/
Автор: Александровский С.В.
Теги: сооружения и части сооружений по виду строительных материалов и методам возведения строительство железобетонные конструкции строительные материалы бетонные конструкции
ISBN: 5-902630-05-3
Год: 2004
Текст
С.В.Александровский
РАСЧЕТ БЕТОННЫХ
И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ НА
ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
И ВЛАЖНОСТИ С УЧЕТОМ
ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
Научно-исследовательский, проектно-конструкторский
и технологический институт бетона и железобетона
(НИИЖБ)
С.В.Александровский
д-р техн, наук, профессор
РАСЧЕТ БЕТОННЫХ
И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
НА ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И
ВЛАЖНОСТИ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
Издание третье,
переработанное и дополненное
Москва, 2004 г.
УДК 624.012.3/4.042.5
А46
Издание третье,
переработанное и дополненное
Александровский С.В. Расчет бетонных и железобетон-
ных конструкций на изменения температуры и влажности с уче-
том ползучести. ISBN 5-902630-05-3
В книге рассмотрен ряд практически важных инже-
нерных вопросов о расчете распределения температуры и влаж-
ности, а также связанного с ним напряженно-деформиро-
ванного состояния бетонных и железобетонных конструкций.
Особое внимание уделено повышению практической ценнос-
ти получаемых при этом решений.
Приведены результаты широких экспериментальных ис-
следований ползучести, влажностных и температурных дефор-
маций бетона, а также температурно-усадочных напряжений
в нем.
Содержится иллюстративный материал и необходимые
числовые примеры расчета, отвечающие требованиям дей-
ствующих норм проектирования; приводятся таблицы, а так-
же библиография по рассматриваемой проблеме.
Книга предназначена для научных работников,
инженеров-строителей, проектировщиков бетонных и же-
лезобетонных конструкций гражданских, промышленных и
гидротехнических сооружений, мостостроителей.
Табл. 66, ил. 140, список лит. 356 назв.
© Александровский С.В., 2004 г.
© Научно-исследовательский, проектно-конструкторский
и технологический институт бетона и железобетона
(НИИЖБ), 2004 г.
© Оформление ООО «ЭлИтон», 2004 г.
ISBN 5-902630-05-3
3
ОБ АВТОРЕ
лександровский Сергей Владимирович,
ajk доктор технических наук, профессор,
я ж почетный член Российской Академии
Архитектуры и Строительных Наук, лауреат
Премии Правительства России в области на-
уки. Окончил с отличием Днепропетровский
и Новосибирский инженерно-строительные
институты с перерывом на участие в войне и
аспирантуру МИСИ им. В.В. Куйбышева.
Докторскую диссертацию защитил в НИИЖБ
Госстроя СССР.
Опубликовано свыше 180 научных ра-
бот, в том числе 9 монографий (3 из них в
соавторстве) и получено 10 авторских свиде-
тельств на изобретения. Участник Великой Отечественной войны; был
тяжело ранен на фронте. Имеет боевые правительственные награды.
Сфера научной деятельности: теория тепло- и влагопроводнос-
ти, теория ползучести и термоползучести наследственных стареющих
сред, методы расчета температурных и влажностных напряжений в кон-
струкциях и их долговечности.
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
В обычных условиях работы бетонные и железобетонные конст-
рукции неизменно подвергаются воздействиям не силового ха-
рактера, вызывающим изменения их деформированного состо-
яния, или, как говорят, претерпевают вынужденные деформации.
К вынужденным деформациям относятся деформации, связан-
ные с изменениями температуры и влажности бетона вследствие отсут-
ствия термогигрометрического равновесия с внешней средой (разогрев
от экзотермии и последующее остывание, усадка, набухание, перио-
дические изменения температуры и влажности, связанные с годовым
циклом температуры и влажности воздуха), смещением (осадкой) опор,
искусственным перераспределением усилий и т.п. Без учета возникаю-
щего при этом напряженно-деформированного состояния невозможен
надежный и экономичный расчет бетонных и железобетонных конст-
рукций гражданских, промышленных и гидротехнических сооружений.
Он особенно необходим в связи с устранением излишних коэффициен-
тов запаса при расчете этих конструкций на прочность, жесткость и тре-
щиностойкость по действующим нормам.
Изучение напряженно-деформированного состояния, вызывае-
мого вынужденными деформациями, требует учета изменчивости во
времени физико-механических свойств бетона, а также его ползучес-
ти. Это связано с тем, что вынужденные деформации часто возникают
в молодом возрасте бетона, с другой стороны, их действие обычно со-
храняется весьма длительное время. Существенной же особенностью
этих деформаций является то, что вызываемые ими напряжения, не-
зависимо от их величины, вследствие ползучести бетона обычно зна-
чительно уменьшаются во времени, даже в предположении линейной
ползучести, в то время как напряжения, вызываемые нагрузкой, при
этих условиях существенно сказываются лишь на перемещениях (дефор-
мациях) конструкций.
Исследованию напряженно-деформированного состояния бетон-
ных и железобетонных конструкций при наличии вынужденных дефор-
маций и при учете ползучести бетона и посвящена настоящая работа,
при этом основное внимание в ней уделено температурным и влажнос-
тным напряжениям.
Это исследование проведено для стадий возведения и эксплуата-
ции конструкций и сооружений, поэтому в монографии рассматрива-
ются только задачи, связанные с устойчивым деформированием, ха-
рактеризующимся затуханием скорости деформаций ползучести. Кро-
ме того, имеется в виду линейная зависимость между напряжениями и
5
деформациями бетона как упругими, так и полными, определяемыми
с учетом ползучести.
В соответствии с этим также принято допущение о равенстве и
постоянстве коэффициентов поперечной деформации - упругой v ,(т)
и деформации ползучести v 2(t, т): v ,(т) = v 2(t, т) = const. По мало-
сти v j( т) и v 2(t, т) это допущение приводит к незначительным по-
грешностям. Учтено также старение бетона, т.е. изменение с возрас-
том его модулей упруго-мгновенных деформаций Е( т) и G( т), а так-
же меры ползучести C(t, т).
Указанные важные свойства бетона, т.е. его старение и наслед-
ственность, наиболее полно учитывает современная и наиболее совер-
шенная теория ползучести — теория упруго-ползучего тела (наследствен-
ная теория старения). На основе этой теории, но с учетом более совер-
шенных наследственных функций бетона, предложенных автором, в
монографии рассмотрен ряд практически важных задач о напряженно-
деформированном состоянии бетонных и железобетонных конструкций,
вызываемом вынужденными деформациями бетона.
Особое внимание уделено задачам теории тепло- и влагопровод-
ности бетона при наличии источников тепла и стоков влаги, интенсив-
ность которых зависит от температуры, а также упруго-мгновенным
задачам теории упругости тел с модулями Е(т) и G(т), зависящими
от возраста бетона. Полученные в монографии решения таких задач необхо-
димы для исследования напряженно-деформированного состояния бетона,
вызываемого изменениями температуры и влажности, с учетом ползу-
чести на основе известного принципа Вольтерра — Н.Х. Арутюняна.
Специальные главы посвящены учету температурно-влажностных
воздействий при расчете железобетонных конструкций без трещин и
при наличии их в соответствии с действующими нормами.
Новая третья часть книги посвящена особому разделу современ-
ной теории ползучести — теории термоползучести, разработанной ав-
тором в последние годы. В этой теории учитывается влияние темпера-
туры на физические свойства бетона, в том числе на его наследствен-
ные функции, поэтому она актуальна для расчета бетонных и железобе-
тонных конструкций, работающих при воздействии повышенных тем-
ператур технологического характера.
Монография представляет собой третье, дополненное и перера-
ботанное издание книги автора того же названия, изданной Стройиз-
датом в 1973 г.
Автор благодарит научно-исследовательский институт НИИЖБ,
с которым он сотрудничает на протяжении многих лет, и особенно ди-
ректора института доктора технических наук, профессора, академика
Российской инженерной академии — РИА А.И. Звездова за внимание
к рукописи книги и помощь в ее издании.
6
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И
ВЛАГОПРОВОДНОСТИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ПРИ РАСЧЕТЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ И
ВЛАЖНОСТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В
БЕТОННЫХ И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
КОНСТРУКЦИЯХ.
В обычных условиях эксплуатации бетонные и железобетонные
конструкции неизменно подвергаются температурным и влаж-
ностным воздействиям климатического и технологического характе-
ра. Без учета возникающего при этом их напряженно-деформирован-
ного состояния невозможно проектирование и возведение надежных,
долговечных и экономичных конструкций различного назначения. Он
особенно необходим при проектировании специальных конструкций: за-
щитных корпусов атомных реакторов, башен, труб, резервуаров и т.п.
Определению температурных и влажностных напряжений в кон-
струкциях должно предшествовать нахождение полей температуры и
влажности методами теории теплопроводности и влагопроводности с
учетом физических особенностей процессов тепло- и влагопередачи.
Методы теории теплопроводности хорошо развиты в работах [4,
29, 151, 177, 224]. Для быстро протекающих тепловых процессов (типа
тепловых ударов) ГА Гениевым [115] предложен вариант волновой теории
теплопроводности твердых тел, учитывающей их тепловую инерцию.
Что касается теории влагопроводности, то она находится еще в
стадии бурного развития [29, 78, 104, 178, 179, 223], особенно после
качественно нового подхода, заложенного АВ. Лыковым и В.Н. Бо-
гословским, и творчески развиваемого в дальнейшем в трудах отече-
ственной школы строительной физики.
Строгая теория теплопроводности и особенно теория влагопро-
водности очень сложны. Это связано со стремлением возможно более
полного учета физических особенностей этих процессов в капиллярно-
пористых средах: распределенных источников тепла и стоков влаги,
явления термодиффузии, гистерезиса сорбции и десорбции, раздель-
ного переноса влаги в парообразной и жидкой фазе, влияния темпера-
туры и влажности на соответствующие коэффициенты переноса. По-
7
этому необходимы разумные научно обоснованные упрощения этих ме-
тодов с переходом к удобным для приложений так называемым при-
кладным методам с четкими ограничениями областей их применения и
неучетом некоторых особенностей процессов, происходящих уже за их
пределами. В настоящем разделе книги освещаются именно такие при-
кладные методы.
Рассматриваются бетоны молодого возраста, начиная с момента
укладки (монолитные и сборно-монолитные конструкции, в том числе
массивные), и зрелого возраста (сборные конструкции). Поэтому в
общих уравнениях теплового баланса учитываются распределенные ис-
точники тепла, связанные с экзотермией бетона, а в уравнениях ба-
ланса влаги — распределенные стоки влаги из-за ее химического свя-
зывания при его твердении. Интенсивности этих источников и стоков
считаются зависящими от температуры процесса, носящего химичес-
кий характер.
Рассматривается диапазон положительных температур эксплуати-
руемых конструкций до 200°С, когда СНиП 2.03.04-84 [257] разрешает-
ся и рекомендуется применение обычных бетонов на портландцементах. В
соответствии с имеющимися опытными данными при этих температурах яв-
ление термодиффузии не учитывается, поля температуры и влажности
считаются лишь параметрически зависящими друг от друга и определя-
ются последовательно каждое по своей группе разрешающих уравнений.
В связи с тем, что рассматриваются бетоны, начиная с их моло-
дого возраста, считается преобладающим поток в жидкой фазе. Влия-
ние водяного пара на процессы влагопередачи учитывается косвенно
при значениях коэффициентов суммарного переноса, назначенных по
опытным данным.
На рассматриваемом диапазоне сравнительно невысоких темпе-
ратур, как правило, не учитывается их влияние на тепло- и влагофизи-
ческие свойства бетонов и принимаются средние для заданных условий
эксплуатации значения их характеристик по опытным или справочным
данным. Разработаны методы решения уравнений теории теплопро-
водности (метод дополнительного фиктивного источника) и теории
влагопроводности (метод дополнительного фиктивного стока), учиты-
вающие распределенные источники тепла и стока влаги, зависящие от
температуры процесса.
Рассмотрены некоторые общие вопросы теории теплопроводнос-
ти: уточнены теорема Дюамеля, используемая в традиционной теории
теплопроводности при переменных температурах внешней среды, и усло-
вия возможного применения аналогии так называемой “однослойной
эквивалентной стенки” для многослойных ограждающих конструкций.
8
ГЛАВА I.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕТОНА ПРИ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИСТОЧНИКАХ ТЕПЛА,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ.
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
В ряде практически важных задач теории теплопроводности при-
ходится учитывать распределенные по объему тела источники теп-
ла, к тому же еще и зависящие от температуры. К числу таких
задач относятся задачи об экзотермическом разогреве массивных бетон-
ных конструкций, некоторые технологические задачи температурной
сушки и т.п. Теория теплопроводности, учитывающая эти процессы,
пока еще мало разработана. Ниже освещаются основные уравнения та-
кой теории, возможные классические методы решения ее задач и дана
критическая оценка этих методов.
§ 1.1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕТОНА ПРИ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИСТОЧНИКАХ ТЕПЛА
При неравномерном распределении температуры по объему тела
его менее нагретым частям непрерывно передается тепло более нагре-
тых зон. Такая передача тепла называется теплопроводностью.
У ряда материалов (например, у древесины) теплофизические
свойства, связанные с теплопроводностью, изменяются от точки к точке
по объему тела, а сама теплопроводность в одних направлениях лучше,
чем в других. Зависимости между теплофизическими характеристика-
ми тел, анизотропных по своим теплофизическими свойствам, уста-
новлены Г.А. Гениевым [115, 116]. Теплофизические свойства мате-
риалов изменяются также в зависимости от температуры. Однако в боль-
шинстве практически важных случаев эти изменения не слишком вели-
ки, поэтому обычно эти свойства считают не зависящими от нее.
9
У некоторых материалов тепловой поток не только является след-
ствием внешнего воздействия (нагрев или охлаждение), но связан так-
же со свойством материала выделять или поглощать тепло. Примером
может служить бетон, выделяющий в процессе твердения значительное
количество тепла вследствие экзотермической реакции гидратации це-
мента. Это обстоятельство в больших массах бетона приводит к его ра-
зогреву и нежелательному появлению температурных трещин. В даль-
нейшем мы и будем рассматривать тела, материал которых обладает
экзотермией, имея в виду в первую очередь бетОн. При этом будем
считать последний однородным и изотропным телом с теплофизичес-
кими свойствами, не зависящими от времени (возраста бетона) и тем-
пературы.
Первое из этих предположений носит условный характер. Одна-
ко хаотичность размещения заполнителей в бетоне позволяет думать,
что он в больших объемах в общем является однородным и изотроп-
ным. Что касается остальных допущений, то они будут рассмотрены в
§1.3.
В теории теплопроводности показывается [151], что величина
теплового потока в единицу времени через единицу площади поверхно-
сти в данной точке тела
Qv=-^’
где Ф(х,у,гД) — температура тела;
Л — коэффициент теплопроводности материала;
v — внешняя нормаль к рассматриваемой поверхности.
Рассматривая условия теплопередачи через элементарный объем
тела, с помощью выражения (1.1) можно получить следующее диффе-
ренциальное уравнение теории теплопроводности бетона [3, 18]
ЭФ Ц ЭЭ
—- = a_V Ф + — • —- , fj 2}
dt ус dt I • )
в котором ат — коэффициент диффузии тепла (коэффициент темпера-
туропроводности), равный
<1.з>
(Л — коэффициент теплопроводности; с — удельная теплоемкость; у —
плотность бетона); Ц — содержание цемента в бетоне; Э — количество
тепла, выделяемое к рассматриваемому моменту времени единицей
массы цемента при гидратации. Уравнение (1.2) представляет собой
(II)
К)
уравнение теплового баланса элементарного объема и является основ-
ным в теории теплопроводности бетона.
В общем случае температура бетона является функцией времени
и всех трех координат точек тела. При этом мы будем иметь трехмерную
по координатам задачу теории теплопроводности, решение которой
определяет пространственное температурное поле в нем. Из общего
случая пространственной задачи могут быть получены частные случаи,
соответствующие часто встречающимся задачам, в которых температур-
ные поля зависят только от двух или только от одной координаты. Не-
которые из них мы рассмотрим в дальнейшем.
Решение основной задачи теории теплопроводности об отыска-
нии температурной функции Ф(х,у,гД) требует интегрирования диф-
ференциального уравнения (1.2) при граничных и начальном услови-
ях, определяющих соответственно тепловой поток на поверхности тела
и распределение температуры по его объему в начальный момент вре-
мени, и при заданном законе тепловыделения в бетоне 3(x,y,z,t). Для
практического использования решений этой задачи необходимо распо-
лагать численными значениями коэффициентов, характеризующих со-
бой теплофизические свойства бетона.
§ 1.2. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНОЕ УСЛОВИЯ
В теории теплопроводности твердых тел рассматриваются следу-
ющие виды граничных условий для температуры Ф на поверхности тела
с внешней нормалью v:
— внешние граничные условия первого рода
Ov(t)=cpv(t), (1.4)
когда задано распределение температуры Vv(t) по поверхности тела;
— внешние граничные условия второго рода
qv(t) = fv(t), (1.5)
когда на поверхности тела задана плотность f v (t) теплового потока q v (t);
— внешние граничные условия третьего рода
+hv [ф-<ру(1)]=0, (1.6)
dv
когда задан закон конвективного теплообмена поверхности тела и окру-
жающей среды с температурой ^(t), причем
h - ttv
hv"T (1-7)
11
— относительный коэффициент теплоотдачи, av — коэффици-
ент теплоотдачи поверхности тела, X ~ коэффициент теплопроводнос-
ти его материала;
— внутренние граничные условия четвертого рода на поверхнос-
ти сопряжения двух разнородных тел, находящихся, таким образом, в
тепловом контакте
Ф, = Ф2;
CV CV
Эти условия используются при расчете температурных полей сло-
истых конструкций.
В курсах теории теплопроводности последовательно и порознь
рассматриваются задачи с использованием того или иного вида гранич-
ных условий из числа рассмотренных выше [151, 177]. Возможна, од-
нако, обобщенная форма этих условий, объединяющая в себе все их
три вида
^"Т~=ак [ф-Ч>у(‘)]+ал [ф-<pv(t)]-qv(t),
ov
где а к и а л — соответственно коэффициенты теплоотдачи конвекцией
и излучением,
q v (t) — доля внешнего радиационного теплового потока, вос-
принимаемая единицей поверхности тела.
Раздельное экспериментальное определение коэффициентов а к
и ал затруднено. Поэтому обычно определяют, а затем нормируют
[260, 273] суммарный коэффициент теплоотдачи
а = ак+ал,
а долю радиационного потока q v (t) выражают через интенсивность па-
дающего радиационного теплового потока qr(t) и коэффициент погло-
щения тепла радиации поверхностью тела pv
qv(0 = Pv4r(0
С учетом изложенного обобщенные граничные условия прини-
мают вид
^ + hvL-L (t)+PiSlM=O.; (1.8)
0V [ L av JJ
Из этого общего граничного условия соответствующими предель-
пыми переходами можно получить все три условия (1.4) - (1.6). Дей-
ствительно, устремляя a -> оо , мы получаем условие первого рода (1.4);
12
при а—>0 мы приходим к граничному условию второго рода (1.5), а
при qr(t) -> 0 - к условию третьего рода (L6).
Возможность указанных предельных переходов избавляет от не-
обходимости рассматривать особо задачи с граничными условиями (1.4)
- (1.6). Достаточно будет получить лишь решения ряда задач с гранич-
ным условием (1.8). Решения же аналогичных задач с другими, более
простыми условиями мы получим из найденных таким образом реше-
ний, осуществив в них соответствующий из указанных предельных пе-
реходов.
Из условия (1.8) следует практически важный вывод о том, что
учет теплового радиационного потока qr(t) при решении температур-
ных задач сводится к соответствующей трансформации графика темпе-
ратуры внешней среды <р (t) с последующим применением видоизме-
ненного таким.образом граничного условия третьего рода. О способе
аппроксимации такого трансформированного графика смотри § П.2.
При решении задач теории теплопроводности часто встречается
случай утепления грани тела слоем термоизоляции; ее роль, например,
может играть опалубка. Теплообмен на такой грани может быть оценен
при помощи некоторого условного коэффициента теплоотдачи [18]
* = ^"гакт
UHT Л , О
А,т + 5тант
где Лт и 5 т — соответственно коэффициент теплопроводности и тол-
щина термоизоляции; ант — коэффициент теплоотдачи на открытой
поверхности. Анализируя формулу (1.9), мы видим, что при 5Т = 0 (тер-
моизоляция отсутствует) а*т = ант • В этом случае имеет место сво-
бодный теплообмен на поверхности бетона. При 5Т = °° (идеальная не-
теплоемкая изоляция) а„т = 0 • В этом случае поверхность раздела не-
проницаема для тепла. Для промежуточных значений 5 т каждого вида
термоизоляции может быть построена кривая а„т =f(ST), представля-
ющая собой ветвь гиперболы, асимптотой которой является ось 5 т.
Таким образом, при отыскании температурных полей бетонных тел слож-
ные граничные условия на их утепленных гранях практически могут быть
заменены граничными условиями свободного теплообмена при неко-
тором условном коэффициенте теплоотдачи а„т» определяемом по
формуле (1.9) и являющемся функцией толщины термоизоляции и ее
теплозащитных свойств.
Начальное условие определяет распределение температуры бето-
(1.9)
13
на по объему тела в некоторый момент времени, принятый за начало
отсчета. Оно может быть задано в виде некоторой непрерывной функ-
ции координат точки
O = f(x,y,z) npnt = 0. (1.10)
Это соответствует ряду задач, с которыми приходится иметь дело в при-
ложениях. Имея, однако, в виду бетон, укладываемый в момент tp
принятый за начало отсчета времени (Ц = 0), начальное условие (1.10),
записанное нами в общем виде, неприменимо.
Действительно, бетонная смесь, перемешанная в бетономешал-
ке и уложенная в опалубку, имеет температуру, равномерно распреде-
ленную по объему тела при пока еще отсутствующей экзотермии. По-
этому правильная постановка начального условия (1.10) в этом случае
приводит нас к следующей его форме
Ф = 90 при1 = 0, (Ill)
где е 0 - начальная температура укладываемой бетонной смеси. Это
начальное условие мы и будем иметь в виду в дальнейшем при опреде-
лении температурных полей в молодом бетоне. Условием же (1.10) сле-
дует пользоваться только в случае необходимости расчета распределе-
ния температуры, вызываемого внешними воздействиями, возникаю-
щими в момент времени t2, условно принимаемый за новый нуль от-
счета времени, когда тепловыделение в бетоне практически уже закон-
чилось. Задачи подобного рода хорошо изучены в курсах классической
теории теплопроводности [151, 177] и мы их здесь рассматривать не
будем.
§ 1.3. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНА
В уравнениях теории теплопроводности и решениях ее задач фи-
гурируют следующие теплофизические характеристики бетона, знание
которых для использования этих решений в приложениях необходимо:
коэффициент теплопроводности X, коэффициент температуропровод-
ности ат, удельная теплоемкость с, коэффициент теплоотдачи ат, плот-
ность у , относительный коэффициент теплоотдачи h. Эти характери-
стики не являются независимыми друг от друга и связаны соотношени-
ями (1.3) и (1.7).
Коэффициент теплопроводности к (Вт/м град) определяет ста-
ционарные процессы теплопередачи в бетоне и представляет собой ко-
личество тепла (Дж), протекающее в единицу времени (с) при устано-
14
вившемся тепловом режиме через единицу площади изотермической
поверхности (м2), при единичном температурном градиенте (град/м).
Коэффициент температуропроводности ат (м2/ч), наоборот, ха-
рактеризует нестационарный режим теплопередачи в бетоне и выража-
ет собой количество тепла (Дж), протекающее в единицу времени (ч)
при неустановившемся тепловом режиме через единицу площади (м2)
поверхности равного удельного теплосодержания, при единичном гра-
диенте последнего (Дж/м3/м).
Представляет также интерес удельная теплоемкость бетона с
(Дж/кг • град), равная количеству тепла (Дж), необходимого для по-
вышения температуры единицы массы тела (кг) на Г.
Коэффициент теплоотдачи с открытой поверхности в окружаю-
щую среду оснт (Вт/м2 • ч • град) характеризует собой суммарный тепло-
обмен на поверхности тела, максимальную роль в котором играет кон-
векция. Этот коэффициент представляет собой количество тепла (Дж),
отдаваемое бетоном с единицы открытой поверхности (м2) в единицу
времени (с) при единичном перепаде температур поверхности теплооб-
мена и окружающей среды (град).
Плотность у (кг/м3) характеризует степень заполнения объема
материала веществом. В теории теплопроводности под плотностью
обычно понимают величину, численно равную объемной массе.
Теплофизические свойства бетона (в противоположность такому
его свойству, как прочность) практически не подвержены влиянию
химических реакций, сопровождающих непрерывный процесс его твер-
дения, а зависят только от вида материалов, составляющих бетон. В
соответствии с этим они мало изменяются с возрастом бетона и прак-
тически их можно считать не зависящими от него. Наоборот, другие
особенности бетона в большей степени влияют на его теплофизические
свойства, и можно считать, что в основном последние зависят от вида
крупного заполнителя, водоцементного отношения и состава бетонной
смеси, а также от температуры бетона. На рис. 1 приведены результа-
ты опытов по исследованию влияния типа крупных заполнителей на
теплофизические свойства бетона, проведенных в США при строитель-
стве плотины Boulder.
Автором методом квазистационарного теплового режима были
проведены исследования теплофизических свойств бетонов на отече-
ственных цементе и заполнителях. В них изучалось влияние на них
водоцементного отношения и возраста бетона. Методика этих опытов
изложена в работе [10], а их результаты приведены на рис. 2 и 3. С
помощью метода регулярного теплового режима было также изучено
15
влияние температуры на теплофизические свойства цементно-песчано-
го раствора. Методика этих исследований изложена в работе [4]; ре-
зультаты опытов приведены на рис. 4.
Исследование влияния влажности и пористости (объемной мас-
сы) бетона на его теплофизические свойства проведено А. У. Франчу-
ком, которым составлены таблицы теплотехнических показателей стро-
ительных материалов [274], включающие в себя и соответствующие дан-
ные для бетона. Некоторые экспериментальные данные о коэффици-
енте температуропроводности гидротехнического бетона содержатся в
работе Ц.Г. Гинзбурга [118]. Обобщая результаты вёех описанных опы-
тов, можно отметить следующее.
Рис.1. Зависимость теплофизических свойств бетона от типа крупного
заполнителя.
16
Коэффициент теплопроводности бетона существенно зависит от
вида крупного заполнителя. Бетоны на базальтовом и риолитовом за-
полнителях обладают наинизшим коэффициентом теплопроводности,
в то время как бетоны на кварцитовом заполнителе отличаются высо-
кими значениями последнего.
Водоцементное отношение влияет на коэффициент теплопровод-
ности бетона в значительно меньшей степени, чем вид крупного запол-
нителя. При этом увеличение начального содержания воды в бетоне
вызывает уменьшение его коэффициента теплопроводности. Так, при
увеличении В/Ц на 32,5% (рис. 2) коэффициент теплопроводности
снижается всего на 5,5%.
Повышение температуры вызывает увеличение коэффициента
теплопроводности бетона и притом в ощутимой степени.
Теплоемкость бетона несколько повышается с ростом В/Ц, но в
весьма малых пределах. Так, при увеличении последнего на 32,5%
объемная теплоемкость бетона возрастает всего на 3,5% (рис. 2).
<7,5 0.6 0,7 0.3 0,3
0,5 0,6 0,7 0,0 0,3
О.ООЗбк-------------------]-------------------г
Рис. 2. Зависимость X, удельной теплоемкости с и ат бетона от В/Ц.
Сухой бетон состава 1:2,1:4,9, на портландцементе активностью
47,5 МПа.
17
Минералогический состав крупного заполнйтеля оказывает не-
значительное влияние на теплоемкость бетона. Наибольшей теплоем-
костью обладают бетоны на доломитовых заполнителях, а наинизшей
— бетоны на кварцитовых и гранитных заполнителях.
Повышение температуры бетона влечет за собой повышение его
удельной теплоемкости; при значительных изменениях температуры это
повышение может доходить до 20%.
Тип крупного заполнителя оказывает значительное влияние на
температуропроводность бетона. При этом наивысшей температуроп-
роводностью обладают бетоны на кварцитовых заполнителях, а наи-
низшей — бетоны на базальтовых заполнителях.
Влияние водоцементного отношения сказывается на температу-
ропроводности значительно меньше, чем влияние вида крупного за-
полнителя. С увеличением начального содержания воды в бетоне его
температуропроводность несколько снижается. При этом повышение
В/Ц на 32,5% уменьшает ее всего на 8,5%. При повышении температу-
ры температуропроводность бетона также снижается.
Плотность бетона зависит в основном от удельной массы составля-
ющих его материалов, состава смеси и ее пластичности. Тип заполнителя
влияет на плотность бетона через состав смеси и свою удельную массу.
Наибольшую плотность имеют бетоны на базальтовом крупном запол-
нителе. Бетоны на риолитовых заполнителях имеют меньшую плот-
Рис. 3. Зависимость \ и объемной теплоемкости с бетона от его возраста.
Бетон состава 1:2,1:4,9 на портландцементе активностью 47,5 МПа,
В/Ц = 0,41. Значения X и с в начале опыта приняты за 100%.
18
ность. Плотность бетона уменьшается при увеличении В/Ц, поскольку
масса воды значительно ниже массы заполнителей. Так как темпера-
турное объемное расширение бетона весьма незначительно, то практи-
чески можно считать плотность бетона не зависящей от температуры.
Коэффициент теплоотдачи с открытой поверхности бетона в ок-
ружающую среду оснт изменяется в широких пределах и зависит от ха-
рактера поверхности тела, его формы, аэродинамических условий, в
которых происходит теплообмен, свойств окружающей среды и темпе-
ратуры. Повышение температуры бетона вызывает повышение отно-
сительного коэффициента теплоотдачи h (рис. 4). В этом же направ-
лении влияет на h и повышение В/Ц. Величина коэффициента тепло-
отдачи ант существенно зависит от подвижности окружающей среды,
например от скорости воздуха. Ряд нормативных документов учитыва-
ет это, дифференцируя величину ант в зависимости от скорости ветра.
15
7 10
S
О
Рис. 4. Зависимость ат и h цементного раствора от температуры. Ра-
створ состава 1:4,32, В/Ц = 0,583, на портландцементе актив-
ностью 55,6 МПа.
19
Возраст бетона оказывает незначительное влияние на его тепло-
физические свойства. Проведенные исследования [10] на образцах,
изолированных от влагопотерь, показали (рис. 3), что коэффициент
теплопроводности такого бетона с увеличением возраста последнего
снижается всего на 5 — 7%. Это связано с химическим связыванием
воды и происходящими в бетоне новообразованиями. По времени же
изменение X исчерпывается 8 — 10 сутками, после чего теплопровод-
ность невысыхающего бетона практически не изменяется. Изменение
объемной теплоемкости бетона с изменением его возраста не превышает 5%.
Описанные выше исследования теплофизических свойств бетона
показывают, что повышение температуры приводит к одновременному
снижению коэффициента температуропроводности и повышению ко-
эффициента теплоотдачи бетона. Следовательно, при экзотермичес-
ком разогреве бетонного массива, с одной стороны, снижается его спо-
собность к выравниванию градиентов температуры, с другой стороны,
повышается его теплоотдача с открытых поверхностей. Сочетание этих
обстоятельств оказывает неблагоприятное воздействие на напряженное
состояние массива, повышая неравномерность распределения темпера-
туры в нем и способствуя развитию температурных напряжений. С дру-
гой стороны, мы видели, что бетоны с малым В/Ц обладают большей
способностью к выравниванию температур по объему и температурные
изменения в них протекают быстрее. По этой причине бетоны с низ-
ким водоцементным отношением более выгодны по сравнению с бето-
нами, имеющими большие В/Ц, с точки зрения величин температур-
ных напряжений, развивающихся в них от экзотермии цемента. По
этой же причине для массивных сооружений выгодно применение мед-
ленно твердеющих бетонов, у которых снижение теплопроводности при
старении проходит медленнее и которые, следовательно, обладают боль-
шей способностью рассеивать тепло экзотермии в молодом возрасте.
Учитывая в общем небольшую изменчивость теплофизических
свойств бетона, а также то, что расчет изменений его температуры,
особенно при учете колебаний температуры внешней среды, носит ги-
потетичный характер, в прикладных задачах теории теплопроводности
принимают обычно некоторые постоянные осредненные значения ха-
рактеризующих их коэффициентов, назначаемые по эксперименталь-
ным или справочным данным. Так, например, в СНиП П-3-79* [260]
приведены средние их величины, которыми и можно пользоваться при
отсутствии специальных экспериментальных данных.
20
§ 1.4. ЭКЗОТЕРМИЯ БЕТОНА
Давно известно, что известь и цемент при гидратации выделяют
значительное количество тепла. В конце XIX века уже были описаны
наблюдения за повышением температуры цементных растворов при их
твердении [183]. Позже, когда применение бетонных и железобетон-
ных конструкций значительно возросло, изучение величины и характе-
ра теплоты гидратации стало необходимостью. Этого требовала прак-
тика зимнего бетонирования и особенно строительства массивных бе-
тонных сооружений, у которых вследствие экзотермии обычно наблю-
дается резко неравномерное распределение температуры. В связи с
ограничением теплопотерь наружными слоями бетона ядро таких со-
оружений в начальный период их жизни существенно разогревается,
что приводит к развитию больших температурных напряжений. После-
дние, сочетаясь с напряжениями, вызываемыми колебаниями темпе-
ратуры внешней среды, и усадочными напряжениями, связанными с
высыханием бетона, часто приводят к нежелательным температурно-
усадочным трещинам. На рис. 5 показано изменение во времени тем-
пературы внутри нижней и верхней частей вертикальных ступенчатых
блоков бетонной плотины Upper Narrows.
Большая заслуга в изучении экзотермии цементов и бетонов при-
надлежит советским исследователям. Следует отметить опыты С.А.
Миронова [204], В.А. Кинда, С.Д. Окорокова и С.Л. Вольфсона
[155], С.Д. Окорокова, И.Д. Запорожца и А.А. Парийского [215],
исследования Гипроцемента по специализации цементов [159, 160], а
также специальные исследования на Днепрострое, Волгострое, строи-
тельстве канала имени Москвы и ряде других крупных гидростроек.
Можно считать установленным, что наиболее важными факто-
рами, влияющими на экзотермию бетона, являются: химический и
минералогический состав цемента, крупность его помола, температура
укладки бетона и окружающей среды, содержание цемента.
В табл. 1 приведены данные В.А. Кинда, С.Д. Окорокова и
С.Л. Вольфсона [155] о тепловыделении различных минералов цемен-
тного клинкера. Наиболее высокой экзотермичностью отличаются ми-
нералы С3А, а наиболее низкой — C2S. После трехмесячного возраста
только 2СаО • SiO2 дает значительное приращение выделяемого тепла,
а остальные минералы не дают существенного увеличения тепловыде-
ления. Наибольшая теплота гидратации присуща высокоалюминатным
и высокоалитовым цементам. Алитовые и браунмиллеритовые цемен-
ты по экзотермичности занимают промежуточное место. Так, напри-
мер, поданным Гипроцемента [159, 160], портландцементы с расчет-
21
ними характеристиками, указанными в табл. 2, дают тепловыделение
в соответствии с табл. 3.
Как следует из данных табл. 3, наибольшее количество тепла в лабо-
раторных условиях выделяется в первые три дня твердения цемента.
С.А. Миронов [204] на основе лабораторных исследований и на-
турных наблюдений при температурах твердения бетона 15 — 20°С реко-
мендует пользоваться данными о тепловыделении чистых клинкерных
цементов в бетонных массивах, приведенными в табл. 4.
Введение в портландцемент гидравлических или инертных доба-
вок приводит к снижению тепловыделения. Величина этого снижения
не пропорциональна, а меньше, количества введенной добавки. На-
пример, введение в портландцемент 25% диатомита снижает тепловы-
деление через 7 дней на 5 - 10% [159]. Удельное тепловыделение пор-
тландцемента при введении таких добавок повышается. Так, в указан-
ном случае среднее удельное тепловыделение повысилось на 17 — 27%.
Это объясняется увеличением реагирующей поверхности вследствие
Таблица 1
Тепловыделение минералов портлавдцементного клинкера
Минерал Количество выделяемого тепла в Дж/г в возрасте
3 дня 7 дней 28 дней 3 месяца
ЗСаОА12Оз 590,3 659,8 873,4 928,2
3CaO-SiO2 404,4 456,4 486,5 520,4
5СаО-ЗА12О3 236,5 404,4 717,6 898,1
4CaO-AI2OyFe2O3 93,4 249,5 378,1 416,2
2CaOSiO2 21,3 103,8 165,8 183,8
Таблица 2
Расчетная минералогическая характеристика клинкеров
Цемент c3s | 1 « 1 С*А 1 c4af
в %
Белитовый 24 50 8 14
Алитовый 57 19 6 15
Высокоалитовый 65 10 6 14
Браунмиллеритовый 69 3 - 23
Высокоалюминатный 41 32 15 10
22
Таблица 3
Тепловыделение портлацццементов
Цемент Абсолютное значе- ние тепловыделения в Дж/г Интенсивность тепловыделения во времени в % Сравнительное тепловыделение различных порт- ландцементов в %
3 да 7 ДЕЙ 28 дей 3 да 7 дай 28 дай 3 дя 7 дней 28 дай
Белитовый 138,2 196,8 263,8 52 75 100 100 100 100
Алитовый 196,8 234,5 280,5 70 84 100 143 119 106
Высокоали- товый 259,6 297,3 339,1 76 88 100 188 151 129
Браунмил- леритовый 213,5 267,9 309,8 69 86 100 155 136 118
Высокоалю- минатный 255,4 297,3 351,7 73 85 100 185 151 133
Таблица 4
Тепловыделение чистых клинкерных цементов в бетоне в кДж/кг
Цемент Марка цемента Продолжительность твердения
3 дня 7 дней 28 дней 180дней
Глиноземистый (плавленый) 500-500 422,9 481,5 523,3 544,3
Глиноземистый 400 376,8 397,7 418,7 460,5
г 600 301,4 376,8 502,4 544,5
500 251,2 314,0 418,7 481,5
Портландцемент \ 400 201,0 251,2 334,9 418,7
300 150,7 188,4 251,2 334,9
1 200 100,5 125,6 167,5 251,2
Г 400 146,5 188,4 251,2 334,9
Пуццолановый портландцемент < 300 104,7 146,5 168,4 251,2
* 200 83,7 104,7 146,5 188,4
Песчано- пуццолановый портландцемент 300 83,7 125,6 167,5 251,2
23
разъединения отдельных зерен портландцемента зернами добавки. Тон-
кость помола цемента и температура укладки бетона также влияют на
экзотермию. Более тонкий помол цемента и более высокая температу-
ра повышают тепловыделение и бетон твердеет быстрее. При низких
температурах, близких к температуре замерзания воды, гидратация це-
мента, а следовательно, и тепловыделение замедляются и практически
прекращаются вовсе на период замораживания бетона.
Существенно влияет на величину тепловыделения содержание
цемента в единице объема бетона: чем выше последнее, тем больше и
эта величина. Большой расход цемента приводит к обильному тепло-
выделению и значительному повышению температуры, что следует всегда
иметь в виду при подборе состава бетона для массивных сооружений.
Рис. 5. Изменение температуры бетона внутри плотины Upper Narrows:
1 - среднегодовая температура воздуха; 2 - то же, воды
24
§ 1.5. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ СКОРОСТИ
ЭКЗОТЕРМИИ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРОЦЕССА
Отыскание температурных полей в бетоне с учетом экзотермии
требует задания в аналитическом виде скорости тепловыделения, вхо-
дящей в правую часть уравнения теплопроводности (1.2).
Поскольку скорость экзотермии существенно зависит от темпера-
туры бетона, то и количество выделившегося тепла к данному моменту
времени в различных его точках не одинаково. Если в начальный мо-
мент твердения бетона тепловыделение одинаково по всему его объе-
му, то в последующие моменты времени вблизи поверхности тела оно
начинает отставать от тепловыделения в ядре, поскольку в силу тепло-
обмена распределение температуры по объему тела становится неравно-
мерным. Поэтому функция экзотермии, характеризующая собой теп-
ловыделение в бетоне, оказывается зависящей не только от времени,
но и от координат точки Э = 3(x,y,z,t). Представить эту функцию в
виде некоторого точного закона, учитывающего все обстоятельства,
влияющие на тепловыделение в бетоне, не представляется возможным.
Приходится учитывать только главные из них и довольствоваться при-
ближенным выражением для нее, достаточно хорошо описывающим
действительную картину тепловыделения в бетоне. С этой целью был
сделан ряд предложений автором [18], Г.Д. Вишневецким [100], А.А.
Гвоздевым [107], И.Д. Запорожцем [130] и другими исследователями.
Понятно, что основным критерием приемлемости принимаемо-
го приближенного выражения для функции экзотермии должен слу-
жить опыт. Так как экспериментально наилучшим образом изучен воп-
рос о тепловыделении цемента (бетона) в адиабатических условиях,
рассмотрим в первую очередь именно этот процесс.
В соответствии с известными положениями физической химии
скорость реакции гидратации цемента в бетоне зависит от концентра-
ции реагирующих компонентов и, особенно, от температуры процес-
са. Поэтому, сочетая закон действия масс с уравнением Аррениуса,
можно записать скорость экзотермии в следующем виде
^=bnp-3(t)]f(e), (1.13)
где 3(t) — количество тепла, выделяемое при гидратации 1 кг цемента
к моменту времени t; Эпр — полное количество тепла, выделяемое 1 кг
цемента за все время гидратации; 0 — температура адиабатического про-
цесса. В формуле (1.13) первый множитель можно рассматривать как
25
условную концентрацию реагирующих компонентов, а второй — как
константу скорости, зависящую от температуры. Выражение (1.13) при
надлежащем выборе функции f( 0) хорошо описывает процесс адиаба-
тического тепловыделения в бетоне. Оно было предложено А.А. Гвоз-
девым [107]. Будучи распространенным на неадиабатический процесс
тепловыделения в бетоне, это выражение приводит к уравнению теп-
лопроводности относительно температуры процесса Ф [107]
ЭФ , -jf'w
^- = aTV2O + bf(O)e « , (1.14)
аналитическое решение которого наталкивается на непреодолимые труд-
ности. Кроме того, область применения этого уравнения ограничена
случаем неизменно положительных температур процесса на всем рас-
сматриваемом интервале времени.
Практически часто встречается случай, когда бетон, уложенный
при положительной температуре, и вначале разогревающийся от экзо-
термии, подвергается затем действию волны холода и неодновременно
по объему принимает отрицательную неравномерно распределенную тем-
пературу. Такой случай рассмотрен в § 11.12. Будучи распространен-
ным на этот случай, уравнение (1.14) может привести к “обратимости”
процесса тепловыделения, т.е. к кажущемуся увеличению концентра-
ции реагирующих компонентов. Поэтому весьма важно, не отступая от
экспериментальных данных, найти путь уточнения уравнения (1.14) и,
с другой стороны, его упрощения, позволяющий получить аналити-
ческое решение этого уравнения. Такой путь состоит в следующем.
Разлагая неопределенную пока еще функцию f( 0) в ряд Макло-
рена и ограничиваясь двумя первыми членами разложения, имеем
f(0>A+B0, (1.15)
где А и В — пока еще произвольные постоянные. Такая линейная ап-
проксимация функции f( 0) вполне достаточна, так как обычно изме-
нение температуры бетона от экзотермии не очень велико. Внося (1.15)
в (1.13), находим
^=[эпр-э(о][А+ве(()], (1.16)
Общеизвестно, что при нуле градусов твердение бетона, а следова-
тельно, и тепловыделение в нем практически прекращаются. Для это-
। о, чтобы удовлетворить этому условию, мы должны в уравнении (1.16)
26
положить постоянную А равной нулю. Таким образом, мы получим
^ = в[эпр-Э(0]б(1). (117)
Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальному условию, имеет вид
Э(О=ЭПР
-Bjo(t)dt
1-е 0
(118)
следовательно, в случае адиабатического тепловыделения
где 0 (t) — общий интеграл уравнения теплопроводности, соответству-
ющего адиабатическому процессу
46(0^3^^^.
dt су
здесь Ц — содержание цемента в бетоне, а С и у - соответственно его
удельная теплоемкость и плотность.
Общий интеграл уравнения (1.20), удовлетворяющий начальному
(119)
(1.20)
и предельному
условиям, равен
o(t)=eo при t = 0 (1.21)
®(t) = ®пр при t =00 (1.22)
0(t)=— врв пр (1-23)
пр %)е "г
где В - произвольная постоянная; 0 0 - начальная температура про-
цесса; 0 пр - предельная температура адиабатического процесса в конце
тепловыделения, причем
0 -0 । ЭпрЦ
су
Внося (1.23) в (1.19), окончательно получаем
(1-24)
d3(t)_ iKWCt)
at епр+ео(еВ0ч'‘-1)’
(125)
27
Проанализируем соответствие этого выражения эксперименталь-
ным данным о тепловыделении цементов в бетоне в адиабатических
условиях.
Используя зависимость (1.24), по формуле
3(t)=^[ow-e0] (1.26)
мы можем найти тепловыделение к текущему моменту времени адиаба-
тического процесса. Оно будет равно
следовательно,
дЭ(0_ ВЭпре062пре~ве'’'1 (1.28)
d* 1о + (е„Р-е0)е-вЧ2'
Нетрудно видеть, что точка перегиба кривых (1.27), или, что то
же, максимум функции (1.28), имеет место при
—In 1^-1
вепр teo J
(129)
Максимальная же скорость тепловыделения при этом равна
'd3(t)l = вэпре2р
. L 4(епр-е0)'
(1.30)
В уравнениях (1.27), (1.28) мы имеем три произвольных незави-
симых постоянных - начальную температуру процесса 0 0, предельную
величину тепловыделения Эпр и параметр В. Как следует из формул
(1.27) и (1.29), этот параметр при заданной предельной величине теп-
ловыделения Эпр оказывает влияние лишь на скорость адиабатического
процесса и время достижения ею максимальных значений и потому мо-
жет быть назван параметром скорости адиабатического тепловыделения
в бетоне. Таким образом, надлежащим выбором величины этого пара-
метра на основе экспериментальных данных о тепловыделении чистого
। ic мента или цемента в растворе стандартного состава можно характери-
зовать его сорт с точки зрения скорости твердения, т.е. классифици-
28
ровать цементы на медленно твердеющие, обычные и быстро твердею-
щие. Надлежащим же выбором величины Эпр можно характеризовать
цемент по предельной величине экзотермии, т.е. классифицировать
цементы на высокотермичные, обычные и низкотермичные.
С помощью выражений (1.26) и (1.27) для параметра скорости
адиабатического тепловыделения цемента в бетоне будем иметь формулу
В =
(1.31)
по которой он и может быть найден на основе экспериментальных дан-
ных о теплоте гидратации цемента 3(t); причем при любом t должно
быть В = const. Численный анализ формулы (1.31) показывает, что
величина параметра В, хотя и в слабой степени, но все же оказывается
зависящей от t, поэтому необходимо пользоваться его некоторой сред-
ней величиной. Выражение (1.27) наилучшим образом описывает экс-
периментальный характер адиабатического тепловыделения цемента в
бетоне 3(t), если параметр В определен по формуле (1.31) для интер-
вала времени, близкого к моменту времени t, наибольшей скорости ади-
абатического тепловыделения.
На рис. 6 приводятся кривые (1.27) и (1.28) при различных зна-
чениях е 0 и В для бетона при Y = 2400 кг/м3 на портландцементе ак-
тивностью 40 МПа с содержанием 300 кг/м3. Удельная теплоемкость
бетона с принята равной 0,96 кДж/кг град, а его предельная экзотер-
мия оценена в 419 кДж/кг (см. табл. 4). Нетрудно видеть, что зада-
ние скорости экзотермии в форме (1.28) хорошо согласуется с экспери-
ментальными данными, которые свидетельствуют о том, что при сни-
жении начальной температуры бетона 0 0 выделение тепла замедляется;
это же наблюдается и при переходе от быстро твердеющих к медленно
твердеющим цементам [155]. Кроме того, кривые, изображенные на
рис. 6, хорошо согласуются с экспериментальными кривыми и по сво-
ему очертанию (рис. 7).
Перейдем теперь к случаю неадиабатического тепловыделения в
бетоне. По аналогии с (1.17) будем считать скорость экзотермии в этом
случае пропорциональной, но не температуре процесса Ф, а некоторой
функции этой температуры Р(Ф), положительной при положительных
температурах. Так как эта функция пока еще не определена, зададим ее
в форме
29
Рис. 6. Кривые тепловыделения и скоростей тепловыделения цемента в бето-
не при различных 0 0 и В:
а — при постоянном В =2-104 1/град-ч и переменном 0О:
1 - е0 = 10°С; 2 - е0 = 20°С; 3 - 0О = 30°С; 4 - 0О = 40°С;
5- 0о = 5ОвС;
б — при постоянном 0 0 = 20°С и переменном В:
6 — В = 2-Ю4 1/град-ч; 7 — В = 2,5-Ю4 1/град-ч;
8 — В = 3,33-10'4 1/град-ч; 9 — В = 5-Ю’4 1/град-ч.
Продолжительность опыта 6 ч
Рис. 7. Теплота гидратации и скорость тепловыделения портландцемента в
растворе, исследованного в § 11.11;
1, 2 — теоретические кривые, рассчитанные по формулам (1.27) и
(1.28) соответственно.
30
р(ф)=<р(ф)ф(1). (1.32)
Тогда мы будем иметь уравнение
^^ = в[э„р-Э(1)]ф(ф)ф(1), (1-33)
общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию,
равен
9(0=эпр
-в|ф(ф)ф (t)dt
1-е 0
(1.34)
следовательно,
Кроме того,
-в|ф(Ф)Ф(0ск
Эпр-Э(0 = Эпре 0 (1.36)
Нетрудно видеть, что при положительных температурах уравне-
ния (1.35) и (1.36) определяют процесс с затухающими до нуля скорос-
тью и концентрацией реагирующих компонентов. В случае же, когда
температура тела под влиянием внешних воздействий в ходе процесса,
начиная с некоторого момента времени, становится отрицательной,
дальнейшее направление последнего зависит от вида функции Ф (Ф) и
будет исследовано позже.
В уравнении (1.33) выражение в|эпр -Э(о]ф(ф) можно рассмат-
ривать как некоторую условную концентрацию реагирующих компонен-
тов, при которой скорость тепловыделения линейно зависит от темпе-
ратуры процесса. Так как в соответствии с формулой (1.17) скорость
адиабатического процесса также линейно зависит от его температуры,
то на основании выражений (1.19) и (1.35) должно быть
-Bje(t)dt
B3np6(t)e °_________6(t)
-в|ф(Ф)Ф(0д1 Ф(0 : (1-37)
ВЭпрФ(ф)ф(0е »
31
Это дает уравнение
-в|ф(ф)ф(0<й -Bfe(t)dt (1.38)
(р(ф)? о =е 0
и начальное условие
ф[ф(0)]=1 (139)
для отыскания функции Ф (Ф).
Общий интеграл уравнения (1.38), удовлетворяющий начально-
му условию (1.39), равен
-Bfecodt
Ч>(Ф)=-----—-—;---------- (1.40)
‘ -Bj0(t)dt
1-В|ф(0е » dt
0
Нетрудно видеть, что при Ф =0 Ф(Ф) = 1, а при Ф <0
0 < Ф (Ф) < 1 для любого момента времени, в том числе и при t -> оо.
Внося (1.40) в (1.35), получаем следующее простое и хорошо со-
гласующееся с опытом выражение для скорости экзотермии в общем
случае неадиабатического процесса
^ = ВЭпрФ(0е i . (1.41)
dt
Наконец, внося сюда (1.23), мы получаем окончательную форму
этого выражения
33(t) ВЭПр9ПрФ(0
(1.42)
которой и будем в дальнейшем пользоваться.
Выражение (1.41) уже свободно от недостатков формулы (1.14),
так как с течением времени благодаря наличию в нем множителя
-Bje(t)dt
е 0 скорость экзотермии становится исчезающе малой, что и на-
блюдается в действительности. Поэтому перемена знака температуры
вследствие возможной волны холода, сравнительно медленно прони-
32
кающей в бетон, к этому моменту времени будет носить формальный
характер. Это видно на примере числовой задачи, рассмотренной в
§11.12. Кроме того, выражения (1.41), (1.42) обладают еще одним важ-
ным достоинством — они позволяют получать решения сложнейших за-
дач теории теплопроводности аналитическим методом даже в общих
случаях двух- и трехмерных по координатам задач с переменными во
времени граничными условиями, что не удается в случае уравнения
(1.14). Это показано в гл. II.
Внося выражение (1.42) в уравнение (1.2), с учетом (1.24) мы
получаем следующее уравнение теплопроводности при распределенных
по объему тела источниках тепла, интенсивность которых зависит от
температуры
С/Ф 9
— = aTV20 + co(t)0 ,
где
, ч В®пр(®пр ®о)
“(0 =-----—Mt-------
0np+0o(* ’ "В
(1.43)
(1.44)
а V2 — оператор Лапласа, в общем случае трехмерной по координатам
задачи, равный
v2 =
э2 э2 э2
Эх2 Эу2 dz2
(1.45)
В формуле (1.44) В (1/ч-град) — параметр скорости адиабати-
ческого тепловыделения данного цемента в бетоне заданного состава,
определяемый по формуле (1.31); Эпр (кДж/кг) — предельная величина
адиабатического тепловыделения цемента, 0 пр — предельная темпера-
тура адиабатического процесса твердения бетона, определяемая по фор-
муле (1.24); 0 0 — начальная температура бетона.
Методами математической физики можно показать, что уравнение
(1.43) принадлежит к уравнениям параболического типа, имеет един-
ственное решение и что оно всегда существует. Мы найдем его ниже.
33
§ 1.6. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
ИСТОЧНИКАХ ТЕПЛА, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
В соответствии с изложенным выше задача теории теплопро-
водности при источниках тепла, зависящих от температуры, ставится
следующим образом: требуется отыскать температурную функцию
C>(x,y,z,t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению теплопро-
водности с источниками тепла, зависящими от температуры
^ = атУ2Ф + ш(1)Ф (1.46)
dt
при заданных граничных условиях, например условиях вида
— + h v [ф - ф v(t)]=0 на поверхности, (1.47)
dv
соответствующих случаю свободного теплообмена, и начальном условии
Ф = 0О при t = 0; (1.48)
функции со (t), (pv (t) и начальная температура 0О заданы.
В силу линейности основного дифференциального уравнения
(1.46) рассматриваемая задача может быть сведена к двум более про-
стым задачам. Действительно, представим искомую функцию Ф в виде
суммы двух слагаемых
Ф = Ф1(х,у,м) + Ф2(х, y,z,t). В качестве функции Ф, выберем решение задачи (149)
0Ф 1 э —- = ат72Ф, +со(ОФ, , dt ’ (150)
0Ф. —- + ЬУФ, =она поверхности, dv v (151)
Ф = 0 0 при t = 0. Тогда функция Ф2 будет решением следующей задачи (1.52)
^|^- = ат72Ф2 +со(0Ф2, (1.53)
^^- + Ьу[Ф2-ФУ(0]=0на поверхности, dv (1.54)
34
Ф2=0 при1 = 0, (1.55)
Вспомогательная задача с однородными граничными условиями,
определяемая уравнениями (1.50) - (1.52), представляет собой первую
классическую задачу теории теплопроводности при источниках тепла,
зависящих от температуры. Вторая же вспомогательная задача с одно-
родным начальным условием, определяемая уравнениями (1.53) -
(1.55), является второй классической задачей этой теории.
При наличии готовых решений первой и второй классических за-
дач по формуле (1.49) всегда может быть составлено общее решение
задачи теории теплопроводности при источниках тепла, зависящих от
температуры, определяющее собой температурное поле при этих усло-
виях. Ниже рассматриваются классические аналитические методы ре-
шения этих вспомогательных задач.
§ 1.7. ПЕРВАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕПЛОПРО-
ВОДНОСТИ. ОДНОМЕРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПЛИТЕ
Решение первой из указанных выше задач найдем методом Фу-
рье. Представим искомую температурную функцию Ф:| в виде произве-
дения четырех функций
Ф, (1.56)
каждая из которых зависит только от одной своей переменной — време-
ни t или координаты точки £, Ц или £ соответственно. Внося (1.56) в
уравнение (1.50) и разделяя переменные, будем иметь
rx^)+rW+Z^l = I«_w(t) (J 57)
alxfe)+ Y(n) zfc)J T(t) (L57)
Левая часть этого равенства зависит только от координат точки, а
правая — только от времени t. При этих условиях удовлетворить равен-
ству (1.57) мы можем, только положив
^-<o(t) =-и? • (1.58)
X'fc)
Xfc)
-а2
Y(n) Р’
2
zfe)
(1-59)
35
где а, Р, Y, m — произвольные пока постоянные числа, причем
ат(а2+р2+у2) = т2. (1.60)
Знаки у правых частей уравнений (1.58) — (1.59) выбраны по
физическим соображениям, сущность которых будет ясна из дальней-
шего.
Общее решение уравнения (1.58) имеет вид
-j[m:-co(t)]dt
T(t) = Ke "
(1-61)
где А — произвольная постоянная интегрирования, или с учетом (1.44)
и (1.60)
T(t) =---------
в(епр+е0) (L62)
Для процессов, которые мы рассматриваем, когда тело стремит-
ся к температурному равновесию с внешней средой и достигает его по
истечении длительного промежутка времени (t ->«,), функция T(t)
должна быть затухающей. По физическому смыслу уравнения (1.44)
видно, что функция со (t) всегда положительна, поэтому условию за-
тухания процесса мы можем удовлетворить, лишь сохранив знак минус
в правой части уравнения (1.58). В противном случае температура Ф(
будет при увеличении времени t неограниченно возрастать, что физи-
чески невозможно.
Нашей задачей является отыскание общего выражения для Фр
одинаково пригодного и для ряда частых случаев распределения темпе-
ратуры по объему тела, например, когда температура Ф, зависит толь-
ко от одной из координат. Рассматривая этот случай, мы видим, что
уравнению (1.57) можно удовлетворить, лишь сохранив знак минус в
правой части первого из уравнений (1.59). Аналогичные рассуждения
приводят нас к необходимости иметь тот же знак в правых частях ос-
тальных уравнений (1.59).
Как следует из уравнения (1.62), функция T(t) с точностью до
постоянного множителя А полностью определена, если известны по-
стоянные а, Р и Y, представляющие собой так называемые характе-
ристические числа задачи. При этих условиях, с точностью до произ-
вольных постоянных интегрирования, всегда могут быть найдены и фун-
кции Х(£), Y(n), Z( £), входящие в уравнения (1.59), которые назы-
вают фундаментальными функциями. Вид этих функций определяется
36
видом выбранной системы ортогональных координат а, Р, Y . Так
как уравнения (1.59) являются обыкновенными дифференциальными
уравнениями второго порядка, то искомые фундаментальные функции
Х( £), Y( Л), Z( £) будут содержать в себе по две произвольных посто-
янных, поэтому в общем виде они могут быть записаны следующим
образом
Xfc)=KFlfc)+EF2fe); Y(n)=MT1(n)+v4'2(1i);
(L63)
где К, е , ... — произвольные постоянные интегрирования, a F,(£),
F2(£),... — линейно независимые частные решения уравнений (1.59).
Таким образом, мы будем иметь 10 независимых произвольных
постоянных а, р, Y , А, К, М, N, е , v и Ц.
Структура формулы (1.56) такова, что, не нарушая общности ре-
шения, мы можем произвольные постоянные интегрирования К, М и
N положить равными единице. После этого останется всего 7 незави-
симых произвольных постоянных: 3 характеристических числа а, Р, Y
и 4 произвольных постоянных интегрирования А, е , v , Р. Для их
отыскания мы будем иметь одно начальное (1.48) и шесть граничных
условий вида (1.47), из которых значения этих постоянных всегда могут
быть однозначно определены.
Дальнейший ход решения первой классической задачи мы рас-
смотрим на конкретном примере одномерного теплового потока вдоль
оси ОХ через плиту толщиной 2х0, имеющую практически неограни-
ченные размеры в двух других направлениях. Задачи подобного рода
встречаются при расчете распределения температуры по толщине плит
или конструкций, составленных из них. В этом случае, очевидно,
функции К( Ц) и Z( О тождественно равны единице, Р = Y = 0, а
Х(!0=Х(х) = cosax+Esinax, (1.64)
поэтому формула (1.56) с учетом (1.62) и (1.64) принимает вид
cX>l(x,t) = AF(t)(cosax + £sinax)e ^а,а » (1-65)
где
37
В рассматриваемом случае мы будем иметь два граничных усло-
вия
ЭФ1
——--Ь|Ф| =0 прих = -хл;
Эх
ЭФ1
---к + 112Ф1=0 прих = хо.
Эх
(167)
Здесь для общности принято, что относительные коэффициенты
теплоотдачи h на гранях плиты различны.
Внося (1.65) в (1.67), находим
° ~ ~7,—;—\ » и-ио/
га+^ + Ъг^ао
~ a2-h,h9
<L6’>
Характеристическое уравнение (1.69) хорошо исследовано в тео-
рии теплопроводности [151 ], где показано, что оно имеет бесчислен-
ное множество корней как отрицательных, так и положительных. Но
так как его отрицательные корни по абсолютной величине равны поло-
жительным, не нарушая общности решения (1.65) можно ограничить-
ся лишь положительными корнями этого уравнения — характеристи-
ческими числами a m. Тогда мы будем иметь бесчисленное множество
постоянных
” - 2am + (h1 + h2)tgamx0 ’ '• '
а следовательно, и бесчисленное множество линейно независимых фун-
даментальных функций
Xm(’‘)=cosalnx + emsinamx, <171)
каждая из которых будет удовлетворять первому из уравнений (1.59).
Поэтому общее решение уравнения (1.50) мы найдем в виде суммы его
частных решений
т=°° 2
<fc|(x,t) = F(t)£ Am(cosamx+£msinamx)e^a'a"~B •)'. (1.72)
т=1
Начальное условие (1.52) с учетом (1.72) дает нам
т=°°
°0 = SAm(C0SamX+emSinamX)- (173)
т=1
38
Следовательно, постоянные Am являются коэффициентами раз-
ложения заданной начальной температуры 0 0 в ряд по фундаменталь-
ным функциям (1.71) и поэтому равны
Ат=—----------46«Sma^o----------- (1.74)
(l+£m)2amx0+(l-E7n)sin2amx0
Итак, решение рассматриваемой первой классической задачи для
плиты определяется формулами (1.66), (1.69), (1.70), (1.72) и (1.74).
Отметим часто встречающийся важный случай симметричных гра-
ничных условий для плиты
h J = h 2 = h . (1.75)
В этом случае в соответствии с выражением (1.70) в формулах
(1.72) и (1.74) следует положить е m = 0 и считать a m равным
am=^-> (1.76)
*0
где £ m— положительные корни характеристического уравнения
Ctg5 = -^-, (1.77)
hx0
в которое преобразуется уравнение (1.69) при условии (1.75). Первые
три корня уравнения (1.77) приведены в табл. 5 [177].
§ 1.8. ВТОРАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕПЛОПРО-
ВОДНОСТИ. ОДНОМЕРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПЛИТЕ
Решение второй задачи, определяемой уравнениями (1.53) —
(1.55), представляет большие трудности, и нам придется рассмотреть
его более подробно. Вначале рассмотрим подсобную задачу об отыска-
нии температурной функции F, удовлетворяющей уравнениям
Э F ?
— = ат V2 F + <o(t)F; (1.78)
О t
t) F
+hv(F-1) = 0 на поверхности; (1.79)
dv
F = 0 при t = 0.
(1.80)
39
Таблица 5
Первые три корня характеристического уравнения ctg £ = -2-
hx0
hxo Si Sa S3
0 0,0000 3,1416 6,2832
0,001 0,0316 3,1419 6,2833
0,002 0,0447 3,1422 6,2835
0,004 0,0632 3,1429 6,2838
0,006 0,0774 3,1435 6,2841
0,008 0,0893 3,1441 6,2845
0,01 0,0998 3,1448 6,2848
0,02 0,1410 3,1479 6,2864
0,04 0,1987 3,1543 6,2895
0,06 0,2425 3,1606 6,2927
0,08 0,2791 3,1668 6,2959
0,1 0,3111 3,1731 6,2991
0,2 0,4328 3,2039 6,3148
0,3 0,5218 3,2341 6,3305
0,4 0,5932 3,2636 6,3461
0,5 0,6533 3,2923 6,3616
0,6 0,7051 3,3204 6,3770
0,7 0,7506 3,3477 6,3923
0,8 0,7910 3,3744 6,4074
0,9 0,8274 3,4003 6,4224
1 0,8603 3,4256 6,4373
1,5 0,9882 3,5422 6,5097
2 1,0769 3,6436 6,5783
3 1,1925 3,8088 6,7040
4 1,2646 3,9352 6,8140
5 1,3138 4,0336 6,9096
6 1,3496 4,1116 6,9924 •
7 1,3766 4,1746 7,0640
40
Таблица 5 (продолжение)
Первые три корня характеристического уравнения ctg £ = -—
hx0 $2
8 1,3978 4,2264 7,1263
9 1,4149 4,2694 7,1806
10 1,4289 4,3058 7,2281
15 1,4729 4,4255 7,3959
20 1,4961 4,4915 7,4954
30 1,5202 4,5615 7,6057
40 1,5825 4,5979 7,6647
50 1,5400 4,6202 7,7012
60 1,5451 4,6353 7,7259
80 1,5514 4,6543 7,7573
100 1,5552 4,6658 7,7764
©о 1,5708 4,7124 7,8540
(1.81)
(1-82)
Представляя F в виде суммы
F = Ф3 + Ф4 ,
выберем в качестве Ф3 решение следующей задачи:
v2o3=o>
^^- + Ьу(Ф3-1)=0на поверхности; (1.83)
Э v
о стационарном распределении температуры при стационарных гранич-
ных условиях (1.83). Тогда для функции Ф4 мы будем иметь уравнения
0 Ф л Э
—— = ат V2 Ф4+со(1)(Ф3+Ф4) ;
о t ’
(1-84)
^- + ЬФ4=0на поверхности; (1.85)
Э v v
Ф4=-Ф3 при1 = 0, (1.86)
в которых функцию Ф3 уже следует рассматривать как заданную.
41
Отыскание функций Ф3 и Ф4 с помощью уравнений (1.82) — (1.86)
не вызывает затруднений. Таким образом, поставленную выше под-
собную задачу об отыскании температурной функции F при стационар-
ных граничных условиях (1.79) можно считать решенной. Теперь пе-
рейдем к рассмотрению исходной второй классической задачи методом
Дюамеля.
Допустим, что температура среды равна нулю от t = -<» до t = 0 и
равна 1 от t = 0 до t = t. Тогда начальная температура тела равна нулю,
температура среды равна 1 и температура тела будет равна F( £, т), С ,t)
при t > 0, т.е. будет решением рассмотренной выше подсобной зада-
чи. Поэтому, когда температура среды равна нулю от t = -©о до t = X и
1 от t = X до t = t, температура тела будет равна F(£, т|, t- X) при t > X .
Точно таким же образом, когда температура среды равна нулю от
t = -оо до t = X + ДХ и равна 1 от t = X + ДХ до t = t, температура тела
будет равна F(^, д, t- X- Д X) при t > Х+ Д X .Отсюда следует, что если тем-
пература среды равна нулю ort = -©© до t = X, 1 ort = Х до t =Х + ДХ и
нулю от t = X + ДХ до t = t, то температура тела с учетом физического
смысла функции F( , Ц, £, t) будет равна
- [F (^, п, t- Х)- F(5, т|, С t- X- ДХ)] прШ > 0.
При бесконечно малом интервале дХ(дХ-»0), очевидно, тем-
пература тела будет равна
ДР fc, пЛ t- X) = -—Ffc пЛ t" X)d X при t > X .
ЭХ
Если бы на интервале ДХ температура среды была бы равна не 1,
а ф (X), то температура тела была бы равна
ДФ 2 пЛ t- х) = - <р(х)-^~ Ffc Г), t- x)dx при t > 0.
ЭХ
Следовательно, разбивая интервал времени от t = 0 до t — t на
бесконечно малые интервалы d X и суммируя соответствующие каждому
такому интервалу результаты, мы найдем окончательно решение второй
классической задачи, когда температура среды равна ф (t), в форме
®2 = -j<p(x)^Ffc11,<;.t-X)dX
о
42
или после интегрирования по частям
Ф2 =<p(o)Ffc,Ut)+(1.87)
о ЭХ
где F(£, Л, , t) — решение указанной выше подсобной задачи,
т.е. температура в момент времени t в точке (£, Л, О тела, начальная
температура которого равна нулю,, окруженного средой, имеющей тем-
пературу, равную единице.
Соотношение (1.87) есть обобщение известной теоремы Дюамеля
[151 ] на наш более общий случай задачи теории теплопроводности при
источниках тепла, зависящих от температуры. Таким образом, реше-
ние второй классической задачи, рассмотренной в § 1.6, можно всегда
найти, пользуясь этой теоремой по формуле (1.87), если известно ре-
шение подсобной задачи (1.78) — (1.80).
Применение классического метода решения второй классической
задачи, основанного на теореме Дюамеля, мы проиллюстрируем на
примере задачи об одномерном тепловом потоке в неограниченной пли-
те, рассмотренной в § 1.7.
Вначале рассмотрим подсобную задачу, определяемую уравнени-
ями (1.78) - (1.80), которые в данном случае принимают вид
НИЯ OF a2F — = ат ——+<o(t)F ; (1.88) < ” Эх2 OF - hj(F-l) = O прих = -х0; OF (L89) — + h2(F-l) = 0 прих = х0; F = 0 npnt=0, (1.90) Используя (1.82) — (1.83), для функции Ф3 будем иметь уравне- ^1=0 dx2 ’ (191) бФо — —-ht(O3-l) = 0 прих = -х0; dx ^^2. + Ь2(Ф3-1) = 0 прих = х0; (1-92) dx
43
(1.94)
(195)
(1.96)
решение которых будет равно
F3=l. (1.93)
На основании формул (1.84) - (1.86) с учетом (1.93) для функ-
ции Ф4 будем иметь уравнения
=ат + O(t)(l + Ф4) ;
dt dxz
-----1цФ4=0 прих = -х0;
Зх
ЗФ4 , _ Л
---- + 112Ф4=0 прих = х0;
дх
Ф4 = -1 при t = 0.
Эти уравнения весьма схожи с уравнениями первой классической
задачи (1.50) - (1.52) для плиты неограниченных размеров, поэтому
метод их решения будет таким же.
Представляя функцию Ф4(хд) в виде ряда по фундаментальным
функциям (1.71), имеем
<I>4(x,t)=,^Qm(tXcosan>x+em sinamx). (1.97)
m=l
При этом граничные условия задачи (1.95) будут автоматически
удовлетворяться.
Раскладывая 1 в области -х0<х<х0 в ряд по этим же функциям,
находим
1= ^Pm(cosamx+emsinamx); (1.98)
m=l
где
,, 4,1П>Х",----------- (1.W
+ (1— em)sin 2OmXg
Внося выражения (1.97) и (1.98) в (1.94), для Qm(t) будем иметь
обыкновенное дифференциальное уравнение
Qm(t) + |aT«m -a>(t)]Qm(t) = <o(t)Pm , (1.100)
44
общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию
(1.96), равен
Qm(0 =
Таким образом,
Рт<°(0
атат_^®пр
। ата^-вео -(ag’-BeJt
В(Рпр-6о)
(1.101)
F(x,t) = 1 + ^Qm (t^cos a mx+£m sinamx).
(1.102)
Следовательно,
d m=oo ___
—F(x,t-1)= £ — Qm(t-XXcosamx+smsinamx), (1.103)
dA m=1 dK
и поэтому окончательно
m=°° /• d _____
ф2(х-0 = -£ (cosamx+sm
m=l |_o
sinamx). (1.104)
Как следует из выражения (1.104), решение второй классической
задачи, найденное с помощью теоремы Дюамеля, всегда получается в
виде рядов, сходимость которых для различных точек тела различна и
ухудшается по мере приближения точки к поверхности тела и особенно
к его углам. Поэтому важно найти метод решения задач теории тепло-
проводности, дающий улучшение сходимости этих решений. Это не-
обходимо еще и потому, что отыскание температурных напряжений,
например в случае плоской задачи, производится по Лапласиану 72Ф
изменений температурного поля Ф, для определения которого требует-
ся двойное дифференцирование этих решений, что ухудшает их сходи-
мость. Такой метод, предложенный автором, дающий повышенную
сходимость решений задач теории теплопроводности, излагается ниже
(метод Д ФИ).
45
ГЛАВА II.
УПРОЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИСТОЧНИКАХ
ТЕПЛА, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ.
МЕТОД ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО
ФИКТИВНОГО ИСТОЧНИКА
Решение общей задачи теории теплопроводности при граничных
условиях, зависящих от времени, очень сложно и требует трудо-
емкого применения теоремы Дюамеля [151, 177]. Автором [18,
22, 27] разработан метод решения таких задач, не требующий приме-
нения этой теоремы и позволяющий в ряде практически важных случа-
ев выделить замкнутую часть решения. Последнее весьма важно для
прикладных задач о термонапряженном состоянии конструкций.
Ниже излагается сущность этого метода и даны его приложения к
ряду практически важных задач теории теплопроводности.
§ П.1. УПРОЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ПРИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИСТОЧНИКАХ ТЕПЛА, ЗАВИСЯЩИХ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ. МЕТОД АВТОРА
Рассмотрим другой метод интегрирования уравнений (1.46) —
(1.48) теории теплопроводности при источниках тепла, зависящих от
температуры. Этот метод мы назовем методом дополнительных фик-
тивных источников (метод ДФИ).
Введем в рассмотрение некоторые распределенные по объему тела
дополнительные фиктивные источники тепла, зависящие от коорди-
нат точки и времени, с интенсивностью
q = Ycco(t)y, (П.1)
где c£>(t) определяется выражением (1.44), а V — пока произвольная фун-
кция. Рассмотрим теперь задачу (1.46) ~ (1.48) для некоторой темпера-
турной функции Ф3 при наличии этих дополнительных источников
46
(II. 1), однородных граничных условиях вида (1.47) и однородном на-
чальном условии. Основные уравнения этой вспомогательной задачи
будут иметь вид
^- = ат72Ф3+<й(1)(у + Ф3); (П. 2)
^2- + ЬФ, =0на поверхности; (II.3)
dv
Ф3 = О при t = 0. (П.4)
В этих уравнениях функцию у следует рассматривать как пока
еще произвольную, но заданную функцию. Подберем теперь эту функ-
цию таким образом, чтобы решение Ф3 задачи (II.2) — (II.4), будучи
сложенным с у , дало бы нам общее решение Ф исходной задачи тео-
рий теплопроводности (1.46) - (1.48) с первоначально заданными дей-
ствительными источниками тепла, зависящими от температуры. Иными
словами, подчиним функцию у условию
Ф+Ф3=Ф. (П.5)
Внося (II.5) в уравнения (1.46) - (1.48), для функции у с уче-
том (II.2) — (II.4), получаем следующие уравнения
^ = aTV2<|/; (II.6)
СЛ
+ h[\|/- q)(t)] = 0 на поверхности; (П-7)
dv
Ф = 0О npwt = 0. (П-8)
Таким образом, функция у должна быть решением обычной
классической граничной задачи параболического типа с граничными
условиями (II.7), в которых постоянная h и температура среды Ф (t) в
общем случае различные со стороны каждого из координатных срезов,
ограничивающих тело. Будет показано, что решение задачи (II.6) —
(II.8), удовлетворяющее указанным условиям, всегда может быть най-
дено, и мы его получим ниже. Для некоторых частных случаев ее гото-
вые решения можно найти в литературе.
Вспомогательную задачу, определяемую уравнениями (II.2) —
(II.4), назовем третьей основной задачей теории теплопроводности при
источниках тепла, зависящих от температуры. Ее решение - темпера-
турная функция Ф3 будет определять собой температурный режим тела с
нулевой начальной температурой в условиях свободного теплообмена с
внешней средой с температурой, также равной нулю, и при наличии
47
дополнительных распределенных по его объему источников тепла ин-
тенсивностью (II. 1). При этом функция у считается заданной, по-
скольку она предварительно находится решением задачи, определяе-
мой уравнениями (11.6) - (II.8).
Температурную функцию у удобно искать в форме
\|/ = Ф1+Ф2, (II. 9)
выбрав в качестве функции Ф1 любое частное решение задачи, опреде-
ляемой уравнениями
v2oI=o; (П.Ю)
——1-+ h [ф] — <p(t)]=0 на поверхности; (П.11)
безотносительно начальных условий. Тогда для функции Ф2 будем иметь
ЭФ 2 ^2^ дФ1
-зГ = ат72Ф2-^-; (ПЛ2)
^- + ЬФэ = 0 на поверхности; (11.13)
dv
Ф2=е0-Ф1 при1 = о. (11.14)
Задачу (11.10) - (II. 11) для функции Ф1 мы будем называть пер-
вой основной задачей теории теплопроводности. Для ряда случаев ее
решение удается найти в замкнутом виде. Соответствующие решения
этой задачи мы получим в дальнейшем. Задачу (11.12) — (11.14) для
функции Ф2 мы будем называть второй основной задачей теории тепло-
проводности. Ее решения для соответствующих случаев мы также най-
дем в последующем.
Ниже будет показано, что при отыскании функций Ф. перемен-
ные всегда разделяются, поэтому их отыскание методом Фурье не вы-
зывает затруднений.
Последовательность решения общей задачи (1.46) - (1.48) будет
следующей. Вначале по уравнениям (11.10) - (II. 11) находят функцию
Ф,. Затем по уравнениям (11.12) - (11.14) определяют функцию Ф2.
После чего, считая Ф1 и Ф2 уже найденными, решением уравнений
(II.2) — (II.4) с учетом (II.9) находят функцию Ф3 и далее, их суммиро-
ванием
Ф = Ф|+Ф2+Ф3 (11.15)
саму искомую температурную функцию Ф.
Итак, мы видим, что предлагаемый метод дополнительных фик-
тивных источников обладает рядом несомненных преимуществ. Во-пер-
вых, этот метод позволяет свести сложную задачу теории теплопровод-
48
ности при источниках тепла, зависящих от температуры, к трем более
простым вспомогательным задачам; во-вторых, даже в самом общем
случае нестационарных граничных условий он не требует применения
теоремы Дюамеля и поэтому свободен в значительной своей части от
указанных выше недостатков классических методов решения задач тео-
рии теплопроводности. Как будет показано ниже, решение первой ос-
новной задачи в большинстве практически важных случаев удается най-
ти в замкнутом виде, что существенно улучшает сходимость всего ре-
шения в целом.
Само собой разумеется, что метод дополнительных фиктивных
источников применим и в случае задачи теории теплопроводности без
наличия источников тепла (экзотермии), т.е. при ее классической по-
становке. В этом случае co(t) и, как это следует при этом из уравнений
(II.2) - (II.4), функция Ф3 тождественно равна нулю. Поэтому в тео-
рии теплопроводности конструкций из бетона зрелого возраста (сбор-
ные и сборно-монолитные конструкции) третья основная задача не учи-
тывается. Ее можно не учитывать также для немассивных конструк-
ций, у которых эффект экзотермического разогрева не имеет практи-
ческого значения.
Задача при Ф3 = 0 будет представлять собой лишь частный случай
более общей задачи, поставленной в § 1.6 и рассматриваемой в даль-
нейшем.
При решении первой основной задачи достаточно найти любое
частное решение уравнения (11.10), удовлетворяющее граничным усло-
виям (II. 11). При этом можно поступить двояко. Первый более слож-
ный путь состоит в том, чтобы сразу искать то частное решение, кото-
рое удовлетворяет заданным граничным условиям (II. 11). Второй бо-
лее простой путь — это отыскание отдельных классов частных решений,
а затем установление тех форм граничных условий, которым можно
удовлетворить найденными частными решениями установленного класса.
Уравнения (II. 12) — (11.14) для функции Ф2 представлены в их
простейшем виде. Поэтому решение второй основной задачи находит-
ся обычными классическими методами. Эти методы с успехом могут
быть применены и для решения третьей задачи.
При решении задач теории теплопроводности необходимо изна-
чальное аналитическое задание переменной температуры внешней сре-
ды ср (t) путем аппроксимации ее годового графика, получаемого ве-
роятностной обработкой многолетних наблюдений за температурой на-
ружного воздуха. Способ такой аппроксимации рассмотрен в § II.2.
49
§ II.2. АППРОКСИМАЦИЯ ГРАФИКА ТЕМПЕРАТУРЫ
НАРУЖНОГО ВОЗДУХА В ФОРМЕ, УДОБНОЙ ДЛЯ
ПРИЛОЖЕНИЙ
Температура наружного воздуха фн (t) в пределах одного выбран-
ного года является случайной функцией, на графике которой, однако,
можно выделить ряд характерных составляющих и два характерных уча-
стка. Для оценки их параметров (отдельных значений, амплитуд, пе-
риодов и т.д.) можно воспользоваться статистическими данными мно-
голетних наблюдений. В дальнейшем под графиком <рн (t) мы будем
понимать график среднесуточных температур по дням месяцев года.
Разницу между истинным и выбранным таким способом графиком <рн (t)
будем покрывать добавлением к последнему периодического графика
среднечасовых температур с периодом 2Рс, равным 24 часам, и средне-
суточными амплитудами Ас. Часовыми колебаниями температуры на-
ружного воздуха с периодом, равным одному часу, мы будем пренеб-
регать, т.к. ввиду малости этого периода они проникают в толщу ог-
раждения на весьма незначительную глубину.
Выбрав в первую очередь в качестве объекта наблюдения средне-
месячные температуры tCM, на графике <рн (t) можно выделить перио-
дический график tCM(t) годового хода среднемесячных температур с пе-
риодом, равным одному году. Далее на графике <рн (t) можно выде-
лить периодическую составляющую <рн (t)—tCM(t) устойчивых потепле-
ний и похолоданий на каждом из двух активных интервалов года: зим-
не-весеннем и летне-осеннем, которые являются определяющими в те-
ории долговечности наружных ограждений [21, 30, 232] (рис. 8).
Рис. 8. Годовой ход температур на летне-осеннем периоде 1973 г. в
г. Норильске: 1 — среднемесячных; 2 — среднесуточных;
3 — аппроксимация годового хода полусинусоидами
50
При этом начало первой полуволны такого потепления (похоло-
дания) и конец последней полуволны такого похолодания (потепления),
переходящих через 0°С, определят начало и конец соответствующего
активного интервала, на котором будут наблюдаться периодические от-
тепели и заморозки с переходом через 0°С. За пределами этих интерва-
лов таких переходов не будет, и криофаза в зоне промерзания огражде-
ния будет либо существовать устойчиво, либо отсутствовать вовсе.
Итак, расчетный график среднемесячных температур наружного
воздуха фн (t) на данном активном интервале года (рис. 8) будет сла-
гаться из линейного графика среднемесячных температур tCM(t)
tcM«) = tCM(O)+bt (11.16)
и периодического графика устойчивых потеплений и похолоданий со
средними для них амплитудой Аоз, полупериодом Роз (частотой
_ л
“оз - т-) и в общем случае фазой Ф оз. Однако, если начало отсчета
*03
времени t выбрать так, чтобы начало активного интервала отстояло от
него на расстоянии кратном периоду 2Роз, то фаза Ф оз будет равна нулю
и можно будет пользоваться простым гармоничным графиком
t(t)-tCM(t) = A03sin-^. (11.17)
4)3
Необходимо также учесть график суточных колебаний температу-
ры с амплитудой Ас и полупериодом Рс = 12 ч (частотой сос = )
tc(t) = Acsincoct. (11.18)
Таким образом расчетный график фн (t) на каждом активном ин-
тервале года будет сочетать в себе все три указанных составляющих
(11.16), (11.17) и (11.18).
Наконец, необходимо еще также учесть эффект падающей сол-
нечной радиации, существенный для районов с преобладанием радиа-
ционных оттепелей и стен южной ориентации.
Интенсивность суммарной солнечной радиации qr(t) изменяется
периодически во времени с периодом 2Рс = 24 ч, но не гармонически,
т.к. в ночное время она отсутствует. На рис. 9 изображен для примера
суточный негармонический график qr(t) для южной стены на зимне-
весеннем интервале (март-май) в районе Норильск - Игарка. Пользу-
ясь подобными графиками, нетрудно подсчитать общее количество теп-
лоты солнечной радиации за сутки
51
2Р€
Qr = jqr (t)dt,
в нашем случае равное
Qr =18,73^^.
м2
Негармоничный график qr(t) с соблюдением постоянства суточ-
ной нормы теплоты радиации Qr можно представить в виде суммы двух
слагаемых графиков: постоянной в пределах суток средней интенсивно-
сти теплоты радиации 4^=—, в нашем случае равной 217 Вт/м2, и до-
полнительно накладывающейся на него косинусоидальной составляю-
щей с амплитудой в форме
ЧгО^ЯсрС-С05(0с*)-
(П19)
В итоге на основе формул (11.16) - (11.18) и (11.19) эквивален-
тная с учетом солнечной радиации расчетная температура наружного
воздуха ср 3KB(t) будет равна
ФэквО) ~ 1с (°)+bt + A03sinco03t + Acsincoct+^-(1 - coscoct), (11.20)
где р — коэффициент поглощения тепла радиации наружной поверх-
Рис. 9. Суточный негармонический график интенсивности солнечной радиа-
ции для южной стены на зимне-весеннем периоде в районе Норильск—
Игарка (1) и приведение его к гармоническому графику (3) вокруг
средней интенсивности (2).
52
ностью тела, а ан — суммарный коэффициент теплоотдачи этой по-
верхности.
Учитывая одинаковую частоту сос в двух последних слагаемых фор-
мулы (П.20), ей можно придать вид
Фэкв (0 = tCM (°) + bt + AO3sincoO3t + + A3KBsincoc (t - At3KB) ? (П.21)
где
(11.22)
(11.23)
Формула (П.21) должна учитываться при расчете температурных
полей наружных ограждений на активных интервалах года.
Для использования в приложениях эквивалентной температуры
наружного воздуха Фэки(0 в форме (11.21) необходимо располагать сред-
ними статистическими значениями параметров, входящих в эту фор-
мулу. По различным городам территории бывшего СССР и месяцам
года они приведены в климатологических каталогах [198, 199] и спра-
вочно-нормативной литературе, а именно: tcM и Ас — в СНиП 2.01.01.82
[255], ан, ав и р — в СНиП П-3-79* [260], (табл. 6), qcp в Пособии
по проектированию [232], А3, Ро, Р3 и их средние значения А^, Роз
в Рекомендациях РСН 58-86 [241], работе [36] и табл. 7, заимствован-
ной из них.
Идею приведения кривой qr(t) к эквивалентной периодической
температуре солнечной радиации с тем же периодом не вполне коррек-
тно использовали А.М. Шкловер [286] и К.Ф. Фокин [273]. Так амп-
литуду колебаний периодической составляющей qr(t) они определяют
равной qmax—qcp- Так как в связи с формой графика qr(t) всегда qmax-
qcp>q , то это приводит к отрицательной радиации в ночное время при
t и вблизи t, равном нулю. Далее, приведя формулу (П.23) к форме,
предложенной этими авторами в их обозначениях [273], будем иметь
Асум =(АЭК11 + АС)Ч/, (Н.24)
где
= П------
^- + 1
I
cos(cocAt3KB)
53
Таблица 6
Коэффициенты поглощения солнечной радиации материалом
наружной поверхности ограждающей конструкции р
1 Алюминий 0,5
2 Асбестоцементные листы 0,65
3 Асфальтобетон 0,9
4 Бетоны 0,7
5 Дерево неокрашенное 0,6
6 Защитный слой рулонной кровли из светлого гравия 0,65
7 Кирпич глиняный красный 0,7
8 Кирпич силикатный 0,6
9 Облицовка природным камнем белым 0,45
10 Окраска силикатная темно-серая 0,7
11 Окраска известковая белая 0,3
12 Плитка облицовочная керамическая 0,8
13 Плитка облицовочная стеклянная синяя 0,6
14 Плитка облицовочная белая или палевая 0,45
15 Рубероид с песчаной посыпкой 0,9
16 Сталь листовая, окрашенная белой краской 0,45
17 Сталь листовая, окрашенная темно- красной краской 0,8
18 Сталь листовая, окрашенная зеленой краской 0,6
19 Сталь кровельная оцинкованная 0,65
20 Стекло облицовочное 0,7
21 Штукатурка известковая темно-серая или терракотовая 0,7
22 Штукатурка цементная светло-голубая о,з
23 Штукатурка цементная темно-зеленая 0,6
24 Штукатурка цементная кремовая 0,4
Таблица 7
Средние расчетные характеристики климатической активности (полупериоды Р и амплитуды А)
для ряда городов Российской Федерации
Зимне-весенний интервал года Летне-осенний интервал года
оттепели заморозки заморозки оттепели
Начало (число мес.) Ро. сут. Ао, °C р„ сут. А3, °C т3, цикл. год Начало (число мес.) Р3, сут. Аз, °C Ро, сут. J О < О т3, цикл. год
Воркута 30.04 1,9 3,6 4,7 4,1 5 29.09 4,8 3,2 3,3 3,1 3
Магадан 02.05 2,0 2,1 4,7 2,2 3 08.10 4,9 4,4 4,4 2,9 1
Москва 10.03 7,6 7,0 5,4 4,4 3 25.10 6,0 6,2 6,2 5,3 3
Надым 16.04 3,6 5,2 5,7 6,1 5 29.09 3,7 3,0 3,0 3,8 3
Новосибирск 19.03 8,4 7,4 6,5 8,0 4 20.10 6,9 10,0 7,3 9,2 6
Новый Урен- гой 20.04 3,3 2,7 5,7 7,0 5 28.09 3.9 2,8 2,8 3,2 3
Норильск 27.04 1,6 3,7 10,8 10,5 3 28.09 4,0 4,1 4,1 2,5 1
Сургут 04.04 5,8 5,7 3,4 4,0 6 03.10 6,1 7,5 7,5 3,5 5
Тында 09.04 3,6 3,6 5,2 3,8 3 01.10 3,4 3,6 3,6 3,4 2
Якутск 16.04 4,6 4,6 6,1 4,4 2 25.10 2,7 1,8 1,8 5,2 2
Регион Западно- Сибирской же- лезной дороги Начало оттепелей 19.03; т3 = 4 цикл/год Начало заморозков 20.10; т3 = 6 цикл/год
Ро = 8,7 сут.; Ао = 7,5°С; Р3 = 7,0 сут.; А3 = 8,2°С
55
Таблица 8 Значение коэффициента V : Обычно мак- симум суточной тем- пературы наблюдает- ся около 15 ч., а мак- симум солнечной ра- диации около 12 ч., так что А цК1~3 ч. При этом cos(cocAt3KB) = 1. При этих условиях коэффициент V ока-
Аэкв Ае Значение 1g при At3KB ~ 3 ч.
По формуле (11.25) По табл. 14 [273]
1 0,5 0,92
2 0,33 0,93
3 0,25 0,94
5 0,167 0,96
зывается многим меньше величин, указанных А.М. Шкловером и К.Ф.
Фокиным ([273], табл. 14) (См. табл. 8).
Таким образом методика А.М. Шкловера в дополнение к указан-
ному выше приводит еще и к существенному завышению эквивалент-
ных (суммарных) амплитуд.
§ IL3. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. СЛУЧАЙ ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ
Укажем случаи, когда удается получить решение первой основ-
ной задачи теории теплопроводности об обобщенном квазистационар-
ном температурном режиме в замкнутом виде.
Рассмотрим задачу об одномерном тепловом потоке вдоль оси ОХ
через плиту толщиной имеющую практически неограниченные раз-
меры в двух других направлениях
~-Мф|-ф|(0]=О прих = -х0;
Эх
+ Ь2(ф,-<p2(t)]=0 прих = х0.
В этом случае
ф1(1)=с1(о+с2(о—.
*0
Внося (11.28) в (11.27), для функций C((t) и C2(t) будем иметь
уравнения
(11.26)
(11.27)
(11.28)
56
(l + h,x0)C2(t)-h1x0C,(t) = -h,x0<pt(t);l
(l + h2x0)C2(i) + h2x0C|(t) = h2x0(p2(t),
из которых находим
C, (t) = у, (t) 4- ^-h' X° k', (t) c2(t)=h|h2Xo^<t)-<P|<t)l. (Ц.30)
hixo ’ ’ 2 h,+2h|h2Xp+h2
При этом в случае (1.75)
Ф|(0 + Ф2(О
(П.31)
c fn_ Ьхо[ф2(О-Ф1<О]
2 2(l + hx0)
При других видах граничных условий функции С ,(t) и C2(t) име-
ют следующие значения:
а) при граничных условиях
^--ЬДФ, -<p,(t)]=O прих = -х0;
Ф1 = Ф?(1) при X = х0;
c1(t)=<pl(t)+l^oc2(l). c,(t)=h‘x^<9-yM
h|X0 ’ l + 2h|X0
б) при граничных условиях
ЭФ| г -I
——ЬДф, -ф,(1)]=0 прих = -х0;
ЭФ, Л
-^- = 0 прих = х0;
а также при
Ф| =<Pi(t) прих = -х0;
Эф!
-^- = 0 прих = х0;
Cj (t) = (p,(t); C2(t)=0.
в) при граничных условиях
Ф| =Ф1(0 прих = -х0;1
Ф, =ср2(0 прих = х0; |
(П.32)
(П.ЗЗ)
(П.34)
(П.35)
(П.36)
(П.37)
с (0_Ф|(0+Фг(0. С,о)-Ф2(°-Ф|(1). (П.38)
2 ~ 2
В случае одномерного теплового потока вдоль радиуса г полого
цилиндра практически неограниченной длины, но ограниченного по-
верхностями г = а и г = b (а < Ь), исходные уравнения имеют вид
57
д2Ф« 1 ЭФ, л
Эг2 г dr
^--hi^j-tpiCt^O приг = а;
dr
+ Ь2[Ф]-(p2(t)]=0 приг = Ь.
Эг
В этом случае
O1(r,t) = C1(t) + C2(t)ln|-|.
ка )
Внося (11.41) в (11.40), имеем
(11.39)
(11.40)
(П.41)
CI(t) = <p1(t) + -^-C2(t); C2(t)= abh.<h2[<P?(0, . (IL42)
h.a ’ , ,, , . I b 1 ..
1 ahj+abh]h2 In — +bh2
\a )
При этом в случае (1.75)
C,(t) = <p,(t)+ bb>?<0-«p.<0] ; c2(t)= abhfo(0-<p.(0]. (IL43)
a + abhlnl —|+b a + abhln(—)+b
При других видах граничных условий функции C,(t) и C2(t) будут
иметь следующие значения:
а) при граничных условиях
—-<pt(t)]=O приг = а;
dr
Ф1=ф2(0 приг = Ь;
C.<0-«.,<0 + Ti-C20>;
h.a 1 U 1 I b I
1 1 + ahj In —
I a J
б)при граничных условиях
^--ЬДф! -ф10)]=0 при г = а;
dr
Эф1 п .
—— = 0 при г = Ь;
or
(11.44)
(П.45)
(11.46)
а также при
58
ф1=Ф1(0 при г = а; Эф1 -т— = 0 при г = Ь; dr C,(t) = <pl(t); C2(t) = 0; в) при граничных условиях (П.47) (П.48)
ф1=Ф!(0 при г = а;
Ф1 =Фг(0 приг = Ь;| (11.49)
C,=<p,(t); C2(t) = ^.t)~<P'(t). Inf — | 1 а 1 (11.50)
В случае сплошного цилиндра радиусом г = b мы будем иметь
лишь одно второе условие (11.40). В этом случае, полагая Ф1(гл) = С|(1) + С2(01пМ, 1 b 1 найдем, что условию (11.40) можно удовлетворить, положив C2(t) = 0; C,(t) = <p2(t) = <p(t). Таким образом, в рассматриваемом случае Ф|(0 = ф(1). (П.51) (П.52) (П.53)
Аналогичным образом можно показать, что для твердых тел, у
которых вся поверхность поддерживается при температуре Ф (t) или у
которых на всей поверхности происходит теплообмен со средой, темпе-
ратура которой равна Ф (t), всегда будем иметь условие (11.53).
§ IL4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОД-
НОСТИ. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ РЕЖИМ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
ПРИЗМЫ. СЛУЧАЙ НЕЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ
В более сложных задачах о двух- и трехмерных тепловых потоках
в телах, грани которых поддерживаются при различных температурах,
или на гранях которых происходит свободный теплообмен со средой,
имеющей различные температуры, решение первой основной задачи
теории теплопроводности удается найти лишь в незамкнутом виде. Ниже
приводится такое решение для прямоугольной призмы неограничен-
ной длины с размерами поперечного сечения 2хох2уо при попарно сим-
59
метричных граничных условиях на взаимно противоположных гранях.
Рассматриваемая задача встречается при расчете распределения темпе-
ратуры по сечению длинных призматических брусьев (колонн, балок,
элементов рам, столбчатых бетонных блоков и т.п.). Исходные уравне-
ния этой задачи имеют вид
Э2Ф, Э2Ф,
Эх2 Эу2
^--Ь|[ф|-(Р1(0]=0
Эх
^- + К,[ф|-ф1(о]=О
Эх
^--Ь2[ф| -<p2(t)]=0
Эу
^- + Ь2[Ф1-ф2(0]=0
Эу
(И-54)
при х = -х0;
при х = х0;
при у = -у0;
при У = У0-
(11.55)
Решение этой задачи имеет вид [18]
т=оо П=о°
Ф1 = 2XQm(t)COSamXchon>y + 2£Nn«)ch₽„XCOSPny , (П.56)
т=1 п=1
где
Q (t) =_____________________4h2sincmxoy2(t)___________________
(2amx0+sin2amx()l(h2+amYm>hanlyo + (am+h2Ym>hamy0]
(П.57)
N (t) =__________________4h,sinpnyo9,(t)________________
л [(h, +p„5„)chpnx0 +(p„ +h,5„>hpnx0](2p„y0 +sin2pny0) ' ’
_ h2+am thamy0 . _ h,+P„ thpnx0
Im . . ’ '
(11.59)
am+h2 thamy0 ’ p„ +h, thpnx0 ’
a am, Pn — положительные корни характеристических уравнений
a
ctgx = —
"i
P
ctgx = —
h2
(11.60)
(11.61)
60
Подстановками
a = —; P=-^-
xo Уо
эти уравнения приводятся к уравнениям вида
c,g^ = 7-^— ;
h,x0 ’
ctg£=-^-.
Mo
(11.62)
(11.63)
(11.64)
Уравнение (11.63) хорошо исследовано в теории теплопроводно-
сти [151], [177]. Первые три корня этого уравнения даны в табл. 5.
Полагая в формулах (П.56)-(П.64) h, =h2 =h, <p|(t) = <p2(t) = <p(t) и устрем-
ляя в них h -> оо, мы получим решение рассматриваемой задачи для
случая, когда поверхность тела поддерживается при температуре Ф (t)
------------------------------------- cos ch (2m + l>y +
(Zm + l^ch^-^-0- 2x<> 2xo
2x0
4<p(t) (2n + 1)тгх (2n + iky
2>. 2».
2y0 (11.65)
Ряды по гиперболо-тригонометрическим функциям в решениях
(11.56), (11.65) быстро сходятся, поэтому они удобны для приложе-
ний. Например, ряд (11.65) в каждой точке тела быстро сходится к
Ф (t), в чем нетрудно убедиться численным методом. Поэтому вместо
(11.65) можно пользоваться готовым решением (11.53). Это обстоятель-
ство уже отмечалось в § II. 3.
im
m=O
n=O
§ IL5. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОД-
НОСТИ. ОДНОМЕРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПЛИТЕ
Рассмотрим вторую основную задачу теории теплопроводности при
источниках тепла, зависящих от температуры, в случае одномерного
теплового потока вдоль оси Ох через плиту толщиной 2Хр, имеющую нео-
граниченные размеры в двух других направлениях. Решение первой
основной задачи для этого случая мы нашли в § П.З в форме (11.28) и
(11.30), поэтому исходные уравнения рассматриваемой задачи имеют
вид
61
^=aT^-c;(t)-c'2(t).^; (11.66)
dt Эх2 x0
ЭФ7
—£-Ь1Ф2=0 прих = -х0;
ЭФ2 (IL67)
Эх
Ф2 = 0О- С,(о)-С2(о)— при1=0. (П.68)
ХО
В формулах (11.66) - (11.68) функции C,(t) и C2(t) заданы и
определены выражениями (11.29) и (11.30).
В связи с однородностью граничных условий (11.67) общий ин-
теграл уравнения (11.66) будем искать в виде ряда по фундаментальным
функциям (1.71)
ф2 = HTm(t)(cosa,,, +emsinamx); (11.69)
m-1
тогда граничные условия задачи (11.67) будут автоматически удовлет-
ворены, если am — положительные корни уравнения (1.69), а ет опре-
делено формулой (1.70).
Внося (11.69) в (11.66) и учитывая разложения в области
-х0 < х < х0 (1.98) и
т=оо
х = XQm(C0Samx + £.nsinamX).
т=1
где
q (t)-; 4sm(sinamx0-amx0cosanlx0)
+(’- sm)in2amxo]
для Tm(t) получаем следующее дифференциальное уравнение
rm(t)+Tra(t)aTa2ra=-PmC;(t)-^C'2(t),
*0
(11.70)
(IL71)
(11.72)
общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию
(11.68), равен
Tm(t) = e0Pme----1 -Xm(t) + aTa2mjXlnfc)e---<-^, (11.73)
о
62
где
Xm(t) = -°PmC|(t)+Qn|C2(t). (П.74)
*0
При этих условиях выражение (11.69) удовлетворяет всем уравне-
ниям задачи (11.66) - (11.68) и поэтому является ее общим решением.
В случае (1.75) решение (11.69) принимает вид
т=оо Ф2 = STm(t)COSan,X , (П.75)
где Tm(t) по-прежнему находится по формуле (11.73), но при - = 4sinamx0 2amx0 +sin2amx0 ’ (11.76)
C,(t) и C2(t) - по формулам (II.30), а ат — по формуле (1.76), где £ —
положительные корни уравнения (1.77).
Подстановкой
am = ~ (11.77)
Хо
формула (11.76) приводится к виду
Рт =---. (11.78)
+S>n^mCOS£m
В силу уравнения (1.77) постоянные Рт , определяемые по фор-
муле (11.78), зависят только от hx0 и номера m характеристического числа
£т и поэтому могут быть протабулированы в зависимости от этих вели-
чин. В табл. 9 даны первые три значения этих постоянных.
Наконец, устремляя в выражении (11.75) h -> оо, получим ре-
шение второй основной задачи, соответствующее случаю, когда грани
плиты поддерживаются при заданных температурах Ф ,(t) и Ф2(1)
ф2 = ТО""1™(2m>+ , Ш.79)
т=0 2Х0
в котором Тт(0,хт(0,Рт определяются по формулам (11.73), (11.74),
(11.76) при
(2т+1> (П.80)
2х0
a C;(t) отыскиваются по выражениям (II.30).
63
Представляет интерес также случай, когда грань плиты х = х0
поддерживается при температуре Ф 2(t), а на грани х=—х0 происходит
теплообмен со средой, температура которой Ф ,(t). Решение рассмат-
риваемой задачи определяется формулами (11.69), (1.99), (11.33), (11.71)
и (11.74) при
8m=ctgamx0>. (11.81)
в которых am — положительные корни характеристического уравнения
„ h
ctg2amxo = " “• (11.82)
Подстановкой
a=i <IL83)
уравнение (11.82) приводится к виду
t 2x0h
ctg^ = —(11.84)
Это уравнение хорошо исследовано в теории теплопроводности
[177], три первых корня его даны в табл. 10.
Располагая теперь решениями первой и второй основных задач об
одномерном тепловом потоке в плите, проведем сопоставление клас-
сического метода Дюамеля и предлагаемого метода дополнительных фик-
тивных источников на простейшем примере плиты, имеющей началь-
ную температуру 0 0, грани которой поддерживаются при температуре
Ф (t), когда внутренние источники тепла отсутствуют. Для удобства ис-
пользования имеющегося в литературе готового решения этой задачи
запишем ее уравнения в следующем виде
ЭФ Э2Ф
“эГ”ат Э?"
(11.85)
Ф = Ф(0 прих = 0их = /;
(11.86)
Ф = 0О при t = 0. (11.87)
Решение этой задачи по методу Дюамеля имеет вид (см. [151],
стр. 81)
2 2 1 а,п:л21
ЭтПгЯ j<P(t)e dt
I о
arn2n2t
>sin^-e”“ (П.88)
64
Первые три значения постоянных Р =----------------
L +sin^mcos^,
Таблица 9
hx0 р> -р2 р3
0 1 0 0
0,001 1,0002 0,0002 0
0,002 1,0004 0,0004 0,0001
0,004 1,0008 0,0008 0,0002
0,006 1,0012 0,0012 0,0003
0,008 1,0015 0,0016 0,0004
0,01 1,0020 0,0020 0,0005
0,02 1,0030 0,0040 0,0010
0,04 1,0065 0,0080 0,0020
0,06 1,0099 0,0119 0,0030
0,08 1,0130 0,0158 0,0040
0,10 1,0159 0,0197 0,0050
0,20 1,0312 0,0381 0,0100
0,30 1,0450 0,0555 0,0148
0,40 1,0581 0,0719 0,0196
0,50 1,0701 0,0873 0,0243
0,60 1,0813 0,1025 0,0289
0,70 1,0918 0,1154 0,0335
0,80 1,1016 0,1282 0,0379
0,90 1,1107 0,1403 0,0423
1 1,1192 0,1517 0,0466
1,5 1,1537 0,2013 0,0667
2 1,1784 0,2367 0,0848
3 1,2102 0,2881 0,1154
4 1,2287 0,3215 0,1396
5 1,2403 0,3442 0,1588
6 1,2478 0,3604 0,1740
7 1,2532 0,3722 0,1861
8 1,2569 0,3812 0,1959
9 1,2598 0,3880 0,2039
65
hx0 р. -р2 Рз
10 1,2612 0,3934 0,2104
15 1,2677 0,4084 0,2320
20 1,2699 0,4147 0,2394
30 1,2717 0,4198 0,2472
40 1,2723 0,4217 0,2502
50 1,2727 0,4227 0,2517
60 1,2728 0,4232 0,2526
80 1,2730 0,4237 0,2535
100 1,2731 0,4239 0,2539
оо 1,2732 0,4244 0,2546
Решение же рассматриваемой задачи по методу дополнительных
фиктивных источников мы получим на основе формул (11.53), (11.79)
и(П.9), положив в них В = 0 и осуществив преобразование координа-
ты х в связи с переносом начала координат из центра плиты на ее 1рань.
Сделав это, будем иметь
_ . Т. ох^[1-(-1)п] плх
Ф = ср(О 1-2у.г—\ А/ Jsm---
п=1 пл 1 .
, 2у &-(-!)"]
пл
а_п2л
(11.89)
Сопоставляя выражения (11.88) и (11.89), мы видим, что при
ограниченном числе членов рядов, входящих в эти выражения, реше-
ния рассмотренной задачи существенно различны. Степень этого раз-
личия постепенно снижается по мере увеличения числа учитываемых
членов ряда и при учете их бесконечного числа сравниваемые выраже-
ния совпадают, поскольку
2"y[l-(-l)n]sinngt=1 (11.90)
пл 1
в области разложения 0<х</. Различие выражений (11.88) и (11.89)
при ограниченном числе членов состоит в том, что решение (11.88)
медленно сходится на поверхности плиты и вблизи нее, в то время как
решение (11.89) сходится весьма быстро в каждой точке плиты и осо-
бенно у ее поверхности. Покажем это на числовом примере.
66
Таблица 10
„ . 2xnh
Первые три корня характеристического уравнения ctg £ =--
2x0h ^2
0 1,5708 4,7124 7,8540
0,1 1,6320 4,7335 7,8667
0,2 1,6887 4,7544 7,8794
0,3 1,7414 4,7751 7,8920
0,4 1,7906 4,7956 7,9046
0,5 1,8366 4,8158 7,9171
0,6 1,8798 4,8358 7,9295
0,7 1,9203 4,8556 7,9419
0,8 1,9586 4,8751 7,9542
0,9 1,9947 4,8943 7,9665
1 2,0288 4,9132 7,9787
1,5 2,1746 5,0037 8,0385
2 2,2889 5,0870 8,0962
3 2,4557 5,2329 8,2045
4 2,5704 5,3540 8,3029
5 2,6537 5,4544 8,3914
6 2,7165 5,5378 8,4703
7 2,7654 5,6078 8,5406
8 2,8044 5,6669 8,6031
9 2,8363 5,7172 8,6587
10 2,8628 5,7606 8,7083
15 2,9476 5,9080 8,8898
20 2,9930 5,9921 9,0019
30 3,0406 6,0831 9,1294
40 3,0651 6,1311 9,1986
50 3,0801 6,1606 9,2120
60 3,0901 6,1805 9,2715
80 3,1028 6,2058 9,3089
100 3,1105 6,2211 9,3317
оо 3,1416 6,2832 9,4248
67
0П
Рассматривая для простоты случай Ф(0 = ф0 = -у- = const, на ос-
новании формул (П.88) и (11.89) будем иметь:
а) по методу Дюамеля
б) по методу дополнительных фиктивных источников
(П.91)
(11.92)
В табл. 11 для точек X! = 0,125/, х2 = 0,25/ и х3 = 0,5/ плиты
толщиной / =2 м при ат = 3-10-3 м2/ч для моментов времени t, = 5 ч и t2
= 84 ч по формулам (11.91) и (11.92) вычислены величины Ф/Фо при
учете в них различного числа членов. Как следует из этой таблицы,
для получения результата, отличающегося от его верного значения не
Таблица 11
Сравнение решений задач об остывании бетонной плиты,
найденных по методу Дюамеля (11.91) и по методу автора (11.92)
Число членов ряда | t = 5 ч t = 84 ч
х = 0,125/ х = 0,25/ х = 0,5/ х = 0,125/ х = 0,25/ х = 0,5/
по Дюамелю по автору и по Дюамелю по автору по Дюам елю по автору по Дюам елю по автору по Дюам елю по автору по Дюамелю по автору
1 2 3 4 5 6 7 0,96 1,26 1,49 1,96 1,51 1,69 1,70 1,47 1,75 1,77 1,77 1,77 2,28 2,03 1,88 1,99 2,07 1,87 2,08 1,99 1,99 2,01 2,46 1,74 2,09 1,88 2,03 1,91 2,19 1,88 1,99 1,99 0,75 1,14 1,38 1,45 1,39 1,29 1,20 126 126 1,38 1,69 1,51 1,38 1,48 1,56 1,49 1,48 1,49 1,49 1,96 1,53 1,79 1,60 1,75 1,68 1,68
Примечание. В таблице отчеркнуты результаты, отклоняющиеся от точного
решения более чем на 5%.
68
более чем на 5%, в рассматриваемом случае по методу Дюамеля требу-
ется учет 5 — 6 членов ряда, в то время как по методу автора для этого
требуется всего 1 — 2 члена.
Улучшение сходимости решений, достигаемое в методе допол-
нительных фиктивных источников, весьма существенно особенно для
задач о термонапряженном состоянии неравномерно нагретых тел. Как
известно, в основные уравнения этих задач входят производные от тем-
пературы по координатам точки, а при дифференцировании выраже-
ний, аналогичных (11.88), их сходимость ухудшается. Поэтому важно с
самого начала получить улучшенную сходимость решений задач теории
теплопроводности, если не удается найти их в замкнутом виде. Это и
достигается в предлагаемом методе.
§ IL6. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОД-
НОСТИ. ДВУХМЕРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ поток в
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЕ
Рассмотрим теперь вторую основную задачу теории теплопровод-
ности при источниках тепла, зависящих от температуры, для прямоу-
гольной призмы, исследованной в § II.4. Исходные уравнения этой
задачи имеют вид
ЭФ2 _ (д2Ф2 Э2Ф21 ЭФг
dt 5х2 Эу2 J ЭС
ЭФ2 u л
----hjO2=0 прих = -х0;
Эх
ЭФ2 v п
--- + п1Ф2=0 прих = х0;
Эх
ЭФ7
—Ь2Ф2=0 приу = -у0;
Эу
ЭФ2 v л
—^- + Ь2Ф2=0 приу = у0;
Эу
ф2 = е о ф2 при 1 = °;
где Ф, — решение первой основной задачи для нашей призмы, найден-
ное нами в § II.4 в виде (11.56).
Следуя методике, изложенной в § И.5, функцию Ф2 будем ис-
кать в виде двойного ряда
(11.93)
(11.94)
(П.95)
69
ф2 = X STmn(Ocosamxcos₽„y. (11.96)
m=l n=l
Выбирая при этом в качестве am и £ п положительные корни урав-
нений (11.60) и (11.61), мы удовлетворим автоматически граничным
условиям задачи (11.94). Вид функции Tmn(t) найдем из уравнения
(11.93), внеся туда (11.96). Предварительно представим решение (11.56)
также в виде двойного ряда
ф| ="х TD™(t)cos“n>xcos₽-y’ (П.97)
m=l n=l
где
D Z' 8 [Q.n(t)Pn(«mCosPnyoShttn,yo+Pny0sinp„y0chan,y())
a’+p’l 2p„yo+sin2Pnyo
, Nn(t)am(pncosamx0shpnx0 +am sinan,x0chpnx0)
2amx0+sin2amx0 g
Кроме того, будем иметь разложение в области — х<х<х0;
-у<у<уо
1= S'ZCn>nC0SamXC0SPny- (П.99)
1X1=1 П=1
где
с =___________16sinamx0sinPny0_________ (П.ЮО)
(2amx0 + sin2an,x0X2P„y0+sin2p„y0)
Внося теперь (11.96) и (11.97) в (11.93) для Tmn(t), будем иметь
обыкновенное дифференциальное уравнение
т;„(0 + ат(а^, +P„)rmn(t) = -Dn]n(t) , (11.101)
общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию
(11.95), равен
Tmn(t) = e0Cmne-a'«+«)‘ -D^w+a^aj, +pj )Jd,„,
0 (11.102)
При этих условиях выражение (11.96) удовлетворяет всем уравне-
ниям задачи (11.93) - (11.95) и поэтому является ее общим решением.
Полагая в формулах (11.96) - (11.102) h^h^h, Ф ,(t)= Ф 2(t)= Ф (t) и
70
устремляя h -> оо, получим решение рассматриваемой задачи для слу-
чая, когда поверхность тела поддерживается при температуре Ф (t)
(2m + 1>х (2п + 1>у
Ф2= X £Tmn(t)COSV COS> - <—, (Ц.ЮЗ)
m=l п=1 2Х0 2Уо
в котором Tmn(t) по-прежнему определяется по формуле (II. 102) при
_(2т + 1)я _(2п + 1)я
2х0 2у0
(П.104)
Ст" = (2m + lX2n + l>2 ; D™(t) = C™4’(t)' (П105>
При возрастании чисел тип коэффициент Стп в формулах
(11.100) и (11.105) быстро убывает, вследствие чего ряды (11.96), (11.103)
также быстро сходятся, поэтому найденные решения удобны для прак-
тических приложений.
§ П.7. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В
НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ
Исходные уравнения второй основной задачи для неограничен-
ного полого цилиндра имеют вид
ЭФ2 _ (Э2Ф2 1ЭФ2>|_Э2Ф1
dt т dr2 г dr dt ’
\ /
0Ф9
— —-ЬвФ2 = 0 при г = а;
dr
0Ф9
— —+ ЬнФ2=0 приг = Ь;
(11.106)
(И.107)
Ф2 = Оо- Ф2 при t =0, (П.Ю8)
где Ф1 - решение первой основной задачи для этого цилиндра, соот-
ветствующее заданному виду граничных условий (11.40).
Приняв Ф2 в форме
т=~
Ф2= X’-WoW,
т=1
где
(11.109)
71
U0(amr) = J0(amr)+CmY0(amr), (IL110)
a J0(ainr)H Y0(amr) — функции Бесселя нулевого порядка соответствен-
но первого и второго рода аргумента amr, являющиеся частными ли-
нейно независимыми решениями уравнения Бесселя
г2(Г+(У+гЧ()=о, (ii.ni)
или, что то же
;[г( )']'+<£( )=0. (11.112)
Поскольку эти функции удовлетворяют этому уравнению, то ему
будет удовлетворять и их линейная комбинация U0(amr).
Внося (11.109) в граничные условия (11.107), получим
U'0(ama)-hBU0(<ima) = 0; U'0(amb)-hHU0(amb) = 0. (11.113)
Раскрывая эти условия с помощью (II. 110), найдем, что
а am — положительные корни трансцендентного уравнения
[j'o(aa) - h8Jo(aa)][Yo (ab) - h„Y0(ab)]-
- [ro(ab) + hHJo(ab)][Yj(aa)-hBYo(aa)] = O, <П 115)
причем
J'o(aa)={Jo(r)}- a =-aJ,(aa); Yo(aa)={Yo(r)}- a =-aY](aa), (11.116)
r=aa r=aa
где. J । (aa) и Yj (aa)— функции Бесселя первого порядка соответственно
первого и второго рода.
Составим выражение
ь
(р2 -a2)JrU0(ar)U0(₽r)dr,
в котором а и Р являются двумя различными положительными корня-
ми уравнения (11.115). Тогда, учитывая, что U0(ar) и U0(pr) удовлет-
воряют уравнению (11.112) и граничным условиям (11.107), найдем,
что прй”а * Р
ь
JrU0 (ar)u0 (Pr)dr = O, (11.117)
72
апри a = P = am
JrU20 (amr)dr = -L-{b2[u'0(an,b)F-a2[u'0(ama)P} (11.118)
a
Наконец, в дальнейшем нам еще понадобятся формулы
ь
JrUo(amr)dr = —[bU|(amb)-aUl(aroa)];
a
“mbln| - |UI (amb)+ Uo(“n.b)- Uo(“ma)
I a J
Формулы (IL 117) и (II. 118) позволяют, обращаясь к уравнени-
ям (11.106) и (II. 108), разложить в ряд 0 0 и уже найденную ранее фун-
кцию Ф, и затем определить коэффициенты Bm(t) с учетом этих разло-
жений. Сделав это, найдем
ео=ТАтио(ат0, (11.119)
т=1
где
_ 2e0am[bU|(gmb)-aU,(ap,a)]
т ‘ b2[U'(amb)F-a2[U'0(araa)F ’
Ф|(г-0=ТДп>(‘)ио(“т0, (П.120)
т=1
где
2a2j’<I>1(r,t)U0(ami>dr
д (t)=-------------------------8-----------------
mU bWbWF
Поскольку ранее мы нашли, что
®,(r.t)=Cl(t)+C2(t)ln^>
ТО
f Ф| (r-t)U0(amr)rdr = С, (t)J U0(amr>dr+C2(t)| li^I jj0(amr)rdr.
Входящие сюда определенные интегралы раскрыты выше. Внося
(11.109) и (11.120) в уравнение (11.106) для Bm(t), получим уравнение
73
B'm (0 + aTam Bm(t) = -Д'т (t).
Его общий интеграл, удовлетворяющий начальному условию
(11.108), найдем равным
Bm(t) = Ame"aa-' -Дт(0 + ата2т/Д.п(^)е-аХ('Ч)^ , (II. 121)
О
после чего температурная функция Ф2 будет полностью определена.
В случае сплошного цилиндра радиуса г=Ь мы должны во всех
выше выписанных формулах опустить первое из граничных условий
(П.107) и члены, содержащие Y(amr) , т.е. положить Ст = 0. Тогда
для него мы получим формулы
т=«х>
Ф2= £в.п(‘До(атг); (ПЛ 22)
т=1
т=~_
% ~ АиЛо(атГ)»
т=1
где
_ 260Ьат1|(атЬ)
т” Ь2[Г0(атЬ)Г ’
111=00
Ф, = £5m(t)J0(amr).
т=1
b
2“mJ^l(r>t),o(“mr)rdr
Д (t)=------0-----------------
mU b2[j'(arab)F
Вт(0= Аюе-’-“-* -ДП1 (t)+ |дга(г;>’а'о"(,ЧЧ
О
а ат — положительные корни уравнения
JJ,(ab)+hHJo(ab)=O.
(ПЛ23)
74
§ IL8. ТРЕТЬЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОД-
НОСТИ. ОДНОМЕРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПЛИТЕ
Рассмотрим третью основную задачу теории теплопроводности при
источниках тепла, зависящих от температуры, в случае одномерного
теплового потока вдоль оси Ох через плиту толщиной 2х0, имеющую
неограниченные размеры в двух других направлениях. Решение первой
и второй задачи для этого случая мы нашли в § II.3 и § II.5 в форме
(11.28) и (11.69), поэтому исходные уравнения рассматриваемой задачи
имеют вид
д2Ф, / ч
-тг-= ат-ту-+и(‘Хф1+ф2+фз);
(л дх
ЗФ3 к А
-----п1Ф3=0 прих = -х0;
дх
дФ,
---- + Ь2Ф3=О прих = х0;
дх
Ф3 = 0 при t = 0.
(11.124)
(11.125)
(11.126)
В формуле (11.124) функции со (t), Ф,(1) и Ф2(0 заданы и опре-
делены выражениями (1.44), (11.28) и (11.69).
В связи с однородностью граничных условий (II. 125) общий ин-
теграл уравнения (11.124) будем искать в виде ряда по фундаменталь-
ным функциям (1.71)
Ф3 = + SmSinttmX) J (11.127)
m=l
тогда граничные условия задачи (II. 125) будут автоматически удовлет-
ворены, если ат — положительные корни уравнения (1.69), а ет опре-
делены формулой (1.70).
Внося (11.127) в (11.124), учитывая (11.28) и разложения в обла-
сти -х0<х<х0 (1.98) и (11.69), для Pm(t) получаем следующее диффе-
ренциальное уравнение
P;(t)+Pm(t)[aTaJ, -<o(t)]=<o(t) C,(t)Pm +C2(t)^S- + Tnln(t)
L xo
Учитывая, что в соответствии с (1.44)
J<o(t)dt <о(0еве"р1
’в(е1ф-0о)'
(11.128)
(П.129)
75
решение уравнения (II. 128), удовлетворяющее однородному начально-
му условию (11.126), найдем равным
Pm(t) = <o(t) jZnl© >’-a'a-kAf;;
О
где
Xm(t) = ^[xoPmC1(t) + QraC2(t) + XoTnm(t)].
Тем самым температурная функция Ф3 будет полностью опреде-
лена.
§ IL9. ТРЕТЬЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ДВУХМЕРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ
ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЕ
Рассмотрим теперь третью основную задачу теории теплопровод-
ности при источниках тепла, зависящих от температуры, для прямоу-
гольной призмы, исследованной в § II.6. Исходные уравнения этой
задачи имеют вид
5Ф3 (д2Ф3 д2Ф3 .. / _ _ _ ч
^ = ат1“^+*^"1 + О)(°(Ф1+Ф2+фз); (11.130)
дФ,
----—Ь|Ф3=0 прих = -х0;
дк
дФ3 , л
--2-+п1Ф3=0 прих = х0;
дх
ЗФ3 * л
——-Ь2Ф3=0 приу = -у0;
Зу
дФ3
——+ Ь2Ф3=0 приу = у0;
ду
Ф3=0 npnt = 0.
(11.131)
(11.132)
В уравнении (11.130) функция <o(t), Ф, и Ф2 заданы и определены
выражениями (1.44), (11.56) и (11.96).
Следуя методике, изложенной в § II.6, функцию Ф3 будем ис-
кать в виде двойного ряда
76
inn (t)cosamxcosp„y- (11.133)
m=l n=l
Выбирая при этом в качестве am и Рп положительные корни урав-
нений (11.60) и (11.61), мы удовлетворим автоматически граничным
условиям задачи (П.131). Вид функции Kmn(t) найдем из уравнения
(11.130), внеся туда (11.133), предварительно представив решение (11.56)
также в виде двойного ряда (11.97) и учтя (11.96)
K'mn (О - |a>(t) - ат(а* + Р* )]ктп(0 = Ш(1)[Дтп (t) + Tmn (t)]. (Ill 34)
Учтя (1.44), общий интеграл уравнения (11.134), удовлетворяю-
щий начальному условию (11.132), найдем равным
K^(t) = oXt)j[Am„© + Tmn®]el[!',''-a'("-+(,;)1('-?)d4. (11.135)
о
Тем самым температурная функция Ф3 полностью определена.
§ 11.10. ТРЕТЬЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В
НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ
Исходные уравнения третьей основной задачи для неограничен-
ного полого цилиндра имеют вид
ЭФа Г д Ф-j 1 ЭФ3 >fx /fx \
-37- = ат —з1 + +ю(0(Ф1 +Ф2 +Ф3); (11.136)
ел dr г or
ЭФЧ
—— - ЬВФ3 = 0 при г = а;
or
ЭФ, (П.137)
----- + ЬНФ3=О приг = Ь;
dr
Ф3=0 прис = о, (11.138)
где Ф, и Ф2 — полученные ранее решения первой и второй основной
задачи для этого цилиндра, соответствующие изначально заданному виду
граничных условий (11.40) и (11.107).
Поскольку граничные условия (11.107) и (11.137) для функций
Ф2 и Ф3 совпадают, мы можем принять для Ф3 форму, аналогичную
(II 109) 01=00
Фз=ХКтп(Оио(атг). (П.139)
77
Попутно отметим, что поскольку U0(amr) является частным ре-
шением уравнения (II. 111), то
Uo(amr) + lui(amr) = -a2mUo(amr). (11.140)
Внося (11.139) в уравнение теплопроводности (11.136) и учтя
(11.140) и разложения (11.120) и (11.109), для определения Km(t) полу-
чим уравнение
K'mn(t) + |aTa2 -<D(t)]Km(t) = W(t)[Bm(t) + Дт(1)]. (11.141)
Учитывая (11.129), решение уравнения (11.141), удовлетворяю-
щее однородному начальному условию (11.138), найдем равным
Km(t) = <B(t)f [вт©+Дт©]е1ве’-а'“-1(,ч)^. (П.142)
о
Тем самым температурная функция Ф3 будет полностью определена.
Для сплошного цилиндра радиуса г=Ь, поступая так же, как и в
случае функции Ф2, будем иметь следующие формулы
т=~
Фз= 1кт(О1о(атг); (П.143)
т=1
где t
Кт(О = Ш(1))[вга(^)+Дт(^е1во^а-а-1(,ч)<14. (П 144)
О
а ат — положительные корни уравнения (11.123).
§ 11.11. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРИИ
Для экспериментальной проверки предлагаемого метода опреде-
ления температурных полей в бетоне с учетом зависимости экзотермии
цемента от температуры процесса были использованы результаты опы-
тов автора 1949 г. [4]. Эта проверка проводилась сопоставлением тео-
ретического решения соответствующей плоской температурной задачи,
найденного по методу автора, с действительно наблюдаемым распреде-
лением температуры в средней по высоте части массивных образцов типа
высоких пилонов.
Моделью пилона служил цилиндр диаметром 1 м и высотой 30 см
с теплоизолированными торцами из цементно-песчаного раствора с
у=2300 кг/м3 состава 1:4,32, В/Ц = 0,583, с содержанием цемента
390 кг/м3.
78
Портландцемент марки 500 имел минералогический состав в %:
C3S — 56; C2S — 21; С3А — 7; C4AF — 14, удельную и объемную массу
соответственно 3000 и 1200 кг/м3.
Песок — нормальный Вольский с удельной и объемной массами
соответственно 2625 и 1730 кг/м3 и средней крупностью зерен 0,63 мм.
Вода — обыкновенная, водопроводная.
Тепловыделение примененного в опытах цемента в растворе в ади-
абатических условиях исследовалось термосным методом путем измере-
ния температуры раствора, твердеющего в сосуде Дюара с определен-
ным коэффициентом теплоотдачи в термостат с постоянной темпера-
турой, равной 20°С.
Испытания проводились с двукратной повторяемостью опыта и
дали близкие результаты (табл. 12).
По данным этой таблицы с помощью формулы (1.31) для t = 21 ч
и t = 24 ч определялись значения параметра скорости тепловыделения
цемента в исследуемом растворе В. При этом предельная теплота гид-
ратации была оценена в 62,5 ккал/кг (261,7 кДж/кг), а удельная тепло-
емкость раствора принята равной: с = 0,21 ккал/кг-град (0,879
кДж/кг-град). Эти значения В оказались близкими и равными
В = 0,5210’3 1/градч. (11.145)
На рис. 7 приведены экспериментальные данные о теплоте гид-
ратации исследуемого цемента в растворе, взятые из табл. 12, и пост-
роены теоретические кривые 3(t) и 3'(t), рассчитанные по формулам
(1.27) и (1.28) при найденном значении В.
Таблица 12
Удельная теплота гидратации в ккал/кг (0,2388 кДж/кг) портландцемента
в растворе, примененного в опытах (нарастающий итог)
Продолжительность твердения цемента в ч
3 1 6 1 9 1 12 | 15 1 18 1 21 1 24
1 2,9 4,1 5,7 7,4 9,7 12,1 15,1 17,4
2 2,5 3,6 5,3 7,3 9,6 12,3 15,4 18,3
Среднее 2,7 3,9 5,5 7,4 9,7 12,2 15,3 17,9
36 | 48 | 72 | 96 1 120 | 144 | 168
1 26,9 34,9 41,9 46,0 48,6 51,0 52,9
2 31,5 39,7 49,9 57,4 62,3 65,0 65,6
Среднее 29,2 37,3 45,9 51,7 55,4 58,0 59,2
Экспериментальное определение коэффициента температуропро-
водности ат и относительного коэффициента теплоотдачи h раствора
проводилось на малых цилиндрических образцах диаметром 20 см и
высотой 50 см по данным наблюдений за их всесторонним остыванием
после предварительного нагревало некоторой постоянной температуры
в водяной ванне. Результаты этих опытов приведены в § 1.3. На осно-
вании экспериментальных кривых зависимости ат и h от температуры
раствора, изображенных на рис. 4, с учетом наблюдаемых в опытах
изменений температуры поверхности массивных образцов (рис. 10)
были приняты следующие средние значения ат и h для исследуемого
раствора
ат = 3,810~3 м2/ч; Ь = 3,5м-1. (11.146)
Экспериментальное определение температурных полей, вызыва-
емых экзотермией в молодом бетоне, проводилось на указанных выше
моделях цилиндрических пилонов. Температура этих образцов в про-
цессе их разогрева и остывания измерялась с точностью до 0,1° с помо-
щью предварительно заложенных в них термопар.
Действительное распределение температуры в образцах сопостав-
лялось с теоретическим, вычисленным по формулам (11.53), (11.122),
30
1q\------------------------------------------------------------
о 24 48 72 30 120 144 158
Продолжительность'опыта в ч-
Рис. 10. Сопоставление теоретических и экспериментальных данных о разог-
реве массивного цилиндра от экзотермии. Теоретические кривые из-
менения температуры ряда изотерм:
1 - г = 0; 2 — г = 0,5го; 3 - г = 0,75го;
о о о — соответствующие экспериментальные точки.
80
(11.143), с учетом найденных значений В, ат и h (11.145), (11.146). Тем-
пературная функция Ф(г, t), определяющая температурное поле, най-
денная таким образом, при ф (t) = Фо = 0 0 = const имеет вид
Ф(г,1) = е0+ £Tm(t)J0(amr), (11.147)
т=1
где
веПр(епр-ео)сгп(е“во^-е-'<‘)
' "1148)
а остальные величины определяются по формулам (1.24) и
2gmJl(an,r0)
ro(h2+“m)[jo(“mro)P
(11.149)
и по уравнению (II. 123).
На рис. 10 приведено сопоставление теоретических кривых из-
менения температуры указанных точек поперечного сечения пилона с
соответствующими ее экспериментальными значениями. При постро-
ении теоретических кривых для моментов времени t < 24 ч в формуле
(11.147) учитывался дополнительно и второй член ряда1.
Как следует из рис. 10, предлагаемый метод определения темпе-
ратурных полей в бетоне с учетом зависимости экзотермии цемента от
температуры процесса дает хорошее соответствие теоретических и экс-
периментальных данных. Кроме того, он обеспечивает быструю сходи-
мость аналитического решения, например в форме (11.147), при кото-
рой сравнительно скоро можно ограничиться одним первым членом
ряда. Изложенное позволяет рекомендовать этот метод для широкого
применения.
§ 11.12. ПРИМЕР РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕМПЕРАТУРЫ В МАССИВНОЙ БЕТОННОЙ ПЛИТЕ
Требуется найти распределение температуры по толщине =2 м
бетонной плиты через t суток после ее изготовления (рис. 11 а). Плита
бетонируется на опалубке из досок толщиной 40 мм с начальной темпе-
ратурой укладываемого бетона е 0 = 15°С. Бетон изготовляется на пор-
1 Учет второго члена ряда в данном примере требуется только при t < 24 ч.
81
тландцементе, выделяющем за первые сутки 18 ккал/кг (75,4 кДж/кг)
тепла и имеющем предельную теплоту гидратации Эпр = 62,5 ккал/кг
(261,7 кДж/кг). Содержание цемента равно 300 кг/м3. В табл. 13 даны
расчетные изменения температуры наружного воздуха.
.ч _ Ar . 2nt
ф(0 = Фср-—sm—, (П.150)
где Фср = 6°; Аг = 36°; t, = 8640 ч.
Распределение температуры определяется выражениями (П.28),
(П.69) и (II. 127).
Принимая во внимание условия задачи и ограничиваясь первым
членом ряда в формулах (П.69) и (II. 127), с учетом выражения (11.15)
Рис. 11 Распределение температуры в плите и ее изменение во времени:
а — распределение температуры по толщине плиты через 3,5 суток
после ее изготовления; б - изменение температуры изотермы плиты,
отстоящей от утепленной грани на расстоянии 0,8 м:
1 — без учета экзотермии; 2 — с учетом экзотермии по методу автора;
3 — начальная температура плиты; 4 - линия нулевой температуры;
5 - полугодовой ход температуры воздуха;
-----случай первоначально падающей температуры воздуха;
-----случай первоначально возрастающей температуры воздуха.
Таблица 13
Расчетные изменения температуры наружного воздуха Ф (t) в град
tB ч 42 84 168 360 720 1080 1440 2400 3360 4320
<р(0 5,5 4,9 4,1 1,2 -3 -6,7 -9,6 -11,7 -5,6 6
82
для температуры плиты получим следующую формулу
<D(x,t) = cp(t)+T(t)F(x),
где
(П.151)
F(x) = cos ах + esinax ; (П Д 52)
T(t) = x,(t)[A, + Ад, (t) + AзХз (t) + Ад4 (t) + A 5x5(t)]- p<p(t). (П.153)
Здесь
рата2
Х1(‘)=^К=Ж); <П154)
X2(t) = e-a-e’*; x3(t) = e-B°.';
X5(t)= (aTa2-B6nJin3«_2!EC0S^. Xj(t);
(11.155)
(II. 156)
(11.157)
(11.158)
e определяется по формуле (1.70), a а- первый положительный ко-
рень уравнения (L69).
Принимая для опалубки
Л Лккал пт
х°"=о’15;г^=о’,74;г^? 8оп=0,04 м (11.159)
и для бетона
83
Х = 1,7_^_ = 1>979-ВЗ-;
м ч • град м • град
“иг = 20—у———— = 23,279—
м • ч • град м • град
с = 0,23^-= 0,963^^;
кг•град кг•град
ат=3-10'3—; у = 2400-Ц-
4 м3
(11.160)
находим для грани плиты х = - х0, укрытой опалубкой,
* 0,15-20 ккал Вт
ант =------------= 3,16—--------= 3,678—------(11.161)
0,15 + 0,04-20 м2-ч-град м2-град
и, следовательно,
hl=yy = l,86M'1; h2=yy = 11,75м'1 (11.162)
Внося (11.162) в уравнение (1.69) и решая его методом подбора,
находим
а|=1,226м'' (11.163)
Подстановка этого значения а в уравнение (1.69) для проверки
дает нам
ctg(2 • 1,226) = l’226* 1’86 11’75 ; т.е. 1,2127 = 1,2165 (ошибка 0,3%)
v ' 1,226(1,86 + 11,75)
Таким образом,
sin ах0 = 0,9411; cos ах0 = 0,338; sin 2ах0 = 0,6363 ;
а2 = 1,503 м-2; 2а = 2,452 м-1; tg ах0 = 2,7844
Параметр скорости тепловыделения цемента в бетоне найдем по
формуле (1.31)
15 + -^.2“
0,23 2400
I 62,5)
= 0,716-Ю'3—I—
ч-град
в = 7----------г—
,5+^5.229.24
t 0,23 2400 J
Теперь находим
е = 15+ 62,5300 = 15+33,96= 48,96 °C;
р 0,23-2400
In
84
Ввир = 0,716-10“3-48,96 = 35,055-Ю’3-;
ч
а та2 = 3 • Ю’3 • 1,2262 = 4,509 Ю’3 —;
ч
ата2 -В0„ =4,509-Ю’3 -35,055-10’3 = -30,546-Ю’3 -;
ч
1,86-11,75
£ =--------7---------г-------= -0,245 •
2,452 + (1,86+11,75)2,7844
- =_______________4-0,9411
Р (1 + 0,2452 ) ,226 • 2 + (1 - 0,2452 )э,6363 ’ ’
А, =——- = 19,96-Ю3 (град2 -ч)-
4,509-Ю’3 ' ’
. 6 (48,96-15) 2 \
А3 = —*-----------~ = -6,67• 10 (град • ч I-
30,546-10’3 ' ''
А4 =-------------------------- = -12943,42-103 (град2 -ч2)
(4,509-Ю’3 J2 +(^?1
' ' ( 4320 J
А5 =-------18 (48,96 15) = _654 766 (Оз ^2. ч)
(30,546-Ю’3)2 +(^^1
' ' 4320 J
А 18-3,142
А6=--------г--------------------
4320 (4,509-Ю’3У
=-627,597-103 (град-ч),
д = 15 48,96 _ % 1()з + 1()з _ )5 627 597 _
4,509-Ю’3
-211^654,766-Ю3 = 139,694-Ю3 t-рад2-ч).
4320 ' '
Далее вычисляем функции p<p(t)xi -Хз, а затем F (х) и T(t) (табл.
14 - 20).
85
Таблица 14
Значения функции x3(t) для различных моментов времени t
вепр = 35,055 ю Ц
t в ч 0 42 84 168 360 и более
B6npt 0 1,4723 2,9446 5,8892 12,62
Хз(0 1 0,2293 0,05262 0,002769 0
Таблица 15
Значения функции %, (t) для различных моментов времени t
ратаг =1,174-4,509-Ю'3 =5,294 10 3^-
t вч х-.(0 (е,-ео)х,(О, в град е„+(еч,-е0)х,« в град Xi(t)JO ч град
0 1 33,96 48,96 0,108
42 0,2293 7,787 22,787 0,232
84 0,05262 1,787 16,787 0,315
168 0,002769 0,094 15,094 0,351
360 и более 0 0 15 0,353
Таблица 16
Значения функции F(x) для различных точек плиты
(а= 1,226 м1; е = - 0,2451)
X в м ах sin ах е sin ах cos ах F(x)
-1 - 1,2260 -0,9411 0,2307 0,3380 0,5687
-0,6 - 0,7356 -0,6710 0,1645 0,7414 0,9059
-0,2 - 0,2452 - 0,2428 0,0595 0,9701 1,0296
0,2 0,2452 0,2428 - 0,0595 0,9701 0,9106
0,6 0,7356 0,6710 -0,1645 0,7414 0,5770
1 1,2260 0,9411 - 0,2307 0,3380 0,1073
Таблица 17
Значения функции x4(t) для различных моментов времени t I ата2 - 4,509-10 3 ч; * - 0,7272-10 ч
t в ч 2м t, 2Ж cos — t, 2ж 2ж . cos 10 , t, t, в 1/ч 2ж sin 2 2ж , ата sin 10 , t, в 1/ч ХДО-Ю’, в 1/ч
0 0 1 0,727 0 0 - 0,727
42 0,0305 0,999 0,727 0,0305 0,138 - 0,589
84 0,0611 0,998 0,726 0,0611 0,275 -0,451
.168 0,122 0,993 0,722 0,122 0,550 -0,172 .
360 0,262 0,966 0,702 0,259 1,168 0,466
720 0,524 0,865 0,629 0,5 2,254 1,625
1080 0,785 0,707 0,514 0,707 3,188 2,674
1440 1,047 0,5 0,364 0,866 3,905 3,541
2400.. 1,745 -0,173 -0,126 0,985 4,441 4,567
3360 2,443 - 0,766 - 0,557 0,643 2,899 3,456
4320 3,142 - 1 - 0,727 0 0 0,727
Таблица 18
Значения x2(t) для различных моментов времени t I ата2 -4,509-10 3-q-
t в ч 0 42 84 168 360 720 1080 1440 2400 и более
aTa2t 0 0,1894 0,3788 0,7575 1,6232 3,2465 4,8697 6,4930 10,8216
X2W 1 0,8274 0,6847 0,4688 0,1973 0,0389 0,0076 0,0015 0
Таблица 19
Значения функции xs(t) для различных моментов времени t
а,а2-В0,„ = -30,546-10’^ = 0,7272 10’1
t в ч ( , \ 2m , (а а' - ВО kin 10 в 1/ч 2m 2m , — cos 10 , в 1/ч Г/ \ 2 Л-t Va,a’ - В0.,Р 7sin — " 2^t 2^t , ~ cos • 10 , в 1/ч t| x,(t) X5(t)-10’ в 1/ч
0 0 0,727 - 0,727 1 - 0,727
42 - 0,932 0,727 - 1,659 0,2293 -0,380
84 - 1,866 0,726 - 2,592 0,05262 -0,136
168 - 3,727 0,722 - 4,449 0,002769 -0,0123
360 и более -7,911 0,702 -8,613 0 0
Таблица 20
Значения функции T(t) для различных моментов времени t
t в ч Ад/О-ЮЛ в град2 • ч A,x,(t) ЮЛ в град2•ч Ад/О-ЮЛ в град2 •ч A,x,(t)10-\ в град2 • ч |а, + £ах(0^ю-'. в град2-ч T(t) + pcp(t), в град рфО), в град T(t), в град
0 139,694 -6,67 9,41 0,476 162,87 17,546 7,044 10,546
42 115,583 - 1,529 7,624 0,249 141,887 32,918 6,457 26,461
84 95,648 -0,351 5,837 0,089 121,183 38,173 5,753 32,420
168 65,488 -0,018 2,226 0,008 87,582 30,741 4,461 26,280
360 27,562 0 -6,031 0 41,491 14,646 1,560 13,086
1020 5,434 0 -21,033 0 4,361 1,539 - 3,522 5,061
1080 1,062 0 -34,611 0 - 13,589 -4,797 -7,866 3,069
1440 0,21 0 -45,833 0 - 25,653 - 9,056 -11,270 2,214
2400 0 0 -59,113 0 -39,153 - 13,821 - 13,736 - 0,085
3360 0 0 -44,723 0 - 24,763 -8,741 - 6,574 -2,167
4320 0 0 -9,41 0 10,55 3,724 7,044 -3,32
89
После этого по формуле (11.151) находим температуру плиты в
градусах в ее отдельных точках (табл. 21) с учетом экзотермии.
Температуру плиты без учета экзотермиинайдем по формуле
(11.151), положив в нейбПр = % • Это дает нам
А =А5=0; Х1(0 = ^^-; А2 =А2 =-^Мео-фср)+9оАб
3 5 60 ата
и, следовательно,
Ф(х,0 = <p(t) +1 [а, + А2х2(0 +АдХЛ^-РФФрЧх)-
I J
С помощью этой формулы и табл. 13, 16, 17 и 18 были найдены
значения температуры Ф(х, t) и на их основе построены соответствую-
щие кривые на рис. 11. Показаны распределение температуры в рас-
смотренной плите в момент ее наибольшего разогрева и изменение во
времени температуры ее изотермы, отстоящей от грани, утепленной
опалубкой, на расстоянии х = 0,8 м, рассчитанные без учета экзотер-
мии и с учетом экзотермии по методу автора; на этом же рисунке рас-
смотрены случаи падающей (сплошные линии) и возрастающей (пунк-
тирные линии) температуры воздуха по закону синусоиды (II. 150).
Как видно из рисунка, плита вначале интенсивно разогревается
от экзотермии, затем медленно теряет накопленное тепло. После это-
го температура ее отдельных точек начинает следить за изменениями
температуры воздуха с определенным сдвигом фазы. Отметим, что в
начальный момент времени, в соответствии с данными табл. 21, мы
получили неравномерное распределение температуры по толщине пли-
ты, причем внутри ее температура оказалась примерно на 12,5% выше
действительной начальной температуры бетона. Это объясняется тем,
что для нахождения температуры бетона Ф(х, t) мы пользовались только
одним первым членом ряда формулах (11.69) и (II. 127), сходимость ко-
торых при t -> 0 ухудшается. Отмеченное обстоятельство, однако, не
имеет практического значения, так как, начиная с некоторого малого
момента времени, влияние последующих членов ряда в этих формулах
становится пренебрежимо малым.
В табл. 22 показано распределение температуры в бетонной плите
толщиной 0,2 м, симметрично остывающей при постоянной темпера-
туре воздуха 6°С, найденное с учетом (цифры в числителе) и без учета
(цифры в знаменателе) экзотермии при условиях рассмотренного выше
90
Таблица 21
Температура Ф(хД) в отдельных точках плиты при ее разогреве
и остывании в °C
t X в м
в сут. в ч -1 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1
0 0 12 11,6 16,9 15,7 12,1 7,1
1,75 42 20,5 29,5 32,7 29,6 20,8 8,3
3,5 84 23,3 34,3 38,3 34,4 23,6 8,4
7 * 168 18,7 27,6 30,8 27,7 19 6,6
15 360 8,8 13,2 14,8 13,2 8,9 2,7
30 720 0 1,6 2,2 1,6 -0,1 -2,5
45 1080 -5 -3,9 -3,5 -3,9 -4,9 -6,4
60 1440 -8,4 -7,6 -7,3 -7,6 -8,3 -9,4
100 2400 - Н,7 -11,6 -11,6 - 11,6 -11,7 -И,7
140 3360 -6,8 -7,6 -7,8 -7,6 -6,8 -5,8
180 4320 4,1 3 2,6 3 4,1 5,6
Таблица 22
Температура отдельных точек тонкой бетонной плиты при ее разогреве и
остывании в °C
t X вм
в сут. в ч 0 0,025 0,05 0,075 0,1
0 0 16,2 16,2 15,9 15,9 15,2 15,2 13,9 13,9 12,2 12,2 ’
0,25 6 9,2 8,5 9,1 8,3 8,8 8,2 8,4 7,8 7,9 7,4
0,5 12 7,3 6,6 7,3 6,5 7,2 6,5 7 6,4 6,8 : 6,3
1 24 6,6 6,1 6,6 6,1 6,5 6 6,5 6 6,4 6
5 120 и более о | 6_ 6 £ 6 £ 6 £ 6
91
примера. Из таблицы следует, что превышение температуры отдель-
ных точек плиты, найденной с учетом экзотермии, над соответствую-
щей температурой, рассчитанной без учета последней, не превышает
Г. Поэтому учет экзотермии бетона при расчете полей температуры
подобных немассивных конструкций не имеет практического значения;
эти конструкции могут рассчитываться на температурные воздействия
без учета экзотермии.
Принято в зависимости от модуля поверхности m разделять кон-
струкции на массивные m < 2, средней массивности 2 < m < 15 и не-
массивные m > 15.
Модуль поверхности плиты, рассмотренной в настоящем приме-
1-2 1 1 ш -I
ре, m =-----= — = — = 10 м , т.е. эта плита принадлежит к кате-
2х01 х0 0,1
гории плит средней массивности. Следовательно, изложенный выше
вывод можно теперь сформулировать следующим образом: расчет и рас-
пределения температуры в конструкциях средней массивности и немас-
сивных конструкциях можно производить без учета экзотермии.
Плита же, рассмотренная ранее, имеет модуль поверхности
1 п ч
т = у = 1<2м и принадлежит к категории массивных конструкции.
Для таких конструкций, как это следует из табл. 22, учет экзотермии
при расчете температурных полей необходим.
ь
92
ГЛАВА III.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В ряде случаев, например при гармонических колебаниях темпе-
ратуры внешней среды, удобно и вполне достаточно пользовать-
ся установившимися температурными полями конструкций, не-
зависящими от начальных условий. Соответствующие решения задачи
теории теплопроводности называют асимптотическими. Они описы-
вают температурные поля конструкций, устанавливающиеся в них на
интервалах времени наблюдения t, достаточно удаленных от начально-
го момента t = 0.
Асимптотические решения задач теории теплопроводности очень
удобны для определения температурных полей слоистых конструкций,
например двух- и трехслойных наружных ограждений или двухслойных
труб. Такие задачи подробно исследованы в монографии автора [29].
Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых асимптотичес-
ких решений для однослойных конструкций.
§ III. 1. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Общее решение задачи теории теплопроводности F(x,y,z,t) тре-
бует интегрирования уравнения теплопроводности с распределенный
источником тепла, зависящим от температуры процесса (1.46), при об-
щих граничных условиях третьего рода (147) и начальном условии (1.48).
Как было показано, это решение удобно искать методом дополнитель-
ного фиктивного источника в форме суммы (11.15) трех решений: пер-
вой Фр второй Ф2 и третьей Ф3 основных задач, исследованных выше.
Однако в ряде практически важных случаев, например при гармони-
ческих колебаниях температуры внешней среды можно пользоваться
асимптотическим значением температуры Ф
Ф = Ит(ф! +Ф2 + Ф3).
t~>°О
Поскольку по физическому смыслу температуры Ф3 lim Ф3 = 0,
93
то при этом придется выделять только асимптотические части и Ф2
найденных выше решений и для Ф( и для Ф2. Можно, однако, пере-
строить разрешающие уравнения для функций Ф, и для Ф2 таким обра-
зом, чтобы Ф2 =0 и Ф = ф|. Для этого для функций Ф, и для Ф2 сле-
дует принять следующую форму разрешающих уравнений:
— для функции Ф,
ЭФ.
-^- = aTV2Op (III.l)
ot
эф
—- + Ьу[фу-фу(о]=Она поверхности тела; (III.2)
Эу
— для функции Ф2
ЭФэ э
—2=ат72Ф2; (III.3)
(71
—+ ЬФ,=0 на поверхности тела; (III.4)
Эу v 2
Ф2=0О -Ф2 при t = 0; (III.5)
При этом однородность граничных условий на поверхности тела
(III.4) для функции Ф2 и приводит нас к условию Ф2 = 0, а следова-
тельно и к условию Ф = Ф1, поскольку функция Ф2, удовлетворяющая
уравнению (HI. 1), будет иметь вид
Ф2 =F(x,y,z)ea’aт,
при функции F, являющейся решением уравнения
V2F+a2F=0.
Ниже, в дополнение к ранее найденным общим решениям для
всех рассмотренных выше случаев, будут получены соответствующие им
асимптотические решения Ф, удовлетворяющие уравнениям (III. 1) —
(III.2).
94
§ IIL2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНА-
ТАХ. СЛУЧАИ ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ
Укажем случаи, когда удается получить решение асимптотичес-
кой задачи теории теплопроводности в замкнутом виде.
Рассмотрим задачу об одномерном тепловом потоке вдоль оси Ох
через плиту толщиной 5, имеющую практически неограниченные раз-
меры в двух других направлениях
ЭФ ЭФ
‘эГ"атэ?;
(III.6)
(III.7)
—+ Ьв|ф-(рв]=О при х = 5.
Эх
В зависимости от формы задания температуры наружного возду-
ха фн (0 можно найти различные группы этих решений.
Так, например, задав ф в виде
Ф = 5гхп(х), (III.8)
11=0
можно найти группу частных решений, соответствующую случаю, ког-
да температура внешней среды <рн (t) изменяется во времени по степен-
ному закону.
Задав ф в форме
Ф = Т(0Х(х) ,
можно найти частное решение для случая, когда <pH(t) изменяется по
экспоненциальному закону.
Наконец, при
ф = £тп(охп(х)
11=1
частное решение можно построить так, чтобы оно соответствовало бы
случаю, когда температура воздуха <рн (t) изменяется по заданному пе-
риодическому закону и т.д.
95
Отметим, что сложный закон изменения температуры наружно-
го воздуха (рн (t) в общем случае всегда можно представить в виде суммы
(наложения) нескольких более простых законов (см. § II.2). Далее,
пользуясь линейностью уравнений (III.6) - (III.7), их решение, соот-
ветствующее заданному сложному закону <рн (t), можно на основе прин-
ципа наложения воздействий найти в виде суммы их отдельных реше-
ний, соответствующих каждой из более простой составляющей закона
изменения <рн (t). В соответствии с этим ниже получен набор асимп-
тотических решений ряда таких практически важных и более простых
задач.
Температура наружной среды — степенная функция времени
Ограничиваясь в формуле (III.8) тремя членами (т = 2), будем
иметь
Ф = X0(x) + tXj(x) + t2X2(x). (III.9)
Внося (III.9) в (III.6), найдем
2 1
X;(x) = 0; Х[(х) = — Х2(х); Xj(x) = — Х,(х). (ШЛО)
ат ат
В виду произвольности постоянных интегрирования до их опре-
деления из граничных условий, решения уравнений (III. 10) можно
найти в форме
Такая форма записи удобна для получения из граничных условий
наиболее простых уравнений для определения постоянных С, — С6 и,
кроме того, при ней эти постоянные имеют одну и ту же размерность в
°C. Таким образом, в соответствии с формулой (III.9)
/ \ / \2 / \3 z \4 / \5
Ф = С,+С2 - +С3 - +С4 - +С5 - +С6 - + (1П.11)
8 I 8 I I 6 I I 8 I 8
96
и является полиномом второй степени. Считая поэтому, что <рн (t) за-
дано также в виде полинома второй степени
Фн(1) = ‘см+Ы + <:112 (III. 12)
из граничных условий, применяя метод неопределенных коэффициен-
тов, получим следующую систему алгебраических уравнений для опре-
деления постоянных Ср ..., С6
hH5C, -С2 = hH5 tCM;
2aThH8C3-6атС4 = hB83b;
12a2h„8C5 -60a2C6 = hH85d;
hB8Cl+(l + hB8 )C2 + (2 + hB8 )C3 + (3 + hB6 )C4 +
+ (4 + hB8 )C5 + (5 + hB8 )C6 = h„8tB ’
hB8C3 +3(l + hB8 )C4 +6(2 + hB8 )C5 + 10(3 + hB8 )C6 =0;
hB8C5 +5(l+hB8 )C6 =0.
Решая вначале совместно третье и шестое уравнения этой систе-
мы, найдем
„ (l + hB8)h84d
12.Х '
г -_hs5d
6 60а3
Здесь и в дальнейшем
(III.13)
(III.14)
(III.15)
h =-----—------
hB +hBhH5 + hH
— приведенный относительный коэффициент теплоотдачи.
Считая С5 и С6 уже известными и решая оставшиеся четыре урав-
нения системы, найдем
С4 = .О 2/,hf .V U hh-h«)b(l+h.5)+h382^d-3(l + hB8)hBhHaTb}(III.16)
18a3(l + hB8)hBhH
97
с3 (6aTc4+hH52b) (III. 17)
12hHaT5
и далее
C2 = -?4h ,6(tB - tCM)- (2 + h в8)с3 - (3 + hBg)C4 - (4 + h Bg)C5 - (5 + h B8)C6 ];
П R
(III. 18)
(III.19)
Ci =—(C2+hH6tCM).
hH5
Более частным случаем является случай линейного закона изме-
нения (pH(t). Положив в этом случае d = О, для него найдем
/ \ / \2
х
I
Ф=С!+С2|
где
t, (III.20)
I 82
C3+3Q
(III.21)
С, =— (C2+h6t )-
hH6
с2 = ~[hB8(tB - tCM)-(2 + hB8)C3 -(3+hB6)C4]; (III.22)
"в
_b62(hH-h)
Г - hb53
4 6а_
(III.23)
(III.24)
При постоянных граничных условиях фн(0 = tCM и <pB(t) = tB, по-
ложив в этих формулах b = О, будем иметь
Ф,=С1+сЛ; (III.25)
О
С| =^-[htB+(h„-h)tCM]; С2 = hS(tB-tCM). (Щ.26)
Наконец, в дальнейшем нам понадобится аналогичное решение
при d — 0 и ь ф 0, но уже для случая граничных условий первого рода.
Его мы получим предельным переходом, положив в выписанных выше
соответствующих формулах hB ->оои hH ->©о и, следовательно, h -» .
98
При этом вид формулы (III.20) сохранится, но входящие в нее
постоянные будут уже иметь следующие значения
/- 52Ь „ 62Ь „ 62Ь
Ct=tCM; C2 = t.С3 = —; С4=-—. (Ш.27)
Зат 2ат 6ат
Температура наружной среды — экспоненциальная функция времени
Полагая
Ф = Т(0Х(х), (III.28)
внося (III.28) в (IIL6) и разделяя переменные для T(t) и Х(х), полу-
чим уравнения
Т'(т) ± a2aTT(t) = 0J Х'(х) ± а2Х(х) = 0.
Сохраняя в этих уравнениях знак плюс, будем иметь
T(t) = e-a a,t; Х(х) = Acosax + Bsinax
и, следовательно,
Ф = (Acosax+Bsinax)e-a a,t.
Сохраняя же в них знак минус, найдем
T(t) = ea aTt J Х(х) = Ach ax + Bsh ax
и поэтому в этом случае
Ф = (Achax+Bshax)ea аЛ
Пользуясь найденными решениями, можно удовлетворить гра-
ничным условиям (III.7) при фн(() = 1не±₽’1 и tB = 0 , которые охваты-
вают все возможные случаи устойчиво-длительных похолоданий или
потеплений. Тогда при
Фн (0 = tHeB 1 и tB = 0 Ф = (Achax+ Bshax)ea art.
В этом случае с помощью граничных условий и метода неопреде-
ленных коэффициентов найдем
a__₽_ A-t + Рв в_ hH(atha6 + hB)tH
7ат ’ ЬнУат ’ a(hB + hH)+(hBhH +a2)tha8
При
Фн(0 = 1нев‘ HtB=O Ф = (Acosax+Bsinax)e_a2a’‘.
99
В этом случае аналогичным путем найдем
а = _₽_. Л-t, I рв В- hH(«tg«5-h.)tH
Ja? ’ " ’ a(he+h,)+(h,hH-a2)tga6
Напомним, что здесь нами рассмотрен случай, когда температу-
ра внутренней среды tB равна нулю, а температура внешней среды равна
(н при t = 0. Для того чтобы получить решение нашей задачи для более
общего случая, когда tB ф 0, но постоянно, к найденным здесь реше-
ниям надо добавить стационарное температурное поле (III.25) с посто-
янными С, и С2, определенными по формулам (III.26) при tH= tcM=0,
т.е. равными
С| =-£*-; С2=ыв.
Температура наружной среды — периодическая функция времени
Отыскание в замкнутом виде решения асимптотической задачи
теории теплопроводности в случае, когда температура наружной среды
является периодической функцией времени весьма сложно. Для того
чтобы найти его, пришлось применить принципиально новый метод
разделения переменных в уравнении теплопроводности, отличный от
традиционного метода Фурье. Этот метод состоит в следующем.
Ищем решение задачи в форме (III.8)
Ф = T1(t)X,(x) + T2(t)X2(x)+T3(t)X3(x) + T4(t)X4(x). (III.29)
Внося (Ш.29) в (Ш.6), имеем
T1'(t)Xl(x) + T^(t)X2(x) + TKt)X3(x) + Tat)X4(x) =
= aT[T,(t)X;(x) + T2(t)X'2(x) + T3(t)X;(x) + T4(t)X'4(x)]. (IIL30)
Подчиним функции Х.(х) условиям
Х’2(х) = к2 Х,(х); Х;(х) = -к2 Х2(х);
Х3(х) = к2 Х3(х); х;(х) = -к2 Х4(х).
Внося (111.31) в (Ш.ЗО) и используя метод неопределенных ко-
эффициентов, найдем
TJ(t)-aTk2T2(t) = 0; T2(t)+aTk|Tj(t) = 0;|
T'3(t)-aTk3T4(t) = 0; Ti(t) + aTk2T3(t) = 0.J
(III.31)
100
Дифференцируя (III.32) по t и производя соответствующие пос-
ледовательные исключения, будем иметь уравнения
T[(t) + a2 k2k2T1(t) = 0; T2(t) + a2 k2k^T2(t) = 0;
T3(t) + a2 k2k2T3(t) = 0; T;(t) + a2 k?k2T4(t) = 0.
Их решения известны
Tj(t) = N1cos(aTk1k2t) + £1sin(aTk1k2t);
T2(t) = N2cos(aTk1k2t) + £2sin(aTk|k2t);
T3(t) = N3cos(aTk3k4t) + £3sin(aTk3k4t);
T4 (t) = N4cos(aTk3k4t) + £]Sin(aTk3k4t),
(III.33)
Внося (III.33) в (III.32) и применяя метод неопределенных ко-
эффициентов, будем иметь
E|=-7-N2; e2=-^-N,; e3=^N4; е4 = -^-N3. (П1.34)
К2 К| к4 к3
Теперь найдем функции Х(х). Дифференцируя дважды (III.31)
и производя соответствующие последовательные исключения, для фун-
кций Х(х) будем иметь уравнения
x[v(x) + k2k2X|(x) = 0; X^v(x) + k2klX2(x) = 0;|
X3v(x) + k3k4X3(x) = 0; Xlv(x) + k|k?X4(x) = 0.
Полученные уравнения схожи с однородным дифференциальным
уравнением изгиба балки на упругом основании с характеристикой «же-
сткости»
в первых двух из этих уравнений и
во второй их паре.
Поэтому их решения можно выразить через используемые в тео-
рии изгиба балок на упругом основании известные функции Н.П. Пу-
зыревского [230] со специально подобранным аргументом. Но прежде
чем это сделать, рассмотрим теорию и особенности этих функций, а
затем вернемся к решению нашей задачи.
Для построения общего интеграла однородного уравнения типа
уравнений (III.35) Н.П. Пузыревский ввел в рассмотрение специаль-
ные функции, представляющие собой определенным образом подобран-
ные комбинации тригонометрических и гиперболических функций [230].
101
Мы будем ими пользоваться, задав их аргумент в безразмерной форме
5i(8K-x)
£ , удобной для получения наиболее простых алгебраических
уравнений для определения произвольных постоянных, входящих в
общие решения задач теории теплопроводности. При этом функции
Н.П. Пузыревского будут иметь следующий вид
A[fcO].cos«t2)cllSfci 1
L 8 J 6 8
пГ^(8-х)1 ...Г. $(8-х) .lj(8-x) 5(8-х) . 5(8-х)1
В -----L = 1/2 sin ch ------L + cos sh ;
г / J / 6 x 5 8 (П1.36)
=1/2sinfc)shM.
L s J 5 5
L 8 J L 8 5 5 5 J
Эти функции обладают нужными для нас свойствами своеобразной
повторяемости, позволяющими легко удовлетворить условиям (III.31)
и уравнениям (III.35) (см. табл. 23).
На рис. 12 приведены графики функций Н.П. Пузыревского на
интервале аргумента 0 < т] = —-— < 5. Их цифровые значения в зави-
о
симости от г) протабулированы [272] (см. Приложение V).
Таблица 23
Повторяемость функций Н.П. Пузыревского при их дифференцировании
Функция ( ) (У О" (У" (),v
А 4-Id -Л1‘с V5 J Оо |«Гп Ч Z СО -М'л
В 1 ОО (JVC О и * ч хлг| сю 1
С uj'l СЮ ' 1 Мл I5 J 4ЯС
D со 4КР| СЮ Ч—-> -IIP Q MJ’I сю 1
102
Е(5-х)
Рис. 12. Графики функций Н.П. Пузыревского аргумента Л - —-— на ин-
тервале 0 < т| < 5: 1 — A(h); 2 - B(h); 3 - C(h); 4 - D(h).
Внося (III.37) в (III.31), найдем
kl=k3=|; k2=k4=^.
При этом уравнения (Ш.31) будут тождественно удовлетворены,
а формулы (III.34) дадут нам соотношения
s2=-2N,; s3=-y-; e4=-2N3. (Ш.38)
Положив
(III.39)
103
и учтя (III.33), (III.37), (III.38), окончательно найдем
3>(x,t) = | N, cos(Dt+ sincot 1A < 2 Oo | 1 ।
+ (N2coscDt- 2 NjSincotJC 1 1 CO
+ ( N A N4COS(Dt+—-sincot В 1 2 J 1 J'r? Oo | X ... 1
+ (N4coscot- 2N3sin(Dt)D 1 1 Oo | X l l
(111.40)
Если температура внутренней среды <рв = 0, а температура внеш-
ней среды <pH(t) является гармонической функцией
Фн(*) = AHsin(<ot+<p), (III.41)
то, внося (111.40) в граничные условия (III.7), учтя (III.41) и приме-
няя метод неопределенных коэффициентов, получим четыре уравне-
ния для определения произвольных постоянных N,
Hj N!-H2 N2-H3 N3-H4 N4 = -hH8AHsin<p;
4H2 Nj + Hj N2 + 4H4 N3-H3 N4 = -2hH8AH costp;
hB8N1-^N3=0; hB8N2-^N4=0,
где
H, = 4ijD©-hH5A©; H2 = $Bfc)+hH8Cfc)
H3 = IjA©+hH5B©; H4 = ^Cfc)+ hH5Dfe).
Решая совместно уравнения (III.42), найдем
(III.42)
N3 = -ЬрЬнв Л.н.(д gjncp + 2A2cos<p) •
A?+4A2 ’
N4 = 2h*h|,S A*1 (2A2 sirup - Дjcostp)
A] +4A2
где
Д, = £Hj - hB8H3; Д2 = £H2+hB8H4.
104
Отметим, что нами рассмотрен случай, когда температура внут-
реннего воздуха Тв равна нулю, а температура наружной среды изменя-
ется по гармоническому закону (IIL41) вокруг температуры Тн, также
равной нулю. Для того чтобы получить решение нашей задачи для бо-
лее общего случая, когда Тв и Тн не равны нулю, постоянны и заданы,
к найденному здесь решению (III.40) надо добавить стационарное тем-
пературное поле (III.25).
Выражению (III.40) можно придать вид традиционной формулы
гармонического колебания
Ф(х, t) = A(x)sin[(Di + ф(х)]
с амплитудой А(х) и фазой ф (х) в текущей точке х, равными
A(X)=^1«_=J^W_; v(x)=arctgbw\
sin<p(x) coscp(x) ^ф2(х)
где
Vi (х) = N! аГ ^2 * * S * * В_~x)1 + N 2с[ ^5~ХЛ + n3b[ ^5~хЛ + N„ dF ^~хЛ;
5 j L 5 J L 5 J L б J
2 L 8 J L 8 J 2 L 8 J L 5 J
Мы рассмотрели наиболее общий случай граничных условий тре-
тьего рода. Устремляя во всех приведенных выше формулах hB , и
переходя к пределу, получим все необходимые формулы, относящиеся
уже к случаю граничных условий первого рода.
Полученная нами форма решения задачи (III.40) очень удобна
для приложений, так как функции Н.П. Пузыревского табулированы
(Приложение V).
В заключение настоящего раздела приведем готовое решение в
замкнутом виде асимптотической задачи ф для бесконечного полупро-
странства при гармоническом колебании температуры наружного воз-
духа у поверхности слоя х = 0
q>„(t) = t„+A„sin(cont-<p).
При этом температурная функция ф должна удовлетворять урав-
нениям
ЭФ Э2Ф
at Эт эх2 ;
105
^-hH[o-<p„(t)]=0 при x = 0; (III.43)
Ф = tH при х = 00.
Нетрудно убедиться прямой подстановкой, что всем этим усло-
виям удовлетворяет решение
Ф = ‘н+ B„sin
J. I PnX
+ Cncos (0nt——<p
I V2
е ,(111.44)
где
B _hHj2(h„j2 + p,,)A,1. c _ h„V2pnAn
Мп+^нл/г+щ)2 gj; +(h„V2 ч-Нп)2
Аналогичное решение для случая граничных условий первого рода,
когда поверхность полупространства х = 0 поддерживается при темпе-
ратуре фн , мы найдем предельным переходом, устремив в выписан-
ных формулах hH -> оо. При этом мы найдем Сп = 0; Вп = Ап. Поэто-
му в этом случае
( А -и,х •
$ = tH+Ansmla>11t-^-<ple . (Ш.45)
Располагая выписанными решениями (111.40), (Ш.45), можно
найти решение асимптотической задачи и для более общего случая, когда
температура <pH(t) задана в виде произвольной, но, по определению,
непрерывной функции. Тогда разлагая ее в гармонический ряд с п-ым
членом Ansin(cont - ф), общее решение задачи в этом случае можно по-
лучить суммированием решений (III.40) или, соответственно, (Ш.45).
Выражению (111.40) можно придать вид традиционной формулы
гармонических колебаний
Ф = ‘н + An(x)sin[co11t +^„(х)] (Ш.46)
с амплитудой м х ц х
cos£„(x) sm^n(x)
106
и фазой
в текущей точке х, где
Vn(x)
£n(x) = arctg
1Пп(х) J
\|/n(x) = Cncos ^- + ф -Bnsin ^- + Ф .
V2 ) V2 >
7
ЦПХ I
Л
Пп(х) = Bncod ^ + ф +Cnsii
I J
Формула (II 1.46) может быть использована для расчета темпера-
тур в однослойной стене толщиной 6 , если при заданном периоде Рп
(частоте соп) и заданной точности определения температур А (обычно
0, ГС) амплитуда Ап (5) < А. Это условие эквивалентно условию прак-
тического затухания амплитуд Ап(х) в толще стены. Если оно не вы-
полняется, то для расчета температур в стене моделирование ее полуог-
раниченным телом невозможно и необходимо уже пользоваться более
общей формулой (IIL40), полученной выше.
§ IIL3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТАХ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЫ.
СЛУЧАЙ НЕЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ
В более сложных задачах о двух- и трехмерных тепловых потоках
в телах, грани которых поддерживаются при различных температурах
или на гранях которых происходит свободный теплообмен со средой,
имеющей различные температуры, решение асимптотической задачи
теории теплопроводности удается найти лишь в незамкнутом виде. Ниже
приводится такое решение для прямоугольной призмы неограничен-
ной длины с размерами поперечного сечения 2х0х2у0при попарно
симметричных граничных условиях на взаимно противоположных гра-
нях. Рассматриваемая задача встречается при расчете распределения
температуры по сечению длинных призматических брусьев (колонн,
балок, элементов рам, столбчатых бетонных блоков и т.п.). Исходные
уравнения этой задачи имеют вид
107
ЭФ Г Э2Ф Э2Ф^
х. ~ ат 3 2 + л 2 J
dt Эх Эу
(Ш.47)
^-h,^-<pl(t)]=o
Эх
^ + h|^-4>,(t)]=O
ОХ
~-h2[i-<p2(t)]=O
«У
^ + h2^-<p2(t)]=0
Эу
Эу
при х = -х0;
при х = х0;
при у =-у0;
при у = у0 •
(III.48)
Решение этой задачи имеет вид [18]
6 = Fl(x,y,t)+F2(x,y,t),
где
(111.49)
т=оо п=«»
Fi =2^Q,n(t)cosalnxchan,y + 2^Nn(t)chpnxcosPny, (Щ.50)
т=1 п=1
где
О (0 =___________________4h2sinan,x0<P2(t)________________
(2amx0+sin2amx0)[(h2+ainym):halriy0+(am+h2ym^hamy0]' >
N (t) =__________________'ЦутРнУрф.а)__________________
Kh1+pn5n>hp„xo+(?„+hI81,>hpilx()X2pilyo+sin2pnyo)’ <11L52>
^h2+arothan,y0_ g h, 4-PtthPnx0 _ am + h2thamy0’ n Pn+h|thp„x0’ (III.53)
m=oo n=oo
F2= S ST-™WC0SamXC0S₽ny- m=l n=l где (III.54)
Tmn(t) = . 0 (III.55)
108
д (t) = 8 Г Qm (OPn (amcos Pn Уо5ЬатУо + PnsinPn Ур^тУо )
a^+pd 2pny0 + sin2pny0 (
+ Nn(t)°.n(Pn<:°samXoshPnXo-i-amsinan,xochpnxo)~l
2amx0+sin2amx0 J’
a am, p n — положительные корни характеристических уравнений
a _ р
ctgax0 = —; ctgpy0= —
(III.57)
Подстановками
xo Уо
(III.58)
эти уравнения приводятся к уравнениям вида
ctg^ = rr; ctg^ = rr (Ш-59)
п|х0 п2Х0
Уравнение типа (III.59) хорошо исследовано в теории теплопро-
водности [151, 177]. Первые три корня этого уравнения даны в табл.
5. Полагая в формулах (III.49) — (III.59) hj = h2 = h и устремляя в них
h -> оо , мы получим решение рассматриваемой задачи для случая, ког-
да грани тела поддерживаются при температурах cpj (t) и ip2(t).
Ряды по гиперболо-тригонометрическим функциям в решениях
(III.49), (III.59) быстро сходятся, поэтому они удобны для приложе-
ний.
§ Ш.4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
КООРДИНАТАХ
При рассмотрении асимптотической задачи в цилиндрических
координатах мы ограничимся практически наиболее интересным случа-
ем осевой симметрии температурного поля в полом неограниченном
цилиндре (трубе) с внутренним г = а и внешним г = b радиусами
поперечного сечения.
Уравнения этой задачи имеют вид
109
эф Г э2ф 1 эф)
1Г=ат|^+71г|;
ЭФ \
— -Ь,(ф-ф.)=0 при г = a; (Ш.61)
dr
^ + h„(i-<pH(t))=O при r = b. (Ш.62)
dr
Граничное условие (III.61) относится к случаю, когда внутри тру-
бы происходит теплообмен с газовой средой (дымовая или газоотвод-
ная труба). В случае, когда этот теплообмен происходит с жидкостью
с температурой <рв (трубопровод), граничное условие (III.61) должно
быть заменено условием
Ф = (рв ПРИ г = а- (III.63)
Удобные частные решения приведенных уравнений в замкнутой
форме можно найти для нескольких практически важных случаев.
Температура наружного воздуха — степенная функция
Из-за недостатка места ограничимся случаем, когда она линейна
4>H(t) = tCM+gt, (III.64)
при этом решение уравнения (III.60) удобно принять в виде
Ф = С44-(С| СЭг2+с31
4ат
(Ш.65)
Тогда с помощью граничных условий (III.61), (III.62) и метода
неопределенных коэффициентов найдем
С|=—г—; c2=ahBc„
ah„ l+bhHlnl £ +bh„
а постоянные C3 и C4 находятся решением системы уравнений
4aTahBC4 +4атС3 =4aTahBcpB +a2[(2-ahB)C1 +(ahB - 1)С2];
4aTbhHC4 +4aT
= 4aTbhHtCM-b2(2+bh„)Cl-b2
при уже найденных С, и С2.
(2 + bhH)n[ — )-l-bhH
I a J
С2
но
Наконец при стационарных граничных условиях, когда <рн (t) = tCM
и Фв(0 = Фв и постоянны
Ф = С4+С31п^ (III.66)
причем
С3- —. С4=Фв+£з_. (Ш.67)
1 + ЬЬн1п| — | hBa-bhH а*1’
I a IJ
Это решение нам понадобится в дальнейшем.
Для сплошного цилиндра а = 0. Поэтому, чтобы иметь на его
оси г = 0 конечное значение температуры, мы должны в формуле
(III.65) положить С2 = С3 = 0. Таким образом, для него
Ф = с4 +^"г2 +C|t- (III.68)
При этом, используя только одно граничное условие для г = Ь,
найдем
c,=g; c4 = tcM--^-(2+bhH).
4aTh„
Температура среды внутри трубы равна нулю;
ТЕМПЕРАТУРА НАРУЖНОГО ВОЗДУХА — ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ
В случае нагревания трубы извне при
Ч>н(1) = Фне,!'; фв=0 (III.69)
решение уравнения (III.60) удобно принять в форме
Ф = Х(г)ер\ (III.70)
Внося (III.70) в уравнение (III.60), для функции Х(г), получаем
уравнение
rX'(r)+X'(r)-a2rX(r) = 0, (III.71)
в котором
с известным решением [165]
Х(г) = C,I0(ar)+C2K0(ar),
Ill
где 10(аг) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка
v = 0 аргумента х = аг , при целом v равная
/ \2m+v
I аГ I
^om!r(v + m + l)’
а К0(аг) — функция Макдональда нулевого порядка того же аргумента,
при целом v равная
кДаг)= (-1ГЧ,(аг)1п^ Д £(-1Г^р +
т=0 \ /
£
к ’
где С - постоянная Эйлера с приближенным значением С = 0,577216.
Функции 1у(х)и Kv(x) вещественные при любом вещественном v и
табулированы.
Таким образом,
Ф = [c1I0(ar)+C2K0(ar)]e^t. (Ш.72)
Внося (III.72) в граничные условия (III.61) — (III.62), получим
систему уравнений для определения постоянных С1 и С2
lh в!о (“а)~ о1! (<“)]С|+[hBK0(aa)+ aK, (аа)]с2 = 0;
[hHI0(ab)-aI|(tib)]Cl + [hHK0(ab)+aK1(ab)]c2 = hH <рн,
в которой все модифицированные функции Бесселя табулированы.
В случае охлаждения трубы извне при
<Рн(О = Ч>„е“в’1; <рв=о
решение уравнения (III.60) следует принять равным
Ф = Х(г)е_р\
В этом случае для Х(г) мы будем иметь уравнение
гХж(г) + Х'(г) + а2гХ(г) = 0
с решением
X(r) = [ClJ0(ar)+C2Y0(ar)]i
112
где J0(ar) — функция Бесселя нулевого порядка первого рода аргумента
аг , при целом v равная
М«г)=Ё-
т=0
(-l)m(ar)2m+v
22m+v m!(v+ т)
Y0(ar)- функция Бесселя нулевого порядка второго рода того же аргу-
мента, при целом v равная
где С - постоянная Эйлера.
Таким образом,
Ф = [ClJ0(ar)+C2Y0(ar)]e"₽,‘
Температура среды внутри трубы фв равна нулю; температура
НАРУЖНОГО ВОЗДУХА — ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ
<р„(0 = A„sin(<ot+q>H) (III.73)
Для решения задачи применим методику, изложенную в § III.2.
Полагая
Ф = т, (t)X, (г) + т2 (0Х2 (г)+т3 (0Х3 (г) + т4 (0Х4 (г), (III. 74)
найдем, что функции т(0, будут равны
Т|(0 = Njcos((ot) + N2sin((o0;
т3(0 = N3cos(coO+ N4sin(coO*>
т2(0 = b^cosCcoO-Njsii^coO;
т4(0 = N4cos(coO “ N3sin(coO‘>
(III.75)
а для функций Х(г) получим уравнения
k2X, (г) = Х2 (г) +1 Х'2 (г); - к2Х2 (г) = X[(r) + A XJ (г);
г г
k2X3(r) = X4(r) + -i-X4(r); -к2Х4(г) = Х^+'х'Д
г г
(III.76)
(III.77)
113
Займемся определением этих функций.
Умножив второе из этих уравнений на i и складывая с первым
уравнением, получим
г2у*(г)+п/(г)+ix 2г 2\|/(г) = 0, (III.78)
где y(r) = Xl(r)-iX2(r).
Уравнение (III.78) имеет частное решение в виде модифициро-
ванной функции Бесселя комплексного аргумента [165]
V(r) = 10 (кгл/Г)= U0(kr)+ iV0(kr),
где
/. \4m z. \4m-2
Л-От|у| Л-1)т|у
uo(kr)=S—zW-; Vo(kr)= X г/? , ,р
т=0 (2т!) т=0 [(2т-1)!р
Второе частное решение уравнения (III.78) представляет собой
цилиндрическую функцию третьего рода комплексного аргумента
V2 (г) = но (кг л/г )= f0 (kr)+ ig0 (кг),
где
f (кг)=ZГRi(kr)+ v0(krfс+1Л
2 п 12
g0(kr)=^^+- R2(kr)+U0(krfС+ Iny
2 П 12
причем
00 Ги,.\4,с+г2к+1 1
R,(kr)=S(-№+l)r2 у Е-;
I2)
~ /V1.\4k+42k+2 1
R2(kr)=S(-l)kK2k + irM S1.
к=о I 2) m=l m
a С — постоянная Эйлера.
Поскольку вторая группа уравнений (III.76) для Х3(г) и Х4(г) по-
вторяет первую группу уравнений для Х((г) и Х2(г), чтобы найти их
решения линейно независимые от V ,(г) и V 2(г), поступим следую-
щим образом. Умножив третье уравнение (III.76) на i и сложив его с
четвертым уравнением, найдем
114
r2e'2 (г)+re'(r) - ik2r2e(r)=о,
где
0(r)= X3(r) + iX4(r).
Эго уравнение имеет два линейно независимых частных решения
0|(г) = 1о(кг7ч)= Uo(kr)-'vo(kr);
62(г) = H0(kr^)= f0(kr)-ig0(kr),
поскольку функции I0(krV?) и 10 (kr^T), а также H0(krVij и Но (krV^i)
попарно сопряженные. Таким образом мы получили четыре линейно
независимых решения
V1 (г) = X<1)(r)-iX(2l)(r) = U0(kr)+iV0(kr);
V2(r)= xP(r)-iX^2)(r)= f0(kr)+ig0(kr);
6, (r) = X(|)(r)+ iX<l)(r)= U0(kr)-iV0(kr);
62(r) = X^2)(r)+iX<2)(r)= f0(kr)-ig0(kr),
в которых все функции Х(г)
Х{'>(г) = Х<’> = Х« = U0(kr)s X<’>(r) = = Х<г> = -V0(kr}
Х<2’(г) = Х{2> = Х« = f0(kr> Х<2>(г) = Х<2> = Х« = -g0(kr)
выражены через вещественные функции U0(kr), V0(kr), f0(kr), g0(kr),
каждая из которых с точностью до знака в свою очередь является веще-
ственным линейно независимым решением уравнений (III.76).
Таким образом, окончательно
Ф = [N]COs(<Dt)+ N2sin((Dt)]u0(kr)-[N2cos((ot)- Nisin(<Dt)]v0(kr)+(jjj
+ [N3cos(cot) + N4sin(cot)]f0(kr)— [N4cos(<Dt)- N3sin(<Dt)]g0(kr)
Внося (III.79) в граничные условия (III.61), (III.62) и прирав-
нивая затем множители при cos(aTk2t) и sin(aTk2t), получим систему
четырех алгебраических уравнений для определения постоянных N
[uz0(ka)-h,U0(ka)]Nl + [hBV0(ka)- Vo(ka)]N2 +
+ [fo(ka)-hBfo(ka)]N3 + [hBg0(ka)-g'0(ka)]N4 =0;
[v^kaJ-h.VtXka)]^ +[U'0(ka)-hBU0(ka)]N2 +
+ bo(ka)-hBgo(ka)]N3 +[fo(ka)-hBf(ka)]N4 =0;
115
[Uo(kb)+hHUo(kb)]N| -[v'(kb)+hHV0(kb)]bI2 +
+ [fo(kb)+h„fo(kb)]N3 -|go(kb)+hHgo(kb)]N4 = AHhHsin<p„ ;
[Vo(kb)+h„Vo(kb)]N1 + [U'0(kb)+hHU0(kb)]N2 +
+ fe'o(kb)+h„g0(kb)]N3+[fo(kb)+hHf0(kb)]N4 =AHhHcos<pH,
в которых k связано с co формулой (III.77). Тем самым функция Ф пол-
ностью определена.
В случае сплошного цилиндра радиуса b
Ф = [Njcos(cot)+ N2 sin(cot)]U0(kr)-[N2cos(cot)- N|Sin(cot)]vo(kr), (III.80)
а постоянные N, и N2 определяют из системы уравнений
[uJ)(kb)+h11U0(kb)]Nl -[v;(kb)+hHV0(kb)K = AHhHsin<pH;
[vj(kb)+hHVc(kb)]Nl +[Uo(kb)+h„Uo(kb)]N2 =AHhHcos<pH.
В заключение отметим, что формально последние решения вы-
ражены через функции U0(kr), V0(kr), f0(kr) и g0(kr), представленные
в рядах. Однако эти функции составляют соответствующие комбина-
ции модифицированных функций Бесселя, которые табулированы.
Поэтому по существу можно считать, что найденные решения получе-
ны в замкнутой форме.
Заметим еще, что в ряде последних задач для удобства их реше-
ний мы изначально полагали температуру внутри трубы <рв = 0. Для
более общего случая, когда <рв * 0, к решению этих задач необходимо
добавить стационарное температурное поле (III.66) с tCM равном или не
равным нолю в зависимости от того, не требуется или требуется добав-
ка^ к Фн(0.
116
ГЛАВА IV.
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Ввиду сложности общей теории теплопроводности, в приложе-
ниях применяются различные приемы упрощения ее методов.
Так, при переменной температуре внешней среды используется
теорема Дюамеля [18, 25, 151, 177]; для слоистых конструкций наруж-
ных ограждений применяется аналогия «эффективной однослойной стен-
ки» [26, 224, 292]; при высоких влажностях материала среды и повы-
шенных температурах учитывается зависимость от них его теплофизи-
ческих характеристик при ряде ограничивающих их допущений [28,104,
151, 177] и т.п. Некоторые из этих приемов требуют уточнений и огра-
ничений области их применения. Ниже рассмотрены некоторые общие
вопросы, касающиеся этой проблемы.
§ IV.1. О ТЕОРЕМЕ ДЮАМЕЛЯ В ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Одним из распространенных способов решения краевых задач те-
ории теплопроводности при переменных во времени граничных усло-
виях является отыскание общего интеграла уравнения теплопроводнос-
ти на основе известной теоремы Дюамеля. В соответствии с этой тео-
ремой в ее современном виде [151] температура твердого тела
V = (х, у, z, t), начальная температура которого равна нулю и температу-
ра на его поверхности (или температура среды у этой поверхности в
случае теплообмена на ней) равна Ф (t), определяется по формуле
V = |4>Mt’F(X,y’Z’t-^ ’ (IV. 1)
где F(x,y,z,t) — температура этого тела в момент времени t в точке
(х, у, z), начальная температура которого равна нулю, а температура на
его поверхности (или, соответственно, температура среды у этой по-
верхности в случае теплообмена на ней) равна единице. Поскольку отыс-
кание температуры F(x, у, z, t) является простейшей задачей теории теп-
117
лопроводности, нахождение решения V = (x,y,z,t) в этом случае сво-
дится к квадратуре (IV. 1).
Общее решение задачи, например, при переменной температуре
среды Ф (t), и граничных условиях третьего рода, требует решения урав-
нений1
d^I^ 2
— = aV Ф _ внутри тела, (FV.2)
dt
— + h [ф - ср(t)]=0 — на его поверхности,
dv
Ф = f(x, у, z) — в начальный момент t = 0,
где а — коэффициент температуропроводности, hv = у (av — коэф-
фициент теплоотдачи поверхности, X — коэффициент теплопровод-
ности).
Полагая Ф = v+ W, задачу сводят к двум более простым задачам
dv 2
— = aV V — внутри тела,
dt
— + h v [v - <p(t) ] = 0 — на поверхности,
dv
V = 0 — в начальный момент,
dW
— _ = av w — внутри тела,
dt
dW
- у + hvW = 0 — на поверхности,
W = f(x, у, z) — в начальный момент.
Уравнения для W представлены в их простейшей форме. Их ре-
шение, например методом разделения переменных, не составляет тру-
да. Решение же уравнений для V требует применения указанной выше
теоремы Дюамеля2. Однако выражение (IV. 1) требует уточнения. Дей-
ствительно, температура V = (х, у, z, t) должна удовлетворять уравнению
теплопроводности вида (IV.2). Покажем, что форма (IV. 1) не удовлет-
воряет этому требованию.
1 Рассматривается случай отсутствия источников тепла.
2 В свое время автором был разработан эффективный метод дополнительно-
го фиктивного источника (ДФИ) [18], не требующий при решении общей
задачи теплопроводности применения теоремы Дюамеля. (См. главу II).
118
С помощью (IV. 1) найдем
V2V = j9(^|y2F(x>y,z,t-S)]d£. (IV.3)
Далее, применяя правило дифференцирования определенного
интеграла по параметру, будем иметь
“ = f <pfc)^ F(x• у. z, t ~ d4 + <p(t) F(x, у, z, t - £,) (IV 4)
at J at Left J Lat '
Внося (IV.3) и (IV.4) в (ГУ.2), получаем
f F(x’y’z’ ‘av2p(x- y>z-1 - +
* at I at J
(IV.5)
Поскольку температура F(x, у, z, t) также удовлетворяет уравнению
теплопроводности, интегральный член в выражении (IV.5) равен нулю,
поэтому должно быть
^F(x,y,z,t-^)| =0. (IV.6)
Так как рассматривается неравновесный термодинамический про-
цесс, то условие (IV.6), определяющее скорость процесса теплопереда-
чи, невыполнимо. Таким образом выражение (IV. 1) не удовлетворяет
уравнению теплопроводности и должно быть уточнено. Поэтому полу-
чим его заново в более корректной форме иным путем, чем это обычно
делается [151].
Разбивая интервал времени t на малые равные отрезки Дт] = Д£ и
представляя график изменения температуры Ф (t) поверхности тела (или
среды у поверхности тела в случае теплообмена на ней) в виде началь-
ного значения Ф (0) и суммы последовательных постоянно действую-
щих приращений Дф(^) (0<^ < t) (рис. 13), сохраняя физический
смысл функции F(x, у, z, t) и применяя с учетом линейности уравнения
(IV.2) принцип наложения воздействий, при указанных выше услови-
ях найдем температуру тела V = (х, y,z,t), вызванную суммарным дей-
ствием рассмотренных выше воздействий, в следующем виде
119
V = <p(x,y,z,O)F(x,y,z,t)+ ^Дф(х,у,г,^)р(х,у,гД-^).
Ь=0
Разделив и умножив каждый член произведения под знаком сум-
мы на Д£ , устремляя затем Д£ —> 0 и переходя к пределу, получим
V = <p(oXx,y,z,t)+j^^F(x,y,z,t-^X , (IV.7)
что полностью совпадает с формулой (1.87), полученной ранее иным
путем.
Это и есть более корректная форма теоремы Дюамеля, покажем,
что выражение (IV.7) удовлетворяет уравнению теплопроводности
(IV.2). Используя его, найдем
V2V=<p(o)V2F(x,y,z,t)+j^V2F(x,y,z,t-^ (IV 8)
о ^4
и, кроме того, с учетом указанного выше правила дифференцирова-
ния определенного интеграла по параметру, будем иметь
= ф(о)^ F(x. y>z, t)+1 . 2F(X, у, Z, t - ^)+ F(x, y,z,O).
dt dt - dq dt dt
Поскольку по определению F(x,y,z, 0) = 0, то окончательно найдем
W)
Рис. 13. Представление переменной температуры внешней среды <р(т) в ваде
суммы конечного числа приращений Дср(т).
120
^ = ф(0)4р(х>у.м)+ •^F(x,y>z,t-^. (IV.9)
(Л (7t “ ОС, (Л
Внося (IV.8) и (IV.9) в уравнение (IV.2) с учетом того, что
F(x, у, z, t) и F(x, у, z, t — £) удовлетворяет этому уравнению, найдем, что
температура V = (x,y,z,t), найденная по формуле (IV.7), в отличие от
выражения (IV. 1), также удовлетворяет уравнению теплопроводности.
Уточненная форма теоремы Дюамеля (IV.7) относится к общему
случаю, когда температура ф (t) не равна нулю в начале процесса. Если
Ф (t) = 0 при t = 0, то мы будем иметь более простую форму этой
теоремы
v(x,y,z,t) = p^F(x,y,z,t-5X. (IV. 10)
о
Итак, теорема Дюамеля должна формулироваться следующим
образом.
Если F(x, у, z, t) — температура в момент времени t в точке (х, у, z)
твердого тела, начальная температура которого F(x, y,z,0) равна нулю, а
поверхность поддерживается при температуре, равной единице (или в
случае теплообмена его поверхность окружена средой, имеющей темпе-
ратуру, равную единице), то решение задачи в случае, когда поверх-
ность тела поддерживается при температуре ф (t) (или в случае тепло-
обмена со средой, имеющей температуру, равную Ф (t)) дается выра-
жением (IV.7).
В качестве иллюстрации ниже приводится полученные на осно-
ве формул (IV.4) и (IV.7) решения одномерной задачи для однослой-
ной стенки толщиной 2х0 с начальной ее температурой То при симмет-
ричных граничных условиях третьего рода (начало координат на сре-
динной поверхности стенки) и температуре внешней среды
ф(0 = т+п1.
При использовании формы (IV. 1)
Ф(х.0= Z^2’^aak + n(aakt-1)+kk(T0-m)+nka°:t}COSakX (IV.11)
k=l aak
При использовании формы (IV.7)
Ф(хД) = m+nt+ y{[aak(T0 -m)+n^-aakt -n }cosakx (IV.12)
k=l аак
121
В обеих выписанных формулах
А 4sinakx0
2акх0 +sin2akx0 ’
ак — корни трансцендентного уравнения
a
ctgax0 = -.
n
Нетрудно установить, что формулы (IV. 11) и (IV. 12) не совпа-
дают, хотя должны совпадать по теореме единственности решения;
форма (IV. 11) не удовлетворяет уравнению теплопроводности и исход-
ным граничным условиям; форма же (IV. 12) наоборот удовлетворяет
всем условиям задачи.
Для контроля решения (IV. 12) оно было получено также мето-
дом дополнительного фиктивного источника (ДФИ) [18] без примене-
ния теоремы Дюамеля. При этом оно оказалось равным
Ф(х, t) = m- (хо - х 1 2 )+ nt+
( n { 2 (IV.13)
2,Ak T0-m+— cosakxe аа<
к=1 ( аак J
где Ак и ак — имеют прежний смысл.
Нетрудно видеть, что выражение (IV. 13) удовлетворяет всем урав-
нениям задачи. Сравнивая его далее с решением (IV. 12) и учитывая
при этом очевидные разложения в ряд по ортогональным фундамен-
тальным функциям cosakx
1 = УАкстеакх; х2 = y-^-^a^x0+h(a^xJ-2)]cosakx>
к=1 к=1 акЬ
найдем, что решения (IV. 12) и (IV. 13) полностью совпадают. Отме-
тим попутно, что поскольку при предельном переходе п —> , гранич-
ные условия третьего рода переходят в условия первого рода, то, осу-
ществив этот переход в формулах (IV. 12) и (IV. 13), мы получим анало-
гичные формулы для этого вида граничных условий.
Новая форма теоремы Дюамеля (IV.7) и особенно метод ДФИ,
очень удобны в приложениях, так как позволяет сразу выделить в зам-
кнутом виде долю или соответственно всю асимптотическую часть ре-
шения, относящуюся ко времени, достаточно отделенному от начала
процесса теплопередачи.
122
§ IV.2. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНОГО ИСТОЧНИКА
НА СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛА СРЕДЫ
Обобщим предложенный ранее метод фиктивного источника на
случай переменных теплофизических характеристик на примере одно-
мерной по координатам задачи для наружного ограждения толщиной
6, подвергающегося одностороннему климатическому воздействию со
стороны «холодной» грани х = 0. В последнем случае можно пренеб-
речь влиянием термовлагопроводности на температурное поле, считать
теплофизические характеристики зависящими только от влажности ма-
териала и не учитывать источники тепла.
Обширными экспериментальными исследованиями распределе-
ния влажности w по толщине наружных стен в условиях эксплуатации
[97] доказано, что на длительном интервале наблюдения, начиная с
некоторого времени, непродолжительного в масштабе всего срока служ-
бы здания, в них наступает установившееся распределение влаги (см.,
например, рис. 14). При этих условиях теплофизические характерис-
тики уже зависят только от координаты х
X = x[w(x)] = Х(х); с = c[w(x)] = с(х); у = r[w(x)] = у (х)
и известное физическое нелинейное уравнение теплопроводности пе-
реходит в линейное уравнение
ЭФ(х, t) Э Г ЭФ(х,о1
с(х) • у(х) — = — Х(х) —--
dt Эх [_ Эх J
при общих граничных условиях третьего рода
Х(х)^^-ан[ф(хД)-фн(0]=0 прих=0,
Эх
Х(х) + ав [ф(х, t) - фв(t)] = 0 при х = 8
Эх
и начальном условии
Ф(х, t) = f(x) при t = 0.
Здесь температура наружного воздуха Ф H(t) считается пока про-
извольной, а внутреннего воздуха Ф в — постоянной.
Если в качестве решения первой основной задачи рассматриваемо-
го метода принять любое частное решение полного уравнения (IV. 14),
удовлетворяющее граничным условиям (IV. 15), то плотность фиктив-
ного источника будет равна нулю. При этом решением второй основной
(IV. 14)
(IV.15)
(IV. 16)
123
задачи будет общий интеграл
уравнения (IV. 14), удовлетворя-
ющий однородным граничным
условиям (IV. 15) при Фн(т) =
Фв = 0 и начальному условию
(IV. 16).
В ряде случаев решение
такой первой основной задачи
Ф,(х,т) удается найти в замкну-
том виде. Например, при Фн(т)=
= Ф н = const
Ф(х,0 = С, + сЛ—
1 2j0Vx)
где С, = — [а|<р,+(ан-а,)фн];
“н
С2 =а|(<Рв-Ч>н)>
причем
толщине железобетонной
стены с внутренним защит-
ным слоем из тяжелого бе-
тона в промышленном зда-
нии в г. Норильске:
1 — весной; 2 — осенью.
--------------- (IV.17)
. г dx
ав + а -ан ----+ ан
в в HjI(x) н
— приведенный коэффициент
теплопередачи.
а1 =
При (pH(t) = <p„+b t
г dx
Ф|(х,0 = <р(х)и-С1+С4] —
" Х
Ф(х,1) = Сз + с4^-
О v 6 7 о|_О
где ф(хД) = Сз + С6)—. С3=фн + |±.
X X dx
J Jc(x) у(х) • ф(х) • dx -i- (IV18)
n n V J ’
-c4 = ав(фв-фн)+ — (а(-ан
“l “н
6 XX
) |c(x) Y(x) dx + aBj Jc(x) Y(x)-dx
о о[_о
dx
*00
5
+ arbl fc(x) r(x)
0
dxH4#(x)y(x)fedxdx
0
0
0
0
124
С5=—(ан-а^ С6=-а1-Ь,
ан
а а,— приведенный коэффициент теплопередачи (IV. 17).
При других видах задания Ф н( т) найти решение в замкнутом виде
не удается. Необходимо поэтому прибегнуть к некоторым упрощени-
ям. Прежде всего, будем считать
—— = ат(х) = ат = const, (IV. 19)
с(х)-у(х)
что хорошо обосновывается экспериментальными данными в силу ма-
лой изменчивости коэффициента температуропроводности ат. При
этом полученное ранее общее решение (IV. 18) легко обратить на случай
(IV. 19). Для этого достаточно положить в нем ат- с(х)- у(х) = Х(х).
При условии (IV. 19) уравнение (IV. 14) принимает вид
ЭФ(хд) У(х) ЭФ(хд) , Э2Ф(х,р (IV 20)
dt т Х(х) Эх т Эх2
Разделяя переменные, его решение найдем в форме
Ф(х,0 = [с, • X) (х) + С2- Х2(х)]е₽ 1, (IV. 21)
где Р связано с законом изменения температуры наружного воздуха Ф H(t)
и задано, а Х,(х) и Х2(х) - линейно независимые частные интегралы
уравнения
Х"(х) + ^)Х|(х)-1х(х) = 0. (IV.22)
Решение (IV.21) является решением нашей первой основной за-
дачи для случая, когда Ф H(t) задана в форме срн (t) = срн е₽’‘ и если об-
щий интеграл уравнения (IV.22) найден. В общем виде это уравнение
не интегрируется в квадратурах. В такой форме его решение можно
получить лишь при заданном определенным образом X (х). Рассмотрим
некоторые важные случаи такого задания.
При
1(х) = Х(0)е’Т (IV.23)
уравнение (FV.22) переходит в уравнение с постоянными коэффициен-
тами
125
Х,,(х)-^Х,(х)-^-Х(х) = О
о ат
с известным решением в замкнутом виде. Такое решение удалось най-
ти и в общем случае, когда X (х) задано с точностью до некоторой про-
извольной функции Ф (х) в виде
-₽fVWdx
Х(х) = ф1(х)-е аоф'(х)
Оно оказалось равным
X(x) = V(x) Cj+C2
Pf-^dx
где у(х) = еа°ф(х)
| dx
J ф(х)<р(х) ’
(IV.24)
Задавая Ф (х) определенным образом, можно найти соответству-
ющий ему закон распределения X (х) и общий интеграл (IV.24). При-
няв, например, ф(х) = е гх и положив
г =Л± |j±+£
1,2 25 у 45 2 ат ’
мы приходим к случаю (IV.23), рассмотренному выше, для которого
Х(х) = С1еГ|Х+С2еГгХ.
Отметим, наконец, что при Х(х), заданном в виде квадратной
параболы (см. рис. 14),
/ \ / \2
Kx) = Do+D0 + D2 И
(IV.25)
Х'(х)
А(х)
может быть аппроксимировано прямой линией (рис. 15)
Х'(х) (
= Р1+Р2
Х(х)
X
5
В этом случае уравнение (IV.22) переходит в уравнение
Х||(х)+Гр|-р2~1х|(х)- —Х(х) = 0
V 5 J ат
с переменным коэффициентом в виде полинома первой степени. Его
общее решение не выражается в замкнутом виде, но легко находится
126
методом интегрирования с помощью быстро сходящихся степенных радов.
В практически важном, но более сложном случае, когда темпе-
ратура наружного воздуха является периодической функцией времени t
<рн (t) = AH(sin(pHcoscot+coscpHsincot) (IV.26)
решение первой основной задачи имеет вид
Ф](хД) = [C1X1(x) + C3X2(x)4-C5X3(x) + C7X4(x)]coscot+
+ [с2х, (х) + С4Х 2 (х) + С6Х3 (х) + С8Х4 (x)]sin tot, (ГУ-27)
а) 8/(х)
Кх)
Рис. 15. Зависимость безразмерной
б-Х'(х)
функции Х(х) »соответству-
ющей кривой распределения
где Х(х) — линейно независимые
частные решения обыкновенного
дифференциального уравнения
четвертого порядка при Х(х), за-
данном в форме (IV.23), имеюще-
го постоянные коэффициенты
Xlv(x)- — Х"’(х)+ (ГУ-28)
5
(\2
X"(x)+| — | Х(х) = 0.
5
\2
СО |
а
влажности (IV.25), от относи-
X
тельного параметра для га-
зозолобетона (а) и керамзито-
бетона на керамзитовом песке
(б): 1 — фактическая кривая;
2 — линейная аппроксимация.
Необходимые уравнения для
определения восьми произвольных
постоянных С., входящих в реше-
ние (IV.27), мы получим из гра-
ничных условий (IV. 15) с исполь-
зованием метода неопределенных
коэффициентов (четыре уравне-
ния) с присоединением к ним че-
тырех уравнений, получаемых ана-
логичным методом после подста-
новки в уравнение (IV. 20) выра-
жения (IV.27) при значениях К(х)
частных интегралов уравнения
(IV.28).
Решение второй основной
задачи метода Ф2 (х, t) мы найдем в
форме аналогичной (IV.21), но
имеющей вид
127
Ф2(хд) =£Tm(t) [cmX, m(x) + DmX2.m(x)]-e-a- °T1, (IV.29)
m=l
где Xj m(x) и X2 m(x) являются уже линейно независимыми частными
интегралами уравнения, подобного рассмотренному выше
Х"(х)+Ч7ТХ”(х)+“"Х"’(х) = 0' (IV.30)
Х(х)
При этом произвольные постоянные a m, Cm и Dm находятся из
однородных граничных условий при Ф н(ф) = Ф в = 0, а функция Tm(t)
из начальных условий (IV. 16) после разложения f(x) в ряд, подобный
(IV. 29), по фундаментальным функциям Хт(х).
Полное решение задачи во всех случаях, очевидно, будет равно
Ф(х,0 = Ф1(хд) + Ф2(хд).
Решение (IV.29) быстро затухает во времени, поэтому темпера-
турную функцию Ф) (х, t) можно рассматривать как асимптотическое (ус-
тановившееся) решение, которым в большинстве прикладных задач
теории теплопроводности и можно пользоваться.
Решение аналогичной задачи, но с заданным распределенным
источником теплоты q(x,t) данов работе [20].
§ IV.3. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ
УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛА СРЕДЫ
В твердых телах передача теплоты происходит главным образом
кондуктивным путем. Поэтому в связи с повышением кинетической
энергии молекул тела при его нагреве из-за интенсификации их беспо-
рядочного колебания все теплофизические характеристики возрастают
с ростом температуры, хотя и в разной степени. Наиболее существен-
ные изменения при этом претерпевают объемная теплоемкость CY и ко-
эффициенты теплопроводности X и теплоотдачи a. Коэффициенты
же температуропроводности
аТ=^ (IV.31)
и относительной теплоотдачи
128
h = ^ (IV.32)
практически не зависят от температуры, так как с ростом температуры
в формулах (IV.31) и (IV.32) одновременно и в одном и том же направ-
лении изменяются и числитель, и знаменатель. По этим причинам за-
висящим от температуры считают только А.. Понятно, что при этом
условии уравнения и методы теории теплопроводности существенно
усложняются. Из-за отсутствия места мы ограничимся рассмотрением
одномерной по координатам температурной задачи, когда температура
тела Ф(х, t) зависит только от одной координаты х, хотя будем рассмат-
ривать нестационарное температурное поле.
В указанном случае задача теории теплопроводности требует со-
вместно решения следующих уравнений:
— уравнения теплопроводности
С(Ф)г(ф)^ = ^-к(ф)|^-1; (IV.33)
dt Эх L Эх J v ’
— наиболее общих граничных условий третьего рода
Х(ф)^ - ан (Ф)[Ф - Фн (t)]=0 при х = О,
ЭФ (IV.34)
Х(Ф)—+ ав(Ф)[ф-фв(0]=0 прих=8;
Эх
— начального условия
Ф = f(x) при t= О, (IV.35)
где Ф H(t) и Ф B(t) — заданные переменные температуры наружного и
внутреннего воздуха, a f(x) — начальное распределение температуры по
сечению тела.
На ограниченном интервале температур изменение А. (Ф) с рос-
том Ф можно представить в форме
Х(Ф) = Х(Ф|!)е₽(ф'ф-), (IV.36)
где Фк = 20°С начальная «комнатная» температура, а Л (Фк) начальное
значение Л(Ф) при ней. (См., например, рис. 16).
Раскрывая уравнения (IV.33) — (IV.35) с учетом условий (IV.31),
(IV. 32) и (IV. 36), будем иметь
129
-—hH[<D-<p„(t)]=O прих = О;
Эх
^- + h [ф-<р (t)]=0 прих=8;
ох
(IV.38)
Ф = f(x) при t= 0. (IV.39)
Таким образом, при учете влияния температуры на Л (Ф) задача
становится физически нелинейной и ее решение существенно усложня-
ется.
Рассмотрим метод решения этой задачи без применения теоремы
Дюамеля, обобщив на наш случай метод дополнительного фиктивного
источника. Следуя этому методу, представим температуру тела в виде
суммы двух температурных функций
Ф(х, t) = Ф1(хд) + Ф2(х, О
и выберем в качестве Ф] (х, t) решение задачи
"Фн(0]=0 прих=0;
ох
^ + Ьв[Ф1-фв(0]=0 прих=5.
дх
(IV.40)
(IV.41)
(IV.42)
Рис. 16. Зависимость коэффициента теплопроводности пенобетона от темпе-
ратуры при массовом отношении влаги: д — 35%, о — 50%, х —
75%; 1 ~ теоретическая кривая по формуле (IV.36) при Фк = 20°С,
Р = 0,01603(°С)Л Х(ФК) = 0,326 Вт/м,оС.
130
Тогда Ф2 (х, t) будет решением следующей задачи
ЭФ2 о(ЭФ2? Э2Ф2 . „ЭФ! дФ2
-ЗГ- = атР- -т2- (IV.43)
ot ox J Эх2 Эх Эх
ЭФ,
——-ЬНФ2 =0 прих = 0;
Эх
ЭФ,
— + ЬВФ2 = 0 при х = 5;
Эх
(IV.44)
Ф2 = f(x) -Ф! при t= 0. (IV.45)
Рассмотрим вначале вторую задачу. Представим Ф2 в форме
Ф2(хд) = T(t)X(x). (IV. 46)
Внося (IV.46) в уравнение (IV.43), найдем
(IV.47)
T(t) т Х(х) т Х(х) т Эх Х(х)
В этом уравнении переменные не разделяются и его решение весь-
ма затруднено. Из рассмотрения уравнений (IV.43) — (IV.45) следует,
что в силу постоянных и однородных граничных условий температура
Ф2 представляет собой при t -> °© затухающую до нуля температурную
функцию. Туда же стремится и известное классическое решение урав-
нения (IV.47) при р = 0, имеющее вид
__ т=оо
Ф2(0= £хт(х)е‘а-а-'. (IV.48)
т=1
Таким образом, при больших значениях t решение уравнения
(IV.47) будет близко к решению (IV.48) и они совпадут при t -> °®,
когда оба они станут равными нулю. Следовательно, решение Ф,(0
первой задачи, определяемой уравнениями (IV.41) — (IV.42), будет
асимптотическим решением всей общей задачи, т.е. уравнений (IV.37)
— (IV. 39). Этим решением и можно Пользоваться в прикладных задачах
для оценки температурных полей при достаточно большом t.
Решение уравнений (FV.41) - (IV.42) представляет большие труд-
ности, поскольку в уравнении (IV.41) переменные также не разделя-
ются. Поэтому его лучше искать обратным методом. Задав Фр опре-
деленным образом, удовлетворяющим уравнению (IV.41), с помощью
уравнений (IV.42) затем устанавливается, каким способам задания вне-
шних температур Ф H(t) и Ф B(t) их можно удовлетворить. Таким мето-
дом можно получить набор готовых уравнений, соответствующих опре-
131
деленной форме задания Ф H(t) и Ф B(t). Важно отметить, что в силу
нелинейности задачи принцип наложения воздействий в ней не приме-
ним. Поэтому нельзя получить решение задачи для сложного случая
граничных условий путем суммирования соответствующих более про-
стых решений. Здесь возможен лишь обратный процесс: получение из
общего случая более простых решений путем определенных предельных
переходов.
Например, задав Фр в форме
Ф1 (х, t) = к-----г - — ln(c + bt)
1 4aTP(c + bt) 2р v
где к, Р, b и с — постоянные величины, найдем, что это решение
тождественно удовлетворяет уравнению (IV.41), а также граничным ус-
ловиям (FV.42), если температуры наружных сред заданы равными
<Рн(О = к~1п(с+ьД
1 / \ b5(2 + 5hB)
<pB(t) = к-ln(c + bt)---——т.
Т₽ 2р V 7 4aTPhp(c + bt)
Таким образом, формула (IV.49) является асимптотическим ре-
шением общей задачи (IV.37) - (IV.39) при Ф H(t) и Ф B(t), заданных в
форме (IV.50). Эта форма является достаточно общей, т.к.
<Рн(0).фв(0)и^^.
at at
(IV.49)
(IV.50)
§ IV.4. ОБ АНАЛОГИИ «ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ОДНОСЛОЙНОЙ
СТЕНКИ» В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
МНОГОСЛОЙНЫХ НАРУЖНЫХ ОГРАЖДЕНИЙ
Долговечность многослойных наружных ограждений определяет-
ся долговечностью их наружного слоя и непосредственно связана с из-
менениями его температурного поля. Ввиду сравнительно большой слож-
ности решений задач теории теплопроводности многослойных ограж-
дений и учитывая их внешнюю схожесть с аналогичными решениями
для однослойных стен (см. ниже), возникает заманчивая мысль о су-
ществовании подобия с точными критериями соответствия темпера-
турного поля наружного слоя многослойного ограждения температур-
ному полю на участке той же толщины «эквивалентной» однослойной
132
стенки из того же материала, что у наружного слоя исходного много-
слойного ограждения с ее общей толщиной § э, подобранной некото-
рым определенным образом. В литературе для этого имеется ряд соот-
ветствующих предложений.
Автор [30] для определения 5 э использует формулу
п X
8э=£8к—(IV.51)
k=l Лк
где п - число слоев в исходном многослойном ограждении, Л, и Лк -
коэффициенты теплопроводности соответственно его наружного и те-
кущего слоя к толщиной 5 к.
Условие (IV.51) эквивалентно требованию R = idem, т.е. равен-
ства термических сопротивлений многослойного ограждения и эквива-
лентной стенки.
В работе [292] вместо условия (IV.51) используется схожая фор-
мула
5э=Х5*ЛЙ (IV.52)
k=l V ак
где aj и aj^ - соответствующие коэффициенты температуропроводнос-
ти. Однако нетрудно видеть, что формула (IV.52) не обеспечивает ра-
венства термических сопротивлений многослойного и эквивалентного
однослойного ограждений, а потому и их температурных полей. Более
того, в ряде практически встречающихся случаев, из-за малой измен-
чивости коэффициента температуропроводности по сравнению с ко-
эффициентом теплопроводности, эта формула к тому же приводит к
физически невозможным результатам. Например, в условиях эксплуа-
тации Б у керамзитобетона с у0 = 1000 кг/м3 на керамзитовом песке и
у минераловатных плит на синтетических и битумных связующих с у0 =
200 кг/м3 (СНиП П-3-79* [260], приложение 3*, поз. 21 и поз. 134)
коэффициенты температуропроводности практически одинаковы и рав-
ны а = 1,7.103 м2/ч. Таким образом, двухслойная стена (слой керамзи-
тобетона толщиной 5 ) и слой минеральной ваты толщиной 5 2) и «эк-
вивалентная» однослойная стенка из керамзитобетона на основе фор-
мулы (IV.52) будут иметь одну и ту же толщину 5 = 62. Следова-
тельно, распределение температур в слое керамзитобетона 5 , у двух-
слойной стены и в таком же слое той же толщины 5 t однослойной
133
стенки будут не равны, а существенно различны. Поэтому ни о какой
«аналогии» в рассмотренном выше смысле на основе формулы (IV. 52)
не может быть и речи.
Иногда для соответствия температурных полей сравниваемых ог-
раждений выдвигается несовместимое требование одновременного удов-
летворения для них сразу двум условиям [224]
R = idem и Fo = idem, (IV.53)
практически невыполнимому. Поэтому из двух условий (IV. 53) надо
выбирать одно, а именно первое условие, как это будет показано ниже.
Исследуем интересующий нас вопрос на основе двух решений со-
ответствующих задач теории теплопроводности. Для простоты сравним
такие решения для однослойного и двухслойного ограждений (рис. 17),
имеющих постоянную начальную температуру То при простейшей фор-
ме переменных граничных условий первого рода, относящиеся к слу-
чаю линейного изменения во времени температуры их наружной грани
Тн = m+ nt и постоянной температуры Тв - внутренней грани. Эти ре-
шения получены нами методом дополнительного фиктивного источни-
ка [26] и имеют следующий вид (начало координат на наружной грани).
Для однослойного ограждения толщиной 5 э:
Фэ(хД) = Т1(хД) + ^Дк8т-^е V5J ,
к=1 °э
где аэ — коэффициент температуропроводности,
+ ЫСз+МгТк
°э L \ э
5,
Ак = ^-J[To-T1(x,O)]sin^dx ,
5> Ь 5=
(IV.54)
(IV.55)
(IV.56)
(IV.57)
(IV.58)
Для двухслойного ограждения толщиной 5 = 8j + 82 :
134
— для первого наружного слоя 0 < х < 5,
-а,Ы\
Ф(|)(х,1) = Т|(1)(хД)+^ВкХ^е , (IV.59)
к=1
где
X<')(x) = sin^
с(0 = --------------------Л ,12а|8’ +
А.]52 +A,25i За]а2(1|62 + X28i )
+ а281 [3Xj82 (Aq52 + X28j )+ Х2б? ]}, (IV.61)
c(i) _ n8? ^L_
3 2aj ’ 4 ба/А^ + X28j)
(IV.62)
a yK — положительные корни трансцендентного уравнения
Xj ctgy + X2
у = 0;
а.)
а4
*4
©
лг
-Г
’к
©
аэ
€
Рис. 17. Схема двухслойного ограждения (а) и однослойной эквивалентной
стенки (в).
135
— для второго слоя 8| < х < 3
Ф(2)(х,0 = Т|(2)(х>1) + Увк^Ь-х(2)(х)е °Ь')'
м sinPk
где
§2 _ Х|а1§2 +^2а2^? + с(1)
1 3a2(Xj32 + А.2^!) 2 ’
С<2) = т-Т„ + —
2а,
С(2) = П^152
4 6а2(Х132 +X23j)
В выписанных выше формулах
5
81
Bk = F(k)j[r0 -T^(x,O)]x^(x)dx + j[ro - T<2>(x,0)]x(2’(x)dx ,
I 0 8,
где
а
N(k) = —
к
2а1
I \a?Pk , alYkP(^)
j X2aiF(k)82 a23!
Имея два приведенных выше характерных решения задачи тепло-
проводности для однослойного и двухслойного ограждений, рассмот-
рим теперь вопрос о применимости аналогии эквивалентной стенки.
Для того чтобы эта аналогия имела место, необходимо, чтобы на уча-
стке 0 < х < 3, однослойного ограждения
Фэ(х,1) = Ф(|)(х,1),
где Фэ(х,0 и фЮ(хд) определены формулами (FV.54) и (FV.59). Срав-
нивая члены в виде сумм в этих формулах, найдем, что должны удов-
летворяться условия соответствия
136
откуда
при этом
5Э - и Ak-Bk.
Yk
Если первые два условия совместимы при аэ = ар то третье — не
совместимо с ними и не может быть выполнено ни при каких обстоя-
тельствах. Отсюда мы приходим к выводу, что указанная выше анало-
гия эквивалентной стенки для полных решений задачи теплопроводно-
сти (IV.54) и (IV.59) не применима. Исследуем теперь, применима ли
она для асимптотических решений задач, представленных в формулах
(IV.54) и (IV.59) замкнутой частью решения, т.е. членами без сумм
(FV.55) и (IV.60). Сравнивая эти части, найдем, что должны удовлет-
воряться условия соответствия
8,С3=8,С(21); 8?С3=8^С<1); б’С4 =
аэ8?С3=а18^,); аэ8?С4 =а,8’С«.
Полагая аэ = ар сведем задачу к удовлетворению только первых
трех условий. При этом с учетом формул (IV.58) и (IV.62) второе усло-
вие обращается в тождество, а третье дает
(IV.63)
Раскроем теперь первое условие соответствия. С учетом формул
(IV.57) и (IV.60) при п = 0 (стационарные граничные условия) оно
сведется к тождеству, а при п / 0 — к неравенству
Для наружных ограждений второе слагаемое в правой части этой
формулы пренебрежимо мало. Поэтому и в этом случае можно считать
формулу (IV.63) практически применимой. Например, для Москвы
ранее требуемому сопротивлению теплопередачи для стен жилых зда-
ний Rjp = 1,264 (м2.°С)/Вт соответствует двухслойная стена с наруж-
137
ным слоем толщиной = 0,27 м из ячеистого бетона (Yj = 600 кг/м3,
\ = 0,26 Вт/(м °С)) и внутренним слоем толщиной 3j = 0,1 м из тяже-
лого бетона (у2 = 2400 кг/м3, \ = 2,04 Вт/(м°С)). При этом толщина
эквивалентной однослойной стенки из того же ячеистого бетона по
формуле (IV.63) равна
8 = 0,27+—-0,1 = 0,283м.
2,04
Второе слагаемое в неравенстве (IV.64) оказывается равным
0,00278 и составляет всего 0,278% от единицы. Поэтому им можно
практически пренебречь и считать, что вместо неравенства мы имеем
тождество. Таким образом, и в случае переменных граничных условий
можно также пользоваться аналогией эквивалентной стенки с толщи-
ной 5Э (IV.63).
Итак, мы приходим к следующему выводу: для определения асим-
птотической части общего решения задачи теплопроводности слоистых
конструкций можно пользоваться (строго при стационарных и прибли-
женно при нестационарных граничных условиях) аналогией эквивален-
тной однослойной стенки с толщиной 5 э, определяемой по формуле
(IV.51). Для определения же полного решения указанной задачи эта
аналогия не применима. Ее использование с указанной целью, да еще
и в форме (IV.52) [292] или (IV.53) [224] научно не обосновано и не
правомерно.
Аналогия эквивалентной стенки практически очень удобна, так
как позволяет определять асимптотическую часть температурного поля
наружного слоя многослойного ограждения по упрощенной методике.
Это важно, поскольку долговечность наружных ограждающих конст-
рукций связана именно с ним и для теории их долговечности это про-
сто необходимо [21, 30, 232].
138
ГЛАВА V.
ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ВЛАГОПРОВОДНОСТИ БЕТОНА
Исследованию влажностных напряжений в бетоне должно пред-
шествовать определение полей влажности, возникающих в нем
вследствие внешних воздействий, отсутствия гигрометричес-
кого равновесия с окружающей средой и химического связывания воды
при гидратации цемента.
В главе I было показано, что при обычных условиях работы же-
лезобетонных конструкций можно пренебречь влиянием температуры
на диффузию влаги в бетоне и считать, что движение влаги в нем про-
исходит в основном за счет градиента влажности. Более важным явля-
ется учет стока влаги в бетоне за счет химического связывания свобод-
ной воды.
Ниже рассматривается общая задача теории влагопроводности
бетона при внутреннем распределенном по объему тела стоке влаги,
интенсивность которого зависит от температуры процесса. Получено
соответствующее дифференциальное уравнение влагопроводности и дан
аналитический метод его интегрирования, аналогичный методу допол-
нительных фиктивных источников тепла, рассмотренному в главе I, и
обладающий всеми его преимуществами.
§ V.I. ВЛАГОПРОВОДНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ БЕТОНА
При неравномерном распределении влажности по объему капил-
лярно-пористого тела влага в его менее влажные части непрерывно по-
ступает из более влажных зон. Такая передача влаги происходит во всех
твердых капиллярно-пористых телах, подверженных воздействию влаж-
ности, и называется влагопроводностью.
У ряда материалов с ориентированными капиллярами (например,
у древесины), влагофизические свойства, связанные с влагопровод-
ностью, зависят от ориентации капилляров, а сама влагопроводность в
одних направлениях лучше, чем в других. Влагофизические свойства
139
материалов изменяются также в зависимости от их влажности. В
большинстве практически важных случаев, однако, эти изменения неве-
лики, поэтому обычно эти свойства считают не зависящими от влаж-
ности.
У некоторых материалов влагопередача является следствием не
только внешнего воздействия (увлажнения или высушивания), но свя-
зана также с особым свойством материала связывать влагу. Примером
этого может служить бетон, у которого в процессе твердения химичес-
ки связывается значительное количество свободной воды.
В дальнейшем мы и будем рассматривать тела, материал которых
обладает свойством связывать влагу, имея в виду в первую очередь бе-
тон. При этом будем считать его однородным и изотропным телом с
влагофизическими свойствами, не зависящими от возраста бетона и
его влажности. Первое из этих допущений из-за хаотичного размеще-
ния микро- и макропор в бетоне вполне приемлемо; вторые два рас-
смотрены в § V.3.
Процесс влагопередачи в бетоне весьма сложен, а некоторые его
закономерности не вполне изучены. До настоящего времени, напри-
мер, не установлено, перемещается ли влага в бетоне преимуществен-
но в виде пара или наоборот, главным образом в виде жидкой фазы.
По-видимому, однозначного ответа на этот вопрос не существует; все
зависит от условий высыхания бетона, его влажности, температуры и
размеров тела.
В опытах Г.А. Бужевича [86] изучался процесс испарения воды
из бетонных кубов при их естественном высыхании на воздухе. Ско-
рость испарения влаги из бетона сравнивалась со скоростью испарения
с поверхности чистой воды. Оказалось, что вначале эти скорости были
равны; это косвенно указывает на то, что процесс испарения влаги из
бетона на данном отрезке времени происходит за счет миграции жидко-
сти изнутри к поверхности и ее испарения на ней. Затем, через неко-
торое время, скорость испарения воды из бетона становилась большей,
чем у чистой воды и оставалась таковой в течение некоторого времени.
'Это говорит о том, что величина поверхности испарения в бетоне воз-
растала за счет ее проникания внутрь тела. Следовательно, в это время
в его поверхностных слоях влага перемещалась в виде пара. Наконец,
процесс высыхания заканчивался при скорости испарения меньшей,
чем скорость испарения воды, постепенно убывающей до нуля по мере
уменьшения содержания в бетоне испаряемой воды. Следовательно, в
конце периода высыхания влага в бетоне перемещалась только в паро-
«»(»разном состоянии.
140
В опытах автора [13] было установлено, что у малых образцов
критическая влажность1 достигалась бетоном практически одновремен-
но во всем их объеме, о чем свидетельствовало одновременное начало
усадки в наружных и внутренних слоях тела. Это указывает на то, что к
этому моменту времени поверхность испарения пронизывала всю тол-
щу бетона. В более же крупных образцах к моменту начала усадки в
наружных слоях бетона его внутренние зоны имели еще некоторый за-
пас свободной воды и не претерпевали усадочных деформаций. Таким
образом, соотношение между парообразной и жидкой составляющей
влажностного потока в бетоне в данный момент времени высыхания и
в данной точке его объема зависит от масштабного фактора и продол-
жительности высыхания.
Еще более интересные данные были получены в опытах А.И.
Вейника и А.С. Шубина [99]. В этих опытах с помощью радиоактив-
ных изотопов изучен процесс переноса тепла и влаги при конвективной
сушке влажных капиллярно-пористых тел. Моделью такого тела слу-
жил песок, увлажненный насыщенным раствором радиоактивной соли
до определенного начального влагосодержания. В процессе сушки об-
разца мигрирующая жидкость переносила с собой эту соль, за движе-
нием которой следили с помощью счетчика Гейгера-Мюллера. В слу-
чае внутреннего испарения влаги, а следовательно, появления парооб-
разной составляющей влажностного потока, радиоактивная соль выпа-
дает в осадок и больше не перемещается. По изменению активности
отдельных участков материала можно было судить о количестве влаги,
перенесенной как в виде жидкости, так и в виде пара.
Было установлено, что при сушке материала воздухом с обычной
температурой, некоторое количество влаги (-17%) испаряется внутри
материала. Оказалось также, что на механизм процесса сушки и глуби-
ну зоны внутреннего испарения оказывает влияние величина массосо-
держания. При низком начальном массосодержании (<2%) молярное
перемещение отсутствует, и сушка происходит за счет молекулярной
диффузии парообразной влаги. При высоких (>4%) массосодержаниях
влага мигрировала к поверхности образца в жидкой фазе, где и проис-
ходило ее интенсивное испарение, о чем свидетельствовал бурный рост
активности этой поверхности.
Возвращаясь к бетону молодого возраста, отметим, что процесс
его высыхания всегда начинается при наличии большого количества
жидкой влаги, вводимой в бетонную смесь при ее изготовлении. Сле-
довательно, такой бетон при высыхании последовательно проходит че-
1 О критической влажности бетона см. [18].
141
рез все три стадии, подмеченные в описанных опытах Г.А. Бужевича.
В связи с тем, что в силу разнообразных условий, в которых
может находиться бетон, невозможно четко разграничить, в какое вре-
мя и в каких его зонах имеет место та или иная из этих стадий, пред-
ставляется пока возможным исходить из единого для всех их закона вла-
гопередачи по отношению к общему, суммарному потоку влаги, неза-
висимо от соотношения его составляющих — жидкой и парообразной
влаги. Важно только, чтобы физические характеристики бетона, оп-
ределяющие его влагофизические свойства, устанавливались экспери-
ментальным путем в условиях опыта, близких к тем, которые наблюда-
ются при его естественном высыхании. Именно таким подходом и от-
личаются прикладные методы математической теории влагопроводнос-
ти, не учитывающие явление термовлагопроводности. Такой теорией
мы и будем пользоваться, обобщив ее на случай учета распределенных
по объему тела стоков влаги.
Пусть в твердом капиллярно-пористом теле распределение влаж-
ности U в момент времени t определяется выражением U(x, y,z,t).
В математической теории влагопроводности показывается, что
величина потока влаги через единицу площади любой поверхности в
данной точке тела равна
ди
4v ="авТ-ч- , (V.1)
dv
где U — влажность материала на этой поверхности; ав — коэффициент
диффузии влаги; Y — плотность материала; v — направление внешней
нормали к поверхности в данной точке. Рассматривая условия влагопе-
редачи через элементарный объем капиллярно-пористого тела, с по-
мощью выражения (V.1) можно получить следующее дифференциаль-
ное уравнение влагопроводности бетона [4]
dU _2тт 1 дН
— = aBV U-------— (V 2)
dt у dt ’ \ /
в котором величины ав и Y имеют указанный выше физический смысл,
а Н (кг/м3) — функция гидратации бетона, определяющая собой коли-
чество химически связываемой влаги (кг) при гидратации цемента в
единице объема бетона (м3). Уравнение (V.2) представляет собой урав-
нение баланса влаги в элементарном объеме бетона и является основ-
ным в теории влагопроводности.
Решение основной задачи теории влагопроводности бетона об
отыскании функции влажности U(x,y,z,t) требует интегрирования
142
дифференциального уравнения (V.2) при граничных и начальном усло-
виях, определяющих соответственно поток влаги на поверхности тела и
распределение влажности по его объему в начальный момент времени и
при заданном законе стоков влаги Н(х, у, z, t) за счет ее химического свя-
зывания. Для практического же использования решений этой задачи
необходимо располагать численными значениями ряда коэффициентов,
входящих в это уравнение, в том числе и определяющих собой влаго-
физические свойства бетона. Некоторые из них уже были рассмотрены
в § 1.3, остальные будут изучены ниже.
Отметим, что существуют различные способы задания влажнос-
ти бетона U. Она может быть задана в относительных единицах по объе-
му (м3/м3) или по массе (г/г); часто ее задают в процентах по объему
(м3/м3) 100 или в процентах по массе (г/г) 100.
В дальнейшем мы будем пользоваться измерением влажности в
относительных единицах по массе (г/г). Заданная таким образом отно-
сительная влажность будет определять собой количество влаги (г) в бе-
тоне, отнесенное к единице его массы (г) в сухом состоянии. Она мо-
жет быть определена как разность масс мокрого и сухого образца, де-
ленная на массу сухого образца.
§ V. 2. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНОЕ УСЛОВИЯ.
РАВНОВЕСНАЯ ВЛАЖНОСТЬ БЕТОНА
В состоянии термодинамического и гигрометрического равнове-
сий бетона с влажным воздухом его температура равна температуре ок-
ружающей среды. Поэтому граничные условия теплопередачи на от-
крытой поверхности тела (1.5) предполагают, что потеря тепла с еди-
ницы такой поверхности в единицу времени пропорциональна разно-
сти температур поверхности и среды вблизи нее (1.4). Влагосодержание
же бетона в рассматриваемом случае приобретает некоторое постоянное
равновесное значение. Соответствующая ему относительная влажность
бетона называется его равновесной относительной влажностью.
Относительная равновесная влажность бетона не равна относи-
тельной влажности окружающего воздуха. Поэтому потеря влаги с еди-
ницы открытой поверхности тела в единицу времени пропорциональна
не разности влажностей поверхности бетона и окружающего воздуха, а
разности относительных влажностей бетона — поверхностной U и рав-
новесной V (t) с окружающей средой
Чн=“нВг(и-У(01 (V.3)
143
(V.4)
Коэффициент пропорциональности а нв в этом уравнении носит
название коэффициента влагопередачи и зависит от формы тела, со-
стояния и влажности его поверхности, а также ряда других факторов.
Так как на поверхности тела влага не может накапливаться, то
количества подведенной влаги (V.1) и влаги потерянной (V.3) должны
быть равны между собой. Приравнивая выражения (V.1) и (V.3), по-
лучаем граничное условие для рассматриваемого случая влагопередачи
^ + pv[u-v(t)] = o.
dv
В этом уравнении величина
анв
Р = 77 (V.5)
представляет собой относительный коэффициент влагопередачи. Этот
вид граничных условий встречается наиболее часто, и мы будем широ-
ко пользоваться им в дальнейшем, имея в виду свой заданный закон
изменения равновесной влажности бетона у H(t) на каждой из коорди-
натных поверхностей с нормалью v, ограничивающих тело. Анало-
гичным образом могут быть получены выражения и для других видов
граничных условий, встречающихся в приложениях.
Если влажность бетона на поверхности тела поддерживается рав-
ной \|/(х, y,z,t), то на этой поверхности граничные условия имеют вид
U = y(x,y,z,t). (V.6)
Если поверхность тела непроницаема для потока влаги, то на ней
<v-7>
Отметим, что граничные условия (V.6) и (V.7) являются част-
ными случаями более общего условия (V.4) и получаются из него соот-
ветствующим предельным переходом. Действительно, при бесконечно
большом а нв влажность бетона на поверхности тела будет мгновенно
принимать значения равновесной влажности. Устремляя поэтому в урав-
нении (V.4) р -> °о , мы получим граничное условие для этого случая
вида (V.6). Если поверхность тела непроницаема для потока влаги, то
независимо от U и у (t) в уравнении (V.3) должно быть q = 0. Чтобы
удовлетворить этому условию, мы должны положить в нем а нв = 0.
Устремляя поэтому в уравнении (V.4) р -> 0, мы получаем граничное
условие для этого случая в виде (V.7).
Возможность указанных предельных переходов избавляет нас от
необходимости в дальнейшем рассматривать особо задачи с граничны-
144
ми условиями (V.6) и (V.7). Достаточно будет получить лишь решение
задач с граничными условиями вида (V.4). Решения же аналогичных
задач с другими граничными условиями мы получим из найденных ре-
шений, осуществив в них соответствующий из указанных предельных
переходов.
Для практического использования граничных условий (V.4) не-
обходимо располагать данными об относительной равновесной влажно-
сти бетона. Величина этой влажности зависит от температуры и влаж-
ности окружающего воздуха и от способа достижения бетоном гигро-
метрического равновесия с внешней средой. Если бетон, стремясь к
такому равновесию, отдает влагу, то оно достигается путем его высы-
хания или, как говорят, десорбции; если же бетон поглощает влагу, то
равновесное состояние наступает в результате его увлажнения или, как
принято говорить, сорбции.
Графическая зависимость равновесной относительной влажности
бетона от относительной влажности воздуха при постоянной темпера-
туре, изображенная в виде некоторой кривой, называется изотермой
сорбции или десорбции, в зависимости от того, к какому из двух ука-
занных выше случаев достижения равновесного состояния она отно-
сится. Обычно подобного рода кривые у бетонов имеют S-образный
вид (рис. 18), причем изотермы сорбции и десорбции совпадают толь-
ко в двух крайних точках: при Ф = 1 и Ф =0, образуя своеобразные
гистерезисные петли (рис. 18, г). Верхней ветвью таких петель всегда
является изотерма десорбции. Объясняется это, по-видимому, тем,
что гигрометрическое равновесие бетона наступает весьма медленно,
поэтому экспериментально наблюдаемое равновесие является лишь ка-
жущимся: с равновесным влагосодержанием в бетоне меньшим истин-
ного в случае сорбции и большим истинного в процессе десорбции.
Для бетонов молодого возраста определяющим является процесс де-
сорбции, после которого гистерезисом изотерм повторных процессов
сорбции и десорбции практически можно пренебречь [104].
Изотермы сорбции и десорбции бетона изучены слабо; для дру-
гих же родственных бетону материалов они исследованы лучше [104,
223, 273]. Результаты этих исследований позволяют считать, что на
равновесную влажность бетона влияние температуры в области обыч-
ных положительных ее значений невелико1 *. При прочих равных усло-
1 Это, например, следует из рис. 18, а, на котором изотермы сорбции
шлакобетона объемной массы 920 кт/м3 при температурах 0 и 35°С мало
отличаются друг от друга.
145
Рис. 18. Изотермы сорбции и десорбции ряда строительных материалов:
а) изотермы сорбции шлакобетона: 1 — у = 1400 кг/м3, t = 20’С;
2 — у = 920 кг/м3, t = О’С; 3 — у = 920 кг/м3, t = 35°С; б) изотермы
сорбции пенобетона: 4 - У =850 кг/м3, t = 20°С, 5 - У = 800 кг/м3,
t = 20°С; 6 - у = 345 кг/м3, t = 0-35°С; 7 - у =660 кг/м3, t =20°С;
в) изотермы десорбции: 8 — цементно-песчаный раствор;
9 — бетон 1:2,1:4,9 В/Ц=0,575 (данные автора); 10 — расчетная
изотерма десорбции бетона; г) изотермы сорбции и десорбции це-
ментного камня; 11 - изотерма десорбции; 12 — изотерма сорбции.
146
виях равновесная влажность бетона зависит от содержания в нем геля,
степени дисперсности частиц и их адсорбционной способности, пори-
стости, а также ряда других факторов.
По данным исследований автора (рис. 18, в), в обычных преде-
лах положительных температур уравнение десорбции тяжелого бетона
приближенно может быть представлено в виде линейной зависимости
v(<p) = (20+1,5<р)10'4 , (V.8)
где Ф — относительная влажность воздуха в процентах; Ф — равновес-
ная весовая относительная влажность бетона в г/г.
При решении нестационарных задач теории влагопроводности
часто встречается случай укрытия грани тела слоем влагоизоляции, ее
роль, например, может играть опалубка. Влагообмен на такой грани
может быть оценен при помощи некоторого условного коэффициента
влагопередачи а*нв , величину которого, по аналогии с выражением
(1.9), можно находить по следующей приближенной формуле
(V.9)
* _ аванв
UHB , о
ав +^ванв
Таким образом, при отыскании нестационарных влажностных по-
лей бетонных тел сложные граничные условия на их гидроизолирован-
ных гранях практически могут быть заменены граничными условиями
свободного влагообмена при некотором условном коэффициенте вла-
гопередачи а* в , отыскиваемом по формуле (V.9) и являющемся фун-
кцией толщины влагоизоляции S в и ее влагозащитных свойств, опре-
деляемых коэффициентами ав и а нв.
Начальное условие определяет распределение относительной влаж-
ности бетона по объему тела в некоторый момент времени, принятый
за начало отсчета. Оно может быть задано в виде некоторой непрерыв-
ной функции координат точки
U=f(x,y,z) при1 = 0. (V.9)
Это соответствует ряду практических задач, с которыми прихо-
дится иметь дело в приложениях. Однако, имея в виду изложенное в
конце § 1.2, мы будем пользоваться более простой формой начального
условия, а именно
U = Uo = const при t = 0 ,
где Uo — начальная влажность бетона.
(V.10)
147
Если в качестве начального момента времени t = 0 принят мо-
мент укладки бетона, то его начальная влажность Uo может быть опре-
делена по формуле
и - в/ц
и°“1 + П + Щ. (V.12)
где В/Ц - водоцементное отношение, а П и Щ - весовые относитель-
ные части песка и щебня соответственно в бетонной смеси.
§ V.3. ВЛАГОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНА
В уравнениях теории влагопроводности бетона и решениях ее за-
дач кроме плотности у фигурируют еще коэффициент диффузии влаги
ав и коэффициент влагопередачи а нв.
Коэффициент диффузии влаги ав (м2/ч) представляет собой ко-
личество влаги (кг), протекающее через единицу площади (м2) повер-
хности изовлаги (поверхности равной влажности) в единицу времени
(ч) при единичном перепаде концентрации влаги (кг/м3/м) в бетоне.
Коэффициент влагопередачи с открытой поверхности в окружа-
ющую среду анв (м/ч) численно равен количеству влаги (кг), отдавае-
мому влажным бетоном с единицы открытой поверхности (м2) в еди-
ницу времени (ч), при единичном перепаде концентраций влажности
бетона: поверхностной и равновесной с окружающей средой (кг/м3).
Влагофизические свойства бетона практически не зависят от хи-
мических реакций, сопровождающих процесс твердения бетона, по-
этому они мало подвержены влиянию возраста бетона. Другие же осо-
бенности бетона в большей степени влияют на его влагофизические
свойства, которые в основном зависят от В/Ц, состава бетонной смеси
и влажности бетона.
Автором [10] по специальной методике, основанной на регуляр-
ном режиме сушки, было проведено экспериментальное изучение вла-
гофизических свойств бетона. В опытах было исследовано шесть серий
бетонных и растворных образцов. В пяти из них изучалось влияние
В/Ц и возраста бетона и раствора на их влагофизические свойства. В
шестой серии исследовалось влияние содержания цемента. Образцы
этой серии были изготовлены из бетона трех составов, в каждом из
которых соотношение между весовыми частями заполнителей сохраня-
лось неизменным, менялось лишь содержание цемента. В качестве
вяжущего использовался портландцемент активностью 47,5 МПа. Ре-
зультаты описанных опытов приведены на рис. 19 ~ 21. Обобщая их,
можно отметить следующее.
148
Коэффициент диффузии влаги в бетоне тем меньше, чем выше
водоцементное отношение. Так, при увеличении последнего на 86%
величина ав снижается на 9,5%. Величина же коэффициента влагопе-
редачи а нп, наоборот, существенно повышается с ростом В/Ц, увели-
чиваясь в 4,3 раза при возрастании последнего в тех же пределах (рис. 19).
Установленная зависимость влагофизических свойств бетона от
водоцементного отношения связана с тем, что характер пористости бе-
тона существенно меняется при изменении В/Ц. Бетоны на больших
В/Ц имеют более крупные поры и количество их больше, чем у бетонов
с малым В/Ц; в то же время известно, что движение жидкости по тон-
ким смачиваемым капиллярам происходит быстрее, чем в случае тол-
стых капилляров. По-видимому, на влагопередачу в бетонах при боль-
ших В/Ц оказывает существенное влияние медленная диффузия влаги
в крупных порах, объединенных в капиллярные трубки, не заполнен-
ные полностью жидкостью, стенки которых покрыты пленочной во-
дой. В этих условиях влагопередача в большей части проходит за счет
медленных процессов внутреннего испарения и диффузии пара, тогда
как в случае мелких пор, заполненных влагой, она проходит быстрее в
основном за счет миграции влаги. У бетонных образцов с большим
В/Ц поверхность, на которой происходит влагообмен с внешней сре-
дой, имеет большее количество и размеры открытых пор; она более «ноз-
древата» и, следовательно, более развита. У таких бетонов влагоотдача
происходит интенсивнее и коэффициент влагопередачи естественно
выше.
Рис. 19. Зависимость ав, а1|В, и р бето-
на и цементного раствора мо-
лодого возраста от водоцемен-
тного отношения: 1 — бетон
состава 1:2,1:4,9; 2 — цемен-
тный раствор состава 1:2,1.
149
Из изложенного следует, что с точки зрения опасности растрес-
кивания от усадочных напряжений бетоны с большими водоцементны-
ми отношениями невыгодны. У них диффузия влаги замедленна и вла-
гоотдача с поверхности ускорена. Это приводит к более быстрому вы-
сыханию поверхностных слоев, развитию больших градиентов влажно-
сти и, следовательно, усадочных напряжений.
Из рис. 19 видно, что коэффициент влагопередачи анв весьма
велик, следовательно, во влажном бетоне неизбежно быстрое высыха-
ние поверхностных слоев, так часто приводящее к поверхностным уса-
дочным трещинам, вероятность появления которых тем выше, чем выше
относительный коэффициент влагопередачи р. Поскольку при возрас-
тании В/Ц прочность бетона снижается, а величина р повышается, то
у бетона на больших В/Ц появление поверхностных усадочных трещин
при отсутствии ограничения высыхания неизбежно.
Существенное влияние на влагофизические свойства бетона ока-
зывает содержание цемента в нем. Так, с увеличением расхода цемен-
та от 275 до 375 кг/м3 (на 36,5%) коэффициенты диффузии влаги ав и
влагопередачи анв возрастали в среднем соответственно на 31 и 80%
(рис. 20). По-видимому, увеличение содержания цемента, делая бе-
тон более удобоукладываемым, уменьшает размеры и количество пор в
нем, что, по аналогии с уменьшением В/Ц, повышает способность
бетона к влагообмену. В связи с тем, что изменения анв при этом
более существенны, бетоны с большим расходом цемента быстрее вы-
сыхают с поверхности (величина относительного коэффициента влаго-
передачи р у них больше) и при прочих равных условиях имеют более
неравномерное распределение влажности, следовательно, они менее
выгодны с точки зрения величин усадочных напряжений.
Описанные данные позволяют рекомендовать для определения
коэффициента диффузии влаги в бетоне с учетом весового водоцемен-
тного отношения и содержания цемента следующую эмпирическую фор-
мулу
ав =6(1-0,2В/Ц^1 + ^j-^00^10'6 ц2/ч , (V. 13)
где Ц - содержание цемента в кг/м3.
С увеличением возраста бетона коэффициент диффузии влаги ав
и коэффициент влагоперехода анв снижаются (рис. 20). Поэтому, про-
цессы влагопередачи и влагообмена с внешней средой у старого бетона
протекают медленнее, чем у бетона в раннем возрасте.
Интересно также отметить, что в то время как повышение тем-
150
Рис. 20. Зависимость ав, аив и р бетона молодого возраста от содержания
цемента. В/Ц=0,64. Экспериментальные точки (слева направо) со-
ответствуют составу бетона соответственно 1:2,1:4,9; 1:1,62:3,92 и
1:1,4:3,27.
Примечание. Величины ав, а ив и р даны в процентах от их средних
значений, соответствующих содержанию цемента, равному 275 кг/м3.
151
пературы бетона снижает коэффициент диффузии тепла, приводя к
замедлению теплообмена, увеличение его влажности, повышает ко-
эффициент диффузии влаги и ведет к ускорению влагообмена. Такое
различие во влиянии температуры на теплообмен и влажности на вла-
гообмен в бетоне связано с различием физических картин тепло- и вла-
гообмена. В то время как теплообмен происходит молекулярным пу-
тем, т.е. главным образом за счет кондуктивной составляющей тепло-
вого потока, влагообмен связан с переносом массы поглощенного ве-
щества в виде жидкости или пара.
При расчете распределения влажности в бетоне обычно исходят
из некоторых средних значений ав и анв, назначаемых по справочным
или экспериментальным данным. Например, на основе описанных опытов
автора возможны следующие средние значения этих коэффициентов
ав = 510"6 м2/ч; а|1В =(К2)-10‘4 м/ч. (V.14)
§ V.4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СКОРОСТИ
ГИДРАТАЦИИ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРОЦЕССА
При нормальных условиях твердения бетона непрерывно проис-
ходит процесс гидратации содержащегося в нем цемента, сопровожда-
ющийся химическим связыванием воды. В результате этого опреде-
ленное количество воды затворения активно участвует в формировании
новообразований в бетоне и прочно связывается в виде точных соотно-
шений определенных кристаллогидратов. Связываемая таким образом
вода в силу огромной энергии подобной связи в дальнейшем уже не
участвует во влагопередаче в бетоне, поэтому этот процесс следует рас-
сматривать как непрерывный сток влаги, распределенный по его объе-
му, с определенной интенсивностью во времени.
Количество воды, химически связываемой различными минера-
лами клинкера, а также цементами разных минералогических составов,
изучалось в ряде работ [88, 100, 155]. На основании этих исследова-
ний можно считать, что в среднем количество связываемой портланд-
цементом воды в долях его сухой массы равно 15% в месячном возрасте
бетона, 20% к 3-месячному возрасту и 25 - 30% к концу его твердения.
Как и всякая химическая реакция, процесс гидратации будет су-
щественно зависеть от температуры; следовательно, интенсивность стока
влаги в бетоне самым тесным образом связана с полем температуры в
152
Рис. 21. Зависимость ав и аив иг возраст оегона. dcioh состава 1:2,1:4,9: 1
- В/Ц = 0,1; 2 - В/Ц = 0,82; 3 - В/Ц = 0,93.
Примечание. Величины ав, а ш и р даны в процентах от их средних значе-
ний, соответствующих началу высыхания образцов в возрасте 2 суток.
153
нем. Поэтому нашей задачей является вывод аналитического выраже-
ния для скорости гидратации, зависящей от температуры процесса.
Так как химическое связывание воды в бетоне является непос-
редственным следствием экзотермической реакции гидратации цемен-
та, то естественно предположить прямую пропорциональность количе-
ства связываемой воды количеству выделившегося тепла при его твер-
дении
H(t) = KL(3(t), (V.15)
где H(t) (кг/м3) - так называемая функция гидратации бетона, входя-
щая в уравнение влагопроводности (V.2) и определяющая собой коли-
чество (кг) химически связываемой влаги при гидратации цемента в
единице объема бетона (м3); 3(t) (кДж/кг) - количество тепла (кДж),
выделяемое одной весовой единицей цемента (кг) к тому же моменту
времени при его гидратации в бетоне; Ц (кг/м3) - содержание цемента;
К(кг/кДж) - коэффициент пропорциональности. Коэффициент К фи-
зически представляет собой количество химически связываемой воды
(кг) одной массовой единицей цемента (кг) при ее частичной гидрата-
ции в бетоне, во время которой выделяется 1 кДж тепла.
Указанное предположение высказывалось и ранее рядом иссле-
дователей. В частности, ГД. Вишневецкий [100] для сопоставления
кинетики экзотермии нормального (по классификации СД. Окороко-
ва [215]) портландцемента с кинетикой химического связывания воды
при его гидратации составил специальную таблицу тепловыделения и
содержания прочно связанной воды к различным срокам твердения пор-
тландцемента примерно следующего минералогического состава: 60%
C3S + 15% C2S + 15% С3А + 10% C4AF.
Эти данные, полученные обработкой результатов опытов В.А.
Кинда, С.Д. Окорокова, С.Л. Вольфсона [155] и более поздних опы-
тов С.Д. Окорокова, воспроизведены во втором и третьем столбцах
табл. 24. В двух других столбцах этой таблицы на их основе подсчита-
ны значения коэффициента К для указанного цемента и выписаны их
отклонения от соответствующего среднего значения.
Как следует из табл. 24, зависимость (V.15) в общем хорошо
подтверждается опытом. Для ряда американских портландцементов она
подтверждается также данными Т. Пауэрса и Т. Браунярда [328]. Прав-
да, значения К в табл. 24, подсчитанные для бетона 3-месячного —
годичного возраста, несколько выше, чем для молодого бетона. Это
объясняется, по-видимому, неодинаковым характером ошибок изме-
рений в опытах U(t) и 3(t).
154
Таблица 24
Значения коэффициента К для нормального портландцемента
Возраст бетона Тепловыде- ление 3(t) в ккал/кг Количество прочно свя- занной воды U(t) в кг/кг K,n_U0) K(t)- 3(t)’ кг/кг 2 ккал/кг Отклонение в % от среднего значения
3 дня 79,59 0,092 0,116 -7
7 дней 96,03 0,116 0,121 -3
28 дней 106,8 0,147 0,138 + 10
Среднее 0,125
3 мес. 114,78 0,175 0,153 -1
6 мес. 121,1 0,188 0,155 0
1 год 126,4 0,198 0,157 + 1
Среднее 0,155
Величины U(t), как известно, определяются весьма точно мето-
дом количественного анализа. Тепловыделение же 3(t) определяется
калориметрическим способом с неизбежными ошибками измерений за
счеттруднооцениваемых теплопотерь, тем большими, чем больше про-
должительность опыта. Это обстоятельство, по-видимому, и приво-
дит к вероятно кажущемуся увеличению коэффициента К с возрастом
бетона. Таким образом, для обычных нормальных портландцементов
среднее значение этого коэффициента может быть принято равным
К = 0,12510~2 —= 2,985Ю-4 —. (V 16)
ккал кДж ' * '
Скорость химического связывания воды в бетоне на основании
выражения (VI. 15) будет равна
Следовательно, в твердеющем бетоне мы будем иметь сток влаги
с интенсивностью
,иЮ..’Щ>..кц'5И <v.,8)
dt dt
В § 1.5 было найдено хорошо согласующееся с опытом аналити-
ческое выражение (1.42) для скорости экзотермии . С учетом это-
dt
155
го выражения и формул (1.44) и (1.24) формула (V.18) может быть
переписана следующим образом
Чи(О = -^^ = -Ктс<о(1)Ф(О. (V.19)
(71
Мы получили, таким образом, выражение для интенсивности
стока влаги в твердеющем бетоне, устанавливающее ее зависимость от
температуры процесса, которым и будем пользоваться в дальнейшем.
Выражение (V.19) обладает очень важным достоинством: оно
позволяет получать решения сложнейших задач теории влагопроводно-
сти аналитическим методом даже в самых общих случаях двух- и трех-
мерных по координатам задач с переменными во времени граничными
условиями.
§ V.5. УРАВНЕНИЕ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ ПРИ
РАСПРЕДЕЛЕННОМ СТОКЕ ВЛАГИ, ЗАВИСЯЩЕМ ОТ
ТЕМПЕРАТУРЫ. УПРОЩЕНИЕ И МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ
Внося (V.19) в выражение (V.2), мы приходим к следующему
уравнению баланса влаги в элементарном объеме бетона
^ = a„V2U-Kc<0(t)O, (V.20)
(71
где Ф — его температура, а остальные величины имеют физический
смысл, указанный в § 1.5, § V.I. Это уравнение представляет собой
уравнение влагоповодности со стоком влаги, зависящим от температу-
ры бетона.
В соответствии с изложенным выше задача теории влагопровод-
ности при стоке влаги, зависящем от температуры, ставится следую-
щим образом.
Требуется отыскать влажность бетона U(x, y,z,t), удовлетворяю-
щую дифференциальному уравнению влагопроводности со стоком вла-
ги, зависящим от температуры
^ = aBV2U-Kc<o(t)® (V.21)
dt
при заданных граничных условиях, например, условиях вида
dU + рv [и - ф (t)] = 0 на поверхности, (V.22)
dv
156
соответствующих наиболее общему случаю свободного влагообмена, и
начальном условии
U = U0 при t = 0 , (V.23)
функции co(t), Ф(х, у, z, t), <p(t) и начальная влажность Uo — заданы.
Уравнения (V.21) - (V.23) похожи на соответствующие уравне-
ния (1.46) - (1.48) теории теплопроводности при источнике тепла, за-
висящем от температуры, поэтому применим для их решения метод,
аналогичный методу дополнительных фиктивных источников. Этот
метод мы будем называть методом дополнительного фиктивного стока.
Представим функцию влажности U в виде суммы
U = U1+U2 + U3 (V.24)
и применим для определения функций О,, ЦиЦ следующие группы
уравнений:
— для функции U,
V2U,=0, (V.25)
—L + р v [и, - у (t)] = 0 на поверхности тела; (V.26)
dv
— для функции U2
dU 2 „21Т ди.
= (V.27)
+ Pvu2 = 0 на поверхности тела, (V.28)
dv v
U2 =U0-U, при t = 0; (V.29)
— для функции U3
= aBV2U3 -Кс<0(0Ф , (V.30)
+ р и3 = 0 на поверхности тела, (V.31)
dv v
U3=0 при t = 0. (V.32)
При этих условиях функция U (V.24) будет тождественно удов-
летворять исходным уравнениям (V.21) — (V.23). Задачу об отыскании
функции U, по уравнениям (V.25) — (V.26) мы будем называть первой
основной задачей теории влагопроводности. Определение функции U2
по уравнениям (V.27) — (V.29) будет представлять собой вторую основ-
ную задачу теории влагопроводности, а определение функции U3 по
уравнениям (V.30) — (V.32) - третью основную задачу этой теории.
157
Сравнивая уравнения (V.25), (V.26) с уравнениями (11.10),
(11.11) и соответственно уравнения (V.27) - (V.29) с уравнениями
(11.12) - (11.14), мы видим, что уравнения этих родственных групп
совпадают с точностью до обозначений. Поэтому никаких новых реше-
ний для отыскания функций U, и U2 не понадобится. Достаточно в
ранее найденных решениях для и ф2 перейти к новым обозначениям
заменой Ф1 на Up Ф2 на U2, ат на ав, h на р, <РH(t) на vH(t) и е0 на
Uo и получить, таким образом, готовые решения для Ц и U2. Уравне-
ние же влагопроводности (V.30) для функции Ц принципиально отли-
чается от уравнения теплопроводности (II.2) для функции Фг В урав-
нении (II.2) функция Ф является искомой, так как включает в себя и
искомую часть Ф3, в то время, как в уравнении (V.30) функция Ф зада-
на, т.е. считается уже ранее найденной. Поэтому, решение уравнений
(V.30)—(V.32) придется проводить самостоятельно. Ввиду отсутствия
места, ниже мы ограничимся изложением методики решения задач те-
ории влагопроводности методом дополнительного фиктивного стока на
примере неограниченной плиты.
§ V.6. ЗАДАЧА ТЕОРИИ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ.
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ВЛАГИ В ПЛИТЕ
В этой задаче мы будем иметь три группы уравнений:
— для функции U,
^1 = 0,
at2
^7—PilU|-Vi(t)] = 0 прих = -х0,
ОХ
^L + P2[U1-4'2(t)]=0 прих = хо;
ОХ
— для функции U2
аи2 а2и2 аи,
—- = аи---zr---L,
at в дх2 at ’
аи2
—--pjU2=0 прих = -х0>
дх
dU2 тт л
—- + p2U2=0 прих = х0,
158
U2 = U0 -U, при t = 0; — для функции U3 ^ = ав^-Кс<о(1)Ф, <л Эх (V.33)
эи, -TA_PiU3=0 прих = -х0, Эх Эиз тт Л -^- + p2U3=0 при х = х0, (V.34)
где U3 =0 при t = 0. Причем ранее было найдено Ф = Oj +Ф2 +Ф3, (V.35) (V.36)
Ф^СДП+СгГОД хо (V.37)
т=<» Ф2 = LTm(t)[c°samx +eIt,sinaIt,x] t (V.38) т=1
m=oo фз = Spm(t)[cos“mx +emsinamx], (V.39)
так что
фг+фз = El'rmW + Pm(t)][cosamx+emsinamx]. (V.40)
m=l
Используя формулы (V.37), (V.38), указанным выше способом
подстановок найдем готовые решения первой U, и второй U2 задач тео-
рии влагопроводности в следующем виде
и, =N,(t)+N2(t)— t (V.41)
хо
где
N,(t) = y,(t)+(1't'P|X^N2(t);
Р1х0
N (t) __ Р1Р2хо[уг(О-У|(0].
2 Pl + 2PiP2xo + Р2
159
L>2 = ZT„(t)[cospn x + YnSinPn x], (V.42)
n=l
где
T„ (t) = U0S„e-a’₽’ • - Zn (t) + a₽ p2„ jXn (©e’3^ ("9d^;
_x0SnN,(t) + RnN2(t).
Xn”/ ’
X0
c 4sinpnx0 _________
(l + Yn )2₽„x0+(1-y2 )sin2p„x0 ’ <V-43)
p _ 4Yn(sinPn xo ~Pn x0cospn x0)
M(1 + Yn )2₽n Xo + (1-Yn )sin2Pn x0] ’
Y" = 2Pn+(p?+72)tgpnx0, (V.45)
a p n — положительные корни уравнения
ctg2Pnx0=g-^. (V.46)
₽(P1+P2)
Функцию U3 придется искать самостоятельно решением уравне-
ний (V.33) - (V.35).
Полагая
U3 = £Bn(t)(cosP„x+YnsinPnx)> (V.47)
П=1
мы удовлетворим автоматически граничным условиям задачи (V.34) при
Рп и Yn , определяемым формулами (V.45), (V.46).
В дальнейшем нам понадобятся разложения в ряды в области
-х0 < х < х0 п^° / ч
1 = Xsn(c°sp„ X + Yn sinpn х). (V.48)
n=l
П=оо
X = £R„(cosP„ X +Yn sinpn x). (V.49)
n=l
m=oo n=~
J}[Tm(t) + pm(t)](cosam x Hainan, x)= £k„(cosP„ x +yn sinP„ x),
m=l n=l А/
160
где Sn и Rn определены формулами (V.43), (V.44), а
\Yn Ha™~Pn)x0 +| I ' W-n+PnK
“m-Pn I “m+Pn )
Кп(0=
т=о°
2₽„ £[Tm(t)+Pm(t)]
____т=1_______________
(*+Y2n )2₽„Хо+(1-Г2„ jsin2p„x0
Внося (V.47), (V.37), (V.40) в (V.33) и используя разложения
(V.48) — (V.50), для Bn(t) получим уравнение
в'„(t) + a₽p2„ Bn(t)=-Kc<o(t) qos,, +^R„ + Kn(t) ,
L xo J
общий интеграл которого, удовлетворяющий начальному условию
(V.35), равен
Bn(t)=-KcL© C,(^)Sn Rn +K„© e
0 L x0
-a„p2 (t-£) .t
' d£- (V.51)
0 L 0 J
Тем самым функция U3, определяемая формулами (V.45), (V.46),
(V.47) и (V.51), найдена. После чего с помощью формул (V.24), (V.41),
(V.42) и (V.47) находится полная влажность плиты U.
§ V.7. ПРИМЕР РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЛАЖНОСТИ В
МАССИВНОЙ БЕТОННОЙ ПЛИТЕ
Найдем распределение влажности в бетонной плите, рассмотрен-
ной в § 11.12, к текущему моменту времени t с учетом стока влаги.
Бетон класса В20 состава (по массе) 1:2,1:4,53, В/Ц = 0,5. Для про-
стоты рассмотрим случай, когда температура внешней среды <р (t) и
равновесная влажность бетона V (0 постоянны и равны соответственно
<р(0 = Фср =6°; v(t) = 4'cp =1,2510-2г/г. (V.52)
Распределение температуры Ф(х,0 по толщине плиты, соответ-
ствующее этому случаю, мы найдем, положив всюду в примере § 11.12
А5 = 0. При этом мы будем иметь
Ф(х,0 = Фср+Т(0Р(х), (V.53)
гае T(t) = zl(t)[A1 +A2x2(t) + A3x3(t)]-P®cp, (V.54)
^2 “
а.а
(V.55)
161
а остальные величины определяются по формулам (V.52), (11.152),
(11.154) - (11.155), (11.158) и (11.162).
Учтя, что
А, = 15'48^-6-- -19,96-Ю3 +6.67103 =149,583 10’ град2ч
4,509 10"’
и полагая в формуле (11.153) и табл. 20 А4 = Д5 = А* = 0, по формуле
(V.54) найдемT(t), соответствующее рассматриваемому случаю (табл. 25).
Распределение влажности в плите на основании формул (V.24),
(V.41), (V.42) и (V.47) и, ограничиваясь первым членом ряда, найдем
в следующем виде
U(x,t) = Vcp+H(t)G(t), (V.56)
где
G(x) = cospx + vsinpx ;
H(t) = X6(t)
q(uo-Vcp)-KcJx7(0<it
О
(V.57)
(V.58)
Таблица 25
Значения функции T(t) для различных моментов времени t
t, Ч АдЛОЮ-’ град’ч AjXj(t)10-’ град2 ч [Aj + A2X2W + + A3x3(t))o-’ град2ч тСО+рФ,, град T(t), град
0 149,583 -6,67 162,873 17,59 10,546
24 134,177 -2,875 151,262 27,067 20,032
42 123,766 - 1,529 142,197 32,99 25,946
60 144,133 -0,814 133,279 36,785 29,741
84 102,42 -0,351 122,029 38,439 31,395
120 87,058 -0,0994 106,918 36,459 29,415
144 78,083 - 0,0428 98 34,104 27,06
168 70,125 -0,018 90,067 31,614 24,57
360 29,513 0 49,473 17,464 10,42
720 5,819 0 25,779 9,1 2,056
1080 1,137 0 21,097 7,447 0,403
1440 0,224 0 20,184 7,125 0,081
2400 0 0 19,96 7,044 0
162
«5(t) = A7x,(t)x3(t); S(t) = a8[a9 + A10T(t)]; (V.59)
5(t)S(t) x,( Хб(0 ’ (V.60)
a p — первый положительный корень уравнения
lg2P«.-S^> р -Р1Р2 (V.61)
Входящие сюда величины равны
у- Р'-Рг (V.62)
Хб(0 = е ₽н ’ 2p + (pj +p2)tgpx0 ’
д _B0np(enp-eo) (V.63)
А? - 2 > Рата
2(3
А* ” (l + v2)jpx0 + (l-v2^n2px0 ’ (V.64)
lOcpSinPxo а9- р (V.65)
А,° = ~^sin(a"₽)Xo + 7^sin(a+₽)xo; (V.66)
_ 4A8sinPx0 q" 2р (V.67)
Принимая для опалубки
ав =610'* м2/ч; анв = 2-Ю"4 м/ч; 6в=0,04м (V.68)
и для бетона
ав =510”6 м2/ч; анв =210~4 м/ч, (V.69)
по формуле (V.9) находим для грани плиты, укрытой опалубкой,
. __64022^__ = 0857 1(г4 ,
a"B 610'6 +0,04-2 1(Г4 ’ м/ч (V.70)
Следовательно (формула (V.5)),
163
0,857-КГ4 1а1у| _j 2-10^ ч
Pi =-------— = 17,14м ; р2 =-------- = 40м . (V.71)
5-10-6 5-Ю-6 ’
Внося (V.71) в уравнение (V.61) и решая его методом подбора,
находим
P^USISm"1. (V.72)
Подстановка этого значения р в уравнение (V.61) для проверки
дает нам
1Д8152-17,4-40 >
т.е. 0,9865 = 0,9867 (ошибка 0,02%).
Таким образом,
Р2 =1,3959м’2; 2Р = 2,363м’2; а-р = 0,0445м’1; а+р = 2,4075м’1;
tgpx0 = 2,4377; sinPx0 = 0,9252; cospx0 = 0,3795;
sin2Px0 = 0,7023; sin(a-p)x0 = 0,04485, sin(a+p)x0 = 0,6699.
Теперь находим
17,4-40 1^Л
v =---------------г----= -1614;
2,363+ (17,4+ 40)2,4377
35,055-10~3 (48,96-15)
A7 = — --------—Ц--------= 224,871 град;
5,294 -10’3
a 2,363 ч
A8 = у---------yr--—t--------yr-------= 0,76 м ;
(1 + ОД 6142 /2,363 + (1 - 0Д6142 Д9252
A 2,6 0,9252 ___
A9 = 11815~~ = 9396 'M;
(1 + 0,245-0,1614)
A = A------!----!-----0,04485 +
10 0,0445
t (1-0.245.0.1614)
2,4075
_ 4-0,76-0,9252 lini
q =-------------= 1,191.
164
zx _ (o(t)S(t)
Рис. 22. График функции Х7 W - ^6(t)
165
Начальную влажность бетона найдем по формуле (V.12)
0,5 7
Uo =----------= 6,5510-2 г/г.
0 1+2,1 + 4,53
Далее (табл. 26) вычисляем функции Хб (0> s(0 и Х7 (9 •
На рис. 22 построен график функции х7(0> а в табл. 26 на его
основе вычислены площади JX7W«i.
о
Далее в табл. 27 вычислены значения функции H(t) для различ-
ных моментов времени, а в табл. 28 — значения функции G(x) для
отдельных точек плиты. Наконец, в табл. 29 приведены значения влаж-
ности бетона U(x,t), рассчитанные с помощью формулы (V.56) в про-
центах по массе (цифры в числителе).
Если обратиться к табл. 29, то мы увидим, что через месяц вы-
сыхания влажность бетона на поверхности и внутри плиты составляет
87 — 91% его начальной влажности. Следовательно, за это время бетон
потерял лишь часть свободной воды, главным образом за счет ее хими-
ческого связывания. Поэтому его высыхание на этом отрезке времени
не сопровождалось усадкой и развитием усадочных напряжений. Из
этого вытекает практически важный вывод о том, что развитие усадоч-
ных напряжений в массивных бетонных конструкциях возможно только
в бетоне зрелого возраста.
Отметим, что в начальный момент времени, в соответствии с
данными табл. 29, мы получили неравномерное распределение влаж-
ности по толщине плиты, причем внутри ее влажность оказалась при-
мерно на 15% выше действительной начальной влажности бетона Uo.
Объясняется это тем, что для нахождения влажности бетона U(x,t) мы
пользовались только одним первым членом ряда формул (V.42) и (V.47),
сходимость которого при t -> 0 ухудшается. Здесь мы имеем полную
аналогию с результатами расчета температуры плиты в примере § 11.12.
Интересно оценить влияние фактора стока влаги в бетоне на рас-
пределение его влажности в плите. С этой целью найдем последнее без
учета этого фактора по формуле (VI. 56), положив в ней Ау — 0. Это
даст
U(x,t) = vcp + q(U0 - VepXbWGfx).
Таблица 26
Значения функций х*(О,<о(О,8(1),х7(Ои j\7(t)dt для различных моментов времени
о
t, ч aBp!t • 1О! x«(t) (чград)'1 оХО-Ю3 ч_| А„Т(0 град м А,+А,.Т(0 град м S(t) град х,(0-ю3 град/ч jx,Wdt О град
0 0 1 108 24,315 13,857 23,253 17,672 429,695 0
24 0,0167 0,9998 77,349 17,349 26,322 35,718 27,146 471,056 10,824
42 0,0293 0,9997 53,198 11,963 34,093 43,489 33,052 395,52 18,211
60 0,0419 0,9996 33,688 7,575 39,08 48,476 36,842 279,189 24,997
84 0,0586 0,9994 16,575 3,727 41,253 50,649 38,493 143,55 29,669
120 0,0837 0,9992 5,081 1,143 38,651 48,047 36,516 41,771 32,369
144 0,1005 0,999 2,234 0,502 35,557 44,953 34,164 17,167 32,989
168 0,1173 0,9988 0,972 0,219 32,285 41,681 31,678 6,946 33,639
360 0,2512 0,9975 0 0 13,692 23,088 17,546 0 33,639
720 0,5025 0,995 0 0 2,702 12,098 9,194 0 33,639
167
Таблица 27
Значения функции Н(1)для различных моментов времени t
q(U0 - Фср)= 1,191(6,55-1,25) КГ2 = 63,123 10'3 г/г
Кс = 0,125 10 3 0,23 = 0,2875 10'3 кг/град
1, ч Kcjx^Odt.lO’ , 0 г/г [я(ио -V.P)-Kcjxt(t)dt].10’ , 0 г/г H(t)10’, г/г
0 0 63,123 63,123
24 3,122 60,011 59,999
42 5,236 57,887 57,87
60 7,187 55,936 55,914
84 8,53 54,593 56,56
120 9,306 53,817 53,774
144 9,484 53,639 53,585
168 9,671 53,452 53,388
360 9,723 53,4 53,266
720 9,812 53,311 53,044
Таблица 28
Значения функции G(x) для отдельных точек плиты
х, м Рх sinfx v sinpx cospx G(x)
- 1 - 1,1815 - 0,9252 0,1493 0,3795 0,5289
- 0,6 - 0,7089 -0,6511 0,1051 0,759 0,864
"0,2 - 0,2363 - 0,2343 0,03781 0,9722 1,01
0,2 0,2363 0,2343 - 0,03781 0,9722 0,9344
0,6 0,7089 0,6511 -0,1051 0,759 0,6539
1 1,1815 0,9252 - 0,1493 0,3795 0,2302
168
Таблица 29
Значения влажности бетона U(x,t) в отдельных точках плиты при ее высы-
хании в (г/г) • 102 (процентах по массе) с учетом и без учета стока влаги
t х, м
в сут. в ч -1 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1
0 0 4,589 6,704 7,625 7,148 5,378 2,703
1 24 4,423 6,434 7,31 6,856 5,173 2,631
1 4,588 6,703 7,624 7,147 5,377 2,703
2,5 60 4,207 4,587 6,081 6,702 6,897 7,623 6,475 7,146 4,906 5,376 2,538 2,702
5 120 4,094 4,586 5,896 6,699 6,681 7,62 6,275 7,143 4,766 5,374 2,488 2,702
1 с 360 4,067 5,852 6,63 6,227 4,733 2,476
1 э 4,58 6,69 7,609 7,133 5,367 2,699
30 720 4,055 5,333 6,607 6,206 4,718 2,471
4,572 6,677 7,594 7,119 5,357 2,696
Найденные по этой формуле с помощью табл. 26 и 28 значения
влажности бетона в отдельных точках плиты указаны в табл. 29 цифра-
ми под чертой. Как следует из табл. 29, расхождения в величинах влаж-
ности бетона, вычисленных с учетом и без учета стока влаги, уже ста-
новятся значительными и достигают 25%. Таким образом, учет стока
влаги при определении полей влажности плиты и подобных ей конст-
рукций необходим.
169
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
КОНСТРУКЦИЙ, ВЫЗЫВАЕМОГО
ИЗМЕНЕНИЯМИ ИХ ТЕМПЕРАТУРЫ
И ВЛАЖНОСТИ, МЕТОДАМИ
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Как уже отмечалось выше, учет ползучести при расчете напряжен-
но-деформированного состояния бетонных и железобетонных кон-
струкций, вызываемого изменениями их температуры и влажнос-
ти, необходим. В виду того, что бетон, как наследственная среда,
обладает четко выраженными реологическими свойствами — ползучес-
тью и релаксацией, при этом должны применяться методы теории пол-
зучести. Эти методы и их экспериментальные основы освещаются ниже.
ГЛАВА VI.
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ И ВЛАЖНОСТНЫЕ
ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНА
В обычных условиях работы железобетонных конструкций бетон
непрерывно претерпевает изменения температуры и влажности,
вызывающие появление в нем температурных и влажностных де-
формаций. Вследствие неравномерного распределения последних по
объему тела, а также из-за ограничения деформаций внешними связя-
ми, их появление сопровождается развитием напряжений. Поэтому
изучение характера, величин и особенностей температурных и влажно-
стных деформаций бетона имеет большое практическое значение.
Исследованию температурных деформаций бетона посвящены
работы Келлера, Дэвиса и Трокселла [262], Мейерса [323], Н.А. Мо-
170
щанского [206], Ю.А. Нилендера [211 - 214], С.Г. Тахтамышева [264]
и ряда других исследователей.
Особый предмет исследований составляют температурные дефор-
мации бетона при высоких температурах, например жаростойких бето-
нов. Этот вопрос подробно освещен в специальной литературе [201, 202].
Влажностные деформации бетона изучены в работах автора [6 — 9,11 - 13],
А.В. Белова [59, 60], Г.Д. Вишневецкого [100, 101], К.С. Карапе-
тяна [142], Г. Колоузека [316], Р. Лермита [175], Н.А. Мощанского
[206], Ю.А. Нилендера [211 - 214], Т. Пауэрса и Т. Брауньярда [328],
Н. Цилосани [278], А.Е. Шейкина [279 - 285] и многих других.
Ниже кратко излагаются экспериментальные данные о темпера-
турных деформациях, усадке и набухании бетона и результаты прове-
денного автором исследования некоторых особенностей его влажност-
ных деформаций, существенных для проблемы влажностных напряже-
ний в бетоне.
§ VI. 1. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНА
При изменениях температуры, связанных с нарушением термо-
метрического равновесия, бетон претерпевает температурные дефор-
мации. Этот вид деформаций, например, неизбежен в ряде массив-
ных бетонных конструкций, обычно разогревающихся в молодом воз-
расте бетона от экзотермии, а затем остывающих с течением времени.
Температурные деформации свойственны также сооружениям, нахо-
дящимся на открытом воздухе и подвергающимся атмосферным воз-
действиям, носящим периодический характер. Наконец, аналогичное
влияние оказывают на конструкции технологические циклы, например
в автоклавах, пропарочных камерах, горячих цехах и т.п.
Появление температурных деформаций при ограничении пере-
мещений конструкций или в связи с неравномерным их распределени-
ем по объему бетона влечет за собой развитие температурных напряже-
ний, которым часто сопутствует появление температурных трещин. В
указанном общем случае температурные деформации бетона слагаются
из двух составляющих: свободной температурной деформации, пропор-
циональной изменению температуры, и так называемой напряженной
деформации, вызываемой уже собственно температурными напряже-
ниями.
Для расчета температурных напряжений и деформаций бетона в
первую очередь необходимо располагать данными о величине свобод-
171
ных температурных деформаций. Величины этих деформаций обычно
характеризуют коэффициентом линейного температурного-расширения
бетона а, который определяет собой свободную относительную дефор-
мацию бетона при равномерном изменении его температуры на один
градус.
Установлено [262, 299, 323], что на величину коэффициента
линейного расширения бетона существенное влияние оказывает вид
крупного заполнителя (табл. 30) и состав бетона (табл. 31).
Наибольшим линейным расширением обладают жирные бетоны
и бетоны на кварцевых заполнителях, а наименьшим - тощие бетоны и
Таблица 30
Влияние вида крупного заполнителя на коэффициент линейного
расширения бетона а (опыты Дэвиса и Трокселла)
Заполнитель а- 106 град-1
Кварц Н,9
Песчаник Н,7
Гравий 10,8
Гранит 9,5
Базальт 8,6
Известняк 6,8
Таблица 31
Влияние состава цементно-песчаного раствора на его коэффициент
линейного расширения а
Состав по весу а - 106 град*1
опыты Келлера опыты Мейерса
1:0 12,6 18,4
1:1 11 13,3
1:2 10,1 -
1:3 - 11,2
1:4 10,4 -
1:6 9,2 10,4
1:8 9,5 -
172
бетоны на известняковых заполнителях. Объясняется это тем, что сами
заполнители имеют различные величины этого коэффициента, как
правило, меньшие, чем у чистого цементного камня (табл. 32). По-
этому отощение цементного раствора песком и щебнем снижает вели-
чину а (рис. 23).
При этом между коэффициентами линейного расширения бето-
на и заполнителя наблюдается линейная зависимость [299] (рис. 24).
Ощутимое влияние на величину коэффициента ос оказывают воз-
раст и режим хранения бетона (табл. 33). Водоцементное же отноше-
ние [264] (табл. 33), а также изменение температуры в пределах 4 — 55°
[262] не оказывают заметного влияния на него.
Установлено [299], что коэффициент линейного расширения
ненагруженного и нагруженного бетонов одинаков, практически мало
зависит от вида нагруженного состояния и сохраняется постоянным
длительное время после загружения.
мгомигем} %
Рис. 23. Влияние объемного содержания заполнителя на свойства бетона:
1 - ползучесть, 2 - температурное расширение, 3 - усадка,
4 — область обычного бетона.
173
Таблица 32
Коэффициент линейного расширения некоторых каменных материалов,
применяемых в качестве заполнителей (опыты Келлера)
Материал а -106 град1
Кварц, перпендикулярно оси кристаллов 13,3
Песчаник 12,4
Сланцы 10,1
Известняк 9,1
Гранит 8,1
Кварц, параллельно оси кристаллов 7,9
Кирпич 4,5
Рис. 24. Зависимость коэффициента линейного расширения бетона а б от
коэффициента линейного расширения заполнителя а} [299]:
х-известняк, д - роговик, +-долерит,©-гравий,
• - щебень, □ - кварц-долерит.
174
Из изложенного следует, что в бетоне, даже при равномерном
изменении температуры, неизбежно возникают температурные напря-
жения. Это обусловливается различием в величинах коэффициента тем-
пературного расширения материалов, составляющих бетон.
Температурные деформации и коэффициент линейного расши-
рения цементного камня и бетона при низких отрицательных темпера-
турах экспериментально были изучены В.М. Москвиным и М.М. Кал-
киным [205]. Эти исследования показали, что при изменении темпе-
ратур от -5 до -70°С в бетоне происходят необратимые изменения струк-
туры цементного камня, которые при оттаивании бетона приводят к
значительным остаточным деформациям, тем большим, чем больше
величина водоцементного отношения.
При значительном нагреве бетона происходит так называемая тем-
пературная усадка — необратимая деформация, связанная с дополни-
тельным высыханием цементного камня и его обезвоживанием. Одна-
ко этот вид деформаций не имеет практического значения для обычно-
го бетона при обычных значениях температур. Температурная усадка
велика лишь у жаростойких бетонов, претерпевших значительный ра-
Таблица 33
Влияние возраста и условий хранения на коэффициент линейного
расширения бетона а (в град '-Ю6) (опыты С.Г. Тахтамышева)
Состав бетона (по массе) В/Ц Хранение а 106 град’1
возраст бетона
3-4 сут. 17-18 сут.
1:3,06:4,21 0,64 Горячее 8,8 8,3
0,64 Холодное 9,3 8,7
0,72 Горячее 8,1 8
0,72 Холодное 9,2 9
1:2,58:4,24 0,64 Горячее 8,3 8,2
0,64 Холодное 9,3 9,1
0,72 Горячее 7,8 8,3
0,72 Холодное 9,2 9,3
Примечание. Холодное хранение — влажное хранение при температуре 20°С,
а горячее — влажное хранение при температуре 40°С.
175
зогрев, особенно у бетонов на жидком стекле [201]. Коэффициент
линейного расширения таких бетонов находится в пределах (3,6 —9)- 1О6
град*1, увеличиваясь с повышением температуры у бетонов на порт-
ландском и глиноземистом цементе и уменьшаясь у бетонов на жидком
стекле.
§ VL2. ВОДА В БЕТОНЕ
Классификация влаги во влажных капиллярно-пористых диспер-
сных телах может быть произведена по ряду классификационных при-
знаков: по степени ее подвижности, изменениям кристаллической ре-
шетки материала при дегидратации, изменению физико-механических
свойств материала в зависимости от степени его увлажнения и т.п.
Интересующие нас влажностные деформации бетона связаны с
удалением из него влаги или, наоборот, с увеличением ее содержа-
ния. Эти процессы неизбежно сопровождаются затратой или соответ-
ственно накоплением энергии, зависящей от нарушения или восста-
новления определенных форм связи влаги с материалом. Поэтому в
основу классификации влаги в бетоне должна быть положена интен-
сивность энергии этой связи. Именно по такому принципу построена
схема П.А. Ребиндера [233, 234], согласно которой все формы связи
влаги с материалом делятся на три большие группы: 1) химическую
связь; 2) физико-химическую связь и 3) физико-механическую связь.
Из общего количества воды затворенная в бетоне часть ее пред-
ставляет собой прочно связанную воду с соответствующими химичес-
кими связями. Остальная часть находится в форме различных физико-
химических связей и условно относится к категории свободной воды.
Их соотношение зависит от начального водоцементного отношения,
изменяется с возрастом бетона [299] (рис. 25) и оказывает по мере
высыхания существенное влияние на его свойства.
Химическая связь воды в бетоне осуществляется в точных коли-
чественных соотношениях (стехиометрическая связь) в результате хи-
мической реакции гидратации цемента и образования кристаллогидра-
тов при кристаллизации из пересыщенных растворов. При образова-
нии такой связи определенная часть воды в бетоне исчезает и входит в
состав новых веществ. Количества воды, химически связываемой от-
дельными клинкерными минералами и цементами различного минера-
логического состава, были указаны в § 1.4 и § V.4.
Интенсивность энергии этой формы связи очень велика; она мо-
жет быть нарушена только химическим воздействием или прокаливани-
176
ем. В связи с этим химически связанная, или, как еще говорят, прочно
связанная вода в бетоне в процессах влагообмена с внешней средой не
участвует. Однако при расчете полей влаги в бетоне на основах теории
влагопроводности химическое связывание воды следует учитывать как
распределенный по объему тела внутренний сток влаги, интенсивность
которого зависит от температуры процесса и времени. Один из мето-
дов такого учета изложен в § V.4.
Физико-химическая связь воды в бетоне осуществляется в раз-
личных не строго определенных соотношениях в виде адсорбционной
связи в гидратных оболочках. Она возникает в бетоне вследствие дис-
пергирования и растворения в воде вещества цементных зерен с обра-
Рис. 25. Изменение относительного содержания в бетоне свободной воды
В/Ц и химически связанной воды Вхс/Ц при различных начальных
водоцементных отношениях:
1- В/Ц = 0,65; 2 - В/Ц = 0,45; 3 - В/Ц = 0,25.
177
зованием ионно-дисперсного и молекулярно-дисперсного раствора, а
также в результате адсорбции влаги. Причиной возникновения этой
связи, как в том, так и в другом случае является молекулярное силовое
поле; различие заключается лишь в том, какие из молекул принимают
участие в возникновении этой связи.
При диспергировании и растворении образуются сольватные обо-
лочки вокруг молекул вещества.
При адсорбции связь возникает в результате молекулярного си-
лового поля молекул внешней и внутренней поверхностей мицелл, как
это наблюдается у гидрофильных веществ, или молекул внешней по-
верхности вещества, как это имеет место у гидрофобных веществ.
Вода сольватных оболочек в бетоне находится в свободном состо-
янии и поэтому обладает всеми свойствами обычной воды.
Адсорбционно же связанная вода обладает рядом свойств, отли-
чающих ее от обычной воды, что используется в различных методах ее
количественного определения. К числу этих свойств относятся неспо-
собность к растворению ею электролитов и ряда других, растворимых в
обычной воде веществ, практически равная нулю электропроводность,
удельная теплоемкость меньше единицы, повышенная плотность, в
связи с чем эта вода имеет свойства упруго-твердого тела и ее тонкие
пленки толщиной < 0,1ц обладают расклинивающим действием.
Не вся адсорбционно связанная вода имеет одинаковые свойства.
Наиболее прочно связан мономолекулярный слой воды, свойства ко-
торого в наибольшей степени отличны от свойств обычной воды. Пос-
ледующие слои связанной воды удерживаются с ослабевающей силой и
их свойства постепенно приближаются к свойствам обычной воды.
Толщина такого полимолекулярного слоя адсорбционной воды пример-
но равна нескольким сотням диаметров ее молекул.
К физико-химически, в частности, адсорбционно, связанной
воде относят также цеолитную воду. Цеолитами называют группу ми-
нералов, представляющих собой водные алюмосиликаты кальция и на-
трия. Кристаллические решетки цеолитов состоят из каркасов с полос-
тями, содержащими молекулы воды, слабо связанной с жесткой крис-
таллической основой. При известных условиях вода цеолитов может
удаляться, а затем вновь поглощаться без разрушения кристаллической
структуры. Поэтому содержание воды в цеолитах зависит от температу-
ры и влажности окружающей среды.
Физико-химическая связь, кроме адсорбционно связанной воды,
присуща также осмотической воде. В бетоне, однако, содержание этой
178
воды практически невелико, особенно в его зрелом возрасте.
Поверхность раздела твердой и жидкой фаз в бетоне огромна; по
данным Н.А. Мощанского [206], эта поверхность в свежезатворенной
бетонной смеси выражается цифрой порядка 500 м2/м3. В отвердев-
шем же бетоне годичного возраста, благодаря разрыхлению, она еще
больше и равна около 1 км2/м3. В связи с этим количества адсорбци-
онно связанной воды в бетоне также велики, а их роль в поведении
бетона под влиянием внешних воздействий среды и нагрузки весьма
существенна.
Сведения о количествах физико-химически связанной воды в бе-
тоне ограничены. По данным Г.Н. Сиверцева [249], количество ад-
сорбционно связанной воды цементом за 24 ч составляло 600 — 1700
мг/г. Для бетона же месячного возраста это количество составляет около
50% массы воды затворения [206].
Адсорбционная связь в бетоне относится к числу связей средней
интенсивности, которые могут быть разрушены испарением воды из
сольватных оболочек, десорбцией внешних и межмицеллярных поверх-
ностей и дезадсорбцией. Даже при обычных температурах и влажностях
воздуха при отсутствии гигрометрического равновесия эти процессы
происходят в бетоне сравнительно легко, хотя для этого и требуется
довольно продолжительное время. Таким образом, эта категория фи-
зико-химически связанной воды принимает активное участие во влаго-
обмене бетона с внешней средой.
Физико-механическая связь в бетоне осуществляется в неопреде-
ленных количественных соотношениях. К этой форме связи относится
свободная вода, захваченная в ячейках кристаллизационной структу-
ры, и вода в микро- и макрокапиллярах1.
Структурная связь возникает в бетоне при захвате воды в резуль-
тате образования геля. В этом случае вода удерживается механически,
кроме мономолекулярного слоя, где она связана силами адсорбции.
Эта связь довольно слабая и легко нарушается испарением, отжатием
воды, давлением или нарушением структуры.
Связь в микрокапиллярах возникает в результате непосредствен-
ного соприкасания бетона с водой или поглощения им паров воды из
влажного воздуха и последующей капиллярной конденсацией (сорбци-
онная влажность). В таких капиллярах вода псевдосвязана капилляр-
1 По классификации А.В. Лыкова [178] к микрокапиллярам относятся ка-
пилляры с радиусом менее 10-5 см. Капилляры с бульшим радиусом приня-
то называть макрокапиллярами.
179
ными силами и легко удаляется испарением.
В макрокапиллярах физико-химическая связь возникает только
за счет непосредственного соприкасания бетона с водой. Так как дав-
ление насыщенного пара в таких капиллярах практически равно его дав-
лению над плоскостью, то они не могут сорбировать влагу из воздуха,
и капиллярная конденсация в них не может иметь места. В макрока-
пиллярах вода удерживается механически, за исключением адсорбци-
онно связанных пристенных слоев, и легко удаляется испарением или
искусственным созданием давления больше капиллярного (например,
вакуумированием или центрифугированием).
Проследим теперь за кинетикой высыхания некоторого малого
объема увлажненного цементного камня, достаточно малого для того,
чтобы его высыхание можно было бы считать равномерным по объему.
Испарение влаги из такого объема начинается в первую очередь из круп-
ных пор и капилляров за счет нарушения физико-механических связей
и удаления так называемой свободной воды. Этот процесс не сопро-
вождается изменением объема (усадкой) цементного камня.
После испарения воды из крупных пор и капилляров начинается
ее испарение из микропор и мелких капилляров; прогрессирующе раз-
виваются силы капиллярного сжатия, в связи с чем цементный камень
претерпевает деформацию сжатия. Возникающую вследствие этого усад-
ку мы будем называть капиллярной.
После удаления капиллярной воды начинается удаление струк-
турно связанной и адсорбированной воды. Вначале удаляется вода
структурных ячеек, образованных мельчайшими кристалликами продук-
тов гидратации цемента (субмикрокристалликами геля) и полимолеку-
лярно адсорбированных слоев. Наконец, последней удаляется вода,
адсорбированная в виде мономолекулярных слоев. Дальнейшее высу-
шивание цементного камня возможно только в сушильном шкафу, где
удаляется вода, адсорбированная в щелях молекулярных размеров, об-
разующихся в местах сцепления субмикрокристаллов геля.
Удаление структурно связанной и адсорбированной воды сопро-
вождается значительным сжатием цементного камня. Развивающуюся
при этом усадку называют адсорбционной.
Капиллярная и адсорбционная составляющие усадки бетона со-
ставляют в сумме так называемую влажностную усадку.
Следует различать еще контракционную усадку. Эта составляю-
щая усадки бетона носит физико-химический характер и связана с умень-
шением объема системы «цемент — вода» при возникновении новооб-
разований в процессе схватывания и начального периода твердения бе-
180
тона, имеющих объем, меньший, чем объем исходных продуктов. Кон-
тракционный эффект также связан с физико-химическим процессом
адсорбции воды поверхностью цементных зерен и кристаллов новооб-
разований, при котором происходит уплотнение воды в тонких адсорб-
ционных слоях, а следовательно, и сжатие системы.
Наконец, существует еще карбонизационная усадка, являющая-
ся следствием уменьшения объема затвердевшего цементного камня в
бетоне при разложении находящихся в напряженном состоянии крис-
таллов гидроокиси кальция в результате их химического взаимодействия
с углекислым газом, содержащимся в воздухе. Эта составляющая усад-
ки бетона, таким образом, также носит физико-химический характер.
Необходимым условием для возникновения карбонизационной усадки
является наличие напряженного состояния кристаллов гидроокиси каль-
ция, которое неизбежно возникает в бетоне вследствие влажностной
усадки и действия внешней нагрузки.
Рассмотренная выше схема высыхания цементного камня, ко-
нечно, существенно упрощена. В действительности, особенно в бето-
не, этот процесс протекает значительно сложнее. Некоторые его осо-
бенности мы еще рассмотрим ниже. Сейчас нам важно подчеркнуть
то, что удаление влаги из малых объемов бетона происходит по вполне
четкому закону: вначале удаляется вода, обладающая наименьшей энер-
гией связи, а затем остальные виды воды с очередностью по возраста-
ющей интенсивности этой энергии.
§ V1.3. УСАДКА БЕТОНА
При отсутствии гигрометрического равновесия с воздухом влаж-
ный капиллярно-пористый бетон высыхает, уменьшая свой объем.
Вследствие малости коэффициента диффузии влаги его высыхание про-
исходит неравномерно по объему — в бетоне возникают градиенты влаж-
ности и, даже при отсутствии внешних ограничений деформаций, уса-
дочные напряжения.
Как уже было указано выше, усадка бетона связана с химически-
ми и физическими процессами, происходящими при взаимодействии
цемента с водой, изменением влажности цементного камня при его
высыхании и карбонизацией и слагается из контракционной, влажно-
стной и карбонизационной составляющих. Для оценки сравнительных
величин этих составляющих усадки и их роли в рассматриваемой нами
проблеме обратимся к некоторым экспериментальным данным.
181
Одно из первых изучений контракционной усадки бетона было
проведено Ю.А. Нилендером [211 - 214]. Было установлено, что эта
усадка бетона, называемая им «собственной усадкой», оказалась в
5—10 раз меньше влажностной усадки, связанной с его высыханием.
В зависимости от вида цемента относительные линейные деформации
«собственно усадки» цементного камня через 40 — 50 суток достигали
значения, равного 20 • 10'5, в то время как на открытом воздухе обыч-
ная усадка того же цементного камня составляла от 50 • 10’5 до 107 • 105.
Шпиндель [335], исследуя усадку цементного теста, начиная с
момента его затворения, получил характерные кривые усадки портлан-
дцементов с различной тонкостью помола в первые сутки твердения.
Им было установлено, что большая часть контракционной усадки про-
исходит до конца схватывания цемента; она значительно превышает
усадку за месячный срок твердения, измеряемую на образцах-близне-
цах, начиная с суточного возраста. При этом цементы более тонкого
помола давали большую усадку, чем такие же цементы более крупного
помола.
В американских опытах [297] запаянные образцы из раствора на
различных цементах имели к трем месяцам хранения относительные де-
формации в 3 - 15 раз меньше, чем у образцов-близнецов, высыхаю-
щих на воздухе, и после раскрытия и дальнейшего хранения их на воз-
духе давали значительную относительную усадку, равную (30-55) 10-5.
Интересное исследование контракционного эффекта при
взаимодействии гидравлических вяжущих с водой было проведено
В.В. Некрасовым [208, 209], который установил, что этот эффект
пропорционален степени гидратации цемента. На ход контракции вли-
яют химический состав цемента, степень его измельчения, исходное
соотношение между массами цемента и воды в смеси, а также некото-
рые добавки. В.В. Некрасов считал, что в основном контракционный
эффект имеет чисто химическую природу и связан с образованием си-
ликатов кальция.
Аналогичные опыты были проведены Н.А. Мощанским [206],
который, кроме усадки цементов, изучил также контракцию некото-
рых инертных материалов. Им была установлена контракция таких внеш-
не расширяющихся материалов, как гипс и расширяющийся цемент.
В отличие от В.В. Некрасова Н.А. Мощанский трактует контракцию
цементного теста более глубоко и считает, что она вызывается целым
комплексом физико-химических процессов.
Опытные данные о контракционной усадке массивного бетона
[299] (рис. 26) указывают на ее быстро затухающий характер. Ее вели-
182
чина не превысила 5 • 105, что эквивалентно температурной деформа-
ции бетона при его охлаждении всего на 5°С.
Б.Г.Скрамтаев высказал предположение, что контракционный
эффект должен сопровождаться появлением вакуума в твердеющем
цементном камне и бетоне, и последний действительно был обнаружен
в значительных пределах [252]. В специально поставленных опытах им
было установлено, что наибольшее разрежение достигается за первые 2
— 4 суток твердения и оно тем больше, чем больше тонкость помола
цемента и чем выше его активность.
Подводя итоги сказанному, можно считать, что контракцион-
ная усадка, несомненно, играющая существенную роль в технологии
бетона, не имеет практического значения для рассматриваемой нами
проблемы усадочных напряжений в бетоне. Она, во-первых, мала по
величине сравнительно с влажностной усадкой, во-вторых, развива-
ется в значительной своей части в весьма раннем возрасте бетона, ког-
да последний обладает большой пластичностью, т.е. повышенными
реологическими свойствами. По этой причине усадочные напряжения,
развивающиеся в бетоне в это время, невелики и к тому же с течением
времени значительно релаксируют.
Рис. 26. Контракционная усадка бетона, уложенного в корпус реактора АЭС
Уилфа [299]. Бетон состава 1:1,45:2,95, В/Ц = 0,42 на портланд-
цементе активностью 41,7 МПа на известняке с пластификатором
с расходом 210 см3 на 50 кг цемента. 1 — осредняющая прямая.
183
Влажностная усадка бетона изучалась многими исследователями
и продолжает интенсивно изучаться в настоящее время. Объясняется
это, с одной стороны, сложностью рассматриваемого явления, с
другой стороны, появлением новых сортов вяжущих и видов бетонов,
например мелкозернистых, песчаных бетонов для вибропрокатных
изделий. Установлено, что эта составляющая усадки зависит от мно-
жества технологических и физических факторов, а также среды, в ко-
торой находится бетон.
Высокосортные, тонкомолотые и высокоалюминатные цементы
обладают большой усадкой, особенно в начальный период твердения.
Так, например, в опытах Гленвиля [311] (табл. 34), в которых срав-
нивалась усадка трех сортов цемента, глиноземистый цемент за 7 дней
твердения давал усадку, равную почти 40% полуторагодичной, тогда
как усадка портландских цементов не превышала за это время 8% полу-
торагодичной усадки.
Следовательно, при прочих равных условиях в таком же соотно-
шении примерно находится и усадка бетонов, приготовленных на этих
цементах [206].
Большое влияние на усадку бетона оказывает минералогический
состав цемента. В соответствии со структурной теорией усадки
А.Е. Шейкина [279, 280] последняя тем больше, чем больше объем
геля в единице объема цементного камня и, следовательно, чем мень-
ше объем кристаллического сростка. Отношение между этими струк-
турными составляющими определяется структурным коэффициентом,
величина которого непосредственно зависит от минералогического состава
цемента. Чем меньше для него этот коэффициент, тем при прочих рав-
ных условиях больше усадка бетона, приготовленного на данном це-
менте. Это доказано прямыми опытами.
Таблица 34
Влияние сорта цемента на его усадку
Цемент Усадка цементного раствора в мм/мм • 104 в возрасте
7 дн. 23 дн. 3 мес. 6 мес. 12 мес. 18 мес.
Обыкновенный портландский 2 9 20 25 32 37
Высокосортный 3 10 25 34 38 40
Глиноземистый 16 21 31 36 40 42
184
Рис. 27. Влияние содержания цемента (состава бетона) на усадку бетона.
Бетон 4-суточного возраста к началу высыхани на портландце-
менте
активностью 47,5 МПа, В/Ц = 0,69.
Состав бетона: 1 — 1:2,1:4,9, Ц = 273 кг/м3; 2 — 1:1,68:3,92,
Ц = 319 кг/м3; 3 - 1:1,4:3,27, Ц = 359 кг/м3.
Существенное влияние на величину усадки раствора и бетона ока-
зывает также содержание в них цементного теста (состав бетона). Чем
жирнее раствор или бетон, т.е. чем больше содержится в них цемент-
ного камня, тем выше их влажностная усадка. Весьма показательны в
этом отношении опыты Н.А. Мощанского [206], а также опыты авто-
ра [8] (рис. 27) с бетонными образцами, высыхающими через торцы.
Заполнитель (песок, щебень) уменьшает усадку цементного тес-
та. Хотя сами каменные материалы, применяемые в качестве заполни-
телей, вследствие их пористости обладают определенной способностью
к усадке при высушивании [337], их влажностные деформации зна-
185
чительно меньше, чем у цементного теста, поэтому они оказывают
сдерживающее влияние на усадку бетона, причем степень последнего
существенно зависит от вида заполнителя. Об этом, например, гово-
рят опыты Р. Дэвиса, который сравнивал влияние различных запол-
нителей на влажностные деформации бетона состава 1:2:3 при
В/Ц = 0,9. Во всех образцах мелкая фракция заполнителя состояла
из того же материала, что и крупная, а модуль крупности оставался
постоянным и равным 5,58. Результаты этих опытов приведены в
табл. 35. Обращает на себя внимание малая усадка бетона на гранит-
ном и известняковом щебне по сравнению с бетоном на гравии и
песчанике.
Сдерживающее влияние заполнителя зависит также от его упру-
гих свойств: оно тем сильнее, чем выше его модуль упругости. Это
подтверждается опытами Штутгартской лаборатории с бетонами одно-
го количественного состава, но с применением различных заполните-
лей. Усадка этих бетонов находилась в обратной зависимости к модулю
упругости заполнителя (за исключением базальта) (табл. 36).
Таблица 35
Влияние вида заполнителей на влажностные деформации бетона
Заполнитель Усадка на воздухе в (мм/мм) -105 Набухание в воде в (мм/мм) -105
Гравий 79 7,4
Песчаник 75 5,5
Известняк 39 5
Гранит 37 13,1
Таблица 36
Зависимость усадки бетона от модуля упругости заполнителя
Заполнитель Модуль упругости заполнителя в МПа Усадка бетона в возрасте 60 дней в (мм/мм) • 105
Базальт 101500 39
Доменный шлак 96000 27
Известняк 72100 31
Гранит 16800 49
Пестрый известняк 7100 68
186
На величину усадки бетона оказывает влияние также грануломет-
рический состав заполнителя и, в частности, его модуль поверхности,
так как он обусловливает относительный размер цементной оболочки,
обволакивающей зерна заполнителя. В ряде опытов можно найти под-
тверждение этому обстоятельству [300].
Заметное влияние на усадку цементного раствора и бетона оказы-
вает водоцементное отношение: чем выше В/Ц, тем больше и усадка
этих материалов. Это видно из табл. 37, составленной по данным опы-
тов Карлсона [300] с цементным раствором, и из рис. 28, где изобра-
жены результаты опытов автора [8] с бетонными образцами, высыхаю-
щими через торцы. Характер этой зависимости, по-видимому, связан
с различными прочностью и пористостью у бетонов с разным В/Ц.
Чем выше В/Ц, тем ниже прочность бетона и выше его порис-
тость, тем интенсивнее происходит у него влагообмен с внешней сре-
дой и тем слабее сопротивление кристаллического сростка объемным
изменениям геля. И наоборот, при малых В/Ц больше прочность бето-
на и меньше его пористость, поэтому указанные обстоятельства дей-
ствуют в обратном направлении и усадка его оказывается меньшей.
Возраст бетона к началу высыхания также оказывает значитель-
ное влияние на влажностную усадку. Чем позже начинается высыхание
бетона, тем больше его прочность к этому моменту времени, тем, сле-
довательно, меньше усадка.
Влажностная усадка в значительной степени зависит от масштаб-
ного фактора. В больших образцах или в бетонных конструкциях уса-
дочные деформации оказываются значительно меньшими, чем в малых
образцах, на которых обычно проводят лабораторные опыты. Это под-
тверждается опытами К.С. Карапетяна с бетонами на легких заполни-
телях [ 142], а также специальными опытами автора по изучению влия-
ния масштабного фактора на усадку обычного тяжелого бетона [13]
(рис. 29) на образцах, высыхающих через торцы.
В этих последних опытах было установлено, что усадка малых
образцов не только развивается быстрее, но оказывается и значительно
большей, чем у больших образцов по достижении равновесного состо-
яния сравниваемыми образцами. В этих же опытах по специальной
методике было проведено также сравнительное изучение усадки наруж-
ных и внутренних слоев бетона в образцах, высыхающих через торцы,
причем оказалось, что они больше у наружных слоев не только в любой
момент времени высыхания, но и в конце его. Причины этого рас-
смотрены в работе автора [13].
187
Таблица 37
Зависимость усадки цементного раствора от В/Ц
В/Ц Относительная усадка цементного раствора в мм/мм • 104 в возрасте
35 дней 2 мес. 3 мес. 4 мес.
0,3 75 151 182 200
0,4 104 220 253 285
Рис. 28. Влияние В/Ц на высыхание и усадку бетона. Бетон 4-суточного
возраста к началу высыхания состава 1:2,1:4,9 на портлавдцементе
активностью 47,5 МПа;
1- В/Ц =0,545; 2- В/Ц =0,595; 3- В/Ц = 0,745; 4- В/Ц =0,845.
188
Рис. 29. Влияние на высыхание и усадку бетона:
а—длины образцов одного и того же сечения, высыхающих
через торцы, длиной: 7 — 21 см; 2 — 17,5 см; 3 — 11,5 см;
б—размеров поперечного сечения образцов одной и той же
длины, высыхающих через боковую поверхность, сечением:
4 — 10x10 см; 5 — 7x7 см; 6 — 5x5 см; бетон 4-суточного
возраста к началу высыхания состава 1:2,12:4,9 на портландцемен-
те марки 40 МПа, В/Ц = 0,678 — 0,638.
189
Характер высыхания образцов также оказывает существенное вли-
яние на ход усадки и ее величины. В специально поставленных опытах
автора [14] (рис. 30) было отмечено, что усадка призматических об-
разцов, высыхающих только через боковую поверхность, развивается
интенсивнее и ее величина больше, чем у образцов-близнецов, высы-
хающих только через торцы. Причины такого различия в усадке срав-
ниваемых образцов те же, что и в случае образцов разных размеров.
Большое влияние на усадку бетона оказывает его температура.
Повышение температуры увеличивает коэффициент влагопередачи бе-
тона и, следовательно, интенсифицирует процесс высыхания. При
неравномерном же распределении температуры по объему тела, как это,
например, имеет место при разогреве бетона от экзотермии, к некото-
рому ускорению высыхания проводит также явление термодиффузии
влаги [178]. В конечном счете, все это влечет за собой увеличение
усадки бетона.
Рис. 30. Влияние характера высыхания образцов на усадку бетона. Бетон со-
става 1:2,13:4,9 на портландцементе активностью 40 МПа,
В/Ц — 0,567. Высыхание с 4-суточного возраста:
1 — с боковой поверхности; 2 — через торцы.
190
При высоких температурах в бетоне может произойти разрушение
части кристаллогидратов и его дополнительное высушивание, сопро-
вождающееся увеличением усадки. Особо ведут себя в этом случае жа-
роупорные бетоны, которые при этих условиях обнаруживают значи-
тельную температурную усадку, особенно при первичном нагревании
[203].
Наконец, значительное влияние на усадку бетона оказывает вне-
шняя среда - ее влажность и температура. С уменьшением влажности
воздуха в соответствии с изотермой десорбции (§ V.2) равновесная
влажность бетона снижается, следовательно, суммарные влагопотери
бетона к моменту достижения им равновесного состояния увеличива-
ются, а это, в свою очередь, приводит к увеличению его предельной
усадки. Повышение температуры воздуха действует в том же направле-
нии, так как обычно приводит к уменьшению его относительной влаж-
ности.
Усадка бетона при циклически изменяющихся невысоких поло-
жительных температурах больше усадки при соответствующей средней
постоянной температуре. Так, в опытах А.В. Путанса [229] в диапазоне
температур от 30 до 50°С она была при этих условиях в 2 — 3 раза больше,
чем у бетона с постоянной температурой 40°С, а ее предельная величи-
на уменьшалась с увеличением возраста бетона к началу высыхания.
По своей абсолютной величине влажностная усадка, как прави-
ло, во многом превосходит контракционную усадку. Об этом можно
судить по приведенным выше опытным данным. Она может быть до-
вольно значительной и достигать величины (70 — 100) • 10'5 мм/мм,
как это наблюдалось в опытах П.И. Глужге [119]. В обычных условиях
лабораторных опытов [6, 8, 13] автор также наблюдал большую усадку
исследуемых бетонов, достигающую 70 ♦ 10*5 мм/мм. Поэтому эта со-
ставляющая представляет наибольший интерес для проблемы
усадочных напряжений в бетоне.
Физическая природа влажностной усадки бетона вскрыта недо-
статочно полно. Об этом говорят различные гипотезы о природе объем-
ных изменений цементного камня и бетона, вызванных изменениями
их влажности. Довольно полный обзор этих гипотез и взглядов раз-
личных исследователей на природу усадки дан в монографии З.Н.
Цилосани [278]. Некоторые из исследователей целиком [275] или глав-
ным образом [218, 310] считают основной причиной усадки бетона ка-
пиллярные явления. Другие, отрицая ведущую роль этих явлений,
объясняют усадку бетона иными причинами, носящими физико-хими-
ческий характер. Часть этих исследователей, например, считает основ-
191
ной причиной усадки удаление межкристаллической воды [175, 320, 328],
другая часть [6, 8, 279] - объемные изменения гелевой структурной
составляющей цементного камня, обусловленные изменением содер-
жания в геле связанной силами адсорбции воды, при высыхании бетона.
Ряд исследователей придерживается компромиссных взглядов.
Некоторые из них, разделяя взгляды А.Е. Шейкина, признают в не-
которых случаях ощутимую роль капиллярных явлений [7, 11, 206,
316] и привлекают дополнительно к рассмотрению расклиниваю-
щее и стабилизирующее влияние тонких пленок воды в межзерно-
вом пространстве [206]. Другие [316] объясняют усадку бетона
действием как капиллярных сил, так и сил, возникающих при уда-
лении из цементного теста «межслойной» воды из слоев, образован-
ных между кристаллами новообразований цементного камня.
Рядом работ советских ученых [6, 8, 278, 279 - 281, 288]
доказано, что капиллярная составляющая усадки цементного камня,
связанная с изменениями молекулярного давления лишь вследствие мик-
роскопических искривлений поверхности жидкости на границе раздела
фаз, невелика и носит второстепенный характер. Поэтому капилляр-
ная теория усадки бетона Е. Фрейсине [275] в настоящее время при-
знана несостоятельной.
Наибольшим признанием среди советских специалистов пользу-
ется структурная теория усадки бетона А.Е. Шейкина. Однако, по-
видимому, наиболее полно природа этого сложного явления может быть
раскрыта с дополнительным привлечением к этой теории ряда физико-
химических представлений. Заслуживает внимания механизм влажно-
стной усадки, сформированный на основе анализа богатых экспери-
ментальных данных, в том числе и своих собственных опытов, З.Н.
Цилосани [278].
Карбонизационная усадка изучалась многими исследователями.
Ранние исследования этого явления выполнены Ф.М. Ли [318]. Поз-
же этот вид усадки изучался в ряде работ западных [296, 317, 319, 338]
и отечественных [250, 251] ученых. Наиболее логично физико-хими-
ческая природа этого явления была объяснена Т.С. Пауэрсом [330].
Его причины кратко рассмотрены нами в § VI.2. Величина карбониза-
ционной усадки существенно зависит от размеров образца и может быть
довольно большой. Так, в опытах Вербека [338] она была почти равна
влажностной усадке, а суммарная усадка оказалась примерно в два раза
больше усадки только от одного высыхания. Аналогичные данные со-
общались и рядом других авторов.
Из сказанного следует, что карбонизационная составляющая усад-
ки также имеет значение для проблемы усадочных напряжений. Так
192
как обычно влажностная и карбонизационная усадка в опытах наблюда-
ется одновременно, то имеющиеся экспериментальные данные об усадке
бетона, высыхающего на воздухе, уже относятся к сумме этих ее со-
ставляющих. Поэтому в изучаемом нами случае нет необходимости рас-
сматривать раздельно эти явления и вполне допустимо учитывать лишь
эффект их совместного действия.
§ ¥1.4. НАБУХАНИЕ БЕТОНА
Увлажняясь в результате атмосферных воздействий или прямого
контакта с водой, бетон естественной влажности набухает, увеличивая
свой объем. Вследствие низкого значения коэффициента диффузии
влаги в бетоне его увлажнение, а следовательно, и набухание происхо-
дят неравномерно по объему — в бетоне возникают градиенты влажно-
сти и даже при отсутствии внешнего ограничения деформаций, влаж-
ностные напряжения набухания. Исследование деформаций и напря-
жений набухания имеет большое значение для бетонных конструкций,
в частности гидротехнических, работающих в условиях переменного
влажностного режима. Однако в настоящее время этот вопрос изучен
еще довольно слабо.
Установлено, что набухание бетона, так же как и усадка,
зависит от ряда технологических и физических факторов.
Бетоны на высокосортных тонкомолотых цементах имеют боль-
шие деформации и большую скорость набухания. Здесь мы имеем пол-
ную аналогию с соответствующими закономерностями усадки бетонов
на таких цементах [206, 311].
Известное влияние на набухание бетона оказывает содержание в
нем цементного теста (состав бетона). Чем жирнее бетон, тем больше
его деформации набухания при увлажнении. Это обстоятельство на-
шло свое подтверждение в опытах автора [9] (рис. 31). При этом од-
ним и тем же изменениям относительной влажности у бетонов с малым
содержанием цемента соответствуют большие деформации набухания,
чем у бетонов с большим его расходом. Причиной указанного различия
в деформациях набухания бетонов с разным содержанием цемента
является разница в количестве цементного теста, при которой одно и
то же изменение влажности бетона вызывает разную степень
увлажнения геля: меньшую у бетона с большим содержанием цемента и
большую при его малом расходе. Разным степеням увлажнения геля
соответствуют и разные по величине деформации набухания.
193
Обычные каменные заполнители (гранит, базальт, известняк)
оказывают сдерживающее влияние на набухание бетона, причем сте-
пень последнего существенно зависит от вида заполнителя и его грану-
лометрического состава (см. табл. 35).
Значительное влияние на набухание бетона оказывает водоцемен-
тное отношение. В области не слишком больших В/Ц его набухание
тем больше, чем выше водоцементное отношение, как это, напри-
мер, наблюдалось в опытах автора [9].
Рис. 31. Влияние содержания цемента (состава бетона) на набухание бетона
при его увлажнении. Бетон 98-суточного возраста к началу увлажне-
ния на портландцементе активностью 47,5 МПа, В/Ц = 0,69;
состав бетона: 1 — 1:2,1:4,9, Ц = 273 кг/м3; 2 — 1:1,68:3,92,
Ц = 319 кг/м3; 3 - 1:1,4:3,27, Ц = 359 кг/м3.
194
Причины этого, вероятно, те же, что и в случае усадки бетона.
Характер влияния В/Ц на деформации набухания бетона в этих опытах
был таков, что одним и тем же изменениям влажности образцов на
разных В/Ц при увлажнении соответствовали разные по величине
деформации набухания. Последние были тем больше, чем меньше было
В/Ц. Так, у образцов из бетона с В/Ц = 0,545 при одной из той же
степени увлажнения они в среднем были в два раза больше, чем у об-
разцов из бетона с В/Ц = 0,895. Объясняется это различной пористос-
тью бетонов на малых и больших В/Ц. По-видимому, у бетона с малым
В/Ц, имеющего меньшую пористость, чем бетон с большим В/Ц, одно
и то же изменение влажности в сторону ее увеличения освобождает
большие по величине капиллярные силы, развивающиеся в его порах
при высыхании, и создает более благоприятные условия для набухания
геля. При этом в нем развиваются и значительно большие по величине
деформации набухания.
Продолжительность опыта в сутках
Рис. 32. Влияние возраста бетона на его деформации набухания ен и увели-
чение по массе относительной влажности Д UH при увлажнении:
а — увлажнение начиная с 3-суточного возраста;
б — то же, с 28-суточного возраста.
Примечание. До увлажнения образцы были гидроизолированы от
высыхания.
195
На набухание бетона влияет также его возраст к моменту начала
увлажнения. Чем старее бетон, тем меньше степень его увлажнения и
деформации набухания. Интересно отметить, что молодой бетон, за-
щищенный от высыхания, будучи погруженным в воду, также дает
значительные деформации набухания. Так, например, в опытах Р.
Дэвиса с бетоном на гранитном щебне наблюдалось изменение длины и
массы образцов, погруженных в воду в возрасте двух дней. При этом
их относительное удлинение росло медленно и достигало за шесть меся-
цев хранения в воде величины 14 • 10-5, а увеличение массы составляло
при этом 1,6%, причем значительная доля его происходила в первые
несколько суток после замачивания. Аналогичная картина наблюдалась
и в опытах автора (рис. 32).
Существенное влияние на набухание бетона оказывает масштаб-
ный фактор. Это было подтверждено специальными опытами автора
по изучению этого влияния на влажностные деформации обычного тя-
желого бетона [13] (рис. 33).
Рис. 33. Влияние на увлажнение и набухание бетона длины образцов, увлаж-
няемых через торцы. Бетон 6-месячного возраста к началу увлажне-
ния состава 1:2,12:4,9 на портландцементе активностью 38,5 МПа,
В/Ц = 0,638; длины образцов: 1 — 21 см; 2 — 17,5 см; 3 — 11,5 см.
196
В этих опытах было установлено, что набухание больших образ-
цов не только развивается медленнее, но и оказывается в равновесном
состоянии меньшим, чем у малых образцов-близнецов. Было также
найдено, что набухание наружных слоев бетона при его увлажнении
больше, чем во внутренних слоях, не только в любой момент времени
увлажнения, но и в конце его. Причины этого рассмотрены в работе
автора [13].
По своей абсолютной величине набухание бетона значительно
меньше, чем его усадка. Это видно из результатов опытов Р. Девиса
(табл. 35), в которых величина усадки образцов на воздухе после пред-
шествующего 28-дневного хранения во влажном песке за пол год а их
высыхания в 6 раз была выше их полугодичного набухания в воде, а
потеря массы — в 3 раза большей, чем ее увеличение при хранении в
воде. Об этом говорит также сравнение результатов опытов автора по
усадке и набуханию бетонов, приведенных выше и в § VI.3, а также
некоторые их результаты, обсуждаемые в § VI.6 и § VI.7.
Можно думать, что физическая природа набухания бетона ана-
логична природе его усадки, мало зависит от капиллярных явлений и
связана в основном с набуханием гелевой структурной составляющей
цементного камня при увлажнении. Однако имеются и некоторые су-
щественные различия в физической картине процессов усадки и набу-
хания бетона. Эти различия будут рассмотрены в § VI.7.
§ VI.5. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНА, СВЯЗАННЫЕ С
ЕГО ВЛАЖНОСТНЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ
При изменениях влажности, связанных с нарушением или
отсутствием гигрометрического равновесия с внешней средой, непос-
редственным увлажнением и т.п., бетон претерпевает влажностные де-
формации. Этот вид деформаций неизбежен для сооружений, находя-
щихся на открытом воздухе, гидротехнических конструкций, а также
конструкций отапливаемых гражданских зданий и промышленных
цехов с сухим или, наоборот, влажным климатом.
Появление влажностных деформаций при ограничении переме-
щений конструкций или в связи с неравномерным распределением их
по объему бетона влечет за собой возникновение влажностных напря-
жений, которые часто вызывают появление в нем нежелательных
трещин, например усадочных. В указанном случае влажностные де-
формации бетона слагаются из свободной влажностной деформации,
при известных условиях пропорциональной изменению его влажности,
197
и напряженной деформации, называемой уже собственно влажност-
ными напряжениями.
Для расчета влажностных напряжений и деформаций бетона в
первую очередь необходимо располагать данными о величине его
свободных относительных удельных влажностных деформаций усадки и
набухания. Величины этих деформаций бетона, по предположению
автора [8, 9], принято характеризовать соответственно коэффициен-
том линейной усадки Р и коэффициентом линейного набухания ц,
являющимися аналогами его коэффициента линейного температурно-
го расширения а. мм/мм
Коэффициенты Р и Л имеют размерность и физически
представляют собой относительные деформации бетона в мм/мм, вы-
зываемые изменением его относительной влажности в г/г на единицу,
соответственно при равномерных высыхании (или гигроскопическом
увлажнении) и увлажнении жидкой влагой. Графически эти коэффи-
циенты могут быть интерпретированы как тангенс угла наклона кривых
соответственно усадки или набухания бетона к оси изменений его
относительной влажности на графиках, вычерченных в осях «относи-
тельная деформация (мм/мм) - изменение относительной влажности
(г/г)» (см., например, правые верхние графики на рис. 28, 29 и 31 - 33).
Экспериментально коэффициенты Р и Л у бетона изучены до-
вольно хорошо [8, 9, 18]. Установлено, что величина коэффициента
линейной усадки бетона Р довольно стабильна и у бетонов на одном и
том же цементе мало изменяется при варьировании водоцементно-
го отношения, содержания цемента, начальной влажности бето-
на и его возраста (рис. 34). Это находит свое выражение в том,
что кривые усадки бетона в осях «относительная усадка — умень-
шение относительной влажности» при изменении этих параметров
остаются почти параллельными друг другу (см. рис. 27 - 29). Ко-
эффициент же линейного набухания бетона ц, в отличие от его ко-
эффициента линейной усадки Р , зависит существенно от влажно-
сти бетона и водоцементного отношения, но практически не зависит
от содержания цемента, и его величина значительно меньше величи-
ны Р (рис. 346).
Учитывая малую изменчивость коэффициента Р и еще пока не-
достаточную изученность факторов, влияющих на коэффициент л , на
198
Рис. 34. Влияние на Р и Л возраста бетона и технологических факторов:
а — зависимость Р от В/Ц, содержания цемента (состава бетона) и
возраста бетона; б —зависимость Л от В/Ц и содержания цемента
(состава бетона).
Примечание. На нижнем графике (рис. 34а) значения Р даны в
процентах от величины Р , соответствующей возрасту бетона к началу
высыхания, равному трем суткам.
основании описанных выше опытов можно рекомендовать следующие
средние значения этих коэффициентов для обычного тяжелого бетона:
_ _ ,__э мм/мм _ ,__3 мм/мм
Р = ЗЮ-—; л = 5-103—. (VI.1)
г/г ’ г/г v ’
Этими средними значениями коэффициентов Р и Л и следует
пользоваться при расчете бетонных и железобетонных конструкций на
изменения их влажности.
§ VI.6. ВЛИЯНИЕ ДЛИТЕЛЬНОГО ВНЕШНЕГО НАГРУЖЕНИЯ
НА РЕЖИМ ВЫСЫХАНИЯ И УСАДКУ БЕТОНА
Бетон представляет собой капиллярно-пористое тело, состоящее
из твердого скелета, образованного заполнителями, склеенными це-
ментным камнем, и большого количества пор различных размеров,
образуемых за счет несовершенства уплотнения бетонной смеси при ее
укладке и наличия в ней воды замеса, постепенно расходуемой на гид-
ратацию цемента и испарение. Длительное нарушение гигрометричес-
кого равновесия, вызванное избытком воды, непрерывно поддержи-
199
нлсмое изменениями температуры и влажности внешней среды, при-
водит к развитию в высыхающем бетоне объемных сил, действие кото-
рых сопровождается его усадкой. В тесной связи с усадкой бетона на-
ходится его ползучесть, одной из причин которой служат также явле-
ния, происходящие в высыхающем геле. Эта связь находит свое выра-
жение в зависимости ползучести бетона от его влажности, а также во
1ишянии масштаба образцов на их деформации при одинаковых услови-
ях загружения.
Большое влияние на происходящие в бетоне явления, связанные
с усадкой и ползучестью, оказывает также длительное его нагружение,
которое вызывает изменение плотности бетона, особенно в раннем воз-
расте, вследствие его большой пластичности. При соблюдении извес-
тных условий это приводит к упрочнению бетона — практически важ-
ному обстоятельству, подробно изученному А.В. Саталкиным и Б.А.
Сенченко [248]. Известно также, что коэффициент Пуассона у бетона
существенно возрастает с увеличением напряжений, что объясняется
повышением его поперечной деформативности за счет пор и появле-
ния микротрещин [66 — 68].
Длительное нагружение бетона приводит также к изменению раз-
меров пор в нем, что изменяет режим его высыхания и, следователь-
но, должно влиять на усадку. Между тем часто полагают, что усадка
нагруженного и ненагруженного бетона одинакова. Такое допущение,
например, обычно используют при обработке экспериментальных дан-
ных о ползучести бетона. Специальное экспериментальное исследова-
ние этого вопроса, проведенное автором [7, 11, 14], показало, что
такое предположение неправильно, а ошибки, связанные с ним, су-
щественны, трудно оценимы и переменны по величине.
В этих исследованиях было установлено, что изменения влаж-
ности бетона по мере его высыхания у нагруженных и ненагруженных
образцов-близнецов неодинаковы, что видно из рис. 35, иллюстри-
рующего некоторые результаты этих опытов на образцах, высыхающих
с боковой поверхности.
По оси ординат на этом рисунке отложены превышения измене-
ний относительной влажности длительно нагруженных образцов над ее
изменениями у образцов ненагруженных, найденные непосредствен-
ным определением разности в массах сравниваемых образцов и отне-
сенные к единице приложенных напряжений.
Из рис. 35 следует, что длительно растянутые образцы вслед за
приложением нагрузки во всех случаях высыхали быстрее ненагружен-
ных. При этом, например, у больших нагруженных бетонных образ-
цов превышение изменений относительной влажности над ее измене-
200
ниями у образцов ненагруженных доходило до 5% на 1 кгс/см2 напря-
жений.
Сжатые же образцы вели себя по-разному: малые образцы с боль-
шим модулем поверхности вслед за приложением нагрузки высыхали
медленнее ненагруженных образцов-близнецов; большие же образцы с
малым модулем поверхности, наоборот, высыхали быстрее контрольных
образцов (превышение изменений относительной влажности у них до-
ходило до 2% на 1 кгс/см2 напряжений). Средние образцы занимали
Рис. 35. Сравнительные данные о режимах высыхания нагруженных и ненаг-
руженных образцов: а — растяжение; б - сжатие;
1 — образцы сечением 1x2 см, из раствора состава 1:3 В/Ц = 0,33; 2
- то же, сечением 2,7x2,7 см; 3 - образцы сечением 5x5 см, из
бетона состава 1:2,1:4,9, ВЦ = 0,71.
201
промежуточное положение: вначале сжатые образцы высыхали быстрее
контрольных ненагруженных, а затем медленнее их. Таким образом,
имеется очевидное влияние внешнего длительного нагружения бетон-
ных образцов на режим их высыхания. Причины этого рассмотрены в
работе автора [7].
Поскольку экспериментально доказано, что влажностная усадка
бетона при известных условиях прямо пропорциональна изменениям
его влажности [6, 8], то, следовательно, нагружение бетона оказыва-
ет влияние не только на его высыхание, но одновременно и на его усадку,
увеличивая ее. Это обстоятельство подробно исследовано в работах ав-
тора [7, 11, 14].
§ VL7. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ УСАДКИ И НАБУХАНИЯ
БЕТОНА, СУЩЕСТВЕННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ВЛАЖНОСТНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
Поскольку усадка и набухание являются следствием изменений
влагосодержания в бетоне, для расчета связанных с ними влажностных
деформаций и напряжений необходимо располагать данными о зависи-
мости усадки и набухания бетона от изменений его относительной влаж-
ности. Опыты автора [6, 8, 9], проведенные в этом направлении,
выявили ряд некоторых особенностей влажностных деформаций бето-
на, важных для расчета бетонных и железобетонных конструкций на
изменения их влажности. Изучение этих особенностей стало возмож-
ным благодаря применению новой методики экспериментального изу-
чения усадки и набухания. Эта методика состояла в следующем.
Образцы в виде бетонных призм изготавливались в стальных фор-
мах. После распалубки, обычно в возрасте 2 суток, в течение которых
образцы хранились укрытыми влажными опилками, они гидроизоли-
ровались по боковой поверхности нитрокраской и парафином. Далее на
них устанавливались рычажные тензометры на двух взаимно противо-
положных гранях на базе, практически равной длине образца. Для этого
использовались специально втопленные в образцы металлические пла-
стинки. Торцы образцов в течение всего опыта оставались открыты-
ми, поэтому их высыхание или искусственное увлажнение проходило
только через торцы. Таким образом, в опыте искусственно создавались
направленные (осевые) высыхание или увлажнение образцов.
Такая методика выгодно отличается от обычно применяемой ме-
тодики изучения деформаций бетона на образцах, подверженных все-
202
стороннему высыханию или увлажнению. Осевые высыхание и увлаж-
нение образцов исключают неравномерное распределение влажности по
их сечению, возникающее при всестороннем высыхании или увлажне-
нии, которое сопровождается развитием напряженных деформаций,
накладывающихся на «чистые» деформации усадки или набухания и за-
темняющих их* .Кроме того, она также почти исключает влияние
случайных кратковременных колебаний влажности воздуха в помеще-
нии. Происходит это потому, что эти колебания, обычно имея малую
длину волны, при гидроизолированной боковой поверхности образца
проникают в него лишь на незначительную глубину со стороны откры-
тых торцов, малую, сравнительно с его длиной.
Наконец, что также важно, гидроизолированный с боков обра-
зец моделирует пластины и плиты, а также поверхностные слои мас-
сивных сооружений, у которых преобладают потоки влаги в одном на-
правлении.
Образцы систематически взвешивались на весах с точностью до
0,01 г для определения изменений в массе вследствие высыхания или
увлажнения. Одновременно с точностью (0,5 + 1) • 105 по тензометрам
велись наблюдения за их относительными деформациями. Высыхание
образцов происходило в естественных условиях, для чего образцы хра-
нились подвешенными и взвешивались на весах в таком же положе-
нии. Увлажнение образцов выходило за границы гигроскопической
влажности бетона, как это, например, имеет место в сооружениях,
соприкасающихся с водой, и осуществлялось с помощью ватных фити-
лей через торцы призм.
Для феноменологической теории усадочных напряжений и де-
формаций бетона большое значение имеет выяснение зависимости между
усадкой бетона и уменьшением его влажности при высыхании. Эта за-
висимость устанавливает связь между изменениями поля влажности бе-
тона и поля его усадочных деформаций и без нее нельзя перейти к рас-
чету усадочных напряжений.
Графически рассматриваемая зависимость изображается экспери-
ментальными кривыми свободной, не стесненной усадки бетона при
его одномерном (см. выше) высыхании в осях: «Изменения относи-
тельной влажности — относительная усадка». Учитывая большое практичес-
1 При осевых высыхании или увлажнении образца в нем возникает неравно-
мерное распределение влажности лишь вдоль его продольной оси. Связан-
ные с этим влажностные напряжения имеют второй порядок малости по
сравнению с напряжениями, появляющимися при всесторонних высыха-
нии или увлажнении.
203
кое значение этих кривых, необходимо иметь единую методику их пост-
роения. Практически эти кривые имеют вид S-образных кривых, по-
добных изображенным на рис. 36 и относящимся к одному из бетонов,
исследованных в опытах автора. Такой вид кривых усадки не случаен.
После установки на высыхание бетонного образца, достаточно
влажного для того, чтобы в его порах имелась свободная вода, и имею-
щего температуру, равную температуре окружающего воздуха (сухого
термометра), начинается процесс влагообмена с внешней средой. Вна-
чале, интенсивно испаряясь, удаляется свободная вода, причем зона
ее испарения постепенно проникает в глубь образца. Испарение сво-
бодной воды не сопровождается усадкой бетона, однако, при этом его
температура в зоне интенсивного испарения снижается до температуры
мокрого термометра, и образец в этой зоне, а также на близлежащих
участках, куда проникает волна охлаждения, претерпевает температур-
ное сокращение. Этот процесс, протекающий во времени, связан с
одновременным изменением массы образца и соответствует начально-
му восходящему участку на кривой его деформаций.
После того как в зонах, прилегающих к открытой поверхности
образца, свободная вода испарится, бетон этих зон постепенно прини-
Рис. 36. Кривые зависимости усадки бетона от влагопотерь образцов во время
их осевого высыхания. Призмы 5x5x11,5 см из бетона на мелком
щебне состава 1:2,1:4,9 на портландцементе активностью 47,5 МПа,
В/Ц = 0,74; возраст бетона к началу высыхания: 1 — 3 суток;
2 — 7 суток; 3 — 14 суток; 4 — 28 суток.
204
мает температуру сухого термометра, претерпевая при этом темпера-
турные расширения. Этот процесс соответствует нисходящему участку
на кривых усадки (рис. 36). Развивающееся вслед за этим дальнейшее
высыхание образца связано уже с испарением адсорбированной воды
геля и сопровождается интенсивной усадкой бетона, накладывающей-
ся на предшествующие деформации и дающей резко выраженную вос-
ходящую ветвь на кривой усадки.
В том случае, когда начальная влажность бетона такова, что в
нем нет запаса свободной воды, кривые усадки не имеют ни S-образ-
ного вида, ни начального участка практически нулевой усадки. В этом
случае кривая усадки начинается с начала координат и последняя одно-
значно связана с изменением влажности бетона. Это подтверждается
экспериментами автора [8] и видно, например, на кривых усадки, изоб-
раженных на рис. 37 и относящихся к подсушенным призмам.
Интересны в этом отношении также опыты Менцеля [329], ре-
зультаты которых изображены на рис. 38. Кривые усадки на этом ри-
сунке относятся к образцам, изготовленным из цементного теста, раз-
бавленного порошкообразным кремнеземом в различных соотношени-
ях: от чистого цемента до смеси из 25% цемента и 75% кремнезема.
Образцы выдерживались в течение недели при температуре 2 ГС.
Как видно из рисунка, усадка образца из чистого цемента с само-
го начала прямо пропорциональна влагопотерям, что указывает на то,
что в этом образце практически отсутствуют поры и капилляры и, сле-
довательно, нет и свободной воды.
При наибольших содержаниях кремнезема вид кривой усадки ясно
указывает на наличие пор и свободной воды в образце. По мере увели-
чения содержания кремнезема, по этой причине, кривые усадки все
более и более принимают указанный выше S-образный вид. К концу
периода высыхания образцов приращения удельной усадки, т.е. усад-
ки, отнесенной к единице массы потерянной влаги, у всех образцов
одинаковы.
В раннем возрасте бетона восходящий начальный участок на кри-
вых усадки бетона может быть полностью погашен или даже перекрыт
деформациями температурного расширения, связанными с экзотерми-
ческим разогревом образца (см., например, кривую усадки на рис. 36,
относящуюся к началу высыхания образца в 3-дневном возрасте).
Как следует из рис. 36, температурные деформации на на-
чальном периоде удаления из бетона свободной воды невелики. В опи-
сываемых опытах они не превышали (1 — 2)10*5 мм/мм при общей
усадке порядка (50 — 75)-10 5 мм/мм, поэтому практически их можно не
205
принимать во внимание.В соответствии с этим, имея в виду «чистую»
усадку, не затемненную этими температурными деформациями, сле-
дует за начало этой усадки принимать момент, соответствующий наи-
низшей точке начальной нисходящей ветви на кривой усадки (рис. 36).
Приняв за нуль отсчета усадки деформацию образца в этот мо-
мент времени, мы будем иметь кривую чистой усадки бетона, анало-
гичную кривым, изображенным на рисунках в § VI.3. При этом мы
получим, что до этого момента времени удаление свободной воды не
сопровождается усадкой бетона, что согласуется с современными пред-
ставлениями о ее физической природе.
Рис. 37. Влияние начальной влажности бетона на его усадку при высыхании.
Бетон состава 1:2,1:4,9 на портландцементе активностью 47,5 МПа,
В/Ц = 0,545;
1 — подсушенный бетон; 2 — бетон естественной влажности;
3 — бетон, вымоченный в воде.
206
Рассмотренный прием и
был положен в основу обработ-
ки экспериментальных кривых
усадки в опытах автора, обсуж-
даемых в настоящей работе
(рис. 27 - 30, 37).
Исследования влажност-
ных деформаций бетона, про-
веденные автором по описан-
ной выше методике, свидетель-
ствуют о необратимости в ши-
роком смысле слова объемных
изменений бетона при его по-
вторных попеременных высы-
ханиях и увлажнениях. Харак-
тер этой необратимости усадки
и набухания бетона в условиях
осевых сушки и увлажнения
образцов весьма типичен.
На рис. 39 изображены
гистерезисные петли влажнос-
тных деформаций бетона, на-
блюдавшиеся в опытах автора,
имеющие характерный арфооб-
Рис. 38. Экспериментальные кривые за-
висимости усадки от влагопотерь
цементного камня с различным
содержанием (в процентах по
массе) тонкомолотого кремнезема.
разный вид, и типичные кривые изменений во времени его относи-
тельной влажности и относительных деформаций. Поскольку увлажне-
ние бетона во времени протекает значительно быстрее его высыхания,
кривые изменений влажности и деформаций образцов на рис. 39 изоб-
ражены с использованием переменного масштаба по оси времени с уве-
личением его на отрезках оси, соответствующих увлажнению образца.
Интересно отметить, что при повторных циклах высушивания и
увлажнения бетона его деформации постепенно затухают, что
проявляет себя в последовательном уменьшении длин ветвей усадки и
набухания образца на рис. 39. Это связано с изменением структуры и
физико-механических свойств бетона во времени при его старении и в
первую очередь с развитием упругой кристаллической составляющей це-
ментного камня и старением геля, с одной стороны, и уменьшением
его пористости — с другой. Описываемые опыты начинались с 4-суточ-
ного возраста бетона, поэтому эти изменения были существенными,
особенно на первом цикле высушивания.
207
Рис. 39. Кривые деформаций бетона и изменений его влажности при попере-
менных высушиваниях и увлажнениях. Восходящие ветви — усадка
(высыхание); нисходящие — набухание (увлажнение). Бетон состава
1:2,1:4,9 на портландцементе активностью 47,5 МПа, В/Ц = 0,545.
Так как степень увлажнения образца в опыте превышала началь-
ную естественную влажность бетона после распалубки, то нисходящие
ветви набухания на рис. 39 пересекают вертикаль его начальной влаж-
ности и значительные участки этих ветвей расположены слева от нее.
Одной из причин наблюдаемого гистерезиса влажностных дефор-
маций является неоднозначная зависимость усадки и набухания бетона
от изменений его влажности. Эта неоднозначная зависимость между
деформациями бетона, связанными с его высыханием или увлажнени-
ем, и наблюдаемыми при этом изменениями его относительной влаж-
ности видна на рис. 37, относящемся к случаю усадки бетонных призм-
близнецов, имеющих различную начальную влажность в условиях их
осевой сушки при гидроизолированной боковой поверхности.
Из рис. 37 следует, что при достаточно большой начальной влаж-
ности влагопотери образцов в начале высыхания не сопровождаются
208
усадкой. Усадка начинает развиваться лишь по достижении влагопоте-
рями определенных значений, тем больших, чем больше начальная
влажность призм. Следствием этого является неоднозначная зависи-
мость усадки бетона от уменьшения его относительной влажности: од-
ному и тому же по величине уменьшению влажности образцов-близне-
цов — вымоченных, естественной влажности и подсушенных соответ-
ствуют разные по величине деформации усадки. Наоборот, одна и та же
усадка у них является следствием различных изменений относительной влаж-
ности — больших у вымоченных призм, меньших у призм естественной влаж-
ности и еще меньших у призм подсушенных. Эта неоднозначность объясня-
ется тем, что в начале высыхания влажного бетона сначала удаляется свобод-
ная вода из крупных пор цементного камня, что не вызывает усадки отвер-
девшего бетона [6, 8, 279], только после потери всей или большей части
свободной воды в образце начинаются высыхание и объемные изменения
геля, сопровождающиеся усадкой бетона.
Второй, не менее важной причиной гистерезиса влажностных
деформаций бетона является существенное различие в физической кар-
тине процессов его усадки и набухания и связанные с этим различие в
величинах коэффициентов линейной усадки и линейного набухания.
При высыхании бетона в малых объемах из него вначале удаляет-
ся в основном вся свободная вода, обладающая меньшей энергией свя-
зи, чем связанная вода геля [6, 8, 279]. Удаление воды геля в зонах,
прилегающих к открытой поверхности высыхания, задерживается тран-
зитом свободной воды из внутренних более влажных зон бетона, по-
этому высыхание геля начинается лишь после ее удаления.
При набухании же бетона процесс увлажнения раздваивается.
Наряду с транзитом жидкой свободной воды в его внутренние более
сухие зоны происходит увлажнение геля в зонах, лежащих на ее пути,
сопровождающееся переходом части этой свободной воды в связанную
воду геля.
В соответствии с изложенным деформации бетона при высыха-
нии и увлажнении не могут быть обратимы, так как кривая его усадки
соответствует изменениям влажности, связанным лишь с потерей свя-
занной воды геля при его высыхании после предшествующего удаления
свободной воды, в то время как кривая набухания соответствует изме-
нениям влажности, связанным как с увлажнением геля, так и с одно-
временно происходящим заполнением пор бетона свободной водой.
Следствием изложенного является существенное различие в кривых
набухания и усадки бетона.
209
Если типичная кривая усадки высыхающего бетона представляет
собой монотонную кривую, являющуюся прямой линией, за исключе-
нием небольшого начального участка, то типичная кривая набухания
бетона при увлажнении имеет более сложное очертание. Для нее харак-
терны пологий начальный участок, которому, как правило, предше-
ствует некоторый участок почти нулевых деформаций набухания, и кру-
тая восходящая ветвь в конце увлажнения после изменения знака кри-
визны кривой (рис. 40).
Помимо необратимости процессов усадки и набухания бетона в
координатах «изменение влажности - деформации» имеет место также
необратимость этих процессов во времени. Это находит свое выраже-
ние в том, что время увлажнения и набухания бетона неизмеримо мало
по сравнению со временем его высыхания и усадки. Так, в описывае-
мых опытах первое из них составляло не более 10 суток, в то время как
второе достигало почти трех месяцев. Такое различие во времени дос-
тижения равновесного состояния при высыхании (усадке) бетона и его
увлажнении (набухании) объясняется указанным выше существенным
различием в физической картине усадки и набухания.
Рис. 40. Кривые деформаций и изменений влажности бетона при одномерных
(осевых) высыхании и увлажнении образцов. Бетон состава 1:2,1:4,9
на портландцементе активностью 47,5 МПа, В/Ц = 0,545;
1 — усадка (высыхание) начиная с возраста 4 суток; 2 — набухание
(увлажнение) после предшествующего высыхания.
210
При длительном цикле попеременных повторных высушиваний
и увлажнений постепенно уменьшаются по величине и стабилизируют-
ся во времени не только деформации бетона, но и наблюдаемые при
этом изменения его влажности. Это говорит о том, что наряду с изме-
нением механических свойств бетона во времени происходит также и
изменение его физических свойств, т.е. структуры. Таким образом,
по мере старения бетона меняется не только характер его пористости,
но и количественное соотношение между содержанием в единице объе-
ма его гелевой и кристаллической структурных составляющих.
Изучение особенностей усадки и набухания бетона позволяет сде-
лать ряд некоторых общих выводов, важных для теории влажностных
напряжений. Прежде всего, мы уже видели выше, что деформации
бетона, связанные с изменением его влажности, необратимы в широ-
ком смысле этого слова. Такая необратимость деформаций существен-
но затрудняет установление аналитической связи между полями изме-
нения влажности бетона и влажностных деформаций, или напряжений
в нем, особенно при его попеременных периодических высыханиях и
увлажнениях, на широком диапазоне изменения влажности. Между
тем эти процессы не только протекают в бетоне под влиянием атмос-
ферных воздействий, но часто являются обычными для работы конст-
рукций, как это, например, имеет место в зонах переменных уровней
гидротехнических сооружений, цехах с мокрой технологией, а также в
периодически наполняемых водой и опоражниваемых конструкциях (ем-
кости, шлюзы, доки и т.п.).
С другой стороны, неучет такого характера деформирования бе-
тона при изменениях его влажности может привести к ошибочным рас-
четным значениям деформаций и напряжений от усадки или набуха-
ния. Поэтому эффективная теория влажностных напряжений в бетоне
должна отражать в какой-то мере эти особенности действительной кар-
тины его усадки и набухания.
Выше мы видели, что лишь часть полных изменений влажности
бетона, связанная с уменьшением влажности собственно геля, сопро-
вождается его усадкой. Изменение же влажности бетона за счет умень-
шения лишь содержания в нем свободной воды усадки не вызывает.
Поскольку усадка бетона при достаточно большой его начальной
влажности начинается лишь после некоторого начального высыхания,
необходимо сосредоточить внимание на том значении эффективной
влажности бетона, начиная с которого в нем развивается усадка. Эф-
фективной влажностью бетона U3 мы будем называть часть его полной
влажности, представляющую собой меру содержания в нем адсорбци-
211
онно связанной воды геля, удаление которой сопровождается его усад-
кой. Остальная часть полной влажности бетона представляет собой меру
содержания в нем свободной воды, удаление которой не вызывает его
усадки.
Если назвать предельную величину эффективной влажности бе-
тона, при которой гель имеет максимальную степень увлажнения при
отсутствии в бетоне свободной воды, критической влажностью бетона
UKp, то тогда можно сказать, что усадка бетона связана лишь с измене-
ниями его эффективной влажности, меньшей ее критического значе-
ния UKp. А эти изменения влажности бетона уже будут однозначно свя-
заны с его усадкой.
Величины изменений эффективной влажности в опытах, резуль-
таты которых изображены на рис. 27 - 29 и им подобных, равны вели-
чинам проекций кривых усадки на ось изменений относительной влаж-
ности бетона. При полном высушивании бетона до нулевой влажности
предельные величины этих проекций численно будут равны критичес-
кой влажности бетона.
Величина критической влажности бетона зависит от сорта цемен-
та, водоцементного отношения, содержания цемента (состава бетона)
и его возраста. Данные проведенных экспериментальных исследова-
ний показывают, что величина критической влажности бетона возрас-
тает с ростом В/Ц и содержания цемента в линейной зависимости при-
мерно на 15% на каждые 25 кг цемента в кубическом метре бетона и
каждую 0,1 В/Ц (рис. 41). Поэтому для ее определения для условий,
близких к условиям опыта, автором была предложена формула
UKp=W7o+kU;p, (VI.2)
учитывающая влияние на критическую влажность бетона указанных па-
раметров, а также масштабного фактора [13].
Здесь W70 — расчетная равновесная влажность бетона в конструкции,
соответствующая относительной влажности воздуха 70%,
равная 0,0125 г/г для немассивных конструкций и 0,00625
г/г для массивных конструкций;
U*p ~ расчетная избыточная сверх равновесной влажности W70
критическая влажность бетона, равная 0,01 г/г для немас-
сивных конструкций и 0,005 г/г для массивных конструк-
ций;
к — коэффициент, определяемый по табл. 38 в зависимости
от класса бетона по прочности на сжатие.
212
Для конструкций средней массивности величины W70 и на-
ходятся по интерполяции.
В зависимости от модуля поверхности, открытой для высыха-
ния, т[м '] (отношения поверхности элемента, открытой для высыха-
ния, к его объему) бетонные и железобетонные конструкции могут быть
разделены на: а) массивные конструкции m < 2; б) конструкции сред-
ней массивности 2 < m < 15 и в) конструкции немассивные m < 15.
Таблица 38
Зависимость коэффициента к в формуле (VI.2) от класса бетона
Класс бетона В10 В15 В20 ВЗО В40 В50 В60
к 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1
Рис. 41. Зависимость от содержания цемента (состава бетона) и В/Ц.
Естественное высыхание на воздухе с относительной влажностью 70%
до равновесной влажности W. Бетон 4-суточного возраста к началу
высыхания, на портландцементе активностью 47,5 МПа. Состав бето-
на: на верхнем графике — для отдельных групп экспериментальных
точек (слева направо) 1:2,1:4,9; 1:1,68:3,92; 1:1,4:3,27, на нижнем
графике — 1:2,1:4,9.
213
Итак, пути развития эффективных методов расчета влажностных
напряжений в бетоне, отражающие рассмотренные выше особенности
его усадки и набухания, состоят, во-первых, в учете указанной нео-
днозначной зависимости усадки бетона от изменений его влажности с
помощью введения в рассмотрение эффективной и критической влаж-
ностей и, во-вторых, в использовании разных по величине коэффи-
циентов линейной усадки и линейного набухания бетона (§ VI.5).
Располагая данными о критической влажности бетона, а также
величинами коэффициентов его линейной усадки Р и линейного набу-
хания Л, всегда можно уже определить предельные расчетные свобод-
ные влажностные деформации и перемещения бетонных и железобе-
тонных элементов, необходимые для расчета влажностных усилий и
напряжений в статически неопределимых конструкциях. Эти линей-
ные относительные деформации усадки прямолинейного элемента е*
при заданной относительной влажности воздуха Ф будут равны1
(VI.3)
где W9 — расчетная равновесная влажность бетона в г/г, соответствую-
щая относительной влажности воздуха Ф.
Учитывая, что по линейной интерполяции
W„=W70^, (VI.4)
и внося (VI.2) и (VI.4) в (VI.3), имеем
W70( 1—-|+kU*
70 J “₽
(VI.5)
Для расчета свободных линейных относительных деформаций на-
бухания бетона е ((t) с учетом зависимости коэффициента линейного
набухания от влажности может быть предложена следующая формула
U(t)
s„(0= - Jn(U)AJ.
Uo
(VI.6)
Если в качестве t](U) принять его некоторое среднее значение, то
формула (VI.6) принимает вид [9]
1 Для того чтобы в последующем получить знак плюс у растягивающих уса-
дочных напряжений, деформации укорочения от усадки здесь и в дальней-
шем считаются положительными, а деформации удлинения от набухания,
по аналогии, — отрицательными.
214
eH(t)= -n[U(t)-U0]. (VI.7)
По аналогии мотуг быть получены и общие формулы для дефор-
маций (перемещений) от усадки и набухания бетона для плоской систе-
мы, составленной из брусьев или плит. Эти формулы приведены в
главе XIII.
При ограничении изменений длины элемента в рассмотренных
выше случаях в нем могут возникнуть упругие влажностные напряже-
ния усадки
Ео (VI.8)
или набухания U(l)
oH(t)= -E(t) Jn(U)dU; (VI.9)
и.
<’„(0=-n[U(t)-Uo]E(t). (VI. 10)
В действительности же за счет ползучести бетона величины этих
напряжений существенно снижаются (см. главы X и XI), поэтому при
их расчете учет ползучести бетона обязателен. Методы учета ползучести
бетона при расчете температурных и влажностных напряжений изложе-
ны в главе X.
Наиболее часто встречаются случаи неравномерного изменения
температуры и влажности бетона по сечениям элементов конструкций.
Определение температурных и влажностных напряжений в этом случае
требует привлечения методов теории упругости.
Однако в подавляющем числе случаев железобетонные статичес-
ки неопределимые конструкции представляют собой либо стержневые
системы, составленные из брусьев (неразрезные балки, рамы сборных
промышленных цехов и т.д.), либо пространственные конструкции,
составленные из плит, с расчетными схемами в виде плоских элемен-
тов, работающих по схеме стержневых конструкций (туннельные кон-
струкции, многопролетные покрытия и т.д.). Для определения темпе-
ратурных и влажностных деформаций (перемещений) и нормальных
напряжений (усилий), действующих в подобных конструкциях в сече-
ниях, перпендикулярных продольной оси их элементов, можно вос-
пользоваться гипотезой плоских сечений. Основанные на этом допу-
щении методы расчета упругих температурных напряжений в бетонных
брусьях разработаны Г.Н. Масловым [189, 191]. В дальнейшем мы
воспользуемся ими, распространив их на расчет влажностных деформа-
ций (перемещений) и напряжений (усилий) и обобщив их на случай
учета ползучести бетона.
215
ГЛАВА VII.
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
§ VIL1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
По современным воззрениям, бетон представляет собой упруго-
вязкопластичный материал, поведение которого при быстром
(мгновенном) загружении подчиняется обобщенному закону
Гука. При длительном же действии нагрузки проявляются его реологи-
ческие свойства, т.е. способность к неупругим, лишь частично обрати-
мым при разгрузке деформациям ползучести.
Явление ползучести бетона впервые было обнаружено русским
инженером И. Самовичем в 1885 г., который при постройке Севасто-
польского порта, производя испытания бетонного свода, установил,
измерил, а затем и описал увеличение его прогиба с течением времени
под постоянной нагрузкой [245]. Свод загружали песком, чугунными
балясинами и цепями в два этапа с длительными выдержками нагруз-
ки, после чего он был разгружен и затем повторным нагружением до-
веден до разрушения. На втором этапе загружения при шестидневной
выдержке нагрузки, близкой к повторной разрушающей, вследствие
ползучести бетона прогиб свода возрос на 4 мм. После разгрузки свода
была зафиксирована необратимость его прогиба, т.е. деформаций пол-
зучести.
На способность бетона к неупругим деформациям значительно
позже обратил внимание также Консидер [301] при исследовании де-
формаций бетона при растяжении в условиях непродолжительной вы-
держки нагрузки. Одновременно Вулсон [341] описал увеличение во
времени прогибов под нагрузкой испытанных им железобетонных ба-
лок. Это свойство бетона он назвал «flow», т. е. течением или ползу-
честью, ставшим затем обычным термином в литературе. Некоторое
время этому свойству не придавалось практического значения, но ин-
терес к нему продолжал расти и вскоре после ряда разрозненных экспе-
риментальных работ начинается систематическое и всестороннее иссле-
дование влияния различных факторов на ползучесть бетона.
В СССР впервые опыты по изучению ползучести бетона были
проведены в 1931 — 1933 гг. Ю.А. Нилендером [211], Я.В. Столяро-
вым [262] и С.И. Дружининым [124].
216
Широкое развитие получили исследования по ползучести бетона
в военные годы и особенно в послевоенный период. Именно в это
время большой группой советских ученых разработана, развита и усо-
вершенствована оригинальная, хорошо экспериментально обоснован-
ная и наиболее эффективная отечественная линейная и нелинейная те-
ория ползучести бетона — теория упруго-ползучего тела (наследствен-
ная теория старения), имеющая уже ряд различных разновидностей.
В настоящее время число публикаций по ползучести бетона,
включая специальные монографии, огромно. Отсылая поэтому чита-
теля к прежним обзорам советских ученых: автора [18], автора и П.И.
Васильева [35], Н.Х. Арутюняна [50, 51], В.М. Бондаренко [82], А.А.
Гвоздева [111, 112], И.Е. Прокоповича [225], И.И. Улицкого [269],
З.Н. Цилосани [278] и зарубежных исследователей: Гансена [105], Лер-
мита [175], Митцеля [324], а также Невилля [325, 326], в настоящем
обзоре рассмотрим лишь новые наиболее важные результаты экспери-
ментальных исследований ползучести бетона, выполненные в СССР и
в последние годы. В обзоре не рассматривается ползучесть жаростой-
кого бетона при повышенных и высоких температурах, различных раз-
новидностей легких и ячеистых бетонов, а также полимерных и поли-
мерцементных бетонов в виду наличия в литературе соответствующих
самостоятельных обзоров, а также специфичности свойств этих специ-
альных бетонов.
Физическая природа ползучести бетона в настоящее время не рас-
крыта полностью, и существуют различные взгляды на сущность этого
явления.
Ряд авторов (Е. Фрейсине, В. Гелер и др.) объясняют ползу-
честь бетона действием сил капиллярного давления. Некоторые иссле-
дователи считают главной причиной ползучести бетона механическое
вязкое выдавливание под нагрузкой жидкой влаги из структуры цемен-
тного камня (Р. Дэвис, Р. Лермит и др.).
Другие отдают предпочтение вязкому течению под нагрузкой геля
- одной из структурных составляющих цементного камня (А. Невилль,
И.И. Улицкий, А.Е. Шейкин и др.).
Следующая группа исследователей объясняет ползучесть бетона,
главным образом, пластической деформацией его кристаллической
структуры, особенно в зрелом возрасте (А.К. Малмейстер, А.Я. Сто-
ляров и др.).
Наконец, имеется группа ученых, которые связывают ползучесть
бетона с неизбежным непрерывным возникновением и развитием в нем
микротрещин и других микродефекгов (Д. Глюклих, О.Я. Берг).
217
Существуют и компромиссные взгляды, при которых считается,
что ползучесть бетона является следствием ряда причин в их различных
сочетаниях. Например, К.С. Карапетян считает, что при низких на-
пряжениях ползучесть бетона является следствием вязкости гелевой со-
ставляющей цементного камня и капиллярных явлений. При высоких
напряжениях кроме этих причин существенную роль играют уже обра-
зование и развитие микротрещин в бетоне. Относительная же роль этих
причин в процессе ползучести бетона зависит от ряда факторов: уровня
напряжений, возраста бетона, температуры и влажности внешней сре-
ды и т.д.
Автор, А.А. Гвоздев, И.Е. Прокопович и ряд других исследова-
телей придерживаются таких же взглядов, но считают важным также и
изменение влажности геля в процессе его высыхания и особенно вслед-
ствие механического воздействия длительно приложенной нагрузки.
Хороший обзор существующих взглядов на физическую природу
ползучести бетона дан в работах А. Невилля [326] и З.Н. Цилосани
[278]. Проанализировав многочисленные опытные данные по ползу-
чести бетона и своих собственных опытов с цементно-песчаным раство-
ром, последний пришел к выводу, что ползучесть бетона определяется
главным образом постепенным возникновением и развитием микро-
трещин и разрывов в кристаллизационной структуре бетона и межкри-
сталлическим вязким течением. Остальные из рассмотренных выше
факторов носят сопутствующий характер.
Ползучесть бетона может оказывать как положительное, так и
отрицательное влияние на работу бетонных и железобетонных конст-
рукций. Она приводит к значительному снижению напряжений в бето-
не, вызываемых вынужденными деформациями (температурные и влаж-
ностные деформации, осадки опор и т.п.), а иногда к выгодному пере-
распределению этих напряжений. В железобетонных конструкциях она
отделяет момент образования трещин и помогает статически неопреде-
лимым конструкциям более спокойно переносить воздействия темпера-
туры, влажности, осадки опор и изменения усилий, связанные с их
искусственным перераспределением. Вместе с тем ползучесть бетона
приводит к увеличению во времени деформаций конструкций под на-
грузкой, например, прогибов плит, балок и особенно внецентренно
сжатых гибких элементов, к снижению их устойчивости, перегрузке
облицовок колонн, стен и т. д. Вследствие ее возникают нежелатель-
ные потери напряжений в арматуре предварительно напряженных
железобетонных конструкций или искусственно созданных усилий
218
обжатия бетона, например, в гидротехнических конструкциях и соору-
жениях.
Проведенными экспериментальными исследованиями установле-
но, что на значение деформаций ползучести влияют: свойства и соот-
ношение по массе исходных материалов, методы укладки и обработки
бетонной смеси; размеры образцов; температура и влажность окружаю-
щей среды и самого бетона; значение напряжений и вид напряженного
состояния; возраст бетона в момент загружения, длительность загруже-
ния; изменения упругих и прочностных характеристик бетона во времени, а
также ряд других обстоятельств. Обычно наблюдается суммарное влия-
ние этих факторов, что значительно усложняет изучение процессов,
происходящих в бетоне при длительных воздействиях.
Установлено, что на ползучесть бетона существенное влияние
оказывает ряд технологических и физико-механических факторов, а
также среда, в которой он находится. Результаты опытов Глэнвилля
[311] и Росса [331] указывают на то, что деформации ползучести пос-
ледовательно возрастают, если применять цементы в такой последова-
тельности: глиноземистый, высокосортный портландский, обыкновен-
ный портландский. Это объясняется тем, что бетоны на высокосорт-
ных цементах имеют большую начальную прочность; с другой сторо-
ны, эти цементы имеют повышенное содержание минералов С3А и
C4AF, что приводит к увеличению содержания кристаллической
структурной составляющей в единице объема цементного камня в бетоне [279,
246] и, в свою очередь, к его большей сопротивляемости деформациям.
С увеличением В/Ц ползучесть бетона при прочих равных услови-
ях возрастает [302]. Объясняется это тем, что при увеличении В/Ц гель,
разжижаясь, становится менее вязким и его содержание в единице объе-
ма бетона возрастает, бетон же становится менее прочным, а следова-
тельно, и более деформируемым. При прочих равных условиях (в осо-
бенности при равных В/Ц) ползучесть бетона возрастает также с ростом
содержания цемента [308]. Таким образом жирные бетоны, имеющие
большее содержание цементного теста в единице объема, имеют боль-
шую ползучесть, чем тощие. При одинаковом же составе бетона и про-
чих равных условиях, но разных В/Ц более пластичные бетоны обнару-
живают большую ползучесть, чем менее пластичные.
Значительное влияние на ползучесть бетона оказывает вид запол-
нителя — чем жестче последний, тем меньше ползучесть бетона [303].
Могут быть, однако, и исключения из этого правила, так как на пол-
зучесть бетона существенное воздействие оказывают гранулометричес-
кий состав заполнителя, его пластические свойства, а также способ-
ность к водопоглощению и адсорбции (рис. 42) [299].
219
Пожалуй, наиболее важным фактором, влияющим на ползучесть
бетона, являются условия его загружения. Степень изученности явле-
ния ползучести бетона в различных условиях загружения неравнозначна.
Наиболее полно изучена ползучесть в условиях одноосного на-
пряженного состояния при действии постоянных во времени напряже-
ний: при сжатии, растяжении, чистом изгибе и кручении. Менее ис-
следована ползучесть при действии ступенчато изменяющихся напря-
жений одного знака как в области сжатия, так и в области растяжения,
а также при знакопеременных ступенчатых воздействиях. Мало иссле-
дована ползучесть бетона при переменных непрерывно изменяющихся
но времени напряжениях, особенно достигающих высокого уровня.
Совершенно недостаточно изучена ползучесть при сложном напряжен-
ном состоянии, в том числе при сложном нагружении.
Рассмотрим вначале некоторые наиболее важные результаты ис-
следований деформаций бетона при одноосном нагружении, проведен-
ных в последние годы.
Деформации бетона, вызываемые напряжениями, принято де-
лить на упруго-мгновенные деформации и деформации ползучести.
Несмотря на широкое применение этой терминологии, существует не-
которое различие в ее понимании, а также неодинаковое истолкование
опытных данных. По мнению ряда экспериментаторов, мгновенные
деформации линейно связаны с напряжениями и соответственно мо-
дуль упруго-мгновенных деформаций не зависит от значения и знака
напряжений. Другие же исследователи также на основании результа-
тов опытов пришли к обратному выводу. Указанное различие в резуль-
татах опытов, вероятно, обуслов-
лено методическими причинами.
По-видимому, под упруго-
мгновенными следует понимать де-
формации, развивающиеся под
действием статической нагрузки с
весьма большой скоростью. При
этих условиях многие эксперимен-
Рис. 42. Влияние заполнителя на
свойства бетона:
а — объемного содержания
V3 на предельную деформа-
цию ползучести бетона еб;
б — модуля упругости Е3 на
модуль упругости бетона Еб.
а.)
о----------------
о 4^ с* Ь*
£3 C*f**M7*J
220
таторы при первичном нагружении получили значение модуля упруго-
мгновенных деформаций, не зависящее от напряжений. В тех же слу-
чаях, когда загружение велось непрерывно, но сравнительно медлен-
но, особенно до высоких напряжений, некоторую долю быстро натека-
ющих деформаций ползучести иногда относят к упруго-мгновенным де-
формациям, что приводит к криволинейности диаграммы сжатия. В
этом случае пользуются понятием «начального» модуля упругости бето-
на. Представляется более обоснованной первая из упомянутых выше
трактовок.
В опытах для выделения упруго-мгновенных деформаций обыч-
но пользуются ступенчатым нагружением с выдержками на каждой сту-
пени нагрузки. Деформации, натекающие за время выдержек этих сту-
пеней, относят к быстронатекающим деформациям ползучести, а воз-
никающие в момент приложения каждой ступени — к упруго-мгновен-
ным деформациям. При этом обычно удается получить линейную за-
висимость между напряжениями в широком диапазоне их уровней и
упруго-мгновенными деформациями (рис. 43) и таким образом опре-
делить истинное значение модуля упруго-мгновенных деформаций бе-
тона. При быстрой разгрузке образца, ранее воспринимавшего отно-
сительно высокие напряжения сжатия, диаграмма разгрузки становит-
Рис. 43. Зависимость упругих деформаций бетона от относительного уровня
о
напряжений 7 [41, 42];
Кпр
Tj — возраст бетона, сут. к моменту загружения; IV — VI — серии
опытов.
221
ся криволинейной в зоне малых напряжений, т. е. модуль упруго-мгно-
венных деформаций при разгрузке может зависеть от напряжений. Это
обстоятельство объясняется частичным нарушением структуры бетона
при высоких напряжениях.
Многие исследователи считают, что на упруго-мгновенные де-
формации влияет предыстория деформирования, однако к количествен-
ной оценке этого явления они подходят неоднозначно. Одни считают,
что предшествующее напряженное состояние снижает модуль упруго-
мгновенных деформаций, по мнению других, - оно не влияет на него,
а по данным третьих, - повышает его. Например, в опытах Л.П. Ма-
каренко и Е.М. Бабича [56] при загружении бетона в молодом возрасте
и последующем длительном воздействии сжимающих напряжений, не
превышающих 0,75Rnp, его модуль упруго-мгновенных деформаций за-
метно возрастал. Наибольшее повышение этого модуля наблюдалось
при длительном действии напряжений, равных 0,4Rnp, и чем меньше
был возраст бетона к началу загружения, тем большим был этот эф-
фект.
Эффект уплотнения бетона при его длительном сжатии, начиная
с молодого возраста, наблюдался также еще в ранних опытах А. В. Са-
талкина и Б.А. Сенченко [248].
В связи с этим в литературе имеются попытки [171] учета влия-
ния предыстории деформирования на модуль упруго-мгновенных де-
формаций путем представления его в виде функций двух переменных:
времени наблюдения t и текущего возраста бетона т Е = Е (г,т)что при-
водит к искажению закона деформирования бетона под действием на-
пряжений о(т).
В связи с отсутствием достаточного количества необходимых
опытных данных в приложениях современной теории ползучести пока
еще не учитывается влияние предыстории деформирования на модуль
упруго-мгновенных деформаций, который считается лишь функцией
возраста бетона Е (т).
Увеличение модуля упруго-мгновенных деформаций с возрастом
бетона происходит весьма интенсивно в течение первых 7 — 15 сут. В
дальнейшем этот процесс почти прекращается. В возрасте 3 — 6 мес.
значение этого модуля может достигать 30 - 50 ГПа, что значительно
превышает его нормированные значения. Для описания зависимости
модуля упруго-мгновенных деформаций бетона от его возраста при изо-
термических условиях используют различные эмпирические формулы.
222
Наиболее часто применяемой из них является формула Н.Х. Арутюня-
на [49]
Е(т) = Ео(1-0е~ах), (VII.1)
где Ео, а, 0 — параметры, подбираемые из опыта.
Более точной аппроксимации экспериментальных кривых можно
достигнуть, введя в формулу (VII.1) два экспоненциальных члена. Ана-
логичные зависимости могут быть предложены и для G (т) и v. (т); од-
нако следует помнить, что из трех функций Е (т), G (т) и Vj (т) только
две можно выбрать в качестве независимых, третья будет выражаться
через них с помощью выражения (VI 1.2).
При кратковременном нагружении бетона его деформации при
прочих равных условиях зависят от скорости нагружения. Это подтвер-
ждается опытами М.С. Боришанского и Е.А. Троицкого [84, 267], а
также исследованиями О.П. Квирикадзе [153]. По этой причине ве-
личина модуля упругости бетона также зависит от скорости его нагру-
жения и убывает с уменьшением последней. Поэтому упругие дефор-
мации бетона линейно связаны с напряжениями лишь при достаточно
быстром загружении. В связи с этим в теории ползучести бетона гово-
рят о модуле «упруго-мгновенных» деформации, т.е. деформаций,
развивающихся при весьма быстром его нагружении.
При этих условиях упругие деформации бетона при сжатии и ра-
стяжении [89, 90, 152, 225, 284], а также сдвиге и кручении [73,
144] линейно зависят от величины напряжений, модули продольных
упруго-мгновенных деформаций при сжатии и растяжении равны меж-
ду собой
Есж(т) = Ер(т) = Е(т)
и между модулем упруго-мгновенной деформации сдвига G (т), моду-
лем упруго-мгновенной продольной деформации Е(т) и коэффициен-
том упруго-мгновенной поперечной деформации v, (т) существует обыч-
ная связь[49]
Е(т)
G(T)=^M (vn.2)
В дальнейшем для сокращения записи вместо терминов «модуль
упруго-мгновенной деформации» и «коэффициент упруго-мгновенной
поперечной деформации» мы будем применять всюду термины «модуль
упругости» и «коэффициент поперечной деформации», имея в виду
соответствующие упруго-мгновенные деформации.
На скорость изменения модуля упруго-мгновенных деформаций
223
бетона в молодом возрасте значительно влияет температура твердения.
Как показали анализ экспериментальных данных и теоретические ис-
следования кинетики процесса гидратации, в интервале температур 5 —
50°С это может быть учтено, по предложению П.И. Васильева и Ю.И.
Кононова заменой в формуле (VII. 1) действительного времени приве-
денным [95]
t
1„рИв = /нЕ[Т(г)Ь,
где t - время;
Т - температура;
Fe - эмпирическая функция температуры, удовлетворяющая
3F
условию -yjr > fe(tc ) = 1 (Тс — некоторая постоянная
температура сравнения, при которой t = t).
Заметим, наконец, что, согласно современной терминологии,
среду с возрастающим во времени модулем упруго-мгновенных дефор-
маций подобно тому, как это происходит в бетоне, можно рассматри-
вать как гипоупругую. Для таких сред, в том числе и бетона, автор [18]
предложил определение удельной упруго-мгновенной деформации в форме
£ynp(t) E(t)
и удельной деформации ползучести (меры ползучести), включающей
необратимую часть гипоупругих деформаций, в виде
c*(t,t)=c(t,t)+-!-----------------------—,
E(t) E(t)
где C(t,x) мера ползучести в трактовке Н.Х. Арутюняна [49].
Деформации ползучести бетона при постоянных напряжениях, в
свою очередь удобно делить на быстронатекающие деформации ползу-
чести за время выдержек на ступенях загружения образцов и медленно
натекающие деформации ползучести, развивающиеся с момента дос-
тижения полной нагрузки на образец.
Для теории ползучести важно выявить степень влияния конечно-
го относительного уровня напряжения n(Ti) = при быстром сту-
Rnp(Tl)
пенчатом загружении образцов на значение быстронатекающих дефор-
224
маций ползучести в разных возрастах бетона. В ряде опытов [41, 42,
261] установлено, что эти деформации в сумме могут составлять около
30% деформаций ползучести, измеренных к концу опыта при длитель-
ном загружении бетона. Тем не менее, часто эти быстронатекающие
деформации не учитываются, например при расчете потерь предвари-
тельного напряжения в арматуре, а также в релаксационных задачах те-
ории ползучести. Если эти деформации не включать в общее значение
полных деформаций ползучести при высоких уровнях напряжений, то
степень нелинейности деформаций ползучести значительно снижает-
ся, а характер деформирования бетона искажается. Совершенно оче-
видно, что это может привести к существенным ошибкам.
E(tyfM7%z • - По опытам НИ ИГ
Ety,M7a.
зчо* Г
г-/о*/} ।
Ii i । ।
Е^ЕЧО^Сьё0’03*)
/82 27 Ь
z Efr;=3-1O'(1-Ofkc'O'aer)
j- — j
I I
• - По'опытам ЛИИЖ\Т
I|
i
_L
ЗбОдн.
“7
I
I
I
I
, 7 /428 56 /82 274 360дм.
Е(Т)> Vrb. —[-----------------,--------------•
I . J - I I
I I • - //el опытам Днепрцстроя ।
7/428 56 182 274 ЗБОдн.
71428 58
* - По опытам Шенка
I____________|_
/82 274
I
I
___L
360дн.
Рис. 44. Кривые изменения во времени модуля упругости бетона по данным
различных опытов.
225
Автором и В.В. Соломоновым [43,45,261] были изучены характер и
степень изменения быстронатекающих деформаций ползучести при различ-
ных конечных относительных уровнях напряжений сжатия и различной степе-
ни интенсивности загружения бетона в разных возрастах. Несмотря на то,
что образцы загружались в разных возрастах и имели соответственно разную
продолжительность загружения, их быстронатекающие деформации ползу-
чести при напряжениях с одинаковым конечным относительным уровнем
G(Tj)
R ( ) оказались практически равными по значению. Некоторые от-
клонения от их среднего значения носили случайный характер и не превыша-
ли 10% (рис. 45). Следовательно, значение быстронатекающих деформаций
ползучести бетона можно считать не зависящим от его возраста, а зависящим
только от значения реализуемого начального относительного уровня напря-
жений. Эго наблюдалось также и при обработке результатов ранее проведен-
ных опытов автора, Н.А. Колесникова и О.М. Попковой [38, 39, 41, 42].
В этих же опытах была отмечена также существенная нелинейность быстро-
натекающих деформаций ползучести (рис. 46).
Т.Г. Чернояровой был изучен вопрос о влиянии на значение дефор-
маций ползучести методики приложения нагрузки к образцу: ступенями или
всей сразу. В опытах часть образцов загружалась ступенями с выдержкой на
них по 3 мин., а другая часть образцов—всей сжимающей нагрузкой прибли-
зительно за 30 с. Результаты этих опытов (рис. 47) показали, что значение
деформаций ползучести практически не зависит от способа загружения об-
разцов.
Однако методика непрерывного загружения образцов до задан-
ного уровня напряжений не позволяет выделить из общей полной их
деформации отдельно упруго-мгновенную деформацию, а следователь-
но, и определить ее модуль, а также быстро- и медленнонатекающие
деформации ползучести, и потому не рекомендуется для применения.
В то же время разделение полной деформации на указанные ее состав-
ляющие крайне важно, так как бетон по отношению к ним ведет себя
по-разному и поэтому они по-разному учитываются в интегральных
уравнениях теории.
С момента окончания загружения образца развивающийся во вре-
мени процесс ползучести бетона протекает при постоянных напряже-
ниях. Часть деформаций ползучести, соответствующую этому периоду
времени, называют медленнонатекающими деформациями ползучес-
ти. Такое разделение деформаций ползучести на быстро- и медленно-
развивающиеся деформации не строго, так как скорость деформаций
226
Рис. 45. Деформации ползучести бетона, натекающие за время выдержек при
ступенчатом загружении образцов-близнецов в разных возрастах до
о
одинакового конечного относительного уровня напряжений r [43, 45];
пр
а-------= 0,75 ; б-----= 0,6 ; т- — возраст бетона, сут. к моменту
К пр Rnp
загружения.
227
Относительный уровень напряжений Ы^лр
Рис. 46. Зависимость быстронатекающих деформации ползучести бетона от
относительного уровня напряжений [38, 39, 41, 42];
1 — возраст бетона т, к моменту загружения 7 сут.; 2 — то же, 36
сут.; 3 — то же, 57,5 сут.; 4 — то же, 14 сут.; 5 — то же, 75 сут.; 6 —
то же, 83 сут.
Относительные деформации ползучести
Продолжительность наблюдения t-z,, сут.
----- — ступенчатое загружение с
мин).
Рис. 47. Влияние на значение
деформации ползучес-
ти способа загружения
образцов до одинаково-
го начального уровня
о
напряжения Л = ——
^пр
(опыты Т.Г. Чернояро-
вой); а — деформации
в ранние моменты вре-
мени после загруже-
ния; б — то же, в пери-
од, значительно удален-
ный от момента загру-
жения; 1—т|(т1) = 0,6
2 - т)(т,) = 0,3
(------непрерывное
загружение примерно
за 30 с;
тержкой на ступенях нагрузки 3
228
ползучести меняется непрерывно и начальная фаза процесса ползучес-
ти (в пределах суток) также характерна относительно большими скоро-
стями ползучести. Поэтому часто деформации ползучести, развиваю-
щиеся в пределах первых суток после загружения, также причисляют к
быстронатекающим. Однако указанное разделение деформаций ползу-
чести на отдельные составляющие, подчиняющиеся различным зако-
нам, весьма удобно и используется в некоторых вариантах теории упру-
го-ползучего тела.
Полные деформации ползучести при постоянных напряжениях,
представляющие собой сумму быстро- и медленнонатекающих дефор-
маций, нелинейно зависят от действующих напряжений, начиная с их
самых низких уровней. Это неоднократно отмечалось рядом исследова-
телей [152, 195, 196], но наиболее полное подтверждение получило в
опытах автора и О.М. Попковой [41, 42]. Семейства кривых полных
деформаций ползучести, отнесенных к единице абсолютного значения
напряжений, т. е. удельных по отношению к ним деформаций ползу-
чести (мер ползучести) C(o,t,x), имеют характерный вид (рис. 48).
Соответствующие кривые зависимости деформаций ползучести, нате-
кающих за равные промежутки времени, от уровня напряжений
o(Tj)
R изображены на рис. 49.
Из рис. 48 и 49 следует, что деформации ползучести нелиней-
ны, начиная с самых низких уровней нагружения. Степень их нели-
нейности особенно велика в моменты времени, близкие к началу заг-
ружения образцов. Через некоторое время кривые удельных деформа-
ций ползучести становятся практически параллельными, т.е. прира-
щения деформаций начинают уже линейно зависеть от действующих
напряжений.
В опытах Н.И. Катина [152], О.Я. Берга и Ю.Н. Хромца [71],
а также О.Я. Берга и А.И. Рожкова [70] интервал времени, за кото-
рым практически устанавливается параллельность кривых ползучести,
был тем больше, чем выше уровень напряжений в образце. В некото-
рых работах этот момент времени назван моментом перехода нелиней-
ной ползучести в линейную. Эта трактовка неверна, так как установле-
ние линейности приращений деформаций вовсе не означает установле-
ния линейной зависимости между самими деформациями ползучести и
постоянными напряжениями сжатия. Наличие же параллельности кри-
вых ползучести через некоторое время после загружения не исключает
229
необходимости учета нелинейности деформаций йолзучести, так как
начальная их нелинейность продолжает сильно влиять на соотношение
ординат кривых ползучести при разных уровнях напряжений на всем
последующем периоде наблюдения. Это видно из графиков, приве-
денных на рис. 50 и соответствующих данным рис. 48, на которых
9050‘7
6-0,30 Rnp
О’-0,50 Rnp
§
* 10
§ Я
§ ТО-ИР #
I»-
% оо-
р\ . I
50'ИГ1^ У
Ц-----г—
50-------
20-------
10-------
А_____I—
ЗОНТ1 ю
10
kO 50 60. 70 60 90 100 110 120 130
90 100 110 120 150
ПО 130
20 30 оо
50 90.
10 20 30 00 50о 60 70 80 90 1OQ 110 120 150
возраст бетона в сутках к моменту наблюдения
I
Рис. 48. Влияние начального уровня напряжений °/КПр на ползучесть бетона
при сжатии [42].
Бетон состава 1:2,17:3,81 В/Ц — 0,66 на портландцементе активно-
стью 32,6 МПа;
-----— экспериментальные кривые;-------теоретические кривые,
рассчитанные по методике автора [42]; Tj — возраст бетона к началу
загружения.
230
показаны кривые отношений удельных деформации ползучести при раз-
ных уровнях напряжений к удельным деформациям ползучести, соот-
ветствующим минимальному в опыте уровню напряжений, равному
0,lRnp. Характер этих графиков указывает также на отсутствие аффин-
ного подобия кривых удельных деформаций ползучести, так как кри-
вые, показанные на рис. 50, не параллельны оси абсцисс. Это обсто-
ятельство учитывается в некоторых вариантах теории ползучести бетона.
В связи с нелинейностью ползучести бетона наряду с деформа-
Начальный относительный уровень напряжений
Рис. 49. Зависимость деформаций ползучести, натекающих за равные проме-
жутки времени, от начального уровня напряжении <yRnp [41, 42];
т( — возраст бетона к началу загружения.
231
циями ползучести, отнесенными к единице абсолютных значений на-
пряжений (т(Т|), представляют также большой интерес и деформации
ползучести, отнесенные к единице начального относительного уровня
напряжении W' R . Эти последние удельные по отношению к
1](т,) деформации ползучести изучены в опытах автора и В.В. Соломо-
нова [43, 44] и на их основе первым из указанных авторов построена
своеобразная линейная и нелинейная теории ползучести [19]. Оказа-
лось, что эти деформации практически не зависят от возраста бетона,
г.е. инвариантны относительно начала загружения. Результаты указан-
ных опытов приведены в статье Н.Х. Арутюняна и автора [53].
В теории ползучести бетона особое внимание уделяется изуче-
нию процесса деформирования бетона при длительных постоянных во
времени нагрузках. Это связано с тем, что при установлении анало-
гичной связи между переменными напряжениями, изменяющимися во
времени по различным законам, и деформациями ползучести бетона
используется представление о его деформациях при постоянных (еди-
ничных) напряжениях в условиях простого одноосного сжатия (растя-
жения), выражаемых при помощи меры ползучести С (t,x). Для оцен-
ки и теоретических обобщений результатов этих исследований важное
значение приобретает вопрос о соотношении деформаций ползучести
бетона при сжатии и растяжении. Сведения по этому вопросу, имею-
щиеся в литературе, недостаточно полны для их сравнительного анали-
за и противоречивы по своим выводам.
Так, А.В. Саталкин [247], проводя исследования на неизолиро-
ванном бетоне, загруженном в возрасте 7 сут., установил, что при чис-
ленно одинаковых напряжениях ползучесть при растяжении примерно
в пять раз больше, чем при сжатии. В случае же напряжений, состав-
ляющих одинаковую долю предела прочности (при ст = 0,5Rp в растяну-
тых образцах и ст = 0,5 Rnp в сжатых), было отмечено, что ползучесть
при сжатии уже значительно больше, чем при растяжении. В опытах
П.И. Васильева [90], Дютрона [308], Дэвисов и Брауна [305] ползу-
честь при растяжении также превышала ползучесть при сжатии, при-
чем существенная начальная разница между деформациями ползучести
при растяжении и сжатии при численно одинаковых напряжениях со
временем уменьшалась. В опытах на изолированных образцах из це-
ментно-песчаного раствора Н.И. Катин [152] получил при численно
равных напряжениях меру ползучести при растяжении на 20 — 30% боль-
232
Отношение C(tS) при различных 6 * С (t/c) при 6~0,!Ялр
Рис. 50. Изменение отношений удельных де-
формаций ползучести при разных на-
чальных уровнях напряжений к
удельным деформациям ползучести
при минимальном в опытах началь-
ном уровне напряжений o/Rnp = 0,1
[41, 42].
ше, чем при сжатии. Нако-
нец, следует указать, что в
опытах Глэнвилля и Томаса
[313, 314], а также А.Е.
Шейкина и В.Л. и В.Л.
Николаева [284] при числен-
но одинаковых напряжени-
ях мера ползучести бетона
при растяжении оказалась
практически равной мере
ползучести при сжатии.
Противоречивость при-
веденных эксперименталь-
ных данных о соотношении
деформаций ползучести бе-
тона при одноосных сжатии
и растяжении объясняется
значительными методичес-
кими трудностями, возни-
кающими при проведении
подобных экспериментов.
Действительно, большин-
ство из этих опытов прово-
дилось на неизолированном
от высыхания бетоне, что,
как показано в работе [14],
приводило к различным по-
грешностям при действии
длительной сжимающей и
растягивающей нагрузок.
Кроме того, при испытани-
ях на растяжение в образцах
действуют сравнительно не-
большие напряжения, вслед-
ствие чего й значения изме-
ряемых деформаций ползу-
чести также невелики. С дру-
гой стороны, при проведе-
нии опытов на неизолиро-
ванных образцах приходит-
233
ся учитывать усадочные деформации бетона, которые могут быть зна-
чительно больше деформаций ползучести.
В этих условиях при нахождении деформаций ползучести как раз-
ности между значениями полных и усадочных деформаций отыскивают
малые разности двух больших чисел, а это, согласно известному поло-
жению теории ошибок, может привести к большим погрешностям.
Исследования последних лет, проведенные по более тщательной
методике на изолированных от высыхания бетонных образцах, что ис-
ключало погрешности, связанные с неаддитивностью ползучести и усад-
ки бетона [31, 32] (рис. 51), свидетельствуют о том, что при численно
равных или близких по абсолютному значению напряжениях разных
знаков деформации ползучести при растяжении значительно больше (в
среднем в 1,5 — 2 раза), чем при сжатии. Это объясняется тем, что при
прочих равных условиях степень деструктивных изменений в бетоне при
длительном растяжении больше, чем при сжатии. В этих опытах сразу
после загружения образцов примерно равными напряжениями (в пре-
делах первой недели наблюдения) удельные деформации ползучести при
растяжении были значительно большими, чем при сжатии. Однако в
последующем при длительном нахождении образцов под нагрузкой это
превышение уменьшилось и после месячного пребывания их под дей-
ствием постоянных напряжений разных знаков находилось в пределах
1,15 — 1,7. Это согласуется с результатами опытов, Н.И. Катина [152],
проведенных на изолированных от высыхания призмах из цементно-
песчаного раствора, у которых при численно равных напряжениях мера
ползучести при растяжении была на 20 — 30% больше, чем при сжатии.
Исследования К.С. Карапетяна и Р.А. Котикяна [148] показа-
ли, что превышение меры ползучести бетона при растяжении над ме-
рой ползучести при сжатии зависит от масштаба образцов и возрастает
с увеличением размеров их поперечного сечения (у гидроизолирован-
ных образцов влияние масштабного фактора было менее ощутимым).
Кроме того, оно зависит также и от направления усилия по отношению
к слоям бетонирования и больше тогда, когда усилие направлено пер-
пендикулярно к этим слоям.
В опытах автора и В.Я. Багрия [31, 32] при сжимающих напря-
жениях, примерно равных 0,4Rnp, больших растягивающих напряже-
ний, примерно равных 0,7Rp, мера ползучести при сжатии была уже
равной или несколько большей, чем при растяжении (рис. 52).
При более высоких сжимающих напряжениях наблюдается суще-
ственная нелинейность деформаций ползучести [41, 42], поэтому де-
формации ползучести бетона, отнесенные к единице напряжений, ста-
новятся уже значительно большими, чем при растяжении.
234
Рис. 51. Ползучесть бетона при сжатии и растяжении численно равными по-
стоянными напряжениями [32] (при сжатии о = 1,068 МПа =
0,07 Rnp; при растяжении о = 1,032 МПа = 0,64Rp).
Рис. 52. Ползучесть бетона при сжатии и растяжении при неодинаковых постоян-
ных напряжениях [32] (сжимающие напряжения в пределах (0,38 —
0,41) Rnp; растягивающие напряжения в пределах (0,65 — 0,71) Rp).
235
Из изложенного вытекает, что при расчете бетонных конструк-
ций (когда недопустимо появление трещин), работающих при низких
напряжениях в зоне сжатия (например, случай внецентренного сжатия
с двузначной эпюрой напряжений), более правильно исходить из нера-
венства мер ползучести - меньшей при сжатии и большей при растяже-
нии. В этом случае бетон следует рассматривать как тело с различными
мерами (характеристиками) ползучести при сжатии и растяжении.
Для численно неодинаковых по абсолютному значению напряже-
ний, больших при сжатии и меньших при растяжении, соотношение
между удельными деформациями ползучести при сжатии и растяжении
зависит от относительного уровня напряжений сжатия, т.е. от степени
нелинейности деформаций ползучести. Оно может быть больше и мень-
ше единицы в зависимости от соотношения абсолютных значений на-
пряжений сжатия и растяжения. Для сравнительно высоких напряже-
ний сжатия, соответствующих эксплуатационным значениям напряже-
ний в конструкциях, т.е. в общепринятых границах практически ли-
нейной ползучести, ползучесть бетона при сжатии и растяжении мож-
но считать одинаковой и вводить в расчет меру (характеристику) ползу-
чести бетона, равную его мере (характеристике) ползучести при сжа-
тии, найденную при напряжениях, близких к (0,4 — 0,5) Rnp.
Особым является случай высоких напряжений о > 0,5Rnp в сжа-
той зоне элемента конструкций, при котором также следует исходить
из неравенства мер (характеристик) ползучести, но обратного характе-
ра, учитывать нелинейность деформаций ползучести при сжатии и при-
менять аппарат нелинейной теории ползучести.
В исследованиях последних лет почти с исчерпывающей полно-
той изучен вопрос о деформациях бетона при его разгрузке, т.е. упру-
гом последействии бетона. Вопрос этот весьма важен для теории пол-
зучести, поскольку ее основные разновидности в той или иной форме
исходят из принципа наложения воздействий, в соответствии с кото-
рым деформации образцов, подвергнутых ступени разгрузки или дог-
рузки, считаются одинаковыми и равными деформациям образца-близ-
неца, впервые загружаемого той же ступенью нагрузки.
Упругое последействие, по существу, представляет собой обрат-
ную ползучесть под действием растягивающих напряжений, возникаю-
щих после разгрузки в геле в связи с предшествующим перераспределе-
нием усилий между ним и кристаллическим сростком, с одной сторо-
ны, и заполнителем — с другой.
236
При определении деформаций упругого последействия необхо-
димо учитывать нарастание деформаций ползучести неразгруженных
образцов-близнецов за соответствующий промежуток времени от мо-
мента разгрузки, т.е. отсчет удельных деформаций последействия в
соответствии с принципом наложения воздействий производить от про-
должения кривых удельных деформаций ползучести как бы неразгру-
женного образца-близнеца.
На значение деформаций упругого последействия, подсчитан-
ных таким образом, существенное влияние оказывает возраст бетона к
моменту разгрузки образцов, ранее загруженных в одинаковом возрас-
те. Деформации упругого последействия образцов, разгруженных в
более раннем возрасте, больше, чем образцов, разгруженных в более
позднем возрасте. Характерно, что в призмах, загруженных в разных
возрастах, но разгруженных одновременно, через некоторое время удель-
ные деформации упругого последействия оказываются практически рав-
ными.
В опытах автора и В.Я. Багрия [32], проведенных в области не-
высоких напряжений, меньших 0,5Rnp, за 28 сут. наблюдения дефор-
мации последействия после разгрузки сжатых образцов составили в сред-
нем 77% деформаций ползучести впервые загруженных сжатых образ-
цов-близнецов в том же возрасте и с той же степенью напряжений
(рис. 53). Эти данные близки к полученным в опытах Н.И. Катина
[152] и А.В. Яшина [295], в которых деформации упругого последей-
ствия цементно-песчаного раствора составляли в среднем 70% дефор-
маций ползучести за тот же период времени наблюдения. Уменьшение
деформативных свойств бетона после длительного пребывания под сжи-
мающей нагрузкой связано как со старением бетона, так и с необрати-
мыми изменениями в структуре цементного камня, т.е. с его уплотне-
нием за счет разрушения некоторых наиболее слабых связей уже при
первом нагружении.
Наряду с исследованием упругого последействия бетона после
снятия сжимающей длительно действовавшей нагрузки значительный
интерес представляют также исследования и при действии предшеству-
ющих растягивающих нагрузок. Так, в опытах П.И. Васильева [90],
оказалось, что деформации ползучести при растяжении практически
были полностью необратимы при разгрузке. В экспериментальных ис-
следованиях Н.И. Катина [152] деформации упругого последействия
цементно-песчаного раствора зрелого возраста после снятия растягива-
ющей нагрузки составляли в среднем 60% деформаций ползучести при
растяжении образцов-близнецов за тот же период наблюдения и при
том же уровне напряжений.
237
Рис. 53. Ползучесть и упругое последействие бетона при сжатии загружены)
го или соответственно разгруженного в возрасте [32]:
1 и Г - 18 сут.; 2 и 2’ — 60 сут.; 3 и 3' - 88 сут; 4 и 4’ - 116 сут.;
5 и 5’ — 144 сут.;
Г — длительность загружения, предшествующая началу последей-
ствия 14 сут.; 2' — то же, 18 — 56 сут.; 3' — то же, 70 сут.; 4’ — то же,
28 — 56 сут.; 5’ — то же, 28 сут.
В указанных выше опытах [32] удельные деформации упругого
последействия после предшествующего растяжения составляли в сред-
нем 65% удельных деформаций ползучести при растяжении впервые
загруженных в том же возрасте образцов-близнецов за один и тот же
период времени наблюдения (рис. 54). Эта цифра оказалась несколько
выше, чем в опытах Н.И. Катина [152], вероятно, потому, что опи-
сываемые исследования проводились на бетоне более молодого возрас-
та. Следует отметить, что в начальный период после снятия растягива-
ющих напряжений деформации упругого последействия растут медлен-
нее, чем деформации ползучести впервые растянутых образцов-близ-
нецов, но позже скорость их нарастания становится даже несколько боль-
шей, чем у последних.
Таким образом, при разгрузке образцов, подвергнутых ранее дли-
тельному действию невысоких постоянных как сжимающих, так и рас-
тягивающих напряжений, наблюдается лишь частичная обратимость
деформаций ползучести, несколько большая в случае разгрузки образ-
цов после их сжатия.
Установлено, что степень необратимости деформаций ползучес-
ти при сжатии после разгрузки образцов зависит от того, с какого уровня
напряжений произошла разгрузка [38, 39, 41, 42]. Чем выше уровень
предшествующего загружения, тем больше степень необратимости.
Поскольку деформации ползучести нелинейны и с ростом уровня на-
238
Рис. 54. Ползучесть и упругое последействие бетона при растяжении загру-
женного или соответственно разгруженного в возрасте [31, 32]:
1 и Г — 32 сут.; 2 и 2’ — 88 сут.;
Г — длительность загружения, предшествующая началу последей-
ствия 14 - 28 сут.; 2' - то же, 28 - 66 сут.; I - Tj = 4 сут.; II - т,
= 7 сут.; III - Т| = 18 сут.; IV - т, = 32 сут.; V - т, = 60 сут.
пряжений степень их нелинейности возрастает, этот результат может
служить косвенным доказательством линейности деформаций последей-
ствия или, по крайней мере, того, что степень их нелинейности зна-
чительно ниже, чем деформаций ползучести.
В связи с изложенным большой интерес представляют экспери-
ментальные данные об удельных деформациях последействия бетонных
образцов, разгруженных с разных, в том числе высоких, уровней на-
пряжений, и о соотношении деформаций ползучести и деформаций
последействия в зависимости от уровня напряжений.
Сопоставление удельных деформаций последействия образцов,
разгруженных в возрасте т2 с разных уровней напряжений сжатия, т.е.
деформаций последействия, отнесенных к единице напряжений, дей-
ствовавших в образцах до их разгрузки, и деформаций ползучести об-
разцов, впервые загруженных в том же возрасте до постоянных напря-
жений различного уровня, по данным опытов, автора и О.М. Попко-
вой [41, 42], приведено на рис. 55. На этих графиках заштрихована
область, ограниченная кривыми деформаций ползучести образцов,
загруженных до тех же по абсолютному значению напряжений, кото-
рые были в разгруженных образцах-близнецах до их разгрузки.
Как следует из рис. 55, деформации последействия обладают
весьма малой степенью нелинейности, значительно меньшей, чем де-
формации ползучести при тех же уровнях напряжений сжатия. Некого-
239
рая нелинейность деформаций последействия имеет место в основном
лишь на начальном этапе наблюдения, главным образом при разгруз-
ках с высокого уровня напряжений и особенно при непродолжитель-
ном пребывании образцов под нагрузкой до их разгружения. Об этом
свидетельствуют опыты автора и Н.А. Колесникова [38, 39] (рис. 56).
Практически же можно считать деформации последействия линейно
зависящими от напряжений, действовавших в образцах до их разгруз-
ки. Это обстоятельство отмечено также в работах П.И. Васильева [90],
Фрейденталя и Ролла [309].
б)
Рис. 55. Удельные деформации последействия образцов, разгруженных в воз-
расте т2 с разных уровней постоянных напряжений сжатия, и дефор-
мации ползучести образцов-близнецов, впервые загруженных в том
же возрасте до постоянных напряжений различного уровня [41, 42];
а — г, =4 сут.; т2= 35 сут.; б — Tj =14 сут.; т2 = 75 сут.
240
Рис. 56. Удельные деформации ползучести и упругого последействия (т, = 4
сут.; т2 — Т] = 4 мин.) [38, 39]:
а — деформации последействия, отсчитанные от соответствующей
горизонтальной прямой; б — то же, по принципу наложения воздей-
ствий; 1 ~ о = 0,lRn(x2); 2 — о = 0,3R (т2); 3 — о =
0,5Rnp(T2); 4- ст = 0,75Rnp(T2); 5- ст = 0,31ц т,); 6 - ст =
О^Дт,); 7- ст = 0,75RI1p(ti).
Из рис. 55 также следует, что соотношение между деформация-
ми последействия и деформациями ползучести различно и зависит от
того, при каком уровне напряжений получены кривые ползучести впер-
вые загруженных образцов. При ст = (0,1 — 0,29)Rnp это отношение прак-
тически равно единице, в то время как при высоких напряжениях
ст a0,5Rnp и ст = (0,7—0,8)Rnp это соотношение в среднем составляет
соответственно 0,62 и 0,55.
Если иметь в виду обратимость деформаций ползучести с учетом
старения бетона, т. е. оценивать ее с позиций принципа наложения
241
воздействий, то мы видим, что при низких уровнях напряжений де-
формации ползучести в этом смысле практически полностью обрати-
мы, но с ростом относительного уровня напряжений степень их обра-
тимости снижается и при о = 0,76Rnp составляет уже примерно только
50%. Это можно объяснить тем, что при действии низких напряжений
сжатия необратимые нарушения в структуре цементного камня еще не-
значительны, мала и степень нелинейности деформации ползучести.
По мере роста уровня напряжений прогрессирующе растут нарушения в
структуре бетона, растет степень нелинейности его деформаций ползу-
чести и в связи с этим снижается степень их обратимости.
Удобно представить удельные деформации ползучести при высо-
ких напряжениях С (о, t,x) в виде суммы их линейной С (t,x) и нелиней-
ной Сн (o,t,x) составляющих [41,42]
С(о, t, т) = C(t, т) + Сн (о, t, т).
Тогда линейная составляющая деформаций ползучести С (t,x) бу-
дет численно равна удельным деформациям упругого последействия и в
соответствии со сказанным полностью обратима с учетом старения бе-
тона. Семейство кривых меры линейной ползучести C(t,x) всегда мо-
жет быть найдено предельным переходом
C(t,x)
lim Сн
° .А
по экспериментальным кривым удельных деформаций ползучести
Сн —,t,x
Rop
натекающих за равное время, образцов-близнецов, заг-
руженных до напряжений разных уровней (см. рис. 49) [41, 42].
Нелинейная составляющая удельных деформаций ползучести, ко-
торая представляет собой разность
Сн (о, t, т) = С(о, t, т) - C(t, т),
с учетом сказанного выше является полностью или по крайней мере в
весьма значительной своей части необратимой, что и подтверждается в
экспериментах [41, 42].
Интересен также вопрос о соотношении деформаций последей-
ствия образцов, имевших различную предысторию загружения, но раз-
груженных в одном и том же возрасте. Экспериментальные данные,
полученные в опытах автора и О.М. Попковой по этому вопросу [41,
242
42], свидетельствуют о том, что длительность предшествующего загру-
жения оказывает влияние на деформации последействия: чем больше
длительность загружения, тем меньше значение этих деформаций. Так,
у образцов, нагруженных в возрасте 5 сут. и разгруженных в возрасте
27 сут., деформации последействия за 50 сут. наблюдения были на
25% меньше, чем у образцов-близнецов, разгруженных в то же время,
но загруженных в возрасте 12 сут.
При наличии связей, препятствующих развитию деформаций пол-
зучести, первоначально созданные напряжения в бетонном элементе
постепенно релаксируют во времени. Вследствие релаксации напряже-
ния, например вызываемые вынужденными деформациями, могут быть
в два-три раза меньше напряжений, вычисленных в предположении
упругой работы бетона. Учет этого обстоятельства даже при помощи
тех неполных и приближенных способов, которые включены уже в дей-
ствующие нормы [254, 256, 257, 259], позволяет более рационально
проектировать железобетонные статически неопределимые конструкции
и особенно массивные конструкции гидротехнических сооружений.
В ряде случаев способность бетона к релаксации напряжений
может оказывать и нежелательный эффект, вызывая, например, по-
тери предварительного напряжения арматуры и снижая трещиностой-
кость предварительно напряженных конструкций.
Экспериментальному изучению процессов релаксации напряже-
ний в условиях постоянства деформаций бетона посвящены исследова-
ния автора [18], П.И. Васильева [89], И.Е. Прокоповича и И.И. Тем-
нова [225], И.И. Улицкого [271], А.В. Яшина [295], Т. Гансена [105],
Глэнвилля и Томаса [314], Росса [332] и ряда других авторов, в кото-
рых изучалась релаксация напряжений в бетонах различных видов при
сжатии, растяжении и изгибе. Однако большая часть этих опытов от-
носилась к области невысоких напряжений, т.е. проводилась в области
практически линейной ползучести.
Релаксация сжимающих напряжений при их различных, в том
числе и высоких, начальных уровнях в образцах была изучена в опытах
автора и О.М. Попковой [41, 42] (рис. 57). Установлено, что степень
снижения напряжений в процессе релаксации сильно зависит от их на-
чального относительного уровня или соответственно от значения за-
фиксированной полной деформации образцов и повышается с ростом
начальных напряжений. Даже при низких уровнях напряжений, со-
ставляющих (0,3 — 0,5) Rnp (см. рис. 57), напряжения в процессе ре-
лаксации нелинейно связаны со значениями зафиксированных полных
деформаций в образцах.
243
Рис. 57. Экспериментальные кривые изменений полных удельных напряже-
ний р (е, t,x). Возраст к моменту создания деформации:
а — Tj = 4 сут.; 6 — Xj =35 сут.
Характерны большая скорость процесса релаксации и высокая сте-
пень его нелинейности вблизи момента начального загружения образ-
цов. Через некоторое же время (5—10 сут. после начального загруже-
ния) кривые удельных напряжений p(e,t,x), необходимых для поддер-
жания неизменной во времени t полной единичной деформации образ-
ца е , сообщенной ему в возрасте х, становятся практически парал-
лельными между собой, т.е. приращения напряжений в процессе ре-
лаксации начинают уже линейно зависеть от значения зафиксирован-
ных деформаций образцов.
Следует отметить довольно большую степень релаксации напря-
жений при высоких уровнях начальных напряжений в образцах, осо-
бенно в молодом возрасте бетона. Так, у образцов, загруженных в воз-
g(t)
расте г, = 4 сут. при Л (Xj) = 0,76, отношение в конце опыта
составляло 0,22 — 0,24. С увеличением возраста бетона к моменту пер-
воначального загружения степень релаксации напряжении значительно
снижается. Отношение ч в конце опыта у образцов, загруженных в
0^X0
возрасте х, = 4 сут., в зависимости от уровня начальных напряжений,
составляло 0,24 - 0,34, в то время как у образцов, загруженных в воз-
расте X] = 28 сут., это отношение было равно 0,4 — 0,52. Подобное
обстоятельство наблюдается и при низких уровнях напряжений [31, 32].
Укладка бетонной смеси в формы и ее уплотнение сопровождает-
ся седиментационными процессами и внутренним водоотделением, в
результате чего под зернами заполнителя образуются водные прослой-
244
ки увеличенной толщины. При этих условиях деформативные свойства
бетона оказываются зависящими от направления усилия по отношению
к горизонтальным слоям укладки бетонной смеси. Влияние этого фак-
тора на упруго-мгновенные деформации и деформации ползучести ус-
тановлено К.С. Карапетяном и изучалось также Р.А. Котикяном, Т.С.
Каранфиловым, И.Е. Прокоповичем и др.
Исследования показали, что бетон следует рассматривать как
трансверсально изотропное тело. Его деформативные свойства в этом
случае (при линейной связи между деформациями и напряжениями)
должны характеризоваться восемью независимыми функциями, неко-
торые из которых, вероятно, можно считать величинами практически
постоянными во времени. Степень анизотропии у тяжелых и легких
бетонов различна. Так, например, ползучесть шлако- и туфобетона,
загруженного перпендикулярно слоям укладки, на 20 - 80% больше,
чем ползучесть такого же бетона, загруженного параллельно этим сло-
ям. Результаты же опытов над тяжелыми бетонами показали, что ани-
зотропия их деформативных свойств в ряде случаев невелика. Меры
ползучести при загружении вдоль и поперек слоев укладки нередко от-
личаются лишь на 7 - 10% [145, 225].
Дальнейшие систематические исследования в этой области по-
зволили установить, что с увеличением размера поперечного сечения
элемента и влажности среды степень анизотропии ползучести бетона
при сжатии уменьшается. При растяжении степень анизотропии мало
зависит от размеров сечения образца и проявляется в большей мере,
чем при сжатии. В области нелинейной ползучести степень анизотро-
пии с. повышением уровня напряжений возрастает [145].
Таким образом, предпосылку, согласно которой бетон рассмат-
ривается как изотропный материал, можно считать приемлемой только
для тяжелых бетонов, но не во всех случаях. Что касается легких бето-
нов, а также тяжелых бетонов в области высоких напряжений сжатия,
то для них более точные уравнения теории ползучести должны быть
построены, как для трансверсально изотропного тела. В этом случае
помимо определения модулей упруго-мгновенной деформации и мер
ползучести для направлений перпендикулярно слоям и параллельно сло-
ям бетона следует выяснить также соответственно значения двух коэф-
фициентов поперечной упруго-мгновенной деформации и двух коэф-
фициентов поперечной деформации ползучести, а также их зависимость
от возраста бетона и длительности действия нагрузки и соотношение их
значений.
245
Для теории ползучести весьма важен вопрос о поперечных де-
формациях бетона, так как в ее основные уравнения в общем случае
объемного напряженного состояния наряду с другими физическими
характеристиками материала входят коэффициенты поперечной упру-
го-мгновенной деформации V](t) и поперечной деформации ползучес-
ти v2 (t,x). Для бетона молодого возраста первый из них считается за-
висящим только от возраста бетона т, а второй - как от возраста бето-
на, так и от продолжительности действия нагрузки t - т. Несмотря на
довольно большой объем экспериментальных исследований, надежных
данных о характере изменений во времени и с ростом напряжений этих
коэффициентов мало, так как результаты, полученные различными ис-
следователями, в значительной степени противоречивы, особенно в
части поперечных деформаций ползучести.
У одних экспериментаторов (Дюк и Дэвис [307], Лермит [175],
Ле Камю [321], И.Е. Прокопович [225], Росс [332]) коэффициент
v2 (t,x) на основании прямых или косвенных экспериментов при низких
уровнях напряжений получен равным нулю. В опытах Глэнвилля и
Томаса [314], Дэвисов и Гамильтона [304], Дюка и Дэвиса (при одно-
осном сжатии) [307] этот коэффициент был больше нуля, но меньше
коэффициента v,(t). На основании работ Н.Г. Корсака [166] и Е.А.
Когана [157] можно сделать вывод, что v2(t,x) > Vi(t), причем в опы-
тах [157] v2(t,x) возрастал с ростом t — т. Перечисленные эксперимен-
ты относятся в основном к области невысоких напряжений сжатия, не
превышающих 0,5Rnp.
В опытах О.Я. Берга и его школы [70. 71] изменение коэффи-
циента v2(t,x) изучалось в широком диапазоне напряжений, при этом
выявилось, что характер его изменения во времени связан с процесса-
ми уплотнения и разуплотнения структуры бетона под действием дли-
тельно приложенной нагрузки различной интенсивности. В зависи-
мости от уровня напряжений в этих опытах у бетона, не изолированно-
го от высыхания, коэффициент v2 (t,x) сначала возрастал, а затем сни-
жался примерно до значения коэффициента v, (т), причем некоторое
снижение v2(t,x) во времени наблюдалось и при очень высоких напря-
жениях о = (0,82 - 0,9)Rnp [70].
246
В опытах А.В. Яшина [295] v2(t,x)npH о > 0,75Rnp все время воз-
растал и составил 0,65 — 0,7, а для образцов, разрушившихся под дли-
тельной нагрузкой, v2(t,x) достигал даже 0,9. Для образцов, загру-
женных напряжениями невысокого уровня, примерно равного 0,45Rnp,
v2(t,x) был на протяжении всего опыта равен Vj (т).
Подход к исследованию характера изменения и значения v 2 (t, т) с
позиций деструктивных процессов, ставящий значение этого коэффи-
циента в зависимость от относительного уровня напряжений в бетоне,
помогает вскрыть некоторые противоречия в экспериментальных дан-
ных о нем, полученных отдельными исследователями, однако, к сожа-
лению, не избавляет нас полностью от них. В частности, остается
неясным, что подразумевать под v2(t,x), т.е. от какого момента вре-
мени отсчитывать поперечные деформации ползучести. В опытах боль-
шинства исследователей они отсчитывались от момента, соответствую-
щего окончанию загружения образца, в то время как и в период загру-
жения также проявляются поперечные деформации ползучести, кото-
рые в зависимости от длительности процесса загружения могут быть
совершенно различными по значению. Противоречивость результатов,
полученных различными исследователями, связана, по-видимому, и
с большими методическими трудностями, возникающими при измере-
нии малых поперечных деформаций особенно на изолированном от
высыхания бетоне и при длительном действии нагрузки. Неясен и ха-
рактер влияния неаддитивности ползучести и усадки бетона на эти де-
формации.
Изучение поперечных деформаций изолированного от высыха-
ния бетона при различных уровнях напряжений сжатия проведено ав-
тором и О.М. Попковой. Некоторые результаты этих опытов приведе-
ны на рис. 58 и 59, где за коэффициент V] (т) с некоторой условностью
принят коэффициент поперечной деформации образца при его быст-
ром загружении до заданного уровня напряжений (в течение примерно
получаса). Как видно из рис. 58, значения коэффициента Vi(t) в на-
чале загружения являются практически постоянными, а с ростом уров-
ней напряжений, начиная с -^- = 0,4-0,5 , несколько увеличивают-
^Пр { \
ся. По-видимому, за значение коэффициента V! (т) можно принять сред-
нее из его значений, полученных при относительно невысоких напря-
жениях [до (0,4 — 0,5)Rnp], где они практически не зависят от уровня
напряжений, и на исследованном в опытах диапазоне возраста бетона к
моменту загружения т = 14-75 сут. не зависят от т и равны в среднем
247
Vj (т) = v = const = 0,25.
Характер изменения v2(t,x) несколько своеобразен. Сразу же
после приложения нагрузки значение этого коэффициента возрастает,
достигая максимума через 2 — 4 сут. после загружения, а затем умень-
шается в пределе до 0,13 - 0,15 при о = 0,3Rnp и 0,2 - 0,25 при о=
0,74^, оставаясь несколько меньшим значения коэффициента vt(x),
найденного при низких уровнях напряжений (см. рис. 59). Качественно
подобный характер изменения v2 (t,x) наблюдался и в ряде других иссле-
дований [70, 71], проведенных на неизолированном бетоне, где он
объяснен процессами разуплотнения и последующего уплотнения струк-
туры бетона под действием длительно приложенной нагрузки.
В целом можно отметить, что значение и характер изменения
коэффициента поперечных деформаций ползучести v2(t,x) зависят от
уровня действующих напряжений. Если он не превышает 0,75Rnp, т.е.
уровня длительного сопротивления бетона, v2(t,x) отличен от нуля и
несколько меньше коэффициента упруго-мгновенной поперечной де-
формации Vj(t). Условие же
Vj(t) = v2(t,x) = const = v, (VII.3)
лежащее в основе современных прикладных методов теории ползучести
Рис. 58. Зависимость коэффициента упругой поперечной деформации v,(t)
бетона от значения и относительного уровня напряжений [41, 42]
( Т] — возраст в момент загружения).
248
ЫНО
^120
§
S 6.0,74^ о . ^0 J о о • d '•
Ox-—•
!
$49 A A V A "^7"
— OJ у X X
—+ +
0 ___________
10 20 50 40 50 00 70 60
• О 6-0,74fyp\ —fi—- J-8
—6— • %4g °- -I i
ж / A A ’ A Л I A -J A L. A
V V v I v
у— 05 I —*—: I
4»
r -p—- 0- -—-1CL —c^-V —о Л—
0,3 ' —^-4- -~=
о
10 20 jo W so 00 20 SO
h °’г
0 _________________________________
/0 20 30 00 50 60 70 SO
^H),3
ВН'
ач
,5^4 74Rr>p rO - -О-
" •+•—. o',3 ——
20 50 40 50 60 70 60
вазраст бетонаг сут, к моменту наблюдения
Рис. 59. Изменение во времени полных продольных и поперечных деформа-
ций бетона и коэффициентов полной поперечной деформации и по-
перечной деформации ползучести [41, 42] (возраст бетона к моменту
загружения т, = 14 сут.).
249
Загружение т, сут. Т, °C Характер загружения Источник
• 30 21 Одноосное Поливка [356]
X 15 20 Двухосное Артанари [342]
О 15 80 Двухосное Артанари [342]
□ 180 27 Трехосное Ханнант [344]
Д 180 72 Трехосное Ханнант [344]
+ 90 25 Одноосное Йорк [355]
лосле мгууженм», cwtc#J
Рис. 60. Коэффициент Пуассона невысыхающего бетона при одноосном и
многоосном напряженном состоянии.
и существенно их упрощающее, достаточно приемлемо и не должно
приводить к значительным погрешностям. Действительно, как пока-
зал расчетным путем И.Е. Прокопович [225], возможные погрешнос-
ти в значениях октаэдрических напряжений в бетоне при трехмерном
напряженном состоянии при принятии условия (VII. 3) не превышают
5 — 6% (см. также рис. 60 [299]).
Условие (VII.3) крайне удобно, так как с его учетом система со-
вместных основных интегральных уравнений теории ползучести, опи-
сывающих напряженно-деформированное состояние упруго-ползучего
тела, как показал Н.Х. Арутюнян [49], распадается на независимые и
притом более простые уравнения. Это имеет огромное практическое
значение, так как открывает большие возможности для решения слож-
ных прикладных задач теории ползучести доступными для инженера
методами.
Ползучесть при сложном напряженном состоянии изучена в го-
раздо меньшей мере, чем при одноосном сжатии и растяжении, что
250
объясняется в первую очередь значительными методическими трудно-
стями в проведении таких экспериментов. Тем не менее, за рубежом
и, особенно, в СССР по этому вопросу был получен ряд интересных
экспериментальных данных. Большая часть этих опытов проведена для
случаев, близких к плоскому напряженному состоянию. Сюда отно-
сятся, в частности, опыты по определению деформаций ползучести
при кручении труб из бетона и цементного раствора, когда напряжен-
ное состояние близко к чистому сдвигу: о, = -о3;о2 = ° РЗ, 144, 170,
253]. В большинстве подобных опытов оказалось, что удельные де-
формации ползучести вдоль действия главных напряжений примерно
такие же, как при одноосном сжатии и растяжении, мера ползучести
при сдвиге примерно в два раза больше, чем при одноосном сжатии:
co(t,T)« 2С (t,x). Полученный результат соответствует линейной теории
ползучести при коэффициенте поперечных деформаций ползучести, рав-
ном нулю.
В опытах К.С. Карапетяна и Р.А. Котикяна [ 148] меры ползуче-
сти при сжатии были примерно в два-три раза меньше, чем при растя-
жении, а меры ползучести сдвига при кручении в 1,1 — 1,3 раза мень-
ше, чем при растяжении, но в 2 — 2,4 раза больше, чем при сжатии.
Заметим, что в данном случае связь между мерами ползучести при рас-
тяжении, сжатии и сдвиге можно было бы получить на основе теории
анизотропных сред, однако экспериментальные и расчетные соотно-
шения отличаются друг от друга.
Сжатие с кручением, при котором |о3|»|aj , изучалось К.С. Ка-
рапетяном, Р.А. Котикяном [148, 167]. В этих опытах деформации
ползучести вдоль образующей при одноосном сжатии и сжатии с круче-
нием оказались примерно одинаковыми, а связь между деформациями
и напряжениями была практически линейна. Ими же проведены также
опыты по изучению ползучести в условиях продольного растяжения
трубы и внутреннего давления. При этом напряженное состояние было
близким к двухосному растяжению с соотношением : о 2 = 1,2 -1,9.
Параллельно были проведены опыты при центральном растяже-
нии о2 = о3 = 0 . Из опытов следует, что связь между интенсивностью
напряжений и интенсивностью деформаций зависит от соотношения
напряжений, а ползучесть при двухосном растяжении меньше, чем при
одноосном, и меньше той, которая должна была бы получиться из ус-
ловия линейного деформирования.
Ползучесть при двухосном сжатии и растяжении исследовалась
несколькими авторами [168, 186, 197, 299]. Опыты с гидроизолиро-
ванными плитами, загружаемыми параллельно слоями бетонирования,
251
показали, что при напряжениях менее 0,5 Rnp деформации можно опре-
делять, используя линейную теорию ползучести и полагая коэффици-
ент поперечных деформаций ползучести равным нулю. При двухосном
сжатии плит, не имеющих гидроизоляции, ползучесть оказалась зна-
чительно меньшей (в 1,5 — 1,8 раза), чем при одноосном сжатии. Это
свидетельствует о том, что мера ползучести в направлении одной из
осей зависит от напряжений, действующих в другом направлении, и
что, следовательно, линейные связи между деформациями и напряже-
ниями перестают быть справедливыми даже при небольших напряже-
ниях сжатия.
Результаты проведенных к настоящему времени ограниченных по
объему опытов по изучению ползучести при сложном напряженном со-
стоянии указывают на зависимость связей между напряжениями и де-
формациями от влажностного режима. Поэтому построение общих за-
висимостей, учитывающих это обстоятельство, будет представлять зна-
чительные трудности. При рассмотрении ползучести металлов ищут эк-
спериментальные зависимости между интенсивностью напряжений и
интенсивностью сдвигов или интенсивностью скоростей сдвигов, по-
лагая, что шаровая часть тензора напряжений не оказывает значитель-
ного влияния на ползучесть, которая обусловлена лишь деформациями
изменения формы. Очевидно, такой подход неприемлем для описа-
ния закономерностей деформирования бетона. При небольших напря-
жениях деформации ползучести бетона в большей мере связаны с изме-
нением объема, а при высоких напряжениях ползучесть сопровождает-
ся образованием микротрещин. Наложение на напряженное состояние
одноосного сжатия еще равномерного всестороннего сжатия будет за-
держивать развитие микротрещин и, следовательно, уменьшать ползу-
честь. Большое значение приобретает последовательность приложения
напряжений (сложное нагружение). Вероятно, надо пытаться искать
общие связи между первыми двумя инвариантами тензоров напряже-
ний и деформаций, а может быть, придется принимать во внимание и
третий инвариант.
Возраст бетона к моменту загружения существенно влияет на ве-
личину деформаций ползучести, которые оказываются тем большими
к данному моменту времени наблюдения, чем моложе был бетон в мо-
мент загружения. В такой же зависимости находятся и предельные де-
формации ползучести бетона, загруженного в разном возрасте.
Сказанное видно на рис. 61, а и б, как в случае непрерывно
высыхающего бетона (опыты Шенка) |333], так и в случае гидроизо-
лированного бетона, искусственно защищенного от высыхания (опы-
ты автора и Э.Я. Багрия) [18].
252
Возраст бетона в сутках к моменту наблюдения
Возраст детона 3 сутках к моменту
нагружения
Рис. 61. Зависимость полных деформаций и предельных деформаций ползуче-
сти бетона при сжатии от его возраста к моменту загружения:
а — полные относительные деформации; б — предельные относи-
тельные деформации ползучести; 1 - бетон, непрерывно высыхаю-
щий, начиная с момента распалубки; 2 — бетон, изолированный от
высыхания.
253
Такой характер влияния возраста бетона на его ползучесть вполне
понятен. Чем старше бетон к моменту загружения, тем он прочнее и
тем меньше содержит он геля, следовательно, при прочих равных ус-
ловиях, тем меньше и его ползучесть.
В опытах Девисов [303], Дютрона [308] и ряда других исследователей
было выявлено существенное влияние на ползучесть бетона влажности сре-
ды, в которой находится незащищенный от высыхания бетон во время опыта
как до, так и после его загружения (рис. 62, а и б). Результаты этих опытов
косвенно указывают на то, что по мере высыхания бетона его ползу-
честь должна увеличиваться, однако методика этих опытов не позволя-
ет непосредственно выявить характер влияния степени влажности са-
мого бетона на его ползучесть.
Дело в том, что все эти опыты проводились либо на незащищен-
ных от влагопотерь образцах-близнецах, высыхающих на протяжении
всего опыта, либо на полностью изолированных от влагопотерь образ-
цах, не высыхающих на протяжении эксперимента (рис. 61).
В первом случае все образцы-близнецы, начиная с момента рас-
палубки, высыхали подобно и в равной степени, так что их кривые
ползучести также подобно и в равной степени искажались с течением
времени за счет высыхания бетона. Во втором же случае кривые ползу-
чести не искажались вовсе, так как бетон не высыхал.
Для прямого исследования влияния на ползучесть влажности вы-
сыхающего бетона при одновременном его старении автором по ориги-
нальной методике были проведены специальные опыты, в которых
помимо ползучести изучалась также релаксация напряжений в бетоне.
Образцы в этих опытах представляли собой призмы, высыхающие с
момента их распалубки в 4-суточном возрасте до момента их загруже-
ния.
Перед загруженном в данном возрасте бетона каждый из устанав-
ливаемых под нагрузку образцов полностью защищался от последующе-
го высыхания нанесением гидроизоляционного покрытия. Таким об-
разом, исследуемый бетон, загружаемый последовательно в разных
возрастах, имел к моментам загружения различную, но остающуюся
уже неизменной с момента загрузки влажность.
Характер высыхания образцов до их загружения был следующим.
Образцы были гидроизолированы по большей части своей боковой по-
верхности и высыхали через открытые участки вблизи торцов. Таким
образом, на среднем участке длин образцов бетон находился в условиях
одномерного (осевого) высыхания. Этим исключалось на этих участках
неравномерное по сечению высыхание бетона, всегда сопровождающе-
254
Рис. 62. Влияние влажности среды до и после загружения бетона на его пол-
зучесть при сжатии и влажности самого бетона на его ползучесть и
релаксацию напряжений при растяжении:
а — опыты Дютрона: 1 — 60 суток до загружения — в воде, после
загружения — на воздухе с влажностью 50%; 2 — до и после загруже-
ния — на воздухе с влажностью 50%; 3 — 60 суток до загружения — на
воздухе с влажностью 50%; после загружения — в воде; 4 — до и после
загружения — в воде;
б — опыты Девиса: до загружения 28 суток — во влажном песке, пос-
ле загружения — на воздухе с влажностью: 5 — 50%; 6 — 70%; 7 -
100%; 8 — в воде;
в — опыты автора; бетон, высыхающий до загружения и изолирован-
ный от высыхания, начиная с момента загружения.
255
еся значительными напряженными деформациями.
Результаты опытов, относящихся к случаю растяжения бетона,
изображены на рис. 62, в, где на верхнем графике представлены кри-
вые удельных (т.е. отнесенных к единице приложенных напряжений)
относительных деформаций растяжения, а на нижнем — кривые релак-
сации удельных (т.е. отнесенных к единице сообщенных упруго-мгно-
венных деформаций) напряжений. Из рисунка следует, что ползучесть
бетона и связанная с ней его способность к релаксации напряжений
повышаются при его высыхании, перекрывая в описываемых опытах с
некоторого момента времени даже обратное по своему характеру влия-
ние старения бетона. В частности, кривые удельных относительных де-
формаций на этом рисунке вначале были такими же, как в указанных выше
опытах Шенка и автора (рис. 61), но по истечении некоторого времени,
когда высыхание бетона становилось уже существенным, начинали посте-
пенно по величине ординат обгонять друг друга (рис. 62, в). Таким обра-
зом, степень влажности бетона оказывает прямое й существенное вли-
яние на его ползучесть.
Приведенные выше данные о влиянии влажности среды и бетона
на его ползучесть относятся к случаю его осевого нагружения. При из-
гибе же в опытах З.Н. Цилосани [278] наблюдалась обратная картина.
Все испытанные им цементно-песчаные образцы состава (по весу) 1:3,
В/Ц = 0,5, прошедшие термообработку, предварительно высушенные,
находящиеся в гигрометрическом равновесии со средой и предварительно
насыщенные водой, увеличивали прогиб по мере увеличения влажно-
сти среды, и он был наибольшим у балочек, испытанных в воде. Ав-
тор объясняет это облегчением возникновения и развития под нагруз-
кой микродефектов структуры цементного камня во влажной среде, в
частности в воде, за счет адсорбционных и иных явлений. Действи-
тельно, можно думать, что в малых предварительно высушенных об-
разцах, которые были испытаны З.Н. Цилосани, сечением всего 2x3
см, эти явления могли играть значительную роль.
Существенное влияние на ползучесть высыхающих под нагрузкой
образцов оказывает масштабный фактор. Опытами В.С. Булгакова [87]
Дэвисов [302, 303], К.С. Карапетяна [142, 143], И.И. Темнова [265],
И.И. Улицкого [270] и ряда других авторов показано, что ползучесть
незащищенного от высыхания бетона как при кратковременном, так и
при длительном действии нагрузки тем больше, чем меньше попереч-
ное сечение образца. На рис. 63, а приведены соответствующие дан-
ные опытов В.С. Булгакова.
По-видимому, между влияниями масштабного фактора и влаж-
ности бетона на его ползучесть имеется тесная связь: малые образцы
256
Вреня,истеншее после начала наблюдений,в сутках
Рис: 63. Влияние масштабного фактора и характера загружения на ползучесть
бетона:
а — упруго-мгновенные деформации и деформации ползучести желе-
зобетонных образцов большого и малого размеров с ребрами, соответ-
ственно уменьшенными в 8 раз: 1 — упругие деформации большого
образца; 2 — деформации ползучести большого образца; 3 — упругие
деформации малого образца; 4 — деформации ползучести малого об-
разца; б — кривые ползучести бетонных образцов при простом сжа-
тии, внецентренном сжатии и изгибе; бетон состава 1:2,48:4,37 на
пуццолановом цементе, В/Ц = 0,65, загружение в возрасте 28 суток.
257
высыхают быстрее больших; в любой момент времени влажность бетона
в них меньше, чем в больших образцах, поэтому они и ползут под на-
грузкой больше. Большие же образцы всегда более влажные и ползу-
честь их меньше.
Наконец, значительное влияние на ползучесть бетона оказывает ха-
рактер его загружения, т.е. вид напряженного состояния и его повторяе-
мость. Кроме ползучести при осевых сжатии и растяжении бетон обладает
также ползучестью при внецентрениом сжатии, изгибе, сдвиге и кручении.
При кратковременном действии нагрузки краевые деформации вне-
центренно сжатых бетонных призм на белее напряженной грани превышают
деформации при центральном сжатии [47].
В опытах К.Э. Таля и ЕА Чистякова [263] по исследованию влия-
ния длительной нагрузки на несущую способность гибких железобетонных
колонн ползучесть бетона существенно увеличивала прогибы последних, при-
водя при достаточно высоком уровне напряжений к разрушению колонн че-
рез некоторое время, продолжительность которого зависела от отношения
величин разрушающих нагрузок: длительной и кратковременной.
Большая ползучесть при изгибе бетонных брусьев по сравнению со сжа-
тыми образцами неизменно наблюдалась и в ряде опытов автора [17], в час-
тности, описанных в § XI.5.
Влияние характера загружения бетонных образцов при длитель-
ном действии центрального сжатия, внецентренного сжатия и изгиба
специально изучено в опытах И.И. Темнова [265]. На рис. 63, б приведены
кривые мер ползучести исследованных в этих опытах образцов сечени-
ем 7x7 и 14x14 см, вычисленных для внецентренно сжатых и изогнутых
образцов по краевым деформациям сжатых граней, отнесенным к еди-
нице напряжений, найденных по формулам сопротивления материа-
лов. Из этого рисунка видно, что ползучесть при внецентрениом сжатии
незначительно отличается от ползучести при чистом сжатии, превы-
шая ее; при изгибе же развивается значительно бульшая ползучесть.
Специальные исследования ползучести бетона при кручении, прове-
денные В.В. Блинковым [73] и К.С. Карапетяном [144], установили, что
при одинаковых напряжениях ползучесть бетона при кручении и осевом рас-
тяжении практически одинакова и что связь между напряжениями и дефор-
мациями ползучести бетона при кручении линейна почти до его разрушения.
Имеются также некоторые данные о ползучести бетона при слож-
ном напряженном состоянии [67, 307, 299]. Некоторые из них рас-
смотрены выше.
Повторяемость нагружения бетона (нагрузки и разгрузки, вибровоз-
действия) оказывает существенное влияние на его ползучесть. Многочис-
ленными опытами по простому (спокойному) нагружению и разгружению
258
бетона [74, 90, 152, 295, 332] показано, что деформации обратной
ползучести (последействия) бетона после разгрузки меньше, чем де-
формации ползучести образца-близнеца, впервые загруженного теми
же напряжениями, в том же возрасте и той же продолжительности дей-
ствия. Эго обстоятельство послужило поводом для критики принципа нало-
жения воздействий в теории ползучести (см. § VII.2) и ряда предложений
для его уточнения [82, 90, НО, 114].
Например, в опытах автора и В.Я. Багрия (рис. 64) [32] наблюдалась
лишь частичная обратимость деформаций ползучести, несколько боль-
шая в случае разгрузки образца после сжатия. В этих опытах деформа-
ции упругого последействия через месяц составляли у призм, ранее
сжатых, — 77%, а у ранее растянутых — 65% деформаций ползучести
образцов-близнецов, впервые загруженных напряжениями соответству-
ющего знака, за тот же промежуток времени.
При большой частоте чередования нагрузок возникает эффект виб-
роползучести. Он состоит в том, что ползучесть бетонных образцов,
подвергаемых попеременным загружениям и разгружениям с большой
частотой, оказывается большей, чем у образцов-близнецов при посто-
янном (непрерывном) загружении теми же напряжениями.
Так, в опытах Р. Лермита [175] ползучесть образцов попеременно
сжимаемых и разгружаемых напряжениями 12,6 МПа, при частоте 500
циклов в минуту через 24 ч, (720000 циклов) была такой же, как у
образцов-близнецов, непрерывно сжатых такими же напряжениями в
течение 28 суток, а 14 суток действия цикличной нагрузки (10100000
циклов) оказались эквивалентными в отношении величины деформа-
ции ползучести 600 суткам выдерживания образцов-близнецов под
постоянной нагрузкой. В этих же опытах было установлено, что бе-
тон, подвергнутый длительному постоянному нагружению, практически
уже не обладает ползучестью при последующих циклических нагрузках.
Аналогичный эффект повышения ползучести за счет вибровоз-
действий с разными частотами и амплитудами, но при одновременном
действии и статической нагрузки был отмечен и в специальных опытах
А.К. Малмейстера [181, 182] и К.К. Шкербелиса [287] с железобетон-
ными балками, прогибы которых возрастали при увеличении частоты
и амплитуды вибровоздействий.
Поскольку температурно-влажностные воздействия часто носят цик-
лический характер, для проблемы температурно-влажностных напряжений в
бетоне важным является вопрос о его поведении при действии повторных
нагрузок. Еще в опытах Йошида [315] было показано, что при этих условиях
бетон ведет себя по-разному в зависимости от величины напряжений.
259
последействия образцов, загруженных или разгруженных в возрасте:
при сжатии: 1 и 1' —18 суток; 2 и 2' — 60 суток; 3 и 3' — 88 суток;
4 и 4' — 116 суток; 5 и 5' — 144 суток (длительность загружения,
предшествующая началу последействия: 1' — 14 суток; 2' — 18 — 56
суток; 3' — 70 суток; 4' — 28 — 56 суток; 5' — 28 суток); при растя-
жении: 1 и 1' — 32 суток; 2 и 2' — 88 суток (длительность загруже-
ния, предшествующая началу последействия:!'— 14 — 28 суток;
2' — 28 — 66 суток).
Примечание. — возраст бетона к моменту загружения.
Если напряжения невелики (менее 40 — 50% предела прочности), то
। юсле нескольких циклов повторения нагрузки диаграмма деформаций сжа-
тия бетона становится прямолинейной, а величины деформаций стабилизи-
руются, т.е. бетон внешне приобретает свойства упругого тела (рис. 65, а).
При более высоких напряжениях при первичном нагружении за-
висимость между деформациями и напряжениями нелинейна: дефор-
мации возрастают непропорционально напряжениям и быстрее их.
11осле нескольких циклов повторения нагрузки на некоторое время эта
зависимость становится линейной и полные деформации стабилизиру-
ются. Затем после определенного большого числа повторений нагруз-
ки полные деформации вновь растут и линейная зависимость между де-
формациями и напряжениями нарушается. Описанный процесс за-
канчивается разрушением бетона вследствие прогрессирующего разви-
260
Рис.65. Зависимость между напряжениями и продольными и поперечными
деформациями бетона при сжатии при ограниченном (малом) числе
циклов нагружения (а); то же, между напряжениями и продольными
деформациями бетона при сжатии при многократно повторных на-
грузках (б).
261
тия микротрещин (см. рис. 65, б) и характерен для напряжений,
превышающих предел выносливости (усталости) бетона, составляю-
щий примерно половину предела прочности статического сжатия бето-
на [47].
Изучением деформаций виброползучести бетона занимался ряд
исследователей; при этом наиболее существенный вклад в эту проблему
сделан А.К. Малмейстером и К.К. Шкербелисом [181, 182, 287], В.М.
Бондаренко [80 — 82], О.Я. Бергом, Г.Н. Писанко и Ю.Н. Хромцом
[69], Ю.С. Кулыгиным и И.К. Белобровым [172, 173], Т.С. Каран-
филовым [132 — 139], К.С. Карапетяном [147].
Важный вопрос в этих исследованиях — изучение влияния дина-
« «л — 111111
мическои характеристики цикла напряжении Р ~ на развитие де-
йтах
формаций виброползучести.Большинство экспериментальных данных
Рис. 66. Влияние динамической характеристики цикла напряжений р на виб-
роползучесть бетона[135] (0^=15 МПа; к = —225- = 0,44;
со = 350 цикл / мин ); пр
-----теоретические кривые по формуле (VIL4);
------экспериментальные кривые.
262
свидетельствует о том, что с уменьшением р при одном и том же
о^х деформации виброползучести у одного и того же бетона увеличи-
ваются (рис. 66). При постоянном р неупругие деформации вибро-
ползучести нелинейно зависят от значения максимального напряжения
в цикле, однако, до тех пор, пока оно ниже примерно половины при-
зменной прочности бетона, степень этой нелинейности невелика. В
связи с этим для описания деформаций виброползучести большинство
исследователей используют те же зависимости, которые применяют и
для описания деформаций ползучести. В этом случае для достижения
тех же результатов, которые были получены при изучении простой пол-
зучести, пришлось бы выполнить колоссальный объем исследований,
поскольку трудоемкость изучения виброползучести во много раз больше.
Целесообразнее поэтому выразить деформации виброползучести
через деформации простой ползучести и параметры многократно по-
вторяющейся нагрузки. В этом случае представляется возможным уже
использовать то, что было достигнуто за многие годы в изучении де-
формаций простой ползучести, теория которой достаточно хорошо раз-
работана. С этой целью различными исследователями [82, 181, 287]
был предложен ряд аналитических зависимостей между мерой вибро-
ползучести y(i,t) и мерой простой ползучести С (t,z), например вида
у(1, т, со, Н) = k(co, Н) C(t, т) , (VII.4)
гдек(со,Н) - так называемый коэффициент виброползучести, являю-
щийся функцией динамических параметров цикла напряжений, напри-
мер частоты колебаний со и амплитуды колебаний Н.
Принцип аффинного подобия кривых виброползучести и про-
стой ползучести, положенный в основу выражения (VI 1.4), строго го-
воря, в экспериментах не подтверждается, однако, как показывают
многочисленные опыты, кривые виброползучести можно приближен-
но считать аффинноподобными, если рассматривать их в некотором
отдалении от начала нагружения. Условие аффинного подобия в на-
стоящее время принято в качестве исходной предпосылки во всех эм-
пирических предложениях по описанию кривых виброползучести. На-
пример, оно широко использовано в сравнительно несложной, но
стройной теории виброползучести, разработанной В.М. Бондаренко
[80, 82]. Эта теория основана на том экспериментально установлен-
ном факте, что при длительном стационарном вибрационном загруже-
нии образца кривые диаграмм «напряжения - деформации» при на-
грузке и при разгрузке в каждом цикле образуют замкнутую петлю гис-
терезиса. Причем площадь этой петли является функцией уровня динами-
ческих напряжений, но при достаточном удалении рассматриваемого цикла
от начала динамического нагружения не зависит от частоты колебаний.
263
Т.С. Каранфилов [135] предложил несколько иное выражение
для меры виброползучести бетона зрелого возраста, статистически обо-
снованное и хорошо согласующееся с опытными данными при ограни-
ченном числе миллионов циклов повторения нагрузки
y(t - т) = 0,5 (1+р) C(t - т) + у0( 1 - р) C(t - x)lgN, (VII. 5)
где y(t - т) и C(t - т) - меры виброползучести и простой ползучес-
ти бетона соответственно (при отя¥);
р - динамическая характеристика цикла напряжений;
о -п и от - соответственно минимальные и максимальные на-
пряжения в цикле;
N — число циклов повторения нагрузки;
у0 — эмпирический коэффициент, зависящий от состава бетона
и ряда других факторов.
Первое слагаемое в формуле(УП.5) представляет собой удельную
деформацию ползучести бетона при среднем уровне напряжений в цик-
ле оср = °min |-™а- , а второе - учитывает циклическую ползучесть,
вызванную только многократным приложением нагрузки и зависящую
от амплитуды динамических напряжений.
С уменьшением р первое слагаемое в формуле (VII.5) уменьша-
ется, а второе — увеличивается, при этом виброползучесть бетона в
зависимости от соотношения числовых значений слагаемых может уве-
личиваться или уменьшаться. Анализ формулы (VTL5) показывает, что
0,5
виброползучесть бетона с уменьшением р увеличивается при То > и
0,5
уменьшается, когда У< . Если же у= 0,5, то в этом случае вибро-
ползучесть не зависит от р. Последние два случая являются весьма ред-
кими и могут встретиться лишь при относительно небольшом N. Обычно
же сочетание числовых значений факторов, влияющих на значение р ,
таково, что приводит к первому случаю.
Обзор проведенных до 1963 г. исследований прочности и дефор-
мативности бетона при многократном приложении нагрузки содержит-
ся в статье Т.С. Каранфилова и Ю.С. Волкова [140]. В последние
годы наиболее интересные экспериментальные исследования деформа-
ций виброползучести были проведены Т.С. Каранфиловым [132— 139].
Основные результаты этих исследований сводятся к следующему.
264
Порода крупного заполнителя сильно влияет на деформации виб-
роползучести бетона. У бетона на гранитном щебне эти деформации
значительно выше, чем при известняковом щебне. Объясняется это
лучшим сцеплением известнякового щебня с цементным камнем, бо-
лее плотной структурой бетона на его основе, а также меньшим разви-
тием микротрещин, многие из которых к тому же залечиваются про-
дуктами выщелачивания и перекристаллизации.
Тепловая обработка значительно увеличивает виброползучесть по
сравнению с бетоном естественного твердения. За 10 сут. наблюдения
в опытах Т.С. Каранфилова [134] виброползучесть вследствие тепло-
вой обработки бетона увеличилась примерно на 54% (рис. 67). Объяс-
няется это структурными изменениями в цементном камне при тепло-
вой обработке. В пропаренном бетоне структура цементного камня
крупнокристаллическая, гелевой составляющей мало. Этим и обуслов-
лено, в основном, увеличение виброползучести такого бетона.
Многократное замораживание и оттаивание бетона [ 136] оказы-
вает большое влияние на виброползучесть бетона. Так, например, за
12 сут. наблюдения отношение деформаций виброползучести бетона
после 100 и 200 циклов замораживания к деформациям виброползуче-
сти бетона без замораживания после 6 млн. циклов повторения нагруз-
<----:------1-----1------i---J
о 2 4 6 8 Ю
Лродопмитепьность испытания, сутt
ки составляло соответственно 4 и 45.
Физическая природа этого сложного
явления еще полностью не раскрыта.
Предположительно это можно объяс-
нить тем, что с ростом числа циклов
замораживания увеличиваются число
и размеры микротрещин, вследствие
чего деформации сильно возрастают.
Рис. 67. Влияние тепловой обработки
бетона на его виброползучесть
{134] (к = ^- = 0,32;
со = 400 цикл / мин у.
1 — виброползучесть (р=0,3);
2 — простая ползучесть (р= 1);
------- бетон естественного твердения;
-----пропаренный бетон.
265
Бетон проявляет существенную нелинейность виброползучести
(рис. 68), причем степень нелинейности деформаций виброползучести
при одном и том же уровне напряжений выше, чем простой ползучести
[138, 139]. Возможно, это связано с тем, что при многократном по-
вторении нагрузки доля деформаций, обусловленных скольжением кри-
сталлов и микроразрушениями кристаллического сростка, значительно
больше, чем при постоянной нагрузке. Поэтому степень нелинейности
виброползучести должна превышать степень нелинейности простой пол-
зучести, что и наблюдается в эксперименте.
Анизотропия бетона оказывает значительное влияние на дефор-
мации виброползучести [139]. Виброползучесть бетона перпендикулярно
слоям бетонирования значительно выше, чем параллельно слоям бето-
(Кпр=39МПа; р=0,3;
со = 400 цикл/мин );
нирования, причем с увели-
чением N разница в этих де-
формациях возрастает (рис.
69). Так, на базе 2 млн. цик-
лов она составляет 72%, а на
базе 5 млн. циклов — уже 91%.
Влияние влажности бе-
тона на виброползучесть нео-
днозначно [133]. С уменьше-
нием влажности бетона от пол-
ного водонасыщения эти де-
формации сначала увеличива-
ются, достигая максимально-
го значения при некотором
содержании влаги (примерно
0,2 - 0,35 полного водонасы-
щения), а затем при дальней-
шем снижении влажности
уменьшаются (рис. 70). Виб-
роползучесть высушенного бе-
тона даже ниже, чем водона-
Рис. 68. Влияние уровня напряжений на виб- сыщенного. Такой характер
роползучесть гидроизолированного влияния влажности бетона на
бетона старого возраста [138, 139] его деформации виброползу-
чести, вероятно, связан с
тем, что характер деформаций
— теоретические кривые; цементного камня при различ-
- экспериментальные данные, ном содержании влаги в бето-
266
не обусловлен двумя физическими процессами. С одной стороны, с
уменьшением влаги в порах цементного камня уменьшается также и со-
противление вязкому течению геля, что ведет к росту деформаций. В
то же время при высыхании бетона происходит обезвоживание геля,
вследствие чего повышается его вязкость, что ведет к снижению де-
формаций. Сначала с уменьшением влагосодержания в бетоне, по-
видимому, преобладает первый процесс, а затем, после наступления
некоторого равновесия, преобладает уже второй процесс, и деформа-
ции бетона виброползучести резко уменьшаются.
Рис. 69. Влияние направления усилия
относительно слоев бетотониро-
вания гидроизолированного бе-
тона [139] (со = 350 цикл/мин;
р=0,1; к = 0,41);
-----— перпендикулярно слоям
бетонирования;
Rnp =54МПа ;Отах=20МПа;
------параллельно слоям бе-
тонирования;
R = 54 МПа ; = 22 МПа
пр ’ R
Рис. 70. Влияние степени водона-
сыщения бетона на его виб-
роползучесть в зависимос-
ти от числа циклов загру-
жения N [133];
-----— виброползучесть;
-----простая ползучесть.
267
К.С. Карапетяном [147] изучено влияние предшествующей мно-
гократно повторной сжимающей нагрузки на последующие деформа-
ции ползучести бетона при длительных постоянных сжимающих напря-
жениях. Образцы ПП подвергались вначале воздействию многократно
повторной нагрузки при р=0,42 (tfmjn = 0,25Rnp , omax = 0,6Rnp ),
co = 560 циклов/мин и N = 70000 циклов. Затем в возрасте 8, 14, 28
и 93 сут. они, так же как и образцы-близнецы НП, не подвергнутые
многократному нагружению, загружались постоянной сжимающей на-
грузкой того же направления до напряжений, составляющих 0,4Rnp.
Было установлено, что многократно повторное нагружение приводит к
уменьшению последующей ползучести под постоянной нагрузкой, при-
чем тем в большей степени, чем моложе бетон к моменту статического
загружения. Влияние многократной повторной нагрузки на последую-
щую ползучесть бетона зависело также от ее направления по отноше-
нию к слоям бетонирования и было большим при испытании образцов
параллельно этим слоям в среднем на 10% по сравнению с испытанием
поперек слоев бетонирования (рис. 71).
Некоторые особенности поведения бетона при многократном дей-
ствии нагрузки остаются все еще недостаточно изученными, поэтому
исследование его виброползучести необходимо продолжить. Однако ме-
тодика этих исследований должна отличаться высокой надежностью.
При недостаточно совершенной методике ввиду сложности рассматри-
ваемого явления легко получить результаты, противоречащие его фи-
зической сущности. Например, в опытах Ю.С. Кулыгина и И.К. Бе-
лоброва [172] при amax = 0,32Rnp и большом числе повторений нагрузки
деформации виброползучести бетона при р = 0,25 практически ничем
не отличались от деформаций простой ползучести при статическом на-
гружении (р = 1), а при р = 0,9 превышали их в 1,5 раза.
Заканчивая обзор экспериментальных исследований различных
аспектов ползучести бетона, можно констатировать, что после Перво-
го и Второго всесоюзных совещаний по проблемам ползучести и усадки
бетона (Киев, 1969 г., Ереван, 1974 г.) в СССР было проведено боль-
шое число важных экспериментальных исследований, результаты кото-
рых позволили более глубоко изучить сложную картину процесса ползу-
чести и выявить ее основные закономерности. На основе результатов
этих исследований внесены существенные уточнения в феноменологи-
ческую теорию ползучести бетона, разработаны ее различные эффек-
тивные варианты, обладающие высокой степенью точности, и уста-
новлены области их рационального применения. Все это позволило
поднять на еще более высокую ступень прогрессивную отечественную
теорию ползучести бетона и обеспечить ее применение при проектиро-
268
Рис. 71. Влияние предшествующей многократно повторной сжимающей на-
грузки на последующую ползучесть бетона при длительной постоян-
ной сжимающей нагрузке [147]:
а — нагружение поперек слоев бетонирования; б — нагружение вдоль
слоев бетонирования; 1 - возраст образцов 8 сут.; 2 - то же, 14 сут.;
3 — то же, 28 сут.; 4 — то же, 93 сут.;
----— образцы НП;
-------образцы ПП.
269
вании эффективных бетонных и железобетонных конструкций различ-
ного назначения, а также гидротехнических и мостовых сооружений.
Это свидетельствует об актуальности проводимых исследований и соот-
ветствии их направлений требованиям, выдвигаемым современными
тенденциями развития бетонных и железобетонных конструкций. Тем
не менее в области экспериментальных исследований ползучести бето-
нов предстоит еще многое сделать.
Необходимо дальнейшее изучение и уточнение физической природы
ползучести цементного камня и бетонов различных видов с привлечением
современных экспериментальных методов и представлений физико-химии и
физико-химической механики, а также накопление на основе современ-
ных экспериментальных методов и унифицированной методики данных о
ползучести и виброползучести различных бетонов, в том числе тяжелых, осо-
бопрочных и на расширяющих цементах, легких высокопрочных, силикат-
ных, полимерцементных и полимерных, при простом и сложном двух- и
трехосном напряженных состояниях, при разных, особенно высоких,
относительных уровнях напряжений (область существенно нелиней-
ной ползучести), в условиях различных во времени режимов загруже-
ния и различных влажности и температуре бетона. Эти опыты должны
проводиться с широким применением методов математического пла-
нирования экспериментальных исследований ползучести, а также ме-
тодов статистической обработки опытных данных по параметрам, ха-
рактеризующим ползучесть и виброползучесть.
Должно быть уделено большое внимание также разработке техно-
логических методов получения бетонов с низкой ползучестью и ском-
пенсированной усадкой для предварительно напряженных конструкций
и методов подбора их составов с заданными характеристиками ползуче-
сти, пригодных для различных условий эксплуатации.
§ VII.2. РАБОЧИЕ ГИПОТЕЗЫ СОВРЕМЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
Современная теория ползучести бетона представляет собой фе-
номенологическую теорию, основанную на объективных эксперимен-
тальных данных о поведении бетона под действием длительных нагру-
зок. Как и всякая феноменологическая теория, эта теория исходит из
ряда основных рабочих гипотез, сформулированных на основании обоб-
щения этих экспериментальных данных и положенных в основу ее ма-
тематического аппарата. Эти рабочие гипотезы формулируются следу-
ющим образом:
270
1) бетон рассматривается как изотропный и однородный материал;
2) между полными деформациями бетона (мгновенно-упругими
деформациями и деформациями ползучести) и напряжениями в нем
существует линейная зависимость;
3) абсолютные величины деформаций (упругих и неупругих) при-
нимаются не зависящими от знака напряжений;
4) для деформаций ползучести применим принцип наложения
воздействий. Как известно, этот принцип формулируется следующим
образом: полная (суммарная) деформация ползучести при переменных
(ступенчато изменяющихся) напряжениях может быть найдена как сум-
ма приращений деформаций ползучести, вызванных соответствующи-
ми приращениями напряжений; при этом считается,что вызываемая дан-
ным приращением напряжений Дет, величина соответствующего прира-
щения деформаций ползучести Де„3, накапливаемая к некоторому мо-
менту времени наблюдения t сверх деформации ползучести У, Деп,
вызванной другими (предшествующими) приращениями напряже-
ний , зависит только от величины и длительности действия
этого приращения, но не зависит от величины и длительности дей-
ствия остальных и, в том числе, предшествующих ему приращений на-
пряжений;
5) принимается одинаковая зависимость от времени всех видов
полных единичных относительных деформаций, а именно: удельной
осевой деформации 6(t,x), удельной поперечной деформации 6|(t,z) и
удельной деформации сдвига62(i,t).
Первая из этих гипотез носит условный характер. Однако хао-
тичность размещения заполнителей в бетоне позволяет думать, что он
в больших объемах, в общем, является однородным и изотропным.
Правда, исследованиями К.С. Карапетяна [145] и И.Е. Прокоповича
[225] показано, что величина деформации ползучести зависит от на-
правления действия усилия относительно слоев укладки бетона при из-
готовлении образцов, т.е. что бетон относительно деформаций ползу-
чести ортотропен. Однако степень этой ортотропности невелика. На-
пример, в опытах И.Е. Прокоповича образцы, изготовленные из обыч-
ного тяжелого вибрированного бетона, имели деформации ползучести
при сжатии перпендикулярно слоям укладки всего на 7% больше, чем в
случае сжатия вдоль этих слоев. В связи с этим рассматриваемая гипо-
теза выглядит вполне приемлемой.
271
Отметим, что для однозначности решения задач теории ползуче-
сти эта гипотеза должна быть дополнена требованием отсутствия на-
чальных напряжений при отсутствии внешней нагрузки и предшеству-
ющих изменений температуры и влажности бетона. Таким образом,
первую рабочую гипотезу теории ползучести бетона следует формули-
ровать следующим образом.
Бетон рассматривается как изотропный и однородный материал,
у которого при отсутствии внешней нагрузки и предшествующих изменений
его температуры и влажности отсутствуют и начальные напряжения.
Вторая гипотеза основана на многочисленных опытных данных,
указывающих на ее справедливость, но в определенных пределах вели-
чин напряжений. Например, доказано (см. § VII. 1), что при растяже-
нии такое допущение справедливо вплоть до разрушения бетона, а при
сжатии, с известным приближением, - до напряжений, равных при-
мерно половине его призменной прочности, т.е. в пределах эксплуата-
ционных значений напряжений.
Третья из указанных предпосылок могла бы быть наиболее легко
обоснована экспериментально. Однако, как было показано в § VII. 1,
имеющиеся в литературе по этому вопросу данные весьма разноречи-
вы. Причины этого рассмотрены в работе автора [14]. Опыты Н.И.
Катина [152], А.Е. Шейкина и В.Л. Николаева [284], а также автора и
В.Я. Багрия [32], проведенные на гидроизолированных образцах и
потому связанные с минимальными погрешностями, возникающими
обычно вследствие неаддитивности усадки и ползучести, убеждают в
приемлемости этой предпосылки.
Наиболее дискуссионной является четвертая из указанных гипо-
тез, постулирующая применимость принципа наложения воздействий,
особенно в случае знакопеременных нагрузок. Она оспаривается рядом
исследователей, причем поводом для этого послужили опыты П.И.
Васильева [90], А.Д. Росса [332], А.В. Яшина [295] и некоторых дру-
гих авторов по изучению деформаций бетонных образцов после их пол-
ной или частичной ступенчатой разгрузки.
Эти и подобные им экспериментальные данные позволяют ду-
мать, что применение принципа наложения в его обычной форме мо-
жет привести к некоторым погрешностям. В связи с этим П.И. Васи-
льевым [90], В.В. Блинковым [74] и А.А. Гвоздевым [ПО] сделаны
предложения по усовершенствованию этого принципа путем введения
в рассмотрение различных по величине наследственных функций бето-
на при сжатии и при растяжении или своеобразного подсчета необра-
тимых деформаций ползучести, не связанных с его старением [114].
272
Эти предложения заманчивы, но приводят к существенному ус-
ложнению и без того сложной теории ползучести бетона, а первые из
них к тому же не согласуются с экспериментальными данными. Поэто-
му отказ от обычной формы принципа наложения воздействий крайне
нежелателен. Кроме того, это и не требуется, так как опыты показы-
вают, что применение принципа наложения воздействий в облас-
ти эксплуатационных напряжений вполне оправдано. Это хорошо вид-
но из рис. 72, воспроизводящего результаты опытов А.Д. Росса [332]
по проверке применимости этого принципа, а также опытов автора и
В.Я. Багрия, описанных в § VII. 10 (см. рис. 100), и исследований
автора и В.Я. Багрия [32].
Сказанное выше ни в коем случае не следует рассматривать как
отказ от дальнейших экспериментальных исследований в направлении
оценки погрешностей и области применимости принципа наложения
воздействий. Наоборот, исследования такого рода крайне желатель-
ны, так же как и дальнейшее изучение других особенностей ползучести
бетона. Однако методика этих исследований должна быть более совер-
шенной, чем та, которая применяется в настоящее время. Некоторые
пути разработки такой методики указаны в работе автора [14].
Последняя из пяти указанных выше гипотез не является обяза-
тельной. Она была предложена Г.Н. Масловым [ 192] и является след-
ствием условия (VII.3). Действительно, в современной теории ползу-
чести фигурируют следующие полные единичные (удельные) деформа-
ции бетона [49]:
осевая деформация
6(t’T)=E?t)+C(t’T); (VII.6)
поперечная деформация
5|(t,T)=“Y+V2(t,T)C(t,T); (VII.7)
Е(Т)
деформация сдвига
Внося (VII.5) в (VII.7) и (VII.8), находим
5, (t,x)= v5(t,T); 52(t,x) = 2(l + v)5(t,T). (VII.9)
Таким образом, принятие условия (VII.5) приводит к постули-
рованию одинаковой зависимости от времени всех трех удельных де-
формаций бетона 5(t,x), 5j(t,T) и 62(t,T),т- е- к пятой рабочей гипоте-
273
зе, рассмотренной в § VII.2, которая широко применяется в теории
упруго-ползучего тела и существенно упрощает ее уравнения. Это уп-
рощение состоит в том, что система совместных основных интеграль-
ных уравнений этой теории при этом распадается на отдельные незави-
симые интегральные уравнения и компоненты тензора напряжений оп-
ределяются независимо друг от друга, каждая из своего самостоятель-
ного уравнения по соответствующей компоненте тензора напряжений
упруго-мгновенной задачи (см. § VII.6). Эта теория нашла свое завер-
шение в монографии Н.Х. Арутюняна [49], получила всеобщее при-
знание как в нашей стране, так и за рубежом и интенсивно развивается
в трудах большой группы отечественных ученых.
Автор [23] позже отказался от этой гипотезы и разработал более
общую теорию ползучести бетона, относящуюся к случаю неодинако-
вой зависимости от времени указанных единичных деформаций ползу-
чести. Однако эта теория весьма сложна и экспериментально еще не
проверена.
На основании всего изложенного можно утверждать, что первые
четыре из указанных выше пяти рабочих гипотез современной линей-
ной теории ползучести бетона вполне приемлемы и в настоящее время
нет оснований для отказа от любой из них. Пятая из этих гипотез не
обязательна, но крайне удобна, и мы ее также будем иметь в виду в
дальнейшем.
Рис. 72. Применение принципа наложения воздействий при ступенчатых на-
грузках и разгрузках:
1 — экспериментальная кривая полных деформаций; 2 — теоретичес-
кая кривая по принципу наложения воздействий.
274
Анализ имеющихся в литературе экспериментальных данных, про-
веденный в § VII. 1, подтверждает приемлемость этой гипотезы. Связанные
с нею возможные погрешности невелики и на основании приведенных
там данных И.Е. Прокоповича могут быть оценены в 5 - 6%.
§ VIL3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛ-
ЗУЧЕСТИ БЕТОНА. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ПРИ НАЛИЧИИ
ВЫНУЖДЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Рассмотрим основные уравнения линейной теории ползучести
бетона Т.Н. Маслова - Н.Х. Арутюняна применимо к проблеме тем-
пературно-усадочных напряжений. Вначале ограничимся одномерной
задачей осевого сжатия (растяжения) бетонного бруса. В этом случае
рассматриваемая теория исходит из экспериментальных кривых удель-
ной осевой относительной деформации бетона 5 (t, т), которые предпо-
лагаются заданными (рис. 73, а).
Функция 5 (t, т) определяет собой полную относительную дефор-
мацию призматического бруса, наблюдаемую к текущему моменту вре-
мени t, вызываемую единичными напряжениями, приложенными в
некотором возрасте бетона т. Деформация 5(t,x), таким образом, вклю-
чает в себя соответствующие деформации: упругую и деформацию пол-
зучести, развивающуюся за время t - т, отнесенные к единице напря-
жения.
Будем считать, что брус претерпевает еще дополнительно отно-
сительную деформацию е° (t), вызываемую некоторыми дополнитель-
ными факторами несилового характера, например изменениями тем-
пературы (температурное сокращение) или влажности (усадка) за вре-
мя t — т . Такую деформацию мы будем в дальнейшем называть вынуж-
денной. Тогда в соответствии с первой и второй рабочими гипотеза-
ми, рассмотренными в § VII.2, для полной относительной деформа-
ции бруса, загруженного в момент времени Tj будем иметь выражение1
e(t) = s°(t)+a(Ti)5(t,Ti)+5(t,r)dT (VIL10)
т(
1 Знак вынужденной деформации £° (t) считается в данном случае совпадаю-
щим со знаком деформации силовой £(t) - £°(t), т.е. деформации, вызыва-
емой действием напряжений а(Т|).
275
или, интегрируя по частям и принимая во внимание, что
5(,’t)=^- (VII.11)
e(t)-e°(t) = g|-jO(T)^ 8(t’T)dT (VII.12)
Уравнения (VII. 10), (VII. 12) выражают собой в интегральной
форме сформулированный выше принцип наложения воздействий и
для случая температурной деформации были получены Г.Н. Масловым
[192].
Из уравнения (VII. 12) следует, что полная продольная напря-
женная деформация бруса E(t)-е° (t) слагается из упругой деформации
o(t)
£> = вд (VH.13)
и деформации ползучести
En(t) = -jo(T)^ 5(t,r)dT. (VII. 14)
т,
Так как в соответствии с правилом знаков, принятым в уравне-
нии (VII. 10), в интервале времени т. <t<°° 4-5(t,x) имеет знак, об-
ей:
ратный знаку напряжений о(т), то деформация ползучести, вычислен-
ная по формуле (VII. 14), всегда положительна. Таким образом, пол-
ная продольная деформация бруса вследствие ползучести бетона всегда
больше его соответствующей упругой деформации.
Уравнение (VII. 12) часто называют интегральным уравнением
Вольтерра второго рода относительно искомых неизвестных напряже-
ний o(t) и его решение записывают в форме
a(t) = |e(t)— е° (t)]E(t) +1 |е(г) - е° (т) ]p(t, т)<1т. (VII. 15)
т(
При этом функцию Р (t,x)считают резольвентой ядра
K(t, т)= — 5(t,x) уравнения (VII. 12). Строго говоря, уравнение (VII. 12)
дт
в записанном таким образом виде не является интегральным уравнени-
276
ем Вольтерра, а функция Р (t, т) в уравнении (VII. 15) не есть резольвен-
та его ядра. Это вытекает из того факта, что, как известно из теории
интегральных уравнений, ядро уравнения Вольтерра L(t,x) и его ре-
зольвента R(t,z) должны быть связаны соотношением
L(tA)-R(t,t)=jRft,T)L(t,^, (VII. 16)
из чего следует, что ядро L(t, т) и резольвента R(t, т) должны иметь
одну и ту же размерность. Функции же K(t, т) и P(t, т), как нетрудно
видеть, имеют разную размерность, а именно
[K(t,t)]=[—!—1. [p(t,X)]=[— .
МПа • сут ’ сут
Поэтому, чтобы удовлетворить этому требованию, уравнения
(VII. 12) и (VII. 15) следует записать в виде
e(t)-e0(t)=g| + j|^L(t,T)dT; (VII.17)
т|
= E(t)-e°(t)-||e(T)-e0(t)]R(t,T)dt, (VII. 18)
где ядро
Щ,т)=-Е(т) ^-8(t,t) . (VII. 19)
ОТ
При такой форме записи (VII. 17) и (VII. 18) основных уравнений
теории ползучести первое из них уже будет интегральным уравнением
o(t)
Вольтерра второго рода относительно упругих деформаций , а фун-
кция R(t, т) будет резольвентой его ядра L(t, т); обе эти функции будут
иметь одну и ту же размерность
[L(t,r)]= [R(t,x)]= (VII.20)
и удовлетворять соотношению (VII. 16).
Запись основных уравнений теории ползучести в форме (VII. 17)
и (VII. 18) свободна от указанных выше недостатков и является обще-
принятой.
Ввиду важности уравнений (VII. 17) и (VII. 18) укажем другой воз-
можный путь их построения.
277
По аналогии с полной единичной напряженной деформаци-
ей 5(t,x) (рис. 73, а) введем в рассмотрение полные единичные напря-
жения p(t, т) (рис. 73, б) [16]. Под полными, единичными напря-
жениями p(t, т) будем понимать напряжения, которые в любой момент
времени наблюдения t необходимо иметь в призматическом бетонном
брусе для поддержания неизменной во времени его полной единичной
относительной напряженной деформации, сообщенной ему в возрасте
бетона т.
Допустим, что призматическому брусу в момент времени, со-
впадающей с возрастом бетонах = т,, с помощью напряжений сообще-
Рис. 73. Кривые осевых деформаций и напряжений бетонного бруса:
а — единичных деформаций: 1 - упруго-мгновенных, возникающих в
момент загружения [кривая 1/Е( т )]; 2 — полных, развивающихся
вследствие ползучести; 3 — случаи загружения бруса — постоянные
во времени напряжения; 4 — то же, переменные напряжения; б —
кривые единичных напряжений: 1 — упруго-мгновенных, возникаю-
щих в момент создания деформации [кривая Е( т )]; 2 — полных, раз-
вивающихся вследствие релаксации; 3 — случаи деформирования бруса
— постоянная во времени напряженная деформация; 4 — то же, пере-
менная напряженная деформация.
278
на напряженная деформация е(т, )- е° Cq), которая в последующем со-
храняется неизменной (рис. 73, б). Тогда в соответствии с первой и
второй рабочими гипотезами, рассмотренными в § VII.2, для полных
напряжений в брусе мы будем иметь
a(t,T|) = |sft| )-s°(T| )]p(t,T|), (VII.21)
где £° (t) — вынужденная деформация бруса одного из указанных выше
типов.
Рассмотрим теперь другой случай, когда в момент времени с помо-
щью напряжений брусу сообщена напряженная деформация е (т t)—е 0 (т!),
которая затем под их влиянием изменяется с течением времени по за-
кону E(t)-8° (t) (рис. 73, б).
Разбивая интервал времени t - т, на равные промежутки Дт и
заменяя кривую напряженных деформаций E(t)- е° (t) ступенчато лома-
ной линией (рис. 73, б), будем иметь
8(t)~ е° (0 = е(т, )-е° (т,)+ ^д[е(^)-£°(т,)] (VII.22)
Так как приращения напряженных деформаций д[е(тО-Е°(^)]
происходят в различных возрастах бетона, то полные напряжения в брусе
к текущему моменту времени t на основании второй и четвертой рабо-
чих гипотез §VII.2 мы найдем также в виде суммы
c(t) = ^(T1)-E0(t|)]p(t,Tl) + ^A^(Ti)-e0(Ti)]p(t,Ti). (VII.23)
Ti=T|
Устремляя Дт —> о и переходя к пределу, получим формулу для
полных напряжений o(t), относящуюся к случаю непрерывно изменя-
ющихся напряженных деформаций E(t)- 8° (t),
c(t) = )-е°(т, )]p(t,T,)+|^- ^(T)-e°(T)]p(t,t>dT (vn 2Д)
T|
или, интегрируя по частям и принимая во внимание, что p(t,-r)=E(t),
c(t)= ^(t)-E0(t)]E(t)-j’|e(T)-E0(T)]^p(t,t)dT. (VII.25)
т,
Наконец, вводя обозначение
R(t,T)=E(t) ^P(t,X), (VII.26)
279
перепишем уравнение (VII.25) в виде
^7 = £(t)-e°(t)- f^(r)-E°(T)]R(l,T)dr, (VII.27)
E(t) ’
что полностью совпадает с (VII. 18). Рассматривая это уравнение как
интегральное уравнение Вольтерра второго рода, найдем его решение в
e(t)-e°(t) = ^ + j^L(t>t)dT; (VII.28)
совпадающем с (VII. 17), где L(t, т) - резольвента ядра R(t,x), отыс-
киваемая на его основе по уравнению (VII. 16).
Таким образом, функции L(t, т) и R(t, т) попарно взаимны и
каждая из них может рассматриваться как ядро или резольвента соот-
ветствующего интегрального уравнения (VIL27) или (VII.28) в зависи-
мо
мости от того, какая из двух входящих в них функции и e(t)-£0 (t)
задана, а какая является искомой. Если заданы относительные напря-
o(t)
жения и отыскиваются относительные деформации e(t)- 8° (t), яд-
ром является функция R(t, т), а резольвентой — функция L(t, т), если
o(t)
же заданы деформации e(t)- 8° (t) и отыскиваются напряжения ,
то, наоборот, ядром служит функция L(t, т), а резольвентой — функ-
ция R(t, т).
Интегральные члены в уравнениях (VII.27) и (VIL28) являются
функционалами, т.е. отражают всю историю деформирования или на-
гружения бруса на интервале времени t — т, или, лучше сказать, насле-
дуют к данному моменту наблюдения t эффект этих процессов на всем
этом отрезке времени. При заданном законе деформирования или на-
гружения бруса степень этого эффекта зависит от физических особен-
ностей материала, отражаемых функциями L(t,x) и R(t,x), поэтому
эти функции мы будем называть наследственными функциями бетона
соответственно первого и второго рода.
Наследственная функция первого рода L(t, т) всегда может быть
найдена на основании зависимости (VII. 19) по экспериментальным
кривым полной удельной осевой относительной деформации бетонно-
го бруса 8(t,x). Аналогичным образом на основании зависимости
(VI 1.26) по экспериментальным кривым полных единичных напряже-
280
ний p(t, т) всегда может быть найдена наследственная функция бетона
второго рода R(t, т).
Из выражений (VII. 19) и (VII.26) следует, что эти функции не
зависят ни от величин, ни от характера изменений напряжений и де-
формаций бетона, а являются физическими характеристиками его уп-
руго-ползучих свойств. В связи с тем, что наследственные функции
бетона L(t, т) и R(t, т) играют огромную роль в линейной теории пол-
зучести, ниже в § VII.4 особо рассматривается их физический смысл.
§ VII.4. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НАСЛЕДСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ БЕТОНА
Для того чтобы выяснить физический смысл наследственной
функции влияния первого рода L(t, т), обратимся к простейшему слу-
чаю деформирования призматического бруса. Сообщим этому брусу в
момент времени т продольную единичную относительную упругую де-
формацию е(т) = 1, выдержим неизменной эту деформацию в течение
некоторого малого отрезка времени Дт и, полностью сняв ее в момент
времени т + Дт, будем наблюдать полную деформацию бруса в теку-
щий момент времени t > т + Дт, вызванную действием этого единич-
ного импульса 1 • Дт упругой деформации.
Вследствие малости Дт можно пренебречь изменением упругих
свойств тела на этом отрезке времени и считать, что Е( т + Дт) = Е( т).
При этом, для того чтобы осуществить указанную операцию, мы дол-
жны будем приложить к брусу осевые напряжения о(т) = Е(т)в мо-
мент времени т , выдержать их неизменными в течение указанного ма-
лого отрезка времени Дт и снять их полностью в момент времени т + Дт -
Введем в рассмотрение некоторую функцию L, определяющую
собой эффект действия рассмотренного единичного импульса предше-
ствующей упругой деформации 1 • Дт на полную деформацию бруса,
наблюдаемую в текущий момент времени t и выражающую эту дефор-
мацию в долях от указанного импульса.
Вначале предположим, что материал тела идеально упруг. Тог-
да, очевидно, полная деформация тела в момент времени т + Дт будет
равна упругой деформации, сообщенной ему в момент времени т
е(т+ Дт) = е(т) = 1, (VII.29)
поэтому после снятия этой деформации в любой момент времени t > т + Дт
деформация тела будет равна нулю (рис. 74, а), а следовательно, будет
равна нулю и функция L. Таким образом, для идеально упругого тела
281
Рис. 74. Напряжения и деформации бруса при действии единичного импульса
1 • Дт: а — упругой деформации; б — полной деформации.
функция L тождественно равна нулю.
По-иному в этих условиях будет обстоять дело в случае упруго-
ползучего тела, каковым является бетон, обладающий свойствами пол-
зучести и последействия. При сохранении неизменной в течение от-
резка времени Дт упругой единичной деформации, а следовательно,
неизменных напряжений o(t) = E(t), в нем к моменту времени т + Дт
разовьется некоторая деформация ползучести еп (т + Дт), таким обра-
зом, к этому моменту времени мы будем иметь полную деформацию
бетона
Еполн (т+ Дт) = 1 + Еп (т+ Дт) * Бу (т). (VII.30)
Поэтому при снятии единичной упругой деформации в момент
времени т + Дт в нем останется остаточная деформация еп(т + Дт),
которая затем вследствие последействия начнет изменяться (убывать) с
течением времени (рис. 74, а). При этих условиях деформация в мо-
мент времени наблюдения t будет отлична от нуля и ее величина будет
282
определяться функцией L, уже не равной в этом случае нулю.
Таким образом, введенная нами в рассмотрение функция представляет
собой функцию влияния, связанного с ползучестью бетона, единич-
ного импульса предшествующей упругой деформации, действовавшего
в возрасте бетона т на его полную деформацию, наблюдаемую в мо-
мент времени t.
При фиксированном т величина функции L будет зависеть от дли-
ны промежутка t — т, т.е. от t, а при выбранном t по тем же соображе-
ниям она будет зависеть от т, таким образом, в общем случае линей-
но-деформируемого упруго-ползучего тела, свойства которого не ин-
вариантны относительно начала отсчета времени (стареющий бетон),
мы будем иметь
L = L(t, т), (VII.31)
т.е. функция L в явном виде одновременно будет зависеть и от времени
наблюдений t и от возраста бетона т.
Зная L(t, т), мы можем всегда определить полную деформацию в
момент времени t, вызываемую рассмотренным выше импульсом 1 • Дт
упругой деформации, по формуле
Деп (t) = L(t, т) • 1 • Дт. (VII. 32)
Рассмотрим теперь случай, когда предшествующая упругая деформа-
ция ey(t) на всем интервале t — т отлична от нуля и переменна (рис. 75).
Очевидно, этому случаю соответствует загружение бруса напряжения-
ми a(t) = eo(t)E(t).
Разбивая интервал t — т на малые равные отрезки Дт и представ-
ляя кривую изменения предшествующей упругой деформации в виде
непрерывного ряда последовательных импульсов
*Ь>Дг
E(Tj)
интенсивно-
&упр (V
СТЬЮ eo(Ti)“
g(Tj)
Efr)
по принци-
пу наложения воздействий сум-
марную полную деформацию к
Рис. 75. Представление перемен-
ной упругой деформации
Еупр (t) в виде суммы ко-
нечного числа импульсов
Е(т)
£(trj
О
283
моменту наблюдения t, вызываемую эффектом действия предшеству-
ющих импульсов, найдем в следующем виде
£п(0= (VII.33)
Устремляя Дт 0 и переходя к пределу, получим следующую
формулу для указанной суммарной деформации еп (t), относящуюся к
случаю непрерывно изменяющихся упругих деформаций до момента вре-
мени t и полностью снятых в этот момент времени
6"(t) = ^io)L(t’T)dT' (VII.34)
Если мы хотим подсчитать полную деформацию бруса в момент
наблюдения t, то мы должны еще учесть упругую деформацию, возвра-
щаемую в это время
/ ч а(0
(VII.35)
Таким образом, полная продольная деформация е (t) бетонного
бруса в момент времени наблюдения t будет равна
Действительно, если бы наше тело было идеально упругим, то
предшествующие импульсы упругой деформации не влияли бы на ве-
личину полной деформации в момент времени t и она была бы целиком
равна упругой деформации (VIL35) в этот момент времени. Так как
наше тело обладает ползучестью, то предшествующие импульсы дадут
дополнительную составляющую этой деформации (VII.34), и мы полу-
чим поэтому полную деформацию в текущий момент времени t в виде
суммы (VII.36).
Сравнивая уравнения (VII. 17) и (VII.36), мы видим их полное
тождество в случае отсутствия вынужденной деформации [е° (t) = о]. Это
позволяет нам теперь дать следующее определение физического смысла
наследственной функции первого рода L(t, т).
Наследственная функция первого рода L(t,T) представляет собой
функцию влияния единичного импульса 1 • dx предшествующей упругой де-
формации, действовавшего в возрасте бетона т на полную деформацию
бетона, наблюдаемую в момент времени t > т. Именно такое определе-
ние этой функции было дано А.А. Гвоздевым [108].
284
Величина деформации Деп (t), вызываемая действием единич-
ного импульса 1 • d т предшествующей упругой деформации Еу (t), за-
висит от величины деформации ползучести en (t), натекающей за вре-
мя d т при загружении бруса этим импульсом в возрасте бетона, и по-
этому оказывается тем большей, чем меньше т. Кроме того, она зави-
сит от степени эффекта последействия и поэтому возрастает при умень-
шении t - т. В связи с этим функция L(t, т) при фиксированном t =
t = const графически должна изображаться кривой L = L(tj5 т), имею-
щей вид провисшей нити с крутовосходящими левой и правой ветвями.
Теперь, применив аналогичные рассуждения, выясним физи-
ческий смысл наследственной функции второго рода R(t, т). Сообщим
брусу в момент времени т единичный импульс 1 • д?, но уже не упру-
гой, а полной продольной деформации е (t) = 1, выдержим эту де-
формацию неизменной в течение малого отрезка времени Дт и, полно-
стью сняв ее в момент времени т + Дт (рис. 74, б), будем наблюдать за
упругой деформацией бруса в текущий момент времени t > т + Дт,
вызванной действием этого единичного импульса полной деформации.
Для того чтобы создать единичную деформацию в момент време-
ни т, мы должны будем в это время приложить к брусу напряжения
о (т) = Е( т). Так как мы на этот раз в течение времени Дт сохраняем
уже неизменной не упругую, а полную деформацию е (t) = 1, то эти
напряжения на этом отрезке времени Дт будут уменьшаться (релакси-
ровать).
Для снятия полной единичной деформации е (t) = 1 в момент
времени т + Дт мы должны будем приложить к брусу осевые напряже-
ния о(т) = Е(т) обратного знака, часть которых погасит оставшуюся
долю первоначально приложенных напряжений о (т) = Е(т), в ре-
зультате мы получим в брусе некоторые напряжения обратного знака.
Так как в дальнейшем мы предполагаем полную деформацию бруса не-
изменной, т.е. закрепленной на уровне е (t) = 0, то эти напряжения в
свою очередь будут релаксировать и в момент времени t от них останется
только некоторая доля о (t) (рис. 74, б).
Если мы разделим текущие ординаты полученного графика на-
пряжений o(t) на текущие значения модуля E(t), то получим подоб-
ный ему график упругих деформаций бруса Еу (t) (рис. 74, б), по-
скольку между ними и напряжениями о (t) существует связь (VII. 13).
285
Введем теперь в рассмотрение некоторую функцию R, определя-
ющую собой эффект действия рассмотренного единичного импульса
предшествующей полной деформации 1 • Дт на упругую деформацию
бруса, наблюдаемую в текущий момент времени t, и выражающую эту
деформацию в долях от указанного импульса.
Для идеально упругого тела полные деформации равны деформа-
циям упругим, поэтому в этом случае функция R совпадает с функци-
ей влияния L и, как было уже показано выше, тождественно равна
нулю.
Для бетона, обладающего свойствами ползучести и релакса-
ции напряжений, функция R отлична от нуля и представляет собой
функцию влияния, связанного с релаксацией напряжений, еди-
ничного импульса предшествующей полной деформации, дей-
ствовавшего в возрасте т , на его упругую деформацию, наблюда-
емую в момент времени t.
Нетрудно видеть, что функция R, так же как и функция L, в
общем случае упруго-ползучего тела, свойства которого не инвариант-
ны относительно начала отсчета времени (стареющий бетон), в явном
виде будет зависеть от времени наблюдения t и возраста бетона т
R = R(t, т). (VII.37)
Зная R(t, т), мы можем всегда определить упругую деформацию
в момент времени t, вызванную рассмотренным выше импульсом 1 • д?
полной деформации, по формуле1
Aey(t) = -R(t, т)1Дт. (VII.38)
Рассмотрим теперь случай, когда предшествующая полная дефор-
мация е (t) на всем интервале t - т отлична от нуля и переменна. Разо-
бьем интервал t - т на малые равные отрезки Дт и представим
кривую изменения предшествующей полной деформации в виде не-
прерывного ряда последовательных импульсов интенсивностью е (Tj),
аналогично тому, как это сделано на рис. 75. Тогда по принципу на-
ложения воздействий суммарную упругую деформацию к моменту
наблюдения t, вызванную эффектом действия этих предшествую-
щих импульсов, найдем в следующем виде
sy(t) = -^e(Ti)R(t,Ti)lAT. (VII.39)
1 Знак минус в формуле (VII.38) введен потому, что упругая деформация
Л£у (t) и предшествующая полная деформация е (т) = 1 имеют разные
знаки (рис. 74, б).
286
Устремляя Дт -»0 и переходя к пределу, получим следующую
формулу для указанной суммарной упругой деформации еу (t), относя-
щуюся к случаю непрерывно изменяющейся до момента времени t пол-
ной деформации е (t) и полностью снятой в этот момент времени
6y(t) = -je(T)R(t,T)dT. (VII.40)
т,
Полная упругая деформация в момент времени t, численно рав-
<?(t)
ная , с учетом (VII.40) и возвращаемой в это время полной дефор-
мации е (t), будет равна
~ = E(t) - fе(т)R(t,т)di. (VII.41)
E(t) '
Действительно, если бы наше тело было идеально упругим, то
предшествующие импульсы полной деформации не влияли бы на
величину полной упругой деформации в момент времени t и она
была бы численно равна полной деформации е (t) в этот момент
времени. Так как наше тело обладает свойством релаксации на-
пряжений (упругих деформаций), то предшествующие импульсы
полной деформации уменьшат эту деформацию на величину (VI1.40)
и мы получим поэтому полную упругую деформацию в текущий момент
времени t в виде алгебраической суммы (VII.41).
Сравнивая уравнения (VII. 18) и (VII.41), мы видим их тожде-
ство в случае отсутствия вынужденной деформации [е° (t) = о]. Это по-
зволяет нам теперь дать следующее определение наследственной функ-
ции второго рода R(t, т). Наследственная функция второго рода R(t, т)
представляет собой функцию влияния единичного импульса 1 • d т пред-
шествующей полной деформации, действовавшего в возрасте бетонах,
на упругую деформацию бетона, наблюдаемую в момент времени t > т.
Величина деформации Aey (t), вызываемая действием единич-
ного импульса предшествующей полной деформации е (т), зависит от
степени релаксации напряжений (упругой деформации) за время d т
при загружении бруса этим импульсом в возрасте бетона т и поэтому
оказывается тем меньшей, чем меньше т. Кроме того, она зависит от
степени эффекта релаксации на интервале времени t - (т + di) и потому
возрастает при уменьшении t — т. В связи с этим функция R(t, т) при
287
фиксировании t = t. = const графически должна изображаться кривой
R - R(t., т), имеющей вид нити, закрепленной в точке т = 0 и припод-
нятой за правый конец т = t.
Геометрически функции L(t,x) и R(t, т) можно интерпре-
тировать как пространственные поверхности влияния в соответ-
ствующих трехмерных пространствах (L, t, т) и (R,t, т), имеющие
вид, изображенный на рис. 76. Существенной особенностью этих
поверхностей является то, что они ограничены двумя сходящи-
мися на осях L или R плоскостями: координатной т = 0 и биссек-
горной t = т, образующими бесконечно простирающийся клин в
положительном направлении осей t, т. За пределами биссекторной
плоскости t = т, т.е. при т > t, по своему физическому смыслу
функции L(t, т) и R(t, т) тождественно равны нулю.
Кривые L( т) и R( т) при t = const, представляющие собой ли-
нии пересечения поверхностей влияния L(t,x) и R(t, т) с семейством
плоскостей t = t = const, условно совмещенные на одном плоском гра-
фике, показаны на рис. 77. В таком виде эти кривые эксперимен-
тальным путем были получены А.В. Яшиным [295]. Они относятся к
невысыхающему бетону состава (по весу) 1:3:4,5, В/Ц = 0,62 на порт-
ландцементе активностью 35 МПа.
Своеобразное очертание поверхностей влияния L(t, т) и R(t, т),
изображенных на рис. 76, указывает на то, что напряжения, дей-
ствовавшие на бетон или сообщенные ему деформации совсем не-
давно, а также те, которые были приложены или соответственно
сообщены ему в молодом возрасте, оставляют значительный след
к данному моменту времени наблюдения, тогда как влияние на-
пряжений, прикладываемых в промежуточный период, или деформа-
ций, создаваемых в это время, в значительной степени стирает-
ся. На это важное обстоятельство указал А.А. Гвоздев [108].
Экспериментально доказано [90, 141, 152], что ползучесть бето-
на даже при очень высоких напряжениях, близких к разрушающим,
носит затухающий характер. Это обстоятельство накладывает на функ-
ции влияния L(t,x) и R(t,x) определенные требования, а именно,
величины интегралов
|L(t,x)dT и j R(t,x)dx (VII.42)
должны быть конечными при любых t > т и, в частности, при t -> «>.
Несоблюдение этого условия может привести к постулированию
288
Рис. 76. Поверхности влияния: а - первого рода L(t, т); б — второго рода
Рис. 77. Наследственные функции влияния бетона: а — первого рода L(t, т );
б - второго рода R(t, т).
289
незатухающей ползучести, что не наблюдается у бетона1.
Например, функция влияния Ю.Н. Работнова [231]
Г(1-а)
хорошо описывающая ползучесть металлов, к бетону неприменима, ибо
интеграл
iL(t’T)dT=(l-aX(l-a)(t~T)'~a (VII.43)
при1->«> расходится.
В заключение настоящего параграфа отметим, что уравнения
(VII. 17) и (VII. 18) получены с помощью принципа наложения воздей-
ствий на основе полной единичной относительной деформации S (t, т)
рассматриваемого бруса, поэтому указанный физический смысл наслед-
ственных функций бетона L(t, т) и R(t, т) в широком смысле слова
связан с применимостью этого принципа и утрачивается, если она
отвергается.
§ VII.5. ОБЩАЯ ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
УПРУГО-ПОЛЗУЧЕГО ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ВЫНУЖДЕННЫХ
ДЕФОРМАЦИЙ
Выяснив физический смысл функций влияния L(t, т) и R(t, т),
перейдем к уравнениям линейной теории ползучести, относящимся к
случаю сложного напряженного состояния бетона при вынужденных
деформациях.
При исследовании этого напряженного состояния методами тео-
рии ползучести приходится вводить в рассмотрение коэффициенты по-
перечной деформации Vj (т) и v2 (t, т) соответственно для упругой и
неупругой частей деформации. При этом для общности полагают, что
коэффициент Vj (т) зависит только от возраста т бетона, а коэффи-
циент v2 (t, т) — как от возраста т, так и от продолжительности дей-
ствия нагрузки t — т. В этих случаях также, кроме модуля осевой уп-
руго-мгновенной деформации Е( т) и полной единичной продольной
1 В некоторых случаях можно допустить у L(t, т) и R(t, т) особенность в
точке t = т. Однако характер этой особенности должен быть таким, чтобы
выполнялось указанное выше условие для интегралов (VII.42). Этот прием
иногда используется в теории наследственности [235, 239, 240].
290
деформации S (t, т) (VII.6), приходится рассматривать еще модуль уп-
руго-мгновенных деформаций сдвига (VII.2) и полные единичные по-
перечную деформацию 5] (t, т) (VII.7) и деформацию сдвига 62 (t, т)
(VII.8).
При V] (т) * v2 (t, т) уравнения совместности деформаций тела
в теории ползучести получаются весьма сложными [23] и, главное, об-
разуют собой совместную систему интегро-дифференциальных уравне-
ний, решение которой наталкивается на большие математические труд-
ности. Поэтому удобно пока пользоваться условием (VI 1.3), принятие
которого, во-первых, как это было показано в § VII. 1, приводит к
незначительным погрешностям, во-вторых, существенно упрощает
решение задач теории ползучести, поскольку при этом указанная выше
система совместных уравнений теории ползучести распадается на неза-
висимые и более простые уравнения.
Используя условие (VI 1.3) и вытекающие из него соотношения
(VII.9), выпишем основные уравнения линейной теории упруго-пол-
зучего тела при наличии вынужденных деформаций, относящихся к
случаю его сложного трехосного напряженного состояния.
Для того чтобы составить эти уравнения, необходимо кроме ги-
потез линейной теории ползучести, сформулированных в § VII.2, вве-
сти еще дополнительно следующие рабочие предпосылки:
1) напряженные деформации е* (t),... ,yxy(t),..., вызываемые
действием собственно напряженний, и деформации вынужденные
ех (t),..., уху (t),... малы и не зависимы друг от друга;
2) упругие характеристики материала v , Е( т) и G( т) не зави-
сят от величин вынужденных, деформаций и прйчин, их вызы-
вающих (температуры, влажности и т.п.);
3) скорости вынужденных деформаций невелики, в связи с чем
ускорениями перемещений и, о и w точек тела можно пренебречь.
Применение первой предпосылки вполне обосновано, так как
обычно указанные деформации бетона невелики, что позволяет при-
менять для анализа его напряженно-деформированного состояния ма-
тематический аппарат линейной теории ползучести и алгебраически сум-
мировать напряженные и вынужденные деформации.
Вторая гипотеза также вполне применима к бетону, если в соот-
ветствии с первой предпосылкой рассматривать весьма малые вынуж-
денные деформации, не приводящие к микронарушениям сплошности
материала и вызывающие напряжения, не превышающие его предела
291
упругости, а также исключить из рассмотрения значительные измене-
ния температуры и влажности бетона, как мы условились выше.
Наконец, третья гипотеза также применима к бетону, так как
вследствие низких значений величин его тепло- и влаго-физических
характеристик (см. § 1.3 и § V.3) изменения температуры и влажности
бетона происходят очень медленно, вследствие чего инерционным эф-
фектом упругих сил вполне можно пренебречь.
В дополнение к изложенному условимся в дальнейшем считать,
что поверхностные и объемные силы отсутствуют, сосредоточив свое
внимание лишь на напряжениях и деформациях тела, вызываемых только
его вынужденными деформациями.
При указанных предпосылках напряженно-деформированное со-
стояние рассматриваемого упруго-ползучего тела будет определяться
напряжениями1
ах (t), oy(t),oz(t);
Тху(0 = T*x(t), Txz(t) = x*x(t), T*2(t) = T*y(t),
деформациями
e*x (0, £*y (0, £*z (t);
Yxy(0> Yxz (t), Y*yz(t)
и средними вращениями
Эу dz
y dz dx
dx dy
(VII.44)
(VII.45)
(VII.46)
где u*(t), D*(t), и w*(t) — перемещения точек тела в направлении коор-
динатных осей х, у и z соответственно.
При этом между деформациями и напряжениями существует сле-
дующая связь [18, 49]’
1 Здесь и всюду в дальнейшем символом ..... (х, у, z) указывается, что
остальные однотипные зависимости получаются последовательной круго-
вой заменой х на у, у на z и z на х.
292
x x E(t)
|[(1 + vK(t) -vS-(t)]
J E(z)
.........................(x,y,z);
Y‘xy(t)= T°xy(t) +2[^^-+
L Ew
+ |~(1 + УК-(т) L(t,T)dx ;
J E(t)
(VII.47)
S’(t)=о‘х (t) + oJ(t) + oz*(t) (VII.48)
и L(t, т) - наследственная функция первого рода (VII. 19); деформации
удовлетворяют обычным уравнениям совместности:
d2^ (О d2s’v(t) _ d2y'xv (t)
Эу2 Эх2 ЭхЭу
..................(x,y,z);
2 (0 - d d?;z(t) t ay‘z(t) , dy^(t)
dydz Эх Эх Эу Эг
.............................................(x,y,z)
и связаны с перемещениями формулами
(VII.49)
♦ Эи*(О • du*(t) • dw*(t)
ex(0 = ~vL2; ey(t) = —-ez(t)=^A2; (VIL50)
Эх Эу oz
3 Эу Эх
YyzU Эг Эу ’
/ I- 3w*(t>
YxzU dz дх ’
а напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия
(VII.51)
293
э°х (0 + Эт’ху (О + Э<(0 = 0;
Эх Эу Эг ’ (VII.52)
..................(x,y,z).
Кроме того, должны удовлетворяться соответствующие гранич-
ные условия.
В тех случаях, когда решение задачи о напряженно-деформиро-
ванном состоянии упруго-ползучего тела проводится в напряжениях,
необходимо располагать уравнениями совместности, выраженными в
напряжениях. Эти уравнения можно получить, если внести в уравне-
ния совместности (VI 1.49), выраженные в деформациях, значения де-
формаций, взятые из закона Гука. Мы их выпишем в готовом виде,
так как они нам понадобятся в дальнейшем. Эти уравнения имеют вид:
[1 + v,(t)]v2 < (t) + - E(t) 2 о'х (т)х
х у [8(t, г) + 8, (t, т)]+ U = £2 х (t);
Эх Эх2 дх J
(VII.53)
[1 + v,(t)]v2t;y (0 + - E(t) j Р <у (г)х
’ дхЭу '
Эх дхду дх J
(VII.54)
(х, y,z)
где
Q (t)=
l-v,(t)
9^°x(t) 32e°y(t)
Эу2 Эх2
a2r?y(t) ,v ,й^(0, Э%0)
дхду 1 dydz dzdx
j!4<0-V|(t) ^2gz(0_
dz2 U dy2
Э2е°(0 92e°(t)
dz2 Эх2
...................................................(x,y,z);
(VII.55)
294
n m-E<‘) э T°z(t) +32v“z(t) d2y°v (t)
x/ )_ 2 dxdz + dydz dz2
д2л/0 3^£^(t)
ЭхЭу
.............................(x,y,z).
(VII.56)
Уравнения (VIL53) и (VTI.54) выписаны для общего случая Vj(t)
* v2(t,r).
В заключение отметим следующее. Полные напряжения, деформа-
ции и смещения в общем случае всегда являются функциями координатточек
х, у, z и времени t. Начиная с этого параграфа, мы, как это принято, для
сокращения записи будем указывать только их зависимость от времени t и
снабжать их звездочкой, т. е. писать о* (t), ...,ех (t),... ,u*(t),...
Это делается для того, чтобы отличить эти длительные полные
напряжения о* (х,у,z,t),деформации Е* (х, у, z,t), ... и перемеще-
ния и*(х,у,z,t),... , связанные с ползучестью бетона, от соответствую-
щих кратковременных напряжений ох(х,у,z,t),..., деформаций
ех (х,у,z,t),... ,и перемещений u(x,y,z,t),..., упруго-мгновенной зада-
чи, рассмотренной в главах VIII и IX, не зависящих от ползучести и
отыскиваемых по уравнениям теории упругости.
§ VIL6. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ
МЕТОДА РЕШЕНИЯ РАССМАТРИВАЕМЫХ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
В современной линейной теории упруго-ползучего тела Г.Н. Мас-
лова — Н.Х. Арутюняна весьма важным является понятие об упруго-
мгновенных напряжениях и деформациях, являющихся решением так
называемой упруго-мгновенной задачи теории упругости. Эту задачу и
связанную с ней терминологию ввел в рассмотрение Н.Х. Арутюнян
[49]. Он предложил упруго-мгновенной задачей теории упругости на-
зывать задачу о напряженно-деформированном состоянии идеально
упругого и, следовательно, не обладающего ползучестью тела с упру-
гими коэффициентами, зависящими от времени, вызываемом воздей-
ствием поверхностных и объемных сил или вынужденных деформаций,
считая при этом действие этих сил статическим, т.е. рассматривая время
как параметр.
295
Н.Х. Арутюнян показал, что для такой задачи сохраняются обыч-
ные уравнения равновесия, граничные условия и уравнения совмест-
ности, выраженные в напряжениях, для чисто упругого тела, в их
обычной форме при условии, что в последних уравнениях упругие ко-
эффициенты (постоянные) Е и v заменяются функциями E(t) и v (t).
Например, в случае простого одноосного сжатия обычная связь между
напряжениями и деформациями в форме закона Гука
е = £ (VII.57)
Г.
полностью сохраняется, но переписывается в форме
€(‘)=ад' (VII.58)
Большая заслуга Н.Х. Арутюняна состоит в том, что он, введя в
рассмотрение указанную упруго-мгновенную задачу, обобщил извест-
ный принцип Вольтерра на случай упруго-ползучего тела, одновремен-
но обладающего свойствами наследственности и старения, и показал,
что при некоторых условиях напряженно-деформированное состояние
такого тела, вызываемое факторами, связанными с изменением его
деформаций (температурными воздействиями, усадкой и т.п.), одно-
значно определяется с учетом ползучести и изменяемости модуля упруго-
мгновенной деформации полными напряжениями о* (t),..., т*у (t),..., отыс-
киваемыми на основе соответствующих напряжений о х (t), ..., т ху (t),...,
упруго-мгновенной задачи для этого же тела.
Сравнив правые и левые части уравнений совместности упруго-
ползучего тела (VI 1.53), (VII.54) и воображаемого идеально упругого
тела, не обладающего ползучестью (VIII.9), при одних и тех же задан-
ных вынужденных деформациях, Н.Х. Арутюнян получил следующую
систему совместных интегро-дифференциальных уравнений [49]
[1 + V,(t)]v2 ах (0+ = & + V!(t)]v2 a* (t)+
dx
+^)_E(t)j{v2a;wa[5(t>t)+ ]+
ох т, 1 Эт
+ э_., Xa2s’(x)l,
+ —8(t,T)
dr dx I
............................(x.y,z);
(VII.59)
296
[1 + v, (t)]v2 r xy (t) + Э^° = [1 + v, (t)]v2 т *ху (t) +
+ ^-E(,)i{V2<x(T)^kt,z) + 81(l.t)F .
45(t,t)^)L
Эт дхду
................................ (x,y,z).
где
S*(t)=G* (t) + G*(t) + oz*(t); S (t) = ax (t) + ay(t) + oz (t)
(VII.60)
(VII.61)
s1(t,T) = . (vn.62)
C-(T)
Кроме уравнении (VTI.59), (VII.60) напряжения ax (t), ...,тху (t),...,
должны еще, очевидно, удовлетворять однородным уравнениям рав-
новесия (VII.52) и граничным условиям
о* (t)cos (Nx) + т*у (t)cos (N у) + Txz(t)cos (N z) = 0 ;
т*х (t)cos (Nx) + о * (t) cos (N y) +t*z (t)cos (N z) = 0 ;
tzx (t)cos (Nx) + T*y(t) cos (N у) + о *(t)cos (N z) = 0-
(VII.64)
На основе уравнений (VIL52), (VII.59), (VII.60) и (VII.64) H.X.
Арутюнян пришел к указанному выше выводу о том, что полные на-
пряжения gx (t), ...,тху (t),..., вызываемые факторами, связанными с
изменением деформаций тела, как, например, температурными воз-
действиями, осадкой опор, усадкой и т. д., с учетом ползучести и
изменяемости модуля E(t) определяются через соответствующие напря-
жения о х (0, ..., т ху (t), ... ynpiyro-мгновенной задачи для этого же тела
системой этих уравнений. При условии (FV.5) решение системы (VTI.59),
(VII.60) будет удовлетворять граничным условиям (VII.64) и уравнени-
ям равновесия (VII.52) только в том случае, если оно будет иметь сле-
дующий общий вид
a*(t)- |о* (т)К(С, i)dT = ax(t);
.......................(х, у, z);
тху (0 - J<y (т) к0> T)dT = тху (0;
т(
.......................(x, y,Z).
(VII.65)
297
Только в этом случае, внося о* (t),..., т*у (t),..., выраженные та-
ким образом, в уравнения (VIL52) и (VII.64), мы получим однород-
ные интегральные уравнения Вольтерра
dc*(t) । Этху(0 ! dt*2(t) _
Эх Эу dz
Г Эа*(т) । дт>у(т) , Эт*г(т)
J Эх Эу dz
K(t,T)di=0;
(VII.66)
[о* (t)cos(Nx) + x’y(t)cos(Ny)+ T*z(t)cos(Nz)]~
“j[o* (t)cos(Nx) + т*у (t) cos(Ny) + T*z(T)cos(Nz)]K(t,T)dT= 0;
[t*x (t) cos(Nx) + o*(t)cos(Ny)+ T^(t)cos(Nz)]-
- f [TJx (T) cos(Nx) + o* ( t) cos(N y) + t*z (t) cos(Nz) ]e(t, T)dx= 0;
T,
[r*x(t)cos(Nx) + T^(t)cos(Ny) +oz*(t)cos(Nz)]-
~ J[t*x(t)cos(Nx) + x^y (i)cos(Ny)+ o*(T)cos(Nz)]K(t,T)dT = 0;
(VTI.67)
имеющие единственные решения (VII.52) и (VII.64), и, следовательно, удов-
летворим автоматически уравнениям равновесия и граничным условиям.
Внося (VI 1.65) в систему (VTI.59) и (VII.60), получим условия
K(t, т) = -Л- • [8(t,r) + 8, (t,T)];
1 + V|(t) Эт
K(t,T) = E(t)—S(t,x),
(VII.68)
которые с учетом (VII.5) вполне совместимы и дают нам
K(t,T) = E(t)-^-8(t,T).
Эт
(VII.69)
298
(VII.70)
При этом система (VII.59) и (VII.60) распадается на независи-
мые интегро-дифференциальные уравнения
V2a’(t)-|v2a’(r)E(t)-^-5(t,T)dT = V2ax(t);
J от
т(
..............................(x,y,z);
V2Tx;(t)-fv2t;y(t)E(t)^-5(t,T)dT = V2t (t);
............................................(x.y.z)
или
axW - f°x (9 E(‘) V5(‘,T) dr = a (t) + 5X (t);
J от
T|
................................(x,y,z);
Txy (9 - f Txy (9 E( t) |- 5(t, T) dt = тху (t) + Txy (t);
' от
................................(x,y,z),
где gx (t),...,x xy (t),..., - некоторые пока произвольные гармоничес-
кие функции, удовлетворяющие уравнениям
(VII.71)
V2ax(t) = 0;'
.....(x,y,z);
V2?xy(0 = 0;
.....(x,y,z).
(VII.72)
Разрешая уравнения (VII.71) относительно напряжений
о х (t),..., т ху (t),..., внося их в граничные условия упруго-мгновенной
задачи и принимая во внимание (VII.72), найдем, что напряжения
5 х (t), ..., т ху (t), ... на контуре тела должны удовлетворять нулевым гра-
ничным условиям, аналогичным (VII.64), и, следовательно, в силу
известной теоремы об экстремальных значениях гармонических функ-
ций тождественно должны быть равны нулю во всей области тела.
Принимая это во внимание, мы и получим уравнения
299
i
°x(t)- fa*(T)E(t)—8(t,t)dT = ax(t);
J от
т,
........................(x,y,z);
t -4
Tx*y (t) - j x*y (x) E( t)—5(t, x) dx = xxy (t);
T,
.........................................(x, y,Z).
Или с учетом (IV. 19)
(VII.73)
<\(0
E(t) J E(x)
L(t,x)dx =
.........................(x,y,z);
Txy(0 ‘pxyOO
E(t) J E(t)
zi
L(t,x)dx =
Txyfr).
E(t) ’
(VII.74)
....................(x,y>z\
найденные для этого случая Н.Х. Арутюняном, решения которых ав-
томатически будут удовлетворять всем уравнениям задачи. Таким обра-
зом, указанный выше весьма важный вывод Н.Х. Арутюняна в случае
(VII.3) существенно упрощает решение рассматриваемой задачи.
Отметим, что этот вывод доказан лишь для случая, когда гра-
ничные условия заданы в напряжениях, т.е. имеют вид (VII.64) [49].
Важным поэтому является вопрос о его справедливости в случае, когда
граничные условий заданы в перемещениях. Рассмотрим этот вопрос.
Вначале ограничимся случаем, когда поверхность тела в каждой
точке жестко закреплена в пространстве, т.е. когда на каждую точку
его контура наложены абсолютно жесткие связи. В этом случае вдоль
каждой из линий контура
у = yk = const; z = zk = const;
х = хк = const; z = zk = const;
x = xk = const; у = yk = const;
соответственно ф
U (x,yk,zk,t) = O;
«‘(xk,y,zk,t) = 0;
w’(xk,yk,z,t) = 0
(VII.75)
(VII.76)
300
и, следовательно, в любой точке поверхности тела
Эи*(0 Ou*(t) dw*(t)
Эх Эу dz
С помощью формул (VII.47), (VII.50), (VII.51) эти граничные
условия для тела с жестко закрепленным контуром мы раскроем в сле-
дующей форме
8°(0 +
(1 +v)o*(t)-vS*(t)
E(t)
Hl+v)g;(r) -vS*(i)
J Е(т)
.........................(x,y,z).
(VII.77)
Так как условия (VI 1.77) соблюдаются в любой момент времени
t, то они будут справедливы и для упруго-мгновенной задачи, для ко-
торой эти условия, аналогично (VII.77), запишутся в форме
E°x(t) +
(1 + v)gx (t) - vS (t)
E(t)
= 0;
........................(x,y,z).
(VII.78)
Если мы теперь внесем сюда (VII.74), то получим уравнения,
полностью совпадающие с (VIL77), следовательно, полные напряже-
ния о* (t), ...,т*у (t),, найденные в форме (VII.74), будут тождествен-
но удовлетворять и граничным условиям (VII.77) жесткого закрепле-
ния контура тела. В этом состоит доказательство применимости ука-
занного выше принципа Н.Х. Арутюняна и в этом случае граничных
условий, а, следовательно, и в общем случае смешанных граничных
условий.
Иначе будет обстоять дело, если на контур тела наложены упру-
гие связи, податливость которых зависит от величины напряжений.
Например, когда на контурной координатной плоскости тела х = const
* к ♦ * к* * к ♦
U’W = u’(t) = w’(t) = (VII.79)
301
В этом случае решение задачи в форме (VIL74), где напряжения
упруго-мгновенной задачи удовлетворяют на этой плоскости аналогич-
ным условиям
k к к
u(t) = Em°x(t); u(t) = ЁтТху(‘); w(t) = FmTzx(t) С711-80)
и приводят к условиям на контуре
k * г k * ^)°x(t)+{^0x(T)L(t’T)dT=u(t): ВД s'(t)+Ш s’k(t) L(t’T)dT=u(t); Tl k r k ^T“(t)+J^^(x)L(t’x)dx=w(t)- (VII.81)
Поэтому на этом контуре мы будем иметь условия
-^-a*(t) = u(t)-fu(x)R(t,x)dx;
Б(0 '
JSl-т *(t) =u(t) -L(x)R(t,x)dx;
E(t)
= w(0- [w(x)R(t,x)dx ,
Б(0
совпадающие с (VI1.81) только в том случае, если
u*(t) = u(t) - J u(x) R(t, x) dx;
ч
в* (t) = u(t) - J b(x) R(t, x) dx;
w*(t) = w(t) -|w(x)R(t,x)dx;
(VII.82)
(VIL83)
302
что, как это будет сейчас показано, несовместимо с (VII.79). Таким
образом, рассматриваемый принцип Н.Х. Арутюняна на случай упру-
го-податливых связей на контуре тела не распространяется.
Отметим, наконец, одно очень важное обстоятельство.
Имея в виду рассмотренный выше принцип Н.Х. Арутюняна, в
случае (VII.5) мы, с учетом уравнений (VII.47), (VII.73) и (VII.74),
находим
. 0+у)оЛО-уМО о
E(t)
......................(x,y,z);
Тку (t)= 2clV^xy(t) + (t);
3 E(t) 3
(VII.84)
......................(x,y,z),
что совпадает c (VIII.3). Таким образом, в этих случаях полные дефор-
мации тела равны его упруго-мгновенным деформациям и, следова-
тельно, ползучесть бетона не оказывает влияния на его деформации, а
изменяет лишь величину напряжений в нем.
Теперь вернемся к случаю (VII.79). Так как из уравнений (VII.84)
следует
ех(0 = \(0;
.....(x,y,z),
(VII.85)
то
(VII.86)
3u*(t) _3u(t) 3u*(t) _ dv(t) 3w*(t) _ 3w(t)
Эх Эх ’ Эу Эу ’ Эг Эг
в то время как согласно уравнениям (FV.83) должно быть
a^o=au(t)_jau«R(tjT)dT.
Эх Эх J Эх
Т|
^W = ^l-f3vWR(t>T)dt; •
Эу Эу J Эу
dwj(o = 3w(OJawwR(tjT)dT
Эг Эг J Эг
Из несовместимости уравнений (VII.86) и (VII.87) следует дока-
зательство неприменимости принципа Н.Х. Арутюняна к случаю упру-
го-податливых связей на контуре тела.
(VII.87)
303
Резюмируя сказанное, можно теперь принцип Н.Х. Арутюняна
сформулировать следующим образом.
Если напряженное состояние тела вызвано его вынужденными
деформациями, то в случае отсутствия на контуре тела упруго-податли-
вых связей и при v2 (t, т )= Vj (t)= v = const с учетом ползучести и изме-
няемости модуля Е( т) его полные деформации £ * (t), ..., у ху (t), ... рав-
ны деформациям е х (t),..., у ху (t),..., соответствующей упруго-мгновен-
ной задачи для этого же тела, а полные напряжения
о* (t), ...,тху (t), ...определяются через упруго-мгновенные напряжения
этой задачи о х (t), ..., т ху (t), ... с помощью независимых интегральных
уравнений (VII.74), в которых L(t, т) — наследственная функция бето-
на первого рода.
Этот результат имеет огромное практическое значение, так как,
во-первых, существенно упрощает рассматриваемую задачу и, во-вто-
рых, позволяет использовать для ее решения имеющийся набор гото-
вых решений соответствующих задач теории упругости.
На основании всего изложенного выше может быть сформулиро-
ван следующий метод последовательного решения рассматриваемых за-
дач о температурных и влажностных напряжениях в бетоне.
Вначале методами теории тепло- или соответственно влагопро-
водности определятся изменения температурного поля или поля влаж-
ности данного тела. Для бетона молодого возраста соответствующие
методы определения полей температуры и влажности при наличии внут-
ренних распределенных источников тепла (экзотермии) и стока влаги
(химического связывания) с учетом влияния на их интенсивность тем-
пературы процесса развиты в главах I и V настоящей работы.
Для бетона зрелого возраста, когда внутренние источники тепла
и стоки влаги практически отсутствуют, для этой цели можно восполь-
зоваться имеющимися готовыми решениями соответствующих класси-
ческих задач теории тепло- и влагопроводности [18, 29, 151, 177].
Затем, на основе найденных изменений полей температуры и
влажности бетона методами теории упругости, решается соответствую-
щая упруго-мгновенная задача для воображаемого идеально упругого
E(t)
тела с модулями E(t) и G(t), причем, как обычно, G(t) = . Для
этого могут быть использованы, например, имеющиеся готовые реше-
ния задач термоупругости.
304
Большое число таких задач рассмотрено в курсах теории упругос-
ти, а также в работах Б.Г. Коренева [164], Н.Н. Лебедева [174], Г.Н.
Маслова [190, 191], А.В. Белова [62, 63, 65], Э. Мелана и Г. Пар-
куса [194], Г. Паркуса [222] и других исследователей. В главе IX не-
которые из этих задач уточнены и дополнены. Там же рассмотрены и
некоторые новые упруго-мгновенные задачи.
После этого по найденным напряжениям упруго-мгновенной за-
дачи и при заданных модуле упругости бетона Е (т) и наследственной
функции второго рода R(t, т) с помощью квадратур отыскиваются уже
искомые полные (с учетом ползучести) напряжения в рассматривае-
мом теле.
Полные же деформации принимаются равными деформациям
упруго-мгновенной задачи.
Эту последовательность решения рассматриваемых задач теории
ползучести мы и используем широко в дальнейшем.
Методы отыскания полных напряжений с учетом ползучести по
напряжениям упруго-мгновенной задачи развиты в главе X, где пока-
зано, что эта операция сводится к умножению соответствующих со-
ставляющих тензора упругих напряжений заменяющей упруго-мгновен-
ной задачи на коэффициент приведения H*(t, т,). Для вычисления этого
коэффициента достаточно располагать данными о наследственной фун-
кции бетона второго рода R(t, т) и законе развития во времени его вы-
нужденной деформации, который всегда известен.
§ VII.7. О НАСЛЕДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ ТЕОРИИ
ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
Выше мы видели, что в основные уравнения теории ползучести
входят наследственные функции L(t, т) и R(t, т) соответственно пер-
вого и второго рода. В § VII.4 был рассмотрен физический смысл этих
функций и дано их точное определение как соответствующих функций
влияния. Теперь укажем пути их экспериментального определения.
Функции L(t, т) и R(t, т) с помощью формул (VII. 19) и (VII.26)
однозначно выражаются через полную удельную относительную про-
дольную деформацию 8 (t, т) и полные удельные относительные на-
пряжения p(t, т), поэтому определение этих функций требует построе-
ния экспериментальных кривых 8 (t,т) и p(t,т). Они имеют вид се-
мейства кривых, изображенных на рис. 73, а и б.
305
Обычно кривые 8 (t, т) и p(t, т) строятся в осях (8 ,t) или (p,t) и
каждая из них относится к заданному фиксированному возрасту бетона
т в момент загружения. Поэтому для нахождения на их основе функ-
ции L(t, т) и R(t, т) с помощью формул (VII. 19) и (VII.26) эти кривые
необходимо перестроить в осях (8, т) и (р, т) так, чтобы каждая из них
соответствовала заданному фиксированному моменту наблюдения t, а
затем продифференцировать их (например, графически) по т. Пере-
строенные таким образом кривые 8 (t, т) и p(t, т) имеют вид, изобра-
женный на рис. 78. Обычно эту операцию производят аналитически,
аппроксимируя предварительно соответствующими выражениями кри-
вые 8 (t, т) и p(t, т), построенные в осях (8 ,t) и (p,t).
Так как поведение бетона при кратковременном (мгновенно-уп-
ругом) и длительном загружении не равнозначно, то удобно из полной
удельной деформации 8 (t, т) выделить отдельно упруго-мгновенные
деформации и деформации, развивающиеся во времени вследствие
ползучести бетона. Сделать это можно по-разному:
Рис. 78. Кривые осевых относительных удельных деформаций 8 (t, т ) и на-
пряжений p(t, т) бетонного бруса при: фиксированном t и перемен-
ном т.
306
а) выделить упруго-мгновенные деформации , соответству-
ющие только моменту загружения т;
б) выделить текущие упруго-мгновенные деформации
1
E(t)’
соответствующие текущему моменту времени наблюдения t.
Первый путь предложен Г.Н. Масловым [192] и был общепри-
нятым до настоящего времени [49, 89, 90, 225]. В этом случае по
предложению Г.Н. Маслова считают, что
5(t>T) = +C(tA). (VII.88)
где C(t, т) - некоторая удельная деформация ползучести, изображаю-
щая собой часть полных деформаций 5 (t, т), натекающую во времени
1
сверх первоначальной упругой деформации в момент загружения.
Поскольку сама упругая деформация изменяется во времени, фун-
кция C(t, т) в действительности представляет собой лишь часть дефор-
мации ползучести, меньшую, чем сама деформация ползучести.
Второй путь был предложен автором [14] и предполагает деформацию
8 (t, т) равной
6(t’T)=E(0+C*(t’T)’ (VIL89)
где C*(t, т) — удельная деформация ползучести, изображающая собой
часть полных деформаций 8 (t, т), натекающую во времени сверх теку-
1
щей упругой деформации и представляющую собой чистую дефор-
мацию ползучести.
Вопрос об определяемой таким образом чистой деформации пол-
зучести был поднят Уитнеем [340] и позже еще раз обсуждался Мак-
Генри [322], который называл ее «истинной» ползучестью. Однако тогда
он не вызвал интереса у специалистов. После указанного выше пред-
ложения автора, облеченного в конкретную аналитическую форму, и
сделанного на его основе критического анализа некоторых результатов
непоследовательного использования выражения (VII.88) [14] интерес
к этому вопросу вновь возрос и в настоящее время он снова обсуждает-
ся в ряде работ.
307
Смысл и различие двух представлений 8 (t, т) (VII.88) и (VII.89),
а также функций C(t, т) и C*(t, т) ясны из рис. 79, а.
Поскольку имеются в виду одни и те же экспериментальные кри-
вые полных деформаций 8 (t, т), обе формы записи (VII.88) и (VII.89)
равноценны и приводят к одним и тем же функциям L(t, т), определя-
емым с помощью формулы (VII. 19), а следовательно, к однозначному
решению задач теории ползучести о полных деформациях и полных на-
пряжениях в бетоне.
По-иному обстоит дело, если требуется на основе выражений
(VII. 13) и (VII. 14) подсчитать только упругие деформации и напряже-
ния упруго-мгновенной задачи или только деформации ползучести.
В этом случае весьма важно разобраться в том, что собой пред-
ставляют функции C(t, т) и C‘(t, т) и каков их физический смысл. Это
тем более необходимо потому, что физический смысл функции C(t, т)
неточно трактуется многими авторами, а сама функция C(t, т), следуя
Г.Н. Маслову, неправильно называется мерой ползучести бетона, т.е.
единичной (удельной) относительной деформацией ползучести к мо-
менту времени t. Такое определение функции C(t, т) неточно и в ряде
указанных случаев может привести к ошибкам [192].
В действительности функция C(t, т) в уравнении (VII. 88) пред-
ставляет собой не меру ползучести,
а лишь ее часть, получаемую умень-
шением единичной относительной
деформации чистой ползучести на
Рис. 79. Кривые деформаций 8 (t, т )
бетонного бруса, загруженно-
го постоянными единичными
напряжениями (а), и напряже-
ний p(t, т ) в бетонном брусе с
сообщенной ему единичной по-
стоянной деформацией (б):
1 — упруго-мгновенные дефор-
мации, возникающие в момент
загружения; 2 — полные дефор-
мации, развивающиеся вслед-
ствие ползучести; 3 — упруго-
мгновенные напряжения, воз-
никающие в момент создания
деформаций; 4 — полные на-
пряжения, развивающиеся
вследствие релаксации.
308
1 1
переменную величину ~ E(t) ’ пРеДставляк)ЩУю собой разницу уп-
ругих единичных деформаций бетонного бруса в момент приложения
напряжений т и в момент времени наблюдения t (рис. 79) [14]. Лишь
в случае неизменного во времени модуля упругости Е («старый» бетон)
функция C(t, т) является его мерой ползучести C*(t, т).Таким образом,
между функцией удельных деформаций C(t, т) и мерой ползучести бе-
тона C’(t, т) имеется следующая зависимость
с'(1’т)=-ёь’^+с(‘’т)- (vii-9°)
Следовательно, для упругого тела, не обладающего ползучестью,
C*(t,x)=0, (VII.91)
а
С(1’т)=еЬ’еЬ (V1L92)
и не равно нулю. Внося (VII.92) в (VII. 17), мы и получим единственно
верное в этом случае соотношение (VII.58), лежащее в основе упруго-
мгновенной задачи и принципа Н.Х. Арутюняна, рассмотренного в
§ VII.6. Условие же
C(t,r) = 0, (VII.93)
применяемое некоторыми авторами при переходе к предельному слу-
чаю упругого тела, является ошибочным.
Ошибку подобного рода, например, допустил Т.Н. Маслов при
рассмотрении температурных напряжений в теле с переменным моду-
лем упругости E(t) и не обладающим свойством ползучести. Т.Н. Маслов
[192], используя условие (VII.93), получил при этом для любой со-
ставляющей этих напряжений Q(x,y,z,t) при постоянном во времени
температурном перепаде Т = То неверную формулу
Q(x, y,z,t) = c(x, y,z)T0E0,
в которой о(х, у, z) — напряжения упруго-мгновенной задачи при Е = 1
и Т = 1, а Ео = const. В действительности же, с учетом (VII.92), в
этом случае должно быть
Q(x, у, z, t) = q(x, у, z)T0E(t).
Укажем также, что хотя в монографии Н.Х. Арутюняна [49] фун-
кция C(t, т) по традиции и называется мерой ползучести бетона, одна-
ко в ней имеется и четкое разделение полных деформаций бетона на
309
упруго-мгновенные (VII.13), подчиняющиеся линейному закону, и де-
формации ползучести (VII. 14) ([49], стр. 16), при этом предельный
переход (VII.93) нигде не применяется.
В соответствии с изложенным выше взамен выражения (VII.88)
для полной осевой относительной единичной деформации бетонного
бруса, входящей в уравнение (VII. 19), автором было предложено вы-
ражение (VII.89), в котором функция C*(t, т) уже представляет собой
действительно полную меру ползучести бетона.
Экспериментальное определение меры ползучести C‘(t, т) про-
изводится на основе выражения (VI 1.90) и не сложнее определения фун-
кции удельных деформаций C(t, т), поскольку для построения кривой
1
единичных упругих деформаций , необходимой для этого, ника-
ких новых опытных данных не требуется.
Графически мера ползучести C‘(t, т) весьма похожа на функцию
удельных деформаций C(t, т), поэтому для ее аналитического выраже-
ния пригодны в равной степени все обычно рекомендуемые в литерату-
ре выражения для C(t, т), но, конечно, при других значениях, входя-
щих в эти выражения параметров. Это видно из рис. 80, на котором в
Возраст бетона в сутках к моменту наблюдения
Рис. 80. Кривые C‘(t, т) и C(t, т) бетона состава 1:1,9:4,4, В/Ц = 0,65, на
портландцементе активностью 56,7 МПа;
----C(t, т);------C‘(t, т).
310
качестве примера мера ползучести C‘(t, т) изображена в виде обычных
кривых, построенных на основе экспериментальных данных автора и
Э.Я. Багрия.
Неправильно думать, как это делают некоторые, что введение в
рассмотрение меры ползучести C*(t,x), т.е. переход от выражения
(VII.88) к выражению (VII.89), приводит в итоге к завышению релак-
сационной способности бетона и иному характеру перераспределения
усилий в железобетонных элементах.
Сравниваемые выражения отличаются лишь различным соотно-
шением входящих в них двух слагаемых при неизменной их сумме. По
этой причине применение формулы (VII.89) взамен выражения (VII.88)
в полном виде приводит к идентичным результатам, но избавляет нас от
ошибки при предельном переходе к материалу, не обладающему ползу-
честью, а также при исчислении только упругих деформаций и напря-
жений упруго-мгновенной задачи или только деформаций ползучести.
Кроме того, применение указанного выше принципа Вольтерра
— Арутюняна требует строгого определения смысла напряжений упру-
го-мгновенной задачи для стареющего бетона с переменным модулем
E(t). Такое единственно верное определение этих напряжений, напри-
мер по уравнениям (VII.36) и (VTI.41), мы получаем только при усло-
вии (VII.91), т.е. при L(t,x) = R(t,x) = 0. Рассмотрим вопрос о пол-
ных удельных напряжениях p(t, т), введенных в § VII.3. Под этими
напряжениями мы условились понимать напряжения, которые в лю-
бой момент времени наблюдения необходимо иметь в призматическом
бетонном брусе для поддержания неизменной во времени полной еди-
ничной относительной деформации, сообщенной ему в возрасте бето-
на т. Очевидно, для p(t, т) мы будем иметь формулу
p(t, т) = Е(т) - r(t, т), (VII.94)
в которой Е( т) — модуль упруго-мгновенной деформации в момент
загружения бетона т, a r(t, т) - некоторая функция удельных напря-
жений, изображающая собой закон падения во времени начальных
удельных напряжений за счет ползучести бетона. Таким образом, пер-
вое слагаемое в формуле (VI 1.94) представляет собой начальные упру-
гие удельные напряжения, необходимые для сообщения бетону в воз-
расте т единичной деформации, а второе слагаемое — степень умень-
шения этих напряжений во времени.
Функцию r(t, т) по аналогии с функцией C(t, т) можно было бы
назвать мерой релаксации напряжений или просто мерой релаксации,
однако по соображениям, аналогичным высказанным в начале пара-
графа о функции C*(t, т), это было бы неправильно, так как r(t, т)
311
представляет собой лишь часть меры релаксации f(t, т). Лучше напря-
жения p(t,x) представить в виде (рис. 79, б)
p(t,z) = E(t)-r*(t,T). (VII.95)
При такой форме записи входящая сюда функция r’(t, т) уже бу-
дет представлять собой полную меру релаксации. Таким образом, функ-
ция удельных напряжений r(t, т) и мера релаксации r*(t, т) связаны
соотношением
r(t,T) = r*(t,T) + E(T)-E(t).
(VII.95)
При такой форме записи входящая сюда функция r*(t, т) уже бу-
дет представлять собой полную меру релаксации. Таким образом, фун-
кция удельных напряжений r(t, т) и мера релаксации r*(t, т) связаны
соотношением
r(t,i) = r*(t,T) + E(x)-E(t). (VII.96)
Мера ползучести C*(t,x) и мера релаксации r‘(t,x), введенные
нами в рассмотрение, представляют собой вторую пару наследственных
функций бетона, которые мы будем соответственно называть наслед-
ственными функциями третьего и четвертого рода.
Пользуясь интегральным уравнением (VII. 16), устанавливающим
взаимосвязь между наследственными функциями L(t, т) и R(t, т), можно
получить аналогичное уравнение для второй пары наследственных фун-
кций C*(t, т) и r*(t, т). Это уравнение, в чем легко убедиться с помо-
щью формул (VII. 19), (VII.26), (VII.89) и (VII.95), имеет вид [16]
Е(т) ^с* (t, т) - г* (t, т) =
дт E(t) дт
(VII.97)
J дт д^
С помощью этого интегро-дифференциального уравнения одна
из наследственных функций, входящих в него, может быть всегда най-
дена по заданной другой.
Таким образом, при соблюдении условий пятой из рассмотрен-
ных в § VI 1.2 рабочих гипотез линейной теории ползучести бетона мы
имеем полный класс наследственных функций бетона, образующих вза-
имные пары в указанном выше смысле
L(t,x); R(t,T); C*(t,x); r*(t,z).
Если отказаться от гипотезы об одинаковой зависимости от времени
всех видов полных единичных деформаций бетона, как это сделано в обоб-
щенной теории ползучести, развитой Н.Х. Арутюняном [49], то число на-
312
следственных функций соответственно возрастает. Необходимые сведения
по этому вопросу можно найти в работе [23]. Однако, как это было показано
в § VII. 1, для рассматриваемой нами проблемы температурно-влажностных
напряжений такое усложнение теории не требуется, и мы ограничимся слу-
чаем применения указанных четырех наследственных функций.
Из этих четырех функций только одну можно выбрать в качестве неза-
висимой; остальные же будут выражаться через выбранную последовательны-
ми зависимостями (VII. 16), (VII. 19), (VII.26), (VII.89) и (VII.95).
§ VII.8. ОБ ОСНОВНЫХ РАЗНОВИДНОСТЯХ СОВРЕМЕННОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА И НАСЛЕДСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЯХ, ФИГУРИРУЮЩИХ В ИХ УРАВНЕНИЯХ
Среди ряда различных направлений современной теории ползу-
чести бетона различают три основные ее разновидности:
— теорию упругой наследственности, предложенную Больцма-
ном [298] и Вольтерра [339], получившую в дальнейшем свое суще-
ственное развитие в работах А.Р. Ржаницына [235 — 240] и др.;
— теорию старения, разработанную Дишингером [306] и Уитне-
ем [340], значительно развитую в работах Н.А. Буданова [85], Глэн-
вилля [311 — 313], В.А. Бовина [75, 76] и особенно И.И. Улицкого
[269 - 271], А.Б. Голышева [120, 121], Я.Д. Лифшица [176], Е.А.
Яценко [294];
— теорию упруго-ползучего тела (наследственную теорию старе-
ния), разработанную Г.Н. Масловым [192] и Н.Х. Арутюняном [49 —
55], получившую свое дальнейшее развитие в работах Б.Л. Абрамяна
[1], В.М. Бондаренко [80 - 83], П.И. Васильева [89 - 94], А.А.
Гвоздева [107 - 113], М.А. Задояна [129], М.М. Манукяна [187, 188],
Н.Я. Панарина [219, 220], И.Е. Прокоповича [225 - 227], М.И. Ро-
зовского [242] и многих других.
Для всех этих теорий в их линейной трактовке общими являются
основные рабочие гипотезы теории ползучести, рассмотренные в
§ VII.2. Отличие же их состоит в различном подходе к вопросу об обра-
тимости деформаций ползучести при частичной или полной разгрузке,
что находит свое выражение в различной физической и математичес-
кой интерпретации этого вопроса.
Теория старения полностью отрицает обратимость деформаций
ползучести. Этим самым постулируется параллельность кривых ползу-
чести у образцов раннего и позднего загружения1. Математически это
1 Имеются в виду длительные процессы.
313
выражается в том, что функция удельных деформаций ползучести при-
нимается в виде
C(t, т, т,) = C(t, т,)- С(т, т,), (VIL98)
причем C(t,Tj) задается обычно в форме
C(t,T|) = С('»,т|)[1-е'1'<|’,')]. (VII.99)
Здесь Т] - момент времени загружения, принятый за начало отсчета и
определяющий собой выбор исходной кривой ползучести (VII.99).
Нетрудно понять, что задание C(t,r, т,) в виде (VII.98) постули-
рует нулевую ползучесть в возрасте бетона т, значительно большем,
чем принятый за начало отсчета времени. При длительных интервалах
времени наблюдения2 это обстоятельство должно приводить к суще-
ственным погрешностям в задачах, где напряжения (деформации) пре-
терпевают значительные изменения в моменты времени t, отдаленные
от выбранного начала его отсчета , тем большие, чем больше t- т1.
Принимая C(t,x, т,) в форме (VII.98) и имея в виду случай «ста-
реющего» бетона с переменным модулем упругости Е( т), найдем вхо-
дящие в основные уравнения теории (VII-17), (VII. 18) и (VII.94) на-
следственные функции теории старения в следующем виде
L(1,t) = E(t) ^ + 1с(г,т,) ;
Е2(т) Эт
Е(т)е Эт
R(t,T)=— —
E(t) Эт
(VII. 100)
1 Э
-jEW-CCr.t^dT
r(t,T) = E(i)l-el дт
кроме того, мы будем иметь
р((,т) = Е(г)е’!Е<’,^"')". (VII.101)
На рис. 81 построены кривые C(t,x, т,), r(t,x, т,), L(t, xj,
2 Т.е. подразумевается, что кривая ползучести бетонного бруса, загружен-
ного в более позднем возрасте, получается из кривой ползучести образца,
загруженного ранее, параллельным смещением соответствующей ее части
вдоль оси ординат (оси деформаций). Гипотеза об указанной параллельно-
сти кривых ползучести была предложена Уитнеем [340].
314
R(t,x, Т|) и p(t,T, i|), рассчитанные по формулам (VII.98), (VII. 100) и
(VII. 101), т.е. в таком виде, как они фигурируют в теории старения.
За начало отсчета времени т,, определяющее собой выбор исходной
кривой ползучести, в этих формулах принято Т] = 2 сут. Все эти кривые
рассчитаны для бетона, экспериментальные кривые ползучести и мо-
дуля упругости которого описываются уравнениями
C(t,t)=^C| +^-j[l-e’T"',)]; (VII. 102)
Е(т) = Е0(1-е-₽т); (VII. 103)
при значениях параметров
С. = 0,975-10’4 (МПа)’1; А. = 4,62-1О’4 ( -22-1
' ' ^мПа J,
у = 0,03 сут.’1, Ео = 2,6-104 (МПа); р = 0,206 сут.’1,
(VII. 104)
рекомендованных для бетона Н.Х. Арутюняном [49]. Выражение экс-
периментальных кривых C(t;t) и Е(т) в форме (VII. 102) и (VII. 103)
удобно для последующего сопоставления функций C(t,t), r(t,i),
L(t, т), R(t, т) и р(t, т) теории старения с соответствующими функция-
ми теории наследственности и теории упруго-ползучего тела.
Нетрудно видеть, что при принятых выражениях для C(t,x)
(VII. 102) иЕ(т) (VII. 103)
C(t,r, т,) =| С, + V'”1'’
I т‘ J
L(t,T, т,) = Е(т)[^Ц + у[С,
Е (т) I Т) I
= E\t)[EW J +A|
E(t) |_Е2(т) V Т! /
-Y С(+— <
хе v Т| J Е(т)е Y(T"’i)dT.
(VII. 105)
(VII. 106)
х
(VII. 107)
Теория наследственности постулирует полную обратимость дефор-
маций ползучести. Этим самым предполагается полное тождество кри-
вых ползучести бетона, загружаемого в разные сроки. Математически
315
Возраст детона t 6 сутках к моменту
Возраст бетона с о сутнах к моменту
наблюдения напряжения
Рис. 81. Наследственные функции и кривые релаксации удельных напряже-
ний в теории старения:
1— т=2;2— т = 4; 3 — т = 6; 4 — т = 10; 5 — т = 20; 6 — t =
4; 7 - t = 6; 8 - t = 10; 9 - t = 20; 10 - t = 40 ( т и t - в сутках).
316
это выражается в том, что мера ползучести задается в виде
C*(t,T) = C(t,x) = C(t- т). (VII. 108)
При этом C(t - т) принимается обычно в форме
C(t-т) = C1[l-e-Y(t-^]; (VII.109)
где С, = const.
Физически это означает, что имеется в виду бетон с физико-
механическими свойствами, инвариантными относительно абсолютного
значения времени наблюдения1. В соответствии с этим в этой теории
принимается также Е( т) = Ео = const.
Следовательно, теория наследственности применима лишь к «ста-
рому» высохшему или невысыхающему бетону, наследственные функ-
ции этой теории поэтому имеют вид [16]
L(t-т) = Е0С1Уе-^т); (VIL110)
R(t- т) = E0ClYe-T(,+E«c')(,-x); (VII. 111)
r*(t— т) = r(t- т) = Е°С1 [1-е~1,(КЕ<|С')('~т)]; (VII.112)
1 +
т.е. тоже зависят только от t- т . Функция p(t,x) также зависит только
от t - т и равна
P(t~ Т) = + ^oCie”1,(l+E°C')<1 '* ] (VII. 113)
1+ Ь0С]
На рис. 82 построены кривые наследственных функций C(t- т),
r(t- т), L(t- т), R(t- т) и кривые полных удельных напряжений p(t- т)
теории наследственности, рассчитанные по формулам (VII. 109),
(VII. 110) - (VII. 113), причем для С! Ео иу по-прежнему приняты их
значения, взятые из формул (VII. 104).
Теория упруго-ползучего тела учитывает частичную обратимость
деформаций ползучести, вызванную влиянием старения бетона. Та-
ким образом, наследственные функции этой теории, помимо Е(т),
включают в себя еще и функцию старения Ф (т). Математически это
выражается в том, что функция удельных деформаций ползучести
С (t, т) задается в виде
C(t,T) = (p(i)C(t-T); (VII.114)
1 Т.е. подразумевается, что кривые ползучести бетонных образцов, загру-
жаемых единичными осевыми напряжениями в разные сроки, получаются
переносом одной и той же кривой ползучести вдоль оси абсцисс (оси вре-
мени).
317
„ JO ZU c 30 HQ
Продолжительность наолюдения
д.-щУ t-t3 сутнах за деформацией
Продолжительность наблюдения
t~t 6 сутнах за напряжением
t'C в сутнах за напряжением
Рис. 82. Наследственные функции и кривые релаксации удельных напряже-
ний в теории наследственности.
318
при этом обычно Ф (т) и C(t— т) принимаются равными
ф(т)= Cj + —1-; c(t-x)=l-e х\ т (VII. 115)
так что для С (t, т) получают формулу (VII. 102). Наследственные функ-
ции этой теории имеют вид [16]
r(t, т)=j E^^dt; т L(t,T) = Е(т)|<р'(т)+у<р(т)]ет<1-’)- (р'(т)}+ ; Ь(т) R(t.x) = Ыф(т)Е(г)е,,,')]'( Е(т)е-’1<т,ёт - Е'(г) - У<Р(т)Е 2 (т) E(t) • (VII. 116) (VII. 117) , (V1I.118)
где П(т)=у|[1 + <р(г)Е(т)]<1г> (VII. 119)
a Tj - произвольный момент времени, назначаемый из удобства вы-
числения интеграла в формулах (VII. 116) и (VII.118).
На рис. 83 построены кривые C(t,z), r(t,x), L(t,z), R(t,x),
рассчитанные по формулам (VII. 102), (VII. 116) - (VII. 118), и кривые
p(t, т), найденные по выражению
p(t, т) = E(t) 1 - j R(t, x)dt
(VII. 120)
на основе формул (VII. 102), (VII. 103) и (VII. 118) при значениях
входящих в них параметров (IV. 104), рекомендованных в теории упру-
го-ползучего тела Н.Х. Арутюняном.
Переходя к сравнительному анализу наследственных функций
C(t,i), r(t, т), L(t, т), R(t,x), рассмотренных трех разновидностей со-
временной теории ползучести бетона, будем иметь в виду хорошо изве-
стные экспериментальные кривые его ползучести и релаксации напря-
жений, а также кривые L(t, т), R(t,x), построенные эксперименталь-
ным путем для бетона в опытах А.В. Яшина [295] (рис.77).
Сравнивая кривые C(t,x) на графиках рис.81 — 83, мы видим,
что все три теории в современной их трактовке исходят из кривых
C(t, т),плохо согласующихся с экспериментальными данными. Все они
319
Рис. 83. Наследственные функции и кривые релаксации удельных напряже-
ний в теории упруго-ползучего тела Г.Н. Маслова ~ Н.Х. Арутюняна:
1 - т = 2; 2 - т =4; 3 - т = 6; 4 - т = 10; 5 - т = 20;
6-t = 2;7-t = 4;8-t = 6;9 - t = 10; 10 - t = 20; 11 - t = 40
(г и t в сутках).
320
имеют общие для всех теорий недостатки, состоящие в том, что, пользу-
ясь формулами (VII.98), (VII. 102) и (VII. 109), нельзя достичь хороше-
го соответствия теоретических и экспериментальных величин деформа-
ций ползучести одновременно при малых и больших значениях времени
наблюдения t, особенно для образцов, загружаемых в ранних возрастах
бетона.
Эти формулы не отражают также наблюдаемое в опытах быстрое
натекание деформаций ползучести во времени их наблюдения, близко-
му к моменту загружения образцов.
Начальные участки теоретических кривых ползучести, построен-
ных на основе этих выражений, не имеют характерного крутого подъе-
ма, который всегда наблюдается в опытах не только над молодым, но и
над старым бетоном [90, 152, 295]. Это приводит к тому, что найден-
ные на их основе кривые функций влияния L(t, т) и R(t,x) не имеют
правых круто восходящих ветвей при т, близком или равном t. Как
было указано А.А. Гвоздевым [108], функции L(t,z) и R(t,x), облада-
ющие этим недостатком, не применимы для решения задач, в которых
мы имеем дело с быстроменяющимися во времени напряжениями (де-
формациями), что в известной мере суживает область применения рас-
сматриваемых теорий ползучести. Для устранения этого недостатка мы
должны в формулах (VII.98), (VII. 102) и (VII. 109) придать Y бульшие
значения, но при этом мы получаем быстро затухающую ползучесть,
что не наблюдается в опытах. При малых же значениях Y мы имеем
медленно развивающуюся ползучесть, как это и наблюдается в действи-
тельности, но не получаем начального крутого подъема кривых ползу-
чести сразу же после загружения. Приходится выбирать среднее из двух
зол и назначать параметр скорости ползучести Y средним по величине.
При этих условиях скорость ползучести, особенно в молодом возрасте
бетона, оказывается заниженной.
Мера ползучести теории старения (VII.98), кроме того, имеет
еще и тот недостаток, что приводит к нулевой ползучести в возрасте
бетона, далеко отстающем от возраста т ( выбранного за начало отсчета
времени. Это равносильно предположению о том, что ползучесть бе-
тона быстро исчерпывается и приводит в релаксационной задаче с пер-
воначально созданной деформацией в момент времени т, или близкий
к нему с чрезмерно интенсивной релаксации напряжений. Кривые ре-
лаксации весьма скоро выходят на горизонтальную асимптоту. Это хо-
рошо видно на рис. 81.
Так как, с другой стороны, теория старения полностью отрицает
321
обратимость деформаций ползучести, а следовательно, и эффект пос-
ледействия, то погашение натекающих деформаций ползучести в ре-
лаксационной задаче мы должны производить только за счет деформа-
ций упругого возвращения при частичной разгрузке. Это приводит не
только к интенсификации процесса релаксации напряжений во време-
ни, но и к существенному завышению самой степейи релаксации, осо-
бенно при начальном загружении бетона в молодом возрасте и в возра-
сте, близком кт,. Происходит это еще и потому, что упругие дефор-
мации разгрузки в старом возрасте бетона при одной и той же ступени
напряжений значительно меньше по величине, чем деформации загру-
жения в молодом возрасте, поэтому для их осуществления в поздние
сроки требуется сброс напряжений в значительных пределах.
Степень релаксации напряжений, возникающих в возрасте бето-
на т, в теории старения зависит от выбора начала отсчета времени т ,.
Это хорошо видно на примере старого бетона, для которого она опре-
деляется по последней из формул (VII. 100). Действительно, при т, # т
и значительно меньшим, чем т, как уже отмечалось выше,
CO.tJ-CC^tJ^O, (VII.121)
поэтому в этом случае и г(t, т) = 0.
При т, = т степень релаксации напряжений оказывается наи-
большей и равной
r(t,T)=E0[l-eE»c(,-,)], (VII.122)
где C(t-x) — кривая ползучести старого бетона.
Это обстоятельство приводит к существенным и неоднозначным
погрешностям в оценке степени релаксации в задачах, где напряжения
(деформации) претерпевают изменения на всем интервале времени на-
блюдения t- т,. А именно: для воздействий близлежащих к выбранно-
му началу отсчета времени т , она оказывается значительно завышен-
ной, а для воздействий, происходящих в отдаленные от т, моменты
времени t, - наоборот, значительно заниженной и практически рав-
ной нулю, если t-т, велико. Поэтому безоговорочное суждение о том,
что теория старения всегда приводит к завышению степени релаксации
напряжений, в широком смысле слова неверно.
Существенным недостатком теории старения является также то,
что функция влияния L(t, т) этой теории не зависит от времени наблю-
дения t. Таким образом, согласно этой теории, эффект действия на-
пряжений в заданном возрасте т один и тот же для любого момента
322
времени наблюдения t, т.е. остается неизменным во времени. Это
является следствием полного отрицания обратимости деформаций пол-
зучести.
Указанные недостатки теории старения делают ее малопригодной
для-описания длительных процессов, при которых напряжения или де-
формации претерпевают значительные изменения в моменты време-
ни, отдаленные от выбранного начала его отсчета. Поэтому она не-
применима, например, к процессам с интенсивным нарастанием на-
пряжений (деформаций) после предшествующего сравнительно спокой-
ного периода их развития и при наличии интенсивных повторных и
переменных кратковременных или длительных воздействий. Эта тео-
рия может дать приемлемые результаты лишь при решении задач теории
ползучести, отличных от указанных выше, для непродолжительных
интервалов времени наблюдения или в случае рассмотрения длитель-
ных результатов кратковременного или однократного (импульсного)
воздействий (отпуск и потери натяжения арматуры, однократная осад-
ка опор и т.д.).
Мера ползучести теории наследственности (VII. 109), помимо ука-
занных выше общих недостатков, так же как и все остальные наслед-
ственные функции этой теории, инвариантна еще относительно абсо-
лютного значения возраста бетона. Это делает ее применимой только к
кругу задач теории ползучести для “старого” и высохшего (или невысы-
хающего) бетона, физико-механические свойства, в том числе и влаж-
ность которого уже не изменяются во времени. Для такого рода задач
эта теория и применялась А.Р. Ржаницыным.
Функция удельных деформаций ползучести теории упруго-пол-
зучего тела (VII. 102), помимо рассмотренных выше общих недостат-
ков, в состоянии описать лишь кривые ползучести с ординатами, воз-
растающими во времени значительно медленнее, чем это наблюдается
в опыте. При этом скорость этих деформаций у бетона молодого возра-
ста, спустя значительное время после загружения образцов, остается
большей, чем в загруженных позднее образцах (рис. 83). Математи-
чески это вытекает из того факта, что производная
aCa(tT) = T<p(T)e'1'<",> (VII. 123)
dt
зависит в явном виде от возраста бетона т к моменту загружения, а
функция (р (т) с ростом т имеет быстро затухающий характер. Поэто-
му оказывается, что для образцов-близнецов из молодого бетона, заг-
ружаемых в близкие моменты времени т,и т2(т2> т |), в любой мо-
323
мент времени наблюдения t имеет место неравенство
„р, ,г„
at at F 2
или с учетом (VII. 114) и (VII. 115)
Ф(Т1) >cY(T>~T|).
<р(т2)
(VII. 124)
(VII. 125)
На рис. 84 построены графики левой и правой частей неравен-
ства (VII. 125), рассматриваемых как функции длины интервала време-
ни т2 -т,. При этом для функции ф (т) принято выражение (VII. 115)
и значения параметров С, Ар и у (VII. 104), рекомендованные для бе-
тона Н.Х. Арутюняном. Из рис. 84 следует, что для молодого бетона
(т, = 2 сут., т, = 4 сут., т, = 6 сут.) неравенство (VII. 125) соблюдает-
ся для значительных интервалов времени т2 -т1. Многочисленными
же экспериментальными исследованиями установлено, что скорости де-
формаций ползучести образцов, загруженных в различных, но близ-
ких друг к другу возрастах не слишком большими напряжениями, спу-
?1г,1
Рис. 84. Графическое доказательство
существования неравенства
(IV. 124) для молодого бетона:
<РО,)
Ф(*2) 5
-- .
стя некоторое время после заг-
ружения сравнительно быстро
становятся почти одинаковы-
ми. Это находит свое выраже-
ние в кажущейся параллельно-
сти экспериментальных кривых
ползучести, за исключением
некоторых их начальных участ-
ков (см., например, рис. 61).
Выражение (VIL114) не
отражает также наблюдаемое в
опытах быстрое натекание де-
формаций ползучести вслед за
загружением образцов. При
этих условиях скорость ползу-
чести, особенно в молодом
возрасте бетона, оказывается
заниженной.Так как функцию
д
старения Ф(т) = Cj + —- в фор-
т
324
муле (VII. 102) подбирают независимо от у , стремясь к хорошему соот-
ветствию теоретических и экспериментальных скоростей старения, то
оказывается, что для бетона молодого возраста мы, пользуясь этой
формулой, обычно получаем скорость старения больше, чем скорость
ползучести. Это приводит к неравенству (VII. 125), которое эквива-
лентно условию, что деформации последействия после полной разгрузки
имеют тот же знак, что и деформации ползучести, т.е. что после пол-
ной разгрузки образца в нем, хотя и с меньшей интенсивностью, но
продолжают развиваться деформации ползучести, а не последействия.
В действительности же деформации последействия после пол-
ной разгрузки всегда имеют знак, обратный знаку предшествующих
деформаций ползучести. Указанный недостаток выражения (VII. 102)
приводит к завышению степени релаксации напряжений в молодом
возрасте и иногда даже к искажению качественной картины этого про-
цесса. Подтверждением этому является нижний график на рис. 83 в,
из которого видно, что кривые релаксации напряжений в молодом воз-
расте бетона, рассчитанные на основе выражения (VII. 102), пересека-
ют ось времени, переходя в область отрицательных значений напряже-
ний, что физически невозможно.
Происходит это потому, что из-за получаемого отсутствия пос-
ледействия в обычном смысле этого слова в молодом бетоне при со-
блюдении постоянства первоначально сообщенной деформации прихо-
дится погашать натекающие деформации ползучести, так же как и в
рассмотренном выше случае теории старения, только за счет упругого
возвращения при частичной разгрузке. Так как модуль упругости моло-
дого бетона интенсивно возрастает во времени, то в конечном итоге
для этого потребуется сброс напряжений по величине больший, чем
первоначально приложенные напряжения. Но по этой причине сохра-
нение постоянной деформации образца в конце процесса релаксации
становится возможным только при приложении напряжений обратно-
го знака.
Наследственные функции L(t, т) и R(t, т), рассчитанные на ос-
нове выражения (VII. 102), противоречат также, в некотором смысле,
физической сущности процесса ползучести бетона. Действительно, из
рис. 83 видно, что кривые L(t, т) для малых моментов времени t рас-
полагаются ниже аналогичных кривых для более поздних t, т.е. имеют
меньшие ординаты. Поэтому эффект действия напряжений в задан-
ном возрасте бетона т оказывается большим не для близлежащих мо-
ментов времени t, а для более поздних моментов наблюдения. В дей-
ствительности же в эксперименте наблюдается совершенно обратная
картина (рис. 77).
325
Далее, кривые R(t, т) на рис. 83, особенно в молодом возрасте
бетона, имеют нисходящий характер с падающими ординатами при
приближении т к t. Это приводит к тому, что эффект действия вы-
нужденной деформации тем больше, чем дальше он отдален от момен-
тов его наблюдения, что также противоречит экспериментальным дан-
ным. Характер этой погрешности значительно более существен, чем
той, которая была отмечена выше у функции L(t, т), и приводит, в
частности, к искажению указанного выше характера физической сущ-
ности кривых релаксации напряжений.
В то же время выражение (VII. 102) обладает очень существен-
ным достоинством: оно сравнительно просто и, главное, позволяет
свести решение основных интегральных уравнений теории ползучести
(VII. 17) и (VII. 18) к решению линейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка с переменными коэффициентами и при том не
содержащих самих искомых функций, а включающих в себя лишь их
производные [49]. Это позволяет удобно выражать решения задач тео-
рии ползучести в квадратурах.
Именно это обстоятельство позволило Н.Х. Арутюняну впервые
получить решение ряда сложных задач теории ползучести для молодого
бетона, проанализировать их и сформулировать ряд важных теорем этой
теории о соотношении между полными напряжениями в бетоне, най-
денными с учетом ползучести, и соответствующими напряжениями
упруго-мгновенной задачи [49]. В частности, им было показано, что
при условии (VII.5) в области линейной зависимости между деформа-
циями и напряжениями ползучесть не изменяет величин напряжений в
бетоне, вызываемых действием внешней нагрузки, но существенно
уменьшает напряжения, вызываемые изменением его деформаций (см.,
например, § VII.6).
Из всего изложенного выше следует, что из всех существующих
разновидностей современной теории ползучести старение и наследствен-
ность — эти важные свойства бетона — наиболее полно отражает теория
упруго-ползучего тела Н.Г. Маслова - Н.Х. Арутюняна [49, 192]1.
Поэтому эта теория и используется в дальнейшем для изучения интере-
сующей нас проблемы температурно-влажностных напряжений в бето-
не. Однако степень соответствия экспериментальным данным расчет-
ных величин деформаций и напряжений, отыскиваемых на ее основе,
зависит оттого, насколько удачно выбраны аналитические выражения
для наследственных функций этой теории.
1 Эту теорию часто называют также наследственной теорией старения.
326
Применяемые в настоящее время для этой цели выражения на-
ходятся в противоречии с результатами опытов и требуют существен-
ной корректировки.
Очень важно поэтому попытаться, сохранив указанное преиму-
щество выражения (VII. 102) для C(t,z), уточнить последнее с тем,
чтобы устранить полностью или в значительной степени описанные
выше его недостатки. В соответствии с этим ниже в § IV. 12 предлага-
ются аналитические выражения для наследственных функций теории
упруго-ползучего тела, свободные от указанных выше недостатков и,
вместе с тем, позволяющие свести решение основных уравнений этой
теории (VII. 17), (VII. 18) к квадратурам. Основанная на этих наслед-
ственных функциях теория ползучести наилучшим образом будет отра-
жать все наиболее важные физико-механические свойства бетона и да-
вать результаты, близкие к тому, что наблюдается в опыте.
Отметим, что в литературе имелись попытки синтеза теории ста-
рения и теории наследственности для устранения указанных выше их
недостатков.
Первая из таких попыток принадлежит Мак-Генри [322], кото-
рый, сохраняя принятые у нас обозначения, предложил с этой целью
функцию C(t, т) задавать в следующей форме
C(t,T) = C0[l-e"1',<|_T)]+Ae"1'’t-Ae"1','t<1'!"1,,,t. (VII.I26)
Нетрудно видеть, что при Y 3 — Y 2 выражение (IV. 126) принимает вид
C(t,x) = Со [1 - е-^ ]+ ), (VII. 127)
т.е. сочетает в себе меры ползучести теории наследственности и теории
старения, а при Y 3 = Y ।
C(t,r) =(с0 + Ае-’’^ ] (VII. 128)
и, в частности, при Y 3 = Y 2 = Y , — Y
C(t,x) =(с0 + (VII. 129)
т.е. принимает вид видоизмененной меры ползучести теории упруго-
ползучего тела [225, 228].
Однако сам Мак-Генри признает свою попытку неудачной, так
как произведенное им сопоставление выражения (VII. 126) с результа-
тами своих собственных, а также и чужих опытов показало, что даже
при Yj * Y2 * Y3, т.е. при максимальном числе независимых парамет-
ров, это выражение, как пишет Мак-Генри [322], «дает неудовлетво-
327
рительное решение» для бетона молодого возраста и «является неточ-
ным» при длительных загружениях бетона. При меньшем числе неза-
висимых параметров в выражении (VII. 126), т.е. в случаях (VII. 128)
или (VII. 129), сходимость с результатами опытов будет еще худшей.
Вторая попытка аналогичного вида была сделана А.В. Яшиным [295];
им было предложено выражение
C(t,T) = <p(T)O(t-T) + F(T)-F(t),
или в раскрытом виде
C(t,T) = ^l + |-^C0[l -е"т‘(,”)]+В^-е'1,»<,-т>]}ьА(е’Тг’-е_1’!') (VI1.130)
в какой-то мере устраняющее недостатки формулы (VII. 102), но вместе
с тем и ее достоинства, поскольку указанное выше приведение постро-
енных на его основе интегральных уравнений теории ползучести (VII. 17)
и (VII. 18) к соответствующим линейным дифференциальным уравне-
ниям, решаемым в квадратурах, становится невозможным. Это об-
стоятельство является также общим для всех без исключения аналити-
ческих выражений наследственных функций теории упруго-ползучего
тела, рекомендованных и другими исследователями. Поэтому мы не
будет их подвергать здесь подробному критическому обзору.
Выражение (VII. 130), кроме того, сохраняет в себе важный недоста-
ток формулы (VII. 102), состоящий в том, что скорость ползучести
dt dt
найденная на его основе, по-прежнему зависит в явном виде от возра-
ста бетона т. Это обстоятельство было подробно рассмотрено выше.
Отметим, что при К = В = 0 выражение (VII. 130) принимает
уже известный нам вид (VII. 127), пользуясь которым при у ( Y 2,
нельзя найти наследственную функцию второго рода R(t, т) и получить
решение задачи теории ползучести в замкнутом виде. Это удается сде-
лать только при Y , = Y 2 = Y , но тогда выражение (VII. 127) приобре-
тает вид (VII. 129), мало чем отличающийся от выражения (VII. 102) и
содержащий в себе те же его основные недостатки.
Укажем еще на так называемую модифицированную теорию ста-
рения [176], основанную на сочетании обычной для теории старения
гипотезы о параллельности кривых ползучести с предложением автора
о приближенном представлении меры ползучести в виде кривых с на-
чальными конечными вертикальными отрезками [14]. Последнее при-
водит к мгновенной частичной обратимости деформаций ползучести,
328
поэтому эта теория по существу представляет собой упрощенный при-
ближенный вариант теории упруго-ползучего тела, приводящий к боль-
шим погрешностям особенно в случае быстро изменяющихся воздей-
ствий, хотя и меньшим, чем в обычной теории старения.
§ УП.9.УДОБНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НАСЛВД-
СГВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
Проведенные нами исследования [14 - 16] показали, что функ-
ция удельных деформаций ползучести C(t, т) может быть задана в виде
C(t,T) = v(T)- V(t^T, _2 + Д(т)[1-е °<,”T>]>(vii.i3i)
где
а»у>0; 0<А2<1, (VII.132)
а у(т) и Д(т) — функции, быстро убывающие с ростом т, подобные
функции старения Ф (т) в теории упруго-ползучего тела (VII. 114).
Выражение (VII. 131) удобно для дальнейшего представить в форме
C(t,T) = <р(т) - F(t)(eYT - А2)- Д(г)е*а<‘"т), (VII. 133)
где
<р(т) = у(т) +Д(т), (VII. 134)
а
F(t) = 3^T~- (VII. 135)
С — /А. 2
Проанализируем выражение (VII. 131). Нетрудно видеть, что
С(т,т) = 0; С(оо,т) = ф(т) (VII.136)
и при достаточно большом т (старый бетон)
C(t,t) = C(t-T) = A3[l - е-1'(,-,)]+ A4[l- е“а<1"т)], (VII. 137)
где
А3 = у(°°) = const и А 4 = ДМ = const.
Таким образом, выражение (VII. 131) обладает теми же достоин-
ствами, что и функция (VII. 102), но улучшает ее применимо к старому
бетону, поскольку наличие второго слагаемого в формуле (VII. 131) при
условиях (VII.132) обеспечивает начальный крутой подъем кривых пол-
зучести при малых t - т.
329
Переписывая выражение (VII. 131) в виде
C(t,T) = \|/(T)-\|/(t)
1-А2е р
l-A2e-yt
+ Д(т)[1-е-а<,"1>] ,
(VII. 138)
мы видим, что начальный крутой подъем кривых ползучести при ма-
лых t — т, который обеспечивается наличием третьего слагаемого в
формуле (VIL138), в молодом возрасте бетона увеличивается с убыва-
нием т потому, что при этом возрастает функция д (т).
Далее, сравнивая сумму двух первых слагаемых в формуле (VIL138)
1-А2е~уг
l-A^"7’
ц/(т)-у(Г
е’1'<'"т) (VII.139)
с правой частью выражения (IV. 102)
(р(т)-ф(т)е-т^-т), (VII. 140)
мы видим, что при фиксированном т вычитаемое в выражении (VII. 139)
с ростом t убывает значительно быстрее, чем вычитаемое в формуле
(VII. 140), потому что с ростом t в этом случае функция V (t) и дробь
1-А2е~г>
1-A2e-Yt
быстро убывают, в то время как функция Ф (т) остается
неизменной.
Все указанное в итоге приводит к тому, что кривые ползучести
(VII. 131) как в молодом, так и в старом возрасте бетона при малых t —
т и при прочих равных условиях поднимаются значительно круче, чем
кривые (VII. 102), что и должно быть.
Вычисляя далее производную
- A2)+aA(t)e-“(,-l) (VII. 141)
dt
и составляя неравенство (IV. 124)
- А2]+аД(Т|)е”а(,”',) >F'(t)(eyT’ - А2)+аД(г2)е-°(,-’’) (VII. 142)
при т2 > тр мы видим, что оно с учетом (VII. 132) при т2 > т, и
любых t не соблюдается. Таким образом, выражение (VII. 131) при при-
менении принципа наложения воздействий обеспечивает наличие пос-
ледействия после разгрузки в обычном смысле этого слова.
На рис. 85 приведено сопоставление выражений (VII. 102) и
330
(VII. 131) при
Д(т) = т + пе-ат (VII. 143)
И т = О,25 1О“5(кгс/см2)”1;
п = 0,99 • 10’5 (кгс/см 2 )-1; (VII. 144)
а = 0,275 сут-1.
Причем в обоих случаях функция Ф (т) принята равной (VII. 115)
при значениях входящих в нее параметров (VII. 104), рекомендованных
для бетона Н.Х. Арутюняном. Как следует из рис. 85, выражение
(VII. 131) значительно лучше, чем выражение (VII. 102), описывает ха-
рактер экспериментальных кривых ползучести, особенно для бетона
молодого возраста, и обеспечивает обычно наблюдаемую кажущуюся
параллельность этих кривых.
На основе формулы (VII. 131) автором [16] были найдены следу-
ющие выражения для наследственных функций L(t, т) и R(t, т)
L(t,T) = Е(т) - <р'(т) + yF(t)er' + [д'(т) + аД(т)]е~о<,"т)
Е2(т) ]
(VII. 145)
Рис. 85. Сопоставление применяемого выражения (VII. 102) и рекомендуемо-
го выражения (ГУ. 133) для функции C(t, т ), рассчитанной по форму-
ле (VII. 133) — сплошные линии и по формуле (VII. 102) — пунктир-
ные линии:
возраст бетона к моменту загружения: 1 — 1 сутки; 2 — 3 суток;
3 — 7 суток; 4—14 суток; 5 — 28 суток; 6 - д ( т ).
331
R(t,x) = 77Т^2«Г«(ег-А2)-К'(г)-
E(t)
- [к(т)(еут - A2je"n<r)]j K(T)F(T)enWdt+B3(t)e-^} 146)
где
Bj(t) = Г(т)(er-A2)[E2(t)-K2(t)]-aE2(t)A(t)+K'(t)-E'(t); (VII. 147)
U(t) = •A;{B3W+YeT,F'(t) [e2 (t) - K2(t)]-
-F'2(t)(e1"-A2j! [E3(t)-K3(t)]-aE(t)[E(t)A(t)]-
_a2E3(t)^+lF'(t)(e1',-A2)[E2(t)-K2(t)]+ (VII.148)
+ 2aE3(t)A(t)F'(t)(eT'-A2)},
T|(t) = |к(т)Р'(т)(ет’-A2)dt (VII.150)
T(
а т , — произвольный момент времени, принимаемый из удобства вы-
числения интеграла (VII. 150).
Имея выражение для R(t,x) (VII. 146), можно по формуле
(VII. 120) и выражению
r(t, т) = Е(т) - E(t)|l - J R(t, T)dz (VII. 151)
найти функции p(t, г) и r(t, т).
Отметим, что структура выражения (VII. 146) такова, что оно
весьма удобно для вычисления интегралов в формулах (VII. 120) и
(VII.151), а также для выполнения квадратур в уравнении (VIL18).
Происходит это потому, что интеграл от третьего слагаемого в выраже-
нии (VII. 146) легко берется по частям, а функции B3(t) и g(t), входя-
щие в четвертое слагаемое этого выражения, зависят только от време-
ни наблюдения t. Действительно, нетрудно убедиться в том, что при
R(t, т), найденной в форме (VII. 146),
j R(t,x)dT= - -L- |к(т)-K(t)+^[1
332
На рис. 86 построены кривые B3(t) и р (t), рассчитанные по фор-
мулам (VII.147) и (VII.148) с учетом (VII.104), (VII.115), (VII. 143) и
(VII. 144). Как видно из этого рисунка, функция Ц (t) с ростом t изме-
няется весьма мало, поэтому в формуле (VII. 146) вместо H(t) можно
пользоваться средним значением
Hep
для интервала времени tj -т,.
Для старого бетона, т.е. при
E(t) = Ео = const; K(t) = Ко = const;
A(t) = До = const; v(t) = Vo = consti
Рис. 86. Графики функций B3(t) и Ц (t), определяемых по формулам (VII. 147)
и (VH.148):
1 - кривая B3(t); 2 - кривая H(t); 3 - 5 - средние значения Н (t) на
данном промежутке t.
333
L(t-T) = Ео[т>|/ое“1'('‘')+аДое^<'‘')];
R(t-t) = А|е'₽|<|*т)+А2е'₽2<1'’),
(VII. 152)
(VII. 153)
где
А,=-^-
Р1"Р2
+ оА0 )[Е0 (yYo + аДо )- Р2 К а2До + у 2у0 };
А2 = Е0(уу0+аД0)-А1,
а р, и р 2 - корни характеристического уравнения
р2- у(1 + Еоуо)+а-^- p+ayE0| ц/0+ — | = 0.
L KoJ V Ко J
С помощью подставок
А3=——; А4=-^5_; а = у(1 + т)
3 1 + В 4 1 + В V Л
где Ф, В, т - новые постоянные, формулы (VII. 137), (VII. 152),
(VII. 153) можно привести к удобному виду, которым мы и будем пользо-
ваться в дальнейшем
C(t-x) = 9
1 [1 + Ве-^->] е.,(,_т,
1 + В
(VII. 155)
где
L(t- т) = s[e"Y(t‘T)+(1 + mjBe^1^-^;
R(t - т) = s[zj j е’р«°’х) + Д 2 е- p*(t"T)],
(VII. 156)
(VII. 157)
S=ITE
1 + В
Д1(р| -ф2) = у[1 +(1 + т2Х1~& + (1 + т)в]{р2-s[l + (l + т)в]р,
Д2 =1 + (1 + т)В-Д1;
(VII. 158)
а Р, и Р 2 — корни характеристического уравнения
р2-к,р+к2=0, (VII.159)
в котором
к, =y+S + (l + mXy + BS); к2 =y(l + m)[y+ S(1 + B)]. (VII.160)
На рис. 87 построены кривые наследственных функций C(t, т),
L(t, т) и R(t, т) стареющего бетона, рассчитанные по формулам
(VII. 131), (VII. 145) и (VII. 146) при
334
4 ID'4
Возраст бетона с в сутнах н моменту Возникновения деформации
Рис. 87. Рекомендуемые для теории упруго-ползучего тела наследственные
функции C(t, т ), L(t, т ) и R(t, т ):
1- т = 2; 2- т =4; 3 - т =6; 4- т =10; 5 - т = 20; 6-t = 2;
7- t = 4; 8 - t = 6; 9 - t = 10; 10 - t = 20; 11 - t = 40.
Примечание, т и t — в сутках.
335
<|/(т) = С3+—; Д(т) = С|-С3+A| Аз;
т т
Е(г) = Е0(1-е^);
и значениях параметров
А. = 4,6210’4| 1 С, =0,975-Ю'4(МПа)-1;
1 ( МПа J
А2 =1;
А, = 3,416С,= 0,756 Ю’4(МПа)’1;
3 (МПа ) 3
Ео = 2,6-104 (МПа)
а = 6сут.-1; р =0,206сут.“|; у=0,03сут/',
(VII.161)
(VII. 162)
рекомендованных Н.Х. Арутюняном [49] для бетона. Как видно из этого
рисунка, все эти кривые очень похожи на соответствующие экспери-
ментальные кривые. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно об-
ратиться к рис. 77.
На рис. 88 изображены кривые полных удельных напряжений
(кривые релаксации напряжений) в бетонном брусе при сообщенной
Возраст детона в сутках к моменту наблюдения
Рис. 88. Кривые полных удельных напряжений p(t, т) (кривые релаксации),
рассчитанные с помощью формулы (VII. 120) на основе новых на-
следственных функций.
336
ему постоянной единичной относительной деформации. Эти кривые
рассчитаны с помощью формулы (VII. 120) численным методом по на-
следственной функции 2-го рода (VII. 146) с учетом (VII. 161), (VII. 162).
Как видно из рисунка, эти кривые имеют вид, обычно наблюдаемый в
экспериментах, и даже для очень молодого бетона не переходят в об-
ласть отрицательных значений напряжений p(t, т), как это было в слу-
чае C(t,x), принятой по Г.Н. Маслову - Н.Х. Арутюняну в форме
(VII. 102) и при тех же самых значениях параметров (VII. 162).
Все изложенное выше дает право рекомендовать применение на-
следственных функций (VII. 131), (VII. 145), (VII. 146) и (VII. 151). При
этих условиях теория упруго-ползучего тела, как это показано ниже,
наилучшим образом будет отражать все наиболее важные физико-меха-
нические свойства бетона и давать результаты весьма близкие к тому,
что наблюдается в опыте даже в самом общем случае кратковременных
быстро изменяющихся воздействий.
В свое время автором [14] было предложено также практически
приемлемое приближенное выражение для меры ползучести
C(t,T) = q>(T)-F(t)(e1't-A2), (VII.163)
где Ф(т) и F(t) определены выражениями (VII. 134) и (VII. 135), кото-
рое является частным случаем формулы (VII. 133) при а =оо . При t =
оо формулы (VII. 133) и (VII. 163) совпадают и дают одно и то же пре-
дельное значение меры ползучести ф (т), а при t = т формула (VII. 163)
определяет С( т, т) отличной от нуля и равной д (т). Функция д (т),
подобранная должным образом, будет отражать быстро натекающую
вслед за мгновенным загружением бетонного образца часть его удель-
ных деформаций ползучести, приближенно причисляемую к его мгно-
венно-упругим деформациям.
При этом разница в кривых ползучести, рассчитанных по фор-
мулам (VII. 133) и (VII. 163), относящихся к одному и тому же времени
загружения т, будет ощущаться только при малых значениях t — т и
быстро затухать с ростом t. Этот прием таким образом равносилен умень-
шению удельных деформаций ползучести C(t, т) на величину д (т) в
виде начальных вертикальных отрезков и соответственно увеличению
1
удельных мгновенно-упругих деформаций на ту же величину д (т),
т.е. к кажущемуся уменьшению модуля упругости Е (т) до величины
K(t, т) (VII. 149). Такой прием модификации мер ползучести приводит
к существенному упрощению наследственных функций L(t, т) и R(t, т).
337
Он оценен специалистами [110 - 112] и широко используется уже ос-
нованной на нем современной модифицированной теорией старения
[121, 176, 294]. Эта теория, в отличие от классической теории старе-
ния, дает уже частичную обратимость деформаций ползучести и осво-
бождает последнюю в определенной степени от ее недостатков.
Мере ползучести (VII. 163) соответствует наследственная функ-
ция первого рода
ци)=
Е(т)
Наследственная же функция второго рода, найденная по ней по
уравнению (VII. 16), будет равна
R(t,x) = — L(t, т),
аХт)
где со (t) - общее решение обыкновенного дифференциального уравнения
0/(0 + Nj(t)co'(t) + N2(t)co(t) = 0,
переменные коэффициенты которого равны
N,(t) = L(t,t)--^ •
1 F(t) ’
N2(t) =TE(t)FW4UM)]'-L(t,t)^.
F(t)
У бетона старого возраста в рассматриваемом случае
C(t-т) = ф0;
L(t -т) = уЕ0ф0е“’'<,_’>;
R(t-T) = YEoVoe-1’(l+E«'l'»)(,-(.
§ VII.10. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОБЛАСТЕЙ ПРИМЕНИМОСТИ ОСНОВНЫХ
РАЗНОВИДНОСТЕЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
Для экспериментальной проверки предложенных выше аналити-
ческих выражений для наследственных функций бетона необходимо
располагать данными об экспериментально установленной связи между
напряжениями и деформациями бетона при длительных и, в первую
очередь переменных нагрузках. Такие данные имеются в литературе,
но в довольно ограниченном объеме. Кроме того, подавляющее их число
относится к случаю постоянных напряжений, и лишь некоторые из них
338
получены в условиях ступенчатых нагрузок и разгрузок с длительными
выдержками их отдельных ступеней. Поэтому, наряду с использовани-
ем имеющихся экспериментальных данных для указанной цели автором
совместно с Э.Я. Багрием и В.Я Багрием, были поставлены специаль-
ные опыты, в которых изучалось поведение бетона при переменных
режимах его загружения
Результаты этих опытов, а также опытов А.Д. Росса [332] позво-
лили не только проверить предложенные в § VII.9 аналитические выра-
жения для наследственных функций бетона, но и подкрепить сообра-
жения об области применимости основных разновидностей современ-
ной теории ползучести, высказанные в § VI 1.8, а также получить до-
полнительные данные о применимости принципа наложения воздей-
ствий. Ниже приведены результаты указанных исследований.
Опыты А.Д. Росса
Исследования А.Д. Росса [332] проводились на высокопрочном
вибрированном бетоне состава 1:1,6:2,8, В/Ц = 0,375 на быстротверде-
ющем портландцементе. Бетонные кубы с ребром 4”(~ 10 см) имели в
возрасте 28 дней прочность 672 кгс/см 2. Образцами служили бетон-
ные цилиндры диаметром 4^ ” (~12 см) и длиной 12”(~30 см) с проч-
ностью на сжатие, равной примерно 0,7 RKy6.
Исследовали деформации образцов при длительных нагрузках в
условиях ступенчатых нагрузок, разгрузок и чередующихся нагрузок и раз-
грузок с наибольшей величиной напряжений, не превышающей 0,5 Rnp.
Параллельно с указанными переменными режимами загружения
исследовалась ползучесть образцов в разном возрасте бетона при посто-
янных напряжениях сжатия. Результаты этой части опытов позволили
построить кривые C(t, т) удельных относительных деформаций ползу-
чести. Эти кривые изображены на рис. 89, где также нанесены теоре-
тические кривые C(t,z), рассчитанные по теории старения, а также
теории упруго-ползучего тела по формуле Н.Х. Арутюняна (VII. 102) и
по формуле автора (VII. 133). Для построения экспериментальных кри-
вых C(t, т) из экспериментальных кривых полных единичных деформа-
ций 5 (t, т), полученных А.Д. Россом, вычитались упругие единичные
деформации. Необходимая для этого экспериментальная кривая Е(т)
изображена на рис. 90, где нанесена также теоретическая кривая Е( т)
(VII.3) при
Ео=4,731О4(МПа); £ = 0,3; 3 = О,О6сут’. (VII.164)
В связи с тем, что описываемые опыты проводились на моло-
339
Удельная относительная деформация ползучести в (МПа)'1
Рис. 89. Обработка результатов опытов А.Д. Росса по теории старения и тео-
рии упруго-ползучего тела при C(t, т) Н.Х. Арутюняна (VII. 102) и
автора (VII. 133). Кривые удельных относительных деформаций пол-
зучести C(t, т): -----------экспериментальные кривые; по те-
ории старения; — • — • — по теории упруго-ползучего тела при
C(t, т) Н.Х. Арутюняна;------по теории упруго-ползучего тела при
C(t, т) автора (нижний график).
340
Рис. 90. Экспериментальная и теоретическая кривые модуля упругости бетона
Е(т): 1 — экспериментальная кривая; 2 — теоретическая кривая по
формуле (VII.3) с учетом (VII. 164).
дом «стареющем» бетоне (загружение образцов в ряде режимов начина-
лось с восьмисуточного возраста бетона), область применения теории
наследственности не исследовалась, так как последняя к такому бетону
неприменима. Исследовались лишь аналитические выражения для
C(t, т) по теории старения [271]
C(t,x) = (VII. 165)
и по теории упруго-ползучего тела в двух вариантах: на основе форму-
лы, предложенной Н.Х. Арутюняном (VII. 102), и на основе предло-
жения автора (VIL133).
Подбор функций и параметров, входящих в эти формулы, про-
изводился исходя из требований как можно лучшего приближения тео-
ретических кривых к экспериментальным.
Значения найденных таким способом функций и параметров,
входящих в выписанные выше аналитические выражения для C(t, т)
сравниваемых теорий ползучести, оказались равными:
в формуле (VII. 165)
(pCq) =21,710 6(МПа) при^ = 8сут.(рис.91,а,б);
ф(т1) = 17,15 10 6(МПа) npHTj = 28еут.(рис.91,б); (VII.166)
у =0,05 сут.
в формуле (VII. 102)
341
С,= 9,714Ю-б(МПа)~1; А,= 135,7 1 (Г^МПаХ';
n„ -I (VII. 167)
у =0,05 сут. ;
в формуле (VII. 133)
Д(т) = | — + 2,714 |10"6(МПа)”1 (т - в сут.);
, Т > . (VII.168)
<р(т) = (2,971 + гое”0’01 + 1,428е”0Л1 )о’6(МПа)'' (т - всут.);
А2 = 0,3; у =0,03 сут.-1; а = 5сут.-1 (VII.169)
Для построения теоретических кривых C(t, т) по теории старе-
ния на рис. 89 за начальную кривую естественно принята кривая, со-
ответствующая началу отсчета времени, равному 8 суткам. Из этого
рисунка хорошо видны погрешности принимаемой этой теорией до-
полнительной рабочей гипотезы о параллельности кривых ползучести
бетона, загружаемого в разном возрасте. Уже для образцов, загружен-
ных в возрасте 28 суток, наблюдается резкое несоответствие теорети-
ческой кривой экспериментальным данным. Для более поздних кри-
вых это расхождение еще больше увеличивается и для кривой, соответ-
ствующей т = 91 суткам, ползучесть бетона согласно этой теории в рас-
сматриваемом случае практически исчерпывается.
Из рис. 89 следует, что лучше всего описывают эксперименталь-
ные данные теоретические кривые C(t, т), полученные на основе пред-
ложения автора (VII. 133). Причем это хорошее соответствие соблюда-
ется на всем диапазоне времени наблюдения, т.е. теоретические кри-
вые как качественно, так и количественно хорошо отражают все осо-
бенности ползучести бетона как в молодом, так и в старом возрасте.
Хуже согласуются с опытом кривые C(t, т), построенные на ос-
нове формулы (VII. 102). Это особенно наглядно видно на кривых пол-
зучести образцов, загруженных в раннем возрасте бетона. Начальные
участки этих кривых C(t, т) не имеют необходимого характерного подъе-
мистого очертания, что наблюдается также и на кривых ползучести ста-
рого бетона.
Недостатки и преимущества сравниваемых аналитических выра-
жений для функции удельных деформаций ползучести C(t, т) лучше
видны на результатах теоретической обработки на их основе экспери-
ментальных кривых деформаций ползучести, полученных А.Д. Россом
при разнообразных режимах загружения, осуществленных им в различ-
ных возрастах бетона.
На рис. 91 представлены некоторые экспериментальные кривые
полных деформаций ползучести бетона, наблюдаемые в описываемых
342
343
Рис. 91. Опыты А.Д. Росса:
а — случай ступенчато-возрастающих напряжений; б — случай сту-
пенчато-падающих напряжений; в - случай ступенчато-чередующих-
ся напряжений.
опытах при ступенчатых нагрузках и разгрузках, и соответствующие им
теоретические кривые, найденные на основе сравниваемых аналити-
ческих выражений для C(t, т).
Указанные экспериментальные кривые были получены некото-
рой перестройкой (отбрасывались упругие деформации в моменты на-
гружений или разгрузок отдельными ступенями напряжений) экспе-
риментальных кривых полных деформаций, полученных А.Д. Россом.
Для сравнения были выбраны три наиболее характерных режима
нагружения в соответствии со схемами, показанными в верхней части
графиков рис. 91. (Обозначения кривых даны в соответствии с рис.
89; кружочками показаны экспериментальные точки.)
Так как напряжения на каждой из ступеней нагрузок поддержи-
вались постоянными, то теоретические значения деформаций ползуче-
сти в любой момент времени наблюдения t вычислялись как алгебраи-
ческая сумма произведений приращений напряжений на ординаты тео-
ретических кривых удельных деформаций ползучести C(t, т), соответ-
ствующих данному приращению напряжений.
344
Как видно из рис. 91, лучше всего экспериментальным данным
соответствуют теоретические кривые деформаций ползучести, вычис-
ленных на основе выражения для C(t, т) (VII. 133). Эти кривые каче-
ственно и количественно хорошо согласуются с соответствующими эк-
спериментальными кривыми на всем диапазоне изменений напряже-
ний, особенно в случае чередующихся нагрузок и разгрузок.
Из рассмотрения рис. 91 следует, что теория упруго-ползучего
тела, основанная на применении выражения (VII. 102) для C(t, т), пред-
ложенного Н.Х. Арутюняном, качественно правильно описывает про-
цесс ползучести при ступенчатых нагрузках и разгрузках. Однако недо-
статки этого выражения для C(t,x), рассмотренные выше в § VII.8,
здесь сказываются в выпуклом виде. Теоретически вычисленные на его
основе значения относительных деформаций ползучести для моментов
времени наблюдения, близких к моменту приложения приращений на-
пряжений, плохо соответствуют экспериментальным значениям. Кро-
ме того, накапливающиеся при этом отклонения теоретических значе-
ний относительной деформации ползучести от ее экспериментальных
значений к концу периода наблюдения составляют довольно значитель-
ную величину. Даже после полной разгрузки образцов, например, в
возрасте бетона, равном 120 суткам (рис. 91), деформации ползучес-
ти, вычисленные с учетом теоретической кривой C(t, 120), с ордината-
ми, значительно превышающими ординаты соответствующей экспе-
риментальной кривой С (t, 120) для этого возраста загружения (рис.
89), не мотуг полностью компенсировать сумму накопившихся откло-
нений, в результате чего остаточная теоретическая деформация ползу-
чести получилась все же больше экспериментальной.
На рис. 91 также хорошо видны погрешности теории старения,
о которых уже говорилось выше. Кривые деформаций ползучести, рас-
считанные по этой теории, по истечении месяца, начиная с момента
первичного загружения образцов, уже не реагируют на последующие
нагрузки и разгрузки.
Опыты автора и Э.Я. Багрия
Автором с Э.Я. Багрием проведены специальные опыты по ис-
следованию связи между напряжениями и деформациями бетона при
переменных режимах его загружения и разгрузки. Исследовался бетон
состава 1:1,9:4,4, В/Ц = 0,65 на портландцементе активностью 56,7
МПа, речном песке средней крупности и мелком дробленом щебне,
просеянном через специальное сито с отверстиями диаметром 15 мм.
Образцы в виде бетонных призм 7x7x60 см с оголовками из стальных
плиток изготовлялись в стальных формах и хранились укрытыми влажны-
345
Рис. 92. Общий вцд образцов
ми опилками. В возрасте 3 суток они распалубливались, гидроизоли-
ровались парафином, техническим вазелином и полиэтиленовой плен-
кой и подвергались испытаниям на центральное сжатие в специальных
рычажных установках, начиная с 4-суточного возраста1.
Измерение деформаций производилось по четырем граням об-
разцов с точностью 0,4 • 10-5 с помощью индикаторов часового типа с
ценой деления 2 • 10-3 мм.
Опыты проводились в камере со стабильными температурой и
влажностью воздуха 14,5°С и 70% соответственно. На рис. 92 показан
общий вид образцов во время их испытания.
Одновременно с рабочими призмами, подвергаемыми основным
испытаниям, изготовлялось большое ко-
личество контрольных образцов-близне-
цов, хранящихся в идентичных условиях
(кубы и призмы). Результаты испытания
этих образцов свидетельствовали о хоро-
шей степени однородности исследуемого
бетона.
Часть основных рабочих призм ис-
пытывалась на ползучесть при постоянных
напряжениях в различных возрастах бето-
на, а часть — на переменный режим на-
гружения и разгрузки для установления эк-
спериментальной связи между напряжени-
ями и деформациями бетона при этих ус-
ловиях.
Каждый из указанных режимов ис-
пытания проводился одновременно на двух
образцах-близнецах, которые во всех слу-
чаях показали весьма схожие результаты.
Все испытания проводились на сжа-
тие при напряжениях, не превышающих
0,45Rnp, назначаемых по предварительным
испытаниям контрольных образцов-близ-
нецов.
Было проведено несколько серий
опытов, давших близкие результаты, по-
1 Испытания на гидроизолированных призмах проводились с целью исключе-
ния погрешностей в определении деформаций ползучести, связанных с не-
аддитивностью усадки и ползучести [14].
346
этому ниже приводятся лишь результаты одной из них.
На рис. 93 приведены экспериментальные и теоретические кри-
вые удельных относительных деформаций ползучести C(t, т).
Так же как и в случае опытов А.Д. Росса и по той же методике,
экспериментальные кривые C(t, т) иЕ(т) аппроксимировались с по-
мощью формул (VII.3), (VII. 102), (VII. 133), (VII. 165). В этом случае
значения функций и параметров, входящих в эти формулы, оказались
равными:
в формуле (VII. 165)
ф(т() =51-10 6(МПа) прит^Дсут.; у = 1,06сут. l; (VII.170)
в формуле (VII. 102)
С,= 27,61-10~6(МПа)-1; А,= 109,7-Ю'6
МПа
сут
(VII. 171)
у =0,06сут. ,
в формуле (VII. 133)
Д(т) = (11,2 + 34е~в|25')о“6(МПа)“|(г-всут.); (VII.172)
<р(т) = (24,5 + 1Ое~о'о23’ + 43,2е~о|275’-36е~о'3511о~6(МПа)~|
J . (VII.173)
(т-всут.);
А2 =0,85; у = 0,02сут. а = 5сут. 1 (VII. 174)
в формуле (VTI.3)
Ео = 3,3-104(МПа); £ = 0,575; р =0,072сут.~1 (VII. 175)
Для построения теоретических кривых C(t, т) по теории старения
(рис. 93) за начальную кривую естественно принята кривая, соответ-
ствующая возрасту бетона т, = 4 сут., начиная с которого осуществля-
лись переменные режимы загружения режимных призм.
На рис. 93 изображены результаты указанной аппроксимации
экспериментальных кривых C(t, т).
На цис. 94 показана схема режимов загружения режимных образ-
цов I серии опытов, испытанных при переменных напряжениях.
На рис. 95 и 96 изображены экспериментальные кривые напря-
жений и относительных деформаций ползучести режимных призм Н и
Р, испытанных при переменных режимах нагружения и разгрузок в со-
ответствии со схемами, показанными на рис. 94. Как следует из этих
рисунков, деформации призм-близнецов до тех пор, пока эти образцы
оставались близнецами (примерно до т = 40 сут.) мало отличались друг
347
Возраст бетона В сутках к моменту наблюдения
Рис. 93. Сопоставление экспериментальных и теоретических кривых ползуче-
сти при постоянных напряжениях:
экспериментальные кривые; по теории старения (а);
— • — • — по теории упруго-ползучего тела на основе выражения
(VII. 102) Н.Х. Арутюняна (б);---на основе выражения (VII. 133)
автора (в).
348
Рис. 94. Схема режимов загружения образцов I серии опытов, испытанных
при переменных напряжениях.
от друга. В последующем же, когда образцы по режиму нагружения
переставали быть близнецами, характер их деформирования существенно
различался.
Результаты описываемых экспериментов, изображенные на рис.
95, 96, и были подвергнуты соответствующей обработке.
Для построения теоретических кривых относительных деформа-
ций ползучести режимных образцов Н и Р экспериментальные кривые
напряжений о (t) в этих образцах, изображенные на верхних графиках
рис. 95, 96, аппроксимировались с помощью соответствующих эле-
ментарных функций (экспоненциальных и линейных). После чего с
помощью квадратур
e„(t) = -|o(T)—C(t,T)dT (VII.176)
с учетом этих аппроксимирующих функций о (t), выражений (VII. 102),
(VII.133), (VII.165) и формул (VII.170) - (VII.174) находились теоре-
тические значения относительных деформаций ползучести еп (t) и на рис.
95,96 строились соответствующие теоретические кривые.
Сопоставление экспериментальных и теоретических кривых еп (t),
найденных по всем сравниваемым теориям, проведенное на рис. 95,
96, полностью подтвердили соображения, изложенные в § VII.8. В
связи с этим нет необходимости вновь подробно останавливаться на
анализе областей применимости сравниваемых теорий ползучести. От-
метим лишь наиболее важные результаты теоретического (см.§ VIL8) и
экспериментального (см. § VII. 10) изучения этого вопроса.
349
Рис. 95. Сопоставление экспериментальных и теоретических кривых дефор-
маций ползучести образцов, подвергнутых действию переменных на-
пряжений:
а - режимы Р-1, Р-3; б - режимы Р-2 и Р-4; 1 - эксперименталь-
ная кривая; 2 — по теории старения на основе выражения (VI. 165);
3 — по теории упруго-ползучего тела на основе выражения (VI. 102)
Н.Х. Арутюняна; 4 — то же, на основе выражения (VI. 133) автора.
Теория старения наихудшим образом описывает поведение бето-
на при переменных, не монотонно изменяющихся напряжениях. В
частности, она не может отразить и не отражает эффекта воздействий,
развивающихся или появляющихся спустя длительное время после на-
чального загружения (третий этап опытов т >40 суток). Для монотон-
но изменяющихся воздействий, непродолжительных во времени (I и II
этапы опытов 4 < т < 40 суток), теория старения и теория упруго-пол-
зучего тела, основанные на мере ползучести Н.Х. Арутюняна (VII. 102),
дают близкие между собой результаты, но существенно отличающиеся
от результатов опыта, особенно в случае падающих напряжений после
первичного загружения (рис. 95) и на отрезке времени, близком к
моменту загружения.
Наилучшее соответствие результатам опытов дает теория упруго-
ползучего тела, основанная на выражении (VII. 131) для C(t, т), пред-
350
Рис. 96. Сопоставление экспериментальных и теоретических кривых дефор-
маций ползучести образцов, подвергнутых действию переменных на-
пряжений:
а — режимы Н-1 н Н-3; б - режимы Н-2 и Н-4 (обозначения см. на
рис. 95).
ложенном автором, и наследственных функциях, из него вытекающих.
Это подтверждается также опытами автора и В.Я. Багрия [32] по изучению
ползучести бетона при периодических воздействиях, некоторые результаты
которых приведены на рис. 97 и 98.
Однако степень соответствия экспериментальным данным расчет-
ных величин деформаций и напряжений, отыскиваемых на основе
(VII. 131), зависит от того, насколько точно аппроксимированы с по-
мощью выражения (VII. 133) кривые меры ползучести бетона C(t,x),
принимаемой за независимую наследственную функцию.
Ниже в § VII. 11 приводится методика определения входящих в это
выражение функций и параметров, наилучшим образом удовлетворяющих
351
этому условию. Применение этой теории особенно оправдано для учета тем-
пературно-влажностных воздействий при расчете бетонных и железобетон-
ных конструкций. Именно с этой целью она широко и используется ниже.
Результаты описанных опытов автора и Э.Я. Багрия представля-
ют еще одну возможность для проверки принципа наложения воздей-
ствий в теории ползучести, использованного при их обработке.
Действительно, если обратиться к рис.95 и 96, мы можем выде-
лить группы призм, которые не были образцами-близнецами по усло-
виям загружения на I этапе, но стали ими в этом смысле на III этапе
загружения (т > 40 суток) после предшествующих отдыха без нагрузки
или выдержки ее. Такими образцами являются следующие группы
призм: Н-1 и Н-3; Н-2 и Н-4; Р-1 и Р-3; Р-2 и Р-4.
На рис.99 изображены кривые абсолютных приращений дефор-
маций ползучести этих образцов, начиная с момента их повторного
нагружения или разгрузки (т =40 суток). Из этого рисунка следует,
что, несмотря на существенное различие в режимах загружения этих
образцов в пределах каждой из их групп на I этапе (4 < т <24 сут.), эти
приращения деформаций ползучести у образцов, одинаково загружен-
ных на III этапе (т > 40 сут.), оказались практически одинаковыми.
Таким образом, основное положение принципа наложения, по-
ложенное в основу 4-й рабочей гипотезы теории ползучести (см. § VII.2),
нашло свое подтверждение в этих опытах.
Необходимо подчеркнуть, что в данном случае речь идет о прира-
щениях деформаций ползучести, а не об их абсолютных величинах.
Поэтому было бы неправильно думать, как это делают некоторые, что
величина полной деформации к данному моменту времени наблюдения
t > т, за вычетом ее приращения, вызываемого приращением напря-
жений, действовавшим за время t — т, не зависит от предыстории
загружения на промежутке 0<t < т и попросту равна деформации, на-
текшей к моменту времени т.
Следует, однако, отметить, что в описываемых исследованиях,
так же как и в других известных в литературе опытах, деформации пол-
зучести при разгрузке образцов оказались меньше примерно на 30%, а
иногда даже и несколько более, чем деформации ползучести образцов-
близнецов, впервые загружаемых в том же возрасте. С этой точки зре-
ния применения принципа наложения приводит к некоторым погреш-
ностям.
Однако при использовании новых аналитических выражений для
наследственных функций бетона (VII. 145) и (VII. 146) и, в частности,
352
для меры ползучести C(t, т) (VII. 133), погрешности эти невелики. Это
наглядно видно на рис. 92, 95 и 96, особенно в случае сложных чере-
дующихся воздействий.
Таким образом, применение принципа наложения в теории пол-
зучести бетона, значительно упрощающего решения многих практичес-
ких задач, является вполне оправданным.
Рис. 97. Ползучесть бетона при плавно периодически изменяющихся знакопе-
ременных напряжениях:
а, б — режимы загружения; в — деформации ползучести; г — полные
деформации образцов; 1 — экспериментальная кривая относительных
деформаций ползучести; 2 — теоретические кривые по теории упруго-
ползучего тела на основе формулы (VII. 131); 3 — кривая упругих де-
формаций.
353
В заключение следует отметить, что применение принципа на-
ложения в его обычной форме, как это следует из рис. 95 и 96, приво-
дит к некоторому преувеличению эффекта ползучести (последействия)
как при нагрузках, так и при разгрузках. В связи с этим даже лучшая
из современных теорий ползучести бетона — теория упруго-ползучего
тела, основанная на эффективных аналитических выражениях для на-
следственных функций бетона, предложенных выше, все же дает неко-
торое расхождение с опытом.
Рис. 98. Ползучесть бетона при плавно периодически изменяющихся знакопе-
ременных напряжениях (обозначения см. на рис. 97).
354
В сутнах с начала (V\4Qсит.)повтор-
ных переменных воздействий
Рис. 99. Экспериментальные кривые абсолютных приращений деформаций
ползучести образцов, подвергнутых действию переменных напряже-
ний, с начала повторных переменных воздействий.
Степень этого расхождения невелика, и поэтому в большинстве
случаев этой уточненной теорией можно вполне удовлетвориться. Для
получения же еще большей точности придется уже произвести более
глубокий ее пересмотр, связанный с тем или иным усложнением ее
математического аппарата.
§ VII. 11. О МЕТОДИКЕ АППРОКСИМАЦИИ КРИВЫХ МЕРЫ
ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ (VII. 133)
Аппроксимацию кривых C(t, т), на основе выражения (VII. 133)
лучше всего производить в следующем порядке.
Имея опытные кривые меры ползучести C(t, т) бетона для раз-
личных возрастов его загружения (рис. 100), можно построить график
изменения значений Ф(т). Очевидно, что ф(т) представляет собой
предельную деформацию ползучести при t -> «>
С(°°,т) = <р(т). (VII. 177)
Однако в большинстве случаев экспериментатор имеет дело с кри-
выми C(t, т), полученными в сравнительно кратковременных опытах,
где условие t —»оо не выполняется. В этом случае значения ф (т) реко-
мендуется принимать по экспериментальным кривым C(t, т), экстра-
полированным до момента времени t, отвечающего кажущемуся зату-
ханию деформации ползучести. Найденная с помощью этого приема
опытная кривая Ф (т) с хорошей степенью точности аппроксимируется
простой суммой экспоненциальных функций вида
355
Рис. 100. Сопоставление экспериментальных кривых меры ползучести C(t, т )
и соответствующих теоретических кривых, рассчитанных на основе
выражения (VII. 131);
-----------— экспериментальные кривые;------теоретические кривые.
<р(т) = Фо + Ф1е~Р,т + Ф2е PzT > (VII. 1
где Ф 0 - предельное значение меры ползучести C(t, т) бетона, загру-
женного в наиболее зрелом возрасте, а Фр Ф2, ^и Р2 - опытные
параметры, причем Р2 » Р ( >0.
При медленно убывающей кривой Ф(т) в формуле (VII. 178)
для этого достаточно двух первых слагаемых
ф’(т) = Фо + Ф1е’р'т • (VII.179)
Параметр Ф 0 принимаем равным минимальному предельному зна-
чению ординаты кривой Ф(т) (рис. 101). Затем на кривой Ф(т) вы-
деляем и аппроксимируем конечный, сравнительно пологий ее учас-
ток, применяя следующий прием. Записываем выражение (VII. 179)
для двух различных моментов времени загружения бетона, например,
т = 40 и 60 суток (см. пример). Так как значения Ф (40) и Ф (60) для
этих выбранных моментов времени известны, то, приравнивая им за-
писанные выражения для <р’ (т), получим систему из двух уравнений
для определения Ф f и Р Р
<p0+q>ie ₽''40 =ф(40)
фо+ф1е“₽!'6о=ф(6О)
(VII. 180)
Решая полученную систему уравнений, находим параметры Ф (и
356
РПо выражению (VII. 179), где все параметры теперь известны, стро-
им кривую ср1 (т), которая, хорошо соответствуя пологому участку за-
данной кривой, очевидно не совпадает с последней в пределах ее кру-
того участка при малых значениях т (см. рис. 101). Это несоответствие
устраняется второй, быстро убывающей экспоненциальной функцией
фп(т) = ф2е~р2т. Параметры Ф2 и Р2 определяют, приравнивая выра-
жение для этой функции разности значений ординат заданной Ф (т) и
найденной ф1 (т) кривых, для двух моментов времени т, например
т =.4 и 28 суткам (см. пример)
ф2е~Рг4 = ф(4)-(ф0+ф,е м)
ф,е-М8 =ф(28)-(ф0+ф,е'р|28)
(VII. 181)
где Ф (4) и Ф (28) — величины Ф (т) для моментов времени загруже-
ния бетона, соответственно равных 4 и 28 суткам.
Решая систему уравнений (VII. 181), находим требуемые значе-
ния Ф 2 и р 2.
Функция Д (т) отражает изменение значений весьма быстро на-
текающей вслед за мгновенным загружением образца части его дефор-
мации ползучести, изображаемой на графиках кривых ползучести в
масштабе оси времени их наблюдения почти вертикальными отрезка-
ми. Величину этой части деформации удобно принять несколько боль-
шей или равной значению ординаты экспериментальной кривой С (t, т)
при t — т = 1 суткам для каждого возраста т загружения бетона и отне-
сенной к моменту времени т. Графически изменение величины Д(т)
изображается монотонно убывающей кривой с увеличением т (см. рис. 101).
Аппроксимация кривой Д (т) производится аналогично Ф (т) с
наолкюения
101 Сопоставление экспери-
ментальных и теоретичес-
ких кривых предельной
меры ползучести Ф ( т ) (1)
и функции быстронатекаю-
щих деформаций ползуче-
сти д(т) (2);
------экспериментальные
кривые;------теоретичес-
кие кривые.
357
помощью выражения
А(т) = Ао + A,e’a,T + А2е-“2Т, (VII. 182)
где До - величина быстронатекающей деформации ползучести бетон-
ного образца, загруженного в наиболее зрелом возрасте, а А р Д2, а,
и а2 - параметры, подбираемые из опыта, причем а2 »а, > 0.
Функцию V (t) находят как разность функций Ф (t) и A (t)
V(t) = <p(t)-A(t). (VII.183)
Необходимо стремиться к тому, чтобы функция V (т), так же
как и функции Ф (т) и А(т), была монотонно убывающей для всех
значений времени т наблюдения деформации, чего всегда можно дос-
тигнуть корректировкой функции А (т).
После определения параметров, входящих в функции Ф (т) и
Д(т), в выражении (VII. 131) подбираются параметры a, Y и
Параметр а обеспечивает на кривых ползучести наблюдаемую в
опыте высокую степень затухания быстро натекающей части деформа-
ции ползучести. Величина его изменяется мало и для обычного тяже-
лого бетона находится в пределах 5-6 (сут.)”1.
Параметр Y характеризует скорость затухания деформации пол-
зучести на длительных интервалах времени наблюдения и при сравни-
тельно кратковременных опытах (в течение нескольких месяцев) для
тяжелого бетона изменяется в пределах 0,02 -е- 0,04 (сут.). При длитель-
ных экспериментах (в течение нескольких лет) параметр Y может иметь
значения, меньшие 0,02 (сут.)~1.
Параметр А^ позволяет существенно изменить кривизну кривых
меры ползучести C(t, т) бетонных образцов, загруженных в молодом
возрасте, при малых t - т , но не влияет на кривизну кривой C(t, т)
для образцов, загруженных в зрелом возрасте бетона.
Для назначения параметра А2 в первом приближении можно вос-
пользоваться следующим приемом. Для бетонного образца, загружен-
ного в молодом возрасте, примерно через двое суток с момента загру-
жения находят опытную величину меры ползучести C(t, т). Этому зна-
чению приравнивают выражение (VII. 131), в котором величины ос-
тальных параметров предварительно найдены. Решая полученное урав-
нение, определяют величину Обычно А^ находится в пределах
0,5 < А2 < 1. Для пологих кривых ползучести 0 < А^ < 1.
По найденным параметрам, входящим в выражение (VII. 131),
строят теоретические кривые C(t, т). Рекомендуется начинать построе-
358
ние расчетных кривых меры ползучести C(t, т) для бетонного образца,
загруженного в наиболее зрелом возрасте. Если в величинах конечных
ординат экспериментальной и расчетной кривых C(t, т) наблюдается
расхождение, приходится уточнять ф (т); при существенном расхожде-
нии начальных ординат C(t, т) необходимо уточнить Д (т).
После получения необходимой точности в аппроксимации кри-
вых C(t, т) бетона зрелого возраста изменением в незначительных пре-
делах параметров А^, а, и у , как правило, удается достичь хорошего
соответствия опытных и расчетных кривых C(t, т) бетона молодого воз-
раста.
Пример^. Требуется аппроксимировать экспериментальные кри-
вые меры ползучести C(t,z) бетона (см. рис. 100), полученные для
моментов времени т его загружения, равных 4, 10, 17, 28, 40 и 90
суткам.
С помощью приведенного выше приема находим значения Ф (т),
которые для соответствующих моментов времени т загружения бетона
оказались равными в (МПа)-1:
< р(4) = 51-10-6; <р(28) = 27,5-10"6;
ф(10) = 39,3 • 10"6; ф(40) = 24,5 • 10-6;
ф(17) = 32,8-10"6; ф(90) = 22-10"6.
Построив кривую изменения Ф (т) в зависимости от возраста
бетона в сутках к моменту нагружения (см. рис. 101), аппроксимируем
ее участок для моментов времени т > 40 суток. Для этого, приняв
Фо = 2210“6 (МПа)"’; Ф(40) = 24,5-10’6 (МПа)-« и Ф(60) = 23-10’6
(МПа)*1, составляем систему уравнений (VII. 180) для вычисления па-
раметров Ф, и Р (
22-10“6+ф1е-4°Р1 = 24,5-Ю'6;
22-10“6+ф1е’60р1 —23-10-6,
откуда Ф, = 15,61-10-6 (МПа)-1; Р, = 0,0458 (сут.)'1.
Быстро убывающий участок кривой ф (т) аппроксимируем вто-
рой экспоненциальной функцией. Значения параметров этой функции
определяем из системы уравнений (VII. 181), приняв
ф(4) = 51-10~6(МПа)“| и ф(28) = 27,5-10-6(МПа)4 ;
1 Пример составлен Н.А. Колесниковым [162].
359
< p2e-4(>2 = 51 • IO-6 - [22 +15,6 к^ 0458)4 ]• 10 6;
< p2e-28₽2 = 27,5-Ю"6 -[22 + 15,61е(-004Я)28}10-6,
откуда Ф2 = 24,75-10-6 (МПа)-1; (32 = 0,109 (сут.)"1.
Внося значения параметров Фо, Ф р Ф2, Р р и Р2 в выражение
(VII. 178), имеем
ф(т) = (22 +15,6 le-0 04581 + 24,75е-0-'09т )• 1 О’6 (МПа)-1.
Подставляя сюда соответствующие значения т, находим вели-
чины ординат теоретической кривой Ф (т). Как видим (см. рис. 101),
точность полученной аппроксимации вполне удовлетворительна.
Затем аналогично предыдущему аппроксимируем эксперименталь-
ную кривую Д (т). Значения Д (т), найденные по кривым C(t, т) (см.
рис. 101), для соответствующих моментов времени составляют в (МПа)-1
д(4) = 30,7 10’6; Д(28) = 11,9 10"6;
Д(10) = 21 • 10"6; Д(40) = 9,5 10-6;
Д( 17) = 15,7 10’6; Д(90) = 8 10-6.
Учитывая, что изменение значений Д (т) изображается сравни-
тельно пологой кривой (см. рис. 101), для ее аппроксимации восполь-
зуемся выражением (VII. 179).
Составляя систему уравнений (VII. 180) для моментов времени
т = 4 суток й т = 40 суток, имеем
Д(4) = 30,7 • 10-6 = 8 • 10-6 + Д^-43';
Д(40) = 9,5-Ю-6 = 8-10-6+Д|е-4Оа',
откуда Д, = 30,72-10-6 (МПа)-1, а, = 0,0755 (сут.)-1.
Таким образом,
Д(т) = (8 + 30,72с-0'0755' )• 10-6(МПа)-1.
Для соответствующих моментов времени т находим значения ор-
динат теоретической кривой Д (т) и убеждаемся, что точность полу-
ченной аппроксимации вполне приемлема.
Значения параметров а и \ принимаем соответственно равными
а = 5(сут.)-1; А2=0,8.
Параметр у подбираем исходя из лучшего соответствия всего се-
мейства теоретических кривых C(t, т) опытным.
Для кривой C(t, т), соответствующей т = 4 суткам при t = 2 т =8
суткам, имеем
360
С(8,4) = 36 10’6 (МПа)’1; ф(4) = 51 • 10’6 (МПа)’1;
Д(4) = 30,7 • 10’6 (МПа)’1; у(8) = 18,39 • 10’6 (МПа)’1.
Таким образом
36 Ю’6
51-18,39
е4у -0,8
е8у -0,8
-ЗО,7е’20
•10’6.
Обозначая е4т = у, приводим это выражение относительно Y к
уравнению
0,816у2-у + 0,147 = 0,
корни которого равны yj = 1,055; у2 = 0,171.
Отбрасывая второй корень, соответствующий отрицательному
значению Y, найдем
In 1,055 0,534
Y =--------=--------= 0,01 Зсут. .
4 4
Аналогичным образом находим
для кривой C(t, 10) Y =0,021 сут.-1
» » C(t, 17) Y = 0,022 »
» » C(t, 28) Y =0,025 »
» » C(t, 40) Y = 0,019 »
Среднее из пяти найденных значений Y = 0,02 (сут.)’1 и прини-
маем за окончательное.
Далее находим Ф (t), Д (t) и V (t) для моментов времени, соот-
ветствующих различной продолжительности наблюдения, для разных
кривых C(t, т). Для этих же моментов времени t вычисляем значения
ординат теоретических кривых меры ползучести C(t, т). Как следует из
рис. 100, на котором сопоставлены экспериментальные и соответству-
ющие теоретические кривые C(t, т), аппроксимация опытных кривых
вполне удовлетворительна и, следовательно, нет необходимости в до-
полнительном уточнении параметров в выражении (VII. 131).
361
ГЛАВА VIII.
УПРУГО-МГНОВЕННАЯ ЗАДАЧА
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ
ВЫНУЖДЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ.
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ И
МЕТОД РЕШЕНИЯ
§ YIII.1. ОБЩАЯ ТРЕХМЕРНАЯ УПРУГО-МГНОВЕННАЯ
ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В соответствии с определением упруго-мгновенной задачи тео-
рии упругости, данным в § VII.6, напряженно-деформирован-
ное состояние рассматриваемого ею упругого тела определяется
напряжениями
ax(t), oy(t), az(t), 1
Чу(0 = тУх(0. rxz(t) = тгх(0, туг(0 = тгу(0,| (VIH-l)
деформациями
£x(t); ey(t); ez(t); 7xy(t); yxz(t); 7yz(t) , (VIII.2)
и перемещениями точек тела u(t), г> (t), w(t) в направлении коорди-
натных осей х, у и z соответственно.
Зависимость между деформациями и напряжениями устанавли-
вается обобщенным законом Гука
8х (0 = [(1 + v>x (t)- vS(t)]+ е°х (t); E(t)
(x,y,z), Yxy(t)= E(t)^xy(t) + Y°xy(t); (X,y,z) (VIIL3)
или в обращенной форме
362
°x(t) = 7^-JeI(t)-eOx(t) +-^к)"е°(‘)1
(1 + v) I 1 - 2v J
..............................(x.y,z);
Txy(t)=2^^y(t)’7“y(t)l
..............................(x, y,z),
(VIII.4)
где
S(t) = ox(t)+ oy(t) + oz(t);
9°(t) = s° (t) + s° (t) + e“(t); •
9(t) = £x(t)+Cy(t)+ Ez(t),
деформации удовлетворяют уравнениям совместности
d2£„(t) + d2sy(t) = Э2 yxy(t)
Эу2 Эх2 ЭхЭу
...........................................(х, у, г);
2 d:e»(t) = 2 Г- ЭГхг(0 + dYxyW
ЭуЭг Эх Эх Эу Эг
...........................................(x,y,z)
и связаны с перемещениями формулами
у Эу Эг Эу e2(t) = ^; YxZ(t)=^ + ^. Эг Эг Эх (VIII.7)
а напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия
^x(t) + 9Txy(t) + 9Txz(t) = 0;
Эх Эу Эг
(VIII.8)
...............(х,у,г).
Кроме того, должны удовлетворяться соответствующие гранич-
ные условия.
Решение рассматриваемой упруго-мгновенной задачи можно про-
водить в напряжениях или в перемещениях.
363
В первом случае сначала отыскиваются напряжения (VIII. 1), а
затем деформации (VIII.2) и перемещения. Последовательность реше-
ния задачи при этом следующая.
Вначале отыскиваются напряжения (VIII. 1), удовлетворяющие
уравнениям равновесия (VIII.8) и уравнениям совместности (VIII.6),
выраженным в напряжениях [49]
(l + v)v2cx(t) + ^52 = Qx(t);
дх
............(x,y,z);
(l + vX\y(t)+^ = fixy(t);
3 дхду 3
............(X,y,z),
(VIII.9)
где Hx(t) и Qxy(t) определяются по формулам (VII.55) и (VII.56) при
условии (VII.5) и граничным условиям
ох (t)cos(Nx) + rxy(t)cos(Ny) +xxz(t)cos(Nz) = 0 ;
тух (t)cos(Nx) + оу (t)cos(Ny) 4-т^ (t)cos(Nz) = 0;
rzx(t)cos(Nx) + rzy(t)cos(Ny) +oz(t)cps(Nz) = О-
(VIII. 10)
Затем по формулам (VIII.3) отыскиваются деформации тела и
далее по уравнениям (VIII.7) с учетом характера закрепления тела в
пространстве определяются уже его перемещения. В силу линейности
уравнений (VIIL8) и (VIIL9) их решение можно искать в виде суммы
ах (0 = °Х( (0+ oXj(t);
..............(х, y,z);
Тху(0 Тху, (0 + Тху2 (0»
...............(x,y,Z),
(VIII.11)
где % (0, ..., тху( (t) - общие интегралы однородных уравнений (VIII.8)
и (VIII.9), соответствующие случаю отсутствия вынужденных деформа-
ций тела, а % (0»-> тху, (0 “ любое из возможных частных решений
уравнений (VIII.8) и (VIII.9), соответствующее их заданным правым
частям.
Общие решения однородных уравнений (VIII.8) и (VIII.9) изве-
стны [221]
364
ax (t) = G(t) 2
л2 A
тл—т ^T-W2 bc(t) + 2Vo(t)] ;
2(l-v)( Эх" I J
-W2 bc(t) + 2Vn(t)l ;
%(t) = G(t>
a (t) = G(t) 2^,(0 +V2v2(t)]-
Эу
-y
[ dz 2(l-v)l3zz
Afc, (t)+V2 Vl (t)]+ A |p2 (t)+v2V2 (t)]-
Эу Эх
1________
2(l-v)|^y2
1 ( г?2
- vV
Txyi(t) = G(t>
- 77— ; • ~~ k(t)+2y0(t)]|;
2(1-v) ЭхЭу J
t„ (t) = G(t)| A^2 (t) + V2V2 (t)]+ A [0,(t) + V2V3(t)]-
[ dz dy
I Э~
- rz---; • ТЧ- lx(t) + 2 Vo (t)]k
2(1 -vj dydz
ти (t) = G(t)| A[o4 (t) + V2V, (t)]+ f [0, (t) + V2 V, (t)]-
' [dx * dz
id2 1
~к(0 + 2ч'о(0] . (VIII.12)
2(1 - v) dxdz J
где 0, (t), 02 (t), 03 (t) - три обязательных для общности решения
независимых интеграла уравнения
V20i(t) = O, (V1II.13)
0О (t) - произвольная гармоническая функция, удовлетворяющая урав-
нению (VIII. 13), необязательная для общности решения, но удобная
для удовлетворения граничным условиям задачи,
X(t) = 0o(t) + x01(t) + y02(t) + z03(t) , (VIII. 14)
V i(0, V 2W’ V з(0 “ любые бигармонические функции, удовлетво-
ряющие уравнениям
V2V2Vi(t) = 0;
(t)T-dvi(t) dy2(t) dy3(t) •
° Эх Эу Эг
Функции 0 j (t) и V j(t) включают в себя время t в качестве параметра.
365
Форма частных решений аХ2 (0, .., тху? (t),... определяется видом
вынужденных деформаций ex(t),..., yxy(t),... В рассматриваемой нами
проблеме они являются либо температурными деформациями, связан-
ными с изменением температуры тела, либо влажностными деформа-
циями, вызываемыми изменением его влажности. Для вынужденных
деформаций такого вида справедлива гипотеза Дюамеля-Неймана, в
соответствии с которой
tOx(t) = e°y(t) = e®(t) = £<,(t);
Y°xy(0 = Y°z(t) = Yyz(t) = O;
(VIII. 15)
причем вынужденные температурная и влажностная деформации соот-
ветственно равны
е°(0 = аФ(0; e°(t)=pU(t),
где Ф(0 и U(t) - расчетные изменения температуры или влажности
тела, а — коэффициент линейного температурного расширения, а
Р - коэффициент линейной влажностной деформации усадки или на-
бухания.
При этих условиях уравнения (VIII.9) упрощаются и принимают вид
'2e°(t)+ae°(t) •
(l + v)V20x(t) + ^-^
Эх
дх2
(x,y,z);
(VIII. 16)
%(0 =
(VIII. 17)
ЭхЭу ЭхЭу
........................(x,y,z).
При этом наши частные решения <*Х2 (0,..., тху2 (0,...будут равны
_ E(t) d2co(t) 32co(t)
1- v Эу2 Эг2
..............(x,y,z);
т ГП . E(t) d2(0(t)-
ХУ: 1-v ЭхЭу
.........................................(x,y,z),
где со (t) — любое удобное частное решение уравнения
V2co(t)=e°(t),
В тех случаях, когда наряду с напряжениями требуется отыска-
ние перемещений точек тела, например когда граничные условия зада-
366
ны в перемещениях, решение задачи удобно проводить в перемещени-
ях. Необходимые для этого уравнения можно получить следующим об-
разом.
Принимая во внимание формулы (VIII.7), с помощью уравне-
ний (VIII.3) найдем
l + v l-2v Эх I-2v
l + v|_l- 2v Эх l-2v
у l + v[l-2v Эу у l-2v
“.«Г®
1 + v L1 - 2v dz 1 - 2v J
(VIII. 18)
Txy(0 =
Tyz(0 -
E(t) | Эи(0 ( Эи(0 о
Y xy W »
E(t) Гdu(t) , 9w(t) о
Лд-хЛ ;ь д„ YyzW,
Эх
(VIII. 19)
(i+v)[ dz эу ,yzv7
E(t) 9w(t) 9u(t) о /rtl
(l + v)[ Эх dz T“()J
После чего, внося (VIII. 18) и (VIII. 19) в уравнения равновесия
(VIII.8), будем иметь
—+ (1 - 2v)?2u(t) = (1 - 2v
Эх
Tzx (О
ду?у (t) t ЭухДр
Эу Эг
_ Э£х (t) 2v Э л0
+ 2_аД2+ еo(t) .
Эх 1 - 2v Эх
Г Эу°2 (t) Эуух (О
I Эг Эх
•—e°(t) ;
l-2v Эу
дГгх (0 t Эу°у(О
Эх Эу
+ 2Э|Ю+_^ эеО(о|
Эг l-2v Эг
^ + (l-2v)?Vt) = (l-2v'
Эу
|2Эеу(0. 2v
Эу
+ (1 - 2v)V2 w(t) = (1 - 2v'
dz
(VIII.20)
367
Таким образом, ход решения задачи в перемещениях следующий.
Вначале по уравнениям (VIII.20) отыскиваются перемещения u(t), u(t),
со(t), затем по уравнениям (VIII. 18) и (VIII. 19), по заданным вынуж-
денным деформациям е®(t),..., у°у (t),... и найденным перемещениям на-
ходятся напряжения, а затем по формулам (VIII.3) и деформации тела.
В силу линейности уравнений (VIII.20) их решения можно ис-
кать в виде
u(t) = u1(t) + u2(l);
u(t) = uj(t) + n2(t);
w(t) = w1(t) + w2(t),
(VIII.21)
где u((t), в ,(t), wt(t) - общие решения однородных уравнений (VIII. 19),
соответствующие случаю отсутствия вынужденных деформаций, a u2(t),
u2(t), w2(t) ~ любое из возможных частных решений уравнений
(VIII.20), соответствующее их заданным правым частям.
Общие интегралы однородных уравнений u,(t), в ,(t), wf(t) из-
вестны [221]
u,(t) = V24/|(t)-^-
Эуо(0
Эх
+ 0,(0-
1 fr(Q.
4(1 - v) Эх
n1(t) = V2V2(t)-
1 dv|/o(t)
2(1-v) Эу
+ 02(О-
1 d%(t)
4(1-v) Эу
w, (t) = V2i|/ з(t) - z 1 x + 03 (t) -
2(1-v) dz
I dx(Q
4(1-v) dz
(VIII.22)
При условиях (VIII. 15) уравнения обобщенного закона Гука так-
же упрощаются и для случая температурных воздействий принимают
вид
+ (1 - 2v)V2u(0 = 2(1 + v)^>;
Эх Эх
Эу Эу
+ (1 - 2v)V2 w(t) = 2(1 + v)^;
dz dz
(VIII.23)
и наши частные решения будут равны
368
1 +v^dcoft)
1 - v J Эх
I l + v^dco(t)
”2(0= — hr2;
1 + v dco(t)
1-v
u2(0 =
w2(t) =
dz
(VIII.24)
Функции 0j(t), V .(t), X (t) и w(t) имеют прежний смысл.
При условиях (VIIL15) уравнения обобщенного закона Гука так-
же упрощаются и для случая температурных воздействий принимают
вид
ex(t) = —[(b x E(t) v h v)jx (t) - vS(t)]+ аФ(1);
Yxy(0 (x,y,z), E(t) xy (x,y,z) (VIIL25)
или
aE(t)
l + v[l-2v dy J l-2v
^Ф(0;
l-2v
1 + v L1 - 2v
... E(t)
т-¥ф(0;
1 + v I 1 - 2v dz
E(t) [du(t) dv(t)
(VIII.26)
т (t\ - E(t) <M0 , <M0
уг 2(1 + v) dz dy
E(t) Fdw(t) du(t)l
Т“(О=2(17Г)ЬГ+^Г}
369
§ VIIL2. ПЛОСКАЯ УПРУГО-МГНОВЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим особо случай плоской упруго-мгновенной задачи о
напряженно-деформированном состоянии тела при наличии вынужден-
ных деформаций. Такое состояние возникает в телах определенной кон-
фигурации вследствие изменения температуры, усадки и т.п. Напри-
мер, в случае изменения температуры тела по закону Ф(х,у,гД) состав-
ляющие его вынужденных деформаций будут равны (VHI.45)
Эта задача может ставиться в двух вариантах: в виде задачи о плос-
кой деформации длинных призматических тел и в виде задачи о плос-
ком обобщенном напряженном состоянии тонких призматических дис-
ков. Займемся первой из них.
Рассмотрим длинное призматическое тело с полностью защем-
ленными торцами* ; ось Oz совместим с его продольной осью.
Будем иметь в виду случай, когда граничные условия, распреде-
ление напряжений и вынужденных деформаций не зависят от коорди-
наты z, отсчитываемой вдоль образующей. При этих условиях часть
тела, выделенная на значительном расстоянии от его торцов, находит-
ся в условиях плоской деформации. Вследствие этого компоненты на-
пряжений и деформаций будут зависеть только от двух координат точки
х, у и времени t. Таким образом, в рассматриваемом случае
u(t)= u(x,y,t); u(t) = u(x,y,t); w(t)=0, (VIII.27)
т.е.
ex (0 = ex (x, У> 0; e (t) = Ey (x, y, t); у (t) = у (x, y, t); 1
yx2(t) = Yy2(t) = £z(t) = O | (VIII.28)
и, кроме того,
gx (t) = gx (x, y, t); g (t) = Gy (x, y, t); т (t) = т (x, y, t);l
TX2(t)=tyz(t) = O; |(VHI.29)
°z(t) = v[aK(t) + Oy(t)]-e°z (t)E(t). (VIII.30)
Имея в виду напряжения, вызываемые вынужденными дефор-
мациями, будем считать, как и прежде, поверхностные и объемные
силы равными нулю.
Вначале рассмотрим метод решения рассматриваемой задачи в
напряжениях.
1 Имеется в виду отсутствие поворота и продольных смещений торцовых
сечений тела.
370
При сделанных выше предположениях напряженное состояние тела
будет описываться следующими уравнениями. Компоненты напряже-
ний будут удовлетворять двум уравнениям равновесия
9ax(t) t Ку(0 _0.
Эх Эу
Эту«0) | 9°y<t)=0
Эх Эу
(VII1.31)
(VIII.32)
и однородным условиям на поверхности
ох (t)cos(Nx) + Txycos(Ny) = 0;
ryxcos(Nx) + оу (t)cos(Ny) = 0.
Кроме того, они должны удовлетворять еще условиям совмест-
ности (VIII.9), из числа которых в силу условий (VIII.27) и (VIII.29)
останется только одно
1 [Э2е®(0 d2e°y(t)
“2 _ - +
E(t)
(VIII.33)
Эу2 Эх2
_9_p^(t)+vV2£O (()
ЭхЭу
По аналогии с функцией напряжений Эри введем в рассмотре-
ние функцию напряжений упруго-мгновенной задачи Ф (t), такую, что
.. Э2ф(1) .. Э2<р(0 Э2ф(0
Oy(t)=^; T-(t)=’W,(V1II-34)
тогда, очевидно,
V2[ax(t) + Oy(t)]= V2V2q>(t),
(VII1.35)
где
э4 э4 э4
v2v2= +2 + (VJII.36)
Эх Эх Эу Эу
Таким образом, уравнение совместности (VIII.33) примет вид
ф(0=+_
Эу2 Эх2
_Э2г°ху (t)+vV2 О (t)
дхду
(VIII.37)
371
После введения функции Ф (t) уравнения равновесия (VII1.31)
будут тождественно удовлетворены, а условия на поверхности (VIII.32)
перепишутся следующим образом
d cos(Nx) - д У cos(Ny) = 0;
Эу" ЭхЭу
Э2 ф(1) Э2 (p(t) (VIII.38)
----—cos(Nx) + —^cos(Ny) = 0.
ЭхЭу Эх-
Итак, решение рассматриваемой задачи о плоской деформации
сводится к интегрированию дифференциального уравнения совместно-
сти (VIII.37) при граничных условиях (VIIL38).
Отыскав функцию напряжений упруго-мгновенной задачи <Р (t),
удовлетворяющую уравнению (VIII.37) и граничным условиям (VI1I.38),
по формулам (VIII.34), найдем компоненты напряжений упруго-мгно-
венной задачи, которыми полностью определяется искомое напряжен-
но-деформированное состояние рассматриваемого тела, поскольку на-
пряжения oz(t) с помощью формулы (VIII.30) однозначно выражаются
через напряжения ox(t) HGy(t)} а деформации ex(t), ey(t) и уху(0на
основе выражений (VIII.3) с учетом (VIII.29) также будут однозначно
выражаться через эти напряжения по формулам
sx(t) = [(1 - v)cx (t) - vcy (t)]+ (1 + v)e° (t);
(0 = [0 - v)°y (0 - vcx (t)]+ 0 + v)e у (0:
Уху(О= 2p*V4y(t) + Yxy (0-
(VIII.39)
Однозначно будут определены также и смещения точек тела, по-
скольку они связаны с деформациями соотношениями(ЛШ1.7).
Рассмотрим случай, когда
(VIII.40)
£х (0 = s®(t) = е?(0 =a£®(t);
Yxy(t) = Y°xz(O = Yyz(O = O.
Такой случай, например, наблюдается при температурных дефор-
мациях тела, усадке, набухании и т.п. При этом постоянная а может
рассматриваться как коэффициент соответствующей линейной дефор-
мации, например коэффициент линейного температурного расшире-
ния, а функция е 0(t) - как поле вызывающих ее изменений соответ-
ствующей характеристики состояния материала, например поле изме-
372
нений температуры тела. Если при этом ввести в рассмотрение новые
физические характеристики материала
Е1(0 = -^т; V,=-^—; <х,=(1 + у)х (VIII.41)
1-v2 1-V
и учесть, что
= <VIIL42)
то все основные уравнения задачи о плоской деформации, выписан-
ные выше, перепишутся следующим образом:
а) уравнение совместности
V2V2<p(t) = -alE,(t)V2s°(t);
б) граничные условия
——cos(Nx)- У cos(Ny) = 0;
Эу2 ЭхЭу
_ д <Р(0 cos(nx) + д у) cos(Ny) = 0;
ЭхЭу Эх2
в) связь между деформациями и напряжениями
ViOy(t)]+<x, е° (t);
(VIIL43)
(VIII.44)
ех(0 = ~~ [axW“
х Ej(t)L х
Syw = к(0-vi°x(t)]+ Я|Sy (t);
(VIIL45)
(VIII.46)
7ху(0 E,(t) Тху(0;
г) связь между смещениями и деформациями
Эх Эу
^^=Yxy(t).
Эу Эх
Теперь рассмотрим тонкий призматический диск со свободными
торцами и боковой поверхностью, сохранив выбранное ранее направ-
ление осей координат и по-прежнему считая, что объемные силы от-
сутствуют, а вынужденные деформации не зависят от координаты z.
Вследствие этого, как и прежде, компоненты напряжений, переме-
щений и деформаций будут зависеть только от двух координат точки х,
у и времени t. Таким образом, в рассматриваемом случае мы будем
иметь
373
u(t) = u(x, у, t); u(t) = u(x, y, t)
(VIII.47)
т.е.
ex(t)= ex(x,y,t); Ey(t) = Ey (x,y,t); yxy(t) = yxy(x,y,t);
Y xz (0 = У уг (0 = 0
(VIII.48)
и, кроме того,
оx(t) = о Х(х, у,t); оу(t) = оу (х,у, t); тху (t) = тху (х, у,t);
тхг(1) = ту2(0 = о2(1) = 0.
(VIII.49)
При сделанных предположениях диск находится в плоском обоб-
щенном напряженном состоянии, которое будет описываться следую-
щими уравнениями. Компоненты напряжений по-прежнему будут удов-
летворять двум уравнениям равновесия (VIII.31) и однородным усло-
виям на боковой поверхности (VIII.32). Кроме того, они должны удов-
летворять еще уравнениям совместности (VIII.9), из числа которых, в
силу условий (VIII.48) и (VIII.49), останется только одно
V2V2 <p(t) = -E(t)
Э2е° (t) г Э2е° (t) d2T°xy(t)
Эу2 Эх2 ЭхЭу
,(VIII.50)
где Ф (t) — по-прежнему функция напряжений, связанная с напряже-
ниями формулами (VIII.34).
Итак, решение рассматриваемой задачи о плоском обобщенном
напряженном состоянии сводится к интегрированию дифференциаль-
ного уравнения совместности (VIII.50) при граничных условиях (VIII.32).
Отыскав функцию напряжений упруго-мгновенной задачи Ф (t),
удовлетворяющую уравнению (VIII.50) и условиям (VIII.32), по фор-
мулам (VIII.34) найдем компоненты напряжений, которыми полнос-
тью определяется искомое напряженно-деформированное состояние
тела, поскольку его деформации на основе выражений (VIII.4) с уче-
том (VIII.49) будут однозначно выражаться через эти напряжения по
формулам
ex(0 = ^k(t)-voy(t)]+ е°х (0;
vox(t)]+ £у (t);
х E(t)fc Л
Уку(t) = (t) + Y°x> (t)’
а смещения будут связаны с этими деформациями выражениями (VIII.7).
(VIII.51)
374
Рассмотрим теперь случай(У1П.4О). Выписанные основные урав-
нения примут вид:
а) уравнение совместности
V2V2 cp(t) = -aE(t)V2e°(t); (VIII.52)
б) граничные условия
& cos(Nx) - cos(Ny) = 0;
Эу2 ЭхЭу
_ д фСО cos() + д <p(t) _ q.
ЭхЭу Эх2
в) связь между деформациями и напряжениями
sx(0 = (') - vay(t)]+ae°(t);
E(t)
EyW = ^7-ку(О - vax (t)]+ae°(t);
E(t)
. ч 2(1 + v) ..
У ху(*)_ “рЛх - т*у
г) связь между смещениями и деформациями
^=e,(t); ^=еу(0;
Эх Эу 3
^ + ^0)=т (0
Эу Эх Ьу
(VIII.53)
(VIII.54)
(VIII.55)
Сравнивая уравнения (VIII.52) - (VIII.55) с уравнениями
(VIII.43) - (VII 1.46), мы видим, что эти группы уравнений с точнос-
тью до постоянных a, v и функции E(t) совершенно идентичны, по-
этому мы приходим к следующему практически весьма важному выво-
ду-
В случае, когда вынужденные деформации тела заданы в форме
(VIII.40), как это, например, имеет место при изменениях температу-
ры или влажности бетона, решения упруго-мгновенных задач о плос-
кой деформации и о плоском обобщенном напряженном состоянии с
точностью до постоянных a, v и функции E(t) совпадают. Поэтому
достаточно решить лишь одну последнюю задачу с физическими харак-
теристиками материала a, v и Е. Ее решение для случая плоского
обобщенного напряженного состояния будет окончательным. Решение
375
же соответствующей задачи о плоской деформации мы получим, заме-
нив в найденном решении а на а,, v на v , и E(t) на E,(t), вычислен-
ные по формулам (VIII.41).
Для полноты последнего решения необходимо будет еще по фор-
муле (VIII.30) найти напряжения oz (t), которые будут соответствовать
рассмотренному выше случаю жестко защемленного по торцам тела. Их
равнодействующие
N(t) = fa2(t)dF;
F
M,(t) = Ja2(t)ydF; My(t) = jaz(t)xdF
F F
(VIII.56)
будут представлять собой реакции заделки. Здесь F - площадь попереч-
ного сечения тела.
Наконец, рассмотрим один важный случай, когда вынужденные
деформации заданы в форме
e°(t) = s° (t) = у ху (0 = у°2(0 = y°y2(t) = 0;1
е° (t) = A(t) + B(t)x + C(t)y, .(VIII.57)
где A(t), B(t), C(t) - некоторые функции только одной переменной t.
Он понадобится нам в дальнейшем для решения задачи о плоской де-
формации бруса со свободными торцами. В этом случае правая часть
уравнения (VIII.50) тождественно равна нулю, поэтому
V2V2<p(t) = O.
(VIII.58)
Поскольку функция Ф (t) в рассматриваемом случае должна к тому
же удовлетворять еще однородным граничным условиям (VIII.38), то,
очевидно, она тождественно равна нулю, следовательно, равны нулю
и напряжения
ax(t) = oy(t) = Txy(t) = 0. (VIII.59)
Поэтому с учетом (V.30), (V.57) и (V.59)
a2(t) = -E(t)[A(t) + B(t)x + C(t)y ] (VIII.60)
Реакции заделки при этом будут равны
N(t) = -A(t)E(t)F0; 1
Mx(t) = -C(t)E(t)Jx; My(t) =-B(t)E(t)Jy ,J (VIII.61)
где Fo — площадь, a Jx и Jy - моменты инерции поперечного сечения
тела относительно его главных центральных осей.
376
До сих пор мы рассматривали длинное призматическое тело с
жестко защемленными торцами. Рассмотрим теперь такое же тело, сво-
бодное от защемлений по концам. Решение упруго-мгновенной задачи
о плоской деформации для рассматриваемого случая мы получим, на-
кладывая решение (VIII.59) — (VIII.61) только что изученной задачи на
решение соответствующей задачи для защемленного по торцам бруса,
рассмотренной выше, и подбирая функции A(t), B(t), C(t) таким об-
разом, чтобы в каждом отдельном случае было бы
N(t) = Mx(t) = My(t) = 0. (VIII.62)
Это всегда удается сделать. Например, в случае температурных
деформаций, как мы видели в главе I,
s°x (t) = е°у (t) = е° (t) = aT(t)X(x)Y(y), (VHI.63)
поэтому в этом случае достаточно принять
A(t) = B(t) = C(t) = T(t). (VIII.64)
При этих условиях напряжения ox(t), оу(0 и тху(0 останутся не-
изменными, напряжения оz(t), определяемые по формуле (VIII.30),
изменятся на величину (VII 1.60) и будут равны
МО = v[ax(t) + ay(t)]-e® (t)E(t)-E(t)[A(t) + B(t)x + C(t)y],(VIII.65)
где A(t), B(t) и C(t) будут уже известными функциями t, равными
A(t) = ^j{vk(t) + °y(O]-E“ WE(t)}dF;
b(t)r0 f
B(0 = f {VR (‘)+° у О)]- e°z (t) E(t)}xdF;
ЕЦРу p
C(t) = Ё(оН (t)+(t)]" E°z (t) E(t)}ydE
(Vin.66)
Отметим, что на торцах тела напряжения oz(t) в рассмотренном
случае будут сняты лишь, как говорят, с точностью до главного векто-
ра и главного момента. Таким образом, задача о незащемленном по
торцам брусе решена нами в духе принципа Сен-Венана. Более точное
решение ее пока еще не найдено.
Аналогичным образом могут быть получены решения рассматри-
ваемой задачи и для других условий на торцах тела. Например, для
случая, когда торцовые сечения тела не могут поворачиваться, но не
закреплены по отношению к продольным смещениям, мы будем иметь
377
B(t) = C(t) = 0, a A(t) определяется по первой из формул (VIII.66). В
случае же, когда, наоборот, торцы тела могут поворачиваться, но длина
его оси остается неизменной A(t) = 0, a B(t) и C(t) определяются по
формулам (VIII.66).
§ VIIL3. ПЛОСКАЯ УПРУГО-МГНОВЕННАЯ ЗАДАЧА.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассмотрим метод решения плоской упруго-мгновенной задачи
теории упругости, а именно, задачи о плоском обобщенном напря-
женном состоянии, ограничившись случаем, когда вынужденные де-
формации заданы в форме (VIII.40). В § VIIL2 мы видели, что в этом
случае решение задачи сводится к интегрированию уравнения (VIII.52)
при граничных условиях (VIII.53) с последующим отысканием напря-
жений, деформаций и смещений тела по формулам (VIIL34), (VIII.54)
и (VIII.55) с обязательным удовлетворением третьему из уравнений
(VIII.55).
Полный интеграл уравнения (VIII.52), как известно, состоит из
общего интеграла соответствующего однородного уравнения
V2V2 <p(t) = O (VIII.67)
и удобного частного решения уравнения (VIII.52) с правой частью.
Общий интеграл уравнения (VIII.67) можно всегда найти в виде
бигармонической функции координат точки х и у с произвольными
постоянными интегрирования, являющимися функциями времени t.
Практически, однако, функция е° (t), входящая в правую часть
уравнения(УШ.52) (см. главы I и V), обычно задана в виде
c0(t)=x(x)Y(y)T(t} (VTII.68)
поэтому и функцию Ф (t) удобно искать в форме произведения
ф(0 = аф(х, y)T(t)E(t). (VIII.69)
Таким образом, задача сводится к отысканию общего интеграла
уравнения
V2V2<p(x,y) = 0. (VIII.70)
Этот интеграл удобно в общем случае записывать в виде ряда
ф(х. у) = |Ах2 + ВхУ +1СУ2 + X fn (y)cosXn X + X <₽„ (y)sinton х, (VI11.71)
2 2 n=l n=l
378
где
f„(y) = A„chXny + BnShXny + CnXnychXny + DnXnyshXny; (VIII.72)
Фп(У) = Fnch“ny + Gr,shmny+ Pn<B„ychmny+ Qn<onysho)ny (V1II.73)
— общие интегралы дифференциальных уравнений четвертого порядка
f^(y)-2X2n f„'(y)+x4n fn(y) = 0; (VIII.74)
4>nV (у) - 2соп Фп (у)+“п Фп (х) = о. (VII1.75)
Входящие в решение (VIII.71) произвольные постоянные А, В,
С, Ап,Fn,... определяются из граничных условий и условий равно-
весия тел. В этом решении предполагается, что грани у = 0 и у = Н
являются продольными кромками тела, а грани х = ± / — его попереч-
ными кромками.
Функции (VIII.71) соответствуют следующие выражения для на-
пряжений и смещений*
°х (») = «T(t)E(t) C + n^fn”'(y)cosXnx + '^<p'(y)sinconx
oy(t) = aT(t)E(t) A-$>2n fn(y)cosXnx-£co2 <pn(y)sinconx ;
(VIII.76)
тхУ(0 = -“T(t)E(t) B-^X„f'(y)sinXnx+^wn<p'n(y)cosa>nx ;
n=l n=l
u(t) = aT(t){b( + b3y + (C - vA)x + 2B(1 + v)y +
+ Z 7-f„'(y)+vMn<y) siiAnx-
n=lLAn J
"У —Ф^(У) + ',шпФп(У) cosconx;
J
v(t) = aT(t){b2 + b3x + (A - vC)y +
+ E 4-C(y)-(2 + v^(y) cosXnx +
11=1 J
(VIII.77)
S 4-<PZ(y)-(2 + v)(p'n(y) sin<onx
i=iL®n J
1 Имеется в виду случай плоского обобщенного напряженного состояния.
379
Входящие в формулы (VIII.71), (VIIL76) и (VIII.77) постоянные
Ьр Ь2 и Ь3 выбираются из условий закрепления тела в пространстве как
целого жесткого, а постоянные X п и соп — в зависимости от граничных
условий на поперечных кромках тела х = ± /, а именно:
а) если на этих кромках ox(t) = 0, a xxy(t> 0, то
1.-^; <vni.7S>
б) если на них ax(t) * 0, a xxy(t)=O, то
п (2п - 1)тгх 71 ПТГТГ „ _
М = ~~К 2/г а>„х = - + —; (VIII.79)
в) если на них <\(0 * 0, a тху(0*0 ( то
Л„=<о„ = ™. (VIII.80)
Переходим теперь к отысканию ряда практически важных част-
ных решений уравнения(VIII.52), при этом будем иметь в виду случай
(VIII.68).
В соответствии с видом общего интеграла (VIIL71) функцию
e°(t), заданную в форме (VIII.68), удобно также представить в виде
ряда
е° (t)=[g + Y'(y)]j а + bx + £en (y)cosXnx + £dn(y)sinconx [ n=l n—1 T(0, (VIII.81)
где H jY(y)dy p = 0 (VIII.82)
8 H — среднее значение функции Y(y), Y’(y) = Y(y)-g; (VIII.83)
en = - |[X(x)-a-bx]cosXnxdx; I -i (VIII.84)
dn = -1 [X(x) - a - bx]sinco n xdx , I-i (VIII.85)
а и b — пока произвольные постоянные, смысл которых мы сейчас же
выясним.
380
В случае (VIII.78) должно быть
а = |[х(/) + Х(-/)]; b = ^[X(/)-X(-/)]; (VIII.86)
в случае (VIII.79)
а = —|x(x)dx; Ь = Х'(/);
(VIII.87)
в случае (VIII.80)
1 1 I
a = -JX(x)dx; b = -[X(/)-X(-/)]. (VIII.88)
Представив теперь выражение (VIII.81) в виде
e°(t) = (а + bx)g + (а + bx)Y’(y) +[g + Y*(y)]^ encosXnx +
г . TF (VIII.89)
+[g + Y (y)jSdn(y)sm“..x j-T(t),
n=l
найдем частные решения уравнения (VI11.52), соответствующие каж-
дому из слагаемых фигурной скобки в выражении (VIII.89).
Так как
V2(a + bx)gT(t) = 0, (VIII.90)
то частное решение, соответствующее первому из этих слагаемых, так-
же равно нулю. Для учета этого слагаемого нам придется ввести допол-
нительный частный интеграл однородного уравнения (VIII.70) Метод
отыскания таких интегралов мы изложим ниже.
Частное решение, соответствующее второму слагаемому, выпи-
шем сразу в простой форме
н
v2(t) = aT(t)E(t)(a + bx)J JV(y)dydy , (VIII.91)
ему будут соответствовать следующие значения напряжений и смеще-
ний1
1 Здесь и в дальнейшем при определении перемещений u(t) и o(t), соответ-
ствующих частным решениям, опущены произвольные функции интегриро-
вания, определяющие смещение тела как целого жесткого, поскольку та-
кие функции уже содержатся в формулах (VI1I.77), отвечающих общему ин-
тегралу бигармонического уравнения.
381
0x(t) = -aE(t)T(t)(a + bx)Y*(У); 5y(t) =0;
Vxy(t) = -aE(t)T(t)bjY*(y)dy;
У
У H
U(t) = -(1 + v)aT(t)b j Y * (y)dy + 2j Y * (y)dy dy;
о у
у
V(t) = (1 + v)aT(t)(a + bx)J Y * (y)dy.
о
(VIII.92)
(VIII.93)
Частные интегралы <p3 (t) и <p4 (t), соответствующие третьему и
четвертому слагаемым формулам (VI 11.89), будем искать в форме
<p3(t) = -aE(t)T(t) £ф3п (y)cos^nx;
П=1
«•_ (VIII.94)
<p4(t) = -aE(t)T(t) ^<p4„(y)sinionx,
n=l
тогда для функций <р3п (у) и <р4п (у) будем иметь уравнения
(У)-2^ <&(у) + ф3„(у) = е„ [у*"(у)-Х2„ |g + Y'(y)]|;
-iv , 4_ ( ... , Г 11 (VIII.95)
ф!п(у)-2“пф4п(у) + ш^ф4п(у)=с1пр (y)-<»n B + Y (У)]|-
Поскольку общие интегралы (V1II.72) и (VIII.73) уравнений
(VIII.74) и (VIIL75) без правой части известны, частные решения этих
уравнений <р3п (у) и <р4п (у) найдем методом Коши. Следуя этому мето-
ду, подчиним интегралы (VIIL72) и (VIII.73) условиям
f1)(O) = f'(O) = f'(O) = O; f”(0) = l;
Ф„(0) = ф'п(0) = ф'п(0) = 0; ф;(0)=1;| (VIII.W)
это сделает их равными
N„ (У) = -4-(^пус1Л„у -shlny);
м . . Г ( . . Л (VIII.97)
М"(У)= —з-(“пУс11“пУ-«Ь“пУ)-
2соп
Тогда частные решения уравнений (VIII.95) будут равны
382
Фзп (у) = eJ N „ (у - n)|Y*"O1) - X2„ |g + Y* (n)]|dn;
0 I J
У г л
Ф4п (У) = dn J M n (У - П)1 Y-"(n) - co2 [g + Y*(Ti)]pn.
0 I J .
Например, при
Y(y) = g +Y*(y) =С1+C2y;
(VIII.99)
Фзп (У) = + 2(1 -chx„y)]+
2\n „ (VIII. 100)
+ c2 ку(2+ сЬ)-пУ)-3slA„yft
<₽4n (У) = - ~V {C|“n к yshw„ у + 2(1 - chto„ y)]+
2t0" (VIII. 101)
+ C2 [<e„ y(2 + ch<o„y)- 3sh<o„ y]}.
Отметим, что в силу условий (VI 11.96) любое и частных решений
(VI 11.98) удовлетворяет условиям
ф„(0) = ф' (0) = фпж(0) = (ПО) = О, (VIII. 102)
что существенно упрощает уравнения для отыскания произвольных по-
стоянных функции напряжений, получаемые из граничных условий.
Имея выражения (VIII.98) для функций ф3п (у) и ф4п(у), по фор-
мулам (VIII.94) всегда можем определить искомые частные решения
Фзп (у) и Ф4п (У) • Этим частным решениям в их совокупности будут соот-
ветствовать следующие выражения для напряжений и смещений
ох (t) =-<xE(t)T(t) 5}<p;„(y)cosX.„x +
ay(t) = aE(t)T(t) ^X2 q>3„(y)cosXnx+ £co2 <p4n(y)sinconx
(VIII. 103)
Txy(t) = -aE(t)T(t) ^ln<p;n(y)sinXnx-^<o„q>i„(y)cos(o„x ;
383
u(t) = -aT(t)
7-4>j„(y) + vXn <p3„(y)
sin^nx -
n=oo |
-X —vZn(y) + v“n Ф«п(у) coswnxk
o-l
v(t) = -aT(t) £ -^-<рГп(у)-(2 + ч')<₽Зп(у) cosXnx +
n=l _An
(VIII. 104)
E — 4>4n (У) ~ (2 + V)*₽4n (У) sin“„X
.=iL®„ J
В некоторых случаях удобно проводить решение рассмотренной
плоской задачи в перемещениях, поэтому ниже мы кратко рассмотрим
и эту возможность, ограничившись случаем плоского обобщенного на-
пряженного состояния, при вынужденных деформациях, заданных в
форме(УШ.40). При таком методе решения задачи достаточно, как
известно, найти общее решение следующих уравнений равновесия,
выраженных в перемещениях [190]
[X, (t) + H(t)]^ + g(t)V2u(t) = 2[Х, (t) + H(t)]a^;
Эх dx
[x, (t) + + H(t)V2«(t) = 2[x, (t) + n(t)]a^,
где
0(t)=Ou(t) + Ov(t);
Эх Эу
2g(t)X(t) _ vE(t)
a X(t) и H(t) - “постоянные” Ляме, равные
X(t)= ; и(0= Вд
(l+vXl-2v) 147 2(1+v)
Если ввести среднее вращение 2 Q (t) по формуле
2й(1) = ^-^,
Эх Эу
(VIII. 105)
(VIII. 106)
(VIII. 107)
(VIII. 108)
(VIII. 109)
то уравнения (VIII. 105) перепишутся следующим образом
384
[x, (t) + 2g(t)]^ - 2n(t)^ = 2[1, (t) + H(t)]a^^;
dx dy dx
dy dx dy
Полные интегралы этих уравнений могут быть представлены в
виде суммы общих интегралов u,(t) и и ,(t) однородных уравнений
(VIII. 110) без правой части и удобных частных решений u2(t) и u2(t)
полных уравнений (VIII. 110)
u(t) = uj (t) + u2 (t); v(t) = vj (t) + v2 (0 • (VIII. 111)
Общие интегралы u((t) и v,(t) однородных уравнений хорошо
известны в курсах теории упругости. Они были получены Файлоном в
общем виде, который выразил их через известные алгебраические и
трансцендентные функции. Одна из удобных для нас форм общих ин-
тегралов u,(t) и n,(t) была выписана нами выше в виде формул
(VIII.77). Поэтому здесь мы ограничимся лишь рассмотрением некото-
рых частных решений u2(t) и u2(t).
Это полезно сделать для некоторых простейших случаев задания
вынужденных деформаций е °(t), например, для которых V2E°(t) = 0, и
поэтому даже при решении задачи в напряжениях все равно приходится
отыскивать перемещения с тем, чтобы получить это решение в полном
виде. Именно этому случаю как раз и соответствует первое слагаемое в
фигурных скобках формулы (VIII.89).
Одно из частных решений уравнений (VIII. 110) может быть най-
дено по методу Лява [190], если положить, что Q (t) = 0. В этом
случае, очевидно,
e2(t) = (1 + v)a£°(t),
а u2(t) и u2(t) - частные решения уравнений
^2«+^2(0=(1 + v)o60(t).
Эх Эу
du2(t) Эи 2 (t)
Эх Эу
(VIII. 112)
(VIII. 113)
Умножая второе равенство на i и складывая с первым или, соот-
ветственно, вычитая, приводим их к виду
у- [и 2 (t) + П)2 (t)]- i [и 2 (t) + h)2 (t)] = (1 + v)aE° (t);
Эх dy
[u2(t) - iv 2 (t)] + i [u2(t) - iv2(t)]= (1 + v)ae°(t).
Эх Эу
(VIII. 114)
385
Произведем замену переменных по формулам
^ = x + iy; T] = x-iy;
x = + y=^?fc-n>
предварительно отметив соотношения
dy(x,y) = dyfon). + dy(£,,n) dn
дх d^ dx dr) dx ’
дч>(х,у) = dyfen) d£ + dyfen) dt).
dy d£ dy Эт] dy ’
а также
dt|>(x,y) +. Эу(х,у) = 2 dyfcn).
dx dy dr)
dy(x,y) _ j d<|>(x,y) = 2 dt|>(5,i))
dx dy df,
Обозначая
u2 (t) + iv2(t) = U(x,y,t);l
u2(t)-iu2(t) = V(x,y,t)J
приводим равенства (VIII. 114) к виду
dr] 2
и, следовательно,
U(^ti,t) = |(l + v)ajeUn,t)^;
Vfen.t) = |(1 + v)ap°fen,t)dr];
после чего находим
и2<0 = ^(1 + v)a[|e°(^,i),t)d^ + |E0(^,i],t)dn];
v2 (0 = (1 + v)a^ e°(£,t], t)d£, - j е°(^т],О<*1)
(VIII. 115)
(VIII. 116)
(VIII. 117)
(VIII. 118)
(VIII. 119)
(VIII. 120)
(VIII. 121)
(VIII. 122)
После выполнения интегрирования в формулах (VIII. 122) следу-
ет произвести обратную замену переменных ил на х и у по формулам
(VIII.115).
386
Например, при
E°(t)=axyT(t) (VIII. 123)
с учетом формул (VIII. 116)
e°(t) =-ai^2-n2)|T(t),
таким образом,
f е°(^, n, t)<^ = - laif 3 -n 4 \(t);
J 4 ^з J
JeUn, t)dn = -^aif^2 3\(0;
J 4 I 3 J
f e°(^,n. 0<^ + J £°fc 1.0*i = |а(з x2y+y3)T(t);
I £°(^, П, t)d£, - J0*1 = |ai^ ixy2 + x3)T(t).
Следовательно,
u2(0 = у (1 + v)a^x2y+ y’)aT(t);
»2(0 = ту (1 + v)a^xy2 + x3)aT(t). (VIII. 124)
Часто при простых способах задания е °(t) частные решения урав-
нений (VIII. 113) легко выписать сразу. Например, при
e°(0=Y(y)T(t), (VIII. 125)
У u2(0 = 0; u2(0=(l + v)aT(t)|Y(y)dy, (VIII. 126) V.
а при
E°(t) = Х(х)Т(0 > (VIII. 127)
X U2(O = (l + v)aT(ojx(x)dx; v2(0 = 0, (VIII.128)
X,
где X| и у, — произвольные числа, выбираемые из соображений удоб-
ства, например из условий максимального упрощения уравнений для
определения произвольных постоянных функции напряжений. Часто
из этих соображений удобно принять Xj = у, = 0.
387
Таким образом, в случае
8°(t)=T(t), (VIIL129)
как это, например, будет при равномерном нагреве тела, возможны
три формы частных решений
1) u2(t) = 0; u2(t) = (1 + v)ayT(t); (VIIL130)
2) u2(t) = (l + v)axT(t); v2(t) = 0; (VIIL131)
3) u2(t) = |(l + v)axT(t); v2(t) = |(l + v)ayT(t). (VIII.132)
Здесь принято условие x, = yj = 0, так как исключается смещение тела,
как целого жесткого.
Перемещениям (VIII. 126) и (VIII. 128) будут соответствовать на-
пряжения
ax(t) = -aE(t)T(t)Y(y); oy(t) = тху(0 = 0 (VIII. 133)
или соответственно
МО = *ху(0 = 0; ay(t) =-aE(t)T(t)X(x); (VIII. 134)
а перемещениям (VIII. 130) - (VIII. 132) - напряжения
1) ox(t) = -aE(t)T(t); oy(t) = xxy(t) = 0; (VIII. 133)
2) сх(0 = тху(0 = 0; oy(t) = -aE(t)T(t); (VIII. 134)
3) ax(t) = cy(t) = -laE(t)T(t); Txy(t)=O. (VIII.134)
В зависимости от вида граничных условий удобно принимать ту
или иную форму частных решений (VIII. 130) - (VIII. 132). Например,
если поперечные кромки свободны от напряжений, удобно принять
частное решение в форме (VIII. 131). Если же торцовые кромки закреп-
лены, а продольные свободны, то удобно принять частное решение
(VIII. 130)
Некоторые из этих частных решений мы используем в дальней-
шем.
Например, слагаемому
8°(t) = (a+bx)gT(t) (VIII. 138)
формулы (VIII.89) на основании изложенного выше будут соответство-
вать перемещения
388
u2(t) = (l + v)agT(t^ax+—j v2(t) = 0 (VIII.139)
и напряжения
ox(t) = Txy(t) = 0; ay(t) =-aE(t)T(t)g(a+bx) (VIII. 140)
Просуммировав формулы для напряжений или, соответственно,
перемещений, полученные выше, отвечающие всем рассмотренным
частным решениям и общему интегралу бигармонического уравнения,
мы получим формулы для полных напряжений и смещений тела рас-
сматриваемой задачи о его плоском обобщенном напряженном состоя-
нии. Мы сделаем это ниже в § VIII.4.
Отметим, что распоряжаясь должным образом постоянными и
функцией У*(у) в формуле (VIII.89), мы можем получить из рассмот-
ренного выше общего решения ряд практически важных частных случа-
ев. Например, положив
b = en = dn = У*(у) = 0 (VIII.141)
и считая е °(t) температурой тела, получим случай его равномерного
разогрева, исследованный при некоторых частных граничных условиях
Г.Н. Масловым [189]. Ниже мы рассмотрим этот случай более под-
робно.
§ VIII.4. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЙ ПЛОСКОЙ
УПРУГО-МГНОВЕННОЙ ЗАДАЧИ
Как мы видели в § VIII.2, решение плоской упруго-мгновенной
задачи сводится к интегрированию бигармонического уравнения с пра-
вой частью (VTII.50) относительно функции упруго-мгновенных напря-
жений <p(t).
Общее решение этого уравнения обычно получают в рядах по ги-
перболо-тригонометрическим функциям типа (VIII.71), с помощью
которых не удается строго удовлетворить всем граничным условиям за-
дачи. Поэтому на некоторых из кромок тела эти условия удовлетворя-
ются только в духе принципа Сен-Венана, что приводит к тому, что
часто, в тех случаях, когда на свободных кромках должны полностью
отсутствовать напряжения, они снимаются лишь в интегральном смыс-
ле, т. е. с точностью до главного вектора и главного момента этих
напряжений в пределах указанных кромок. Получаемые при этом ре-
389
шения оказываются практически применимыми лишь для вытянутых в
должном направлении контуров и относятся только к их средней части,
где погрешности указанного выше вида, в соответствии с принципом
Сен-Венана, невелики.
Для повышения точности подобных решений может быть пред-
ложен следующий метод, основанный на идее метода Менаже.
Прибавим к общему интегралу (VIIL71) однородного бигармо-
нического уравнения (VTII.7O) частный интеграл этого уравнения в виде
полинома по степеням х и у
Фг(х’У) = ХХа«кх'Ук. (УШ 142)
(i) (Ю 7
Матрица коэффициентов ak этого полинома будет иметь вид
аоо а01 |а02 а03|а04а05 а061-
аю|а 11 а12а1з|а 14 а1б|..
а20а21 |а22а23 а24| .....
а30а31|а32аЗз|...........
а40а41а4г|...............
а50 а511.................
або|......................
(VIII. 143)
Три коэффициента этой матрицы в верхнем левом углу, очевид-
но, будут соответствовать смещению тела как целого жесткого при на-
пряжениях, равных нулю, поэтому они не представляют интереса и
могут быть опущены.
Средняя очерченная область коэффициентов уже будет давать
напряжения, отличные от нуля. Эти коэффициенты могут быть
выбраны совершенно произвольно, так как эта часть полинома тожде-
ственно удовлетворяет бигармоническому уравнению (VIII.70).
Правая область матрицы также дает напряжения, отличные от
нуля, но ее коэффициенты уже должны удовлетворять определенным
соотношениям, лишь при соблюдении которых эта часть полинома
(VIII. 142) будет удовлетворять уравнению (VIII.70). Например, огра-
ничиваясь случаем выписанного треугольника коэффициентов матри-
цы, мы будем иметь шесть таких условий
390
3<1q4 + 3 22 + За^о — 0, 5a^| + За33 + ^^15 — 0,
5а^р "*" a32 "I" a 14 = 0, 15&06 "^^42 2a24 —
5a05 + а2з + a41 = 0; 153^+2342 +324 =0.
(VIII. 144)
С учетом дополнительного слагаемого (VIII. 142) функции
(VIII.71), ограниченного выписанным выше треугольником коэффи-
циентов полинома, полные напряжения и смещения тела в случае его
плоского обобщенного напряженного состояния, рассмотренного в
§ VIII.3, будут выражаться следующими формулами при обязательном
соблюдении условий (VIII. 144)
°Х (0 = иЕ(0Т(0^аО2 + 6а03у + 12аму2 + 20а05у3 +
+ 30а06у4+2а|2х+2а22Х2 + 2а32Х3 + 2а42х4 + 6а13ху+
+ 12а|4ху2 + 20а15ху3 + 6а23х2у+ 12а24х2у2 + 6а33х3у-
- (а + bx) Y * (у) + "^[f * (у) - <р3п (y)]cosXn х + (VII1.145)
n—I
+ £[<Рп(У)-Ч>4п(У)]8'п<опх ;
n=l
ay(t) = aE(t)T(t)^a20 +2a2ly + 2a22y2 + 2a23y3 +
+ 2а24у4 + 6а30х+12а40х2 + 20а50х3+30а60х4+6а31ху+
+ 6a32xy2 + 6a33xy3 + 12a41x2y+12a42X2y2 + 20a51x3y-
-g(a+bx)-J42 [fn(y) -<fcn(y)]cosXnx- (VIII.146)
n=l
- [фп(у)- <P4n(y)]sinconx ;
т xy (t) = -aE(t)T(t) {i, । + 2a 12 у + За 13y 2 + 4a l4 у3 +5 a l5 у4 +
+ 2а2|Х+За31х2 + 4а4|Х3 + 5а51х4 + 4а22хУ+6а23хУ2 +
+ 8а24ху3 + 6а32х2у+9а33х2у2 + 8а42х3У+
+ b fY*(y)dy - X Xn[f' (у) -ф;п (y)]sinXnx +
у n=i (VIII.147)
+ S“nfo" (У)_ (y)]cos<o„x 1;
n=l J
391
u(t) = сгОД^х^ - va20 + (Заю - va2l)y+
+ (6a04-va22)y2+(10a(15-va23)y3 + (15a06-va24)y4+
+ |(ai2-3vaM)x+|(a22-6va40)x2 + |(a32-10va50)x3 +
+ |(a42 -15vaw)x4+-|(al3 -10va3l )xy+|(2al4 -va32)xy2
+|(10ai5-3va33)xy3+(a23-2va4|)x2y+2(a24-va42)x2y2
+ (Зазз -10 va5l )x3y]- [За^ + 2(1 + v>)2 ]y2 -
1
10
f I j л J L j/ \ f
( b 2
10(2 + v)al5]y5+(l + v)g ax+-y- -
у н
-(l + v)bj jY*(y)dy + 2|Y'(y)dy dy+b] + b3y+
L° у
(VIII. 148)
+ E Л <fn (У) -<Рз'п <У))+ vXn (fn (У) -Фзп (У)) slnM -
n=lLAn
n=~” | ~
-У —(<Pn(y) - <P4n(y))+ v“n(4>n(y)-Ф4П (y)) COSWnxk
±1 wn
v(t) = aT(t)|2y[a20-va02 +^(a2l -3va03)y +
+1 (a22 - 6 V a04 )y2 + (a23 -1° V a05 У +1 (a24 -15 V a^, )y4+
+ (3ajo - va12 )x+ (ба^ - v аи )x2 + (lOa^ - va32 )x3+ (VIII. 149)
+ (15a60-Va42)x4+|(a3i-va13)Xy+(a32-2va14)xy2 +
+ т(3азз -10va!5)ХУ3+ (2a4i -va23)x2y+2(a42-va24)x2y2 +
4 2
392
+ l(10a5|-3va33)x3y]-[3a(B+(2 + v>2l]x2-
-[al3+(2+v>3Jx3-^[a23+2(2 + vX,|]x4-
-•jjr (3a 33 +10(2 + 'O’si b5+(1 + vXa+ bx )J Y’ (y)dy +
~r(fn(y) -ф"п(У))-(2 + vXfn(y) -Фзп(У)) cosXnx +
- n
(фп(y)- «to(У))-(2 + vX«n(у)- Ф4п (у)) sin<o„x .
Входящие в формулbi(VII 1.148) и (VIII.149) постоянные Ьр Ь2,
Ь3, Ь4 определяются из условий закрепления тела в пространстве как
целого жесткого; при этом должно соблюдаться условие
Ьз + Ьд+О + у^, = 0. (VIII.150)
Таким образом, произвольно распоряжаться постоянными Ьр Ь2,
Ь3, Ь4 мы не можем.
Всего в формулах(УП 1.145) — (VIII. 149) мы имеем 25 постоян-
ных An, Bn, Cn, Dn, Fn, Gn, Pn, Qn и aik, из числа которых, в силу
условий (VIII. 144), только 19 независимых. Распоряжаясь ими долж-
ным образом, мы сумеем полностью удовлетворить граничным услови-
ям на продольных кромках тела и приближенно выполнить условия на
торцовых (поперечных) кромках с большой степенью точности, зна-
чительно большей, чем это обычно получается.
Это увеличение точности решения получается, например, в слу-
чае свободных торцовых кромок за счет того, что в силу большого числа
постоянных мы можем снять на них напряжения с точностью до их глав-
ного вектора и главного момента не только в пределах всей высоты этих
кромок, но и в пределах их отдельных участков. Кроме того, удается
повысить и практическую ценность решения (VIII.71) в случае, когда
используется ограниченное число членов ряда в нем.
Связанные с этим практические приемы рассмотрим ниже в
§ IX.7, § IX.8 на конкретных примерах.
393
§ VIII.5. ОДНОМЕРНАЯ УПРУГО-МГНОВЕННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
БЕСКОНЕЧНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Исследуем одномерную упруго-мгновенную задачу для бесконеч-
ного полупространства при вынужденных деформациях, заданных в
форме(УП1.40)
е? (О = е°у (0 = е? (t) = aE°(t,z);l
(О = Гху (О = л (0 = 0, j
(VIII.151)
т.е. в случае, когда е °(t,z) зависит только от времени и только от од-
ной координаты z, отсчитываемой от поверхности слоя вглубь.
В рассматриваемой задаче по условиям симметрии равны нулю
все деформации сдвига и касательные напряжения. Кроме того, долж-
но быть равно нулю нормальное напряжение о z(t), так как граничную
поверхность слоя z = 0 мы будем считать незагруженной. Наконец, из
условия безграничности слоя и постоянства напряжений и деформаций
вдоль осей х и у горизонтальные напряжения ox(t) и av(t), а также
деформации е x(t) и е y(t) должны быть инвариантными относительно
координат х и у и полные деформации вдоль этих осей к тому же долж-
ны быть равны нулю. Все эти рассуждения приводят нас к уравнениям
Уху (0 = Yxz (0 = Y yz(0 = ех (0 = Еу (0 = 0;
Тху(0 = Тхг(0 = Туг(0 = °z(0 = °;
(VIII. 152)
ax(t) = ay (t) = a(t, z) = -^U°(t,z). (VIII. 153)
Нетрудно убедиться в том, что при напряжениях и деформаци-
ях, заданных в форме (VIII. 151) — (VIII. 153), уравнения равновесия
(VIII.8), совместности (VIII.6) и закона Гука (VIII.3) тождественно
удовлетворяются; последнее из них, кроме того, дает
£z(t’z) = a[iZ7j£°(t’z)' (VIII.154)
Наконец, из уравнений (VII 1.7) находим
u(t) = u(t) = 0; w(t,z) = E°(t,z)dz. (VIII. 155)
Уравнениями (VIII. 152) - (VIII. 155) полностью определяют на-
пряженно-деформированное состояние слоя при заданном законе его
394
вынужденных деформаций (VIIL151). Из их рассмотрения следует, что
напряжения и деформации в слое пропорциональны этим вынужден-
ным деформациям и получаются умножением последних на соответ-
ствующие множители, величины которых ясны из формул (VIII. 153) и
(VJII. 154). Отметим, что в рассматриваемом случае мы имеем следую-
щие очевидные равенства
0(t, z) = <xf (t>z); S(t, z) = -(t.z). (VIII. 156)
§ VIII.6. ОДНОМЕРНАЯ УПРУГО-МГНОВЕННАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ПРЯМОГО БРУСА
Рассмотрим, наконец, одномерную упруго-мгновенную задачу для
прямого длинного призматического прямоугольного бруса при его вы-
нужденных деформациях, заданных в форме
Yxz (t)=Yyz (O = Yxy (0 = 0;
Ex (О = Е°у (0 = E°z (0 = (а+ bz)T(t),
(VIII.157)
где а и b — некоторые константы, a z отсчитывается вдоль оси бруса от
его левого торца. В этом случае линейного распределения вынужден-
ных деформаций вдоль длины бруса удается найти точное решение упруго-
мгновенной задачи, удовлетворяющее строго ее граничным условиям.
Действительно, применяя обратный метод теории упругости,
найдем, что уравнения равновесия и совместности будут тождественно
удовлетворены, если положить
т ху (0 = Т yz (t) = т xz (t) = о х (О = о (t) = 0; 1
az(t) = CE(t)T(t). | <VHI158>
После чего, пользуясь законом Гука (V.4), сразу находим
Yxz(0 = Yxy(t) = Yyz(0=0;
ех(О = Еу(t) = — vCCT(t+а(а+bz)T(t), (VIII 159)
e°z (t) = CT(t) +a(a+bz)T(t).
Далее, применяя обычные приемы, с помощью уравнений (VIII.7)
найдем перемещения точек бруса
395
u(t) = [»(a + bz)- vC]xT(t);
v(t) = [a(a + bz)- vC]yT(t);
v(t)= C + a(a +—z | zT(t).
(VIII. 160)
При этом предполагается неподвижно закрепленной в простран-
стве точка бруса х = у = z = 0.
Формулы (VIII. 158) — (VIII. 160) полностью определяют напря-
женно-деформированное состояние бруса с точностью до произволь-
ной постоянной С. Эту постоянную мы определим из граничных условий.
Из формул (VIII. 158) следует, что боковая поверхность бруса
полностью свободна от напряжений, поэтому обратимся к его торцам.
Если брус имеет свободу продольных перемещений, то равно-
действующая напряжений oz(t), а следовательно, и сами напряжения
должны быть равны нулю. Поэтому в этом случае С = 0 и, следова-
тельно,
sx(t) = ey(t) = ez(t) = a(a+bz)T(t); (VIII. 161)
6(t) = 3a(a+bz)T(t); (VIII.162)
u(t) = a(a + bz)xT(t);
u(t) = a(a + bz)yT(t);
w(t) = ou a + — z IzT(t),
(VIII. 163)
т.е. брус остается ненапряженным и неискривленным; но отдельные
его точки испытывают перемещения (VIII. 163), связанные с расшире-
нием и удлинением бруса.
Если брус закреплен от продольных смещений, то его длина I
остается неизменной, поэтому
/
Jsz(t)dz = <o(Z) = O. (VIII.164)
О
Это дает нам
С = -<^а+|/) (VIII.165)
После чего в рассматриваемом случае имеем
o2(0 = -afa+|/)E(t)T(t) (VI1I.166)
396
€x(t) = €y(t)= f а+тр ]v+(a+bz) aT(t);
Ez(t) = -y(/-2z)T(t);
(VIII. 167)
a+—I v+(a+bz) aT(t)x;
a+—I v+(a+bz) aT(t)y;
w(t) = -a^T(t)(/-z)z.
(VIII. 168)
Таким образом, в этом случае при T(t) > 0 в брусе возникает
равномерное сжатие, но он по-прежнему остается неискривленным,
испытывая расширение вдоль осей х и у и сгущение вдоль оси z без
изменения своей длины. Последнее, как это следует из второй форму-
лы (VIII. 167), приводит к деформации сжатия бруса на его участке
О < z < - и деформации растяжения на второй половине его длины
/
z > —
2
Отметим, что в рассматриваемом случае мы будем иметь
(VIII. 169)
(VIII. 170)
397
ГЛАВА IX.
НЕКОТОРЫЕ УПРУГО-МГНОВЕННЫЕ
ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ
НАПРЯЖЕНИЯХ
В сопротивлении материалов и теории упругости рассмотрено боль-
шое число задач о температурных напряжениях в брусьях, пли-
тах, оболочках и объемных телах. Наиболее интересные иссле-
дования принадлежат А.В. Белову [62 - 65], Г.Н. Маслову [189 —
192], В.Г. Орехову [216, 217] и ряду других авторов. Соответствую-
щие классические задачи рассмотрены в курсах теории упругости, а также
в ряде специальных монографий Б.Г. Коренева [164], Н.Н. Лебедева
[174], В.М. Майзеля [193], Э. Мелана и Г. Паркуса [194, 222].
На основе этих готовых решений могут быть сконструированы
указанным в § VI 1.6 способом решения соответствующих упруго-мгно-
венных задач.
Поэтому нет необходимости их здесь подробно выписывать. Ниже
рассматриваются лишь некоторые важные упруго-мгновенные задачи,
в решения которых удалось внести уточнения или дополнения.
Температура тел в общем случае в этих решениях предполагается
изменяющейся по закону
Ф(х, y,z,t) = T(t)X(x)Y(y)Z(z), (IX. 1)
т.е. с одинаковым масштабом во времени для всех точек тела. В главе
I мы видели, что в таком виде обычно находят решения задачи теории
теплопроводности. Эти решения получаются в виде ряда по произве-
дениям функций, подобным (IX. 1), поэтому достаточно исследовать
именно этот случай.
Более общее решение задачи может быть получено всегда сумми-
рованием соответствующих ее простейших решений, аналогичных тем,
которые мы сейчас рассмотрим.
398
§ IX. 1. НАПРЯЖЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМ
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ
ИЗМЕНЕНИИ ЕГО ТЕМПЕРАТУРЫ ПО ГЛУБИНЕ
Исследуем составляющую температурных напряжений в бесконеч-
ном полупространстве в предположении, что температура слоя изме-
няется лишь по его глубине и во времени по закону
<I>(z,t) = T(t)Z(z).
Полагая в формулах § V.5
e°(t,z) = aT(t)Z(z), (IX.3)
в рассматриваемом случае найдем следующие формулы для напряже-
ний, деформаций и смещений точек слоя
тхУ (0 = TxZ (0 = Tyz (0 = (0 = °;
ax(t) = ay(t) = a(t) = -^T(t)Z(z);
J 1 —
(IX.2)
(IX.4)
У ху (0 = Yxz (О = Т yz(O = 6 х (О = ЕУ (t) = °;
£z(t) = e(t) =
'(t)Z(z);
(IX.5)
u(t) = u(t) = O;
w(t) =
Кроме того, будем иметь
(t)Z(z) ,
(IX.6)
e(t,z)=
(IX.7)
S(t,z) = -^W(t)Z(z).
1-v
Например, в случае гармонических колебаний температуры по-
верхности слоя по закону
ф(0 = Ansincont (IX.9)
изменение температуры его точек, как известно из теории теплопро-
водности [151], определяется выражением
(IX.8)
где
O(t,z) = Ane Msin(cont-Xnz),
(IX. 10)
399
VaT
ат - коэффициент температуропроводности материала слоя. Поэтому,
пользуясь формулами (IX.4) и (IX. 5), напряжения и деформации слоя
найдем в следующем виде
G(t,z) = -^^Ane Msin(<o„t-Xnz)[
1-v
e(t,z) = а^—An е Msm(<o„t-Xnz)
1-v
(IX.11)
Из этих формул следует, что напряжения и деформации слоя будут
также гармоническими функциями с амплитудами, неограниченно за-
тухающими с глубиной.
Решение рассмотренной задачи имеет практическое значение для
расчета расстояний между температурными швами (надрезами) в мас-
сивных бетонных сооружениях с открытыми поверхностями большой
площади, подверженными воздействиям температуры воздуха. Эта
задача рассматривалась с указанной целью П.И. Васильевым [92, 93] и
А.Р. Ржаницыным [236].
§ IX.2. НАПРЯЖЕНИЯ В ПРЯМОМ БРУСЕ ПРИ ЛИНЕЙНОМ
РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ВДОЛЬ ЕГО ОСИ
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние призмати-
ческого бруса длиной / с прямоугольным сечением в случае, когда из-
менения его температуры заданы в виде
O(t,z) = (a+bz)T(t) (IX.12)
С помощью формул § VIII.6 в этом случае найдем следующие вы-
ражения для напряжений, деформаций и смещений бруса:
а) если торцы бруса свободны от закреплений
М‘) = М‘) = М‘> = (‘) = °у(‘) = °г(‘) = 0; (IX. 13)
Гху(0 = М0 = М‘) = °;
ех (t) = еу (t) = ez (t) = e(t) = a(a+ bz)T(t);
(IX.14)
400
u(t) = a(a+ bz)x T(t);
v(t) = a(a+ bz)y T(t);
w(t)
(IX.15)
|zT(t);
б) если торцы бруса закреплены от продольных смещений
тху (0 = TxZ(0 = Tyz(0 = ox(t) = oy(t) = 0;
az(0 =
(IX.16)
Уху(0 = Ухг(0 = Ууг(0 = 0;
ex(t) = ey(t)= | a+^Z |v+(a+bz) aT(t);
(IX.17)
eI(t) = -^(Z-2z>T(t);
u(t)= | а+—I |v+(a+bz) aT(t)x;
a+— I lv+(a+bz) aT(t)y;
(IX.18)
E(t)T(t);
w(t) = -a^T(t)(Z-z)z.
Анализ напряженно-деформированного состояния бруса дан в
§ VIIL6, где показано, что в обоих случаях брус остается прямолиней-
ным.
§ IX.3. НАПРЯЖЕНИЯ В ПРИЗМАТИЧЕСКОМ БРУСЕ СО
СВОБОДНЫМИ ГРАНЯМИ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ
РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ПО ЕГО СЕЧЕНИЮ
Исследуем температурные напряжения в длинном прямоуголь-
ном призматическом брусе сечением 2х0*2у0 с продольными гранями,
свободными от напряжений при изменении его температуры по закону
Ф(х, у,t) = T(t)F(x, у), (IX. 19)
401
аналогичному (IX. 1). Точное решение этой задачи на основах плоской
задачи теории упругости, как это, например, показано в § V.2, требу-
ет интегрирования уравнения
V2V2<p(x, y,t) = -^^V2O(x, y,t)
1 -v
при граничных условиях
d2cp(x,y,t)
— у-<- < = 0 приу = ±у0;
дх
d2cp(x,y,t)
— / - = 0 прих = ±х0;
Э у2
d2cp(x,y,t)
— — ----= 0 при х = ±х0; у = ±у0.
дхду
(IX.20)
(IX.21)
В работе [5] показано, что эта задача аналогична задаче о проги-
бах тонкой пластинки того же очертания, что и поперечное сечение
бруса, с цилиндрической «жесткостью»
D = —, (IX.22)
а
загруженной поперечной «нагрузкой»
q(x, у, t) = - E(t)V 2Ф(х, у, t) (IX. 2 3)
и жестко защемленной по контуру. Точное решение ее неизвестно,
поэтому приходится довольствоваться приближенным решением.
Такое приближенное решение, например, может быть получено
по вариационному методу Б. Г. Галеркина. Таким путем оно было най-
дено Г.Н. Масловым [190], а затем в более общем виде А.В. Беловым
[65]. Нам предстоит лишь его обобщить на случай произвольно задан-
ной температуры в форме (IX. 19) и переменного модуля упругости E(t).
Будем искать функцию напряжений Ф (x,y,t) в следующем виде
< p(x,y,t) = -^T(t)P(x,y). (IX.24)
Тогда с учетом (IX. 19) и (IX.20) для функции Р(х,у) будем иметь
уравнение
V2V2 Р(х,у) = V2F(x,y)
и граничные условия
402
Э2р(х.У)т7п Эх2 при у = ±у0;
д2Р(х,у)^0 Эу2 при х = ±х0;
Э2Р(х,у)_ о ЭхЭу при х = ±х0; у = ±у0.
(IX.26)
Зададим функцию Р(х,у) в виде полинома
P(x,y) = (x2-x2„y(y2-y20)2££aikxiyk , (IX.27)
i=0 k=0
где ajk - пока произвольные постоянные. Нетрудно убедиться в том,
что функция Р(х,у), заданная в таком виде, автоматически удовлетво-
ряет граничным условиям (IX. 26).
Для определения постоянных ajk воспользуемся методом Б.Г. Га-
леркина. Подставляя (IX.27) в (1X^25), умножая полученное равен-
ство последовательно на (х2- х о У (у2- Уо У а^х'у14 и интегрируя его за-
тем в пределах от —х0 до х0 и от -у0 до у0, получим надлежащее число
уравнений для определения постоянных ajk.
Ограничиваясь тремя первыми членами ряда (IX.27), будем иметь
P(x,y) = (x2-xo)2(y2-yo)2(aoo+aiox+aoiy). (IX.28)
Внося (IX.28) в (IX.25), получим уравнение
а^-УЬ У + 4(3 у2-у20 > х2-х20 )+з(х2-хо ?]+
+ а|охр5(у2-уо У +4(з у2-уо X5 х2-3 х„ )+з(х2-х20
+ аО|у[3(у2-Уо У +4(з х2-х20)(5 у2-3 уо )+1s(x2-х20 У] =
= iv2F(x,y).
Применив указанный выше прием отыскания коэффициентов aik,
найдем
403
xo Уп
1575 J Jy2F(x>y)(x2~xo У(у2-Уо У dxdy
*10 -
32768 x о yj
2205 J jv2 F(x,y)(x2-x20 У(у2-уо / xdxdy
xo Уо
32768 Xo y’o
1 + _4 Гуо\
15^0 J
z \4
+2_| xo |
55lyo J
(IX.30)
2205 J /v2F(x,y)(x2-x2oy(y2-y2o)2 ydxdy
я -«о-Уо
dOI -
z \4
7 | XQ |
55ly°J
32768 Xq y70
Тем самым функция P(x,y) будет полностью определена.
С учетом (IX.24) и формул (VIIL34) найдем напряжения в при-
зме в следующем виде
aE(t) Э2Р(х,у)
1-v оу
-^T(t) д2 Р(х,у)
1-v Эх2
= ^T(t)' I2 Р(х,у)
1-v ЭхЭу
(IX.31)
После чего для деформаций призмы будем иметь формулы
404
1 Э^
ex(t) = a(l + v)T(t) F(x,y)---
1-v (
ey(t) = a(l + v)T(t) F(x,y)--J- —
1-V (
1-v ЭхЭу
^У>-vV2Р(х,у) ;
ЭУ JJ
vV2 Р(х,у)1|;
Эх
Например, в случае (IX.28)
ах(‘) = -^^т(О4(х2-х2о%о°(зу2-уо)+
+ а,0х(зу2-у20)+а0|у(5у2-3у20)];
су(О = -^З^т(О4(у2-уо Наоо(3х2-хо )+
+ а|ох(5х2-3хо)+ао1у(зх2-хо)];
тху (0 =^З^т0)4(х2_ х о Ху2~ У о )[4а00ХУ +
+ а10у(5х2-х^)+а01х(5у2-у20)].
(IX.32)
(IX.33)
Кроме напряжений (IX.31), в брусе будут еще действовать на-
пряжения oz(t).
Если торцы полностью защемлены, то эти напряжения равны
az(t)= v[ax(t)+ ay(t)]-aE(t)T(t)F(x,y), (IX.34)
где ox(t) и oy(t) определяются по формулам (IX.31).
Если же торцы бруса свободны, то главный вектор и главный
момент напряжений о z(t) в любом сечении призмы должны быть рав-
ны нулю.
Учтя это, в соответствии с изложенным в § VIII.2, найдем
az(0 = v[ox(t) + oy(t)] +aE(t)T(t)[A+Bx + Cy-F(x,y) ], (IX.35)
где
405
A = y l jp(x,y)dxdy;
° “xo “Уо
B = — | |r(x,y)xdxdy;
y "xo-Уо
(IX.36)
c =
-p 7 /p(x,y)ydxdy.
x -Xo -Уо
Здесь Fo - площадь поперечного сечения бруса, a Jx и Jy - мо-
менты инерции этого сечения относительно его главных центральных
осей.
Эффективность рассмотренного приближенного решения зави-
сит от степени его сходимости. Г.Н. Маслов [190] исследовал ее для
случая симметричного распределения температуры*
х 7ГХ лу
Ф(х,уД) = T(t)cos-—cos-— (IX.37)
zx0 zy0
и нашел, что разница в величинах напряжений, вычисленных при уче-
те одного и трех членов ряда, соответствующих симметричному виду
функции (IX.27), не превышает 8 - 10%. Таким образом, вполне до-
статочно ограничиться малым числом членов ряда (IX.27), а именно:
одним членом, соответствующим коэффициенту а^, в случае симмет-
ричного распределения температуры относительно обеих координатных
осей; двумя членами ряда, соответствующими коэффициентам а^ и
а10, при симметричном распределении температуры только относитель-
но оси Оу и тремя членами ряда с коэффициентами авд, а10, а01 в общем
случае несимметричного распределения температуры.
В частности, Г.Н. Маслов [190] при симметричной функции
Ф(х,уД), заданной в форме (IX. 37), при Е (t) = Ео и Т (t) = То на
основе одного первого члена ряда нашел следующие формулы для на-
пряжений
1 В таком виде получается решение задачи теории теплопроводности о сим-
метричном остывании бруса. См., например, главу I настоящей работы.
406
мальные напряжения возникают в середине более длинной стороны кон-
тура поперечного сечения и равны, например, при р,78аТ° Е° х0= 2у0
1 — V
. При этом брус вытянутого сечения оказывается более напряженным,
чем, например, брус с х0 = у0, у которого соответствующие напряже-
п Т F
ния были равны всего о 59 — .
1 — v
А.В. Белов [65] дополнил этот анализ и показал, что так же ве-
лики, и даже несколько больше, напряжения о г, действующие вдоль
ребер бруса. Поэтому при разогреве, например от экзотермии, в нем
могут появиться продольные трещины в середине более широких гра-
ней и поперечные трещины, надрезающие его ребра, причем появле-
ние последних даже более вероятно.
407
§ IX.4. НАПРЯЖЕНИЯ В ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ПРЯМОУГОЛЬ-
НЫХ БРУСЬЯХ ПРИ ИЗМЕНЕНИЯХ ИХ ТЕМПЕРАТУРЫ,
НЕРАВНОМЕРНЫХ ПО ВЫСОТЕ БРУСА
Рассмотрим прямой призматический прямоугольный брус с вы-
сотой поперечного сечения Н = 2z0 (рис. 102) и исследуем температур-
ные напряжения, возникающие в нем при отсутствии поверхностных и
объемных сил при изменении его температуры по закону
<D(z,t) = T(t)Z(z). (IX. 39)
Для удобства в дальнейшем координатные оси направляем так,
как это показано на рис. 102. Иными словами, исследуем случай из-
менения температуры бруса по одинаковому закону во времени для всех
его точек равномерно по длине и ширине, но неравномерно по его тол-
В главе I мы видели, что в таком виде часто находятся решения
одномерных по координатам задач теории теплопроводности.
Практическая ценность такого решения очевидна. Например, в
таких условиях, с точки зрения распределения температуры, или близ-
ким к ним находятся элементы каркасных стен и другие подобные им
конструкции, у которых преобладает тепловой поток в одном направ-
лении.
Не налагая пока никаких ограничений, подобных гипотезе плос-
ких сечений, применим обратный метод решения задач теории упруго-
сти и зададим напряжения в брусе в следующем виде
ТХУ(О = Txz(t) = tyzC) = oz(t) = °;
cy(t) = -a-(t)T(t)[C3 + C4z-Z(z)],
1-V
(1Х.40)
где Ср С2, С3, С4 — некоторые пока еще произвольные постоянные.
Нетрудно убедиться, что эти напряжения тождественно удовлетворяют
408
уравнениям равновесия (VIII.8) и совместности (VIII. 16), поэтому это
решение будет общим, если с помощью постоянных С,,..., С4 нам уда-
стся удовлетворить граничным условиям задачи.
Напряжениям (IX.40), как нетрудно установить с помощью уравнений
(VIII.7) и (VIII.23), соответствуют деформации
Уху(1) = Ууг(0 = Ухг(0 = °;
МО = [С, - vC3 + (С2 - vC4 )z}
1-v
ey(0 = ^[C3-vCl + (C4-vC2)zl
1-v
MO = -^{v[C,+C3+(C2 + C4 )z]- (1 + v)Z(z)}
1-V : J
(IX.41)
и перемещения
u(0 = ^—[С, - vC 3 + (C2 - vC4 )z]x;
1-v
»(0 = [C3 - VC, + (C4 - vC2 )z]y;
w(t)=-^r(cl+c3)z+l(c2+c4)z4 (IX42)
1-v 2
+ ^(C2-vC4)x2+A-(C4-vC2)y2-^fz(z)dz .
Из выражений (IX.42) следует, что, независимо от вида функ-
ции изменения температуры (IX.39) и граничных условий бруса, пере-
мещения u(t) и о (t) являются линейными функциями от z, следова-
тельно, его вертикальные сечения х = const и у = const все время оста-
ются плоскими.
Перейдем теперь к рассмотрению граничных условий.
Из уравнений (1Х.40) следует, что грани бруса z = ± z0 свободны
от напряжений, а напряжения о x(t) не зависят от координаты х, по-
этому снять их на боковых гранях строго не удается. Следовательно,
мы можем снять на этих гранях лишь главный вектор и главный момент
напряжений о x(t). Для этого достаточно определить постоянные С, и
С2 из условий
jcx(t)dz= Jax(t)zdz = 0 , (IX.43)
~z<> -zo
409
что дает
C'-^/Z(z)dz; С2-^-Jz(z)zdz. (IX.44)
Постоянные С3 и С4 подлежат определению из граничных усло-
вий на торцах бруса.
При свободных торцах, не закрепленных от поворотов и смеще-
ний, должно быть
oy(t)zdz = 0.
(IX.45)
Эти условия дают нам
C3=Ci; С4 = С2, (IX.46)
где С, и С2 определяются по формулам (IX.44). Таким образом, в рас-
сматриваемом случае
z4 z4 N(t) M(t) aE(t) x
ax(t) = ay(t) = -A2 + -_A2z—-A2-O(z,t), (IX.47)
F J 1-v
где
N(t) = ^Wfo(z,t)dF;
1-v J
M(t) = ^^fo(z,t)zdF,
1-v J
(IX.48)
— некоторые фиктивные продольная сила и изгибающий момент, при-
ложенные к торцам бруса, a F и J — соответственно площадь и момент
инерции поперечного сечения бруса относительно его горизонтальной
центральной оси.
Деформации, отличные от нуля, и смещения бруса будут равны
/\ l-v|N(t) M(t) |
х у E(t)L F т 1
2 v Г N(t) M(t)
E(t)[ F + J
(IX.49)
ez(0 =
z +-----aO(z,t);
J 1-v
J
410
u(t)=lzi[W) + M(0zl
E(t)L F J J
l-vTN(t) M(t) I
E(t)L F
v |~2N(t)
E(t)[ F “ J
Угол поворота сечений бруса
z4 dv(t) 1-v M(t)
ф(0=-э7=вд-Гу- (IX.51)
Перемещение v (t) осевой линии у торцов бруса и угол поворота
ф (t) его торцовых сечений будут равны
w(t) = -
х;
у;
J
M(t) 2 1-V
---— z+—— z +--------
2v
(IX.50)
Z4 1-v N(t). Z4 1-v M(t),
и(‘)=вд-Г/; ф(‘)=вд~ГL (IX-52>
Прогиб осевой линии бруса
1-v M(t) 2
w(t)=’^~y • ’ (,x-53>
Перемещение концов осевой линии бруса по отношению к ее сред-
ней точке равно
z., 1-v M(t) 2
1 (IX.54)
Для верного толкования выведенных здесь формул следует усло-
виться о знаках температурных воздействий (знаках фиктивных продоль-
ной силы N(t) и изгибающего момента M(t)) и способе закрепления
бруса в пространстве как целого жесткого. В этих формулах и дальше
всюду принято:
1) положительные фиктивные силы N(t), M(t) соответствуют
случаю равномерного разогрева (удлинения) бруса и большему нагреву
его нижних волокон (изгибу выпуклостью в положительном направле-
нии оси z) соответственно;
2) неподвижно в пространстве закреплена точка бруса с коорди-
натами х = 0; у = 0; z = 0.
В связи с последним Обстоятельством прогибы осевой линии
бруса, определяемые по формулам (IX.53) и (IX.54), при положитель-
ном фиктивном моменте M(t) всегда отрицательны.
При торцах бруса, имеющих свободу поступательных продольных
перемещений, но закрепленных против поворота, должно быть
411
1 =0-
dz I у = ±i
Из этих условий следует
С3=С,; С4 = vC2 , (IX.56)
где С( и С2 находятся по формулам (IX.44). В связи с этим будем иметь
Ox(t) = ^+^z_^(z,t)>
F J 1-v
, ч N(t) vM(t) aE(t) _ z 4
a (t) = -AZ + —A2Z-—V-O(z,t) ,
F J 1-v
(IX.55)
(IX.57)
(IX.58)
Ех(0 =
y E(t) F
(DC59)
ez (t) =-аФФ(Ь)------
u(t) =
^[2N(t)+(1 + v)M(t)
E(t)L F J
xM(t)
- v)--z
7 J
z ;
x;
1-v N(t)
u(t) =-----------y;
E(t) F
V I 2N(t)^
i(t)l F
(IX.60)
w(t)=----a
1-v J
, (1 +v) M(t),
2 ’ J
dv(t)
Так как - и, то в рассматриваемом случае первоначально
прямолинейный брус сохраняет свою прямолинейную форму и после
изменения температуры.
При полностью защемленных торцах должно быть
.du(t)|
4>(0 =-гМ
у = ±/ dz I
2 1-V 2
: +---xz
= 0.
(IX.61)
Это дает нам
C-j = vCp C4 = vC2 ,
(IX.62)
412
Поэтому
Ox(t) = ^+^)z_^)o(z.t);
t) = ^ + lM(0z_aE(t)o(Zjt);
y F J 1-v
(IX.63)
(l-v2)rN(t) । M(t) J
E(t) L F J J
l + v 4 v(l + v)rN(t) M(t) 1
e2(t) = aOz,t—* —LM
z 1-v E(t)
e«(t) =
; ey(t) = O;
— +--~Z
F J
(IX.64)
Z4 l-v2TN(t) M(t) 1 Z4
u(t) —-- ——+ —— z x; B(t) = a,
E(t) L F J J
l + v r v(l + v)T2N(t)
w(t) = --aJ<D(z,t)dz——— z +
1-v J E(t) [_ F
(IX.65)
lM(t)fz2l1-vx2
25^ v
В настоящем примере, так же как и в предыдущем, смещения
D (t) не зависят от z, поэтому, независимо от вида температурной фун-
кции O(z,t), первоначально прямой брус остается прямолинейным и
после температурного воздействия.
Возможны и другие граничные условия для бруса; решения для
них могут быть получены аналогичным образом, и мы их здесь уже рас-
сматривать не будем.
В заключение отметим, что Г.Н. Маслов, рассмотрев настоя-
щую задачу [191] с учетом гипотезы плоских сечений при постоянном
модуле и стационарном тепловом режиме, получил для напряжений и
перемещений бруса следующие формулы, отличные от тех, которые
были получены выше:
а) для бруса со свободными торцами
(IX.66)
413
где N и М определяются по формулам (IX.48) при Е = const и Ф = Ф(г);
б) для бруса с жестко защемленными торцами
оу=-аЕФ(г); v=0. (IX.67)
Сравнивая эти формулы Г.Н. Маслова с соответствующими фор-
мулами (IX.47), (IX.50), (IX.63) и (IX.65), видим, что формулы для
перемещений с точностью до знака у прогибов оси бруса w совпадают1.
По-иному обстоит дело с напряжениями. Для них сравниваемые
формулы дают совпадающие результаты только при линейном распре-
делении температуры по закону
Ф(г) = Фо(1 + az), (IX. 68)
в этом случае свободный брус оказывается ненапряженным (о х = о у = 0) и
лишь искривляется по параболе
w|x=z=0 = iaO0ay2, (IX.69)
а брус с полностью защемленными торцами остается прямолинейным,
но испытывает лишь напряжения (о х = 0)
оу = -аЕФ0(1 +az). (IX.70)
При произвольном (нелинейном) распределении температуры
сравниваемые формулы дают уже существенное расхождение в величи-
нах напряжений.
Для свободного бруса напряжения, вычисленные по формуле
Г.Н. Маслова (IX.66), меньше в у—~ раз, т.е. для бетона, например,
на (25 - 30)%, в зависимости от величины v.
Дтя защемленного бруса разница в напряжениях о у, вычислен-
ных по полученным выше формулам и по формулам Г.Н. Маслова, как
нетрудно видеть, равна
* fN М
\T + TZJ (IX.71)
и может быть самой различной в зависимости от величин площади и
статического момента площади эпюры Ф(гД).
1 При выбранном Г.Н. Масловым положительном направлении вертикаль-
ной оси бруса и закрепленной неподвижно в пространстве точке х = у = г = 0в
формуле Г.Н. Маслова для прогибов изогнутой оси бруса(w|z=x=0)ctoht не-
верный знак.
414
Таким образом, решение рассмотренной задачи о термоупругом
равновесии бруса, полученное в свое время Г.Н. Масловым, дает вер-
ные с точностью до знака значения его перемещений и менее точные
значения напряжений*.
Происходит это потому, что без учета напряжений о х = о у ре-
шение Г.Н. Маслова не удовлетворяет уравнениям совместности
(VIII. 16). Таким образом, например, в случае жестко защемленного
по торцам бруса он допустил на его свободных гранях х = const наличие
напряжений о х с главным вектором и главным моментом, отличным
от нуля, рассмотрев, по существу, задачу о температурных напряжени-
ях в брусе при неуравновешенных поверхностных силах. В соответствии
с этим рекомендуется пользоваться более точными формулами для на-
пряжений, найденными выше.
§ IX.5. НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛИТЕ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ
ИЗМЕНЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ПО ЕЕ ТОЛЩИНЕ
Рассмотрим плиту высотой 2z0 (рис. 103) и исследуем темпера-
турные напряжения, возникающие в ней при изменении ее температу-
ры по закону (IX.2).
Именно в таком виде обычно находится решение задач теории
Рис. 103.
теплопроводности для плит,
у вытянутых в двух направлени-
ях и относительно тонких (см.
главу I).
В § IX.4 мы, рассмотрев анало-
гичную задачу для бруса, нашли
ее решение в форме (IX.40),
(IX.41) и (IX.42). После опреде-
у ления значений постоянных Ср
С2, С3 и С4, входящих в это ре-
шение, из соответствующих гра-
ничных условий оказалось, что
оно не содержит в себе размеров
бруса в плане и поэтому является
iz
одновременно и решением соответствующей задачи для плиты той же
высоты 2z0, с теми же граничными условиями на боковых гранях. Од-
1 Для перемещений Г.Н. Маслов получил верные формулы потому, что на-
шел их прямым путем, а не через неточные значения напряжений.
415
нако возможные комбинации этих условий у плиты шире и нам при-
дется рассмотреть дополнительно еще некоторые наиболее важные их
сочетания.
Итак, для плиты, свободной по всем четырем граням, решение
задачи определяется формулами (IX.47) - (IX.50). Из последней из
формул (IX. 50) следует, что при M(t) 0 плита искривляется по по-
верхности второго порядка.
Такое же решение получим и в случае, когда две смежные грани
боковой поверхности плиты закреплены полностью или частично от
нормальных смещений, а две другие противоположные им смежные
грани свободны от напряжений с указанной выше степенью точности.
Для плиты с гранями х = const, свободными от закреплений, и с
гранями у = const, имеющими свободу продольных перемещений, но
закрепленными против поворотов, для напряжений, деформаций и
смещений будем иметь формулы (IX.57) - (IX.60). Из последней из
формул (IX.60) следует, что в этом случае плита искривляется по ци-
линдрической поверхности второго порядка с прямолинейной образу-
ющей, направленной вдоль оси у.
Такое же решение мы получим и в случае, когда грани у = const
закреплены указанным способом, одна из граней х = const свободна, а
другая закреплена от продольных смещений произвольным образом.
Для плиты с гранями х = const, свободными от закреплений, и с
гранями у = const, полностью закрепленными от продольных смеще-
ний, решение задачи будет определяться формулами (IX.63) - (IX.65).
В этом случае плита также искривляется по цилиндрической по-
верхности указанного выше вида.
Такое же решение будем иметь и в случае, когда грани плиты у =
const полностью закреплены, одна из граней х = const свободна, а дру-
гая закреплена произвольным образом.
Наконец, в случае, когда вся боковая поверхность плиты зак-
реплена от перемещении по нормалям к соответствующим боковым гра-
ням, произвольные функции Ct(t),..., C4(t) в формулах (IX.40) -
(IX.42) следует найти из условий
.. д u(t) _
u(t) = —— = о на гранях х = const; (IX. 7 2)
dz
v(t) = ^y^- = 0 на гранях у = const. (IX.73)
Это даем нам
416
C,(t) = C2(t)=C3(t) = C4(t) = 0
и, следовательно,
Txz(t) = tyz(t) = (t) = cz(t) = 0;
GK(t) = о (t) = G(t) = -^T(t)Z(z);
1-V
Уху (0 = Yxz(0 = Yyz 0) = EX (0 = s (*) = °;
Ez(t) = -^aT(t)Z(z);
1-V
(IX.74)
(IX.75)
(IX.76)
u(t) = v(t) = 0;
w(t) = — aT(t)Jz(z)dz. (IX.77)
Из найденного решения следует, что в случае защемленной пли-
ты, помимо вертикальных сечений, плоскими остаются и ее горизон-
тальные сечения, независимо от вида функции изменений температу-
ры (IX.39), т.е. плита в рассматриваемом случае, оставаясь плоской,
не искривляется, а испытывает лишь сжатие в горизонтальных направ-
лениях напряжениями (IX.75).
Из всех рассмотренных решений вытекает, что независимо от вида
закона изменения температуры (IX. 39) и граничных условий плиты
перемещения u (t) и ц (t) ее точек являются линейными функциями от
z; следовательно, вертикальные сечения плиты х = const и у = const все
время остаются плоскими.
Во всех полученных решениях фигурируют фиктивные продоль-
ная сила N(t) и изгибающий момент M(t), определяемые по формулам
(IX.48). В этих формулах, так же как и во всех формулах для напряже-
ний деформаций и смещений, под площадью F и моментом инерции J
этой площади удобно понимать соответствующие величины, отнесен-
ные к полоске любого поперечного сечения плиты единичной ширины.
Решение рассмотренной задачи для некоторых частных случаев
стационарных тепловых потоков при Е = const для плит, полностью
защемленных или полностью свободных по всему контуру, было полу-
чено Г.Н. Масловым [190]. Здесь оно обобщено на случай нестацио-
нарного теплового потока при переменном E(t), а также даны соответ-
ствующие решения для плит с иными граничными условиями.
417
§ IX.6. НАПРЯЖЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ БЛОКЕ,
ЗАЩЕМЛЕННОМ ПО ОСНОВАНИЮ ПРИ РАВНОМЕРНОМ
РАЗОГРЕВЕ (ТОРЦЫ БЛОКА ЗАКРЕПЛЕНЫ ОТ
ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ СМЕЩЕНИЙ)
Исследуем температурные напряжения в длинном прямоуголь-
ном призматическом блоке в случае его неравномерного разогрева во
времени, но равномерного от точки к точке. Этому случаю соответ-
ствует изменение температуры блока по закону
<D(t) = T(t). (IX.78)
Предположим, что продольная сторона блока у = 0 (рис. 104)
связана с жестким основанием таким образом, что все принадлежащие
ей точки лишены возможности вертикальных перемещений ъ и гори-
зонтальных и, а торцы блока, имея свободу горизонтальных перемеще-
ний и в направлении оси Ох, лишены возможности вертикальных пере-
мещений V.
Как было показано выше, для решения такой задачи о плоской
деформации длинного бло-
ка достаточно рассмотреть
задачу о плоском обобщен-
ном напряженном состоя-
нии соответствующего
плоского диска.
Эта последняя зада-
ча, применимо к указан-
ным выше граничным ус-
ловиям, для случая Е = const и Т = const была решена Г.Н. Масловым
[189]. В связи с тем, что опубликованное им решение содержит ряд
досадных опечаток, а также ошибки в формулах для произвольных по-
стоянных, приведем это решение в готовом виде, свободное от ука-
Рис. 104.
занных недостатков и относящееся вместе с тем к случаю переменного
модуля E(t) и изменений температуры (IX.78).
Это решение имеет вид
сх (t) = aE(t)T(t)£ [(З Ak + Ck + 2Xk Bkn)chXkn+
, k=l . . (IX.79)
+ (3 Bk + Dk + 2 A.k Akn)shXkT|]cosA.k^;
Gy(t) — aE(t)T(t)- \ [(Ak Ck 2XkBkr])chA.kT]+ 80J
{ (88X1) z11 гХл + 1)г Ч-И^хчя^а - £) - их л + 1 / J ’V XA + l) » -"«=(.-£)I »„(.-) -'э
(48X1) (98X1) (£8X1) (t’S'Xl) ^(ri^Y Z 4s н-тНучотР^ 1 -тру г) X 3|v3|y(a+i) x(A+i)+Ti’Y4s(A [)г] -’a {(л “ 0 “(1151 Чэ “ ’’w11 ’’y) x 31 v 3|y(a+i) х(л + iJ+ii^oj]——= 4V В t Z , = “(I-:>U) A x ЭШ
(£8X1) ‘ и^[(ь^Чг+ЪХл+1)-(л-£)’у]+ Чу 1=4 +и^ч^ичу^г+’1аХл -i)+(л - е) ’’a]}—J (’)i/D=(’)ft 1 оо=Х
(48X1) t^\ins[ii5'x4s((l*’,v’,Y4+’аХл+1) +(л - е) *а)+ +u’iy4o(ii’ia’144+Ъ/л+1)+ Чу 1=ч +(л-£)’*у)]-рХ +ХЛ + 1) (’)l/n = Wn 1 oo=Jf
^5,YUis[li51 Z + Ъ +51V)+.
(I8'XI) i=3«
ч-и^хчо^ i+’’a+’’a)] X 0)i 0)э»=0)XX1
I-^YSO3[li^qs(U>,vxYZ->,a-),a) +
8117
419
Dk =
(-1)к-'2(3-у)Г2(1-у)
(1 + у)1кДк L 1 + v
shXkpi-
В этих формулах
-2XkptchXk|i+ sh2Xk|i+2Xk|i].
(IX.89)
(IX.90)
Дк =4 —-ch2Xkp+Xk ц2 +
(IX.91)
P =
На рис. 105, а показаны эпюры напряжений ох для сечений
блока £ = 0; £ = 0,25; £ =0,5; £ = 0,75 и напряжений оу и тху для
сечения у = Ц =0, рассчитанные для случая
g = |; у = ± (IX.92)
на основе пяти членов ряда в формулах (IX.79) — (IX.81). Ординаты
этих эпюр даны в долях от величины a E(t)T(t), так что истинные зна-
чения температурных напряжений находятся умножением этих ординат
на a E(t)T(t).
Из рассмотрения рис. 105, а следует, что наибольшие нормаль-
ные напряжения о х возникают в плоскости сопряжения блока с осно-
ванием, где они достигают величины, близкой к a E(t)T(t), практи-
чески мало изменяясь на всем протяжении шва. Лишь вблизи торцов
Рис. 105. Эпюры напряжений в бетонных блоках при равномерном разогреве
от экзотермии:
а — блок с защемленными торцами; б — блок со свободными торцами.
420
блока они быстро снижаются, обращаясь непосредственно в нуль на
самих торцах х = ± /.
Напряжения о по подошве блока знакопеременны. При ра-
зогреве блока они стремятся оторвать от основания его среднюю часть и
прижать к нему приторцовые участки шва, где напряжения о у дости-
гают наибольшей величины.
Так, при разогреве в молодом возрасте на 15°С распластанного
слоя бетона толщиной 2 м, обычной для блоков укладки массивных
конструкций (см.табл.18 и рис. 105), при
а = 1КГ5(град)~' и Е(1) = (1 + 1,5)104МПа
в нем в средней части шва сопряжения с основанием возникнут не-
большие напряжения отрыва
ао == 15-1 Ю-5(1-Н,5)-104-0,21 = (0,31-г-0,47)МПа .
Кроме того, эти напряжения существенно снижаются еще за счет
ползучести бетона, поэтому, по-видимому, опасность отрыва блока от
основания при его разогреве, например от экзотермии в молодом воз-
расте, при хорошем качестве шва невелика.
Касательные напряжения т по подошве блока невелики, но по
мере приближения к его торцам быстро возрастают, стремясь в край-
ней точке к бесконечности по мере увеличения числа членов ряда, учи-
тываемых в формуле (IX.81). Это означает, что в этой точке блок ис-
пытывает большие местные напряжения, которые приводят к пласти-
ческим деформациям материала в этой зоне или локальному наруше-
нию связи блока с основанием.
Как следует из формул (IX.79) - (IX.9I), в решение задачи с
рассмотренными граничными условиями абсолютные размеры блока не
входят. Его напряжения, деформации и смещения зависят лишь от
соотношения его сторон и не изменяются у блоков с различными раз-
мерами, но одним и тем же их соотношением.
Этот вывод остается справедливым до тех пор, пока жесткость
блока остается несоизмеримо меньше жесткости основания. В том слу-
чае, когда эти жесткости равны или соизмеримы, необходимо учиты-
вать податливость основания. При этом мы приходит к граничным ус-
ловиям по подошве блока, соответствующим случаю упруго-податли-
вых связей.
Задача о термонапряженном состоянии блока с учетом ползучес-
ти при таких граничных условиях различной модификации рассматри-
валась Б.Л. Абрамяном [1], Н.Х. Арутюняном и Б.Л. Абрамяном [52]
421
и И.Е. Прокоповичем [225]. Ими было показано, что при учете по-
датливости основания напряженно-деформированное состояние блока
уже зависит от его абсолютных размеров.
Отметим, что в своем опубликованном решении Г.Н. Маслов
[189] по неизвестной причине при тех же величинах ц и v (IX.92) полу-
чил значения краевых ординат эпюры о у, равные 0,727, не вытекаю-
щие даже из его собственных формул.
§ IX.7. НАПРЯЖЕНИЯ В ЗАЩЕМЛЕННОМ ПО ОСНОВАНИЮ
ПРЯМОУГОЛЬНОМ БЛОКЕ ПРИ РАВНОМЕРНОМ РАЗОГРЕВЕ
(ТОРЦЫ БЛОКА СВОБОДНЫ ОТ НАПРЯЖЕНИЙ)
Для иллюстрации метода решения плоской упруго-мгновенной
задачи, изложенного в § VIII.3, исследуем температурные напряже-
ния, возникающие в длинном прямоугольном бетонном блоке (рис.
104), жестко защемленном по основанию, при его равномерном разог-
реве по закону (IX.78).
В § VIII.2 было показано, что для этого достаточно получить
решение аналогичной задачи для тонкого диска. Заменив затем в нем
физические характеристики материала а, v и E(t) соответственно на
a,, v j и E,(t), вычисленные по формулам (VIII.41), получим интере-
сующее нас решение. Поэтому рассмотрим в первую очередь задачу об
обобщенном плоском напряженном состоянии тонкого диска того же
очертания. На ее примере проиллюстрируем метод решения плоской
задачи, изложенный в § VIII.3, § VIII.4, и выясним его преимущества
по сравнению с обычными методами ее решения.
Примем для диска следующие граничные условия
ах(х,у,0 = 0 при х = ±/;
ау(х,у,0 = 0 при У = Н;
тху(х,у.0 = 0 при У = Н;
Ту» (х, у, 0 = 0 при х =+/;
и(х, у, О = 0 при у = 0;1
и(х, у, о = 0 при у = 0.
(IX.93)
(IX.94)
Учитывая симметричное распределение температуры, напряже-
ний, деформаций и смещений в диске, а также его равномерный ра-
зогрев, мы должны в формулах (VIII. 145) - (VIII. 149) положить
422
а11 ” a12 ~а13 “ а14 “ а15 “а30 -а31 “ а32 ~
= а33 = а50 = а5| = Fn = Gn = Pn =Qn =
= b =en =dn = Y*(y) = O; (IX95)
a = g = l.
Кроме того, из условий заделки блока следует, что
^ = ^^ = u(t) = v(t) = O при x = y = 0; (IX.96)
dx dy 7
это дает дополнительно
b, =b2=b3=b4=0. (IX.97)
Теперь обратимся к граничным условиям (IX.93). Для того что-
бы удовлетворить строго первому из них, в соответствии с рекоменда-
циями § VIII.3 положим
(2k-1> _ Ч п 21 1 ’ (IX.98)
где
х (2к-1> к 2 (IX.99)
а также
аоз +а2з^2 = О’* ао5=аоб~О;
а04 + а24^2 - 0’ а02 + а22^2 +а42^ = О’». (IX.100)
кроме того, с учетом (V.144) и (IX. 100) должно быть
а42 ^а24 = ^а04 + а22 + ^а40 = О»
15а +2а +а — 0' а +а —О (IX. 101)
Условий (IX.98), (IX. 100) и (IX. 101) достаточно, чтобы полно-
стью снять напряжения о x(t) на поперечных кромках.
Из всей матрицы коэффициентов aik у нас осталось лишь 12 коэф-
фициентов
a02»a03’a04»a20»a2l »а22’а23»а24»а40»а41 »а42»а60 , (IX. 102)
но только 5 из них в силу условий (IX. 100) и (IX. 101) независимы.
Выбрав в качестве них коэффициенты
а60’а40»а23’а20 И а21 » (IX.103)
исключим все остальные с помощью формул
423
а02 “ За40/2 -Sa^Z4; а03 - а23/2;
а04=-5а60/2; а22=15а60/ -За40;
а24=^а60» а41=-а23’ а42=-^а60»
(IX.104)
вытекающих из (IX. 100) и (IX. 101). Кроме того, для удобства в фор-
муле (VIII.71) примем
А.~(с,-А,); В. .-L(D,-в„);<1Х 10S>
2 2
Сп “ Гг~®к ’ Dn ~ ГТ-Ак •
После этого для напряжений и смещений будем иметь формулы
oK(t) = aE(t)T(t) 6(l-ij2
а1 “а2 Л'
|-|аз(1-2^2+6л2
(IX. 106)
+ £K3Ak +Ck +2XkBkn)chXkT]+
k=l
+ (3Bk+Dk+21kAk T))shXk T)]cosXk
ay(t) = aE(t)T(t){2[a4 +6a,^ +n(a5 -6a2i;2)+
+ 5a3(112(3 + n2-12^2)+3^4)-
-П2(3а, -na2)]-l+ XKAk -ck -2X-kBk’l)ch>.kn+
k=l
+ (®k “Dk -2XkAk t)) shlk t) ]cos Xk (j };
(IX. 107)
(IX. 108)
-T (t) = aE(t)T(t)bd2a2^2 -a5 + 3n(2aj -T)a2)+
... k=~ (IX. 109)
+ 10a3 n(<-2n2-3j+ £[(Bk +Dk +2XkAkn)chXkll +
k=l
+ (Ak + Ck + 2XkBk n) shXk n ]sinXk |;
424
u(t) =a/T(t)^[l?-^2)[al -а2т] )- v^a.ij2 +a4)-
-vn(a5-2a2^2-3a1ti + a2ii2)+^(l + v)-
-5a3 lV|2(l + 2vX2-3(2 + v)-vn2]-J;2 l-^42
K=oo ।
+ EH(Ak(3-v)+(l + vXck +2XkBkT]))chXkr]+
k=i 4
1 + 2v + —t| 2
5 1
+ 5a3 v+t|2
+ (Bk (3 - v)+ (1 + vXDk + 2Xk Ak n)) shlk n ]sinXk £ |;
v(t)=a/T(t)|2q a4 + 6a£2 (a5 -6a2£2)+
2( ।
+ П -а2П-а|
-?(sv-(3 + 2vX2)-2(2 + vX2n2]- vr| /(1 - V)(6a, -3a2n)
+ ^2[3a2-(2 + v^5]+la2^4(3 + 2v)+
+ Ет-КВк (3 - v)+ (1 + vXDk + 2Xk Ak n)>hlkn +
k=l Лк
(IX. 110)
(IX. Ill)
+ (Ak(3-v)-(l + vXck +2XkBkr|)) shXk njcos Xkij|.
Эти формулы при a, = a2 = a3 = a4 = a5 = 0; E(t) = E = const и T(t)
= To = const с точностью до пока еще произвольных постоянных Ак,
Вк, Ск и Dk полностью совпадают с аналогичными формулами рассмот-
ренного выше в § IX.6 решения Г.Н. Маслова [189]. В них введены
безразмерные постоянные
а,— адд/*"; <±2 — ~ ^20» ^5~ ^21 (IX. 112)
и безразмерные координаты £ и Л (IX.84).
Всего имеем 5 + 4к независимых постоянных aj..., а5, ..., Dk,
с помощью которых мы должны удовлетворить граничным условиям.
С помощью формул (IX.84) и (IX. 107) устанавливаем, что пер-
вое из граничных условий (IX.93) тождественно удовлетворено; второе
и третье из этих условий, а также условия (IX.94) дадут нам 4 уравне-
ния для определения произвольных постоянных, входящих в формулы
425
(IX. 107) — (IX. 111). После разложения в соответствующие ряды поли-
номинальных слагаемых, входящих в формулы (IX. 108) — (IX. 111),
эти уравнения получим в следующем виде
Ак (chXkp - 2XkpshXkp)+ Вк (shXkp - 2XkpchXkp)-
-CkchXkp-Dk shl^ + C-Dk-ik-^-^-H2^ -4]+
I
+ а2-7г1<Н2-6)х2к +12]+аэ#к (р4_9ц2+з)+
Лк
(IX. 113)
+ 12А-1 (2M2-3)+72]+a44- + a5V"T
Лк Лк Лк
= 0;
Ак (shXkp. + 2ХкцсЬХкц)+ Вк (chlkp + 2XkgshXk|i)+
+ Ск shXkp +Dk сЫкц + (-1)к 1
ai7T + a2
^к
#[(2-И2>2к -4]+
Лк
+ (9-2ц2)-24]-а5-Ц = 0;
Лк Лк J
(IX. 114)
Ак (3 - v)+ Ск(1 + v)+ (-1)к'‘ |а, (1 + 2 v - vX к )-
I ^к
лк Л'к Л'к
(3 - vX - (1 + v)Dk + Н)к-'И-(ь2к - 2)+
14 dx. 116)
+ [4 -12(4 - 2)]) а2 - (- 1)к-' (х2к - г)а5 = 0.
Лк J ^к
В этих уравнениях введено обозначение (IX.90).
Четвертому граничному условию (IX.93) мы удовлетворить стро-
го не можем, поэтому приближенно по принципу Сен-Венана заме-
ним его условием
н
Jxxy(t)dy = O при х = ±/. (IX.117)
о
У нас осталось еще 5 произвольных постоянных, с помощью ко-
торых это можно сделать с достаточно большой степенью точности. Для
426
(IX. 120)
(IX. 121)
(IX. 122)
этого распорядимся ими так, чтобы максимально приблизить прибли-
женное решение к точному.
Разобьем высоту поперечной кромки на пять равных участков и
потребуем, чтобы в пределах каждого из этих участков равнодействую-
щая напряжений т xy(t) была равна нулю
(п+1)н
Jrxy(t)dy = O при х=+/ (IX.118)
n Н
"Т
Эти уравнения в сочетании со вторым и третьим условиями (IX.93)
эквивалентны условиям
/ пН
Jcy(t)dx = O при у = ^-, (IX. 119)
о
которые с учетом формулы (IX. 108) дают нам пять уравнений вида
а1(2-3т12)+а2т](2+П2)+а3[з-5112(1-т12)]+а4+а5т]-| +
k=oo/_i\k-l
+ ХЧг— К -24Bkn-Ck)chXkn-
k=i
-(2XkAkn-Bk+Dk)shXkn]=0
при
соответственно для следующих пяти значений п
п = 0; п = 1; п = 2; п = 3; п = 4.
Выписанных нами уравнений (IX. 113) - (IX. 116), (IX. 118) и
(IX. 120) вполне достаточно для определения всех произвольных посто-
янных, входящих в формулы (IX. 107) — (IX. 111). Эти уравнения об-
разуют собой систему совместных алгебраических уравнений, число ко-
торых возрастает по мере увеличения числа учитываемых членов ряда
на четыре единицы на каждый его член. Так, при учете одного члена
ряда нужно решить систему, состоящую из 9 уравнений, двух членов
ряда — из 13 уравнений и т.д. При современном состоянии вычисли-
тельной техники это не вызывает затруднений.
Структура полученной системы уравнений д ля случая учета пяти
членов ряда показана в табл. 39, где черными точками указаны коэф-
фициенты уравнений и свободные члены, только отличные от нуля.
4Т1
Эта структура такова, что при осуществлении программы вычисления
неизвестных, относящейся к данному случаю учета 5 членов ряда, по
системе алгоритма Гаусса попутно можно получить значения неизвест-
ных, относящихся к случаю учета 1, 2, 3, 4 и 5 членов ряда.
Система уравнений, схематически представленная в табл. 39,
была решена с учетом соотношений (IX.92) и по найденным значени-
ям произвольных постоянных и формулам (IX. 107) - (IX. 109) рассчи-
таны напряжения в блоке для тех же точек, что и в примере § IX.6.
Найденные эпюры напряжений изображены на рис. 105, б, на кото-
ром ординаты этих эпюр даны по-прежнему в долях от величины
aE(t)T(t).
Из рассмотрения рис. 105, б следует, что форма эпюр напряже-
ний в блоке со свободными торцами такая же, как и у блока с торцами
защемленными от тангенциальных смещений (рис. 105, а). Однако
эпюра напряжений о y(t) по его подошве уже статически самоуравно-
вешена. Эти растягивающие напряжения в средней части подошвы при
значительном разогреве бетона на высокоактивном цементе могут выз-
вать продольную трещину по шву сопряжения.
В связи с этим представляет практический интерес задача о тем-
пературных напряжениях в блоке со свободными верхней и торцовыми
гранями, сопряженном, с основанием таким образом, что на плоско-
сти сопряжения вследствие наличия продольной трещины и сил тре-
ния
oy(t) = 0; u(t) = 0 при у = 0. (IX. 123)
Эта задача на основах линейной теории упруго-ползучего тела была
решена автором в 1952 г. [5].
§ IX.8. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БЛОКЕ,
ЗАЩЕМЛЕННОМ ПО ОСНОВАНИЮ И ИМЕЮЩЕМ
СВОБОДНЫЕ ТОРЦЫ, В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЕГО
НЕРАВНОМЕРНОГО РАЗОГРЕВА
Обратимся теперь к общему случаю неравномерного разогрева
блока, рассмотренного в § IX.7.
Представляя в соответствии с рекомендациями § VIII.3 заданный
закон изменений температурного поля блока в форме (VIII.89), полу-
чим соответствующие формулы для напряжений и смещений блока в
виде выражений(У1П. 145) — (VIII. 149). Остается только определить из
граничных условий входящие в них произвольные постоянные.
Таблица 39
Структура системы алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных а,,..., а5, а,,,а5
№ уравнения | Смысл уравнения 6 Ц q А И С D А 3 q Р А 3 q Р А в< q Р ц а. а* Ц» % | Правая часть |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 11 П В И б 16 17 Е Е> 1) 21 2 3 21 3 Ъ 3 3 Э
1 2 3 4 5 *1 |сДО±=О пН при у=у п=0 гН п=2 п=3 п=4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
6 7 8 9 у=н i;(Q=O приу=Н цс)=Ю при у=0 u(t)=O при у=0 К=1 • • • • • • • • • • • • .. • • • • • • • • • • • • • • • •
Ю 11 12 13 q(t)=O. у=Н гу(0=О при у=Н i(t)=0 приу=О 1Д1)=0 приу=О К=2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
430
Дальнейшие рассуждения ограничим случаем симметричного рас-
пределения температуры блока относительно его оси Оу. Условившись
об этом, мы должны положить в формуле(УШ.89)
b = dn=O. (IX.124)
Это дает нам для изменений температуры следующее выражение
Ф(0 = T(t) J ag + aY* (у) + g £ek cos Xk + Y* (y) £ ek cos . (ix. 125)
I k=l k=l
Проанализируем эту формулу.
Первый из множителей в ней T(t) устанавливает заданный мас-
штаб изменения температуры блока во времени, получаемый из реше-
ния соответствующей задачи теории теплопроводности и связанный с
условиями остывания блока.
Второй множитель, заключенный в фигурные скобки, опреде-
ляет закон распределения изменения температуры по сечению блока.
Каждое из четырех слагаемых фигурной скобки соответствует оп-
ределенной части объемной эпюры изменения температуры блока.
Первое слагаемое определяет случай равномерного разогрева блока
на некоторую величину agT(t), устанавливаемую с помощью формул
(УШ.82) и(УШ.86).
Второе слагаемое выражает равномерное изменение температуры
блока вдоль оси Ох и неравномерное — вдоль оси Оу по закону aY*(y)T(t).
Масштаб этой части эпюры изменения температуры устанавливается
по формулам (У1П.83) и (У1П.86).
Третье слагаемое определяет случай равномерного разогрева бло-
ка вдоль оси Оу и неравномерного вдоль оси Ох по закону
T(t)g£ekcosM
. Масштаб этой части устанавливается по формулам
к=1
(УШ.82) и(УШ.84).
Наконец, четвертое слагаемое определяет часть объема эпюры
изменения температуры блока, связанную с его неравномерным разог-
к=<»
ревом вдоль обеих осей по закону Y (У)Т(0Хек cos4^, масштаб кото-
к=1
рой устанавливается с помощью формул(У1П.83) и (У1П.84). Выше мы
видели, что каждой из этих частей эпюры изменения температуры со-
ответствует свое частное решение уравнениями (УШ.52), которые мы
нашли в § У1П.З. С учетом этих частных решений полные формулы для
напряжений и смещений блока в рассматриваемой задаче на основе
выражений (УШ. 145) - (УШ. 149) и данных § IX.6 и IX.7 будут иметь
вид
431
°x(t) °x(0 aE(t)T(t)jaY (Л]) + <p3L.(/r|)cos4 £ p
<\(t) <\(O + aE(t)T(t)jl-ag+ ^-^3k(/r])cosXk£ ;
I k=l 1
Txy(t) =
k=l ‘
u(t) = u(t)-a/T(t)] ^(1 + v/1 -ag) +
2
1 _ X2
+ (P3k(/n) + v-^-^k(/q) sinXkd;
к=1 Лк L 1
(IX. 126)
(IX. 127)
(IX.128)
(IX. 129)
(IX. 130)
Фзк( *1) cos 4^ к
k=l Лк |_Лк
n
v(t) - ij(t) + alT(t) a(l +v)J Y*(/T))dq -
о
4(2+ v)
/
где йх (t), oy (t), тху (t) и u(t), v(t) - соответственно напряжения и смеще-
ния, определяемые по формулам (IX. 107) - (IX. 111), но при значени-
ях постоянных Ак, Вк, Ск, Dk и а,..., а., найденных из граничных усло-
вий (IX. 113)-(IX. 116), (IX. 118) и (IX. 120) с учетом всех или соответ-
ствующих рассматриваемому случаю разогрева блока столбцов табл. 40.
В этих формулах £ и П ~ безразмерные координаты, определяе-
мые формулами (IX.84); Лк " безразмерная величина, отыскиваемая
по выражению (IX.85); а и g ~ постоянные, определяемые по форму-
лам (VIII.86) и (VIII.82); У*(/П) “ заданная функция, отыскиваемая
по выражению (VIII.83);
—}nk(/П-Z0)fr*'(10)~ 4 |g + Y*(/9)]}d0;
I 0
ek = |[X(/§)-a-b/5]cosXk^,
(IX.131)
<p3k(In) =
(IX. 132)
432
а производные функции Ф (Л]) и Y*(/0) берутся по аргументам Л] и /0
соответственно.
Выражения для напряжений (IX. 126) - (IX. 128) и перемещений
(IX. 129), (IX. 130) удовлетворяют уравнениям совместности и равно-
весия, поэтому для полноты решения нам осталось только удовлетво-
рить граничным условиям (IX.93) и (IX.94).
Полагая в (IX. 126) £ = 1, видим, что на поперечных кромках
блока действуют напряжения
Сх(t)l^ =-aE(t)T(t)aY*(/r]) , (IX. 1 33)
отличные от нуля в общем случае криволинейного распределения его
температуры вдоль оси Оу. Таким образом, строго удовлетворить пер-
вому граничному условию мы не можем. Заметим, однако, что в силу
равенств (VIII.82) и (VIII.83)
н
Iax(t)k=±/dy=0’ (IX. 134)
О
поэтому первое из граничных условий (1Х.93) удовлетворяется в ин-
тегральном смысле, т.е. с точностью до принципа Сен-Венана.
Остальным граничным условиям (IX.93) и (IX.94) мы можем
удовлетворить с той же степенью точности, что и для блока, рассмот-
ренного в § IX.7. Это дает нам необходимое число аналогичных урав-
нений для определения произвольных постоянных Ak, Вк, Ск, Dk, а,
..., а5 и приводит к однозначности решения рассматриваемой задачи.
Эти уравнения будут иметь те же левые части, но их правые части (сво-
бодные члены) будут иными.
Для удобства применения этих уравнений в отдельных частных
случаях отсутствия тех или иных слагаемых объемной эпюры распреде-
ления температуры (IX. 125) их правые части, соответствующие каж-
дой из ее составляющей, вычислены отдельно и собраны в табл. 40.
Пользуясь данными этой таблицы, мы охватим все возможные част-
ные случаи распределения температуры. Например, учитывая только
один ее первый столбец и полагая в нем а = g= 1, получим случай
равномерного разогрева блока, подробно рассмотренный в § IX.7.
Принимая же во внимание все столбцы табл.40, получаем реше-
ние задачи для общего случая неравномерного разогрева блока.
Из табл. 40 следует, что все свободные члены выписанных урав-
нений, соответствующие случаю
e°(t) = aY*(y)T(t) , (IX.135)
433
равны нулю, поэтому и все произвольные постоянные для данного слу-
чая также равны нулю. Это означает, что мы нашли решение задачи,
соответствующее этому случаю в замкнутом виде и притом не требую-
щее полиноминальных слагаемых для функций напряжений.
Компоненты напряжений и перемещений в этом случае, как
вытекает из формул (VII 1.92) и(У1П.93), равны
ox(t) = -aE(t)T(t)aY*(y); oy(t) = тху (t) = 0; (IX. 136)
у
u(t) = O; v(t)=(l + v)aT(t)ajY’(y)dy . (IX.137)
о
Они вошли в формулы (IX. 126) - (IX. 130) в готовом виде.
Выше был рассмотрен случай симметричного разогрева блока от-
носительно его оси Оу. Не представляет труда получить теперь решение
и для произвольного распределения температуры относительно обеих
осей блока. Формулы для напряжений и смещений блока, соответ-
ствующие этому случаю, имеют вид (VIII. 145) — (VIII. 149).
Для определения входящих в них постоянных из рассмотрения
граничных условий можно всегда составить необходимое число уравне-
ний, подобных (IX.113) - (IX.116), (IX.118) и (IX. 120), и тем самым
однозначно решить рассматриваемую общую задачу о температурных
напряжениях в блоке. Мы не будем здесь выписывать эти уравнения,
но обратим лишь внимание на необходимость соблюдения рекоменда-
ций § VIII.3 при их составлении.
В заключение отметим, что все выписанные нами формулы для
напряжений, смещений и уравнения для определения входящих в них
произвольных постоянных относятся к случаю плоского обобщенного
напряженного состояния. Соответствующей заменой в них а, v и E(t)
на a,, v , и Е,(t) (см. § VIII.2) можно легко получить все необходи-
мые формулы и уравнения, относящиеся к случаю плоской деформа-
ции.
§ IX.9. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ
РАССМОТРЕННЫХ УПРУГО-МГНОВЕННЫХ ЗАДАЧ
В настоящей главе был рассмотрен ряд упруго-мгновенных за-
дач, относящихся к случаю температурных напряжений. Решения этих
задач могут быть непосредственно использованы в их готовом виде и
для расчета влажностных напряжений в телах, если для последних име-
Таблица 40
Правые части уравнений для определения произвольных постоянных Вк, Ск, Dk, at а5, при различных
законах изменения температуры блока
Физический смысл урав- нения При изменении температуры по закону
e°(t) = agT(t) c°(t) = aY’(/ -n)T(t) e°(t) = gT(t)£ek cosXk£ k = l ksoo c°(t) = Y*(Ziqj)T(t) ^ek cosXk£ k = l
oy(t) = 0 при у = Н Лк 0 -2(chXkK-l)] -•^-<P3k(W|g.o
М)=о при у = Н 0 0 - -^-[XknchAkg - shXk|i]
u(t) = 0 при у = 0 (_1?-,20|v>g 0 0 0
v(t) = O при у = 0 0 0 0 0
^(0 = 0 при х =±/ 0 0 0 0
иу =0
Joy(t)dx =0 пН ПРИУ= — 4 (п=0,1,2,3) k=l Лк 0 k=l
435
ет место линейная зависимость между изменениями влажности матери-
ала и его влажностными деформациями вида
e°(t) = £U(t), (IX. 138)
где £ — коэффициент линейной влажностной деформации (усадки или
соответственно набухания), a U(t) - изменение поля влажности.
Для этого достаточно в этих решениях заменить коэффициент
линейного расширения а коэффициентом линейной влажностной де-
формации £, а изменение поля температуры Ф(х,у,гД) - изменением
поля влажности U(x,y,z,t).
Для некоторых капиллярно-пористых коллоидных материалов за-
висимость (IX. 138) неоднозначна, поэтому для них указанная возмож-
ность оказывается неприемлемой. К числу таких материалов относит-
ся, например, бетон, у которого деформации набухания связаны с уве-
личением влажности более сложной зависимостью (VI.6), а деформа-
ции усадки в общем случае неоднозначно зависят от уменьшения его
влажности.
Однако в § VI.7 были указаны практические пути для преодоле-
ния этих затруднений, состоящие, во-первых, в учете указанной нео-
днозначной зависимости усадки бетона от изменений его влажности с
помощью введения эффективной и критической влажностей бетона,
во-вторых, в применении в практических расчетах среднего значения
коэффициента линейного набухания бетона, и, в-третьих, в исполь-
зовании разных по величине коэффициента линейной усадки Р и сред-
него коэффициента линейного набухания П бетона.
При этих условиях для расчетных влажностных деформаций бето-
на будем иметь формулы
ey(t) = piT(t); eH(t) = -nU(t), (IX. 139)
в которых U3(t) - изменение эффективной влажности бетона, a U(t)
— изменение его полной влажности.
Смысл введенного понятия об эффективной влажности бетона
разъяснен в §VI.7, где также указано, как она выражается через пол-
ную и критическую влажность бетона. Необходимые дополнительные
разъяснения содержатся в главе XIII.
Сравнивая формулы (IX. 138) и (IX. 139), видим их полное внеш-
нее тождество, из чего следует, что полученные решения ряда практи-
чески важных упруго-мгновенных задач о температурных напряжениях
MOiyr быть непосредственно использованы в их готовом виде для расче-
436
та влажностных напряжений в бетоне. При этом в случае расчета на-
пряжений набухания в них следует заменить коэффициент линейного
расширения а средним коэффициентом линейного набухания бетона
Ц, а изменение температурного поля <I>(x,y,z,t) - изменением поля его
полной влажности U(x,y,z,t). В случае же расчета усадочных напряже-
ний в этих решениях а нужно заменить коэффициентом линейной усадки
бетона р, а Ф(х,у,гД) — изменением поля его эффективной влажности
U3(x,y,z,t).
В связи с указанным простым приемом мы не будем особо вы-
писывать формулы для влажностных напряжений и перемещений, рас-
смотренных выше упруго-мгновенных задач, имея в виду, что они все-
гда могут быть найдены из решений, полученных в настоящей главе
указанным выше простым путем.
Методика отыскания расчетных изменений поля эффективной
влажности бетона U3(x,y,z,t) состоит в следующем.
Вначале методами теории влагопроводности, развитыми в главе
II, отыскиваются поля влажности бетона в рассматриваемые моменты
времени его высыхания t( и t2. Затем они сравниваются с полем крити-
ческой влажности бетона
U(x,y,z,t) = UKp, (IX. 140)
определяемой методом, изложенным в § VI.7.
Если в любой точке объема тела влажность бетона в моменты вре-
мени t, и t2 оказывается меньше критической влажности UKp, то эти
поля влажности одновременно являются и полями его эффективной
влажности. Поэтому расчетные изменения влажности бетона, вводи-
мые в расчет усадочных напряжений, развивающихся в нем за время
t2 — tp в данном случае будут равны
UJ(x,y,z,t) = U(x,y,z,t2)-U(x,y,z,t|) . (IX. 141)
Если влажность бетона в моменты времени t, и t2 оказывается
больше его критической влажности UKp в некоторой части объема тела,
то тогда следует в этих частях его объема принять
и U’(x,y,z,tl) = UKp при Х<Х|1 у<у,; z<z(x,,y,) U’(x,y,z,t2) = при х<х2; у<у2; z<z(x2,y2 (IX.142) (IX.143)
где
437
z = z(x1,y1) при t = t| (IX. 144)
и
z = z(x2,y2) при t = t2 (IX.145)
— уравнения поверхностей изовлаги, на которых влажность бетона рав-
на его критической влажности Икр, а
х<Хр у<ур z<z(X],y!) при t = tjj (IX.146)
и
х<х2; у<у2; z<z(x2,y2) при t = t2 (IX.147)
— области тела, где
U(x,y,z,t) > UKp . (IX. 148)
В остальной части объема тела, где
U(x,y,z,t)<UKp, (IX. 149)
следует считать U(x,y,z,t) равной его действительной влажности
U(x,y,z,t).
Определив таким образом поля эффективной влажности бетона,
можно составить их расчетное изменение
U3(x,y,z,t) = U3(x,y,z,t2)-U3(x,y,z,tj) (IX. 150)
и далее уже ввести его в расчет усадочных напряжений. Этот случай на
примере одномерной задачи распределения влаги по сечению тела бо-
лее подробно рассмотрен в § XIII.5.
Интересен случай, когда на периоде высыхания бетона t2 -во
всем его объеме влажность, уменьшаясь, остается все же большей Йкр.
Это может, например, наблюдаться на раннем периоде высыхания бе-
тонного тела, имеющего большую начальную влажность (молодой бе-
тон с высоким В/Ц или бетон, предварительно увлажненный).
В этом случае
U3(x,y,z,tl) = U3(x, y,z, t2) = UKp (IX. 151)
и поэтому расчетное изменение эффективной влажности бетона (IX. 150)
равно нулю. Следовательно, при этих условиях за время t2 — t, в бетоне
не возникают усадочные напряжения, что экспериментально доказано
в опытах автора, описанных в § XI.5.
Из изложенного, и особенно из последнего примера следует, что
ранее применяемая методика расчета усадочных напряжений по изме-
нениям полной, а не эффективной влажности бетона приводит к их
существенному преувеличению.
438
Глава X.
УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ
НАПРЯЖЕНИЙ В БЕТОНЕ, ВЫЗЫВАЕМЫХ
ЕГО ВЫНУЖДЕННЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ
§ X.I. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
В§ LV.9 мы видели, что при условии (VIL5) полные напряжения
в бетоне о* (t),...,Txy (t),..., отыскиваемые с учетом ползучести,
определяются через соответствующие упруго-мгновенные напря-
жения ах (t),...,ixy (t),... с помощью независимых интегральных уравне-
ний (VII.74), решения которых могут быть записаны сразу в готовом
виде
)d
E(t) E(t) J Е(т)
..................(x-y-z) (XI)
jkw = M2_f2^R(t,T)dT;
E(t) E(t) J E(t)
Tl
...............(x,y,z),
где R(t,x) — наследственная функция бетона второго рода. Таким обра-
зом, отыскание напряжений ползучести a* (t),...,тху (t),... сводится к
вычислению квадратур (Х.1), поскольку напряжения упруго-мгновен-
ной задачи предполагаются уже найденными (см. главы VIII и IX), а
функция R(t,x) — известной (см. §VII. 12).
Дальнейшее упрощение задачи получим, если учтем, что вынуж-
денные деформации бетона обычно задаются в форме (VIII.40), а поле
изменений соответствующей характеристики состояния материала е °(t)
(температуры или влажности бетона) отыскивается методами теории
тепло- или влагопроводности (см. главы I и V) в виде произведения
(или суммы произведений)
439
8°(t) = E0T(t)F(x,y,z), (X.2)
где e0 = const, a T(t) и F(x,y,z) - некоторые безразмерные функции,
одна из которых зависит только от времени t, а другая — только от
координат точек тела х, у, z. В соответствии с этим напряжения упру-
го-мгновенной задачи (см. главы VIII и IX) всегда находятся также в
виде произведений
ох (t) = d£0T(t)E(t)Fx (х, y,z);
.............(x,y,z);
тху (t) = ae0T(t)E(t)Fxy (x, у, z); (X'3 >
..............(x,y,z)
аналогичной структуры.
Введем теперь в рассмотрение вспомогательную упруго-мгновен-
ную задачу, решение которой имеет вид
ax(t) = ae0E(t)Fx(x,y,z);
.............(x,y,z);
тху (t) = d£0E(t)Fxy (x, y,z); (X-4)
.............(x,y,z),
т. e. получается из решения исходной упруго-мгновенной задачи при
T(t) = 1. Такую вспомогательную задачу будем называть заменяющей
упруго-мгновенной задачей. Тогда решение исходной упруго-мгновен-
ной задачи может быть записано следующим образом
ох (t) = ох (t)T(t); т (t) = т (t)T(t);l
( \ ( Ч (Х.5)
........(x,y,z); .....(x,y,z). J
В этих формулах функцию T(t) можно рассматривать как коэф-
фициент приведения упругих напряжений заменяющей задачи к напря-
жениям исходной упруго-мгновенной задачи.
Будем теперь по аналогии с (Х.5) искать полные напряжения
a* (t),..., т ху (t),... в форме
(О тху (t) =Txy(t)H*(t,T,);l
г
............(x,y,z); ...........(x,y,z), J
где ) — коэффициент приведения упругих напряжений заменя-
ющей задачи к искомым полным напряжениям, отыскиваемым с уче-
том ползучести.
440
Внося (Х.4) и (Х.6) в (Х.1), для получаем следующую
формулу
Н’(t, т,) = T(t) - J T(x)R(t, t)dt. (X. 7)
т,
Итак, отыскивание полных напряжений о* (t), ...,тху (О,... с уче-
том ползучести сводится к нахождению напряжений ox(t),...,xxy(t),...
заменяющей упруго-мгновенной задачи и коэффициента приведения
Отыскав эти напряжения (Х.4) и коэффициент
(Х.7), по формулам (Х.6) всегда можем составить выражения для ис-
комых полных напряжений о* (t), ...,тху (t),...
Рассмотрим случай стационарной вынужденной деформации. В
этом случае
T(t)=T(x) = l (Х.8)
и напряжения упруго-мгновенной задачи совпадают с напряжениями
заменяющей задачи. При этом
Н‘(1,г1) = 1-|и(1,т)с1т. (Х.9)
Из определения функции R(t, г) (см. § VII.7) вытекает, что всегда
t
J,R(t,T)dT>0 при Tj < t (Х.10)
и стремится к определенному пределу lim j R(t, i)dx < 1 - Поэтому функ-
ция H*(t,x1), определяемая формулой (Х.Ф), затухающая от
H*(t,T|) = l при t = Tj
до
t
О < Н * (t, т,) = 1 - lim |R(t, T)di < 1 при t —> о®.
т,
В связи с этим и учитывая структуру формул (Х.6), функцию
H*(t, т1) в рассматриваемом случае можно интерпретировать как коэф-
фициент затухания (релаксации) упругих напряжений за счет ползуче-
сти бетона к данному моменту времени наблюдения t.
Нетрудно видеть, что с учетом (Х.6) введенный нами коэффи-
441
(X.1I)
циент приведения H*(t,ii) равен
S(t,x,)
т.е. представляет собой отношение полных напряжений o*(t,ii) в дан-
ный момент времени наблюдения t, исчисленных с учетом ползучести,
к упругим напряжениям o(t, Tj) заменяющей упруго-мгновенной задачи
в тот же момент времени t, найденным в предположении отсутствия
ползучести бетона, причем оба эти напряжения о*(1,10 и a(t,Tt) отыс-
киваются для соответствующей вынужденной деформации, начинаю-
щей развиваться или соответственно возникающей с одного и того же
момента времени t = т г
Для тела, не обладающего ползучестью, R(t,x) = 0, поэтому для
него
H*(t,x1) = T(t). (Х.12)
Иными словами, полные напряжения в нем равны упругим на-
пряжениям, отыскиваемым на основе упруго-мгновенной задачи.
Чем больше ползучесть материала (выше степень релаксации уп-
ругих напряжений), тем больше текущие значения R(t,x) и тем мень-
ше, следовательно, коэффициент H*(t,Tj).
Из изложенного следует, что учет ползучести при расчете напря-
жений в бетоне, связанных с его вынужденными деформациями, сво-
дится к определению коэффициента приведения H*(t,Tj) упругих на-
пряжений по формуле (Х.7) и самих напряжений ползучести по выра-
жениям (Х.6) умножением на этот коэффициент соответствующих уп-
ругих напряжений заменяющей упруго-мгновенной задачи. Поскольку
функции T(t) и R(t,x) предполагаются известными, нахождение
H*(t,Tj) по формуле (Х.7) сводится к вычислению квадратур, которое
может быть всегда выполнено наиболее доступными способами машин-
ного и численного интегрирования или непосредственно аналитичес-
ким методом.
В § Х.2 изложена наиболее удобная практическая методика вы-
числения коэффициента приведения H*(t,Tj) напряжений заменяющей
упруго-мгновенной задачи, основанная на применении готовых таб-
лиц функции R(t,x).
442
§ Х.2. МЕТОДИКА УЧЕТА ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ
НАПРЯЖЕНИЙ, ВЫЗЫВАЕМЫХ ВЫНУЖДЕННЫМИ
ДЕФОРМАЦИЯМИ
Вычисление коэффициента приведения упругих напряжений
существенно упрощается, если составить таблицы значений
наследственной функции второго рода R(t, т) для различных бетонов.
Желательно иметь такие таблицы для бетонов разных составов и марок
на различных вяжущих. Это - дело ближайшего будущего.
Однако проведенный анализ изменчивости значений функции
R(t,x) в зависимости от величин параметров, определяющих меру пол-
зучести бетона и его модуль упругости, для ряда различных бетонов
показал, что эта изменчивость носит довольно вялый характер. Объяс-
няется это тем, что в выражения для R(t,i) (VII. 146) модуль упругости
E(t) и составляющие V (t) и д (t) предельной меры ползучести бетона
входят лишь в виде произведений E(t)v(t) и E(t)A(t). Для того чтобы
убедиться в этом, проще всего обратиться к выражению R(t - т) (VII. 156)
для старого бетона.
Так как с увеличением, например, прочности бетона величины
E(t) и V (t), д (t) изменяются в обратных направлениях, то их произ-
ведения оказываются мало изменчивыми, что и приводит к указанно-
му выше обстоятельству.
Подмеченное свойство R(t - т) позволяет упростить табулирова-
ние этой функции, ограничиваясь составлением ее таблиц для «средне-
го» бетона, характеризуемого некоторыми средними значениями пара-
метров функций E(t), w (t) и д (t).
Анализ имеющегося в литературе экспериментального материала
о деформациях бетона при кратковременных и длительных загружени-
ях, существенно облегченный уже имеющейся систематизацией соот-
ветствующих экспериментальных данных, проведенной И.И. Улицким
[270], показал, что для такого бетона могут быть приняты следующие
средние значения параметров функций E(t), V (t) и д (t), входящих в
формулы (VII.3), (VII. 145) и (VII. 146)
Ео = 2,6-104 МПа; £ = 1; р = 0,206 сут.'1; (Х.13)
у0 =0,756-10 4(МПа) у, =3,41610 4сут/МПа;
До = 0,219-10-4(МПа)-1; А, = 1,204-Ю'4 сут/МПа;
А2=1; а = 6сут"'; у = 0,03 сут4.
(Х.14)
443
Параметрам (X.l 3) и (Х.14) соответствуют следующие значения
параметров меры ползучести C(t,x) (VII. 102)
Cj =0,975-10"4 (МПа)-1; А, = 4,62-10"4 сут/МПа;
(Х.15)
у = 0,03 сут4,
в свое время рекомендованные в качестве средних для обычного тяже-
лого бетона Н.Х. Арутюняном [49] на основе, по-видимому, анало-
гичного обобщения экспериментальных данных о ползучести бетона.
Рекомендуемое значение параметра Ео (VII. 13) близко к средне-
му значению начального модуля упругости бетона классов В30 — В40
на мелком заполнителе по данным СНиП [256], как и должно быть,
если учесть, что имеющиеся экспериментальные данные о деформаци-
ях бетона, положенные в основу рекомендуемых параметров (Х.13) и
(Х.14), относятся именно к бетонам на мелком заполнителе.
Для «среднего» бетона, определяемого параметрами (Х.13) и
(X. 14), автором были составлены таблицы R(t,T), приведенные в при-
ложении VII. Числовые значения R(t,T), содержащиеся в этих табли-
цах, найдены численным решением по шагам уравнения (VII. 16) с уче-
том (VII. 145) с заменой интеграла конечной суммой.
При наличии готовых таблиц функции R(t, т) для определения
коэффициента ) приведения упругих напряжений к данному мо-
менту времени t удобнее всего пользоваться следующей простой мето-
дикой:
1) выбирается таблица функции R(t,x), соответствующая дан-
ному моменту времени наблюдения t, для которого определяется коэф-
фициент приведения H*(t,T|);
2) значения функции R(t,x), содержащиеся в этой таблице, ум-
ножаются на известные переменные значения заданной функции Т( т),
зависящей от т;
3) любым доступным методом вычисляется площадь
jT(T)R(t,T)dT (X.l 6)
т,
криволинейной трапеции, ограниченной кривой
F(t,T) = T(x)R(t,T), (X.l 7)
444
осью абсцисс (времени т) и ординатами т = t и т = т р
4) вычитанием этой площади из T(t) по формуле (Х.7) находит-
ся коэффициент H*(t, Tj) приведения к данному моменту наблюдения t
напряжений заменяющей упруго-мгновенной задачи, возникающих с
момента т r
Для вычисления площади (Х.16) можно пользоваться, напри-
мер, планиметром, предварительно вычертив в нужном масштабе кри-
вую (X. 17). Удобно также аппроксимировать эту кривую простейшими
интегрируемыми функциями, после чего выполнить квадратуру (VII. 16)
непосредственно. Последний прием наиболее прост и удобен. В связи
с этим составлена готовая табл. 41 интегралов (Х.16) для простейших
случаев аппроксимации функций Т( т) и R(t,x) в виде отрезков квад-
ратных парабол на заданном промежутке Дт.
Задавая различные соотношения между Т(тт_1),Т(тт),Т(тт+1) и
ДтР Дт2, в частности, полагая некоторые из них равными нулю, с
помощью этих таблиц можно получить готовый набор интегралов (X. 16)
для ряда простейших случаев, сочетая которые с одновременным варь-
ированием Дт р Дт 2 и Дт всегда можно вычислить эти интегралы при
любом очертании кривых Т( т). Для этого достаточно разбить задан-
ную кривую Т( т) на характерные участки, подобрать в табл.41 соответ-
ствующие случаи их аппроксимации и воспользоваться отвечающими
им готовыми значениями интегралов (Х.16), после чего произвести их
суммирование. Последние могут быть всегда вычислены с большой сте-
пенью точности, поскольку имеются весьма подробные готовые табли-
цы R(t, т) (см. приложение VII).
В § Х.З и § Х.4 на ряде примеров проиллюстрировано примене-
ние рекомендуемой методики учета ползучести при расчете напряже-
ний в бетоне, вызываемых его вынужденными деформациями.
§ Х.З. СЛУЧАЙ СТАЦИОНАРНОЙ ВЫНУЖДЕННОЙ
ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим один важный частный случай вынужденной дефор-
мации и вычислим соответствующий ему коэффициент приведения
упругих напряжений.
Допустим, что в некотором возрасте бетона т, в нем появляется
некоторое поле вынужденных деформаций, приводящее к возникнове-
445
нию напряжений, которое затем остается неизменным во времени. В
этом случае стационарных вынужденных деформаций, очевидно, име-
ет место условие (Х.8).
Такой случай, например, мы получим, если создадим в свобод-
ном от внешних связей брусе или плите стационарный температурный
перепад, а затем наложим внешние абсолютно жесткие связи, устра-
няющие температурное искривление элемента, и в дальнейшем будем
т Таблица 41
Формулы для интегралов jT(r)R(t,r)dr
Ат = г -г Ат,= г +1 -г; Ат = Ат. + Ат, = г ,, -т .
1 m m-17 z m+1 m7 1 2 m+1 m-1
Квадратная парабола
jT(r)R(t,r)dr
rin-l
Квадратная парабола zr. 2 2 tR(t’)ДТ2 [2Х(тп,-| )^T2 -
77W,; 60Ат2 Атэ
-5ДтДт, + Дт2)+Т(тт+|)Дт,(10Дт,Дт2 -ЗДт2)+ Т(тт)Дт2(ЗДт,-2Дт2)]+
т/Т/п-г/ п-1
+ R(t, тт )Дт2 [Т(тт_, )Дт2(5Дт, -2Дт)+
T^m) "jTfcm+f) + Т(т тч, )Дт, (ЗДт - 5Дт,)+ 2Т(т m) Дт 2 ]+ + КЛ * m+l )ДТ 1 Ь’(1[т-1 )Дт 2 (j0Дх | ДГ 2 - ЗДт 2 )+
Ъп -t
+ Т(т m )Дт 2 (ЗАт -5ATJ+ +2Т(т m+I) Ат ] (1 ОАт 2 + бАт 2 -15 Ат Ат ।)]}
Трапеция ПА А {К<1’Т.п-|)[Т<тт-|)(3ДТ|-Дт2)Лт2 + 12 Дт ] Дт 2
Tfcm-i) + Т<*тя)(Д*1 -ДТ2)ДТ2]+ + К(С,тт)Дт2[Т(ттЧ) + Т(тт+1)]+
+ R(t.tm+,)[Т(тт_|)[(Дт2 ~Atj)AT|
+ Т(тт+| )(ЗДт2-Дт, )Дт, ]}
446
неизменно сохранять его прямолинейную форму. При этих условиях
напряжения в брусе, а следовательно, и реакции в этих связях вслед-
ствие ползучести будут затухать во времени по закону коэффициента
приведения с учетом (Х.8), равного (Х.9).
Принимая во внимание (VII. 152), для H*(t,ij) получаем
— |к(т,) - K(t) + ^^[1 - ’ ]+
E(t)l " Ц(О L J
и-КСт,)^' -А2)',<,')|к(т)Р'(т)е'п<1)с1т .
(Х.18)
Для бетона, характеризуемого средними значениями параметров
(X. 13), (Х.14), по формуле (Х.18) были вычислены коэффициенты
для различных t и т ,, а затем рассчитаны относительные значения
—удельных напряжений p(t, г), необходимых для поддержания
Е(т,)
неизменной во времени осевой продольной деформации бруса е (t) =
1, начиная с его возраста т; (табл.42). Поскольку для этого в упругом
брусе необходимо было бы иметь упругие напряжения
o(t) = E(t), (Х.19)
то сами напряжения р(1,тй), для каждого своего т ,, очевидно, будут
равны
p(t,T1) = H*(t,TI)E(t), (Х.20)
где H*(t,Tj) определяется по формуле (Х.18) или (Х.9).
Из табл.42 видно, что ползучесть приводит к существенной ре-
лаксации напряжений в бетоне молодого возраста; степень релаксации
начальных упругих напряжений в рассматриваемом случае составляет
81,4% — для кривой т, = 2 сут., 80% — для кривой т, — 5 сут., 79% —
для кривой т, = 10 сут. и 74,9% - для кривой т, = 20 сут.
В приложениях VIII и IX приведены численные значения напря-
жений p(t,Tj), рассчитанные с помощью формул (Х.18) и (X.I9) при
соответствующих средних значениях входящих в них параметров.
Отметим, что рассмотренный нами случай (Х.8) относится не
только к равномерной по объему тела вынужденной деформации. Он
одинаково применим к любому закону ее распределения, лишь бы она
была стационарной во времени.
447
Таблица 42
Относительные напряжения в бетойном брусе
при стационарной деформации
Tj = 2 суток Tj = 5 суток т, = 10 суток ij = 20 суток
t P(t,Tj) Е(т{) t P(t,Tj) E(Ti) t P(t,Tj) E(Tj) t P(t,Tj) E(Tj)
2 1 5 1 10 1 20 1
2,25 0,426 5,25 0,510 10,25 0,551 20,25 0,592
2,5 0,342 5,5 0,443 10,5 0,499 20,5 0,549
2,75 0,304 5,75 0,410 10,75 0,476 20,75 0,534
3 0,278 6 0,383 11 0,457 21 0,521
4 0,225 7 0,296 12 0,392 22 0,473
5 0,199 8 0,262 14 0,306 25 0,367
10 0,187 10 0,228 18 0,251 30 0,301
20 0,186 20 0,215 20 0,238 40 0,253
30 0,186 30 0,208 30 0,214 50 0,252
оо 0,186 оо 0,200 oo 0,210 oo 0,251
Примечание, t— возраст бетона в сутках к моменту наблюдения; т. — то же, к
моменту создания деформации.
§ Х. 4. КОЭФФИЦИЕНТ ПРИВЕДЕНИЯ УПРУГИХ
НАПРЯЖЕНИЙ В СТАРОМ БЕТОНЕ
Для бетона зрелого возраста и практически уже не стареющего
вычисление коэффициента приведения напряжений заменяющей уп-
руго-мгновенной задачи существенно упрощается, поскольку у него
модуль упругости постоянен и в выражение для наследственной функ-
ции второго рода R(t,x) возраст бетона в явном виде не входит. В этом
случае формула (Х.7) принимает вид
H’(t,T,) = H*(t) = T(t)-jT(T)R(t -r)dr. (X.21)
О
448
Для такого бетона R(t-x) определяется по формуле (VII. 156). С ее
учетом и с помощью выражения (Х.21), например, при стационарной
вынужденной деформации будем иметь
H*(t) = l-—(l-e"₽,‘)-—(1-е"₽!‘), (Х.22)
Pl Р2
где Ар А2, р, и Р2 находятся по формулам (VII. 157) - (VII. 160).
В табл. 43 приведены значения коэффициента, найденные по
формуле (Х.22) для старого бетона при средних значениях параметров
(Х.13) и (Х.14).
Предельное значение H*(t)
н’(~) = 1- —, (Х.23)
Pl Р2
при соответствующих значениях постоянных
А, =0,023701сут.-1; А2 = 3,451670сут.-,;1 (X 24)
Pj = 0,067419сут.; р2 = 9,43797сут.4; J
равно
Н’ (оо) = 0,28273 • (Х.25)
Следовательно, степень релаксации напряжений в старом бетоне
при стационарной вынужденной деформации составляет 71,7% и по-
прежнему является довольно значительной.
Рассмотрим теперь некоторые практически важные случаи неста-
ционарной вынужденной деформации. Предположим, что
Т(0 = 1-е-₽‘ . (Х.26)
Этот случай, например, имеет место при регулярном режиме
остывания или высыхания [10] призматического тела. Внося (Х.26) в
(Х.21), с учетом (VII. 156) найдем
Таблица43
Коэффициенты затухания Н (t) упругих напряжений при стационарной
вынужденной деформации в старом бетоне
(сут.) 0 0,25 0,5 0,75 1 3 10 20 40 оо
H*(t) 1 0,667 0,626 0,617 0,611 0,570 0,462 0,374 0,306 0,283
449
Предельное значение, как нетрудно видеть, совпадает с (Х.23).
Таким образом, в рассматриваемом случае полная степень релаксации
упругих напряжений такая же, как и в случае стационарной вынужден-
ной деформации, однако закон релаксации этих напряжений во време-
ни иной.
Упругие напряжения в бетонном брусе с защемленными торца-
ми, остывающем, например, по закону (Х.26) на То градусов, равны
(см. § IX.4)
o(t) = оТ0е(1 - е-^). (Х.28)
Следовательно, напряжения заменяющей упруго-мгновенной
задачи
o(t) = aT0E. (Х.29)
Поэтому полные напряжения в нем с учетом ползучести отыски-
ваются по формуле
o*(t) = aT0EH*(t), (Х.ЗО)
в которой H*(t) берется из выражения (Х.27).
Интересен случай, когда брус с защемленными торцами внезап-
но разогревается на То, а затем медленно остывает по закону
T(t) = e-pt (Х.31)
до первоначальной температуры. Соответствующий этому случаю ко-
эффициент приведения H*(t) найдем по формуле (Х.27), опустив в ней
члены, не содержащие р , и изменив знаки у оставшихся слагаемых
H*(t) = e-₽1 —(е-* -е-”'1)—^-(е^ -е-*'
P,-PV ' Р2-Г
(Х.32)
Упругие напряжения в брусе будут равны
0(t) = -aToEe-|,,, (Х.ЗЗ)
напряжения заменяющей упруго-мгновенной задачи
5(t) = -aT0E, (Х.34)
а полные напряжения с учетом ползучести
a’(t) = -aT0E е-₽| (е^‘ -e~₽'‘)-^Zp (е'₽* -е‘₽,')| • (Х.35)
Их предельное значение
a(oo)=o, (Х.36)
450
а характер изменения во времени зависит от соотношения р ри р 2 и р,
т.е. от соотношения скоростей релаксации напряжений и остывания
тела. При малых скоростях остывания бруса (р « Pi < р2) напряжения
c*(t), затухая во времени, сохраняют первоначальный знак; при боль-
ших скоростях остывания (Р » р2 > р1) вследствие относительного за-
медленного последействия возможна перемена знака напряжений с
последующим их полным затуханием. В этом случае мы имеем анало-
гию с действием импульса полной деформации, исследованного в §
VII.7 при выяснении физического смысла функции влияния R(t,i) (см.
рис. 74, б).
Теперь рассмотрим случай гармонической вынужденной дефор-
мации, при которой
T(t) = sincont. (Х.37)
Он возникает, например, при воздействии на защемленный бе-
тонный брус периодических колебаний температуры или влажности
окружающей среды. С учетом формул (Х.21) и (Х.37) в этом случае
найдем
H*(t) = sin(ont-2А1-2 (р, sin(ont-(on cos(ont+con e“p,t)-
p,+“n (X.38)
----Аз ? (p? sin<ont-<on cos<ont+a>„ e-₽,‘).
p2 +con
При достаточно большом t получаем асимптотическое значение
H*(t) == sincont-----------2A1 2 (p| siruont-(on coscont)-
pl+w„ (X.39)
---T-LT‘(P2sintont-“nCOS<0„t).
P2 + “n
Упругие напряжения в рассматриваемом брусе при изменении его
температуры по закону (Х.37) с амплитудой То и начальным разогре-
вом будут равны
o(t) = -aToEsincont. (Х.40)
Напряжения заменяющей упруго-мгновенной задачи определя-
ются формулой (Х.34), поэтому асимптотическое значение полных на-
пряжений с учетом ползучести
c*(t) = -aT0E [1- ^^'2 ~~ ]sinmnt+
451
+ C0,
А1 А2
2 9*9 9
Р I +с°п Р2 + Wn
COSCO-1
(Х.41)
Из формулы (Х.41) следует, что полные напряжения o*(t), так
же как и упругие напряжения o(t), изменяются по гармоническому за-
кону, но с иной амплитудой.
При T(t), заданном в виде
T(t) = coscont,
аналогичным образом найдем
H*(t) = COSCDnt-г-^-у
Р1 +wn
(р2 COSCDnt+ CDn sincDnt-p2e"p2t).
-(р! COSCDnt+CDn sincoj-p^ Р,‘
—у—^-(p2CoscDnt+cDnsincDnt-p2e р2‘)-
Р2 + “>п
При достаточно большом t
H*(t)« coscont--— (pt coso)nt+ con sincont)-
Pi +wn
(p2 COSCDnt+ con sincont).
(X.42)
(X.43)
(X.44)
A2
P2 +C02
Упругие напряжения в брусе при изменении его температуры по
закону (Х.42) с амплитудой То и начальным разогревом в этом случае
будут равны
o(t) = -aT0Ecoscont. (X.45)
Напряжения заменяющей упруго-мгновенной задачи по-прежнему
определяются формулой (Х.34). Асимптотические значения полных
напряжений
A1P1 A2p2
g (t)==-aT0E 1-------------------
Pl+CDn p2+COn
COSCO-1-
(X.46)
_( А1 | А2
V Р21 +W2n р22 +С02
Из этой формулы следует, что полные напряжения o*(t), так же
как и упругие напряжения (Х.45), изменяются по гармоническому за-
кону, но с иной амплитудой.
con sinco_t
452
Глава XI.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О
ТЕМПЕРАТУРНЫХ И УСАДОЧНЫХ
НАПРЯЖЕНИЯХ В БЕТОНЕ
При строительстве массивных бетонных сооружений часто наблю-
дается появление трещин, возникающих в них иногда даже до
приложения эксплуатационной нагрузки, например в амери-
канских плотинах Оуахи, Гренд Кули, Боулдер [297], а также в при-
скальных зонах в период строительства отечественных плотин Бухтар-
минской, Братской и Мамаканской ГЭС [2].
Типичные трещины иногда появляются также в бетонных и же-
лезобетонных конструкциях ряда промышленных сооружений (градир-
ни, резервуары, промышленные цехи и т.п.).
Причинами образования подобных трещин являются усадка бе-
тона и его температурные деформации, развивающиеся вследствие эк-
зотермии цемента, на величину которых оказывают также влияние из-
менения температуры и влажности внешней среды. При этом в немас-
сивных сооружениях главную роль играют усадка и внешние темпера-
турные воздействия, в то время как основной причиной образования
трещин в массивных сооружениях являются повышение температуры
бетона при его твердении от экзотермии и последующее понижение ее
при остывании затвердевшего массива, вызывающие значительные тем-
пературные напряжения. В таких сооружениях усадка может служить
лишь причиной образования неглубоких поверхностных трещин, кото-
рые впоследствии либо закрываются, либо развиваются уже от других
причин.
Температурные напряжения, возникающие в массивных соору-
жениях от экзотермии цемента и, в частности, в бетонных блоках, на
которые они разрезаются в процессе возведения, крайне нежелатель-
ны. Механизм их развития таков, что в начальный период, измеряе-
мый несколькими днями и характеризующийся значительным разогре-
вом блока, его ядро претерпевает температурные расширения, значи-
тельно превышающие деформации поверхностных слоев бетона, огра-
ничивающих блок. По этой причине ядро массива в период его разог-
рева оказывается сжатым, а наружные свободные слои бетона могут
453
испытывать растяжение. При некоторых условиях (массивный столб-
чатый блок, высокотермичный цемент, большое содержание цемента,
быстрое возведение) это может привести к образованию поверхност-
ных температурных трещин в бетоне, появлению которых способствуют
усадка его открытых слоев и колебания температуры внешней среды.
Так как неглубокие поверхностные трещины, появляющиеся в
раннем возрасте бетона, впоследствии при его остывании закрывают-
ся, то опасными являются только трещины, проникающие глубоко
внутрь бетонного массива.
В последующем наступает длительный период охлаждения мас-
сива, в течение которого более значительные деформации затвердев-
шего остывающего ядра, противоположные по знаку начальным тем-
пературным расширениям, вызывают перераспределение усилий в бе-
тоне. Наружные свободные слои, ограничивающие высокий столбча-
тый блок, оказываются сжатыми, а его ядро испытывает растяжение.
При известных условиях (значительный начальный разогрев в период
твердения, короткий период остывания, бетон с низкой ползучестью)
это может привести к образованию внутренних температурных трещин
в ядре массива и в совокупности с глубокими трещинами на поверхно-
сти - к его сквозному растрескиванию.
У низких вытянутых блоков, деформации которых стеснены ска-
лой или ранее изготовленными блоками, на которые они уложены, в
этот период могут возникать значительные растягивающие температур-
ные напряжения. Именно поэтому в прискальных зонах бетонных со-
оружений и наблюдается наибольшее число вертикальных температур-
ных трещин [2].
Для предупреждения растрескивания, а также из соображений
удобства работ массивное бетонное сооружение в процессе его возведе-
ния приходится разрезать на отдельные блоки и устраивать температур-
ные швы. Размеры блоков при этом назначаются в зависимости от про-
изводительности механизмов, изготовляющих и укладывающих бетон,
и из условий предотвращения появления трещин. Таким образом, при
высокой производительности бетонных работ оба эти условия вступа-
ют, в противоречие друг с другом, поскольку первое из них требует
увеличения размеров блока, а второе эти размеры ограничивает. Сле-
довательно, необходимо научно обосновать оптимальные размеры бе-
тонных блоков. Эта задача по существу все еще остается нерешенной с
достаточной полнотой. Размеры блоков обычно назначаются по про-
изводственным соображениям на основе существующего опыта и часто
не удовлетворяют второму требованию. Поэтому необходимо развитие
454
и совершенствование практических способов борьбы с образованием
температурных трещин в массивных бетонных сооружениях (примене-
ние специализированных низкотермичных цементов, искусственное
охлаждение бетона, специальные способы производства работ и т.п.).
Серьезные неприятности могут причинить температурные трещи-
ны в бетонных и железобетонных статически неопределимых конструк-
циях промышленных сооружений, вызываемые колебаниями темпера-
туры воздуха или технологическими причинами. Поэтому и здесь при-
ходится уделять большое внимание конструктивным мерам: устройству
температурно-усадочных швов, надлежащему армированию, выбору
рациональных конструктивных схем сооружений и т.п/
Исследованию температурных напряжений в бетоне посвящены
работы Б.Л. Абрамяна [1], автора [5, 18], Н.Х. Арутюняна [49-52],
А.В. Белова [62-65], П.И. Васильева [91-93], О.Е. Власова [123],
А.А. Гвоздева [107-109], К.И. Дзюбы [122], М.А. Задояна [129],
Е.А. Когана [157], М.М. Манукяна [187, 188], Г.Н. Маслова [189-
192], Ю.А. Нилендера [211-214], В.Г. Орехова [216, 217], Н.Я. Па-
нарина [219, 220], И.Е. Прокоповича [225, 226], А.Р. Ржаницына
[236, 237], М.И. Розовского [242] и многих других авторов.
Интересные исследования термонапряженного состояния элемен-
тов гидротехнических сооружений, в том числе и натурные, проведе-
ны в НИС Гидропроекта им. С.Я. Жука. Краткий обзор результатов
этих исследований, выполненных только за последние годы, дан
К.И. Дзюбой [122]. Эти исследования позволили сделать ряд важных
выводов и дать рекомендации, используемые при проектировании гид-
ротехнических конструкций и сооружений.
Усадочным напряжениям в бетоне также посвящено много ис-
следований, среди которых следует, в первую очередь, указать на ори-
гинальные работы Н.Х. Арутюняна [49], А.В. Белова [59-61],
А.А. Гвоздева [107, 109], Ю.А. Нилендера [211-214], Т. Пауэрса и
Т. Броунярда [328], Д. Пикетта [327], А.Р. Ржаницына [238],
И.И. Улицкого [269-271] и А.Е. Шейкина [279-281]. Широкое иссле-
дование усадки и усадочных напряжений в бетоне было проведено в
НИИЖБ [6-14, 17, 18].
В связи с актуальностью проблемы температурно-усадочных на-
пряжений в бетоне необходимо уточнение и совершенствование надеж-
ных методов их расчета, учитывающих в полной мере изменчивость во
времени его физико-механических свойств и ползучесть. Поэтому раз-
витие эффективной теории температурно-усадочных напряжений, под-
крепленной экспериментом, по-прежнему является важной задачей,
455
решение которой связано с большими трудностями из-за отсутствия
надежных приборов для непосредственного измерения напряжений в
бетоне, что осложняет прямую экспериментальную проверку этой теории.
Ниже на основах линейной теории упруго-ползучего тела при уточ-
ненных выражениях для наследственных функций бетона и в соответ-
ствии с рекомендациями, изложенными в главах VII и X, рассмотрены
ряд одномерных и плоская задачи о температурных напряжениях в бето-
не. При указанных условиях исследованы температурные напряжения
и деформации в бетонных брусьях, полубесконечном слое (бесконеч-
ном полупространстве) и бетонном блоке на основе соответствующих
задач, рассмотренных в главе VI.
§ XL 1. НЕКОТОРЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ О
ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ В СТАРОМ БЕТОНЕ С
УЧЕТОМ ЕГО ПОЛЗУЧЕСТИ
В начале исследуем составляющую напряжений в бесконечном
полупространстве, вызываемую изменениями его температуры по за-
кону (IX. 10), соответствующему гармоническим колебаниям темпера-
туры поверхности слоя. Упругие напряжения в слое при этих условиях
мы нашли в § IX. 1 равными (IX. 11) или, что то же,
o(t,z) = O|(t, z) + o2(t, z) = eA'1 e~x,,z sink nzE(t) coscd n I-
'-v (XI. 1)
- aAn e“K-zcosX„zE(t)sinco„t.
1-v
Полные напряжения с учетом ползучести бетона и принципа на-
ложения воздействий будут равны
o*(t,z) = O|(t,z)H* ((лП + оз^^Нз (t,4), (XI.2)
(XI.3)
где a, (t, z) и а2 (t, z) — напряжения соответствующих заменяющих упру-
го-мгновенных задач
Oi(t,z) = ^An E(t)e~M sjnxnz;
o2(t,z) = - E(t)e“X"z cosXnz,
1-v
где H* (t, Tj) и H 2 (t, г,) — коэффициенты приведения этих напряжений,
определяемые по формуле (Х.7) для двух случаев T(t), соответственно
равных
456
Tj(t) = coscont; T2(t) =sinco(1t. (XI.4)
Таким образом,
И, (t,Tl) = coscont-jcoscon TR(t,T)ck; (XI.5)
т,
H2 (t,T1) = sincollt-jsincon TR(t,T)dT . (XI.6)
T,
Входящая в эти формулы наследственная функция второго рода
R(t, т) определяется по формуле (VII. 146) или с помощью таблиц при-
ложения VII.
Для случая годовых гармонических колебаний температуры по-
верхности слоя с амплитудой Ап = 18° и периодом Т = 8640 ч (соп =
0,7272-10’3 1/ч) при а = НО'5 град1; v = 0,25; ат = ЗЮ’3 м2/ч, т.е. при
Лп = 0,3482 м'1 и т, = I сут. были рассчитаны упругие и полные (с
учетом ползучести) напряжения в слое для бетона, характеризуемого
параметрами (Х.13) и (X. 14).
Вначале с помощью табл.41 и таблиц приложения VII для R(t,r)
вычислялись интегральные члены в формулах (XI.5) и (XI.6). При этом
интервал времени t — т, разбивался на неравные промежутки (начиная
от t) с шагом 0,1 сут., затем с шагом 0,3; 0,5 и 1 сут.
После этого вычислялись коэффициенты Н| (цт^иНг (На-
значения этих коэффициентов, найденных таким способом, приведе-
ны в табл. 44, где даны также значения модуля E(t).
Далее по формулам (XI.3) при E(t) = 1 вычислялись упругие от-
носительные напряжения aj(t,z) и o2(t,z) (табл. 45). После этого по
формуле (XI.2) были найдены полные напряжения в слое o*(t,z).
На рис. 106 показаны эпюры упругих и полных напряжений в
слое, найденных с учетом ползучести. Как видно из рисунка, ползу-
честь бетона, особенно в раннем возрасте, приводит к существенному
снижению температурных напряжений.
Рассмотренная задача в общем виде для старого бетона на основе
теории наследственности была решена А.Р. Ржаницыным [236]. Здесь
получено ее решение по теории упруго-ползучего тела Г.Н. Маслова —
Н.Х. Арутюняна на основе нового аналитического выражения для C(t, т)
в форме (VII. 133) для стареющего бетона с переменным модулем упру-
гости.
Исследуем теперь напряжения в защемленном по торцам бетон-
ном брусе старого возраста высотой 2z0 при вынужденной деформации
451
(Х.26), соответствующей, например, его равномерному остыванию или
высыханию при температуре или соответственно эффективной влаж-
ности бетона, изменяющихся во времени по этому закону до предель-
ной величины То (см., например, § XI.5).
Принимая во внимание вторую из формул (IX.63), условия зада-
чи, а также формулы (IX.48), упругие осевые напряжения в брусе1 * най-
дем равными
с/ОаЕТ^-е-Р')- (XI.7)
Таблица 44
Модуль упругости и коэффициенты приведения Н* (t,T, )и Н* (t,T,)
упругих напряжений заменяющей задачи
t в сут. E(t) 10'4в МПа Н* (t,T.) Н; (t,x,)
• 2 0,8788 0,135550 0,007030
6 1,8446 0,062411 0,021353
10 2,2686 0,047943 0,045944
20 2,5578 0,012732 0,092525
40 2,6000 —0,098716 0,164470
120 2,6000 —0,512600 0,096594
Таблица 45
Относительные упругие напряжения (при E(t) = 1) o,(t,z) и o2(t,z)
z, м a,(t,z) o2(l,z)
0 0 24
0,5 3,4926 19,8605
1 5,7813 15,9274
2 7,6724 9,1772
3 7,3033 4,2416
5 4,1464 -0,7127
10 -0,2464 -0,6956
20 0,01428 0,01763
1 Напряжения о x(t), как нетрудно убедиться с помощью первой из формул
(IX.63), тождественно равны нулю.
458
Рис. 106. Напряжение в бетонном слое при гармоническом изменении темпе-
ратуры его поверхности:
1 - упругие напряжения; 2 — полные напряжения с учетом ползу-
чести.
Напряжения заменяющей задачи
йу(0=аЕТ^. (XI.8)
Коэффициент приведения H*(t), соответствующий случаю
(Х.26), был найден в § Х.4 и равен (Х.27). Таким образом, полные
напряжения в брусе с учетом ползучести будут равны
о* (t) = aT0E
Pi
)_Л2.(1_е-1М
Р2
+ _Л_(е-₽| _£-<>.•)+-e-w
P>-₽V ' P2-₽V
(XI.9)
Их предельное значение совпадает с (Х.23) и при значениях па-
раметров (Х.24) для «среднего» бетона составляет всего 28,3% предель-
ных значений упругих напряжений (XI.7).
Из формулы (XI.9) следует, что при весьма большом 0, т.е. в
случае, например, внезапно возникающего температурного перепада
полные напряжения равны
< (t) = aT0E
Pi Рг
(XI.10)
459
Рис. 107. Напряжения в защемленном бетонном брусе при его равномерном
разогреве по экспоненциальному закону:
1 — упругие напряжения; 2 — полные напряжения с учетом ползу-
чести.
Их предельное значение равно (Х.23) и при значениях парамет-
ров (Х.24) для «среднего» бетона составляет те же 28,3% предельных
значений упругих напряжений (XI.7).
На рис. 107 показаны кривые упругих и полных напряжений в
рассматриваемом брусе, рассчитанные по формулам (XI.7) и (XI.9) при
а — 110’5 град *; То = 18°С; 0 = 0,206 сут.1, Е = 2,6Ю4 МПа и значени-
ях параметров Ар А2, Р ( и Р 2 (VII.24) резольвенты R(t,x) для старого
бетона.
Как видно из рис. 107, ползучесть бетона не только существенно
снижает величины температурных напряжений, но и изменяет харак-
тер их развития во времени. Если упругие напряжения монотонно воз-
растают, стремясь к некоторому пределу, то полные напряжения, воз-
растая, проходят через свой максимум, а затем начинают релаксиро-
вать, постепенно затухая во времени.
§ XI.2. НАПРЯЖЕНИЯ В БЕТОННОЙ ПЛИТЕ ОТ
ЭКЗОТЕРМИИ ПРИ УЧЕТЕ ИЗМЕНЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
НАРУЖНОГО ВОЗДУХА
Исследуем с учетом ползучести температурные напряжения в за-
мыкающем блоке-плите толщиной 2z0 = 2 м перекрытия отсасывающих
труб (или водоприемных отверстий) гидростанции (рис. 108), разви-
вающиеся в нем от экзотермии и последующего остывания.
Распределение температуры в плите с учетом изменения темпе-
ратуры наружного воздуха было найдено в примере § 1.16 и определяет-
ся формулой (1.213).
460
Рис. 108. Схема очередности бетонирования отсасывающих труб гидростан-
ции: 1 — забетонированная часть сооружения; 2 — замыкающий
блок-плита; 3 — опалубка.
Упругие температурные напряжения в плите найдем в соответ-
ствии с указаниями § IX.5 по формулам (IX.63) § IX.4, имея в виду, в
силу условий симметрии, полное защемление ее торцовых граней у =
const в ранее уложенные смежные блоки перекрытия. Грани плиты х =
const будем считать свободными от закреплений.
Расчетные изменения температуры плиты с учетом формулы
(1.213) равны
®(z,t) = <p(t)-<p(T,) + [T(t)-T(Tl)]F(z), (XI.I 1)
где т, - возраст бетона, начиная с которого в нем могут развиваться
температурные напряжения, отсчитанный с момента окончания бето-
нирования плиты. Учитывая большие сроки схватывания портландце-
ментов и некоторую их условность, примем т, равным одним суткам.
С помощью формул (1.214), (IX.48) и (XI.11) для погонного метра
ширины плиты имеем
N(t) = |[<p(t) - <р(т, )]2z0 + [T(t) - Т(т, )]2sln_azo I (Х[ j
1-v [ a J ' '
M(t) = ^^[Т(О-Т(т,)]11 (sinaz0 -az0 cosaz0).
1-v a2
И, далее, с учетом формул (IX.63), (XI. 11) — (XI. 13),
следующие выражения для упругих напряжений в плите
ax(t) = ^[T(t)-T(z1)}|/l(z);
1-v
Gy(t) = C<,y) (t)+C<2y’ (t) = ^^[T(t)-T(r!)}|/2(z)-
-aE(t)[<p(t)-<p(T|)l
(XI. 13)
находим
(XI. 14)
461
где
, 4 sinazft 3e /. _
Vi (z) = —-----+ — (sina z0 -
azo (azo)2
— -F(z);
zo )
, x vsinazft 3ve ( . _
V2 (z) = —-------+ Z" V (SIna z0 -
ozo (az0)2
- az0 cosaz0
-az0cosaz0
2z0 - толщина плиты, а
F(z) = cos a z + Esina z.
(XI.15)
(XL 16)
Напряжения заменяющей упруго-мгновенной задачи будут равны
a (0 = ^% (z); 5y(t) = a® (t) + c(2) (t), (XI.17)
1-v J
где
5"y (t)-7~’l'z(z): 5<2у W = -aE(t). (XI. 18)
Полные напряжения в плите с учетом ползучести по принципу
наложения воздействий найдем по формулам
°х (0-ax(t)H, (XL 19)
a’y (t) = c(ly (t) Hl (t,t,) + a<2) (t) H’2
предварительно вычислив коэффициенты приведения Н] (г,Т|)иН2 (t,Tj)
по выражению (Х.7) для двух случаев T(t), входящих в формулы
(XL 14), а именно для
Т,(t) = T(t) -T(Tl); T2(t) = <p(t) -ф(т,). (XL 20)
Входящие сюда значения Т( т,) и Ф (т,) равны
T(tj) = 21,8° С; ф(т!) = 5,685°С, (X1.2 1)
а текущие значения Ф (t) и T(t) берутся из табл. 13 и 19.
Графики функций T,(t) и T2(t) приведены на рис. 109, в табл.
46 даны их некоторые значения, необходимые в дальнейшем.
' Для вычисления интегралов (Х.16), входящих в формулу (Х.7) и
соответствующих функциям T,(t) и T2(t), воспользуемся методикой,
изложенной в § Х.2.
462
Разбивая кривые T((t) и T2(t) на характерные участки, удобные
для применения таблиц приложения VII, принимая во внимание дан-
ные этих таблиц и пользуясь формулами табл. 41, найдем значения
коэффициентов приведения Н, (t,Tj) и Н*2 (t, т,) для двух моментов вре-
мени наблюдения: t = 4 сут., соответствующего наибольшему разогреву
плиты от экзотермии, и t = 120 сут. после ее длительного остывания.
Ниже в качестве примера приводится порядок вычисления коэффици-
ента н, (1,-q) для! = 4сут.
Разбивая промежуток (t-ij) на четыре интервала 4 - 3,8; 3,8 -
3; 3 - 2 и 2 — 1 сут., заменяя непрерывную кривую T((t) кусочно-
ломаной, составленной из прямых, а кривую R(t,x) — кусочно-лома-
Таблица 46
Значения функций T((t) и Т2 (t) в град, для некоторых моментов времени
наблюдения t
Рис. 109. Графики функций TJt) и T2(t): а — функция T(t); б — функция Ф (О-
463
ной, составленной из ветвей квадратной параболы, вычисляем после-
довательно интегралы JТ, (т) R(t, т)с!т с помощью формулы последней
Т,
строки табл. 41
Jt,(т)R(t,T)dt = |2 q’2-o)[о,884824x10,30(3 0,1-0,1)0,1 +
(Дт, —Дт, — 0,1 сут.)
+ 2,083471 0,22 (10,3 +10,485)+ 5,64944 10,485(3 • 0,1 - 0,1 )0,1] = 5,16526град.
Аналогично находим
3,8
j’Tl(T)R(t,T)dr = 2,25914град,
3
3
j Т, (т) R(t, r)dr = 1,024857 град,
2
2
j Т, (т) R(t, T)dT = 0,258445град.
1
Поэтому
4
J Т, (т) R(t,T)dT = 5,16526+ 2,25914+1,024857 + 0,258445 = 8,707702град.
I
Далее, с учетом (Х.7), находим
Н* (1,1!) = 10,485-8,707702 = 1,777298град.
Итак, при t = 4 сут.
Н; (t,Tj) = 1,777298град. (XI.22)
Аналогично найдем
при t = 4cyr. Н2 (t,.!]) = -0,253103 град; (XI.23)
при( = 120 сут.
KJ (t,т!) = -6,449986град; Н*2 (t,^) = -2,05785град. (XI.24)
В табл. 44 даны значения модулей упругости E(t) для «среднего»
бетона, вычисленных по формуле (VII.63) при параметрах (Х.13), а в
табл. 47 — значения функций V , (z) и V 2(z) для ряда характерных точек
плиты, найденные с учетом формул (XI. 15), (XI. 16) и табл. 20 при
464
а= 110 5град v = 0,25. (XI.25)
Наконец, в табл. 48 даны значения упругих напряжений заме-
няющей задачи о(у (t), а(2у (t) и ах (t) , найденных с помощью формул
(XI. 17) и (XI. 18), табл. 44 и 47 с учетом (XI.25) для двух выбранных
моментов времени.
На рис. ПО показаны эпюры упругих ox(t),oy(t) и полных
о* (0, Оу (0 напряжений в плите, найденных по формулам (XI. 19) с
учетом (XI.22) — (XI.25) и данных табл. 48, в рассматриваемые мо-
менты времени.
Из рис. 110 следует, что плита в направлении оси Оу вследствие
закрепления граней у = const вначале испытывает сжатие почти по все-
му сечению, а затем, после длительного остывания, — существенное
растяжение. В направлении оси Ох напряжения в плите знакоперемен-
ны, самоуравновешены и незначительны по величине. Ползучесть су-
щественно снижает напряжения оу(0, но в конце периода остывания
плиты эти растягивающие напряжения все же довольно велики, что
может привести к сквозной трещине в обычно более слабом шве сопря-
жения с ранее уложенными блоками.
§ XI.3. НАПРЯЖЕНИЯ В БЕТОННЫХ БЛОКАХ ПРИ ИХ
РАЗОГРЕВЕ ОТ ЭКЗОТЕРМИИ
Воспользуемся решениями задач § IX.6 и § IX.7 об упругих на-
пряжениях в массивных бетонных блоках для приближенной оценки с
учетом ползучести температурных напряжений, развивающихся в них
вследствие экзотермии. Будем иметь в виду лишь первое слагаемое
формулы (IX. 125), соответствующее изменению средней температуры
блока при его разогреве, положив для определенности
Ф(0 = agT(t) =TI(t) = T(t)-T(iI)
и приняв T((t) по рис. 109 и табл. 46 при т, = 1 сут.
Таким образом, речь идет об оценке основной составляющей пол-
ных напряжений в блоке, вызываемой изменением его средней темпе-
ратуры, подобным изменению температуры массивной плиты, рассмот-
ренной в § 1.6 и § XI.2.
465
Таблица 47
Значения функций V ,(z) и V 2(z) в отдельных точках плиты
Z, м -I -0,6 -0,2 0 0,2 0,6 1
Vi(z) 0,45657 0,016301 -0,21047 -0,23240 -0,19453 0,035999 0,40263
V2(Z) -0,31238 -0,67535 - 0,82482 -0,80810 -0,731583 -0,423750 0,020183
Примечание. Нижняя грань плиты z =— z0 утеплена опалубкой; верхняя грань
открыта.
Таблица 48
Напряжения в (МПа)10/град заменяющей упруго-мгновенной задачи
в отдельных точках сечения плиты
z, м -1 -0,6 -0,2 0 0,2 0,6 1
| t=4 сут S'” (t) -0,60768 -1,31378 -1,60455 -1,57202 -1,42317 -0,82433 0,039262
S<2’ (t) -1,45900
°x(t) 0,88818 0,031711 -0,40943 -0,45209 -0,37842 0,070030 0,78325
£ о II s'” (t) -1,08292 -2,34122 -2,85938 -2,80142 -2,53616 -1,46900 0,069968
S'2’ (t) -2,60000
Sx(t) 1,58278 0,056510 | -0,72963 | -0,80565 -0,67437 | 0,12480 | 1,39579
6X (£),(МПа>/0
t» 4 cum. t = 120cym. t • 4c.ym. t • 120 cjjm.
(l,39Z) 8,212 (-9,003) -32,208 (0,439) 1,790 (4,899) 38,126
(0,124)- I 0,734 (-0,80s№ Ь" (-1,096) h 1 -7,264 (14J25) \ \ \ 73z63o\
(-0,672) (~0,804) (~0,728) T-3,968 J-4,740 {-4,W3 (4,350) (5,196) (4,706) j—1 18,590 M16,836 (-2,760) (-2,425) (-2,482) 1 -1 1 П -73,543 (21,709) -15,704 (23,419) -75,445(23,793) * 98,263 \ I 104,384 \ | 105,721 I । /
(O,0564) r (-0,364)/ /1 -1,304 -36,523 (‘1,966) (-0,718 A -12^96(20,457) -4,993 (12^35) 1 93,765 / 1 / / /
Рис. ПО. Эпюры нормальных напряжений в плите через 4 и 120 суток после
бетонирования (цифры без скобок — упругие напряжения, цифры в
скобках - напряжения, рассчитанные с учетом ползучести).
466
Ограничимся рассмотрением блока с торцами, закрепленными
от тангенциальных смещений, изученного в § IX.6. Аналогично всегда
могут быть исследованы и напряжения в блоке со свободными торцами
(§ IX.7).
Упругие напряжения в блоке найдем умножением ординат эпюр,
изображенных на рис. 105, а на aE(tjT(t)—Т(т,)], приняв а=110-5град1,
E(t) по табл. 40 и Т, (t) = T(t) -TCij) в соответствии с данными табл. 19
и 42. Выполнив это, найдем:
при t = 4 сут.
ax ata = a y(tta = -1 • 1-10'5 • 1,459-104 10,485 = -15,298МПа-10;
4=о 4=±i
5х(ф=0 = а ata =-11Ю-5 1,459 104 = -1,459^^,
4=0 у М=±1 град
при t = 120 сут.
axata = avata =-1-1 10'5-2,6 104 (-23,075) = 59,995МПа-10;
5=0 4=±|
5xa^=0 = cya)|n=o =-11-10~5-2,6104=-2,6МПа'0. (Х1'28)
4=0 у 4=±| град
Коэффициенты приведения Hj (t,^) напряжений заменяющей
упруго-мгновенной задачи, соответствующие T^t), были найдены в
§ XI.2 равными (Х1.22) и (XI.24). Умножая напряжения, (XI.27) и
(XI.28) соответственно на эти коэффициенты, найдем следующие зна-
чения полных напряжений в рассматриваемых точках блока:
при t = 4 сут.
a* ata = < (oL=o =-1,459 1,777 =-2,593 МПа 10; (XI.29)
4=о 4=±i
при t = 120 сут.
о* (t)L0 =о*у (t)L0 ®-2,6-(-6,45) = 16,77 МПа-10. (XI.30)
4=о 4=±i
Сравнивая эти напряжения с упругими напряжениями, видим,
что ползучесть приводит к существенной релаксации температурных
напряжений от экзотермии, особенно в бетоне молодого возраста. При
длительном остывании блока напряжения °х (О п=о ис4 (0л=0 меняют
4=о 4=±i
467
знак и становятся растягивающими. Их величина довольно велика, так
что даже при благоприятном действии ползучести возможно появление
сквозной вертикальной трещины по середине блока и его отрыв от ос-
нования в приторцовых зонах. Сказанное относится и к блоку со сво-
бодными торцами (§ XI.7), поскольку эпюры напряжений ох (t) и oy(t)
в нем весьма схожи с эпюрами этих напряжений в рассмотренном блоке.
§ XL4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДО-
ВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В БЕТОНЕ
Для экспериментального изучения температурных напряжений в
бетоне были поставлены специальные опыты с призматическими бру-
сьями (блоками), жестко защемленными по торцам, с заданным тем-
пературным режимом. Таким образом, в опыте искусственно создава-
лись условия наиболее простой одномерной температурной задачи.
Вначале такие опыты были приведены на блоках из бетона старого воз-
раста в условиях их растяжения [40].
Жесткая заделка блока осуществлялась с помощью специальной
рычажной установки.
Заданный температурный режим создавался специальной цирку-
ляционно-нагревательной системой с насосом и регулированием тем-
пературы водяной ванны, в которой во время опыта находился блок.
Блок с призматической частью 25x50x140 см имел форму восьмер-
ки. Для создания простых граничных условий защемления по торцам
он укладывался на пружинное основание в виде «матраца», не препят-
ствующее его смещениям. Опалубка боковых граней призматической
части блока набиралась из отдельных досок, удаляемых перед заливкой
ванны. В процессе испытания блока производилось измерение: тем-
пературы его отдельных точек, усилий в нем и деформаций его призма-
тической части.
В опытах была избрана наиболее простая схема испытания бло-
ка, а именно: равномерный разогрев блока до заданной температуры
без ограничения деформаций и последующее его остывание при полно-
стью стесненных деформациях. Неизменность длины блока в процессе
охлаждения обеспечивалась периодическими догрузками (подтяжками)
блока с помощью рычажной системы; величина этих догрузок опреде-
лялась по тарировочным данным рычагов.
Состав бетона для блоков и контрольных образцов-близнецов
1:1,9:3,18, В/Ц = 0,6 на портландцементе активностью 59 МПа. Проч-
468
ность бетона в среднем оказалась равной: 39 и 40 МПа соответственно в
блоках № 1 и № 2.
Для сопоставления экспериментальных и теоретических значений
температурных усилий в блоках необходимо было располагать сведения-
ми о физико-механических свойствах исследуемого бетона. С этой це-
лью было проведено исследование: ползучести и релаксации напряже-
ний при растяжении, предела прочности при сжатии, осевом растяже-
нии и растяжении при изгибе, модуля упруго-мгновенной деформа-
ции при растяжении. Эти свойства изучались на контрольных образ-
цах-близнецах, находящихся в ванне вместе с блоком и проходящих
тот же цикл разогрева. Перед запиранием блока в рычажной системе
образцы извлекались из ванны и после остывания до комнатной темпе-
ратуры подвергались соответствующим испытаниям.
Основные результаты испытаний бетонных блоков приведены в
табл. 49. На рис. 111, 112 и 114 результаты испытания одного из
блоков (№ 2) изображены графически. Разогрев и охлаждение по се-
чениям и по длине блока были равномерными, потому на рис. 111
показана лишь одна кривая температуры для блока в целом, построен-
ная по средним из показаний термопар, заложенных в блок.
На рис. 112 показаны графики изменения во времени усилий,
передаваемых тягами на блок, продольной силы и изгибающих момен-
тов в нем, развивающихся в период его охлаждения в условиях стес-
ненной деформации. На этом рисунке Мх - момент относительно го-
ризонтальной, а Му - относительно вертикальной оси поперечного се-
чения блока.
Таблица 49
Основные результаты испытания бетонных блоков
№ блока Возраст к началу разогрева в сут. Разогрев Остывание Усилия и напряжения в блоке в конце опыта
Продолжи- тельность в ч (ДТ)тах в град S е- м Продолжи- тельность в ч (ДТ)тах в град NbTc Мх в кгс м Му в кгс м о краевое в МПа 10 оСр в МПа 10
1 19 49 37,8 57,4 166 34,3 17,7 30,2 45,6 15,0 14,1
2 21 67,5 42,5 60,5 336 41,8 19,2 54,4 77,6 17,4 15,4
469
Результаты наблюдений за температурой отдельных точек блока и
его деформациями во время разогрева позволяли определить величину
коэффициента линейного расширения бетона.
Она оказалась в среднем равной а = 1 • 10-5 град-1. Наблюдение за
бетонными блоками во время их остывания позволяло к данному мо-
менту времени получить следующие экспериментальные данные: 1) сред-
нюю температуру оси блока; 2) относительную осевую деформацию блока;
3) продольную силу в блоке или соответственно температурные напря-
жения в нем; 4) фактический модуль деформации блока на отдельных
ступенях его догружения (подтяжки); 5) предел «длительной» прочнос-
ти бетона на растяжение в условиях водяной ванны, прошедшего цикл
значительного (до 60°С) разогрева и охлаждения.
Изменения средней температуры оси блока № 2 в процессе его
разогрева и охлаждения приведены на рис. 111. Ординаты дТ изоб-
раженной там расчетной кривой, отсчитанные от горизонтальной пун-
ктирной прямой, соответствующей абсолютному значению средней тем-
пературы блока в момент его закрепления, определяют кривую измене-
ний температуры блока при его охлаждении, начиная с этого момента
времени. Будучи умноженными на соответствующую величину коэф-
фициента линейного расширения бетона, ординаты этой кривой дают
свободные температурные деформации при остывании блока, которые
Рис. 111. Кривая изменений средней температуры блока № 2 в процессе его
разогрева и остывания и схема размещения термопар в сечении блока:
1 — температура блока в момент его запирания; 2 — принятая рас-
четная кривая.
470
О 43 96 144 192 240 288 336 384
Рис. 112. Усилия в тягах, продольные силы, изгибающие моменты и действи-
тельная осевая деформация блока № 2 на периоде его остывания.
471
возникали бы, если бы блок не был закреплен от деформаций. Эти
деформации и были положены в основу определения теоретических
значений температурных напряжений в блоке. Для этого они аппрок-
симировались выражением
E(t - т,) = в|1 -’]+ Asin2^ Т|), (X1.31)
Д10
причем
В = 51,4-10-5мм/мм; А = 4-10 5мм/мм;
Р = 0,073 сут."1; At0=12cyr.; Т|=2,81сут.
Экспериментальные значения температурных напряжений в бло-
ке находились делением продольной силы в нем к данному моменту на-
блюдения на площадь его поперечного сечения. Температурные изги-
бающие моменты вследствие их малости не учитывались1. Найденные
таким образом значения напряжений, отнесенные к серединам интер-
валов между двумя догружениями блока, изображены графически на
рис. 114 в виде пунктирных кривых 3 и соответствующих эксперимен-
тальных точек.
Модуль деформации растяжения блока находился как частное от
деления приращения напряжений в нем на приращение его осевой де-
формации на каждой ступени догружения.
За расчетное значение модуля деформаций блока была принята
его величина, соответствующая 15-минугной ступени догружения бло-
Деформация после 3 суток б °/о
Усилия в блоках, при кото-
рых произошел их разрыв, позво-
лялй найти предел прочности при
Рис. ПЗ. Ползучесть бетона различ-
ной влажности при раз-
ных температурах. Опы-
ты А. Тэйера: 1 — «су-
хой» бетон; 2 — «полусу-
хой» бетон; 3 — «влаж-
ный» бетон;
о — R = 200 кгс/см2;
• — R = 480 кгс/см2
Краевые напряжения, найденные с учетом этих моментов (см. табл. 49),
отличались от средних напряжений, вычисленных без их учета, не более
чем на 7%.
472
растяжении исследуемого бетона в горячей воде. Для блока № 1 этот
«длительный» предел прочности на растяжение оказался равным
сгр = 1,41 МПа , т.е. в 2,12 раза меньшим, чем кратковременная проч-
ность контрольных образцов горячего хранения, испытанных на возду-
хе при комнатной температуре. Соответственно для блока № 2
ар = 1,54МПа и орк = 3,75 МПа , т.е. для него о р было в 2, 4 раза мень-
ше о .
р.к
Влияние температуры в пределах до 100°С на ползучесть обычных
бетонов изучалась в опытах К. Ли [320], А. Тэйера [352], и И. Сера-
фима [350]. Результаты этих опытов показывают, что скорость дефор-
мации ползучести существенно зависит от температуры среды, особен-
но в моменты времени, близкие к моменту загружения [352].
Представляющие наибольший интерес опыты А. Тэйера (рис.
113) вместе с тем содержат и некоторые противоречия. Как видно из
рис. 113, при одних и тех же температурах «влажные» образцы претер-
певают большие деформации ползучести, чем «сухие», и меньшие, чем
«полусухие».
Несмотря на известную противоречивость этих опытов, можно
все же на основании их с уверенностью сказать, что повышение темпе-
ратуры мокрого бетона даже в незначительных пределах существенно
увеличивает скорость его ползучести, а следовательно, и абсолютные
значения деформаций ползучести на ограниченном интервале времени
их наблюдения. Так, по данным А. Тэйера, ползучесть образцов при
повышении температуры бетона от 10 до 50°С за трое суток наблюдения
увеличилась в 10,5 раза (образцы с R = 20 МПа) и в 2,6 раза (образцы
с R = 48МПа). В среднем образцы с R = 41,5 МПа, т.е. с R, близким
к наблюдаемому у бетона блока № 2, в соответствии с изложенным
должны были бы увеличить свою ползучесть в 4,4 раза (по линейной
интерполяции).
Действительно отношения полных удельных начальных кратко-
временных деформаций горячего образца в ванне и холодного образца
при комнатной температуре, обратное отношению модулей этих дефор-
маций, у сравниваемых образцов составляли: для блока №11^= 4,152;
для блока № 2 к2 = 4,261, т.е. были весьма близки к коэффициенту
увеличения ползучести горячего влажного бетона в опытах А. Тэйера,
равного 4,4.
Расчетные теоретические значения температурных напряжений в
испытанных блоках к моменту времени наблюдения t находились по
формуле, аналогичной (VII. 18)
473
a*(t-x1) = Ecp e(t-T1)-f£(T-T1)R(t-T)dT ,
(XI.32)
в которой
Ecp — расчетный модуль деформации растяжения блока;
e(t - Т]) — расчетная вынужденная деформация блока;
т j — момент времени, соответствующий закреплению блока.
При этом имелось в виду, что R(t, т), e(t — тj), о* (t - Т1) являют-
ся функциями лишь продолжительности опыта, так как последний про-
изводился на бетоне зрелого возраста, прошедшем разогрев. По этой
же причине модуль деформации Еср считался не зависящим от возраста
бетона.
Теоретические кривые температурных напряжений, рассчитан-
ные с учетом и без учета ползучести, изображены на рис. 114; на этих
же рисунках показаны экспериментальные (пунктирные) кривые на-
пряжений, измеренных в период остывания блоков. Между теорети-
ческими кривыми темпе-
ратурных напряжений,
рассчитанных с учетом
ползучести бетона, и эк-
спериментальными кри-
выми этих напряжений
имеется хорошее соответ-
ствие. Учет ползучести
приводит к существенно-
Рис. 114. Эксперименталь-
ные и теоретичес-
кие кривые темпе-
ратурных напря-
жений в блоках:
1 — теоретические
упругие напряже-
ния; 2 — теорети-
ческие напряже-
ния с учетом при-
веденной ползуче-
сти; 3 — экспери-
ментальная кри-
вая напряжений.
474
му снижению температурных напряжений в бетонных блоках в среднем
на 35%.
Интересны также и некоторые другие результаты описанных ис-
следований температурных напряжений в бетоне.
Прочность бетона на растяжение у восьмерок горячего хранения
и испытанных при комнатной температуре оказалась ниже, чем у соот-
ветствующих образцов-близнецов холодного хранения, всего на 18%.
Прочность же на растяжение бетонных блоков, испытанных не-
посредственно в горячей воде, значительно снизилась по сравнению с
контрольными образцами холодного хранения: у блока № 1 в 2,12 раза
и у блока № 2 в 2 ,4 раза.
Здесь мы имеем полное соответствие известным опытам А.З.
Басевича [57], К.А. Мальцева [184, 185] и Н.А. Мещанского [206].
Напомним, что снижение прочности на растяжение бетона, находя-
щегося в воде, составляло в опытах А.З. Басевича 2 — 2,2 раза, а в
опытах К.А. Мальцева - 1,87 - 2,14 раза.
Снижение прочности бетона при растяжении должно было на-
блюдаться при деформировании блока в ванне во время его догруже-
ний (подтяжек). Действительно, большое снижение модуля деформа-
ции растяжения, так же как и прочности при растяжении, отмечалось
у блоков, растягиваемых усилиями догрузок в горячей воде. Значения
этих модулей деформации у всех трех испытанных блоков были меньше
1 • 104 МПа и меньше модулей деформации контрольных образцов в сред-
нем в 4,3 раза.
Такое значительное снижение модуля деформации в горячей воде
было связано не только с указанным эффектом снижения прочности
бетона в воде, но и с существенным «размягчением» мокрого бетона
при повышении его температуры подобно тому, как это наблюдалось в
опытах К. Ли [320] и А. Тэйера [352].
Бетон исследуемых блоков в горячей воде обладал значительной
ползучестью, существенно превышающей по величине ползучесть кон-
трольных образцов холодного хранения. Это полностью согласуется с
опытами К. Ли и А. Тэйера. В исследуемом бетоне это увеличение
примерно составляло от 4,1 до 4,3 раза.
Развивающиеся при остывании бетонного блока в условиях стес-
ненной деформации температурные напряжения достигли прочности
бетона на растяжение и в двух случаях из трех привели к разрыву бло-
ков. В результате повышенной ползучести горячего бетона наблюда-
лось и существенное снижение температурных напряжений по сравне-
475
нию с их теоретическими значениями, найденными без учета ползуче-
сти. В среднем за 10 суток наблюдения оно составило 35%, т.е. при-
мерно было равно тому, что в обычном бетоне при комнатной темпера-
туре наблюдается на значительно более длительных интервалах време-
ни. Таким образом, ползучесть бетона играет важную роль, существенно
снижая температурные напряжения в нем.
В последующем аналогичные опыты были проведены и на бру-
сьях из бетона молодого возраста, защемленных по торцам при их ра-
зогреве и последующем остывании [37, 157]. В задачу эксперимента
входило создание в бетонном брусе переменного во времени темпера-
турного режима, обеспечение режима деформаций, близкого к усло-
виям полного защемления, и измерение возникающих при этом сред-
них по сечению бруса температурных напряжений.
Испытания выполнены на брусьях с поперечными размерами
50x50 см, длиной 210 см. Опыты проводили на специальных ревер-
сивных стендах [37].
Переменный во времени температурный режим, моделирующий
период экзотермического разогрева бетона на 15°С в течение первых 7 суг.
и период последующего его охлаждения со скоростью около ГС/сут.,
создавался с помощью специальной системы из термоопалубки, термо-
стата и насоса. В процессе воздействия переменной температуры под-
держивалась постоянной длина средней по длине зоны бруса, зафикси-
рованная, начиная с возраста бетона 0,75 — 1 сут. Для этого в период
разогрева бетона производилось постепенное сжатие бруса, а в период
охлаждения оно снижалось и затем переводилось в растяжение. Опыт
заканчивался разрывом бруса при средних растягивающих напряжениях
в нем, близких к Rp. Продольное усилие в брусе измерялось с помощью
стоечного динамометра.
Деформации бетона измеряли на всех четырех сторонах бруса, с
помощью восьми внешних деформаторов с базой 700 мм (И-700) и по
его оси - двумя струнными телетензометрами с базой 300 мм (БТ-300).
Температурный режим брусьев был близок к равномерному с от-
клонениями ± 0,5°С, что контролировалось дистанционными полупро-
водниковыми термометрами в 12 точках каждого бруса.
Было испытано три элемента, идентичных по составу бетона,
два из которых подвергались защемлению по торцам, а третий служил
эталоном для измерения и последующего исключения свободных тем-
пературно-усадочных деформаций бетона.
Исследования проводили на бетоне проектного состава для внут-
ренней зоны плотины одной из строящихся ГЭС. Прочность бетона
476
была 20 МПа в возрасте 180 сут., состав по массе 1:3,72:6,52; В/Ц =
0,56, расход пуццоланового портландцемента 215 кг/м3, максимальная
крупность гравия 100 мм. Физико-механические характеристики бето-
на этого состава были изучены в опытах на крупномасштабных образ-
цах. В соответствии с этими опытами зависимость модуля упругости
бетона от его возраста была аппроксимирована в следующей форме
Е(т) = Ео(1-0,2573с"0'006’1 -0,627е"°Л9651),
где Ео = 4,25-104 МПа — модуль упругости бетона в старом возрасте;
т — возраст бетона в суг.
Экспериментальные кривые удельных деформаций ползучести,
полученные в опытах на массивных образцах-близнецах, были аппрок-
симированы аналитической зависимостью в форме (VII. 131).
В опытах кривые C(t, т), по данным БТ-300 и И-700, для неко-
торых значений возраста бетона к моменту загружения несколько отли-
чались друг от друга, по-видимому, из-за естественного разброса экс-
периментальных данных. Для учета влияния этого разброса было рас-
смотрено два варианта кривых C(t, т), по данным БТ-300 и по средним
данным БТ-300 и И-700. Полные удельные деформации бетона в этих
двух вариантах отличались между собой не более чем на 10 - 15%. Фун-
кции <Р (т), д (т) и параметры Y, и а в выражении (VII. 131), по-
добранные для одного из вариантов C(t, т), представлены в табл. 50.
Результаты экспериментальных исследований для двух защемлен-
ных брусьев в целом оказались близкими. На рис. 115 в качестве при-
мера приводятся данные по одному из них. На верхнем графике рис.
115 показано изменение температуры бетона с момента бетонирования
бруса. На среднем графике приведены кривые деформаций бетона в
свободном брусе-эталоне е °(t) (кривая 1) и в защемленном брусе е (t)
Таблица 50
Функции Ф(т), д(т) и параметрыY , а формулы (VIL131)
по опытным данным
Вариант ф(т) 105 и А(т) 105 в (МПа)1; т в сутках У, (1/сут.) Аг а, (1/сут.)
Средние по БТ-300 иИ-700 <р(т) = 1,25 + 6,68е"°'218’ + 4,83е"°'°" Д(т) = 0,60+5,82е"°'246’т +1,45е"0'00975т 0,01 0,85 5
477
(кривая 2). Фактически е (t) не было равно нулю и, следовательно,
режим бруса несколько отличался от режима полного защемления. Для
учета этого обстоятельства полные вынужденные деформации в опытах
определяли как разность e(t)- e°(t). На нижнем графике рис. 115 пред-
ставлены экспериментальные величины напряжений в брусе (кривая
3). В период разогрева сжимающие напряжения росли со средней ско-
ростью 0,08 МПа на один градус изменения температуры и достигали
максимума на 7 - 8 сут. (0,91 -$-0,98 МПа). В период охлаждения бруса
приращение растягивающих напряжений на каждый градус изменения
температуры составляло в среднем 0,143 МПа. К моменту разрыва бру-
са (возраст бетона 18 — 21 сут.) максимальные растягивающие напря-
жения достигли значений 0,87 1,02 МПа. Прочность бетона при осе-
вом растяжении по контрольным испытаниям образцов различного раз-
мера составляла к этому времени 1 1,05 МПа.
Теоретическое определение напряжений в однооснонапряженном
брусе осуществлялось путем решения интегрально-дифференциального
уравнения линейной теории упруго ползучего тела по величине напря-
женных деформаций бетона E(t)-e°(t).
Полученные теоретические величины напряжений (рис. 115, в,
кривая 4) качественно достаточно хорошо соответствовали эксперимен-
тальным величинам напряжений. В табл. 51 приведено их численное
сопоставление отдельно для периода разогрева и периода охлаждения
бетона. В среднем для двух брусьев теоретические напряжения были
ниже экспериментальных на 19% на периоде разогрева бетона и на 15%
- на периоде охлаждения.
Таблица 51
Сопоставление теоретических значений температурных напряжений,
рассчитанных на основе теории упруго ползучего тела,
с экспериментальными данными,.
Номер бруса Наибольшие напряжения
сжимающие (период разогрева) приращение растягивающих на- пряжений (период охлаждения)
экспери- ментальные о э, МПа теорети- ческие о т, МПа Д,% экспери- ментальные о э, МПа теорети- ческие о т, МПа Д,%
1 0,91 0,69 24,2 1,78 1,46 18
2 0,98 0,845 13,8 2,0 1,75 12,5
Среднее 19,0 15,2
478
Возраст бетона в сут
Рис. 115.Результаты исследований напряженного состояния бруса:
а — температура; б — деформации; в — напряжения;
1 — свободный брус-эталон; 2 — защемленный брус; 3 — экспери-
ментальные данные; 4 — теоретические по основному варианту;
5 — теоретические с учетом KHn(t-x)Ha основе C(t,x) по данным
БТ-300; 6 — то же, на основе C(t, т) по средним данным.
479
Таким образом, на основе линейной теории упруго ползучего тела
получено практически вполне приемлемое соответствие эксперименталь-
ных и теоретических значений температурных напряжений. Занижение
1еоретических значений напряжений ненамного превышает обычно до-
пускаемые для бетона погрешности.
Группа возможных причин расхождения теоретических и экспе-
риментальных данных заключалась в различии условий, имевших место
в защемленных брусьях и в образцах, использованных в опытах по оп-
ределению меры ползучести бетона. Это различие заключается, во-пер-
вых, в повышенной температуре бетона в опытах с защемленными бру-
сьями и, во-вторых, в разных уровнях напряжений: более высокие на-
пряжения в опытах на ползучесть (в среднем 0,4), чем в защемленных
брусьях (до 0,2Rnp в период их разогрева).
Для учета различного уровня напряжений и связанного с этим
различия в степени нелинейности деформаций ползучести бетона были
проанализированы экспериментальные данные О.М. Попковой [41] и
Н.А. Колесникова [39] о нелинейности удельных деформаций ползуче-
сти бетона в области низких уровней напряжений сжатия ( q < 0,4Rnp).
По этим данным были получены значения характеристики нелинейно-
C(t,x)04R
сти Кнл=—— --------, в качестве средней была принята кривая
C(t, т)02Кир
Кнл (t - т), совпадающая с данными по двум сериям опытов: IV серии
опытов О.М. Попковой [41] и I серии опытов Н.А. Колесникова [39].
Используя полученные значения Кнл (t - т), величины удельных дефор-
маций ползучести бетона, полученные при о = 0,4Rnp, были приведе-
ны к уровню напряжений 0,2Rnp, близкому к напряжениям в защем-
ленных брусьях. На основе приведенных значений сС»т)о.2н1Т былипо-
иторно определены теоретические значения напряжений и деформаций
на основе C(t,i) в форме (VII. 131) по данным БТ-300 и по данным,
средним для БТ-300 и И-700. Расхождение результатов расчета по ука-
занным двум вариантам (рис. 115, в, кривые 5 и 6) определяет область
вероятных значений теоретических данных (эта область на рисунках за-
штрихована). Сопоставление полученных при этом результатов с экс-
периментальными данными позволяет отметить уже их хорошее соот-
ветствие, особенно для варианта на основе C(t,i) по данным БТ-300
(кривая 5). В этом варианте в среднем по двум брусьям расхождение
теоретических и экспериментальных данных не превышает 4 — 6%.
480
Таким образом, можно считать, что основной причиной отме-
ченного расхождения теоретических данных с результатами эксперимента
является различная степень нелинейности деформаций ползучести, в
большей степени проявившаяся в опытах по изучению простой ползу-
чести при более высоком уровне напряжения сжатия 0,4Rnp. Учет не-
линейности деформаций ползучести, выполненный приближенным
методом, позволил улучшить сходимость теоретических и эксперимен-
тальных данных.
§Х1.5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ УСАДОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В БЕТОНЕ
Экспериментальное изучение усадочных напряжений, развива-
ющихся в бетоне при его высыхании, проводилось на призматических
брусьях, жестко заделанных по торцам и гидроизолированных по боко-
вой поверхности. Тем самым в опыте были искусственно созданы ус-
ловия одномерной задачи осевых высыхания и усадки образца. Жест-
кая заделка образца производилась на специальной рычажной установ-
ке [17], изображенной на рис. 116. Усилия на брус передавались че-
тырьмя (с каждого торца) тягами, заделанными в образец на части его
длины. Таким образом, торцы бруса оставались открытыми для высы-
хания. Степень последнего в любой момент времени определяли взве-
шиванием на весах образца вместе с установкой. Поддержание посто-
янства длины образца контролировалось с помощью тензометров, а
необходимые для этого усилия определялись по тарировочным данным
рычагов. В ходе эксперимента на основании этих данных определя-
лись продольная сила и изгибающие моменты в образце, с помощью
которых затем рассчитывались усадочные напряжения в нем.
По мере развития усадки, обнаруживаемой по изменению пока-
заний тензометров, укоротившийся образец принужденно возвращал-
ся к своей первоначальной длине, тем самым погашалась усадочная де-
формация. С течением времени усилие, необходимое для этого, про-
грессирующе возрастало и, в конце концов, становилось равным раз-
рывному усилию в данном возрасте бетона. В этот момент образец
разрывался.
Параллельно испытывались также образцы-близнецы в условиях
одномерных (осевых) высыхания и усадки без ограничения деформа-
ций. Эти образцы имели те же размеры и однотипную гидроизоля-
цию, но не испытывали препятствий свободной усадке. Взвешивани-
481
Рис. 116. Установка для экспериментального изучения усадочных напряже-
ний в бетоне:
1 — испытуемый образец; 2 — поддерживающие образец рамки; 3 —
постамент; 4— рабочие тарированные рычаги; 5— рычаги; 6— рас-
порка; 7 — тяги; 8 — рамки для крепления подвесок; 9 — ножевые
опоры; 10 — крючья, заделанные в образец; 11 — мессуры.
ем образцов и наблюдением за их деформациями устанавливались связь
между усадкой и изменением влажности бетона и ход свободной усадки
во времени, необходимые для теоретического рассмотрения напряжен-
ного состояния от усадки в рабочих образцах.
Ползучесть бетона при растяжении изучалась на бетонных при-
змах сечением 5x5 см. До начала испытания образцы хранились гидро-
изолированными по боковой поверхности надлине, равной 21 см, а
также на некоторых участках вблизи их торцов.
У концов призм имелись участки, по площади равные площади
торца и не имеющие гидроизоляции, через которые проходило высы-
хание образцов. Указанная методика хранения призм моделировала ха-
рактер высыхания, аналогичный высыханию основных рабочих образ-
цов. Перед загружением, для исключения дальнейшего развития уса-
дочных деформаций, призмы полностью гидроизол провались по всей
поверхности.
Описанная методика позволила получить необходимые кривые
ползучести, начиная с некоторого возраста бетона, с малыми по-
482
грешностями, близкие к кривым ползучести непрерывно высыхающих
образцов.
Предел прочности и модуль упругости бетона на растяжение оп-
ределялись испытанием на осевое растяжение до разрыва вытянутых
бетонных восьмерок сечением 5x5 см с призматической частью длиной
23,5 см.
После распалубки до момента испытания восьмерки хранились
запарафиненными на части боковой поверхности, аналогично призмам,
подвергаемым испытаниям на ползучесть.
Такие условия хранения обеспечивали высыхание образцов во
времени, подобное тому, которое имело место в основных образцах,
испытываемых на рычажной установке.
Предел прочности при сжатии определялся в разных возрастах
бетона испытанием бетонных кубиков 7x7x7 см.
Одновременно исследовались: ход развития во времени и вели-
чины свободной нестесненной усадки и усадочных напряжений в бето-
не, пределы прочности бетона при осевых сжатии и растяжении, а так-
же модуль упругости при растяжении бетона как функции его возраста.
Указанный комплекс опытов по изучению усадочных напряжений, усад-
ки и связанных с ними физико-механических свойств бетона был про-
веден на пяти больших сериях образцов-близнецов.
Как следует из табл. 52, во всех пяти сериях удалось получить
однородный и сравнимый по физико-механическим свойствам бетон1.
Для изготовления бетона применялись портландцемент активно-
стью 47,5 МПа, речной песок и мелкий щебень из двух фракций 2,5 -=- 5 и
5 -е-10 мм, в соотношении 1:1; кривая роста во времени модуля упруго-
сти аппроксимирована экспоненциальной зависимостью (VII. 162) при
Ео = 2,6-Ю4МПа; р = 0,206сут.'1 (XI.33)
Сводные осредненные кривые удельных деформаций и релаксации
удельных напряжений по всем сериям испытанных образцов приведе-
ны на рис. 61, в; они и были положены в основу расчета теоретических
значений усадочных напряжений в исследуемых бетонных образцах.
На рис. 117 приведены результаты наблюдений за рабочими об-
разцами III серии. Цифрами указаны значения усилий в заделанных
* В столбцах табл. 52, где содержатся две цифры, последние имеют следую-
щий смысл: цифра без скобок означает среднее для соответствующих об-
разцов-близнецов данной серии, а в скобках — наибольший процент от-
клонения, наблюдавшийся в данной серии, от среднего для всех соответ-
ствующих образцов-близнецов всех пяти серий.
483
a)
б)
Рис 117. Результаты наблюдения за образцами III серии, претерпевающими
свободную усадку и испытываемыми в рычажно-упряжных уста-
новках: а — кривая усадки свободных образцов; б — влагопотери
образцов; в — усадочные усилия в защемленных образцах;
• — нагруженные образцы; О, □, А — недогруженные образцы.
484
Таблица 52
Основные сведения о бетоне исследованных Ih-V серии
№ серии Состав бетона (по массе) В/Ц Расход це- мента в кг/м3 Прочность бетона в кгс/см2 при Модуль упруго- сти бетона при растяжении в МПа Iff4
сжатии растяжении
I Г.2,2:4,9 0,66 273 212 (-1,8) 18,5 (4-5,6) : 2,20 (-10,2)
II 1:2,1:4,9 0,67 271 233 (+ 7,9) 20,9 (4- 6,6) 2,81 (4- 14,7)
III 1:2,2:4,9 0,67 273 227(+ 5,1) 19,1 (-2,5) 2,42 (- 1,2)
IV 1:2,1:4,9 0,74 269 190 (- 12) 19,2 (-2) 2,57 (4- 4,9)
V 1:1,9:4,9 0,82 268 220 (-1,8) 20 (4- 2) 2,25 (-8,2)
Примечания: 1. Приведенные данные механических испытаний относятся к
28-дневному бетону.
2. Прочность на растяжение бетона II серии найдена по линей-
ной интерполяции соответствующих данных для бетона в возра-
сте 21 и 39 суток.
образцах в момент их разрыва; цифрами в скобках — среднее значение
продольной силы и сумма изгибающих моментов в образце соответствен-
но в момент его разрыва. Из двух моментов для каждого из образцов
указан только один, имевший в опыте наибольшую величину; для дру-
гого момента указана лишь его величина в момент разрыва образца.
Развитие усадки во времени начиналось у всех серий образцов
сравнительно поздно (в среднем в возрасте бетона, равном 12-16 сут-
кам), т.е. на 7 — 11-й день после начала их высыхания, которое было
замедлено вследствие гидроизоляции их боковой поверхности. Анало-
гичным образом развитие усадочных напряжений в заделанных образ-
цах начиналось практически также в эти сроки, по тем же причинам
отдаленные от начала их высыхания.
Некоторые начальные значительные влагопотери образцов в ре-
зультате удаления свободной воды не сопровождались ни развитием усад-
ки, ни возникновением усадочных напряжений. Это обстоятельство
неоднократно подчеркивалось ранее и наблюдалось и в прежних экспе-
риментах автора [6, 8].
Во всех сравниваемых сериях опытов напряженные образцы име-
ли заметно большие величины влагопотерь, чем их ненагруженные об-
разцы-близнецы, претерпевающие свободную усадку.
485
Соответствующие средние превышения влагопотерь у нагружен-
ных образцов к моменту из разрыва при этом были равны: 3,6 г — у
образцов I серии, 2,9 г — у образцов III серии, 2,7 г — у образцов IV
серии и 1,1 г — у образцов V серии, что составляет соответственно 13,2;
9,7; 10,1 и 4,4% влагопотерь к этому моменту времени у ненагруженных
образцов. Это объясняется влиянием на высыхание бетона развиваю-
щихся в нем усадочных напряжений, что согласуется с результатами
прежних опытов автора [7, 11].
Наконец, на рис. 118 изображены сводные осредненные кривые
усадки, изменений весовой относительной влажности и усадочных на-
пряжений нагруженных образцов сравниваемых серий опытов. Пунк-
тиром нанесены также соответствующие средние кривые, которые и
были положены в основу определения теоретических значений усадоч-
ных напряжений в защемленных образцах при заданном законе разви-
тия во времени усадки в них. Эти значения в любой момент t можно
найти из условия совместности деформаций
eH(t) + £yH(t) = O (XI.34)
по формуле
= £ (t.t,)-(г,т,)К(1,т)<1т, (XI.35)
E(t) J
где E(t) — модуль упругости бетона; еу.н(1’т1 ) — закон развития во вре-
мени усадки в нагруженном образце.
Функция R(t,x) определяется по формуле (VII. 157).
Развитие усадки и усадочных напряжений в образцах начиналось
с того момента, после которого модуль упругости бетона практически
уже не изменялся. Поэтому было принято E(t) = Ео = const и выбрано
в качестве Ео его предельное значение (XI.33).
Закон развития во времени средних относительных деформаций
усадки нагруженных образцов (рис. 118) аппроксимировался зависи-
мостью
ey.H(t,Tl) = E0(t-T1), (XI.36)
где
е0 = 0,235-10"5 мм/мм; Т|=16сут. (XI.37)
Из рис. 61, в вытекает, что кривые ползучести образцов, загру-
женных в более поздние сроки (26, 28 и 29 сут.), по истечении боль-
шого интервала времени выходят на одну горизонтальную асимптоту.
486
Возраст бетона д сутках к номенту наблюдения
Рис. 118. Сводные приведенные кривые усадки, изменений весовой относи-
тельной влажности и усадочных напряжений в защемленных образ-
цах сравниваемых серий опытов:
----- приведенные кривые для отдельных серий опытов;
------осредненные по всем сравниваемым сериям опытов расчет-
ные кривые;
1 — 1 серия опытов; 2 — III серия; 3 — IV серия; 4 — V серия.
487
Это означает, что влияние высыхания на ползучесть бетона к этим сро-
кам его загружения уже практически исчерпывается. Поэтому мы мо-
жем кривые ползучести непрерывно высыхающего бетона более ранних
сроков загружения представить огибающей кривой, выходящей на ту
же асимптоту.
Эта кривая аппроксимировалась формулой (VII. 155).
На рис. 119 нанесена рассчитанная по формуле (XI.35) с учетом
(XI.36) теоретическая кривая усадочных напряжений в защемленных
образцах. Там же показаны экспериментальная кривая этих напряже-
ний и теоретическая кривая упругих усадочных напряжений, рассчи-
танных без учета ползучести. На рисунке указаны также сроки разрыва
исследуемых образцов во время их испытания. Как видно из рис. 119,
экспериментальная и теоретическая кривые усадочных напряжений в
образцах достаточно хорошо согласуются. При этом напряжения раз-
рыва составляют около 1,8 МПа, т.е. примерно всего на 8% ниже сред-
ней кратковременной прочности бетона на растяжение, равной ~ 1,96
МПа (см. табл. 52). Физически это вполне объяснимо, так как изве-
стно, что предел длительной прочности бетона несколько ниже его крат-
ковременной прочности.
Рис. 119. Экспериментальная и теоретические кривые усадочных напряже-
ний в защемленных бетонных образцах:
1 — теоретические упругие напряжения; 2 — экспериментальная
кривая напряжений; 3 — теоретическая кривая полных напряже-
ний, найденных с учетом ползучести бетона.
488
Возвращаясь к результатам описанных исследований, мы видим,
что экспериментальные значения усадочных напряжений значительно
ниже теоретических упругих напряжений, найденных в предположе-
нии отсутствия ползучести бетона. К моменту разрыва образцов пол-
ные* напряжения в них были примерно в 2 раза ниже теоретических
упругих. Таким образом, ползучесть существенно снижает напряже-
ния в бетоне от усадки.
§ XI.6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДО-
ВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ЦЕНТРАЛЬНО-ОБЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ ВЫСОКОПРОЧ-
НОГО БЕТОНА И ПОТЕРЬ НАПРЯЖЕНИЙ В АРМАТУРЕ
Надежность оценки напряженно-деформированного состояния
предварительно напряженных железобетонных конструкций зависит от
точности оценки влияния на него ползучести и усадки бетона.
С привлечением нелинейной теории ползучести бетона было про-
ведено экспериментально-теоретическое изучение напряженно-дефор-
мированного состояния центрально-обжатых элементов из высокопроч-
ного бетона с учетом его ползучести и усадки и потерь напряжений в
арматуре [48].
Экспериментальные исследования проводили на образцах из бе-
тона с прочностью на сжатие около 80 МПа на портландцементе соста-
ва по массе — 1:0,72:1,67; В/Ц = 0,304.
Опыты проводили как на свободно высыхающих, так и на пол-
ностью гидроизолированных образцах. Гидроизоляцию применяли для
исключения влажностных деформаций бетона, а также для моделиро-
вания условий в массивных конструкциях.
Характеристики физико-механических свойств бетона определя-
ли при кратковременных испытаниях кубов и призм в различных возра-
стах бетона.
Ползучесть исследуемого бетона изучали в соответствии с требо-
ваниями методических рекомендаций [200] на призмах с размерами
7x7x60 см, которые загружали длительной постоянной нагрузкой в ры-
чажных установках при напряжениях в долях от призменной прочности
бетона, составивших 0,25 и 0,42. Деформации бетона измеряли инди-
каторами часового типа. Центрирование образцов производили по гео-
метрической оси через шары В лунках стальных оголовков.
Деформации ползучести находили вычитанием из полных дефор-
489
маций загруженных образцов их упругих деформаций при загружении
и средних температурно-усадочных деформаций, определяемых в пред-
положении аддитивности усадки и ползучести на незагруженных об-
разцах-эталонах: трех изолированных и трех неизолированных. Мето-
дика опытов подробно изложена в статье [48].
По результатам длительных испытаний образцов при двух уров-
нях напряжений были построены экспериментальные кривые относи-
тельных деформаций ползучести (рис. 120, а), по которым затем оп-
ределяли кривые мер линейных S(t - т,) и нелинейных SH (t - ij) дефор-
маций ползучести [41] (рис. 120, б, в). Экспериментальные кривые
мер ползучести аппроксимировались в форме
S(t - Т|) = Дф[1 -е~а'(,_’' ’ ]+ As|l -
SnCt-т,) = ДФн&-е-а'-('-',)]+ ASHj-e-a’(-,,,]J (XL38)
при значениях параметров, указанных в табл. 53.
Аппроксимирующие кривые мер ползучести были близки к опыт-
ным и имели среднеквадратическое отклонение ординат до 5% (рис.
120, б).
Ползучесть арматуры не исследовалась. Ее влияние на потери
напряжений устраняли путем предварительной вытяжки арматуры до
напряжений, равных 0,9 от нормативного предела прочности. После
вытяжки арматура имела модуль упругости Еа = 0,192-106 МПа. Вы-
тяжка арматуры повысила ее предел упругости на 54% и поэтому во
всех преднапряженных образцах арматура работала только в упругой стадии.
Исследование напряженно-деформированного состояния цент-
рально-обжатых элементов из высокопрочного бетона проводили на об-
разцах с размерами 10x10x100 см, изолированных и не изолированных
от высыхания. Образцы представляли собой бетонные призмы со сталь-
ными оголовками толщиной 4 см. Предварительно напряженная ар-
Таблица 53
Значения параметров, входящих в формулы (XI.38)
Вид бетонных образцов Предельные значения со- ставляющих мер ползуче- сти 105 (МПа)"1 Параметры а и анв(сут.)'1
ДФ ДБ ДФн ASH «1 а2 01 1н а2н
Без изоляции 165 50 90 90 0,0075 0,4 0,022 0,25
С изоляцией 120 37 80 70 0,01 0,266 0,007 0,63
490
Рис Л 20. Относительные (а) и удельные деформации ползучести по отноше-
_ аб _
нию к постоянному уровню напряжений Л - р - const неизоли-
14 пр
рованных (б) и изолированных (в) образцов: б — нелинейные и в -
линейные SH(t —Tj).
Экспериментальные кривые:------неизолированный бетон;
----изолированный бетон; _[_ _[_ _[_ соответствующие аппрокси-
мирующие кривые.
491
матура из стали класса А-У 028 мм располагалась без сцепления с бето-
ном в канале 0 = 34 мм, по оси призмы. Натяжение арматуры прово-
дилось методом «на упоры» на горизонтальной машине.
Величины потерь усилий в предварительно напряженной армату-
ре от ползучести и усадки бетона были малы по сравнению с усилиями
в ней (= 10%), поэтому требовалась большая точность их измерения.
Для этого вели одновременный четырехкратный контроль за усилиями
в арматуре: по шкале горизонтальной машины, с помощью электро-
тензодатчиков, наклеенных на арматуре; тарированному элекгротензо-
метрическому динамометру и по деформациям бетона в момент его об-
жатия, измеряемым с помощью индикаторов часового типа. Электро-
тензометрический динамометр представлял собой полый цилиндр из
Ст.45 с наклеенными тензодатчиками. Перед установкой динамометра
производилась его тарировка на прессе, результаты которой учитыва-
лись при контроле усилия предварительного напряжения арматуры.
Усилие натяжения арматуры передавали на бетон через анкера,
динамометр и резьбовую муфту, при помощи которой выбирался зазор
от удлинения арматуры при натяжении. Схема центрально-обжатого
образца приведена на рис. 121. Анкера представляли собой цилиндры
из Ст.З, которые надевали на арматуру и спрессовывали в специальных
штампах на прессе, в результате чего происходило полное заполнение
периодического профиля арматуры обжимаемой сталью.
Начальные уровни обжатия бетона в опытах составляли в долях
от призменной прочности: для изолированного бетона: 0,431; 0,511; 0,55;
0,57, а для неизолированного бетона: 0,46; 0,52; 0,56; 0,60.
Деформации бетона предварительно напряженных образцов из-
меряли стационарно установленными индикаторами часового типа с
точностью 1,43 • 10’5.
По деформациям бетона предварительно напряженных образцов
(за вычетом деформаций упругого обжатия) подсчитывались опытные
величины потерь предварительного напряжения по формуле
.. Ae6(t)Eam6 f kEaFa
<*n(0 =------1 + ИбПбП16 +Нцпмтм +—г-2" b (XI.39)
1 + рипмтм+—а J
‘а
где Деб (t) — экспериментальные величины деформаций бетона образ-
цов от его ползучести;
492
Fa Ea /о
Ho=—> п()=7^ mo=7"’
F() E() И
к - тарировочная постоянная муфты, характеризующая ее деформатив-
нь!е свойства, а индексы а, б, м относятся соответственно к арматуре,
бетону и резьбовой муфте.
Определялись также «конечные» значения потерь предваритель-
ного напряжения арматуры по разности начального и конечного усилия
в арматуре N03, определяемого экспериментально, путем растяжения
образца до ст 6 = 0 по формуле
а _ Noi ~ N03
П Fa
(XI.40)
где
Noi ~ ^бо + ебо EaFa + NgJ
/м k
—-— + —
EMFM/a L
Здесь N60 — экспериментальная величина усилия в бетоне в мо-
мент обжатия; е № - деформация упругого обжатия бетона. Конечные
величины потерь, подсчитанные по формулам (XI.39) и (XI.40) отли-
чались не более чем на 5%.
Кривые деформаций ползучести бетона предварительно напря-
женных образцов показаны на рис. 122.
Теоретические значения потерь предварительного напряжения
вычисляли по нелинейной теории упруго-ползучего тела. Исследова-
ния проводили на бетоне зрелого возраста (т>44 сут.) и изменение
характеристик его прочностных и деформативных свойств было незна-
чительным (до 10%); поэтому в расчетах они принимались постоянны-
ми и равными: для изолированного бетона R = 74,7 МПа; Еб = 4,05-104
МПа; для изолированного бетона Rnp = 72,8 МПа; Еб = 3,56-104 МПа.
Связь между напряжениями и деформациями в бетоне принима-
лась в форме интегрального уравнения [19]
е6 (t)E6 = а6 (t) + |с6 (т)К3 (t - т)<1т +1 с6 (r)f
°б(т)
К4(т-т,)<И,
где
K3(t-x) = -^-|-S(t-T);
К пр
K4(T-Tl) = -^-^[SB(t-T1)-S„(T-x1)]
К пр
(XI.41)
(XI.42)
493
Рис. 121. Схема центрально-обжатого образца: 1 - арматура 028 мм;
2 — опрессованный цилиндр; 3 — электротензометрический дина-
мометр; 4 — стальной оголовок; 5 — индикатор часового типа;
6 — удлинитель Z =700 мм; 1 — рамка для крепления индикаторов;
8 — бетонная призма 10x10x100 см с отверстием по оси; 9 — резь-
бовая муфта.
Рис. 122. Деформации центрально-обжатых образцов после обжатия бетона
(за вычетом деформаций усадки): неизолированный бетон (а); изо-
лированный бетон (б); 1 — Л0 = 0,61; 2 - Ло = 0,56; 3 -т)0 =
0,52; 4 - Ло = 0,48; 5 - Ло = 0,60; 6 -Т]о = 0,55; 7 - Ло = 0,51;
8 - Ло = 0,45.
494
- соответственно линейное и нелинейное ядра ползучести, а 0 ~ еди-
ничные напряжения в выбранной системе единиц измерений. При этом
(в запас) принято, что нелинейная составляющая деформаций ползу-
чести полностью необратима, то есть величина потерь усилия обжатия
несколько преувеличивалась.
Уравнения равновесия усилий и совместности деформаций в об-
разцах были получены с учетом неравенства длин бетона и арматуры в
связи с наличием стальных проставок между анкерами арматуры и бе-
тонным образцом
N6(t) = Na(t) = Nnp(t) = N(t);
Ао = Ala(t) +AI6(t) + AIp(t) + AIM(t),
(XI.43)
где N( }(t) — усилие к текущему моменту времени t, соответственно, в
бетоне, и арматуре и проставке; д0 - абсолютная начальная деформа-
ция удлинения арматуры от усилия предварительного напряжения;
д /(}(t) - абсолютная деформация к текущему моменту времени t, соот-
ветственно: а — арматуры; б - бетона; р - резьбовой муфты; м - сплош-
ных проставок.
Абсолютные деформации проставок вычислялись раздельно для
резьбовой муфты д Zp(t) и для частей проставки сплошного сечения (ого-
ловков, динамометра, анкеров) д ZM(t).
Уравнения (XI.43) с учетом (XI.41) можно привести к одному
нелинейному интегральному уравнению, устанавливающему связь между
начальным усилием обжатия Q и текущим усилием в образце N(t) с
учетом ползучести бетона
Q = N(t) + j N(x)K ! (t - x)dx + j N(x)f
N(x)
No
K2(x-X|)dx.
(XI.44)
Здесь
kE F. ’
+H6n6m6 +—~~
*a
K,(t-T) =------^^6-----__K3(t-t)
1 + H6n6m6 +Mrnmm + ~
K2 (x -1,) =----»---------— K4 (x - x,)
I + H6n6m6 +nmnmmm +—S-S-
495
- соответственно, линейное и нелинейное ядра; а
f N(t) _N(t)
I No J No ’
где No, с учетом указанного выше выбора о 0, численно равно F6.
После ряда преобразований уравнение (XL44) было приведено к
виду, удобному для его вычисления по методу последовательных при-
ближений
N(t) = Nl(t)-jN1(x)f
N,(t)
No
Z(t-x)dx,
(XI.45)
где
N,(t) = Q 1-|н,(1-т)с1т
- решение соответствующего линейного интегрального уравнения с
ядром K,(t -т), получаемого из (XL44) при = 0, принимае-
мое в дальнейшем за первое приближение;
Z(t-t) = К2(т-т,) 1-
т,
- ядро интегрального уравнения (XL45);
H,(t-x) = + D2e"pj(‘"T)
- резольвента ядра Kj (t - т); Р, и р 2 - корни характеристического урав-
нения
р2 -(а, +а2 + А, + А2)р + (а1а2 ч-оцАг + a2Aj)=0,
D (Ai + AaXAi + А2 -Р2 )+aiAi +а2А2
Р| “Р2
р _ (^1 + А2Ха, + А2 -p2)+aIAi +а2А2
Pi “Р2
А =________а1АФЕбрбп5т5___________
1 ( kE F. Y
Rnp| 1 + Pmnmmm +Рбп5тб + —5-2-
496
ар ос 2» Д$ “ параметры меры ползучести S(t- т,) (табл. 53).
Полное решение нелинейного интегрального уравнения (XI.44)
равно
N(t)=lim Nn(t),
П~>°°
где «п»-ое приближение
N„(t) = N1(t)-jNn_1(r)f
Теоретические же величины самих потерь усилий предваритель-
ного натяжения арматуры от усадки и ползучести бетона определяли по
формуле, аналогичной (XI.40)
( kE F
ANn(t)=N0l -N(d 1 + цбпбтб+ |ipnpmg + —SLJL
По вышеприведенным формулам были рассчитаны теоретичес-
кие потери усилий обжатия от ползучести бетона изолированных и не
изолированных от высыхания образцов, по которым были вычислены
соответствующие потери напряжений и сравнены с опытными данны-
ми, подсчитанными по формуле (XI.39) (рис. 123 и табл. 54).
В табл. 54 о],, с® - потери предварительного напряжения в
МПа, соответственно: теоретическое по теории упруго-ползучего тела
и опытные, найденные по формуле (XI.39) а 8 = Pfl 0Рп в %. Как
°п
видно из рис. 123, ординаты теоретических и опытных кривых потерь
усилия обжатия от ползучести бетона отличаются друг от друга не более
чем на 15%. Таким образом, разработанный метод оценки потерь пред-
варительного напряжения арматуры от ползучести высокопрочного бе-
тона дает надежные результаты, основан на точном учете физико-меха-
нических и реологических свойств бетона и арматуры и может быть ре-
комендован для применения при расчете преднапряженных конструк-
ций и сооружений.
Вредное влияние усадки бетона на работу предварительно напря-
женных конструкций из-за вызываемых ею потерь напряжений в арма-
туре, побудило искать пути ее снижения технологическими средства-
ми. Первый из них состоит в направленной модификации добавками
обычных бетонов [58]; второй — в применении специальных бетонов на
расширяющих цементах. Второй эффективный путь, позволяющий при
желании полностью компенсировать усадку, потребовал целенаправ-
497
ленной разработки таких бетонов и всестороннего исследования их фи-
зических свойств. Эта объемная комплексная работа, обеспечившая ши-
рокое производство и применение в строительстве бетонов на расширя-
ющих цементах, выполнена А.И. Звездовым [131].
Рис. 123. Кривые потерь напряжений в арматуре центрально-обжатых образ-
цов 10x10x100 см при 16 = 0,7/а:
а) неизолированный бетон; б) изолированный бетон.
----------------;-------экспериментальные кривые;
• • • теоретические кривые по нелинейной теории упруго-пол-
зучего тела.
Цифры на кривых указывают начальный уровень напряжений об-
жатия бетона в долях от Rnp
498
Таблица 54
Сравнение теоретических и экспериментальных величин потерь напряжений
предварительного обжатия бетона от его ползучести
Вид стона Начальный обжатия т|0 /ровень °б Потери напряже- НИЙ оп Величины потерь оп в МПа при продолжительности наблюде- ний в сут.
R пр 5 15 30 70 126
°п 45,3 62,5 74,7 98,7 119,1
>х 3 0,48 0 38.3 55,7 73,4 91,1 110,2
X X Св СО О 8 18,2 12,2 1,8 8,3 8,1
X 5 °п 62,8 87,7 104,2 136,4 162,8
Неиз 0,61 0 61 87 106,3 134,9 160,1
8 3 0,8 -2 1,1 1,7
°п 32,9 45 54,6 73,2 87,3
>х 3 X X св СО 0,45 0 <*п 8 35,2 -6,5 46,6 -3,4 59,1 -7,6 71,7 -2 89,4 -2,3
О си X 5 49,4 66 79,2 105,1 124,4
S 0,60 0 62,8 76,9 92,9 111 133,6
8 -21 - 14 - 15 -5,3 -7
499
Глава XII.
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ
СОСТОЯНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ БЕЗ ТРЕЩИН ПРИ НАЛИЧИИ
ВЫНУЖДЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
В главе X мы видели, что отыскание полных напряжений
о* (t),т*у (t),... в бетоне с учетом ползучести сводится к нахож-
дению напряжений (Х.4) заменяющей упруго-мгновенной за-
дачи и коэффициента приведения . Отыскав эти напряжения
(Х.4) и коэффициент H*(t,T,), no формулам (Х.6) всегда можно най-
ти искомые полные напряжения.
Для определения напряженно-деформированного состояния од-
нородной среды (бетона) уравнений (Х.4), (Х.6) и (Х.7) вполне дос-
таточно. Поэтому для расчета бетонных элементов и однородных кон-
струкций из них никаких дополнительных уравнений не требуется.
В главах IX — XI подробно рассмотрен ряд практически важных
задач подобного вида.
Для неоднородных сред (армированный бетон, неоднородные
сборно-монолитные конструкции) уравнений (Х.4), (Х.6) и (Х.7) уже
недостаточно. Чтобы описать их напряженно-деформированное состо-
яние кроме приведенных уравнений приходится привлекать уравнения
равновесия и совместности деформаций сопрягающихся элементов из
старого и молодого бетонов или бетона и арматуры, а в некоторых слож-
ных случаях (изгиб и внецентренное сжатие) и геометрические гипоте-
зы о характере деформирования (закон плоских сечений). Ниже на ряде
конкретных примеров показано, как это делается.
§ XII. 1. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
АРМИРОВАННЫХ СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СО
СВОБОДНЫМИ ОТ ЗАЩЕМЛЕНИЯ ТОРЦАМИ
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние, вызыва-
емое внешней нагрузкой и вынужденными деформациями, средней
части армированного сжато-изогнутого призматического элемента, до-
500
статочно удаленной от
его концов, для которой
можно считать, что ее
сечения остаются плос-
кими и в них не наруша-
ется сцепление арматуры
с бетоном. С хорошей
степенью приближения
это приемлемо для пред-
варительно-напряжен-
ных железобетонных эле-
ментов или обычных ненапряженных, работающих без трещин при эк-
сплуатационных нагрузках.
Будем иметь в виду поперечное сечение произвольной формы,
но с одной осью симметрии, с двусторонним армированием. Необхо-
димые обозначения геометрических параметров даны на рис. 124.
Пусть бетон и арматура имеют модули упругости соответственно
E(t) и Ея.
Рассмотрим случай сжимающей, переменной по величине, про-
дольной силы N(t), внецентренно приложенной, начиная с возраста
бетона т = т, с переменным эксцентриситетом eN(t) относительно цен-
тра тяжести Об бетонной части поперечного сечения элемента. Будем
иметь в виду одновременное действие на него распределенной по сече-
нию вынужденной деформации бетона
e°6(t,y). (ХП. 1)
Роль такой вынужденной деформации могут играть, например,
температурная
eg(t.y) = asT(t,y) (XI 1.2)
или усадочная
еg (t,у) = pu(t,у) (XII.3)
деформации, вызываемые соответственно изменением T(t,y) — темпе-
ратуры или изменением U(t,y) — влажности бетона.
В формулах (XI1.2) и (ХП.З) аб— коэффициент линейного рас-
ширения, а Р — коэффициент линейной усадки бетона.
Обозначим напряжения в бетоне и арматуре соответственно че-
рез o6(t, у) и оа (t), тогда условия равновесия элемента
N6(t) + Faaa(t) + f^a'(t) = N(t); 1
M6(t)-Faaa(t)ya +ад (t)y'a = N(t)eN(t).J (XIL4)
501
Здесь N6(t) и M6(t) - соответственно равнодействующая напря-
жений в бетоне и ее момент относительно центра тяжести Об бетонного
сечения элемента.
Нормальные сжимающие напряжения в бетоне от действия силы
N(t) и вынужденной деформации (XII.2) с учетом закона плоских се-
чений равны
as (t, у) = +[с3 (t)+С4 (t)y - Т(у, О], (хп. 5)
b5 15 1-v
где у — текущая ордината точки, а 1б — момент инерции бетонной части
поперечного сечения относительно горизонтальной оси х, проходящей
через центр тяжести Об. Кроме того, отличными от нуля будут еще
напряжения
сх (У. 0 = fC| (t) + C2(t)y ~Т(У’ (XII.6)
Все остальные напряжения будут равны нулю.
В формулы (XII.5), (XII.6) введены слагаемые содержащие фун-
кции 0(0 для того, чтобы из общего решений, которое мы найдем,
полагая N(t) = 0, можно было бы получить решение задачи относяще-
еся к случаю действия только вынужденной деформации (XI 1.2) (см.
§ IX.2). Эти слагаемые в нашем случае должны быть статически само-
уравновешенными, т.е. удовлетворять условиям
J( > = 0; J( )ydF = O.
F F
Раскрывая эти условия, с учетом того, что ось Ох является главной
центральной осью поперечного сечения, найдем
h,
2 jT(y,t)dy-(h\ -h2 )c2(t)
6(h22 -h2 )/T(y,t)dy-12(h1+h2)/T(y,t)ydy
3(h2 -h* +h2 )
C,(t) = ^-|T(y,t)dF;
C4(t) = ljT(y,t)ydF,
502
где JТ(у, t)dF и j Т(у, t)ydF - объем и статический момент объема эпюры
Fc Fg
Т(у, t) относительно оси Ох соответственно на поперечном сечении пло-
щадью F6.
Попутно отметим, что для бруса прямоугольного поперечного се-
. u h
чения, у которого «Ц = h2 = —,
1 h
C,(t) = C.(t) = - [T(y,t)dy;
h-h
12 h
C2(t) = C4(t) = — jT(y,t)ydy.
n -h
Полная деформация бетона равна
e8(y.t) = a6T(t,y) + ^ + jsgl* L(t,x)dx. (XII.7)
В любой момент времени должны выполняться также условия
совместности деформаций бетона и арматуры
®8<-УаЛ) = ^Г^ + “аТ(-уаЛ);
Еа
, (XII.8)
Му'а. 0 = + «аЛу'а. t).
Еа
Раскрывая эти условия с использованием обозначений
F F' Е
"'Ч1 <хи”
и формул (XII.5), (XIL7), получим систему интегральных уравнений
для определения напряжений в арматурах
aa(t)pima(t)K5 +o'a(t)[i + |/ma (t)ns]+
t
+ f ta (0 H ma (T)K8 + a'a (T)p'ma (т)п'8 ]b(t, x)dl =
' (XII. 10)
= (a8 - aa )EaT(ya, t) + f8(t) + j ^(x)L(t,r)dT;
503
oa (t) [1 + gma (t)ns ]+ °a WjZm, (t)Ks +
+ |[О;|(1)цт1(т)па+<(ф'та(1)кЛЛт)(11= (хп ц)
= (a8 - aa )EaT(-ya, 0 + f8(t) + jf5(T)L(t,T)dr,
T,
где введены обозначения
I . Fg у a . ' _ i . ^б У a . rz _ | ^бУаУа.
n6=l + —:—* пб-1+ - , ^б-1-----;---’
ч £6 £6
f6(t) = ^Mc,(t)-C4(t)ya -T(-y.,t)]+
+ map-N-[l6-eN(t)F6ya}
f6(t) = ^-[c3(t)-c4(t)y'a -T(y'a,t)]+
+lM^[l6+eN(t)F6y'a].
^6
Решая эту систему уравнений, найдем полные напряжения в ар-
матурах о* (t) и o'* (t) . Полагая в этих уравнениях L(t, т) = 0, получим
аналогичную систему для определения упруго-мгновенных напряжений
оа (t) и о' (0. Определив эти напряжения и внеся их в формулу (XII.5),
найдем упруго-мгновенные напряжения в бетоне об(у, t) . После это-
го, следуя методике, изложенной в § Х.2, найдем и полные напряже-
ния в бетоне аб*(у, t) с учетом ползучести
Об* (у- 0 = °б(У- 0 - Joe(y. T)R(t,T)dT, (XII. 12)
Т|
где R(t, т) — резольвента ядра L(t, т).
Перемещение точек поперечного сечения элемента вдоль его оси
равно1 z
w(t, у, z) = j еб (t, y)dz = еб (t, у) • z.
о
'Неподвижно закреплено сечение z = 0.
504
Угол поворота поперечных сечений элемента
(p(t,z)=^z)
Оу
Осевое удлинение элемента и взаимный угол поворота его тор-
цовых сечений с учетом (XII.7) будут соответственно равны
2w(t, y,z)
= 2/ agT(t,0)+o1(t) + |o1(T)L(t,T)dc ;
(XII. 13)
2<p(t,z)|z=1 = 2/ a8^^ + a>2(t) + |<o2(T)L(t,T)dT ,
Эу
(ХП.14)
где
(0 = Йг + Г1 [с’(,)-Т(0’
E(t)F8 1 - v
E(t)I6 l-v[
dT(y,t)
Эу
В выражениях (XII. 13), (XII. 14) N6(t) и M6(t) берутся из фор-
мулы (XII.4).
Решение системы уравнений (ХИЛО), (ХИЛ 1) довольно громоз-
дко, но может быть сведено к квадратурам после последовательного оп-
ределения ряда новых ядер, алгебраически выражаемых через заданное
ядро L(t,x), и их резольвент по уравнениям типа (VII.16).
Полученное нами решение относится к наиболее общему случаю
внецентренного сжатия совместно с действием вынужденной деформа-
ции (XII.2) бруса с произвольным несимметричным относительно оси
Ох поперечным сечением и двухсторонним несимметричным армирова-
нием.
Из этого общего решения путем соответствующих упрощений легко
могут быть получены решения более простых задач. Так, при односто-
роннем армировании бруса снизу мы будем иметь только одно (первое)
условие совместности (XII.8) и только одно полученное с его помощью
уравнение (ХИЛО), в котором следует положить ц' = 0 . Оно будет иметь
вид
оа (t) + J оа (r)K(t, T)dx = 6(—у а, t),
505
где
(К-УаЛ) = -;----!-----
l + pima(t)n5
(а8 - аа >аТ(-уа, 0 + f б (t) + J fs (t)L( t, T)d-r
Его решение равно
° а (О = 0(-уа, 0 -1 е(- у а, T)Q(t, T)dt.
Т,
В этих уравнениях
K(t,т) = HmJT>n6 L(ti t)
l + jima(t)ne
— новое ядро ползучести, a Q(t, т) — его резольвента.
Рассмотрим еще брус с поперечным сечением произвольной фор-
мы, но симметричным относительно оси Ох и симметричным двухсто-
ронним армированием. На примере этой задачи проиллюстрируем ме-
тодику решения системы уравнений (XII. 10), (XII. 11). В рассматри-
ваемом случае F' = Fa, ц' = ц, у' = уа, п = п б и мы будем иметь урав-
нения
° a (Opma (t)K5 + о' (t)[l + цта (t)n5 ]+
+ |цта(т)[аа(т)К8 +a'a(T)n6]L(t^)dT= 20)
= (“8 - “а )ЕаТ(У а • 0 + f8(t) + Jfg(т)L.(t - l)dv,
т,
°а (0[1 + цта (t)n8 ]+ 0а (0цта (t)K8 +
+ |рта(т)[аа(т)п8 +<(T)K5T(t,T)dT=
= («8 - “а )ЕаТ(-Уа • 0 + f8(t) + jf8(T)L(t,T)dT.
т(
Складывая эти уравнения и учтя, что Кб + Пб = 2, найдем
[са (0+о'а (t)]+ J[oa (т) + с'а (т)]к1 (t, T)dT = e^t), (XII.22)
506
где
0, (t) =----!---{f. (t) + (as - aa )Еа [T(y а, t) + Т(-уа, t)]+
l + 2gma(t)
+ fs(0 + j[f8(t) + f8'(t)]L(t-T)dT}-
a
Kl(t,x)= L(t.t) (XII.23)
l + 2|ima(t)n6
— новое ядро ползучести.
Решение уравнения (XII.22) равно
аа (t) + а'а (t) = 6, (0 - Je, (t)Qi (‘- , (XII.24)
где Q](t,x) — резольвента ядра Kt(t, т).
Вычитая уравнения (XII.20) и (XII.21), будем иметь
[o'(t) - оа (t)]+ J [о'а (т) - аа (йХ2 (t, т)<1т = 0 2 (0 * (ХП 25)
где
02 (0 =---7-------\----
1 + 2ц(п5 -K5)ma(t)
t
fs(t)-f8(t)4j[f8(,)-f8(t)]L(t>t)dT +
+ (a8-aa)Ea[T(ya,t)-T(-ya,t);
а
К,(t т) = г) (XI1.26)
1 + н(пб _ K6 )ma(t)
— другое новое ядро ползучести, причем
п К -2РбУ*
пб Кб “ 7---•
Аб
Решенное уравнение (XII.25) равно
а'а (0 - аа (0 = 0 2 (0 - 2 (t)Q2 T)dT ’ (XII .27)
507
где Q2(t,x) — резольвента ядра K2(t,x).
Наконец, складывая уравнения (XII.25) и (XII.27) найдем
I t
°а(‘) = - 0,(t)+02(t)-j[0|(T)Q1(t,T)+e2(T)Q2(t,t)Jlt .(ХИ.28)
т,
а вычитая их, будем иметь
оа(‘) = ^ 6|(t)-62(t)-j[6i(T)Q|(t,T)-02(T)Q2(t,T)]iT .(XII.29)
т,
В заключение настоящего параграфа отметим, что в случае бето-
на старого возраста во всех приведенных выше формулах следует поло-
жить
E(t) = Е; ma(t) = ma
L(t, т) = L(t -т); R(t, т) = R(t - т);
K(t,x) = K(t-r) = ^"6 L(t-T); Q(t,x) = Q(t-T);
I+Pman6
K, (t,x) = K, (t - t) = fo"» L(t- t); Q, (t,T) = Q, (t -t);
l + 2gman6
K2(t,?) = K2(t-t) = ~K^« L(t-x); Q2(t,T) = Q2(t-T).
l + p(n6
Как нетрудно видеть, все ядра Kj (t - т) пропорциональны ядру
L(t, т) со своим постоянным коэффициентом пропорциональности А.
Kj(t-x) = AjUt-т).
Обращаясь к формуле (IV. 152), для L(t, т) мы видим, что в ней
множитель в квадратных скобках не зависит от Е, поэтому ядра К; (t - т)
получаются из L(t, т) заменой Е на А Е. Следовательно, резольвента
Qi(t-x) каждого ядра KJt-x) получается из резольвенты R(t-x) ядра
L(t, т) тоже заменой в ней Е на АЕ. Поскольку резольвента R(t - т)
известна (IV. 153), то нахождение резольвент Qs (t - т) не вызывает за-
труднений.
508
§ XII.2. РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И УСИЛИЙ В
ЖЕЛЕЗОБЕТОННОМ ЭЛЕМЕНТЕ
Полученные в § XII. 1 формулы для напряжений в бетоне и арма-
туре соответствуют общему случаю одновременного действия нагрузки
и вынужденной деформации на железобетонный элемент при отсут-
ствии внешних связей, препятствующих перемещениям точек его сво-
бодных торцовых сечений. Если в рассматриваемом случае действует
только нагрузка или только вынужденная деформация, эти формулы
упрощаются. Чтобы получить эти более простые формулы, достаточно
положить в них е° (t) = 0; N(t) * 0, если рассматривается только дей-
ствие нагрузки, или £® (t) * 0; N(t) = 0, если рассматривается только
действие вынужденной деформации.
Представляет особый интерес случай, когда торцы железобетон-
ного (бетонного) элемента при отсутствии внешней нагрузки [N(t)= 0]
испытывают заданные принудительные взаимные поступательное и уг-
ловое перемещения с одновременным действием вынужденной темпе-
ратурной или влажностной деформации, также заданной, например,
в форме (XII.1). Этот случай релаксационной задачи, таким образом,
характерен тем, что заданы:
полное осевое удлинение элемента
w(t.y,z)y=„=w0(t) (XII.30)
и полный взаимный угол поворота его торцовых сечений
<p(t,z)|z=/ =<p0(t) (XII.31)
с учетом дополнительной вынужденной температурной или влажност-
ной относительной деформации (XII. 1) и ставится задача отыскать на-
пряжения в арматуре оа (t), закон релаксации напряжений в бетоне
o6(t,y) и усилия в элементе N(t) и M(t) = N(t)eN(t).
Нетрудно видеть, что условиям (XII.30) и (XII.31) соответствует
задание полной относительной деформации бетона в форме
Еба>у) = ^у^+^^- (хп.32)
Внося (XI 1.32) в выражение (XII.7), соответствующее как раз
случаю (XII. 1), найдем следующее уравнение для отыскания напряже-
ний в бетоне об (t, у)
509
w0(t) <p0(t)y T( ) = 2«l!^) + f£slL>2L(t,T)dT,
/ + i “(’У) E(t) J E(t)
решение которого имеет вид
o8(t,y) = E(t)j^ + ^-asT(t,y)-
гГ W0(T) ! Фо(т)У
Л / /
Т|
(XII.33)
-ааТ(т,у) R(t,x)dT
где R(t, т) — резольвента ядра L(t, т).
Поскольку относительная деформация бетона в рассматриваемом
случае задана и равна (XII.37), с учетом совместности деформаций бе-
тона и арматуры (XI 1.8) напряжения в последней будут равны
<(0 = Y-{wo(t)-<Po(t)y'a -aaIT(y'„t)} (XII.34)
МО = ^-{w0(t) + <p0(t)ya -aJT(-ya,t)} (XII.35)
при двухстороннем армировании. При одностороннем, например ниж-
нем армировании сохраняется только одна формула (XII.35).
Таким образом, если полное осевое удлинение w0(t) и взаимный
угол поворота торцовых сечений элемента <р0 (t) равны нулю (брус жес-
тко защемлен по торцам), то
У) = -E(t> a5T(t, у) - J а5Т(т, y)R(t, т)дт ;
т,
о'(0 = -aaEaT(y',t);
са(0 = -ааЕаТ(-уаЛ).
Если же w0(t) и <₽0(t) равны соответственно осевому удлинению
и взаимному углу поворота торцовых сечений элемента от изменения
температуры T(t, у), вызывающего относительные деформации арма-
510
тур ааТ(уа, t) и ааТ(-уа, t) соответственно, то
oa(t) = o'a(t) = 0,
а напряжения в бетоне будут определяться по формуле (ХП.ЗЗ), в кото-
рой
Wо(0 = ад/ , [уаТ<Уа ’ о + У'аТ(-уа , О];
Уа+Уа
<Ро(») = -^fF(-ya.t)-T(y'a,t)l
Уа+Уа
Имея формулы для напряжений в бетоне и арматуре, найдем ре-
акции “в заделке”, т.е. усилие N(t) и момент M(t), необходимые для
создания заданных осевого удлинения w0(t) и взаимного угла поворота
торцовых сечений элемента (p0(t)
N(t) = o'a(t)F$ + ca(t)Fa + Ja6(t,y)dF;
F
M(t) = oa(t)Faya -oa(t)Faya +Jo6(t,y)ydF.
F
Итак, в § XII. I и § XII.2 мы получили общие формулы для на-
пряжений и деформаций бетона и арматуры железобетонного элемен-
та, подвергнутого воздействию переменных во времени внешней на-
грузки, вынужденных и искусственно принудительных деформаций.
Вычисление этих напряжений и деформаций с помощью полученных
формул сводится к квадратурам и не вызывает принципиальных за-
труднений.
511
Глава XIII.
УЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНО-ВЛАЖНОСТНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ ПРИ РАСЧЕТЕ
ПРИБЛИЖЕННЫМИ МЕТОДАМИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С
ТРЕЩИНАМИ
В обычных условиях работы железобетонных конструкций темпе-
ратура и влажность бетона непрерывно изменяются во времени.
В связи с низкими значениями коэффициента диффузии тепла
и особенно коэффициента диффузии влаги у бетона изменения его тем-
пературы и влажности происходят неравномерно по сечениям конст-
рукций: быстрее высыхают и изменяют температуру наружные откры-
тые слои бетона; медленнее — его внутренние зоны. Это обстоятель-
ство, а также ограничение свободных деформаций бетона арматурой и
внешними связями приводят к развитию в нем температурно-влажнос-
тных напряжений, которые следует учитывать при расчете прочности,
трещиностойкости, раскрытии трещин и деформаций железобетонных
конструкций.
Например, в жестко защемленном бетонном брусе из бетона класса
В25 при его равномерных охлаждении на Г и высыхании на 0,1% (при
изменении весовой относительной влажности на 1 - 103 г/г) в предпо-
ложении его упругой работы могут возникнуть температурные о (и уса-
дочные о у растягивающие напряжения
о. = аЕ ДТ = 1 -10-5 - 3 -104 1 = 0,ЗМПа;
(XIII. 1)
оу = ₽ЕДТ = 3-10 -3104 110" - 0,9МПа
Эти величины напряжений столь велики, что при обычно на-
блюдаемых изменениях температуры и влажности бетонные статически
неопределимые конструкции, например находящиеся на открытом воз-
духе, должны были бы иметь сквозные температурно-усадочные тре-
щины. Действительно, в опытах автора, описанных в § XI.5, усадоч-
ные напряжения в защемленных высыхающих бетонных брусьях с тече-
нием времени достигали длительной прочности бетона на растяжение и
все образцы, несмотря на благоприятное действие ползучести, рано
или поздно разрывались.
512
В железобетонных статически неопределимых конструкциях тем-
пературно-усадочные трещины хотя и встречаются довольно часто, но
в большинстве случаев из-за благоприятного действия армирования и
ползучести не носят такого угрожающего характера, и инженеры уже
научились с ними бороться различными конструктивными мероприя-
тиями. К их числу относятся: устройство температурно-усадочных швов,
надлежащее армирование, выбор рациональной конструктивной схемы
сооружений, регулирование их температурно-влажностного режима и
т.п. Однако все эти мероприятия могут быть действенными только тог-
да, когда они основаны на надежном расчете величин усилий в конст-
рукциях, вызываемых изменениями их температуры и влажности. Кроме
того, встречаются и специальные железобетонные конструкции, для
которых основными расчетными воздействиями являются именно из-
менения температуры и влажности бетона.
Ситуация усложняется в случае совместного длительного действия
нагрузки и температурно-влажностных деформаций. В этом случае
железобетонные конструкции с обычной ненапряженной арматурой
практически всегда работают с трещинами в растянутой зоне. Методы
расчета таких конструкций весьма сложны и соответствующая единая
теория еще находится в стадии разработки. Основная сложность при
этом состоит в необходимости учета нелинейной ползучести бетона,
деформаций сдвига и переменности жесткости железобетонных элемен-
тов с трещинами по их длине в соответствии с эпюрой изгибающих
моментов. Хороший обзор исследований этого направления дан в ра-
боте [34]. Здесь мы укажем на наиболее важные из них.
Г.А. Гениевым [117] разработан вариант деформационной тео-
рии пластичности бетона и железобетона при обычном условии мало-
сти упруго-пластических деформаций. Эта теория обобщена им на же-
лезобетонные конструкции с трещинами, а также при ряде упрощаю-
щих допущений и на случай длительного действия нагрузки. В после-
днем случае автор не использует интегральные связи в виде функцио-
налов, обычные для теории ползучести.
И.Е. Прокоповичем [225] с обобщением теории В.И. Мурашева
на случай длительного действия нагрузки и использованием функцио-
нальных интегральных соотношений теории упруго-ползучего тела пред-
ложен метод оценки напряженно-деформированного состояния желе-
зобетонных элементов с трещинами. Существенными являются полу-
ченные автором формулы для определения уже переменных коэффи-
циентов v (t) и V (t), учитывающих влияние пластических свойств бе-
513
тона сжатой зоны и влияние бетона растянутой зоны на деформации
арматуры.
В.М. Бондаренко [82] развит метод интегрального модуля де-
формаций, основанный на понятии обобщенной характеристики де-
формативности нелинейно деформирующегося железобетонного эле-
мента. Метод в сочетании с аппаратом теории упруго-ползучего тела
позволяет приближенно оценивать состояние железобетонных элемен-
тов не только в стадии эксплуатации, но и в стадии, предшествующей
разрушению.
Н.И. Карпенко [149] в сочетании с оригинальной оценкой объе-
ма трещинообразования в теории нелинейного деформирования желе-
зобетона существенно развит метод конечных элементов. Этот метод в
сочетании с шаговым способом вычислений позволяет учесть нелиней-
ную ползучесть бетона и изменение его деформативных свойств в зави-
симости от геометрических координат.
Большая сложность теории нелинейного деформирования желе-
зобетонных конструкций с трещинами побуждает к применению ряда
приближенных методов.
В соответствии с этим ряд нормативных документов [257, 259]
содержит рекомендации по приближенному учету усадки и изменений
температуры при расчете бетонных и железобетонных конструкций.
Аналогичные указания включены и в СНиП 2.03.01-84 [256]. Один из
таких приближенных методов, основанный на учете переменной жест-
кости элементов с трещинами статически неопределимых стержневых
конструкций, опирающийся на рекомендации СНиП 2.03.01-84 [256],
изложен ниже.
§ XIII. 1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
В подавляющем числе случаев железобетонные статически не-
определимые конструкции представляют собой либо стержневые систе-
мы, составленные из брусьев (неразрезные балки, рамы сборных про-
мышленных цехов и т.д.), либо пространственные конструкции, со-
ставленные из плит с расчетными схемами в виде плоских элементов,
работающих по схеме стержневых конструкций (туннельные конструк-
ции, многопролетные покрытия и т.д.).
Исследование методами теории упругости напряженного состоя-
ния прямоугольных брусьев и плит, вызываемого неравномерным рас-
пределением температуры по их высоте (см. § IX.4 и § IX.5), показы-
514
вает, что их сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и
после температурных воздействий. Поэтому для определения темпера-
турных деформаций (перемещений) и нормальных напряжений (уси-
лий), действующих в подобных конструкциях в сечениях, перпендику-
лярных их продольной оси, можно воспользоваться гипотезой плоских
сечений.
В соответствии с этой гипотезой взаимные сближения д ( кон-
цов осевой линии и угол д <pt поворота торцовых сечений прямого бру-
са, имеющего свободные торцы, длиной /, вызываемые изменением
температуры Т(х) точек его поперечного сечения, неравномерным по
высоте h = 2х0 (рис. 125, а), на основе выражений (IX.52) и (IX.48)
находятся по формулам
Jt(x)Ux jT(x)xdx
А/, = ’ Д(Р/ = а/2Т--TV (XIII.2)
h I lh I
I 12 I
Здесь а — коэффициент линейного расширения бетона.
Заменим изображенную на рис. 125, а заданную действительную
эпюру ABDFG изменения температуры Т(х) условно (расчетной) тра-
пецеидальной эпюрой ACEG, равновеликой ей по площади и стати-
Рис. 125. Эпюры Т(х) изменений температуры точек поперечного сечения
элемента (а) и U(x) распределения влажности бетона по его сече-
нию (б): 1 — действительная эпюра Т(х) (ABDFG); 2 — условная
трапецеидальная эпюра Т(х) (ACEG), учитываемая в расчетах; 3 —
действительная эпюра U(x) (ACDFK); 4— условная трапецеидаль-
ная эпюра U(x) (АВНК), учитываемая в расчетах.
515
ческому моменту площади относительной осевой линии бруса. Исходя
из этих условий, найдем
|т(х)ёх
(ХШ.З)
(XI1I.4)
(XIII.5)
| T(x)xdx
~*<>______ Т2 ~Т1 = дт*
f Lili h
I 12 I
и, следовательно,
A/t = а/АТср; A<pt = а/АТ*
Нетрудно видеть, что величины дТср и дТ, входящие в фор-
мулы (ХШ.З) — (XIII.5), представляют собой соответственно измене-
ния средней расчетной температуры Тср и расчетного перепада темпера-
туры Т, вычисляемые по указанной выше условной трапецеидальной
эпюре. В соответствии с этим в ряд норм и введены понятия средней
расчетной температуры (влажности), расчетного перепада температуры
(влажности) и условной (расчетной) трапецеидальной эпюры, распре-
деления температуры (влажности) по сечению элемента. С помощью
формул (XIII.5) всегда могут быть найдены свободные температурные
члены канонических уравнений метода сил при расчете статически нео-
пределимых стержневых конструкций на изменение их температуры.
При отыскании величин дТср и дТ, входящих в формулы
(XIII.5), можно поступить двояким путем:
1) по заданным действительным эпюрам распределения темпе-
ратуры, соответствующим двум рассматриваемым моментам времени tf
и t2, найти соответствующие условные трапецеидальные эпюры рас-
пределения температуры и по ним свои величины Т('^ и Т*(,); затем
отыскать расчетные изменения дТср и дТ* по формулам
ДТср=Т® -Т(” ; ДТ* =Т*<2>-Т*<1> (XIII.6)
ИЛИ
2) по указанным двум заданным действительным эпюрам рас-
пределения температуры сразу найти действительную эпюру изменений
д Т температуры Т, по ней условную трапецеидальную эпюру этих из-
менений, а затем по последней отыскать уже значения д Тср и дТ*.
516
Оба указанных пути равноценны и дают одни и те же результаты.
Однако, как это будет указано ниже, в случае отыскания аналогичны-
ми способами расчетных изменений д Ucp и д U* влажности бетона ме-
тодически верным является лишь первый из них. Поэтому именно толь-
ко первый способ и рекомендуется для применения.
Экспериментальные исследования влажностных деформаций бе-
тона, проведенные автором, выявили ряд особенностей этих деформа-
ций, представляющих практический интерес. Наиболее важные из них
рассмотрены в § VI.7, где введены понятия об эффективной и крити-
ческой влажностях бетона и дано указание при учете изменений сред-
ней расчетной влажности и расчетного перепада влажности по толщине
элемента принимать во внимание лишь те из них, которые связаны с
изменениями эпюры распределения эффективной влажности по его
сечению. Приведены формула и необходимые справочные данные для
определения критической влажности бетона, а также физических ха-
рактеристик бетона, связанных с его температурными и влажностными
деформациями: коэффициентов линейного расширения а, линейной
усадки Р и линейного набухания Ц. Введена классификация бетонных и
железобетонных конструкций по степени массивности в зависимости от мо-
дуля поверхности m элемента конструкции и даны практические реко-
мендации по учету влияния масштабного фактора на влажностные деформа-
ции этих конструкций (критическую влажность бетона) (см. § V1.7).
Рассмотрим изображенную на рис. 125, б заданную в момент
времени т, действительную эпюру (ACDFK) распределения влажнос-
ти бетона по сечению элемента. В отличие от эпюры изменений тем-
пературы, показанной на рис. 125, а, эта эпюра относится к абсолют-
ным значениям влажности бетона в отдельных точках сечения, а не их
изменениям, которые нам предстоит еще вычислить. Для общности
будем полагать, что на этой эпюре имеется участок (MEFK) (рис. 125, б,
справа) с ординатами, превышающими критическую влажность бетона
UKP-
Отсекая часть этой эпюры (EFG), лежащую выше UKp, мы най-
дем эпюру эффективной влажности (ACDEGK). Далее, заменяя эту
эпюру эквивалентной в указанном выше смысле трапецеидальной эпю-
рой (АВНК), получим расчетную эпюру распределения влажности, по
которой, пользуясь формулами, аналогичными (ХШ.З) и (XIII.4),
найдем
U(” =U(I1 +U(I2 и»(|) = и<12 -U(I1 (XIII.7)
ч> 2 h
517
Поступая аналогичным образом с другой действительной эпю-
рой распределения влажности бетона по сечению элемента в момент
времени т 2, точно так же найдем
I т(2) . т т(2) ж г(2) т т(2)
и® = ' * 2 ; U,(2) = u 2hu ' . (ХШ.8)
После чего по формулам
U®” =U® -U®; U*(2,I) = U’<2)-U,<‘> (XIII.9)
отыщем уже значение изменений средней расчетной влажности Ди^
А1Т*(2,1) С
и расчетного перепада влажности AU бетона за время т2 - -q.
Нетрудно сообразить, что описанный метод отыскания величин
д^(2’ср и Ди*(2,1) является единственно верным, так как только он по-
зволяет манипулировать с эпюрами распределения эффективной влаж-
ности бетона. Если же мы по заданным действительным эпюрам рас-
пределения влажности бетона по сечению элемента в моменты времени
т 2 и т, сразу нашли бы по их разности эпюру изменения влажности
бетона в отдельных точках его сечения за время т2 ~ Ti,то получили бы
эпюру изменений действительной, а не эффективной влажности и не
смогли бы выделить из нее изменения влажности за счет удаления сво-
бодной воды из бетона, не вызывающего усадки. Это особенно оче-
видно в случае, когда интервал времени т2 - Ti мал и ординаты получа-
емой таким способом эпюры изменения влажности бетона будут заве-
домо меньше его критической влажности UKp. Поэтому, как уже отме-
чалось выше, расчетные эпюры изменения влажности следует всегда
находить по соответствующим эпюрам распределения не действитель-
ных, а эффективных влажностей бетона.
Располагая данными об изменениях средней расчетной влажнос-
ти AUcp и расчетного перепада влажности дц*, можно по формулам,
аналогичным формулам (XIII.5), найти перемещения, вызываемые из-
менениями влажности элементов конструкции. Эти формулы имеют
вид:
а) при высыхании (усадке) бетона
Д/у =р/Д11ср; Дфу =p/AU*; (XIII.10)
б) при увлажнении (набухании) бетона
518
Д/н =i]/AUcp; A(pH=T]/AU*. (XIII.ll)
В этих формулах (3 — коэффициент линейной усадки и Ц — ко-
эффициент линейного набухания бетона (см. § III.5).
Необходимые данные о распределении температуры и влажности
по сечениям элементов бетонных и железобетонных конструкций для
отыскания расчетных изменений температуры и влажности бетона на-
ходятся методами теории тепло- и влагопроводности при учете рассмот-
ренных выше особенностей температурно-влажностных деформаций
бетона (см. главы I - V).
Определение усилий от температурно-влажностных воздействий
в элементах бетонных и железобетонных конструкций, в которых по
условиям эксплуатации не допускается образование трещин, произво-
дится как для однородных упругих систем с учетом работы бетона сжа-
той и растянутой зон и ползучести бетона, если рассматриваются дли-
тельные температурно-влажностные воздействия.
Железобетонные конструкции, в которых допускается образова-
ние трещин, рассчитываются с учетом неупругих деформаций и нали-
чия трещин в растянутом бетоне, т.е. по повышенным кривизнам (по-
ниженным жесткостям) их элементов. Поскольку при этом жесткости
элементов и усилия в них оказываются взаимосвязанными, этот расчет
приходится вести методом последовательных приближений.
Отметим, что при расчете бетонных и железобетонных конструк-
ций на температурно-влажностные воздействия возможны: а) расчет
существующего сооружения с учетом известного заранее его темпера-
турно-влажностного режима и б) предварительный расчет еще не су-
ществующего сооружения на гипотетические изменения его темпера-
турно-влажностного режима.
Первый случай встречается очень редко, например, при выясне-
нии причин аварии эксплуатируемого сооружения с учетом фактичес-
ких данных о его температурно-влажностном режиме1.
Второй случай, обычный для инженера-проектировщика, носит
некоторый условный характер. Здесь приходится исходить из осреднен-
ных данных многолетних наблюдений за метеорологическими условия-
ми местности предполагаемого района строительства, анализа техноло-
гического режима подобных и уже эксплуатирующихся сооружений и
1 Например, данных метеорологических сводок за некоторый истекший пе-
риод времени или результатов непосредственного измерения температуры и
влажности на месте, анализа технологического режима сооружения и т.п.
519
т.п. Имея в виду известную гипотетичность подобных расчетов, не сле-
дует стремиться к их большой точности. В соответствии с этим в ука-
занном выше методе последовательных приближений достаточно огра-
ничиться двумя, максимум тремя приближениями, включая и перво-
начальный расчет сооружения как упругой системы (см. § XIII.6).
§ XIIL2. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА
ИЗМЕНЕНИЯ ИХ ТЕМПЕРАТУРЫ И ВЛАЖНОСТИ
Температурно-влажностные воздействия на железобетонные кон-
струкции следует учитывать при установлении расстояний между тем-
пературно-усадочными швами, а также в особых случаях расчета конст-
рукций, подверженных значительным изменениям температуры или
влажности, например, при: а) резко неравномерном распределении
температуры или влажности по сечениям элементов; б) периодическом
воздействии на конструкции производственно-технологических тепло-
выделений; в) устойчиво низкой влажности окружающей среды; г) рас-
чете конструкций, находящихся на открытом воздухе в первом клима-
тическом районе (см. табл. прил. 8 и рис. 9 прил. 1 СНиП 2.01.01-82
[255]) и в сухих и устойчиво сухих районах (см. приложение VI).
Можно не учитывать усадку бетона в элементах сборных железо-
бетонных конструкций, а также в конструкциях, с раннего возраста
защищенных от высыхания грунтом или лакокрасочными покрытиями.
При расчете в необходимых случаях на изменения температуры и
влажности железобетонных конструкций, рассматриваемых как систе-
мы, состоящие из брусьев или плит (балочные, рамные, арочные и
другие системы), необходимо пользоваться следующими указаниями.
При определении вызываемых изменениями температуры и влаж-
ности усилий и перемещений (деформаций) железобетонных статичес-
ки неопределимых конструкций, у которых допускается наличие тре-
щин, учитываются лишь изменения средней расчетной температуры
(влажности) их элементов и расчетного перепада температуры (влаж-
ности) по толщине сечений элементов, отыскиваемые на основе соот-
ветствующей условной трапецеидальной эпюры изменений температу-
ры (влажности) (см. § XIII. 1, § XIII.4, § XIII.5). Расчет таких конст-
рукций производится с учетом неупругих деформаций и наличия тре-
щин способом последовательных приближений (см. § ХШ.З), прини-
мая во внимание длительность рассматриваемых воздействий.
В статически неопределимых железобетонных конструкциях, у
которых наличие трещин не допускается, при расчете по образованию
520
трещин (см. п. 4.1 СНиП)1 учитывается вся эпюра изменения темпе-
ратуры (эффективной влажности). Такие конструкции рассчитывают-
ся как однородные упругие системы, при этом кривизны их элементов
определяются по указаниям п. 4.24 СНиП.
В статически определимых конструкциях изменения температу-
ры или влажности вызывают лишь напряжения, эпюры распределения
которых по их сечениям статически эквивалентны нулю. Поэтому у кон-
струкции этого вида, у которых допускается наличие трещин, учет тем-
пературно-влажностных воздействий производится только при вычис-
лении перемещений (деформаций). При этом учитываются лишь из-
менения средней расчетной температуры (влажности) их элементов и
расчетного перепада температуры (влажности) по сечению элементов
(см. § XIII.1, § XIII.4 и § XIII.5).
В статически же определимых железобетонных конструкциях, у
которых наличие трещин не допускается, расчет по образованию тре-
щин производится по разности эпюр изменения температуры (эффек-
тивной влажности): действительной (криволинейной) и условной тра-
пецеидальной.
Необходимые для расчета железобетонных конструкций величи-
ны средних расчетных температуры и влажности их элементов, а также
расчетных перепадов температуры и влажности по толщине сечений
элементов определяются в соответствии с указаниями § XIII. 1, § XIII.4
и§ХШ,5.
При определении усилий, возникающих от изменений темпера-
туры и влажности в элементах статически неопределимых конструкций,
должны учитываться их деформации (перемещения) в соответствии с
указаниями § XIII. 1 и § ХШ.З.
Температурно-влажностные усилия в железобетонных конструк-
циях, отыскиваемые в соответствии с рекомендациями настоящего па-
раграфа, принимаются одинаковыми при расчете этих конструкций по
всем предельным состояниям.
Расчет статически неопределимых железобетонных конструкций
на температурно-влажностные воздействия, рассматриваемых как сис-
темы, составленные из массивных брусьев или плит, или представля-
ющих собой сочетание массивных и немассивных элементов (балки,
рамы, арки и т.п.), на основах строительной механики лучше всего
проводить по способу последовательных приближений (см. § ХШ.З)
1 Здесь и далее, если это не оговорено особо, под СНиП понимается СНиП
2.03.01-84(256].
521
методом сил с учетом влияния продольных деформаций и деформаций
сдвига на перемещения основной системы. При этом следует широко
применять различные упрощающие приемы расчета, а именно: рацио-
нальный выбор основной системы, группирование лишних неизвест-
ных, разложение нагрузки на косо- и прямосимметричные составляю-
щие, применение статически неопределимых основных систем, исполь-
зование симметрии расчетных схем и введение жестких консолей для
надлежащего переноса лишних неизвестных в упругий центр.
Расчет статически неопределимых балочных, рамных или ароч-
ных систем, составленных из немассивных или средней массивности
элементов, вполне допустимо производить без учета влияния продоль-
ных деформаций и деформаций сдвига на перемещения основной сис-
темы. Можно также не учитывать деформации сдвига при расчете мас-
сивных конструкций, обладающих симметрией геометрических разме-
ров, условий опирания и распределения жесткостей, на симметрич-
ные воздействия температуры, влажности и внешней нагрузки. При
определении степени массивности элемента конструкции следует пользо-
ваться указаниями § 11.12.
Массивность конструкций следует учитывать также при выборе
расчетной схемы сооружения, подлежащего расчету. Например, со-
оружение, изображенное схематически на рис. 126, а, нельзя рассмат-
ривать как обычную раму с длинами составляющих ее стержней, рав-
ными их продольным размерам в осях. Ясно, что такой выбор расчет-
ной схемы привел бы к завышенным значениям внутренних усилий и
превышению запаса прочности всего сооружения в целом. При выборе
расчетной схемы такого сооружения следует учитывать разгружающее
влияние на деформации изгиба и сдвига составляющих его элементов
их концевых участков, опирающихся на массивные, примыкающие к
ним смежные элементы. Поэтому правильной расчетной моделью рас-
сматриваемого сооружения, учитывающей массивность его элементов,
будет служить рама с приузловыми участками ее стержней, бесконечно
жесткими по отношению к их сдвигу и изгибу (рис. 126, б).
Практически это означает, что при учете деформаций изгиба и
сдвига при вычислении перемещений (метод сил) или реакций (метод
деформаций) основной системы следует исходить из длин элементов Z.
«в свету» и их пролетной жесткости. Поскольку приузловые участки
элементов, составляющих сооружение, на их продольные деформации
разгружающего влияния не оказывают, то при учете последних следует
исходить уже из действительных длин элементов L, т.е. из их размеров
«в осях» и их пролетных жесткостей.
522
Расчет железобетонных конструкций на изменения их температу-
ры и влажности в необходимых случаях производится: в период строи-
тельства при отсутствии эксплуатационных нагрузок и в период эксплу-
атации с учетом последних.
В первом случае расчет железобетонных конструкций на указан-
ные воздействия следует производить, как правило, в предположении
их упругой работы, т.е. по кривизнам, соответствующим сплошному
приведенному сечению их элементов без наличия трещин в них. При
этом их кривизна при изгибе назначается в соответствии с рекоменда-
циями п. 4.24 СНиП. В период эксплуатации железобетонные конст-
рукции, в которых по условиям эксплуатации появление трещин недо-
пустимо (предварительно-напряженные элементы 1-й и 2-й категории
трещиностойкости, слабоармированные элементы и т.п.), также дол-
жны рассчитываться аналогичным образом.
При расчете обычных и предварительно-напряженных железобе-
тонных конструкций 3-й категории трещиностойкости в период эксп-
луатации следует учитывать наличие трещин в растянутом бетоне и ис-
ходить из повышенных кривизн, назначаемых в соответствии с реко-
мендациями п. 4.27 СНиП и продольных осевых деформаций, опреде-
ляемых в соответствии с указаниями § ХШ.З. При этом жесткость на
сдвиг при расчете массивных конструкций назначается соответствую-
Рис. 126. Действительная и расчетная схемы массивной железобетонной рамы:
а — действительная; б — расчетная.
523
щей сплошному сечению элементов без учета трещин в них. В тех же
случаях, когда в массивной конструкции возможно появление косых
трещин, при соответствующем обосновании, допускается также сни-
жение жесткости ее элементов на сдвиг на 10%.
При расчете железобетонных элементов с трещинами на длитель-
ные воздействия нагрузки, температуры или влажности их кривизны и
продольные осевые деформации вычисляются в соответствии с реко-
мендациями п. 4.27 СНиП и указаниями § ХШ.З. При этом отноше-
ние v упругой части деформации крайнего волокна сжатой грани сече-
ния к полной его деформации, в зависимости от условий работы кон-
струкции, принимают: при сухом режиме работы конструкции v = 0,1;
при нормальном режиме v =0,15; при влажном режиме v = 0,2.
Классификация режима работы конструкций, находящихся на
открытом воздухе, по указанному признаку может производиться в со-
ответствии с влажностно-климатическим районированием территории
бывшего СССР [260], приведенным в приложении VI.
Необходимые для расчета распределения температуры и влажно-
сти бетона по сечениям элементов, а также температурных и влажнос-
тных деформаций и усилий средние величины физических характерис-
тик тяжелого бетона можно принимать по данным СНиП 2.03.01-84
[256], СНиП 2.06.08-87 [259] и СНиП II-3-79* [260].
При расчете железобетонных элементов на изменения их влаж-
ности расчетные значения коэффициентов линейной усадки и линей-
ного набухания могут приниматься сниженными и равными величина-
ми Р и П для бетона, умноженным на коэффициент m
_ 1
m =----,
1 + пц
(XIII. 12)
где
n=^a. (XIII. 13)
E6 F6
Указанная в § VI.5 средняя величина коэффициента линейного
набухания Ц относится к случаям набухания бетона за счет его контакта
с водой (наполнение емкостей, затопление конструкций и т.п.). При
расчете деформаций бетона, вызываемых его гигроскопическим увлаж-
нением за счет адсорбции водяных паров из воздуха (деформации бето-
на, связанные с увеличением относительной влажности воздуха в су-
точном, месячном или годовом цикле), расчетную величину коэффи-
циента линейного набухания Ц следует принимать равной указанной там
же величине коэффициента линейной усадки 0.
524
§ XIII.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОН-
НЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ИХ РАСЧЕТЕ НА ИЗМЕНЕНИЯ
ТЕМПЕРАТУРЫ И ВЛАЖНОСТИ
Перемещения (линейные смещения и углы поворота) железобе-
тонных конструкций, рассматриваемых как плоские системы, состоя-
щие из брусьев или плит (балочные, рамные, арочные системы и т.п.),
следует вычислять, определяя их жесткости или кривизны по рекомен-
дациям пп. 4.24, 4.27 СНиП применимо к рассматриваемому случаю.
При определении перемещений железобетонных конструкций в
необходимых случаях должна учитываться длительность воздействия
нагрузок, температуры и влажности.
Расчетные изменения температуры и влажности конструкций,
находящихся на открытом воздухе, связанные с колебаниями темпера-
туры и влажности воздуха, за исключением специально оговариваемых
случаев их кратковременных (например, суточных или декадных) из-
менений, относятся к категории длительных воздействий. К ним от-
носятся также изменения температуры и влажности конструкций, свя-
занные со стационарными технологическими режимами (конструкции
кондиционируемых зданий, пропарочных камер непрерывного действия
и т.п.). К категории кратковременных воздействий относятся измене-
ния температуры и влажности конструкций автоклавов, нестационар-
ных пропарочных камер и т.д.
Перемещения плоской статически определимой системы, состо-
ящей из m железобетонных элементов, вызываемые изменениями тем-
пературы и влажности бетона, в общем случае могут быть определены
по формулам
Ait=X J*MjaAt*ds + ^ jNjaAtcpds; (m)(L.n) (rn)(L,„)
Д,у=£ jM^AU'ds + E fN^AU^ds; (m)(Lni) (m)(Lin) (XIII. 14)
AiH=X fM,T]AU’ds + jN.nAU^ds,
где Ait,Aiy,AiH — перемещения заданной системы в i-м направлении,
вызываемые соответственно изменениями темпера-
туры, усадкой и набуханием бетона;
МР N. — изгибающие моменты и продольные силы в задан-
ной системе от действия в i-м направлении соответ-
ствующей единичной обобщенной силы;
525
Lm — длина элемента m системы «в осях»;
а, Р, Л — соответственно коэффициенты линейного темпера-
турного расширения, линейной усадки и линейного
набухания, средние значения которых были указаны
выше;
Atcp, AUcp — соответствующие изменения средних расчетных тем-
пературы и влажности элементов, вычисляемые на
основании указаний § Х.4 и § Х.5;
At*, AU*—соответствующие изменения расчетных перепадов тем-
пературы и влажности по толщине сечения элемен-
тов, отыскиваемые с помощью рекомендаций тех же
параграфов.
В формулах (XIII. 14) суммирование распространяется на все m
элементов всей заданной системы. Для массивных брусьев или плит в
формулах(ХШ. 14) в первом слагаемом длину Lm следует принимать рав-
ной длине элементов «в свету» /т.
Вызываемые нагрузкой перемещения плоской статически опре-
делимой системы, состоящей из брусьев или плит (балочные, рамные,
арочные системы и т.п.), в которых не допускаются трещины в растя-
нутой зоне или появление их маловероятно (предварительно-напряжен-
ные элементы 1-й и 2-й категории трещиностойкости, слабо армиро-
ванные элементы), определяются как для сплошного упругого тела по
жесткости Вк, уменьшенной в случае кратковременного действия пол-
зучести в ФЬ1 раз (см. п. 4.24 СНиП). В общем случае перемещения
таких систем, составленных из массивных элементов, вызываемые
кратковременным действием нагрузки, определяются с учетом продоль-
ных деформаций и деформаций сдвига и указаний § XIII.2.
Для немассивных и средней массивности брусьев или плит следу-
ет учитывать перемещения, вызываемые только изгибом элементов, с
учетом их длин «в осях».
Перемещения плоской статически определимой системы, состо-
ящей из брусьев или плит, изгибаемых, внецентренно сжатых и вне-
центренно растянутых с большими эксцентриситетами, в которых при
нагрузках, соответствующих стадии определения перемещений, могут
появиться трещины в растянутой зоне (т.е. выполняемых без предва-
рительного напряжения, а также предварительно-напряженных 3-й
категории трещиностойкости), вызываемые внешней нагрузкой, на-
ходят пользуясь методами строительной механики. При этом значения
526
кривизн 1/р элементов определяются в соответствии с указаниями пп.
4.27 и 4.28 СНиП.
В общем случае таких систем, составленных из массивных эле-
ментов, перемещения определяются с учетом продольных деформаций
и деформаций сдвига по формуле
=Х J MiArds + X jNiek(s)ds + X J (XIII.16)
(m)(/m) IW (m)(Ln,) (m)^)
1
Здесь p ф — кривизна данного внецентренно сжатого или внецент-
ренно растянутого с большим эксцентриситетом элемен-
та (с предварительным напряжением или без него), оп-
ределяемая для его отдельных сечений с учетом указа-
ний пп. 4.27 и 4.28 СНиП;
Ek (s) — осевая деформация данного элемента с трещинами, оп-
ределяемая для его отдельных сечений .по формуле
e = zo
Й (M3-NcZ|)ya
Р J FaEaZl
(XIII. 17)
а остальные величины имеют тот же смысл, что и в (XIII. 14).
В формуле (XIII. 17) z0 — расстояние от центра тяжести площади
сечения всей арматуры, расположенной в растянутой зоне, до оси эле-
мента; 1/р — кривизна элемента в данном сечении, определяемая по
формуле (160) п. 4.27 СНиП с учетом выражения (161), а остальные
величины имеют тот же смысл, что и в формуле (158) п. 4.27 СНиП
11-21.75.
При вычислении первого слагаемого в выражении (XIII. 16) мож-
но пользоваться формулой
2> p*(s) в-
(XIII. 18)
где п — число характерных участков эпюры моментов Мк;
ап — длины этих участков, в сумме составляющие длину /т;
Вп — условная жесткость участка п.
Под характерными участками эпюры моментов Мк понимаются ее
участки, надлине которых в рассматриваемом элементе имеются или,
наоборот, не имеются трещины. Границы этих участков имеют орди-
наты, равные моменту Мт соответствующего знака. Условные жестко-
527
сти Вп этих участков принимаются равными: в пределах участка без тре-
щин — жесткости Вп, уменьшенной в случае длительного действия на-
грузки в ФЬ2 раз (см. п. 4.24 СНиП); в пределах участка с трещинами
d _ ^nmax
" ( j V (XIII.19)
lPn J
Здесь Mnmax - наибольший момент эпюры Мк на ее участке с тре-
щинами n; 1/Р п — кривизна в сечении, где действует момент Mnmax,
определяемая с учетом длительности действия нагрузки. Второе слага-
емое в формуле (XIII. 16) в запас прочности можно вычислять по фор-
муле
X J (XIII.20)
(m)(Lm) (m)(Lm) б 6
При вычислении перемещений в соответствии с указаниями на-
стоящего параграфа, используемых для определения усилий в стати-
чески неопределимых конструкциях, в запас прочности границы учас-
тков с трещинами определяются из расчета по образованию трещин по
моменту Мт, найденному по рекомендациям СНиП при замене R на R “ .
Для немассивных и средней массивности брусьев или плит в фор-
муле (XIII. 16) можно ограничиться только одним первым слагаемым и
полагать в нем /т = Lm, т.е. вычислять перемещения с учетом длин
элементов «в осях» и без учета влияния продольных деформаций и де-
формаций сдвига.
При расчете железобетонных конструкций на изменения темпе-
ратуры и влажности для элементов постоянного сечения на каждом уча-
стке с трещинами кривизна 1 / р вычисляется только для наиболее на-
пряженного сечения. В остальных сечениях такого участка вполне до-
пустимо принимать кривизну изменяющейся пропорционально изме-
нению значений изгибающего момента.
Перемещения плоских статически определимых систем, состоя-
щих из брусьев (плит) различной степени массивности и работающих в
разных условиях, в зависимости от случаев, рассмотренных выше, отыс-
киваются с помощью надлежащего сочетания соответствующих формул
для каждого данного элемента или группы элементов системы.
Для отыскания перемещений плоских статически неопределимых
систем, состоящих их железобетонных брусьев или плит, на основах
строительной механики эти системы сначала рассчитываются по спосо-
528
бу последовательных приближений методом сил с учетом, в необходи-
мых случаях, влияния продольных деформаций и деформаций сдвига
на их перемещения. После отыскания таким способом усилий в их эле-
ментах последние рассматриваются уже как статически определимые кон-
струкции, искомые перемещения которых определяются с помощью ука-
заний настоящего параграфа.
Способ последовательных приближений состоит в следующем.
Вначале статически неопределимая конструкция рассчитывается на дей-
ствие заданных внешней нагрузки и изменений температуры и влажно-
сти как упругая система в соответствии с рекомендациями настоящего
параграфа. Затем, на основании данных этого расчета для ее элемен-
тов на участках с трещинами, в зависимости от полученного упругим
расчетом случая и с учетом приведенных выше рекомендаций, опреде-
ляются новые жесткости (кривизны) элементов на этих участках; жест-
кости элементов на участках без трещин остаются прежними. После
этого последовательно, до достижения хорошей степени приближения,
повторяется расчет исходной статически неопределимой конструкции с
учетом нового распределения жесткостей (кривизн). Данные этого рас-
чета используются, как указано выше, для непосредственного опреде-
ления окончательных жесткостей (кривизн), необходимых для вычис-
ления искомых перемещений.
Имея в виду известную гипотетичность расчетов на изменения
температуры и влажности, как уже отмечалось выше, не следует стре-
миться к их слишком большой точности. В соответствии с этим в ука-
занном способе последовательных приближений достаточно ограничить-
ся максимум тремя приближениями, включая и первоначальный рас-
чет сооружения как упругой системы.
§ XIII.4. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ БЕТОНА
ПО СЕЧЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И ВЫБОР
СРЕДНЕЙ РАСЧЕТНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ И РАСЧЕТНОГО
ПЕРЕПАДА ТЕМПЕРАТУРЫ
Распределение температуры по сечениям элементов массивных и
средней массивности железобетонных конструкций, находящихся на
открытом воздухе или подверженных воздействиям периодических тех-
нологических изменений температуры, отыскивается методами теории
теплопроводности с учетом технологических данных (см., например,
§1.16).
529
Нельзя, как это часто делается, расчет распределения температу-
ры по сечениям элементов таких конструкций производить в предполо-
жении их стационарного (не зависящего от времени) теплового режи-
ма во всех случаях.
Необходимая для расчета распределения температуры по сечени-
ям конструкций, находящихся на открытом воздухе, расчетная темпе-
ратура наружного воздуха <р(т) может быть найдена по формуле
<р(т) = Jgia jcos Р+— , (XIII.21)
2 I 2 II V] I
где т — время вч.; т, = 8640 — число часов в году; tmin, tmax — расчет-
ные температуры наружного воздуха соответственно самого холодного
и самого жаркого месяца года для данной местности, назначаемые на
основе соответствующих обоснований и в соответствии с указаниями
СНиП 2.01.01-82 [255]; р — числовая величина, принимаемая по табл.
55 в зависимости от начала отсчета времени т.
Начальное распределение температуры по сечению элемента за-
висит от начальных условий изготовления конструкции и ее предше-
ствующего температурного режима. Если рассматривается температур-
ный режим элемента конструкции, начиная с момента ее изготовле-
ния, то его начальную температуру можно считать постоянной и рав-
ной температуре укладываемого бетона. При необходимости рассмот-
рения температурного режима конструкции лишь на отдельном периоде
ее работы (например, на отрезке времени с начала замыкания конст-
рукции до приложения эксплуатационной нагрузки) начальное и часто
уже неравномерное распределение температуры по сечениям элементов
конструкции в начале этого периода должно приниматься на основе
соответствующих данных (например, равным заданной температуре бе-
тона в момент замыкания конструкции) или на основе рассмотрения
предшествующего этому моменту времени температурного режима кон-
Таблица 55
Значения параметра р в зависимости от начала отсчета времени
Начало отсчета времени Месяц года
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Р Л 7л ~6 4л Т Зл Т 5л Т 11л "ёГ 0 л 6 л 3 л 2 2л 3 5л ~6
530
t*(K) = tgo(.>0;
u*(K) = tg*>0
t'an;
u*('l) = o
t*(K)-tg<*<0;
u*(K) = tq*<Q
л t*(*,l)=t*(K)-t*(i)>o;
д u*(K,i)= и*(K)-u*(i)>о
A U*(KS)9U*(K)-U*(l)<0
Рис. 127. Правило знаков для расчетного перепада температуры (влажности)
и изменений средней расчетной температуры (влажности) и рас-
четного перепада температуры (влажности).
Рис. 128.
531
В соответствии с формулой (ХШ.З) средняя расчетная темпера-
тура tcp элемента, изменения которой вызывают его* осевые деформа-
ции удлинения или укорочения, равна лежащей на оси этого элемента
ординате условной трапецеидальной эпюры распределения температу-
ры по сечению элемента. Расчетный же перепад температуры С по се-
чению элемента в рассматриваемом направлении, изменения которого
вызывают искривления его оси, на основании формулы (ХШ.4) равен
взятому с соответствующим знаком тангенсу угла наклона в заданном
направлении наклонной стороны этой условной трапецеидальной эпю-
ры распределения температуры к поперечному сечению элемента. Пра-
вило знаков для tcp, С, д tcp и дС (рис. 127) устанавливается следую-
щим образом.
1. Изменения средней расчетной температуры (влажности) эле-
мента и расчетного перепада температуры (влажности) по сечению эле-
мента находятся как разности соответствующих величин, найденные
вычитанием их значений для предыдущего момента времени из их зна-
чений для последующего момента времени.
2. Положительные изменения средней расчетной температуры
(влажности) соответствуют разогреву (увлажнению) элемента.
3. Положительный расчетный перепад температуры (влажнос-
ти) соответствует случаю, когда на грани х = х0 элемента с высотой
поперечного сечения 2х0 температура (влажность) бетона больше, чем
на его грани х0 = — х0 (см. рис. 127.).
4. Положительное изменение расчетного перепада температуры
(влажности) по сечению элемента соответствует случаю, когда вызы-
ваемое им искривление элемента обращено выпуклостью в сторону по-
ложительного направления оси ординат, лежащей в плоскости его по-
перечного сечения (рис. 127.).
Условная трапецеидальная эпюра распределения температуры по
высоте 2х0 прямоугольного сечения бетонного (слабо армированного)
элемента находится из условий ее равенства по площади и статическому
моменту площади относительно оси элемента действительной эпюре рас-
пределения температуры
2X0^ = ^; |x’t*=S,. (XIII.22)
Условная трапецеидальная эпюра распределения температуры по
сечению железобетонного элемента должна быть по площади и стати-
ческому моменту площади относительно оси элемента отлична от дей-
ствительной эпюры распределения температуры на некоторые величи-
532
ствительной эпюры распределения температуры на некоторые величи-
ны, в связи с тем, что для такого элемента нужно исходить из его
приведенного сечения. В случае прямоугольного элемента с симмет-
ричным распределением арматуры в направлении его толщины услов-
ная трапецеидальная эпюра распределения температуры находится при
этом из условий
2x0tcp = F,-(n-l)^f® [t
^xot*=S,-(n-l)^f<,a) х® [t
(XIII.23)
т.е. должна быть по площади и статическому моменту площади относи-
тельно оси элемента меньше или больше, чем действительная эпюра
распределения температуры, на некоторые величины в зависимости от
знака сумм в формулах (XIII.23). Входящие в выражения (XIII.22),
(XIII.23) величины имеют тот же смысл, что и в формулах (XIII.24) -
(XIII.26).
Средняя расчетная температура tcp и расчетный температурный
перепад С по сечению прямоугольного железобетонного элемента в об-
щем случае криволинейного распределения температуры в направле-
нии высоты 2х0 его сечения, когда температура элемента по его толщи-
не 2у0 не изменяется и арматура расположена симметрично относитель-
но оси Ох сечения (рис. 128, а), на основании выражений (XIII.23)
находятся по формулам
‘ср = к{(п - Vu - (n - l)SaSla ]+ 2у0[jnF( - (n - 1>,S, ]}, (XIII.24)
t* = K{(n - l)[F„Ste - (п -1>а1>и]+ 2y0[FnS, - (n -l)SaFt Ь (Х1П.25)
(XIII.26)
Jn, Fn — соответственно момент инерции относительно оси Оу и пло-
щадь приведенного сечения элемента; F — площадь бетонного сечения
элемента; Fa — площадь всей учитываемой арматуры, Sa, Ja — соот-
ветственно статический момент и момент инерции относительно оси Оу
площади всей учитываемой арматуры; vta — часть объема заданной эпю-
ры распределения температуры по сечению элемента, выделяемая бо-
ковой поверхностью всех учитываемых арматурных стержней
533
Sta — статический момент части объема заданной эпюры распределе-
ния температуры по сечению элемента, выделяемой боковой поверх-
ностью всех учитываемых арматурных стержней, относительно оси Оу
его поперечного сечения
Sta = 2^а11шхаЬ (XIII.28)
n — коэффициент приведения площади арматуры к бетону (модульное
число); St, Ft — соответственно статический момент относительно оси
Оу и площадь заданной эпюры распределения температуры по сечению
элемента; Г — площадь i-ro стержня учитываемой арматуры; xai — взя-
тое с соответствующим знаком расстояние от центра тяжести попереч-
ного сечения i-ro стержня учитываемой арматуры до оси Оу поперечно-
го сечения элемента; taj — ордината заданной эпюры распределения тем-
пературы по сечению элемента, лежащая над центром тяжести попе-
речного сечения i-ro стержня учитываемой арматуры. Для бетонного
(слабо армированного) элемента формулы (XIII.24), (XIII.25) прини-
мают вид
Ft * 3S,
'-=^; ‘ =^г <Х11’-29)
В формулах (XIII.27), (XIII.28) суммирование производится по
всем учитываемым арматурным стержням сечения элемента, число ко-
торых предполагается равным i.
Для железобетонных элементов с прямолинейным или близким
к нему распределением температуры по высоте поперечного сечения, а
также элементов, имеющих только конструктивную арматуру, вполне
допустимо среднюю расчетную температуру элемента t и расчетный
температурный перепад С по сечению элемента определять по форму-
лам (XIII.29), как для бетонных (слабо армированных) элементов.
Площадь F, и статический момент S( плоской эпюры распределения тем-
пературы по сечению элемента в случае, когда распределение темпера-
туры задано в табличной форме (графически) (рис. 129), приближен-
но можно отыскивать по формулам
F, = — t0 + 2^t,
(n =l,2,...,m-l);
(ХШ.30)
M- 2tm +3£(n -l)[t(.+n) + t(,+n-l)-
S’ ' 3m2
(XIII.31)
(n)
m
534
Здесь m — четное число равных участков, составляющих высоту
элемента 2х0, a t0, tj,tm,, tm - ординаты заданной эпюры распределе-
ния температуры на границах этих участков. Вычисление площади Ft
эпюры распределения температуры по сечению элемента в случае ее гра-
фического задания удобно производить также с помощью планиметра.
§ XIII.5. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЛАЖНОСТИ БЕТОНА
ПО СЕЧЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И ВЫБОР
СРЕДНЕЙ РАСЧЕТНОЙ ВЛАЖНОСТИ И РАСЧЕТНОГО
ПЕРЕПАДА ВЛАЖНОСТИ
Распределение влажности бетона по сечениям элементов массив-
ных и средней массивности железобетонных конструкций, находящих-
ся на открытом воздухе или подверженных воздействиям периодичес-
ких технологических изменений влажности, отыскивается методами
теории влагопроводности с учетом технологических данных (см., на-
пример, § V.7). Нельзя, как это иногда делают, расчет распределения
535
влажности по сечениям элементов таких конструкций всегда произво-
дить в предположении их стационарного (не зависящего от времени)
влажностного режима.
Необходимая для расчета распределения влажности бетона по се-
чениям конструкций, находящихся на открытом, воздухе, расчетная
равновесная относительная влажность бетона может быть найдена по
формуле
Umax + U min
2
U max ^min
2
к|/(т)= 20+1;
|| 2лт] ,__4 .
cos р +--- -10 г/г,
4 7 (XIII.32)
где Umax и Umjn - соответственно максимальная и минимальная средне-
месячные относительные влажности наружного воздуха в процентах для
данной местности, назначаемые в соответствии с табл. прил. 3 СНиП
2.01.01-82 [255]; т , т, — величины, имеющие тот же смысл, что и в
формуле (XIII.21) для температуры наружного воздуха; Р — числовая
величина, имеющая те же значения, что и в формуле (XIII.21), но с
нулевым значением, отнесенным не к июлю месяцу, а к месяцу макси-
мальной среднемесячной относительной влажности наружного воздуха
для данной местности, и соответствующей сдвижкой по месяцам ос-
тальных ее значений.
Расчетная равновесная относительная влажность бетона в конст-
рукциях, находящихся в закрытом помещении, находится по формуле
у(г) = [20 + 1,5U(t)]10'4 г/г, (ХШ.ЗЗ)
где U( т) — технологическая относительная влажность воздуха в поме-
щении в процентах, в общем случае являющаяся заданной функцией
времени т.
Начальное распределение относительной влажности бетона по
сечению элемента зависит от начальных условий изготовления конст-
рукции и ее предшествующего влажностного режима. Если рассматри-
вается влажностный режим элемента конструкции, начиная с момента
ее изготовления, то начальную относительную влажность бетона мож-
но считать постоянной и равной ее начальной влажности (V. 12).
При необходимости рассмотрения влажностного режима конст-
рукции лишь на отдельном периоде ее работы (например, на периоде,
соответствующем отрезку времени с начала замыкания конструкции до
приложения эксплуатационной нагрузки) расчетное начальное и часто
уже неравномерное распределение влажности бетона по сечению эле-
мента конструкции в начале этого периода должно отыскиваться на од-
536
нове рассмотрения предшествующего этому моменту времени влажнос-
тного режима конструкции.
Средняя расчетная влажность Ucp элемента, изменения которой
вызывают его осевые деформации укорочения или удлинения, равна
лежащей на оси этого элемента ординате условной трапецеидальной эпю-
ры распределения относительной влажности бетона по сечению эле-
мента.
Расчетный перепад влажности U* по сечению элемента в рассмат-
риваемом направлении, с изменениями которого связаны искривле-
ния его оси, равен взятому с соответствующим знаком тангенсу угла
наклона в заданном направлении наклонной стороны этой условной
трапецеидальной эпюры распределения относительной влажности бе-
тона к поперечному сечению элемента. Правило знаков для Ucp, U*,
ДЦР иди* см. на рис. 127.
При отыскании условной трапецеидальной эпюры распределения
относительной влажности бетона возможны два расчетных случая.
Случай первый — имеются в виду изменения средней расчетной
влажности и расчетного перепада влажности бетона при высыхании эле-
мента (расчет на усадку бетона) или гигроскопическом увлажнении за
счет адсорбции водяных паров из воздуха (расчет влажностных дефор-
маций бетона, связанных с колебаниями влажности наружного возду-
ха). Случай второй — имеются в виду изменения средней расчетной
влажности и расчетного перепада влажности бетона при увлажнении
элемента за счет контакта с водой (расчет на набухание бетона).
В первом расчетном случае условная трапецеидальная эпюра рас-
пределения относительной влажности бетона по высоте 2х0 сечения бе-
тонного (слабо армированного) элемента находится из условий ее ра-
венства по площади и статическому моменту площади относительно оси
элемента эпюры распределения эффективной относительной влажнос-
ти бетона
2x0Ucp=F’u; |x30U*=S’u. (XIII.34)
Условная трапецеидальная эпюра распределения относительной
влажности бетона по сечению железобетонного элемента в первом рас-
четном случае должна быть по площади и статическому моменту площа-
ди относительно оси элемента отлична от эпюры распределения эф-
фективной относительной влажности бетона на некоторые величины,
в связи с тем, что для такого элемента нужно исходить из его приве-
денного сечения. В случае прямоугольного элемента с симметричным
537
распределением арматуры в направлении его толщины условная трапе-
цеидальная эпюра распределения относительной влажности бетона на-
ходится при этом из условий:
21^0 = Ft, -(n-l)£f«> [ucp+U\C) _U’(x<’> )];
(О
|х’о и* =81 -(n-l)£f(i’ х« ta + U-xW -и’(х<‘> )1
3 (I)
(XIII.35)
т.е. должна быть по площади и статическому моменту площади относи-
тельно оси элемента меньше или больше, чем эпюра распределения
эффективной относительной влажности бетона, на некоторые величи-
ны в зависимости от знака сумм в формулах (XIII.35).
Входящие в выражения (XIII.35) величины ймеют тот же смысл,
что и в формулах (XIII.36) - (XIIL40), а величины Fg, Sy, U3(x(i* )
относятся к эпюре распределения эффективной относительной влаж-
ности бетона.
Во втором расчетном случае условная трапецеидальная эпюра рас-
пределения относительной влажности бетона находится аналогичным
путем, но по полной эпюре распределения действительной относитель-
ной влажности бетона. Формулы (XIII.34) и (XIII.35) справедливы и
в этом случае, но в них вместо Fg, Sg, U3(x(i> ) берутся соответствую-
щие величины, найденные по полной действительной эпюре распре-
деления относительной влажности бетона.
Эпюра распределения эффективной относительной влажности бе-
тона находится из эпюры распределения его действительной относи-
тельной влажности по сечению элемента, отсечением и отбрасыванием
ее частей, лежащих выше критической относительной влажности бето-
HaU«p-
Определения эффективной и критической вяажностей бетона даны
в § VI.7; там же указаны методы их отыскания.
Средняя расчетная влажность Ucp и расчетный перепад влажнос-
ти U* по сечению прямоугольного железобетонного элемента в общем
случае криволинейного распределения влажности в направлении высо-
ты 2х0 его сечения, когда влажность элемента по его толщине 2у0 не
изменяется и арматура расположена симметрично относительно оси Ох
сечения (см. рис. 128, б), в первом расчетном случае, указанном
выше, находятся по формулам:
а) если вся кривая распределения действительной влажности бе-
538
тона по высоте сечения элемента лежит выше критической влажности
бетона UKp:
иф = ки^пр+(п-l)|jnFn-(п-1>2 ]} U- = 0; (XIII.36)
б) если на кривой распределения действительной влажности бе-
тона по высоте сечения элемента имеется лишь участок Ь<х<с, лежа-
щий выше критической влажности бетона U ,
иср = к{(п-1^п1)’иа -(n-l)SaSya -гу^олиДс’-ь2)-^*
+ 2у0( Jnij-Mc - b)- Fu ] - (и - iKSu+J„Fu )|; (XIII.37)
U* = К j(n -l^FnS3Ua -(п - 1>а< -2y„Sa(U^c-b)-Fu J +
+ 2yo^Fn[o,5U„)(c2 - b2)-Su ] + Fn Su - (n - (XIII.38)
в) если вся кривая распределения действительной влажности бе-
тона по высоте сечения элемента лежит ниже критической влажности
бетона
Ucp = 4П"1)Ь’и. -(n-l)SaS’Ua J+2yobnFu -(n-lKsJ}; (XIII.39)
U*=K{n-l)|F„S’Ua -(n-l)Sau’Ua ]+2y0[F„Su-(n-l)SaFlJJ. (XIII.40)
В формулах (XIII.36) - (XIII.40) v3Ua — часть объема эпюры рас-
пределения эффективной влажности бетона по высоте сечения элемен-
та, выделяемая боковой поверхностью всех учитываемых арматурных
стержней
=XUUaifai- (XIII.41)
S иа — статический момент части объема эпюры распределения эффек-
тивной влажности бетона по высоте сечения элемента, выделяемой бо-
ковой поверхностью всех учитываемых арматурных стержней, относи-
тельно оси Оу его поперечного сечения
SLa =ZUUaifaixai- (XIII.42)
(i)
Su и Fu — соответственно статический момент относительно оси Оу и
539
площадь заданной эпюры распределения действительной влажности
бетона по сечению элемента; §и и Fu “ соответственно статический
момент относительно оси Оу и площадь участка b < х < с заданной эпюры
распределения действительной влажности бетона по сечению элемен-
та, ограниченного абсциссами х = b и х = с; — ордината эпюры
распределения эффективной влажности бетона по сечению элемента,
лежащая над центром тяжести поперечного сечения i-ro стержня учи-
тываемой арматуры, а остальные постоянные имеют тот же смысл, что
и в формулах (XIII.24)—(XIIL26).
При определении ординаты и’, возможны два случая:
а) ордината заданной эпюры распределения действительной влаж-
ности бетона, лежащая над центром тяжести поперечного сечения рас-
сматриваемого i-ro стержня учитываемой арматуры, больше или равна
критической влажности бетона U^; в этом случае и’, принимается рав-
ной и ;
б) ордината заданной эпюры распределения действительной влаж-
ности бетона, лежащая над центром тяжести поперечного сечения i-ro
стержня учитываемой арматуры, меньше UKp; в этом случае и’, прини-
мается равной этой ординате.
В формулах (ХШ.41) и (XIII.42) суммирование производится
по всем учитываемым арматурным стержням сечения элемента, число
которых предполагается равным i.
Для бетонного (слабо армированного) элемента формулы
(XIII.36)—(XIII.40) принимают вид:
а) если вся кривая распределения действительной влажности бе-
тона по высоте сечения элемента лежит выше критической влажности
бетона UKp
Ucp^; U*=0; (XIII.43)
б) если на кривой распределения действительной влажности бе-
тона по высоте сечения элемента тлеется лишь участок b < х < с, лежа-
щий выше критической влажности бетона U
U4,=-Lk-I)+U4>(c-b)l (XIII.44)
2Х0
и* = Ак-1+0'5икЛ2-Ь2)] (XIII.45)
2х0
540
в) если вся кривая распределения действительной влажности бе-
тона по высоте сечения элемента лежит ниже критической влажности
бетона U
Средняя расчетная влажность Ucp и расчетный перепад влажнос-
ти U* для железобетонного элемента во втором расчетном случае, ука-
занном выше, находится по формулам(ХШ.39) и (XIII.40). Для бе-
тонного (слабо армированного) элемента в этом случае следует пользо-
ваться формулами (ХШ.46).
В формулах (ХШ.36) — (XIII.40) конструктивную арматуру мож-
но не учитывать.
Для железобетонных элементов с прямолинейным или близким
к нему распределением действительной влажности бетдна по высоте по-
перечного сечения, а также элементов, имеющих только конструктив-
ную арматуру, вполне допустимо среднюю расчетную влажность Ucp и
расчетный перепад влажности U* определять по формулам (XI 11.43) —
(ХШ.46), как для бетонного (слабо армированного) элемента.
Площадь F^j и статический момент 8и эпюры распределения дей-
ствительной влажности бетона по сечению элемента отыскиваются ана-
логично площади F( и статическому моменту St эпюры распределения
температуры по сечению элемента (см. § VHI.4). Части Su и Fu соот-
ветственно площади Fo и статического момента SG эпюры распределе-
ния действительной влажности бетона находятся по формулам
Fu=Fu-U4>(c-b); 8Ц =5и -O^ujc2-b2). (ХШ.47)
§ XIII.6. ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ НА ИЗМЕНЕНИЯ
ТЕМПЕРАТУРЫ И ВЛАЖНОСТИ БЕТОНА
Рассчитаем железобетонную раму погонного метра зоны изотер-
мического прогрева стационарной пропарочной камеры двухтуннель-
ного типа (рис. 130) на изменения температуры и влажности ее эле-
ментов, связанные с переходом к длительному несимметричному цик-
лу пропаривания изделий в одном (правом) из ее отсеков. Имея в виду
худший случай работы рамы, поворотом ее фундаментов пренебрегаем.
Температура t, и влажность воздуха U( со стороны внешнего кон-
541
тура рамы и в ее левом отсеке, а также температура t2 и влажность Ц
воздуха в правом отсеке рамы соответственно равны: tj — 15 С, Ц —
60%;t2 = 80° С; U2=100%.
Ригель рамы несет суммарную равномерно распределенную на-
грузку, расчетное значение которой q = 2,5 тс/м2.
Все элементы рамы выполнены из бетона класса В20 и первона-
чально предполагаются симметрично армированными горячекатаной
арматурой 012 АШ с шагом 200 мм.
Определяем модуль поверхности элементов рамы (см. § 11.12)
2*1'1 _ _ ।
т =--------= 5,72М
1*1*0.35
Так как 2<т< 15, то рама принадлежит к конструкциям средней
массивности.
В соответствии с указаниями § XIII.2 упругий расчет рамы про-
изводим по методу сил без учета продольных деформаций и деформа-
ций сдвига, а ее расчетную схему (рис. 131, а) и основную систему
(рис. 131,6) выбираем с учетом длин элементов рамы в осях с группо-
выми лишними неизвестными, перенесенными в упругий центр.
По заданным расчетным влажностям воздуха U, и U находим
расчетные относительные равновесные влажности граней элементов
рамы по формуле (ХШ.ЗЗ), принимая во внимание, что в рассматри-
ваемом стационарном состоянии U = U . = II- и
max min >
Рис. ВО. схема ~,арвой
542
a) ltrut ц*2,5к!м
1ШШШШШПВД
Рис. 131. Расчетная схема (а), основная система (б) и эпюры изгибающих
моментов в основной системе от сил X, = 1 и нагрузки q (в).
а) левый ригель и стойка
V, = у/2 = (20+1,5U, )• IO-4 = (20+1,5 • 60)-10^* = 1,1- 10~2r / г;
б) правый ригель, средняя и правая стойки
\|/( =(20+1,5-60)10^ = 1,1-Ю"2 г/г;
\|/2 = (20+1,5 -100)10-4 = 1,7 • 10’2 г/г.
В соответствии с указаниями § VI.7 находим относительную кри-
тическую влажность бетона по формуле (VI.2).
По линейной интерполяции, как для конструкции средней мас-
сивности, имеем
wJO.O12S-<W62S)( ( ,
15-2 v 7
у. (0,01 -0,005)_2)+ 0 005 = 0 64340-2 /
15-2 ' '
Для определения коэффициента к формулы (VI.2) пользуемся
табл. 38, по которой находим, что к = 1,4. Тогда
543
U^, = W + kU*p = 0,808-IO-2+1,4 0,643-10“2 = l,710"2r/r.
Так как в рассматриваемом случае Vi < икр и Yi < икр, то изме-
нения средней расчетной влажности д Ucp и расчетного перепада влаж-
ности д U’ по сечениям элементов рамы находим по действительным
влажностям W । и W 2 (§ XIIL5).
Учитывая симметричное армирование рамы и линейное распре-
деление расчетной влажности вследствие ее стационарного влажност-
ного режима в соответствии с указаниями § XIII.5, имеем:
а) до перехода к несимметричному циклу пропаривания для всех
элементов рамы
= 1,110’2г/г; и‘(,) =0;
б) после перехода к несимметричному циклу пропаривания:
для левых стойки и ригеля
и® = 1,1-10“2г/г; и’(2) =0;
для правой и средней стоек, а также правого ригеля
ср 2
и’<2) = О'7-1’1)10 _ 1,713.10’2
0,5 м
Таким образом, расчетные изменения средней расчетной влаж-
ности д Ucp и расчетного перепада влажности д U* будут равны:
для левых стойки и ригеля
диср=и® -U(J’ =0; ди* = и,<2) -и*0) =0;
для средней и правой стоек, а также правого ригеля
ди ер = 1,4 • 10-2 -1,1 • 10’2 = 0,3 • 10"2 г/г;
Ди* =1,713-1О'2-О=1,7131О’2—.
м
Аналогичным образом находим расчетные изменения средней
расчетной температуры д t и расчетного перепада температуры д Г:
для левых стойки и ригеля
Atcp=O; At* =0;
для средней и правой стоек, а также правого ригеля
Atq, = 32,5 град; At* = 185,7 град/м.
544
В соответствии с указаниями § XIII.2 находим расчетные значе-
ния коэффициентов линейной усадки Р ‘ и линейного расширения а
бетона.
Из формулы (XIII. 12) при FH = F' = 0 и Fa = = 5,65см2 имеем
m = —— =---------------------= 0,97;
1 + пт] 2-105 2-5,65
2,7 104 100-35
Р’ = тР = 0,97-3-10~2 = 2,910-Ю'2 ММ/ММ ;
a = L10’5 град '.
В первом приближении расчет рамы производим без учета нали-
чия трещин по кратковременной жесткости ее элементов, сниженной
за счет пластической деформации бетона на 15% [СНиП, п. 4.24].
Предварительно находим
2 -105
п =------- - 7,55;
2,7 Ю4
J„ = — + 2(n-l)Fa[-
п |2 ' 2
-а
|2 1OO-353
I “ 12 +
+ (7,55 -1)- 2 • 5,65 • (17,5 - 3)2 = 3729 • 10-6 м4;
Bk = O685E6Jn =0,85-26,5-IO5 -372910’6 = 0,0840 105 те м2.
Пользуясь найденными значениями коэффициентов а, р ‘ и же-
сткости Вк, в соответствии с указаниями § ХШ.З находим перемеще-
ния 5 ik, Aip, Дп, Д1у основной системы. В качестве примера приве-
дем вычисление перемещений по направлению действия сил Хг На
рис. 131, в приведены необходимые для этого эпюры изгибающих мо-
ментов в основной системе от сил Xt = 1 и от нагрузки q
2
5ц =— 4--
В, -
h h £ 2 h £
i i 2 3 2 + 2
= —4l1—— (4,175 + 3-4,35)= 597,710 • 10'5 —;
6-0,084-Ю5 тс
A/q=4_1.4!i.7.h.2L_wi =
/ч ВК1 3 8 2 I 24ВК
545
2,5 4,175 -4,353
24-0,084 IO5
= -426,155-10’5м;
Л|. = ~/-aAt*+7/-a-Atcp=a|^At’+At(;pj =
= 1 • IO'5 • 4,35| 185,7 + 32,5 | = 1828,1 • 1 От3м;
\ 2 J
Д(У = ^-/-р’-ди‘+1-/-р’-диср=р’0ди’+диС[>^=
= 2,91 • 10'2 • 4,35] ив. ю’2 + 0,30-10*2 | = 488,62 • 10'5м.
I 2 J
Аналогичным образом вычисляем перемещения по направлению
остальных лишних неизвестных.
Далее составляем канонические уравнения для лишних неизвест-
ных X. вида
5ПХ| +5|2Х2 + ... +Д|р + Ди + Д|у = 0;
Система этих уравнений представлена в матричной форме в табл.
56. (в системе единиц м и тс). Значения лишних неизвестных, най-
денные решением этой системы уравнений, даны в табл. 57.
На рис. 132 приведены эпюры суммарных изгибающих момен-
тов, поперечных и продольных сил в раме от полезной нагрузки, изме-
нений температуры и влажности ее элементов, полученные в первом
приближении.
Пользуясь данными упругого расчета рамы и принимая Fa = = 5,65см2
(5012), находим необходимую площадь растянутой арматуры в ее эле-
ментах из расчета по прочности по указаниям п. 3.20 СНиП.
Правый ригель
М = 25,94тсм; N = 1,292tc; Fa= 26,5см2.
Таким образом, принимаем
Fa = 26,6см2 (7022); = 5,65 см2 (5012).
Правая стойка
М = 22,498 те м ; N= 4,646 тс;
Fa = 22,8 см2 (6022); = 5,65 см2 (5012).
Канонические уравнения метода сил для лишних неизвестных
основной системы (первое приближение)
Таблица 56
Состояние 1 системы j № уравнения Значения коэффициентов системы канонических уравне- ний при неизвестных Свободные члены
X, х2 Х3 х4 х5 х6 от суммар- ной нагрузки от измен ений темпера- туры от изме - нений влажности
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
s V 1 595,710 0 -216,200 0 0 0 -426,155 1828,100 488,620
X о О ж 3* S 2 0 633,550 -216,200 0 0 0 - 1278,464 1550,600 414,519
W сх Е CU £ S 3 -216,200 -216,200 202,980 0 0 0 -791,940 - 1583,100 -423,207
V 4 0 0 0 884,520 0 -216,200 0 - 1828,100 - 488,620
S- S § о X ж X g- 5 0 0 0 0 1574,000 216,200 0 1550,600 414,519
S 6 0 0 0 -216,200 216,200 401,790 0 3133,700 337,726
547
Таблица 57
Лишние неизвестные первого приближения
Состояние системы Лишние неизвест- ные в Тс и Тс м От сум- марной нагрузки От изме- нения темпера- туры От изме- нения влажно- сти Сум- марные
Прямосимметричное X! -0,723 -0,276 - 0,0738 - 1,073
х2 0,666 0,178 0,0476 0,892
Х3 - 3,962 7,696 2,057 5,791
Кососимметричное Хд 0 0,173 0,0462 0,219
Х5 0 0,0793 0,0212 0,100
Х6 0 - 7,749 -2,071 - 9,820
18,308 Пербое приближение
22'^8 W6 05,929 a 4,848 0,85k.
25,VW
1,508 5,822
20,118
®
18,291/7,/04
© 6.229
0,85k
4,448tJ
KLU /«?9/г£АФш^ел/
^,058^n 6SBK £ Wtgw
®e
1,292^
©
k,kk6
®
12,658
.4,6k6
1,876
Второе приближение
5,161 ^66ZJ^t6'193_ ^ну'738 0,7£° ?
T
0.760^ ^’29O.121,
1,297 ।
\-k,682
1l,6k0
0,929 2.787
"5,555g
® I r
2,801 5,921
0,kk9
8,853 | I
® I |
1,508 /,05g
5,011
p 0,881
6,137
0,760 1210,681
k,738
Третье приближение
,0,kk9
> у ylJ-10,3k2
k 12,616 *~~k,123
6,752
1,508 1.059^
£
1,059
5,01112,616
Рис. 132. Эпюры суммарных изгибающих моментов, продольных и попереч-
ных сил в раме от суммарной нагрузки и изменения температуры и
влажности.
Примечание. Моменты в тс • м; силы в тс.
548
В связи с возможным случаем перехода к несимметричному циклу
пропаривания в одном левом отсеке камеры армирование левых стойки
и ригеля рамы принимаем соответственно таким же, как для правых, а
среднюю стойку армируем симметрично; при этом имеем:
средняя стойка
М = 20,118тс-м; N = 12,658tc; Fa =18,5см2.
Принимаем
Fa = Ej =19см2(5012).
Дальнейший расчет рамы производим методом последовательных
приближений с учетом образования трещин в ее элементах с использо-
ванием рекомендаций СНиП.1
В связи с большими значениями изгибающих моментов первого
приближения в элементах правого отсека рамы, последние будут иметь
трещины в растянутой зоне по всей их длине. Например, для наиболее
армированного ригеля момент образования трещин, найденный по ука-
заниям п.4.4. СНиП, Мт =6,62тс «18,308тс (см. рис. 132). Поэто-
му расчет рамы во втором приближении производим с учетом кривизн
элементов в сечениях наибольших моментов. Пользуясь указаниями п.
4.27 СНиП эти кривизны найдем равными:
правый ригель
— = 11,6310~3(м)*';
Р
правая стойка
- = 9,544-10'3(м)Г1;
Р
средняя стойка
— = 8,52-10~3(м)~'.
Р
Так как трещины имеются по всей длине элементов правого от-
сека рамы (м > Мт), то, пользуясь указаниями § ХШ.З, находим ус-
ловные длительные жесткости Вп элементов рамы:
а) правый ригель
В„ = = 25,940 = 0,0223 105тс м2;
11,63 10’3
_______________________Le>_
1 Методика такого расчета подробно изложена в § Х.6 монографии автора
[18].
549
б) правая стойка
= 2г,498 = 0 0236.105тс.м2.
9,544-10‘3
в) средняя стойка
В = 20,118 = 00237 105 тс м2
8,52-10"3
В связи с возможностью указанного выше случая перехода к не-
симметричному циклу пропаривания в одном левом отсеке рамы и че-
редования несимметричных циклов, кривизны, а, следовательно, и
условные жесткости левых стойки и ригеля принимаем такими же, как
для правых стойки и ригеля соответственно.
Учитывая, что найденные условные жесткости очень близки по
величине, в расчет рамы по второму приближению вводим среднюю
для всех ее элементов условную жесткость
Bj0,0223 + 0,0236 + 0,0237).103= 1р5тсм2
Э
т Вк 0,0840-Ю5
Так как = —------------ = 3,621, то расчет рамы во втором при-
В 0,0232-105
ближении сводится к пропорциональному снижению лишних неизвес-
тных первого приближения, вызванных изменениями температуры и
влажности, в 3,621 раза, Лишние же известные, вызванные полезной
нагрузкой, остаются неизменными.
В табл. 58 приведены найденные таким способом лишние неиз-
вестные второго приближения, а на рис. 132 — соответствующие ему
суммарные эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных
сил.
Пользуясь данными расчета рамы во втором приближении, под-
бираем ее армирование из расчета по прочности (п. 3.20 СНиП):
ригели
М = 10,716 т с • м; N = 0,881тс;
Fa = 10,7см2; Е; = 5,65см2;
крайние стойки
М = 7,674 тем; N = 4,738 тс;
Fa= 7,06см2; 5,65см2;
средняя стойка
М = 5,555 тс-м; N = 12,33tc;
550
Таблица 58
Лишние неизвестные второго приближения
Состояние системы Лишние неизвест- ные в Тс и Тс м От сум- марной нагрузки От из- менения темпе- ратуры От изме- нения влажности Сум- марные
Прямосимметричное х, - 0,723 - 0,0762 - 0,0204 - 0,820
х2 0,666 0,0492 0,0132 0,728
Хз - 3,962 2,125 0,568 - 1,269
Кососимметричное х4 0 0,0478 0,0128 0,0606
х5 0 0,0219 0,00585 0,0248
х6 0 -0,140 - 0,672 -2,712
Fa = 1^ = 5,65см2.
Далее производим расчет рамы в третьем приближении.
Для элементов рамы по усилиям второго приближения опреде-
ляем Мт (п. 4.4 СНиП):
ригель
Мт = 6,246 тс-м;
крайние стойки
Мт = 6,301тс-м;
средняя стойка
Мт = 6,704тс м .
Определяем длины участков элементов рамы с трещинами и без
трещин. Границы этих участков показаны на рис. 133. На этом же
рисунке изображены эпюры условных жесткостей В на этих участках,
вычисленных аналогично второму приближению. Пользуясь этими эпю-
рами, вновь повторяем расчет рамы в третьем приближении. Значения
лишних неизвестных, полученных в результате этого расчета, приведе-
ны в табл. 59, а суммарные эпюры изгибающих моментов, попереч-
ных и продольных сил — на рис. 132.
Сравнивая эпюры моментов второго и третьего приближений,
находим, что моменты в правом ригеле для этих приближений разли-
чаются незначительно, а моменты в стойках несколько завышены по
сравнению с их вероятной конечной величиной, так как они получены
при жесткостях, превышающих действительные конечные жесткости
стоек рамы. Истинные значения этих моментов будут находиться меж-
ду их значениями во втором и в третьем приближении, т.е.
551
5,555тс-м< Mmax < 15,149тс-м (средняя стойка);
5,555 тс-м < Mmax <15,149тс-м (крайняя стойка).
Принимая приближенно
15,149 + 5,555
Мтах = —-------:---= Ю,325тс-м
2 Таблица 59
Лишние неизвестные третьего приближения
Состояние системы Лишние неизвест- ные в Тс и ТсЭи От сум- марной нагрузки От из- менения темпе- ратуры От изме- нения влажности Сум- марные
Прямосимметричное х, - 0,503 0,639 0,169 0,305
х2 0,541 0,261 0,0691 0,871
Х3 -4,665 3,722 0,986 0,043
Кососимметричное х4 0 - 0,596 -0,158 - 0,754
х5 0 -0,351 - 0,093 -0,444
Х6 0 -3,981 - 1,054 - 5,035
Рис. 132. Границы участков с трещинами в элементах правого отсека рамы и
эпюры условных жесткостей В.
552
для средней стойки и
10,342 + 5,921
Мтах = -’ 2 = 8,142тс-м
для крайней стойки, получаем моменты, близкие к максимальному мо-
менту ригеля в третьем приближении Mmax = 11,64 тс • м, который и
принимаем за расчетный для всех элементов рамы. Расчетные же зна-
чения продольных сил принимаем по третьему приближению.
В соответствии с принятыми значениями моментов и продоль-
ных сил подбираем арматуру в элементах рамы по прочности:
ригели
М = 11,64 тем; N = 1,059тс;
Fa =12,3см2(8014); FJ = 5,65см2 (5012)
крайние стойки
М = 11,64 тем; N = 4,12tc;
Fa = 12,3cm2(8014); EJ = 5,65см2 $012)
средняя стойка
М = 11,64тсм; N = 12,62tc;
F, = F( =12, Зем2 (8014)
Поперечная арматура в элементах рамы устанавливается конст-
руктивно, так как удовлетворяется условие (п. 7.30 СНиП)
Q = 6,75тс < Rp bh0 = 7,2 100-32 = 23000кге = 23тс,
где Q = 6,75 тс — максимальное значение поперечной силы из трех при-
ближений для всех элементов рамы. Так как
Q = 6,75 тс < 0,25R и bh 0 = 0,25 -100 -100 32 = 80000 кге = 80 тс,
то условие (58) п. 7.25 СНиП также удовлетворяется/
Далее по окончательно принятым расчетным значениям усилий
следует произвести расчет элементов рамы по деформациям и по рас-
крытию трещин, после чего расчет рамы можно считать законченным.
Эти расчеты показывают, что даже при учете расчетной суммарной на-
грузки раскрытие трещин в наиболее напряженном сечении рамы с наи-
большим моментом и наименьшей продольной силой (в месте примы-
кания правого ригеля к средней стойке) составляет 0,29 мм, т.е. мень-
ше величины 0,3 мм, допускаемой нормами при учете нормативной
суммарной нагрузки. Наибольший прогиб наиболее напряженного пра-
вого ригеля рамы даже при учете расчетной суммарной нагрузки также
оказывается значительно меньше допускаемого нормами.
553
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
В реальных условиях эксплуатации бетонные и железобетонные
конструкции неизменно подвергаются температурным воздей-
ствиям. Так, наружные ограждения и конструкции на откры-
том воздухе испытывают климатические воздействия. Многие же спе-
циальные конструкции (несущие колонны, стены, покрытия и полы
горячих цехов, градирни, баки-аккумуляторы горячей воды и нефти,
ограждения печей и камер сгорания, борова, дымо- и газоотводные
трубы, защитные корпуса атомных реакторов и т.п.) подвергаются воз-
действию технологических повышенных и высоких температур. При про-
ектировании подобных конструкций должно обязательно учитываться
их термонапряженное состояние, т.к. температурные напряжения в них
могут достигать значительных величин, существенных для их прочнос-
ти и трещиностойкости. При этом весьма важным является не только
вообще учет ползучести бетона, но и влияния повышенных температур
на нее и модуль упругости.
Расчет и анализ напряженно-деформированного состояния кон-
струкций, вызываемого изменением температуры с учетом этого влия-
ния, являются главным предметом изучения теории термоползучести.
Развитие последней шло двумя самостоятельными путями.
Бурное развитие строительства объектов промышленности с го-
рячей технологией в бывшем СССР с применением жаростойких бето-
нов потребовало интенсивного изучения их физико-механических
свойств при повышенных и высоких температурах и развития чисто при-
кладных методов проектирования конструкций для них. Эта работа на
определенном этапе была завершена разработкой СНиП 2.03.04-84 [257].
В этом нормативном документе методика расчета бетонных и железо-
бетонных конструкций из жаростойких бетонов, работающих при по-
вышенных и высоких температурах, аналогична методике СНиП 2.03.01-
84 [256], но на основе опытных данных, дополнена соответствующими
значениями необходимых для этого различных коэффициентов, моду-
ля упругости и расчетных сопротивлений бетона и арматуры при повы-
554
шенных и высоких температурах. Сам расчет конструкций при этих ус-
ловиях сведен до подбора их сечений. Необходимые для этого темпера-
турные усилия считаются известными, т.е. найденными теми или ины-
ми способами. Они и должны отыскиваться методами теории термо-
ползучести.
Исторически раньше известной работой Г.Н. Маслова [192] была
начата разработка строгой научной теории ползучести, основанной на
понятии функционала и уравнениях Вольтерра второго рода, для бето-
на, рассматриваемого как стареющая наследственная среда. На первом
этапе этой большой работы были развиты в указанном направлении
математический аппарат теории и методы расчета напряженно-дефор-
мированного состояния бетонных и железобетонных конструкций вы-
зываемого изменениями температуры. Этот этап завершился специ-
альными монографиями [18, 49], посвященными указанной пробле-
ме.
Однако в разработанной в них строгой теории ползучести не учи-
тывается влияние температуры на ползучесть и модуль упруго-мгновен-
ной деформации бетона. Поэтому эта теория дает хорошие результаты
при не слишком высоких значениях температуры, например, при рас-
чете конструкций на климатические воздействия (наружные огражде-
ния и конструкции на открытом воздухе, в т.ч. гидротехнические) и
технологические воздействия температур до 100°С (пропарочные каме-
ры и автоклавы). Для повышенных, более высоких температур необ-
ходимо уточнение и дальнейшие развитие этой теории за счет учета вли-
яния температуры на ползучесть бетона и другие его физико-механи-
ческие свойства. Поскольку повышенные температуры приводят к бы-
строму искусственному старению бетона, логично в этих исследованиях
ограничиться рассмотрением бетона зрелого возраста, представляюще-
го собой нестареющую наследственную среду, у которой ползучесть не
зависит явно от его возраста т, а зависит только от продолжительнос-
ти наблюдения t - т . Такая теория, названная уже теорией термопол-
зучести, разработанная автором, и излагается ниже.
555
Глава XIV.
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНА И
АРМАТУРЫ ПРИ ПОВЫШЕННЫХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
При повышении температуры физические свойства бетона изме-
няются. В бетоне молодого возраста при этом происходит ин-
тенсификация старения, и он упрочняется, его модуль упруго-
сти возрастает, а мера ползучести снижается. У бетона же старого воз-
раста с установившейся структурой эти процессы исчерпываются и на
первый план, как и во всех твердых телах, выдвигаются обратимые
изменения его физико-механических характеристик. Они происходят в
связи с повышением кинетической энергии молекул при нагреве из-за
интенсификации их беспорядочных колебаний. По этой причине упру-
гость кристаллической составляющей бетона и вязкость его гелевой со-
ставляющей снижаются. В результате с ростом температуры модуль
упруго-мгновенной деформации снижается, а мера ползучести повы-
шается. При последующем понижении температуры эти процессы идут
в обратном направлении, поэтому изменения физико-механических
свойств бетона, вызываемые воздействием температуры, носят обра-
тимый характер, но, конечно, должны учитываться в теории термо-
ползучести.
§ XIV.1. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА МОДУЛЬ УПРУГОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
Освещенные в литературе результаты опытов по изучению влия-
ния температуры на модуль упругости и ползучесть бетона можно четко
разделить на две группы. Одна из них сообщает многочисленные опытные
данные, полученные на гидроизолированных от высыхания бетонных
образцах, главным образом, старого возраста, а также испытанных в
водонасыщенном состоянии или просто в воде. В литературе бетон,
находящийся в таких условиях, называют «массивным» бетоном.
При этом имеется в виду, что эти условия реализуются в конст-
рукциях с большими размерами сечений их элементов, например в за-
щитных оболочках атомных реакторов, толстостенных трубах и т.п., а
556
также в конструкциях, где процессы влагопереноса и термодиффузии
протекают весьма медленно или практически отсутствуют и влажность
бетона мало изменяется (гидротехнические конструкции и т.п.).
Вторая немногочисленная и противоречивая группа данных по-
лучена на образцах, подверженных высыханию в процессе опыта за счет
градиентов влажности и явления термодиффузии при высоких, суще-
ственно выше 200°С температурах. Эти опыты проведены на жаростой-
ких бетонах различных видов. Мы будем опираться на опытные данные
первой группы, относящиеся, как уже было сказано, к обычному тя-
желому «массивному» бетону.
Анализ опытных данных, освещенный в работах различных оте-
чественных и зарубежных авторов [96, 169, 203, 210, 342 - 356], при
постоянных, но разных температурах до 200°С показал, что с хорошей
степенью приближения наблюдается аффинное подобие кривых мер
ползучести бетона CT(T,t - т) при температуре опыта Т и его меры пол-
зучести C(t - т) при постоянной комнатной температуре Тк
Ст(Тд-т) = F4(T)C(t-T), (XIV. 1)
где
— соответствующая функция аффинного подобия.
Аналогичное аффинное подобие установлено и для модуля упру-
гости бетона Ет(Т) при температуре Т и его модуле упругости Е при
постоянной комнатной температуре Тк
Et(T) = F2(T)E, (XIV. 3)
где
Ет(Т)
р2(Т)"~Ё“’ (XIV.4)
Зависимости (XIV. I) и (XIV.3) позволяют определить меру пол-
зучести Ст(Тд - т) и модуль упругости Ет(Т) бетона, если известны его
мера ползучести C(t - т) и модуль упругости Е при комнатной темпера-
туре Тк соответственно.
На рис. 134 нанесены соответствующие опытные значения фун-
кций F2(T) и F4(T), полученные обработкой результатов опытов раз-
личных исследователей по указанному списку литературы, и соответ-
ствующие аппроксимирующие кривые. Для функции аффинного по-
добия F2(T) и F4(T) получена единая аппроксимирующая их значения
формула
557
РДТ) = а, +bi(T-TK)+Cie’°‘(T т-) (XIV.5)
при Тк = 20°С и aj +С, = 1.
Значения постоянных a, b., С и а., входящих в эту формулу,
приведены в табл. 60.
Наконец, в табл. 61 приведены значения функций Р2(Т)иР4(Г)и
ихпроизведения F2(T) • F4(T), входящих в последующем (см. § XIV.2) в
ядра термоползучести и терморелаксации.
Рис. 134. Аппроксимирующие кривые функций F2(T) и F (Т).
Таблица 60
Значения параметров, входящих в формулу (XIV.5.)
Fi(T) ai bi, (°C)-1 Г Ci Oi, (°C)-'
F2(T) 0,580 0 0,420 0,0275
f4(T) 1,725 0,0040 - 0,725 0,0242
558
Таблица 61
Значения функций F2(T), F4(T) и произведения F2(T) • F4(T)
при различных температурах
т,°с F2(T) F4(T) F2(T) f4(T)
20 1 1 1
30 0,889 1,196 1,063
40 0,862 1,295 1,116
60 0,720 1,610 1,159
80 0,661 1,795 1,186
100 0,626 1,940 1,214
120 0,610 2,061 1,257
140 0,595 2,165 1,288
180 0,585 2,350 1,375
С учетом данных этой таблицы составлена табл. 62 средних зна-
чений произведения F2(T) • F4(T) для различных диапазонов расчетных
температур.
Таблица 62
Средние значения F2(T) * F4(T) для различных диапазонов
расчетных температур
Диапазон расчетных температур Т, °C Среднее значение F2(T) F4(T) Наибольшее отклонение от среднего значения, %
20 < Т < 200 1,184 16,1
20 < Т < 100 1,123 10,9
20<Т<80 1,105 9,5
20<Т<60 1,084 7,7
Данные табл. 62 будут использованы в дальнейшем для суще-
ственного упрощения ядер термоползучести и терморелаксации (см.
§ XV.3).
Что касается других свойств массивного бетона, то опытами Сюч
Ференца [46], Д. Пиртца [349] и других исследователей установлено,
что коэффициент линейного температурного расширения а на диапа-
зоне до 200°С практически не зависит от температуры и, например, в
559
опытах [40] имел среднее значение а = 1,12 10 5 (°C) 1 с отклонениями
от этого среднего значения, не превышающими 3%.
Опытами Хэннэнта [344], Нассера и Невилля [347, 348], Силь-
вейра и Флорентино [351] установлено, что в области линейной ползу-
чести (о < 0,5Rnp) коэффициенты упругой поперечной деформации и
поперечной деформации ползучести практически равны друг другу,
постоянны и не зависят на диапазоне до 200°С от температуры. Сред-
нее значение коэффициента Пуассона находилось в пределах
у = 0,15^-0,24 и большей частью было близко к v =0,15 (см. рис. 60).
§ XIV.2. НАСЛЕДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ БЕТОНА ПРИ ВЛИЯ-
НИИ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ЕГО ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
В основные интегральные уравнения обычной теории ползучес-
ти, не учитывающей влияние температуры T(t) на физические свой-
ства бетона, входят наследственные функции первого рода — ядро пол-
зучести L(t,x) и второго рода - ядро релаксации R(t,i). В рассматри-
ваемой нами теории термоползучести, учитывающей это влияние, роль
таких функций соответственно играют ядро термоползучестии
К[Т(т)д-т]и ядро терморелаксации Q[T(t),i-tJ. Эти функции, по-
добно ядрам L(t,i) и R(t,i), связаны интегральным соотношением
К[Т(т), t - т] - Q[T(r),t - т] = j К[Т(Ц, t - ^]Q[T(t),^ - t]d^ (XIV.6)
и входят, как будет показано ниже, в основные уравнения теории тер-
моползучести.
По аналогии с ядром L(t, т) с учетом данных § XIV. 1 ядро термо-
ползучести равно
К[Т(т)д -t] = -F2[T(x)]^j—1—[l + EF2[T(x)]F4[T(t)]C(t-x)]
дт [F2[T(t)]
или в раскрытом виде
K[T(r), t - т] = -EF2[T(T)]F4[T(T)]|-C(t - т) +
дт
560
aF2[T(t)j
-^-[1 + EF2[T(r)]F4[T(t)]C(t -1)]-
F2[T(t)]
(XIV.7)
9(F2[T(t)]F4[T(t)]) ] 3T(t)
ЭТ(т) J Эт
Теория термоползучести, основанная на ядре (XIV.7), очень
сложна и при решении ее задач в перемещениях приводит к уравнениям
типа обобщенных уравнении Дюамеля-Неймана, решение которых пред-
ставляет большие трудности. Однако возможно их существенное упро-
щение, основанное на опытных данных, обобщенных в § XIV. 1. Оно
состоит в следующем. В табл. 61 приведены значения функций аф-
финного подобия F2(T) и F4(T), полученные обработкой известных из
литературы опытных данных. С учетом этой таблицы составлена табл.
62 средних значений произведения F2(T) • F4(T) для различных диапа-
зонов расчетных температур. Из этой таблицы следует, что практичес-
ки вполне приемлемо допущение
F2[T(t)]F4[T(t)] = F2.F4 = const (XIV.8)
со своим средним значением на данном диапазоне температур незави-
симо от их абсолютных значений.
В § XIV. 1 было показано, что функцию F2(T) с большой степенью
точности можно аппроксимировать зависимостью F2(T) = а2 +С2е"а^т’т^
при а2 +С2 = 1, однако при этом отношение
3F2(T)
ЭТ
F2(T)
а С е-“Лт-Т‘)
и2^2с
а +с е-«:(т-т.)
const,
(XIV.9)
что существенно усложняет ядро (XFV.7). С определенной погрешнос-
тью функцию F2(T) можно аппроксимировать формулой
ЕгСГ^е-^-Ч (XIV. 10)
Тогда отношение (XIV.9) будет постоянным и равным
ГдР2(Т)~1
L эт ]
f2(T)
= -|1 = const.
(XIV.11)
561
Практическая возможность аппроксимации (XIV. 10) видна из
табл. 63, где приведено сравнение точных F2(T) и приближенных F2(T)
значений этой функции, рассчитанных по формуле (XIV. 10) при Р =
0,0045(оС)-1 и Т = 20°С.
При этом ядро (XIV.7) существенно упроститься. Раскрывая
формулу (XIV.7) с учетом (XIV.8) и (XIV. 10), окончательно будем иметь
К[Т(т), t - г] = -EF2F4 AC(t - г) - ц[1 + EF2F4C(t - г)]^. (XIV. 12)
Эт Эт
Из формулы (XIV. 12) следует, что ядро К[Т(т)д-т] зависит от
ЭТ(т)
координат точки через темп изменения • температуры Т(т). Если
дт
температурное поле стационарно, то второй член в формуле (XIV. 12)
исчезает. При этом ядро вырождается в ядро
К[Т(т), t - т] = -EF2F4-f- C(t - г), (XIV. 13)
ОТ
не зависящее от координат точки и использованное нами ниже в зада-
чах теории термоползучести при стационарных температурных полях.
В общем случае нестационарного температурного поля ядро
(XIV. 12) будет зависеть и от координат точки и от времени, причем
зависимость от координат будет параметрической, но разной. Поэтому
нельзя, как в случае ядра (XIV. 13), найти одну общую для ядра (XIV. 12)
его резольвенту. При определенном задании температурной функции
данной точке тела будет соответствовать свое ядро (XIV. 12) и для каж-
дого из них своя собственная резольвента Q[T(t), t — т].
Таким образом в нестационарных задачах теории термоползучес-
ти, кроме расчетной вынужденной (температурной) деформации
Таблица 63
Сравнение точных F2(T) и приближенных F2(T) значений функции
аффинного подобия F2(T) по их относительной разности д
Т, °C 20 30 40 60 80 100 120 140 180
F2(T) 1 0,889 0,862 0,720 0,661 0,626 0,610 0,595 0,585
Ё2(Т) 1 0,956 0,914 0,835 0,763 0,698 0,638 0,583 0,487
А,% 0 7,5 6,0 16,0 15,4 11,4 4,6 -2,0 -16,8
562
е°[ДТ(т)] = аДТ(т), придется иметь дело с особым ядром (XIV. 12) и
соответствующей ему резольвентой. Входящая в это ядро температур-
ная функция Т(т) должна отыскиваться методами теории теплопровод-
ности, изложенными выше.
При C(t - т), заданной в форме (VII. 155), ядро нестационарной
термоползучести (XIV. 12) будет иметь вид
K[T(T),t - т] = S^“Y(H,) +(l + m)Be-’'('+m>-t>]-
- —jy + s[l + B-e-Y<'_I),
у дт
где
S=WE^ (XIV. 15)
1 + В
При ядре (XIV. 14) решение интегрального уравнения для резоль-
венты Q(T(t), t - т] (XIV.6) последовательным дифференцированием по
t и исключением интегральных членов сводится к решению дифферен-
циального уравнения третьего порядка с переменными коэффициента-
ми
33Q[T(t),1-tJ Г эта) v 1 d2Q(T(r),t-r)
5? 'J
,..d2Ta),..v эта) „ ]3Q[T(t),t-T]
- 2ц —+ ИК,—-К2 -------------------
- J + к, + К2 ^1q[T(t). t - т] = О,
dtJ dt2 dt
где
К, =y + S + (l + mXy + BS)J
K2=r(l+m)[7 + (l + B)s], j
(XIV. 16)
(XIV. 17)
при трех «начальных» условиях
Q[T(T),t-T]l =s[l + (l + m>]-n^;
,-т дт
563
dt |t=T I dx J lt=t
= -ys[1 + (1 + m)2 b]- gs[l + (1 + т)в]^^;
dr
32Q[T(T),t-T]
Э12
+(s[i+(i+т)в]~ и ™ №Т)Д~ТЧ
l Эт J dt I
l Эг2
|xS[l + (1 + + Sy[l + (1 + m)2 b]Iq[T(t), t - t]| =
dx н~т
= Г$[1 + (1 + m)3 b]+ hys[1 + (1 + m)2 b]^M <XIV-18>
dx
Решение уравнения (XIV. 16) в общем случае не может быть най-
дено в замкнутом виде и возможно только численными методами. Это
удастся сделать лишь в некоторых частных случаях. Укажем их.
Если температурная функция T(t) относительно времени t и име-
ет вид*
T(t) =<p(x,y,z) + nt,
(XIV. 19)
= п и можно найти резольвенту ядра (XIV. 14) в замкнутом виде,
dx
Например, при C(t-x), заданной в форме (VII. 155), и T(t) (XIV. 19)
уравнение (XIV. 16) примет вид уравнения с постоянными коэффици-
ентами
at3 dt2 (xrv.2O)
+ (K2 -MnK, jdQtTW’t-*! _HK2nQ[T(T),t-t] = 0.
dt
Его решение равно
Q[T(x),t-x] = N1e-p,(t-T) + N2e-p2(t-T) + N3e~pj(t-T), (XIV.21)
где p p p 2, p 3 - корни характеристического уравнения
p3 +(pm-K,)p2 + (К2 -pnKj )p + pnK2 = 0, (XIV.22)
а постоянные Np N2 и N3 определяются решением системы трех алгеб-
раических уравнений, вытекающих из начальных условий
' Некоторые задачи подобного вида рассмотрены в § IV.3.
564
Ni + N2 + N3 = S[1 + (1 + т)в]- цп;
PiN, + p2N2 +P3N3 -{s[l + (l + m)B]-pn](N| + N2 +N3)=
= ys[1 + (1 + m)2 b]+ pnS[l + (1 + m)B}
Pl N, +p2, N2 + p3 N3 -{s[l + (l + m)B]-pn](p|N| +p2N2 + p3N3)-
- {pnS[l + (1 + т)в]+Sy[l + (1 + m)2 B^N, + N2 + N3) =
= у 2s[l + (1 + m)1 b]+ pynsfl + (1 + m)2 в}
(XTV.23)
Наконец, при стационарном температурном поле ядро (XIV. 14)
вырождается в ядро
К[Т(т), t - т] = sje-**-*’ + (1 + mjBe**'1 J (XIV.24)
Его резольвента была найдена ранее и использовалась при решении ряда
прикладных задач. Она равна
Q[T(t), t - т] = s|D| (Т)е“р'(тх,~т> + О2(Т)е"р'<тх,‘т) J, (XIV.25)
где
D, (T)[pi (Т) - р2(Т)]= т[1 + (1 + ш)2в]-
- [1 + (1 + т)в]{р2 (Т) - [1 + (1 + m>)s}
D2(T) = 1 + (l + m)B-D| (Т),
(XIV.26)
а р j(T), и р 2(Т) — корни квадратного характеристического уравнения
р2(Т)- К,р(Т) + К2 = 0 .
(XIV.27)
§ XIV.3 МОДУЛЬ УПРУГОСТИ, ПОЛЗУЧЕСТЬ И КОЭФФИЦИ-
ЕНТ ЛИНЕЙНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО РАСШИРЕНИЯ
АРМАТУРНЫХ СТАЛЕЙ ПРИ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Для расчета железобетонных конструкций на температурные воз-
действия необходимо располагать данными о модуле упругости, ползу-
чести и коэффициенте линейного температурного расширения арма-
турных сталей при повышенных температурах.
На рассматриваемом нами температурном диапазоне
20°С <Т < 200°С в железобетонных конструкциях может применяться
любая арматура, кроме напрягаемой проволочной классов В-П, Вр- II,
К-7, К-19, применение которых СНиП 2.03.04-84 [257] ограничивает
температурой до 150°С:
565
По экспериментальным данным [169, 180, 203], модуль упруго-
сти арматурных сталей с ростом температуры снижается. Однако на
указанном диапазоне температур, и при том только в интервале (100 - 200)°С,
это снижение не превышает 4%. Поэтому практически на рассматрива-
емом нами диапазоне температур модуль упругости арматуры можно
считать не зависящим от температуры возможного ее нагрева.
Ползучесть арматурных сталей проявляется лишь при высоких
предварительных напряжениях osp в предварительно напрягаемых кон-
струкциях и учитывается при расчете потерь предварительного напря-
жения [257] в зависимости от разности д ts между температурой армату-
ры при эксплуатации конструкции и при ее натяжении. Последнюю
обычно принимают равной 20°С. При расчете же железобетонных кон-
струкций на изменения температуры определение расчетных усилий (на-
пряжений) в бетоне и арматуре производится без учета ползучести ар-
матуры.
Многочисленные данные о коэффициенте линейного темпера-
турного расширения арматурных сталей а а [ 169, 180, 203] свидетель-
ствуют о том, что с повышением температуры происходит некоторое
увеличение ос а у всех видов и марок сталей. Эти данные обобщены в
СНиП 2.03.04-84 [257], согласно которому для всех сталей аа на диа-
пазоне температур (20 - 100)°С изменяется в пределах (0,95-Н,2)10-5 (°C)"1
со средним значением 1,07-10-5 (°C)"1 и в пределах (1,02-е-1,3)-10~5 (°C)'1
со средним значением 1,16-10"5 (°C)-1 на диапазоне (20 -г-200)°С. В со-
ответствии со всеми этими данными для арматурной стали удобно при-
нять общее значение аа, равное аа = 1 10”5 (°C)4.
566
ГЛАВА XV.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА ПРИ
СТАЦИОНАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУР
§ XV.1. РАБОЧИЕ ГИПОТЕЗЫ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
Современная теория ползучести бетона, не учитывающая влия-
ния его температуры на его физико-механичекие свойства [18,
49], как и всякая феноменологическая теория, исходит из ряда
основных рабочих гипотез, сформулированных на основе обобщения
экспериментальных данных. Эти рабочие гипотезы кратко формулиру-
ются в § VII.2. Там же освещены степень их обоснованности и приме-
нимости. Поэтому мы ограничимся возможностью их обобщения на
случай учета влияния температуры бетона на его физико-механические
свойства.
Первая из гипотез требует существенного уточнения. В силу ска-
лярности температурного поля при неравномерном разогреве бетона его
постулируемая изотропность не нарушается, поэтому его попрежнему
можно считать изотропным. Однако он становится существенно нео-
днородным, поскольку с изменением температуры от точки к точке ха-
рактеристики его физико-механических свойств становятся переменны-
ми и зависящими от координат точки. Эта неоднородность носит вре-
менный характер, зависит от распределения температуры в данной мо-
мент времени и исчезает при возвращении тела в начальное естествен-
ное (не нагретое) состояние. Поэтому учет этой неоднородности необ-
ходим и она будет учтена нами в основных уравнениях новой теории
термоползучести бетона.
Далее, поскольку и подлежащие учету климатические воздей-
ствия, и воздействия технологических повышенных температур на бе-
тонные и железобетонные конструкции происходят тогда, когда после-
дние уже готовы к эксплуатации (замкнуты), то бетон в них находится
уже в зрелом возрасте. Поэтому физико-механические свойства бетона
можно считать уже независящими от его возраста т, а деформации,
567
перемещения и напряжения — зависящими лишь от продолжительнос-
ти t -т (времени t) наблюдения. Иными словами, можно ограничится
рассмотрением бетона как наследственной нестареющей среды. Это об-
стоятельство мы используем в дальнейшем.
Учет температурной неоднородности бетона весьма сложен, так
как следует различать два характерных и несовместимых случая:
— когда температурное поле бетона неоднородно (зависит от ко-
ординат точки), но стационарно (не зависит от времени);
— когда температурное поле и неоднородно и нестационарно (за-
висит от времени).
В первом более простом случае учет указанного характера нео-
днородности приводит к стационарным ядрам теомоползучести и тер-
морелаксации. Во втором более сложном случае приходится уже иметь
дело с нестационарными ядрами.
Мы начнем построение математического аппарата теории термо-
ползучести бетона с первого случая.
Вторая, третья и четвертая гипотезы вполне приемлемы и сохра-
няются. Степень их обоснованности, наоборот, повышается, так как
температурные напряжения, как было указано выше, существенно ре-
лаксируют во времени. Это снижает возможность достижения ими вы-
сокого уровня, когда оказывают воздействие нелинейная ползучесть и
образование трещин.
Возможность использования принципа наложения воздействий
в области повышенных температур подтверждена, например, в опытах
[18, 35, 46, 49, 96, 344].
Применяемость пятой гипотезы и условия (XV. 1) в этой области
подтверждена опытами [18, 35, 96].
Подводя итоги сказанному выше, отметим, что в дальнейшем
мы будем рассматривать обычный тяжелый бетон как изотропную, на-
следственную, но нестареющую среду и учитывать его температурную
неоднородность. Будем считать также приемлемыми 2, 3,4 и 5 гипоте-
зы и условие (XV. 1) и ограничимся вначале рассмотрением темпера-
турной неоднородности в стационарном температурном поле.
§ XV.2. ОБЩАЯ ОБЪЕМНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Задача о напряженно-деформированном состоянии твердых тел,
обладающих свойствами наследственности, вызываемом изменением
их температуры при учете ее влияния на ползучесть и модуль упругости,
568
представляет собой одну из сложнейших задач теории термоползучести.
При рассмотрении этой задачи ограничимся пока уравнениями
линейной теории ползучести, что вполне приемлемо при не слишком
высоких значениях напряжений. Будем считать физико-механические
свойства материала зависимыми от температуры. В оговоренном слу-
чае-стационарного и, следовательно, независящего от времени наблю-
дения t распределения температуры T = T(x,y,z), эти свойства будут
также зависеть только от координат x,y,z. Таким образом мы, будем
иметь дело с изотропным, но неоднородным телом, неоднородность
которого не зависит от времени и связана только с воздействием стаци-
онарного температурного поля. Поскольку это поле скалярно, оно не
нарушает изотропности тела, влияя только на его однородность. Нео-
днородность тела с изменяющимися во времени свойствами, связан-
ную с его наращиванием, мы рассматривать не будем. Теория ползуче-
сти таких тел развита в работах Н.Х. Арутюняна и его школы [55].
Типичным представителем наследственной среды являются бе-
тон старого возраста. Его мы будем рассматривать, ограничившись,
как было указано выше, случаем, когда температура тела не превышает
200°С. Прямыми экспериментальными исследованиями показано, что
при этом коэффициент линейного температурного расширения а, ко-
эффициент упругой поперечной деформации v , (t) и коэффициент по-
перечной деформации ползучести v2(t,x) бетона практически не зави-
сят от температуры и, кроме того,
vi(t) = v2(t,x) = c°nst. (XV. 1)
Последнее условие выполняется не строго, но отказ от него при-
водит к существенному усложнению двухосных и трехосных задач тер-
моползучести. Поэтому такой отказ практически оправдан лишь при
более высоких температурах и в нелинейной области высоких (более 0,5R)
напряжений. Теория термоползучести без указанного ограничения для
коэффициентов поперечной деформации развита в работе [23].
Поперечная деформация 5, (t - т) и деформация чистого сдвига
S2 (t - т) при действии единичных продольных сжимающих напряжений
и, соответственно, единичных касательных напряжений связаны с про-
дольной деформацией 6(t - т) при сжимающих напряжениях соотноше-
ниями [18, 49]
51(t-T) = v5(t-T);
52(t-r) = 2(l + v)5(t-t).
(XV.2)
569
Деформации же 6(t - т) при учете зависимости Ей C(t - т) от ста-
ционарной температуры Т обычно задают в форме [24]
8(t-r) = —+ F4(T)C(t-x). (XV.3)
г? (, 1
В формуле (XV. 3) Ей C(t-r) — соответственно модуль упруго-
мгновенной деформации и мера ползучести бетона при комнатной тем-
пературе Т = 20°С, a F2(T) и F4(T) — соответствующие для них функ-
ции афинного подобия.
Поскольку мы рассматриваем неравномерное, но стационарное
распределение температуры
T = T(x,y,z), (XV.4)
то функции F2(T) и F4(T) будут зависеть только от координат точки
F2(T) = F2[T(x,y,z)]= F2(x,y,z);l
F„(T) = F4[T(x,y,z)]= F4(x,y,z).J (XV5)
В дальнейшем мы не будем прибегать к этой развернутой запи-
си, но будем иметь ее в виду.
В литературе имеется много предложений для формы задания
функции C(t - т) с учетом опытных кривых ползучести с различной сте-
пенью приближения. Поэтому, избегая деталировки, будем исходить
из общей записи C(t - т), сохраняя возможность любой приемлемой
формы ее раскрытия.
Отметим важное обстоятельство. Здесь и в дальнейшем для со-
кращения места мы будем подчеркивать лишь зависимость различных
величин от времени наблюдения t (или текущего времени т), опуская
в записи их зависимость от координат точки х, y,z. При этом, однако,
следует различать, когда некоторые из них зависят только от t и т
[ С(с — т), S(t-r), ^(t-т), 52(t—т) J и когда они зависят, кроме t или
т, еще и от координат точки (напряжения, деформации, перемеще-
ния, вынужденные деформации). Для напряжений, деформаций и
перемещений, отыскиваемых с учетом ползучести, мы сохраним те же
обозначения, что и в упруго-мгновенной задаче, но будем, как это
уже принято, дополнительно отмечать их звездочкой.
В теории термоползучести, учитывающей влияние температуры
на физические свойства бетона, приходится иметь дело с расчетными
изменениями температуры тела дТ(0 и самой температурой T(t), дос-
тигаемой им при этих изменениях, так что
570
T(t)=T(T1) + AT(t).
Здесь Т( т ,) — «начальная» температура тела, относительно кото-
рого происходят ее изменения дТ(1).
Для статически определимых конструкций Т( т () обычно счита-
ется равной «комнатной» температуре Тк =20°С, а для статически нео-
пределимых конструкций Т( т t) принимают равной их температуре в
момент замыкания. В соответствии с этим в прикладных задачах вы-
нужденную температурную деформацию считают равной
e°(t) = aAT(t),
а функций афинного температурного подобия F2[T(t)] и F4[T(t)] отно-
сят к температуре T(t).
В рассматриваемой задаче при отсутствии объемных сил напря-
жения ползучести должны удовлетворять уравнениям равновесия, по-
добным уравнениям Навье
д(?х (0 + дт*у (0 + dT*z(t)
Эх Эу Эг
....................(x,y,z)
(XV.6)
и соответствующим условиям на поверхности тела, заданным в напря-
жениях, в деформациях или в смешанной форме.
Полные деформации связаны с полными перемещениями подоб-
но уравнениям Коши зависимостями
Эх
/ (о = эЛо аЛо.
Эу Эх ’
........(х, у, z)(u,v, w)
(XV.7)
и удовлетворяют уравнениям совместности, аналогичным уравнениям
Сен-Венана, обеспечивающим сплошность тела при его деформирова-
нии
(t) + Э2е* (t) _ Э2у*у (t)
Эу2 Эх2 ЭхЭу
.......................(x,y,z);
(XV.8)
Э
Эх
ЭуЭг
ау*,г (t) (t) Эу*у (t) 1 = Э2е* (t)
Эх Эу Эг "
..............(х,у,г).
Здесь и в дальнейшем для экономии места мы выписываем толь-
571
ко первые уравнения из их родственной группы. Остальные ее уравне-
ния получаются, как указано, круговой заменой символов х, у, z и и,
о, w.
Полные деформации связаны с напряжениями соотношениями,
подобными обобщенному закону Гука [18,49]
Ч (О =£°х (О +^7гД1 + у)а*х W +
EF2(T)
+ J [(1 + v)j x ( т) - vS*( т) ]к(Т, t - r)dr},
т,
..........................(x,y,z)
(XV.9)
У Ху (О У ху (0 +
20 +у)
EF2(T)
т ху (0 +1т ху (т) К<Т-1 - T)dT
................................... (X,y,z),
где £°х (t),...,y°xy (t),..., составляющие изменения вынужденных дефор-
маций,
S*(t) = о* (t)+ a* (t)+ о* (t),
а ядро К(Т, t - т) равно
К(Т, t-т) = -EF2(T)F4(T)|-C(t-T). (XV10)
ОТ
Просуммировав первые три уравнения (XV.9), найдем
[о*(t) -e°(t)]= s'(t)+Js*(t)K(t,t - (xvi i)
где
A e‘(t) = s'(t) + e* (t) + e‘ (t);
60(t) = e® (t) +e®y (t) + e® (t).
Разрешая интегральное уравнение (XV. 11) относительно S*(t), бу-
дем иметь
s*(t)=S^^'(t)-eo(t)]-j-b^^(T)-eo(T)h(T,t-T)dT( (xvi?)
l-2v J l-2v
T,
где Q(T, t - т) — резольвента ядра (XV. 10).
572
Теперь с помощью формулы (XV. 11) и уравнения (XV.9) примут
окончательно следующий вид
£*x(t)=E°(t)-——
l-2v
—- [a* (t)
EF2(T) l x
|а* (г)К(ТЛ-г)<1т];
(x,y,z);
(XV. 13)
у* (t) =y° (t) + + v2
YXyW YxyW EF2(T)
xy(t) + j т Xy (т) K(T, t — x)dx
(x, у, z).
В дальнейшем нам понадобится и обратная связь, которую най-
дем, разрешив уравнения (XV. 13), относительно напряжений
< (0 = ах (t) - J ax (t)Q(T, t - x)dx;
(x,y,z)
ку (0 = тху (0 - J тху (T)Q(T, t - x)dx;
(x,y,z),
(XV. 14)
где Q(T, t - т) — резольвента ядра K(T, t - т), а функции ох (t),..., тху (t),...
равны
ax(t) = -M4; (t)-e° (t)+-^4’(t)-e°(t)|
1 + v 1 - 2v
....................................(x,y,z)
Mt)=|^[by(t)-A(t)]
...................(x,y,z).
(XV. 15)
Уравнения (XV.6), которые мы используем в дальнейшем, пред-
варительно выразив их в перемещениях, представляют собой условия
равновесия элементарного объема тела. Ввиду малости этого объема
можно считать
5’3
Тху (0 = Yn (t) = Y°z(t) =0;
е® (t) =e°y(t) =Ez(t) =e°(t),
(XV. 16)
так, что
e°(t)=3s0(t). (xv.i7)
Такова, например, гипотеза Франца Неймана для температур-
ных деформаций, когда считают
£°(t) = £°(ДТ) = aAT(t), (XV. 18)
где a — коэффициент линейного расширения, а ДТ(0 — расчетные
изменения температуры тела. Очевидно, что соотношения (XV. 16)
справедливы и при усадке, набухании тела, а также его саморасшире-
нии химической природы, например бетона на расширяющемся цементе.
С учетом формул (XV. 16), (XV. 17) и соотношений Коши (XV.8)
уравнениям (XV. 15) можно придать вид
o«(t) = 77-4>x(t);
1 +V
.........(X.y.z)
Е
Тху (0 = Фху (0»
1 + V
.........(x,y,z),
(XV. 19)
где
Ф.(0 = ^
-(l + v>°(AT)
Эг
F2(T)[du*(t) dv’(t)
Ф«у(О = —-------7---+ “Ч---
у 2 Эу Эх
(x,y,z)(u*,v*,w*);
(XV.20)
(x,y,z)(u*,v*, W*).
Учитывая одновременно формулы (XV. 14) и (XV. 19), преобра-
зуем уравнения равновесия (XV.6) к виду, аналогичному уравнениям
Дюамеля-Неймана, но обобщенным на случай учета ползучести бетона
и влияния на нее и на модуль упруго-мгновенной деформации темпера-
туры среды
514
Q(T,t-T)dT-
Эфх(о + Эфху(о a<j>xz(t)~| '[Тдфх(т) Эфху(т) Эфхг(т)}
Эх dy 3z J Эх . Эу + 3z
- j 4>л <T) Q(T. t - T)dT - j фху (г) Aq(t t - т)л - |фи(т) £ Q(T, t - T)dT = 0
(X, y,z),
где функции фх(О,...,фху(О,... определены формулами (XV.20).
В выписанных выше уравнениях Т - температура тела, достига-
емая им при ее изменении д Т по отношению к начальной температуре
Т(0) его естественного состояния в ненапряженном состоянии, так что
Т = Т(0) + ДТ . Для статически определимых конструкций Т(0) прини-
мается равной Тк = 20°С, а для статически неопределимых конструк-
ций при определении температурных усилий в них Т(0) принимаются
равной температуре их замыкания.
Совокупность уравнений (XV. 13), (XV. 14), (XV. 19), (XV.20),
(XV.21) представляет собой объемную математическую модель общей
задачи теории термоползучести в прямоугольных координатах, учиты-
вающую влияние температуры тела на его основные физические свой-
ства.
Последовательность решения задачи теории термоползучести с
использованием комплекса уравнении (XV. 13), (XV. 14), (XV. 19) —
(XV.21) следующая. Вначале решением системы трех уравнений (XV.21)
отыскиваются перемещения и*(ДТ), и*(ДТ), w*(AT), затем с помощью
соотношений (XV.8) определяются деформации е* (ДТ),...,уху (ДТ),...
После этого по формулам (XV. 19) с учетом (XV. 20) находят упругие
напряжения, а затем по уравнениям (XV. 14) уже и напряжения ползу-
чести а*х (t,AT),..., тху (Т, ДТ),...
Общие интегралы системы уравнений (XV.21) с точностью до
произвольных постоянных интегрирования, определяемых в последу-
ющем из граничных условий, тождественно удовлетворяют уравнени-
ям равновесия и с учетом соотношений Коши (XV.8) уравнениям со-
вместности. Поэтому они являются общим решением рассматривае-
мой объемной задачи термоползучести в декартовых координатах при
условиях (XV. 1) и (XV.4).
Отыскание общих интегралов u*(t), x*(t), w(t) уравнений (XV.21)
представляет большие трудности. В общем случае это возможно лишь
575
численными методами. Тем ценнее выявить более простые, но прак-
тически важные случаи, когда перемещения u*(t), x‘(t), w(t) могут быть
найдены в аналитической форме и даже в замкнутом виде. Такие слу-
чаи рассмотрены ниже.
§ XV.3. УПРОЩЕННАЯ ОБЪЕМНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ В
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Существенное упрощение уравнений (XV.21) можно получить,
если положить
F2(T)F4(T) = F2F4= const . (XV.22)
В соответствии с имеющимися опытными данными такое допу-
щение вполне приемлемо (см. табл. 61 и 62).
Условие (XV.22) приводит к тому, что ядро К(Тд-т) и его ре-
зольвента Q(T, t - т) уже не будут зависеть от координат точки. При этом
уравнения (XV.21) примут вид
+ ^z(T) Q(T,t-T)dT = O;
dz
ЭФДО ' Эф>у(О | Эфхг(о] гГЭфДг) ' ЭФхУ(т)
Эх Эу dz ' Эх Эу
..........................................................(x,y,z).
Эти уравнения представляют собой однородные интегральные
уравнения Вольтерра второго рода, не имеющие решений, отличных
от тождественного нуля. Следовательно,
Эф,(О[ЭФхУ(О,Эф>г(О_о.
Эх Эу dz
..................(x,y,z).
Или в раскрытом виде с учетом формул (XV.20)
F,(T) V2u*(t) + --!—
1 - 2v Эх
2М)[эи7о+_Y_e*(t)
Эх Эх l-2v
+ dF2 СО du* (О + Эв * (0 + ЭР2 (Т) Эи * (t) + dw* (t)
Эу Эу Эх Эг Эг Эх
.................................................(х,у, z)(u, в, w).
(XV.23)
576
Общие интегралы полученной системы уравнений для u’(t), x*(t)
и w (t) с точностью до постоянных интегрирования, определяемых из
граничных условий, тождественно удовлетворяют уравнениям равно-
весия (XV.6) и с учетом соотношений Коши (XV.8) уравнениям совме-
стности. Поэтому они являются общим решением рассматриваемой
объемной задачи термоползучести в декартовых координатах при усло-
виях (XV. 1), (XV.4) и (XV.22).
Из рассмотрения уравнений (XV.23) следует, что они не содер-
жат функционалов, включающих в себя ядра ползучести, и поскольку
перемещения u*(t), x’(t) и w(t) удовлетворяют уравнениям равновесия
(XV.6), соотношениям Коши (XV.8) и уравнениям совместности, по
своей форме тождественно совпадающим с этими уравнениями теории
термоупругости, мы приходим к следующей теореме:
«При стационарном (не зависящем от времени) поле изменения
вынужденных деформаций, например температурных, и выполнении
условий (XI. 1), (XV.4) и (XV.22) перемещения и деформации тела,
изотропного, но неоднородного из-за влияния температуры Т на мо-
дуль упруго-мгновенной деформации Е(Т) и меру ползучести С(Т, t - т),
не зависят от ползучести и совпадают по своим значениям с перемеще-
ниями и деформациями такого же, но упругого тела, не обладающего
ползучестью, модуль упругости которого зависит от температуры в той
же степени Е(Т)».
Эта теорема является, таким образом, обобщением известной
теоремы Н.Х. Арутюняна [18, 49] на случай изотропного, но неодно-
родного тела.
§ ХУЛ. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ОБЪЕМНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ. ПОЛЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВЫНУЖДЕННОЙ
ДЕФОРМАЦИИ ЗАВИСИТ ТОЛЬКО ОТ ОДНОЙ
КООРДИНАТЫ
В том простом случае, когда стационарное поле вынужденных
деформаций (поле изменений температуры) зависит от одной коорди-
наты, например z, мы будем иметь
e°(t) = e°(z) = aAT(z). (XV.24)
В таком виде, например, находят решения одномерной стацио-
нарной задачи теории теплопроводности, когда считают коэффициент
577
теплопроводности Л (z) зависящим от координаты точки z, что имеет
место при неравномерном распределении влажности материала тела.
В этом случае функция аффинного подобия F2(T) тоже зависит
только от одной этой координаты
F2(T) = F2[T(z)]=F2(z)
и решение системы уравнений (XV.23) находится в замкнутом виде
u*(t) = -^-[Cl-vC1+(C,-vC4)z]x;
1-v
v*(t) = [c3 - vC, + (C4 - vC2 >]y;
w*(0 = ^[(C, +C3)z + |(C2 + C4)z2 +±(C2 -vC4)x2 +
1 - v L 2 2v
+ ^(C4-vC2)y2--^jAT(z)dz ,
(XV.25)
в чем легко убедиться простой подстановкой этих решений в уравнения
(XV.23)
В формулах (XV.25) исключено смещение тела как целого жест-
кого, для чего в пространстве неподвижно закреплена его точка х = 0;
у = 0; z = 0.
Теперь с помощью соотношений Коши (XV.8) можно найти де-
формации
< (t) = -^-[Cl-vC,+(C2-vC4>}
1-v
< (t) = -^-[c3-vC,+(C4-vC2)z}
3 1-v
< (t) = Me, + C3 + (c2 + C4 >]- (1 + v)AT(z)}
1-v
y; (0 = Y*xz (0 = Y*yz (0 = o.
(XV.26)
Отметем еще раз, что формулы (XV.25) и (XV.26) одновремен-
но дают также и решение упругой задачи теории термоупругости, что
было доказано выше,
578
u*(t) = u(t); v’(t) = u(t); w’(t)=w(t);
s’ (t) = Ex(t); £* (t) = Ey(t); E*(t) = Ez(t);
Yxy (t) = Yxy(t); Yu (t) = Yxz(t); Y*,z (t)=Yyz(t)-
Далее с помощью формул (XV. 19) с учетом (XV.20) найдем фун-
кции (0,.... тху (О,.... Для этого предварительно найдем
6* (t) = {(1 - 2vXc, + С3 + (С2 + С4 >]+ (1 + v)AT(z)},
1-v
При этом e°(t) = ЗаЛТ(г).
ах (t) = “ЕМП [с, + C2z - ДТ(г)]: 1-V ау (t) = aEF^ [С3 + C4z - ДТ(г)]; 1-v (0 = Тху (0 = тхг (0 = Tyz (t) = о. (XV.27)
После чего с помощью формул (XV. 14) наш < (t) = [с, + C2z - AT(z)J 1ем НГСГД-Т,);
Здесь о’у (О = аЕ^-- [С3 + C4z - ДТ(г)]Н*(Т, t - т,); (XV.28) у 1-v О* (0 = Т ху (0 = Т xz (0 = Т yz (0 = °- Н* (Т, t - Т|) = 1 - j Q(T, t - т1 )dt (XV. 29)
— коэффициент релаксации упругих напряжений a x(t) и а y(t).
Входящие в полученные формулы произвольные постоянные Ср
С2, С3 и С4 определяются из граничных условий.
Полученные достаточно общие формулы будут использованы для
решения ряда конкретных прикладных задач. Этим мы и займемся ниже.
579
ГЛАВА XVI.
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ
СТАЦИОНАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
ТЕМПЕРАТУРЫ
§ XVI. 1. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМАТИВНОЕ СОСТОЯНИЕ
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ БРУСЬЕВ ПРИ
НЕРАВНОМЕРНОМ ИЗМЕНЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО ИХ ТОЛЩИНЕ
Рассмотрим призматический прямоугольный брус (рис. 135) и
исследуем его напряженно-деформативное состояние, возника-
ющее при отсутствии поверхностных и объемных сил при изме-
нении его температуры по закону
AT = AT(z). (XVI. 1)
Иными словами, исследуем случай изменения температуры бру-
са стационарное для всех его точек и равномерное по длине и ширине,
но неравномерное по его толщине. Практическая ценность такой зада-
чи очевидна. Например, в таких условиях находятся элементы каркас-
ных стен или ребра трехслойных панелей, у которых преобладает тепло-
вой поток в одном направлении.
Рис. 135. Призматический бетонный брус с двумя условно теплоизолирован-
ными боковыми гранями.
580
Из формул (XV.25) следует, что независимо от вида функции
изменения температуры T(z) и граничных условий, перемещения u'(t)
и в *(t) являются линейными функциями от z, следовательно, верти-
кальные сечения бруса х = const и у=const все время остаются плоскими.
Перейдем к рассмотрению граничных условий.
Из формул (XV.28) следует, что грани бруса z = ±z0 свободны от
напряжений, а напряжения ох (t) не зависят от координаты х, поэто-
му снять их на боковых гранях бруса строго не удается. Следовательно,
мы можем снять на этих гранях лишь главный вектор и главный момент
напряжений q*x (t). Для этого достаточно определить постоянные С( и
С2 из условий
zo zo
J ак (t)dz = J a x (t)zdz = 0. (XVI .2)
-zo -zo
Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение постоянные
к j = Jf2 (T)dz; k2 = Jf2 (T)zdz; “zo -zo k3 = j[F2(T)z2dz; k4 = J F2 (Т)ДТ( z)dz; -zo "zo k5 = |F2(T)AT(z)zdz. ~ Z0 J (XVI.3)
После чего, раскрывая условия (2.12.2), найдем
С,=-кЛ~.Ь.С2.; с2 = к<к<-к-1Ь-. (XVI.4)
к ] к 2 — к । к
Постоянные С3 и С4 подлежат определению из граничных усло-
вий на торцах бруса. Мы рассмотрим их три симметричных варианта
(рис. 136).
При свободных торцах, не закрепленных от поворотов и смеще-
ний, должно быть
zo zo
J о*х (t)dz = j o*x (t)zdz = 0.
-zo -zo
Эти условия дают
581
C-j — С]; С4 — С2 •
Таким образом, в рассматриваемом случае
< (t)= о*у (t)=a^F;(T)[Cl + C2z-AT(z)Jh*(T,t-г), (XVI.5)
1-v
где Cj и С2 определяются по формуле (XVI.4).
Деформации, отличные от нуля, и смещения точек бруса будут
равны
е*х (t) = E*y (0 = а(С! +C2z}
е*г (t) = --^-[2v(Cl +C2z)-(1 +v)AT(z)]
1-v
u*(t) = а(С, + C2z)x;
u’(t) = a(C| + C2z)y;
w’(t) = —-A-Jzvz^C, +C2z)+(l-v)C
(XVI.6)
(x2+y:
(XVI.7)
- 2(1 +v)j AT(z)dz .
° J
Угол поворота сечений бруса
»•«>.
dz
Перемещение о ’(t) вдоль осевой линии точек торцов бруса и угол
поворота Ф ’(t) его торцовых сечений будут равны
= ±a(C, + C2z)y0; = ±аС1у0.
(0 х=0
У=±Хо
z=0
Прогибы точек осевой линии бруса
w*(t)
n=-—У2
x=0 ~ У •
z=0 2
Перемещения концов осевой линии бруса в направлении оси z по
отношению к ее средней точке у = О
582
Удлинение осевой линии бруса
A/(t) = 2v*(t) х=0
У=-Уо
z=0
= 2аС,у0.
Взаимный угол поворота торцевых сечений бруса
P(t) = 2(p*(t)|y=z =-2аС2у0.
Для верного толкования выписанных выше и последующих фор-
Рис. 136. Варианты граничных условий на торцах бруса и их математическая
запись.
583
мул следует условиться о знаках температурных воздействий и способе
закрепления бруса в пространстве, как целого жесткого. В этих фор-
мулах и далее принято:
1) положительные температурные воздействия соответствуют слу-
чаю равномерного разогрева (удлинения) бруса и большему нагреву его
нижних волокон (изгибу выпуклостью в положительном направлении
оси z) соответственно;
2) неподвижно закреплена в пространстве точка бруса с коорди-
натами х = 0; у = 0; z = 0.
В связи с последним обстоятельством прогибы осевой линии
бруса при положительных температурных воздействиях всегда отрица-
тельны.
При торцах бруса, имеющих свободу поступательных продольных
перемещений, но закрепленных против поворота, должно быть
Из этих условий следует
J ау (t)dz = O;
a»*(t)
dz У=±У(
= 0.
С3 - С,; С4 - vC2,
где Cj и С2 находятся по формулам (XVI.4). В связи с этим будем
иметь
as (t) = а^2(Т) (С, + C2z - ДТ(г)]н*(Т.t-т,);
У (XVI.8)
< (t) = °- [С, + vC2z- ДТ(г)]н' (Т,t -т,);
1-v
s’, (t) = и[С, +C2(l + vjz} £*y (t) = aC,; < (t) ={v[2C| +C2(1 + v>]-(l + v>T(z)} 1-v (XVI.9)
u*(t) = a[C, +C2(l + v)z]x;
v'(t) = aC,y;
- (XVI.10)
-2(l + v)|AT(z)dz}.
О
584
При полностью защемленных торцах должно быть
до* (О
* Это дает
С3 = vCp С4 = vC2 .
При этом
< (0 = [с, + C2z - AT(z)]H* (Т, t - г,);
1-v
< (t) = [v(c, +C2z)-AT(z)]H'(T,t-г,);
1-v
е*х (t) = a(l + vXcl+C2z>
е’у (t) = 0;
e*z (t) = -^^)[v(C, +C2z)-AT(z)}
1-V
(XVI. 11)
(XVI.12)
u*(t) = a(14-vXC! + C2z)x;
o*(t) = 0;
w*(t) = -^' + V^ 2vC,z + vC2z2
2(1-v)
Возможны и другие несимметричные граничные условия. Реше-
ния для них могут быть получены аналогичным образом. Мы их здесь
уже рассматривать не будем.
§ XVL2. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ПЛИТ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ ИЗМЕНЕНИИ
ТЕМПЕРАТУРЫ ПО ИХ ТОЛЩИНЕ
Рассмотрим плиту толщиной 2z0 (рис. 137) и исследуем ее на-
пряженно-деформированное состояние, возникающее в ней при изме-
нении ее температуры по закону (XVI. 1). Именно в таком виде обычно
находятся решения задач теории теплопроводности для плит, вытяну-
тых в двух направлениях и относительно тонких. В § XVI. 1 мы рас-
585
смотрели аналогичную задачу для бруса. После определения постоян-
ных, входящих в это решение, из соответствующих граничных условий
оказалось, что во всех случаях оно не содержит в себе размеров бруса в
плане и поэтому является одновременно и решением такой же задачи
для плиты той же толщины 2z0 с теми же граничными условиями на
боковых гранях. Однако возможные комбинации этих условий у плиты
шире и нам придется рассмотреть дополнительно еще некоторые наибо-
лее важные их сочетания. Практическая ценность рассматриваемой за-
дачи очевидна для стеновых панелей, плит покрытий, полов произ-
водственных зданий и т.п.
Итак, для плиты, свободной по всем четырем боковым граням,
решение задачи определяется формулами (XVI.5) - (XVI.7); для пли-
ты, у которой две параллельные грани у = ±у0 свободны от поступа-
тельных продольных перемещений, но закреплены против поворота, а
две грани х = ±х0 свободны — формулами (XVI.8) — (XVI. 10); для пли-
ты с полностью закрепленными торцами у = ±у0 и двумя гранями х =
±х0 свободными - формулами (XVI. 11) - (XVI. 13).
Если все боковые грани имеют свободу поступательных переме-
щений, но закреплены от поворотов, должно быть
Рис. 137. Плита с двумя теплоизолированными боковыми гранями: 1-тепло-
изоляция.
586
|o*x (t)dz = |oy (t)dz = O;
—zo -zo
du*(t) _ d»*(t)
dz dz x=±x0
Эти условия дают нам
С,=С3=£-; С2=С4=0.
к|
При этом
сх (0 = су (0 = аЕ52(Т) [С, - AT(z)]H* (Т, t - т,);
1-V
е\ (О = е\ (О = аС,; е* (t) = - [2vC, - (1 + v)iT(z)}
1-v
u*(t) = aC|X; г)*(О = аС!у;
a
w*(t)
2vC(z-(l + v)jAT(z)dz
О
При торцах x = ±x0, свободных для поступательных перемеще-
ний, но закрепленных от поворотов и полностью защемленных торцах
у = ±у0 должно быть
j[cx(t)dz = ^^ =0,
-Zo X=±X0
Это дает
L
C,=^-; C3 = vC,; C2=C4=0.
При этом
587
< (0 = .^(Т)[С| - ДТ(г)}Г(Т. t - г,);
1-v
< (t) = [vC| - ДТ(г)]Н*(Т, t - Ti );
1-v
£*х (t) = аС|(1 + v} £*у (t) = 0;
e’z(t) = -4±^[vC1-AT(z)];
1-v
ir(t) = aCj(l + v)x; u*(t) = O;
w*(t) = -a(1 + V) vC1z-|AT(z)dz .
Если все боковые грани плиты полностью защемлены, должно
быть
Это дает
Поэтому
С| = С2 = С3 = С 4 = о.
< (t) = а’у (0 = -°^F2(T) AT(z)H*(T, t-t,);
1-v
€*x(t) = £*y(t) = O;
е’г(1) = ф^ДТ(гк
1-V
u*(t) = n*(t) = O;
w*(t) _ |AT(z)dz.
588
§ XVI.3. ЧИСЛЕННАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРИМЕНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ
НА ПРИМЕРЕ ОДНООСНОЙ ЗАДАЧИ О РЕЛАКСАЦИИ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ УСИЛИЙ В БЕТОННОЙ ПЛИТЕ С
ЗАЩЕМЛЕННЫМИ ГРАНЯМИ
Рассмотрим бетонную плиту толщиной 2z0 = 10 см из обычного
тяжелого бетона старого возраста с теплоизолированными двумя па-
раллельными гранями. Вначале плита находилась в естественном «хо-
лодном» состоянии при температуре Т = 16°С. Затем ее грани у = ±у0
были полностью защемлены и в ней было создано условно мгновенно1 * * *
линейное стационарное распределение температуры по толщине
T(Z) = +^2 (Т2 ~Tl)z
(XVI.14)
2 2z0
с температурами граней z = ± z0 Т, = 2 ГС и Т2 = 7 ГС.
Таким образом, плита претерпела температурные изменения
(XVI.15)
AT(z)=-L-
1т2-т
2z0
где Т* =21-16 = 5°СиТ*2 = 71-16 = 55°С.
Эти изменения &T(z) вызвали бы относительную деформацию
удлинения плиты
= 1,14 • 10"5-30 = 34,2 1(Г5
со0 =
1 2
2
и взаимный относительный угол поворота ее торцов
фо = “(Г..? . Ti ) = 1,14-Ю'5-5 = 5,7• 10~5[—1,
2z0 lCMJ
где а = 1,14-10-5 (°C)-1 — измеренный коэффициент линейного темпе-
ратурного расширения бетона.
Полное погашение деформаций со0 и Ф0 жесткой заделкой торцов пли-
ты при температуре 16°С вызовет реакции в заделки N(t) и M(t). Таким
1 Более сложный случай естественного разогрева плиты с определенной ско-
ростью до указанного линейного распределения температуры будет рассмот-
рен нами позже. Пока же, имея в виду лишь иллюстративный методичес-
кий пример, мы ограничимся ее условно мгновенным разогревом.
589
образом, рассматриваемая задача представляет собой по существу зада-
чу о релаксации вследствие ползучести температурных продольных силы
N(t) и момента M(t) в плите с жестко защемленными торцами, выз-
ванных эпюрой изменения &T(z) (XVI.2) ее температурного поля T(z)
(XVI. 1). Для определения теоретических значений N(t) и M(t) вос-
пользуемся соответствующими формулами главы XVI. В опытах при
комнатной температуре было найдено
Е = 3,570 105 кг/см2 = 0,357 105 МПа;
<р = 0,1807 • 10“5 (кг/см2 j"' = 1,807 • 10~5 (МПа)'1;
v = 0,170; F2(T)F4(T) = 1,113.
По формуле (XIV.5) с учетом данных табл. 60.
F2(T) = а2+С2е-а,<т~т,) (XVI. 16)
при
а 2 = 0,580; С2 = 0,420; а2 = 0,0275 (°C)’1; Тк = 20°С .
Так, что с учетом (XVI. I)
|~Т,+Т2 . (T2-T,)z 1
F2(T) = a2+C2e ’L 2 2‘» (XVI17>
Теперь выполним все необходимые предварительные вычисле-
ния.
По формулам (XVI.3) находим
После подстановки числовых данных находим
к) =58_Р^е-0.0275.26^-0.0275.25 -е0.027’2^ 8,020 СМ
590
к2 = J а2+С2е I 2 2z°
-z0
•zdz =
После подстановки числовых данных находим
к2 - ~
0,420е~°’°275'26
(0,0275-25f
{[0,0275- 25 + ije-®-0275 25 + [0,0275- 25 - 1]е0 0275'25}=
=-2,478см2;
, 2z0 , 2
Га2(Т2-Т,)1 Га2(т2-Т,)12
- 2zo J [ 2z0
После подстановки числовых данных находим
591
2 0Л80-125 0,420 е-о,О275-2б е-о,о275И 251 । 2
3 0,0275-5 1 [ 0,0275-5 (0.0275-5)2
= 67,070см3;
е0.0275-25
0,0275-5 + (0,0275-5)2
(г; -т;) с^[1 _ °2(т2-т.)-
' „ (т _т Я2 2
Внеся сюда численные данные, найдем
к4 =0,580-60-5-0,42с-0’0275-26
60 с-0,0275 25 +
[0,0275-Ю]
------е-0 0275 25 [0,0275 • 25 +1]-----------е'0-0275-25 _
(0.0275-5)2 0,0275-10
----------—- е0-0275'25 [1 - 0,0275 • 25][ = 247,440 °C • см.
(0,0275 S)2
592
Внеся сюда численные данные, имеем
_ 580 -50-25 0,420. -0,0275 26 f 30 о,0275-25.
5 3 0,0275-5 [0,0275-5
х [р,0275 • 25 +1]+ 5 е"0-0275'25 25 + ——— + --—-
0,0275-5 (0,0275 S)2
-----3£е0.0275-25 [Г_0,0275-25]-
0,0275-5
5 е0,0275-25
25 + 0,0275-5 + (0,0275-5)2
= 265,531 °C -см2.
593
Итак, мы нашли
к, = 8,020см; к2 =-2,478 см2; к3 =67,920 см3;
к4 = 247,440°C см; к5 = 265,531 °C см2.
Теперь по формулам (XVI.4) находим постоянные входящие в
формулу для напряжений а х
2,478 247,440 + 8,020 - 237,419
6,140 - 8,020-67,070
= 4,734°С/см;
C,=247-449^ff84^ = 32,315°C.
8,020
Поскольку торцы плиты полностью закреплены, будем иметь
C3 = vCj = 0,170-32,315 = 5,493°С;
С4 = vC2 = 0,170-4,734 = 0,805 °С/см.
При этом осевые напряжения о y(t) будут равны
о (t) = [v(c, + C2z)-AT(z)]H*(T,t).
3 1-v
Продольная нормальная сила N(t) будет равна
N„(t) = 3^(vC,k, + vC2k2-k4)H*(T, t).
3 1-v
Внося сюда цифровые данные, найдем
N (t) = 21,1410 5-3,570 105 5(0д7.323!5.g020-
у 7 1-0,170 v
- 0,17-4,734-2,478 - 247,440)H*(T,t) =-10070,351-H*(T,t) кге.
Продольный изгибающий момент относительно центра тяжести
сечения, в свою очередь будет равен
My(t) = ^4vC,k2 + vC2k3 -k5)H*(T,t).
После подстановки цифровых данных, получим
М (0 = 21,14 10 5 -3-570 10 5 (ОД7.32,315• 2,478-
у 1-0,170
- 0.17 • 4,734 • 67,92 - 265,531)н‘ (Т, t) = -110070,239 • Н’ (Т, t) кге • см.
594
Эксцентриситет относительно центра тяжести сечения
11007,239 ’
е =-----------= 1,1 см
10070,351
и находится в пределах ядра сечения.
Теперь найдем коэффициент релаксации H*(T,t) при этом вос-
пользуемся C(t - т) в форме (VII. 155) с параметрами из опыта
<р = 1,807-Ю-5 (МПа)"'; у = 0,0231(сут)-1;
т = 5; В = 0,594.
Вначале определим коэффициенты характеристического уравне-
ния (VII. 159). При F2(T)F4(T) = 1,113. Приемлемость последнего ус-
ловия была доказана выше.
„ уфЕЕЕ 0,0231-1,807-Ю-5 0,357 10s 1,113 ,-i
S = ——— = —--------------------------------= 0,0104(сут) .
1 + В 1+0,594
Коэффициенты
k( = y+S + (l + m)(y + BS)=
= 0,0231+0,0104+(1 + 5)(0,0231+0,594 •0,0104) = 0,209 (сут)-1;
k2 =y(l + m)[y + (l + B)s]=
= 0,0231(1 + 5)[0,0231+(1 + 0,594) 0,0104]= 0,00550(сут)-2.
Таким образом, мы будем иметь характеристическое уравнение
р2 (Т) - 0,209р(Т) + 0,00550 = 0 -
Его корни равны
р, (Т) = 0,178(суг)-1; р2 = 0,0309 (сут)-1 .
Теперь находим «постоянные» Д,(Т) и Д2(Т) по формулам
(VII. 158)
ДI (Т) =------?---Ь,О231Ь+(1+5)2 -0,5941-
1 0,178-0,0309Г е
- [1 + (1 + 5)-0,594](0,0309-0,0104(1 + (1+5)- 0,594])}= 4,031;
Д2 (Т) = 1 + (1 + 5)- 0,594 - 4,031 = 0,533.
После чего по формуле (XIV. 25) найдем
Q[T,t- т] = 0,0104(4,03 le-01780-” +О,533е-о<во9<,‘”] =
= 0,0419е-о,|78<1-т) +О,ОО554е-о’озо9<1-т)-
595
Теперь будем иметь
j Q[T, t - T]dr = O,235[ 1 - e’0J 781 ]+0,179[ 1 - e'OO3O9t ].
о
После чего по формуле (XV. 29) найдем коэффициент релакса-
ции
H*(T,t) = 0,586+0,235e4)’,78t +0,179e4)’0309t.
с его предельным значением
Н*(Т,оо) = 0,586.
При этом продольная сила Ny(t) будет равна
Ny(t) = -10070,351(оД86 + О,235е"°178' +-0,179е 00309’),
а продольный момент
My(t) = -11007,239(0,586+ 0,235е“°,|78‘ + О,179е"°'0309').
Их предельные значения будут равны
Ny(oo) =-5901,226 кгс;
М у (°°) = -6450,242 кгс • см
и составляют 58,6% их начальных значений.
Теперь проделаем ту же работу по вычислению Ny(t) и My(t), но
без учета влияния температуры на ползучесть и модуль упругости бето-
на. В этом случае F2(T) = F4 = 1, следовательно, а2 = 1; С2 = 0,
F2(T)F4 = 1. При этом, в чем легко убедиться,
к|=2го = 1Осм; k2=O, k3 =^- = 83,333 см2;
k4 = (т । + Т 2 )z0 = 300°С см; k5 = = 4,6667оС. см\
Поэтому
C2=L = 1^ = 5°C/cm;
2 к3 83,333
С = 11 = —= 30°С;
к! 10
С3 =vC| =0,170-30 = 5,1 °C;
С4 = vC2 = 0,170-5 = 0,85°С/см.
596
При этом осевые упругие напряжения oy(t) будут равны
а, (0 = + C2z)- AT(z)]h*(T, t)
Продольная упругая сила Ny (t) будет равна
N/° = j^-(vC,k, -k4^T(T,t).
Внося сюда цифровые данные, найдем
N (t) = 101'1410 -ЗЛ7О1О (0|7.30.io-3OO)H*(T,t) =
у 1-0,170 '
= 12208,490-Н’(Т,1)кгс.
Упругий продольный момент My(t) равен
м у (0 = (vC2k , - к 5 )н* (Т, t).
Внося сюда цифровые данные, найдем
М (0 = —LI4.1?—•3^.701()i (0,17-5-83,333-416,667p‘(T,t) =
у 1-0,170 v '
= 16957,529 H’(T,t).
Упругий эксцентриситет
_ 16957,529 . А
е =---------= 1,4 см
12208,490
и находится в пределах ядра сечения.
Теперь найдем упругий коэффициент релаксации H*(T,t).
Вначале определим новые коэффициенты характеристического
уравнения (VII. 159)
S = 0,0231-1,807-1О’}-0,357 Ю5 = .
1 + 0,594
к, = 0,0231 + 0,00934 + (1 + 5X0,0231 + 0,594 0,00934) = 0,204 (суг)’1;
к 2 = 0,0231(1 + 5)[0,0231+(1+0,594)- 0,00934] = 0,00527 (сут)’2.
Характеристическое уравнение
р2 (Т) - 0,204р(Т) + 0,00527 = 0 .
Его корни
597
ft (T) = 0,174 (сут)4; р2 = 0,0303 (сут)"1 •
Теперь находим постоянные Д j и Д2
Д,(Т) =-------j-----Ь,0231Ь + (1+5У 0,594]-
1 0,174 - 0,0303Г I \ / * J
- [1 + (1 + 5)- 0,594^0,0303 - 0,00934(1 + (1 + 5)• 0,594j}= 3,990;
Д 2 (Т) = 1 + (1 + 5)- 0,594 - 3,990 = 0,574.
После чего находим
Q[T, t - т] = 0,00934[3,990е"°'|74|1“т) + O,574e'0-0303(,‘t) J =
= 0,0373е“°'|74<,’’) + 0,00536е’оюоз<,'т).
Далее найдем
j Q[T, t - т]Л = 0,214(1 - e"0l74‘ ] + 0,177[1 - е'0 0303' ].
О
После чего будем иметь
H’(T,t) = 0,609 + 0,214е“°’1741 + О,177е'0-0303'
с его предельным значением
Н*(Т,оо) = 0,609.
При этом продольная сила
Ny(t) = -12208,49о(о,609 + 0,214e-°l74t + О,179е'°’озоз,)>
а продольный момент
Му (t) = -16957,529(о,586+0,214е-0174‘ + о.^е-0-0303').
Их предельные значения будут равны
N у (оо) =-7434,970 кгс;
Му(оо) = -10327,135КГССМ.
Сравнивая соответствующие величины, устанавливаем, что учет
влияния температуры на физико-механические свойства бетона приво-
дит в рассмотренной релаксационной температурной задаче к дополни-
тельному снижению начальных значений Ny(0) и Му(0) соответственно
на 17,5% и 35,1 % и их предельных значений Ny( «>) и Му(«>) соответ-
ственно на 20,6% и 37,5%. Предельное же значение коэффициента ре-
лаксации при этом снижается еще на 3,8%.
598
§ XVI.4. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
БЕСКОНЕЧНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НЕРАВНОМЕР-
НОМ ИЗМЕНЕНИИ ЕГО ТЕМПЕРАТУРЫ ПО ГЛУБИНЕ
Исследуем напряженно-деформированное состояние бесконечного
полупространства при неравномерном изменении его температуры только
по глубине по закону (XVI. 1). Эта задача имеет практическую ценность
для полов горячих цехов промышленных зданий, массивных плит аэро-
дромных покрытий и т.п. конструкций.
В рассматриваемой задаче по условиям симметрии равны нулю
все деформации сдвига, а следовательно, и касательные напряжения.
Кроме того, должно быть равно нулю нормальное напряжение oz(t),
так как граничную поверхность z = 0 мы будем считать незагруженной.
По этим же соображениям перемещения u*(t) и в *(t) вдоль осей х и у,
перпендикулярных оси z, должны быть равны нулю, а напряжения
о* (t) и о'у (t) должны быть инвариантными относительно координат х и
у так же, как и деформации е * (t) и е* (t).
Т.е. должно быть
у ху (О — у xz (0 ~ y yz (0 ~ Ф
т*ху (0 = T*xz (0 = bz (0 = ° Z (0 = 0.
u*(t) = v*(t) = O;
a*x (t) = o*y (t) = o*(t);
£*x (t) = £*y (t) = £*(t).
(XVI.18)
(XVI.19)
Условия (XVI. 18) тождественно удовлетворены в решении, най-
денном в § XVI. 1. Накладывая условия (XVI. 19) на это решение, с
помощью формул (XVI.2), (XVI.3), найдем, что в рассматриваемом
случае
Cj =С2 =С3 = С4 =0;
И, следовательно,
< (о = < (t) = -^5b£!2AT(z)H’(T,t-T1)
1-v
E*x(t)=E*y(t) = O
599
<(t) = 4^AT(Z);
1-v
u*(t) = v*(t) = 0;
w*(t) = ^i^|AT(z)dz.
Кроме того
e*(t) = a(1 + V)&T(z);
S*(t) = _2aEFz(T) AT(z)H*(T,l -T,)
1-v
§ XVL5. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
АРМИРОВАННОГО ЭЛЕМЕНТА СО СВОБОДНЫМИ ОТ
ЗАЩЕМЛЕНИЙ ТОРЦАМИ
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние, вызыва-
емое вынужденными деформациями, средней части армированного
призматического элемента, достаточно удаленной от его свободных
концов, для которой можно считать, что ее сечения остаются плоски-
ми и в них не нарушается сцепление арматуры с бетоном. С хорошей
степенью приближения это приемлемо для предварительно-напряжен-
ных или обычных ненапраяженных железобетонных элементов, рабо-
тающих без трещин при эксплуатационных нагрузках.
Будем иметь в виду поперечное сечение произвольной формы,
но с одной осью симметрии, центром тяжести 0б его бетонной части и
односторонним арми-
рованием. Необходи-
мые обозначения гео-
метрических парамет-
ров даны на рис. 138.
Пусть бетон и
арматура имеют модуль
упругости соответ-
ственно Е и Еа.
Рассмотрим слу-
чай действия на эле-
мент, начиная с воз-
600
раста бетона т = т,, распределенной по сечению температурной де-
формации бетона, вызываемой соответственно изменением дТ(у) его
температуры от ее постоянного начального значения до конечного рас-
пределения Т(у):
е°(у) = абДТ(у) • (XVI.20)
В формуле (XVI.20) аб — коэффициент линейного расширения
бетона.
Обозначим напряжения в бетоне и арматуре соответственно че-
рез a6(t,y) и oa(t), тогда условия равновесия элемента
N6(t) + Faoa(t) = 0;
M6(t)-Faoa(t)ya = 0.
Здесь N6(t) и M6(t) - соответственно равнодействующая напря-
жений в бетоне и ее момент относительно центра тяжести 0б. Этим
условиям будут удовлетворять как упругие, так и полные напряжения.
Упругие нормальные напряжения в бетоне от действия температурной
деформации (XVI. 1) с учетом закона плоских сечений равны:
(XVI.21)
(XVI22)
*а J а IV
где у — текущая ордината точки, a J6 — момент инерции бетонной час-
ти поперечного сечения относительно горизонтальной оси х, проходя-
щей через его центр тяжести 0б. Кроме того, отличными от нуля будут
еще упругие напряжения
o,(y.t) = a?^(y)][cl + С2у-ДТ(у)]. (XVI.23)
Все остальные напряжения будут равны нулю.
В формулы (XVI.22), (XVI.23) введены слагаемые, содержащие
постоянные С, для того, чтобы из общего решения, которое мы най-
дем, полагая Fa = 0, можно было бы получить решение задачи для
бетонного элемента, относящееся к случаю действия вынужденной де-
формации (XVI.20) (см. § XV.4). Эти слагаемые в нашем случае дол-
жны быть статически самоуравновешенными, т.е. должны удовлетво-
рять условиям
J()dF = O; j( )ydF = O.
F F
Раскрывая эти условия с учетом того, что оси Ох и 0z являются
главными центральными осями и вводя обозначения
601
а также
найдем
11,
ki = /ВДудау;
-h,
k2 = jF2[T(y)]ydy;
-h,
h, h,
h= jF2[T(y)]y2dy; k4= jF,[T(y)]AT(y)dy;
-h, -h,
h,
k5 = JF2[T(y)]AT(y)ydy,
-h,
k6 = J F2[T(y)]dF; k7 = J F2[T(y)]ydF;
f5
k8 = J F2[T(y)ly2dF; k9 = J F2[T(y)]AT(y)dF;
Fr. fc
kio = jF2[T(y)]AT(y)ydF,
Fc
Г = ^4 ~^2^2 r _ к2^4 ~^1^5 .
* k. ’ 2 k2 -kjk3 ’
_ k9-k7C4 k7k9-k6kl0
3 kz ’ 4 k2 —k k
K6 K 7 K6K8
Полная деформация бетона равна
(y,t) = a6AT(y) +
о§(УЛ)
EF2[T(y)]
, Г °s(y*T)
J EF2[T(y)]
K(T, t-T)dT,
(XVI.24)
£
где K(T, t - т) — стационарное ядро термоползучести (XIV.24), незави-
сящее от координаты точки.
В любой момент времени должно выполняться условие совмест-
ности деформаций бетона и арматуры
<(-Уа.0 = ^ + ааДТ(-Уа)-
Раскрывая это условие с использованием обозначений
И = ^-; щ =Ь.; n6=1 + ^L
F6 “ Е J6 ,
и формул (XVI.22), (XVI.24), получим интегральное уравнение для
602
определения полных напряжений в арматуре
< (t) = (T)Kl[T(-ya),t-T]dx = 0(-ya,t)> (XVI.25)
Т,
где КДТ(-уа ),t - т] — новое ядро ползучести равное
K1[T(-ya),t-T] = nn6f1(-ya)K(T,t-T), (XVI.26)
+ j К(Т, t - r)dt
0(-УаД) = ^(-Уа) Г2(-Уа) + 'з(-Уа) ‘
М-Уа) =---------
цтап6+F2[T(-ya)]
f2 (-уа) = Е(а8 - а, >2[Т(-у, )]ДТ(-уа);
fi(_yJ = e(T(-ya)]|-Ci _c4ya _дт(-уа)].
1-V
причем
J К(Т, t - T)dx = F2 (T)F4 (T)EC(t - г)
t,
и соблюдается условие (XFV.8).
Решая уравнение (XVI.24), найдем полные напряжения в арма-
туре с учетом термоползучести
о*а (t) = e(-ya>t)-|e(-ya,t)QI[T(-ya),t-T)dT, (XV1.27)
где Q,[Т(-уа), t - т] — новое ядро релаксации, представляющее собой
резольвенту ядра (XVI.26).
Полагая в уравнении (XVI.27) Qi[T(-ya),t-i] = 0, получим уп-
руго-мгновенные напряжения в арматуре
oa(t) = e(-ya,t). (XVI.28)
Внося (XVI.28) в формулу (XVI.22), найдем упруго-мгновенные
напряжения в бетоне
603
°б(у-0=у-е(-уа,1)[уар8У-з8]+
J6
a6EF,[T(y)]r , (XVI. 29)
+ —1-v [C3 +C4y-ДТ(у)].
После этого с их учетом найдем и полные напряжения в бетоне
о*б (У. 0 = о6 (У- 0 “ J°б (У. T)Q(T, t - r)dt,
т,
где Q[T, t - т] — резольвента стационарного ядра К(Т, t - т) (XIV.24), в
нашем случае равная (XIV.25), a o6(y,t) определяется по формуле
(XVI.29). По аналогичной формуле
о*х (У- О = °х(У- 0 _ j°x(У- t)Q(T, t -T)dT
находятся и напряжения о* (у, t), где ох (у, t) определены формулой
(XVI.23).
При отсутствии армирования Ц = 0, поэтому напряжения в бе-
тонном неармированном элементе будут определяться по формуле
о’8(у,t) = a^EF^-(y^[C3 + С4у - ДТ(у)1 1 - f Q(T, t - T)dt . (XVI.30)
1-v I J
В частном случае, когда не учитывается влияние температуры на
Ей C(t — т), мы будем иметь F2 [Т(у)] = F4 [Т(у)] = 1, К(Т, t - т) = L(t - т),
Q(T,t-t) = R(t-t), k1=h,+h2=h, k2 = ^(h2 -h2 ), k, = |(h’2 +h’),
к4 = )дТ(уМ> k5= )дТ(у)у<1у k„ = F6, k7=JydF=S6 k8 = Jy2dF=J6>
-h, ’ -h, ’ F« ’ F6
k, = /AT(y)dF= VAT kl0 = jAT(y)ydF = Sv>i ,
F ’ fv.
где Удт — объем эпюры дТ(у) на площади F6, а Sv&t — статический
604
момент этого объема относительно центра тяжести 0б бетонного сече-
ния. В этом случае мы будем иметь
< (У,О = ^[Сз+С4у-ДТ(у)]Н-((-т), (XIV.31)
1-v
t
где H*(t - т) = 1 - JR(t - T)di — коэффициент релаксации напряжений.
Отметим еще, чтд в случае прямоугольного сечения шириной b и высо-
той h
h1=h2=^; kj = h; k2=k7=0;
k6=bh; k8=^-; k3 = —;
6 8 12 3 12
kg = bk4; k]Q = bkji
C,=C3=^-; C2=C4=^;
h h
h h
2 2
k4 = jAT(y)dy; k5 = |AT(y)ycly.
_h _h
2 2
Отметим в заключение, что поскольку резольвента Q(T, t - т) ядра
К(Т, t - т) известна, то резольвенту Q( (Т, t - т) ядра К, (Т, t - т) легко най-
ти с помощью приема, указанного в § XII. 1.
§ XVL6. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
АРМИРОВАННОГО ЭЛЕМЕНТА С ЗАЩЕМЛЕННЫМИ
ТОРЦАМИ
Исследуем теперь напряженно-деформированное состояние ар-
мированного элемента, рассмотренного в § XVI.5, но при жесткой за-
делке от смещений его торцов.
В этом случае очевидно
Е* (t) = Eg (t) = 0.
Поэтому
605
° а =-«аЕаДТ(-Уа)
и не зависит от времени, поскольку ползучесть арматуры не учитывает-
ся, а для напряжений в бетоне получаем уравнение
- а8ДТ(у) EF2 [Т(у) ] = oj (у, t) + j oj (у, г)К(Т, t - r)dt.
т,
Его решение равно
Сб(У.0 = -а6ЕР2[Т(у)]ДТ(у) 1 —jQ(T,t-T)dT ,
t,
где Q(T, t - т) — резольвента стационарного ядра К(Т, t - т).
Таким образом, напряжения в бетоне релаксируют во времени,
а множитель в фигурных скобках представляет собой коэффициент ре-
лаксации Н*(Тд-т) Кроме того, мы будем иметь еще самоуравнове-
шенные напряжения
< (уд) = anEF2[T(y)][С +с у_АТ(у)]н*(Тд_т)
1-V
Имея формулы для напряжений в бетоне о* (у, t) и арматуре о* ,
найдем реакции «в заделке» — усилие N‘(t) и момент M*(t)
N+(t) = <j* Fa + J a g (y, t) dF;
F
M*(t) = -a* Faya + jOg (y,t)y dF;
F
равные
N*(t) =-aaEaAT(ya)Fa -a5Ek9H*(T,t-i);
M*(t) = -o* Faya-a5EkI0H*(T,t-T)
и релаксирующие во времени.
Таким образом, вычисление напряжений и реакций в заделке
сводится к вычислению коэффициента релаксации Н* (Т, t - т) с помо-
щью квадратур, поскольку ядро К(Т, t - т) и его револьвента Q(T, t - т)
известны и определены формулами (XIV.24) и (XIV.25).
606
В заключение настоящей главы необходимо сделать ряд замеча-
ний.
Для общности решения рассмотренных задач было принято усло-
вие аб * аа По опытным данным различие в этих коэффициентах мало
и в задачах о температурных напряжениях им вполне можно было бы
пренебречь, поскольку одновременно с бетоном арматура также пре-
терпевает температурные деформации. Поиному обстоит дело в задачах
о влажностных, например усадочных напряжениях в армированных кон-
струкциях. При изменении их влажности вынужденные влажност-
ные деформации претерпевает только бетон; арматура же их не испыты-
вает. Здесь условие аб * аа, принятое для общности решения, крайне
полезно, так как позволяет получать готовые решения таких задач из
приведенных выше общих решений путем замены в них изменений тем-
пературы AT(y,t) на изменения влажности бетона AU(y,t), коэффици-
ентов линейного расширения аб и аа на коэффициенты линейной усад-
ки Рб и Ра и принятия Ра = 0. Без изначального условия аб *аа такой
переход был бы невозможен, и пришлось бы заново решать задачи о
влажностных напряжениях в армированных конструкциях при р б 0 и
Р а = 0. В связи с изложенным мы не будем особо рассматривать эти
задачи. Их готовые решения легко могут быть выписаны путем указан-
ных замен.
В литературе имеются решения некоторых из рассмотренных здесь
задач с принятием изначального условия сх (УЛ) = °у (У, 0 - 0 - В силу
этого допущения такие решения не являются общими, так как при этом
не удовлетворяются обобщенные уравнения совместимости Бельтрами-
Митчела, выраженные в напряжениях. Как следует из формул (XV.27),
условие о у (у, t) = (у, t) = 0 выполняется только при линейной темпе-
ратурной функции Т(у, 0 = C|(t) + С2(0у . Только в этом случае общ-
ность решения не нарушается.
607
ГЛАВА XVII.
ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ В
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ ПРИ
СТАЦИОНАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПОВЫШЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
§ XVII. 1. ОБЩАЯ ОБЪЕМНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
Рассмотрим в цилиндрических координатах задачу о напряженно-
деформированном состоянии твердых тел, обладающих свойства
ми наследственности, вызываемом изменением их температуры,
при учете ее влияния на ползучесть и модуль упругости.
Как и прежде ограничимся пока уравнениями линейной теории,
что вполне приемлемо при не слишком высоких значениях напряже-
ний. Будем считать физико-механические свойства материала завися-
щими от температуры.
Поперечная деформация и деформация чистого сдвига
5 2 (t — т) при действии единичных продольных сжимающих напряжений
и, соответственно, единичных касательных напряжений связаны с про-
дольной деформацией 5(t — т) при сжимающих напряжениях соотноше-
ниями (XV. 2), а деформация 5(t - т) при учете зависимости Ей C(t - т)
от стационарной температуры Т задана в форме (XV. 3). Поскольку,
как и прежде, рассматривается стационарное распределение температу-
ры T = T(r,0,z), то функции F2(T) и F4(T) будут зависеть только от
координат точки
F2(T) = F2[T(r,e,z)] = F2(r,e,z);l
F4(T) = F4[T(r,e,z)] = F4(r,e,z).J (XVII. 1)
В дальнейшем это обстоятельство мы будем учитывать.
По-прежнему избегая деталировки, будем исходить из общей за-
писи C(t - т), сохраняя возможность любой приемлемой формы ее рас-
крытия.
608
Отметим, что здесь и в дальнейшем для экономии места мы бу-
дем подчеркивать лишь зависимость различных величин от времени на-
блюдения t (или текущего времени т), опуская в записи их зависи-
мость от координат точки г, 0, z. При этом, однако, следует разли-
чать, когда некоторые из них зависят только от t или от t и т (физико-
механическое свойство материала) и когда они зависят, кроме t или
т, еще и от координат точки (напряжения, деформации, перемеще-
ния, вынужденные деформации). Для напряжений, деформаций и
перемещений, отыскиваемых с учетом ползучести, мы сохраним те же
обозначения, что и в упруго-мгновенной задаче, но будем, как это
уже принято, дополнительно отмечать их звездочкой.
В рассматриваемой задаче при отсутствии объемных сил напря-
жения ползучести должны удовлетворять уравнениям равновесия, по-
добным уравнениям Навье
Эр* (t) + 1 dr*e (t) + Зг*гг (t) + о* (t)-o’e (t) = 0
Эг г Э0 dz г
dr*fir (t) 1 do» (t) diL (t) о т»г (t) Л
——— +-------sJ-l + —+ 2 Ог - = 0; (XVII 2)
dr г 30 dz г
Эт*г (t) + £ Эт*е (t) + da* (t) + (t) = 0
dz г dG dz г
и условиям на поверхности.
Полные деформации связаны с полными перемещениями подоб-
но уравнениям Коши зависимостями
от г 30 г dz
. ,n dn’(t) n*(t) dif(t).
/ (t)- 1 ^,(t) ।9n (t)- / (0-^*(t) । ^*(t)
Yei(t)"r 30 + dz ’ dz + dr
(XVII.3)
и удовлетворяют уравнениям совместности, аналогичным уравнениям
Сен-Венана, обеспечивающим сплошность тела при его деформирова-
нии. Последние мы не приводим, так как будем непосредственно
пользоваться соотношениями (XVI 1.3).
В дальнейшем для экономии места мы выписываем только пер-
вое уравнение из их родственной группы. Остальные ее уравнения по-
лучаются, как прежде, круговой заменой символов г, 0, z и £, Л, £.
609
Полные деформации с учетом (XIV. 1) и (XIV. 3) связаны с на-
пряжениями соотношениями, подобными обобщенному закону Гука
с* (t) = 8® (O+zxTzrfe+vK W-vS'(0 +
+ j [(1 + v)j’r (т) - vS* (т)}<(Т, t - T)dx}
............................(r,0,z)
(XIV.4)
♦ . . 0 z \ 2(1 + v) *
Yro (O-Yre ^+ef2(T) Trl
(0 +jx’rt) (z)K(T,t-t)dx
(r,6,z),
где е°г (t),..., (t),... — составляющие изменения вынужденных дефор-
маций,
S*(t) = O* (t) + G*e (t) + Q* (t),
а ядро K(T, t - t) определено формулой (XIV. 13).
Просуммировав первые три уравнения (XVIL4), найдем
F2,(t)E(0 ^(0 - A°(t)]= S‘(t) + jS*(t)K(T, t -r)dt,
l-2v *
где
A*(t) = £* (0 + e g (t) + s‘z (0 = f + -
I от r
A°(t) = e® (t) + e°0 (0+e°z (t).
Разрешая интегральное уравнение (XVII.5) относительно S‘(t),
будем иметь
s.(t) = F2(0E(0 ^(О-Д°(о]-
1-2v (XVII.6)
- j-,(TyT)k « - Д°(4хт, t - t)dr,
J l-zv
где Q(T, t - т) — резольвента ядра K(T, t - т) (XIV. 13).
Теперь с помощью формулы (XVII.6) уравнения (XVIL4) примут
следующий вид
1 дт/(0 | Э/(р.
г Эе dz (ХУП 5)
610
ef2(T)
e*r (t) = 6°r (t)-—MA’(t)-A°(t) +
l-2v
° г (O + |°r (t)K(T,t-r)dt ;
.(r,B,z)
(0 +j<0 (T)K(T,t-r)dt ;
..(r,e,z).
(XVII.7)
y%(o=y%(o+-£—1
сг2 (. 1)
TrG
В дальнейшем нам понадобится и обратная связь, которую най-
дем, разрешив уравнения (XVII.7) относительно напряжений
с* (t) = о, (t) - jar (x)Q(T, t - t)dr;
..........................(r.6.z)
(0 = т,в(t)- jтк)WQ(T,t-x)dt;
.........................(r,6,z),
(XVII.8)
где Q(T,t-т) — резольвента ядра (XIV. 13) .афункции ar(t),...,TI0(t),...
равны.
(t) = Mlb (t)_e0 (t)+^L«(t)_A0(t)]l.
1 + v I l-2v J
.............................(r,0,z)
Tre(t) = re (0-7% (Oj
.......................(r,6,z).
(XVII.9)
Далее, как и выше, мы будем иметь в виду случай (XV. 16). С
учетом этого и соотношений Коши (XVIL3) уравнениям (XVII.9) мож-
но придать вид
611
ar(t) = ——Ф,(0;
1 + v
.......(r.e.z)
^(О=т|-Фй(О;
1 + v
.......(r,e,z),
(XVII.10)
где
МО.??»-)®!-
s de dz
1 - 2v [ r
-(l+v>°(AT)
dn*(t)
de
Эг dz
dV« + <hf(t) _
dr Э6
(XVII. 11)
2r
Ф.(О = ^
dv
af(t) | afa)!
dz dr
rdn*(t) । %*(t)'
dz de
frf(t)
dz
0te(t) = ^
Учитывая одновременно формулы (XVII.8) и (XVII. 10), преоб-
разуем уравнения равновесия (XVII.2) к виду, аналогичному уравне-
ниям Дюамеля-Неймана, но обобщенным на случай учета ползучести
бетона и влияния на нее и на модуль упруго-мгновенной деформации
температуры среды
Эф,(О , 1 9<t>rt>(0 I v
dr +r do dz r J~
,fr^+ia^+a^+wz^-i
J[ dr r dO dz г
xl
T, '
-|фга(г)^(ТД-г)Зг = 0;
Г ЭфеДО +1 ЭфеСО + Эфе/t) + 2 (J _
[ Эг r 30 dz r J
гГЭФоЛт) 1 Эфв(1) , ЭфоДг) , 2 ч]_
-f fr+7"эГ “эГ
т,
- {ф^М^ТД-тЖ-^ФеМ^ОСГд-t)dr-
-}фег«^«ТД-т)Зг = 0;
ra<MO+idwt)+d^(t)+i0jr(t)L
[dr г 36 dz г J
_ И 9фд(т) + 1 Эфг8(т) + ЭФЛО + 1фа(т)Ъ(Тл - t)dt -
J[ Эг г 30 dz г J
-}ф„(г)^(ТД-г)Зт-^Фгв(г)^('гЛ-г)Зг-
т, ’
-[фг(г)^0(Тд-г)Зг = 0,
где функции фг (t),..., фл(t),... определены формулами (XVII. 11).
Отыскание общих интегралов £’(О» ^’(t), £*(О уравнений
(XVII. 12) представляет большие трудности. В общем случае этоо воз-
613
можно численными методами. Тем ценнее выявить более простые, но
практически важные случаи, когда перемещения n*(t), и С(0
могут быть найдены в аналитической форме и даже в замкнутом виде.
Такие случаи рассмотрены ниже.
Совокупность уравнений (XVII.7), (XVII.8), (XVII. 10),
(XVII. 11), (XVII. 12) представляет собой объемную математическую
модель обшей задачи теории термоползучести в цилиндрических коор-
динатах, учитывающую влияние температуры тела на его основные
физические свойства.
§ XVIL2. УПРОЩЕННАЯ ОБЪЕМНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ
Существенное упрощение уравнений (XVII. 12) можно получить
при условии (XIV.8), при котором ядро К(Т, t-т) и его резольвента
Q(T, t - т) уже не будут зависеть от координат точки. При этом уравне-
ния (XVII. 12) примут вид
Эфг(р । 1 Эф^(р t дфга(О । фг(О-фе(О'
dr г 30 3z г
И эфг(т)+_i Эф^(т) + эфд(т)
I Эг г 30 3z
ФгМ Мт) Тут t _ T)dT = 0.
г
дФеДО !
Зг
1Эфв(0 d4>te(t) 2 1
7^T+-^+7K(t)]
4Г^+1Э!М1) + эМ1)+2ф(к(т)кТд_г)ат=о;
J дт г 30 3z г
дф„(о 1 Эфге(р ЭФДО 1 _
Эг г Э0 дг г
-Эф^) + 1Эф^г)+^(г) + 1фи( 1 =()
or г д0 oz г
Эти уравнения представляют собой однородные интегральные
уравнения Вольтерра второго рода относительно выражений, заклю-
ченных в квадратные скобки, не имеющие решений, отличных от тож-
дественного нуля.
614
Следовательно,
Дфгw, i амо эфп(о фло-ф^о
Эг г ЭО dz г ~
амо 1дфе(о дфвга) 2. ,ч
~1Г+7^Г+-эГ'+7ка)=О;
or г 69 dz г
Или в раскрытом виде с учетом формул (XVII. 11)
F2(T)[v2V(t)4- * ЭА ] +
l-2v Эг г2 ЭО г2
,29F2(T) ЭУЮ' у д. ldF2(T) I [^(t)
Эг [ Эг l-2v J ЭО г2[ ЭО
♦(п . ,.дп*(1)1, ЭР2(Т)Гд1;*(0 Э<7(0
Эг Эг Эг Эг
f2(t: v2n*(t)+
i эд‘(о 12 af (t> rf (t)
l-2v гЭ0 r2 36 r2
э^(Т) af(t) n(t> эд(о +
гЭО г Эг
э^(о((1-у)^(^эт4о1 v~
Э9
। 2 7
Эг
(XVII. 13)
af (01 %*(o
Эг Эг
2 _
(1 - 2v)- г Э0
ЭЕ>(Т)Гdrf(t) x dC‘(t)l _ 2(1+v) Э L 0 1
- (l-2v)r30lhU)E (ДТ)*
Эг ' где (1-2у)гЭ0
f2(t> v2C(t)+
1 з A.,J+aF2(T)r^*(t)x^’(t)
----— A (t) + ——-------— + -
1 - 2v 9z J Эг L dz Эг
, э^срГэп^о ^(t)! 2 dF2(T)[( .лЭСю,
ЭО гЭг г2Э0 (l-2v) Эг [ ' dz
615
где
( -Эг2< ’ rd/ ' r2de2 ’ dz2
Общие интегралы этих уравнений £*(t), Л*(О, T]*(t) с точнос-
тью до постоянных интегрирования, определяемых из граничных усло-
вий, тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия (XVIL2) и,
с учетом соотношений Коши (XVII.3), уравнениям совместности. По-
этому они являются общим решением рассматриваемой объемной зада-
чи термоползучести в цилиндрических координатах при условиях (XTV.8)
и(ХУ.1).
Уравнения (XVII. 13) не содержат функционалов, включающих в
себя ядра ползучести и, поскольку перемещения £*(0, ЛХО, £*(0
удовлетворяют уравнениям равновесия, соотношениям Коши и урав-
нениям совместности, по своей форме тождественно совпадающим с
этими уравнениями теории термоупругости, мы и в этом случае прихо-
дим к сформулированной выше теореме (см. § XV.3).
§ XVII.3. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИ-
ЧЕСКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. ПОЛЕ ИЗМЕНЕНИЯ
ВЫНУЖДЕННОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЗАВИСИТ
ТОЛЬКО ОТ ОДНОЙ КООРДИНАТЫ
В рассматриваемом случае, когда стационарное поле вынужден-
ных деформаций (поле изменений температуры) зависит только от од-
ной координаты г, мы будем иметь
e°(t) = е°(г) = аДТ(г). (XVII. 14)
Все деформации и напряжения будут также зависеть только от г.
При этом по условиям осевой симметрии и постоянства условий в осе-
вом направлении
Т г0 = 10г = Т rz ~ 1 zr “ Т z0 ~ Т 0z “О’
/re =Y*0r =Yrz =/zr =Y*Z0 =Y*0z =0; П*=0-
616
Возможны два варианта решения этой задачи в зависимости от
граничных условий на торцах цилиндра. Рассмотрим первый из этих
вариантов, когда торцы цилиндра закреплены так, что осевое переме-
щение £ (г) всегда равно нулю, а радиальное перемещение (г) не ис-
пытывает ограничений. Так как ц (г) = £ (г) = 0, то из трех уравнений
(XVII. 13) останется только одно первое, остальные два превратятся в
тождества. Это единственное уравнение с учетом того, что в рассмат-
риваемом случае
Эг г Эг
д(г)=^+-ад
Эг г
будет иметь вид
(1 - v>2 [T(r)h'(r) + (1 - v)I^ + Г2 [T(r)]k(r) +
I r J (XVII. 15)
+3 [T(r)]- F2 [Г(г)]}«г) = a(l + v){f2 [Т(г)]дТ(г)}'_
Это дифференциальное уравнение второго порядка с перемен-
ными коэффициентами не решается в квадратурах. Его общий интег-
рал (г) может быть найден в общем случае только приближенно или
численным методом. Можно, однако, найти хорошее приближенное
решение уравнения, если на рассматриваемом диапазоне температур
ДТ(г) = Т2 - Т] вместо переменной функции аффинного подобия F2 [Т(г)]
воспользоваться ее постоянным средним значением
/p2(T)dt
При этом уравнение примет вид
или в преобразованной форме
617
Это уравнение имеет уже решение в замкнутом виде
(XVII. 16)
В этой формуле а пока произвольно.
Для трубы, которую мы в первую очередь и рассматриваем, а
следует считать равным ее внутреннему радиусу г = а. При этом посто-
янные Ct и С2 должны определятся из граничных условий на внутрен-
ней г = а и наружной поверхностях трубы.
Отыскав в той или иной форме £ (г), по формулам
ег=£'(г); е6(г) = — ; Ez(r) = 0
г
найдем деформации, которые не будут зависеть от ползучести.
В случае (XVII. 16) они будут равны
ci-7--^-JAT<r>rd5+AT<r)
ее =
(XVII.17)
ег =0.
Далее, внося (XVII. 16) в формулы (XVII. 11), найдем
ф (г) = аЦу^СГ) Г <^_ _ _ ДТ(г) _ 1_ jДТ(гИг
1-v l-2v г г J
а
°(‘7Л’т
а затем, с учетом формул (XVII. 10), упругие напряжения
аЕЕ,[Т(г)]Г С,
r 1-V l-2v
^--p-jAT(r)rdr ; (XVII. 18)
618
ав(г) = ^^ _^_ + ^+^ДТ(гПг-ДЛг)
a
°z(r)=F^)[2vC'-AT(r)(1-2v)1
После этого по формулам (XVII. 18) найдем уже и напряжения
ползучести о*г (гл),о*е(гД),ио* (r,t).
Поскольку в рассматриваемом случае стационарного поля темпе-
ратуры Т(г) упругие напряжения (XVII. 18) не зависят от времени, а
резольвента Q(T, t - т) — от г, формулы (XVI.8) примут вид
о* (r,t) = ог(г)Н*(Тд-т);
o*0(r,t) = ae(r)H*(T,t-T);
о* (r,t) = or(r)H*(T,t-т),
где коэффициент релаксации Н* (Т, t - т) в данном случае определяется
по формуле (XV.29).
Произвольные постоянные Ц и С2 в формулах (XVII. 18) опреде-
ляются из однородных граничных условий для напряжений о* (r,t) на
поверхности цилиндрического тела, поскольку с самого начала мы по-
лагали, что поверхностные силы отсутствуют. При этом для трубы с
концентрическим круговым отверстием
С,= ь'_2-}4Т(,№ с,. ь, a_a2fAT(r)rdr.
Упругие напряжения будут равны
aEF2[T(r)] °ДГ)= (l-v>2 J A T(r)rdr - j AT(r)rdr ’ (XVII. 19)
aEF2[T(r)] j AT(r)rdr + j AT(r)rdr -AT(r)r2 ; (XVII.20)
2v r ] -^L_jAT(r)rdr-AT(r) . _ a (XVII.21)
619
Формулы же для деформаций (XVII. 17) перепишутся в следую-
щем виде
a(l + v
ег(г) = —7---
1-v
1 г
2. b
ee(r)=-J—
1-v
-а2
(XVII.22)
a
Sz(r)=°-
а перемещения будут равны
^$^1ат(г№Ч1дт(г)г<1г
(XVII.23)
П(г) = «г) = О.
Для того чтобы получить решение соответствующей задачи для
незащемленной трубы, мы должны на ее свободных торцах снять на-
пряжение о z(r). Сделать это можно по принципу Сен-Венана, прило-
жив к ним постоянное осевое напряжение С3 и подобрать его так, что-
бы равнодействующая суммарных напряжений oz (г) + С3 была бы рав-
на нулю
ь
j [oz (г) + С3 ]2тггс1г = О,
а
отсюда
2 b
Сз = °»(r>dr- (XVII.24)
Таким образом, продольные упругие осевые напряжения в трубе
со свободными торцами будут равны
oz(r) = oz(r)+C3
или, с учетом формул (XVII.5) и (XVII.24),
р f 7 ь ( 2 b
5z(r)=^- М^-/ДТ(Г)П11 F2[T(r)]-^—-|F2[T(r)]rdr -
& а а
620
-F2[T(r)]A(r)] +-^-TfF2[T(r)]AT(r)rdr .
b -a J
a
Напряжения же ое(г)не изменятся и по-прежнему будут равны
ае(г) = ое(г). На перемещение £(г) повлияет осевое напряжение С3
(XVIL24), которому будет соответствовать дополнительное радиальное
перемещение £(г) = -v —. Это перемещение должно быть добавлено к
Е
перемещению £ (г), определенному формулой (XVII.23). Таким обра-
зом, полное радиальное перемещение цилиндра со свободными торца-
ми будет равно
С,г
S(r) = (;(r)-v-^-
Е
или, с учетом формулы (XVII.24),
[1 г 2 b
«г) = j&T(r)rdr- -jF2[T(r)]AT(r)rdr+
а а а
fAT(r)rdr ч,
+ Ъ----гг 77~2’f F2[T(r)]rdr+(l + v)^l-v)r2+а2] .
(Ь'-а2ЦЬ2-а Ja J]
Остальные перемещения будут равны
_ - C\z
ад = 0; адг) = ——
Е
Деформации же трубы будут определяться по формулам
vC-i
е (r) = er(r)—
Е
Для того чтобы получить соответствующие формулы для сплош-
ного цилиндра во всех полученных выше формулах, необходимо поло-
жить а = 0.
621
ГЛАВА XVIII.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА ПРИ
НЕСТАЦИОНАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУР
§ XVIII. 1. ОБЩАЯ ОБЪЕМНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
В рассматриваемой задаче будем считать, как и прежде, физико-
механические свойства материала зависящими от температуры.
В нестационарном температурном поле
T = T(x,y,z,t) (XVIII.1)
эти свойства, кроме зависимости их от координат точки, будут зави-
сеть также и от времени t. Таким образом мы будем иметь дело с изот-
ропным, но неоднородным телом, неоднородность которого носит вре-
менной характер и связана только с воздействием нестационарного тем-
пературного поля. Поскольку это поле скалярно, оно не нарушает изот-
ропности тела, влияя только на его неоднородность.
Как и прежде , будем считать
Vj(t) = v2(t,T) = v = const;
5i(t-x) = v5(t-x); 52(t-x) = 2(1 +v)6(t-T).
Продольная деформация 5(t - т) при учете зависимости Е и C(t - т)
от нестационарной температуры будет равна [18, 24, 49]
5(t-т) = f fiLif +F<[T(T)1C(t~т)- (XVIII.2)
r2t1 VVJ1-'
Здесь Ей C(t - т) — соответственно модуль упругости и мера пол-
зучести бетона при комнатной температуре Тк = 20°С, F2[T(t)] и F4[T(t)]
— соответствующие для них функции аффинного температурного по-
добия. Поскольку мы рассматриваем нестационарное температурное
поле, то функции F2[T(t)] и F4[T(t)] будут зависеть и от координат точ-
ки и от времени
F2 [T(t)J = F2 [Т(х, у, z, t)] = F2 (х, у, z, t);l
F4[T(t)] = F4[T(x,y,z,t)] = F4(x,y,z,t).J (XVIII.3)
622
В дальнейшем мы не будем прибегать к этой развернутой запи-
си, но будем иметь ее в виду.
В рассматриваемой задаче при отсутствии объемных сил напря-
жения ползучести должны удовлетворять уравнениям равновесия, по-
добным уравнениям Навье
do*, (t) + дт* v (t) + дт* г (t) =
дх ду dz
........................(x,y,z)
(XVIII.4)
и соответствующим условиям на поверхности. Полные деформации
связаны с полными перемещениями подобно уравнениям Коши зави-
симостями
е*х (0 =
dU*
дх
♦ dU* dV*
Yxy W = +
ду дх
............(x,y,z);(U*,V*,W*),
(XVIII.5)
что обеспечивает сплошность тела при его деформациях. Полные де-
формации связаны с напряжениями ползучести соотношениями, по-
добными обобщенному закону Гука
(t) = aAT(t)+
(1 + vK (t)-vS*(t)
EF2[T(t)J
+ f_(l + v>*>(T)-vS*(T)
J EF2[T(t)]
Tl
(XVIII.6)
(x,y,z);
е
। f
F2[T(t)] J
(t)
F2[T(t)]
K[T(t), t - TjdT
.........................,...(x.y.z),
где aAT(t) — температурная (вынужденная) деформация тела,
S*(t) = a* (t)+a’y (t) + a* (t),
а ядро термоползучести К[Т(т)л-т] равно
(XVIII.7)
dll 1
К[Т(т),t - т] = -EF2[T(t)] - ——— + F4[T(T)]C(t - т) . (XVIII.8)
дт [Ег2[1(т)] J
623
Просуммировав первые три уравнения (XVIII.6), найдем
s (t) + Г s (т) K[T(T),t-T]dT = ——|j)*(t)-3aAT(t)]. (XVIII.9)
F2[T(t)J JF2[T(t)] l-2vl UJ
Теперь с помощью формулы (XVIII.9) уравнения (XVIII.6) при-
мут следующий вид
е*х (t) = aAT(t)-y^-^(t)-3aAT(t)]+
1 + V
ч-----
Е
(О
F2[T(t)]
х fr)
F2[T(t)]
K[T(t), t - T]dT
(XVIII. 10)
..................................(x.y.z);
< (t)
F2[T(t)J
f *xy
JF2[T(t)]
K[T(T),t-T]dT
..............................(x.y.z).
В дальнейшем нам понадобится и обратная связь, которую мы
найдем, разрешив уравнения (XVIII. 10) относительно напряжений
О X (t) = °х (t) - jo, (*)Q[T(t), t - T]dr,
..............................(x,y,z);
тxy (t) = *xy (t) - j xxy (t)Q[T(t), t - t]dt;
T,
..............................(x,y,Z),
(XVIII. 11)
где Q[T(x),t-T] — резольвента ядра (XVIII.8), а функции ox(t),...,Txy(t),...
равны
Ох(0=е™
e‘x (t)-a&T(t)+^-^(t)-3a&T(t)]L
...............(x,y,z);
T (t)=EF2(T(t)] .
K>W 2(1 + v) Yxy (
...............(x,y,z).
(XVIII. 12)
624
С учетом соотношений Коши (XVII.3) этим уравнениям можно
придать вид
Е F
ах(0 =—Фх(О» Txv(0 =-------Фху(0;
1 + v ху 1 + v ху (XVIII.13)
.........................(x.y.z); .........(x,y,z),
где
Фх(0=М™
х l-2v v ’ Эх Эу Эг
............(x,y,z);(U’,V’,W‘);
л rn=Fz[T(t)1 9U*(t) 3V*(t)
ФхуШ 2 Эу Эх
- (1 + v)aAT(t)
(XVIII. 14)
..........(x,y,z); (U*,V*,W*).
Учитывая одновременно формулы (XVIII. 11) и (XVIII.13), пре-
образуем уравнения равновесия (XVIII.4) к виду, аналогичному урав-
нениям Дюгамеля-Неймана
Эфх(О | Эфху(0 ! Эфц(О
Эх Эу dz
f дфх(т) , Эф>у(т) ! Эфи(т)
J Эх Эу dz
Q[T(T),t-T]dx-
(XVIII. 15)
- J Фх (Г) ^-Q(T(t), t - T]dT - Г фху (т) Aq[T(t). t - T]dx -
J dx J dy
-|фхг(т)|ч2[Т(т),1-т]<1г = 0;
T
........................(x,y,z),
где функции фх (t),..., ФхУ (t),... связаны с перемещениями U’(t), V*(t) и
W*(t) и определены формулами (XVIII. 14). Отыскание общих интегра-
лов U*(t), V*(t) и W‘(t) уравнений (XVIII. 15) с учетом соотношений
(XVIII. 14) представляет большие трудности. В общем случае это воз-
можно лишь численными методами. Тем ценнее выявить более про-
стые, но практически важные случаи, когда эти интегралы могут быть
найдены в аналитической форме и даже в замкнутом виде. Такие слу-
чаи будут рассмотрены в дальнейшем.
625
Совокупность уравнений (XVIII.10), (XVIII.11), (XVIII.13),
(XVIII. 14) и (XVIII. 15) представляет собой объемную математическую
модель общей задачи теории термоползучести в прямоугольных коорди-
натах, учитывающую влияние температуры тела на его основные физи-
ческие свойства.
В эти уравнения входят нестационарные ядра термоползучести
К[Т(т)д -т] (XVIII.8) и терморелаксации Q[T(i),t -т] бетона, учитыва-
ющие его реологические свойства и их зависимость от температуры.
Эти ядра в общем случае являются функциями координат точки и вре-
мени.
Теория термоползучести, основанная на нестационарных ядрах
термоползучести и терморелаксации, очень сложна и даже при наибо-
лее удобном решении задачи в перемещениях проводит к уравнениям
(XVIII. 15), решение которых представляет большие трудности. Весьма
затруднительно также отыскание ядра терморелаксации Q[T(t), t — т] по
уравнению (XFV.6) через ядро термоползучести К[Т(т)л -т], заданное
в весьма общем виде (XIV. 13). Поэтому необходимо научно обосно-
ванное и не противоречащее опытным данным упрощение уравнений
(XVIII. 10) — (XVIII. 15) объемной математической модели задачи тео-
рии нестационарной термоползучести, облегчающее их применение в
прикладных задачах. Пути такого упрощения мы и рассмотрим.
§ XVTII.2. УПРОЩЕННАЯ ОБЪЕМНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ
Существенное упрощение объемной математической модели не-
стационарной задачи теории термоползучести достигается следующими
путями.
Первый путь состоит в принятии, как и прежде, простой и удоб-
ной формы (VII. 155) для меры ползучести бетона при комнатной тем-
пературе. Эта форма в совокупности с некоторыми другими упроще-
ниями, рассмотренными ниже, приводят нас к поставленной цели.
Второй путь состоит в учете особенностей функций аффинного
температурного подобия F2[T(t)] и F4[T(t)] (см. § XIV.2), в силу кото-
рых практически можно считать
F2[T(t)]F4[T(t)] = F2F4 = const (XVIII. 16)
626
и
F2[T(t)] = e,1(тт,. (XVIII.17)
При этих условиях нестационарное ядро термоползучести суще-
ственно упрощается и принимает вид (XIV.4), из которого следует, что
ядро термоползучести зависит от координат точки только через темп
ЭТ(т)
изменения —-— температуры тела Т( т).
от
Третий путь упрощения нашей задачи состоит в том, что во мно-
гих случаях температуру тела можно найти в форме*
T(t) = <р(х,y,z) + nt, (XVIII. 18)
при которой
ЭТ(т)
-----= п = const.
Эх
При этом, если учитывается влияние температуры только на Е и
C(t-x), функция Ф, очевидно, удовлетворяет уравнению Пуассона
V2 <p(x,y,z) = —.
ат
При условии (XVIII.8) ядро термоползучести уже не зависит от
координат точки, существенно упрощается и принимает вид
K[T(t), t - т] = sL"^t-T) + (1 + m>"7(,+m)(t'T) 1-
г г ti (XVIII. 19)
- ту + sb + В - е*'-1’ - Ве‘1'(|+П'),,‘,) ]}.
7
Соответствующее ему ядро терморелаксации Q[T(x),t-T] было
найдено ранее и определено формулой (XIV.21).
При всех указанных выше упрощениях ядра К[Т(т)д-т] и
Q[T(x),t - т] зависят только от времени и, следовательно, не зависят от
координат точки. В силу этого объемная математическая модель об-
щей задачи теории нестационарной термоползучести также упрощается
и описывается уже следующим совокупным комплексом уравнений:
— обобщенными на случай нестационарной термоползучести урав-
нениями связи напряжений и деформаций
е’х (t) = aAT(t)--—k*(t)-3aAT(t)]+
l-2v
Ряд задач подобного вида рассмотрен в главе IV.
627
1 + v
E F2[T(t)J
F2[T(t)]
* z ч ZI1 +
Y-(t) E
F2[T(t)]
....(x,y,z);
f T«y <T) K[T( > ]d I
J F2[T(t)]
(XVHL20)
или в форме обратной связи
(X,y,z)
< (t) = ax(t)-jax(T)Q[T(T),t-T]dt;
............................(x,y,z);
T xy (0 = Txy (0 “ /Txy (t)Q[T(t), t - T]dx;
(XVIII.21)
....................................(x,y,z),
где ядра K[T(т), t — т] и Q[T(т), t - т] определяются по формулам (XVIII. 19)
и (XVIII.21), а функции ox(t),...,xxy(t),..., т.е. упругие напряжения,
равны
F F
...........(X,y,z),
(XVIII.22)
где
6 v)3U*(t)+ JdV*(t) dW*(t)
----tV —----4-—-----
dx dy dz
...........(x,y,z);(U*,V*,W*);
л m F2[T(t)][aU*(t) dV\t)\
y 2 dy dx
............(x,y,z);(U*,V*,W*)
-(1 + v)aAT(t)
(XVIII.23)
— уравнениями Коши в их обычной форме
628
• ,n_ dU‘(t). . 9U*(t) 3V*(t) СХ (0 э. * Уху(О- -ч + з , Эх Эу Эх (XVIII.24) (x,y,z);(U*,V*, W*).
Поскольку в упрощенном варианте нашей математической моде-
ли ядра термоползучести и терморелаксации не зависят от координат
точки, то уравнения Дюамеля - Неймана (XVIII. 15) существенно уп-
рощаются и принимают вид однородных интегральных уравнений
поэтому Эф,(О | Эф>у(О | Эфи(О Эх Эу dz _|Г^+эф^+эф^)1 tT]dT=0; J Эх Эу dz (x,y,z), Эх Эу Эг (x,y,z).
Раскрывая эти уравнения с помощью формул (XVIIL23), найдем
окончательную форму уравнений Дюамеля — Неймана
F2[T(t)]lv2U*[AT(t)J + —!— - ^T(t)1| + l-2v Эх +2ад!а1аЛАВ!)!^в.1ДТ(1)1 Эх I Эх 1 - 2v j 9F2[T(t)J Эи"[ДТ(0] 9V*[AT(t)]l Эу Эу Эх (XVIII.25) + 9F2[T(t)] Эи*[ДТ(0] + ЭУ/[ДТ(0) _ Эг Эг Эх = ^^^-{F2[T(t)]AT(t)} 1 - 2v Эх (x,y,z);(U*, V*,W*).
В выписанных уравнениях T(t) — температура тела, достигаемая
им при ее изменении дТ(0 по отношению к начальной температуре
629
Т(0) его естественного состояния в ненапряженном состоянии, так что
T(t) = T(O) + AT(t).
Для статически определимых конструкций Т(0) принимаются рав-
ной Тк = 20°С, а для статически неопределимых конструкций при оп-
ределении температурных усилий в них Т(0) принимается равной тем-
пературе их замыкания. Входящий в эти уравнения инвариант 0 '(t)
равен
0*(t) = e* (t) + £*y (t)+e*z (t) =
dU*(t) t dV*(t) । 3W*(t)
Эх Эу dz
Последовательность решения задач теории термоползучести с ис-
пользованием комплекса уравнений (XVIII.21) - (XVIIL25) следую-
щая. Вначале решением системы трех уравнений (XVIII.25) отыскива-
ются перемещения точек тела и*(дТ), V*( дТ), У¥*(дТ), затем с по-
мощью соотношений (XVIII.24) определяются деформации
е* (ДТ)...у* у (ДТ),... После чего по формулам (XVIII.21) с учетом соотно-
шений (XVIII.22) и (XVTII.23) находят уже напряжения о*х (ДТ),.,тху(ДТ)...
Используя далее граничные условия в их заданной форме, опре-
деляют все произвольные постоянные интегрирования.
Из рассмотрения уравнений (XV.25) следует, что они не содер-
жат функционалов, включающих в себя ядро термоползучести и термо-
релаксации, и поскольку перемещения U*( д Т), V*( д Т), W*( д Т) удов-
летворяют уравнениями равновесия, соотношениям Коши и условиям
совместности, по своей форме совпадающими с этими же уравнения-
ми теории термоупругости, мы и в рассматриваемом случае нестацио-
нарной термоползучести приходим к уже сформулированной выше тео-
реме (см. § XV.3).
§ XVIII.3. ОДНОМЕРНАЯ ПО КООРДИНАТАМ
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ
Рассмотрим практически важный случай, когда температура
Т = T(z, t) и ее рассчитанные изменения AT(z, t) зависят только от одной
координаты z. В таком виде, например, находят решения задач тео-
рии теплопроводности для неограниченных плит.
В этом случае функция аффинного подобия F2[T(z,t)] также за-
630
висит только от одной этой координаты, и решениями задачи являют-
ся следующие значения перемещений, деформаций и=напряжений
U*(t,x.z) = —{C|(t)-vC3(t)+[C2(t)-vC4(t)]z}x;
1-v
V’(t,y,z) = -^-{C3(t)-vCl(t)+[C4(t)-vC2(t)]z]y;
1-v
W*(t,x>y,z) = -r——rlc2(t)-vC4(t)]x2 + (XVIII.26)
2(1-v)
+ [C4(t)-vC2(t)]y2 +2v[C|(t)+C3(t)]z +
+ v[C2 (t) + C4 (t)]z2 - 2(1 + v)J AT(t,z)dz}
0
e* (t, z) = (t) - vC3(t)+[C2 (t) - vC4 (t)]z}
1-v
(t.z) = -^{C3(t)-vC,(t)+[C4(t)-vC2(t)]z},
e; (t,z)=-^-{cI(t)+c3(t)+[c2(t)+c4(t)]z- лп’27)
AT(t,z)},
V
Yxy (t-z) = T,*xx (t.z) = y^ (t) = 0;
ax (t,z) = aEF2[-T't’-[C,(t)+C2(t)z- AT(t,z)];
1-v
aEFJT(tz)lr i (XVIII.28)
a (t, z) =--[C,(t) + C4(t)z - AT(t.z)];
3 1-v
oz (t, z) = тху (t, z) = txz (t, z) = Tyz (t, z) = 0.
Причем, с учетом (XVIIL26) легко убедиться, что при этом урав-
нения Коши (XVIII.24) и уравнения Дюамеля — Неймана (XVIII.25)
тождественно удовлетворяются, а упругие напряжения (XVIII.22) удов-
летворяют уравнениям равновесия (XV. 6) и закону Гука для них.
Напряжения же ползучести мы найдем по формулам (XVIII.21),
согласно которым
о* (t,z) = xxy (t,z) = <z (t,z)=xyz (t,z) = O;
631
°i (t>z) = -——{F2[T(t,z)][C|(t) + C2(t)z-AT(t,z)]~ (XVIII.29)
- j F2 [T(t, z)][C j (t) + C2 (T)Z - AT(t, z)]Q[T(t, z), t - T]dT}
T,
a‘y(t,z)=i^-{F2(T(t,z)][C3(t) + C4(t)z-AT(t,z)]-
- j F2[T(t,z)][C3(t)+C4(t)z- AT(z,z)]Q[T(t, z), t -T]dr}.
Причем, несмотря на формальную запись, ядро Q[T(x),t-x] за-
висит только от времени.
В качестве иллюстрации на основе этого решения оценим на-
пряженно-деформированное состояние плиты, рассмотренной в § XVI.2
(рис. 137), возникающее в ней при изменении ее температуры T(z,t)
по закону
T(t,z) = (p(z) + nt,
где Ф (z) — начальная температура плиты, так что
AT(t,z) = nt.
(XVIII.30)
(XVIII.31)
В этом случае ядро терморелаксации Q[T(x), t - т] не зависит от
координат точки и определяется по формуле (XIV.21).
Будем считать, что грани плиты у = ± у0 свободны от напряже-
ний, а грани х ± х0 полностью защемлены.
Обобщая решение стационарной задачи, найденное в § XVI.2,
на наш случай нестационарного изменения температуры, найдем
(t,z) = ™ -1-{v[c3(t) + С4(t)z]- AT(t, z)};
о у (t, z) = aEFztT(t’z)1 [c3 (t) + C4(t)z - AT(t, z)],
3 1-v
c _k3(t)k4(t)-k2(t)k5(t).
3 k,(t)k3(t)-k*(t)
k5(t)-k2(t)C3(t)
(XVIII.32)
(XVIII.33)
632
a
k,(t)= |F2[T(t,z)Jdz;
~zo
k2(t)= j F2 [T(t, z)]zdz;
k3(t) = |F2[T(t,z)]z2dz;
(XVIII.34)
k4 (t) = Jf2 [T(t, z)]AT(t,z)dz = n tk, (t);
-zo
k5(t) = j[F2(T(t,z)]AT(t,z)zdz = ntk2(t).
-zo
Функция F2[T(t,z)] с учетом формул (XIV. 10) и (XVIII. 18) равна
F2[T(t,z)] = e'l'W2>"1-TJ.
Напряжение же ползучести о* (t, z) и о* (t, z) найдем по формулам
(XV. 14) с учетом (XV. 19) и (XV.20), а также (XVIII. 19) и (XIV.21).
§ XVIII.4. ЧИСЛЕННАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРИМЕНЕНИЯ
ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛЗУЧЕСГИ НА ПРИМЕРЕ НЕСТАЦИО-
ПАРНОЙ ЗАДАЧИ О РЕЛАКСАЦИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ
УСИЛИЙ В СТЕНЕ ПРОПАРОЧНОЙ КАМЕРЫ
Рассмотрим пропарочную камеру непрерывного действия двух-
туннельного типа (рис. 139). Оценим температурные усилия в ее внут-
ренней стене толщиной 2z0 = 0,2м в зоне изотермического прогрева
изделий на начальном нестационарном цикле ее работы1 с их пропар-
кой одновременно в двух туннелях по режиму, показанному на рис.
140.
Все элементы камеры выполнены из бетона класса В20 с плотно-
стью Р = 2405 кг/м3. Стена рассматривается как вертикальная плита
1 Пример расчета подобной пропарочной камеры на одновременное воздей-
ствие стационарной температуры и нагрузки на верхней плите рамы метода-
ми СНиП 2.03.01-84 [256] дан в монографии [18].
633
Рис. 140. Температурный режим пропарочной камеры.
жестко защемленная снизу в фундамент, сверху — в более массивную
плиту покрытия. Температура воздушной среды в отсеках камеры на
периоде разогрева 0 <t< tj <pH(t) = TK +nt, а на периоде выдержки
t|<t< t2 <pH(t) = TK+ntj , причем Тк = 20°C; n = 60oC/cyr.; t, = Icyr.
Текущую температуру в стене при заданном <рн (t) найдем в виде
асимптотического решения соответствующей задачи теории теплопро-
водности в форме:
— на периоде разогрева 0 < t < Ц:
nz2
Т (t, z) = Тк - <pj (z0) + — + nt;
2a
ATj(t,z) = -^—q>|(z0) + nt
634
со средней по сечению температурой Т|(:р - Тк + nt, где
2
<PiUo)=^;
6а
— на периоде выдержки t, < t < t2:
nz2
T2(t,z) = TK-(pI(z0) + — + nt,;
Za
AT2(t,z) = -^—<Pi(z0) + nt|
2a
co средней по сечению температурой T2cp = тк + nt r
Характеристики теплофизических свойств бетона найдем с уче-
том указаний СНиП П-3-79* [260], имея в виду влажные условия эк-
сплуатации Б (табл. 4* и приложение 3*)
С = 0,84-^ = 0,233-^
кг-°С кг- С
(учтено, что I кДж = 0,278 Вт - ч).
Далее найдем
а =----ЧР = з,319-КГ’ м2 /ч = 79,656-Ю'3 м2 /сут.
2405-0,233
h = —= 4,677 (м)'1.
1,86
Упругие характеристики бетона примем по СНиП 2.03.01-84 [256]:
— модуль упругости (табл. 18)
Е = 0,27 105 МПа ;
— коэффициент поперечной деформации (п. 2.16)
v = 0,2;
— коэффициент линейного температурного расширения (п. 2.15)
а = 110-5 (°C)-1.
Меру ползучести бетона будем считать равной (VII. 155) при
635
(р = 2,2 10-5 (МПа)-1;
у = 0,0230 (сут.)-1;
m = 5 и В = 0,594.
Функцию афинного подобия F2(T) примем в форме (XVIII. 17)
при ц = 0,0045 (°C)-1 иТ = 20°С, а произведение F2(T)F4(T) равным
F2(T)F4(T) = 1,105.
При выписанных выше условиях уравнение для резольвенты
Q(T.t-i) ядра термоползучести (XVIII. 19) примет вид (XIV.20). Его
решение будет равно (XFV.21), в котором р j — корни характеристичес-
кого уравнения (XIV.22), а постоянные Н будут определяться решени-
ем системы уравнений (XIV.23).
Решение (XIV.21) справедливо для первого интервала времени,
на котором температура стены переменна во времени.
Для второго интервала времени, на котором температура стены
не зависит от времени и ядро термоползучести имеет более простой вид
(XIV.24), его резольвента также будет более простой (XIV.25) с посто-
янными Dj (XIV.26) и корнями р. квадратного характеристического
уравнения (XIV. 27).
Предварительно вычислив постоянные S, кр 1^
S = 0,0230-2,2.10-^0,27-105-1,105 = ю-3 ,
1 + 0,594
к, = 0,0230 + 0,009471 + (1 + 5Х0,0230 + 0,594 • 0,009471) = 0,204 (сут.)-1;
к2 = 0,0230(1 + 5)[0,0230+(1 + 0,594)0,009471] = 0,00526 (сут.)'2,
найдем резольвенты для рассматриваемых интервалов времени.
Для первого интервала 0 < t < Ц
цп-к| = 0,0045-60-0,204 = 0,066 (сут.)-1;
к 2 - gnk, = 0,00526 - 0,0045 • 60 • 0,204 = -0,0498 (сут.)’2;
цпк2 = 0,0045-60-0,00526 = 0,00142(сут.)’3.
Поэтому характеристическое уравнение (XIV. 22) примет вид
р3 + 0,066р2 -0,0498р + 0,00142 = 0 .
Его корни будут равны
636
Pi = “0,2699 (сут.)-1 j
р2 = 0,03040 (сут.)-1;
р3 =0,1735 (сут.)-1.
Для определения постоянных Н используем начальные условия
(XIV. 29), переписанные в форме
N, +N2 +N3 = Д4;
(р, - Д4Н + (р2 - Д4)N2 + (р3 - Д4)N3 = Д5;
Й -Р|Д4 “^5^1 + Й -Й2Д4 _Дз)^2 + Й “РзД4 “^5^3 = Д6>
где
Д4 = A,S-pn;
Д5 =(уД2 +рпД,)5;
дб = (гдз + РпА2 Н
а
Д, = 1 + (1 + т)В;
Д2 = 1 + (1 + т)2В;
Д3 = 1 + (1 + т))В.
Предварительно вычислим коэффициенты при ЬГ и правые час-
ти уравнений, входящих в эти условия. Учтя, что
yS = 0,023- 0,009471 = 0,0002178 (сут.)’2;
рп = 0,0045 • 60 = 0,27 (сут.)’1,
найдем
Д| = 1 + (1 + 5)- 0,594 = 4,564;
Д2 = 1 + (1 + 5 J2 0,594 = 22,384;
Д} = 1 + (1 + 5)3 • 0,594 = 129,304;
Д4 = 4,564 • 0,009471 - 0,27 = -0,2268 (сут.)’1;
Д5 = (0,023 • 22,384 + 0,27 -4,564)0,009471 = 0,01655 (сут.)"2;
Д6 = (0,023-129,304 + 0,27-22384)0,0002178 = 0,001964(сут.)'3;
637
Pi -Д4 =-0,2699+ 0,2268= -0,04312(сут.)-1;
р2 -Д4 = 0,03040+0,2268= 0,2572(суг.)-1;
р, -Д4 = 0,1735+0,2268= 0,4003(сут.)-1;
Pi — Р|Д4 - Д5 = 0.26992 -0,2699 0,2268-0,01655= -0,004917(суг.)-2;
р2 -р2Д4 -Д5 = 0,03041? -0,03040-0,2268-0,01655= -0,008731(сут.)-2;
р2 -р,Д4 -Д5 =0,17352 +0,1735-0,2268-0,01655= 0,05290(сут.)-2
Таким образом, мы имеем систему уравнений
N(+N2+N3 = -0,2268;
-0.04312N] +0,2572N2 + 0,4003N3 =0,01655;
-0,004917N| -0,008731N2 +0,05290N3 = 0,001964,
решая которую, найдем
N| = -0,2423 (сут.)-1;
N2 = 0,0008056 (сут.)"';
N3 =0,01473 (сут.)-1.
При этом на первом интервале времени резольвента будет равна
Q,(T,t-т) =-О,2423ео,2699<,-1) +0,0008056е"аз04О(’-,) +
+ 0,01473e-0J735(1-t> (сут.)-1;
(t и т в сутках).
Теперь найдем резольвенту для второго интервала времени
(XIV.25). Характеристическое уравнение (XIV.27) будет иметь вид
р2 - 0,204р+0,00526 = 0.
Его корни равны
р( = 0,03027 (сут.)-1; р2 = 0,1737 (сут.)"1.
Далее найдем постоянные D.(T) по формулам (XIV.26) с учетом
приведенных выше обозначений, переписанных в форме
D (Т) = YA2~Ai(P2-A|S).
* Р1-Р2
D2(T) = Ai-D1(T).
После чего с учетом полученных ранее соответствующих число-
вых значений будем иметь
638
D _ 0,023 22,384 - 4,564(0,1737 - 4,564 0,009471) = Q 5И6
1 " 0,03027 - 0,1737 “ ’
D2(T) = 4,564 - 0,5626 = 4,0014.
При этом
N । (T) = SD, (T) = 9,471 • 10'3 • 0,5626 = 0,005328 (cyr.)"1;
N2(T) = SD2(T) = 9,471-10'3 -4,0014 = 0,03790 (cyr.)'1.
Таким образом
Q2(T,t — т) = 0,005328е'ода°27<''” +0,03790e'o l737(,'I) (cyr.)'1;
(t и т в сутках).
В табл. 64 в компактной форме указаны параметры найденных
резольвент в обобщенном виде (XFV.21).
В дальнейшем для сравнения мы будем рассматривать также и
вариант задачи обычной теории ползучести без учета влияния темпера-
туры на Е и C(t - т). Резольвенту, соответствующую этому случаю, мы
найдем, положив в формуле (XIV.25) F2(T) = F4(T) =1, и = 0. В
этом случае мы будем иметь
- = 0,0230-2,2-10'5-0,27-10s = 1().3
1 + 0,594
к । = 0,0230+ 0,008571 + (1 + 5X0,0230 + 0,594 - 0,008571) = 0,200 (сут.)'1;
к 2 = 0,0230(1 + 5)[0,0230+(1 + 0,594)0,008571] = 0,00506 (сут.)*2.
Характеристическое уравнение (XIV.26) будет иметь вид
р2 - 0,200р + 0,00506 = 0.
с корнями
Pi = 0,02971 (сут.)-1; р2 = 0,1703 (сут.)-1
Постоянные Dj и D2 будут при этом равны
- 0,023 • 22,384 - 4,564(0,1703 - 4,564 • 0,008571)
U ---— и.эУОо!
1 0,02971-0,1703
D2 =4,564-0,5968 = 3,9672.
Поэтому
N, = 8,571 • 10'3 -0,5968 = 0,005115 (сут.)'1;
N2 = 8,571-10'3 -3,9672 = 0,03400 (сут.)'1
639
Таблица 64
Параметры резольвенты (XIV.21) для двух интервалов времени наблюдения
Параметры резольвенты Q(T, t - г) Интервал времени наблюдения
0 < t < tj ti < t < t2
NH (сут.)'1 N, -0,2423 0,005328
n2 0,0008055 0,03790
N3 0,01473 0
Р » (сут.)'1 Pl -0,2699 0,03027
р2 0,03040 0,1737
Рз 0,1735 0
Таблица 65
Параметры резольвенты Q(t- т) = (t"т) + N2e^2(t “т) ддя интервала
времени наблюдения 0 < t < t2
Интервал времени наблюдения Параметры резольвенты Q(t - т) , (сут) 1
N, N, Pi Р2
0 < t < t2 0,005115 0,03400 0,02971 0,1703
и в рассматриваемом случае резольвента будет равна
Q(T, t - т) = 0,00511Se-0-02971+ 0,03400e’o•l7O’(',, (сут.)’1;
(t и т в сутках).
В табл. 65 в компактной форме указаны параметры этой резоль-
венты.
Теперь займемся вычислением продольных напряжений о* (t,z)
(усилий N* (t)) в стене. Ее расчетная схема показана на рис. 137. Гра-
ни стены у = ±у0 жестко защемлены (по условиям симметрии ее темпе-
ратурного поля и большой жесткости наружного контура камеры). Гра-
ни х = ±х0 и z = ±z0 свободны от напряжений; строго при z = ±z0 и с
точностью до принципа Сен-Венан при х = ±х0.
Вначале найдем упругие напряжения oy(t,z) , которые получа-
ются из общих формул, если в них положить Q(T,t-x) = 0 . В нашем
случае
640
ay(t,z) = {v[c,(t) + C2(t)z]-ДТ(1,z)}, (XVIII.5)
3 1-V
где C,(t) и C2(t) определяются по формулам (XVI.4) с учетом (XVI.3),
a F2(T) — по формуле (XVIII. 14).
Для удобства дальнейших сопоставлений проще вычислять не про-
дольные напряжения ay(t,z), а погонные продольные усилия1
N(t)= Jay(t,z)dz. (XVIII.6)
“zo
Произведя операции (XVIII.6) над oy(t,z) (XVIII.5), с учетом
(XVI.3) получим
N(t) = -^-{v[cl(t)k,(t)+C2(t)k2(t)]-k4(t)}. (XVIII.7)
Поскольку в нашем случае, в силу четности функций F2(T) и
AT(t,z) относительно z, k2(t) = k5(t) = O а следовательно, с учетом
(XVI.4) C2(t) = 0 и С,(t)k,(t) = k4(t), то формула (XVIII.7) принимает
более простой вид
N(t) = -aEk4(t). (XVIII.8)
В дальнейшем удобнее пользоваться относительными погонны-
ми усилиями, кратными а и модулю упругости Е при комнатной тем-
пературе
^ = -к4<‘) (XVIII.9)
Эти усилия так же, как выше и резольвенту Q(T, t - т), придется
находить отдельно для каждого интервала времени.
Дальнейшие вычисления проводим в системе единиц [м], [сут.],
[°C].
Первый интервал 0 < t < ц
Tl(t,z) = TK-<p1(z0) + nt + ^-;
2а
ДТ, (t, z) = nt-(p,(z0)+ ^—;
2а
1 По условиям симметрии температурного поля стены погонный продольный
момент My(t) тождественно равен нулю.
641
F2(T) = e L
причем Тк = 20°C; n = 60°C/cyr.
Вычисляем функцию
k4(t) = e'
Г , z0 Г 2 "| Mnz-
nt-<p1(z0) + ^-e'2a .
J 2a
Сначала найдем
. . 60 0,12 IO3 1O„CZ,
(pj(z0) =----------= 1,255 C;
1 ° 6-79,656
°C'I
m2 J
2 79,656 ‘"’(“’f'
A._®J»L.M766.,0>
2a 2-79,656
pn ^0,0045-60-103
2a ”
При этом
e-4nt-<p,(z0)| _ e-0.0045(60t-l,255) _ lt00566e~°’2699t ’
(inzj O.(XM5«M),I;IO'
e 2a =e 279 656 =0,9832;
gnzj
z0 МПГ ____
Je 2a dz = 2 + e 2a
2 01
= —^-(2 + 0,9832) = 0,1989 ц;
цпг
.__ п-3
2a z2dz = _0 5_3 j_e
15
2a
= [5 - 3(1 - 0,9832)] = 0,6599 10'3 M2.
Поэтому
k4(t) = I,00566e‘°'26991 [(60t-1,255)0,1989 + 0,3766 IO3 0,6599-IO'3]=
= (12,0015 - 0,0011>'°’2699t (°C m).
Следовательно,
=fo,001 l-12,0015t)e4,-2699t(oc m); (t-всутках)
aE
642
Если влияние температуры на модуль упругости не учитывается,
то F2(T) = 1, т.е. и = 0. В этом случае
. Z X f Z * X BZ2
k4(t)= I nt-q>1(z0) + —
J 2a
dz = 2zont
или с учетом численных значений z0 и n
k4(t) = 2-0,1-60t = 12t
и, следовательно,
= -121 (°C • м); (t - в сутках).
aE
Второй интервал Ц < t < t2. Для него t, =1 сут.
= Ullhl = (0,0011 -12,0015)е’0-2699 = -9,1611 (°C • м),
аЕ аЕ
а без учета влияния температуры на модуль упругости
^^ = -12(°С-м).
аЕ
Теперь займемся определением полных относительных усилий
N*(t)
—— с учетом ползучести. Вначале сделаем это для случая, когда вли-
аЕ
яние температуры на Е и C(t-x) не учитывается. В этом случае оче-
видно
аЕ аЕ * аЕ
где Q(t - т) — относящаяся к этому случаю резольвента, найденная нами
гг N*(t)
выше. При вычислении —— на данном интервале времени придется
аЕ
интегральный член в выражении (XVII 1.9), являющийся функциона-
лом, разбивать на два участка интегрирования, как это показано ниже.
На интервале 0 < t < Ц
= -12t + [ 12x^,03400-е'0,17030’” +
аЕ Jo 1 (XVIII. 10)
+ 0,005115-е"ода71(,_,) ]dx (°C- м).
643
Проводя необходимые вычисления с учетом табличных формул
jealdx = —(е“’
(XVIII.il)
)еаМг = 4Ие“ -1)-еа'“(еа,° -1)],
найдем определенный интеграл в приведенной формуле равным
J12т^103400е’°-|7Ш<1^1 + 0,00511Эе’0-02971 <|“,) ]dr =
= 12 0,03400 |qi703t_i+e-«.iTOt]+ (XVIII. 12)
0,17032 J
12 0,005115
0,029712
|o,02971t-l+e~0 0297l‘]=
=-83,6602 + 4,4634t +14,06789e-°-l70:" + 69,5923e"0 0297" (°Cm).
В частности, при t = 1 сут., этот интеграл равен
|12т[...]Лг = 0,2223(°См).
Внося (XVIII. 12) в (XVIII. 11), найдем
= -83,6602- 7,5366t + 14,0679е'°-,7<в| +
аЕ
+ 69,5923е“°,П297|‘ (°С-м).
AnpHt, =1 сут.
N|(t|) = -12 + 0,2223 = -11,7787 (°C • м).
аЕ
На интервале tt < t < t2
^^ = -12 + 0,2223 + f 12^,03400 •е‘°-|7<в"‘,) +
аЕ J L
+ 0,005115 •e”0 0297l<,“t)]dT.
Проведя необходимые вычисления с учетом приведенных выше
табличных интегралов, найдем
644
=-7,3159- 2,8407e“n,l7n3' -2,1282e'oaw" (°С м).
аЕ .
тт N (t)
Наконец, найдем полные относительные усилия ——- с учетом
аЕ
ползучести и влияния температуры на нее и модуль упругости. В этом
случае на интервале 0 < t < tr
аЕ аЕ J аЕ 1
или в раскрытом виде
= (0,0011-12,0015t >'0-2в991 -
аЕ
- J (0,0011-12,0015т)е“п'269,’[-0,2423е“0'2699|'“') +
о
+ O,OOO8O56e“°’o3O4(,~t) + 0,01473е“0|735(,”') ]с!т (°C • м).
Выполнив необходимые вычисления с учетом приведенных выше
табличных интегралов, найдем
f (0,0011-12,OO15T>‘o:!W9'[...]ch = 9,9793е0-26"' -
о
-О,1685е"°,<!3040' -19,0230е’°Л735' +9,2122е’0 М9” -
-3,5129te-0,26991 (°С-м).
И, в частности, при t = 1 сут.
j (0,0011-12,0015t>"026Wi [. ..Ь = 1.2678 (°C • м)
о
Поэтому будем иметь
= -9,9793е0,26991 +О,1685е’оозо4<" П^ЗОе"01735' -
аЕ
-9,2121е'влв” -8,4886te-0’26991 (°С-м).
И, в частности, при t = 1 сут.
= -10,4287 (°См).
645
На интервале t, < t < t2
aE aE aE J 2
t,
или в раскрытом виде
= -Ю.4287+9,161 if [о,005328е~ооэо27<,“') +0,03790еч)-|737(,'1)]с1т =
“Е J
= -6,8174-1,6618е"°,оза27‘ -0,2378е'°-1737' ('С м)
По всем полученным выше формулам были вычислены значения
„ N*y(0
погонных относительных усилии —— в следующих четырех вариантах.
aE
Вариант I - упругие значения усилий без учета ползучести и вли-
яния температуры на модуль упругости Е.
Вариант II — полные значения усилий с учетом ползучести, но
без учета влияния температуры на модуль упругости Е и меру ползучес-
ти C(t-x).
Вариант III — полные значения усилий с учетом ползучести и с
учетом влияния температуры на модуль упругости Е и меру ползучести
C(t-T).
Результаты этих вычислений приведены в табл. 66.
Как видно из этой таблицы, учет ползучести сам по себе (II ва-
риант) приводит к значительной релаксации упругих напряжений (I
вариант), а учет влияния температуры на модуль упругости и ползу-
честь бетона (III вариант) — к еще более существенной релаксации.
Естественно, это проявляется в большей степени на длительном пери-
оде времени (второй интервал t, < t < t2).
Так, в рассматриваемом примере упругое усилие при учете пол-
зучести, но без учета влияния температуры на Е и C(t - т), снижаются
к концу первого интервала времени (при t = 1 сут.) на 1,9%, а с учетом
влияния температуры — на 13,1% (на 11,2% дополнительно). Соответ-
ствующие цифры снижения упругих усилий к концу второго интервала
времени (t = 61 сут.) равны 28,1% и 41%. Дополнительное же сниже-
ние этих усилий при учете влияния температуры уже составляет 12,9%.
При более высоких температурах оно естественно будет значительно боль-
шим.
646
Таблица 66
Ny(t)
Относительные погонные усилия в (°C • м) (цифры над чертой, и в
процентах — под чертой) на интервалах времени наблюдения
Вариант расчета Интервал времени
0 < t < t, 1 t, < t < t2
Момент наблюдения в сутках
0 0,5 0,75 1 16 31 46 61
I 0 -6 (100) -9 (100) -12 ООО) -12 (100) -12 (100) -12 (100) -12 ООО)
II 0 -5,946 -8,870 -11,779 (98,1) -9,531 (79,4) -9,024 (75,2) -8,779 (73,1) -8,629 (71,9)
(99,1) (98,5)
III 0 -5,569 -8,075 -10,429 -7,989 (66,6) -7,479 (62,3) -7,231 (60,2) -7,080 (59,0)
(92,8) (89,7) (86,9)
IV 0 -8,971 -8,880 -8,794 (73,3) -6,670 (55,6) -6,185 (51,5) -5,951 (49,6) -5,804 (48,4)
(149,5) (98,7)
Для сравнения был рассмотрен также приближенный вариант IV,
в котором, так же как и в III варианте, учитывалось влияние темпера-
туры на Е и C(t -т), но считалось, что в стене “мгновенно” возникает
расчетная температура второго интервала времени и сохраняется затем
постоянной на всем промежутке наблюдения.
Из табл. 66 видно, что по сравнению с третьим основным вари-
антом в этом случае рассматриваемые погонные усилия, начиная с t =
1 сут., существенно ниже этих усилий, рассчитанных по третьему вари-
анту. Поэтому из условия надежности конструкции таким приближен-
ным приемом лучше не пользоваться.
647
ПРИЛОЖЕНИЕ!
,2 fSf
§ -<хван -
Первые три корня характеристического уравнения ctg £ =--> ?
(ав+ан1 7 К
I л I
при нормированных значениях а „ = 23 Вт/(м2-°С) и а в = 8,7 Вт/(м2-°С)
5 м2 -° С А’ Вт ^2
0 0 Л 2 п
0,1 1,5116 3,8951 6,7414
0,2 1,9142 4,3378 7,0985
0,3 2,1503 4,6339 7,3754
0,4 2,3097 4,8497 7,5936
0,5 2,4252 5,0158 7,7701
0,6 2,5128 5,1477 7,9161
0,7 2,5816 5,2556 8,0392
0,8 2,6371 5,3455 8,1444
0,9 2,6826 5,4214 8,2355
1,0 2,7207 5,4864 8,3151
1,1 2,7531 5,5329 8,3852
1,2 2,7808 5,5916 8,4475
1,3 2,8046 5,6341 8,5025
1,4 2,8261 5,6729 8,5529
1,5 2,8447 5,7070 8,5980
Примечание. Первая строка таблицы носит формальный характер и относится
уже к случаю а и — а в = 0, т.е. к граничным условиям второго
рода (стена с теплоизолированными поверхностями).
648
ПРИЛОЖЕНИЕ II
_ ан f 8^
Значения первых трех постоянных ет ~ 7“| V при нормированных
Sm
значениях а и = 23 Вт/(м2-°С) и а в = 8,7 Вт/(м2-°С)
8 м2 0С V Вт Si
0 0 0 0
0,1 1,5216 0,5905 0,3412
0,2 2,4031 1,0604 0,6480
0,3 3,2088 1,4890 0,9355
0,4 3,9832 1,8970 1,2115
0,5 4,7419 2,2927 1,4800
0,6 5,4919 2,6808 1,7433
0,7 6,2364 3,0634 2,0027
0,8 6,9774 3,4421 2,2592
0,9 7,7164 3,8182 2,5135
1,0 8,4537 4,1922 2,7660
1,1 9,1896 4,5644 3,0172
1,2 9,9252 4,9360 3,2672
1,3 10,6611 5,3070 3,5166
1,4 11,3938 5,6761 3,7648
1,5 12,1278 6,0452 4,0126
Примечание. См. пояснение к таблице приложения I.
649
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Интенсивность суммарной солнечной радиации по часам суток,
поступающей на северные стены в г. Москве, q/ т ), Вт/м2
Часы суток Месяц года
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
1-2
2-3
3-4 32
4-5 64 99 98
5-6 40 99 138 154 55
6-7 3 31 75 100 100 44 8
7-8 1 16 44 49 53 56 44 21 5
8-9 14 28 49 48 51 52 41 31 12 5 1
9-10 11 28 36 45 48 47 49 39 32 14 12 7
10-11 15 35 36 43 47 43 45 35. 31 16 14 12
11-12 15 34 36 41 47 41 44 32 30 15 14 14
12-13 15 34 37 41 47 41 42 32 29 15 14 15
13-14 16 36 37 41 46 41 43 33 30 15 14 11
14-15 11 31 37 43 44 43 46 35 31 13 13 7
15-16 15 29 47 40 47 48 40 20 9 6 2
16-17 1 19 41 38 51 53 43 20 4
17-18 4 27 73 102 94 43 9
18-19 32 102 146 130 38
19-20 58 108 94
20-21 34
21-22
22-23
23-24
650
ПРИЛОЖЕНИЕМ
Интенсивность суммарной солнечной радиации по часам суток,
поступающей на южные стены в г. Москве, qr( т ), Вт/м2
Часы суток Месяц года
I II Ш IV V VI vn vni IX X XI ХП
1-2
2-3
3-4 3
4-5 8 11 И
5-6 8 31 27 30 11
6-7 5 43 45 44 52 28 12
7-8 23 85 151 118 103 116 117 84 36
8-9 37 174 246 274 209 182 195 212 220 142 112 41
9-10 170 278 376 384 298 252 280 292 329 250 199 168
10-11 281 411 467 454 374 213 326 339 386 334 263 257
11-12 333 458 506 484 398 306 348 352 412 371 308 297
12-13 333 465 522 474 398 301 337 346 405 371 308 303
13-14 298 424 474 435 369 279 307 318 373 321 269 242
14-15 174 309 388 363 277 233 261 270 307 228 220 166
15-16 27 184 253 263 170 169 190 203 201 135 126 55
16-17 26 99 128 89 107 112 115 81 27
17-18 8 98 43 46 48 27 13
18-19 6 24 28 26 8
19-20 7 13 9
20-21
21-22
22-23
23-24
ПРИЛОЖЕНИЕ V
Гиперболо-круговые функции Н.П.Пузыревского
A©=A=ch£-cos£; В©=В=-^(ch£-sii© + sh£-cos^ С©=С= ^sh£-sin£; D(£)= D = ^(ch£-sin£-sh£-cos£)
5 A@ = A B@ = B c@=c d«4) = d A В C D
0 1 0 0 0 0,018 1,00000 0,01800 0,00016 0,00000
0,001 1,00000 0,00100 0,00000 0,00000 0,019 1,00000 0,01900 0,00018 0,00000
0,002 1,00000 0,00200 0,00000 0,00000 0,020 1,00000 0,02000 0,00020 0,00000
0,030 1,00000 0,03000 0,00045 0,000005
0,040 1,00000 0,04000 0,00080 0,00001
0,003 1,00000 0,00300 0,000005 0,00000 0,05 1,0000 0,0500 0,00125 0,0000
0,004 1,00000 0,00400 0,00001 0,00000 0,06 1,0000 0,0600 0,0018 0,00005
0,005 1,00000 0,00500 0,000015 0,00000 0,07 1,0000 0,0700 0,00245 0,00005
0,006 1,00000 0,00600 0,00002 0,00000 0,08 1,0000 0,0800 0,0033 0,0001
0,007 1,00000 0,00700 0,000025 0,00000 0,09 1,0000 0,08995 0,00405 0,0001
0,008 1,00000 0,00800 0,00003 0,00000 0,10 1,0000 0,1000 0,0050 0,00015
0,009 1,00000 0,00900 0,00004 0,00000 0,11 1,0000 0,1100 0,00605 0,0002
0,010 1,00000 0,01000 0,00005 0,00000 0,12 1,0000 0,1200 0,0072 0,0003
0,011 1,00000 0,01100 0,00006 0,00000 0,13 0,9999 0,1300 0,00845 0,00035
0,012 1,00000 0,01200 0,00007 0,00000 0,14 0,9999 0,1400 0,0098 0,00045
0,013 1,00000 0,01300 0,000085 0,00000 0,15 0,9999 0,1500 0,01125 0,00055
0,014 1,00000 0,01400 0,00010 0,00000 0,16 0,9999 0,1600 0,0128 0,0007
0,015 1,00000 0,01500 0,000115 0,00000 0,17 0,9999 0,1700 0,1445 0,0008
0,016 1,00000 0,01600 0,00013 0,00000 0,18 0,9998 0,17995 0,0162 0,0010
0,017 1,00000 0,01700 0,000145 0,00000 0,19 0,9998 0,1900 0,01805 0,00115
Продолжение
£ А@ = А в@ = в С@=с D(© = D А В С D
0,20 0,9997 0,2000 0,0200 0,00135 0,45 0,99S2 0,4494 0,1012 0,0152
0,21 0,9997 0,2100 0,02205 0,00155 0,46 0,9925 0,45935 0,10575 0,0162
0,22 0,9996 0,21995 0,0242 0,0018 0,47 0,9919 0,4692 0,1104 0,0173
0,23 0,9995 0,22995 0,02645 0,0020 0,48 0,9911 0,4791 0,11515 0,0184
0,24 0,9995 0,2400 0,0288 0,0023 0,49 0,9904 0,48905 0,11995 0,0196
0,25 0,9993 0,2500 0,03125 0,0026 0,50 0,9895 0,49895 0,1249 0,0208
0,26 0,9992 0,25995 0,0338 0,0029 0,51 0,9887 0,50885 0,12995 0,0221
0,27 0,9991 0,26995 0,03645 0,0032 0,52 0,9878 0,51875 0,1351 0,0234
0,28 0,9990 0,27995 0,0392 0,0037 0,53 0,9869 0,5286 0,14035 0,0248
0,29 0,9988 0,28995 0,04205 0,0041 0,54 0,9858 0,53845 0,14565 0,0263
0,30 0,9987 0,2999 0,0450 0,0045 0,55 0,9847 0,54835 0,1511 0,0277
0,31 0,9985 0,3099 0,04805 0,00495 0,56 0,9836 0,5582 0,15665 0,02925
0,32 0,9983 0,3199 0,0512 0,00545 0,57 0,9824 0,5680 0,16225 0,03085
0,33 0,9980 0,32985 0,05445 0,0060 0,58 0,9811 0,5778 0,1680 0,0325
0,34 0,9978 0,33985 0,0578 0,0066 0,59 0,9798 0,5876 0,1738 0,0342
0,35 0,9975 0,3498 0,06125 0,00715 0,60 0,9784 0,59745 0,17975 0,0360
0,36 0,9972 0,3598 0,0648 0,00775 0,61 0,9769 0,6072 0,18575 0,0378
0,37 0,9960 0,3698 0,06845 0,00845 0,62 0,9754 0,61695 0,1919 0,0397
0,38 0,9965 0,3797 0,0722 0,00915 0,63 0,9738 0,6267 0,1981 0,04165
0,39 0,9961 0,3897 0,07605 0,0099 0,64 0,9721 0,6364 0,2044 0,04365
0,40 0,9957 0,39965 0,0800 0,0107 0,65 0,9703 0,64615 0,21085 0,0457
0,41 0,9953 0,4096 0,0840 0,0115 0,66 0,9684 0,65585 0,21735 0,0479
0,42 0,9948 0,4196 0,08815 0,01235 0,67 0,9664 0,6655 0,22395 0,0501
0,43 0,9943 0,4295 0,0924 0,01325 0,68 0,9644 0,67515 0,23065 0,0524
0,44 0,9938 0,43945 0,09675 0,0142 0,69 0,9623 0,6848 0,23745 0,0547
Продолжение
А© = А в© = в с©=с D(© = D £ А В С D
0,70 0,9600 0,6944 0,24435 0,0571 0,95 0,8645 0,9242 0,44715 0,14235
0,71 0,9577 0,70395 0,25135 0,0596 0,96 0,8587 0,93285 0,45645 0,1469
0,72 0,9552 0,71355 0,2584 0,0621 0,97 0,8528 0,94145 0,46585 0,1515
0,73 0,9527 0,7231 0,2656 0,06475 0,98 0,8466 0,9499 0,4753 0,1562
0,74 0,9501 0,7326 0,2729 0,06745 0,99 0,8339 0,95355 0,48485 0,1586
0,75 0,9473 0,7421 0,28025 0,0703 1,00 0,8337 0,96675 0,49445 0/1659
0,76 0,9444 0,74055 0,28775 0,0730 1,01 0,8270 0,9750 0,50415 0,17085
0,77 0,9415 0,7610 0,2953 0,07595 1,02 0,8201 0,98325 0,51395 0,1760
0,78 0,9384 0,7704 0,30295 0,07895 1,03 0,8129 0,9914 0,5238 0,18115
0,79 0,9351 0,77975 0,3107 0,0820 1,04 0,8066 0,9995 0,53375 0,18645
0,80 0,9318 0,7891 0,31855 0,08515 1,05 0,7980 1,00755 0,5438 0,1918
0,81 0,9283 0,7984 0,3265 0,0884 1,06 0,7902 1,01545 0,55395 0,1973
0,82 0,9247 0,8077 0,8345 0,0917 1,07 0,7822 1,0233 0,5641 0,2029
0,83 0,9210 0,81685 0,34265 0,0951 1,08 0,7740 1,0311 0,5744 0,2086
0,84 0,9171 0,8261 0,35085 0,09855 1,09 0,7655 1,0388 0,58475 0,2134
0,85 0,9131 0,8352 0,35915 0,1021 1,10 0,7568 1,04645 0,59515 0,2203
0,86 0,9090 0,84435 0,36755 0,1057 1,11 0,7479 1,05395 0,60565 0,2263
0,87 0,9047 0,8534 0,37605 0,10945 1,12 0,7387 1,0613 0,61625 0,23235
0,88 0,9002 0,8624 0,3846 0,11325 1,13 0,7293 1,0687 0,6269 0,2386
0,89 0,8956 0,8714 0,3933 0,11715 1,14 0,7196 1,07595 0,6376 0,2449
0,90 0,8931 0,88035 0,40205 0,1211 1,15 0,7097 1,0831 0,6484 0,25135
0,91 0,8859 0,88925 0,4109 0,1252 1,16 0,6995 1,09015 0,6593 0,2579
0,92 0,8808 0,89805 0,41985 0,1293 1,17 0,6891 1,0971 0,6702 0,26455
0,93 0,8753 0,90685 0,42885 0,1336 1,18 0,6784 1,10395 0,68125 0,2713
0,94 0,8701 0,91555 0,43795 0,1379 1,19 0,6674 1,11065 0,6923 0,2782
Продолжение
t, А© = А в@ = в с@ = с D(© = D 5 А В С D
1,20 0,6561 1,1173 0,70345 0,28515 1,45 0,2710 1,23755 0,9998 0,4974
1,21 0,6446 1,1238 0,71465 0,29225 1,46 0,2509 1,2402 1,0122 0,5075
1,22 0,6330 1,1306 0,7259 0,29965 1,47 0,2304 1,2426 1,0246 0,51765
1,23 0,6206 1,13645 0,73725 0,3068 1,48 0,2095 1,2448 1,08705 0,5280
1,24 0,6082 1,1426 0,74865 0,3142 1,49 0,1882 1,2468 1,0495 0,5384
1,25 0,5955 1,1486 0,7601 0,3275 1,50 0,1664 1,24855 1,06195 0,5490
1,26 0,5824 1,1545 0,7716 0,3294 1,51 0,1442 1,2501 1,07445 0,55965
1,27 0,5691 1,1602 0,7832 0,3372 1,52 0,1216 1,25145 1,0870 0,5705
1,28 0,5555 1,1659 0,7948 0,34505 1,53 0,0986 1,2526 1,0495 0,5814
1,29 0,5415 1,17135 0,8065 0,3531 1,54 0,0746 1,2534 1,11205 0,59245
1,30 0,5272 1,1767 0,81825 0,3612 1,55 0,0512 1,25405 1,12405 0,6036
1,31 0,5126 1,1819 0,83005 0,369 1,56 . 0,0268 1,25445 1,1371 0,6149
1,32 0,4977 1,1870 0,8419 0,3778 1,57 0,0020 1,2546 1,14965 0,6264
1,33 0,4824 1,19185 0,8538 0,3863 1/2л 0 1,2545 1,15065 0,6273
1,34 0,4668 1,1966 0,8657 0,89485 1,58 -0,0233 1,2545 1,1623 0,63795
1,59 -0,0490 1,25415 1,17475 0,6496
1,35 0,4508 1,2012 0,8777 0,4036 1,60 -0,0753 1,2535 1,18725 0,66145
1,36 0,4345 1,20565 0,88975 0,4124 1,61 -0,1019 1,2520 1,1998 0,67335
1,37 0,4178 1,20985 0,9018 0,4214 1,62 -0,1291 1,25145 1,21335 0,6854
1,38 0,4008 1,21395 0,91395 0,4305 1,63 -0,1568 1,25005 1,22485 0,6976
1,39 0,3833 1,2179 0,9261 0,43965 1,64 -0,1849 1,24835 1,23735 0,7099
1,40 0,3656 1,22165 0,9383 0,4490 1,65 -0,2136 1,24635 1,2498 0,7224
1,41 0,3474 1,2252 0,95055 0,45845 1,66 -0,2427 1,24405 1,26225 0,7349
1,42 0,3289 1,2286 0,9648 0,4680 1,67 -0,2724 1,2415 1,2747 0,7476
1,43 0,3100 1,23175 0,9751 0,4777 1,68 -0,3026 1,2386 1,2871 0,7604
1,44 0,2907 1,23335 0,97645 0,4882 1,69 -0,3332 1,2354 1,29945 0,7706
Продолжение
Е. А@ = А В@=в с©=с D(© = D Е. А В С D
1,70 -0,3644 1,2319 1,3118 0,7864 1,95 -1,3273 1,0281 1,5993 1,15135
1,71 -0,3961 1,22815 1,3241 0,7998 1,96 -1,3736 1,01455 1,6095 1,1674
1,72 -0,4284 1,2240 1,33635 0,8129 1,97 -1,4207 1,00065 1,6196 1,1835
1,73 -0,4612 1,2195 1.34855 0,8263 1,98 -1,4683 0,98615 1,62955 1,1998
1,74 -0,4945 1,2148 1.36075 0,83985 1,99 -1,5166 0,97125 1,6393 1,2161
1,75 -0,5284 1,20965 1,37285 0,8535 2,00 -1,5656 0,95575 1,64895 1,2325
1,76 -0,5628 1,2042 1,38495 0,8673 2,01 -1,6153 0,9399 1,6584 1,2421
1,77 -0,5977 1,1984 1,39695 0,8813 2,02 -1,6656 0,9235 1,66775 1,26575
1,78 -0,6833 1,1923 1,4089 0,89525 2,03 -1,7165 0,9066 1,6769 1,28245
1,79 -0,6694 1,1857 1,4208 0,9094 2,04 -1,7682 0,88915 1,6859 1,2993
1,80 -0,7060 1,17885 1,4326 0,9237 2,05 -1,8205 0,87125 1,69465 1,3162
1,81 -0,7433 1,1716 1,44435 0,93805 2,06 -1,8734 0,8528 1,7033 1,3315
1,82 -0,7811 1,1640 1,45605 0,95255 2,07 -1,9271 0,83375 1,7117 1,3502
1,83 -0,8195 1,1560 1,46765 0,96715 2,08 -1,9815 0,8142 1,71995 1,3674
1,84 -0,8584 1,1476 1,47915 0,9810 2,09 -2,0365 0,7939 1,7280 1,3845
1,85 -0,8980 1,13885 1,4906 0,9968 2,10 -2,0923 0,7735 1,73585 1,40195
1,86 -0,9382 1,12965 1,50195 1,0117 2,11 -2,1487 0,7523 1,7435 1,41935
1,87 -0,9790 1,12005 1,5132 1,0268 2,12 -2,1058 0,73055 1,7509 1,4368
1,88 -1,0203 1,11005 1,52435 1,0420 2,13 -2,2636 0,70815 1,7581 1,4544
1,89 -1,0623 1,09965 1,5354 1,0573 2,14 -2,3221 0,68525 1,76505 1,4720
1,90 -1,1049 1,0888 1,54635 1,0727 2,15 -2,3814 0,66175 1,7718 1,4897
1,91 -1,1481 1,07765 1,55715 1,0882 2,16 -2,4413 0,6376 1,7783 1,5074
1,92 -1,1920 1,06585 1,5679 1,1038 2,17 -2,5020 0,6129 1,78455 1,52525
1,93 -1,2364 1,05375 1,5785 1,1196 2,18 -2,5633 0,5876 1,79055 1,5431
1,94 -1,2815 1,0411 1,58895 1,1354 2,19 -2,6254 0,5616 1,7963 1,56105
Продолжение
Е. А@ = А В@ = в С@=с D(© = D Е. А В С D
2,20 -2,6882 0,5351 1,8018 1,57905 2,45 -4,4961 -0,3534 1,8339 2,0381
2,21 -2,7518 0,50785 1,8079 1,5971 2,46 -4,5780 -0,39875 1,83015 2,0564
2,22 -2,8160 0,48005 1,81195 1,6152 2,47 -4,6606 -0,44495 1,8259 2,0747
2,23 -2,8810 0,45155 1,8166 1,6333 2,48 -4,7439 -0,4920 1,82125 2,09295
2,24 -2,9466 0,4224 1,82095 1,6515 2,49 -4,8280 -0,53985 1,81605 2,1111
2,25 -3,0131 0,3926 1,82505 1,66975 2,50 -4,9128 -0,5885 1,81045 2,12925
2,26 -3,0802 0,3621 1,8288 1,6880 2,51 -4,9984 -0,6381 1,8043 2,14735
2,27 -3,1481 0,3310 1,83225 1,7063 2,52 -5,0846 -0,6885 1,79765 2,16535
2,28 -3,2167 0,2992 1,83545 1,72465 2,53 -5,1716 -0,7398 1,79055 2,1833
2,29 -3,2861 0,26665 1,83825 1,7430 2,54 -5,2593 -0,79195 1,7829 2,2012
2,30 -3,3562 0,23345 1,84075 1,7614 2,55 -5,3477 -0,8150 1,7747 2,21896
2,31 -3,4270 0,19955 1,84295 1,7798 2,56 -5,4368 -0,8089 1,7660 2,23665
2,32 -3,4986 0,16485 1,84475 1,7983 2,57 -8,5266 -0,95375 1,7567 2,2543
2,33 -3,5708 0,12955 1,8462 1,8167 2,58 -5,6172 -1,00945 1,7469 2,2718
2,34 -3,6439 0,0935 1,8478 1,8352 2,59 -5,7034 -1,0661 1,7365 2,2892
2,35 -3,7177 0,05655 1,8481 1,85365 2,60 -5,8003 -1,1236 1,72555 2,8065
2,36 -3,7922 0,0191 1,84845 1,87215 2,61 -5,8929 -1,18205 1,71405 2,3377
2,37 -3,8675 -0,01915 1,8485 1,8906 2,62 -5,9862 -1,2415 1,7019 2,3408
2,38 -3,9435 -0,05825 1,84805 1,9091 2,63 -6,0802 -1,3018 1,6892 2,35776
2,39 -4,0202 -0,09805 1,8473 1,9276 2,64 -6,1748 -1,36303 1,6759 2,3746
2,40 -4,0976 -0,1386 1,8461 1,94605 2,65 -6,2701 -1,4253 1,66195 2,39125
2,41 -4,1759 -0,17995 1,84455 1,9645 2,66 -6,3661 -1,48845 1,64735 2,4078
2,42 -4,2548 -0,2221 1,8425 1,98295 2,67 -6,4628 -1,55265 1,6332 2,4242
2,43 -4,3345 -0,2651 1,8401 2,00135 2,68 -6,5600 -1,6177 1,6163 2,44015
2,44 -4,4150 -0,30885 1,83725 2,0198 2,69 -6,6580 -1,6838 1,6027 2,45635
Продолжение
5 А© = А в© = в с© = с D(© = D £ А В С D
2,70 -6,7565 -1,7509 1,58265 2,47245 2,95 -9,4039 -3,7642 0,90705 2,79415
2,71 -6,8558 -1,81895 1,5648 2,4882 2,96 -9,5158 -3,8588 0,86895 2,80305
2,72 -6,9556 -1,88805 1,54625 2,5037 2,97 -9,6281 -3,9545 0,82085 2,8115
2,73 -7,0560 -1,95805 1,52705 2,5191 2,98 -9,7407 -4,05135 0,78985 2,8196
2,74 -7,1571 -2,02915 1,5071 2,5343 2,99 -9,8536 -4,1493 0,74885 2,8273
2,75 -7,2588 -2,1019 1,48645 2,54925 3,00 -9,9669 -4,24845 0,70685 2,8346
2,76 -7,3611 -2,1743 1,46605 2,5640 3,01 -10,0804 -4,34865 0,66385 2,8414
2,77 -7,7439 -2,2484 1,44295 2,57855 3,02 -10,1943 -4,45005 0,61985 2,8479
2,78 -7,5673 -2,3236 1,4201 2,59385 3,03 -10,3083 -4,55265 0,52485 2,8538
2,79 -7,7614 -2,3998 1,39645 2,60695 3,04 -10,4225 -4,6562 0,52885 2,85935
2,80 -7,7759 -2,4770 1,8721 2,6208 3,05 -10,5317 -4,76105 0,4817 2,86442
2,81 -7,8810 -2,5553 1,84695 2,6344 3,06 -10,6516 -4,86695 0,4336 2,8690
2,82 -7,9866 -2,63465 1,8210 2,6477 3,07 -10,7665 -4,97405 0,3844 2,8731
2,83 -8,0920 -2,71505 1,29425 2,6608 3,08 -10,8815 -5,0823 0,3841 2,87665
2,84 -8,1995 -2,7965 1,2667 2,6736 3,09 -10,9966 -5,19165 0,28275 2,8798
2,85 -8,3067 -2,8790 1,2383 2,68615 3,10 -11,1119 -5,30325 0,2303 2,8823
2,86 -8,4144 -2,96265 1,2091 2,6984 3,11 -11,2272 -5,4139 0,1767 2,88435
2,87 -8,5225 -3,0473 1,17905 2,7103 3,12 -1.1,3427 -5,5268 0,1220 2,88585
2,88 -8,6312 -3,1331 1,14815 2,72195 3,13 -11,4580 -5,64076 0,03615 2,8868
2,89 -8,7404 -3,21995 1,1164 2,7333 3,14 -11,5736 -5,76695 0,00915 2,8872
-11,5910 -5,77435 0 2,8872
2,90 -8,8471 -3,3079 1,08375 2,7443 3,15 -11,6890 -5,8722 -0,04895 2,88695
2,91 -8,9598 -3,3969 1,05025 2,75495 3,16 -11,8045 -5,98975 -0,1083 2,8862
2,92 -9,0703 -3,48715 1,0158 2,7653 3,17 -11,9200 -6,10835 -0,16875 2,8848
2,93 -9,1811 -3,57835 0,98045 2,7753 3,18 -12,0353 -6,2281 -0,23045 2,8828
2,94 -9,2923 -3,6707 0,94425 2,7849 3,19 -12,1506 -6,34905 -0,29335 2,8802
Продолжение
t, А@ = А В@=в с©=с D(© = D Е. А В С D
3,20 -12,2656 -6,47105 -0,3574 2,8769 3,45 -15,0222 -9,8888 -2,3880 2,5516
3,21 -12,3807 -6,5943 -0,4227 2,87305 3,46 -15,1238 -10,03955 -2,4876 2,5272
3,22 -12,4956 -6,71875 -0,48935 2,8685 3,47 -15,2244 -10,1913 -2,58885 2,5018
3,23 -12,6101 -6,8442 -0,5571 2,86325 3,48 -15,3238 -10,34405 -2,6915 2,4754
3,24 -12,7873 -6,97095 -0,6267 2,8573 3,49 -15,4224 -10,49775 -2,7957 2,4480
3,25 -12,8583 -7,0988 -0,6966 2,8507 3,50 -15,5198 -10,65245 -2,9014 2,4195
3,26 -12,9527 -7,2277 -0,76815 2,8484 3,51 -15,6159 -10,8081 -3,00875 2,38995
3,27 -13,0662 -7,3578 -0,8411 2,8354 3,52 -15,7108 -10,9647 -3,1176 2,3593
2,28 -13,1795 -7,48905 -0,91535 2,8266 3,53 -15,8046 -11,1223 -3,2280 2,3276
3,29 -13,2924 -7,62135 -0,93085 2,8171 3,54 -15,8971 -11,28085 -3,34005 2,2948
3,30 -13,4048 -7,7549 -1,0678 2,80675 3,55 -15,9881 -11,4403 -3,4537 2,26075
3,31 -13,5168 -7,88945 -1,14595 2,7957 3,56 -16,0780 -11,6007 -3,5689 2,22565
3,32 -13,6285 -8,0252 -1,22555 2,78385 3,57 -16,1663 -11,76185 -3,68565 2,1894
3,33 -13,7395 -8,16195 -1,30645 2,7712 3,58 -16,2531 -11,9240 -3,8041 2,15195
3,34 -13,8501 -8,3000 -1,3888 2,7577 3,59 -16,3384 -12,08695 -3,92415 2,1133
3,35 -13,9601 -8,4890 -1,4725 2,7434 3,60 -16,4218 -12,25075 -4,04585 2,0735
3,36 -14,0695 -8,5792 -1,55765 2,7282 3,61 -16,5043 -12,4154 -4,1692 2,0324
3,37 -14,1784 -8,72045 -1,6441 2,7122 3,62 -16,5847 -12,5808 -4,2942 1,99005
3,38 -14,2866 -8,8628 -1,73205 2,69535 3,63 -16,6634 -12,7470 -4,4208 1,9465
3,39 -14,3941 -9,0062 -1,82135 2,6776 3,64 -16,7405 -12,91415 -4,5491 1,9017
3,40 -14,5008 -9,15065 -1,9121 2,6589 3,65 -16,8155 -13,08185 -4,6791 1,8555
3,41 -14,6068 -9,2962 -2,0044 2,6393 3,66 -16,8889 -13,2504 -4,81075 1,80805
3,42 -14,7118 -9,4427 -2,0980 2,61885 3,67 -16,9603 -13,4196 -4,9441 1,7593
3,43 -14,8162 -9,59045 -2,19325 2,5974 3,68 -16,0296 -13,5896 -5,07915 1,7092
3,44 -14,9197 -9,73915 -2,2899 2,5750 3,69 -17,0970 -13,6745 -5,2159 1,7006
Продолжение
5 А@ = А В£) = в с©=с D(© = D 5 А В С D
3,70 -17,1622 -13,9315 -5,35435 1,60485 3,95 -17,9412 -18,3572 -9,3863 -0,2172
3,71 -17,2253 -14,10345 -5,4945 1,5506 3,96 -17,9307 -18,53655 -9,57075 -0,3095
3,72 -17,2861 -14,2759 -5,6364 1,49495 3,97 -17,9165 -18,71585 -9,75205 -0,4061
3,73 -17,3449 -14,4492 -5,78005 1,43790 3,98 -17,8983 -18,8949 -9,94505 -0,50455
3,74 -17,4022 -14,62285 -5,9254 1,3793 3,99 -17,8761 -19,0738 -10,13495 -0,60495
3,75 -17,4552 -14,79715 -6,0725 1,3194 4,05 -17,6551 -20,14055 -11,31145 -1,2481
3,76 17,5067 -14,97195 -6,23135 1,2579 4,06 -17,6030 -20,8169 -11,51375 -1,86215
3,77 -17,5557 -15,14725 -6,37195 1,1949 4,07 -17,5461 -20,49255 -11,7178 -1,4783
3,78 -17,6024 -15,32315 -6,5243 1,1305 4,08 -17,4846 -20,6677 -11,92355 -1,69655
3,79 -17,6463 -15,4994 -6,6784 1,06445 4,09 -17,4185 -20,84225 -12,1311 -1,7168
3,80 -17,6875 -15,67605 -6,8343 0,9969 4,10 -17,3472 -21,0160 -12,3404 -1,8392
3,81 -17,7259 -15,8531 -6,99195 0,92775 4,11 -17,2712 -21,18905 -12,55135 -1,9636
3,82 -17,7616 -16,0304 -7,1513 0,85705 4,12 -17,1900 -21,3614 -12,78415 -2,0902
3,83 -17,7945 -16,2083 -7,31256 0,7847 4,13 -17,1040 -21,5329 -12,97785 -2,2189
3,84 -17,8245 -16,3864 -7,4755 0,7108 4,14 -16,0126 -21,70345 -13,1948 -2,3498
3,85 -17,8513 -16,56485 -7,6403 0,6852 4,15 -16,9160 -21,8731 -13,41265 -2,4828
3,86 -17,8751 -16,74335 -7,80685 0,5579 4,16 -16,8139 -22,0417 -13,6322 -2,6180
3,87 -17,8960 -16,8223 -7,9751 0,4791 4,17 -16,7064 -22,2094 -13,85355 -2,7556
3,88 -17,9135 -16,1013 -8,14525 0,39845 4,18 -16,5934 -22,3759 -14,0765 -2,89516
3,89 -17,9277 -17,28045 -8,3171 0,3161 4,19 -16,4748 -22,64125 -14,30105 -3,2870
3,90 -17,9387 -17,45985 -8,4909 0,2321 4,20 -16,3505 -22,70545 -14,52735 -3,1812
3,91 -17,9464 -17,6393 -8,66635 0,14635 4,21 -16,2203 -22,86815 -14,75505 -3,3276
3,92 -17,9504 -17,81875 -8,8437 0,0587 4,22 -16,0842 -23,02585 -14,9847 -3,4763
3,93 -17,9511 -17,9988 -9,0227 -0,0305 4,23 -15,9423 -23,18995 -15,21575 -3,6272
3,94 -17,9480 -18,17785 -9,20365 -0,1217 4,24 -15,7939 -23,3485 -15,44835 -3,78055
Продолжение
5 А© = А в© = в с©=с D(© = D 4 А В С D
3,70 -17,1622 -13,9315 -5,35435 1,60485 3,95 -17,9412 -18,3572 -9,3863 -0,2172
3,71 -17,2253 -14,10345 -5,4945 1,5506 3,96 -17,9307 -18,53655 -9,57075 -0,3095
3,72 -17,2861 -14,2759 -5,6364 1,49495 3,97 -17,9165 -18,71585 -9,75205 -0,4061
3,73 -17,3449 -14,4492 -5,78005 1,43790 3,98 -17,8983 -18,8949 -9,94505 -0,50455
3,74 -17,4022 -14,62285 -5,9254 1,3793 3,99 -17,8761 -19,0738 -10,13495 -0,60495
3,75 -17,4552 -14,79715 -6,0725 1,3194 4,00 -17,8498 -19,25235 -10,3265 -0,7073
3,76 17,5067 -14,97195 -6,23135 1,2579 4,01 -17,8172 -19,4307 -10,51995 -0,8115
3,77 -17,5557 -15,14725 -6,37195 1,1949 4,02 -17,7850 -19,60875 -10,7151 -0,9176
3,78 -17,6024 -15,32315 -6,5243 1,1305 4,03 -17,7461 -19,7865 -10,91215 -1,0258
3,79 -17,6463 -15,4994 -6,6784 1,06445 4,04 -17,7029 -19,96875 -11,11095 -1,1359
3,80 -17,6875 -15,67605 -6,8343 0,9969 4,05 -17,6551 -20,14055 -11,31145 -1,2481
3,81 -17,7259 -15,8531 -6,99195 0,92775 4,06 -17,6030 -20,8169 -11,51375 -1,86215
3,82 -17,7616 -16,0304 -7,1513 0,85705 4,07 -17,5461 -20,49255 -11,7178 -1,4783
3,83 -17,7945 -16,2083 -7,31256 0,7847 4,08 -17,4846 -20,6677 -11,92355 -1,69655
3,84 -17,8245 -16,3864 -7,4755 0,7108 4,09 -17,4185 -20,84225 -12,1311 -1,7168
3,85 -17,8513 -16,56485 -7,6403 0,6852 4,10 -17,3472 -21,0160 -12,3404 -1,8392
3,86 -17,8751 -16,74335 -7,80685 0,5579 4,11 -17,2712 -21,18905 -12,55135 -1,9636
3,87 -17,8960 -16,8223 -7,9751 0,4791 4,12 -17,1900 -21,3614 -12,78415 -2,0902
3,88 -17,9135 -16,1013 -8,14525 0,39845 4,13 -17,1040 -21,5329 -12,97785 -2,2189
3,89 -17,9277 -17,28045 -8,3171 0,3161 4,14 -16,0126 -21,70345 -13,1948 -2,3498
3,90 -17,9387 -17,45985 -8,4909 0,2321 4,15 -16,9160 -21,8731 -13,41265 -2,4828
3,91 -17,9464 -17,6393 -8,66635 0,14635 4,16 -16,8139 -22,0417 -13,6322 -2,6180
3,92 -17,9504 -17,81875 -8,8437 0,0587 4,17 -16,7064 -22,2094 -13,85355 -2,7556
3,93 -17,9511 -17,9988 -9,0227 -0,0305 4,18 -16,5934 -22,3759 -14,0765 -2,89516
3,94 -17,9480 -18,17785 -9,20365 -0,1217 4,19 -16,4748 -22,64125 -14,30105 -3,2870
Продолжение
А© = А в©=в С© = с D(© = D £ А В С D
4,20 -16,3505 -22,70545 -14,52735 -3,1812 4,45 -11,1069 -26,20735 -20,67115 -7,5517
4,21 -16,2203 -22,86815 -14,75505 -3,3276 4,46 -10,8003 -26,3384 -20,9341 -7,7705
4,22 -16,0842 -23,02585 -14,9847 -3,4763 4,47 -10,4851 -26,44475 -21,19805 -7,9812
4,23 -15,9423 -23,18995 -15,21575 -3,6272 4,48 -10,1615 -26,54795 -21,46295 -8,1945
4,24 -15,7939 -23,3485 -15,44835 -3,78055 4,49 -9,8295 -26,6479 -21,72885 -8,4104
4,25 -15,6398 -23,50585 -15,6827 -3,9362 4,50 -9,4890 -26,74465 -21,9959 -8,6290
4,26 -15,4793 -23,66155 -15,91865 -4,0942 4,51 -9,1392 -25,8377 -22,26385 -8,85035
4,27 -15,3122 -23,8153 -16,1509 -4,25455 4,52 -8,7805 -26,9272 -22,53265 -9,0744
4,28 -15,1387 -23,96765 -16,3949 -4,4174 4,53 -8,4133 -27,0132 -22,80225 -9,30093
4,29 -14,9587 -24,11805 -16,63525 -4,5825 4,54 -8,0368 -27,09565 -23,07295 -9,5304
4,30 -14,7723 -24,26685 -16,8773 -4,7501 4,55 -7,6509 -27,17395 -23,34415 -9,7624
4,31 -14,5788 -24,4136 -17,12065 -4,9200 4,56 -7,2556 -27,2485 -23,61635 -9,99725
4,32 -14,3786 -24,5584 -17,3655 -5,09245 4,57 -6,8510 -27,31915 -23,8893 -10,2348
4,33 -14,1714 -24,7012 -17,61185 -5,26735 4,58 -6,4368 -27,38545 -24,16275 -10,4750
4,34 -13,9570 -24,8417 -17,85945 -5,4447 4,59 -6,0127 -27,4477 -24,4369 -10,7181
4,35 -13,7357 -24,98015 -18,10855 -5,6245 4,60 -5,5791 -27,50565 -24,71165 -10,9638
4,36 -13,5070 -25,11635 -18,35905 -5,8069 4,61 -5,1358 -27,55925 -24,98695 -11,2123
4,37 -13,2712 -25,2500 -18,6110 -5,99156 4,62 -4,8237 -27,6086 -25,26295 -11,46355
4,38 -13,0276 -25,38185 -18,86415 -6,1792 4,63 -4,2189 -27,6531 -25,5392 -11,7175
4,39 -12,7766 -25,51075 -19,1185 -6,3690 4,64 -3,7450 -27,6928 -25,81585 -11,97126
4,40 -12,5180 -25,63725 -19,37425 -6,5615 4,65 -3,2607 -27,7277 -26,09285 -12,2338
4,41 -12,2317 -25,7612 -19,6313 -6,75655 4,66 -2,7663 -27,7581 -26,3705 -12,49616
4,42 -11,9776 -25,88235 -19,88745 -6,9541 4,67 -2,2611 -27,7831 -26,6481 -12,7612
4,43 -11,6625 -26,00065 -20,14885 -7,1543 4,68 -1,7449 -27,80315 -26,9262 -13,0293
4,44 -11,4051 -26,1161 -20,4095 -7,3571 4,69 -1,2187 -27,81805 -27,2042 -13,2998
Продолжение
5 А© = А В© = в Сй) = с D(© = D г. А В С D
4,70 -0,6812 -27,8274 -27,4823 -13,90315 4,95 16,6157 -25,9967 -34,30025 -31,30535
4,71 -0,1327 -27,83165 -27,7608 -13,8495 4,96 17,4750 -25,8262 -34,55945 -21,64975
ЗИп 0 -27,8317 -27,8272 -13,01585 4,97 18,8478 -25,6472 -34,8168 -21,9966
4,72 0,4268 -27,83005 -28,0390 -14,1284 4,98 19,2348 -25,4594 -35,0726 -22,3462
4,73 0,9976 -27,8228 -28,31715 -14,41015 4,99 20,1356 -25,2623 -35,3259 -22,69805
4,74 1,5799 -27,81005 -28,5955 -14,6948
4,75 2,1731 -27,7913 -28,8734 -14,98205 5,00 21,0504 -25,05645 -35,57745 -23,0525
4,76 2,7782 -27,76675 -29,15135 -15,2723 5,01 21,9800 -24,84125 -35,82715 -23,4097
4,77 3,3951 -27,73565 -29,42875 -15,5652 5,02 22,8474 -24,6170 -36,07445 -23,7691
4,78 4,0236 -27,69875 -29,7061 -15,8609 5,03 23,8815 -24,38265 -36,31925 -24,1311
4,79 4,6638 -27,6553 -29,98275 -16,15925 5,04 24,8537 -24,13715 -36,5619 -24,4954
4,80- 5,8164 -27,60515 -30,2589 -16,4604 5,05 25,8407 -23,88595 -36,80225 -24,8623
4,81 5,9811 -27,54875 -30,5348 -16,7645 5,06 26,8427 -23,0225 -37,03975 -25,2315
4,82 6,6574 -27,4859 -30,81015 -17,0712 5,07 27,8598 -23,3489 -37,27475 -25,60325
4,83 7,3466 -27,41555 -31,08445 -17,3806 5,08 28,8914 -23,06505 -37,50675 -25,9771
4,84 8,0477 -27,3389 -31,35835 -17,6928 5,09 29,9377 -22,7711 -37,73595 -26,35325
4,85 8,7623 -27,25465 -31,68135 -18,0070 5,10 30,9997 -22,46605 -37,96185 -26,7317
4,86 9,4890 -27,1634 -31,9035 -18,32565 5,11 32,0766 -32,15085 -38,1852 -27,1126
4,87 10,2282 -27,06495 32,17465 -18,6460 5,12 33,1687 -21,82455 -38,40505 -27,4955
4,88 10,9806 -26,95885 -32,44476 -18,9691 5,13 34,2762 -21,4874 -38,6216 -27,8806
4,89 11,7458 -26,84515 -32,7137 -19,2948 5,14 35,8991 -21,1391 -38,8348 -28,2679
4,90 12,5289 -26,72885 -32,9814 -19,6232 5,15 36,5377 -20,7795 -39,0445 -28,6574
4,91 13,3158 -26,5946 -33,24815 -19,95445 5,16 37,6913 -20,40835 -39,25015 -29,0486
4,92 14,1202 -26,45775 -33,5135 -20,2882 5,17 38,8617 -20,0254 -39,45245 -29,4423
4,93 14,9388 -26,31225 -33,77735 -20,6248 5,18 40,0474 -19,63095 -39,6509 -29,8379
4,94 15,7704 -26,15875 34,03965 -20,9638 5,19 41,2485 -19,22475 -39,84525 -30,2354
Продолжение
А@ = А в@ = в с@=с D(© = D £ А В С D
5,20 42,4661 -18,8057 -40,0350 -30,6346 5,45 78,2687 -3,9328 -43,06415 -41,0993
5,21 43,6994 -18,37535 -40,32135 -31,0361 5,46 79,9216 -3,1418 -43,09965 -41,5303
5,22 44,9486 -17,93215 -40,4028 -31,4391 5,47 81,5916 -2,33395 -43,12675 -41,9613
5,23 46,2148 -17,4758 -40,5796 -31,8440 5,48 83,2786 -1,5095 -43,14585 -42,3926
5,24 47,4958 -17,0073 -40,75206 -32,2504 5,49 84,9829 -0,66825 -43,1568 -42,8241
5,25 48,7949 -16,5258 -40,91965 -33,6590 5,50 86,7044 0,19005 -43,15925 -43,2557
5,26 50,1091 -16,03165 -41,0826 -33,0690 5,51 88,4432 1,0656 -43,1531 -43,68785
5,27 51,4399 -15,52395 -41,24035 -33,4806 5,52 90,1996 1,95885 -43,1381 -44,1189
5,28 52,7876 -15,00295 -41,3932 33,8983 5,53 91,9722 2,86925 -43,11405 -44,5500
5,29 54,1511 -14,4684 -41,5405 -34,3084 5,54 93,7637 3,7984 -43,08065 -44,9812
5,30 55,5317 -13,9201 -41,68255 -34,72455 5,55 95,5716 4,7453 -43,03775 -45,4117
5,31 56,9296 -13,35735 -41,8187 -35,1421 5,56 97,3960 5,7095 -42,98575 -45,8418
5,32 58,3438 -12,7,808 -41,9493 -35,5609 5,57 99,2383 6,6927 -42,92375 -46,27135
5,33 59,7745 -12,1903 -42,07415 -35,9810 5,58 101,0984 7,6950 -42,85155 -46,70025
5,34 61,2218 -11,5856 -42,19315 -36,4023 5,59 102,9739 8,7148 -42,7695 -47,1281
5,35 62,6869 -10,96595 -42,30605 -36,8250 5,60 104,8687 9,75435 -42,67745 -47,5558
5,36 64,1678 -10,3321 -42,4127 -37,2485 5,61 106,7790 10,8125 -42,5744 -47,9818
5,37 65,6657 -9,68225 -42,5124 -37,6731 5,62 108,7074 11,89025 -42,4609 -48,4071
5,38 67,1818 -9,01835 -42,6060 -38,0986 5,63 110,6512 12,98645 -42,3366 -48,8309
5,39 68,7140 -8,3390 -42,6928 -38,5251 5,64 112,6133 14,10285 -42,2013 -49,2538
5,40 70,2637 -7,6440 -42,77265 -38,9324 5,65 114,5922 15,23895 -42,0547 -49,6752
5,41 71,8308 -6,9336 -42,84585 -39,38075 5,66 116,5866 16,39495 -41,8959 -50,0944
5,42 73,4144 -6,2076 -42,9117 -39,80955 5,67 118,5994 17,57055 -41,72675 -50,5130
5,43 75,0158 -5,46515 -42,96995 -40,2890 5,68 120,6277 18,7666 -41,54485 -50,92915
5,44 76,6338 -4,70715 -43,0210 -40,6691 5,69 122,6730 19,9835 -41,35065 -51,34335
Продолжение
t, А© = А в©=в с© = с D(© = D 4 А В С D
5,70 124,7352 21,2199 -41,14535 -51,75625 5,90 169,2837 50,5203 -34,1198 -59,38045
5,71 126,8144 22,47845 -40,9265 -52,1666 5,91 171,6653 52,2254$ -33,6055 -59,7187
5,72 128,9091 23,75705 -40,6952 -52,5746 5,92 174,0609 53,95415 -33,0746 -60,0521
5,73 131,0207 25,0568 -40,4535 -52,9806 5,93 176,0704 55,7067 -32,5268 -60,3806
5,74 133,1478 26,2810 -40,1365 -53,3350 5,94 178,8917 57,4833 -31,96085 -60,70295
5,75 135,2903 27,7192 -39,9283 -53,7642 5,95 181,3266 59,2852 -31,3764 -61,01945
5,76 137,4497 29,08315 -39,6396 -54,1319 5,96 183,7730 61,7303 -30,77505 -61,0201
5,77 139,6260 30,46925 -39,3416 -54,5770 5,97 186,2326 63,30865 -30,15455 -61,4608
5,78 141,8144 31,8755 -39,0304 -54,9689 5,98 188,7034 64,83465 -29,5155 -61,9332
5,79 144,0228 33,30525 -38,7041 -55,8574 5,99 191,1870 66,7344 -28,8575 -62,2251
580 146,2448 34,7564 -38,36395 -55,74285 6,00 193,6813 68,65775 -28,2116 -62,5106
5,81 148,4819 36,23005 -38,0089 -56,1246 6,01 196,1881 70,6079 -27,48455 -62,78885
5,82 150,7340 37,72555 -37,63945 -56,5029 6,02 198,7051 72,58215 -26,7689 -63,0603
5,83 153,0028 39,2339 -37,2545 -56,8776 6,03 201,2323 74,5817 -26,03295 -63,3241
5,84 155,2847 40,78585 -36,85455 -57,2481 6,04 203,7710 76,60665 -25,2774 -63,5810
5,85 157,5988 42,35035 -36,43845 -57,6143 6,05 206,3194 78,6547 -24,50085 -63,82985
5,86 159,8947 43,9378 -36,0077 -57,97715 6,06 208,8770 80,73305 -23,70405 -64,0708
5,87 162,2308 45,5484 -35,5601 -58,3349 6,07 211,4435 82,83495 -22,88345 -64,3032
5,88 164,5613 47,1825 -35,09635 -58,68815 6,08 214,0209 84,96215 -22,0469 -64,5282
5,89 166,9145 48,8394 -34,61605 -59,03625 6,09 216,6066 87,11495 -21,1870 -64,7447
Продолжение
£ А© = А В© = в С@ = с D(© = D 5 А В С D
6.10 219,2004 89,29465 -20,30425 -64,9318 6,20 245,5231 112,5240 -10,2356 -66,4981
6,11 221,8019 91,49915 -19,4005 -65,1503 6,21 248,1847 114,99335 -9,09795 -66,5947
6,12 224,4109 93,72995 -18,47425 -65,3394 6,22 250,8499 117,48875 -7,93515 -66,6796
6,13 227,0293 95,9871 -17,52625 -65,51995 6,23 253,5208 120,0113 -6,74805 -66,75375
6,14 229,6542 98,27085 -16,55505 -65,6906 6,24 256,1917 122,55985 -5,5350 -66,8150
6,15 232,2833 100,55375 -15,56015 -65,8372 6,25 258,8649 125,13455 -4,2969 -66,8642
6,16 234,9203 102,91675 -14,54245 -66,0010 6,26 261,5398 127,7369 -3,03205 -66,9005
6,17 237,5639 105,27925 -13,50155 -66,1418 6,27 264,2159 130,36565 -1,74135 -66,9242
6,18 240,2122 107,6680 -12,4370 -66,2711 6,28 266,8926 133,01945 -0,4257 -66,9354
6,19 242,8654 110,08315 -11,34845 -66,3901 2п 267,7468 133,87245 0 -66,9362
6,30 272,2487 138,4120 2,28855 -66,91715
6,40 298,8909 166,9722 17,5362 -65,9486
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
Климатическое районирование территории бывшего СССР
667
ПРИЛОЖЕНИЕ VII
Таблицы наследственной функции бетона второго рода R(t, т) в сут.-1.
Предельная характеристика ползучести 2(т) = Е(т)(р(т)|т=со = 2,54
т R(t,T) т R(t,T) Т R(t,T)
t = = 2 суток t = 4 суток
2 6,59306010 4 5,64943980 3,050 0,18363732
1,975 5,11022750 3,975 4,36630360 3,025 0,18054706
1,950 3,98590270 3,950 3,39055460 3 0,17751047
1,925 1,900 3,13267040 2,48442090 3,925 3,900 3,875 3,850 3,825 2,64831770 2,08347110 1,65338020 1,32565810 1,0757021 2,950 2,900 0,17146472 0,16567551
1,875 1,850 1,800 1,99164200 1,61510460 1,10726520 2,850 2,800 2,750 0,16010729 0,15473899 0,14955787
1,775 0,93756848 3,800 0,88482388 2,700 0,14455593
1,750 0,80624754 3,775 0,73882766 2,650 0,13972792
1,725 1,700 0,70398496 0,62374222 3,750 3,725 0,62693074 0,54094299 2,600 2,550 0,13507013 0,13057972
1,675 1,650 1,625 0,56020312 0,50935277 0,46815947 3,700 3,675 3,650 0,47464369 0,42330804 0,38334754 2,500 2,450 2,400 0,12625432 0,42209186 0,11809037
1,600 0,43433414 3,625 0,35203681 2,350 0,11424796
1,575 0,40614846 3,600 0,32730596 2,300 0,11056276
1,550 1,525 0,38229763 0,36179648 3,575 3,550 0,30758307 0,29167432 2,250 2,200 0,10703286 0,10365636
•1,500 1,450 1,425 1,400 0,34390110 0,31381754 0,30088391 0,28900587 3,525 3,500 3,475 3,450 0,27867313 0,26789102 0,25880518 0,25101857 2,150 2,100 2,050 2 0,10043131 0,097355740 0,094427625 0,091644897
1,375 0,27799946 3,425 0,24422969 1,900 0,086127191
1,350 0,26772504 3,400 0,23820960 1,800 0,081493893
1,325 0,25807642 3,375 0,23278440 1,700 0,077493252
1,300 0,24897254 3,350 0,22782206 1,600 0,074032592
1,275 1,250 1,225 1,200 0,24035131 0,23216482 0,21437596 0,21695559 3,325 3,300 3,275 3,250 0,22322229 0,21890892 0,21482407 0,21092379 1,500 1,400 1,300 1,200 0,071069455 0,068576758 0,066531624 0,064911811
1,175 0,20988064 3,225 0,20717465 1,100 0,063694557
1,150 1,100 0,20313258 0,19055904 3,200 3,175 0,20355126 0,20003429 1 0,5 0,062856123 0,054642791
1,075 1,050 1,025 0,18471021 0,17914047 0,17384154 3,150 3,125 3,100 0,19660903 0,19326429 0,18999152
1 0,950 0,16880591 0,15940217 3,075 0,18678419
668
продолжение
т R(t,T)
t = 6 суток
. 6 5,34935117
5,975 4,12027240
5,950 3,18471960
5,925 2,47245070
5,900 1,93007560
5,875 1,51696830
5,850 1,20221660
5,825 0,96229951
5,800 0,77832053
5,775 0,63966297
5,750 0,53296665
5,725 0,45134923
5,700 0,38881374
5,675 0,34079768
5,650 0,30283000
5,625 0,27527003
5,600 0,25210886
5,575 0,23581825
5,550 0,22223562
5,525 0,21147660
5,500 0,20286845
5,475 0,19589942
5,450 0,19018024
5,425 0,18541483
5,400 0,18137794
5,375 0,17789828
5,350 0,17484554
5,325 0,17212060
5,300 0,16964808
5,275 0,16737064
5,250 0,16524467
5,225 0,16323700
5,200 0,16122239
5,175 0,15948164
5,150 0,15770017
5,125 0,15596686
5,100 0,15427326
5,075 0,15261294
5,050 0,15098101
5,025 0,14837374
5 0,14778830
Т R(t,T)
4,950 0,14455268
4,900 0,14144194
4,850 0,13842463
4,800 0,13548267
4,750 0,13260536
4,700 0,12978657
4,650 0,12702269
4,600 0,12431156
4,550 0,12165186
4,500 0,11904277
4,450 0,11646107
4,400 0,11240014
4,350 0,11182247
4,300 0,10829196
4,250 0,10686080
4,200 0,10450745
4,150 0,10221941
4,100 0,099989415
4,050 0,097882178
4 0,095460657
3,900 0,091414363
3,800 0,087244561
3,700 0,083484789
3,600 0,079980604
3,500 0,076680530
3,400 0,073566554
3,300 0,070630886
3,200 0,067872450
3,100 0,065285977
3 0,062870238
2,900 0,060624273
2,800 0,058544526
2,700 0,056629385
2,600 0,054876470
2,500 0,053283362
2,400 0,051847513
2,300 0,050566216
2,200 0,049436705
2,100 0,048456031
2 0,047521111
1,900 0,046828714
Т R(t,x)
1,800 0,046375456
1,700 0,045957749
1,600 0,045671899
1,500 0,045513952
1,400 0,045479816
1,200 0,045287733
1 0,045095650
0,5 0,044999609
t = 10 суток
10 5,0156228
9,975 3,8600671
9,950 2,9772604
9,925 2,3028063
9,900 1,7875079
9,875 1,3937816
9,850 1,0929166
9,825 0,86298076
9,800 0,68722038
9,775 0,55283815
9,750 ' 0,45005897
9,725 0,37141648
9,700 0,31120792
9,675 0,26507767
9,650 0,22969914
9,625 0,20253167
9,600 0,18163498
9,575 0,16552728
9,550 0,15307697
9,525 0,14341993
9,500 0,13589626
9,475 0,13000211
9,450 0,12535268
9,425 0,12165422
9,400 0,11868240
9,375 0,11626594
9,350 0,11427407
9,325 0,11260698
9,300 0,11118842
9,275 0,10996021
9,250 0,10887792
9,225 0,10790764
продолжение
OS СП Г- 00
671
продолжение
т R(t,x) т R(t,x) т R(t,x)
23 0,0084508837 119,325 0,029089697 115,750 0,017336602
22,5 0,0081761512 119,300 0,027866365 115,500 0,017049029
22 0,0079220059 119,275 0,026895423 115,250 0,016766215
21 0,0074750496 119,250 0,026123037 115 0,016488081
20,5 0,0072821690 119,225 0,025506856 114,750 0,016214550
20 0,0071097419 119,200 0,025013566 114,500 0,015945548
19,5 0,0069578917 119,175 0,024616962 114,250 0,015681000
19 0,0068268116 119,150 0,024296429 114 0,015420832
18,5 0,0067167699 119,125 0,024035752 113,750 0,015164973
18 0,0066281147 119,100 0,023822172 113,500 0,014913354
17 0,0065167917 119,075 0,023645657 113,250 0,014665902
16,5 0,0064952771 119,050 0,023498313 113 0,014422551
<16 0,0064737625 119,025 0,023373929 112,750 0,014183232
119 0,023267621 112,500 0,013947879
Г = 1ZU суток 118,950 0,023076782 112,250 0,013716429
120 3,63644440 118,900 0,022928734 112 0,013488817
119,975 2,86583211 118,850 0,022807257 111,750 0,013264979
119,950 2,25961890 118,800 0,022702320 111,500 0,013044853
119,925 1,78273100 118,750 0,022607714 111,250 0,012828379
119,900 1,40757731 118,700 0,022519602 111 0,012615497
119,875 1,11245330 118,650 0,022435609 110,750 0,012406148
119,850 0,88028497 118,600 0,022354264 110,500 0,012200273
119,825 0,69764470 118,550 0,022274657 110,250 0,011997816
119,800 0,55395514 118,500 0,022196229 100 0,011798721
119,775 0,42091606 118,450 0,022118629 109,750 0,011602932
119,750 0,35198525 118,400 0,022042641 109,500 0,011410395
119,725 0,28201916 118,350 0,021965131 109,250 0,011221057
119,700 0,22697172 118,300 0,021889017 109 0,011034864
119,675 0,18366002 118,250 0,021813247 108,750 0,010851766
119,650 0,14958025 118,200 0,021737788 108,500 0,010671712
119,625 0,13276274 118,150 0,021662621 108,250 0,010494652
119,600 0,10165811 1,18,100 0,021587731 108 0,010320536
119,575 0,085047482 118,050 0,021513111 107,750 0,0101493166
119,550 0,071972071 118 0,021438756 107,500 0,0098094512
119,525 0,061677631 117,750 0,019920857 107,250 0,0098153755
119,500 0,055570841 117,500 0,019498853 107 0,0096525617
119,475 0,047184968 117,250 0,019116728 106,750 0,0094924584
119,450 0,042152857 117 0,018848738 106,500 0,0093350210
119,425 0,038185686 116,750 0,018536095 106,250 0,0091802058
119,400 0,035050257 116,500 0,018228675 106 0,0090279696
119,375 0,032585845 116,250 0,017926344 105,750 0,0088782702
119,350 0,030633857 116 0,017629014 105,500 0,0087310659
672
продолжение
т R(u) Т R(t,T)
105,250 0,0085863154 85 0,0017133565
105 0,0084439788 84 0,0016318851
104,750 0,0083401621 83 0,0015548663
104,500 0,0081663887 82 0,0014820826
104,250 0,0080310579 81 0,0014133282
104 0,0078979860 80 0,0013484081
103,750 0,0077671360 79 0,0012871379
103,500 0,0076384713 78 0,0012293434
103,250 0,0075119560 77 0,0011748598
103 0,0073875548 76 0,0011435314
102,750 0,0072652331 75 0,0010752113
102,500 0,0071449565 74 0,0010297608
102,250 0,0070266915 73 0,00098704937
102 0,0069104051 72 0,00094695388
101,750 0,0067960646 71 0,00090935869
101,500 0,0066836382 70 0,00087415515
101,250 0,0065730945 69 0,00084124134
101 0,0064644025 68 0,00081052189
100,750 0,0063575316 67 0,00078190774
100,500 0,0062524521 66 0,00075631591
100,250 0,0061491344 65 0,00073066934
100 0,0060475497 64 0,00070789674
99 0,0034749900 63 0,00068693246
98 0,0033017826 62 0,00066771637
97 0,0031361387 61 0,00065019382
96 0,0029791474 60 0,00063441205
95 0,0028303721 59 0,00062003464
94 0,0026833999 58 0,00060731891
93 0,0025558389 57 0,00059613154
92 0,0024293176 56 0,00058644521
91 0,0023094835 55 0,00057823793
90 0,0021960023 54 0,00057149345
89 0,0020885572 53 0,00056620152
88 0,0019868476 52 0,00056235817
87 0,0018905886 51 0,00055996601
86 0,0017995101 <50 0,00055903471
673
ПРИЛОЖЕНИЕ VIII
Таблица напряжений релаксации p(t,x) в (МПа) -10"4 при единичной
одноосной деформации для невысыхающего бетона. Предельная
характеристика ползучести 5(т) = Е(т)(р(т)|т=ео = 1,07
t p(t,T) t P(t.T) t P(t,T)
т = 4 суток
4 2,1647 22 0,9763 41 0,8894
4,5 1,8030 23 0,9704 42 0,8882
5 1,6038 24 0,9645 43 0,8870
6 1,4175 25 0,9585 44 0,8858
7 1,3334 26 0,9526 45 0,8846
8 1,2784 27 0,9467 46 0,8833
9 1,2364 28 0,9408 47 0,8821
10 1,1999 29 0,9349 48 0,8809
И 1,1666 30 0,9290 49 0,8797
12 1,1383 31 0,9231 50 0,8785
13 1,1138 32 0,9172 51 0,8773
14 1,0893 33 0,9113 52 0,8760
15 1,0681 34 0,9054 53 0,8748
16 1,0530 35 0,8995 54 0,8736
17 1,0379 36 0,8955 55 0,8724
18 1,0228 37 0,8943 56 0,8712
19 1,0077 38 0,8931 57 0,8700
20 0,9925 39 0,8919 58 0,8687
21 0,9822 40 0,8906 59 0,8675
60 0,8663
т = 5 суток
5 2,2900 20 1,0719 35 0,9739
6 1,6944 21 1,0614 36 0,9707
7 1,4991 22 1,0509 37 0,9674
8 1,4116 23 1,0404 38 0,9641
9 1,3556 24 1,0299 39 0,9609
10 1,3108 25 1,0195 40 0,9576
11 1,2719 26 1,0090 41 0,9543
12 1,2385 27 1,0001 42 0,9511
13 1,2087 28 0,9968 , 43 0,9478
14 1,1824 29 0,9935 44 0,9445
15 1,1562 30 0,9903 45 0,9413
16 1,1376 31 0,9870 46 0,9380
17 1,1190 32 0,9837 47 0,9347
18 1,1004 33 0,9805 48 0,9315
19 1,0823 34. 0,9772 49 0,9282
674
продолжение
t p(u) t p(t,r) t p(u)
50 51 52 53 0,9249 0,9219 0,9201 0,9190 54 55 56 57 0,9181 0,9175 0,9169 0,9165 58 59 60 0,9163 0,9160 0,9158
т = 11,5 суток
11,5 2,8066 28 1,3797 45 1,2539
12 2,3496 29 1,3690 46 1,2499
13 1,9666 30 1,3583 47 1,2459
14 1,8277 31 1,3476 48 1,2419
15 1,7541 32 1,3369 49 1,2379
16 1,7001 33 1,3262 50 1,2338
17 1,6558 34 1,3156 51 1,2298
18 1,6172 35 1,3049 52 1,2258
19 1,5818 36 1,2942 53 1,2218
20 1,5504 37 1,2860 54 1,2178
21 1,5215 38 1,2820 55 1,2138
22 1,4965 39 1,2780 56 1,2098
23 1,4715 40 1,2740 57 1,2057
24 1,4508 41 1,2700 58 1,2017
25 1,4327 42 1,2660 59 1,1977
26 1,4146 43 1,2620 60 1,1937
27 1,3966 44 1,2579
T = 18,5 суток
18,5 3,0405 33 1,6459 48 1,4838
19 2,5744 34 1,6314 49 1,4778
20 2,1879 35 1,6178 50 1,4718
21 ' 2,0522 36 1,6042 51 1,4657
22 1,9835 37 1,5905 52 1,4597
23 1,9337 38 1,5769 53 1,4537
24 1,8914 39 1,5633 54 1,4477
25 1,8542 40 1,5497 55 1,4416
26 1,8203 41 1,5361 56 1,4356
27 1,7902 42 1,5225 57 1,4296
28 1,7602 43 1,5140 58 1,4236
29 1,7347 44 1,5079 59 1,4175
30 1,7125 45 1,5019 60 1,4115
31 1,6903 46 1,4959
32 1,6681 47 1,4899
675
продолжение
t P(U) t p(t,r) t P(Ut)
т = 25,5 суток
25,5 3,1354 37 1,8556 49 1,6710
26 2,6746 38 1,8352 50 1,6605
27 2,2962 39 1,8152 51 1,6500
28 2,1682 40 1,7952 52 1,6395
29 2,1050 41 1,7777 53 1,6289
30 2,0606 42 1,7622 54 1,6184
31 2,0234 43 1,7467 55 1,6095
32 1,9900 44 1,7312 56 1,6041
33 1,9588 45 1,7158 57 1,5987
34 1,9307 46 1,7026 58 1,5933
35 1,9039 47 1,6921 59 1,5880
36 1,8798 48 1,6815 60 1,5826
т = 32,5 суток
32,5 3,1738 42 1,9847 52 1,7996
33 2,7195 43 1,9615 53 1,7879
34 2,3492 44 1,9382 54 1,7762
35 2,2275 45 1,9163 55 1,7644
36 2,1684 46 1,8986 56 1,7527
37 2,1282 47 1,8809 57 1,7410
38 2,0954 48 1,8631 58 1,7293
39 2,0645 49 1,8454 59 1,7175
40 2,0364 50 1,8277 60 1,7058
41 2,0083 51 1,8114
т — 40 суток
40 3,1900 47 2,0963 54 1,9433
41 2,5050 48 2,0696 55 1,9248
42 2,3047 49 2,0465 56 1,9062
43 2,2290 50 2,0234 57 1,8897
44 2,1857 51 2,0004 58 1,8771
45 2,1530 52 1,9803 59 1,8646
46 2,1233 53 1,9618 60 1,8521
676
ПРИЛОЖЕНИЕ IX
Таблица напряжений релаксации р(1,т) в (МПа) -10-4 при единичной
одноосной деформации для высыхающего бетона. Предельная
характеристика ползучести Н(т) = Е(т)ф(т)|т=оо = 2,54
t p(t,t) t P(t,T) t P(t,T)
т = 2 суток
2 0,8779 2,600 0,2849 4,00 0,1974
2,025 0,7580 2,625 0,2815 4,50 0,1790
2,050 0,6652 2,650 0,2783 5,00 0,1746
2,075 0,5932 2,675 0,2752 5,5 0,1717
2,100 0,5370 2,700 0,2723 6,00 0,1697
2,125 0,4928 2,725 0,2694 6,50 0,1682
2,150 0,4578 2,750 0,2667 7 0,1672
2,175 0,4299 2,775 0,2641 7,50 0,1664
2,200 0,4074 2,800 0,2615 8 0,1658
2,225 0,3891 2,825 0,2591 8,50 0,1654
2,250 0,3740 2,850 0,2567 9 0,1651
2,275 0,3614 2,875 0,2544 9,50 0,1648
2,300 0,3508 2,900 0,2522 10 0,1646
2,325 0,3416 2,950 0,2479 11 0,1643
2,350 0,3336 3 0,2440 12 0,1641
2,375 0,3266 3,100 0,2353 13 0,1640
2,400 0,3203 3,2 0,2285 14 0,1639
2,425 0,3146 3,3 0,2229 15 0,1638
2,450 0,3095 3,4 0,2179 16 0,1638
2,475 0,3047 3,5 0,2135 17 0,1638
2,500 0,3002 3,6 0,2096 18 0,1637
2,525 0,2961 3,7 0,2061 19 0,1637
2,550 0,2921 3,8 0,2029 20 0,1637
2,575 0,2884 3,9 0,2000 21 0,1637
т = 5 суток
5 1,6718 5,250 0,8532 5,500 0,6577
5,025 1,4744 5,275 . 0,8339 5,525 0,6533
5,050 1,3221 5,300 0,8177 5,550 0,6491
5,075 ' 1,2043 5,325 0,8038 • 5,575 0,6449
5,100 1,1128 5,350 0,7918 5,600 0,6409
5,125 1,0413 5,375 0,7812 5,625 0,5674
5,150 0,9852 5,400 0,7718 5,650 0,5385
5,175 0,9407 5,425 0,7632 5,675 0,5153
5,200 0,9052 5,450 0,7553 5,700 0,4954
5,225 0,8766 5,475 0,7480 5,725 0,4781
677
продолжение
t p(t,r) t p(t,r) t p(t>r)
5,750 0,3911 8,250 0,7411 13,000 0,3488
5,775 0,3858 8,500 0,7346 13,250 0,3473
5,800 0,3812 8,750 0,7284 13,500 0,3459
5,825 0,3769 9,000 0,7224 13,750 0,3446
5,850 0,3730 9,250 0,7166 14,000 0,3435
5,875 0,3695 9,500 0,7110 14,250 0,3424
5,900 0,3663 9,750 0,7056 14,500 0,3413
5,925 0,3634 16,000 0,7004 14,750 0,3404
5,950 0,3608 10,250 0,6952 15,000 0,3395
5,975 0,3583 10,500 0,6902 15,250 0,3387
6,000 0,3561 10,750 0,6852 15,500 0,3379
6,250 6,500 6,750 0,4629 0,4497 0,4381 11,000 11,250 11,500 0,6804 0,6757 0,6711 15,750 16,000 16,250 0,3372 0,3365 0,3358
7,000 0,4278 11,750 0,6665 16,500 0,3352
7,250 0,4187 12,000 0,6620 16,750 0,3347
7,500 7,750 8,000 0,4106 0,4034 0,3969 12,250 12,500 12,750 0,3540 0,3521 0,3504 17,000 17,250 17,500 0,3341 0,3336 0,3332
т = 10 суток
10 2,2686 10,525 1,1266 11,20 0,9956
10,025 2,0196 10,550 1,1208 11,30 0,9801
10,050 1,8279 10,575 1,1153 11,40 0,9656
10,075 1,6801 10,600 1,1100 11,50 0,9519
10,100 1,5699 10,625 1,1048 12 0,8906
10,125 1,4772 10,650 1,0998 12,50 0,7936
10,150 1,4081 10,675 1,0949 13 0,7556
10,175 1,3541 10,700 1,0900 13,50 0,7232
10,200 1,3115 10,725 1,0853 14 0,6954
10,225 1,2776 10,750 1,0807 14,50 0,6713
10,250 1,2505 10,775 1,0761 14,75 0,6605
10,275 1,2285 10,800 1,0715 15,50 0,6321
10,300 1,2104 10,825 1,0671 16 0,6161
10,325 1,1954 10,850 1,0627 16,50 0,6020
10,350 1,1827 10,875 1,0583 17 0,5896
10,375 1,1718 10,900 1,0540 17,50 0,5785
10,400 1,1623 10,925 1,0497 17,75 0,5735
10,425 1,1538 10,950 1,0455 18 0,5687
10,450 1,1462 10,975 1,0413 18,50 0,5600
10,475 1,1392 11 1,0371 19 0,5522
10,500 1,1327 11,10 1,0135 19,50 0,5451
678
продолжение
t p(t,r) t p(t,r) t P(t,r)
20 0,5388 27 0,4926 34 0,4779
21 0,5280 28 . 0,4894 35 0,4767
22 0,5191 29 0,4868 36 0,4757
23 0,5118 30 0,4845 37 0,4748
24 0,5057 31 0,4825 38 0,4740
25 0,5006 32 0,4807 39 0,4733
26 0,4962 33 0,4792 40 0,4727
т = 20 суток
20 2,5578 20,650 1,3784 23 1,1213
20,025 2,3055 20,675 1,3749 23,50 1,0239
20,050 2,1099 20,700 1,3713 24 0,9929
20,075 1,9581 20,725 1,3679 24,50 0,9649
20,100 1,8402 20,750 1,3646 25 0,9391
20,125 1,7483 20,775 1,3613 25,50 0,9154
20,150 1,7766 20,800 1,3580 26 0,8936
20,175 1,6204 20,825 1,3548 26,50 0,8736
20,200 1,5763 20,850 1,3516 27 0,8550 0,8298 0,8221 0,8074 0,7938 0,7812 0,7694
20,225 1,5414 20,875 1,3484 27,50 28
20,250 1,5136 20,900 1,3452
20,275 1,4914 20,925 1,3421 28,50 29
20,300 1,4735 20,950 1,3390
20,325 20,350 1,4588 1,4468 20,975 21 1,3359 1,3329 29,50 30
20,375 1,4366 21,1 1,3114 31 0,7483
20,400 1,4281 21,2 1,2964 32 0,7300
20,425 1,4207 213 1,2839 33 0,7140
20,450 1,4142 21,4 1,2724 34 0,7000
20,475 1,4084 21,5 1,2613 35 0,6878
20,500 1,4034 21,6 1,2506 36 0,6770
20,525 1,3985 31,7 1,2402 37 0,6674
20,550 1,3940 21,8 1,2299 38 0,6590
20,575 1,3898 21,9 1,2199 39 0,6515
20,600 1,3859 22 1,2100 40 0,6448
20,625 1,3821 22,5 1,1635 41 0,6381
679
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамян Б.Л. О температурных напряжениях в прямоугольном бе-
тонном блоке. Известия АН АрмССР. Серия физико-математи-
ческих и естественных наук, т. VII, № 3, 1954.
2. Адамович А.Н., Ламкин М.С. Обследование трещинообразования
в бетоне плотины Братской ГЭС путем бурения специальных сква-
жин. //Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып.
IV. Совещание по вопросам термонапряженного состояния бетон-
ных гидротехнических сооружений. Госэнергоиздат, 1962.
3. Александровский С.В. Теория температурных полей массивных бе-
тонных тел с учетом экзотермии. //Труды НИИ по строительству,
вып. 1. Минмашстройиздат, 1949.
4. Александровский С.В. Теория теплопроводности бетона. Исследо-
вания. Массивные и стержневые конструкции. //Труды НИИ по
строительству. Стройиздат, 1952.
5. Александровский С.В. Температурные напряжения в массивных
бетонных блоках от экзотермии цемента. //Исследования. Массив-
ные и стержневые конструкции. Труды НИИ по строительству.
Стройиздат, 1952.
6. Александровский С.В. О гистерезисе деформаций усадки и набуха-
ния бетона при его попеременных высушиваниях и увлажнениях.
«Бетон и железобетон», № 9, 1958.
7. Александровский С.В. О влиянии длительного действия внешней
нагрузки на режим высыхания и усадку бетона. //Исследование
свойств бетона и железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ,
вып. 4. Госстройиздат, 1959.
8. Александровский С.В. Некоторые особенности усадки бетона. «Бе-
тон и железобетон», № 4, 1959.
9. Александровский С.В. О набухании бетона при его увлажнении.
«Бетон и железобетон», № 10, 1959.
10. Александровский С.В. О тепло-влагофизических свойствах бето-
на, связанных с тепло- и влагообменом. //Исследование свойств
бетона и железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ, вып. 4.
Госсстройиздат, 1959.
11. Александровский С.В. О влиянии длительного действия внешнего
растяжения на режим высыхания и усадку бетона. //Труды
НИИЖБ, вып. 17. Госстройиздат, 1960.
12. Александровский С.В. О необратимости усадки и набухания бето-
на. Исследования по теории железобетона. //Труды НИИЖБ, вып.
17. Госстройиздат, 1960.
680
13. Александровский С.В. О влиянии масштабного фактора на влаж-
ностные деформации бетона. //Расчет железобетонных конструк-
ций. Экспериментально-теоретические исследования по усовершен-
ствованию расчета. Труды НИИЖБ, вып. 17. Госстройиздат, 1961.
14. .Александровский С. В. О методике исследования ползучести и влаж-
ностных деформаций бетона. //Методика лабораторных исследова-
ний деформаций и прочности бетона, арматуры и железобетонных
конструкций. Госстройиздат, 1962.
15. Александровский С. В. О разновидностях современной теории пол-
зучести бетона и наследственных функциях, фигурирующих в их
уравнениях. //Ползучесть строительных материалов и конструкций.
Стройиздат, 1964.
16. Александровский С. В. О наследственных функциях теории ползу-
чести стареющего бетона. //Ползучесть строительных материалов и
конструкций. Стройиздат, 1964.
17. Александровский С. В. Экспериментально-теоретические исследо-
вания усадочных напряжений в бетоне. //Состав, структура, проч-
ность и деформации бетонов. Стройиздат, 1965.
18. Александровский С.В. Расчет бетонных и железобетонных конст-
рукций на изменения температуры и влажности с учетом ползучес-
ти. Изд. 2-е, переработанное и дополненное. Стройиздат, М.,
1973.
19. Александровский С. В. Об одной интересной форме уравнений те-
ории упруго-ползучего тела. //Проблемы ползучести и усадки бе-
тона. Второе Всесоюзное Совещание, Ереван, 1974г. Материалы
совещания, подготовленные к печати НИИЖБ Госстроя СССР.
Стройиздат, М., 1974.
20. Александровский С.В. Теплопроводность неоднородной ограни-
ченной пластины при переменной температуре внешней среды. //
Инженерно-физический журнал, № 2 (август), T.XIV, Минск,
1983.
21. Александровский С.В. Метод прогнозирования долговечности на-
ружных ограждающих конструкций. //Исследования по строитель-
ной теплофизике. Сб. трудов НИИСФ, М., 1984.
22. Александровский С.В. Обобщение метода фиктивного источника
на случай переменных теплофизических характеристик материала
среды. //Сб. докладов конференции: «Проблемы строительной теп-
лофизики и энергосбережения в зданиях», РААСН, НИИСФ, М.,
1997.
681
23. Александровский С.В. Задача теории термоползучести наследствен-
ных стареющих сред без ограничений для коэффициентов попереч-
ной деформации. //Известия вузов, Строительство, № 7, 1997.
24. Александровский С.В. Задача теории термоползучести наследствен-
ных сред при учете влияния температуры на их физические свой-
ства. //«Ползучесть в конструкциях», Сборник научных трудов.
Одесская государственная академия строительства и архитектуры,
Одесса, 1998.
25. Александровский С.В. О теореме Дюамеля в теории теплопровод-
ности. //Сб. докладов четвертой конференции «Проблемы строи-
тельной теплофизики систем обеспечения микроклимата и энерго-
сбережения в зданиях», РААСН, НИИСФ, М., 1999.
26. Александровский С.В. Об аналогии «эквивалентной» однослойной
стенки в теории теплопроводности многослойных наружных ограж-
дений. //Сб. докладов четвертой конференции «Проблемы строи-
тельной теплофизики систем обеспечения микроклимата и энерго-
сбережения в зданиях», РААСН, НИИСФ, М., 1999.
27. Александровский С.В. Применение функций Н.П. Пузыревского
в теории теплопроводности. //Сб. докладов четвертой конферен-
ции «Проблемы строительной теплофизики систем обеспечения
микроклимата и энергосбережения в зданиях», РААСН, НИИСФ,
М., 1999.
28. Александровский С.В. Нелинейная задача теории теплопроводно-
сти при учете влияния температуры на теплофизические характери-
стики материала среды. //Сб. докладов пятой конференции «Про-
блемы строительной теплофизики систем обеспечения микрокли-
мата и энергосбережения в зданиях». Академические чтения,
РААСН, НИИСФ, М., 2000.
29. Апександровский С.В. Прикладные методы теории теплопровод-
ности и влагопроводности бетона. Изд. «Компания Спутник +»,
М., 2001.
30. Александровский С.В. Долговечность наружных ограждающих кон-
струкций. НИИСФ, РААСН, М., 2004.
31. Александровский С.В., Багрий В.Я. Ползучесть бетона при сту-
пенчатых знакопеременных периодических нагрузках. «Бетон и же-
лезобетон», № 12, 1967.
32. Александровский С.В., Багрий В.Я. Ползучесть бетона при перио-
дических воздействиях. Стройиздат, 1970.
682
33. Александровский С.В., Багрий В.Я. Связь между напряжениями и
деформациями бетона при длительных переменных во времени на-
грузках. //Прочность и жесткость железобетонных конструкций.
Стройиздат, 1968.
34. Александровский С.В., Бондаренко В.М., Прокопович И.Е. При-
ложение теории ползучести к практическим расчетам железобетон-
ных конструкций. //Ползучесть и усадка бетона и железобетонных
конструкций. Состояние проблемы и перспективы развития, под
ред. С.В. Александровского. Стройиздат, М., 1976.
35. Александровский С.В., Васильев П.И. Экспериментальные иссле-
дования ползучести бетона. //Ползучесть и усадка бетона и железо-
бетонных конструкций. Состояние проблемы и перспективы раз-
вития, под ред. С.В. Александровского, Стройиздат, М., 1976.
36. Александровский С.В., Васьковский А.П., Шинин С.А. Вероят-
ностно-статистический метод определения характеристик климати-
ческой активности. //Железнодорожный транспорт, Серия Стро-
ительство. Экспресс-информация, вып. 2-3. ЦНИИТЭИ, М.,
1993.
37. Александровский С.В., Коган Е.А. Экспериментально-теоретичес-
кое исследование термонапряженного состояния бетонных брусьев,
защемленных по торцам с учетом ползучести. //Проблемы ползу-
чести и усадки бетона. Второе Всесоюзное совещание. Ереван,
1974 г., Материалы совещания, подготовленные к печати НИИЖБ
Госстроя СССР. Стройиздат, М., 1974 г.
38. Александровский С.В., Колесников Н.А. Ползучесть бетона старо-
го возраста при ступенчато изменяющихся напряжениях сжатия,
достигающих высокого уровня. Известия АН АрмССР. Механика.
Т. XXIV, № 1, 1971.
39. Александровский С.В., Колесников Н.А. Нелинейная ползучесть
бетона при ступенчато изменяющихся напряжениях. «Бетон и же-
лезобетон», № 6, 1971.
40. Александровский С.В., Попкова О.М. Экспериментально-теоре-
тические исследования температурных напряжений в бетоне. //Тре-
щиностойкость и деформативность обычных и предварительно на-
пряженных железобетонных конструкций. Стройиздат, 1965.
41. Александровский С.В., Попкова О.М. Исследование нелинейных
деформаций ползучести бетона молодого возраста при ступенчато
изменяющихся напряжениях сжатия. //Ползучесть и усадка бето-
на. Материалы совещания, подготовленные НИИЖБ Госстроя
СССР. ЦИНИС, М., 1969.
683
42. Александровский С.В., Попкова О.М. Нелинейные деформации
бетона при сложных режимах загружения, «Бетон и железобетон»,
№ 1, 1971.
43. Александровский С.В., Соломонов В.В. Зависимость деформаций
ползучести стареющего бетона от начального уровня напряжений.
//Реферативный сборник. Межотраслевые вопросы строительства.
Отечественный опыт, вып. 6, 1972.
44. Александровский С.В., Соломонов В.В. Ползучесть бетона при
переменных во времени напряжениях сжатия, достигающих высо-
кого уровня. //Проблемы ползучести и усадки бетона. Второе Все-
союзное совещание, Ереван, 1974 г. Материалы совещания, под-
готовленные НИИЖБ Госстроя СССР, Стройиздат, 1974.
45. Александровский С.В., Соломонов В.В. Исследование влияния
относительного уровня предшествующих напряжений на нелиней-
ную составляющую деформаций ползучести бетона. //Проблемы
ползучести и усадки бетона. Второе Всесоюзное совещание, Ере-
ван, 1974 г. Материалы совещания, подготовленные НИИЖБ Гос-
строя СССР. Стройиздат, 1974.
46. Александровский С.В., Сюч Ференц. Задача теории ползучести о
релаксации напряжений в бетонных брусьях при неоднородной вы-
нужденной деформации и учете влияния температуры на свойства
бетона. //Проблемы ползучести и усадки бетона. Второе Всесоюз-
ное совещание, Ереван, 1974 г. Материалы совещания, подготов-
ленные НИИЖБ Госстроя СССР, Стройиздат, 1974.
47. Александровский С.В., Таль К.Э. Основные физико-механичес-
кие свойства бетона. //Справочник по сборному железобетону.
Госттройиздат, 1959.
48. Александровский С.В., Уренев П.Ф. Экспериментально-теорети-
ческое исследование напряженно-деформированного состояния цен-
трально-обжатых элементов из высокопрочного бетона. Изв. АН
АрмССР, XXX, № 4, 1977.
49. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. Гостехте-
оретиздат, М., 1952.
50. Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бе-
тона. //Механика твердого тела, № 6, 1967.
51. Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бе-
тона. //Механика в СССР за 50 лет, т. 3. Механика деформируе-
мого твердого тела, «Наука», 1972.
684
52. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. О температурных напряжениях в
прямоугольных бетонных блоках, Известия АН АрмССР, серия
физ.-мат., ест. и техн, наук, т. VIII, вып. 4, 1955.
53. Арутюнян Н.Х., Александровский С.В. Современное состояние
‘ развития теории ползучести бетона. //Ползучесть и усадка бетона и
железобетонных конструкций. Состояние проблемы и перспекти-
вы развития. Под ред. С.В. Александровского. Стройиздат, М.,
1976.
54. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А.. Расчет строительных конструкций с
учетом ползучести, Стройиздат. М., 1988.
55. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неодно-
родных тел. «Наука», М., 1983.
56. Бабич Е.М., Макаренко Л.П. Экспериментальное исследование
изменения модуля упругости бетонных образцов при различной ин-
тенсивности сжимающих нагрузок. Известия ВУЗов. Строитель-
ство и архитектура, № 3, 1967.
57. Басевич А.З. Массивные гидротехнические сооружения с искусст-
венным обжатием бетона. Госстройиздат, 1957.
58. Батраков В.Г. Модифицированные бетоны. Теория и практика.
Изд. 2-е переработанное и дополненное. АО «Астра семь», М.,
1998.
59. Белов А.В. К вопросу об исследовании напряженного состояния в
бетоне при его усадке. Известия ПИИТ, т. 29, 1941.
60. Белов А.В. Опыт математической теории усадки бетона, Известия
ПИИТ, т. 35, 1948.
61. Белов А.В.. Экспериментальное определение коэффициента диф-
фузии влаги в цементном растворе при его высыхании. Известия
ВНИИГ, т. 43, 1950.
62. Белов А.В. Температурные напряжения в бетонной плите при гар-
монических колебаниях температуры. Известия ВНИИГ, т. 45,
1951.
63. Белов А.В. Температурные напряжения в бетонной призме прямо-
угольного поперечного сечения. Известия ВНИИГ, т. 51, 1954.
64. Белов А.В. К определению предельной толщины бетонной плиты
из условия прочного сопротивления ее температурным растягиваю-
щим напряжениям. Известия ВНИИГ, т. 53, 1955.
65. Белов А.В. К определению температурных напряжений в столбча-
тых массивах высоких плотин. Известия ВНИИГ, т. 66, 1960.
685
66. Берг О.Я. Некоторые физические обоснования теории прочности
бетона. //Теория расчета и конструирования железобетонных кон-
струкций. Госстройиздат, 1959.
67. Берг О.Я. Прочность бетона и других материалов, имеющих раз-
личное сопротивление растяжению и сжатию в условиях сложных
напряженных состояний. //Исследование бетона и железобетонных
конструкций транспортных сооружений. Трансжелдориздат, 1960.
68. Берг О.Я. Физические основы теории прочности бетона и железо-
бетона. Госстройиздат, 1961.
69. Берг О.Я., Писанко Г.Н., Хромец Ю.Н. Прочность и деформа-
тивность бетона и железобетона под воздействием многократно по-
вторных нагрузок. //Труды координационных совещаний по гид-
ротехнике, вып. 13. Энергия, М., 1964.
70. Берг О.Я., Рожков А. И. К учету нелинейной ползучести бетона.
«Бетон и железобетон», № 9, М., 1967.
71. Берг О.Я., Хромец Ю.Н. Влияние длительного загружения на проч-
ность и деформативные свойства бетона. //Исследование прочнос-
ти и долговечности бетона транспортных сооружений. Труды ЦНИ-
ИС, вып. 6, 1966.
72. Берг О.Я., Щербаков Е.Н. К учету нелинейной связи напряжений
и деформаций ползучести бетона в инженерных расчетах. Известия
ВУЗов. Строительство и архитектура, № 12, М., 1973.
73. Блинков В.В. Исследование деформаций бетона при чистом сдви-
ге. Известия ВНИИГ, т. 53, М., 1955.
74. Бликов В.В. Исследование ползучести бетона при повторных дли-
тельно действующих нагрузках. Известия ВНИИГ, т. 60, М., 1958.
75. Бовин В.А. Учет ползучести бетона и железобетона в сооружени-
ях. //Труды III научно-технической конференции кафедр ДИИТ,
апрель. Гострансжелдориздат, М., 1939.
76. Бовин В.А. Основы теорий железобетонных сооружений. //Опыт-
но-теоретические исследования железобетонных конструкций. Го-
странсжелдориздат, М., 1940.
77. Богословский В.Н. О потенциале влажности. //Инженерно-фи-
зический журнал, т. 8, № 2. Минск, 1965.
78. Богословский В.Н. Строительная теплофизика. Стройиздат, М.,
1982.
79. Богословский В.Н., Гагарин В.Г. Потенциал влажности. Теоре-
тические основы. //Российская академия архитектуры и строитель-
ства. Вестник отделения строительных наук, вып. 1, М., 1996.
686
80. Бондаренко В.М. Некоторые вопросы теории колебаний, связан-
ные с учетом реологических свойств материалов. //Труды ХИСИ,
вып. 11. Изд-во ХГУ, Харьков, 1959.
81. Бондаренко В.М. О деформациях виброползучести бетона. //Струк-
тура, прочность и деформации бетонов. Стройиздат, 1966.
82. Бондаренко В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории железо-
бетона. Изд. Харьковского университета, Харьков, 1968.
83. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные методы нели-
нейной теории железобетона. Стройиздат, М., 1982.
84. Боришанский М.С. Исследование работы внецентренно сжатых
железобетонных элементов. «Проект и стандарт», № 6, 1936.
85. Буданов Н.А. Расчет железобетонных конструкций с учетом ползу-
чести бетона. Госстройиздат, 1955.
86. Бужевич Г.А. Испарение воды из бетона. //Технология и свойства
бетона. Труды НИИЖБ, вып. 1, 1957.
87. Булгаков В.С. О влиянии масштаба на несущую способность и де-
формации железобетонных внецентренно сжатых элементов прямо-
угольного сечения. //Расчет железобетонных конструкций. Экспе-
риментально-теоретические исследования по усовершенствованию
расчета. Труды НИИЖБ, вып. 23. Госстройиздат, 1961.
88. Бутт Ю.М. Изучение скорости гидратации портландцементных
минералов. ЖПХ, т. 22, № 3, 1949.
89. Васильев П.И. Связь между напряжениями и деформациями в бе-
тоне при сжатии с учетом влияния времени. Известия ВНИИГ, т.
45, 1951.
90. Васильев П.И. Некоторые вопросы пластических деформаций бе-
тона. Известия ВНИИГ, т. 49, 1953.
91. Васильев П.И., Зубрицкая М.А. Температурные напряжения от
экзотермии цемента в блоках типа плиты. Известия ВНИИГ, т.
56, 1956.
92. Васильев П.И. О влиянии расстояний между температурными шва-
ми на величину температурных напряжений в массивных бетонных
плотинах. //Научные доклады высшей школы. «Строительство»,
1958, № 2.
93. Васильев П.И. К определению расстояний между температурными
швами в бетонных плотинах. Известия ВНИИГ, т. 64, 1960.
94. Васильев П.И. Об использовании наследственных теорий для опи-
сания закона деформирования бетона. Известия ВНИИГ, т. 53,1955.
95. Васильев П.И., Кононов Ю.И. Влияние температуры твердения
на рост модуля мгновенных деформаций бетона. Известия ВНИ-
ИГ, т. 75, 1964.
687
96. Васильев П.И., Гаврилин Б.А. Влияние температуры на ползу-
честь стареющего бетона. //Ползучесть и усадка бетона. (Материа-
лы совещаний, Киев, 1969 г.). М., Стройиздат, 1969.
97. Васьковский А.П. Микроклимат и температурно-влажностный ре-
жим ограждающих конструкций зданий на Севере. Стройиздат, Л.,
1986.
98. Вейник А.И. Основные закономерности процессов тепло- и массо-
обмена в строительных ограждениях. //Труды Всесоюзного сове-
щания по интенсификации процессов и улучшению качества мате-
риалов при сушке. Профиздат, 1958.
99. Вейник А.И., Шубин А.С. Влияние температурных и влажностных
факторов на перенос влаги. //Труды Всесоюзного совещания по
интенсификации процессов и улучшению качества материалов при
сушке. Профиздат, 1958.
100. Вишневецкий Г.Д. Введение в техническую теорию деформаций
набухания и усадки бетона. //Труды ЛИСИ, вып. 26. Госстрой-
издат, 1957; вып. 29. Госстройиздат, 1958.
101. Вишневецкий Г.Д. Расчет температурных, прочностных и дефор-
мационных изменений в бетоне массивных сооружений. //Науч-
но-техническое совещание по изучению свойств бетона, опреде-
ляющих его трещиностойкость в массивных гидротехнических со-
оружениях. Доклады. Госэнергоиздат, 1963.
102. Гаврилин Б.А. Влияние температуры на ползучесть стареющего
бетона. //Труды ЛПИ им. М.И. Калинина, № 292. «Энергия»,
1968.
103. Гагарин В.Г. О температурной зависимости коэффициентов вла-
гопроводности строительных материалов. //«Типовой режим и теп-
лозащита зданий». НИИСФ, М., 1988.
104. Гагарин В.Г. Теория состояния и переноса влаги в строительных
материалах и теплозащитные свойства ограждающих конструкций
зданий. Докторская диссертация. НИИСФ, М., 2000.
105. Гансен Т.К. Ползучесть и релаксация напряжений в бетоне. Гос-
стройиздат, 1963.
106. Гвинчидзе Г.И. Некоторые задачи теории расчета железобетон-
ных конструкций с учетом ползучести бетона. Изд. «Мецниере-
ба», Тбилиси, 1986.
107. Гвоздев А.А. Температурно-усадочные деформации в массивных
бетонных блоках. Изв. АН СССР, ОТН, № 4, 1953.
108. Гвоздев А.А. Ползучесть бетона и пути ее исследования. //Иссле-
дование прочности, пластичности и ползучести строительных ма-
териалов. Стройиздат, 1955.
688
109. Гвоздев А.А. Температурно-усадочные напряжения в бетонных
блоках и массивных сооружениях. //Сб. трудов МИСИ, № 17.
Госстройиздат, 1957.
110. Гвоздев А.А. Некоторые особенности деформирования бетона и
* теория ползучести. //Ползучесть строительных материалов и кон-
струкций. Стройиздат, 1964.
111. Гвоздев А.А. Ползучесть бетона. Механика твердого тела. //Тру-
ды Второго всесоюзного съезда по теоретической и прикладной
механике, вып. 3. Механика твердого тела. «Наука», 1966.
112. Гвоздев А.А. О некоторых новых исследованиях ползучести бето-
на. //Влияние скорости нагружения, гибкости и крутящих мо-
ментов на прочность железобетонных конструкций. Стройиздат, 1970.
113. Гвоздев А.А. Замечание о нелинейной теории ползучести бетона
при одноосном сжатии. Изв. АН СССР. Механика твердого тела,
№ 5, 1972.
114. Гвоздев А.А., Галустов К.З., Яшин А.В. Об уточнении теории
линейной ползучести бетона. Изв. АН СССР. Механика твердо-
го тела, № 6, 1967.
115. Гениев Г.А. Вариант волновой теории теплопроводности твердых
тел. //Исследования по теории сооружений. Сб. статей, вып.
XXIV. Стройиздат, М., 1980.
116. Гениев Г.А. Некоторые вопросы теории теплопроводности тер-
мически анизотропных строительных материалов. //Качество, бе-
зопасность, энерго- и ресурсосбережение в промышленности стро-
ительных материалов и строительства на пороге XXI века. Сб. док-
ладов Международной научно-практической конференции, часть
3. БелГГАСМ. Белгород, 2000.
117. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности
бетона и железобетона. Стройиздат, М., 1974.
118. Гинзбург Ц.Г. Определение коэффициента теплопроводности
бетона. Изв. ВНИИГ, т. 47, 1952.
119. Глужге П.И. Усадка бетона. Пуццолановые цементы. Стройиз-
дат, 1936.
120. Голышев А. Б. Расчет предварительно напряженных железобетон-
ных конструкций с учетом длительных процессов. Стройиздат, 1964.
121. Голышев А.Б., Полищук В.П., Колпаков Ю.А. Расчет сборно-
монолитных конструкций с учетом фактора времени. Изд.
«Бущвельник», Киев, 1969.
689
122. Дзюба К.И. Исследования термонапряженного состояния элемен-
тов гидротехнических сооружений, выполненные в НИСе Гидро-
проекта. //Труды координационных совещаний по гидротехнике,
вып. IV. Совещание по вопросам термонапряженного состояния
бетонных гидротехнических сооружений. Госэнергоиздат, 1962.
123. Долговечность ограждающих и строительных конструкций (физи-
ческие основы). //Труды НИИСФ, под ред. О.Е. Власова. Гос-
стройиздат, 1963.
124. Дружинин С.И. Сравнение упругих свойств бетона. «Строитель-
ные материалы», № 9, 1932.
125. Дубницкий В.И. Стационарный тепло- и массообмен в термо-
изоляционных покрытиях. Диссертация. ВТИ, 1956.
126. Дулина Л.А., Харлаб В.Д. О капиллярной усадке бетона. //Меха-
ника стержневых систем и сплошных сред. Сб. трудов, ЛИСИ,
№ 105. Л., 1974.
127. Дулина Л.А., Харлаб В.Д Исследование вклада капиллярных сил
в усадку, ползучесть и упругость бетона. //Механика стержневых
систем и сплошных сред. Сб. трудов ЛИСИ № 113. Л., 1975.
128. Еременок И.П. Влияние температуры на тепловыделение цемен-
та, прочность и модуль упруго-мгновенных деформаций бетона.
//Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып. IV.
Совещание по вопросам термонапряженного состояния бетонных
гидротехнических сооружений. Госэнергоиздат, 1962.
129. Задоян М.А. Термонапряженное состояние блоков с учетом пол-
зучести материала. Известия АН АрмССР, серия физ.-мат., ест.
и техн, наук, т. 10, вып. 5, 1957.
130. Запорожец ИД. Основы теории тепловыделения в бетоне. //
Научно-техническое совещание по изучению свойств бетона, оп-
ределяющих его трещиностойкость в массивных гидротехнических
сооружениях. Госэнергоиздат, 1963.
131. Звездов А.И. Железобетонные конструкции из бетонов на расши-
ряющих цементах. Докторская диссертация. НИИЖБ, М., 1997.
132. Каранфилов Т.С. Влияние перепада напряжений на виброползу-
честь бетона. //ЦИНИС Госстроя СССР, НТИ, № 9, 1968.
133. Каранфилов Т.С. Влияние влагосодержания на деформации пол-
зучести и виброползучести бетона. //ЦИНИС Госстроя СССР,
НТИ, № 3, 1968.
134. Каранфилов Т.С. Влияние тепловой обработки на выносливость
и виброползучесть бетона. //ЦИНИС Госстроя СССР, рефератив-
ный сборник. Отечественный опыт, № 12, 1969.
690
135. Каранфилов Т.С. Влияние характеристики цикла напряжения на
развитие деформаций виброползучести бетона. «Бетон и железо-
бетон», №11, 1970.
136. Каранфилов Т.С. Влияние циклического замораживания на вы-
носливость и деформации водонасыщенного бетона. //Труды ко-
ординационных совещаний по гидротехнике. Выпуск 64. Дина-
мика гидросооружений. Изд-во «Энергия», Л., 1972.
137. Каранфилов Т.С. Влияние некоторых факторов на деформации
бетона при многократном повторении нагрузки. //Труды пятого
Всесоюзного Совещания. «Динамика гидротехнических сооруже-
ний». Издание ВНИИГ, Гидропроект, Груз. НИИЭГС, ин-т Гид-
ромеханики АН УССР, М., 1972.
138. Каранфилов Т.С. Влияние уровня напряжений на виброползу-
честь бетона. //ЦИНИС Госстроя ССР, реферативный сборник.
Отечественный опыт, № 9, 1973.
139. Каранфилов Т.С. Влияние анизотропии бетона на его выносли-
вость и виброползучесть. «Бетон и железобетон», № 12, 1973.
140. Каранфилов Т.С., Волков Ю.С. Обзор исследований по прочно-
сти и деформативности бетона при многократном приложении на-
грузки. //Труды Гидропроекта, № 10, М., 1963.
141. Карапетян К.С. Ползучесть бетона при высоких напряжениях,
Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат., ест. и техн, наук, т. VI, №
2, 1953.
142. Карапетян К.С. Влияние размеров образца на усадку и ползучесть.
Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат., ест. и техн, наук, т. 9,
вып. 1, 1956.
143. Карапетян К.С. Влияние масштабного фактора на ползучесть бе-
тона при сжатии и растяжении. Докл. АН АрмССР, т. XXXVIII,
№ 3, 1963.
144. Карапетян К.С. Ползучесть бетона при кручении. //Ползучесть
строительных материалов и конструкций. Стройиздат, 1964.
145. Карапетян К.С. Влияние анизотропии на ползучесть бетона при
сжатии и растяжении в зависимости от величины напряжения.
Доклады АН АрмССР, т. 36, № 1, 1964.
146. Карапетян К.С. Влияние влажности среды на ползучесть бетона,
Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат., ест. и техн, наук, т. XVIII,
№ 3, 1965.
147. Карапетян К.С. О влиянии многократно-повторной нагрузки на
прочность, деформативность и ползучесть бетона. Докл.АН Арм.
ССР, т. 21, № 1, 1970.
691
148. Карапетян К.С., Котикян Р.А. Исследование отношений мер пол-
зучести бетона при растяжении, сжатии и кручении. Изв. АН
АрмССР, серия «Механика», т. XXV, № 5, 1972.
149. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М., Строй-
издат, 1996.
150. Карпенко Н.И., Клованич С.Ф. Термоползучесть бетона при неко-
торых режимах нагружения и нагрева. «Строительная механика и
расчет сооружений», № 5, 1991.
151. Карслоу Х.С. Теория теплопроводности. Гостеоретиздат, 1947.
152. Катин Н.И. Исследование ползучести бетона при высоких напря-
жениях. //Исследование свойств бетона и железобетонных конст-
рукций. Труды НИИЖБ, вып. 4. Госстройиздат, 1959.
153. Квирикадзе О.П. О зависимости между деформациями бетона и
скоростью нагружения. Изд. АН ГрузССР, Тбилиси, 1962.
154. Кизирия Г.В. Расчет конструкций с учетом деформаций ползуче-
сти бетона. Изд. «Мецниереба», Тбилиси, 1969.
155. Кинд В.А., Окороков С.Д., Вольфсон С.Л. Теплота твердения
портландцементов различного химического состава, «Цемент»,
№ 7,1937.
156. Коган Е.А. Ползучесть бетона при многоосным сжатии. //«Гид-
ротехническое строительство», № 9, 1983.
157. Коган Е.А. Комплексное обоснование расчетных характеристик
бетонов массивных гидротехнических сооружений. Докторская дис-
сертация, МГУП, М., 2001.
158. Коган Е.А., Соловьева Л.Д. Исследование ползучести бетона на
крупных образцах. //Ползучесть и усадка бетона. Материалы со-
вещания, подготовленные НИИЖБ Госстроя СССР. ЦИНИС,
М., 1969.
159. Коган Е.С. Значение минералогического состава клинкера и роль
добавок в специализации цементов. //Труды IV Всесоюзного со-
вещания заводских лабораторий цементной промышленности. Гос-
стройиздат, 1948.
160. Коган Е.С., Рущук Г.М. Цементы для гидротехнического бето-
на. //Труды Гипроцемента, вып. XI, 1949.
161. Колесников Н.А. Влияние начального кратковременного обжа-
тия на деформации ползучести и последействия бетона при после-
дующем его нагружении. //Ползучесть и усадка бетона. Материа-
лы совещания, подготовленные НИИЖБ Госстроя СССР. ЦИ-
НИС, М., 1969.
692
162. Колесников Н.А. О методике аппроксимации кривых ползучести
бетона с помощью формулы С.В. Александровского. //Длитель-
ные деформативные процессы в бетонных и железобетонных кон-
струкциях. Материалы конференции молодых специалистов.
Стройиздат, 1970.
163. Коренев Б.Г. Некоторые плоские задачи теории тепловых волн.
Доклады АН СССР, т. 112, № 1, 1957.
164. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопровод-
ности, решаемые в Бесселевых функциях. Физ.-мат. изд., 1960.
165. Коренев Б.Г. Введение в теорию Бесселевых функций. Изд. «На-
ука», М., 1971.
166. Корсак Н.Г. Исследование прочности и упругих свойств бетона.
//Прочность, упругость и ползучесть бетона. Госстройиздат, 1941.
167. Котикян Р.А. Влияние возраста на ползучесть бетона при сжатии
с последующим кручением. Изв. АН АрмССР, Механика, т. XX,
№ 4, 1967.
168. Котикян Р.А. Ползучесть бетона при двухосном растяжении. Изв.
АН АрмССР. Механика, т. XXI, № 1, 1968
169. Кричевский А.П. Расчет железобетонных инженерных сооруже-
ний на температурные воздействия. М., Стройиздат СССР, 1984.
170. Кублинь И.Я. Деформации бетона при сложном двухосном нагру-
жении растяжением и сжатием. //Исследования по бетону и же-
лезобетону, вып. 5. Изд. АН ЛатвССР, 1960.
171. Кудзис А.П., Квядарас А.Б. О ползучести материала типа бето-
на. //Сб. Железобетонные конструкции, вып. 2. Изд. «Лгин-
тис», Вильнюс, 1969.
172. Кулыгин Ю.С., Белобров И.К. Экспериментальное исследова-
ние ползучести бетона при многократно повторяющихся цикли-
ческих нагрузках. //Прочность и жесткость железобетонных кон-
струкций. Стройиздат, 1968.
173. Кулыгин Ю.С., Белобров И.К. Ползучесть бетона при много-
кратно повторяющихся сжимающих нагрузках. //Особенности де-
формаций бетона и железобетона и использование ЭВМ для оцен-
ки их влияния на поведение конструкций. Стройиздат, 1969.
174. Лебедев Н.А. Температурные напряжения в теории упругости.
ОНТИ, 1937.
175. Лермит Р. Проблемы технологии бетона. Госстройиздат, 1959.
176. Лившиц Я.Д. Расчет железобетонных конструкций с учетом вли-
яния усадки и ползучести бетона. «Высшая школа», Киев, 1971.
693
177. Лыков А.В. Теория теплопроводности. Гостехтеориздат, 1952.
178. Лыков А.В. Явления переноса в капиллярно пористых телах. Го-
стехтеориздат, М., 1954.
179. Лыков А.В. Тепло- и массообмен в процессах сушки. Госэнерго-
издат, 1956.
180. Мадатян С.А. Арматура железобетонных конструкций. ООО «Во-
ентехмет», М., 2000.
181. Малмейстер А.К. Виброползучесть бетона. //Вопросы динамики
и динамической прочности, вып. 4. Рига, 1956.
182. Малмейстер А.К. Упругость и неупругость бетона. Изд. АН
ЛатвССР, 1957.
183. Малюга И. Свойства портландцемента. «Инженерный журнал»,
№ 9, 1891.
184. Мальцов К.А. Вопросы трещинообразования бетонных армиро-
ванных конструкций. Изв. ВНИИГ, т. 49, 1953.
185. Мальцов К.А. Влияние водонасыщения на прочность бетона.
«Гидротехническое строительство», 1954, № 8.
186. Мамуня И.У., Ткачук В.М. Ползучесть бетона при двухосном на-
пряженном состоянии. //Проблемы ползучести и усадки бетона.
Второе Всесоюзное совещание. Ереван, 1974. Тезисы докладов,
подготовленные к печати ЦП НТО Стройиндустрии. Стройиздат,
1974.
187. Манукян М.М. Термонапряженное состояние массивных бетон-
ных блоков с учетом ползучести. Изв. АН АрмССР, серия физ.-
мат., ест. и техн, наук, т. IX, вып. 1, 1956.
188. Манукян М.М. Определение напряжений в некоторых железобе-
тонных элементах с учетом ползучести и изменения модуля упру-
го-мгновенных деформаций. Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат.,
ест. и техн, наук, т. XII, вып. 6, 1964.
189. Маслов Г.Н. Температурные напряжения и деформации бетон-
ных массивов на основах теории упругости. Известия ВНИИГ, т.
13, 1934.
190. Маслов Г.Н. Задача теории упругости о термоупругом равнове-
сии. Известия ВНИИГ, т. 23, 1938.
191. Маслов Г.Н. Элементарные статические расчеты сооружений на
температурные изменений. Известия НИИГ, т. 26, 1940.
192. Маслов Г.Н. Термическое напряженное состояние бетонных мас-
сивов при учете ползучести бетона. Известия НИИГ, т. 28, 1941.
694
193. Майзель В.М. Температурная задача теории упругости. Изд. АН
УССР, Киев, 1951.
194. Медан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые
стационарными температурными полями. Физ.-мат. изд., 1958.
195. Мельник Р.А. Экспериментальное исследование нелинейной пол-
зучести бетона. //Труды КИСИ, вып. 16. «Бусцвельник», Киев,
1961.
196. Мельник Р.А. Исследование деформативности и прочности бето-
на при длительном сжатии. «Бетон и железобетон», № 3, 1964.
197. Мельникова Л.А., Бильченко А.В. Исследование ползучести бе-
тона в условиях двухосного сжатия. //Научные труды XII СНИИ-
ИП «Строительные конструкции». «Буд1вельник». Киев, 1970.
198. Метеорологический ежемесячник СССР, часть 1. Ежедневные
данные, ВНИИГМИ - МЦД, Обнинск. (Ежегодно и еже-
месячно).
199. Метеорологический ежемесячник, часть 2, выпуски 1-35, № 1-
12. Госкомитет СССР по гидрометеорологии и контролю природ-
ной среды. (Ежегодно и ежемесячно по 35 территориальным уп-
равлениям (районам)).
200. Методические рекомендации по исследованию усадки и ползучес-
ти бетона. НИИЖБ Госстроя СССР, М., 1975/
201. Милованов А.Ф. Жаростойкий железобетон. Госсстройиздат,
1963.
202. Милованов А.Ф. Расчет жаростойких железобетонных конструк-
ций. М., Стройиздат, 1975.
203. Милованов А.Ф., Тупов Н.И. Ползучесть и релаксация напряже-
ний в бетоне зрелого возраста при длительном действии повышен-
ных температур до 90°С. //Ползучесть и усадка бетона. Материалы
совещания, подготовленные НИИЖБ Госстроя СССР. ЦИНИС,
М., 1969.
204. Миронов С. А. Температурный фактор в твердении бетона. Строй-
издат, М., 1948.
205. Москвин В.М., Капкин М.М. Деформации цементного камня
при низких отрицательных температурах и методика их изучения.
//Методика лабораторных исследований деформаций и прочности
бетона, арматуры и железобетонных конструкций. Госстройиздат,
1962.
206. Мощанский Н.А. Плотность и стойкость бетонов. Госстройиз-
дат, 1951.
695
207. Мухамедиев Т.Д. Методы расчета статически неопределимых же-
лезобетонных стержневых и плоскостных конструкций с учетом не-
линейных диаграмм деформирования материалов и режимов на-
гружения. Докторская диссертация. НИИЖБ, М., 1990.
208. Некрасов В.В. Изменение объема системы при твердении гидрав-
лических вяжущих. Изд. АН СССР, ОТН, № 6, 1945.
209. Некрасов В.В. Кинетика гидратации цементов различных типов.
ЖПХ, т. XXI, № 3, 1948.
210. Некрасов К.Д. Жароупорный бетон. Промстройиздат, 1957.
211. Нилендер Ю.А. Исследование деформаций и температурного ре-
жима в теле плотины Днепростроя. Стройиздат, 1933.
212. Нилендер Ю.А. (ред.) и коллектив авторов. Испытание Днеп-
ровской плотины. Стройиздат, 1937.
213. Нилендер Ю.А. Расчет разрезки массивных бетонных сооруже-
ний. //Труды IV Всесоюзной конференции по бетону и железобе-
тонным конструкциям, ч. II. Стройиздат, 1949.
214. Нилендер Ю.А. Монолитность массивной бетонной кладки, воз-
водимой из отдельных блоков. //Коррозия бетона и меры борьбы
с ней. АН СССР, М., 1954.
215. Окороков С.Д., Запорожец И.Д., Парийский А.А. Прогноз воз-
можного тепловыделения бетона при расчетах его термонапряжен-
ного состояния. //Научно-техническое совещание по изучению
свойств бетона, определяющих его трещиностойкость в массивных
гидротехнических сооружениях. Госэнергоиздат, 1963.
216. Орехов В.Г. Расчет температурных напряжений в плоских конст-
рукциях гидротехнических сооружений. //Труды МИСИ, № 29.
Госстройиздат, 1958.
217. Орехов В.Г. Исследование термонапряженного состояния бетон-
ных и железобетонных конструкций гидротехнических сооружений.
//Труды координационных совещаний по гидротехнике, вып. IV.
Совещание по вопросам термонапряженного состояния бетонных
гидротехнических сооружений. Госэнергоиздат, 1962.
218. Остриков М.С., Ростовцева И.В. и др. Влияние сил капилляр-
ной контракции на механические свойства и структуру высыхаю-
щих тел. «Коллоидный журнал», т. 22, № 4, 1960.
219. Панарин Н.Я. Температурные напряжения в бетоне с учетом пол-
зучести. //Труды ЛИСИ, вып. 23. Госстройиздат, 1956.
220. Панарин Н.Я. Некоторые вопросы расчета армированного и не-
армированного бетона с учетом ползучести. Госстройиздат, 1957.
696
221. Папкович П.Ф. Теория упругости. Госиздат оборонной промыш-
ленности. М.-Л.» 1939.
222. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. Физ.-
мат. изд., 1963.
223. Перехоженцев А.Г. Потенциал переноса влаги влажных ка-
пиллярно-пористых материалов. //Докторская диссертация.
НИИСФ, М., 1998.
224. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых
тел. Изд. «Энергия», Л., 1976.
225. Прокопович И.Е. Влияние длительных процессов на напряжен-
ное и деформированное состояние сооружений. Госстройиздат,
1963.
226. Прокопович И.Е. Основы прикладной линейной теории ползуче-
сти. Изд. «Выща школа», Киев, 1978.
227. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучес-
ти. Стройиздат, М., 1980.
228. Прокопович И.Е., Улицкий И.И. О теориях ползучести бетона.
//Ползучесть строительных материалов и конструкций. Госсстрой-
издат, 1964.
229. Путане А.В. Усадка бетона при цикличных нагревании и охлаж-
дении. //Исследования по бетону и железобетону. Труды инсти-
тута строительства и архитектуры АН ЛатвССР, вып. VII. изд.
АН ЛатвССР, 1963.
230. Пузыревский Н.П. Фундаменты. М., Госсстройиздат, 1934.
231. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. «Наука», 1966.
232. Расчет и проектирование ограждающих конструкций зданий. Спра-
вочное пособие к СНиП. М., Стройиздат, 1990.
233. Ребиндер П.А. Физико-химические исследования процессов де-
формации твердых тел. //Юбилейный сборник АН СССР, по-
священный 30-летию ВОСР, 1, 1947.
234. Ребиндер П.А. Физико-химическая механика. Изд. «Знание»,
М., 1958.
235. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформи-
рующихся во времени. Гостехтеориздат, 1949.
236. Ржаницын А.Р. Температурные напряжения, возникающие в бе-
тонных плотинах от действия наружных температур. //Исследова-
ния по строительной механике. Госстройиздат, 1954.
697
237. Ржаницын А.Р. Температурно-влажностная задача ползучести.
//Исследования по вопросам теории пластичности и прочности стро-
ительных конструкций. Труды ЦНИИСК. Госстройиздат, 1958.
238. Ржаницын А.Р. Определение напряжений в тонком слое при сушке
с учетом изменения характеристик ползучести материала. //Тру-
ды Всесоюзного совещания по интенсификации процессов и улуч-
шения качества материалов при сушке в основных отраслях про-
мышленности и в сельском хозяйстве. Профиздат, 1958.
239. Ржаницын А.Р. Разработка основ общей теории ползучести. //
Исследование прочности, пластичности и ползучести строитель-
ных материалов. Госстройиздат, 1955.
240. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. Стройиздат, 1968.
241. РСН 58-86. Рекомендации по проектированию наружных стен
панельных жилых зданий для северной строительно-климатичес-
кой зоны. Л., Госгражданстрой СССР, 1986.
242. Розовский М.И. Температурные напряжения при наличии после-
действия. Журнал техн. физ. АН СССР, т. 19, вып. 6, 1949.
243. Руководство по строительной климатологии (Пособие по проек-
тированию). М., Стройиздат, 1977.
244. Руководство по теплотехническому расчету и проектированию ог-
раждающих конструкций зданий. М., НИИСФ, 1985.
245. Самович И. Составление пропорций цементных растворов и бе-
тонов. «Инженерный журнал», № 7-9, 1890.
246. Саталкин А.В. Ползучесть бетона. //Прочность, упругость и пол-
зучесть бетона. Сборник статей под ред. Н.М. Беляева. Строй-
издат, 1941.
247. Саталкин А.В. Деформативная способность бетона. //Сборник
ЛИИЖТ, вып. 46. Трансжелдориздат, 19541
248. Саталкин А.В., Сенченко Б.А. Раннее нагружение бетона и желе-
зобетона в мостостроении. Автотрансиздат, 1956.
249. Сиверцев Г.Н. Пробужденный бетон. Гостехиздат Украины, 1950.
250. Силаенков Е.С. Долговечность крупноразмерных изделий из ав-
токлавных ячеистых бетонов. Стройиздат, М., 1964.
251. Силаенков Е.С., Тихомиров Г.В. и др. Влияние карбонизации
автоклавных ячеистых бетонов на их долговечность. //Вопросы дол-
говечности ячеистых бетонов и изделий из них. Труды НИИ по
строительству. Свердловск, 1962.
252. Скрамтаев Б.Г., Панфилова Л.И. Исследование явления вакуума
в твердеющих цементах. //Труды НИИЦемента, вып. 2. Строй-
издат, 1949.
698
253. Скудра А.М. Деформации бетона при кручении с последующим
растяжением. //Исследования по бетону и железобетону. Изд.
АН ЛатвССР, № 4, 1959.
254. СН 482-76. Инструкция по расчету бетонных и железобетонных
• конструкций, предназначенных для эксплуатации в условиях воз-
действия высоких и повышенных температур. Стррйиздат, М., 1977.
255. СНиП 2.01.01-82 Строительная климатология и геофизика. М.,
1983.
256. СНиП 2.03.01-84 Бетонные и железобетонные конструкции. Гос-
строй СССР, М., 1985.
257. СНиП 2.03.04-84 Бетонные и железобетонные конструкции, пред-
назначенные для работы в условиях воздействия повышенных и
высоких температур. Госстрой СССР, М., 1985.
258. СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия.
259. СНиП 2.06.08-87 Бетонные и железобетонные конструкции гид-
ротехнических сооружений. Стройиздат, М., 1987.
260. СНиП П-3-79* Строительная теплотехника. М., Минстрой Рос-
сии, 1998.
261. Соломонов В.В. О деформациях ползучести, натекающих за вре-
мя выдержек при ступенчатом загружении бетонных образцов. //
Реферативный сборник. Межотраслевые вопросы строительства.
Отечественный опыт, № 10. ЦИНИС, 1972.
262. Столяров Я.В. Введение в теорию железобетона. Стройиздат,
1941.
263. Таль К.Э., Чистяков Е.А., Тазекулаков С.А. Исследование рабо-
ты гибких сжатых бетонных элементов. //Прочность и жесткость
железобетонных конструкций. Стройиздат, 1968.
264. Тахтамышев С. Г. Лабораторные опыты по определению коэффи-
циента температурного расширения бетона. //Испытание Днеп-
ровской плотины. Госстройиздат, 1937.
265. Темнов И.И. Влияние на деформации ползучести размеров попе-
речного сечения бетонного призматического образца и формы эпю-
ры напряжений. Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат. наук, т.
XIII, № 6, 1961.
266. Трапезников Л.П. Температурная трещиностойкость массивных
бетонных сооружений. Энергоатомиздат, М., 1986.
267. Троицкий Е.А. Влияние скорости нагружения на деформации
бетона. //Труды Казанского института инженеров коммунального
строительства, вып. 5. Казань, 1938.
699
268. Тупов Н.И. О влиянии повышенной температуры на прочность и
деформативные свойства бетона. «Бетон и железобетон», № 3,1967.
269. Улицкий И.И. Расчет бетонных и железобетонных арочных и ком-
бинированных конструкций с учетом длительных процессов. Гос-
техиздат. УССР, Киев, 1950.
270. Улицкий И.И. Определение величины деформаций ползучести и
усадки бетона. Стройиздат УССР, Киев, 1963.
271. Улицкий И.И. Теория и расчет железобетонных стержневых кон-
струкций с учетом длительных процессов. Изд. «Будивельник»,
Киев, 1967.
272. Уманский А.А. Расчет брусьев по методу начальных параметров.
Справочное пособие. Изд. ВВИА им. Н.Е. Жуковского, М., 1952.
273. Фокин К.Ф. Строительная теплотехника ограждающих частей зда-
ний. М., Стройиздат, 1973.
274. Франчук А.У. Таблицы теплотехнических показателей строитель-
ных материалов. Стройиздат, М., 19969.
275. Фрейсинэ Е. Переворот в технике бетона. ОНТИ, М., 1938.
276. Хайдуков Г.К., Шугаев В.В., Миронов Ю.К. Исследования пол-
зучести мелкозернистого бетона для оценки результатов длитель-
ных испытаний пологих железобетонных оболочек на моделях. //
Проблемы ползучести и усадки бетона. Второе всесоюзное сове-
щание. Ереван, 1974. Материалы совещания, подготовленные к
печати НИИЖБ Госстроя СССР. Стройиздат, 1974.
277. Харлаб В.Д. Принципиальные вопросы теории ползучести и проч-
ности, связанные с расчетом бетонных конструкций. Докторская
диссертация, СпбГАСУ. Санкт-Петербург, 1996.
278. Цилосани З.Н. Усадка и ползучесть бетона. Изд. «Мицниере-
ба», Тбилиси, 1979.
279. Шейкин А.Е. К вопросу прочности, упругости и пластичности
бетона. //Строительная механика и мосты. Труды МИИТ, вып.
69. Трансжелдориздат, 1946.
280. Шейкин А.Е., Гершман М.И. Влияние минералогического со-
става цемента на усадку бетона. //Труды НИИЦемента, вып. 2.
Стройиздат, 1949.
281. Шейкин А.Е. Упруго-пластические свойства бетонов на портлан-
дцементах различного минералогического состава. //Строитель-
ная механика и мосты. Труды МИИТ. Трансжелдориздат, 1950.
282. Шейкин А.Е Ползучесть при повторных нагрузках и модуль дефор-
мации бетона. //Исследования железобетонных и сварных мосто-
вых конструкций. Труды МИИТ. Трансжелдориздат, 1956.
700
283. Шейкин А.Е, Баксаков Н.С. Влияние минералогического соста-
ва портландцемента на ползучесть бетона при сжатии. «Строитель-
ная промышленность», № 9, 1955.
284. Шейкин А.Е., Николаев В.Л. Об упруго-пластических свойствах
бетона при растяжении. «Бетон и железобетон», № 9, 1959.
285. Шейкин А.Е., Чеховский Ю.В., Бруссер М.И. Структура и свой-
ства цементных бетонов. Стройиздат, М., 1979.
286. Шкловер А.М. Теплопередача при периодических тепловых воз-
действиях. Госэнергоиздат, М., 1961.
287. Шкербелис К.К. Влияние вибраций на ползучесть железобетон-
ных конструкций. //Вопросы динамики и динамической прочно-
сти, вып. 4, Рига, 1956.
288. Щербаков Л.М. О связи молекулярного и фазового давления со
степенью дисперсности. //Ученые записки Кишиневского Госу-
дарственного университета, т. 1, вып. 2 (физико-математичес-
кий). Кишинев, 1949.
289. Щербаков Е.Н. О прогнозе величин деформаций ползучести и
усадки тяжелого бетона в стадии проектирования конструкций. //
Труды ЦНИИС Минтрансстроя СССР, вып. 70. Изд. «Транс-
порт», М., 1969.
290. Эпштейн А.С. Механизм движения влаги в некоторых строитель-
ных материалах при перепаде температур. Изд. АН УССР, Киев,
1953.
291. Яременко А.Ф. Экспериментальное исследование ползучести бе-
тонных плит при одно- и двухосном сжатии. //«Строительные кон-
струкции», вып. XXI. «Будивельник», Киев, 1973.
292. Ясин Ю.Д. Метод расчета совместного нестационарного тепло-
массообмена в многослойных ограждающих конструкциях. //Теп-
ловой режим и долговечность зданий. Сб. трудов НИИСФ. М.,
ПЭМ, ЦЭНИИИС, 1987.
293. Яценко Е.А. Экспериментальные исследования нелинейной
ползучести бетона. //Научные труды КИСИ. вып. 20, Киев, 1962.
294. Яценко Е.А. Методы расчета железобетонных конструкций на дли-
тельные воздействия с учетом ползучести бетона. Докторская дис-
сертация. ДИСИ, 1987.
295. Яшин А.В. Ползучесть бетона в раннем возрасте. //Исследование
свойств бетона и железобетонных конструкций. Труды НИИЖБ
АСиА СССР, вып. 4. Госстройиздат, М., 1959.
701
296. Alexander K.M., Wardlaw S.J. Possible Mechanism for Carbonation
Shrinkage and Crazing, based on Study of this Layers of Hydrated
Cement. Australian Journal of Applied Science, vol. 10, № 4, 1959.
297. Blanks R., Meissner H., Rawhouser C. Cracking in mass Concrete,
Journal of the American Concrete Institute, vol. 9, № 4, 1938.
298. Boltzmann L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. Wiener.
Ber., 10, 1874.
299. Browne R.D., Blundell R. The behavior of concrete in prestressed
concrete pressure vessels. //Nuclear Engineering and Design, 20, 1972.
300. Carlson R.W. Drying Shrinkage as Affected by Many Factors. Proc,
of the Amer. Soc. for Test. Mat., vol. 38, p.ll, 1938.
301. Considere А. Способность армированного бетона выдерживать
значительные растяжения. Comptes Rendus, v. 140, Jan. 30, 1905,
а также Le Genie Civil, v. 46, Feb. 11, 1905.
302. Davis R.E. Flow of Concrete under Sustained Compressive. Stress.
Proc. Amer. Concr. Inst. v. 24, 1928.
303. Davis R.E., Davis H.E. Flow of Concrete under the Action of Sustained
Loads, Journ. of the Amer. Concr. Inst., vol. 2, № 7, 1931.
304. Davis R.E., Davis H.E., Hamilton J.S. Plastic Flow of Concrete under
Sustained Stress. Proc. A.S.T.M., vol. 34, 1934.
305. Davis R.E., Davis H.E., Brown E.H. Plastic Flow and Volume Changes
of Concrete. Proc. Amer. Soc. for Test. Mat., vol. 37, 1937.
306. Dischinger F. Elastiche und plastiche Verformungen der
Eisenbetontrag-werke und inbesondere der Bogenbrbcken Bauingenieur.
Heft 33/34, 1937.
307. Duke C.M., Davis H.E. Some properties of Concrete under Sustained
Combined Stress. Am. Soc. for Test. Mat. PrOc., vol. 44, 1944.
308. Dutron R. Deformations lentes du Beton et du Beton arme sous Faction
des charges permanents. Annales des Travaux publics de Belgique, 1936,
1937.
309. Freudental A., Roll F. Creep and creep recovery of concrete under
high compressive stress. Journal ACJ, vol. 29, № 12, 1958.
310. Gehler W. Hypothesen und Grundlagen fur das Schwinden und
Kriechen des Betons, Verlag Technik, Berlin, 1952.
311. Glanville W.H. Work of the building research Station on small
movements in Concrete Congress de Liege, Beton Arme, 1930.
312. Glanville W.H. The Creep and Flow of Concrete under Load. Building
Res., Studied in Reinforced Concrete, part. Ill, Technic. Paper,
№ 12, 1930.
702
313. Glanville W.H. Creep of Concrete under Load. The Structural
Engineering, London, № 2, 1933.
314. Glanville W.H., Thomas F.G. Further Investigations on the Creep
or Flow of Concrete under Load. Studied in Reinforced Concrete,
Part. IV, Building Research, Technical Paper, № 21, London, 1939.
315. *Joschida H. Uber das elastische Verhalten von Beton. Berlin, 1930.
316. Kalousek G.L. Fundamental Factors in the Drying Shrinkage of Concrete
Block. Journal of the American Concrete Institute, Proc. vol. 51,
vol.26, № 3, 1954.
317. Kroone B., Blaky F.A. Reaction between Carbon Dioxide gas and
Mortar, Journ. of the Amer. Concr. Inst., vol. 31, N 6, (proc,
vol. 56), 1959.
318. Lea F.M. The Chemistry of Concrete and Concrete, St. Martins
press. N.J. Rev. Ed., 1956.
319. Leber L, Blaky F.A. Some Effects of Carbon Dioxide on Mortar and
Concrete, Journ. of the Amer. Concr. Inst., proc. v. 53, vol. 28,
№3, 1956.
320. Lee C.R. Creep and Shrinkage in restrained Concrete. B.R.S. Note,
N E.208, March, 1950, а также Quatrieme Congress des Grand
Barrages, New Dehli, 1951, Q. №15.
321. Le Camus M. Recherches experimentales sur la deformation du beton
et du beton arme. //Annales de 1TTBTP, №3, 1947.
322. Me. Henry D.A. New Aspect of Creep in Concrete und Its Application
to Design, Proc. Amer. Soc. for Test. Mat., vol. 43, 1943.
323. Meyers S.L. Volume changes in Cement mortar Concrete, Concrete.
Vol. 43, №8, 1935.
324. Mitzel A. Reologia betonu, Arkady, Варшава, 1972.
325. Nevill A. Theories of Creep in Concrete, Am. Concr. Inst. Journ.,
proc. vol. 52, №1, 1955.
326. Neville A.M. Creep of Concrete Plain, Reinforced and Prestressed,
North Holland Publishing Company, Amsterdam, 1970.
327. Pickett D. Shrinkage Stresses in Concrete, Journal of the American
Concrete Institute, vol. 17, №3, 4, 1946.
328. Powers T.C. Brownyard T.L. Studies of the physical Properties of
Hardened Portland Cement Paste, Journal of the American Concrete
Institute, vol. 18, №2, 3, 4, 5, 6, 1946, vol. 19, N 1, 2, 1947.
329. Powers T.S. Cusses and Control of Volume Change, Journal of the
Research and Development Laboratories, vol. 1, №1, 1929.
703
330. Powers Т.С. Journal of Portland Cement Assoc., Res. and Dev. Lab.
Vol. 4, №2, 1962.
331. Ross A.D. The Creep of Portland elast. Furnace Cement Concrete,
Journ. Inst. Civ. Eng., №8, 1938.
332. Ross A.D. Creep of Concrete under variable Stress, Journ. of the
Amer. Concr. Inst., vol. 29, №9, 1958.
333. Schank LR. Plastic flows of Concrete Ohio University Engineering
Experiment Station, Bulletin, №91, Sept., 1935.
334. Serafim J.L., Guerreiro M.Q. Influence of Temperature an the Greep
of mass Concrete, Bulletin RILEM, 1960, №6.
335. Spindel M. Uber die Schwindung von Zement und Beton, Beton und
Eisen., H. 15, 1936.
336. The Experimental and Mathematical Analysis of Arch Dams with Special
Reference to Dams by prof. D. Norman M.C, Allen M.A., Letitia
Chitty Ma., A.M.J.C.E., prof. A.I. Sutton Pippard. The Institution
of Civil Engineers, part. II, v. 5, May, 1956, №3.
337. Tonindustrie — zeitund, 1881, 1889.
338. Verbech C.J. Carbonization of Hydrated Portland Cement, Am. Soc.
for Testing Materials, Special Technical Publication, №205, 1958,
P.C.A. Research Department, Bull., 87.
339. Volterra V. Lecons sur les fonctions de lignes professeurs a la Sorbonne
en 1912, Paris, 1913.
340. Whitney C.S. Plain and Reinforced Concrete Arches., Journ. Amer.
Concr. Inst., №7, 1932.
341. Woolson J.H. Some remarkable tests indicating “Flow” of Concrete
under pressure, Eng. News, №54, 1905.
342. Arthanari S., Yu C.W. Creep of Concrete Under Unaxial and Biaxial
Stresses at Elevated Temperatures, Magazine of Concrete Research,
Cement and Concrete Association, v. 19, №60, Sept. 1967.
343. Browne R.D., Blundell R. The Influence of Loading Age and
Temperature on the Long Term Creep Behaviour of Concrete in a
Sealed, Moisture Stable State, Materials and Structures, Reunion
Internationale des Laboratoires d’Essais et de Recherches Sur les
Materiaux et les Constructions, v. 2, 1969.
344. Hannant D.J. Strain Behavior of Concrete Up to 95°C Under
Compressive Stresses, JCE, London, 1968.
345. Illston J.M., Sanders P,D. Characteristics and Prediction of Creep of
a Saturated Mortar Under Variable Temperature, University of
London, King’s College.
704
346. Me Donald J.E. An Experimental Study of Multiaxial Creep in
Concrete, “Concrete for Nuclear Reactors”, A.C.J. Special
Publication №34, 1972.
347. Nasser K.W., Neville A.M. Creep of Concrete at Elevated
Temperatures, Proceedings American Concrete Institute, v. 62, 1965.
348. ‘ Nasser K.W., Neville A.M. Creep of Old Concrete at Normal and
Elevated Temperatures, Journal of the American Concrete Institute,
v. 64, 1967.
349. Pirtz D. Creep Characteristics of Mass Concrete for Dworshak Dam,
Structures and Materials Research. Department of Civil Engineering.
Structural Engineering Laboratory. University of California, 1968.
350. Serafim I.L., Guerreiro M.Q. Influence of Temperature of Creep of
Mass Concrete, Reunion Internationale des Laboratoires d’Essais et de
Recherches sur les Materiaux et les Constructions, Bulletin, №6, Mar.,
1960.
351. Silveira A.F., Florentino C.A. Influence of Temperature on the Creep
of Mass Concrete, American Concrete Institute Symposium of the Effect
of temperature on Concrete, Memphis, Nov., 1968.
352. Theuer A.E. Effect of Temperature on the Stress-Deformation of
Concrete, Journal of Research, National Bureau of Standarts, vol.
18, №2, Feb. 1937.
353. Wallo E.M., Yuan, Lott, Kesler C.E. Sixth Progress Report,
Theoretical and Applied Mechanics Report N 658, University of Illinois,
Urbana, III, “Prediction of Creep in Structural Concrete from Short
Time Tests”, 1965.
354. Weigler H. Influence of High Temperature of Strength and Deformations
of Concrete. A.C.J. International Seminar of Concrete for Nuclear
Reactors, Berlin, Oct., 1970.
355. York G.P., Kennedy T.W., Perry E.S. Experimental Investigation of
Creep in Concrete Subjected to Multiaxial Compressive Stresses and
Elevated Temperatures, Research Report 2864-2, University of Texas,
Austin, Tex., Tune, 1970, “Concrete for Nuclear Reactors”, A.C.J.
Spec. Publ., №34, 1972.
356. Polivka M. et al. Studies of Creep in Mass Concrete Symposium on
Mass Concrete Paper 12, A.C.J., Pub. Sp., 6, 1963.
705
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.......................................4
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И
ВЛАГОПРОВОДНОСТИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РАСЧЕТЕ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ И ВЛАЖНОСТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В
БЕТОННЫХ И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЯХ.............6
ГЛАВА I. (ХМОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕТОНА ПРИ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИСТОЧНИКАХ ТЕПЛА,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ.
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ..........8
§ 1.1. Теплопроводность. Основное уравнение теории
теплопроводности бетона при распределенных
источниках тепла.................../............8
§ 1.2. Граничные и начальное условия...........10
§ 1.3. Теплофизические свойства бетона.........13
§ 1.4. Экзотермия бетона.......................20
§ 1.5. Уравнение теплопроводности при скорости экзотермии,
зависящей от температуры процесса..............24
§ 1.6. Классический метод решения задачи теории
теплопроводности при распределенных источниках
тепла, зависящих от температуры.................33
§ 1.7. Первая классическая задача теории теплопроводности.
Одномерный тепловой поток в плите...........34
§ 1.8. Вторая классическая задача теории теплопроводности.
Одномерный тепловой поток в плите.........38
ГЛАВА II. УПРОЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
ИСТОЧНИКАХ ТЕПЛА, ЗАВИСЯЩИХ ОТ
ТЕМПЕРАТУРЫ. МЕТОД ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО
ФИКТИВНОГО ИСТОЧНИКА.....................45
§ II. 1. Упрощение задачи теории теплопроводности при
распределенных источниках тепла, зависящих от
температуры. Метод автора......................45
§11.2. Аппроксимация графика температуры наружного
воздуха в форме, удобной для приложений...49
§ II.3. Первая основная задача теории теплопроводности.
Случай замкнутого решения..................55
706
§ IL4. Первая основная задача теории теплопроводности.
Температурный режим прямоугольной призмы.
Случай незамкнутого решения..............•...........58
§11.5. Вторая основная задача теории теплопроводности.
Одномерный тепловой поток в плите..............60
§ II.6. Вторая основная задача теории теплопроводности.
Двухмерный тепловой поток в прямоугольной призме......68
§ II.7. Вторая основная задача теории теплопроводности.
Тепловой поток в неограниченном цилиндре.............70
§ II.8. Третья основная задача теории теплопроводности.
Одномерный тепловой поток в плите....................74
§11.9. Третья основная задача теории теплопроводности.
Двухмерный тепловой поток в прямоугольной призме......75
§ 11.10. Третья основная задача теории теплопроводности.
Тепловой поток в неограниченном цилиндре.............76
§ II. 11. Экспериментальная проверка теории..........77
§ II. 12. Пример расчета распределения температуры в
массивной бетонной плите.............................80
ГЛАВА III. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ...................................... 92
§ III. 1. Об асимптотических решениях задач теории
теплопроводности................................... 92
§ III.2. Асимптотическое решение задачи теории
теплопроводности в прямоугольных координатах.
Случаи замкнутого решения...........................94
§ II 1.3. Асимптотическое решение задачи теории
теплопроводности в прямоугольных координатах для
прямоугольной призмы. Случай незамкнутого решения....106
§ III.4. Асимптотическое решение задачи теории
теплопроводности в цилиндрических координатах.108
ГЛАВА IV. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ........................................116
§ IV. 1. О теореме Дюамеля в теории теплопроводности.116
§ IV.2. Обобщение метода фиктивного источника на
случай переменных теплофизических характеристик
материала среды....................................122
§ IV.3. Нелинейная задача теплопроводности при учете
влияния температуры на теплофизические
характеристики материала среды..........f:...127
707
§ IV.4. Об аналогии «эквивалентной однослойной стенки»
в теории теплопроводности многослойных наружных
ограждений................................131
ГЛАВА V. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ВЛАГОПРОВОДНОСТИ БЕТОНА.............................138
§ V. 1. Влагопроводность. Основные уравнения прикладной
теории влагопроводности бетона............138
§ V.2. Граничные и начальное условия. Равновесная
влажность бетона................................142
§ V.3. Влагофизические свойства бетона..........147
§ V.4. Аналитическое выражение для скорости гидратации,
зависящей от температуры процесса...............150
§ V.5. Уравнение влагопроводности при распределенном
стоке влаги, зависящем от температуры. Упрощение
и метод решения задачи теории влагопроводности.155
§ V.6. Задачи теории влагопроводности.
Одномерный поток влаги в плите............157
§ V.7. Пример расчета распределения влажности в
массивной бетонной плите..................160
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАН-
НОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ, ВЫЗЫВАЕМОГО
ИЗМЕНЕНИЯМИ ИХ ТЕМПЕРАТУРЫ И ВЛАЖНОСТИ
МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ.........................169
ГЛАВА VI. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ И ВЛАЖНОСТНЫЕ
ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНА..................................169
§ VI. 1. Температурные деформации бетона........170
§ VI.2. Вода в бетоне...........................175
§ VI.3. Усадка бетона...........................180
§ VI.4. Набухание бетона........................192
§ VI.5. Физические свойства бетона, связанные с его
влажностными деформациями.................196
§ VI.6. Влияние длительного внешнего нагружения на
режим высыхания и усадку бетона...........198
§ VL7. Некоторые особенности усадки и набухания бетона,
существенные для расчета влажностных напряжений....201
ГЛАВА VII. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
БЕТОНА.............................................215
§ VII. 1. Экспериментальные основы теории ползучести бетона.215
§ VI 1.2. Рабочие гипотезы современной линейной теории
ползучести бетона...............................269
708
§ VI 1.3. Основные уравнения линейной теории ползучести
бетона. Одномерная задача при наличии
вынужденных деформаций............................274
§ VI 1.4. Физический смысл наследственных функций бетона...280
§ VI 1.5. Общая трехмерная задача линейной теории упруго-
ползучего тела при наличии вынужденных деформаций..289
§ VII.6. Некоторые общие замечания по поводу метода решения
рассматриваемых задач линейной теории ползучести....294
§ VII.7. О наследственных функциях теории ползучести бетона... 304
§ VII.8. Об основных разновидностях современной теории
ползучести бетона и наследственных функциях,
фигурирующих в их уравнениях......................312
§ VII.9. Удобные аналитические выражения для
наследственных функций теории ползучести бетона....328
§ VII. 10. Экспериментальные исследования областей
применимости основных разновидностей теории
ползучести бетона...........................337
§ VII. 11. О методике аппроксимации кривых меры ползучести
бетона с помощью формулы (IV. 133)..........354
ГЛАВА VIII. УПРУГО-МГНОВЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫНУЖДЕННЫХ
ДЕФОРМАЦИЙ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ И
МЕТОД РЕШЕНИЯ...............................361
§ VIII. 1. Общая трехмерная упруго-мгновенная задача
теории упругости.........................<.........361
§ VTII.2. Плоская упруго-мгновенная задача теории
упругости. Основные уравнения......................369
§ VIII.3. Плоская упруго-мгновенная задача. Метод решения..377
§ VIII.4. Повышение точности решений плоской
упруго-мгновенной задачи....................388
§ VIII.5. Одномерная упруго-мгновенная задача для
бесконечного полупространства...............393
§ VIII.6. Одномерная упруго-мгновенная задача для
прямого бруса...............................394
ГЛАВА IX. НЕКОТОРЫЕ УПРУГО-МГНОВЕННЫЕ ЗАДАЧИ О
ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ..............................397
§ IX. 1. Напряжения в бесконечном полупространстве при
неравномерном изменении его температуры по
709
§ IX.2. Напряжения в прямом брусе при линейном
распределении температуры вдоль его оси.....399
§ IX.3. Напряжения в призматическом брусе со свободными
гранями при неравномерном распределении
температуры по его сечению........................400
§ IX.4. Напряжения в призматических прямоугольных брусьях
при изменениях их температуры, неравномерных по
высоте бруса................................407
§ IX.5. Напряжения в плите при неравномерном изменении
температуры по ее толщине...................414
§ IX.6. Напряжения в прямоугольном блоке, защемленном
по основанию при равномерном разогреве (торцы
блока закреплены от тангенциальных смещений).417
§ IX.7. Напряжения в защемленном по основанию
прямоугольном блоке при равномерном разогреве
(торцы блока свободны от напряжений)..............421
§ IX.8. Температурные напряжения в блоке, защемленном
по основанию и имеющем свободные торцы, в общем
случае его неравномерного разогрева.........427
§ IX.9. Некоторые замечания по поводу рассмотренных
упруго-мгновенных задач.....................433
ГЛАВАХ. УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ НАПРЯЖЕНИЙ
В БЕТОНЕ, ВЫЗЫВАЕМЫХ ЕГО ВЫНУЖДЕННЫМИ
ДЕФОРМАЦИЯМИ.........................................438
§ Х.1. Общие указания.............................438
§ Х.2. Методика учета ползучести при расчете напряжений,
вызываемых вынужденными деформациями..............442
§ Х.З. Случай стационарной вынужденной деформации.444
§ Х.4. Коэффициент приведения упругих напряжений
в старом бетоне.............................447
ГЛАВА XI. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ И
УСАДОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ В БЕТОНЕ.................452
§ XI. 1. Некоторые одномерные задачи о температурных
напряжениях в старом бетоне с учетом его ползучести..455
§ XI.2. Напряжения в бетонной плите от экзотермии при
учете изменений температуры наружного воздуха.459
§ XI.3. Напряжения в бетонных блоках при их разогреве от
экзотермии..................................464
§ XI.4. Экспериментально-теоретические исследования
температурных напряжений в бетоне...........467
710
§ XL5. Экспериментально-теоретические исследования
усадочных напряжений в бетоне.................480
§ XL6. Экспериментально-теоретическое исследование
напряженно-деформированного состояния центрально-
обжатых элементов из высокопрочного бетона и потерь
напряжений в арматуре.........................488
ГЛАВА XII. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ
СОСТОЯНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
БЕЗ ТРЕЩИН ПРИ НАЛИЧИИ ВЫНУЖДЕННЫХ
ДЕФОРМАЦИЙ......................................499
§ XII. 1. Напряженно-деформированное состояние
армированных сжато-изогнутых элементов со
свободными торцами............................499
§ XII.2. Релаксация напряжений и усилий в железобетонном
элементе...............................508
ГЛАВА XIII. УЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНО-ВЛАЖНОСТНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ ПРИ РАСЧЕТЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОН-
НЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ТРЕЩИНАМИ
ПРИБЛИЖЕННЫМИ МЕТОДАМИ.................511
§ XIII. 1. Общие методические указания........513
§ XIII.2. Расчет железобетонных конструкций на изменения
их температуры и влажности.............519
§ XIII.3. Определение перемещений железобетонных
конструкций при их расчете на изменения
температуры и влажности......................524
§ XIII.4. Расчет распределения температуры бетона по сечению
элементов конструкций и выбор средней расчетной
температуры и расчетного перепада температуры..528
§ XIII.5. Расчет распределения влажности бетона по сечению
элементов конструкций и выбор средней расчетной
влажности и расчетного перепада влажности.534
§ XIII.6. Числовой пример расчета железобетонной статически
неопределимой рамы на изменения температуры и
влажности бетона..........................540
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА...........................553
ГЛАВА XIV. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕТОНА И АРМАТУРЫ
ПРИ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ.......................555
§ XIV. 1. Влияние температуры на модуль упругости и
ползучесть бетона.........................555
711
§ XIV. 2. Наследственные функции бетона при влиянии
температуры на его физические свойства.............559
§ XIV.3. Модуль упругости, ползучесть и коэффициент
линейного температурного расширения арматурных
сталей при повышенных температурах.................564
ГЛАВА XV. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА ПРИ
СТАЦИОНАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУР.................................566
§ XV. 1. Рабочие гипотезы теории термоползучести бетона.566
§ XV.2. Общая объемная задача теории термоползучести в
прямоугольных координатах..........................567
§ XV. 3. Упрощенная объемная математическая модель общей
задачи теории термоползучести в прямоугольных
координатах........................................575
§ XV.4. Частный случай объемной задачи теории
термоползучести. Поле изменения вынужденной
деформации зависит только от одной координаты......576
ГЛАВА XVI. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛ-
ЗУЧЕСТИ БЕТОНА ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ ТЕМПЕРАТУРЫ...................579
§ XVI. 1. Напряженно-деформированное состояние
призматических прямоугольных брусьев при изменении
температуры, неравномерном по их толщине....579
§ XVI.2. Напряженно-деформированное состояние плит
при изменении температуры, неравномерном по
их толщине.........................................584
§ XVI.3. Числовая иллюстрация применения математической
модели теории термоползучести на примере
одноосной задачи о релаксации температурных
усилий в бетонной плите с защемленными гранями....588
§ XVI.4. Напряженно-деформированное состояние
бесконечного полупространства, неравномерного по
глубине при изменении его температуры..............598
§ XVI.5. Напряженно-деформированное состояние армированного
элемента со свободными от защемлений торцами.......599
§ XVI.6. Напряженно-деформированное состояние армированного
элемента с защемленными торцами....................604
712
ГЛАВА XVII. ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ В
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ ПРИ
СТАЦИОНАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПОВЫШЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ.................607
§ XVII. 1. Общая объемная задача теории термоползучести
бетона.................................607
§ XVII.2. Упрощенная объемная математическая модель
общей задачи теории термоползучести....613
§ XVII.3. Частный случай Математической модели задачи
теории термоползучести для цилиндрического тела
вращения. Поле изменения температуры зависит
только от одной координаты.....................615
ГЛАВА XVIII. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА ПРИ
НЕСТАЦИОНАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУР..............................621
§ XVIII. 1. Общая объемная задача теории термоползучести
бетона..........................................621
§ XVIII.2. Упрощенная объемная математическая модель
нестационарной задачи теории термоползучести 625
§ XVIII.3. Одномерная по координатам нестационарная
задача теории термоползучести..................629
§ XVIII.4. Численная иллюстрация применения теории
термоползучести на примере нестационарной
задачи о релаксации температурных усилий в
стене пропарочной камеры.......................632
ПРИЛОЖЕНИЯ........................................647
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................679
С. В. Александровский.
Расчет бетонных и железобетонных конструкций
на изменения температуры и влажности с учетом ползучести.
Компьютерный макет, верстка: Верховский А.А., Щурова Н.Е.
Корректура: Зоркова Е.Д.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная №1.
Гарнитура Times DL. Тираж 1000 экз
Печатных листов 44,5.