницына (226], позволяющее
учитывать возрастные, температурные и т. п. изменения бетона.
Однако оно пока не нашло достаточно широкого применения
и еще ожидает дальнейшего развития.
1 Заметим, что при использовании метода интегрального модуля дефор-
маций эти трудности отпадают (225].
Таблица Л,2
(Уценка различных теариЛ лалзучести
^цениЗаепое
сЛойстЗо
или харак-
теристика
Упарение
//аследстпденность
, 0&ра7С#7ОС/П£>
ощюрнацийлашеси-
/восстановление
напряжений
/^елалсааип
напряжении
6 Критерии [пум)
7 Рункцит паияпЦ^
„ Вазпажностъ jasi-
о кнуп/х решений'
1 1 1 Лория стареющее наследственности Арипеиания
ТТера ползумести по
НХ. Арутюняну 1 03 Александров - СКОПУ
р- 5 6 7 3 &
— + — — + — —
— — + — данные /та
— — + — + тадл УГУ
— — — — —
— — — — —
—1"» — — + —
— — —
+ — — "1" —
§ II, 8. ОБ УТОЧНЕНИЯХ ОТСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ
ПОЛЗУЧЕСТИ
Ранее деформации ползучести (еп) определялись как раз-
ность между полными деформациями (s) и упруго-мгновенными
деформациями (ем), возникшими в момент нагружения (/0)1. Такой
способ вычисления деформаций ползучести вытекает из принятой
методики исследования, в соответствии с которой как полные, так
и частные деформации (рис. 11,12) измеряются на одном и том
же образце одними и теми же приборами.
С. В. Александровский [3] и В. Д. Харлаб [286] в 1961 г.
(вероятнее всего, независимо друг от друга) обратили внимание
на тот, в общем, известный факт, что по мере старения бетона
вследствие увеличения модуля его упруго-мгновенных деформа-
ций эти деформации уменьшаются (рис. 11,13).
Таким образом, на долю деформаций ползучести приходится
большая часть полных деформаций (рис. 11,14), чем определяе-
1 Предполагается, что деформации усадки учтены на непогруженных об-
разцах — близнецах.
<5
Рис. 11,12. Полные деформации бетона при
длительном нагружении:
а— режим напряжений во времени; б— гра-
фик полных деформаций.
Рис. И, 13. Зависимость начального
модуля и величины мгновенных дефор-
маций от возраста бетона.
Рис. 11,14. Соотношение между упруго-
мгновенными деформациями и деформа-
циями ползучести.
мая измерениями по существующей методике. Причем увеличение
деформаций ползучести тем заметнее, чем в более молодом воз-
расте начато загружение (рис. 11,15).
При этом очевидно, что
е(/, т) = ем(т) + еп(/, т) = ем (/) + ej (/, т), (11,128)
где значок (*) означает новый способ вычисления деформаций
ползучести. Подчеркнем, что в (11,128) ем(т) обозначена упруго-
мгновенная деформация в начале загружения, а ем(/)—в момент
наблюдения.
Ограничиваясь линейной постановкой и переходя от относи-
тельных деформаций к единичным, условие (11,128) запишем в но-
вом виде:
бетона во
Рис. 11,15. Зависимость соотношения
частных деформаций бетона от его
возраста в момент нагружения.
частных деформаций
времени.
Рис. 11,16. Кривые изменения мер
1
8(/, т) —— +С(/, т) =
£о(т)-г V.
-|-С*(/, х) (рис. 11,16).
(П,129)
^(0
Отсюда вытекает
(11,130)
Выражение (11,130) обусловливает порядок эксперименталь-
ного определения деформаций ползучести: на нагруженной серии
образцов по описанной выше методике получают
1
и
C(t, т),
а на другой серии образцов-близнецов мгновенным нагружением
в возрасте t находят ~. Заметим, что
1___________1
(*) ^2 (0.
(11,131)
-т
названо В. Д. Харлабом [286] деформацией твердения бетона.
Тогда мера деформаций твердения
1___________________1
ет (/, т) =
(И,132)
Таким образом, е* (/, ") следует считать деформацией ползучести,
a en(^, t) — только ее частью, соответственно С*(/, т)—мера де-
формаций ползучести, а С(/, т) — ее часть.
Несмотря на описанное различие между величинами С*(/, т)
и C(t, т), формальное использование их в уравнениях деформа-
ций бетонов, как это показано автором в статье [43], приводит
в силу равенства (11,129) к одинаковым количественным резуль-
татам (11,14) и (11,15).
Вместе с тем, как показано С. В. Александровским [2, 3],
при необходимости решить упруго-мгновенную задачу к любому
моменту времени либо вычислить только деформации ползучести
или оценить релаксацию упругих напряжений, вопрос об отсчете
деформаций ползучести имеет более важное значение. Правильное
разделение полных деформаций на составляющие частные избав-
ляет от возможных ошибок.
Еще большее значение в теории ползучести имеет уточнение
отсчета времени для нелинейных реологических уравнений, так как
нелинейность упруго-мгновенных деформаций значительно отли-
чается от нелинейности деформаций ползучести [43, 45]. Поэтому,
чтобы лучше отобразить свойства ползучести и расширить воз-
можности исследования нелинейного деформирования, применяем
полную меру деформаций ползучести С* (/, т) по С. В. Александров-
скому:
С*(/, *) = М/, х) + С(/, т). (11,133)
§ II, 9. УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ БЕТОНОВ
ПРИ МНОГОКРАТНО ПОВТОРЯЮЩИХСЯ НАГРУЗКАХ.
УРАВНЕНИЯ ВИБРОПОЛЗУЧЕСТИ
Допущение о суперпозиции деформаций ползучести, ис-
пользуемое для построения уравнений деформаций бетона при
монотонно возрастающей нагрузке, часто переносится на другие
режимы загружения и, в частности, на знакопеременные много-
кратно повторяющиеся нагружения.
Выше, при анализе различных теорий ползучести, допущение
о суперпозиции послужило для оценки того, как эти теории от-
ражают обратимость деформации ползучести. Считалось, что де-
формации ползучести при разгрузке равны аналогичным дефор-
мациям при нагрузке, если возраст и режим нагружения (без
учета знака) совпадают. Поэтому если и оказывалось, что дефор-
мации обратной ползучести меньше предшествующих деформаций
ползучести того же образца, то это предопределялось лишь воз-
растными изменениями бетона.
Работы П. И. Васильева [57[, С. Е. Фрайфельда [282],
А. В. Яшина [305], А. А. Гвоздева, А. В. Яшина, К. 3. Галус-
това [84], а также исследования, проведенные с участием автора
[41], показали, что использование уравнений деформаций бетона,
построенных по опытным данным о ползучести при нагрузке, не
обеспечивает удовлетворительного совпадения с эксперименталь-
ными кривыми обратной ползучести при разрузке. Деформации
обратной ползучести, наблюдаемые при разгрузке образца после
предварительного нагружения его достаточно длительное время,
оказываются значительно меньше по абсолютной величине, чем
ожидаемые расчетные. Более того, характер кривой деформаций
обратной ползучести также существенно отличен от характера
кривой деформаций ползучести. Так как коэффициент скорости
-урх=ру (§ I, Н), то кривая деформаций обратной ползучести,
вначале очень крутая, затем стабилизируется значительно быст-
рее, чем кривая ползучести при нагружении.
Отсюда непосредственно следует, что при поочередных на-
грузках и разгрузках во времени накапливаются необратимые де-
формации ползучести.
Вместе с тем из опытов ряда авторов [33, 41, 57] видно, что
деформации обратной ползучести всегда находятся в определен-
ной связи с величиной предшествующих деформаций прямой пол-
зучести. В частности, простая обратная ползучесть может быть
записана в виде
£П. Р (Л to. р) — (J0, /0. р) /р (/, to, р),
где С(to, i0. р) — накопленная к началу разгрузки мера прямой
ползучести;
К — коэффициент обратимости деформаций ползу-
чести;
fp(/, to.Р) — функция роста деформаций обратной ползучести
во времени:
а—величина предшествующих действующих напря-
жений.
Из этих же опытов можно сделать вывод, что для деформаций
обратной ползучести в отдельности может быть применен принцип
суперпозиции. Более того, опыты, проведенные в ХИСИ [41],
показывают, что при прочих равных условиях деформации обрат-
ной простой ползучести пропорциональны величине предшествую-
щих напряжений, если последние поддерживались неизменными
вплоть до начала разгрузки. Изложенное может послужить осно-
вой построения функций влияния для обратной ползучести.
Так как деформации обратной ползучести всегда меньше по
абсолютной величине, чем предшествующие деформации ползу-
чести, а последние являются малой величиной при любом режиме
и любой длительности нагружения вплоть до разрушения, то при
построении уравнений деформаций бетонов при многократно по-
вторяющихся нагрузках можно использовать допущение о сло-
жении малых деформаций (см. гл. II, § 1).
Теперь уравнения полных общих деформаций запишутся так:
е(6 /о) = Ч(Л 6)-е2(6 /0), (П,134)
где
ei(6 6) = ем. 1(0 + еп. 1(6 6); (П,135)
ег(6 6) = ем. 2 (0 4~ Sn, 2 (6 6)» (11,136)
причем
I еп. 1 (6 /о)1 >|еп,2(6 6)|. (11,137)
Здесь Ei(6 /о)—полные деформации при нагрузке;
е2(/, 61 — то же при разгрузке;
ем. 1(0 и еМ(2(/) — упруго-мгновенные деформации при на-
грузке и при разгрузке;
8п,1(6 6) и еп. 2 (6 /о) — деформации ползучести при нагрузке и при
разгрузке, накопленные за интервал вре-
мени (/ — /0).
Теперь
8(6 6) = [8М1>(0-8м.2(0] 4~[8„.1(/, 6)-еп.2(6 6)L (11,138)
Так как
ем (0 = ем. 1(0-8м. 2(0. (II, 139)
8п(6 6) = 8п. |(6 6) — 8Л, 2 (6 6)» (И, 140)
что означает:
а) результативные упруго-мгновенные деформации равны сумме
упруго-мгновенных дефор*маций при нагрузке и упруго-мгновен-
ных деформаций при разгрузке;
б) результативные деформации ползучести равны сумме дефор-
мации ползучести при нагрузке и деформации обратной ползу-
чести при разгрузке,
то
Е (6 6) = 8м (0 4-еп (6 /о).
(11,141)
Из (11,141) следует, что
/0) = е(^ /о)—ем(0>0.
(П.142)
А. А. Гвоздев [82], используя предложение П. И. Васильева [57],
разработал общее уравнение деформаций бетонов, справедливое
для многократно повторяющихся нагрузок, в том числе для чере-
дующихся загрузок и разгрузок. При построении указанного урав-
нения А. А. Гвоздев применяет допущение о суперпозиции дефор-
маций ползучести при однознач-
ном монотонном нагружении
и др.
Рис. 11,17. Сложение деформаций
ползучести.
Рассматриваются две моно-
тонные функции нагружения —
емд и ем. 2, которые в силу допу-
щения о сложении малых дефор-
маций считаются эквивалент-
ными функции ем (рис. 11,17) для
многократно повторяющегося
нагружения.
После этого записывается
уравнение деформаций при моно-
тонных воздействиях для воз-
растающих нагрузок
е1 (^, to} = еМ, 1 (О
t
— jeM, i(x)£1(f, x)Jt (11,143)
и для убывающих нагрузок
ег(^> ^о) = ем, 2 (О
t
— I ем.2(х)Л2(/, хМх, (11,144)
где Lx и Lz — функции «памяти» при нагрузке и разгрузке, причем
< 0 и L2 < 0.
(П.145)
Подставляя (11,143) и (И, 144) в (11,145) и учитывая (11,139), по-
лучим
t
£(/, tQ) = ем (0 — j [ем, । (х) Li (t, х) —£m.2(t)L2(/, х)Нх» (11.146)
t.
где
t
{— f [ем, i(x)Li(/, х) — eMt 2 (х) L2 (/, x)]dt|>0. (11,147)
••
Опираясь на неравенство (11,147), можно констатировать,
что разгрузка образца сказывается слабее на последующем изме-
нении деформаций во времени, чем нагрузка образца-близнеца та-
кой же силой в такой же срок. Отсюда непосредственно следует,
что деформации ползучести, накопленные образцом к некоторому
моменту времени / под действием многократно повторного воздей-
ствия «нагружение—разгружение», всегда больше деформаций пол-
зучести образца-близнеца к тому
же моменту времени /, если
последний загружен просто мо-
нотонным средним воздействием,
площадь загружения которы.м
равна площади загружения мно-
гократно повторным «нагруже-
нием—разгружением» (рис. 11,18).
При этом кривая деформаций
ползучести ОВ, соответствующая
указанному монотонному сред-
нему загружению ОВ, всегда
проходит ниже средней кривой
деформации ползучести при мно-
гократно повторном воздейст-
вии О А.
Используя (11,139), можно
записать
е.м. । (0 = £м(0 4" ем, г(0 (И,148)
Рис. 11,18.
а — ломаная О А — многократно по-
вторное воздействие нагружение —
разгружение; ОВ — среднее монотон-
ное воздействие;
б — О А — кривая деформаций ползу-
чести, соответствующая воздействию
ОА; ОА'— средние деформации пол-
зучести при этом же воздействии;
ОВ — кривая ползучести при среднем
монотонном воздействии.
и, таким образом,
£ (/, /о) = (0 -
t
— J е.м (т) Bi (/, т)с(т —
f •
-mt, г)1Л. (11,149)
Принимая, что
1Ма, Т)|>|^2(Л т)| (11,150)
и помня условие
МИ<0; L2(tt т)<0,
(П,151)
А. А. Гвоздев получает
[L^t, — т)] < 0 (11,152)
® В. М. Бондаренко
113
и, следовательно,
t
— j еМ12(т) [Lt (t, x) — L2(t, t)]dr>0.
t.
(11,153)
Этим он объясняет явление виброползучести.
Как известно, в опытах ограниченной длительности совместное
приложение к образцам постоянно действующих статических и ста-
ционарных вибрационных нагрузок приводит к большим дефор-
мациям ползучести, чем у образцов-близнецов, испытывающих одни
статические воздействия. Здесь, нам кажется, необходимо обратить
внимание на следующее обстоятельство: в то время как условия
(11,142) и (11,151) справедливы всегда, неравенство (11,147) удов-
летворяется только при определенной связи между параметрами
обратной ползучести. Подтвердим это анализом функций памяти
бетона. Действительно,
£,(/, = 4-С1(Л т)1;
и’ ’ '' |£°,W J (11,154)
£, (t, х) = £“ (0 £ ку-. + Сг (£ х)11
L^m (х) J
x) = £S(/)^-s!- + £0„(/)^C1,(/, x).
ox (x) oz
Тогда из (11,152) должно быть
£>(/. х)-£2(/, x) = Eau(t)\^C1(t, х)~Сг(1, X)
Так как
Е°и (0 > 0,
0.
(11,156)
(П.157)
то неравенство (11,156) приводит к условию
т)<1с2(/, Т). (11,158)
Заметим, что, как и следовало ожидать, изменение модуля
упруго-мгновенных деформаций не влияет на ход анализа.
По аналогии с тем, что условие
t2)
(П.Ю2)
названо нами критерием И. Е. Прокоповича — И. И. Улицкого, не-
равенство (11,158) назовем критерием А. А. Гвоздева. Одновре-
менно подчеркнем, что этот критерий получен без наложения
каких-либо ограничений на изменчивость меры ползучести бетона
по мере его старения или в связи с длительностью нагружения.
Вместе с тем, так как учет влияния возраста, не меняя существа
анализа, усложняет алгоритмию исследований, примем функции
возраста Fn, i = Fn, 2 = 1. Другими словами, запишем
Cj(Z, = (II, 159)
С2(/, т) = ЛСЛ1—(П,160)
где К < 1 и р > 1 (см. гл. I).
Подставив (11,159) и (11,160) в (11,158), получим
—< — С^Кр^е-^-'К (II,161)
или после сокращения (—fC»)
>Кре-п«-^. (II, 162)
Иначе,
’ > £—l(P-D(f-x);
Кр
1п^>—г(р-1)(/--);
ln(Kp)-lnl <т(р-1)(<-г); (Ц.163)
, . 1п (Кр)
Таким образом, для того чтобы удовлетворялось неравенство
(11,153), т. е. для превышения деформаций при многократно повто-
ряющихся нагрузках над деформациями при соответствующем мо-
нотонном нагружении, требуется соблюдение условия (11,163).
Очевидно, что условие (11,163) справедливо только при
1
(П,164)
Реологическое уравнение (11,146) легко распространяется на
случай нелинейного деформирования (11,11)
е(/,
т>-МйЖс’('’ Т)Н(П>165)
to
Запись этого уравнения с помощью единичных деформаций,
а не функций влияния обусловлена необходимостью отразить отли-
чие используемых функций нелинейности SM, в SM, 2; Sn, 1 и Sn. 2.
Так как нелинейность деформирования при нагрузке намного
больше нелинейности деформирования при разгрузке, то понятно,
что уравнения типа (11,165) лучше отражают факт необратимого
Рис. 11,19. Петля гистере-
зиса, обусловленная погло-
щением энергии при колеба-
ниях.
накопления деформаций ползучести при многократно повторяю-
щихся нагружениях, чем линейное уравнение (11,146).
Вместе с тем можно считать, что виброползучесть является
особым свойством бетона, связанным с изменением его механиче-
ских характеристик под влиянием длительного высокочастотного
динамического нагружения [45, 48, 170, 2211. Это изменение, по-
видимому, вызывается действием инерционных градиентов на по-
верхности контакта между зернами кристаллического сростка.
Проблема виброползучести является прежде всего проблемой
интенсификации свойств ползучести материала при длительных
высокочастотных нагружениях. Поэтому виброползучесть нельзя
оценить простым применением реологи-
ческих уравнений, полученных при стати-
ческих нагружениях и разгружениях, хо-
тя она всегда проявляется в присутствии
статического нагружения. В частности,
только интенсификацией свойств ползу-
чести, прогрессирующей с ростом ча-
стоты вибрационных нагружений, можно
объяснить тот замеченный многочислен-
ными исследователями [98, 148, 208,
2531 факт, что коэффициент поглоще-
ния энергии при колебаниях почти
не зависит от частоты колебаний, если
эта частота находится в определен-
ных пределах [38, 45] Без учета
интенсификации свойств ползучести при
вибрационных нагружениях указанное
обстоятельство объяснить нельзя, каким бы из вышеупомянутых
(или любых других) уравнений состояния материала не описывать
петлю гистерезиса диаграммы «напряжение — деформация». Привле-
чение же понятия виброползучести в том виде, в каком это де-
лается в § I, 14, и включение его в реологическое уравнение (11,11)
не только описывает обсуждаемое свойство коэффициента погло-
щения энергии, но и полностью разъясняет превышение деформа-
ций ползучести образцов, испытывающих статические нагружения
в присутствии стационарного вибрационного пригруза, над дефор-
мациями ползучести образцов-близнецов, не имеющих такого при-
груза.
Действительно, с одной стороны, уменьшение площади петли
гистерезиса диаграммы «напряжение — деформация» при повышении
частоты (с уменьшением периода) циклического нагружения компен-
сируется увеличением деформаций на каждом полупериоде вслед-
ствие интенсификации ползучести. С другой стороны, общее уве-
1 Практически все встречающиеся в технике частоты (до 3000 об/мин) не пре-
вышают эти частоты.
личение меры ползучести за счет коэффициента виброползучести
приводит к росту деформаций образцов.
Общее выражение для коэффициента виброползучести можно
получить на основе упомянутых опытных данных о независимости
количества энергии, поглощенной единицей объема тела за один
цикл стационарных колебаний, от частоты этих колебаний. Так как
количество энергии, поглощенной единицей объема тела за один
цикл стационарных колебаний, численно равно площади петли
гистерезиса* 1 * * * (рис. 11,19) на диаграмме о—е при нагрузке и раз-
грузке, то в качестве исходного аналитического условия может
быть принято следующее равенство:
^Д«7=0. (11,166)
где Д№ — площадь петли гистерезиса;
ш—круговая или циклическая частота колебаний, причем
°min л
при р =-------= О
°тах
(11,167)
Здесь е и
грузке:
е — реологические уравнения при нагрузке и при раз-
е* = - J Т(т) S’ [ A Ct (t, г) dr;
t.
t
С \ oO o । d х>д /j, \ -j
£n = j o(x)5n (t, T)^x.
. T
(11,168)
(11,169)
(11,170)
(П,171)
(11,172)
(П.173)
1 Известно, что площадь петли гистерезиса может быть также вычислена
Е £
на формуле ДИ7 = | \ ] °^5 *
о о
. где а и а — реологические урав-
EeEmax
нения, записанные в явном виде относительно напряжений. Заметим, однако,
что реологическое уравнение для бетона в литературе обычно фигурирует
в виде (11,11), а решение его относительно напряжений осуществимо лишь
в частных случаях.
где CjA— мера ползучести при вибрационных напряжениях;
Т — период колебаний; значок -> означает нагружение, зна-
чок разгружение.
Выражение для площади петли гистеризиса (11,167) удобно пред-
ставить так:
ДЦ7 = ДЦ7М + ДИ7П, (11,174)
а условие независимости площади петли гистерезиса от частоты
колебаний в виде
Д1Г =/-ДЦ7И + ДВ7„ = 0. (П.175)
Ош Ош 1 <7(0 \ » /
Здесь
Д^п =
ДН7М =
а
а а
Jen da -j- J еп da
о
3“атях *
(11,176)
(И,177)
Учитывая, что при стационарных гармонических (или почти
гармонических) режимах колебаний можно принять1
-° = Стах Sintl>(f Zo) для t0 < t < t0 + —; (11,178)
£ co
1 J_ cos ш (Z “ /o)
max 1 T* cos----2---
для + (11,179)
а также помня, что
T_ _ п_ _ J_
2 со 2л ’
(11,180)
где Т — период колебаний, со— круговая частота, п — число циклов
колебаний в единицу времени, выполним квадратуру (11,176)
и (11,177) и представим результат в виде
Д№ = (ДГМ + Д№п),
(11,181)
где Wu — часть площади петли гистерезиса, соответствующая
упруго-мгновенным деформациям тела;
— часть площади петли гистерезиса, соответствующая де-
формациям ползучести.
1 Выражения (11,178) и (11,179) применяются как более удобные, вместо
несколько иных, используемых нами в работе [38, 44].
Умножив и разделив каждое слагаемое (11,181) на
за цикл колебаний значение механической энергии)
№ (среднее
где
сек
м
(11,182)
Г
м
/_а_
•I R
(11,183)
запишем
/ДГМ
AU7 =
Д1ГП
W
(11,184)
Обозначив
Д^М.
п,
(11,185)
, _^п
фп - w
получим
(П,186)
(И, 188)
Здесь ф—коэффициент поглощения энергии;
фм—его часть, соответствующая
фп— то же, соответствующая AU/n.
Таким образом, коэффициент поглощения энергии равен сумме
двух коэффициентов, первый из которых определяется особенно-
стями упруго-мгновенного деформирования, а второй — свойствами
ползучести.
Интенсификация свойств ползучести в присутствии вибрацион-
ных воздействий происходит только при достаточно высоких ко-
личествах циклов колебания в секунду. Для проявления вибро-
ползучести, по-видимому, должен быть преодолен некоторый инер-
ционный барьер, связанный с определенным ускорением частиц
бетона. При этом число циклов колебаний должно быть выше, чем
ниже амплитуды динамических напряжений. Наименьшее количество
циклов колебаний, при котором в опытах улавливается явление
виброползучести бетона, оказывается равным 30 в минуту [45].
Учитывая связь (11,181), можно рассчитать наибольшую про-
должительность полупериода, при котором наблюдается вибропол-
зучесть, или соответствующую наименьшую круговую частоту:
= 1 сек, и соП11п « п .
Разумеется, возрастными изменениями свойств бетона, проис-
ходящими в течение 1 сек, можно пренебречь, — следовательно,
при учете виброползучести для реальных в технике частот можно
условно считать модуль упруго-мгновенных деформаций и меру
деформаций ползучести не зависящими от возрастных изменений
в течение периода колебаний. Это приводит к тому, что влияние
возраста на коэффициент поглощения энергии сводится лишь к
множителям при £„ и С*, которые зависят от возраста к началу
каждого цикла колебаний, и позволяет в выражении для фп (И, 188)
/. л , п\ / j , п .1 2л\
пределы 1/0; ^о + ~) и 1г0-{-—; /0 + ~1 заменить пределами
^0; . Наконец, в алгоритмическом смысле все разнообразие
используемых теорий ползучести по сути сводится к двум исход-
ным: либо к теории наследственности, либо к теории старения1.
Теперь
фм— Ем (°тах» ^о)Фм(°тах» ^о)? (11,189)
Фп — Ем (^тах> /0) (^тах, ^о)> (11,190)
1 Заметим, что это не исключает возможности применения любых других
уравнений ползучести.
где
1 j । /qtrmx 1
£2('o)L 2 + 'V*W' J
2т. / a \mM
*• i.m / max I M
2+"TM /?(/°)
П/ш
С . 9 o>r d . <otV d j_
ф" = ] s,n 7^C--(1+c0St) ЯС- d
0
(II, 191)
2 + m„
° max
<вт\2+'Пп д Д . .
т/ d-sdx +
-* л/“»
amax I”1” f
.R«o)J J
. 2+mn0JX d _»
Sln 2 di C>
(II, 192)
Выражение для площади петли гистерезиса теперь запишем
ДГ = (Фм(Оп,ах. /о) + Фп(оп,.х, /»)), (11,193)
Л/f
а условие (11,166)
/ ДЦ7 = И Фи + £ Ф„1 = 0. (11,194)
Ош 2 [Осо 1 Ош J ' '
О* д
Так как =/= 0 и ^Фп = 0, то условие (11,166) превращается в
^Ф„ = о. (11,195)
Меру ползучести при вибрационном нагружении представим как
произведение коэффициента виброползучести, зависящего только
от <0, /0, отах, и обычной меры ползучести, соответствующей ста-
тическому нагружению:
С* = /<в ((0, t0, Стах) С* (/, Т), (II, 196)
С* = Кв (СО, /0, Стах) с* (t, т). (II, 197)
Это позволяет записать выражение для Фп в виде
Фп = КвФп. о, (11,198)
где Фп. о — аналогично (11,192), но вместо С* везде подставля-
ется С*. Теперь условие (11,195) записываем как
йф" = Дф»- о + ф- = °- (И. 199)
Оно представляет собой линейное дифференциальное уравнение
первого порядка с разделяющимися переменными относительно
искомой функции /<в:
_ йфп. о
ф„.о ’
отк уда
In = - In Ф„. 0 + In В = In ;
' II. 0
Т” __ В ^0» Otnax)
• X и — >
п. о
(11,200)
(11,201)
(11,202)
где В — функция, не зависящая от со и определяемая из того ус-
ловия, что /<в = 1 при comln; В = Ф„. 0(coniin).
Коэффициент виброползучести
Кв (Ю, /q, ^max) —
$’п. о ('"rnln’ ^0’ arnax
Ф (w, tn, G
п. о X ’ °’ max
(11,203)
Таким образом, вычисление коэффициента виброползучести, вы-
текающее из условия независимости площади петли гистерезиса от
частоты колебаний, легко осуществля-
Рис. 11,20. Центральная сим-
метрия петли гистерезиса.
ется, если известны уравнения дефор-
маций бетона при нагружении и при
разгружении. К настоящему времени
“Ло
механические характеристики
ты\ С*; т|п и тп, определяющие
особенности деформирования бетона
при нагружениях, можно считать уста-
новленными относительно достоверно
(см., например, гл. I). Что же касается
характеристик Е^\ т]ы; ти\ С*; т]п
и тп, соответствующих разгружению,
то опытных данных для их определе-
ния явно недостаточно. Поэтому, наря-
ду с прямыми экспериментальными поисками последних, можно ре-
комендовать некоторые косвенные способы их назначения. Один из
таких способов основывается на известном предложении Н. Н. Да-
виденкова [93] о центральной симметрии петли гистерезиса
(см. рис. 11,20), успешно использованном Г. С. Писаренко
в своей фундаментальной работе по теории нелинейных коле-
баний [208J.
Из центральной симметрии петли гистерезиса вытекают следу
ют»е равенства:
де
да
ч-
дг
да
’-’max ’
' "шах
’“’max
(И,204)
(11,205)
(11,206)
а—0
Введение третьего условия (11,206), отсутствующего в работе
Н. Н. Давиденкова, вызвано необходимостью учесть поворот оси
00' петли гистерезиса в зависимости от максимального уровня на-
пряженного СОСТОЯНИЯ (ОТ ВеЛИЧИНЫ Зтах)1-
Если учесть, что условия (11,204—206) справедливы для лю-
бого цикла колебаний и, следовательно, для любого момента вре-
мени /, то каждое из них дает по два уравнения для вычисления
механических характеристик бетона при разгружении. Вместе с тем,
быть может, более правильно принять, что конечный угол на-
клона ветви разгрузки петли гистерезиса так же, как и начальный
угол ее наклона (11,204), не зависит от максимального уровня на-
пряженного состояния, а является постоянной характеристикой ма-
териала. Это можно учесть, заменив условие (11,205) условием
де.
да
(11,207)
?=R '
Последнее исключает центральную симметрию для всех з,пах< R
и приводит к несколько усложненному выражению Фп. о • Заметим,
что (11,205) и (П,207) совпадают при зтах = R.
Совместное решение системы упомянутых выше уравнений дает
следующие значения искомых характеристик:
по (11,206)
ч_ Е°
£; =-----------; (11,208)
по (11,207)
Е°
=; (п,209)
1 4(1 4- Мм)
1 В работе Н. Н. Давиденкова [98] принято, что ось ОО' имеет постоян-
ный наклон. Это обусловливает неизменность секущего модуля деформации
и его независимость от уровня напряженного состояния, а в действитель-
ности Е°исек падает с ростом •
М 1 Шал
«- -> Г -> -> /с \ тп1
С* = С* 14-(14-тп)т<п ;
L \ А /
по (11,193)
С* = С*[1 + (1 +тп)?п1,
по (11,191)
(11,210)
(11,211)
(П,212)
(П,213)
(11,214)
(11,215)
Используя допущения о центральной симметрии петли гистере-
зиса (11,204—206), характеристики деформирования при разгруже-
нии и Фп. о. получаем в виде
ты = —; тп = — ;
,пы тп
(11,216)
(П,217)
(П,218)
(Н,219)
(11,220)
(11,221)
(11,222)
После сокращения Гп(/) окончательно
(<1), Стах) —
^п. о ^mln» gmax) > ।
Ф° п (со, cr J
п. о ' ’ max'
(11,22 3)
где Fn — функция влияния возраста на деформации ползучести;
С„ — предельная мера пулзучести бетона, загруженного в до-
статочно большом возрасте (мера ползучести «старого
бетона»);
[ — функция роста деформации ползучести х.
1 См. § I, 6 и § 11,6.
Таким образом, коэффициент виброползучести оказывается функ-
цией амплитуды динамических напряжений и частоты колебаний,
а также зависит от прочности бетона (через т(П и тп), температуры
окружающей среды и способа термовлажностной обработки изде-
лий. С ростом амплитуд динамических напряжений и особенно
частот колебаний коэффициент виброползучести увеличивается. Это
следует из данных А. К. Малмейстера 1169], К. К- Шкербелиса
[300] и автора [45].
Кроме того, известно, что с ростом динамической характе-
ристики цикла р (§ I, 14) коэффициент виброползучести умень-
шается, при р = 1 он также равен единице. В первом приближе-
нии можно принять, что между Ав, р и р имеется следующая
линейная связь:
Ав. р = А„ - (Ав - 1) Р = Р Ч- Ав (1 - р),
где Ав. р — коэффициент виброползучести при любом р (0 < р < 1),
Ав — коэффициент виброползучести при р = 0 (11,223).
Виброползучесть проявляется при одновременном действии виб-
рационных и статических нагрузок и выражается в повышенном
росте деформаций ползучести конструкций во времени. Поэтому
нами рекомендуется такой способ расчета деформаций (главным
образом, прогибов динамически нагруженных железобетонных кон-
струкций), который отличается от обычного расчета только введе-
нием коэффициента виброползучести к мере ползучести в реоло-
гическом уравнении механического состояния материалов (11,11)
е(/, /о) = £y(t, t0) Ч-
t
to
g<z>
м R(t),
££(')
(11,224)
Здесь H — амплитуда динамических напряжений (в отличие от
наибольших статических напряжений атах).
§ II, 10, РЕКОМЕНДУЕМОЕ УРАВНЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ
БЕТОНА
Выполненные исследования позволяют автору реко-
мендовать следующие уравнения деформаций бетонов:
а) для монотонного нагружения
е (t> to) — еу ^о) Ч~
о 111
м [/? (Г).
£2(0
ДС*(Л т)</г;
(И,И)
б) для многократно повторяющегося нагружения — разгруже-
ния
с 7/ f \ - 7/ 4 \ I 1 ( е |31 (б с Гс2 (0 |
"( ’ °' 1- £О |5.м. I /?1 (/) S.M. 2 /?2|
г
- (Is". 4тгп1£с*('' -)1^. (п-165)
J \ 1/ч\ЧР* f
to
Реологические уравнения (11,11) и (11,165) относятся к нели-
нейному варианту теории стареющей наследственности Г. Н. Мас-
лова— Н. X. Арутюняна, распространенной автором на случаи
нелинейности упруго-мгновенных деформаций.
Мера деформации ползучести записывается в форме, предло-
женной С. В. Александровским и учитывающей развитие дефор-
маций твердения
с* (/, т) = -!----1- + С(/, (п, 130)
' ' Е°(т) \ > >
где С(/, т) — принимается по С. В. Александровскому или по
И. Е. Прокоповичу — И. И. Улицкому (см. табл. 11,2).
Явление интенсификации свойств ползучести бетона в присут-
ствии вибрационных воздействий рекомендуется учитывать с по-
мощью предложенного автором коэффициента виброползучести,
а влияние возраста, температуры, влажности среды, масштабного
фактора, длительности и режима загружения — с помощью соот-
ветствующих функций и коэффициентов, корректирующих предель-
ные характеристики прочности, усадки, модуля упруго-мгновенных
деформаций и меры деформаций простой ползучести (гл. I и II).
При кратковременных загружениях, когда, рассчитывая дефор-
мации, можно пренебречь усадкой и ползучестью, уравнение (11,9)
обращается в однозначную связь между напряжениями и дефор-
мациями при так называемом равновесном деформировании, фигу-
рирующем в разных видах в современных теориях нелинейной
упругости и пластичности [8, 17, 25, 55, 66, 71, 88, 136, 159, 160,
207, 208, 254]. С этой точки зрения, следуя И. И. Гольденблату
и Н. А. Николаенко [92], рекомендуемые уравнения механического
состояния материала можно назвать объединенными уравнениями
пластичности и ползучести.
Если введение в теорию железобетона линейных реологических
уравнений механического состояния бетонов позволяет получить
замкнутые аналитические решения многих задач, хотя и приводит
их в большинстве случаев к трудно реализуемым в практических
расчетах выражениям, то использование нелинейных реологических
уравнений исключает такие решения. Только отдельные нелиней-
ные задачи имеют замкнутые решения.
Известные способы непосредственного решения задач строитель-
ной механики с учетом линейной ползучести материала следуют
из теории линейных интегральных уравнений В. Вольтерра, если
используются ядра упругой наследственности или ядра стареющей
наследственности, и из теории линейных дифсреренциальных урав-
нений, если применяются функции старения. Большой вклад в эту
часть современной теории железобетона внесли советские ученые:
С. В. Александровский, Н. X. Арутюнян, П. И. Васильев, А. А. Гвоз-
дев, Г. Н. Маслов, М. М. Манукян, И. И. Улицкий, Н. Я- Па-
нарин, И. Е. Прокопович, А. Р. Ржаницын, М. И. Розовский,
В. Д. Харлаб и др.
Нелинейные задачи строительной механики с учетом ползучести
материала и особенно нелинейные задачи теории железобетона ре-
шены в значительно меньшем количестве. Имеющиеся решения
Н. X. Арутюняна [7], А. Б. Голышева (94], И. И. Улицкого [275],
И. А. Кийсса(143] относятся к конструкциям, находящимся в ус-
ловиях относительно простейшего напряженно-деформированного
состояния. Все эти решения получены приближенными способами.
С 1957 г. автором разрабатывается новый метод, названный им
методом интегрального модуля деформации. Он позволяет на еди-
ной методологической основе решать большинство задач нелиней-
ной теории железобетона [38, 39, 40, 42, 44, 46, 48].
Глава III
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНОГО МОДУЛЯ
ДЕФОРМАЦИЙ БЕТОНА
§ III, 1. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Непосредственное применение уравнения (11,9) для описа-
ния напряженно-деформированного состояния тел. материалы кото-
рых деформируются нелинейно и неравновесно, встречает в общем
случае непреодолимые математические трудности, приводя исследо-
вания к недостаточно изученным системам нелинейных дифферен-
циальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных про-
изводных. В тех немногочисленных задачах, в которых все же
удается получить замкнутые решения, они всегда имеют такую
сложную алгоритмию, что почти не реализуются в практических
расчетах.
Указанные трудности дополнительно усугубляются для же-
лезобетонных конструкций, которые характеризуются внутренней
статической неопределимостью, перераспределением во времени
усилий между бетоном и арматурой, развитием собственных на-
пряжений от деформаций усадки или набухания, возрастными из-
менениями механических свойств, трещинообразованием и нерав-
номерным участием в работе растянутой зоны бетона и т. п.
При инженерном расчете бетонных и железобетонных конст-
рукций практическая целесообразность дифференцированного учета
всех перечисленных факторов сомнительна. Здесь, конечно, более
уместна интегральная оценка деформативных свойств железобетона.
В нелинейной строительной механике рассматриваются идеаль-
ные нелинейно-деформирующиеся системы, не имеющие внутрен-
ней статической неопределимости и материалов с различными
свойствами при растяжении и сжатии [17, 35, 124, 135, 136, 142,
208, 224]. При этом в большинстве случаев для преодоления даже
части упомянутых трудностей применяются те или иные приемы
формальной математической линеаризации, причем изменение фи-
зической сущности решаемой задачи часто остается невыясненным
(например, без достаточного обоснования стержневые системы за-
меняются системами безразмерных в поперечном направлении жест-
ких нитей).
Основы современной теории железобетона в СССР разработаны
в трудах советских ученых Н. X. Арутюняна, А. А. Гвоздева,
А. Ф. Лолейта, В. И. Мурашева, Я. В. Столярова и др. Проблеме
деформирования бетона в условиях нелинейной ползучести посвя-
щены работы Н. X. Арутюняна, П. И. Васильева, И. А. Кнйсса,
М. М. Манукяна, И. И. Улицкого, С. Е. Фрайфельда, автора
и др. Современная теория ползучести бетона разработана Н. X. Ару-
тюняном, С. В. Александровским, И. Е. Прокоповичем и др.
Проблема расчета тонкостенных и массивных конструкций
в большой степени решена С. В. Александровским, А. В. Беловым,
X. А. Гвоздевым, Г. Н. Масловым, И. Е. Милейковским, А. М. Овеч-
киным, П. Л. Пастернаком, И. Е. Прокоповичем, П. А. Школь-
ным и др. Значительный вклад в развитие теории бетона и же-
лезобетона внесли В. Н. Байков, О. Я- Берг, М. С. Боришанский,
Н. А. Буданов, В. Н. Горнов, В. Ф. Деркач, С. А. Дмитриев,
Г. К- Евграфов, И. Г. Иванов-Дятлов, С. М. Крылов, Я. Д. Лив-
шиц, А. К. Малмейстер, И. И. Макаров, В. В. Михайлов, К- В. Ми-
хайлов, В. М. Москвин, Я- М. Немировский, Н. Я. Панарин,
С. В. Поляков, А. М. Проценко, А. В. Саталкин, К. В. Сахнов-
ский, Я. В. Столяров, К- Э. Таль, М. С. Торяник, В. Д. Харлаб,
Г. !<• Хайдуков, Е. А. Чистяков, К- К. Якобсон, Б. В. Якубов-
ский и многие другие.
Однако указанные выше чисто математические трудности, осо-
бенно для конструкций с неоднородным напряженным состоянием,
не позволили еще создать единый метод расчета, учитываю-
щий нелинейность и неравновесность деформирования железобе-
тона.
К настоящему времени в теории железобетона сложилась осо-
бая ситуация, при которой
1. Прочность конструкций в предельном состоянии оценивается
в нелинейной постановке — эпюра нормальных напряжений в по-
перечных сечениях изгибаемых элементов очерчивается прямоуголь-
ником.
2. Жесткость конструкций определяется по такой схеме, в ко-
торой нелинейность деформирования бетона и арматурной стали
уже не учитывается,— нельзя же подменить учет нелинейности
введением снижающего коэффициента v к модулю деформаций бе-
тона, постоянного при любых уровнях напряженного состояния.
Учет неравновесности деформирования при этом ограничивается
некоторым увеличением конечных деформаций, осуществляемым
также с помощью коэффициентов [194].
3. Перераспределение усилий в статически неопределимых конст-
рукциях устанавливается для предельных состояний и сводится
к некоторому уменьшению экстремальных усилий без учета дейст-
вительного уровня напряжений в материалах, что не отражает
изменений, вытекающих из неравновесной природы деформирования
бетона и железобетонных конструкций [151].
4. Устойчивость стержней не рассчитывается, а проверяется
условная прочность, причем действующие усилия искусственно
увеличиваются с помощью некоторых коэффициентов tn, ъ и т„
имеющих чисто эмпирическое содержание и не отражающих ни
действительного уровня и вида напряженного состояния конструк-
ций, ни нелинейности механических характеристик бетона и арма-
турной стали.
5. Динамический расчет конструкций осуществляется таким об-
разом, что частоты собственных колебаний находятся по форму-
лам линейной теории колебаний с учетом жесткости, рассчитан-
ной по указанной выше схеме, амплитуды вынужденных колеба-
ний — на основе гипотезы Е. С. Сорокина [252], а явление вибро-
иолзучести [45, 300] вообще не учитывается.
Другими словами, исходные предпосылки и используемый аппа-
рат расчета современной теории железобетона не только не явля-
ются общими для различных задач, но и совершенно неполно учи-
тывают нелинейность и неравновесность деформирования материа-
лов, составляющих железобетон. Поэтому необходимо вести дальней-
шие исследования и разработки теории железобетона, чтобы создать
единую методику расчета железобетонных конструкций, учитывая
их основные свойства и особенно нелинейность и неравновесность
деформирования.
Предлагаемый метод интегрального модуля деформаций автор
рассматривает как одну из попыток решить указанную задачу.
§ III, 2. СУЩНОСТЬ И ОБЩАЯ ЗАПИСЬ
ИНТЕГРАЛЬНОГО МОДУЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ
Различные точки сечения элемента, испытывающего не-
однородное напряженно-деформированное состояние, имеют разные
по величине напряжения. Например, при изгибе нормальные напря-
жения меняются от нуля на нейтральной оси до некоторого экстре-
мального значения в фибровых волокнах. При этом нелинейность
деформирования материала предопределяет различие модулей де-
формаций в точках с разными напряжениями и, следовательно,
приводит задачу к упомянутым выше математическим трудностям.
Значит, необходимо так оценивать реальную деформативность
элементов, чтобы оперировать не различными модулями дефор-
маций в каждой дискретной точке, а единым модулем деформаций
для бетона каждого сечения, который бы интегрально учитывал
уровень его напряженного состояния и отражал нелинейность,
неравновесность и все другие важнейшие особенности деформиро-
вания материала конструкций. Такой единый модуль назван нами
интегральным модулем деформации.
Пусть реологическое уравнение деформации материала s (Z, /0)
отражает нелинейность, неравновесность и другие особенности де-
формирования. Вне зависимости от характера нелинейности и тер-
нединамического содержания этого уравнения оно заменяется за-
писью
^(^о)=ЙЙ)’ (П1Л)
где Е"и (V, t)— искомый интегральный модуль деформации для сече-
ния с абсциссой и (ось и направлена вдоль стержня).
Использование единого модуля деформации приводит для боль-
шинства точек сечения к неравенству
А = е [о (г, /), /, /0] - еин [з(г, t), t, /„) 0. (111,2)
Это неравенство неизбежно вытекает из произведенной замены
дискретного модуля деформаций в каждой точке неоднородно на-
пряженного сечения единым модулем.
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы обеспечить миними-
зацию отклонения Д. Очевидно, что минимизация должна осу-
ществляться не для каждой точки в отдельности, а для всего се-
чения в целом. Поэтому применяется интегральная минимизация
указанного отклонения. Для большей общности и точности нами
проводится минимизация квадратичного /и-моментного откло-
нения по !— :
Еин (у, I)
----— f [Д& (?) гт]г dz = 0, (III,3)
dE'M(v, t)J
где b(z)— ширина сечения,
пг — показатель моментности отклонения, определяемый из
дополнительных условий,
р и q — пределы интегральной минимизации.
Решение уравнения (111,3) относительно Еин(и, t) дает искомое
значение интегрального модуля деформации на абсциссе v для мо-
мента времени t в зависимости от уровня напряженного состояния
сечения в пределах от р до q.
Так как пределы интегральной минимизации есть величины по-
стоянные, то уравнение (111,3) представляется в виде
Q
f---------[& (?) bz^-dz = 0,
J д Е““ (о, t
р
(Ш,4)
а последнее после некоторых упрощений приводится к
1 с
§ еа [b (z) zm]2dz = -a-a-Vt j [о b (z) zm]2dz,
D Р
откуда получается следующее выражение для интегрального мо-
дуля деформации:
[szmb(z)]2dz
£""(”> 0 = . (Ш,5)
ес [6 (г) zmj2dz
р
Заметим, что при т = 0 выражение (Ш,5) приводит к средне-
арифметическому для данного сечения значению модуля деформа-
ций, при т= 1 — к средневзвешенному по отношению к некото-
рой оси значению.
Для прямоугольных сечений, для которых
b (z) = const,
уравнение (111,3) имеет вид
о
----Ц------ I (Дг"Т- dz — 0. (111,6)
Л Е“" (f. О
Решение последнего уравнения относительно Епп(у, t) дает
J (az™)2dz
Е”Ч», t) = p-----------. (Ш,7)
J EGZ2mdZ
р
Выражение интегрального модуля деформаций (Ш,7) справед-
ливо для плит, оболочек и вообще для тонкостенных конструк-
ций, если реологическое уравнение деформаций е(/, /0) отражает
соответствующее напряженное состояние.
Полученная формула интегрального модуля деформации (111,7)
справедлива при любом напряженном состоянии стержня. В част-
ном случае, при однородном напряженном состоянии (центральное
сжатие или растяжение), когда напряжения и деформации в лю-
бой точке сечения одинаковы = 0; || = 0;
Q
С 22m^2
£““(«• П = гЛ-------------= Е (Ш.8)
22ffl£2 dz
р
интегральный модуль деформации совпадает с временным модулем
деформации [283] (см. гл. II).
В другом частном случае, когда деформирование материала
подчиняется закону Гука
(HI,9)
где Е„ = const, получается
Q
[сгтЬ (г)]а dz
Еи"(«, 0 = -i-;---------------- Е", (III, 10)
Jr ( [сг^Ь (z)]1 dz
р
т. е. в случае идеально линейного деформирования интегральный
модуль деформации совпадает с обычным модулем упругости.
Если для эпюры деформаций и для эпюры нормальных напря-
жений допустить наличие зависимостей
6 = ЕфГе (?); (111,11)
0 = 0фГ3(з), (111,12)
которые возможны при еф =# 0 и ~Ф 0, то интегральный модуль
деформаций (III,5) будет иметь вид
j к (г)й(г) г»ЧМг
E“"(v, t) = (111,13)
X ефИ’« *)
) rz (z)rc(z)[b(z)z^}2dz
р
Для прямоугольных сечений с b = const последняя зависимость
упростится:
f к, к) zm]zdz
= --------------(Ш, 14)
С rt (г) Г, к) z2mdz
р
В случае аффинноподобия эпюр деформаций и эпюр нормальных
напряжений, когда справедливо равенство
Ге (z) = Га (z) = Г (z), (III, 15)
оказывается, что
Q
§ [г (г) zm]2dz
р
Q
j r2{z)z2mdz
р
и, следовательно, интегральный модуль деформации для прямо-
угольного сечения равен
рнн /v j\ _
L [ 0 *
Таким образом, приведенные выражения для интегрального
модуля деформаций зависят от уровня напряженного состояния
сечений в каждой точке (з) и отражают избранное реологическое
уравнение материала е(/, /0). Вместе с тем построение выражения
для интегрального модуля деформаций не связано с конкретной
формой записи эпюры нормальных напряжений в поперечных се-
чениях элемента или с конкретным видом используемого реологи-
ческого уравнения и с этой точки зрения является универсальным.
В частных случаях интегральный модуль деформаций обращается
в другие известные модули (111,8) и (111,10).
§ III, 3. ДРУГИЕ ФОРМЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО МОДУЛЯ
ДЕФОРМАЦИЙ
Для решения некоторых задач применимы несколько иные,
упрощенные формы записи интегрального модуля деформаций.
Так, при гармонических или почти гармонических стационарных
поперечных колебаниях симметрично армированных стержней,
когда в среднем нейтральная ось совпадает с геометрической
осью сечения, а закон изменения напряжений во времени изве-
стен, вместо зависимости (111,6) может быть принят другой под-
ход к конструированию интегрального модуля деформации, осно-
ванный на принципе минимизации тгмоментного отклонения нор-
мальных напряжений [39, 44):
“maxW
д
д Е™ (о. О
(Д^'О2^ = 0,
(Ш,16)
где зга1п(и) и огаах(и)—пределы изменения нормальных напряже-
ний в рассматриваемом поперечном сече-
нии, откуда
£""(«, «) =
3 -f- 2/7Z|
3+2zn, __
°max(u) “'min (v)
°max <y)
J ea* + 2"’tdo
einin
(IH,17)
причем rtij — параметр, определяемый по опытным данным
(в частности, может быть равен единице [44]).
Выражение (III, 17) использовалось только для поперечного
изгиба [38, 39, 44, 212]. Как показано в работе [38], в частном
случае линейного деформирования (III, 17)совпадает с временным
модулем деформаций [283]. Заметим, что выражение интеграль-
ного модуля деформации в форме (III, 17) менее точно, чем ос-
новное выражение (III, 7). Ниже будет показано, что введением
ряда дополнительных предпосылок выражение (III, 7) можно уп-
ростить.
В другом случае, когда требовалось получить замкнутое ана-
литическое решение задачи об устойчивости железобетонного
стержня с учетом нелинейности и неравновесности деформирова-
ния и трещинообразования [46], вместо (111,7) была применена
запись
N (/) . М (у, t)
№ /И°
/¥пр пр
где и /И£р—предельные значения сжимающей силы и изги-
бающего момента по прочности, вычисленные не-
зависимо друг
от друга;
('. /о)
£5р(Мо)
(Ш,19)
Еор и Е$ — временные модули деформации бетона, соответству-
ющие нулевому и разрушающему напряжению соот-
ветственно;
Ье — параметр, определяемый для каждого конкретного
сечения путем сопоставления (II 1,7) и (111,18) и за-
висящий от высоты сжатой зоны бетона, процента
армирования и ряда других факторов.
Численный анализ изменчивости параметра Be, выполненный
для различных данных, показал:
если
если
Л; (/) М (u.t)
№ м°
пр пр
-> 1, то ^е также стремится к 1;
N (0 , М (v. t)
№ ' л/°
пр пр
-+ 0, то Be стремится к 2.
Это позволило в формуле (111,18) принять Be = 1 и привело
к существенному упрощению последующего решения задачи об
устойчивости внецентренно сжатого элемента [46].
Наконец, нами рассмотрены другие возможные принципы по-
строения интегрального модуля деформации:
1. Сопоставляются не деформации в точке (II 1,2), а касатель-
ные модули — дискретный и интегральный; тогда уравнение (111,3)
запишется так:
<7
1 \ 12
-LrU(z)zm! dz = О,
с кас I ' ' । ’
^ин • -I
(Ш,20)
касательный интегральный модуль деформации
Я
кпс
ин
а при постоянной ширине
£кас _
ин —
. Р________________
я ’
J do
р
сечения b = const
2. Сопоставляются
модули — дискретный
не
р
деформации в точке (Ш,2), а
и интегральный, что приводится к
я
--------— 1 b (z) zm
а реек I ' >
ь нн '
2
dz = О,
нн р
откуда выражение для
ций приобретает вид
секущего интегрального модуля
•сек
ин
Я
J [6 (z) zm]2dz
р
а при постоянной ширине
я
[6(z)z"’]2y dz
р
сечения b = const
я
(1 -f- 2т) — z2mdz
р
(Ш,21)
(111,22)
секущие
условию
(1П.23)
деформа-
(III,24)
(Ш,25)
я
Анализ полученных выражений касательного и секущего ин-
тегрального модулей деформации показывает, что первое из них
не соответствует физическим представлениям о деформировании
реальных материалов, а второе — приводит к завышенным жест-
костям. Поэтому в дальнейшем рекомендуется основная запись
интегрального модуля деформаций (II 1,5).
§ III, 4. РЕАЛИЗАЦИЯ ОБЩЕЙ ЗАПИСИ
ИНТЕГРАЛЬНОГО МОДУЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ
Для реализации общей записи интегрального модуля де-
формации (II 1,7) необходимо назначить пределы интегрирования р
и 7, выбрать законы изменения деформаций и нормальных напряже-
ний ио высоте сечения и принять степень моментности отклоне-
ния т.
Как показывают практические расчеты, минимизацию модуля
деформаций целесообразно производить в пределах неизменного
знака эпюры нормальных напряжений. Применительно к изгибае-
мым железобетонным элементам это означает, что удобно опре-
делять интегральный модуль отдельно для сжатой зоны бетона
р = 0; q = х, (HI,26)
где х — расчетная высота сжатой зоны, и отдельно для растяну-
той зоны бетона
р = 0; q = хр = Л — х. (111,27)
В этом случае железобетонный элемент должен рассматри-
ваться как двухслойная конструкция. Заметим, что пределы (111,26)
и (111,27) не обязательны, минимизация (Ш,3) может осущест-
вляться и для всего сечения, когда
p — h — х и q = х, (III,28)
необходимо лишь, чтобы ей о были непрерывными функциями в ин-
тервале р и q. Вообще же, пределы р и q назначаются для удоб-
ства дальнейшего расчета.
Одна из особенностей напряженно-деформированного состо-
яния конструкций, материал которых деформируется неравновесно
и необратимо, состоит в том, что во времени возможно смещение
линии нулевых деформаций по отношению к нейтральной оси
эпюры нормальных напряжений. Действительно, если в некоторой
точке сечения в начальный момент времени действовали напря-
жения, отличные от нуля, а затем они постепенно уменьшились,
то в тот момент времени, когда эти напряжения обратятся в нуль,
соответствующие деформации еще не окажутся равными нулю, а
будут иметь некоторую величину. Это вызвано как частичной
необратимостью упруго-мгновенных деформаций, так и, главным
образом, накоплением деформаций ползучести. Последнее обуслов-
лено необратимостью деформаций ползучести, а также запаздыва-
нием, свойственным неравновесному процессу деформирования и
составляющим содержание эффекта последействия.
Вследствие нелинейности, неравновесности и анизотропии
деформирования во времени происходят изменения соотношения
жесткости сжатой и растянутой зон элемента и соответствующая
трансформация эпюры нормальных напряжений.
В силу изложенных выше причин перемещение линии нулевых
деформаций запаздывает во времени, отстает от перемещения ней-
тральной оси эпюры напряжений, что и создает смещение ней-
тральных осей. Эффект смещения этих осей может проявляться
более ярко, если перемещение нейтральной оси эпюры напряже-
ний вызвано внешними силовыми факторами. Поскольку смещение
нейтральных осей деформаций и напряжений зависит от уровня
напряженного состояния, постольку оно различно в разных сече-
ниях по длине элемента и тем больше, чем выше этот уро-
вень.
При длительной эксплуатации конструкции, когда может су-
щественно проявиться упругое последействие, а другие неравновес-
ные процессы стабилизируются, смещение нейтральных осей по-
степенно уменьшается. Отсюда следует, что смещение нейтральных
осей во времени может иметь некоторый максимум1.
Закон изменений деформаций по высоте сечения принимается
нами в виде
е = (II 1,29)
где £ф—деформации фибрового волокна;
а0 — смещение нулевой линии эпюры деформаций по отноше-
нию к нейтральной оси эпюры напряжений (знак ста-
вится в том случае, когда высота эпюры сжимающих
нормальных напряжений во времени уменьшается; знак—,
когда последняя увеличивается);
z—расстояние от нейтральной оси сечения по эпюре напря-
жения до рассматриваемой точки;
— коэффициент депланации сечения (должен определяться
в зависимости от положения сечений между трещинами
и действия поперечных сил; в случае усреднения влия-
ния растянутой зоны трещин на участках между тре-
щинами— только в связи с поперечными силами);
х — высота сжатой зоны.
В простейшем случае, который, как показывают опыты, явля-
ется основным, когда депланацией сечений можно пренебречь и
принимается допущение о плоских сечениях (о прямых нормалях),
имеем nt = 1 и
Е = ±0°t+-2- £ф. (III,30)
Ожидаемое влияние смещения нейтральных осей эпюры дефор-
маций и нормальных напряжений на напряженно-деформированное
состояние железобетонных сечений может быть оценено на основе
данных И. И. Улицкого, Н. С. Метелюка, Г. М. Реминца. Из
табл. 31, 33, 35 работы [273] видно, что при обычном проценте
армирования изгибаемых железобетонных элементов опытные зна-
чения относительных деформаций растянутой арматуры, отражаю-
щие положение нейтральной оси эпюры деформаций, весьма несу-
щественно (не более чем на 5%) отличаются от расчетных
значений этих же деформаций, вычисленных с учетом эпюр напря-
1 Подробнее о смещении нейтральных осей см. в § Ш,10.
жений, соответствующих среднему уровню напряженного состоя-
ния сечений. При малых процентах армирования это отличие
становится более значительным.
Очевидно, что при отсутствии смещения нейтральных осей
эпюр деформаций и нормальных напряжений, а также в тех слу-
чаях, когда такими смещениями можно пренебречь, получаем
—0 и соответственно
X
е = (i)"' еф, (111,31)
а при п( — 1—обычную запись так называемой гипотезы Кирх-
гофа — Бернулли
е = (111,32)
В качестве закона изменения нормальных напряжений по вы-
соте сечения наряду с широко применяемым в литературе до-
пущением о справедливости переноса диаграммы «напряжения —
деформации», получаемой при осевом нагружении образцов (одно-
родное напряженное состояние), при изгибе (неоднородное напря-
женное состояние), допускается использование зависимости
/ 2\«а
*= у Оф, (Ш,33)
где зф—фибровое нормальное напряжение;
п3—параметр нелинейности нормальных напряжений (0 <
< п3 < 1), который принимается нами по формулам
# О11'34)
\АИ /
или
(Л4 \с
. (П1.35)
пр /
а
Ек
/о = т£(°<А>« D- (Ш.36)
£()
Здесь f0 — параметр нелинейности связи между напряжениями и
деформациями при одноосном нагружении образца, оп-
ределяемый отношением двух касательных модулей
деформаций при данном режиме загружения;
E#—касательный модуль деформации в момент разрушения,
Eq = Ео— начальный модуль деформации;
та или — параметры, отражающие скорость нарастания криви-
зны эпюры нормальных напряжений по мере роста
уровня неоднородного напряженного состояния (/я3 мо-
жет быть до уточнения принят равным
/?и — предел прочности фибрового волокна (§ 1, 2);
/VI и Мир—соответственно действующий и предельный по проч-
ности бетона фибрового волокна изгибающие моменты
для рассматриваемого сечения.
zx СФ М
Отношения или — дают оценку условия напряженного со-
ЛЧ1р
стояния сечения конструкции.
При линейном деформировании fQ = 1, как это следует из не-
зависимости модуля деформаций от величины действующих напря-
жений. Параметр п> также не зависит от уровня напряженного
состояния и равен единице (л3 = 1). Другими словами, зависимость
(III,33) свидетельствует о том, что при линейном деформировании
материалов эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении
изгибаемых брусьев очерчивается треугольником вне зависимости
от уровня напряженного состояния.
Для предельного случая нелинейного деформирования материала
(так называемая идеальная пластичность), когда /0 = 0, и в пре-
°Ф М . х
дельном состоянии, когда 5- =----= 1, параметр п3 обращается
1<н Л4Пр
в нуль, а эпюра нормальных напряжений очерчивается прямо-
угольником.
В общем случае для реальных материалов, у которых 0 < f0 < 1,
эпюра нормальных напряжений в сечении изгибаемого бруса криво-
линейна при любом уровне напряженного состояния. Однако при
М Л 1
малых уровнях напряженного состояния, когда ------>0 и па -> 1,
^пр
она приближается к треугольной; при высоких уровнях, когда
|, она тем ближе
подходит к прямоугольной, чем меньше f0.
Выражения (111,33 -ь 35) отображают то, что форма эпюры
нормальных напряжений во всех случаях, кроме чистого изгиба,
не остается неизменной по длине изгибаемых брусьев, а меняется
от треугольной в сечениях с малыми моментами до близкой
к прямоугольной в местах экстремальных моментов, и пока-
зывает, что с увеличением изгибаемых моментов в сечениях на-
пряжения периферийных слоев перераспределяются на слои, менее
удаленные от нейтральной оси.
Подчеркнем, что метод интегрального модуля деформаций не
связан исключительно с выражением нормальных напряжений
в виде (111,33). Равным образом может быть использована любая
другая зависимость для з. В частности, можно построить эпюру
м
г / оф М , г
/о I для = 1 имеем n = f0
нормальных напряжений, допустив, что связь между напряже-
ниями и деформациями, полученная при одноосном нагружении
лабораторных образцов, используется для дискретных волокон
элементов при неоднородном напряженном состоянии.
Выбор выражения (111,33) обусловлен его простотой, хорошим
соответствием нашим физическим представлениям об эпюре нор-
мальных напряжений, а также тем, что, как хорошо известно,
незначительные изменения эпюры нормальных напряжений прак-
тически не влияют ни на несущую способность, ни, тем более,
на жесткость железобетонных элементов.
Настоящая работа основана на методах сопротивления мате-
риалов и поэтому неизбежно рассматривает не элементарные
объемы тела, а деформации и равновесие целых его частей, вы-
деленных сквозными сечениями. Даже модуль деформации мате-
риала учитывается не дискретно в каждой точке, а интегрально
для каждого сечения в целом < В этом и заключается сущность
интегрального модуля деформаций.
Основными допущениями при такой постановке задачи являют-
ся допущения о характере искривления поперечных сечений и об
эпюре нормальных напряжений. При этом принятие гипотезы
плоских сечений, равно как и совмещение нулевой оси деформа-
ции с нулевой осью напряжений, не является обязательным.
Однако такое совмещение указанных нулевых линий в нейтраль-
ной оси удобно, оно используется подавляющим большинством
исследователей.
Известные предложения заменить гипотезу плоских сечений,
сравнительно легко проверяемую и подтверждаемую эксперимен-
тальным путем, другими допущениями имеют сомнительные пре-
имущества [202]. Можно, следуя Л. М. Качанову [135] и В. В. Но-
вожилову [202], сказать, что «допущения, принимаемые в сопро-
тивлении материалов при построении технической теории изгиба,
не связаны со свойствами материала и носят геометрический
характер. В стержне, длина которого во много раз больше раз-
меров поперечного сечения, касательные напряжения существенно
меньше изгибных нормальных напряжений, а давление между
волокнами весьма мало. Вследствие этих особенностей попереч-
ные сечения стержня мало искривляются и можно приблизительно
исходить из гипотезы плоских сечений (гипотезы Бернулли) и
в случае неупругих деформаций»1 2.
1 Как известно, в теории упругости, которая рассматривает деформации
и равновесия элементарных объемов тела, гипотеза плоских сечений не при-
меняется. Однако, несмотря на ряд упрощений, равносильных введению дру-
гих рабочих гипотез, решения задач теории упругости получаются в трудно-
разрешимых дифференциальных уравнениях, а при учете нелинейности и
неравновесности деформирования — в неразрешимых интегро-дифференциаль-
ных уравнениях.
2 Л. М. Качанов. Теория ползучести. Физматгиз, М., 1960, стр. 207.
В связи с этим для дальнейшего решения задач технической
нелинейной теории железобетона, разрабатываемой нами приме-
нительно к стержневым и тонкостенным пространственным конс-
трукциям, используется допущение об эпюре изгибных нормаль-
ных напряжений (111,33) и гипотеза Бернулли — Кирхгофа, а также
аналогично подавляющему большинству исследований [51, 92,
93, 100, 106, 142, 206, 208, 223, 254, 275, 283| предполагается
совмещение нулевых напряжений и нулевых деформаций на еди-
ной нейтральной оси.
Очевидно, что взаимозависимость выражений (111,29) и (111,33)
приводит к следующим связям между нормальными напряжения-
ми и относительными деформациями в сечениях изгибаемых
брусьев:
г7
оо = эб.ф I— ; (111,37)
' £б.ф/
/с
£б = еб.ф (—^) при V-*0’
\сб.ф' х
(111,38)
где еб.ф и Об.ф отображают особенности реологического деформи-
рования материала.
Используя для <з и е выражения (111,31) и (111,33), получим
для сжатой зоны изгибаемого элемента1 прямоугольного сечения
(р = 0, q = х)
Так как
£нн =
=фз2,п 4г
1-|-2т4-2л-
2
1 4~ 2m 4- 2л3
о
^l-h2m-r-nt4-n0
1 4- 2m 4- 4- п.
о
3Ф (У’ О
£Ф (у. О ’
(111,39)
м* 4- «в 4- 1 4- 2/п 4- 2п3 — 2п3 — 1 — 2т — nt — nz = 0,
1 Растянутую зону бетона, как будет показано ниже, целесообразно учи-
тывать с помощью коэффициента ф, относимого к растянутой арматуре.
х
~ 2п
X
то (111,39) приобретает вид
Е™ (v, /) =
1 4- 2т 4- лЕ 4- па
1 4- 2//г 4- %па
Ч
еФ*
(III,40)
Здесь £ф (и, /) — реологическое уравнение деформации бетона, за-
писанное для фибрового волокна, например, (11,9);
Оф — фибровые нормальные напряжения.
Рассмотрим некоторые частные случаи, вытекающие из выра-
жения для интегрального модуля деформации (111,40).
1. Применение гипотезы плоских сечений, т. е. л« = 1 (111,32)
дает
Е"" (и, /) =
2(1 4- т) 4- (у. Q
1 4- 2(m4-nj Еф(1-. /)’
(Ш.41)
2. Одновременное использование гипотезы плоских сечений
(нг = 1) и линейной постановки о деформировании (f0 =1 и п, =
= 1) приводит к записи
£ин (и, /) =
2 (1 4- т) 4- 1 -ф (t>. О _ °ф (у. t)
1 4-2(^4-1) Еф(си) Еф(у. О’
(Ш,42)
~ дГ°ф(у. 01
Так как s пропорционально с, то zj
= 0, т.
е.
в линеи-
ной постановке временный модуль не зависит от уровня напря-
женного состояния (гл. II).
3. В случае аффинноподобия эпюры деформаций и эпюры нор-
мальных напряжений в поперечном сечении элемента, когда
На = Л3 = Лб,
(111,43)
оказывается также, что как и (111,42),
Е™ (и, t)
1 4- 2z?< 4- 2лгб стф (и, I) _ сф(у, Q
1 4- 2/п 4- 2пб £ф (у, 0 — бф (у. /)' 4
(Ш,44)
4. Для идеальной пластичности (диаграмма Прандтля) в пре-
дельном напряженном состоянии, когда = RH и л3 = 0, при
одновременном применении гипотезы плоских сечений пг = 1, по-
лучается
= г2- (ш>45)
где Ru — предел прочности бетона на сжатие при изгибе и
— предельная относительная сжимаемость волокон бетон-
ных сечений при изгибе, назначенная с учетом режима
и длительности нагружения.
5. При тех же условиях, но при дополнительном принятии
аффинноподобия эпюры деформации и эпюры нормальных напря-
жений (пв = и, = 0 и <5ф = 7?и),
= = (Ш.46)
''И ^н
Заметим, что случай nt — 0 при сохранении сплошности материала
нереален.
Рассматривая важнейший частный случай, соответствующий
применению гипотезы плоских сечений (nt = 1) и наличию сме-
щения нейтральных осей эпюры деформаций и эпюры нормальных
напряжений (а0 =# 0), найдем при
что
Е™(и, t) =
о =
1
1 + 2т 2пб
1 1 g0
2 2т 4- лб 1 + 2т 4- п6 х
сф О
£ф (f. О ’
(111,30)
(111,33)
(111,47)
и
Выражение (111,47) позволяет проанализировать влияние сме-
щения нейтральных осей ап на величину интегрального модуля
деформаций.
Как показывает принятие крайних значений для т и Лб, сме-
щение нейтральных осей, превышающее 0,067—0,080 высоты сжа-
той зоны (в среднем у = 0,075^, приводит к тому, что величина
интегрального модуля деформаций меняется более, чем на 1/10.
Действительно, относительная погрешность равна
= 2 4-2/п4-пб
Р 1 4~ 2т 4- п6 х
Поэтому, назначив т. = 1,0 (это соответствует идеально линейной
постановке), получим
2 4~ 2 4~ 1 gp 5 gp
Р — 24-I4-I Т = Т ~х
и, приняв ограничение р < 0,1, вычислим, что у < у 0,1 = 0,08.
Назначив tn = 0,5 и = 0, что соответствует идеально пластич-
ной постановке, найдем
2 4- 1 gp 3 йл
Р = НН ~х “ *2 Т
и, требуя р < 0,1, установим, что у < у 0,1 = 0,067.
Ю В. М. Бондаренко
145
С ростом «плюсового» смещения нейтральных осей величина
интегрального модуля деформаций уменьшается, а с ростом «ми-
нусового» смещения — увеличивается. Это значит, что если со
временем высота сжатой зоны изгибаемого элемента уменьшается,
то — растет и интегральный модуль деформации падает. Напро-
тив, если во времени высота сжатой зоны увеличивается, то
а0<0 и с ростом абсолютной величины ~ интегральный модуль
деформации растет.
Заметим, что скорость перемещения во времени нейтральной
оси эпюры деформаций (нейтрального слоя [237]) всегда отстает
от скорости перемещения во времени нейтральной оси эпюры
напряжений. Это объясняется фактом запаздывания, обусловлен-
ным свойством ползучести.
§ III, 5. СОСТАВНАЯ ЧАСТЬ ИНТЕГРАЛЬНОГО МОДУЛЯ
ДЕФОРМАЦИЙ — ФИБРОВЫЙ МОДУЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ
Все выражения интегрального модуля деформаций (III, 13;
111,14; 111,24; 111,40 и др.), полученные с использованием
е = ефМ2) (Ш, 11)
для эпюры деформаций и
<з = (z)
для эпюры напряжений, включают в себя
°Ф (и- 0 о
составной части отношение —л • Здесь
£ф(у. 0
(Ш,12)
в качестве важнейшей
"ф(с, 0 — функция из-
менения вдоль оси конструкции v и координаты времени наблю-
дения t фибрового нормального напряжения в сжатой зоне бе-
тона, а Еф(и, t) — реологическое уравнение механического состоя-
ния бетона, записанное для этого фибрового волокна и соответ-
ствующее режиму изменения напряжения <?ф(о, Z).
Таким образом, для вычисления значения интегрального мо-
дуля деформаций в сечении элемента v к моменту времени t
необходимо знать режим изменения напряжений в фибровом во-
локне от момента /0 до t и уровень напряженного состояния
к моменту t.
Отношение
формации
°ф (у. О
е может быть названо фибровым модулем де-
°Ф (Ц О
£Ф (f. О ’
(П 1,48)
Заметим, что с физической точки зрения временный модуль
деформации, точнее, секущий временный модуль деформации, ана-
логичен известному модулю Девиса (324|.
Если исследуемый интервал времени от /0 до t разбить на
несколько участков и для каждого момента времени О теперь
уже дискретно записать кривую деформаций в функции от одного
и того же режима изменения напряжений з(т), то полученное
семейство кривых (рис. Ill, 1) будет представлять семейство так
называемых «временных кривых деформаций».
Принятие временной кривой деформации эквивалентно «омерт-
влению» к рассматриваемому моменту времени неравновесного
процесса деформации при
заданном режиме изменения
напряжений. Наличие та-
кой «омертвленной» к рас-
сматриваемому моменту
времени i кривой а (/) — s (/)
позволяет искать «омерт-
вленные» характеристики
деформирования материала
в привычных записях.
Характеристика времен-
ной кривой в некоторый
момент /, подобная истин-
ному модулю деформаций
материала, может быть за-
Рис. 111,1. Семейство временных кривых
деформаций.
писана в виде
I
^рС (О
(О
da (0 ’
(Ш,49)
где Ев?с (0—касательный временный модуль деформации бетона.
Характеристика временной кривой в некоторый момент, подоб-
ная секущему модулю деформаций материала, запишется так:
1 _ е(0
(/) » (0 ’
(111,50)
где Ев?к (0 — секущий временный модуль деформации бетона
(рис. 111,2).
Если в качестве исходного реологического уравнения механи-
ческого состояния бетона взять уравнение (11,11), то
£“'(0 “ Ё°0)
*
- 3^7) ( $„ [’ (-)1 £ С* (t, d-., (Ill,51)
или в другой записи (после коротких преобразований)
t
4)1 ° <01 - { f S„ [c (x)) c*(t, x) d.+
+ 5„[о(/)]^С*(Лг)Ц^7у (111,52)
dt
И
Рис. Ill,2. Временный модуль деформаций как
секущий к временной кривой деформаций.
1 _ еу (Л 'о) 1 SM fg (01
^врК Щ ~ ° (Z) + £м (0 ° (Z)
t
t.
(111,53)
He учитывая усадку, как практически не зависящую от на-
пряжений, и приняв для функций напряжения запись
S[o(T)] = a(t)So[a(T)],
(Ш,54)
где 5°[а(т)] — функция нелинейности деформирования, получим
1 __1° (0]
^2(0
°(0 d
£О (Г) do (I)
SSM01-
t
§ о (о) $; [о (о)] С* ((. т) dx+o (I) S°n [а (()] | А С«(/, X) |
da (О
dt
и
t
fo(x)s;i°(x)i^c^'T)dT- (ш-5б>
вр V/ “и ' V
to
Очевидно, что, используя для функции нелинейности выражение
S°[a(T)] = 1 4- т<
° гч
(HI.57)
можно последние выражения привести к виду
1 _ 1 | 0+"1м)’1м['с«)_______Iff \И I
EuW L«(oJ «мп V’ '>ах+
р ~аГ у.
+ Чп J С* (/, X) Л+, (/) | £ c*(t, +
_1+тП /_\ а
(Ш>58)
-Ло(в(х)яс*(''х)Л-
и
1 = 1 , 2м_ Го (о
£веРк (0 (0 + (О L* W-
to
t
Р l+mn / а
_^)J7^^c*G'T)dT- (Ш,59)
Для вычисления временного модуля деформаций, помимо зна-
чений Ем и С*(/, т), необходимо располагать величиной и режимом
изменения напряжений во времени.
В линейной постановке, получаемой из нелинейной принятием
т]ы = т^п = 0, соответственно имеем временные модули деформаций:
f°<T)d7TzC,<('x>^+“ <(>|^C*('’T)L
£“=с (,) “ £° (0 ЗЦо (14,60)
dt
и
t
Пусть При этом
с(т) = о(/0) ? (т) при а(/0) =А 0, (111,62)
где <р(т)—режим изменения напряжении во времени. Теперь
в линейной постановке
I ¥ w 57^ С’<' т) d •+’’ (/) I ? С*<('т)
1 = 1 К, ‘
(О Е° W
р dt
t
i _ i____________С ? СО
£прК(') £»“(') J fW
Дс*(/, г) dr.
(IH.64)
Очевидно, что в линейной постановке временный модуль де-
формации не зависит от величины действующих напряжений, он
определяется только режимом их изменения во времени. Поэтому,
когда режим изменения напряжений во времени неизвестен, что
бывает во всех внутренне статически определимых задачах (одно-
родное напряженное состояние железобетонных элементов и не-
однородное напряженное состояние бетонных и железобетонных
элементов), использование временного модуля деформации совме-
щается с последовательным уточнением режима напряжений
[164, 185, 218, 2831.
В важнейшем частном случае, который соответствует простей-
шему из возможных режимов—постоянным во времени напряже-
нию и прочности бетона,
а(/0) = о(/) = а(т) = Const;
Я (fo) = R (/) = R (т) = const, (111,65)
непосредственно из (111,51) и (111,66) получим
1 1 dS° [а (/0)] d
и
1 _ 1 5м[а(/о)1 , г,ЛГ°('о)1
£сверк(0 ^(0 + ( ’ oJ о(/о) ,
а после подстановки выражений (111,54) и (111,57)
(И 1,67)
и
(111,69)
Когда нелинейность мгновенных деформаций совпадает с не-
линейностью деформаций ползучести
1м = 1% = т) и ты = тп = т,
предыдущие записи приобретают вид
1
££аРс (О
+С*(/, /0) (111,70)
и
Последние выражения позволяют удобно проследить взаимо-
связь и различие между касательным и секущим временными
модулями деформации. Численно касательный модуль меньше, чем
соответствующий секущий модуль.
Заметим, что для вычисления деформации с помощью времен-
ных модулей деформаций следует пользоваться формулой
с(О
е(/) = j
о
da (Л
£jpac (0
°(0
£СверК (0
(Ш.72)
Связь между касательным и секущим временными модулями
деформаций вытекает из зависимости (111,49) и (Ш,50). Действи-
тельно,
а) по касательному временному модулю деформаций
е(/)=[^г+с' (П1-73)
J вр W
О
где С = Еус определяется из граничных условий:
б) по секущему временному модулю деформаций
= (111,74)
Есверк (/)
следовательно, искомая связь дается равенством
о(Г)
। da (/) _ q (/)
(Ш,75)
££рс (<) е™ (0 ’
Равновесному (упругому) деформированию тел свойственна та
особенность, что с уменьшением до нуля действующих напряже-
нии одновременно уменьшаются до нуля и деформации. Напротив,
неравновесному деформированию, т. е. деформированию тел, кото-
рые обладают свойством ползучести, присуще запаздывание умень-
шения деформаций по сравнению с уменьшением напряжений
Таким образом, к моменту, когда уменьшающиеся во времени
напряжения обратятся в нуль, полные деформации тела, равные
деформациям ползучести, накопленным за время от /0 до /, не бу-
дут равны нулю. Они превысят нуль и будут зависеть от уровня
и режима предшествующих напряжений.
В связи с этим представляет интерес исследовать вопрос
о временном модуле деформаций при а (/) -> 0. При этом целесо-
образно раздельно проанализировать два случая.
А. Одновременно нагружены п образцов-близнецов. Действую-
щие напряжения в них неизменны во времени, однако величины
нагрузок на каждый распределены так, что в &-м образце напря-
жения меньше, чем в (k— t)-M. Чему будет равен временный мо-
дуль деформации i-ro образца (где i > k), напряжения в котором
близки к нулю?
а) из (111,66)
о(0-‘о£кв;'с(0
б) из (111,67)
(II 1,76)
В зависимости от соотношения между функциями Е„ (/) и
C(f, f0) нулевой временный модуль деформаций случая А может
расти, падать или даже изменяться во времени с различными тен-
денциями. При этом характер изменения определяется знаком
первой производной, смысл экстремума — знаком второй производ-
ной по / от нулевого временного модуля деформации.
Б. Тело испытывает переменное, уменьшающееся во времени
напряжение з(т)^ const. Спрашивается, чему равен временный
модуль деформации, когда напряжения приблизятся к нулю.
1 Остаточные (необратимые) деформации (как в мгновенной части, так
и в части ползучести), возможность появления которых исследована в гл. I
и II, здесь не учитываются, потому что это не имеет принципиального зна-
чения для рассматриваемого вопроса.
а) Так как lim S[o(t)] = 0, to из (111,52) следует, что
lim -
£вкрс (О
= lim уЦу. = —--------lim
X С*(/, т)б/т,
Оi От ' » / ’
(in,77)
где / находится решением S[t относительно
б)
lim -—J-—
-o^cBepK(O
= lim
0^o
da(/)
(Ш,78)
da(/) .
no = 1, поэтому
a-»° £вр
lim = И™
в-о dz &
1
E Bapc (0
(111,79)
Как следовало ожидать, в обоих случаях в пределе при нуле-
вых напряжениях касательный и секущий временные модули де-
формаций совпадают. При этом для случая А, когда з(/0) = const,
временный модуль деформаций становится механической характе-
ристикой материала, зависящей лишь от возраста и длительности
загружения, а для случая Б, когда a(r)=# const, предельный вре-
менный модуль деформации является функцией величины, режима
и длительности действия предшествующих напряжений.
§ III, 6. АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНОГО МОДУЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ
И ПРИВЕДЕНИЕ ЕГО ЗАПИСИ К ВИДУ,
УДОБНОМУ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ЭВМ
Из зависимостей (111,29) вытекает, что депланация сечений
(и.: < 1) снижает значение интегрального модуля деформации. По
мере увеличения депланации или, что то же, уменьшения коэф-
фициента и£, величина интегрального модуля деформации падает.
Это согласуется с общеизвестными представлениями о том, что
депланация сечений снижает жесткость конструкций. Поскольку
коэффициент л= связан с влиянием касательных напряжений, то
зависимости (111,29, 47) позволяют учесть снижение жесткости за
счет поперечных сил.
В связи с тем, что при чистом изгибе изотропных брусьев
гипотеза плоских сечений соблюдается строго (л£ = 1), то при
помощи (111,29) можно объяснить, почему жесткость стержней
в этом случае выше жесткости при поперечном изгибе (лг < 1).
Необходимо отметить, что, по-видимому, с ростом напряженного
состояния аффинноподобие эпюр деформаций и нормальных напря-
жений расстраивается и разница п, — и, увеличивается.
Из (111,41-ь 47) непосредственно следует, что интегральный
модуль деформации бетона сжатой зоны изгибаемого железобетон-
ного элемента прямоугольного сечения явно связан с фибровым
временным модулем деформации и отражает нелинейность и нерав-
новесность деформирования, а также особенности эпюр деформаций
и напряжений в поперечных сечениях. Так как входит в пара-
метр нелинейности па и во временный модуль деформации £$>p (III ,48),
то очевидно, что интегральный модуль деформации определяется
уровнем напряженного состояния сечения.
Таким образом, величина интегрального модуля деформации
может изменяться вдоль оси конструкции в зависимости от уровня
напряженного состояния. Даже при неизменной геометрии сечения
это приводит к тому, что при переменных эпюрах усилий расчет-
ная жесткость изменяется вдоль конструкции. Другими словами,
интегральный модуль деформации трансформирует нелинейность
деформирования в расчетное изменение жесткостей.
Результат (111,42) согласуется с нашими представлениями о том,
что в линейной постановке интегральный модуль деформации как
и временный модуль деформации (гл. II), не зависит от уровня
напряженного состояния, а определяется только режимом и дли-
тельностью нагружения.
Зависимость (111,42) показывает, что в случае аффин неподобия
эпюры деформаций и эпюры нормальных напряжений интегральный
модуль деформаций сечения принимает наименьшее из всех воз-
можных значений — значение временного модуля деформаций фиб-
рового волокна.
Результат (111,46) позволяет определить величину показателя
моментности отклонения т. Из сопротивления материалов известно,
что момент сопротивления прямоугольного сечения, находящегося
в стадии пластического течения, в 1,5 раза больше, чем момент
сопротивления такого же сечения в линейной постановке. Связы-
вая момент сопротивления с моментами инерции и жесткостью,
можно прийти к выводу, что для случая аф = R и п3 -*• 0, рас-
сматриваемого в (III,46), £SJ/£jPnp = у. Отсюда показатель мо-
ментности для прямоугольного сечения т = 0,5. Очевидно, что
показатель моментности отклонения зависит также от формы попе-
речного сечения и высоты сжатой зоны.
Для практических расчетов, принимая т = 0,5, целесообразно
использовать гипотезу о плоских сечениях (ns = 1). Это приводит
выражение интегрального модуля деформаций (111,41) к виду
= /]. (Ill,80)
(111,82)
условия
(111,83)
что можно заменить записью
Ет (* 0 = 2^7£*₽ 1’Ф0. Л- (Ш.81)
При этом численное значение интегрального модуля деформа-
ций, найденное по (111,81), отличается от значения, рассчитанного
по (111,80), не более чем на 3%. Действительно, относительное
расхождение между величинами интегрального модуля деформаций
по формулам (111,80) и (111,81) равно
3+ пб з
= 2+2пб 2 4-лб = пб~пб
Р 3 + nJ + 5п6 + 6 *
2 4- 2пб
Наибольшее относительное расхождение находится из
dP_ _ d / пб + пб \ _ 6пб+ 12лб — 6
dn6 ’ dne \z»6 4- 5л6 4- 6/ (n$ 4- 5n6 4- 6)2
Искомое значение Лб, соответствующее pmax, получаем, при-
равнивая нулю числитель правой части этого выражения
6л~ 4- 12лб — 6 = 0 или 4- 2мб — 1=0. (III,84)
Корни последнего уравнения равны пб = —1 ± 1,41.
Так как по физическим соображениям Лб > 0, то окончательно
Лб — 0,4. Отсюда
_ 0>42 —од _ 0,94 _
А'тах — 0 4г 5.0,4 4- 6 “ 8.16 “ и.ихэч.
Полученное выражение интегрального модуля деформаций
(111,41) может быть проанализировано качественно. Цель этого ана-
лиза— проследить изменчивость Ея" во всем диапазоне возмож-
ных Лб-
Физическая сущность интегрального модуля деформаций тре-
бует удовлетворения следующих условий:
а) £ф”<Енн<£°. (111,85)
Численное значение интегрального модуля деформаций должно
всегда быть меньшим (или равным) начальному модулю деформа-
ций, но большим (или равным), чем фибровый временный модуль
деформаций;
б) 0 при М > 0. (Ш,86)
т. е. изменение интегрального модуля деформаций с ростом изги-
бающих моментов строго монотонно;
в)^£ин<0. (111,87)
По мере увеличения изгибающих моментов интегральный модуль
деформаций должен снижаться все более интенсивно.
Исследование ограничим случаем кратковременного действия
нагрузки, т. е. t = t0. Теперь
(111,88)
Функцию параметра нелинейности п3 примем в виде
откуда вытекает
где
Тогда
где
сф\тм _ /1-^
V-aJ’
ф 1 + /г(1_Ло)<7’
(1 - № •
(111,34)
(111,89)
(111,90)
(Ш,91)
(И 1,92)
Отсюда найдем
Е 0 — 2(1 + па)[1 ^]Е (Ш,93)
или, обозначив
в = 2(1 4- n0) [1 -ь Ar (1 — Па)<7] * Е = 8 Е°' (1П»94)
Условие (111,85) можно заменить двумя неравенствами:
и
Е$р < Е™
(111,95)
(Ш,96)
Первое из них справедливо при любом п0, удовлетворяющем не-
равенство
0<ла<1. (111,97)
Второе может быть представлено в виде
Е° — Е"" = (1 — 0) Е° > 0 (111,98)
и затем преобразовано в неравенство
—1 -ь 4- 2» (1 — nf + 2*n, (1 - nf
2|1 + л, + 4(1-л,)’ + *М1-л,)') Ь >
(III ,99)
Так как знаменатель (111,99) положителен при любом л„
а >0 всегда, то очевидно, что исследование последнего нера-
венства можно свести к анализу неравенства
— 1 + п3 + 2k (1 — ИзГ + 2kn,(1 — > 0. (III, 100)
Вычисления левой части (111,100) при различных п„ k н q пока-
зали, что для бетонов марки (100—=—400) удовлетворительный ре-
зультат получается при q < 1,5.
Условия (111,86) после дифференцирования правой части (111,93)
приводятся к записи
211 — k(\ — ny\ + Zkq(\ — пэу-1 + 4^(1— -J-
+ kq(\ — ny-ln~ = 0. (111,101)
Численный анализ (111,101) свидетельствует о том, что условие
(111,86) удовлетворяется при q> 1,5. Поэтому проверку условия
(111,87) целесообразно провести сразу для q= 1,5. Так как непо-
средственное исследование второй производной Еп" было бы очень
громоздким, то решено для трех марок бетона: 100, 250 и 400
выписать значения 0 при q= 1,5 и различных п3, а затем проана-
лизировать полученные численные результаты (см. значения 0
в табл. II 1,2).
Таблица III,2
Характеристика бетона
’Im /о k 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
100 4.0 0,05 4,35 0,28 0,32 0,40 0.54 0,75 1.0
250 1.3 0,13 1,60 0,58 0.62 0.69 0.81 0.92 1.0
400 1.0 0,20 1,40 0,63 0.67 0.73 0,83 0.95 1.0
Из табл. II 1,2 видно, что условие (111,87), как, впрочем, и
условия (111,85, 86), удовлетворено. Действительно, для любого R
значение 0 для п3 = 0,5, найденное при помощи линейной интер-
поляции, меньше того 0, которое могли бы получить для л, = 0,5,
заменив кривую в хордой между значениями 0 для и, = 0 и
па == 1.
Возвратимся к фибровому временному модулю деформаций,
входящему в выражение для интегрального модуля деформации
(111,13). На основании (111,48) записываем
4Р (Л <») =
А Г"а (г)1 д
(111,102)
где
‘°Ф (х)'
= ль (^) Sn
°ф(х)
Базой для вычисления временного модуля деформаций являются
величина и режим изменения во времени напряжений. Если дей-
ствующее напряжение и режим его изменения во времени извес-
тны, то, как следует из (111,102), временный модуль деформации
выражается в квадратурах. Однако во всех задачах, кроме одно-
осного напряженно-деформированного состояния бетонного стержня,
напряжения и режим их изменения во времени неизвестны.
Требуемые фибровые напряжения устанавливаются в процессе
последовательных приближений. Получая значения напряжений
для ряда дискретных моментов времени и аппроксимируя эти дис-
кретные во времени величины некоторой функцией закона изме-
нения напряжений, можно для любого рассматриваемого сечения
найти значения интегрального модуля деформаций (111,13) на каж-
дом этапе приближений.
Аппроксимирующие функции и приемы аппроксимации могут
выбираться по-разному в зависимости от режима изменения напря-
жений и числа дискретных моментов времени, для которых уточ-
няются напряжения. При использовании электронно-вычислительных
цифровых машин такая аппроксимация режима изменения напря-
жений единой функцией нецелесообразна. Нужно исследуемый
интервал времени t —10 разделить на некоторое количество г
участков и, считая, что в пределах каждого участка напряжения
неизменны, последний интеграл (111,102) заменить суммой.
Пусть для некоторого t-ro момента времени t( < tr надо опре-
делить интегральный модуль деформации и пусть
= I Sn[7mUc*(z'-x)dx- (I,I’103)
t n
Тогда, разбив исследуемый интервал времени /п — t на г участков
и определяя интегральный модуль деформации для /-го момента
времени tti где i < г, можно записать
Л
—У i
°ф(М^ J
Г°Ф<~) д
"[Ж") К-
(111,104)
Здесь / — номер любого предшествующего i участка (/ < i).
Так как в пределах каждого /-го участка напряжения могут
считаться постоянными, равными некоторой средней величине
Ч
О, . = ГЦ— ( (111,105)
'/-I J
Ч-\
пли же проще (но менее точно)
(1П.106)
2
то выражение (111,104) можно представить как
/=/ Ч
QW = -^iSs’(V) J
и, далее,
/-1
или
/=/
Q (С) = - £ s„ (9j [С* (/„ G) - С* (th /,_,)!•
/
Теперь фибровый модуль деформаций для сечения
натой v при k-м приближении может быть записан так:
коорди-
(111,107)
(111,108)
В линейной постановке, когда
5?,= 1; Sn = з(/),
последняя запись несколько упрощается:
£фрк(п, М =
Еф.к('ь '») , 1_1
=ф,к(»' l‘) +в*.к(»>^
:-1
X У о , , (С* (/„ 0) - С* (1„ /;_,)]
(111,109)
Физический смысл полученной полиноминальной записи для
временного модуля деформации (III,107-ь 109) можно проиллюст-
Рис. Ш,3. Аппроксимация действительного за-
кона изменения напряжения во времени сту-
пенчатым законом:
а — с недостатком; б — с избытком; в — семей-
ство кривых мер ползучести, соответствую-
щих нагружению в различные моменты времени
постоянным единичным напряжением (С (/4, t0) >
>C(t4, G)>C(f4, ts)].
рировать следующим
способом.
Пусть задан некото-
рый режим изменения
напряжения во времени
з(/)—кривая ef на
рис. II 1,3. Требуется
определить временный
модуль деформации для
момента времени
Разбиваем исследуе-
мый интервал времени
/0 — ^4 на г участков
(в данном случае на че-
тыре участка) и одно-
временно приводим се-
мейство кривых мер пол-
зучести, соответствую-
щих нагружению в на-
чале каждого участка
(рис. II 1,3, в).
Заменяем заданный
режим изменения напря-
жений во времени □(/)
ступенчатым по указан-
ным участкам, как это
изображено на рис. II 1,3.
Произведенная замена
сделана «с недостат-
ком» — это очевидно, так
как площадь, ограничен-
ная кривой ef, осью аб-
сцисс и ординатами, со-
ответствующими t0 и /4,
больше заменяющей сту-
пенчатой площади.
Для простоты и боль-
шей наглядности рас-
сматриваем линейную постановку (III, 109). Вычисляем деформацию
ползучести к моменту времени Zz (пусть i = 4), следовательно,
к моменту времени Теперь неизменное напряжение з(/0) = const
за время Zo— Z4 вызовет деформацию ползучести
Де<-> (/д, 6.) = Ж) С* (Z4, Zo). (111,110)
Здесь значок (—) означает «с недостатком». Возникшее к мо-
менту времени приращение напряжений —s(Z0) = const
дает к рассматриваемому моменту времени Z4 деформацию ползу-
/1) = (а(/,)- з(/„)]С*(/1. G)- (ИМИ)
Аналогично находим
A4-4U M = [^(^)-3(/i)lC*(G, Z2); (Ш,112)
Д^-Ц/д, /3) = 1 = (/з)- Л/2)1С*(/4,/3). (Ш,ИЗ)
Напомним, что
C*(Z,,Z,) = O. (111,114)
Основываясь на принципе суперпозиции деформаций ползучести,
полную деформацию ползучести от ступенчатого режима нагруже-
ния записываем как сумму
/о) = ДеС") (Z4, Zo) + Де(-> (Z4, Z4) +
Н-Д^Ч/д, Z2)4-As^’(Z4, Z3), (111,115)
или
^ЧЧ, Zo) = [3(Zo)-01C*(/4, Z„) + (3(Z1)-3(ZO)1C*(Z4, Zt)4-
+ 144)-46)1 C* (Z4, Z2) 4-[5(Z3)-3(Z2)lC*(Z„ Z3). (111,116)
Раскрывая квадратные скобки и группируя по напряжениям
о (Zz), получим
Ч”’ (Ч, Ч)=4Ч) [С* (Ч, /о) - С* (Ч, ZOl-H (Zt) [С* (Z4, Z4)-C* (Z4, Z2)l +
+ 44)[C*(4, /J —C*(/4, /з)1-Н(/з) [С*(/д, Ч)~С*(Ч, 4)L (HI.117)
Если заданный режим изменения напряжений во времени з (-)
заменить ступеньками таким способом, как показано на рис. II 1,3,
то произведенная замена будет сделана с «избытком», так как
площадь, ограниченная кривой ef, меньше площади, ограниченной
ступенчатой линией.
Аналогично произведенному выше в этом случае можно запи-
Ч+> V* 4) = = (Л) с* (G. /.);
Де<+> (4., О = MQ- = (/,)) 6);
Дг<+) (<4, <.) = [□ (Г3) - 3 (f2)] С* (tt, Q; (111,118)
Де<+> (/4. Q = h(Q- s(G)l С* (/„ t3)
и окончательно
е<+ЦЛь /о)=^(Л) (С* (Z4, /о)-С*(/ъ Л)] + a (Z2) (С*(/4т ZJ-CVb О1 +
+ о(/3) (С* (t4, /Я)]-Н(/4)[С*(^ <з)~С*(/4, Л,)]. (111,119)
Здесь значок (4-) означает «с избытком».
Очевидно, что вычисление искомой деформации ползучести
еп (/4, /о) по формуле (111,117) дает несколько преуменьшенное
значение, а по формуле (111,119)—несколько преувеличенное,
чтобы получить более точное значение искомой деформации, опре-
деляем среднюю арифметическую величину
Н £п ^о) + £п"^ (^Чв) /ттт 1ОП\
£п (Ль 6)) = ----2-------' (111.120)
Подставив в последнюю формулу выражения (111,117) и (111,119)
и произведя группировку по [С* (/,, //_))— С* (/,-, /,)], получим
е>.(t.„ to) = [С* (t4, /„)- С* (/.„ /,)] -I- X
х |С*(/„ Z,)-C*(/„ /.)!+Oil. 121)
- C* (Z„ Z3)| + °(/з) + 5 (f ,> |C* (t4, Z3) - C* (Z4, t.,))
или, что то же самое
Vo (/, .) 4- а (Л)
----- (С*(/„/,->)-С* (Zz, Z,)j. (111,122)
/=1
Обозначив
(111,106)
и поменяв знак в квадратной скобке (111,122), найдем окончательно
еп (Л-, /о) = ~ [С* (Л-, 6)- С* (/,, //_!)]. (111,123)
/=! ' 2
Теперь
!^i
$(O = -T^S vilC*(z'’ /,-1)1.(Ill, 124)
а временный модуль деформаций получает уже известную запись
(111,109).
Такую же выкладку можно сделать и в нелинейной постановке.
В итоге, рассматривая полученные выражения для интеграль-
ного модуля деформации, можно рекомендовать для практического
использования при расчетах на ЭВМ следующие записи этого мо-
дуля:
где
и
(и, /) = Ф (Пз; I) (и, /),
(111,125)
(111,126)
1 4- 2 т 4- 2/j,
.... 1 +—' Л
2 4- 2/7/ 4- 2л, г 1 4- 2/л 4- х
(111,127)
Отметим, что в рекомендуемых формулах не учитывается влия-
ние усадки и принимается гипотеза плоских сечений; при необхо-
димости усадка может быть учтена по (111,109).
Если смещение нейтральных осей эпюры деформаций и эпюры
нормальных напряжений отсутствует или не учитывается, то запись
(111,126) значительно упрощается:
2 (1 4- т) 4- л,
Ф (и.) = / ; ' ; 3. (111,128)
' ' 14- 2т 4- 2л, ' '
В других частных случаях, а также при учете депланации сечения
можно пользоваться соответствующими формулами § 111,4.
§ III, 7. РАСЧЕТНЫЕ ДИАГРАММЫ с — е
ДЛЯ АРМАТУРНОЙ СТАЛИ
Диаграмма з—s мягкой арматурной стали может быть
представлена в виде графика а) на рис. 111,4, а диаграмма жесткой
арматурной стали — в виде графика б). Каждую из них можно
аппроксимировать либо ломаной линией ОАВ, либо кривой, анало-
гичной кривой нелинейности деформации бетона ОВг (рис. 1,3).
Вместе с тем ломаной ОАВ удобнее аппроксимировать диаграмму
деформирования мягкой стали, а кривой 0CD — диаграмму дефор-
мирования жесткой стали.
В качестве характерных точек диаграмм, помимо точки нуле-
вых напряжений О и точек разрушения В и D, целесообразно
принимать точки А и С, соответствующие пределу пропорциональ-
ности на диаграмме деформирования мягкой стали и условному
пределу пропорциональности на диаграмме деформирования жесткой
стали.
Аппроксимация кривой деформирования при помощи ломаной
ОАВ совпадает с расчетной диаграммой для стали А. А. Илью-
шина [124], а при помощи кривой OCD — с аналогичной кривой
для бетона П. И. Васильева [57|.
Модуль упругости арматурной стали с учетом нелинейности
ее деформирования назначается по секущей OF и записывается
нами в виде
Рис. Ш,4. Аналитическое представление диаграммы g— г арматурной
стали:
а—аппроксимация диаграммы мягкой арматурной стали; б—аппро-
ксимация диаграммы жесткой арматурной стали.
где Е:] — начальный модуль упругости,
Еа
а
пц в
е *
ни
(111,130)
За— функция нелинейности деформирования арматурной стали.
При использовании аппроксимирующей ломаной ОАВ диаграмма
деформирования разделяется на две области: область упругого
деформирования I и область неупругого деформирования II
(рис. 111,4, а). В упругой области функция нелинейности деформи-
рования За принимается равной единице, а в неупругой области
определяется из геометрии ломаной ОАВ (рис. 111,5)
(111,131)
Полученное выражение для 8а в граничных случаях имеет сле-
дующие значения:
При 5;1 = 5Нц 3П( Пц = ];
г:1 — £ПЦ
при ~а = R., епц Ея R
Ра. R = — — = -р— •
S;i = 2ft ПЦ -R
Если используется аппроксимирующая кривая типа OCD, ре-
комендуемая П. И. Васильевым для бетона (§ I, 2). то функ-
ция За имеет вид
1
(111,133)
причем параметры нелиней-
ности деформирования т|а и т,
назначаются аналогично од-
ноименным параметрам дефор-
мирования бетона т(М и
(см. § 1,2).
Вычисленные подобным спо-
собом параметры нелинейно-
сти деформирования для неко-
торых видов арматурной стали
приводятся в табл. 111,3.
Анализ таблицы показы-
Рис. 111,5. Аппроксимация ди-
аграммы арматурной стали по
А. А. Ильюшину.
вает, что можно установить определенную закономерность свя-
зи между параметрами деформирования и пределом прочности
стали на растяжение, в частности, с ростом предела прочности
Таблица «’13
Характеристик стали и Параметры деформирования
Класс, марка, Прочност- Деформа- По А. А. По П. И.
ГОСТ ные тинные Ильюшину Васильеву
°пц /?а ' ПЦ' Еа L S т<а
% %
Ст. 3 A-I 2200 3850 0,107 21 2 1 • 20е 260 5.7 • 105 114.0 18.0
Ст. 5 А-11 3400 5600 0.180 18 2,0 • 10я 152 5.2 • 105 63.4 10.0
Ст. 35ГС А-III 4610 7100 0.220 15 2.0 • 10я 124 5.7 • 105 38,2 8.0
30ХГ2С A-IV Ст. ВУ (высо- 5000 9000 0.270 5.5 2.0 • 10я 242 1,16 105 11.2 7.3
коуглеродис- тая) 10 000 14 180 0.520 4.5 1.9 • 10е 18,3 2.22 • 105 4,65 7,0
о
о
значения т;а и гпа уменьшаются. Эта связь проиллюстрирована
нами на рис. 111,6 или может быть аппроксимирована зависи-
мостями
г, =55,8 • 10'1—36.3; (111,134)
т., = 6,92 + 4,4 1014/?Г3,га. (111,135)
Заметим, что применение зависимости (111,133) обеспечивает зна-
чительно лучшую сходимость последовательных приближений, чем
использование формулы (111,132).
§ III, 8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О КОЭФФИЦИЕНТЕ ф
Вследствие неоднородности структуры бетона и отчасти
арматурной стали 11941 в растянутой зоне изгибаемых железобе-
тонных элементов еще до возникновения трещин намечаются
ослабленные участки. Они обусловливают неравномерность сцеп-
ления арматуры с бетоном и неравномерность распределения де-
формаций вдоль оси элемента. Во времени и при увеличении
внешней нагрузки указанные явления усугубляются, на наиболее
ослабленных участках начинается интенсивное нарастание дефор-
мации бетона (псевдотекучесть) и, наконец, возникают трещины.
С момента возникновения трещин и по мере их развития не-
равномерность сцепления арматуры с бетоном, неравномерность
распределения местных деформаций и перераспределение усилий
с бетона на арматуру увеличивается. В сечении с трещиной и вблизи
его сцепление вообще нарушается, а все растягивающее усилие
воспринимается арматурой.
Обсуждаемые явления физически очень сложны. Они совершенно
недостаточно изучены экспериментально, а попытки математичес-
кого описания их даже при значительной идеализации материалов
и процессов встречаются с непреодолимыми трудностями. В связи
с этим наиболее плодотворным и, на наш взгляд, наиболее пер-
спективным является предложение В. И. Мурашова [194], сущность
которого сводится к тому, что после появления трещин влияние
растянутой зоны бетона на жесткость изгибаемых элементов не-
посредственно не учитывается, а оценивается интегрально введе-
нием корректирующего коэффициента б, зависящего от уровня
напряженного состояния данного сечения и модуля деформаций
растянутой арматуры. Если действующий изгибающий момент в се-
чении меньше расчетного момента образования трещин, то кор-
ректирующим коэффициентом 0 не пользуются, а в расчет вводится
растянутая зона бетона, наделяемая некоторыми усредненными
механическими характеристиками с последующим применением
теорем сопротивления материалов.
Применение теорем сопротивления материалов предполагает
линейную постановку задачи во всем диапазоне изменения напря-
женин от нулевых до напряжении, соответствующих моменту по-
явления трещин в бетоне растянутой зоны. Вместе с тем очевидно,
что в моменты, предшествующие появлению трещин, пропорцио-
нальность связи между напряжениями и деформациями нару-
шается — проявляется нелинейность деформирования материала.
При длительном нагружении данное явление интенсифицируется.
Это обусловлено тем, что нелинейность деформаций ползучести
выше нелинейности упруго-мгновенных деформаций. В бетоне рас-
тянутой зоны, где напряжение приближается к пределу прочности
на растяжение при изгибе, модуль деформации может уменьшаться
Рис. III,7. График зависимости коэффициента 6 от
относительной величины изгибающего момента.
в несколько раз. В бетоне сжатой зоны модуль деформации также
может заметно измениться в зависимости от уровня напряженного
состояния. Строго говоря, использование теорем сопротивления
материалов справедливо только для нулевого напряженного со-
стояния.
Если действующий изгибающий момент в сечении больше рас-
четного момента образования трещин, то, как указано выше, вво-
дится коэффициент 6. Это значит, что даже в пределах одного
и того же железобетонного элемента на разных участках эпюры
изгибающих моментов применяется неодинаковая методика расчета
жесткости. Больше того, еще до возникновения трещин в разных
сечениях конструкций значения механических характеристик бе-
тона, в частности модуля деформаций, различны. Это обусловли-
вается как упомянутой неоднородностью, так и различием уровней
напряжений в разных сечениях: модуль деформации растянутого
бетона может изменяться от начального значения при нулевых
изгибающих моментах до минимально возможного, соответствую-
того состоянию псевдотекучести, в сечениях, где изгибающие
моменты приближаются к моменту трещинообразования.
В целях методического единства нами допускается расчет
жесткости железобетонных конструкции на всем возможном диапа-
зоне изменения изгибающих моментов (от М = 0 до М = Л1пр) с по-
мощью корректирующего коэффициента б (рис. 111,7). Однако
имеющиеся экспериментальные данные о значениях коэффициен-
тов б и расчетные формулы для их вычисления относятся к слу-
чаям, когда действующие изгибающие моменты больше момента
трещинообразования: М :< М7 [87. 144, 194, 198, 199, 200, 256,
273, 276]. Экстраполяция этих расчетных формул в область мень-
ших изгибающих моментов (/И <г Л1Т) может привести б к нуле-
вому и даже отрицательному значению (вплоть до минус беско-
нечности), что противоречит физическому смыслу. Вместе с тем
значение б0, соответствующее нулевому изгибающему моменту,
можно легко установить из условия равенства двух жесткостей:
первой, вычисленной с учетом растянутой зоны бетона без коэф-
фициента б, и второй, найденной без учета растянутой зоны бе-
тона, но с помощью коэффициента б.
Расчетную формулу для коэффициента б в области 0 ' Л4 <
/Мт можно построить, либо руководствуясь данными опытов об
изменении прогибов балок по мере увеличения нагрузки и неко-
торыми общими соображениями относительно очертания кривой б
(рис. 111,7), либо расчетным путем на основе представлений об
интегральном модуле деформаций бетона растянутой зоны, ана-
логично тому, как это предлагается выше для %. В настоящей
работе нами используется первый прием.
Итак, с увеличением нагрузки и, соответственно, изгибающих
моментов прогибы балок растут, сначала замедленно, а затем
быстрее. В момент трещинообразования наблюдается непрерывность
нарастания прогибов, обусловленная псевдотекучестью бетона
растянутой зоны.
Совокупность указанных обстоятельств позволяет сформулиро-
вать ожидаемые признаки кривой б в рассматриваемой области
(в дальнейшем б в области 0 < М < Мт будем обозначать бд.т—
до трещин, а в области Л4т<Л4<Л4пр—бп.т после трещин):
а) наименьшие значения коэффициента ф соответствуют нуле-
вым изгибающим моментам:
фо<ф; (111,136)
б) в области 0 < М. < Л4Т кривая б имеет положительную
кривизну:
—ЙЛ2 >0; (111,137)
\^лр) Л! < Л1Т
в) в момент образования трещины коэффициенты ф в области
Л4 < Мг и в области М > Мт равны (кривые ф на границе обла-
стей имеют общую точку Т):
'РД' т Af=AfT “ ’Р"- т Af-AfT ’
г) в точке Т (граница областей) кривые ф имеют общую ка-
сательную пт:
д
0 I
/М \ 'Ь- т
— м
д —
м=мт Л,пр
(III, 139)
Af-Af.
Заметим, что условие (III, 139) можно без ущерба для даль-
нейшего изложения заменить любым другим, например, условием
о наличии некоторого сдвига касательных в общей точке Т
д
дрд. т
4-2 =
Af —Л/т
ЯР.,.
т
(III, 140)
Л1-Л1Т
где 2 — некоторая характеристика сдвига в точке Т.
Такое толкование смысла коэффициента ф позволяет едино-
образно с методической точки зрения рассчитывать жесткость же-
лезобетонных конструкций во всем диапазоне изменения усилий
от нулевых до предельных.
Вопросу об определении жесткости железобетонных элемен-
тов с помощью коэффициента 6 посвящено довольно много работ
1144, 150, 155, 194, 199, 200, 273, 276 и др.). Общим в этих ра-
ботах является то, что в стадии II влияние растянутого бетона,
расположенного между трещинами, на жесткость изгибаемых
элементов учитывается введением корректирующего коэффициен-
та ф, искусственно увеличивающего расчетную жесткость растяну-
той арматуры.
На основе упомянутых работ для коэффициента фп. т (после
появления трещин) можно записать выражение
%, т = а„. т + Ь„. г т. (III. 141)
пр/
где а, b и с—некоторые параметры, определяемые из опытов;
М
.-------------уровень напряженного состояния сечения.
^пр
Подчеркнем, что зависимость (III, 141) легко выравнивается:
log (фп. т — аП. т) = log ЬП. т 4- Сп. т log (-гг- .
\пр/
Это существенно для назначения параметров ап. т; Ьп. т и сп. т по
опытным данным.
В момент разрушения сечения (тг—= 1 предельное значение
VWnp /
коэффициента ф равно
фпр = Дц. Т “Г ^П. Т- (111,1-42)
Разные авторы принимают различные значения параметров ап. т;
Ьп. т; сп. т (см. табл. 111,4 и 111,5).
Таблица 111,4
Параметр Я. М. Немировский. Н. В. Никитин П99| 10. А. Суслов [256] СНиП
ап. Т 1 1 1.3
1}п. Т С т'”т Ч’.р А,., Ч.р * ' • 1 д Л! tip
сп. т —3 —1 —1
Таблица 111.5
Качество поверх- ности арматуры Характер внешних воздействии
Кратковре- менное статическое Длительное статическое Динамическое
d 3 d S d S
Арматура периоди- ческого профиля Гладкая арматура 0.8 0.7 1.1 1.0 0.4 0.3 0.8 0.8 0 0 0.3
В табл. III, 4 и III, 5Мт— момент трещинообразования для рас-
считываемого железобетонного сече-
ния;
Л4б. т—момент трещинообразования соответ-
ствующего неармированного сечения;
d и S — эмпирические коэффициенты, завися-
щие от качества поверхности арматуры
и характера внешних воздействий.
Общим здесь является то, что при М > Л4Т, т. е. в стадии II,
Ьп, т < 0 и сп. т < о и, следовательно, кривая ф имеет отрицатель-
ную кривизну:
-^-5 фп.Т <0. (111,143)
VWnp/ Л/ > AfT
Заметим, что при с„. т = —1 зависимость для ф линейна по аргу-
МПр
менту .
Значения коэффициентов ап. т; Ьп. т; сп. т 11 •$ (табл. 111,4,
Hi, 5), назначенные на основании опытов с железобетонными эле-
ментами, находящимися в стадии II, не могут быть использованы
в стадии I, так как это приведет к резко завышенным жестко-
стям, а при
।
Л1
МПР
/___ Д11. Т|ГП. т
' ^11. т-
(III, 144)
— к абсурдным с физической точки зрения результатам.
1
Действительно, при п‘т получается будто 6 = О
Пр т,
и жесткость растянутой арматуры, а следовательно, и всей кон-
струкции равна бесконечности. Между тем, наибольшее значе-
ние жесткости конечно и соответствует нулевому напряжен-
ному состоянию тг-= 0 . В этом случае, как указывалось выше,
\'1 'пр /
жесткость определяется на основе теорем сопротивления материа-
лов при заданной длительности загружения с учетом начальных
величин модулей деформации арматуры и бетона.
Коэффициент ф до появления трещин обозначается фд. т с соот-
ветствующей индексацией параметров а, b и с:
'?д.т = ад.т+&л.т(^-Удт. (111,145)
\ пр/
Из условий (111,136-4-137) вытекает, что
6д. т О И Сд. т О,
(111,146)
/И Л
поэтому при дд— = 0 получаем
'У'пр
Сд. т — Фо»
(111,147)
причем значение параметра Ф, который соответствует нулевому
напряженному состоянию, вычисляется на основе равенства нуле-
вой жесткости железобетонного элемента, найденной на базе теорем
сопротивления материалов при начальных модулях деформации бе-
тона и арматурной стали, и нулевой жесткости того же элемента,
записанной с помощью коэффициента 0о без учета бетона растя-
нутой зоны:
£,бо/б+Ебо/б.р+Еа/а-ЬЕ7.:=^Ч-Ебо7б4 EaF^ (111,148)
^0
откуда
«Ь —
Г о —
1
Л / ’
сбо'б р
~^7Г
(III, 119)
где Ел и Ес,о—начальные модули деформации арматурной стали
и бетона;
/и. j.. /б, /.), /а — моменты инерции растянутой зоны бетона, сжа-
той зоны бетона, растянутой арматуры и сжатой
арматуры относительно оси, проходящей парал-
лельно нейтральной оси через центр тяжести се-
чения.
Центр тяжести нетрудно найти, пользуясь известным условием
У ВД- = о
(Ш.150)
или, отсчитывая ординату центра тяжести приведенного сечения
от одной из фибр сечения, по формуле
(111,151)
Из условий (111,138 4-139) следует система двух алгебраических
уравнений, достаточных для определения Ья_ т и сд. т:
— hr /' /Wt Уд- Т-1 — h г I Л1т Yn- т~‘
— Ь'д.тСд. т д. — 1/П.Т l-П. Т I дл I >
' пр. пр/
м=мт
(111,152)
(111,153)
где ац. т, Ьп, т и сп. т известны (см. табл. 111,4).
Из системы (П1,152ч-153) находим
________^п. тсп. т I Vn- т ,
сд- т — — 6 1 м '
•т -о пр
А ~ '^о
д‘т ~ Гд-т
Кр'
(111,154)
(111,155)
Таким образом, параметры 6Д. т и сд. т вычисляются с помощью
легко определимых данных.
Итак, получено выражение для коэффициента б в области
О < /VI < Л1Т. Теперь мы располагаем единообразной записью для
во всем возможном диапазоне применения усилий: от /VI = О
до — Мпр.
Заметим, что, опираясь на условия (111,136 4-139), кривую
(рис. 111,7) можно аппроксимировать одной непрерывной функцией,
например, многочленом четвертой (или выше) степени. Однако это
вряд ли целесообразно, ибо при известных М удобнее пользоваться
непосредственно выражениями (111,145) и (111,141), а при неиз-
вестных Л1 (в частности, в статически неопределимых или краевых
задачах) такая аппроксимация не приводит к приемлемому в алго-
ритмическом смысле решению. В таких случаях удобна некоторая
интегральная линеаризация кусочно-непрерывной функции ф.
§ III, 9. ВЛИЯНИЕ ДЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
НА КОЭФФИЦИЕНТ ф
Экспериментальные исследования деформаций железобе-
тонных элементов показывают, что при длительном действии по-
стоянных внешних нагрузок происходит непрерывный, затухающий
во времени рост прогибов [93, 150, 198, 275, 307, 316, 329, 336,
355, 358, 366, 379, 3901. К моменту стабилизации процесса де-
формирования прогибы могут увеличиться в два—четыре раза, в
связи с чем во времени расширяются трещины в бетоне растянутой
зоны, возникшие в начальный момент загружения, и появляются
новые трещины. Последнее приводит к тому, что бетон растянутой
зоны постепенно выключается из работы и величина ф, отражаю-
щая эту работу, также изменяется, нарастает во времени, стре-
мясь к некоторой предельной величине. В результате деформации
растянутой арматуры, даже если она не обладает свойством пол-
зучести, нарастают во времени. Подчеркнем, что указанные явле-
ния интенсифицируются с уменьшением процента армирования,
причем усиливается роль бетона растянутой зоны. Так, опыты
В. Н. Горнова 1931 и И. И. Улицкого [273, 2761 свидетельствуют
о том, что при малых процентах армирования коэффициент ф кратко-
временный в полтора — два раза меньше коэффициента ф длительного.
Следовательно, нарастание деформаций во времени обусловли-
вается не только ползучестью бетона сжатой зоны, но и посте-
пенным ростом коэффициента ф. Я. М. Немировский отмечает:
«Если ... предположить, что рост прогибов происходит только за
счет ползучести бетона сжатой зоны, то неучет дополнительного
выключения из работы растянутой зоны бетона во времени привел
бы к недооценке фактической кривизны (прогибов) на 40%». Это
обстоятельство учитывается СНиП (см. табл. 111,5).
Таким образом, величина ф зависит от уровня напряженного
состояния элемента в целом и растянутой арматуры в частности,
от процента армирования и от длительности действия нагрузки.
Например, характер изменения ф (/ = со) в зависимости от изме-
нения кратковременного ф можно проследить на рис. II 1,8.
Л U — __4,
При малых ф отношение ------—- достаточно велико, хотя
абсолютное значение приращения ф(/ = со)— ф незначительно.
ф (/ = ex )-ф
С ростом *Ь отношение —-------—- уменьшается. Каждому ф соот-
ветствует определенная предельная величина Ф(/ — со).
Выражение Ф(/) может быть представлено так:
Ф(/) = ФФ('?,
(111,156)
где б — значение коэффициента Ф при кратковременном нагру-
жении (111,141) и (111,145);
Ф(Ф, /)—некоторая функция длительности (в начальный момент
загружения Ф = 1).
Аналогично И. И. Улицкому {273, 275), выражение для Ф
записываем в виде
Ф(Ф, /)= 1 4-5(Ф)г(/),
(111,157)
где о—параметр, зависящий
от процента армиро-
вания и уровня на-
пряженного состоя-
ния;
г — параметр, зависящий
от длительности за-
гружения.
Обработка опытных дан-
ных Я. М. Немировского [198],
И. И. Улицкого, Н. С. Ме-
тел юка, Г. М. Реминца,
И. В. Руденко [273, 276],
А. Н. Кузнецова [154] сви-
детельствует о том, что в об-
от Ф
.кр'
ласти МГ<М <Л4пр указанные о и г можно записать следующим
образом:
о — а — ЗФ -|— тФ2;
I < 1 I I ’
(111,158)
С* (/, /р)
СЦсс, 10) ’
(111,159)
где а, р и у принимаются по табл. II 1,6.
Таблица 111,6
Вид напряженного состояния а 7
Изгиб 2,26 3,71 1,45
Внецентренное сжатие . 1,80 2,75 0.95
Для области 0 < М < Мт запись Фл. т (/) может быть построена
с помощью условий (III, 136—139), т. е. аналогично (рЛ. т. При
этом
(111,160)
Здесь Eeo(t) — длительный модуль деформации бетона при а -> 0;
Е°м(()— начальный модуль упругости бетона (начальный мо-
дуль упруго-мгновенных деформаций);
C*(t, —мера ползучести бетона.
Практически те же численные значения Фд, т(/) получаются,
если выражения для й и г (111,158) и (111,159) распространить
на весь возможный диапазон усилий (от 0 до Л4пр) и применять
зависимость (111,156). При расчетах удобнее пользоваться послед-
ним приемом.
Сравнение опытных данных с расчетными, полученными по
формулам (111,156-7-160), показывает хорошее их совпадение. Про-
иллюстрируем это на примере опытов И. И. Улицкого, Н. С. Ме-
телюка, Г. М. Реминца 1273] табл. III,7.
Таблица 111,7
Номера балок Длительность действия нагрузки в сутках
0 3 10 28 60 135
опыт опыт рас- чет опыт рас- чет опыт рас- чет опыт рас- чет опыт рас- чет
Б II —1 0,88 0,91 0,90 0.92 0,92 0,92 0.94 0,95 0,96 0,96 0,96
Б II—2 0,83 0.84 0,85 0,86 0,88 0,85 0.89 0,87 0,91 0,92 0,92
Б 1—3 0,70 0,77 0,76 0.84 0,83 0.88 0,87 0,95 0,92 0,95 0,94
Примечание. Значения а{ . т’ .т « Сп.т (1И’4) приняты по П99].
Как видно из табл. (111,7), наибольшее расхождение не пре-
вышает 5%.
§ III, 10. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ЗАПИСЬ Ф
ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ,
КРАЕВЫХ И Т. П. ЗАДАЧ
Непосредственная реализация формул (111,145, 141, 156)
удобна всегда, когда действующие усилия в сечениях элементов
известны. Сопоставляя действующий момент М с расчетным мо-
ментом трещинообразования Л4Т, можно выбрать нужную фор-
мулу (111,141) или (111,145).
В тех же задачах, в которых действующие усилия неизвестны
(статические неопределимые, краевые и т. п. задачи), использова-
нпе формул (111,145) или (111,141) осуществляется в процессе
последовательных уточнений действующих усилий. Более того,
в большинстве случаев недостаточно ограничиваться значением ф
для одного сечения, даже если в этом сечении действуют наи-
большие усилия, необходимо учитывать изменение жесткостей
вдоль всей конструкции.
В таких случаях, как правило, оказывается, что в различных
сечениях одного и того же элемента должны применяться раз-
личные формулы для ф. Как указывалось выше, эти осложнения
можно преодолеть, если кривую ф аппроксимировать единой функ-
цией, пригодной во всем возможном диапазоне изгибающих момен-
тов и удовлетворяющей условиям (III, 136ч- 139). Очевидно, что
такой функцией, в частности, может быть многочлен достаточно
высокой степени по (-ггМ • Однако реализация такого пути для
статически неопределимых и краевых задач сталкивается со зна-
чительными алгоритмическими трудностями, если разыскивается
замкнутое решение.
Существенное упрощение может быть достигнуто линеариза-
цией кривой ф во всем возможном диапазоне изменения моментов.
Линеаризованное выражение для ф(/) представляется в виде
двучлена первой степени
фл(О = р(О + <7(/)^
(111,161)
Отклонение линеаризованной функции фл от основной ф равно
А = Ф — фл 0.
(111,162)
Параметры линеаризации p(t) и q(l) находятся из условий мини-
мизации квадратичных отклонений по р и q в пределах от 0 до
м .
-гг- = 1, т. е. во всем возможном диапазоне изменения действую-
пр
щих усилий
(111,163)
(111,164)
Принимая во внимание, что до появления трещин (отОдо^р
должна учитываться запись фд, т (111,145), а после появления
I Mr
трещин до момента разрушения [от —
' л,пр
(111,141), получаем условия (111,163) и
до 11 — другая запись фп. т
(111,164) в виде
^т/^пр 1
1-Р\ J ДИ^)+ 1 МлУН (111,165)
О Л,Т/Л#пр
AfT/Af Up ।
£ С A*.TdL*L)+ Г A=Td(*L)1 = о, (III,166)
иЧ J \ пр' J V пр/
о AfT/AfIIp
где
V пр 1 V’ пр /
Ав. г = <ь„. т , /). (111,168)
Подчеркнем, что условия (111,165) и (111,166) не требуют
удовлетворения равенств (II1,140ч- 143) и справедливы при лю-
бом законе изменения Ф как от 0 до Л4Т, так и от /Ит до Л4пр.
Условия (111,165) и (111,166) после простейших преобразований
имеют вид
Мт/МПр
_ Г . / м
— I фд.
,) \ rip
0
м \
Мцр/
(111,170)
М Л
-тт-П
^пр
Подстановка двучлена (111,161) и выполнение квадратур (III, 169)
и (111,170) приводят к системе двух алгебраических уравнений,
линейных относительно р и q.
Параметры р и q обеспечивают наименьшее отклонение лине-
аризующей прямой Фл от исходной кривой ф (рис. III,9, прямая а),
однако граничные значения Фл могут оказаться не согласующи-
мися с физическим смыслом коэффициента Ф, т. е.
Поэтому линеаризацию приходится производить при замене (111,164)
условием
МлГ-= 1.') = К(0. (111,171)
\ пр /
которое соответствует совпадению и Ф при — = 1 и приво-
Л‘пр
дит требование минимизации интегрального квадратичного уклоне-
ния только к условию (111,163). Предельное значение ФПр(0 вы-
числяется по формулам (111,142) и (111,156). Действительно, из
7И
(111,161) при tj— = 1 находим
^пр
?(/) = %р(0-Р(/). (111,172)
Рис. II 1,9. Схема линеаризации кривой ф.
а подставив (111,172) в (111,161), затем (111,161) в (111,163), полу-
чим
(III,173)
где А и В — правые части уравнений (111,169) и
ветственно.
Совместное решение (111,167) и (111,168) дает
метры
р(0 = з|(Л-В)-Ц^];
(111,170) соот-
искомые пара-
(Ш,174)
<?(/) = з[Ц^-(Л-В)
(111,175)
Этим параметрам р и q отвечает прямая б на рис. II 1,9, которая
хотя и приводит к несколько большим отклонениям Фл от Ф, но
не опасна с точки зрения возможного несоответствия физическому
смыслу коэффициента 6.
Если заранее известно, что трещины покрывают всю длину
элемента или, напротив, отсутствуют по длине элемента, то можно
сузить отклонение между и Ф, приняв при вычислении А и В
равными нулю соответственно первую или вторую квадратуру
правых частей (111,169) и (111,170).
Применение линеаризованных записей для ф особенно целесо-
образно при расчетах на ЭВЦМ.
§ III, 11. О СМЕЩЕНИИ ВО ВРЕМЕНИ НЕЙТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ
ЭПЮР ДЕФОРМАЦИЙ И НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В момент загружения конструкции, когда неравновес-
ный характер деформирования бетона (и арматуры) не успевает
проявиться, нейтральные оси эпюр деформаций и нормальных на-
пряжений совпадают. Другими словами, в момент времени / = /о
смещение ao(to) = 0. При длительном загружении это совпадение
сохраняется только для элементов, жесткости сжатой и растяну-
той зон которых меняются во времени синхронно при условии,
что внешняя нагрузка и внутренние усилия неизменны. Во всех
остальных случаях и, в первую очередь, при длительном нагру-
жении реальных железобетонных конструкций нейтральная ось
эпюр напряжений во времени перемещается, в результате появ-
ляется отличное от нуля смещение между нейтральными осями
эпюр деформаций и нормальных напряжений (рис. 111,10), т. е.
а0 (0 --г 0 при t > to.
Действительно, в силу того, что деформативные характеристики
материалов железобетонного элемента в сжатой и растянутой зо-
нах различны и зависят от свойств ползучести, при длительном
загружении жесткости этих зон меняются во времени асинхронно.
Это обусловливает перемещение нейтральной оси эпюры напряже-
ний и форму ее очертания (рис. 111,10).
Например, имеется сильно армированный изгибаемый железо-
бетонный элемент (рис. 111,10, а), жесткость растянутой зоны ко-
торого в основном определяется арматурой и потому мало изме-
няется во времени. Неармированная сжатая зона такого элемента,
как правило, испытывает довольно высокие напряжения, в ней
существенно проявляются деформации ползучести, вследствие чего
ее жесткость во времени уменьшается. Внутренняя статическая
неопределимость железобетонного элемента приводит к увеличе-
нию высоты сжатой зоны и опусканию нейтральной оси эпюры
напряжений.
Или, например, рассматривается слабо армированный железо-
бетонный элемент (рис. 111,10, б), в сжатой зоне которого напря-
жения и деформации ползучести невелики, поэтому жесткость
сжатой зоны изменяется во времени незначительно. Жесткость же
растянутой зоны вследствие интенсивного увеличения коэффици-
ента 6 и развития пластических деформаций в арматуре сущест-
венно уменьшается. Это приводит к увеличению высоты растяну-
той зоны и к уменьшению высоты сжатой зоны—нейтральная ось
эпюры напряжений перемещается вверх.
Рис. 111,10. Раздвоение во времени нейтральных осей:
а — эпюр нормальных напряжений; б — эпюр деформаций.
В обоих случаях на новых нейтральных осях эпюр напряже-
ний нормальные напряжения равны нулю, а величины деформа-
ций отличны от нуля, что объясняется как частичной необрати-
мостью упруго-мгновенных деформаций, так и, главным образом,
запаздыванием деформаций ползучести.
Поскольку во все моменты времени, предшествующие рассматри-
ваемому моменту /, на новых нейтральных осях эпюры напряжений
сн 0 (т) =/= 0, то к моменту времени /, когда а,,. о(/) = 0, деформа-
ции на линии нейтральной оси эпюры напряжений равны
ен. о
(^) --- емгн, ост (О
%. о <т>
/? (Т)
£ с* (/, X) dt
(111,176)
Это предопределяет смещение нейтральных осей эпюр дефор-
маций и нормальных напряжений и является общим для обоих
рассмотренных случаев.
Если трансформация эпюр нормальных напряжений обуслов-
ливается не только асинхронным изменением жесткостей сжатой
и растянутой зон и внутренней статической неопределимостью
железобетонных конструкций, но и изменением во времени внеш-
них нагрузок, то явление смещения нейтральных осей эпюр де-
формаций и напряжений может как усугубляться, так и смягчать-
ся. Для слабо армированных элементов смягчение происходит
с уменьшением нагрузок, а для сильно армированных — с увели-
чением их.
Хотя качественно явления смещения нейтральных осей у сильно
и слабо армированных элементов идентичны, количественно между
ними имеется разница. Сущность ее состоит в следующем:
1. У сильно армированных конструкций во времени высота
сжатой части эпюры напряжений растет, нейтральная ось эпюры
напряжений перемещается на линии, где ранее действовали рас-
тягивающие напряжения. Эти напряжения невелики: они, как
известно, не могут превышать Rp. н — O,1RU или при наличии тре-
щин отсутствуют. Деформирование при растяжении менее нели-
нейно, чем при сжатии. Следовательно, остаточные деформации
Ен. о (0 также либо очень невелики, либо практически отсутствуют.
Поэтому у сильно армированных элементов смещение нейтраль-
ных осей незначительно, либо практически отсутствует.
2. У слабо армированных конструкций во времени высота сжа-
той части эпюры напряжений уменьшается, а нейтральная ось
эпюры напряжений перемещается на линии, где ранее действо-
вали сжимающие напряжения и отсутствовали трещины. Такие
напряжения в общем выше, чем в предыдущем случае, а нели-
нейность деформирований при сжатии больше, чем при растяже-
нии. Это приводит к тому, что у слабо армированных элементов
смещение нейтральных осей уже существенно.
Данные И. И. Улицкого, Н. С. Метелюка, Г. М. Реминца [273],
упоминаемые в § 111,9, хотя и получены ими с совершенно иной
целью, позволяют экспериментально подтвердить правильность
излагаемых выше соображений. Действительно, у балок серии
Б-1, армирование которых составляло 0,43% (см. табл. III,7), дефор-
мации растянутой арматуры, рассчитанные в предположении совпа-
дений нейтральных осей эпюр деформаций и напряжений, и дефор-
мации, замеренные непосредственно в опытах (табл. 31 [273]), отли-
чаются одна от другой в среднем на 90—100%. Для балок серий
I3-II и Б-Ш, армирование которых составляет 1,33—1.3%
(табл. Ш,7), это отличие равно 12—20% (табл. 33, 351273]).
Таким образом, у нормально армированных балок влияние сме-
шения нейтральных осей в пять раз меньше, чем у слабо арми-
рованных.
Для численного определения величины смещения нейтральных
осей эпюр деформаций и нормальных напряжений можно исполь-
зовать два приема.
А. При экспериментальной оценке перемещения нейтральной
оси эпюры деформаций можно пользоваться таким аппаратом:
а) По данным о деформациях фибровых волокон сечения из
гипотезы о плоских сечениях определяется положение нейтраль-
ной оси эпюры деформаций
М0 =------UtA (III. 177)
1 + 4—
Ф')
6) Из условий равновесия моментов, записанных относительно
центра тяжести растянутой арматуры, находится положение ней-
тральной оси эпюры напряжений х3(/)
xa(t)
М (/) = j b (z) з* (z) [(/z0 — x*)4-z]rfz= j b (z) ~6 (z) l(/?0— xs) ?1 dzt
о 0
(111,178)
где x* — высота сжатой зоны бетона по эпюре напряжений, вы-
численная без учета влияния ползучести (заметим, что
всегда х; (/) = х* (/);
х3 — то же, но с учетом влияния ползучести;
Зб—функция эпюры нормальных напряжений в сжатой зоне,
которая зависит от расчетного момента и величины мо-
дуля упруго-мгновенной деформации стареющего бетона;
— то же, но с учетом всех реологических свойств бетона.
Опираясь на формулу (111,33), можно записать
(111,179)
Если считать b = const и подставить последние выражения
в уравнение (111,178), то получим
хг, - (2 + п,) fiox„ - [(х*)* - (2 + п„) Л„х*) = о,
-6
откуда
(111,180)
Заметим, что по физическим особенностям перед радикалом сле-
дует удерживать знак минус.
в) Значения х* (/) и как обычно, определяются из урав-
нения равновесия при условии совпадения нейтральных осей эпюр
деформаций и напряжений и использования гипотезы Бернулли.
Из условия равновесия сил на ось v запишем Su = 0,
л3 (Л
о F
b (г) о* (г) dz =
1 + "з Фа
Приняв для o*(z) выражение (111,179) и считая b= const, из усло-
вия равновесия моментов относительно центра тяжести растяну-
той арматуры найдем
**(')
М = j 6 (z) о* (z) [(/i0 — х*) -I- z] dz
или, подставив (111,179) и учитывая для прямоугольного сечения,
что b = const,
М - (h
М 1+п, 2 +
Из допущения о плоских сечениях при совпадении нейтраль-
ных осей эпюр деформаций и нормальных напряжений получим
С * /, _ V*
“а ____
7*ф ~ Г*
еб Лз
(III. 182)
Из уравнений механического состояния арматуры в бетоне, запи-
санных без членов, отражающих усадку и ползучесть, примем
е* =
а
* г
°а
Е°
а. Mi-
е*Ф =
б
*Ф
сб
б. м -
Г,а*Ка/
/0*Ф /«б. м
/ б \
м\М
(111,183)
(111,184)
Система алгебраических уравнений (111,180-4-184) описывает
напряженно-деформированное состояние «*», соответствующее не-
линейному, но равновесному деформированию, а ее решение дает
х*, з£ф, необходимые для формулы (111,180).
Величина расчетного действующего напряжения в сжатой зоне
бетона должна быть получена решением соответствующего реоло-
гического уравнения относительно sj(/) по опытным данным
о деформациях фибрового волокна еф(/) и гф(/):
(111,185)
г) Величина искомого смещения нейтральных осей эпюр дефор-
маций и нормальных напряжений вычисляется по формуле
ао (/) = xt (/) — х, (/).
(111,186)
В линейной постановке, когда п„=1, ria = т# = 0, уравнение
(111,185) имеет решение
£6. м (')
Г
Ie? (О - в*(0J - (т) - е* (х)1 R (I, т) d-,
*0
(111,187)
где R(t, т)—резольвента соответствующего интегрального реоло-
гического уравнения механического состояния бе-
тона.
Для прямоугольного сечения
х* (Z) = |1П* (/) [1/ 1 + 2 - 1] Ло;
- f \Ч
0*ф (/) = 2М (0 ,
bx* [h------— Л"*)
\ о /
где и = — доля армирования, п* (/) =
м (0
м (0 ’
В частности, если фибровые деформации бетона
по экспоненциальному закону,
$ (0 - е* (0 = 11 -
(111,188)
(111,189)
изменяются
(111,190)
а реологическое уравнение деформации записывается по Н. X. Ару-
тюняну [7], то
°£(0
^6. м (0
А + Ce~P6(t~to\
(111,191)
где
А-—^—
1+
B^ — Dbo 1 —
. £л.С.|. Г.
п _ 4' ад
3б£фсФ_______
аб (1 4- ^ф(;ф) — аб.
аб^г- О 4- ^ф^ф)
ф^ф
аб 0 + £ГфСф) — абр
е '1 — е ’!Г°
сю
1пг
'о
1 ' - 'о*
Здесь Ем, См, А1г аб, у — характеристики деформирования бетона
(см. гл. I).
Б. При теоретическом определении смещения ao(t) вместо
опытных данных об изменении во времени ea(f) и ef(/) и приме-
нения равенства (111,181) можно ввести дополнительные условия
для деформаций и напряжений на линии, на которой в момент t
ожидается нейтральная ось эпюры нормальных напряжений
(") — xi (О п°
o„.o(0 = ^(t) 'м ; (Ш,192)
t
е„. о (/) = евп|. ост (О - Г «п 1г,. о (т)) Д С* (t, -) dt. (111,194)
•в
Теперь искомая величина а(> (/) должна быть установлена
в процессе решения следующей системы уравнений:
t
М') — МО М. д
. Ja-
-МГН, ост
Др (О
(0 4- До (О
е*(0 = 0;
t
S“ Ш “ Is" 1 В>] с*(/-т) dT -Е*(/) -е*(0 = 0;
Лб. М у ° v 'J
*3(Л
о
(0.
[(/i0 — Ха) -f- z] dz — М. = 0;
г 1«а
С и г 1л° . Л'.. п Ло — (/) — а0 (01 . .
j Ь °б (х) [х0 (/)] dz “ Еа. м (О хо(/) + а0 (О £* = °’
(111,195)
которой достаточно для определения четырех неизвестных:
(/), (О и а0 (О-
Решение этой системы в замкнутом виде неосуществимо даже
в линейной постановке. Приближенное решение, например, воз-
можно, если все функции, входящие в систему, заменить степен-
ными рядами и использовать метод неопределенных коэффи-
циентов.
§ III, 12. ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ х
И cj, ВХОДЯЩИХ В ВЫРАЖЕНИЕ
ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО МОДУЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ
Анализ перемещений нейтральных осей эпюр деформа-
ций и нормальных напряжений, выполненный для слабо и сильно
армированных сечений, позволяет сделать вывод о том, что во
всех случаях, когда высота сжатой части эпюры напряжений во
времени увеличивается, смещение нейтральных осей по знаку
отрицательно, а по абсолютной величине незначительно. Это
всегда сопутствует уменьшению во времени сжимающих фибро-
вых напряжений -Jb. Расчет фибровых напряжений (111,191), выпол-
ненный по многим опытным данным, показывает, что чаще всего
(во всяком случае в балочных конструкциях при неизменных во
времени внешних нагрузках) сжимающее фибровое напряжение
в балке во времени уменьшается.
Кроме того, выше (§ 111,6) было показано, что депланация
сечений снижает, а отрицательные смещения повышают расчет-
ную величину интегрального модуля деформаций. Поэтому есте-
ственно искать упрощения при определении величин х и вхо-
дящих в выражение для интегрального модуля деформаций, с по-
мощью одновременного отказа от учета смещений нейтральных
осей и депланации поперечных сечений, приняв ns = 1 и ап = 0.
Такое упрощение и использование временного модуля дефор-
маций для оценки деформирования отдельных волокон позволило
избежать решения сложных уравнений, записанных в предыду-
щем параграфе, и получить искомые значения х и в виде про-
стых и ясных с физической точки зрения выражений.
Если закон изменения деформации по высоте сечения (рис. Ill, 11)
с учетом возможных искривлений принять в виде
е = (У) Ч, (Ш,31)
где nt — коэффициент искривления сечения, а также, как это
обычно делается, использовать условие совместных деформаций
при одинаковых z
еа = Еб; Еа = £б, (111,196)
то связь между относительными деформациями арматуры и бетона
можно представить так:
__п'\пе /h —л^п-
Еа= еб.ф; еа= гб,ф. (111,197)
Теперь напряжения в сжатой и
растянутой арматуре
< = Еара^а И Ga = еа £а
та
Рис. 111,11. Практическая схема эпюр напряжений и деформаций.
могут быть подсчитаны по формулам
' л' г?' (Х — а'\П&.
Ga — На^аЕб. ф I ~ I 5
\ Л» /
_РаР
Ga — Т~^аЕб. ф I I •
Тл \ Л /
(111,198)
Учитывая (111,48), последние выражения следует записать как
° а — |^а
Еа (X — а'\п*
рвр \ х ) °б- ф
сб. фч
_ “a Ea lfio— х\пг
aa“^V Х ' 3б’Ф‘
(111,199)
(111,200)
Здесь еа — относительная
еа — относительная
£б — относительная
Еб. ф — относительная
зоны бетона;
деформация растянутой арматуры;
деформация сжатой арматуры;
деформация бетона;
деформация фибровых волокон сжатой
8а — параметр нелинейности деформирования растянутой ар-
матуры (§ II 1,7);
и
₽а — параметр нелинейности деформирования сжатой арма-
туры (§ III,7);
фа—коэффициент ф для растянутой арматуры (§ 111,7).
Очевидно, что для за < зпц и за < апи надо принимать За = 1
и pa = 1 •
Наконец, при использовании допущения о плоских сечениях
(о прямых нормалях) коэффициент искривления п.: равен единице
(л, = 1) и выражения (II 1,199 ч-200) получаются следующие:
» _ п» X — а’
За ~ ‘°а 7вр X 36• *’
сб. ф
_?а hp-x
За Ф_ /гвр х Зб- Ф-
'а б. ф
(111,201)
(111,202)
Величина действующих напряжений не должна превышать пре-
дела прочности
5 а Ra И За Ra*
(III,203)
Кроме того, действующие напряжения в сжатой арматуре не
должны превышать напряжений, соответствующих предельным
деформациям сжатия бетона, регламентирующим возможные дефор-
мации арматуры при сохранении совместной работы:
ai < ее.(111,204)
т. е. деформации сжатой арматуры не должны быть больше пре-
дельных деформаций сжатого бетона.
Определение расчетных значений х и аб. ф, входящих в выра-
жение для интегрального модуля деформаций, основывается на
условиях равновесия
£и = 0; (111,205)
У>„.„ = 0. (111,206)
При реализации этих условий функцию нормальных напряжений
по высоте сечения можно принимать по любой обоснованной за-
писи, в том числе и с помощью переноса диаграммы з—г, полу-
ченной при одноосном напряженном состоянии. Учитывая сообра-
жения, изложенные в § III,4, функцию нормальных напряжений
принимаем в виде
/ 2 \Лз
0(3 = \Т/ °б-ф’
(111,33)
Условий (111,205) и (111,206) достаточно для вычисления двух
искомых неизвестных х и ф.
Условие равновесия сил на ось и (111,205) записывается как
х
Ь Зб dz “J- 5а/*а — а = 0.
о
(111,207)
Подставив (111,33) в (111,207) и выполняя квадратуры, получим
= 0, (111,208)
1 -Г
откуда
х — (1 + . (111,209)
h°6. ф
Выражение (111,209) позволяет вычислять х всегда, когда из-
вестны напряжения в арматуре, напряжения в сжатых фибро-
вых волокнах и отношения , входящие в п3. Например, в важ-
нейшем частном случае — в предельном состоянии нормально ар-
мированного сечения, когда заранее известно, что изгибающий
момент равен предельному (Л4 = Л4пр, п3 = fn), фибровые напря-
жения в бетоне сжатой зоны равны пределу прочности бетона
на сжатие при изгибе (з6. ф = /?н), напряжения в растянутой
и сжатой арматуре равны соответствующим пределам прочности
(аа =/?я, зя =1), зависимость (111,209) превращается
в известную формулу СНиП:
R F — R' F'
х„р. „ = (!+/„) * " ", (II 1.2 Ю)
а в простейшем частном случае при /0 = 0 совпадает с нею:
(П1.211)
Даже в момент разрушения (точнее, в момент времени, непосред-
ственно предшествующий разрушению) напряжения в сжатой арма-
туре не всегда равны пределу прочности. Расчетные величины
этих напряжений определяются предельным относительным уко-
рочением бетона (111,204) и, вообще говоря, реологическими харак-
теристиками бетона и арматурной стали.
В эксплуатационном состоянии напряжения оа, <3а и зб.ф неиз-
вестны, и высота сжатой зоны определяется с помощью дополни-
тельных условий (111,199-4-202), участвующих в совместном реше-
нии с (111,208). Уравнение для х (111,208) теперь записывается
так:
%£брФ6л:'+'" + ф= (1+ «=) (* - - в +
+ П,) rf„EaFa (Л„ - х)'“ = 0. (111,212)
В случае применения допущения о плоских сечениях (п, — 1)
уравнение (111,212) приобретает вид
+ (1 + п,) (х - а') - (1 + п3) (Л„ - х) = 0
(111,213)
или
где
о £вр
А = kA0; k = ----Ао =
°’ , + л’^ро
^ро.
2 ’
B = ^aFa + s;E;Fa; с =Ь£Л/го+ (111,215)
fa тп
причем 0 < k < 1 (k уменьшается с ростом нелинейности дефор-
мирования). Теперь
х= Л (J/ В2 + 4ЛС — В). (III.216)
2/1
В момент разрушения высота сжатой зоны бетона достигает
предельного значения хпр, которое вычисляется также по (111,216)
при условии, что
М = М„р; п3 = /0; % = ФпР (111,217)
и
ЛР = *„РД„: *„р = . (111,218)
В линейной постановке без учета растянутой зоны бетона (0 = 1,
= I, /г, = 1, Е“Рф = Е®р0) формула (111,216) совпадает с из-
вестной формулой для высоты сжатой зоны в классической теории
железобетона.
Считая граничным армированием то, которое соответствует од-
новременному появлению напряжений текучести (или условной
текучести) в растянутой арматуре и напряжений в фибровых во-
локнах сжатого бетона, равных пределу прочности при изгибе,
можно, пользуясь (111,200) и учитывая % = 1, = 1, £“₽ — Евр,
"а = от> аб. ф = /<„ получить характеристику граничного армирова-
ния:
(111,219)
Т*- пр
или, привлекая допущение о плоских сечениях (пе = 1),
агр=£ = —^р. (Ш,220)
1
Va
Поскольку предельный временный модуль деформации бетона и,
отчасти, арматуры зависит от режима и длительности нагружения,
постольку граничное армирование также зависит от этих факторов.
Полученные выражения для характеристики граничного армиро-
вания позволяют проследить влияние различных факторов на изме-
нение хгр. Например, рост прочности бетона увеличивает агр,
а увеличение длительности нагружения, сказывающееся значи-
тельно больше на бетоне, чем на арматуре, уменьшает ее.
Условие равновесия моментов внешних и внутренних сил, за-
писанное относительно нейтральной оси,
b f o6zdz -Ь <Fa(x — а') 4- 3aFa (//0 — х) — М = 0. (111,221)
о
Подставляя (111,33) в (111,221), находим
(х - °") + (h0-x)-M = 0, (II1,222)
1 /7,
откуда
’6. ф = !Л4 - (x-a')lb (III,223)
Если деформации, следовательно, и напряжения в сжатой и в рас-
тянутой арматуре, а также средняя высота сжатой зоны известны,
как, например, при лабораторных испытаниях железобетонных
балок, то фибровые напряжения о(-,. ф вычисляются непосредст-
венно по формуле (111,223). В общем случае требуется совместное
рассмотрение уравнений (III, 199 ч-200, 205, 206), составляющих
разрешающую систему.
Используя допущение о плоских сечениях (ne = 1), заменяем
уравнения (111,199; 200; 212) уравнениями (111,201, 202, 213) Ч
Тогда выражение (111,222) имеет вид
Лл'2 . х)2 За^л (X Л цл
ГТТ"6- (1’+ ? £ТР-----—------------------------Fa°6. Ф- М = °-
7 Та сф СФ
(111,224)
Отсюда непосредственно следует, что
Ф — ЦР t
где
Ъх* За ga р (h0 - х)2 3^ , (х-а'Г
2 4- п л2 pup Га х 1 сер ~а х
а с ф и ф
(111,225)
(111,226)
— расчетный момент сопротивления железобетонного сечения.
Расчетные значения зб. ф, определяющие эпюру нормальных
напряжений (111,33) и интегральный модуль деформации (111,5),
последовательно уточняются по (111,216. 223).
В заключение рассмотрим кратко вопрос о максимальном арми-
ровании изгибаемого железобетонного элемента с одиночной арма-
1 При этом должны соблюдаться ограничения (111,203).
турой. В момент разрушения в сжатой зоне принимается прямо-
угольная эпюра нормальных напряжений, а растянутая зона бетона
не учитывается (это эквивалентно фпр =1 и [б = 0). В итоге можно
пользоваться следующими зависимостями:
из Ео = 0 (111,227)
пз1Л4 = 0 Л'1„р = /?о/г»(Ло —4'1- (111,228)
Подставив (111,227) в (111,228), найдем
(/? f р
Мпр = /?аМо-Ц^-. (111,229)
Но выражение (1П.229) не отвечает тому предположению, что
с повышением количества арматуры при сохранении расчетных
предпосылок несущая способность элемента должна расти. Иссле-
дуем выражение (111,229), т. е. определим
jL Д4 — F h _____— О'
/Ипр - ГаЛо -и,
а п
д» лл
dRl Mnv "
(111,230)
(111,231)
Из (111,230) вытекает, что экстремум функции (111,229) соот-
ветствует
₽а.,кет = ^' = ^. (111,232)
г а ‘ а
а из неравенства (111,231) видно, что этот экстремум является мак-
симумом. Иными словами, применение СНиП, помимо других обще-
известных требований, должно быть ограничено соблюдением усло-
вия
(111,233)
Как иллюстрацию приведем таблицу максимальных процентов
армирования для различных классов арматуры и различных марок
бетона.
Если превысить указанную долю армирования, то расчетные
формулы СНиП покажут уменьшение несущей способности.
При обычных сочетаниях марок бетона и качества арматуры,
применяемых в железобетонных конструкциях, неравенство (111,231)
обеспечивается известны,м требованием СНиП:
(111,234)
Таблица 111,8
Марка бетона
Класс арма- 35 50 75 100 150 200 300 400 500 600
туры
17,5 25 37 55 80 100 160 210 250 280
А—I 2100 0,83 1.19 1,176 2.62 3,80 4,76 7,62 10,00 11,90 13,32
А—И 2700 0,65 0,93 1,137 2,04 2,96 3,70 5,92 7,78 9,26 10.34
A—III 3400 0,52 0,74 1,09 1,62 2,35 2,94 4,70 6.18 7.35 8.24
A—IV 5100 0,34 0,49 0,73 1.08 1,57 1,96 3,14 4.12 4.90 5.50
которое нормирует е в зависимости от марки бетона (марка бетона
400 и ниже — е = 0,8; марка бетона 500 — е — 0,7 и марка бетона
600— е = 0,65).
Однако в ряде случаев приведенные выше соображения могут
иметь важное значение.
§ III, 13. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ И ЖЕСТКОСТИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Из уравнения (111,223) легко получить
О Ь G /**
+ + (111,235)
та
Будем считать, как это делается в СНиП, что в момент разру-
шения напряжения в компонентах сечения известны: напряжения
в сжатом бетоне достигают предела прочности при изгибе аб.ф =
— /?и, а в сжатой и в растянутой арматуре равны соответствую-
щим пределам прочности арматурной стали за = Ra и аа = Ra.
Тогда при /о = 0 формула (111,235) обращается в известную фор-
мулу действующих норм расчета прочности изгибаемых железо-
бетонных элементов по предельным состояниям
R bx2 R Г
Мп*р= -2L_ + /?>a(x-a/) + -^(/i0-x). (Ш,236)
z та
Исходя из совместности работы сжатого бетона и сжатой арма-
туры вплоть до разрушения, необходимо ограничить расчетную
величину Оа условием (111,204) при ₽а = 1’
4, пр < Еб. я£а < #а- (111,237)
Теперь формула (111,235) получает окончательную запись
R bx2 Р F
M„p = kV-, +°L„9FAx-a') + ^(hll-x'). (111,238)
z т /б г пр
Таким образом, для мало и нормально армированных элемен-
тов, когда
а = £<агр, (III,239)
расчет прочности можно производить по формуле (111,238).
Если рассчитывается персармированный элемент, для которого
условие (111,239) не удовлетворяется и имеет место неравенство
агр<а, (111,240)
а напряжения в арматуре заранее неизвестны, хотя и остаются
ниже предела прочности, то разрушается бетон сжатой зоны.
В этом случае прочность изгибаемого железобетонного элемента,
как следует из выражений (III, 225, 226), можно рассчитывать
по формуле
М„р = Ян№„р,
где (111,241)
R» = (1,25 - 0,25 Н R„p,
07 — ^пр 1 ^а^а F <Ло"“хлр)' । /ТТТ
^пр — 2 . е + . гВр ' а - Г (111,242)
. $а£а п' 1Лпр а )
8 Х"Р '
Заметим, что зависимости (111,238) и (111,241) взаимоувязываются
с помощью условия совместности деформации и допущения о плос-
ких сечениях.
При расчете жесткости железобетонных элементов, как и вся-
ких других конструкций, составленных из нелинейно деформирую-
щихся материалов, особое значение приобретает вопрос о назначе-
нии оси отсчета жесткости. В классической строительной механике,
как правило, центр тяжести сечения располагается на нейтральной
оси. Поэтому жесткость, отсчитываемая от нейтральной оси, и жест-
кость, отсчитываемая от оси, проходящей параллельно первой че-
рез центр тяжести, равны между собой. Вопрос об оси отсчета
жесткости решается сам собою. В применении к железобетонным
элементам, центр тяжести сечений которых в большинстве случаев
не лежит на нейтральной оси, вопрос о назначении оси отсчета
жесткости требует специального исследования.
Для оценки положения оси отсчета жесткости примем энерге-
тический критерий. Если реальная конструкция деформируется
так, что в процессе деформаций накопляется как можно меньше
потенциальной энергии, то очевидно, что определяемая расчетом
жесткость будет отвечать действительности, тем лучше, чем мень-
шей при установившейся форме изогнутой упругой оси окажется
расчетная потенциальная энергия, определяемая жесткостью эле-
мента.
Вначале рассматривается чистый изгиб и кратковременное за-
гружение стержня, состоящего из одного материала, когда интег-
ральный модуль может определяться для всего сечения:
дЕ"" п. дЕ™ п dv ~ U’ дг ~ U’ (111,243)
* = 0 ди и’ (111,244)
где р—радиус кривизны стержня;
V—абсцисса поперечного сечения вдоль стержня;
2 — ордината волокна в сечении по его высоте.
Подчеркнем, что ограничения (Ш,243н-244) не обязательны, они
привлекаются только для упрощения алгоритмии.
Удельная энергия, накопленная единицей объема деформируе-
мого тела
а а
аэ= jeda = = (111,245)
О о
где
а = М2рг; M = D±. 0 = £ш.г1. (Ш.246)
Здесь
D — жесткость поперечного сечения.
Теперь
СЙН / 1 \2
= г2. (111,247)
Энергия, накопленная единицей длины изгибаемого элемента,
определяется выражением
(111,248)
где F — площадь поперечного сечения.
На основе (111,243) можно записать
(111,249)
Кроме того, очевидно, что
А Ш
dF\p)
= 0,
(111,250)
поэтому
£ИН / I \2 р
¥7 \zW-
Так как
J z2dF = /,
F
то, учитывая, что ЕШ1 = D, окончательно получим
(111,251)
(111,252)
D /_1_\2
2 \р /
(111,253)
Энергия, накопленная участком стержня длиной dv.
dA3=Tdv, (111,254)
а энергия, накопленная всем
стержнем,
L
Лэ = У Г</о. (111,255)
О
Таким образом,
Лэ
Рис. III, 12. К вычислению жесткости
прямоугольного сечения.
(III,256)
В силу (111,244)
Лэ =
(111,257)
а в случае чистого изгиба, когда р = const,
Лэ
DL /1 \2
2
(111,258)
Из (111,256) и (111,257) следует, что минимальной энергии со-
ответствует минимальная жесткость D.
Жесткость железобетонного стержня прямоугольного сечения,
отсчитываемая от произвольной оси пт, которая проходит парал-
лельно нейтральной оси ОО', на некотором расстоянии q от сжатой
грани (рис. 111,12) имеет вид
— Dq 4~ Оа -|- Da,
(111,259)
где Dq—жесткость сжатой части бетонного сечения;
Da — жесткость сжатой арматуры;
Da — жесткость растянутой арматуры (с учетом влияния рас-
тянутого бетона).
Так как
п /7,,и Ьх& । . / X \
1хб — |2 Н” (^7 2* /
то
Кроме того,
D', = ₽;еХ (? - а' )2; О„ = Ь EaF„ (Л, - ?)"-.
Подставляя (111,250) и (111,251) в (111,249), получим
га син Ьх3 , / X \ ।
£) — с б 12 Н- ^^7 2* у Н-
+ ?&Fa (q - а')*+ £ E,F. (h0 - q)\
>8
(111,260)
(111,261)
(111,262)
(111,263)
Чтобы найти ось отсчета, обеспечивающую минимальную жест-
кость, достаточно вычислить q0, удовлетворяющее условию
д
dq
(111,264)
откуда
2E^bx (q0 - 4) + 2?XF; (q0 - а') -
\ м /
-2?а|’£.(Л.-<7,) = 0. (111,265)
Решение уравнения (111,265) относительно q„ дает
£J“6.r А + За£а£>' + £а£аЛ0
?о =-------------------. (III ,266)
£S"4x + ?'E-Fa + EaFB
га
Последнее
форме:
выражение удобно представить в более компактной
ZiFiqi
<7о =
(111,267)
или даже
\EqdF
<7о= 7----
\EdF
(111,268)
Очевидно, что qti представляет собою не что иное, как рас-
стояние центра тяжести приведенного сечения от сжатой грани.
Таким образом, при расчете деформативности строительных
конструкций, центр тяжести сечений которых не расположен на
нейтральной оси, жесткость необходимо определять относительно
осн, проходящей через центр тяжести параллельно нейтральной
оси. В нашем случае жесткость железобетонного стержня должна
находиться по формуле
р, рИН ЬхЯ .» I X \ । <' р*’ г»
F) — Eq jp- -}- l)X 2J "Т~ /аОа7?в X
х (?о — а')2 + EaF„ (Ло — <7„)2
та
или, учитывая, что
= X 4- At?0;
В = Он о ДО,
(111,269)
(111,270)
(111,271)
где Он. о вычисляется относительно нейтральной оси,
ДО = Д^о ( 2 ф- EaFah0
' ' та
(111,272)
В линейной постановке, т. е. в классической теории железо-
бетона, когда справедливы равенства
Й” = £2РФ = £бро; За = ?а = 1 (Ш ,273)
и
пг =1; гг, = 1,
центр тяжести приведенного поперечного сечения расположен на
нейтральной осн, поэтому
q0 = х: Д^о = 0 и ДО = 0. (111,274)
Действительно, теперь уравнения (111,213) и (111,265) принимают
вид
E%pobx”+2ОХ (х — а') — 2^ Fa (h0 — х) = 0; (III,275)
/ \ Е
2E?„bx U - 4 + 2Е« F'„ (q„ - а') - 2 Fa (ft, - 9о) = 0. (111.276)
Учитывая, что
хг = 2х(х — 4). (111,277)
\ « /
перепишем уравнение (III, 275):
2Etfabx (х — 4) + Wf'.(х — а'}— 2уаF. (й, — л-) = 0. (111,278)
Разделив каждое из уравнений (111,276) и (111,278) на 2 и вычтя
из второго первое, получим
ЕбР0Ьх (q» — х) 4- ЕаЕя (q0 — х) 4- Fa (q0 — х) = 0,
или
(qo-x)V1EiFi=^Oi (III,279)
i
где
s = E^obx + E'J. + ^Fa. (Ill ,280)
I ' a
Так как
Е£Л*0, (111,281)
I
то
qQ — x = 0 (III,282)
и, следовательно, справедливы равенства (111,274).
Итак, в линейной теории железобетона жесткость отсчитывается
от нейтральной оси, а в нелинейной — от оси, параллельной ней-
тральной линии и проходящей через центр тяжести приведенного
сечения.
В нелинейной постановке всегда
q0>xt
что непосредственно вытекает из сравнения треугольной и прямо-
угольной эпюр нормальных напряжений в сжатой зоне бетона.
§ III, 14. ДРУГИЕ ПРИЕМЫ ОЦЕНКИ ЖЕСТКОСТИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Если реологическое уравнение механического состояния
материала удается решить в замкнутом виде относительно напряже-
ний о(/), то возможен иной прием оценки жесткости железобе-
тонных элементов. Пусть
a(/) = L(8,/,/0) (111,283)
— искомое решение соответствующего уравнения механического со-
стояния материала относительно напряжений. Тогда, применяя
допущение об использовании для отдельных волокон изгибаемого
бруса зависимости а—е, полученной при одноосном нагружении
лабораторных образцов, и прибегая к тем или иным гипотезам
о характере искривления поперечных сечений (например, в виде
(111,29)), можно найти функцию эпюры нормальных напряжений
o(z, /, t0) = L(4, z, /, /0). (111,284)
Временный модуль деформаций Enp(z, /), вычисляемый по формуле
(111,48), получаем, подставляя s(z,/) в выражение (111,102):
рврг I ev(''o) 1
(z, i.Zo) 1ц£ф.г. (./,) +£o(0°»[ RW
(111,285)
t
L (г. г, t, т) I д 1—1
g(;) 1Дс*(<.~)^ •
tu
Теперь жесткость элементарной площадки относительно ней-
тральной оси
dD6(t, t„) = t, 1„)Ь(г)гЧг. (111,286)
Жесткость сжатой зоны бетона изгибаемого железобетонного
стержня
D'6(t, ft) = ( £‘₽(z, t, 10)Ь(г)гЧг. (111,287)
о
Жесткость всего сечения в целом находится по обычным форму-
лам сопротивления материалов с учетом Оа для арматуры, причем
необходимо знать закон изменения еф вдоль стержня. Для этого
можно использовать данные о величине изгибающего мо-
мента или кривизне бруса любым из известных способов. Напри-
мер, уравнение механического состояния материала описывается
зависимостью Риттера
a = R(\ — e~™) (111,288)
или
e = -lln(l-|), (Ш.289)
где т— параметр, определяемый из опытов и зависящий от проч-
ности на сжатие и возраста бетона.
Секущий модуль деформаций (временный модуль деформации
при неравновесном деформировании) равен
£“р =-----и-----, (III ,290}
Евр = £(1 — е-»»). (111,291)
Учитывая
в = ^)П', (111,292)
найдем
* / тгФ
D^x) = !^^\ b(z)\\-e lz2~n'dz. (111,293)
ф о
Если принять, что изгибаемый стержень имеет прямоугольное
сечение b = const, применить гипотезу Бернулли nt = 1, исполь-
зовать известную запись
1 = ^ (111,294)
и обозначить
Р = -^. (III,295)
то выражение для Dl> (111,293) получит вид
D'a= т — j + {рх ~ — у]. (111,296)
р I р J
Помимо случая линейных реологических уравнений, когда вре-
менный модуль деформаций не зависит от уровня действующих
напряжений, описанный прием может быть реализован в том част-
ном случае, когда
Еус = U; о = const; rnw = rn„ = 1 (111,297)
и
е = £з-|- Аз2, (111,298)
где
А =—\--------------Г вт-i Г с* dz< (III,299)
Л1 (./
в= ' +с*(/, и. (111,300)
М V ’
К этому же случаю можно отнести и уравнение механического
состояния материала, рекомендуемое Н. X. Арутюняном [7], если
принять 7(М = 0,
^ = 5. (111,301)
1/В2 4- 4Де — В
(111,302)
или с помощью (111,32)
<=(?,
(111,303)
Запись (111,303) представляет собой функцию нормальных напря-
жений в бетоне сжатой зоны. Временный модуль деформации за-
писывается в виде
£вг(г.',и = р(4 +Кт + ат)] '• (III,304)
где
(111,305)
а жесткость сжатой зоны бетона изгибаемого железобетонного
стержня относительно нейтральной оси
х
£ Р b (2) z‘-dz
(111,306)
Для стержня прямоугольного сечения, когда b = const,
(111,307)
Вместо точного выполнения последней квадратуры заменим
интегрируемую функцию степенным полиномом
2-
(111,308)
где неизвестные коэффициенты Р(- определяются из системы q-
линейных алгебраических уравнений. Заметим, что
Ро = 0.
Теперь
где
De {if to) — KhDq, t0),
< 1;
r\ • ___ bx71
tJe. о о d •
(111,309)
(111,310)
(111,311)
(111,312)
Здесь /Сн — коэффициент, отражающий влияние нелинейности дефор.
мирования бетона на жесткость его сжатой зоны отно-
сительно нейтральной оси;
Об.о—обычное выражение той же жесткости при линейном
деформировании.
Например, в простейшем случае, когда q = 2,
2 4- ]/4 4- 8а 2 4- /4 4- 16а '
(111,313)
(111,314)
и
(111,315)
Очевидно, что при линейном деформировании выражение De
должно совпадать с обычным выражением для жесткости сжатой
зоны бетона относительно нейтральной оси De. 0. Действительно,
при линейном деформировании т/м = т}„ = 0; А = 0; а = 0 и, следо-
вательно, Pi = 0, Р.2—\. Отсюда К = 1 и выражение (111,307)
записывается как (111,312).
Величина фибровых деформаций еф (/) с помощью гипотезы
плоских сечений может быть представлена в виде
еф(0 = у = ^А (111,316)
где р — радиус кривизны;
М — действующий изгибающий момент;
D — жесткость всего железобетонного сечения относительно
нейтральной оси;
£> = £>£4-£а. (111,317)
Здесь Da—жесткость сжатой и растянутой арматуры с учетом ф.
Теперь, обозначив
Т
а ~ d *
где
4/Их
S2 »
(111,318)
можно приближенно получить
(4Оа — 3£?б. о)24* 16£?а (ЗОб. о4~47') — (4Оа—ЗОб. о)
2( ЗОб о 4- 47)
(111,319)
Заметим, что с уменьшением величины изгибающего момента зна-
чение Лн приближается к единице, а в пределе, когда М = 0,
соответственно Т = 0 и К» = 1.
Однако в большинстве случаев реологическое уравнение меха-
нического состояния материала не решается в замкнутом виде отно-
сительно напряжений и оценка жесткости может быть выполнена
с помощью уточнении редукционных коэффициентов приведения
(218, 299] \ Эта задача решается последовательными приближе-
ниями.
Нулевое приближение. 1. Учитывается действительная геомет-
рия сечения Fo. В предположении линейного деформирования бе-
тона устанавливается положение нейтральной оси и треугольная
эпюра нормальных напряжений з0. Сечение бруса условно заме-
няется tn независимыми полосками высотой Дг каждая (рис. 111,13).
Рис. 111,13. Схема вычисления жесткости с помощью редукционных
коэффициентов приведения.
2. В пределах каждой полоски осредняется величина относи-
тельной деформации
si + ^ = e, + ^ (111,320)
и величина нормального напряжения
»о.<+4 + (111,321)
причем е. , д считается независимой от деформаций других по-
2
лосок.
3. Совместность деформирования полосок в брусе не учитывает-
ся. Считается, что каждая полоска деформируется самостоятельно
под действием соответствующего напряжения, поэтому временные
1 Напомним, что способ редукционных коэффициентов приведения поло-
жен в основу классической теории железобетона, в которой роль этих коэф-
, * Еа
фнциентов играют известные коэффициенты п = -=г -
Е6
модули деформаций каждой полоски вычисляются в отдельности
и, следовательно, по (111,294)
(111,322)
Рис. 111,14. Иллюстрация допущения об аффиннопо-
добии диаграммы а — е при одноосном испытании
и эпюры деформаций поперечных сечений изгибае-
мого бруса.
Подчеркнем, что принятие (111,322) представляет собой отказ
от гипотезы о плоских сечениях даже в условиях чистого изгиба
идеального бруса. Деформация каждой полоски определяется только
величиной действующих напряжений и используемым реологическим
уравнением (11,9)
(111,323)
Последнее эквивалентно тому, что искривление поперечных сече-
ний бруса оформлено подобно диаграмме «напряжение — деформа-
ция» при осевых испытаниях образца. Другими словами, приня-
тие выражения (111,322) для временного модуля деформации равно-
сильно признанию допущения об аффиннеподобии диаграммы с—е
при одноосном испытании и эпюре деформаций поперечных сече-
ний изгибаемого бруса (рис. 111,14).
4. Из условия
VЕ 1S , =0
0. /4-у / + 7
(III,324)
уточняется положение нейтральной оси сечения.
5. Составляется уравнение равновесия
в предположении, что в пределах каждой полоски напряжения
и деформации имеют неизменные значения
I &
- ।
Л4б =
»=/п—1
а
0. /4-
। z i Az.
+ — * + —
+ •»
(111,325)
Учитывается, что временный модуль деформации в пределах каж-
дой полоски считается постоянным, и записывается
а 1 = Евр
0./4--J 0,
Далее вводится гипотеза плоских сечений
Р(')
и получается
l=m—I
Мб
iz2 1 Az.
Так как
i Az = А/ 1,
~2 ‘ + “
(111,326)
(111,327)
(111,328)
(111,329)
1 е
2
А/ — момент инерций полоски относительно нейтральной
оси, то (111,328) переписывается в виде
-7п = —» (111,330)
р (0 Dq v
где
i=m— I
De= £ Евр iA//4_2, (111,331)
/То о-1+-2 -
D'& — жесткость сжатой зоны бетона относительно нейтральной
я । Л/ i / I \
’ + — жесткость и 4--gj полоски.
Подчеркнем, что введение гипотезы плоских сечений (111,327)
в условие равновесия (111,325) не компенсирует отказ от нее,
используемый при вычислении временного модуля деформации каж-
дой отдельной полоски (111,285), так как увязывает напряжения
не с теми деформациями, которые вытекают из плоских сечений,
а с некоторыми другими, фактически отсутствующими.
Первое приближение. Вводятся редукционные коэффициенты
приведения
' ' о
(111,332)
Заметим, что в нулевом приближении вследствие условно линей-
ного деформирования все редукционные коэффициенты равны еди-
нице. После этого запись для жесткости D6 получает вид
где
Об = £ор/б. пр. 1,
i=m — 1
^б, пр. I —
(111,333)
(111,334)
/б. пр, 1 — приведенный момент инерции сжатой зоны бетона отно-
сительно нейтральной оси в первом приближении,
или
Яб(Мо) = Я|.н£>б.о(Мо), (111,335)
где De. о—начальная жесткость сжатой зоны бетона, для прямо-
угольного сечения может быть вычислена по форму-
лам (Ш,300) и (111,312);
1*ат — I
*'•»=г £<ш’ззб>
'О » Т-П 1 Т
1=0 2 2
Для прямоугольного сечения, у которого b — const, Az = const
и, следовательно, А/7 = bAz = const, выражения (Ш,336) и (Ш.334),
могут быть представлены в виде
/б. пр. i = A£ Е п. I (111,337)
Z=0 " <+Т <+Т:
Z=m—1
К‘- ' = СТ S (’ + тГ %. ,+± < >' (”!• 338>
2
Уточняется эпюра нормальных напряжений в сжатой зоне
бетона
а
o,/+-g-
D
(111,339)
где
D — Df,Da. (111,317)
Разделив числитель и знаменатель на £jp, имеем иную за-
пись:
Мг ।
а , =-=——п (111,340)
'•'+Т Ь-л.г °'/+Т
£ВР *" 7 б, пр. )
Так как > az_h то F?p < и, следовательно, nz<n,_i, что
определяет искривление эпюры нормальных напряжений: множи-
ла ,
i+~2
тель ----------- дает треугольную эпюру, а множитель п i
__L д_ / ' ' * * 2
£Вр “ б. пр, 1
искривляет ее по мере роста ординаты. При этом начальный угол
наклона в первом приближении а, > а0 того же угла в нулевом
приближении. Последнее объясняется тем, что
По формулам (III, 322), (III, 324) и (III, 331) уточняются
значения временных модулей деформаций, положение нейтральной
оси и жесткость сжатой зоны бетона. При этом, очевидно, ин-
дексы 0 (нулевые приближения) необходимо заменить индексами 1
(первое приближение).
Второе приближение. По формулам (III, 332), (III, 334) и
(III, 303) уточняются значения редукционных коэффициентов, при-
веденные моменты инерции и эпюры нормальных напряжений.
Аналогичным способом, применяя последовательно цикл формул
(III, 322-fIII, 340), уточняем эпюру нормальных напряжений
и жесткость изгибаемого железобетонного стержня, причем каж-
дое четное приближение приводит к значению жесткости с недо-
статком, а нечетное к значению жесткости с избытком.
Способ редукционных коэффициентов может быть использован
также в том случае, когда, помимо изгибающего момента, на
брус действует осевая сила. При этом, применяя принцип нало-
жения напряжений и, следовательно, формулу Навье для каждой
отдельной полоски, выражение для напряжений можно записать
в виде
° , ---- i-D-21------UH.341)
'+у _ £1 а. /' ‘+Т '+Т
\ £ВР ' б, пр £Вр б, пр у
где N — осевая сила; Fa—площадь арматуры с учетом фа;
Fq. пр = Е п 1 AF = F6 £ п 1, (111,342)
/=0 '-by Z=0 1 +~2
^б, пр—приведенная площадь бетона сжатой зоны.
14 В. М. Бондаренко
209
При необходимости учитывать растянутую зону бетона до появ-
ления трещин в ней также могут быть использованы редукцион-
ные коэффициенты.
Оценивая способ редукционных коэффициентов применительно
к железобетонным конструкциям, надо учитывать, по крайней
мере, два его недостатка. Первый — это исключительная гро-
моздкость вычислений. Действительно, даже по напряжениям
приходится делать 4—5 приближений [299]. Поэтому даже в слу-
чае элементарной однопролетной балки с простейшей и постоян-
ной во времени эпюрой изгибающих моментов, для которой до-
пустимо иметь лишь три расчетных сечения в пролете, чтобы
оценить жесткость во времени, нужно провести минимум 300—
375 вычислений, если полагать, что для уточнения режима на-
пряжений во временном модуле деформаций достаточно пять
интервалов, а по высоте сечения можно ограничиться пятью по-
лосками.
Использование какой-нибудь искусственной записи для ре-
жима напряжений во времени [218], что само по себе нуждается
в тщательном обосновании, все же требует проведения около
100 вычислений.
Заметим, что для каждого из этих вычислений необходимо
применить несколько расчетных формул. Очевидно, помимо иск-
лючительной трудоемкости, такое количество вычислений неиз-
бежно снижает точность решений.
Второй недостаток — применение двух противоположных вза-
имоисключающих гипотез на каждом рекуррентном шаге вы-
числений: отказ от учета совместности работ полосок и от гипо-
тезы плоских сечений при вычислении дискретных временных
модулей деформаций, а затем привлечение представлений о со-
вместности работы полосок и гипотезы плоских сечений при
определении жесткости всего бруса. Это имеет принципиальное
значение и ставит под сомнение точность всего решения незави-
симо от числа приближений и формальной сходимости результа-
тов вычислений, так как процесс может сходиться и к невер-
ному результату.
Нам кажется, что второй недостаток можно несколько смяг-
чить, заменив формулу (III, 322) во втором и последующих
приближениях формулой
0 • _L
= -т'-+ 2 х £?РФ, (111,343)
2’z+~ "1,ф г 1
2
где oit $ и Е®Рф—соответственно фибровые напряжения и вре-
менный модуль деформаций в предыдущем
приближении.
Запись (III, 343) вытекает из совместного решения относи-
тельно Еа? уравнений (III, 33) и (III, 336). Введение гипотезы
плоских сечений в выражение для временного модуля деформа-
ций на более ранних этапах вычислений неизменно дает равен-
ство любого дискретного временного модуля деформаций фибро-
вому временному модулю деформаций и треугольную эпюру
нормальных напряжений независимо от числа приближений, что,
очевидно, совершенно неприемлемо.
Глава IY
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ И НЕРАВНОВЕСНОСТИ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО
МОДУЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ
§ IV. 1. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Итак, интегральный модуль деформаций бетона сжатой
зоны и коэффициент Фа для растянутой рабочей арматуры, рассчитан-
ные с учетом уровня, режима и длительности напряженного со-
стояния, позволяют определить жесткость сечения железобетон-
ных стержней. Указанная жесткость отражает нелинейность,
неравновесность, анизотропию деформирования бетона и железо-
бетона и зависит от уровня, режима и длительности нагруже-
ния, от температурно-влажностных условий внешней среды,
масштаба конструкций и т. п.
Располагая функцией жесткости железобетонного стержня,
можно записать уравнение кривизны его изогнутой оси
d*u М
dv2 ~ D ’
(IV,1)
где D — жесткость сечения;
и — функция изогнутой оси;
v— абсцисса сечения;
М — действующий изгибающий момент.
Уравнение (IV, 1) непосредственно следует из:
а) линеаризации свойств материала в каждом сечении, обеспе-
чиваемой интегральным модулем деформации;
б) условий равновесия;
в) гипотезы плоских сечений;
г) приближенной записи кривизны.
Для построения этого уравнения не привлекаются энергети-
ческие соотношения. Интегрирование (IV, 1) приводит к уравне-
нию углов поворота сечения
du__ С М
dr ~ ~ )~D
dv 4- С!
(IV .2)
и к уравнению изогнутой оси нелинейно и неравновесно дефор-
мируемого стержня
и = — dv dv -Ь 4- Со, (IV,3)
где С, и С2—как известно, произвольные постоянные интегри-
рования.
В частности, при чистом изгибе, когда М = const, D = const,
получается
« = - 2О- + С,и + С2. (IV,4)
Например, для свободноопертой однопролетной балки
= с* = °; (iv,5>
u = .^(Z—ч)у (IV,6)
и при
I Ml* ПХГ 74
У — ~2 Пщах — "gjrj • (IV»*)
По мере увеличения длительности нагружения ползучесть бе-
тона проявляется все в большей мере, коэффициент Фа растет
и, следовательно, расчетная жесткость D уменьшается, а пере-
мещения железобетонного стержня возрастают. В связи с нели-
нейностью деформирования существенное влияние на величину
перемещений оказывает уровень нагружения: с ростом напряже-
ний жесткость уменьшается, что приводит к увеличению дефор-
маций железобетонных элементов. Такое же влияние на рост
деформаций имеют вибрационные воздействия, при которых про-
является виброползучесть.
При изменяющейся вдоль оси стержня v жесткости D замк-
нутое интегрирование (IV, 2) или (IV, 3) часто оказывается за-
труднительным или неосуществимым. В этом случае целесооб-
разно применять приближенные способы определения перемеще-
ний. Например:
1. Зависимость упрощается до линейного выражения вида
J______1_ /_1_________1 \ м
D Do \^пр ' ‘^ир
(IV,8)
Очевидно, что при М -+ 0 и по (IV, 8) стремится к а при
^-Л4„р (IV, 8)—к ту-.
^пр
Подстановка (IV, 8) в (IV, 2) дает
В частности, для однопролетной свободноопертой балки, на-
груженной равномерной нагрузкой q = const,
М = LV(1-V) = ^IV-^V\ (IV,10)
где I — длина пролета.
Реализация квадратур (IV, 9) приводит к записи
q I Vs
2"D'q2 • 3
q 1 / q \2 /» / 1
2 Do 3.4 (2/МпДРпр
1 \ u4 , 9 (q\2 I I 1 1 \ v
3 • 4 ' 2 p4np|/)np Doj4.5
x (о7Р_в0)г^ + с'и + С2-
(IV, 11)
Произвольные постоянные находятся, как обычно, из условий
(IV, 12)
(IV, 13)
(IV, 14)
и = 0 при v = 0;
и = 0 при v = I.
Отсюда
С2 = 0;
С ___
1 2 Do 2 • 3 2D03.4 + ^2/Mnp^np Do) *
/•» 9 / q \2 1 I 1 1 \ Z5 , / q \2 1 / 1 1 \ Z®
X3-4 2(2//ИпДяпр DoK 5 4 2 / AJnP Kp 5 • 6 '
Окончательно уравнение изогнутой оси балки
Здесь первое слагаемое правой части представляет собой кривую
перемещений осн балки, записанную в предположении справедли-
вости линейной постановки. Запись первого слагаемого совпа-
дает с аналогичной записью сопротивления материалов. Второе
слагаемое — дополнительное перемещение оси балки, обусловлен-
ное нелинейностью деформирования.
В силу симметрии эпюры изгибающих моментов (IV, 10) отно-
сительно середины пролета обеспечивается симметрия жесткостей
(IV, 8) и, как следствие, симметрия изогнутой оси балки. Наи-
больший прогиб umax нелинейно деформирующейся балки по-
стоянного сечения, свободнолежащей на двух опорах и нагружен-
ной равномерной нагрузкой, находится посредине пролета. Ска-
занное легко подтверждается тем, что
1_
2 •
du
du
при v =
(IV, 16)
Действительно,
du (q \ I / Ь* рз Р \ .
Do Т + у + 3~i) +
/ q \2 1/1 1 \ / /2Уа t? Р \
+ 2 ) МпДопр £>0/ \ 3'2 5 ' 3 • 4 • 5у
При этом каждое из двух слагаемых самостоятельно равно нулю:
1 , 1 , 1 -3+14-2 п.
23 < 93 . 3 *+ 22 . 3 — 93 . з — и’
1 ! 1 1 1 _ —20+ 15 — 3 + 8 п
93 . з + 26 24 • 5 ‘ 2а • 3 • 5 — 24 • 3 • 5 “ U’
Подставив v = в (IV, 15), вычисляем наибольший прогиб
п 11 / 1 1 \?1*
Wnlax“ 384D0 ' 7680 Dnp D0'/Wnp-
(IV, 19)
Как и следовало ожидать, первый член правой части (IV, 19),
соответствующий линейной постановке, совпадает с аналогичной
записью сопротивления материалов.
Чтобы оценить значение второго члена правой части (IV, 19),
отражающего влияние нелинейности деформирования материала
балки, преобразуем (IV, 19):
«max = ( 1 + О) Umax, (IV,20)
4-0=1
fl
где
^тах
5 qP п « х
= ----максимальный прогиб
ооч L/q
ной постановке задачи;
при линей-
И qP!D0 ,\
on м ~ — 11 множитель, отражающий влияние
!UU/Wnp\^np /
нелинейности деформирования на
рост прогибов балки;
В — соответствующее относительное от-
/Ипо
клонение. В частности, при q =
и Dnv = найдем, что о = 0,33.
Значит, нелинейность деформирова-
ния увеличивает прогиб в 1,33 раза.
С увеличением площади эпюры изгибающих моментов рост
прогибов вследствие нелинейности деформирования становится
еще более ощутимым. Например, при чистом изгибе, когда
«Lx = И 1 + 5 = А 1, (IV,21)
принятие Опр= ~ дает 14-8 = 3, т. е. прогиб возрастает в три
раза.
2. Зависимость аппроксимируется полиномом
l = ^azZW'; (IV.22)
/
« = — j’M1+'do + C.V + С,. (IV,23)
I
В частности, уравнение изогнутой оси свободно лежа щей одно-
пролетной балки, нагруженной равномерной распределенной на-
грузкой,
М =-2-o(Z-o); (IV,24)
1-Н
/И14' = У (—l)l+'-mKbWZmv2+a-'", (IV.25)
m=.O
где ту— коэффициент Паскаля, имеет вид
U = С2 + ~ 2j й‘' ( 2/ S ~т (3 4- 2t — т) (4 + 2i — т) ’
i /л=0
(IV,26)
где
С2 = 0;
ж т
с. = У«,. (4)‘+'^а£ (-1)*-(Т+2,_^+2,_ст). (IV,27)
z т=0
3. Длина стержня разбивается на п участков и в пределах
каждого из них жесткость Di считается постоянной, равной не-
которой средней жесткости.
Тогда уравнение (IV, 1) заменяется системой аналогичных
уравнений
d'2tii_
du*~ D[:
d2u.. Л!..
du2 ~ D. ’
__ _ /И/.
dv2'~ Di ''
d*un _ _ Mn
du2 Dn *
решение которой приводится к системам алгебраических уравнений
^=-4 iM.dp + C,.,;
dv ui J
^ = -^Л1г£/о + С1.2;
(IV, 29)
«i = — 4 I dv I Midv + Ci. io -I- C2. i;
u2 = — yj- t dv f M2 dv -|- Ci. 2o -j- C2.2; (IV, 30)
и/ = \ dv\ Mt.dv -f- Ci. iV C2. i\
un = ~n-\dv\Mndv + Ci.nv -j- C2. n
В итоге должны быть определены 2п произвольных постоянных.
Для их вычисления, кроме двух граничных условий
и = 0 при о = 0;
и = 0 при о = Z,
необходимо иметь еще 2п — 2 условия, которые вытекают из
условия непрерывности изогнутой оси на границах участков:
dut
du
du2
du
di^
du
О—Г
du.>
~ du |v
du3
v^2r du v—2r
(IV,31)
dui4
du
W] p=r — ^2
^2 |u»2r = ^3 |u^2rj
(IV,32)
W/ |y-ur.
При разделении балки на п участков это дает 2 (и—1) условий
сопряжения, а вместе с двумя граничными условиями
2 (и — 1)4-2 = 2л.
(IV,33)
и
Заметим, что применение метода Бубнова может привести ре-
шение к двум граничным условиям. Абсцисса максимального про-
гиба может быть найдена из обычных соображений:
—z’ | =0
k’-'max ’
при симметричной относительно середины пролета балки нагрузке
максимальный прогиб соответствует этому сечению.
При других нагружениях также не будет большой ошибкой,
если максимальный прогиб вычислять для середины пролета.
Аналогично изложенному все задачи строительной механики
нелинейно и неравновесно деформируемых систем, которые реша-
ются в линейной постановке, с помощью интегрального модуля
деформаций приводятся к обычному линейному аппарату для кон-
струкций с переменными расчетными жесткостями. При этом пе-
ременность жесткостей может учитываться любым из известных
способов и, в частности, как и для рассматриваемой выше эле-
ментарной балки, с помощью
а) упрощающих записей для жесткости в зависимости от дей-
ствующих усилий;
б) аппроксимации закона изменения жесткостей некоторыми
специально построенными функциями;
в) дискретной замены переменности жесткостей условно-посто-
янными жесткостями на заранее заданных участках конструкции.
Существенной особенностью расчета нелинейно и неравно-
весно деформируемых систем является необходимость последова-
тельно уточнять величины действующих усилий, режимы их изме-
нения во времени и, следовательно, величины интегральных мо-
дулей деформаций. Уточнения обусловлены тем, что в нелинейной
и неравновесной постановке жесткости конструкций и действующие
в них напряжения взаимозависимы.
Расчет можно считать оконченным, если текущее и предыду-
щее значения жесткости совпадают тождественно или с заданной
степенью точности.
§ IV, 2. СИСТЕМА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Таким образом, в нашем распоряжении имеется интеграль-
ны й модуль деформаций вместе с входящим в него временным моду-
лем и значение коэффициента <Ьа для растянутой арматуры (по-
следний — в полном диапазоне: от нулевых до предельных изги-
бающих моментов).
Поскольку интегральный модуль деформаций является единым
для всех точек сжатой зоны сечения, а коэффициент Фа отно-
сится к растянутой арматуре, постольку оказывается возможным
для нелинейно и неравновесно деформируемого железобетонного
элемента найти расчетную жесткость любого сечения в любой мо-
мент времени /, используя для этого обычные теоремы сопротив-
ления материалов.
Интегральный модуль деформаций и коэффициент Фа зависят
от уровня действующих в сечении усилий и, в частности, от ве-
личины изгибающего момента, а так как усилия в общем случае
меняются от сечения к сечению, то величина расчетной жесткости
даже при неизменной геометрии железобетонного элемента меня-
ется от сечения к сечению: чем больше в сечении уровень дейст-
вующих усилий, тем меньше его расчетная жесткость. Другими
словами, предлагаемый метод интегральных характеристик (инте-
грального модуля деформаций и обобщенного коэффициента фа)
сводит нелинейные и неравновесные задачи строительной меха-
ники стержневых и тонкостенных систем к линейному аппарату
с расчетными переменными жесткостями вдоль координат.
В железобетонных конструкциях, которые всегда имеют внут-
реннюю статическую неопределимость, взаимно-связанные значения
высоты сжатой зоны х и фибровых напряжений сжатой зоны бе-
тона вычисляются последовательными приближениями. Поэтому
даже при известных внутренних усилиях расчетная жесткость се-
чения железобетонного элемента также находится в процессе по-
следовательных приближений.
При вычислении интегрального модуля деформаций для любого
момента времени, кроме начального, т. е. для t > tn, следует
одновременно уточнить режим изменения во времени фибровых на-
пряжений сжатой зоны бетона.
Описанный процесс последовательных приближений, относя-
щийся к уточнению напряженно-деформированного состояния и
жесткости сечения, условно называется нами процессом внутрен-
них итераций. Сходимость этого процесса может контролироваться
по фибровому напряжению А расчетной высоте сжатой зоны х
или по более обобщенной характеристике — расчетной жесткости
сечения D. Операция уточнения соответствующих характеристик
считается законченной, если текущие и предыдущие значения ха-
рактеристик совпадают тождественно или с заданной степенью
точности. Многочисленные расчеты показывают, что хотя при за-
данной степени точности с увеличением уровня напряженного со-
стояния сечения число требуемых итераций увеличивается, их
количество даже при 1% точности не превышает 3—5.
Сходимость процесса внутренних итераций обеспечивается
принятой непрерывностью функций связи между деформациями
и напряжениями для бетона и для арматуры во всем диапазоне
возможных напряжений (от а = 0 до з = R) и сопряженностью
функций %, записанных «до появления трещин» и «после появле-
ния трещин» с использованием расчетной средней между трещинами
высоты сжатой зоны бетона х.
Изменения расчетной жесткости во времени вследствие нерав-
новесности процесса деформирования отражаются изменением во
времени интегрального модуля деформаций, расчетной высоты
сжатой зоны и коэффициента Фа.
Так как в связи с принятыми нами предпосылками изменение
коэффициента во времени при постоянных усилиях определя-
ется только длительностью нагружения, то главная сложность
вычисления расчетной жесткости во времени обусловливается за-
висимостью временного фибрового модуля деформаций от вели-
чины и режима предшествующих напряжений.
Процесс внутренних итераций наиболее рационально реализу-
ется по вертикальной схеме, причем соблюдается следующая по-
следовательность вычислений:
1. Рассматривается начальный момент времени /0.
а) Решается задача в нулевом приближении и линейной по-
становке для начального момента времени /0. Это значит, что
при заданном коэффициенте <!»а по классической теории железобе-
тона 1 находят высоту сжатой зоны х и, наконец, №0, Do и з^.о (/0).
б) Располагая значением нормальных фибровых напряжений
в сжатой зоне бетона в нулевом приближении, восстанавливаем
нелинейную постановку (т/м =# 0), учитываем в первом приближе-
нии фибровый секущий модуль деформаций (временный модуль
при t = /0) и находим первое приближение хь Wlt Dv и । (/0).
в) Используем значение a?, i (/о) для следующего уточнения х2,
UZ2. и з^2(/0) и т. д. до ft(/0), отвечающего нужной точности
расчета.
1 Модуль деформаций бетона принимается равным начальному модулю
независимо от величины действующих напряжений и времени.
Указанные сравнения можно вести как по фибровым напряже-
ниям 4(/0). так и по другим характеристикам напряженно-дефор-
мированного состояния сечения, например, х или D.
2. Опираясь на уточненные значения 4’ (/0) и других характе-
ристик сечения в начальный момент времени f = /п, переходим
к выяснению напряженно-деформированного состояния в после-
дующий момент времени t = > /0. При этом должна быть учтена
не только нелинейная, но и неравновесная постановка задачи.
а) В нулевом приближении фибровое напряжение 4’о(^1)иДРУ*
гие характеристики напряженно-деформированного состояния се-
чения определяются в зависимости от действующего в момент tx
усилия, например, М (tx), в предположении, что для фибрового
временного модуля деформаций в интервале времени от /0 до tx
напряжение сохраняется неизменным, равным предыдущему
4. к (6>)-
б) Зная величину фибрового напряжения для момента вре-
мени /] в нулевом приближении з£о (/J, вычисляем фибровый
временный модуль деформаций E^\(t^ по формуле (111,48), а
затем высоту сжатой зоны бетона xx(tx}, интегральный модуль
деформаций жесткость Dx (/J, момент сопротивления
(fi) и, наконец, с учетом М. (/х)—величину фибрового напря-
жения в первом приближении j
в) Используя найденное в первом приближении значение фиб-
рового напряжения в момент времени tx и учитывая его совместно
с 4* к (^) в выражении для временного модуля деформаций, на-
ходим все названные выше характеристики во втором приближе-
нии и т. д. до о* K(/i), отвечающего нужной степени точности.
3. Расчет для момента времени t-> производим при наличии
известных напряжений в предшествующие моменты времени /0
и /ь т. е. при режиме изменения фибровых напряжений в интер-
вале времени t — G, и уточняем только фибровые напряжения
и другие характеристики, включая режим изменения напряжений,
для рассматриваемого момента /2. Указанные уточнения выпол-
няются так же, как и для момента tx.
Таким образом, осуществив процесс внутренних итераций,
устанавливаем при заданном режиме изменения усилий законы
изменения во времени фибровых напряжений и расчетных значе-
ний высоты сжатой зоны бетона и, как следствие, искомый закон
изменения во времени жесткости сечения.
В статически неопределимых конструкциях, у которых рас-
пределение усилий обусловливается характером изменения жест-
кости, помимо процесса внутренних итераций, требуемого для
уточнения этих жесткостей, необходим сочетающийся с ним про-
цесс внешних итераций, уточняющий по данным жесткостям
закон распределения усилий.
Сочетание процессов внутренних и внешних итераций в еди-
ном процессе решения задачи о напряженном и деформированном
состоянии статически неопределимых нелинейно и неравновесно
деформируемых систем с помощью последовательных приближений
заключается в следующем:
1) в обычной линейной «гуковой» постановке известными прие-
мами строительной механики решается заданная статически не-
определимая система и устанавливаются эпюры внутренних уси-
лий (нулевое приближение);
2) назначаются сечения, в которых по данным об усилиях с
помощью внутреннего процесса итераций уточняются расчетные
жесткости;
3) по новому указанному закону изменения жесткостей по-
вторяют статический расчет системы, учитывая переменность
расчетных жесткостей. Этим уточняются эпюры распределения
усилий вдоль осей системы (первое приближение);
4) по усилиям первого приближения вновь уточняются расчет-
ные жесткости, а по ним находятся эпюры усилий во втором
приближении и т. д. до стабильной сходимости с заданной сте-
пенью точности.
Процесс внешних итераций может осуществляться по горизон-
тальной, вертикальной и смешанным схемам последовательности
вычислений.
Горизонтальная схема итераций заключается в том, что в
пределах каждого приближения, начиная с первого, система рас-
считывается для всех дискретных моментов времени t0, /2, ... ,
т. е. каждое приближение содержит режимы изменения жесткос-
тей и усилий системы во времени. Одновременно внутри каждого
приближения по усилиям в каждом из сечений производится
процесс внутренних итераций по жесткостям.
Более подходящей является вертикальная схема, при которой
для каждого дискретного момента времени выполняется полный
цикл внешних итераций по уточнению закона распределения уси-
лий в системе, включая процесс внутренних итераций по жест-
костям всех сечений для каждого шага внешних итераций по
усилиям.
Если при горизонтальной схеме режим изменения усилий во
времени дается сразу после исследуемого интервала времени и
уточняется в процессе внешних итераций на каждом шаге по-
следовательных приближений, то при вертикальной схеме, ана-
логично внутренним итерациям, значения усилий для каждого
дискретного момента времени уточняются окончательно в процессе
внешних итераций в зависимости от предшествующего режима
изменения жесткости и усилий, а состояние системы на всем
исследуемом интервале времени остается неизвестным.
В чистом виде вертикальная схема предполагает, что для
каждого дискретного момента времени процесс внешних итераций
начинается с нулевого приближения. Этот процесс можно суще-
ственно сократить, если использовать смешанную схему вычис-
лений, т. е. применять вертикальную схему для каждого дис-
кретного момента времени, при переходе к следующему моменту
времени не начинать с нулевого приближения, а в качестве ис-
ходных данных брать предыдущие окончательные значения жест-
кости и усилий, корректируя их лишь увеличением продолжи-
тельности предшествующего загружения.
При расчете статически неопределимых систем в процессе
внешних итераций может оказаться, что численные значения усилий
в ряду последовательных уточнений не сближаются, а расходят-
ся—происходит так называемая раскачка искомых величин. Она
может быть потому, что в сечениях, в которых при упругом
нулевом решении оказываются наибольшие усилия, в последую-
щем первом приближении принимается наименьшая жесткость и,
значит, наименьшие усилия. Поэтому во втором приближении
соотношение жесткостей резко меняется в пользу данного сечения
и расчетные усилия в нем вновь резко увеличиваются и т. д.
Другими словами, между четными и нечетными приближениями
может происходить все увеличивающаяся раскачка. Решение
может численно не сходиться. Описанное явление наиболее веро-
ятно в малоармированных конструкциях, когда в отдельных се-
чениях наблюдается текучесть арматуры.
Указанная трудность может быть преодолена каким-либо
из приемлемых способов улучшения сходимости. Нами рекомен-
дуется прием, заключающийся в том, что на каждом шаге вер-
тикальных итераций учитывается не текущее значение усилий,
а среднеарифметическое из всех предыдущих четных и нечетных
значений усилий (в крайнем случае среднеарифметическое из теку-
щего и предыдущего значения). В итоге число итераций во внеш-
нем процессе не превышает 4—5.
Вообще же можно применять любой из возможных способов
улучшения сходимости, если он обеспечивает получение требуе-
мого результата: совпадение текущей и предыдущей величин
жесткостей или усилий тождественно или с заданной степенью
точности. Действительно, если бы можно было сразу угадать
распределение жесткостей настолько, чтобы после вычисления
усилий в статически неопределимой конструкции по этим жест-
костям последние привели бы вновь к намеченным жесткостям,
то задача оказалась бы решенной окончательно.
Программа для расчета статически неопределимых систем с
учетом нелинейности, неравновесности и анизотропии 1 деформи-
рования составляется по сути из двух программ: первой — для
статического расчета систем с переменными жесткостями при
1 Анизотропия деформирования понимается в том смысле, что бетон
имеет различные механические свойства при сжатии и при растяжении,
вплоть до появлен ия трещин в растянутей зоне конструкций.
заданных жесткостях («внешняя программа»), которая использу-
ется в процессе внешних итераций, и второй — для расчета жест-
костей сечений при заданных усилиях («внутренняя программа»),
которая применяется в процессе внутренних итераций.
Алгоритм и блок-схема программы, построенные в соответ-
ствии с изложенным в монографии аппаратом расчета, приводятся
иа рис. IV, 1.
Программа для расчета статически неопределимых систем,
основанного на предложенном автором методе интегрального мо-
дуля деформаций, разработана применительно к машине «Л1инск-22»
Д. Г. Митасовым и С. Вишневской с участием А. Л. Шагина
и реализована ими на значительном числе примеров.
Некоторые особенности пользования этой программой состоят
в следующем:
1. Внешнюю нагрузку целесообразно задавать в виде дискрет-
ных значении усилий в избранных сечениях основной системы
(для неразрезных балок удобно применять метод сил, а для ба-
лок на упругом основании — смешанный метод).
2. При статическом расчете жесткости на каждом участке
принимаются как среднее арифметическое жесткостей, вычислен-
ных на границах участка.
3. При расчете системы на длительное действие нагрузки раз-
бивка по времени может производиться как на равные интервалы,
так и, для большей точности, по закону, отвечающему ожидае-
мому изменению во времени жесткостей и усилий.
4. Рассчитывая жесткости (в процессе внутренних итераций),
необходимо иметь в виду, что при перемене знака усилий, напри-
мер, при перемене знака момента, в расчетных формулах меняются
местами обозначения для арматуры Fit и F'a, Еа и Еа, т(а и т|а,
тп и т'а и положение сжатой зоны бетона х, а напряжениям
в сжатом бетоне при вычислении временного модуля деформаций
присваивается знак усилия.
5. При заполнении исходной информации следует увязывать
размерность вводимых данных и возможности используемой машины.
Например, если изгибающие моменты вводятся в кг • см, то при
вычислении %, куда входит М3 *, может быть переполнение, т. е.
результат порядка ПО7)3 = 1021, в то время как машина «Минск-22»
допускает оперирование с числами, порядок которых меньше Ю10.
6. Если для величин напряжений, участвующих в процессе
расчета жесткостей, существуют физические ограничения, на-
пример, напряжение не может быть больше предела прочности,
то в логической схеме программы учитывается следующее:
3 . 4-
при Omin < б/ < 3^, принимается = tnln 9--------;
зср , + 3
при < 3/ < °тах » , тах ;
Рис. IV,1. Структурная блок-схема расчета статически
неопределимых систем.
при
< ^inln
при О/ > О,пах
»
»
7. При az = R„ жесткость не считается равной нулю, а опре-
деляется по расчетным формулам и может быть больше нуля.
8. Проверку сходимости и оценку результатов по ожидаемой
точности надо производить по всем сечениям. Расчет считается
законченным, когда текущие и предыдущие значения фибровых на-
пряжений, жесткостей, усилий или других характеристик системы
в самых невыгодных сечениях совпадают тождественно или с за-
данной степенью точности.
§ IV, 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МЕТОДА
Цель экспериментов состояла, во-первых, в сопоставле-
нии опытных и теоретических разрушающих моментов и прогибов
при кратковременных нагружениях и, во-вторых, в сопоставлении
опытных и теоретических прогибов при длительном эксплуатаци-
онном нагружении. Теоретические значения разрушающих момен-
тов при кратковременном нагружении и теоретические значения
прогибов как при кратковременном, так и при длительном эксплу-
атационном нагружении определялись методом интегрального
модуля деформаций.
Поскольку целью опытов являлась только проверка теорети-
чески разработанного расчетного аппарата, количество испытывае-
мых образцов могло быть минимальным. Главная особенность
такой проверки — тщательно определить физико-механические ха-
рактеристики прочности и деформативности каждого образца.
Разумеется, если бы речь шла о нормировании этих характеристик
для какой-то группы материалов или конструкций, то потребова-
лось бы предварительное назначение статистическими методами та-
кого количества образцов, которое обеспечивало бы необходимую до-
стоверность устанавливаемых характеристик.
В связи с этим была использована следующая схема назначе-
ния расчетных, прочностных и деформативных характеристик ар-
матурной стали и бетона:
а) Диаграмма о—е арматуры с испытанием вплоть до разру-
шения устанавливалась для каждого арматурного стержня. От
каждого арматурного стержня отрезался образец, который затем
испытывался на машине УИМ-50. Это позволило назначить для
каждого стержня индивидуальные расчетные характеристики.
Испытанная арматурная сталь не проявила свойств ползучести.
б) Прочностные и деформативные характеристики бетонов оп-
ределялись по испытаниям шести серий образцов, изготовляемых
226
из того же замеса, что и балки обследуемой серии, причем каждая
серия состояла из трех образцов. Указанные шесть серий образ-
цов были следующими: кубики 12 х 12 х 12 см для установления
предела прочности /? в 28-суточном возрасте, призмы 12 х 12 х
х 40 см — для установления предела призменной прочности /?пр.
цилиндры диаметром 10,5,
длиной 80 см — для опре-
деления деформативных ха-
рактеристик (одна серия—
кратковременное нагруже-
ние, три серии—при не-
изменных напряжениях:
0,4; 0,6; 0,8 /?ц—для ха-
рактеристик ползучести).
Расчетные параметры
устанавливались как сред-
ние арифметические для
каждой серии образцов. Со-
ответственные данные при-
Рис. IV,2. Г рафик полных деформаций ци-
линдров (3-я серия опытов НИР ХИСМ):
/-М; 2 — 4*= 105 дш«.; 3 — t ^8 ч; 4 — /=23 ч
ведены в нижеследующих
таблицах, а характерные кривые для третьей серии представлены
на рис. IV,2—IV,4.
Кроме этого, обработке были подвергнуты данные опытов
А. А. Гвоздева [771, И. И. Улицкого, Н. С. Метелюка, Г. М. Ре-
Рис. IV,3. Кривые деформаций ползучести в раз-
личные моменты времени, 3-я серия опытов НИГ ХЙСИ
(испытания проводились на цилиндрах):
1 — I =105 мин', 2 — t = 8 ч; 3 — t = 23 ч.
минца (273) и опытов, проведенных в научно-исследовательской
лаборатории Харьковского инженерно-строительного института
О. М. Донченко под руководством Н. Ф. Давыдова. Обработка
опытов А. А. Гвоздева и О. М. Донченко позволила дополнительно
проверить результаты расчета кратковременных разрушающих
моментов. Кроме того, по данным О. М. Донченко проверялись
кратковременные прогибы, а по данным И. И. Улицкого, Н. С. Ме-
телюка и Г. М. Реминца — кратковременные и длительные про-
гибы при эксплуатационном нагружении 1. Прочностные и дефор-
мативные характеристики бетона определялись непосредственно по
соответствующим литературным данным, а недостающие харак-
Рис. IV,4. График деформаций ползучести
бетона 3-й серии опытов НИГ ХИСИ (испы-
тания проводились на цилиндрах):
I - <з - 0.8/?; 2 — а - 0.6/?; 3 — а - 0,4/?.
теристики, в частности, параметры нелинейности деформирования,
вычислялись по формулам их связи с призменной прочностью
§ 1.2).
Группировка обрабатываемых опытов приведена в таблице IV, 1.
Таблица IV,!
Сравниваемые величины Нагружение
до разрушения эксплуатационное
Мр ^кр /дл
По А. А. Гвоздеву .... По И. И. Улицкому и др. . По О. М. Донченко .... НИГ ХИСИ 4* 4* 4-
Примечание. Знак «4-» указывает, что соответствую-
щие данные использованы для сравнения.
1 Для вычисления коэффициента фкр использовались формулы (111,141,
145).
Таблица IV,2
Кратковременное загружен не до предельного состояния
Опыты А. А. Гвоздева [77]
Характеристика балок
Шифр балок Характерис- тика бетона Характеристи ка арматуры Геометрия сечения Процент армиро- вания °
Группа 1 № 31 R = 207,5 Ео = 2,65 • 10ь 1м = 2.5 ат = 4536 Еа = 2,1 • 10е 1а = 38.2 =8 Ь = 20 Л = 32 0,195 0.0471
Группа 3 № 41 R = 162,8 Ео = 2.5 • 106 1м = 3.2 GT = 3942 а- о II II ОО ьэ ю о 3,35 0,866
Группа 3 № 40 R = 160 То же gt = 3872 О СЧ счсо IIII •о с 3,39 0,86
Группа 3 № 25 Я = 160 То же ат= 4019 О СЧ СЧ СО II II -о с 3,325 0,892
Группа 3 № 27 R = 163 То же от = 3994 о СЧ СЧ СО IIII <5 < 3,34 0,875
Таблица IV.3
Сравнение опытных и теоретических разрушающих моментов
Шифр балок ^опытн ^теор ^СНнП % отклоне- ния по пред- лагаемой методике % отклоне- ния по СНиП
Г руппа 1 № 31 2,162 2,150 1,501 —0,55 —27,8
Группа 3 № 41 10,563 10,500 13,065 —0.6 4-23,5
Группа 3 № 40 11,464 10.400 12,840 —0.25 4-12.0
Группа 3 № 25 10.340 10,400 12,840 4-0,6 4-24.2
Группа 3 № 27 10,293 10,400 13,081 4-1.07 4-27,2
Средние арифметические отклонения | —1.75 | 4-22.95
Опыты Н. Ф. Давыдова, О. М. Донченко, выполненные
в НИГ ХИСИ
Схема загружения и армирования балок приведена на
рис. IV,5. Загружение производилось двумя сосредоточенными
силами, приложенными в третях пролета, испытания имели крат-
Рис. IV,5. Схема экспериментальной балки.
Таблица IV,4
Характеристика балок
Шифр балок Характеристика бетона /?пр, кг/смг\ Ео, кг/см- Характеристика арматуры а, кг/см? Геометрия сечения Ь, см', Ло, см Процент армиро- вания |Л «|of А. II
И—1 -0 /?пр= 124.4 Д,= 2.4 • 10» Ст. 5; зт = 3545 /?а = 5398 Ь= 12,2 Ап = 17.3 (2 0 14) 1.557 0.352
И—1—IP 1м = 3 = 5.2 Е.л = 2.20 10е т(а = 63.4; гп. = 10 6= 11.9 Ао= 17.9 (3 0 14) 2,3 0.525
И—2—0 Я||р = 230.5 Ео — 3,33 • 106 Ст. 5; ат = 3422 = 5804 b = 12.2 /;о= 17.4 (1 0 20) 2.96 0,352
И— 2—П» \м= U т = 4,8 .*1 E.t = 2.1 10е т);1‘ = 63.4 /па = 10 6= 12.4 Ло=17-2 (3 0 20) 4.4 0,323
В—1—О1 /?пр = 135.9 Ео = 2.62 • 106 Bp—II 0 5 сну= 11345 Ь= 12.2 Л<> = 17.5 (2 0 5) 0,179 0 121
В—1— ГР Ч>, = 2.6 «'м = 5'° Ы Q II И - .Сь О — . ОО о о о b= 14.9 ЛО=17.2 (4 0 5) 0,383 0,256
В—2—0 Япр = 241 Ео = 3.4 105 7ja = 4,65 ю сч г-’ О —< II "о -О (4 0 5) 0,367 0,138
В—2—ГР = !-25 "'м = 4.6 =7 b= 11,9 ЛО=17.2 (6 0 5) 0,575 0,217
ковременный характер. Использовались однопролетные статически
определимые шарнирно-опертые на жесткие опоры балки прямо-
угольного сечения (Л = 20 см; b = 12 см) с расчетным пролетом
/ = 180 см. Для предотвращения разрушения балок по наклонным
сечениям и фиксации места разрушения по нормальному сечению
крайние трети пролета армировались усиленно, как показано на
рис. IV,5, а дополнительная растянутая арматура имела разрыв
точно посредине балки. Эта особенность армирования не отра-
зилась на расчетном разрушающем моменте, но при определении
максимальных прогибов пришлось учитывать разную жесткость
крайних и средней трети пролета.
Характеристика балок и результаты сравнения опытных и тео-
ретических разрушающих моментов и прогибов, непосредственно
предшествовавших разрушению, приведены в табл. IV,4 и IV,5.
Таблица IV.5
Сравнение опытных и теоретических разрушающих моментов
и прогибов, предшествующих разрушению
Шифр балок Моменты, тм Прогибы, с.ч
^опытн ^теор с и % от- клонения по пред- лагаемо- му ме- тоду % от- клоне- ния по СНиП / ОГ1ЫТ11 f теор % от- кло- нения
И-1-0 1.565 1,690 1.648 4-8.0 4-5,3 0.99 1,077 4-7.75
И-1—П1 2,060 2,080 2.302 4-0.97 4-11.75 0.906 0.954 4" 5,3
И—2—0 3,045 3,020 3.094 —0.82 4-1.61 0.938 1.017 4-8.4
И—2—П1 3,525 3.850 4.096 4-9.2 4-16.2 0,83 0,78 —6.0
В—1—О1 0,893 0,833 0.722 -6.7 —19.5 2.135 2,36 4-10.5
В-1— п* 1,253 1,290 1,331 4-2.95 4-6.22 1.683 1,574 —6.47
В—2—0 1.705 1,550 1.447 —9.1 —15.12 2.241 1,99 -11.1
В—2—ГР 2,115 2,040 2.045 —3.55 —3.32 1.315-4 1.41 4-3.37
Среднее арифметическое отклонение 4-0.12 4-0.48 4-1.47
Опыты НИГ ХИСИ, выполненные под руководством
автора
Схема загружения и армирования балок приводится на
рис. IV,6. Балки армировались одним стержнем рабочей продоль-
ной арматуры, схема загружения аналогична схеме загружения
балок в опытах Н. Ф. Давыдова—О. М. Донченко. Характерис-
тики балок и результаты сравнения опытных и теоретических
разрушающих моментов и прогибов, непосредственно предшество-
вавших разрушению, приводятся в табл. IV,6 и IV,7.
Рис. IV,6. Схема экспериментальной балки.
Таблица IV,6
Шифр балок Характеристика бетона Характеристика арматуры Геометрия сечения Процент армиро- вания а
Б—1—1 ^3^0 3 II II to II И сл $ ОО £ о ° b = 8,45 Ло = 20.8 Л = 22.2 0,447 0.0590
Б—2—1 Ео= 3,35-Ю6 •Qm= 1.45 Е =2,12 • 10° а = 63.4 b = 8.45 Ло = 20,8 h = 22,1 0,470 0.0621
Б— 4—1 '«м = 4.5 /в= о.п та = Ю.О Fa = 0,785 а 6= 8.5 Ло = 20.7 h = 22,2 0,443 0.0587
Ср авиение опытных я и прогибов, Тг теоретических разрушающих предшествующих разрушению 1 б л и и а моментов IV,7
Шифр балок Моменты, тм Прогибы, см
X 5 Е О а. о ь ^СНиП % отклоне- ния по пред- лагаемому методу % от- клонения по СНиП ^опытн 1 теор % от- кло- нения
Б—1—1 Б—2—1 Б—4—1 0,736 0,750 0,743 0,76 0,76 0,757 0,592 0,592 0.583 3.26 1,33 1,88 —19,55 —20.25 —21,5 1,84 2,9 3.0 2,98 2,98 3,08 4,93 2,76 —2,67
Среднее 2,16 —20,4 + 167
Длительное загружение, эксплуатационная стадия.
Опыты И. И. Улицкого, Н. С. Метелюка, Г. М. Реминца
[273]
Нами обследовались результаты испытаний трех серий
балок: Б1 I, Б II, Б III. Каждая серия состояла из трех балок,
сечения всех девяти балок различались между собой очень незна-
Таблнца IV,8
Характеристика балок
Шифр балок Характеристика бетона Характери- стика арма- туры Геометрия сечения % арми- рования
Б* 2—1 = 353 кг/см* д= 10,2 Ло = 18,0 h = 20,5 0.43
Б1 1—2 /?21 = 341 кг] см2 b= 10,4 Ао = 17.5 h = 20.0 0.43
Б‘ 1—3 /?пр 21 — 239 кг!см* 25 Г2С b = 10,1 Ло= 17,6 h = 20,1 0,44
Б II—1 Ео 21 = 3.61 • 10б кг!смг b = 10,2 Ао = 19.7 А = 21,2 1.33
Б П-2 г, = I.2 "'м = 4.0 Ь = 10.2 Ло= 19.7 h = 21,2 1.33
Б II—3 ^,= 1.15 6= 10.2 h0 = 18,5 h = 21,0 1.34
Б III—1 m„ = 3.0 b = 10,3 Ao = 17,9 h = 20.4 1.38
Б III—2 Со = 5.86 • Ю~6 Ст. 5 b = 10,4 Ao= 18,1 h = 20,6 1.36
Б III—3 b = 10,1 Ao= 18,0 h = 20.5 1.40
чительно. Так, рабочая высота колебалась в пределах 17,5—18,7 см.
Высота сжатой зоны бетона — 10,1— 10,4 см. Экспериментальная
установка позволяла варьировать расчетные пролеты от 140 до
220 см. Балки загружались в четвертях двухметрового пролета
двумя равными силами. Так как изменение изгибающих моментов
во времени составляло не более 6—7%, авторы работы [273] пре-
небрегают этим изменением. Результаты испытаний и теоретичес-
кие величины, а также характеристика образцов приводятся в
табл. IV, 8—IV, 10.
Учитывая, что бетон и арматурная сталь всех балок каждой
серии одинаковы, а геометрические характеристики сечений и опыт-
ные значения прогибов балок каждой серии различаются между
собой незначительно, мы считаем целесообразным и достаточным
обследовать каждую серию, усредняя все данные, как опытные,
так и теоретические. Соответствующие результаты приведены
в табл. IV,9— IV, 10.
Таблица IV,9
Сравнение опытных и теоретических прогибов, соответствующих
моменту загружения /0=21 суткам при эксплуатационных нагрузках
Шифр серии Действую- щий мо- мент, /им Прогибы, мм
fопытн f теор /теор [293J % отклоне- ния от тео- ретических % отклоне- ния от рас- четных по [293]
Б1 I 0.356 2,45 2,05 1,99 —16,5 —18,8
БП 0,744 3,20 3,18 2,26 —0.75 —29.4
Б1П 0,744 3,62 3,24 2.47 —10,5 —31,8
Средн ее арифметическое отклонение —9,25 —26,7
Таблица IV,10
Сравнение опытных и теоретических прогибов, соответствующих
t = 180 (при длительном неизменном нагружении), при эксплуатационных
нагрузках и /0 — 21 суткам
Шифр серии Действую- щий мо- мент, /пм ПрОГИбы, А1.И
А)ПЫТН /теор f теор [293] % отклоне- ния от тео- ретических % отклоне- ния от рас- четных [293J
Б1 I 0,356 3,96 4,20 3,63 4-4,2 4-8,33
Б И 0,744 4,56 5,50 4,28 4- 5.5 — 6,15
Б III 0,744 4,59 5,10 4,40 4- 5.07 — 4.13
Среднее арифметическое отклонение 4- 4.92 — 6,2
Опыты НИГ ХИСИ, выполненные под руководством
автора
Схема загружения и армирования балок приводится на
рис. IV,6. Расчетный изгибающий момент от собственного веса
0,01 тм.
Таблица IV, 11
Значение нагрузок
Шифр балок Р. кг
Б—1—1; Б—2—1; Б—4—1; Б—1—2; Б—4—2; Б—5—2 1200
Б—3-3 1300
Б—1—3; Б—5—3 1275
Балки армировались одним стержнем рабочей арматуры, схема
загружения такая же, как и в опытах Н. Ф. Давыдова—
О. М. Донченко. Характеристики балок и результаты сравнения
Таблица IV, 12
Характеристика балок
Шифр балок Характерис- тика бетона Характеристи- ка арматуры Ст. 5 Геометрия сечения % арми- рования IJL и '"И “ II
Б—1—1 R = 278 «пр = 224 ат = 3700 = 5480 b = 8,45 Ло = 20.8; Л = 22.8 0.447 0.0590
Б—2—1 Ео = 3,35-Ю5 Т]м = 1.45 = 2,12 - 10е <1 Ъ = 63,4 гл_ = 10,0 ы Л = 8.2 Ло = 20,4 Л = 22.1 0.470 0.0621
Б—4—1 гл., = 4,5 /б = 0.11 Л = 0,785 а Л = 8.5 Ло = 20.7 Л = 22,2 0.443 0.0587
Б—1—2 йэ^з 5 II II ьэ о ат = 3450 Яя = 5400 Л = 8.25 Ло = 19.7 h = 22.1 0,695 0.0835
Б—4—2 £0 = 3,2 - 105 ЧМ=1.43 Е = 2.1 - 10е <3 Ъ = 63.4 b= 8.0 Ло = 20.5 Л = 22,1 0,690 0,0830
Б—5—2 /лм = 4,47 /б=о.н гп = 10,0 <1 F = 1.13 а Л = 8.2 Ло = 19.2 Л = 22.2 0,695 0,0835
опытных и теоретических разрушающих моментов и прогибов,
непосредственно предшествовавших разрушению, приведены в
табл. IV, 12.
Таблица IV,13
Сравнение опытных характеристик и теоретических прогибов,
соответствующих моменту загружения tQ = 28 суткам при
эксплуатационных нагрузках
Шифр балок Действующий момент, тм Прогибы, мм
fопытн теор % отклоне- ния
Б—1 — 1 0.53 1.5 1.47 —2.00
Б—2—1 0,53 1.47 1,49 4-1.36
Б—4 — 1 0,53 1,42 1.48 4-4.05
Б—1—2 0.53 1,15 1.18 4-2.51
Б—4—2 0.53 1,13 1.10 —2.65
Б—5—2 0.53 1,16 1.17 4-8.60
Среднее арифметическое отклонение
-1-2.00
Таблица IV,14
Характеристика балок
Шифр балок Характеристика бетона Характери- стика арма- туры Ст. 5 Геометрия сечения % арми- рования 1А ь| X II '’I* а ~ II
Б—1—3 /?м = 318 £0.з« = 3,5 • 10» ат = 3700 Яя = 5480 6 = 8,10 Ло = 20.2 Л = 22,2 0.479 0,0572
Б—3-3 *пр = 248 £„ = 2,10 • 10« Ч, = 63.4 6 = 8.15 Ло = 19.9 А = 22.1 0,483 0.0577
Б—5—3 •О W4 । г 2° ~ —. ю £2 ’ £ СЧ § g ‘ «Г " II II О ° ° II II II и_ II II II eV-*; £ е" «.=£ та = 10 6= 8,15 Ао = 20.5 h = 22.0 0,471 0.0562
Из таблиц IV, 1—IV, 15, содержащих сравнение опытных и
теоретических результатов, видно, что по разрушающим моментам
среднее отклонение составляет 1,75%, а по прогибам не превы-
Сравнение опытных и теоретических прогибов, соответствующих
моменту загружения (/0 = 34 суткам) и моменту времени t = 118 суткам
при эксплуатационных нагрузках
Шифр балок Дейст- вующий момент1. т.н Кратковременные прогибы, мм Длительные прогибы, мм
АэПЫТН ^теор % откло- нения tОПЫТН f теор % откло- нения
Б—1—3 0.563 3.26 3.38 -1-3,55 6 97 7.03 4-0.86
Б—3—3 0,573 4.16 4.28 4-2.88 7 32 7,55 4-5.14
Б—5—3 0.563 2.92 2.98 4-2.05 6,99 6.62 —5,3
Среднее арифметическое отклонение 4-2,83 4-0.23
шает 4,92%, т. е. теоретические расчеты хорошо совпадали
с опытными. Это позволяет сделать вывод, что эксперименталь-
ная проверка метода подтвердила его правильность.
§ IV, 4. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА К РАСЧЕТУ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
В настоящее время расчет статически неопределимых
железобетонных конструкций проводится для двух возможных
состояний: эксплуатационного и предельного [7, 13, 34, 40, 42,
51, 78, 92, 94, 106, 109, 126, 132, 143, 145, 151, 156, 162, 172,
186, 193, 214, 236, 255, 306, 311, 314, 329, 349, 359, 360, 374,
380, 395 и др.]
При изучении первого состояния постулируется неизменность
расчетной статической схемы, при рассмотрении второго — пред-
полагается наперед известным изменение расчетной схемы вслед-
ствие появления пластических шарниров.
Расчет статически неопределимых железобетонных конструк-
ций в эксплуатационном состоянии обычно производится с по-
мощью известного аппарата линейной строительной механики,
причем в классической теории железобетона совершенно игнори-
руется нелинейность, неравновесность и анизотропия деформиро-
вания [238], а в теории В. И. Мурашева и его последователей
указанные несовершенства деформирования учитываются умноже-
нием расчетных механических характеристик материалов на неко-
торые коэффициенты, не зависящие от величины и длительности
действия нагрузок [194]. Важной особенностью теории В. И. Му-
рашева, позволившей эмпирически оценить влияние растянутой
зоны бетона в зависимости от величины действующих усилий и,
1 При длительном нагружении наблюдалось некоторое снижение нагру-
зок Р и изгибающих моментов (до 5%), которое было учтено в расчете.
таким образом, положившей начало расчету железобетонных кон-
струкций с учетом нелинейности деформирования, является вве-
дение эмпирического коэффициента (см. гл. III).
Методы расчета предельных состояний статически неопредели-
мых железобетонных конструкций, в основе которых лежат
известные работы А. А. Гвоздева, С. М. Крылова, И. Е. Милей-
конского и других [78, 151, 152, 153], учитывают так называемую
идеальную нелинейность деформирования материала, открывая
широкие возможности для экономичного проектирования. Однако
они не дают возможности исследовать напряженно-деформирован-
ное состояние железобетонных конструкций в эксплуатационной
стадии и, в частности, особенности перераспределения усилий с
более нагруженных участков на менее нагруженные.
Существующая методика оценки перераспределения усилий и
приспособляемости железобетонных конструкций по существу
эмпирическая. Несмотря на появление работ, рассматривающих
влияние количества арматуры и характера армирования на пере-
распределение усилий в балочных и рамных статически неопре-
делимых железобетонных конструкциях [118, 151, 153], остаются
в значительной степени открытыми не только разрешение вопроса
в целом, но и оценка таких факторов, как нелинейность, иерав-
новесность деформирования бетона и арматуры, марка бетона,
режим и длительность нагружения и др., на эффект перераспре-
деления усилия.
Разрабатываемый автором метод интегрального модуля дефор-
маций принципиально позволяет ответить на перечисленные и дру-
гие вопросы. При этом считаются справедливыми следующие
предпосылки:
а) геометрическая схема конструкций не изменяется даже на
этапах, непосредственно предшествующих разрушению. Это обус-
ловливается тем, что в моменты, непосредственно предшествую-
щие разрушению, несущая способность сечений существует,
жесткость имеет хоть минимальную, но конечную величину. В опас-
ных сечениях с увеличением нагрузок дальнейшее нарастание
усилий тормозится вследствие их перераспределения и, наконец,
в момент разрушения усилия в этих сечениях получают макси-
мальное значение;
б) сечения стержневых (и тонкостенных) конструкций оста-
ются плоскими вплоть до разрушения, если оценивать форму
сечении в среднем и не учитывать искривления нейтральных осей
на участках между трещинами;
в) сохраняется положение о малости деформаций.
Современные методы строительной механики статически неопре-
делимых стержневых конструкций опираются на принцип возмож-
ных перемещений и на гипотезу об аддитивности причин и след-
ствий деформирования. Принцип возможных перемещений, утвер-
ждающий равенство работ внешних и внутренних сил при всяком
возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы и
представляющий собой механическую интерпретацию физического
закона о сохранении энергии, справедлив как для идеально упру-
гих, так и для нелинейно, неравновесно и анизотропно деформи-
руемых систем. При использовании принципа возможных переме-
щений для идеально упругих систем предполагается, что вся
работа внутренних сил сводится исключительно к образованию
деформаций и аккумулируется в виде потенциальной энергии. Если
же применять его к системе с теми или иными несовершенствами
свойств деформирования, то необходимо учитывать возможный не-
обратимый расход энергии, в частности на гистерезисные потери
и остаточное деформирование, преодоление внутреннего трения
и выделение тепла. Существенным в использовании принципа
возможных перемещений для неравновесно деформируемых тел
является учет эффекта запаздывания во времени прямого дефор-
мирования, восстановление деформаций после снятия или при
уменьшении нагрузки.
Поскольку необратимый расход энергии при деформировании
реальных тел зависит как от уровня действующих внутренних
сил, так и от режима и длительности воздействий, то в урав-
нении энергетического баланса, записываемом на основе прин-
ципа возможных перемещений, должны быть учтены указанные
выше и другие необратимые потери энергии; кроме того, равнове-
сие системы и уравнение энергетического баланса должны запи-
сываться для бесконечно малого промежутка времени:
А Др. ,к dt + £ А„. lk dt + Аг. Ik dt = О, (IV,34)
где ЯР( = —работа внешних сил Pt- на перемещениях Д/А;
Яп, ik — потенциально (обратимо) накапливаемая часть
работы внутренних сил, связанная с обрати-
мой частью деформаций;
Яг. ik — затраты работы, расходуемые на необратимые
потери.
При этом целесообразно допускать, что:
а) процесс деформирования протекает изотермически;
б) условию о бесконечно малых перемещениях сопутствует
условие о бесконечно малом приращении сил (140];
в) как для системы, для которой используется принцип воз-
можных перемещений, так и для системы сил, вызывающей воз-
можные перемещения, соблюдается условие синхронности измене-
ния во времени.
Допущение о малости деформаций применимо к железобетонным
конструкциям, так как абсолютные деформации всегда намного
меньше генеральных размеров конструкций. Это допущение при-
емлемо независимо от используемого уравнения механического
состояния материалов.
Гипотеза об аддитивности, формулируемая в строительной
механике в виде принципа независимости действия сил и имеющая
фундаментальное значение в методике расчета статически неопре-
делимых стержневых систем, для нелинейно деформируемых си-
стем, строго говоря, несправедлива, а для линейно, но неравно-
весно деформируемых систем пригодна только при синхронном
изменении внешних воздействий и механических свойств.
Вместе с тем гипотеза об аддитивности не ограничивается
принципом независимости действия сил, она может быть истолко-
вана как особенность математической формы записи канонических
уравнений метода сил или метода перемещений. Действительно,
каноническое уравнение метода сил в линейной строительной меха-
нике имеет запись
k
$«,Л + Д,, = 0. (1V.35)
где, помимо сложения деформаций, вызванных различными силами,
подразумевается независимость единичных перемещений от этих
сил. Если же считать, что зависит от уровня напряженного
состояния конструкции и, следовательно, определяется совокуп-
ностью то потеряет указанную независимость от величин
сил, но форма записи уравнения деформации точки i сохранит
привычный вид. Перемещение должно отражать общий уровень
напряженного состояния системы. А именно, это можно обеспечить,
применяя метод интегрального модуля деформаций в сочетании
с системой последовательных приближений, уточняющей напря-
женное состояние с учетом всех видов перераспределения усилий
и напряжений в сечениях. В дальнейшем гипотеза об аддитивности
и применяется только тогда, когда учитывается указанный линеа-
ризующий смысл интегрального модуля деформаций.
Принцип возможных перемещений, опирающийся на представ-
ления о бесконечной малости перемещений, в строительной меха-
нике экстраполируется на определение конечных перемещений.
Это базируется на линейном идеально упругом моделировании
механических свойств реальных материалов и является основой
большинства теорем линейной строительной механики стержневых
систем. Полученный аппарат линейной строительной механики
можно использовать для нелинейно, неравновесно и анизотропно
деформируемых железобетонных конструкций с помощью метода
интегрального модуля деформаций.
Действительно, интегральная линеаризация нелинейных дефор-
мативных свойств в каждом сечении стержневой (или тонкостен-
ной) конструкции, зависящая от уровня действующих напряжений
и поэтому уточняемая в процессе последовательных приближений;
так называемое «омертвление» неравновесных свойств деформиро-
вания материала к каждому дискретному моменту времени в за-
висимости от предшествующего режима изменения напряжений,
также уточняемого в едином процессе последовательных прибли-
жений; оценка трещннообразования и других анизотропных особен-
ностей деформирования с помощью коэффициента ']>а, предназна-
ченного для всего возможного диапазона нагружения, и раздельного
учета сжатой и растянутой зон и т. п. позволяет рассматривать
статически неопределимую систему в виде условно линейно-рав-
новесно и изотропно деформируемой для каждого расчетного
момента времени и на каждом этапе уточнения эпюр внутренних
усилий и режимов загружения.
В методе интегрального модуля деформаций процесс последо-
вательных приближений является не только и не столько матема-
тическим приемом, применяемым вместо замкнутого решения задачи,
сколько способом итерационного уточнения внутренних усилий и
напряжений, трансформирующихся во времени вследствие перерас-
пределения с более нагруженных участков и компонентов сече-
ния на менее нагруженные. Так как величины и режимы усилий
и напряжений определяют значение интегрального модуля дефор-
маций, то процесс последовательных приближений должен указать
этот модуль в каждом сечении для каждого расчетного момента
времени, уточняя, таким образом, жесткости и их распределение
в расчетной линейно-равновесно и изотропно деформируемой ста-
тически неопределимой системе.
Итак, на каждом этапе приближений использование аппарата
линейной строительной механики правомочно. При этом потери
энергии учитываются в уравнениях баланса работ автоматически
снижением соответствующих расчетных модулей деформаций *.
Отсюда становятся применимыми для расчета рассматриваемых
систем на каждом этапе последовательных приближений теоремы
Бетти о взаимности работ, теоремы Максвелла о взаимности пере-
мещений, формулы Мора для перемещений.
Как вытекает из существа метода интегрального модуля де-
формаций и коэффициента ба, при переменных вдоль осей кон-
струкций эпюрах усилий расчетные жесткости сечений также
становятся переменными, что несколько усложняет вычисление
единичных перемещений и единичных реакций, входящих в струк-
туру канонических уравнений метода сил и метода перемещений.
Чтобы облегчить эту часть вычислений, в табл. IV, 16; IV, 17
приводятся расчетные формулы для интегралов Мора и единичных
реакций, записанные с учетом изменения жесткости стержней на
отдельных участках. Эти таблицы по сути аналогичны соответ-
ствующим таблицам курса строительной механики.
Теперь разрешающие уравнения для каждого этапа прибли-
жений записываются в форме обычных канонических уравнений
линейной строительной механики [42, 249).
! Разумеется, этим не исключается возможность более точного учета
потерь энергии при де<|юрмировании статически неопределимых систем.
№№ п/п Эпюры изгибающих моментов и реакций Формулы
1 2 3
/ м — м,
2 М, + —2----
\ь п
2
3
ма
4-2 Мд4-
Мд- МЬ
п
X Мь +
ма-мЬ(._1}1 /Мб +
ма
Мь +
Ма-^Ь
п
п
+ Mb +
Мд-МЬ
п.
Мд-МЬ
п
V I
1а |
блЯ,/, I
+ 2 М(> 4-
+ Мь +
2 М*4-
Ма-Мь
п
Мд — МЬ Д М
,1**!
п
Мд — МЬ
п
1М,
llllliilllllllllllill
i^n
Ml
2nE,Ii
2МЬ 4- -а п Mb (2Z
п
а .
— I
п
п
п
4
Л
Do
Д 2г Dt 2^/
~ прм&п 8ами
п-число юасткоЗразЗи&шл
№№ п/п Схема сооружения и воздействия на него Эпюры изгибающих моментов в реакции Формулы
1 2 3 4
1 | в /% £ ’ЧЦЦЩЦЩД»^| х х X + + > х II и 1 ai^. , а | >| ? г ., -г х 7° Xj 1 •- ...» ~ „ - -Z- 1 JL. 1 S’!— §: II х 7’ "• г «г^Н I । L - •' м| И 1 Л 4- Ч- 1—L-J-l 1 J? 1с । t> > и’ •>, -Я 1 «? с G ' £j а 1с J? I е а . Q “ 3 с с* | и- 1 7 <^ L “Iе J » 1 7 -’ 7• 1 1 “ I а 1 >1 - Iе- О | - й И > L а»а » г aia-lS|;M1' •• ° 1. •? т а а ч Э|^1 1 "Ы + ~ "-—" 1 » Ч « 7 — I to -?i ^.i - |>Ъ 'тг + - х -тг г 11 । х х х X + 4- х 1
3 С А | UC
Di Di * * Ij^l * * * * j’IT*’ из ut n, пг
ZI *Л1 ’tfQBx aHiiajKirotfodu
af .
Х 2d/ ’’
d — высота поперечного
сечения; а — коэффициент
линейного расширения
6
1 2 3 4
Г 1 и г \\М 1 . + 1 — — (/ — 1) — U + Л| П| ) С’/ V 1 /п /1 Л2-/-1\ 4- 7Г1М — * 6n2^J Di{ \ п2 ] /-! X — (/—1)4- 2v( 1 — ——-'j х «а \ «2 / М. Л n.2-i—1\Л1 X — /4-г 1 - — - '4- «2 \ п2 / «2 Л nt-i\M . 1 + У 1 л ,, (”2-' 0 ; \ Ло / Лп / А и/ V 1 L Лвр ~Gnx 2j Di \2и х ! = | /, пх—i—1\ М .. , х U—— т(/_ 1)+ \ «1/^1 .. /, п,—л м , 4- 2и 1 !— F и х \ пх / Л) /, п,—/—1\ М X 1 1 — 1 4- и X \ «1 / «1 /, л,—Л м. . .J . X 1 1— — 1)|4- \ пх / пх J /=л, 6л2 D{ \ л2 / Z=1 М 4- 2 X х 4- (1~ /) х х“0—0 4- 1—~ 1)х л2 л2 М Д X — q ; па
Известно, что, помимо обсуждаемой выше внешней статичес-
кой неопределимости, железобетонные конструкции имеют еще и
внутреннюю статическую неопределимость сечений, которая обус-
ловлена комплектностью железобетонных конструкций, состоящих
из бетона и арматуры. Раскрытие внутренней статической неопре-
делимости сечений при заданных условиях обеспечивается рас-
смотрением условий равновесия, совместности деформаций и урав-
нений механического состояния материала. Для облегчения решения
могут быть привлечены некоторые допущения о законах дефор-
мирования сечений и о распределении напряжений. Внутренняя
статическая неопределимость сечений внешне статически неопре-
делимых систем раскрывается в едином процессе последовательных
приближений, осуществляемом для каждого из исследуемых мо-
ментов времени.
Нелинейность, неравновесность и анизотропия деформирования,
различие в механических свойствах бетона и арматурной стали,
трещинообразование, а также изменение внешних Тнагрузок при-
водит к перераспределению усилий между сечениями во внешне
статически неопределимых железобетонных конструкциях, пере-
распределению напряжений между бетоном и арматурой и вызы-
вают изменение соотношений между высотами сжатой и растяну-
той зон во всех сечениях этих конструкций. При этом более
нагруженные компоненты сечений и сами более нагруженные
сечения разгружаются, а менее нагруженные нагружаются. Это
выражается соответствующими трансформациями эпюр усилий и
эпюр напряжений и представляет собой не что иное, как свойство
приспособляемости конструкций.
В момент загружения эпюры усилий в стержнях конструкции
и эпюры напряжений в сечениях определяются только нелиней-
ностью деформирования. Уже в момент нагружения проявляется
свойство приспособляемости конструкций и сечений: вследствие
нелинейности деформирования уменьшается расчетная жесткость
сечений, в которых по упругим решениям получаются наиболь-
шие усилия, трансформируются эпюры усилий. Одновременно
в каждом сечении происходит аналогичное разгружение менее
жестких бетонных компонентов в результате увеличения ежа гой
зоны бетона и догружения арматуры.
Со временем под влиянием ползучести бетона и ее нелиней-
ности не только снижается жесткость всей конструкции, но, что
особенно важно, изменяются соотношения между жесткостями
отдельных сечений и компонентов внутри сечений: более нагру-
женные или догруженные на первом этапе перераспределения
сечения и компоненты становятся более деформативными и менее
жесткими. Это предопределяет дальнейшее перераспределение уси-
лий и напряжений или даже может изменить знак перераспреде-
ления, вновь догрузив ранее разгружавшиеся сечения и стержни.
Одновременное увеличение во времени коэффициента 0а ведет
к снижению жесткости растянутой зоны сечений и к увеличению
ее высоты. Этим характеризуется как догружение сжатой зоны,
так и общее уменьшение жесткости сечения.
В итоге происходит дополнительное перераспределение усилий
и напряжений, часто направленное в сторону восстановления эпюр,
соответствующих линейной постановке задачи. При стационарных
внешних нагрузках по мере старения материалов и затухания
неравновесных процессов деформирования и трещинообразования
описываемые процессы перераспределения стабилизируются во
времени.
Все описанные характерные особенности напряженно-деформи-
рованного состояния статически неопределимых железобетонных
конструкций могут быть выявлены и прогнозированы с помощью
метода интегрального модуля деформаций.
Для учета переменности жесткости стержней каждый элемент
статически неопределимой системы делится на несколько участ-
ков. В пределах каждого такого участка жесткость считается
постоянной и равной среднему значению жесткостей граничных
сечений участка.
В дальнейшем в расчете изменения внешней нагрузки во вре-
мени приводятся к ступенчатой схеме таким образом, что в пре-
делах каждого из интервалов нагрузка и все характеристики на-
пряженно-деформированного состояния считаются постоянными.
Это же относится и к изменчивости физико-механических свойств
материалов. Значение соответствующей величины для каждого
интервала определяется как среднее в границах интервала.
В процессе последовательных приближений жесткости каждого
участка, а также изменения обследуемых характеристик во вре-
мени уточняются. Деление исследуемого промежутка времени на
интервалы может осуществляться как равномерно, так и с опре-
деленным сгущением там, где ожидается более интенсивное из-
менение определяемых величин. То же можно сказать и о по-
рядке деления элементов конструкции на участки.
Деформативные характеристики одноименных материалов счи-
таются одинаковыми на всех участках конструкции. Вообще же
метод позволяет учитывать различие этих характеристик. Влияние
усадки бетона не учитывается. Как установлено НИИЖБ и ЗНИИЭП
(Киев), оно изменяет силовые эпюры системы не более, чем на 2%.
Процесс итераций считается законченным, если имеется тож-
дественное или с заданной степенью точности совпадение теку-
щего и предыдущего значений величины, по которой проверяется
степень приближения.
При расчете балочных статически неопределимых систем внеш-
няя нагрузка задается в виде дискретных значений изгибающих
моментов в сечениях основной системы. Процесс итераций также
проверяется по значениям моментов рассчитываемой конструкции.
Полученные выражения для интегрального модуля деформаций,
сопряженность функции фа во всем диапазоне возможного изме-
нения усилий, непрерывность записей механических характеристик
арматуры обеспечивают сходимость итерационного процесса. Если
задаться требованием 5%-ного совпадения текущего и предыду-
щего значений изгибающих моментов, то оказывается, что для
сечений, в которых арматура не течет, требуется до трех прибли-
жений, а для сечений, в которых арматура проходит площадку
текучести, — до шести приближений. Случаев расходимости итера-
тивного процесса, как это было при вычислениях приемами НИИЖБ
и ЗНИИЭП (Киев), при расчете методом интегрального модуля
деформаций не наблюдалось. Другие особенности вычислений из-
ложены выше, в § IV, 2; укрупненная блок-схема расчета ба-
лочных статически неопределимых железобетонных конструкций
приводится на рис. IV, 1.
Алгоритм запрограммирован применительно к счету на машине
«Минск-22». Программа разработана в отделе механизации инже-
нерно-технических расчетов Харьковского ПромстройНИИпроекта
Д. Г. Митасовым совместно с сотрудником научно-исследователь-
ской группы железобетонных конструкций Харьковского инже-
нерно-строительного института А. Л. Шагиным. Особенность осу-
ществляемого машинного счета состоит в том, что при вычислении
интегрального модуля деформаций для момента времени необ-
ходимо знать предшествующий режим изменения напряжения и
в памяти машины хранить значения напряжений во все пред-
шествующие интервалы времени.
§ IV, 5. РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНЫХ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
Учитывается, что балка может иметь переменные сече-
ния. Нагрузка на нее задается в виде моментов основной системы.
Статически неопределимая конструкция рассчитывается мето-
дом сил, причем основная система составляется из однопролетных
балок. В качестве лишних неизвестных принимаются моменты на
промежуточных опорах.
Схема многопролетной неразрезной балки и соответствующая
основная система приводятся на рис. IV, 7.
На рис. IV, 7
п—порядковый номер пролета или опоры (программа состав-
лена для балки из двух—пяти пролетов);
k—порядковый номер сечения в пределах пролета; k = 0, 1,
2, ... , tn (обычно т принимаем постоянным для всех
пролетов независимо от длины пролетов);
Dn.k—жесткости балок в дискретных сечениях;
М°п, k — дискретные значения моментов в основной системе;
Хп — опорные моменты — лишние неизвестные.
Система канонических уравнений метода сил состоит из урав-
нений типа
r-h:, п—1-V/; j “1“ цХ-п “1“ rj-j-|Aл-}-1 “1“ А /, р == 0. (IV,36)
Число таких уравнений, как известно, равно (и—2), где п —
число пролетов неразрезной балки.
Рис. IV,7. Многопролетная неразрезная балка.
С учетом переменности жесткости элементов коэффициенты
канонических уравнений можно представить в виде
$л, п
9
2mk — т 4- 2/г2 -}- 2k — -у
&п, Л—1 k
(IV, 37)
A«=m
*=1
п, Л-Н
/г°т
1
«4-1, k—1 • k
k^m
9
/ 2tnk — tn — 2Л3 4-26-----------т
» *л+1 3
вл. Л+1 - m, D + D *
Я=1
(IV,38)
(IV,39)
3
1 |, \"(3/г-2)М".А.+| + (3/г-1)Л1»л ,
«"—3,n= V" X-i о,..д-1 + Ч,.Л +
Л = 1
У |3 (г/i - /г) + 2] fe, + |3 {т - /е) + 1 ] Л7,°+1> к
Dn±l, Л-1 + ^лЧ-1. k
л-i
(IV,40)
После решения системы канонических уравнений типа (IV,36)
на каждом этапе приближений получаются лишние неизвестные Хп.
t#t2 /,4 Zf
г,г \г,4 & зг 3,4 ле
Рис. IV,8. Трехпролетная железобетонная балка:
а — схема балки; деление на участки; схема нагружения; б — cxe.ia
армирования.
14# 140
Это даст возможность вычислить в любом сечении /г, k величину
изгибающих моментов для данного номера приближения
М„ к = М° — Х„ - — Х„_, . (IV,41)
"•Л п, л т т ' '
Сведения об эпюрах изгибающих моментов позволяют уточнить
жесткости сечений балки, необходимые для следующего этапа
приближения, и т. д.
В качестве примера рассмотрим трехпролетную неразрезную
железобетонную балку (рис. IV,8). Длина каждого пролета
/ = 420 см, высота балки Л = 40 см, ширина b = 20 см. Каждый
пролет делится на шесть участков; крайние пролеты считаются
ненагруженными (для упрощения собственный вес балки не учи-
тывается); нагрузка состоит из двух равных сосредоточенных сил,
приложенных в третях среднего пролета. Армируется только рас-
тянутая зона балки. С целью выяснения влияния марки бетона,
процента армирования и уровня нагружения проанализировано 12
следующих вариантов рассматриваемой балки (рис. IV,8) —табл.
IV,18:
Таблица IV, 18
% армирования Уровень нагружения
Р = °.5 раз р = 0 7 Р 1 'раз Р = 0.9 ^раз
Марки бетона, кг/см2
150 500 150 500 150 500
0.5 Б—1 Б—3 В—5 Б—7 Б—9 Б—11
3.5 Б—2 Б—4 Б—6 Б—8 Б—10 Б—12
Величина сосредоточенных сил в каждом из вариантов балки
и соответствующая площадь армирования приведены в табл. IV, 19
Таблица IV,19
Номер балки Величина силы Площадь армирования
3.8 см2 25.9 см2
Б— 1 2.84 4-
Б— 2 11.30 4-
Б— 3 2.94 4»
Б— 4 17.70 4-
Б— 5 3.96 4-
Б— 6 15.80 4-
Б— 7 4,13 4-
Б— 8 24.80 4-
Б- 9 5.10 4-
Б—10 20.30 4-
Б-11 5.30 4-
Б—12 31.90 4-
В расчете учитываются нелинейные и неравновесные свойства
деформирования бетонов, реологические уравнения механического
состояния которых записываются по С. В. Александровскому или
по И. Е. Прокоповичу, И. И. Улицкому [2, 215] — табл. IV,20.
Арматурная сталь обладает следующими механическими характе-
ристиками: R3 = 5400 кг/см2, Е°й = 2,10 • 10е кг/сл/2, = 63,4, тй =
= 10,0. Свойства ползучести арматуры не учитываются. В табл.
IV,21 приводятся результаты расчетов указанных балок, выпол-
ненных на машине «Минск-22» с обеспечением не менее 2% совпа-
дения текущего и предыдущего значений изгибающих моментов
в каждом из девяти сечений для следующих моментов времени
/о = 28 суткам; ^ = 56 суткам: /2 = 112 суткам, а для большин-
ства балок — и для /3 = 224 суткам и = 308 суткам.
а) Марка бетона Прочность Параметры мгновенных деформаций
^пр «р Е°6. м (28) т»
150 115 13 2.3 • 106 2.5 4,9
500 350 28 3.8 • 106 0.9 3.3
б) Марка бетона Параметры деформаций ползучести
Со 4 "'п а 7
150 1.02 10-6 0.82 10“6 3.0 4.0 0.1 0.014
500 1.02 • 10“6 0,82 • 10-6 1,1 1.6 0.1 0.014
Таблица IV,21
а) Постановка задачи, момент времени (сутки) Р = 0.5 Рра,
Б—1 Б—2 ! Б—3 Б-4
Изгибающие моменты Мп тм
^2.3 Mi.e ЛТ>.3 Ali.e Л42,з /Ирд Мо.8
Упругая, t„ = 28 Нелинейная равно- весная, /0 = 28 Нелинейная нерав- новесная, ti = 56 То же, t2= 112 То же, /3 = 224 То же, /4 = 308 —1,6065 —1,8959 —1,7747 —1,7745 —1,7322 —1.7267 2.3636 2.0738 2.1050 2.1920 2,2374 2.2426 —6,270 —6.808 -7.055 —6,978 —7,069 —7,055 9.532 8,992 8,746 8,825 8.745 8,750 —1,6705 —1,6862 —1,6491 —1,6715 —1,6572 —1.6545 2,4496 2.4337 2,4696 2.4478 2,4615 2.4643 — 9,922 —10.099 — 9,810 — 9,967 — 9,823 — 9,798 14,879 14,701 15.000 14,84 14,982 15,005
б) Постановка задачи, момент времени (сутки) Р 0,7 Рраз
Б—9 Б—6 Б—7 Б—8
Изгибающие моменты Мп k, тм
^1.6 ^2,3 М|.б Л42,з ^1,6 ^2.3 М|,6 ^2.3
Упругая, tQ = 28 —2,246 3,304 —8,770 13,33 —2,339 3,431 —13,88 20,32
Нелинейная рав- новесная, /0 = 28 —2,485 3,060 —9.76 12,34 —2.765 3,005 —14.27 20,43
Нелинейная нерав- новесная, = 56 —2.390 3.160 —9,51 12,59 —2.648 3.120 —14,07 20,63
То же, /2 = 112 —2.370 3,179 —9,52 12,585 —2,714 3,053 —14,24 20,46
То же, /3 = 224 —2,333 3,216 —9,57 12,40 — — —14,15 20.57
То же, /4 = 308 —2,326 3.224 — — — — —
в) Постановка задачи, момент времени (сутки) Р = О-9 /’раз
Б—9 Б—10 Б-11 । Б—12
Изгибающие моменты
^1.6 ^2.3 ^1.6 yW2.3 ^1.6 М2,з Л*!.6 ^2.3
Упругая, /0 = 28 I [елинейная равно- весная, t0 = 28 Нелинейная нерав- новесная, tx = 56 То же, /2= 112 То же, ts = 224 То же, = 308 —2,8893 —3.2095 —3.2213 —3,1799 —3,1721 —3,1657 4,2509 3,9312 3.923 3.963 3,9715 3,978 —11,27 —12,08 — 11,67 —12,18 — 12,01 — 12,21 17,132 16,318 16,66 16,21 16,40 16,16 —3,0085 —3,3713 —3.570 -3,574 —3,555 —3.535 4,412 3.708 3.850 3.848 3,867 3.882 —17.884 —19.524 —19,15 —19.44 —19,21 —19,29 26,82 25,174 25.555 25.20 25.25 25.30
Для сокращения табл. IV,21 приводятся только опорные
(сечение 1,6) и пролетные (сечение 2,3) изгибающие моменты, зна-
чения изгибающих моментов в
ются из эпюры моментов (рис.
поляции (напомним, что соб-
ственный вес балки в рас-
чете не учитывался).
Анализ полученных ре-
зультатов удобно произвести,
если относить значения момен-
тов к моментам упругого ре-
шения, причем величины уп-
других сечениях легко определя-
IV,9) с помощью линейной интер-
ругого решения принимать рис jv,9. Эпюра изгибающих моментов
равными единице. Таким спо- трехпролетной балки.
собом можно проследить влия-
ние различных факторов на трансформацию усилий во времени
(табл. IV,22).
В итоге можно сделать следующие выводы:
а) нелинейность деформирования способствует «выравниванию»
опорных и пролетных изгибающих моментов. «Выравнивание»
низкомарочных бетонов, нелинейность деформирования у которых
выше, проявляется ярче.
б) До появления эффекта текучести в арматуре при одних
и тех же уровнях нагружения с увеличением процента армиро-
вания тенденция к «выравниванию» усиливается. Это обусловлено
тем, что в балках с высоким процентом армирования напряжения
в сжатом бетоне и, следовательно, нелинейность деформирования
растут.
со
Пролетные Опорные Изгибающий момент
Уровень нагружения ^=0.5 Рраз Р=0.7 Рраз Р=™ ^3
Армирование, % 0,5 3,5 0,5 3,5 0,5 3,5
Бетон 150 500 150 500 150 500 150 500 150 500 150 500
Постановка задачи, t сутки Балки
Б—1 Б—3 Б—2 Б—4 Б—5 Б—7 Б—6 Б—8 Б—9 Б—11 Б—10 Б—12
Упругая, /0 = 28 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1.00 1,00 1,00 1,00 1,00 1.00 1,00
Нелинейная неравновесная, Zo=28 1,16 1.01 1,085 1,017 1,107 1.184 1,113 1,028 1,113 1,120 1,072 1,092
Нелинейная неравновесная, / = 112 1.11 0,995 1,116 1,004 1,053 1,167 1.083 1,027 1,110 1,19 1,080 1,080
Упругая, /0 = 28 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1.00 1,00 1,00 1,00 1,00
Нелинейная равновесная. t0 = 28 0,88 0,997 0,942 0,995 0.925 0,877 0,926 0,984 0,924 0,840 0,956 0,936
Нелинейная неравновесная, t = 112 0,930 1.01 0,926 0,998 0,96 0,890 0,943 0.987 0.937 0.874 0,947 0.944
в) С повышением уровня нагружения вследствие интенсифи-
кации нелинейных свойств деформирования перераспределение
усилий с более нагруженных участков на менее нагруженные
возрастает.
г) По мере увеличения длительности выдерживания конструк-
ций под нагрузкой указанные явления перераспределения, или
«выравнивания» усилий, получают тенденцию к восстановлению.
К моменту стабилизации длительных процессов деформирования
эпюра изгибающих моментов стремится приблизиться к перво-
начально полученной из «упругого» решения.
д) Если армирование опорных и пролетных сечений одинаково,
то для неразрезной железобетонной балки, имеющей три равных
пролета, из которых два крайних свободны от нагрузки, характер-
но увеличение опорных и уменьшение пролетных изгибающих мо-
ментов. Последнее согласуется с тем фактом, что по «упругому»
решению пролетный изгибающий момент в такой балке всегда
больше опорного.
е) Текучесть арматуры, резко снижая жесткость сечений,
способствует особенно интенсивному перераспределению усилий,
в том же направлении проявляется влияние на рассматриваемый
эффект увеличения во времени коэффициента Фа.
Несмотря на то, что во всех случаях перераспределение имеет
одну и ту же тенденцию к «выравниванию» усилий, т. е. догру-
жению менее нагруженных участков, чрезвычайно трудно предви-
деть из-за множества взаимодействующих факторов детали пере-
распределения и требуемый ответ можно дать только после расчета
конкретных конструкций при заданных уровнях и длительности
нагружения в зависимости от марки бетона, вида и процента
армирования, геометрии сечений и т. п.
§ IV, 6. РАСЧЕТ БАЛОК НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
Исходные предпосылки:
а) рассматривается балка переменного сечения; в частном слу-
чае балка может иметь постоянное сечение;
б) балка считается деформирующейся нелинейно и неравновесно;
в) контакт между балкой и основанием характеризуется нали-
чием двухсторонних упругих связей, а силы трения и сцепления
между балкой и основанием не учитываются;
г) основание моделируется в виде линейно деформируемого
упругого полупространства;
д) внешняя нагрузка считается статической.
Как известно, уравнение изогнутой оси балки в рассматривае-
мом случае имеет вид
(и, v) = q(v), (IV.42)
где D — жесткость балки в сечении и в момент времени
q—внешняя нагрузка на балку;
Р—упругий отпор;
и — функция изогнутой оси балки;
v — абсцисса сечения.
Для линейно деформируемого упругого полупространства, нагру-
женного единичной сосредоточенной силой, справедлива формула
Буссинеска [65, 99, 3151
Soc»= , (IV.43)
которая определяет осадку поверхности основания, отсчитываемую
на расстоянии г от точки приложения этой силы. Здесь р.о —
коэффициент Пуассона, £гр—модуль упругости грунта основания.
Для линейно деформируемого упругого полупространства спра-
ведлив принцип аддитивности и, следовательно, теория линий
влияний. Это позволяет использовать выражение (IV,43) в качестве
функции линии влияния осадок от единичной силы. Тогда прило-
жение в точке zna силы P(s)ds приводит в точке rnL к осадке на
величину
du — $осн (s) Р (s) ds,
а полная осадка в точке Ш1(у) дается интегралом
v—a b—v
и = J P (у — s) 80CH (s) ds -f- У P (y + s) 3OCH (s) dst (IV,44)
о о
где а и b — абсциссы начала и конца балки в принятой системе
координат.
Система, состоящая из уравнений (IV,42) и (IV,44), достаточна
для определения искомых прогиба и (у) и отпора р(у). Однако
точное решение этой системы уравнений неизвестно и даже при-
ближенное решение ее встречает большие затруднения.
Решение задачи можно получить с помощью дискретного метода
Б. Н. Жемочкина, применение которого к задаче о линейно и не-
равновесно деформируемой балке на упругом полупространстве
оправдано линеаризацией, обеспечиваемой интегральным модулем
деформаций.
Основная система выбирается в виде консольной балки, внеш-
няя нагрузка — в виде эпюры изгибающих моментов в основной
системе.
Длина балки / делится на г равных участков /ь в пределах
которых отпор упругого основания считается равномерным. Ширина
подошвы балки и ее расчетная жесткость также усредняются
в пределах этих участков. Все это позволяет равнодействующую
отпора в пределах каждого участка (X — лишние неизвестные по
методу Б. Н. Жемочкина) прикладывать посредине указанных
участков [99, 244].
Задача решается смешанным методом строительной механики
(рис. IV, 10). Составляется система канонических уравнений
Х18п 4- Х2812 -}-•••+ 4- • • • + Уо 4-
4- 4- А1₽ = 0
Xfiml 4“ Х2бт2 + ’ ‘ 4" Xfimi + * ’ ’ 4~ ^г^тг 4“
4“ Уо 4~ 4“ ^тр ~ 0
Рис. IV, 10. Основная система балки на упругом полу-
пространстве:
а — эпюра изгибающих моментов в консольной основ-
ной системе; дискретные значения этих моментов
в середине участков; б — эпюра дискретных жест-
костей по участкам и схема искомых равнодействую-
щих отпора.
Первые г строк отражают баланс перемещений точек 1 ... т ... г
системы, предпоследняя — условия равенства всех сил на верти-
кальную ось, последняя — условие равновесия всех моментов отно-
сительно заделки основной системы. Здесь
Xt—искомый сосредоточенный отпор на каждом участке;
Р,— произвольная вертикальная нагрузка на балку;
Л40, i — момент в основной системе относительно заделки;
z/0 — вертикальное перемещение заделки основной системы;
ср0 — угол поворота заделки;
at — расстояние от силы до заделки, причем
а, = у — 0,5) при i = 1, 2, 3, ... , г, (IV,46)
3„„. — единичные перемещения
в точке Z, равные сумме
точки гп от сил, приложенных
осадки основания и перемещений
балки основной системы
^тп — $осн, тп Ч- $б, mn-
(IV,47)
Осадка основания вычис-
ляется по формуле (IV,43),
преобразованной примени-
тельно к дискретному ме-
тоду Б. Н. Жемочкина:
« _ 2
_ ‘,1О р
Оосн./лл- пЕоС Г1пп,
(IV,48)
где ?тп — назначается при
ь
заданном
С — длина участка
балки;
b — ее шипина.
1—1___I___I___I___I___I___I___I---L
/ г i Z7 п
Рис. IV, 11. Схема вычисления единичных
перемещений.
Единичные перемещения точек основной системы, вычисленные
с учетом ступенчатого изменения жесткости балки по длине
(рис. IV, 11)
R _ /3 О’5” — 0 . /TV
°6’ ,л ~ 6г3 (О0 4- DJ’ (IV,49)
$б, тп —
1 II \3[2(m—0.5)(п—0.5)+2(щ—I)(n—l)+(m—0,5)(«—1)+(/п—1)(«—0.5) ,
~ ЗДг/ [ 2(Do+£>i) 1
VI 2 (т—i)(n—i)H-2(m—i— 1)(п—i— l)4-(m—i) (n—4—l)4-(/n—/—1)(«—1)
Zj Di 4- Di+1 J;
(IV,50)
— грузовые коэффициенты, вычисляемые аналогично в зависи-
мости от величин изгибающих моментов в основной системе;
_/2 (2М° 4-лф
EV3 (Do 4- Dx);
(IV,51)
л -1
3 I r /
‘2M° (tn — 0,5) 4- (m — 1) 4- M° (m — I) 4- M? (m — 0.5)
2 (D, 4- Dx)
V 12Л1" (m — i) 4- 2JW?+l (m — i — I) 4- Af®+l (m -1)4- M° ('«— i — 1)'
+ £j D, + D,+1 . •
(IV,52)
Решение системы канонических уравнений (IV,45) дает иско-
мые равнодействующие отпора по участкам Хь Х2, ... , Xlt ... , Хг
Рис. IV, 12. К примеру расчета балочной плиты на
упругом полупространстве:
а — схема нагрузки на балку; б — схема армиро-
вания продольной арматурой (поперечная арма-
тура, как не входящая в расчет жесткости, не
показывается); в — основная система.
и позволяет вычислить изгибающие моменты в балке на упругом
полупространстве
/=г
M0 = M5 + 2-^(i- 0,5) X,; (IV,53)
i=r
+ У I (/ - <) Х;. (IV,54)
/=/4-1
Заметим, что в большинстве случаев Л40 = 0.
Как и во всех рассмотренных выше задачах для нелинейно
и неравновесно деформируемых конструкций метод Б. Н. Жемоч-
кина реализуется последовательными приближениями:
а) в нулевом приближении задача решается в упруго-линейной
постановке, это дает нулевые приближения для отпоров и изги-
бающих моментов;
б) по изгибающим моментам нулевого приближения назнача-
ются жесткости всех участков балки и в новом решении уточ-
няются отпоры и изгибающие моменты;
в) по этим изгибающим моментам вновь уточняется жесткость
и т. д.;
г) в аналогичной последовательности проводится расчет для
каждого последующего момента времени.
Весь расчет осуществляется по схеме, изложенной в § IV,2.
Для иллюстрации при-
ведем пример расчета фун-
Изгибающие погюнть.
Упругий отпор
Рис. IV, 13. Эпюры изгибающих моментов
и отпоров:
а — упругая постановка t0 = 28 суткам;
б — нелинейная постановка (момент загру-
жения /0 = 28 суткам); в — нелинейная по-
становка (момент условной стабилизации)
t = 56 суткам.
даментной плиты на упру-
гом полупространстве(рис.
IV, 12). Даны
а) нагрузка Р = 184 •
• 103 кг;
б) геометрические раз-
меры балки / = 900 см;
высота сечения h = 66 см;
его ширина b = 120 см; за-
щитный слой а = 3 см;
площадь рабочей арматуры
Fa = 47,5 см2;
в) константы материа-
лов: арматуры: Ra =
= 7100 кг/см2; Еа = 2,1«
• 10е кг/см2; т/а = 38,2;
rna = 8,0; бетона: /?пр =
= 240 кг/см2; Rp =
= 24 кг/см2; Е° м(/0) =
= 3,84 • 106 кг/см2; Со=
= 1,02- 10б (кг/сл!2)-1; Ап =
= 0,82 • 106 (кг/см2)-1;
= 0,014 ; т]м = 1,53; тм = 4,5; т)п = 1,69; тп = 4,0;
г) деформативные свойства основания: EJ = 500 кг/см2;
Но = 0,3.
Результаты расчета представлены в виде эпюр отпоров и изги-
бающих моментов на рис. IV, 13, а также в табл. IV,23.
Для анализа особенностей поведения нелинейно и неравновесно
деформируемой балки на упругом полупространстве удобнее соста-
вить таблицу изменений удельных отпоров и изгибающих момен-
тов (см. табл. IV,24).
Анализируя эпюры отпоров и изгибающих моментов, изобра-
женные на рис. IV, 13, и данные табл. IV,24, можно сделать сле-
дующие выводы:
Таблица IV ,23
Постановка задачи, момент времени (сутки) X/(m) и в сечениях
1 и 9 2 и 8 3 и 7 4 и 6 5
Упругий отпор Упругая, /0 = 28 Нелинейная равно- весная, /0 = 28 Нелинейная нерав- новесная, t = 56 25.6 19.9 2.77 18.52 17.31 14.34 18,81 19.74 23,62 19.24 22,71 32,45 19,53 24.68 37.61
Изгибающий момент Упругая, t0 = 28 Нелинейная равно- весная, /0 = 28 Нелинейная нерав- новесная, t = 56 0.00 0,00 0,00 14,25 11,05 1,53 38,8 31,7 11,04 13,8 63,36 33.7 119.48 107,61 74.33
Таблица 1V.24
Постановка задачи, момент времени, (сутки) Xz/Xz упр и Mi/Mj упр в сечениях
1 и 9 2 и 8 3 и 7 4 и 6 5
Удельный Упругая, /0 = 28 Нелинейная равно- 1.000 1,000 1,000 1.000 1,000
упругий веская, 10 = 28 Нелинейная неравно- 0.778 0,934 1.050 1.188 1,266
отпор
весная, t = 56 0.104 0,774 1.256 1.686 1.930
Удельный Упругая, tn = 28 Нелинейная равно- — 1.000 1,000 1.000 1,000
изгибающий весная, /0 = 28 0.774 0.817 0.858 0,900
момент Нелинейная нерав-
новее на я, /=56 — 0,107 0,285 0.457 0,622
1. Вследствие нелинейности деформирования материалов балки
даже кратковременные эпюры отпоров и моментов существенно от-
личаются от соответствующих эпюр отпоров и моментов, полученных
при так называемой упругой постановке, причем у краев балки отпоры
уменьшаются, а у средины — увеличиваются (разумеется, условие
равновесия всех внешних сил и отпоров на вертикальную ось
в обоих случаях соблюдается). При этом расчетные изгибающие
моменты уменьшаются.
2. Во времени по мере развития длительных деформационных
процессов жесткость балки продолжает уменьшаться и в резуль-
тате происходит дальнейшее перераспределение отпоров и изги-
бающих моментов: уменьшение отпоров у краев балки, рост их на
средних участках и одновременное резкое падение расчетных изги-
бающих моментов.
3. Учет нелинейных и неравновесных свойств деформирования
балок на упругом полупространстве обеспечивает снижение рас-
четных усилий и может дать существенную экономию материалов.
При сохранении общей тенденции частные значения отпоров
и моментов зависят от распределения нагрузки, марки бетона
и армирования сечений, соотношения модулей деформаций грунта
и интегрального модуля деформаций бетона и т. д. При прочих
равных условиях повышение марки бетона, снижение процента
армирования и уменьшение модуля деформаций основания снижают
эффект перераспределения эпюр, а снижение марки бетона, повы-
шение процента армирования и увеличение модуля деформаций
основания усиливают эффект перераспределения.
Важно отметить, что если у неразрезных балок нелинейность
деформирования обеспечивает известное «выравнивание» эпюры
изгибающих моментов, а длительные процессы, напротив, стре-
мятся восстановить упругие эпюры, то у балок на упругом осно-
вании оба явления — нелинейность и неравновесность — трансфор-
мируют эпюры отпоров и изгибающих моментов в одном направ-
лении. Это различие в первую очередь зависит от разного харак-
тера опор: жестких у многопролетной балки, податливых —
у балки на упругом полупространстве.
§ IV, 7. УСТОЙЧИВОСТЬ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Несмотря на то, что явление потери устойчивости имеет
единую природу независимо от эксцентриситета приложения сжи-
мающей силы, в современной строительной механике считается
целесообразным рассматривать в качестве самостоятельных задач
устойчивость центрально сжатых стержней, называя ее устойчи-
востью первого рода, и устойчивость внецентренно сжатых стерж-
ней, называя ее устойчивостью второго рода.
Отличительным признаком потери устойчивости первого рода
(так называемой Эйлеровой потери устойчивости) является сле-
дующее: в докритическом состоянии стержень сохраняет прямо-
линейную форму равновесия, которая изменяется только в момент,
когда сжимающая сила достигнет критической величины; крити-
ческое состояние соответствует качественному изменению равно-
весия стержня (сжатие переходит в изгиб).
Потеря устойчивости второго рода характеризуется тем, что;
а) с ростом сжимающей силы стержень в процессе деформи-
рования имеет единообразную криволинейную форму равновесия,
хотя параметры ее изменяются с изменением нагрузки и во вре-
мени;
б) нарушается равновесие, в результате чего дальнейшее на-
растание деформаций происходит без увеличения нагрузки и даже
при ее уменьшении.
Реологические свойства материалов, в частности, их ползу-
честь, обусловливающие неравновесность процесса деформирова-
ния, меняют подход к проблеме устойчивости. Теперь речь может
идти только об условно мгновенном равновесии в данный момент
времени, а не о равновесии вообще.
Если при устойчивости первого рода ползучесть только сни-
жает расчетную величину критической силы в результате увели-
чения деформативности материала во времени, то при внецентрен-
ном сжатии (устойчивость второго рода) независимо от величины
внешней нагрузки происходит непрерывное увеличение прогибов
(до стабилизации деформативных свойств материала). Поэтому
для конструкций, ползучесть материалов которых не затухает во
времени (например, большинство пластмасс или стали при высо-
ких температурах) понятие «критическая сила» сохраняет смысл
только в фиксированный момент времени и одновременно появ-
ляется понятие «критическое время». Действительно, если дефор-
мации ползучести во времени не затухают, то, очевидно, при
любой, даже самой малой силе наступит момент, когда она вызо-
вет потерю устойчивости и с этой точки зрения станет критической.
В случае центрального сжатия стержня это произойдет в момент,
когда временный модуль деформации снизится до величины, при
которой исходная нагрузка, согласно формуле Эйлера, уже счи-
тается критической. Для внецентренного сжатия это будет соот-
ветствовать моменту, при котором непрерывное и прогрессирую-
щее деформирование приведет систему в состояние, когда даль-
нейшее увеличение прогибов происходит даже без увеличения
внешней нагрузки.
Для железобетонных конструкций, ползучесть материала кото-
рых всегда затухает во времени, существуют понятия и «крити-
ческой силы» и «критического времени». Действительно, если
длительно действующая сжимающая нагрузка, назначенная мень-
шей, чем кратковременная критическая сила, все же достаточно
велика, то увеличение во времени деформаций стержня может
привести в некоторый момент к потере устойчивости. Этот момент
времени и определяет критическое время. Если же длительно
действующая сжимающая нагрузка настолько мала, что развитие
деформаций во времени погашается процессом затухания свойств
ползучести, то эта нагрузка никогда не приведет конструкцию
к потере устойчивости и, следовательно, критическое время бес-
конечно.
Что же касается критической силы, то для заданного момента
времени и заданной длительности эксплуатации конструкции ее
всегда можно определить1 [36, 88, 93, 95, 146, 159, 164, 178,
191, 196, 217, 220, 223, 248, 251, 259, 265, 271, 293, 299, 301].
Проиллюстрируем сказанное на простейших примерах: пусть
имеется центрально сжатый, жестко опертый стержень постоян-
ного сечения, материал которого деформируется линейно и нерав-
новесно. Временный модуль деформаций материала стержня при
неизменных напряжениях записывается выражением
Евр(/,
(IV,55)
Тогда критическая сила может быть подсчитана по формуле
р ____ пЧ £пр М
Гкр — “о /2
(IV,56)
где I—момент инерции сечения;
/ — длина стержня;
а0 — коэффициент, численное значение которого зависит от
способа закрепления концов стержня.
Очевидно, что с ростом меры ползучести С* временный модуль
деформации и критическая сила уменьшаются. Если мера ползу-
чести возрастает неограниченно, то значения временного модуля
деформаций и критической силы стремятся к нулю. Если С* огра-
ничено конечной величиной, то Ркр имеет нижний предел
min РКр
2 min Е р/
= ал----------
0 /2
(IV,57)
Подставив (IV,55) в (IV,56) и решив полученное алгебраическое
уравнение относительно Ркр и С*, найдем
Рк₽ 1 + Е° (/) С»(/, ₽эЯл’
С*(/.
£м(0\нкр /
где, как обычно, Эйлерова критическая сила
РЭЙЛ Яд
^(')
/2
/.
(IV,58)
(IV,59)
(IV,60)
Теперь рассмотрим оба изложенных выше возможных случая (для
упрощения примем Е® = const):
1 Заметим, что такой формулировкой мы, по сути, ввели понятие «омертвле-
ния» неравновесного процесса деформаций, используемое выше для объясне-
ния временного и интегрального модулей деформации.
а) деформации ползучести возрастают неограниченно:
С* = atb,
где а и 6 — некоторые опытные параметры;
и
Ркр“ 1+аЕ^/>’,,л
б) деформации ползучести во времени затухают:
где См и а — опытные параметры;
Ркр 1 + Е®Ст(1-е-*') РэЛл
и
(IV,61)
(IV,62)
(IV,63)
(IV,64)
(IV,65)
(IV,66)
Анализируя полученные результаты, можно установить:
1) при возрастании t критическая сила Ркр, вычисленная по
(IV,62), уменьшается и при t = оэ становится равной нулю, а кри-
тическая сила, соответствующая (IV,65), хотя и уменьшается, но
не может стать меньше некоторой конечной величины
min Ркр — lim Ркр — в
~ 14- ЕС
(IV,67)
2) Любая сжимающая сила Р, нагружающая стержень, свой-
ства ползучести материала которого описываются функцией (IV,61),
приводит к потере устойчивости, если
расч »кр
(IV,63)
И напротив, если сжимающая сила
Р < min Ркр,
(IV,67)
то критического времени не существует, в частности, при Р =
= min Ркр из (IV,66) следует /кр->оо.
Наконец, если сжимающая сила равна кратковременной Эйле-
ровой, то потеря устойчивости происходит мгновенно, а крити-
ческое время, вычисляемое по формулам (IV,63) или (IV,66), ока-
зывается равным нулю.
Другими словами, для железобетонных стержней речь может
идти о кратковременной устойчивости, длительной устойчивости
и о критическом времени, если сжимающая сила меньше Ркр
кратковременной, но больше Ркр длительной.
Самым важным является то, что устойчивость железобетонных
конструкций можно считать обеспеченной при любой длитель-
ности нагружения, если сжимающие силы меньше некоторой пре-
дельной величины, получаемой из расчета длительной устойчи-
Рис. IV, 14. Схема вне-
центренно сжатого
шарнирно-опертого
стержня.
вости.
Уравнение изогнутой оси стержня, как
известно, имеет вид
£>£? = — М.
dv-1
Применительно к внецентренно сжатому шар-
нирноопертому стержню (рис. IV, 14), для ко-
торого изгибающий момент равен
М = Р(и + еи), (IV,68)
оно приводится к виду
D^+P(« + co) = O. (IV,69)
Часто, произведя двойное дифференциро-
вание по dvt последнее уравнение записы-
вают таким образом:
Для стержней постоянной жесткости
D = const, точнее, = О (IV,71)
оба уравнения решаются элементарно и дают одинаковые резуль-
таты, а именно:
и = eQ I tg — sin kl 4- cos kl — 1
(IV,72)
При переменной жесткости стержня, ко"да равенства (IV.71)
не удовлетворяются, дифференциальные уравнения (IV,69) и (IV,70)
не имеют замкнутого решения. В этом случае рациональнее при-
бегнуть к следующим формам уравнений устойчивости.
Используя понятие об интегральном модуле деформаций, ли-
неаризирующем нелинейность и «омертвляющем» неравновесность
деформирования материала, применяем к задаче об устойчивости
принцип возможных перемещений и геометрически линейную по-
становку (§
задачи (27]
IV,4). В итоге получаем вариационное уравнение
(IV,73)
где о — знак вариации.
Удовлетворение соответствующих статических граничных усло-
вий обеспечивает равенство нулю внеинтегральных членов урав-
нения (IV,73) и приводит его к записи Н. Г. Бубнова — Б. Г. Га-
леркина [86, 263)
f Г d- n d2u . г> d2ul j , п
\ D -h Р -i-i budv = 0.
J [de2 dv2 de2]
(IV,74)
Принимая, что изогнутая ось стержня при потере устойчи-
вости описывается рядом
и соответственно
“ = £ fmi
1=1
5u= jXVz,
' = 1
(IV,75)
где riz — функции и, удовлетворяющие геометрическим граничным
условиям;
о/,— произвольные и независимые вариации параметров про-
гиба,
а также учитывая эквивалентность уравнений (IV,69) и (IV,70),
представим интегральную запись (IV,74) в более удобном для вычи-
сления виде:
i—n I
J [d + Р (« + е„)] 7!,8/,. dv = 0. (IV, 76)
<•=1 о
Так как вариации оД независимы и произвольны, то уравнение
(IV,76) может быть заменено системой уравнений
JH2,.
D^ + P(u + ₽o)J rltdv = 0; i = 1. 2, 3, .... л. (IV,77)
о
Решение системы уравнений (IV,77) дает искомую связь между
сжимающей силой Р и параметрами Д- изогнутой оси.
В дальнейшем для упрощения алгоритмической стороны задачи
при исследовании внецентренно сжатых шарнирно-опертых стерж-
ней ограничимся первыми членами рядов (IV,75). Это заменит
систему (IV,77) одним разрешающим уравнением соответствую-
щего вида. Одновременно, учитывая форму решения дифферен-
циального уравнения (IV,72), принимаем
. nv . . 1W
т] = sin-г-; u = f1sin-r;
(IV,78)
где fi = u -к-1 — наибольший прогиб по середине высоты стойки.
\ Ai /
Теперь разрешающее уравнение задачи получит вид
i
5» Г ' \2 / \ 1
— sin у -F Л sin sin у du = 0. (IV,79)
о
Рассмотрим два основных варианта:
а) Материал стержня деформируется линейно, расчетная жест-
кость неизменна вдоль его длины и не зависит от уровня напря-
женного состояния:
dDn
W = °’ (IV.80)
Раскрытие квадратур (IV,79) приводит к уравнению
-(т)£>»4 + 4е<>/> + ур = 0- (IV, 81)
откуда, учитывая
Р,ял = (у) Do, (IV,82)
получим
Л = - ——т и Р =-----------!---Р° . (IV,83)
' * л / р \ А еп ЗИЛ V • !
эйл — 1 Ц-— -2-
\ Р / п /1
Функции для fi и Р не имеют экстремума. Это значит, что
каждому значению силы соответствует определенное значение наи-
большего прогиба, и критической силы как таковой в линейной
постановке не существует.
б) Материал стержня деформируется нелинейно, расчетная
жесткость сечений зависит от уровня напряженного состояния
и, таким образом, переменна по длине стержня:
D const; д£ + 0. (IV,84)
Следуя § IV,!, принимаем такое выражение для жесткости:
D=D0
1_/1_^пру м
\ D« Л^р
р_\
эо I »
np/J
(IV,85)
где Do — жесткость сечения при нулевом напряженном состоянии;
Dnp—то же в предельном напряженном состоянии;
М'пр—предельный изгибающий момент;
£пр—предельная несущая способность при центральном
сжатии.
Заметим, что в принципе Do> Dnp, Мпр могут изменяться по
длине стержня. В рассматриваемом случае считается, что геомет-
рические характеристики неизменны и
(IV,86)
^о_^п Р_<Р = П
dv dv dv
Рис. IV. 15. График зависимости Р — /для вне-
центренно сжатых стержней из упруго-пласти-
ческого материала.
Подставляя (IV,68), (IV,78), (IV,85) в разрешающее уравнение
(IV,79) и произведя необходимые вычисления, получим
Р =----------------!----;---------. (IV, 87)
л о , о \ эйл ’ ' ’ f
1+ ~ + "3Z- /1) + ^1^2
где
Р° ___рПр ДЛ° / \ 2
= ЭВл; *« = J=-₽; тКр- dv,88)
/У7пр 'пр 7
Очевидно, что в линейной постановке, когда k2 = 0, выраже-
ние (IV,87) совпадает с выражением (IV,83). Вместе с тем, если
в линейной постановке для внецентренно сжатого стержня кри-
тической силы как таковой не существует, то для нелинейно
деформирующегося стержня функция для Р (IV,87) имеет экстре-
мум, что позволяет вычислить критическую силу (рис. IV, 15).
Критическая сила при внецентренном сжатии нелинейно дефор-
мирующегося стержня определяется из условия
дР
<Vi
= 0.
Ь “ h. кр
Подставляя (IV,87) в (IV,89), получаем окончательно
(IV,89)
(IV,90)
(в дальнейшем из физических соображений перед радикалом (IV,90)
сохраняем знак плюс) и
=-----8,/2 '--------------(1V'91)
1+ —- |/ -я- V 4- £(А + + к*
it т о
Потеря устойчивости второго рода для нелинейно деформи-
рующегося внецентренно сжатого стержня означает, что по мере
нарастания сжимающей силы и соответствующего прогиба интен-
сивно уменьшается жесткость стержня и в некоторый момент,
соответствующий критическому состоянию (fi, кр, Ркр)» равновесие
между внешними и внутренними силами нарушается, наблюдается
лавинообразное нарастание прогибов (даже при дальнейшем умень-
шении нагрузки)—происходит потеря устойчивости.
Анализируя полученные результаты, можно констатировать
следующее:
а) При линейном деформировании, когда k1 = Q (IV,88), запись
связи между Р и ft (IV,87), как и следовало ожидать, обращается
в (IV,83).
б) Так как для железобетонных стержней вследствие неодно-
родности бетона и возможных смещений арматуры даже при фор-
мально центральном сжатии принято считать
е° > 600
(IV,92)
то при центральном сжатии устойчивость железобетонных стерж-
ней можно вычислить по формуле
Ркр --
I р°
л г-__________________1_________________дйл
1+ -J5J- + gfjg + ft, 4-
(IV,93)
в) При формальном переходе к центральному сжатию, что соот-
ветствует е0 = 0, получим из (IV,93)
кр —
>0 __ рпр эйл ’
эйл____эйл
гпр
а так как при линейном деформировании имеем
_____ рпр
эйл ‘эйл ’
то
> _____ п 0
кр — Г Эйд
(IV,95)
г) С ростом эксцентриситета и характеристики kL (послед-
нее соответствует увеличению нелинейности и длительности дефор-
мирования или, что одно и то же, уменьшению Dnp и Р"£ч) зна-
чение критической силы падает. Если предполагается, что в пре-
дельном состоянии наиболее напряженное сечение приближается
к шарниру, то kr со и Ркр О-
Д) При е ос как для линейно деформируемого стержня
(IV,83), так и для нелинейно деформируемого (IV,91) значение
критической силы стремится к нулю. Проведенный анализ под-
тверждает полное соответствие полученных расчетных формул
существующим физическим представлениям о работе сжато-изо-
гнутых стержней.
Выражение для жесткости стержня (IV,85) можно несколько
упростить, записав его в виде
Dnp\ _Л£
RHp.
(IV,96)
где Мпр—предельный изгибающий момент, определенный с уче-
том внецентренного сжатия.
Если формула (IV,85) приемлема для стержней с большой гиб-
К 1 / М . р \
костью, когда обеспечивается неравенство 1 > — 4—^- , то
'^лр ^пр
формула (IV,96) пригодна для всего диапазона гибкостей, при кото-
рых расчетная нагрузка, вычисленная из условий прочности, ока-
зывается большей, чем назначенная из условий устойчивости.
Реализация разрешающего уравнения (IV,79) и критерия устойчи-
вости (IV,89) с учетом (IV,78) и (IV,96) приводит к аналогичным
выражениям:
А.кР=±|/4^г; (IV.97)
где
рО ____рпр
ВЦ _ эйл______эйл
1 — м55
‘ 'пр
(IV,98)
(IV,99)
Так называемая длительная устойчивость железобетонных кон-
струкций должна рассчитываться с учетом неравновесных процес-
сов деформирования. При определенных уровнях напряженного
состояния, вызываемых силами Р, для которых справедливо не-
равенство
Ркр(/ = оэ)<Р<Ркр(/), (IV, 100)
возможно существование критического времени.
Вычисление критической силы с учетом неравновесности дефор-
мирования, т. е. назначение Ркр(0 можно производить изложен-
ным выше способом. При этом жесткости Dti и Ппр и предельные
характеристики Л4?(р и РпР должны устанавливаться в зависимости
от длительности загружения. Последняя входит в выражение для
интегрального модуля деформаций, определяющего жесткость,
и в выражение для длительной прочности, входящего в расчет-
ные предельные характеристики Л4?1р и Р„р. Это позволяет для
каждого момента t назначить расчетную величину Ркр(/).
Приведенный аппарат (IV,73 н- IV, 100) дает возможность в прин-
ципе также установить критическое время /кр, соответствующее
данной нагрузке Р при [Ркр(^) > Р > РКр (£*>))• Для этого необ-
ходимо знать изменение во времени значений kr и k2 или, что
так же, Do, Dnp, Л4?1р и Р?,р и при заданном Р решить уравнения
(IV,77) или (IV,87) относительно /, которое и будет /кр- Если оно
окажется равным бесконечности, то значит, что для данной си-
стемы критического времени не существует.
Вместе с тем реализация указанного пути встречает значитель-
ные математические трудности вследствие трансцендентности раз-
решающих уравнений. Поэтому мы рекомендуем другой путь,
состоящий в разработке графиков (или таблиц) критического вре-
мени для возможного диапазона изменения геометрических харак-
теристик конструкции и различных марок бетона и арматуры,
причем дискретные значения кривых графиков (или таблиц)
должны определяться с помощью приведенного расчетного аппа-
рата. На основе анализа таких графиков (или таблиц) можно
искать соответствующие эмпирические зависимости для /кр.
В настоящее время в Харьковском инженерно-строительном
институте под руководством автора проводятся экспериментально-
теоретические исследования устойчивости внецентренно сжатых
железобетонных стержней для различных схем загружения, раз-
личных длин стержней и эксцентриситетов, различных марок
бетона и арматуры, разной длительности загружения и т. п.
В частности, Э. Д. Чихладзе проведено сравнение опытов К- Э. Таля
и Е. А. Чистякова [259—261] с результатами расчета по фор-
мулам (IV,91) и (IV,98) (табл. IV,26).
При относительно больших эксцентриситетах (первый случай
внецентренного сжатия), когда эксцентриситет существенно
больше максимального прогиба Д, можно считать, что изгибаю-
щий момент вдоль оси стержня изменяется незначительно. Сле-
довательно, для расчета принимается
^пРуи[,.,х-|
Do / Л1» ] ’
_ о
ди ~ ’
Мшах = р (е0 + А); (IV, 101)
(IV, 102)
откуда
(IV, 103)
При этом расчетная критическая сила оказывается преуменьшен-
ной по сравнению с вычисленной с учетом изменения жесткости
стержня по длине; отклонение не превышает 10% и при расчете
идет в запас устойчивости.
При относительно больших эксцентриситетах [46] критические
силы можно рассчитывать методом К. Ежека [351], не привлекая
принцип возможных перемещений и вариационных уравнений
(IV,73) и (IV,79). Сущность этого предложения состоит в сле-
дующем:
а) Интегральный модуль деформаций бетона сжатой зоны при-
нимается в виде (§ 111,3) и после простейших преобразований
представляется выражением
= Еор (1 - а0Ф £), (IV, 104)
\ “пр'
где
a“ = 1+7F 11 11 (IV’105)
^пр ^пр
рВр
ф = 1--=-р. (IV, 106)
В формуле (IV, 105) допускается е0 и приближенная запись
М Ре0. Это позволяет считать, что интегральный модуль дефор-
маций и, следовательно, жесткость стержня неизменны вдоль его
длины:
ЛРНН
^- = 0. (IV, 107) б) * * * *
б) Совместная работа растянутого бетона и растянутой арма-
туры учитывается коэффициентом выражение для которого
линеаризовано:
9. = ^ + ^^- (IV, Ю8)
“пр
и который записан с помощью расчетного аппарата (§ 111,8). При
этом в качестве исходной зависимости принята формула Я. М. Не-
мировского, Н. В. Никитина, 10. А. Суслова [199]:
^б. т
~М~
(IV, 109)
Поскольку рассматриваются большие эксцентриситеты, то линеа-
ризация осуществляется в диапазоне от Л4Т до Л4?1р.
в) Как и выше, применяется приближенное выражение для
кривизны изогнутой оси стержня
1 _ д”и
р ди2'
Очертание изогнутой осн аппроксимируем синусоидой (IV,78)
и привлекаем гипотезу плоских сечений, считая по В. И. Мура-
шеву [194], что она в деформационной задаче, какой является
задача об устойчивости, применяется к средним сечениям, распо-
ложенным на участках между трещинами
(IV, 110)
Учитываем также линеаризующий смысл интегрального модуля
деформаций
1 = _ ± =________£
Р X £ИНХ •
(IV, 111)
г) Подставляя (IV,78) и (IV, 110) в (IV,3) и приравнивая
результат выражению (IV, 111), получим для среднего по высоте
стойки сечения (и = 0,5/)
рНН
с
(IV, 112)
Одновременно записываем для момента потери устойчивости
условия равновесия:
Р (*о + fi — 4 + х) = b °6Zdz '^аОт^а ~ х) +
+ ^(х-ау, (IV, 113)
Р = 6 + (IV, 114)
о
где учитывается возможность достижения растянутой и сжатой
арматурой пределов текучести в момент потери устойчивости
[259—261] (Fa, Fa, х, Ло, а' и другие общепринятые обозначения,
приводившиеся нами ранее).
д) Совместное решение системы, составленной из уравнений
(IV, 112), (IV, 113) и (IV, 114), приводит к разрешающему уравне-
нию связи между Р и f, аналогичному по смыслу полученным
выше уравнениям (IV,79):
э(у)2 , Р (4 - е„) - РЛ + (фаОтЛЛ,-
- —2 [Р+- с;/7;)]3=о.
(IV, 115)
Используя критерий устойчивости (IV,89), приходим к следую-
щему выражению для кр:
(IV, 116)
Подставив ft кр в основное уравнение (IV, 115), а также произ-
ведя простейшие преобразования, найдем
аР* + ЬР8 -J- cP* -|- dP -j- е = О,
(IV,117)
где
а = Л’ + 8Р“йлС»Е
b = ЗА1 В + 8Р^ЙЛС2 (3DE — С)
с = 3 [АВ + 8РЛЙЛ CD (DE — С)]
d = В3 + 8Р3°ЙЛ D2 (DE — ЗС)
е = —8Р°. D3
эйл
с F
А =
*np
В = di^F л— 5ТР а
С = 0,5 —у—Ь,
Е* ^0
U — (113ггь о-
*пр
ЛР°
г пр
F‘H
Четыре корня алгебраического уравнения (IV, 117) дают
решение
Pi. 2,3.4 = - Л U\bL ± (ЬК - 2d)) ±
* 1^ \ U
искомое
где
(IV, 118)
±
Для выбора окончательного расчетного выражения для Ркр вы-
полнен анализ на случай действительного наименьшего положи-
тельного корня. В итоге доказано, что при е>0
(IV, 119)
(IV, 120)
С целью упрощения здесь рекомендуется применять известные из
курса железобетона формулы для предельных характеристик се-
чения
Результаты сравнения теоретически подсчитанных величин кри-
тических сил (IV, 119, 120) q опытными данными К- Э. Таля
и Е. А. Чистякова приводятся в табл. IV,25.
Предложенный аппарат расчета устойчивости внецентренно сжа-
тых железобетонных стержней проверялся путем сопоставления
опытных данных о величине сжимающей силы в момент потери
устойчивости с теоретическими значениями критических сил. В ос-
нову проверки были положены опыты К. Э. Таля и Е. А. Чис-
тякова [259—261], выполненные с особой тщательностью и дос-
товерностью, опыты, проведенные в лаборатории железобетонных
конструкций Харьковского инженерно-строительного института
П. П. Романовым и Э. Д. Чихладзе под руководством автора,
а также ряд других опубликованных данных.
Ниже, в табл. IV,25—28 анализируются экспериментальные
данные для 39 колонн К- Э. Таля и Е. А. Чистякова. Указанные
колонны имели следующие сечения:
h = 15 см, Ъ = 24 см, а = 1,7 см, а' = 1,65 см.
Основные характеристики колонн
Группа Шифр колонны Геометричес- кие характе- ристики Характери- стика бетона Характеристика арматуры
А №№ п/п j Б №№ п/п В №№ п/п ci еД вГ а Е6. о ' 'О"4. кг/см2 ч II ri. sMTj/2.V *XD гНэ/гх ‘S
1 кг—XXI—2 15,6 0.52 305 3,33 0.297 3830 3830
2 кг—XX—3 2,09 0.497 400 3,00 0.295 4000 4600
3 кг—XX—4 2,09 0.497 410 3,00 0,286 4950 4950
1 кг—XXII—2 30.0 0,072 340 3,4 0,95 4280 3460
2 кг—XXII—1 30.0 0.144 365 3.4 0.97 4380 2810
3 кг—XXII—1 30,1 0.066 340 3.4 0.99 4320 3165
4 кг—XXIII—3 30.1 0,151 365 3,4 0.89 4350 2141
5 кг—XXV—1 30.2 0,171 350 3,75 1.24 3280 1795
6 кг—XXV—2 30.3 0,164 350 3.75 1.27 3275 1835
4 кг—XVI—3 30.4 0,331 310 3,41 0.292 3460 3260
кг—XVI—5 30.4 0,331 315 3,41 1.79 2540 2510
5 кг—XVI—6 30.4 0,344 315 3.41 1.78 2710 2660
6 кг—XVI—1 30,4 0,351 320 3.41 0,306 3230 3480
7 кг—XI—4 30.4 0.500 330 3.41 0,96 3200 3240
7 кг—XII—2 30.6 0.166 116 2.4 0.68 3730 3250
8 кг—XV—5 30,6 0.456 320 3,41 0.98 3300 3220
9 кг—XVII—3 30.6 0,487 316 3.33 1.7 2720 2720
2 кг—XXVI—2 30.6 0,496 370 3.41 0.925 4250 4250
3 кг—XXVI—1 30,6 0,500 370 3,41 0.945 4270 4270
10 кг—XVII—4 30.6 0,513 315 3.33 0,32 3170 3300
11 кг—XIII—6 30,6 0,33 123 2.4 1.8 2430 2670
4 кг—XIII—5 31.0 0.33 125 2.4 1.8 2500 2540
кг—XV—2 31.0 0,33 315 3.4 1.0 3440
12 кг—XII—5 31.0 0.50 128 2.4 0.7 3880 3860
5 кг—X—1 31.0 0.50 124 2.4 1.61 2890 2710
6 кг—X—2 31.0 0.50 125 2.4 *1,78 2800 2850
7 кг—X—3 31.0 0.50 123 2.4 1,78 2800 2680
13 кг—X—4 31.0 0.50 120 2.4 0,30 3190 3200
14 кг-Х—5 31.0 0,50 122 2.4 0,30 3180 3110
15 кг—X—6 31.0 0,50 123 2,4 0,30 3230 3190
8 кг—XII—4 31,0 0,50 127 2.4 0,686 9780 3730
16 кг—XI—4 31.0 0,77 125 2.5 1.8 2735 2735
17 кг—XI—5 31.0 0,77 125 2,3 1,82 2540 2620
18 кг—XI—6 31.0 0,77 125 2.3 1.78 2800 2760
9 кг—VII—6 31.6 0.151 132 2.8 0.64 ЗОЮ
10 кг—VII—5 31.6 0,168 155 2.8 0,68 3200
11 кг—XXIII—2 32,9 0,166 365 3.4 0.93 4250
19 кг—XXVIII—1 46,3 0,5 320 3,41 0.685 4250 4250
20 кг—XXVIII—2 46.9 0,505 320 3,41 0,685 4180 4180
Основные данные о деформативных качествах бетона и арма-
туры получены из статей 1<. Э. Таля и Е. А. Чистякова [259—261],
а данные, которые отсутствуют в этих статьях, принимались ус-
Шифр колонны (группа А) Р т Р„р. (1V.54).t РСНнП’ т Отклонение, %
Пред '1,ч га- емая методика СНиП
кг—XXII—2 60.5 57.9 57.15 —4.30 -5.54
кг—XX III— 1 43,2 43.0 44,2 —0.46 -2.26
кг—XXII—1 60.5 57.9 56.5 -4.30 -6.61
кг—XXIII—3 41.6 40.6 43.3 —241 +4.10
кг—XXV—1 42.0 39,4 41.0 —6.20 -2.41
кг—XXV—2 46.0 44,5 43.45 —3,26 -5.55
кг—XII—2 20.0 20.9 23.8 + 4.5 + 19.0
кГ—XV—2 24.1 22.2 22.7 -8.0 -5.97
кг—VII—6 15.3 14,75 —3.73
кг—XXIII—2 14.1 14.0 -0.71
кг—XXIII—2 39.0 38.8 40.0 —0.77 + 2.30
Среднее арифметическое отклонение
+0.15
Таблица IV,27
Колонны группы Б
Шифр колонны (группа Б) Р т р . 4 кр* (IV,74, 75). т ^СНиП’ т Отклонение, %
Предлага- емая методика СНиП
кг—XX1-2 17.2 16.8 16,6 —2,3 —4.7
кг—XX—3 15,7 14.2 14.7 -9.6 —6.4
кг—XX—4 17,0 15.9 16,5 -6.5 —2.9
кг—XVI—3 17,0 15,9 13,5 —6.5 —20.6
кг—XVI—6 30.1 31,0 30.5 +3.0 —1,34
кг—XVI—1 14.5 13,8 14,0 —4.8 —3,5
кг—XV—4 17,8 18,0 17.0 + 1.1 —4.5
кг—XV—5 17.6 18.0 16.8 +23 —4.5
кг—XVII—3 22,2 22,9 23.5 +3.1 +5,9
кг—XIII—6 20.0 20.9 20.0 + 4.5 0,0
кг—XII—5 10,8 10.7 10.0 —0.92 —7.4
кг—X—4 6.6 6.63 6.5 + 0.45 —1,52
кг—X—5 7.0 6.75 6.81 —3.6 —2.7
кг—X—6 6,86 6,78 6.88 — 1.16 +0.3
кг—XI—4 13.0 12.7 13,0 —23 0,0
кг—XI—5 12,0 12.6 12,3 +5.0 +2,5
кг—XI—6 13.0 12,5 13,0 —3.8 о.о
кг—XXVIII—1 5.5 6,05 5,93 + 10.0 +7.8
кг—XXVIII—2 5.5 5.89 5.71 +8.9 +3.8
Среднее арифметическое отклонение +0.03 +0.91
Шифр колонны (группа В) Р ' ОПЫТН т Р т 1 кр* 1 ^CHhIP т Отклонение, %
ПО (1V.54) по (IV.74. 75) По(1У.54) no(IV.74. 75) СНиП
Пр ед л мето агаемая анка
кг—XVI—2 32.9 33.3 31.2 31.0 + 1.22 —2.1 —5.8
кг—XXVI—2 16.8 17,64 17.5 18,0 +5.0 +4.1 + 7.1
кг—XXVI—1 17.2 17.71 17.8 18.0 +2.96 +3.5 + 4.7
кг—XIII—5 21.8 29.2 21.2 20.4 + 1.83 —2.7 —6.4
кг—X—1 19.0 18.75 17.4 21.5 — 1.32 —8.4 + 13.2
кг—X—2 18,0 17.85 17.6 18.0 —0.84 —2.2 0.0
кг—X—3 18.0 18.4 17,6 17.5 +2.22 —2.2 —2.80
кг—XII—2 11.0 Ю.7 10,5 н.о —2.54 —4.5 0.0
Среднее арифметическое отклонение + 1.07 — 1.81 + 1.25
редненными или вычислялись с помощью построенных нами зави-
симостей. В частности, приняты такие значения параметров не-
равновесное™ деформирования:
Со = 1,022 • 10“5 (см2/кг); А = 0,819 • 10~5 (см2, кг);
а = 0,101 (1/сут); 3 = 0,785; 7 = 71 = l2 = 0,014 (1/сут).
Параметры нелинейности деформирования т;ы, т;п, ты. тп и
назначены по формулам (I, 20—23; III, 133—=— 135; 1,27) в зависи-
мости от основных расчетных характеристик бетона и арматуры
(табл. IV,25). В этой же таблице указаны расчетная гибкость
колонн X, относительный эксцентриситет /г и процент армирова-
ния сечений ц = р/ (сечения везде армированы симметрично).
Обследуемые колонны разбиты на три группы: группа А —
расчетная критическая сила вычисляется по формуле (IV,98), группа
Б — по формулам (IV, 119, 120), i руппа В — по тем и другим фор-
мулам для взаимного сопоставления. При этом установлены как
общий порядковый номер каждой колонны, так и порядковые номера
каждой группы, которые назначались по принципу: от меньшей
гибкости к большей, от меньшего эксцентриситета к большему.
Проверка расчетных формул аппарата (IV,73-=- IV,99), выпол-
ненная на 19 колоннах групп А и Б, приводится в табл. IV,26
и IV,27, а проверка формул (IV, 119, 120), осуществленная на 28
колоннах групп Б и В,— табл. IV,27 и IV,28.
Анализ данных табл. IV,26, 27, 28 показывает, что:
а) средняя точность предлагаемых аналитических выражений
очень высока (среднеарифметические отклонения не превышают 2%)
и практически не отличается от точности соответствующих эмпи-
рических формул СНиП;
б) экстремальные отклонения расчетных значений критических
сил^от опытных по формулам СНиП составляют ± 20%,а по пред-
лагаемой методике всего ± 10%, причем при расчете по форму-
лам (IV,93) и (IV,98) — не более—8% и +5%. При этом нельзя
не учитывать, что формулы СНиП построены эмпирически по ис-
пользуемым для нашего анализа опытам.
Таким образом, высокую точность предлагаемой методики рас-
чета критических сил для внецентренно сжатых железобетонных
стержней можно считать подтвержденной. Сравнивая две различ-
ные предлагаемые методики расчета критических сил для внепен-
тренно-сжатых стержней, следует отметить, что если первая при-
годна для любых граничных условий и любых материалов стержней,
но требует предварительного вычисления характеристик и /г2,
то вторая, полученная для шарнирно-опертых железобетонных
колонн, дает непосредственные замкнутые расчетные формулы
для Ркр.
§ IV, 8. КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Метод интегрального модуля деформаций позволяет про-
изводить динамические расчеты железобетонных конструкций с уче-
том нелинейности и неравновесности их деформирования. При этом
принимаются во внимание специфические особенности деформиро-
вания бетона и железобетона, испытывающих динамические на-
грузки. Эти особенности, в частности, состоят в следующем:
а) при вибрационных воздействиях ползучесть бетона и арма-
туры интенсифицирующая — проявляется виброползучесть (см. §§ I,
14 и 11,9);
б) при вибрационных воздействиях наблюдается заметное уве-
личение коэффициента фа (см. § 111,8).
Нами рассматриваются стационарные гармонические внешние
воздействия \ поэтому виброползучесть материалов может быть
учтена с помощью некоторого коэффициента Кв (I,ЮЗ), а для коэф-
фициента ф приемлемы расчетные формулы (111,141, 145). Таким
образом, исходные уравнения деформаций бетона и арматуры, вхо-
дящие в выражения для жесткости железобетонных конструкций,
обобщаются на случай вибрационных воздействий. Напомним, что
соответствующее реологическое уравнение деформаций имеет вид
t
1 Влияние изменения деформативных свойств конструкции на указанные
воздействия, которое может проявляться в ряде реальных случаев, не учи-
тывается.
Cl* (СП, H, t, 7) = КДО), И) С* (/, 7), (IV, 123)
где Кй — коэффициент виброползучести; 1,103;
С* (t, — мера ползучести при статическом нагружении.
Выражение для коэффициента фа:
фа (0 = фФ (ф, /), (IV, 124)
где
ф(ф, /) = 1 + Цф)г(0. (IV, 125)
причем & (ф) = а — 8ф уф2; (IV, 126)
6^1 (<>, // , /, /р) „ , ГП С* (/, /р) (IV,127)
Здесь (о—частота нН—амплитуда динамических напряжений.
Из (IV, 122) и (IV, 127) следует, что с увеличением динамических
воздействий — частоты и амплитуды—г(/) и ф(/) возрастают.
Практически при стационарных вибрационных воздействиях можно
без особого ущерба для точности принять, как рекомендуется
СНиП, ф= 1.
Усилия и напряжения, возникающие при динамических нагру-
жениях железобетонных конструкций, складываются из статической
и динамической частей:
Л4 — Л4СТ Л4ДНН; <з — зст -I- °днн«
(IV, 128)
При этом статическая часть (IV, 128) определяется статической
нагрузкой, включая собственный вес конструкций и оборудования,
а динамические части — динамической частью нагрузки. Динами-
ческие моменты и напряжения определяются из динамического
расчета и зависят от частот и амплитуд колебаний.
При стационарных (или при квазистационарных) нагружениях
можно записать
<7дин (t^> 0) = *?тах, дин («)<?! т, (IV, 129)
где
Мдин = Л4тах, дин (б) И 7дНН = Н&1 (6),
<7тах.дии — амплитуда динамических нагрузок;
Л4тах, дин — амплитуда динамических моментов, являющаяся функ-
цией и координаты сечения;
Н — амплитуда динамических напряжений, считающаяся
функцией как и, так и координат элементарной пло-
щадки внутри сечения, в частности, г;
срДО) — стационарная временная функция, характеризующая
периодичность динамических воздействий.
Здесь, согласно Ю. А. Митропольскому [182], 6—«быстрое
время», названное так в отличие от «медленного времени», в тече-
ние которого протекают реологические процессы.
Аналогично можно построить выражение для относительных
деформаций
е == £ст 4“ еднн>
еднн = гтах. дин *?2(2,0), (IV, 130)
где 2 — сдвиг фаз между нормальными напряжениями и дефор-
мациями.
Принятие записей (IV, 129) и (IV, 130) эквивалентно введению
допущения о синхронном изменении ординат эпюр нормальных
напряжении и о синхронности изменения ординат эпюр относи-
тельных деформаций. Заметим, что при стационарных гармони-
ческих воздействиях можно записать
(0) = sin 0)0 и <?2(2, 0) = sin (со0 2). (IV, 131)
Учитывая кратковременность действия напряжений одной вели-
чины (и знака), пренебрегаем возможным смещением нейтральных
осей эпюр нормальных напряжений и деформаций, принимая а0 = О
(§ ШЛО).
Одновременно, чтобы сохранить единство статического и дина-
мического расчетов, используем зависимости (111,31,33):
, ,п,
ф / Z I г т _ ф / Z \ . НН /1\Т 1ОГ)\
Ост = Ост I — ) , П — ^тах, дин t , (IV, 132)
\ Л / «V /
П, / ,п,
_ _ф г \ ст. _ Ф [ z\ ‘дин nv
ест — сст । — I , Етах, дин — smax. дни I ~| • v * , 1OOJ
Теперь выражения для интегрального модуля деформаций элемента
прямоугольного сечения
х
f (azm)2 dz
£нн _ ?___________________________________
( EGZ27” dz
после подстановки выражений (IV, 128, 129, 130, 132, 133) получат
вид
НН
(4)2
1 + 2 (т + Яаст) +
2°стстах, дии?1 W
! + 2m + Чт + л,дан
1 4- 2m 4- л. 4- //.
JCT 'ст
1 4- 2m 4- n
’дин
X
, I’Sbx.ahhTiWJ’
' 1 4- 2 (m 4- )
_____________________1 v 1 Зднн_________________________
дстЕтах, дин?» (^» qmax, днн?1 (в) £max. дин?» (2> Q)
1 4- 2m 4- na 4- л, + 1 4- 2m 4- /j. 4- n.
аст вднн 'дин ‘дин
(IV, 134)
Частные случаи:
а) динамические воздействия отсутствуют:
-max. лип — Ui Етах. дни — OJ
(I ч- 2т 4- п. 4- ", ) .
НН ___ ст 'ст рф
“* [ 1 4- 2 (т 4- ". )] Гв>-ст,
'ст
(IV, 135)
(IV, 136)
где Бир. ст — временный модуль деформации.
Выражение для интегрального модуля деформаций совпадает
с ранее полученным (111,5);
б) статические воздействия не учитываются:
где
> _ л. _ л.
'-'СТ — ЕСТ — и»
(I 4- 2т 4- п. 4- пt )
'ДНИ -ДИН /?Ф
11 4- 2 (т 4- ". )] Сир,ДИ1”
'дин
рф _________ max, динт1 у >
(IV, 137)
(IV, 138)
(IV, 139)
Вследствие сохранения зависимостей (IV, 132, 133) для стати-
ческой и динамической частей напряжений и деформаций выраже-
ния (IV, 136) и (IV, 138) различаются между собой только индексами
при характеристиках нелинейности деформирования и депланации
сечений и nt. Динамическая характеристика нелинейности де-
формирования по аналогии со статической характеристикой
(111,34, 35) может быть записана как
ДИИ
I- (1 - W
I ^Л..Н I
(<р ~ -«ст)
(IV, 140)
Здесь в знаменателе учитывается снижение доли предельного мо-
мента, относящегося к динамической части нагрузки. Более того,
при назначении необходимо принимать во внимание его снижение
вследствие усталости материала. Все это предопределяет повышение
нелинейности динамического деформирования материалов по сравне-
нию с нелинейностью чисто статического деформирования.
Располагая для любого момента времени значениями интеграль-
ного модуля деформации и коэффициента Фа, надо вычислить ди-
скретную по длине стержня и во времени жесткость сечений.
Дальнейшее решение задачи о колебаниях стержня, описываемых
уравнением
_ , . d2u(v, t, 0) . d3 n / г» * ci\ д*и (и, t, b) . .. /Ти un
& (^» ди2 — Ялн» (^» в)> (IV, 141)
удобно выполнить дискретным методом Л. П. Винокурова [67].
Здесь т (и) — погонная масса стержня, назначенная с учетом ста-
тически приложенной части нагрузки.
Нам представляется целесообразным задачу о колебаниях желе-
зобетонных стержней решать с помощью предварительного осред-
нения жесткости для каждого сечения в пределах полупериода
/ т \
колебаний -п-1:
Г/2
D(v, 2, Г D(y, 2,/, 0)d0, D>0. (IV,142)
О
Тогда уравнение изогнутой оси стержня запишем в виде
. .д2и(и, t, 0) , д3 д2и(и, I, 0) . ... /т,г .
(*) —да-1— + §7= О (v, 2, /) —= <7ЛШ| (и, 0). (IV, 143)
Последнее представляет собой линейное уравнение стационар-
ных колебаний стержня с переменной жесткостью, поэтому задача
может быть решена известными методами Ритца—Тимошенко,
Бубнова—Галеркина и др.
Реализация (IV, 142) требует предварительной аппроксимации
функции D по «быстрому времени 0», что будет довольно громозд-
ким. Указанной аппроксимации можно избежать, если воспользо-
ваться какой-либо формулой для приближенного интегрирования,
например, формулой прямоугольников при разбиении интервала
интегрирования на г частей:
О(и,2,0 = уРЦг^ + УМ. (IV,144)
1
где Dt- — дискретные по «быстрому времени» жесткости рассматри-
ваемого сечения.
Задача о колебаниях стержней, материал которых деформиру-
ется нелинейно и неравновесно, решается также с помощью упро-
щенных записей интегрального модуля деформаций (§ II 1,4, 6) [44].
Интегрирование уравнения (IV, 143) можно выполнить методом
последовательных приближений, используя на каждом этапе из-
вестные линейные решения (§ IV,2). Характер нелинейности урав-
нения (IV, 143) позволяет ожидать, что процесс последовательных
приближений будет сходиться достаточно быстро.
Эту же задачу можно решить приближенно, не прибегая к си-
стеме последовательных приближений по методу Г. С. Писаренко
[208]. Выражение для изогнутого или колеблющегося стержня
разыскиваем в виде
и (о, /, 0) = Мщах (и, 0 sin со0, (IV, 145)
где umax—форма колебаний стержня.
Подставив
= —co2umax (у, t) sin 0)0 (IV, 146)
в уравнение (IV, 143) и сократив общий множитель sin (оО, получим
уравнение формы колебаний рассчитываемого стержня в виде
Л2 — №
D (г, <2, /) ^-2 «,пах (v, /) - (О2/П (ц) мгпах (и, /) лпи (у). (IV, 147)
Далее записываем искомую функцию формы колебаний в виде
усеченного степенного ряда Тейлора ио степеням с:
п
0- АД')'7'1-
I)
(IV, 148)
Одновременно аналогичными рядами заменяем функции жест-
кости D(i>, 12, /), погонной массы ///(:•) и погонной нагрузки
7шах. ,-н» (f)*
sf)
D(v, ”. /) - V 4 D1'1 (°, L>, /) I";
I <1
•s/n
rn (v) = V J. ((.)) V';
I I
I -0
(IV, 149)
Qtnax, лип (V) — Д111| (0) V'.
b
Здесь Ak — неопределенные параметры, отыскиваемые в процессе
решения и уточняемые последовательными приближе-
ниями;
(г) — порядок производной от соответствующей функции;
S — число членов соответствующего усеченного ряда.
Заметим, что вместо рядов (IV, 149) рассматриваемые функции
можно аппроксимировать многочленами с целыми степенями. На-
чало оси v удобно совмещать с тем сечением, в котором ожидаются
нулевые внутренние усилия. Это в дальнейшем обеспечит условие
равенства D(0) (0) нулевой жесткости сечения.
Если принять, как в предыдущем параграфе,
то
. £>пр\ /И
(IV, 150)
(IV, 151)
1 Для некоторых задач удобнее форму колебаний записать сразу в виде
u = F(u)y,ak (/) Vk,
где F(v)— функция, удовлетворяющая заданным частным граничным условиям,
например, для свободноопертой на двух опорах балки F (и) =
= t2(l-c)2.
где
Л4 — Л4Ст -I- Мдцн
Но по (IV, 129)
Мдин = Мтах, дин (^) Sin й)0
И
(IV, 152)
Л4ДНЯ
Г/2
С л^тах, дин (f) Sin CoOdO,
(IV, 153)
о
т. е.
— о
МдНН = { Mnwx.HHH. (IV, 154)
Теперь имеем для (IV, 149)
Dm (0) = D„- °° ,л0Р'-?Л1ег(0)- (0); (IV, 155)
/И 71 и
пр пр
И
5’° (°) = - М" <°) - 4 D°oOD'"‘M<^
/к*пр ^пр
В большинстве случаев погонные массы и внешние нагрузки
распределены равномерно вдоль пролета. Это значит, что
= О и = о, (IV, 156)
dv(n dv(i}
и, следовательно, во втором и третьем ряде (IV, 149) сохраняются
только первые слагаемые.
Дальнейшее решение реализуется подстановкой в (IV, 147) поли-
номов (IV, 148 и IV, 149), приводящих к замене дифференциального
уравнения (IV, 147) соответствующим алгебраическим уравнением
с неизвестными параметрами
SD
/=>0
. п
^(k — l)k(k — 2)Л*(0 VA-3
k=J
п
х [£ k(k — \){k — 2)(Л — 3)4*(/)V‘-4] = 0. (IV,157)
k = l
Группируя члены полученного алгебраического уравнения по
одинаковым степеням V и приравнивая нулю множители при каж-
дом из них согласно способу неопределенных коэффициентов, по-
лучим систему алгебраических уравнений, линейных относительно
искомых неизвестных Ak. При этом только неизвестные До, Дь
А.,, . А,{1 ,, (т — порядок соответствующего дифференциального
уравнения), представляющие собой произвольные постоянные ин-
тегрирования, определяются из граничных условий (очевидно, что
для уравнений (IV, 147) и (IV, 157) т = 4). Остальные неизвестные
Ah_„, не являются независимыми, а определяются через упомяну-
тые выше произвольные постоянные Ао, Alt А2, ... Д(,л_1). Первое
алгебраическое уравнение, полученное приравниванием нулю мно-
жителя при У" из уравнения (IV, 157) содержит только Ат; второе
уравнение, соответствующее У1, — только Ат и Д„|+1; третье — Д,л,
Д„)+1 и Д.л+2. Поэтому решение указанной системы линейных
алгебраических уравнений осуществляется последовательным неза-
висимым решением каждого из них, начиная с первого. В част-
ности, из первого находится А„. как функция произвольных посто-
янных До, Дь Д2, .... Дт_,; из второго — Д„,+1, как функция также
произвольных постоянных и Дш, а после замены Д„ его значе-
нием— только Ао, Дь Д2.......Д^-б 113 третьего — Д ,.+2. Отсюда
построенная система алгебраических уравнений, не давая без гра-
ничных условий ключа для вычисления произвольных постоянных,
использует их как аргументы для создания параметров Д„„ Дл,+1,
Д„1+2, .... которые, таким образом, также становятся зависимыми
от граничных условий.
Можно сказать:
а) произвольные постоянные — функции только граничных усло-
вий и условий загружения конструкции, а также ее геометрических
характеристик и характеристик материалов,
ДА<т_, = (М, L), (IV, 158)
где N — отображает влияние внешней нагрузки (в частности, ам-
плитуды и частоты);
L — отображает влияние геометрических характеристик и ха
рактеристик материалов, а также зависит от частоты
вынужденных колебаний со.
б) Остальные искомые параметры являются функциями тех же
аргументов, а влияние граничных условий отражается с помощью
произвольных ПОСТОЯННЫХ Akcm—\>
Ak>m ~ <?k>m (Мо, Дй<ш_!). (IV, 159)
Исходя из линейности алгебраических уравнений, используемых
для отыскания Д*>т, их можно записать в виде
i=m—1
Ak>m = Nk+ 5 Lk,At. (IV.160)
i=o
Теперь подставим (IV, 158) и (IV, 160) в выражение для формы ко-
лебаний и сгруппируем результат по произвольным постоянным
Л*<м-ь В итоге получится
«max (Р, t) = f (U, t) + S ММ)Л(/), (IV, 161)
где
f(v, /)= V ЛЦ0 Vs; (IV 162)
S Lk.At}V. (IV, 163)
s«e-1
С помощью выражений (IV, 159) и (IV, 163) уравнение (IV, 161)
можно переписать в виде
A=m+i
и„ ах (V, /) = 5 NsV> + S IV" + 2 Lk, ,Р] Л*. (IV, 164)
s«=4 s=4
Последняя запись для wmax позволяет построить выражения для
углов поворота и кривизны линии формы колебаний:
ft=zn—1
Umax (О, 0 =5] 5^(0^-' + Х
S»1 *=о
х [>V‘-1+ S sL'.iAt) Г->] Л*; (IV, 165)
S=.j
^U,„ax(U,n=SS(S- 1/5-2 + J] X
.s=4
x I* (Й — 1) V*-2 + S s(s— 1) r*. s(0 Vs-2] Л*. (IV, 166)
s=4
В выражениях (IV,161) и (IV,164) члены 2 fk(v, t) Ak(t) и
/< = 0
k=m—i
У [V* + У Lk, s(0 Vs] Ak представляют собой общее решение
= 0 s=4
дифференциального уравнения (IV, 147), а члены f(v, /)и NSVS—
s = 4
его частное решение.
Решения (IV,161) и (IV, 164) улучшаются дальнейшими уточне-
ниями в процессе последовательных приближений по жесткостям
и изгибающим моментам (см. § IV,4). Результативная точность за-
висит от принятого количества слагаемых всуммах (IV,148) и (IV,149)
и от числа указанных приближений. В обычных случаях достаточно
ограничиться k = 6 — 8 и не более чем по четыре члена в каждой
из сумм (IV, 149), а число приближений ограничить тремя. Заметим,
что сложность вычислений последовательных приближений не за-
висит от порядка приближения и этим выгодно отличается от
многих других приближенных способов.
Реализация при k = 7 и последующие преобразования (IV, 166)
приводят к таким значениям Nk и LA, s:
д» ___ 1
4 — 24D(0)
п(0) ;
“max. дин’
1
120D(0)
лО)
^тах. дин
л(0
(0) _
max. дни ^(0)
360D(0)
О<2> 0(2)
чтах. дин____Qn(0) и______________
2 "» ах, днн 0(0)
n( I) ( п(0
-_2— — Зо<0) —
0(0) \ тишх. дин ^тах, дни 0(0)
W7 =------~=т
6 • 840D(n
О(3)
» ^тах. днн
й( 1)0(2)
(0) и
max, днн гЪ(0)|2
0(3) Й(2)
_ 10л<0) -------10о(|) —
тmax. днн ^(0) “max. дннрЮ)
5^(2) 20я<,> L£(1)iz_
^тах, днн р(0) 1 ^тах. днн г 0(0) 12
60(?тах. днн । £>(0)js
И
s>
где
Ко,4 — Ко,5 — Ко,0 — Ко,7 — К1,4 — К1,5 — К1,в — К1,7 — 0»
к -_!£!!!• к -________________________1 fn(3) q5(I)p(2) .
Лг’4~ 120(0)’ 60D(0) 0<О) J’
__!— [—D(0) -}- 6tD—1- 4- 4 — (Z){3) — 3£(l--—)1»
360D<°4 D(0) Dm 0(°> T
Кг,7 —
1
6 • 840D(0)
(0',))3p(2)
(D(0))8 J ’
K ____________3 fog) q(O(1))21t
3,4 “ 2Df°)’ Лз’5- 20D(0)L D<°> P
' №3> I 3Dl,pl2'
3,8 30D,0) ( ' Dm
1 Г —ia\ D^D1^ ([№}*
---36D(” — 240 2=^-----------180
6.840D<0) L Dl0) D(0)
т<°>
м ~ 24О<(,) ’
1 / nd)\
Ро>5 = -4^ (т™ - 3/н<°> а- ;
120D(0) ' D,U)
1 т(2} о i0.D(2> oD(,)/ ,n q ,0)D(1)\
—=7n> “о—&п'°'=пй — 2=7m m( , —3m,0) =7^ }
360D(O) 2 0(l” D(0‘ D(0)/J
I n<3) rj(2)
- =-----^=7-. rn™ — =rrr. 4-
6 • 84OD(o) D'()) Dw
-f- 60m<())
— 5zn(2)
i2
n(') /D(1h2 (D'lh3
4- 4- 20tn^ 4- 60m«» (44
D{Q} (D(o))2 (D(0))3
.a
0,4
5
120D(0) ’
p. 6 = L-
' 360D<0)
6 • 840D<0)
3m&— 10^°»^
D(0)
D<"
D™
4- 20/n(0)
Ро.б =
fn(ty
3 360D(0)
1 / n<D\
; p2J=--------L— 6m") — 10m<°) ;
6-84OD<0’ \ Dm!
P
3’ 840D<°> ‘
Запись для Lk,s удобно применять, вычисляя связанную соб-
ственную частоту колебаний в тех случаях, когда масса стержня
(с учетом статически приложенной нагрузки) и динамические
нагрузки распределены равномерно по пролету (qW = rn(i} — 0 при
t>0), выражения для Nk, /(*,s и Pk.s значительно упрощаются.
Как известно, спектр частот собственных колебаний стержней
определяется, помимо граничных условий, его жесткостью, массой
и т. п. Расчетная жесткость неравновесно деформирующихся кон-
струкций зависит от уровня и режима напряженного состояния,
вследствие чего для одного и того же стержня спектр частот
собственных колебаний не остается неизменным, а обусловливается
уровнем напряженного состояния, т. е., в конечном итоге, вели-
чиной и режимом внешних воздействий.
В связи с этим оценка частот собственных колебаний для не-
линейно и неравновесно деформируемых систем может быть рас-
ширена. Для конструкции как таковой — это диапазон возможного
изменения собственных частот данного тона. Нижний предел диа-
пазона соответствует предельному напряженному состоянию, а
верхний — нулевому напряженному состоянию. Для режима вы-
нужденных колебаний — это конкретная частота собственных
колебаний при данном напряженно-деформированном состоянии,
обусловленном величинами и режимом внешних воздействий.
В первом случае частоты собственных колебаний называются
нами несвязанными (свободными), а во втором — связанными (не-
свободными). Диапазон изменения первых оценивается сверху и
снизу обычными решениями линейной теории колебаний, причем
при оценке сверху интегральный модуль деформаций принимается
равным начальному, а при оценке снизу — равным модулю в мо-
мент разрушения.
Частотное уравнение для вычисления связанных собственных
частот можно записать после определения функции форм вынуж-
денных колебаний (IV, 161) или (IV, 164), если приравнять нулю
правую часть исходного уравнения (IV, 147):
—1 k=tn—I
2 Л. (у, I) 4 (0 = 0 или s [Р+ х l*,sP14 = o. (iv,167>
*=.(> ЬО s=4
а знак вынужденной круговой частоты со заменить знаком собст-
венной частоты
р = у. (IV, 168)
Очевидно, что численные значения связанных частот каждого
тона неизбежно попадают в пределы диапазона свободных частот.
Число найденных с помощью (IV, 167) тонов собственных частот
и соответствующая оценка демультнпликационных резонансных
состояний зависят от количества членов усеченного ряда (IV, 148).
В частности, главный тон связанной собственной частоты для сво-
бодно опертой шарнирно закрепленной балки довольно точно вычис-
ляется при удержании семи членов суммы (IV, 148).
Наконец, если частота возмущающих воздействий находится
вне пределов диапазона свободных собственных частот, то для
решения прикладных задач проектирования не обязательно опре-
делять связанную собственную частоту (IV, 167). Достаточно уста-
новить форму колебаний по наименьшему значению интегрального
модуля деформаций, уточняемому последовательными приближе-
ниями без учета его изменения вдоль пролета, применительно к
стержням постоянного сечения. Это вносит решающие упрощения,
так как уравнение (IV, 147) приводится к уравнению с постоян-
ными коэффициентами, значения которых уточняются на каждом
шаге приближений. Данный прием, хотя и требует уточнения
результата последовательными приближениями, позволяет пользо-
ваться всеми готовыми решениями и таблицами линейной теории
колебаний.
В качестве примера рассмотрим колебания однопролетной
балки, шарнирно-опертой на две жесткие опоры. Для такой балки,
как известно, граничные условия имеют вид
^тзх (^> 0 — 0;
(°. 0 _ п.
dv2 ~ U’
^тах (Л /) = 0;
^“тах О
(IV, 169)
(IV, 170)
(IV,171)
(IV, 172)
Подставив в (IV, 164) и (IV, 166) о = 0, получим
Umax(0, Г) = А„ = 0; (IV, 173)
—' = 2А2 = О, (IV, 174)
откуда следует
4 = 4 = 0. (IV, 175)
Записывая далее те же условия (IV, 164) и (IV, 166) при v — l
и учитывая (IV, 175), найдем
«max (I. t) = X NJ’ + (/ + S L,. J’) A, (/) +
+ (Z3 + X L3. /) A, (Z) = 0; (IV, 176)
s=4
d2Um^'' ° = У s (s - 1) NJ’-1 + (£s(s - 1) Llt, • Z3~2) x
x 4,(0+ (6/ + 2s(s- 1) L3. A3(Z) = 0. (IV,177)
Система из двух линейных алгебраических уравнений (IV, 176)
и (IV, 177) дает искомые произвольные постоянные и 4- При-
ведем ее к виду
(/ + X L1. А + (Z3 + X La. aZs) А, = - X NJ’;
s=4 s=4 s=4
(X s(s— 1)bl. SZS~2) A + (6/ + X s(s— 1)L3. s X
s=4 s=4
xZ’-2)4a = — Ss(s— 1)W/-2. (IV,178)
Теперь произвольные постоянные 4(0 и 4(0 оказываются
равными
Д /А __ Q1 (0 и Д /А _____ Фз (О
(IV, 179)
где
5 = 4
5 = 4
5 = 4
5 = 4
= (/ + X Li. aZ‘) (6/ + X s(s- 1) La.a/s-2)-
5=4 5=4
-(Xs(s- 1) L|, aZs~2) (/3 + X L3. sZs); (IV, 180)
s=4 s=4
(- X Nfy (Z3 + X ba. aZ8)
s=4 s=4 _
(X s(s—1)VSZS-2); (6Z + X s(s- l)Ls.aZs-2) “
5=4 5=4
= (- X Nsl’) (6Z + X s (s - 1) La. a/s-2) -
s=4 s=4
- (P + X La. szs) (- X s (S - 1) Nsl1--) (IV. 181)
s=4 s=4
и
Qa —
(/+1 /-i./); (-S
s=4 s=4
(Е s (S - 1) L>. Js-2); (- S s(s - 1) ZVSZ*-2)
s=4 s=4
= (/ + E Li.sZ’)(-S s(s- 1)V/-2)-
s—4 s=4
-(-£ N„ls)(V s(s- 1) Z-!. ,ZS-2).
5=4 5=4
(IV, 182)
Очевидно, что, когда отсутствует внешняя динамическая на-
грузка (все == 0), частные определители Qi = Q.3 = 0- Это
значит, что Ai = А3 = 0 и, следовательно, с учетом Ао = А2 = 0
(IV, 175) при отсутствии внешней динамической нагрузки колебания
балок отсутствуют иП)ах (и) = 0. В случае необходимости связанную
собственную частоту можно рассчитать после предварительного
выяснения umax (и) вынужденных стационарных колебаний, т. е.
при наличии выражения для жесткости D (IV, 149), если приравнять
нулю общий определитель системы Q (IV, 180). Учитывая, что
в случае отсутствия внешней динамической нагрузки все Nk = 0
и используя запись для Lkt s, преобразуем уравнение (IV, 180):
[z + v s+К1. j /•] [6/ + у; s (S _ 1) (Ш*ра. s +
5=4 5=4
4- К».,) Z8-2) - IS S (s - 1)s + К,. s) I”) X
s—4
x [P + S (“>’ P*. s + K,. S)ZS] =0. (IV, 183)
5=4
Отсюда легко получим частотное уравнение, если заменим сим-
вол вынужденной частоты символом связанной собственной час-
тоты р:
a (Р2)2 - b (р)2 4- с = 0, (IV, 184)
где
a = (V Р,_ /) (S s (s - 1) Р3.5Р-“) - (V s (S _ 1) р,. (У р,_ sP);
5=4 5=4 s=4 5=4
(IV, 185)
b = [(S s (s - 1) Xx. / -2) (£ P3. + (S s (s - 1)P,. s x
s=4 s=4 s=4
X z5-2) (/’ + sЛ,.sz!)l - [(/ + s X,. ,1s) X
5=4 5=4
X (S s (s - 1) P3, ,1s-2) + (S Pb , Is) (6Z + Vs (s - 1) Ka. ,ZS-2)1;
s=4 5=4 5=4
(IV, 186)
с = (I 4- S *i. Л (6/ + S s (s - 1) Л3. Js-2) -
5=4 5=4
-(V s(s- 1)K,.SZ’-2)(Z’ +(IV, 187)
5=4 5-4
Из уравнения (IV, 184) следует, что связанная собственная
частота р равна
।
(1 - 12
р = ± ± (Ь2 — 4яс)21[ . (IV, 188)
Если в степенной записи формы колебаний (IV, 148) сохранить
семь или менее слагаемых, т. е. ограничиться Ak < 6, то, согласно
(IV, 184), множитель а при (р2)2 в частотном уравнении (IV, 189) равен
нулю и соответственно
/ г \ 2
Р=±(у) • (IV, 189)
При этом точность вычисления р оказывается приемлемой для
практических целей.
Виброползучесть бетона и арматурной стали, зависящая от
частот и уровня динамических напряжений, и поглощение энергии
при колебаниях отрицают упругую линейную трактовку связи
между напряжениями и деформациями при динамических нагру-
жениях и исключают бесконечное возрастание амплитуды при
резонансном совпадении частот вынужденных и собственных ко-
лебаний [39, 44]. Амплитуды возрастают не бесконечно, а до оп-
ределенной величины — амплитуды устойчивого предельного цикла.
Это согласуется с теорией неавтономных колебаний нелинейных
систем [8, 191].
В действительности речь может идти лишь о мгновенном резо-
нансе, так как всякое увеличение амплитуд колебаний немедленно
меняет записи функций интегрального модуля деформаций, коэф-
фициента 4* и, в итоге, расчетных жесткостей. Следовательно,
немедленно изменяется уравнение формы колебаний и первона-
чальное значение связанной собственной частоты — неизбежно
нарастает расстройка резонанса. Метод интегрального модуля де-
формаций, в котором жесткость системы и связанные собственные
частоты являются функциями напряженного состояния, отражает
описанное явление автоматически. Этот метод выявляет прямую
связь между прочностью и деформативностыо конструкций и от-
ражает известный из опытов факт, что амплитуды колебаний
никогда не могут быть бесконечными, даже в моменты, непосред-
ственно предшествующие разрушению.
§ IV, 9. К ВОПРОСУ О РАСЧЕТЕ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
ЭКСПЛУАТАЦИИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Вследствие неравновесности деформирования бетона дефор-
мации железобетонных конструкций во времени увеличиваются.
В ряде случаев расчетные предельные состояния нормируются не по
несущей способности, а по предельным деформациям. Обычно такими
деформациями являются прогибы.
Если даже при нормировании предельных состояний по проч-
ности и устойчивости все более существенным оказывается учет
Рис. IV, 16. Схема определения расчетной
конструкций.
длительности эксплуатации
влияния длительности загружения (длительная прочность матери-
алов) (§ 1,15) и длительной устойчивости (§ IV,9), то при норми-
ровании предельных прогибов учет длительности загружения вообще
может быть решающим.
Благодаря построенному аппарату расчета можно к любому
моменту времени определять жесткость и деформации конструкций,
назначать критическую силу и т. п. Однако обратный замкнутый
расчет, позволяющий аналитически установить время, к которому
будут достигнуты назна-
ченные предельные дефор-
мации и окажется крити-
ческой заданная сжимаю-
щая сила, выполнить не
удается. Это объясняется,
правда, только сложностью
полученных зависимостей, в
которых время как искомая
величина входит в неявном
виде. Поэтому предлагается
такой способ определения
расчетной длительности
эксплуатации конструкций,
который состоит в вычис-
лении их максимальных деформаций к нескольким
моментам времени и в последующей аппроксимации
значений некоторой кривой (рис. IV, 16).
дискретным
полученных
При неизменных во времени внешних воздействиях указанная
кривая, как правило, является монотонной и обычно хорошо опи-
сывается экспоненциальными выражениями вида
и (/) = и (/„) (1 — Ае~в(‘-‘'>], (IV,190)
где и (/<») — величина рассчитываемой деформации, полученная
в предположении, что время наблюдения стремится к
бесконечности;
А и В — некоторые параметры, определяемые качеством
материала конструкции, уровнем нагружения и т. д.,
т. е. всеми данными, входящими в предложенный
метод интегрального модуля деформаций.
Очевидно, в момент загружения, когда i = /0,
и (/0) = и (/„) (1 — Л)
(IV,191)
и, следовательно,
л _ 1 и (zq) 1 11 <z«>)
* * 1 / 1 ' 1 / 1 .
MCJ ,z <Zct)
>0.
(IV, 192)
Здесь и (/0) — кратковременная деформация, полученная конструк-
цией в момент загружения.
Если вместо / принять некоторое время стабилизации дефор-
маций /ст, а также избрать характерную точку и (/к), то из (IV, 191)
при t = /к получим
1 j
/к-/01Пи(/го)-и(/0)
(IV, 193)
Таким образом, вычислив с помощью метода интегрального
модуля прогибы конструкций для трех характерных моментов вре-
мени /0, /к и /ст, можно назначить параметры А и В искомой ап-
проксимирующей кривой.
Условие нормирования прогибов может быть записано в виде
м(/) < [и],
(IV, 194)
где [и] — предельный прогиб.
Подставив (IV, 190) в (IV, 194) и произведя простейшие преоб-
разования, получим расчетную длительность эксплуатации
экс
(IV, 195)
Очевидно, с уменьшением нормированного предельного прогиба
время эксплуатации уменьшается, а при [и] = и (/0)
1
/экс --- /о
(IV, 196)
и, следовательно, конструкцию эксплуатировать недопустимо.
Если [и] > u т. е. известно, что прогиб никогда не до-
стигнет предельного и, в частности, при [«1 = и (/«) расчетное
время эксплуатации равно бесконечности. Величина и (/«) зависит
от уровня напряженного состояния конструкции и с уменьшением
последнего уменьшается. Этим объясняется тот подтверждаемый
практикой факт, что при эксплуатационных нагружениях железо-
бетонных конструкций прогибы последних в большинстве случаев
не превышают допустимых.
Наконец, при заданной длительности эксплуатации можно обес-
печить максимальную экономию материала конструкции, после-
довательно уточняя
« (/ст) = --, <> - ,) • (IV, 197)
1 — Де ° ''экс ‘«I '
корректируя поперечные сечения, армирование и т. п. и устанав-
ливая на каждом этапе приближений свои А и В.
Аналогично можно найти критическое время для сжатого
железобетонного стержня (см. рис. IV,17). Для нескольких дискрет-
ных моментов времени с учетом качества конструкции, схемы ее
закрепления и начальных эксцентриситетов вычисляются значения
критической силы (§ IV,7). Это дает возможность установить
особенности влияния длительных (неравновесных) процессов дефор-
мирования на расчетную величину критической силы, соответствую-
щую каждой длительности нагружения (/— /0) (рис. IV, 17). По
кривой распределения
этих расчетных величин
подбирается вид аппрок-
симирующей функции.
В данном случае та-
кую функцию можно за-
писать в виде
Рис. IV,17. Зависимость величины критичес-
кой силы от продолжительности действия на-
грузки.
(/-/.)], (IV, 198)
где q — параметр, опре-
деляемый схе-
мой загружения стержня и его конструктивными особен-
ностямн.
Очевидно, при t = /0 Ркр (/) = Ркр (/0), а при t = PKp(i) =
= Ркр(/«), где РКр(^~)—не что иное, как критическая сила, по-
лученная из расчета длительной устойчивости. При пользовании
рис. IV, 17 приходится вместо К применять /ст и соответственно
принимать
Ркр(/»)~ Ркр (/ст)-
Назначив некоторую характерную точку k, которую следует
выбирать в месте максимальной кривизны линии Ркр(/), и преоб-
разуя (IV, 198), найдем
^кр С^р) Ркр ______________
^кр ^кр ^ст)
откуда определяется искомое значение параметра
q = —
Ркр(М-Ркр^)'
^кр^-Ркр!/,).
(IV, 199)
(IV,200)
Располагая значением параметра q, можно вычислить крити-
ческое время для сжатого железобетонного стержня. Пусть на
стержень действует некоторая сжимающая сила Р. Стержень во
времени может потерять устойчивость при условии
^кр (/о) > Р > Ркр (^')*
Время t потери устойчивости под действием силы Р и будет кри-
тическим временем. Находим его из условия
р = ^кр(/о)~ [Ркр(/о) — ^кр(/«)1(IV,201)
откуда с учетом (IV,200) получаем
РКр Р
^кр Оо) ^кр .
РуЛ^-Ркр
PkPVo)-₽kp(U) .
(IV,202)
Заметим, что при Р = ркр(/0) из формулы (IV,202) следует,
что стержень теряет устойчивость в момент загружения /кр = /(), ибо
In 1=0. При Р<РкР(/0), когда под логарифмом оказывается
отрицательное число, находим, что критического времени не су-
ществует и стержень никогда не потеряет устойчивость. При
Р = £кр(/оо) критическое время равно бесконечности, ибо lim 1пх->
л-* О
—> СО.
Наконец, если при Р < Ркр нормируется прогиб виецентренно
сжатого железобетонного стержня
/i < 1Л1, (IV,203)
то величина допускаемой сжимающей силы вычисляется по формуле
р°
Рят =---------------------г-------. (IV,204)
1 + Т7Л + V’+ 5S1Л|)к'+ к,к-
а расчетная длительность эксплуатации
,1, РятЫ~Р ’
/эке = <о + (<к-М (IV,205)
I I. ГДОП'*0/ ГДОП '*К'
П1 "Рдоп (W-PAon(^)J
где Рдоп(/о); Рдоп (/к) И Рдоп(/М) ВЫЧИСЛЯЮТСЯ ПО (IV,204) при
соответствующих значениях kx и k2, которые посредством расчет-
ных жесткостей (Do и Dnp) и расчетных предельных усилий (Р„р
и Л4пР) учитывают влияние длительных процессов на напряженно-
деформированное состояние и прочность стержня.
Из сказанного видно, что назначение расчетной длительности
эксплуатации или расчетного критического времени осуществимо
с помощью довольно простых приемов. Дальнейшие упрощения
можно получить, если для наиболее часто встречающихся кон-
струкций и схем загружения составить таблицу параметров Л, В и q.
выводы
1. Метод интегрального модуля деформаций в сочетании
с расширенным понятием о коэффициенте позволяет решать проч-
ностные и деформативные задачи теории железобетона с учетом
нелинейности, неравновесности и анизотропии деформирования.
Сущность данного метода состоит в интегральной линеариза-
ции нелинейных характеристик деформирования бетона по высоте
сечения рассчитываемого элемента и в «омертвлении» неравновес-
ного процесса деформирования к каждому дискретному моменту
времени. Линеаризация и «омертвление» объективно приводят не-
линейные и неравновесные задачи к обычному аппарату линейной
строительной механики, допуская применение к этим задачам ос-
новных ее теорем.
С алгоритмической точки зрения решение сводится к системе
последовательных приближений для конструкций с расчетно пере-
менными жесткостями, устанавливаемыми в зависимости от вели-
чины, режима и длительности усилий. Вследствие обеспеченной
непрерывности всех величин, входящих в алгоритмы, при реали-
зации расчетов на ЭВМ наблюдается быстрая сходимость.
2. Метод не зависит от используемой теории состояния бетона
и отражает влияние масштабного фактора, виброползучестн, не-
обратимости деформации, усадки, температуры, влажности среды,
нелинейности деформирования, марки бетона и т. п. В монографии
проанализированы различные теории ползучести, приведены крите-
рии их оценки, а также получено теоретическое выражение для
коэффициента виброползучести. Справедливость метода проверена
сопоставлением с экспериментами.
3. С позиций метода интегрального модуля деформаций рас-
смотрены прочность и жесткость сечения железобетонного элемента
и решены такие основные задачи, как расчет статически неопре-
делимых, контактных и стержневых систем, расчет устойчивости
и колебаний стержней, расчет критического времени и длитель-
ности эксплуатации конструкций.
В итоге исследованы перераспределения усилий в статически
неопределимых системах в зависимости от уровня и длительности
нагружения, а также в зависимости от марки бетона и количества
арматуры. Получены единые замкнутые выражения критической
силы для центрально и внецентренно сжатых железобетонных
стержней и аппарат для расчета вынужденных стационарных
колебаний железобетонных стержней с учетом нелинейности и не-
равновесности деформирования, переменных расчетных жесткостей
по их длине.
Разработанные положения позволяют решать другие задачи
теории железобетона, связанные с нелинейностью и неравновес-
ностью деформирования и, в частности, рассчитывать тонкостен-
ные железобетонные конструкции (плиты и оболочки).
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамян Б. Л. О температурных напряжениях в прямоугольном
блоке. «Изв. АН Арм. ССР. Серия физ.-мате.м. и естеств. наук», VI!. №3, I954.
2. Александровский С. В. Расчет бетонных и железобетонных
конструкций на температурные и влажностные воздействия (с учетом ползу-
чести). Стройиздат, 1966.
3. Александровский С. В. О методике исследований ползучести
и влажностных деформаций бетона. «Методика лабораторных исследований
деформаций и прочности бетона, арматуры и железобетонных конструкций.
Труды координационного совещания». Госстройиздат, I962.
4. Александровский С. В. О влиянии масштабного фактора
на влажностные деформации бетона. «Расчет железобетонных конструкций.
Экспериментально-теоретические исследования по усовершенствованию расчета.
Труды НИИЖБ», вып. 23. Госстройиздат, 1961.
5. А л е к с а н д р о в с к и й С. В., Б а г р и й В. Я., П о п к о в а О. М.
Некоторые экспериментально-теоретические вопросы феноменологической тео-
рии ползучести бетона, важные для ее дальнейшего развития. Сб. VI конфе-
ренции по бетону и железобетону, 1966. Материалы секций конференции, под-
готовленные НИИЖБ, вып. I. Стройиздат, 1966.
6. Александровский С. В., Багрий В. Я. Ползучесть бетона
при ступенчатых знакопеременных периодических нагрузках. «Бетон и железо-
бетон», 1967, № 12.
7. Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести. Гостех-
издат, 1952.
8. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория коле-
баний. Физ.матгиз, 1959.
9. Ахвердов И. П. Высокопрочный бетон Госстройиздат, 1961.
10. Баженов IO. М. Влияние влажности на прочность бетона при раз-
личной скорости нагружения. «Бетон и железобетон», 1966, № 12.
11. Балавадзе В. К. Прочность и деформативность бетона при сво-
бодном и стесненном растяжении. Сб. VI конференции по бетону и железобе-
тону. Материалы секции конструкций. Стройиздат. 1966.
12. Байков В. Н. Проектирование плоских и пространственных систем
с учетом совместной работы сборных железобетонных элементов. VI конферен-
ция по бетону и железобетону. Материалы секций конференции, подготовленные
центральным правлением НТО Стройиндустрии (третья секция). Стройиздат, 1966.
13. Байков В. Н., Владимиров В. Ф. Исследование железобетон-
ных плит на ЭВ/М «Урал-2» с учетом действительной жесткости на кручение.
Материалы VI конференции ло бетону н железобетону. Стройиздат, 1966.
14. Бараш и ков А. Я. Ползучесть бетона при вынужденных цикличе-
ских колебаниях. «Бетон и железобетон», 1967, № 12.
15. Б а г р и й В. Я. Соотношение между деформациями ползучести бетона
при сжатии и растяжении. «Межотраслевые вопросы строительства, отечествен-
ный опыт». Госстрой, 1967.
16. Баркан Д. Н. Виброметод в строительстве. Госстройиздат, 1959.
17. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползу-
чести. Госстройиздат, 1961.
18. Безухов Н. И. О некоторых обобщениях основных теорем строи-
тельной механики стержневых систем на двухмерные и трехмерные линейные
и нелинейные, динамические и реологические задачи. Сб. «Строительная меха-
ника». Стройиздат, 1966.
19. Бейлин Е. А. Об одной неконсерватпнной задаче устойчивости
плоской формы изгиба. Сб. «Проблемы устойчивости в строительной механике».
Стройиздат, 1965.
20. Белянкин Ф. П., Яценко В. Ф., Дыбенко Г. И. Проч-
ность и деформативность слоистых пластиков. Изд-во «Паукова думка», Киев,
1966.
21. Белов Л. В. О влиянии арматуры на величину усадочных напряже-
ний в бетоне. «Изв. ВНИИГ». т. 45, 1951.
22. Белов А. В. Опыт математической теории усадки бетона. «Изв.
ВНИИГ», т. 35, 1948.
23. Бельский Г. Е. Деформативность и устойчивость сжато-изогнутых
стержней за пределом упругости. Сб. «Проблемы устойчивости в строительной
механике». Стройиздат, 1965.
24. Беляев Н. М., Александрин Л. Н., Корсак Н. Г.,
Са тал кин А. В. Прочность, упругость и ползучесть бетона. Стройиздат,
1941.
25. Беляев Н. М. Применение теории пластических деформаций к расче-
там на ползучесть деталей при высоких температурах. «Изв. АН СССР. ОТН»,
1948, № 7.
26. Берг О. Я. Физические основы теории прочности бетона и железо-
бетона. Госстройиздат, 1962.
27. Б е р г О. Я. К вопросу о прочности и пластичности бетона. ДАН СССР,
т. XXI, 1950, № 1.
28. Б е р г О. Я. Некоторые вопросы теории деформации и прочности
бетона. «Изв. вузов. Строительство и архитектура», 1967, № 10.
29. Б е р г О. Я. Исследование физического процесса разрушения бетона
под действием статической и многократно повторяющейся нагрузки. «Труды
Всесоюзного научно-исследовательского института транспортного строитель-
ства», вып. 10, 1963.
30. Б е р г О. Я-, Рожнов А. И. К учету нелинейной ползучести
бетона. «Бетон и железобетон», 1967, № 9.
31. Бленд Д. Теория нелинейной вязкоупругости. Изд-во «Мир», 1965.
32. Блинков В. В. Исследование деформаций бетона при чистом сдвиге.
«Изв. ВНИИГ», т. 53, 1955.
33. Блинков В. В. Исследование ползучести бетона при повторных
длительных действующих нагрузках. «Изв. ВНИИГ», т. 60, 1958.
34. Бовин В. А. Учет ползучести бетона и железобетона в сооруже-
ниях. «Сб. научных работ Днепропетровского института инженеров транспорта»,
вып. VIII, 1940.
35. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике.
Гостехиздат, 1961.
36. Болотин В. В., Гольде н блат И. И., Смирнов А. Ф.
Современные проблемы строительной механики. Стройиздат, 1964.
37. Бондарев М. В. О влиянии предшествующего процесса деформи-
рования на деформации бетона. Сб. «Структура, прочность и деформации бето-
на». Стройиздат, 1966.
38. Б о н д а р е н к о В. М. Некоторые вопросы теории колебаний, связан-
ные с учетом реологических свойств материалов. «Труды ХИСИ», вып. 11,
Изд-во ХГУ, Харьков, 1959.
39. Б о н д а р е н к о В. М. Про призначення оптимальних поперечннх
nepepiaie конструкцп, що коливаються. «BicHHK Академы буд!вництва i apxi-
тектури УРСР», 1959, № 4.
40. Бондаренко В. М., Т и м к о И. А., Шагин А. Л. «Расчет
железобетонных плит и оболочек методом интегрального модуля деформаций».
Изд-во ХГУ, Харьков, 1967.
41. Бондаренко В. М., Гержула Л. Б., Любимов А. А.,
Па льни некий О. В. Исследование деформаций бетона при статической
нагрузке. «Труды ХИСИ». вып. 18. Изд-во ХГУ, Харьков, 1962.
42. Бондаренко В. М. Расчет нелинейно деформируемой балки на уп-
ругом основании методом интегрального модуля. «Труды ХИСИ», вып. 26.
Изд-во ХГУ, Харьков, 1963.
43. Бондаренко В. М. Анализ современных уравнений деформаций
бетона. Сб. «Железобетонные конструкции», вып. 2 (31). Изд-во ХГУ. Харь-
ков, 1964.
44. Бондаренко В. М. О расчете колебаний нелинейно-деформирую-
щихся стержней методом интегрального модуля деформаций. Сб. «Железобе-
тонные конструкции», вып. 2 (31). Изд-во ХГУ, Харьков, 1964.
45. Бондаренко В. М. О деформациях виброползучести бетона.
Сб. «Структура, прочность и деформации бетона». Стройиздат, 1966.
46. Бондаренко В. М., Романов П. П. Расчет устойчивости вне-
центреино сжатых железобетонных стержней. Сб., «Строительные конструкции»,
вып. IV, Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1966.
47. Бондаренко В. М. Некоторые вопросы расчетной длительности
эксплуатации железобетонных конструкций. Всесоюзное научно-техническое
совещание по повышению долговечности промышленных зданий и сооружений.
Изд-во «Прапор», Харьков, 1966.
48. Бондаренко В. М. К вопросу экономичности строительных кон-
струкций. Сб. «Экономическая реформа и эффективность производства». Изд-во
«Прапор», Харьков, 1967.
49. Б о р и ш а и с к и й М. С. Исследование работы внецентренно сжатых
железобетонных элементов. «Проект и стандарт», 1936, № 6.
50. Бугаков И. И. Принципы сложения деформаций и напряжений
и ползучесть полимерных материалов. «Механика твердого тела», 1966, №1.
51. Буданов Н. А. Расчет железобетонных конструкций с учетом пол-
зучести бетона. Госстройиздат, 1949.
52. Б у л г а к о в В. С. О влиянии масштаба на несущую способность
и деформации железобетонных внецентренно сжатых элементов прямоугольного
сечения. «Труды НИИЖБ», вып. 23. Госстройиздат, 1961.
53. Б у н т я н Л. Б. К вопросу устойчивости железобетонного стержня
с учетом ползучести бетона. «Докл. АН Арм. ССР», т. XII, 4,1950.
54. Б у ш к о в В. А. Железобетонные конструкции. Ч. 1. Госстрой-
издат, 1940.
55. Вайнберг Д. В., Писаренко Г. С. Механические колебания
и их роль в технике. Изд-во «Наука», 1965.
5о. Васильев П. И. Связь между напряжениями и деформациями
в бетоне при сжатии с учетом влияния времени. «Изв. ВНИИГ», т. 45. Гос-
энергоиздат, 1951.
57. В а с и л ь е в П. И. Некоторые вопросы пластических деформаций
бетона. «Изв. ВНИИГ», т. 49. Госэнергоиздат, 1953.
58. Васильев П. И. К вопросу выбора феноменологической теории
ползучести бетона. Сб. «Ползучесть строительных материалов и конструкций».
Стройиздат, 1964.
59. Васильев П. И. Пластические свойства бетона и их влияние на
работу бетонных сооружений. Сб. «Теория расчета и конструирования железо-
бетонных конструкций». Госстройиздат, 1958.
60. Васильев В. П. К вопросу о механизме деформирования бетонов.
«Изв. вузов. Строительство и архитектура», 1965, № 10.
61. Васильев П. И. Некоторые вопросы определения деформативных
свойств бетона. «Методика лабораторных исследований деформации и прочности
бетона, арматуры и железобетонных конструкций. Труды координационного
совещания». Госстройиздат, 1962.
62. Вилен Ф. И. К расчету прогибов железобетонных плит при дейст-
вии кратковременной нагрузки. Сб. «Строительные конструкции», вып. VI.
Изд-во «Буд1‘вельник», Киев, 1967.
63. Виноградов Л. И., Андриевский В. Г. К вопросу энерге-
тической теории выносливости упруго-вязкого материала. «Методика расчета
и проектирования сооружений наименьшего веса, вопросы применения пласт-
масс на железнодорожном транспорте. Научные труды ХИИТа», вып. 58. Изд-во
ХГУ. Харьков, 1952.
64. Виноградов А. И. О малых упруго-вязких деформациях линейно-
деформнруемой изотропной среды. «Применение пластмасс на железнодорожном
транспорте и в машиностроении. Труды ХИИТа», вып. 84. Изд-во «Транспорт»,
1966.
65. Виноградов А. И. Обобщение задачи Буссинеска для линейно-
деформируемых сплошных сред. «Применение пластмасс на железнодорожном
транспорте. Труды ХИИТа». Изд-во «Транспорт», 1966.
66. Винокуров Л. П. Теория упругости и пластичности. Изд-во ХГУ,
Харьков, 1965.
67. Винокуров Л. П. Прямые методы решения пространственных
контактных задач для массивов и фундаментов. Изд-во ХГУ, Харьков, 1966.
68. В и ш и е в е ц к и й Г. Д. Введение в техническую теорию деформаций
набухания и усадки бетона. «Труды ЛИСИ», вып. 26, 29. Госстройиздат, 1957, 1958.
69. Вишневецкий Г. Д. Расчет прочностных и деформационных изме-
нений в твердеющем бетонном теле. Сб. «Структура, прочность и деформации
бетонов». Стройиздат, 1966.
70. Вольте рра В. Упругая среда с наследственностью. Механика.
Сб. переводов и обзоров иностранной периодической литературы, вып. 1, Гос-
те хиздат, 1953.
71. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. Физматгиз, 1963.
72. Воронков Н. И. Научно-техническая конференция по бетону и же-
лезобетону. Тезисы докладов и сообщений. Стройиздат УССР, 1950.
73. Виноградов А. И. К теории линейно-деформируемой сплошной
среды. Вопросы теории и применения неупругих материалов на транспорте
и в железнодорожном строительстве, «Труды ХИИТа», вып. 103. Изд-во ХГУ,
Харьков, 1967.
74. Вульфсон С. С. К нелинейной теории ползучести. Сб. «Ползучесть
строительных материалов и конструкций». Стройиздат, 1964.
75. Гансен Т. Ползучесть и релаксация напряжений в бетоне (перев.
с англ.), Госстройиздат, 1963.
76. Г а л и и А. О действии вибрационной нагрузки на полимерные мате-
риалы. «Изв. АН СССР. Механика», 1965, № 6.
77. Гвоздев А. А. О пересмотре способов расчета железобетонных
конструкций. ОНТИ, Госстройиздат, 1934.
78. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. Стройиздат, 1949.
79. Гвоздев А. А. Температурно-усадочные деформации в массивных
бетонных блоках. «Изв. АН СССР, ОТН», № 4, 1953.
80. Г в о з д е в А. А. Ползучесть бетона и пути ее исследования. Сб. «11с-
следование прочности и ползучести строительных материалов». Госстройиздат,
1955.
81. Гвоздев А. А. Ползучесть бетона. «Труды II Всесоюзного съезда
по теоретической и прикладной механике, 1964. Обзорные доклады», вып. 3.
Изд-во «Наука», 1966.
82. Гвоздев А. А, Некоторые особенности деформирования бетона
и теории ползучести. Сб. «Ползучесть строительных материалов и конструк-
ций». Стройиздат, 1964.
83. Гвоздев А. А., Берг О. Я. Основные итоги и дальнейшие
задачи научно-исследовательских работ в области бетона и железобетона.
VI конференция по бетону и железобетону, доклады на пленуме. Стройиз-
дат. 1966.
84. Гвоздев А. А., Яшин А. В., Галустов К. 3. О некоторых
отступлениях от принципа наложения и теория ползучести бетона. «Бетон
и железобетон», 1967, № 8.
85. Гвоздев ск ий В. II. Определение напряжений в изгибаемых
железобетонных элементах с учетом упруго-пластических свойств бетона. Сб.
«Железобетонные конструкции», Кунбышевск. книжн. изд-во, 1963.
86. Г алеркин Б. Г. Собр. соч., т. 1. Изд. АН СССР, 195*2.
87. Гениев Г. А., Тюнин Г. А. Некоторые вопросы теории уп-
ругости железобетона при наличии трещин. Сб. VI конференции по бетону
и железобетону. Материалы секции конференции, подготовленные ЦНИИСК
нм. В. А. Кучеренко, Стройиздат, 1966.
88. Г е м м е р л и п г А. В. Несущая способность сжатых и сжато-
изогнутых стальных стержней. Сб. «Исследование прочности, пластичности
и ползучести строительных материалов». Госстройиздат, 1955.
89. Гержула Л. Б. О критерии длительной прочности материалов,
обладающих реологическими свойствами. «Труды ХИСИ», вып. 18. Изд-во
.ХГУ, Харьков, 1962.
90. Гибшман М. Б. Теория н расчет предварительно напряженных
железобетонных мостов с учетом длительных деформаций. Изд-во «Транс-
порт», I960.
91. Гл у ж те И. И. Усадка бетона. Сб. «Пуццолановые цементы»,
Стройиздат, 1936.
92. Гол ьленблат И. И., Николаенко И. А. Теория ползу-
чее! и строительных материалов и ее приложение. Госстройиздат, 1960.
93. Горнов В. Н. Исследования прочности и жесткости индустриальных
конструкций жилых зданий. Госстройиздат, 1954.
64. Го лышев А. Б., Полищук В. П. Некоторые задачи нели-
нейной ползучести в сборно-монолитном железобетоне. Сб. трудов Челябинск,
политехи, ин-та, № 34, 1966.
95. Григорян Г. С. К расчету прочности, жесткости и устойчивости
гибких оболочек и стержней в условиях ползучести. Сб. «Ползучесть строи-
тельных материалов и конструкций», Стройиздат, 1964.
96. Генки Г. Новая теория пластичности, упрочнения, ползучести
и опьпы над неупругими материалами. Сб. «Теория пластичности». Изд-во
иностр, лит., 1948.
97. Губанов А. И. Механика упруго-вязко-пластичных тел. ЖТФ,
I. XIX, вып. 1, 1949.
98. Давиденков Н. Н. О рассеянии энергии при вибрациях. ЖТФ,
т. VIII, вып. 6, 1938.
99. Давыдов С. С. Расчет и проектирование подземных конструкций.
Стройиздат, I960.
100. Давыдов Н. Ф., Донченко О. М. Экспериментально-теоре-
тическое исследование сопротивления бетона при внецентренпом и местном
сжатии. «Железобетонные конструкции», вып. 1 (30). Изд-во ХГУ, Харьков,
1964.
101. Давидов И. В. Определение перемещений в сжато-изогнутых
элементах при их работе за пределами упругости. «Труды ХИСИ», вып. 4.
Изд-во ХГУ, Харьков, 1955.
102. Дейвис Р. М. Волны напряжений в твердых телах. Изд-во иностр,
лит., 1961.
103. Джонс Р., Гэтфилд Е. Ультразвуковой импульсный способ
испытания бетона (перев. с англ.). Госстройиздат, 1957.
104. Десов А. Е., Москвин В. И., Скрамтаев В. Г. Высоко-
прочные бетоны для предварительно-напряженных конструкций. «Доклады
совещания по предварительно-напряженным железобетонным конструкциям для
производственных зданий». Стройиздат, 1965.
105. Десов А. Е. Некоторые вопросы структуры, прочности и дефор-
мации бетонов. Сб. «Структура, прочность и деформации бетонов». Стройиз-
дат, 1966.
106. Деркач В. Ф. Некоторые вопросы расчета бетонных конструкций
с учетом длительных процессов. «Труды ХИСИ», вып. 4. Изд-во ХГУ, Харь-
ков, 1955.
107 Дмитриев С. А. Оптимальное напряжение обжатия бетона пред-
варительно напряженных конструкций. «Бетон и железобетон», 1966, Ne 4.
108. Дмитриев С. А. Влияние предварительного напряжения на жест-
кость железобетонных конструкций. «Исследование прочности, жесткости
и трещи нестойкости железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ», вып. 26.
Госстройиздат, 1962.
109. Дмитриев С. А., Кал ату ров В. А. Расчет предварительно
напряженных железобетонных конструкций. Госстройиздат, 1963.
110. Д о н ч е н к о О. М. К расчету железобетонных изгибаемых конст-
рукций, армированных твердыми сталями. Сб. «Строительные конструкции»,
вып. VI. Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1967.
111. Европейский комитет по бетону. Унифицированные
практические рекомендации для расчета и осуществления железобетонных
конструкций. НИИЖБ, Госстрой СССР, 1966.
112. Еременко И. П. Влияние температуры ьа тепловыделение це-
мента, прочность и модуль упруго-мгновенных деформаций бетона. «Труды
совещаний по гидротехнике». Госэнергоиздат, 1962.
113. Е м е л ь я н о в А. А. Об оценке усадочных свойств бетонов. «Бетон
и железобетон», 1967, № 3.
114. Журков С. Н. Проблема прочности твердых тел. «Вестник
АН СССР», Ns И, 1957.
115. Заславский И. Н., Жук Г. С. Исследование деформаций усадки
и ползучести бетона при длительном нагреве. Сб. «Строительные конструкции»,
вып. 2. Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1965.
116. Заславский И. Н., Стрелков Г. П. Исследование измене-
ния модуля упругости бетона при длительном нагреве и нагружении. Сб.
«Строительные конструкции», вып. 3. Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1965.
117. За до ян М. А. Термонапряженное состояние блоков с учетом
ползучести материалов. «Изв. АН Арм. ССР. Серия физ.-матем. и мех. наук»,
Ns 10, вып. 5, 1957.
118. Зайцев Л. Н. Влияние распора на распределение усилий, несу-
щую способность и деформативность статически-неопределимых железобетонных
балок. Сб. «Трещиностойкость н деформативность обычных и предварительно
напряженных железобетонных конструкций». Стройиздат, 1965.
119. 3 и н е р. Упругость в неупругость металлов (перев. с немецк.).
Изд-во иностр, лит., 1954.
120. Иванов IO. М. О длительной прочности полимерных материалов.
Сб. «Ползучесть строительных материалов и конструкций». Стройиздат,
1964.
121. Иванова В. С., Рагозин Ю. И. Термодинамический расчет
удельной энергии разрушения. «Изв. АН СССР. Неорганические материалы»,
1, Ns 10, 1965.
122. Иванов М. С., Коган Б. И. О влиянии модуля упругости
бетона на распределение касательных напряжений в железобетонных элемен-
тах. Сб. «Водоснабжение, канализация, гидротехнические сооружения», вып. 3,
1966.
123. И в янский А. М., Овечкин А. М. Строительные конструкции,
ч. III. «Железобетонные и каменные конструкции». Трансжелдориздат, 1948.
124. Ильюшин А. А. Пластичность. Гостехиздат, 1948.
125. И ш л и н с к и й А. Ю. Линейные законы деформирования не вполне
упругих тел. ДАН СССР. т. XXVI, № 1, 1940.
126. Кальницкий А. А. К расчету не равнопролетных железобетонных
балок с учетом перераспределения усилий. «Бетон и железобетон», 1966, Ns 12.
127. К а н С. Н. Строительная механика оболочек. Изд-во «Машинострое-
ние», 1966.
128. Карапетян К. С. Влияние фактора времени на прочность и де-
формативность бетона на литоидной пемзе и некоторые другие его свойства.
Сб. статей «Гидротехнический бетон на литоидной пемзе». Изд-во АН Армян-
ской ССР, Ереван, 1958.
129. Карапетян К. С. Влияние старения Истона на зависимость
между напряжениями и деформациями ползучести. «Изв. АН Армянской ССР.
Серия физ.-матем. наук», т. л11, вып. 4, 1959.
130. Карапетян К. С. Влияние размеров образца на усадку и ползу-
чее lb бетона. «Изв. АН Армянской ССР. Серия физ.-матем., естествен, и техн,
наук», т. IX, № I, 1956.
131. Карапетян К. С. Ползучесть бетона при высоких напряжениях.
«Изв. АН Армянской ССР. Серия физ.-матем., естеов. и техн, наук», т. VI,
№ 2, 1953.
132. Карпенко Н. П. О работе железобетонных плит с трещинами.
Материалы VI конференции по бетону и железобетону. Стройиздат, 1966.
133. Катин Н. И. Исследование ползучести бетона при высоких на-
пряжениях. «Исследование свойств бетона и железобетонных конструкций.
Труды НИИЖБ, вып. 4», Госстройиздат, 1959.
134. Карапетян К. С. Влияние анизотропии на прочность и ползучесть
бетона в зависимости от расходов цемента. «Изв. АН Арм. ССР. Серия физ.-матем.
наук», № 5, 1966.
135. Качанов JI. At Теория ползучести. Фнзматгиз, 1960.
136. Каудерер Г. Нелинейная механика (перев. с англ.) Изд-во
иностр, лит., 1961.
137. Квирикадзе О. П. О зависимости между деформациями бетона
и скоростью нагружения. Изд-во АН Грузинской ССР, Тбилиси, 1962.
138. Квирикадзе О. П. Прочностные и деформативные характерис-
тики бетона при повторных нагружениях. Сб. трудов института строительной
механики и сейсмостойкости АН Груз. ССР, 1 (11), 1965.
139. К в и ц а р и д з е О. И., Согателова Е. С., Гвелеснани Л. О.
Влияние режима влажности среды на деформатнвность изгибаемых железобе-
тонных элементов при длительном действии нагрузок. «Бетон и железобетон»,
1965, № 12.
140. Кой тер В. Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред
(перев. с англ.). Изд-во иностр, лит., 1961.
141. Коган Б. И. Осесимметричная задача теории упругости для мно-
гослойного полупространства. «Изв. АН СССР», № 6, 1958.
142. Кийсс И. А. К нелинейной теории ползучести бетона. Изд-во
Таллинского политехи, ин-та, Таллин, 1958.
143. Кийсс И. А. К расчету железобетонных фундаментных балок
с учетом ползучести бетона н основания. Изд-во Таллннск. политехи, ин-та,
Таллии, 1958.
144. К и шона с А. О. О методике определения коэффициента фа. Сб.
трудов Ленннградск. инженерно-строит. ин-та, вып. 48, 1965.
145. Королев А. Н., Крылов С. М. Способ расчета прогиба
железобетонных плит, опертых по контуру, и безбалочных перекрытий при
действии кратковременной нагрузки. Сб. «Исследование прочности, жест-
кости и трещи нестойкости железобетонных конструкций». Госстройиздат,
1962.
146. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопро-
водности, решаемые в бесселевых функциях. Физматгиз, 1960.
147. Коренев Б. Г., Руч и мск и й М. Н. Некоторые задачи дина-
мики балок на упругом основании. Госстройиздат, 1955.
148. Корчи некий И. Л. Учет явлений усталости в строительных
конструкциях. Госстройиздат, 1956.
149. К о с с о в с к и й Г. Д. Некоторые вопросы расчета железобетонных
конструкций на воздействие динамических нагрузок. Изд-во Тбилисск. научно-
исследов. ин-та сооружений и гидроэнергетики, № 16, 1966.
150. Кротовский С. С. Экспериментальное исследование жесткости
внецентренно-сжатых железобетонных элементов. «Исследование свойств бетона
и железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ», вып. 4, 1959.
151. Крылов С. At Перераспределение усилий в статически неопреде-
лимых конструкциях. Стройиздат, 1964.
152. Крылов С. М., Козачевский А. И. Применение ЭВМ для
расчета сложных стержневых систем с учетом неупругих свойств железобе-
тона. «Бетон и железобетон», 1966, № 1.
153. Крылов С. М., Икрамов С. И. К вопросу о расчете железо-
бетонных неразрезных балок с учетом перераспределения усилий. «Исследо-
вание по теории железобетона, Труды НИИЖБ», вып. 17. Стройиздат, 1960.
154. Кузнецов А. Н. Экспериментальная проверка формул проекта
НиТУ 1938 года для расчета гибких колонн на внецентренное сжатие в ус-
ловиях длительного действия нагрузки. «Ученые труды ЦНИПС за 25 лет»,
Госстройиздат, 1952.
155. Кузнецов Л. В., Козлова Л. И. О коэффициентах v и
при расчете изгибаемых железобетонных конструкций по деформациям. Сб.
«Железобетонные конструкции», Тульск. книжн. изд-во, 1965.
156. К у з м и ч е в А. Е. Исследование влияния пластических деформа-
ций сжатого бетона на перераспределение усилий в железобетонных рамах.
«Исследование по теории железобетона. Труды НИИЖБ», вып. 17. Стройиз-
дат, 1960.
157. К у л ы г и и Ю. С. Расчет прочности и деформаций железобетонных
конструкций при многократно повторяющихся нагрузках. «Опыт применения
железобетона в машиностроении», Стройиздат, 1964.
158. К у л ы г и н IO. С., Белобров И. К. Деформации бетона при
многократно повторяющейся нагрузке. Сб. трудов VI конференции по бетону
и железобетону, вып. 1, Стройиздат, 1966.
159. Лейтес С. Д. Исследование работы внецентренно сжатых стерж-
ней из нелинейно-упругих материалов. Сб. «Проблемы устойчивости в строи-
тельной механике». Стройиздат, 1965.
160. Лейтес С. Д. Устойчивость сжатых стальных стержней. Госстрой-
издат, 1954.
161. Лермит Р. Проблемы технологии бетона. Госстройиздат, 1959.
162. Лившиц Я. Д., Онищенко М. М. Расчет железобетонных
плит с учетом трещинообразования и ползучести. Сб. «Ползучесть строитель-
ных материалов и конструкций». Стройиздат, 1964.
163. Лившиц Я. Д. Расчет железобетонных предварительно напряжен-
ных плит с учетом ползучести. Сб. «Строительные конструкции», вып. IV.
Изд-во «Буд1вельник», 1966.
164. Любимов А. А. Устойчивость стержней с учетом реологических
свойств бетона. Сб. научных трудов «Шахтное и гражданское строительство»,
вып. XVIII. Гос. научн. техн, изд-во по горному делу, 1962.
165. Любимова Л. Б. Об экспериментальном обосновании исходного
реологического уравнения для бетона. «Труды ХИСИ», вып. II. Изд-во ХГУ,
ларьков, 1959.
166. Л ю д в и к о в с к и й И. Г. Некоторые основные итоги исследований
по применению железобетона в тяжелом машиностроении и прессостроенин.
Сб. «Применение железобетона в машиностроении». Изд-во «Машинострое-
ние», 1964.
167. Макаренко Л. П.» Бабич Е. М. Исследование роста модуля
упругости бетона при длительном напряженном состоянии. «Науч. зап. Пол-
тавск. ИСИ», сб. № 8. Изд-во ХГУ, Харьков, 1963.
168. Макаренко Л. П. Некоторые вопросы ползучести бетона при
усилиях, убывающих по закону релаксации напряжений. Сб. «Ползучесть
строительных материалов и конструкций». Стройиздат, 1964.
169. М а л м е й с т е р А. К- Виброползучесть бетона. Сб. «Вопросы дина-
мики и динамической прочности», вып. 4. Стройиздат, 1950.
170. Мал мейстер А. К. Упругость и неупругость бетона. Изд-во АН
Латвийской ССР, Рига, 1957.
171. Мальцев К. А. Физический смысл уравнения предела прочности
бетона на растяжение при изгибе. «Бетон и железобетон», 1958, № 3.
172. Мангушев А. И., Крылов С. М. Влияние марки и насыще-
ния арматурой на способность статически неопределимых балок к перераспре-
делению усилий. Сб. «Трещиностойкость, деформативность обычных и предва-
рительно напряженных железобетонных конструкций*. Стройиздат, 1965.
173. Мань ко М. И. Упруго-пластические свойства бетонов высоких
марок. Сб. «Исследования мостовых и тоннельных конструкций». Трансжелдор-
издат, 1960.
174. Манукян М. М. Определение напряжений в некоторых железо-
бетонных элементах с учетом ползучести и изменения модуля упруго-мгновен-
ных деформаций. «Изв. АН Арм. ССР», т. VII, вып. 6, 1954.
175. М а н у к я н Э. Л. Нелинейная ползучесть бетона при сжатии. Сб.
«Научно-технической конференции гидротехнического факультета Ленинград-
ского политехнического института», Л., 1966.
176. Маслов Г. Н. Термическое напряженное состояние бетонных мас-
сивов при учете ползучести бетона. «Изв. ВНИИГ», т. 28, Госэнергоиздат, 1941.
177. Матаров И. А. Работа изгибаемых железобетонных конструкций
под повторными нагрузками. Сб. «Теория расчета и конструирования железо-
бетонных конструкций», Госстройиздат, 1958.
178. Мате вое ян Р. Р. Устойчивость сложных стержневых систем
(качественная теория). «Труды ЦНИИСК»! вып. 3. Госстройиздат, 1961.
179. Мельник Р. А. Исследование деформативности и прочности
бетона при длительном сжатии. «Бетон и железобетон», 1964, № 3.
180. Мельник Р. А. Применение функции напряжения типа F (аб) =
= a<3Q для определения величин деформаций нелинейной ползучести бетона.
Сб. «Строительные конструкции», вып. 4. Изд-во «Буд1вельпик», Киев, 1966.
181. Мельников Е. Г. К вопросу расчета статически неопределимых
конструкций с учетом пластических свойств бетона и арматуры. Сб. «Железо-
бетонные конструкции». Куйбышевск. книжн. изд-во, 1963.
182. М и т р о п о л ь с к и й 10. А. Нестационарные процессы в нелинейных
колебательных системах. Изд-во АН УССР, Киев, 1955.
183. Милованов А. Ф. Жаростойкий бетон. Госстройиздат, 1963.
184. Милованов А. Ф., Тупов Н. И. Влияние повышенных тем-
ператур на ползучесть бетона. Сб. «Жаростойкий бетон и железобетон в строи-
тельстве», Стройиздат, 1966.
185. Мельникова Л. А. Определение прогибов железобетонных плит,
опертых по контуру, при кратковременной и длительной нагрузках. Научное
сообщение». Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1963.
186. Миславский Б. Г. Исследование перераспределения усилий
в неразрезных трехпролетных железобетонных балках и их деформативности.
Сб. «Строительные конструкции», вып. VI. Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1967.
187. Михайлов В. В., Марка лов Н. А. Совершенствование ме-
тодов расчета потерь напряжений от ползучести и усадки. «Бетон и железобе-
тон», 1961, № 1.
188. Михайлов К- В. Основы расчета железобетонных конструкций
на выносливость. Сб. «Расчет и конструирование элементов железобетонных
конструкций». Стройиздат, 1964.
189. Михайлов К. В., Кричевская Э. А. Исследование реоло-
гических свойств высокопрочной проволочной арматуры при нормальных и по-
вышенных температурах. «НИИЖБ. Новые виды эффективной стальной и сте-
клопластиковой арматуры для железобетонных и армированных бетонных кон-
струкций». Стройиздат, 1966.
190. Михайлов К. В. О величине коэффициента условия работы
высокопрочной напрягаемой арматуры. «Бетон и железобетон», 1966, № 4.
191. Мовсисян Л. А. О колебании и устойчивости балок переменной
длины. «Изв. АН Арм. ССР. Серия физ.-матем. наук», 18, 1965.
192. Мошанский Н. А. Плотность и стойкость бетонов. Госстройиз-
дат, 1951.
193. Мурашев В. И., Котеликов Л. М. Роль пластических де-
формаций в работе статически неопределимых железобетонных конструкций.
«Проект и стандарт», № 2, 1934.
194. Мурашев В. И. Трещиноустойчивость, жесткость и прочность
железобетона. Машстройиздат, 1956.
195. Мастачеико В. Н. О жесткости частично предварительно на-
пряженных железобетонных балок при многократно повторных нагружениях.
«Труды МИ ИТ», вып. 194, 1966.
196. Муртезин Р. 3., Те ре гулов И. Г. К вариационным методам
в нелинейной механике деформируемого твердого тела (приложения к тонким
оболочкам). «Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и плас-
тинок». Изд-во «Наука», 1966.
197. Некрасов К. Д. Жаростойкий бетон. Госстройиздат, 1957.
198. Немировский Я. М. Жесткость железобетонных конструкций
при длительном нагружении. Сб. «Теория расчета и конструирования железо-
бетонных конструкций», Госстройиздат, 1958.
199. Немировский Я. М., Никитин Н. В. О коэффициенте
ф для расчета жесткости железобетонных элементов. «Бетон и железобетон».
1958, № 5.
200. Н и к и т и и Г. В. О несущей способности нейтрально и внецентреино
сжатых гибких железобетонных стержней. «Труды Всесоюзной конференции
по бетону и железобетонным конструкциям», ч. II. Стройиздат, 1949.
201. И иле и дер 10. А. Расчет разрезки массивных бетонных сооруже-
ний. «Труды IV Всесоюзной конференции по бетону и железобетонным кон-
струкциям», ч II. Стройиздат, 1949.
202. JH о в о ж и л о в В. В. Основы нелинейной теории упругости. Гостех-
издат, 1948.
203. Овечкин А. М. Расчет железобетонных круглых резервуаров.
Стройиздат, 1950.
204. Осндзе В. И. Модуль деформации бетона при растяжении. «Бетон
и железобетон», № 11, 1965.
205. Одинг И. А., Иванова В. С., Б у р д у к с к и й В. В.,
Геминов В. И. Теория ползучести и длительная прочность металлов.
Гостехиздат, 1954.
206. Панарин Н. Я. Некоторые вопросы расчета армированного и не
армированного бетона с учетом ползучести. Госстройиздат, 1957.
207. Па нов ко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем.
Госстройиздат, 1960.
208. Писаренко Г. С. Колебания упругих систем с учетом рассеяния
энергии и материала. Изд-во АН УССР, Киев, 1957.
209. Попов Ф. IO. Теория упругого последействия при периодической
нагрузке. ПММ, т. X, № 5—6, 1946.
210. Пи сан ко Г. И. Исследование прочностных и деформативных
свойств высокопрочных бетонов. Сб. «Исследование бетона и железобетонных
конструкций сооружений». Трансжелдориздат, 1960.
211. Поляков С. В. Ползучесть каменных и армокаменных конструк-
ций. Стройиздат, 1964.
212. П р е д в о д и т е л е в А. Л., Смирнов В. А. К теории динами-
ческой ползучести. «Вестник МГУ», № 8, 1955.
213. Преображенская Н. А., Савченко И. А. О влиянии
вибрации на сопротивление глинистых грунтов сдвигу. Сб. НИИОСН «Дина-
мика грунтов». Госстройиздат, 1958.
214. Прокопович И. Е. Влияние длительных процессов на напряжен-
ное и деформированное состояние сооружений. Госстройиздат, 1963.
215. Прокопович И. Е., Улицкий И. И. О теориях ползучести
бетонов. «Изв. вузов. Строительство и архитектура», 1963, № 10.
216. П р о к о п о в и ч И. Е. Об учете влияния ползучести и усадки бетона
на распределение внутренних усилий в железобетонных предварительно напряжен-
ных конструкциях. «Научные доклады высшей школы. Строительство», № 2, 1958.
217. Проценко А. М. К расчету железобетонных стержней с учетом
линейной ползучести бетона. Сб. НИИЖБ «Прочность и жесткость железо-
бетонных конструкций». Стройиздат, 1968.
218. Рабинович Е. А. Определение напряжений в железобетонных
конструкциях при нелинейном течении. Сб. «Вопросы современного строитель-
ства». Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1964.
219. Работ нов IO. Н. Ползучесть элементов конструкций. Изд-во
«Наука», 1966.
220. Работ нов Ю. Н., Шестериков С. А. Устойчивость стерж-
ней и пластинок в условиях ползучести. ПММ, т. 21, вып. 3, 1957.
221. Ребиндер П. А. Физико-химические закономерности процесса
деформаций. Юбилейный сборник. АН СССР, 1957.
222. Регель В. Р. К вопросу о кинетике роста трещин в процессе раз-
рушения твердых тел. ЖТФ, т. 26, № 2, 1956.
223. Ржа ни цы н А. Р. Некоторые вопросы механики систем, деформи-
рующихся во времени. Гостехиздат, 1949.
224. Ржаницын А. Р. Разработка основ общей теории ползучести. Сб.
«Исследование прочности, пластичности и ползучести строительных материа-
лов». ЦНИПС, Госстройиздат, 1955.
225. Ржаницын А. Р. Общий нелинейный закон наследственной пол-
зучести. «Механика твердого тела», № 25, 1966.
226. Ржаницын А. Р. Температурно-влажностная задача ползучести.
«Исследования по вопросам теории пластичности и прочности». «Труды МФТИ»,
вып. 1, 1958.
227. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. Госстройиздат, 1968.
228. Розенблюмас А. С. Расчет напряжений и перемещений, вызы-
ваемых в железобетонных конструкциях эксплуатационными нагрузками. «Бетон
и железобетон», 1966, № 22.
229. Розовский М. И. Ползучесть и длительное разрушение матери-
алов, ЖТФ, т. XXI, вып. 11, 1961.
230. Рождественский В. Н. К вопросу деформаций (жесткости)
предварительно напряженных железобетонных элементов. Сб. «Строительные
конструкции», вып. 3 (ЮЖНИИ). Харьковск. книжн. изд-во, 1959.
231. Родов Г. С. Результаты опытов по определению деформаций усад-
ки и ползучести бетона в предварительно напряженных железобетонных эле-
ментах. «Труды Института сейсмического строительства АН Туркменской ССР»,
вып. 1. Ашхабадск. книжн. изд-во, 1956.
232. Рокач В. С. Экспериментальное исследование деформаций железо-
бетонных изгибаемых элементов при длительном нагружении. «В.'стннк Львовск.
политехи, ин-та», № 9, 1965.
233. Русинов И. А. Потери предварительного напряжения от ползу-
чести бетона. «Изв. вузов. Строительство и архитектура», № 2, 1959.
234. Савченко И. А. Влияние вибраций на внутреннее трение в пес-
ках. Сб. НИИОСН «Динамика грунтов», № 32, 1958.
235. Салманов Г. Д. Исследование упруго-пластических свойств
жароупорного бетона на портландцементе. «Исследование пожароупорным
бетону и железобетону». Госстройиздат, 1954.
236. Самойлов Б. Н. Расчет статически неопределимых предвари-
тельно напряженных железобетонных балок. Сб. «Железобетонные конструк-
ции». Куйбышевск. книжн. изд-во, 1963.
237. Стулий Н. Г. Определение коэффициента пластичности бетона
при центральном сжатии с некоторой постоянной скоростью загружения. Сб.
«Железобетонные конструкции», вып. 2(31). Изд-во Харьковск. ун-та, 1964.
238. С а х н о в с к и й К. В. Железобетонные конструкции. Стройиздат,
1959.
239. Саталкин А. В. Деформативная способность бетона. «Труды
ЛИИЖТ», вып. 46. Трансжелдориздат, 1954.
240. Саталкин А. В., Сенченко Б. А. Раннее загружение бетона
и твердение его под нагрузкой. «Труды Военно-транспортной академии»,
вып. 20, 1949.
241. Серегин Н. Н. Исследование ползучести тяжелых и легких (керам-
зитовых) бетонов в мостовых конструкциях. СоюздорНИИ, 1961.
242. Сиденко В. Н. Природа деформаций плит покрытий некоторых
цехов металлургических заводов. «Строительная промышленность». 1959, №12.
243. Снмвулиди 1-1. А. Расчет инженерных конструкций на упругом
основании. Стройиздат, 1963.
244. С и н и ц ы н А. П Расчет балок и плит на упругом основании за
пределом упругости. Стройиздат, 1964.
245. Скудра А. М Длительная прочность линейно деформирующе-
гося упруго-вязкого тела. Сб. «Ползучесть строительных материалов и конс-
трукций», Стройиздат, 1964.
246. Скаты некий В. И. Структура силикатных бетонов и ее связь
с физико-механическими свойствами. «Структура, прочность и деформации
бетонов». Стройиздат, 1966.
247. С к а т ы н с к и й В. И., Городецкий Л. М., К р у м е л и с 10. В.
Влияние величины сжимающих напряжений на усадку силикатных бетонов.
Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1967.
248. Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. Трансжел-
дориздат, 1958.
249. Смирнов А. Ф. Использование электронно-вычислительных ма-
шин в строительной механике. Сб. «Проблемы устойчивости в строительной
механике». Стройиздат, 1965.
250. Смирнов А. М. Расчет рамных железобетонных конструкций с уче-
том ползучести бетона. «Труды ВТ А», вып. 52, Госстройиздат, 1954,
251. Снитко Н. К. Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержне-
вых систем. Госстройиздат, 1956.
252. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий.
Госстройиздат, 1956.
253. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях
упругих систем. Госстройиздат, 1960.
254. Столяров Я. В. Введение к теории железобетона. Госстройиз-
дат, 1941.
255. Стрелецкий Н. А. О методике расчетов статически неопредели-
мых железобетонных и сталежелезобетонных мостовых конструкций по преде-
льным состояниям с учетом неупругнх деформаций. «Бетон и железобетон»,
1965, № 6.
256. Суслов Ю. А. Исследование жесткости обычных я предварительно
напряженных изгибаемых железобетонных элементов. Сб. «Железобетонные
пространственные конструкции и крупные панели». Изд-во «Высшая школа»,
1966.
257. ТальК. Э. Расчет бетонных и железобетонных конструкций по рас-
четным предельным состояниям. Стройиздат, 1955.
258. Таль К. Э. О деформатнвности бетона при сжатии. Сб. «Исследо-
вание прочности, пластичности и ползучести строительных материалов». Гос-
стройиздат, 1955.
259. Т а л ь К- Э., Чистяков Е. А. Исследование несущей способности
гибких железобетонных колонн, работающих по первому случаю внецентрен-
ного сжатия. Сб. «Расчет железобетонных конструкций». Под ред. А. А. Гвоз-
дева, вып. 23, Госстройиздат, 1961.
260. Таль К. Э., Чистяков Е. А. Экспериментальное исследование
гибких железобетонных стержней при длительном н кружении. «Исследование
прочности, жесткости и трещиносгойкости железобетонных конструкций».
«Труды НИИЖБ», вып. 26. Госстройиздат, 1962.
261. Таль К. Э.. Чистяков Е. А. Расчет несущей способности гибких
железобетонных элементов. Сб. «Расчет и конструирование элементов железо-
бетонных конструкций». Стройиздат, 1964.
262. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. Физматгиз,
1959.
263. ТальК- Э. О надежности расчета несущей способности изгибаемых
железобетонных элементов. «Бетон и железобетон», 1967, № 4.
264. Темнов И. И. Влияние на деформации ползучести размеров попе-
речного сечения бетонного призматического образца и формы эпюры напряже-
ний. «Изв. АН Арм. ССР. Серия физ.-матем. наук», т.ХШ, № 6, 1961.
265. Торяник М. С. Пространственная устойчивость арок с упругими
связями. Изд-во ХГУ, Харьков, 1965.
266. Т р о и ц к и й Е. А. Влияние скорости нагружения на деформации
бетона. «Труды Казанского института инженеров коммунального строительства»,
вып. 5. Казанск. книжн. изд-во, 1958.
267. Т р о у п я н с к и й Б. Ф., Д и о н и с ь е в-М а к е д о н с к и й А. Д.,
Михеев Ю. М. Экспериментальное исследование железобетонных плит, опер-
тых по контуру. «Железобетонные конструкции», вып. 2 (31). Изд-во ХГУ,
Харьков, 1964.
268. Т у п о в Н. И. О влиянии повышенной температуры на прочность
и деформативные свойства бетона. «Бетон и железобетон», 1967, № 3.
269. Улицкий И. И. Ползучесть бетона. Техиздат Украины, 1948.
270. Улицкий И. И. Практический метод расчетного определения дефор-
маций ползучести и усадки бетона. «Бетон и железобетон», 1962, Яз 4.
271. Улицкий И. И., Чжан Чжун-яо. Устойчивость центрально
сжатых элементов при длительном действии нагрузок. «Бетон и железобетон»,
1963, № 3.
272. Улицкий И. И. Определение величин деформаций ползучести и усад-
ки бетонов. Госстройиздат УССР, Киев, 1963.
273. Улицкий И. И., Метелюк Н. С., Реминец Г. М. Жесткость
изгибаемых железобетонных элементов. Госстройиздат УССР, Киев, 1963.
274. Улицкий И. И., Киреева С. В. Усадка и ползучесть бетонов
заводского изготовления. Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1965.
275. Улицкий И. И. Теория и расчет железобетонных стержневых кон-
струкций с учетом длительных процессов. Изд-во «Буд1вельник», Киев, 1967.
276. Улицкий И. И., Руденко И. В. Определение перемещений
(жесткости) железобетонных изгибаемых и внецентренно сжатых элементов при
длительном действии нагрузки. Сб. «Строительные конструкции», вып. 1. Изд-во
«Буд1вельник», Киев, 1965.
277. Федоренко М. М., Реминец Г. М. К вопросу неравномерности
усадки по сечению в элементах бетонных и железобетонных конструкций. Сб.
«Строительные конструкции», вып. VI. Изд-во «Буд1вельннк», Киев, 1967.
278. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. Физматгиз, 1963.
279. Филиппов А. П. Колебания упругих систем. Изд-во АН УССР,
1956.
280. Фотгауз Б. А. Колебания стержней переменного сечения. «Строи-
тельная механика и расчет сооружений», № 1, 1967.
281. ФрайфельдС. Е. Собственные напряжения в железобетоне. Строй-
издат, 1941.
282. ФрайфельдС. Е. Об исходных предпосылках уравнений механи-
ческого состояния реальных материалов. «Труды ХИСИ», вып. 4. Изд-во ХГУ,
Харьков, 1955.
283. ФрайфельдС. Е., Пальчинский О. В. Практический метод
расчета железобетонных конструкций с учетом реологических свойств матери-
алов. Сб. «Строительные конструкции», вып. 3. Харьковск. книжн. изд-во, 1959.
284. Фрейсине Е. Переворот в технике бетона. ОНТИ, 1938.
285. Фрайфельд С. Е. Нов! досл!дш р!вняння деформацп бетону.
«В1сник Академ!! буд!вництва ! арх!тектури УРСР». Держбудвидав УРСР,
№ 3, 1960.
286. Харлаб В. Д. К общей линейной теории ползучести. «Изв. ВНИИГ»,
т. 68, 1961.
287. Харлаб В. Д. К расчету статически неопределимых железобетон-
ных стержневых конструкций с учетом ползучести и твердения бетона. «Изв.
ВНИИГ», т. 68, 1961.
288. Харламов В. А. Исследование ползучести жаростойкого бетона
при высоких температурах. «Исследование по железобетонным и армокирпич-
ным конструкциям». Госстройиздат, 1959.
289. Цилосани 3. Н. Усадка и ползучесть бетона. Изд-во АН Грузин-
ской ССР, Тбилиси, 1963.
290. Цискрели Г. Д., Лекишвили Г. Л. О масштабном эффекте
в бетонах. «Бетон и железобетон», 1966, № 10.
291. Цискрели Г. Д. Сопротивление растяжению иеармироваииых и
армированных бетонов. Госстройиздат, 1954.
292. Цулукидзе П. П. Исследование прочности и деформативиости 25
и 40 легких бетонов. VI конференция по бетону и железобетону. Материалы
конференции. Изд-во АН Грузинской ССР, 1966.
293. Ч у д н о вс к и й В. Г. Методы расчета колебаний и устойчивости стер-
жневых систем. Изд-во АН УССР, 1952.
294. Ч и к о в а н и Р. А. О зависимости прочности и деформативиости влаж-
ных и сухих образцов от скорости нарастания нагрузки. Сб. трудов Институ-
та строительной механики и сейсмостойкости АН Груз. ССР, 1965, 1 (11).
295. Ш е й к и н А. Е., Николаев В. Л. Об упруго-пластических свой-
ствах бетона при растяжении. «Бетон и железобетон», 1959, № 9.
296. Шейк и н А. Е. Ползучесть при повторных нагрузках и модуль дефор-
мации бетона. «Исследования железобетонных и сварных мостовых конструк-
ций. Труды МИИТ», 1956.
297. Шестериков С. А. Одноосная ползучесть при переменных напря-
жениях. «Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», Ns 3, 1961.
298. ШтаерманИ. Я., Пиковский А. А. Основы теории устойчи-
вости строительных конструкций. Госстройиздат, 1939.
299. Шиманский Ю. А. Строительная механика подводных лодок. Суд-
стройиздат, 1948.
300. Шкарбелис К. К. Влияние вибраций на ползучесть железобетон-
ных конструкций. Сб. «Вопросы динамики и динамической прочности», вып. 4.
Стройиздат, 1956.
301. Ш к о л ь н ы й П. А., К а н С. С. Исследование напряженного состояния
замкнутой гиперболоидной оболочки — градирни с использованием ЭВМ
«Урал-2-». Сб. «Расчет пространственных конструкций», вып. II. Стройиздат,
1967.
302. Шкурко И. А. Предел длительного сопротивления высокопрочной
проволоки. «Строительная промышленность», 1950, № 10.
303. Щербаков Е. Н. Развитие практических методов учета ползучести
и усадки бетона при проектировании железобетонных конструкций. «Бетон и
железобетон», 1967, № 8.
304. Яковлева М. В. Вопросы прочностных и деформативных свойств
высокопрочного бетона. Железобетонные конструкции. Куйбышевск. книжн.
изд-во, 1963.
305. ЯшинА. В. Ползучесть бетона в раннем возрасте. «Исследование
свойств бетона и железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ», вып. 4. Гос-
строй нздат, 1959.
306. Bay Hermann. Spannungsumlagerung und Stahl betontrager. “Belon
und Stahlbetonbau", 1965, 60, № 12, 277 — 286.
307. Branson Dan E. Deflections of reinforced concrete flexural mem-
bers. "S. Amer. Concrete Inst.“, 1966, №6, Part I “Proceedings’, 63, 637—
674.
308. Ba laz s GY. Berechnung der vom Schminden des Betons herzuhren-
den Krafte in Stahlbetonelementen. "Acta techn. Acad, scienttkung’, 1965, 51,
№ 3—4, 309—325.
309. Brandt A. Ratios between the linear components of the strain in
concrete. ’Bull, Acad, polon. sei. Ser. Sei. techn", 1965, 13, № 9, 807—813.
310. Baumann O. Die Knickung der Eisenbetonsaulen. EMPA, Bericht,
№ 89, Zurich, 1934.
311. Bach C., Graf O. Versuche mit allseitig aufliegenden, quadratischeu
und rechteckigen Eisenbetonplatten, Berlin. 1915.
312. Bera R. Note on the buckling of linear viscoelastic cobumns of varia-
ble cross sections. Jour., 1967, 5, № 3.
313. Bolz matin L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkungen. Wiener.
Ber 10, 1874.
314. Borges I., Ferri, Arantese Oliveira E, R. Non-linear
analyses of reinforced concrete structures. Uem. Assoc, internat. ponts et char-
rentes 1963, 2, 23.
315. Boussinesq u I. Application des potentiels a I’etude de !£quilibre
et du mouvement des solides llasliques, Paris, 1885.
316. Brandzacq A. Der Bruchspannungszustand und der Sicherheitsgrad
von rechteckigcn Eisenbetonquerschnitten unter Biegung oder ausmittigem Druck,
Trondhein, 1935.
317. Busch T. Das plastische Verhalten des Betons, Zementverlag, 1937.
318. В ii к e r R. Die Meehan i к der bleibenden Formanderungen in kristalinisch-
aufgebauten Korpern, 1919.
319. Cassie W. Falique of Concrete, Journal of the Inst, of Civil. Eng.
№ 4, 1939.
320. Ch wal Ie. Die Theorie des ausmittig gedruckten Stubes aus Baustahl.
Stahlbau, N 21—23, 1934, № 6—7, 1937.
321. Ch wal Ie. Der EinfluB der Querschnittsform auf das Tragvermogen
ausmittig gedruckten Stube. Stahlbau, N 25, 26, 1935.
322. Chiorino Mario Alberto. Formulazione teorica di un duale
del principio di Me Henry peril congomerato cementizio. «Atti Accad. naz.
Lincei. Kend. Cl. sci. fis., mat. enatur», 1965, 38, N 5, 655—659.
323. Cowan H. Inelastia Deformation of Concrete. Engineering vol. 171,
N 5418, 1952.
324. Davis R. E., Davis H. E., Hamilton I. Plastic Flow of Concrete
under Sustained Stress. Proceedings of the American Society for Testing Mate-
rials Part II, 1934.
325. Davis R. E., Davis H. E., Brown E. H. Plastic of Concrete
under Sustained Stress. Proc, of the Amer. Soc. for Test. Mats, Part II, 1934.
326. Davis R. E., Davis H. E., Brown E. H. Plastic Flow and
Volume Changes of Concrete. Proceedings of the American Society for Testing
Materials, vol. 37, 1937.
327. Davis R. E., Davis H. E. Flow of Concrete under the Action
of Sustained Loads. Journal of the American Concrete Institute, vol. 2, N 7, 1931.
328. Desayr Prakash, Sen B. R. A brief review an shrinkage and
creep of Concrete. "Indian Eng", 1966, 10, N 6.
329. Disch in ger F. Untersuchungen uber die Knicksicherheit, die elas-
tische Verformung und das Kriechen des Betons bei Bogenbriichen. Bauingenieur.
H. 33/34, 35/36, 39/40, 1937.
330. Dutron R. Deformations lentes du bitin et du biton агтё sous
Taction des charges permanentes. Annales des Travaux Publics de Belgique,
1936, 1937.
331. Eingen A. Cemal Linear theory of micro polar viscoelasticity Inter-
nat Y. Engag Sei. 1967, 5, N 2.
332. Eimer Cz. Theoretical approach to rheologie strength of prestessed
elements. Arch, inz-ic ladow 1966, 12, N 2, 131—139.
333. Farran Sacques, Maso Sean-Clande. Expression de la resi-
stancea la compression des betons des mortiers. "C. r. Acad, sei.’, 1966, AB 262,
N 24, A 1340—A 1343.
334. Glanville W. H. The Creep of Flow of Concrete under Load.
Building Research Technical Paper, N 12. Hu S. Majestys Statianery Office,
1930.
335. Glanville W. H. and Thomas F. G. Further Investigations
of the Creep of Flow of Concrete under Load. Studied in Reinforced Concrete IV,
Building Research Technical Paper, N 21, London, 1939.
336. Glanville W. H. Studies in Reinforced Concrete, Building Research
Paper, N 12, III, The Creep of Flow of Concrete under Load, 1930.
337. Habil A. Berechnung der Tragfahigkeit von Eisenbetonsaulen auf
n-freier Grundlage. Beton und Eisen, N 13—15, 1939.
338. Habe I A. Die Tragfahigkeit der mittig belasteten Stahlbetonsaulen.
Beton und Stahlbetonbau, N 7. 1953.
3. 39. Ha be I A. Die Tragfahigkeit der ausmittig gedriickten Stahlbeton
saulen. Beton und Stahlbetonbau, N 8, 1953.
340. Hadley H. When Concrete Becomes Discrete. Civil Eng. vol. 20.
N 4, 1950.
341. Halt W. V. and Mills R. E. Physical and Chemical Propertie?
of Portland Cements and Concretes. Purdue Univ. Eng. Expt. St. Bull. 34, Nov.,
1928.
342. Натре E., Ko p pier H. Kriechen und Schwinden im Zustand II,
Bauplan—Bautechnik 1967, 21, N 1.
343. Hausen Torben C. and Matton Allan H. Influence of size
and shape of member of the shrinkage and creep of concrete. "I. Amer. Concrete
Inst.', 1966, N 2, "Proceedings', 63, 267—290.
344. Harris I. Histeresis experiment in rheology Natvre (Engl), 1967,
214, N 5090.
345. Hummel A. Vom Kriechen oder FlieBen des erhiirtenen Betons und
seiner praktischen Bedeutung. Zement, 1935, N 50, 51.
346. MC. Henry. New Aspect of Creep in Concrete and Sts. Ap-
plication to Design, Prac, Amer, soc. for Test. Mat. Vol. 43, 1937.
347. Hughes В. P., C h a p m a n E. P. The complete stress—strain curve
for concrete in direct tension. "Bill. R. I. L. E. M.', 1966, N 30, 95—97.
348. lllston I. M. The creepof concrete under uniaxial tension. Mag.
concrete Res. 1965, 17, N 51, 77—84.
349. J u rrack Fritz. Naherungsberechnung des Kriecheinflusses auf den
Schnittkraftzustand statisch unbestimmter Betonkonstruktionen. "Wiss. Z. Hoch-
schule Arch, und Bauwesen Weimar", 1965, 12, N 3, 247—252.
350. I oshi do H. Uber das elastische Verhalten von Beton, Berlin, 1930.
351. lezek K. Die Festigkeit von Druckstaben aus Stahl, Wien, 1937.
352. Ice E. M. Viscoelastic Stress Analisis. Proceeding of the First Sympo-
sium of Naval Structural Mechanics, New York, Oxford, London, Paris, 1960.
353. Farran Gacques Maso lean Uande. Expression de la resis-
tancea la compression des betonset des mortiers. Cr. Acad. gei. 1966, AB262,
N 24 A 1340 — A 1343.
354. К r ii g e г Wolfgang. Uber SchwindmaBe, Kriechzahlen und Kriech
theorien von Beton. Bauplanung—Bautechnik, 1966, 20, N 7.
355. Kuezynski W., Kaminski M., Wans к a D. Obliczanie reolo-
gicznych ugies zelbetowich belek eiaglych. "Inz-ia i budown", 1966, 23, N 4,
113—116.
356. Kasai Vosiho. Effect of size of test cylinder on the compesive
strenght and on the variation of strength of concrete. Relations between
10 X 20 cm and 15 x 30 cm fest cylinder and 50 X 10 cm and 15 x 30 cm fest
cylinder. "Proc. 8 the Japan Congr. fest Mater. 1964, Kyoto". Soc Mater Sei
Japan, 1965, 113—106.
357. Li tie William A., Paparoni Mario. Size effect in small-
seale models of reinforced concrete beams. Part 1. I Amer. Concrete Inst.
1966, N II. Proceedings 63.
358. Lewicki Bohdan, Derentowicz Hanna, Kubicki Jan.
Ugiecia belek zelbetowych pod obciazeniem dlugotrwolym. “Biul. inform, nauk-
techn. Inst, techn. budowl”, 1966, N 20, 41—55.
359. Legras, Walter. Calcul d’uneecharpente hyperstatique par mini-
misation de I’energie elastique et potentielle. 3-e Congr. calcul etraitement
inform. Toubonse, 1963, Paris, 1965, 339—391.
360. Масс hi Giorgio. Comportamento di travi continue in cemento
armato dimensionate secondo la distribuzione elastica dei mamenti. Atti. e raas
techn, 1964, 18, N 9, 231—301.
361. Mami Ilan M. A Study of the Creep of Concrete. Bulletin Rilem.
Nouvelle serie, N 3, 1959.
362. Mam i 1 1 ап M. Evolution du fluage et des proprietis du bet on.
Annales de I’lnstitut Technique du Batiment et des Travaux Publics, N 154,
Octobre, 1960.
363. Mazurkiewicz Zbigniew. Wyboczenie pretow prostych о zmi-
ennych sztywnoscach zginanie. “Rozpr. inz.', 1965, 13, N 3, 623—635.
364. M he tier A. U. Effect of Temperature on the Stress Deformation
of Concrete Journal of Research. Nat Bureau of Standards, 18, 1, Feb., 1937.
365. M eskat W. Rheologie, Forschung, Lehre und Anwendung. “Rheol.
acta', 1966 , 5, 57-60.
366. Muguruma Hiroshi, Morita Shiro. “On the flexural rigidity
of rein forced concrete beams'. Mem. Gac. Eng. Kyoto Univ, 1965, 27, N 1,
47—64.
367. Muguruma Hiroshi, Okomoto Shin. Study of bearing
capacity of concrete. “Proc. 8-th Japan Congr. Test. Mater., 1964, Kyoto'. Kyoto,
Soc. Mater. Sci, Japan, 1965, 99—102.
368. Nasser Karin W., Neville Adam M. Creep of concrete at
elevated temperatures. “I. Amer. Concrete Inst", 1965, N 12, “Proceedings',
62, 1567—1579.
369. Newman K. The structure and engineering properties of concrete.
«The theory Arch. Dans», Oxford—London—Edinburg—New-York—Paris—Frank-
furt, Pergamon Press, 1965, 683—712.
370. Neville Adam M., S t a u n t о n M i c h a e 1 M. Method of estimating
creep of concrete when the stress-strength ratio Varies With time. «I. Amer.—
concrete inst», 1965, N10, «Proceedings», 62, 1293—1312.
371. Neville A. M. Theories of Creep in Concrete. Jour, of the Ame-
rican Concrete Institute, September, N 1, 1955.
372. Nord by G. Fatigue of Concrete. Jour. Am. Coner Inst, vol 30,
N 2, 1958.
373. 01 Ison R., Gran. A Mathematical Interpretion of the Modulus of
Elasticity. Vigl. norske vid schsvabs for handle, 1956, 29, N 13.
374. Paocza A. Biegung von Balken mit Rechteckquerschnitt bei nichtli-
nearem Spannungs—Dehnungsgesetz. Ing. Arch. I9b5, 34, N 2, 91—94.
375. PenaC. Shrinkage and Creep of Speciments of Thin Section. Bul-
letin Rilem, Nouvelle serie, N 3, 1959.
376. Persoz B. Le principe de superposition de Bolzmann. Cahler Group
fran. itudes rhiol, 1957, 2 Nl.
377. Pross I. D. A note on the Meturlty and Creep of Concrete. Bulletin
Rilem, N 1. MAES, 1959.
378. Price W. H. Factors Infenencing Concrete Strength. Proc. ACI, 47,
Feb., N6, 1951.
379. Probst E. The Influence of Rapidly Alternating Loading on Concrete
and Reinforced. The Structural Engineer, Dec. 1931.
380. Purusho toman P. Moment redistribution in reinforced concrete
continuous beams. I. Inst. Eng. (India) Civil Engng Div, 1965, 45, N 7, Part 4,
640—646.
381. Re i ni as E. A Theory of the Deformation and the Failure of Concrete,
Mar. of Concrete Res., 8, Nov, n. 24, 1956.
382. Richards C. W., Rad jy F. A. An new application of internal fric-
tion to concrete research Mater. Res. and Stand 1966, 6 N 8.
383. Rodriges F. P. Contribution for Knowing the Influence of a Plas-
ticiting Agent on the Creep and Shrinkage of Concrete. Bulletin Rilem, N 6,
Mar.» 1960.
384. Ros M. Versuche und Erfahrungen an ausgefuhrten Eisenbetonbauwerken
in der Schweiz. Eidgenossische Materialpriifungsanstalt. Bericht N 39, Zurich,
1937.
385. Rasch H. and Rasch Ch. Investigations in to the Strength of
Concrete under Ansteined Load. Rilem, Bulletin, N 9, 1960.
386. Seppa I a Vei kko. On the calculation of the bearing capacity of
aneecentrically loaded Straigth concrete column with a paraldoas its stress-strain
curve. «Acta, polyteclin. scand civil Engng and Build. Constr. Ser». 1963, N 21,
42 pp, ill.
387. Soare Mircea. S i m о n i c i Mihai. Application des methodes
variationnelles pour la determination des fregnense des vibrations transversales
des pouttres a section variable. Pov. raumaine sci techn. Ser micappl 1966, 11, N 5.
388. Shank 1. R. Discussion of a Paper of R. E. Devis—Flow of Concrete
Under Sustained Compressive Stress. Journal of the American Concrete Institute,
vol 24, Proceedings. 1928.
389. Szidarovszky 1. Forced non-linear lateral vibrations of beams
Abhande Dt Sch. Akad. Wiss. Berlin. KI. Math, Phus und Techn 1966 N 12.
390. T а у I a г R., Maher D. R. HL, Hayes B. Effect of the arrangement
of reinforcement on the behaviour of reinforced concrete seabls. Mag. Concrete
Res. 1966, 18, N 55.
391. Todd I. D. The Determination of Tensile Stress-Strain Curves for
Concrete. Proc, of Institute of Civil, Engineers, 4, part 1, N 6, 1954.
392. Troxeel G., Raphael I., Davis R. Long-time Creep and Shrin-
kage Tests of Plain and Reinforced Concrete. American Society for Testing Ma-
terials, Proceedings, vol. 58, 1958.
393. Vol terra W. Lecons sur les fouctions des lignnes, 1913.
394. Vol terra W. Theory of Functionals. Blackie, London, 1930.
395. Vis у Z. Moment galculation of continuous reinforced concrete beams
on three supports by introducing economical condition. «Acta techn. Acad,
scient. hung», 1965, 51, N 3—4.
396. Wagner O. Das Kriechen unbewehrten Betons. Deutscher Ausschuss
ftjr Stahlbeton, H, 131, Verlag von Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, 1958.
397. Was t 1 und G. Untersuchungen uber die Festigkeit von Beton Thesis,
Stockholm, 1934.
398. Was ha G. W., Uuk D. G. Effect of Sustained Loading on Compres-
sive Strength and Modulus of Elasticity of Concrete, J. Amer. Concrete. Inst,
vol. 21, N 9, 1950.
399. Whitney Ch. S. Plain and Reinforced Concrete Arches. Journal of
the American Concrete Institute, vol. 7, 1932.
400. Weil G. Influence des dimensiones et des contraites sur le ratrait et
Ie fluage du beton. Bulletin Rilem, Nouvelle serie, N 3, 1959.
401. Woo I son I. H. Some remarkable tests indicating. «Flow» of Concrete
under Pressure Eng. News, N 54, 1905.
402. Zinsser R. Die Zerdehnung von Stahldrahten bei Beanspruchungen
im Zug—Schwell—Bereich, Stahl und Eispn, 74, 1954.
403. Yokomichi H. Influence of high temperature curing inearly ages
on strength of concrete. Bull. Rilem, I960, N 31, 209—213.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение ............................................................. 3
Г лава I. Нелинейность и неравновесность деформирования и проч*
ность бетонов 6
§ 1,1. Ос новные понятия и предпосылки ... 6
§ 1,2. Не линейность деформирования бетонов . 8
§ 1,3. О кратковременной прочности бетонов при статическом нагруже-
нии . 18
§ 1,4. Ус адка бетонов .......................................... 22
§ 1,5. Уп руго-мгновенные деформации бетонов..................... 27
§ 1,6. Де формации ползучести бетонов 32
§ 1,7. По нятие о так называемом «старом бетоне» ..... . 41
§ 1,8. О влиянии влажности на деформации усадки и ползучести 41
§ 1,9. Вл ияние температуры на деформативные и прочностные характе-
ристики бетона .... 44
§ 1,10. Вл ияние масштабного фактора . . ................ 45
§ 1,11. Об ратная ползучесть . ... ................ 49
§ 1,12. Во сстановление и релаксация напряжений.................. 52
§ 1,13. По перечные деформации бетонов........................... 53
§ 1,14. Ви броползучесть бетона . ....................... 55
§ 1,15. Дл ительная прочность бетонов............................ 58
§ 1,16. На значение расчетных характеристик прочности и деформа-
тивности бетонов ................................................ 63
Глава II. Уравнения механического состояния бетонов........... 66
§ 11,1. Ос новные допущения ......................................66
§ 11,2. Ур авнение деформации при простейшем нагружении .... 67
§ 11,3. Ур авнения деформаций при монотонном нагружении . .68
§ 11,4. О необходимости учета нелинейности деформирования бетонов 72
§ 11,5. Св язь полученного уравнения с другими уравнениями меха-
нического состояния бетонов ................74
§ 11,6. Ра зновидности теорий ползучести бетонов................. 76
§ 11,7. Ан ализ различных теорий ползучести . ............. 94
§ 11,8. Об уточнениях отсчета деформаций ползучести ...... 106
§ 11,9. Ур авнения деформаций бетонов при многократно повторяю-
щихся нагрузках. Уравнения виброползучести.......................109
$ 11,10. Рекомендуемое уравнение деформаций бетона...............126
Г лава III, Метод интегрального модуля деформаций бетона...........129
§ 111,1. Некоторые предварительные сведения......................129
§ III,2.Су щность и общая запись интегрального модуля деформаций 131
§ III,3. Другие формы интегрального модуля деформаций . . 135
§ 111,4. Реализация общей записи интегрального модуля деформаций 137
§ 111,5. Составная часть интегрального модуля деформации — фиб-
ровый модуль деформаций . . . 146
§ 111,6. Анализ интегрального модуля деформаций и приведение его
записи к виду, удобному для вычислений на ЭВМ...........153
§ 111,7. Расчетные диаграммы а — е для арматурной стали .... 163
§ 111,8. Обобщение понятия о коэффициенте у ...........167
§ 111,9. Влияние длительных процессов на коэффициент ф........174
§ 111,10. Линеаризованная запись ф для решения статически неопреде-
лимых, краевых и т. п. задач.................................. 176
§ 111,11. О смещении во времени нейтральных осей эпюр деформа-
ций и нормальных напряжений.................................. .180
§ 111,12. Практический способ определения х и входящих в вы-
ражение для интегрального модуля деформаций . 187
§ 111,13. Расчет прочности и жесткости железобетонных элементов 194
§ 111,14. Другие приемы оценки жесткости железобетонных элементов 200
Г лава IV Расчет железобетонных конструкций с учетом нелинейности
и неравновесное™ деформирования методом интегрального
модуля деформаций ................................................ 212
§ IV,I. Ос новы расчета деформаций железобетонных конструкций . 212
§ IV,2. Си стема последовательных приближений................ 219
§ IV,3. Эк спериментальная проверка метода . . 226
§ IV,4. Ос обенности применения метода к расчету статически нео-
пределимых систем . .... .............237
§ IV,5. Ра счет многопролетных неразрезных балок...............252
§ IV,6. Ра счет балок на упругом полупространстве..............259
§ IV,7. Ус тойчивость железобетонных стержней..................266
§ IV,8. Ко лебания железобетонных стержней.................... 284
§ IV.9. К вопросу о расчете длительности эксплуатации железобе-
тонных стержней................................................298
Выводы ............................................................303
Литература.........................................................304